Библиотека учителя математики
СИСТЕМА ПСИХОЛОГО-ДИДАКТИЧЕСКИХ
ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ
ОСНОВНЫЕ понятия
1.	Ассоциацией называется такая связь двух процессов Pi и Р%,
протекающих в сознании, при которой первый процесс влечет за
собой возникновение второго. Обозначение: (Р\\Р$.
2.	Ассоциация называется обобщенной, если компоненты ее
членов варьируются в зависимости от условия решаемой задачи
и эти вариации влияют на получаемый результат. (Такие варьи-
руемые компоненты членов ассоциации называют существенными.)
3.	Ассоциация называется константной, если ее существенные
компоненты всегда неизменны; изменяться в ней могут лишь не-
существенные компоненты, т. е. те, которые не влияют на результат
решаемой задачи.
4.	Проявление каждой обобщенной ассоциации эквивалентно
одному или нескольким логическим умозаключениям.
5.	Умения и навыки решения задач есть определенная система
ассоциаций, преимущественно обобщенных.
6.	Ошибочной обобщенной ассоциацией называется такая ассо-
циация, при наличии которой учащийся неверно решает отдель-
ные задачи данного типа либо не догадывается применить к ним
известный ему способ решения.
7.	Стимулирующим звеном называется промежуточный мысли-
тельный процесс, который вводится между двумя другими процес-
сами, протекающими в сознании учащегося, помогая устанавли-
вать связи между ними, углублять понимание и активизировать
мыслительную деятельность.
8.	В качестве стимулирующих звеньев могут выступать сле-
дующие процессы: 1) вспоминание, применение по ходу ознаком-
ления с материалом (или по ходу выполнения упражнений) опре-
делений, теорем, законов, различных правил, в том числе мне-
монических правил, которые как раз и предназначены для лучше-
го запоминания тех или иных фактов; 2) созерцание, представ-
ление наглядных образов (моделей, графиков, рисунков, диаграмм);
3) любая деятельность с ними; 4) оперирование знаками и сим-
волами (введение стрелок и других обозначений, подчеркивание
записей и т. д.); 5) любые рассуждения, действия, углубляющие
понимание.
9.	Усвоением учебного материала будем называть совокупность
процессов, направленных на понимание этого материала, его за-
поминание, формирование умений и навыков его применения.
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ УМЕНИЙ
И НАВЫКОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1.1.	Ассоциация (Pi; Рг) образуется, если процессы Pi и Р2,
протекающие в нашем сознании, возникают по ходу деятельности
и повторяются или непосредственно друг за другом, или с участием
стимулирующего звена М. Если это звено в дальнейшем сохраня-
ется, то образуются две ассоциации: (Pi; М), (Л4; Р2).
1.2.	Если существенные компоненты двух процессов, протекаю-
щих в нашем сознании, при их повторении друг за другом варьи-
руются, то может образоваться обобщенная ассоциация; если они
всегда неизменны, то константная.
1.3.	Проявление ассоциации в процессе решения задачи со-
провождается чувством уверенности в правильности полученного
результата, тем самым уменьшается вероятность самоконтроля.
1.4.	(Закономерность Шеварева.) Если в процессе деятельности
соблюдаются три условия: 1) учащийся выполняет задания одного
типа; 2) в этих заданиях неизменно повторяется некоторая осо-
бенность; 3) осознание этой особенности необязательно для полу-
чения верного результата,— то степень осознания этой повторяю-
щейся особенности снижается, т. е. у учащегося образуется ошибоч-
ная обобщенная ассоциация.
1.5.	Если какая-либо особенность М, присущая отдельным зада-
чам данного типа, не отражена в системе упражнений или в рас-
сматриваемых способах решения задач, то у учащихся может обра-
зоваться ошибочная обобщенная ассоциация, в состав которой
не входит осознание особенности М.
1.6.	Для формирования обобщенной ассоциации требуется тем
меньше упражнений, чем более учащийся развит и обогащен зна-
ниями, умениями и навыками, относящимися к данной области науки.
1.7.	Для сохранения и упрочнения обобщенных ассоциаций
рассредоточенное повторение эффективнее концентрированного.
1.8.	Использование стимулирующих звеньев по ходу решения
задач приводит к формированию прочных и устойчивых обобщенных
ассоциаций.
I.8.	* Если задачи решаются обоснованно, с опорой на изучаемые
определения, аксиомы, теоремы, то достигается глубокое понимание
и формируются прочные устойчивые умения и навыки.
1.9.	Если при изучении новой темы выполняются условия:
1)	учащемуся предлагают задачи только одного типа;
2)	решение каждой из них сводится к одной и той же операции;
3)	эту операцию (ее результат) учащемуся не приходится выби-
рать среди других, которые возможны в сходных ситуациях;
4)	данные задачи не являются для учащегося непривычными;
5)	он уверен в безошибочности своих действий,—
то учащийся при решении 2-й или 3-й задачи перестает вспоми-
нать и применять изучаемые определения, теоремы, прекращает
обосновывать решения задач.
Если хотя бы одно из перечисленных условий нарушается при
решении какой-то задачи, то учащийся начинает обосновывать
решение этой и одной-двух последующих задач.
ЗАКОНОМЕРНОСТИ УСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО
МАТЕРИАЛА И ЗАКОНОМЕРНОСТИ ПАМЯТИ
Влияние мотивов деятельности и эмоций
II.	1. Установки (направленность) на полноту, прочность, точ-
ность запоминания материала вызывают определенные формы
активной мыслительной деятельности, что приводит соответст-
венно к полному, точному, прочному запоминанию. Влияние этих
установок на учащихся усиливается по мере овладения приемами
мыслительной деятельности.
II.2.	Материал относительно большого объема усваивается не-
охотно.
II.3.	На прочность усвоения учебного материала большое влияние
оказывают мотивы деятельности учащихся, их интерес к изучаемой
теме, к предмету, осознание значимости, важности данного
материала, устойчивые интересы и потребности, положительные
эмоции, возникающие при успешном усвоении материала, отрица-
тельные эмоции, вызванные переживаниями, чувством стыда или до-
сады на себя из-за невнимательности, временных неудач при выпол-
нении посильного задания.
Зависимость между пониманием и запоминанием
П.4. Определенный уровень понимания материала — необходи-
мое условие его запоминания.
II.5.	Если материал плохо понят, то он усваивается формально,
запоминается неточно, искажения не замечаются и часто возникает
иллюзия запоминания и усвоения.
II.6.	Понимание затрудняется, если установка на полноту и
точность запоминания появляется до осознания материала в целом.
В остальных случаях установка на запоминание способствует лучше-
му пониманию.
Основная закономерность памяти и ее следствия
Запоминание называется произвольным, если наши усилия
направляются намеренно поставленной задачей запомнить данный
материал. Когда такая задача не ставится и материал запечатлева-
ется в памяти попутно, в результате какой-то другой деятельности,
говорят о непроизвольном запоминании.
II.7.	* (Закономерность Смирнова — Зинченко.) Учащийся может
запомнить материал непроизвольно, если выполняет над ним актив-
ную мыслительную деятельность и она направлена на понимание
этого материала.
П.7. (Основная закономерность памяти.) Если соблюдаются два
условия: учащийся выполняет над материалом активную мыслитель-
ную деятельность и эта деятельность способствует углубленному
пониманию материала,— происходит успешное запоминание мате-
риала (произвольное или непроизвольное).
П.7.** Применение любого приема мыслительной деятельности
в процессе изучения материала приводит к его эффективному
усвоению.
Забывание. Повторение
П.8. (Закономерность Эббингауса.) Забывание более интенсивно
протекает сразу после изучения материала (в первые часы, минуты
и даже секунды), а затем оно замедляется.
II.9.	Повторение путем разнообразной деятельности, сводящейся
хотя бы к некоторой реконструкции материала, эффективнее, чем его
повторение в неизменном виде.
П.10. Рассредоточенное по времени повторение эффективнее,
чем концентрированное.
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВНИМАНИЯ
Внимание называется произвольным, если оио поддерживает-
ся под влиянием сознательно поставленной цели и волевых уси-
лий; послепроизвольным, когда влияние сознательно поставлен-
ной цели сохраняется, а волевые усилия отсутствуют, и непроиз-
вольным, если внимание поддерживается без сознательно поставлен-
ной цели и без волевых усилий.
III	. I. Деятельность, осуществляемая на основе произвольного
внимания, требует к себе значительных волевых усилий и быстрее
утомляет человека, чем деятельность, выполняемая на основе
послепроизвольного внимания.
II	I.2. Внимание к деятельности может возникнуть и усилиться
под влиянием одного или нескольких из следующих условий: а) от-
носительной интенсивности раздражителей; б) их относи-
тельной новизны; в) неожиданности их появления;
г) контраста между ними; д) ожидания определенных
событий или впечатлений; е) при наличии положительных или
отрицательных эмоций (см. П.З).
I	II.3. Необходимыми условиями длительного сохранения
послепроизвольного внимания являются: посильность выполняемой
деятельности, наличие соответствующих знаний, умений и навыков.
II	I.4. Достаточными условиями длительного поддержи-
вания внимания являются одно или несколько из следующих усло-
вий: а) выполняемая деятельность значима для человека; б) у него
имеется чувство ответственности за ее успешное завершение; в) она
совпадает с направлением постоянных интересов человека либо
становится для него интересной хотя бы только в данный момент.
III	.5. Внимание к деятельности усиливается, если выпол-
няется хотя бы одно из следующих условий: а) имеют место актив-
ные умственные усилия; б) углубляется понимание соответствующего
материала; в) возрастает уверенность; г) возникают новые идеи, от-
крытия.
III.	6. Внимание к деятельности ослабляется, если: а) зада-
ние непосильно; б) теряется уверенность; в) работа совершаёт'ся
в чрезмерно быстром или медленном темпе; г) она сводится
к однообразным операциям; д) исчезает интерес к ней; е) вы-
полняемая работа слишком проста.
II	I.7. Внимание облегчается, если: а) мыслительная дея-
тельность сопровождается соответствующей моторной деятеле
ностью; б) объекты, которыми мы оперируем, воспринимаются зри-
тельно.
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВОСПРИЯТИЯ
I	V. 1. Восприятие объектов облегчается, если они расположены
в определенной, строго продуманной системе, требующей минималь-
ных усилий со стороны наших органов чувств. Восприятие объектов,
расположенных хаотически, осуществляется неохотно и требует зна-
чительных волевых усилий.
IV	.2. Предварительная подготовка к наблюдению, четко постав-
ленная задача, как и в какой последовательности вести наблюдение,
прошлый опыт человека и его знания облегчают восприятие,
делают его более богатым.
IV.	3. Активная мыслительная деятельность в процессе наблюде-
ния приводит к более полному, богатому восприятию. При пас-
сивном созерцании объекта от внимания человека ускользают
многие детали.
IV.4	. Легче наблюдать единичные отличия среди многих черт
сходства, чем наоборот. Различия между объектами (ситуациями)
привлекают к себе внимание более, чем их сходство.
ЗАКОНОМЕРНОСТИ МЫШЛЕНИЯ
В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ
V.I	. Вероятность вспоминания теоремы, нужной для решения
задачи, возрастает, если: а) теорема и данные задачи выражены
в одних и тех же понятиях; б) искомые и данные задачи сближены
анализом и синтезом настолько, что в оставшийся интервал как
раз «укладывается» данная теорема, целиком заполняя этот интер-
вал. (Аналогично при этих же условиях возрастает вероятность
вспоминания нужного определения, правила, закона, способа реше-
ния задачи и т. д.).
V.	2. а) Последовательность рассуждений (А, В, С, ... М),
повторяющаяся при решении однотипных задач, может «сверты-
ваться» до составной ассоциации (А; М), которая в дальнейшем,
в случае необходимости, легко «развертывается» в первоначальную
цепь рассуждений, б) Если ассоциация (Л; Л4) образована без
промежуточных звеньев, то «вклинивать» их в дальнейшем между
процессами А и М очень трудно.
V.3. (Закономерность Гальперина.) Мыслительные операции
мр^<но целенаправленно формировать путем постепенного перехода
от развернутых внешних действий, заранее запрограммированных
и выполняемых в заданной последовательности, ко все более свер-
нутым умственным действиям.
V.4. Активность мыслительной деятельности по ходу ознаком-
ления с материалом возрастает, если соблюдаются следующие
условия: 1) учащийся, ознакомляясь с материалом, одновремен-
но выполняет конкретное задание, помогающее глубже понять дан-
ный материал; 2) это задание направляет усилия учащегося на
использование определенного приема мыслительной деятельности;
3) учащийся обладает знаниями, необходимыми для выполнения
этого задания, и навыками применения данного приема; 4) этот прием
соответствует содержанию материала и чем в большей мере, тем
сильнее активизируется деятельность; 5) материал не является
чрезмерно легким.
Дидактическое правило. Сначала учитель ставит
конкретное задание, которое должны будут выполнять учащиеся по
ходу ознакомления с материалом. Только после уяснения учащими-
ся этого задания им предлагается читать соответствующий па-
раграф учебника, слушать объяснения учителя или вызванного
ученика.
ЗАКОНЫ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА
1.	При выполнении учебных задач мыслительная деятельность
учащихся различного уровня развития протекает в соответствии
с одними и теми же психолого-дидактическими закономерностями.
С возрастом и развитием учащегося изменяется лишь мера зави-
симости мыслительной деятельности от условий, указанных в этих
закономерностях.
2.	Деятельность учащегося — основа всего учебно-воспитатель-
ного процесса, основа всех процессов, протекающих в сознании
учащегося при выполнении учебных задач.
3.	Если учебная деятельность выполняется путем активных мыс-
лительных усилий и при этом достигается отчетливое понимание
изучаемого материала или решаемой задачи, то такая деятельность
становится для учащегося все более интересной и привлекательной.
Отсюда вывод. Чтобы повысить интерес учащихся к уроку,
необязательно подбирать какой-либо особо интересный материал.
При изучении любой темы достаточно добиться активной мысли-
тельной деятельности учащихся над изучаемым материалом. Усло-
вия активизации мыслительной деятельности перечисляются в зако-
номерностях 1.9; V.4 и др.
ББК 74.262
Г90
Рецензенты: кафедра методики преподавания математики МГПИ им.
В. И. Ленина, кафедра математики Мордовского ГПИ им. М. Е. Евсевьева,
кафедра алгебры Курского ГПИ
Груденов Я. И.
Г90 Совершенствование методики работы учителя математики:
Кн. для учителя.— М.: Просвещение, 1990.—224 с.: ил.—
ISBN 5-09-002723-4
В книге показано, как, опираясь на систему психолого-дидактических
закономерностей, учитель может выбирать оптимальные методические пути
в обучении математике. Описывается ряд интересных методов и приемов обуче-
ния.
„ 4306010000—459
г 103(03)—90 "°*"ИСНОе
ББК 74.262
ISBN 5-09-002723-4
© Груденов Я. И., 1990
ПРЕДИСЛОВИЕ
настоящее время значительно усилился интерес учителей
Я& психолого-педагогическим знаниям. Всем ныне очевидно, что
ЯяШйерщенствование мастерства учителя во многом зависит от того,
явуйякой мере он использует психолого-педагогические знания, как,
Жйпиряясь на них, умеет критически переосмысливать традиционный
преподавания математики, новые идеи дидактики, опыт
^учителей-новаторов.
Основная особенность данной книги состоит в том, что в- ней
зи&осматривается система психолого-дидактических закономерностей,
Й^уйвопика ее применения, способы ее реализации в практической ра-
учителя. В этих закономерностях раскрываются зависимости
:||ййжду внешними условиями учебного процесса (характером упраж-
шКйвй, их последовательностью, организационными приемами) и
ОДйренними процессами, протекающими в сознании учащихся (их
Ямйманием, активностью мыслительной деятельности, самоконтролем
.ДЯ». Д-)- Зная эти закономерности, владея методикой их применения,
Джип ель может целенаправленно управлять мыслительной деятель-
£^йсгыо учащихся, их вниманием, процессами запоминания учебного
^'йатериала. Такое целенаправленное управление внутренними про-
Жшссами учебной деятельности учащихся осуществляется путем ви-
«Жйизменения внешних условий, в которых протекает эта деятель-
ность.
Отсюда — вторая особенность книги. В ней на конкретных при-
из практики преподавания математики показываются пути
уЛрименения и реализации системы закономерностей в работе учителя.
уДООказыВается, как, опираясь на психолого-дидактические знания,
МЙвализировать методы и приемы обучения (новые и традицион-
Й|ые), как выявлять их достоинства, недостатки и особенности
^Применения, как находить выходы из многочисленных затруднений,
^^встречающихся в работе учащихся и учителя. Зная потенциаль-
Млые достоинства и недостатки методов, возможные пу^и устранения
^втих недостатков, умея анализировать и прогнозировать'предстоящие
Й*чеитуации на уроках, учитель может выбирать для се^я и своего
Л^класса наиболее подходящую совокупность методов и приемов
обучения.
Такое теоретическое осмысливание методики своей работы тре-
бует от учителя не только знаний психологических особенностей
учащихся, но и умений опираться на эти знания. Отсюда —
третья особенность данной книги. В нее включены упражнения
только для учащихся, но и для самого учителя. Это несколько
£ Необычно для методической литературы, но, на наш взгляд, целесо-
\ Образно. Упражнения, предназначенные для учителя, помогут ему
' лучше осознать прочитанный материал, овладеть методикой приме-
3
нения закономерностей и психолого-дидактических знаний в прак-
тике обучения. Во многих из этих упражнений анализируются труд-
ные ситуации, нередко возникающие на уроках, предлагаются воз-
можные выходы из этих затруднений, пути их предупреждения.
Четвертая особенность данной книги состоит в том, что в ней
последовательно осуществляется линия на сочетание традиционно-
го педагогического опыта с новыми методами обучения. Подчерки-
вается, что традиционный педагогический опыт — наше богатство,
к которому нужно относиться с уважением и максимально исполь-
зовать его наряду с новыми идеями. Отсюда в книге для многих
конкретных ситуаций намечаются различные приемы обучения (тра-
диционные и новые), из которых учитель может отобрать наибо-
лее ему подходящие.
В книге рассматриваются различные стороны учебно-воспита-
тельного процесса: обучение поиску решения задач, подбор системы
упражнений, способы составления упражнений, методика изучения
понятий, теорем, пути развития мышления учащихся, их памяти,
внимания. Для решения всех этих вопросов в книге предлагаются
совокупности методов и приемов обучения как традиционные, так
и те, которые ранее ие были описаны в методической литературе.
Книга адресована учителям как начинающим, так и опытным.
Последние также найдут для себя много полезных методических
рекомендаций, которые помогут вовлекать в активную учебную дея-
тельность не только отдельных учащихся, но и весь класс.
ГЛАВА I. СИСТЕМА ПСИХОЛОГО-
ДИДАКТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ.
МЕТОДИКА ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
§ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ОСНОВА
СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА
Возможности совершенствования методики работы учителя
существенно зависят от его умения целенаправленно управлять
мыслительной деятельностью учащихся, активизируя ее. Осуществ-
лять такое управление учитель, очевидно, может, опираясь на
психолого-педагогические знания, т. е. на систему закономер-
ностей, концентрирующую в себе сведения по психологии и ди-
дактике, и соответствующую методику применения этой системы
при обучении математике.
Рассмотрим методику применения одного из возможных ва-
риантов системы психолого-дидактических закономерностей. (Ме-
тодика построения этой системы, описания экспериментов для про-
верки закономерностей с подробными ссылками на литературные
источники приведены в другой книге автора. См. список литературы
в конце книги.) В этих закономерностях раскрываются взаимо-
связи между внутренними процессами, протекающими в сознании
учащихся, и внешними, дидактическими условиями, в которых про-
ходит учебная деятельность. По этой причине, кстати, сами зако-
номерности названы психолого-дидактическими. К внешним услови-
ям относятся содержание упражнений, их последовательность,
приемы организации урока, к внутренним — мыслительная дея-
тельность, процессы запоминания и т. п.
Поскольку в закономерностях отражаются взаимосвязи между
внутренними процессами учебной деятельности учащихся и внешни-
ми, дидактическими условиями, то, опираясь на эти закономер-
ности, учитель может путем видоизменения внешних условий коор-
динировать внутренние процессы, протекающие в сознании уча-
щихся.
Таким образом, у учителя возникает возможность целена-
правленно управлять мыслительной деятельностью учащихся.
Тем самым учитель может выбирать методы - обучения, наибо-
лее подходящие к условиям своей работы, предвидеть, прогнозиро-
вать возможные последствия их применения, находить выходы из
многочисленных затруднений, встречающихся на практике, а затем
практически проверять свои выводы.
5
Рассмотрим, например, такую закономерность:
«Активная мыслительная деятельность учащегося возрастает,
если он по ходу ознакомления с материалом выполняет конкретное
задание, направленное на понимание этого материала».
Эта закономерность обобщает опыт преподавания математики
и опыт использования психологии на уроках. Покажем применение
этой закономерности.
Можно предложить учащимся прочитать в учебнике определе-
ние: «Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется
прямоугольником», вдумываясь в это определение. Призыв «вду-
майтесь!» для большинства учащихся бесполезен. Чтобы в действи-
тельности побуждать учащихся к вдумчивому чтению, лучше, опи-
раясь иа указанную закономерность, дать конкретное задание.
В нем следует указать, что и как должен сделать учащийся, на-
пример: «Прочитайте в учебнике определение прямоугольника и
установите, можно ли его видоизменить таким образом: «Парал-
лелограмм, у которого есть прямой угол, называется прямоуголь-
ником». Ясно, что такое задание учащиеся не могут выполнить без
вдумчивого чтения, без анализа, сопоставления обеих формулиро-
вок. В таком случае по указанной закономерности учащиеся лучше
запомнят определение, чем при его чтении без конкретного задания.
Между внутренними процессами и внешними условиями учеб-
ной деятельности существует множество взаимосвязей. Чтобы облег-
чить практическое использование закономерностей, в каждую из них
включены лишь отдельные зависимости из многообразных связей
между явлениями учебного процесса. Применяя отдельную зако-
номерность, мы временно отвлекаемся от всех других зависимостей.
Но так как при анализе дидактических ситуаций мы опираемся ,
на совокупность закономерностей, применимых к этой ситуации, |
то тем самым учитываются все необходимые взаимосвязи.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Рассмотрим понятия, используемые в нашей системе законе- !
мерностей.
1.	Ассоциацией называется такая связь двух процессов Р1 и Лг, ]
протекающих в сознании, при которой первый процесс влечет ,,
за собой возникновение второго.	j
Обозначение: (Л; Р2). где Pt — первый член ассоциации;;
Pi — второй.
2.	Ассоциация называется обобщенной, если компоненты ее'
членов варьируются в зависимости от условия решаемой за- 1
дачи и эти вариации влияют на получаемый результат. (Такие ]
варьируемые компоненты членов ассоциации условимся назы- .<
вать существенными.)
3.	Ассоциация называется константной, если ее существенные
компоненты всегда неизменны; изменяться в ней могут лишь j
несущественные компоненты, т. е. те, которые не влияют на]
результат решаемой задачи.	J
6
Пример 1. Процесс Ai осознания условия любого из упраж-
нений: а3-а2-, х3*х2; Ьъ-Ь3 — всякий раз вызывает в сознании уча-
щегося процесс Л 2 представления соответствующего ответа: а5; х , Ь3.
Так как процесс Ai всегда влечет за собой процесс Аг, то по опреде-
лению 1 у учащегося имеется ассоциация (Л1;Л2). Так как ее ком-
поненты варьируются в зависимости от условия выполняемого
упражнения и влияют на получаемый результат, то по определе-
нии) 2 эта ассоциация обобщенная.
Пример 2. Процесс Bi осознания учеником задания «Сколько
будет 3-2?» моментально влечет за собой процесс В2 представления
ответа: «6». Следовательно, по определению 1 у учащегося имеется
ассоциацйя (В(; В2). Задание «Сколько будет 3-2?» ученик может
осознать отчетливо, например, при вопросе учителя в младших клас-
сах или как промежуточное, не всегда отчетливо осознаваемое
задание по ходу выполнения различных упражнений: 52*83; (а3)2;
(2х3)'. Получаемый результат (3*2=6) ученик также может пред-
ставить различным образом: в виде цифры 6, слова «шесть» и т. д.
Все эти вариации компонентов ассоциации (Bi; В2) несущественны:
они не влияют на получаемый результат. Значит, по определению
3 эта ассоциация — константная.
Константные ассоциации играют весьма существенную роль в обу-
чении литературе. В обучении математике они тоже необходимы
(например, при устном умножении или сложении однозначных чи-
сел), но проявляются значительно реже.
При изучении математики учащийся должен научиться не просто
воспроизводить знания в неизменном виде. Он должен умело при-
менять эти знания, быстро, мгновенно видоизменяя свои выводы
в зависимости от условия решаемой задачи. При этом ученик может
и не вспоминать соответствующие определения, теоремы, аксиомы,
но действовать в полном соответствии с ними.
Пример 3. При изучении нового понятия учащиеся выполня-
ют упражнение «на распознавание», например: «По данным, обо-
значенным на рисунке 1, указать медианы треугольников». Снача-
ла учащиеся каждый раз применяют определение, обосновывая, по-
чему АВ, ОМ, HP — медианы, а КО и РЕ не являются таковыми.
Позже при решении задачи: «По данным, обозначенным на ри-
сунке 2, найти угол КЕТ, если угол КЕМ равен 40°» — учащиеся
с одного взгляда без каких-либо рассуждений распознают, что ТЕ —
медиана, и, опираясь на этот вывод (который в случае требования
учителя легко обосновывают), заканчивают решение.
Рис. 1
7
Значит, процесс Ci — осознание условия: «/(Г = ТМ (рис. 2). Е —
вершина треугольника и т. д.» — моментально влечет за собой про-
цесс Съ — вывод: «ТЕ— медиана», т. е. по определению 1 у.учаще-
гося имеется ассоциация (Сь С2). Ее члены каждый раз варьируются
в зависимости от условия решаемой задачи: расположения фигуры,
ее формы, обозначения и т. д. Следовательно, по определению 2
эта ассоциация — обобщенная.
Обратим внимание на очень важную роль таких ассоциаций.
Их отсутствие является одной из основных причин слабой успевае-
мости многих учащихся. На первом этапе изучения’ геометрии учаг
щимся дают определения большого числа пбня/ий: биссектрисы,
высоты, проекции отрезка и т. д. Если учащийся не обладает ассо-
циациями вида (Ci; С2), то он не владеет языком изучаемого пред-
мета. Поэтому он не успевает сообразить, о чем говорят в классе,
даже если помнит все необходимые определения.
Выход только один: изучая каждое новое понятие, следует да-
вать упражнения «на распознавание», например указанного вида,
добиваясь формирования у всех учащихся обобщенных ассоциаций
типа (Ci; С2).
I 4. Проявление каждой обобщенной ассоциации эквивалентно
I одному или нескольким умозаключениям.
Это утверждение основывается на большом числе эксперимен-
тов, проведенных психологами и методистами (см. [5], с. 45—48)*..
Пример 4. При выполнении самых первых упражнений любой
новой темы учащиеся, если этого требует учитель, проводят подроб-
ные рассуждения, опираясь на определения, теоремы. Позже по-
добные упражнения ученики выполняют очень быстро и без объясне-
ний. Например, ученик, сознательно усвоивший тему «Степень с нату-
ральным показателем», очень быстро выполняет упражнение:
— Ь5-( — Ь)=Ь6. При этом он не проводит по своей инициативе
никаких рассуждений, но затем, если этого потребует учитель, может
легко обосновать свои действия ссылками на определение bl = b,
на теорему об умножении степеней с одинаковыми основаниями,
на правило умножения отрицательных чисел и т. д. Значит, проявле-
ние указанной обобщенной ассоциации (Ль Л2) в данном случае экви-
валентно целой цепи логических умозаключений.
5.	Умения и навыки решения задач есть определенная система
I ассоциаций, преимущественно обобщенных.
Действительно, экспериментально установлено, что и решения
учащимися задач, и поиск решений во многом сводятся к прояв-
лению обобщенных ассоциаций ([5], с. 48—50). Относительно
формирования и проявления умений и навыков в психолого-педаго-
гической литературе неизвестны практически значимые закономер-
ности, а для обобщенных ассоциаций такие закономерности сущест-
вуют. На основе понятий «умения» и «навыки» мы очень часто не
можем объяснять, а значит, и устранять многие ошибки учащихся,
* Здесь и далее см. список литературы в конце книги.
8
г.-	"1
но их можно объяснять, предвидеть и исключать, если опираться на
введенные и последующие понятия и закономерности.
Итак, понятие обобщенной ассоциации позволяет использовать
в обучении математике целую группу закономерностей, относящихся
к формированию умений и навыков, ранее неизвестных в дидактике.
(В дальнейшем в целях сокращения будем говорить об ассоциа-
циях, подразумевая под этим термином только обобщенные
ассоциации.)
6.	Ошибочной обобщенной ассоциацией называется такая ас-
социация, при наличии которой учащийся неверно решает
отдельные задачи данного типа либо не догадывается при-
менить к ним известный ему способ решения.
Константная ассоциация также бывает ошибочной, но только
в тех случаях, когда она образована вместо обобщенной.
Если ассоциация не ошибочная, т. е. верная, то при ее прояв-
лении ученик, как правило, не допустит ошибок, а если они все-таки
появляются, то носят случайный характер.
Пример 5. Предлагается упражнение: «Стороны треугольни-
ка равны 8 см, 6 см, 10 см. Является ли треугольник прямоугольным
и почему?»
Ответ дается утвердительный, со ссылкой на теорему Пифа-
гора. ' Причем и школьники, и многие студенты-математики очень
удивляются, когда их ответ отвергают. Оправдываются: «Но ведь
треугольник все-таки прямоугольный!» (Он, действительно, прямо-
угольный, но не по теореме Пифагора, а по теореме, ей обратной,
или, например, по теореме косинусов. Подобные логические ошиб-
ки, когда применяется прямая теорема вместо обратной, очень рас-
пространены. <
Рассмотрим причину данной ошибки. На уроке выполняют подряд
несколько упражнений на одну и ту же теорему. Ссылаясь на нее,
учащимся нет надобности выбирать ее из нескольких других теорем.
Достаточно вспомнить и воспроизвести уже повторявшуюся ссылку
и не надо при этом думать, анализировать. В результате в сознании
учащегося неизменно протекают одни и те же процессы:
Ei — осознает вопрос учителя «почему?»;
Е2 — повторяет только что услышанную фразу: «По теореме
Пифагора».
Значит, по определению 3 образующаяся ассоциация (Ei; Е2) —
константная. Она не приводит к ошибке, когда решают задачи толь-
ко на теорему Пифагора, так как в этих случаях бездумный ответ
формально является верным. Когда приходится применять обратную
теорему, проявляется эта же ассоциация, так как учащиеся не улав-
ливают отличий между упражнениями, в которых надо применять
теорему Пифагора или ей обратную. Следовательно, по определе-
нию 6 данная ассоциация ошибочна. Она образовалась вместо обоб-
щенных, поскольку на уроках создавались условия, при которых в
сознании учащихся могли следовать друг за другом неизменные
процессы Ei и Е2 без каких-либо промежуточных рассуждений. !
9
7.	Стимулирующим звеном называется промежуточный мысли-
тельный процесс, который вводится между двумя другими
процессами, протекающими в сознании учащегося, помогая
устанавливать связи ме5кду ними, углублять понимание и
активизировать мыслительную деятельность.
Пример 6. Как избавиться от ошибочной ассоциации (£ь Е2\
рассмотренной в предыдущем примере? Если среди тренировочных
упражнений встречаются такие, в которых используется то прямая
теорема, то ей обратная, тогда, осознав вопрос Е\, ученик вынужден
задуматься, сделать выбор и применить выбранную теорему. Воз*
можность бездумного повторения процессов £1 и Е2 уменьшается.
Между ними каждый раз вклиниваются промежуточные рассуж-
дения, которые углубляют понимание, активизируют деятельность
учащегося, т. е. по определению 7 являются стимулирующими зве-
ньями.
Пример 7. Известно, с каким трудом учащиеся выполняют уп-
ражнения по применению свойств логарифмической и показательной
функций. Чтобы уменьшить эти затруднения, опытные учителя
рекомендуют действовать по следующему плану:
1)	осознать (проанализировать) условие упражнения;
2)	выбрать (построить) график функции;
3)	опираясь на него, применить соответствующие свойства функ-
ции и сформулировать вывод.
