Text
LEHRBUCH DER 0PT1K
ТОП
Dr. PAUL DRUDE
Professor der Physik an dor Universitat Berlin
DRITTE ERWEtTERTE AUFLAGE
LEIPZIG
VERLAG VON S- HIBZEL
1912
П. ДРУДЕ
ОПТИКА
ПЕРЕВОД С НЕМЕЦКОГО
Е. Г. БАРАНОВОЙ, Б. Э. КРИССА и
М. В. САВОСТЬЯНОВОЙ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
проф. Т. П. КРАВЦА
Допущено Наркомпросом
РСФСР в качестве учебного
пособия для Университетов
ОИТй
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ОВЩЕТЕХНИЧЕСКОЙ
ЛЕНИНГРАД 18 8 5 МОСКВА
ЛИТЕРАТУРЫ
4-я типография ОНТИ НКТГГ СССР .•
ихнц^цр „Красный Ие-.аиь.к-,
Ленинград, Международный, 75а.
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Глава I. Основные законы.
1. Непосредственные данные очыта.....................................
•/. Пред ожеяне об особом пути лучей ... •...........................
3. Предложение Мадюса................................• • . . • . . .
Глава II. Геометрическая теория оптического изображения.
1. Понятие оптического изображения..........• . • •................
2. Общие формулы....................................................
3. Центрированные системы...........................................
4. Построение сопряжен ;ых точ“'к...................................
5. Характеристика различных видов изображений.......................
6. Телескопические системы..........................................
7. Комбинация нескольких систем............................ . . . .
1.
2.
3.
4.
8.
9.
Ю.
И.
1.
2.
3.
к‘ Оеа'
5. Я
в.
7.
8.
Глава Ш. Получение оптического изображения.
Преломление у сферической поверхности ........................
Отражение от сферической поверхности .........................
Линзы.........................................................
Тонкие линзы..................................................
Методы определения фикусных расстояний........................
6. Астигматическое изображение...................................
*• Расширение границ резкости изображения........................
с Сферическая аберрация.......................................
Правило синусов ............................................
Изображение больших поверхностей с похотью узких пучков . . .
Хроматическая аберрация диоптрических систем..................
Глава IV. Ограничение пучков в оптических системах.
Входной и выходной зрачки ... ................................
1одецентрический ход лучей ............................... .
Поле зрения.................................................
-Ровные положения фотометрии................................
ркость и освещенность оптических ивображенпй ...............
усвещ >|<ность изображений, получающихся на сетчатк* глаза . . . .
"чечиый источник света......................................
Сияние апертуры на разрешающую силу оптических приборов . . .
Глава V. Оптические приборы.
^^графические системы.........................................
^р*Г>оскоп ... ......................................
•) Общие положения.........................................
•) Объективы...............................................
1.
2.
3.
6
Оглавление
в) Окуляр..................................................... 86
г) Конденсор................................. ................ 88
д) Ход лучей.................................................. —
е) Увеличение................................................. r Ч
ж) Разрешающая сида............................................... Ч
э) Экспериментальное определение увеличения и числовой апертуры . . Я
4. Астрономическая труба............................................... *
5. Галилеева труба.........•........................................... Ч
6. Земная труба...................................................• л
7. Призменный бинокль....................•.........• ............. •
8. Зеркальный телескоп..................................... • • 91
II. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
Глава!. Скорость света.
1. Способ Рёмера........................................................ 5
2. Способ Брадлея...................................................... Д<
3. Способ Фнзо.............................................. • • •
4. Способ Фуко......................................................... 1'
5. Новейшие определения................................................. К
6. Зависимость скорости света от среды и от длины волны................ 1<
7. Групповая скорость.................................................. I1
Глава II. Интерференция света.
1. Общие положения..................................- . • .......
2. Гипотезы о прироле света........................................
3. Опыт Френеля с зеркалами........................................
4. Видоизменения опыта Френеля с зеркалами.........................
5. Кольца Ньютона и цвета тонких пластинок.........................
6. Ахроматизация интерференционных полос...........-...............
7. Интерферометры..................................................
8. Интерференция при большой разности хода. Интерферометр Майкельсона .
9. Видимость интерференционных полос...............................
10. Интерференционные спектроскопы............................. •
11. Стоячие световые волны.........................................
12. Цветная фотография Липпмана....................................
13. Интерференционные явления в рентгеновских лучах.................
Глава III. Принцип Гюйгенса.
1. Принцип Гюйгенса (первоначальный вид)........................... 137
2. Усовершенствованная формулировка принципа Гюйгенса, данная Френелем . 139
3. Диф | еренциальные уравнения для светового возмущения............ 145
4. Вспомогательная теорема.......................................... 147
5. Две общие формулы................................................ 148
6. Строгая формулировка принципа Гюйгенса .......................... 152
Глава IV. Диффракция света.
1. Общая теория явления диффракцзи................................. 157*
2. Френелева диффракция............................................. 159
3. Интегралы Френеля.................................................. —
4- Диффракция от прямолинейного края экрана......................... 162
5. Диффракция от узкой щели......................................... 166
6. Диффракция от узкого экрана....................... •............. 168
7. Строгий вывод диффракции от прямолинейного края экрана........... 170
8. Фраунгоферова диффракция........... ............................. 179
9. Диффракция от прямоугольного отверстия ..............•........... 180
10. Диффракция от косоугольного параллелограмма..................... 182
Оглавление
7
15 Диффракдионная
16 Вогнутые решетки
t?’ фокусирующие св<
хжпакция от щели ........................ 182
11- ^^фракционное отверстие любой формы..................... 183
12. gg’^jbKO одинаковых и одинаково расположенных диффракционных от-
.. Жндиа Бабине.................. . . . •................. 185
решетка..................................... 186
............................................ 188
ойства плоской решетки.................• . . 190
*' Разрешающая сила решетки................................... —
10 Ступенчатая решетка (эшелон) Майкельсона................. 191
20* Разрешающая сила призмы................................. 194
21' Разрешающая сила зрительной трубы....................... 196
22* Разрешающая сила человеческого глаза...................... —
23.' Разрешающая сила микроскопа.............................. —
Глава V. Поляризация.
1. Поляризация двойным лучепреломлением................................ 201
2*. Призма Николя...............•...................................... 203
3. Другие способы получения поляризованного света..................... 204
4. Интерференция поляризованного света................................ 205
5. Математическое выражение для светового возбуждения в поляризованном
свете........................................•........................... —
б. Образование стоячих волн в наклонно падающем пучке поляризованного
света.................. .-г"................................• . . . . 208
7. Положение главного светового вектора в кристаллах.................. 209
8. Естественный и частично поляризованный свет ....................... 210
9. Экспериментальное исследование эллиптически поляризованного света . . 211
Ш. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ОПТИКА
Глава I. Теория световых явлений
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Ю.
Механическая теория.................................................
Электромагнитная теория ............................................
Электрическая и магнитная сила (определение) •......................
Определение электрического тока в электростатических и электромагнит-
ных единицах .......................................................
Определение магнитного тока . ....................................
Пустота (свободный эфир)............................................
Изотропный изолятор.................................................
Пограничные условия.................................................
Энергия электромагнитного поля......................................
Световые лучи как линии потока энергии..............................
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Глава II. Прозрачные изотропные тела.
Скорость распространения света.....................................
Поперечность плоских волн. . ......................................
Стражение и преломление на границе прозрачных изотропных тел ....
Нормальное падение. Стоячие волны .................................
Поляризация естественного света при прохождении через стопу пла-
^*спериментальное подтверждение теории.............................
Пиитическая поляризация отраженного света как следствие существова-
вия поверхностных или переходных слоев.............................
Полное внутреннее отражение........................................
Роннкновение света при полном внутреннем отражении во вторую среду
рЦРеделение показателя преломления по полному внутреннему отражению .
Распределение света в кольцах Ньютона..............................
е°днородные тела; искривление лучей света..........................
217
218
219
220
222
223
224
226
227
228
231
232
236
237
238
245
247
251
254
8
Оглавление
Глава III. Оптические свойства прозрачных кристаллов
1. Дифференциальное уравнение и пограничные^ условия.............- • <
2. Световой вектор и световой луч ..................................
3. Заков Френеля для скорости света..................•............... 5
4. Направление световых колебаний.................................... 2
5. Поверхность нормалей............................................
6. Геометрическое построение поверхности волны и направления коле*
баний...............................................................
7. Одноосные кристаллы............................................. 2i
8. Определение направления светового луча ко направлению волновой нор-
мали ................................................. 21
9. Поверхность лучей .............................................• 2d
10. Коническая рефракция........................................... 2?|
11. Прохождение света через кристаллические пластинки и кристаллические
призмы.............................................................. 2*Й
12. Полное внутреннее отражение в кристаллических пластинках....... 27
13. Частичное отражение от кристаллической пластинки............... 28
14. Интерференционные явления в кристаллических пластинках в нормально
падающем поляризованном свете....................................... -«
15. Интерференционные явления в кристаллических пластинках в сходящемся
поляризованном свете................................................ 28|
Глава IV. ^Поглощающие тела.
1. Электромагнитная теория......................................... 29ffl
2. Отражение от металлов..........................•................ 291
3. Оптические константы металлов..................................... 2*1
4. Поглощающие кристаллы........................................... ЗОЙ
5. Интерференционные явления в поглощающих двуосных кристаллах '. . . 301
6. Интерференционные явления в поглощающих одноосных кристаллах . . . ЗОЙ
Глава V. Дисперсия тел.
1. Теоретические основания........................•..................
2. Расширение теории (теории Планка и Лорентца)......................
3. Нормальная дисперсия .............................................
4. Вычисление электронных констант по дисперсии. Число электронов и хими-
ческая валентность .... ..............................................
5. Зависимость показателя преломления от плотности.......•...........
6. Аномальная дисперсия..........•................•..................
7. Дисперсия металлов................•...............................
8. О недостаточности классической теории дисперсии ...........
31
31
ЗН
321
324
325
328
339
Глава VI. Естественно-активные тела.
1. Общие положения.................................................. 331
2. Изотропные тела ................................................. 332
3. Вращение плоскости поляризации.................................. 336^
4. Кристаллы ..................’.....................................33 g
5. Дисперсия вращения плоскости поляризации........................ 341
б. Поглощающие активные тела ...................................... 344
Глава VII.* Магнитно-активные тела.
А. Гипотеза молекулярных токов.
1. Общие положения................................................... 346
2. Вывод дифференциальных уравнений.................................. 347
3. Магнитное вращение плоек юти поляризации..........•............... 351
4. Дисперсия магнитного вращения плоскости поляризации............... 354
,5. Магнитное поле перпендикулярно к световым лучам................... 356
Оглавление
9
•Б. Гипотеза эффекта Холла.
Обдие положения .....................................
*' вывод дифференциальных уравнений....................
4 Свет распространяется параллельно магнитному полю . .
7 дисперсия магнитного вращения плоскости поляризации .
Д к* длина волны близка к длине волны собственных колебаний
Л б Свет распространяется перпендикулярно магнитному полю .
4 7* Длина волны близка к длине волны собственных колебаний
t Явление Зеемана .......................................
9* Магнитно-оптические свойства железа, никеля и кобальта .
а) Проходящий свет...............................
б) Отраженный свет (явление Керра)...............
10. Влияние магнитного поля световых лучей..........• .
357
358
359
360
363
365
366
367
370
372
Глава ,VIII. Движущиеся тела.
1. Общие положения...................................................... 375
2. Теория Лорентца. Дифференциальные уравнения электромагнитного поля,
отнесенные к неподвижной координатной системе.......................... 376
3. Скорость света в движущихся телах..................................... 381
4. Дифференциальные уравнения и пограничные условия электромагнитного
поля по отношению к подвижной координатной системе, твердо связанной
с твердым телом . . . • ........................................ 382
Г5. Направление светового луча, определенное по принципу Гюйгенса . . . • 385
6. Замена абсолютного времени местным..................................... 386
7. Независимость абсолютного хода лучей от движения....................... 387
8. Земля как движущаяся система............................................ —“
9. Аберрапия света........................................................ 388
10. Поляризационный опыт Физо................................................ 390
11. Интерференционный опыт Майкельсоиа........................................ —
12. Теория относительности.................................................. 394
IV. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ.
Глава 1. Излучение с энергетической точки зрения.
1. Ис ускательная способность .......................................... 403
2. Яркость излучающей поверхности . . . • •............................. —-
3- Механический эквивалент света....................•................... 404
4. Световая отдача и удельное потребление источников света ....... 406
6. Световое давление................................................. . —
7« Теория теплового обмена Прево............................................. 410
Глава И. Применение второго закона термодинамики к чисто
И.
2.
3.
5.
6.
7.
8.
9.
Ю. Об!
тепловому излучению.
Первый и второй закон термодинамики...............................
уепловое излучение и люминисиенция . . • • ..................
^иускательная способность идеально отражающего или идеально про-
зрачного тела равна нулю.............................................. .
акон Кирхгофа (связь между испусканием и поглощением).............
дЛ®Дствия из закона Кирхгофа......................................
аьисимость яркости излучающей поверхности от показателя преломления
О^РУЖающей среды .................................................
Дб °н синусов при получении изображения элементов поверхности . . .
Эа,^ЛИ)тная температура...........................................
'^ие формулы термодинамики....................-...................
410
411
412
413
415
417
420’
421
423
424-
10
Оглавление
11. Зависимость испускания черного тела от его абсолютной температуры
(Закон Стефана-Больцмана)................................................. 4
12. Температура Солнца, вычисленная по полному излучению................ 4
13. Изменение спектрального распределения в черном теле с температурой
(закон смещения Ви а а)................................................... 4
14. Температура Солнца, вычисленная по распределению энергии в солнечном
спектре................................................................- Й
15. Распределение энергии в спектре черного тела (закон Планка)........
Глава III. Излучение газов и паров.
1. Механизм излучения молекулы......................................... 4*
2. Классические модели атома........................................... 4'
3. Затухание колебаний электронов вследствие их излучения.......... Ф
4. Рассеяние света мелкими частицами................................... 4!
5. Расширение спектральных линий вследствие столкновения молекул .... 41
6. Расширение спектральных линий по принципу Допплера.................. 4!
7. Спектральные серии; формула Бальмера................................ 40
8. Теория Бора.............•........................................... 43
9. Другие квантовые явления в оптике................................... 40
10. Синтез волновых и корпускулярных Представлений ................... 4<]
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
«Оптика» Друде впервые вышла в 1901 г. С тех пор не только оптика,
но и вся физика неоднократно и коренным образом меняла свое
лицо: появилась теория относительности — сначала специальная, а
потом и общая; понятие о квантах, нерешительно формулирован-
ное Планком, в руках Эйнштейна, Бора, Зоммерфельда развилось
в огромное здание квантовой оптики; эта квантовая оптика в свою очередь
отошла в область истории, заменившись новейшей квантовой и волновой
механикой Гейзенберга, Шредингера, Дирака. Казалось бы, что могло
остаться от книги, написанной до этих грандиозных переворотов в науке?
Сам автор умер в 1906 г.; позднейшая переделка его курса, предпринятая
' Герке, скорее его испортила, введя совершенно неприличное в учебнике
резко полемическое отношение ко всякой «новизне» вроде теории отно-
сительности и т. п. Казалось бы, что такая переделка должна похоронить
вместе с собой и то, что в книге было.нужного и ценного.
Но книга осталась, и она остается доныне несомненно наилучшим
из всех руководств при изучении оптики. Сравнительно небольшие
изменения легко приспособляют ее к современному уровню, основной же
метод изложения, блестяще угаданный автором, и современного студента
введет в курс оптики так же легко и естественно, как он мог ввести пре-
дыдущие поколения тридцать пять лет тому назад.
Тем не менее понадобилась довольно кропотливая и значительная
работа для модернизации курса. В некоторой части речь идет всего лишь
0 смягчении и уточнении высказываний автора: сейчас ни один физик
не решится утверждать, что явления интерференции, диффракции и т. п.
/Доказывают» волновую природу света.
, Современный курс оптики невозможен без принципа относительности,
0 з теории квант, хотя бы в самом элементарном виде — без упоминания
Фундаментальном факте, что и корпускула имеет волновую природу.
- ппв ₽авнйтельно мало изменений испытала геометрическая оптика; здесь
* с бо^0015 только по-новому изложить главу о фотометрии, в связи
и с ЛЬШой международной работой, проделанной с тех пор для уточнения
Лндартизации основных фотометрических понятий.1
ее Ма£Лаве ° СКОРОСТИ света прибавлено описание новейшего определения
.. «^/^нельсоном (1927).' Несколько обновлено изложение вопроса об
1^" —
ввчем есьма любезная помощь в этом вопросе была оказана редакции М. М. Гуре-
’ Пальником фотометрического сектора ГОИ.
12 Предисловие редактора
интерференции при большой разности хода, и добавлен параграф'
интерференционных явлениях в лучах Рентгена. Вставлен неболы|
параграф «О недостаточности классической теории дисперсии». Перенес]
в другое место и по-новому изложено учение о рассеянии света мелк^
частицами. Прибавлена новейшая история попыток повторения ош,
Майкельсона. Введено заново изложение элементов теории относительное
и на простейших примерах показано, к каким упрощениям она ве,
в вопросе об оптике движущихся тел. Совсем выпущена стоксова Teoj
аберрации. Переделан параграф о световом давлении, в виду, во-перв]
ошибки, допущенной здесь Друде, и, во-вторых, необходимости излож!
последующие фазисы развития учения о световом давлении. Измене^
введено в вывод виновского закона смещения.1
В корне пришлось переработать последнюю главу, так как нь
учение об излучении атомов и молекул уже невозможно без квантов
представлений. У Друде, естественно, нет ничего ни о закономерное^
в спектрах, ни о теории Бора. Редактор счел необходимым указ^
в этой главе границы применимости старой теории и те отправв|
моменты, которые определили пути новой оптики и молекул.
М. В. Савостьяновой проделана большая работа по освежению ли1
ратурных ссылок и числовых данных.
Перевод был сделан с третьего немецкого издания 1912 г. Е. ГЛ
рановой (I и И отделы), Б. Э. Криссом (III отдел, главы I, II, IIIJ
М. В. Савостьяновой (III отдел, главы IV — VIII и IV отдел).
Т. Kpael
Июнь 1935 г.
ГОИ
1 Соответственным указанием мы обязаны акад. Д. О. Рождественскому.
I. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
ВВЕДЕНИЕ
Обширная область световых явлений, многие из которых нашли самое
!широкое практическое применение, покоится на четырех основных зако-
нах Таковыми являются:
1. Прямолинейное распространение света,
2. Независимость частей светового пучка друг от друга,
3. Закон отражения,
4. Закон преломления1;.
Эти четыре закона являются прямыми выводами из данных опыта.
Если мы положим их в основу изложения, не принимая во внимание
других свойств света, мы сможем объяснить определенные геометрические
соотношения, имеющие место в световых явлениях; в самом деле, эти
четыре основные закона относятся только к геометрическим свойствам,
распространения света. Они являются поэтому достаточной основой для
так называемой геометрической рптики; для последовательного построения
последней не требуется никаких особых гипотез, касающихся природы
света.
Помимо этих чисто геометрических свойств, световые явления обладают
рядом других свойств; они трактуются в физической оптике, которая, в
противоположность геометрической, сосредоточивает свое внимание на
физической природе световых явлений. Для того чтобы иметь возмож-
ность охватить все многообразие этих явлений, приходится строить осо-
бые гипотезы о природе света: эти гипотезы оказались вполне плодо-
творными.
С точки зрения физической оптики четыре вышеприведенных основ-
ных закона геометрической оптики являются только приближенными
законами, правда, с довольно широкой областью применения. Необходимо,
Днако, указать и границы приложения геометрической оптики, т. е. опреде-
ить> при каких обстоятельствах ее выводы заметно уклоняются от дей-
СТвйтельности.
ПуТв О прямолинейном распространении света и о тех затруднениях, которые на
вопт)п\его объяснению встречает волновая теория, см. ниже стр. 111 (постановка
разбиСа а — 156 (принцип Гюйгенса); уклонения света от прямолинейного пути
лредЛак)тся в главе о диффракции света (стр. 157 — 200). — Законы отражения и
0 Расп Вия’- КРОМ0 чисто геометрической стороны дела, должны давать указания
а такл?еделеяии энергии падающего луча между лучами отраженным и преломленным,
(для а е Учитывать влияние поляризации падающего света. Об этом см. стр. 232—251
(для По0тРопных прозрачных тел), 279—282 (для прозрачных кристаллов) и 293—296
в волН(?^аюЩпх Т0Л).—Закон независимости частей светового пучка друг от друга
отдельвЬ°а те°Рии имеет свое выражение в принципе суперпозиции, или сложения
интеп&а4*' Ютовых возмущений, и находит свое главное приложение в учении об
Ренции и диффракции (стр. 137 — 200). Прим. Ред.
16 Введение
Это обстоятельство всегда надо иметь в виду, если мы не хо1
превратить геометрическую оптику в поле чисто математических упр
нений, а хотим оставить ее настоящей физической дисциплиной. Пол1
теория оптических инструментов может быть развиваема только с то’
зрения физической оптики.
Но так как, как уже было отмечено выше, законы геометричещ
оптики в большинстве случаев в большом приближении соответству
действительности, представляется целесообразным сначала последо:
тельно развить эти геометро-оптические законы, вплоть до наибол
сложных случаев, с которыми мы встречаемся в оптических инсц
ментах.
ГЛАВА 1.
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ.
1. Непосредственные данные опыта. Под непосредственными опыт-
ными данными мы будем разуметь четыре основных закона:
Прямолинейное распространение света доказывается существованием
тени получаемой на экране 8, когда какой-нибудь непрозрачный пред-
мет ’ расположен между точечным источником света Р и экраном.
Если в непрозрачном предмете имеется отверстие L, то граница тени на
экране представится как сечение плоскости с конусом, вершина которого
лежит в источнике света Р, а поверхность проходит через границы от-
верстия L.
Если теперь мы будем умень/пать отверстие L, то граница тени на
экране 8будет уменьшаться. Есл^ отверстие L очень мало (меньше 1 мм),
она становится не резкой; точки ^экрана /9, лежащие внутри геометриче-
ской тени, еще получают свет от источника Р. Конечно, следует учиты-
вать то обстоятельство, что невозможно получить источник света Р в виде
геометрической точки, и что уже вследствие некоторой протяженности
источника Р граница тени не может быть абсолютно резкой, даже при
условии прямолинейного распространения света (центральная тень и полу-
тень). Но при очень небольшом отверстии L (размером около 0,1 мм)
свет на экране 8 распространяется так далеко за L, что в данном слу-
чае не может быть и речи о прямолинейном распространении света.
Тот же результат мы получим, если будем изучать распространение
света, пользуясь не отверстием в непрозрачном предмете, а непрозрачным
предметом 8', отбрасывающим тень на экран £ Если 8' достаточно мало,
мы не получим ничего похожего на прямолинейное распространение света,
де?’ надо признать, что закон прямолинейного распространения света
Д иствителен только тогда, когда свободные отверстия, через которые про-
к°м маСВеТ’ ИЛИ экРаны’ препятствующие прохождению света, не слиш-
Р кТ0^н наглядно изобразить распространение света от источника света
напп?₽анУ обыкновенно говорят, что Р посылает световые лучи по
его в Леаию & пУть светового луча определяется тем, что действию
на пуЙ эк₽ан ® может помешать только такое препятствие, которое лежит
лучи Та самого луча. При прямолинейном распространении света световые
имеет Следовательно, представляют собой также прямые линии, как это
через АМесто в случае, когда свет, идущий от Р, распространяется' не
н витком малое отверстие в непрозрачном предмете. В этом случае
Аруде-, Оптика 2
18 Основные законы [Отд. I, d
приняло говорить, что Р посылает через L прямолинейный пучок <
товых лучей.
При уменьшении L действие света на экран <5 представляется в
кой виде, как будто просто уничтожается действие на экран S некото}
световых лучей, исходящих из Р, в то время как действие других лу|
остается неизменным; отсюда следует, что части светового пучка являю!
независимыми друг от друга. |
Этот закон также перестает оправдываться, если слишком уменьши
отверстие. Но тогда вообще пропадает понятие прямолинейности светов!
лучей, исходящих из Р. |
Таким образом световые лучи являются понятием, введение котора
оправдывается его целесообразностью; при этом всегда предполагаем
бесконечное множество соседних световых лучей. Нельзя выделить всей
навсего один световой луч и доказывать его физическое существовав!
так как чем больше мы будем приближаться к этой цели, сужая пуч
лучей, тем в меньшей степени свет будет распространяться прямолиней)
и тем более понятие светового пучка будет терять свое физическое зе
чение. (
Если нарушить однородность пространства, в котором распространяют!
световые лучи, введя в него некоторое тело, то на поверхности этого те|
световые лучи будут испытывать внезапное изменение своего направ!
ния: световой луч разделится на два луча—отраженный и преломленнъй
Если поверхность тела, на которую падает световой луч, представлю
собой плоскость, то плоскость, проходящую через нормаль В к эт|
плоскости и световой луч, называют плоскостью падения; угол межд
этими двумя направлениями — углом падения. . <
Мы имеем следующие законы: луч отраженный и луч преломлений
лежат оба в плоскости падения; угол отражения (угол между N и отр
женным лучом) равен углу падения; угол преломления <р' (угол межд
Nu преломленным лучом) связан с углом падения у соотношением:
sin <р л
= П, Л
8Ш (р '•
причем п для определенного цвета имеет постоянное значение и наз^
вается показателем преломления (или коэффициентом преломления) тел
относительно окружающей среды. При отсутствии других указаний по)
п мы будем понимать показатель преломления относительно воздуха
Для всех прозрачных (жидких и твердых) тел он больше 1.
Если тело А отделяется от воздуха тонкой плоскопараллельной пла-
стинкой В другого вещества, то на обеих пограничных поверхности?
пластинки свет будет преломляться согласно формуле (1) по законам:
sin <р sin <р'
т — ‘ - - от
sin <р' sing?"
где обозначает угол падения света в воздухе, д/—угол преломлений
в теле В, у"— угол преломления в теле А, пь — показатель преломления
В относительно воздуха, па6 — показатель преломления А относительно В.
Непосредственные данные опыта
19
Отсюда- следует.
sin <р
Sin <р' ПЪ^аЪ"
Эта формула остается справедливой и при бесконечно малой толщине
астинки В; но этот случай ничем не отличается от выше рассмотрен-
ного случая простого преломления света, падающего из воздуха на тело
Если через па обозначить показатель преломления А относительно
воздуха, то, сравнивая последнюю формулу с равенством (1), получим:
• ПаЬ
или
(2)
т. е. показатель преломления А относительно В равняется отношению
показателей преломления А и В относительно воздуха.
В том случае, когда на теле В лежит бесконечно тонкая пластинка А,
в результате таких же соображений получаем соотношение
пъл = пь: па.
Следовательно,
пяЬ = 1:п6в,
т. е. показатель преломления А относительно В равен обратному значе-
нию показателя преломления В относительно А.
Таким о'разом закон преломления (1) позволяет сделать вывод, что
<р’ можно рассматривать как угол падения в теле, ср—как угол преломле-
ния в окружающей тело среде (воздухе), т. е. что при изменении напра-
вления распространения света на обратное положение лучей не меняется.
В законе отражения этот принцип обратимости светового пути также
действителен, как это видно без дальнейших объяснений.
В связи с этим закон преломления (1), при переходе света от тела А
в телу В или "наоборот, приобретает симметричный вид
sin <рл = пъ sin <рь, (3)
причем <ра nv(pb представляют собой углы светового луча в телах А и В
’бн°рмалыо N к поверхности раздела, па и пъ — показатели преломления
оих тел относительно какого-нибудь третьего тела, например воздуха,
относительно безвоздушного пространства, пустоты.
тель Т° касается последнего, то показатель преломления тела п относи-
дуСтНо Воздуха отличается от показателя преломления п0 относительно
3 °ты очень мало. Согласно равенству (2) должно быть:
п0 = п : п', (4)
обозначает показатель преломления пустоты относительно воз-
величина при атмосферном давлении и температуре воздуха 0°
причем^
Духа. -еГо
равняется-
п' = 1:1,00029.
(5)
2*
20 Основные законы [Отд. I,
По закону преломления (3) каждому падающему лучу (уа) соота
ствует преломленный луч (<^) только в том случае, когда па < пъ. £
же, наоборот, па > пъ, то для случая:
Sin т Z> — :
па ;
sin <рь > 1, т. е. не существует вещественного угла преломления
В таком случае на пограничной поверхности преломления не nponcxoj
а имеет место одно только отражение. В отраженном луче должна тец
содержаться вся энергия падающего луча; поэтому этот случай назыв;
полным отражением. \
Каким образом действие падающего луча распределяется между от
женным и преломленным лучол! в других случаях (частичное отра;
ние), будет подробнее рассмотрено в отделе III (глава II). Здесь дос
точно ограничиться замечанием, что вообще в прозрачных телах п
ломленный луч обладает большим световым действием, чем отраж
ный. Только в металлах в отраженном луче сосредоточивается поя
целиком все действие падающего луча. Следует, впрочем, заметить, ч
для таких сильно непрозрачных тел, какими являются металлы, зая
отражения сохраняет свое действие, тогда как закон преломления в фои
(1) и (3) оказывается уже недействительным. Более подробно это там
будет рассмотрено ниже в отделе III (глава IV). j
Мы различаем в свете особое свойство цвета. Показатель преломлей
зависит от цвета; у всех прозрачных тел показатель преломления (от?
сигельно воздуха) увеличивается от красного конца спектра через зеЛ
ный к фиолетовому. Разложение белого света в спектр при прохожден)
сквозь призму основано на изменении показателя преломления с цвете
Это свойство тела называется дисперсией. i
Если поверхность тела, на которую падают световые лучи, не плоек?
а кривая, то можно принять, что такая поверхность состоит из. отдел
ных плоских площадок (касательные плоскости), и ход световых луч
можно строить по законам, данным выше. Однако этот способ допустз
только тогда, когда кривизна поверхности не превышает определенно
значения, так что поверхность мы можем еще считать гладкой. I
Шероховатые поверхности дают неправильное (рассеянное, диффузно!
отражение и преломление; они действуют так, как будто они сами изл]
чают свет.
Поверхность тела вообще видна только при рассеянном отражении ил
преломлении; напротив, абсолютно зеркальная поверхность невидим:
видны только отраженные от нее лучи, идущие от источников свет;
расположенных вне зеркала, т. е. видны только эти источники света.
2. Предложение об особом пути лучей. Все указанные закономе]
ности, касающиеся направления световых лучей и полученные непосре,
ственно из опыта, могут быть объединены в одно предложение об особо
световом пути. Если световой луч проходит от точки Р к точке Р', испь
тывая при этом любое число отражений и преломлений, то сумма ив пр<
изведения показателя преломления среды и пройденного в этой сре;
пути оказывается экстремальной величиной, т. е. она отличается (
я
Предложение об особом пути лучей
21
бяых сумм для всех путей, бесконечно близких к действительному
jroA0” сзМое большее на члены второго порядка. Следовательно, если
вУт0’ г мЫ обозначим вариацию первого порядка, то:
дерез
82»Z = 0. (7)
N
Е
Рис.
1.
Произведение показателя преломления на пройденный путь называется
। оптической длиной» или оптическим путем луча. *)
J Докажем это предложение для случая
однократного преломления. Пусть POP'
представляет собой фактический ход луча
фис. !)• ОЕ есть пересечение плоскости
тадения PON с поверхностью (касатель-
аой плоскостью) преломляющего тела.
Точка О' лежит бесконечно близко к точке
9 на поверхности преломляющего’ тела;
тусть отрезок 00', выступающий на рис. 1
^сколько вперед, составляет с плоскостью
задения, т. е. с прямой ОЕ, некоторый
зроизвольный угол Таким образом надо
доказать, что с точностью до величины
второго или высшего порядка
пРО + п'ОР' = пРО' + п'О'Р', (8)
Це п и п' представляют собою показатели преломления двух гранича-
щих друг с другом сред.
Если опустить из О на РО’ перпендикуляр ОВ и на О'Р’ перпен-
|0куляр OB', то, с точностью до величин второго порядка, имеем:
РО' =:РО + ВО', О'Р' = ОР' — О'В'. (9)
1 Далее с тем же приближением имеем:
(Ю)
ВО’ = OO'cosPOO', О'В' « OO'-cosP'OO'.
/ пл? вычисления cos POO' определим косинус угла между отрезками РО
bp ' и осями координат, за каковые мы возьмем направления ON,
Есл И пРичем OD предполагается перпендикулярным к ON и ОЕ.
W? 95 ^означает угол падения PON, то направляющие косинусы РО
ади мы не принимаем во внимание) будут:
cos <р, sin <р, О,
) Иначе эта величина называется „приведенной длиной" пути луча. Так как
•ъ > где v0 — скорость распространения света в пустоте, a v—в данной среде, то
РИведенная длина 10 = —— = v01, т. е. это есть путь, проходимый светом в пу-
стоте В Tn V , « ’
пед. 0 время, в течение которого в данной среде он проходит путь I. Прим.
22
Основные законы
[Отд. I,
........я
а направляющие косинусы О О'".
О, cos#, sin#.
На основании теоремы аналитический геометрии, по которой коо|
угла между двумя любыми отрезками равняется сумме произведи
соответствующих косинусов углов отрезков с осями прямоугольных
ординат, следует:
cos РООГ = sin у • cos #,
и аналогично:
cos Р'ОО' — sin cos #,
где ср' обозначает угол преломления.
Отсюда на основании (9) и (10):
р /г п • РО' + п' • О'Р' — п • РО +
К / -\-п • 00' • sin9? • cos# 4-тг' • OP'~
Хх / / —п'-0(9z-sin </-cos#.
ХА /_________-£ Но так как по закону преломления (|
/о уо’ существует соотношение: 1
/X' п- sin <р = п' sin <р.1
* то соотношение (8) действительно справедлив
рис. 2. для любого положения точки О', еслитольд
она лежит бесконечно близко к точке О.
Для случая однократного отражения предложение (7) доказываете
проще. Оно принимает здесь вид:
Ъ(РО+ 0Р’}=.^,
(Ш
если, как изображено на рис. 2, РО и ОР’ дают действительный nyd
лучей. Представим себе такую точку Рь которая лежит симметрична
к Р относительно касательной плоскости ОЕ преломляющего тела; тогд|
для любой точки О' в касательной плоскости РО'=Р1О'. Следовательн^
оптическая длина луча от Р до Р' при однократном отражении от касателР
ной плоскости ОЕ, при любом положении точки О', равна отрезку
Pt0' + О'Р'. Эта длина будет минимальной, если Pv О' и Р' лежат
на прямой линии. Но тогда точка О', действительно, совпадает с точ-
кой О, определяемой законом отражения. Так как свойства минимума
(так же как и максимума) характеризуются исчезновением первой вариа-
ции, т. е. уравнением (11), ю наше предложение (7) для однократного
отражения доказано.
Следует заметить, что исчезновение первой вариации имеет место как
при минимуме, так и при максимуме. В том случае, когда преломляющее тело
ограничено действительно плоскостью, из данного построения без даль-
нейших объяснений вытекает, что при отражении оптическая длина имеет
минимальное значение. Таким же образом доказывается, как это подроб-
нее будет выведено ниже, что и при преломлении оптическая длина
Предложение об особом пути лучей
23
Общим
^21
минимальное значение, когда преломляющее тело ограничено плос-
«*ееТ ' Поэтому этот принцип часто называется также принципом крат-
iw^sniero пути.
I Но сели поверхность преломляющего или отражающего тела кривая,
пешение вопроса, будет ли длина пути представлять собой максимум
минимум, зависит полностью от свойств этой поверхности. Общим
ля всех случаев признаком является
только исчезновение первой вариации,
и этого условия достаточно для опреде-
ления хода луча.
Чтобы яснее представить себе то,
что здесь происходит, полезно ввести
понятие о так называемых апланатиче-
ских поверхностях; такая поверхность
есть геометрическое место точек А, для
которых сумма оптических путей до двух
точек Р и Р' является постоянной. Сле-
довательно, для таких поверхностей про-
падают в сумме оптических длин не
только вариации первого порядка, но и
все вариации любых высших порядков.
При отражении апланатическая поверхность
РА -рР'А==С
(12)
представляет собой эллипсоид вращения с фокусами в точках Р’ и Р.
Если 80S' представляет собой часть отражающего зеркала (см. рис. 3),
а О —такая точка на нем, для которой направления РО и Р'О удо-
влетворяют закону отражения, 'то соответ-
ствующая точкам Р и Р’ апланатическая
поверхность АО А', проходящая через точ-
ку О, должна, очевидно, касаться зеркала
SOS' в О, так’как для обеих поверхно-
р, стей пропадает первая вариация оптиче-
ского путшдЕсли, как показано на рисун-
ке, зеркало SOS' выгнуто сильнее, чем
апланатическая поверхность, то оптический
путь РО-рР'О имеет максимальное зна-
чение, в противном случае — минималь-
ное. Доказательство этого положения по-
точ7С1СЯ/ непосредственно из рассмотрения рисунка, так как для всех
равеК внутри эллипсоида вращения АОАуравнение которого дается
них Нством (12), сУмма РО' +О'Р' меньше постоянной С, а для всех внеш-
те1ьв°1ек °' сУмма РО'+ОТ' больше С; для той точки, где действи-
v происходит отражение, сумма РО 4- ОР' равна С.
Рп преломлении апланатическая поверхность
п-РА + п' -Р'А = С
54
Основные законы
[Отд. I,
представляет собой так называемый картезианский овал, который вЦ
клой стороной должен быть обращен к менее преломляющей среде
рис; 4 п<п'), и кривизна его, очевидно, больше, чем кривизна ша
описанного около Р' как около центра.
Эта апланатическая поверхность опять отделяет такие области, |
точек которых О' сумма оптических путей п-РО' 4- п'Р'О'>С, от так)
в которых эта сумма < С. Первые области лежат от апланатичес^
поверхности в сторону менее преломляющей среды (на рисунке налев
последние — в сторону сильнее преломляющей среды (на рисунке направ
Если теперь SOS' представляет собой часть пограничной поверхши
между обеими средами, и РО, Р'О дают фактически пройденный луч
путь, каким он должен быть по закону преломления, то оптический пу
луча, проходящего через точку О, имеет максимальное или минимальй
значение в зависимости от того, будет ли выпуклость 80S' в сторо
менее преломляющей среды сильнее или слабее, чем выпуклость аплав
тической поверхности АОА'. Доказательство получается непосредствен
из рисунка.
Если, например, 80S' представляет собой плоскость, то оптическз
путь имеет минимальное значение. На рисунке изображен случай, ког
оптический путь луча, проходящего через О, имеет максимальное значенй!
Так как ниже мы увидим, что показатель преломления обратно npi
норционален скорости распространения света, то оптическая длина 1
пропорциональна времени, потребному на то, чтобы свет мог пройти ра)
стояние I. Следовательно, принцип кратчайшего оптического пути пер?
крывается принципом Ферма о скорейшем приходе света, но из преди
дущего следует, что при известных обстоятельствах приход света може
быть и самым долгим; принцип Ферма применим не всегда. '
На основании принципа наложения вариаций мы можем уравнени
д 2^=0 для одного отражения или преломления применить тотчас Ж
к случаю любого количества их. !
3. Предложение Мавюса. Существуют два различных вида геометрй
ческих систем лучей: в первом случае лучи пересекают под прямым углом
соответственным образом’ построенную поверхность F (ортотомическа!
система), во втором случае такой поверхности F не существует (анорто^
томическая система). Пользуясь предыдущим предложением, можно доказать
предложение Малтоса: ортотомическая система лучей остается ортотопи-
ческой и после любого числа отражений и преломлений. Согласно волно-
вой теории света, по которой лучи являются нормальными к поверхности
волны, это предложение очевидно. Но его можно также вывести незави-
симо из основных геометрических законов, с которыми мы имели дело
до сих пор.
Пусть ABODE и A'B'C'D’E' (рис. 5)—два бесконечно близких
луча, и пусть они выходят из поверхности F по направлению ее норма-
лей. Если всю оптическую длину от А до Е обозначить через Д то можно
доказать, что все лучи, имеющие конечными точками Е, Е' и т. д., на-
правлены нормально к некоторой поверхности F’, и что общая оптическая
длина их, считая от исходных точек А, А', имеет тоже постоянное зна-
чение L. Для доказательства проведем прямые А'В и E'D.
Понятие оптического изображения
25
На основании предыдущего предложения (стр. 20) весь путь света
A'B'O'D'E’ должен быть равен пути A'B'C'DE', испытавшему беско-
нечно малое изменение, т. е. равен L, который представляет собой также
л ТО Т)тттттг*>1г ТТО тттггчл гг
[" на'
Рис. 5.
к F.
путь ABCDE. Вычтем из обоих путей
л'BODE' и ABODE общие отрезки, тогда
мяучим, что:
п-АВ А-п' 9DE = п-Л'В + n'-DE',
если через п обозначить показатель прелом-
ления перед поверхностью F, а через п' по-
казатель преломления перед F'. Но так как
АВ == А'В, потому что луч АВ должен быть
нормален к F} то отсюда следует также
DE — DE',
т. е. DE направлен нормально к поверхно-
сти F'. Аналогичным образом доказывается
и для всякого другого луча D'E', что он направлен нормально
Лучи, исходящие из светящейся точки, направлены нормально к не-
которой поверхности F, а именно к поверхности шара, описанного около
светящейся точки как около центра. Так как всякий источник света можно
рассматривать как комплекс светящихся точек, то, следовательно, свето-
вые лучи всегда образуют ортотомическую систему.
ГЛАВА II.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ,
1. Понятие оптического изображения. Если имеется светящаяся
точка Р, около которой произвольным образом расположены преломляю-
щие и отражающие тела, то вообще через любую точку пространства Р'
проходит только один луч света, т. е. направление, по которому свет из
F попадает в Р', определяется однозначно. Однако, можно найти и та-
кие точки Р’> в которых пересекается несколько световых лучей, исхо-
дящих из точки Р, например два. Если пучок световых лучей, исходя-
щий из точки Р, пересекается в точке Р’, то Р* называется оптиче-
ским изображением Р. Очевидно, что в Р' будет находиться максимум дей-
ствия света. Изображение Р' называетея действительным, если световые
лучи там действительно пересекаются и, напротив, мнимым, если в Р'
пресекаются продолжения лучей, проведенные в направлении, обратном
распространению света. Простейший пример мнимого изображения пред-
р?Вляет отражение источника света Р в плоском зеркале. Изображение
пРсдставляет собой точку, расположенную симметрично Р по отноше-
неп К зеРкалУ- Действительные изображения характеризуются тем, что
0сРеДственцо освещают соответственным образом расположенную поверх-
0 ть> например лист белой бумаги; мнимое изображение такого осве-
щения произвести не может; так, при отражении в зеркале, напри-
меР> к изображению точки Р' света не попадает. Но при помощи
26 Геометрическая теория оптического изображения [Отд. I, шц
оптических приспособлений мнимые изооражения могут быть преобраз!
ваны в действительные; например, в нашем глазу мнимое изображен^
преображается в действительное, освещающее определенный участок cel
чатой оболочки.
Световой пучок, сходящийся в изображении, может быть конечным ид
бесконечно тонким пространственным или также плоским (элементарно
пучок). Представим себе, например, случай однократного преломлений
Если пограничная поверхность преломляющего тела является апланату
ческой поверхностью для точек Р и Р', то конечный пучок луче!
исходящий из Р, сойдется в _Р', потому что все лучи, исходящие из J
и встречающие апланатическую поверхность, должны пересечься в Р
так как для всех них общая длина пути имеет одно и то же значение.
Если же пограничная поверхность преломляющего тела — не аплана
тическая поверхность, то в Р' сойдется тем меньше лучей, чем больше об
поверхности будут отличаться друг от друга (они обязательно должн^
касаться, см. выше стр. 23). Для того, чтобы в Р' сошелся плоский эле(
ментарный пучок, необходимо, чтобы по крайней мере в одной плоскости
кривизна обеих поверхностей в их точке касания О совпадала. Если в С
кривизна обеих поверхностей совпадает для двух плоскостей, а тем caj
мым она и вообще совпадает, то в Р' пересекается пространственный
элементарный пучок, и, наконец, если конечный участок погранично^
поверхности преломляющего тела совпадает с апланатической поверх^
ностью, то в Р' пересечется конечный пучок лучей.
Вследствие обратимости светового пути источник света Р и изображе-4
ние Р' могут поменяться функциями, т. е. Р' как источник света будет
иметь свое изображение в Р. Вследствие этой обратимости Р и Р' назы*
вают также сопряженными точками.
2. Общие формулы. Предположим, что каким-нибудь способом (отра^
жениями или преломлениями) нам удалось отобразить пространственную
непрерывность точек Р в виде пространственной непрерывности точек Р'\
Первая непрерывность называется пространством предмета, вторая — про-[
етранством изображения. Согласно определению оптического изображения’
следует, что каждому лучу*) проходящему через точку Р, соответствует
сопряженный луч, проходящий через Р'. Двум лучам в пространстве пред-’
мета, пересекающимся в точке Р, должны соответствовать в пространстве
изображения два сопряженных луча, которые также пересекаются, и именно
в точке Р', сопряженной с Р. Таким образом каждой точке Р соответ-
ствует только одна сопряженная точка Р'. Если четыре точки R, Р2, Р3,
Р4 пространства предмета лежат в одной плоскости, то лучщ проходя-
щие через две любые точки, например лучи Рг Р3 и Р3 Р4, пересекаются
в некоторой точке, А. Тогда сопряженные лучи Р( ' Ps' и Р3' Р± также
пересекутся в А', которая является изображением А. При этом че-
тыре изображения Р/, p2't р^ р^ также лежат в одной плоскости.
Можно, следовательно, сказать, что в обоих пространствах точки, лучи
и плоскости однозначно соответствуют друг другу. Такое соотношение
обоих пространств называется в геометрии коллинеарным соответствием.
) Изображение должно получаться не только посредством элементарных пучков,
но и посредством произвольно широких, конечных пучков.
27
Общие формулы
§J1
тгагко получить аналитическое выражение коллинеарного соответствия.
даЧнм через ж, у, з координаты точки Р в пространстве предмета
сительно неподвижной прямоугольной координатной системы, через
от00, ___координаты сопряженной точки Р' относительно другой, приня-
для пространства изображения координатной системы; тогда каждой
Ретеме ж, у, z соответствует одна и только одна система значений х', у', s',
и наоборот. Это возможно только при соблюдении условий:
ах 4 Ъу -f- сг 4 d 1
4М + сэН-Л
ах 4- Ъу 4 cz 4- d ’
4 + p3g 4 d3
ах-ЩЪу 4~ cz -{-d ’
(1)
где a, b.c, d представляют собой некоторые постоянные числа. — В самом
деле, значения х, у, zy соответствующие ж', y't z'y вычисляются из трех
линейных уравнений (1), и наоборот — каждой системе х, у, z соответ-
ствует одна система ж', у' у z'. Если бы правые части уравнения (1) не
были частным двух линейных функций от ж, у, z, то заданным ж', у', z'
соответствовало бы по нескольку систем значений ж, у, z‘, кроме того зна-
менателем этих частных должна быть одна и та же линейная функция
(ах 4 by + cz-p d), потому что иначе плоскости
А'х' 4- В 'у' 4- Cz' 4- В — О
не соответствовала бы плоскость же
Ах 4- By 4- Cz 4 D = 0.
Если решить уравнения (1) относительно ж, yyz. то получатся уравне-
ния, совершенно аналогичные (1), а именно:
/г — (СХ'ъСуг + ci3' + di' и т п
а'х' 4~ Ь'у' 4 c'z' 4 d'
Из (1) следует
при ах 4 by 4 cz 4 d = 0: ж' = у' = z' — со,
(2)
йз (2) следует
при а'х' 4 Ъ'у' 4 c'z' 4 d' = 0: ж — у = z — со.
Плоскость ах 4 by 4- cz 4 d — 0 называется фокальной плоскостью FF
Р°^ранства предмета. Ее точкам Р соответствуют бесконечно удаленные
Сражения Р'. Двум лучам, исходящим из точки Р этой фокальной
°с^ости, соответствуют два параллельных луча в пространстве изобра-
р Плоскость а<х> _р. — О называется фокальной пло-.
ОстЫо р'р> пространства изображения. Параллельным лучам в прост-
ранстве предмета соответствуют в пространстве изображения сопряжен-
ные лудп} пересекающиеся в одной точке этой фокальной плоскости.
28 Геометрическая теория оптического изображения [Отд. 1, г
О'
О'
Рис. 6.
Как следует из уравнений (1), в случае а = Ъ — с = 0 конечна
Значениям ж,у, z соответствуют конечные значения x',y',z!, и наобом
Тогда, следовательно, а' = Ъ' =-- с' также равно 0. В этом случае, ко;
рый называется телескопическим изображением, не существует фокальщ
плоскостей, лежащих на конечном расстоянии.
3. Центрированные системы. В оптических приборах обык1
венно стремятся к тому, чтобы изображение было расположено спмм<
рично относительно оси. Это имеет место, например, в том случае, кот
пограничные поверхности преломляющих и отражающих тел представля)
собой поверхности вращения с общей осью, или, .в частности, шаров:
поверхности, центры которых лежат
// одной прямой. Такая система называет
центрированной. ;
Вследствие симметрии изображение j
точки Р должно лежать в плоскости (ме{
диональной), проходящей через ось сиа
мы и через точку Р; для изучения ш
бражения совершенно достаточно знать <!
отношения между предметом и изобрая
нием в такой меридиональной плоскост
Выберем в качестве последней плоскость XY пространства прсдме{
и плоскость X' Y' пространства изображения и , совместим ось ОХ*
ОХ' с осью симметрии системы; тогда из уравнений изображения выпад'
координаты z и z', и эти уравнения примут вид
„s aix + \у 4- dt _ а2ж + М + ^2 /!
ах -f-by 4- d ’ У ах-{-by 4- d
При этом, следовательно, у обеих координатных систем XY и X''.
оси координат параллельны и ось ОХ совпадает с осью ОХ'. Однако н
чало координат О' пространства изображения может быть на некотор<
расстоянии от начала координат О пространства предмета. За полож
тельное направление оси ОХ должно быть принято направление падаЮще
светового луча (слева направо), за положительное направление ОХ', н
против, противоположное направление, т. е. справа налево. Положительш
У и у' должны считаться вверх (рис. 6).
Вследствие симметрии системы х' не должно менять своего значени
когда меняет знак у. Для уравнений (3) это выражается условием =
Ъ = 0. Из соображений симметрии следует также, что у' меняет знак о
повременно с у. Это выражается условием: <72 = d2 = 0. Следовательв
уравнения (3) сводятся к уравнениям:
Г Ь.М
у
а ж 4~ d ’
Остаются, таким образом, пять постоянных; однако изображение
деляется только их взаимными отношениями. Центрированная ci
имеет, следовательно, вообще говоря, четыре характеристических
янных.
Центрированные системы
29
(5)
Обращение уравнений (4) дает:
dx'— d, a,d— ad, у'
— "сГ^'ах''
Фокальная плоскость F пространства предмета выражается уравне-
ием ах + d = фокальная плоскость F' пространства изображения—
уравнением ах' — ах = 0. Пересечения их с осью системы называются
Фокальными точками F, F'.
* Если мы ж будем отсчитывать от фокальной точки F пространства
предмета, а ж’ — от фокальной точки F' пространства изображения, то,
зсли х0, х'о обозначают координаты, считаемые от фокальной плоскости,
J(lX -J- d можно заменить через яж0 и аг — ах' через — ах'й.
Тогда из уравнения (4) получаем:
, ad, — a,d у' Ъ9
Жм ' JL > tJ _ &
fids О - 9 ' 9 --- -
ь и «2 у axQ
Таким образом в уравнениях остаются только две характеристические
комбинации постоянных (обе другие постоянные входят в определение
положения двух фокальных плоскостей). Введем для обеих комбинаций
постоянных более простые обозначения (опуская опять значки 0 при ж),
тогда получим:
ххг — ft',
(6)
(7)
у' _ f _ х
у®/
Здесь жиж' представляют собой расстояния предмета и изображения
от фокальных плоскостей FF и F'F',
Отношение у’ :у называется линейным увеличением плп просто уве-
личением. Оно равно 1 при ж = f (и соответственно при ж' = f). Этими усло-
виями характеризуются две плоскости НН и Н'Н', нормальные к оси
системы; они называются главными плоскостями системы. Точки их пере-
сечения с осью системы называются главными точками Л, Н'.
Таким образом главные плоскости обладают тем свойством, что любая
точка Р в одной из главных плоскостей имеет сопряженную точку Р'
в Другой главной плоскости, отстоящую от оси на таком же расстоянии.
На основании вышеизложенного постоянные f и оставшиеся
Ще в уравнениях изображения (7), выражают расстояние главных пло-
яостей НН и Н'Н' от фокальных плоскостей FF и F'F'. Постоянная
^ называется фокусным расстоянием пространства предмета, f — фокус-
е м Расстоянием пространства изображения; f считается положительным,
т й световые лучи достигают сначала фокальной плоскости FF и за- .
обо- Глазной плоскости НН, для f положительное направление будет
Ратное. ga рИС. 7 ода фокусных расстояния положительны.
30м. ачение фокусных расстояний можно выяснить себе следующим обра-
ные ПаРаллельные лучи пространства предмета должны иметь сопряжен-
ие в пространстве изображения, пересекающиеся в фокальной
завиКОсти в точке’ высота которой равна у'. Эта высота у' очевидно
ЕслиСЙТ только от угла наклона и падающего луча относительно оси.
и Угол и ~ 0, то из симметрии следует, что у’ = О, т. е. лучам параллель-
30 Геометрическая теория оптического изображения [Отд. I, г#]
ным оси соответствуют сопряженные лучи, сходящиеся в фокальной то1!
F'. Если же, напротив, и отличается от нуля, рассмотрим из пущ
один луч PFA (рис. 7), проходящий через первую фокальную точку,
пересекающий главную плоскость НН в А. Сопряженный с ним луч А';
должен быть, очевидно, параллелен оси, так как первый луч проход
через Е1; далее, высота А' равна высоте А на основании свойств главна
плоскостей. Следовательно, искомая высота изображения у' падающ]
под углом и параллельных лучей, как это прямо видно из рис. 7,рав^
y’ = fAgu. ([
Отсюда вытекает следующее положение: фокусное расстояние пр<
странства предмета равно отношению линейной величины изображена
лежащего в фокальной плоскости пространства изображения, к видимо
(угловой) величине соответствующего предмета, удаленного на бесконеч!
большое расстояние. Конечн
аналогичное определение де!
ствительно также для фоку<
ного расстояния f простран
ства изображения, если пред
ставить себе в нем наклон
ный параллельный пучок л/|
чей, который после схожде-
ния дает изображение в фо--
калькой плоскости FF. j
Если на рис. 7 принят®
А'РГ за падающий луч, тай
ролью с пространством пред*
мета, то можно дать следующее определенпе фокусного расстояния f, кото-
рое при этом обозначает фокусное расстояние пространства изображения?
фокусное расстояние пространства изображения равно расстоянию от
оси луча (в пространстве предмета), параллельного оси, деленному на
тангенс угла наклона сопряженного луча.
К тем же результатам, а именно к уравнению (8), приходим также|
из уравнений (7)‘путем вычислений, положив tgu = у: ж, tg и' = уг: ж'!
Вследствие противоположного направления ж и х’ (см. выше стр. 28) и)
одинакового направления у и у' получается, что положительные напра-|
вления и и и' различны: угол наклона и луча в пространстве предмета!
будет положителен (и меньше 90°); если луч идет слева снизу направо’]
вверх; угол наклона иг луча в пространстве изображения будет положи-«
тельным, если луч направлен слева сверху направо вниз.
Как показывает уравнение (7), линейное увеличение зависит от ж,
т. е. от расстояния предмета до фокальной точки Е1, а также от фокус-
ного расстояния /; но оно не зависит от у, т. е. изображение плоского
предмета, перпендикулярного коси системы, будет ему подобно. Напротив,
изображение пространственного объекта уже не будет ему подобно, как
это вытекает хотя бы из зависимости линейного увеличения от ж; с дру-
гой стороны, можно легко вывести из уравнений (7), что продольное уве-
Центрированные системы
Ml
пение, т. е. отношение приращения dx’ от ж' к приращению dx от
лй цропорционалъно квадрату линейного увеличения.
Пусть луч в пространстве предмета пересекает главную плоскость НН
_ Точке Л, а ось в точке Р (рис. 8).
в Угол наклона его и относительно
осв вытекает из уравнения
АН АН
где ж обозначает расстояние Р от F с
соответственно взятым знаком.
Угол наклона и' сопряженного луча
относительно осп определяется из урав-
нения
, , А'Н А'Н'
Iff и — = г,----, ,
ь PH’ t —
где х' обозначает расстояние Р' от F', и Р1 является сопряженной точ-
кой для Р, А' — для А. Вследствие свойства главных плоскостей АН ~
= А’Н', деля последние уравнения одно на другое и принимая во вни-
мание уравнения (7), получаем:
tg и' f— X X
tgw “ f' — х'~‘ /’
Отношение тангенсов углов наклона сопряженных лучей называется
угловым увеличением. Согласно уравнению (9) оно, очевидно, не зависит
ни от и, ни от и'.
Угловое увеличение будет =—1 для ж = f или ж'= f. Определяе-
мые таким путем
точками системы.
Т
х'
^м5ожая второе из
(сопряженные) точки К и К' называются узловыми
Они обладают тем свойством, что лучу, проходящему
через одну узловую точку К, соответ-
ствует параллельный сопряженный луч,
проходящий через другую узловую точ-
ку К'. Положение узловых точек К и
К' при положительных фокусных рас-
стояниях f и f показано на рис. 9.
КА и К'А' — два сопряженных луча.
Из рисунка следует, что расстояние
между двумя узловыми точками равно
расстоянию между главными точками.
Если t— f'> узловые точки совпадают
с главными точками.
уравнений (7) на (9), получаем:
= (Ю)
У tg и / v
нез ^03начим через е расстояние предмета Р от главной плоскости И, че-
е Расстояние его изображения Р' от главной плоскости Н', причем
ijjj
32 Геометрическая теория оптического изображения [Отд. I, jj
е и е’ считаются положительными, если Р лежит спереди (слева)
Ш7, а Р' сзади (справа) от Н'Н'; тогда имеем:
e = f—х, е'= f — х'.
При этом первое из уравнений (7) дает:
—+4=1- (J
е е У
То же самое уравнение имеет место, если е и е' обозначают pad
яния точек Р и Р' от двух любых сопряженных плоскостей, располо^
ных нормально к оси, a f и /' — расстояния фокальных точек от э)
плоскостей. Результат этот легко получить из уравнений (7). ?
4. Построение сопряженных точек. Формула (11) приводит Kyi
ному графическому построению (рис. 10). Если ABGD представл|
собой прямоугольник со сторонами f и f', то всякая прямая ЕС
пересекает стороны прямого
угла на расстояниях АЕ = е
и АЕ' = е', удовлетворяю-
Рис. 10.
Рис.
щих уравнению (11). Это легко доказать, если обратить внимание и
то, что уравнение (11) представляет собой известный вид уравнена
прямой ЛИНИИ — 4- — = 1. 1
а 1 о Ч
Чтобы найти для Р сопряженную точку Р', можно действовать!
иначе, пользуясь главными плоскостями и фокальными точками. Пров^
дем от Р (рис. 11) луч РА, параллельный оси, и луч РЕ, проходящи
через фокальную точку F", АЕ' является сопряженным с РА, приче
А имеет ту же высоту, что и А; с РЕВ сопряжен параллельный осй
ЛУЧ Р’Р'>^причем В и В' находятся на одной высоте. Точка пересече]
иия Е' оооих лучей представляет собой искомую точку, сопряженную
в 1. Для построения можно было бы с таким же удобством восполь-!
зова/гься узловыми точками.
Построение рис. ц не годится для случая, когда .Р и Р' лежат на
они. пусть исходящий из точки Р луч пересекает фокальную плоскость
1ттт„ н высоте д, главную плоскость Н на высоте h (рис. 12). Сопряжен-
оедуеГ чтоРеСеКаеТ Н'Н' 11 FF' на высотах ==h 11 д'- Пз рисунка
А. = PF = — х д' __ P'F' _ —X .
h fPF f — h7 ~~ f' + P'F' ~~f -x”
Характеристика различных видов изображений 33
— -
„а можения получим:
после ели-
расстояния имеют
т. е. если предмет
= 1,
(12)
одинаковый знак, то си-
движется слева направо (х
н
Рис.
12.
2хх' — fx' — f'x
h ff-\-xx' — fx' — f'x
ак на основании уравнения (7) xx' = ff. Таким образам для на-
таК Кенпя точки Р' в фокальной плоскости F'F' откладывается высота
и концы отрезков h' = h в 1PIP и д’ в F'F\ соединяются
прямой линией, д и д' считаются отрицательными, если они лежат ниже
0СИ*5 Характеристика различных видов изображений. Различные виды
изображений могут отличаться друг от друга только знаками фокусных
расстояний / и J .
1 Если оба фокусных
стема будет ортодромной,
возрастает), то и изобра-
жение движется в том же
направлении, т. е. татке
слева направо (ж' стано-
вится меньше). 'Это вы-
текает непосредственно из
уравнения (7) и того,
в каком направлении ж
и ж' считаются поло-
жительными (см. выше
стр. 28). Дальше мы
увидим, что такой вид
изображения получается в
том случае, когда имеются
только преломления или четные числа отражений, или комбинации того
и другого. Такое изображение называется также просто диоптрическим
(так как оно обыкновенно получается путем одних преломлений).
Если фокусные расстояния имеют разные знаки, то система
будет энантиодромной, т. е. когда предмет движется слева направо, то
изображение передвигается справа налево, как видно из формулы
хх == уду Этот СЛучай имеет место, когда изображение получается
лУтем нечетного числа отражений или путем комбинации преломлений
^ нечетным числом отражений. Короче такая система называется като-
лической. При такой системе направление распространения света
₽остранстве изображения противоположно направлению расиростране-
в олСВбТа в пРостРанстве предмета, так что эти случаи можно объединить
жениН закон: во всякой системе сопряженные точки двух сопря-
СВетаЬ1х ЛУ:ей следуют друг за другом в направлении распространения
тельнкДИ ^бюптрическпх систем следует различать системы с положи-
назьш11 15 отрицательными фокусными расстояниями. Первые системы
тельноа1°ТСя ообирательными, последние — рассеивательными; действи-
в поен? ПеРвых параллельный пучок лучей превращается в сходящийся,
ледних — в расходящийся, если смотреть на него с главной
. Оптика 3
34 Геометрическая теория оптического изображения [Отд. I, г
плоскости Я'Н' пространства изображения в направлении распространи
света. Нельзя различать эти системы по тому, являются ли фокаль;
точки действительными или мнимыми, потому что, как мы увидим ни
многие рассеивающие системы (например, микроскоп) имеют действий
ные фокальные точки.
Аналогично, среди катоптрических систем собирательными считаю
те, которые имеют отрицательное фокусное расстояние пространства j
обряжения, потому что при отражении направление распространен
света меняется на обратное (следовательно, по нашему определен!
луч идет справа налево).
Таким образом существуют следующие четыре вида систем:
Диоптрические!’) =»биР^™«пые: + !, + ('
16) рассеявательные —f,—f
Катоптрические!’) +А-/
(б) рассеивательные —
6. Телескопические системы. До сих пор принималось, что фока!
ные плоскости лежат на конечном расстоянии. Если же они расположен
в бесконечности, то мы имеем дело с телескопической системой. В так!
случае в уравнениях изображения (4) пропадает коэффициент а\ путй
соответствующего выбора начала координат эти уравнения приводите
к виду ‘ '5
X' = ах, у' = fy. (1|
Так как, при х = 0, также и х' — 0, то ясно, что любые две сопряжен
ные точки могут служить началом отсчета для х и х'. Из формулы (13) сл4
дует, что линейное и продольное увеличение постоянны, так же как посте
явно и угловое увеличение; в самом деле, пусть мы имеем какие-нибудь дА
сопряженных луча ОР и О'Р'\ пусть их пересечения с осью система
будут началами координат. Если при этом точка Р первого луча имей!
координаты х, у, а сопряженная точка Р' сопряженного луча имеет ко]
ординаты х',уг, то для углов наклона г^и' имеет место соотношение!
tgu = у: х, tgw' = у':ж'.
Отсюда следует, на основании уравнений (13),
tg^': tgw — : а. (1
а должно быть положительно для катоптрической системы и отрицательш
для диоптрической. В последнем случае, основываясь на уравнении (14) й
принимая во внимание положительное значение и и «'(см. выше стр. 30)2
мы увидим при положительном прямое изображение от бесконечно!
удаленного предмета, при отрицательном /Е—обратное изображение»!
Таким образом в зависимости от знаков при а и $ существует четыре
различных телескопических системы.
Из (14) и (13) получаем
у2
г/lg’t а '
(15)
Комбинация нескольких систем
35
с формулой (10) (стр. 31) показывает, что у телескопи-
(они оба бесконечно велики) имеют
.«Систем фйусные расстояния
речное отношение. А
именно:
А
Г
а
(16)
Если t > как У зрительных труб и вообще у всякого прибора,
v которого показатель преломления пространства предмета равен пока-
зателю преломления пространства изображения (см. главу III, формула (9),
то, следовательно, а =—/?2. На основании (14) получаем тогда:
tgu': tgw = 1: jg.
Для зрительных труб это угловое увеличение называют просто уве-
личением1 Г. Согласно (13) имеем:
= (16')
т. е. у зрительных труб обратная величина линейного увеличения чис-
ленно равна угловому увеличению.
7. Комбинация нескольких систем. Последовательный ряд несколь-
ких систем должен быть эквивалентен некоторой одной системе. Ограни-
чимся здесь опять центрированными системами. Обозначим через f,f
(см. рис. 13) фокусные расстояния результирующей системы, через Д, Д'—
фокусные расстояния первой системы, Д, Д' — второй системы; если из-
вестно расстояние = то легко вычислить или построить фокус-
ные расстояния и положения фокальных точек результирующей системы.
Назовем для краткости это расстояние оптическим интервалом двух
систем 1 и 2; оно будет положительно, если лежит влево от i\
в противном случае отрицательно.
систПаДающий на высот^ У параллельный оси луч & (рис. 13), пройдя
р , 1, изобразится лучом #!, проходящим через фокальную точку
р5 ’ пройдя систему 2, изобразится лучом 8'. Точка пересечения его
с °сЫо является фокальной точкой пространства изображения резуль-
з*
36 Геометрическая теория оптического изображения [Отд. I, Д
тирующей системы. Вычисляется она исходя из того, что и Р'в
ляются сопряженными точками для системы 2, т. е. '
причем FFF' положительно, если F' лежит вправо от F2'; построение
аналогично приведенному выше на стр. S3 построению, причем точки'
ресечения и 8' с фокальными плоскостями и F^FF находя
от оси на расстояниях д и д', удовлетворяющих равенству д + д'
Получаемая от пересечения 8' и S точка А' должна лежать в гл
ной плоскости Н'Н' пространства изображения результирующей екстев
Таким образом строится НТ', а, значит, и результирующее фокус!
расстояние f, которое представляет собой расстояние результируюш
фокальной точки F' от НТ'. Из построения и рисунка следует, 1
при Л положительном f будет отрицательно. "
Вычислительным путем f .получается из расчета угла наклона '
луча 8'. Для 8Г мы имеем уравнение:
№u = y-fF, s
где иу надо брать с обратным знаком, если принимается за лу
предмета для системы 2. Уравнение (9) дает:
tgiz' __ Д ’
~ 77’
т. е. так как tgWj = — у: fF,
, , А
i^U' =^~-уГ,—,.
/1 /2 а
Но так как (см. также положение на стр. 31) y\f'= tgu', то, следовм
тельно: |
Г = - . (181
Аналогично, рассматривая параллельный оси луч в пространстве изображен
ния и сопряженный с ним луч в пространстве предмета, имеем:
Г = (19)
и для расстояния результирующей фокальной точки F от фокальной
точки Fp
FF.M-^, (20)
причем FFy положительно, если Г лежит влево от Гг.
Уравнения (17), (18), (19), (20) охватывают свойства результиру-
ющей системы, вычисленные из свойств составляющих систем. Совер-
шенно тйк же можно > поступать, если имеется больше двух последова-
тельных систем.
Комбинация нескольких систем
37
fjl
Если интервал zl двух систем равен нулю, то фокусные расстояния
f f будут бесконечно велики; получается, следовательно, телескопи-
йская система. Отношение фокусных расстояний, которое остается конеч-
ным, следует из (18} и (19):
Т-Т7-Т7- ™
Линейное увеличение у': у получается из рассмотрения падающего луча,
параллельного оси:
У(--У = Р~~Ъ'--Г1- (22)
В силу (21), (22) и (16), постоянная а, выражающая продольное уве-
личение (см. выше формулу (13)), равна:
— = а = —
ж tifi
Следовательно, на основании (14), угловое увеличение равно:
tgu':tgu = ^:a = А: fa'- (24)
(23)
Если среди составляющих систем встречается одна или несколько
телескопических, то построение или вычисление результирующей системы
несколько меняется. Однако и в этом случае задача легко решается, если
построить или вычислить вспомогательные изображения луча, падающего
параллельно оси.
Зоммерфельд и Рунге г) перевели законы геометрической оптики на
язык векторов и таким образом открыли новую область применения
векторного исчисления.
ГЛАВА III.
ПОЛУЧЕНИЕ ОПТИЧЕСКОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ.
Следуя Аббе, мы начали наше изложение с общей геометрической
теории оптических систем. При этом мы совсем не затрагивали вопрос
0 том, каким образом оптические изображения получаются в действитель-
(ности. Мы поступили так потому, что в каждом отдельном случае построе-
дИя изображения, независимо от того, каким способом получено изображе-
иие, можно проследить все те же вышеприведенные общие законы. На-
е р?еР’ понятие о фокальных точках и фокусных расстояниях связано
ocvm М Фактом существования оптической системы, независимо от того,
(зер5ествляется ли оно с помощью преломления (линза) или отражения
риало), или каким-нибудь другим способом.
ные ЭТо® главе мы увидим, что на опыте невозможно получить идеаль-
в ппеИ безупречные оптические изображения, как это предполагалось
СТра Д^Дущей главе, т. е. нельзя получить изображение конечных про-
р J-6 при помощи произвольно широких пучков лучей. *
und Runge, A.nn. d. Phys. 35, 277, 1911. См. также Jentzsch, Die
Her geometrischen Optik zur Wellenoptik; Handbuch der Physik (Geiger
18, 255, 1927.
38 Получение оптического изображения [Отд. 1, гл;
Правда, раньше на стр. 25 мы видели, что, пользуясь отражен
и- преломлением от апланатической поверхности, можно получить изобр^
ние точки при помощи широкого пучка; но для других точек мы ;
не получим изображения посредством такого же пучка, потому что фо
апланатической поверхности зависит от координат предмета. Поэт<
более подробное рассмотрение частных случаев апланатических поверху
стей не представляет большого физического интереса. В дальнейшем (
будем рассматривать только системы, состоящие из преломляющих s
отражающих сферических поверхностей, так как они, вследствие болыт
легкости их технического осуществления, применяются в оптичсск
приборах почти исключительно; другие же виды отражающих и прел^
ляющих поверхностей уже вследствие вышеприведенной причины ’
могут дать идеального оптического изображения. 1
Мы увидим, .что с помощью преломляющих или отражающих сферич
ских поверхностей все же можно практически осуществить оптическ!
систему, если при этом ввести определенное ограничение, касающееся и]
величины изображаемого пространства, или ширины пучка лучей, се
жащих для получения изображения.
1. Преломление у сферической поверхности. Пусть в среде с тн
казателем преломления п луч РА падает на шар с большим показам
лем преломления п'. Иуся
радиус шара г, центр ша
pa С (см. рис. 14). Чтобя
найти преломленный луч
построим (по Вейерштраа
су) около С шары 1 и 1
с радиусами гг = -^-1
и ^2 = г. Шар 1
пересечется лучом РА J
В; проведем прямую В(Л
которая пересечет шар 1
в D. Тогда AD и дата
нам направление преломи
ленного луча; в самом де-
ле, треугольник ADC подобен треугольнику ВАС, потому что АС: CD
== ВС: С А = п': п. Следовательно, DAC — ЛВС — <р' (угол прелот
мления), и так как ВАС = <р (угол падения), то: :
sin <р: sin <р' — ВС: АС — п': п,
как и должно быть по закону преломления.
Если таким образом для различных лучей, исходящих из точки Р
построить преломленные лучи, то уже из чертежа можно видеть, что
для них не существует общей точки пересечения Р'; следовательно,
в результате преломления широкоугольного пучка лучей мы точки не
f
х) См. Mullcr-Pouillet, Lelirbuch der Physik. 2, 327, 1926.
Преломление у сферической поверхности
39
J1
я Йз приведенного построения непосредственно вытекает, что все
направленные в точку В, после преломления попадут в точку В.
[У40 о точка мнимого пересечения всех лучей, исходящих из D, будет
Г?? Таким образом на всякой прямой, проходящей через центр С шара
яиуса Л имеются две точки на расстояниях г — и г —,, совершенно
- чно изображающих друг друга для любых лучей; правда, не обе точки
Шляются действительными изображениями. Эти пары точек называются
зпланатическими парами точек шара.
а Обозначим угол наклона двух лучей, исходящих из апланатических
точек В и В, относительно оси ВВ через и и и', т. е. положим:
^АВС—и, ^АВС = и',
тогда, как выше было доказано, -4 АВС — ВАС — и.
Из рассмотрения треугольника АВС следует поэтому:
sin и': sin и — АС: СВ == п': п. (1)
Таким образом здесь мы имеем независящее от и отношение синусов
угла наклона сопряженных лучей; в формуле ясе (9) на стр. 31 мы имеем
постоянное отношение тангенсов угла наклона. Разница объясняется тем,
что раньше принималось, что через оптическую систему изображается
определенная конечная часть пространства; здесь же дело идет об изобра-
жении широкоугольным пучком двух поверхностей. Апланатические пары
точек В,В образуют как раз обе апланатические поверхности шара
1 и 2 рис. 14. Конечно, это изображение двух поверхностей не является
коллинеарным в прежнем смысле, потому что обе поверхности не суть
плоскости. Обозначим в них величину двух сопряженных участков поверх-
ности через з. и s'; тогда, в виду того, что их отношение должно быть
равно отношению соответствующих целых шаровых поверхностей 1 и 2,
мы имеем:
s’: s sb п*: nA
Поэтому уравнение (1) можно написать также таким образом:
sin2 и • з • п2 = sin2и' • з' • п2. (2)
Ниже мы увидим, что это уравнение применимо для всякого физического
изображения двух бесконечно малых участков поверхности 8 и s', без-
различно каким бы путем ни было получено изображение (см. стр. 60).
бпа *т°бы получить преломлением у шаровой поверхности оптическое изо-
РЗЖение элемента объема, надо взять очень небольшой угол раствора
1ца1?а лУчей, дающего изображение. Пусть РА (рис. 15) — луч, превра-
Щая Й®ся после преломления в АР1, и пусть РСР'— прямая, проходя-
Через центр шара С. Тогда из треугольника РАС следует:
sin <р: sin а == PH 4- г: РА;
из тРеУгольника Р'АС:
sin ср': sin а = Р'Н—т; Р'А.
40
Получение оптического изображения [Отд. I, j
Деля одно выражение на другое, получаем:
sin <р _ п' _ PH 4-г ' Р'А
sin ср' н Р'Н.—г РА
Предположим теперь, что А лежит бесконечно близко к Я, т. е
^АРН очень мал; тогда надо положить РА = РН, Р'А = Р'Н.
Обозначим эти расстояния через
РН = е, РгН~е',
тогда из (3) следует:
е + г с' п'
е’ — г е п ’
или, после некоторых преобразований:
п ( п' _________ п' — п
в "~Г е' г
.j
(«
выпук-
положи*
соответ-
При этом г считается положительным, когда шар обращен
лостью в сторону падающего света, т. е. С лежит вправо от Я; е
тельно, если Р лежит вправо от Я. Таким образом каждому е
ствует совершенно определенное е’, независимо от положения луча
т. е. лучи, проходящие близ центральной линии PC, дают резкое изобрая
жение части пространства, близко примыкающей к центральной линии
Сравнение формулы (4) с выведенной раньше на стр. 32 формуле
(И) показывает, что фокусные расстояния системы равны: ' W
f — г п f — г —*— , (51
1 г п' — п ’ ' п' — п
и что обе главные плоскости ЯЯ и Я'Я' совпадают с касательной J
поверхности шара плоскостью, проходящей через точку Я. Одинаковый
знаки при f и f соответствуют упомянутым выше на стр. 33 признакам
диоптрического изображения. Если п' > п, то при выпуклой кривизне
(положительное г) получается собирательная система. При этом действи-
тельные изображения (е'> 0) получаются в том случае, когда е > /.
Изображение при этом бывает обратное.
Уравнение (10) стр. 31 принимает вид:
7п
(6)
Отражение от сферической поверхности
41
н0 данным ранее условиям, углы наклона сопряженных лучей
СоГ; учитываются в различные стороны. В тех случаях, когда мы
w й ^оТСчитывать их в одинаковом направлении, мы будем выражать
бУДеМначком 'и вместо и1. Следовательно,надо положить 'и= — и'. Тогда
последнее уравнение напишется в таком виде:
nytgu, ~ n'y'tg'u.
(7)
Велпчина, представляемая этим уравнением, при преломлении не
еняется и является оптическим инвариантом. Поэтому она остается по-
стоянной и в том случае, если луч преломляется в ряде последовательно
расположенных центрированных сферических поверхностей. Если мы
обозначим через п показатель преломления первой среды, через п' по-
казатель преломления последней, то уравнение (7) относится ко всей
системе. Но так как вообще на основании ранее данного уравнения (10)
стр. 31 для каждой системы имеет место уравнение:
у'йри f_
ytgu р ’
то сравнение с (7) дает:
(9)
г. е. при получении изображения через систему центрированных, прелом-
ляющих сферических поверхностей отношение фокусных расстояний равно
отношению показателей преломления первой и последней среды. Следо-
вательно, если, например, в роли этих средин выступает воздух, как это
имеет место у линз, зеркал и у большинства оптических приборов, то
оба фокусные расстояния равны друг другу.
2. Отражение от сферической поверхности. Пусть радиус зеркала
Т будет положительным для выпуклого зеркала и отрицательным для
вогнутого зеркала. По закон у отра-
жения (рис. Щ-АРАС^-АР'АС.
Поэтому, на основании известной
теоремы геометрии:
РА-.Р'А —РС:Р'С. (10)
При произвольно больших углах
ни с осью точка пересече-
6vT оси с сопРяженным лучом
луч ПеРемещаться. При этом не по-
Р тыя Резк0г0 изображения точки
сход 11 же Угол АРС остается на-
са &ЬК° малым» что вместо его сину-
to4k°W° 6рать самый угол,то каждой
тоги6 соответствует одна определенная сопряженная точка
Солучается резкое изображение. В самом деле, тогда luv.^v
ожить РА—РН, Р'А^Р'Н, так что уравнение (10) перейдет в:
РН.РГН=РС\ Р'С, (И)
н
Рас. 16.
i Р', т. е.
можно по-
42
Получение оптического изображения [Отд. I,
или, если положить PH = е, Р’Н=— а', получим (на рисунке г;
рицательно):
-±+4 = ^-. |
е е г 1
f
Сравнение с формулой (11) на стр. 32 показывает, что фокусные^
стояния системы равны: !
f=—к-г, г = + г у 1
и ш
и что обе главные плоскости НН и НН' совпадают с касательной к'
верхности шара плоскостью, проходящей через точку Я; совпадают и i
фокальные точки (в середине между С и Я), а также и узловые точ:
и именно в центре С сферического зеркала. Величины е и е' считаю!
положительными при том же направлении, как раньше на стр. 32. |
I
Различные знаки фокусных расстояний f и f соответствуют упом!
нутому выше на стр. 33 признаку катоптрической системы. По определ!
нию на стр. 3-1 отрицательное г, т. е. вогнутое зеркало, соответствует с<|
бирательной системе, напротив, выпуклое зеркало—рассеивающей систем^
Как показывает сравнение формул (13) и (5) этой главы, получен?
ные здесь результаты для отражения от сферической поверхности можй<г
вывести из полученных ранее результатов для преломления от сфери-
ческой поверхности, если положить п':п~— 1. Действительно, при
п': п = — 1 закон преломления переходит в закон отражения. Этим
замечанием можно воспользоваться для случая комбинированной системы
из нескольких преломляющих и отражающих сферических поверхностей.
Теорема (9) сохраняет свое значение для всех этих случаев и показывает,
что в результате отражений от четного числа сферических поверхностей
и любого числа преломлений всегда получается положительное отношение
f'.f, т. е. получается диоптрическая система (см. выше стр. 33).
Связь между изображением и предметом можно уяснить из рис. 17.
Рисунок относится к вогнутому зеркалу. Цифры 1, 2, обозначают
точки предметов, расположенные на одной и той же высоте is ад осью изобра-
жения. Цифры 7 и 8, лежащие за зеркалом, соответствуют мнимым
Отражение от сферической поверхности
43
ам т. е. падающие лучи все идут в эти точки, но не дости-
/%чки пересечения в них, так как раньше попадают на зеркало и
^жаются. Область действительных предметов обозначена на рис. 17
ТРщной линией, область мнимых предметов пунктирной линией. Точки
у,,.., 8, являются изображениями точек 1, 2, 3,..., 8. Так как
’ ледяне* лежат над прямой, параллельной оси, то первые должны лежать
п°с прямой, проходящей через фокальную точку F и через точку 6 —
p.c-J 6
t
6'
Рис. 18.
и изображений для выпуклого
точку пересечения луча, исходящего из предмета, с зеркалом, т. е. с глав-
ной плоскостью. Сплошная линия изображений обозначает действительные
изображения, пунктирная — мнимые. Для построения какой-нибудь точки
(см. стр. 32 ), например 2', можно через предмет 2 и фокальную точку F
провести прямую, которая пересечет зеркало, т. с. главную* плоскость,
в точке Л2. Если затем через А2 провести прямую, параллельную оси,
то эта прямая пересечет ранее по-
строенную наклонную линию изобра-
жения в искомой точке изображения#'.
Из рисунка ясно видно, что да-
лекие предметы дают действительные
и обратные изображения, что от пред-
метов, лежащих между зеркалом и
фокусом, получаются мнимые прямые
изображения, и что мнимым предме-
ам за зеркалом соответствуют дей-
ствительные прямые изображения пе-
рД зеркалом.
LnP1IC- 18 дает положения предметов - ------1-------
ГРкала. Из этого рисунка видно, что все действительные предметы дают
1ноеМЫе’ пРямые« уменьшенные изображения, и что от всех мнимых
kLvMeT0B’ расположенных ближе фокусного расстояния позади зеркала,
Rihhm 1°ТСЯ Действительные, прямые, увеличенные изображения; далеким
[ ИВ151 предметам соответствуют опять мнимые же изображения.
гармп3 Уравнения (11) видно, что точки Р> С, Р', Н являются четырьмя
можй ?ескими точками- Поэтому, пользуясь теоремой высшей геометрии,
из пп ЯостР°ить изображение следующим образом (рис. 19). Проведем
волья»ЗВольной точки L два лУча 11 и затем проведем произ-
LO тт луч ^1)В. Пусть точка* пересечения DH с ВС будет О\ тогда
пвресечет прямую PH в точке Р', сопряженной с Р. В случае вы-
44 Получение оптического изображения [Отд.
пуклого зеркала построение будет то же самое, только физическое а
ние точек G и Н переменится на обратное. '
3. Линзы. Из § 7 главы II мы можем непосредственно вывести с во:
изображения, получаемого при прохождении света через центрирова
сферические поверхности. Радиусы кривизны гг и г2 мы считаем noj
тельными в установленном ранее (§ 1) смысле, а именно, мы счи|
радиус сферической поверхности положительным, если поверхность а
щена выпуклостью влево, т. е. навстречу падающему лучу. Рассмо|
случай линзы с показателем преломления п, находящейся в воз!
Пусть толщина линзы, т. е. расстояние между ее вершинами 8Х ш
(см. рис. 20), будет Если затем обозначить через Д и Фоку1
расстояния системы, соответствующей преломлению' на первой J
граничной поверхности линзы, через и // фокусные расстой
Рис. 20.
системы, соответствующей преломлению на второй пограничной поверх
ности, то интервал Д между обоими изображениями (см. выше стр. Зя
будет равен:
A=d—ft' — fs (141
и согласно уравнению (5): *
Таким образом на основании формул (19) и (18) главы II (стр. 36)
результирующие фокусные расстояния будут равны:
f = f ~ . -------—44-------- /pg)
’ п — 1 d(n — 1) — пгъ ’ ' /,
положение же результирующих фокальных точек F и F' вычисляется
из формул (17) и (20) главы И (стр. 36). Согласно этим формулам рас-
стояние о- фокальной точки F от вершины линзы 8± и расстояние F
фокальной точки Fr от вершины линзы 52, так как о = FF, + f14
a' = F2'F' + f2', равны:
<т — —(я 1)4- иг, fl71
П - 1 (I (п--- 1) - m’-L -j- nr2 \ '
о' =___, — d (га — 1) + nr,
k п 1 d,(n-— 1) — rtrr -f- nr,
45
Тонкие линзы
fl
Гели через h обозначить расстояние главной плоскости ПН от вершины
о jj через h' расстояние второй плоскости Н'Н от вершины
*нзы ^2» т0 /'4-Л = <УИ Г + Ъ'~с', т. е. из формул (16), (17) и
8) следует:
r.d
(19)
I ji — __________________
d(n — 1)—n^-^-nr^ ’
_______ r2^________ .
d (n—1)—пгг-\-пг% ’
тля расстояния p главной плоскости НН от главной плоскости НН',
Ьмея в виду, что р = d -}- h + IV, получим:
,п - Л (п _ n d — r-L+Tt
р — а \п i) d {n __ __ nr^ + nr^
(20)
(21)
Узловые точки совпадают с главными точками, так как f~f (см.
выше стр. 31).
Из этих формул вытекает, что характер системы не определяется одними
радиусами кривизны гг и г2, но что он существенно зависит также от
толщины d линзы. Так, например, двояковыпуклая линза (^ — положи-
тельно, п— отрицательно) при не очень большой толщине d действует
как собирательная, т. е. имеет положительные фокусные расстояния, в,
напротив, является рассеивающей, если d очень велико (двояковыпуклая
стержневидная линза).
4. Топкие линзы. На практике часто встречается случай, когда тол-
щина d линзы настолько мала, что величиной d(n—1) можно пренебречь
по сравнению с п(г1 — г2'). (Мы не будем касаться случая гг = г2, имею-
щего место в выпукло-вогнутой линзе с одинаковыми радиусами кри-
визны). Тогда на основании (16) фокусные расстояния линзы будут:
иди
f=f' =
____— ________
(и — 1) (г1-~ г2)
(22)
и₽и этом, на основании (19), (20) п (21), главные плоскости почти сов-
[ з,дают с тоже почти совпадающими касательными плоскостями в вер-
Я. И S, линзы.
жОпЬолее точно положение этих плоскостей получится, если в этих
v РмУлах пренебречь d (п—1) по сравнению с п (гг—г2):
(23)
п гх—г2 п rt — 1% п
Таким образом расстояние р обеих главных плоскостей друг от друга
не Зависдт от кривизны линз. Для п = 1,5 имеем р~ ~d . Для дво-
ЯКОВЫПуклОй, равно как и для двояковогнутой линзы, главные плоскости
ат внутри линзы (так как h и 1Т отрицательны). При одинаковой
и
tto Получение оптического изображения [Отд!
кривизне (Zj = — г2) для п = имеем: h — h' — —~ d, т. Л
ные плоскости лежат от поверхности на расстоянии около г/з ТЯ
линзы. При одинаковых знаках г, и г2 (выпукло-вогнутые линзЛ
ные плоскости могут лежать вне линзы. я
К линзам с положительным фокусным расстоянием (собиратЖ
линзы) относятся "
двояковыпуклая линза (гг > 0, < 0)
плосковыпуклая линза (гг >0, га = оо)
вогнуто-выпуклая линза (Tj > 0, г2 >0, г2 > э^),
короче — все линзы, которые в средине толще, чем по краям. К л|
с отрицательным фокусным -расстоянием (рассеивающие линзы) ютно<
двояковогнутая линза (/’i<0, г2>0)
плосковогнутая линза (гг = со, г2 > 0)
выпукло-вогнутая линза (л > 0, г2 > 0, г2 < гх),
т. е. все линзы, которые в середине тоньше, чем по краям *).
Рис. 21.
Зависимость между изображением п предметом наглядно дается
рисунках 21 и 22, которые надо понимать так же, как предыдущ!
рисунки 17 и 18. Из этих рисунков видно, что в собирательной лин|
действительным предметам, в зависимости от их расстояний, соотве!
ствуют действительные или мнимые изображения, в то время как В
в рассеивающих линзах действительные предметы имеют только мнимые
изображения. Действительные, прямые, увеличенные изображения полу-
чаются с рассеивающей линзой от мнимого предмета, лежащего ближе
фокусного расстояния позади линзы. •
х) Термины: „собирательная*1 (диоптрическая) система для системы с положитель-
ными фокусными расстояниями, „рассеавательная** для системы с отрицательными
фокусными расстояниями заимствованы из следующих особенностей линз: линза с
положительным фокусным расстоянием делает падающий пучок лучей более сходя-
щимся, линза с отрицательным фокусным расстоянием—более расходящимся. Для си-
стем, которые состоят из ряда линз, и для которых главные плоскости не совпадаю®'
например с первой преломляющей поверхностью, нельзя так прямо установить различие <
между собирающей и рассеивающей системами. Тогда приходится делать определение1 л
согласно изложенному на стр. 34. ь
F
Методы- определения фокусных расстояний 47
|г " # j друг с другом две тонкие линзы с фокусным рас-
п центрировать, то оптический интервал А (см. выше
янием Л т 2j = —(А+/2). Тогда на основании формулы (19)
. />тп 36) результирующее фокусное расстояние всей системы
ВЫ II <С1г-
,ет: /=ЛА=Г, (24)
Г-+-1-.
Л
г
Величину обратную фокусному расстоянию линзы, обычно называют
оптической смог-. Таким образом получаем положение: оптическая
ла коиоянашш нескольких сложенных друг с другом тонких тин?
тип сумме оптических сил отдельных линз/ 4 ’ Тояг х лияэ
Рис. 22.
5. Методы определения фокусных расстояний. Для тонких линз,
в которых практически обе главные плоскости можно считать совпадаю-
щими, достаточно определить положение предмета и его изображения,
чтобы отсюда вывести фокусное расстояние — например по формуле (11),
главы И, стр. 32, которая для данного случая упрощается:
(25)
I I 1
- + 7 = 7
так как f = f. , , „ „„
L Так как положение действительного изображения удобнее всето пр-
ибить, поймав изображение на экране, то вогнутую линзу, д i щу Р
йствительном предмете только мнимое изображение, комопнируют с
Впуиой линзой известной силы так, чтобы комбинация давала действи-
W»e изображение. Тогда но формуле (24) легко получить фокусное
>ояние вогнутой линзы, если экспериментально определено фокусное
Воявие у комбинации линз. „ _____
>»этот прием не применим для толстых линз и воооще для произвольных
|*ких систем. Положение фокальных точек легко определить если
на систему параллельный пучок лучей. Стоит только эиредул ь
fжевие предмета и его изображения относительно фокальных точек,
Да сейчас же по формулам (7) стр. 29 и (9) стр. 31 получаются фокус-
ft Расстояния Пользуясь данным в главе II определением фокусного
г тоания (см. формулу (8) стр. 30)
•я f = y':tgu,
48 Получение оптического изображения [Отд. I, j
можно легко вообразить строгий способ нахождения фокусного рассто^
путем измерения угловой величины tgu бесконечно удаленного предке
линейной величины его изображения у'. Этот способ особенно прим
к объективам зрительных труб, вращающихся по кругу с делениями,
как на круге можно непосредственно отсчитать угол зрения tgzi.
Если предмет величины у удален не на бесконечность, a naxoji
на расстоянии е от главной плоскости ЕГЕГ, в то время как его пз<
жение величины у’ находится на расстоянии е’ от главной плоек
Н'НГ, то:
У е'-.е,
так как для f — f' узловые точки совпадают с главными точками, J
предмет и его изображение из главных точек видны под одинаков!
углами. 1
Исключая с или е' из (25) и (27), получим: 1
л__ е _______ е' I
- (
у . у '
Выбирают очень большим или е или е'. В обоих случаях без замет?
ошибки можно положить е и е’ равными расстоянию от оптической ।
стены (например, линзы), если только главные плоскости системы не лея
очень далеко от самой системы. Тогда можно воспользоваться для оп|
деления фокусного расстояния одной из формул (28), измерив е (или 1
и увеличение у’: у. *
Можно избежать определения положения предмета и изображен^
если определить увеличение для двух положений предмета, находящих
друг от друга на определенном расстоянии I. В самом деле, на основан)
формулы (7) стр. 29 имеем: ' (
I у\ _ х ( у\ х +1 Л
\y')i f ’ \y'h 1 ’
\У' /2 j
При этом {у обозначает величину, обратную увеличению при поло;
пии хпредмета, (у :у')2-^-величину, обратнук/увеличешпо при положе?
(ж + О предмета; I положительно, если-во втором положении пред1
сдвинут на отрезок I в направлении падающего света (т. е. слева напраЕ
На этом методе основан фокометр Аббе,. с помощью которого мой
определить фокусные расстояния объективов микроскопа. Для измереЕ
величины изображения служит вспомогательный микроскоп. С помои?
такого микроскопа (или простой лупы) можно измерять величину изоб|
жения как мнимого, так и действительного, так что этот метод примени
например, и для рассеивающих линз J). |
х) О фокометрии см. напр. Kessler, Methoden zur Priifuns; von optischen Insjj
menten, Landbuch der Physik (Geiger u. Seheel), 18, 745, Й927; Miiller-PoiiiW
Lehrbuch der Physik 2, 667, 1926
эд Астигматическое изображение 49
g. Астигматическое изображение. Выше мы видели, что с помощью
йТри])’»ва[1яых сферических поверхностей можно получить изображение
йяеМенгарны’ и (т. е. бесконечно узкими) пучками, лучи которых только
9 нЬ незначительно отклоняются от оси, и которые исходят из точек,
лежац1ПХ па оси или в непосредственной близости к ней. В этом случае
вСе лупи пучка пересекаются в пространстве изображения в одной точке
/Б изображении), или, короче говоря, пучки лучей в пространстве изоб-
ражения также гомоцентричны. Посмотрим теперь, что случится, если
^бросить одно из сделанных ограничений, т. е., если из точки Р будет
исходить элементарный пучок под некоторым произвольным углом.
Вообще говоря, в таком случае пучок лучей перестает быть гомоцен-
тричным. Элементарный пучок, вышедший из точки Р и испытавший
ряд отражений и преломлений у каких угодно поверхностей, характери-
зуется рассмотренным выше на стр. 24 положением Малюса как ортотопиче-
ский пучок лучей, т. е. его можно рассматривать как систему нормалей
Рис. 23.
Я к определенному участку поверхности Последние яге пересекаются
вообще не в одной точке. Однако, как учит геометрия, на каждой поверх-
ности 2 существуют два семейства кривых, пересекающихся под прямым
Углом (так называемые линии кривизны), нормали которых пересека-
ется, оставаясь в то же время нормальными к поверхности.
Рассмотрим такой плоский элементарный пучок; пусть его лучи в
пространстве изображения являются нормалями к отрезку линии кри-
нзны; 0Щ1 дадут некоторое оптическое изображение. Место изображения
тамЯбТСЯ понтром кривизны этого отрезка линии кривизны, так как
пев ПеРесекаютея нормали. Так как каждый отрезок линии кривизны
веет Кается под ПРЯМЫМ Углом отрезком Z2 Другой линии кривизны, то
дае^ Имеется еще второй плоский элементарный пучок, который также
изобпО11Тическое изображение; однако здесь для прежнего предмета место
Ерив?ения будет другое, так как вообще кривизна 12 отличается от
при же вообще будет изображение предмета Р, получающееся
Пусть у)1отйи произвольного пространственного элементарного пучка,
четыре* 4 (Рис- 23) представляют собой четыре точки пересечения
элемент ^Лйзких ДРУГ Е Другу линий кривизны, ограничивающих на S
Поверхности dS. Пусть отрезки 2— 3 и 7—4— вертикальны.
ДтУДе — Оптика 4
50 Получение оптического изображения [Отд. I, ij
Нормали к точкам 1 и 2 пересекаются в точке 12, нормали к 3 и|
в точке 34, Так как кривизна линии 1 — 2 отличается от крив»
линии 3 — 4 бесконечно мало, то и точки пересечения 12 и 34 Jri
пойти на одинаковом расстоянии от поверхности 2. Линия pv соеди)
щая точки 12 и 34, направлена при этом также почти перпендику^
к лучу 8, проходящему через центр dE в направлении, нормальном к
это — так называемый главный луч пространственного элементар
пучка, состоящего из всех нормалей к 4Ё. Далее, очевидно, что линщ
по соображениям симметрии, должна проходить параллельно линиям ]
визны 2 — 3 или 1 — 4, т. е. должна быть вертикальна. Нормали вщ
другой горизонтальной линии кривизны пересекаются в одной из ti
линии Pi. (
Таким же образом нормали какой- нибудь вертикальной линии кривщ
пересекутся в одной из точек линии р2, т. е. линии, соединяющей то
14 и 23\ р2 должна быть также почти перпендикулярна к 8 и нав
влена горизонтально. Две линии рг и р2, расположенные перпендикуля
друг к другу и перпендикулярно к главному лучу, называются фока!
ными линиями элементарного пучка; две плоскости, проходящие че|
главный луч 8 и через обе фокальные линии рг и р2, называются фока|
ными плоскостями пучка.
Таким образом можно сказать, что, вообще говоря, каждая точка прС
мета Р изображается любым элементарным пучком в виде двух лини
расположенных перпендикулярно друг к другу и к главному лучу I
некотором расстоянии друг от друга. Это расстояние называет^
астигматической разностью. К гомоцентрическому ходу лучей, т.
к изображению в прежнем смысле, мы приходим только в частн!1
случаях, когда кривизна обоих семейств линий кривизны одинаков
Поэтому рассматриваемый здесь более общий случай изображения нося
название астигматическогог). j
В астигматическом изображении мы не имеем ясного резкого изоб$
жения ряда точек предмета Р. Только • в том случае, когда предав
представляет собою прямую линию, можно получить резкое изображен^
тоже в виде прямой линии; это будет иметь место тогда, когда предм^
расположен так, что отдельные линии в фокусе, представляющие собй
изображения точек предмета Р, налегают друг на друга. Так как кажд{|
точка изображается в виде двух линий рг и р2, взаимно перпендикуляр
ных, то, следовательно, предмет дает резкие изображения, также по
углом 90° друг к другу, в двух различных положениях. Эти изображу
ния пространственно не совпадают .
Подобным же образом, когда предмет представляется в виде систем!
параллельных прямых, мы имеем два различных положения предмета, пр]
которых изображение получается тоже в виде системы параллельных прямы^
Если предмет представляет собой прямоугольный крест (или прямо
угольную крестообразную решетку), то при некотором определенном поло
жении предмета в определенной плоскости РгРг пространства изображе
!) Слово „стигма* употребляется для обозначения фокальной точки, и, следов!
тельно, астигматическим будет пучок лучей, дающий неточечное изображение.
Астигматическое изображение
51
ручается изображение одной линии креста (или системы линий
иЯ п°Апазной решетки), а в другой плоскости Р2Р2 изображение другой
«рестоо Р друГОй системы линий крестообразной решетки). Это
линйИ служит хорошим указателем на наличие астигматизма.
^Стигматические изображения должны появляться вообще в том слу-
когда преломляющая или отражающая поверхность имеет две различ-
на0’ кривизны. Так например, ясно выраженный астигматизм наблюдается
^цилиндрических линзах, а также в случае косого падения гомоцентриче-
становится астигматическим.
I ® ?г0 элементарного пучка на шаровую поверхность; при преломлении и
Отражении этот пучок также становится астигматическим.
Рис. 24.
Рассмотрим этот случай несколько подробнее. Пусть в плоскости рисунка
(рис. 24) лежат точки Р предмета, центр шара С и точка А поверхности
шара, в которой шар пересекается главным лучом (т. е. средним лучом),
исходящим из точки Р элементарного пучка. Обозначим отрезок РА
^ерез отрезок АР2 через s2. Получим:
кРАР^= /\PAC-p /\САРЛ-
отсюда следует.
sin (<р ~ <р') = sr sin ф 4- s2r sin 9/,
где др и обозначают углы падения и преломления, а г—радиус шара,
так как по закону преломления sin <р = п sin <р’, то из последнего
Уравнения следует:
ss2 (n cos<p' — cos <р) = srn + s2r
1 , п _ ncosg? — cos<p
S г '
в л
все°^ ТОчке P* должны, очевидно, пересекать ось после преломления
одним6 Л^чи’ исходящие из точки Р, которые наклонены к оси под
пучЛ И Теи же Углом и. Эта система лучей называется сагиттальным
На^ дает изображение в точке Р2.
лежат °Тив’ элементарный меридиональный пучок, все лучи которого
т 5 плоскости РАС, должен давать изображение в другой точке Рх.
4*
52
Получение оптического изображения [Отд. I,
Пусть РВ будет соседний с РА луч, который имеет угол н
и + du относительно оси, и который преломляется в направление
Тогда ВРгА следует считать приращением du' от и', а ВС4
ращением da. В таком случае получается:
sdu = АВ cos (р, sxdu' — АВ cos 9/, г • da = АВ.
Так как далее
(р = а + и, <р' = а — и',
то, принимая во внимание (31), получим:
d(p — da + du — АВ (~
dtp' = da — du' — АВ -------co^j . Я
Из закона преломления sin ср ~ п sin 9/ дифференцированием мы полу
cos <pd(p= п cos 9/ d<p'. '•>
Подставим здесь для d<p и d(p' значения, получаемые из уравнения
тогда получим уравнение: 1
cos2 <р . п cos29/ 72 COS 9/—COS 9? 1
s ' sx r ’ я
Из (33) и (30) для одного и того же s получаются два значения и]
т. е. Р изображается астигматически. Астигматическая разность би
тем значительнее, чем под большим наклоном падает пучок, т. е.1
больше 99. Как вытекает из (30) и (33), астигматическая разн|
исчезает только тогда, когда s = —ns\ sy = s2 = s'; тогда это усл(Й
приводит к апланатическим точкам шара, упомянутым выше на стр. I
Согласно сделанному выше на стр. 42 замечанию для случая отраже^
мы можем пользоваться теми же формулами (30) и (33), пола^
п = — 1, т. е. 99 = — (р. Таким образом для сферического зеркала'
получаем: <
1____i________2 cos у 1_______т _____ 2 /-
8 $2 Г ’ s Sx Г COS ф
Вычитая одно из этих уравнений из другого, получим:
или |
, ’ Аа_=^1 = Asin9?tg99. (3|
’1&2 ’ |
Отсюда ясно видно, в какой мере астигматизм растет с углом пади
ния; это возрастание настолько значительно, что при соответствующий
экспериментальных средствах можно было бы заметить астигматизм отра
-1) Для выпуклого зеркала г положительно, для вогнутого зеркала г отрицательно
* расширение границ резкости изображения 53
----------
пучка даже на свободной поверхности жидкости, например на ртут-
ajeflS°r але — астигматизм, связанный с кривизной земли х). Если рассма-
аомзер в Зр11тельную трубу с фокусным расстоянием в 7,5 м (отверстие
тР0гаизительно г/2 м) зеркальное изображение находящейся на очень
Пр пюм расстоянии крестообразной решетки, то астигматическая разность
о 1 мм, т. е. те места, в которых ясно видна та или другая система
Ра®0 решетки, находятся на расстоянии х/ю мм ДРУГ от Друга. Если
П°е воспользоваться для наблюдения колоссальней зрительной трубой
® кой обсерватории в Калифорнии, то эта разница возрастает до 0,7 мм.
Таким образом можно удобно воспользоваться явлением астигматизма для
испытания поверхности зеркала на плоскость. Вместо разности положений
изображения крестообразной решетки, рассматриваемой в зеркале под воз-
можно большим углом, можно пользоваться как критерием также различ-
ной резкостью изображений линий крестообразной решеки. Для этой цели
пользуются соответственным образом наштрихованными линиями в кресто-
образной решетке.
7. Расширение границ резкости изображения. Мы видели, что
при преломлении или отражении от центрированной сферической поверх-
ности можно получить резкое изобу ажеяие только посредством такого про-
странственного элементарного пучка, который весьма незначительно на-
клонен к оси и исходит от линейного предмета, лежащего близко к той
же оси. При большем наклоне элементарного пучка для получения
изображения, как было показано в последнем параграфе, приходится
ограничиваться только плоскими пучками.
Но этот рассмотренный нами способ получения изображения был бы
практически очень мало применим. Действительно, изображения, получен-
ные посредством элементарного пучка, были бы прежде всего очень мало
светосильны; но мало этого: из физической теории света вытекает также,
ито вследствие диффракции света (см. отдел II, глава IV) элементарный
пупок не может дать резкого изображения, а даст всегда только диф-
Фракционные кружки.
Ясно, что нам необходимо искать другие средства для расширения
границы изображения. Прежде всего нам приходится учитывать ограничен-
ную чувствительность глаза: мы уже перестаем, раздельно видеть две, светя-
щиеся точки, когда они видны под углом зрения около одной угловой
инуты. Поэтому нет и необходимости получать изображение точки в виде
«тематической же точки; производящий изображение пучок лучей не
пу?еН ^Ь1ть элементарным в математическим смысле, т. е. угол раствора
йд может не быть бесконечно малым.
с Ограничивая в каждом отдельном случае задачу системы, можно до-
пол1Ь е1Це большего расширения границ точечного изображения. Так, можно
Шив ать изображения лежащего у оси элемента плоскости при помощи
Рокоугольного пучка лучей, или же протяженного предмет:, при помощи
натадк ^₽актически» вследствие постоянного дрожания ртутной поверхности опыт
двух ^аается на большие трудности, ио тем не менее, особенно при применении
лы Во*^Сноложенных на большом расстоянии ртутных зеркал, он не выходят занреде-
можного технического осуществления.
54 Получение оптического изображения [Отд. ij
узкого пучка лучей. Чем ближе мы подходим к реализации первой з^
тем хуже при этом осуществляется вторая, и наоборот.
Мы уже видели выше на стр. 39, при рассмотрении апланатич^
поверхностей, что можно действительно получить изображение лежа
на осп точки при помощи широкоугольного пучка.-Но той же цели!
близительно можно достичь путем применения соответствующим обм
подобранных центрированных сферических поверхностей. Это выте|
из теоретического вычисления так называемой сферической аберраЭ
Правда, близкие к оси точки уже не будут при этом изображав
широкоугольными пучками лучей. Если же это необходимо, т. е. |
требуется получить изображение нормального к оси элемента поверхно
при помощи широкоугольного пучка, то мы придем к так называв^
правилу синусов. ^Объективы микроскопов и зрительных труб дол^
удовлетворять этом’у требованию.
Изображения больших предметов при помощи относительно уз1
пучков можно получать, пользуясь окулярами оптических систем j
фотографическими системами. В последнем случае пучки могут быть до^
точно широкоугольны, потому что при известных условиях (портреП
фотография) не требуется получения слишком резкого изображения
дальнейшем будут подробнее рассмотрены различные требования, пре,
являемые к оптическим системам. Во всяком случае осуществить оптичесв
систему в прежнем идеальном смысле, — т. е. так, чтобы она давала из
ражение любого протяженного предмета при помощи широкоугольц
пучков, — невозможно уже по той причине, что, как мы увидим, уело
синусов может быть выполнено только для одного положения предмет—
8. Сферическая аберрация. Если из точки Р, лежащей Я
оси, выходят два луча и Ss, из которых образует с осью очД
малый угол, a S2 — конечный угол и, то соответствующие лД
в пространстве изображения 5' и 8'2 после преломления через центриЛ
ванные сферические поверхности пересекут ось, вообще говоря, в дв«
различных точках Р'г и Р'2. Расстояние между этими точками пазывЯ
ется сферической аберрацией (продольная аберрация). Если угол наклои
и луча S2 относительно оси не очень велик, то для вычисления абея
рации можно произвести разложение функций в ряд по возрастающий
степеням и. Если же, напротив, и велико, следует проводить тригоД
метрический просчет каждого луча Ч В сравнительно тонких собирателя
ных линзах для очень удаленного предмета Р, точка Plf где пересекаютЯ
близкие к оси лучи, более удалена от линзы, чел Р2, точка пересеченйЯ
лучей, наклоненных к оси под большим углом. Тогда говорят о сферичя
ском недоисправлении. Обратно, рассеивающая линза имеет сферическЯ
переисправление. Если при разложении функции в ряд по степеням и огрЙ
ничиться только первым членом (содержащим множитель и2), то для так H3J
зываемой аберрации первого порядка, если предмет Р очень удален, имееЯ
е — РР' ________________Л2 (2 — 2п2 + ns-h<7 (п-\- 2п2— 2п2) + <r2n3} fQfil
___________ 1 2 Р- 2и(п —1)а (1—ffa) '• I
. х) См. Сzapski-Eppenstein, Grundziige ’der Theorie der optischen Instruments!
1924, стр. 234.
Сферическая аберрация
55
этом h обозначает радиус отверстия линзы, /’—фокусное расстоя-
‘ Прйизы‘п — ее показатель преломления и а—отношение радиусов
^ивиз® линзы:
(37)
О =гг\ т2,
0 знаке и г2 решается согласно правилу, данному на стр. 44;
В° имер для двояковыпуклой линзы гг положительно, г2 — отрицательно.
отрицательно для случая сферического недоисправления, положи-
тьно для переиспоавления. Отношение h:f называется относительным
мерстиеи линзы. Из уравнения (36) имеем, что ври постоянном а отно-
шение аберрации Р\ Р'2 к фокусному расстоянию f возрастает пропор-
ционально квадрату относительного отверстия линзы.
Ц При определенных f и h аберрация достигает минимума для опре-
деленного отношения радиусов a х); значение этого отношения следует
из уравнения (36).
,__ 4 + п — 2п8
° п (1 4- 2п)
(38)
Для п— 1,5 получается а'=—1:6. Это соответствует или двояко-
выпуклой или двояковогнутой линзе. Поверхность. с большей кривизной
'должна быть обращена к падающему свету. Если, напротив, предмет от-
стоит от линзы на расстоянии, приблизительно равном фокусному расстоя-
нию, то линза дает наилучшее изображение тогда, когда к предмету
обращена поверхность с меньшей кривизной2); этот случай можно вывести
из предыдущего случая очень удаленного предмета, поменяв местами
предмет и изображение. Для п = 2,0 из (38) следует; </=4-1:5. Это
соответствует выпукло-вогнутой линзе, причем выпуклая сторона должна
быть обращена к удаленному предмету Р.
Таблица на стр. 56 дает представление о величине продольной абер-
рации е для двух различных показателей преломления и различных отно-
шений радиусов а. При этом f взято постоянным и равным 1 м, а
"h' f 1
’7 —• 4^, т. е. h = 10 см. Так называемая поперечная аберрация С,
изоб ₽адиУс кРУга, который образуют на экране проходящие через точку
Ражения Р^ крайние лучи линзы, получается путем умножения
слХЬНОЙ a6ePPaw на относительное отверстие hlf, т. е. в данном
даетае На Vio, как это видно по ходу лучей. Поперечная аберрация
Щейс Ради?с КРУЖКОВ рассеяния, даваемых крайними лучами светя-
резкЛ Точки ? в той же плоскости, в которой центральные лучи дают
нзображение точки Р.
раци^ ^Т°т М0нимум все же всегда отличается от нуля. Полного исчезновения абер-
образо^ого порядка можно достичь только при условии, что соответственным
8) п*Од°брана также толщина линз.
положен» СЮда слеДУет> чт0 форма линзы с минимальной аберррацией зависит от
я предмета.
56 Получение от f = L Форма линзы иического изображ и, h — 10 см. п= 1,5 ения [Отд. 1| п = 2 1
а —8 С О' -8 J Р J 1 ла .L .. J
Плоская передняя поверхность со 4,5 см 4,5 лш оо 2 см
Симметричная линза — 1 1,67 , 1,67 , — 1 1 „
Плоская задняя поверхность 0 1,17 „ 1,17 , 0 0,5 „
Наиболее выгодная форма 11б 1,07 “ 1,07 „ 0,44 „
Что плосковыпуклая линза дает изображения с меньшей аберрав
если она обращена выпуклой стороной к отдаленному предмету, I
наоборот, представляется вероятным уже потому, что в первом ст
лучи преломляются на обеих поверхностях линзы, в последнем же ci
только на одной; легко представить себе, что распределить преломл-
равномерно на несколько поверхностей является более выгодным, так как
этом на каждой преломлящей поверхности получаются наименьшие
нения углов между падающими и преломленными лучами. Далее из'
лиды видно, что наиболее выгодная форма линзы имеет мало пре
ществ перед соответственным образом поставленной плосковыпуклой лщ
Поэтому на практике чаще применяется последняя, так как ее л
изготовить. ,
Наконец, таблица показывает, что ошибка, вызываемая аберрацией,
новится значительно меньше, если при заданном фокусном расстоянии»
казатель преломления будет возможно больше. Этот результат ле и»
няется, если принять в расчет и аберрации высшего порядка, кото»
зависят уже не только от первого члена в разложении функции»
степеням угла наклона и лучей предмета. Аберрация также значите»
уменьшается, если одну линзу заменить системой нескольких линз с та»
же общим фокусным расстоянием г). Если к тому же взять линзы раз»
ной формы, то можно уничтожить аберрацию как первого, так и выы»
порядков 2). Этого можно достичь сразу для нескольких положений п»
мета, но никак нельзя изобразить без аберрации конечный отрезок Я
При значительных углах наклона и нельзя применять раз ложей
аберрации по степеням и\ с таким случаем, например, мы встречаемся у об»
ктивов микроскопа, у которых и достигает иногда почти 90°. В тая
случае целесообразнее путем тригонометрических вычислений проследч
ход нескольких' лучей ц путем проб установить наилучшую формуя
расположение линз. Но выгодно воспользоваться упомянутой выше I
стр. 39 апланатической точкой шара, уменьшая сколь угодно расхождей|
г) При этом однако несколько страдает яркость изображения вследствие вовр
станин потерь при отражении.
. а) Двумя линзами, из которых одна собирательная, а другая рассеивающая, мо*'
уничтожить аберрацию первого порядка.
Правило синусов
57
Рис. 25.
в апланатической точке
р,
«сходящих из близко расположенного предиета, и таким образом полу-
лучей, бодНое от аберрации мнимое изображение предмета любой величины.
,йСть линза 1 (фронтальная) плосковыпуклая (например полушарие
vra т)» 11 ПУСТЬ она обращена к предмету Р плоской поверхностью
Ра^25).1^слп ? поместить в среду с показателем преломления, равным
^азателю преломления этой фронтальной линзы, то лучи, исходящие
воКПредмета, преломятся только на задней поверхности линзы, и если
°асстояние предмета Р от центра кривизны Сг задней поверхности
авно т0 исходящие лучи дадут свободное от аберрации мнимое
изображение Р на расстоянии от Сг. Поместим за фронтальной
линзой вторую вогнуто-выпуклую линзу 2, передняя поверхность которой
имеет центр кривизны в Рг, в то время
как радиус г2 задней поверхности таков,
что Pi лежит в апланатической точке
этого шара г2 (с показателем преломле-
ния nz линзы): тогда световые лучи пре-
ломятся только на этой задней поверхно-
сти, и притом так, что они будут казаться
исходящими из мнимого изображения Р2,
расстояние которого до центра кривизны
С2 задней поверхности линзы 2 равно
п2г2, п которое также совершенно свободно
от аберрации. Применяя третью, четвертую
и т. д. вогнуто-выпуклые линзы, можно
получить соответственно лежащие дальше влево мнимые изображения Р3,
Р* и т. д., т. е. уменьшить также соответственно расхождение световых
лучей; при этом не возникает аберрационной ошибки.
Па практике этот принцип (предложенный Амичи) часто применяется
при. конструкции объективов для микроскопа; при этом таким путем кон-
струируются в лучшем случае первые две линзы, потому что иначе воз-
никает очень сильная, ничем не компенсируемая хроматическая аберра-
ция (см. ниже).
9. Правило синусов. Если лежащая на оси точка Р изображается без
^сррации широкоугольным пучком в точке Р', то это, вообще говоря, еще
с значит, что расположенный в Р перпендикулярно к оси элемент поверх-
сти do изобразится в виде элемента поверхности do', лежащего в Р';
j я этого должно быть еще соблюдено так называемое правило синусов,
именно sin и: sin и' = const, если и и и' являются углами наклона двух
Ряженных лучей, проходящих через Р и Р'.
сво/° такие системы, которые дают для двух осевых точек Р и Р'
полнДНое от аберрации изображение, и для которых в этих точках вы-
и _р,Яется условие синусов, называются апланатическими системами. Точки Р
на с Яазываются апланатическими точками системы. Упомянутые выше
по в ? апланатичсские точки шара отвечают этим условиям, так как
ним !е1Фиведенной формуле (2) отношение синусов является постоян-
предс оборот, обе фокальные точки эллипсоидально выгнутого зерм
ские Тавляют собой только свободные от аберрации, но не апланатиче-
68 Получение оптического изображение [Отд.]
Выше (стр. 31 формула (9), глава II) мы видели, что при коллив!
изображении участков любой величины отношение tgw: tgrr'=a
Эю условие однако имеет место только при достаточно малых «А
при больших значениях этих углов мы получаем противоречие J
вием синусов; и так как при получении изображения двух эле!
поверхности последнее условие необходимо должно быть выполни
отсюда следует, что широкоугольным пучком лучей невозможно uoJ
точечное изображение участка произвольной величины. 1
Только когда углы и и и' очень малы, оба условия могут соблюй
одновременно. В этом случае, если Р дает изображение Р', около Я
лучается изображение da' от элемента поверхности da при Р. Есд
условие синусов не соблюдено, то в широкоугольном пучке и, даж$
полнейшем устранении сферической аберрации для осевых точеЛ,
бражение соседних точек, лежащих по сторонам оси, будет настольк
ясно, что величина их кружка рассеяния будет того же порядка, в
Рис. 26.
расстояния самих точек от оси. Как указывает Аббе, причина неясно!
изображения точек, лежащих около оси, заключается в том, что pi
личные зоны сферически исправленной системы, дающей изображен!
дают изображения элемента поверхности с различным линейным увели’
нием.
По Аббе математическим условием для того, чтобы это линейное уй
личение имело постоянную величину, является условие синусов. Друг
доказательства этого положения, основывающиеся на фотометрических
энергетических соображениях, были даны Клаузиусом и Гельмгольце!
(см. ниже отдел 1\, гл.. II, § 7). Здесь приводится (по ХокинуН
простое доказательство, основывающееся только на том положении, чт
оптические длины всех лучей между двумя сопряженными точкам!
должны быть равны (см. выше стр. 21)2).
Hockin, Journ. Roy. Microscop. Soc., 4, 337, 1884.
По Брунсу условие синусов можно свести к еще более общим основам, а нменм
к наличию сопряженных лучей и к положению Малюса (см. выше стр. 24’
См. Czapski-Eppenstem, 1. с., 229,1924-
Я
Правило синусов
59
Hi РА (рис. 26) и луч PS, направленный под углом и,
точки Р в лежащей на оси точке Р'. Пусть также
р РгАг и параллельный PS луч Рг8г дают изобра-
лизкой точки Рг в точке Р/. Сопряженный с Р^
невидно, проходить через фокальную точку F' про-
ия. Обозначим через (РАР'$ оптическую длину между
пути через А и через (PSS'P') по пути через 8,8'
том оптические длины лучей, исходящих из Д; тогда
______________ ша ос°бого пути имеем:
(РЛР') = (PSS'P'Y, (Pp^F'PP) = (РгВДТД
гвуда получаем также:
(PAF) — {Р.А^'Р^ = (РРР'Р')—(Р^А'Р/). (39)
Но так как точка F' является сопряженной с бесконечно далеким
юъектом Т, расположенным на оси, то (TPAF') = (TP^F'). Но оче-
[идно, что длины ТР и ТРг равны между собой, так как РРг должен
1ыть направлен перпендикулярно к оси. Вычитая из последнего уравне-
пгя эти длины ТР == ТР1} имеем:
(PAF) = (P^Fy (40)
Так как РРр расположено перпендикулярно к оси, то далее имеем:
j"P* = F'Pp по крайней мере в том случае, когда Р'Р/ очень мало.
5сли сложить это уравнение с (40), то получим:
(PAFP) = (Р^Р'РД
г. е. пропадает левая часть уравнения (39); таким образом получаем:
(PSS'P') = (P^jP/P/)- (41)
Точка Fi (точка пересечения лучей P'S' и Р/Р/) является со-
пряженной с бесконечно удаленной точкой объекта Ть лучи которой
^Разуют с осью угол и. Если теперь опустить из Р перпендикуляр
на Рг8ъ то аналогично уравнению (40) получим:
' (PSS'Fp) —(NSiSiFi). (42)
Считая это уравнение из (41), получим:
(Р/Р') == - (РР/ + (Р2'Р2У (43)
стРанстТЬ п — П0Казатель преломления пространства предмета, п'— про-
бей изображения; тогда, если геометрические длины обозначить
к°бок, имеем:
(УРХ) = п • NPX = п • РРг • sin и. (44)
конечп°лВедем Далее P'N' перпендикулярно к F^Pp Так как Р'Р/ бес-
пало, то имеем:
(Pi'P/) — (F1fP') = n'-N'Pi —п'-Рр!1 -sin?/. (45)
60 Получение оптического изображения [ОтД
Поэтому из уравнения (43) получаем, приняв во внимание (4п
П’Р'Р^ sin и— п'-Р'Р^-sin и'. Я
Если через у обозначим линейную величину РРГ предмета, а Я
линейную величину Р'Р^ изображения, то, следовательно, будеЛ
sin и п'у' 1
sin и' пу ’ ,1
Таким образом доказано постоянство отношения синусов, и п|
установлено и значение постоянной. Это отношение совпадает с щ
ной ранее формулой (2) (стр. 39) для апланатических точек шара
Рис. 27.
Условие синусов не может быть выполнено для двух различных1
лежащих на оси. В самом деле, если Р' и Рг' являются изображ
точек Р и Рг (рис. 27), то по принципу равенства оптических
должно быть:
(pap') = (pss'P’\ (длр/) = (Рхад'Л').
. Пусть PS и P1S1 будут два параллельных луча с углом накло!
После вычитания одного уравнения (47) из другого, на основании
же умозаключений, что и прежде, получим:
(Р/Р) - (РХР) = - (РххУ) + (N'P')
или 5
П’Р1Р(1 — CQ3U)==n,^P1'P'(l—-C0SU'\
т. е.
Sin2 - и _ п'.р'-рр
Таким образом эти уравнения являются условием того, что дне coj
ние точки оси, т. е., тем самым, бесконечно малый отрезок оси 61
изображен широкоугольным пучком лучей. $
Но это условие ге может бьпь выполнено одновременно с услон)
синусов (46). Следовательно, сделать систему апланатической мо!
только при одном положении предмета.
$ брожение больших поверхностей узкими пучками 61
01
'ъективов микроскопа выполнение условия синусов особенно
;Для п°и конструкция старых микроскопов эта теория не была еще
«но. однако Аббе экспериментально доказал, что старые объективы
cTSa пов изготовленные чисто эмпирическим путем и дающие хорошие
?°СКения фактически удовлетворяют условию синусов.
7) ^Изображение больших поверхностей с помощью узких пучков 1).
яе всего необходимо устранить астигматизм (см. стр. 49). Теорети-
и соответственного условия дать нельзя, по крайней мере в том случае,
CJ наклоя относительно оси луча, дающего изображение, произвольно
ик Таким образом здесь приходится обращаться к практическим
ип’м и тригонометрическому просчету. Следует заранее отметить, что
величину астигматизма влияет - ? - --------------- -
КЖе и положение диафрагмы.
форма отдельных линз, но
не только
Рис. 28.
К изображению предъявляются еще следующие два требования, ко-
^Рые однако ни в коем случае не являются ‘ обязательными и отчасти
;ЕиВа?г? только соображениями удобства: изображение должно быть пло-
гвели 63 выпУКлостей) и отдельные части его должны иметп одинаковое
гие с/Т06 (Д°лжны быть свободными от «дисторсии»). Первое требэва-
>ия п еняо важно для фотографических объективов. Аналитически усло-
рис <&КотоРЬ1х отсутствует дисторсия, установить легко. Пусть PPiF3
вения п Плоскость предмета, Р'Р^Р^ сопряженная плоскость изобра*
)гранич Ч0Е лУчей> идущий от предмета и дающий изображение, всегда
может яен неко1орой диафрагмой В (входной зрачок), (такой диафрагмой
к ДентпуЛ1ться ПРОСТО кРай линзы); лучи, идущие от предмета РгР2
лучами) В сходного зрачка, называются главными лучами (средними
ния ог^ ЧКа’ Дающего изображение. Совершенно так же лучи изображе-
пряженн?апчень1 Диафрагмой В' (выходной зрачок), которая является со-
изображением входного зрачка2). Если I и V представляют собой
I1) См. г ,.
а) См. ^^V^-Eppanslein, 1. с., 258.
62
Получение оптического изображения [Otj
tgw2 = РР2:1.
tg и% = Р'РЪ’ : I’.
постоянным, то должно
расстояния зрачков от плоскостей предмета и изображения, то из1
получается:
tg«41 = PP1:Z,
tg иг' = Р'Р/: V,
Но если увеличение должно быть
блюдено равенство:
б|
Р'Р^РР^Р'Р^РР»
откуда вытекает:
р
B R В
til
2
гис. 29.
= = const. I
tg иг tg u2
При постоянном увеличении у всех сопряженных главных лучи
ношение тангенсов угла наклона должно быть постоянным. В этомД
точки пересечения главных лучей е осью, т. е. центры зрачков,!
ваются «ортоскопическими» точками; мы имеем условие: чтобы и!
жение было свободно от дисторсии,’необходимо, чтобы центры п<
ктивы предмета и изображения были ортоскопическими точками. ;
Поэтому положение зр
имеет большое значение. Ml
кажем на примере, взятом и
тографической оптики, как в
екционной системе проще '
выполнить условие ортоскоп:
С обеих сторон диафр
В помещают совершенно са
тричные системы линз 1 и 1
этом случае вся система на»
ется симметричным двойным»
ективом). На рис. 29 изображены два сопряженных главных луча Л
Изображение В диафрагмы В по отношению к системе 1 является, очевя
входным зрачком, потому что все главные лучи должны фактически пй
через отверстие диафрагмы В, причем падающие главные луч*и 6’ доя
быть направлены к центру В изображения относительно 1 смет!
Аналогично В' изображение диафрагмы В относительно системы 2 я
ется выходным зрачком. Из симметрии всей картины вытекает непоЯ
ственно, что всегда и = и', т. е. соблюдено условие (49) ортоскопим!
Такие двойные объективы в силу своей симметрии обладают 1
двумя преимуществами: с одной стороны, достигается лучшая сходим
меридиональных пучков1), с другой — легче устраняется хроматичы
аберрация (см. подробнее следующий параграф). Результат— равенство yi
и — и', т. е. параллельность сопряженных главных лучей, — соверши
не зависит от показателей преломления системы. Таким образом, <
каждая система 1 и 2 в отдельности является ахроматической для й
*) Здесь речь идет об устранении так называемой комы. См. Czapski-En
stein, . с. 264. 1
ХрОмап1ическая аберрация диоптрических систем 63
яафрагмы В, т. е. если положение входного и выходного зрачков
т от цветах), то сопряженные главные лучи от предмета Рг и его
„ завис1* & всех цветов всеГда совпадают. Вследствие этого для
зобра^6 в плоскости изображения получаются изображения одинако-
Х ДВичины- Строго говоря, для различных цветов положение наиболее
ВмЛил0скости изображения несколько различно; однако, если, например,
^ажение на экране сфокусировано для желтых лучей, то для других
130°овнерезкость будет очень незначительна, а их изображения будут
186ять в точках пересечения главных лучей. Следовательно, если эти
1в? и длЯ всех цветов совпадают, то изображение будет только весьма
0 испорчено хроматической аберрацией.
* qt расстояния отдельных систем 1 и 2 от диафрагмы В зависит асти-
гматизм и искривление плоскости изображения. Вообще с увеличением
шсстояния отдельных систем изображение выравнивается, т. е. искривле-
на плоскости изображения уменьшается, и в то же время астигматиче-
вкая разность увеличивается. Только благодаря применению новых стекол
Шогга в Иене, у которых высокая дисперсия соединяется с низким по-
казателем преломления и, наоборот, малая дисперсия с высоким показа-
гелем преломления, стало возможным осуществление плоского анастигма-
тического изображения. Подробнее об этом см. ниже (глава У об оптиче-
ских приборах).
! 11. Хроматическая аберрация диоптрических систем. До сих пор
)ечь шла о показателе преломления тела вообще; однако следует помнить,
что различные цвета, составляющие белый свет, имеют различные пока-
затели преломления. Для всех прозрачных тел показатель преломления
непрерывно растет при переходе от красного конца спектра к синему.
В нижеследующей таблице в качестве примера приведены данные для
wyx различных сортов стекла 2), а именно: показатель преломления пГ/
Ия желтой линии натрия и разность показателей преломления для желтой
натрия и красной (CY) и синей (F) линий водорода (см. ниже
Р- ИО), так называемая частная дисперсия. В последнем столбце при-
А®н так называемый коэффициент дисперсии v, определяемый выраже-
v== 2^22.1,
Пр— Пд
(50)
С 0 р т Пр — Пд Пр— пс пХ— п1) V
Кр0Н G1* обыкновенный С10 1,5163 1,6199 0,00806 0,01706 0,00240 0,00488 0,00566 0,01218 64,0 36,3
*) Как ><
мере й ы Увидим, эта ахроматичность может быть осуществлена в довольно пол-
Нельзя одновременно достичь того, чтобы размеры возникающих от R
а) ИзГоа Тоже не зависели от цвета.
Т 'вления Ленинградского завода оптического стекла (Лензос),
64 Получение оптического изображения [Отд.М
Какая величина стоит в числителе — nD или показатель прелоЯ
для другого цвета — не имеет значения, так как v при этом измЛ
самое большее на 2%.
Так как ход лучей при построении изображения зависит от Л
теля преломления, то вообще В изображении белого предмета дЯ
наблюдаться цветные (хроматические) аберрации, т. е. изображения
мета в различных цветах должны несколько отличаться по полоя
и по величине. |
Если желательно получить полное совпадение красного и синег!
бражения, т. е. сделать оптическую систему ахроматизированной
красных и синих лучей, то необходимо, чтоиы не только фокусные!