Выполняя по этому плану упражнение: «Какой знак имеет зна-
чение функции y = log05x, если х>1?» — учащийся выбирает из
графиков, изображенных на доске и в тетрадях, тот, который
нужен в данном случае (рис. 3). Рассматривая график и показывая
соответствующую его часть, учащийся рассуждает: «Так как осно-
вание логарифмической функции у = log0 5 х меньше единицы, то ее
график имеет такой вид, как на рисунке 3, в. При х> 1 график
располагается под осью х. Значит, функция принимает на этом
интервале отрицательные значения».
Здесь все рассуждения, связанные с рассмотрением (представ-
лением) графиков, являются стимулирующими звеньями. Действи-
тельно, эти рассуждения вклиниваются между процессами осознания
вопроса и представления ответа, активизируют мыслительную дея-
тельность, углубляют понимание.
а)
Рис. 3
10
8. В качестве стимулирующих звеньев могут выступать сле-
дующие процессы: 1) вспоминание, применение по ходу озна-
комления с материалом (или по ходу выполнения упражнений)
определений, теорем, законов, различных правил, в том числе
мнемонических правил, которые как раз и предназначены для
лучшего запоминания тех или иных фактов; 2) созерцание,
представление наглядных образов (моделей, графиков, рисун-
ков, диаграмм); 3) любая деятельность с ними; 4) опериро-
вание знаками и символами (введение стрелок и других обо-
значений, подчеркивание записей и т. д.); 5) любые рас-
суждения, действия, углубляющие понимание.
9. Усвоением учебного материала будем называть совокуп-
ность процессов, направленных на понимание этого материала,
его запоминание, формирование умений и навыков его при-
менения.
Упражнения
1.	Какие ассоциации (константные или обобщенные) возникают
при запоминании стихотворений, таблицы сложения однозначных
чисел, таблицы умножения, числовых значений констант л, е?
2.	Во время фронтального опроса учащиеся по требованию
учителя произносят ряд определений, не сопровождая их соот-
ветствующими примерами и вне процесса решения задач. Почему
в такой ситуации процессы вспоминания определений не выступают
в роли стимулирующих звеньев? Нужен ли такой фронтальный опрос?
3.	Строя угол между высотой пирамиды и ее боковой гранью,
ученик формулирует определение угла между прямой и плоскостью,
находит проекцию высоты пирамиды на плоскость боковой грани
и т. д. Почему в этом случае процесс вспоминания определения
выполняет роль стимулирующего звена?
4.	Сопоставляя ситуации, рассмотренные в двух предыдущих
упражнениях, укажите, когда воспроизведение определения беспо-
лезно, а в каких условиях — желательно. В какой из этих ситуа-
ций слова-определения связываются между собой константными, а
когда обобщенными ассоциациями?
5.	Один учащийся заучивает учебный текст механически как
набор слов, другой старается (по рекомендации учителя) одно-
временно представить соответствующие образы, формулы, события,
картины и т. д. Какой из этих способов хуже? В каком из них ис-
пользуются стимулирующие звенья?
6.	Укажите сущность, методико-психологические причины и
пути устранения следующих типичных ошибок. На вопрос: «Почему
треугольник с двумя равными углами является равнобедренным?» —
учащиеся отвечают: «Потому что в равнобедренном треугольнике
углы при основании равны». Устно решая приведенное квадратное
уравнение, говорят: «По теореме Виета корни этого уравнения
равны...»
I
§ 3. ЗАКОНОМЕРНОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ
УМЕНИЙ И НАВЫКОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1.1. Ассоциация (Pi; Pz) образуется, если процессы Р\ и Рг,
протекающие в нашем сознании, возникают по ходу дея-
тельности и повторяются или непосредственно друг за дру-
гом, или с участием стимулирующего звена М. Если это
звено в дальнейшем сохраняется, то образуются две ассо-
циации: (Pi; М), (М; Р2).
Замечание. В закономерность 1.1 специально включены та-
кие категории, как «деятельность» и «стимулирующие звенья».
Это сделано исходя из потребностей практики преподавания ма-
тематики и на основе работ известных советских психологов
Л. С. Выготского, выдвинувшего идею о важной роли стиму-
лирующих звеньев, и П. А. Ш е в а р е в а, разработавшего теорию
обобщенных ассоциаций, которые, по терминологии П. A. Ille-
варева, образуются путем «правилосообразных» действий ученика,
т. е. когда правила (а значит, добавим, и определения, теоремы
и т. д.) выступают в роли стимулирующих звеньев в процессе
деятельности. Конечно, ассоциации могут возникать и без интеллек-
туальных усилий, как результат фиксации в мозгу действия внешних
раздражителей. Например, ярко запоминается человеком последова-
тельность событий дорожной аварии, если он оказался ее невольным
свидетелем. Но такие ассоциации в обучении математике нам, как
правило, не нужны, так как учащийся не может изучать математи-
ку без активной мыслительной деятельности.
Итак, ассоциации, которые образуются помимо деятельности
и без стимулирующих звеньев, в обучении математике, как прави-
ло, не нужны. Поэтому в закономерности 1.1/речь идет только о тех
ассоциациях, которые образуются при выполнении упражнений путем
активных мыслительных усилий, и особо подчеркивается способ
формирования ассоциаций с использованием стимулирующих
звеньев^
1.2. Если существенные компоненты двух процессов, протекаю-
щих в нашем сознании, при их повторении друг за другом
варьируются, то может образоваться обобщенная ассоциа-
ция; если они всегда неизменны, то константная.
Пример 1. Маленькие дети, обучаясь, многократно выполня-
ют одно и то же задание по нахождению суммы одной и той же
пары чисел, например 34-2. В этом задании изменяются только
несущественные для данной операции компоненты: складываются
3 и 2 яблока, 3 и 2 карандаша и т. д. Следовательно, по зако-
номерностям 1.1 и 1.2 у детей должна образоваться констант-
ная ассоциация. Таким же путем запоминаются суммы других пар
чисел. Для каждой из них очевидно необходимо формировать свою,
отдельную, и притом константную ассоциацию. Действительно
12
запомнив, что 34-2=5, дети еще долгое время разучивают суммы
других пар чисел.
*П ример 2. Принципиально иначе формируются навыки реше-
ния других математических задач. Например, когда школьников учат
умножать степени с одинаковыми основаниями, предлагают не одно
и то же, а различные упражнения одного типа. В них изменя-
ются уже существенные для данной операции компоненты: основа-
ния, показатели степеней и т. д. Значит, по закономерности 1.2
в этом случае должна формироваться обобщенная ассоциация
(см. (Аг, Аг) в § 2).
Пример 3. Аналогично в результате непрерывной вариации
фигур, их обозначений (рис. 2) формируется рассмотренная обоб-
щенная ассоциация (Сь С2).
1.3. Проявление ассоциации в процессе решения задачи сопро-
вождается чувством уверенности в правильности полученного
результата, тем самым уменьшается вероятность само-
контроля.
1.4. (Закономерность Шеварева.) Если в процессе деятельности
соблюдаются три условия:
1)	учащийся выполняет задания одного типа;
2)	в этих заданиях неизменно повторяется некоторая особен-
ность;
3)	осознание этой особенности необязательно для получения
верного результата,
то степень осознания этой повторяющейся особенности снижа-
ется, т. е. у учащегося образуется ошибочная обобщенная ассо-
циация.
Пример 4. Учащимся предлагалась задача: «В четырехуголь-
нике АВСК стороны АВ и СК равны, а стороны ВС и АК парал-
лельны, ВС=4 см. Если можно, вычислить АК». Так как по условию
АВСК может быть или параллелограммом, или равнобедренной
трапецией (рис. 4), то вычислить АК нельзя. Однако большинство
учащихся дают неверный ответ: «А/<=4 см». Проанализируем эту
ошибку на основе закономерности Шеварева, поочередно проверяя
все ее условия:
1)	В школьных учебниках имеется ряд задач одного типа, при
решении которых можно применять теорему: «Если две стороны
четырехугольника равны и параллельны, то он является парал-
лелограммом».
13
2)	В каждой из этих задач речь идет о четырехугольнике,
в котором одна и та же пара сторон и параллельна, и равна.
3)	Осознание данной особенности необязательно, так как уча-
щийся может ошибочно полагать, что четырехугольник, у которого
две стороны параллельны, а две другие равны, является парал-
лелограммом, и, несмотря на это заблуждение, получать верные
ответы при решении любой задачи с указанной особенностью.
Так как все условия закономерности Шеварева выполняются,
то степень осознания этой особенности снижается и образуется
ошибочная ассоциация. В ее первый член не входит осознание
указанной особенности. В результате учащийся не осознает, нё
замечает, что условие приведенной задачи (две стороны парал-
лельны, две другие равны) отличается от условий ранее решенных
задач (две стороны и параллельны, и равны). А так как проявление
ассоциации по закономерности 1.3 снижает вероятность самоконтро-
ля, то допущенную ошибку не заметили даже те учащиеся, которые
свободно анализировали ее, но только после указания учителя:
«Ответ неверный». (Опираясь на закономерности Шеварева 1.1 и
1.3, объясните, как уменьшить вероятность рассмотренной ошибки.)
1.5. Если какая-либо особенность М, присущая отдельным за-
дачам данного типа, не отражена в системе упражнений или
в рассматриваемых способах решения задач, то у учащихся
может образоваться ошибочная обобщенная ассоциация, в
состав которой не входит осознание особенности М.
Пример 5. Научившись применять формулу
sin 2а = 2 sin a cos а	(1)
к выражениям sin 2р, sin 2<р, многие учащиеся не догадываются
использовать ее для упрощения выражений вида
(2)
о а	' '
2cosT
Причина? Среди тренировочных упражнений на применение
формулы (1) не попадались такие (их обычно мало в учебниках),
где надо было выполнить преобразование вида
• п • а а
sin а = 2 sin —cos —.	(3)
В результате по закономерности 1.5 у учащихся образовалась
ошибочная ассоциация. В ее первый член не входит осознание
возможности преобразования (3). Поэтому она, проявляясь при
„ sin 2а
упрощении выражении типа 2-qsa , не проявляется при выполнении
упражнений вида (2). В последнем случае учащийся не догадывается
применить формулу (1). Чтобы исключить этот недостаток, можно
принять следующие меры: в систему тренировочных упражнений
14
включить упражнения вида (2); сформировать у учащихся навык
выполнения преобразования а=2-—=3ввести формулу
синуса двойного аргумента в виде (3), а не (1).
1.6.	Для формирования обобщенной ассоциации требуется тем
меньше упражнений, чем более учащийся развит и обогащен
знаниями, умениями и навыками, относящимися к данной
области науки.
Пример 6. Из закономерности 1.6 следует, что при изучении
новой темы слабоуспевающим ученикам требуется выполнить боль-
шее число тренировочных упражнений, чем хорошо успевающим.
Но методика урока строится обычно так, что всем дают одинако-
вое домашнее задание, а на уроке слабоуспевающие учащиеся ус-
певают решить меньше задач, чем другие. Учитывая закономерность
1.6, желательно увеличить количество тренировочных упражнений,
выполняемых слабыми учениками на уроках и дома. Например,
для домашней работы можно предложить на выбор два задания:
либо большее число простейших тренировочных упражнений, либо
меньшее количество подобных упражнений, но посложнее. Напри-
мер, предлагается построить графики либо трех функций £/ = log0,5X;
y=log3 х; y=log5x, либо только двух f/ = log0.5(—x); y=log4(—х).
Некоторые учащиеся не смогут выполнить второе задание, оши-
бочно полагая, что (—х) — отрицательное число (типичная ошибка).
Эти учащиеся выполнят первое задание. Но все они с интересом
и вниманием прослушают объяснение более догадливого ученика,
который расскажет, как строится график функции t/=log0(—х).
1.7.	Для сохранения и упрочнения обобщенных ассоциаций рас-
средоточенное повторение эффективнее концентрированного.
Пример 7. При изучении формул сокращенного умножения,
как и многих других разделов математики, учителя сталкиваются
со следующим типичным затруднением. Пока изучаются отдель-
ные небольшие темы данного раздела, учащиеся более или менее
свободно выполняют упражнения соответствующих типов. А несколь-
ко позже, когда начинают чередовать задачи различных типов по
всему разделу, учащиеся решают их значительно хуже, чем раньше,
чаще ошибаются. Как объяснить это? Выполняя упражнения одного
типа, учащиеся привыкают применять одну и ту же формулу (тео-
рему), но не приучаются к их выбору, не улавливают все особен-
ности и различия между внешне сходными упражнениями различных
типов. В результате по закономерностям 1.4 и 1.5 возникают
ошибочные обобщенные ассоциации, создается лишь иллюзия хоро-
шего усвоения материала, а позже приходится переучивать учащих-
ся. Чтобы избежать этого, учитель может в соответствии с зако-
номерностью 1.7 рассредоточить часть упражнений изучаемой темы
на последующие уроки. При этом общее число упражнений на приме-
нение каждой формулы остается неизменным. Эти упражнения рас-
15
пределяются лишь на более длительный промежуток времени, в те-
чение которого учащимся приходится не только применять изучае-
мые формулы, но и осуществлять их выбор, т. е. каждый раз
анализировать и сравнивать выполняемые упражнения.
Важно подчеркнуть, что такое рассредоточенное повторение
осуществляется учителем с учетом усвоения материала учащимися.
Наиболее опытные учителя в соответствии с лучшими тради-
циями методики математики всегда стараются добиваться того,
чтобы учащиеся в процессе решения задач обосновывали свои
действия, применяя определения, теоремы, аксиомы, использовали
в своих рассуждениях графики, модели и т. д. Весь этот комплекс
методических средств охватывается понятием стимулирующего зве-
на (см. § 2, пп. 7, 8). Отсюда очевидна эквивалентность сле-
дующих закономерностей. (Одна из них сформулирована с помощью
введенных понятий, другая — в терминах традиционной методики
математики.)
1.8.	Использование стимулирующих звеньев по ходу решения
задач приводит к формированию прочных и устойчивых
обобщенных ассоциаций.
1.8*	. Если задачи решаются обоснованно с опорой на изучае-
мые определения, аксиомы, теоремы, то достигается глубо-
кое понимание и формируются прочные, устойчивые умения
и навыки.
Из закономерности 1.8 (или 1.8*) следует, что при решении
задач учащиеся должны как можно чаще пользоваться стимулирую-
щими звеньями. В то же время известно, что многие учащиеся решают
задачи механически, только по аналогии с предшествующими за-
дачами, стремятся обойтись без рассуждений, не вникают в сущность
объяснений. Поэтому учителю необходимо знать условия, которые
побуждают учащихся обосновывать решения задач. Эти условия
перечисляются в следующей закономерности:
1.9.	Если при изучении новой темы выполняются условия:
1)	учащемуся предлагают задачи только одного типа;
2)	решение каждой из них сводится к одной и той же операции;
3)	эту операцию (ее результат) учащемуся не приходится вы-
бирать среди других, которые возможны в сходных ситуациях;
4)	данные задач не являются для учащегося непривычными;
5)	он уверен в безошибочности своих действий,
то учащийся при решении 2-й или 3-й задачи перестает вспоми-
нать и применять изучаемые определения, теоремы, прекращает
обосновывать решения задач.
Если хотя бы одно из перечисленных условий нарушается при
решении какой-то задачи, то учащийся начинает обосновывать ре-
шение этой и одной-двух последующих задач.
16
a)	fy
Рис. 5
В предыдущих примерах показано применение одной-двух зако-
номерностей. Рассмотрим теперь использование трех и более зако-
номерностей при анализе одной и той же ситуации.
Пример 8. Учащимся в контрольной работе предложили за-
дачу. «Угол между диагональю боковой грани правильной тре-
угольной призмы и другой боковой гранью равен 30°, боковое ребро
призмы равно 8 см. Найти площадь полной поверхности».
Большинство учащихся допустили ошибку при построении угла
между прямой и плоскостью. Ошибку можно объяснить на основе
закономерностей 1.9; 1.5; 1.3. В предлагаемых в школе задачах,
при решении которых необходимо строить углы между прямой
и плоскостью, не встречается такое расположение прямой и плос-
кости, как в данной задаче. Следовательно, осознание такой осо-
бенности задачи по закономерности 1.5 не входит в состав форми-
руемой у учащихся ассоциации.
Создается иллюзия усвоения данного понятия. Учащиеся помнят
определение угла между прямой н плоскостью, даже ссылаются на
него в привычных ситуациях, когда плоскость расположена «внизу,
под прямой» (рис. 5). Но эти ссылки формальны, без должного
осмысливания. Причина? Так как на уроках рассматриваются обычно
одни и те же стандартные ситуации, то они становятся для уча-
щихся привычными, выполняются также все остальные условия зако-
номерности 1.9. В результате учащиеся при решении задач перестают
обосновывать построение угла между прямой и плоскостью, прек-
ращают вдумчиво прислушиваться к соответствующим рассужде-
ниям, произносимым на уроках.
Встречаясь позже с необходимостью построения угла между
прямой и плоскостью в необычной ситуации, учащиеся уже не мо-
гут провести обоснование с привлечением всех необходимых оп-
ределений и теорем (рис. 6, а). Ученик просто пытается угадать
расположение угла на основе ошибочной ассоциации: М, — осознает
необходимость построения угла между прямой и плоскостью;
М2 — угадывает, отмечает какой-то «подходящий» (по его мнению)
угол (рис. 6, б, в). А так как проявление ассоциации сопровождается
«чувством уверенности» (закономерность 1.3), то учащийся даже
не пытается проверить, верно ли он отметил угол.
17
Упражнение. Объясните, каким образом можно исключить
ошибку, рассмотренную в последнем примере.
Проиллюстрируем теперь возможности учителя в максимальной
мере активизировать мыслительную деятельность учащихся при ре- '
шении задач.
Пример 9. После изучения теоремы о прямой, перпендикуляр- 
ной диаметру окружности, для самостоятельной работы в классе
предлагались следующие задачи:
1.	Диаметр окружности АВ перпендикулярен прямой МК ,
(рис. 7, а). Точка В лежит на прямой МК- Сколько общих точек
имеют прямая МК и окружность?
2.	МР — диаметр окружности (рис. 7, б), угол КМР равен 90°.
Является ли КМ касательной к окружности?
3.	Прямая АВ перпендикулярна диаметру окружности КС
(рис. 7, в). Будет ли прямая АВ касательной к этой окружности?
4.	Угол КАЕ — прямой, А К — диаметр окружности (рис. 7, г).
Сколько общих точек имеют прямая АЕ и окружность?
При решении каждой из приведенных задач учащиеся по сво-
ей инициативе ссылались на теорему о свойстве касательной. Это
объясняется тем, что данные задач являются для учащихся не-
сколько непривычными (различное расположение фигур, вариации
в словесных формулировках), т. е. нарушается четвертое условие
закономерности 1.9. Это и побуждает учащихся хотя бы в какой-
то мере ссылаться на теорему.
Однако в обучении важно, чтобы учащиеся не только опира-
лись на теоремы, но и максимально активизировали при этом свою
мыслительную деятельность. Они должны тщательно проверять вы-
полнимость всех условий теоремы, не ограничиваясь беглым
просмотром (вспоминанием) ее или поверхностной ссылкой на нее.
Но структура данной системы упражнений такова, что при решении
задач 1 и 2 учащийся может получить верный ответ, не проверяя
выполнимость одного из условий теоремы — «прямая проходит че-
рез конец диаметра». Значит, по закономерности Шеварева, осозна-
ние этого условия ослабляется. Если это так, то учащийся может
допустить ошибку при решении задачи 3. Действительно, на опи-
сываемом уроке почти все учащиеся заявили, что АВ — каса-
тельная к окружности (рис. 7, в).
18
Рис. 7
Ошибка анализировалась по рисунку 7, д. Анализ ошибки вызвал
оживление в классе, повышенный интерес, но, главное, привел
к нарушению еще и пятого условия закономерности 1.9: поколебалась
уверенность учащихся в безошибочности своих действий. Поэтому
ожидалось, что задачу 4 учащиеся будут решать более вдумчиво,
чем предшествующие.
Возникают вопросы: как практически проверить высказанное
предположение? Существуют ли объективные критерии, позволяю-
щие учителю судить о мере активности мыслительной деятельности
учащихся в момент обдумывания решения? Это оказывается легко
установить по особо напряженной тишине, наступающей на уроке
в момент интенсивного обдумывания, и по времени решения за-
дачи.
На описываемом уроке время обдумывания решения фиксирова-
лось от момента появления на экране условия задачи и до того,
как учащиеся начинали поднимать руки. Хронометраж облегчался
тем, что основная масса учащихся начинала поднимать руки
почти одновременно.
Время, затраченное на обдумывание первых трех задач, оказа-
лось равным соответственно 15—18 с, 6—8 с, 2—3 с. Ясно, что двух-
трех секунд для анализа условия задачи 3 явно недостаточно. Зна-
чит, учащиеся фактически не вдумывались в условие этой задачи,
полагая, что она аналогична предшествующим.
После указанной ошибки и ее анализа учительница предложила
задачу 4. При этом сразу и резко изменилась обстановка в классе
по сравнению с тем, как проходило обдумывание предшествующих
трех задач. Класс затих. Лица учащихся выражали особое внимание.
Обдумывали задачу около одной минуты, т. е. в 7—8 раз больше
времени, чем точно такую же задачу 2.
Указанную ошибку объясним более детально, поочередно про-
веряя условия закономерности Шеварева: 1) задачи 1 и 2 одного
типа; 2) они обладают повторяющейся особенностью — «прямая про-
ходит через конец диаметра»; 3) данную особенность учащийся мо-
жет не осознавать и, несмотря на это, получать верные ответы
при решении задач 1 и 2. Так как выполняются все условия за-
кономерности Шеварева, то осознание данной особенности ослабе-
вает и у учащихся начинает формироваться ошибочная ассоциа-
19
ция. Она проявляется при решении задачи 3 — учащийся уже не
проверяет все условия применяемой теоремы, а лишь формально
ссылается на нее. Проявление ассоциации вызывает «чувство уве-
ренности» (закономерность 1.3), и учащийся не проверяет свой
вывод, даже если мог бы это сделать.
Итак, опираясь на закономерности, учитель может в макси-
мальной мере активизировать мыслительную деятельность учащих-
ся, прогнозировать ошибки. Он может также полностью быть уве-
ренным в том, что во время паузы, предоставляемой для обдумы-
вания решения задачи, напряженно работает весь класс.
Упражнения
1.	Почему ошибка такого типа, как рассмотренная в последнем
примере, не только не страшна, а даже желательна? Почему эта
ошибка и ее анализ помогают оживить работу класса, активизи-
ровать деятельность учащихся?
2.	При изучении обыкновенных дробей учащиеся сравнительно
быстро прекращают ссылаться на правило сложения дробей с оди-
наковыми знаменателями, но длительное время опираются на пра-
вило сложения дробей с разными знаменателями. Как объяснить
этот факт? В первом случае учащиеся каждый раз выполняют в
основном одну операцию (складывают числители), во втором —
несколько (находят общий знаменатель, дополнительные множи-
тели и т. д.). Значит, при сложении дробей с разными знаменателя-
ми всегда нарушается второе условие закономерности 1.9, и по-
тому учащиеся опираются на правило. При сложении дробей с оди-
наковыми знаменателями второе условие закономерности 1.9 не
нарушается, и при одновременном выполнении остальных ее условий
учащиеся чрезмерно быстро перестают опираться на правило.
Примените подобные рассуждения к системам упражнений вида
1) (х5)'; (у7)'-, ... 2) V*4; V?; ... 3) ja-ffi; ... 4) Най-
ти НОК чисел 36 и 45; 48 и 32; ... 5) Igo4; lg b5; ...
Укажите, при выполнении упражнений какого из этих типов уча-
щиеся не будут опираться на соответствующие теоремы. Можно
ли нейтрализовать эту тенденцию учащихся, если в систему одина-
ковых упражнений (например, в систему вида 2) включать упраж-
нения другого типа, внешне сходные с первыми, например такие:
a) б) УГб^; в) ^/4?; г) д/Зб/и12?
Какую ошибку учащиеся могут допустить в упражнении в)?
Как эта ошибка повлияет на выполнение упражнения г)?
3.	Рассуждения, проведенные при выполнении предыдущего
упражнения, используйте к выводу о недопустимости «случайного»
подбора к уроку, например, такой системы упражнений: 5-(-—3);
4-(—8); 2-(—-0,5); 9-(-6).
4.	К уроку, на котором учащиеся учатся вычислять квадратные
20
корни из чисел с помощью таблиц или микрокалькуляторов, учитель
подготовил следующие задачи:
1)	Вычислить длину стороны квадрата, если его площадь равна
578,2 см2.
2)	Площадь прямоугольника с равными смежными сторонами
равна 28,34 м2. Чему равна длина его стороны?
3)	Вычислить длину стороны прямоугольника, если его площадь
равна 435 см2.
4)	Площадь ромба, имеющего прямой угол, равна 62,7 см2.
Найти длину стороны ромба.
Опираясь на закономерности 1.9; 1.4; 1.3, объясните, какую
ошибку допустят учащиеся при решении задачи 3, почему снизится
активность их мыслительной деятельности при решении задач 2 и 3,
а задачу 4 они будут решать более вдумчиво.
§ 4.	ЗАКОНОМЕРНОСТИ УСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО
МАТЕРИАЛА И ЗАКОНОМЕРНОСТИ ПАМЯТИ
Влияние мотивов деятельности и эмоций
II.1.	Установки (направленность) на полноту, прочность, точ-
ность запоминания материала вызывают определенные фор-
мы активной мыслительной деятельности, что приводит соот-
ветственно к полному, точному, прочному запоминанию.
Влияние этих установок на учащихся усиливается по мере
овладения приемами мыслительной деятельности.
Пример 1. Одни учителя систематически опрашивают учащих-
ся по пройденному материалу, другие чрезмерно часто ограничи-
ваются опросом только по теме, изучаемой в данный момент. Естест-
венно, в первой ситуации у учащихся возникают установки на
длительное, во второй — на кратковременное запоминание изучае-
мого материала. Эти установки по закономерности II.1 в первой
ситуации вызывают у учащихся такие формы активной мыслитель-
ной деятельности, которые способствуют длительному, прочному
запоминанию изучаемого материала. А далее его сохранение в памяти
обеспечивается еще и повторением. Наоборот, во второй ситуации
материал и запоминается ненадолго (по той же закономерности),
и реже повторяется в дальнейшем, что приводит к его быстрому
забыванию.
II.2.	Материал относительно большого объема усваивается
неохотно.
Пример 2. Отдельные параграфы школьных учебников матема-
тики содержат материал чрезмерно большого объема. В результате
Учащимся часто предлагают прочитать к уроку по 1,5—2 и более
страниц из учебника. Такие задания многие учащиеся под влия-
нием закономерности II.2 не выполняют. Они либо совсем не читают
21
материал этих параграфов, либо просматривают одни только форму-
лировки. Чтобы исключить это негативное явление, надо каждый
раз указывать, какой материал из данного параграфа учебника
следует изучить, а какой можно опустить или прочитать как
дополнительный.
11.3.	На прочность усвоения учебного материала большое влия-
ние оказывают мотивы деятельности учащихся, их интерес
к изучаемой теме, к предмету, осознание значимости, важ-
ности данного материала, устойчивые интересы и потреб-
ности, положительные эмоции, возникающие при успешном
усвоении материала, отрицательные эмоции, вызванные пе-
реживаниями, чувством стыда или досады на себя из-за не-
внимательности, временных неудач при выполнении посиль-
ного задания.
Из этой закономерности следует хорошо известная учителям
рекомендация о необходимости развития у школьников интереса к
математике, усиления у них чувства ответственности и т. д.
Зависимость между пониманием и запоминанием
11.4.	Определенный уровень понимания материала — необходи-
мое условие его запоминания.
Эта закономерность соответствует дидактическому принципу
сознательности и хорошо известна учителям, но на практике соблю-i
дается далеко не всегда. Подтверждением этому служит такой
широко распространенный вид фронтального опроса, при котором
учащиеся воспроизводят одно за другим ряд определений и тео-
рем, ие сопровождая их примерами применения. Вне примене-
ния — значит без должного понимания. В результате многие уча-
щиеся прибегают к зубрежке и, несмотря на многократные повто-
рения на уроках одних и тех же формулировок, не запоминают их..
Выходит, что подобный фронтальный опрос, проводимый для провер-
ки знаний и с целью повторения, приносит мало пользы.
В то же время необходимо проверять знание формулировок,,
повторять их. Как же выйти из этого противоречия?
Любые вопросы типа «Что называется ...? Как формулируется
такая-то теорема?» легко заменить соответствующими упражнения-
ми. Выполняя их, учащиеся и формулируют, и применяют опре-
деления, теоремы, а значит, лучше понимают их и легче запоминают.
Рассмотрим эту методику пока только на нескольких примерах.
Пример 3. Вместо вопроса: «Что называется параллелограм-
мом?» — предлагается упражнение: «Какие фигуры на рисунке 8
являются параллелограммами? Найти длину В К.. (Данные обозначе*
ны на чертежах.)» При ответе учащиеся не просто воспроизводят ои-
ределения и теоремы, а осуществляют выбор их и учатся их при-
менять.
22
Рис. 8
Пример 4. Вместо задания: «Сформулировать признак перпен-
дикулярности плоскостей» — предлагается упражнение: «Перпенди-
кулярны ли плоскости аир (рис. 9), если ЛВ±а?» Учащиеся
обычно дают утвердительный ответ, а затем, формулируя теорему,
выясняют, что данных для такого вывода недостаточно. Тем самым
отчетливо осознаются все условия теоремы. Она легко и прочно
запоминается.
Пример 5. Вместо вопроса: «Что называется апофемой пра-
вильной пирамиды?» — дается упражнение: «Является ли КМ апо-
фемой пирамиды (рис. 10), если КМ лежит в плоскости боковой гра-
ни КСЕ и перпендикулярна стороне основания СЕ?» Уча-
щиеся формулируют определение и отвечают: «КМ — апофема, если
пирамида правильная».
П.5. Если материал плохо понят, то он усваивается формально,
запоминается неточно, искажения не замечаются и часто
возникает иллюзия запоминания и усвоения.
Пример 6. Нередко учащиеся, формулируя аксиому парал-
лельности, допускают следующую ошибку: «Через данную точку мож-
но провести прямую, параллельную данной прямой, и притом только
одну». На вопрос учителя: «Какая ошибка допущена в этой фор-
мулировке?» — не может ответить, как правило, никто из учащих-
ся VII и более старших классов. В приведенной формулировке име-
ются два утверждения: 1) возможность проведения параллельной
прямой и 2) ее единственность. Первое из них доказывается не-
зависимо от аксиомы параллельности, и его некорректно включать
Рис. 9
Рис. ю
23
в формулировку аксиомы. В ней постулируется только единствен-
ность: «Через данную точку проходит не более одной прямой, па-
раллельной данной прямой». Учащиеся не разобрались в этом,
не уяснили себе связь аксиомы параллельности с соответствую-
щими теоремами, т. е. не добились достаточно глубокого понимания.
При таких условиях по закономерности II.5 усвоение оказываете#
формальным, запоминание неточным и искажения не замечаются
учащимися, что наглядно иллюстрируется приведенными наблю-
дениями.
Учащимся часто только кажется, что материал усвоен, а вос-
произвести его они не могут или в лучшем случае воспроизводят его
буквально, безжалостно пропуская и искажая его отдельные
части.
Отрицательные явления, протекающие в соответствии с зако-
номерностью 11.5, уменьшаются, если учащийся приучен к самоконт-
ролю и в прошлом неоднократно сталкивался со случаями расхож-
дения между кажущимся и фактически достигнутым уровнем пони-
мания и запоминания. Следовательно, полезно создавать на уроках
такие ситуации (как в последнем примере), когда учащиеся затруд-
няются ответить на вопрос, кажущийся им очень простым. Такие
вопросы заинтересовывают учащихся, способствуют развитию са-
моконтроля.
11.6. Понимание затрудняется, если установка на полноту и точ-
ность запоминания появляется до осознания материала в
целом. В остальных случаях установка на запоминание спо-
собствует лучшему пониманию.
Пример 7. Опытные учителя перед изложением доказательст-
ва теоремы дают часто план доказательства. Например, перед дока-
зательством признака перпендикулярности плоскостей дается такой
план:
1)	строим линейный угол двугранного угла (рис. 9);
2)	доказываем, что этот угол прямой;
3)	вывод.
План облегчает осознание идеи доказательства в целом, что по
закономерности И.6 способствует лучшему пониманию.
Если план не дается, то внимание учащихся фиксируется на дета-
лях доказательства до осознания его идеи в целом, что по той же
закономерности затрудняет понимание. И действительно, доказа-
тельство рассмотренной теоремы, данное без плана, многие учащиеся
воспроизводят путанно, не понимают его. В этом легко убедйться, за-
дав вопросы: «Для чего проводится прямая, перпендикулярная ВС
(рис. 9)? Почему ее надо проводить в плоскости а?» Как это ни стран-
но, подобные вопросы вызывают затруднения у многих учащихся, ко-
торые, казалось бы, уверенно изложили доказательство теоремы.
Значит, оно усвоено формально.
24
Основная закономерность памяти и ее следствия
в психологии различают произвольное и непроизвольное запоми-
нание. Запоминание называется произвольным, если наши усилия
направляются намеренно поставленной задачей запомнить данный
материал. Когда такая задача не ставится и материал запечатлевает-
ся в памяти попутно, в результате какой-то другой деятельности,
говорят о непроизвольном запоминании.
В учебном процессе важную роль играют оба вида запоминания.
Д. В. Занков, Д. Н. Узнадзе и другие советские психологи
выявили условия эффективности произвольного запоминания. Они
перечислены в закономерности II. 1. В психологии установлены также
и другие условия эффективности произвольного запоминания: 1) ак-
тивная мыслительная деятельность над материалом (но не много-
кратное, «механическое» повторение — «зубрежка»); 2) усилия, на-
правленные на понимание (см. II.4).
До недавнего времени в дидактике и в психологии считалось,
что учебный материал усваивается учащимися преимущественно на
основе произвольного запоминания. Методика уроков, используе-
мая во многих школах вплоть до настоящего времени, также наце-
ливает учащихся на произвольное запоминание. Это подтвержда-
ется одним из видов фронтального опроса, сводящегося к воспроиз-
ведению формулировок вне процесса решения задач (см. упр. 2 к§ 2).
Известные советские психологи П. И. 3 и н ч е н к о и А. А. С м и р-
н о в установили, что вопреки мнению, сложившемуся в педагогике
и в психологии, важное значение в учебном процессе имеет также
непроизвольное запоминание, и выявили следующие условия его эф-
фективности:
II.7*. (Закономерность Смирнова — Зинченко.) Учащийся может
запомнить материал непроизвольно, если выполняет над
ним активную мыслительную деятельность и она направле-
на на понимание этого материала.
Эта закономерность имеет большое практическое значение в деле
совершенствования методов и форм обучения. Например, вместо
задания: «Изучить такой-то параграф учебника» — учитель предла-
гает выполнить определенную деятельность над заданным материа-
лом: составить план его, сравнить с ранее изученным и т. д. Подобные
задания учащиеся могут выполнить только путем активной мысли-
тельной деятельности, причем она направлена на понимание мате-
риала. Следовательно, выполняются оба условия закономерности
II.7* и материал запоминается непроизвольно.
Когда проверяется домашнее задание, учащиеся убеждаются в
том, что учитель поощряет также твердое знание основных фактов.
Отсюда у многих учащихся возникает направленность- на прочное
запоминание. И тогда деятельность учащихся над материалом приво-
дит к его произвольному запоминанию уже по закономерности 11.1.
Очевидно, учителю нет надобности уточнять, каким образом
учащиеся запомнили материал: произвольно или непроизвольно.
25
Главное, чтобы они его знали и понимали. Учитывая эти практи-
ческие потребности, учителю удобнее пользоваться следующей за-
кономерностью:
II.7. (Основная закономерность памяти.) Если соблюдаются два
условия: учащийся выполняет над материалом активную
мыслительную деятельность и эта деятельность способству-
ет углубленному пониманию материала, то происходит ус-
пешное запоминание материала (произвольное или непро-
извольное).
Пример 8. При изучении формул сокращенного умножения
учителя часто не могут добиться того, чтобы все учащиеся класса
твердо запомнили формулировки этих формул. В связи с этим типич-
ным затруднением, относящимся и к другим темам, сравним три
способа работы.
Первый способ. Учитель требует по ходу выполнения уп-
ражнений формулировать соответствующие правила сокращенного
умножения. Но это требование удается осуществить не всегда, по-
скольку многие учащиеся не помнят правила. Чтобы добиться их за-
поминания, учитель на каждом уроке проводит 3—4-минутный фрон-
тальный опрос. Во время него учащиеся воспроизводят правила, но
вне процесса решения задач. В результате правила по многу раз
повторяются на уроках, учащиеся стараются их запомнить, но не
у всех это получается.
Каковы причины неэффективности данного способа? Требования
учителя нацеливают учащихся на произвольное запоминание. Возни-
кающие при этом установки по закономерности П.1 способствуют
запоминанию правил некоторыми учащимися, но не всеми. Не всеми,
потому что процессы запоминания правил и их применения происхо-
дят раздельно. Значит, правила не запоминаются путем активной
деятельности над «ими, т. е. не выполняются оба условия основной
закономерности памяти. Следовательно, одно только произвольное
запоминание оказывается неэффективным.
Второй способ. Если вызванный ученик не помнит правило,
то учитель предлагает ему по ходу выполнения упражнения читать
соответствующее правило. Ученик читает правило по учебнику и,
останавливаясь после каждой логической части, выполняет соответ-
ствующую часть упражнения. Например: «Куб двучлена (записы-
вает (а& + 2)3) равен сумме четырех выражений: куба первого члена
(записывает (ab)3), утроенного произведения квадрата первого чле-
на и второго (записывает 3 (ab)2-2)...» Оказывается, что при этом
способе учащиеся быстрее запоминают правила, но опять-таки не все.
Как это объяснить?
При втором способе правила запоминаются в процессе активной
мыслительной деятельности (по ходу выполнения упражнений), и эта
деятельность направлена на понимание (иначе упражнение не вы-
полнишь) , т. е. выполняются оба условия закономерности II.7. Поэто-
му правила запоминаются легче и большим числом учащихся, чем
26
при первом способе работы. Однако из-за отсутствия требований
учителя у многих учащихся не возникает установка на твердое запо-
минание правил, «не срабатывает» закономерность II. 1. Следователь-
но, одно только непроизвольное запоминание также оказывается не-
достаточно эффективным.
Третий способ. На уроке, на котором вводится новое пра-
вило, учитель разрешает и даже рекомендует читать это правило по
ходу выполнения упражнений так, как показано выше. Но в конце
урока предупреждает, что к следующему уроку правило надо будет
твердо помнить. «А мы его уже помним»,— заявляют многие уча-
щиеся. Они действительно запомнили правило в соответствии с за-
кономерностью II.7 (см. выше), но не все. Некоторым учащимся
придется дома повторить это правило. После его неоднократного при-
менения, когда учащиеся уяснили смысл каждого слова формулиров-
ки, ее повторение с целью запоминания уже ничего общего не имеет
с «зубрежкой». Под влиянием требований учителя у учащихся возни-
кает установка не прочное запоминание. В результате в дальнейшем
все учащиеся твердо запоминают правила, так как при работе с ними
выполняются все условия закономерностей II. 1 и II.7. Следователь-
но, такой способ работы из всех трех рассмотренных — наилучший.
Из приведенных примеров видно, что учителю и в других случаях
желательно добиваться выполнения всех условий закономерностей
II.7; II. 1; II.4 («активная мыслительная деятельность над материа-
лом», «его понимание», «установка на запоминание»). Если все эти
условия выполняются, то учащийся, читая учебник или слушая объ-
яснения учителя, прочно и с должным пониманием запомнит, усвоит
изучаемый материал.
Следует обратить особое внимание на то, что первоисточниками
рассматриваемых закономерностей и выводов из ннх являются не
только психологические знания, но и рекомендации традиционной ме-
тодики математики. Эти рекомендации очень актуальны в настоящее
время.
Известные советские методисты В. М. Б р а д и с, В. В. Р е п ь е в
и др. постоянно подчеркивали, что хорошее усвоение материала
обеспечивается не многократным и неизменным повторением, заучи-
ванием, а активной работой над материалом. Закономерности лишь
помогают нам убедиться в справедливости рекомендаций традицион-
ной методики математики, отчетливее понять необходимость этих
рекомендаций. В. М. Брадис многократно подчеркивал необходи-
мость установления взаимосвязей между отдельными вопросами изу-
чаемой темы и ее связей с другими разделами математики. Он на-
стоятельно рекомендовал бороться с тенденцией учащихся к букваль-
ному воспроизведению материала учебника, советуя спрашивать до-
казательства по измененному чертежу, с другими буквенными обо-
значениями и т. д. Указывал на желательность формировать умения
составлять план изучаемого материала, выявлять его основную идею.
Выделял основной способ изучения теорем — учить их применению
к решению задач. Советовал учить умению приводить примеры и
27
контрпримеры к изучаемым понятиям и теоремам. Например, уча-
щийся должен уметь объяснять, почему АВСО является прямо-
угольником (рис. 11), ТОВЕ — параллелограммом, а МРНК. — квад-
ратом, хотя по внешнему виду первые два четырехугольника ска-
жутся» квадратами, последний — ромбом (данные обозначены на
чертежах).
Таким образом, во всех этих и других рекомендациях В. М. Бра-
диса (см.: Б р а д и с В. М. Методика преподавания математики в
средней школе.— М., 1954) в явном виде выступают требования тра-
диционной методики математики о применении в обучении различных
приемов мыслительной деятельности. К ним относятся соотнесение, ’
т. е. установление взаимосвязей в изучаемом материале, конкретиза- ;
ция, обобщение и т. д.
В. В. Репьев советовал перед изучением теорем воспроизводить в
памяти тот материал, на который придется опираться, привлекать
учащихся к самостоятельному «переоткрытию» новых знаний. Под-
черкивал необходимость добиваться точного запоминания основных 1
фактов при отчетливом их понимании. Рекомендовал «методические
правила доказательства теорем»: выделение условия и заключения )
теоремы, полное использование при доказательстве всех условий тео-
ремы, замена понятий их определениями (см.: Репьев В. В. Общая
методика преподавания математики.— М., 1958).
С аналогичными рекомендациями мы встречаемся в работах дру-
гих советских методистов М. В. Потоцкого, С. М. Ч у к а н ц о- -
в а, Р. С. Черкасова и др.
Таким образом, в методике математики, психологии, дидактике
выработано множество приемов мыслительной деятельности (сравне-
ние, классификация и др.). Применение каждого из этих приемов в
процессе изучения материала обязательно приводит к его пониманию.
Следовательно, при этом выполняются оба условия основной зако-
номерности памяти (П.7) и материал хорошо усваивается. Отсюда
приходим к целому ряду следствий из этой закономерности:
11.7*	*. Применение любого приема мыслительной деятельности в '
процессе изучения материала приводит к его эффектив-
ному усвоению.	'!
28
Опираясь на эту закономерность и лучшие традиции методики
обучения математике, учитель может любое задание по изучению
нового материала сопровождать конкретным указанием, какую дея-
тельность выполнить над этим материалом: сравнить, классифици-
ровать, составить план и т. п.
Забывание. Повторение
11.8.	(Закономерность Эббингауса.) Забывание более интенсивно
протекает сразу после изучения материала (в первые часы,
минуты и даже секунды), а затем оно замедляется.
11.9.	Повторение путем разнообразной деятельности, сводящейся
хотя бы к некоторой реконструкции материала, эффективнее,
чем его повторение в неизменном виде.
Под реконструкцией понимают любое эквивалентное изменение
материала.
П.10. Рассредоточенное во времени повторение эффективнее, чём
концентрированное.
Пример 9. В школьной практике распространены два приема
организации урока: 1) урок начинается с проверки домашнего зада-
ния, которая затягивается иногда минут на 10—15 и более; затем
изучается новая тема; 2) новая тема излагается по возможности в
начале урока; домашнее задание проверяется в процессе закрепления
новой темы.
Из закономерности Эббингауса следует, что второй прием пред-
почтительнее, так как он позволяет повторять материал сразу вслед
за моментом самого интенсивного забывания. Вспомним, что матери-
ал наиболее интенсивно забывается даже в первые минуты после
его изучения. Но он тут же восстанавливается в памяти учащихся
на протяжении последующей части урока. А далее опять-таки, по
закономерности Эббингауса, темп забывания замедляется. Следова-
тельно, при работе вторым приемом изученный на уроке материал
должен сохраняться в памяти учащихся лучше, чем при работе
первым приемом.
Очевидно, в зависимости от конкретной ситуации более пред-
почтительным может оказаться первый прием, если, например, про-
верка домашнего задания проходит интенсивно и ее необходимо
увязать с новой темой.
Пример 10. Учащимся дали такое определение: «Многогран-
ник, две грани которого n-угольники, лежащие в параллельных
плоскостях, а остальные п граней — параллелограммы, называется
призмой».
В дальнейшем учитель может дать задания двух видов: 1 ^повто-
рить определение призмы; 2) выяснить, можно ли в данном нами
определении призмы заменить выражение «остальные и граней»
\ 29
словами «остальные грани». Часто учащие-
ся ошибочно дают утвердительный ответ
на этот вопрос. В таких случаях они с осо-
бым интересом разбирают контрпример, ил-
люстрирующий их ошибку (рис. 12).
Упражнения. Эксперименты
1.	Какое из заданий, рассмотренных в
последнем примере, предпочтительнее? Ответ
объясните, ссылаясь на закономерность II.9 и Ваш педагогический
опыт.
2.	Многие учащиеся не стараются твердо запоминать формулы,
точно и четко воспроизводить изученные определения, теоремы.
Какими мерами можно выработать у учащихся установки к прочному
и точному запоминанию основных фактов? Объясните, как эти уста-
новки скажутся на усвоении программного материала (см. законо-
мерности II. 1; П.4; II.7). Что понимается под усвоением материала?
3.	Мы всегда обязаны выделять паузу для обдумывания решения
задачи. Но уместна ли следующая типичная ситуация? Ученик за-
трудняется сформулировать определение. Тогда учитель предлагает:
«Подумай»— и выдерживает паузу в 10—15 с, чтобы ученик вспом-
нил это определение. Не лучше ли приучать школьников к требова-
нию: «Думать можно над вопросами, требующими размышления, а,
определения и теоремы надо твердо помнить, быстро вспоминать их и.
безошибочно формулировать»?
4.	Проведите экспериментальные наблюдения. Для этого попро-
сите слабоуспевающего ученика изучить при Вас заданный параграф
учебника. Понаблюдайте за работой ученика минут 15, не помогая:
ему и не вмешиваясь в его деятельность. Чтобы легче заметить осо--
бенности работы этого ученика, проведите подобные наблюдения над
его хорошо успевающим одноклассником.
Обладает ли Ваш слабый ученик необходимыми умениями работы
с книгой, умениями применять при этом какие-либо приемы мысли-'
тельной деятельности? Если нет, если он знает только один способ —
бессмысленную «зубрежку», то в состоянии ли он выполнять домаш-
ние задания, предлагаемые Вами? Не является ли отсутствие необхо-
димых умений одной из основных причин слабой успеваемости?'
Как повлияют Ваши выводы по данному эксперименту на Ваши
дальнейшие планы по совершенствованию методики своей работы?-
5. В одном классе учащиеся привыкли, что в домашнее задание
включают каждый раз не более трех задач. К одному из очередных’
уроков учителю потребовалось дать четыре задачи. Он предложил;
сначала пять задач. Класс дружно запротестовал. Тогда учитель за-]
. черкнул одну из задач н оставил четыре. Все учащиеся выразили,
чувство удовлетворения. Почему? Объясните эту ситуацию на основе
закономерности II.2. Проведите подобные наблюдения в своем клас-j
се. Стоит ли подобный «игровой прием» использовать для устранения!
30
эмоционального протеста учащихся в тех редких случаях, когда же-
лательно дать задание чуть большего объема, чем обычно? Укажите
другие приемы с такой же целевой установкой (сравните с приемом
двухвариантного, выборочного домашнего задания, см. § 3).
§ 5. ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ
ВНИМАНИЯ и восприятия
В психологии различают три вида внимания.
Внимание называется произвольным, если оно поддерживается
под влиянием сознательно поставленной цели и волевых усилий,
послепроизвольным, когда влияние сознательно поставленной цели
сохраняется, а волевые усилия отсутствуют, и непроизвольным, если
внимание поддерживается без сознательно поставленной цели и без
волевых усилий.
Пример 1. Когда ученик приступает к контрольной работе, то
ставит перед собой цель (быть сосредоточенным) и усилием воли по-
буждает себя к работе. Значит, в соответствии с приведенным опре-
делением ученик начинает контрольную работу на основе произволь-
ного внимания.
Пример 2. Если ученик знает способы решения задач, данных
на контрольной работе, то сознательно поставленная цель (быть
сосредоточенным) сохраняется, а волевые усилия он перестает за-
мечать. Следовательно, на протяжении всей остальной контрольной
работы ученик действует на основе послепроизвольного внимания.
Пример 3. Если на уроке демонстрируется необычная модель
(картина), то в момент ее появления к ней «приковывается» внима-
ние всех учащихся. Внимательными, хотя бы на некоторое время, ста-
новятся даже те учащиеся, которые раньше не утруждали себя рабо-
той. Они-то, конечно, не ставят перед собой цель (быть сосредото-
ченными) и не прилагают для этого волевых усилий. Следовательно,
какое-то время они слушают и наблюдают за действиями учителя на
основе непроизвольного внимания.
Учителю не стоит, очевидно, каждый раз вникать, на основе
какогоиз~видов ышмания~раобтают учащиеся. Однако ему жела-
те5шнбЗйдтьГна~какои~нз этих' видов лучше всепГориентироваться
при выборе Методов обучения. Из анализа ситуаций, рассмотренных в
последних дрнмерах, и им подобных"можно"сделать в^вод, что на
уроках математики "Нет смысла~рассчитывать на непроизвольнее вни- '
манйе учащихся. Изучение математики"требует активной мыслите'ль-
ной деятельности, а значит, и сознательно поставленной "цели, т. е. не
может "Проходить на основе непроизвольного~внимания. Какой же из
оставшихся видов внимания является основным на уроках математи-
ки?“Ответ на этот вопрос можно дать на основе следующей законо-
'Мерности:
Ич
31
II1.1.	Деятельность, осуществляемая на основе произвольного
внимания, требует к себе значительных волевых усилий и
быстрее утомляет человека, чем деятельность, выполняемая
на основе послепроизвольного внимания.
Из опыта известно, как трудно на уроках математики добиться
того, чтобы слабоуспевающие учащиеся работали сосредоточенно,
чтобы они путем волевых усилий побуждали себя быть внимательны-
ми. Этот общеизвестный факт легко объясняется на основе законо-
мерности III.1. По этой закономерности произвольное внимание тре-
бует значительных волевых усилий и быстро утомляет человека.
А слабоуспевающие учащиеся к тому же не проявляют сильной воли
к учебе. Отсюда ясно, почему эти учащиеся не стараются на уроках
работать сосредоточенно.
Из всего сказанного следует вывод: побуждая к длительной
сосредоточенной работе весь класс, а не только отдельных учащихся,
учителю не стоит ориентироваться на произвольное или на непро-
извольное внимание. Остается преимущественно один вид внима-
ния — посд^произвольное. Именно этот вид внимания является ос-
новныКПГ уче^нби~деятельности учащихся на уроках ^математики.
Отсюда Яш1ГГ'Та7Тллю<гГ'в'ажно учителю умело управлять вниманием
учащихся, условия, позволяющие осуществлять такое управление,
перечисляются в последующих закономерностях:
III.2.	Внимание к деятельности может возникнуть и усилиться
под влиянием одного или нескольких из следующих условий:
а) относительной интенсивности раздражителей;
б) их относительной новизны; в) неожиданнос-
ти их появления; г) контраста между ними; д) ожи-
дания определенных событий или впечатлений; е) при
наличии положительных или отрицательных эмоций
(сравните с П.З).
Пример 4. При проведении фронтального опроса опытные
учителя требуют, чтобы, формулируя определения, теоремы, учащие-
ся обязательно иллюстрировали их применение своими примерами
и контрпримерами. Опрос организуется следующим образом. У доски
стоит одни из учеников. Он со слов других учеников записывает
предлагаемые ими примеры и контрпримеры и вместе с классом
участвует в их обсуждении. Например, на вопрос: «Что называется
геометрической прогрессией?» — другой ученик (с места) предлага-
ет сначала примеры и контрпримеры (они записываются на доске):
1; 1; 1; ...; 1; 2; 4; 5; ...,
а затем формулирует определение и объясняет, почему первая после-
довательность является геометрической прогрессией, вторая — нет.
При такой работе всякий раз, как только на доске появляются
примеры и контрпримеры, придуманные вызванным учеником, класс
настораживается. Наступает особая тишина. Как объяснить это?
«Относительная новизна» этих примеров и контрпримеров, их^хщи-
32
данне, их контрастность .заостряют внимание учащихся (III. 2).
Qco6o~c5Cpe^p*fоченнТ|м~класс"становится в те моменты, когда учени-
ки пред'ЯаУают свои контрпримеры (фактор неожиданн ости).
Улавливая эту ситуацию, некоторые учащиеся начинают заранее при-
думывать примеры и контрпримеры. Учитель поощряет такую ини-
циативу, и возникающий соревновательный эффект в еще большей
мере усиливает внимание учащихся.
Рассмотренные условия (III.2) помогают учителю привлекать
внимание учащихся и поддерживать его непродолжительное время.
Но главно^ в работе учителя — умение пол проживать внимание уча-
щихся на уроке длительное время. Перечислим соответствующие
условия:.
III.3.	Необходимыми условиями длительного сохранения
послепроизвольного внимания являются//пос ильность вы-
полняемой. деятельности,^наличие соответствующих знаний,
умений и навыков.
III.4.	Достаточными условиями длительного поддержания
внимания являются одно или несколько из следующих ус-
лрвий^а) выполняемая деятельность значима для человека;
Сб) у него имеется чувство ответственности за ее успешное
завершение;(в) она совпадает с направлением постоянных
интересов человека либо становится для него интересной
хотя бы только в данный момент.
III.5.	Внимание к деятельности у с и лил ает с я, если выполня-
ется хотя бы одно из условийха) имеют место активные
умственные усилит/; б) углубляется понимание соответству-
ющего материала; в) возрастает уверенность; г) возникают
новые идеи, открытия.
При отсутствии условий, необходимых для длительного поддержа-
ния послепроизвольного внимания (III.3), ученик может выполнить
задание на основе произвольного внимания. Но это трудно (см.
III.1) —и многие учащиеся так не делают.
Известно также, что ученики могут быть невнимательными даже >
при наличии у них необходимых знаний и умений. Следовательно, '
условия, перечисленные в закономерности III.3, необходимы, но не- ,
достаточны. Достаточные условия перечисляются в закономерностях
П1.4 и III.5.

Нередко мы встречаемся с такими случаями когда киимяиир уча -
щихся наурбкё~ТГачинает ослабевать Ясно, что учитрлкх необходимо
прщщмать меры. В этом могут быть полезными следующие условия:
III.6.	Внимание к деятельности ослабляетс~я/~если: а) за-
дание непосильно; б) теряется уверенность; в) работа со-
вершается в чрезмерно быстром или медленном темпе;
г) она сводится к однообразным операциям; д) исчезает ин-
терес к ней; е) выполняемая работа слишком проста.
2 Заказ 596
33
Рис. 13
САМ
е)
Пример 5. Предлагается упражнение: «Перечислите свойства,
которыми обладают отрезки АВ и СК. Данные обозначены на
чертежах» (рис. 13). Чертежи вывешиваются последовательно один:
за другим. В момент, когда появляется очередной чертеж, внимание!
учащихся приковывается к нему. Это объясняется тем, что выполни-J
ется ряд условий закономерности III.2 («относительная новизна»,!
«контраст» между данными, указанными на отдельных чертежах). HoJ
может ли учитель быть уверенным, что учащиеся будут сосредоточе-
ны не только в момент появления очередного чертежа, но и на протя-
жении всей паузы, выделенной для обдумывания задачи?
Учитель может быть уверенным в усиленном внимании всех уча-
щихся, если одновременно соблюдаются следующие условия. Каж-;
дый ученик должен ожидать вызова независимо от того, поднимает!
он руку или нет. Такое «ожидание» повышает «значимость» постав-;
ленного задания и приковывает внимание (Ш.2; Ш.4). Для всех!
учащихся задача должна быть посильной (пусть она хотя бы только !
кажется им посильной). Они должны быть уверены в возможности
решить ее.
Эта уверенность достигается, если с подобными задачами
учащиеся уже встречались. Последние требования обязательны, по- j
скольку «посильность задания», «уверенность» в возможности его
выполнения, «наличие соответствующих знаний и умений» — необ-
ходимые условия сохранения внимания (Ш.3).
За устное решение каждой из предлагаемых задач сразу объявля-
ется оценка. В результате учащиеся проникаются чувством ответст-
венности за поставленное задание. Оно становится для них значи-
мым.
Эти требования желательны, так как «значимость» задания '
и «чувство ответственности» за его выполнение — достаточные усло-
вия сохранения внимания (Ш.4).
Задача по рисунку 13, в такая же, что и предыдущая (изменен
лишь внешний вид чертежа). Для ее решения вызывается слабый
ученик. Если он слушал решение предыдущей задачи, то самостоя-
тельно справится с данной задачей и получит хорошую оценку. По-
ложительная оценка окрыляет ученика, вызывает у него (и у других
слабых учеников) уверенность в своих возможностях. Положитель-
ные эмоции в еще большей мере усиливают внимание к следующей
задаче (Ш.2; Ш.5).
34
В то же время нарушение перечисленных условий может резко
ослабить внимание учащихся. Так, нарушения условий «посильности
задания» и «уверенности» настолько резко снижают внимание (Ш.6),
что отдельные учащиеся прекращают всякие попытки решить задачу.
Многое при этом зависит от того, как отвечают ученики, как они под-
готовлены на предшествующих уроках. В связи с этим проследим
за требованиями к ответам.
Ученик должен примерно следующим образом изложить решение
задачи по рисунку 13, б: «Так как противоположные стороны четырех-
угольника АКВС попарно равны, то он — параллелограмм. В нем
есть прямой угол. Значит, АСВК — прямоугольник. А так как равны
смежные стороны этого прямоугольника, то он является квадратом».
Далее ученик (или уже другой) перечисляет свойства отрезков АВ
и СК как диагоналей квадрата.
Нередко ученики дают такой ответ: «Так как все стороны четы-
рехугольника АКВС равны (рис. 13, а), то он является ромбом».
На первый взгляд может показаться, что ответ верный, только изло-
жен в сокращенной форме. Однако следующий диалог выявляет пол-
ное непонимание:
— На основании каких теорем, определений можно утверждать,
что АКВС — ромб (рис. 13, а)?
— По определению ромба.
—’ Сформулируй его.
Формулирует. Всем классом выясняют, что в определении ромба
за ближайшее родовое понятие принят параллелограмм. Значит,
надо доказать сначала, что АКВС — параллелограмм, а затем при-
менить определение ромба. Выясняется, что большинство учащихся
класса затрудняются решать задачи по рисунку 13.
В таких случаях не может быть и речи об устойчивости внимания
учащихся при устном решении предложенных задач. Плохо усвоен
предшествующий материал — значит надо отработать его сначала
на более простых упражнениях, например: «Указать вид четырех-
угольников. Данные указаны на чертежах (рис. 14).» Здесь есть
и контрпримеры, провоцирующие иа ошибки. В результате активи-
зируется мыслительная деятельность учащихся по закономерности 1.9
(поскольку устраняется излишняя самоуверенность учащихся в без-
ошибочности своих действий и им приходится осуществлять «выбор
операций», т. е. выбирать нужные теоремы). Вместе с тем упражне-
ние достаточно легкое, при его выполнении по нескольку раз повторя-
ются и применяются одни и те же теоремы, определения. Поэтому
2*
Рис. 14
35
у учащихся возникает «уверенность», задачи становятся для них «по-
сильными». Все это способствует концентрированному вниманию уча-н
щихся.
/ В практике обучения мы часто встречаемся с противоречивыми
требованиями и рекомендациями. Например, у одного учителя при
объяснении нового материала учащиеся только слушают, у друго-
го — слушают и одновременно записывают все то, что оформляет на*
доске учитель. Одни учителя считают необходимым, чтобы на уроках
геометрии при ответе на любой вопрос учащиеся имели перед глазами
соответствующий чертеж или модель. Они требуют также, чтобы
учащийся во время ответа всегда показывал называемые элементы
чертежа. (Иначе их не все в классе быстро находят, а значит, не
успевают вникнуть в сущность ответа.) Другие учителя не требуют
этого.
Следующая закономерность поможет учителю разобраться в
такшГ противоречивых требованиях и рекомендациях и выбрать из
них наиболее приемлемые для себя.
Ш.7. Внимание облегчается, если: а) мыслительная дея-
тельность сопровождается соответствующей моторной дея-
тельностью; б) объекты, которыми мы оперируем, восприни-
маются зрительно.
Значимость первого условия этой закономерности общеизвестна.
Например, студентам легчТТлуШаТь лекцию, если они одновременно
записывают ее основные положения. Мы все были студентами и зна-
ем этот факт. Значит, и учащиеся внимательнее слушают учителя, ес-
ли одновременно записывают основные положения из его объяснений.
Однако интенсивность, активность мыслительной деятельности при
этом еще не гарантируются. Известно также, что иногда учащиеся
механически переписывают с доски решение задачи, не вникая в ее
содержание. Без активных мыслительных усилий эта деятельность
бесполезна. В. Ф. Шаталов проверял, что после такого переписыва-
ния многие учащиеся, даже в математических классах, не могли вос-
произвести решение разобранной задачи.
Можно добиваться усиленного внимания учащихся и при наруше-
нии условия III.7, а, когда мыслительная деятельность не сопро-
вождается моторной деятельностью. Так, В. Ф. Шаталов пишет, что
ему удавалось на 20—30 мин удерживать внимание учащихся на ре-
шении задач, хотя учащиеся только слушали. Причем одновременно
активизировалась их мыслительная деятельность, что подтвержда-
лось хорошими результатами контрольной работы, проводимой на
этом же уроке. Это можно объяснить следующим образом. Хотя
при указанных приемах мыслительная деятельность учащихся не
сопровождается соответствующей моторной деятельностью (III.7, а),
однако эти приемы позволяют соблюдать ряд условий других зако-
номерностей. Так как учащийся знает о предстоящей контрольной ра-
боте, то повышается «значимость» поставленного задания, усилива-
36
ется «уверенность» и т. д. Все это позволяет концентрировать внима-
ние учащихся (Ш.4; III.5).
Повторное воспроизведение решенных в конце урока задач, т. е.
сразу после момента наиболее интенсивного забывания, приводит
также к эффективному запоминанию (закономерность Эббингауса).
Кроме того, В. Ф. Шаталов не реже одного раза в полугодие проводит
«релейную контрольную работу». В нее выборочно включаются лю-
бые задачи из решенных за прошедшее время. Значит, у учащихся
возникает установка на длительное запоминание (П.1). Получается,
что эти приемы направлены на «разучивание» задач, что очень важно.
В некоторых школах до сих пор разучивают доказательства теорем,
которые воспроизводятся в неизменном виде, что неэффективно для
запоминания и ввиду однообразной работы ослабляет внимание уча-
щихся (П.9; II 1.6).
Воспроизведение большого числа решенных задач обязательно
сопровождается варьированием различных условий, что эффективно
по закономерности II.9. Следовательно, используемые В. Ф. Шата-
ловым приемы в соответствии с целым рядом закономерностей при-
водят к эффективному запоминанию, к активной мыслительной дея-
тельности учащихся, уменьшают вероятность ослабления внимания.
Тем самым нарушение одного из условий (III. 7, а) компенсируется
соблюдением ряда других условий.
Итак, внимание учащихся можно сосредоточить двумя способами:
1) они только слушают; 2) они одновременно выполняют соответст-
вующую моторную деятельность (III.7, а). Необходимо только соблю-
дать условия, при которых учащиеся сосредоточиваются не на меха-
нической, а на активной мыслительной деятельности.
Рассмотрим теперь ряд закономерностей восприятия:
IV.1. Восприятие объектов облегчается, если они расположены в
определенной, строго продуманной системе, требующей ми-
нимальных усилий со стороны наших органов чувств. Вос-
приятие объектов, расположенных хаотически, осуществля-
ется неохотно и требует значительных волевых усилий.