стояния, но и обе главные плоскости для обоих цветов были тождестве}
Однако во многих случаях достаточна уже частичная ахроматизаци
стемы, например или фокусного расстояния или положения фокад
точки, исходя из практических целей, для которых предназначен
стема, т. е. из того, что более важно—увеличение изображения ил1
местоположение. ’
Однако ахроматизацией системы для двух цветов, например
красного и синего, еще не достигается ахроматизация для всех цв^№/
потому что отношение дисперсий в различных частях спектра в ра^Н
ных веществах различно. Но остающиеся при этом хроматические абаИ
ции, которые называются вторичным спектром, в большинстве слу^Ш
уже не имеют значения ‘ для практических целей. Их влияние мо|Н
уменьшить еще далее соответственным выбором преломляющих тел с
можно меньшей диспропорциональностью дисперсии или ахроматиза!^Лт
для трех цветов. (Остающиеся и при этом хроматические аб?рра]И
изображения называются третичным спектром).
Вшрос о том, какими цветаминадо пользоваться в целях пракшчесИ-
ахроматизации, решается в зависимости от назначения оптическЯп
прибора. В фотографической системе, где наиболее активным яв 'яеЯд
синий цвет, оба цвета следует выбирать ближе к синему к шцу спсктИп
в случае прибора, предназначенного для человеческого глаза, для кощр
рэго наиболее активным является желто-зеленый цвет, надо выбирЯ
среднюю часть спектра. В последнем случае выбор наиболее подходяще
цветов легко осуществляется экспериментально; делают это следуюп^Ж
образом: ставят па столик спектрометра две призмы из различных сор^и
стекла так, чтобы они давали почти ахроматическое изображение ще|И
например при определенном положении столика берут цвета С и F. (И
ворачивая столик, будем видеть, вообще говоря, окрашенное изображеиИ
щели, но при одном каком-то положении столика спектрометра и обрааИ
ние щели окажется окрашенным меньше всего. По этому положении
призмы путем вычисления находит тогда те два цвета, которые факгичесЯ
выходят из призмы точно параллельными. Это и будут те два цветД
которыми целесообразно пользоваться при ахроматизации при субъектиЯ
ном наолюдении. г Я
) В случае широкоугольных пучков лучей для полной ахроматизации налагают'
еще другие условия; подробнее см. ниже.
• г ip-тичес/кая аберрация диоптрических систем 65
тизацию фокусного расстояния или положения фокальной точки
дхрома. ПСКОЩЬ’О уже ОДНОЙ ТОЛСТОЙ линзы.
jjjjho дос ;,р.и;ТПЧески важнее те случаи, когла применяют тонкие линзы.
О^леднис прикладываются друг к другу вплотную, то приближен-
ия п°АЖем нс принимать во внимание не ахроматичность главных
° мЫ тей так как в тонких ДИ113ах они всегда лежат внутри линз (см.
лоскос ’^0, Следовательно, если при этом ахроматизировать фокусное
нП1е яние то"система будет почти полностью ахроматизирована, т. е. как
'^положения, так и для величины изображения.
1ЛЯЛЯ определенного цвета фокусное расстояние тонкой линзы fr с по-
w гтпопамплиия определяется по формуле (22) стр. 45 из
^зателем преломления пх
равенства:
1 з=(П1 —1)(1--р) = (П1 —l)fcj
>1 1 '1 '1 '
Le для сокращения обозначает разность кривизн линз.
Далее, по формуле (24) стр. 47 результирующее фокусное расстояние
₽вух наложенных друг на друга тонких линз с фокусным расстоянием
* и определяется из равенства:
f
Из равенства (51) следует таким образом, что приращение по-
казателя преломления при переходе к другому цвету влечет за собой со-
ответственное приращение величины, обратной фокусному расстоянию:
\fj 11 ~ 1 fl fl»! ’
причем обозначает коэффициент дисперсии вещества линзы 1 между
Двумя используемыми цветами (см. равенство (50)). Если результирую-
щее фокусное расстояние для обоих цветов одинаково, то из равенств (52)
в (53) следует:
(51)
(52)
(53)
4?) = ‘/(г) + <г(7) = 7т+ 75 = °' <54)
V / \ /1' V2/ Tivi
’ Таким образом условие ахроматизма содержится в равенстве (54). Так
ниК и всегда имеют одни и те же знаки, какие бы тела 1 и 2 мы
тонкЗЯЛИ’ 10 из Равенства (54) следует, что фокусные расстояния двух
пОлпИх «нз, составляющих ахроматическую систему, должны иметь противо-
®ные знаки.
ным₽ИНи':ая во внимание (52), получаем для величин обратных фокус-
РДсстояниям:
1 __ 1 1 _ 1_ T'g
/1 t ~/2 / ^1 ^2
У лив? е'104 в слУчае положительного общего фокусного расстояния
ЕусноеЗЬ1 С Меньшим коэффициентом дисперсии будет отрицательное фо-
2 е Расстояние, а у линзы с большим коэффициентом — положительное.
б
(55)
66 Получение оптического изображения [Отд.
При заданных f и определенных сортах стекла для получения фм
ных расстояний и f2 в нашем распоряжении имеются четыре раш
кривизны. При этом два из них можно выбрать произвольно. Если Л
делают склеенными, то надо положить гг' — г2. Тогда в нашем pfl
ряжении остается еще один радиус кривизны. Целесообразно выбратЯ
так, чтобы сферическая аберрация была по возможности мала.
В объективах микроскопа ахроматические пары такого рода прим
ются очень часто; каждая пара состоит из плосковогнутой линзы из фли
склеенной с двояковыпуклой линзой из крона, причем плоская нов!
ность линзы обращена в сторону падающего света. 1
Если мы поместим две тонкие линзы на некотором расстоянии J
от друга, то их оптический интервал Л (см. стр. 35) будет равен: 1
Д = а — (Д + А); i
при этом по формуле (19) стр. 36 обратная величина 'результирующЯ
фикусного расстояния будет: . j
1-1
Если надо ахроматизировать фокусное расстояние, то из равешя
(56) и (53) следует:
О == 1 । . J а <4 +
tiVl ' />3 /?2 ’’1^2 ’
или
а =----------. ( 57
V1-Г V2 v ;
Если обе линзы состоят пз одинакового материала (vx = v2) то, сле-
довательно, на расстоянии
а = Г,ф-’ (-.4)
они образуют систему, ахроматизированную относительно фокусных рас-
стояний. В этом случае ахроматизм имеет место для всех цветов, так
как всегда = г2. “
Если желательно ахроматизировать систему не только относительно
фкусных расстояний, по полностью, т. е. и для положения и величины
изображения, то из рис. 30 получаем:
У1 __ е/ У' _ g2z
У ’ У1 ’
откуда для относительного увеличения имеем:
V': У = : е^. (59)
Поэтому, если надо ахроматизировать увеличение и положение изобра-
жения, то, так как ех для всех цгегов постоянно, должно быть:
d = ^/ = 0. (60)
* хромангическая аберрация диоптрических систем 67
• как + б2 = а (расстояние между линзами) также для всех
(о 13,11 постоянно, ао, следовательно, det —de2, в то время как из
РеТ0\едуег d (e//e2) = 0. Отсюда получаем, что de^ = 0, de2 = О,
бЮ с 0 05е отдельные линзы должны быть уже ахроматизированы сами
• б\бР т. е. должны
^ять « ахроиага-
’"'’’отсьдавозбщ61'0®-
ио сделать заключенье.
Ложная система, со-
стоящая из несполььих
отдельных систем, толь-
ко тогда вполне ахро-
катиззрована (т. е. в
отношении как положе-
ния, так и величины изображенья), когда ахроматизирована сама по себе
с<
У
-------------
е> П
Рис. 30.
ег
каждая из отдельных систем.
Если пучок лучей, дающих изображение, становится более широко-
угольным, то ахроматизация положения изображения или фокусного
расстояния еше не обеспечивает наличия хорошего изображения, даже
при пользовании монохроматическим светом. Необходимо также, чтобы
вдля двух цветов по возможности была устранена сферическая абер-
рация п (ори изображении элемента поверхности) выполнено условие
апланатизма (условие синусов) для двух цветов. Аббе называет системы,
свободные от вторичного спектра и в то же время апланатичссьие для
нескольких цветов, «апохроматическими» системами. Эш системы имеют
еще хроматическую разность увеличения; последняя может быть устра-
нена другими способами (подробнее см. ниже при описании микроскопа).
ГЛАВА IV.
ОГРАНИЧЕНИЕ ПУЧКОВ В ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ.
1- Входной и выходной зрачки. Лучи, преходящ е через оптиче-
СКУ© систему, естественно всегда ограничены или размерами линз или
>3еркал, или особыми диафрагмами. Пусть Р будет некоторая точка прсд-
^eia (см. рис. 31). Тогда те диафрагмы (или те крчя линз), которые
©льше всего ограничивают отверстие пучка, дающего изображение, можно
аЬти следующим образом: для каждой диафрагмы В сгр< ят ее изобра-
л®ие ‘#1’ полУтающсеся при помощи части оптической системы,
оЧеац1еа между В и предметом Р. Пучок лучей, дающий изображение,
пре/'3'110’ огРаничива?тся тем из изображений Вг, которое видимо из
^ДМета Р под наименьшим углом зрения; это изображение называется
panvia 3РачК0М ясей системы, дающей изображение; сама диаф-
такг называется апертурной или действующей диафрагмой (или
_1^Рисом) *). Угол зрения 2С7, под которым виден из центра пред-
вхо1ны^СЛа и₽ис помещается деред первой линзой системы, то он тождественен со
а ым зрачком.
5*
68 Ограничение пучков в оптических системах [Отд,|
мета входной зрачок, т. е. угол между двумя крайними лучами, j
дящими в меридиональной плоскости, называется отверстие^
стемы.
Изображение входного зрачка Вх, даваемое всей системой це
называется выходным зрачком. Последний, очевидно, огр;
вает лучи, идущие от изображения Р' предмета Р. Угол 2Z7', под
рым выходной зрачок виден из точки F', называется углом
екции системы. Из свойства переместимости изображения и иредмя
непосредственно вытекает, что выходной зрачок Вх является изобрая
нием апертурной диафрагмы В, которое дается частью всей оптичеси
системы, расположенною за В (в сторону пространства изображения)!
зрительных трубах апертурной диафрагмой часто служит край перед!
линзы (объектива), а даваемое окуляром изображение этого края ля
зы — выходным зрачком. Если держать прибор на некотором расстоян!
от глаза против све
лого фон?, то ВЫХ0
ной зрачок будет в_
ден как действительна
или мнимое изображ!
нпе. 1 \
В некоторых слУз
чаях апертурной диа
Рес- 32- фрагмой может служит)
также радужная обс^
лочка глаза наблюдателя; ее изображение,' даваемое роговой оболочкой |
водянистым телом, называется зрачком. Отсюда и взяты названия «вход;
ной зрачок» и «ирис».
Как мы уже видели выше на стр. 62, положение зрачков имеет боль^
шое значение при получении изображения протяженного предмета посред-1
ством узких пучков. Если изображение должно быть подобно предмету,’
то центры входного и выходного зрачков должны быть «ортоскопиче-
скими» точками. Кроме того, положение зрачкоз имеет значение для хода
главных лучей, т. е. для центральных лучей пучков, дающих изображе-
ние. Предположим, что зрачки имеют круглую форму и центры их лежат
на оси системы, дающей изображение; в таком случае лучи, иду-
Ноле зрения
69
ппоизвольныу образом расположенного предмета Р и его изобра-
зи6 °т S к центру входного и выходного зрачков, являются главными
зения * а Лучей предмета и изображения. Ход главных лучей в
дающей изображение, называется для краткости просто ходом
лУ^Й- ^еЛСцеГ1Грпч(!ский ход лучей. При определенном положении
С упной диафрагмы можно дос.ичь того, что входной или выходной
(или при телескопических системах оба одновременно) отодви-
3PaL/B бесконечность. Для этого надо только поместить апертурную ди-
я11агму в задний фокус или в передний фокус S2 (рис. 31). Ход
учей в этих случаях называется «телецептрическим»; в первом случае
говорят о «телецентрическом ходе в сторону предмета», в последнем
случае о «телецентрическом ходе в сторону изображения». В первом слу-
чае все главные лучи пространства изображения параллельны оси. Рис. 32
относится к последнему случаю, т. е. к случаю телецентрического хода
лучей в сторону изображения. Апертурная диафрагма В лежит в перед-
нем фокусе линзы В, которая дает действительное изображение Р^Р^
предмета Главные лучи, исходящие из точки Рг и Р2, вычерчены
жирными линиями, боковые лучи — тонкими. Такой ход лучей оказыва-
ется выгодным в том случае, когда изображение Р/Р/ фокусируется на
прозрачную пластинку, на Kt торой нанесены деления. Даже при не сов-
сем точной фокусировке все-такп получается изображение той же вели-
чины, потому что в этом случае как (нерезкое) изображение будет воспри-
ниматься пересечение главных лучей с пластинкой. Поскольку главные лучи
пространства изображения параллельны оси, то на неточно установленной
плоскости микрометра нерезкое изображение будет всегда сохранять одну
и ту же величину. Наоборот, при наклонном направлении главных лучей
видимая величина изображения будет сильно меняться с изменением по-
ложения измерительной пластинки.
Если система телецентрична в сторону предмета, то по чем же причи-
нам величина изображения не будет зависеть от точной установки предмета.
Поэтому такой ход лучей предпочтителен в измерительных микроскопах,
первым же следует пользоваться в зрительных трубах, у которых рас-
стояние до предмета всегда задано (бесконечно большое), а окулярный
микрометр можно переставлять.
3. Ноле зрения. Кроме диафрагмы В (ирис), которая дает входной
выходной зрачки или сама или своими изображениями, мы имеем дело
с другими диафрагмами, которые, как и края линз, определяют ве-
ВаЧИ:1У отраженного предмета пли поле зрения. Ту диафрагму (так
мЛЬ1вае-.р,ю диафрагму поля зрения), которая жжет служить
Поля зрения, находят следующим образом: опят строят для всех
Котоп?11м х изображения, ч рез ту часть всей оптической системы,
браФфи лсткит между предметом и соответствующей диафрагмой. То пзо-
угло Ис Е0'г°б°е видно из центра зрачка входа вод наименьшим
зреЯ 0Г[ределяет иоле зрения. Угол зр н;;з 2w называется углом
из 11 г- Правильность такого определенно вытекает непосредственно
Диа?ТеЖё: например Р'-'с' 31 на стр. 68. Па этом рисунке в качестве
Прагмы кроме апертурной диафрагмы В действуют еще края линз
70 Ограничение пучков в оптических системах [ОтдД
и и диафрагма G. Изображение последней, даваемое citctJ
будет Gr и если мы примем, чти Gt видно из центра входного'||
под меньшим углом, чем край 8г и чем то изображение края лиД
которое дается 8lt то G действует как диафрагма поля зрения. Я
жение G/, даваемое всей сис’емой ограничивает поле я
в плоское:и изображения; угол ‘2w, под которым G/ видно из Я
выходного зрачка, называется‘у г л о м изображения. 1
На рис. 31 изображение Gt диафрагмы поля зрения получай
плоскости предмета Р- Этот случай выделяется тем^ что при этом
зрения резко ограничено, потому что при этом мы имеем только дм
можности: или пучок лучей из точек предмета Р целиком зап®
входной зрачок, или полностью задерживается Ог. Если же пло!
предмета не совпадает с тем изображ-нием Ог диафрагмы поля з«
которое дается системой в сторону предмета, то'границы поля з!
получаются не резкими^ т. е. поле зрения окаймляется зонами ш
пенно убывающей яркости; в самом деле, при этом пучки из точек 1
мета Р, лежащих у краев, заполняют входной зрачок не полное
Чтобы по возможности целиком использовать поле зрения, в п|
рах, служащих для субъективных наблюдений, представляется выгони
такое положение, при котором зрачок глаза совпадает с выходным Л
ком прибора; действительно, в том случае, когда зрачок глаза лежия
некотором расстоянии от выходного зрачка, первый может действоя
как диафрагма поля зрения и при некоторых обстоятельствах очень Я
ничивать поле зрения. Поэтому выходной зрачок часто называется тЯ
глазным кружком (окулярным кружком), а его центр — меся
г л а з а. .1
До сих юр мы рассматривали влияние диафрагм только на геомеи
ческпй ход лучей; однако диафрагмы имеют кроме того огромное я
яние на яркость изображения. При рассмотрении этого вопроса мы L
кидаем почву чистой геометрической оптики; но нам придется сделИ
здесь эту вставку, так как иначе описание действия различных оптшяИ
ких приборов оказалось бы неполным. 9
4. Основные положения фотометрии *). Мы назовем световым Я
током F, исходящем из источника света Q, ту световую мощность эвЛИ
гии, которую Q посылает на какую-нибудь замкнутую, окружающую Л
поверхность 8. Вид поверхности $ не имеет значения, так как при этв
делается предположение (точнее, это есть определение), что при распря
странении света в абсолютно прозрачной.2) среде общее количество свеЯ
не уменьшается и не увеличивается. Я
Предположим далее (это также определение), что световой поток остЯ
ется постоянным для любого поперечного сечения трубки, образованнее
световыми лучами («световые трубки»). Пренебрежем сначала размерам!
источника света Q,' т. е. допустим, что он представляет собой светящая
юся точку: тогда световые лучи суть прямые линии, исходящие из точк|
г) См. например Ш. Фабри, Общее введение в фотометрию, ОТТ.ТИ — ГТТЩ
1934; Н. Kohn, Photometrie, Muller-Pouillet, Lehrbuch der Physik 2, 1104, 1929J
W. Dziobek, Handbuch der physik. Uptik (Gehrke) 1, 1, 1927. (
г) В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что ербда абсолютно прозрачна*
Основные положения фотометрии
—-------------------------------------------------------
гг им образом световая трубка представляет собой конус, вершина
Q. Таки дТ в q Телесным углом 11 конуса будем называть вели-
jfoTOp°ro вырезаемую конусом из шара радиуса 1 (1 см), опи-
чину D воло его вершины как около центра.
^Рассмотрим теперь элементарный конус с очень малым телесным
' f d& световой поток, содержащийся в нем, равен:
уГЛ° ’ dF=IdQ. (61)
цчина / ; азывается силой света источника света Q в направлении
и конуса. Физическое значение ее таково: она обозначает тот световой
поток, который исходит из 'Q и падает на единицу площади, располо-
женную на расстоянии, равном единице, и при:ом нормально к световым
чучам, так как тогда dQ — 1 (кэтот единичный телесный угол называется
стерадианом).
Вообще сила света может зависеть от направления световых лучей.
Весь световой поток # получается при этом из (61) путем интегрирова-
ния
F = fldQ, (62)
причем интеграл надо брать вокруг источника света Q. Если бы I не
зависело от направления световых лучей, то мы имели бы:
F =4м1,
так как сумма телесных углов всех элементарных конусов, лежащих
вокруг Q, равна поверхности шара радиуса 1, описанного около Q, т. е.
равна 4к. Средняя сила света 10 определится равенством:
f/<72 7?
~ 4^’ ^)
Но если элементарный конус вырезает из расположенной произвольным
образом поверхности £ небольшой участок dS, нормали которого образуют
о осью конуса угол 0, и который лежит на расстоянии г от вершины
Q конуса, т. е. от источника света, то путем простых геометрических
Рассуждений получаем соотношение:
dQ • г2 = dS cos 0. (64)
Для светового потока, падающего на dS, из (64) вытекает, следова-
тельно:
rt
етовой поток, падающий на единицу площади, называется освещен-
СтЫо £. Из (65) получаем:
„ Т cos 0
Е — I
(65)
(66)
т. е
точр* освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния от
«алкНОго источника света И пропорциональна косинусу угла лучей с нор-
10 к освещаемой поверхности.
72
Ограничение пучков в оптических системах [Отд^
Если приведенные здесь определения действительно правильный
одной и той же освещенности экран должен казаться нашему глаш
ценным одинаково ярко. Это подтверждается опытом при сравнив
испытании действия нескольких одинаковых источников света Л
лампочка на расстоянии 1 метра от экрана дает экрану такую ян
ценность, как четыре расположенных вплотную друг к другу тая
лампочки на расстоянии 2 м.- 1
Поэтому у нас получается простое средство для сравнения сил
двух источников: положим, что два источника света Qi и находя
на” расстояниях гг и г3, освещают экран (при равном Н) так, что оси
ность на нем кажется одинаковой. Тогда силы света 1Х и 12 обоих]
ников света относятся друг к другу как квадраты расстояний
Чтобы производить такое сравнение точнее, пользуются фотометром. НЛ
более совершенным прибором в настоящее время является фотометр, п
строенный Думмером и Бродхуном.
Самой существенной частью этого прибора является стеклянный кубп!
состоящий из двух прямоугольных призм А и В, хорошо пришлифовав
ных друг к другу гипотенузными плоскостями (см. рис. 33}. Гипотенуз
ную плоскость одной из призм А сошлифовывают под шаровую поверх
ность так, что остается резко очерченный плоский круг; затем призм11
плотно прикладываются друг к другу (па оптический контакт). Лучи о1
8г, попадая на гипотенузную плоскость через катетяую плоскость призмы А]
могут пройти только через среднюю часть, где призмы находятся на опти-
ческом контакте, и, попадая через окуляр w в глаз наблюдателя о, дают
резко очерченный центральный кружок. От в глаз наблюдателя могут,
попасть только те лучи, которые испытают полное внутреннее отражение
в призме В вне области соприкосновения призм.
Основные положения фотометрии
73
gjL --------
им образом наблюдатель видит в прямом соприкосновении два
F пения от двух источников света и Sz. Между сравниваемыми
3₽ я света и Q2 ставится экран 8, покрытый с обеих сторон—и
яст°ча сговер1пенно одинаково — гипсом; излучаемый экраном #рассеянный
^ЙТотражается двумя зеркалами и 82 на стеклянный кубик. Если осве-
с*еТ /Ть обеих сторон экрана S одинакова, то глаз в о видит стеклянный
Яе? освещенным равномерно, т. е. линия, разделяющая оба поля зрения,
чезает. Источники света и Q2 помещаются на таких расстояниях
ЙС и г2 от экрана, чтобы в стеклянном кубике линия раздела пропала.
Чтобы быть свободным от ошибки, которая может появиться при некого-
оой неодинаковости двух поверхностей экрана 6’, рекомендуется произ-
вести второе измерение, поменяв источники света и Qz местами, т. е.
таким образом, чтобы Qi было теперь направо, и Q3—налево от 8. Экран 5
с зеркалами 8Ъ 8% п стеклянным кубиком смонтированы в футляре КК
и представляют собою один прибор.
За единицу силы света, т. е. за такую силу света, с которой сравни-
ваются все другие силы света, принимается в настоящее время так
называемая международная свеча, осуществляемая с помощью
л^мп накаливания специального вида. За единицу светового потока при-
нимается [см. формулу (61)] такой световой поток, который излучается
источником, имеющим во всех направлениях силу света в одну междуна-
родную свечу, внутри телесного угла в 1 стерадиан.
Если измерена сила света источника света, то по формуле (66) можно
вычислить освещенность в любой точке. За единицу освещенности при-
нимается один фот или его десятитысячная часть—один люкс. Один
фот есть освещенность, производимая световым потоком в один люмен,
падающим на 1 кв. см. Так, например, освещенность, необходимая при
чтении и равная 50 люксам, обозначает освещенность от источника
света силой в 50 свечей на расстоянии одного метра на книге, поме-
щенной нормально к падающему свету, или от 12—13 свечей на рас-
стоянии от 3/2 м, или от 1 свечи на расстоянии х/7 м.
Фотометрйрование разноцветных источников представляет большие
^РУДности. По Пуркинье (Purkinje) разность освещенностей двух различно
^Ращенных поверхностей меняется с величиной освещенности 3). Таким
^Разом при фотомстрировании следует считаться с физиологическими осо-
снностямц нашего зрительного органа, отчего при сравнении двух по-
ЕОв световой энергии неизбежно появляется некоторая неуверенность.
иой СЛП мы возьмем источник света Q не в виде точки, а в виде некото-
ao ПОверхности, то его сила света будет зависеть не только от величины
л^стщ н0 также 11 от наклопа поверхности относительно световых
Позволенный металлический шар кажется глазу равномерно ярким.
верт0^ 150 всех элементарных конусах с одинаковым телесным углом
1 Ийы которых лежат в глазу, и которые кончаются на шаре, должен
!°став , к° в случае, когда оба источника света кажутся бесцветными, но цветовой
-Делатвр1:х различен, фотометрйрование вследствие физиологических причин, может
;г пенадежлым.
74 Ограничение пучков в оптических системах [Qtj
заключаться один и тот же световой поток. Но так как (см. формЛ
эти конусы вырезают из шара участок поверхности ds величиной
, d'j. г2
ds——
cos г/ i
где 9 обозначает угол наклона ds относительно оси конуса, то <
поверхности, дающий такой же световой поток, будет тем болып
порционально 1: cos 9), чем больше его наклон по отношению к св
лучу.
Отсюда, принимая во внимание предыдущую формулу (65), мы пм
для светового потока dF, излучаемого одним элементом поверхно}
к другому элементу поверхности dS, выражение г) 1
BdsdS cos d cos 0
'2 -1
При этом г обозначает расстояние между обоими элементами пв
яости, •& и 6- углы наклона нормалей ds и dS к соединяющей из
мой. В называется яркость'ю поверхности ds; она характеризует
света единицы поверхности в данном направлении. 1
В формуле (68) следует обратить внимание на симметрию по отиощ
к излучающему и освещаемому элементам поверхности. Эту спмм<
можно выпазить следующим образом: световой поток, падающий с :
чающего элемента площади яркости В па освещаемый элемент, ]
тому световому потоку, который освещаемый элемент площади пос
бы на излучающий, если бы он имел ту же самую яркость В.
Формуле (68) мы можем придать б-лее простой вид, если вь«
телесный угол dQ, под которым dS' виден из' ds; dQ связано с dS за
симостью (64). Отсюда уравнение (68) можно также написать так: 1
dF = Bds cos &dQ. 0
С другой стороны, можно также ввести телесный угол du, под котоп
ds виден из dS; его величина дана уравнением (67). Отсюда име- м:
dF — BdScos 0da>. {
Зависимость между яркостью В и световым потоком dF, излучаем
поверхностью ds, определяется легко.
Сравнение формул (61) п <69 s показывает, во-первых, что сила св
di поверхности ds в направлении, составляющем угол с ее ворчал
имеет значение:
di — Bds cos &. (
Вычислим сначала световой поток, содержащийся между двумя ко
сами, образующие которых составляют углы & и d^-dd с нормалью
ds. Заключенное между обоими конусами пространство можно рассм$
х) Величина В, входящая в эту формулу, вообще г воря зависит от угла и лучен
d, и притом зависимость эта для разных тел различна. Однако в дальнейших ра чет
мы будем считать В постоянной, что во многих случаях не приведет нас к с.;мшК'
большим ошибкам.
5J
ta?aTb
Яркость и освещенность оптических изображений 75
как кольцеобразный элементарный конус с телесным уг.Т' м, рап-
dQ = 2л sin $d&, (72)
что он вырезает из шара радиуса 1 круглое кольцо шириной
®оТОд ради’са sin#. По формулам(69) и (72) содержащийся в кольцеоб-
$ пи элементарном конусе световой ноток равняется:
рао
dF~ 2nBds sin & ecs # d&.
Отсюда в конечном конусе, образующая которого составляет с пор-
мап.ю к ds угол U, содержится световой ноток
Z7
Fr — 2nBds^ sin # crs #d# = nBds sin2U, (73)
0
Чтобы найти полный световой поток F,надо положить здесь U-™и ре-
зультат помножить на 2, если элемент поверхности излучает в сбе сто-
роны с постоянной яркостью В. Это дзет:
Р=2я Bds. (74)
5. Яркость и освещенность оптических изображений. Пусть па
оси цегпрярованной системы лежит элемент поверхности ds, располо-
женный н< реально к оси, и пусть он светится с яркостью В. Если U
означает угол, образуемый крайними лучами, т. е. лучами, идущими о. ds
к краю зрачка входа, с < сью системы, до го формуле ;73) световой ко-
ток, попадающий в систему, равен:
Ft = nBds sin2 U. (75)
Он будет, следовательно, тем больше, чем больше U, т. е. чем боль-
ше входной зрачок системы. Пусть ds' является изображением ds,'a U'
представляет собой угол, который образуют крайние лучи, т. е. лучи иду-
щие от края выходного зрачка к изображению, с осью системы; вычис-
лим грехде всего яркость В' изображения. По формуле (73) световой
поток, изучаемый изображением, должен равняться:
F/ = rcB'ds' sin2 U'. (76)
Ft в лучшем случае может равняться Flf если совсем пренебречь
огш св"та ПРИ сражении и погл щлнии, поточу что тегда, согласно
оста Ленпю’ Данй0;'У на СТР- 70, световой поток внутри световой трубки
~ ает<ш постоянным. Предположим такой благоприятный случай; тогда
Р^вексгв (75) и (76) слелуеы
В' = В • {77)
ds' sm- и 1
Л!ула° ds' является изображением ds, то по теореме синусов [фор-
(46) тгр. 60] следует:
<is2sin2t/ „’22 (784
ds'2 sm!U' п2 ’
Ограничение пучков в оптических системах [0^
где п — показатель преломления пространства предмета, а
тель преломления пространства изображения. Отсюда из уравнёиИ
имеем: -Я
'Г)'2 Я
в’ = в^ . Я
И“ Я
Если показатели преломления предмета и пространства изобЯ
равны между собой, то яркость оптического изображения не мояЯ
больше яркости предмета.
Таким образом, если мы получим с помощью увеличительного!
изображение солнца, то его яркость не будет выше яркости соля!
не менее увеличительное стекл) сильно увеличивает освещенности
больше, чем больше его отверстие, и чем короче его фжус.юе pacci
Освещсннось Е получится, если в уравнении (76) разделить
При п — п' из уравнения (76) следует Е' = лВ sin2 U'. Увеличен
вещенности видно особенно наглядно, если мы вспомним, что все’'
вые трубки, проходящие через изображение ds', проходят также!
выходной зраьок лупы. Поэтому общий световой поток, который сх|
в изображении ds', согласно положению,’изложенному на с;р. 74^
тот же, как если бы весь выходной зрачок лупы излучал по 1
влению к элементу ds' с яркостью В солона. Таким образом де!™
увеличительного стекла равносильно тому, как если бы элемент
увеличительного стекла был так близко поднесен к солнцу, чи|
из него был) бы видно под тем же углом зрения, как выходной Я
(свободное отверстие) увеличительного стекла из его главного фЯ
Это положение справедливо для всякого оптического пр’-бораЯ
приспособления для концентрации света могут преследовать только!
цель: с помощью данного источника света малого размера или же вя
удаленного досшчь все-таки такого эффекта, какой можно было бь!
лучить без всяких приспособлений непосредственно от источника !
той же яркости, но больших размеров или расположенного ближе. J
Если п п п' различны, то можно достичь повышения освещение
изображения, ко1Д1 п < п'. Это имеет \ есто, например, в имчерсиовл
системах микроскопа, когда свет оти точника Q, расположенного и cj
с показателем я=4, с помо ьыо системы собирательных линз (гюн^
сор), помещенных перед объективом, собирается в пространстве с 6Д
шим показателем преломления п (им ерсиопная жидкость). Про этом Я
товой поток, попадающий в микроскоп, пропорционален п? sin2 U, где
обозначает угол крайних лучей, идущих к входному зрачку. Произведем
п sin U — а (Я
называется по Аббе числовой апертурой. Такам образом сштов!
поток, входящий в микроскоп, пропорционален квадрату '-половой аШЯ
туры. Яркость изображения, которое получается оп; ть в воздухе (п = |
конечно, может быть, само- большее, равна яокост: и точнпка света.>
6. Освещенность изображений, получающихся па сетчатке гЛ<
за. Ощущение света обусловливается освещеньем малых свегочувствптельик
элементов на сетчатой обоючке глаза. Если р.'эь иде о светящей*?
поверхности в, то ее изобраке: и' на сетчатой оболочке будет также не
Певеир‘нн0(,'ть ^зобрамссчпи на сетчатке глаза. 77
к_____- -1
поверх ЙОСТЬ во^уждающая одновременно очень много свето-
вдьШЗй льиых эле^е.нов. Поверхность s будет нам представляться тем
Есгввте больше световой поток, приходящийся на единицу
fcea све ceTqaToii оболочки, т. е. чем больше освещенность сетчатой
ЕодаД0
riобновимся сначала на том случае, когда источник света рассматрива-
яевооруженным глазом; тогда самый глаз следует считать за опти-
гсв в сИстему, для которой имеют место все вышеизложенные сообра-
есКУ следовательно, освещенность на сетчатой оболочке получится из
1е8мул (76) и (79); при этом следует обратить внимание на то, что
чсазатель преломления п пространства предмета и п' — пространства
чображения (задняя камера) — отличаются друг от друга. Освещенность
мчатки Е$ при отсутствии оптического прибора и при источнике света,
злучающем в среде с показателем преломления п = 1, или так называемая
естественная освещенность будет:
£0 = Л'28ш2 Wo'. (81)
Здесь В обозначает яркость источника света, если не принимать в
расчет, потери света при прохождении лучей через глаз; Жо' представ-
ляет собой угол, образуемый лучами, идущими из центра изображения
иа сетчатой оболочке к краю зрачка (точнее к краю изображения отвер-
стия зрачка, даваемого хрусталиком), с осью глаза, т. е. 2 Wo' является
углом проекции в глазу (см. выше стр. 68). Если величина зрачка остается
постоянной, то Wq будет также постоянным. В таком случае, следова-
тельно, освещенность Е зависит только от яркости В источника света и
совершенно не зависит от расстояния последнего до глаза. С уменьше-
нием зрачка уменьшается Wo', причем Ео также становится меньше.
Если теперь поместить перед глазом оптический прибор, то их вместе
можно считать одной системой, для которой действительны предыдущие
соображения. Глаз следует поместить в месте выходного зрачка, что,
согласно стр. 70, выгодно в смысле лучшего использования поля зрения,
бедует далее различать два случая:
Выходной зрачок прибора больше или по меньшей мере ра-
З1 зрачку глаза. Тогда угол проекции %W\' изображения в глазу
г Рвделяется зрачком глаза, т. е. W ~ W'o. Освещенность сетчатки оп-
ьостпЯеТСЯ Ф°РМУЛОЙ <81)’ причем максимальное значение В равно яр-
потеИ Источника света. Последнее имеет место при пренебрежении всеми
сдел?ЯМи света в приборе и в глазу, при предположении, как это было
телемВ() В Ф°рмуле (81), что источник света излучает в среде с показа-
От । Преломления >7 = 1. Если же показатель преломления отличается
борах Т° следовало бы еще разделить на н2. Однако в обычных при-
находиЭТ°т СлУчай никогда не имеет места. Сам источник света всегда
это сцпСя в воздухе или (например, солнце) в мировом пространстве;
скопа \?ВеДливо также и по отношению к иммерсионной системе микро-
ляется как предмет, помещающийся в иммерсионной жидкости, не яв-
солнце Са',10еветящимся (самосветящимся источником является яркое небо,
йик св’етампа 11 т- д-)- ИтаЕ' мы всегда будем предполагать, что источ-
а излучает в среде с показателем преломления п - = 1; тогда мы
78 Ограничение пучков в оптических системах
я
приходим к следующему результату: освещенность изображения.!
чатке, которую дает прибор, равна естественной освещенности, d
происходит никакой потери света при отражении и поглощении. )
2. Выходной зрачок прибора меньше зрачка глаза. Тогд
освещенности Е действительна формула, аналогичная формуле (81;
Е = яВп'2 sin2 W’>
где В самое большее равно яркости источника света (если не-1
нимать во внимание потерю при отражении в приборах), и где!
представляет собой угол проекции изображения в глазу. Но т|
W < JF0', т. е. освещенность изображения на сетчатке меньше естеству
освещенности. Отношение этих двух освещенностей вытекает из (8L
£:#О = 8Н2Ж':8Ш2 JF0'. I
Но так как Wo' и тем более W представляют собой малые углы и
человеческого глаза Жо'— около 5 ), для которых sin можно замените
tg, то правая часть уравнения (83), т. е. отношение освещенности 1
бражения, получающегося на сетчатке при рассматривании предмета!
рез пробор, к естественной освещенности равно отношению величи
выходного зрачка прибора к величине зрачка глаза (изображения отж
стия зрачка глаза, даваемого роговой оболочкой и передней глаз|
камерой). Короче мы можем, следовательно, сказать: при пове|
ностно протяженных объектах всякий оптический прибор может ш
следовать только одну цель: увеличить размер изображения предметами
сетчатке глаза; освещенность изображения увеличена при этом быть ^и
может. в
Эти результаты можно было бы получить также следующим образов
Согласно сказанному на стр. 76, яркость изображения равна яркости ив
точника света (если п — п'~\, и если не принимать во внимание пв
тери в приборе при отражении и поглощении). Таким образом оптические
при'ор производит только кажущееся перемещение источника света. ЦЯ
так как (стр. 77) освещенность изображения последнего совершенно не заЯ
висит от его места, пока весь зрачок глаза заполнен световыми лучаиЛ
то эта освещенность равна естественной освещенности. Если же выходном
зрачок меньше зрачка глаза, то последний -не будет целиком запил нем
световыми лучами, т. е. освещенность изображения на сетчатке должна!
быть меньше естественной. Отношение при этом получается то же, которое»
было установлено выше, потому что наклон лучей изображения предмета!
относительно оси, при тех расстояниях изображения от глаза, на котором ]
глаз еще может отчетливо видеть, очень мал. ]
Если изображение dsr светящейся поверхности ds находится на рас-1
стоянии д от выходного зрачка прибора (т. е. также и от глаза, потому J
что последний должен быть помещен в месте выходного зрачка), то б tg V
является радиусом выходного зрачка, причем 2U' представляет со-
бой угол проекции изображения (в воздухе). Поэтому, заменяя tg U' на
sin U'f получаем для отношения освещенности Е изображения на сетчатке
изображений на сетчатке глаза 79
; ЯОЙ ее освещенности Ео от источника света, в случае, если
сТесТ?еопэчок меньше зрачка глаза, радиус которого равен р:
:одя°й зр „
1 и Е о2 smz U
I л юла по теореме синусов (см. формулу (78)) можем написать (в месте
Глажения показатель преломления п' = 1):
J Е 8 sin® 17 ds sca\
I Ёо “ р * , (84)
кичем ds представляет собой сопряженный с ds' элемент поверхности,
Байние лучи которого образуют угол U с осью прибора; п — показатель
пеломления среды, в которой расположен элемент ds\ таким образом
"gill [7 = я (формула (80)) равно числовой апертуре системы; ds':^s
поставляет собой квадрат линейного увеличения прибора. Обозначим
го через F; тогда формула (84) преобразуется в
Ео~~ р2 V2'
Эта формула, следовательно, годится только пока Е < Ео. Она ясно по-
казывает влияние числовой апертуры на яркость изображения и имеет
[громное значение в теории микроскопа.
Г Нормальным увеличением оптического прибора называется такое
[увеличение, при котором выходной зрачок равен зрачку глаза; при этом
увеличении изображение предмета на сетчатке имеет еще естественную ос-
вещенность. Если принять радиус р зрачка равным 2 мм, расстояние <5
изображения от глаза — 25 см (расстояние ясного видения), то для раз-
личных числовых апертур из уравнения (85) получаются следующие нор-
мальные увеличения Ип:
а ~ 0,5 Vn = 62
а -1,0 =125
а - 1,5 Vn = 187
b Для двойных увеличений 7==2-7„ освещенность сетчатки Е состав-
мож ЧетвеРтУю часть естественной освещенности Ео. Эти увеличения
ИзоЛ° Рассматривать приблизительно как границу вполне отчетливого
личепаЖенпя’ ^Ри а = это соответствовало бы, следовательно, уве-
= д J110 в 350 раз При 1000-кратном увеличении и при апертуре а —
л освещенность Е составляет 1 /27 часть естественной освещенности EQ.
3РИтельн°с трубы формулу (85.) нужно несколько изменить. Если
тива) свободного отверстия зрительной трубы (радиус ее объек-
й;Г’ т° 110 формуле (16') на стр. 35 радиус ее выходного зрачка равен
Отсюда^ представляет собой угловое увеличение зрительной трубы.
^ношение выходного зрачка к глазному зрачку будет:
Е А2
Еа ~ р Г2’
(86)
80 Ограничение пучков в оптических системах [Отд.
Таким образом для нормального увеличения Гп зрительной тру
ектив должен иметь радиус рРп, т. е. должен быть равным 2,
и т. д. ли, если нормальное увеличение имеет значение 1, 2, 3, 4
и если р принято равным 2 мм. Например, для нормального у
нпя 100 радиус объектива должен равняться 20 см.
7. Точечный источник света. Законы, выведенные для освещеиЯ
оптическою изображения предметов, покрывающих большое число чуЛ
тельных элементов сетчатки, теряют свою пригодность, если приходптД
лучать изображения точечных предметов, —например, неподвижных Я
Действительно, их изображение на сетчатой оболочке (вследствие диффраИ
у края зрачка) имеет всегда одну и ту же величину, зависящую толь!
диаметра зрачка (см. главу IY отдела II). До тех пор, пока угол зренЛ
предмет не превышает величины около угловой минуты, предмет мЛ
принимать за точку. 1
Освещенность «изображения» г), получающегося на сетчатке от то
ного источника света Р, определяется световым потоком, шшадающш
Р в глаз. При этом естественная освещенность Ро пропорциональна
личине зрачка и обратно пропорциональна квадрату расстояния 1
глаза. При рассматривании с помощью оптического прибора весь 4
от Р, проходящий через входной зрачок прибора, попадает в глаз, eL
выходной зрачок меньше глазного зрачка, т. е. если превышено норм^И
ное увеличение зрительной трубы. Если при этом край объектива яв^Ж
ется его входным зрачком, то освещенность «изображения» очень
ленного 3) источника света (звезды) будет больше естественной освещ^И
ности во столько же раз, во сколько величина объектива больше зрачИ
глаза.
Если же еще не достигнуто нормальное увеличение зрительной трубМ
т. е. если ее выходной зрачок больше зрачка глаза, то при пользовании
прибором зрачок глаза является выходным зрачком, а даваемое зрител^И
ной трубой изображение зрачка глаза представляет собой ее входшИ
зрачок. По формуле (16') на стр. 35 последний в Г2 раз больше зрач^Н
глаза, если Г обозначает увеличение зрительной трубы. При этом (X
вещенность диффракцпонной картины от звезды, получающейся на cel
чатке, в Г2 раз больше естественной освещенности.
Так как, следовательно, при рассматривании в зрительную трубу можя
повысить освещенность «изображения» от звезд, в то время как осве
щенность изображения их фона не увеличивается, а даже (при превЫ
шении нормального увеличения) уменьшается, то в зрительной трубе звеЭ
да выделяется на фоне яснее и может быть видна (в большие зритель
ные трубы) даже днем.
8. Влияние апертуры на разрешающую силу оптических ирй
боров. До сих пор рассматривалось влияние апертуры на геометрически
ход лучей и на освещенность изображения. Но апертура определяе
также разрешающую силу прибора, т. е. способность прибора отическ!
*) В этом случае «изображением» является диффракционная картина, получаю-
щаяся от края зрачка.
2) Источник света должен находиться на таком расстоянии, чтобы по сравнению
с этим расстоянием можно было пренебречь длиной зрительной трубы.
81
Фотографические системы
11L—-— —
два предмета, которые невооруженный глаз разделить не мо-
|ЗДе£й стр, 53 уже указывалось на то, что очень узкие пучки лучей дают
#1* ^изображения вследствие явления так называемой диффракции.
л°? акция может определить границы разрешающей силы оптического
)йФул само собою ясно, что эти границы становятся тем шире, чем
ф® яоугольпее пучки лучей, обусловливающие изображение, т. е. чем
?Яще апертура прибора. Численные соотношения, которые можно здесь
Повить, будут выведены ниже в главе о диффракции света. Здесь
ycTLeT только отмстить, забегая несколько вперед, что с помощью микро-
скопа еще могут быть разделены две точки предмета, расстояние между
। которым и d
d>
| £(<•
где Я есть длина волны (ее определение см. ниже) света в воздухе, а а—
числовая апертура микроскопа. Зрительная труба может еще разделить
два предмета, если они видны под углом зрения <р, который определя-
ется соотношением:
. ч <?>0,6~, (88)
где h представляет собой радиус отверстия зрительной трубы.
Г Л zl В А V.
ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ1).
1. Фотографические системы. При фотографировании ландшафтов
! оптическая сне гема должна давать на светочувствительной пластинке
действительное изображение весьма протяженного пространства предмета.
Телесный угол лучей, дающих изображение, сравнительно узок. Уже раньше
(стр. 61) указывалось на главные недостатки изображения, подлежащие
здесь устранению. Там же говорилось также о преимуществе симметрич-
ного двойного объектива и о значении соответствующим образом постав-
ленных диафрагм для получения сходства между предметом и нзображе-
нием. Но положение диафрагмы может также влиять и на уничтожение
Еривизны поля изображения.
В случае двух тонких сложенных вплотную линз, с фокусным рас-
Шнием /1 и /2 и с показателями преломления пг и п2, наилучшее
Чтожеппе кривизны изображения достигается при выполнении уело-
= — (1)
бул?CJI0Silc^ ахроматичности для двух тонких линз по формуле (54) стр. 65
Условие Петцваля:
____ vxfi = (2)
1 I р
299. lob’’ <yj-aP^il-Eppen$tein, 1.С., 434, 1924, Haudbuch d?r Physik (Geiger и Scheel) 18,
” T>nuil,let. Lebrbuch der Physik 2, 589, 1927.
e
82
Оптические приборы
Оба условия (1) и (2) могут быть одновременно выполнен^
тогда, когда линза с большим показателем преломления имеет мЛ
дисперсию v. Прежние сорта стекла не удовлетворяли этому уЯ
так как при большом показателе преломления они обладали также
сильной дисперсией; слабо преломляющий кронглас имел незначиД
дисперсию, сильно преломляющий'флинтглас обладал высокой дисм
В настоящее время изготовляются стекла, показывающие иноЯ
обратное соотношение1), и с тех пор 2) стало возможным одновД
с ахроматизацией получать выравнивание изображения. Такие са
линз будем называть „новыми ахроматами“ в отличие от прежних („я
ахроматов"). 1
Применение новых сортов стекла, обладающих с возрастающим J
шим коэффициентом дисперсии v, представляет для фотографической J
еще и другое преимущество: соединение старого ахромата с новым as
том устраняет астигматизм, потому что первый своей проклейкой, дейс!
щей как рассеивающая система, дает астигматическую разность Я
противоположного собирательно действующему слою проклейки послеЯ
Такие симметрические двойные объективы, имеющие с обеих стороД
бинации старых и новых ахроматов, называются анастигмат3)Д
натами. 1
Чтобы изображения далеких предметов получались по возможи
больших размеров, фокусное расстояние f системы должно быть по|
можности больше. Но тем самым вызывается нежелательное удлим
фотографической камеры, поскольку система состоит из нескольких J
расположенных поблизости друг от друга, так как длина камеры Ъ |
жна приблизительно равняться фокусному расстоянию /. Это веудоб#
можно устранить, пользуясь так называемым телеобъективом, в к!в
ром собирательная система соединяется с рассеивающей системой, отстш
щей от нее на расстоянии а. Как показывает рис. 22 стр. 47, последи
дает прямые, действительные, увеличенные изображения от мнимых прЯ
метов, лежащих за рассеивающей линзой, но ближе ее задней фокальна
точки F2. Там, следовательно, должна лежать фокальная точка Ъ\' м
редней собирательной системы. Как показывает изображенный на рис. Я
ход лучей, фокусное расстояние всей системы больше, чем расстояня
собирательной системы до места изображения, т. е. больше длины камера
Например, чтобы при длине камеры в 20 см (точнее 19,85 см) воспол!
зоваться системой с фокусным расстоянием f в 37 см, надо собира
тельную линзу с фокусным расстоянием в 10 см комбинировать с рас
свивающей линзой с фокусным расстоянием в 5 см, при оптическом интер
вале Л равном 1,35 см, т. е. на расстоянии 6,35 см сзади собирательно!
Э Впервые такие, стекла выпущены Шоттом в Иене; например— барптово-снлм
катное стекло преломляет сильнее, чем обыкновенный крон, но имеет меньшх-ю дисд
Персию. ’ 1
2) К несклеенным линзам уравнение Петцваля вообще нс относится, а потому!
в таком случае можно и со старыми сортами стекла достичь и выравнивания изобра-j
женин и ахроматизации. ‘ '
3> Вместо двойного отрицания, заключающегося в слове «анастигмат^, было б**
проще слово «стигмат».
Лупа
83
^вЫ.^и числа получаются из приведенных на стр. 36 формул (17) и (19)
^/портретных линзах главной целью является увеличение лиаметпя
Ляз №я Д°стижен0Я возможно большей светосилы. Поэтому ч7р?ь
,Ы 2. Лула- Кажущаяся величина предмета зависит от угла чпения
иод которым он виден. Приближая предмет к глазу, можно vbXS
угол зрения, но только до известного предела, потому что предмет лот
«ев лежать на расстоянии наилучшего видения. 'Поимеиеяие лтоы
позволяет дальнейшее увеличение угла зрения. уПЫ
Рис. 34.
Самым простым видом лупы является собирательная линза. Она дает
(рис. 21 стр. -16) прямое, увеличенное, мнимое изображение предмета, ле-
жащего между передней фокальной точкой н линзой. Если изображение
находится на расстоянии д — 25 см от глаза, то по формуле (7) на
стр. 29 увеличение лупы равно:
TZ у' х' <5 + а
v-r=r—T’ (3)
гДе х' обозначает расстояние изображения от задней фокальной точки
а~-расстояние глаза от этой точки. В большинстве случаев можно пре-
небречь а но сравнению с б, тогда для увеличения лупы получим: 1
7 = Г (4)
расстояние Н°’ увеличение лупы обРатно пропорционально ее фокусному
бра1?й диаметР линзы, употребляемой как лупа, больше диаметра изо-
Шет Йя глазноГ0 зрачка, даваемого лупой, то глазной зрачок предста-
8РснйяС0пй апертурную диафрагму, а края линзы - диафрагму пол.;
ходимп Ьоэтому для ^Учения возможно большего поля зрения необ-
не В('зможности приблизить глаз к лупе, с удалением глаза
(см. Вй ° уменьшается поле зрения, но изменяется ^акже и ход лучей
крайние стр- 68>’ пРичем крайние точки предмета изображаются тогда
зрачка частями линзы- Это видно непосредственно из рисунка входного
системы, т. е. изображения глазного зрачка, даваемого лупой.
в*
84
Оптические приборы[0;
Это обстоятельство большей частью нарушает ортоскопию (с|
стр. 68), т. е. изображение кажется искаженным по краям.
Простая плосковыпуклая линза дает хорошее изображение до
кратного увеличения, т. е. до 3 см фокусного расстояния. При эЯ
к глазу обращать плоскую сторону линзы. Хотя так .е положе^Я
относительно большую сферическую аберрацию на оси (см. выше Я
так как предмет лежит близко к передней фокальной точке линя!
не менее оно выгоднее обратного положения линзы, так как зная
уменьшает недостатки изображения впе оси.
Применение двух простых линз значительно улучшает изобра!
потому что благодаря распределению преломления на несколько ли!
чительно уменьшается сферическая аберрагия на осп. На рис. 35]
Фраунгофера) и 36 (лупа Вильсона) изображены два распрострай
вида луп. В последней расстояние между двумя линзами выбрано 1
больше, чем в первой. Этим достигается то преимущество, что еще уй
шается хроматическая разность увеличения, разумеется за счет рас<!
ния предмета от фронтальной линзы1). м
В так как называемых апланатических лупах Штейнгейля (рис. <-
ахроматизация достигается путем подбора различных сортов стекла. В эА
лупах двояковыпуклая линза из крона вклеена между двумя менискЯ
из флинта. |
Лупой Брюкке можно пользоваться па большом расстоянии от и»
мета; у этой лупы передняя собирательная ахроматическая линза ком!
нируется с (простой) рассеивающей линзой, расположенной на определи
ном расстоянии. Последняя дает обратные, увеличенные, мнимые лзобд
жения мнимого предмета (см. рис. 22, стр. 47), лежащего несколько поза!
ее задней фокальной точки. Расположение линз может быть такое ЗЯ
как в телеобъективе (рис. 34), т. е. оптический интервал Л между соб|
рательной и, рассеивающей линзами может быть положительным. В такя
случае, при достаточном приближении предмета, изображение, даваем!
собирательной линзой, получается все-таки позади задней фокальной точк|
рассеивающей линзы. Сложная лупа, также как и простая, дает прямо)
изображение, так как даваемое собирательной линзой обратное изображу
На стр. 66 уже говорилось, в какой мере расстояние между линзами влияв!
на ахроматизацвю. Мы вернемся к .атому при рассмотрении окуляров мшсросхопов *
зрительных, труб, которые также можно рассматривать как лупы.
Микроскоп
™—
аз переворачивается рассеивающей линзой. Недостатком этой
Kte ^лается малое иоле зрения.
ЕцЫ Микроскоп. а) 0 б щ и е положения. Для получения более
F 3’ увеличений вместо лупы с очень малым фокусным расстоянием
Ь^^яется микроскоп, состоящий из двух собирательных систем, распо-
РйМеных на большом расстоянии друг от друга. Первая система (объек-
рЧеЯает действительное, обратное, увеличенное изображение предмета,
' шего близко к ее передней фокальной точке; это изображение еще
^тивается второй собирательной системой (окуляром), действующей
к лупа. Не будем уже говорить о том, что при большом расстоянии
«ДУ собирательными системами, т. е. благодаря длинному тубусу ци-
стоскопа, несомненно можно получить более сильное увеличение, чем
посредством отдельных собирательных систем, если ими пользоваться как
лупой; главное преимущество микроскопа заключается в том, что задача
получения изображения распадается на две части, из которых каждая
может быть решена отдельно (объективом и окуляром). Действие микро-
скопа состоит в том, что объектив дает изображение элемента поверхно-
сти при максимальной возможной числовой апертуре2), а окуляр, как
всякая лупа, при большом поле зрения дает изображение с помощью
пучка лучей с малым телесным углом, так как лучи, исходящие из изо-
бражения, ограничены зрачком глаза. Согласно вышеизложенному
(см. глава III, §§ 8, 9,10) эти две различные задачи могут быть решены
отдельно.
б) Объектив. Главные требования, предъявляемые к объективу,
следующие; при высокой числовой апертуре должно иметь место:
1. Уничтожение сферической аберрации на оси и соблюдение постоянного
отношения синусов (условие апланатизма).
%. Ахроматизации. Последняя состоит, с одной стороны, в выполнении
условия апланатизма для нескольких, по меньшей мере двух, цветов,
с Другой стороны, в получении от предмета через объектив ахроматиче-
ского действительного изображения. Если удовлетвориться частичной ахро-
иатизацией (см. выше стр. 64), то надо ахроматизировать положение пе-
₽еДяей фокальной точки объектива, так как иначе предмет, лежащий вблизи
той фокальной точки F, дает изображение, положение которого будет
чень сильно меняться с изменением цвета. При такой частичной ахро-
ложИЗацИП’ ПРП КОТОРОЙ’ следовательно, будет ахроматизировано по-
женпе т. е. также п место изображения, фокусное расстояние не ахро-
“«тизировапо. Поэтому различные цвета дают изображения различной
быть Ины’ т* е- хроматическая разность увеличения остается. Она должна
р компенсирована окуляром.
Меж?3лича10т системы сухие и иммерсионные. В последних пространство
ДУ Фронтальной линзой объектива и покровным стеклом, под кото-
Handb.) jк Lehre von der Bildentstehung im Mikroskop, 1910. См. также
их пРвп Лег ^ysik (Geiger и. Scheel} 18, 500, 1927; JI. Г. Титов, Микроскопы,
2) “Нежности и применение, ОНТИ, 1934.
ния, требование ставится не только для получения большей яркости изображе-
стр. 7д Также и для того, чтобы получить большую разрешающую силу. См. выше
ч 80.
86
Оптические приборы
[От,
рым лежит предмет, заполняется жидкостью. Преимущества поя
системы с точки зрения повышения числовой апертуры понят™
собой; кроме того, применяя так называемую однородную и mJ
при которой жидкость (кедровое масло) имеет тот же показатель!
мления и дисперсию, как покровное стекло и фронтальная линза!
осуществить принцип Амичи (см.’выше стр. 57), а именно ndL
апланатическое изображение с помощью фронтальной линзы боЯ
кривизны (полушарие). На рис. 38 изображен в увеличенном приВ
тельно вдвое размере сконструированный Аббе объектив, такназывд
апохромат, который удовлетворяет упомянутым требованиям с по Л
комбинации из 10 линз; он работает cl
рд р-t родной иммерсией. Апохромат ахромате
| J ван Для тРех Цветов спектра и не Л
? следовательно, вторичного спектра (см. ]1
; Г стр. ОД; условия апланатизма выполнена
। j двух цветов. Фокусное расстояние всей ci
| < мы Достигает 2 мм, ее числовая апер
j I а —1,40. Светособирательные и диоптр
V? ские качества этого объектива таковы,;
можно считать фактически достигнутыми
>--—----------____ НИЦЫ разрешающей силы микроскопа !
------—,------------------------ / выше, стр. 81 формула (87). _
Рис. 38.------------------------------------------------------в) Окуляр. Главные требования, прЯ
являемые к окуляру, такие же, какие им!
место при получении изображения протяженного предмета узким пучи
1. Уничтожение астигматизма в косых пучках, 2. Ортоскоиично!
3. Ахроматизация. 1
Относительно первых двух пунктов уже говорилось в главе III, § 1
стр. 61; что касается третьего пункта, то опять можно удовлетворит^
частичной ахроматизацией. Рассмотрим сперва тот случай, когда дав^
мое объективом изображение свободно от хроматической аберрации. Гла
ные лучи, падающие на окуляр, благодаря значительной длине тубу
микроскопа, т. е. значительному расстоянию, на котором находится л
ваемое предметом действительное изображение выходного зрачка объо!
тива, почти параллельны оси, или во всяком случае образуют тольи
незначительный угол с осью микроскопа. Таким образом, если фокусяя
расстояние окуляра ахроматизированс, то, как вытекает из приведенном
выше на стр. 3построения сопряженных лучей или из изложенных на стр. 3J
свойств фокусного расстояния, белый луч, падающий на окуляр napajj
лельно оси, разлагается на цветные лучи, выходящие из окуляра пл
одинаковыми углами к оси. Аккомодированный на бесконечной!, гла!
видит поэтому неокрашенное изображение. Если изображение лежит на pad
стоянии наилучшего видения (25 см) от глаза, то условием получений
неокрашенного изображения Также остается ахроматизация фокусной
расстояния. ' .
Но выше, на стр. 66, было выведено, что две простые линзы с фокус-
ными расстояниями из одинакового стекла на расстоянии
Микроскоп
87
|г всеХ цветов одинаковое результирующее фокусное расстояние f.
^оставлением окуляра из двух линз можно одновременно достичь
Р^КЗКця изображения в смысле устранения астигматизма, то окуляры
w?IliepVHpy©TC}I п0 ЭТОМУ ПРИНЦИПУ- Обращенная к объективу линза
коЯСя называется коллективом, обращенная к глазу — глазной линзой,
кие ахроматические окуляры в большинстве случаев изготовляются
Y различных видов.
РУ* VОкуляр Рамсдена (см. рис. 40 стр. 93), состоящий из двух оди-
овых плосковыпуклых линз, обращенных друг к другу выпуклыми
постами. При Л = /2 расстояние а между этими линзами должно
Ел() бы быть а — ti = /8. Но при такой комбинации собирательная
1ияза удалена от глазной линзы на ее фокусное расстояние, а потому
назная линза отчетливо изображает в увеличенном виде каждую пылинку
ми царапину на собирательной линзе, что, конечно, портит изображение.
Поэтому собирательную линзу помещают несколько ближе к глазной лин-
зе, выбирая расстояние приблизительно так, что а = ~ fx. Этим дости-
гается еще следующее преимущество. Оптический интервал (см. выше
стр. ,35) линз при а — ~ fx имеет значение Л = — ~fx. Поэтому по
формуле (20) на стр. 36 передняя результирующая фокальная точка F
окуляра лежит еще на % fx перед собирательной линзой, тогда как при
а = Л, т. е. Л = — /i, она должна была бы упасть как раз на собиратель-
ную линзу. Так как теперь давземое объективом микроскопа действительное
изображение должно лежать вблизи фокальной точки F окуляра, то при
a~$fi оно будет лежать еще перед собирательной линзой; поэтому
можно микрометрически измерить микроскопическое изображение, поста-
вив перед собирательной линзой микрометр (тонкие деления на стекле
или передвигаемые винтом нити) в том месте, где получается даваемое
объективом действительное изображение.
<*. Окуляр Гюйгенса (рис. 39). В этом окуляре фокусное расстоя-
"е fi собирательной линзы больше фокусного расстояния глазной
взы. В большинстве случаев /1=3f2. Из Д == 3f2 вытекают для
а J~2~2 значения а — -^ — 2f2. При этом оптический интервал Л
вмеет значение Л ==—1/\, и по формуле (20) стр. 36 результирующая
X о
овальная точка F окуляра лежит на сзади собирательной линзы.
тцСхем°е объективом действительное изображение должно поэтому прий-
собирательной линзы («мнимый предмет»), что делает невоз-
дет дам Микрометрические измерения, так как изображение предмета бу-
толькоВаться обеими окулярными линзами, а изображение микрометра
зтнос11тГЛаззой линзой. Вследствие этого могут получиться различные
?цу^ьн?е увеличения. Этот окуляр также состоит из двух плоско-
1реимуЬ,х лин3’ но они °бо обращены выпуклой стороной к предмету,
вторая ство комбинации слабей собирательной линзы с глазной линзой,
втрое сильнее первой, заключается в том, что при этом задача
88 Оптические приборы[Оя
отклонения лучей распределяется между обеими линзами в равнця
Если даваемое объективом действительное изображение страда!
магической аберрацией, то последнюю возможно устранить, пдМ
противоположным хроматическим отклонением в окуляре. Выше, на^И
мы видели, что объективы апохроматы дают хроматическую тЯ
увеличений: синее изображение увеличено сильнее красного. АбИ
бинирует с такими объективами так называемые комненсационнЯ
ляры; последние не ахроматизированы в отношении фокусного рИ
вия, а, значит, и в отношении увеличения; они, наоборот, увелшИ
красное изображение сильнее синего. Я
г) Конденсор. Чтобы можно было полностью использоваЯ
сокую числовую апертуру объектива, падающие световые лучи Я
иметь достаточный наклон относительно оси. Для этого под объектИ
столиком микроскопа помещают конденсор, который состоит из я
или нескольких короткофокусных собирательных линз и построен
пости так же, как объектив, только линзы расположены в обратим
рядке. Как было показано выше (см. стр. 76), такой конденсор пе 1
повысить яркости источника света, но он производит такое действии
будто источник света сильно приближен к объективу. j
д) Ход лучей. Если нормальное увеличение (см. выше стр. 79)]
стигнуто, то зрачок глаза наблюдателя является выходным зрачко!
всего микроскопа, а даваемое всем микроскопом изображение r.d
зрачка — входным зрачком. Если же нормальное увеличение превзо!
то апертурной диафрагмой является диафрагма или край линзы mi
£копа. Апертурная диафрагма всегда лежит в объективе, а не в оку
рис. 39 относится к часто встречающемуся случаю, когда отверстие. —
полушаровой линзы объектива является одновременно апертурной
фрагмой и входным зрачком. Я
Даваемое всем микроскопом изображение В^ВЪ' представляет Я
выходной зрачок. Если длина тубуса не слишком мала, то вьл
ной зрачок лежит в задней фокальной точке окуляра. Изображен!
на рис. 39 окуляр представляет собой окуляр Гюйгенса; образуемое об!
тивом и коллективной линзой действительное изображение предмета Р:
будет Р^'Р^. В этом месте следует поместить диафрагму Й
зрения GG. Тогда поле зрения будет резко ограничено, потому что об
зуемое при этом коллективной линзой и объективом изображение приШ
дится в плоскости предмета РгР% (см. соображения на стр. 70). Точки Р/Л
должны совпасть с краями диафрагмы поля зрения. Тогда РгР2 пр!
ставляет собой величину поля зрения на стороне предмета. Даваем
глазной, линзой мнимое изображение РХ"Р2" действительного изобрази
ния Рг'Р/ есть то изображение, которое видит наблюдатель. Если о!
лежит на расстоянии <5 от выходного зрачка, то наблюдатель, глазнЯ
зрачок которого (см. стр. 70) должен помещаться на месте вых-щно!
зрачка В^В^, должен аккомодировать свой глаз на это расстояние. Не
начительным поднятием или опусканием всего микроскопа относителЫ
предмета РгР2 легко можно получить изображение Р^'Р^" на любо
желаемом расстоянии <3. Обычно д принимается равным 25 гм (таЗ
называемое расстояние наилучшего ви :епвя\
Микроскоп
89
39 изображены исходящие из Рх главный луч и краевые
; На РЙС точки Д вычерчен только главный луч, краевые лучи даны
куч*- глазной линзы.
БозаДЧу в е л и ч е н и е. Пусть величина (поперечная) предмета будет у.
Р е) у ^7) на стр. 29 объектив будет давать действительное изоб-
ие величины у' = Уу~, где fx обозначает заднеефокусное рас-
“ пие объектива, / — расстояние изображения от задней фокальной
сТ и объектива. Так как по вышеизложенному это изображение у‘ ле-
1045 около самой коллективной линзы окуляра (сзади или спереди), то при-
®^жеяио за I можно принять длину всего микроскопа (длину тубуса)..
।
Рис. 39.
Даваемое окуляром мнимое изображение будет также на основании выше-
^веденной формулы(7) иметь величину?/" =«/'у, где f2 обозначает
3anJCftОе Расотояние окуляра, а 3 — расстояние мнимого изображения от
выше Фокальной точки окуляра. Так как последняя, как было указано
т0 3’/сжит близко к зрачку выхода, т. е. также и к глазному зрачку,
ц ° можно принять расстояние изображения от глаза.
этому общее увеличение микроскопа V будет:
г/ У" Ъ'1
~ У
(5)
СВ[Онных'1^аее и переднее фокусное расстояние необходимо различать только в иммер-
Састемах.
90 ‘ Оптические приборы[Отд.
Но заднее фокусное расстояние f всего микроскопа по формуд|
на стр. 36 определяется х) как
. fi /2
7 i ’
потому что оптический интервал Л между объективом и окуляром
близительно равен длине тубуса Z; вследствие этого уравнение (5) |
переписать (не принимая во внимание знак) в таком виде:
у =Д
У f j
Таким образом увеличение зависит от трех множителей, которыми Mil
распоряжаться свободно, а именно от fi, и I. Для удобства пол J
ния микроскопом длина тубуса не должна превышать определеи
размеров; на практике предпочтительно для достижения большего ум
чения не увеличивать Z, а пользоваться более сильным окуляром. Да
обычно выбирают фокусное расстояние объектива гораздо меньше фм
ного расстояния окуляра. Благодаря этому, с одной стороны, рази!
объективных стекол будут н при высокой числовой апертуре относии
но малы; с другой стороны, при заданном общем увеличении добит
определенного качества изображения (на оси) можно тем легче, чем
роче выбрано фокусное расстояние объектива. Но так как с умены
нием фокусного расстояния объектива возрастают (вне оси) недоста
последнего изображения, даваемого окуляром, то уменьшение Д' т
должно иметь определенные границы (от 1,5 до 2 мм в пммерсиои
системе).
ж) Разрешающую силу не следует смешивать с увеличением/*
при некоторых обстоятельствах микроскоп с меньшим увеличением моя
обладать большей разрешающей силой, т. е. может открыть наблюдите
больше деталей предмета, чем микроскоп с большим увеличением. Рай
шающая способность обусловливается главным образом конструкц!
объектива; содержание или деталировка даваемого им изображения завис[
(см. выше стр. 80), с одной стороны, от числовой апертуры объекти!
с другой стороны — от величины кружков рассеяния, возникающС
вследствие того, что ход лучей не строго гомоцентричен. Если рассмза
ривать две точки Рг и Р2 объектива, для которых кружки рассеян!
в изображении объектива не накладываются друг на друга, то они мог1
восприниматься глазом как две отдельные точки или два отдельных кружД
при условии, если окуляр увеличил их взаимное расстояние в изобра
жении, даваемом объективом, по крайаей мере до границ угла зрения (1'1
Если же кружки рассеяния в изображении объектива накладываются
друг на друга, - то даже самый сильный окуляр не сможет оптическ^
разделить точек Рг и Р2. Таким образом для каждого определенного объей|
тива существует такое окулярное увеличение—так называемое не о б х о ди;
мое окулярное увеличение, — которое как раз достаточно для того, чтобь!
вполне рассмотреть детали в изображении, даваемом объективом. Пр!
!) Для окуляра — fi.
Микроскоп
91
= 1
20’
2 мм.
-------------_----------------------______----------------------
увеличении можно, весьма вероятно, рассмотреть эти детали
одь1®6 H0J новых деталей в изображении не прибавится; тогда говорят
F^cToM увеличении. По фокусному расстоянию объектива, длине ту-
I 11 необходимому фокусному расстоянию окуляра вычисляют по фор-
|Уса /п необходимое увеличение. Оно будет, следовательно, тем больше,
Е^больше разрешающая сила объектива.
Г Представим себе диоптрически совершенный объектив; тогда необхо-
е общее увеличение будет зависеть только от числовой апертуры
Ял сих пор последняя (в иммерсионных системах) не превосходит значения
№ 1 б.Отсюда по формуле (87) на стр. 81 наименьшее расстояние d, ко-
’можно разрешить оптически, будет:
т Л 0,00053 мм л ЛЛЛ4 р
d — — — — = 0,00016 мм,
&CL
ШИ за длину волны А будет принято значение А для зеленого цвета г).
На расстоянии 3 ~ 25 см от глаза под углом зрения 2', т. е. под пре-
дельным углом различения, виден отрезок d' = 0,145 мм. Так каке?': d —
= 905, то необходимое общее увеличение микроскопа равно приблизи-
тельно 900. Из-за диоптрических недостатков объектива оно еще несколько
понижается. По формуле (85) на стр. 79 в этом случае отношение яркости
изображения к нормальной яркости будет:
— ё2'а2 — / 250-1,6 \2
p*-V2 ~ \ 2-900 /
если радиус р глазного зрачка принят равным
з) Экспериментальное определение увеличения и чис-
ловой апертуры. Для определения увеличения употребляют в каче-
стве предмета тонко вычерченную на стекле шкалу (микрометр), изобра-
жение которой зарисовывается с помощью рисовального аппарата, наса-
женного на окуляр, на листе бумаги, находящейся от глаза на расстоянии
*5 см. Аппарат для зарисовывания в простейшем случае состоит из не-
олыпого наклонного зеркала, в центре которого снят серебряный слой,
ак> чтобы получилось небольшое круглое отверстие диаметром около
квп^^' ^е₽ез отверстие видно даваемое микроскопом изображение; в то же
ХамМЯ В зеРкало глаз видит бумагу. Отношение расстояний между штри-
Увелич1ИЕР°МеТРа На РИСУНК6 К Расстояниям их в самом приборе дает
Увеличение и измеряя выходной зрачок микроскопа, можно легко
Жени1 ег° деловую апертуру а. Так как отношение яркости изобра-
-^Д^к^нормальной яркости, как показано было раньше (см. выше
с
К0Р°ткце Уменьшением d можно иойги еще дальше, если взять для освещения совсем
^ейству_ ' Льтрафиолетовые волны, которые вообще уже не действуют на глаз, но
MikroX* на фотографическую пластинку. По этому пути пошел Kohler (ZS. f. wiss.
^евяетСд В, ^S99). Объчктив (монэхромат) изготовлен из плавленого кварца. При-
•скровы* г">ет с длиной волны от Я ~ 0,275/л до О,28О/г, получающийся с помощью
*РоматОй ‘ зрядэв между кадмиевыми или магниевыми электродами. Так какумоно-
йМео С Инородной иммерсией а доведено почти до 1,?,то для предела разреше-
м d = о 106/z = 0,000106 мм.
г
92 Оптические приборы [Отд. Щ
стр. 78), равно отношению выходного зрачка к глазному зрачку,
уравнения (85) на стр. 79 следует:
Е_ _ Ьэ _ д2 а2
Ео ~ р2' “>272’
где Ъ обозначает радиус выходного зрачка; Таким образом чи&|
апертура получается из:
Если подставить сюда для V значение из уравнения (7), т$
лучим:
a — b’.f,
т. е. числовая апертура равна отношению радиуса |
ходяого зрачка к заднему фокусному расстоянию в ci
микроскопа. -1
Сконструированный Аббе апертометр позволяет непосредственно из
рить числовую апертуру одного только объектива. j
4. Астрономическая труба. Астрономическая труба, так же ка|
микроскоп, состоит из двух сложных частей: объектива и окулС
Первый дает в своей фокальной плоскости действительное, обра?
изображение очень удаленного предмета; это изображение увеличивав
окуляром, действующим как лупа. Если глаз наблюдателя аккомодиро^
на бесконечность, то передняя фокальная плоскость окуляра совпав
с задней фокальной плоскостью объектива, и мы имеем «телескопически
систему в прежнем смысле (см. стр. 34); при этом для бесконА
удаленных предметов получаются и бесконечно удаленные изображен
Под увеличением Г понимают в таком случае отношение тангеп
углов зрения у объектива и окуляра. Но по формуле (24) на стр. 3<
r = tgM':tgw= (
где является фокусным расстоянием объектива, /2 — фокусным р|
стоянием окуляра. Таким образом, чтобы получилось большое увеличений
fi должно быть велико, а /2 — мало.
Увеличение можно определить экспериментально, зная отноше^
входного зрачка прибора к выходному зрачку. В самом деле, соглас
данным ранее выводам (стр. 34) в -телескопических системах лиШ
ное увеличение постоянно, т. е. не зависит от места предмета; по в
шеприведенной (стр. 35) ф-ле (16') увеличение равно обратной величй
углового увеличения. Входным зрачком при этом является (не приниМ
во внимание глаза наблюдателя, подробнее см. ниже) край объектива
системы, выходным зрачком — получаемое от края через окуляр де'
ствительное изображение (глазной кружок). Если при этом измерй
микрометром диаметр этого глазного кружка, то его отношение к диамет;
объектива будет равно относительному угловому увеличению телескопа!
> *аМ,/Ля обЩ,НОСти различаются друг от друга передние и задние фокусе!
Рас // J1 'ЪЛ /1 » / 2 и Д'). Здесь в этом нет необходимости, так каку труб всеч|
/1 — /1 , /а — /2 (см. выше стр. 41)
93
Галилеева труба
hjb—---------------------------------------------------
f ЙС 40 изображен хот лучей при окуляре Рамсдена (см. выше
' S7) — входной зрачок (край объектива), В/В2' — выходной
сТР’ к (внутренний край крышки окуляра), Рг — даваемое объективом
заявительное изображение бесконечно удаленной точки В. Главный луч
^начерчен жирно, краевые лучи — тонкими прямыми. Рг лежит не-
вГ°лько спереди коллективной линзы окуляра. В этом же месте поме-
сК°ется диафрагма поля зрения GG. Тай как ее изображение в простран-
нее предмета лежит на бесконечности, то при рассматривании очень
удаленных предметов поле зрения будет резко ограничено. Р' представ-
ляет собой бесконечно удаленное изображение, даваемое окуляром от
Если принять во внимание глаз наблюдателя, то следует различать два .
сдучай, когда выходной зрачок прибора меньше и когда он больше
глазного зрачка \т. ?. перешли мы или нет за нормальное увеличение).
Предыдущие соображения остаются справедливыми только в первом случае,
так как в последнем случае глазной зрачок является выходным зрачком
для всего хода лучей, и даваемое трубой изображение глазного зрачка
является входным зрачком.
В качестве объектива служит ахроматическая двойная линза, исправ-
ленная на сферическую аберрацию. Для ахроматизацпи окуляра должно
соблюдать тс же условия, какие были выше указаны для* микроскопа:
если падающие на окуляр главные лучи почти параллельны оси, то
Достаточно ахроматизировать фокусное расстояние окуляра. Поэтому для
проскока и телескопа можно пользоваться одними и теми же окуля-
рами; однако в последних в большинстве случаев употребляется окуляр
амедена, так как он удобнее для микрометрического измерения изобра-
(см. выше стр. 87).
неоо Сь’ так же как 11 в МИЕР0СЕ0Пе’ сохраняют значение понятия
фТв ХоДнмого и пустого окулярного и общего увеличения. Свободное
(см ₽Стие объектива играет здесь роль числовой апертуры микроскопа
‘^ыше стр. 80).
в°мич труба. Если заменить собирательный окуляр астро-
Чтобг,6^0^ трубы рассеивающим окуляром, получается галилеева труба.
°куЛяп Получилась телескопическая система, задняя фокальная точка
образо\? Д°лжна совпадать с задней фокальной точкой объектива. Таким
а раз3 Д’итпа телескопа равна не сумме (как у астрономических труб),
°Сти фокусных расстояний объектива и окуляра.
94
Оптические приборы | Отд
Здесь также применима формула (И) этой главы для угловог!
личения Г, так как эта формула годится для всякой^ телескопа
системы. Но, в противоположность астрономической трубе, эта тру|
прямое изображение, так как даваемое объективом обратное пзобра|
переворачивается еще раз рассеивающим окуляром. j
Если не принимать во внимание глаз наблюдателя, то входны^
ком прибора был бы всегда край объектива. Окуляр дает его м
уменьшенное изображение (выходной зрачок) перед окуляром. Р
зрачка равняется:
где представляет собой радиус объектива.
Так как этот выходной зрачок лежит перед окуляром, а не позади
то зрачок глаза наблюдателя не может с ним совпасть. Поэтому зр
глаза действует как диафрагма поля зрения, если определяемая по ।
муле (12) величина Ъ, а .именно выходной зрачок прй
меньше зрачка глаза, т. е., если превзойдено нормальное увеличу
Поэтому при "сильных увеличениях поле зрения очень ограничено. К это!
случаю хода лучей относится рис. 41;' пр обозначает зрачок глаЯ
w' — угол поля зрения в изображении. Так как даваемое всей труба
изображение диафрагмы поля зрения (зрачка глаза) лежит на конечн|
расстоянии, а не на месте предмета в бесконечности, то поле зрения npej
ставлястся очерченным не резко (см. выше стр. 70).
Если же выходной зрачок = 26 прибора больше зрачка глаз^
т. е. если не достигнуто нормальное увеличение, то зрачок глаза наблК
дателя является (со стороны глаза) выходным зрачком для всего хоД
лучей, и отверстие объектива действует как диафрагма поля зрения; по!
зрения со стороны изображения ограничено изображением 2Ъ (на ри<
42 оно обозначено через В/В2') отверстия объектива. Следовательно,.
этом случае можно увеличить поле зрения, выбрав достаточно болыпй
объектив. Однако по тем же причинам, что и раньше, границы поля ]
здесь не резки. Рис. 42 относится к этому случаю хода лучей,- w' пред
ставляет собой угол поля зрения со стороны изображения. *
95
Призменный бинокль
------------------------------------------------------------
и принять радиус зрачка глаза равным 2 мм, то по формуле (12)
I $ «мрть место ход лучей или рис. 41 или рис. 42, в зависимости.
7г ^2Г мм;
Р
Рис. 42.
имер ПРП восьмикратном увеличении критической величиной объ-
’ &тива является 2 7г, = 32 мм.
,eS 6 Земная труба. Для рассматривания земных объектов желательно,
обы зрительная труба давала прямое изображение. Если увеличение не
должно быть очень силь-
5ым то рекомендуется
пользоваться галилеевой
трубой. Но так как
эта последняя при силь-
ном увеличении имеет
очень малое поле зрения,
го для сильных увеличе-
знй удобнее так называе-
мая земная зрительная
груба, представляющая со-
юй астрономическую тру-
iy с окуляром, перевора-
[ивающим изображение. Действие системы при этом таково: объективная
[инза дает обратное, действительное изображение предмета. Собиратель-
ой системой (состоящей из двух линз) это изображение, без существен-
ого изменения увеличения, переворачивается; получающееся таким обра-
ом прямое изображение увеличивается окуляром Рамсдена или Гюйгенса,
действующим как лупа и дающим пря-
мое, мнимое изображение.
7. Призменный бинокль. Земная
труба неудобна вследствие своей зна-
чительной длины. Этот недостаток мож-
но устранить, переворачивая даваемое
объективом изображение с помощью
четырехкратного полного внутреннего
отражения от двух прямоугольных сте-
i ИС.
клянных призм, расположенных как
показано на рис. 43 (система призм
Даи) Порро). Выходящий луч параллелен па-
тель ыо ПОЛУЧНЛ боковое смещение. В остальном конструкция зри-
яой трубы такова же, как у астрономической.
укот)(?СТавляя призмы I и II друг от друга, можно достичь значительного
междуе511я зрительной трубы, так как луч света проходит расстояние
—~<^Ркзмами трижды. При несколько ином расположении и разрезе
исходит гС1)еРзментельно оба эти случая можно различить, смотря по тому, что про-
Ним частичном диафрагмировании объектива с помощью помещенной перед
и^тьсяД, агмой: будет убывать только яркость изображения или будет также умень-
Од-‘ зрения.
96 Оптические приборы [От|
призм можно произвольно увеличить боковое смещение выходящей
относительно падающего. По этому принципу можно сконструЗИ
двойную (бинокулярную) зрительную трубу, в которой расстоявЛ
ных зрачков (объективных линз) во много раз больше, чем paql
между зрачками глаза. Это сильно увеличивает стереоскопический J
связанный с рассматриванием ландшафта двумя глазами. я
8. Зеркальный телескоп отличается от диоптрического тем, ч|
ствительное изображение предмета дается не объективом, а воя
зеркалом. Это изображение рассматривается глазом посредством оку!
системы, различной в различных конструкциях. Зеркальные тел!
имели прежде особенно большое значение, пока не умели еще и|
лять ахроматических объективов, так как понятно, что вогнутые зя
не имеют хроматической аберрации. Последнее время они снова, 1
димому, входят в употребление г). ]
Для получения возможно более сильных увеличений следует щ
ваться большими зеркалами с большим радиусом кривизны. Ге]
построил колоссальное зеркало с( радиусом кривизны в 16 м1). Та
солнце видно под углом 32', то даваемое этим зеркалом действии
изображение солнца имеет величину около 7 см.
!) См. О. Eppenstein, llandbuch der Physik (Geiger и Scheel) 18, 573, 1927*
П. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
Г Л А В A I.
СКОРОСТЬ СВЕТА *).
1 Сноссб Рёмера. Вопрос о том, обладает ли свет конечной скоростью
Ьаспространения, имеет большое принципиальное значение. Метод
Кделения скорости света в земных условиях, примененный впервые
Галилеем, не привел к цели, вследствие огромной величины скорости
света' при небольших расстояниях, какие имеют место в этих методах,
требуется применение очень утонченных экспериментальных средств.
Большим успехом увенчались раньше других астрономические методы,
'использующие большие расстояния между небесными светилами. Первое
определение скорости света было произведено Олафом Рёмером в 1675 г.;
он наблюдал, что промежутки между последовательными затмениями
спутника Юпитера в том случае, когда Земля при своем движении по
1рбите удалялась от Юпитера были несколько больше, чем тогда, когда
она к нему приближалась. Это изменение промежутков между затмениями
можно определить очень точно, увеличивая число наблюдений следующих
друг за другом затмений. Сложив все промежутки между двумя последо-
вательными затмениями от момента противостояния Земли и Юпитера до
момента соединения обеих планет, Рёмер нашел, что эта сумма отлича-
ется на 996 секунд от того промежутка времени, который мы получим,
если умножим среднюю вычисленную величину промежутка между за-
тмениями за целый год на число наблюденных промежутков. Уже Рёмер
истолковал эту разность как результат конечной скорости распространения
®ета- Согласно этой точки зрения свету понадобится 996 секунд, чтобы
роити диаметр земной орбиты. За наиболее вероятное значение этого
(Рсмежутка времени в настоящее время принимается число 2г = 1001,6 ± •
<4 сек., полученное Глазенапом как среднее из ряда данных различ-
ных наблюдателей.
опРеДеления радиуса земной орбиты необходимо знать радиус
ниден В -?ак называемый солнечный параллакс е, т. е. угол, под которым
(по т с Солнца радиус Земли. За наивероятнейшее значение этого угла
так ^Гонометрическим данным) принимается число 8",806 Нг. 0,003, и
орби-п^Радиус Земли г равен 6378,355 км, то для радиуса земной
имеем
18.9- .6O--.g = 149 402 -105 км.
-ТГ 1
г __ 6378,355
—sin е 8",806
1)
^andbuch 1 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit in ruhenden Korpern.
der Experimentalphysik (Wien u. Harms) 18, 3, 1928.
i-j ste
100 Скорость света[ОтД
Подставляя вместо t число 500,8, получаем для скорости све|
V == = 298330 км/сек = 2,9833• Ю10 см/сек. I
♦ 1
2. Способ Брадлея. Предположим, что световой луч от бея
удаленного источника света Р попадает в глаз наблюдателя, 1
через два отверстия 8г и расположенные последовательной
трубы В. Если труба начнет перемещаться параллельно самой!
скоростью v, перпендикулярной' оси трубы, то, если на прох«
трубы В свету необходимо конечное время, световой луч, пройдя
отверстие Slf уже не попадает точно в отверстие 82. Наблюдатель и
источника света Р больше видеть не будет. Чтобы снова увиде
он должен повернуть трубу В на угол t относительно ее перво!
ного положения, так чтобы визирная линия на Р казалась пове]
на угол С в направлении движения наблюдателя, причем
tg£ = v: V,
где V есть скорость света. Я
Эти соображения дают возможность объяснить открытую Бра!
в 1727 г. аберрацию неподвижных звезд; вследствие этой аберд
положение неподвижных звезд, если направленный на них луч зрея
направление движения Земли перпендикулярны друг к другу, окам
ется смещенным в сторону движения Земли на небольшой угол, кот!
по новейшим определениям принимается за 20",47 ± 0,01. Так!
скорость движения v Земли по орбите известна, если известна вели!
земной орбиты, то из уравнения (1} для скорости света получаем:
299700 ± 250 км/сек.
Этот метод страдает той же неточностью, как и метод Рёмера, кай
все вообще астрономические методы; ошибка коренится в неточном знай
величины ^солнечного параллакса и, значит, земной орбиты. 1
Полученный результат хорошо совпадает с результатом, получения
по методу Рёмера; это показывает справедливость той предпосылки, 1
самим световым лучам при прохождении их через движущийся с земл
воздух не сообщается боковой составляющей скорости. Однако так проб
объяснить аберрацию исчерпывающим образом нельзя. Согласно вый
изложенному следовало бы ожидать; что аберрация должна увелич!
ваться, если рассматривать неподвижную звезду в зрительную труб!
наполненную водой, потому что, как мы увидим ниже, скорость света!
воде меньше, чем в воздухе. На самом же деле аберрация не зависит 4
среды, заполняющей зрительную трубу. Для объяснения этого явленй
необходимо произвести более точное исследование влияния движенй
тела на происходящее в нем распространение света. Это будет сделан
ниже. Здесь надо только еще отметить, что с помощью астрономическо!
аберрации определяется скорость света в мировом пространстве, т. е. *
пустоте.
Способ Физо
101
Ш гпособ Физо. Первый метод определения скорости света в
I условиях был успешно применен Физо в 1849 г. Собирательная
изображение источника света Р; на пути лучей наклонно
0* № етеклянная пластинка Р’ (рис. 44), по отражении от которой
fefoT Р собираются в точке /, находящейся в фокусе линзы Па-
Е ильный пучок лучей, выходящий из линзы Lp падает на располо-
Ьйтю я» большом расстоянии <8,6 км} собирательную линзу Ь2, дающую
Курительное изображение в точке s, где помещено вогнутое зер-
Fjo центр кривизны которого совпадает с центром линзы Lz. Это
s отражает затем лучи по тому же направлению, по которому
нему пришли, так что отраженные лучи дают действительное изо-
||равеяие также в f. Это изображение наблюдается через окуляр о и
Рис. 44.
через поставленную под углом пластинку Р'. В том месте, где получается
действительное изображение /, помещают край зубчатого колеса, дей-
ствующего таким образом, что свет свободно, проходит через промежутки
между зубцами, но задерживается самими зубцами. При вращении зуб-
чатого колеса с небольшой скоростью изображение будет попеременно’то
появляться, то исчезать. Если вращать колесо быстрее, то, вследствие
Длительности светового впечатления, изображение будет видно без пере-
рыва. Однако при дальнейшем повышении скорости вращения колеса
пзображение постепенно снова исчезает, и именно тогда, когда за проме-
жуток времени, потребный для того, чтобы свет мог пройти расстояние
т Юркала и обратно, зубцы и промежутки поменяются местами. При
|Двоевной скорости вращения наступит опять максимальная яркость, при
— темнота и т. д. По скорости вращения колеса, по количе-
скоп ег° зубцов и п0 расстоянию между f и s можно легко вычислить
пени Е света- Фи*30 пользовался колевом с 720 зубцами. Первое затем-
L п J?acTynn.io при 12,6 оборотах в секунду. Так как расстояние между
э равнялось <8,633 км, то отсюда для скорости света получается
р^ЗЗОО км/сек.
меппгЛвЬ|10е затруднение этого метода заключается в получении равно-
°** скорости вращения и в измерении последней.
102 Скорость света [Отд.,
Корню (1871, 1874), уточнив измерения и увеличив -расстцЯ
22,8 км, получил в среднем число 299450 ± 100 км[сек. ПерротаЯ
увеличил расстояние еще больше (до 46 км) и получил 299880 ± 80 я
4. Способ Фуко. Идея этого способа принадлежит Араго; здесЯ
работать на самых незначительных- расстояниях. По многим пД
этот метод оказался чрезвычайно важным для оптики. Источник с|
посылает лучи через поставленную под углом пластинку р (рис?!
вращающемуся зеркалу т. При соответствующем положении зерна!
следнее отражает лучи через поставленную вблизи линзу L та^ш
действительное изображение источника света Р получается в мес^Н
положения удаленного на большое расстояние D вогнутого зер^М
центр кривизны которого совпадает^Д
р'\р" ложением т. Это зеркало $ отражае^^В
£ _______А____________w кР ио тому направлению, по которому
/х j ~ нему пришли, если за время, которЯ
надобилось свету, чтобы пройти раЯ
L ние 2D, зеркало т не переменило заЛ
своего положения. В таком случае Л
отразившиеся от зеркал т и $ и от Л
/ лянной пластинки у?, дадут изображен™
" источника света Р. Если же за вЛ
Рис. 45. которое понадобилось свету, чтобы прв
расстояние 2D, вращающееся зеркало®
вернулось на угол а, то отраженный от т луч отклонится на угоЯ
относительно первоначального положения падающего луча и после о®
жения в р получится смещенное в сторону изображение Р" псточв!
света Р. Зная отклонение Р'Р", скорость вращения зеркала т и а
стояния D и d можно, очевидно, найти скорость света. I
Возьмем Л — 1 м, D = 4 м, и пусть зеркало т делает 1 000 а
ротов в секунду; тогда смещение Р'Р" будет равно 0,34 мм. Фуко ъ
личил расстояние D от 4 м до 20 м путем многократных отраженийЛ
пяти несколько наклоненных друг относительно друга зеркал. Л
В принципе этот метод менее выгоден, чем метод Физо, так как здЛ
кроме числа оборотов необходимо измерение весьма малого смещения Р'Л
Майкельсон (1878—82), путем увеличения расстояния D (до 600 Я
значительно повысил точность метода, благодаря чему при умерен™
числе оборотов (около 200 в секунду) он достиг сильного смещени
Р'Р" (до 13 см). При расположении Фуко расстояние D не может бы®
очень большим, иначе пришлось бы брать зеркало s огромных размеров
Действительно, хотя при произвольно большом D и малой величине зеи
кала s всегда можно получить изображение от какой-нибудь точ^
источника света, но если эта точка лежит несколько сбоку в Pv 1
главный луч, который идет от Рг к центру т, после прохождения черв
линзу L пойдет наклонно к ее оси и может не попасть на зеркало, ЕсХ
же изображение будет получаться только от одной точки Р источник!
света, то света будет слишком мало. Майкельсон устранил это неудобстве
поместив линзу L не в непосредственной близости к вращающемус
зеркалу, а отодвинув ее на фокусное расстояние. Благодаря этом
103
Новейшие определения
____
\ ые лу^и, иДУщие от боковых точек источника света, после прохожде-
х через Д будут также параллельны оси; поэтому можно выбрать
г а расстояние Ь и для отражения пользоваться плоским зеркалом $,
еНДИКУлЯРяым к оси ЙРИ этом достаточно, чтобы зеркало имело
,e?0sy отверстия линзы. Из ряда измерений Майкельсон получил:
V == 299864 i 50 км/сек.
Ньюкомб (1882), пользуясь этим же методом, получил близкое число
299860 ± 30 км/сек.
г о. Новейшие определения. Через сорок пять лет после этих опытов
Иайкельсон привел, наконец, в исполнение давно задуманное новое опре-
деление скорости света но оригинальному способу, являющемуся остро-
умным соединением методов Физо и Фуко. На рис. 46 мы имеем схему
этого опыта. Главная установка была собрана на горе Вильсон в Кали-
форнии. Дуга интенсивного горения (так называемая дуга Сперри) бросает
свет на вращающееся восьми-
угольное зеркало (аа'). Враще-
ние производится с помощью
газовой струи; число оборотов
определяется сравнением его с
числом колебаний камертона,
питаемого сетью с усилитель-
ной катодной лампой. Далее свет
падает на параболическое зер-
кало D, а оттуда на вторую
станцию, на расстоянии около
35 км (на горе С. Антонио). Там
зеркал и возвращается к зеркалу аа'/ Это зеркало вращается с такой ско-
ростью (528 оборотов в секунду), что свет при вращении попадает на
соответственное исходному положение следующей по порядку плоскости
восьмигранной призмы его, употребляя таким образом на прохождение
пути туда и обратно 0,000236 еек.
Изображение источника света таким образом все время должно оста-
нься в покое. На самом деле все же наблюдается некоторое смещение,
^аЕ как трудно подобрать в точности подходящую скорость вращения
®₽кала; однако здесь оно играет роль поправочного члена и «может быть
гко измерено с точностью до 0,01 мм.
Ци " основе .метода лежит точное знание расстояния между двумя стан-
граф ’ ^то определение «линии Майкельсона» было произведено Топо-
всех Ческим управлением США с небывалой тщательностью, с учетом
кам» В°31К)жных посторонних влияний и ошибок; расстояние между мар-
ъ оказалось равным 35385,53 ± 0,05 м.
апцап^езультате этих новых измерений, продолжавшихся, с подготовкой
ность} СВЬ1ше пяти лет, мы имеем величину скорости света с точ-
0> Но много раз превосходящею все предшествующие:
f
3\;\
-Э-'
г Саи - Антонио
он отражается
ПЬСОН
Рис. 46.
от двух других вогнутых
F = 299796 ±4 км/сек.
104
Скорость света
Для сопоставления следует отметить, что для скорости распрос^
электрических волн (см. отд. III, гл. II.) получаются числа весы
кие; суммируя все результаты, имеем: 1
Наблюдатели: Год Метод Результат в км/сек Средняя ошибка Н i KMt сек В
Старые опыты: Майкельсон, Ньюкомб, Пер- ротзн .... 1879—1902 Физо, Фуко . 299870 30
Майкельсон . . 1925—1926 Фуко .... 299796 4 'М
Роза и Дорзей . 1907 Отношение электрических единиц . . . 299790 30
Мерсье .... 1922 Стоячие элек- трические волны . . . 299790 20 л 1 1 5
299800 ± 20 1 < Ld
Это число 299800 км/сек или 2,998 • 1О10 см/сек и следует
стоящее время считать наиболее вероятным значением скорости светЛ
Несмотря на огромную величину скорости света, в 900000 раз Д
восходящую скорость звука в воздухе, свету все-таки нужно доводИ
значительное время, чтобы преодолевать астрономические расстояния. чИ
мы видим, например, в методе Рёмера; солнечному свету требуЛ
8г/4 минут, чтобы дойти до Земли, но уже от самой близкой ненодвижи
звезды свет идет к нам несколько лет (например, от а Центавра»
33/4 года, от Сириуса —17 лет). Поэтому громадные расстояния миров!
пространства принято выражать в световых годах. j
6. Зависимость скорости света от среды и от длины волны. С1
рость света не зависит от яркости источника света. Это бь!
установлено очень чувствительными интерференционными опытами, п{
изведенными Липпичем (Lippich) и Эбертом (Ebert), а затем Даутом (DauW
По Дауту при изменении яркости света в отношении 1:290001
скорость его если и изменяется, то в пределах не более 10~У ее звЯ
чения. Напротив, скорость света несомненно зависит от среды, в котор!
свет распространяется. С помощью своего метода Фуко сравнил скорое!
света в воздухе и в воде. Для этой цели он пустил свет, отраженна
от вращающегося зеркала т по направлению к двум вогнутым зеркала
Яр $25 расположенным по обе стороны зеркала да, причем перед одни
зеркалом s2 помещалась наполненная водой трубка, длиной в 2 .и. Пр
этом оказалось, что при вращении зеркала т отраженное от вогнуто!
Групповая скорость
105
я s изображение получило большее смещение, чем изображение,
гР®аЛд3ое от Si> а эго является доказательством, что в воде свет рас-
^а?паняется медленвее, чем в воздухе.
м йкелъсон произвел количественное определение скорости света в
и сероуглероде; он нашел, что отношение скоростей в воздухе и в
авНо 1,33, а в воздухе и сероуглероде, при пользовании белым
^еРвое число соответствует в точности, а последнее —
сВЧлИ’женно (подробнее см. ниже) показателю преломления среды. Вол-
вая теория требует, чтобы этот результат распространялся на все
В°ла прир°Ды- Отсюда скорость света в воздухе, соответственно его абсо-
лютному показателю преломления nQ = 1,00029, должна быть несколько
меньше, чем в пустоте. Приведенная выше величина скорости света, по-
лучающаяся как среднее из ряда земных опытов, уже перечислена на
пустоту.
Так как у всех прозрачных тел показатель преломления для красных
лучей меньше, чем для синих, то можно ожидать, что скорости света в
одном и том же теле будут для различных цветов обратно пропорцио-
нальны их абсолютным показателям преломления, если скорость света
в пустоте не зависит от цвета. Это действительно и было непосредственно
показано Майкельсоном. Он нашел, что скорость красных лучей в воде
на 1,4%, в сероуглероде на 2,5% больше, чем скорость синих лучей.
Этот результат согласуется с дисперсией этих тел.
Возникает вопрос, нельзя ли заметить какое-нибудь различие в ско-
рости распространения света различных цветов в космическом простран-
стве. Однако ни при каких обстоятельствах подобных явлений обнаружить
не удалось; противоположные утверждения различных авторов основаны
на недоразумении 1).
7. Групповая скорость. При исследовании скорости света в среде с
большой дисперсией, например в сероуглероде, имеет значение одна
поправка, на которую впервые указал Рэлей (Rayleigh). А именно, как
мы увидим в следующей главе, явления интерференции приводят к пред-
ставлению, что световые явления обусловлены периодическим изменением
некоторой величины я, определяющей состояние в эфире или в соответ-
ствующем теле; принимая во внимание конечную скорость распростра-
нения, можно написать для этой величины я:
. 2л/,
Я=Л81П-^-\^—у/- (2)
плоЭта ^°РмУла является математическим выражением для так называемых
чае?Их ВСМП1, распространяющихся по оси ОХ со скоростью У; Т обозна-
назйаеРИоД изменения s во времени; от него зависит цвет; А — так
ск%?аемая аммитуда, от которой зависит сила света. Следует различать
нИд £гь распространения V отдельной волны от скорости распростране-
нрашр ц;8Л03 последовательности волн. Например, в методе Физо, при
зубчатого колеса, в определенном месте д на пути световых
и
о Ь е d е w, Astrophys. Journ. 29, 101, 1909; П. Н. Лебедев, Собрание
1913, 159.
106
Скорость света
[Отд.
лучей свет попеременно будет задерживаться или пропускаться. |
вимся на последнем случае. Ясно, что несмотря на большую J
вращения зубчатого колеса, вследствие крайней малости периода j
д проникает все-таки большое количество последовательных во|
опыте мы измеряем скорость распространения такого комплекс!
Происходящие при этом явления можно приближенно представит^
магически, если допустить, что здесь накладываются друг на
волны одинаковой амплитуды, но несколько различных периодов
и различных скоростей распространения Vr и П2. При этом полу«Д
. ( . 2л / х \ , . 2п ( , ж V! 9
s — А • |sm-y- р— yt— yjj— 9
= 2А • sm у — yjcos— х[yjf- — fl
где введены следующие обозначения: J
_i\ _L_=U_2_____।__
Т 2 TV 2\Т\\\ 1 7272/*
В таком виде формула (3) представляет собой распространение ।
с периодом Тис периодически изменяющейся амплитудой («биен
Период То изменения амплитуды определяется из уравнения:
1 _ _1__1_ •
т0 “ тг т2’
То определяется скоростью вращения зубчатого колеса и велике
сравнению с Тг и Т2. Поэтому должно отличаться от значений
весьма мало. il
Положим далее: J
ill.
t2v2-> I
тогда из формулы (3) вытекает, что в точке х == I максимальная амм
туда последовательности волн наступит на время I: U позднее, че!
месте х ~ 0. Поэтому U и есть скорость распространения группы вя
определяемая непосредственно по методу Физо. Будем кратко пазив!
U «групповой скоростью» в отличие от «фазовой скорости». ]
Положим Т2 = тг + dT\, Vz — Vt + dVy и ограничимся члена
первого порядка малости по отношению к dl\ и dV^ тогда из урав|
ний (5) и (6j получим:
ТТ — у (1 — —1 (
U — ГЦ1 dTj. <
В эту формулу можно, не изменяя степени точности, вместо г1\ и
подставить Т и F, т. е. период и скорость распространения отдельв
волны.
Формула (7) показывает, что скорость U группы волн, при ней
средственном наблюдении, несколько меньше скорости света И одно
какого-нибудь цвета, так как во всех прозрачных телах V возрастает,
увеличением Т. Однако для воздуха, вследствие малого значения dV:
Гипотезы о природе света
107
Гад
If я будет ничтожной; напротив, она будет довольно значительной
И»Р<да, обладающего большой дисперсией. Для него поправка
ыя се₽ ’ 7,5%. Тая как метод вращающегося зеркала,, как показывает
^Т0бнЫЙ анализ, также дает значение СТ, то теперь понятно, почему
цоДР°0 с0Я нашел скорость света в воздухе в 1,77 раз больше, чем в
^^глероде, хотя отношение их показателей преломления равно всего
се₽У Если увеличить 1,64 на 7,5%, то получим значение 1,76, близко
падают66 6 наблюдением Майкельсона.
1508 Метод Рёмера также дает групповую скорость (Uy, наоборот, астроно-
ическая аберрация дает непосредственно V. В этом случае однако не
наблюдается никакой разницы между обеими величинами, потому что
мировое пространство не обладает дисперсией либо вовсе, либо по край-
вей мере в заметной для нас степени, т. е. в нем V от цвета г) совсем
не зависит.
ГЛАВА II.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА 2).
1. Общие положения. В некоторых случаях удается наблюдать, что
наложение двух параллельных или почти параллельных пучков лучей
дает не усиление светового эффекта, а, наоборот, его ослабление, так что
наступает темнота. Такие явления называются интерференционными.
Следует различать два вида явлений интерференции, в зависимости
от того, испытал ли пучок на своем пути только правильные отражения
или преломления, или он отклонился от своего прямого пути вследствие
так называемой диффракции света. В этой главе будет рассмотрен только
первый случай; второго мы коснемся при разборе явлений диффракции.
Однако все же некоторые интерференционные явления, наблюдаемые при
помощи самых простых приспособлений, несколько видоизменяются диф-
Фракцией; мы их рассматриваем в §§ 3 и 4. В §§ 5, 7, 8 и 9 рас-
сматриваются явления чистой интерференции, т. е. такие, при которых не
происходит диффракции света.
2. Гипотезы о природе света. Представления о природе света и
связанные с ними математические формулировки с течением времени ме-
ялпсь много раз. До существования понятия о неразрушимости энергии
и фактор, обнаруживающий способность к переносу в пространстве
сма?0ЙСТВ0 сохРаняться при изменении условий его существования, рас
свет Вался каЕ неЕ0Т0Рая субстанция. Прямолинейное распространение
•3аДеп'П()Д'г1'еРживало такое представление о нем; действительно, свет можно
няете ть на его пути, но если нет никаких препятствий он распростра-
__ а по прямой все дальше. Естественно было рассматривать это свой-
пР*Мер ‘°лее подробный разбор групповой скорости и природы белого света см. на-
стр. книге Л. Шустер, Введение в теоретическую оптику. ОНТИ 1935,
Ж. Feussner и L. Janicki, Interferenz, Handbuch der physikalischen Optik
1. 316, 1927; А. Майкельсон, Исследования по оптике, пер. с англ.; А. Май-
‘ Световые волны и их применение, пер. с англ.
108
Интерференция света
[Отд. Ц
ство, как следствие инерции некоторого материального тела, j
Ньютон и выдвинул эмиссионную теорию света, по которой свет
из мельчайших материальных частиц, выбрасываемых с очень б
скоростью из светящегося тела и летящих через пространство по j
линии. Для объяснения* преломления приходилось допустить, чтя
преломляющие сильнее притягивают частицы света, так что в тот
когда такая частица в наклонном направлении подлетает к повеш
более плотной среды, она испытывает притяжение, которое увели^
значение нормальной к поверхности составляющей скорости и тем <
приближает направление ее пути к нормали, проведенной к поверг
в точке падения луча. Таким образом скорость света в преломля
теле должна быть больше, чем в окружающей его среде, обладай
меньшей преломляющей способностью. Уже здесь мы имеем дело св
дом, опровергающим эмиссионную теорию, потому что на стр. 105 мывм
что скорость света в воде, наоборот, меньше, чем в воздухе, — но даЯ
при объяснении с точки зрения эмиссионной теории явлений инт!
ренции, затруднения становятся колоссальными; можно даже сказатм
явления интерференции являются совершенно прямым подтверждД
существенно отличной гипотезы о природе света, а именно, развитой L
генсом волновой теории х). «
По этой теории свету приписываются свойства, весьма похожие
свойства звука: свет состоит из периодических изменений чего-то, кЛ
то величины, которые происходят, когда через тело (или пустое проси
ство) проходит свет; эти изменения распространяются с конечной Л
ростью так, что если их представить геометрически в виде отрея
расположенных на пути светового луча, то их конечные точки в Л
торый момент времени должны лежать на волнообразной кривой. . 1
Пока мы можем совсем не касаться вопроса о том, что представ!
собой эта величина я, периодические изменения которой составляют с|
ность света. В так называемых механических теориях света пространя
мыслится заполненным разреженным упругим веществом, эфиром, я
истолковывается как сдвиг частиц эфира из их положения равновеа
Однако пока такое специальное допущение нам совсем не нужно. Д
того чтобы аналитически представить то действие, которое источник св]
Q производит в любой точке Р пространства, через которое проходит св
достаточно выразить периодические изменения величины s в точке
формулой
где t обозначает время, а А, Т и <5 являются постоянными. А пр^
ставляет собой так называемую амплитуду, Т—период изменения вед
В настоящей книге разбираются преимущественно те явления, которые пахом
свое объяснение^ рамках волновой теории. Однако наряду с ними современная <И
зика знает целый ряд таких явлений (фотоэффект, линейчатые спектры, излучен
накаленных тел и многие другие), которые могут быть, напротив, объяснены исклюЯ
тельно с эмиссионном точки зрения, а с волновой точки зрения представляются *
понятными. Поэтому утверждения старой физики о единственной правильности вол^
вой теории в настоящее время уже не могут поддерживаться стой же категорй’
ностыо. Прим. ред.
Гипотезы о природе света
109
Иг^ Период меняется с цветом; от амплитуды зависит действие света
Вря# s' р g которой относится s, например; освещенность помещенного
г4*,тЭБ л&юбой теории света следует, что амплитуда А светового возмуще-
I спускаемого точечным источником, обратно пропорциональна рас-
1и у от источника света Q. Но так как опыт показывает, что
сТ°Я0енность обратно пропорциональна г3 (см. выше стр. 71), то отсюда
освеП1еТ что освещенность можно измерять квадратом амплитуды *). Коэф-
^иент пропорциональности зависит от выбора единиц; его можно положить
йввым единице и писать
F Е=А\ (2)
Если свет от точки Р идет к точке Р', удаленной от нее на рас-
стояние г, со скоростью V, то для того, чтобы пройти расстояние г, ему
потребуется время Г — г: V. Таким образом, если состояние света в Р
дается уравнением (1), то в точке Р' оно будет даваться уравнением:
s' — A' sin + (3)
потому что s' будет находиться в той же стадии колебания (например в
нулевом положении), как s в точке Р, на промежуток времени ~ позже.
Колебательное состояние, т. е. аргумент периодической функции, нази-
дается фазой света.
Если от светящейся точки Q свет распространяется равномерно во все
стороны, то очевидно, что положение (3) справедливо для всякой точки
Р', лежащей от Q на расстоянии г. Таким образом на любой шаровой
поверхности, описанной около Q как около центра, все точки имеют
одинаковую фазу. Такая поверхность, проходящая через точки с одина-
повыми фазами, называется поверхностью волны. Поверхности распро-
страняющихся от светящейся точки Q волн являются концентрическими
даровыми поверхностями; исходящие из Q световые лучи являются ра-
диусами этих шаровых поверхностей и, следовательно, направлены к ним
я°рмально. Чем дальше от Q, тем более плоскими становятся поверхности
В()лновые и тем параллельнее становятся световые лучи.
ноет*) так°му же выводу мы приходим и по электромагнитной теории: здесь плот-
ског ЭаеРгии в данной точке пространства пропорциональна квадрату электриче-
отдЛ ит магнитного напряжения (или его амплитуды) в той же точке (см. ниже
«отОк гл‘ I’ § В свою очередь с этой величиной тесно связан световой
стр а следовательно и производные величины— освещенность и яркость I (см. выше
• Отсюда получается соотношение (2). Следует отметить, что в явлениях диф-
ос*11 И интерференции нас интересует исключительно относительное распределе-
®е1Ценности (и яркости) на экране, по отношению к некоторому максимальному
*Юта0?10’чем еще более оправдывается знак равенства в (2). О вычислении абсо-
Учения в этих случаях см. Einfiihrung in die Beugungstheorie der optischen
ДрУги^ 611te, Handbnch der Physik {Geiger u. Scheel) 21, 22, 1929. Друде (подобно
термиааавт°Рам до 1930 г.) пользуется вместо указанных выше терминов различными
отмет^Л® — интенсивность, действие, сила света. В тех случаях, когда важно только
будем гь’ что мы имеем дело с действием, измеряемым квадратом амплитуды, мы
корить об энергии. Прим. ред.
s' — A' sin
110 Интерференция света[Отд. Ц
Таким образом параллельный пучок лучей связан с плоскостям
мальными к лучам и параллельными между собой (плоскости i
Такие волны поэтому называются для краткости плоскими волнак
возникают в том случае, когда источник света Q удален на бе
ность, или когда Q находится в фокусе собирательной линзы, бл;
чему исходящие из него лучи становятся параллельными.
Если ввести обозначение
Т7=Я,
то уравнение (3) переходит в
г
1
т. е. в определенный момент времени, s' является периодической Л
дней г с периодом Я. Этот период Я, через который, следовательно, в кя
нибудь определенный момент времени повторяются все возможные Л
называется длиной волны света. |
В нижеследующей табличке приведены длины волн Я (в воздухе)!
различных областей колебаний, от электрических волн (длиною в!
сколько километров), применяемых в радиотелеграфии, до самых коров
космических лучей; также приводятся длины волн некоторых спектр]
ных линий, которыми часто пользуются в физических исследован!
Наиболее употребительные единицы измерения в видимой и с'Ц
ных областях: 1/z == 10~3 мм\ 1 ту, — 10 ~3 р — 10“6лш; 1Д (онгстрел
= 10~£ та — 10“7 мм — 1 X = 10 3 А= 10-11сж.
Род лучей
Длины волн ' HncJi
(от — до) I октав
Лучи: Герца.............................
Инфракрасные лучи.......................
Видимые лучи............................
Ультрафиолетовые лучи (кварцевая оптика) .
Ультрафиолетовые лучи (вакуумные приборы) .
Лучи Рентгена...........................
Лучи гамма (у)..........................
Космические лучи
I 1
4 км — 0,345 -ч.ч 24 |
345 [л — 0,76 |л j 9 .1
760 тр. — 400 тр- ! <1 11
4000 А — 1850 A i 7 1
1850 А —40 А | >5
20 А — 0,07 А I > 8
(20 ОООХ — 70Х) I
70Х — 5Х 1 4
о,IX ; — :
Желтая линия Na (1\1)2)
Желтая линия Не :
Красная линия водорода На . . , "
Голубая линия водорода -Нр . ’ " ’ ’
Фиолетовая линия водорода Нт ’ * *
Красная линия кадмия . \ "
Зеленая линия ртути
Длины волн некоторых спектральи!
линий в А
5896,15; 5890,18
5875
6563,05
4861,50
4341
6438,4696
5460,742
1) Октавой в акустике называется интервал
один имеет в два раза большее число колебаний,
меньшую длину волны.
между двумя тонами, из котор!
чем другой, или, иначе, в два ра
Гипотезы о природе света
111
другая точка
одно и то же
увидим далее, волновая теория дает очень простое объясне-
JJa* № м интерференции. Напротив, объяснение прямолинейного рас-
* яВ ения света представляет существенные трудности; как раз аналогия
Ь>вГраВ тоже указывает на некоторое видимое противоречие, потому
Г звуком
пространяется не прямолинейно. Подробнее рассмотрены и
io 3в и/ будут эти затруднения только в следующей главе. Аналогия
Иа8ом приводит и к другим трудностям, которые волновая теория
г 38 ает при объяснении так называемых явлений поляризации; эти
t яости явились причиною того, что волновая теория долгое время,
отвя на пРостое объяснение ею явлений интерференции, не находила
признания; противоречия были устранены только после того, как
$® и отказались от слишком близкой аналогии со звуковыми явлениями.
К этому пункту мы также подойдем уже позднее. Здесь же необходимо
вкратце изложить, как с точки зрения волновой теории происходит пре-
ломление.
Пусть плоская волна падает на поверхность преломляющего тела
наклонно; тогда плоскость волны должна отклониться к нормали, восста-
новленной к преломляющей поверхности, если скорость распространения
света в теле меньше, чем в окружающей его среде: пусть это будет,
например, воздух. В самом деле, в тот момент, когда точка А падающей
плоскости волны лежит как раз па поверхности раздела,
В плоскости волны может лежать еще вне ее, в воздухе. Если теперь
^волна от А распространяется медленнее чем от В, то ясно, что плоскости
волн, соединяющие такие точки, к которым свет доходит в
время, должны надломиться при входе в преломляющее тело таким обра-
зом, что нормали к плоскостям волн (световые лучи) будут отклонены к
нормали, восстановленной в точке падения. Таким образом из волновой
теории в согласии с опытом вытекает, что скорость света в воде должна
быть меньше, чем в воздухе. Более точное определение положения
преломленных плоскостей волн будет дано ниже при рассмотрении прин-
ципа Гюйгенса, а с большей строгостью в главе I отдела III. Здесь
иы только отметим приводимый там важный результат: показатель пре-
ломления при переходе света из среды А в среду В равен отношению
коРостей распространения света в А и Б.
опти Ше на СГР' мы виДели, что основные положения геометрической
ц0 ЙЕи вообще могут быть объединены в принципе об особом пути лучей.
паг?еДСТавлениям волновой теории этот принцип получает особенно
т «Дн°е Ист°лкование: так как показатель преломления п тела относи-
ческий БоздГха обратно пропорционален скорости света в теле, то опти-
чте^Л ЯУТ1> nl пропорционален времени, которое потребуется свету,
лу^й й₽°®ти отрезок пути Z. Таким образом положение об особом пути
путй говорит, что свет идет между двумя любыми точками Р и Р' по
пути пп аДа1°щему тем свойством, что все бесконечно к нему близкие
слуЧэдГодятся светом в одно и то же время. Таким образом частный
прпнц^Ринципа кратчайшего светового пути выражается здесь как
Соота скорейшего прихода света.
Теории Бетственно этому принципу ход лучей с точки зрения волновой
®ожно представить себе следующим образом: из Р и Р' распро-
112
Интерференция света
[Отд. j
страняются по всем возможным путям элементарные возмущения.«
говоря, они попадают в Р' в различные времена, так что фазы.я
ных элементарных возмущений в Р’ не совпадают, и поэтому сЛ
суммарного действия не получается. Но таковое сейчас же появится
в'1 некотором бесконечно тонком пучке время распространения межЯ
Р' одно и то же, и потому элементарные возмущения в Р' имеют!
новые фазы. Такой бесконечно тонкий пучок лучей обрисовывает ц
действительный ход лучей, т. е. действие света в Р' прекратится
поставить на пути такого пучка лучей какое-нибудь препятствие.
При полной ясности этих соображений, они все же не вполне
тельны, и потому для основных законов геометрической оптики,-— nai
для закона прямолинейного распространения света, необходимо на
более строгие аналитические основания. Прежде всего нужно
вопрос: почему законы распространения света и звука различны,}
оба эти возмущения представляют собой волновые движения? — Он
этот вопрос будет дан только в следующей главе.
Мы видели, что при рассмотрении действия света в присутв
какого-нибудь преломляющего или отражающего тела можно начинЯ
изучения хода луча, но с точки зрения волновой теории можно
вместо этого исходить из представления о вызываемой телом дефорЛ
поверхности волны. Например, в случае, когда источник света Р-Я
тящаяся точка, поверхности волн вблизи Р представляются в видеЯ
рических поверхностей. Если в результате преломления света в <
должен получиться пучок, гомоцентрически собирающийся в точке Я|
поверхности волн, после прохождения через линзу, должны предстам
собою концентрические шаровые поверхности с центром в Р'.
Так как световые лучи являются нормалями к поверхности волнй
с точки зрения волновой теории сам собой получается закон Mai
(см. выше стр. 24), если принять во внимание, что эффект любых &
жений и преломлений состоит только в том, что они деформируют
верхность волны. ч
3. Опыт Френеля с зеркалами. С точки зрения волновой теоа
явления интерференции света объясняются принципом сложения несколь!
световых возмущений s. Если источник света Q вызывает в точно!
световое возмущение
8г = Ах sin 2л (
а источник света Q2 в той же точке Р световое возмущение
s2 = А2 sin 2л
* й \ х Л /
то йо принципу наложения, который мы здесь попробуем применить;
удача этой попытки и явится в дальнейшем доказательством самС
Принцип
8 — Sj 4-s2.
Опыт Френеля с зеркалами 113
л1гуму можно написать в виде
W У ! i \
s = A sin \2л~- — <5 к (9)
ь, положить:
г Л cos & = A. cos In ~ 4- A, cos 2л U,
л 6 Л
2sin<5 = sin 2л^-4-Л281п2луа. (10)
величина А обозначает амплитуду результирующего светового возму-
№евия<
V Возводя в квадрат и складывая уравнения (10), получим результи-
Жрощую освещенность в точке Р:
Е=,А*=*А*+ A/ + 2A1A2№s2n(r-^y (И)
Согласно уравнениям (6) и (7), величина 2л = А обозначает
йзность фаз составляющих возбуждений, и формулу (11) можно интер-
претировать геометрически следующим образом (см. рис. 47): результи-
шгющая амплитуда А равна стороне треуголь-
но, построенного на айплитудах Аг и Л2 с
Еглом между ними равным л—Д, где J есть
азность фаз между двумя составляющими
возмущениями.
I Из этого положения вытекает, что в зави-
симости от разности фаз А могут получаться Рис’ 47,
рак максимумы, так и минимумы освещенно-
сти; первые будут иметь место при А — 0, ± 2л, -4- 4л; и т. д., а вторые —
кри d == + и т. д. Полная темнота должна наступить при
Кинимуме, при дополнительном условии Аг = А2.
8 опыте с зеркалами Френеля эти условия осуществляются получением
мнимых источников света Q2 0 Qi путем отражения источника
4ета Q от двух слегка наклоненных друг к другу зеркал Д’ и Полу-
|?Тся пространственная интерференция в областих), освещенной обоими
Ив» 11сточниками- По вышеприведенному расчету в точке Р наступит
г® этом темнота в случае:
Л —ra = ±-i, ±уит. д. <12)
*е ^граничим рассмотрение вопроса тем случаем, когда точка Р пере-
ci Па ся по прямой, параллельной 0г02 (см. Рис- 48), и обозначим через
^у^тояние между Qi и Q2, через а расстояние от средней точки на
*бск(2 ^Та область интерференции значительно сужается, если зеркало S расположено
Впереди другого зеркала S'. Поэтому следует обращать внимание на то,
Зеркала точно прилегали друг к другу своими краями.
^Руде—Ошика 8
114 Интерференция света[Отд, jj
прямой d до средней точки Ро прямой, параллельной d и при
через Р, и через р — расстояние точки Р до точки Ро; мы получй
г22 = a2 + (|d — jo)2,
т. е.
гх2 — r22 = (r14-r2)(r1 — rz} = 2dp
или, так как гг + г2 очень близко к 2а, если р и d малы ц|
нению с а, имеем:
гх — r2 = dpа,
т. е. темнота наступит там, где
. а 1 . а Зл , Га 5Л
Р = ±7-2’ ±7’2-- ±-Э'Тит'д-
Таким образом при монохроматическом освещении (одно Л) мы nd
на экране, помещенном на расстоянии а от линии d, интерференци]
полосы, расположенные друг от друга на постоянном расстоянии а
48.
экране появятся цветное пол<|
свете различные цвета, вследс$
Рис.
освещении белым светом на
потому что содержащиеся в белом
различия в длинах волн, дадут максимальную освещенность или темйИ
в различных точках экрана. Только средняя точка Ро не будет окрашИ
потому что в ней получается максимальная освещенность для всех цв«|
(Г1— г2 = 0). 1
Расстояние d двух мнимых источников света вычисляется из noi
жения действительного источника света, Q относительно зеркал и!
наклона зеркал друг к другу. Этот наклон должен быть очень незна!
телен (несколько дуговых минут); только при таком условии d 6q
настолько мало, что интерференционные полосы будут отчетливо вии
по отдельности. Так как в уравнение (13) входит только отношение о|
то достаточно измерить только угол, под которым с места наблюден!
Ро видны изображения Qj и Q2. j
Вместо того, чтобы принимать изображение интерференционной ка
тины на экране, его можно рассматривать без экрана в лупу или ней
средственно глазом, если поместить глаз на пути лучей, идущих от и $
и аккомодировать его на точку р, лежащую на расстоянии а от ист»
Опыт Френеля с зеркалами
115
Р" вета *)• На Рис- 48 изображена установка, с помощью которой
ро? производить количественные измерения,— например, определение
j*g Цилиндрическая линза I дает действительное изображение
ц* Вампы или освещенной щели, служащей источником света Q: от него
if* Задают на оба зеркала S и линия соприкосновения последних
у** -дена параллельно оси цилиндрической линзы. Перпендикулярно
*°^лам укреплен еще экран, для того чтобы задерживать свет, идущий
^следственно от Q. Интерференционные полосы наблюдаются в лупу
дерекрещивающимнся нитями; лупа может передвигаться с помощью
,проветри веского винта К.
Рис. 49.
Возникает вопрос, нельзя ли вместо того, чтобы получать два близ-
леЖащих источника света путем отражения, пользуясь одною щелью,
сОстУПить проще, поместив перед протяженным источником света экран
Двумя близлежащими отверстиями, которые и будут действовать как
,ет»Шки света.
зова Нако в этом слУчае интерференции не получается, даже если поль-
ЧтолТЬся монохроматическим светом,— например от натрового пламени.
AOaJJ Ава источника света могли интерферировать, их фазы все время
paej?? или точно совпадать или, по крайней мере, иметь постоянную
^^ь^Такие источники света называются когерентными; их можно
аккомодировать глаз с помощью лупы или бее нее на точку Р, то оба
° То(|?Р0Рующие пучка лучей придут в изображение точки Р на сетчатой оболочке
* Разностью фаз, «ак было бы, если бы сетчатая оболочка сама находилась
*в»Ка Л так как для всех лучей исходящих из Р. их оптическая длина до изобра-
рЛ сетчатой оболочке одна и та же. Поэтому освещенность на сетчатой оболочке
й®а также нулю, если она равна нулю на экране, помеченном в точке Р.
8*
116 Интерференция света[Отд.
получить в тЛй случае, если из одного источника света с помощь»
оптических установок образовать два источника света. Напроя
нвкогерентных источниках света,Скаковыми являются, например, 1
личные точки одного пламени, произойдет следующее: в течение ба
числа периодов разница фаз будет оставаться постоянной, потм
как мы ниже увидим, монохроматический источник света дает ад
число колебаний с абсолютно постоянным периодом; тем не менее
будут иметь место нарушения правильности колебаний в течевд^И
очень коротких промежутков времени—таких, за которые в гл|М
остается отдельных впечатлений света. Поэтому в некогерентных
никах света разность фаз меняется в течение промежутков врЯ
охватывающих, несмотря на их краткость, много миллионов колмИ
Это мешает появлению устойчивой, видимой картины интерференцМ
Как уже было замечено выше (стр. 107), в этих простых опыте
интерференции не совсем исключается диффракция света. Она Л
иметь место около краев зеркал, в частности вдоль линии их соцв
сновения. Во избежание этого влияния рекомендуется пускать падай
свет под значительным углом к зеркалам (например, 45°), а также
блюдать на большом расстоянии от зеркал. Также не следует брать слеЛ
малым наклон зеркал друг относительно друга. Этим достигается воз Д
большее удаление от точки наблюдения Р тех краевых лучей, ко Л
идут от Qi и Q2 к линии соприкосновения зеркал. Я
4. Видоизменения опыта Френеля с зеркалами. Пз.южеи
в § 3 соображения типичны для всех случаев, когда интерфереИ
получается от двух когерентных источников света Qx и Q2, образовав
одним источником Q. Такое получение двух источников может оси
ствляться различными способами. Так, Майкельсон1) пользуется да
зеркалами, расположенными друг относительно друга под углом п!
в 90° и этим достигает того преимущества, что не требуется никм
особой юстировки, так часто затрудняющей пользование реркальч
аппаратом Френеля. Мартенс2) употребляет почти прямоугольную приз1
Классен3) пользуется двумя плоскопараллельными пластинками одП}
ковой толщины, расположенными параллельно друг другу и под угя
около 45° по отношению к падающему свету, причем одна пластии
повернута на небольшой угол около оси, лежащей в плоскости падем
л в плоскости пластинки. Такая установка годится для демонстрац!
впроекции в большей аудитории. |
Особенно удобна бипризма Френеля (см. рис., 50, на котором поперечи
сечение призмы заштриховано). Свет падает слева; лучи от светящем
лрдии (щели) Q, параллельной ребру призмы В, дают после преломж
нйй две когерентных светящихся линии Qi и Q3. J
Если поместить такую призму с вертикальным ребром В на стол1|
спектрометра, воспользовавшись для освещения коллиматорной трубку
с. вертикальной щелью (бесконечно удаленный источник света Q), и затв$
Journ. of Science (3)39, 210, 1890. — ZS. f. Instr, kde d
p p~irour?- d\?hys* <2^0’ 92’ 189b i
r -Martens, Verhandl der deutsch. phys. Ges. 4, 43, 1902. •,
) «/. Classen, Ber. d. deutsch. phys. Ges. 5, 297, 1903.
Г
Кольца Ньютона
117
i в зрительную трубу спектрометра через бипризму на щель, то
горения будут видны два отдельных изображения щели. Угол а
^яйми отсчитывается по делениям спектрометра; для этого зрительную
У изводят сначала на одно, а потом на другое изображение щели. Этот
f является дополнением угла АВС (рис. 49), который образуют после
в дения через призму две преломленные плоскости волны АВ и ВС.
убрать зрительную трубу, то с помощью лупы, помещенной в точке
Josho наблюдать минимумы ин-
ренции, если по формуле (12)
и т* д<’ где 71
I суть расстояния точки Р от
костей волны АВ и ВС. Из ри-
следует:
(ь sin (АВР), rz = b sin (СВР),
да
АВС
— 2о cos —у'sin<р.
^гол <р очень мал, поэтому sin у— tg<p=p: а. Далее, АВС — л — а и, если
<Р мы ограничимся величинами первого порядка, можно принять
«= а и sin а — а; тогда окончательно получим:
г1— Г2=а-р.
Относительное расстояние полос равно поэтому Л: а, т. е. не зависит
рт а. Так как в зрительную трубу мы наблюдаем именно а, то измерение
|^асстояния полос является удобным средством для определения Л.
Рис. 51.
[L Аналогично бипризме Френеля действует билинза Билье (Billet)
Е®’ ^1), дающая два действительных или мнимых изображения
Р°го источника Q. Пространство, в котором происходит интерференция,
£йсУнке заштриховано.
L* Кольца Ньютона и цвета тонких пластинок. Все прозрачные
К 8 Достаточно тонких слоях оказываются сильно окрашенными. Легче
К°йЭто можно обнаружить на мыльных пузырях и на масляных плен-
воде; сюда же относятся цвета побежалости при нагревании
I ВтЧистого металла.
Ito 8 явления легко объяснить, если их рассматривать как интерферен-
Е СВета> осаженного от передней и задней поверхности слоя.
118
Интерференция света
[Отд.
Рис. 52.
Рассмотрим сначала случай, когда на тонкую плоскопаралЯ
пластинку толщиной d наклонно (под углом падения <р) падает Л
матический луч света АВ (рис. 52). На передней стороне плВ
луч разложится на отраженный луч ВС я на преломленный BD. Пой
снова отразится от задней поверхности и попадет в точку В', вД
пластинки в виде луча В'С'. Существенные черты явления будД
если ограничиться рассмотрением интерференции этих двухЯ
ВС и В'С'. Если они пересекаются на сетчатке, т. е., если глаи
модирован на бесконечность, то наибольшая темнота воспринд
тогда, когда лучи ВС и В'С' отличаются по фазе на л;, Зл;, 5 л ।
При полном вычислении общей d
отраженного света необходимо, во ч
случае, принять во внимание так
вторные отражения, которые вторич
пытывает DB' на передней поверх
B'D’ на задней поверхности и т.
будет сделано ниже (отдел III, гл1
§ 11). Но уже заранее можно озд
что для не слишком больших угле
дения результат не изменится суще(
ным образом, если принять во вн^
и повторные отражения лучей, тад
энергия этих лучей значительно мЯ
энергии лучей ВС и В'С, отражЯ
только один раз. V
Если теперь опустить перпендйД
из В' на ВС, то между обоими лД
бы никакой разности фаз, если бы Я
в В' была та же, что и в Е. В таком случае оба луча будут пЯ
каться в главном фокусе на сетчатке в одной и той же фазе. ПоД
разность фаз в точках Е и В1 тождественна с разностью фаз
ВС и В'С'.
Но разность фаз между В' и Е равна:
если через л' обозначить длину волны света в пластинке, а через Л д^
волны света в среде, окружающей пластинку. Если % есть угол nj|
мления, мы будем иметь: .)