IV.2. Предварительная подготовка к наблюдению, четко постав-
ленная задача, как и в какой последовательности вести
наблюдение, прошлый опыт человека и его знания облегча-
^_юх-восприятие, делают его более богатым.
IV.3. Активная мыслительная деятельность в процессе наблюде-
ния приводит к более полному, богатому восприятию. При
пассивном созерцании объекта от внимания человека ус-
кользают многие детали.
IV.4. Легче наблюдать единичные отличия среди многих черт
сходства, чем наоборот. Различия между объектами (ситуа-
циями ) привлекают к себе внимание более, чем их сходство.
Пример 6. Важность использования закономерностей (IV. 1;
IV.2) проиллюстрируем на решении задачи: «Составьте различные
37
числа: а) двузначные из цифр 1 и 2; б) трехзначные из цифр 1, 2, 3»
в) четырехзначные из цифр 1,2, 3, 4 так, чтобы одна и та же цифра р
числе не повторялась».
При решении задачи обращаем внимание учащихся на то, в какой
мере удобное расположение записей и выбор упорядоченного способа
составления чисел облегчают восприятие, а значит, и понимание
(IV. Г, IV.2).
Р е ш е н и е. а) 12; 21.
б) Каждую цифру выписываем в начале строчки и приписываем
остающиеся цифры, меняя последние местами.
123	132
213	231
312	321
в) Опять выписываем каждую цифру в начале строчки. Затем
приписываем остающиеся цифры, переставляя их местами, что можно
сделать согласно задаче 2, б шестью способами.
Для примера запишем первую строчку.
1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432 '
2...................................
3...................................
4...................................
4 строчки по 6 чисел
Всего имеем 6-4 = 24 числа.
Пример 7. При выполнении заданий нового типа (решении за-
дач, составлении таблиц и т. д.) не все учащиеся быстро улавливают
и содержание, и форму этого задания. Поэтому учащемуся, который
работает у доски, приходится делать много замечаний относительно
формы и расположения записей.
Следующий прием помогает привлечь внимание учащихся и к фор-
ме, и к содержанию задания.
Образец оформления записей заранее подготавливается на кодо-
позитиве. Учитель ставит задание и говорит, что его надо будет
оформить так, как будет показано на экране. Затем на 5—7 с включа-
ется кодоскоп. Учащиеся успевают обратить внимание только на рас-
положение записей. Кодоскоп выключается. Учащиеся приступают
к заданию, работают спокойно и самостоятельно, так как знают, что и
как надо делать. Далее кодоскоп несколько раз включается на очень
краткое время, демонстрируя каждый раз только ту часть задания,
которую учащиеся успели выполнить. Им предлагается сравнить
записи. В такие моменты внимание учащихся особенно заостряется.
Каждый молча и сосредоточенно переводит взгляд с тетради на доску
и на экран.
Усиленное внимание учащихся в моменты включения кодоскопа и
в промежутках между ними можно объяснить тем, что при данном
приеме одновременно выполняются несколько условий закономер-
ности III.2: «относительная новизна» и «контраст» при сравнении
записей (своих и на экране); «неожиданность» появления на экране
38
отдельных частей задания; «ожидание» демонстрации этих частей.
Кроме того, вся обстановка в классе вызывает у учащихся ряд поло-
жительных эмоций (III.2, е): интерес, чувство удовлетворенности,
радостные ощущения, возникающие при синхронном выполнении кол-
лективной работы.
Рассмотрим конкретный пример использования описанного прие-
ма при изучении темы «Разложение многочленов на множители».
На экране демонстрируется два способа расположения записей.
Учитель объясняет, что хаотическое расположение записей, напри-
мер такое:
/4-Зх2-4х-12=х2(х+3)-4(х+3)=(х + 3)(х2-4)=(х + 3)Х
Х(х-2)(х+2)	(1)
затрудняет решение (IV.1). Чтобы облегчить работу, рекомендуется:
1) размещать каждое полученное выражение под соответствую-
щим исходным выражением;
2) группируемые одночлены подчеркивать, если возможно, общей
чертой или одинаковым числом черточек, как это делают при приведе-
нии подобных членов.
Далее предлагается сопоставить записи в форме (1) и (2):
х3 + Зх2 —4х—12 =
=х2(х + 3)-4(х + 3) =
=(х+3) (х2 —4) =	w
=(х+3) (х + 2) (х—2).
Обе формы (1) и (2) демонстрируются одновременно. Учащиеся
сравнивают и выбирают лучший способ.
Таким образом осуществляется руководство восприятием уча-
щихся (IV.2): сравнением легко выделяются все особенности предла-
гаемого способа (IV.4), учащиеся привлекаются к активной деятель-
ности, к самостоятельному выбору (IV.3), они убеждаются в преиму-
ществе упорядоченного способа работы (IV.1).
Затем предлагается аналогичное упражнение. Оно выполняется,
как описано выше. Внимание класса при кратковременных включе-
ниях кодоскопа становится особенно напряженным. Это можно объ-
яснить тем, что учащиеся хорошо поняли способ решения и форму
записи, но еще испытывают какую-то неуверенность и каждый раз
с удовлетворением убеждаются и в правильности выполняемых пре-
образований, и в их расположении.
Упражнения. Эксперименты
1.	При выполнении упражнений на нахождение числового значе-
ния выражения учащиеся переписывают условие в таком виде, как
оно дается в учебнике, например:
«Найти значение выражения
с2 —2ср—с+р+р2 при с=2; р= — 4».
39
Решение, с2 — 2ср— с + р+р2=(с—р)2—(с — р)=(с —р)Х
Х(с — р — 1)=(2 + 4)(2 + 4 —1)=6-5=30.	I
Такая форма неудобна: данное выражение переписано дважды,
записи располагаются «вразброс». Приведем другой способ записи,
где видоизменено условие упражнения и соблюдены рекомендации,
данные в последнем примере:	
«Если с = 2; р=—4, то
с2 — 2ср—с-[-р 4- р2 =
=(с—р)2—(с-р)=
=(с—р) (с —р—1)=
=(2 + 4) (2 + 4— 1)=6-5 = 30».
Опираясь на закономерность IV. 1, сопоставьте обе формы записи.
Какая из них удобнее и почему?
2.	Группа слабоуспевающих учащихся на дополнительном заня-
тии выполняет упражнения одного и того же типа. Опираясь на за-
кономерности III. 1—Ш.6, объясните: а) почему внимание этих уча-
щихся по мере выполнения однотипных упражнений становится все
более устойчивым и возрастает интерес к работе; б) почему внимание
этих же учащихся становится неустойчивым и интерес к занятиям
угасает, когда им предлагают упражнения разного типа, над которы-
ми приходится немного подумать.
Проведите экспериментальные наблюдения по проверке своих вы-
водов.
3.	Опираясь на закономерности III.1—III.6, объясните: а) почему
в ситуациях, описанных в предыдущем упражнении, поведение хо-
рошо успевающих учащихся будет прямо противоположным; б) по-
чему они не любят однотипных упражнений и с удовольствием реша-
ют задачи «на сообразительность».
Проведите два занятия рассмотренного вида, чтобы по контрасту
легче выявить различия в особенностях работы хорошо и слабо-
успевающих учащихся.
4.	Из упражнений 2 и 3 следует, что для сохранения внимания
слабоуспевающим ученикам желательно давать побольше упражне-
ний одного типа, а хорошо успевающим — поменьше однотипных
упражнений. Как объединить на уроке эти, казалось бы, несовмести-
мые требования?
5.	Опытные учителя на уроках геометрии широко используют
устные упражнения по готовым чертежам. Опираясь на закономер-
ности восприятия, сопоставьте следующие способы оформления
условий таких задач. Какой из них облегчает и ускоряет
работу? Уместно ли всегда пользоваться только одним из этих
способов:
40
6.	Опираясь на закономерность IV. 1, объясните, почему векторы
и длины отрезков удобнее обозначать не двумя, а одной буквой.
Всегда ли это возможно? Сравните, например, следующие два спосо-
ба записи решения задачи: «Стороны параллелограмма равны 3 см
и 6 см, одна из высот равна 4,2 см. Найти другую высоту»,
одновременно проверяя, нет ли в этих записях ошибки:
1) Пусть Л1=4,2 см, а=6 см, 6 = 3 см (рис. 15, а). Тогда
Sz7=Aia=626 и 62=-^=i^-=8,4 (см).
b 3
Рис. 15
2) Пусть в параллелограмме АВСЕ ВМ = 4,2 см, Л£ = 6 см,
СЕ — 3 см (рис. 15, б). Тогда
Sabce=BM-AE=BK-CE, ВК=^^-=44г-=8,4 (см).
G2X	о
§ 6. ЗАКОНОМЕРНОСТИ МЫШЛЕНИЯ В УЧЕБНОМ
ПРОЦЕССЕ
При обучении учащихся поиску решения задачи желательно,
чтобы учитель учитывал следующую закономерность:
V.I. Вероятность вспоминания теоремы, нужной для решения
задачи, возрастает, если: а) теорема и данные задачи
выражены в одних и тех же понятиях; б) искомые и дан-
ные задачи сближены анализом и синтезом настолько,
41
что в оставшийся интервал как раз «укладывается» данная
теорема, целиком заполняя этот интервал. (Аналогично при
этих же условиях возрастает вероятность вспоминания
нужного определения, правила, закона, способа решения
задачи.)
Важность первого условия этой закономерности очевидна.
Существенное значение при поиске решения задачи имеет также
и второе условие данной закономерности. Это условие удается
соблюсти при поиске решения, например методом «попеременного
движения с двух сторон» (от данных к искомому и от искомого к
данным). В момент, когда данные и искомые сближаются настолько,
что до «догадки» остается только один шаг, учащийся в соответствии
с закономерностью V. 1 может вспомнить нужную теорему.
Пример!. Рассмотрим возможные рассуждения учащегося при
поиске решения задачи: «Доказать, что в прямоугольном треуголь-
нике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой
и высотой, проведенными к гипотенузе». Постараемся при этом уста-
новить, в какой момент учащийся может подойти к «догадке».
Изучаем условие. Выполняем чертеж (рис. 16). Некоторые
углы обозначаем цифрами. Выделяем данные (Z.ABC = 90°,
ВОЛ-АС, АМ = МС, /LABK— Z-KBC) и искомое (доказать, что
Z-2= Z13). Заодно проверяем, что расположение элементов на ри-
сунке 19 единственно возможное (биссектриса лежит между медиа-
ной и высотой).
Отправляемся от и с к о м о г о. Так как Z.ABK— Z-KBC,
то для доказательства равенства Z.2 = Z.3 достаточно доказать,
что /L 1 = Z.4. А для этого можно сравнить по величине Z.I и Z.4
с другими углами. Посмотрим, не равны ли Z.A и Z. 1. Это возмож-
но, если АМ=МВ.
Получаем следствия из д а н н ы х. Так как МВ — ме-
диана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике АВС,
то МВ=~АС, т. е. МВ=АМ, а значит, Z.A = Z. 1
Возвращаемся к доказываемому соотноше-
нию. Так как Z1A= Z. 1, то можно доказывать равенство Z.A = Z.4.
Возвращаемся к данным. Замечаем, что Z.А и Z.4 —
острые углы прямоугольных треугольников АВС и OB С с общим
острым уголом С, т. е. Z-А и Z.4 дополняют угол С до 90°.
Значит, Z.A=Z.4. Отсюда /-\ =
= Z_4, и потому Z.2 = Z.3.
Поиск решения задачи заверша-
ется в тот момент, когда данные и
искомые сближаются настолько, что
в соответствии с закономерностью
V.1 возрастает -вероятность вспо-
минания теоремы о свойстве острых
углов прямоугольного треугольника.
42
Аналогичные причины спо-
собствуют вспоминанию те-
оремы о медиане, проведен-
ной к гипотенузе.
Попеременное движение
с двух сторон целесообраз-
но осуществлять до тех пор,
пока не возникает идея ре-
шения (одна или несколь-
ко). Иногда кажется, что
она появляется неожиданно. На
самом деле она является результатом кропотливой работы по сбли-
жению искомого с данными в соответствии с закономерностью V.I.
Это можно проследить по схеме на рисунке 17.
V.2. а) Последовательность рассуждений (А, В, С, ..., М),
повторяющаяся при решении однотипных задач, может
«свертываться» до составной ассоциации (А; М), которая
в дальнейшем в случае необходимости легко «разверты-
вается» в первоначальную цепь рассуждений, б) Если ас-
социация (А; М) образована без промежуточных звеньев,
то «вклинивать» их в дальнейшем между процессами А и
М очень трудно.
При м ер 2. На уроке в VIII А объясняется новая тема «Квад-
ратный корень из произведения». Затем учащиеся выполняют ряд
упражнений на закрепление новой теоремы. Вызываемые учащиеся
работают молча. Неоднократные напоминания учителя: «Объяс-
няй»— не выполняются.
На следующем уроке в параллельном классе (VIII Б) учитель
видоизменяет методику работы. Сначала показывает учащимся об-
разец выполнения упражнения в учебнике, затем каждый из вы-
зываемых учащихся в соответствии с данным образцом читает
частями формулировку теоремы в процессе выполнения упражнения.
Например: «Корень из произведения неотрицательных множителей
(у нас д/36а4Ь8, т. е. множители, стоящие под знаком корня, не-
отрицательны) равен произведению корней из этих множителей;
следовательно, получаем д/Зб-д/а^-^^Л	...»
Такие «образцовые ответы» получаются не сразу у всех учащих-
ся. Учитель ставит оценки за объяснения, а не за запись ре-
шения. Это побуждает учащихся прислушиваться к объяснениям.
Рассмотрим психологические причины такого внимания класса к
ответу вызванного ученика.
Не совсем умелые действия вызванного ученика в таких простых
(как это показалось некоторым учащимся) упражнениях поколеба-
ли. у них преждевременно наступающую уверенность в безошибоч-
ности своих действий, (см. L9, 5-е условие). Это и побуждало их к
тщательной проверке всех условий применяемой теоремы. Кроме того,
внимание поддерживалось «новизной» формы работы и соблюдением
других условий закономерностей III.2 — III.5.
43
Урок, проведенный в VIII Б классе, учителю понравился. Он
решил на следующий день добиться того, чтобы и в VIII А классе
при закреплении темы учащиеся так же объясняли выполняемые
упражнения. Но эта попытка не удалась.
Рассмотрим психологические причины достижения лучших ре-
зультатов в VIII Б классе по сравнению с VIII А.
В VIII Б классе учащиеся с первого момента изучения новой темы
«вклинивали» рассуждения в процессе выполнения упражнений
примерно по такой схеме:
В дальнейшем в соответствии с закономерностью V.2, а рассуж-
дения «свертываются». Промежуточный процесс С — стимули-
рующее звено перестает проявляться во внешних действиях учащих-
ся. У них возникает обобщенная ассоциация (Au А2). На следующем
уроке в соответствии с той же закономерностью V.2, а ассоциация
(Аь Аг) легко «развертывается» (если учитель требует объяснить ре-
шение). В результате учащиеся свободно восстанавливают свои
уже привычные им рассуждения по схеме: (Au С; А2).
На первом уроке в VIII А классе у учащихся тоже образо-
валась обобщенная ассоциация. Обозначим ее через (А(; А2). По
внешним признакам она может показаться такой же, как и у уча-
щихся из другого класса. Почему только по внешним признакам?
Потому что она возникла в соответствии с закономерностью V.2, б.
Действительно, в момент обучения учащиеся не «вклинивали» про-
межуточные рассуждения между процессами А( (осознания условия)
и А2 (представления ответа). Эти процессы связывались механи-
чески, несознательно. В результате в соответствии с закономерностью
V.2, б учащимся VIII А класса на втором уроке было крайне
трудно «разрывать» последовательность своих мыслей (Af; А2),
«вклинивая» между ними необходимые рассуждения. Это настолько
было трудно учащимся, что лишь некоторые наиболее сильные из
них формулировали теорему. Причем они формулировали ее не по хо-
ду выполнения упражнения, когда она действительно применяется, а
только после его выполнения. Подобные ссылки на теорему (или ее
формулирование) учащиеся воспринимают как формальные. Они им
уже не нужны (ведь действие уже выполнено) и произносятся только
по требованию учителя. Значит, почти все остальные учащиеся в
такой ситуации не прислушиваются к объяснениям.
V.3. (Закономерность Гальперина.) Мыслительные операции '
можно целенаправленно формировать путем постепенного
перехода от развернутых внешних действий, заранее запро-
граммированных и выполняемых в заданной последователь-
ности, ко все более свернутым умственным действиям.
44
Вернемся к последнему примеру. В том из классов, где были
достигнуты лучшие результаты, работа фактически организовыва-
лась в соответствии с закономерностью V.3. Действительно, с
помощью образца ответа учитель заранее «запрограммировал» сле-
дующую последовательность «внешних действий учащихся»:
1.	Прочитать первую часть (условие) теоремы: «Корень из произ-
ведения неотрицательных множителей...»
2.	Проверить, соблюдаются ли условия теоремы в выполняе-
мом упражнении.
3.	Прочитать следующую часть (заключение) теоремы: «...равен
произведению корней из этих множителей».
4.	Выполнить действие.
Эти внешние действия ученики выполняли несколько раз в одной
и той же последовательности. В результате по закономерности
V.3 у всех учащихся формируются нужные нам мыслительные
операции.
На каждом уроке перед учителем стоит глобальная проблема:
как вовлечь всех учащихся класса в активную мыслительную деятель-
ность по изучению материала? Какие условия для этого необхо-
димо соблюдать? Такие условия перечисляются в следующей зако-
номерности:
V.4. Активность мыслительной деятельности по ходу ознакомле-
ния с материалом возрастает, если соблюдаются следующие
условия: 1) учащийся, знакомясь с материалом, одно-
временно выполняет конкретное задание, помогающее глуб-
же понять данный материал; 2) это задание направляет
усилия учащегося на использование определенного приема
мыслительной деятельности; 3) учащийся обладает знания-
ми, необходимыми для выполнения этого задания, и навыка-
ми применения данного приема; 4) Этот прием соответ-
ствует содержанию материала, и чем в большей мере, тем
сильнее активизируется деятельность; 5) материал не являет-
ся чрезмерно легким.
Упражнение. Учителю полезно самому убедиться в том, что
соблюдение перечисленных условий действительно помогает активи-
зировать нашу мыслительную деятельность, а значит, и деятель-
ность учащихся. С этой целью еще раз прочитайте закономер-
ность V.4, выполняя при этом следующее задание:
«В закономерности указаны пять условий. Сколько их на са-
мом деле? Какое из них главное?»
После повторного чтения закономерности сравните активность
своей мыслительной деятельности при первом и втором чтении.
В каком из этих случаев мыслительная деятельность была более
активной?
45
Пример 3. Задаем классу последовательно два задания:
1) Предлагаем «вдумчиво» прочитать определение: «Арифмети-
ческим квадратным корнем из числа а называется неотрица-
тельное число, квадрат которого равен а» — и те абзацы учебника,
где разъясняется, почему нельзя извлечь квадратный корень из
отрицательного числа. Выдерживается пауза до тех пор, пока сами
учащиеся не прекратят работу над текстом.
2) Предлагаем, читая текст повторно, ответить на вопрос: «Нуж-
но ли в определении указать, что число, стоящее под знаком
корня, неотрицательно?» При этом вопросе обстановка в классе
заметно преображается: усиливается интерес, учащиеся начинают
обмениваться мнениями, работают над текстом больше времени,
чем в первый раз, наблюдаются внешние признаки эмоционально-
го оживления. Ответ на вопрос все слушают с повышенным внима-
нием, поскольку каждому хочется проверить свои предположения.
Почему наблюдались такие резкие различия в работе учащихся?
Потому что перед вторым чтением текста учащимся было поставле-
но задание, соответствующее условиям закономерности V.4. В ре-
зультате мыслительная деятельность учащихся заметно усилилась.
Правда, при этом задании одно из условий закономерности выпол-
нялось частично. Задание было трудным. Не все учащиеся справи-
лись с ним, но им казалось, что они смогут ответить на вопрос,
поэтому они старались больше, чем при первом чтении, осмыслить
текст. Активная мыслительная деятельность привела в свою очередь
к усилению внимания (III.5).
Поставленное учителем задание может направлять усилия уча-
щихся на применение различных приемов мыслительной деятель-
ности: сравнения, конкретизации, классификации, составления плана
и т. д. Характер задания, которое ставится перед классом, суще-
ственно зависит от содержания изучаемого материала, уровня зна-
ний и развития учащихся, условий закономерности V.4.
Пример 4. С решением квадратных неравенств учащихся мож-
но познакомить несколькими способами: I) предложить учащимся
самостоятельно разобрать примеры, приведенные в учебнике; 2) учи-
тель сам объясняет способ решения и т. д. Остановимся на первом
из этих вариантов.
Планируя на уроке самостоятельную работу с учебником, жела-
тельно заранее подобрать соответствующие задания для учащихся.
Просматривая следующий текст одного из учебников, попытаемся
составить задание, а затем сопоставим его с приведенным ниже.
Это задание должно соответствовать закономерности V.4 и побуж-
дать учащихся к активной деятельности над текстом:
«Решим неравенство 5х24-9х—2<0.
Рассмотрим функцию у = 5х2+9х—2. Графиком этой функции
является парабола, ветви которой направлены вверх.
Решим уравнение
5х2 + 9х-2=0.
46
Имеем
0 = 81+40=121,
-9±Ч
ю
о	1
Х1 = — 2, Х2==-£--
о
Следовательно, парабола пересекает ось х в точках с абсцисса-
ми — 2 и у. Изобразив схематически эту параболу, найдем, что
у<0, если — 2; -0.
О т в е т. ( — 2;	».
Ставим себе вопрос: «Что учащиеся должны усвоить из это-
го текста?» Им надо уяснить способ решения подобных нера-
венств. Отсюда получаем одно из возможных заданий для учащих-
ся, в котором предлагаем прочитать в учебнике соответствующий
текст (см. выше) и составить список указаний (план) решения
подобных неравенств.
После выполнения учащимися задания включаем кодоскоп и
предлагаем сравнить составленный каждым учащимся план реше-
ния с демонстрируемым на экране:
1)	составляем квадратичную функцию;
2)	находим направление ветвей параболы;
3)	находим точки пересечения параболы с осью абсцисс;
4)	схематически изображаем параболу;
5)	находим и записываем ответ.
Еще лучше, если в списке указаний, демонстрируемом на экра-
не, допускается неточность и учащимся предлагается обнару-
жить ее.
Соблюдая условия закономерности V.4, учитель может существен-
ным образом активизировать мыслительную деятельность учащихся,
и притом на различных этапах урока: при самостоятельной работе
с учебником, при опросе, при объяснении нового материала. При
этом важно обратить внимание на основные аспекты используемой
методики. Она сводится к соблюдению следующего дидактического
правила, являющегося непосредственным следствием из закономер-
ности V.4:
Дидактическое правило. Снимала учитель ставит
конкретное задание, которое должны будут выполнять учащиеся по
ходу ознакомления с материалом. Только послелу ягнения учащими-
ся этого задания им предлагается читать соответствующий па-
раграф учебнйкщ~слушать объяснение учителя или вызванного
ученика.	~
Очевидно, постановка конкретного задания и есть главное усло-
вие закономерности V.4. Это задание должно соответствовать всем
остальным условиям закономерности.
47
Задания, активизирующие мыслительную деятельность учащихся,
могут быть поставлены как учителем, так и самими учащимися.
Отсюда открывается перспективный путь развития учащихся. Систе-
матически подбирая задания, активизирующие деятельность учащих-
ся, учитель приучает их к самостоятельному выбору и использо-
ванию различных приемов мыслительной деятельности.
Упражнения. Эксперименты
1.	На факультативном занятии проведите с учащимися поиск
решения задачи методом попеременного движения с двух сторон.
Наблюдая за работой учащихся, постарайтесь выявить особен-
ности их поведения в тот момент, когда у них возникает идея реше-
ния. Совпадают ли Ваши наблюдения с условиями закономерно-
сти V.1?
2.	Проведите экспериментальные наблюдения над учащимися
(или самонаблюдения). Для этого предложите учащимся дважды
прочитать какой-либо текст из учебника. Перед первым чтением дайте
рекомендацию типа «Прочитайте текст вдумчиво!», перед вторым —
конкретное задание (сравните, составьте план, придумайте свой при-
мер и т. д.). Работу организуем по следующему плану:
1)	Прочитать определение сферы, стараясь хорошо понять его:
«Множество всех точек пространства, находящихся на данном поло-
жительном расстоянии от данной точки, называется сферой».
2)	Выдерживаем паузу до тех пор, пока учащиеся сами не
прекращают работать над текстом.
3)	Предлагаем выяснить, нельзя ли в этом определении
опустить слова «всех» и «положительном» (при этом определение
можно читать повторно).
4)	Сопоставляем наблюдения над учащимися и их самонаблюде-'
ния. Устанавливаем, в какой из двух ситуаций—1) или 3)—
мыслительная деятельность была более активной. На основании ка-;
ких фактов это можно утверждать?
5)	Сопоставляем результаты наблюдений с условиями законо-
мерности V.4.
3. Повторите эксперимент, описанный в предыдущем упражнении,
относительно другого текста. Задание подбираем применительно
его содержанию.
§ 7. ЗАКОНЫ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА
В предшествующих параграфах рассмотрена система закономер-
ностей. Возникают вопросы: в работе с учащимися какого воз-
раста и какого уровня развития можно опираться на эти зако*
номерности? Не нужна ли для каждой возрастной группы (напри
мер, для младших или старших школьников) своя, особая систем
закономерностей? Ответ на этот вопрос позволяет дать следующи
закон:
48
г
1.	При выполнении учебных задач мыслительная деятельность
учащихся различного уровня развития протекает в соответствии
с одними и теми же психолого-дидактическими закономерностями.
С возрастом и с развитием учащегося может изменяться лишь ме-
ра зависимости мыслительной деятельности от условий, указанных
। в этих закономерностях.
Для проверки каждой закономерности рассмотренной системы
проводились различные серии экспериментов (см. [5]). Испытуемы-
ми в них были младшие, средние и старшие школьники, студенты
и учителя математики. И ни в одном из экспериментов не было
зафиксировано ни одного случая отступления от закона 1. Если, на-
пример, на основе закономерностей прогнозировалось, что обучение
по некоторой системе упражнений может привести учащихся к ошиб-
ке, то эту ошибку обязательно допускал какой-то процент учащихся.
Но самым удивительным, хотя и закономерным, из обнаруженных
фактов оказался следующий. Эту же ошибку (по материалу VII или
VIII класса!) допускали также и студенты. Различия наблюдались
лишь в том, что снижался процент ошибок среди студентов по
сравнению со школьниками.
Из закона 1 следует, что нет надобности для каждой воз-
растной группы учащихся строить свою, отдельную систему зако-
номерностей, что предлагаемая система закономерностей может
быть использована с учащимися различного уровня развития.
Следующий закон относится к одному из важнейших положе-
ний методики обучения математике:
2.	Деятельность учащегося — основа всего учебно-воспитатель-
ного процесса, основа всех процессов, протекающих в сознании
учащегося при выполнении учебных задач.
Исходя из данного закона, мыслительная деятельность учащего-
ся рассматривается (иногда подразумевается) как одно из основных
условий в каждой закономерности. Речь идет о мыслительной
деятельности, так как любые действия ученика (изготовление мо-
делей, выполнение рисунков, решение задач) направляются его
мыслительной деятельностью.
Существует мнение, что понятие деятельностного подхода пришло
в дидактику из психологии. На самом деле учебная деятельность
учащегося была, есть и будет центральным понятием методики
математики и дидактики. Необходимые знания по математике, уме-
ния и навыки учащиеся приобретают только путем самостоятель-
! ных интеллектуальных усилий, а учитель, опираясь на различные
методы и средства, только направляет учащихся, организует учеб-
ный процесс. Следовательно, справедливость закона 2 и его осно-
вополагающая роль в обучении базируются на совокупности все-
го традиционного опыта, накопленного в практике преподавания
математики и других предметов. Этот обобщенный педагогиче-
) ский опыт позволяет считать справедливым также и следующий
закон:
49
3.	Если учебная деятельность выполняется путем активных мыс-
лительных усилий и при этом достигается отчетливое понимание
изучаемого материала или решаемой задачи, то такая деятель-
ность становится для учащегося все более интересной и привле-
кательной.
Отсюда следует важнейший практический вывод:
Чтобы повысить интерес учащихся к уроку, необязательно
подбирать какой-либо особо интересный материал. При изучении
любой темы достаточно добиться активной мыслительной деятель-
ности учащихся над изучаемым материалом. Условия активизации
мыслительной деятельности перечисляются в закономерностях 1.9;
V.4 и др.
Упражнения
1.	Ознакомившись с системой психолого-дидактических законо-
мерностей и с методикой ее применения, учитель будет пользовать-
ся ею в дальнейшем, если отчетливо представляет, что эта систе-
ма удовлетворяет целому ряду требований. Удовлетворяет ли она
следующим требованиям: а) помогать находить выходы из различ-
ных затруднений, встречающихся в практике обучения; б) помогать
целенаправленно управлять мыслительной деятельностью учащихся?
2.	Почему рассмотренная система закономерностей не удовлет-
воряет принципу независимости? Сопоставьте закономерности II.7;
II.7*; II.7**. Не являются ли две последние следствиями первой?
Если да, то почему их не стоит исключать из системы закономер-
ностей?
3.	Удовлетворяет ли система закономерностей принципу непро-
тиворечивости? Согласны ли вы со следующим утверждением: «При
анализе с помощью закономерностей одинаковой ситуации два учите-
ля не могут прийти к противоречивым выводам, если учитывают
при этом все факторы, все обстоятельства, имеющие место на уро-
ках»?
4.	В каждой закономерности рассмотренной системы указыва-
ются взаимосвязи только между отдельными явлениями учебного
процесса. Например, с возрастанием объема изучаемого материала
снижается желание его усваивать (П.2). Очевидно, желание уча-
щегося усваивать заданный материал зависит и от ряда других
факторов. Каким образом система закономерностей позволяет учи-
тывать взаимосвязанные явления учебного процесса во всем их
многообразии?
5.	Удовлетворяет ли система закономерностей следующим тре-
бованиям: а) содержать только те зависимости, которые имеют
наибольшую практическую значимость в обучении; б) формулировки
закономерностей должны быть доступны читателю и выражены
в форме «если ..., то ...»?
ГЛАВА II. МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ
МАТЕМАТИКЕ
§ 8. МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ И НАУЧНЫЕ МЕТОДЫ
В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ
Под «методом обучения» в дидактике понимаюi упирядо1!^!!^
способы взаимосвязанной деятельности учителя и учащихся, на-
правленные на достижение учебно-воспитательных задач. Отно-
сительно определения понятия «прием обучения» в дидактике не
пришли к согласованному мнению и не нашли четкие критерии,
позволяющие отделять методы от приемов. Поэтому на практике
между этими понятиями трудно провести резкую границу. Но для
учителя это не столь важно. Более существенными в его работе
являются следующие концепции.
Нет смысла подразделять методы и приемы обучения на «но-
вые», т. е. более прогрессивные, и «старые», традиционные,
якобы изжившие себя. К сожалению, именно такая тенденция
постоянно наблюдается в педагогической литературе. «Новые» мето-
ды так увлеченно рекламируют, что «забывают» указывать условия
их применимости, потенциальные недостатки, обязательность со-
четания с другими способами обучения. Одновременно вольно или
невольно принижаются традиционные методы.
Традиционные методы обучения разрабатывались в свое время
наиболее опытными педагогами, формировались в результате дли-
тельной практики обучения. Наша прямая обязанность — использо-
вать этот опыт в максимальной мере. Только комбинируя различные
методы: и традиционные, и «новые»,— учитель может добиться
серьезных успехов в своей работе. А для этого ему нужно отчет-
ливо представлять достоинства и недостатки каждого метода, усло-
вия его применимости.
В обучении математике используются и общедидактические ме-
тоды, и те, которые разработаны в специфических условиях
преподавания математики. Основой многих из них являются на-
учные методы: индукция, дедукция, аналогия и др. Последние
используются как непосредственно, так и косвенно через методы
обучения. Поскольку научные методы достаточно широко освещены
в литературе, то рассмотрим лишь сущность некоторых из них и
основные направления их применения.
Индукцией называется такой метод рассуждений, при котором
общий вывод (гипотеза) основывается на изучении отдельных част-
54
ных фактов. Если рассматриваются все частные факты (случад)ш
без исключения, то индукция называется полной, в противном
случае — неполной.
Неполная индукция может привести к ошибочному выводу
(ошибочной гипотезе). Вывод, сделанный на основе полной индук-
ции, всегда является достоверным, если не допущены ошибки в,/
рассуждениях.
Пример 1. Методом полной индукции докажем, что п3-}-5п
делится на 6 при любом целом п.
Рассмотрим все возможные случаи:
1)	п=6р, п3 + 5п=6 (62р3-)-5р), где р — целое число;
2)	n = 6p±I, n3 + 5/i = n (n2 + 5)=(6p± 1) (36р2± 12р-|-1+5)=
,	9	=6 (6р± 1) (6р2±2р4-1);
3)	п=6р±2, п3 + 5п=(6р±2)(36р2±24р+9)=6(3р± 1)Х
Х(12р2±8р + 3);
4)	п = 6р + 3, п34-5п=(6р + 3) (36р2 + 36р +14)=
=6 (2р + 1)(18р2 + 18р + 7).
Так как рассмотрены все частные случаи и в каждом из
них значение данного выражения кратно 6, то п3 + 5п делится на
6 при любом целом п.
Другими примерами применения полной индукции могут слу-
жить: доказательство теоремы косинусов, когда рассматриваются
три возможных случая; теорема об измерении вписанного уг-
ла и т. д.
Пример 2. Вычисляя значения выражения п24-п4-41 при
п= 1, 2, 3, 4, 5, 6,..., получаем простые числа. Отсюда вывод: «Значе-
ния этого выражения — простые числа при любом натуральном /г».
Этот вывод сделан на основе неполной индукции, так как
рассмотрены не все частные случаи. Следовательно, он может ока-
заться ошибочным. Действительно, при и=40 получаем составное
число:
402 + 40 + 41 =4024-80 4-1 =(404- 1)2 = 412.
Пример 3. Ученик строит биссектрисы внутренних углов тре-
угольника и замечает, что они пересекаются в одной точке. По-
вторив свой эксперимент несколько раз, он заключает: «Биссектри-
сы внутренних углов треугольника пересекаются в одной
точке». Этот вывод (гипотеза), сделанный на основе неполной индук-
ции, является верным. Ученикам объясняем, почему его надо доказать.
Дедукция — форма мышления, при которой утверждение логи- ,
чески выводится из некоторых данных утверждений. Чтобы доказать
какую-либо теорему, следует свести ее к аксиомам или ранее до-
казанным теоремам.
Полная индукция также может служить примером дедуктивного
доказательства. Чтобы убедиться в этом, достаточно обратить
внимание на характерное для полной индукции умозаключение:
«Так как рассмотрены все возможные случаи, то доказываемое
утверждение справедливо».
52
Дедуктивный метод является основным в школе, особенно в стар-
ших классах.
В творчестве ученых-математиков, а следовательно, и в школе
важное место занимает также неполная индукция. Она исполь-
зуется в школе в следующих случаях:
1)	для подведения учащихся к самостоятельному «открытию»
математических предложений;
2)	чтобы убедить учащихся в справедливости той или иной
теоремы, когда строгое доказательство им не под силу;
3)	для иллюстрации с помощью наглядных пособий теоремы
или ее доказательства;
4)	как один из действенных методов поиска решения задачи.
В трех первых случаях неполная индукция находит самое широ-
кое применение в школе, являясь основой различных принци-
пов, методов, приемов.
Значительно реже, к сожалению, неполная индукция исполь-
зуется как один из методов поиска решения задачи. Многие учи-
теля даже не показывают учащимся, в какой мере рассмотре-
ние частных случаев, например построение по возможности более
точного чертежа, может облегчить и ускорить поиск решения задачи.
Применяя индукцию для подведения учащихся к «открытию»
какой-либо теоремы, желательно учитывать следующие соображения:
1.	Для экономии учебного времени подбираем минимальное ко-
личество частных примеров. От увеличения их числа строгость рас-
суждения нисколько не возрастает.
2.	Рассматриваемые частные примеры не должны подводить
учащихся к ложным выводам. Например, рассмотрев один при-
мер а2-а2=(а-а)(а-а)=а4, учащиеся могут сделать ложный вывод:
«Надо перемножить показатели степеней, а основание оставить
прежним».
Аналогией называется рассуждение, имеющее следующую схему:
А имеет свойства a, b, с, d\
В имеет свойства а, Ь, с.
Вероятно, В обладает свойством d.
В творчестве ученых аналогия играет большую роль. Она может
подсказывать существование еще неизвестной теоремы, способ ее до-
казательства, путь решения задачи. Самое широкое применение
аналогия находит и в преподавании математики, являясь основой
одного из важнейших методов обучения — обучения по образцам.
Учитель должен показывать образец изложения доказательства
теоремы, образец решения задачи и т. д.
В процессе обучения аналогия может приводить учащихся к
ошибкам, например: lg (a+b) = lg a-Hg b.
Анализируя такие ошибки, надо терпеливо и настойчиво бороть-
ся со стремлением учащихся бездоказательно пользоваться анало-
гией. Подобные ошибки можно объяснить и с психологической
точки зрения, например на основании закономерности Шеварева.
§ 9. МЕТОД ЦЕЛЕСООБРАЗНЫХ ЗАДАЧ
Сущность данного метода сводится к тому, что для лучщего
понимания изучаемого материала учащимся предлагают подготови-
тельные задачи. Они могут подготавливать учащихся к пониманию
нового определения, к «открытию» теоремы, к пониманию ее дока-
зательства, к самостоятельному решению задачи. Иногда с помощью,
целесообразно подобранных задач излагается вся тема.
Метод целесообразных задач разрабатывался известным русским
методистом С. И. Шохор-Троцким, хотя сама идея метода
была известна и до него. В настоящее время этот метод широко
используется авторами учебников и учителями, однако во многих слу-
чаях его применение неоправданно широко. Рассмотрим поэтому
условия применимости данного метода.
Допустим, что с помощью подготовительных задач учащихся
готовят к пониманию новой темы. По закономерности_Ц,4 понима-
ние облегчает запоминание материала. Отсюда, казалось бы, чем
больше подготовительных задач решат учащиеся, тем лучше поймут
и запомнят материал. Однако увеличение объема материала, как
правило, ослабляет желание его запоминать (П.2). Каждая подго-
товительная задача фиксирует внимание учащихся на отдельных
деталях новой темы, а это до осознания идеи нового материала
в целом затрудняет его понимание (11,6). Из-за обилия подгото-
вительных задач от учащихся ускользает основная идея новой
темы. Увеличивая число подготовительных задач, мы растягиваем
объяснение, оставляем мало времени на закрепление новой темы.
Учитывая эти соображения, получаем
Условие применимости метода целесообразных задач:
При изложении новой темы с использованием метода целесо-
образных задач желательно подбирать минимальное число подгото-
вительных задач, причем одна и та же задача может быть рассмот-
рена несколько раз, помогая оттенить отдельные детали темы.
Пример 1. При введении понятия «ромб» предлагаем упраж-
нение: «Постройте параллелограмм, две смежные стороны которого
равны. Такой параллелограмм называют ромбом. Сформулируйте
определение ромба». Время, затраченное на выполнение чертежа,
сразу окупается, так как он тут же используется при доказатель-
стве теоремы о свойствах ромба. Следовательно, в данном случае
применение метода целесообразных задач оправдано.
Пример 2. При введении понятия «параллелограмм» можно
предложить упражнение: «Проведите две параллельные прямые.
Пересеките их двумя другими параллельными прямыми. Вы полу-
чили четырехугольник, который называют параллелограммом. Попы-
тайтесь сформулировать определение параллелограмма». Выполнив
упражнение, учащиеся обычно дают такую формулировку: «Паралле-
лограммом называют четырехугольник, противоположные стороны
которого параллельны». Они не догадываются включить в эту
формулировку слово «попарно». Можно дать еще ряд подготовитель-
54
Hbix задач, добившись того, чтобы учащиеся пришли к этой до-
гадке. Однако, потеряв много времени на подготовительные задачи,
мы не успеем закрепить новое понятие и теорему о свойствах
параллелограмма. Лучше ограничиться одной подготовительной за-
дачей, разъяснив, как и почему следует исправить неточную
формулировку.
Пример 3. Учащиеся могут самостоятельно решить задачу на
вычисление площади прямоугольника длиной в 1,5 дм и шириной
0,4 дм, выразив длины сторон в сантиметрах и переведя затем
результат в квадратные дециметры. На решение этой задачи ухо-
дит мало времени, она помогает подвести учащихся к пониманию
правила умножения десятичных дробей. Следовательно, в подобных
случаях желательно пользоваться методом целесообразных задач.
Пример 4. Правило умножения обыкновенных дробей также
вводят с помощью задач о вычислении площади прямоуголь-
ника. Но эти задачи учащиеся уже не могут решить самостоятель-
но. Более того, они с трудом понимают объяснение учителя и в
беседе участвует лишь часть класса. Следовательно, в подобных слу-
чаях учителю уместно ограничиться кратким сообщением: «Мы
изучаем с вами новые числа. Они обладают некоторыми новы-
ми свойствами: например, по-иному формулируется правило умноже-
ния». Затем учитель сообщает правило и учащиеся приступают
к упражнениям. Заметим, что такая рекомендация далеко не обще-
признана, хотя высказывалась в методической литературе: например,
в книге известного советского математика-методиста В. Л. Г о н ч а-
р о в а «Начальная алгебра» ряд правил вводится без подготовитель-
ных задач.
В рассмотренных примерах отчетливо прослеживается, что в
основе метода целесообразных задач лежит неполная индукция.
В тех же случаях, когда мы подготавливаем учащихся к понима-
нию доказательства теорем, чаще всего выступает другой науч-
ный метод — дедуктивный. В свою очередь метод целесообразных
задач является разновидностью более общего метода обучения —
эвристического.
§ 10. ЭВРИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД
В методической литературе этот метод определяют различным
образом. Возьмем за основу толкование этого метода В. М. Брадисом.
Эвристическим называется метод, при котором учитель вместо изло-
жения учебного материала в готовом виде подводит учащихся
к «переоткрытию» теорем, их доказательств, к самостоятельному
формулированию определений, к составлению задач. Из этого опреде-
ления следует, что метод целесообразных задач является разно-
видностью эвристического метода. На уроках математики получили
распространение и другие разновидности этого метода. Условимся
поэтому подразделять эвристический метод на следующие виды:
55
1)	метод целесообразных задач;
2)	эвристическая беседа, при которой учащиеся подводятся;*к
определенному выводу с помощью системы вопросов;
3)	постановка и решение (или только решение) проблемы;
4)	обобщение способа решения задач и составление рекоменда-
ций для поиска решения подобных задач.
Первая из этих разновидностей иллюстрировалась в предыдущем
параграфе. Рассмотрим еще ряд примеров и обратим внимание
на сочетание этих разновидностей друг с другом и с научными
методами (индукцией, дедукцией, аналогией, анализом и др.).
Пример 1. При изучении темы «Ромб» ставится задание:
«Наблюдением установить свойства диагоналей ромба. Сформулиро-
вать и доказать соответствующую теорему». К самостоятельной
постановке этого задания можно подвести учащихся, например,
такими вопросами: «Обладает ли ромб теми же свойствами, что и
параллелограмм? Не присущи ли ему какие-либо новые свойства?»
По чертежу учащиеся выявляют свойства диагоналей ромба, форму-
лируют и пытаются доказать свою гипотезу.
Пример 2. Вместо того чтобы самому объяснять вывод форму-
лы общего члена геометрической прогрессии, учитель сразу после
определения геометрической прогрессии дает задание: «Попытайтесь
составить формулу ее общего члена». Это задание ученики могут
выполнять легко и быстро по аналогии с арифметической прогрес-
сией.
Пример 3. При изучении темы о зависимости перпендикуляр-
ности и параллельности прямых и плоскостей напоминается, что
существуют несколько признаков параллельности прямых (напри-
мер, два перпендикуляра к одной прямой на плоскости параллель-
ны и др.), а вот для параллельности плоскостей нам известен
пока только один признак. Ставится проблема: «Нельзя ли указать
и другие признаки параллельности плоскостей?» Рассматривая моде-
ли, учащиеся самостоятельно формулируют, а иногда и доказывают
теорему: «Если две плоскости перпендикулярны одной и той же пря-
мой, то они параллельны».
Пример 4. В классе предстоит решить задачу: «Доказать,
что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипо-
тенузе, равна ее половине». Вместо нее предлагается задание:
«Попытайтесь установить зависимость между длиной медианы, про-
веденной из вершины тупого угла треугольника, и длиной сторо-
ны, к которой она проведена». Обычно никто из учащихся эту
зависимость не обнаруживает, так как они стараются выразить
ее формулой. Тогда предлагается то же задание, но для медианы,
проведенной из вершины острого угла треугольника. Как только
кто-либо из учащихся догадывается, что в первом случае длина
медианы меньше половины длины стороны, во втором — больше,
наступает оживление. В классе возникает проблемная ситуация.
Ставится вопрос: «А как будет в случае прямоугольного треуголь-
ника?» Учащиеся формулируют соответствующие задачи и решают
56
их. Работа ускоряется, если учащимся предлагается проследить
за указанной зависимостью при изменении угла на таком черте-
же, как на рисунке 18.
Нет сомнения, что подобные обобщения, решение сразу ряда
«родственных» задач, выявление общего способа их решения прино-
сят большую пользу.
Пример 5. На уроке двумя способами упрощают выражение
tg «+tg Р
Ctga + ctg р '
Сначала выражают все функции через синус и косинус, в другой
раз — только через тангенс. Затем предлагают: сравнить оба спосо-
ба; указать, какой из них проще; объяснить, почему он проще.
Учащиеся (иногда с помощью учителя) отвечают примерно так:
«Данное выражение содержало две функции. При первом способе
его свели к двум другим функциям, при втором — к одной. А так как
с одной функцией оперировать легче, то, по-видимому, по этой
причине второй способ оказался проще». Учитель обобщает этот вы-
вод и формулирует указание, помогающее обнаруживать рациональ-
ные способы решения многих задач.
Указание. Упрощая тригонометрические выражения, жела-
тельно уменьшать число функций и число аргументов.
Пример 6. На занятии математического кружка учащимся
объясняется изображение на числовой прямой иррациональных чи-
сел вида д/й способом, указанным на рисунке 19. Естественно,
учащиеся задают вопросы:- «А как изобразить числа д/7, ->/43
и т. д.? Ведь это долго строить 6 или 42 треугольника. Неужели
нет другого способа?» Возникает проблемная ситуация. Учитель
поддерживает ее. Формулируется проблема: «Найти более ра-
циональный способ изображения на числовой прямой иррациональ-
ных чисел вида д/й». Представив искомый отрезок в виде х=д/й,
х2 = п, учащиеся догадываются, что для построения можно использо-
вать любую теорему, выражающую зависимость: x2=p-q.
Окончательное решение проблемы переносится на следующее
занятие. Учащиеся дома просматривают различные учебники, нахо-
дят ряд соответствующих теорем. Не дожидаясь следующего занятия,
Рис. 18
Рис. 19
57
они уже на второй день с удовольствием сообщают учителю ряд
найденных ими способов построения (рис. 20).
Рассмотрим достоинства и недостатки эвристического метода.
Этот метод позволяет активизировать мыслительную деятельность
учащихся, повысить их интерес и в соответствии с целым рядом
закономерностей (см., например, III.5; V.4) может приводить к
хорошему усвоению материала, к развитию мышления и способностей
учащихся.
В то же время эвристическому методу присущи следующие
недостатки^
1)	Он требует большей, чем при сообщении готовых знаний,
затраты времени.
2)	При этом методе особенно сильно сказываются индивидуаль-
ные различия учащихся: многие из них не успевают решать постав-
ленные проблемы, отвечать на вопросы учителя. А он на уроке не
имеет возможности ждать, пока все самостоятельно придут к нуж-
ному выводу.
3)	Активное участие в решении проблемы или эвристической
беседе принимают лишь отдельные учащиеся, остальные — пассив-
ны. Это объясняется тем, что внимание некоторых учащихся ос-
лабляется при поиске решения задачи, проблемы (см. III.6). Пси-
хологами установлено, что учащиеся, однажды занявшие второ-
степенные роли при решении проблемы, в дальнейшем не могут
самостоятельно изменить своего учебного положения в группе.
Итак, эвристический метод обладает и достоинствами, и недо-
статками. Поэтому явно не оправдано то чрезмерное увлечение,
например, проблемным обучением, которое наблюдалось в послед-
ние годы в психолого-педагогической литературе.
Эвристический метод следует использовать в разумной мере^
нейтрализуя его недостатки с помощью различных приемов.
Рассмотрим некотбрые йз этих приемов! -----------
Прежде всего нужно помочь тем учащимся, которые не успе-
вают решать на уроках поставленные проблемы. Закономерность
III.3 (об условиях длительного сохранения послепроизвольного
58
внимания) подсказывает направление такой помощи. Следует преж-
де всего у всех учащихся сформировать умения и навыки, не-
обходимые для самостоятельного решения проблемы. С этой целью
можно предложить учащимся, например, следующий общий план
решения проблем:
1), под об р ац<.и „рассмотреть частные пр и мер ы;
2)	воспользоваться аналогией с известными фактами;
3)	сформулировать свое предположение;
4)	доказать его”	"	"	"
С помощью этого плана на уроке решается несколько проблем.
В дальнейшем каждый учащийся, пользуясь списком указаний,
знает, что и в какой последовательности надо делать, чтобы ре-
шить проблему, и принимает активное участие в работе.
Отмеченные недостатки эвристического метода частично можно
компенсировать т^кже следующим образом. На уроках ставятся
нетрудоемкие проблемы, которые успевают решить все учащиеся
класса с небольшой разницей во времени. Более -трудоемкие проб-
лемы включаются в домашние задания (см. последний пример).
На уроках только создается проблем на яситу а ция и ставится проб-
лема. В домашних условиях каждый ученик может спокойно, не
торопясь, рассмотреть достаточное число частных случаев, обратить-
ся к книгам и самостоятельно прийти к «открытию», испытывая
при этом большое удовлетворение, что обычно проявляется на
следующий день в оживленных дискуссиях.
§ 11.	ВОПРОСНО-ОТВЕТНЫЙ МЕТОД
Сущность этого метода сводится к тому, что новая тема изла-
гается путем беседы. Отвечая на ряд вопросов учителя, учащиеся
самостоятельно приходят к некоторым выводам. Этот метод широко
распространен в школах. Именно поэтому особо выделяем его.
Вопросно-ответный метод имеет две разновидности: аналитиче-
скую и синтетическую, что учитывается далеко не всеми. В первом
случае вопросы учителя соответствуют аналитико-синтетическому хо-
ду рассуждений, помогая учащимся самим найти путь доказа-
тельства. Во втором случае вопросы учителя соответствуют синте-
тическому ходу рассуждений, когда учащимся не ясно, как самим
найти путь доказательства. Следовательно, только первую из этих
разновидностей вопросно-ответного метода можно считать эвристиче-
ской беседой.
Пример. Проиллюстрируем эти разновидности вопросно-ответ-
ного метода при доказательстве одного из свойств неравенств:
Дано: с — любое число, а> b. (1)
Доказать: а + с>Ь + с. (2)
Проводя беседу синтетическим способом, учителя обычно не
изменяют доказательство теоремы, изложенное в учебнике. Они
лишь делят его на части, предлагая учащимся обосновывать
их, например:
59
— Рассмотрим разность (а+с)—(6 +с). Как упростить ее?
— (a-f-c)—(6 + с)=а—b•	пп
— Какой знак имеет разность а—Ь?
— Она положительна.
— Почему?
— Так как а>Ь, то по определению разность а—b поло-
жительна.	- 3
При такой беседе учащимся не ясно, почему вдруг понадо-
билось рассмотреть разность (a-j-c)—(Ь+с). зачем устанавливать
знак разности и т. д.
Проводя беседу аналитико-синтетическим способом, учителю при-
ходится изменять структуру рассуждения, приведенного в учеб-
нике, что, конечно, требует более тщательной подготовки к уроку,
например:
— Вспомним, что для отыскания способа доказательства ре-
комендуется заменять понятия их определениями. Вспомним поэто-
му, при каком условии а>Ь.
— По определению а>Ь, если разность а — Ь положительна.
— Что достаточно знать для доказательства неравенства (2)?
— Достаточно доказать, что разность (a-f-c)—(Ь4*с) положи-
тельна.
— Попытайтесь это доказать.
— (а + с)—(Ь + с)=а4~с—Ь — с=а—Ь, но а—b — положитель-
ное число, так как а>Ь.
В методической литературе примеры, иллюстрирующие вопросно-
ответный метод, обычно даются- в амалитико-синте.тиц^ской форме.
Но именно это, как показывает анализ большого числа уроков,
ускользает от внимания многих учителей.
Эвристическая беседа призвана активизировать мыслительную
деятельность всех учащихся класса. Однако чаще всего активное
участие в беседе принимают лишь отдельные учащиеся класса и
притом всегда — одни и те же. В этих условиях вопросно-
ответный метод приводит к отрицательным результатам. _Неулат*-
в применении этого метода можно объяснить следующими причи-
нами:
1) Вопросов задается чрезмерно много; они бывают слишком
просты. Из-за этого сковывается самостоятельная работа и инициа-
тива учащихся. Дал учитель вопрос — думают только над этим
вопросом, а далее не продвигаются, ждут следующих указаний.
J 2) Между вопросами не выдерживаются паузы достаточной дли-
тельности, и большинство учащихся просто не успевает отвечать на
эти вопросы.
3)	Вопросы иногда бывают непродуманы, примитивны, очень час-
то ставятся в неопределенной форме, и на них учащиеся мо-
гут ответить все что угодно, и не только то, что ожидает учи-
тель.
4)	Некоторые учителя не учитывают следующую психологиче-
скую особенность, присущую классному коллективу во время учеб-
63
ного процесса. Если по ходу эвристической беседы вызванный
по желанию ученик неудачно отвечает на вопрос, то, как пра-
вило, не лучшим образом отвечают и следующие 2—3 человека. Не
учитывая этого, учитель продолжает вызывать одного за другим еще
5—6 человек, пока наконец не добьется правильного ответа. Теряется
время, а главное, ослабевает внимание класса. В подобных
случаях после неудачного ответа учащегося учителю лучше самому
ответить на этот вопрос. Действительно, поставленный вопрос уже
выполнил свою функцию. Он заставил учащихся задуматься. У них
возникло желание проверить свою догадку. И классу в целом полез-
нее услышать четкий и ясный ответ учителя, чем томиться в ожида-
нии, выслушивая неудачные попытки своих товарищей.
В методической литературе отмечались и другие недостатки дан-
ного метода. Он требует большой затраты учебного времени. Вопро-
сы во время беседы нарушают целостность изложения нового мате-
риала, его систематичность, внимание учащихся рассеивается на
второстепенные детали. Поэтому многие методисты предлагали от-
казаться от чрезмерного увлечения вопросно-ответным методом
и чаще пользоваться лекционным методом. Однако эти предложения
вызывали резкие возражения других методистов. В связи с такими
противоречивыми рекомендациями рассмотрим возможности приме-
нения в школе лекционного метода.
§ 12. ОБРАЗЕЦ, ОТВЕТА КАК ОДИН
ИЗ ВАЖНЕЙШИХ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ
Этот метод в педагогической литературе называют объясни-
тельно-иллюстративным, в методической —^школьной лекцией или
рассказом учителя. Здесь дано своеобразное название «образец от-
вета», чтобы подчеркнуть одну из основных особенностей лекцион-
ного метода.
В методической литературе высказываются противоречивые ре-
комендации относительно использования этого метода на уроках
математики. Одни авторы рекомендуют беседу заменять во многих
случаях рассказом учителя, другие — полагают, что объяснение в
виде связного рассказа уместно главным образом в старших клас-
сах. Последнее мнение аргументируется тем, что у младших и
средних школьников еще не развито внимание и они не могут долго
слушать рассказ без диалога.
Вторая точка зрения не соответствует исследованиям психоло-
гов. Например, известный психолог Н. Ф. Д о б ры н ин установил,
что даже учащиеся начальной школы при определенных условиях
могут длительное время (20 мин и более) сохранять устойчивое
внимание к одной и той же деятельности.
Известно также, что учащиеся VI—УШ классов могут 15—20 мин
внимательно слушать рассказ учителя на уроках истории, геогра-
фии и других предметов. Спрашивается, почему эти же учащиеся
61
не могут 5—7 мин внимательно слушать объяснение учителя при
доказательстве новой теоремы. Очевидно, дело здесь не в елйбо
развитом, внимании. Од&рслабляется главным образом из-за пробе-
лов в знаниях (П1.3^гП.6)'Г	ас^****5,
Если подготовить “учащихся к пониманию нового материала
и излагать его четко и ясно, то учащиеся внимательно слушают
объяснение учителя. Педагогический опыт подтверждает это. На-
пример, учителя математики, работающие по методике В. Ф. Шата-
лова, постоянно пользуются лекционным методом, и учащиеся их
внимательно слушают.
Почти на каждом уроке учителю приходится объяснять новый
материал. В одних случаях он излагает доказательство теоремы,
в других — объясняет решение задачи, способ выполнения чертежа
и т. п. Все это в школьной практике чаще всего излагается
вопросно-ответным методом, но, исходя из сказанного, можно изла-
гать в виде рассказа. Учитель всегда хочет, чтобы ответы учащихся
были грамотны, аргументированы, красивы. Но тогда и сам он
должен достаточно часто давать образцы таких ответов в виде
связного рассказа, лекции. Подобное объяснение учителя — это и
есть образец ответа для учащихся.
Итак, основное требование к рассматриваемому методу сводится
к тому, что объяснения учителя (кратковременные или более
длительные) надо рассматривать как образцы ответов. Причем
имеются в виду не только образцы изложения теоретических вопро-
сов, но и, что, пожалуй, главное,— образцы решения задач.
Образец ответа при решении задачи — это один из важнейших
способов обучения связному рассказу. Формирование умений без-
упречно объяснять, комментировать выполняемое упражнение в виде
связного цельного рассказа начинается с объяснения учителя.
Он показывает, как выполняется упражнение нового типа, как
следует располагать записи, в какие моменты и каким образом
необходимо комментировать выполняемые операции.
Образец ответа, излагаемый учителем,— необходимый этап в
обучении связному рассказу. Дело в том, что образец выполнения
учителем упражнения нового типа (если только этот образец
удовлетворяет перечисленным требованиям) включает в себя не
только содержательные элементы (как выполнять?), но и чисто
методические компоненты (каким образом комментировать, как рас-
полагать записи, демонстрировать рисунки и т. д.?). Эти чисто
методические компоненты образца ответа может дать сначала
только учитель.
Выполнение первого упражнения нового типа, как правило, на-
чинают с беседы. Учащимся предлагается найти способ решенйя,
обсуждаются их предложения. Так поступает большинство учи-
телей, и это очень хорошо, поскольку развивается инициатива и
творчество учащихся. Но на многих уроках вслед за беседой вызы-
вается сразу ученик для объяснения найденного решения. Вот это
уже неудачно! Ученик затрудняется дать образец ответа с включе-
62
нием всех необходимых методических компонентов, если не видел,
как это делается.
Следовательно, после обсуждения с классом способа выполне-
ния упражнения нового типа желательно учителю самому изло-
жить в виде образца найденное решение.
Однако следует иметь в виду, что образец ответа сам по
себе, без умелого сочетания с другими методами и приемами обу-
чения (о них см. ниже) не приносит ожидаемых результатов.
Почему? Учащиеся не запоминают сразу все рекомендации из объяс-
нения учителя, не запоминают последовательность рассуждений.
Поэтому, приступая к выполнению упражнений, многие учащиеся
оказываются совершенно беспомощными. В лучшем случае ученик
верно записывает на доске решение, не всегда умело комменти-
руя его. При этом он допускает массу погрешностей: спешит,
из-за чего многие в классе едва успевают записывать; решение
начинает писать слишком низко — на уровне своего лица и даже
груди, а значит, все время закрывает собою записи; не показы-
вает элементы рисунка, и, пока учащиеся находят названный от-
резок, угол и т. д., они пропускают часть последующего объяс-
нения. А главное — объяснения бывают путанны, непоследователь-
ны, неполны, с включением совершенно ненужных деталей, которые
в данном классе уже не надо объяснять. И за такой ответ учени-
ку ставят «4» или даже «5»! За что? За то, что верно решил?
Но ведь в данном случае цель вызова учеников совсем другая.
Они должны повторять образец ответа, данный учителем, со всеми
его методическими особенностями с тем, чтобы помочь классу,
чтобы еще и еще раз показать всем, как надо объяснять
выполняемые упражнения. Но именно такая работа затрудняет
учащихся, если образец ответа, показанный учителем, не сочетается
на уроке с комплексом других методов и приемов обучения. Прежде
чем перейти к ним, рассмотрим пример, иллюстрирующий важность,
казалось бы, совсем второстепенных деталей.
Пример 1. На уроке алгебры изучается деление степеней с
целыми показателями. Вызываемые учащиеся по ходу выполнения
упражнений произносят ряд терминов: «степень», «показатель степе-
ни», «делимое», но не показывают указкой соответствующие буквы и
числа. Лично для них это необязательно, поскольку при произне-
сении этих терминов они могут мгновенно выделить соответствую-
щие образы в выполняемом упражнении. Но вот к доске выходит
более слабый ученик, и сразу замечаем, что этот ученик затрудня-
ется выявлять образы используемых понятий. Еще более он затруд-
няется по образам (буквам, числам) быстро называть соответству-
ющие термины. Иначе у него еще не сформированы прочные об-
общенные ассоциации для каждого из этих понятий (см. § 2).
Следовательно, этот ученик не мог своевременно и отчетливо
вникнуть в смысл терминов, произносимых при выполнении пред-
шествующих упражнений, и для него были бы отнюдь не лишними
демонстрации образов по ходу всех предыдущих объяснений. На
63
последующих уроках учитель вносит соответствующие коррективы я
в методику своей работы.
Обратим внимание на то, что даже опытным учителям при-1
ходится определенное время отрабатывать и совершенствовать свои 1
умения по применению новых для них методов и приемов обучения. 1
Итак, учителю важно знать не только описание и достоинства 1
тех или иных методов и приемов обучения, ему следует также!
учитывать: возможные затруднения при использовании этих методов 1
и приемов; их потенциальные недостатки; способы устранения 1
этих недостатков и затруднений; типичные методические ошибки, •
допускаемые на первых порах использования этих методов.
Остановимся теперь на некоторых особенностях связного рассказа j
учителя при изложении теоретического материала. Главное при 1
этом — добиться активной мыслительной деятельности учащихся. I
В арсенале учителя имеется достаточное число приемов, помо- ’
тающих добиться того, чтобы учащиеся активно мыслили в процессе !
рассказа. Многие из этих приемов основываются нэ закпномер- |
ности УЛ,- Приступая к объяснению, учитель ставит классу конкрет- j
ное задание, направляющее на понимание нового материала. Выпол-1
нение этого задания по ходу рассказа учителя активизирует мысли- 1
тельную деятельность учащихся. Рассмотрим соответствующие прие- Д
/ мы_обучения.
! Учитель сообщает, что, объясняя новый материал, он намеренно!
допустит неточности, а учащимся предлагается внимательно слушать ;
и обнаружить эти неточности. Чтобы убедиться в достоинствах 1
этого приема, учителю достаточно два-три раза применить его <1
и посмотреть, с каким азартом и сосредоточенным вниманием I
учащиеся стараются обнаружить неточность.!	1
Приступая к объяснению теоремы, учитель дает план ее дока- ]
зательства. План помогает осознать идею доказательства в целом. |
В результате установка на запоминание способствует лучшему пони-
манию (II I; П б) Слушая объяснение учителя, учащиеся сопостав> Д
ляют его рассуждения с предложенным планом, легче осознают!
переходы от одной логической части материала к другой, устанавли-1
вают связи между ними. При таком приеме обучения учащиеся хоро- !
шо усваивают материал, а главное, учатся слушать, применять 1
план и в дальнейшем составлять его в процессе рассказа учителя. 1
1 П р и м е р 2. К теореме: «Если в четырехугольнике противопо- а
ложные стороны попарно равны, то он является параллелограмм!
мом» — предлагается такой план: 1) провести диагональ; 2) дока-»'!
зать равенство полученных треугольников; 3) доказать параллель-Ч
ность противоположных сторон четырехугольника; 4) сделать вывод.!