BD = B'D = d:cos %, BE = BB' • sin= 2d • tg % sin <p‘,
далее, Л: Л' = n (показатель преломления пластинки относительно 01
жающего пространства). Таким образом получим: '
A ____tff Ys'tn^
A' \cos % °* п )
или, если положить по закону преломления sin 90 = п sin %:
, л 2п • 2d
' Л =—cos %,
л А
ВС и В'С' не получилось
Кольца Ньютона
119
К 0 это выражение следует еще исправить, введя существенный
член. Уравнение (14) дает такую разность фаз, какой она
Ктся в этих лУчах ВС * В'С' в результате прохождения ими
Еского ПУТИ различной длины. Но между этими лучами существует
Рж другое Различие^ ВС испытывает отражение при переходе
1 is воздуха в пластинку, В'С' — наоборот, при переходе из пластинки
«1УХ. Уже с самым процессом отражения связано изменение фазы;
Е^как отражение лучей BG и В'С' происходит при различных
^рельствах, то к разности фаз, выраженной уравнением (14), при-
Еется еще величина А', возникшая вследствие самого отражения,
Еисимо от длины пути лучей. Поэтому мы можем написать:
; А = 2л ~ cos я А-А'. (15)
А
tlH можем высказать некоторые соображения относительно этой вели-
Кв1 А не углубляясь в теорию света. Возьмем случай, когда толщина
К^тинки постепенно переходит к пределу d — 0. По формуле (14) мы
Вне получили в таком случае никакой разности фаз между обоими
М&ми ВС и В'С\ они должны были бы, следовательно, взаимно усили-
ть друг друга. Но этого не может быть, — ведь, если пластинка имеет
Ещину d = 0, это равносильно однородной среде; прохождение света
|Ьез пластинку ничем не будет нарушено (поскольку мы допускаем, что
№а сверху и'снизу одна и та же,—например, воздух), и потому в этом
ртае не может быть никакого отражения света. Действительно, отра-
ВЙяе возможно только тогда, когда имеется нарушение однородности
рсгранства; иначе свет никогда не мог бы распространяться неослаб-
|Йным через однородное прозрачное пространство,— например, через пу-
Bj®y. Таким образом при d = 0 должна иметь место полная интерфе-
рщня двух лучей ВС и В'С', так что мы вообще не получили бы отра-
рного света. Так как в этом случае (d — 0) должно быть А = £ яг,
р согласно формуле (15) отсюда вытекает следующее условие:
Г d' = ±7C. (16)
Данном случае совершенно безразлично, возьмем ли мы Л = i я,
или Зя: ит. д., так как прибавление к фазе луча нисколько
Кгт?Няет ии ег0 состояния колебания, ни его природы.
^Принимая во внимание уравнение (16), мы по формуле (15) найдем
- Условия наибольшей темноты, а именно:
£• —cos/== 0,1, 2...
Рутинна должна обнаруживать явления интерференции и в прохо-
Г свете. Так как в пластинке нет поглощения света и связанных
Р Потерь, то энергия прошедшего света должна быть полностью
Г ^ергии падающего света, если энергия отраженного света равна
К’ * наоборот, прошедший свет должен быть максимально ослаблен,
Сраженном свете содержится максимум энергии. Это имеет место
астинок, толщина которых d лежит как раз посредине значений,
(IT)
120
Интерференция света
[Отд;
получающихся для толщины пластинок из формулы (17); в таш
оба отраженных луча ВС и В'С' имеют одинаковую фазу.
проходящий свет никогда не бывает при этом ослаблен в сильной
потому что энергия отраженного света всегда значительно меньше
падающего света. Относящиеся сюда количественные соотношем
быть выведены только при дальнейшем углублении в теорию (я
отдел III, глава П, стр. 232). 1
Если вместо плоскопараллельной пластинки взять клинообрая
в последней в отраженном свете должны появиться черные интЗ
ционные полосы, идущие параллельно ребру клина и лежащие!
в тех местах, в которых толщина соответствует формуле (17).1
полосы не сливались друг с другом, угол клина должен был
незначительным, принимая во
Рис. 53.
внимание малые величины К. ]
Наибольшую отчетливость полй
протяженном источнике света мо
лучить при некоторой определенн
модации глаза; чтобы иметь вози
судить об их видимости, надо
виду вышеприведенный основной
что только те лучи способны инте
ровать, которые исходят от одной и
точки источника света, потому что
такие лучи когерентны. Будем р
два случая:
1. Очевидно, что в каждой точке Р (рис. 53), расположенной про
ным образом в пространстве перед пластинкой или клином, пересекуи
когерентных луча, исходящих из одной точки источника света Q
положенного на конечном расстоянии), причем один луч, QP, отр
от передней поверхности, а другой, QD, от задней. Эти лучи и
точки Q в несколько различных направлениях, но они Пересе
в одной точке сетчатой оболочки, если глаз аккомодирован на точ
откуда они кажутся выходящими. В этом случае, следовательно,'
будем наблюдать интерференцию. Но в этой же точке Р Пересе ка1
также любые другие когерентные пары лучей, исходящие от др|
трчек источника света: эти лучи, вообще говоря,. проходят через si
в различных местах и под различными углами наклона, а потому d
ходят в точку Р' с различными разностями фаз. Поэтому для гл|
аккомодированного на точку Р, интерференционная картина будет неж
МО^ют и совсем исчезнуть. Интерференция будет восприниматься с пол
^Отчетливостью только тогда, когда все пересекающиеся в Р когеренп
пары лучей, исходящие из различных точек источника света, прихо
одинаковою разностью фаз. Этим условием определяется геомет
место точек Р, соответствующих наиболее отчетливой видимо
рференционной картины; эти геометрические места образуют нет
T?JJ?Bep?0CTb’ ИМеющую сложный вид и положение, если падаю!
"ален наклонно под некоторым произвольным углом. у
ШКЯ ПППрТ ПаДаеТ наклин ПОЧТИ нормально, то для топкого кл
простое решение: в этом случае обе отражающие поверхно
Кольца Ньютона
121
L соответствуют двум накл°ненным друг е другу зеркалам в опыте
Ья (см. стр. 112); при этом ясно, что довольно безразлично, располо-
жи обе отражающие поверхности одна за другой, или рядом. Интер-
J зо можно наблюдать, если просто аккомодировать глаз на клин,—
на его переднюю поверхность. Действительно, если аккомоди-
гдаз на точку Р клина (рис. 53), то QPC и QBDPC будут два
Епаятные луча, которые встречаются в некоторой точке на сетчатке.
Кучи имеют определенную разность фаз, зависящую только от тол-
L/d стеклянного клина в точке Р; согласно формулам (15) и (16)
Гравна:
Г А = 2л S -f- п,
। л
* как Ф, а значит (при малом угле клина) также % близки к нулю.
Но такую же разность фаз имеет всякая другая пара когерентных
дей, исходящих от другой точки Q’, и т. д. источника света,
вересекающихся в Р, так как для всех лучей угол падения ф, а,
адовательно, и % будут по сказанному достаточно малы, так что можно
«ожить cos % == 1г).
. Для наблюдения интерференции в тонких слоях переменной толщины
►ютон накладывал на тонкую стеклянную поверхность выпуклую линзу
лой кривизны. Тонкий слой воздуха, находящийся между двумя сте-
нами, вызывает при этом появление концентрических интерференционных
Йугов, диаметр которых, как это можно показать, возрастает пропорцио-
шьно корню квадратному из четных чисел. Рис. 54 изображает это
Ьаение при освещении белым светом. В монохроматическом свете кольца
|Ыи бы видны до края линзы.
( При освещении белым светом тонкая пластинка должна казаться
Ношенной, потому что в отраженном свете будут отсутствовать все те
!:ы волн которых удовлетворяют уравнению (17). Но если тол-
щинки очень велика, то полосы, соответствующие недостатку
)го-нибудь цвета, будут чередоваться близко одна от другой
пектру, причем остающиеся цвета дают смесь, мало чем отли-
от белого цвета. Если пластинка слишком тонка, то окраска
будет интенсивной, потому что в таком случае все цвета
ставлены или сильно или слабо. Наиболее интенсивная окраска
одаться для некоторой средней толщины (для воздушной пла-
т 0,00016 до 0,0008 мм}. Эти цвета, конечно, не являются
вентральными цветами, а образуются из белого света путем
«оделенных цветных областей. Ньютоновские кольца дают
льно все цвета тонких пластинок.
сличить наклон пластинки по отношению к падающему свету,
изменится ее цвет, так как в связи с множителем cos %,
J уравнение (17), увеличение наклона падающего света должно
граведливо, однако, только в том случае, когда толщина d клина иезня-
[и d очень велико,—например, достигает нескольких тысяч длин волн, то
пар лучей надо брать различные значения /. Это обстоятельство тоже’
L' аеясность интерференционной картины.
122
Интерференция света
[От;
пластинки являются дополни
производить тот же эффект, как при нормальном падении луж
шение толщины d пластинки.
В проходящем свете цвета
в цветам отраженных лучей, так как энергия обоих лучей (отрЛ
и падающего) должна в сумме быть равна энергии падающем
Впрочем, в проходящем свете окраска никогда не бывает так над
как в отраженном, потому что (см. стр. 120) в проходящем свете, в.1
ют отраженного, данный цвет не может отсутствовать полностью,)
Зыть только в некоторой мере ослаблен.
Рис. 54.
Цвета тонких пластинок в отраженном свете дают очень чувствие
ный -способ для определения их толщины, если известен показЯ
преломления пластинки. Для этого необходимо знать толщину слоя вози
дающего тот же интерференционный цвет. Его можно определить по л
ньютоновых колец или, как мы узнаем позже, кристалле-оптичеЯ
способом. 1
Вышеизложенные интерференционные явления нашли применение]
определении термического расширения тел с помощью дилатометра А1
Физо. Принцип оттого прибора заключается в измерении смещения ин1
ференционных полос, получающихся при отражении света от перед!
полированной поверхности тела и вспомогательной стеклянной пластмн
это смещение вызывается благодаря незначительному изменению рассч!
яия между указанными поверхносиями тел, вследствие расширения т1
при его нагревании.
2. .На рис. 53 (стр. 120) ход лучей совершенно другой, чем на рис.
{стр. 118) для плоскопараллельной пластинки. Возникает вопрос, можно
при постепенном переходе от плоскопараллельной пластинки к клинообраз!
с очень малым углом клина сохранить ход лучей, типичный для перв
случая; такой ход лучей в пл щкосги падения, перпендикулярной к ре(
клина, изображен на рис. 55 (а и б). Принцип интерференции та!
Интерферометры
123
«оазяых пластинок подробно рассмотрен Краузе1) интерференционная
Kaf бывает или мнимая (рис. 55а) или действительная (рис. 556);
В!^лизована в определенных точках пространства, иногда на зна-
Квом расстоянии о г клина.
t Дхроматизация интерференционных полос. Чтобы получить
ьатическую интерференционную полосу, необходимо, чтобы в той
Е где происходит интерференция, разность фаз Д интерферирующих
В для всех цветов была одна и та же. От значения Д зависит,
Е ли полоса при этом светлая или темная. Так, например, в опыте
«льдами Ньютона центральное пятно в отраженном свете черное,
1<у что интерферирующие в этом месте лучи имеют для всех цветов
П с/ /е А c//t
Рис. 55а.
D
Рас. 556.
вность фаз Д = п. Если же рассматривать интерференционную картину
стеклянную призму, то центральное пятно уже не будет ахрома-
ческим; ахроматизация будет иметь место там, где Д или совсем не
яяется или меняется очень мало от цвета к цвету, т. е. где
(18)
* есть длина волны для данного цвета в воздухе 2). При сильной
р-персии стеклянной призмы положение ахроматического пятна может
сильно смещено по сравнению с центральным.
£"сли между глазом наблюдателя и бипризмой Френеля вдвинуть тен-
ДР пластинку, — например, листок слюды,—;то интерференционная, кар-
Р? также изменяется. В этом случае ахроматические полосы также
Р*ятся не там, где Д =0, как было прежде, пока не был вдвинут
а в том месте, которое соответствует уравнению (18), так как
К**аРя своей дисперсии листок в различных* цветах вызывает раз*
Ел6 замедление фаз.
к* Интерферометры. Интерференционную картину при небольшой
хода, видимую в белом свете, можно получить не только на
но и на толстых пластинках, если наблюдать разность действия
й; Krause, Ann. d. Phys. 48, 1037, 1925.
г 4®ee, эте равенство следует написать так: -^ = о, где Т—период. Но если
(18)Ь Вичтожной дисперсией воздуха, то оно будет тождественно с уравне-
124
Интерференция света
двух пластинок. Схема Жамена (Jamin) состоит в том, что дв!
вой толщины плоскопараллельные пластинки Рх и Р2 (см3
помещаются на большом расстоянии почти, но не совсем, па]
друг другу. Луч света LA разлагается на два луча
AB'C'D'E', которые могут интерферировать, если выходящие d
и D'E' снова встретятся в одной точке. Но так как эти луч
лельны друг другу, то глаз должен быть аккомодирован на j
ность; взамен этого можно пользоваться зрительной трубой, устац
на бесконечность. Для получения возможно большей энергии св<
щают источник света
чтобы на пластинку
в фокальной плоскости собирательной ли|
~ падал ]
Л
пучок параллельных лучей
того целесообразно посеребри™
стинки с задней стороны. Я
фаз между лучами CD' и !
формуле (15) (стр. 119) pal
4 л а! , л> с Л
— cos^t + d*, где Х1 обл
угол преломления в пластии
Кроме того лучи D'E' и DE
еще разность фаз l-^-cos/,;
где %2 (угол преломления в nj|
ке Р2) немного отличается от /
так как обе пластинки Д и|
должны быть точно параллельна
другу. Таким образом окончат!
разность фаз будет: 1
А = —cos'z2)i<
и так как разность cos^i — cosx2 несколько меняется с наклоном я
LA, то в поле зрения ЕХЕ' появятся интерференционные полосы. -
Главное преимущество такого интерферометра заключается в томя
два интерферирующих луча АВ As CD' пространственно разделены!
от друга на большое расстояние, если пользоваться достаточно толся
стеклянными пластинками Рг и Р2, и если свет падает наклонно (ля
всего под углом падения 'в 50°). Таким образом получается при
•позволяющий измерять малейшие изменения показателей преломлеи
Если, например, поместить на пути лучей АВ и C'D1 трубки, закря
стеклянными пластинками, и в одной из трубок изменить показа]
преломления, меняя температуру или давление содержащегося в 1
воздуха, или если заменить в одной из трубок воздух другим газом}
интерференционные полосы в поле зрения сместятся. Можно вычис1й
разность показателей преломления в двух трубках, если сосчий
интерференционные полосы, проходящие через определенную пом!
в поле зрения, или если с помощью какого-нибудь измерительного л
способления компенсировать разность фаз двух лучей так, что м
восстановится первоначальное положение интерференционных пой
Интерферометры
такого компенсатора могут служить две одинаковой толщины
J®® пластинки рг, р-г> вращающиеся около общей оси и образую-
другом незначительный угол (компенсатор Жамена). Луч АВ
только через рь луч C'D' только через ря. Получающаяся при
Вияость фаз зависит от наклона пластинки рх относительно АВJ).
Д8 расположении Жамена два интерфери-
Е- пупка лучей на практике можно раз-
Е в стороны сантиметра на два. Значи-
Ь большее раздвижение получается по Цен-
R если пользоваться четырьмя почти па-
Еьными стеклянными пластинами. По Маху
Ем них можно заменить металлическими
уами и На Рис- 67 схематически
lasena установка Маха. Мах ввел еще усо-
мствование для повышения энергии света,
ва рис. 56, так и на рис. 57 попадающие
КЗ у точки Е лучи имеют незначительную
гаю, потому что они претерпели один раз
вение от стеклянной поверхности, с чем
(а связано значительное ослабление света. На
57 световые лучи, прошедшие от 8г через Р2, значительно интен-
w лучей, попавших в точку Е после отражения от Рг. Этот недо-
£ можно было бы устранить, если бы удалось повысить отража-
ем) способность стеклянной поверхности. Это и достигается путем
легкого серебрения или золочения поверх-
ности стекла; лучше всего нанести на
стекло металлический слой такой толщи-
ны, чтобы энергия отраженного света сде-
лалась равной энергии прошедшего света.
Впрочем в изображенной на рис. 57 уста-
новке для получения интерференции совер-
шенно не требуется двух пластинок Рх и
Р2 конечной толщины; достаточно, чтобы
на том же месте, с помощью тонкого ме-
таллического слоя было произведено разде-
ление световых лучей на отраженные и
проходящие. Этого можно достичь, если
плотно сложить слегка посеребренными
плоскостями гипотенуз две стеклянные
прямоугольные призмы.
Отражение от зеркал 8Г и &3 можно
заменить полным отражением от непо-
плоскостей прямоугольных призм. Нако-
призмы можно соединить с частично пропускающими свет
^Д^ризмами в одно стеклянное тело так, что получится изобра-
Б. £р?°*Робно см. F. Neumann, Vorlesungen iiber theoretische Optik, 1885, стр. 286.
102 ZS. f. Instr, kde 11, 275, 1891; L. Mach, Wien. Ber. Ila. 101, 5,
’ 1q35, 1893; 107, 851, 1898; ZS. f. Instr, kde 12, 89, 1892.
126
Интерференция света
[От;
женный на рис. 58 маховский интерферометр, в котором на од
стеклянные тела и приклеены льняным маслом два с^|
тела К-х и поверхности соприкосновения 1\ и Р2 слабо пц
От наклонных поверхностей ф и В2 получается полное отражен
Если стеклянные тела и К2 установлены почти параллелМ
ДРУГУ> то помещенный в точке -Е глаз увидит интерфере™
полосы. Я
8. Интерференция при большой разности хода. Интерш|
Майкельсона. Если рассматривать ньютоновы кольца в монохрИ
ском свете, пользуясь, например, натровым пламенем, то интя
ционные кольца будут видны на всем протяжении стекла. Это Я
признаком того, что свет сохраняет способность интерферировать Я
когда разность хода равна нескольким сотням длин волн. |
Весьма важным представляется вопрос, до какой максимальи
ности хода свет еще сохраняет способность интерферировать.!
ответить на этот и на другие подобные вопросы, нельзя прост®
пенно раздвигать стекла ньютоновской установки и аккомодировзД
или лупу на поверхность О одного из стекол: действительно, ся
примечанию на стр. 121 интерференционные полосы скоро ]
неясными вследствие того, что наклон .когерентных пар лучей, i
кающихся в одной точке поверхности Оъ все время ней
Между тем, надо Особенно следить, чтобы все когерентные
лучей, которые должны встретиться в одной и той же точке?»
чатки наблюдателя, имели друг относительно друга одну и ту жя
ность фаз. Я
Это возможно в том случае, если получать интерференцию в л
отраженных от двух точно параллельных поверхностей Ог и О2, и на
дать ее с помощью зрительной трубы, установленной на бесконеэд
(или непосредственно глазом, аккомодированным на бесконечш
В таком случае все интерферирующие когерентные пары лучей, коя
должны встретиться в главном фокусе на сетчатке, проходят расстояц
между поверхностями Ог и О2 под одним и тем же углом наклона
сительно общей нормали N обеих поверхностей и имеют поэтому'
постоянном d) одинаковую разность фаз. Последняя меняется с накл
относительно нормали N; поэтому интерференционная картина со(
из интерференционных кругов, центр которых лежит в направл
цормалц Л’ к пластинкег). Получающиеся таким путем интерференг
ные кольца суть кривые равного наклона, в отличие от кривых ра
толщины, которые появляются на тонком клине или в опыте с коль:
Ньютона при аккомодация на самое стекло.
Такие кривые равного наклона можно наблюдать с плоскопс
дельными пластинками толщиной в несколько миллиметров, т. е. I
чать 'интерференцию при разности хода в несколько тысяч длин i
х) На наблюдении таких кривых основан способ Думмера для испытания ст(
ных пластинок на плоскопараллельность: если толщина пластинки не везде (
кова, кривые равного наклона будут отличаться от кругов. О. Lummer,
24, 117, 1885. 1
Интерферометр Майкельсона
1 «меть возможность непрерывно менять разность хода, Майкельсон1)
1Дл следующую установку (рис. 59).
Клевета QA, направленный под углом падения 45° к слабо посе-
ЕтоЙ поверхности плоскопараллельной стеклянной пластинки Аг
Разделяется на два; один из них проходит насквозь и падает на
ьТзеркало Д а другой отражается и падает на плоское зеркало С.
Квшись от этих зеркал, оба луча возвра-
назад в точку А и попадают в зритель-
^трубу Д первый—отразившись от пла-
а второй —пройдя сквозь нее.
Ьорая плоскопараллельная стеклянная пла-
на U, имеющая такую же толщину, как и
«инка А, сводит к нулю разность хода
> лучей, интерферирующих в Е, если оба
ала D и С расположены симметрично отно-
льио пластинки А, .
Ъким образом установка действует так, как
о интерференция получается вследствие от-
)ния от плоских поверхностей Ох и О2,
дичивающих воздушную пластинку. Ог есть
ало С, О2 — изображение зеркала D в пла- Рис. 69.
не А. Интерференционные кривые равного
шона хорошо видны при значительной разности хода, когда это изобра-
зив параллельно С. Чтобы иметь возможность менять разность хода,
Йо из зеркал, например С, снабжено микрометрическим винтом, при
Ьиощи которого может перемещаться строго параллельно самому себе
направлении В.
•'Пользуясь в качестве источника света гейслеровской трубкой, Май-
[иьсон получил отчетливую интерференцию для красной линии кадмия
F разности путей 20 см (в воздухе), что соответствует разности хода
gio 300000 длин волн; для зеленой ртутной линии предельная раз-
jjjb хода была около 540 000 длин волн. Перо и Фабри2) получили для
г* Же линии интерференцию еще при 790 000 Л, по Думмеру и
У*®3) интерференция в этом случае возможна при еще большей разности
У?(Д° 1200 000 длин волн). В табличке4) на стр. 128 приведены
[®гЫе Для других элементов, иллюстрирующие влияние ширины линии,
тем меньше, чем больше атомный номер элемента, и чем ниже
EpWpa источника света.
К?гТерферометр Майкельсона был задуман для решения крупного
о возможном влиянии движения земли на земные источники
Р ксм. ниже отдел щ, гл. VIII); широкое применение он нашел и
KJl Других задач (точное определение расширения твердых тел,-
показателя преломления газов — применение флюоритовых
ОпЛНТ0РФеР°метРв Майкельсона и его установке см. Буд, Физическая^
?, 1935.
О prot et Ch. Fabry, C. R. 128, 1221, 1899.
^nimer u. E. Gehrke, Verb. d. deutsch. Phys. Ges. 4, 337, 1902.
*’ ‘ &uisson et Ch. Fabry, Journ. de Phys. 2, 442, 1912.
128 Интерференция света [От;
Элемент Атомный вес Лв А Максимальная разность хода Максимальная пути в сл|
Комн. темп. Темп. жидк. воздуха Комн. темп. TeJ
Гелий . . . 4 5876 144000 241000 8
Неон . . . 20 5852 324000 515000 19
Криптон. . 83 5570 600000 950000 S3
i
пластинок позволяет при этом заходить также и в ультрафиол^
и инфракрасную части спектра1). Твайман2) применил его для Я
тания призм и линз; наблюдая искривление кривых равного наЯ
можно судить об ошибках системы (аберрации и проч.). Я
Особое место занимают две крупных области применения интеЯ
метра Майкельсона, разработанные им самим—измерение метра в Я
волн и изучение строения спектральных линий по видимости Я
интерференции. Я
Отсылая за описанием первого из них к подробным обзорам и!
гинальным статьям3), остановимся на втором вопросе. j
9. Видимость интерференционных полое. Уже Физо наблюдая
при пользовании натриевым светом при изменении толщины d слоя|
духа кольца Ньютона периодически то пропадали, то снова появля!
Первый раз интерференционная картина пропадает при толщине |
« 0,1445 мм, при d «= 0,289 мм проходит через максимальную ъ
кость, при d — 0,4335 мм снова становится неотчетливою и т. д. Ота
можно заключить, что натриевая линия состоит из двух близко раса
женных линий. Интерференционная картина будет наименее отчетля
в том случае, когда максимум одной из натриевых линий совпав
с минимумом другой линии. Так как средняя длина волны Л жел
натРия равна 589 тц, то толщине d = 289-103 тц срответсп
491 длина волны. Если разность длин волн обеих натриевых линий обо;
чить через — то
(Я, — Л.) 491 = 4 = 294 т.и,
, Qi
т. е.
= 0,6 тц.
О faiee общей точки зрения к вопросу подошел Майкельсон *).
< ““
и
•) ‘ Phys- 70» 373,1923; В. Quarter, Ann. d. Phys. 74, 255, 1921
'.ZS. f. wiM. Phot 22 35’ 49, 1918; TranS‘ Opt Soc’ L‘jnd- 22’ 8’ 19215 24’ lfil
'.^4» ЛГобквлъсон г* 131, 1924. j
— der Interfile В0ТОВЫ0 волны и их применение, стр. 98. W. K6stefi
___________. г Sg„r'. 0n^en zu Messzwecken, Handbuch der physik. Optik (Gehrke]
^^^^A. iiitheleon Phi^ivr Barrell, Ph. Trans. Roy. Soc. A. 283, 143, 1234. j
» -Mag. 31,338,1891;34,280,1892; Journ.de Physique8^11,1894
$
Видимость интерференционных полос
129
j' 0 формуле (11) (стр. ИЗ) освещенность, получающаяся при
Еоендии двух когерентных лучей одной энергии, разность путей
равна 2Z, дается выражением:
Е = 2Аг (l+cos2n
[есТ0 длины волны 1 в воздухе введем обратную величину
i = wa; (20)
обозначает число длин волн, содержащихся в единице длины.
Пусть освещенность в том случае, если свет не строго монохромати-
т. е. если он состоит из колебаний, числа волн которых
ит между iu и т + dm, будет гр(т)дт. Тогда освещенность Е при
ерференции в воздушной пластинке толщиной I будет:
m2
Е = 2 j* гр (т) [1 + cos 4 я Im] dm, (21)
mi
«чем пределами интегрирования будут те числа волн, между которыми
\т) значительно отличается от нуля.
Возьмем сначала случай, когда мы имеем одну узкую спектральную
шию, и положим:
т = т + х, тх — т — а, т2 — т + а.
Тогда уравнение (21) перейдет в
(22)
положить:
+а __________________
Е » 2] / гр (х) [1 4- cos 4л; 1{т + ж)] dx\
— а
inlm = В, / гр (ж) dx — Р,
J гр (ж) cos (inlx) dx — С, J гр (ж) sin (inlx) dx = 8, (22')
п°лучим
4£ = -P+C'cos»—Sslnft. (23)
®сли толщина I воздушной пластинки меняется даже незначительно,
сказывается на Е, так как меняется В. Напротив, С и 8 при
।Нательном изменении I мы можем рассматривать как независящие
А если ширина спектральной линии, т. е. величина а, очень мала.
Но ОМУ по формуле (23) максимум и минимум освещенности имеют
'и Аля значений:
4 4 8 •
(24)
130 Интерференциясвета[I
при этом максимумы даются уравнением
|я.„ = Р + К^+>,
а минимумы —
£л
Поэтому интерференционная картина пропадет, когда G Л
а также и в том случае, когда оба эти выражения очень малЛ
мость интерференции по Майкельсону определяется выражением: J
-гг_ S'max -ffinln
-^max ~Н S'min
Отсюда по формуле (25) и (25') имеем:
v2__£!±^_
у ~ в2
Это уравнение дает зависимость видимости интерференции от р|
пути 2Z интерферирующих пучков лучей. ’
Если распределение яркости в спектральной линии симметр^
отношению к ее середине, то 8 = 0. Тогда, следовательно, уравнен!
перейдет в 1
7 = С:Р. *
Возьмем, например, случай,® когда (ж) — const = с. В таком
будет: Я
о /1 2с sin 4зт/а Т7- sin 4л?а
Р == 2ас, С =------г—, , V = ——j . Я
’ 4л/ 4л/а Я
. Таким образом интерференция пропадет для На = 1, 2, 3... Нам
шая отчетливость (7=1) наступит для I — 0. С возрастанием
для подходящих значений I, интерференция будет ослабляться; напя
для На~~ будет: » 1
7 = 2: Зя = 0,212. |
Периодическое исчезновение и непрерывное затухание максима^
отчетливости интерференции получается также в том случае, когда'!
пределение яркости по длинам волн дается выражением '
у(ж) = СО8?Я~.
Наименьшее I, при котором интерференция исчезает, определи
уравнением 41га = -j- it затем она исчезает для 4?вя = % + 2, 4Z>
= — 4- 3 и т. д. Таким образом по нулевым точкам Z15 Z2, Z8 кр!
видимости можно определить как ширину а спектральной линии, т1
степень р, обусловливающую характер распределения яркости. I
Интерференционные спектроскопы
131
у(х) = е рх2 *)
ение дает постепенное затухание кривой видимости, без периоди-
. колебания между нулевым и максимальным значениями.
яобяым же образом выводится из уравнения (21) кривая види-
V для совокупности нескольких узких спектральных линий. Так
мер, У двух линий одинаковой яркости периодически получается
ое значение V. Если яркость линий не одинакова, то V не будет
равняться нулю, а только периодически будет принимать макси-
!Ые и минимальные значения. Это имеет место для двойной желтой
[ натрия.
з предыдущего видно, каким образом, зная закон распределения
•ти у(т), можно получить видимость интерференции. Гораздо труд-
обратная задача — определить W по видимости. Эту задачу можно
> бы решить до конца, пользуясь теоремой Фурье, если бы были
стны по отдельности величины С и 8 для всех значений I. Однако,
вытекает из уравнения (21), мы по видимости можем определить
,ко С* + S2; поэтому в общем виде, как показал Рэлей2), задача
ена быть не может, за исключением частного случая, когда распре-
яяе яркости в составляющих линиях симметрично, так как тогда для
ю'чной линии 8 = 0, а для мультиплетов тоже представляются ана-
тчные упрощения.
МаАкельсон определил распределение яркости для ряда спектральных
ий и получил кривые видимости самой разнообразной формы. Он
шил их затем с кривыми, вычисленными для различных у>(т), и
1м путем мог подобрать такой вид у>(т), который ближе всего под-
14 бы к экспериментальным результатам. Из вышесказанного следует
зко, что полученное таким образом значение. у>(ж) ни в коей мере
, является единственным решением задачи, хотя для отдельных случаев
^едования Майкельсона дали весьма ценные результаты относительно
определения яркости и ширины спектральных линий, полностью под-
Ждавшиеся позднейшими работами.
10. Интерференционные спектроскопы3). Вышеописанный метод
чения строения спектральных линий является косвенным; помимо его,
имеем прямые методы, позволяющие непосредственно судить о струк-
Сдельных линий. В интерференционных спектроскопах Фабри и
' и Луммера и Герке происходит действительное расщепление сложной
® па ее составляющие.
^*зти прибора, равно как и эшелон Майкельсона (см. ниже главу
‘^Фракции, стр. 191), основаны на получении интерференционных
' п® от двух пучков, а от целого ряда их, что в данном случав
“*ется путем многократного частичного отражения одного и того же
) т
^акое распределение яркости вытекает из кинетической теории газов при при-
ъ8акона Максвелла о распределении скоростей молекул.
») Phil. Mag.. 31, 338, 1891; 34, 280, 407, 1892.
•^Hansen, Feinstruktur der Spektrallinien, Handbuch der physikalischen Optik
'• 185, 1926; Вуд, Физическая оптика, гл. VIII.
о*
132 Интерференция света[ Отд» я
пучка от двух параллельных поверхностей. Суммируя действ
отдельных лучей, получаем общую формулу для распределения 1
ности: 1
j-, (1 — г2т)2 4- 4ггт sin8 Дт "j
° (1—г2)8 + 4r2 sin8 Д
Здесь вместо широких размытых полос, получающихся в с
интерферометрах, мы имеем узкие максимумы на темном фоне,
получаются тем более резкими, чем больше число интерфери!
пучков, и чем больше коэффициент отражения (рис. 60). Фабри!
пользуются двумя расположенными параллельно полупосеребр!
пластинками, между которыми свет многократно отражается |
вперед. Число интерферирующих лучей можно считать бесконечно
шим (т — оо), так как при нормальном падении коэффициент
ния г2 порядка 0,90, и ail
ды последовательно отрав
лучей убывают медленно
т = со формула (28') прк_
более простой вид1): 'Я
р __ 7? _________1_____
~ ° (1 — г5)2 + 4г’ sinrM
Места максимумов, соЯ
ствующие Я
sin Л — 0, Я
зависят от толщины слоя между пластинками и от длины волны, Я
как линии очень узки, то незначительное изменение длины волны Я
вает уже их разделение. а
. В- пластинке Думмера и Герке2) резкость интерференционных мя
мумов достигается увеличением коэффициента отражения при сравнитД
небольшом числе интерферирующих пучков; пучок света пускается я
внутри точно плоскопараллельной пластинки (см. рис. 52) таки^4 оя
зом, чтобы внутри пластинки угол падения был близок в углу пол
. внутреннего отражения; ясно, что в этом случае га близко к 1. Так L
расстояние между соседними максимумами (в длинах волн) в пластЛ
Думмера весьма' мало (для стеклянной пластинки длиною 30 см, том
ною 9,573^лмг, при 18 интерферирующих пучках, ДЯтах = 0,121 1 1
А = 5461 А), то легко может случиться, что спутник спектральной лии
отличающийся от нее по длине волны как раз на ЛЯтах, совпадет с вд
симумом следующего порядка и таким образом может быть упущен. 5
затруднение устраняется в методе «скрещенных» пластинок, предлояр
?.ы?од эт<^? формулы см. ниже, отдел III, гл. II, § 11.
л air ^eorie der Lummerschen Interferenz-Platte, Ann. d. Phys. .
1431, 1912; Ж Lennan and Me. Lead, Proc. Roy. Soc. 90, 243, 1914 (измеряю
Hansen, ZS. f. wiss. Phot. 23, 17, 1924 (влияние температуры\ Robertson, J. C
Soe. America 11, 559, 1925 (сводка формул); Kunze, Ann. d. Phys. 79, 52A Ц
(измерения). “ "
Стоячие световые волны
133
^Вг оке1); здесь °^е интеРФеРеВДионных картины пересекаются и
Кзрения получается ряд светлых точек, соответствующих отдельным
^Ваяющим лииии-
Стояние световые волны. В рассмотренных до сих пор явле-
интерференции оба интерферирующих пучка лузей распространяются
и том же направлении. Однако можно наблюдать интерференцию
Етом случае, когда оба пучка лучей распространяются навстречу друг
BL Если, например, на ряд волн
f Si = A sin 2тг
Е уравнение соответствует плоским волнам, распространяющимся в на-
Евлении положительной оси OZ) накладывается другой ряд
Г = A sin 2?r
| е. плоские волны, идущие в направлении отрицательной оси OZ, то
bi получим:
' s = Sj 4- s2 = 2 A sin 2^-4 cos 2тг (29)
Это уравнение есть уравнение колебательного движения, амплитуда кото-
рого 2Аcos 2тг-^- является периодической функцией координат точки. Для
113 5
•у = —, — и т. д. амплитуда равна нулю; эти места называются
узлами; для — = 0, и т. д. будет максимум амплитуды; эти
; Места называются пучностями. Они находятся, следовательно, на постоян-
ном расстоянии 1/2 Л друг от друга. Такие волны называются стоячими
..волнами, потому что в определенных неподвижных в пространстве точках
нет никакого возмущения.
Существование таких стоячих световых волн было впервые доказано
'Винером 2), который пустил пучок света нормально на хорошее металли-
ческое зеркало. В таком случае при интерференции отраженного света с
'«зцающим получаются стоячие волны. Для того, чтобы отмечать положе-
J®e узлов и положение пучностей, Винер поместил перед поверхностью
*еркала черезвычайно тонкий хлоросеребряный слой (в коллодионе), на-
Л^енный на стекло; толщина слоя, составлявшего с поверхностью зер-
а очень малый угол, была порядка —- длины волны света, т-. е.
20 миллионных миллиметра; вся эта система освещалась светом
I,080® дуги, разложенным призмой. Светочувствительный слой пересе-
Им образом плоскости пучностей и узлов, причем получалась си-
₽авн°отстоящих ПРЯМЫХ> расстояние между которыми было тем
чем меньше угол между зеркалом и коллодионным слоем. После
х)
GeA 7 ^eussner u. Z. Janicki,Handbucb der physik. Optik, (Gehrke)!, 433, 1927.,
ц. e. Lau, ZS. f. techo. Phys., 8, 157, 1927; E. Lau, ibid. 8, 537, 1927.
• Wiener, W. A. 40, 203, 1890.
[От
134
Интерференция света
проявления в слое действительно' можно было обнаружить э
прямых. Это, во-первых, указывает на возможность обнаружить?
фическое действие света даже в таком тонком коллодионном с
вторых, указывает на то, что это действие различно в узлах;
стях.
Этому интересному случаю интерференции посвящен также р
работ.
Друде и Нернст х) пользовались для обнаружения стоячих во
нием флюоресценции, помещая вместо коллодионного слод тон
желатина, окрашенного флюоресцеином. Слой светится в местах]
стей, причем наблюдаются равноотстоящие зеленые полосы.
Зелени 2) пользовался в качестве индикатора ультрамикрос
скими частичками серы, рассеивающими свет. Лейстнер s) сдел
вперед — получил стоячие волны в пространстве, пустив интерфери
пучки навстречу друг другу; таким путем является возможным
стрировать это явление даже на лекциях 4).
Чрезвычайно интересные количественные результаты были пол
Айвсом 5), который в качестве «пробной поверхности» употреблял
электрический слой (тонкая пленка щелочного металла), нанесенн
тончайший кварцевый клин на поверхности металлического зерк
следуя эмиссию фотоэлектронов (которая, очевидно, будет максим
в пучностях и минимальною в узлах) в различных точках клин
на различных расстояниях от поверхности зеркала, он получил к
распределения фототока, сразу дающие понятие о расположении ц
стей и узлов. Эти кривые прекрасно совпадают с теоретическими
выми распределения плотности энергии в стоячих волнах на повер
зеркал, вычисленными Айвсом и Фрайем.
Все эти опыты имеют большое принципиальное значение для I
нения природы светового вектора; к этому вопросу мы вернемся
(отд. III, гл. II, § 4; гл. IV, § 2).
13. Цветная фотография Липпзгача. Стоячие световые волны
использованы Липпманом е) для получения фотографических снам»
натуральных цветах. В качестве светочувствительного слоя он пользой!
прозрачною и беззернистою коллодионно-альбуминною пленкою, содер
щею иодистое и бромистое серебро; эту пленку он помещал на рт
поверхность которой и служила зеркалом. Тогда при экспозиции э;
пластинки, в тех местах ее, на которые попал свет, в пучностях вы
ляется металлическое серебро в виде тонких слоев; если длина вол
падающего света внутри эмульсии есть Л, то расстояние между слоя
1) Р. prude и. W. Nernst, W. А. 45, 460, 1892.
8) Selenyt, Ann. d. Phys., 35, 444, 1911.
8) Le'istner, Ann. d. Phys. 74, 325, 1924.
*) Lfistwr'u. Mobius, Ann. d. Phys. 74, 700, 1924.
*) Ф. Айвс и T. Фрай, Стоячие световые волны; повторение опыта Вивера
фотоэлектрической поверхности. Успехи физич. наук 14, 104, 1934, перев. С. Ч
дындева.
e) М. Laue, Handbuch der Experimentalphys. 18,265,1927; E. Lehmann, Farb
photographic, Handbuch der physik. Optik. (Gehrke) 2, 88, 1927; E. Valenta,
Photographie in natiirlichen Farben, Halle 1912
Цветная фотография Липпмана
1). Если на такую экспонированную, проявленную и отфикси-
* пластинку пустить пупок'света, то световые волны будут отра-
ва от каждого слоя; отраженные пупки будут интерферировать.
Ео совпадающие фазы и максимальное усиление будут наолюдаться
Ко тех волн’ длина КОТОРЫХ равна Л (или или и т. д.).
рассматривании такой пластинки в белом свете она будет пред-
Еггься окрашенной в яркие цвета и притом те, которые в основном
Еетствуют цветам при экспозиции, так как длина волны -% попадает
В этом в ультрафиолетовую область. При освещении инфракрасным
KjfQM можно иногда полупить фиолетовый цвет, так как здесь -у
Вгветствует видимой области спектра.
Гесли на такую пластинку подышать, цвета смещаются к красному
fcroy спектра, так как коллодионный слой при этом набухает и рассто-
Ее между отражающими слоями увелипивается. Если рассматривать
Естинку под косым углом, то, наоборот, цвета смещаются к фиолето-
Ему концу спектра. Это происходит по той же прияине, по какой кольца
Кютона смещаются при рассматривании под косым углом в направлении
Евшего порядка: действительно, как видно из формулы (14) на стр. 118,
Мвность фаз j двух луней, отраженных от двух поверхностей, находя-
Кхся на расстоянии d, пропорциональна cos %, где % обозначает угол
Йлона между двумя поверхностями к нормали в этим двум поверхно-
Вгам. При более косом наклоне лучей А будет, следовательно, меньше;
ЯЦнако в кольцах Ньютона это влияние будет значительно сильнее, чем
Бв лиипмановской фотографии, потому, что в первом случае в воздушном
% меняется с изменением освещения гораздо сильнее, чем в колло-
ронной пленке, показатель преломления которой во всяком случае не
рныпе 1,5.
Г- Вышеприведенное представление о Липпмановском слое как о слоистой
РФУктуре было многократно подтверждено путем микрофотографических
р^мков срезов таких слоев.
Чистота цветов в липпмановской фотографии зависит отчасти от вре-
див освещения, отчасти от числа отложенных слоев серебра; Айвс 3)
£г*Учал пластинки, в которых число слоев доходило до 250. Во всяком
Ерае Цвета эти не вполне чисто спектральные, а смешанные, с пре-
Ржанием света длины волны Л.
Мкх ' Интерференционные явления в рентгеновских лучах 3). Пред-
себе пространственную решетку какого-нибудь кристалла
61) и проведем произвольную плоскость через один из ионов, об-
Е^Чих эту решетку. Пусть это будет плоскость АВ. Через ближайший
Mik: 01е°рию распространения волн в такой слоистой системе дал 77. П. Касте-
ПЬщ^₽аспр0СТранении волн в неоднородной среде, Москва 1903; N. Kasterin, Livre
К 4 ^edie а II. A. Lorentz, 1900, стр. 514. Экспериментальная проверка:
£ Диллов, ЖРФХО, Физ. отдел, 43, 1911.
Л £4 zs. f. wiss. Phot. 6, 373, 1908.
1 bli- например F. Moglich, Handbuch der physik, Optik (GeftrSe) 1, 582, 1927.
136
Интерференция света
[Отд. |
к иону А ион А' проведем параллельную ей плоскость
Если сверху будут падать короткие монохроматические волны, то |
ные ионами плоскости АВ, А'В' и т. д. будут действовать на эти|
как отражающие зеркала. Волны, отраженные отдельными плоек)
складываясь, будут давать интерференционную картину, подобий
Рис. 61.
Если плоскости
давать интерференционную картину, подобной
которая получается при падении света я
кую пластинку. Мы знаем, что выражен!
длинах волн разность хода лучей при Я
нии от двух параллельных плоскостей рая
2 dn cos X 1
* ’ 1
где d— расстояние между плоскостями,
казатель преломления, X — угол преломленш
весьма коротких волн по теории п = 1, и|
показывающий неспособность X лучей к пр
лению, подтверждает этот вывод; тогда X J
выбраны так, что v
2d! cos у 7
А "К’
Рис. 62.
где к — любое целое число, то мы получим взаимное усиление л
отраженных всеми параллельными плоскостями, и в соответствующе]
правлении обнаружим заметное
действие лучей, например, на
фотографическую пластинку, на
электроскоп, на фосфоресцирую-
щий экран и т. п. Для этого
необходимо, однако, еще одно
условие, чтобы плоскость АВ,
которую мы провели через ион
А, на самом деле могла дей-
ствовать как отражающая по-
верхность; это будет не при
любой ориентировке плоскости
АВ, а только тогда, когда она
будет усажена ионами доста-
точно густо (плоскость, изобра-
женная на рис. 61, этому усло-
вию удовлетворяет).
* Мысль о кристалле, как
интерференционном приборе для
самых коротких электромагнит-
ных волн (лучей X), принадлежит ----г— -------- -- ™
ими учениками Фридрихом и Книппингом действительно открыл пре|
сказанное теорией явление. Рис. 62 представляет собой фотограф»!
пучка лучей X, прошедших через кристалл каменной соли. Мы в»
дим, что кроме особенно яркого центрального пятна (прямой пучок’
Лауэ, который вместе со с$
М.
Принцип Гюйгенса
137
(йво выступают другие пятна, расположенные некоторым законо-
м образом.
я строение кристаллической решетки, мы можем по расположению*
определить длину волны падающих на кристалл лучей X.
зот, зная эту длину волны, мы по расположению пятен можем
судить о расположении ионов или атомов в кристаллической ре-
11 действительно, открытие мюнхенских физиков составило эпоху,.
tg стороны, в спектроскопии, создав в ней целый новый отдел,.
>угой стороны — в кристаллографии, минералогии, учении о спла-
т. Д. х)-
Рис. 63.
Снимок 62 относится к случаю монокристалла. Когда мы имеем дело
поликристаллической структурой или с мелким кристаллическим порош-
имом, ориентировка отдельных кристалликов становится делом случая, и
'вся картина должна получить полную осевую симметрию вокруг централь-
ного пучка. Отдельные пятна растягиваются в концентрические кольца
(рис. 63). Этот метод предложен Дебаем и был применен Дебаем и Шере-
ром2) для определения структуры мелкокристаллических, а также аморф-
ных и жидких тел.
Впоследствии этот способ подвергся дальнейшему усовершенствованию
М. Зигбаиом,3) и ныне по точности начинает приближаться к спектро-
скопическим методам обычной оптики.
ГЛАВА 111.
ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА 4).
1. Принцип Гюйгенса (первоначальный вид). Выше (стр. 111) уже
Указывалось, что с точки зрения волновой теории объяснение прямоли-
нейного распространения света встречает некоторые затруднения. Чтобы
подойти к этому объяснению, Гюйгенс выдвинул принцип, что всякую
очку р> до которой дошла световая волна, можно рассматривать как
>Лучник новых элементарных волн, но что эти элементарные волны
.J^BaioT заметное действие только в точках огибающей их поверхно-
ДЛ Laue, Encyklop. der Math. Wissenschaften, V3 360, 1909; см. также Эвалъ&,
' g ,JbI и лучи Рентгена, 1935; О. Хвольсон, Курс физики, т. дополи. I, 217, 19^6»
ROy Ь^Пеизложенная трактовка принадлежит Брэггам: W. И. and W. L. Bragg, Proc.
$Ос- 89, 428, 1913; Рентгеновы лупи и строение кристаллов, перев. Г. В.
1918Г5• 1916; независимо от них она была дана Г. В. Вульфом: Phys. ZS. 14, 217,±
1 «V 718, 1920.
ь у Debye and Р. Scherrer, Phys. ZS. 18, 291, 1917.
Ronba SUgbdhn, Jahrb. d. Rad. u Elektronik, 18, 240, 1921; Spektroskopie de
r®strahlcn 49, 1921.
’ '•'И. !'. Moglich, Beagling, Ilandbuch der physikalischen Optik. {Gehrke) 499, 1927
138 Принцип Гюйгенса[Отд^^^И
сти. Пусть Q есть светящаяся точка и пусть на пути pacnpocJ^^H
света от этого источника стоит плоский экран с отверстие^^И
тогда мы можем следующим образом построить волновую поверхц^^И
которой дойдет световое возбуждение по прошествии определенными
межутка времени t:
Будем рассматривать все точки ,А3, лежащие в плоскости оя^И
AtAz, как новые центры возбуждения, от которых элементарные^^И
могут распространяться в пространстве за экраном. Эти злемеи^^Н
волны представляют собой сферические поверхности, описанные
точек А3; радиусы этих поверхностей, проведенных через точки,
. торых свет из то^М
лч доходит в одинаювы^И
/ \ мена I, имеют разл'^^Н
/ \ величину. Так, нап^И
/ х. возбужденный в (лИ
придет в точку А3 Щ
ше> чем в А}: со^^М
( (( /( у \1\/\ ствеино этой разницей
.5, I, | f л Y Y i A itfrw 5г- мени элементарные вЯ
<i 1 L -4/Дл I Д» I й 11 \Twl/G л
\ \ \ А \ А А /\/ вокруг Л3 должны яН
\ уу \ \/\/ у Уу\. больший радиус, чемд
ны вокруг Av ОчевЛ
что для всех элементам
/ волн сумма радиусов
расстояния их центров
Рис- 64- Q должна быть велм
ной постоянной. 11оэЛ
огибающая поверхность этих элементарэых волн представляется учаси|
шаровой поверхности (на рис. 64 вычерчена жирно) внутри конуса, ш
щего от Q к краям экрана Д*$2, т. е. ограниченной точками BtBz. ВнуЯ
•этого конуса, следовательно, свет от Q распространяется так, как бу!
экрана вообще нет, вне же конуса никакого светового возбуждения!
имеется. 1
Хотя таким образом по этому принципу действительно получив
прямолинейное распространение света, но все же его применение в эя
формулировке вызывает серьезное сомнение. Во-первых, из рис. 64 види
цто огибающая поверхность (С1С2) элементарный волн около точек!
может.быть проведена также и в пространстве между экраном и исто’
ником света. Следовательно, свет всегда должен был бы распространять^
также и назад, в то время как в абсолютно однородном пространен
этого никогда не наблюдается. Дадее, приведенное построение, соответств]
ющее прямолинейному распространению света, должно наблюдаться всегда
как бы ни было мало отверстие экрана; между тем, как уже было упомяну!
-выше на стр. 17, при очень малых отверстиях свет уже не распростри
няется прямолинейно, а наблюдается так называемая диффракция свет!
Наконец, спрашивается, почему эти рассуждения не годятся и для звук!
для которого всегда наблюдается диффракция, или, по крайней мере, тен
представляется размытою?
Принцип Гюйгенса-Френеля
139
|)®де чем говорить о введенном Френелем усовершенствовании прин-
"юйгенса, приведем гюйгенсовское объяснение преломления и от-
1Я. Пусть АгА2 (рис. 65) представляет собой плоскую границу
двумя срединами I и II, в которых скорости распространения
Fi й А различны, и пусть волна, плоскость которой в некоторый
- t0 имеет положение АХВ, падает наклонно на пограничную по-
сть АгА2. Спрашивается, какое положение будет занимать поверх-
волны светового возбуждения в среде II к моменту t0 4-1?—Будем
тривать точки А, лежащие на границе, как возбудители элемен-
с волн, имеющих опять различные радиусы, так как точки А бу-
збуждаться плоскостью волны АВ в различное время. At будет
дена в момент te,— следовательно элементарные волны около Аг
л быть начерчены радиусом
= V2t. Положение точки А2 вы- В
так, что она возбуждается в 2
с t0 +1. Это имеет место, если \
нная из А2 на плоскость вол- \
йы нормаль А2В имеет длину V-& а
5ак как в однородной среде, напри- у -------------------------------
<ер в I, всякий участок плоскости \
Эолны распространяется параллельно 1
самому себе в направлении нормали к
^волне. Согласно этому положению ра- Рис- 65.
диус элементарной волны около А2
равен нулю. Для какой-нибудь точки А между Аг и А2 радиус элемен-
тарной волны постепенно убывает от V2t до нуля, пропорционально рас-
стоянию АГА. Поэтому огибающая поверхность элементарных волн среды
П представляет собой плоскость А2С, касательную к шаровой поверхно-
сти, описанной около Аг. Угол ДСД будет, следовательно, прямой. Но
ДЕ как sin (р — ВА2: ДД = VJ: ДД; sin % — CAi: ДД == V2t: ДД,
то
= -4- = const.
sm х И2
Так как <р и % суть углы падения и преломления, то это уравне-
представляет собой известное выражение закона преломления. При
yOv. как уже было упомянуто без теоретического обоснования на стр. 111,
З^затель преломления п равен отношейию скоростей распространения
в обеих срединах.
Коли построить элементарные волны, идущие от точек А в среду 1,
t прямо придем к закону отражения.
^совершенствованная формулировка принципа Гюйгенса, дан-
Френелем. Произвольное допущение Гюйгенса, что заметное
•Жецта е Б°змущение имеет место только на поверхности, огибающей эле-
Пврес Вь1е волны> Френель заменяет положением, что элементарные волны,
<у1еТекаясь» подчиняются принципу интерференции. Таким образом свет
Уде Наблюдаться не на огибающей поверхности, а во всех тех точках,
t Лементарные волны взаимно усиливаются; напротив, темнота насту-
140
Принцип Гюйгенса
[Отд.
пает там, где элементарные волны взаимно уничтожаются. С 1
этого принципа Френеля-Гюйгенса можно действительно вывести
фракцию света, так и прямолинейное распространенье, а равным
отражение и преломление.
Рассмотрим световое возмущение в точке Р, вызываемое ист
света Q (рис.. 66); допустим сначала, что между Р и Q не име
какого экрана. Поверхность шара, описанную около Q рациусоа
можем рассматривать
соответствует
световое
8 г=
как поверхность волны, всем элементам
। возмущение (см. выше стр. 110)
а )
"П*
где А обозначает амплитуду света на pi
в ии а — 1 от источника света Q. Фреи
лит поверхность шара на кольцевые з
дентром на прямой QP; зоны эти, строят
дующим образом: первая зона (центральн
ходит до точки Мъ причем расстояние
больше расстояния М0Р на х/а Л. О юза
МГР2 через Ъ, тогда, следовательно, МгР =*'
= Ь 4- Л; Вторая зона лежит между j
М2, причем Л£2Р = rz = 4- у- Л.
зона лежит между М2 и М3 причем
= гз = г2 + у К и т. д. Рассмотрим теп
какой-нибудь зоне, например, в третьей, i
цевой элемент, лежащий между М и
значения: МР = г, М'Р — г 4-dr, далее
Введем следующие о'о
== и, M'QP = и р du. Тогда площадь такой элементарной зоны б
do = 2 п a2 sin и du.
Из равенства
, г2 = а2 4- (а + Ъ)2 — 2а (а + Ь) cos и
после дифференцирования получаем:
2r dr = 2а (а + b) sin и du,
равенство (2) можно переписать:
< do — 2л —г dr.
' * a-j-b
Световое возмущение ds', вызываемое этой элементарной зоной;
точке Р, должно быть пропорционально do и обратно-пропорциональ
г, так как (см. выше стр. 109) возбуждение от источника света беек
вечно малых размеров убывает обратно пропорционально расстоянию
него. При этом из уравнения (1) следует:
ds> = cos do 1
Принцип Гюйгенса-Френеля
|йнимая во внимание уравнение (3):
dsr cos 2лг(4~-
(<')
является коэффициентом пропорциональности, который может за-
гь только от наклона элемента do относительно направления г. Фре-
, принимает, что к будет тем меньше, чем больше г наклонено от-
дельно do. Если же мы будем считать угол меаиу г и do постоян-
। внутри всей зоны Френеля, например, между Мп -i и Мп, что до-
гимо, когда а и Ъ велики по сравнение с длиной волны Л, то для
ствия этой ?г-1Й зоны из уравнения (4') следует, в виду того, что к
яо постоянной кп:
гп
Sn'= j*ds'= 2лJ*cos 2л (А __dr (b)
rn-l
i
ao так как rn~i — b 4---------— Я, rn —Л) 4- ~ Я, то, следовательно,
& bi
s„- = (_l)n+1^fSin2«(v—a-^-\ (6)
Отсюда видно, что последовательные зоны привносят в s' попеременно
меняющиеся знаки. Если через sn обозначить абсолютные значения для
8», то все действие s’, которое первые п зон производят в Р, опреде-
лится по принципу интерференции следующим рядом:
s'— Sj—S2 + S3 — s4 4- • . • + (—1)” lsn. СО
Если принять &п для всех зон одинаковыми, то все sx, s2... должны быть
равны между собой. При этом значение ряда (7) будет колебаться в за-
висимости от величины п. Однако кп, а, следовательно, и sn непрерывно
Убывают с возрастанием п, потому что наклон г относительно do будет
больше, чем больше п. В этом случае можно просуммировать ряд (7)
бедующим образом *). В случае нечетного п можно написать:
S' == Л1_ ! / S1 <, I S3 \ I / S3 g J
2 \ 2 §2 + 2 / ‘ \ 2 Л
1 ч_
2 л 2 ’
(8)
,J® также:
s'^~-V{(f-s3+4H+(-v-(-V-
- «п- + )}- + Sn. (»)
) См. Шустер, Введение в теоретическую оптику, ОНТИ, 1935, стр. 92.
142
Принцип Гюйгенса
[Отд.1
Если каждое sp больше среднего арифметического двух сосе]
вытекает, что:
я 8р+1, то из уравнения (8)
I $п
2 2 ’
напротив, из .уравнения (9) следует:
3
Но эти два предела, между которыми заключено таким образом
между собой, если, как это имеет место в данном случае, каждом
личается как от sp~i, так и от только на бесконечно малуи
чину. Поэтому: J
s'=4+4-- L
Аналогичный вывод применим и для того случая, когда казЛ
меньше среднего арифметического двух соседних значений sp_i Л
Если нанести sp в виде последовательных ординат с равноотстоЛ
абсциссами, то линия, соединяющая концы ординат, образует в дЯ
случае кривую линию, выпуклую в сторону оси абсцисс. В пЯ
случае кривая будет вогнутая относительно оси абсцисс. Тот же рея
тат, т. е. формулу (10), можно получить, если эта кривая для sp с<Я
из конечного числа выпуклых и вогнутых частей. Формула (10) Я
бы быть непригодной только в том случае, если бы это число было!
конечно велико. Однако этот случай, очевидно, не может иметь Ml
благодаря условию, которому должен удовлетворять множитель
Френеля.
Если п четное число, то с помощью аналогичных заключений, тоЛ
при другом комбинировании членов ряда (7), получим: J
«'=4-Л- (*
Согласно Френелю нужно эти зоны строить до тех пор, пока исй
дящий из Р радиус-вектор г не сделается касательным к поверхнщ
волны, описанной около Q. При этом для последних зон г будет пап]
влено нормально к этим зонам, и тогда кп, а значит и sn равны
Френелю нулю. При этом значения (10) и (10х) будут тождественны
световое возмущение в Р будет иметь значение:
Можно считать, что оно вызывается действием только тех элемента
ных волн, которые исходят из половины центральной зоны.
Если теперь поставить какой-нибудь экран, то его действие на
существенно будет зависеть от того, оставляет ли он свободным це
тральную и ближайшие соседние зоны или нет. Можно было бы думат
что действие света в Р уже совсем прекращается при наличии кругло
Принцип Гюйгенса-Френеля
143
i, которого лежит в 2И0, и который закрывает половину цен-
д. Однако это неправильно. Если какой-нибудь круглый
тром в Мо будет поставлен нормально к PQ} то по-
Френеля можно начать от краев этого экрана. ' Вточке Р
i опять половина действия первой прилегающей к экрану
будет действительна формула (11), где Ъ обозначает теперь-
жду Р и краем экрана, и также относится к зоне, при-
даю экрана. Таким образом на центральной линии М0Р
точке не может наблюдаться темнота. Это поразительное
действительно подтверждается и наблюдением. Только для
эые очень велики сравнительно с длиной волны, но не малы
с расстоянием Ъ, действие света в Р ничтожно, потому что
формулы (5) будет тогда мал. Равным образом действие
будет мало, если в Мо будет поставлен не вполне точно
н s величиной во‘много длин волн. Чтобы в этом убедиться,,
ебе, что экран s ограничен бесконечно малыми дугами
тром в Мо и переменного радиуса. Пусть центральный угол
)удет d(plt расстояние ее края до точки Р пусть будет Ъ1}
усть будет аР Тогда в силу формулы (И) и предыдущих
1ствие всего свободного отверстия, лежащего между обоими
лорами, проведенными из точки к концам первой дуги,
равнением:
7 , kJ~A d<pr . n / t а, + Ь, \
> ds/= —у-т— • • sm -7р------1 Y 1 .
г 1 aj + Oj 2 зх, \ Т К )
". Действие свободного отверстия, ограниченного двумя радиусами, про-
веденными к концам второй дуги с центральным углом dcp2i аналогичным
образом выражается так:
-^ь- S’• йп2я(4-
1 т- Д. При вычислении s' в точке Р для случая, когда в Мо помещается
экРан неправильной формы, все эти действия надо суммировать. Если
Эт°т экран не слишком велик, то можно положить /c1=fc2 = fc3 и т. д.;,
равным образом в знаменателях «i-t-bi, «2 + ^2 и т. Д- можно прене-
°Р®нь различием а и тогда получим:
5 =(а 4-о)2Й S1D ^Я\Т ) +
4-dy2sin2«(4-------+
ъ
так к а₽гУ менте синусов мы не можем положить аг + => аа 4- Ь2 и т. д.,
Дейст эти величины здесь делятся на очень малую длину волны Л.,
Дучи 8йтельн0> если диаметр экрана S охватывает много длин волн (бу-
Такжл ЯРИ этом всег0 в несколько миллиметров величиной), то а + Ъ
Вепг)апМеняется на много длин волн- ПоэтомУ в выражении (11'), при
г“«Ильной форме экрана, чередование знаков у отдельных членов-
144
Принцип Гюйгенса
[Отд. 1Ц
будет нерегулярным, вся же сумма будет в общем случае бески
мала, так как только при определенной правильной форме экрана
пример, когда все а и Ъ в точности равны, получается конечная q
s'] при неправильном экране сумма s', вообще говоря, является |
нечно малой. Поэтому можно говорить о прямолинейном распростри
-света, так как достаточно большие экраны неправильной формы, ле»
на линии, соединяющей Q и Р, вызовут в Р темноту. 1
Если между Q и Р поместить экран с круглым отверстием, i
которого находится в 2И0, то в зависимости от величины этого отве1
.действие света в Р будет очень различно. Если оно оставляет свои
только половину центральной зоны, то действие света в Р будет 1
же, как если бы вообще никакого экрана не было (естественное oci
ние). Если отверстие вдвое больше, так что остается свободно!
центральная зона, то s' в Р будет вдвое больше, чем раньше,-
освещенность в Р будет вчетверо больше естественной. Если о
увеличить отверстие вдвое, так что останутся свободными nejn
две центральные зоны, то по формуле (7) s' — зг— s3, т. е. s' Я
почти равно нулю и т. д. Эти выводы также подтверждаются набЛ
ниями. Вместо того, чтобы менять величину экрана и отверстий, мЛ
просто передвигать точку наблюдения Р по прямой QMq, я
Итак, указанная Френелем модификация принципа Гюйгенса не тоЛ
объясняет прямолинейное распространение света, но также уточняет е
закон, сводя его к некоторому предельному случаю г), и предсказыЯ
отклонения от этого закона, так называемые явления диффракция
соответствии с наблюдением. Но все же в рассуждениях Френеля моя
отметить два недостатка. Во-первых, от любой волновой поверхши
свет должен был бы распространяться не только в одном направлевя
но также всегда и в обратном (назад к источнику света). Этот недос
ток свойственен и первоначальной форме принципа Гюйгенса (см. вы
ctp. 138). Во-вторых, вычисления Френеля приводят к неправильному 1
ражению для фазы светового возмущения s' в Р. В самом деле, по ф
муле (1) стр. 140 при прямолинейном распространении света должно б!
«бы быть:
t A П f t d “1“ Ъ \
s’ — ——Г cos 2л; -7р------5:
а + b \ Т л 1 I
-в то же время по формуле (11) стр. 142 при передаче посредством элемеЙ
тарных волн от поверхности волны получается: j
Л S — a + b sin 2 (T
Чтобы получить тождество амплитуд в этих выражениях для J
можно принять /q = -Y-, н0 фазы в этих выражениях привести;
совпадению нельзя. Эти недостатки отпадают, если подвести под прин®
*) Причиной того, что он плохо оправдывается в звуковых явлениях, явлне1
оолыпая длина звуковых волн, по сравнению с которыми обычные препятствия ОкН
ваются уже недостаточно большими I
1
ДифФеРен7¥шльньье ур-ния для светового возмущения '146
^К. пса строго аналитическое основание. Впервые это сделал Кирхгоф *).
^^едующий» более простой вывод, приводимый в §§ 5 и 6, близок к
e.v Фохта3).
^^Дифференциальные уравнения для светового возмущения. Мы
K ir легв0 вывести аналитическое выражение для светового возмущения
какой-нибудь точке Р пространства, когда речь шла о сферических
* 0 плоских волнах. Если на пути светового луча встречается какое-
ML.b препятствие, то поверхность волн часто деформируется сложным
|Е?эом. Чтобы составить в таком случае аналитическое выражение для
^Крадется уже исходить из более общего основного положения, а именно
К дифференциального уравнения, которому должно удовлетворять s.
К Всякая теория света, так же как и вообще всякая теория состояния,
КцВространяющегося волнообразно, приводит к дифференциальному урав-
Вминю.'
f ^=V2№ + ^+a%\=rtAs; (12)
ot* \дх2 оу* 1 oz2 / v J
пдесь t обозначает время, х, у, z— координаты прямоугольной системы,
|У—скорость распространения волн. Этот результат теории можно будет
|ддесь принять на веру; вывод самого дифференциального уравнения с
шектромагнитной точки зрения будет дан ниже (отдел III, глава 1).
f Покажем сейчас, как из приведенного дифференциального уравнения
(вытекают уже применявшиеся аналитические выражения для случаев
НЬоских и сферических волн.
Положим, что для плоских волн ось ОХ совпадает с нормалью к
^поверхности волны (с направлением распространения); тогда s может
зависеть только от х и «, потому что во всякой плоскости х = const,
‘Являющейся плоскостью волны, колебательное состояние для определен-
ного значения t должно быть во всех точках одно и то же. В таком
случае уравнение (12) сводится к:
д2з _ySd2s
dt2 “ К дх2 ‘
Но общий интеграл этого уравнения будет:
s = dt-^ + dt + l
(13)
(14)
В6 А обозначает любую функцию от аргумента t — — любую
,нкЧию от аргумента 14- . Действительно, если обозначить
J?2aBo^HbJe функции и f2 по их аргументам через ft' и //,
в°Дные через fxr' и //, то получится
L ъ-к+к, й=//+//.
( Р8 _____1 / / ।__1_ / г д3з _ ।_1 г н j_1 , н
д% у h ~Г у h > "Г уг II "Г уа /2 ,
*) ly Jfchhoff, Ges. Werke или Vorlesungen fiber math. Optjk.
L « * Foigt, Kompendium der theor. Phys. II, S. 776, 1896.
L ‘ ^’"Оптика
первые
вторые
10
146 Принцип Гюйгенса [Отд,*
т. е. уравнение (13) удовлетворяется. Если же зависимость s 61
является чисто периодической (s пропорционально cos 2 л; • — у!
ответствует монохроматическому свету, то по формуле (141
быть 1
s = А! COS 2л ~ 4- <5^ Н- Л2 cos 2 л;
где At и As, <?! и <32 суть некоторые постоянные. Это соответст]
тему предыдущему определению плоских волн с длиной волны (
а именно, представляет собой амплитуду волн, распространяв
направлении положительной оси ОХ; Л2— амплитуду волн,
отраняющихся, напротив, в направлении отрицательной оси ОХ.
В случае сферических волн, распространяющихся от начала ко
s может зависеть только от t и от расстояния г от начала ко
Мы имеем поэтому:
ds __ ds dr ___ ds x
dx dr dx dr r ’
ds __ ds dr ds у
dy dr dy dr r ’
ds __ ds dr _____ ds z
dz dr d z ~ dr r ’
В самом деле, так как г2 = ®3 4- у2 4- ^2, то частные проиа|
-будут:
тдт — хдх,
т. е.
dr х , х
-я- = — — COS (г, ж)
dx г v » у
и аналогично:
dr _ у dr _ z
dy г ' dz г *
Далее следует:
das___ 1 ds . х2 d / 1 ds \ __ ж2 d2 s , ds / 1 ж2 \
dx2 r dr ‘ r dr \ r dr ) r2 dr2 ' dr \ r r* /
и аналогично:
d2s __ у2 d2s . ds / 1 y2 \
dy2 r2 dr2 dr \ г r3 / ’
d2s _ z2 d2s . ds f 1 z2 \
dz2 r2 dr2 * dr \ r r3 /
дую^ий^₽еН^ИаЛЬН(>е ура~ будет иметь в этом случае 1
d2s р-21 d*s 2 _ds\ J
f di2~y dr J’ X
что можно также написать , в виде:
д2 ('$) _ т/г д2 №
dt2 dr2
Вспомогательная теорема 147
уравнение такого же вида, как (13), только вместо s здесь стоит
^«вместо « стоит г. Интеграл уравнения (17) в соответствии с (14)
в*' rs = A (t - В} + 4 (« + -₽)• (18)
мы опять имеем монохроматический свет с периодом Т, то
5 = ^соз2л(4- —^ + d>)+vScosM4 + lT+<i2)- <19)
Е ^т0 __ наше прежнее выражение для сферических волн. Одна система
Ж1Я выходит из начала координат, другая идет к нему. Амплитуды, на-
L,upo 41, обратно пропорциональны г. Этот результат, которым уже поль-
Еяалпсь выше, стр. 109, для определения освещенности, вытекает, следова-
|мьно, из дифференциального уравнения (12).
Прежде чем выводить из этого уравнения (12) принцип Гюйгенса,
«обходимо доказать одно вспомогательное положение.
ь 4. Вспомогательная теорема. Пусть dr обозначает элемент объема,
F — функцию конечную, непрерывную и однозначную внутри простран-
ства, ограниченного замкнутою поверхностью 8. Рассмотрим интеграл,
распространенный на весь объем внутри 8:
J*d^^Xi=s J*fadxdydz.
> Можно произвести частное интегрирование по х, т. е. можно сначала
> дУ
просуммировать те элементы ^dr интеграла, которые лежат на некото-
рой прямой G, параллельной оси ОХ. Тогда получим:
dydz /9£^Х== dydZ -^1 + -^2 “ -^3 + -^4 И Т- Д-)>
гАе F2 и т. д. суть значения функции F в тех точках по-
верхности 8, в которых она пересекается прямой G. Для общности вывода
мы приняли, что эта прямая G может пересекать поверхность 8 несколько
во всяком случае число мест переселения должно быть четным,
потому что 8 представляет собой замкнутую поверхность. Если итти по
Рамой G в направлении возрастающих х, то Flf F3 и т. д. с нечет-
стпаИ Индексами обозначают значения F в местах вхождения в про-
инйеСТВо’ замкнУт°го поверхностью 8, a F2, F4 и т. д. с четными
очейкСами—значения F в местах выхода. Теперь, приняв за основание
г рогоЬ Малый: прямоугольник dydz, мы построим столбик, ось кото-
* ПаРаллельна оси он вьгРежет из поверхности 8 в рассмотренных
этом Лестах входа и выхода участки, величиной dSl} d82 и т. д.; при
8аждый раз:
dydz — ± dS cos (п, ж),
Лосп/ч’ обозначает угол, образуемый с осью ОХ нормалью к поверх-
С в месте пересечения. При определении знаков следует руковод-
ю*
148
Принцип Гюйгенса
[Отд. |
ствоваться тем соображением, что правая часть положительна, *
рассматриваемые отрезки поверхности суть существенно положу
величины. Пусть положительное направление п совпадает с внуЯ
нормалью пространства, ограниченного 8. Тогда для мест входа пЛ
dydz — 4- d^icos(ni, ж) = 4- dS3 cos (n3, x) и т. д., я
для мест выхода, напротив: Я
dydz = — dS2 cos (n2, x) = — dSA cos (n4, x) и т. д. 1
Отсюда: J
dydz J^dx = — Лcos (ni> dSt — Fa cos (n2, x) d82 и т. д.|
Произведем теперь интегрирование еще по у и г, чтобы noil
весь рассматриваемый интеграл по объему; для этого мы должны]
суммировать произведение .Fcos(n, x)dS по всей поверхности 8. 33
образом: '
J*^dp = — J*Fcqs (п, х) dS, ,
причем в правой части F обозначает значение функции на элементЛ
верхности dS. Я
Таким образом интеграл, первоначально распространенный по объЯ
!с помощью вспомогательной теоремы преобразуется в интеграл, расЯ
страненный по поверхности этого объема. Из хода доказательства вш
что F внутри рассматриваемого объема должно быть однозначным,я
нечным и непрерывным, потому что иначе при частном интегрировав
появились бы не только значения Flt Fa, относящиеся к поверхнош
•но также и значения, относящиеся к внутреннему объему. 1
5. Две общие формулы. Пусть U является функцией, явно сои
жащей х, у, z и г. Пусть г представляет собой расстояние от начя
координат, т. е. г2 = ж2 4- у2 4- Л Будем обозначать через ~ диф!
ренцирование только по явной переменной ж, так что у, z и г расой
триваются при этом как постоянные. Напротив, через ~ будем обоз$
чать «производную от U, получающуюся при перемещении па отреэ!
dx вдоль оси ОХ, причем следует принять во внимание, что при
меняется и г. Тогда получаем:
ди . ди дг ди , ди г . /J
dx дх dr ’ дх ~~ дх dr C0S (Г’ ж)’
так как (см. выше стр. 146) ~ = cos (г,х). Отсюда вытекает так»
£ ( 1 _ а ( 1 эи\ . д / 1 ди\ .
dx\ г дх) дх \ т дх)+ дг \ г дх/ C0S (Г’
Две общие формулы
149
lf так
[ОЙ:
как при дифференцировании ~ величина г является посто-
А /X X = 1
dx\ г дх) ' г
, 1
d2U 1 dU , . ,
• ^cns(r> :
, 1 d4J , .
+ V «О-
Аналогично:
1 dU\ 1 d2U 1 dU ,
г ду ) “ г ду2 г2 fycos(r>^)+’
, 1 d2U . ч
4----л-д- cos (г, у\
1 г дгду ' ’ v
1 dU\ 1
(22)
d2U 1 dU , ч ,
cos(r,®) +
-д-д— COS (г, Z).
дгдг ' ’ '
£
г
J
(23)
Под
вследствие
U меняется при этом по многим причинам: во-первых, меняется пере-
менная г, явно входящая в U, что дает величину
роны, меняются также явно входящие в U переменные ж, у, z, а именно,
как показывает простое геометрическое соображение, на dr «cos (г, х),
dr>cos(r, у), dr-cos (г, z). Таким образом:
dU ди ди , . , ди ( ч , дЪ , х
г = г _1_ — cos (г, х) 4- Г- cos (г, v) - - т- cos (г, z).
dr dr ‘ dx v ' 1 ду ' dz ' ’ '
Если заменить в этом уравнении U значением то получим:
d fdU\ d2U . d*U z ч , дЧТ, ч ,
^7 Ы = ^ + cosу) +
4- — cos (г, z).
' droz к г
^пР^адывая три уравнения (22) и принимая во внимание уравнения
•' ) и (24)л получим:
Л. (Д 4.1 _i_ _£
dx \ г дх } * dy \ г ду / ‘ dz
г \0ж2 ' дуа 4~ dz2 dr- J ‘
________________1_ /сШ _ dU\
ra Xdr dr /'
следует понимать производную от U по г, получающуюся •
продвижения на dr в строго определенном направлении г.
с другой сто-
(24)
(25)
160
Принцип Гюйгенса
[Отд.
Но:
1 d_(dJJ\ 1 d_U = 1 d / dU\
г dr \ dr / ‘ г2 dr г2 dr \ dr J
Умножим уравнение (25) на элемент объема dr — dxdydz кЯ
: 1 ди 1 ди 1 ди Л
тегрируем по объему, внутри которого — — Tz ода
ны, конечны и непрерывны; применяя J) три раза вспомогатЯ
теорему (20) на стр. 148 и принимая во внимание уравнение (2бД
чаем: Я
-,/т {gfcl)S(n> ж) + й7ео8С,г. й + I
, аи , л fl (»U , д*и , w 1
+ fcCOS(n, 2)jdS=J +8у +8J, - !
d2U\, , Г 1 d I dU Г7\ , ?
— rdт / -г — и] dr.
dr2J 1 J г2 dr \ dr / ’
Начало координат, конечно, должно быть вне объема, на коЛ
распространяется интегрирование, так как там — будет бескои
велико. Необходимо различать два случая: когда 1) объем, по которому беи
интеграл, ограничен поверхностью 8, не заключающей в себе на!
координат, и когда 2) эта поверхность 8, ограничивающая снаружи обл!
на которую распространяется интеграл, заключает в себе начало в!
динат. ]
II случай. В этом случае, который мы рассмотрим первым, мы 1
ключим начало координат из области, на которую распространяв'
интеграл; для этого мы опишем около него сферу К очень малого ’
диуса о. Область интегрирования имеет при этом две ограничиваю!!
поверхности: внешнюю £ и внутреннюю — поверхность сферы К. Ви
дящий в уравнение (27) интеграл по поверхности следует при этЯ
распространить как на внешнюю поверхность так и на поверхнос!
сферы К. - Однако последний интеграл не даст в результате коиечт!
величины, если о бесконечно мало, так как поверхность К будет беем
нечно малой порядка е2, а в левой части уравнения (27) г входит |
знаменатель только в первой степени. Далее мы можем положить:
z к . 0U / \ О и г \ OU /ПО
& cos (п, х) + сов(», у) + cos (и, г) = (28
где dV:dn обозначает частную производную, которая получится, еелй
пройти на отрезок дп в направлении внутренней нормали п к поверх-^
____________ ।
г) Входящее в формулу (2о) обозначение — имеет тот же смысл, как входящее
их
j!
сюда обозначение . Эту же формулу можно здесь также применять для дифферен-
цирования по у г.
Две общие формулы
151
5 причем г надо рассматривать как постоянную. Тогда левая
уравнения (27) преобразуется в
V _ г± ™dSt
J г дп
интеграл следует распространить только по внешней поверхности
^Евключая поверхность сферы К).
И* Последний член правой части уравнения (27) мы можем преобразо-
^Еть приняв:
И»1 ’ dr = r2d(pdr, (29)
Кличем элемент объема мы будем представлять себе так, что из шаро-
Ерго слоя, заключающегося между радиусами г и r + dr, вырезается
участок некоторым элементарным конусом с телесным углом отверстия d<p.
Каким образом получаем: _
I f 1 d / ди тт\, f* d / dlT ТЛ
Е / —2 -у- г л—U]dx = й dtp / dr • -г- г д-U =
К- J г2 dr \ dr ) J 'J dr \ дг }
Г р
[ -Ж-1'
рде г есть значение г на внешней поверхности 8 области инте-
’ грирования. Если q будет бесконечно мало, то г ~ при г = q не будет
конечно. Далее, для lim q — 0 имеем:
fd<p(U) =4лР0, (31)
,если через UQ обозначить величину U в начале координат. Так как
. далее
(30)
r2d<p = — dS cos (п, г), (32)
если за положительное направление г принять направление от начала
координат, то получим:
— = — fd8-ws(n, г)(4 =
= cos (nr) (v)’ (33)
®₽0Чем этот интеграл надо распространить по внешней поверхности 8.
из УРавнения на основании уравнений (28), (30), (31) и
' *) окончательно следует:
_/{v d£-™sM^')}dS=‘
(3«
вани Этом УРавнении можно распространить пространственное интегриро-
Ие По всему объему, ограниченному поверхностью 8У так как беско-
152
Принцип Гюйгенса
[Отд. .1
нечно малая сфера К, объем которой пропорционален {?3, исчезая
для lim р = 0, в виду того, что г входит в знаменатель только вя
степени.. J
I случай. Если начало координат находится вне поверхности
все предыдущие рассуждения можно оставить без изменения, и'|
отпадает построение со сферой К. Чтобы проинтегрировать поД
член правой части уравнения (27), положим совершенно так жед
раньше: 1
dr = r2d(pdr,
однако теперь пределы интегрирования будут не q и л а именно'!
расстояния гг и г2 от начала координат, на которых ось элемент^
конуса с отверстием d<p встречает поверхность 8. Отсюда следует:;
/1 d f 9U тт\ j Гл U dU тт\
> ~ u)dt= j drp ГЭГ “ ul~
Если dS обозначает элемент поверхности, вырезаемый элемент;
конусом из 8, то в месте входа элементарного конуса имеем, так
должна быть внутренней нормалью 8:
r*d<p — Ц-dS cos (тг, г);
напротив, в месте выхода будем иметь:
r^d<p = — dScw (п, г).
Поэтому интеграл по объему (30') можно переписать как интеграф
поверхности:
—fdS-<xs(n, 5/ — ^-)------fdSto»(n, г)
Следовательно, для этого случая из уравнения (27) получаем: 1
— — cos (и, г) (—)} dS —
J I г дп 4 ’ 7 dr \ г /J jj
__ fl (дЧГ д*и д2и d*U\,
~~ J г \джа + ду* + dz2 dr2 )’ (34
6. Строгая формулировка принципа Гюйгенса. Применим форму!
<34) и (34') к следующему случаю: пусть s представляет собой светом
возмущение в какой-нибудь точке, .«0 значение s в начале координЯ
s удовлетворяет дифференциальному уравнению (12) на стр. 145. Под
будем понимать ту функцию, которая образуется из s, если аргумент
(время) заменить через t--Выразим это следующей формулой:
р).
Строгая формулировка принципа Гюйгенса'' 153
। таКом случае, очевидно, U0 = s0, так как в начале координат
L0 Далее, на основании дифференциального уравнения (12): >
‘ । w . д2и\
Of2 \0ха ' ду3 dz3 /
7 go так как U является функцией от аргумента t-----у, то, следо-
Етельно (см. выше стр. 146 и 147, формулы (17) и (18)):
V dr*'
д2и__
1?-"
0з обоих последних уравнений следует поэтому:
W <ЭЧ7__ w
дх3 ' ду2 ' dz3 дгг ’
f, Поэтому из уравнения (34) получаем для случая, когда поверхность
р заключает в себе начало координат:
4л80
|-----------------cos О, г) —
Рис. 67.
<35>
Содержание этой формулы можно интерпретировать следующим обра-
зом: световое возмущение s0 в любой точке Ро (в которой мы поместим
начало координат) можно рассматривать как наложение возмущений, рас-
пространяющихся со скоростью V в направлении к Ро от элементов dS
•Любой замкнутой поверхности, заключающей в себе точку Ро. В самом
Доле, элементы интеграла по по-
Верхности (35) являются функ-
циями аргумента t-----и, зна- в
?JT’ фаза каждого элементарного
’осуждения возникнет в Ро на
"V* Позднее, чем в dS.
ъ
этой форме уравнения (35)
Ьт,йУзнаем основное положение
ЙнсаВа'1альн0110 принципа Гюй-
Рооач °^нако колебательное состояние отдельных центров колебания теперь
А сложнее, чем * прежде; там отдельные элементы, по которым
ралсд интеграл, были просто пропорциональны s (t—(см. формулу
W на стр 140)>
~154 Принцип Гюйгенса[Отд. Щ
Таким образом на основании формулы (35) можно вычислим
ds 'Дм
щение s0 в точке Ро, если известны возмущения s и — на 'Ш
той поверхности 8. В определенных случаях это и имеет место, наЦ
при пользовании точечным источником света Q и при отсутствии Э19
когда вообще однородность пространства ничем не нарушается. Я
случае можно, конечно, прямо написать s0. Все же для дальнД
полезно применить формулу (35) и к этому случаю. |
Пусть источник света Q лежит вне замкнутой поверхности
мущение в какой-нибудь точке Р на 8, лежащей на расстоянии
.источника света Q, определяется уравнением: J
А л f t \
s= - cosing--f).
Отсюда:
ds ds , .
— = a- cos (n, rd,
on dr J. v ’ 171
t. e.
ST = cos (n, П) {— cos 2л (-у — -?«-) +
+ 2^8ш2л(4-5>)|.
A?* 1 \ J. in / !
Так как очень велико по сравнению с 2, то мы можем оторв!
первый член, как очень малый по сравнению со вторым, и таким о|
•зом получим: |
( г \ 1
0s (f___— | J
\ V ) , . 2nA . n / t r 4- rA л
-----s—L = cos (», r,) sin 2л (-у----------p). (<
Далее, из уравнения (36) следует:
л /'
Если продифференцировать это выражение по г, то аналогично ура
нению (37) можно опять пренебречь одним членом, так как гопять-та:
очень велико по сравнению с 2. Таким образом получаем:
1---
“ Лггг sin2^-^- j (39^
Подставляя значения. (38) и (39) в (35), получаем:
5° в 21 J*~rr1 sin — Г' л~~) tcos (.пг) —cos (wri)] d8. (40^
Строгая формулировка принципа Гюйгенса
155
Вв этой формуле мы опять встречаемся с прежним выражением Фре-
f М) на стр. 140, но со следующими расширениями:
К. Множитель Френеля к выводится здесь непосредственно из основ-
L ’ положения теории, а именно, из дифференциального уравнения
F° s. Возьмем, например, элемент dS, лежащий в точке MQ (см.
К 67) на прямой, соединяющей Q и Fo; для него cos(п, г) — — cos (п, rj),
«как положительные направления г и 74 прямо противоположны друг
ругу. Поэтому множитель излучения Френеля равняется: .
7 cos (п, г)
к ~ А •
Когда dS нормально к QF0, то cos (п, г) = — 1, и, если не прини-
мать во внимание знака, получается значение, выведенное раньше на
Ьтр. 144 косвенным путем для множителя излучения кг центральной зоны,
г 2. Для элемента dS, лежащего около Мо' (см. рис. 67) г и гг напра-
Гвлены одинаково, т. е. cos(n, г) — cos(n, = 0. Таким образом в s0 его
^влияние пропадает, т. е. в обратном направлении не получается того
Действия элементарных волн, которое всегда должно было бы иметь место
по Френель - Гюйгенсовскому выражению принципа. Как мы увидим,
«отсутствие распространения волн в обратном направлении является след-
ствием того, что в уравнении (35) каждое элементарное действие пред-
' ставляется разностью двух величин.
3. Формула (40) дает правильное значение для фазы в Ро, т. е.
такое, какое получается непосредственно при рассмотрении распростра-
нения света из Q в Ро. А именно, элементам поверхности dS, нормальным
в QP0 в точке Мо, в уравнении (40) соответствует множитель
• n ft НгА
— sin ------------j—),
в. эти элементы поверхности колеблются г) с упреждением по фазе
®а -тт по сравнению с фазой, которая дается по расчету непосредствен-
Wo распространения света от Q в dS\ последнее по формуле (36) должно
Привести к cos 2л (4г —Если проинтегрировать по 8, то для
' \ J- Л /
10Чки ро опять получим: + cos 2л; — “"5г") (в вычисл®нии Фре-
Неля мы имели sin 2л ) (см. выше стр. 144). Таким образом
ь Устраняется также и это противоречие вычисления Френеля.
®дгвут^Слн световое возмущение s производится не выпуклой сферической волной, а
суж»ев°Й’ Распространяющейся по направлению к точке Q вне поверхности, то рас-
сдуча»йя несколько вило-вменятся, как это легко вывести из уравнения (35). Этот
Может Раз°бран У Mascart, Traits cToptique, 1, 260, 1882. В некоторых случаях это
Ilf 9пй|!еть большое значение для явлений интерференции. См. Gouy, С. R. ПО, 1251;
ibid’ чп 1&9°: Wied. Beibl. 14, 969; Seiche, Ann. d. Phys. 29, 65, 401, 1909; Debye,
; ‘ dU’ 455, 1909.
156 Принцип Гюйгенса[OtaJ
При наличии экранов задача определения $0, строго говоря, j
чайно усложняется, так как в этом _случае возмущение $ в любе
Р будет отличаться от возмущения которое имело бы место безЙ
Однако для приближенного решения задачи можно сделать дой)
что в случае, когда экраны не отражают света и являются аб<
непрозрачными, в точках, лежащих непосредственно около той <
экрана, которая обращена в сторону, противоположную истм
света, и s и исчезают, и что, наоборот, там где никаким
нов нет, световое возмущение s имеет то же значение s, каа
экранов. j
К такому ходу рассуждений мы прибегали и выше, когда Я
дилм из представлений Френеля. Основываясь на уравнении (40)
водя поверхность 5 по возможности около самой поверхности эя
обращенной от источника света, можно составить себе весьма блия
действительности представление относительно светового возмущения
любой точке Ро; в уравнение (40) войдут только не заслоняемые’
ном элементы поверхности dS. Как проведена в пространстве эта
слоненная поверхность 8, совершенно безразлично; она должна.,
только окаймлена краями имеющихся в экране отверстий. Этот резульй
можем вывести из формулы (34') на стр. 152. В данном случае она 1
зывает, что правая часть уравнения (40) равна нулю, если точи
для которой должно быть определено s0, (и источник света Q), лежи!
замкнутой поверхности 8. Если при этом -мы распространим интегр
согласно уравнения (40) на незамкнутую поверхность 8, ограниче
кривой С, и построим еще какую-нибудь поверхность 8', также ог}
ченную кривой С, но 8 + 8' можно рассматривать как одну замкн
поверхность, которая не должна заключать в себе начала координат
На основании уравнения (34') пропадает сумма обоих интегралов s -
взятых по £ и 8'. Но при этом всегда п определяется как внутре)
нормаль, к замкнутой поверхности 8ц-8', и если, следовательно, п
жительная нормаль к S указывает в ту сторону, где лежит начало к
динат Ро, то положительная нормаль к 8' указывает в противополож
сторону. Если же мы будем считать за положительное направление .
мали к 8' также направление в сторону Ро, то знак у интеграла
переменится на обратный. Таким образом в результате мы им
—so — 0, т. е. s0 = s0' или, иначе: интеграл s0) определяемый ур;
яением (40), имеет для всех незамкнутых поверхностей 8 лю1
формы, но ограниченных кривой С, одно и то же значение, е(
при этом положительные нормали берутся всегда в одинаковом нап]
влении (со ст фоны источника света в сторону Ро\ и если эти различи
поверхности 8 не заключают в себе ни источника света Q, ни точки j
для которой вычисляется s0.
Выше в § 2 было уже показано с помощью построения зон Фрейе,
как из интеграла (40) вывести как прямолинейное распространен:
света, так и некоторые отклонения от него. В следующей главе м
рассмотрим подробнее эти отклонения, так называемые диффракционнь
явления.
Общая теория явлений диффракции
157
Ля
s и Мы будем
исчезают
Ь ГЛАВА IY.
ДИФФРАКЦИЯ СВЕТА1).
л из рассуждений предыдущей главы, явления диффрак-
во всех случаях, когда экраны или свободные отверстия
и по сравнению с длиною волны. Но, как мы увидим
м____ диффракции могут быть обнаружены и при больших раз-
1Кх экранов или отверстий,—например, по краям геометрической тени
большого экрана. Рассматривая явления диффракции на основании
Евнения (40), согласно изложенным выше на стр. 156 соображениям, не
Едует забывать, что при этом мы получим только приближенную теорию,
Екак, с одной стороны, при наличии экранов на незащищенных местах
К s имеет место не в точности то значение, которое мы должны были
jg иметь при вполне беспрепятственном распространении света; с другой
ророны, на защищенных местах не вполне
(ем более близки к истине, чем больше
рверстия в экранах; и действительно, в
большинстве случаев приближенная тео-
рия хорошо совпадает с опытом, напри-
мер, в случае не очень малых отверстий.
Строгая теория диффракции света бу-
'дет изложена в § 7 этой главы.
f 1. Общая теория явлений диффрак-
ции. Предположим, что между источником
света Q и точкой Ро помещается бесконеч-
ных размеров плоский экран 8, в котором
имеется отверстие ст произвольной формы,
очень малое по сравнению с расстоянйем
fi от источника света Q и с расстоя-
нием г от точки Ро, для которой мы
вычисляем, по формуле (40) предыдущей
главы, световое возмущение s0. Так как при малости а при интегриро-
вании внутри а углы (ц,г) и (w, щ) можно рассматривать как постоянные,
па ®е Еак величины г и поскольку они не разделены на Я, то из
(40) следует:
s0 _ (”’•) у81а 2» (1)
Положим в основу прямоугольную систему координат х, у, г. Пусть
оскость XI' (рис. 68) совпадает с плоскостью экрана £ и пусть неко-
hhrV Точка ? отверстия о имеет координаты х и у. Координаты источ-
точк С8ета ПУСТЬ будут a?i, у-ь причем положительно. Координаты
Имеем-ПУСТЬ будут ж0, гщ, г0, причем отрицательно. В таком случае
~ ж)2 + уУ + г* “ ~~ + (у о ~ уУ + (2)
) См. FFMoglich, Beugung. Handbuch der physik. Optik (GeAr&e) 1, 513, 1927.
158 Диффракция света[Отд. Щ|
Пусть расстояния Qo и Ро от начала координат будут и pj
ег2 == Ж12 + у? 4- ^i2, Ро2 = ^о3 + У о2 + 4>2-
Следовательно, можно написать:
П=4х
г =Q0
j/1 [ ^ + У2 — 2(хх1 + УУ1)
1/1 + У2 ~ 2 (хХоДууо)
г 6о2
Размеры' отверстия а должны быть малы по сравнению с pj и р0. ]
того, расстояние отверстия о от начала координат также пусть будет
по сравнению с рг и q0. Вследствие этого, при интегрировании по а :
также являются малыми по сравнению с д. Разложим теперь выра!
(4) по возрастающим степеням — и соответственно
ничимся вторыми степенями; тогда, вследствие того, что
И
Ро
(l + e)1/s=l+|S-le2,
где £ мало по сравнению с 1, получим:
Г = п Й -4- ж2 + у2 _ XXl + УУ1 _ (жж1 + ^1)2|
1 2ег Р12 20/ Р
v — f < ^24у2 хх0-^уу0 (хх0 + Мп*]
ео[1Т- 2{?о2 0о2 2{?о4 /.
1
Обозначим косинусы углов, образуемых направлениями рх
ми координат, через ах, и а0, fi0, ?0, причем и р0
тать положительными, если они направлены от начала координат; Torj
и р0 с ос
будем сч1
а?! л ___
«1= pt~ —: а0 — ~9,
1 Pl 1 Pl’ ° Ро
ft —
pQ~ Ро-
На основании этого, складывая уравнения (5) и (6), получим:
*1 + Р1 + Ро Ж (а1 “Р ао) У (^1 + /^о) ' ~2'V~ “Ь ~ ) —
_ (^14-^1)* __ (ха0 4- yft0)2 (8
2Pi 2plt 1
Подставим это значение .в уравнение (1), введя следующие сокра-
щения:
гг + г = pi + Ро 4- f (х,у) • ~ |
— Pi х Ро _ Г)
Т Л ~ Т ’
4 cos {nr} — cos (nrу}
2Л ~
А';
*) Такам образом, следовательно, изменяв.ст начальный момент времени.
Френелева диффракция
159'
Журавнение (1) преобразуется в уравнение:
I f cw[f(%,y)]dv — cos2л4г f sin[f(a,y)] cfc).(10>
(во t t/ J v J
L0 этом s0 можно рассматривать как результат наложения двух
Я1 амплитуды которых пропорциональны:
С = Jcos [f(x,y)] da, 1
S = Jsin [f (&,^)] da, |
Вазностыо фаз ~. По положению, высказанному на стр.ИЗ (формула (И)),.
^ценность в точке Ро будет при этом:
Е — А'\С2 А-(12)
| Надо различать два случая: 1) источник света и наблюдаемая точка
к лежат на конечном расстоянии (френелева диффракция) и 2) источник
йета и Ро бесконечно удалены (фраунгоферова диффракция).
2. Френелева диффракция. Возьмем начало координат на прямой,
воединяющей Q и Ро (и в плоскости экрана, вызывающего диффракцию).
Тогда & и о0 имеют прямо противоположное направление и, следова-
гельно:
аг = а0,
Как видно из сравнения уравнения <8) и равенства (9), определяю-
щего f(x,y), мы получим тогда:
f (ЗД) = +г) + у2 - (®»1 + VА)2] • (13)
Это выражение можно сделать еще проще, если за ось ОХ принять,
проекцию QP0 на экране. Тогда & = 0. Обозначим далее через <р угол,
образуемый с осью OZ\ тогда получим:
/ (х,у) = т (г +т) ‘ cos2 + 2/21- (W
А У0/
Чтобы не прерывать ход исследования длинными вычислениями, при-
ведем сначала некоторые математические соображения.
3. Интегралы Френеля. Интегралами Френеля называются следующие-
Две функции:
V v
/' SIV- 1 Г • J
cos -j- dv, у = J sin -у dv.
.° 0
лиЛаблицы численных значений этих интегралов можно найти в раз-
э-гй х местах г); мы здесь остановимся на геометрическом толковании.'
^Функций, предложенном Корню 2).
PhVs\^M- Janke und Emde., Funktionentafeln, 23, 1909; W. v. Ignatovsky, Ann. d.
J 2) Г;> г94, 1897.
-4. Cornu, Journ. de Phys.
L
(15)
94, 1897.
3, 1, 44, 1874.
160
Диффракция света[Отд.
Пусть £ и т? суть прямоугольные координаты некоторой
для определенного значения параметра v. При непрерывном изЯ
v точка Е описывает, следовательно, плавную кривую. Опредем
этой кривой. $
Кривая проходит через начало координат, так как, для
также обращаются в нуль. Если v переходит в—v, то подинтегр
величина не меняется, но верхний предел интеграла, а потому и
меняют знаки. Поэтому начало координат является центром симметрй
вой, так как для каждого+£ и + у можно найти соответствующие — £ •
На основании уравнения (15) проекции элемента дуги ds кривой’;
координат будут:
й£ « dv • cos dy = dv • sin
z z
Отсюда следует:
ds = Vd^ -h drf — dv
или, если длину дуги s отсчитывать от начала координат:
S = V.
Угол т, образуемый касательной к кривой в произвольной точке\;
осью £, определяется уравнением:
, d-n , nv2
^=ЗГ = ‘8-2-> т' е- т = Т-
Таким образом в начале координат кривая идет параллельно оси .|
для v = 1, т. е. при длине дуги s = 1, она параллельна оси О??, для за |
юна параллельна оси £, для $2 = 3 параллельна оси и т. д. 1
Радиус кривизны q в точке Е кривой определяется уравнением Я
@ dz Jis’ 'I
Таким образом для v = 0, т. е. в начале координат, кривая mm(L
точку перегиба; для возрастающих v, т. е. для возрастающих дуг, q бум
непрерывно уменьшаться. Кривая образует при этом непересекающум
двойную спираль х), асимптотически обвивающуюся около двух том
F и F', которых она достигает при v = + оо и v — — 03. Вычисли
координаты этих точек. Для F имеем: Л
.i
£j.=« fws^dv, rjP= fsin^-dv. (2(j
0 6
ала^Ы На^ТИ эти Оделенные интегралы, будем исходить из ий
J\rx2dx=^M. (2f
о
х) Так называемая спираль Корню.
Интегралы Френеля
161
взять за переменную интегрирования у, то будем иметь также:
J e~v*dy = М.
о
определенных интегралов дает:
со
f J е~ (^+v2)dx'dy =
б о ’
|.£сли принять х и у за прямоугольные координаты точки Р, то х*+у2= г2,
|г есть расстояние Рот начала координат. Далее, dxdy можно принять
[элемент поверхности do в плоскости ху. Если же ограничить элемент
Ьерхности двумя бесконечно малыми дугами круга, описанными около
Еа координат и отстоящими друг от друга на расстояние dr, с цен-
Ьльным углом dy, то элемент поверхности do будет равняться:
do — rdr dy. (23)
Так как интегрирование будет происходить в одном квадранте коорди»
иной плоскости, то уравнение (22) можно написать в следующем виде:
я/2 оо
И2 = I dy • / e~r rdr.
б о
Произведение этих двух
(22)
(24)
Но так как
к)
2 12
e~r rdr = -|-е г
к
т.
М2=~ М= \Vn.
Введем теперь для х в уравнение (21) значения:
ж2=-^г,
(25)
е.
(26)
х = v
гл
2*’
гДе i равно V— 1; тогда из уравнений (21) и (25) следует:
как яц2
Дмеещ. у —г у л оо /» яи2 1 + г J е' 2 бй?» 2 •, (27)
так как: 0 71V2 е' 2 — cos -Ь i sin (28) £л
162
Диффракция света
[Отд.
то, приравнивая в обеих частях уравнения (27) действительные »j_
члены, получим:
со оо
/лг>2 т 1 /* • ли8 г 1
cos -тг dv = lsm-^dv = ^.
£i Li и £
О О
Таким образом, согласно уравнению (20), ассимптотическая тЛ
имеет координаты ^=^ = 4* ОтеюДа П0ЛУчается изображена
рис. 69 и 70 г) вид кривой
* °'8 вую можно построить елея
образом: из точки 0 поп
'0,6 IА оси Денисе до значения si
' рб Построим круг, радиусе!
f основании уравнения (19д
4 / 1 ю ?
w ’ проходящи»-
-------ЗГУЧ» эту 10“у- Цент₽ ЭТАГ? 1
лежит от точки s = 0,1 :
правлении, которое образуя
основании уравнения (1а
осью р угол 1
т = ~ = 0,01-^. I
" 'М.
На построенном таким обЛ
Рис. 69. круге нанесем дугу s = 0,1Я
конечной точки проведем -я
1 I 5 тт 3
Q = ~ ~п? = —. Направление к центру круга сося
JvO 7V‘Vj£ Tv я
угол т = ~ = 0,04 Поступая таким образом, моя
построить всю кривую. q
4. Диффракция от прямолинейного края экрана. Возвратимся]
обозначениям § 2. Пусть ось QY параллельна ребру экрана; экран nj
стирается от значения х = + со до значения х = х' (край экрана). 1
рис. 71 х' положительно, т. е. Ро лежит вне геометрической тени экра$
Рассмотрим освещенность в плоскости, перпендикулярной к ребру экра
и проходящей через источник света Q', тогда QP0 лежит в плоскости X
Мы можем применить формулу (14); на основании формулы (И) состав!
уравнения:
0,5
2,0
Ц0-
чл/
1,5
- круга радиусом
ляет с осью ri
(3'
J* j*dxdy sin Г-j4- (ж2 cos2 <p + У2) I.
— ГУ» —ГУЛ J
г) Рис. 70 (рабочий чертеж спирали Корню) см. в конце книги.
Диффракция от прямолинейного края
163
ежде всего мы должны показать, что мы имеем право интегриоо-
|0 всей незакрытой экраном плоскости ХУ, в то время как в паХ
дущих рассуждениях (см. стр. 158) Р ак в ааших
Предполагали, что интегрирование
во происходить только по отверстию
К точки Р которого лежат от на-
Гкоординат на расстоянии очень ма-
гпо сравнению с и о0. В дей-
|тедьности для интегрирования и
Беления освещенности в точке Р имеет
ение только малая область, так* как
Рона охватывает очень много цент-
овых зон. Интегрирование по сле-
Ещим прилежащим областям ничего
прибавит к Е, потому что, как мы
йли раньше, ребро экрана не влияет
освещенность в точке Ро, если оно рцс. 71
депо на много зон от прямой ли-
г, соединяющей Ро с источником света Q. Поэтому, не меняя резуль-
в, мы можем провести интегрирование по всей незащищенной эква-
[ плоскости ХУ. р
Положим в уравнении (30):
ИЬгда:
tA А \
12__пи2
v' -(-ОО )
р__________1_______ Г fdvdu cos ~ (v2 +
° ~ 2/1,1\ J J 2
COS (р • -J-| у ~г У ( —00 —00
Жири чем:
1
2 /
COS<P • -у- I
Преобразуем:
vf == х' cos <рУ•
(31)
(32)
(33)
)
,;1
я / о , m>3 ки® . эту2 . тша
COS у (V2 + и2) = COS -у cos у— S1H -у Sin -у
и А ы & &
^алогично sin (v2 + ?/2), тогда мы можем сразу
егРврование по и\ принимая во внимание уравнение (29),
произвести
получим:
vr 1
C~f{ — /*sin~dv},
< J 2 J 2 11
—оо —оо^ (
<8= f{f8in dv 4- J*cos ~ dv\,
—оо —оо
(34)
и*
164
Диффракция света
________k
2 cos ф(—
Из уравнения (12) следует поэтому:
v' v'
E=2Anf^J* cos^d^2-|-(y*sin^-
Для А' можно принять значение (9) на стр. 158. Так как по :
занному при интегрировании для определения освещенности Е в
имеют
начала
значения только те части плоскости ХУ, которые лежат
координат, то в Af можно подставить:
г = р0, Г = gp COS (w) — — COS (Wj) = COS <p,
получим:
откуда
‘ + (?!)•
Для входящих в уравнение (36) интегралов Френеля мы пол»
геометрическим представлением и обозначением § 3. Пусть коорД
точки Е кривой рис. 69 даются уравнениями (15), т. е. выраженД
V V
f С _ л , С • л
£= / COtf-g-cfo, ??' = fSin-x-dV,
J Li Li
О о
a координаты другой точки Е', соответствующей параметру v', вы!
ниями:
©? V'
? = fw^dv, fsin^dv;
о о
тогда, очевидно:
V' V'
/Ж?’ J f-r f- i* • Я'у2 Л /
cos-^-dv = £' — £, / sm-j- dv = 7] —
V V
Сумма квадратов этих двух интегралов |равна, следовательно, к|
рату расстояния между точками Е и Е' кривой на рис. 69. ИЯ
метру v~ — 00 соответствует точка E—F' на рис. 69. Если поэп
обозначить через (—оо,гг) расстояние точки F' от точки Е', coori
ствующей параметру v', то на основании (36) и (37) будет: • •
Л 2 .1
Е = от"' .Г \2 ’ (— V ')*. (I
2(e0 + oi)2 v J
Из вида кривой на рис. 69 тотчас же вытекает, что Е достигает id
симального и минимального значения при положительных значениях
т. е. когда Ро лежит вне геометрической тени экрана; напротив, вну1
тени освещенность будет убывать непрерывно, по мере того, как Ро бу
глубже погружаться в тень, так как v' будет при-этом отрицательно
точка Е' все время будет приближаться к точке F'.
Диффракция от прямолинейного края
165
I , оо имеем (— оо, 4- со)2 — 2, так как координаты точек
1 " “ лежит далеко за преде-
основании уравнения (38)
Для v' — 0 точка Ро ле-
этом случае
fyv равны £ = V = 2 - 15 этом слУчае
! геометрической тени, и освещенность на
освещенности при отсутствии экрана,
gas Раз на кРаю геометРической тени. В
(-оо,0)3=|,
L основании уравнения (38) освещенность равна четверти освещен-
Eg при отсутствии экрана.
не будем здесь приводить строгих вычислений максимумов и мини-
Еов освещенности для случая, когда Ро лежит вне тени *). Из рис. 69
Еближенно следует, что максимумы и минимумы лежат в точках пере-
Ееяия прямой FF' с кривой. Так как эта прямая пересекается кривой
Еблизительно под прямым углом, то для максимумов угол наклона т
Евой относительно оси £ равняется ^-4~2л)л; напротив, для мини-
ржов 4-27^, где h — 0, 1, 2 и т. д. Поэтому, в силу уравне-
пя (18) на стр. 160 для максимумов v' = j/"+ 4ft, а для минимумов
$'в*|/'-|'4-4Л. Чтобы определить теперь положение диффракционных
^ioioc, представим себе, что экран повернут около своего ребра так 2),
£Ио плоскость его нормальна к кратчайшему расстоянию а источника света
IЯ от ребра экрана (см. рис. 71). Тогда Qt = а:со8д>. Проведем затем
трез Ро прямую, параллельную оси ОХ; пусть расстояние Ро от гео-
етрической тени экрана, измеренное по этой параллельной прямой, равно d.
Тогда х' :d — а; (а 4- Ъ). Поэтому d обозначает расстояние точки Ро,
Ш которой вычисляется освещенность, от геометрической тени в пло-
скости, отстоящей от экрана (сзади его) на расстояние Ъ. Введем теперь
Л Уравнение (33) вместо х' величину d и положим = а, qq = Ъ, что
Допустимо, так как cost? почти не отличается от 1, если Ро взять вблизи
’Геометрической тени; тогда из уравнения (33) получим:
= = (39)
У лЪ(а-}-Ь) х 4
гДе р есть С0Еращенн0е выражение
г ^=/^5 (40)
г "^7——
Fresnel, Oeuvres competes, I, 322. F. Neumann, Vorles. uber theor,
Вя 62 — 69, 1885 (разложение в ряд интегралов Френеля). Lommel, Abhandl.
^bSr’Akad. 15, 229, 529, II Klasse, 1886. (Полный теоретический и эксперимен-
разбор явлений диффракции на круглых и ^прямолинейных экранах).
Жости **°*«бвое вращение экрана и соответствующий ему поворот (свободной поверх-
резулРП° которой производится интегрирование, не вызывает никаких изменений в
TftTe, согласно положению на стр. 156.
166
Диффракция света
графически, простым
Q
х
Рис. 72.
«
-----
♦ f
Максимумы освещенности имеют поэтому место при d = Р J/Д
т. е. при
dr =р • 1,225; d2 =р • 2,345; d3 =р • 3,082 и т. д.Ц
Минимумы имеют место при d = p]f т. е. при
1,871; cV=P-2,739; d3'=p- 3,391 и т. д.
Точные значения очень мало отличаются от этих приближен^
чений, вполне подтверждаемых наблюдениями х). *
• Освещенность в этих максимумах и минимумах можно (по 38) it
измерением отрезков, которые кривая (рис.
секает на прямой FF’. Таким образом дл
симумов в случае, когда освещенность?
фрагирующем отверстии принимается paj
получаем: ,
Ег = 1,34; Е2 = 1,20; Es = 1,16;Я
для минимумов будет: Ц
^'«0,78; F/ = 0,84; Е3'= 0,8*3
Применение точных величин интегралов
неля дает значения, мало отличающиеся оя
водимых здесь. J
б. Диффракция от узкой щели. Hojj
в основу ту же координатную систему и 1
обозначения, что и в предыдущем парар
и рассмотрим освещенность в плоскости, нор]
ной к краям щели (последние взаимно параЛ
ны) и проходящей через источник света Q.
плоскость есть плоскость XZ, см. рис. 72. Пусть абсциссы краев тя
-будут хг и ж2. Если точка Fo, для которой мы вычисляем освещенцД
лежит в геометрической тени экрана, ограничивающего с обеих стЯ
Щель, то хх и х2 будут или оба положительны или оба отрицатели
Если же прямая, соединяющая Q и Fo, проходит через щель, то зйя
Л1 и ж2 будут противоположны. Этот случай изображен на рис. 72. ПуЯ
как это изображено на рисунке, источник света Q расположен про!
середины щели. Если ширину щели обозначить через <5, то 3
— х2 = (5, (хг — ~ $у. d — а: (а + &). fl
Приближенно вместо а п b можно написать и <?0, так как
малом о наклон qv по отношению к а очень мал.
) Для объективного наблюдения диффракпио чных полос их получают на экрв
установленном иа подходящем расстоянии, или, при субъективном наблюдении, nw
вуются лупой со стеклянной шкалой (окулярный микрометр). (См. выноску на стр. 114
Диффракция от узкой щели
167
»йяеМ опять величину v согласно уравнению (31) на стр. 163 и обо-
Е через щ и v2 значения параметра v, соответствующие пределам
Еирования и ж2; тогда освещенность в точке Ро (см. уравне-
В§8)), будет:
Г <42>
и/0 ^2) обозначает расстояние между двумя точками кривой рис. 69,
йетствующими параметрам щ и v2. Из уравнений (41) и (31) имеем:
*-^=’/4(1+4); <43)
Рис. 73.
о лежит уже
! р — сокращенное обозначение согласно уравнению (40). Если мы
ям исследовать распределение света в плоскости, лежащей на расстоя-
। Ъ позади экрана, то нам придется рассматривать зависимость выра-
1ия (42) от d. Согласно уравнению (43) разность
•аметров vlf v2 остается постоянной; следовательно,
Еь идет о том, как меняется расстояние между двумя
нами v2 кривой на рис. 69, если длина дуги между
ми точками остается постоянной и равной s = v1 — v2.
Г Возьмем сначала щель очень узкую, так что длина
Fri s равна приблизительно 0,1 г); тогда из данной
рвой получается, что освещенность от d = 0 до очень
Ыыпих значений т. е. dx, остается постоянной, а затем
рнемногу убывает, когда vx и v2 оба имеют очень большие
рложительные или отрицательные значения, т. е. когда
•леко в геометрической тени. Поэтому при очень узкой щели даже при-
озительно нельзя заметить геометрическую тень,— вообще нет резкой
|вницы тени, свет распределяется на большом пространстве почти равно-
мерно (так называемое диффузное распространение света) ’).
Если ширина щели д начинает расти, но абсолютное ее значение
®е-таки остается очень мало, так'что длина дугиз имеет значение около
’>5, то из кривой на рис. 69 получается, что в этом случае свет также
Ц°дит далеко в геометрическую тень, и что максимумы и минимумы
^ещеиности наступают только для одинаковых знакоп^ и v2. т. е., что
"ФФракционные полосы получаются только в геометрической тени. От-
^Дивые минимумы наблюдаются (рис. 73), когда в обеих точках кривой
Цельные параллельны друг другу, так что углы касательных тх и т2
г^чаются друг от друга на величины кратные 2л (см. стр. 160). Так
!*’йа основании уравнения (18) на стр. 160т = . и2, то положение
“Ракционных полос должно определяться из соотношений
~ W — ^22) = ±
а as Ъ = 20 см д должно равняться приблизительно 30 Л.
j. Одьзуясь зонами Френеля, можно вывести, что диффузное распределение
должно иметь место тогда, когда (Ширина щели <3 < — Л.
168
Диффракция света
т. е.
(иг —1>2)01 + ^2)= ±
или, принимая во внимание (43):
d • <5 = ± Mb, (h = 1,2, 3 .. .).
Следовательно, эти диффракционные полосы находятся нараввЯ
стоянии друг от друга; при . этом их положение не зависит отчИ
от расстояния источника света до экрана. j
Если щель сделать еще шире, или если при той же ширине!
уйеныпить а и Ъ, так что разница v1 — станет значительно Я
то,- как показывает кривая на рис. 69, и при различных знаках vjl
т. е. вне геометрической тени также могут появиться диффракци
полосы; ход изменения Е как функции от d для каждого значения
ности — v2 дается из кривой количественно правильно. Если!
‘будет очень широка, т. е. ъ\ — v2 очень велико, то мы приблид
к случаю, рассмотренному в предыдущем § 4.
В центральной области (для d = 0) Е не исчезает никогда. (jj
в зависимости от величины Ъ при определенных а и д Е i
быть максимальным или минимальным. Так как для d = О зна’
и v2 равны и противоположны по знаку, то прямая, соединяй
точки, соответствующие и г>2 на рис. 69, проходит через н
координат. Поэтому максимумы и минимумы соответствуют приб
тельно точкам пересечения кривой с прямой FF' т. е. на ochoi
стр. 166 мы будем наблюдать:
максимумы при vx =
минимумы при Vi = у у 4- 4ft,
или, на основании (43), в виду того, что v2 = -г-
максимумы при ~ + у) = 4 +
<52 /1 I 1\ 7 .
минимумы при 2Л
где ft = 0,1,2,3...
Диффракция от узкого экрана *). Пусть ширина экрана будет j
и пусть перпендикулярно к его середине на расстоянии а лежит источ
ник света Q. Рассмотрим освещенность в плоскости, проходящей чер|
Q (плоскость XZ) нормально к краям экрана, параллельным друг друга
Воспользуемся принятыми раньше обозначениями (см. рис. 72); пус!
xi и ж2 будут координаты х краев экрана, vx и г-’2—соответствующие JH
о ока В кач0Стве У3кого экрана может служить, например, прямая натянутая пр4
Диффракция от узкого экрана
169
я параметра v; последние удовлетворяют уравнениям (43). Осве-
сть Ь пропорциональна сумме квадратов интегралов (см. стр. 164)
i’i 4* °°
М— f ws^dv-{- /co^dv,
— ОО V1
«1 4-00
N= fsi^dv+ C^dv.
A J A
— co
Ери этом первый член в М (см. аналогичные рассуждения на стр. 164)
координата £ отрезка, соединяющего F' и точку Ег кривой на рис. 74,
лствующую параметру vv Второй член в М есть координата £ от-
(Д F\ причем точка Е2 соответствует параметру v2. Аналогичные
ния имеют оба члена в N. Если обозначим координаты отрез-
F' Ег) и (E2F) через £п £2, то получим, следовательно,
Afa + 2V2 = (& 4- £2)2 4- (тух 4- ??2)2.
?ли к отрезку (Е'Ег) прибавить отрезок (Ег F") того же направле-
I той же длины, что и отрезок (E2F), то отрезок (F F") будет
. координаты 4- £3, 4-
ценность Е в точке PQ пропор-
циональна, следовательно, квадрату от-
ладка (F' F"), получаемого геометриче-
ским сложением двух отрезков (F'E^)
1 (E2F), и имеет значение:
Е=______£_____. (F' F)2.
2^0 + (?i)2 1 }
Рис. 74.
и прямо противоположны по
(46)
, Отсюда вытекает, что центральная
полоса (d ~ 0) — всегда светлая (не-
смотря на то, что она лежит наи-
б°л®е далеко в геометрической тени),
тпк как для нее значения и vt равны
знаку; таким образом точки Ег и Et на рис. 74 расположены сим-
метрично относительно начала координат, отрезки F'Ег и E2F равны
® имеют одинаковое направление, и их геометрическая сумма никогда
Ве равна нулю. Чем шире экран, тем меньше будет сила светав цен-
’ральной полосе.
Если экран настолько широк, что и п2 достаточно велики, то точки
лежат вблизи F' и F. В этом случае отрезки (F'EJ и (E2F)
Равны межДУ собою; поэтому наступает почти полная темнота, если
Ал»^) параллельно и одинаково направлено с (FE^. Так как при
]2*ЬЦ1их vr и v2 отрезки (F'EJ и (F Е2) расположены почти перпен-
SL^PHo к кривой на рис. 74, то в том случае, когда »ти отрезки оди-
& направлены, касательные, проведенные к кривой в точках Е2 и
YKa-i ут параллельны друг другу, и их положительные направления,
*казывающие в сторону возрастающих дуг s, противоположны друг другу.
170
Диффракция света
[Отд.
Таким образом разность углов касательных тг — т2 является и
кратным от т иначе говоря, так как на основании уравнем
т == ^ v2, темные диффракционные полосы появляются в том случа
1 = ± 1,±3,±5 и т. д.
Принимая во внимание уравнение (43), получаем:
2cZd = ± Ш (h = 1,3,5 и т. д.).
При возрастании 1ъ эти диффракционные полосы становятся ci
Они находятся на равном расстоянии друг от друга; их положеи
зависит от расстояния а источника света до экрана. Все рассуяв
сохраняют силу только внутри геометрической тени, т. е. до тех поп
d < -j- <5 , и даже в этом случае оно достаточно строго лишь
пор, пока значения4 vt и v2t соответствующие краям экрана, достаЯ
велики, т. е. при достаточно широком экране и достаточной блЛ
к нему, неподалеку от центральной полосы. Я
Если подвинуть Ро на край геометрической тени или выдвинув
за пределы тени, то и тогда в зависимости от положения Ро, могут ТВ
появиться максимумы и минимумы освещенности, которые для кая!
частного случая могут быть определены построением на основе риоЯ
Однако положение появляющихся при этом диффракционных полов
подчиняется простому и наглядному закону.
Этих примеров достаточно, чтобы доказать пригодность геометричесй
метода Корню *). Все вытекающие отсюда следствия вполне [подтвв
даются на опыте (см. рис. 75 и 76, где приведен ряд снии
В. К. Аркадьева2) для диффракции от узких и круглых экранов; в 1
«леднем случае приведены также вычисленые по Ломмелю кривые), j
7. Строгий вывод диффракции от прямолинейного края экране
Как уже было упомянуто в начале этой главы (стр. 157), вышеиш
женная трактовка диффракции на основе принципа Гюйгенса вей
с точки зрения электромагнитной теории света только приближенно. 31
дуйивает внимания то обстоятельство, что, как показал Зоммерфельд, 9
дачу диффракции от прямолинейного.края экрана можно решить со вс|
строгостью для одного частного случая, а именно для идеально отражав
щегоэкрана*. Это дает нам возможность, с одной стороны, иметь сужд
х) Mascart (Traits d’optique, Paris, 1899,1, 283) ^применяет этот метод к еще бо>1
сложным случаям.
Дркадьее.ЖРФХО, Часть физическая, 48,1, 1912, Phys. ZS. 14, 832,191
пк .^r°^so^n, Strenge Theorie der Interferenz und Beugung, HandbuL.
der Physik{Gager u. Scheel), 20, 263, 1928; [Moghch, Beugung, Handbvch der phyw
kalischen Optik {Gehrke) 1, 606, 1927; j
_ 3* Math- Ann. 45,’ 263, 1894; 47, 317,1895; Proc. Land. Math. So®
"28, 325, 1894; ZS f. Math. u. Phys. 46, 1901. J
Для случая абсолютно черного экрана строгий вывод диффракции дал W.
Kompend. derthe or. Physik. 2, 768, 1895; Gott. Nachr. 1896,1. Он применял рассужу
дения Зоммерфвльда. По другому пути в этом вопросе пошел F. Bottler, Ann. d*
Phys. 70, 405, ip23; 71, 457,1923; 75, 634, 1924; см. также W. v. Ignatovski, An>«
d. Phys. 77, 589,4925. ч
Вывод диффракции от прямолинейного края
171
об ошибках, допускаемых при
Луженном рассмотрении, а с дру-
теоретически рассмотреть явле-
^рпроисходящие при очень боль-
Kj углах диффракции, т. е. на
большом расстоянии от грани-
геометрической тени, что при
Етеняемом выше методе было бы
Возможно, по крайней мере без не-
которых дополнений.
Г Ври строгой трактовке явлений
иффракпии дело сводится к интег-
Ерованию дифференциального урав-
нения (12) стр. 145 для светового воз-
мущения:
Е 02s __ уз (д^ - d8s d2s \
p dt2 \ dx2 ‘ dy2 ‘ dz2 )
с учетом определенных пограничных
^условий, которые должны иметь ме-
’сто на поверхности экрана. Вид этих
пограничных условий мы выведем
только позднее, в отделе III, в гла-
вах I, II и IV, здесь же мы восполь-
• зуемся наперед теми результатами,
которые там получатся.
Упростим рассуждения прежде
- всего тем, что примем источник све-
та за бесконечно длинную прямую,
лежащую параллельно оси OY. Край
, плоского экрана тоже пусть лежит
параллельно оси ОУ, примем .его
просто за ось О Г; положительная
ось ОХ пусть проходит по экрану,
а положительная ось OZ пусть бу-
Дет обращена в сторону, противопо-
ложную источнику света (см. рис.
*')• Очевидно, что в этом случае s
зависит от координаты Г; поэто-
. ^ вышеприведенное дифференциаль-
® Уравнение принимает более про-
ВИД
Or2 \ сх2 ' dz2 / 1 '
Юн?Ы пРедполагаем, что экран—бес-
ПУскЧа° тонкий и совершенно не про-
в III Т света’ как будет показано
1 °тДеле, это связано с тем, что
Рис. 75.
172
Диффракция света * [Отд.
i
он полностью отражает его; такими свойствами обладала бы очЗ
кая, идеально отполированная серебряная пластинка. Такой экранов
ветствует понятию «абсолютно черного тела»х); напротив, он
Рис. 77.
ности экрана, т. е. для
8 = 0, если падающий свет поляризован 1
пендикулярно к краю экрана;
ds
—. = 0, если свет поляризован параллев
с краю экрана* 2). Я
Значение этих обозначений и тери
«поляризация» будет объяснено только в 1
дующей главе. Здесь достаточно знать, |
при интегрировании дифференциального уя
. нения (48) следует принимать во внима|
пли пограничное условие (49), или (50). I
граничные условия имеют место на пове|
г — 0, х > 0, или для д> == 0 и <р — 2л, ее
ввести полярные координаты посредством уравнений:
ж = г-cos 99, z = rsin9?.
(5
Абсолютно черный экран, не пропускающий, но и не отражающий света, мод
быть осуществлен только при помощи тела, показатель преломления которого на i
верхности постепенно принимает значения показателя преломления окружающей cpej
и показатель поглощения которого на поверхности постепенно переходит в нуль. В<
кое отсутствие непрерывности в оптических свойствах среды неизбежно вызывает О
ражение света. Поэтому вообще невозможно осуществить идеально черный экран;
виде резко ограниченного, тонкого тела, на которое можно было бы наложить опр
деленные пограничные условия.
2) Как будет видно в дальнейшем, при рассмотрении электромагнитной теорс,
в этих двух пограничных условиях s имеет ие одно и то ate значение: в (49) s об<
зкачает электрическую силу, колебания которой направлены параллельно краю экрая|
в (50) — магнитную силу, колебания которой направлены параллельно краю экрав!
Однако в обоих случаях освещенность вычисляется одинаково, по крайней мере
стороне экрана, обращенной от источника света. 1
Вывод диффракции от прямолинейного края 173
переходе к этим полярным координатам дифференциальное уравне-
(^8) принимает вид
dt2 \ дг2 ' г дг * г2 д(р2 / '
решение этого дифференциального уравнения и пограничного условия
) и (50), соответствующего случаю, когда источник света лежит в бес-
печности, и его лучи образуют с осью ОХ угол у' (рис. 77), будет:
1-М т
s = A’—^~
.„if / гл»2 . /
г 2jt —J - гу / —- - г/ i
•е \е / е dvA- в I е
гад2
~*~dv
, (53)
2лг / t 2жг . ,
у = “C°s(9? —(?)), у =—cos(?>+ (р),
(54)
= sin (97 — 99'), <з' = — + (55)
В уравнении (53) нужно брать верхний или нижний знак в зависи-
мости от того, какое пограничное условие, (49) или (50), кладется в ос-
нову (г обозначает V—1). Таким образом решение для з получается сна-
чала как комплексная величина. Физический смысл ее будет ясен, если
под з понимать только действительную часть комплексной величины. Если
мы, например, положим
12л-—
з = (А + Бг)е т , (56)
то физический смысл s дается действительной частью этого уравнения,
т. е.
з = A cos 2л: -L. _ в sin 2л ~ .
(57)
Освещенность была бы в этом случае (см. аналогичное заключение на
стр. 159):
Е=А2-\-В\ (58)
Этот результат мы можем получить непосредственно из уравнения (56),
®*4и помножим s на сопряженную с ним комплексную величину, т. е.
Ва такую величину, которая отличается только знаком при i от правой
Чйр
11 уравнения (56), следовательно, на (J. — Вг)е . Этотрезуль-
т^.слеДует отметить и на будущее время. Он читается, следовательно,
Вел: если световое возмущение з будет представлено в виде комплексной
ком ПНы (причем само s дается одной только действительной частью этой
этой Лексной величины), то освещенность получится путем умножения
1 величины на сопряженную с ней комплексную величину.
Шей"Т° Ф°РМУЛЫ (53), (54) и (55) действительно представляют собой ре-
НИе дифференциального уравнения (52), можно доказать, составив ча-
17£
Диффракция света
[Отд,
стные производные по г и 9?1). Далее, при верхнем знаке в
(53) будет выполнено пограничное условие (49), так как для
<р = 2л: будет у =« /, сг — а'. При нижнем знаке в уравнении (
дет, наоборот, выполнено пограничное условие (50), так как ~
для ^=0. и .так как частные производные по <р от ела
стоящих, в скобках в уравнении (53), принимают противоположные^
ния для <р = 0 или (р — 2л. Решение (53) фактически соответств
ским волнам от бесконечно удаленного источника света, лежап
указанном направлении; это мы увидим в дальнейшем изложении,
необходимо разъяснить еще одно важное обстоятельство. Если мы
вим любую точку PQ, для которой мы вычислили обойти в плод
XZ полную окружность около края экрана на неизменном рассто
от него), то <р возрастет на 2л. Но значение s при этом будет уже
отличающееся от первоначального, так как а и af при изменении«
*1
2л, вследствие множителя sin— (#> 4-<?>'), переменят знак. Поэтому'
будет однозначной функцией координат места. Физический же смы
бует однозначности. Это будет достигнуто, если при движении точки
менении мы не будем ее проводить сквозь экран. Это мы будем с
соблюдать, причем 9? должно принимать значения от 0 (теневая ст
экрана) до 2л (освещенная сторона экрана).
Следует теперь различать три области, в которых s ведет себя cj
ственно различным образом: /
1. Область тени: 0 < #> < #>'. По формуле (55) о и в* отрицателе
Поэтому для бесконечно большого г имеем s = 0.
2. Область вне тени: <р' < <р <2л— <р'\ о положительно, о' 01
цательно. Так как по формуле (29) на стр. 162
t'TV2 — < „ и-
dv~2 е dv = 1 — i
о
(Si
то отсюда для бесконечно большого г имеем:
г'2л Г t
s — Ае [Т
Y cos (у— (р'\
Действительная часть этого уравнения соответствует плоским волнгЛ
с амплитудой А; направление их распространения образует с осью
угол Таким образом решение действительно соответствует, для очещ
больших г, свету, идущему от бесконечно удаленного источника света #
лежащего в направлении <р'.
Мы не имеем возможности итти по тому пути, который последовательно привел
Зоммерфельда к этому решению, так как это потребовало бы слишком много вспомф
гательных средств.
Вывод диффракции от прямолинейного края
175
Область отраженного света. 2от— <р' < <р< 2л, а и </ положи-
” Отсюда для бесконечно большого г будем иметь:
t f .2лт . 2яг . .
г2л — I — г-—COS ( 9>— <р') — г—— COS (g> + <р) I
s — Ae Т U Те J.
5тр. 164.
К-дсгвигельзая часть этого уравнения соответствует наложению” па-
Сих плоских волн и плоских волн, отраженных от экрана по закону
Еевия. Отраженная амплитуда по абсолютному значению равна пада-
амплитуде.
Решение уравнения (53) мы получим в наглядном виде, если опять
Пользуемся кривой рис. 69. В самом деле, на основании изложенного
I ЯУ^
2 dv — £— ip ,
а
е
(60)
и р являются проекциями отрезка (F’E) на оси 01 и Ор, и где Е
шачает точку кривой, соответствующую параметру а.
Аналогично имеем:
ог .
I*е 2 dv — — ip', (61)
— оо
Еде и р' являются проекциями отрезка (F’E’) и Е’ означает точку
Вфямой, соответствующую параметру о'.
ЕТ.Если мы рассмотрим сначала теневую сторону экрана, т. е. О < <р < от,
ЕЬ заметим, что а', вследствие малого знаменателя Л (длина волны), все-
гда велика и отрицательна, если г выбрано не очень малым. Для доста-
точно большого г можно поэтому по формуле (61) с очень хорошим
f Приближением положить ^' = р’==^ тогда из формул (53) и (60) пог
Мучим:
Г -7 4
!. 1 г2я-т ~гу
Г т <е (g—ipfl
освещенности по формуле (58):
£ = (62)
&
* Иочти к той же формуле мы пришли бы помощью изложенного в
у. йРиближенного вычисления. А именно, если источник света бесконечно
1 €й> то приведенная там формула (38) дает:
£=^{_со,С')а; , (63)
0Сй°ванпи формулы (39) получаем:
ь v' — d\f -Я- .
г ли
176 Диффракция света [ОтдЯ
Значение d можно взять из рис. 71. Если провести расстоям
ей Pq от края экрана, то получим d — г sin (jp— д/), если д?-Л
ставляет собой угол диффракции, т. е. наклон диффрагирующй
относительно падающих. Так как около границы тени надо?