Подобный план можно использовать в двух случаях: 1) учителем
при изложении доказательства; 2) учащимися при самостоятельном
доказательстве теоремы. В обоих случаях доказательство теорем нЯ
излагается учителем или учеником в виде связного рассказа (безя
диалога). И этот рассказ класс слушает с исключительным внимаЛ
нием. Чем объяснить такой повышенный интерес? ,	Л
64	'	'- 1
• - >' А*. •
Во-первых, план разбивает доказательство теоремы на ряд прос-
тых, Элементарных задач, которые учащиеся уже могут решать.
(Если они еще не научились решать такие элементарные задачи,
то план давать не стоит.)
Во-вторых, учащиеся чувствуют, что с помощью плана они смогут
понять или даже самостоятельно доказать новую теорему.
В-третьих, план позволяет охватить все доказательство в целом
и у"уЧйщихСЯ сразу возникает ощущение полноты понимания, что
способствует лучшему запоминанию JII.6).
Аналогичным образом можно добиваться того, чтобы учащиеся
по ходу рассказа учителя, использовали другие приемы мыслительной
деятельности. Например, учащимся предлагается обнаружить, на
какие аксиомы или определения мы опираемся при доказательстве.
Это задание можно облегчить, предложив заметить, в каком месте
доказательства мы опираемся на ту или иную аксиому, теорему. Вы-
полняя подобные зад'анияГ~уч^щйёся~активно мыслят (V.4J-, внима-
ние их к рассказу учителя обостряется ожиданием определенного
события
Итак, опираясь на психологические закономерности и используя
ряд приемов обучения, можно добиться того, чтобы во время рассказа
учителя максимально активизировалась мыслительная деятельность
учащихся. Следовательно, при изложении нового материала можно
успешно использовать школьную лекцию наряду с другими мето-
дами.
§ 13. АЛГОРИТМИЧЕСКИЙ МЕТОД
Каждый учитель всегда требует (во всяком случае, должен
требовать), чтобы учащиеся объясняли выполняемые упражнения.
Однако многие учащиеся работают у доски молча или с трудом
объясняют решение задачи. Для того чтобы исправить такое поло-
жение, ученику прежде всего надо показать образец ответа. Но
одного образца явно недостаточно. Учащиеся не усваивают его
с одного-двух раз. Как же тогда обеспечить каждому ученику
возможность выполнения упражнений с объяснениями в полном
соответствии с образцом, данным учителем? Причем эту возмож-
ность нужно обеспечить каждому ученику с первого момента ре-
шения задач данного типа. Для этого необходимо рассказ учите-
ля (образец) сочетать с другими методами и приемами обучения.
Одним из таких методов является алгоритмический.
Чтобы каждому ученику обеспечить возможность выполнения
упражнения с необходимыми объяснениями и в той же последова-
тельности, какую показал учитель, дается алгоритм, точнее — список
указаний. Он предлагается или в готовом виде, или составляется
вместе с классом. Учащиеся читают его и одновременно выпол-
няют упражнение.
Успешное использование алгоритмического метода зависит от ря-
да условий.
3 Заказ 596	65
Прежде всего необходимо сочетание алгоритмического метода Яы
с применением образца ответа. Иначе указания алгоритма при- ^Я
ходится давать чрезмерно громоздкими и неудобными для прю- ЯК
менения.
Алгоритм должен быть по возможности наиболее кратким.
кратким алгоритмом учащиеся работают значительно охотнее. Otr^H
является для них как бы планом, схемой, своеобразным стимулом,
помогающим восстанавливать в памяти только что прослушанные, но
еще хорошо не запомнившиеся рассуждения учителя. Краткие указа- И
ния легко запоминаются, и уже после выполнения нескольких упраж- ЯП
нений многие учащиеся перестают читать отдельные указания, сво- Яу
бодно воспроизводят их по памяти, ограничиваясь лишь беглым Я|
взглядом на них.	Я:
Важное значение имеет следующая рекомендация учителя: Я!
«Читая и применяя алгоритм, старайтесь запоминать его». По- Я
добиая рекомендация, а также соответствующие требования и по- Я
ощрения учителя вызывают у учащихся установку на прочное за- 'Я
поминание, что по закономерности II.1 способствует лучшему за- Я
поминанию, облегчает его. Без такой установки формирование уме- Я^
ннй замедляется и многие учащиеся долго не запоминают алгоритм, Я)
путаются при объяснении решения задачи.	.Я;
Важное значение имеет также пунктуальное соблюдение данного Я
учителем образца решения задачи. Учитель сам продумывает и Я
алгоритм, и образец его применения, но затем по возможности Я
соблюдает выбранную последовательность рассуждений. К сожале- Я
нию, эта рекомендация не всегда осуществляется на уроках, поэтому Я
разъясним ее необходимость подробнее.
Рассмотрим процессы, протекающие в сознании ученика при Я
выполнении упражнений.	Я
Пусть	д!
А — осознание условия упражнения;	Я
В, С, Е,..., К — промежуточные рассуждения, проводимые учени- Я
ком в соответствии с указаниями алгоритма	и	применительно	к	Я
условию очередного упражнения;	Ж
М — выполнение операции.	Я
В результате неоднократного повторения и варьирования	этих	Я
процессов у учащихся возникает цепь обобщенных ассоциаций Я
(Л; В); (В; С); ...; (К; М). Они в соответствии с законе- Я
мерностью V.2, а по мере упражнений сливаются в «составную» ас- W
социацию (Л; М). Она в случае необходимости легко «разверты- Я
вается» в цепь промежуточных рассуждений, поскольку они не- Я
однократно повторялись и закреплялись в сознании ученика. (Это Я
опять-таки следует из закономерности V.2, а.)	Я
Если же последовательность рассуждений, заданная учителем Я
и алгоритмом, не соблюдается, то формирование ассоциаций затруд- Я
няется и замедляется (1.1)-. Они, образно говоря, возникают и Я
сразу «разрушаются», потому что у учащегося нет твердой '-*
линии, прочной, повторяющейся основы в этих рассуждениях. При , Д
66	*
таких условиях учащимся трудно проводить рассуждения и они
прекращают к ним прислушиваться. В результате у них возникает
связь (Л; М), но она образуется без промежуточных рассуждений.
Поэтому в дальнейшем (уже по закономерности V.2, б) учащимся
очень трудно объяснять свои действия
Здесь мы сталкиваемся с таким случаем, когда приходится
на какое-то время отступать от верного общего положения
методики математики, в соответствии с которым учителя рекоменду-
ют: «Можно объяснять своими словами». Вызванный ученик уже мог
бы объяснять своими словами упражнение нового типа, но для других
учащихся класса какое-то время это еще нежелательно.
Приведем еще два условия успешного применения алгоритмиче-
ского метода.
В алгоритм желательно включать указания, побуждающие уча-
щихся контролировать свои действия. Это позволяет предупреж-
дать типичные ошибки. Действия учащихся по контролю неодно-
кратно повторяются, и потому, постепенно свертываясь, они вхо-
дят в сформированную обобщенную ассоциацию как ее необхо-
димый компонент.
Указания в алгоритме желательно давать в таком виде (и
в такой форме), чтобы они содержали в себе все необходимые
объяснения, какие учитель хочет слышать от учащихся по ходу
решения задач. (Поэтому даже глаголы в указаниях стоит давать
не в повелительном, а в изъявительном наклонении.)
Пример 1. При решении простейших тригонометрических не-
равенств даем в готовом виде следующий алгоритм. .Алго-
ритм заранее записывается на доске или демонстрируется на экране.
Учитель показывает образец выполнения упражнения. Читает
последовательно указания алгоритма и выполняет их. Учащиеся
слушают, читают алгоритм и одновременно с учителем решают
неравенство. Затем аналогично работают с классом вызываемые
учащиеся. При этом они руководствуются и алгоритмом, и образцом
ответа.
Приведем ответ ученика при решении неравенства
sin (—2х)<0,5.
Ученик последовательно читает и выполняет указания, видо-
изменяя их в соответствии с условием решаемого неравенства и
образцом ответа, данным учителем. Объяснения, «вклиниваемые»
учеником в список указаний, и описание его действий заключены
ниже в скобках:
«1. Строим единичную окружность. Отмечаем углы, синусы кото-
рых равны 0,5. (Выполняет (рис. 21).)
2.	Выбираем и отмечаем на окружности интервал, удовлет-
воряющий неравенству. (Выбирает интервал и более жирной ли-
нией обводит соответствующую дугу окружности (рис. 22).)
3.	Указываем начало и конец интервала. (Подчеркивает, что
двигаться надо против часовой стрелки, и проводит стрелку вдоль
з*	67
выбранного интервала, тем самым отмечая на чертеже его начало и
конец (рис. 23).)
4.	Находим значения концов интервала и проверяем, чтобы
значение начала интервала было меньше значения его конца.
(Указывает, что эти значения равны: -ут- и -|-л, затем про-
веряет и, обнаружив свою ошибку, записывает верный резуль-
5	13
тат: —л и —л (рис. 24).)
5.	Записываем двойное неравенство относительно сложного аргу-
мента (— 2х) и проверяем, чтобы слева было меньшее число.
(Записывает, оставляя место для периода функции л<
<—2х<-^-л, и проверяет.)
6.	Учитываем период функции и решаем полученное неравенство:
-|~л + 2л&< — 2х<^-л-]-2л/г;
о	о
5	1.	13	.
—уту-л— ля>х> ——л — ля;
— jg-л + ля<х< —у^- л ‘
Некоторые учителя выбранный интервал отмечают штриховкой
(рис. 25).
УА	УА
Рис. 25
Рис. 24
68
Приведенный список указаний вместе с образцом ответа, пока-
занным учителем, дает возможность учащимся связно объяснять
решение задачи и не только самостоятельно исправлять ошибки, но
и избегать их.
Любопытно отметить, что, научившись применять данный список
указаний, учащиеся самостоятельно составляют ему подобный для
неравенства, содержащего косинус.
Итак, умения применять алгоритмы развивают устную и письмен-
ную речь учащихся в такой мере, что они довольно быстро перехо-
дят к более сложным умениям — самостоятельному составлению но-
вых алгоритмов.
В одних случаях алгоритмы составлять легко. К их составле-
нию можно привлекать даже учащихся, как это рекомендовано,
например, при решении квадратных неравенств (см. § 5) или не-
которых простейших тригонометрических неравенств. В других слу-
чаях составление алгоритма, например такого, как в последнем
примере, является делом весьма трудоемким. Трудоемким, так как
приходится предусматривать и пути предупреждения типичных
ошибок, и способы наглядного оформления решения, и основное
содержание объяснений, которые мы хотели бы слышать от уча-
щихся по ходу решения. Рассмотрим некоторые особенности такой
работы на конкретном примеру^ ______
и~м е р 2. Составим алгоритм для решения неравенств ме-
тодом интервалов. Выявим прежде всего типичные ошибки и затруд-
нения учащихся.
Решая неравенства вида
(х+5)(-х-4)(Зх+9)<0,	(1)
учащиеся «забывают» выносить за скобки коэффициенты при не-
известном. Из-за этого на числовой прямой они отмечают точ-
ки 4 и —9 вместо —4 и —3. Для предупреждения подобных оши-
бок можно ввести в алгоритм указание: «Преобразовать неравенст-
во так, чтобы коэффициенты при неизвестном в каждом двучлене
были равны + Ь>.
Отдельные учащиеся механически отмечают на числовой пря-
мой точки 0 и 1, допуская из-за этого ошибки. Их тоже можно исклю-
чить введением в алгоритм соответствующего указания (см. ниже).
Неравенство вида
(х—4)(х+3)^,0
можно решать двумя способами: предварительным приведением
его к системе
Г (х —4) (х+3)(х—2)>0,
I х^=2
либо сразу применять метод интервалов. Но в последнем случае
надо предусмотреть указание, помогающее учащимся избежать
69
zV-Л *
Рис. 26
Рис. 27
5
ошибки, пр» которой х=2 включается ими в решен»». Для этого
можно ввести в алгоритм рекомендацию: «Отмечать точки на чис-
ловой прямой «пустыми» или «зачерненными» кружочками». Тог-
да- учащиеся к неравенству (2) выполнят рисунок 26» заштрихую»
для наглядности интервалы, удовлетворяющие неравенству, и
на основе полученной наглядной схемы сразу запишут ответе
—3<^х<2; х2>4.
Многие учащиеся воспринимают метод интервалов формальна
Они «механически», без должного объяснения проводят волнооб-
разную линию. Отсюда при решении неравенств вида
(х + 6) (х - 8)2 (х — 5) > О	(3):
допускают ряд ошибок: не учитывают, что. (х—8)2i>0 (см. рис.. 2.7
или 28). Избавиться от этих ошибок можно двумя способами: или
свести данное неравенство к системе
(х + 6)(х-5)>0,
х =/= 8,
или. включить в алгоритм указание, которое будет нацеливать уча-
щихся на установление знака выражения, стоящего в девой части
в каждом из интервалов. Во втором случае учащиеся тратят боль-
ше времени на решение каждого неравенства, но решают эти нера-
венства более сознательно и реже ошибаются.
Какое объяснение целесообразно давать, когда учащиеся от-
мечают точки на числовой прямой? Решая неравенство
(х 4- 4) (х—6) (х + 2) >0».
учащиеся могут рассматривать левую часть как функцию
f (х)=(х+4) (х — 6) (х+2)
и объяснять: «Отмечаем на числовой прямой нули функции». А ка-
кое объяснение будут давать учащиеся, если решают неравенство
вида (2), не приводя его к системе?
Учитывая сказанное, составляем список указаний для решения
неравенства методом интервалов!:
1)	Разложим левую часть неравенства на линейные множители.
2)	Преобразуем неравенство так,, чтобы коэффициенты при пе-
ременной в каждом двучлене были равны + F.
~6	5	8 X
Рйс. 2Я~
70
3)	На числовой прямой отмечаем значения переменной, при
которых обращаются в нули двучлены. (Проверяем: точки О и 1
не должны быть отмечены, если нет двучленов, обращающихся
в нуль в этих точках.)
4)	«Зачерняем» те из отмеченных точек, которые удовлетворя-
ют неравенству, остальные — оставляем «пустыми».
5)	Устанавливаем знак левой части в каждом интервале, учи-
тывая свойства непрерывной функции.
6)	Штрихуем интервалы, которые удовлетворяют неравенству.
7)	Записываем ответ.
Далее учитель дает образец применения этого списка указаний,
подчеркивая, что исследование знаков двучленов лучше начинать
слева, и показывает удобную схему записи:
'(х—3)(х—В)
х—а
(х-3)(х-2)
х—4
(х-3)(х-2)
х —4
Руководствуясь образцом ответа, показанным учителем, и спис-
ком указаний, учащиеся последовательно читают эти указания,
т. е. объясняют все свои действия по ходу решения. Ответ вызван-
ного ученика выглядит следующим образом:
4х(4-2х)+14(2х-4)
(х—З)2 (5-4-х)	•
«1) Разложим левую часть неравенства на линейные множители:
(4-2х)(4х-14)>0
,(х-3)2(5+х)
2)	Преобразуем неравенство так, чтобы коэффициент при не-
известном в каждом двучлене был равен -J-1:
-2-4(х-2)(х-3,5)>р	(х—2)(х—3,5) <Q
(х-3)2(х+5)	’	,(х-3)2(х+5)	’
3)	На числовой прямой отмечаем значения переменной, при
которых обращаются в нули двучлены. (Отмечает: рис. 29, объяс-
няет, почему в данном случае не отмечает точки 0 и 1.)
4)	«Зачерняем» те из отмеченных точек, которые удовлетво-
ряют неравенству, остальные — оставляем «пустыми». (Выполня-
ет: рис. 30.)
5)	Устанавливаем знак левой части (дроби) в каждом интер-
вале. (Если х< —5, например, при х— —8, то по свойствам непре-
рывной функции все двучлены, кроме одного, отрицательны. Про-
ставляем знаки «— » и « + »):
71
-5
( — 5; 2), наприме
(х-3)2(*+5)
(*-2)(х-3,5) <0
(х-3)2(х + 5)
2 3 3,5
Рис. 30
(х—2)(х—3,5)
(х-3)2(х + 5)
......0-00 	' >
2 3 3,5 X
Рис. 29
(х~,2)(х—3,5) <0
(х-3)2(х+5)	’
Рис. 32
(4
т. е. вся
при х = 0
дробь отрицательна, а в интервале
имеем
т. е. дробь положительна. Отмечаем это на числовой прямой ду-
гами (рис. 31). В интервалах (2; 3) и (3; 3,5) дробь отрицательна
а в следующем — положительна:
Отмечаем все это на числовой прямой (рис. 32).
6)	Штрихуем интервалы, удовлетворяющие неравенству (рис. 33).
7)	Записываем ответ: х<—5; 2^х<3; 3<х<3,5».
Последовательно видоизменяемый рисунок на доске и в тет-
радях очень нагляден для учащихся (рис. 29—33). Окончательно !
у них остается только рисунок 33. Аналогично из последователь-
но видоизменяемого неравенства (4) — (6) в записи остается
только неравенство (6). Значит, записанное решение выглядит
компактно, а объяснения учащихся достаточно подробны.
Алгоритмический метод в психолого-педагогической литерату-
ре стали описывать сравнительно недавно, и некоторые психоло-
ги называли его «новым» методом, тогда как в учебной литера-
туре по математике этот метод используется давно. Так, в учеб-
никах по математическому анализу. Н. Н. Лузина, а еще ранее
В. Грэнвиля многие определения и теоремы формулировались
в виде «рабочих правил». Эти алгоритмы сопровождались образ-
о - >
2 3 3,5 X
Рис. 31
72
нами их применения к решению
задач и рекомендациями посту-
пать в дальнейшем аналогично,
следовательно, в явном виде про-
слеживались все этапы примене-
ния алгоритмического метода.
Рис. 33
Упражнения. Эксперименты
1.	Проведите экспериментальную проверку в двух параллель-
ных классах (двух группах учащихся) различных способов решения
неравенств методом интервалов. Один из способов см. выше. При
втором — неравенства вида (2) или (3) сводят к системам, зна-
ки двучленов учащиеся начинают устанавливать справа, волно-
образная линия располагается над числовой прямой и т. д. При
каком из этих способов учащиеся реже ошибаются? Какой из них
является более общим и позволяет ограничиться минимальным
числом примеров, объясняемых учителем? Не стоит ли видоизме-
нить приведенный список указаний?
2.	Известно, что многие учащиеся затрудняются выполнять
чертеж, выделять данные и искомое при решении геометрических
задач на вычисление и на доказательство. Проверьте, все ли уче-
ники Вашего класса самостоятельно справляются с такой рабо-
той. Если нет, то как они выполняют домашние задания? Не явля-
ются ли для этих учащихся недоступными все те домашние за-
дания, в которые включаются задачи на доказательство и на вы-
числение?
3.	Проверьте экспериментально в своих классах (или снача-
ла с отдельными учащимися) эффективность следующего списка
указаний. Он предназначен для обучения учащихся умению выпол-
нять чертеж к задаче на доказательство или на вычисление, вы-
делять данные и искомое.
1)	Устанавливаем, о каких фигурах идет речь в задаче и в ка-
кой последовательности их лучше строить.
2)	Выполняем чертеж и вводим буквенные обозначения.
3)	Выделяем, что дано и что надо доказать (или вычислить).
4)	Обозначаем на чертеже данные и их следствия. (Если это
удается сделать, то облегчается поиск решения.)
Рассмотрите с учащимися пример применения'данного списка
указаний, допустим, при решении задачи: «Две окружности имеют
общий центр. В одной из них проведен диаметр АВ, в другой —
диаметр МК. Доказать, что ВК\\АМ.»
Ученик читает поочередно приведенные указания и выполня-
ет их:
«1) В задаче говорится об окружностях с общим центром и
их диаметрах. Начинать построение лучше с окружностей.
2)	Проводим окружности, их диаметры, а затем прямые AM
и В К (рис. 34).
73
3)	Д а н о: АВ и МК — диа-
метры.
Доказать: ВК|| AM.
4)	Так как диаметр равен двум
радиусам, то можно отметить рав-
ные отрезки на чертеже».
Далее учитель предлагает выде-
лить часть чертежа и рассмотреть

его отдельно (рис. 35). Теперь уча-

щиеся легко догадываются, как до-
казать параллельность прямых AM
и ВК, лютому что с подобными задачами уже встречались.
Подводя итог решения, учитель подчеркивает, что для возникно-
вения «догадки» существенное значение имеет прием «выделения
части чертежа».
4. Проведите следующие наблюдения и проверьте, в какой
мере приведенные факты совпадают с Вашими наблюдениями.
При решении задачи: «Доказать, что параллелограмм, диагона-
ли которого равны, является прямоугольником» — учащиеся -не
могли выполнить чертеж. Вот характерное высказывание ученика:
«Не могу построить параллелограмм так, чтобы он получился пря-
моугольником». И далее ученик отказывается от попыток решить
задачу. Не может ли список указаний, приведенный в предыду-
щем упражнении, оказать существенную помощь в решении дан-
ной задачи?
При решении задачи: «Доказать, что биссектрисы внутренних
углов параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник» —
некоторые учащиеся проводили биссектрисы от вершин паралле-
лограмма и только до противоположных сторон, не догадываясь
продолжить их до взаимного пересечения. Другие старались, что-
бы биссектрисы противоположных углов параллелограмма непре-
менно образовали одну линию, хотя бы и кривую. И далее они также
прекращали попытки решить задачу. Поможет ли здесь учащим-
ся приведенный список указаний? Не лучше ли в подобных случаях
дать образец решения задачи?
5. Сравните следующие способы решения системы неравенств.
Первый из них соответствует рекомендациям, предлагаемым в не-
которых пособиях для учащихся и пробных учебниках. Во втором —
используется алгоритмический метод и учитываются условия, ко-
торые облегчают восприятие (IV.1).
I способ. Имеем
1,4х<8,4,
х2 —9х4-14<0,
—х2+1 lx—24С0
{х<6,
(х—-2)(х—7)<0,
(х-3)(8-х)<0.
Для первого неравенства множеством решений служит проме-

жуток (— оо; 6), для второго — промежуток (2; 7), для третье-
го— объединение промежутков (—оо; 3] и [8; + оо). С помощью
74
Рис. 36
числовой прямой (рис. 36) находим, что пересечением этих мно-
жеств служит промежуток (2; 3].
II способ. Даем следующий список указаний для решения
системы неравенств, а затем образец его применения:
1)	Решаем каждое неравенство системы.
2)	Составляем систему простейших неравенств. (Если одно
из данных неравенств распадается на два или более простейших,
то их записываем в одной строке.)
3)	Проверяем: в системе простейших неравенств должно быть
столько строчек, сколько неравенств в данной системе.
4)	На числовой прямой отмечаем «линиями разной высоты»
интервалы, удовлетворяющие простейшим неравенствам.
5)	Проверяем: сколько неравенств в данной системе, столько
«линий соответствующих высот».
6)	Проверяем: обозначены ли «концы интервалов», удовлет-
воряющие неравенствам, «пустыми» кружочками, остальные —
«зачерненными».
7)	Ищем и штрихуем интервалы, которые располагаются под
линиями «всех высот».
8)	Записываем ответ.
Последовательно читая эти указания и руководствуясь образ-
цом ответа, данным учителем, учащиеся объясняют и решают при-
веденную систему неравенств следующим образом:
1) Решают каждое неравенство. При решении квадратных не-
равенств учащиеся пользуются списком указаний, данным в § 5:
а) Г,4х<8,4; б) хг-9х+14<0; в) —х2 + 11х-24<0;
х<6.	2<х<7.	х^З; х^8.
2, 3) Составляют систему простейших неравенств и проверят
ют ее по указанию 3;
х<6;
2<х<7;
х<3; х^8.
4—7) Делают рисунок и проверяют выполнимость рекоменда-
ций, данных в указаниях 4—7 (рис. 37).
8) Записывают ответ: 2<х^3.
Рис. 37
75
Опираясь на закономерности IV. 1 и IV.2 об условиях, облегчаю-
щих восприятие, объясните, почему рисунок 37 пред почт ительнее,-
чем рисунок 36. Какой из них учащиеся выполняют быстрее? При
каком из рассмотренных способов учащиеся более четко и само-
стоятельно объясняют решение системы неравенств?
§ 14. МЕТОДЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
И НЕЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗАДАЧ
Задачи по математике, физике и другим предметам условно
подразделяют на элементарные и неэлементарные. Роль первых сво-
дится к формированию навыков, необходимых для решения вторых.
Неэлементарная задача сводится к нескольким элементарным, и на
некотором этапе обучения она сама может стать для учащегося
«элементом» решения более сложных задач. Таким образом, ука-
занное подразделение проводится, исходя из дидактических со-
ображений.
Методом элементарных задач называют такой метод, при котором
на основе простейших упражнений формируются навыки приме-
нения отдельных теорем, определений, аксиом (или их небольшо-
го числа). При методе неэлементарных задач у учащихся форми-
руются умения и навыки их решения и одновременно — навыки
выполнения простых промежуточных операций.
Педагогический опыт выработал общий подход постепенного
перехода от метода элементарных к методу неэлементарных задач.
Длительность этого перехода может определяться только учите-
лем, исходя из уровней развития и знаний учащихся. К сожа-
лению, этот постепенный переход соблюдается не всегда. Например,
в VII классе на уроках алгебры почти по каждой теме выполняют
сначала десятки одинаковых упражнений, отличающихся друг от
друга разве только буквами, а на уроках геометрии предлагают
нередко задачи и теоремы, которые содержат по 7—9 умозаключе-
ний и более. Естественно, учащиеся не понимают решения таких
задач, а доказательства теорем зубрят.
В соответствии с дидактическими принципами доступности и
последовательного преодоления трудностей при изучении геомет-
рии в VII классе нужно особенно тщательно и осторожно соблюдать
постепенность. Начинать надо с задач, решения которых сводят-
ся к 1—2 умозаключениям, затем переходить к задачам с 2—3 умо-
заключениями и т. д.
Реализацию такого постепенного и осторожного перехода по-
зволяют осуществлять задачи по готовым чертежам. Их в послед-
ние годы стали широко использовать опытные учителя. Задачи
по готовым чертежам позволяют учителю, примеряясь к уровню
развития своих учащихся, постепенно «наращивать» число умо-
заключений в упражнениях. При этом значительно лучшие результа-
ты получаются у тех учителей, которые наряду с устным решением
76
кропотливо учат письменно оформлять решения задач сначала с 1—2
умозаключениями, затем — с 2—3 и т. д. Это обязательное
условие, поскольку навыки устной и письменной речи у уча-
щихся неодинаковы. Иногда учителя чрезмерно увлекаются устными
упражнениями, а на последующих контрольных работах оказыва-
ется, что многие учащиеся не могут решить те же самые задачи, ко-
торые как будто не плохо решали устно.
Значительно лучшие результаты получаются у тех учителей,
которые не только предлагают задачи по готовым чертежам для
устного решения, но и кропотливо учат письменному оформлению
их решения. Стиль и умения письменно оформлять решения отра-
батываются сначала на задачах с 1—2 умозаключениями путем
коллективного обсуждения с записью на доске.
Позже после устного решения той или иной задачи учитель
предлагает одному из учеников записать решение на доске.
Далее умения письменного оформления решения задач отра-
батываются сочетанием коллективных, самостоятельных и конт-
рольных работ. При этом в течение 2—3 месяцев учителю прихо-
дится проверять тетради всех учащихся после каждого урока.
Это трудно, но необходимо. Иначе невозможно отработать у всех
учащихся умения обоснованного и грамотного письменного оформ-
ления решения задач.
Как поступать учителю в тех случаях, когда его учащиеся
могут решать задачи еще только с 2—3 умозаключениями, а дока-
зательство очередной теоремы содержит 6—8 умозаключений или
более? В таком случае опытные учителя выбирают один из следую-
щих методических подходов:
1) Доказательство теоремы, еще непосильное многим учащим-
ся класса, временно опускается. Усилия учащихся сосредоточи-
ваются на ее применении. Этим учитель не нарушает программу.
(В ней, кстати, не регламентируется обязательность запомина-
ния доказательства той или иной теоремы.) Наоборот, учитель
соблюдает основную идею и дух программы, поскольку постепенно
и планомерно учит учащихся доказывать.
2) К доказательству теоремы, которое еще в целом непосиль-
но учащимся, дается готовый план. Пользуясь им и учебником,
учащиеся разбирают отдельные части доказательства, т. е. оно
разбивается как бы на отдельные элементарные задачи. Тем са-
мым учащиеся знакомятся с идеей доказательства, а некоторые
и запоминают его. Сразу после такого ознакомления с доказательст-
вом теоремы переходят к ее применению, т. е. к главной цели урока
на данном этапе развития учащихся.
Подчеркнем, что в указанной ситуации требовать запомина-
ния доказательства теоремы от всех учащихся недопустимо. Недо-
пустимо, так как принципы дидактики доступности и сознательности
надо не только пропагандировать и помнить, но и неукоснительно
соблюдать. Реальным и единственным средством является толь-
ко постепенный переход от простого к сложному при полном по-
77
нимаиии изучаемого материала на каждом этапе обучения. Нельзя
пренебрегать условием психологической закономерности II.4 от!
носительно обязательности понимания изучаемого материала.
В связи с этим следует также подчеркнуть, что в VII—IX клас-
сах не может идти речи об аксиоматическом курсе геометрии. Уча-
щиеся этих классов еще не готовы к пониманию такого курса.
Излишняя строгость изложения доказательства теоремы или ре-
шения задачи воспринимается учащимися формально и ничего,
кроме вреда, не приносит.
Итак, учителю желательно соблюдать постепенный переход
от метода элементарных к методу неэлементарных задач. Тако|
постепенный переход можно осуществлять даже в тех случая^
когда он повсеместно не отработан традиционным педагогическим
опытом и не отражен в действующих учебниках, как, например,
при изучении геометрии. Если такая постепенность не соблюда-
ется, то учитель практически не может добиться от многих уча*
щихся связного объяснения решаемых задач.	\
Следовательно, успешное применение других методов возможно
лишь при их умелой комбинации с методом элементарных задача
Рассмотрим ряд примеров.
Ученик не сможет связно изложить решение рассмотренного
неравенства sin (—2х)<-~ (см. § 13), если до этого не овладеет
отдельными элементами решения: умением находить значения уг^
лов по данному значению синуса, решать двойные неравенства и др.
Ученик не сможет упростить выражение
________2 sin2 4а — 1____
2 ctg^-^- + 4a^-cos2(^-4a^	i
если не будет обладать прочными навыками применения основным
тригонометрических формул и умением проводить преобразования
такого вида:
Так как с подобными выражениями учащиеся встречаются н
однократно, то желательно отработать их выполнение на соотве
ствующих элементарных упражнениях, например:
Упростить
Рис. 38	Рис. 39	Рис. 40	Рис. 41
При решении геометрических задач учащимся очень часто при-
ходится опираться на признак перпендикулярности прямой и
плоскости. Чтобы научить всех учащихся X класса применять эту
теорему, даем целый ряд элементарных упражнений.
Например:
Задача 1. Дано: Z.ABK— /_КВС=90° (рис. 38). До-
казать: KB.LAC.
Задача 2. Дано: углы АВС и СВК — прямые (рис. 38).
Доказать: BCJ-AK-
Задача 3. Дано: основание пирамиды МАВСК — прямо-
угольник, отрезок МВ перпендикулярен плоскости основания
(рис. 39). Доказать: Z-K.CM — 90°. Найти: угол МА К-
Задача 4. Дано: КЕ и РЕ — высоты в треугольниках
КОС и РОС (рис. 40). Доказать: OCJ-PK.
Ученики решают задачу: «Каждое ребро треугольной пирами-
ды равно а. Через середину стороны основания пирамиды прове-
дено сечение, параллельное двум скрещивающимся ребрам. Найти
площадь сечения».
В тех классах, где не приучают к обоснованному решению за-
дач, учащимся остается только два выхода. Если они случайно
располагают чертеж так, как на рисунке 41, а, то «угадывают»,
что в сечении получается квадрат. И тогда все решение сводят
к вычислению площади квадрата со стороной -у-. Если располага-
ют чертеж так, как на рисунке 41,6, то опять «угадывают», что
в сечении образуется параллелограмм, безуспешно ищут его высо-
ту и отказываются от решения. В последнем случае учащиеся не
догадываются, что угол ЕКО прямой. Тем более они не могут это
доказать.