Ъ = г, то, следовательно, v' = 1/ -^-sin(g?—g/); то же самое э
имеет а по формуле (55) для достаточно малых углов диффракщ
точка Е в формуле (62) соответствует параметру v' в формуле (I
этому обе формулы приводят к одному и тому же значению -Е—
границы тени. На большом расстоянии от границы точная формуДИ
конечно, отклоняется от той формулы, какая должна была бы полД
на основании прежних приближенных вычислений. Сделанное Д
заключение, что диффракционные полосы получаются только вне Я
тени, остается, конечно, справедливым и здесь при более строгом Я
На обращенной к источнику света стороне экрана п < <р < 2 Д
три области отраженного света, интеграл (61) принимает также бД
значения. х Я
Поэтому, если мы хотим вывести строгую формулу для освещеня
годную для всех случаев, то мы не должны пренебрегать ия
лом (61) по сравнению с интегралом (60). Это относится как к оЯ
отраженного света, так и ко всякой другой области, при очень малом!
очень большом угле диффракции <р — <р'. я
Эту строгую формулу для освещенности Е мы получим, если помя
правую часть уравнения (53) на сопряженное с ней комплексное вы|
ние. Пользуясь обозначением уравнений (60) и (61),получим такими
зом следующую вполне строгую формулу: (
B = 4(^ + ’!2 + ^2+’)'8:F2cos(r-/)(fr+’?>;')±
± sin (г — /) •(?;£' —iff)), -1
или • Я
4 К*"-®)’ + Т 2(р,£) (^')cos(7-у' + Х)|, 'Я
где % обозначает угол, который образуют между собой отрезки (F'Jia
(F'E')\ % считается положительным, если поворот, переводящий кратч
шим путем F'E в F'E', происходит в том же направлении, как
рот оси ц к оси £. Из уравнения (54) имеем:
у— у' = — sin (р sin д/. (€
На основании уравнения (64) Е пропорционально квадрату геометр
ческой разности или суммы двух отрезков, длиной (F'E) и (F'E1), (
разующих между собой угол % + у — у'/Следует брать геометрически
разность, если падающий свет поляризован перпендикулярно краюэкра!
геометрическую сумму, если он поляризован параллельно краюэкранаЛ
Выражение (64) можно еще значительно упростить, если вычисля
освещенность Е не очень близко к геометрической тени, т. е. если <р
очень близко кд/.
Вывод диффракции от прямолинейного края 177
; ггоГда в области тени о и а' будут очень велики и отрицательны; мы
поэтому по соображениям, связанным с видом кривой рис. 69
* §3), положить Е'Е равным радиусу кривизны о кривой в точке Е,
равным радиусу кривизны в точке.#' и угол %, образуемый этими
оезками между собой, равным углу, заключенному между двумя каса-
1 ьными, проведенными к кривой в точках Е и Е'. По формулам (18)
1^(19) на СТР- 160 можно, следовательно, положить:
F'E = -, F'E’=—,, v = ^(a2—а'2).
лв ’ ла л 2 v 7
Но, принимая во внимание (55) и (65), имеем: у —у' +/ = 0; поэтому
• яа основании уравнения (64):
(66)
Если подставить сюда для а и а' значения из уравнения (55), то для
, верхнего знака, т. е. в случае, когда падающий свет поляризован пер-
пендикулярно краю экрана, будет иметь место уравнение:
. „ 1 2 1 ,
sin2- 97 cos2 — 9?
Li Li
(cos 9? — cos 9?')2 ’
Л2 2
(67)
напротив, для нижнего знака, т. е. когда падающий свет поляризован
параллельно краю экрана, имеем:
(»)д°^-4-(ё4-ё^- <68>
Эти формулы для области тени справедливы, следовательно, только в
том случае, если очень мало, и если <р не находится в непосред-
ственной близости от <р', т. е. на границе области тени. Из формулы вы-
текает, что на самом экране (для <р = 0) свет полностью поляризован
параллельно краю экрана; далее, что для возрастающего 9? освещенность
на основании обеих формул постоянно увеличивается, и притом всегда
освещенность, даваемая светом, поляризованным перпендикулярно краю
экрана (67), меньше освещенности, даваемой светом, поляризованным
параллельно краю (68). Разница между двумя освещенностями посте-
пенно убывает по мере приближения к геометрической тени г).
При экспериментальном исследовании диффракции света у прямоуголь-
ного края экрана при очень больших углах (до 180°) (диффракция Гуи-
~°ммерфельда) было обнаружено2), что вещество экрана, а также степень
аЕРУгленности края влияют на цвет и поляризацию света, диффрагиро-
*) Вывод поляризации диффрагированного света в более сложных случаях весьма
^м- Pockets, Beugung des Lichtes, Winkelmann Handbuch der Physik 6,
1906.
) Подробное изложение этих работ см. М. v. Laue, Handbuch der Experimental-
ise u, Harms), 18, 329, 1928.
Др уде—Оптика 12
178 Диффракция света[Отд. IjM
ванного внутрь геометрической тени. Для того, чтобы теоретичесвД
яснить эти явления, необходимо было расширить теорию ЗоммерфельИ
было сделано Эпштейном 1), рассмотревшим случай параболическом
линдра конечной проводимости, и Раманом и Кришнаном 2), которывЯ
в формулы оптические константы вещества экрана и получили совпД
с опытными данными, 1
Вне области тени (и вне области отраженного света) на достаточном ра|
янии от границы области тени и области отраженного света а Я
велико и положительно, о' очень велико и отрицательно. При этом 1
очень мало и имеет значение (не обращая внимания на знак) 1: ла.
то время как F'E приблизительно равно У 2. Далее, так как F'Ei
разует с осью 01 приблизительно угол — %, имеем: ъ — — — л — у I
так что
। / 1 • а 1 Г /\ ;
Х+7 —У=— %-----sin2 - (97 —99 ). ;
Пренебрегая (F'E')2, получаем из уравнения (64):
(
Е — А2
1 (у-у')] Я
sin -J- (<р + <р') ‘1
При переменном 99 появляются, следовательно, диффракционные полос!
правда мало отчетливые. Полосы будут тем яснее, чем ближе (р иодх<|
дит к 2%— 9?'. Но тогда не будет больше годиться формула (69), и око!
самого перехода к области отраженного света следует выводить резул»
тат из формулы (64) и кривой рис. 69, так как .F'E' становится большд|
В области отраженного света на достаточном расстоянии от_границй
<р — 2л — <р' как F'E, так и F'E' приблизительно равны У2, % = 0.
При этом по уравнениям (64) и (65) чередуются полная темнота
и четырехкратная освещенность, в зависимости от того, является ли
j sin 9? sin q> целым числом или половиной нечетного числа. Таким об-
разом мы сталкиваемся с изложенным на стр. 133 явлением стоячих волн,
которое выступает каждый раз, когда падающие волны налагаются на
отраженные. Здесь следует обратить внимание на отмеченную в примечании
2 на стр. 172 разницу в значении s в зависимости от поляризации па-
дающего света. К этому мы еще вернемся в следующей главе.
Основываясь на данном Зоммерфельдом решении проблемы диффрак-
ции для абсолютно отражающей полуплоскости, Шварцшильд3 *) дал метод
рассмотрения диффракции от прямой щели в безграничном, плоском, абсо-
лютно отражающем экране путем последовательного приближения. Полу-
v Spezielle Beugungsprobleme, -Encyklopadie der mathem. Wissensch.,
V 3^ «Loo, lyuy.
2) Raman u. Krishnan, Proc. Roy. Soc. London 116, 254, 1927.
о» «7* Matb- Ann- б&» 177, 1902; W7. v. Ignatowsky, Ann. d. Phys.
28, 8?5, 1907; 25, 99, 1908; 26, Ю31, 1908.
Фраунгоферова диффракция
179
на основании строгой теории максимумы и минимумы отличаются
незначительно от найденных в § 5 приближенным вычислением; за-
ИКспределения энергии в максимуме (но не в минимуме) оказывается
^Еговым в обоих методах. При падающем естественном свете диф-
^Р\руЮщий от широкой по сравнению с длиной волны щели свет должен
деполяризован также и при значительных углах диффракции; пада-
линейно поляризованный свет должен стать эллиптически поляризо-
1)«
(Гв. Фраунгоферова диффракция. Как было указано выше на стр. 159,
Кффракция Фраунгофера наступает тогда, когда источник Q и рассмат-
Едемая точка Ро лежат бесконечно далеко. Для наблюдения этих явле-
точечный источник света устанавливается в фокальной точке соби-
Кельного объектива коллиматора (лучи в этом случае будут параллельны);
| зрительную трубу, установленную на бесконечность, видна диффракци-
фяая картина, обусловленная поставленным между нею и источником
фета экраном.
Мы будем исходить из соображений § 1, т. е. из принципа Гюйгенса.
Таким образом трактовка является менее строгой, чем в предыдущем па-
раграфе. Но, как мы уже видели, при не очень больших углах диффрак-
ции принцип Гюйгенса дает очень хорошее приближение. По формулам
(8) и (9) на стр. 158 для = е0 = <х> надо положить:
Г(Л?/) = -^{®(а1 + ао) + ?/(|81 + М!, (70)
причем аъ а0, /?0 обозначают косинусы углов, образуемых с осями
иХн О К направлениями от начала координат к источнику света Q и к
рассматриваемой точке Ро (см. рис. 68).
По формулам (11) и (12) стр. 159, пользуясь сокращениями:
•^(<4+“.)=/«. •т№ + Л)“’-, (71)
получаем выражение для освещенности в точке Ро:
• Е=А'Ъ (C2 + S2), (72)
С 4- vy)do, S = J sin (ух Ц-vy) da (73)
и интегрирование надо распространить по всему отверстию в экране.
Постоянная А' получит наглядный смысл, если ввести освещенность
в > наблюдаемую в точках за экраном, когда зрительная труба помещена
йев^нравлении падающих лучей. Тогда для всех точек экрана, лежащих
Ме ^конечно далеко от начала координат, у = v ~ 0, так что имеет
т° соотношение:
Е' == ^'2flr2>
яепосп Трогая теория диффракции может быть цолучена в случае больших т и и
получ₽едств0нво из принципа Гюйгенса; Е. Т. Hanson (Trans, opt. soc. 26, 1925)
•пего формулы Зоммерфельда из формул Кирхгофа, вводя в вычисления члены выс-
°°рядка.
; 12*
180.Диффракция света
если под сг понимать величину всего диффрагирующего отверст^
для любого направления зрительной трубы следует
7?=|j-(C2 + ,S'2).
9. Диффракция от прямоугольного отверстия. ИнтеграД
вычисляются проще всего, если отверстие экрана имеет прямоуя
форму. Поместим начало координат в центре прямоугольника (pj|
оси координат направим параллельно сторонам прямоугольника;
длины сторон прямоугольника будут а (параллельно оси ОХ)
(параллельно оси ОТ); тогда мы получим:
С — — sin — sin ~, S = О
fiv 2 2 ’
и по формуле (74), так как о — ab, имеем:
vb 12
sm —
vb
Т ~
. /ла
/ла
Т
12
(Ч
которые yj
собой цел]
Поэтому полная темнота будет по тем направлениям,
влетворяют условию, что или иа или vb представляют
кратные от 2я.
Если свет от источника Q падает на экран нормально, то аг = /^ = I
Оптическая ось зрительной трубы .направлена параллельно падающей
свету, т. е. также нормально к экрану. Освещенность Е в направлени!
определяемом а0 и /?0) будет тогда наблюдаться в фокальной плоскоот
объектива зрительной трубы, в точке, имеющей координаты:
х' = /«о, У' = /7?о5 (7(
181
Диффракция от прямоугольного отверстия
Ком началом координатной системы х'уг является фокальная точка F
Еива а оси координат параллельны сторонам прямоугольника;
к начает фокусное расстояние объектива. В уравнениях (76) предпо-
Ьтся, что а0 и А) малые величины, т. е. что угол диффракции
Еачителен.
уравнений (71) получаем:
2пх' 2лу'
Поэтому полная темнота наступит для:
— ± 21т, т. е. xr = ± h — (h = 1, 2, 3 ...)
(77)
для
vb — ± 2ka, т. е. у'= (к = 1, 2, 3...).
№ В фокальной плоскости объектива получается поэтому (при монохро-
матическом освещении) ряд светлых прямоугольников, пересеченных
Верными линиями (рис. 78). Черные линии находятся на постоянном
расстоянии друг от друга, и только в центре диффрацционной картины
Кто расстояние вдвое больше. Наверху слева изображено прямоугольное
^отверстие экрана О; диффракционные полосы образуют подобные прямо-
угольники, повернутые, однако, на 90°.
В фокальной точке F объектива освещенность Е достигает наиболь-
шего значения, Е=Е', так как для = 0 предельное значение част-
ного sin = 1. Ряд других, однако, более слабых максимумов,
•мы имеем приблизительно в центрах прямоугольников, ограниченных
Диффракционными полосами на рис. 78. Этим точкам соответствуют зна-
. чеяия:
V ца — л;(2Д 4-1), vb — п(2к 4-1), h, к — 1, 2, 3...
Но на оси ОХ' для центров этих прямоугольников имеем:
pa = n(2h 4-1), v = 0, h=l, 2, 3...
Поэтому максимумы на оси ОХ' (или ОХ) будут:
Ег — Е' п2(2^4-1/ ’
^нтре любого другого прямоугольника, не лежащего на этих оеях,
иа имеют значение:
7-, тл, 16: л4
“ (27г 4-1)2 (2fc 4- 1)а '
ди05}Ким образом Е2 значительно меньше, чем Еь так что вся диффрак-
свет я картина производит впечатление креста, который становится
ДИ(Ьдее к ЧентРУ и перекладины которого лежат параллельно сторонам
знап Пирующего отверстия (на рис. 78 распределение освещенности обо-
чено штриховкой).
182
Диффракция света
[ОтдЯ
Когда свет падает на диффракционный экран под остршЫ
амплитуды элементарных полусферических волн Гюйгенса в какЗВ
точке плоскости падения пропорциональны косинусу угла, оба!
прямой, соединяющей эту точку с соответствующим элементом^»
тирующего отверстия, и его нормалью г). Я
10. Диффракция от косоугольного параллелограмма. Этот
можно вывести непосредственно из яредыдущего, заметив, что я
муле (71) интегралы С и В, а поэтому также и освещеннД
остаются неизменными, если помножить координаты х, у диффрЯ
щего отверстия на множители р, q и одновременно разделить вм
р и v, т. е. координаты х', у' диффракционной картины, на те а
жители р, q. Прямоугольный параллелограмм, стороны которй
параллельны координатным осям х, у, превращается после этой]
ции в косоугольный параллелограмм; диффракционные полосы, пер
кулярные к сторонам отверстия, также будут образовывать косоуН
параллелограммы.
11. Диффракция от щели. Щель можно рассматривать как ;
угольник, одна сторона которого (&) очень велика. Диффракционна
тина сводится поэтому к узкой светлой полосе по оси OX', nepecei
темными пятнами, соответственно формуле:
г . /1а
sm-r-
Е — Е' -------
/ла
2
12
При этом, если свет падает нормально к плоскости щели, имеем;
2л . :
у = -у sin дэ, 1
собой светящуюся линию,
где до обозначает угол диффракции (угол между лучом падающая
отклоненным диффракцией). Если источник света Q представ!
собой светящуюся линию, параллельную щели, то диффракционная К
тина превращается в широкую светящу!
полосу, пересекаемую диффракционными 1
лосами в местах pa — iha. Заметная oci
щенность будет наблюдаться только меж
границами ра — ± 2тг. Положение темя
полос можно было бы вывести также из CJ
дующих соображений.
Чтобы найти освещенность для любо
угла диффракции (см. рис. 79), надо разд
лить щель АВ на такие участки Аг/
А2А3 и -т. д., чтобы пути световых луж
от А, А1У Аг ... до бесконечно удаленш
х) См. работы Р&маиа и его учеников: С. V. Raman, Phil. Mag. 12, 494, 1
17, 204, 1909; 21, 618, 1911; К. Mitra, ibid 85, 112, 1918; В. Chakravetry, F
Roy. Soc. 99, 503, 1921 (диффракция в пластинке Луммера).
HF Несколько одинаковых диффракционных отверстий 183
К р уличались друг от друга на х/а В таком случае действие
К«двух соседних зон уничтожается. При четном числе таких зон,
К том случае, когда в прямоугольном треугольнике АВС катет ВС
Ьется hl, где h ~ 1, 2, 3..., наступает темнота. Так как ВС = a sin ?>,
К ширина щели, то это будет иметь место для угла диффракции
к sin ^ == ± ft — • П9)
г а -
к формуле (78') это выражение тождественно с условием ца = 2ft^.
KpjJa следует, что для а< Л ни при каком угле диффракции мы не
Еучим темноты, а будем иметь диффузное распределение освещенности
В; аналогичные соображения выше на стр. 167).
f Если падает белый свет, и если обозначить освещенность Е' для опре-
Ьенного цвета или определенной длины волны 2,через Е/, далее для
Едкости положить па sin <р — а', то полная освещенность для опреде-
Еного значения а’ будет:
р sin2 —
[' О79')
р )
Если а' не очень мало, например, если а' лежит около ЪпЛ, то по
формуле (79')sin-р изменяется быстрее в зависимости от Л, чем-”-.
считать, что в первом приближении величина постоянная, то
(79') принимает вид, подобный выражению для энергии света, отражен-
ного от тонкой пластинки (см. ниже отдел III, глава II, § 11). Таким
образом на некотором расстоянии от центрального поля появляются цвета,
ммзкие к ньютоновым цветам тонких пластинок.
12. Дпффракционное отверстие любой формы. При любом несим-
метричном виде диффракционного отверстия оба интеграла С и 8 отличны
)т нуля. Нулевая освещенность в диффракционной картине характери-
зуется одновременным выполнением двух условий: С = 0, $ == 0. Поэтому,
вообще говоря, темнота будет наблюдаться в отдельных точках, а не по
Иниям, как это было в случае четырехугольникаг).
13. Несколько одинаковых и одинаково расположенных диффрак-
1ионных отверстий. Обозначим координаты точки диффракционного
^верстия относительно какой-нибудь точки А, расположенной одинаково
® всех отверстиях, через I и Пусть координаты точек А относи-
гЛьн° координатной системы XY, расположенной произвольным образом
Диффракционном экране, будут хг, уи хъ у2, ж3, у3 и т. д. В таком
Йо е’ ^довательно, для выбранной нами точки какого-нибудь диффрак-
°аного отверстия, например для третьего, можно положить:
х = ж3 + У = Уз + ?Г>
РЬц Полную теорию диффракции через круглое отверстие дали: Airy <rans. Cambr.
283, 1834; Schwerd Die Beugungserscheinungen aus den Fundamental-
izm j der Undulationstheorie, analytisch Entwickelt und in Bildern dargestellt, Mann-
1^35; Lommet, Abh. Bayer. Ak. der Wissensch. 15, 233, 1886.
184
Диффракция света
[Отд.;
тогда по формуле (73) будем иметь:
0=2 f cos + £)+’' О/» +»?)]d^'
i
s = 2 fsin (xi + +v tyi + ^)]W
Для всех диффракционных отверстий £ и ?] изменяются в °ДинЯ
пределах. Поэтому, если обозначить интегралы С и S, распростраЯ
только на одно диффракционное отверстие, через с и s, т. еД
положить:
с = f cos ({Д + dt-dq, s — f sin (/z£ 4- vrj) d^drj
и для краткости обозначить:
с' = 2 cos (№ + vyt\ s' = 2 sin + ^)>
i i
то на основании формулы (80) получим:
О=е'с— s's, /$ = s'c 4- c's.
Поэтому на основании (72):
Е — А'2 (с'2 4-s'3) (с2 + s2).
Из этой формулы видно, что те места диффракционной картиныД
мы имеем темноту для одного отверстия, остаются также темными месЯ
при нескольких одинаково расположенных диффракционных отверстЯ
Это легко вывести и непосредственно. Для любой точки освещенн!
увеличится в отношении с'2 4- s'2 по сравнению с освещенностью 1
одном отверстии. Это отношение с'2 4- s'2 может иметь очень различи
значения. Его можно написать в виде:
с'3 4- s'2 = 2 cos2 (^ + vyt) 4 2 2 cos (^ 4- vyj cos (yxk 4- vyk) 4fl
i i, k Л
. 4- 2 sin2 (№ + vyt) + 2 2 sin + vyt?) sin (yxk+vyk), (gl
i i, k Я
т. e. 1
c'2 + s'2==m 4-22 cos [Нжг —+ -О, 1
г, к
где m обозначает число отверстий. При совершенно неправильном pacnd
ложении большого числа диффракционных отверстий вторым членом пра
вой части уравнения (84) можно пренебречь по сравнению с первым, та;
как отдельные слагаемые под знаком 2 принимают все значения межд;
1 и —1. Поэтому освещенность диффракционного изображения всюд;
7 в т раз больше, чем при одном отверстии. Это явление можно наблю
дать, например, если сделать иглой в станиолевом листке ряд неправильна
расположенных одинаковых дырок. Получится та же система концентра
ческих колец, которую дает одно отверстие, ио более яркая.
Принцип Бабине
185
„льтаты будут совсем другие, если отверстия будут расположены
ерно или их будет немного. Рассмотрим случай двух отверстий;
jji, например;
=0, х2 = d, yt^=yz=z О,
L будем иметь:
Г с'2 + 8'2 = 4 cos2 .
г Z
^фракционная картина, которую дает одно отверстие, будет, следо-
йьно, еще пересекаться темными полосами, удовлетворяющими урав-
яю цй = № +1) я, т- в. полосами, идущими перпендикулярна
ж линии, соединяющей две соответствующие точки диффракционных
tepernii, и имеющими, по формуле (77), постоянное относительное рас-
Еяние If: d в фокальной плоскости объектива зрительной трубы.
|Г^|4. Принцип Бабине. Прежде чем перейти К случаю решетки, т. е.
ряду правильно расположенных диффракционных отверстий, рассмотрим
а дополнительных друг к другу диффракционных экрана. Пусть
Сэкране проделан ряд отверстий, а на экране а2 закрыты как раз те
Шеста, которые соответствуют отверстиям в экране <гь и наоборот; тогда
и а2 называются дополнительными экранами.
При пользовании одним экраном освещенность Ег пропорциональна
€i2 + /S\2, причем Ci, представляют собой интегралы, которые надо
распространить по отверстиям а£ в случае одного экрана сг2 освещён-
ность Е, пропорциональна С22 4- S22, причем интегралы О2, 82 надо
распространить по отверстиям <у2. Освещенность Бо при полном отсут-
ствии экрана пропорциональна поэтому 4- С2)2 4- (Йг 4- S2)2. Но
в таком случае в той точке поля наблюдения, которая соответствует
Углу диффракции, отличному от нуля, Ео = О, т. е. Сх = — С2, 8г ==
m — £j. При этом также = Е2, и мы получаем положение: при двух
Дополнительных друг к другу экранах во всех точках диффракционного
изображения освещенность одинакова, за исключением' центрального
Пятна, которое соответствует диффракционному углу, равному нулю. Это
и есть принцип Бабине х).
Применим эту теорему к диффракционной картине, получаемой с по-
иощыо нескольких неправильным образом расположенных, одинаковых
п° величине круглых экранов. Диффракционная картина должна быть
а Же, какая получается от расположенных так же круглых отверстий,
яким образом должна получиться система концентрических колец.
0 явление можно вызвать с помощью семян ликоподия, насыпанных
‘длинную пластинку. Ореолы вокруг солнца и луны также объ-
величСЯ диФФРакПионным Действием водяных капелек 2) одинаковой
WisJ) л" Cabinet, С. R. 4, 638, 1837. Строгую теорию дал М. Laue, Enzykl. d. math.
2\ Wellenoptik, V8, 393 1905.
Bud о Mecke, Atmospharische Beugungeerscheinungen, Handbach der Physik (G-eiger-
iQg 18 e^’ 67,1928. См. также F. Neumann, Vorlesungen iiber theoretische Optik,
186
Диффракция света
[От
*i==
15. Диффракционная решетка1). Диффракционная реше
из очень большого числа параллельных щелей, расподо
постоянном расстоянии друг от друга. В обозначениях § 13
положить:
== О, ж3 = d, х3 = 2d, = 3d и т. д.
У1 = Уз = Уз и т. Д. = О
где d обозначает расстояние соответственных точек в двух
щелях, так называемую постоянную решетки. Таким образом на!
пии уравнения (82):
с'— 1 + cos,utZ + cos2ud + cos 3/ztZ 4-...
s' = sin fid 4- sin 2ud 4- sin 3ud 4- ...
Чтобы найти с'3 4-s'2, воспользуемся мнимыми величинами^
при наличии т отверстий можно написать:
. С' 4- is’ = 1 4- ei/jd 4- 4-
Это суммирование производится очень легко. Получаем:
__ х
с' 4- is = -r-j----.
е1^— 1
г (т — 1) pd
Умножением обеих частей этого уравнения на их сопряженны!
плексные выражения получим:
. . mud
< , sin® ——-
r>2 j_ o'2 _ 1 — cosmw* 2__
• 1 — cos yd . , yd ’
sm® --
и
так что из уравнений (83) и (78) следует:
sin2'~
Е^Е^-—
А / l£fl \2
, „ myd
sin2~2~
sin8/r
Здесь E{ обозначает освещенность при угле диффракции равном н]
(/4 = 0), какой она должна была бы быть при одной щели. Из 9
формулы вытекает, что диффракционное изображение щели, которое п[
ставлено первыми двумя множителями, пересечено очень тесно распо
женными темными полосами, по уравнению = hn; расстояние меа
ними тем меньше, чем больше число т щелей. Между двумя полоса
освещенность Е проходит через максимумы, которые, однако, в сам
лучшем случае только равны максимумам освещенности в соответству
Ч О диффракционных решетках, их установке и юстировке см. Kayser, Hai
buch der Spectroskopie, I, 1900, гл. V (Die spektralen Apparate), стр. 489, гл. J
{Die spektralen Messtingen), стр. 691; подробное исследование см. Ж. v. Ignatown
Zvlt Theorie der Gitter, Ann. d. Phys. 44, 369 1914.
Диффракционная решетка
187
.очке диффракционного изображения при диффракции от одной
Значительно большая освещенность получается в том случае, когда
sas 0, т. е. для
одновременно
/z == или sin ср = h , (86)
обозначает угол диффракции (свет пусть падает на решетку нор-
ьяо).
(ля этого угла диффракции <р имеем:
sin«^
-------j— — m2,
S1H8 Чг
2
i что в соответствующих точках диффракционной каптины освещен-
Крть в ж2 раз больше, чем при одной щели. Если m очень.велико,
(вообще видны только эти максимумы1). Тайой максимум-выпадает
Ьько тогда, когда на том же месте лежит как раз нулевое место диф-
ракционного изображения для одной щели, т. е., если -------------
Н86) выполняется соотношение:
м == -- .
г а
Это возможно только тогда, когда отношение ширины
Ветке является частным двух целых чисел. Решетки с
Цементом изготовляются путем нанесения алмазом очень
в* стекле или металле (отражательные решетки). Штрихи, которые наносит
to и аз, действуют как непрозрачные или неотражающие места, т. е. как
•враны. По теореме Бабине (см. выше стр. 185) штрихи равнозначны
Лелям той же ширины а. Последняя в таком случае гораздо меньше, чем
Постоянная решетки d, так что во всяком случае первые максимумы, соответ-
^вующие только не слишком большим значениям 7г, не выпадают. Осве-
щенность в этих максимумах почти постоянна, так как при очень не-
рачительной величине щели а диффракционное изображение, вызываемое
одной щелью, дает почти равномерную освещенность на большей части поля.
Ори достаточно большом числе щелей т и пользовании источником
в виде тонкой монохроматической линии Q, диффракционное изобра-
Вцс состоит из тонких светлых линий, появляющихся при углах
b и т. д., которые подчиняются закону;
9’о = 0, sin^«±4> sin<?2s=±^-> 8Ш?>3 = ±~ит. д.
щели а к ре-
очень малым
тонких линий
омну* постоянная решетки й<Я, то не видно никаких диффракционных мак-
Цоэтои6’ так как на основании уравнения (86) мы должны бы иметь sin<p>l.
laerea пР°3Рачное Т0ЛО можно рассматривать как включение непрозрачных весомых
1вета В ц₽О8РачйОМ эфире. Если р&сстоиние весомых частиц меньше длины, волны
’ т° проходит только не диффрагированный свет.
188
Диффракция света
Если щель освещена белым светом, должны появиться чистые
так как при различных цветах появляются различные углы ди$
Эти спектры, даваемые решеткой, называются нормальными
(в противоположность дисперсионным спектрам, возникающим npiM
лении в призме), потому что каждый цвет отклоняется от я ап Л
падающего света соответственно своей длине волны, по крайней^
тех пор, пока дифракционные углы настолько малы, что можно цЛ
sin (р — <р. Так как каждый цвет, соответственно различным зип
h в уравнении (86), появляется много раз, то возникает такж#
спектров. Спектр, соответствующий значению h = 1, называете!
тром первого порядка; значению h = 2 соответствует спектр i
порядка и т. д. Наименее отклоненными оказываются фиолетовые
первого спектра, затем следуют другие цвета до красного. 3
ним промежуточным пространством следует фиолетовый цвет второй
тра. Но уже красный конец первого спектра перекрывается сиш
цом третьего спектра, так как ЗЛ„ < 2ЛГ, где if Лг суть длинь
фиолетового и красного цвета. Это перекрытие нескольких цветов
исходит все чаще по мере перехода к большим углам диффракцищ
Причина, почему в случае решетки мы имеем чистые спектра^
цвета в противоположность случаю одной щели, дающей приблизив
интерференционные цвета Ньютона, лежит в том, что в случае реЯ
резко выступают максимумы света, в случае же щели, напротив, Я
мумы, т. е. темные места. Я
До появления интерференционных спектроскопов (см. выше стр. Я
решетка являлась единственным прибором для точного определи
длины волн (по постоянной решетки d и углу диффракции <?) J). Я
рение с помощью решетки тем точнее, чем мельче нанесенные
решетке деления, так как от этого растут углы диффракции. Рей
форд изготовлял решетки на стекле или металле, в которых па ох
миллиметре было до 700 линий. Существенную роль при изготовляй
решетки играет делительная машина, перемещающая режущий инея
мент (алмаз). Штрихи должны быть в точности параллельны и лезЯ
на постоянном расстоянии; этим определяется качество решетки. РоуД
изготовлял решетки на делительной машине, которая позволяла нанося
до 1 700 линий на миллиметре. Майкельсон еще больше усовершенся
вал технику изготовления и получил диффракционные решетки прея
ходного качества. 1
К. Вогнутые решетки2). Дальнейший крупный успех Роулэнда за
лючается в изготовлении решетки на вогнутой, сферической, хороП
отражающей металлической поверхности. Эти вогнутые решетки дай
действительное изображение Р светящейся линии Q без помощи лив
диффракционные максимумы Р1У Pi и т. д. различных порядков так!
являются действительными изображениями. Чтобы найти их положена
построим окружность, диаметр которой равен радиусу кривизны г решетвЯ
•I т’ ^а'^кельсон^ Исследования по оптике, стр. 112. Л
вогнУтой решетки дал Runge (Kayser, Handbuch der Spektroskopie,.4
Изложение этой теории см. Шустер, Введение в теоретическую оптЖЖУл
ОНТИ, 1935, стр. 128. - ‘
К
Вогнутые решетки
189
! я касается решетки GG (рис. 80). Если светящаяся линия лежит
г окружности в точке Q, то вследствие отражения возникает (не
идионное) действительное изображение в Р, также на этой же ок-
ти, причем Р и Q расположены симметрично относительно С, где
центр кривизны решетки GG. В самом деле, в точке В нормалью
)Го зеркала является СВ, поэтому угол
й QBC равняется углу отражения РВС. %
любой другой точке В' зеркала отражен-
также всегда должен пройти через Р, \\
ч<го в В' нормалью к зеркалу является / хй
ак как С есть центр кривизны вогнутого / и
ц и так как с большим приближением cL—-------------
’С = РВ'С (это было бы вполне точно, \ /1
[ В’ лежало на самой окружности, потому \
щ мы имели бы вписанные углы, опираю- —-----7®
ia равные дуги окружности), то В'Р пред- G
я собой направление отраженного луча,
образом в Р мы имеем неотклоненное
кцией изображение Q, полученное путем Рис- 80-
ния в зеркалег).
•фракционное изображение Рх лежит на пересечении двух лучей
В'РЪ образующих равные углы с ВР и В'Р. Отсюда следует,
также лежит на окружности, проходящей через PCQB, так как
^^РВ'Ру и РВРг как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги,
рбыли бы строго равны между собой, если бы В' также лежало на этой
окружности.
Чтобы получить на экране действительный диффракционный спектр в
гочке
г
было бы
надо
Л,
Q
Рис.
81.
(РаДИ
ставить экран очень косо по отношению к па-
дающим на него лучам; более благоприятным
является то положение, когда он стоит нор-
мально к лучам. Поэтому помещают экран В
в точку С параллельно решетке, передвигая
источник света Q соответствующим образом;
во всяком случае он должен лежать на окруж-
ности диаметра СВ, т. е. PCQB должен
всегда быть прямой. Для практического опре-
деления положения Q, при котором спектр
получается на экране в точке С, во многих
спектрографах с решеткой экран В и ре-
шетка G укрепляются на планке длиной г
щ -[УС КРИВИЗНЫ решетки), которая может скользить по прямоугольным
$вет и Еак П0Казан0 на Рис- 81. В Q находится источник
ДУдаляя В от Q, получаем последовательно спектры высших порядков.
аД° же самое вытекает из второй формулы (34) на стр. 52, которая получается
Qg т®гматическом изображении вследствие отражения. Надо положить <£ CBQ—<p,
при этом QB — S — — г cosy. Из этой формулы вытекает поэтому
"s> т- е., принимая во внимание вычисленное выше положительное направление
. Положенная симметрично к С точка Р должна быть изображением Q.
190______Диффракция света_______________________^ТМ,|И|
17. Фокусирующие свойства плоской решетки. Если расстояМ
штрихами решетки не постоянно, то углы диффракции, соответсЦ_
максимуму света, — например, первому, — по формуле sin^=^M
различных частей решетки будут различны. При соответственной
изменения d эти направления, соответствующие максимуму света^ы
все пересечься в точке F. В таком случае эта точка является шМ
решетки, так как она имеет те же свойства, что и фокус линзы аИ
18. Разрешающая сила решетки. Способность решетки раЯ
две соседние линии спектра должна быть пропорциональна числуМ
хов т решетки, так как выше мы видели, что диффракционный»
мум, получающийся от определенной длины волны Я, тем уже, чем и
т. По формуле (86) на стр. 187, диффракционный максимум
рядка соответствует значениям:
ц = 2hn: d, т. е. sin g? = Ы: d.
Отклонение, соответствующее первому минимуму, прилежащему^
максимуму, можно получить по формуле (85"); он будет иметь местом
mud
когда аргумент изменится на л, т. е. когда
’ dp — 2п\ md.
Поэтому угол диффракции связанный на основании уравнениям
стр. 182 с /г, должен измениться на:
d(p — Я: md cos g?.
Эта величина dy измеряет поэтому половину угловой ширины
фракционного изображения.
Для соседней спектральной линии с длиной волны Я + <7Я положа®
ее //.-го диффракционного максимума дается уравнением
sin (g> + d(p') — h^ + diy. d,
t. e. угол d(p', на который отличаются положения диффракционных
симумов линий X и Я + с?Я, равняется:
dtp' — h-dh: d cos ср.
Чтобы решетка разделила обе эти линии, надо, чтобы этот угол 6Ц
больше половины ширины диффракционного изображения линии, т.Я
должно быть:
d<p'>dq>, h>dl>h:m, ($1
T л пт 'Я
Разрешающая сила решетки поэтому пропорциональна общему чис!
штрихов т и порядку h спектра; она не зависит от постоянной решетя
' , см‘ F.P°ckels, Beugung des Lichtes; Winkelmann Handbuch der PI*
sik 6, 1081, 1906. 6 ь
Диффракционную решетку с концентрическими кольцевыми щелями перемени!
ширины мы имеем в зонной пластинке Вуда. См. Вуд, Физическая оптика.
Эшелон Майкельсона
191
Рис. 82.
И жду штрихами). При слишком малом расстоянии d между
уделения спектральных линий необходимо во всяком
ючное увеличение окуляра; его применение имеет смысл,,
ом случае, если не превзойдена определяемая уравнением
1Я сила решетки.
ния двойной линии D натриевого света, для которой
ужна решетка по крайней мере с 500 штрихами, если
ктре второго порядка.
гая решетка (эшелон) Майкельсона1). Как видно из
ражений, для того чтобы повысить разрешающую силу,
я спектрами по возможности более высокого порядка,
[стве рассмотренных
аструкций решеток
Йктически нельзя итти дальше
Бп>его порядка (h = 3), так как эти
ретки в высших порядках, если
Еовые вообще в них имеются, не
Eft хороших диффракционных изо-
Еажений. Одна ко даже при очень
алых углах диффракции можно до-
&чь значительной разности фаз ин-
Шрферирующих лучей, т. е. получить
sot же эффект повышения порядка
спектра, если пропустить интерфе-
.рйрующие пучки лучей через стек-
лянные пластинки различной толщи-
ны. Таким путем мы приходим к ре-
шетке, разрешающая сила которой того же'порядка, что и разрешающая
сила интерференционных спектроскопов (см. выше стр. 131). Начнем для
Примера с двух < щелей и поместим за одной щелью стеклянную пластинку
толщиной в несколько миллиметров; тогда при минимальных углах диф-
фракции будут интерферировать лучи, разность хода которых равна мно-
гим тысячам длин волн. Эта идея лежит в основе ступенчатых решеток
"айкельсона. Здесь т пластинок, каждая толщиной <3, накладываются друг
Друга ступеньками, как показано на рис. 82; ширина шага ступеньки
русть будет а. Свет падает на пластинку сверху (см. рисунок) в нормаль-
ном направлении. Если CDJ_AAf, и если показатель переломления сте-
SHHblx пластинок обозначить через п, разность хода параллельных лу-
и и СС', образующих с падающим светом угол <рг будет:
Тдк как
Если
если
п-ВС—AD = nd — б cos 9? +«sin <р}
AD = DE — AE и DE ~ d cos 9?, AE — a sin 9?.
эта разность хода является целым кратным длин волны, т. е.
Ы = nd — dcos <р +'аsin р,
(89)-
) См. л.. Майкельсон, Световые волны и их применение, стр. 133.
192 Диффракция света[Отд/И
то в направлении у должно наблюдаться максимальное дейстмИ
потому что тогда действие пучка лучей, выходящих из АВ
<Р, будет усиливаться параллельным пучком лучей, выходящими
Таким образом уравнение (89) дает направление <р диффракциощЯ
еимумов. ‘J
При незначительном изменении 2 на dX получается значЯ
изменение dp' положения диффракционного максимума, так как f
ференцирования уравнения (89) следует:
hdA = 8dn + (6 sin ср + a cos р) dp',
т. е. при малом р
, , hd/. — ddn
dv’=—
Так как при малом риз уравнения(89)имеем: ЛЛ =(и—1)д, год
написать уравнение (90'):
dp’ == [(п — 1) у1 — j
поэтому, при большом 8: a, dp' буд<т весьма велико. Следует при»
внимание, что в действительности в эту формулу входит сумма, д
разность, потому что в стекле и вообще во всех прозрачных теЯ
убывает с возрастанием 2.
Недостаток этой установки заключается в том, что диффракция
максимумы различных порядков, соответствующие одной и той же Я
волны 2, следуют один за другим на очень близком расстоянии. В Я
деле, из уравнения (89) для угла диффракции + порядка Я
для длины волны 2 вытекает соотношение я
2 = (б sin р 4- a cos р) dp",
т е. при малом ср:
dp” — 2: а.
Так например, в эшелоне с 55 пластинками (б = 9,75 мм, а — 0,96 Л
и я ~ 1,57590) расстояние между порядками для 2 = 5 876 А равно 0,561
т. е. в 10 раз меньше расстояния между натриевыми линиями Д и J
Вследствие этого источник света должен давать очень узкие линии; ToJtoj
в этом случае спектры различных порядков не будут налегать друг*
друга.
Чтобы найти разрешающую силу эшелона, надо вычислить шири
диффракционного максимума й-го порядка, т. е. вычислить те углы дя
фракции {р ± dp), которые дают нулевые положения, наиболее близя
к соответствующему максимуму света’уравнения (89). Чтобы найти S
нулевые положения, представим себе, что эшелон из т ступенек раздел
на две равные части I и II с числом ступенек ~. Темнота наступит J
тех углов диффракции р + dp, для которых разность хода двух лучей,
которых один проходит через I часть, а второй — через аналогично
Эшелон Майкельсона
193
- точку II части, равняется нечетному числу г/&1. Правая
(Сравнения (89) дает разность хода двух лучей, из которых один луч
Едит на одну стеклянную пластинку больше, чем другой; в нашем
Е 0 где один луч проходит на -j- стеклянных пластинок больше дру-
Г разность хода получается умножением правой части уравнения (89)
Жтаким образом для нулевого положения, соответствующего углу диф-
йяйЦИИ "I" должно быть.
' ± 4)^ = Т [п<5— <5 cos («у? zb d(p) + a sin (<р ± d<p)].
!|обы d(? было по возможности малым, т. е. чтобы в поле зрения попа-
до два минимума, наиболее близких к соответствующему максимуму
донения (89), следует, как показывает сравнение с уравнением (89),
Последнем уравнении положить к = й Тогда из последнего урав-
дия и уравнения (89) получается:
± 4 Л = (<5 sin ср + a cos 9?) dy,
Li м
и, для малых углов ср-.
(92)
юдовательно, этот угол Лер измеряет половину угловой ширины диффрак-
^ционного изображения спектральной линии Л. Чтобы двойная линия
1 с Длинами волн Л и Л +йЛ еще разделилась, необходимо, чтобы угол ди-
• сперсии dep', соответствующий уравнению (90'), был больше, чем d(p>
*• е. должно иметь место соотношение:
dj. _________1
Д „ / п — 1 dn,
™5—z------------у
\ Л аЛ.
Таким образом разрешающая сила зависит только от общей толщины тд
ь2Рех пластинок эшелона, безразлично, будет ли он составлен из большого
Р^сла очень тонких пластинок или нескольких толстых. Большее число
остинок рекомендуется брать только с целью большего разделения d</'
(РИКтРов различных порядков и для увеличения угла дисперсии d<p'
' ж Формулы (90') и (91)).
Д<« флинта--^ .П0₽Я1ка ЮО, если Я выражено в миллиметрах
стино?’ При этом при толщине пластинок д = 9,75 мм ичислепла-
^ = 55 разрешающая сила будет по формуле (93):
= 0,58-106;
тол^?11Хов°й решеткой этого можно было бы достичь [(см. уравнение (88)]
пРй количестве штрихов около полумиллиона.
к- Дте^оптЯИЯ
(93)
13
191
Диффракция света
[Оту.^
Несмотря на то, что диффракционные максимумы разли
рядков, как мы видели выше, лежат очень близко друг к друя
зрения попадает самое большее два. Следует принять во вниц
в выражении для освещенности (см. стр. 186) при диффракй
шетке входит множителем освещенность, получающаяся от q
дельной) щели. В ступенчатой решетке в качестве такой отдел!
действует непокрытая часть которой-нибудь стеклянной пластин]
ной а; при этом, на основании изложенного на стр. 183, осве
существенно отличается от нуля только между углами диффрак!
। *
д — i —,
* а
Рис. 83.
соответствующими первым нулевым положениям диффракцион
тины щели, т. е. в угловом промежутке 2Л:а. Так как по ф»рм
угловое расстояние двух максимумов следующих друг за другом
равно Л: а, то, следовательно, видны будут только два таких ма
Чтобы такие ступенчатые решетки давали хорошие резуль
дельные пластинки должны всюду иметь точно одинаковую тол
Для этого они контролируются с помощью интерференционных
одинакового наклона (си. выше выноску на стр. 126) и исправля
полнотельной шлифовкой.
20. Разрешающая сила призмы. В связи с предыдущими р
ниями представляет интерес вопрос о разрешающей силе призмы,
шающая сила призмы зависит не только от дисперсии призмы, н
и от ее ширины (Выходящ го изнв|
ка), так как при малой ширине
в- отдельная спектральная линия распп
вследствие диффракции.
Комбинированное влияние диспе^
поперечного сечения пучка на раз
щую силу приемы или любой си
призм выводится по Рэлею1) весьма п|
следующим образом: если вследствие
ломления в системе Р (рис. 83) ило
волны А0В0 падающего света, с д
волны Л, примет положение АВ, то пути лучей от Ло до А и от
В равны между с бой. Фронт волны с другой длиной волны Л +
то же самое время примет другое положение А'В'. Разность оптичес
путей (АоА’) — (А0А), т. е. отрезок АА', мы можем приравнять dneu\
(А0А') — (А0А) — А'А = dn • elf I
где dn обозначает разницу показателей переломления приемы для J
волн Л и Л + ЯЛ 2), а в!—путь, пройденный крайними лучами в призме
х) Rayleigh,'Phil. Mag 9, 271, 1879. Изложение его рассуждений си. Вуд,
ческам оптика; 8. Gzapski, Prismen und Prismensysteme, Winkelmann, Handbucbl
Physik 6, 205, 190S; см. также Д. С. Рождественский, О разрешающей снлесиевч
скопов, Известия Академии Наук СССР, 425, 1930.
2) Дисперсией воздуха мы пренебрегаем. ’ ’
Разрешающая сила призмы
195
м его равным для обеих длин воли, что приблизительно справед-
^Ргак как с°ДеРжит малый множитель dn).
г жз образом определяется разница между оптическими путями
^(BJP. т. е. отрезок ВВ':
(В0В')—(BQB) = В 'В = dn>e2,
— е обозначает путь, пройденный в призме другим крайним пучком,
лйательно, угол di, образуемый плоскостью волны с плоскостью
Ду ДВ, т. е. дисперсия призмы, равняется:
F di = ЪВ-~АА' = dn ,
Е* j обозначает ширину выходящего пучка света, т. е. отрезок АВ.
К Если крайние лучи А0А проходят через ребро призмы, то ех — 0 и мы
Ж di = dn ~ , (94)
Кр е обозначает толщину призмы у основания, если призма установлена
Е минимум отклонения, когда ход лучей симметричен, и если падающий
учок лучей целиком заполняет отверстие призмы. Те же самые сообра-
жения можно применить для ряда призм; если все призмы установлены
Sa минимум отклонения, то е обозначает сумму толщин призм у основания.
, Для того чтобы с помощью такого ряда призм получить разделение
Хвойной линии, угловое расстояние которой равняется di, необходимо,
чтобы диффракционные изображения, возникающие от каждой спектральной
Инив вследствие ограничения поперечного сечения пучка Ь, были до-
статочно разделены. При щели шириной Ъ по формуле (79) стр. 183
первый максимум лежит при угле диффракции у — к-.Ъ1). Таким образом
Две спектральные линии будут разделены тогда, когда их дисперсия di
по меньшей мере превосходит величину угла определяющего ширину
Центрального поля в диффракционном изображении спектральной линии,
т- е. по формуле (94) должно быть:
е>-к- - 05)
Разрешающая сила призмы зависит таким образом только от толщины
основания и не зависит от -угла призмы. Так, например, для разделе-
я главного дублета натрия при помощи флинтовой призмы (п — 1,650,
толт ^>000055, X — 5896 А) требуется призма по меньшей мере в 1 см
как Вой’ Чтобы разделить две линии, для которых du : X = 2:10е,
с чйЭТ° возможно с эшелоном Майкельсона или с помощью решетки
равнСЛОм ШТРИХОВ около 5-Юб (см. СТР- 193), толщина призмы должна
е == 5 • 102 см, т. е. 5 м, что практически не выполнимо;
) Т’ак как Ъ очень велико по сравнению с X, то можно вместо sin ф написать <р.
13*
196 Диффракция света[Отд. ~|М
кроме того, при очень большой толщине стекла слишком велимИ
щение света. Я
21. Разрешающая сила зрительной трубы г). Если йД
зрительную трубу на неподвижную звезду, то вследствие ди<Я
света на краю отверстия объектива в фокальной плоскости ooL
мы увидим-светлый кружок, который будет тем больше, чем меныпД
h отверстия объектива. При диффракции от круглого отверстия раЯ
возникают концентрические темные кольца. Первый максимум светаМ
при угле диффракции sin ср == 0,61-^-. Допустим, что вторая звезЯ
принимается еще отдельно от первой, когда изображение ее центе
падает с первым минимумом света первой звезды; тогда пределов
зрения <р, под которым лучи от этих двух звезд должны попасть
оружейный глаз, чтобы они могли быть еще разделены зрительной^
при соответствующем увеличении окуляра, будет: "
> 0,61 • 3).
Если принять к равным 0,00056 мм и выразить в дуговых мид^|
то получится:
При этом h выражено в миллиметрах. Таким образом зрите^Д
труба с диаметром объектива в 20 см может еще разделить две з^И
с угловым расстоянием ср = 0,0117'= 0,7". 1®
22. Разрешающая сила человеческого глэзз. Предыдущие сообрая®
мы можем распространить также на человеческий глаз, с той только®
ницей, что длина волны X света в хрусталике глаза будет меньше,-Д
в воздухе, в отношении 1:1,4, соответственно показателю преломл®
в хрусталике. За h надо принять радиус зрачка. Если принять h райД
2 мм, то наименьший угол зрения, под которым глаз еще разлйД
две светящиеся точки, будет: **
ср = 0,42'.
В действительности предел лежит около ср =» 30".
23. Разрешающая сила микроскопа. В микроскопе речь идет о fl
лучении изображения предмета, освещенного проходящим светом, al
са^осветящегося 4). На эту принципиальную разницу впервые обраяД
ъниманиб Аббе5). С точки зрения чистой геометрической оптики, опер!
рующей со световыми лучами, подобие между предметом и изображений
2 S1’ J^adsworth> Phil. Mag. 43, 342, 1897. ]
) F. Neumann, Vorlesungen uber theoretische Optik 83, 1885 (подробное ивлМИ
ние явлении диффракции от круглого отверстия). ч
®) При малом угле можно sin ср ваменить ср. 1
) К самосветящимся предметам можно причислить также и те предметы, котори
мы видим вследствие рассеяния отраженного света. >
. ®) См. Muller-Pouillet, Lehrbuch der Physik, II Aufl, II, 841, 1926. Lummerv*
Retene, Die Lehre von der Bildentstehung im Mikroskop von E. Abbe, 1910.
Разрешающая сила микроскопа
179
йз основных законов, изложенных в первом отделе этой книги.
Еческая оптика, наоборот, оперирует не со световыми лучами как
Еисимыми друг от друга геометрическими направлениями (это не-
Еожно в точной теории), а исходит из понятия о деформациях поверх-
Egg волны; поэтому с ее точки зрения подобие предмета и изображения
ве очевидно; напротив, строго говоря, оно даже никогда недости-
Возьмем для начала свет, падающий параллельным пучком; после
И^ожДения ег0 чеРез рассматриваемый предмет, в фокальной плоскости
' объектива, обращенной к окуляру, получится диффракционное йзоб-
EgeHne. Речь идет о том, какое световое действие вызывает это диф-
ракционное изображение в плоскости Р'Р', сопряженной относительно объ-
Еива с плоскостью РР предмета. Изображение, полученное объективом, рас-
Едтривается в окуляр. Следовательно, изображение предмета, освещенного
Еоходящим светом, является не прямым (первичным), а вторичным, так
Еде речь идет о световом действии полученного от предмета диффрак-
Еионного изображения.
р Ясно, что одинаковые диффракционные изображения в фокальной
р&оскостиР'Р' вызывают также одинаковые изображения в плоскости Р'Р'.
различные предметы всегда будут, вообще говоря, вызывать в Р'Р' раз-
личные диффракционные изображения *). Но если апертура объектива
Микроскопа очень мала, так что действуют только узкие, почти равно-
‘ мерно освещенные центральные поля диффракционных изображений двух
’различных предметов, то они должны вызывать в плоскости Р'Р' одинаковые
световые действия, т. е. должны иметь при рассматривании в микроскоп
одинаковый вид. В этом случае в микроскопе видно только, равномерно
освещенное поле, т. е. не видно никакого намека на структуру предмета.
Чтобы ее разрешить, нужно увеличить числовую апертуру микроскопа
настолько, чтобы кроме центрального поля диффракционного изображения
оказывал действие по меньшей мере ближайший максимум света диф-
фракциопного1 изображения. В таком случае распределение света в пло-
скости Р'Р' уже не будет равномерным: в ней будет видно некоторое изо-
бражение, которое в первом, грубом приближении сходно с предметом.
Чем больше световых максимумов диффракционного изображения попа-
дет в тубус, т. е. чем полнее будет использовано диффракционное изображе-
ние предмета, том больше будет сходства между изображением в микро-
скопе и предметом. Полное же сходство будет достигнуто только тогда,
*огДа все исходящие от предмета диффракционные лучи, которые могут
вызывать заметное световое действие в фокальной плоскости Р'Р'
?^ектива, действительно будут приняты объективом, т. е. не будут задиа-
*₽агмированы. Это указывает на большую роль высокой числовой апертуры
Соответствующим диафрагмированием в плоскости F'F' можно получить от раз-
предметов одинаковые диффракционные изображения. При этом в плоскости
бра* ручаются также одинаковые изображения, т. е. окуляр видит одинаковые изо-
9редсВ0я’ несмотря на то, что предметы очень различны. Если, например, предмет
рагмиТабЛявт с°б°й решетку с расстоянием между штрихами равным d, и если задиаф-
°Редм₽°Вать все Диффракционные изображения нечетного порядка, то изображение
струк0Та производит такое впечатление, как будто предмет имеет вдвое более тонкую
тУру, т. е. как будто расстояние между штрихами будет <7/2.
198
Диффракция света
[Отд.
объектива. Чем выше последняя, тем легче получить прибя
схожее изображение тонкой структуры предмета; правда, дейстм
полного тождества вообще" нельзя ожидать; мы всегда видим в м
детали предмета только до определенной степени тонкости. . ч
Чтобы иллюстрировать эти соображения на примере, допуск
предметом является решетка с расстоянием d между штрихами; щ
освещается параллельным, нормально падающим пучком света. • Ц
диффракции sin ср = X: d находится первый максимум света, ]
ший к центральному пятну. Пусть Сг будет действительное изоС*
этого светового максимума в фокальной плоскости F'F' (рис. 84)
центральное изображение. Пусть расстояние между двумя изобда)
будет е. Эти два изображения Со и Ct имеют приблизительно оди
освещенность и излучают когерентные, т. е. способные интерфе]
волны. Поэтому на расстоянии ж' позади фокальной плоскости возя
(см. стр. 114) система полос с расстоянием между полосами J
= ж'Х: е. Если объектив является апланатическим, т. е. если соблюя
условие синусов (см. стр. 57), мы получим: 1
sin ср = е sin ср', ,1
причем е обозначает некоторую постоянную. Положим sin ср' = е: жЯ
приблизительно имеет место, так как ср' очень мало (в то время бЯ
может быть очень велико); если еще принять во внимание, что sinl
= X: d, то отсюда следует: Я
X е
d 6 х' ’
т. е. расстояние между полосами переходит в
Л! J
d = —• = ed,
е ’
и, значит, расстояние между полосами пропорционально расстояч
Штрихов, совершенно независимо от цвета лучей, которыми мы польз у еж
Таким образом структура d' изображения в микроскопе пропорционаля
структуре d предмета. . j
'Итак, чтобы эта структура была еще видима, в объектив должен noj
дать по крайней мере еще тот луч, который имеет такое направлений
Разрешающая сила микроскопа 199
Bd. Для иммерсионных систем вместо X надо принять длину
иммерсионной жидкости, т. е. X: п, где X обозначает длину
хе, а п — показатель преломления иммерсионной жидкости
юздуха. Поэтому получаем:
п sin <р = X: d.
г есть числовая апертура микроскопа [см. выше стр. 76,
, если U представляет собой угол, образуемый крайним
ва с осью. При этом самой тонкой структурой d, которую
^ет разрешить микроскоп, имеющий числовую апертуру а, будет:
Р d = X:a. (97)
Ь формула относится к случаю нормального освещения предмета.
Пользуясь косвенным освещением, можно еще повысить разрешающую
цу, потому что в том случае, когда середина поля диффракционного изобра-
зил лежит не в центре, а сдвинута в сторону, первый диффракционный
Ьвсимум появляется уже под меньшим углом к оси микроскопа. Самое
ргоприятное положение будет в том случае, когда падающий свет и
ютветствующий первому максимуму диффрагировавший свет образуют
рнаковые углы с осью микроскопа и как раз только попадают в объек-
Если падающий и диффрагированный свет образуют одинаковый угол V
нормалью к диффракционной решетке, то по формуле (71) на стр. 179
до положить р. = -у- 2 sin U. Так как далее по формуле (86) (стр. 187)
(рвый диффракционный максимум наступает при р. = , то в этом
учае будет:
' • тт X
81П17=^.
В этом у наименьшее расстояние d, которое еще может разрешить объек-
1 микроскопа при соответствующем наклонном освещении, будет:
d = (98)
I* а обозначает числовую апертуру микроскопа, X — длину волны света
®0зДухе. Эта есть приведенная выше на стр. 81 формула для разре-
^Цей силы микроскопа.
j Чтобы увеличить количество света' в микроскопе, предмет освещают
^°мощью конденсора Аббе, см. выше стр. 88) сильно сходящимся
Г**ом света. Только что приведенные соображения применимы тогда для
отдельного направления падающих лучей света; в разрешении
предмета принимают участие лучи только такого направления,
'Рю? °Ме непосредственного изображения действует еще по крайней мере
максимум диффракционного изображения. При различных направ-
падающего света соответствующие диффракционные максимумы
т s различных местах фокальной плоскости объектива, однако они совер-
200 Диффракция света[Отд/^Я
шенно не влияют друг на друга, так как соответствуют лучам вЯН
ныл., т. е. не способным интерферировать; действительно, различая
падающего света исходят от различных точек источника света, -^Я
мер, небосвода. Я
Если вместо решетки нашим предметом будет одна щель шил
то никакой структуры не обнаружится до тех пор, пока диффрави
изображение не будет охватывать по крайней мере первого мцЗ
Так как при нормально падающем свете этот первый минимум поЯ
(79) на стр. 183 имеет место при угле sin ср == ~ г), то мы приходи
же результатам, как и в случае решетки. Однако здесь, если
диффракционного изображения заходит только немного за первый
действительно схожее изображение щели, дающее правильное Л
вление о величине щели, далеко не достигается. Я
Если мы откажемся от желания получив
в бы приблизительное схожее изображение пЯ
и будем стремиться только обнаружить самое Я
'ствование какого-нибудь непрозрачного весыЯ
/лого тела, то размеры последнего могут бытЯ
чительно меньше указанной здесь величиннЯ
именно, наличие предмета становится зама
каждый раз, когда диффракционпая кД
предмета нарушает равномерное распредЛ
11 II света в плоскости изображения. Это обстоя
3 ¥ ' ство использовано в ультрамикроскопе ЗиденЯ
Рис. 85. и Жигмонди 2); здесь препарат освещается я
интенсивным пучком света, и притом так/|
в объектив микроскопа попадают не прямые лучи, а только те, коте
рассеиваются в препарате. Осветителем служит или второй микроси
ческой объектив, расположенный сбоку под прямым углом к оси туе
(щелевой ультрамикроскоп) или, в новейших конструкциях, кондев
особой формы (кардиоид-конденсор, параболоид-конденсор). Здесь пъ
цип освещения состоит в том, что свет падает на предмет не с одной Я
роны, как в щелевом ультрамикроскопе, а со всех (рис. 85), и прим
под самыми различными углами — так только, чтобы лучи эти не прои
кали в объектив микроскопа. 1
Поле зрения представляется поэтому в отсутствии рассеивают!
частиц темным. Всякие включения, нарушающие однородность, рассеивав
свет по всем направлениям, в том числе по оси микроскопа, и стаяовял
поэтому видимыми в поле зрения микроскопа в виде светлых точек Я
темном поле. )
Эти точки представляют собою диффракционные изображения частиче
предмета, а потому не дают никакого понятия об' истинной форме этж
частичек. О величине их можно судить по яркости диффракционных пьт^1
Ультрамикроскоп нашел самое широкое применение в химии пр
изучении коллоидных растворов.
х) Там вместо d написано а.
а) См. Muller-Pouillet, 1. с. 877.
Поляризация двойным лучепреломлением
201
Ь3 вышеприведенных соображений вытекает, что граница разрешаю-
Г силы d будет тем выше, чем меньще длина волны применяемого
L Поэтому микрофотографирование в ультрафиолетовом свете позволяет'
Еотреть большее число подробностей (см. выше выноску на стр. 91).
^да ясно также лучшее действие иммерсионных систем, так как, благо-
и большому показателю преломления иммерсионной жидкости, можно*
яительно уменьшить длину волны света. Это вытекает также из фор-
I (97) и (98), так как числовая апертура растет пропорционально пока-
плю преломления иммерсионной жидкости.
ГЛАВА V.
I
С L'
Рис. 86.
ЯОЛЯРНЗАЦИЯ.
» 1. Поляризация двойным лучепреломлением. Мы говорим, что луч
мета поляризован, если он обладает неодинаковыми свойствами в раз-
Ечных направлениях, перпендикулярных к направлению его распро-
Вранения. Обнаружить это можно, вращая световой луч около напра-
вления его распространения, как около оси;
Ей этом наблюдаются изменения в световых
(Ьлениях. Впервые это наблюдалось Гюйген-
сом г) при прохождении света через извест-
ковый шпат. Поляризация всегда имеет место
доя двойном лучепреломлении. В кристаллах,
•^е принадлежащих к правильной системе,
жегда происходит двойное лучепреломление2),
т. е. падающий луч расщепляется в кристалле /
Ва два луча различных направлений.
Особенно удобно наблюдать эти явления в
известковом шпате (исландский шпат), принад-
лежащем к' гексагональной кристаллической
системе и прекрасно раскалывающемся по трем
влоскостям ромбоэдра. Ребра, пересекающиеся
в шести из его углов, образуют друг с другом по
одному тупому и по двум острым углам. Но в лежащих друг против друга
Y^ax л.' (рис. 86) пересекаются стороны трех равных тупых углов, ве-
тчиной каждый в 101°53'. Если через тупой угол А провести прямую,.
Пй 9 Ch. Huyqens, Traite de la lumiere, Leyden 1690; Xp. Гюйгенс, Трактат о свете,
***• с франц, под ред. С. И. Вавилова. ОНТИ, 1935.
1 Двойное лучепреломление наблюдается при деформации также и в таких телах,
УтоРЦе в обычном состоянии являются изотропными, — например, в стекле, подверг-
/в' * СЖатию> в вязких жидкостях при их движении (StrOmungsdoppelbrechung); на
Ia_ Хеани двойного лучепреломления основан метод исследования напряжений в оп-
Лом Ск°в стекле. Об этих явлениях так называемого случайного двойного лучепре-
ВапАЙВя (Akzidentelle Doppelbrechung) и его практических применениях см. Н. Schulz,
A *^ег i?xperimeDta/piysik (Wi&tt и. Harms), IS, 557, 1028; Р. Prude*-
” €tlhauer, Handbuch der physik. Optik (Gehrke) 1, 866, 1927.
202 Поляризация [Отдг
образующую равные углы с тремя пересекающимися с ней рео|
нто будет направление главной кристаллографической оси1). Я
скалывая кристалл, получим ромбоэдр с ребрами одинаковой д]
в таком случае главная ось соединяет два тупых угла А1г А'. дш
случаю и относится рис. 86.
Если луч света LL падает нормально на верхнюю плоскояИ
боэдра, то он расщепляется на два луча равной энергий LO Я
которые в виде параллельных лучей OL' и EL’' опять выходят Л
ней плоскости ромбоэдра. При этом LO является непосредственная
должением падающего луча; таким образом его путь соответствуй]
что происходит в обычном изотропном теле, так как в последим]
нормальном падении не происходит никакого изменения направленЯ
этому этот луч LO (и его продолжение I/O) называется обыкноИ
лучом. Напротив, второй луч LE (и его продолжение L”E), котом
дет себя существенно иначе, чем в изотропном (не кристаллическом
называется необыкновенным лучом. Плоскость, проходящая через об£|
заключает в себе также и направление главной кристаллография
оси. Плоскость, проходящая через эту ось и через нормаль, .чазыЯ
главным сечением. Таким образом необыкновенный луч лежит в гд|
сечении; поэтому превращении ромбоэдра вокруг оси LL, он враш
вокруг обыкновенного луча.
Энергии обыкновенного и необыкновенного лучей равны между Л
Если же задйафрагмировать один из лучей,—например, необыкновенна]
и направить обыкновенный луч на второй ромбоэдр известкового щВ
то в общем случае он опять разложится на два луча, которые тЛ
будут иметь, вообще говоря, различную энергию. Эти энергии завися
положения обоих ромбоэдров известкового шпата друг относительно дя
и, именно, от угла между их главными сечениями. Если этот угол и
нулю или 180°, то во втором ромбоэдре возникает только обыкновеи
луч и совсем нет необыкновенного; если же, напротив, угол между гя
ними сечениями равен 90е, то возникает только необыкновенный 1
/если главные сечения образуют между собой угол в 45°, то получай
два луча одинаковой энергии. Таким образом явления будут меняй
если закрепить неподвижно второй ромбоэдр и поворачивать первый, чп
если поворачивать обыкновенный луч вокруг его направления как ‘
®руг оси. Поэтому луч называется поляризованным.—Такне же опН
можно произвести и с необыкновенным лучом, т. е. он также являв!
поляризованным. Так как с помощью необыкновенного луча моя
вызвать во втором ромбоэдре те же явления, что и с помощью обык1
венного луча, если только повернуть первый ромбоэдр на 90° вок|
•нормали, то говорят, что обыкновенный и необыкновенный лучи поля]
вованы в направлениях, взаимно перпендикулярных.
Во всех других кристаллах с двойным лучепреломлением оба л]
также поляризованы в двух взаимно-перпендикулярных плоскостях.
х) Главная ось так же как, например, нормаль будет всегда определять толЬД
направление; ее можно любым образом передвигать параллельно самой себе, так М|
она не представляет собой некоторой определенной в пространстве линии. • я
•'1
Призма Николя
203
последовательности цлоскость; пер-
нужно назвать плоскостью поляри-
|1?слн мы хотим связать наблюдаемые различия в направлении поля-
Егп0И двух лУчей с их положением относительно определенной пло-
то целесообразнее всего выбрать за эту плоскость главное сечение,
»как рассмотренные выше световые явления в двух ромбоэдрах из-
йкового шпата зависят только от абсолютной величины угла между
^главными сечениями, и не зависят от знака этого угла, то свойства
Kssoвенного и необыкновенного луча должны быть симметричны от-
К^тельно главного сечения.
Главное сечение называют плоскостью поляризации обыкновенного
Вод — выражение, указывающее просто только на то, что свойства этого
Вча’ по отношению к направлению распространения не одинаковы; из-
Внения свойств в различных направлениях происходят симметрично от-
Клятельно плоскости поляризации, т. е. главного сечения.
ВКак мы видели выше, необыкновенный луч поляризован под прямым
доои к обыкновенному; поэтому для
Кядикулярную к главному сечению,
Кции необыкновенного луча. Это
Еражают следующим образом: обык-
новенный луч поляризован в плоско-
ги главного сечения, необыкновен-
ный—в плоскости, перпендикуляр-
ной к главному сечению.
5 2. Призма Николя. Чтобы по-
ручить луч, поляризованный в одном
Направлении, надо задиафрагмировать или удалить один из двух лучей,
возникающих при двойном лучепреломлении. С этой целью Николь (18-28 г.)
'.Предложил следующую конструкцию: путем раскалывания приготовляют
ромбоэдр известкового шпата, длина которого в три с лишним раза больше
• Ширины и затем сошлифовывают концевые плоскости, угол наклона
'Шогорых относительно боковых ребер первоначально равнялся 72°, так,
‘чтобы этот уголАВА' на рис 87) сделался равным 68°; наконец,
через угол АА' призмы проводят плоскость сечения так, чтобы она была
Перпендикулярна к плоскости основания и к плоскости, соединяющей
продольную ось и главную кристаллографическую ось. По этому сечению
половинки призмы снова склеиваются канадским бальзамом. Показа-
тель преломления этого вещества меньше показателя преломления обык-
новенного луча, но больше показателя преломления необыкновенного луча.
wh теперь луч света LL падает параллельно продольной оси, то
сУ^кновенный луч LO целиком отразится от слоя канадского бальзама
:53оглотится зачерненной боковой поверхностью 7ЪГ; тогда через призму
jjJ/йдет один необыкновенный луч LE. Таким образом выходящий из
свет EL" полностью поляризован перпендикулярно к главному
Т’ е’ паРаллельН0 большой диагонали боковой грани АВ или
кОв^₽айнее значение для угла наклона входящего в призму светового
eoP/caj при котором обыкновенные лучи будут еще полностью отражаться,
'лййй Ляет приблизительно 30°. Впрочем, если падающий пучок сходя-
^«mcb, он уЖе не буДет поляризованным строго в одной плоскости; в
204
Поляризация
о
Рис. 88.
самом деле, плоскость поляризации несколько меняется с накл<
вых лучей, так как она всегда проходит перпендикулярно
сечению, т. е. к плоскости, проходящей через луч и главную
3. Другие способы получения поляризованного света. Пом
гих моделей так называемых поляризационных призм,х) можно
свет, поляризованный в одном направлении, также с помощью
новой пластинки, если пластинка отшлифована параллельно глав
кристалла и имеет толщину около 1-,
В этом случае обыкновенный луч
жается путем поглощения в кр>ста
лее, поляризованный свет можно п
путем отражения от любого прозрачном
если выбрать угол отражения д> по
Брюстера tg<p = n, где п показатель'
мления тела. Этот угол (р называется угл
ной поляризации. У кронгласа этот уг
ражения (или угол падения) составляет^
57°. Плоскость падения является пл оси!
поляризации отраженного света, что ’
обнаружить, пропустив отраженный луч(
кусок исландского шпата.
Если свет, отраженный от стеклянн
верхности под углом полной поляриз!
заставить отразиться под тем же угл
второй стеклянной поверхности, то резу
рующая энергия будет зависеть от угла
клона а плоскостей падения двух сте
ных поверхностей, причем она будет про
циональна cos3 а. Эти явления удобно н
дать на поляризационном приборе Норрен
Луч света а поляризуется с помощью отр
ния от стеклянной пластинки А и пад
точке с нормально на стеклянное зерна
Последнее отражает луч на стеклянное >
задней стороны, и могущее вращаться ой^
кало 8, зачерненное
с задней стороны, и могущее вращаться ойсИ
вертикальной оси. Луч Ъс попадает на зеркало 5 также под углом пЗ
ной поляризации, и отраженный от 8 наклонно вверх луч получаем Т
ким образом при вращении 8 различные энергии. Между А и 8 пом
щается вращающаяся стеклянная пластинка, на которую кладется пре
рачное тело; благодаря этому является возможность изучать в поляр
зованном свете прозрачные тела при различных положениях. Но так в
энергия света сильно падает уже после одного отражения, то практичес!
этим способом получения поляризованного света с помощью отражен*
пользуются сравнительно редко; этим же недостатком — очень мала
Наир, призма Волластона, призма Рошона. •;
См. Н. Schulze, Polarisation des Lichtes, Handbuch ddr Experimentalphysik (
u. Harms), 18, 363, 1928; Handbuch der physikal. Optik {Gehrke),883, 1927.
Интерференция поляризованного света
205
Мгяей пропускаемого света—страдает также турмалиновая пластинка,
Ияобавок мы получаем окрашенный свет.
Ктпи наклонном прохождении света через стопу параллельных стеклян-
Иддастинок также появляется поляризация, но не полная. Этот случай
Ет рассмотрен в одной из последующих глав (отдел III, глава II)..
Ее на стр. 179 уже упоминалось, что диффракция также вызывает по-
Еизанию-
Интерференция поляризованного света *). Описанные выше в гл. II
Ьения интерференции наблюдаются также и в поляризованном свете, если
Eg поляризованы одинаково. Напротив, два луча, поляризованные под
Ьгитлм углом друг относительно друга, никогда не интерферируют. Это
Echo констатировать, поместив перед обоими отверстиями двойной щели
К турмалинов пластинке одинаковой толщины. Диффракционные по-
Еы, возникающие вследствие наличия двух щелей, появляются, когда
малиновые пластинки расположены параллельно, и, напротив, совер-
Енно исчезают, если пластинки «скрещены» (поставлены осями пер-
вдикулярно друг к другу).
Френель и Араго (1819) исследовали далее способность к интерфе-
Кнции двух лучей, поляризованных под прямым углом друг относительно
Еуга, приводя их к одной и той же плоскости поляризации, причем они
опускали лучи через исландский шпат, главное сечение которого было
аклонено под углом в 45° к плоскостям поляризации обоих лучей. Они
установили следующие законы:
1. Два луча, происходящие от естественного (неполяризованного) луча
9 поляризованные во взаимно перпендикулярных направлениях, не ин-
терферируют и тогда, когда они приведены к одному и тому же на-
Яравлепию поляризации.
2. Два луча, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоско-
стях, по происходящие из’одного поляризованного луча, интерферируют,
Сели привести их к одному и тому же направлению поляризации.
' 5. Математическое выражение светового возмущения в поляризо-
1*нном свете. Выше мы видели, что явления интерференции приводят
1 волновой теории света, по которой световое возмущение в определен-
и°8 точке пространства можно написать в виде:
s = A sin^rc (1)
Теперь мы можем выяснить и другие свойства этого светового возму-
2*Вия. В поляризованном свете оно должно быть, очевидно, величиной,
У^Щей направление, — так называемым вектором; например, векторами
^яюТся отрезок, скорость, сила и т. д., в противоположность другим ве-
тем Нам’ не веющим направления, или скалярам; таковы: плотность,
был РатУРа и ДР- ®сли световое возмущение в поляризованном свете
огл с!:аляР°м> т0 в различных плоскостях, проходящих через луч, не
Ло бы обнаружиться никакие различий. Чтобы такие явления имели
Й28) Szivessy, Polarisation, Handbuch der Physik (Geiger h. Scheel) 20, 83,
206
Поляризация
место, я должно быть вектором, притом не совпадающим понапмН
с линией распространения света, так как в последнем случае тД
могло бы получиться никаких различий. Поэтому мы будем впредЯ
теризовать s как световой вектор. Его можно разложить по треД
угольным осям OX, OY, OZ на три составляющие; обозначим и Л
и, v, w. Самое общее выражение для светового движения в любой т!
будет дано при этом уравнениями:
и — Л sin (2я j>4-p),
V — В sin (2я
w = Csin^^4-rj.
Наглядный смысл этих уравнений станет ясен, если отловить Д
чала координат для каждого момента результирующий световой. Л
s в виде отрезка соответствующей величины и направления. КоД
этого отрезка дается его прямоугольными составляющими и, v, w. ЭЯ
нечная точка Е описывает в рекоторый промежуток времени некоЛ
траекторию (назовем ее орбитой возмущения) г), уравнение которой
лучается из уравнений (2) путем исключения t. Уравнения (2) м^|
переписать в следующем виде:
—-^= sm in Tf, cos p + cos 2лг smp,
J.
= sin 2 л; cos q 4- cos 2л; у, sin q,
л = sin 2 л;cos r + cos in sin r.
VI If
Умножая эти уравнения соответственно на sin (д-г), sin (г—|
sin (р—д) и складывая их, получаем:
£ sin (q—r) + sin (r—p) + sin (р—g) = 0, <1
и. так как, значит, между и, и, w существует линейная зависимость,
орбита возмущения представляет собой всегда плоскую кривую.
Чтобы получить уравнения проекций этой кривой на плоскости м
ординат, нужно исключить t из уравнений (3), взятых попарно. Так, н|
пример, из двух первых уравнений следует:
sin, 2л; - (cos р sin q — cos q sin p) = j- sin g — ~ sin p;
cos 2л: ~ (cos p sin q —cos q sin p) — — — cos q -F- ~ cosp:
возводя в квадрат и складывая эти два уравнения, получаем:
Sin’(P-4) = g+J
2wv
~АВ
cos (р—д).
*) Czivessy, I. с., 92
Матем. выражение светового возмущения 207
В уравнение представляет собой уравнение эллипса, главные оси
ELro совпадают с направлением координатных осей, если р—д = ^.
Сму в самом общем случае орбита возмущения является плоской эл-
Е«ческой кривой, и мы имеем так называемый эллиптически по-
кованный свет. Если эллиптическая орбита переходит в круг,
имеем свет, поляризованный по кругу. Это может иметь мес-
вслп w = О, А = B,p—q = ±-^, так что
и = A sin 2л:
и~ A sin 2л 4
v = A cos 2 л
v — —Л cos 2л;
(6)
(6')
9 системы уравнений соответствуют одна—свету, поляризованному по
►угу вправо, другая — влево. Пусть, например, конец светового вектора
вщается в направлении движения часовой стрелки, если смотреть на-
тречу распространения луча; тогда мы имеем случай правого луча.
$ли эллиптическая орбита вырождаете^ в прямую линию, то мы имеем
мшолипейно поляризованный свет. Это имеет место, когда, например,
= 0 и р—q = 0 или = л. Траектория выражается тогда на основании
>рмулы (5) в виде;
3±Л = 0. (7)
Выше мы приняли, что освещенность, соответствующая световому век-
тору, пропорциональна квадрату его амплитуды. Этой точки зрения мы
должны придерживаться и теперь, принимая во внимание, что квадрат
амплитуды дается в виде суммы квадратов амплитуд трех составляющих.
Таким образом, на основании уравнения (2), мы получим для освещен-
ности:
+ (8)
Исследуем теперь, какой вид имеет орбита возмущения для рассмотренных
в предыдущих параграфах случаев поляризованного света, имеющих
место при' двойном лучепреломлении и отражении под углом поляризации,
наиболее характерным является то обстоятельство, что два луча, поля-
ризованные под прямым углом, никогда не интерферируют; мы всегда
Получаем при этом арифметическую сумму освещенностей.
Наложим теперь на луч (2), который распространяется по оси OZr
поляризованный под прямым углом, такой же энергии, составляю-
zre которого будут и,' V,' w', и пусть он имеет некоторую произволь-
писат>азность ^a3 относительно лУча № в таком случае можно на-
и' = В sin (2?r^-4- q +<3),
v' = — A sin (2л;4-р 4-<5),
w’ = Csin (2л 4- г 4-<5).
(9>
.208 Поляризация[От^^И
В самом деле, если не считать разности фаз Ь, уравнение мИ
должно перейти в уравнение (2), если координатная система оВ
вернута около оси VZ на 90°.. Л
Наложение двух лучей (2) и <'9), т. е. образование и-Ьи'уЯ
w + w', дает нам, на основании правила, изложенного выше на'Я
{формула (11)), квадраты амплитуд трех составляющих: я
Л'2== Л2 + j5a + 2ABcos(<5 + <7— р), J
5'2 = + 52 __ 2 АВ cos (<5 + р — 5), 1
С'2 = 2С2 (1 + cos <5). ' 1
Складывая эти три уравнения и принимая во внимание уравненЯ
щолучаем для результирующей освещенности: jl
Е' — 2Е-[-2С2 cos В — 4 АВ sin о sin f— р).
Но так как на основании наблюдений Е' просто равняется удвД
освещенности, даваемой отдельными лучами, т. е. оказывается соверй
независимой от 3, то, следовательно, <7=0, т. е. световой векторЗ
равлен перпендикулярно к направлению распространения (иопере!
волны); далее sin(#— 5)== 0, т. е. на основании уравнений (5)
•орбита возмущения представляет собой прямую линию.
Таким образом^ возникающие вследствие двойного лучепреломли
(и отражения под углом поляризации) лучи представляют собой пя
линейно поляризованные поперечные волны. j
Так как на стр. 203 мы видели, что свойства поляризованного j
должны быть симметричны относительно плоскости его поляризации,^
-отсюда вытекает, что световой вектор колеблется или в плоскости п
ризации или нормально к ней. На этот вопрос проливает свет следую!
•опыт. а
6. Образование стоячих волн в наклонно падающем пучке пш
ризованного света. Когда Винер исследовал образование стоячих Им
в поляризованном свете, падающем на зеркало под углом 45° (см. выя
стр. 133), последние были видны отчетливо тогда, когда плоское
поляризации совпадала с плоскостью падения. Напротив, стоячие волЯ
•совсем исчезали, когда плоскость поляризации падающего света быЯ
направлена нормально к плоскости падения. Отсюда надо заключить,
•световой вектор, определяющий фотографическое действие1), направлен
нормально к плоскости поляризации, так как стоячие волны могут воЯ
никать только в том случав, когда световой вектор в падающей воля
параллелен световому вектору в волне отраженной; если они перпендику!
.лярны друг к другу, то нет ни малейшего намека на интерференцию. ]
Впрочем, на основании электромагнитной теории света мы приход^ I
заключению, что поставленный выше вопрос не имеет никакого смысла
•если говорить о направлении «светового вектора» без всяких оговоро^
। Дело в том, что в этой теории всегда фигурируют два неразрывно свя$
1 То же имеет место при опыте с флюоресценцией в стоячих волнах, а также
-с фотоэлектрической эмиссией.
Положение главного светового вектора в кристаллах 209
г"
К между собой вектора, направленные перпендикулярно друг к .
В? (электрическая и магнитная сила). Но можно, конечно, поставить
Ес который из этих векторов имеет главное значение для данного
Еделенного светового явления1); быть может, впрочем, они оба сущест-
ву в одинаковой мере. Если бы для фотографического (фотохими-
Кого) действия имело место, например, последнее, то опытом Винера
Еще нельзя было бы обнаружить никаких стоячих волн даже и при
-^«дальном падении лучей, так как пучности и узлы для указанных
Ккторов расположены как раз попеременно, т. е. узлы одного вектора
Кидают с пучностями другого, и наоборот. Это вытекает из теории
Етя. которая будет развита и углублена ниже. Но тот факт, что стоя-
Ке волны действительно наблюдаются, показывает, что для фотохимиче-
Сого действия и для возбуждения флюоресценции имеет значение только
Еия световой вектор и, как вытекает из упомянутого опыта с поляри-
Еванным светом, именно тот, колебания которого происходят перпенди-
Еулярно к плоскости поляризации.
к Явления в плеохроических кристаллах, как, например, в турмалине,
&акже лучше всего увязываются с этим световым вектором.
Г 7. Положение главного светового вектора в кристаллах. Скорость
н^ета в кристалле зависит от положения волновой нормали относительно
^плоскости поляризации. В так называемых плеохроических кристаллах
^(иапример, в турмалине) от положения волновой нормали и плоскости поля-
ризации зависит и поглощение света. Оказывается, что2) наиболее простое
описание этих явлений получится, если принять, что световой вектор напра-
влен перпендикулярно к плоскости поляризации. При этом предположении
скорость распространения и поглощение волны3) зависят только от поло-
жения светового вектора относительно осей кристалла. Для разъяснения
приведем следующий пример: вырезанная параллельно главной оси турма-
линовая пластинка не меняет энергии и цвета прошедшего света, если вра-
щать пластинку около главной оси, т. е. если пропускать свет наклонно так,
чтобы главная ось оставалась перпендикулярной световому лучу. На-
*Р°тив, энергия значительно меняется, если вращать пластинку
около оси, перпендикулярной к главной оси* и лежащей в пластинке. В
первом случае плоскость поляризации выходящего луча расположена
। нормально к главной оси, т. е. к оси вращения пластинки, во втором
сл У чае—параллельно ей. При таких условиях вектор, направленный нор-
Лально к плоскости поляризации, в первом случае всегда параллелен
Равной оси турмалина, во втором же случае меняет свое положение
в°сптельно главной оси турмалина.
До сих пор не известно еще ни одного случая, когда главное значе-
ие) имел бы тот световой вектор, который лежит в плоскости поляри-
J См. ниже отд. III гл. I, § 4.
а! родробнее это будет выведено ниже в III отделе, глава III, § 7.
Си Т ^Вления флюоресценции в кристаллах также приводят к йтому заключению.
‘ W. Ann. 44, 311.
«влецд ?.^М0ТЬ равное значение* мы понимаем как: „давать наиболее простое описание
Труде —Оптика 14
210 Поляризация[ОтдЛЯ
зации. Поэтому- кратко можно сказать: световой вектор направдЯ
мально к плоскости поляризации г. Я
8. Естественный и частично поляризованный свет. ВьцЛ
установлено, что при двойном лучепреломлении из естественного сЯ|
луча получаются два прямолинейно поляризованных луча. При Л
нии двух прямолинейно поляризованных лучей с одинаковым наЗ
нием распространения, но с различными направлениями полярам]
различной фазы, получается, как вытекает, например, из уравнеД
эллиптически поляризованный свет. Колебания последнего все 3
перечны, так как плоскость эллипса нормальна к направлению м
странения. Я
Как будет выяснено ниже, при прохождении прямолинейно поя
ванного луча через пластинку кристалла, обладающую двойным лу|
ломлением, получается эллиптически поляризованный свет, если дейй
оба луча, возникающие вследствие двойного лучепреломления в капля
Возникает еще вопрос о природе естественного света. Мы Знаем
в естественном свете в разных плоскостях, проходящих через лу
наблюдается никаких различий, а, с другой стороны, и поляризова
по кругу свет обладает / совершенно другими свойствами, чем естес’
ный, так как при прохождении через пластинку кристалла с ДвоЯ
лучепреломлением он Начинает обнаруживать различия в разных пдЯ
стях, в то время как в естественном свете этого не наблюдается .Я
лучи, возникающее вследствие двойного лучепреломления, не раздав
друг от друга); поэтому остается только допустить, что в течение опЯ
ленного промежутка времени естественный свет является также пЯ
линейно или эллиптически поляризованным, но что в течение более Я
должительного времени орбита возмущения так меняет свое полое
и вид, что в среднем световой луч оказывается вполне симметрия
вокруг направления его распространения. 1
' Так как в естественном свете интерференция наблюдается еще!
разности хода в 1200 000 Я (см. стр. 127), то в этом случае, следя
тельно, свет должен делать по меньшей мере 1200 000 колебав
прежде чем он сможет изменить свою поляризацию. Но так как милли
колебаний произойдет в очень короткий промежуток времени, а имевЯ
в 20 • 10 -10 секунды, то человеческий глаз не сможет никогда, дм
на очень короткий промежуток времени, обнаружить поляризацию естев
денного света, даже если колебательное состояние будет изменять
только после многих миллионов колебаний, так как самые кратковреме|
ные световые впечатления, которые можно еще ощущать, потребуй
столько времени, что колебательное состояние за это время успеет изм4
ниться много тысяч раз. *
Обращаясь к законам интерференции, высказанным Френелем и А[
(стр. 205), мы видим, что второй закон, говорящий о том, что два ^туч)
поляризованное взаимно перпендикулярно, интерферируют, если оя
*) При этом допущении мы получаем во всяком случав то препмущсс’’ .о, *
оптические явления могут быть представлены гораздо проще, чем при друг м доп
щвнни (также возможном), что сватовой вектор параллелен плоскости поляризации.
Эксперим. исслед, эллиптически поляриз. света 211
,ены к одному направлению поляризаци и первоначально возник-
Iis одного поляризованного луча, является вполне очевидным, потому
при таких условиях мы исходим из определенной орбиты возмущег
/ заставляем интерферировать опять-таки только одинаково поляри-
1нный свет.
jo же самое мы должны иметь, когда, исходя из естественного
га> мы получаем два луча, поляризованные во взаимно-перпенди-
яр’ных направлениях, и приводим их затем к одной и той же пло-
,тИ поляризации; однако здесь интерференция может иметь место
w-олько в пределах вышеуказанного промежутка времени St, за который
колебательное состояние в естественном свете не успеет измениться. Для
другого промежутка времени St' также должны получиться интерферен-
ционные полосы, однако они будут лежать не на тех же местах, на ко-
торых лежали полосы для первого интервала St, потому что вследст-
вие происшедших между двумя моментами изменений в орбите возму-
щения лучи, поляризованные взаимно перпендикулярно, получают раз-
ность фаз. Поэтому при большом числе интервалов в среднем получается
равномерная освещенность, т. е. два луча, поляризованные взаимно
перпендикулярно, происходящие из естественного луча, не интерферируют,
даже если они будут приведены к одному и. тому же направлению поляри-
зации. Это и есть первый закон Френеля и Араго.
Частично поляризованным светом называется такой, который полу-
чается путем сложения света естественного и поляризованного. В час-
тично поляризованном свете в разных плоскостях обнаруживаются раз-
личия, однако из него нельзя получить прямолинейно поляризованного
света, что вообще возможно при свете, поляризованном по любому
закону, как это будет видно в дальнейшем.
9. Экспериментальное исследование эллиптически поляризованного
света. Чтобы найти форму орбиты возмущения для эллитически поля-
ризованного света, последний с помощью пластинки из двупреломляю-
шего кристалла преобразуют в плоско-поляризованный свет. Как уже
говорилось выше на стр. 201, плоско-поляризованный свет при прохожде-
нии через пластинку из двупреломляющего кристалла разлагается на две
волны, поляризованные перпендикулярно друг к другу. Положение све-
товых векторов в обеих волнах мы назовем главными направлениями
колебаний. Они имеют определенное положение в кристаллах (и перпен-
дикулярны друг к другу). Но так как указанные волны распространя-
Тся в кристаллах с различными скоростями, то пластинка кристалла
. сообщает им относительную разность фаз, зависящую от ' природы и
толщины пластинки. Если падающий световой вектор совпадает с одним
Вз главных направлений колебаний, кристаллической пластинки, то луч
о-Щ Две волны не разлагается.
- Далее можно пойти двумя различными путями: или использовать
Металлическую пластинку определенной толщины, которая сообщает
ДвУм распространяющимся в ней волнам разность фаз ~ (разность хода Я)
JBa<piiMep, слюдяная пластинка в компенсатор Сенармона). Если
эта Кристаллическая пластинка будет повернута так, что главные направ-
14*
212
Поляризация_____________[Отд.
ления колебаний в ней совпадут с главными осями эллиптическоЙИ
возмущения падающего света, то исходящий свет должен быть
плоско-поляризованным, причем положение плоскости полйризащйИ
сит от отношения между осями того эллипса, который представлИ
мущения падающей волны. В самом деле, два световых вектора/Я
щих в направлении главных осей этого эллипса, после прохождевЯ
рез пластинку кристалла имеют разность фаз 0 или те, и тогда на оснД
изложенного на стр. 207 возникает плоско-поляризованный свет, и
положение светового вектора получается на основании формулы (7)Л
рассматривать поэтому выходящий свет еще через николь, поворм
последний, то при соответствующем его положении наступит п|
темнота. При исследовании приходится вращать как николь, так
стинку кристалла (около ее нормали, пока не наступит полная тем!
В таком случае положение пластинки кристалла дает положение rzqL
осей эллиптической орбиты возмущения падающего света; положенЛ
николя определяет отношение этих главных осей.
Можно также пользоваться пластинкой кристалла так, чтобы не!
щать ее, но брать переменную толщину (напр. кварцевой клин), сооЯ
при этом двум составляющим и, v падающего cd
лежащим в двух главных направленц/х колебя
пластинки, такую разность фаз, чтобы по вы!
z7 из пластинки кристалла они давали плоско-м
Рис. 89. ризованный свет, который можно анализироя
опять-таки с помощью николя. При этом поля
ние николя дает отношение амплитуд падающих составляющих «1
а первоначальная разность их фаз вычисляется из той толщины Щ
стинки кристалла, которая преобразует падающий свет в плоско-поляи
зованный. Я
Чтобы удобнее было получить в кристалле разность фаз, равйв
нулю, на практике комбинируют два кварцевых клина, вырезанным
перпендикулярных направлениях так, чтобы клинья давали разноЯ
фаз различного знака. На рис. 89, например, А представляет собЯ
кварцевый клин, главная кристаллографическая ось которого лежит пара!
лельно ребру клина, в то время как в клинке В главная ось направлен
перпендикулярно к ребру клина и параллельно поверхности (компенсатор
Бабине). Оба клина вместе действуют сообразно разности их толщин
При этом в падающем монохроматическом эллиптически поляризованной
свете, при правильном положении заднего (анализирующего) николя,
поле зрения компенсатора, мы видим черные полосы, идущие параллелям
ребру клина. Эти полосы перемещаются в поле зрения компенсатора!
если один кварцевый клин двигать относительно* другого. Для этогб
служит микрометрический винт. По отсчету на последнем при определен-
ном положении полосы очень просто получается разность фаз тех ;;ву^
составляющих и, v падающего света, ьоторые колеблются параллельно
двум главным осям указанных кварцевых клиньев; для градуировки ;
прибора пользуются плоско-поляризованным светом.
Если желательно получить оптически однородное и больших размеров
поле плоско-поляризованного света, нужно несколько изменить конс^рук-
Эксперим. исслед. эллиптически поляриз. света 213
в
м. Именно, в качестве компенсатора придется применить вместо квар-
Нлго клина плоскопараллельную кварцевую пластинку переменной
Вины- Такую пластинку составляют из двух микрометрически пере-
Е?аЮЩихся друг по другу одинаково вырезанных
Душевых клиньев А, А'. Чтобы с помощью ком-
Есатора удобно было приводить к нулю разность
Е с клиньями А, А' комбинируется еще плоско-
Цделлельная кварцевая пластинка В (рис. 90),
Еавная ось которой направлена перпендикулярно
Рглавным осям клиньев А, А'; при этом мы ра-
стаем на разности между толщиной В и суммой
<олщнн клиньев А, А'. На рис. 90 представлена схема такой конструк-
иии (компенсатор Бабине-Солейля). В клиньях А, А' главная ось лежит
параллельно ребрам клиньев, в пластинке В она лежит перпендику-
лярно к ним и параллельно поверхности. Целесообразно один из клиньев,
д'
д
Рис. 90.
Рис. 91.
^пример А', скрепить с пластинкой В, тогда А будет передвигаться с
®°М01ЦЫО микрометрического винта. При соответствующем повороте микро-
етрического винта и заднего виколя-аяализатора все поле зрения будет
Такой конструкцией компенсатора особенно удобно пользоваться при
®селедовании различных изменений, которые испытывает плоско-поляри-
30ванвый падающий свет при отражении или преломлении. В коллима-
214
Поляризация
торе и зрительной трубе спектрометра (рис. 91) помещаются !
призмы, положение которых можно отсчитывать на кругах с да
Перед зрительной трубой укреплен компенсатор Бабине-Coiel
главные направления колебаний (главные оси) лежат парах*
перпендикулярно к плоскости падения света. На столике устанав
отражающее или преломляющее тело. Николь и компенсатор ж
там, где световые лучи г) идут параллельным пучком.
fa
Вследствие того, что зрительная труба установлена на бесконечность, нельия
пользоваться простой конструкцией Бабине.
III.
ЭДВКТРОИАГНИТНАЯ
ОПТИКА
ГЛАВА I.
ТЕОРИЯ СВЕТОВЫХ ЯВЛЕНИЙ.
4 1. Механическая теория. Всякая теория света должна основываться
на определенной гипотезе, из которой математически могут быть выведены
как дифференциальные уравнения, которым подчиняется световой вектор,
так и пограничные условия, имеющие место при переходе света через
границу двух различных тел. Но дифференциальное уравнение светового
ректора (12) (стр. 145) является на сцену также каждый раз при рассмот-
рении движений внутри упругого тела; поэтому представлялось весьма
естественным положить в основу теории свбта представления теории
упругости.
По этому механическому воззрению световой вектор отождествляется
со смещением частичек эфира из их положения равновесия; эфир, т. е.
го пространство, в котором могут распространяться световые волны,
рассматривается как упругое вещество весьма малой плотности.
При этом, однако, сейчас же возникают затруднения в связи с
цоперечностью плоских волн. Вообще говоря, в упругом теле могут рас-
пространяться как поперечные, так ипродольные колебания, в жидко-
стях же только одни продольные, тогдакак одни поперечные -колебания
могут иметь место только в таких твердых телах, в которых нигде не
наблюдается никаких изменений объема, т. е. которые являются вполне
несжимаемыми. С другой стороны, тот факт, что мировые тела движутся
в пустом пространстве (свободном эфире) без трения, заставляет приписать
Фру свойства жидкости, а не несжимаемого твердого тела. Это
затруднение можно было бы обойти, предполагая, что по отношению к
таким грубым силам, какие проявляются при движении небесных тел,
эфир ведет себя как жидкость без трения, тогда как при тех в высшей
степени быстро меняющихся силах, которые возникают при световых
колебаниях, влияние небольшого, все же имеющегося в эфире трения
выступает настолько сильно, что он начинает вести себя по отношению
к световым колебаниям как твердое тело.
При выводе пограничных условий светового вектора возникает еще одно
т^РУДнение: теория упругости дает 6 пограничных условий при распро-
состЙеняи Двоения через границу двух упругих тел, а именно равенство
с^вляющих смещения частиц тела и равенство составляющих упругих
погпДавления по обе стороны границы. Для того, чтобы эти шесть
полных Условий были удовлетворены, необходимо, чтобы кроме
переЧ11Ь1х волн Существовали также и продольные. Мы не будем здесь
аиавлпваться на том, каким образом различные механические теории
218 Теория световых явлений __[Отд*;
обходят этот подводный камень г); заметим только, что в больж
теорий сохраняются только четыре условия. Я
Для того, чтобы получить совпадение с опытом в вопросе о омВ
отраженного света, —в частности в вопросе о выводе закона вЯ
-об угле полной поляризации (см. выше стр. 204), — надлежит fl
что эфир имеет во всех телах или одну и ту же плотность, илиЦ
ту же упругость. Первое предположение есть точка зрения Неймана^И
— Френеля. Из первого вытекает, что смещение частиц эфира
поляризованной волны лежит в плоскости поляризации, тогда иИ
Френелю оно нормально к этой плоскости.
2. Электромагнитная теория3). Основная гипотеза электро|Я
ной теории, развитая Максвеллом, заключается в том, что в продЯ
-среде свет распространяется по тем же законам, по каким распрояИ
ются в изоляторе электрические волны. За световой вектор можшМ
пять как электрическую силу, так и магнитную; обе колеблются одВ
менно и в линейно-поляризованной волне расположены перпендикЖ
друг к другу. Благодаря этому обстоятельству вопрос о полоЯ
светового вектора относительно плоскости колебания до некоторой сЯ
теряет свой смысл; однако, на основании некоторых соображений (см.Я
стр. 209) проще принять за световой вектор электрическую силу, Л
вленную нормально к плоскости поляризации. Таким путем мы приЯ
к результатам френелевской механической теории, тогда как результатЯ
рии Неймана получаются, если за световой вектор принять магнитную®
Преимущество электромагнитной теории в основном заключается и
дующих трех пунктах: 1
1) Поперечность волн непосредственно следует из полученных
свеллом простейших представлений об электромагнитных явлениях, Я
ласно которым электрические токи должны быть замкнутыми. Я
2) В качестве пограничных условий могут быть приняты усл(Я
действительные для любого электромагнитного поля; в противоположи
механическим теориям, отпадает необходимость в особых дополнив
пых допущениях для световых колебаний. •
3) Скорость распространения света в пустом пространстве (свобод
эфире), а в некоторых случаях также и в весомых телах, может $
вычислена наперед на основании чисто электромагнитных опытов. В-1
заключается одно из главных преимуществ электромагнитной теорий
«равнению с механическим теориями; этот пункт почти немедленно й
вал решительный поворот в сторону электромагнитного воззрения
природу света. Действительно, таким путем между двумя областями, 1
того времени друг с другом не связанными, — оптикой и электричеством^
отныне устанавливается тесная, количественно проверяемая связь; это-
весьма существенный успех в нашем познании природы.
х) См. 22. Gans, Theorie des Lichtes fiir durchsichtige ruhende Median, Handbi
-адг phys. Optik (Gehrke}, 1, 661, 1927; W. Kenig, Elektromagnetische Lichttheo
Handbuch der Physik, (Geiger u. Scheel} 20, 141, 1928; A. Wangerin, Optik, all
Theonen, Encyklop. der math. Wissensch. V3, 1, 1909.
) Cm. W. Wien, Elektromagnetische Lichttheorie, Encyklop. der math. Wissenl
» 8» 95, 1909.
Электрическая и магнитная сила
219
с дальнейшем мы будем придерживаться электромагнитной точки
Ля. Следует, однако, заметить, что рассуждения предыдущей главы
5пшейно не зависят от того, на какой точке зрения мы стоим, т. е.
зависят от того, что мы будем принимать за световой вектор.
3, Электрическая и магнитная сила (определение). Два очень
!йных тонких магнита действуют друг на друга с силами, которые
кутся исходящими из их концов (полюсов).
Магнитная масса магнитных полюсов т и тх определяется той силой
^•2
(1)
I которой они действуют друг на друга в пустоте на расстоянии г; сила
^а измеряется в механических единицах, основанных на измерениях
длквы, массы и времени. Этим дается также и определение единицы
магнитной массы (?п=1), которая в пустоте действует на равную ей
*массу, находящуюся на расстоянии, принятом за единицу, с силою, равною
единице силы.
Силой Н любого магнитного поля в любой средег) называется сила,
испытываемая единицей магнитной массы. Составляющие по трем осям
координат OX, OY, OZ пусть будут а, р, у. ь'
Направление магнитных силовых линий дает направление результи-
рующей силы поля, их плотность — самую силу поля Н, причем в
пустоте Н должно быть равно числу силовых линий, пересекающих
единицу площади под прямым углом. Нужно представить себе, что из маг-
нитной массы т выходит farm силовых линий, идущих в окружающем
пространстве не прерываясь (т. е. без свободных концов); при таком
предположении мы придем к правильному представлению силового закона
(1), так как в этом случае плотность силовых линий на поверхности
шара, описанного вокруг единственного, имеющегося налицо полюса
радиусом г, равна т:г'2, т. е. равна силе поля Н по закону (1).
Подобные же определения имеем для электрического поля в электро-
статической системе единиц:
электрические заряды двух электрических полюсов е и ег определя-
ются измеряемой в механических единицах силой
К = (2)
* которой они действуют друг на друга в пустоте на расстоянии г.
"Тим определяется также и единица электрического заряда, для кото-
рой е = 1.
Сила Е электрического поля в некоторой среде есть сила, испыты-
вая единицей электрического заряда. Составляющие Е по трем
уавмно-перпендикулярным осям координат OX, OY, OZ пусть будут
Z у
^правление электрических силовых линий дает направление резуль-
РУюад силы поля Е\ пусть число силовых линий, пересекающих
) среда может быть как пустой [пустота, вакуум], так и заполненной.материей.
220 Теория световых явлений ^Отд/^И
единицу поверхности под прямым углом, равно в пустоте силе jfl
из заряда е выходят, на основании закона 2, 4m? силовых линнО
4. Электрический ток (определение его в электростатика
электромагнитных единицах). В электростатических единицадя
трический ток /, проходящий через некоторое поперечное сечение од
деляется числом электростатических единиц заряда, проходящих я
в единицу времени. Если поэтому в элемент времени dt через ф
ходит количество электричества de, то сила тока равна /й
.__de |
dt ’ $
Если поперечное сечение q равно единице площади, то вместо г1
плотность тока/ '_?
Располагая q перпендикулярно к одной из трех осей OX, OYJ
получаем составляющие плотности тока jx, jy, jz.
В электромагнитных единицах электрический ток i определяете^
средством вызываемых им магнитных действий.
Легко можно осуществить длЯ
ный электрический ток в металлиЯ
проволоке, если соединить ею псД
гальванического элемента. II здебм
имеем дело с перемещением вдольЯ
т волоки определенных количеств Я
. тричества, так как изолированный
Рис. 92. люсы элемента ведут себя как элей
статически заряженные тела. Магния
полюс, расположенный вблизи электрического тока, испытывает некотЙи
воздействия. Если магнитный полюс т = 1 обвести один раз вокруг Я
то при этом затрачивается работа W — 4о'; этим определяется Д
тока г' в электромагнитных единицах 1). Я
Возьмем, например, прямоугольник со сторонами dx, dy (рис. Я
через который в нормальном направлении протекает ток i' = /' dxi
Здесь /' есть составляющая плотности тока по осн OZ в электрома|
нитных единицах. Если ток течет от чертежа к нам, так что полозЙ
тельные направления координатных осей совпадают с начерченными i
рис. 92 2), то по так называемому правилу Ампера положительный магни
йый полюс будет отклоняться в направлении стрелки. Полная работа >
при перемещении магнитного полюса т = +1 из точки А через В и
к J? и опять в А равна поэтому
W = a dx-\- ft’ dy — a' dx — ft dy, (4
ГДе ft 0 обозначают составляющие магнитной силы, действующие вдоле
АВ и AD, а а* и /3' —- составляющие вдоль DC и ВО, а’ отличается (
а только тем, что она действует вдоль прямой, координаты которой по
г) Работа W не зависит от пути, по которому обводится магнитный; полюс,
также От окружающей ток среды. См. любой учебник электромагнетизма.
а) Этого относительного направления координатных осей мы будем придерж'
ваться и в дальнейшем.
Определение электрического тока • 221
t соответствующих координат прямой АВ, вдоль которой дейст-
К а •' на величину dy. Если dy достаточно мало, (а7 — а) : dy имеет
LqeHue частной производной , и потому
, , да у
и — @ ^У
(одобиым же образом
£' = £ + dx ,
что из (4) получаем
«')
Но ток как по определению силы тока i' эта работа должна быть
равна
t.ro получаем
4лгг' — 4лрг dx dy,
=s
дд
дх
дл
~ду~ ’
совершенно подобным же образом могут
уравнения
быть выведены и другие два
4Л7У = -~-
л • f да
= -5Г
дг ’
ду
ох
(5)
Эта система представляет собою максвелловские дифференциальные
уравнения электромагнитного поля. Те знаки, с которыми они фигурируют
в (5), определяются выбором системы координат (рис. 92). От электро-
магнитной плотности тока j' в этих уравнениях мы можем перейти
в электростатической j посредством величины с, выражающей отношение
электростатической системы единиц к электромагнитной. Положим поэтому
г:г'=с, ;ж:;7 = с й т. Д., (6)
т°гда по (5)
4л . __ ду dfi 4п • _да д*у 4л . _dfi да
с ду дг’ с дг дх’ &- дх оу ( '
Эти уравнения не зависят от природы среды, в которой разыгрыва-
ется электромагнитные явления (с.м. выноску на стр. 220); поэтому они
иМеют место в любой среде, в том числе и в неоднородной или кристал-
^еской. Значение отношения с можно получить, наблюдая магнитное
ДЭДетвие, возникающее в результате разряда определенного количества
|Лектричества е, измеренного в электростатических единицах. Оказы-
вастсях), что с имеет размерность скорости и значение
10
с — 3 • 10 см!сек.
’) См. W. Wien, 1. а, 186.
Теория световых явлений [Отд»
222
5. Магнитный поток (определение). Магнитный поток, п
через поперечное сечение q, определяется, подобно электрическ
как то количество магнетизма, которое протекает через q в едини
мени. Если q равно единице площади, мы получаем плотность
ного потока, составляющие которой пусть будут sx, sy, s,.
В формулах (7) заключено то положение, что электрический *
ружен круговыми магнитными силами. Но, с другой стороны, и j
ный ток должен сопровождаться окружающими его круговыми э|
ческими силами (это явление называется электромагнитной инду
Это необходимо вытекает из закона сохранения энергии. Представ
что прямоугольник ABCD (рис. 92) обтекается электрическим
силы i (в электростатических единицах) в направлении стрелок: тогда5
жительный магнитный полюс должен был бы двигаться через прямо
ник сзади наперед, т. е. в направлении положительной оси OZ, и в
рывно кружиться около одной из сторон прямоугольника. За все то
пока ток производит эту механическую работу, сила его может остав
постоянной только при условии, если при этом затрачивается пек«
количество энергии, эквивалентное произведенной работе; иначе
механическая работа вызывает некоторую обратную электродвиж
силу, которая должна быть преодолена, если сила тока должна сохр
постоянное значение г. Если единица электрического заряда одий’$
обводится по прямоугольнику в направлении часовой стрелки, для р<й|
затрачиваемой при этом, имеем выражение, аналогичное (4) и (4'):
TVZ [dY дХ\ , j х
w — н----г- dx dy.
\дх ду J J
Для того, чтобы получить работу, необходимую для поддержания ci
тока г за промежуток времени t, нужно это выражение умножить i
на число обведенных электростатических единиц, т. е. на i>t. Это раб<
т; е. Wit, по закону сохранения энергии должна равняться той ра
которую производит магнитный полюс
одной из сторон прямоугольника; так
4 л mi
mi = ------ то
с ’
ттг-i 4л mi
Wit = —~, т. е.
т, обходящий один раз вок
как эта работа (стр. 220) р
, .. .. Ж=^. (
с ’ ct '
Но у есть сила магнитного потока, проходящего через прямоугольник,
у dxdy равно $z, составляющей плотности магнитного потока по оси О
Отсюда из (8) и (9) следует
4л dY дХ ..
с дх ду '
Подобным же образом можно вывести и два других уравнения для sx и з.
В уравнении (10) X и Y обозначают электрические силы, которые
должны быть приложены для поддержания постоянного значения сил
тока. Если этими же буквами обозначить силы противодействия, вызы
ваемые самим магнитным током вследствие индукции, то оказывается,;
Свободный эфир
22$
f oH0 имеют ту же величину, только обратный знак, так что уравне-
получают следующий вид:
4л = dY__dZ 4л = <^_дХ 4л
V Sх di ду’ с у дх ' dz’ с S“ ду dx' (И)
?эти уравнения являются совершенно общими, т. е. они имеют*место
в неоднородной или кристаллической среде.
Итак, формулы (7) и (11) имеют общее значение в любой среде. Их
|0Жяо назвать основными уравнениями теории Максвелла. Они сохра-
нят свое значение при распространении теории Максвелла на тела
особыми оптическими свойствами (дисперсия, поглощение, кристал-
лическое строение, естественное и магнитное вращение плоскости поля-
ризации); в каждом отдельном случае изменения претерпевают только те
уравнения, которые связывают величины sx и т. д. с электрической
и магнитной силой.
6. Пустота (свободный эфир). Электрические токи постоянной
;«цы могут возникать только в проводниках, например, в металлах, но
не в изоляторах. Однако и в случае изоляторов можно получить токи (так
называемые токи смещения, в противоположность токам проводимости
в проводниках) при изменении величины зарядов; краеугольным камнем
максвелловской теории является представление, что эти токи смещения
^вызывают такие же магнитные действия, как и токи проводимости. Благо-
даря этому основному положению Максвелл достигает по сравнению
с другими электрическими теориями огромного преимущества в смысле
большой простоты этой теории. Постоянных магнитных токов вообще не
существует, так как не существует проводников магнетизма.
Рассмотрим теперь, каким образом в свободном эфире плотность элек-
’ трического тока и магнитного потока связана с электрической и магнитной
силой. В свободном эфире нет зарядов е или т, сосредоточенных в из-
вестных точках пространства, но имеются силовые линии. На основании
вышеприведенного (стр. 219) положения, что из каждого заряда е или т
исходят 4ле или 4лт силовых линий, мы можем сказать, что 4л, умно-
женное на плотность тока, равно изменению плотности линий сил в еди-
ВаЧУ времени, т. е.
* - dNx . . dNv . . dNz
= = = Tt >
А дМх л дМ« л о dMz W
^s^~dt’ ^sy=-dT^ -аГ-
^Десь Nx, Ny, Ns, Мх, Му, Ms суть составляющие плотности электри-
ЛСКИх и магнитных линии сил. Но в пустоте, по определению (стр. 219),
“л°Т0ость линий сил равна электрической (магнитной) силе, так что
вУс'оте (12) переходит в
, . дХ
__ да
~ аг
== ^jz =
. дв .
4ns,. — 4л 8. =
У dt
dZ )
di’ (
ду j
dt j
(13)
224
Теория световых явлений
[Отд. 1
dY__da_ Эу i_dZ _др
dt dz дх’ с di дх
__£х 1_д2
О' dt дх dz’ с di
да 1
ду ’
>__дХ_дУ
di ~~ ду дх ’
£
с
Уравнения электромагнитного поля (7) и (11) в свободном эфйр^
яимают следующий вид:
£ дХ ду __
с • dt ду
1 да__ЗУ_______
* ' ~с dt ~~ dz ду’
1
dZ
\7. Изотропный изолятор. В непроводящем пространстве, запо^
ном вещее евом, законы действия сил (1) и (2) претерпевают измен!
«ели два электрических полюса е, ех перенести из пустого прострац
в изолирующее тело, например, в жидкость, то в этой среде они будут
на друга действовать слабее, чем в пустоте, так что можно положи^
К = j
е г2 ’
Характерная для данного изолятора постоянная £ называется его диэЯ
трической постоянной. Это определение сохраняет свое значение и fl
твердых изоляторов, только здесь взаимные притяжения и отталкивая
электрических полюсов наблюдать было бы не так легко, как в жия
стях. Для определения диэлектрических постоянных твердых тел суй
ствуют, однако, другие методы, описание которых можно найти в учебе
ках электричества. Для всех тел диэлектрическая постоянная болыпм
Подобного же рода явление имеет место и для магнитных полюсн|
если их из пустоты перенести внутрь какого-нибудь тела, то магнит^
«ила, действующая между ними, слегка изменится, так что можно нац
сать 1 1
1 wwti Не
Л — J * • аЯ
Постоянная р носит название магнитной проницаемости тела. В Я|
которых случаях (парамагнитные тела) она больше 1, в других (дяама!
нитяые тела) — меньше; сильно отличается от 1 она только в следующй
так называемых ферромагнитных металлах: в железе, никеле, кобальте;:
изоляторах она весьма близка к 1. В ближайшем мы будем иметь дел
только с этими последними, так как речь будет итти'только о совёрЖ
шенно прозрачных телах, т. е. таких, в которых энергия электромагнит®!
ных волн распространяется без поглощения, т. е. без их нагреванияЯ
В изоляторах р настолько близко к 1 (разница составляет лишь неЯ
-сколько тысячных долей процента), что в дальнейшем будет вполне
позволительно принимать р всегда равным 1 г). Я
При замене закона (2) на (15) уравнения (13) претерпевают измеЯ
Иения, так как при наличии тех же зарядов, т. е. тех же значение
х) Ниже, при описании оптических свойств намагниченных тел, мы покаже!^
Солее точно, иочему для световых колебаний для всех тел является вполне доиустя-Лд
мым принимать р равным 1. Причина этого заключается не только в том, что на-'. \
дагничеяие ие могло бы следовать за столь быстрыми колебаниями, каковыми явля* i
ются световые колебжния^ она гораздо сложнее. «
Изотропный изолятор 225
tju тока, электрическая сила в диэлектрике ослабляется по сравнению
Густотой в е раз. Поэтому вместо (13) следует написать:
Е = £и т. д.» = и т. д. (17)
Шоэтому уравнения (7) и (11) применимы и для диэлектриков; для
изотропного диэлектрика они принимают вид (при (U = l):
| е е £ dZ__др да •
| с dt ду дг ’ с dt дг дх' с dt дх ду ’
с Ot дг dy' с dt дх дг ’ с dt dy dx ’ I
Этими уравнениями все свойства электромагнитного поля в диэлек-
трике определяются полностью.
Если бы мы пожелали остаться при уравнениях (U), т. е. если бы
мы положили, что число линий сил, исходящих из заряда, не зависит
от окружающей заряд среды, то сравнение с (17) дает, что в этом слу-
чае следует положить
N^eX, N,~eY, N.^eZ, 1
Мх= pa, Му — pfi, Mz = ру, J ' '
т. е. плотность силовых линий равна электрической (или магнитной) силе
столько в пустоте.
Представим себе элементарный кубик с ребрами dx, dy, dz, в кото-
ром содержится электрический заряд е; число линий сил, выходящих из
всей поверхности кубика, должно равняться 4ле. С другой стороны, это
число можно определить, если проследить число линий сил, выходящих из
каждой грани кубика отдельно, и сложив их вместе. При таком способе
действия мы получим, например, для граней, расположенных нормально
к оси ОХ, выражения:—(Л^ dydz + (N^ dydz, причем индексы! и2
относятся к двум противоположным граням, отстоящим друг от друга на
расстоянии dx. Но по определению частной производной мы имеем
ТО, = (Л-.), + dx;
Поэтому общее число линий сил, выходящих через поверхность кубика,
^авно:
dxdydz.
\ дх ду &z J
Приравнивая это выражение 4ле и принимая во внимание уравне-
(19), имеем, если через q = е : dxdydz обозначить заряд единицы
01 ема (плотность заряда):
+ (20)
дх ду dz 4 z
Пак явствует из вывода этого уравнения, оно сохраняет свою силу
и Для изотропных неоднородных тел, т. е. таких, у которых е изменя-
ется в зависимости от х, у, z. Додобное же уравнение можно вывести
® Для плотности магнитных зарядов.
Др уде—Оптика. 15
226 Теория световых явлений[От г. П1Д
8. Пограничные условия. Когда соприкаются друг с др угодя
различных тела, то при переходе электрической и магнитной силы Д
границу тел должны удовлетворяться некоторые условия, которые Д
получить из основных уравнений (18) путем следующего замечИ
в действительности переход от одного тела с диэлектрической постоя
£г к другому телу с диэлектрической постоянной е2 осуществляется
сразу,—-как если бы плоскость раздела представляла собою матемаИ
скую плоскость, — а постепенно, так что диэлектрическая постоянная
меняется от до 82 непрерывно внутри некоторого переходного ело!
правда, весьма тонкого. Уравнения (7), (11) и (17), а следовате!
и (18) применимы и для такого слоя, т. е. все частные производя
входящие в эти уравнения, должны оставаться конечными. Полой
например, что два тела соприкасаются по плоскости XY. Так как в пере!
3Y дх да J
ном слое частные производные -д~, -д--, q- должны ос i зваться кож
ными, то следует, что при бесконечно малой толщине переходного d
ds и разность значений Y, X, fl, а на двух границах переходного q
должна становиться бесконечно малой, иными словами: составляюп
электрической и магнитной сил, параллельные плоскости раздела, дола;
при переходе через пограничный слой (принимаемый бесконечно тонш
оставаться непрерывными, т. е. должны иметь место равенства: '
Хг = Ara, Yi = У3, аг= а2, при s = О,
где нижние значки указывают принадлежность к тому или другЯ
телу. Я
Так как в основные уравнения (18) щастные производные ~ иЛ
не входят, то эти заключения не могут быть перенесены на Z и у. Л
нако на основании последнего из уравнений (18) можно видеть, чтоЗ
а следовательно и у. имеет по обе стороны от переходного слоя одно!
то же значение, так как X и Y для всех значений х и у по обе ст
роны переходного слоя одинаковы. Поэтому и у при переходе через гр
ницу изменяется непрерывно, если пограничный слой рассматривает!
как бесконечно тонкий. Подобным же образом на основании третье!
уравнения (18) можно сделать заключение о непрерывности произвед
ния eZ, т. е. о прерывности Z. Поэтому к пограничным условиям (21
можно прибавить еще следующие:
£iA = £2^2, Л = Уа при г = О. (21<
Однако, в силу основных уравнений (18), из этих 6 уравнений не
за^имыми друг от друга являются только четыре.
Из (Ю) совместно с (21) следует, что силовые линии не имеют свя|
бодных КШОфв и на границе раздела двух тел (в (21') р принят]
равным 1, ИЙЙРВ®пРеРывным было бы /гу!) [
9. ЭпергиЯ'1Ч1^^ромагнитного поля. Умножив уравнения (18) й|
множители Xdx, уб/т, где dr обозначает элейен:
§10] Световые лучи как линии потока энергии 227-
объема, и распространяя интегрирование на любой объем, мы получим,
полагая
Y>+Z«) + -b(«3 + ^ + 7’), • (22)
следующее выражение:
-4- f(%-a/]Xdr+...+ fl^-dZ\a<h+... (23)
С dt J J \dy dz) • 1 J \dz dy) v
f Пользуясь вспомогательным уравнением (20) (стр. 148), получаем
f Xdx = ~ f?X cos (n’ y^-f^dy dr>
где dS обозначает элемент поверхности того объема, по которому произ-
водится интегрирование, а п есть внутренняя нормаль к dS. Применяя
это преобразование к первым трем интегралам, входящим в правую
часть (23), мы видим, что интегралы по объему взаимно уничтожаются,
так что получается
J J [(у Y — /?Z) cos (n, X) 4- (aZ — yX) cos (n, y) +
4- (fiX — a Y) cos («, £)] dS. (24)
Если границы области, по которой производится интегрирование, на-
' столько удалены, что на них электрическая и магнитная силы обраща-
ются в нуль, то из формулы (24) вытекает, что величина в этой об-
ласти со временем не из .еняется. g обозначает энергию электромагнит-
ного поля в единице объема. Действительно, мы можем прийти к тому
же толкованию этой величины, если вычислим работу, закачиваемую
при перемещении электрических или магнитных арядов.
10. Световые лучи как линии потока энергии. Если величины
X, Y, Z,_at ft, у, на гранинах области ин'егрирования не пропаяют,
то смысл формулы (24) может быть истолкован так: изменение коли-
чества электромагнитной энергии, заключенной в некотором объеме,
вызывается тем, что она входит (или выходит) через ограничивающую
этот объем поверхность. За составляющие этого потока энергии fx, fv, fe,
согласно (24) можно принять
f^^(rY-f)Z),f, = -^(.aZ-rX),fI = ^t(f)X-aY). (25)
Так как, далее, имеют место соотношения
* а fx 4- /5 • ty + У • fz = О,
X-fx+Y -fy+Z-fz^,
I. путь потока энергии всегда перпендикулярен к электрической и маг-
Эта теория движения энергии в электромагнитном поле, предложен-
Пойнтингом, имеет для теории света тем большее значение, что мы
ирем световые лучи рассматривать как эти линии потока энергии. Дей-
15*
228
Прозрачные изотропные тела
[Отд. П]
ствительно, выше (стр. 17) мы определили световой луч, идущей
источника света Q к точке Р, как геометрическое место тех точек, в од
рые необходимо было бы поместить некоторое препятствие (непрозрап
тело), чтобы уничтожить действие света в Р. Ясно, что энергия из Q’j
можёт попасть в Р, если линия тока энергии, идущая от Q к Р, нЬт(
кивается на какое-нибудь препятствие. 7
Поэтому из (25) направление луча света определяется как направ^
ние, перпендикулярное к электрической и магнитной силе. ’
ГЛАВА И
ПРОЗРАЧНЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ ТЕЛА
1. Скорость распространения света. Процесс возникновения ця
ской волны станет ясным, если базироваться на основных представленЯ
электромагнитной теории: в самом деле, представим себе, что в некЯ
рый определенный момент времени внутри тонкого слоя, лежащего пара!
лельно плоскости XY, возникает электрический поток, идущий пари
лельно оси ОХ. Этот поток вызывает на краю слоя появление Магнитки
сил, параллельных оси OY. Появившиеся магнитные силовые линц
индуцируют электрические силы, которые внутри слоя направлен
в .сторону отрицательной оси ОХ, а вне слоя—в сторону положител!|
ной. Поэтому внутри слоя электрический поток прекращается, так кв
первоначальные токи и вновь наведенные взаимно уничтожаются, й
зато вне слоя появляются электрические токи, направленные по поле
жительной оси ОХ. Таким путем происходит волнообразное распростри
нение электрического импульса в положительном и отрицательном напрЙ
влениях оси OZ.
Чтобы определить скорость распространения, вернемся к основный
уравнениям (18) предыдущей главы. ;
Если три первых уравнения (18) продифференцировать по времени i
и подставить вместо
ний, то получится
8
% ft’ ft Их значения из последний трех уравш
с2 dt2 ~~ ду\ дх / dz \ дх дг )
и два других подобных уравнения. Это уравнение можно переписать?
следующим образом:
с dt- дх2 ду2 ' дг2 дх\ дх * ду ' dz / *?
Но, дифференцируя первые три уравнения (18) по х, у, г в складывая,?
мы имеем
д (дх dY . az\_n
d tYte -r dy dz ) ~
Так как в дальнейшем мы всегда будем иметь дело только с период
дическими изменениями электрических и магнитных сил, при которцу
частная производная по времени t пропорциональна самой величй^
Скорость распространения света 229
^еслй еще прибавить ФазУ Y-)’ то из последнего уравнения можно
яйвести заключение, что
? ^4-^4-^-О т
dx ' dy ' dz ~ °’ ( •'
Поэтому уравнение (1) приобретает вид
в даХ _ д^х 42Х д2Х __ А Y
са dt* дх2' ^2+ dz2
Подобные же уравнения имеют место для Y и Z, так что получается
еистема уравнений
g ^Х____ А у е d“Y____ л у е d8z? __ А „ гол
с2 dt* ~~ ЛХ> са ^2 ~ са ^2 &Z- I3)
Для магнитных силовых линий имеют место подобные же уравнения
«?+й+%1=Ог (2')
дх 1 ду dz r k 7
е д2а А е 82/? ло е д2у л ZQ,4
dt2 *“ ~с* dt2 ^’~с2' dt2 ($ )
Но выше (стр. 146) мы видели, что дифференциальные уравнения
вида (3) и (3') приводят к волнам, распространяющимся со скоростью
* Т7 @
Это и есть, по электромагнитной теории, скорость света; при этом
совершенно безразлично, что принимать за световой вектор — электриче-
скую или магнитную силу: обе они нераздельно связаны друг с другом
и распространяются с одной и той же скоростью.
Если мы Теперь применим формулу (4) к свободному эфиру (пустому .
пространству), то увидим, что здесь скорость света должна быть равна
отношению с электростатической и электромагнитной систем единиц. Это
следствие действительно получило блестящее подтверждение; выше
(стр. 104) мы приводили новейшие данные измерений скорости света:
^=2,99796.1О10 см/сек1),— это значение в пределах ошибок наблюде-
В0Й весьма точно совпадает с величиной с = 2,99790 • 1О10 см/сек,
полученной из. чисто электромагнитных ^опытов. Оба эти числа весьма
мало отличаются от 3 • 1О10 см{сек, которым постоянно пользуются при
расчетах, не требующих очень большой точности.
. Это — первый огромный успех электромагнитной теории света. Исто-
рическое развитие этого вопроса было, однако, гораздо сложнее, чем при
иастоящем систематическом изложении: Кольрауш и Вебер нашли, что
число с весьма близко к скорости света; затем Максвелл написал свои
. паменитые уравнения, по которым скорость распространения электромаг-
волн и должна равняться этой константе с.
Выше (стр. 104) было подчеркнуто, что это значение относится именно к
230 Прозрачные изотропные тела [Отд. ПД
. . _ ,
В весомом теле по (4) скорость света должна быть в ]/дЙ
меньше, чем в пустом пространстве; иначе говоря, так как п0, эвуЯ
показателя преломления тела по отношению к пустоте, есть отпои
скоростей света в пустоте и в теле, то должно иметь место соотнои
nQ — V £, n02 — е, j
т. е. квадрат показателя преломления равен диэлектрической постоя!
Это соотношение, однако, во всей строгости выполнено быть не ис
<дотя бы из тех соображений, что показатель преломления nQ у всех
зависит от цвета, т. е. от периода колебаний, тогда как диэлектрик
постоянная определяется как постоянная, не зависящая от пер
колебаний.
Впрочем, у газов, у которых изменение показателя преломл
в зависимости от цвета весьма слабо, соотношение (5) выполняете!
вольно хорошо, как это видно из нижеследующей таблицы 1), где для
приведены средние из ряда данных (показатели преломления отнш
к желтому свету):
Вещество w0 V е
Воздух 1,000292 1,000302
Азот 1,000299 ,000307
Водород 1,000139 1,000139
Кислоро.т 1,000270 1,000273
Углекислота 1,000449 1,00485
Гелий 1,000035 1,000037
Окись углерода 1,000335 1,000346
Аммиак 1,000385 1,000385
Закись азота 1,000507 1,000547
Соотношение (5) выполняется хорошо также и для жидких углевод!
родов:
Вещество ' п0 /е
Толуол 1,499 1,549
Четыреххлористый углерод 1,461 1,523
Бензол 1,501 1,511
ш-ксилол- . . 1,500 1,547
Сероуглерод 1,629 1,626
Напротив, у многих твердых тел, например, у стекол, равно как у спир-
тов и у воды обнаружены чрезвычайно большие отступления от закон!
(5): 8 всегда гораздо больше чем поа, как видно из следующей таблицу*
1 R. Gans, 1. с., 674.
Поперечнроть плоских волн
231
«о
Вода 1,33 9,0
Метиловый спирт 1,34 5,7
Этиловый спирт 1,36 5,1
Для объяснения этих отклонений необходимо дальнейшее расширение
основных уравнений электромагнитной теории, что и будет сделано
в главе V этого отдела. Это расширение приводит к результату, что
величина «, введенная здесь как некоторая постоянная, на самом деле ia-
висит от периода колебаний.
Но прежде чем разбирать этот вопрос, остановимся на том, каким
образом по электромагнитной теории могут быть представлены опти-
ческие свойства тел, не зависящие от дисперсии, т. е. от изменения п0
с цветом. Мы будем поэтому в дальнейшем предполагать, что имеем дело
с светом определенного цвета,, и что расширение теории, разбираемое
в главе V, уже сделано, так что входящая в основные уравнения по-
стоянная е совпадает с' квадратом показателя преломления п0 для опре-
деленного цвета.
2. Поперечность плоских волн. Плоская электрическая волна может
быть представлена следующими уравнениями:
х = А. • cos £ (t-
Y = A, .cos^(l(6)
т*+в/ + ',г).
В самом деле, фаза имеет одно и то же значение в плоскостях, урав-
нение которых:
пис + пу 4- pz ~ const., 4 (7)
и которые тем самым становятся плоскостями волн.
Добавочное условие
т2 + п8 + р2 = 1, (8)
определяет иг, и, р как направляющие косинусы нормалей к волновым
плоскостям.
Ах, А9, Ае суть составляющие амплитуды А результирующей элек-
трической силы, пропорциональные, следовательно, направляющим коси-
нусам этой амплитуды А. В силу дифференциального уравнения (2) иа
СТР- 229 должно иметь место уравнение
Ах • т + А9 • п + As • р = 0, (9)
^асящее, что результирующая амплитуда А перпендикулярна к нормали,
проведенной к поверхности волны: другими словами, что мы имеем дело
Моперечной волной. К такому же выводу приходим и для магнитной
СЙДЫ. Таким образом поперечность плоских волн является следствием
УР^нений (2), а также и ф'), т- е- вытекает из самого вида основных
Уравнений электромагнитной теории.
232 Прозрачные изотропные тела
[Отд. Ill, 1
г
Рис.
93.
3. Отражение и преломление на границе прозрачных изотропп
тел. Пусть два тела 1 и 2 с диэлектрическими постоянными 8Х ц!
соприкасаются по некоторой плоскости, которую мы примем за плоской
ХУ. Положительная ось OZ пусть направлена от тела 1 к телу 2 (см рис. 9|
из первого тела на второе подают плоек!