Чтобы научить учащихся решать подобные задачи, необходи-
мо сначала кропотливо учить применению ряда теорем, и в первую
очередь теоремы, обратной признаку параллельности прямой и
плоскости. Причем учить надо на простейших, элементарных за-
дачах на доказательство. Этому опытные учителя посвящают не-
сколько уроков, так как знают, что умение применять теорему, об-
ратную признаку параллельности прямой и плоскости, формиру-
ется с большим трудом.
Приведем ряд соответствующих элементарных задач.
79
Рис. 42
Р
Рис. 43

МАВС проведено сечение ЕРО
В пирамиде
параллельно ребру МС. Доказать, что ЕК\\МС*
Задача 1.
(рис. 41,6). Оно
ОРЦСМ; РО\\ЕК.
Задача 2.
параллельное АВ
3 а д а ч а 3.
ребрам АВ и КС (рис. 42). Доказать, что МЕНР — параллелограмм»:
Последнюю задачу можно чуть усложнить, поставив зада-;
ние: «Указать вид четырехугольника в сечении». Можно, наобо-i
рот, облегчить работу учащихся, предложив сначала доказать,^
что МЕ^РН и МР\\ЕН.	i
Приведем ответ учащегося при доказательстве последнего вы-s
сказывания: «Плоскость КВС проходит через прямую КС, парал-:
лельную плоскости сечения, и пересекает ее по прямой ЕН. Сле- j
довательно, ЕН\\КС. Теперь рассматриваем плоскость АКС. Она 
также проходит через прямую КС, параллельную сечению, и пере- !
секает его по прямой МР. Значит, МРЦКС. Прямые МР и ЕН па- 1
раллельны одной и той же прямой КС, поэтому они параллельны
между собой».
В элементарных задачах мы должны варьировать
и форму чертежа, например:
«МОЕР— сечение куба. Оно параллельно ребру AAt
Определить вид сечения».
Далее мы даем ряд элементарных задач, обучая
определение угла между скрещивающимися прямыми,
«В пирамиде КАВС ребра АВ и КС взаимно перпендикуляр-
ны (рис. 42). Сечение МЕНР параллельно ребрам АВ и КС. Дока- 
зать, что угол РНЕ прямой».
Таким образом, мы всегда можем на элементарных задачах '
отрабатывать умения применять сначала отдельные теоремы, оп-
ределения, а затем их «комбинации», постепенно усложняя уп- ’
ражнения. Такое постепенное «наращивание» трудностей (числа ;
умозаключений) при обучении геометрии легче всего осуществлять т
с помощью задач по готовым чертежам. Задачи по готовым черте- •
жам у нас впервые предложили 3. Костина и М. С. Берн-
штейн (Математика в школе.— 1941.— № 2 и № 4).
80
В пирамиде МАВС проведено сечение ЕРОКГ
(рис. 41,6). Доказать, что РЕ\\ОК.	s
В пирамиде КАВС сечение ЕНРМ параллельна
и данные, 
(рис. 43).
применять
например:
Метод элементарных задач в широ-
кой мере использует заслуженный учи-
тель школы РСФСР Р. Г. X а з а н к и н.
Он постоянно формирует у школьников
умения решать такие элементарные за-
дачи (по терминологии Р. Г. Хазанкина —
«ключевые задачи»), на которых основа-
но решение целых классов последующих
более сложных задач, и показывает, как
последние сводятся к ряду «ключевых
задач».
Упражнения
1.	По рисунку 44 составьте задачу на применение теоремы,
обратной признаку параллельности прямой и плоскости.
2.	Можно ли для доказательства того, что сечение НЕСК —
трапеция (рис. 44), воспользоваться теоремой о пересекающихся
плоскостях, проходящих через параллельные прямые?
3.	По рисунку 42 составьте задачу, в которой надо доказать
перпендикулярность прямых АК. и ВС.
4.	Придумайте ряд других элементарных задач для обучения
применению теорем стереометрии и для одновременного повторе-
ния отдельных теорем курса планиметрии.
ГЛАВА III. МЕТОДЫ ПОИСКА РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧИ. МЕТОДИКА ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
§ 15. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ
^Существуют различные методы поиска решения задачи. Уча-
щихся желательно знакомить с ними, показывая, в каких случаях
удобнее использовать тот или иной из них.
Найденное, известное решение задачи обычно излагают син-
тетическим методом, а чтобы найти способ решения, пользуются
анализом. Синтез позволяет изложить известное решение задачи
быстро и четко. Однако ученику при этом трудно понять, как бы-
ло найдено решение, как бы он сам мог догадаться решить зада-
чу. Анализ требует большей, чем синтез, затраты учебного времени,
нс зато позволяет показать ученику, как найти решение, как можно
самому догадаться ее решить.
Если анализ используется систематически, то у учащихся фор-
мируются навыки поиска решения задач. Поэтому опытные учителя
стараются как можно чаще применять на уроках анализ. В школь-
ных учебниках доказательства теорем излагаются, как правило,
синтетическим методом.
Анализ в чистом виде вообще не применяется. Если ученик
пользуется им при поиске решения задачи, то только до тех пор,
пока в его сознании не возникнет идея решения (см. рис. 17). При
решении задачи синтезом в сознании человека проводится и ана-
лиз, но часто настолько быстро, подсознательно, что ему кажется,
будто он сразу увидел решение, не прибегая к анализу. Чем более
сложной для человека является задача, тем в более отчетливой
форме он может проследить элементы анализа в своих рассужде-
ниях, имевшие место в процессе поиска решения.
Поскольку анализ является неотъемлемой частью решения боль-
шинства задач, то ясно, насколько важно обучать школьников
процессу анализа. Обучение математике сводится не столько к
запоминанию теорем и их доказательств, сколько к овладению
методами познания. А так как анализ является одним из важнейших
методов познания, то обучение анализу следует рассматривать как
огромное приобретение в знаниях и культуре учащихся. Затра-
ченное на это время окупается с лихвой.
При решении задач анализ может выступать в двух формах:
82
а) когда в рассуждениях двигаются от искомых к данным задачи;
б) когда целое расчленяют на части. Соответственно синтез —
это рассуждения: а) когда двигаются от данных задачи к искомым;
б) когда элементы объединяют в целое. В литературе по методике
математики анализ рассматривался ранее только в форме а). Это
приводило к затруднениям в практике обучения.
§ 16.	АНАЛИЗ В ФОРМЕ РАСЧЛЕНЕНИЯ
Ознакомление учащихся с этой формой анализа можно осу-
ществлять двумя способами:
1)	сообщаем общую схему метода, затем иллюстрируем ее при-
менение на примерах;
2)	показываем применение анализа в форме расчленения при
решении задачи. Подводя итог решения, выделяем основные этапы
поиска и совместно с учащимися, составляем общий план поиска
решения задачи. После этого демонстрируем на экране (таблице)
общую схему применения анализа в форме расчленения.
Общая схема анализа в форме расчленения: 1) разбиваем усло-
вие задачи на отдельные части; 2) выделяем отдельные условия
(остальные временно не учитываем); 3) из отобранных условий
составляем более легкую вспомогательную задачу; 4) решаем ее
и, обнаружив идею решения, переходим к данной задаче.
Анализ в форме расчленения наряду с другой его формой исполь-
зуется часто при решении задач на построение методом подобия.
Пример 1. Решаем следующую геометрическую задачу: «В
данный треугольник вписать квадрат так, чтобы все его вершины
располагались на сторонах треугольника».
Составляем более легкую вспомогательную задачу: «Построить
квадрат так, чтобы три его вершины лежали на сторонах тре-
угольника». Решив эту задачу (рис. 45), учащиеся находят путь
перехода к данной задаче. Затем доказывают, что полученная
фигура — искомая.
Пример 2. Дана задача: «Построить треугольник по отно-
шению двух сторон, углу между ними и высоте, проведенной к
третьей стороне».
Рис. 45
Рис. 46
83
Обозначаем отношение сторон через т:п, временно опускаем
часть требований задачи и составляем вспомогательную, более
легкую задачу: «Построить треугольник по двум сторонам тип
и углу между ними». Построив этот треугольник (рис. 46), учащиеся
проводят высоту его АЕ. Откладывают на ней отрезок АО, равный
высоте искомого треугольника, и заканчивают решение.
Анализ в форме расчлинения часто применяется при преоб-
разовании рациональных, иррациональных, тригонометрических
выражений. Нередко бывает так, что учащиеся замечают, как пре-
образовать числитель дроби, но не знают пока, что делать со зна-
менателем. В таких случаях учитель предлагает преобразовать
сначала числитель. Решают часть задачи. Затем возникает идея
относительно упрощения знаменателя. Но при таком пути от вни-
мания учащихся ускользает основная идея поиска решения. Чтобы
подчеркнуть, выделить ее, изменяем условие задачи: меняем мес-
тами числитель и знаменатель. Тогда удается решение оформить
так, чтобы перед учащимися ярко «выступал» анализ.
Пример 3. Упростить выражение	-<х-+2..
tg « + ctg а — 6
Здесь учащиеся легко догадываются, как преобразовать чис-
литель дроби, а затем уже и знаменатель. Но идея поиска при
этом ими не замечается. Изменяем поэтому условие
м _ tg2a + ctg2a —6
tg2a + ctg2a+2 •
Как преобразовать числитель дроби, учащиеся не замечают.
Тогда учитель предлагает обратиться сначала к знаменателю. Здесь
учащиеся легко приходят к догадке. Начинают преобразовывать
знаменатель. При этом (по рекомендации учителя) учащиеся вре-
менно оставляют место для числителя:
м=___________________________________
(tg2 a+ l)+(ctg2 a-H) 1	.	1
--5---Г —7-0—7
cos a sin a
sin2 a-|-cos2 a	4
'sin2 a • cos2 a sin2 2a
Далее рассуждают следующим образом. Было бы заманчиво
таким же способом преобразовать числитель дроби. Но там стоит
—6 вместо -}-2. Возникает догадка: представить —6=— 8-|-2.
Теперь учащиеся преобразуют числитель, записывая его в остав-
ленных для него местах, и заканчивают решение.
Анализ в форме расчленения чаще всего выступает совместно с
другими методами поиска и с методами обучения.
Пример 4. Рассмотрим задачу: «Сторона основания пра-
вильной четырехугольной пирамиды равна а, боковое ребро состав-
ляет с основанием пирамиды угол а. Через вершину основания
пирамиды провести сечение, перпендикулярное противолежащему
боковому ребру. Найти площадь сечения (рис. 47)».
84
Если учащиеся не умеют решать ряд
простейших, элементарных задач, то о
самостоятельном решении данной зада-
чи, а тем более о поиске решения не мо-
жет быть и речи.
Следовательно, в данном случае перед
учителем возникает необходимость пред-
варительного использования метода эле-
ментарных задач.
Надо заблаговременно научить уча-
щихся решать следующие задачи:
1) Построить в многограннике сече-
ние, перпендикулярное данному ребру
и проходящее через данную точку.
2) Доказать, что в правильной четырехугольной пирамиде
боковое ребро перпендикулярно непересекающей его диагонали
основания.
3)	Доказать, что площадь плоского четырехугольника равна
половине произведения его диагоналей и синуса угла между ними.
Причем учащиеся должны не только уметь решать эти эле-
ментарные задачи, но и помнить их формулировки. Иначе идея ре-
шения данной задачи у них не возникнет. При указанных условиях
учащийся может воспользоваться анализом в форме расчленения,
составляя ряд вспомогательных задач и решая их.
Сначала ученик проводит сечение через точку М перпендику-
лярно ребру ВК- Здесь он пользуется также анализом в форме
рассуждения от искомого к данным. Одновременно он вспоминает
ход построения. Если он этого не знает, то анализ мало чем
поможет ему. Ученик рассуждает примерно так: «Чтобы искомое
сечение было перпендикулярно прямой ВК, оно должно содержать
две прямые, перпендикулярные этой прямой. В плоскости ВКМ
проводим прямую РМ, перпендикулярную ВК- Она пересечет вы-
соту пирамиды в точке Т. Как провести теперь еще одну прямую,
перпендикулярную ребру ВК (новая вспомогательная задача)?
Посмотрим, нет ли у нас уже таких прямых, которые перпенди-
кулярны ВК*.
Теперь ученик сблизил данные и искомые задачи настолько,
что в соответствии с закономерностью V.1 может вспомнить не-
обходимую ему сейчас теорему. А если ученик не помнит теорему
о том, что диагональ основания правильной четырехугольной пи-
рамиды перпендикулярна не пересекающему ее боковому ребру?
Тогда ему придется составить и решить еще одну вспомогательную
задачу: «Доказать, что АСА-ВК* и т. д.
Таким образом, при решении более сложной (для ученика)
задачи анализ используется в различных формах и совместно с син-
тезом. При этом поиск решения может быть успешно завершен
только при одновременном использовании ряда методов обучения,
в частности метода элементарных задач.
§ 17.	НИСХОДЯЩИЙ ДИАЛИЗ
Анализ в форме рассуждения от искомого к данным подр.
деляется на два вида: восходящий и нисходящий.
Ознакомление учащихся с нисходящим анализом лучше начг
с его общей схемы (табл. 1). Ее демонстрируем’ на- экране
сопровождаем дополнительными указаниями'. Еще лучше, ее
каждому ученику дается эта таблица.
Таблица 1J
Общая схема	Дополнительные урезания	j
Пусть требуется доказать некоторое утверждение А. Предполагаем, что оио верно, и пытаемся получить из него вер- ное следствие. При этом возможно не- сколько случаев . Г. Получено неверное следствие. Зна- >'чит, предположение о справедливости ошибочно. Решение задачи иа этом за- кончено . 2. ГТолучено верное следствие. В этом ‘случае следует обязательно проверить [обратимость рассуждений: а) Если все рассуждения обратимы, то А верно. ! б) Если среди рассуждений есть не- обратимые, то приходится применять другие методы поиска решения задачи 3. Если верное следствие получить не удается, то также приходится перейти к другим методам	1.	Уменьшать числа параметров ' 2.	Упрощать выражения 3.	Использовать все данные задач» j 1 Можно, изменив условие, сформу- лировать и доказать соответствующее. i верное утверждение, т. е. решить дру- гую задачу	. Такая проверка обязательна, так как из неверного утверждения (иа- • пример, а₽=—а, а=/=0) тоже можно» ( получить верное следствие (а2=(—а)2)- j Примеры необратимых рассуждений: (<х=р)=$- (ein a=sin р), (д/х=а)=>	> =>(х=я?)	; :	1 1 )
Далее решаем ряд задач. При этом желательно подобрать
такие задачи, которые охватывают все случаи, перечисленные в
общей схеме.
Задача 1. Доказать, что в равнобедренной трапеции квадрат
диагонали равен квадрату боковой стороны, сложенной с произве-
дением оснований.
Выполняем чертеж, вводим обо-
значения (рис. 48),.
Нисходящий анализ. Пред-
полагаем, что верно равенство
a2=c2 + bd.	(1)
Пытаемся получить из него верное
следствие. Уменьшаем число парамет-
ров. Так как
86
(а2 = с24-62— 26c-cos A, cos A =—) =>{a2 — c2 b2— 2bc'),
то из равенства (1) получаем
с2 62 — 26с'=с2+bd,
b (b — 2c')=bd,
b=d+2c'.
(2)
(3)
(4)
что верно.
Проводим рассуждения в обратном порядке. Учащимся сове-
туем при этом ориентироваться на уже полученные равенства (4) —
(1) и на .первых порах проводить такие рассуждения подробна,
оформляя их как синтетическое решение.
Решение. Так как трапеция равнобедренная, то
6=d+2c'.	(5)
(Это следует из равенства треугольников АВК и МЕС.) Отсюда
имеем
6 — 2с'—d.
Умножаем обе части равенства на 6:
b2—2bc'=bd
и к обеим частям прибавляем с2:
с2 4- 62 — 26с' = bd 4- с2.
Так как в треугольнике ABE. c'=c-cos А, то
с2 4* 62 — 26с • cos А — bd 4- с2.
Применяя теорему косинусов, получаем
a2 = bd+c2.
-Обращаем внимание учащихся на то, что без анализа наше
решение -представляется довольно искусственным. Трудно было бы
догадаться, почему вдруг решение начинаем с равенства (5), за-
чем обе части его умножать на 6 и т. д.	,
Задача 2. Доказать, что во всяком треугольнике S=-^-,
где а, 6, с, — стороны треугольника, S — его площадь, R — радиус
описанного круга.
iH и с ко дящий анализ. Предположим, что верно равенство
(1)
'Пытаемся получить из него верное следствие. Уменьшим для
этого число параметров:
87
х6с.51пл=^.	(
8|пЛ=Й’	Я
что верно по теореме синусов.
Синтетическое решение. По теореме синусов имее^В
sinA=-£-.	»
2R	ж
Умножаем обе части этого равенства на ~^-Ьс. (Опять обращащЯВ
внимание учащихся на то, что без анализа нелегко догадатьсгЯ
как подобрать такой множитель.)	ЯЫ
-Lbc.sinA=-l-fcC^-=>S=^£.	I
2	2 2R	4R	Ж
После решения нескольких задач разрешаем учащимся прове-Ж
рять обратимость рассуждений в сокращенном виде. Еще позжвЯ
разрешаем проверять это устно и записывать кратко.	И
От учащихся требуем, чтобы они устно перечислили, какиеМ
операции надо выполнить, например, в последней задаче, чтобы»
перейти от равенства (3) к равенству (1). Однако, решив несколькоЯ
задач, учащиеся начинают формально относиться к устной провер- Я
ке возможности обратимости рассуждений. Это можно объяснить,
опираясь на закономерность Шейарева (1.4). Проверим выполни-
мость ее условий:
1)	Решается ряд задач хотя и разного типа, но одним и тем
же способом.
2)	Эти задачи обладают одной и той же особенностью: в каждой
из них можно обнаружить обратимость рассуждений.
3)	Учащийся может не проверять эту возможность, не прислуши-
ваться к объяснениям вызванного ученика и, несмотря на это,
получать верный результат.	,
Таким образом все условия закономерности Шеварева выпол-
няются и многие учащиеся перестают осознавать необходимость
проверки, прекращают ее проводить, не прислушиваются к объясне-
ниям. В этом случае одну из следующих задач подбираем такую, .
в которой нельзя провести обратимость рассуждений. Многие уча-
щиеся не замечают этого, заявляя, что рассуждения обратимы.
Парадоксально, но именно эта ошибка учащихся — наша педа-
гогическая удача! Анализ этой ошибки заставляет учащихся усом-
ниться в безошибочности своих действий. Поэтому в соответствии
с закономерностью 1.9 несколько последующих задач учащиеся ре-
шают с большей мыслительной активностью: тщательнее проверяют ;
возможность обратимости рассуждений. А через некоторое время '
мы опять включим задачу, провоцирующую учащихся на ошибку.
Ошибка и ее анализ приведут к тому, что учащиеся станут еще
88
более внимательными и осторожными в своих рассуждениях
(закономерности 1.9; II1.2; III.4)_______
Задача 3. Доказать, что д/1 4-sin 2а =sin a-|-cos a. (1)
Предполагаем, что равенство (1) верно. Пытаемся получить из
него верное следствие:
1 4-sin 2a = sin2 a -f-cos2 a 4*2 sin a cos a,	(2)
1 4-sin 2a= 1 4-2 sin a cos a,
sin 2a = 2 sin a cos a.	(3)
Проверим возможность обратимости рассуждений. Многие уча-
щиеся заявляют, что рассуждения обратимы, не проверяя этого.
Ошибку анализируем и убеждаемся, что из равенства (3) следует
(2), но из (2) следует не (1), а (4):
дН 4-sin 2a = |sin a4-cos a|.	(4)
Следовательно, мы решили задачу, доказав, что равенство (1)
неверно.
Мы можем теперь выполнить дополнительную работу, не пре-
дусмотренную условием задачи. На основе проведенного анализа
можем составить новую задачу: «Доказать тождество -у 14-sin 2a =
= |sin a4*cos a|»,— способ решения которой нам уже известен.
Задача 4. Доказать, что если tg а=-~, tg р=-^-, то
« + Р = 45°.	(1)
Нисходящий анализ. Предполагаем, что верно равен-
ство (1). Попробуем получить из него верное следствие. Учитывая,
что нам известны значения tg а и tg р, перейдем к равенству
tg (a + ₽)=tg 45°,	(2)
. tg «4-tg ft. 1	zox
l-tga-tgp ’
2'3
Далее учащиеся проверяют возможность проведения всех этих
преобразований в обратном порядке и записывают: (4)=ф-(3)=ф-
=фД2)=ф-(1). Это типичная ошибка. Ее допускает подавляющее боль-
шинство учащихся. Разъясняем сущность ошибки на примере:
tg 225° = tg 45°, но 225° =#=45°.
Учащиеся делают вывод, что из равенства тангенсов не сле-
дует равенство углов, т. е. от равенства (2) можно перейти не к
равенству (1), а к следующей зависимости:
а4-р = 45° 4- 180° п.
89
Значит, доказать равенство (1) мы не можем: данных недос-
таточно.
После этого полезно решить следующую задачу:
Задача 5. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС в
3 раза больше катета ВА. Точками К и М катет АС разделен на
три равные части. Доказать, что Z.AMB + Z-AKB-]- Z.ACB =90°.
Вспоминаем с учащимися ранее данную рекомендацию о том,
что углы (отрезки, векторы) удобнее обозначать одной буквой.
Это облегчает восприятие (IV.1), а значит, и решение.
Решение. Обозначим на чертеже углы и равные отрезки
(рис. 49). Предполагаем, что верно равенство
а	90°.	(1)
Так как АВ —AM, то а =45°. Получаем
Р+Т=45°.
(2)
Поскольку из прямоугольных треуголь-
ников легко найти значения tg р и tg у,
то перейдем к равенству •(3)
!tg (р f-T)=tg 45°,
tg P+tgy
1-tg p tgy
(3)
(4)
чт® верно, так как tg Р=4tgy=4- (см. предыдущую
задачу).
Выполняя преобразования в обратном порядке, замечаем, что
в треугольниках А КВ и АСВ 0<,р<45°, 0<у<45°.
Следовательно,
0<р + у<90°.
Поэтому из равенства (3) следует (2). А так как а = 45°, то
верно (1).
С нисходящим анализом целесообразно знакомить учащихся
VJJI, IX, а тем более X, XI классов. Учителю приходится не-
навязчиво пропагандировать новый метод, предлагая пользоваться
им в тех случаях, когда без него учащиеся испытывают затрудне-
ния. Постепенно учащиеся убеждается в достоинствах этого ме-
тода и начинают применять его по собственной инициативе.
Рассмотрим пример такой задачи, способ решения которой
учащимся затруднительно найти без нисходящего анализа.
Задача 6. Доказать, что при сс#=у-А>
I tg ос + ctg а I < д/21 sin а -|- cos а |.	(1)
90
Решение. Предполагаем, что неравенство (1) верно. Пы-
таемся получить из него верное следствие. Уменьшим число функций
-----1	sin/а + 4-^ I .
: cos а ।	*	•	\	4/1
(2)
Еще раз уменьшим число функций
р-~ < 2 | sin/ a+-j-) | ,
Ism 2а|	4 /'
так как a =#=-£-• k, то sin 2a =/=(), Умножая обе части неравенства (3)
на I sin 2a |> О, получаем
L < | sia^a-f--^-^j-sin 2a |„
что неверно, так как | sin(a4—| и- | sin 2a|> ^1. Следо-
вательно, наше предположение о. справедливости неравенства (1)
ложно.
На этом решение задачи можно считать оконченным, ибо, мы
доказали, что неравенство (1) ложно. Впрочем, доказав это, мы
тем самым доказали справедливость неравенства
|tg a-}-ctg a| ^-\/2|sin a-f-cos a|.
Здесь нисходящий анализ превратился в метод доказательства
от противного.
Желательно обратить внимание учащихся на то обстоятельство,
что использование дополнительного указания об уменьшении числа
параметров существенно облегчает поиск решения.
Рассмотрев с учащимися ряд. примеров» выявляем, когда удоб-
но применять нисходящий анализ.. Им можно пользоваться при
доказательстве неравенств, решении геометрических задач., если
доказывается зависимость, выражаемая формулой, задач на построе-
ние и. в других случаях.	-
Упражневи ». вопросы
1.	Объясните, почему, решая уравнения или неравенства, мы
фактически пользуемся нисходящим анализом. Опираясь на его об-
щую схему, объясните, почему при решении иррациональных
уравнений, например:
л/х2 + 3х = 3х—1„	(1)
х24-3х=(3х—I)2,	(2)
Х1 = 1; х2=—,
необходима проверка. Можно ли обойтись без проверки, если,
например, от уравнения ( L) перейти к системе
91
х24~3х=(3х— I)2,
Зх— 1>0?
2.	При решении задачи: «Доказать, что если |х—1/|=2 и
(Зх+2)|(2х-|-«/)=/= 0, то дроби 1А~» и равны» — можно вое-;
Ол “[” A	£Х “j— У	
пользоваться нисходящим анализом. Если в этой задаче исключить^
условие (3x4-2) (2x4-у) У= О, то не будет обратимости рассуждений??
Учащиеся могут этого не заметить и допустить ошибку. Проверьте
это предположение и проследите, в какой мере анализ ошибки,
допущенной учащимися, побуждает их к более вдумчивому и осто- i
рожному решению последующих задач.	j
3.	Перечислите типы задач, при решении которых можно поль-
зоваться нисходящим анализом. Удобно ли его применять при до-
казательстве тождеств?	
4. Верно ли доказано следующее неравенство:
sin2 а4-sin2 p^sin а sin 04*sin а4~5>п 0—1?
«Доказываемое неравенство перепишем в виде
2 sin2 «4-2 sin2 0— 2 sin a sin 0 — 2 sin а —2 sin 04~2i>O,
(sin a— l)24~(sin p — l)24~(sin a —sin P)2^0,
которое очевидно. Значит, доказываемое неравенство верно».
5.	На примере предыдущего упражнения объясните, какие ти-
пичные ошибки допускают учащиеся, если их не знакомят с нисхо-
дящим анализом.
6.	Нужно ли на первых порах требовать от учащихся соблю- j
дения формы решения: 1) нисходящий анализ; 2) синтетическое 
решение? Если да, то как постепенно упрощать эту форму, одно-
временно снижая вероятность ошибок учащихся?
7.	Покажите на нескольких примерах, что при решении задачи
на построение мы пользуемся фактически нисходящим анализом.
Комбинируется ли он при этом с другими формами и видами
анализа?	’
8.	Какие из дополнительных указаний, приведенных в таблице
1, использованы в рассмотренных примерах? Стоит ли от учащихся
требовать запоминания этих указаний?
§ 18. ВОСХОДЯЩИЙ АНАЛИЗ.
АНАЛИТИКО-СИНТЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД
Общая схема восходящего анализа. Пусть требуется доказать
утверждение А. Подбираем такое утверждение В, из которого
следует А. Затем отыскиваем утверждение С, из которого сле-
дует В, и т. д. до тех пор, пока находим путь решения задачи.
Обычно восходящий анализ применяют совместно с синтезом.
Используемый при этом метод называют аналитико-синтетическим
92
или методом попеременного движения с двух сторон — от данных
задачи к искомому и обратно. Сначала стараются получить ряд
следствий из данных, а затем — такие утверждения, из которых
следовало бы искомое. Далее опять возвращаются к данным и т. д.
Вообще говоря, из данных задачи можно получить много след-
ствий, не имеющих никакого отношения к ее решению. Однако
чаще всего мы подсознательно останавливаемся именно на тех
из них, которые можно связать с искомым, так как наше внимание
только что фиксировалось на нем или на утверждениях, из которых
оно следует. То же самое происходит при движении от искомого
к данным.
При таком способе поиска решения «догадка» возникает, когда
искомые и данные максимально сближаются. И тогда в соответ-
ствии с закономерностью V.1 ученик вспоминает нужную теорему,
завершая поиск решения. Все это иллюстрировалось на рисунке 17.
С общей схемой восходящего анализа учащихся удобно зна-
комить в процессе решения задачи, например следующей:
Задача 1. Прямая АВ касается
окружности в точке В (рис. 50), пря-	_____
мая АР пересекает ее в точках С и К.	X
Доказать, что	(
АВ2=АК-АС.	(1)
Учитель объясняет поиск решения	/У
задачи. Чтобы доказать равенство (1),
достаточно доказать пропорцию	°
АВ  АС	/п\	Рис. 50
АК~ АВ ’	'
так как из нее следует (1). Чтобы доказать пропорцию (1), до-
статочно доказать подобие треугольников, длины сторон которых
являются членами этой пропорции. Строим такие треугольники и
из полученных треугольников выбираем те, стороны которых вхо-
дят в пропорцию (2).
Чтобы доказать подобие треугольников АВС и АВК, имеющих
общий угол А, достаточно доказать равенство углов В КС и АВС.
Далее учитель предлагает перейти к данным задачи. Учащиеся
замечают, что угол В КС — вписанный и измеряется половиной
дуги ВС. После того как кто-либо в классе говорит, что угол АВС
составлен касательной и хордой, некоторые учащиеся вспоминают
теорему об измерении угла между касательной и хордой. Теорема
вспоминается, так как в соответствии с закономерностью V.1 уча-
щиеся сблизили анализом и синтезом данные и искомые задачи.
Если теорему учащиеся не знают, то доказывают ее и запоминают
ее формулировку, часто используемую в дальнейшем.
Далее учитель объясняет общую схему восходящего анализа
с опорой на решенную задачу.
Чтобы доказать утверждение А (в нашем случае — равен-
ство (1)), достаточно подобрать такое утверждение В (в нашем
93
случае — пропорцию (2) ), из которого следует А, затем подыски-
вают утверждение С, из которого следует В, и т. д.
На примере рассмотренной задачи или несколько позже обра-
щаем внимание учащихся на следующие особенности данного
метода:
1)	При восходящем анализе не требуется обратимости рас-
суждений, так как возможность обратного перехода проверяется
на каждом шаге поиска решения.
2)	Применяя восходящий анализ, мы фактически пользуемся
аналитико-синтетическим методом.
3)	Общая схема восходящего анализа несколько отличается
от формы словесных рассуждений при его использовании. Уча- .
щиеся должны хорошо усвоить эту форму: «Чтобы доказать..., доста-
точно доказать...» На первых порах учащиеся обычно заменяют ;
термин «достаточно» словом «надо». Разъясняем, что здесь более ;
подходит термин «достаточно», поскольку мы можем подобрать
несколько различных утверждений, для каждого из которых ис- 3
комое является следствием.
4)	В общей схеме восходящего анализа (в отличие от нисхо- •
дящего) не разъясняется, как получить утверждение, из которого :
следует искомое. Такое утверждение подыскивается, исходя из
конкретных условий решаемой задачи.
После решения ряда задач с помощью восходящего анализа
полезно совместно с учащимися выявить его отличия (а также
сходства) от нисходящего анализа. Сходства: одна и та же форма
анализа — рассуждения от искомого к данным. Отличия учащиеся
устанавливают на основе перечисленных особенностей восходящего
анализа.
Если с нисходящим анализом учащихся целесообразно знако-
мить примерно с VII—VIII классов, то восходящий анализ начинают
применять значительно раньше. Его широко используют, например,
при решении арифметических задач.
Рассмотрим задачу-шутку, которая обычно заинтересовывает
учащихся:
Задача 2. Два велосипедиста выехали навстречу друг другу
из пунктов А и В, расстояние между которыми 135 км. Скорость
первого велосипедиста 25 км/ч, второго — 20 км/ч. Одновременно
с первым из пункта А вылетела ласточка. Долетев до второго
велосипедиста, она повернула назад до встречи с первым. Так
она летала от одного к другому до их встречи. Можно ли найти
путь, который пролетела ласточка, если ее скорость 80 км/ч?
Вначале учащимся кажется, что ответить на вопрос нельзя.
Но, применяя анализ, они довольно быстро находят решение. Рас-
суждают примерно так: «Чтобы найти, какой путь пролетела лас-
точка, достаточно знать ее скорость (известно) и время полета.
Чтобы найти время ее полета, достаточно знать время движения
велосипедистов до их встречи. А для этого достаточно знать рас-
стояние между пунктами А и В (известно) и скорость сближения
94
ce-
ll а-
(легко найти, так как известны скорости каждого велосипедиста)».
При решении задач отдельных типов полезно давать учащимся
эвристические правила, помогающие им применять аналитико-син-
тетический метод. Так, при решении задач с помощью векторов
желательно совместно с учащимися составить, например, следую-
щие эвристические правила:
1)	Чтобы доказать параллельность отрезков, достаточно до-
казать коллинеарность соответствующих векторов.