волны под углом плоскость X Z пусть ш
дет плоскостью падения. Тогда косинусы уг«
направления, в котором распространяется ад
дающая волна, будут
т = sin ?>, п = 0, р — cos (и
Разложим падающую электрическую сш
на две составляющих: одна из них с амш|
тудой Es, пусть направлена нормально к пл
кости падения, а другая, с амплитудой Е I
в плоскости падения. Первая составляют
лежит параллельно оси ОУ, так что д]
падающей электрической силы по у можно написать
составляющей
Ye=Es.CoS^((_^£+£^), (ifl
где обозначает скорость света в теле 1. По (4)
Составляющая электрической силы Ер, лежащая в плоскости падения!
расположена — в силу поперечности волны — перпендикулярно лучу, т. J
взятые по оси ОХ и по оси OZ составляющие Ах и Az амплитуды 1?]
должны быть равны
4 = ^-cos?>, Ле = —E^sin?,,
если положительное Ер направлено от границы наружу (см. рис. 93).1
Для составляющих электрической силы падающей- волны по х и zl
'имеем поэтому 1
v гл 2л /. х sin <р 4- z cos аЛ
хе = Ер • cos• cos -у (t------------------], 1
о / • 1 X (13)’
у 771 • 2л; Д ж sin <р + z cos <р\ '
Ае = ~Ер • sin<p • cos ~[t~:----------------)•
Но с электрической силой падающей волны необходимо связана маг-
нитная сила, для составляющих которой можно получить с помощью
основных уравнений (18) (стр. 225) и уравнения (12), следующие выра-
жения:
°. --Е, cos v ^cosЦ-(t -*si?.?±.?cos*’),
ft = + V^cos((_^in^ + zcos^,
= +£.-sin <p V^-cos It - .
A * \ * 1 }
233
* Отражение и преломление на границе тел
* Если поэтому Ев = 0, Ер > 0, то ав = ув = 0; £ отлично от нуля,
е. амплитуда Ер электрической силы, лежащая в плоскости падения,,,
вызывает появление составляющей магнитной силы fie, расположенной
нормально к, плоскости падения. Наоборот, составляющая электрической
силы Ев, расположенная нормально к плоскости падения, вызывает маг-
цитную силу, лежащую в плоскости падения. Этот результат, что элект-
рическая и магнитная сила, необходимо связанные друг с другом, всегда-
взаимно перпендикулярны, вытекал уже из соображений, изложенных на
на стр. 229.
Когда падающая электромагнитная волна попадает на границу, она
разбивается на волну отраженную и волну преломленную. Отраженную
волну ‘мы можем для электрической силы выразить аналогично (11) и
(13) уравнениями:
Хг = В,-cos <Р' • cos (t - .+ *<”<), |
= + ), [ (15>
r, -n . , 2л/, x sin q>' 4- zoos w' \ I
Zr = — Rp • SID 9? • COS -y -----, I
для преломленной волны мы будем иметь:
Х2 = ^.cosz-cos '
r3 = n(.cos^(t-^^±^-V } (16>
~ . 2г. /, х sin % 4- z cos % \ I
Z2 = — Dp-sm%-CQS^[t----. I
Здесь Rp) .Rs. Dp Ds обозначают амплитуды, <р'—угол отражения
(т. е. угол между положительным направлением оси OZ и направле-
нием распроетранения отраженной волны), % — угол преломления.
Для соответствующих магнитных сил имеем подобно (14):
Г, ,/— 2л /, ж Sin ф 4- zcosp \ I
= — Ra • COS 9? ’ И «1 ’ COS -Т- \t---у---— ) ,
о , тэ ,/— 2л;/. х sin ф' 4- % cos ф' \ |
^г=4-2?р.]/егС08-^-^------------2-^-------), (10
, -г, . ,,г— 2л /, a?sin ф' 4- z cos ф'\
уг= 4- --------—у------— ,
-z \ / j
— 2л;/. я sin z 4 z cos % \ )
а2 = — Д.-COS/Те2-COS \t--------------у-----,
л . -п 1/— 2л: /. X Sin z 4- z-cos A Z1 o\
= 4- Dp• Ve3• COS - y- [t-------------) , [ (1»>
, t. . ./— 2л; /. аз sin z-{-z cos A I
4-A-sinr И «2-cos-y- (£---------------. |
A So при s = 0, в силу пограничных условий (21) [см. предыдущую
ТЬУ (стр. 226)], должны иметь место известные соотношения между
лТтрическими и магнитными силами для всех значений времени и ко-
^54
Прозрачные изотропные тела
[Отд. Ill, гл^*1
«ординат х и у. Такие условия могут быть удовлетворены только Torj
когда для & = 0 все силы пропорциональны одной и той же функции
л, у, т. е. когда
sin (р _ sin g?' _ sin %
"FT" Vi
Дз первого уравнения следует, что sin у) = sin у>', т. е., так
направление отраженного луча не может совпадать с направлением
лающего:
cos <р ——cos<p', т. е. ср' — л— (р. (29
Это — закон отражения, по которому луч падающий и луд отражении
симметричны к нормали, восстановленной в точке падения. <1
Второе уравнение (19) представляет собою закон преломления, та
как из (19) вытекает 1
sin ?>: sin % = Fj.: Kj = п, (21
•где п есть показатель преломления тела (2) по отношению к телу (fl
Обычные геометрические законы отражения и преломления являюм
таким образом непосредственным следствием существующих в электи
динамике пограничных условий. а
Что касается этих последних, то следует принимать во внимание, чя
здесь нужно положить Хг = Хе-\-Хг (для других сил существуй
подобные же условия), так как электрическая сила в теле 1 является
ложением силы падающей и' отраженной. Поэтому из пограничных усл^
яий (21) (стр. 226), принимая во внимание (20), получаем.
(£p~iycos^==.Dpcos%, ]
Es + Rs = Ds, _ I
(Es — ^)/£1 cos <p~ Ds ]A2_cos %,
{Ep + Rp)V~ DpY£3.
(22Я
Отсюда можно определить зависимость амплитуд отраженных и преД
ломленных волн от амплитуды падающей волны. А именно, имеем:
Уе, cos ср
FsTcosz
V Р \ cos <р
7? ( cos <Р У^ \ ;
^C0SZ V^/
V S2C0S/ \
У 81 C0SQ9 '
COSCO
(23fl
2
Если здесь вместо отношения Уё^Уе^ которое по (4) равно пока'-
зателю преломления тела 2 по отношению к телу 1 , подставить /на
Отражение и преломление на границе тел 235
основании (21) отношение sin <р: sin %, то формулы (23) можно написать
следующим образом:
г»_____гт sin (p--z) d __ тт tg(y—z) )
8 ’sin^J-z)» p ^tgGp+z)’ I (24)
r, -p 2sinzcosy __________ T-, 2smzcos <p j v 7
8 8 sin (ф -j- z) ’ ? &p sin (<p z) cos (<p — z) ’ J
Это — так называемые формулы отражения Френеля, на основании ко-
торых можно, зная свойства падающего света, полностью определить
фазу и энергию отраженного и преломленного света.
По (24) Rs никогда не пропадает, но Rp обращается в нуль в том
случае, если
tg (?> + %) = (25)
т. е., если отраженный луч перпендикулярен к преломленному.
Из (25) следует, что в этом случае sin# = sin (у— = cos <р, т. е.
по (21) мы должны иметь
tg9? = n. (25')
Итак, если угол падения ср удовлетворяет этому условию, то в отра-
женной волне не содержится слагающей электрического напряжения,
лежащей в плоскости падения,—совершенно независимо от состава па-
дающего света, т. е. от отношения ~~. Поэтому и в том случае, когда
под углом ср, удовлетворяющим (25')^ падает естественный свет, в отра-
женной волне содержится только та электрическая амплитуда, которая
лежит нормально к плоскости надения, т. е. волна является плоско-поля-
ризованной. И, действительно, этот угол падения ср отвечает вышеупомя-
нутому (стр. 204) закону Брюстера. Одновременно получаем, так как пло-
скость падения мы приняли за плоскость поляризации (см. выше стр. 204),
что в плоско-поляризованной волне световой вектор лежит нормально
к плоскости поляризации, если его отождествлять с электрической силой.
z Напротив, если световой вектор отождествлять с магнитной силой,
то он должен лежать в плоскости поляризации, так как по формулам (17)
и на основании сказанного на стр. 233 Rp играет роль магнитной ампли-
туды, расположенной нормально к плоскости падения. Если за световой
вектор принять магнитную силу, мы придем к формулам отражения
Неймана.
Энергии отраженной электрической и магнитной волны в точности
Р^вны друг другу: действительно, если падающий свет поляризован в плос-
кости падения, то при вычислении энергии отраженного света мы должны
Пользоваться только первым из уравнений (24), независимо от того, что
ой ц₽имем за световой вектор — электрическую или магнитную силу: в
\?°йх случаях, по формуле (14) (стр. 232), JES представляет собою ампли-
уДУ падающего света.
\ Напротив, знаки отраженной электрической и магнитной амплитуды
Ру^чны. эт0 обстоятельство не имеет значения для энергии, так как
'.36 Прозрачные изотропные тела[Отд. III, гд.^
здесь мы имеем дело только с квадратом амплитуды, но сказывается™
фазах волн. Мы рассмотрим этот вопрос подробнее на частном приме}
4. Нормальное падение. Стоячие волны. Формулы (24) неприменим
для гр = 0, так как при этом как гр, так и % обращаются в нуль. Из
одцако, мы получаем прямо |
J
так как
______________________
у е2 :у S1 = П И COS гр — cos % = 1. . '
Первая из этих формул говорит, что при п > 1 отраженная и падаз
щая электрические амплитуды направлены в противоположные сторой
Ио то же самое дает и вторая формула, так как для ?? = 0 одинаков^
знаки у Вр и Е фактически означают противоположные положен)
амплитуд, что вытекает из принятого нами на рис. 93 положите!
ного направления Вр и Е. Поэтому узел Стоячих волн, получу
щихся при интерференции падающих и отраженных волн, дола)
быть расположен на самой отражающей поверхности; энергия в не
однако, будет только тогда действительно равна нулю, когда Rs имееД ту я
величину, что и Et, т. е. если п = оо. Для конечных значений п Я
зеркале мы имеем только минимум г), так как отраженная амплитуда вся
же погашает хотя бы только частично влияние падающей амплитуды. 1
Для магнитной силы Ер и Вр обозначают, однако, те амплитуд®
которые лежат нормально к плоскости падения, т. е. параллельно оси О И
Одинаковые знаки этих амплитуд фактически обозначают одинаковым
направления, так что из второй формулы (26) (равно как и из первой
при соответствующем интерпретировании направления амплитуд в пром
странстве) вытекает,' что отраженная и падающая магнитные амплитуда!
имеют одинаковое направление. Поэтому в стоячих магнитных волнах при
п > 1 на поверхности зеркала появляется пучность ?). j
Пользуясь фотографическим методом, Винер получил (см. выше
стр. 133), что на поверхности стеклянных зеркал получается узел. Эт(|
обстоятельство говорит за то, что главным фактором в фотографической
действии является электрическая сила; впрочем, это было уже доказано*
выше на стр. 208 более удобным методом стоячих волн при косвенном:
падении поляризованного света. '
5. Поляризация естественного света при прохождении света,
через стопу пластинок. По формулам (24) при возрастании гр от О до
j отношение Rt: Ea непрерывно возрастает; величина Вр: Ер, однако?
сначала убывает, достигает нуля при угле полной поляризации, опять воз-
*) Для металлических зеркал вышеприведенные формулы не годятся (см. ниже
гл. IV): вследствие появляющейся при отражении разности фаз (формула 14 стр. 2311
узел оказывается смещенным. /
2) К тому же выводу пришел М. Katalinic, Stehende Wellen des zirkular
elliptisch polarisierten Lichtes, Ann. d. Phys. 88, 489, 1927. /
• g] Экспериментальные подтверждение теории 237
растает до максимума, равного 1, при <р = (скользящий луч). Но для
всех углов падения при Es = Ер, > Вр}, действительно, из (24) сле-
дует, НТО . c0S(<r4-Z) . /97ч
&8 Es cos (9?— х) ’ '
поэтому при каждом падении естественный свет испытывает при отраже-
нии частичную (или полную) поляризацию в плоскости падения; прелом-
ленный же свет должен при этом поляризоваться нормально к плоскости
падения, так как свет пропасть не может. Так объясняется поляризация
света при прохождении через стопу пластинок.
Действительно, применяя обе последних формулы непосредственно
к обеим поверхностям стеклянной пластинки при прохождении через нее
света, имеем
% = (28)
где D's, D’p обозначают амплитуды лучей, вышедших из пластинки.
Поэтому при Es — Ер по (28) все время D3' < Dp, т. е. падающий есте-
ственный свет по выходе из пластинки является частично поляризован-
ным в направлении, нормальном к плоскости падения. Полной поляри-
зации, однако, ни при каком угле падения получить нельзя; поляризация
тем совершеннее, чем больше <р. Если нравно углу поляризации х) (tg 99 =п,
4- х = у), то по (28) для Es = Ер имеем:
ZV .лп 4п2
Dp'~~ Sm (1-f-n2)8 ’
при п — 1,5, Dsf :Dp /= 0,85; отношение энергий равно
л'2:0'2^0,73.
При прохождении через 5 пластинок это отношение упало бы до 0,725 =
= 0,20, т. е. мы все же имели бы большое отклонение от полной поля-
ризации.
в. Экспериментальное подтверждение теории. Проверку формул (24)
можно произвести, с одной стороны, путем сравнения энергий отраженного
и падающего.света, с другой стороны, более удобным способом, путем
определения вращения плоскости поляризации падающего света при отра-
жении или преломлении. Это вращение можно предвычислить по форму-
ем (27) и (28).
Для плоско-поляризованного света величину а, входящую в отноше-
ние составляющих Ep'.Es = tg а, называют азимутом плоскости поляри-
^ИЦии падающего света. Свет отраженный и преломленный тоже является
ииоско-поляризованным; азимут его плоскости поляризации определяется на
сипании уравнений (27) и ($8): ~ £i3. Для его определения
^Десообразнее всего пользоваться прибором, изображенным на стр. 213
«акр*) ,Д’ЛЯ атого Угла поляризация проходящего света никоим образом не является
\ бальной.
, 238 Прозрачные изотропные тела[Отд. Ш,
(без компенсатора Бабине). Падающий свет поляризуется помощью никоад;
• (поляризатор); николь р' (анализатор) устанавливается тогда на темноту. Д;
Хкаждого угла а можно наблюдать соответствующий ему угол чр.
\ Оба метода дают весьма хорошее подтверждение формул отражен^
лишь вблизи угла поляризации Жамен обнаружил при более тщатед!
ном исследовании постоянное отступление от формул отражения, закл>
чавшееся в том, что отраженный свет был поляризован не строго плос|
а эллиптически, п поэтому не мог быть потушен полностью оди|
анализатором (без компенсатора). Эти явления ниже будут разобрав
подробнее.
7. Эллиптическая поляризация отраженного света как следств]
существования поверхностных или переходных слоев J). В основе выщ
приведенных выводов, построенных на применении пограничных услов!
(21) (стр. 226), лежит то предположение, что переход от тела 1к тей
2 происходит скачком. Возможны, однако, и такие случаи, когда меэд
телами 1 и 2 будет существовать переходный слой, в котором диэлектр:
ческая постоянная непрерывно переходит в е3; толщина этого слоя очед
мала; при полировке поверхностей она может увеличиваться.
Мы будем гораздо ближе к истинному положению вещей, если буде
принимать во внимание существование переходного слоя.
Однако, чтобы напрасно не усложнять вычислений, мы примем, чт
толщина этого переходного слоя I настолько мала, что все величин!
в которые I входит множителем, можно рассматривать только с той стея
пенью приближения, которая получается при I = 0. - 1
Прежде всего выведем пограничные условия, т. е. те соотношения]
которым подчиняются электрические и магнитные силы на обеих граница!
переходного слоя; эти границы мы определяем как те места, в которые
диэлектрические постоянные принимают постоянные значения и е8. j
В силу вышеприведенного (стр. 221) замечания о применимости основ-
ных уравнений, уравнения (18) (стр. 225) имеют место также и в пере,
ходном слое. • |
Если четвертое и пятое уравнения (18) умножить на элемент толщинц
переходного слоя dz и проинтегрировать между двумя границами i Hj
2, то в результате получаются следующие выражения:
—К,
с ot J tv { j
2 1 J (291
7 I j
11 I *
* '
в виду того, что при У, расположенном нормально к плоскости падениям
входящие в эти выражения величины от Y не зависят.
О Теорию переходных слоев на основе электромагнитнойе теории впервые
А. С. Van Куп van Alkemade, W. А. 20, 22, 1883. Здесь приводится углублен
и упрощенная трактовка Друде.
Поверхностные слои
23&
Цо уравнению (21) (стр. 226) величины а и а также eZ (урав-
нение (21') стр. 226) внутри переходного слоя можно считать
ными, т. е. их можно вынести за знак интеграла, обозначив
r2Z2 или аъ Pi, £1^г Таким образом получаем, например,
2 2
с . с г dZ , dZ2 /’ dz
I a-az = a / dz, / — dz = ea —-1- / —.
J J J dx * dx J e
1
постоян-
ен,
Вводя обозначения
2
1
2 2
edz =p, J
i
(30}
i
где l есть,рбщая толщина переходного слоя, а е— его диэлектрическая
постоянная в том месте, которому соответствует элемент толщины dzr
получаем вместо (29 :
= + ~ &1 — е д, rj=r,- ~д-£. (31)
1 * с dt * дх v 1 2 cd< v/
Равным образом, путем подобных же преобразований, получаем ив
первых двух уравнений системы (18) стр. 225):
а1=а2 — = (32>
1 2 дх с dt ’ а с dt v 7
Эти уравнения (31) и (32) играют теперь роль пограничных условий
вместо прежних уравнений (21) (стр. 226).
Для электрических и магнитных сил в телах 1 и 2 мы можем по-
прежнему пользоваться уравнениями (11), (13», <(14), (15), Н6\ (17)».
(18) этой главы, с тем, однако, расширением, что в отраженной, прелом-
ленной и падающей волне может существовать разность фаз, которая
определяется только из пограничных условий (31), (32). Без наличия
этой разности фаз эти уравнения удовлетворены быть не могут.
Значение разности фаз проще всего получить следующим путем.-
Напишем, например (см. формулы (15) стр. 233)
Yr «= cos I\ t------------у------j + о j.
^a величина является действительной частью комплексного
Г2л <r sing/ + zcos q/ \ 8j
выражение
Сложим
Ве-в
А>Й = Е,;
*ОгДа Уг есть действительная часть выражения
2тс х Sin <?' -j- Z COS <p'
,, *F v vi
в,-г
(33)
(34>
В*..
240 Прозрачные изотропные тела[Отд. Щ,
«©держащего комплексную амплитуду Rs. Поэтому приращение фаза.»
входящее в Yr, можно представить, приравняв Yr действительной ча^
доказательной функции с комплексным множителем, равным комплекб|
амплитуде. Подобным же образом можно написать выражения для дру^|
^^электрических и магнитных сил, входящих в уравнения. J
Вместо того, чтобы иметь дело только с действительными части
комплексных величин, можно — в том случае, если мы имеем дело с j
вейПыми уравнениями или линейными дифференциальными уравнениями:
приравнять электрические и магнитные силы сначала самим комплексу
величинам и по окончании вычисления вернуться снова к действительн
частям для того, чтобы найти их физическое значение.
• Поэтому мы воспользуемся сейчас прежними выражениями (11), (J
<14), (15), (16), (17), (18), заменив входящие в них действителы
амплитуды Ер, Rs, Rp и т. д. комплексными амплитудами Е„ ‘
Rs, Rp, и т. д. и косинусы — соответствующими показательными фу
циями (см. (34)). Тогда на основании пограничных условий (31) и (
получаем (так как они должны иметь место для г — 0 и Хг ~ Хе 4-
•«1 = ае + аг Я Т- Д)‘ 1
(Ео— Rp) cos ср=Dp jcos % 4- (Уез | м)] ,
(Е, 4- Rg) = »g [1 4- cos 1],
<ES — Rg)K7c'Os?? = Dg[l/'7cos% — I— , | V j
(Ep4-RJ,)/e1 =Dp[/ea4-/yC0S% I |
Из этих уравнений нужно определить Re, Rp, Ds Dp через E„ 1
.Нас- существенно интересует только отраженный свет. Заменяя прея
ведение Тс через Л (длина волны соответствующего,рода света в пустота
•«а и2 через —- , получаем из (35):
____________________________________
ё;~
cos — р cos ф cos % — (I — <7^ sin2 * z)yre1f:i
_ Л
cos фУs2 + cos % у£1 {, %Х р cos ф cos х 4- G — ?е2sin2
Л
в? =
К
~ I COS ф COS X У— р 4“ ^2 si#2 Z
COS фУS1 — COS X У«8 4- г
cos ф]А7 4- cos х УГ2”+ i
Л -
Следует теперь принять во внимание, что члены, содержащие мно
"Тель i , являются очень малыми поправочными величинами, так
Поверхностные слои
241
я пропорциональны толщине I переходного слоя. Если поэтому выра-
жения (36) разложить в ряд, ограничиваясь только первой'степенью
^ношения > то получается.
________________________________
cos Ф У £а —COS^/^ С . 4л: , г— р cos2 / — к2 4- ?е22 sin2 % |
cos^yX-HoszKsi t Л. £а COS2 ф — fc'x COS2 Z I*
Ь = eos^lg-eos^ Ito ). (37)
Л cospjAi 4-cosz У е2 1 7 «icos2 <р — е2 cos2zj 7
Знаменатель поправочного члена во втором из этих уравнений никогда
не может исчезнуть, т. е. никогда не может иметь место ег cos2 <р = £2 cos2 %,
так как при £2 > £i всегда (р > %, а следовательно cos (р < cos х- Напротив,
знаменатель поправочного члена в первом из уравнений (37) может
обратиться в нуль, когда
cos <р == cos (38)
Это соотношение удовлетворяется для так называемого угла полной, по-
ляризации ф, определяемого по закону Брюстера tg_g> = п — это вытекает
из простого преобразования (38), так как |Л2 .'K£i — Для этого угла
падения получается из (37)или прямо из (36):
<=г“С08ф/81-
р cos2 z — Ч~ g£z2 sin8 %
(cos <р Уе2 4- cos % Уех)2
(39)
Выражение (37) можно еще больше упростить, принимая во внима-
ние закон преломления:
Sing?: Sinx = w = :УХ, (40)
откуда следует:
£j cos2 <p — e2 cos2 X ~ £i — £a,
£ _ 8 (41)
e2 cos2 (p — cos2 % — 1 Л (fij sin2 (p—e2 cos2 <p).
£3 J
' Природа отраженного света вполне определяется отношением В,: В₽.
Допустим, что падающий свет поляризован линейно под углом 45° к пло-
ск°сти падения1 (см. стр. 237). Тогда Ep==Es, и из (37) получаем (при-
Вймая во внимание (40) и (41):
Ь = _ cos(y + z) Ь . ; 4л . . COS ф Sin2 у |
Ч С08(ф —z) г"1" * £1~£2 £1 sin2ф — £2cos2ф J
г^е Для сокращения положено
rj=p — 4- £г) + Q£i£2- (43)
s Для угла полной поляризации tg <р = w (42) принимает вид
Д₽У Де—Оптика
к* = г^- ^€1+ег т
Re Д Cj €3
(44)
16
242
Прозрачные изотропные 'тела [Отд. III, гл.-
Это выражение легче всего получить из (39), если разделить (39) j
второе из уравнений (37) и ограничиться первыми степенями Л.
Для того, чтобы уяснить себе физический смысл формул (42) и (441
мы должны принять во внимание, что по обозначениям (33) :
В„=-В;-гдЛ а,. (4
где Вр и Вв суть амплитуды отраженных электрических сил, распор
женных соответственно параллельно и нормально г плоскости падения, а <
и б, — соответствующие им упреждения фаз по отношению к падающ!
волнам. •)
Поэтому
I'e
где с обозначает отношение амплитуд/, d - -относительную разность ф
двух составляющих. Поэтому по (44) для угла полной поляризации j
удовлетворяющего уравнению tg (р получаем '.J
л
т*
Q =
(<’
т. е. отраженный свет поляризован утке не линейно в плоскости падени
как было выведено нами при отсутствии переходного слоя, а эллипи
чески. Главные оси эллипса расположены в плоскости падения и но|
малтно к ней (стр. 207); отношение осей есть * Эту величину будем hi
зывать коэффициентом эллиптичности; на основании <43), (47) и (3(У
его можно выпазить следующим образом: ,
q = “ (4$
'' *-1 f 2 •/ l<’ vf
причем интеграл должен быть распространен по всему переходному (поверх
постному) слою .между двумя телами. •
По (49) q положительно, если диэлектрическая постоянная £ переход
ного слоя не выходит из пределов и £2 и если г2> ег Если же, однаю
в некоторых точках переходного слоя £ больше, чем £4 и £2, то о отрй
цательно при > е2. Положение меняется на обратное, если £2 > ej
т. е. если то тело, от которого свет отражается, преломляет слабее
В силу положительного направления амплитуды 11Р (см. рис. ^3
Из положительного знака коэффициента эллиптичности о вытекает, чт
в отраженном свете эллиптическая орбита светового возмущения будет!
пробегаться в наирав.н-нии, о шатнем часовой стрелке, если, стоя в пло4
скости падения, мы будем смотреть навстречу отраженному свету, и есл^
падающая электрическая сила идет из левого верхнего угла в нижний'
правый под углом 45° к плоскости падения. Напротив, при q отрицатель-’?
ном, при этом же положении падаюшей электрической силы отраженная
электрическая сила пробегает по своей орбите в направлении движения
часовой стрелки.
Поверхностные слои
из
(51)
П для любых других углов падения отраженный свет всегда поляри-
зован эллиптически, при линейной поляризации падающего света, так
как всегДа между составляющими р и $ возникает относительная разность
фаз Л, значение которой определяется по (42) и по (46):
te Л = 4 ~ п ____ ао)
X ' €lSiu2<p — e.COS29> 1 ' '
отношение амплитуд q мало отличается от нормального. значения
+ 0 (50
с COS (<Р — %) '
(которое мы получили бы при отсутствии поверхностного слоя), если
ограничиваться первыми степенями отношения Вместо (49) можем
также написать в силу (47):
у 1 4- п2 ~ п
Так как q очень мало относительная разность фаз приобретает за-
метную величину только вблизи угла полной поляризации, когда
tg р — п.
। Эти теоретические рассуждения получили полное подтверждение на
опыте. Прежде всего было замечено, чго при угле падения, соответствую-
i щем закону Брюстера (tg^ — п}, отраженный свет все же не вполне
поляриз' ван, так как его не удается полностью потушить при помощи
николя-апализатора. Исследование э !липтичности поляризованного света
при помощи анализатора и компенсатора (см. выше стр. 211) дает удовлет-
ворительное совпадение с формулами (50) и (51). _
Далее оказывается, что коэффициент эллиптичности q тем меньше, чем
менее отражающая поверхность загрязнена соприкосновением с посторон-
ними веществами. Так, q очень мало на свежих сколах кристаллов и на
поверхности жидкостей, если их непрерывно обновлять переливанием.
полированного зеркала q значительно больше. Изменение знака q при
замене тела 1 телом 2 и наоборот также вполне отвечает теории, равно
"как и ко, что при отражении от полированных тел q, вообще говоря,
ВсегДа положительно. Отрицательная эллиптическая поляризация наблю-
Далась до сих пор только у сравнительно слабо преломляющих тел—
плавикового шпата (п = 1,44) и гиалита (п = 1,42,. Действительно,
-’’Рицательную поляризацию можно, согласно теории, наблюдать именно
^ таких слабо преломляющих тел, показатель преломления которых меньше,
^Д^оказателъ преломления поверхностного слоя 1)-
Ми^2 ^«зависимо от полировального материала, поверхность всякого тела может хи-
рОдл\СКв отличаться от прочел массы благодаря, например, действию воздуха (кисдо-
пвре * аДс°рбции газов и .пр. А*ад. И. В. Гребенщиковым разработана обширная теория
‘При п°ДН0го слоя на оптическом сюкле, в значи’ельиой степени уясняющая явления
и т »ОлиР°вке» химическую стойкость стекла, его поведение при шлифовке и резке
пои я ^ост°Ронние слои можно наносить на стекло и искусственно, сильно меняя
отражательную способность стекла (Л. А. Лебедев и Н. Ф. Тимофеева).
16*
24А Прозрачные изотропные тела [Отд. III, гл. I
У хорошо очищенных, полированных стеклянных поверхностей пря
отражении в* воздух эллиптичность колеблется между q — 0,03 (тяжелы!
флинт с показателем преломления п = 1,75) и о — 0,007. У жидкосте!
при отражении в воздух q не превышает значения 0,01; у воды оно отри’
цательно и может быть при хорошей очистке поверхности сведено д<
значения 0,00035. Имеются также так называемые нейтральные жидко
сти—как, например, глицерин,—не обнаруживающие эллиптической поля
ризации при отражении. Из вышеприведенных теоретических формул дл
коэффициента эллиптичности, однако, вовсе не вытекает, что у таких жщ
костей поверхностный слой отсутствует, т. е. имеет место фактически
скачок диэлектрической постоянной при переходе из воздуха в жидкоси
Скорее можно допустить существование таких слоев,, диэлектрическая
стоянная которых имеет некоторое промежуточное значение, при услови
существования слоев с большей, чем у жидкости, диэлектрической постояв
ной.
При положительных коэффициентах эллиптичности (при отражена
в воздух) можно указать нижнюю границу для толщины поверхностног
слоя. Очевидно, при определенном положительном q мы получим наимень
шее значение для толщины поверхностного слоя, если его диэлекгричя
ской постоянной мы припишем постоянное значение, и притом такое, чт|
входящий в (48) множитель принимает максимальное зна*
чение. Это будет в том случае, если е =l/e1e2,т- е. если диэлектрически
постоянная поверхностного слоя есть среднее геометрическое диэлектр»
ческих постоянных обоих тел. Тогда по (48) для нижнего значения <
поверхностного слоя получаем
Т = Q • + = £____. (52
X л; }/'е1 -f- е2 У е2 — У /п84- 1’н — 1’ |
где п обозначает показатель преломления тела 2 по отношению к тел
1 (воздух). Так, для флинтгласа, при n = l,75, р = 0,03, Г. Я=;О,О171з
Таким образом достаточно принять весьма малую толщину поверхном
ного слоя для объяснения сильной эллиптической поляризации пр
отражении.
В теории Друде угол полной поляризации равен главному углупадеч
ния (см. ниже стр. 294), что однако не согласуется с опытом. СиссинЛ
£2 Я
и Гроссмюллер г), учитывая члены что необходимо даже при ничтожнЯ
тонких слоях, вывели формулы, являющиеся расширением теории ДрудЯ
и объясняющие и этот факт 2). 1
*) R. Sissingh u. Th. Groosmiiller, Phys. ZS. 27, 518, 1926. См. также независим^
вывод «формул, аналогичных формулам Друде: Strahan, Proc. Cambr. Phil. Soc.
®) Метод Друде подвергался серьезной критике — указывалось, что те же резул*^
таты могут быть объяснены деформациями поверхности тела, без допущения поверх*
постных слоев. Сводку литературы см. W. Konig, Metalloptik, Handb. der Physik
Полное внутреннее отражение 245
8. Полное внутреннее отражение. Рассмотрим опять случай, когда
свет падает из тела 1 на тело 2 и отражается от его поверхности. Если
показатель преломления п тела 2 относительно тела 1 меньше 1, то угол
преломления %, соответствующий углу падения <р, имеет мнимое значение,
если
Sia* = -^>1. (53)
При таких углах падения ср вообще нет преломленного света; весь
падающий свет полностью отражается (полное внутреннее отражение).
Чтобы в этих случаях иметь суждение о природе отраженного света
в зависимости от природы падающего света, будем поступать как в § 3
настоящей главы. Все вышеприведенные выкладки и окончательные фор-
мулы,— например,формулы (23) и (24) — могут быть переписаны и без
введения угла %, рассматривая sin % только как сокращение для sin <р\ п\
в формулах (22) и (23) cos/ можно заменить через
1 [Л sinI 2 * 4 ®
cosz = y 1------/-•
При sin <р > п это выражение имеет мнимое значение; для того чтобы
это стало более ясно, перепишем его, введя мнимую величину i—V—1:
(54)
Формулы (23) должны иметь место при всех обстоятельствах 2), так
как они выведены из общих пограничных условий при переходе света
через границу двух изотропных тел, а эти условия совершенно не зави-
сят от того, существует ли полное отражение или нет. Из формул (23)
получаем, однако, при помощи формул (54) для отраженного света ком-
плексные амплитуды даже в том случае, если амплитуды падающего света
действительны. На основе физического толкования комплексных ампли-
туд (стр. 240) следует заключить, что при полном внутреннем отражении
в отраженном свете возникают особые изменения фаз по сравнению с
падающим светом.
I (Gezger и. Scheel) 20, 252, 1927; М. Laue, Handbuch der Experimentalphysik (Wien
u- Harms) 18, 142, 1928.
В последнее время он получил широкое применение в металлографии при изуче-
нии невидимых пленок на металлах (пассивность, коррозия, адсорбция, катализ,
Миграция по поверхности и пр.); обзор см. JI. Тронстад, И -следование тонких поверх-
востей в ленок в отраженном поляризованном свете, перевод в „Успехи физических
ваук“ 14, 371, 1934. См. также Bouhet,Ann. de Phys. 15, 5, 1931 (пленки на жид-
4 вестях).
>х) cos х должен иметь мнимое отрицательное значение. Наши уравнения могли
быть удовлетворены как при положительном, так и при отрицательном мнимом
ачении clS£. Однако первое из этих решений можно было бы осуществить только
, Сгк» что физически тело 2 должно было бы представлять собой плас инку, с обеих
°рон которой свет падал бы под равными углами ф, — большими, чем угол полного
Утреннего отражения. Эго вытекает из соображений, разбираемых ниже в § 9.
г) Поверхностных слоев мы здесь касаться ве будем. При полном внутреннем
Ряжении они имеют весьма малое значение.
246
Прозрачные изотропные тела [Отд. Ш, гл
Дм/их вычисления выразим по (45) входящие в (23) отраженна
-_амплитугы через комплексные величины Rp -eisi>, Rs-el\ тогда, принима
во внимание, что К£г: — п, имеем в силу (23) и (54):
Е , ---1'1—Л,-еи« f +1),
e\ysin2<p — «2 / \ysin2 д? — н2 /
Е, _ Ч'\ = g . '—“!№’!— +
И \ j/sia2 <р — п2- п J x^sin2 <р — п2 п /
Для определения энергий отраженного света, т е. величин В* и
нужно умножить уравнения (55) на их сопряженные уравнения,
(5^
1
T. I
те, которые получаются из (55), если вместо i подставить — iJ). Тогд
получается:
™ (ЭД
s s’ р р ’
т. е. энергия отраженного света в точности равна энергии падающей
света (полное отражение): эго обстоятельство имеет место в отдельнося
для обеих составляющих р и-s. Я
Абсолютных разностей фаз <5S и <5р мы здесь касаться не будем; оя
носительная разность фаз А — др— <5К представляет, однако, некоторый ип
терес, так как по стр. 242 отсюда можно сделать заключение об орбите воя
лущения в отраженном свете. Деля оба уравнения (55) одно на другое
получаем, полагая Е8 — Ер (падающий <вет линейно поляризован шц
углом 45° к плоскости падения), причем тогда по (56) и JR* = Rp' )
г cos <р — у sin2 <р — и1 г (б3— sp) i cos <р -|~У sin2 <р — n'L
~ — е - — j - г—--. (57
г cos (р‘П + —[/ sin2 (f>—w2
—
i COS <р • п — |/ s п2 т—п2
п Т
Отсюда следует
ei -1 __ j (6i> ~~ — sin2 У 4- г cos 4 У sin2 <p--n2
sin2 (p — i cos sin2 g> — n2 ’
а следовательно
1 — eiJ — г cos срУsin2 <p—n2
1 -г Sin2 g>
Умножая это уравнение на сопряженное ему комплексное уравнение!
получаем, пользуясь соотношением
= 2 cos 4
, 1 — cos zl _/cos v/j/sin2 9 j (58)'
t. e.
tp- 1 i — cosf 2 s1q2
c' 2 Sins-
_
J) Каждое уравнение ме;кд • комядскскь’яи в'лччжз мо«ао заменить сопрЖ-
;генным ему комм лесным 'р;.ваеи>;ем, так как д. ё.тицтеаьянс- а иниаые части обеНЙс
< город уравнения должны быть ; а'ны друг другу в отденьн'стч.
§ 9] Проникновение света при полном внутр, отражении 247
Отсюда вытекает, что относительная разность фаз Д пропадает как
для скользящего луча (р = -~, так и для предельного угла полного
внутреннего отражения sin (р = п; для промежуточных значений угла
падения она отлична от нуля, т. е. отраженный свет является эллипти-
чески поляризованным, есш падающий свет поляризован линейно. Так
как из (58) после дифференцирования по <р вытекает:
____1 дД _ 2па — sin2 у (1 + па)
2 cos2-i-Л d(f> sin8 У sin2 n2
то относительная разность фаз Д принимает максимальное значение для
того угла падения <р', который удовлетворяет уравнению
sina^-^L. (59)
Максимальное значение разности фаз Д' получается тогда на осно-
вании (58):
^'=4^- . <6°)
Для стекла показатель преломления равен 1,51, следовательно для
п —1:1,51 (луч отражается не в воздух, а в стекло) по (59)
имеем </ = 51°20'; по (60) Д' = 45°36'.___________________~ _____.
Д в точности равно 45° для углов падения х/ ~Ч'\/
9> = 48°37' и 54°37'. Полому при дву- Ч х,
кратном полном внутреннем отражении под /м° ________/ \
одним из этих углов получаем луч, поля- Рис 94
ризованный по кругу, если падающий свет
поляризован линейно под углом 45° к плос-
кости падения, так что Es ~ Ер, так как в этом случае Д = 90°
и Rg = Вр. Такое двукратное полное внутреннее отражение можно:
осуществить при помощи так называемого параллелепипеда Френеля,
который представляет собою кусок стекла, отшлифованный, как это
указано на рис. 94. Когда свет, линейно поляризованный код углом 45°
к плоскости падения, падает нормально на боковую поверхность этого
параллелепипеда, выходящий свет оказывается поляризованным по кругу.
Подобным образом можно получить круговую поляризацию и при
Других углах падения, заставляя свет испытывать полное внутреннее
Сражение три, четыре и т. д. раз. Стеклянные параллелепипеды в
Эт°м случае должны быть вырезаны под другими углами, например, при
п = 1,51 под углами 69 12", 74°42' и т. д.
9. Проникновение света во вторую среду при полном внутреннем
глажении. Предыдущие рассуждения относятся только к отраженному
е?У. Однако световой вектор отличен от нуля и во второй среде, так
JK уравнения (23) на стр. 234 дают значения для Ds, Dp, отличные от
Яя. Правда, при возрастающих значениях я, т. е. при распростра-
нении света внутрь пограничного слоя, амплитуда быстро падает, так
248 Прозрачные изотропные тела [Отд. III, гл. Ц
как по (16) и (18) на стр. 233 электрические и магнитные силы во второй
среде пропорциональны действительным частям комплексной величины:
2л / с xsinx + zcos* \
е < (61)
которую можно, заменяя % прежними уравнениями (53) и (54), иначе
написать так:
2л 1 /" sins <? . 2л /1 'х sin <р \
е -ТУ2’И П2 г/т[ пъ (62)
Однако для тех значений z, которые не бесконечно велики по срав-
нению с длин 'й волны TV2 = Л2 во второй среде, амплитуда не равна,
в точности нулю.
Здесь наблюдается кажущееся противоречие с тем, что энергия от-^
раженного света должна быть в точности равна энергии падающего^
света: откуда же в этом случае получается энергия преломленного света?!
Это противоречие разрешается, если ввести в рассмотрение' потоку
энергии через пограничную поверхность. По формулам (24) на стр. 227!
этот поток равен: <
V % dt - dt f (/?2Х3 - а2У2) dS, (63);
так как здесь
cos (пх) — cos (пу) = 0 и cos (nz) = 1. i
Если теперь представить электрические и магнитные силы как действи-
тельные части тех комплексных величин, которые получаются из правых!
частей формул (16) и (18) на стр. 233 в результате замены множителя*
2л ’Я
cosy(t...) через е , то легко видеть, что в силу наличия|
множителя cos /, который по (54) является чисто мнимым, а2 приобретает!
разность фаз — относительно Т2, а /?2 — разность фаз — относи-|
тельно Х2, так что, если написать
Y, = acos(2?+«).
где а и д уже не содержат времени, магнитную силу а2 можно выра-
зить следующим образом:
a3 = a'-sin(^-‘ + 4
Если по (63) составить выражение для потока энергии за период от ’(
1 = 0 до t = Г, то в результате получим интеграл ’
9] Проникновение света при полном внутр, отражении 249
равным образом пропадает интеграл fi2X2dt. Таким образом в сумме
в течение целого колебания из среды 1 в среду 2 энергия совсем не
проходит. Поэтому в отраженном свете заключена вся энергия падающего
света.
Что через плоскость XZ энергия не проходит, является вполне понят-
ным по формуле (62), которая выражает волны, распространяющиеся
вдоль оси OX. II действительно, по формуле (24) на стр. 227 мы получим
поток энергии в теле 2, если примем, что направление потока (т. е. п)
параллельно оси ОХ. Поэтому на одном конце падающей волны (при от-
рицательном х) некоторое количество энергии должно пройти в среду 2;
волны в этой среде непрерывно переносят эту энергию к другому концу
волн в среде 1 (при положительном ж).
Эти волны непостоянной амплитуды обладают вместе с тем другой
особенностью: они не поперечны. Действительно, из (62) следует, что
они распространяются вдоль по оси ОХ: если бы они были поперечны,
Х2 должно было бы быть равным О. Однако это не наблюдается. Здесь
нет никакого противоречия с опытами Френеля-Араго, которые мы при-
водили выше как доказательство поперечности световых волн, так как
эти опыты относятся только к плоским волнам, т. е. волнам с постоян-
ной амплитудой.
Картина того, что происходит во время «полного» отражения, в значитель-
ной степени разъясняется при применении метода, предложенного А. А. Эйхен-
' вальдом. Последний, определив силовое поле световых волн, вычерчивает
для какого-нибудь момента времени вид силовых линий. Например, на рис. 95
мы имеем изображение (пунктиром) электрических линий сил, лежащих
в данном случае в плоскости падения. Магнитные линии тогда нормальны
к чертежу. Вектор Пойнтинга, дающий направление потока энергии, в
каждой точке перпендикулярен к обоим указанным направлениям. Сплош-
ными линиями даны на рисунке линии этого потока. Отсылая за под-
робностями этой картины к статье самого автора J), обратим внимание на
то, что во второй 1 нижней) среде -энергия течет кривыми путями, не за-
ходя далеко от границы, в среднем — вдоль последней; в одной части
волновой картины она входит во вторую среду (слева), в другой (спра-
ва)—целиком выходит из нее назад в первую.
Доказательством того, что и во второй среде при полном внутреннем
t отражении световой вектор отличен от нуля, считается опыт Квинке,
в котором эти волны непостоянной амплитуды снова превращаются в
обычные волны постоянной амплитуды. Согласно методу, предложенному
еЩе Ньютоном 2), Квинке сложил две прямоугольных призмы гипотенуз-
выми поверхностями; одна из них была слегка выпуклая. Прижимая
призмы тесно одна к другой, можно было видеть, что свет, пущенный
па один из катетов, проходит насквозь не только через точку соприкос-
°вения, но и вокруг нее, в точках, где поверхности удалены друг от
fer х) 4. Эйхенвалъд, ЖРФХО, часть физическая, 41, 131, 1909; см. также Cl. Scha-
ll Gr. Gross, Ann. de Phys. 32, 648, 1910.
ruo Лъютоп, Оптика, книга 2, ч. I, стр. 151 (Классики естествознания, книга 1Т,
1927).
350 Прозрачные изотропные тела [Отд. III, гл;
друга, правда .на весьма малое расстояние, поря'ка длины волны. Так|
образом при очень тонком слое тела 2, помещенном между двумя пл,
станками тела 1, полного внутреннего отражения наблюдать нельзя;:
оамом деле, когда мы в конце концов в пределе положим толщину пр<
$
слойки равной нулю, падающий свет должен будет проходите беспрсия^
ственно, т. е. без отражения, так как однородность среды вообще ничей
не нарушена. Раз тонкая прослойка тела 2 остается ; розрачпол-Ж
тогда, когда угол падения больше п едельпого, энергия отраженною
света должна уменьшиться. Все подробности это о явления можно nqJu’
Распределение света в кольцах Ньютона 251
0ТЬ теоретическим путем, е.-ли применить для обеих границ прослойки
2 выведенные выше (стр. 226) общие । ограничные условия (21)J).
Проникновение свсга во вторую среду было доказано также и на
ряде ДРУ их опытов 3)> таким образом о полном внутреннем отражении
в строгом смысле этого слова, т. е. о полном отсутствии энергии во
вТОрой среде говорить не приходится.
10. Опреде.1 ние показателя проломления по полному внутрен-
нему отражению. Когда пучок света падает из среды более преломляю-
щей вереду менее преломляющую, то при увеличении угла падения насту-
пает полное внутреннее отражение, сопровождающееся почти внезапным
усилением отраженного света и полным исчезновением преломленного.
Следует, однако, заметить, что кривые энергии для отражен- ного и для
преломленного света в зависимости от угла 1.адения <р не испытывают
разрыва при равном предельному углу полного внутреннего отражения;
все же изменение их в этой области происходит настолько быстро, что
имеет вид разрыва; на этом основывается метод точного определения по-
казателя преломления (тотальрефрактометр).
Так, для стекла с показателем преломления те = 1,51 мы имеем сле-
дующую зависимость отраженной энергии Р~ от угла падения у (пола-
гаем ~ 1, С есть разность между (р и предельным углом полного
внутреннего отражения в минутах):
I ,
I о'
(',74 0,64 0,53 0,43 0,25
Ь. Распределение света в кольцах Ньютона. Вычислим энергию
отраженного и проходящего света для пластинки с диэлектрической по-
стоянной и толщиной а, помещенной в среду с диэлектрической по-
стоянной е,. Пусть первая пограничная поверхность пластинки, обращен-
ная к падающему свету, будет плоскость ХУ, а вторая — плоскость
0Z д.
в целях упрощения предположим, что свет падает нормально; тогда
падающего света
. 2л / z X
1 Р \ Vi)
А'е~0> . 2=0. (64)
Io, что мы полагаем Хе ~ 0, не является каким-либо ограничением,
как при нормальном падении все результаты, имеющие место для
^яьяющих светового вектора по у, в том же виде применимы и к со-
-^ЯЯЮЩИМ ПО X.
РЬучД J • Dre.,de, То ialre flexion au diinnen Lamellen, Winkelmann Handbuch der
зУ у 1275. 1ГЮ6.
Laue i 'ч* Handbuch der Physik [Geiger u. Scheel). 20. 235, 1928; M.
’ • tadbucn der E ^pernnentalphysik (Wien u. Harms) 18, 156, 1928-
252
Прозрачные изотропные тела [Отд. III, гл.
По формулам (14) стр. 232, если электрическая сила представле!
выражением (64), для падающей магнитной силы должно иметь мес:
. 2л / (_
о# = -В/71.е М . ^. = 0. 7, = 0. (6!
Для отраженных электрической и магнитной сил в среде 1 имев
(см. формулы (15) и (17) стр. 233): (
• 2л: Л _ 2 \ < i
Xr = 0, Yr = ReT[ ™ ,Zr = 0, ;
П (
т>,/~ 1 V+vJ я п П
ar — By , рг== О, У, = 0. :
На обеих границах имеют место многократные отражения и преломлеш
(см. выше стр. 118). Нет необходимости, однако, рассматривать их по о
дельности, можно сразу ввести в вычисления суммарный эффект *). (
заключается в том, что в пластинке волны распространяются пополож
тельной и по отрицательной оси OZ.
Для первых имеем:
а для вторых:
* -2л: Л 1 2 \ 1
P + v)
Х" = 0, Y" = D"e ,Z" = 0,
.2л / z\
г~г (* +у;)
а" = O")/s2 е 1 , 0"=О, у’=0._
Для суммарного эффекта всех волн, прошедших через
пусть будет
.2л I z \
г Т \ Vi)
Хй=0, Yd — De Zd = 0,
.2л /___z\
т[ ,Л = 0,П = 0. .
<61
пластинкЯ
(4
На обеих границах (г = 0 и г — d) мы должны применить пограничнЯ
условия (21) стр. 226; в данном случае они принимают вид:
"Ь Yr — Y' Y", % + аг~ а' + а" (при z = 0), (7^
Tz + Y* = Yd> a'-j-c/'xx ad (при z = d). (7^
---------------- A
*) Выражение (66) тоже должно выражать суммарный эффект всех отдельны!
серии волн, распространяютнхся в среде 1 по отрицательной оси OZ.
Распределение света в кольцах Ньютона
253
011
g3 пограничных условий (70) вытекает:
E + R^D' + D”, (Я——Z)*)]<r2, (70J
а из (71)
р ip + D"e+ip = De~ (jye~ip — В"е+ip) у % = De~l(l Уё1г (71')
где p и g суть сокращенные обозначения:
d d 2?t d t\ d /new
? = = = (72)
Из (71') следует
(D'e-ip + D"e+ip) Y°i = (D'e“ip — D"e+ ip) ,
откуда можно вывести
O'e-ip (Y't -= D‘e+ip (/e- + Y^i). (73)
Из (70') вытекает
Е+В_ 1У + Р" УТ, В _ Д'(/7-1/,~) + Д"(/7+У7)
E-R D’—D" ’ Е !>• (Vel + Ye^ + I>" —
В силу (73) это последнее отношение можно переписать так:
R = (e+iP-e-iP) (£1 —s2)________=
Е e+ip(1<- + y-e2)2_e-W(y-ei
________i sin р » (ег — 8а)__
i sin р (gl + е,) 2 р'Х sa • cos р
Чтобы получить энергию Ег отраженного света, надо перемножить послед-
нее уравнение с сопряженным ему комплексным уравнением (см. стр. 246).
Таким образом получаем
тр тр sin2 р (gl e2)2 _ ip sin2 р (1 — п8)а_
r~ sin2 р (gjl — gj})2 + 4^82 е Sin2 р (1 — ft3/ + 4n8 ’ 1
где Ee обозначает энергию падающего света, а п—показатель преломле-
ния пластинки 2 относительно среды 1, причем е^.е-^п2.
Далее, из (70') и (71') легко вывести
=_____________4/^ _________=
Е eip + y^~e-ip (Уъ-у^)г “
___________2 У8t gg_______
i sin p (gl + 82) 2 УХ g2 cosp ’
что для энергии Ed прошедшего света получаем г):
<75)
1) Подставляя в
P^ea^jj на СТр 132
/1 — п\2
эту формулу г2 = (7j~T—) (см. формулу 26), приходим к вы-
254 Прозрачные изотропные тела [Отд. III, гл}’
-------—---------------------------.------ - - ——
Таким образом имеет место соотношение >5
. Е 'Ел (И
чего можно было ожидать заранее, так как пластинка внутри себг> cB©j
не задерживает. ' *
По (74) отраженный свет полностью пропадает дли значений р <
л, 2л и т. д., т. е. для толщине^ d 0, * л3} <>, -|й2 « т. д., что а
ходится в полном соответствии с результатом, выведенным выше [стр. 1|
формула (17)]. Максимальную энергию мы получаем при sinp =;
Тогда Ег= 1!1РИ WMMbH0M отражении только от одной гр;
ницы Ег~-= (по формуле (26, на стр. 236)].
Если в качестве средин 1 и 2 взять воздух и стекло, то е ? 1,Я
В кольцах Ньютона срединами 1 и 2 являются стекло и воздух, т. а
п~ 1:1,5. В обоих случаях формула (74) принимает вид ]
F _ л 1
5 % sin2 • 1,56 1 О' j
Мы можем поэтому в знаменателе (74) приближенно пренебречь v-noi
sin’2 р (1 — п2)2 по сравнению с 4.ч2, так что для такой точки прибор!
Ньютона, в которой толщина воздушной прослойки равна d, получаем (
Е Е -ЕЕ у sin’ 2л (J7'
г « , :'n j л
если через Е1
/1 есть длина волны о воздухе. При. белом свете,
обозначить энергию падающего‘света длины волны Л, получаем для от-
раженной энергии: 1
Е • — .fLj V Esin-2л:-.- • 78j|
r 2/i ! Л Л 'I
(дисперсию, т. е. зависимость п от л, мы здесь во внимание не при-5
нимаем). 5
Поэтому цвета тонких пластинок суть смешанные цвета, получающиеся*
в результате наложения чистых цветов [ио формуле v78)j. j
12. Неоднородные тела; искривление лучей енота. Рассмотрим еще'
вкратце оптические свойства неоднородного тела, диэлектрическая иосто-'
явная которого г есть функция координат точки х, ц, г. Наиболее после-
довательно было бы интегрировать дифференциальные уравнения (18)
(стр. 226), имеющие место и для ер од породных тел, причем s должно быть Я
задано как функция Таким путем можно было бы определить Л
как путь лучей, так п отражения, необходимо имеющие место внутри я
неоднородного тела. Но даже при самом простом виде функции г .иот Д
путь чрезвычайно сложен; до сих пор еще никто по нему не шел.?'*!
В большинстве случаев ограничивались тем, что определяли ход луча по |
закону преломления Снеллиуса или по прЕЬНципу Гюйгенса, что сделать 3
очень легко, если представить себе, что среда состоит из тонких одно- . j
•1
Дифф, ур-ния и пограничные условия
иных оболочек различного показателя преломления. При непрерывном
Р°: изменении луч, разумеется, должен искривляться. Хиз 3) вывел для
радиуса кривизны луча q в точке Р выражение
- = d>P. (19)
q av} 4 '
где v обозначает направление наибольшего изменения (падения) показа-
теля преломления п.
При помощи этого уравнения можно объяснить явление миража, наб-
людаемое при аномальном распределении плотности воздуха над поверх-
ностью земли, например,—-над сильно накаленным песком 2). В этом случае
ва известной высоте вад поверхностью земли показатель преломления
воздуха п имеет максимальное значение. По (79) в этой точке должно
бьыь q — со, т. е. луч имеет точку перегиба. Поэтому в глаз наблюда-
теля могут лопает от одного предмета два различно направленных луча,
и наблюдатель видит два предмета — один в прямом виде, а другой в
перевернутом 3).
Интересное применение теории искривленных лучей к вопросу о стро-
ении солнца было сделано Л. Шмидтом; он показал, что шетящийся га-
зовый шар размеров солнца, плотность которого возрастает непрерывно
по направлению г. центру, должен л редел являться в таком же виде, как
и солнце, т. е. иметь кажущейся резкую границу. Действительно, падаю-
щие на шар лучи света, исходящие из какой-нибудь точки пространства
под некоторым определенным утлом <р, будут отклонены во внутрь газо-
вого шара и несколько раз обойдут около его центра; они проникнут
при этом до таких глубин, где уже испускается сплошной спектр, что
возможно в накаленном газе при достаточном давления. Те лучи света,
которые падают на шар под большим углом зрения, чем <р, удаляются
от шара, не проходя через сильно светящиеся слои. Поэтому солнце
представляйся в виде диска, видного под углом.зрения с резкой гра-
ницей, несмотря на отсутствие резкого скачка плотностей.
г л ?. в л ш
ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОЗРАЧНЫХ КРИСТАЛЛОВ
К Дифференциальные уравнения и пограничные условия. Глав-
ное <гг.;щ <!г кристалла от изотропного тела заключается в том, что*
свойства его различны по различным направлениям. Характерные
Св°Йсчва какого-нибудь тела в электромагнитной теории определяются
’) Heath, Geon Optik Berlin 1894. отр. 363.
D В кусе;вен ый мираж был воспроизведен Шгом. См. его Физическую оптику..
НсЬ гее об лих вопросах е.г. В. Straub el, Di&plrik in Medion mit kontinuier-
Л ,Vai' Wen> Bn ch nips’ nd ex. llandbuch dcr physik. U, iik : Gehrke.), I, 219, 1927;
chu u- I'- Die astronoinisJie, and lei’’estrisehe Strahlenbre-
ibm^’ Onl. 2'37; /•; ►. Everdiaaen, Anomalini der tenesirisUx n Stralilenbrechung,
rime Medion nnt vceanderlichem Hrcchangsindex, II mdbuch der Expe-
ipijysik ( Wien u. Harms), 19, 343, 1928.
256 Оптические свойства прозрачных кристаллов [Отд. III, гл. 1|
исключитеаьно его' диэлектрической постоянной, если оставаться при npei
положении (стр. 224), что магнитная проницаемость всех тел всегда 1J
Пересматривая предыдущие (стр. 224) выводы дифференциальных ура^
нений для изотропного тела, мы видим, что характерные свойства та|
т. е. его диэлектрическая постоянная, входят только в уравнения (17)
уравнения (7) и (11) применимы и к кристаллам, как уже было отмв
чено выше. Поэтому развитию подлежат только уравнения (17), так к&|
в кристалле диэлектрическая постоянная зависит от направления элем
рических силовых линий. Наиболее общее выражение для уравнений (1Т
могло бы иметь следующий вид: 1
. • dX , dY , dZ
. . дХ , dY , dZ J
4я^ = £21-^- + б221Г4-б231?, (Г
, : QX.dY.dZ i
=ез17Г +e32"^+e33-dT, I
так как слагающие тока должны во всяком случае быть линейным!
функциями ~. Из этой системы уравнений (1) вытекает, чт<$
вообще говоря, направление линий тока в кристаллах не совпадает с на,
правлением силовых линий, так как, если, например, только X отлична,
от нуля, то и jy и /г все же не равны нулю.
Прежняя формула (23) на стр. 227 для потока энергии получается пу-
тем умножения уравнений (9) и (И)
4л • dy dft 4л _____дУ___dZ
с ду dz ’ ’ ’ ‘ ’ с х dz dy' ' * * -
«охраняющих свое значение гво всех случаях, на Xdz,.. .adz и интегри-i
рования по dz (dz — элемент объема). В результате получается «
+ —/ (sxa + + V) & « ~ 4- f &dT>
где <5 есть энергия элемента объема dz. Эта формула применима также
и к кристаллам, так как характерные свойства среды в нее не входят.
Поэтому для изменения электромагнитной энергии <5 единицы объема
•со временем получаем соотношениее
д<5 •
Ц = ^Х + jy Y + jzZ + sxa + s^ + szy.
Последние три члена этого уравнения представляют собой произво-'
дную по времени, так как вторые три уравнения (17) стр. 225 должны
иметь место и здесь (при ^ = 1): а именно, ?
а + svp + szy = —- — (а3 + Р + у2).
ДиФФ- ур-ния и пограничные условия 257
Следовательно и сумма
jxX^jJ + jsZ
0Jge должна представлять собою производную по времени; для того,
чТОбй по уравнению (1) это могло иметь место, необходимо, чтобы
были удовлетворены следующие условия:
£21 == е12> £31 = S13, £аз S= £за. (2)
Тогда для той части энергии, которая зависит от электрических сил,
имеем
<Si= ^(£цХ2 + гмг’2 + ^ + 2базУ2+ (3)
+ 2е31/Х + 2е1аХУ).
Путем преобразования воординат можно <5Х привести к канониче-
cBgMy виду
Ь = (4)
При таком выборе координатных осей пропадают, следовательно,
члены еАЛ, и уравнения (1) принимают более простой вид:
Л _ £1 дХ _________ _ S2 9^ .• _ ез /Е\
4л dt * У 4л dt ’ 4л dt * '
Эти координатные оси отличаются таким образом тем свойством, что
вдоль по ним направление электрического потока совпадает с направле-
нием электрической силы. Будем эти оси называть осями электрической
симметрии, так как по своим электрическим свойствам кристалл является
симметричным по отношению к трем взаимно-перпендикулярным плоско-
стям, проведенным через эти три оси. Величины £ь е2, е3 имеют
значение диэлектрических постоянных в том случае, если направление
электрических сил совпадает с направлением одной из трех осей элек-
трической симметрии; будем их называть главными диэлектрическими
постоянными.
Как было уже упомянуто, мы не будем вводить представления, что
в кристалле магнитная проницаемость заметно отличается в различных
направлениях. Строго говоря, на самом деле это не так, и это можно
заключить из того, что шарики из кристаллического вещества стремятся
Устанавливаться в сильных магнитных полях в определенном направле-
йии; но для световых колебаний такое допущение сделать можно, не
йх°дя в противоречие с опытными данными,—на том же основании, на
т^ком выше при рассмотрении изотропных тел мы просто положили маг-
вИтиую проницаемость равною 1 О-
д В дифференциальных уравнениях (18) на стр. 225, имеющих место
д я изотропных тел, нужно поэтому ввести только те изменения, которые
иолп* ^еретическое обоснование того, почему для световых колебанжй всегда можно
®вть д = 1, будет дано в главе ¥П.
Др уде—Оптика 17 '
258 Оптические свойства прозрачных кристаллов [Отд. III, гл, I
вызываются различными значениями диэлектрической постоянной пора
личным направлениям. Диэлектрическая постоянная входит только в перв!
три из этих уравнений, из которых вытекает пропорциональность эд
ду дЗ гг
ктрических составляющих тока величинам ~ — ~ и т. д. Так каке
ставляющие тока в кристалле даются уравнениями (1) и (5), то значив
если принять электрические оси симметрии за координатные оси, щ
дифференциальных уравнений (7) и (11) [стр. 221, 223] электромагни
ного поля в кристалле, имеющих общее значение, получаем:
dX__ ду д/3 е, dY_____ да ду е3 dZ______ dfi_да
~с dt ду dz ’ с dt dz дх * с dt дх dz*
1 да dY dZ 1 дЗ dZ дХ 1 ду дХ dY „
С‘ dt dz ду * с dt дх dz ’ с dt ду дх *
А
Для произвольной координатной системы уравнения (6) следовало б;
заменить другой системой
1 / дХ . dY . dZ\ ду dfi
it я ъ д'
Пограничные условия, которые должны быть удовлетворены на гр®
нице двух соприкасающихся кристаллов или кристалла и изотропно)
среды (например, воздуха), можно получить на основании тех же сообра
жений, которыми мы пользовались при их выводе в § 8, главы I (стр. 257'
они требуют непрерывности параллельных границе электрических и ма£
нитных сил при переходе через границу.
2. Световой вектор и световой луч. Уже при рассмотрении изо
тропных средин (стр. 235) мы видели, что можно получить формальн
различные законы оптических явлений, смотря по тому, что принимат
за световой вектор — электрическую или магнитную силу. Во всяком ел/
чае на опыте мы получаем при обоих представлениях одни и те ж
результаты, если оставить в стороне явления, наблюдаемые при образе
вании стоячих волн. То же самое мы имеем и здесь, в кристаллооптика
только здесь выступает еще третья возможность — принять за светово
вектор электрическое смещение. Его составляющие тогда будут пропорцио
нальны , е^, е3^. Таким образом мы получаем три теорш
кристаллооптики,, формально друг от друга отличающиеся,, как в отно
шении к положению светового вектора относительно плоскости поляри
зации, так и в отношении расположения светового вектора относительна
нормали к волне в случав плоских волн. Что касается последней, то н^
основании вышесказанного (стр. 231) вытекает, что световой вектор рас-.;
положен перпендикулярно к нормали к волне в случае плоских волн,)
т. е., что плоская волна поперечна, если ее составляющие, которые мы;
обозначим хотя бы через и, v, w, удовлетворяют дифференциальном/'
уравнению: /
^ + ^+^ = 0. (й
Световой вектор и световой луч 259
Дифференцируя уравнения (7) по х, у, z л складывая, получаем,
с0Вершенн° так же, как выше на стр. 228:
т е. волны сохраняют поперечность, если за световой вектор принять
магнитную силу.
Поступая подобным же образом по отношению к трем уравнениям
| (6), получаем
" д ( дХ\ . д / dY\ . д I dZ\ Л
аД1 dt)+ ду \ 2 dz ~ О’ (Ю)
т. е. поперечность волн получается и в том случае, если за световой
вектор принять электрический поток.
Напротив, если считать за световой вектор электрическую силу, то
волны оказываются не поперечными, так как в силу последнего уравне-
ния вследствие различных значений еь е2, е3 получается неравенство
—4- —^0* (11)
дх ду dz I11'
Плоскость поляризации проходит через направления нормали в волне
и магнитной силы, что уже было нами установлено на стр. 235 для изо-
I тропных средин.
Таким образом формальные различия трех возможных кристаллоопти-
ческих теорий сводятся К следующему:
1) За световой вектор принимается магнитная сила. Плоские
волны поперечны, световой вектор лежит в плоскости поляризации (меха-
нические теории Неймана, Кирхгофа, В. Фохта и др.).
2) За световой вектор принимается электрическая сила.
Плоские волны не строго поперечны, световой вектор почти нормален к
плоскости поляризации (механические теории Кеттелера, Буссинеска,
'Рэлея и др.).
3) За световой вектор принимается электрическое смещение.
Плоские волны поперечны, световой вектор расположен нормально к
плоскости поляризации (механическая теория Френеля).
Эти формальные различия трех теорий на опыте проявиться не могут,
так как — как это всегда имеет место при кристаллооптических явле-
Ниях, например, при прохождении света через кристаллическую пла-
стинку — действие света в конце концов наблюдается только в изотроп-
®°® среде и притом в прогрессирующих (а не стоячих) волнах. Необхо-
только решать каждую задачу вполне строго, т. о. с учетом погра-
^пых условий.
^Тогда подлежащая рассмотрению система дифференциальных уравне-
® и пограничных условий является вполне определенной; для электри-
Но?°® силы в изотропной внешней среде получается вполне определен-
вит ^ешение» независимо от того, что принимать за световой вектор
nnw Й кристалла; если в изотропной внешней среде за световой вектор
Ржаймается магнитная сила, а не электрическая, наблюдаемые резуль-
k П*
260 Оптические свойства прозрачных кристаллов [Отд. III, гл.
таты получаются такие же самые, так как в силу основных уравнещ
энергия прогрессирующей магнитной волны всегда равна энергии др
грессирующей электрической волны.
Таким образом преимущество электромагнитной теории заключает!
в том, что она охватывает сразу несколько формально различных теор$
и показывает, почему они должны привести к одному окончательно^
результату.
Световой луч мы определяем по стр. 227 как путь, по которому пер
носится энергия. По данной выше (стр. 257) формуле для электрома
нитной энергии в кристалле и здесь име т место прежняя формула (i
(стр. 227) для потока энергии. Направляющие косинусы светового лр
таким образом пропорциональны величинам fa, Л, fe (формула (25
стр. 227).
Таким образом световой луч направлен перпендикулярно электрич
ской и магнитной силе. Поэтому в общем случае он не совпадает с но]
малью к плоской волне, так как эта последняя в силу неравенства (1:
не перпендикулярна электрической силе.
3. Закон Френеля для скорости света. Чтобы найти скорое!
света в кристалле, составим на основании основных уравнений (6) и ('
такие дифференциальные уравнения, которые должны содержать толы
электрическую, или только магнитную силу. Первый результат мы поц
чим, если продифференцируем три уравнения (6) по t и подставим вмес!
„ да д/3 ду
появляющихся в правой части величин ~ их значения из ура
нений (7). Тогда мы получим из первого уравнения (6): '
ед а /эх a /az ’
с2 dt'2 ду \ ду дх J dz \ дх dz J >
Правую часть этого уравнения можно написать в более симметричном ви(
(1
с2 dta —дх ' ду "г- dz)‘
Подобным же образом получаем из двух других уравнений
Л?AZ =9/1У______& fdX 1 I )
с2 dt2 ду \ дх * ду' dz) ’ I
с2 dt2 dz \дх ' ду ' dz} ’ J
Что бы мы ни принимали за световой вектор, это, по сказанному в прей
дущих папаграфах, отразится лишь формальными различиями. Чтоб
притти к френелевской теории, положим, что электрический вектор пр!
порционален электрическому смещению, и напишем для составляющЯ
u, v, w светового вектора в случае плоских волн следующие выражений
и = е*х = Amt cos (t- +
v = e2F = An, cos^
w =x e3Z = Apv cos
mx + ny -|
mx 4- ny 4
(1
1U-
Закон Френеля для скорости света
261
Притом должно иметь место
т2 + п2+р2 — т2 + п2+р2== 1. (14)
Здесь А обозначает амплитуду светового вектора; т„ nv, pv направ-
ляющие косинусы светового вектора относительно координатных осей
(электрические оси симметрии); т, п, р — направляющие косинусы нор-
мали к волне, V — скорость света, измеренную в направлении этой нормали
- (так называемая скорость по нормали). В силу уравнения (10) имеет
место соотношение.
mvm + п,п + pjp = 0, (15)
служащее выражением поперечности волн.
Подставляя значения (13) в (12), получаем (здесь вместо с пишем С):
__ чп9 . ш . п„п ,ptp\
Jca~~ ех72 72 ( £1 'f' ' e3 /'(
i nv __ n„ imvm .nvn _,pvp\ \
I C2~ s272 74 £1 ‘‘‘«Л «з/’(
\pv _ pv v (mvm.nvn pvp\ I
C2 ss72 7» k £1
Умножая эти уравнения на С2 У2 и полагая для краткости
Ca:ex = a2, С2:е2 = Ъ2, С^.е^с2,1) (16)
a2mvm b2ntn -f- c2ptp = G2, (16z)
получаем.
mt(a2 — V2)=mG2, n,(b2—V^nG2, pt(c2—V*) =pG2, (17)
T. e.
(Щ
Перемножая эти три последних уравнения на т, п, р и складывая,
получаем в левой части аначение - нуль (в силу соотношения (15)), так
что, отбрасывая множитель б?2, имеем
т* _1_ - п*. — Л
а2^уг> С2_7а“"и* VВ * 10/
Это уравнение второй степени относительно Г2, зависящее от т, п, р;
таким образом для каждого определенного направления нормали к волне-
поучаем два различных значения скорости света. Формула (18) назы-
вается законом Френеля.
Для т = 1, п = р = 0; для скоростей света получаем: 7ха = Ъ2, V/ »
• Значит, в том случае, когда нормаль к волне совпадает с одной
электрических осей симметрии кристалла, скоростями света являются
J ® из величин а, Ъ, с. Эти величины а, Ъ, с называются поэтому
явными скоростями света.
От же закон скоростей получается и в тех случаях, когда за свето-
-^JOKTop принимают электрическую или магнитную силу.
В об2Луква с входит в этой книге таким образом в двух различных значениях.
»е М Сл^чае с ^означает скорость света в пустоте. Только в кристаллооптике'
Личину будем обозначать через О; с здесь имеет значение С: ]/е8.
262 Оптические свойства прозрачных кристаллов [Отд. III, гл.
4. Направление световых колебаний. Каждому направлению норм?
соответствуют две волны, распространяющиеся с различными скоростя
Характеристичные величины, напримр электрическое смещение, в э:
волнах расположены совершенно определенным образом; каждой из дв
волн соответствует свое расположение.
Обозначая величины, относящиеся к двум волнам, индексами ' и
получаем из (17') для расположения светового вектора:
,_____т . п р
• Pv ai____уч • &a_уч • ca_уч > |
1 (1
O,"#," = •• r*.: c< 2 y* j
Таким образом при данном направлении нормали могут распространят!
только две линейно-поляризованные волны, поляризованные взаи»
перпендикулярно; в самом деле, из (19) вытекает:
т,'т,’ + р/р," ~ (а,_ г>да,_ г„,, + . . . С
Но
т2 . m2 / 1 1 \
(аа_ 7'2)(а2_ р/2) ~ уч_~ угп. ^а2_ уч — а2._угч) > ;
так что левая часть (20) пропорциональна
1 ( т2 . п2 .
~уч___ угп | а2_уч Г J2___уч “Г
। р2 т2 п2 р2 )
' с2 — У'2 — а2 — V"2 ~~ Ъ2 — V"2 с2 — V"2 } ’
Но так как и 7 и 7 удовлетворяют уравнению (18), то все выражв!
равно нулю.
Следовательно световой вектор т/, nvr, pj перпендикулярен веки
р"-
Скорость света есть однозначная функция направления колебан]
так как френелевский закон (18) может (принимая во внимание (1
45ыть написан так:
(а2 — р) т* + (Ь2 — 72) п*,+ (с2 — 72)р,2 = О,
т. е., в виду того, что »
т2 + п*+р2=1, '
72 = а2т2 4- Ъ2п2 + с2р2. (18
5. Поверхность нормалей. Чтобы составить себе наглядное предста
ление о том, каким образом скорость света изменяется с направлена
нормали к волне, полезно нанести обе скорости света как радиус:
векторы на всех возможных направлениях нормали, от какой-нибу
определенной точки 0. Таким образом получаем двойную поверхност
так называемую поверхность нормалей. В плоскости электрической си
метрии, например, в плоскости YZ (т ~ 0) по (18) корни д.
скорости суть:
7/2 = а2, 7*2==Ь2р24-с2п2, (2
Поверхность нЬрмалей
263
j, е. сечение поверхности нормалей с электрической осью симметрии дает
jtpyr и овал. Если а>Ъ>с, то получаем изображенные на рис. 96
сечения волновой поверхности с осями симметрии. Согласно чертежам
Б плоскости XZ для двух направлений нормали, обозначенных через
j.' и А”, оба корня V' и V" необходимо должны совпадать, так как
здесь пересекаются те две отдельные поверхности, которые составляют
совместно поверхность нормалей. Можно показать, что это не может
иметь места ни для какого другого направления нормали к волне.
В самом деле, квадратное уравнение для 72 по (18)
У4 — Г2 { 7722(Ь2 + с2) -J- п2 (с2 + а2) + Р2 (®2 + &2)} +
4- 7тг2/?2с2 + w2c2«2 + р2а2&2 == 0. (22)
Решение этого уравнения дает, если положить
2И = т2(&2— с2), Лг=п2(с2— а2), Р = р2(а2— Ь2), (23)
2 Р = яг2 (Ь2 + с2) + w2 (с2 4- а2) + Р2 Р2 + Ь2) ±
± КМ2 + ^ + Р2—22О~2ЛГР—2МР. (24)
Так как а>Ъ> с, М и Р положительны, a N отрицательно. Под-
коренную величину можно написать в виде
(M+N—P)2 — Ж,
т. е. в виде двух положительных членов. Для совпадения значений обоих
корней для Р требуется поэтому соблюдение двух условий
M + N— Р = 0,
Но М не может быть равно нулю, так как тогда W должно было бы
быть равно Р, что невозможно, так как N отрицательно, а Р положи-
тельно. Следовательно, подкоренная величина пропадает только при
27=0, 2И = Р,
т. е.
п = 0, т2(Ь2~с2)==р2(а2 —Ь2), (25)
Или, так как
т2 + п2Л+р2== 1,
»=« W
Этим определяются направления волновой нормали, для которой совпа-
дают два значения скорости света. Эти направления называются опти-
ческими осями. Оси электрической симметрии X и Z, делящие пополам
рлы между оптическими осями, носят название оптических средних
яний кристалла.
а Общее для обеих волн значение скорости света, в том случае, если
ц*Рмаль к волне совпадает с оптической осью, равно V' = Р — Ъ.
(21\ 0 вытекает непосредственно из рис. 96, а равно и из уравнений
ост й (26). Направление колебаний в этих волнах поэтому по (19)
гается неопределенным, так как в этих уравнениях входит неопреде-
264 Оптические свойства прозрачных кристаллов [Отд, III, гл.
ленное выражение: п: (Ъ2 — F)2 = 0:0. Поэтому в направлении оптич!
ской оси могут распространяться колебания всякого рода, т. е. как пол:
ризованный, так и естественный свет.
Скорость света V удобнее вычислять не прямо по формуле (24
а вводя углы д' и д", образуемые нормалью с оптическими осям!
За положительное направление одной из оптических осей A' npi
мем то направление, которс
образует с осями ОХ и О.
острые углы. Ее направляй
щие косинусы в силу (2Г
равны
п' = 0, (26*
За положительное направлен:
другой оптической оси Att пр:
мем то направление, котор
образует с осью OZ острб
угол, а с осью ОХ тупой угр
Ее направляющие косинусы б;
дут поэтому
Косинусы углов д', д" между нормалью и положительными направл
ниями осей А', А" поэтому равны
cos д' = тт\ 4- 4- рр'г, т. е.
cos д’ = т
Ъ2 — с*
Я2 — С2 ’
Г Ь2 - С2
я2— с2
(2'
а2 — Ь2
а2— с2 "г"
cos дп = — т 62
° г я2 — с2
В силу соотношения п2 = 1 — т2 —р2, легко можно вывести зависимою
™\Ь2 + с2) 4- п2 (с2 4- а2) 4-Р* («2 4- Ь2) =
в а2 4- с2 4- (а2 — с2) cos д’ cos д", (28
АР 4- N2 4- Р2 — 2MN— 2NP—2MP = (а2 — с2)2 sin2 д' sin2/.
Следовательно, по (24)
2 V'2 = а2 4- с2 4~ (а2— с2) cos (д'—дп), | .
2V"2 =а2~с2 + (а2 — с2) cos (д' +д"). I <7
§61.
Геометрическое построение поверхности 265
6. Геометрическое построение поверхности волны и направле-
ния колебаний. По Френелю можно геометрически представить скорость
света и направление колебаний при помощи одной поверхности — овалоида;
для этой цели поступаем следующим образом: пусть радиус-вектор е
овалоида образует с координатными осями углы с направляющими коси-
нусами #х, #2> Тогда уравнение овалоида можно написать так:
q* = а2^ + b2fy* + с2#82, (30>
где а, Ъ, с суть главные оси овалоида. Чтобы найти скорость распро-
странения колебаний какой-нибудь плоской волны, проведем парал-
лельно ей плоскость через центр овалоида и будем искать наибольшее и
наименьшее значение радиусов-векторов q' и q" полученного таким обра-
зом овального сечения. Эти значения представляют собою две скорости
света соответствующей плоскости волны; направления / и q" дают на-
правление колебаний, причем направление q’ соответствует волне, рас-
пространяющейся со скоростью Qf.
Чтобы доказать правильность этого построения, мы должны принять
во внимание, что удовлетворяют еще двум условиям:
1=^2 + ^22 + ^ (31)
О = mtii + 72^2 +_р#3. (32)
Последнее уравнение говорит, что овальное сечение нормально к нор-
мали к волне. Чтобы найти те направления Яр #2, $з> Для которых е
есть максимум или минимум, можно по правилам дифференциаль-
ного исчисления рассматривать #2, #3 как независимые переменные,
если добавить к уравнению (30) еще уравнения (31) и (32), умноженные
на неопределенные (лагранжевы) множители с^, <г2. Приравнивая нулю
отдельные производные д2 по #а, #3, получаем
О = 2(а2 + oi) + wi<ra,
О = 2(&2 + ci) &2 + п<г2,
0 = 2(с24-о?1)^3+^<т2.
(33)
Умножая эти уравнения на #а, и складывая, получаем, в силу
(31) и (32):
а2#!2 + &2#а2 4- с’^з2 = — <rv
Поэтому по (30) Oj —— д2. Подставляя это значение в (33), можно эти
три уравнения написать так:
2 а8 -ё2’ ’ ^2“ 2а2Ь*-в*> ^3 2
Умножая на т, п, р и складывая, получаем в силу (32):
w2 п2 . р2 _ п
а3 * * * * — о2 ’ Ъ2 — Q2* с2 — Q2 ’
Ь е- q удовлетворяют тому же самому уравнению, что и скорость света
у (см. формула (18) на стр. 261).
266 Оптические свойства прозрачных кристаллов [Отд. III, гл. П
Из (34) следуетг что связаны такою же зависимость»!
как и mv, п„ pv по (19), т. е. направление светового вектора совпадав!
<5 направлением максимального или минимального радиуса-вектора овалЛ
ного сечения. •'!
Так как по § 5 направление колебания остается неопределенные
для того случая, когда нормаль к волне совпадает с одной из оптичеД
ких осей, то в этом случае радиус-вектор овалоида не будет иметь Я
максимального, ни минимального значения, т. е. сечения овалоида плой
костями, нормальными к оптической оси, суть круги. Радиусы этих двД
кругов равны между собой и имеют общее значение Ь. Произвольм
расположенное овальное сечение, произведенное плоскостью волны, нормаЯ
к которой пусть будет 2V, пересекает круговые сечения овалоида по дв™
радиусам-векторам г' и г", имеющим длину Ъ. Эти векторы г' и Д
нормальны к плоскостям, которые можно провести через нормаль .№ я
какую-нибудь из оптических осей, — например А' или А", так кздЗ
например, г' перпендикулярно как - к N, так и к А'. Эти плоскости (-№44
и (NA") пересекают овальное сечение, образуемое плоскостью волннЯ
тоже по двум равным друг другу радиусам-векторам г/ и г/, тай
как rx' | г* и г/так как, кроме того, г'— г", то из сиЯ
метрии овального сечения вытекает, что и и что главным
оси д' и g" овального сечения делят пополам углы между г' и г" и rj
и г/. Поэтому направления колебания светового вектора (совпадающей
•с и р") лежат в плоскостях, которые делят пополам углы, образованная
плоскостями (Л\4') и {NA"). Этим определяются направления колебм]
ний, так как они кроме того перпендикулярны к нормали N. Направлен
ние колебания, соответствующее F", согласно (29), лежит в плоскости!
делящей пополам угол (2'АГЛ"), причем А' нА" обозначают, согласий
(26) и (26'), положительные направления оптических осей, а колебаний
соответствующее V, нормально к этой плоскости, т. е. лежит в плоскости!
делящей' пополам угол (A'NA"). *!
7. Одноосные кристаллы. Когда из трех главных скоростей
<5вета а, Ь, с две равны друг другу, т. е., например, а = Ь, мы имеем!
дело с особо простым случаем. Из (26) (стр. 263) следует, что обе опти-Я
ческие оси в этом случае совпадают друг с другом и с осью OZ: поэтому^
такие кристаллы носят название одноосных. Из (29) на стр. 264 следует!
(в виду того, что тогда всегда д' =д"), что л
V'* = a*, F"2 = a2cos2# + c2sin2(7, (35)]
где д обозначает угол, образованный нормалью к волне с оптической|
•осью. Одна из волн имеет поэтому постоянную скорость; она называется 1
обыкновенной волной. Направление колебаний необыкновенной волны!
лежит по построению предыдущего параграфа в главном сечении крис- ]
талла, т. е. в плоскости, проходящей через оптическую ось и нормаль]
к волне; колебания обыкновенной волны происходят поэтому нор-]
мально к главному сечению. Так как главное сечение (см. выше стр. 202)1
определяется как плоскость поляризации обыкновенной волны, то коле-J
оания должны происходить перпендикулярно плоскости поляризации, чтй
вытекает из точки зрения Френеля и для изотропных средин. Когда!
§7]
Одноосные кристаллы
267
угол g нормали N с оптической осью подвергается изменению,
а N остается все время в каком-нибудь определенном главном сечении,
то направление колебаний обыкновенной волны остается неизменным, а
направление колебаний необыкновенной волны изменяется. Таким обра-
зом мы приходим к результату, о котором мы уже упоминали выше на
стр. 209 (§ 7), что точка зрения Френеля проще других, постольку, по-
скольку поведение волны определяется исключительно направлением ко-
лебания. При неизменном направлении колебания и скорость распростра-
нения волны остается неизменною, если даже изменится направление
нормали к волне.
Одноосные кристаллы встречаются в таких кристаллических системах,
в которых имеется одна основная кристаллографическая ось и две (или
три) одинаковых оси, к ней перпендикулярные (тетрагональная и гекса-
гональная системы). Оптическая ось в таких кристаллах совпадает с
основной кристаллографической осью. Кристаллы правильной системы в
оптическом отношении не отличаются от изотропных тел, так как в силу
их кристаллографической симметрии должно быть а — Ь = с.
Ромбические, моноклинные, триклинные кристаллы могут быть дву-
осными (в оптическом отношении). В первых двух кристаллографические
оси симметрии необходимо должны совпадать с электрическими осями
симметрии, так как в каждом физическом свойстве кристалла проявляется
но крайней мере та симметрия, которая свойственна кристаллографической
форме.Й» моноклинных кристаллах кристаллографическая форма дает нам
-возможность судить о положении только одной электрической оси сим-
метрии, так как эта ось расположена перпендикулярно к (единственной)
кристаллографической плоскости симметрии; в триклинных системах о
положении электрических осей симметрии из кристаллической формы
вообще заключить нельзя.
В одноосных кристалах (а = Ь) овалоид по (30) превращается в поверх-
ность вращения
е2=а2 + (с2—а) %. (36)
Эта поверхность может быть или вытянута в направлении оси, или
сплюснута; соответственно этому одноосный кристалл называется поло-
жительным или отрицательным. В первом случае поэтому а > с, а во
втором а < с. По (35) в положительных кристаллах обыкновенная волна
имеет большую скорость, т. е. она преломляется слабее, а у отрицатель-
ных кристаллов, наоборот, обыкновенная волна преломляется сильнее
необыкновенной. Кварц относится к первому типу, а полевой шпат—ко
второму.
8. Определение направления светового луча по направлению нор-
мали к волне. Обозначим направляющие косинусы луча света через
% Р8-
В силу соображений стр. 259 и формулы (25) на стр. 227 имеем:
тв: ns: Ps — (У ¥— [}Z):(aZ — у Ху (fl X —аУ). (37)
Но по формулам (13) и (16) на стр. 260 и стр. 261
X: У: Z = a2mv: b2nv: сгр* . (38)
268 Оптические свойства прозрачных кристаллов [Отд. III, гл. Ш
Далее, из формул (7) на стр. 258 и формул (13) выводится
а: : у = (b2pnv — c2npj: (c2mpv — a2pmv): (a2nst — &2wina). (39)
Подставляя значения (38) и (39) в (37), получаем
ms: ns: Ps = — т ) + mv a2 (a mmv +b2nnv 4-
+ <fypv)(40)
Члены, обозначенные точками, получаются из написанных членов
путем круговой перестановки букв.
Пользуясь сокращениями (16') на стр. 261, т. е. полагая
а2ттс 4- b2nnv + c2PPv = О2, (41)
получаем из уравнений (17) на стр. 261
a2mv = mvV2 + тО2; Ъ2п, = nvV2 + п G2\ c2pv = p„F2 4~ pG2.
Возводя эти уравнения в квадрат и складывая, получаем, в виду
того, что
2 , 2,2 2,2,2 л
+ nv + Ръ “ т + п + р =
mvm 4- nvn 4- pvp = 0,
оХ + + G‘. (42)
Поступая таким же образом с тремя уравнениями (17), имеем
1 = {(ст)2+(ст)2 +(ст)2) • <43>
Подставляя теперь вместо mva2 значение
. rte та*
® az____уг
из (17) и пользуясь выражениями (41) и (42), имеем:
: %: р, = — т (74 4- G4) 4- mG* 7-^/2• -: - >
Или
: Ра =m(V2 + у^^):п(у2 + у£^)‘-
:р(^+-ст-)- («>
Это уравнение определяет нам направление светового луча в зави-
симости от направления нормали к волне, так как V2 определяется из
т, п, р по закону Френеля (18), a G2 из (43) через mt п, р и V2,
Для того, чтобы знать абсолютные величины направляющих косину-
сов /и4, пп рв (а не только их отношения), мы можем положить
(7« (F« + ^у,),
(45)
§9]
Поверхность лучей
269
где <т есть множитель пропорциональности, который мы можем опреде-
лить, возводя эти три уравнения в квадрат л складывая. Тогда, в силу (18)
и (43), получаем
1 = + (46)
9. Поверхность лучей. Когда плоскость волны продвигается в еди-
ницу времени на отрезок V параллельно самой себе, то V называется
скоростью распространения плоскости волны. Луч света направлен
к волновой нормали под углом С, определяемым выражением
cos С — т8т + п8п + рвр. (47)
Луч света в единицу времени проходит путь Va:
7, cos С =* 7. (48)
V8 называется скоростью лучей; в силу (48) она, следовательно,
больше, чем скорость по нормали к волне.
Умножая три уравнения (45) на т, п, р и складывая, получаем
cos£ = <r72, т. е., в силу (48),
<т = 1:7-7,. (49)
Из (46) поэтому следует
= — V* (50)
или, в силу (48),
Ga = 72tgC. (51)
Подставляя значение для Gi (из 50) в уравнение (45) и принимая
во внимание (49), получаем в результате простых преобразований:
ms ns ^9 nV
У2 —a2 У2 —а2’ У2-62 = >2_&2’
Умножая эти три уравнения на wi,a2, п,Ь2, р8с2 и складывая, полу,-
чаем, принимая во внимание (17'):
( 2 2 2 г.2 2 2 \
msa , , nsb ( psc \
V2 — a2' V2-b2^ V2 — c2/
=------1 (а2твт + Ъ2пвп + c2psp).
G
Но световой луч перпендикулярен к электрической силе. Поэтому
Правая часть последнего уравнения пропадает, так как составляющие
электрической силы удовлетворяют соотношению (38). Поэтому полу-
чается соотношение
2 2 „2 А2 2 2
ms а , nsb . Psc __ А
V2 — с? V2-b2 У2 — с2 ’
(53)
270 Оптические свойства прозрачных кристаллов [Отд. Ш, гл. Г
а2
которое может быть переписано так:
2 _2 _2
тв । Пз _ । Ps _______ft
1 1 “Г 1_____1_"Г_1____L '
62 V2 c2 y2
Прибавляя к (53) выражение ш2 + n2 +р* = 1, получаем
, “Ж , Р* 7* <
* о о I oof о О Л
V2_a2 -t~ r2_d2 ~ Ъ
Эти выражения определяют скорость лучей У, как функцию направ-;|
ления луча. Откладывая УЙ как радиус-вектор от некоторой точки в нап- Л
равлениях т„ пй, рй, получаем так называемую поверхность лучей. Эта^
поверхность тоже, подобно поверхности нормалей, представляет собою;1
двойную поверхность и вообще во многих отношениях имеет с нею много J
общего, так как уравнение (53') для поверхности лучей можно получить^
из уравнения (18) для поверхности нормалей, если все входящие в этол
уравнение длины, заменить их обратными значениями. Сечения поверхно- J
сти луча плоскостями симметрии представляют собою в каждом случав |
один круг и ОДИН ЭЛЛИПС.
Из геометрического построения § 6 вытекает, следовательно, что.
в основу должна быть положена поверхность
1
^2
Р“+-7
(см. форм. (30) § 6), т. е. эллипсоид с главными осями а, Ь, с. Скорость
луча Уа в определенном направлении та, пй, ра, определяется величи- <
ной главных осей & и е2 того эллипса, который является ©ечениек
эллипсоида плоскостью, нормальной к лучу.
И здесь должны существовать такие два направления' Х и А’, для
которых оба корня F2 квадратного уравнения (53') будут совпадать.
-Эти направления можно получить из формул (26') и (26") для оптиче-
ских осей, если все входящие в эти уравнения длины заменить их обрат-
ными величинами:
мли
I_« 1/ а2—a if Ь* — с*
b V с* — с2 ’ ~ b г в2_в2 *
Эти направления называются осями лучей. 4
§9]
Поверхность лучей
271
Поверхность лучей можно определить как такую поверхность, до кото-
рой успевает распространиться в единицу времени возмущение, вышед-
шее из точки Р (по этой причине эта поверхность в литературе носит
также название «поверхности волны»).
Если, рассматривая по принципу Гюйгенса отдельные точки Р
плоскости волны как центры возмущения, построить около каждой из- ,
них поверхность лучей, огибающая этих поверхностей даст положение
плоскости волны через единицу времени (см. выше стр. 139). По этому
построению плоскость волны, соответствующая лучу PS, есть, следова-
тельно, плоскость, касательная к поверхности лучей в точке S.
И, действительно, к такому результату мы можем прийти и из наших
формул. Обозначим прямоугольные координаты точки /9 поверхности лучей'
через х, у, г; тогда wgFg = ж, и т. д., 72 = ж2 + у2 + z и в силу (53*)
имеем
2 2 2
____+-Л______+ —1_______1 = 0
V2 — а2 ‘ F2—tZ>2 Ф F2-c2
(55)
Обозначим символически это уравнение F (ж, у, z) = 0; тогда направ-
ляющие косинусы нормали к касательной плоскости в точке х, у, г
е dF dF dF ,r
будут пропорциональны . Мы должны, следовательно,
доказать, что
dF dF dF ZKCY
: -а~ =т:п:р. (56)
dx dy dx х '
Но по (55)
dF п ( 1 X2 уг z2 \
& F2-a2 ~ (k,2-a2)2 (F2-»2)2 (^-с2)2)-
По (52) ж:(72 —a) — mV:(V2— а2) и т. д.; принимая во внима-
ние соотношения (43) и (50), получаем, следовательно,
3F / 1 __ V2 \ 2 а? F2 а2 ~ V2
hT ~2X\vl-a2 в') G4 F2-<? ’
т- e-, в силу (52),
(57)
Из этого уравнения можно путем круговой перестановки букв полу-
^ИТь Fz' Отсюда получается соотношение (56), чем доказывается
правильность построения, сделанного на основании принципа Гюйгенса.
3 На основании вышеизложенных соображений можно следующим обра-
п 11 вывести направление луча ms, nt, pg из направления нормалей т,
’ F поверхность лучей одновременно касается всех плоскостей волн, рас-
П°страняющихся из точки Р во все стороны в единицу времени, и
шляется, следовательно, не чем иным, как огибающей этих плоскостей.
272 Оптические свойства прозрачных кристаллов [Отд. III, гл. г
Если мы поэтому остановим наше внимание на трех плоскостями
волны, бесконечно близких к направлению PN, то точка их пересечении
должна лежать бесконечно близко к конечной точке >8 луча PS, соотвеД
етвующего направлению нормали PN, так как >8 является общей точкой
для всех трех плоскостей волны. Докажем правильность этого построенная
и аналитически: уравнение плоскости волны имеет следующий вид: Л
тх + пу + рг —V. (58м
Если ж, у, z должны относиться также к бесконечно близко распо-*
ложенной плоскости волны, то должно иметь место то же уравнение (58), I
продифференцированное по т, п, р. Но эти величины не являются неза-1
висимыми друг от друга, так как т2 4- п2 4- р2 = 1. I
По методу Лагранжа (см. выше стр. 265) можно однако к (18) при-;1
давить тождество 1
f (т2 + п2 4- р2) = f, Я
так что получается Л
тх + пу + pz + f (т2 4- п2 4- р2) = V 4- /, (59)Я
где f — неизвестная постоянная. Так как входит в вычисления еще и она»Я
можно теперь в (59) рассматривать т, п, р как независимые перемен-Я
ные и дифференцировать (59) отдельно по т, п, р\ получаем:
x + 2fm-----^"> » + г + 2/2>=^-- Сбо||
Но по (18) и (43):
~дт~ ~ Fa — аа ’ ”у> -
dV 'dV yr К
аналогичные же выражения получаем и для . Умножая три 9
уравнения (60) на т, п, р и складывая, получаем в правой части J
в силу (18) и (61) нуль. В левой же части, в силу (58), имеем V 4-2/, 1
так что для постоянной 2 / получаем 2 / = — V. ‘ 1
Поэтому первое уравнение (60), в силу (61), приобретает вид ч
/ 1 G4 \ а
и аналогично •
У H\V 4- у2_62 * V ) >
« = р (7 4- уа1_— • -у-).
Таким образом радиус-вектор, проведенный из начала координат ,
К' точке пефесечения х, у, г трех соседних плоскостей волны, действи- j
тельно совпадает с направлением луча, вычисленным на стр. 268, так |
как х: у: z — тв: ng: pt, Кроме того, скорость лучей ]Рх2 4- у2 4- z2 при- J
водит к такому же значению, как и выше (формулы (45) и (40))1)^')
х) О других геометрических соотношениях между лучем, нормалью, оптически
и лучевыми осями см. Р. Drude u. A. Wetthauer, Doppelbrechung, Handbuch
phys. Optik 1, 825, 1927. °' ? V
Коническая рефракция
273
(62)
(63)
10. Коническая рефракция. По уравнениям (44) каждому опреде-
ленному направлению нормали к волне соответствуют, вообще говоря,
два различных направления луча, так как каждому определенному
т, п, р соответствуют два различных значения 72. Может случиться,
однако, что эти уравнения примут неопределенную форму 0:0, а именно
тогда, когда одна из величин т,п, р равна нулю. Положим, например,
т = 0: тогда по (21) на стр. 262, 72= а2. В этом случае по (43) и (44)
мы должны были бы иметь
С4 = (/2 —а2)2 :т2,
G4 У'2—а2
w — т --------5- = т------г-
* V2 — а2 т2
Значение этого неопределенного выражения можно, однако, легко
найти, так как по уравнению Френеля (18) (стр. 261) выражение
т2:/2—а имеет конечное, определенное значение:
m2 _ n2 , р2
У2- / “ i2-/2 + "с2- /2 •
Правая часть этого уравнения всегда отлична от нуля, так как для
а > Ъ > с и V'2 — а2 оба члена правой части всегда отрицательны.
Поэтому по (58) при т = 0, mg — 0, т. е. луч лежит в плоскости FZ,
если нормаль к волне лежит в этой плоскости. Подобный же результат
получаем и для р = 0. Наоборот, случай п = 0 требует особого рас-
смотрения. Аналогично (58) и (59) получаем для V = Ъ
V' — b2 п* _ т« . р2
Й27-’ У2 — Ь2 ~~ а2 — У2 '" с2 — У2 * (64)
Здесь правая часть последнего уравнения для V = Ъ может быть
равна нулю, а именно тогда, когда
Ш2 (С2 — &2) р2 (й2 _ в 0.
Это соотношение в самом деле имеет место, если нормаль к волне/
Ь совпадает с одной из оптических осей (см. формулу (25) стр. 263г
• в этом случае по (64) п, приобретает неопределенный вид 0:0, т.е
^ой нормали соответствуют не два отдельных определенных луча, нР
< бесконечное множество лучей, так как пв остается неопределенным нг
Рсамом деле. Соответствующие лучи в этом случае легче всего найти ия
| Уравнения 1
Л-
К: т8 т . п8 п . Ps р ____________а
Р + vl-ъ2 F!-?
j!Jopoe получается из (52), если его члены умножить на
(с учетом (18)). Если нормаль к волне совпадает
j?”10» то п = 0, но ns может и на быть равно нулю; Vs
l значение отличное от Ъ.
Ur Друде—Оптика
(65)
т, п, р и сло-
с оптической
поэтому будет ’
18
274 Оптические свойства прозрачных кристаллов [Отд. III, гл. Г
Поэтому получается
______________________________। (66'
V* — & -Г 7g2-C2 u-
Далее, по (47) и (48) имеем, в виду того, что 7=Ъ,
Ve (msm +psp) = Ъ. (67]
Исключая из последних двух уравнений F/, получаем
(ms тс* 2 * + рв pa2) (msm + рвр) = Ь2. (68
Обозначая координаты конечной точки луча через х, у, z, причб:
ms = х: V х2 Н- У2 + s2 ит. д., получаем: 5
(хтс2 + spa2) (хт + sp) — b2 (х2 + у2 + s2). (61
Это уравнение конической поверхности второго порядка, проходящей чер^
• начало координат. Отсюда следует, что если нормалью к волне являек
оптическая ось, ей соответствует бесконечное количество лучей, которь
все лежат. на конической поверхности, определяемой уравнением (69
Сечение этой поверхности плоскостью волны <
хт + ZP = const. (70
есть круг, так как, подставляя (70) в уравнение (69), получаем
(хтс2 -\-zpa2)- const = Ъ2 (х2 +у2 + z2), д
т. е. уравнение шаровой поверхности. Л
Согласно рассуждениям стр. 270 следует, что поверхность лучей облЛ
дает двумя касательными плоскостями, нормальными к онтическим осяЯ
эти плоскости касаются ее по кругу. Образующая конуса лучей совдД
дает с оптической осью и поэтому нормальна к плоскости круЖ
Отверстие % конуса лучей дается из (69): Я
(Я
Вышеописанное явление носит название внутренней коническЛ
и “рефракции, по следующим соображениям: когда луч света падает на пл Л
тгинку кристалла в таком направлении, что нормаль к преломленной волнИ
;аправлена по одной из оптических осей кристалла, то вошедшие внутд
кристалла лучи лежат на поверхности конуса; лучи, выходящие из крм
гталла, лежат поэтому на эллиптическом цилиндре, ось которого параллель™
падающим лучам, если кристаллическая пластинка плоско-параллельна Ч|
J Для экспериментального исследования этого явления весьма подходящ™
объектом является аррагонит, так как у него угол % имеет срам
нительно большое значение (% = Г52')а). На рис. 97 дана схеиЯ
г) В самом деле, направление лучей во внешнем пространстве зависит только dfl
положения плоскости волнп внутри кристалла, а не от расположения лучей внутЛК
его. О законе преломления речь будет итти в следующем параграфе.
2) Сера подходила би еще больше, так как для нее этот угол равен почти * J
однако ее обработка представляет большие трудности. Я
§10]
Коническая рефракция
275
светлых кольца вызываются
•Рис. 97.
бесконечно малое количество
хода лучей при опыте. Одна из поверхностей аррагонитовой пластинки,
вырезанной параллельно кристаллографическому основанию, закрывается
экраном с малой диафрагмой о; на нее пускается параллельный пучок
света so. При надлежащем повороте пластинки около оси, нормальной
к плоскости оптических осей, на экране 88 вырисовывается эллиптичес-
кое кольцо.
При применении очень узкого светового пучка можно заметить, что
светлое кольцо состоит из двух колец, разделенных темным промежутком.
Объяснение этого явления, открытого Поггендорфом, дано Фохтомх)
и заключается в том, что мы не можем получить вполне строго параллель-
ного пучка светоных лучей, и что оба
теми нормалями, которые- в кристалле
расположены весьма близко к оптиче-
ской оси, тогда как те нормали, которые
точно совпадают с оптической осью, дают
по выходе из кристалла темное кольцо Пог-
гендорфа; последнее кажется темным пото-
му, что на волну с нормалью определен-
ного заданного направления приходится
энергии. Поэтому светлые кольца в сущности обусловливаются вовсе не
конической рефракцией, так как они вызываются теми волнами, нормали
которых Не вполне точно параллельны оптической оси. В другой работе
Фохт 2) рассматривает поток энергии при конической рефракции и поль-
зуется полученным выражением для определения направления лучей
(см. выше стр. 227 § 10). При такой трактовке исчезает тот разрыв
в поведении лучей, который получается в чисто геометрической теории
и наблюдается при приближении нормали к волне к направлению опти-
ческой оси.
Вместо экрана можно при субъективном наблюдении пользоваться
также лупой или микроскопом, устанавливая их на точку о.
Из формул (52), а также (47) и (48) легко выводятся формулы, даю-
щие зависимость направления нормали от направления лучей. В общем
случае каждому определенному направлению ns, ps соответствуют
Две определенных системы т, п, р. Только в том случае, когда п = О
и Fs == &2, т. е. когда луч совпадает с одной из лучевых осей, п делается
неопределенным, что можно вывести способом совершенно подобным выше-
изложенному. Поэтому поверхность лучей обладает в точках выхода
лучевых осей не двумя определенными касательными плоскостями, а целым
к°нусом касательных плоскостей. Соответствующие нормали лежат на
к°нусе с отверстием у, причем
tgy’ = ]/r
(о2 — Ь2) (Ьа — с2)
а2с2
(72)
«Эта Ф°РмУла получается из (71) путем замены всех входящих в них
обратными величинами.
\) W. Voigt. Р. ZS. в, 673, 818, 1905; Ann. d. Phys. 18, 687, 1905.
) W. Voigt. Ann. d. Phys. 19, 14, 1906.
18*
276 Оптические свойства прозрачных кристаллов [Отд. III, гл. 1Ц
Это явление называется внешней конической рефракцией из
' тех соображений, что луч света, который внутри кристалла идет по напра^
влению одной из его лучевых осей, по выходе из кристалла распадается-
на конус световых лучей, так как при различных положениях плоскостей^
волны внутри кристалла, вне кристалла преломление приводит к ряду лучей,
направленных различно (см. выше стр. 275).
На рис. 98 дается схема экспериментальной установки для демонстра-
ции внешней конической рефракции. Пучок света концентрируется при
йомощи линзы L на небольшой диафрагме о на поверхности аррагонитовой
пластинки. На противоположной сторон^
5 тоже имеется отверстие о'. Если линий
оо', соединяющая эти отверстия, совпм
дает с одной из лучевых осей, то на экран!
'SS вырисовывается кольцо, расширяющееся
5 при удалении экрана. Из падающих лучея
при этом оказываются действующим
только те, которые внутри кристалла иду!
по направлению оо'. Все другие задев]
живаются диафрагмой о'. Действующие лучи в падающем пучке парая
лельны лучам выходящего пучка. j
Явление конической рефракции было на опыте обнаружено уже посх|
того, как Гамильтон показал необходимость его существования теоретически’
II. Прохождение света через кристаллические пластинки и криг
сталлические призмы. Преломление света при переходе луча света Ия
воздуха в кристалл подчиняется тому же аналитическому условия
о котором мы уже говорили выше (стр. 233) при рассмотрении преломЛ
ния света в изотропном теле. Если падающая волна пропорциональвв
С05 , 1
Рис. 98.
а преломленная
рлс (t т'х + п'у + p'z\ * 1
vUp “у: I Ь — ----у,---- I ? Л
и если пограничная поверхность есть плоскость z = 0, то из одной
только факта существования пограничных условий, независимо от и
вида, получается соотношение 1
т __ т'
Т “ Г ’
Это — обычный вид закона преломления; преломленная нормаль остает^
в плоскости падения, угол преломления <р' и угол падения д> связаш
соотношением :
п п
sin <р : sin <р' — V: V, (7«
где V, V' означают скорости распространения в воздухе и в кристал!|
Но ето соотношение вообще еще не позволяет делать конкретное пострй
ние преломленной нормали, так как V', вообще говоря, зависит от Я
правления этой последней. Л
§ И] Прохождение света через кристаллические призмы 277
Напротив, применение принципа Гюйгенса на основе тех же по-
ложений, которыми мы пользовались выше для изотропных тел, дает
непосредственно соотношение (73), и позволяет произвести построение
преломленной нормали и преломленного луча. Действительно, пусть
(рис» 99) есть линия пересечения плоскости падающей волны с пло-
скостью падения (плоскость чертежа), и пусть^А1ВА2= -у, BA2 = V;
построим около Аг поверхность лучей 27, до которой световое возбуждение,
исходящее из точки может распространяться в единицу времени
(рис. 99). Через прямую, проходящую через Az и нормальную к плоско-
сти падения, проведем плоскости J.2?i и касательные к двойной
поверхности лучей. По принципу
Гюйгенса это й будут две пре-
ломленные плоскости волны:
линии, соединяющие л4х с точ-
ками касания ((7Х и (72) ка-
сательных плоскостей с поверх-
ностью лучей 2, суть направ-
ления двух преломленных лучей;
вообще говоря, они не лежат
в плоскости падения.
Для нормального падения
двойное преломление нормали
к волне вообще не имеет места, однако при этом возникают два различных
луча, которые можно получить, если отыскать точки касания Сг и С2 двух
касательных плоскостей, параллельных граничной поверхности QQ, с по-
верхностью лучей, проведенной около точки А граничной поверхности.
Направления лучей будут в этом случае АСг и АС2,
При выходе света из кристалла в воздух происходят подобные же
явления. При прохождении света через плоско-параллельную кристал-
лическую пластинку поэтому наблюдается двойное преломление только
лучей света, а не нормалей к волне. Для того, чтобы иметь возможность
наблюдать двойное лучепреломление кристаллической пластинки, нужно
поэтому установить глаз на точку, лежащую на передней поверхности.
। “та точка будет представляться двойной, так как ее кажущееся положе-
гвие зависит от хода лучей1). Напротив, если кристаллическую пластинку
; вставить на пути пучка лучей между коллиматором и зрительной трубой,
i никакого смещения изображения наблюдаться не будет, так как в этом
Ьслучае имеют значение только нормали к волне. Для того чтобы при
акой установке — которой обычно пользуются при спектральных иссле-
§^°ьаниях— заметить двойное преломление, кристалл должен быть вырезан
виде призмы.
Т- iejJP0 помощи призмы можно определить главные показатели прелом-
^я, т. е. величины
2^^ Mi — V: a, n2=V: Ь, п3 = 7: с.. (74)
। А г? положение смещено не только в сторону, но и в глубину. См.
М ^ае и D. Wetthauer, 1 .с. 832.
278 Оптические свойства прозрачных кристаллов [Отд. III, гл.
Если, например, у нас имеется призма из одноосного кристалла (а — Ь),
и если ребро призмы вырезано параллельно оптической оси, то для волн,
нормали которых перпендикулярны ребру призмы, скорость света V
принимает постоянные значения «и с. Величины п± и п3 легко узнать
путем определения наименьшего отклонения, совершенно таким же обра-
зом, как это делается для призм из изотропного вещества. Различие
поляризации обоих выходящих лучей сразу же дает. возможность судить
о том, какой показатель преломления соответствует пх, а какой п3.
Равным образом и для случая призмы из двуосного кристалла, pe6pq
которой параллельно оптической оси симметрии, тоже можно методом
наименьшего отклонения получить одно из значений главного показателя
преломления. Для нахождения двух других значений нужно знать еще
отклонение волны, поляризованной параллельно ребру призмы, по Kpath
ней мере для двух различных углов падения. . |
На основании того толкования, которое электромагнитная теория дает
главным скоростям а, Ъ, с (см. (16) на стр. 261), сравнение с (74) дает
соотношение 1
£1 — ^Х2, £2 — ^22> £3 — ^32> (75]
по крайней мере в тех случаях, когда скорость света в вакууме С отож
дествляется со скоростью света в воздухе V (ошибкой, появляющейся
при этой замене, можно пренебречь, в виду неточностей при определена!
диэлектрических постоянных). 1
Соотношение (75) не может выполняться во всей строгости уже пй
тому, что показатель преломления изменяется с частотою, т. е. с число]
колебаний электрической силы (дисперсия), а диэлектрическая постоянна!
в однородном изоляторе от этой величины не зависит. Наиболее естеа
венным было бы произвести проверку соотношения (75) для бесконещ
длинных волн, принимая за п2 значение А из формулы Коши
* . . В
п = А + ^-2.
(7<
При таком условии соотношение (75) подтверждается для ромбическ)
серы, как видно из нижеследующей таблички
пха = 3,80; Л2 = 3,59; ег =3,69
п2 = 4,16; Л22 = 3,89; е2 = 3,89
п32 = 5,02; Л32 = 4,60; «3 = 4,68.
(Здесь п2 есть показатель преломления для желтого света, а А — постом
ная формулы (76)).
Как видно из таблицы, порядок, в котором располагаются диэлект]
ческие постоянные, соответствует порядку расположения главных пока
телей преломления; но по абсолютной величине диэлектрические постов
ные больше чем значение А2. В других веществах эта разница еще Я
метнее. Отклонение от требований электромагнитной теории здесь прой
ходит в ту же сторону, что и в изотропных телах (см. выше стр. 231
х) Здесь значении А приведены по измерениям A. Schrauf, Wien. Вег. 41, Jl
1860, а е как среднее из ряда измерении Больтцмава, Барелла и Шмидта. См. W. AIM
Handbuch der Phjsik (Geiger и. Scheel) 20, 191, 1928.
$ 12] Полное внутр, отражение в крист, пластинках 279
G
G
Рис. 100.
Объяснение этих отклонений может быть дано только в связи с явлениями
дисперсии.
В результате мы видим, что электромагнитная теория света формаль-
но находится в полном соответствии с наблюдаемыми явлениями, но что
точные значения оптических констант из электрических измерений не
получаются. Эти константы зависят от числа колебаний, т. е. от частоты
света (вид этой зависимости еще не вполне определен); при этом от .час-
тоты могут зависеть не только значения главных скоростей а, Ь, с, но
также (для моноклинных и триклинных кристаллов) и положения опти-
ческих осей симметрии.
12. Полное внутреннее отражение в кристаллических пластинках.
Построение преломленных плоскостей волны, данное на рис. 99 стано-
вится невозможным, когда нормальная к плоскости падения прямая,
проходящая через Az, пересекает одну
или обе кривые, получающиеся в
результате пересечения поверхности
лучей 2 с пограничной поверхно-
стью QQ. В таких случаях прелом-
ленной плоскости волны не сущест-
вует— наступает полное внутреннее
отражение. Предельный случай, когДЦ
частичное отражение переходит в пол-
ное отражение одной или двух пре- I /
ломленных волн, наступает, следова- • •
тельно, тогда, когда вышеуказанная
прямая касается той из двух цоверхностей лучей 2, которая соответствует
данной волне, т. е. кривой пересечения поверхности лучей с пограничной
плоскостью QQ. В этом случае преломленный луч идет параллельно границе
(рис. 100)х), так как точка касания Т прямой GG с 2 лежит на погра-
ничной поверхности. В этом случае волна не может нести с собой в кристалл
энергии, так как луч света обозначает путь энергии (см. выше стр. 260);
поэтому через плоскость, параллельную лучу, энергия проникнуть не
может. Значит, и из этих рассуждений следует, что уже для этого пре-
дельного случая вся энергия падающего луча должна быть сосредоточена
8 луче отраженном, т. е. что наступает полное вну^ен^е отражение.
Если поэтому осветить кристаллическую пластинку, погруженную
в более преломляющую среду, диффузным однородным светом, то в поле
Сраженного света появятся две кривые, которые отделяют области мень-
энергии от областей большей энергии. При падении луча
Доль границы эти кривые делаются еще более резкими, так как они
• ^раничивают места светлые от мест абсолютно темных — свет может
.^ходить из пластинки только по ту*сторону кривых, которая соответст-
меньшим углам падения. Эти кривые дают таким образом предель-
а^е Углы полного внутренего отражения и <р2. Вообще говоря, они
8ерпендикулярны к плоскости отражения. Для их наблюдения построены
приборы. На рис. 101 представлен кристаллрефрактометр Аббе;
1>па г) На рис. 100 плоскость чертежа есть преломляющая плоскость кристалла (по-
и «нчная поверхность).
280 Оптические свойства прозрачных кристаллов [Отд. III, гл.
Рис. 101.
здесь испытуемая кристаллическая пластинка кладется на полусферу и
из флинтгласа (показатель преломления 1,89); промежуточным слов
является капля более преломляющей жидкости. К вместе с азимутальнм
кругом Б. вращается вокруг вертикальной оси; вращающееся зеркал
позволяет освещать кристаллическую пластинку или снизу, через К, иы
сбоку вдоль границы раздела.' Предельные кривые полного внутренней
отражения можно рассматривать в зрительную трубу, вращение котом
измеряется с помощью веря
кального круга V. Эта три
имеет три колена; лучи сам
путем троекратного полного вш
треннего отражения приводятся^
постоянному горизонтальному п
правлению, что весьма сильно ofl
легчает наблюдения. Объектив зря
тельной трубы устроен таким о|
—““разом, что он скомпенсирован я
преломление, испытываемое в сфЗ
рической поверхности К лучами
отраженными от кристаллически
пластинки; предельные кривы]
видны поэтому очень резко. J
Метод полного внутреннего ои
ражения является самым просты!
методом при определении главны!
показателей преломления криста!
лической пластинки: они пол уча
ются очень просто из максимали
ных и минимальных значени
• углов падения двух предельны]
кривых. ]
Действительно, из рис. 99 1
100 вытекает, что если у ecfl
угол падения для одной из пр!
дельных кривых при произвольно!
азимуте О плоскости падения, Я
отрезок = 7: sin д?, так как ВА2= V (скорость света в окру-
жающей среде); далее, А^А^ есть расстояние точки Aj от касател^
ной к кривой пересечения пограничной плоскости QQ с поверх^
ностью лучей, проведенной около Аг Максимальное и минимальное зна
чения предельного угла 9?, т. е.'отрезка A±Aiy должны таким образов
совпадать с максимальными и минимальными значениями отрезка лу^
•A-i-L (рис. 100), что легко можно доказать построением; в этом случае AtA
должно совместиться с лучом АгТ, при его максимальном или минималя
ном значении. Абсолютный максимум отрезка луча АХТ при любом плов
ком сечении поверхности лучей равен а, а абсолютный минимум
Действительно, из уравнения поверхности лучей (см. выше стр. 270) ж
посредственно следует, что Va должно быть заключено в пределах mi
Полное внутр, отражение в крист, плотинках 281
до с, так как иначе три члена уравнения (§3) были бы одного знака, и
яе могли бы в сумме давать нуль. С другой стороны получается также,
что в каждом плоском сечении GG поверхности лучей V, принимает
крайние значения а и с; как видно из рис. 96, на линии пересечения
GG с плоскостью YZ Vg во всяком случае достигает значения а, так как
в плоскости YZ одна из скоростей имеет постоянное значение V, = а\ на
линии же пересечения GG с плоскостью XZ Ув = Ь; в этом случае является
однако сомнительным, к чему относится Ъ — к минимуму внешней пре-
дельной кривой или же к максимуму внутренней; это ясно видно при
рассмотрении рис. 96, а к решению вопроса можно прийти путем отыс-
кания максимумов или минимумов углов падения предельных кривых на
двух (произвольно ориентированных) различных пластинках х). Каждая
пластинка дает четыре значения углов: из них три, соответствующие
главным скоростям а, Ъ, с, должны быть общими для обеих пластинок;
скорости света определяются по формуле
Ах42 = V : sin <р = («, &, с), (77)
где <р обозначает максимальное или'минимальное значение угла падения
предельной кривой, соответствующее определенному азимуту £ плоскости
падения. Если через п обозначить-показатель преломления среды V
относительно воздуха Fo, т. е. если положить 70: V = п, то по (77)
главные показатели преломления кристалла относительно воздуха полу-
чаются по формуле
и1, w2> пз — п sta (78)
(так как V: а == пг и т. д.).
У одноосных кристаллов (а = Ъ) на одной пограничной кривой
<р = const. Этот угол дает главную скорость света а. Угол падения для.
другой пограничной кривой вариирует с углом падения. 'В этом случае,
когда плоскость падения проходит через оптическую ось, скорость по лучу
дается выражением
Г.*=***Л*^’ (79>
гДв у обозначает угол можду оптической осью и пограничной поверхно-
Й^тыо кристалла.
“ Когда плоскость падения нормальна к оптической оси, 7/ = с2. Для
йоложительных одноосных кристаллов (а> с) выражение (79) есть макси-
мальное значение для 7/, иначе говоря, <р есть минимальное значение пре-
линой кривой, получающееся вследствие полного внутреннего отражения
Зг°быкновенной волны. Из максимального значения <р этой предельной
®£в°й можно получить с, а минимальное значение <р позволяет вычи-
ф*Ть у, т. е.' наклон границы кристалла относительно оптической оси.
нательных одноосных кристаллов (а<с) главную скорость света с
.-^/Минимальное значение (р.
жрмс^Учитывая поляризацию, можно, как показал Viola, ограничиться только одним
(£ о^,дическим сечением. См. F. Pockets, Lehrbuch der Kristalloptik, 133, 1906;
ъев8у, Kristalloptik, Handbuch der Physik (G-eiger u. Scheel), 20, 726, 1928.
282 Оптические свойства прозрачных кристаллов [Отд. III, гл. Ш
Подобным же образом определяется ориентировка пограничной плос-
кости относительно оптических осей симметрии и у двуосных кристаллов^
однако для достижения большей точности обычно наряду с этим ноль*
зуются и другими методами,— например, описанными ниже явлениям^
интерференции в сходящемся пучке поляризованного света.
Некоторые особенные явления в предельных кривых полного внутрен-
него отражения, наблюдаемые в том случае, когда пограничная плоскости
является в то же время плоскостью оптических осей, обусловливают^
конической рефракцией х). $
13. Частичное отражение от кристаллической пластинки. Для тогй>
чтобы вычислить изменения амплитуд, имеющие место при частично^
отражении от кристаллической пластинки, достаточно решить основной)
уравнения (6'), (7) на стр. 258 и упоминаемые там пограничные условие _
' Вследствие значительной сложности этих в&
числений * 2), мы ограничимся здесь только однд
результатом: при отражении от кристаллически
пластинки наблюдается угол полной поляриз
ции, т. е. такой угол падения, при котор<
падающий естественный свет становится пло
ко-поляризованным. Но плоскость поляризацй:
вообще говоря, не совпадает с плоскостью пад
ния (в противоположность случаю изотропной _
зеркала). 'Я
‘ 14. Интерференционные явления в кристаллических пластинкаЯ
в нормально падающем поляризованном свете. Пусть пучок луч#
плоско-поляризованного, монохроматического света падает в нормально
направлении на пластинку кристалла и затем проходит через второй п|
ляризатор — например поляризационный прибор Норренберга (стр. 204), й
столик которого положена пластинка кристалла. Верхнее зеркало прибор
заменяется призмой Николя, которая служит анализатором; плоскость м
лебаний электрической силы в нем пусть будет # (рис 102). Плоское^
колебаний первого поляризатора, на который падает естественный свей
пусть будет Р. Поляризованный свет, амплитуда которого пусть будет 4
разлагается при входе в двупреломляющую пластинку на две волны]
-амплитудами A cos <р, A sin g>, где у есть угол, образуемый пл«
скостью колебаний Р с одним из направлений колебаний и Яа во!
Wi и Ж2, распространяющихся внутри кристалла (при этом мы пи
неорегаем ослаблением амплитуды, вызываемым отражением; для обей
волн оно почти одинаково). По выходе из кристалла обе волны прив|
дятся к общей плоскости поляризации N; по выходе из анализатора и
амплитуды будут A cos у cos (у—%) и A sin 9? sin (у—%). При прохоя
дении через кристаллическую пластинку волны Wx и W2 получил
разность фаз <5: J
1
х) См. Pockets,!, с., 121.
2) Подробнее см. Pocltels 1. с. 174, Ы. Schulz, 1. с. 687.
Явления в параллельном пучке лучей
283
где d есть толщина пластинки, и 72 — скорости распространения волны
в кристалле» V — скорость распространения в воздухе. Энергия света, вы-
шедшего из'анализатора, или даваемая им освещенность равна поэтому
(стр. ИЗ)
Е = A2 {cos2 ф cos2 (ф — %) + sin2 ф sin2 (ф — %) +
+ 2 sin ф cos ф sin (ф —%) cos (ф — %) cos d}.
Заменяя здесь cos д через 1—2 sin2 ~ <5, получим:
E = A2 (cos2 % — sin 2ф sin 2 (ф —%) sin2 <5 >. (81)
I * I
Первый член Л2 cos2 % дает выражение энергии света, выходящего из
анализатора в отсутствии кристаллической пластинки. Обозначим ее че-
рез Ео.
Тогда
Ео = A2 cos2/. (82)
Рассмотрим подробно два случая:
1. Параллельные николи, % = 0. Тогда
£ц = £„ (1 —sin2 sin2-i-й). (83)
При вращении кристаллической пластинки мы будем иметь энергию Ео
в четырех положениях: ф = 0, <р = -%, ф = п и ф = у, т. е. тогда, когда
одна из плоскостей колебания кристалла совпадает с плоскостью колеба-
ния николя. В промежуточных положениях (ф=^ и т. д.)
Ец = Е0 (1 —sin2 ^д) = Еа cos2у<5, (84)
т. е. при подходящих толщинах кристаллической пластинки <5 может на-
ступать полная темнота.
<2- Скрещенные николи-, % — тг, Д) ~ 0;
Ех = A2 sin2 2ф sin2 (85)
Теперь в том случае, когда плоскости- колебания кристалла совпадают
* плоскостями колебания николя, пластинка представляется темной для
Всех толщин; во всех других случаях темнота наступает только тогда,
-*°гда <5 = %h?t. В промежуточных положениях ф = и т. д. имеем
£х = A2sin2|<5. (86)
влвй)м^’ *сли только не равно случайно мы можем найти папра-
стал поляризации (или колебаний) в кристалле путем вращения кри-
тущ Ической пластинК1Ц эти направления носят название направлений
284 Оптические свойства прозрачных кристаллов [Отд. III, гл.
Поэтому клинообразная кристаллическая пластинка, помещенная меяш
скрещенными николями (не в положении тушения), должна представлять
пересеченною черными полосами, идущими параллельно ребру клина; оя
лежат в тех местах, толщина которых соответствует соотношению 9 й
= ±2Луг. В белом свете полосы должны представляться окрашенный)
так как <5 изменяется с длиной волны. j
Равным образом, должна представляться окрашенной в белом свв
И плоскопараллельная пластинка. Действительно, в общем случав |
Длины волны Я зависит не только амплитуда А и разность фаз
также и угол % т. е. положение плоскостей колебания. Этою последи
зависимостью в большинстве случаев можно, однако, пренебречь, в вц
малой величины дисперсии оптических осей. В скрещенных никол^
имеем поэтому в белом свете для <р = (по 86)
1
Ех = 24281112 У15’ ; - j
где знак 2 распространяется на значения, соответствующие отдельна
длинам волн. Таким образом
Е А2 = белый свет. (81
сильно зависит от длины волны. Допустим, чя
цвета, — в первом приближении это имеет месте
Но <5, в силу (80),
у у
У? — у;, не зависит от
тогда
ОТ
' где
d'
Я. Сравнивая формулу (87') с формулой (71
почти не зависит от Я, Сравнивая формулу (87') с формулой (7IM
яа стр. 254, мы видим, что кристаллическая пластинка принима^В
приблизительно те же интерференционные цвета, которые наблюдают<Н
при отражении от тонкого воздушного слоя толщины Но они силЫ[
отличаются от этих ньютоновых) цветов, когда дисперсии двух волн нВ
кристалле сильно различаются друг от друга, так как в этом случав
уже не независимо от Я. Такой случай мы имеем у сернистокислого стр(Д
нция, апоффилита (с Фаррерских осртвоов), бруцита, везувиана. Л
При параллельных николях кристаллическая пластинка показываеД
всегда цвет, дополнительный тому, которым она обладает при.скрещёЙЯ
ных николях при том же Действительно, по (83) и (85) сумма энергяД
в двух случаях все время будет УЛ2, что по (87) отвечает белоЙИ
цвету.
Среди ньютоновых интерференционных цветов при известных значен)^И
о появляются так называемые чувствительные цвета, сильно измен^^В
щиеся даже при небольшом изменении <5. Таким чувствител^ЙЙИ
ij
Явления в сходящемся пучке лучей
285
§J5]
оттенком является, например, сиреневый оттенок первого порядка, по-
являющийся в том случае, когда д для средних длин волн равно
Приблизительно я. При небольшом увеличении <3 сиреневый оттенок
переходит в синий, а при уменьшении—в красный. Такой пластин-
ой Р, обнаруживающей чувствительный оттенок (например, кварцевой
пластинкой подходящей толщины, вырезанной параллельно оси), можно
пользоваться для обнаружения следов слабого двойного лучепреломления
в другой пластинке Р', складывая обе пластинки вместе и рассматривая
их в скрещенных николях: цвет первой пластинки при этом меняется.
Цы получим еще более чувствительное приспособление, если разрежем
пластинку Р по биссектриссе угла между плоскостями колебаний и за-
тем опять сложим обе половинки, перевернув предварительно одну из
них вокруг нормали к плоскости разреза
на 180°. В этом случае небольшое двой-
ное преломление пластинки Р' вызы-
вает изменение цвета двух половинок
Р в противоположных направлениях.
По имени изобретателя этого приспо-
собления, оно получило название двой-
ной пластинки Бравэ. При ее помощи
легко доказать, что достаточно надавить
пальцем на стеклянный кубик, чтобы
вызвать двойное преломление. Пластинка
Бравэ позволяет также резко опреде-
лять и направления тушения в пла-
стинке Р'.
Применение кристаллических свойств к устройству компенсатора Ба-
бина или Сенармона рассматривалось уже выше на стр. 212.
15. Интерференционные явления в кристаллических пластинках
в сходящемся поляризованном свете. Рассмотрим сначала тот случай,
вогда поляризованный свет падает на кристаллическую пластинку под
Углом г. Углы преломления пусть будут и г2 (рис. 103). Разность
Фаз д между волнами, прошедшими через кристалл, по чертежу равна
2я IBD.DK ВС\
5 у I уг/ т у у
Й® DK есть проекция CD на направление распространения волны
к*»-Но
ВС= йЬ’ DK=GD » = (-8С sin Zj—BP slur J sin*
Иному
д 2п , I /sin i sin 1 \ 1 /sin i sin ra 1 \ 1 A
rg&b T a \\ V V'l cos V V") cos rtf'
Как по зак0Ну преломления
sin i _ sinr, sin ra
у yf y” ’
286 Оптические свойства прозрачных, кристаллов [Отд. III, гл. I
то
«___ 2я , fcosr, cos гД
о 2>_ у' f
(»
Вводя углы д' и д", образуемые нормалями к волнам в кристалле с oi
тпческими осями, можно, на основании уравнений (29) на стр. 264, выр}
зить V и V" через «2+саи а2 — с2. Ограничиваясь первым порядкб
а2— czf ЧТо всегда допустимо в виду малой величины двойного nj
ломления у встречающихся в природе минералов, имеем
л d а9—с» г .
<5 = т? • '/тгм? sm о sin д". ---- (8
I cos г (а?-[-с*\3/2 у «
1“2~) ;
Здесь д' и д" обозначают углы, образуемые с оптическими осй!
одной (все равно какой) из преломленных нормалей; г обозначает уг
преломления для одной из преломленных нормалей; поэтому d cost ес
путь луча в криста тле (ограничиваясь первым порядком малости в а1
—с2, можно положить BD=BC).
Вводя главные показатели преломления и w3 кристалла и обоз^
чая через п их среднее значение, получаем
a2 — 72;W12, с2= 72:w32,
л 7td м 2 и2 • т • и Qytd g \ • t * rt
<5 = -----п 3 — п r Sm a sm д *= :-----(n3 — nA sm д sin д .
Л cos г и у Я cos г ' 3 и * *
п
Энергия света, прошедшего через кристаллическую пластинку, помеще
ную между анализатором и поляризатором, равна приблизительно вы]
жению (81), во всяком случае, если не принимать во внимание изменев
амплитуды, происходящих на границах кристалла при отражении.
Особый интерес представляет тот случай, когда в поле зрения моя
сразу видеть, как пр а изменении угла i изменяется энергия выхо,
щего света. Это осуществляется на поляризационном приборе, изображу
ном нарис.104и 105. Зеркало А служит осветителем; гадающий свет oi|
жается линзами В и D на отверстие диафрагмы Е и поляризуется ннкол
С; Е лежит в фокусе одной (или нескольких) из собирательных линз .
которая делает параллельными все пучки, выходящие из Е‘, эти пуч
пересекают пластинку кристалла О во всевозможных направлениях. (]
рис. 93 начерчено три таки! пучка). После этого лучи попадают на собир
тельную линзу Н. Каждый пучок собирается в одной точке М в ее фока i
ной плоскости, где помещена диафрагма J. Лупа К увеличивает изобр
жение в Jf; после этого, однако, лучи должны еще пройти через анал
затор. Как видно из чертежа, середина изображения в J образова
лучами, прошедшими через кристаллическую пластинку в нормальном
ней направлении; чем ближе к краю диафрагмы J лежит точка М, 1
более наклонны к пластинке пересекающие ее лучи. Таким образом;
сразу можем обозревать всю интерференционную картину, образован^
лучами, пересекающими пластинку под разными углами.
^15] Интерф. явления в сходящ. поляриз, свете 287
Разность фаз д и угол <р (образованный плоскостью колебаний поля-
ризатора с направлением одной из волн в кристалле), в разных точках М
принимает различные значения. Совокупность точек в поле зрения о
одинаковым д образует систему кривых равной разности хода (изохро-
маты); совокупность точек с одинаковым <р образует систему кривых
одного направления поляризации
(изогиры). Эти две системы кри-
вых позволяют весьма просто опи-
сать распределение ceeia в поле
зрения.
Представим себе, что все лучи,
проходящие через кристалличе-
скую пластинку, проходят через
одну точку О на первой погра-
ничной поверхности пластинки; в
этом случае в точку М попадает
только один луч, который пересе-
кает вторую пограничную поверх-
ность пластинки в точке ЛГ (след
точки М). Если мы таким путем
каждой точке М фокальной плос-
кости сопоставим точку М' на по-
верхности пластинки, то получим
две системы точек, друг другу
подобные. Поэтому в дальнейшем
мы будем говорить только о точ-
ках М' второй поверхности кри-
сталла. Кривые одинаковой разно-
сти хода получаются, очевидно,
при пересечении второй погранич-
ной поверхности кристалла с си-
стемой поверхностей, построенных
около точки О'.
Q sin д' sin д" = const, (91)
гДе q есть радиус-вектор точки Р
®Дной из поверхностей (от точки
д’ и д"—углы, образованные радиусом-вектором е с оптическими осями;,
они строятся на основании уравнения (89), где d: cos г обозначает длину
луча в кристаллической пластинке. Такого рода поверхность изоб-
5£?епа на рис. 106; в направлении оптических осЛ она должна асим-
Й&1?Ически уходить в бесконечность, так как для д' = 0 или д" = 0 по
’•£? = оо.
цс'Оли кристаллическая пластинка вырезана нормально к одной из оп-
средних линий, т. е. к одной из оптических осей симметрии,
в плоскости оптических осей, то кривые равной разности хода
сУть авляют с°б°ю кривые типа лемнискат, полюсы которых Аг и А9
1 Этические оси. При рассматривании пластинки между скрещенными
288 Оптические свойства прозрачных кристаллов [Отд. III, гл. Щд
николями имеет место формула (85). При освещении монохроматичесжлм.1
светом вырисовываются кривые равной разности хода, для которым
<5 = 2 йл, в виде черных кривых типа лемнискат. В белом свете этЯ
кривые представляются окрашенными в один цвет (почему они назыЯ
ваются изохроматами), причем цвета соответствуют приблизительная
ньй тоновым интерференционным цветам. В некоторых кристаллах, однако,!
задаются отклонения (см. выше стр. 284)х), кроме того все явления
осложняется здесь дисперсией оптических осей, т. е. тем, что слеД
оптических осей в интерференционной картине меняется с длиной
волны 8). В некоторых кристаллах (брукит) мы встречаемся даже с тЛ
ким фактом, что плоскость офЯ
тических осей переходит при лшЯ
менении цвета в положение нош!
мальное к предыдущему. ДисперЖ
сия оптических осей может «ильцЖ
изменить вид изохромат в бедой
свете. В этом случае все поле зрЛ
ния пересекается, согласно (85И
черной кривой, так называемой
главной изогирой, для котороД
sin 2^ = 0. Когда плоскость опт Л
ческих осей совпадает с плоскостьйИ
поляризации анализатора (или поД
ляризатора) (так называемое пей
вое главное положение), эта глаЯ
ная изогира представляет собой
черный крест, одна из перекладщЯ
которого проходит через оптичй
ские оси, а другая, ей перпендиВ
кулярная, — через середину полЛ
зрения. В самом деле, для всех точек Р этого креста направления полдД
ризации Н1 и Н2 лежат согласно построению на стр. 265 параллельно Л
-перпендикулярЦо к соединительной линии Аг А2 оптических осей. ПоэтомуЯ
получается интерференционная картина, изображенная на рис. 107. 4
В так называемом втором главном положении кристаллической пла-ifl
«тинки, когда плоскость оптических осей Аг А2 образует угол 45* I
плоскостью поляризации анализатора, главные изогиры представляют
собою пучки гиперболоподобных кривых, проходящие через оптические
оси. Это видно на рис 108. Я
Приближенный вывод уравнения главной изогиры можно полуЯ
чить, принимая бисектриссу СВ угла АгРА2 за одно, из направл&Я
г) Особенно замечательны кольца в апофиллите с Фаррерских островов и из Пенна
Ост-Индии. Кольца представляются одинаково окрашенными, попеременно в темно-фи
летовый и грязно-желтый цвет. Эти апофиллиты в красном свете обладают полой
тельным двойным лучепреломлением, в синем—отрицательным; в желтом они J
обнаруживают двойного лучепреломления.
а) В сегнетовой соли угол между оптическими осями составляет в красной
”6 , в фиолетовой — 5в°.
§_15]
Интерф. явления в сходящ, поляриз. свете
289
ний поляризации Я в кристалле *) (рис. 109, где Р есть произвольная точка
на поверхности кристаллической пластинки). Координатные оси ОХ и ОТ
пусть совпадают с плоскостями
поляризации анализатора и по-
ляризатора. Обозначив отрезки
. PAt =
РА. = I*
Ai А2 — I,
получаем:
РА^: РА.333 Zj t
РА} 4“ РА. = I,
т. е.
БА^^г- <92)
Далее, из треугольника АгРР
имеем
sin а: sin А А^РР=РАг: lv (93)
Но для главной изогиры ' Рис. 108.
/ РР = 45°, так как пря-
мая А А1г соединяющая оптические оси, должна образовать угол 45° с
координатными осями, а для главной изогиры прямая РР должна итти
параллельно оси у. По (92) и (93) имеем следовательно
sin«=yr ’ <7РГ- (94)
Далее, из треугольника РА. имеем
P=l‘ -]_/22_2z1z2C0Sr =
= (li — la) 2 + i h 1гSin2 <7,
t. e.
P = (Z -y2 + 2Z2(Ai-)S
или
Рис. 109. Z2(Z? +l22 )==(?? — 1} )2. (95)-
координаты точек оптических осей и А. через + р,
== (Ж_р)2+ (у—р)2, ?2= (^4-р)2+ (?/ + р)а/^ = 8р2
Додробв 0 Вышеприведенному (стр. 265) правилу это верно только приблизительно»
см. Р. Drude u. A. Wetthauer, 1. с. 856.
290
Поглощающие тела
[Отд. Ill, гл. IV
и, вместо (95):
ау =р2.
(96>
Это есть уравнение равносторонней гиперболы, проходящей через;
оси А1 и Л2; ее ассимптоты совпадают с координатными осями.
Эти черные главные изогиры, пересекающие интерференционную
картину, очень удобны для определения кажущегося угла между опти-
ческими осями, т. е. того угла, который образуют две выходящие из.'
пластинки нормали к волнам, которые внутри пластинки шли по напра-
влениям оптических осей. По закону преломления отсюда можно найти
угол между самими оптическими осями, если известна средняя скорость
света в кристалле Ъ. Кажущийся
угол между оптическими осями
определяется путем поворота кри-
сталлической пластинки вокруг оси,
нормальной в плоскости оптиче-
ских осей, причем в середину поля
Рис. 1ft.
Рис. 110.
зрения в перекрест нитей последовательно приводятся следы оптически
осей. Угол поворота отсчитывается по лимбу. Поляризационные прибор!
построенные для этой цели, называются стауроскопами. *
В одноосных кристаллах поверхность равной разности хода (<5 = cons
имеет вид, изображенный на рис. 110. В пластинке, вырезанной нормальв!
к оптической оси, главная изогира представляет в скрещенных николя|
черный прямоугольный крест (рис. 111). Из размеров колец мож^|
определить разность главных показателей преломления кристалла й).
г л а в А IV.
ПОГЛОЩАЮЩИЕ ТЕЛА.
1. Электромагнитная теория. Мы говорим, что тело :?поглоща<
свет, если при прохождении через него свет испытывает ослаблен^
которое тем больше, чем больше путь, пройденный светом внутри те!
*) Об определении характера двойного лучепреломления с помощью пдазтинкИ
тс
в четверть волны (<5 = см. например Pockets, 1. с. 277; Drude и. Wetthauer,-
868; Н. Schulz, 1. с., 543; Szivessy, 1. с., 799.
§ 1] Электромагнитная теория 291
Особенно сильным поглощением отличаются металлы. По электромагнит-
ной теории света можно ожидать, что все тела, не являющиеся иде-
альными изоляторами, будут поглощать свет, так как токи, возникающие
вследствие проводимости, вызывают джаулево тепло, энергия которого,
следовательно, отнимается от лучистой энергии света.
Распространим изложенную выше (стр. 224) электромагнитную теорию
света сначала на неидеальный (изотропный) изолятор, т. е. на такое
тело, которое, помимо диэлектрической постоянной е, обладает еще электро-
проводностью а.
Если попрежнему обозначать составляющие плотности тока .через
У Ъ (в электростатических единицах), то для неидеального изолятора
мы должны положить:
е дХ . v • s dY . v . е dZ , „
?x=a 4л dt + 4п dt ?г~~4я dt + W
так как ток слагается, во-первых, из тока смещения,—прежде (формулы
17 на стр. 225) мы принимали во внимание только его, — и тока прово-
димости, вызывающего появление добавочных членов аХ, <гУ, <rZ. Если
плотность тока и электрическую силу измерять в электростатических
единицах, то и а можно назвать абсолютной электропроводностью в
электростатических единицах. Так, для ртути а = 9,56 • 10±б х).
Формулы (1) содержат то единственное расширение, которое должно
быть внесено в вышеизложенную теорию идеальных изоляторов, так как
для каждого тела попрежнему остаются в силе прежние основные формулы
теории Максвелла (7) и (И) (стр. 221,223). Отсюда, если положить магнит-
ную проницаемость р равной 1, так что 4^ = и т. д., получаем две
системы уравнений:
Длуи ду d^ 4л]у _ da ду 4л__ dfi da # .пл
c ду dz * c dz дх ’ c dx dy ' '
c dt dz ду ’ c dt dx dz ’ c dt dy dx* '
На первый взгляд вызывает возражение то, что мы и сейчас полагаем
магнитную проницаемость поглощающих тел равной 1, тогда как среди
таковых имеются также сильно магнитные металлы — железо, никель и
и кобальт. Однако, мы знаем, с одной стороны, из опыта, что с точки
к прения оптических явлений магнитную проницаемость всех металлов
Для световых колебаний можно положить равною единице, а с другой
Стороны — к этому же приводит и теория, что будет подробнее разобрано
в главе VII.
Пограничные условия при переходе света через границу двух различ-
' с?Х (поглощающих) средин, выведенные на стр. 226 на основании общих
Сражений, сохраняются в том же виде:
Х, = Х2, = а,-а., Л-Л, W
--^плоскость XY расположена параллельно границе.
вРеМв ^змеРение этой величины — обратное время (в данном случае за единицу
®и взята секунда).
I- 19*
292
Поглощающие тела
[Отд. III, гл. IV ]
В уравнениях (1—4) содержатся основы всей электромагнитной теории 2
изотропных поглощающих средин. ?
Для интегрирования дифференциальных уравнений положим (см. выше*
стр. 239)
iy, (7x+ffi/+7iz))
Х = Ле v C5)j
причем здесь не только А, но также и /, д и h должны быть ком-
плексными величинами. Значение X дается только реальной частью пред-
ставленной в (5) комплексной величины. К этому физическому смыслу
величины X мы можем опять вернуться в конце вычислений, еслм
с самого начала приравняем X комплексной величине по формуле (5), чте
даст нам значительное упрощение. Действительно, формула (5) дает:
дХ • 2л -р.
7Г = гТ Х’
так что наши уравнения (1) принимают следующий вид:
е — i2oT dX
-----гг-^ит-л- (6Ь
Все различие между изотропными телами прозрачными и поглощающимш®
заключается таким образом только в том, что вместо действительного®
значения постоянной е для прозрачных тел теперь для поглощающий?
тел вводится комплексная постоянная
е' = е—г%аТ. ('
Мы можем попрежнему пользоваться всеми нашими прежними формулам!
если в них заменим е через е'.
Так например (по формуле 3 стр. 229):
Отсюда по (5) получается j
-^ = /2+^2 + Н (9
Так как е' есть величина комплексная, то /, д, h не могут быть вс|
действительными величинами, что и вызывает поглощение света, т. 4
ослабление амплитуды. Положим, например, f = g = O, h= где 1
и V суть величины действительные; тогда по (5) 5
где 2. = TV.
Уравнение (10) показывает, что амплитуда световой волны при прох<
дении пути Я (длина волны) уменьшается в отношении е~2лх; поэтом]
называется показателем поглощения.
§ 2] Отражение от металлов 293
Выражение (10) имеет место в том случае, когда свет падает из воз-
духа на поглощающее тело нормально к его поверхности. V есть скорость
света в теле, Л — длина волны внутри него. Если отношение с: V = п
назвать показателем преломления тела, так как оно обозначает отношение
скоростей света в пустоте (которую мы можем отожествить с воздухом)
н в теле, то по (9)
е' = п2 (1 — %2 — 2гх),
т. е.
w2 (1 — %2) = е, п2х = аТ. (11)
Пользуясь этими соотношениями, мы могли бы определить показатели
преломления и поглощения по электрическим константам. Правда, ниже
мы увидим, что соотношение (11) численно не подтверждается, однако
самым важным здесь является то, что комплексный вид выражения для е'
фактически означает поглощение света, и что мнимую и действительную
части е' можно заменить по уравнению (11) физически более наглядным
понятием показателей поглощения и преломления.
2. Отражение от металлов. Воспользуемся прежними обозначениями
стр. 232 и след. Пусть мы имеем линейно-поляризованный свет, и пусть
плоскость поляризации наклонена к плоскости падения под углом 45°.
Тогда Ер = Es. Мы можем и здесь полностью воспользоваться прежними
выкладками, при условии замены действительной постоянной е комплекс-
ной величиной е'. у есть угол падения света, % — комплексная величина,
связанная с <р соотношением
sin® ,. п
= (12>
По формулам (27) на стр. 237 получаем для отношения двух (комп-
лексных) амплитуд отраженного света выражение:
Rp _ _____cos (у + х)
R7— Q ~ cos (у — %)•
Здесь q обозначает отношение действительных частей амплитуд составля-
югцих р и § отраженного света, Л — относительную разность фаз двух
вставляющих, в чем легко убедиться, если положить
Вр-В/?, Bs = 5eA,
г*е Raf # суть уЖе действительные величины. Тогда
d=4-<58. (14)
^ак как правая часть (13) есть величина комплексная, то Л тоже
^но от нуля. Таким образом плоско-поляризованный свет после отра-
от металла делается эллиптически поляризованным.
43 (13) вытекает
1 + Q • ____ sin^ • siny
1 — q • elA cos® • cosy
294
Поглощающие тела
[Отд. III, гл.
Наконец заменим в этом уравнении % его выражением через ср и е
по уравнению (12); получим
1 + _ sin у • tg у fl Ч
1 — peiJ j/-е'—sin2 <p '
Для (р = 0 получается, следовательнб, q • еА = —1, т. е. Д = 0, q я
«— 1; для (р >= ~ получается q • еы — 4-1, т. е. Д = 0, q = 1. Относи
тельная разность фаз в отраженном свете, т. е. его эллиптичность, исче
зает поэтому как при нормальном падении, так и при падении по;
углом 90°. Тот угол падения, при котором относительная разность фа
Д принимает значение называется главным углом падения?
Li
Для него, следовательно, = г; поэтому, по (15),
1 + г‘е sinytgy •
-----. (1 ®
1 г q у е — sin2 q> /
Если умножить это уравнение на сопряженное с ним уравнение.
1 — гр ___ sin у • tg у • ;
l-f-fp ]/е"—sin2 у
где е" обозначает комплексную величину, сопряженную с е', то в лево!
части получается 1. Главный угол падения определяется, следовательно
уравнением j
sin4 <р tg4 <р = n4 (1 4- х2)2 — 2n2 (1 — х2) sin2 у 4- sin4 9?. (17j
Для нахождения числовых данных почти всегда достаточно принимав
во внимание только первый член правой части, так как у всех металле
тг2 (1 4- х2) значительно превышает 1 и имеет значения, лежащие меяц|
3 и 30. С этим приближением получаем простое выражение: 1
sin <р • tg ?а= nV 1 4- х2. (18
Это же выражение можно получить и непосредственно из (15), есл
в знаменателе правой части пренебречь sin2<p по сравнению с V Tai
как по (И) ;
VV — и (1 — w), (19
то (15) приобретает вид |
1 4- ре^ __ sin у »tg у . .grt'
1—pefzl n(l— ix) I
Положим д
Q = tg W (21j
здесь tp обозначает азимут плоскости поляризации отраженного л ул
по отношению к плоскости падения, если луч каким-нибудь путе|
например при помощи компенсатора Бабине (см. выше), сделать о пял
плоско-поляризованным. Поэтому ip называется азимутом восста™
вленной поляризации. I
§ 2] Отражение от металлов ' 295
Теперь легко вывести соотношение
1 — __ cos 2у» — tsin A sin
1 + 1 + cos A sin 2у ’ «
4 ч
на основании которого получаем из (20)
п = sing? tg , C-S'?-—а , (22)
x = sin A tg 2y>,
2/1 , 9\ .9 . 9 1 — cos zl sin 2 W)
Па (1 4- x2) = sin2 ® tg2 q> • —-. - .
' ' r & r i cos A sin 2ip
По этим формулам можно вычислить с Достаточной степенью точности
оптические константы п и к, наблюдая величины у и А при отражении
света от металла.
Угол у>, соответствующий главному углу падения 9? = 9?, называется
главным азимутом у». Из первой формулы (22) вытекает
х = tg 2v>. (23)
Для решения обратной задачи и нахождения Л и у из оптических
констант, положим
tg Р = , tg Q = X. (24)
° ч sm <р tg 99 * ° v '
Тогда из (20) получаем
tgJ =sin Qtg2P, (25)
cos 2y> === cos Q sin 2F,
яак как правая часть (20) имеет значение ctgP- e'Q.
Отношение энергии отраженного света к энергии падающего при
Угле падения <р = О называется отражательной способностью металла. По
формуле (26) (стр. 236) для этого случая имеем
| Вр Rp<?Sp _ от(1-~ tx)~ 1
Ер Ер ~ п(1 — tx)+l ’
£Так как вместо п здесь следует подставить п (1 —/х) [см. форм. 19].
|L Если это уравнение перемножить с его сопряженной величиной, то
изучается значение отражательной способности F:
|я Р___ Вр2 ___ п* (1 + х2) + 1 — 2п (27)
А : “ и2 (1 +«Н Н 2й 1 V
—
< t' ) Волее строгий вывод, в котором член sin2 <р це пренебрегается по сравнению
Medb Р оригинальной статье Р. Drude, Wied. Ann. 35, 520, 1888; см. также Konig,
U0pii7*Ptik, Handbuch der Physik (Geiger u. Scheel), 20, 240, 1927; W. Wien, Ency-
le der mathem. Wissenschaften, V3, 136, 1909.
у
296 Поглощающие тела[Отд. III, гл. Щ
Так как у всех металлов 2 п мало по сравнению с п* 2 (1 + х2),
В близко к 1, т. е. отражательная способность очень велика. Эта боль-'
шая отражательная способность металлов, которая, например, у серебр^
достигает значения 95%, вызывает так называемый металлический^
блеск г), который тем сильнее, чем выше значение показателя поглоще*.
ния металла х. Так как х изменяется в зависимости от длины волны 2)J
некоторые металлы — в особенности медь и золото,—обладают резко:
выраженным цветом. Металл кажется нам, например, красным, если силь-;
нее других отражаются красные лучи. Поэтому, грубо говоря, поверхно-)
стная окраска металла является дополнительной цвету лучей, проходящих;
насквозь. Действительно, очень тонкие золотые пленки представляются!'
в проходящем свете зелеными. Для того, чтобы заметная часть света1;
могла пройти насквозь, необходима малая толщина пленок, порядка'!
нескольких тысячных миллиметра. При многократном отражении пучка!
света между двумя зеркальными поверхностями одного и того же тела/
цвет этих поверхностей 'делается более насыщенным, так как те лучи,';
которые поглощаются сильнее всего, ослабятся при повторном отражений,,
меньше, чем все остальные. При помощи такого метода Рубенс 3) и erq;
сотрудники выделили инфракрасные лучи большой длины волны. В каче-'
стве источника света они брали ауэровскую сетку, без стеклянного кол-
пака; после пятикратного отражения от сильвина получалось довольно^
однородное излучение длины волны (в воздухе) Л = 0,061 мм. ’Отража-
тельная способность сильвина для этих лучей R = 0,80, т. е. 80%. Выде^
лить характерные длинноволновые инфракрасные лучи удается путем*
отражения и от других веществ — каменной соли, плавикового шпата/
кварца 4).
Поверхностную окраску, вызванную металлическим отражением, сле-з
дует отличать от окраски не сильно поглощающих тел с внутреннимиУ
неоднородностями, например, цветной бумаги, толченого цветного стеклу
и т. -п. Такого рода тела представляются окрашенными в рассеянном*
свете вследствие частичного отражения света от неоднородностей внутри
тела, сопровождаемого избирательным поглощением тела. В этих случаям)
цвет тела в отраженном и проходящем свете один и тот же, а не допол-<
нительный, как это приблизительно имеет место в металлах. J
3. Оптические константы металлов. Оптические константы какого-1
нибудь металла п и х можно легко определить экспериментально по фор4
мулам (22), если измерить эллиптическую орбиту колебания отраженного
света в том случае, когда падающий свет линейно поляризован, т. е. иначе
л) Что этот блеск вызывается действительно только высокой отражательной спо-
собностью, явствует из того, что когда свет испытывает полное внутреннее отраясе-'
ние от пузырька воздуха, находящегося под водой, этот пузырек тоже представляется
шариком с металлическим блеском, подобно капле ртути.
2) В ряде металлов показатель поглощения обнаруживает резкий минимум в той’
или иной области спектра; для серебра он лежит при 320 ш у, для золота — okoiqJ
490 m/г, для щелочных металлов он был наблюден в далекой ультрафиолетовой обла!
сти (см. Вуд, Физическая оптика). 1
8) См. Jaffe, Handbuch der Experimentalphysik (Wien и Harms), 19, 165, 1926^
4) Jf. Czerny, ZS. f. Phys. 16, 321, 1923 пользуется поляризованным светом;
вблизи угла Брюстера; тогда оказывается достаточным уже одного отражения. . '
3] Оптические константы металлов 297
говоря, определить Л и по вышеописанному (стр. 211) методу с компенсато-
ром Бабине и николем-анализатором х). При этом нужно обращать внима-
ние на то, чтобы поверхность металла была по возможности чиста, так
как всякие загрязнения (поверхностнее слои) всегда вызывают умень-
шение главного угла падения. В нижеследующей таблице приведены
некоторые данные, полученные Друде при отражении от возможно чистых
металлических поверхностей 2), а также данные для. щелочных метал-
лов по новейшим определениям 3), для А = 589 ш
Вещество 1 лх п V V R
Алюминии 5,23 1,44 79°55' 37°34' 82,7
Ртуть 4,96 1,73 79°34' 35°43' 78,4
Сурьма 4,94 3,04 80°26' 29°35' 70,1
Платина 4,26 2,06 78°30' 32°35' 70,1
Серебро 3,67 0,18 75°42' 43°35' 95,3
Висмут 3,66 1,90 77°ОЗ' 31°57' 65,2
Золото 2,82 0,37 72°18' 41°39' 85,1
Медь 2,62 0,64 71°35' 38°57' 73,2
Натрий 2,42 0,044 — —— 97,1
Калий 1,50—1,88 0,048-0,068 — 92
Рубидий — 0,131 — — 81,1
Цезий 1,2 0,321 — 59,4
Данные для щелочных металлов весьма неточны вследствие значи-
тельных экспериментальных трудностей при работе с ними.
Данные для отражательной способности R приведены не по непосред-
ственным наблюдениям, а вычислены по формуле (27).
На рис. 112 приведен ход оптических констант серебра и меди
с длиной волны.
Оптические константы можно определить также по наблюдениям в про-
ходящем свете. Измеряя поглощение в тонком слое толщины d, полу-
чаем, на основании (10), значение для я: Л, где А есть длина волны
.в металле. Но так как А = где Ло обозначает длину волны в воз-
духе и является известной величиной, прямо получаем пи. На грави-
ях тонких пленок имеет место значительное ослабление вследствие отра-
**ния. Для того, чтобы исключить это ослабление, поглощение измеря-
ла в двух слоях различной толщины. Потери на отражение в обоих
Zpaax почти одинаковы, так что из сравнения ослабления можно прямо
вВести значение пх. Наблюдения осложняются трудностью получения
. °шных металлических слоев, обладающих равномерной толщиной в не-
tax с О Других методах определения оптических констант и о некоторых результа-
J, Mai Jaffe> Handbucb der Experimentalphysik, 19, 153, 201, 1928. См. также
3\ eA Ann- d- Р"У8- 7, 360, 1930.
j? -y. Drude, Wied. Ann. 85, 885, 1899; 89, 481, 1890.
' £<tndolt-136rnstein, Physik.-Chem. Tabellen, I. Erganzungsband, 463, 1927.
298 Поглощающие тела [Отд. Ill, гл. j
сколько тысячных миллиметра. Поэтому при подобного рода измерений^
в проходящем свете величины пп получаются в большинстве случал
меньше, чем при измерениях по методу отражения; в некоторых случая!
однако (например для серебра, которое сравнительно легко можно осади®
на стекле из раствора), значения для пх, полученные обоими методам
обнаруживают вполне удовлетворительное совпадение
Показатель преломления п можно определить методом преломлен
в металлической призме 2) совершенно так же, как и в прозрачных тея
-но чтобы свет выходил из призмы с мало-мальски заметной амплитум
необходимо пользоваться призмами с очень малым (доли дуговых миНя
углом. Кундту 3) удалось изготовить подходящие металлические при J
(главным образом путем электролиза на платинированном стекле); внося
ствии по этому методу был произведен целый ряд измерений показам
^преломления различных металлов. Как изготовление призм, так и саа
наблюдения весьма затруднительны; притом результат представляет*
в виде частного двух очень малых величин. Тем не менее результат
в большинстве случаев хорошо совпадают с теми, которые были получен
по методу отражения; так, например, подтверждается замечательный резул;
тат, что у ряда металлов те<1. ;
г) G. Jaffe, Absorption, Handbuch der Experimentalphysik {Wien und Harms') j
337, 1928. См. также A. Smakula, ZS. t. Phys. 88, 114, 1934. j
8) Формулы см. W. Voigt, W. A., 21, 144, 1885; P. Drude, W. A., 42, a
.* * 8 . • . nndt, W. A., 34, 469, 1888.
3] Оптические константы металлов
Эти малые значения показателей преломления для серебра, золота,
меди и в особенности щелочных металлов должны остановить наше осо-
бое внимание; они указывают на то, что в этих металлах свет распро-
страняется гораздо быстрее, чем в пустоте й).
Обратим внимание на некоторые особенности в_ полученных результа-
тах: мы определили я по уравнению: я = tg 2у>; но оказывается, что
у всех металлов 2 у больше 45°, и, значит, я>1- Поэтому уравнение (11)
приводит к отрицательному значению для е. Однако этим результатом
не следует смущаться, так как фигурирующая в уравнении (11) величина
вовсе не есть диэлектрическая постоянная, и только формально играет
в этих уравнениях ту роль, которую диэлектрическая постоянная играла
в уравнениях для прозрачных тел. Второе из уравнений (11): А = оТ
не удовлетворяется, так как например у ртути (см. выше стр. 291) для
желтого света <гТ = 20, тогда как А имеет значение 8,6. У серебра
в Т гораздо больше, а А гораздо меньше, чем для ртути.
Здесь мы опять сталкиваемся с тем же обстоятельством, которое отме-
чали уже выше, когда сравнивали показатели преломления прозрачных тел
с их диэлектрическими постоянными. Качественно выводы электромагнитной
теории совпадают с результатами опыта, но получить численные значения
оптических констант на основании электрических данных не представля-
ется возможным.
Весьма замечателен, однако, тот факт, что для достаточно длинных
волн это противоречие исчезает; пользуясь методом остаточных лучей (см.
выше стр. 296), Гаген и Рубенс 2) вычислили отражательную способность
металлов из данных электропроводности для длин волн Л > 12 fi, для
еще более длинных волн (Л = 25 /г, остаточные лучи флюорита) они
определили не отражательную способность металлов В, а отношение а
испускательной способностя этих металлов при высокой температуре
к испускательной способности идеально черного тела (полости) той же
температуры. По закону Кирхгофа (см. ниже отдел IV, гл. II, § 4) а
равно поглощательной способности металла, т. е. количеству энергии, не
отраженной металлом. Поэтому а = 1— В. Но так как для очень длинных
в°лн для всех металлов В асимптотически приближается к 1, то можно
Достигнуть больше точности, определяя В из а, а не непосредственно,
как величины а для различных металлов в процентном отношении
ютл^чаются друг от друга сильнее, чем величины В. Для числовых ра-
нетов можно пользоваться формулами, вытекающими из (И):
+ + „у-------------±е +J/Ck+
для ртути (см. выше стр. 291) а=9,56-1015, поэтому оТ =
ЗЛО10 = 320 для Я = 10^. Весьма вероятно, что это число зна-
больше, чем диэлектрическая постоянная е ртути. Если поэтому
•«Л» принципу относительности движение со скоростью, превышающей с, невоз-
йому.’ сУЩествование показателей преломления, меньших 1, однако, не противоречит
СЖОро^аАесь речь идет о скорости распространения фаз установившегося движения;
2\^ „сигнала" не превышает с.
ч * Hagen и Н. Rubens, Ann. d. Phys., 11, 873, 1903.
300
Поглощающие тела
[Отд. III, гл,
пренебречь х/а е и 1 по сравнению с <тТ, то пх = оТ, и из (27) пол;
чаем для отражательной способности
-Д= =1—21/3^.,
Va Т у оЛ ’
7? = 1
а для испускательной способности
а = 1-Л = -А= = 2 |/^
УаТ У аЛ
Под а понимается проводимость металла при той же температур®!
при которой производится определение R и а. Поэтому а, измерение®
через испускательную способность а, получается гораздо меньшим, чем изме55
ренное через отражательную способность R, так как в первом случае изцЙ
рения производятся при высокой температуре, а во втором при комнатноО
Вышеприведенные формулы подтверждаются измерениями’ Гагена й
Рубенса, как видно из нижеследующей таблички х), где приведены значения^
для 100 (9^а; эти числа для всех металлов (исключение составлял висмутИ
Л 4^ 8 12/л 25,5 jU
Наблюд. 19,4 13,0 11,0 7,34
Вычисл. 18,25 12,90 10,54 7,23
для данной длины волны близки между собою. Совпадение, вполне уди
влетворительное для длинных волн, ухудшается по мере перехода к боЛвЯ
коротким волнам и совсем нарушается в видимой области спектра; причини
этого будут выяснены ниже. '?!
4. Поглощающие кристаллы. Вышеизложенные выводы для изотром
ных поглощающих тел весьма легко распространяются и на кристалле
если для трех взаимно перпендикулярных оптических осей симметр™
взять различные значения диэлектрической постоянной и проводимое™
Если направить координатные оси по этим трем осям симметрии, ТЯ
получается прежняя система формул (12) стр. 260, только здесь е1} е2, е3 сум
комплексные величины, если в вычисления ввести электрическую chjk>E
как комплексную величину по формуле (5) этой главы (стр. 292). Этс'
допущение носит, однако, несколько частный характер, так как оси сим-
метрии для диэлектрической постоянной и для проводимости, вообще говоря,
друг с другом совпадать не должны; это необходимо следует только для
тех кристаллов, которые обладают симметрией по крайней мере ромбиче-
ской системы. Впрочем, мы здесь самого общего случая рассматривать не
будем 1 2), так как самое характерное выступит уже при введенных
упрощениях.
1) См. Jaf/e, 1. с. 216.
а) Пути к рассмотрению этого случая намечены у Dru^e, Winkelmann, Iland-
buch der Physik, 6, 1283, 1906 и разработаны у W- Voigt, Kompend d. theoret. Phy-jj/
Г’„719> 1896; Ann. d. Phys 9, 367, 1902; см. также F. Pockels, Lehrbuch
Knstallooptik, 309, 1906. ' Я
§ 4] Поглощающие кристаллы 301
Для того чтобы проинтегрировать прежние дифференциальные урав-
нения
е1 д2х AY 9 / дХ . dY . dZ\ я /9о\
дадим составляющим светового вектора по осям координат следующее
выражение:
i ъ («— (тх + пу + pz) ^7^)
w = e/-I=Ame
1 *ч. , (29)
у (t • • • ) I гр ‘ )
v = e2f-Y = \ne , w = е3'Z — Аре ,.
где m24-n2 + p2 должно равняться единице, а т, п, р могут быть
комплексными величинами. Уравнения (29) соответствуют плоским волнам,
нормаль к которым имеет направляющие косинусы m, п, р, V есть
скорость распространения поверхностей волны, «—показатель поглощения
(ем. выше стр. 292). Если положить
Г
* 1—Г = <*>,
1 — tn ’
^то попрежнему имеет место закон Френеля (18) (стр. 260):
т2 । . р2 _ л
а02 — со2 ‘ Ьо2 — а>2' <?02 — со2 ’
причем, однако а02, Ь02, с02 суть величины комплексные. Это
распадается, значит, на два, из которых V и я могут быть
по отдельности как функции углов нормали с осями координат.
Для т, и, р получаются, на Основании прежних соотношений (15),
(19) и (20), стр. 261, соотношения
mm 4- nn + рр £= 0,
т п
m . П ". Р а ____ 2 • АЧ __ ,,2 •
C4q UJ Vq —CU
+ HJlj + рхр2 « О.
(30)
(31)
уравнение
вычислены
р
с0? — со2
(32)
(33)
(34)
L Так как т, п, р суть величины комплексные, то для каждого на-
бавления ш, п, р получаются две эллиптически поляризованных волны.
^твительно, если написать m= и= пТегб2, то <5Х — обозна-'
^Разность фаз между составляющими светового вектора и и для
°линейно поляризованного света мы имели бы <5Х — д2 —0. Уравне-
^(”2) выражает, что плоскость колебаний нормальна к нормали к
а из (34) вытекает, что для двух волн эллипсы колебаний по-
До0иа\йо расположение их обратно тому, которое следовало бы из по-
^Дробнее см. Р. Drude, 1. с.. 1287.
302 Поглогцающие тела [Отд. III, гл. Ци
Вытекающая из (31) зависимость скорости распространения от напрш]
ления т, п, р весьма сложна. Поэтому, несмотря на кажущееся совцЯ
дение с формулой (31), должны наблюдаться сильные отклонения Я
закона Френеля. Гораздо проще дело обстоит в слабо поглощающих крЯ
сталла^; с такими явлениями мы сталкиваемся, например, при наблюдЯ
ниях в проходящем свете х). Действительно, если и2 мало по сравнение
с единицей, то со2 = F2 (1 + 2гх). Если поэтому положим
а02 = а2 + га'2, &02 = Ь2 + ib'2, с02 = с2 4- ic' 2, (Зэ1
то получим
т2 _ т* тп2 . 2xV2— а'а\ /оджч
а^~со2~ a2—V2 — i(2}cV2—а'2) а® — V2 )'
Поэтому (31) распадается на два уравнения:
in
** . — _1_ д2 .1 _ л Г Ч 7 V*
д2 JZ2 I ___ yt “ ci у2 и» * /'
2xF2 ' т* 4- —”2 4- Р2 1 - ".
| (Д2 _ JZ2)2 "Г (/>8_ угуаЛ- (са _ y2)2f —
-а'2 . ,,а па 2 р8 (38)
(а2_ррТУ (С2— р)2-
Уравнение (37) есть не что иное, как обычный закон Френеля. Пр»
слабом поглощении, он, следовательно, не претерпевает никаких измм
нений. В уравнении (38) мы имеем я как функцию от т, п, р. По (331
при слабом поглощении величины ш, п, р можно приближенно считамй
действительными, т. е., иначе говоря, волны в кристалле имеют липш
слабую эллиптическую поляризацию. Если через mv, nv, pv обозначит»
косинусы углов направления большой оси эллипса колебаний, то по (331
и (Зб) I'
: Р, = 7^ ъгЬуь • (3$
так как mv есть действительная часть ш, и т. д. j
Величины mv, n„ pv определяются таким образом совершенно так же&
как и направление колебаний в прозрачных кристаллах. "
В силу (39) и соотношения т2 + n2 4- р2 = 1 выражение (38) можно
Переписать в таком виде:
2х72 = а'Х2 + Ь'К2 + с'2р2,
(40)
т. е. по соотношению (18') на стр. 262, имеющему место и в этом
случае:
О а'^2 + b'2nv2 + С,2р^
a2mv3 + b2nv2 + с2рр2
(41)
х) В отраженном свете легко обнаружить на опыте влияние сильного поглощения,
например, на "кристаллах платино-синеродистого магния или бария. Такие крн-
сталлы обладают поляризованным металлическим блеском.
Поглощающие кристаллы 303
Показатель поглощения я является, следовательно, подобно скорости
распространения F, однозначной функцией направления колебания. '
Этот закон легко проверяется на опиате, если рассматривать в проходящем
свете кубик, вырезанный из окрашенного кристалла параллельно осям сим-
метрии; он представляется окрашенным различно, смотря по направлению
лучей (трихроизм в ромбических кристаллах', дихроизм в гексагональных и
тетрагональных). Это явление можно наблюдать, например, на турмалине,
берилле, дымчатом топазе, кордиерите и в особенности на пеннине, у ко-
торого встречаются сине-зеленые и желто-коричневые оттенки. Если вы-
ходящий из такого кубика свет анализировать николем, то оказывается,
что цвет зависит от положения плоскости поляризации, причем крайние
оттенки получаются тогда, когда эта плоскость поляризации параллельна
одной из осей симметрии кристалла1). Из этих шести крайних оттенков,
которые можно наблюдать с николем на трихроичном кристалле, два по-
парно всегда одинаковы; направления колебаний (во френелевском смысле)
в этих случаях всегда совпадают (см. выше стр. 211).
Формулы (40) и (41) упрощаются, если нормаль к волне лежит
близко к оптической оси, например к Av Если угол д' между нор-
малью N и оптической осью At так мал, что его квадратом по срав-
хнению с единицей можно пренебречь, то Vй = Ь2. Если, далее, обозначить
угрл, образуемый плоскостью ^r^i, проходящей через N и Аг, с пло-
1 скостью оптических осей (Плоскость XZ), через у», то плоскость коле-
баний, проходящая через N и через одно из направлений колеба-
ний mJ, nJ, pj, образует с плоскостью XZ угол ~, так как по стр. 266
плоскость колебаний делит пополам угол, образованный плоскостями NAt.
и ХЛ2. Но так как N должно лежать непосредственно у оптической оси,
мы можем считать, что плоскость NAZ, проходящая через N и Л2, сов-
падает с плоскостью (Л^а) оптических осей, т. е. с плоскостью XZ.
Поэтому и между направлением колебания mJ, nJ, pj и направле-
нием, перпендикулярным к нормали N, т. е. к оптической оси А1} ле-
жащей в плоскости XZ, должен заключаться угол у у. Косинусы углов
направления S суть cos q, 0, — sin q, если д обозначает угол между опти-
ческой осью Аг и осью OZ, т. е. половину угла между обеими оптиче-
уними осями. Отсюда следует:
cos % = -mJ cos q — р/ sin q. (42)
Так как, далее, mJ, nJ, pj тоже перпендикулярны к нормали N,
ЕлЛ к оптической оси Alf у которой косинусы углов направления суть-
7*7 О’ COS q, то
0 = тп/ sin q + pj COS q. (42')
г дВух последних уравнений получается
Д. mJ = COS geos j, nJ = sin pj = —• sin geos %. (43)
k обыжаоЙОЖно оба оттенка получить одновременно, если вместо николя пользоваться
к енным исландским шпатом (дихроскопическая лупа).
304 Поглощающие тела[ОгдЛП^гд^Я
Так как т", п", р'' перпендикулярны к т, щ р и к т', п' и рЯ
то получаем отсюда для них значения: z Л
W ft W ff / 4 j
m =-—cos#sin-y, n = cos pn = smgsin f. (44fl
Поэтому, на основании (40), вблизи оптической оси имеем: Я
2Х]&2 = (a'2cos2# + с'2 sin2 q) cos2 у + &'2sin2 ~, ] .1
} (45)1
2х2Ь2 = (a'2 cos2# + c'2 sin2#) sin2у 4-6'2 cos2 у. j &
Из этих формул видно, что значение для какого-нибудь угла +у> j
равно значению для угла у» = от ± у. Для самой оптической оси эти ;
формулы становятся неопределенными, так как ip там теряет свой
-смысл. Поеврежним выводам (стр. 264) направление колебаний можно
выбирать по произволу. Из (40) следует, что для волны, поляризованной
в плоскости оптических осей, т. е. колеблющейся перпендикулярно ей,
2хвЬ2 = У2, (46)’
так как
= Я = nv = l,
так как
а для волны, поляризованной перпендикулярно плоскости оптически^
осей, т. е. колеблющейся в этой плоскости, ।
2х Ь2 = а'2 cos2 # + с'2 sin2 #, (47)^’
m„ = cos#, t;r = 0, vv = — sin#.
Для промежуточных положений плоскости поляризации получаем про-
межуточные значениея для «, лежащие между к, и нр. Поглощение волны,
распространяющейся в направлении оптической оси, зависит, таким обра-
зом, от положения плоскости ее поляризации.
Вводя величины х8 и я , можно переписать выражение (45) следую- "
щим образом:
= х cos2y+«ssin2у, я2 = я sin2^-+«ecos2^. (48)
с Li Li “ Li Li
У одноосных кристаллов (а = Ь, а' = У), если через д обозначить
угол нормали к волне с оптической осью, получаем непосредственно из
(40) для обыкновенной волны
702 = а2,
2я0702 = а'2, Г0* = аа, 1
а для необыкновенной I
2я87в2 = a'2 cos2 # + с'2 sin2#, 7е2 = a2 cos2 # + с2 sin2#. I
5- Интерференционные явления в поглощающих двуос
кристаллах. Поместим пластинку поглощающегр кристалла между
лизатором и поляризатором в сходящемся пучке света (все обозна
§ 5] Интерф. явления в поглощ. двуосных кристаллах 305
взяты из §§ 14 и 15 на стр. 282 и 285 и рис. 102). Волна Wlt колеблю-
щаяся в направлении НА, имеет при входе в кристалл амплитуду A cos 97,
_ 2я t
а при выходе — A cos goe Т v' , гд> I есть путь луча внутри кристалла.
Если через d обозначим толщину кристалла, а через —угол прелом-
ления волны ТГЪ то I ~ d : cos Аналогично этому, амплитуда волны
_ 2л ха
РК2 по выходе из кристалла равна Л single т v" (мы принимаем, что
i пути обеих волн в кристалле приблизительно одинаковы). По выходе из
анализатора мы имеем, следовательно, для амплитуд волн:
, , . — *iCTi 2л d
A cos g? cos(g> — %) • е , = —>--------
Т л/ ’ 1 TV cos г’
. (50)
A sin 9? sin (?> —- %)-в K2°a, 0-2 = ^——.
1 т vUib г •
Разность фаз между волнами д определяется при сходящемся пучке
по формуле (88) стр. 286.
Рассмотрим подробнее случай скре-
щенных \иколей (%== у)’, возьмем пла-
стинку, вырезанную перпендикулярно
Е к оптическо ' ' .
через у) угол, образованный прямой
МА1} соединяющей лежащую вблизи
оптической о£и точку М поля зре-
ния х) с ось Аг, и плоскостью Лх42
оптических осей; тогда направление коле-
бания Hj образует с направлением АгА2
приблизительно угол , если АгМ
мало по сравнению с AXAS (рис. 113).
рЕсли, далее, плоскость колебаний Р поля-
ризатора образует угол а с плоскостью
^Дует положить д> = а — % = у •
Учей пол \ чаем
оси (АД и обозначим
4
Рис. из.
оптических осей, то в (50)
Для амплитуд
+ 4 cos (a— shpa — в
— A sin (а — -0 COS (а —
а —
интерферирующих
(51)
2nd
° = ~ТЬ~ ’
S7 <*к вблизи оптической оси V' ~ V" = b, ar должно быть мало.
, ^злачные точки поля зрения отвечают (по стр. 287) различным наклонам
•Исходящих через кристаллическую пластинку.
“i — Оптика
20
306 Поглощающие тела [Отд. III, гл. IV,
' ' г
Поэтому энергия света, выходящего из анализатора, дается выраже-
нием
Е — ~ sin2 (2а —у) х •
х ( е~^° + е-2^ _ . cos <3j. (52)j
Б выводу для самой оптической оси приходим путем следующих рас^
суждений: падающая амплитуда А разлагается на две составляющих—^
параллельную и нормальную к плоскости АгА2 оптических осей. Пусть!
эти составляющие будут Л cos а и A sin а. По выходе из кристалл^
первая имеет значение A cos ае~Кр\ а вторая — A sin ae~*sa. После ана-'
лизатора амплитуда первой составляющей будет A cos a sin ае~**а, а втот
рой — A sin^ cos ae~*s°. Разности фаз д у этих волн нет, так как скорость
распространения для обеих волн в направлении оптической оси одина-
кова. Следовательно, для энергии света, выходящего из анализатора nd
направлению оптической оси, имеем I
Е' = sin 2а ( е~ <Г V)2. ' (53)-
Если первый множитель в (52) приравнять нулю, найдем положений
темной главной изогиры = 2а). Но у неокрашенных кристаллов чернаЛ
изогира проходит через самую оптическую ось, а у плеохроичных крия
сталлов ее прерывает светлая точка на оси, если а не равно как раз Л
или у, т. е., если кристаллическая пластинка не находится как рЛ
в первом главном положении; в самом деле, по (53) Е' отлично от. нуля
если sin 2а О и не равно хв. Я
Если приравнять нулю второй множитель в (52), получаются темный
кольца вокруг оптической оси, так как этот второй множитель зависия
от cos д, а этот последний периодически переходит через максимум и мни
цимум при удалении от оптической оси. При однородном освещении эти
кольца, однако, являются вполне черными только в тех местах, где
е. по (48) для = так как там при cos <5— 1 второй множи*
" я
тель действительно пропадает. Вся картина колец смазывается тем болеез
чем сильнее оказывается поглощение, т. е. чем толще пластинка, тая
как член (52), зависящий от разности фаз <5, содержит множитель, eotoJ
рый по (48) может быть написан так: Если наш кристалл дейч
ствиТельно окрашен, то, по крайней мере, один из двух показателей по-?!
глощения ир й и, должен быть отличным от нуля, т. е. при достаточной
большом <г, или, иначе говоря, при достаточной толщине пластинки «
этот член пропадает, а вместе с ним и влияние 6. В этом случае втором^
множитель в (52) может быть написан так:
р — е-2’<1®-4-е-2’‘2в. Х54>
307
§ 5] Интерф. явления в поглощ. двуосных кристаллах
Несмотря на большие а, эти члены могут иметь заметную величину,
так как для определенных точек поля зрения М хг или х2 могут быть
малы, если мал один из показателей хр или Можно однако доказать,
что F для == 0, п обращается в максимум, а для у = у — в мини-
мум, так как по (48)
Д— = <г sin гр (х — х) (e-2*1*— е"2*80);
поэтому максимумы ' и минимумы получаются при гр — 0, л; и при
х == и2, т. е. гр = i ~. Для гр = 0, п имеем
Р = e-2v + e-’V = Fit (55)
адля^ = ±у
р = 2е~(хр^а = Р2. (56)
Если положить
— 2к а _ — 2х <г
е р = х, е g = у,
то
Так как, однако, арифметическое среднее всегде больше геометрического
(эта разница тем больше, чем больше отличаются друг от друга х и у, т. е.
хр и х9), то значение гр — 0, п отвечает максимуму, а |>=± у—мини-
муму F.
Поэтому кроме главной изогиры (гр == 2а) в поле зрения всегда
имеется еще черная полоса, нормальная к плоскости оптических осей
у (V «= i £1 Она совпадает с главной изогирой во втором главном поло-
Гжении кристаллической пластинки («= j).
В' Поглощение вызывает особые явления, наблюдаемые уже при сня-
ЦР011 поляризаторе или анализаторе. В первом случае из кристалличе-'
пластинки выходят две волны с амплитудами A cos а {а — £ е~*1в и
h (а — £ колебания которых взаимно перпендикулярны.
* они не приводятся к одному общему направлению колебаний, они
*Рферировать не могут, и результирующая энергия получается просто
.сУмма энергий обеих составляющих. Поэтому имеем
L Е = Jl2 {cos2 {а — £ гр') е~2*lff + sin2{а — £гр) 0*~2*2<т}. (57)
якя л
самой оптической оси получаем
Е' = A2 {cos2ае~2*?а 4- sin2 ае }•
L5
.ih'
- 20*
308 Поглощающие тела [Отд. III, гл. IV'
Рассмотрим два следующих главных случая:
1) а. = 0. Тогда
Е' — A2 (cos24 2х1° + sin24 ve~2xta\t
Е' = А2е~2кра.
Так как
dZ? . ( / \ / • в 1 —2x2ff n„n2 1 _—2х1<т\ . в КЪ —в Х1°|
~ sin у { а(A — (sin8 7 Уе — cos2~v>e )Н----------------%-------]>
то
= 0 дм v> = о, я и ip = ± J .
Для у 0, я, E = El = A!t-e~2V; i
для v> = ± i Е = Е2 =
Если поэтому хр < х8 (И тип, кордиорит, эпидот), то Ег > Е2, т. е.
темная полоса, пересеченная светлым изображением оси, расположен^
перпендикулярно плоскости оптических осей. Но если хр>х8 (I тппг
андалузит, титанит), то Е2 > Ev Теперь темная полоса лежит в плоскости
оптических осей и не прерывается направлением оси.
2)a=f: |
Е — A2 (sin2 4- v,e~2xi<T + cos2 4 уе~2к2а\, j
Е' = А2 • е~2к*а. ]
Для = 0, лг, Е Ег = А2 • е~2к*°, ]
Для Е = Е2 =А2 • e~(*p+*g) °; I
£ w
Если поэтому ^<и8, то Е1<Е2, т. е. темная полоса лежит в плб!
скости осей и переходит через ось. Если же кр >xs, то Ег > Е2, т. е. тем!
ная полоса расположена нормально к плоскости оптических осей; он!
прерывается светлым изображением осей.
Если убрать как анализатор, так и компенсатор, ‘ т. е. рассматривать
вырезанную нормально к оптической оси пластинку двуосного, плеохроич-
ного кристалла в проходящем естественном свете, то получается
' Е = А2 (е~2к1а + е~2къ°), (59)
а для самой оптической оси: j
Е- = Л! (e~2V + (60|
так как естественный свет можно- рассматривать как наложение Л
некогерентных составляющих равной амплитуды, колеблющихся в ЯН
6] Мнтерф. явления в поглощ. одноосных кристаллах 309
произвольных, взаимно перпендикулярных направлениях. Поэтому в (60)
2^.3 обозначает энергию падающего света. Так как мы уже выше уста-
новили (стр. 306, формула 54), что выражение (59) имеет минимум для
± то в этом случае мы видим проходящую нормально к пло-
скости осей темную полосу, перерезанную более светлым изображением
оси. Эти осевые фигуры, появляющиеся в естественном свете, были на-
блюдены еще в 1819 г. Брюстером. Их легко наблюдать на андалузите
। я эпидоте х).
► 6, Интерференционные явления в поглощающих одноосных
кристаллах. Пусть кристаллическая пластинка вырезана нормально
к оптической оси.
1. Скрещенные николи. Пусть плоскость колебаний поляриза-
тора образует угол (р с прямой AM, соединяющей оптическую ось с точ-
кой М поля зрения в каком-нибудь поляризационном приборе для сходя-
щегося света. Тогда AM есть направление колебаний Н необыкновенной
волны, которая поэтому по выходе из кристалла имеет амплитуду
4со8фе~*Л а по выходу из анализатора—амплитуду A cos у sin<pe~*A
Амплитуды обыкновенной волны — па выходе из кристалла Л sin
а по выходе из анализатора — A sin у cos^e~*<?. Поэтому энергия света,
выходящего из анализатора, равна
I + (61)
> '
На оптической оси х0 = хв, <3 — 0, и поэтому
Е=0. (62)
j,' Получаются интерференционные кольца, которые, однако, пропадают,
й если кристаллическая пластинка имеет такую толщину, что поглощение
Гложет проявиться в достаточной степени. Поле зрения пересечено темным
j^pecTOM ср = 0, , ветви которого расположены параллельно направле-
ИУЯМ колебания в анализаторе и компенсаторе. В тех кристаллах, у ко-
рРых а'2 очень мало (см. (49) на стр. 304), но с'2 имеет значительную
^₽ичину (I Тип, платино-синеродистый магний), т. е. у которых погло-
EJJJJ6 в направлении оптической оси мало, поле зрения, за исключением
представляется светлым. Напротив, в кристаллах II типа (турма-
У которых а'2 велико, а с'2 мало, поле зрения везде представляется
ИИЬ Налицо только анализатор или поляризатор. В обоих
получается одна и та же картина. Если налицо только поляри-
и если его плоскость колебаний образует с направлением AM
давО to» °аеРжание этого и следующего параграфов взято из работ Фохта, изложе-
*W>oio0,ptax см. у F. Pockels, Lehrbuch der Kristalloptik, 389. 1906. См. также
- У ПМОло * Ann- d Р11У8 20> 108> 1906; 27, 1002, 1023, 1908 (коническая рефракция
. 9 вчных кристаллов).
[Отд. Ill, гл/
310
Дисперсия тел
угол у, то энергия необыкновенной волны будет A2 cos29?e-2Vt а э
гия обыкновенной — Л2 sin2^-2*0'7. Поэтому
Е =ч Л2 (sin2 д?е"~2*0<7 + cos2 (ре~2к«а).
На оптической оси я0 = т. е.
Е' = Л V2V . (g
В кристаллах первого типа (х0 < хе) получается поэтому темная ц
лоса при (р = 0, п, т. е. параллельно направлению колебания, следоС
тельно, нормально к плоскости поляризации поляризатора. Темная ш
лоса прерывается светлым изображением оси.. Я
В кристаллах второго типа получается темная полоса ш
<р = ± , т. е. она лежит параллельно плоскости поляризации полян
затора. Темная полоса проходит через ось. Ц
3. Походящий естественный свет. Энергия обыкновенЛ
волны энергия необыкновенной волны, колеблющейся перпн
дикулярно ей, — А2е~2*°', поэтому /|
Е = А2 (е 0 + е * J. (Я
На самой оптической оси х0 = ^, т- е-
Е' = 2A2e~iK°a. (Я
2А2 обозначает энергию падающего естественного света. В крпстал J
первого типа появляется светлый след оси с темным окружением, в кЯ
сталлах второго типа — темный след оси со светлым окружением. Я
ГЛАВА V.
ДИСПЕРСИЯ ТЕЛ.
1. Теоретические основания. Мы придем к теории, хорошо oni
вающей наблюдаемые явления, если положим, ччто мельчайшие част!
тела (молекулы или атомы) способны совершать собственные колеба!
Они возбуждаются сильнее или слабее, смотря по тому, насколько бл!
период их колебаний совпадает с периодом колебаний падающих иг
световых колебаний г). Легко представить себе, что такие колебания j
*) Первую идею о том, что явления дисперсии могут быть объяснены собстЙИ
ными колебаниями, следует приписать Френелю; она затем была развита Коши. Parti
указывает (Phil. Mag., 48, 151, 1899), что первая попытка теории аномальной *•<
Персии принадлежит Максвеллу (Cambr. Calendar 1869, Math. Tripos. Examon), одной
его работа осталась неизвестной. Независимо от него появились теории Зельмейеи
Гельмгольца и Кеттелера. — Наличие собственных колебаний молекул можно оправдая
с различных точек зрения, в том числе с точки зрения механической теории свеА
В электрической теории собственные колебания могут быть введены двумя разлм
ными путями (по Гельмгольцу и ?о Колачеку); тот путь, которым мы здесь польвуемЯ
основывается на представлении Гельмгольца в изложении Рэйффа (Theorie шо!есиЯ
elektrischer Vorgange, 1896), которое допускает и другие интересные применения.^!
представления отличаются большей наглядностью. Исторический ход развития
.дисперсии см. Pfliiger, Kayser Handbuch der Spektroscopie, IV, 247. 19OS. JBRq
§ 1]
Теоретические основания;
311
буждаются световой волной, т. е. колеблющейся электрической силой; для
этого нужно распространить на нашу область вытекающее из явления
электролиза представление о том, что каждая молекула тела состоит из
положительно и отрицательно заряженных атомов или группы атомов, так
называемых ионов. Нет необходимости отождествлять их с ионами, полу-
чающимися при электролизе,, потому целесообразнее всего было бы вве-
сти для их обозначения другое слово — например электроны. Но так как этим
словом принято обозначать совершенно определенный вид частиц, то здесь
мы все же будем пользоваться более общим понятием «ионы»х).
В проводнике иены могут двигаться свободно, а в изоляторе имеются
некоторые положения ^равновесия, около которых они могут колебаться.
Сумма зарядов положительных и отрицательных ионов должна в каждом
элементе объема равняться нулю, так как ни в одной точке тела, не заря-
женного снаружи, не имеется свободного электричества.
Рассмотрим сначала только положительные заряды и обозначим через ег
заряд положительного иона, через тг его весомую массу, а через & сме-
щение этой последней из положения равновесия вдоль по оси, ОХ] тогда
уравнение движения этого иона должйо иметь вид:
т da£i __ -6-v . 2 (1 \
где X есть составляющая по оси ОХ внешней электрической силы2);
f ехХ обозначает полную внешнюю силу.
Второй член правой части есть сила (упругая), возникающая при смещении
ионов и стремящаяся их вернуть в исходное положение. Множитель ех2
должен показывать, что знак этой силы не зависит от знака заряда.
Третий член правой части обозначает силу трения, противоположную на-
правлению движения иона. И в этот член введен множитель в12, по той
же причине, что и выше. тъ суть положительные постоянные.
। Смысл станет понятным, если определить положение равновесия ионов
. под действием силы X: если не зависит от времени t, то из (1) сле-
U’ Дует:
(2)
# указывает поэтому на большую или меньшую легкость, с которой
ионы могут быть смещаемы из их положения равновесия, т. е. так
ааать, пропорционально обратной величине упругого сопротивления (или
эффициенту упругости). Для проводника следует положить равным оо.
Совершенно такое же уравнение можно написать и для отрицательно
Таенных ионов:
т _ е у * V е 2
772 2 ^2 — Ь2 Т2ва .
£5
(3
'^Изложение теории Друде — Фохта см. V. Wolf и. V. Herzfeld, Absorption
k l?Persion, Handbuch der Physik (Geiger und Scheel), 20, 483, 1928.
*e величины (ej, X) должны быть измерены в электростатических единицах
®в (О имело бы место и в том случае, если бы масса иона т1 была равна нулю,—
ходимо было бы принять во взимание проявляющуюся при его движений
312 Дисперсия тел [Отд. III, гл. N
т2, $2, г2 и здесь положительны, а е2 отрицательно. Электрический
поток"по оси ОХ составляется таким образом из трех частей:
1) Поток, равный по величине тому потоку, который имел бы место
в свободном эфире (при отсутствии весомой материи) под действием
силы X. Электростатически измеренная плотность соответствующего тока
по (13) (стр. 223) имеет значение
(?) = — —. (4) '
2) Поток, возникающий вследствие смещения положительных зарядов, j
Если смещение за элемент времени dt равно и если через N' и X" j
обозначить числа положительных ионов, приходящихся на единицу длины |
и на единицу поперечного сечения, то количество электричества, прохо-
дящее за время (% через единицу поперечного сечения, получается рав-1
ным
e^'-d^N'^e^d^,
где X\ = N'-N" обозначает число содержащихся в единице объема'!
ионов из группы (1). Поэтому за единицу времени через единицу попе-
речного сечения проходит количество электричества |
(5)'
где есть частная производная по времени, (yjj обозначает плотность i
тока, вызываемого движением ионов группы (1). j
3) Поток, возникающий вследствие смещения отрицательных ионов, j
Совершенно аналогично предыдущему имеем: |
(6)1
так как смещение отрицательного заряда по отрицательной оси ОХ дает j
ток, направленный вдоль положительной оси ОХ. |
Полная плотность тока по оси ОХ равна, следовательно, |
X = (Уж)о + (Л)1 + (УЛ = yjf + dQt 4- e2N2^2). (7 и
Подобный же вид имеют выражения для составляющих по оси О Y
и оси OZ. ;
Так как в каждом ограниченном объеме свободных зарядов не имеется,,
должно иметь место соотношение ’
+ e2N2 = 0. (8):
Мы попрежнему будем исходить из основных уравнений (7) и (11^
(стр. 221 и 223) теории Максвелла; положим магнитную проницаемости
равной [л — 1, так что &л8х — ~ и т. д. Таким путем мы получаем Й?
этих основных уравнений и из уравнений (1), (3) и (7) теоретически^
основу, совершенно достаточную для разъяснения всех явлений дисперсий-
U1
Теоретические основания
313
Легко написать общий интеграл дифференциального уравнения (1) и
(3), если принять, что X есть периодическая функция времени. Тогда
ц z|a оказываются пропорциональными такой же периодической функции
времени; сюда прибавляется некоторый «член, который представляет соб-
ственные колебания ионов, — колебания, происходящие согласно (1) и (3)
при X = 0. При рассмотрении стационарных явлений этим членом, однако,
можно пренебрегать, так как он затухает с течением времени вследствие
наличия сопротивления трения гг и г2. Мы можем поэтому положить
= £2 = А2в*~, (
Т-Лп,
(10)
где Mt и А2 суть некоторые функции координат, пока еще не определен-
ные, но уже не содержащие времени, а Т обозначает период внешней
силы, т. е. световых колебаний. Собственно говоря, и обозначают
только действител'ные части представленных в (9) комплексных величин,
однако мы можем их приравнивать самим этим величинам, а в конце
выкладок опять вернуться к физическому смыслу их, т. е. к их действи-
тельной части. Этим ход вычислений ’значительно упрощается.
По (9) имеем
dt dt2
поэтому (1) можно представить так:
р t (а I _2 w#iA _ 2а у
X?1 1 ’ т 4 л; т2 4 4 л ’
откуда, если положить
ai — 4 л’ С?1-4ле12’
следует
(11)
(12)
(13)
Заменяя индекс 1 на индекс 2, получаем подобное же выражение для
ег^2- Но (7) получаем
>• = 4- ^N1 4-
!х 4 л < | 1 ' 1
14---«1---s 14— аг---‘
I т т2 т т2
(14)
сравнивая эту формулу с прежней формулой (17) (стр. 225) /ж =
Вед?Идим, что место диэлектрической постоянной занимает комплексная
^йна, зависящая от периода колебаний Т~тЛл:
£' == 1 + S—xr~bh ’ (15)
h i и- г~ -_J*,
т т2
Для упрощения положено
31 £
Дисперсия шел
[Отд. Ill, гл. V
Знак суммы должен быть распространен на все отдельные, способные
колебаться ионы; в случае надобности можно принять, что число групп
с различными свойствами больше, чем два. Эти группы в этом случае
(быстрые колебания световых волн, изоляторы) не следует отождествлять .
с ионами тех видов, которые наблюдаются при электролизе.
Константы уравнения (15) могут быть истолкованы еще более на-
глядным образом. Для очень медленных периодов (медленные элсктри- S
ческпе колебания, электростатические опыты) по (15), если г== оо, имеем J
,=4=1+2#/. (16)
Здесь г обозначает диэлектрическую постоянную, характерную для.
этой области явлений. Величину можно определить по уравнениям (2)<
и (13) как диэлектрическую постоянную группы ионов к. Окончательной
наченле для диэлектрической постоянной получается таким образом,;
в виде суммы диэлектрических постоянных эфира и иопов всех отдельных’
видов. !
Далее, постоянная bh связана с тем периодом собственного колебания
каким обладала бы группа ионов к в том случае, если бы мы пренеб-j
регли коэффициентом трения ан. Для этого случая (Х = 0, аъ~ 0)
из (1) и (111 следует:
(17);
Но выше (стр. 292) мы видели, что комплексное значелчпе диэлектри-
ческой постоянной связано с поглощением света. Если через п обозначить^
показатель преломления, а через х показатель поглощения, то, на осно-
вании указанных выводов (см. формулу (И) стр. 293 и формулу (15)
настоящей главы), имеем:
е' = п2(1
/х)2 = 1 + V
1 + г-л-
1 т
(18)
Из этой формулы можно, отделив мнимую часть от действительной,
получить два соотношения, из которых получаются п и х г).
2. Расширение теории (теории Планка и Лоревтна)2). Вышеприве-
денные рассуждения являются отправным пунктом для теории дисперсии
в ее простейшей форме; они однако не вполне строги. Уравнение (4) оп- 1
.ределяет X как силу электрического поля в эфире, тогда как в уравне- 3
нии (1) под X следует понимать ту силу, которая приводит ион в ДвЯш
жение. Оба эти понятия, однако, вообще говоря, не тождественны, что
а) Вышеизложенная теория Друде основана па представлении о волнах стро^^В
периодических и неограниченных во времени. Вывод значительно затрудняется, ес^^Н
отбросить хотя бы одно из этих ограничении. Вопрос о распространении ограничении
ной во времени серии воля в диспергирующей среде подробно разобран ЗоммеиИ|
фельдом {A. Sommerfeld, Ann. d. Phys , 44, 177, 1914; L. Brillouin, Ann. <1. Phys.,
203, 1914; см. также О. Хеольсон, Курс физики, IV, 535, 1915). Такой свето^уД
„сигнал" при распространении непрерывно деформируется. Фронт его бежит впеЛ^ Д
со скоростью, близкой к скорости света в пустоте; скорость распространения пр<лР Д
части сигнала близка ь групповой скорости (см. стр. 299). В- рочем, понятие (у®0* fl
следной весьма усложн <ется в области аномальной дисперсии. ; fl *fl
2! См. G. Jaffe, Hendbuch der Experimental ph ysiK (ИТ v< tirr! HarmX 19,19,19-“' Д
§2|
Теории Планка и Лорентца
315
учитывается в теориях дисперсии Гельмгольца, Лорентца г) и Планка.
На достаточно близком расстоянии от иона сила поля в эфире может при-
нимать различные, в том числе весьма большие, положительные или от-
рицательные значения; в среднем она равна, очевидно, значению силы
поля в точке Р, лежащей между ионами симметрично к ним, по возмож-
ности на одинаковых расстояниях от них. Это среднее значение и при-
нимается за силу поля X в уравнении (4); заряды ионов на него не
оказывают влияния, так как их действия на Р должны взаимно уничто-
жаться в силу симметричного положения Р. Действующая на ион воз-
буждающая сила есть сила в точке пространства, занимаемого ионом,
в том случае, если мысленно удалить заряд иона, так как ион может
прийти в движение только под влиянием внешних сил, а не внутренних,
которые исходили бы из него самого. Представим себе для начала, что
ионы находятся в*своих положениях равновесия; в этом случае каждый
ион расположен симметрично по отношению к другим ионам, т. е. влия-
ния соседних ионов в занимаемой им точке взаимно уничтожаются, и зна-
чение возбуждающей силы совпадает со средним значением X силы поля
в эфире. При наличии только одной группы ионов возбуждающая сила
для ионов, смещенных из положения равновесия, тоже была бы равна X,
так как и в случае смещенных ионов каждый ион расположен симметрич-
но по отношению к другим ионам той же группы, в силу нашего пред-
положения, что расстояние между ионами мало по сравнению с длиною
волны, т. е., что ионы одной группы, расположенные в ближайшем сосед-
стве с рассматриваемым ионом, смещаются на одну и ту же величину.
Обстоятельства меняются, однако, при наличии нескольких групп ионов.
Если ионы ег сместились па величину а ионы е2— на величину £2,
то ион е, расположен уже не симметрично по отношению к ионам е2,
а смещен из положения равновесия на величину по направле-
нию положительной оси ОХ относительно ионов группы 2, и поэтому
Должен испытывать со стороны этих последних электрическую силу, про-
порциональную — e2N2 (£х—£2), если смещение £i~£2 достаточно мало.
Для множителя пропорциональности получаем") величину —; поэтому для
«илы X'. возбуждающей ион е1? имеем
X' = X - уЧМ (5, -
d F. а. Лорентц, Теория электронов, 1934, гл. IV; II. A.^Lorentz, Encyklop.
• ИаЩ v.iss. V 2, № 14, 1903.
этому выражению проще всего можно прийти, рассматривая действие поля-
u ванпой сферы на какую-нибудь внутреннюю ее точку. Как известно, однородно-за-
ейный шар действует на внутреннюю точку с силой F — —: г2 — ngr. Здесь
Стояние точки от центра, о — объемная плотность; F направлено по радиусу — от
лРа положительном q и к центру при отрицательном. Поляризованную сферу
рассматривать как совокупность двух противоположно заряженных сфер,
которых смещены на расстояние Тогда легко показать, что равнодействующая
п аствующих па точку со стороны двух сфер, всегда равна — и направлена
® текстЛьно Заменив еще р через Ne, мы и придем к формуле, фигурирующей
t " е. Прим. ред.
к
316
Дисперсия тел
[Отд. III, гл.
Планк принимает только одну группу подвижных ионов; поэтому
следует положить £2 = в СИЛУ соотношения (8) можно написать
= ~exN^x.
Подставляя это значение X' в уравнение движения (1) вместо Хг
получаем
т — р X__________ Лггр 2? [ J_ _ tS)_r р 2 1’1
"Ъ ^2 --- *Л('1 Ч g у '14 ,
а вместо (13) имеем:
значения из (Г*).
ад
1 — ~ NДх 4- — ах
где ах и Ьх сохраняют свои прежние
Вместо (18) имеем, следовательно,
е = п2 (1 — zx2) = 1 +
Ъл
т3
ИЗ'),;
I
i
(18'Х
При рассмотрении влияния нескольких подвижных групп ионов формулы
сильно усложняются; в особенности это сказывается на зависимости е от т2,
которая по сравнению с формулой (18) формально изменяется и усложни-,
ется. Планк этого расширения в свою теорию не вводит; действительно,
в первом приближении можно при рассмотрении оптических свойств
в одном случае обойтись только с одной группой подвижных ионов, именно
в том случае, когда рассматриваемые периоды колебаний не очень близки
к собственным периодам колебаний ионов и подходят значительно ближе
к одной определенной группе периодов колебаний (например к ультрафиоле-
товой группе), чем к другим. С подобным случаем приходится сталки-
ваться часто; в первом приближении можно тогда считать, что ионы
с ультрафиолетовыми собственными периодами колебаний составляют одну
подвижную группу ионов с некоторой определенной средней собственной
длиной волны; ионы с инфракрасными собственными колебаниями можно
считать неподвижными. Но для всего спектра это приближение не
справедливо: в этом случае следовало бы развить теорию для нескольких
подвижных групп ионов. g
Теория Планка отличается от других теорий дисперсии еще в том от!
ношении, что причину затухания1) ионов она видит главным образоад
в потере на излучение самих ионов: изменение скорости иона равносильна
изменению силы тока; при этом, однако, всегда должна возникать элек!
тродвижушая сила (самоиндукция) в эфире что и означает излучение
энергии. Рассматривая вопрос с этой точки зрения, можно получить!
после нескольких преобразований, соотношение Я
у. __ 2 * 4 л2 тг, 2 . 4 тсв-у- 1 j
1 3 с3 7^ 2 Зе3
2) Jaffe. 1. с., 263: см. также ниже отд. IV, гл. II, § 3, стр. 448. -1
§21
Нормальная дисперсия
317
где с обозначает скорость света в пустоте, т. е. с = 3 - Ю10 см/сек, a Th
период собственного колебания понажвычисленный по (17).
гЭто воззрение Планка на причину затухания приводит, однако, вообще
говоря, к слишком малым значениям показателя поглощения х; таким
образом для сильно поглощающих тел, в том числе, например, и окрашен-
ных, кроме затухания излучения вероятно должно быть введено еще за-
тухание от трения.
Совершенно иное воззрение па природу затухания развито Г. А. Лорент-
цом1)- Он предполагает, что внутри молекулы никакого трения не суще-
ствует, но что молекула колеблется как незатухающая система только
в течение короткого промежутка времени между двумя последовательными
столкновениями с другими молекулами. При столкновении же молекула
сразу теряет всю накопленную колебательную энергию. Путем сложных
вычислений Лбрентц показывает, что при одновременном испускании
света многими молекулами результат будет в среднем таков же, как если
бы каждая молекула обладала постоянным затуханием. Чтобы определить
это затухание, надо знать упомянутый выше промежуток времени между
двумя столкновениями. Сравнение с действительностью показывает, что
здесь, в противоположность теории Планка, вычисленные значения затуха-
ний больше наблюденных на опыте.
Кроме затухания, может существовать еще одна причина расширения
спектральной полосы, а именно, в связи с так называемом принципом
Допплера. Об этом см. ниже отдел IV, гл. III, § 8 и 9.
В дальнейшем изложении мы будем придерживаться выводов § 1, так
как строгая теория при наличии нескольких групп электронов является
очень сложною. Главные результаты вполне могут быть получены из при-
ближенной теории, изложенной в § 1. Лишь в некоторых вопросах мы
будем обращаться и к более строгой теории, в частности к формуле (18')-
3. Нормальная дисперсия. В прозрачных телах мы не замечаем
поглощения. Для этих тел мы должны принять, что коэффициенты
1рения ап очень малы, так что членом можно пренебречь по сравне-
пию с членом 1 — —. Это можно сделать всегда, если только период
к снета Т не слишком близок к периоду собственного колебания иона Th,
как иначе было бы равно 1, и мы имели бы поглощение даже
S? Малом ah- Поэтому под прозрачными телами мы будем понимать
и собственные колебания которых не совпадают с периодами света,
°эффициенты трения которых весьма малы. В этом случае, яренебре-
V’ получаем для правой части (18) действительное значение, так
. * становится равным 0, и показатель преломления становится равным
(19)
1935
I. с., 258.
Теория электронов, стр. 391
(примечание 57), ОНТП,
318
Дисперсия тел
[Отд. III, гл. V'
Когда периоды собственных колебаний заметно отличаются от периодов^,
колебания падающего света, то выражение для п2 можно разложить в быстрой
сходящийся ряд. Следует отличать собственные колебания в ультрафиолетов
вой области tv от собственных колебаний в инфракрасной тг. В первом!
случае — есть малая дробь, так что
1 /т'\2/т'\4 I
----У—--=1-|-(-М + ... (20
/ Tv \2 \ Т j 1 \ Т / ‘
Во втором случае есть малая дробь, поэтому
7г -
___1
1 —( —
Пользуясь этими рядами и
и (17), получаем вместо (19):
/ \2
1 — ——
,2
введя вместо т самые периоды Т из\(10;
2
п2 -
у2
-Т2У^--Т*У ~
Ш Тг Тг
(22)‘|
Зависимость п от Т для прозрачных тел очень хорошо укладывается 1
в формулу с четырьмя константами:
П= = -4'Р + 4 + ^+^-;
(23)|
где А', А, В, С — положительные величины. Мы узнаем в (23) наши;
ряды (22), оборванные на четвертых членах, и можем теоретически1
объяснить, почему все константы А', А, В, С должны быть положи-
тельны. Далее, из сравнения формул вытекает физический смысл свобод-
ного от Т члена А дисперсионной формулы:
4 = 1 + (24)
Гак как по (16) диэлектрическая постоянная s равна |
то имеем j
к-4 = £*>;; (25)!
иначе говоря, разность диэлектрической постоянной и свободного член®'
дисперсионной формулы всегда положительна и равна сумме диэлектрй-1
ческих постоянных ионов, собственные колебания которых лежат в инфра -
красной части. Этим и объясняется вышеупомянутое (стр. 231) разЛй
гласив с опытом первоначальной теории Максвелла. / 9
Нормальная дисперсия
319
Это различие между значениями е и А должно иметь место во всех
случаях, когда дисперсия не может быть представлена трехчленной
формулой *
«2 = Л + ^ + ^, (26)
так как появление коэффициента А' в формуле (23) обусловливается как
раз ионами, собственные колебания которых лежат в инфракрасной
части. Поведение воды дает блестящее подтверждение этому положению,
так как среди , всех прозрачных тел коэффициент А' четырехчленной
формулы дисперсии имеет наибольшее значение именно для воды; в пол-
ном согласии с этим фактом стоит то, что вода, с одной стороны, обла-
дает исключительно большой—по сравнению с другими телами — погло-
щательной способностью в инфракрасной области, а с другой — и
наибольшим средн всех тел значением разности е — Л. Принимая наличие
только одной полосы поглощения в инфракрасной части, можно вычи-
слить ее положение из А’ и е— А. Действительно, по (22), (23) и (25)
имеем
А' •
По Кеттелеру г) для воды
А' = 0,0128 • 108 • с2 сек~2,
где с = 3 • Ю10. Далее, е —Л = 77. Отсюда можно вычислить длину
волны (в воздухе или пустоте) этой инфракрасной полосы поглощения:
т. е.
Я2 s С2Т2 = 77 . К)-8 = 60 • 1(Г6,
Т Т (J,U1^O
\ = 7,75 • 10~3 см = 7,75 р. (28)
И Действительности вода обладает в инфракрасной области не одной,
Ь н®еколькими полосами поглощения (3 р, 4,7 р, 6 р, 6,5 р)2).
" экспериментальное подтверждение дисперсионной формулы (19) было
йЬ^Чено на ряде других веществ — стекле (флинт), плавиковом шпате,
до ?^е’ каменной соли, сильвине, на большом интервале длин волн —
аи ^амых длинных инфракрасных. Если (19) написать в несколько ином
»2=1+2^+2
жни, „
то же самое:
.2
й
(29)
2) cl’ L с- 127-
4t- Jaffe, ]. с. 308.
320
Дисперсия тел
[Отд. III. гл. V
то легко видеть, что Ъ* 2 должно быть тождественно с диэлектрической
постоянной е. Действительно, у перечисленных тел и2 хорошо прелста-,
вляется формулой (29); так, для кварца (обыкновенный луч) постоянные
трехчленной формулы таковы х):
Мг = 0,0106,
М2= 44,224,
М3 - 7105,
Здесь предполагается, что = S'
Эти семь постоянных М
влетворять уравнению
Я2 = 0,010627,
Я2 = 78,22,
Я32 = 430,56, Ъ2 = 4,58.
Тлс; длины волн выражены в н 2)..
з, ^з, Ь2 должны по (29) удо-1
62-1 = у^ = ^+^+^. I (зо)
АЛА, .
12 3
Правая часть в данном случае равна 3,2; для левой части имЖем 3,61
Этя разность вызывается молекулярными группами, собственныеупериоди
которых лежат настолько далеко в ультрафиолетовой области; что для!
них можно положить т}1 = 0. Если сумму их диэлектрических постоян-
ных обозначить через то по (29)
Тогда вместо (30) получаем |
Ь2_1_у^ = ^_ (зо'й
Но диэлектрическая постоянная кварца по опытным данным равваа
& = 4,45, что вполне удовлетворительно совпадает с значением Ъ2 = 4,58|
Еще лучшее совпадение получили Фукс и Вольф 3 *) при применения
формулы Лоренц-Лорентца вида охватывающей облаетя
п • -Д
длин волн от ультрафиолетовых до бесконечно длинных; для NaCl и К(Я
Ъ2 получается равным 5,87 и 4,79, тогда как наивероятнейшие значения
диэлектрических постоянных (из ряда экспериментальных данных) сут\
5,82 и 4,75.
«Мы указывали, что разность между е и А по формуле (25) указы-
вает на наличие собственных колебаний и поглощения в инфракрасной
области; отсюда нельзя, однако, сделать обратного заключения о полном
отсутствии этих колебаний и поглощения в случае совпадения значений
диэлектрической постоянной е и свободного члена А; по (25) это зна-
чило бы только, что диэлектрические постоянные О'г этих групп ионов,
т. е.
г) Mullev-Poiiillet, Lehrbuch der Physik, 2, 1632, 1929.
2) Если Mh и Лл2 выражены в абсолютной системе, т. е. в сантиметрах,
приведенные в тексте значения следует умножить на 10~8, так как 1/г = 10~‘\'.м.^И
3) О. Fuchs и. К. L. Wolff. Z. S. Phys. 46, 506, 899, 1923. Лш
Сводку новейших данных см. Jaffe, 1. с., 172. дКД
Вычисление электронных констант
321
сОбственные колебания которых лежат в инфракрасной области, имеют
очень малые значения, но несмотря на это, все же при т = может
иметь место заметное поглощение, з;ак как по (18) в е' входит тогда
член • Этот член по (12) равен — i • 2TrNr: rri где г обозначает
сопротивление трения [уравнение (1)]; он сохраняет поэтому конечное
значение, даже если &г очень мало. Действительно, у многих тел, на-
пример у углеводородов, разности е — А очень малы; несмотря на это,
они не вполне прозрачны для инфракрасных излучений.
Из дисперсионной формулы (22) или (23) следует, что если Т воз-
растает, то п2 непрерывно убывает. Действительно, это наблюдается у
всех прозрачных тел; это —нормальный ход показателя преломления;
поэтому его называют нормальной дисперсией.
4. Вычисление электронных констант по дисперсии *). Число
электронов и химическая валентность. Из уравнений (29), (15'), (17)
и (12) следует
= = (3D
eh
вследствие чего
Mh: = ehNh: (32>
Вводя количество электричества е', измеренное единицах (см. выше стр. 221): > в электромагнитных
е' = еъ: с, h “ получаем вместо (32) М, : № — e'2Nh : 7tmh. a II пи Л (33) (32')
По теории Планка из (18') вытекает (полагая х = 0)
„ 4 1 -^1$1 -1 I ,П2 _ j 1—1 = 1 + 1——г 1— 3 3 т2 1 1
н г» (1-4-^а)-к Г \ 0 /
Поэтому по этой теории для величин Mh и входящих в версии (29), имеем значения (принимая во внимание (12): формулу
п
'Mi
7ГС
р-4-ад)2
(ЗГ)
21
322 Дисперсия тел [Отд. III, гл. V
Поэтому соотношение (32) имеет место и в этой теории. В резуль-
тате подстановки численных значений для ' Mh и A/t, полученных из
опыта, оказывается, что для инфракрасных собственных колебаний левая
часть (32) всегда значительно меньше, чем для ультрафиолетовых; так
например, для плавикового шпата
^ = 3,23-106, = 0,778 • 10ш,
где Mh: Л4 выражены в абсолютных единицах (см), для чего приведенные
в тексте значения Mh и Я* умножены на 10~8 (см. выноску 2,
стр. 320).
Подставляя вытекающее из (32) значение для ehNh в уравнение (8)
стр. 312, указывающее на отсутствие свободных электрических зарядов,
получаем (
V Mft . mh = Mr . 22l . 2k
2» я* ’ дг ’ er 1 /
Поэтому в плавиковом шпате, а также вообще во всех телах, у ко^
торых величина Mh: Я74 имеет одновременно два значения различного*
порядка, порядок величины eh: mh также должен быть различный. Так
как у всех тел Д,:Л/ много больше, чем 2ИГ:ЯГ4, то для ультрафжь
летовых собственных колебаний (индекс v) должно быть много боль|
ше, чем для инфракрасных (индекс г). Отношение значений для двуЯ
родов колебаний для плавикового шпата равно 2-104. 1
С значениями е: т различных порядков мы действительно встречав
емся в других областях: сюда относятся, с одной стороны, данные для
так называемых свободных электронов— отрицательно заряженных элеч
ментарных частичек электричества, имеющих не весомую, но кажу^
щуюся (обусловленную самоиндукцией) массу т. Действительно, пр®
движении электрона, вызывающего электрический ток, должно появляться
и магнитное поле, т. е. электрон должен обладать электрической иней
цией при изменении скорости, — т. е. так называемой самоиндукцией
Свободные электроны появляются, как известно, в ряде областей физики
в явлениях фотоэлектрических и спектроскопических (эффект Зеемана)!
катодные лучи и /3-л учи радия суть потоки свободных электронов. Зна-
чение е':т неоднократно определялось различными методами, которые
могут быть разбиты на две группы1): а) методы спектроскопические
(эффект Зееману, топкая структура и относительное изменение длинМ
волны спектральных линий водорода и ионизированного гелия или в‘4
дорода и тяжелого водорода)2), и б) методы отклонения электронного пучк|
____________ iW
х) См. R. Т. Birge, Rev. of mod. Physics 1, 1, 1929; W. Gerlach, Handbuch de^
Physik (Geiger u. Scheel), 221, 49, 1933. J
2) Сводку последних определений см. С. D. Schane and F. Spedding, Phys. Re4
47, 33, 1935. 1
Lil
Вычисление электронных констант
в магнитном и электрическом поле. В настоящее время обоими методами
получаются совпадающие результаты 4), а именное- = (1,757 ±0,001) • 107.
Значения совсем другого порядка получаются для тех случаев, когда
заряд е связан с весомой массой, как это имеет место в электролизе. Так,
для водорода из данных электрохимического эквивалента е': т = 0,965 • 104;
отношение этих значений для иона водорода и для электрона оказывается
таким образом порядка 2-103. Для других элементов, масса которых
меньше массы атома водорода, числа е':т получаются еще меньше.
Отсюда следует, что ультрафиолетовые собственные колебания (см.
выше) следует приписать свободным отрицательным электронам с по
стоянным значением отношения е'.т = 1,757-107, а инфракрасные —
колебаниям воей положительной заряженной молекулы или ее части.
Действительно, такое представление может быть проведено последовательно.
Оно получает некоторое подтверждение в данных химического строения
молекул2).
Обозначим через ph число ионов или электронов /i-той группы, на-
ходящихся в одной молекуле, через М — молекулярный вес, d — плот-
ность вещества, Н—абсолютную массу атома водорода; тогда им*еем:
► а по (32')
d = НМ,
Ph
п е'Ь e'h — ЧТ М
Phmh’ И П d' V
(33)
(34)
Для ультрафиолетовых собственных колебаний согласно нашему пред-
ставлению равно элементарному количеству электричества е'\ поэтому
ДМ следует принять полученное из электролиза значение е' :т =
= 0,965-Ю4. Подставляя далее вместо eh':mh в (34) значение 1,757-107,
получаем по (34) из ультрафиолетовых собственных колебаний для числа
электронов в одном атоме, приведенных в движение световыми колеба-
ниями, значение
к Л 1 ,о4-10 d • .
г Как у плавикового шпата М = 78, d = 3,18, = 0,778-1010
выше), то р = 3,5. Можно было бы ожидать, что р будет целым
Не но слеДУет принять во внимание, что для значений М* и dv мы
Пер?еем вполне точных данных; эти значения получены из кривой дис-
плавикового шпата путем своего рода экстраполяции, так как па-
вол^ Ия относятся только к таким длинам волн, которые больше длин
Нравственных колебаний. Во всяком случае можно сказать что
Я-ДПвЛ311 Тельно Равно 4; это число равно сумме валентностей молекулы
ЙИЯ $ °ВОг° шпата. Весьма замечательно, что для всех веществ значе-
—^получаются порядка суммы валентностей молекулы, возрастая
к и*
к 2) Ц • СтР- 369, выноска 1.
дробнее см. Р. Drule, Ann. d. Phys. 14, 667, 936, 1904.
21*
321 Дисперсия тел | Отд. 111, гл. V
или уменьшаясь при изменении этой суммы в гомологичных соединениях *).
Это обстоятельство легко понять, нарисовав себе следующую картину.
Одновалентный атом электроположительного характера — это такой
атом, от которого другой атом электроотрицательного характера можез
отнять отрицательное элементарное количество электричества; от двува-
лентного атома могут быть отняты два таких заряда, и т. д. Поэтому
валентость обозначает — по крайней мере у электроположительных ато-
мов— число отрицательных электронов, сравнительно слабо связанных
с атомом; кроме них, в атоме имеется еще очень много других электро-
нов, связанных с атомом гораздо более крепкими связямй 1 2).
Период собственного колебания электрона Тъ должен быть поэтому
тем больше, чем свободнее он связан с атомом; поэтому валентность (у
электроположительных атомов) должна быть равна числу электронов,
имеющих наибольший период колебаний (ультрафиолетовые колебания),
если этот период колебаний одинаков для всех свободно связанных с ато-
мом электронов. В общем случае это не так, поэтому, вообще говоря,
из данных дисперсии можно получить для числа подвижных электронов
только некоторое предельное значение. Водородная молекула обладаем
двумя валентностями электроположительного характера; так как они оди-
наковы, то и периоды колебаний их должны быть равны; действительно^
из дисперсии водорода3 4) получаем, полагаяр„ — 2, что е/: = 1,5 Х10’,
— число, весьма близкое к 1,757-1074).
Таким образом полученное выше совпадение pv п валентности для
плавикового шпата с этой точки зрения, строго говоря, вовсе не необходим
мо, — во-первых,вследствие весьма сложного строения молекулы, по всей вев
роятности обладающей несколькими собственными периодами колебания
а, во-вторых, — благодаря наличию двух электроотрицательных атомов
фтора. .1
. б. Зависимость показателя преломления от плотности.5 *) Из формули
(19) стр. 317 вытекает ]
= (3|
।__/ Th \ д
1) Это соотношение Друде не имеет места у простых органических соединение
См. С. and М. Cuthberson, Proc. Roy. Soc. $7, 152, 1920.
2) См. отд. IV, гл. Ill, спектры испускания. Подобные же заключения о приро;
колеблющихся центров можно сделать и на основании изучения полосы поглощени.
См. Houston, Proc. Roy. Soc. A. 82, 606,1909; Konigsberger u. Kilchling, Am
f. Phys. 28, 889, 1909; 32, 843, 1910; Т.П. Кравец, Записки Моск. инж. училип®
6, 74, 1912. /
®) См. Р. Drude, 1. с.
4) В настоящее время применяется обратный ход рассуждений: подставляя :о1
е' j
ное значение — —1,757 -Ю7, приходят к тем или иным заключениям относительно crpoi
ния молекул. Ом. Lundblad, Untersuchungen Tiber die Optik dispergierender Medii
Diss. Upsala 1920; Wolff u. Hersfeld, Handbuch der Physik {Geiger u. Scheel), 20, 61
1928. j
5) Lundblad. ZS. f. Phys. 5, 349,1921—вывел общую формулу, объясняющую вч|
яние плотности и температуры на показатель преломления. Ол вводит взаимодейСтЧ
между электронами одной и той же и соседних молекул. 1
5j Зависимость показателя преломления от плотности 325
иначе говоря, должна была бы существовать прямая зависимость между
,4 — 1 и плотностью, так как число ионов или электронов Nh пропор-
ционально плотности. В более строкой теории (§2) этот результат пред-
ставляется в несколько ином виде, так как из формулы (18')стр. 316 вы-
текает (при слабом поглощении)
п2 = 14
1 _ — b-L
Ъ Т-
а отсюда
п2 4- 2 _ 3 Л ЬЛ
П2 1 \ т2/'
(35')
По имеющимся наблюдениям однако точно не соблюдается ни та, ни
другая зависимость, хотя последнее соотношение (35') выполняется гораздо
точнее, чем первое соотношение (35). Это сказывается в особенности
при изменении аггрегатного состояния, что видно из нижеследующей
таблицы, данные который относятся к линии D (d обозначает плотность
вещества):
1 । Температура .! ' п*~1 (1 i гЧ 1 1 + ; Я 8 1 1 d Разница
Пар Жидкость Разница Пар Жидкость
Вода 10° 0,3101 0,3338 —0,0237 0,2068 0,2061 + 0,0007
1 Сероуглерод . . . 10° 0,4347 0,4977 —0,0630 0,2898 0,2805 + 0,0093
Хлороформ . . . 10° 0.2694 0,3000 —0,0306 0,1796 0,1790 + 0,0006
Приблизительное постоянство выражения (п2 — 1: п2 4- 2)~ показывает
Во всяком случае преимущество более строгой теории § 2 перед более про-
сШми предпосылками § 1. Причина того, что п2—i : п2 -|- 2 не вполне
"строго пропорционально плотности, может хотя бы отчасти лежать в том,
То мы имеем дело не с одной только группой электронов, способных
(Лабаться с ультрафиолетовыми периодами колебаний, но что фактиче-
У всех трех веществ есть налицб еще ноны, способные колебаться
г*аФракрасными периодами колебаний. В этом случае формула (35'), строго
не применима, по крайней мере, если не брать значений показа-
nJjJa преломления для очень малых длин волн, так чтобы влияние
^красных колебаний было исключено (см. стр. 316).
в Аномальная дисперсия. Нормальная дисперсия м2 наблюдается
не Л случаях, когда область колебаний ^которой мы ограничиваемся,
однаЛЛ1°чает в себе собственного периода колебаний тела. Как только,
мы сталкиваемся с этим периодом, так тотчас должен изменяться
, '’И-ный ход кривой п2. Действительно, из (19) вытекает, что для
Дисперсия тел
[Отд. III, гл. V
периодов Т, меньших собственного периода колебаний Th, для которых
следовательно 1 — отрицательно и равно — С, в выражение п2 вхо-
дит большой отрицательный член — &h: С; наоборот, для тех Т, которые .
больше 1 — (^-^положительно и равной, следовательно в п2 входит >
положительный член+^-.С'. Поэтому при непрерывном возрастании Т, -1
п2 вообще убывает, но*чри переходе через полосу поглощения сильно '•
возрастает. Внутри самой полосы поглощения формулу (19) применять 1
нельзя; в этом случае приходится вычислять п2 и % из (18), принимая i
во внимание также и ah. Во всяком случае значение п2 должно во всех )
областях изменяться непрерывно. Тогда мы получаем ход кривой п2 ц J
х, представленный на рис. 114; и при малом ah отлично от нуля только 1
в непосредственной близости от Th, но 1
I гх там — тем более, чем меньше ah, так как 4
! /Ту из (18) следует для Т = 7 А: .1
I Ф 6J
I ! 1 \ 2ft 0111 Г,> j
I ! I \ Поэтому, чем меньше ah, т. e. ТЛ, тем 3
/ / ,• \ A полоса поглощения тела резче и уже, тогда |
I \ как ПРИ большом ah поглощение захваты-Я
।-----—1 вает более широкую область длин волн;у
" зато оно слабее в середине полосы. <
рпс- Ход кривой аномальной дисперсии;-
представленный на рис. 114, действий
тсльно хорошо подтверждается для ряда тел с сильно выраженный
поглощением (фуксин). Газы и пары металлов отличаются очень узкпм^
и резкими полосами поглощения. II в этом случае вблизи этих узких!
полос поглощения тоже наблюдается аномальная дисперсия *). <
Наиболее простой экспериментальный способ обнаружения наличия!
аномальной дисперсии заключаете^ в том, что на пути лучей от линейд
ного источника света ставится призма испытуемого вещества; распредед
пение цветов в спектре получается ненормальным. В этом случае явле*||
ние, однако, может быть осложнено тем, что в спектре могут налегали
друг на друга несколько различных цветов. Поэтому гораздо более наЯ
глядные результаты дает метод скрещенных призм Кундта, в котором
нормальный, очень узкий горизонтальный спектр, полученный при по-1
мощи призмы с вертикальным преломляющим ребром, рассматривается через 1
призму исследуемого вещества, преломляющее ребро которой расположено!
горизонтально. Получается полоска, состоящая при наличии аномальной!
дисперсии из отрезков, расположенных на различной высоте и отделен-я
ных друг от друга темными местами, соответствующими областям погло-я
щеяия. Я
Наиболее наглядные результаты дает приложение к изучению аномальЯ
ной дисперсии интерферометрических методов. На рис. 115 дано paciwj
192^) Jaffe, Handbuch der Experimentalphysik (В7е» u. Harms) 1», 96, 134, 219’1
61 Аномальная дисперсия
испытуемым газом или паром; Кг —
Рис. 115.
ложение, предложенное Пуччианти и применявшееся почти всеми иссле-
дователями в этой области. Здесь Л —источник света, .F — светофильтр,
Ц — линза, ^делающая лучи параллельными, Рг иР2— пластинки интер-
ферометра Жамена, К—трубка с
такая же пустая (компенсатор);
— вторая линза, фокусирующая
свет на щель спектроскопа 8V.
Действие прибора таково. Если
бы трубки К и были напол-
нены одним газом, мы наблюдали
бы в спектроскопе спектр, проре-
занный темными полосами, кото-
рые установкой прибора можно
сделать приблизительно параллель-
ными краю спектра; только вслед-
ствие различия в длинах волн
полосы в фиолетовой части уже,
чем в красной. Если же в одной
из трубок имеется газ, обладаю-
щий аномальной дисперсией, то
полосы своебразно изгибаются пропорционально изменению показателя
преломления в данной спектральной области.
Лучшие образцы подобного рода картин получены впервые Д. С. Ро-
ждественским (см. рис. 116, где дан снимок полос у линий D натрия).
В дальнейшем исследование аномальной дисперсии паров и газов произ-
водилось В. К. Прокофьевым, А. П. Филипповым (пары) х), Р. Ладенбур-
гом, Ферми и их сотрудниками (возбужденные газы)2).
Рис. 116.
й блестящее подтверждение вышеизложенных воззрений мы имеем
факте, что для кварца для очень длинных волн А = 5 6 в показа-
-^^реломления имеет гораздо большее значение (тг =2,18), чем для
Ann. С. Рождественский, Аномальная дисперсия в парах ват, ия, Ди с. 1912;
4, 19?ь РьУ8- 89, 307, 1912; В. К. Прокофьев, Труды Госуд. оптич. ин-та 3, 1924;
г/’ А. И. Филиппов, Труды ГОИ, 8, 1932.
J Ом. например Н. Kopjermann и. В. Ladenburg, ZS f. Phys. 48, 30, 1928.
328
Дисперсии. тел
[Отд. III, гл. V
видимого света. По формуле (29) получаем, принимая во внимание при-
веденные на стр.*320 значения постоянных для кварца, что п = 2,20. Если
поэтому разложить при помощи кварцевой призмы лучи от богатого
инфракрасными лучами, то эти лучи будут расположены в спектре за
фиолетовыми лучамт^ прочие лучи могут быть закрыты непрозрачным
экраном 2).
До сих пор мы рассматривали случай очень узкой полосы поглоще-
ния. Обратные свойства мы имеем, если в (118) или (115) можно пре-
небречь не %, a bh илн тА, т. е., если будем иметь дело с такой об-
ластью поглощения, в которой нет никаких собственных колебаний,—
их можно было бы ожидать скорее при значительно меньших периодах
колебаний. В этом случае по (18) мы имели бы:
= 1 + 2 ДД + (37)
1 -Г “ 1 — I —
Т“ \ т /
Сумма 2 110 индексу п распространена на собственные колебания в у ль.
трафиолетовой области. Принимая, что их периоды малы по сравнению с Т,
имеем по (32), полагая опять-таки в согласии с обозначениями стр. 320s
2= #/ и разделяя мнимую и действительную части, получаем:
И2(1_%)2 = 1'-+#;+^^_2; (38/
ЛЯМ V Ufa V
Если налицо только одна группа ионов (Л), то получаем, что при у меньше-j
нии Т, от Т= оо, п сначала непрерывно падает, и поглощение, зани/j
мающее очень широкую область, достигает максимального значения при|
некотором определенном периоде-Д^ Эти формулы, невидимому, довольной
хорошо передают явления^ диспефсип, наблюдаемые в ряде веществу
в области больших длин волн (электрические колебания) от л = оо- до!
Я = 1 см. I
7. Дисперсия металлов.. Применяя вышеизложенную теорию
к таким телам, которые являются проводниками электричества, мьМ
должны принять во внимание, что здесь электричество под действием!
постоянной электрической силы непрерывно перемещается, не занимал
определенного положения равновесия. Представление о том, что переме"
щающиеся количества электричества связаны с определенными массами
(ионами) (эти представления созданы в применении к электролитам) мы
переносим и на металлы, поскольку и в них движения ионов происхо-
дят таким образом, как будто они обладают весомой массой т\ но эта
масса может быть кажущейся; тогда-явления инерции объясняются само-
индукцией (см. выше стр. 317).
Для этих ионов (проводимости) постоянную -& нужно положить беско-|
нечно большой, так как по (2)??! пропорционально смещению ионов из их)
иервоначального положения под действием постоянной электрической силы-;
}) Этот метод вь’делеппя длинных голн при и ,мощи кварцевой линзы был при* j
менен В- дом и Рубенсом. См. Вуд, Физическая оптика.
Дисперсия металлов
329
уравнение движения этих ионов получается поэтому из уравнения (1)
(СТр. 311), если там положить ^ = 00/
тД^еХ-ге'Л^ (39)
ИЛИ, если ввести по (5) поток jx = eN^^ вызываемый этими ионами:
_1_ 2 7 _ х 1) (40)
e‘<V c)trNJ^ 1 '
Здесь т есть масса-иона (кажущаяся или истинная), е — его за-
ряд, X— число ионов в единице объема. Из (40) можно видеть, что в том
случае, когда мы имеем дело с двумя группами Йонов проводимости (одним
положительным и одним отрицательным), сопротивления трения которых
суть /j и г2, для постоянных токов имеем соотношение
= .41)
гх 1 г2 ’ ' '
где о есть удельная проводимость тела в электростатической мере (СМ.
стр. 291).
Для периодических изменений имеем по (40), так как X —— i-г
. | i т . г 1 ______________________ . дХ
Мт ЛУ n] = ~ir Tt
► ИЛИ
Прежняя формула (14) (стр. 313) должна быть дополнена членами вида
(42), так что, полагая для сокращения
т\е2 — т', (43)
Для комплексного значения диэлектрической постоянной &' получаем
, A I ’V &'h___________L.Itt V N e‘
£ 1 bh 1 ‘ . m' ' (44)
h l-4-г —---1 k гг--- 7
. T T“ T
Sb Принимая, что колебания лежат далеко от собственных колебаний
2? групп ионов, так что величиной ah можно пренебречь, получаем из
так как s' = п2 (1 — ж}2, путем отделения мнимой части от дей-
’’««телмоЯ:
”’(1—X-) — 1 + i — /т' - 2 ’ 1'45)
Hl
х, rN
П2К*= 1т'\~ ’ (46)
Га-Н "
\ Т )
будем *^есь X обозначает, как и прежде, силу поля в эфире между ионами. Мы не
Ц 4ейств^асаться вопроса о том, влияет ли смещение связанных электронов на силу
^erajj ^Чцую на ионы проводимости. Это влияние сказалось бы на законе диеиерсии
Нк °й5 но не изменило бы существенно содержания данного параграфа.
Дисперсия тел
[Отд. III, гл.
Отсюда видно, что у металлов к может принимать значение 1, так Kai
отрицательный знак правой части (45) обусловлен не столько вторые
членом, сколько главным образом третьим членом, пропорциональны!
массе т ионов проводимости. Этот отрицательней знак появляется npi
данных т' и т тем скорее, чем меньше г, туе. чем больше удельна!
проводимость. Далее, уравнение (45) разъясняет второе противо-
речие, о котором шла. речь на стр. 299, что у металлов п2х < оТ\ еслв
положить т' — 0 (или т — оо), то из (46) действительно получается
(если принять во внимание (41)) соотношение, требуемое теорией Макс-
велла в ее первоначальной форме:
п2я == 2 тгт 2 у = i
если же величиной нельзя пренебречь по сравнению с г (а этого нельзя
сделать как раз при быстрых колебаниях — малом т — и большой про-
водимости — малом г), то по (46) получается АсегТ1). •
Применяя выражения (38), можно было бы получить формулы болы
общие, чем (45) и (46), что отвечало бы предположению, что кроме нам
стоящих .ионов проводимости имеются еще проводящие части, смещаю*
щиеся, однако, из положения равновесия под действием постоянной элект-j
рической силы только на конечную величину (так называемая внутренняя
проводимость, которую можно грубо осуществить, помещая внутри изолятора
проводники). Нужно ли такое обобщение, может показать только гораздо
более глубокое исследование дисперсии в металлах. j
Формулы (45) и (46) позволяют объяснить, почему поглощение свет^
вызывается электропроводностью только в таких хороших проводниках^
каковыми являются металлы, тогда как в наиболее хороших электролиЗ
тах проводимость всегда еще настолько мала, что они могут оставаться проз!
рачными, что вполне соответствует наблюдениям. Так, в растворе серно®
или соляной кислоты наибольшей проводимости удельная электропроводу
пость' составляет только 7-10~5 электропроводности ртути, равной (см|
выше стр. 291) <7х=Ю16, т. е. для лучших электролитов мы имеем о-=*
= 7-1011. Но период колебаний света Т= 2-10“15, следовательно о1 =3
= 14-10~4 — 0,0014. По формуле (41) п2х всегда меньше, и уж никак
не больше, чем аТ. Поэтому х, т. е. поглощение света, — по крайней
мере то, которое вызывается электропроводностью, — очень мало.
8. О недостаточности классической теории дисперсии. Как мы
видели, теория дисперсии построена на представлении, что явления
дисперсии обусловлены резонансом колеблющихся зарядов при про-
хождении через вещество периодического электромагнитного возмущения.
Поэтому она теснейшим образом связана с поглощением, а значит, как
мы увидим ниже, и с испусканием света атомами. Современные воззре-
ния на последний процесс резко отличаются от тех, которые положены
в основу излагаемых в этой книге классических представлений. Пепу*
скание мыслится теперь, как выбрасывание из атома совершенно опреДв"
') Более точный вывод и вычисление числа электронов см. Р. Drude, Ph-
1900, 161, 1 и Ann. d. Phys. 14, 936, 1904.
^8] О недостаточности классической теории дисперсии 331
ценной порции энергии — так называемого кванта; при этом атом
переходит с одного „энергетическогоуровня'1 на другой, более „низкий".
Лы коснемся этих представлений в последней главе книги, сейчас же
отметим только, как они отражаются на учении о дисперсии. Так
как она в изложенном виде дает во всяком случае качественно верную
картину наблюдаемых явлений, то новые теории стараются сохранить
возможно большее число выводов старой теории. Так, в квантовой
теории Ладенбурга-Крамерса х) формулы (45) и (46) сохраняются, но перед
каждым слагаемым появляются некоторые множители, характерные для
НОВОЙ теории. Эти множители не изменяют, однако, порядка величины
тех членов, при которых они стоят; сохраняется поэтому и возможность
подсчета числа зарядов, отношение заряда к массе и т. п., как это было
изложено в § 6. Но за всеми результатами сохраняется только значение
определения порядка величины, так как на пути к точным выводам стоит
неизвестность вышеуказанных коэффициентов.
Несколько подробнее об основах новой теории будет сказано в по-
следних главах настоящей книги. Здесь же упомянем только, что класси-
ческая теория, превосходно объясняя вид кривых дисперсии и поглоще-
ния, оказалась неспособной создать такую модель атома и молекулы,
которая позволяла бы предсказать вид всего спектра поглощения, т. е.
распределение по спектру полос поглощения, их относительную яркость
и пр.
* Именно успехи квантовой теории в этой области определили и быст-
рое ее признание, и дальнейшее ее развитие.
ГЛАВА VI.
ЕСТЕСТВЕННО-АКТИВНЫЕ ТЕЛА ).
1. Общие положения. Когда линейно-поляризованный свет падает
нормально на плоскопараллельную стеклянную пластинку, плоскость по-
ляризации выходящего луча имеет то же положение, что и во входящем
луче. Подобным же образом ведут себя вообще все тела, в том числе и
кристаллические пластинки, вырезанные перпендикулярно к оптической
Оси.
Резкое исключение из этого правила представляют так называемы
Явственно -активные3) тела: так, пластинка кварца, вырезанная норе
ально к оптической оси, весьма сильно вращает плоскость поляри-
L. Wolff и К. F. Herzfeld,Quartentheone der Dispersion, Handbuch der
(Geiger u. Scbeel), 20, 542, 1928; ИД Pauli, ibid. 23, 86. 1926.
taki 9 вращении плоскости поляризации см. Н. Schulz, Handbuch der Experimen-
StitifJs'k (Wien u. Harms) 18, 494, 598,1928; H. Ley, Polarisation u. chemische Kon-
Hotajj011' Handbuch der Physik (Get ger u. Scheel), 20, 904, 1928; K. For sterling,
SaQfj^spolari-ation, Handbuch der physik. Optik, 1, 901, 1927: G. Szivessy, Kristalloptik,
19, 7(vch Her Physik, 20, 804, 1928; A. Schonrock, Polarimetrie, Handbuch der Physik
3) *{,1028.
Термин „естественное" вращение противополагается рассматриваемому ниже
гвому вращению.
к
332
Естественно-активные тела [Отд. Ill, гл. V
зации; это вращение легко обнаружить и в растворах сахара. Этот ре
зультат представляется тем более поразительным, что всякий раство]
мы склонны рассматривать как вполне изотропное тело, тогда как выше
упомянутое явление говорит решительно против такой изотропии: действи
тельно, при полной изотропии поворот плоскости поляризации падающег
света в каком-нибудь определенном направлении был1 бы невозможен и
соображениям симметрии.
Мы должны поэтому заключить, что раствор сахара не обладает ]
оптическом отношении плоскостями симметрии, так как в противном слу
чае, если бы с такой плоскостью совпала, например, плоскость [поляри
зации падающего света, не могло бы наблюдаться никакого вращение
Но из самой природы раствора вытекает, что он должен вести себя в
всех направлениях одинаково. На этом основании можно охарактеризован
вид дифференциальных уравнений, описывающих оптические явления ।
растворе сахара, следующим образом: при любом повороте всей коордв
натной системы они остаются неизменными; изменение наступает тольц
при перемене направлений одной из координатных осей, — например
когда z заменяется на — z при неизменных ж и у. Такие тела, для ко
торых имеют место дифференциальные уравнения подобного вида, назы
ваются диссимметрично-изотропными.
С другой стороны, если мы имеем кристалл, который, подобно кварцу
не обладает плоскостью оптической симметрии, то мы называем его див
симметрично-кристаллическим. -
2. Изотропные тела. В растворе отсутствие симметрии может вызи
ваться только строением самих молекул, а не их взаимным расположение!
действительно, можно связать вращательную способность непосредственно 4
химической формулой строения. Каждую молекулу „вправо (или влевя
вращающего44 сахара мы можем себе представлять в виде „правого'
(или „левого44) „винта44. Очевидно, что скопление молекул первого род!
в оптическом отношении должно отличаться от скопления молекул второй
рода; действительно, даже в том случае, когда молекулы каждого род1
расположены вполне беспорядочно, все же можно считать, что мы имее1
дело со скоплением одних „правых44 или одних „левых44 „винтов". I
твердом теле диссимметрия может вызываться также взаимным располо
жением молекул.
Придерживаясь попрежнему так называемых основных уравнене!
максвелловской теории (стр. 221. 223), попробуем видоизменить уравне
пия (1) стр. 311 так, чтобы они могли дать отчет и об интересующих па<
явлениях 2).
Диссимметричное строение тела может быть обнаружено путем сравне
ния его свойств в двух соседних точках; вполне точечное образование
не может иметь диссимметричных свойств, — они могут проявляться толью
в протяженных образованиях. В связи с этим, нам необходимо расширит]
наши прежние представления о движении ионов и допустить, что теперь
ври рассмотрении зависимости смещения £ иона от электрической силь
И В данном случае не имеет значения, буд^м ли мы пользоваться первоааЧ‘’^ь'
пой формой уравнений (1) пли расширенной (!'), поэтому мы ограничимся перв°и’
Изотропные тела
333
g мы должны принимать во внимание не только силу X в той точке,
гд’е расположен ион, но также и составляющие электрических сил в точ-
ках, лежащих в непосредственной близости к рассматриваемой. Математи-
дески это выражается таким образом, что в уравнении (1) стр. 311 или в
уравнении (2) вводятся кроме X также еще частные производные X, Г,
/по координатным осям. Если при этом принять во внимание условие изо-
тропности,— что ни одно направление координатных осей не выделяется
среди других,—то единственным возможным расширением (2) будет урав-
нение
и два подобных ему выражения, получаемых из первого круговой пе-
рестановкой букв. В силу изотропии в (1) мог бы входить еще член
однако он должен исчезнуть, так как иначе мы должны были бы иметь
е
будет ясен, если мы
2
д^х . 52г । a3z
дх* ’ ду"1 1 dz'2 ’
т. е. могло бы происходить накопление свободных зарядов, так как пра-
вая часть, вообще говоря, например, при световых колебаниях, не обраща-
ется в пуль.
Диссимметрически-изотропную среду мы могли бы получить в том слу-
чае, если бы все молекулы раствора/представляли собой одинаково непра-
вильные тетраедры, причем те тетраедры, которые являются их зеркаль-
ными изображениями, или совсем не существуют, или встречаются в го-
раздо меньшем количестве. Смысл уравнения (1)
примем, что в каждой молекуле имеется ряд свя-
занных друг с другом (gekoppelte) ионов (электро-
нов), пути которых под влиянием молекулярной
структуры представляются не в виде коротких пря-
мых линий, а в виде коротких отрезков винтовых
линий, совершенно беспорядочно расположенных в
нространстве. Рассмотрим, например, правовинтовую
и линию (рис. 117), ось которой расположена парал-
лельно оси ОХ. Составляющая X непрерывно тянет
^Ряженный ион направо, а положительная соста-
Рис. 117.
^яющая У тянет его на верхней части спирали налево, а на нижней—
апРа,во. Результирующее действие направлено направо и пропорционально
так как здесь дело сводится к различию У в верхней и нижней
и0спирали. Равным образом положительная составляющая Z тянет
Щи$В и®™ части спиРали налево, в задней — направо. Результирую-
эффект направо пропорционален Таким образом мы приходим
правгВяени1° U), причем, если путь ионов представляет собой винт с
бра^ 1 Х°Д°М> то при том выборе координатной системы, который изо-
£efI на рис. 117, f' должно быть отрицательно.
334
Естественно-акпьивные тела |Отд. III, гл. V j
Согласно выражению (1) прежнее уравнение (1) стр. 311 должно быть
заменено следующим:
Av , s,{dY dZ]\ 4ле2 с. 9 di~
тд? = е ~fyJ/ &'^~re di’ '2) i
Для периодических изменений со временем получаем, вводя смещение |
o.)i 1
где
»N
4л(1~Н - —
\ ъ
г2
dY
dz
(з
2 ъ=лЛ-г=-^.
4л 4ле2 х
В дальнейшем мы будем пренебрегать членом что вполне
стимо, если период колебаний света не лежит слишком близко к периоду собт’
ственного колебания какой-нибудь группы ионов. Тогда полное смещение^
вызываемое всеми группами ионов и эфиром, будет , иметь вид д|
х 4л dt
(5У
где
ад,
‘-а2
^f'^h
i-(Ms
(в:
Основные уравнения (7) стр. 221 приобретают поэтому следующий вид:'
11
ctOt
2 Д
с at
.dz ду
dZ__dX
дх dz
ду дх
ду cz ’
да ду
~~ dz дх'
_д/3 да
~ дх ду’
(7)
а =
е
1
Уравнения (11) стр. 223 попрежнему остаются в силе.
При пользовании этими уравнениями следует, однако, принимать во
внимание, что для определения магнитной плотности тока sx нам здесь
придется пользоваться уже не прежним выражением = а более
сложным, содержащим добавочный член, который появляется вследствие ;
вращения соленоидальной орбиты электронов, движущихся вдоль по осиОЗС» J
вокруг этой оси. При этом вращении получается соленоидальный тек,
вызывающий появление магнитных силовых линий, параллельных °си’
§ 2] Изотропные тела 335
Число этих линий сил Фх должно быть очевидно пропорционально вели-
чине т’ е’ можно положить
х С vt
Множитель введен потому, что в дано в электростатических единицах,
а число линий сил Фх связано простой зависимостью с силой тока
в соленоиде, измеренной в электромагнитных единицах. Множитель д'
должен быть пропорционален постоянной определяемой соотношением (1),
так как обе эти величины определяютея исключительно винтовой струк-
турой электронных орбит. Легко показать, что д' = — f'1). Поэтому основ-
ные уравнения (11) принимают вид
1 да . 4лд' OX dY dZ 0
= 11 т- д-
(так как равно изменению общего числа силовых линий).
В члене при д' мы можем, на основании (3), заменить eN~ следую-
щим приближенным выражением
/ • а d£ &N дХ
0.), = ^-^=—7---------
пренебрегая ~ и теми членами, которые содержат коэффициенты актив-
ности /' или д' в степенях выше первой, что всегда возможно в виду
малости значения этих постоянных. Поэтому уравнение (8) принимает
1 да . д'&Х О-Х
с д1 "Г” о / 1 b2 \ dt2
с2 1--------------}
®водя сокращенное обозначение
dY az
dz dy
2>
’Ч 6йт° вытекает как из более подробного рассмотрения вышеприведенной кар-
структуры электронных орбит (см. Р. Prude,Gott. Nachr. 1904, И. 1.—
ш-В1,еЧм П Handb. d. Peys. II Aufl. Optik стр. 1341), так и из общего требования
2*1 в(1 д °сти закона сохранения энергии к нашим уравнениям. (См. W. Voigt,
*еЖду ^п., 69, 307, 1899; —Gott. Naclr. 1903, стр. 155). Вывода зависимости
1 мы здесь касаться не будем, так как для наших рассуждений она зна-
к, ’ имеет.
336
Ес?)1ественно-активные тела [Отд. III, гл. V
где знак суммы и значок h относятся к наиболее общему
когда налицо несколько электронов, движущихся по винтовым
получаем вместо уравнения (8):
случаю
1 аа 1 9 а2х dY dZ
с dt с" dt3 dz dy ’
1 дЗ i з d2Y dZ dX
с dt cP ’ dP dx dz'
J dy к 9 d2Z _ dx dY
с d Ь С2 dp dy dx
В качестве пограничных условий при переходе света через границ;
двух различных тел получаем на основании таких же соображения
какими мы пользовались выше на стр. 226, требование непрерывност!
параллельных границе составляющих электрических и магнитных сил
Теперь мы имеем полную теорию световых явлений в естественно
вращающих телах.
Из уравнений (7) следует, что \
_д_/эх dY ai \ _ 0
dt \ dx ' ду ' dz I
Из уравнений (7) и (9) получаем поэтому, исключая a, у
выше 229):
1 ! ха \ Г$Z 1\ Л v
с2 dp [ dz ду ]/ “
Принимая во внимание соотношение д' = —f, т. е. д = —f, имб|
1 д2 / Г
с2 dp \ ' I
dY
dz
tP-]\ = АХ.
ду ]/
Подобную же систему уравнений имеем и для У, Z, а, р, у.
3. Вращение плоскости поляризации. Если вдоль оси OZ paci
страняются плоские волны, то мы должны положить
— (t - pz) — (t - PZ)
X = Me , y=NeT , Z = 0.
Здесь p обозначает величину, обратную скорости распространи
волн. Подставляя (И) в (10), получаем соотношения
£M~i-2/pN = Mp2c2; eN+ ~ 2/pM = Np2c2 .
Этим уравнением удовлетворяют два решения:
e__p2c2 = 2_Pt M = tN,
Т
и
£ —2-Р£, М= —?’N.
т ’
§л
Вращение плоскости поляризации
337
Таким образом мы получаем здесь своеобразный результат, что
должны существовать две волны с различными р, т. е. с различными
скоростями распространения. Далее, при наличии действительных ж-амплп-
туд, y-амплитуды имеют мнимые значения.
Для того, чтобы уяснить себе физический смысл этого обстоятельства,
иы должны принять во внимание, что собственно физическое значение
у и У мы получаем только тогда, когда в правой части (11) берется
только действительная часть. Тогда для iN— М:
X — Mcos~-(t— pz), Y = Msin~(t— pz)', (14)
для iN =— M:
X = M cos —-(i—pz), У = —— pz). (15)
Эти уравнения представляют собой выражения для волн, поляризован-
ных по кругу; в частности, при том расположении системы координат,
которым мы пользовались на стр. 220, когда ось ОХ была направлена
направо, а ось OY наверх, первая волна представляется поляризованной
по кругу влево, если смотреть вдоль оси OZ, так как она представляет
собою вращение, противоположное направлению часовой стрелки; вторая
волна поляризована по кругу вправо (см. определение стр. 207). Эти
волны имеют, следовательно, разные скорости распространения V,
а именно, для первой волны имеем по (12):
р' = VХрХ s ’
а для второй по (13)
Таким образом мы приходим к тому результату, что показатель пре-
ломления в естественно вращающих телах должен быть несколько отлич-
ным для двух волн, поляризованных по кругу вправо и влево, и что
^естественный луч света разлагается при косвенном падении на два
’^Дельных луча, поляризованных по кругу в противоположных напра-
В результате наложения двух волн, поляризованных по кругу в про-
^оположных направлениях и распространяющихся со скоростями V и
’ получаем
X = X' + X" = 2М cos Л- (1 - г)cos Л. XX г>
V =, у + у = 2М COS Л- (l — г ) sin Л- —г-
т \ / т
(18)
ь
Поэт некоторой определенной точке, т. е. для определенного z, имеем
°МУ линейно-поляризованное возбуждение, так как по (18) X п Y
Лруде —Оптика 22
1
338 Естественно-активные тела [Отд. III, гл. yg
имеют одну фазу. Положение плоскости поляризации по отношению к осг
ОХ определится из уравнения >
оно изменяется с z пропорционально последнему. Поэтому плоскость поля-'
ризации равномерно вращается вокруг направления распространения
света; на участке z угол поворота равен
где Яо = Тс обозначает длину волны соответствующего света в пустоте»
Так как рс есть показатель преломления тела п относительно пустоты, те]
—2~~- = г V (П" ~П,)’
где п" и п' суть'показатели преломления тела для волн, поляризован
ных вправо и влево. По (19) п (19') поэтому имеем $
— — п'. (19")
я° J
Если поэтому на пластинку естественно вращающего тела толщиною ii
падает линейно-поляризованный свет, то плоскость поляризации по выхода
из пластинки оказывается повернутою на угол б. Смотря по знаку f, угол
вращения д может быть направлен как в ту, так и в другую сторону!
Пз <5 можно по (19') вычислить п" — п'. ]
4. Кристаллы1). Чтобы разобрать случай кристаллов, мы должна
принять во внимание, что в уравнениях (1) (стр. 311) теории дисперсм
постоянные зависят от направления координатных осей. Равньм
образом и введенные в этой главе добавочные члены, соответствующие
оптической активности, могут в кристалле иметь гораздо более общи
вид, чем тот, который они имеют в уравнении (1) стр. 333^). Но мя
для простоты все же сделаем предположение, что по отношению к этии
активным добавочным членам кристалл следует рассматривать как Д<а
симметрично-изотропное тело. Это допущение не вполне строго, так кя|
некоторые исследования (см. ниже) приводят к необходимому следствйР
о наличии не одной, а нескольких констант, характеризующих актива
ность кристалла; но в общем и такое приближение является достаточный!
так как коэффициенты активных добавочных членов во всех телах, с кото!
рыми приходится иметь дело, имеют настолько малые значения, чта|
вызываемыми кристаллической структурой изменениями f с направлениеи
можно пренебречь (кроме нескольких исключительных случаев, см. ниже)^ * 2
х) См. F. Pockets, Lehrbuch der Kristallcptik, 293, 1906. Наглядное толкованйВ;
механизма вращения плоскости поляризации в кристаллах получается в результ»*®
применения к этим вопросам теории кристаллической решетки, что сделал М. Но*1*
(Encyklop. der math. Wissensch. V3, 19u9; ZS. f. Phys. 8, 390, 1922) и незавией*®
от него Oseen, Ann. d. Phys. 48, 1, 1915.
2) Теоретическую и экспериментальную разработку этого вопроса, см. у W.
Gott. Nachr. 1904, 155; Ann. der Phys. 18, 645, 1905. Д
Кристаллы
389
Выберем за координатные оси те направления, которые были бы
оптическими осями симметрии кристалла, если бы последний не обладал
оптической активностью; тогда наши уравнения (10) получат сле-
дующий расширенный, вид
С2 dt2 (
~С* dl2 ( е2^
1 а8 /
с8 ~dif (
9Y
dz
' dZ
dx
'~дХ
. ду
dZ ~
ду
dX'
dz
dY'
dx
(20)
причем
(21)
(22)
Здесь [$'h Nh , Nh , обозначают три различных диэлектри-
ческих постоянных группы ионов (k) по трем координатным осям;
пропорциональны трем собственным периодам колебаний
ио трем осям. В (22) &h, zh обозначают средние значения величин
<" и г;, т",
Для интегрирования положим (см. выше стр. 301)
« W -г, ЖГ йр
и = ехХ= Me , v —е2У=Лб , w = e.aZ = Пe ,
2 л /, mx-}- ny 4- pz \
V = V-------------7------)*
u> w можно рассматривать как составляющие светового
тогда из (20)2) следует, если положить для сокращения
С2: £1 = а2, С2: е2 = Ь2> С2: е3 = с2 3 *,
4л/С
(23)
(24)
век-
(25)
(26)
2) ^Место с здесь написано С.
k physik ft ?°бДее см. Р. Drude, Rotationspolarisation, Winkelmann Handbuch, der
1345, 1906; F. Pockels, 1. c. 322.
340 Естественно-активные тела [Отд. Ill, гл. yd
(где е обозначает среднее из q, £2, £3), что закон для скорости V
функции направления т, п, р нормали к волне приобретает вид ?
т2 (72 (72 _ С2) п2 (72 _ С2) (72 __ а2)
+ р2 (F2 — ci2) (F2 — Ъ2) = 7j2. (27):
Вводя углы д' и д", образуемые нормалью it волне с оптическим#
осями, получаем (см. выше стр. 266):
27'2 = а2 + е2 + (я2 — с2) cos д'cos д" + ]
+ К (а2 — с2)2 sin2 д' sin2 д" + 4тД | i
2V"2 = a2-\-c2 + (a2~c2)cosg'cosg" — I
— V\a2 — с2)2 sin2 д ’ sin2 д" + 4 р2. j i
Отсюда видно, что эти скорости V'2 и V"2 не могут быть одинаковыми
ни в одном направлении, в том числе и в направлении оптической осЛ
Поэтому волна, входящая в активный кристалл, всегда разлагается
на две волны, имеющие различную скорость. Обе эти волны эллиптичЛ
ски поляризованы, причем орбиты возмущения представляют собой
эллипсы одинаковые, но расположенные обратно подобию и пробегаемы®
в противоположных направлениях. Отношение осей h эллипсов опредаЯ
ляется из выражения: Я
д . 1___У (а2 — с2)2 sin2#' sin2 д" -|- 4 9J2 ,£лВ
Г h Т) '
Поэтому в направлении оптических осей (д' или д" = 0) отношен™
осей h = 1, т. е. в этом случае мы имеем дело с поляризацией по круг®
При небольшом отклонении нормали к волне от направления одной ™
оптических осей орбита представляется однако уже в виде весьма сжЛ
того эллипса, так как 2 р даже в сильно активных кристаллах всегм
очень мало по сравнению с разностью квадратов главных скоростей
света а2 — с2. Я
По вышеприведенной приближенной теории круговая поляризацмВ
должна была бы иметь одинаковое направление по направлению обеих опт™
ческих осей. Однако известног), что в тростниковом сахаре вращенй
плоскости поляризации вдоль двух оптических осей происходит в протй®
воположных направлениях. Для объяснения этого явления необходим^
принять наличие нескольких (трех) констант активности /15 /2, /3, зав™
сящих от направления в кристалле.
Двуосные активные кристаллы в природе встречаются очень редкв
наоборот, примеров одноосных активных кристаллов мы имеем доволыД
много. Так, кварц встречается в двух одинаковых кристаллографическая
формах, одна из которых является зеркальным отображением друге™
поэтому мы имеем кварц лево-вращающий и право-вращающий. ВралД
ние плоскости поляризации кварцевой пластинкой толщины г, выреза™
х) П. С. Pocklington, Phil. Mag. 2, 361, 1901.
Дисперсия вра/щения плоскости поляризации 341
(30)
(31)
Рис. 118.
ной нормально к оси, определяется совершенно так же, как и в случае
113отропных средин, посредством формулы
6 = 4тт2%4 г = z (п" — п')-
дЛя z — 1 мм и желтого света (Ло = 0,000589 мм) д = 21,7° пли
0,12л в абсолютных дуговых единицах. Отсюда
4л-/- = п" — п' = 0,12 =0,000071.
Яо \ *
Здесь п‘ л п" обозначают показатели преломления, которыми обла-
дает кварц в направлении оптической оси вследствие своей активности г).
Если вырезанную нормально к
оси кварцевую пластинку, толщи-
ною в несколько миллиметров, рас-
сматривать между скрещенными
николями в белом свете, то пла-
стинка представляется окрашен-
ною. Это явление объясняется тем,
что плоскость поляризации падаю-
щего света для различных длин
волн поворачивается на разные
углы; поэтому в поле зрения ока-
зываются потушенными все те
цвета, плоскость поляризации ко-
торых нормальна плоскости поля-
ризации анализатора. В виду этого
при вращении анализатора цвет
кварцевой пластинки изменяется.
В сходящемся пучке света опи-
санные выше (стр. 290) интерфе-
ренционные фигуры, характерные для одноосных кристаллов, наблюдаются
при скрещенных николях только на некотором расстоянии от оптической
°си. Вблизи ее круговая поляризация сказывается в уничтожении черного
^креста главных изогир. Поэтому кварцевая пластинка, вырезанная нор-
мально к оси, дает в скрещенных николях в сходящемся свете интерфе-
Опционную картину, представленную на рис. 118.
u В случае света, поляризованного по кругу, наблюдаются спиральные
Нтерференционные фигуры (спирали Эри) 2).
Л о. Дисперсия вращения плоскости поляризации. Поворот плоскости
^аризации <5, производимый пластинкою активного изотропного тела или
Детинкою активного кристалла, вырезанною нормально к оси, дол-
ф * изменяться с длиною волны. Закон дисперсии можно получить из
^Ул (6) и (19), если положить толщину пластинки z равной 1 и
Экспериментально двойное лучепреломление в кварце было впервые наблюдено
*Ват)1те',1ем’ а затем Лангом (1869), который для разности показателей преломления
а? получил число 0,0000718. См. G. Szivessy, 1. с., 820.
' Вычисления см. F. Neumann, Vorlesungen liber theoretische Optik, 244, 1885.
342
Естественно-активные тела [Отд. III, гл.
вместо длины волны в пустоте Яо ввести соответствующую длину
в воздухе х):
д =
к у &hfh'Nh
где к есть некоторая постоянная величина.
Когда периоды собственных колебаний активных2) групп ионов
настолько малы по сравнению с периодом колебаний падающего света,
что величиной (тА: т)2 по сравнению с 1 можно пренебречь, то в резуль-
тате получается простейшее выражение закона дисперсии:
Эта формула Био в первом приближении является вполне приемлем
мой, однако она не точна. Когда все собственные периоды активны^
ионов лежат в ультрафиолетовой области, то выражение (32) можно разЛ
дожить в ряд по возрастающим степеням (тЛ:т)2, причем получаете^
<’ = -£- + 4+тг+"- (3«
Эта формула в большинстве случаев является применимой уже при
двух членах (формула Больтцмана); однако для кварца, у которого &
известно в очень большом интервале длин волн (от Л = 2 [л до 0,2 Д она
недостаточна. Отдельные постоянные klt fc2, fc3 могут иметь различные
знаки, в соответствии с различными знаками /А для различных групп
активных ионов. ’ |
Если бы активные ионы обладали собственными колебаниями также
и в инфракрасной части спектра, то выражение (32) следовало бы для шл
раскладывать в ряд по степеням (т:тг)2, что дало бы: ?
а = ^+ ?-+>-+••• + ''' + Ь'яа+^'Я4 + ... (35|
В таких случаях, когда, как для кварца, дисперсия определяете!
в большом интервале частот, некоторые из которых близко подходя!
к собственным колебаниям, лучше избегать разложения в ряд и польз^
ваться (по (32)) выражением:
(36)
Для кварца длины волн ЯА собственных периодов колебаний, ближе,
всего расположенных к видимой части спектра, равны для обыкновенно^
волны (см. выше стр. 320) /Д2 = 0,010627, Я22== 78,22, Я32 = 430,5^
(За единицу длины принято 1 = 0,001 мм). Но мы уже выше (формулу
х) Эта замена возможна в виду малости дисперсии в воздухе.
Под активными группами мы будем понимать такие группы ионов, котор6**)
удовлетворяют уравнению движения по формуле (2); неактивными будем назыв®1*1.
такие, у которых константа f в этом уравнении (2) равна нулю. <
Дисперсия вращения плоскости поляризации 343
/3О') стр. 320) принуждены были заключить, что в кварце должны суще-
ствовать еще другие группы ионов, для которых так мало, что длины
волн того света, которым мы пользуемся, еще достаточно от них удалены,
коэффициенты активности к' этих комплексов, у которых, следовательно,
ложно пренебречь величинами ЛА2 по сравнению с Л2 (в 36), все же
должны быть учтены, так что в результате получается следующая фор-
мула дисперсии для кварца:
А _|____^2 _|____ks • к' 7 9 п \
Я2 —Яха Я2—z22 Я2 —Я32 т Я2’
Сравнение дисперсии кварца, вычисленной по этой формуле, с наблю-
денной показывает, что к2 = к3 = 0, т. е., что группы ионов, собствен-
ные колебания которых лежат в инфракрасной части, являются неактив-
ными; fci и к' оказываются различных знаков. Таким образом враще-
ние д на толщину 1 мм прекрасно передается (см. таблицу)х) при
помощи формулы
= я2 —ях2 + я2" ’
содержащей только две константы — так как определяется из диспер-
сии показателя преломления, а не из вращения плоскости поляризации:
это совпадение следует признать весьма благоприятным для изложенной
выше теории.
кг = 12,200 к' = — 5,046.
Я(^) ^набл. ^выч.
2,140 1,6и 1,57
1,770 2,28 2,29
1,450 3,43 3,43
1,080 6,18 6,23 j
0,67082 16,54 16,56
0,65631 17,31 17,33 1
0,58932 21,72 21,70 {
0,57905 22,55 22,53 !
0,57695 22,72 22,70 I
0,54610 25,53 25,51 |
0,50861 29,72 29,67 1
0,49164 31,97 31,92
0,48001 33,67 33,60 !
0,43586 41,55 41,46
0,40468 48,93 48,85
0,34406 70,59 70,6У
0,27467 121,06 121,34
0,21935 220,72 220,57
См. н. Schulz, 1. с. 404.
344
Естественно-активные тела [Отд. III, гл. V)
———• 1 ' ' -—.
Может быть, можно было бы подобрать постоянные и к' ещ$
лучше; во всяком случае важно то, что эта двучленная формула (38)
достаточно хорошо выражает наблюденные значения; наоборот, трехчлен-
ная формула (37), если положить в ней к' равным 0, не удовлетворяет
наблюдениям; поэтому мы должны принять, что у кварца имеются такие
группы ионов, у которых длины волн собственных колебаний очень малы,—
много меньше чем Яг у у
Как видно из таблицы, <5 растет с уменьшением Я. Это —нормаль-
ный ход дисперсии. Но, как следует из формулы (38), при длинах волн,
меньших чем Яъ должны наблюдаться отступления от хода этой зави-
симости (аномальная дисперсия вращения); тогда <5 должно стать отри-
цательным. Такая аномальная дисперсия возникает всякий раз, когда Я
принимает значение, близкое к длине волны собственных колебаний
Это изменение знака <3 может наступить, однако, как это видно из фор-й
мулы (36), также и при таких Я, которые много больше чем ЯА, есид
имеется по крайней мере две различных активных группы ионов, с раз*
личными знаками их коэффициентов активности кА. Равным образом я
этих случаях при изменении Ях могут наблюдаться максимумы и ми?
нимумы д. 1
Случаи так называемой аномальной дисперсии вращения действительна
неоднократно наблюдались на опыте1). Вообще говоря, всякое веществ^
должно обнаруживать аномальную дисперсию вращения в известных об-,
ластях колебаний, которые, однако, не всегда являются доступным!
в экспериментальном отношении. j
6. Поглощающие активные тела. Когда длина волны Я лежит близи
к длине волны собственных колебаний Ял активной группы ионов, то,™
(36), вращение плоскости поляризации д достигает очень больших зня
чений. В этом случае, однако, следует принимать во внимание коэффицЯ
енты трения ай, которыми выше, на стр. 317, мы пренебрегали. ЭЯ
должно иметь место также и в том случае, если в теле имеются ширЯ
кие полосы поглощения. В этих случаях как е, так и f (формула, (1<Я
являются величинами комплексными: Я
т г2
fthfh'Nh .
. .Од Ъ_п,
f Т2 J
Поэтому и величина р (формула 11) тоже должна быть комплексно!
Если ее написать следующим образом (см. стр. 292):
' 1 — ix
Р=-у~,
то здесь V обозначает скорость распространения волн, а я— показа'
поглощения.
е
(31
См. П. Ley, 1. с. 940.
Поглощающие активные тела
345
Так как (16) и (17) дают нам два различных значения р, то им
должны соответствовать также и два различных показателя поглощения
д к": один для волн, поляризованных по кругу влево, а другой —
вправо1).
Цо (16), (17) и (18) получаем, вводя показатели преломления п' и те"
для волн, поляризованных по кругу вправо и влево:
с(#' — р'} = п" — n'—i(п"?:1 — п'к') = • (41)
Если мы имеем узкую полосу поглощения, чему, на основании выше-
сказанного, соответствует малое то различие х" и к' внутри самой
полосы становится весьма значительным. Действительно, для т2 = Ъи сле-
дует (из 39 и 41):
те" — те' -= 0, п"х" — те'к' = (42)
аЛс v ’
Если х лежит*далыпе от собственного периода хм и если ан настолько
мало, что разложение достаточно довести до первых степеней х или аъ,
то по (41) и (42) закон дисперсии для коэффициентов поглощения при-
обретает вид:
(«)
При изменении Л может меняться знак выражения (43), и могут поя-
вляться максимумы и минимумы, если налицо имеются несколько раз-
личных групп ионов с различными знаками их коэффициентов активно-
сти fh'.
Впрочем, различия поглощения волй, поляризованных по кругу вправо
и влево, всегда малы по сравнению с самими поглощениями: действительно
из (16) и (17), при наличии только одной полосы поглощения, можно
вывести, если пренебречь членом /2, что*
n"v!r — п'?.'
nf,7.'r 4- п'к'
mfh п
(44)
^причем те обозначает среднее между те' и те".
w Д': Л всегда есть малое число.
Далее, следует заметить, что вышеописанные явления могут наблю-
ЛТься далеко не во всяком активном теле, обладающем полосою поглоще-
Для этогонеобходимо, чтобы активными были именно те группы ионов,
обусловливают поглощение. Можно себе представлять, однако, что
^ощение и активность вызываются различными группами ионов 2).
® hZ (Ann. de chim. et de phys. 8, 347, 1896) наблюдал это явление
в°рах виннокислой меди и виннокислого хрома в щелочном растворе. Что
Иа Ос7творы обнаруживают также и аномальную дисперсию вращения, представляется
®^йИч°Вааии вышесказанного вполне понятным, так как наличие сильного погло-
$ Указывает на то, что Я лежит близко к области собственных колебаний. См.
к ^енева, Ann. d. Ph. 72, 122, 1923.
Ж ' J- Lifschitz, ZS. f. phys. Chem. 114, 485, 1925.
346 Магнитно-активные тела [Отд. III, гл.
ГЛАВА VII. j
МАГНИТНО-АКТИВНЫЕ ТЕЛА1). 1
А. Гипотеза молекулярных токов. 1
1. Общие положения. Все тела, будучи помещены в сильное магнита
ное поле, приобретают некоторые особенные оптвшеские свойства. В маг-lj
нитном отношении тела отличаются друг от друга по величине так назы^
ваемой магнитной проницаемости [л (см. выше стр. 224), которая в пара-]
магнитных телах больше единицы, а в диамагнитных — меньше. Отсюда
вытекает, что магнитное поле вызывает в парамагнитных телах больЗ
шую концентрацию силовых линий, чем в свободном эфире, а в диамм
гнитных — меньшую. По Амперу и Веберу эти явления сводятся
к действию имеющихся в парамагнитных телах так называемых молй]
кулярных токов; последние, согласно той гипотезе, которой мы пользой
вались для объяснения явлений дисперсии, вызываются вращением ион*
ных зарядов. При наличии внешней магнитной силы эти молекулярные
токи получают одинаковое или почти одинаковое направление, так чт|
вызываемые этими токами магнитные силовые линии и линии сил внешней
магнитного поля накладываются друг на друга. v <
В диамагнитных телах в ненамагниченном состоянии не должно быт1
молекулярных токов. Они должны, однако, появиться благодаря индукции
как только такое тело вносится в магнитное поле; сила их должна остм
ваться неизменной, пока остается без изменения внешнее магнитное
поле. Это обстоятельство надо себе представлять таким образом, что иом
ные заряды могут без трения вращаться по замкнутым орбитам, так чт!
на поддержание этих токов энергии не затрачивается. Силовые линйв
индуктированных молекулярных токов должны быть направлены в cyoj
рону, противоположную той, в которую идут силовые линии внешнел!
магнитного поля, так как по правилу Ленца индуктированные токи ни
правлены таким образом, что *препятствуют тому изменению магнитног!
поля, которое вызывается внешней магнитной силой. 1
Если мы хотим судить об оптических свойствах тела в сильном магй
нитном поле, вызываемом внешней магнитной силой, то мы всегда должяи
принимать во внимание, что как в парамагнитных, так и в диамагниг
ных телах некоторые группы ионов находятся в состоянии вращатель-
ного движения и'образуют молекулярные токи. Если через е обозначить
заряд вращающегося иона, принадлежащего к группе (1), а через Т — :
период его обращения, то для силы вызванного им молекулярного тока,
получаем выражение J
i = e\T. (1JH
Если теперь такой ион, вращающийся около точки F, попадает поД-
действие электрической силы световой волны, то его орбита должна из-.
мениться. Если время обращения Т очень мало по сравнению с периодо* ’
1 См. W. Voigt, Magnetooptik. Handbuch der Elektrizitat und Magnetisroul
(Graetz) 1V2, 393, 1920.
у 1] Гипотеза молекулярных токов 347
колебания света, то орбита иона остается неизменной по своей форме и
до периоду колебаний, но ион вращается теперь около точки Р', смещен-
ной по отношению к Р на отрезок £ в направлении электрической силы
световой волны и колеблющейся с тем же периодом, что и электрическая
сила волны.
Такой же эффект должен в среднем наблюдаться и в том случае, когда
период обращения Т как угодно велик и не стоит в рациональном от-
ношении к периоду световых колебаний Т. Вращением плоскости орбиты
под влиянием магнитной силы световой волны мы можем пренебречь, так
пак эта последняя всегда гораздо меньше, чем внешняя магнитная сила.
Перемещение молекулярного тока влечет за собой перемещение и обра-
зуемых им магнитных силовых линий, вследствие чего возникает особый
род индукции, которую мы должны учитывать при воздействии силовой
волны на молекулярные ионы.
Эту индукцию мы можем вычислить очень просто, зная число линий
сил, связанных с молекулярными токами; оно легко определяется следу-
ющим образом.
Пусть все орбиты молекулярных токов расположены параллельно пло-
скости, нормальной к некоторому направлению R, — направлению внеш-
ней магнитной силы. Остановимся сначала на отрезке длины I, параллель-
ном направлению В. Пусть на этом отрезке лежат IN' молекулярных
(токов (принадлежащих к группе (1)), где N' обозначает, таким образом,
число молекулярных токов на единицу длины. Эти токи можно рассмат-
ривать как соленоид, причем q пусть будет сечение орбиты, т. е. соленоида.
Число линий сил в этом соленоиде г):
Ф = 4 nN'iq: с.
Если теперь на единицу площади приходится N" таких соленоидов,
то число магнитных силовых линий на единицу площади, связанных
с этими молекулярными токами, равно
. N'N'!iq . . N
ф1== 4 л ——- = 4 лщ -,
N есть число вращающихся ионов группы (1) в единице объема.
«д Составляющие Ф{ по координатным осям суть:
Qi ~~ iqNcos (К, ж), & = ~ iqNcos {К, у), уг = 4-^ iq Ncos {К, г). (2)
Вывод дифференциальных уравнений. Мы будем исходить из
В0ых уравнений теории Максвелла (7) и (11) (стр. 221, 223):
4 л . ду д,3 „ 4.-е д Y dZ
7’.= т- д-и т- д-
(3)
Дл ЯСЛ0 ЛИН,!Й сид соленоида ртвно ^nniq, где п есть число витков на еди-
йны и г сила тока в электромагнитных единицах. Так как здесь сила тока вы-
k в электростатических единицах, ее приходится делить на с.
348
Магнитно-активные тела
[Отд. Ill, гл. VX
До сих пор, расширяя теорию Максвелла, мы исходили из ионной гц
потезы и видоизменяли только выражение jx для электрической плотности
1 да
магнитная же плотность тока сохраняла при этом прежни
свой вид; теперь, наоборот, когда мы будем исходить из представлен^
о вращающихся ионах, мы должны дать новый вид и этому выражению
4 njx и 4 nsx по (12) на стр. 223 попрежнему определяются как иа
менение, за единицу времени, плотности электрических и магнитньц
линий.
Чтобы вычислить 4^ в данном случае, мы должны принять в(
внимание, что эта величина слагается из нескольких частей. Изменена
числа линий сил в эфире, вызываемое непосредственно световой волне
в выражении силового потока через прямоугольник dydz (рис 119), прМ?
вносит слагаемое dy dz -Но сюда надо прибавив
d^\ еще те слагаемые, которые вызываются обусловленный
с ц световой волной движением точек Р, около которых про
° исходит вращение ионов, так как силовые линии Ф
участвуют в движении Р. j
Для того, чтобы вычислить эти слагаемые для sj|
Рис. пи. представим себе прямоугольный элемент dydz, расположен!
ный нормально к оси ОХ, и спросим себя, каково должш|
быть число силовых линий, пересекающих четыре стороны abed прямой
угольника при смещении точки Р, координаты которой суть £, ту, £. а
Сначала мы примем во внимание только те силовые линии at, котя
рые направлены параллельно оси ОХ\ легко видеть, что число линии
входящих в прямоугольник в единицу времени через сторону а, будя
/ дтА „ ( дг}\
1 «1 gfjadz, а число линий, выходящих из него через сторону с равно (~ ЕаИ
Нижние значки « и с должны обозначать, что значение члена ах нЛ
длежит брать в точке, лежащей на соответственной стороне прямоугоаИ
ника. Поэтому Я
I
Здесь а оставлено под знаком дифференцирования по у, чтобы
ватить формулой и случай неоднородной среды, когда являютЬЯ-
функциями координат. В однородных телах ах, суть величины по-
стоянные. Силовые линии пересекающие при своем движении стороны а
и с, вызывают таким образом увеличение числа пересекающих прямо-
угольник линий сил на величину—dydz-^^aj^y Подобным же образом
линии сил а1} пересекающие при своем движении стороны Ъ и d
прямоугольника, увеличивают силовой поток через прямоугольник ня
, „7 д ( д^\
величину — dydz-Q- (ajj.
Силовые линии ft, параллельные оси ОХ, могут при перемещении Р
на отрезок £ пересекать прямоугольник только на сторонах а и с. Число линий
сил, пересекающих прямоугольник, изменяется теперь только при вращении
Вывод дифференциальных уравнений 349
д0Ний сил /?х вокруг оси OZ; оно увеличивается, если силовые линии
а поворачиваются на некоторый угол от направления + У к направле-
нию + Чтобы вычислить действие этого вращения, нужно вычесть
БЫражение представляющее число линий сил, которые пере-
секают сторону а, из выражения (Ргддр)е ds для числа линий сил, пе-
ресекающих в единицу времени сторону с. Так как
(Аа.-(»4л-+'4(л-а
то от вращения к силовому потоку через прямоугольник прибавля-
ется слагаемое
Аналогично этому вращение линий сил вокруг оси OY дает слага-
емое + dydz-^i^y
Складывая все эти члены, прибавляющиеся к силовому потоку через
прямоугольник, получаем значение для этого силового потока
7 . ( да д ( дт)\ д I д^\ , д / р д£\ , д I dt-\ i
dy\aidt) dzdt) dyV1 dt)^ dzV1 dt) } ’
Изменение числа линий сил в единицу времени для элементарной
площадки, расположенной нормально оси ОХ и равной единице, будет
поэтому
= gi{a + ^ М}’ (4)
так как при постоянном внешнем магнитном поле аь от t не за-
висят.
Строго говоря, плотность тока изменяется вследствие вращения весьма
сложным образом. Если, однако, период вращения ионов не находится в
Рациональном отношении к периоду колебаний света, то для нахождения
среднего эффекта достаточно принять во внимание только смещение £, у,С
Центра вращения Р.
Плотность тока jx может быть поэтому написана в прежнем виде
'См- формулу 7, стр. 312):
7 — 1- д~ 4- еР д- (51
" 4 я ЭР dt ’ I0'
скЛЛя движения точки Р, центра орбиты иона группы 1, напишем, по-
У Р может колебаться около положения равновесия (непроводящие
прежнее уравнение (стр. 311J1):
т^ = еХ-^-ге^. (6)
kjcrp. мо®ем ограничиться данной формой, не расширяя уравнения подобно (1')
L 6)> так как в данном случае это не имеет существенного значения.
350
Магнитно-активные тела
[Отд. III, гл.
Если же Р может длительно увлекаться постоянной силой X, т. (
если е есть ион проводимости, что имеет место в проводниках (наприме
в металлах), то мы должны воспользоваться уравнением (39) на стр. 32<
т-^ = еХ—ге2~.
dt2 dt
Здесь т есть весомая масса иона. /
В том случае, когда мы имеем дело с периодическими изменениям!
при которых все X и £ пропорциональны е т, мы получаем из (6):
а из (7)
ОД ( л . . г'д' т'д' 1 । ____________________ & дХ
& dt I ' ? 4 лг 4 л е2 т8 ] 4 тг Qi ’
Положим, как прежде
г& т& , п т .
~ = а. Л—, — о — тА - = ж ;
4 п ’ 4 п е8 1 ’ е2
С
(11
тогда по (5), если е не есть ион проводимости:
, 1 dxL у» | ?
х 4 тс dt j . а Ъ | * (11
14-г------- ' 3
I т т2; ла
Если же е есть ион проводимости, имеем: Jj
• __ _L _1_ 4лтЛГ ( л
4 тс dt i . т' j (
I гг j чв
I r ) Я
В обоих случаях мы можем положить V
. ___ е' д_Х •___ez d Y • __ е' dZ Л
“ 4~тс dt ’ ~ 4л dt ’ ?а ” 4тс Qi ’ Я
I
где —зависящая от т величина, в общем случае — комплексная.
Далее, из (1), (2) и (8) получаем для непроводящего иона:
t N& q гтг \ -xr
-----а—ь •c-rcos(-S-,a)X,
а из (9) — для иона проводимости
С. 4 TlXN Q лг\п ( Tf \ Х7~
= C0S х-
гг--------
т
В тОхМ и другом случае мы можем положить
7ОД = f cos (Л,^) X,
(М
(!1
<1<
Вывод дифференциальных уравнений
351
е v есть, вообще говоря, комплексная величина, зависящая от т. По-
добным же образом можно выписать и произведения и т. д.
Доложим еще
v cos (R,x) = vx, v cos (Кру) = v cos (K.z) = vz\ (17)
10Гда no (13), (4) и (16) основные уравнения (3) превращаются
В 1 1 c dt L £ c dt « + й(’Д-<’Л vsX) HI J dz 1 dZ J dx dZ dy' OX ds ’ (18)
1 c d_ dt Hl dx dy dF dx’
s' dX dy 9^ e' dY da dy e' dZ c dt dy dz' c dt dz do? c dt dp dx da dy (19)
Если в теле имеются несколько различных групп молекул, то имеют
место те же формулы (18) и (19), но постоянные В и v теперь предста-
вляются в виде сумм:
£
v =1 Y . & I 4ятУ IB Чк
с Th с тк' Тк
' ^к~-р
(20)
(21)
• Значок
h относится к непроводящим ионам, а значок 1с— к проводя-
щим. Th следует вводить с различными знаками, смотря по тому, как
влияет положительно заряженный вращающийся ион на силовые линии
внешнего магнитного поля: усиливает их (тогда Th положительно) или
ослабляет (Тъ отрицательно). Для отрицательно заряженного иона lh
следует брать со знаком минус, если линии сил молекулярного тока на-
правлены так же, как и линии сил внешнего магнитного поля. Поэтому у чи-
парамагнитных ионов Тъ положительно для положительно заряженных
пев и отрицательно для заряженных отрицательно. У чисто диамагнитных
нов дело обстоит как раз наоборот. Далее, следует считать, что qh за-
й пт от силы внешнего магнитного поля, так как при намагничении,
И^ОВеденном до состояния насыщения, не все молекулярные токи на-
сь1Левы параллельно; проще всего это выразить так, что qh в этом
моя36 становится меньше. Поэтому следует принимать, что qh пропор-
Ураиально намагничению тела. Способ вывода показывает, что
т^ния (18) и (19) имеют общее значение, т. е. они действительны
, ioo? и Для неоднородных тел, у которых В и v суть функции
^инат.
ТояЬ1‘ Магнитное вращение плоскости поляризацииг). Допустим, что све-
*^Длучи идут параллельно направлению намагничения; за это на-
Ladenlurg, Die magnefische Drehung der Folarisaiiorsebene, Muller-
’ Hehrbuch der Physik 2, 2119, 1929.’
352
Магнитно-активные тела [Отд. III, гл.
правление примем ось OZ. Так как плоские волны при этом распростра!
ются вдоль оси OZ, то величины X, Y, а, зависят только от г и
далее z = у — 0.
Наконец
Vx = Vy = Vz == V ,
вследствие чего основные уравнения (18) и (19) приобретают вид:
г з с dt 1 д [ с dt 1 [ . дХ - а + v~a~ 1 1 dz „ , dY 1 у? И- v „ ? r dz J _ OY dz ' У — дХ dz ’ (2
s' дХ 3/3 е' dY да
( )
с dt OZ ’ с dt dz \f>
Дифференцируя уравнения (23) по t п вставляя вместо ~, — i
значения из (22), получаем
s' d2X _ d2x V d*Y I
c2 dt2 dz2 c dtdz2 ’ |
s' d2Y d2Y V dsX t
- -
c2 dt2 dz2 c dt OZ2
j
(2
Для интегрирования положим, как мы уже делали раньше (стр. 33:
X — MeТ , Y = NeT
Тогда получаем вместо (24):
s'N = p2c2[N— Ж).
Эти уравнения могут быть удовлетворены двумя системами значен!
и
М — iN,
р2с2 (1 — —) = е’, М = — IN.
\ СТ J
(27)
Истолковывая эти уравнения так, как мы истолковывали анало
гичные уравнения (12) и (13) на стр. 336, мы заключаем, что имеег
две волны, поляризованные по кругу вправо и влево и распространяю
щиеся с различными скоростями. Первая волна (26) поляризована п
кругу влево; относящаяся к ней величина р равна
р'с —
(28
§ д 3] Магнитное вращение плоскости поляризации 353
Для волны, поляризованной вправо, соответственная величина р имеет
значение _______
уА?' (29)
г ст
В результате наложения этих двух волн (мы примем, что s' и т. е.
так®® р' и р", суть действительные величины) получается плоско-
поляризованный свет, плоскость поляризации которого равномерно повора-
чивается при движении вдоль по оси OZ на угол
(30)
Если v: ст мало по сравнению с 1, что обыкновенно и имеет место,
то из (30) получается
а (30')
При положительном v движение направлено справа налево, т. е.
против направления часовой стрелки, если смотреть против луча. В та-
ком же направлении вращаются при намагничении вдоль положитель-
ной оси OZ положительные, парамагнитные ионы. Следовательно, при
►положительном v происходит вращение плоскости поляризации в напра-
влении парамагнитных молекулярных токов.
Так как направление вращения зависит только от направления нама-
гничения, то, если при определенном намагничении тела переменить
направление луча, вращение плоскости поляризации будет происходить
в прежнем направлении. Поэтому, если пустить пучок лучей плоско-
поляризованного света в намагниченное тело и дать свету отразиться от его
задней поверхности, то плоскость поляризации света, выходящего через
переднюю поверхность, будет повернута по сравнению с первоначальным
положением на двойной угол. В естественно вращающем теле при такой
постановке опыта мы бы не имели никакого вращения плоскости поля-
ризации, так как здесь вращение плоскости поляризации всегда проис-
^°Дит в одну сторону, если смотреть против направления луча света,
Ж е- иначе говоря, направление вращения изменяется при изменении
у правления распространения волн.
f каком направлении происходит вращение д — в направлении моле-
[ Парных токов или в противоположном направлении, — этого решить
агнитным свойствам тела (пара- или диамагнитное) не представляется
н0У°®ным, так как при наличии более чем одной группы вращающихся
Жь? знак v п0 магнитной проницаемости р определен быть не может1).
ная пРОНИ11Демость р определяется по (19) (стр. 225) из соотно-
' что общая плотность силовых линий Вг по оси OZ равна ру.
®59). это обстоятельство обращал внимание Рейф в 1894 г. (см. ТГ. Voigt, 1. с.
0<1ка зрения Рейфа отличается от принятой здесь в том отношении, что он
к'*°*еКуТ представления не о вращающихся ионах, а о способных к вращению
кЧ ирных магнитах, на которых нет электрического заряда.
Оптика
23
354
Магнитно-активные тела [Отд. 111, гл.
Но по (2) эта величина (полное число силовых линий на единицу цJ
щади) — так называемая индукция — по направлению оси OZ равна <
вг = = у + ~ iqN = у + V eN .
Магнитная проницаемость получает таким образом
истолкование. ,
Смотря по тому, больше или меньше нуля выражение
t
нагляди^
(33
I
тело будет парамагнитным или диамагнитным. Но по знаку этой сумм<
еще нельзя судить о знаке г. Возьмем, например, самый простой случа|
двух непроводящих парамагнитных групп ионов 1 и 2, й^пусть при это|
ei = —е2 = е, N1 = N2 = N, Тг= — Т2 = Т, q^q2 = q.
Тогда по (31)
— Т2 — Т, — q2 — q.
^-l)y= — -2eN4-> 0.
С 1
По (21), пренебрегая
величинами ah и bh, получаем, -
v обусловлен знаком разности диэлектрически^
Таким образом знак
постоянных Nd\ и ЛД.
Действительно, мы знаем и из опыта, что магнитные свойства сов
не определяют направления магнитного вращения плоскости поляризац
4. Дисперсия магнитного вращения плоскости поляризац
Если ввести в (30') длину волны в пустоте z0—Тс, то получается
s 2л*гУ е' 2nzvn ' /)
6 V 3 ~ 3’
где ]Ле' = п есть показатель преломления тела в ненамагничец
состоянии.
Если сначала принять, что п постоянно, что в первом приближен
допустимо, то v тоже следовало бы считать постоянным. -Тогда д q
зывается обратно пропорциональным Ао2, совершенно так же, как
имеет место при естественном вращении плоскости поляризации. ।
В первом приближении можно считать, что это действительно так и
Если же е’ = те2 представить в видех)
А]-^2
1
П2 = 1 + -
1
где вместо Яо введена длина
V = ----________L
2
волны в воздухе
4/ I
А.
Л, то по (21)
_________I
/2 ,2 “Г • • • ,
1 —1/хг 1— 1_(АЛ
\ Л / 1 \ Л / У Л )
где Д', Д', Д' суть постоянные, не зависящие от Д, Д-«-
*) См. формулу (19) на стр. 317. Эта формула применима только в области
мальной дисперсии, и только тогда, когда нет налицо ионов проводимости.
$ д 4] Дисперсия магнитного вращения 355
Число постоянных, входящих в формулу дисперсии магнитного вра-
щения плоскости поляризации, зависит таким образом от числа постоян-
аых» необходимых для определения дисперсии показателя преломления п,
т е. от числа собственных периодов колебания, которые нужно прини-
мать во внимание при расчетах.
В области видимого света обыкновенно оказывается достаточным пред-
положить существование одного собственного периода колебания, с дли-
ноЙ волны Л1г в ультрафиолетовой части, а затем еще какое угодно
число других (также ультрафиолетовых^собственных колебаний, длинами
волн которых Я2, Я3 и т. д. можно пренебречь по сравнению с Л.
Тогда формула дисперсии приобретает вид
п2 = 1 + А2 4- А3 + ... + =
Л J 2
= 1 + 4- А2 4- Л3 4-... 4- >
или
В этом случае формула дисперсии для v должна быть, на основа-
нии (35), написана следующим образом:
' v = + ^2' + 4/ 4- •. • = «' 4- 22 —
а_ формула дисперсии для магнитного вращения <5, если положить
2л2я = 1, должна, на основании (33), получить следующий вид:
$ ~ п (“дз + да — 2ха ) ’ (38)
В эту формулу входят две постоянных, так как Аг берется из фор-
мУлы дисперсии п. Она действительно дает удовлетворительное совпаде-
ВИе с опытом, как можно видеть из нижеследующей таблицы:
Сероуглерод.
1 II II II 0,212 р, 2,516, -0,0136, 4- II II II 0,0450, 0,0433, 0,1530.
Спектр, ^иния д в mil йвыч. ^яабл. «U. ^яабл.
А 759,4 1,6115 1,6118
1} 686,7 1,6179 1,6181 — .—
С 656,3 1,6210 1,6214 0,592 0,592
О Е 2? G и 589,3 527 486 431 1,6307 1,6439 1,6560 1,6805 1,6308 1,6438 1,6555 1,6800 0,762 0,999 1,232 1,704 0,760 1,000 1,234 1,704
397 1,7033 1,7032 — —•
23*
S56 Магнитно-активные тела [Отд. III, гл. .1
Креозот.
Л' = 0,1845 /г, V= 0,0340,
а = 2,2948, Ъ = 0,0227,
а' = — 0,1799. Ь' = + 0,3140.
Спектр, линия Я в тд ?гвыч. ^набл. С / °выч Л аабл.
Б 686,7 1,5319 1,5319 0,515
С 656,3 1,5336 1,5335 0,573 0,573
D 589,3 1,5386 1,5383 0,745 0,758 '«
Е 527,0 •1,5454 1,5452 0,990 1^)00
486,1 1,5515 1,5515 1,226 1,241
430,8 1,5636 1,5639 1,723 1,723
Н 397,0 1,5744 1,5744 2,206 —
Если сделать самое простое предположение, что имеется одна труп
положительно заряженных ионов и одна отрицательно заряженных,
из различия знаков у а' и Ъ' вытекает, что эти ионы должны вращал
в противоположные стороны.
Дисперсионные формулы (33), (34) и (35) показывают, что вращав
становится очень велико, когца л очень близко к длине волны собстщ
ного колебания Этот результат действительно был подтвержден Mai
лузо и Корбино на парах натрия *). Однако их результаты не уклад
ватотся в рамки вышеизложенной теории. Действительно, как вытею
из формулы (38), а также из более строгих рассуждений, при котор;
принимаются во внимание также и члены трения т, теоретически ц
щение <5 по обе стороны полосы поглощения, т. е. при доле
иметь противоположные знаки. Наблюдения же дают одинаковые зна!
Отсюда следует, что для этого случая, т. е. по всей вероятности Д
всех газов и паров, наши основные предположения не соответствуй
действительности. К этому же выводу приводит и второе обстоятельств
которое будет разобрано в следующем параграфе.
5. Магнитное поле перпендикулярно к световым лучам. За нагл
вление магнитного поля выберем ось OZ, за направление лучей—ось О
тогда все зависит только от X и t, и vx = vy == 0, vz = г. В последв
уравнение (18) (стр. 351) мог бы входить только коэффициент г, а имей
в сочетании — v , но и этот член пропадает, так как в силу перв<
из равенств (19) X =0. Поэтому, на основании принятых нами пр'
ставлений, магнитное поле вообще не должно оказывать никакого вл>
ния на оптические явления в том случае, если световые волны pacd
страняются перпендикулярно направлению поля. Но, с другой сторо!
такое влияние доказано для паров металлов. 1
*) См. Ladenburg, 1. с., 2169; W. Voigt, 1. с., 565.
Гипотеза эффекта Холла
357
g этом заключается вторая причина, почему мы должны искать
«ругую гипотезу для объяснения оптических свойств в магнитном поле.
Можно было бы расширить наше прежнее представление, приняв,
qTo намагниченное тело получает, очевидно, неоднородное строение
вследствие взаимного притяжения его молекулярных токов в направлении
линий сил. Однако другая гипотеза ведет к, цели более прямым и совер-
шенным путем; она тоже опирается на некоторые наблюденные на опыте
свойства тел в магнитном поле.
Б. Гипотеза эффекта Холла.
1. Общие положения. Отбросим представление о вращающихся
ионах и будем пользоваться прежним понятием о подвижных ионах.
Сильное магнитное поле должно воздействовать на ионы с особыми
пондеромоторными силами — по той причине, что движущиеся ионы пред-
ставляют собою электрические токи, и каждый элемент тока испытывает
в магнитном поле силу, направленную перпендикулярно к этому эле-
менту и к направлению магнитного поля. Вследствие этого линии тока
стремятся двигаться вбок от своего направления в магнитном поле. Это
явление, известное под названием эффекта Холла, действительно наблю-
дается у всех металлов, особенно у висмута и сурьмы.
Если элемент тока длины dl и силы тока im (в электромагнитных
> .единицах) пересекает под прямым углом силовые линии магнитного поля
Я1), то пондеромоторная сила Я, действующая на этот элемент тока, равна
:F=idlH= — dlH, (39)
где i есть сила тока в /электростатических единицах. В принятой нами
координатной системе (Стр. 221) Г направлена по оси ОХ, если напра-
вление i совпадает с осью OY, а направление Н—с осью OZ.
Если ион, несущий на себе заряд е, перемещается зт время dt па
отрезок dn вдоль оси OY, то по отрезку dr) на основании сказанного
На стр. 312, течет ток силы i=eN'^~, где N' есть число ионов на
единице длины. Поэтому, так как dl — drj, имеем по (39):
I F=-N,d'n^-H.
7 с 1 dt
ъ Это есть сила, действующая на все ионы, лежащие на отрезке d/j.
Вело их равно Ndn. Сила, действующая на один ион по оси ОХ, равна
ц°этому
F,= --2Hz. (40)
ч »ЛЛсли бы еще имелось магнитное поле по оси OY, то смещение С
бы силу
<41)
е*Ует^СЛИ магнитная проницаемость окружающей среды ц отлична от 1, то вместо Н
подставить плотность линий сил (индукцию).
358
Магнитно-активные тела [Отд. III, гл.
1
Эти члены (40) и (41) следует прибавить в правой части уравнз
ний движения ионов (6) или (7) (стр. 349).
Если мы примем, что в теле имеются только непроводящие ионы, чт
вполне допустимо во всех телах с малой электропроводностью, то в резуль
тате получим путем круговой перестановки букв следующую систем
уравнений:
т-^^еХ-------— (-Ге*-±+-№И.-
m dt2 ei & re dt' c\dt;x dt ^2/’
m dp e ft Ге dt^ c\dt У dt x/%)
2. Вывод дифференциальных уравнений. Основные уравнения (j
стр. 347 остаются, как и всегда, без изменения. Мы исключаем из наше!
рассмотрения вращающиеся по замкнутым орбитам ионы, вследствм
чего перенос ионами магнитных силовых линий не имеет места, поэтом’
магнитную проницаемость следует положить равною 1, так что остаюте
в силе прежние соотношения (стр. 225):
Далее, попрежнему (стр. 312), j
= it (х +4уг 2eN%) > О
^iy= it(г + 2 eNri)» (4я|
it (z +2 eNt\ Jl
Уравнения (3), (42), (43) и (44) содержат в себе полную теорииЯ
При периодических изменениях состояния, пользуясь прежними
значениями ЯВ
г& т& ,
4л 4ле2
получаем для (42):
. ^(1 + г-—= (Я
3 \ 1 Т Ti / 4яст v 1 2 VJ 4л
Если ось OZ расположить по направлению магнитного поля, так
Нх — Ну = О, HZ = H, и ввести обозначения Я
г) Наиболее общая теория п ручается при сочетании вышеприведенного v
представления о вращающихся ионах с системой (42). Последняя система, 01
говоря, должна действовать во всех тех случаях, когда имеются налицо подвя*
ионы и сильное внешнее магнитное поле. Для простоты, однако, мы здесь обе 1
тезы А и В совершенно отделяем друг от друга. v
Б 2]
Вывод дифференциальных уравнений
359
10, ВО (46)
е{ в—X, |
‘ 4я ’ I
ет] • 0 i • el* У7 = ~ Y,
\ , 4л;
еС . 0 = 4- Z.
(48)
Эти уравнения можно решить относительно £, ту, С; тогда получаем
(02 — У72) = 0 (0Z + W У),
4ле^(02 —У72) = #(0F— MX),
4гсеС • 0 = dZ.
Поэтому по (44)
4я< = «*(! + ?. g-e—У, г-эг У т
lx st \ в2— ч’2) ' 1 dt 2л е!— V2
4л,- =2Г (1 , у _ У т
'« dt ( ‘ Zj в‘— У1/ at Zt S’—!рт
4<=4(1+2-^)-
Напишем зту, систему ^ороче так.
Л • „ дХ , . д¥
-аГ '+
4т =,e"^-—iv^X
}у dt dt 9 |
. . , dZ
4jiA = « "of •
(49)
(50)
I
(51)
3. Свет распространяется параллельно магнитному полю.
В этом случае все зависит только от г и if, и уравнения (3), (43) и
(51) дают
1 / „ dX dY У । dp 1 ( „ dY . dx \ , da
—. ( o" с V dt + w -dT) — — 4- — £ IV -b-~ ' dz 9 c \ dt dt ) ~~ ~dz 9
£ За _ дУ L дХ V = Z
с dt dz 9 с dt dz 9 v
(52)
Исключая a и А получаем: д2х гТ> d2Y
erf d2X
с2 'di2'~ dz2 с8 dt2 ’
8" д2У d2Y iv d2x
С2 dt2 ' dz2 -г с2 dt2
Полагая для интегрирования
X = Me
— (t - pz),
(53)
t
Y=Ner
(t — P«)
(54)
360
Магнитно-активные тела [Отд. III, гл
(5i
(как мы уже делали выше, стр. 336 и 352), получаем из (53):
е”М = р2с2М — ivN, £"N=р 2c2N 4- ivM,
т. е. две системы значений:
j)2c2 _ п'2 Ц — __ г-дг |
р^ = п№2(1— 1к"У = е" — v, = — iN. J '
Здесь п', х' и п", и" соответствуют-вблпам, поляризованным
кругу влево и вправо. Заменяя е" и v их значениями из (50) л (51
получаем
n'2(l — г«')2
&N
&N
(51
колебания, то в выраже!
вследствие чего к' — к" =
Если т далеко от периода собственного
для 0 можно отбросить мнимый член г ,
и так как Т всегда мало по сравнению с 1, а также и по сравнен!
с 0, то
п'2
п"2
>1
(4
Для вращения плоскости поляризации по (19) (стр. 338) получаемая
s я , „ п п”2— п'2 ГйД
О — Z -г- (п — п ) =2 -Г- • —zr-j—~
4 ’ Ао 5г +п
. Если среднее значение между п" и п' обозначить через п, то имЦ
с 7К
Й=£Ч
Поэтому по (57) $ ____
п
02
пн2 — п'2
2п
я z tiNY
~ То 02 ’
При этом показатель преломления п дается с точностью до пе]
степени У7 выражением
4. Дисперсия магнитного вращения плоскости полярная
Вводя значения 9 и У по (47), последние уравнения можно пере1
сать так:
•E
В 4] Дисперсия магнитного вращения 361
Поэтому в первом приближении получаем, как по гипотезе А, что
обратно пропорционально Я02.
Если п2 с достаточной точностью (см. выше стр. 355) выражается дис-
персионной формулой с двумя постоянными
n2 = a+>^V’ (64>
(где вместо Яо введена длина волны в воздухе Л), то по (62) д тоже
должно выражаться дисперсионной формулой с двумя постоянными
а' и Ъ' должны быть различных знаков, если в теле имеется только два
рода ионов, — заряженных положительно и отрицательно. Это было бы
самое простое предположение.
Вычисленные по формуле (65) данные для сероуглерода и креозота
1меют следующие значения:
Сероуглерод.
= 0,0450, а' = 4- 0,1167, Ь' = + 0,2379.
Длина волны в тц С °ВЫЧ. ^набл.
656,3 0,592 0,592
589,3 0,760 0,760
527,0 0,996 1,000
486,1 1,225 1,234
430,8 ' 1,704 1,704
Креозот.
Я/ = 0,0340, а' = - 0,070, V = = + 0,380
Длина волны в тр с °выч. °набл.
656,3 0.573 0,573 !
589,3 0,744 0,758 !
527,0 0,987 1,000
486,1 1.222 1,241
430,8 1,723 1,723
Совпадение теории с опытом почти такое же, разве немного хуже,
в случае гипотезы молекулярных токов (см. выше стр. 355 и 356).
(63) следует, если заменить через
dn _ о V &N V
dX £ Л _ A2)2 ;з *
362 Магнитно-активные тела [Отд. Ill, гл. )
Так как по (31) и (33) (стр. 321) ЯЛ2=л^, то, если для ионов вс
типов т:е' имеет одно и то же численное значение, и его можно в
нести за знак суммы:
м dn___ п т &N •&
п dX-JTl7' 2 Л _ 42\а V-
Отсюда получаем из (62) j
<5 = _глАЛ.* *’/ да
т 2с dA '
Таким образом получается одночленная формула дисперсии, вперв
^без множителя предложенная Беккерелем; по ней можно определи
•е':т. Это было проделано рядом авторов г); получающиеся числа имв:
порядок 107, абсолютная же величина колеблется от 0,56 для NaC103,
1,75 для водорода; последнее число уже достаточно близко к^очно.
значению — = 1,757 • 107. Отступления от этого значения объясняют!
по всей вероятности, наличием аномального эффекта Зеемана (см. ниж
Знак вращения соответствует отрицательному заряду электрона 2); так
•образом здесь мы имеем еще одно интересное доказательство, что явлен
дисперсии могут быть количественно предсказаны из общей теории эл<
тронов.
Закон дисперсии (65) не подходит под эти рассуждения. Дейен
тельно, если для одного типа ионов = 0, то при постоянном е': т д
этого же типа должно быть равно нулю также и соответствующее
следовательно и а' = 0. Приближенно следует этому закону дисперо
креозота, для которого а' по (65) получается весьма малым (а' = —0,07]
в сероуглероде, однако, обнаруживаются значительные отклонения, 1
видно из нижеследующей таблички, где цифры второго столбца при
дены в произвольных относительных единицах: J
Сероуглерод. /
Длина волны в тд б dA Я dn,
656,3 7,29
589,3 7,48
527,0 7,60
486,1 7.41
430,8 6,00
Непостоянство значений говорит за то, что формула (62') здесь,
вполне применима. Действительно, для сероуглерода весьма сильно |
й) См. R. Laderiburg, i. с. 2160. <1
•) А именно, в вышеуказанном (стр. 353) смысле вращение получается
тельным, т. е. его направление совпадает с направлением токов, вызывают*^ -
нитное поле.
5] Длина волны близка к длине волны собств. колеб. 363
даются на показателе преломления инфракрасные колебания. Поэтому
е'-т, вычисленное по формулам (62'), должно в этом случае для различ-
ных длин волн иметь несколько различные значения.
5. Длина волны близка к длине волны собственных колебаний.
^огда период колебаний лежит близко к периоду собственных коле-
баний, то уже нельзя пренебрегать членом трения Примем, что Т
близко к Тх, собственному периоду колебаний ионов вида 1, и положим
поэтому, что т = Г^(1 + #) =*1(1 + #), где g мало по сравнению
с 1. В формулах (56) можно поэтому вследствие малости V7 положить во
всех членах 2, не относящихся к ионам вида Г.
так что, вводя обозначения
т1’ ' Т1О } (67)
— = й, Н = <р, «1N1 = В, I
тх ’ 1 1 J
получаем из (56), ограничиваясь при разложении первыми степенями g
и пренебрегая g • 9? по сравнению с g или <р:
»'2 (1 -Ь. -у = А + А' + 2g^k_v, (68)
= + (69)
. Мнимый член правой части выражения (68) проходит через макси-
мальное значение в том случае, когда
2#=+?, т. е. t2=tz2 = t12(1 + 9?). (70)
Як В этом случае волна, поляризованная по кругу налево, испытывает
/максимальное поглощение. Для волны, поляризованной по кругу на-
Раво, это имеет место тогда, когда
2(? = — у, т. е. т2 =V = '^12(l-9’). HD
г Нь намагничении параллельно лучам света при освещении естествен-
| уЛ светом происходит поэтому раздвоение имевшейся первоначально
L <vй полосы поглощения. В одной из составляющих сильно поглощается
’ ПоляРиз°ванный по кругу влево, так что проходящий свет предста-
I *ОсеТСя ослабленным и поляризованным по кругу вправо; в другой по-
| ? у °ТсУтствуют лучи, поляризованные по кругу вправо.
К°Бов°® же результат мы получили бы и по гипотезе А молекулярных
364
Магнитно-активные тела [Отд. Ill, гл.
Если д не очень мало, и 2д по абсолютной величине"болыпе, чем j
так что можно пренебречь величиной h по сравнению с 2д ± <р, то у
том предпом
В
(68) и (69) можно положить я' и %" равными нулю, в
жении, что правые части положительны. Таким образом, для некотороу
удаления от полосы поглощения получаем:
п'-‘= А + Л' + „—и"2 = 4 —4'+——.
(Чтобы правые части были всегда положительны, А по абсолюту
с « В
величине .... — --------- —
получаем
должно быть больше, чем „ ± ). Поформулам (59) на стр. 31
для вращения <5 плоскости поляризации ч
<5 = — — . (л' + В—] |
п \ ty1 — <р* ) ’ Л
где
п —
-д — <Р г 2д 4- <р ) f 1
Поэтому оказывается, что по обе стороны области поглощения в|
щение имеет одинаковый знак и распределено приблизительно симй
трично, так как <5 в первом приближении зависит только от р2. 1
Такой же результат получается из формулы дисперсии (62). Еслж|
положительно, то на основании сказанного на стр. 353 происходит в|
щение в направлении амперовских молекулярных токов (парамагнитны!
Так как знак д определяется не малым членом А', а гораздо более за
чительным членом -^2~^уа, так как %9 должно быть по абсолюта
величине больше чем ср, и так как, далее, В всегда положительно, то 3S
б зависит только от 99, т. е. от заряда ег. При положительном е1} т,|
при д> > е, вращение <3 происходит в сторону, противоположную нага
влению молекулярных токов; далее, тг > тг, т. е. волна (I), орба
возмущения которой пробегается в направлении молекулярного то!
будет испытывать максимальное поглощение при большем периоде]
чем та волна (г), орбита возмущения которой имеет противоположи
направление. При отрицательном ег вращение плоскости поляризаГ
происходит в направлении молекулярных токов. Тогда < тг, т. е. вол
орбита возмущения которой пробегается в том же направлении, в ка|
происходит вращение плоскости поляризации, испытывает максималь
поглощение при меньшем периоде, чем волна, вращающаяся в прот
положном направлении.
Все эти выводы действительно подтверждаются на парах натрия,
более подробно будет рассмотрено ниже. Для обеих линий поглоще
пара (линий Z>), наблюдаемых при ненамагниченном состоянии па
е оказывается отрицательным, обе линии D натриевого
таким образом, отрицательно заряженными ионами.
Поглощение в точке д = 0 может быть мало, если
нению с Л; тогда по (68) и (69)
п'2=2 + А'— п"* = А — А' +
<р
пара вызываю
<Р велико по ‘
в
<р
Свет перпендикулярен магнитному полю
365
Правые части должны быть положительны, если мы хотим, чтобы эти
уравнения имели смысл, т. е. А по абсолютной величине должно быть
больше, чем —L Вращение плоскости поляризации 3 тогда оказывается
пропорциональным
г П"2 —и'2 в ,,
д--------— = — — Л'.
Л
(73)
Поэтому д велико при малом у. При положительном ег вращение д
происходит в направлении молекулярных токов, т. е. в направлении,
противоположном тому, которое имело бы место в соседстве, но вне по-
лосы поглощения. Несмотря на это,мест с нулевым значением Сможет и
не быть, так как в точках сильного, но различного поглощения п'к' и
п''х" вообще не имеет смысла говорить о вращении д плоскости поля-
ризации.
Что вращение 5 достигает очень больших значений вблизи полосы
поглощения, было действительно доказано опытами Макалузо и Корбино
(см. выше стр. 356), которые находятся в согласии с излагаемой
здесь теорией Фохта. Кроме вышеразобранного случая нормальной
дисперсии вращения у некоторых веществ (растворы красок, солей ред-
ких земель, жидкий кислород), преимущественно парамагнитных, наблю-
дается аномальный (несимметричный) ход дисперсии. Он вытекает из
►теории Друде (А), а также из теории парамагнитного вращения, данной 3)
Ладенбургом и Дорфманом.
6. Свет распространяется перпендикулярно к магнитному полю.
За направление намагничеция выберем ось OZ, за направление нормали
к волне — ось ОХ. Тойа все зависит только от х и t, и из урав-
нений (3), (43) и (51) получается:
„дх . . dY п 1
£ «+п'71=0- |
1 ( ,,дТ . дХ\ ду
— е -тг—г?’-,-г =—тН
te \ dt dt I дх ’ I
(74)
xL = I v ;
c dt дх ’ I
_ n _JL - 1
a ’ c dt dx ’ c dt dx ’
Исключая /3 и у, имеем:
£"X 4-2vlZ = 0,
(YY _ d2Y , • r d2X
'dt2 ~dx* г c2 di2 ’
s' 02Z d2Z
c2 dt2 dx2 ’
c., 2167; Byg, Физическая оптика.
I
I
I
)
(75)
366
Магнитно-активные тела
[Отд. III, гл.
Двр. первых уравнения дают при исключении X
/ г2 \ д2У „а2У
г-----------------------------7г) ГГ2- — С ,гт-
[ \ е } dt2 дх2
Вводя для интегрирования
i I
— (4—Р'х) — (4—р'х) — (.t—px)
X = Me т , Y = Ne * , Z = Пег
получаем из (75) и (76): >
&"—=р'?с2, е' — р2су M==^-^-N. (71
Скорости распространения Z и Y оказываются таким образом pg
личными, т. е. тело ведет себя как двояко-преломляющая среда. Д|
Z, т. е. для волны, поляризованной перпендикулярно намагниченЗ
показатель преломления и показатель поглощения получаются и^ вы|
жения j
р2с2 п2(1 — гх)2 = е' = 1 + (I
а для волны, поляризованной параллельно намагничению, имеем р
/ у &№Р \2 j
/2 /1 „• 1.Х? I Jj 0а — ¥« / J
п (1 гн' 1 02 — У72 , у • (1
1 ' 2j @2— у/2 .3
Разница между п’ и п вообще говоря очень мала, так как приЗ
очень малом 0 она имеет порядок второй степени Р. Поэтому это К1
витное двойное лучепреломление может быть обнаружено только вбли
собственного периода колебаний, так как там 0 очень мало. ]
7. Длина волны близка к длине волны собственных колебанЯ
Положим попрежнему т = "Ч (1 4- #) = (1 + g), и примем, что
мало по сравнению с 1. (
Тогда в каждом члене под знаком суммы, кроме того члена, котор]
относится к ионам вида 1, следует рассматривать 0 как действйтельш
величину, не слишком малую. Величиной Р2 можно пренебречь по cpi
нению с 02.
Пользуясь обозначениями (67) (стр. 363), имеем
n '2 (1 — w ')2 = А 4- -- g---5- х
v 7 1 (2д 4- — <£>2
X (2# 4- ih — -_____________________________Д
I [ (2д + thy2 — 932] А + (2д 4- гЬ) В J’
П '2 (1 — гх ')2 = ।____B\(2g-{-ih)A +В]_____
J AfVg-Yih)2— <^+B(2g-]-ihy
В парах металла показатель преломления всегда близок к 1, даже «А
д сравнительно мало. Отсюда можно заключить (см., например, фор*Р
id
Явление Зеемана
367
дЯ и2, на стр. 364), что А должно быть близко к 1 и В очень мало»
}ак чт0 в0 ВТ0Р0М плене правой части (80), содержащем малый множи-
тель В, можно пренебречь В по сравнению с А. Тогда получаем
^(1-^ = 2 + -^^. (81>
Мнимая часть, т. е. поглощение, получает поэтому максимальное зна-
чение при очень малом h тогда, ко;да
4$2 — £>2 = 0, т. е. 2д = ± <р. (82)
Поэтому в случае волны, поляризованной параллельно намагниче-
нию, возникают две полосы поглощения, лежащие по обе стороны по-
лосы поглощения, наблюдаемой при отсутствии намагничения.
Для волны, поляризованной перпендикулярно намагничению, из (78)
следует:
= (83)
Максимальное поглощение лежит в точке д — 0. В случае волны, по-
ляризованной перпендикулярно намагничению, поглощение при намаг-
ничении не меняется.
Когда 2д велико по сравнению с h и <?, то х и х' становятся ма-
лыми, и мы имеем приближенно
,9 л । В А • 4а2 В 2д 9 Л. В
П ~ А + 2^ ’ 3(4^=^2) + В-2д’ П ~ + 2J’
и поэтому
=
п'2—п2
п
4p2n2 — Acp2 ’
|JH> так как 4#2 должно быть велико по сравнению с <р2, приближенно
разность п'—п положительна или отрицательна смотря по злаку д;
1?а не зависит ни от направления намагничения, ни от знака ер. Дей-
Мрительно, этот закон магнитного двойного лучепреломления был под-
Т^йЦен на опыте на парах натрия Фохтом и Вихертом х).
(I* °- Явление Зеемана 2). Зееман обнаружил, что узкая линия испус-
i. пара какого-нибудь металла, например натрия или кадмия, рас-
‘Ся ПРИ намагничении пара на две или три линии (дублет или
;%Лет)> с весьма близкими периодами колебаний. Дублет наблюдается
C./TVUna Т1»Г\т-»ттл Т5АГТ^ПТЛТГЛТТТГП ттТТТТДЙ ЛЛОГГОПОДТ Л НО ТТПП-П ППГТТДДМ МОГ-
• СлУчае> когда направление лучей совпадает с направлением маг-
Ле?х силовых линий; триплет — когда оно ему перпендикулярно. Эти
’К^^иогут быть теоретически 3) объяснены на основании вышепри-
L* 3)эЛ W- Voi9t, 1. С, 581.
ж* е?.еРиментальные данные по эффекту Зеемана гм. Вуд, Физическая оптика;.
KL *) >i,Handbu h der Experimentalphysik (Wien и. Harms) 22, 1, 1929-
l • Voigt, 1. c., 472.
Магнитно-активные тела [Отд. III, гл,
368
ПОЛ£.
положить т
веденных уравнений 42 (стр. 358), если положить в них X — У =Z
т. е. Принять, что ионы колеблются без воздействия какой-либо внеш
силы: результат в этом случае отвечает испусканию света, вызывав^
внутренними процессами (например повышением температуры). Если
править ось OZ по направлению магнитного поля Н, пренебречь члена;
трения г и написать вместо е'.с заряд е', выраженный в электроа;
нитных единицах, то получим вместо (42):
d2g 4яе2 .. ,тт dri
m-^ + -»-s = eaTc
d2n . 4ле2 ,Тт d$
т-^+~гч = -е1ЧЬ
d2'Q । 4ле2 п
от^ + -^/=0-
без
и
Таким образом на колебания С в направлении поля магнитное
вовсе не влияет; период их тг остается тем же, что
о Ml#
последнего уравнения (8э) следует Ti =4^-
Если положить'
Me
т] — Ne
то из (85) получаем:
1
--1 W = —н—дг,
т2 / т m ’
п --м.
т
\\n = —
Г, 2 /
Отсюда, исключая
М и N, имеем
(А-—АУ = А- ^А-У
\ т2 тг2/ т2 \ т /
Если далее (аналогично тому, как это было в § 7)
~Т1 (14-/7), причем д мало по сравнению с 1, то, так как влияй
магнитного поля II все-таки весьма мало, из (87) следует
(88
так как в правой части, благодаря наличию множителя Я2, можно npW
ближенно положить т = 4 :
Если обозначить те колебания, для которых имеет место верхний зна1
значкОхМ 4, а другие значком —, то из (86) получим
М+ = IN+, JW- = —iN_. (89,
В этих уравнениях и содержится эффект Зеемана. Действительно, й
направлению магнитных силовых линий (ось OZ) колебания С не ДаХ)
Явление Зеемана
369
никакого светового впечатления, так как свет распространяется только
рОперечными колебаниями. Колебания £ и ?? дают две волны различ-
ны* пеРи°Д°в г> причем по (89), (см. также выше стр. 337) (+) волна
поляризована по кругу влево, а (—) волна — вправо. Так как отсюда
утекает, что лево-поляризованная волна смещена к коротким периодам
г то, если мы берем верхний знак в (88), что соответствует (+) волне,
/ а следовательно и е' должно быть отрицательно. Это и есть объяс-
нение дублета Зеемана.
Если смотреть перпендикулярно полю в направлении оси OY, то коле-
бания С, поляризованные перпендикулярно полю, остаются неизменными,
тогда как колебания £, поляризованные параллельно полю, распадаются
на два. Так объясняется триплет Зеемана.
Зная расстояние между составляющими линий, можно по формуле (88)
получить значение —. Таким путем был произведен ряд определений
этой величины; получающиеся числа в пределах точности измерений со-
впадают с данными метода отклонения электронного пучка х). Таким
образом в явлении Зеемана мы имеем еще одно доказательство элек-
тронной теории.
Пользуясь приборами высокой разрешающей силы — сначала интер-
ферометром, а за ем эшелоном, который и был задуман специально для
ьэтой цели,—Майкельсон 2) обнаружил, что в большинстве случаев спек-
тральные линии в магнитном поле расщепляются не на дублеты и три-
плеты, а на гораздо большее число составляющих. Этого во всяком слу-
чае следовало ожидать в тех случаях, когда линии испускания и вне
магнитного поля представляются не/одиночными, а сложными,—например,
Двойными пли тройными. При этом обнаруживается закономерность: все
линии одной и той же спектральной серии имеют один тип расщепления
(правило Рунге и Пашена). Фохт 3) построил чисто феноменологическую
’еорию аномального эффекта Зеемана, из которой формальным путем
/ Получалось наблюдаемое на опыте упрощение картины в сильных маг-
t. витных полях (эффект Пашена-Бака). Полную трактовку явления могла
I Дать только квантовая теория 4), по которой сложный эффект является
| Шой общей формой, нормальный же эффект — лишь его частным
[улучаем 5).
HJ Непосредственное наблюдение расщепления линий требует приборов
большой разрешающей силы. Простой метод наблюдения эффекта
ульемана без спектроскопа заключается в том, что источник света (на-
натриевое пламя), помещенный в магнитное поле, рассматривается
I’' xj^jipyroe такое же пламя, находящееся вне поля. Если смотреть пер-
«1^ Последние определения L. Е. Kinssler и W. Houston, Phys. Rev. 45, 104,
ДаЛИ YY = ^’7570 + 0,0010) • 107.
sj Су. Вуд, 1. с.
ь Voi9t, 1- с., 514.
^eew.M‘ НалРим₽Р A. Lande, Handbuch des Phys;k (Geiger и. Scheel), 21, 360,1929;
д- an и L- de Bruin, Handbuch der physik. Optik (CrehrZce), 2, 595, 1927; там
L" Ъ /?<1ТХРа д0 1924 г.; E. Back, 1. c., 69.
1 } V- Baek. 1. c., 71.
L ^г'Уде—оптИка
24
370
Магнитно-активные тела [Отд. III, гл
пеадкулярно намагничиванию, то первое пламя представляется свет,
и притом поляризованным. Действительно, на основании закона К
гофа (см. ниже стр. 413) во втором ненамагниченном пламени дол
поглощаться только те колебания намагниченного пламени, период в
рых остался неизмененным х).
Таким же путем (поглощение в оболочке пламени при не совсем
номерном магнитном поле) Лорентц пробовал объяснить наблюдение
рова и Георгиевского * 2), что натриевое пламя в магнитном поле и
скает перпендикулярно направлению намагничивания частично поляр;
ванный свет. Но это явление можно было бы объяснить теоретическ
в случае вполне однородного поля, так как общее поглощение w'x'j
поляризованных в направлении намагничивания, вычисленное по
муле (80) для всех возможных значений д, оказывается слегка отлич
от общего поглощения волн, поляризованных перпендикулярно)нама
чиванию, определенного на основании (83) для всех возможныхщначен!
9. Магнито-оптические свойства железа, никеля, кобальта,
видели, что гипотеза молекулярных токов не приводит в случае п;
металлов к удовлетворительному объяснению явлений; однако при
смотрении свойств сильно магнитных металлов мы должны придер.
ваться этого представления. Это доказывается проще всего тем, чт
этих металлах магнито-оптические эффекты пропорциональны нама
чению металла 3), а потому стремятся к некоторому предельному
чению (при намагничивании до состояния насыщения), даже в
внешнее поле продолжает расти.
Гипотеза эффекта Холла не привела бы к такому пределы
значению 4), так как магнито-оптические эффекты должны были (
пропорциональны магнитной индукции тела, т. е. плотности всех
нитных силовых линий.
Строго говоря, эффект Холла должен наблюдаться отчасти и при
личии молекулярных токов 5), однако опыт показывает, что в жeJ
никеле, кобальте влияние молекулярных токов значительно преобла
над влиянием эффекта Холла; поэтому для упрощения мы сейчас со
не будем его учитывать.
а. Проходящий свет. Если плоская волна проходит сквозь ш
гниченный нормально к поверхности тонкий слой железа по
х) Видоизменение этого опытг Кенига с гейсслеровыми трубками пред!
К. W. Meissner, ZS. f. Phys. 43, 454, 1927.
а) Фохт дает другое объяснение этому явлению, вводя допущение, что ков'
циенты трения г в исходных уравнениях (42) стр. 358 зависят от силы магнит
поля, и притом различным образом, смотря па направлению колебаний. Для до
тельства возможности такого прямого воздействия магнитного воля на испуски1
энергию он произвел ряд опытов, вполне подтвердивших его теорию и не согля
щихся с приведенной выше в тексте теорией Лорентца. См. W. Voigt, 1. с., 62*
3) W. Voigt, 1. с., 672.
4) В этом, а также в ином виде закона дисперсии и заключается единстве
различие между теориями А п Б; иначе они формально были бы тождественны,
по гипотезе эффекта Холла при разложении в добавочных магнито-оптических
ограничиваться только первыми степенями, что всегда допустимо, так как в ме1
никогда не наблюдается узких полос поглощения.
в) См. выноску на стр. 358.
р9]Магнито-оптические свойства железа 371
-давлению его нормали, то имеют место формулы § 3 стр. 351. Если
И х обозначают показатель преломления и показатель поглощения
^намагниченного металла, а п', ri' и х', х,г — те же величины для
доля в намагниченном металле, поляризованных по кругу соответственно
вд6во и вправо, то по (28) и (29) на стр. 352 и 353 получаем, ограничи-
лась при разложении первыми степенями v:
р'с = п'(1~in'} = l/F (1 — ~
р"с — п"(1—— (1 +
v 7 \ 1 2стг
п(1 — /я) = s .
Если v представить в виде
у = а 4-
где а и Ъ суть действительные величины, то получаем
п" — п' = ~~ (« 4~ Ьх), n''x'f — п’х’ — ~ (ах — Ъ).
Из последней формулы вытекает, что волны, поляризованные по кругу
вправо и влево, испытывают различное поглощение; если п"х" и п'х'
отличаются друг от друга только немного, так что выходящий свет в
первом приближении остается линейно-поляризованным, получаем из
первой формулы выражение для угла вращения плоскости поляризации
й линейно-поляризованного света *) по формуле (19') на стр. 338
*5= Al(п" — п') = zn(a 4- Ъх), (90)
СТ 4 Лф
где
Яо = сТ = 2%ст.
Металлические пленки должны быть очень тонкими (доли Яо), чтобы
JOftHo было говорить о пропускании света. Несмотря на это, в них на-
едается значительное вращение плоскости поляризации <5; так, для
jf^ena, намагниченного до состояния насыщения, при z = 0,332 Ло в
/ красном свете (д _ 0 00064 мм) д — 4,25°. Отсюда следовало бы, что
слоя железа толщиной 1 см имело бы место огромное вращение
J* 200000°. Из этих наблюдений и из формулы (89) вытекает, что
красном свете для слоя железа, намагниченного до насыщения, тол-
пой 1 см,
п(а4-М = 0’758-10-6.
' К5 положительно, так как вращение д происходит в направлении
Магнитных молекулярных токов (см. стр. 353).
1\
с* п'^ О плоскости поляризации здесь можно говорить лишь в том случае, если п"х'7
Р*<Ьва Мал° отличаются друг от друга, так что выходящий свет остается приблизи-
ть дияейло-поляризованным.
L 24*
372 Магнитно-активные тела [Отд. III, гл.
Зависимость вращения 6 от периода т или длины волны Яо даЛ
формулами (20), (21) стр. 351, а также (90). Обращает на себя в|
мание» что д уменьшается при уменьшении Ло х). Это обстоятельство 5
лучает свое вероятное объяснение в том, что по формуле (90) п и!
действительно сильно падают при уменьшении 20, тогда как из (3
следует, что и а и b тоже уменьшаются с Ло, если при магнитно-ой
ческом эффекте особенное действие следует приписать ионам только ода
вида. 1
б. Отраженный свет (явление Керра) 2). Чтобы иметь возмй
ность судить о свойствах света, отраженного от магнитного зеркала,!
обходимо установить пограничные условия на поверхности зеркала. ’(
могут быть выведены из дифференциальных уравнений (18) и (1
(стр. 351), из тех соображений, что поверхность зеркала, строго гово]
представляет собой очень тонкий неоднородный переходный слой, в |
тором однако имеют место те же дифференциальные уравнения. и
Если за плоскость XY принять поверхность зеркала, то, рассуаи
совершенно таким же образом, как это мы делали выше (стр. 2S
получаем, что на границе: 1
у—г^ол-V) (|
должны быть непрерывны.
Этим путем можно прийти к открытому Керром явлению, что щ
скость поляризации линейно-поляризованного света, первоначально сом
дающая с плоскостью падения или ей перпендикулярная, после oil
жения поворачивается на малый угол. Это явление может возники
только как особый результат намагничения, так как без такового I
не могло бы наблюдаться по соображениям симметрии. 1
10 . Влияние магнитного поля световых лучей. Мы уже в и дм
что внешнее сильное магнитное поле может вызывать изменение ом
ческих свойств тела. Возникает вопрос, нельзя ли подметить такое.!
изменение и при отсутствии сильного внешнего поля, а именно q
влиянием магнитного поля самих световых лучей. ii
Если будем принимать во внимание сначала только те члены, кЯ
рые вызваны эффектом Холла, т. е. не будем предполагать наличия мЯ
кулярных токов (вращающиеся ионы), тогда придется пользоваться <Я
дующими уравнениями (стр. 337): 1
4л/ж ду др 1 да dY дZ /1
> с ду dz 11 Т’ Л’ с dt dz ду ’ '1
<1
3) См. W. Voigt, 1. с., 436. Уж
) См. В. Ladenburg, Der magnetooptischa Kerr-Effekt, 1. с., 2198. W.
Магнитное поле светових лучей
373
если
0 = 1+«V-^-- CJ5)
Уравнение (94) является характеристичным для нашей задачи; оно
показывает, что, так как у и С приблизительно пропорциональны У
л Z, дифференциальные уравнения электромагнитного поля уже не
являются линейными относительно величин X, У, Z, а, у, откуда
ккак следствие вытекает, что оптические свойства должны были бы зави-
сеть от энергии света. Это, однако, еще никогда не было наблю-
дено; легко можно установить, что члены в (94), которые приходится
прибавлять к выражению
л
0 ’
которым мы пользовались раньше, дают слишком слабый эффект, чтобы
его можно было наблюдать. Так как магнитная сила световой волны
а, у равна электрической силе X, У, Z или, по крайней мере, того
же порядка величины, то дело сводится к установлению приближенного
1 д?1 1 ас Л
значения величин------т. е. речь идет об отношении ско-
с dt ’ с dt’ г
рости ионов и скорости света. Но по (94) имеем приближенно:
t — у
* 4ле0 ’
т. е. для
z
т
имеем
г- е.
4^0 АсОз2л( Т я)-
Но собственный период колебаний То иона определяется (стр. 337)
бедующим образом:
То \2л) 4ле2’
4 ле 4 л2 m v 7
/ Если это значение подставить в (96), то наибольшее значение, кото-
’ 1 дё
I с течением времени может принять , будет
z
1 дё Гоа е .
с dt 2лТ0 тс
'' Если подставить 0=1 — , что вполне допустимо для тел про-
. Ч11Ых в том случае, если Т не равно То, то получается
К
dt
р ТЛ
__L —£о— л
me '12 — Т02^’
(98)
2л
374
Магнитно-активные тела [Отд. III,
Нр = 1,757 • 107 (стр. 369, выноска 1). Далее, для видимо^
света Т равно 2«10“15; поэтому (98) перепишем так: ,
_L Л _ а 5 . in-9 /(J
с dt ~ Л Т* 2—То2°
Здесь прежде всего нужно указать порядок величины А, т. е. см
поля светового луча. Солнце посылает в секунду около 142 кгм энё
гии на 1 м2, т. е. 1,39 • 106 абсолютных единиц (эргов) на единю
площади (1 см2). По формуле (25) (стр. 227) имеем для плоских bq
естественного света амплитуды А следующее выражение для потока эне
гии dt в единицу времени (1 сек.) через единицу площади (1 с.
в воздухе или пустоте х): 1
dE=~At \ (id
4л “
Отсюда, если считать, что на видимое излучение падает половина^
всей энергии солнца, максимальная сила электрического поля Соля
получается равной
----------- 9 j
А = J/ 0,70 • 103 = 1,7 • 10“ 2 = 0,017. (10;
Следовательно, при интенсивном освещении (солнечном) t
4< = 8>5-10"’та7- (!<
Это выражение таким образом всегда мало, если только Т .не очв
близко к То. Но даже, если бы Т:Т0 было, например, равно 60:
(пары натрия, освещенные длиной волны Л = 600 т/А), а, следователь!
Т02:(Т2 — То2) = 30, то и тогда выражение (102) было бы очень Mai
Таким образом при вычислении скорости распространения плосв
волн по выражению (94) влияние магнитных добавочных членов сказ
вается только во втором порядке, т. е., иначе говоря, изменение скорой
света V при повышении освещенности до освещенности, даваемой Солнце
составляло бы только 10~2ОК Отсюда можно заключить, что магнитя
поле световых лучей не вызывает магнито-оптического эффекта тай
величины, чтобы его можно было обнаружить на опыте. Вопрос мог <
возникнуть лишь в случае полного совпадения периода падающего све
с периодом собственного колебания (пары натрия, освещенные натриев!
светом). Однако возникающее при этом поглощение не позволило <
г) Это выражение можно вывести и независимо от формулы Поинтинга: через 1J
в единицу времени должно пройти количество электромагнитной энергии, содер
щеися в объеме V см9, где V — скорость света. В воздухе (пустоте) V — с.
по стр. 227 электромагнитная энергия естественного света единицы объема воачИ
равна А2 — 4л, откуда dE = сА2 : 4л. , Л
2) На самом деле только ~
Общие положения 375
0qflO установить, действительно ли в данном случае наблюдается какое-
^будь изменение показателя преломления в зависимости от энергии
ggei’a-
Если мы теперь обратимся к гипотезе молекулярных токов (вращаю-
щиеся ионы), то мы должны при этом пользоваться формулами (3), (4),
/5) на стр. 349. Если бы речь шла только о вращающихся ионах
одного вида, то по формуле (31) (стр. 354) плотность линий сил моле-
кулярных токов следовало бы положить равною = — 1) у, где —
магнитная проницаемость тела. При этом предполагается, что намагниче-
ние тела может следовать безиперционно за быстрыми изменениями у.
Если бы этого не было, следовало бы приписать меньшую величину,
чем та, которая наблюдается при постоянном магнитном поле. Поэтому
формулы изменят вид; так, например, формулы (3) и (4) перепишутся
так:
1 д / , , . д% , \ dY dz
IT 1 ,
Ho —того же порядка малости, что и — —- (в пустоте оба вы-
ражения совпадают). Поэтому и в (103) магнито-оптические доба-
вочные члены очень малы; например, в случае железа они—порядка
1000 • 1(Г10 = 10~ 7, так что магнито-оптический эффект, вызываемый
^магнитным полем самих лучей света, не мог бы наблюдаться и у железа,
даже в том случае, если бы намагничение железа могло полностью и
немедленно следовать за быстрыми изменениями магнитного поля световых
волн. Этим объясняется также и то обстоятельство, почему в постоянном
магнитном поле влияние молекулярных токов сказывается в том, что
магнитная проницаемость имеет значение отличное от 1, тогда как по
отношению к световым колебаниям каждое тело ведет себя так, как будто
ото магнитная проницаемость была равна 1. Нельзя однако искать при-
чину этого в своего рода инерции при намагничивании, так как мы
иришли к нашим выводам совершенно независимо от этого представления.
ГЛАВА VIII.
к ДВИЖУЩИЕСЯ ТЕЛА.
Г 1- Общие положения. До сих пор мы объясняли оптические свойства
е>1 наличием внутри них заряженных подвижных электронов. Тела в целом
^полагались неподвижными. В дальнейшем нам предстоит рассмотреть,
. jfioe влияние на оптические свойства тел оказывает движение самих
. J- В виду сложности вопроса, до сих пор разбирался лишь случай
^номерного прямолинейного движения.
* к Для составления основных уравнений электромагнитного поля в дви-
* I&V ХСя телах необходимо предварительно ответить на вопрос, каково
их поведение эфира. Здесь можно назвать две теории. Первая по
^.^ени^тринадлежит Г. Гертцу х) и исходит из представления, что эфир
Hertz, W. А. 41, 369, 1890; Gesammelte Werke, II, 256 — 285.
376
Движущиеся тела
[Отд. Ш, гл.
полностью увлекается телом при его движении. Тогда, очевидно, в ды
щихся телах все электромагнитные (а, значит, и световые) явл(
должны протекать так, что участвующий в движении тела наблюда
будетхих видеть в таком виде, как если бы тело было неподвижно;
блюдатель, связанный с неподвижной системой, увидит все скор
сложенными с величиной поступательной скорости тела. Мы ув1
в дальнейшем (см. стр. 382, опыт Физо), что некоторые онтиче
явления протекают совсем не так, как того требует эта теория. (
опровергается и другими данными опыта *), вследствие чего мы на’
уравнениях и выводах останавливаться не будем. ।
Другая теория принадлежит Г. А. Лорентцу 2); она основывается!
противоположном допущении, что эфир, находящийся внутри тела, ]
движении последнего остается совершенно неподвижным. Теория эта от
чается высокой степенью разработанности, в особенности в примене)
к оптическим явлениям. Ее выводы даются в дальнейшем; она удо!
творительно объясняет все оптические явления в движущихся тела]
кроме известного опыта Майкельсона. Для объяснения последнего
нуждается в дополнительных гипотезах. Неудача всех опытов\стрв
вшихся обнаружить так называемый „эфирный ветер", т. е. влия
„абсолютного" движения тел на наблюдаемые в них электромагнит!
явления, повела к созданию А. Эйнштейном теория относительно!
Выводы этой теории будут изложены в конце настоящей главы..
2. Теория Лорентца. Дифференциальные уравнения Лекч
магнитного поля, отнесенные к неподвижной координатной систе
Будем исходить попрежнему из основных уравнений (7) и (11) (стр. 2
223) максвелловской теории:
4лг ду др 4 я dY dZ
-- 1х= ---И Т. Д., ---8Х = -д---д- И Т. Д.
с ix ду dz * ’ с х dz ду
Выше мы видели (стр. 312 формула 7), что если имеются ионы тол1
одного вида, с зарядом е, и число этих ионов в единице объема равно.
составляющие плотности электрического тока даются выражениями:
^.Д + ^eN^.
Здесь £ обозначает составляющую по х смещения ионов по отно!
нию к их положению равновесия внутри тела. Если последнему сообщ
постоянная скорость v, составляющие которой суть уя, vy, г„, то вы!
приведенное уравнение получает более общий вид:
4- j
4%;г = ~ + 4^27 + 4этеЖг.
г dt dt z )
х) Например, опытом А. А. Эйхенвальда о магнитном действии вращающегося 1
денсатора, Ann. d. Phys. 13, 919, 1904. . ,
2) Н. A. Lorentz, Versuch einer Theorie der elektrischen und optischen Erschei®
ten in bewegten Korpern, 1895. См. также его „Теория электронов1',
ГТТТТ, 1 934.
Г, ni Теория Лорентца 377
----------- -----------------------------------------------------•
Производные по t здесь намеренно представлены в двух видах
. Первое обозначение указывает, что изменение данной величины
,0 временем должно быть отнесено к определенной точке пространств а,—
i второе, — что оно должно быть отнесено к определенной точке тела,
b.iii, поэтому, составляющие скорости тела суть г^, vy и vz, то через
промежуток времени dt рассматриваемая точка передвинется на отрезок,
определяемый составляющими vxdt, vydt, vzdt. Это изменение положения
вызовет изменение дифференцируемой величины на vxdt ~ , vydt 5
• если х, у, z отнесены к неподвижной координатной системе;
; в результате получается соотношение
t d d д . d д 9
~т~ = -тг- ^5----г V -у— + -д- • (3)
, dt dt х dx У ду 1 dz 4 z
• d£
В уравнения (2) должны входить члены и т. д., так j
; роста ионов слагается из скорости тела vx и относительной
i иона по отношению к телу. Последняя же выражается через ,
I через-др.
В Составляющие плотности магнитного потока остаются в прежнем
। виде (уравнение 13, стр. 223):
: — dt > ^nsy dt ’
[. так как мы, во-первых, будем предполагать отсутствие внешнего
[ кого магнитного поля, и, воАвторых, положим, что при оптических
[ паях магнитная проницаемость р равна 1.
L. Когда тело не обладает поступательным движением, т. е.
I Г ' ~-
как ско-
скорости
а не
(4)
силь-
явле-
когда
1’у = «;г=0, уравнение движения иона (см. стр. 311)1) имеет вид
ь. Примем теперь, что движение тела не оказывает влияния на ион.
рмогря на это, вышеприведенное дифференциальное уравнение все же
учитывает изменение, так как при движении тела приходят в движение
. все ионы. я. пвижушився ионы эквивалентны электвическим токам.
“ее ионы, а движущиеся ионы эквивалентны электрическим токам,
^5?т«1вляющие которых пропорциональны evx, evy, evz; они находятся под
.'?«нием магнитной силы а, у. Уравнение движения иона приобре-
с6* поэтому вид 2) (см. аналогичные выкладки на стр. 373):
V + Гб2^1 + £ = еХ+ ~ (v~(5)
Здесь мы опять-таки ограничиваемся упрощенным выражением для уравнения
1"ия; в данном случае добавочный член не имеет значения.
Ча Основании сказанного на стр. 374 здесь опускаются в правой части члены
L* и т-д., так они дают слишком малый эффект. При движении Земли v : с — 10
378
Движущиеся тела
[Отд. Ill, гл.
(»)
И здесь следует обращать внимание на правильное написание
I d д
изводных: должны входить члены , а не —, так как в
речь об относительном движении ионов по отношению к телу.
При периодических изменениях X или £ можно положить
dg _ i g d2£ __ 1
dt т' ’ dt2 r'2 ’
1
что
У'
причем %' = , где Т'— период. Следует однако отметить,
период Т' представляет собою относительную продолжительность коле|
ния по отношению к движущемуся телу, а не абсолютную продол^
тельность колебания Т по отношению к неподвижной координате
системе. Эти две величины Т' и Т следует различать, так как, наш
мер, Т' > Т, если тело движется в направлении распространения свй
Если мы будем рассматривать плоские волны, в которых все величд
пропорциональны выражению $
i I , Р1Х + Р2.У + Рзг \ ,;1
е
(О
где х, у, z относятся к неподвижной координатной системе, то т
пропорционально абсолютному периоду Т.
По (3) и (6) имеет место отношение
т' т 1
со
т. e., если скорость v мала по сравнению с со, то >
XL = — = 1 + = ।
со
со
причем под vn разумеется скорость тела в направлении нормали к во
Из уравнения движения (5) получаем, пользуясь употреблявш
прежде (стр. 313) сокращениями:
г&
а= 4^ ’
+ г—;—±
в уравнениях (2) eN
означает заряд в
7 т&
О = —2>
4 ле2
_|_ vyy~v^\
‘ с /*
единице объема.
эта величина совсем другого
dri
порядка, чем : с.
v
водой, в котором —
Равным образом, в описывав
ниже опыте Физо с текущей
значение имеют только члены, зависящие от v,
dt ’
ионов (см. выше стр. 374).
иадеет еще меньшую ввличи
, так как только они. а не чл
оказывают на оптические свойства действие порядка первой степени скор
£
Т
379
Теория Лорентца
Если положить (см. уравнение (20) стр? 225)
(10)
+ " + «
дх 1 ду ' dz
/диэлектрическая постоянная эфира I принята равною 1), то уравнения
р) приобретают вид:
Если мы имеем дело с молекулами нескольких видов, то множитель
при последнем члене должен иметь вид
(12)
(если пренебречь членом г , т. е. если мы имеем дело с телом, заметно
не поглощающим). Здесь п2 обозначает квадрат оптического показателя
преломления покоящегося тела для периода Т' — 2лт'. Соотношение (12)
(имеет место на основании теории дисперсии [стр. 314, формула (8)].
Если еще заменить в (11) производную -- через по (3), и под-
ставить полученное таким образом выражение для 4 л/,,. в (11), то по-
лучается дифференциальное уравнение для движущегося тела, отнесен-
ное к неподвижной системе координат. Это уравнение значительно упро-
щается, если принимать во внимание только члены первого порядка по
отношению к v, что являетсй вполне допустимым, так как даже если
иметь в виду скорость Землц в мировом пространстве, все же v будет
олень мало по сравнению со скоростью света. Тогда можно в (И) заме-
ть в множителях, стоящих при v, через далее, в однородных
^ах пренебречь вторым членом в множителе при vx, так как в первом
приближении, т. е. при v — 0, в однородных телах при периодических
Ранениях состояния имеет место соотношение
= 0 /13)
дх^ ду ' dz
В результате (И) приобретает вид
= + (n2—l){vx~ + + +
+-Н»Л-’’4)}- оо
DO (1) И (4)
в dt ду дх ’ с dt дх dz
380
Движущиеся тела
[Отд. III, гл.
Поэтому 4njx можно написать так:
л • л дХ 1/9 f nf дХ . dX . дХ \ / v । •
4^. = n1 2 * Tt + (n— 1) { + vy + v, -%) - -s (»Д +
Принимая во внимание (1) и (4), получаем поэтому для движущей
однородного, изотропного тела систему уравнений, отнесенную к не1
движной координатной системе:
л2
с
dX . n2— dx . dX . dx\ d . „ , v , _»
dt с К Vx dx “1“ dy Vs dz I 'dx^X + vy¥ + V2Z)\
dy dz 9
dY , n2-l(J dY , dY . dY\ d , „ , v , i
’ 4~ v -r— -J- v. ~x~-) — -Д—- уоД. -[- v i 4~ иД) I
Хдх У dy 1 z dz / dy v x 1 У « ' J
пй
с dt 1 с
__ За ду
dz дх ’
^_dZ_ ' n2~1
c dt
dZ_ dZ
^x dx ‘ dy
с
__ ду да
дх ду ’
dt dz ду 9 с dt дх dz ’ с dt dy dx
1
с
Дифференцируя уравнения (15) по х, у, г и складывая, получ;
вводя обозначение
с2 dt2 •
(1
dx . dY . dz
dx ' dy dz “ 1 ’
/(a dF . n2 —l(qZ dF , dF , dF\ . . v .
c dt^ с P Vx dx Vy dy dz )
v^Y + vs4Z)]==V. (
В членах с множителями vx и т. д., можно в первом приближу
положить
гр_л л -у___ ft2 лу___ д2
1 — О, ДХ — 5t2- , A Y — с2 -Щ2-,
Отсюда из (16) получается
дх . dY . dz л2 —1 d ( у
дх dy dz с2 dt 4 * * * В
Это уравнение говорит, что в движущемся теле электрическая сила уМ
не может распространяться в виде плоских поперечных волн, так как^
отлично от нуля. Напротив, магнитная сила может ра
таким образом, так как по (15') имеет место соотношение
+ =о.
(1
Скорость света в движущихся телах
381
Можно легко преобразовать уравнения (15) и (15') таким образом,
зТобы они содержали только одну из величин X, У, У, а, ft, у. Если,
йапример, продифференцировать первое уравнение (15) по t и подста-
в0ть вместо -у и их значения из (15 ), то получается
п2 д2Х , п2 — 1 10 д I эх . эх , эх \ д2 v .
С2 dt2 с2 Р dt \ Vx dx Vy dy + dz ) dtdx
Принимая во внимание (18), этому уравнению можно дать вид
и2 д2х , qn2 — 1 д / эх . дх . дх\ /ппч
— + 2 —Z— -д- ( v„ д- + vv — + г -т- = ДХ. (20)
с2 « с2 dt \ х дх 1 У ду 2 oz J ' J
Для У, Z, а, 0, у можно написать дифференциальные уравнения
точно такого же вида.
3. Скорость света в движущихся телах *). Из последнего уравнения
весьма просто получается скорость распространения плоских волн в дви-
жущемся теле. Если положить
то по (20)
= Ле т
P1X + P2V + Psz'
Ш
(21)
и2 2 (и2 — 1) . р^х 4- р2уу + p3v2 _ 1
с2 с2 со со2 ’
или
П2 Л 2(/г2 —1) 2М = 2
с2 \ п2 со / со1
гда vn обозначает поступательную скорость движения тела по направле-
нию положительной нормали к волне.
Для первого порядка в отношении получаем поэтому
2 с2
“ = 7?
(22)
и2
т. е.
?i2 — 1
n2
со =
со /
Если в правой части заменить стоящую при vn величину со через ее
приближенное значение , то получается
Ji Из этого уравнения вытекает, что движение тела оказывает на ско-
усть света такое же влияние, как если бы тело сообщило эфиру изве-
часть своей поступательной скорости.
М, Laue, Optik der bewegten Korper, Handbuch der Physik {Geiger u.
fc 18, 39, 1928.
382
Движущиеся тела
[Отд. Ш, гл.
Этот вывод был сделан уже Френелем из поставленного Ш
опыта, в котором измерялась скорость света в текущей воде. 0д2
эта интерпретация уравнения (23) не является вполне строгой, так |
явление движения тела скрыто не только во втором члене правой ча<
уравнения (23), но также и в первом. Действительно, п есть (стр. 3J
показатель преломления тела не для абсолютного периода Г, а для он
сительного периода Т'. При этом по (7)
т-=т(1+^). (j
Если поэтому обозначить через v показатель преломления покоящем
тела для абсолютного периода Т, то получаем
1 дГ со * дл cd ’ /
где Л — сТ есть длина волны света в пустоте. Поэтому по (23) им<Й
с Л др Я vn \ , п2 — 1 '1
со — — 1 —----------- -4--- « ,
V \ ОЛ V (О / п2 п J
или, так как члены, стоящие при vn, могут быть заменены приближу
с
ными выражениями п = v, со — --:
с , fv2 — 1 X dv\ Jfl
со ----F —*--------. (ч
v Л у v2 v дл/
Здесь у- есть скорость света v для волн абсолютного периода!
в неподвижном теле; член с множителем vn (в 25) дает поэтому измм
ние величины этой скорости при движении тела. Это изменение болья
dv „ 3
чем следует по гипотезе Френеля, так как при нормальной дисперЛ
отрицательно. Однако разница настолько мала, что пропадает по сравя
нию с ошибками наблюдений. I
Опыт был впервые осуществлен Физо х) и затем повторен Майкл
соном и Морлеем. Вода текла в двух параллельных трубках в против
положных направлениях; скорость света сравнивалась при помощи инт|
ференционного метода. Коэффициент увлечения, т. е. множитель при ф!
торе vn в выражении для со получился равным 0,434 ± 0,02, тогда &
формула (25) дает для воды и для линий D натрия значение 0,45
Френелевский коэффициент увлечения -2 - дает 0,438. Мы уже указ]
вали, что в результате опыта Физо имеется резкое расхождение с теори*
Гертца. Согласно последней должно было бы быть
с ।
ш = Ч).
4. Дифференциальные уравнения и пограничные условия электр1
магнитного поля по отношению к координатной системе, твер?
L) Laue, 1. с., 69.
Коорд. система, твердо связ. с движ. телом
383
Сюзанной с движущимся телом. Если через х', у', z' обозначить от-
носительные координаты точки по. отношению к подвижному телу, то
х = х'+ vxl, у = у‘ + Vj/t, z = z1 + (26)
Так как u,, vy, vz не зависят от х, у, z, мы можем в уравнениях
Предыдущего параграфа брать частные производные не по х, у, zf
/по ж', у', z’. Другими словами, мы можем считать, что в этих уравне-
вйях производные по х, у, z суть на самом деле производные по х,' у', z'.
доы так и будем поступать и будем понимать под х, у, z просто отно-
сительные координаты по отношению к какой-нибудь точке движущегося
п дх "
тела. Вместо частных производных и т. д. теперь должны быть,
dX
однако, введены члены и т. д., так как мы хотим здесь исследовать
зависимость X от времени, причем X должно относиться к точке, не-
подвижной по отношению к движущемуся телу. Переход дается соотно-
шением (3) (стр. 377), так что например получаем
д_Х_ dX_ дХ__ d2L
dt dt ^х Qx Qy % qz
Если подставить это уравнение в (2), то на основании (9), (10) и (12)
(при наличии какого угодно числа различных ионов) имеем:
. . dX дХ дХ дХ .
УуУ — vzB
(27)
+ (»2
(28)
c
Из уравнений (1), (3), (4) и (28) получаем поэтому (принимая во
ьнимание (19)):
___д_ I _j_ vyX—vxY\ _
~ ду V ' с )
п2 dY л2 — 1 d
с dt ' с*
д ( . v„Y — VyZ
= ~dz\a * с
। ft2 — 1 d (v /
с dt + с2 dt
_ д / vxZ — vzX \_______д_
дх V ‘ с / ду
1 da __ д / -у vza — vxy \___<
с dt dz
1 dp
c dt дх
J_dy__d_
c dt ду
С
dt (v-V) =
д ( , VyX — vxY
»yZ \
с / 1
I Vxft Vyd
(29)
c
VxB — vya
c
с
ду \ с
_ ° (х + ^
OZ \ с
___д_ / Y [ — VX
дх \ ‘ с
884
Движущиеся тела
[Отд. III, гл;
Эти уравнения имеют место также и для неоднородных изотроц
тел, так как приближенным выражением (13), которое для нео
родных тел не имеет места, мы здесь не пользуемся; все осталь
уравнения, входящие в вывод/ действительны также и для нео,
родных тел. Поэтому мы тотчас же получаем из (29), на основании
изложенных (стр. 226) соображений, пограничные условия при пере]
через границу между двумя различными телами или между тело
пустотой в следующем виде (если граница расположена норм;
к оси О Ху.
X \vyy~v^
уД — VyZ
с
с
у д —
непрерывны на
границе
а +
Отсюда и из (29) получаются также пограничные уравнения
^2,2 _ 1
n2Z-]-------—— vva), у непрерывны на границе.
Так как в (30) можно заменить члены при vx, vy, v, прибли:
ными величинами, получающимися при vx = vy = vz — {Y, то погранич
условия могут быть написаны также и в таком виде:
X, У, а — /3 + v~ непрерывны на границе. (Э
Для однородного тела можно легко написать систему
ференциальных уравнений, содержащих только одну из величин X, X
а, р, у. Действительно, из (27) вытекает, что, если мы огранич
членами первого порядка по отношению к vx, vy, vz то
д2Х d2X 0 d / дх . дХ дХ\
dt2 dt2 dt \х дх ‘ ду dz / ’
поэтому (20) превращается в
п2 d2X 2 d ( дХ . дХ , дХ\
с2 dt2 с2 dt V® дх ду + dz / =
Того же вида уравнения имеют место для У, Z, а, /3, у. Пре:
уравнения (18) и (19) имеют место и здесь, т. е. электрическая
распространяется не поперечными волнами, а магнитная — попрежн
поперечными.
Если мы положим
г / Р1Х + УхУ + рз'г )
X = Ает
где Pi'2 + Рг'2 + р3'2 = 1, то Pi, Ра', Рз обозначают направляю!
косинусы нормали к волне, со'— скорость света по отношению к Д
жущейся координатной системе.
Из (31) тогда следует
уг + + РзЧ) = ,
г
Направление светового луча
385
лли
Й i 2 ('P1'Vx + p*vv + рзЧ) \ _ J_
с2 \ п2со' / а)'2 ’
с й — + \
п \ п?ш' J ’
Если в правой части написать для ю' его приближенное значение
&> , то получается
5. Направление светового луча, определенное по принципу Гюй-
генса. Скорость по нормали со' зависит от направления р±, р2', р3'.
Чтобы определить соответствующее направление луча р15 р2, р3, мы можем
воспользоваться методом, который мы уже применяли в учении о кристал-
лах (стр. 272); мы будем искать пересечение трех соседних плоско-
стей волны, по принципу Гюйгенса, для чего продифференцируем урав-
нение
Pi'x + Р*’у + + f (№ 4- р2'2 + Рз2) = «>' + /' (33)
|(см. выше стр. 272, формула 59) по рг', р3, р3.
Отсюда получается
+ ^Р1’= У + , г + .
т- е., принимая во внимание (32),
М-2/-р1' = ->,У + 2/-р2'=-^-,0 + 2Гр3' = -^. (34)
Умножая эти три уравнения на р/, ,о2', р3 и складывая, получаем,
как
Pi'2 + Р2'2 + Рз2 = 1,
р/ж -Ь р2'р + р3г + 2/ = —
Pi 'у« 4- РаХ + РзЧ
712
Но но (33) Pix +р2'у+ p3'z = (o, т. е. на основании (32)
• ОтсюДа 113 (34) получаем направление луча из пропорции
CPl' vx
Р1 : Р2 : Рз = х : У : z -п " “ 7^' • • • • >
Р1 • Ра Рз = - 4) : (Р2' “ 4): (₽з' - <35»
Ifc, 1111 образом направления луча и нормали друг с другом не совпа-
Вь. —Оптика 25
386
Движущиеся тела
[Отд. III, гл.
Выражение (35) можно написать так:
- (₽1+ £) : (₽» + £): (Рз + (
(пренебрегая членами второго порядка по отношению к v).
6. Замена абсолютного времени местным. Введем в качестве
зависимых переменных, вместо величин t, х, у, г (где t есть а
лютное время, а х, у, z — относительные координаты по отношв!
к какой-нибудь точке движущегося тела), координаты .г, у, z и
7 z _ / W + УуУ
1 1 С2 V
Можно назвать Г особого рода местным временем, так как t зави
от положения точки в теле, т. е. от х, у, z. При этих независимых пе
менных частные производные по х, у, z будут обозначаться значкам
/ д \' I д \' / д V д g
’ (fy) ’ ) ’ тогда как и т* д* будут’ как и пРежде> обо!
чать частные производные при независимых переменных х, у, z, t.
Из (36) следует
d __ а д ___/ д V vx d 1
dt dt' J дх \ dx J c2 dt' ’ !
d ___f d У Vy d _d / д у vz a !
dy \dy) c2 dt' ’ dz \ dz) c3 dt' ’ j
Если эти величины подставить в (29), то, ограничиваясь чле
первого порядка по отношению к v и вводя обозначения
у I УуУ vtft __ у/ ~Y I VX- УхУ ___ у' £ I Ууа________
‘ с >т с ’ ‘ с ’
1 V2^ VatTj f f, . VyZj , VflX. V XY f
a _—2L_ = a t ft 4- ———j— — p , У -r --—-—— = у ,
/ d \'
получаем, если частные производные 1-^1 опять заменить через -
п2 dX' __dy dp' . п2 dY' _da' ду' # n2 dZ'__d$' da
c tit' dy dz c dt' dz dx ’ c dt' dx dy ’
1 da!~ _ dY' __dZJ_, _dZ/_ _ dX' . 1 <// _ dX' _ dY'
c dt' dz ду ’ c al' dx dz c dt' dy dx
Если граница нормальна к оси OZ, то пограничные условия по
и (38) гласят:
Z', У', а, Р' непрерывны
при переходе через границу.
Уравнения (39) и (40) имеют теперь тот ясе вид, что и дифф
циальные уравнения и пограничные условия электромагнитного
в покоящемся теле. Отсюда можно вывести важное заключение:
Если для покоящейся системы известно такое eft
яяие, в котором X,Y,Z a, ft, у, являются некоторыми |
Ж
Земля как движущаяся система
387
0йями ж, у, z, t и периода Т, то для движущейся системы X', Y', Z', а'
у, у являются такими же функциями щ, у, z и t—’
й у; причем теперь ж, у, z суть относительные координаты по отношению
s какой-нибудь точке тела, а Т— относительный период по отношению
к подвижному телу. По уравнению (7) (стр. 378) в последнем случае за абсо-
лютный период следует принимать Т .
7. Независимость абсолютного хода лучей от движения. Основы-
ваясь на последнем положении, легко можно сделать некоторое заключение
об относительном ходе лучей. Пусть в покоящейся системе заполненное
светом пространство ограничено некоторой поверхностью 8, причем вне
этой поверхности пропадают как X, Y, Z, так и а, у. Тогда и в дви-
жущейся системе вне поверхности S должны пропадать как Xf, Y', Z', так
и а', т. е. и в движущейся системе поверхность
ограничивает заполненноесветомпространство. В покоя-
щейся системе поверхностью 8 может служить, например, боковая повер-
хность цилиндра(светового пучка), — во всяком случае, если поперечное
сечение этого цилиндра во много раз больше, чем длина волны. Образующие
этого цилиндра называются с в е т о в ы м и л у ч а м и. На основании нашего
положения ограничивающая поверхность светового пучка в целом остается
неизменной при движении всей системы, даже при многократном отражении
* н преломлении лучей, т. е. в движущейся системе сохраняются те же
законы отражения и преломления лучей относительного периода коле-
бания Т, какие имели место при отражении и преломлении лучей абсо-
лютного периода колебаний Т в покоящейся системе.
Законы линз и вогнутых зеркал остаются поэтому при движении
без изменения. Равным образом движение не оказывает никакого влияния
ина явления интерференции, так как эти последние отличаются только более
сложным видом ограничивающей световое пространство поверхности 8,
которая, как было указано выше, при движении не изменяется.
Независимость хода лучей от движения имеет место также и для
Металлов1), так как и здесь дифференциальные уравнения и пограни-
чные условия могут быть приведены к виду, подобному (39) и (40), так
Что и в этом случае можно основываться на законах преломления поко-
ящихся кристаллов.
8. Земля как движущаяся система. Вышеприведенные рассуждения
становятся особенно плодотворными при рассмотрении движения Земли че-
Рез мировое пространство. На основании этих соображений движение Земли2)
6 может оказывать никакого влияния порядка первой степени по
^ошеишокv/с на явления, наблюдаемые с земными источ-
3 к а м и света, так как при пользовании такими источниками период
•Чебаний света, посылаемого ими, всегда совпадает с рассматриваемым
г) Мы не затрагиваем здесь вопроса о том, насколько это имеет место также и
«... СлйЛестественно или магнитно-активных тел; здесь требуется более подробное ис~
| ед°вание.
Здесь исключаются естественно или магнитно-вращающие тела (см. предыдущее
к ^ние).
25*
388
Движущиеся тела
[Отд. III, гл. V;
относительным периодом колебаний, т. е. является совершенно независим!
от движения Земли, а поэтому и ход лучей никаким образом не мож
измениться при движении Земли. Действительно, многочислен^
опыты над явлениями преломления и интерференции (отчасти и в кд
сталлах) показали, что эти явления совершенно не зависят от ориентиров!
прибора по отношению к направлению движения Земли. Наоборот, мож
получить влияние движения Земли при пользовании внеземными ист<$
никами света, так как в этом случае относительный период зависит <
движения Земли. Действительно, спектральные линии многих неподвижн!
звезд кажутся слегка смещенными, что может быть объяснено различав
относительным движением Земли и всей солнечной системы относитель
этих неподвижных звезд (или наоборот, что приводит к тому же резул
тату): в самом деле, в законах преломления и интерференции речь ид»
об относительных периодах, которые даются по формуле (7) выражены
T(l +“)> где Т есть абсолютный период. Таким образом Т изменяет)!
в зависимости от величины п знака vn, а поэтому несколько изменяет!
и место спектральной линии, образующейся на движущейся Земле в д
зультате преломления или дпффракции. Это положение носит назван?
принципа Допплерах).
Так как Земля движется вокруг Солнца приблизительно ио кругу/4
для этого случая следует положить vn = 0. Поэтому движение Зеп
не оказывает никакого влияния на положение линий Фраунгофера в
фракционном или призматическом солнечном спектре* 2); это обстоятельвЙИ
подтверждается опытами Маскара3). -Д
9. Аберрация света. Хотя (см. § 7) относительный ход лучей од!
испытывает изменения при движении Земли, все же направление прсД
денной к плоскости волны нормали, относящейся к определенному налМ
влению лучей, зависит от движения Земли. Это положение было
доказано выше па стр. 385; но полезно вывести определение
полученное выше на основании принципа Гюйгенса, еще дру^И
независимым от этого принципа путем. Рассмотрим, например, слу^Д
плоских волн в покоящейся системе; все величины являются периоДЦД
скпми функциями от t—В покоящейся системе Р\, Р<Я|
-1) Мы принимали до сих пор, что источник света А находится в покое, а вав£
датель .В движется. Такие лее соображения имеют место в том случае, когда
оба находятся в движении; в этом случае через va будем обозначать относите^^^И
скорость В по отношению к Л в направлении распространения световых лучей.
в этом случае более строгое решение дает, что отношение истинного период®
наблюдаемому в точке В относительчохму периоду Т' равно Т:Т' = >.о>—
где v’ и v суть абсолютные скорости точек ВиА (в направлении лучей), а)—сявр^И
света в среде, заполняющей пространство между А и В. Только в том случае»
v и v' малы относительно со, эта строгая формула сводится к данной в тексг®»^^И
к обычной формулировке принципа Допплера. Вообще же по теории неподвЯ^^^И
эфира абсолютная скорость источника и абсолютная скорость наблюдателя сказЫ®^^И
на периоде относительного луча несколько различно.
2) Мы не говорим здесь о том смещении линий, испускаемых краями
которое вызывается вращением Солнца. Маскар в своих опытах пользовался
от солнечного двска в целом.
3) Mascart, Ann. de Гсо'е Norm. (2) 1, 166, 190, 1872.
g] Аберрация света 389
шляются направляющими косинусами нормали к волне и одновременно
А дуча. Представим себе, что направление луча физически отмечается
что сзет пропускается через две узкие щели, причем направляющие
^синусы прямой, соединяющей эти щели, равны рх,р2, Рз- Если теперь
иСя система движется со скоростью vx, vy, vz, то всегда возможно себе
цредставить еще один луч (отнесенный к движущейся системе, так назы-
ваемый относительный луч) с направляющими косинусами р1г р2, Р3\
эТот луч вызывается, однако (стр. 386), волнами, являющимися периоди-
ческими функциями от
t ухх 4- ууу + Vz3 Pix АръУАРэ?
с8 ф у J
Это выражение соответствует плоским волнам, у которых направляющие
косинусы j?/, р2, р2 нормали к волне пропорциональны величинам
= + '42)
1 и й J \ (у 'с2 / \ (!) С2 /
Соотношение (42) дает таким образом возможность определить в дви-
жущейся системе направление нормали к волне из направления луча,
к наоборот; оно совпадает с соотношением (35'), выведенным выше
(стр. 385) из принципа Гюйгенса, так как входившие в то соотношение
члены рх, р2, Рз соответствуют теперь plt р2, Р3) и в первом приближении
нужно положить с: со = п.
Поэтому, если мы, находясь на движущейся Земле, усмотрим звезду
в направлении, определяемом косинусами ръ р2, р3 (по отношению
к связанной с Землей координатной системой), то оно будет отличаться
от истинного направления на звезду, так как это последнее совпадает
с направлением нормали световых волн, посылаемых звездою к Земле,
е., иначе говоря, положение звезды будет определяться величинами
Рг, Рз-
Рассмотрим более подробно тот случай, когда направление на звезду
перпендикулярно движению Земли. Положим, например, рг=р2^= 0,р3 =
== 1,^ = = 0, vx = v, тогда по (42) получаем, если скорость света со
в воздухе принять равною с, что является вполне допустимым:
Р1--Р2'-Рз' = ъ:0:с, (43)
Т' е- положение звезды отличается от кажущегося ее положения на угол
^еРрадии С, где tg С = -4 . Этот угол аберрации не меняется также
наблюдении кажущегося положения звезды через трубу, наполненную
р^й1), так как мы' уже вывели, что на относительный ход лучей
Ik^o# системе преломляющих тел движение Земли влияния не оказы-
^тот РезУльтат может быть выведен и непосредственно: если аз
г етно отличается от с, — что имеет место, например, при наблюдении
L См.
выше стр. 100.
390 Движущиеся тела [Отд. III, гл. Y;
через воду, — то соответствующая нормаль к волне в воде дается yj
не (43), а (42):
= v:0:^ = ?;:0:cw, (4
откуда получается для угла аберрации tg£' = ^~. Соответственная aq
маль к волне в воздухе или в пустоте образует, однако, с осью OZ друг<
угол С; так как граница между воздухом и водою должна быть раса
ложена перпендикулярно направлению луча, т. е. к оси OZ, то по зако!
Снеллиуса sin С: sin С = w. Так как при малости С и С', sin может бы
заменен tg, то получается tgC — v:c, т. е. мы приходим к тому а
значению для угла аберрации, как будто бы мы наблюдали звезду чер
воздух.
10. Поляризационный опыт Физо. Хотя по выведенной нами Teopi
нельзя ожидать влияния движения Земли на наблюдаемые на Зеи
оптические явления (отвлекаясь от аберрации к от изменения часто!
колебаний по принципу Допплера),—действительно, такого влияния никоц
и не наблюдалось, — все же Физо х) полагал, что ему в одном слу«
удалось установить влияние движения Земли.
Когда пучок поляризованного света падает наклонно на стеклянну
пластинку, изменяется азимут поляризации (см. выше стр. 237).
ожидал, что это изменение будет зависеть от движения Земли. Прибр
которым он пользовался, состоял из поляризационной призмы, ряда ре
положенных друг за другом стеклянных пластинок и анализатора. 1
время солнцестояния, преимущественно около полудня, пучок лучей j
Солнца пускался через прибор при помощи ряда зеркал один раз с воем
на запад, а другой раз — с запада на восток. При этом ожидал
в среднем небольшое изменение в положении анализатора. Я
По вышеизложенной теории такой разницы не должно быть, так л
если при каком-нибудь положении прибора анализатор установлен^
темноту, то это значит, что движение света ограничено пространств
которое за анализатор не распространяется. Это пространство при движвИ
Земли не изменяется, как уже было разъяснено выше на стр. 387, 4
ход лучей по отношению к прибору остается без изменения, — в том слуя
если для создания ограничивающей .световой объем" поверхности/? nd|
зуются кристаллическими срединами. Поэтому положение анализагс!
поставленного на темноту, не должно было бы зависеть от того, И
ориентирован прибор по отношению к движению Земли. Опыт Физо Я|
повторен Штрассером* 2) с отрицательным результатом. J
11. Интерференционный опыт Майкельсона3). Этот знамени™
опыт был поставлен с целью определить экспериментальным путем,
зуясь исключительно тонкими оптическими измерениями, возмоЯИ
изменение v во втором порядке. Время, потребное свету, чтобы об J
пройти расстояние I между двумя неподвижными точками А и В, Р3!
*) М. Laue, 1. с., 85 «I
2) В. Strasser, Ann. d. Phys. 24, 137, 1907. .n
3) M. Laue, I. c. 90.
Опыт Майкельсона
391
₽=4 > гДе с есть скорость света. Представим себе, что опыт произво-
дится в пустоте или, что то же самое, в воздухе. Если обе точки А и В
06101' одну и ту же скорость v по направлению светового луча, то время
' изменяется; через промежуток времени Z/ свет должен пройти не
только отрезок I, но также и тот путь, который пройден точкой В за
рремя Z/, т. е. всего он пройдет Z+rZ/, так что
С'с = 1 A-vtC- (45)
Если свет в точке В отразится, то время, необходимое для того, чтобы
он опять пришел в точку А, равно
t2'c=l— vt2', (46)
так как этот случай отличается от предыдущего только тем, что А дви-
жется навстречу отраженным лучам света. Поэтому полное время t', по-
требное свету для того, чтобы пройти расстояние между точками А и В
туда и обратно, по (45) и (46) равно
f = t С At / = ----\
1 Z C V 1 , V I
\ 1-1 "1" ~ /
\ c c /
или
(-17)
если при разложении в ряд мы ограничимся вторыми степенями . Об-
щее движение Ан В сказывается поэтому на времени V только в членах
второго порядка малости; однако при помощи точных интерференционных
методов оно должно было бы быть обнаружимо.
Такой опыт был поставлен в 1881 г. Майкельсоном, который приме-
нил для этого свой известный интерфереметр с двумя горизонтальными
взаимно перпендикулярными плечами АД и АС одинаковой длины (рис. 59,
стр. 127). Интерферировали два пучка света, из которых один проходил
Взад и вперед по АД, а другой—по АС. Весь прибор мог вращаться вокруг
вертикальной оси; он устанавливался в двух положениях так, чтобы на-
Иравлепие его плеча (в одном случае АД, а в другом — АС) по возмож-
а°сти близко совпадало с направлением движения Земли. При вращении
прибора из одного положения в другое можно было ожидать смещения
Интерференционных полос.
Рассмотрим это смещение подробнее. Пусть плечо АД расположено
направлению движения Земли F, а плечо АС—ему перпендиву-
?*Рно. Точка А есть пересечение обоих плеч. Время t', за которое свет
Дойдет по плечу АД взад и вперед, дается выражением (47); время
е за которое свет пройдет по плечу АС и обратно, не дается
соотношением t" =2-- (если и АС тоже имеет длину Z): надо
^нять во внимание, что точка пересечения обоих плеч, откуда свет
, *°дит, и куда он возвращается через время t" после отражения
392
Движущиеся тела
[Отд. Ш, гл.
от С, все время меняет свое положение в пространстве; за это вр
оно переместится в пространстве на отрезок tt" (рис. 120). Обозна’
начальное и конечное положение точки А через Аг и А2. Для того, чт(
исходящий из Аг свет мог после отражения от зеркала на конце пл
вернуться в А2, это зеркало должно стоять несколько наклонно отщ
тельно нормали к волне; свет должен при этом пробежать путь 2s,
8х
и где t"=~ обозначает время, потребное для того, чтобы свет мог про!
жать по плечу туда и обратно. Здесь так же, как при уравнении (4
получаем, ограничиваясь при разложении членами втор
порядка малости по отношению к v:
vt" Дг
I
так что
t" =
в
с с-
Рис. 120.
Если бы эта разность времен была равна целому nq
оду Т, то интерференционные полосы сместились бы 5
целую полосу по сравнению с их положением при над
движной Земле, т. е. при v = 0. Если поэтому выражать смещенЛ
полос интерференции в долях полосы, то из (49)
С f t" I V2, I S.9
О = ---г— = ^1=7'”
Т cl с1 А
где—С угол аберрации. На основании вышесказанного (стр. 100) £=20,5|
= 20,5-л : (180-602) = 0,995-10 “4 в угловых единицах.
Смещение интерференционных полос в том случае, когда один»
по направлению движения Земли было направлено одно плечо, а Дри
раз—другое, должно было бы быть вдвое больше чем д. I
На самом же деле не наблюдалось никакого смещения полос им
ференции. В этом опыте чувствительность метода не была еще достатИ
велика; несколько позже Майкельсон и Морлей увеличили ее
многократного отражения каждого пучка света. Этим достигался той
эффект, как если бы плечи имели гораздо большую длину. ТМ
образом каждый пучок мог пробегать в общем расстояние в 22 iw
(т. е. I = 11 м). Прибор был установлен на тяжелой каменной
плавающей на ртути, и мог легко поворачиваться около вертикаль!
оси. При таком вращении можно было ожидать по формуле (50) сИ3
ния интерференционных полос, равного 2д — 0,4 ширины полосы;
денные же величины достигали едва 0,02 расстояния между ,п°л<я|
и могли быть вполне приписаны ошибкам наблюдения. я
Опыт Майкельсона
^последствии опыт Майкельсона повторялся неоднократно, с постоянно
еЛйчивавшейся точностью и чувствительностьюх). Все эти опыты дали,
^дательный результат, за исключением только опытов Дэйтон-Миллера2),
1'0торие> собственно, и явились поводом к повторению изысканий
5эТом направлении. В настоящее время следует признать установленным,
’ не только чисто оптический метод Майкельсона, но и никакой другой
рдыт, дающий возможность обнаружить движение Земли в эфире, па самом
' ле такого движения не обнаружил.
’ Даким образом в объяснении опыта Майкельсона теория неподвижного
,фира потерпела решительную неудачу. Так как все прочие оптические
рдения ею объясняются вполне удовлетворительно, то естественной пред-
ставляется попытка спасти все здание теории помощью какой-либо до-
полнительной гипотезы. Такая гипотеза и была предложена Фитцдже-
ральдом и Лорентцем.
Гипотеза эта заключается в том, что все тела при поступательном
твижении испытывают изменение размеров в направлении движения,
сокращаясь в этом направлении в отношении j/\поперечные пн
отношению к скорости размеры при этом остаются неизменными.
В самом деле, представим себе, что плечо /, расположенное по на-
правлению движения Земли, укоротилось на величину I ~ ; этим как раз
компенсировалась бы разница времени Г — t'r, вычисленная по (49), т. е.
в этом случае, в согласии с опытом, не наблюдалось бы никакого сме-
щения интерференционных полос.
Несмотря на этот благоприятный для гипотезы вывод, она все же
представляется достаточно искусственной и придуманной ad hoc. Однако
•Горентц сделал весьма много для ее физического обоснования. Если вместе
с ним принять, что все междумолекулярные силы — электромагнитного
происхождения, то движение тела, в состав которого входят молекулы,
Шжно отразиться на этих телах именно в том смысле, что повлечет за
собой необходимость вышеуказанного сокращения. Предположение же об
^ктромагнптном характере междумолекулярных сил само по себе более
вероятно.
Однако возникает еще одно затруднение: по гипотезе Лорентца-Фитц-
№еральда в результате движения Земли должно было бы иметь место
*°Йное лучепреломление; в весьма тонких опытах, поставленных спе-
?ально для этой цели Рэлеем и Брэсом, оно однако наблюдено не было.
^Рентц пытался устранить это затруднение, вводя гипотезу, что самые
ектроны также деформируются во время движения.
4. к) Последнее воспроизведение опыта Майкельсона было предпринято G. Joos, Ann.
385, 1930, воспользовавшегося богатыми средствами фирмы Цейсс. Отли-
VHOI° особенностью его опытов является применение фотографического метода
tot т₽ации интерференционных полос, позволяющего объективно, а не субъективно,
^®жде, судить об их возможном смещении. См. также L. Banmqardt, Ann. d.
ДЧ 573, 1834; 23, 105, 1935.
дискуссии об опыте Дэйтон-Миллера'1 см. Р. Epstein, Die Naturwiss. 17. 923,
Движущиеся тела
[Отд. Ill, гл. j
12. Теория относительности. Мы видели, что все опыты, предд
нятые для обнаружения абсолютного движения Земли и его влияний
происходящие на Земле оптические явления, окончились неудач
В связи с этим пришлось вносить поправки в существующие тео|
которые, напротив, такие влияния предсказывали; пришлось создад
дополнительные гипотезы и т. п.
А. Эйнштейн подошел к этому вопросу с другой стороны. Он пр*д
как основной принцип, утверждение, что никакими опытами влид
абсолютного движения обнаружить невозможно: если какое-либо j
движется прямолинейно и равномерно, то находящийся на нем наб
датель увидит все происходящие на нем оптические явления так|
какими бы они представлялись ему, если бы это тело было неподвид
В частности, свет, исходящий из неподвижного относительно этого |
источника, должен казаться указанному наблюдателю распространяют!
с обычной скоростью с. Напомним, чт^ подобный принцип существ
в механике; там он связан с определенными формулами преобразов^
координат. А именно, если система II движется относительно I со 1
ростью v вдоль оси ОХ, то
х' — х—vt.,
У' = ?/> . 1
•Я
Здесь х, ?/, z— координаты относительно неподвижной системы и
динат, х', у’, z'— относительно движущейся вместе с телом. Тогда,!
пример, все силы в системах I и II ощущаются одинаково. J
Эйнштейн показал, что можно найти такие формулы преобразом
при которых в обеих системах одинаково происходят не только ме$|
ческие, но и оптические явления. Но при этом приходится допрЯ
что преобразованию подлежат не только пространственные коордиЯ
но и время; самые общие формулы преобразования тогда имеют ВВД
?/ — А2х 4- В2у + C2z 4~ D2t,
z' = А3х + Bsy + C3z A-D3t,
E = AjX -J- B4y 4" C4z 4~ D4t. ,
Здесь требуется определить все коэффициенты в правой части УР
ний. Для этого определения у нас имеются следующие условия:
1) Если я' = 0, то x=vt при любых у и z. Подставляя это в
вое из уравнений (52), получим:
I\ = — Arv.
2| Если ?/' =0, то и у — 0 при любых ж, z, t. Отсюда
А2 = С2 ~ В2 = 0.
3) Совершенно так же, если г' — 0, то и z — 0 при любых $
J
Теория относительности
досЮДа
Л3==В3 = Р3 = 0. (55)
4) Ось OY ничем не отличается от оси OZ. Они могут быть заме-
одна другой. Тогда на основании (52), (54) и (55)
В2 = С3. (56)
После подстановок (53), (54), (55) и (56) уравнения (51) примут вид:
у' = В2у,
A = B2z,
(57)
Здесь число 16 неизвестных коэффициентов уравнений (52) упало до 6.
5) Наконец, выразим в виде уравнения условие, что световой сигнал
кажется нам распространяющимся с одинаковой скоростью в обеих систе-
мах. Пусть сигнал дан в тот момент, когда начало координат подвиж-
ной системы совпало с началом координат неподвижной системы. Пусть
этот момент соответствует t =» 0 и t' = 0. Свет распространится сфери-
ческой волной, которая к моменту t в неподвижной системе выразится
равнением
2—C2t2 = Q.
(58)
По нашему принципу в подвижной системе свет будет казаться
распространяющимся в виде такой же сферической волны: ее уравнение
к моменту V:
+ + (59)
Из (58) и (59) и следует необходимое нам уравнение
ж'2 + у'2 -Ь з’2 — с2Г2 = ж2 + У2 + — c2t2. (60)
Внесем сюда х', y’t А и t' из (57) и приравняем коэффициенты при
В Знаковых степенях переменных. Тогда получим следующую систему
Мнений для коэффициентов А1} В2, А4, В4, С4, 1)4:
Л —с2Л42 = 1,
В22 —с2В42 = 1,
В22 — с2С42 = 1,
A42v2 4- с2В42 = с“,
АгВ, = °- (
АЛ = 0,
В4С, = О,
ВЛ = О,
396
Движущиеся тела
[Отд. Ш, uj
Сравнивая второе из этих уравнений с третьим, найдем
При этой подстановке восьмое уравнение дает
В4 = 0, С4 = 0,
и из всех уравнений (61) остаются следующие четыре:
232 — Л142=1,
В22 « 1 или В2 = 1 г),
— Л121’2 + c2Dy — с2,
At2v +c2/14D4 = 0.
Определим В4 из четвертого, подставим в третье, откуда найдем
через Аг\ подставим его в первое и получим
4 2 — 1 Л 2\ _______1_ J..
подстановкой в третье найдем
D 2 — — Т) — —
fp 1 ^4, ft •
Наконец, четвертое уравнение нам даст
4 — __Л_
4 сЩ ’
По внесении всех- этих значений в (57) получим
л' — (х — vi),
у' = У,
Г
z =z,
VX
1
Это и суть знаменитые формулы преобразования координат в 1
Эйнштейна. Существенными являются из них первая и четвертая.
Убедимся прежде всего в том, что они обратимы. Если мы J
их относительно х, у, z и t, то получим:
X = 4- \х' + vt'},
р
У = у’
z — е'
‘ “ 7
VX
*) Решение Bt — — i не ИМпЛо бы смысла, таи как при v = О привело
зультату у' = — У-
а) Отрицательное решение отбрасываем; см. предыдущее примечание.
j.21 Теория относительности 397
Зги формулы отличаются от (62) только тем, что на месте — v
J1T теперь -Ь построение же их тождественно. Поэтому наблюдатель,
^доложенный в одной системе, никак не может решить, его ли система
Жжется ко второй, или, наоборот, вторая движется по направлению
^первой с равной, но противоположной скоростью; он замечает только
Деятельное их движение.
° Первая из формул (62) отличается от соответственной формулы (51)
жителем в правой части. Как мы видели выше, последний отличается
i1T единицы только на величины порядка 10~8. Поэтому для практиче-
ских вопросов он не имеет никакого значения. Посмотрим, однако, каковы
еГо следствия, и для этого разберем вопрос о длинах отрезков, измеряе-
мых в I и II системах.
Пусть в движущейся системе II имеются две точки, расположенные
до оси ОХ': Xi и Пусть наблюдатель в этой системе определит
расстояние между этими точками, и пусть это расстояние
х%—х^—1. (63)
Пусть два наблюдателя в неподвижной системе в один и тот же
момент t определят соответственное положение указанных точек, когда
они проносятся мимо их со всей системой П. По первому уравнению (62)
найдем
> х2 — ~(Г СГ2 — У0,
р
откуда
х' = —
Р IX2 - Х^ j —1 (я^2 — Э/j).
Длина движущегося отрезка, которую найдут неподвижные наблюда-
будет меньше той, которую нашли движущиеся вместе с отрезком,
11 отношении /3. Это — лорентцево сокращение; вместе с этим результа-
мы получаем и «объяснение» отрицательного результата опыта Майкель-
[Переходим к четвертой из формул (62). Пусть в подвижной системе II
^.Податель, движущийся вместе с ней, определил продолжительность
роторого события
I ^2 ^ = ~.
ктРПусть’ с ДРУг°й стороны, эту же продолжительность определит наблю-
тЛь> неподвижный в системе I.
{огда х = const, и по (62)
I — *i' = х = у Оз — *1)-
L Та
И>ь511м образом наблюдатель, находящийся в неподвижной системе,
лит продолжительность того же события не в т, а в
398 Движущиеся тела [Отд. Ill, rj^j
т. е. в отношении /5 раз меньше. Значит, в подвижной системе дд>
подвижного наблюдателя изменяются не только длины отрезков^
и продолжительность событий, происходящих на подвижной систем^
В выражении скорость v входит только в квадрате. Поэтому j!
чина fi не изменяется от изменения знака скорости. Для наблюдгЗ
находящегося во второй системе, в точно таком же смысле измещ
длины и промежутки времени, относящиеся к первой системе. о
Весьма существенно, что время в подвижной системе определяется
время в неподвижной системе не одинаково для всех точек прострам
так как в выражении для I' участвует, кроме I, и х. Это равносяЗ
отказу от абсолютного времени галилеевой системы и замене его м
сложным понятием местного времени (см. выше § 6 настоящей гд
стр. 386).
Для дальнейшего весьма существенно получить еще выражение^
скорости относительно осей неподвижной системы какой-нибудь т$
движущейся со скоростью vx в подвижной системе.
Имеем х = uxt,
х' = vxt'.
Подставляем вместо х' и I' их выражения из (62); получим
_ (у-{-ъ>л) t
откуда
V
vvx
cz
Таким образом, вместо обычной (галилеевской) формулы сло|
скоростей
и = V + vx,
мы имеем более сложное выражение (64). Во всех практических BQfl|
их результаты неразличимы, так как v и vx весьма малы по срад
с с. Но теоретические последствия (64) чрезвычайно велики. Оя
главнейшие. Я
I) Суммарная скорость всегда меньше суммы слагающих при Я
ковом знаке v и vx и больше разности их при разных знаках «Я
II) Если одна из скоростей (г или vx) равна с, то и, незай
от величины другой составляющей, равна с. J
III) Каковы бы ни были значения v и vx, их равнодействующая
меньше с, если v и vx каждое по отдельности хотя немного меньЯж
Нам в особенности важно отметить, что по следствию (II), сВ®й
пространяющийся из подвижной точки, имеет одинаковую скои|
при наблюдении как из неподвижной точки, так и из точки, дви#УЧ
вместе с источником. I
Подобными вышеуказанным подстановками мы получаем так*0®
v,
1 -J- _£ 1 !__v
121
Теория относительности
399
jjfbi ограничимся этими основными сведениями из теории относитель-
ней и ПРИЛОЖИМ их к объяснению тех явлений, которые выше истол-
нвЫвали с точки зрения неподвижного эфира.
' а) Опыт Физ о. Может быть наиболее разительным примером упро-
щений, к которым ведет теория относительности, является рассмотрение
JjjeHHO этого случая.
Если бы наблюдатель двигался вместе с водой, то свет должен был
казаться ему распространяющимся со скоростью — . Для неподвиж-
но наблюдателя эта скорость должна комбинироваться со скоростью
роды v. Воспользуемся формулой (64), куда подставим vx — Получим
или,
и —-------- }
i-н Л-
пс
пренебрегая квадратом величины ,
или.
т. е.
них
опять пренебрегая той же величиной:
с . п2— 1
гс =--------— v,
п п-
то же выражение, которое мы получили в (23) путем весьма длин-
и утомительных вычислений.
б) Аберрация света. Возьмем, как и в § 9, случай звезды,
ваходящейся в направлении, перпендикулярном к пути Земли. Тогда
Шдываются: 1) относительная скорость Земли и звезды в направлении
«си ОХ; пусть она есть—v; 2) скорость света в перпендикулярном
Управлении, скажем, вдоль оси ОТ; она равна с. Итак,
^ = 0,
Vy = С’
| вставляя эти величины в (64) и (65), имеем
1 =—^0; иУ =
рУДа для угла аберрации получим
+о. JL
величина только на бесконечно малые величины второго порядка
Сдается от найденной в § 9 (43), что при современной точности
- ^Деления v и £ никакими опытами обнаружено быть не может,
кр Принцип Допплера. Выше (примечание к § 8) мы нашли
Кисличных выражения для случаев: а) абсолютного движения источ-
Когй б) абсолютного движения наблюдателя. В теории относительности
ко? Различия проводить нельзя, но можно говорить о движении либо
ГПьИка’ либо наблюдателя относительно некоторой системы. Пусть,
В ЧМеР, в этой системе находится источник, а наблюдатель движется
Движущиеся тела
[Отд. III, гл.;
относительно ее со скоростью v по оси ОХ от источника. Волновое i
жение подчиняется уравнению 1
у = 2/осев2л;г ----.
Подставим сюда вместо t и х их выражения из (62'). По приц
нии получим: , j
2/='t/o cos 2тс у fl— р' — у! = у02т>' (f— Х~\ . .
Отсюда / а (j _ Н е *
f) \ с ) ' -j
Здесь по сравнению с классической теорией опять является мво
тель у: опытом найти, которая теория права, было бы опять не
можно, вследствие малости разницы между 1 и 0.
г) Опыт Майкельсоиа. Мы уже видели, что теория относит!
ности предвидит продольное сокращение размеров движущихся 1
и как раз в том отношении, которое нужно для объяснения отрицая
ного результата опыта Майкельсоиа.
Таким образохМ мы видим, что все опыты с движущимися Tejj
в терминах теории относительности излагаются весьма просто и не;
нужденно, с неизменно верными результатами. Но она приходит к л
результатам ценой весьма больших изменений наших наиболее основ
понятий о пространстве и о времени. .
Теория относительности формулируется как некоторый принцип,1*
каких-либо высказываний относительно механизма, обусловливаю^
выводимые из4 нее следствия. Тем не менее она сыграла весьма рай
шительную роль в отношении классической электромагнитной Ted
Она ничего не говорит об эфире, но постулирует свойства, не согл#
мые ни с гипотезой неподвижного эфира, ни с гипотезой эфира увлЙ
мого. А потому вообще гипотеза об эфире перестает быть уДОЧ
и полезной для разработки текущих задач. Но тогда от всего зи
электромагнитной теории остается лишь формальная часть, без вой
ности углубления в физическую природу самых основных явл
электромагнетизма и оптики. а
В дальнейшем развитии своей теории А. Эйнштейн фор мул ил
второй, так называемый общий принцип относительности, где каем
уже и ускоренного движения, а также движения в поле тяготЙ
В виду весьма громоздкого характера математической части его т®4
она не может быть здесь изложена. Из ее следствий оптического
тера необходимо указать два: а) отклонение светового луча гравий#
щим светилом и б) «красное» смещение спектральных линий, испуская
атомом, находящимся в поле тяготения. Опыт количественно подтверди
второе и, повидимому, подтверждает и первое предсказание теорий!
наблюдается с гораздо большими трудностями) 1). Но ни то, ни Дл
явление не может быть объяснено с точки зрения классической элел
магнитной теории. Здесь мы также стоим у границ ее примени^
х) См., например, С. И. Вавилов, Экспериментальные основания теории
тельности, ГИЗ, 1928.
IV. ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
к
ГЛАВА I.
ИЗЛУЧЕНИЕ С ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ \).
1. Испускательная способность. При выводе основных положений
фотометрии (стр. 70) мы пользовались некоторыми определениями, введе-
те. которых оправдывалось совпадением вычисленных при их помощи
освещенностей или яркостей с воспринимаемыми глазом. Но такую физио-
логическую, субъективную оценку легко заменить физической, объектив-
ной, путем измерения тепловой энерпуи, выделившейся в кявый-нп^удъ
теле при поглощении лучистой энергии источника света. При этом в фо-
тометрические определения вводится новое понятие, без которого мы
могли обойтись при физиологических измерениях при помощи глаза, а
именно—понятие времени, так как выделяющееся в поглощаемом теле
количество тепла пропорционально времени.
На основании закона сохранения энергии нагревание вызывается не-
которым количеством энергии, исходящим из источника свети, и поглощаю-
щимся в теле. Соответственно этому энергию, излучаемую источником света
Q в единицу времени (т. е. световой поток), мы будем называть полным
опусканием Е источника света Q.
Лучистая энергия, вообще говоря, состоит из колебаний различных
длин волн Я. Количество энергии, переносимое колебаниями, длины волн
которых лежат в промежутке Л и Л + Д, пусть будет представлено выра-
жением Ел. Множитель мы будем называть испусканием для длины
волны Л.
Испускание в интервале длин воли от Л1 до Л2 равно соответственно
F12 — Fn fl)
к Полное, испускание
г 00
F = jFi dl. (2)
о
to Ни, испускание тела влияют, помимо природы тело, величина и строе-
ije ого поверхности. От этих побочных обстоятельств не зависит поня-
5? Пспускатсльной способности; мы понимаем под этим направленное
испускание единицы поверхности тела. Обозначим его буквой е.
Яркость излучающей поверхности. Выведенное нами ранее
<^JO) основное положение, что для всех сечений световой трубки,
1, См. Е. Lax u. М. Pirani, Handbuch der Physik (G-e.ijer u Scheel), 19, 1, 1928;
k y°> 1920; 7. Grebe., ibid., .''O. 21, 1928.
26
404 Излучение с энергетической точки зрения [Отд. IV,
т. е. трубки, образованной световыми лучами, световой поток оста
постоянным, с энергетической точки зрения является необходщ
так как световой поток интерпретируется при этом как поток энет
в единицу времени; мы видели выше (стр. 227), что световые лучи ц
ставляют собою пути, по которым течет энергия; иначе говоря, ч
стенки световой трубки обмена энергии не происходит. Следовател
поток энергии через любое сечение световой трубки должен иметь (
и ту же величину, так как в каждой части пространства, не содержа
источника излучения и не поглощающей энергию тела, количества
ходящей и входящей энергии должны быть одинаковы.
Поэтому для потока энергии, посылаемого малым элементом ds bhj
элементарного конуса с телесным углом dQ, получаем выражение
формулу (69) стр. 74):
dF— В ds cos (р dQ,
где 9? обозначает угол, образуемый элементом площадки ds с осью
ментарного конуса, т. е. с рассматриваемым направлением лучей и?
(величина В есть яркость 3) площадки ds).
Если при рассматривании глазом изогнутая излучающая поверхц
представляется светящейся равномерно, то в этом случае, как мы!
выводили на стр. 74, В должно быть постоянным, т. е. не должно 31
сеть от угла де. Имеет ли это действительно место по энергетич^
соображениям или нет, будет разобрано ниже. Если мы допустим,
В постоянно, то по (3) световой поток, посылаемый площадкой ds вн;
кругового конуса конечной величины, образующие которого обрэд
угол U с нормалью к ds, можно выразить на основании формулы t!
(стр. 75) следующим образом:
F = п В dssvsFU.
С
Если мы поэтому положим и разделим это выражение й^
то для испускательной способности f получаем выражение
f = л В.
Если через обозначить испускательную способность для длины вол$Я
то
h = Л Вх. «1
3. Механический эквивалент света. Св-товой поток можно 4
пивать двояко: или с точки зрения производимых им световых впечФ
ний, причем он измеряется тогда в люменах и обозначается F (см. я
стр. 73), или с точки зрения переносимой им мощно ти, которая cool
ственно измеряется в эргах/сек. или в уаттах; обозначим его Ж- С
шение называется коэффициентом видимости или световой отД^
*) „Яркость* невидимых лучей Ш. Фабри называет „энергетической яркС^
Мы в дальнейшем не проводим этого различия. См. его „Общее введение
метрию", ГТТИ, 1934, стр. 156.
Механический эквивалент света
405
сражается в люменах на уатт; величина обратная \-у)
^панического эквивалента
длины волн
носит название
света и дает число люменов, соответствующих
пному уатту.
различные
ое световое впечатление,
:а3дичен; в связи с этим различен коэффициент видимости для потоков,
и характеризуемых одинаковой мощностью, но отличающихся спек-
тральным составом света.
г Из опыта известно, что наибольший коэффициент видимости приходится
при нормальном зрении на длину волны 20 = 555 m/г; по обе стороны
J этой величины видимость падает; кривая видимости в зависимости от
дойны волны'имеет колоколообразную форму. Значения видимости, отне-
сенные к этому максимальному значению, называются коэффициентами
относительной видимости для данной длины волны. Зная абсолютное зна-
чение видимости для Яо и относительную видимость для любой длины
волны, можно вычислить абсолютную видимость для этой длины
волны, причем она, очевидно, получится меньше вышеприведенной и упа-
дет до чрезвычайно малых величин у границ видимого спектра. При
сложном спектральном составе света вопрос об общей потребляемой им
при одинаковой мощности производят различ-
а потому и коэффициент видимости для них
мощности решается суммированием вышеуказанных величин по всем
длинам волн.
Определение численных значений максимальной видимости (или мини-
мального механического эквивалента) представляет собою весьма трудную
задачу. Наиболее вероятными значениями в настоящее время являются
следующие:
Коэффициент видимости = 0,00161 уатт на люмен = 0,0202 уатт на
1 свечу средней сферической силы.
Механический эквивалент — 621 люмен на уатт = 49,4 свечи (сфери-
ческой силы света) на уатт.
Относительная видимость для 2=400 тр равна 0,0004, а для 2=700 тр
"0,00006, что соответствует энергиям 6,4-10 ~7 и 10 ~7 уатт на лю-
Мен или освещенностям 8'10”6 и 1,2-10“6 свеч.
На основании этих чисел можно составить впечатление о чувствитель-
глаза, т. е. о минимальном количестве энергии, необходимом для
^Учения еветового впечатления *). Когда глаз находится на расстоянии
Я.його метра от источника света в одну свечу, что соответствует освещен-
ии на сетчатке в 1 люкс (1 люмен на 1 ж2), то при диаметре зрачка
(площадь равна 0,07 см2) минимальная энергия, получаемая им,—по-
мдка (0,0016l-7-10—6 = ) 1,1-10“8 уатт = 0,1 эрг/сек. Такое количе-
энергии могло бы нагреть один грамм воды на 1°С только в те-
14 Лет.
"лаз еще способен видеть звезду шестой величины; освещенность
случае равна освещенности, даваемой 1 метр-свечой, удаленной
[Расстояние 11 км, т. е. = 0,8-10 люкс. Энергия, получае-
) См. W. Coblentz u. W. Emerson, Bull. Bureau of Standarts, 14, 225, 1918/19
106 Излучение с энергетической точки зрения [Отд. IV, |
мая глазом при диаметре зрачка 3 мм, будет в этом случае поря
0,9-10 ~16 уатт или 0,9-10“" эрг/сек. Есть указание, что при не®
рых условиях глаз может видеть еще звезду 8-ой величины; в эюм <
чае при диаметре зрачка 6 — 7 мм минимальное количество энер]
дающее понятие о чувствительности глаза, получается порядка 6-10-10]
4. Световая отдача и удельное потребление источников свет^
Энергия, потребляемая источником света, пе целиком превращается в’
чистую энергию; более или менее значительная ее часть превращав
в теплоту. Число люменов, даваемых источником света на каждый j
потребляемой мощности, называют световой отдачей источника; велич
обратная отдаче есть удельное потребление источника, которое дол|
выражаться в уаттах на люмен; его часто выражают в уаттах на св<
Некоторые данные приведены в нижеследующей табличке:
! Отдача (люмен/уатт) I дельное* потреблен^ (уатт/люме:
1 Лампа с угольной нитью, 50 уатт 1 3,3 Пустотная лампа с вольфрамовой нитью, 25 уатт 9,8 ; Газополная лампа с вольфрамовой нитью, 1000 уатт 20,0 । Ацетилен 1,1 Ауэровская горелка 1,7 0,30 ! 0,102 $ 0,050 3 0,9 1 0,6 Я
5. Излучение Солнца2) Количество тепла, излучаемого в одну Ml
ту Солнцем (которое находится на среднем расстоянии от Земли) и падаю]
на 1 см* 2 земной поверхности, при нормальном падении лучей и при 01
ствии поглощения в атмосфере, называется солнечной постоянна
В настоящее время за наиболее вероятное значение этой величий
принимается число 1,94 г-кал. Считая, что в атмосфере поглощается^
1/3 всей солнечной энергии (когда Солнце находится в зените), полу4
что 1 см2 поверхности Земли получает в 1 минуту около 1,4 ej
Полная энергия Q, излучаемая Солнцем в одну минуту, дается выд
нием Полагая 7? = 1,4966-1013 см, имеем
Q= 5,4-1027 г-кал./мин.
Для силы света Солнца из ряда экспериментальных данных МН
число порядка 2-Ю27 свечей.
6. Световое давление. Пусть на плоскую границу какого-^Д
тела нормально падают плоские волны. В этом случае электрическив4Я
волны не могут оказывать на тело никакого давления, направленногоД
мально ему, так как они обладают только тангенциальными составляю^!
А. Л. Е&ромков, Курс электрического освещения, ГПТП, 91, 1931; 1Л$
1. с., 167. , j
2) II. Rosenberg, Sfrahhingseigenschaften der Sonne, Handbuch der Physik Л
U. Scheel', 14, 50, 1928.
2) 1Г. Bernheimer, Handbuch der Astrophysik, 1,448, 1933.
Световое давление
407
аГдитные же силы оудут давить, так как в теле имеют место электри-
еские токи, и каждый отрезок тока длиною dl испытывает от магнит-
но поля Н, направленного перпендикулярно току, перпендикулярную
Пл:,1 направлениям силу idlH: с, где i есть сила тока в электростатических
кницах (см- выше СТР- 357 формула (39)). Пусть ось OZ направлена
нормально к пограничной поверхности, причем положительная ось направ-
iega внутрь тела; пусть электрическое напряжение направлено по оси
а магнитное — по оси OY-, тогда составляющая 8 по оси OY магнитной
’силы, действующей в элементе объема тела dv, будет увлекать этот элемент
вдоль по оси + OZ с силой, выражение для которой, казалось бы, должно
быть 4^ dv?-
Здесь необходимо, однако, иметь в виду, что ток складывается из
конвективного тока зарядов тела и из тока смещения через эфир; плот-
1 ах
ность последнего равна ; к нему пондеромоторные силы прило-
аены быть не могут, вследствие чего более правильное выражение для
силы, действующей на элемент объема dv, будет
d'K = -(j — -1 0 dv. (8)
с X х 4ti dlj 1 v J
к Ио основным уравнениям (7) стр. 221 и (11), (14) стр. 223, 224 мы
имеем
4л • _ . 1 djd_ дХ
с dz 5 с dt dz ’
Внося первое из них в предыдущее выражение, получаем
1 Л Г а
d'К = — —dv — -4- -т .
4ti [_ dz с at ]
Преобразуя
№в 4
' dt dt \r J at
is nr. 1 дё
пользуясь данным выше уравнением для -у , имеем
I 4 Н- ст
К Вырежем в теле цилиндр с осью, нормальной к его поверхности, и
Поперечным сечением о. Сила, действующая на заряды внутри этого
Г'Вщдра, будет
I dK--rnf[^+x^-^ ± (0Х)] dz,
К j® — расстояние второй границы тела от первой.
ление, т. е. сила, действующая на единицу поверхности, будет
Световое давление 409
де плотность энергии падающих лучей. Для совершенного зеркала
So, таким образом, должно исчезнуть *).
Из формулы (12) следует, что световое давление солнечных лучей
оКодо земной поверхности, принимая солнечную постоянную в
194 кал!мин, составит для черного тела
• ГИо™ ’ "W ' 100 ’ 1000'980 = 4’63 ’
Несмотря на большие экспериментальные трудности, П. Н. Лебедеву2) удалось
^первые доказать существование светового давления и совпадение его раз-
меров с предсказанной теоретически ничтожно-малой величиной. Впослед-
ствии П. Н. Лебедев поставил себе гораздо более трудную задачу экспе-
риментально доказать существование светового давления на газы3). Эту
работу следует признать непревзойденным образцом экспериментального
искусства.
Теория пондеромоторного действия света на поглощающую молекулу
весьма проста. Если плоская волна распространяется по оси OZ и
несет с собой электрическое напряжение X и магнитное Д, и если под
влиянием напряжения X заряд смещается со скоростью-^-, то действу-
ющая на него сила
/• = 1 е 4г Д •
'2 с dt 1
Но в свободном эфире (а приблизительно и во всех газообразных телах)
Р = Х, вследствие чего
Z ' 6 Х dt 1
т. е. численно равна разделенной на скорость света работе электриче-
ских сил в единицу времени, или иначе
а=4^> •
где и — поглощаемая при колебании заряда мощность.
Это соотношение, справедливое для любого момента времени, справед-
ливо и для средних величин силы и мощности, а также и для молекулы,
включающей в себя несколько зарядов, способных колебаться при про-
длении волн.
Вопросы светового давления получили большое значение в космиче-
ской физике при объяснении явления кометных хвостов4) и звездных
. В Теоретически вопрос о световом давлении разобран в статьях Д. А. Голъд-
(Ann. d. Phys., 4, 847, 1901) и T. П. Кравца (ЖРФХО, часть физическая,
2) И. Лебедев. Ann. d. Phys., 6, 433, 1901. См. также Nichols u. Hull, Ann. d.
225, 1903. Впоследствии, с усовершенствованием вакуумной техники,
|4 ^Рение этих работ перестало представлять особо большие трудности. См. работу
< ' Bolsen, Ann. d. Phys., 73, 624, 1924.
| > Ann. d. Phys. 32, 411, 1910.
L ) П. H. Лебедев, Собрание сочинений, стр 172, 381, 1913.
410 Применение второго закона термодинамики [Отд. IV, гл
атмосфер1), и в особенности физических условий, господствующих вну!
звезд2). Легко сообразить, что силы светового давления, ничтожные J
малых концентрациях лучистой энергии (т. е. при низких температур!
становятся весьма велики при огромных температурах внутри звезд,!
они во много раз превосходят газовые давления. |
7. Теория теплового обмена Прево. Всякое тело излучает не!
торое количество энергии, даже когда оно не светится; чем выше т!
лература тела, тем это количество больше, и тем больше волн короти
периодов в нем содержится. Если поэтому тела А и В различной т!
пературы расположить рядом, они оба излучают энергию; более горя
тоже получает лучистую энергию от более холодного. Горячее тело иои
окает больше энергии, чем получает от холодного; наоборот, более xoj
ное получает больше, чем само испускает, благодаря чему происхоЗ
выравнивание температур. Это воззрение па явления испускания би
впервые высказано Прево.
Если поэтому при определении излучения гела А мы измерь
повышение температуры в черном теле В, поглощающем лучи, исхо!
щие от А, то этот результат зависит от разности температур обоих i
А и В. Повышение температуры тела В дает нам тем более точные и
пые о полном излучении А, чем меньше энергии излучает само тело!
Если поэтому речь идет, например, об энергии световых лучей источи
света А, инфракрасные лучи которого полностью поглощаются в сом
с водой, то эту энергию можно полностью измерить при поглощении
черным телом В, имеющим ту же температуру, что и вода, так
при комнатной температуре от В исходят только инфракрасные ля
а они в полной мере восполняются излучением от сосуда с вся
Наоборот, полное излучение источника света несколько больше того, кЯ
рое может быть промерено при поглощении в черном теле В при
натной температуре; однако, принимая во снимание гораздо более вп
кую температуру источника света, — например Солнца или пламЯ
— этой поправкой можно пренебречь; результат измерений практичм
не зависит от колебаний, температуры тела В. Напротив, темперая
тела В имеет очень большое значение, если тело А, излучение БЯ
рого измеряется, является только немного более горячим. Об этом if
робпее будет говориться в следующей главе.
глав дп
ПРИМЕНЕНИЕ ВТОРОГО ЗАКОНА ТЕРМОДИНАМИКИ
К ТЕПЛОВОМУ ИЗЛУЧЕНИЮ
1. Первый и второй закон термодинамики. Ио первому заи
термодинамики механическая работа может быть получена только Д
затрате некоторого определенного количества энергии, т. е. при изд
пии состояния тел, питающих работающий механизм. Хотя по Д
МгДпе, Monthly Notices, №91, 4—55; см. также Naturwissonsch. 19, 685»дИ
2) Jeans, Problems of Cosmogony and Stellar Dynamics, 1919; Eddington, 4
ternal Constitution of the Stars, 1926. Eddington, Stars and Atoms, 1927. Л
Законы термодинамики 411
рлнципу perpctuum mobile, т. e. такой механизм, который давал бы сколь
JJ-одпо много работы без непрерывного изменения питающих его тел,
ждягтся невозможным, ио все же механизм, работающий даром, явля-
йся вполне мыслимым. Так, при соблюдении первого закона термодина-
йКп можно представить себе такой механизм, который непрерывно дает
оЛе.зную механическую энергию, черпая ее из тепловой энергии морской
додь!, я которую оп погружен.
Опыт приводит к убеждению, что осуществить такой механизм
^возможно; он практически тоже представлял бы собою pcrpetuum mobile
jfoporo рода; у всех двигателей, превращающих, подобно паровому дви-
гателю, тепло в работу, должны быть налицо по крайней мере два
резервуара тепла различной температуры: котел и более холодный воз-
дух пли холодильник. В общем случае тепло может быть превращено в
работу только тогда, когда отнимается некоторое количество тепла Q от
резервна а более высокой температхд ы, а более холодному резервуару
передается меньшее количество Q'.
Поэтому мы выставляем, как результат опыта, следующее общее
положение: при наличии только одного резервуара, имеющего везде одну
и ту же температуру, непрерывный переход тепловой
энергии в механическую работу осуществлен быть не
может. Эта мысль составляет содержание второго закона термодинамики.
Воспользуемся сейчас следствием из этого закона; если система тел,
защищенная ст потери тепла и работы (изолированная от внешней среды),
имеет в какой-нибудь момент времени везде одну и ту же температуру,
и если при предоставлении системы самой себе природа составляющих
ее тел н? меняется, то в ней никоим образом не может поя в и ть-
ся разность температур. В самом деле, если бы такая разность появилась,
ею можн > было бы воспользоваться для приведения в движение рабочего меха-
низма; если бы в процессе работы она выравнялась, то новая разность
ннэвь возникала бы г. системе сама собой; мы вновь могли бы получать
работу, и так до бесконечности, — несмотря па то, что первоначальн •
Имелась только тепловая анергия одной и той же температуры. А это
противоречило бы второму закону термодинамики. Важпо отмстить, что
6 этой случае мы могли бы таким путем непрерывно использовать тепло
Для получения работы при наличии (первоначально) одинаковой тем-
1еРатуры только при том условии, что природа входящих в систему те.:,
Iбается неизменной; в противном случае, — например при образовании
к^ическпх соединений, — работоспособность системы в конце концов
[сокращается. При химических изменениях первоначально существуют^ е
|^енство температур может поэт, му нарушаться; это не стоит в проти-
И?ечи11 с0 вторым * законом; мы можем наблюдать это явление в любом
I "°Цессе горения.
Lk Тепловое излучение и лючинисденцпя. Всякое тело излучает
ж^гпю, по крайней мере в виде инфракрасных ьо.чн большой длины
при этом следует различать два случая. В первом случае природа
Во время процесса излучения не меняется: оно излучало бы совер-
т кам же образом вечно, если только поддерживать его темпе-
УРУ постоянной путем непрерывного подвода тепла. Такой процесс мы
412 Применение второго закона термодинамики [Отд. IV,
будем называть чистым тепловым излучением. Во втором случае
при излучении изменяется; оно, вообще говоря, не могло бы все в
давать одно и то же излучение, даже при постоянной температуре. Т
процесс называется люминисценцией. Причиной излучения в этом
чае является не температура системы, а другой источник энергии;
хеми-люминисценцией называют излучение, вызываемое химическими i
нениями, что имеет место, например, при медленном окислении фос
или гнилого дерева. Наблюдаемая в ряде других тел так называ
фосфоресценция, т. е. свечение тела после освещения, носит назв
фотолюминисценции. Здесь источником излучения является упавши
тело свет, вызывающий изменения в природе тела, например в стро|
молекул; в процессе фосфоресценции происходит восстановлепие ис
ного положения. Свечение гейслеровых трубок в электрическом
высокого напряжения называют электролюминисценцией, и т. д.
На основании § 1 ясно, чго второй закон термодинамики приж
только к чистому тепловому излучению. Так, из изложенного выше (стр,,
представления о тепловом обмене вытекает, например, что раз yci
вившееся температурное равновесие в замкнутой извне системе тел
коим образом не может быть нарушено чистым тепловым излуче:
этих последних, но такое нарушение может произойти при люминисце
тел.
В последующем мы будем говорить только о чисто тепловом излуч
3. Испускательная способность идеально отражающего’
идеально прозрачного тела равна нулю. Представим себе, что ’
большая пластинка любого вещества К помещена между двумя иде
отражающими поверхностями ££ Под идеальным зеркалом будем
мат$ такое тело, которое отражает всю падающую на него лую
энергию. Пусть вначале К и SS имеют одну и ту же темпера
Можно себе представить, что это — части большей, изолированно!
стемы тел постоянной температуры. Если теперь К излучает энерп
оно получает ее обратно всю, в полном объеме, после отражения о
Пусть поглощающая способность К отлична от пуля. Под поглоща
способностью а1) какого-нибудь тела или поверхности будем пон:
отношение количества энергии поглощенной к количеству энергии,
шей на тело. Если, поэтому, количество упавшей на тело энергии
1, то количество поглощенной энергии равно а, отраженной 1
если только тело не пропускает никакой части энергии насквозь
величина 1 — а совпадает поэтому с отражательной способа
г = 1 — а, если тело имеет настолько большую толщину, что через
энергия не может пройти; в противном случае г <1 — а.
Энергия, отражающаяся от зеркал SS, частично поглощается в
частично вновь отражается от К, а затем от обратно к К и
Легко сообразить, что тело К должно во всяком случае при равной;
состоянии вновь поглощать в полной мере всю излученную им 3H<"
]) Поглощательную способность а надо отличать от введенного выше (<£
показателя поглощения х. Металлы, — например серебро, — обладают очень б<
показателем поглощения х, но очень малой поглощательной способностью
отражают почти всю падающую на них энергию.
Закон Кирхгофа
413
представим
шара проделаны два
^торном отражении от идеальных зеркал &S, так как эти послед-
или ничего из этой энергии не поглощают. Если бы поэтому зеркала SS
L излучали энергию, температура тела К должна была бы повыситься,
J #ак оно стало бы поглощать, кроме своей собственной энергии, еще
тЬ энергии, излучаемой зеркалами &S, — именно ту часть, которая
дает на тело К. Температура же зеркал должна была бы при этом
^зиться, так как они только излучают, ничего не поглощая. Так как
второму закону термодинамики тепловое излучение не может нарушить
^ановив111егося равенства температур, то мы должны заключить, что
^нательная способность идеального зеркала равна нулю. Если поэтому
1Еая-нцбУДь система тел заключена в оболочку, с наружной стороны
[вально зеркальную, то она является совершенно изолированной от внеш-
'го пространства и наружу не излучает.
равным образом мы можем заключить, что равна нулю испускатель-
способность идеально прозрачного тела. Действительно,
бе, что любое поглощающее тело
окружено со всех сторон прозрач-
IM телом, и оба они находятся
утри оболочки, зеркальной изну-
и и снаружи; тогда, если бы про-
ачное тело излучало, оно должно
[до бы охлаждаться, так как оно
чего не поглощает.
4. Закон Кирхгофах) (связь ме-
№ испусканием и поглощением).
Представим себе, что очень не-
льшой элемент поверхности ds
кого-нибудь поглощающего веще-
ва находится в центре зеркального
лого шара радиуса 1; на противо-
*'пжных концах диаметра этого
знаковых отверстия dQ (рис. 121).
Пусть ds мало по сравнению с а
Тентом ds через одно из отверстий dQ, по формуле (69) (стр. 74)
вен
dF = Bds cos 9? сЮ, (1)
е <Р обозначает угол между нормалью к ds и лучом, проведенным меж-
Серединами ds и dQ\ величина В есть яркость излучения ds в направ-
йи (р. Вопрос о том, зависит ли В от (р, оставим пока открытым. Всю
®Ргию, которую ds посылает в других направлениях, он получает обратно
отражения от стенок полого шара; в конце концов, после многократ-
о отражения, она поглощается этим элементом полностью. Пусть теперь
t К Grebe. Handbuch der Physik [Geiger u. Scheel), 20, 121, 1928; M. Czerny u.
jjltner, Muller-PoHillet, Lehrbuch der Physik. 2 (Optik), 1402, 1929. W. Wien u.
er> Warmestrahkng, Handbuch der Experimentalphysik 9, 1929, W. Wien,
Strahlung, Encyki. dor math. Wiss. V;, 282, 1909. См. также обзор В. A.
± ^o-na, ЖРФХО, часть физическая, 34, 155, 1902.
небольших
dQ. Поток энергии,
излучаемый
414 Применение второго закона термодинамики [Отд. IV, Я
полый шар окружен снаружи „идеально" черным телом К', пару®
поверхность которого идеально зеркальна; К' поэтому может издЗ
только во внутрь *). Часть (F') испускаемой телом 1С энергии пом
через оба отверстия dQ на элемент ds и там частично поглощается?!
рассматривать элемент ds из элемента ds’ черной оболочки, он будет м
под углом
dQ' = cos 99,
где г есть расстояние от ds' до ds. Световой поток из ds', пада®|
на ds, равен поэтому
dF' — В' ds' cos у' dQ',
где В' есть яркость излучения черной поверхности в направлении, cocj
ляющем с нормалью угол 9/. Величина всех элементов dsэнергия jJ
рых падает на ds, равна
^ds' = r2dQ: cos 9?', •
где г и ср' считаются постоянными для отдельных элементов dsf. Поэ1^
для светового потока, испускаемого телом К' через отверстие^ и над
щего на ds, получаем выражение
F' = ^dF' = В’ ‘ г2 • dQdQ',
или по (2)
F' = B'dQds cos 9?.
Равным образом, с другой стороны на ds падает поток
F" = B" dQ • ds • cos <p;
здесь сделано предположение, что В' и В" различны, что должно Я
место, если яркость зависит от угла у, и если <р с двух стороння
лично. Jj
Если мы имеем дело с некоторым установившимся температта!
равновесием, то излучение его не должно нарушить. Поток 2dF, Я
чаемый элементом ds в обе стороны через оба отверстия dQ, ДвЯ
поэтому компенсироваться поглощаемой энергией a [F' 4- F"), где аЯ
начает поглощательную способность ds для лучей, направленных под
<р. По второму закону термодинамики имеем следовательно по (1), (6)Я
2В = а(В' + В"). |
Это уравнение должно оставаться неизменным при изменении вида чей
оболочки К' и вытекающего отсюда изменения <р'. Поэтому В' Д<*Й|
быть равно В" и не должно зависеть от <p't т. е. яркость -В'
черной поверхности не зависит от направления излучения. Из (8)
этому следует
В = аВ'.
Идеально черное тело может светиться, если его температура достагочиОи!
сока. Поэтому вместо термина „идеально черное тело* более подходящим бы^И
определение „совершенно поглощающее*.
Следствия из закона Кирхгофа
41.5
. £слп площадку ds' будем делать из различных черных веществ, а
е1дество ds будет оставаться неизменным, то по (9) и В' должно все
!ремя оставаться неизменным, т. е. яркость черного тела не зависит от
природы; это есть универсальная функция р температуры х). Соотноше-
ние (9) можно поэтому тыразить таким образом: отношение между яркостью
J соответствующей данному наклону лучей поглощательной способностью
^бого тела зависит только от его температуры: оно равно яркости чер-
Joro тела той же температуры.
( Эти положения были высказаны Кирхгофом 2), они имеют место не
Только для общей яркости; закон Кирхгофа может быть написан и для
яркости любой длины волны Я:
В>. = ал ‘ Б\ • (9')
Действительно, поместим за отверстием йй полого зеркального шара
[стр. 418) обладающую дисперсией призму из идеально прозрачного вещества;
ли можем тогда пустить на какое-нибудь черное тело ту часть лучей,
излучаемых элементом ds во вне, которая принадлежит совершенно
определенной длине волны: излучения всех других длин волн мог^т быть
при этом при помощи идеальных зеркал опять направлены через призму
I отверстие на элемент ds. Поэтому вышеприведенные рассуждения,
которые привели нас к уравнению (9), должны иметь место также и внутри
«алого интервала длин волн от К до К + d\.
। Уравнение (9) или (9') должно иметь место даже для каждого опре-
деленного направления поляризации световых лучен. Действительно,
[Представим себе, что за dQ помещена призма из прозрачного двупрелом-
|1яющего кристалла; в этом случае различно поляризованные волны раз-
деляются на дза волновых потока. Один из них можно выделить и
^ставить упасть на черное.тело, а другой путем отражения можно напра-
вить обратно на ds. Вышеприведенные рассуждения приводят тогда к
Равнению (9 х), которое поэтому оказывается действительным для любого
^Правления поляризации.
ж 5- Следствия пз закопа Кирхгофа. При постепенном нагревании,
Вминая с некоторой определенной температуры (около 525°), черное тело
Ловится способным испускать видимые лучи, сначала больших длин
Jp3) (красное каление); при дальнейшем повышении температуры по-
ар х) Эта функция может зависеть еще от показателя преломления того пространства,
р® которое проходят лучи. Об этом речь будет впереди. Здесь принимается, что
®ате.ть преломления равен 1, т. е. окружащей средой является пустота.
Цф К Прингсхейч (Verh. d. deutsch. physik. Gesellsch, 3, 81,1901)дал доказательство
a Кирхгофа, не вводя допущения о реальном существовании идеально черных,
отражающих и идеально прозрачных в ществ. Дальнейшее расширение дока-
FtenCTBa' в TOiI предположении, что лучистая энергия может испытать, кроме иог-
№ еще и рассс"ние, дано М. Планком (М. Planck, Vorlesungen Uber die Theorie
I !h ^’aicstrahluni;', 23, 1906).—Об осуществлении черного тела см. ниже § 5.
IhJ G еркые воспринимаемые глазом лучи представляются не красными, а пепельни-
(?cspenstergrau); причина этого, однако, не физическая, а физиологическая, и
₽»еааегся 11 т°м, что в сетчатке человеческою глаза имеются два рода светочув-
ьных органов — палочки и колбочки. Палочки чувствительнее козбочек, но
416 Применение второго закона термодинамики [Отд. IV,
являются в заметном количестве и более короткие длины волн (цри
начинается желтое каление, при 1200° — белое). Уравнение (9') гово|
что ни одно тело не может начать излучать при более низкой теми
туре, чем черное тело, и что, наоборот, все тела начинают светил
(красное каление) при одной и той же температуре (закон Дрэпера?
Яркость свечения зависит во всяком случае от поглощательной споя
ности тела ал при данной температуре. Так, блестящие металлы, сот
няющие высокую отражательную способность и при высоких темпе
турах, светятся слабее сажи. Полоска сажи на поверхности метгц
выступает поэтому при накаливании как светлая, полоска на темном
Равным образом, прозрачная стеклянная палочка при накаливании 4
тится слабо, так как ее поглощательная способность очень мала. И
из какого-нибудь металла сделать полое тело с небольшим отверст!
то последнее будет вести себя как почти идеально-черное тело. ।
Действительно, энергия, попадающая в полость через отверстие, б«
многократно отражаться от стенок полости и в результате соверше]
поглощаться, — даже и в том случае, если стенки полости не абсолю
черные. Из отверстия сможет выйти только очень небольшая чд|
отраженных лучей, которая тем меньше, чем меньше площадь отверс}
по сравнению с поверхностью полости * 2). Отверстие поэтому должно 1
деляться при накаливании как светлое пятно па наружной поверху
полого тела, имеющей лишь малую поглощательную способность. д;
У всех не черных тел с гладкой поверхностью отражательная ссЙ
ность увеличивается при увеличении угла падения излучения; поэл
поглощательная способность их должна падать. Поэтому по (9 х) у |
, 4',
слепы к пветам. Желтое пятно, т. е. место сетчатки, соответствующее наиболее 6
ливому видению, содержит очень много колбочек, но мало палочек. Поэтому 1Ц
ощущение света (серое) локализовано на периферии сетчатки. При фиксиро®
слабо светящегося предмета, т. е. при приведении его оптического изображеЛ!
желтое пятно, световое впечатление пропадает. Этим объясняется, что явлен!
появляется, то исчезает. i
г) Каждое отступление от закона Дрэпера, наблюдаемое, например, при фосф
ценции при низках температурах, указывает иа то, что здесь мы имеем делО)
чистым температурным излучением, но что здесь, даже если температура ос®
постоянной, происходят какие-либо изменения энергии.
2) Это — наилучший способ получения черного тела; такими полостями “Я
пользуются для экспериментального определения законов излучения черного
Внутри полости с любыми стенками, из которой наружу не выходит никакого
ния, должно при известной температуре установиться определенное равновесие!
чения; это равновесие будет такое же, как если бы стенки были абсолютно чери!
В первом приближении можно получить черное тело, покрывая какую-нибудь
ность сажей, или, лучше, так как сажа прозрачна для инфракрасных лучей, платив®
чернью; далее, почти черными телами являются смола и обсидиан в воде (ни
духе). По теории отражения свега идеально черное тело, чтобы не отражать, Д<
иметь тот же показатель проломления, что и окружающая его среда. Далее, оно Д*
обладать и некоторым показателем поглощения; он однако должен быть очень Ч
так как иначе опять-таки будет иметь место отражение (см. главу о металле^
отражении), даже в случае полного равенства показателей преломления тела и
Чтобы свет не мог пройти сквозь тело, последнее должно было бы иметь очень,
шую толщину. Все эти условия весьма трудно достижимы; поэтому для приблизив
идеально-черной поверхности лучше всего пользоваться полым телом с малым л
•стием. )
Зависимость яркости от показателя преломления 417
верных поверхностей яркость В для лучей, выходящих нормально к
^5ерхности, больше, чем для лучей, выходящих под углом. Закон коси-
3!сов во всей строгости применим только к черным поверхностям.
33 При косом падении отражательная, а следовательно и поглощательная
рсобяость тела зависит (как мы вычислили выше на стр. 235) от поля-
10заиии падающих лучей; поэтому в косвенном направлении тело испу-
гает лучи частично поляризованные; при этом более сильной оказы-
,ается та составляющая, которая поляризована перпендикулярно пло-
иости, проходяшей через луч и нормаль, так как эта составляющая отря-
сется слабее, а потому (если тело не вполне идеально прозрачно) сильнее
[0гдощается. В некоторых кристаллах, например в турмалине, зависн-
уть поглощения от поляризации падающего света наблюдается также
(при нормальном падении. Это свойство турмалин сохраняет и при на-
бивании до высокой температуры; поэтому можно ожидать, что накален-
б пластинка этого вещества будет испускать частично-поляризованный
!Вет также и в нормальном направлении. Кирхгофх) действительно
йблюцал этот факт на опыте. Впрочем, при температуре каления зависи-
[ость поглощения турмалина от поляризации света выражена гораздо
лабее, чем при комнатной температуре.
Весьма важное применение закона Кирхгофа к объяснению обращения
пектральных линий и наличия фраунгоферовых линий в солнечном спектре
нло сделано самим Кирхгофом. Если свет от накаленного до-бела тела
например от кратера вольтовой дуги) пропустить через натриевое пламя
юлее низкой температуры, то в спектре на светлом фоне можно видеть
семную линию D, появление которой объясняется тем, что достаточно
горячие пары натрия испускают только линию D, а, следовательно, должны
йзьно поглощать лучи именно этой длины волны. Поэтому натриевое
Пламя поглощает в спектре вольтовой дуги лучи соответствующей линии
D длины волны; оно при этом и само испускает лучи такой же длины
1°лны, но, так как температура его ниже, чем температура вольтовой
*Уги, энергия их гораздо меньше. Поэтому в спектре на месте линий D
^ещенность- должна быть меньше, чем для других длин волн, которые
Ьез натриевое пламя проходят без ослабления.
1 Согласно этому представлению фраунгоферовы линии в солнечном
ект₽е объясняются поглощением испускаемого горячим солнечным ядром
®та в слое более холодных паров металлов и газов на поверхности
^ица. Впрочем, при таком применении закона Кирхгофа предполагается,
0 свечение газов и паров есть чисто тепловое свечение. Но по исследо-
йидм Прингсхейма это в большинстве случаев не так.
Зависимость яркости излучающей поверхности от показателя
г^омления окружающей среды. Представим себе, что у нас имеются
L коконечно большие черные пластинки Р и Р', расположенные парал-
. 0о друг другу. Пусть снаружи эти пластинки являются зеркально
бающими, чем достигается их изоляция от внешнего излучения, а
предотвращается излучение их самих во внешнее пространство.
М. Pfluger (Ann. d. Phys. 7, 806, 1902) позднее произвел на турмалине коли-
^ую проверку закона Кирхгофа.
418 Применение второго закона термодинамики [Отд. IV,
До сих пор мы все время предполагали, что пространство, заполн^
излучением, является абсолютно пустым, или же заполнено однородЗ
идеально прозрачным телом,— например воздухом. Отбросим теперь
предположение и примем, что Р соприкасается с пустотой, &Р'— сидед!
прозрачным телом, показатель преломления которого для какой-ни
длины волны X есть п 1). Пусть jp
р_________________________прикасается с пустотой по всему j
—1 тяжению; граница среды, прилегай!
- ~ к р\ пусть будет бесконечно болй
плоскость Е (рис. 122). ’
Рис- 122- Элементарная площадка ds те^
излучает внутри кольцевого элемей
ного конуса, образующие которого составляют с нормалью к ds угд
и (р + d(p, энергию j
dF = 2 л В ds sin 97 cos 99 dy |
(стр 75). ;
Здесь В есть яркость пластинки Р. Излучаемая энергия частично о(
жаетсяот плоскости Е и затем опятьпоглощается телом Р; эта часть ря
dFr — 2л Bds sin 99 cos 99 d 99 г,
где обозначает коэффициент отражения на границе Е при угле.Й
ния 9?. Остаточная энергия dF — dFr попадает на Р' и там поглощм
Совершенно таким же образом получим выражение для энергии, м
чаемой элементарной площадкой ds поверхности Р, заключенной ыи
кольцевого конуса, образующие которого с нормалью к Р' состав
углы между z и 7 -ь с? %:
dF' — 2л В 'ds sin % cos % d %,
где В' обозначает яркость Р'. После отражения от Е обратно'.^
возвращается энергия ’
dF, — 2л В'ds sin % cos / d / rx.
• Остаток
dF" = dF' — dFr' — 2л В'ds sin / cos 7 d % (1— r7)
попадает па P и там поглощается.
Постоянство температуры тела Р налагает условие
или по (10), (И), (12) в виду того, что яркости В и В' (стр.
углов 99 п % не зависят:
J 2 Sin 99 COS <р dtp (1— = В' Г 2 Sin % CoS/cZ/(l—rz )•
о 0
х) Так как показатель преломления черного тела должен быть равен i
преломления окружающей его среды (стр. 416, выноска 2), Р и Р' должны
ланы из разных веществ.
Зависимость яркости от показателя преломления 419
Надо учитывать, что для углов %, для которых sin % > * , гх = 1, так
s в этом случае мы имеем дело с полным внутренним отражением на
^оскрсти Е. Поэтому интеграл в правой части (13) должен быть взят
1Ько в пределах от % = 0 до ;; = %, где sin% = -^-; примем пока, что п
-0 всех длин волн одинаково.
Поэтому можно в (13) рассматривать <р и / как соответствующие друг
доугу углы падения и преломления; для них имеет место соотношение:
sin (р: sin % = п. (14)
Интегрирование можно тогда производить по 9? в пределах от <р = О
J0 <р = -у- Из (14) следует:
sin % cos % d% = -^2 sin 99 cos 99 d q>. (15)
Далее, по вышеприведенным (стр. 235) формулам, для любого напра-
вления поляризации, а следовательно и для естественного света, — гх.
В самом деле, по этим формулам отраженная амплитуда составляет одну
I ту же часть падающей амплитуды (мы не обращаем внимания на знак,
который в настоящее рассуждение не входит) —безразлично, явля-
ется ли углом падения д> или иначе говоря, коэффициент отражения не
зависит от того, в каком направлении падает свет на плоскость Е: сверху
род углом 99 или снизу под углом %, если соблюдено условие, что
йдо: sin/ = n. Тогда, полагая — гх, имеем из (13) и (15):
Л. в'
В I 2 sin 99 cos 9? (1—) d ср = ^2 J 2 sin cos 99 (1 — r?) d <p. (16)
б 0
Так как интеграл, входящий и в правую и в левую части уравнения,
равен нулю, то, деля на него обе части, получаем
В':В = п2. (17)
i Яркости двух черных поверхностей относятся как квадраты показа-
преломления окружающих их сред х).
. Это положение в том виде, как оно доказано, относится только к пол-
^У излучению; кроме того, мы принимали, что показатель преломления
одно и то же значение для всех длин волн или периодов колебания
Положение (17) однако действительно также и для излучений опре-
Лпюго отдельного периода Т. Обозначим через BTdT яркость для лучей,
RU зт0 п0л0жениб принадлежит Кирхгофу (Ostwalds Klassiker № 100, стр. 33).
очно оно часто приписывается Клаузиусу, который, однако, высказал его лишь
Жк Несколько лет после того, как оно было опубликовано Кирхгофом. Па опыте это
d^ane приблизительно было подтверждено Смодуховсквм (С. R. 123, 230, 1896;
^пи. 20, 944, 1896), который сравнивал излучение в воздухе и в сернистом
420 Применение второго закона термодинамики [Отд. IV,
период которых лежит между Т и Т + dT. а через Вт'dT— cooj
ственную величину для Р'. Тогда по формуле (16)
^чт(вт
— f ‘ Sil1 008 О ~ rf ) ~ О-
О
Сумма S должна быть распространена на все периоды от Т = (
Т= оо. (
Представим себе теперь, что между телами Р и Р’ встад|
прозрачная пластинка, преимущественно пропускающая некоторые о
деленные длины волн Л и преимущественно отражающая другие. У
нение (18) попрежнему должно иметь место, однако в зависимося
толщины и природы пластинки г? будет той или иной функцией о|
Для того чтобы (18) попрежнему могло иметь место для каких уг!
, все члены в сумме (18) должны пропадать по отдельности, т. е.1
каждого Т должно иметь место соотношение х)
Вт = п2.
Для не черного тела по закону Кирхгофа (9') отношение яркостг
к поглощательной способности должно быть пропорционально квад
показателя преломления окружающей среды п. Так как изменен^
в зависимости от п может быть вычислено по формулам отражений
отсюда же можно получить также и зависимость В?, от п. Во ва
случае для не черных тел яркость не строго пропорциональна величий!
7. Закон синусов при получении изображения элементов и<И
хности. Пусть элементарная площадка ds' есть изображение элемм
пой площадки ds, полученное при помощи симметричного относительш
нормали пучка лучей, с телесным углом и, причем телесный угол Й
лучей изображения есть и'\ тогда вся энергия, излучаемая элементси
внутри рассматриваемого конуса лучей, должна упасть на ds', и, н
рот, ds' должна получить всю энергию, излучаемую элементом ЛЙ
как световые лучи обозначают пути потока энергии. Если мы по!
допустим, что ds' и ds' суть черные тела одной и той же темперам
которые на обращенных друг от друга поверхностях являются зерКЧ
отражающими, то энергия dF, излучаемая элементом ds, должна!
равна энергии dF', излучаемой элементом ds' и поглощаемой с&Л
как температурное равновесие между элементами ds и ds' при излУ’
нарушаться не должно. Если показатели преломления средин, окрЙ
щих элементы ds и ds', суть п и п’, и если через Во обозначить яр|
черного тела в пустоте, то яркость элементов ds и ds' по (17) i
В = п2-Вои В' = 9г'2В0. |
х) 31кон (17) может быть выведен также по способу, изложенному
стр. 413, если представать себе, что пространство вне пол то шара заполнено^
средой, чем пространство внутри ею; вычисления в эюм случае будут нескольчИ
нее. Так как при этой волны различных пер одов Т могут быть отделе ы
друга путем преломления или диффракцаи, то, как это следует из рассув
стр. 413, из (17) непосредственно вытекает выражение (19). а
Абсолютная температура
421
рлее, по формуле (4) стр. 404
dF = ndsB sin2 и, dF' = л ds'В' sin2 и’.
!цоЭтому из dF = dF' следует
л ds n2B0sin2u == л ds'n '2В0 sin2 и
е.
dsn2 sin2 и = ds 'п '2 sin2 и'. (20)
f Это — тот самый закон синусов, который выведен выше на стр. 57
^метрическим путем, более сложным, чем вышеизложенный, основанный
на энергетических предпосылках.
8. Абсолютная температура. Выше (стр. 411) мы показали на при-
зере паровой машины, что при помощи соответствующего приспособления
фашины) можно получить работу, отнимая известное количество тепла
!jf от резервуара! и передавая другое (меньшее) количество тепла W2
резервуару 2, более холодному, чем резервуар 1. При этом машина
,иожет прийти точно в начальное положение, т. е. осуществить так назы-
ваемый круговой процесс. По принципу сохранения энергии полученная
работа А должна быть равна разности количеств тепла W± и W2 (в меха-
нических единицах).
А = Wt— Wv (21)
Представим себе теперь, что у нас имеются две машины М и №',
отнимающие при круговом процессе от резервуара 1 одинаковые коли-
чества тепла Wv Они однако, может быть, могут отдавать резервуару 2
[различные количества тепла W2 и W2. Тогда и работы А и А', произ-
веденные ими, тоже будут различны, а именно по (21)
А=№\ — W2, A’^W'—W^.
I Пусть машина М построена таким образом, чтобы ее можно было
рскать также и в противоположном направлении; при этом обратном
шговом процессе она отнимает от резервуара 2 тепло W2, а резервуару
Р °тдает тепло И7?, работа, получаемая при этом, равна—А. Комбинируя
Круговой процесс машины М с таким обратным круговым процессом
гШины Л£', в результате получаем работу
I А' — А = Ж2 — W2. (22)
L Такой процесс мы можем повторять сколько угодно раз. Смотря по
КрУ W2—iy2', резервуар 2 или получает, или теряет тепло во все
процесса, тогда как количество тепла в резервуаре 1 остается не-
К®ааым. Поэтому в этом случае мы можем резервуар 1 считать конеч-
ЕЛп рассматривать как составную часть машины, совершающей кру-
Кь® процесс, а за резервуар 2 можем принять окружающую среду,
|имер воду океана, обладающую бесконечно большим запасом тепла.
Ь^Сли бы А было меньше А', то этим самым мы получили бы меха-
дающий сколь угодно много работы при наличии' только одного
1
422 Применение второго закона термодинамики [Отд. IV^
резервуара с бесконечно большим количеством тепла. Но по второму 35
термодинамики (стр. 411) это невозможно. Поэтому может быть то.^
А' — А < 0, т. с. А > А'.
Это значит, что из всех машин, работающих на круговом процессе, и
чающих определенное количество тепла при определенной тема
туре Т и отдающих тепло более холодному резервуару, наибольшую ра
дает та машина, которая описывает обратимый круговой процесс. /|
такой машины работа А, получаемая из определенного количества тм
имеет вполне определенную величину и определяется получая
работой и температурами обоих резервуаров; она не зависит от j
структивных особенностей машины. Очевидно А должно быть пропои
нально Wlf так что имеет место соотношение.
J.= W(TbT2), I
где f есть универсальная функция температур тх, т2 обоих резервуЯ
измеренных по какой-нибудь шкале,—например’ по Цельсию. КомбияД
(21) и (24), получаем
Ж2=ЖХ (l-fk^]),
или
• W2 = 9?(*i,~2'h
где ?? опять обозначает функцию универсальную, т. е. не зависящую
конструктивных особенностей машины. ('и
Легко показать, однако, что эта функция 9? должна быть произЯ
нием двух функций, одна из которых зависит только от т15 а друпв
только от т2. Действительно, рассмотрим еще одну машину, работа^®
на обратимом круговом процессе между температурами т2 и т3; я|
она получает тепло от W2, а отдает тепло Ж3; тогда по (25) Я
Ж2• W3 = (р(у2Аз)- Я
Будем комбинировать теперь круговой процесс первой машины, яК
тающей между тг и т2, с круговым процессом второй машины; тогдУД
температуре получается тепло W1} а при температуре т3 отдЭЙВ
тепло Т73; резервуар температуры т2 мы можем оставить без pacciJJ
ния, так как он получает столько же тепла W2 от первой маШ^|
сколько отдает второй. Поэтому Ч
Wy: W3 -•= Ч
Перемножая (25) и (26), получаем
T7i: W3 = (p(Ai,r2) • 9’^2 J3).
Из сравнения формул (27) и (28) получаем поэтому
ф(гьт3) = 9>(ti^2) ’ Т^гЛз)-
х) Что, вообще говоря, равенство А— А' не может иметь места, следУе\^
смотрения многих необратимых процессов, например — трения. Как только имео1
бесполезная трата тепла, А' долкно быть меньше А. ч
Энтропия
423
Т2 в этой формуле выступает в качестве параметра, величина которого
имеет значения. Тогда правую чйсть (29) мы можем рассматривать
произведение двух множителей, один из которых зависит только от
f а ДРУгой — только от т3. Обозначим их через и 5- ^^3(29) по-
Т’Оь'Гз) = А-
Поэтому и в (25) следует положить <?(?!,т2) = ПРИ этом П0‘
думаем
Ж = ^1.
Ж
# и $2 суть функции температур ть т2, измеренных по некоторой шкале;
они носят название абсолютных температур резервуаров. Поэтому отноше-
ние абсолютных температур каких-нибудь двух тел дает тем самым от-
ношение количеств тепловых энергий, которые эти тела получали бы
или теряли при работе машины на обратимом круговом процессе в том
случае, если эти тела настолько велики, что изменение теплового запаса
на их температуре заметно не сказывается.
Так как при этом определяется только отношение абсолютных тем-
ператур двух тел, то для определения шкалы нужно иметь еще второе
соотношение. Оно дается положением, что разность абсолютных темпера-
тур тающего льда и воды, кипящей при атмосферном давлении, прини-
мается за 100. В учении о тепловой энергии показывается, что абсолют-
ная температура с достаточным приближением равна температуре, из-
меренной при помощи воздушного термометра, плюс число 273°.
9. Энтропия. Рассмотрим опять машину М, которая пусть совершает
круговой обратимый процесс, получая при этом тепло Wr абсолютной тем-
пературы и отдавая тепло W2 абсолютной температуры 1К. Считая
положительным тепло, теряемое машиной, получаем из (31)
25 j п
~
Присоединим сюда такую машину, которая отдавала
РатУрах и #4 количества тепла W9, W4; мы должны
(31)
(32)
бы при тем пр-
иметь по (32)
(33)
. Мы можем высказать общее положение: при обратимом г;;—
?Се’ ПРИ котором при любой абсолютной температуре & тело отдает
Жжающему пространству количество тепла W, должно иметь место
^ношение: '
круговом про-
(34)
L х) Обозначать второй фактор через--, а не через г>3 выгодно нот. му, что этим
кЗ°биваемся исключения параметра т„ из (29), в чем легко убедиться, если поло-
L 9’(т!,т2) = ; #2 и дДт,,г3) =- : t'}3.
454 Применение второго закона термодинамики [Отд. IV \
Знак суммы или интеграла здесь должен быть распространен щ
отдаваемые количества тепла, а & должно обозначать всегда сод
ствующие абсолютные температуры машины (или окружающей сред|
При рассмотрении обратимого процесса между двумя различным]
стояниями тела 1 и 2 мы можем поэтому положить (по 34).
(
1
где S обозначает некоторую однозначную функцию состояния тела;
есть дифференциал этой функции. Действительно, в этом случае
получаем, что правая часть (34') равна нулю при таком круговом ‘
цессе, при котором начальное состояние 1 тела одинаково с его коне^
состоянием 2, а это и должно иметь место по (34). Эта функция q
яния тела S носит название энтропии тела или системы тел.
Энергия F тоже есть функция состояния тела. По первому згй
термодинамики она определяется тем, что при всяком изменении!
отданная во вне работа дА плюс количество тепла 8W (в меха!
ских единицах) равна уменьшению энергии тела — dF:
дА +<5 W =— dF. 1
10. Общие формулы термодинамики. За независимые перемв!
определяющие состояние тела или систему, примем, во-первых, его!
лютную температуру #, а затем одну (или несколько) переменяя
значение которых пока оставим неопределенным. Выберем их Я
образом, чтобы при повышении температуры тела, при котором
ются неизменными, тело не совершало работы. Тогда в случае, |
имеется только одна переменная х, мы должны положить 1
дА = Мдх, Ж = Хдх + Ydd. |
Здесь М, X, Y суть функции от х и дх, <5# обозначают 4
изменения величин х и а дА и 3W — производимую при этом |
работу и отдаваемое им тепло. Пусть процесс является обратимым,3
уравнения (37) должны иметь место для любого знака дх и д&. 1
по (35), (36) и (37) имеем V
— г1$=Хдх+^дд, —dF=(M+X)dx+YdF Ч
Отсюда, так как •
dS^^dx-Y—дЭ, 4
дх о&
г) В обратимом процессе, вследсгвие теплового обмена между машиной
температура машины всегда должна быть равна температуре окружающей с]
Общие формулы термодинамики 425
— = — - Г _
д дх* д дд ’
Л/ 4- X = — Y = — —
а® ’ дд •
(39)
(40)
(41)
(42)
!j{3 этих уравнений путем дифференцирования получаем
(X \ /у\
> - LxJLl , д(м+х) = _
дд дх дд дх ’
лли, после некоторых преобразований,
X _ _ ЭМ ЭР _ __ д'М
& дд ’ дх ~ & дд2 '
11. Зависимость испускания черного тела от его абсолютной
температуры. (Закон Стефана—Больтцмана). Представим себе цилиндр
поперечного сечения 1 и длины х; пусть его стенки будут изнутри абсолютно
черные, а снаружи — идеально отражающие, т. е. не излучающие. Внутри
цилиндра при некоторой определенной температуре д стенок цилиндра
устанавливается температурное равновесие, вследствие чего в единице
объема будет заключаться некоторая энергия ^(#). Эта лучистая энергия
'оказывает на стенки цилиндра некоторое давление. Выше (стр. 406) мы
видели, что плоские волны давят на расположенную нормально к их
направлению черную поверхность с силою р, равною количеству энергии
в единице объема. Когда мы имеем дело с неправильным излучением,
распространяющимся во все стороны, то направление лучей отдельных
волн можно разложить на три взаимно перпендикулярных составляющих,
Ша из которых пусть будет нормальна к элементу поверхности s сте-
нки цилиндра. Только эта составляющая производит давление на s:
Другие две составляющих не оказывают никакого действия. В резуль-
тате полное давление на s равно не а только -у^($)г).
Если поэтому поперечное сечение 1 цилиндра передвинется наружу
величину дх, то при этом будет произведена работа
I ]6А = 4^) • ta- (43)
‘с® далее температура всего цилиндра повысится на S&, при постояв-
- х, то энергия вследствие этого увеличится на
d^==^^-a;, (44)
kjfc как объем цилиндра равен х. При постоянном х работы не произ-
lljto.1' Более точный вывод этого множителя */3 см. Boltzmann. Wied. Ann. 22, 291.
I или у Голицына., Wied. Ann. 47, 488, 1892.
£26 Применение второго закона термодинамики [Отд. 1у^
Сравнение формул (43) и (37) а также (44) и (38) дает
т| г 1 1т
М= -^-ц, 1 = х~&,
(так как по (38) для дх = о, dF = — Yd&).
По (<2) поэтому получается, так как зависит только от # j
зависит от х\
dF = _L# = '
д& 3 3 д& ( дЗ РГ
Это уравнение можно проинтегрировать по д; при этом получает^
3?р = — гр. i
г дг) г
Постоянная интегрирования равна нулю, так как при # = О в тЦ
содержится тепла, а потому оно п не может излучать.
Из (46) следует:
следовательно,
4 log# = logv> + const,
или
<#) = С- #4.
Если в стенке цилиндра проделать узкое отверстие, то оно будет вести')
как идеальная черная поверхность (см. выше стр. 416). Яркость В,
довательно и испускание (см. стр. 404), очевидно должны быть пи
циональны плотности энергии у>(#) внутри цилиндра 4); отсюда
f = <г#4
и
ТГ ’
т. е. испускание черного тела пропорционально четвертой степени
абсолютной температуры. ]
Этот закон, установленный сначала Стефаном * 2) эмпирическим 1ц
на основании наблюдений п затем выведенный Больтцманом теоретик
(подобно тому как это сделано выше), многократно подвергался И
риментальной проверке; было установлено, что в интервале от 1001
1300° С излучение отверстия в полости (идеально-черная поверх®#
в точности следует закону Стефана — Больтцмана. Излучение ма
элемента поверхности ds, получаемое элементом ds', находящимся
2)у.'=-у-В, см. М. Planck, Vorles. uber die Theorie der Warmestrahlung, 23, ®
2) Wiener, Ber. 391, 1879»Стефан голагал, что этот закон излучения ।
место для любых тел; это однако неверно: по всей строгости он применим *1
к черным телам. 1
121
Температура Солнца
457
расстоянии г, равно, по определению понятия яркости, если ds и ds'
доложены нормально к г (см. выше формула (3) (стр. 414):
dF = В
а^е-гия, получаемая элементом ds от ds', равна, если через В' обозна-
^тЬ яркость элемента ds':
dF = В' —
7"
Аоэ^У- если В и В' следуют закону (48'), количество тепла, получае-
те элементом ds в единицу времени, равно
dW = dF - dF' = a'ds^'^ — d '*), (49)
гдеd' обозначает абсолютную температуру элемента ds‘. По этой фор-
муле можво определить а/ и а = ла'. Постоянная а определялась неод-
нократно различными методами; за наиболее вероятное значение в на-
стоящее время принимается число х)
<7 ---= 5,135 ± 0,011 - 1(Г ;’ эрг • см~2 град-4«сек. -1, (50)
> 1,372 ± 0,002 • 10~12 г • кал• сек-1-слг~2«град~4. (51)
12. Температура Солнца, вычисленная по полному излучению. Если
бы Солнце обладало свойствами абсолютно поглощающего (т. е. черного)
тела, дающего чисто тепловое излучение, то о его температуре 2) мы могли
бы судить по солнечной постоянной (стр. 406) и абсолютному значению
постоянной а Стефана—Больтцмана. Если через & обозначить абсолютную
температуру Солнца, а через О' — температуру Земли, то по (49) и
ФО) солнечная постоянная, т. е. энергия, получаемая единицей земной
йоверхности в одну минуту, равна
JL10 12.60Л- = 0,457 - 10 12-60-У84—
л Vй \ / Г“ \ /
ds:r2 =
(52)
— кажущаяся величина солнечного диаметра = 32'.
По новейшим данным солнечная постоянная dW равна 1,94 г-кал.
(СМ. выше стр. 406); подставляя это число 3), получаем для
’’Фективной температуры Солнца число около 5800°, т. е. около 5500°С.
g) В- Birge, Reviews of mod. Physics, 1, 55,^1929.
Чй ^та температура называется аффективной температурой Солнца; истинная
Цк*еРатУра Солнца может быть как выше (если его поглощательная способность
Чп 6 О, так и ниже, если излучение Солнца частично обусловлено также и люми-
Ценцией, например — хеми-люминисценцией.
) Членом #'4 мы пренебрегаем, так как он много меньше первого члена.
438 Применение второго закона термодинамики [Отд. IV,
13. Изменение спектра черного тела с температурою (закон сод!
ния Виза). Под спектром черного тела мы понимаем распредедД
по длинам волн излучаемой им энергии. Будем рассматривать вош
в связи с равновесием излучения внутри замкнутой полости. ПредстаЗ
себе малое отверстие в стенке тела; тогда яркость черной повей
пости получается пропорциональной плотности энергии внутри подоЗ
В результате этого приема, примененного нами уже ваше (стр.
получаем, что равновесие температурного излучения не зависит от щ
роды стенок полости, если только они не являются идеально-зерщц
ными.
Изменение спектра черного тела в зависимости от его темпера^
можно определить по способу, предложенному В. Виномх).
Представим себе (рис. 123) цилиндр сечения 1, в котором пере)
гаются два поршня £ и 8' с клапанами. К и К' пусть будут два1
ных тела абсолютных температу
и Боковые стенки цилиц
равно как и поршни 5 и В', а та
наружные поверхности К и К' п
будут идеально белые, т. е. 61
целиком и совершенно диффузно1
ражать свет. Внутри цилиндра пд
будет пустота. i
Клапан £' сначала закроем;
пан В будет открытым. Тогда на
от К попадает в объем 1 и 2, а от К'—в объем 3. Плотность за
3 больше, чем в 2, так как температура К' выше темперап
величину д'д. Закроем теперь £ и будем передвигать В' до тех!
2
ВИ
3 И
'ff + Sv
a
Рас. 123.
чение
ГИИ В
К иа
пока плотность энергии в 2 не сравняется с плотностью энергии 1
Пусть он переместится при этом на отрезок <5ж; подсчитаем, чему дод
равняться эта величина. Если лучистую энергию, заключенную м
чале в объеме 2, обозначим через F, то соответствующая плотность 4
гии равна л
1<
Отсюда для изменения плотности энергии при изменении х пол у чаев
, dF . тт, дх М
dw -----------Г ЛУ -----Г2.
г а — х (а — хр • ‘Д
Но dF есть та работа, которую приходится затрачивать при передв*,
нии поршня $. Поэтому dF^-y^dx (см. стр. 425), и
О 1
fl
<5.т /1 . F 1 <-с 4 Л
----- * — W -J-----I — - • — W.
— х 13' а — х / а — х ‘ • Л
dtp —
*) См. ссылки на стр.
mestrahlung 68, 1906
413; .V. Planck, Voriesungen Uber die Theorie der
Закон Вина 429
С другой стороны, по (47) у пропорционально четвертой степени
Поэтому
<^ = 4^. (54)
Если поэтому в результате смещения поршня $ на величину дх плот-
ить энергии в объеме 2 должна будет сравняться с плотностью энер-
.0 в объеме 3, то из сравнения (53) и (54) получается
Но из второго закона термодинамики вытекает, что при равенстве
цотностей лучистой энергии в объемах 2 и 3 должно быть одинаковым
, обеих областях и распределение энергии по спектру, так как
; противном случае нашлись бы лучи такой длины волны, плотность
аергии которых в объеме 3 была бы больше, чем в 2. Мы могли бы
огда поместить перед клапаном 8' тонкую прозрачную пластинку, ко-
орая обладала бы избирательным пропусканием для лучей этой длины
олны, отражая все остальные волны. Если мы теперь откроем клапан,
о окажется, что из 3 в 2 перейдет больше энергии, чем в обратном
управлении, и плотность энергии в 2 сделается больше, чем в 3.
акроем теперь 8', удалим пластинку и дадим поршню 8' двигаться под
ействием господствующего в 2 избыточного давления; пусть работа про-
зводится до тех пор, пока плотности энергии в обеих областях опять
е сравняются. Пусть при этом будет совершена работа А. Тогда опять
гкроем клапан в поршне 8' и вернем последний в первоначальное поло-
жение, на что не требуется никакой ’ работы. Затем при закрытом 8'
ередвинем 8 в его первоначальное положение, причем получится вновь
йота, затраченная при передвижении £ на отрезок дх. Если, наконец,
пять открыть клапан в 8, то тем самым вернемся в исходное положе-
яе, причем тело К в результате не потеряло и не приобрело тепла,
тело К' потеряло некоторое количество тепла путем излучения через
Остинку, помещенную перед клапаном 8. Кроме того, получена неко-
'Рая работа А.
Но второй закон термодинамики говорит, что невозможно, отнимая
•пло только от одного резервуара тепла К', полностью преобразовать
° в работу А. Поэтому мы заключаем, что при одинаковой плотности
аергип в объемах 2 и 3 распределение энергии в спектре тоже будет
Знаковым.
С другой стороны, вышеприведенные рассуждения имеют вполне общий
’Рактер; явления, о которых шла речь, протекали независимо от вре-
г’Ни. Введем Теперь в наше рассмотрение этот фактор. При движении
б’Янтя 8, если оно совершается с достаточной быстротой, распределение
; ^Ргии в спектре изменяется по закону Допплера. Пусть вначале в объеме
Плотность энергии дается выражением
V>(£) = ^9?(Л,^)йЯ
(56)
430 Применение второго закона термодинамики [Отд. IV,
Тогда величина дает нам плотность энергии, заключенной вл
тервале Л и Л + dL
Рассмотрим теперь плоские волны, претерпевающие в объеме 2 i
гократные отражения от поршней 8 и 8' в нормальном направлв
длина их при движении поршня 8 изменится. Рассмотрим сначЗ
луч, который по выходе из точки Р отразится от 8 только один
Если луч света, падающий в точке Р, вызывает в ней возмущай
периода Т, то после отражения от $ он будет вызывать возмущ
другого периода Т'. В самом деле, возмущение, выходящее из Р в мо
времени t — 0, после отражения от 8 вернется в Р в момент времЁ
Г = 2&1:с, где с обозначает скорость света в объеме 2 (пустота), $
есть расстояние, на котором точка Р находилась от зеркала как
в тот момент t±, когда вышедшее из Р возмущение достигло 8.
Если в момент t — 0 расстояние между Р л 8 равно Ъ, то очевдЙ
должно быть Ъ = Ъг + sy, где обозначает отрезок, на который
местилось зеркало за время Если 8 движется по отношению
со скоростью v, то 8Х = v • и Ъг — с • отсюда следует из b = (
+v) что £х = Ъ: (с 4- г), т. е.
C-f-V с с -\-v
Через время Т расстояние между Р и 8 уменьшилось до величины
Ъ — vT. Поэтому возмущение, выходящее из Р в момент времени t «Я
вернется в точку Р после отражения в момент времени Tpt",
чем ,г
„ — 2Ь' _ 2(1) ~ vT)
С -j- V С 4~ V
Отраженный луч вызывает поэтому в точке Р возмущение периода^₽?(
причем
T'=T+t" — t'=l- -- =. т^~-.
с + v с -j- v
Луч, дважды отраженный от 8, вызовет возмущение периода Т",
чем
2
Т"—Т
для луча, отраженного п раз, имеем
Tfn) =
Здесь под п мы должны понимать число, показывающее, сколько
в объеме 2 отражаются от 8 лучи, нормальные к &и 8', за то в
как 8 перемещается на отрезок дх. Если бы расстояние между 8
имело постоянное значение а — х, то на w-кратное отражение
потребовалось бы время dt, где
dt = П—------ .
Закон Вина
431
Предположим, что дх настолько мало по сравнению с а — х, что мы
^твительно можем принять а — х за постоянную
31 поршень S пройдет путь dx = v-dt] отсюда
дх — ф • ,
величину. За это
из (58) следует
дх с
2(а — X) v
теперь, что v очень мало по сравнению с
ваясь первой степенью v: с, имеем
(59)
с. Тогда по (57)
, е. на основании (59)
р(п) __ pi
j,(n) = Т- (1 — 2п ,
дх \
а — х / ’
Поэтому изменение периода при движении поршня /9 получается рав-
&р____ р(п)___р _______р дх
а — х
м образом изменение дгА длины волны Л, возникающее при дви-
8, равно
с л л дх
д-, л — — Л-------------
1 а — х
(60)
образом отрицательным.
окончательной формуле
поршня не фигурирует.
[ри положительном дх, д±Л оказывается таким
е. длины волн укорачиваются.
Несколько неожиданно оказывается, что в
1я изменения длины волны скорость движения
объясняется тем, что, как мы видели выше, число отражений также
ависит от скорости, и притом ей обратно пропорционально. В резуль-
скорость из окончательного выражения выпадает.
Далее, надо принимать во внимание, что из всего количества энер-
00 (56), соответствующей длине волны Л, только 1/3 принадлежит тем
УШ, которые направлены нормально 8 (см. выше стр. 425). Лучи,
'АУЩие параллельно 8, при движении 8 не испытывают никакого изме-
нил длины волны.
. Между тем отражение от поршня, по условию, происходит совершенно
?Ффузно. Можно принять, что каждый световой пучок движется вдоль
ц0 Цилиндра, т. е. нормально к поршню, третью часть всего времени.
за то время, которое мы назвали dt, оно будет иметь отраже-
f0 в три раза меньше, чем следует по формуле (59), и в результате —
Щенение длины шолны будет не то, которое вычислено в (60),а в три
I меньше:
1 s о 1 дх
clA =-- д,Л — — ------
3 1 За — х
(61)
432 Применение второго закона термодинамики [Отд. IV
Сравним теперь (61) с полученным ранее (55).
Получим
d±A_d2- О
' л “u’
или
или, наконец,
<5(#Л) = О,
= const.
Таким образом при повышении температуры абсолютно черного
испускаемые им длины волн изменяются обратно пропорционально
лютной температуре.
Выше было дано уравнение (56):
у>($) =
о
Разделим обе части его на № и дадим ему такой вид:
^Г — J #5 •
о
Но так как левая сторона этого равенства по закону Стефана—Бол
мана есть величина постоянная, то, очевидно, подинтегральная фувя
должна быть функцией одного аргумента Я#, или
Если мы поэтому вычертим для какой-нибудь температуры
пределение энергии таким образом, что по оси абсцисс будем откл!
вать величины Хд, а по оси ординат — величины <рбЯ,#):#5, то эта]
вая будет верна для любой температуры д\ иначе говоря, мы смв
по этой кривой легко получить истинное распределение энергии й
и для других температур; тогда за абсциссы и ординаты должна I
приняты величины Я и (р.
, Отсюда непосредственно вытекает следующее положение: •(
если при какой-нибудь температуре д максимум излучения чер
тела лежит при длине волны Ят, то при температуре д' он будет W
при такой длине волны Яот', которая удовлетворяет уравнению i
Я^=Я^'. 'j
Далее, из (65) и (66) следует (если через ср.п обозначить фув*
<р, соответствующую длине волны Яда), что ;
<рт: <Р™ =
т. е. плотности энергии, излучаемой двумя черными телами, нахоДй
мися при различных температурах, при тех длинах волн, которые <
ветствуюг максимальным плотностям энергии, относятся прямо пр<4
ционалыю пятым степеням их абсолютных температур. J
Закон Планка 433
<4. Температура Солн1 а, вычисленная по распределению энергии
с0днечном спектре. Закон Вина подвергался многократно эксперпмен-
(1Ьной проверке Jj. За наичероятнейшее значение постоянной Вина
( настоящее время принимается число Лт& = 2883.6 2), где Л выражено
микронах. Так как по Ланглею максимальная энергия излучения Солнца.
rfUT при длине волны = 0,5//, то для температуры Солнца мы полу-
В1(Ли бы значение
Г д' = 5768э = 5495°С. (68)
|кто число весьма близко к тому, которое было вычислено выше на стр. 427.
Есегда однако возникает вопрос, действительно ли Солнце является абсо-
лютно поглощающим (черным) телом, обладающим чисто температурным
^учением. Если бы оказалось, что Солнце является люминисцирую-
йим телом, его температура могла бы иметь совершенно иное значе-
ние.
15. Распределение энергии в спектре черного тела (закон Планка).
Цншеприведенные рассуждения дают нам возможность судить об изме-
аении распределения энергии при повышении температуры, однако они
еще не дают самого распределе ия энергии при какой-нибудь определен-
ной температуре. Весьма важною является задача указать теоретические
способы решения этого вопроса. Одна из первых попыток на этом пути
принадлежит нашему соотечественнику В. А. Михельсону3). Но она была
предпринята ранее открытия В. Вином его закона смещения и ока-
'залась не удовлетворяющей последнему. Вторая попытка принадлежит
В. Вину, который исходит из воззрений, весьма близких к тем, которые
положил в основу своей работы В. А. Михельсон, а именно: пусть наше
черное тело есть газ; тогда, если придерж 1ваться кинетической теории
газов, будет иметь место максвелловский закон распределения скоро-
{гей, согласно которому число молекул, скорости которых лежат между
с и v 4- dv, пропорционально величине
dv, (69)
!’ есть некоторая постоянная, связанная со средней скоростью v
[ством уравнения
?2 = | (70)
нетической теории газов абсолютная температура пропорциональна
>й живой силе молекул газа, т. е.
(71)
спериментально определенное распределение энергии в спектре чер-
гела напоминает кривую максвелловского распределения. Поэтому,
)го чтобы прийти к математическому выражению этой кривой, Вин
вляет следующие гипотезы:
С'!. Г. Рибо, (Эп ическая пирометрия, ГТТИ, 1934, стр. 65.
К Т. Birqe, Ilevie s of mod rn Phjsics. 1, 64, 1929.
£. А. Михелъс н, ЖРФХО, 19, 79, 1887; 21, 87, 1889; Journ. de Phys. (?,
487; Ph 1. Mag. 55, 425, 1888.
434 Применение второго закона термодинамики [Отд. IV, j
1. Каждая молекула испускает колебания длины волн Л, завис
только от скорости молекулы v. Обратно, v является функцией Я.
2. Плотность энергии излучения, длина волны которого лежит в
делах от Я до Я + сП, пропорциональна числу молекул, посылающих!
колебания, т. е. пропорциональна выражению (i>9). Если поэтому
плотность энергии излучения представить в виде функции
д?(л, д) ЛЯ,
то по (69), (70) и (71) должно быть, так как v есть функция А;
t
<р (А д) = П (Я) е &
Но, по (66\ (р:№ должно быть функцией арггмента Ад1, поэтому
= CjZ6 и /’(Я) = с2Я, так что закон излучения получается в таком
(Л, 1?) = ^75—.
Эго выражение может рассматриваться как общий закон для Л1
черного тела, даже если оно не газ, так как (см. выше стр. 415)
излучения черного тела не зависит от его физических особенностей.
На ранних стадиях развития законов испускания закон Вина д
время был наиболее популярным, хотя, как мы видели, ею вывод о:
нельзя назвать строгим. Впрочем, впоследствии он был выведен Пл;
и более строго из чисто электромагнитных предпосылок г).
Опыты, предпринятые для проверки закона Вина, показали, чт
вообще говоря, довольно хорошо согласуется с опытом до тех пор,
мы остаемся в области коротких волн и низких температур. В обра
условиях наблюдаются заметные уклонения теоретической кривой (
блюдаемых величин.
Е другой формуле пришел Рэлей 2); она имеет вид
2с кд
Легко видеть, что она удовлетворяет закону Вина. Опыт дает хо
согласие с этой формулой в области длинных волн и больших темпв]
Несколько позже, в 1902 г., к той же формуле пришел Г. A. Jlopei
исходя из электронной теории и тех предсшвлений о металлах, ко
были рТгзви 1Ы Рике и Друде. Согласно им, электроны находятся в
металла в неправильном тепл вом движении и обусловливают как элеК
так и теплопроводность. Когда электрон изменяет свою скорость,
должен, по электромагнитной теории, излучать энергию (см. след. г
Таким образом Лирентц вычисляет испускательную способность ме
затем он делит се на его поглощение, вычисленное па основании
1) И. Planck, Ann. d. Phvs. 1, 116,19C0.
2) Rayleigh, Phil. Mag. 49, 539, ^jo.
») Г. А. Лорснтц, Теория элекгроной, OHTII — ГТТИ, 1931. Глава П.
Закон Планка
435
mJ____________________________________________________________
Ьроводности, и таким образом получает по закону Кирхгофа (см. фор-
ГдУ (9') на стр. 415) испускательную способность черного зела. Лорентц
“уходит таким образом, к формуле (74), причем ее константа к связана
рвением
k = R £
Ш разовой постоянной J?; здесь n обозначает число граммолекул, а
Жчисло молекул в единице объема. Как известно, R равно в абсолют-
рЗ мере х):
J R = 8,3136 ± 0,00 1 0-107 эрг • град.-1 • моль-\
|3ная из опыта константу к, можно было бы вычислить число Авогадро
Однако на пути к этому вычислению стоит неуверенность в самой
рмуле Рэлея. Дело в том, что она и теорети :ескп может относиться ис-
ючительно к области длинных волн, потому что Лорентц принял при
счете, что электронные столкновения следуют друг за другом весьма
ютро по сравнению с периодом испускаемого света; с другой стороны,
ытные данные Гагена и Рубенса 2) показывают, что только для длин-
1х волн поглощение металлов можно вычислить из их электропровод-
сти. В конце концов, значит, и испускание черного тела вычисляется
[только для длинных волн. Ври всем том следует указать на оольшую
ваглядность теории Лорентца, дозволяющей заглянуть в самый механизм
Ьвижения и испускания электронов.
I Впоследствии к формуле (74) пришел также Джинс3), исходя исклю-
ртельно из статистических соображений и основных электромагнитных
равнений Максвелла, не пользуясь какими-либо специальными предста-
ревиями о взаимодействии между материей и эфиром.
I Как было указано выше, эта формула пригодна только в области
ринных волн; в области более коротких волн пи ней получаются слишком
Высокие значения, возрастающие до бесконечности при Л = 0. Впослед-
Г'Ии было доказано, что, придерживаясь строго классических представ-
гний, нельзя прийти ни к какой другой формуле. Решительной у»пех,
[оборот, был достигнут М. Планком4), когда он ввел в свою теорию
голового лучеиспускания черного тела новую гипотезу о световых
гонтах.
I Планк принимает, что в некотором объеме, со всех сторон ограничен-
Р идеально отражающими стенками, имеются ре онаторы. Собственное
колебаний этих резонаторов (т. е. величину, обратную их периоду)
Г3аачим через v. При стационарном равновесии резонатор тогда обладает
^Деленным запасом энергии U и энтропией S; последняя определяется
I D Birge, 1. с., 54.
Н J Вид/п и. IL Hiibens, Ann. Phys., 11, 873, 1903.
И J -б Н Je> ns, Phil. Na’., 10, 91. 1905.
) Cm. m. Pianck, Vorlesungen uber d e Thcorie der Warmestrahlung, 5 изд..
стр. t69.
436 Применение второго закона термодинамики [Отд. IV,
исключительно состоянием системы, а потому $ должно быть функции
Из термодинамических соображений Планк прежде всего выводит фо<
d S 1
dU ~ И ’
где & есть абсолютная температура. Применение закона смещения
(§ 13) приводит к следствию, чго 6' есть универсальная функция U:vt
\ V /
Для вычисления энтропии системы из N резонаторов определим
вероятность „состояния" этой системы, т. е. распределение общей
гии UN между отдельными резонаторами. Дело в том, что как ьероят|^И
какого-нибудь состояния, так и его энтропия в случае равновесия
максимальное значение, а потому энтропия SN фпли -еской сие^М;
является некоторой универсальной функцией веро тности W этой
Но так как энтропия системы, состоящей из нескольких частей, няНИ
сляется как сумма энтропий этих частей, а вероятность — как произвв^Л у
вероятностей отдельных частей, то
= k lg 17+const,
где к есть некоторая универсальная постоянная.
Чтобы по тучи ь количественную меру вероятности состояния, ।
распределения общей энергии между имеющимися резонато^ЙИ
Планк вводит основную гипотезу, что энергия состоит из большого
одинаковых элементов е. Тогдт вероя’ность состояния равна чие^Д|
различных индивидуальных комбинаций, которыми можно распредДД
элементы между резонаторами + Кели определенную таким образом веДД
ность поставить в формулу (77) и еще воспользоваться coorifyj
нием (76), с едующим из виновского закона смещения, то полуЙНд
основное условие:
е = hv,
т. е. элементы энергии должны иметь величину, пропорциональную ЧДД
колебаний v\ h есть универсальная постоянная, которую Планк наЗвЯЯ
к в а н т о м д е й с т в и я. ' оИ
Вследствие соотношения (75) из (76) получается уравнение длй'Д^И
стой энергии в полости, а это есть в то же самое время (см. выше стр$^И<
выражение для испускания а солютн >-черной пов рхности (ПОНиЛд^И
как небольшое отверстие в полости). Вместо числа колебаний можно
собственную длину волны резонатора с помощью уравнения
Я — с : v,
х) Так например, для е~ Uy вероятность W была бы пропорциональна^
как в этом случае вся энергия была бы заключена в одном резонаторе. ПрЖи
шении е W возрастает значительно.
15]
Закон Планка
437
е с= 3-1O10 есть скорость света в пустоте; тогда для т. е. для
[рКости излучения о г черной поверхности в пустоту р в интервале длин
от Л до Л + dA, имеем
* 2б ch
(80)
i^o—знаменитая формула Планка2); полезно отметить ее отношение к фор-
мулам, рассмотренным нами ранее:
1) При малых значениях М) она переходит в закон Вина (73);
2) наоборот, при очень больших значениях мы без труда получаем
закон Рэлея-Лорентца-Джинса.
3) Чрезвычайно важно отметить, что тот же закон Рэлея получится
и для всех значений /#, если поле жить h — 0, т. е. принять, что энергия
способна делиться бесконечно. Таким образом оказывается, что единствен-
ный способ прийти к выражению Планка заключается в гипотезе квантов.
Вычислим на основании формулы (80) общее излучение; для этого
удобнее вновь ввести v, пользуясь формулой (79). Тогда
В = Гв.сП = ~
I * с4
о
Vs dv
ем -1
(81)
о
ЕЛИ
h v
- 2
в =
hv
3 М
С2 е>
о
Интегрирование по частям дает
т-> 12 ah /7t£\4
ил
'Причем а есть сокращенное обозначение для
а — 1 -ругр 4- .. • = 1,0823.
Zi о
Уравнение (82) есть выражение закона Стефана-Больтцмана (48) (см.
Чпе § 11); постоянная а имеет теперь значение
_ 12ct
а ~~ с2 ’ h3 •
(82)
(83)
х) Если черная поверхность расположена в воздухе, излучение незначительно
^ичивается (в отношении квадрата поиазателя преломления воздуха).
2) У Планка отсутствует множитель 2, так как у не о В^ , по его обозначе-
«м , относится к линейно-поляризованному изл) чению. Здесь же идет речь об
ественном свете.
438 Применение второго закона термодинамики [Отд. IV,
Найдем ту длину волны Хт, для которой в спектре черного тела на|
дается максимальная яркость ; для этого уравнение (80) продифф^
цируем по Л: :
/ д?7?д \ __q
Производя самое дифференцирование и полагая для сокращения
£
_ о J
получаем
Ж
Корень этого трансцендентного уравнения равен ,а|-
/3 = 4,9651. (Ж
ch
Из (84) получаем Лт'д' = с^, т. е. некоторую постоянную величину,
и требуется законом смещения Вина. По § 14 = 0,2884, еслиА
з см\ отсюда
Я .# = 0,2884 = •£. (ЭД
т ’ рк ' "М
уравнения, а также и из (83), если воспользоваться ЗЖ*
выражать в
Из этого
чением а' по (51) на стр. 427, мы получим для консгант h и к след
щие значения *):
h — 6,547 • 10 ~27 эрг. • сек.;
к = 1,3709• 10 ~16 эрг.. град.
Формула Планка неоднократно подвергалась экспериментальной |
верке и неизменно дав1ла превосходное согласие с опытам. Этим са!1
в физику впервые прочно был^ введено понятие о кванте энергии. BnodSfe
ствпи эго понятие сделалось едва ли не омым основным в теории. Стм1|
классической электродинамике и оптике оно абсолютно чуждо, а поим
его успехи следует признать проявлением глубочайшего кризиса воззрАД
старой теории; наряду с громадным разнообразием явлений, описаЯдЕ;
в настоящей книге, находящих свое полное объяснение в рамках
теории и необъяснимых с точки зрения теории квант, был откры*
явлений 'которые, наоборот, легко объясняются с точки зрения теорд
квант, но не укладываются в рамки волновой электромагнитной тео{Д[
Исторически первым из таких явлений было, как мы видели, излу’ЧИ
черного тела и изображающая его формула Планка.
Формула Илонка дает возможность из числового значения кон<?М
закона Стефана-Больтомана и закона смещения Вина вычислить с ЭДИ
шою точностью значение заряда электрона и абсолютное число и И4Я
газовых молекул. Дмю в том, что физическ е значение констант
х) R. Ladenburg, Handbuch der i hysik (Geiger u. Scheel), 21, 17, 1933.
*
Классические модели атома
445
Отсюда
2R = 8,5 • IO"8 см,
е. величина того порядка, который вообще вычисляется из разнообраз-
ящих соображений для диаметров атомов
9 Модель Томсона распространена им и на более сложные случаи не
Одяого, а нескольких электронов. Так, например, легко показать, что в
с1учае положительной сферы с зарядом и двух электронов, последние
^полагаются при равновесии на одном диаметре, на расстоянии R
(руг от друга. Силы здесь уже не являются квазнупругими, поскольку
[тталкиватетьные силы между двумя электронами обратно пропорцио-
нальны квадрату рассюяния. Но в первом приближении можно трактовать
задачу о колебании такой системы как линейную.
В самом деле, пусть расстояние первого электрона от центра сферы
будет у + ^, второго— у— £2; их взаимное расстояние, значит,—
Я Н- — £2; тогда уравнения их движения суть
d2& 2е2 т = — 7J3 1 dt2 R3 d2^z . 2е2 , = + Ъз dt2 1 R3 ’ [ — । t 'j j g2 '2 1 (B+^_^2)2’ (2? t \ e2 (2
или, пренебрегая высшими степенями и £2:
Подставляя
Случим
d2^ . е2 9 f. е2 f. \
т ~ О’ I
d2£2 . е2 9«, ' е2 е. п }
тТи2^гК3^2 R2^~®’ I
ti it
^er и %2~e T,
(13)
1ткуда
(14)
f Мы имеем теперь два периода колебания; подставляя их значения в
Мнения движения, получаем:
при т = -Ь £2 =
при т = т2, — £2 = 0.
(15)
4-i9
j Затухание колебаний электронов
1вый член справа пропадает; остается
J К dtdt~~ J ( 3 с3 ’ dt* / dt
о о
ложное решение этого уравнения:
3 с3' di*’
йдствие чего (20) получает вид
d2£ 2 е2 d3£ , 1 <____zx
dt* 3 с3т dt3~^~T02 *
(21)
(22)
Планком подробно разобрано £ решение этого уравнения. В первом
ближении можно заменить во втором члене
Ае_ 2
dtd т02 dt *
как вблизи полосы поглощения мало отличается от т. Тогда
d2£ 2 е2 d£ _1_
dt2 "Г" 3 с3т02т dt •" тоа
it
(23)
s = fo е
далее
получаем отсюда
_ 1 I 2g8 1 £
t2 ' 3m c3r02 r
е2 1____. т/ 1 / е2 1
Зт с3г02 г т02 \3/п "с3т0!
выражении можно пренебречь вторым членом, и мы
2
1 . -
- = г
подкоренном
Учим:
-yt
еТ°
e2 t i
Таким образом, коэфи.щент затухания у имеет величину
_ вг 1____еа £ 1
Зт с3тв2 Зт ' с ‘ т^2 ’
Для линии D натрия имеем
Ао~0,6-10~4,
1.± = 1,77.Ю7,
тс
е = 4,77-1О-10,
Ж
v=: 8-105=-------------у.
Z 1,25-10
Planck, Ann. d. Phys. 1, 69, 719, 1900.
Друде—Оптика
29
(24)
h Рассеяние света мелкими частицами 451
доедем сюда выражение энергии U, падающей в единицу времени на
Ьпцу. Площадь последней ?ш2; энергия в единице объема равна
L среднем за единицу времени так как она движется со скоростью
(28)
| Вводя (28) в (27), имеем:
,Л Подобную формулу вывел впервые Рэлей, по имени которого она и
Лцвается. Мы видим, что рассеянная частицей энергия сильно зависит
Ивлины волны, увеличиваясь к коротковолновому концу спектра. Вслед-
Нде этого мелкая муть, дымка в воздухе и т. п. должны представляться
Иубоватыми, а прошедший свет — красноватого оттенка. Синий цвет
Ка также может быть объяснен подобным образом. Здесь, однако, не
Но говорить о посторонних частичках. Смолуховскийпоказал, что
И&зующиеся вследствие теплового движения флюктуации плотности
«зз--вой или жидкой среде должны давать такой же результат, как
Жапленные в среду посторонние частицы.
Л Теория рассеяния света может быть распространена по разным напра-
|miHiM. Во-первых, частица может находиться не в пустоте, а в другой
Bie. Тогда вместо абсолютной величины показателя преломления должна
|»ить величина относительного показателя преломления , где п0 — пока-
Кль преломления окружающей среды.-Тогда множитель в скобках ура-
Явия (29) можно написать в таком виде:
/»2— Wo2\2
\п2 2п02 /
Во-вторых, рассеивающая частица может обладать некоторым поглоще-
она может, например, быть металлическая. Тогда вместо п нужно
[•авить п (1 — w)2). Таким путем Максвелл-Гарнетту 3) удалось сбъ-
рп» яркие цвета металлических коллоидов (золото в воде и в стекле
P-третьих, подобное вычисление может быть проведено не только для
теских, но и для эллипсоидальных частиц; при этом вследствие
рчия в размерах по разным направлениям получается некоторая дис-
гтрия оптических свойств: средй, наполненная такими частицами оди-
ГМ формы и одинаково расположенными, будет обнаруживать неко-
г кристаллические свойства, в частности — дихроизм 4).
р Af. Smoluchowsky, Ann. d. Phys. 25, 205, 1908.
U Такой подстановкой можно пользоваться только в линейных формулах, а потому
Г Предварительно преобразовать формулу (29) в соответственное выражение
МИлитуд.
L Maxwell-Garnett, Phil. Trans. (A) 203, 385, 1904; 205, 237, 1906.
| Д Gans, Ann. d. Phys. 37, 831, 1912; 47, 270, 1915; S. Cerdyncev, Acta phys\
|l'SSR, 3, 205, 1935.
29*
452
Излучение газов и паров
[Отд. IV,
Наконец, следует поставить вопрос, каково будет рассеяние частипЯ
меры коих уже не будут малы по сравнению с длиной волны.
представить себе, что, например, достаточно крупные частицы будут Я
себя как сферические зеркала или линзы, т. е. будут равномерно рЛ
вать лучи всех длин волн. Пром жуточный случай —частиц не слиД
малых, но и не слишком больших — особенно сложен для вычислД
Здесь разные точки частицы уже не находятся в одинаковых услоии
и частица не может быть заменена одним эквивалентным диполем;Т|
пределение их колебания в пространства может быть изображено1!
взаимное наложение дипольных, квадрупольных и т. д. моментов, Я
вычислении которых приходится прибегать к шаровым и бесселевым ф£3
циям. Задача впервые разрешена (для сферических частиц) Г. МиЛГ
впоследствии еще Иобстом 2). Я
Для веществ с сильно изменяющимися по спектру показателями пш
мления (и поглощения) влияние быстрой вариации множителя (£17^
может далеко превышать те изменения, которые связаны с множите*
В теории Ми первый множитель заменяется более общим
п------- Ч
п'2 2w ’
где и, v и w суть некоторые выражающиеся в виде рядов функции, nptyi
всего радиуса частицы.
Рассеяние частицами различных размеров должно быть поэтому ТАЙ
различно. В этом отношении теория Ми имеет большое пре имущей
перед теориями Рэлея и Максвелл-Гарнетта, которые для каждого ди<$
тированного вещества предвидели только одну возможную окраску; 'J
самом деле пример коллоидального золота убеждает нас в недостаточ$М
такого простого вывода: коллоидальное золото известно красного, ИЙ
рового и синего цвета. од
Теория Ми была экспериментально подтверждена для ряда ве™
обладающих металлическими свойствами, в самых разнообразных рД
рителях (золото3) и серебро в воде и в стекле, натрий в ка1Д
соли и в эфире, фуксин в бензоле); во всех случаях совпадение чИ
с опытом было вполне удовлетворительное. ли
Поскольку лучи длинных волн менее рассеиваются атмосферное!
кой, большое значение для фотографии приобрело пользование коаснД^
инфракрасными лучами, с соответствующей сенсибилизацией примедаИ
материала.
5. Расширение спектральных линий вследствие столкН<МД
молекул. Мы видели (§ 3), что одного излучения молекул недооТчИ
для объяснения затухания. Г. Лорентцом 4) разработана другая теорйдЯ
явления. Он полагает, что никаких сил трения внутри атома не$д
1) G. Mie, Ann. d. Phys. 25 377, 1908.
2) Jobst, Ann. d. Phy*. 76, 823, 1925.
3) Steubing, Ann. 26, 329, 19o8.
4) Г. А. Лорентц, Теория электронов, стр. 391 (примеч 57); см. выше
Расшир. спектральных линии из-за столкн. молекул 453
jveT, и молекула, как таковая, энергии терять не может иначе, как
Ачецием. Но молекулы движутся и при движении сталкиваются друг
другом. По представлению Г. Лорентца, при этих столкновениях вся
^/пленная колебательная энергия пропадает, переходя в другие виды,
j потеря энергии и равносильна затуханию. Лорентц показал, что при
м и форма кривой поглощения (и испускания) остается той же, какую
0 имела бы по теории Друде-Гельмгольца. Только константа затухания
мучает новое и весьма наглядное истолкование.
Напомним, что мы писали уравнение движения электрона в следую-
виде (стр. 311):
д2£ „ 4 ле2 . 2
т ~ = еХ---------£ — ге2^
al2 ir ot
получили для е£ выражение (ф-ла 13, стр. 313)
е£ — — X. г-
4л . ,t Ь
14----а------
т т2
ыеиие постоянных см. там же).
Если сопротивления нет, то уравнение упрощается и пишется в таком
4ле2 ..
т ~~ ~~ &
(30)
Но при решении его необходимо теперь помнить, что общий интеграл
ьцывается из частного интеграла, представляющего вынужденные
лебания, и из интеграла уравнения без члена еХ (это — свободные
лебания электрона). Таким образом
a 4L _ 2£_
= -L X----4- С.,е .
4л о 1 2
Постоянные интегрирования определяются для каждой частицы значе-
яуи £ и ~ в момент столкновения. У тех частиц, последнее
^кновение коих имело место в момент времени должны были суще-
зг)вать различные величины £ и противоположные значения рав-
Зер°ятны, а потому среднее значение £ и ~ равно нулю для указан-
момента. Из этого требования следует, что средняя величина равна
~Хй
* 4л °
?iV1 + iV
0
ъ
1 т«
е
t -j- I
т© т
(31)
> значение el-
назад тому
^ию?
принадлежит тем частицам, которые имели столкно-
(£— tt} сек. Сколько частиц удовлетворяют этому
454
Излучение газов и паров [Отд. IV,
В кинетической теории доказывается, что если общее число ,
газа (в единице объема) равно N, то число частиц dN, исццц
столкновение (t — времени тому назад, равно
у _ 1—.4.
dN^^-e “ d^t—ty).
ro
Чтобы получить общую величину для всех частиц, нужщ^
ражение (31) умножить на соответственное число частиц (32) и &
ченное выражение проинтегрировать по (t— tj) в пределах от нуЗ
бесконечности. Обратив внимание на то, что Ъ = £т02, получим 3
весьма длительных, но простых преобразований ”
1 + ,1 Jb._V._li
1 т t0 та t02
Т1 " ТО2 ’^1“
Если в этом выражении пренеоречь ~~ по сравнению с другим!
нами знаменателя, то получим:
Z 4л 1+>V1
*0 т
(М
Но это выражение по своему виду не отличается от (30), которое мн
имели для молекулы с затуханием. Таким образом действительно ок||Ы|
вается, что уничтожение колебаний столкновениями производит тако#‘л|г-
действие, как существование настоящей силы трения, если тМЯВ*
положить _
а = ^. (3|
Из формы кривой поглощения можно было бы определить величийД
Однако такие определения дают плохое согласие с теми даиЙрД-
которые получаются для t0 из кинетической теории газов. Таким обиМ,
и эту теорию затухания приходится признать не вполне удовлеФИЕ,
тельной.
6. Расширение спектральных линий по принципу ДопйЯДк
Вполне резкие спектральные линии получались бы, даже при соверв^З,
незатухающих колебаниях электронов, только при неподвижных ЦДкж
-1) Количество столкновений пропорционально времени dt и количеству
нувши^ся еще частиц N', т. е. равно fiN'dt. Оно равно убыванию числа час*Ч?5^К
таким образом dN' = — fiN'dt, откуда N' = Noe~ ; подставляя его в
ное выражение, имеем Йг"Я
dN' = — 0NO е~ dt. j||fl
Интегрируя это выражение по t в пределах от О до со, получаем
Далее, определяя среднюю величину промежутка от одного столкновения до
легко найдем
что и приводит к формуле (32).
Расширение спектральных линий по Допплеру 455
Иодебания. Но так как эти центры связаны с молекулами, которые, по
^тической теории газов, движутся взад, и вперед с большими скоро-
Ж0И, то по принципу Допплера период колебаний ионов должен не-
цолько измениться, вследствие чего спектральные линии теряют свою
Ькость.
Когда ион периода Т движется к наблюдателю со скоростью то
L принципу Допплера (см. стр. 388, 399) наблюдатель воспринимает
[одеоания периода
= (35)
fje с — скорость света в пространстве между ионом и наблюдателем.
Гак как показатель преломления газов и воздуха близок к единице,
10 с можно положить равным 3 • Ю10 см/сек. Если поэтому мы примем,
а-го все молекулы имеют одну скорость, то испускаемые длины волн
должны лежать в пределах -Ц1 ±-у)* Ширина (ZA спектральной линии
должна поэтому иметь значение
<гл=л-^-. (36)
По кинетической теории газов *) среднее значение квадрата скорости
иолекулы дается выражением:
средние (и2) = (37)
где М есть молекулярный вес воздуха, 0 — его абсолютная температура,
ьР — газовая постоянная, равная 8,313 • 107 эрг/градус. Отсюда
4- = 7/т = 8>60-10“’/г- <38>
Так, для атомного водорода (М=Г) при 50° С (0 = 323°) dX =
= 1,55 • 10~5- Л. По (36) спектральные линии в красной части спектра
Должны быть расширены сильнее, чем в синей. Это вполне соответствует
«Действительности.
Как мы уже видели выше, на стр. 128, с шириной спектральной ли-
Жи связана наибольшая разность хода, при которой еще наблюдается
[йтерференция. Если лучи от какой-нибудь спектральной линии разбить
ia два пучка с разностью хода d, то по формуле (28) стр. 130 видимость
Мучаемых при этом интерференционных полос для того случая, когда
[Ркость по всей ширине спектральной линии одна и та же, дается
Сражением sin4^a qQ
V
. При этом по формулам (22) и (20) (стр. 129) величина а связана
Шириной dX = — Я2 спектральной линии соотношением
2/z = — — — = — . (40)
я2 Я2 * v 7 1
1) См. напр. W. L. Boltzmann, Gastheorie 1, стр. 14.
[Отд. IV, *
456
Излучение газов и паров
(«)
< ।
1 г
ф
Видимость интерференционных полос V определяется по формул^
стр. 130. По Рэлею1) можно видеть еще такие интерференционные по
в которых отношение освещенностей в наиболее темных и светлых к
-^min к -^тах» равно 0,95. Для этого случая V = 0,025. Подставляв
значение в (39) и принимая во внимание(36)и(40),получаем для иа
мальной разности хода d, при которой еще наблюдаются интерфере
соотношение
. /. d v\
sin Дтг-г • —
A A А \ X С / S1Q 7Z6C
0.025 =---—-j------— =------,
' , a v лх г
4л — • —
А С
где 4% j • у = х. Так как правая часть (41) мала, то наименьший
рень х должен быть близок к 1. Полагая х = 1 — в, получаем из $
0,025 = - = г.
Таким образом получается
i. = x- 0,975^-.
Л 4v ’ 4v
Но нужно принять во внимание, что не все молекулы имеют одцу 1
d .
ту же скорость v; тогда значение j получается еще больше, а именно
(приблизительно) ‘ I
i = 0,345 — . (43)1
Л v 1
Если, например, мы имеем атомный водород, светящийся в reflcfiidjj
ровой трубке при температуре около 50°, то интерференционные noiOCjjl
спектральных линий должны в первый раз пропасть при разности Х<№|
4 = 72800. ";d|
Для паров натрия в бунзеновской горелке И = 23. Принимая»*^
температура равна 1500° С, т. е. что 0 = 1 773, по (37) следуетф^!
= 98,2 • 108 и по (43) j = 542000. При более низкой темперйЙр
способность к интерференции была бы еще больше2). .'Щи
Необходимо заметить, что расширение, связанное с эффектом ДошЛИ
дает полосе не тот вид, который предсказывается теорией резоЦЯ^И
электродов; здесь она приобретает вид, характерный для кривых
ности, с более крутым падением от максимума к оси абсцисс3 * * * *).
х) Си. впрочем Д. С. Рождественский, выноска на стр. 194.
2) См. таблицу на стр. 128, Литература по вопросу о ширине спектра*ьЯ1
ний весьма обширна. На русском языке можно указать работу М. А. Вейя1
в которой дета!ьно разобрано, в каках случаях ширина полосы обусловлена
том Допплера, в каких —столкновением мелекул и в каких, наконец, она опреД’
однлм излучением молекул. (Труды ГОИ, IV, вып. 63, 1933 г.).
®) См. К. А. Тимирязев, Кинетическая теория газов, лекция I.
7] Спектральные серии; формула Бальмера 457
7. Спектральные серии; формула Бальмера. Расположение линий
(Спускания или поглощения в спектрах простых газов и паров уже при
,ajioM беглом ознакомлении обнаруживает какую-то закономерность. Для
фймера приведем спектр водорода. Мы видим здесь ряд линий в
рщтрафио штовой области; они следуют друг за другом через правиль-
но расстояния, постепенно убывающие с уменьшением длины волны.
Закономерность, существующая здесь, вскрыта Бальмером; мы напишем
в таком виде:
7
(44>
Здесь п — любое целое число, начиная с трех, В — так называемая
5онстанта Ридберга, которая равна 109 677,69 см~1, z— длина волны
спектральной линии, соответствующей определенному значению п. Мы
видим, что по мере роста п расстояния между линиями действительно
должны убывать. Для п = оо мы имеем так называемый конец или
«голову» спектральной серии. Для водорода она будет лежать у Л —
= 3 828 А.
Подобные, но более сложные законности замечаются и у других эле-
ментов; так, например, у щелочных металлов имеются три серии дубле-
тов, выражаемые следующими формулами:
£ = R Г 1__________1 1
Л L (1 + СГ? (W + /Л])* J ’
£ = р Г____1__________1____1
Л (1-F о-)2 (т-ь№)2]’
2_г>[______1 ' 1 1 I
Л |_-’(1 + №)2 (™+£Ч’1
1 Т> Г 1_____1 1 |
л~ [(1 + №)2 (»»4-d)2
1 _ -п Г______1_
X л [ (1 +
£___ т> Г 1
л 1(1 + ^)2
«Главная» серия
«I побочная» серия
1 1
(т + а)2 ]
1 1
(т + о)2 I
«II побочная» серия.
Здесь В — та же константа Ридберга, которая фигурирует в уравне-
*йи Бальмера; <5, о—новые константы, характерные для дан-
^го металла; т— любое целое число. При т = оомы имеем «голову
^рии», которая у двух побочных серий имеет одинаковое положение
соответственных линиях дублетов.
. Химически подобные элементы характеризуются подобными спек-
ли. Линии, принадлежащие одной и той же серии, обнаруживают зва-
тельное сходство во многих отношениях. В частности, при так назы-
рмом аномальном разложении в магнитном поле все линии одной серии
^Ытывают разложение одинакового типа.
it Классической теории, как было указано выше, не удалось дать
^яснения описанным законностям.
458
Излучение газов и паров [Отд. IV, гл.Ж
8. Теория Бора. На фоне этой неудачи особенно блестящим л. *
успех Нильса Бора (1912), который введением в учение о спектр:
квантовых представлений добился не только качественного, но и
чественного совпадения предсказанных им законностей с результант*-
наблюдения. Т*
Бор исходит из резерфордовской модели атома; сюда он прибавлю
однако, два квантовых постулата. Первый служит для того, чтобы
ничить произвол электрона в выборе орбиты и указать ему дискрет^
число дозволенных путей. .Этот постулат формулируется так: возмоа®^
только те пути, для которых момент количества движения равен целом»
числу h, деленному на 2л; (/г — постоянная Планка): /
n/i Jig.
mv • а — -s—.
2л MjW >
Здесь т — масса электрона, v — его скорость, а — радиус opfait j
п — произвольное целое число. Т»
Если ядро имеет заряд е0, а электрон — заряд е, то притяжение ммчк
ними будет
ego 1
*
В то же время центростремительная сила равна при круговом двг
гкении
а
Отсюда — равенство
ее0__ »iv2
аъ а ’
ИЛИ
mv2a = eeff (46)
•g j
Сравнивая это с (43), получаем для а и v ряд дискретных значвярй
2лее0 п2№ . ч /£
v = —; а = —--------------Ч.
пп 4л2/пее0 7 .. Я
Составим еще выражение для энергии электрона; она складыв#*1^
из кинетической, равной Ек~^~, и потенциальной, равной
__ __ ego
р~ а •
По» по (44)
~ = mv2.
а
Таким образом полная энергия
ттт 77т । тл wiv2 п WIV
Е = Ек + Ер=~--------mv2 = —^}
х) Подстановкой известных значений для е, h отсюда для 2а выч,
т
значение порядка п2 • ю~ 8 см.
j 8] Теория Бора 459
0И, подставляя v из (47),
Е = (48)
е. здесь также имеется ряд дискретных значений, характеризуемых
различными значениями п.
Таким образом, согласно уравнениям (45) и (46), атом может нахо-
диться в ряде состояний с определенными значениями радиуса орбиты,
скорости и энергии.
По классической теории электрон, движущийся по круговой орбите,
должен излучать энергию (см. § 1 настоящей главы). В результате такого
излучения должна была бы изменяться энергия электрон!, и движение
по прежнему пути стало бы невозможным. Вопреки требованиям класси-
ческой теории, второй постулат Бора требует, чтобы при движении
электрона по устойчивой траектории излучения не было. Оно может
происходить, по Бору, только при переходе электрона с одной орбиты на
какую-либо другую с меньшим значением энергии, или, как говорят, на
более низкий энергетический уровень. Тогда избыток энергии должен
отдаваться в виде кванта, частота которого дается уравнением второго
постулата
= (49)
1 с
в виду того, что v = j, соответствующая длина волны получится из
Подставляя сюда выражение для энергии из (48), будем иметь
1 ___ 2л2те02е2 fill
Я” hsC n2J'
Мы видим, что это выражение вполне соответствует закону Баль-
мера (44), который таким образом с легкостью выводится из двух
Указанных постулатов.
Но в уравнении (50) на месте ридберговской постоянной Б стоит
Произведение ряда величин, определяемых независимо. И вот, главный
спех Бора заключается в том, что произведенный им подсчет показал
Превосходное совпадение ридберговской постоянной с результатами вычис-
ений по формуле (50). Если мы будем иметь в виду случай водорода,
0 = — е0; выражение для R можно тогда написать в таком виде:
7? = . (51)
(--\hsc
\'Ш )
Вставляя сюда е = к,Т1 • 1О~10, ~ = 1,77-107 • с, h = 6,55 • 10“27
1 с = 2,99796 • Ю10, получим
К 72 = 107 300 см~\
460
Излучение газов и паров
[Отд. IV,
вместо найденного из опыта 109 700 см"1, т. е. совершенно исклю&Т
тельное совпадение. Оно и определило немедленное и всеобщее при^/ч
ние теории Бора и ее огромное влияние на последующее развитие ученхд!
о спектрах. Мы не можем излагать последовательных этапов этого
вития Э и ограничимся указанием на то, что успехи в этой o6jacjj
огромны, и что все они связаны с дальнейшей эволюцией квантовых
представлений, которые ныне пронизывают все учение об атомных,в
молекулярных процессах. Господство классических представлений в это!
области уничтожено бесповоротно.
9. Другие квантовые явления в оптике. Мы видели выше (стр. 4^)
что еще Планку квантовые представления оказались необходимыми для
вода его формулы лучеиспускания. Второй областью, где их введение б«й
поразительно плодотворно, было учение о спектрах паров и газов в руках,
прежде всего, Н. Бора. Укажем теперь еще несколько важнейших?»
явлений, которые получают простое и естественное истолкование с тош
зрения теории квантов, но не могут быть объяснены с точки зрая^
классической электромагнитной теории.
а) Сложное явление Зеемана. Простые дублеты и триплеты в раз-
ложении спектральных линий в магнитном поле, наблюдавшиеся ЗеОД-
е' .
ном и послужившие для определения отношения —, встречаются только ।
в виде редкого исключения. Большею же частью мы имеем гораздо более4
сложные картины; Рунге и Пашен установили ряд эмпирических закон- ।
ностей, связывающих положения отдельных составляющих. Объяснить
эти явления с какой-либо общей точки зрения оказалось классической;
теории не под силу, несмотря на большие усилия и еще большее остро-
умие, проявленное разными авторами2). Квантовые представления, наоборот,'
приводят к полному объяснению легко и непринужденно3).
<5) Явление Штарка. И. Шгарком обнаружено разложение cnef*
тральных линий в сильных электрических полях. Сам автор этого открЖ
тия предложил квантовое его объяснение, которое и сохранилось.
в) Фотоэлектрический эффект. Еще Г. Гертцом было обйй
жено, что искровой разряд совершается с большей легкостью, -
искровой промежуток освещается ультрафиолетовыми лучами. По.здневЯМ1^
исследования (преимущественно Галльвакса, Столетова, Риги, ЛенДМг
выяснили природу явления, доказав, что носителями его являются
троны, срываемые ультрафиолетовыми лучами с катода. Новый
в учении об этом «фотоэффекте» начинается с 1905 г., когда
штейн предложил и для него квантовое истолкование. По его тедг’
срывание электрона происходит в том случае, когда квант na.iaw*
света превосходит работу выхода электрона из катода; избыток
щается в живую силу электрона; отсюда — закон Эйнштейна:
J) В яаиболыпен полноте первая стадия итого развития излагается в и»
книге A. Sommerfeld’„Atomb-u und Spektrallinien“.
г) Изложение этих трудностей см. наир, у Г. Лорентц а .Теория элок
стр. 163.
’) См. Sommerfeld, Atombau und Spektrallinien.
9] Другие квантовые явления в оптике 461
1 ~ГТ I W/V J
hv = eV-\-—^~, (52)
* — частота падающего света, h — постоянная Планка, е — заряд
5дектрона, 7 —разноса потенциалов на границе: катод—пустота;
— масса электрона, v— скорость вылета. Положив eV=hv0, можем
уписать (52) в виде “ wvS
— v0) =~2~, (53)
откуда следует, что при v<vQ фотоэффекта не будет; это — так назы-
ваемая длинноволновая его граница, различная для различных мате-
риалов катода.
По этому представлению от величины падающей энергии зависит
всключительно количество срываемых электронов; скорость электронов
определяется только разностью (v — v0). Классические представления мо-
гут дать только совершенно иную зависимость между этими величинами.
Опыт целиком оправдывает теорию Эйнштейна.
г) Вкратце упомянем, что и для элементарных фотохимических
процессов оправдывается тот же закон Эйнштейна, одному поглощенному
кванту соответствует реакция одной молекулы. Здесь опыт дает более
сложную картину: квантовый выход фотохимических реакций только
очень редко равняется в точности единице. Легко представить себе, что
меньшие величины квантового выхода объясняются обратными реакциями,
имеющими место одновременно с фотохимической; наоборот, больший кван-
товый выход должен наблюдаться при так называемых цепных реакциях,
когда выделяющийся продукт фотохимической реакции служит катали-
затором для дальнейшие процессов в том же направлении.
д) Дж. Франком указана свяйь между величиной ионизационного
потенциала атома (или молекулы) и положением «головы» серии (см. выше,
эта глава, § 7). С точки зрения теории Бора, как мы видели, поглоще-
ние света соответствуег работе поднятия электрона на орбиту с большим
энергетическим уровнем. Голова же серии соответствует наивысшему
Уровню; сообщая атому больший квант, чем это нужно для перевода
электрона в головную линию, мы освобождаем электрон, т. е. ионизируем
^ом.
Опыт дал превосходное согласие этих представлений с термохимиче-
скими данными там, где они существуют; можно сказать, что спектро-
конический метод определения ионизационных потенциалов дает химикам
! руки способ определения термохимических эквивалентов с непревзой-
^вной, по сравнению с другими методами, точностью.
е) Упомянем еще о явлениях люминесценции, легко объясняемых
к точки зрения представления о квантах и об энергетических уровнях,
w поглощенный квант равен hv, а для испускания света люминес-
Цции нужна энергия /^0, то избыток h (v ^о) может перейти в дру-
виды. Если v<vn, то испускания вообще не будет. Это— известный
Чн Стокса. Некоторые наблюдаемые отступления от этого закона можно
Уяснить тем, что при переводе электрона на другой уровень исполн-
ится не только поглощаемая энергия, но и энергия из ДРУГОГО ИСТ04"
^а, например тепловая.
462
Излучение газов и napQe [Отд. IV, гл. m
Указанные явления (а также множество других) составили naparL'l
с классической электромагнитно-колебательной оптикой обширный отд^
оптики, в котором колебательные представления отходят на задний плд^.!
и заменяются квантовыми, приближающимися к корпускулярным идещ*
Ньютона. До 1925 г. эта двойственность оптики — одновременное суще*
ствование двух взаимно исключающих теорий, необходимых каждая ддд
объяснения одной части оптических явлений и непригодных для объясни
ния другой части, была самой характерной чертой послевоенной физиы;
10. Синтез волновых и корпускулярных представлений. Эт<
двойственность ныне устраняется созданием так называемой волновф
механики Э. Шредингера (1926) и новой квантовой механики Гейзер
берга-Дирака (1926). Но еще ранее их появления Луи де-Бройл^;.
(De Broglie) высказал в определенной форме мысль, что всякому воля®
вому процессу сопутствует некоторый другой, корпускулярный, и наобш
рот — каждому корпускулярному процессу сопутствует процесс волновоА
характера. Де-Бройль интуишвно дает уравнение, связывающее две ci№
роны всякого явления, в котором мы, смотря по обстоятельствам, разлЙЗГ
чаем то корпускулярную, то волновую сущность. Вот это уравнение: >***
т . г = —. (
с ' 'Я
Если, значит, мы имеем частицу (скажем электрон) с массой т>
скоростью v, то в поведении этой частицы мы должны заметить черчг^В'
волнового характера, и частота соответственного волнового процеияЦ
будет v. . ‘И?
В 1927 г. Дэвиссон и Джермер обнародовали первые опыты для про-
верки воззрений де-Бройля. Электронный пучок падал на монокристаШ-..'
ческую пластинку, и наблюдалось распределение интенсивности в пучке,
отраженном (рассеянном, диффрагированном) кристаллической решеткой^
Оказалось, что те максимумы, которые при этом наблюдаются,
соответствуют диффракционным максимумам, ожидаемым при падений-‘Чк
кристалл волн частоты по уравнению (54). Еще более точ|$’|
совпадение с теорией дали последующие опыты Дж. П. Томсона. . I
В настоящее время метод отражения электронного пучка играет
шую практическую роль в исследовании строения поверхности различвЖ
кристаллических и др. структур. Но неизмеримо больше то значемКj
которое опыты Дэвиссона и Джермера и их продолжателей имели для йИЯ
вития наших теоретических представлений. Они невероятно расшярУ^
область огегики, включив в нее по существу все механические явлеяЦяа
Но эта наиболее современная и актуальная область оптики изучав*®|
особыми методами, весьма далекими от тех, которые лежат в осН^51
настоящей книги.
предметный указатель
А
вдэация астрономическая 100,388, 399
— сферическая 54
— хроматическая 63
Долготная температура 421
(солютный ход лучей 387
1имут восстановленной поляризации
294
1имут главный 295
— плоскости поляризации 237
юмальная дисперсия 325
юртотомическая система лучей 24
юртура 76, 91, 199
ианатическая поверхность 23
юхгоматы 67, 86
стигматическое изображение 49
стигматическая разность 50
строномическая труба 92
ароматизация систем 64
Соматические линзы 65, 82
Б
Оризма Френеля 116
В
^нтность и число электронов 323
1тор световой 2с 6, 209, 258
Пойнтинга 227, L49
^мость интерференционных полос
128
Кущение световое, уравнения 145,
ЭД5
плоские, поперечность 231
^ение плоскости поляризации 231
— естественное 336
— магнитное 351
абсолютное и местное 386
^чные спектры 64
Г
L
Ге3а молекулярных токов 336
, эффекта Холла 357
ря кристаллографическая ось 228
^е плоск< сти 29
ре покагатоли преломления 277
сечение 202, 266
Главные точки 29
Групповая скорость 105
д
Давление света 406
Двойное лучепреломление 201
Дилатометр Аббе 122
Диоптрическое изображение 33
Диполь Гертца 442
Дисперсия, теория 310, 314
— аномальная 325
— вращения плоскости поляри-
зации естественного 341
— вращения плоскости поляри-
зации магнитного 354, 360
— металлов 328
— нормальная 317
Дисперсии коэфициент 63
Дисторсия 61
Дифференциальные уравнения электро-
магнитного поля 225
Дифференциальные уравнения светового
возмущения 145
Диффракция, общая теория 157
—' Фраунгофера 179
— Френеля 159
— от ряда отверстий 183
— от прямолинейного края
экрана 162, 170
— от узкого экрана 168
— от узкой щели 166
— от прямоугольного отвер-
стия 180
— от косоугольного паралле-
лограмма 182
— от щели 182
Диффракционная решетка плоская 186
— — вогнутая 188
Дихроизм 303
Е
Естественный свет 210
Естественно-активные тела 331
3
Закон Брюстера 204, 235, 243
—• Кирхгофа 413 \
— Малюса 24
Закон Планка 433
— Пойнтинга 227
— Рэлея-Лорентца-Джинса 434
— смещения Вина 428
— Стефана-Больцмана 425, 437
— Френеля для скорости света 260
— Френеля-Араго 205, 249
Затухание 316, 446
Зеркало Френеля 112
Зеркальный телескоп 96
Зрачок входной и выходной 67
И
Излучение атома 443
— молекулы 440
— солнца 406
Изображение астигматическое 49
Изогиры 287
Изохроматы 287
Иммерсионная система 199
Интегралы Френеля 159
Интерференция света 107
— поляризованного света
205
Интерференция в кристаллических пла-
стинках 282, 285
Интерференция в поглощающих двуос-
ных кристаллах 304
Интерференция в поглощающих одно-
осных кристаллах 309
Интерференция при большой разности
хода 126
Интерференция рентгеновых лучей 135
Интерференционные спектроскопы 131
Интерферометр Жамена 124
— МаЙкельсона 126
— Маха 125
—- Фабри и Перо 131
Искривление лучей света в неоднород-
ных телах 254
Испускательная способность 403, 412
Испускание черного тела 425
К
Кардиоид-конденсор 200
Катоптрические системы 34
Когерентные источники 115
Колебания световые, направление 262
265
Колебания собственные 317, 355, 363,
365 »
Коллинеарное соответствие 26
Коллоидальные растворы металлов 451
Кольца Ньютона 117
— —. распределение света в них 251
Компенсатор Бабине Солейля 213
Компенсационный окуляр 88
Конденсор 88
Коническая рефракция 273
— -— внешняя 275
— — внутренняя 276
Коэфипщент дисперсии 63
— световой отдачи 404
Коэфициент эллиптичности 243 /
— трения 317
— видимости 405
Кристаллы одноосные 266
Кристаллооптика 255 :
Кристаллрефрактометр Аббе 280
Л
Линзы тонкие 44, 45
Лупа 83
Люкс 73
Люмен 73
Люминисценция 411, 461
И
Магнитное вращение плоскости поляь
зации 351
Магнитное поле световых лучей 372-:-‘
Магнитная проницаемость 354
Магнитооптика 346, 370 /
Международная свеча 73 ;
Местное время 386
Механический эквивалент света 4(Ц\<
Механическая теория света 217 ’
Микроскоп 85
Модель атома Резерфорда 447
— — Дж. Томсона 444
Н
Направление световых колебаний 265
265
Направление светового луча в движ]
щихся телах 385
Нормаль волновая 267
Нормальная дисперсия 317
Нормальное увеличение 79
О
Овалоид Френеля 265
Окуляр Гюйгенса 87
— Рамсдена 87
Опыт Майкельсона 390, 400
— Физо 382,399 ••
—- Физо поляризационный 390 •' ' .
— Френеля с зеркалами 1'12, -
Оптическая длина 21 х ~
Оптические коне i анты металлов ЗИч
оси 263
Ортодромная система лучей 33
Ортоскопические точки 62 ач
Ортотомическая система лучей 2?
Освещенность 71 »» .
— на сетчатке глав»
Особый путь лучей 20
Остаточные лучи 296
Относительности принцип 394
Отношение заряда к массе
Отражение, водное внутреннее
— формула пд Френелю .4
ману 235
— от металлов 293
— на границе прозр&4"
тропных тел 232
сражение от сферической поверхности
[41
И
,ереходные сдои 238
Детинка Браве 285
— Думмера и Герке 132
jc/скяе волаы 110
Оверхность волны 109
— — геометрическое по-
строение 265
оверхность лучей 269
— нормали 262
зглощение в кристаллах 300
’ — в естественно-активных те-
। лах 344
[оглощающие тела, электромагнитная
теория 290
[ограничите условия 226
— — в прозрачных кри-
сталлах 255
— — в движущихся те-
лах 383
[Показатель поглощения 292
— преломления, зависимость от
плотности 324
Показатель преломления главный 277
— — металлов 299
Толе зрения 69
Полное внутреннее отражение 245
— — — в кри-
сталлических пластинках 279
Поляризация 201
— линейная 202
— эллиптическая 211, 238
— частичная 210
— - через стопу 236
Поляризационный прибор Норренберга
204
Постоянная Планка 438
— солнечная 427
— диэлектрическая 257, 318
Потенциал ионизационный 461
Правило синусов 57, 420
Преломления закон 18
Преломление на границе профачиых
. изотропных тел 232
(феломление у сферической поверх-
к н^сти 38
преломление в кристаллах 276
призма Николя 203, 309
призменный бинокль 95
"рНчцип Бабине 185
—- Гюйгенса 137, 152, 271
— Гюйгенса-Френеля 139
—- Допплера 388, 399
. ' относительности 394
м — Ферма 24, 111
Фйрода света 107
р
?3вость фаз 239, 246, 306
^решающая сила зрительной трубы 196
Разрешающая сила микроскопа 90, 196
— — привмы 194
— — решетки 190
— человеческого глаза
196
Распределение энергии в спектре чер-
ного тела по Вину 434
Распределение энергия в спектре пер-
вого тела по Планку 433
Распределение энергии в спектре чер-
ного тела по Рэлей-Джинсу 437
Распространение света в изотропных изо-
ляторах 224
Распространение света в свободном
эфире 223
Рассеяние света 450
Расширение спектральных линий 317,
452, 454
Рентгеновские лучи, интерференция 135
Решетка диффракционная, плоская 186 во-
— — гнутая 188,
191
— — ступенчатая
206, 209
С
Световоэ давление 406
Световой вектор 258
— поток 70
Световая отдача источника 406
Свеча международная 73
Сила света источника 71
Сила электрическая 219
— магнитная 219
Скорость света, определение, способ
Брадлея ЮО
— — — — Рёмера 99
— — — — Майкель-
сона 103
— — — — Физо 101
— — — — Фуко 102
Скорость света в прозрачных изотроп-
ных телах 228
Скорость света групповая 105
— —-в движущихся телах 381
— —-и отношение электрост.
и электромагн. систем 221
Солнечная посгояиная 406
Сопряженные точки 32
Спектральные серии 457
Спираль Корню 160, 162
Способ Пуччианти 327
Стоячие световые волны 133, 208, 236
Сферическая поверхность 38
Т
Телескоп зеркальный 96
Телескопические системы 34
Телецентрический ход лучей 69
Температура Солнца 427, 433
Теория Бора 458
Теория света механическая 217
— — электромагнитная 218
Теория относительности 394
— теплового обмена Прево 410
Термодинамика излучения 410, 424
Тонкие линзы 45
Ток электрический 220
— магнитный 222
Тотальрефрактометр 251
Труба астрономическая 92
— Галилея 93
— земная 95
У
Увеличение нормальное 79
— микроскопа 89
— угловое 31
Угол падения главный 294
— проекции 68
Узловые точки 31
Ультрамикроскоп 200
Уравнения Максвелла в пустоте 221, 223
Уравнения Максвелла в изотропном
изоляторе 224
Уравнения Максвелла в прозрачных
кристаллах 255
Уравнения Максвелла в естественно-
вращающих телах 332, 338
Уравне <ия Максвелла в магнитно-вра-
щающих телах 337, 358
Уравнения Максвелла, отнесенные к не-
подвижной координатной системе 876
Уравнения Максвелла, отнесенные к
координатной системе, твердо связан-
ной с движущимся телом 383
Условия пограничные 226
— — в прозрачных кри-
♦ стадлах 255
— — в движущихся те-
лах 383
Ф
Фокальная плоскость 27
Фокометр Аббе 48
Фокусное расстояние, определение л?
Формула Больмера 457 7
Формулы отражения Френеля 235
Фот 73
Фотометр Думмера и Бродгуна 72
Фотометрии основные положения 70
Фотометрические системы 81
Фотоэффект 460
Фраунгоферовы линии 417
ц
Цвета тонких пластинок 117
Цветная фотография 134
Центрированные системы 28
Ч
Черное тело 416
3
Электроны 311
Электромагнитная теория света 218
Эллиптическая поляризация 211, 238
Энантиодромная система лучей 33
Энтропия 423, 436
Эффект фотоэлектрический 460
Эшелон Майкельсона 191 ,
Я
Явление Зеемана нормальное 367
— — аномальное 362, 460
— Керра 372
— Холла 357
— Штарка 460
Яркость 74, 403, 417
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
(ббе 37
<В!)гадро 443
$вс 134
1мпер 346
фаго 205, 210
В
Жабине 185
Жальмер 457
Жак 369
Беккерель 362
|5ио 342
Больтцман 342, 425
Бор 458, 4-.1
Брадлей 100
Л Бро лгун 72
Бройль 462
Буссинеск 259
Брэе 393
Брюкве 84
Брюс г ер 204
В
Вебер 229
Видеман 443
Вильсон 84
Вин 428. 433
Винер 133, 208, 236
Вихерт 367
Вольф 320
Г
Иген 229
^львакс 460
Амильтрн 276
^Йзонберг 462
[ильмгольц 315, 453
1еоргиевский 370
0Рке 127, 132
ертц Г. 375, 440, 460
^азенап 99
ГРоссмюллер 244
^йгеяс 108, 137, 201
ТУт 104
|*бай 137
ррмер 462
Джинс 435
Дираа 462
Допклер 454
Дорфман 365
Друде 134, 244, 297, 365,
434, 453
Дэйтон-Миллер 393
Дэвиссон 462
Е
Егоров 370
\ Ж
Жамен 124, 238
Жигмонди 209
3
чеман 367, 460
Зчени 134
Зи^нтопф 200
Зом-ерфелЬд 37> £77
И
Иобст «52
К
Квинке kg
Кеплер 44
Керр 372
Кеттелер 25
Кирхгоф 145259> 413 41„
Классен 116
Книппинг 136
Кольрауш 229
Корбино 356
Корню 102, 159
Крамере 331
Кришнан 178
Кундт 298
Л
Ладенбург 327, 331, 36
Лауэ М. 136
Лебедев П. 409
Лейстнер 134
Ленард 460
Ленц 346
Липпич 104
Липпман 134
Лорентц 314, 376, 393, 434
453
Лошмидт 439
Лумм,р 72, 127
М
Майкельсон 102, 103, 105,
107, 116, 188, 191, 3&2,
390
Макалузо 8, 356
Максвелл 218, 223, 229
Максвелл Гарнетт 451
Малюс 24
Мартенс 116
Маскар 388
Мах 125
Ми Г. 452
Милликен 439
Михельсон 433
Морлей 382, 392
Н
Нейман 218, 259
Нернст 134
Николь 203
Ньютон 108, 121, 249, 462
П
Пашен 369, 401, 460
Перо 127, 131
Планк 314,316,433,435,
440, 448, 458, 460
Пойнтинг 227, 249
Прево 410
Прокофьев В. 327
Пуркинье 73
Р
Раман 178
Рёмер 99
Резерфорд 188, 447
Ридберг 457, 459
Риги 460
Рике 443-
Ри ГИ 447 __
Рождественский Д- 327
Роулэнд 188
Рубенс 296, 299, 300
’унге 37, 369, 460
Рупп 127
Рэлей 105, 259, 393, 434,
447, 451, 456
С
Сенармон 211
Сиссинг 244
Смолуховский 451
Столетов 460
Солейль 213
Стокс 461
Стефан 425
Т
Томсон Дж. Дж. 444
Томсон Дж. П. 462
Ф
Фабри 127, 131
Ферма 24
Ферми 327
Физо 101, 382, 390
Филиппов А. 327
Фитц-Джеральд 393.
Фохт 145, 259, 275, 365,
367
Фран 134
Франк Дж. 461
Фраунгофер 84
Френель 112, 139,205,210,
218, 265, 382
Фридрих 136
Фуко 102
Фукс 320
Холл 357
И
Цендер 125
ч
Чадвик 447
Ш
Шварцшильд 178
Шерер 137
Шмидт А. 255
Штарк 460
Шредингер 462
Штрассер 390
Э
Эберт 104
Эйнштейн 376, 394л
461 /
Эйхенваяьд 249
Эвштецн J78
Эри 341 /
Технич. ред. Р. В.
... г .. т анов
Поступило к печати 31 октября
Заказ
Тираж 40W
Изд.
Леноблгорлит д
Ответственный редактор М. В. авостьяновя
Корре*'°Р г- и т р о Ф
Сдано в набор 26 мая 1935 г j' —; ~~
Формат бумаги 62 X 94
Количество бум. листов 14б/
Уч. авторских листов 37,56
Количество печ. знаков в ^Ум- листе 107712
4-я тип. ОНТИ НКТП^СР ,Кр. Печатник", Ленинград, Междунар. nj
• n 4^>- I
U n Г1 c 2^-
LT Л & " '— XT г |
<Z — n г njjr Ьт / 1 i I
V. A — чК Л о 2.
C\| **• X £> n J r>
•-J */- 4^ _£>. C X “
1 cz 1 5
j о. s 0. 7 0. 6 о. 5 o. 5^" 4 T o. 1 I Л F 0. 4— 1 o. fVCoS ^'o 2 0. ^vzdv 3 0. 4 0. S 0. Э b. 7 o. 8
T? /? I *э L_ . J
1 । .^L L. 4 ——
2 p~ U- u
J tL^l I r Cn —
i a L. \ fL VxSgg г яШ —i—J- i i i
‘"I^S „ „ -*-—"--~ I нО^НЗ
1 I. 1 —r~^ is ! Lee*»»*- .- , _ “^-e;2We.'5iC5CttnS4,JkWMSK;.,-:SP*#ae»S.V«, — «йжяиин-аи» L_IZ3— HI II .*- Ч .t-w t м^а»»-тдм
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Стр. Строки Напечатано Должно быт
12 6 снизу оптики и молекул оптики атомов и молекул
82 3 сверху дисперсию v джерси ю ~
317 23 „ §8и 9 § 6
328 3 „ от богатого от источника света, богатого
361 1 „ что что ©
392 1 и 7 U" VI"
сверху
412 2 и 3 поглощения х поглощения х
снизу
415 4 сверху функция р функция
Друде — оптика;