2)	Чтобы: доказать равенство или неравенство двух векторе®,
достаточно выразить их через одни и те же векторы.
3)	Чтобы доказать, что три точки А, В и С лежат на адной
прямой, достаточно доказать коллинеарность векторов АВ и ВС.
4)	Чтобы найти длину некоторого отрезка МР, достаточно:
а) ввести вектор МР; б), разложить его по данным векторам; в) найти
скалярный квадрат вектора МР, а затем — длину искомого отрезка.
5)	Чтобы найти угол между прямыми, достаточна: а) отложить
на этих прямых векторы х и у; б) разложить их пр данным векторам;
в) составить скалярное произведение векторов х и у; г) найти угол
между ними.
Задача 3. В плоскости даны четырехугольник АВСМ и точка
О. Доказать, что точки, симметричные точке О относительно
редин сторон этого четырехугольника, являются
раллелограмма.
Выполняем чертеж (рис. 51). Ученик
рассуждает: «Чтобы доказать, что четы-
рехугольник РЕКИ — параллелограмм,
достаточно доказать, что две его противо-
положные стороны равны и параллель-
ны. А для этого достаточно доказать, что
ЕК — РН. Чтобы доказать равенство
этих векторов, достаточно выразить их
через одни и те же векторы».
Далее требуется помощь учителя. Он
дает общую рекомендацию, полезную и
для последующих задач:
6)	За данные векторы удобно прини-
мать такие, которые «связывают» все
данные задачи.
В нашем случае положение всех заданных точек определяется
векторами ОА, ОВ, ОС, ОМ. Их и считаем данными. Теперь, исполь-
зуя условие задачи (точки Е и О симметричны относительно середины
АВ), получаем ОЕ — ОА-рОВ. Аналогично и для других точек.
Путь решения задачи найден:
вершинами
Рис. 51
ЕК — ОК — ОЕ—(ОВ-]-ОС)—(рВ-\-ОА')=ОС —ОА,
95
PH=OH—OP=(OC+OM)—(QA + OM)=OC—OA.
Отсюда ЕК=РН и ЕКНР — параллелограмм.
Задача 4. Доказать, что высоты треугольника или их npi
должения пересекаются в одной точке.
Ученик рассуждает: «Пусть высоты AAt и СС( треугольник
АВС пересекаются в точке О (рис. 52). Надо доказать, что треть
высота ВВ\ проходит через точку О». Далее учащиеся идею р<
шения не обнаруживают. Не помогает им и рекомендация восполь
зоваться векторами. Тогда учитель дает общее указание, применим •<
и к последующим задачам:
Рис. 52
7)	Чтобы доказать, что некоторая прямая
например BBi, перпендикулярная другой пря-
мой АС, проходит через данную точку О, уд об-
но иногда поступить наоборот: провести пря-
мую ОВ и доказать, что она перпендикуляр-
на АС.
Опираясь на это и предшествующие ука-
зания, учащиеся осуществляют поиск реше-
ния, рассуждая примерно так:
«Вместо того чтобы доказывать, что высо-
та треугольника ВВ\ проходит через точку О,
проведем отрезок ОВ и докажем, что он пер-
пендикулярен АС. Чтобы доказать это, доста-
точно доказать, что OB.LAC. А для этого достаточно доказать, что
скалярное произведение этих векторов равно нулю.
Выразим эти векторы через данные. За данные удобно принять
векторы с началом в точке О, обозначая их соответственно через
а, Ь, с. Тогда
ОВ‘АС=Ь(с—а)=Ь-с —Ь-а.
Чтобы доказать, что полученная разность равна нулю, доста-
точно доказать, что b-c—b-a. Для этого обратимся к еще неисполь-
зованным условиям задачи:
так как AA-LBC и CCiXAB, то имеем
ОА-ВС=а(с—Ь)=а-с—а-Ь=0, т. е. а-с=а-Ь;
ОС-АВ = с (Ь — а)=с-Ь — с-а=0, т. е. с-Ь = с-а.
Отсюда C'b = a-b, т. е. с-Ь — а-Ь—О и OBJ-АС.»
Опираясь на приведенные указания (эвристические правила),
учащиеся находят рациональный способ решения, например, сле-
дующей задачи:
Задача 5. Плоские углы при вершине треугольной пирамиды
прямые. Доказать, что высота пирамиды проходит через точку пе-
ресечения высот основания.
По рекомендации учителя учащиеся располагают вершину К пи
96
рамиды так, как на рисунке 53. Далее
пытаются доказать, что высота пирамиды
КО пересекает высоты основания. Попыт-
ки не удаются. Тогда вспоминают ранее
рассмотренные указания и рассуждают
примерно следующим образом:
«Вместо того чтобы доказывать, что
КО пересекает высоту основания AAi, про-
ведем отрезок АО и докажем, что он пер-
пендикулярен ВС. Для этого достаточно
доказать, что скалярное произведение
векторов АО и СВ равно нулю:
АО  СВ - (АК + КО)  СВ=АК - СВ + КО • СВ.
Далее отправляемся от данных. Высота пирамиды КО перпен-
дикулярна СВ, поэтому КО-СВ=0. По условию АКперпендикулярна
прямым СК и КВ, а значит, плоскости КСВ и прямой СВ, т. е.
а"к-св=о.
Следовательно, АО Л. СВ, т. е. высота основания AAi проходит
через основание высоты пирамиды. Аналогично доказываем это для
другой высоты В Bl».
Из рассмотренных примеров видно, что приведенные эвристи-
ческие правила совместно с аналитико-синтетическим методом ока-
зывают учащимся существенную помощь при поиске решения за-
дачи. Поэтому некоторые учителя рекомендуют учащимся усваивать
перечни такого вида: «Чтобы доказать параллельность двух прямых
на плоскости, достаточно доказать их перпендикулярность к третьей
прямой, или равенство соответственных углов при их пересечении
секущей, или что эти прямые содержат основание и среднюю линию
треугольника и т. д.».
Еще лучшие результаты получаются, когда путем специальных
элементарных задач формируют у учащихся такие обобщенные
ассоциации, которые в дальнейшем направляют мысль учащихся
по аналитико-синтетическому пути. Приведем примеры таких задач:
1) Угол А равен 30°, ОМ = 4,1 см (рис. 54). Что еще надо знать
для вычисления AM?
2) Угол В равен 40° (рис. 55). Что еще надо знать для вычисления
97
3) PK.L.MP, KC.LMC, Z.M = 49° (рис. 56). Что можно узнатЛ
4) АВ = ВС, zl ВСК =115° (рис. 55). Что можно вычислите
5) CK-LAK (рис. 53). Что еще надо знать, чтобы доказагЛ
что СК±ЛВ?	4
Подобные элементарные задачи, которые можно постеленJ
усложнять, вырабатывают у учащихся способность быстро получав
ряд следствий из данных и, наоборот, подбирать утверждения, н1
которых следует искомое.	1
Упражнения. Эксперименты	?
1. Примените аналитико-синтетический метод и приведенные эв|
ристические правила к поиску решения задачи: «Доказать, что точка»
пересечения диагоналей трапеции и середины ее оснований лежал
на одной прямой».	j
При решении в классе этой задачи учащиеся могут предложить,
два пути для доказательства коллинеарности векторов ОМ и ОК,
(рис. 57): 1) выразить их через полусуммы векторов, например:!
д М .С	ОМ=^-(ОВ-\-ОСу, 2) выразить их че<
/	\ Рез разности, например: ОМ — ВМ — ВО.
V	Как разъяснить учащимся, что второй
Jпуть непригоден?
К р 2. Ученик без объяснений записал до-
Рис 57	казательство неравенства:
«Если а^О, Ь^О,	то	(1)
a-\-b — 2-\[аЬ^0,	(2)
h/H-VF)2>0».	(3)
Ученик	мог при	этом	устно рассуждать следующим образом:
а) «Чтобы доказать неравенство (1), достаточно доказать нера-
венство (2), так как...» б) «Предположим, что неравенство (1)
верно, и попытаемся получить из него верное следствие...» Какие
методы он использовал бы, если бы действительно шел по одному из
этих путей? Если ученик использовал нисходящий анализ, то
можно ли по его записям утверждать, что он не забыл проверить
обратимость рассуждений? Не следует ли подобную запись без объ-
яснений считать ошибочной?
3.	Обобщите выводы, сделанные при выполнении предыдущего
упражнения. Почему одну и ту же запись доказательства нера-
венства, приведенную без письменных объяснений, ученик может
сопровождать устными комментариями, относящимися к различным
видам анализа: восходящему, нисходящему с проверкой обрати-
мости на каждом шагу поиска или только в конце его?
98
г
4.	Почему при использовании восходящего анализа не требуется
проверять обратимость рассуждений? Каким путем можно прово-
дить рассуждения при нисходящем анализе, чтобы после его за-
вершения не надо было проверять их обратимость?
5.	Поиск решения некоторой задачи проведен в классе восхо-
дящим анализом. Каждый ли ученик сможет после этого дать
краткое синтетическое решение этой задачи? Не стоит ли из мето-
дических соображений поиск решения задачи завершать в некоторых
случаях синтетическим решением?
§ 19. ПЕРЕФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
При решении задачи с использованием анализа целесообраз-
но четко формулировать «промежуточные» задачи, возникающие
по ходу поиска решения. Такой способ решения называют пере-
формулировкой задачи. Этот способ приводит к следующим, на наш
взгляд, удачным методическим ситуациям:
1)	Усилия учащихся в каждый момент поиска сосредоточиваются
на его основных этапах.
2)	Выделяемые вспомогательные задачи разбивают на отдель-
ные логические части все рассуждение, а оно бывает иногда до-
вольно громоздким, что затрудняет некоторых учащихся. Рассужде-
ние разбивается на этапы, выделяется как бы план поиска решения.
Все это приводит к осознанию идеи поиска решения в целом, а
значит, к его лучшему усвоению (закономерность II.6).
3)	При подведении итога решения задачи легче выделить и
рекомендовать для запоминания (и использования в дальнейшем)
выделенные при поиске решения вспомогательные задачи — тео-
ремы.
Пример 1. Найти объем правильной треугольной пирамиды,
если ее высота И составляет с плоскостью боковой грани угол <р.
Как было отмечено, учащиеся затрудняются строить угол между
прямой и плоскостью в непривычных ситуациях (см. рис. 5, 6). При
решении данной задачи некоторые учащиеся интуитивно угады-
вают, что Z_O£M = <p, где ЕО — высота, ЕМ — апофема пирамиды
(рис. 58). Но они не могут этого обосно-
вать. Поэтому в первые же моменты
поиска решения выделяем и четко фор-
мулируем первую вспомогательную задачу:
«Построить угол между высотой пра-
вильной треугольной пирамиды и ее боко-
вой гранью».
Учащиеся рассуждают: «Так как угол
между прямой и плоскостью есть угол
между этой прямой и ее проекцией на
данную плоскость, то надо построить
проекцию отрезка ОЕ на плоскость
Рис. 58
4*
99
АЕС. Для этого надо через точку О провести перпендикуляр м
плоскости АЕС».
Выделяем вторую вспомогательную задачу:
«Через основание высоты правильной пирамиды провести пер-
пендикуляр к боковой грани».
«Для этого надо,— объясняет учащийся,— провести прямую, пер-
пендикулярную двум пересекающимся прямым грани. А для этого
в свою очередь достаточно в плоскости OEM провести прямую ОК,
перпендикулярную ЕМ, и доказать, что ОК перпендикулярна еще
одной прямой плоскости АЕС. Докажем, что ОК Л-АС, или, что то
же самое, АСЛ-ОК- Действительно, AC.LEM (апофеме пирамиды),
АСЛ-ОЕ (высоте пирамиды).
Следовательно, ЛС±(О£7И) и АС Л. ОК.
Итак, ОКЛ_(АЕС), значит, ЕК — проекция ОЕ на плоскость
АЕС и 2_ОЕМ = ц>».
Теперь учащиеся легко завершают поиск решения: «Для вы-
числения объема пирамиды достаточно знать ее высоту (известно)
и площадь основания. Так как основание — правильный треуголь-
ник, то для вычисления его площади достаточно знать сторону.
Ее легко найти, если будет известна высота основания ВМ. Но ВМ =
=3'ОМ, а ОМ легко найти из треугольника ОЕМ».
Примечание. Желательно учитывать следующее любопытное
явление. Учащиеся обычно затрудняются доказать, что ОК_1_АС
(рис. 58), но быстро приходят к «догадке», когда меняют местами
прямые: АС Л. ОК. Значит, можно высказать такое утверждение:
«Мыслительная деятельность учащихся (по-видимому, и взрослых)
не подчиняется «переместительному закону» при поиске решения
задачи». Отсюда простейшая, примитивнейшая переформулировка
задачи вида a_Lb (вместо ЬЛ-d), а\\т (вместо zn||a) и др. может
увеличить вероятность возникновения догадки при поиске решения
задачи. Значит, полезно давать учащимся соответствующие ре-
комендации.
Подводя итог решения задачи, обращаем внимание учащихся
на важность для дальнейшего вспомогательных задач, выделенных
по ходу поиска. Еще лучше, если методом элементарных задач
формируем соответствующие умения и навыки, предлагая упраж-
нения типа:
1) В правильной треугольной пирамиде построить угол между
боковой гранью и не принадлежащим ей: а) боковым ребром;
б) ребром основания.
2) В правильной четырехугольной пирамиде построить проек-
цию высоты пирамиды на боковую грань.
Если подобные элементарные упражнения учащиеся могут ре-
шать более или менее свободно, то поиск решения рассмотренной
задачи значительно упрощается. Однако и в этом случае пере-
формулировка, т. е. выделение указанных вспомогательных задач,
существенно ускоряет и облегчает решение задачи.
100
Пример 2. Доказать, что Л=^-4--у 4-^- является целым
числом при любом четном п.
Используем метод попеременного движения с двух сторон и
переформулировку задачи.
Отправляемся от данных: «Так как п — четное число, т. е.
п==2£, то
д 2k ,4k28k3 k . k2 . k'  Л+ЗЛ2+2*3
От искомого: «Чтобы доказать, что А — целое число, достаточно
доказать, что числитель полученной дроби делится на 6».
Формулируем вспомогательную задачу:
«Доказать, что В — k 4- 3k2 4- 2/г3 делится на 6 при любом целом /г».
Для этого разложим В на множители:
В=k( 1 + 3k 4- 2k2) = k (1 4- k + 2k 4- 2k2) = k (k 4-1) (1 + 2k).
От искомого: «Чтобы доказать, что В делится на 6, достаточно
доказать, что В делится на 2 и на 3».
От известных: «Так как из двух последовательных целых чисел
k и k 4- 1 одно четное, то В делится на 2».
От искомого: «Остается доказать, что В делится на 3».
Формулируем еще одну вспомогательную задачу:
«Доказать, что B=k (k + 1) (1 +2/г) делится на 3 при любом це-
лом k».
Решаем эту задачу методом полной индукции:
1)	k — 3m -,
2)	k = 3m + l, тогда B=(3m-|-l)(3m-|-2)(6m-|-3);
3)	/г = 3m 4-2, тогда В=(3m 4- 2) (3m4~3)(6m4~5).
Так как возможны всего три случая и в каждом из них В де-
лится на 3, то задача решена. Следовательно, В делится на 6 и
А — целое число при любом четном п.
Пример 3. Имеет ли правильный тетраэдр ось симметрии?
Обычно учащиеся высказывают сначала предположение о том,
что осью симметрии является высота тетраэдра. Убедившись в
ложности этого предположения, они заявляют, что правильный
тетраэдр не имеет оси симметрии. На помощь приходит учитель.
Он рекомендует переформулировать условие задачи и подсказы-
вает, как это сделать в данном случае. Учащиеся последовательно
формулируют и пытаются решить ряд вспомогательных задач, яв-
ляющихся частными случаями данной: «Найти ось симметрии:
а) четырех точек А, В, С, К (рис. 59); б) трех точек В, С, и К; в) двух
точек В и С».
Обычно приходится также подчеркивать, что точки В и С в
пространстве имеют не одну, а множество осей симметрии. После
этого учащиеся уже самостоятельно догадываются, что для ре-
шения данной задачи остается провести прямую через середины
ребер ВС и А К и решить еще одну вспомогательную задачу:
101
«Доказать, что прямая, проходящая через середины скрещи-
вающихся ребер правильного тетраэдра: а) перпендикулярна каж-
дому из этих ребер; б) является осью симметрии тетраэдра».
Заметим, что если в двух предшествующих примерах пере- j
формулировка использовалась совместно с восходящим анализом
(преимущественно), то в последнем — главным образом с анализом '
в форме расчленения.
Пример 4. Доказать, что любая плоскость, проходящая через
середины двух противоположных ребер правильного тетраэдра,
делит его на части, имеющие равные объемы.
Выбираем на ребре АС правильного тетраэдра ЕАВС произ-
вольную точку Н и строим сечение НМК, где М и К— середины
ребер (рис. 60). Обозначаем через Ф1 и Ф2 полученные многогран-
ники, а через Vi и V2 их объемы.
Доказать равенство Vi = V2, предварительно вычисляя 1Л и V2,
не представляется возможным в силу произвольности расположения
сечения. Остается единственно возможный путь — доказать сначала
равенство многогранников Ф1 и Ф2. Но как это сделать?
Посмотрим, не будут ли фигуры Ф] и Ф2 симметричны относи-
тельно оси. (На такую мысль наталкивает нас предыдущая задача.)
Если это удастся доказать, то путь решения найден. Поэтому стоит
сформулировать вспомогательную задачу:
«Доказать, что любое сечение правильного тетраэдра, проходя-
щее через его ось симметрии, делит его на фигуры Ф1 и Ф2, сим-
метричные относительно этой оси».
Теперь достаточно небольшого намека и учащиеся завершают
решение: «Если повернуть всю фигуру на 180° вокруг оси МК, то
тетраэдр совместится сам с собой (по доказанному в предыдущей
задаче). Совместится также и плоскость сечения. Следовательно,
Ф1 и Ф2 симметричны относительно оси МК- Отсюда Ф,=Ф2 и
Vi = V2»-
Комбинируя различные последовательности задач, учитель может
упрощать или усложнять поиск их решения. Например, поиск ре-
шения последней задачи усложняется, если учащиеся еще не знают,
что правильный тетраэдр имеет оси симметрии.
102
Пример 5. Доказать, что .биссек- в	ЕС
трисы внутренних углов параллелограмма	T.S /7
в пересечении образуют прямоугольник, /
диагональ которого равна разности смеж-	\ /
ных сторон параллелограмма.	--V
В процессе поиска решения этой за- А н к
дачи	учащиеся могут	сформулиро-
вать и решить ряд вспомогатель-	Рис 61
ных задач (рис 61). Например, доказать,
что: 1) биссектрисы смежных углов паралле-
лограмма пересекаются под прямым углом; 2) биссектриса угла
параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник;
3) ЕО=АО=СР, ЕО\\СР, т. е. ОЕСР—параллелограмм и т. д.
Мы можем значительно упростить поиск решения, если предвари-
тельно решим с учащимися эти элементарные задачи.
Итак, способ «переформулировки», используемый совместно
с различными формами анализа и с методом элементарных задач,
существенно облегчает поиск решения задачи.
$ 2ft. ИНДУКТИВНЫЙ МЕТОД ПРИ ПОИСКЕ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Индуктивный метод, как уже отмечалось, может быть широко
использован при поиске решения задачи.
Выполняя по возможности более точный чертеж, учащиеся
из рисунка усматривают свойства фигур, на основе этого делают
определенные выводы, а затем доказывают их. Желательно на
конкретных примерах убеждать учащихся в том, что такое «рас-
сматривание», анализирование рисунка, выявление его особен-
ностей с последующим обязательным доказательством своих вы-
водов очень полезно при поиске решения задачи. Такое «изучение»
рисунка наталкивает часто на удачные идеи, существенно облег-
чающие поиск решения задачи.
Как правило, применение индуктивного метода занимает не-
большую часть времени в сравнении со всем временем, затра-
ченным на поиск решения задачи. По этой причине от внимания
многих учащихся «ускользает» польза применения индукции. Они
не успевают заметить, что именно «натолкнуло» их на «догадку».
Отсюда ясно, что при поиске решения задачи в классе желательно
особо подчеркивать, выделять те моменты, когда индуктивный метод
помогает обнаружить идею решения. Убеждаясь на опыте в пользе
этого метода, учащиеся начинают все шире использовать его по
своей инициативе.
Во многих случаях индуктивный метод желательно сочетать
с переформулировкой задачи. Идею решения, возникшую при рас-
смотрении частных случаев, формулируем в виде промежуточной,
вспомогательной задачи. Тем самым более четко оттеняется ин-
дуктивный метод и переформулировка задачи.
103
В	Рассмотрим сначала простейший пример,
где индукция выступает незаметно.
/\	Задача!. Точки М, К, Е лежат на сто-;
/	\ у ронах треугольника АВС (рис. 62), АК — бис-
сектриса угла А, МКЦЛС, Л4£||ВС. Доказать,
/	\ что АМ = ЕС.
[/з \	\ Чтобы доказать равенство отрезков AM и
А Е С ЕС, пытаемся заменить их такими отрезками,
которые принадлежали бы одной фигуре.
Рис. 62	Рассматриваем чертеж. Из него видно, что
отрезки ЕС и МК как будто равны (индуктив-
ный метод). Если это удастся доказать, тогда задачу можно будет
свести к доказательству того, что АМ = МК. Докажем наше предпо-
ложение.
Так как по условию противоположные стороны четырехуголь-
ника МКСЕ попарно параллельны, то он параллелограмм и, значит,
ЕС=МК- Итак, наше предположение оправдалось, и теперь ре-
шение задачи действительно можно свести к доказательству ра-
венства отрезков AM и МК, которые принадлежат одной фигуре —
треугольнику AM К.
В треугольнике АМК стороны AM и МК будут равны, если
равны лежащие против них углы 1 и 2. Это и остается доказать.
Переходим к данным задачи. Пытаемся получить следствия
из тех данных, которые мы еще не использовали. Так как АК —
биссектриса, то Z. 1 = Z. 3.
Теперь вместо равенства углов 1 и 2 можно доказать, что
Л2=гСЗ.
Вновь переходим к данным и замечаем, что эти углы действи-
тельно равны, так как они накрест лежащие при параллельных
прямых МК и АС. Отсюда АМ = МК и АМ=ЕС.
На примере решения следующей задачи, которая несколько
сложнее предшествующей, покажем, что рассмотрение частных слу-
чаев (индуктивный метод) существенно ускоряет поиск решения.
Задача 2. Найти наименьшее натуральное число, обладающее
следующими свойствами: а) его запись в десятичной системе за-
канчивается цифрой 6; б) если зачеркнуть последнюю цифру 6 и
записать ее перед оставшимися цифрами, то получится число, в
4 раза большее исходного.
Выберем форму записи чисел. Для этого рассмотрим частные
случаи (индуктивный метод):
а) 2736 = 2-103 + 7-102 + 3-10 + 6; б) 2736 = 273-10 + 6;
6273 = 6-103 + 2-102 + 7-10 + 3;	6273=6-103 + 273.
Форма б) удобнее, так как, например, в случае четырехзнач-
ного числа аЬсб =айс-10+6 имеем одно неизвестное число (abc)
вместо трех (а, b и с).
Итак, рассмотрение частных случаев подсказывает нам, что
данное число удобно обозначить через х-10+6.
104
Тогда полученное число будет 6-10* + %. Составляем уравнение
6- 10*+х = 4 (х-10+6),
_2(10fc—4)
13
Так как х — целое число, то (10*—4) должно делиться на 13.
Остается выяснить, при каких k это возможно. Формулируем вспо-
могательную задачу:
«Найти, при каких значениях k выражение (10*—4) делится
на 13».
Учитывая еще не использованное условие о нахождении наи-
меньшего натурального числа, приходим к «догадке» подыскивать
k путем проб:
k=l, 10'—4 = 6 не делится на 13,
k=2, 102 —4 = 96	»
Л = 3, 103 — 4 = 996	»
/г = 4, 104 —4 = 9996	»
k = 5, 105 — 4 = 99996, 99996:13 = 7692,
т. е. 10* —4 = 99996,
х=Ц^= 15 384.
Следовательно, искомое число: 15384-10 + 6=153846.
Проверим: 4-153846 = 615384. А то, что число 153846 — на-
именьшее, следует из испытаний значений /г = 1; 2; 3; 4; 5.
Посмотрим, не упростится ли решение, если выбрать другую
форму записи чисел. Рассмотрим частный случай, при котором
выполняется только часть условий задачи. Предположим, что
аЬсб — искомое число, 6abc — полученное и что
abc6‘4 = 6abc.	(1)
На самом деле это равенство может не выполняться, если
искомое число содержит больше цифр, чем четыре. Но для поиска
решения это, быть может, несущественно. Сама форма записи
«подсказывает» нам идею о целесообразности использования алго-
ритма умножения многозначных чисел. Посмотрим, не получим ли
мы при использовании этого алгоритма хотя бы одну-две неизвест-
ные нам цифры.
Вычисляем произведение, стоящее в левой части равенства
(1): 6-4=24. Следовательно, последняя цифра числа, стоящего в
правой части равенства (1), есть 4, т. е. с = 4. Наше предположение
оправдывается!
Продолжаем умножение: 4-4=16, 16+2=18. Следовательно,
5 = 8. Получили вторую неизвестную цифру. Далее: 4-8 = 32,
32 + 1=33, т. е. а=3.
105
I
Очевидно, таким путем мы можем умножать число:	,
abc...mnkf>-4	(2)
до тех пор, пока не получим в произведении цифру 6. В силу
наших рассуждений полученное при этом число 615 384 — наимень-
шее. Значит, и искомое число 153 846 — наименьшее. Кроме того,
615384 = 4-153 846.
Как видим, при отыскании второго способа решения рассмот-
рение частных случаев также облегчает поиск. Конечно, можно
рассматривать сразу общую форму числа (2). Но тогда записи
были бы более громоздкими, и, может быть, по этой причине
уменьшилась бы вероятность отыскания идеи решения.
Встречаются такие задачи, решения которых без индуктив-
ного метода найти довольно трудно. Особенно удобен он в сочета-
нии с другими методами поиска: аналитико-синтетическим, пере-
формулировкой задачи и др.
§ 21. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
В процессе поиска решения задачи важное значение имеет
прогнозирование — предвидение тех результатов, к которым мо-
жет привести поиск.
В современной психологии считают, что человек ищет и
находит решение задачи на основе непрерывного прогнозирова-
ния искомого, т. е. некоторого предвидения получаемого резуль-
тата в процессе анализа, синтеза, обобщения. Прогнозирование
хода событий и регулирование на этой основе последующей мысли-
тельной деятельности является одной из основных функций пси-
хики. Формирование умения прогнозировать, предвидеть резуль-
таты, к которым приведет каждый отдельный шаг в процессе по-
иска решения задачи, является важным компонентом развития мы-
шления учащихся. С целью такого развития при обсуждении идеи
решения задачи, когда кто-либо из учащихся предлагает восполь-
зоваться той или иной формулой, теоремой, тождественным пре-
образованием, целесообразно добиваться того, чтобы учащийся обо-
сновывал разумность своего предложения и хотя бы в общих чертах
указывал, к чему оно приведет.
В качестве иллюстрации можно сказать учащимся, что хоро-
ший шахматист не просто делает один ход, а предвидит на не-
сколько ходов вперед, к чему этот ход приведет, т. е. прогнозирует
направление дальнейшего развития партии.
Пр и мер 1. Доказать тождество 1 -|-2 cos 7х—^in 3~5х~'
При обсуждении решения один из учащихся говорит, что левую
часть можно преобразовать по формуле 1+ cos <z = 2 cos2Одна-
ко на вопрос, что это даст, вразумительного ответа он дать не может.
106
Учитель отвергает эту идею, подчеркивая, что надо предусматри-
вать, предвидеть хотя бы на один-два шага вперед, к чему приведет
предлагаемое преобразование.
Другой учащийся, рассмотрев вид коэффициентов 7х = 2-3,5х;
10,5х=3*3,5х, предлагает разложить числитель правой части по фор-
муле sin(7x+3,5x) и объясняет, что при этом уменьшится число
аргументов. Значит, такое преобразование должно привести к рацио-
нальному решению (см. § 10). Кроме того, в правой части появится
cos 7х, который имеется в левой части тождества.
Учитель поясняет, что первый ученик выдвинул случайное пред-
положение, поэтому и не смог обосновать его, а второй осущест-
вил прогнозирование, делающее очень вероятным, что такой путь
приблизит нас к решению. Вызванный к доске учащийся осуществля-
ет предложенный путь:
sin (7х 3,5х)_sin 7x-cos 3,5x-j-cos 7x-sin 3,5x_
sin 3,5.t	sin 3,5x
Обсуждая дальнейший ход решения, учащиеся замечают, что
можно еще раз уменьшить число аргументов, преобразовав sin 7х
и cos 7х по формулам двойного аргумента, и что после этого сократит-
ся дробь. Здесь есть предвидение, но без учета левой части (синтеза)
оно может привести к нерациональным действиям.
Учитель предлагает сопоставить полученное выражение с ле-
вой частью тождества. Теперь уже многие учащиеся замечают, что
не стоит применять формулу косинуса двойного аргумента. После
этого учащиеся продолжают преобразовывать правую часть:
А _2 sin 3,5x-cos2 3,5^cos_7x-sin 3,5£==2	3 5x + cos 7х
sin 3,5х
Еще раз сопоставляя полученное выражение с левой частью
доказываемого тождества, учащиеся догадываются применить фор-
мулу понижения степени косинуса и заканчивают решение.
Пример 2. В параллелограмме АВСР ВС=2-АВ, М —
середина АР, Е — основание перпендикуляра, опущенного из верши-
ны С иа АВ. Доказать, что /LEMP — З- Z.AEM.
Выполнив чертеж и отметив на нем
ствия из них (рис. 63), учащиеся пере-
ходят к обсуждению.
Чтобы доказать требуемое равен-
ство,- можно разделить угол ЕМР на
три угла и доказать, что каждый из них
равен углу АЕМ. Но как построить хо-
тя бы один из таких углов?
Один учащийся предлагает провести
отрезок ,МС. Проводят пока только на
доске. Из чертежа замечают, что
полученный угол СМР, по-видимому,
отдельные данные и след-
107
равен углу АЕМ, но доказать это не могут. Поэтому переходят м
анализу других предложений, а отрезок МС на доске времени^
стирают.	1
Один из учеников замечает, что если через точку М провести пря-1
мую, параллельную АВ, то можно будет доказать равенство уг-4
лов АЕМ и ЕМК. Предложение принимается, поскольку ученик пред-*
видит ход дальнейших рассуждений. Доказав равенство этих углов,i
учащиеся приходят к выводу, что для дальнейшего осуществления;
намеченного плана остается разделить пополам угол КМР.
После этого учащиеся замечают из чертежа, что МКСР, возмож-
но, является ромбом. «Если это удастся доказать,— предлагает
учащийся,— тогда стоит провести диагональ МС, так как она разде-
лит угол ромба пополам». Предложение принимается, поскольку
учащийся предвидит дальнейший ход рассуждений.
Подчеркивая необходимость доказать, что МКСР — ромб, уча-
щиеся облегчают себе дальнейший поиск решения. Теперь уже
многие в классе видят, что по построению этот четырехугольник —
параллелограмм. А так как две его смежные стороны равны (заме-
тить это помогают отмеченные на чертеже условные знаки), то
MRCP — ромб.
Чтобы зафиксировать внимание учащихся на полученных след-
ствиях, равные углы, выявленные при доказательстве, обозначают
на чертеже одинаковыми буквами: 2_КМС = Z_CMP = q, Z_AEM =
= Z-EMO — a. После этого все учащиеся отчетливо представляют:
осталось доказать, что а = <р. Как это доказать, не замечают.
Учитель рекомендует тогда получить ряд следствий из данных
и установленных соотношений. Предложений много. Учитель не-
навязчиво фиксирует внимание на тех предложениях, которые мо-
гут привести к успеху.
Так как АЕ\\МК и ВК=КС, то по теореме Фалеса относительно
угла ВСЕ прямая МК разделит отрезок ЕС в точке О пополам. Отме-
чают полученные равные отрезки на чертеже.
АЕА.СЕ и А£||ЛЮ, поэтому МОА.ЕС. Отмечают на чертеже
прямой угол.
Прямоугольные треугольники МЕО и МОС равны. А так как
Z.MCO=90°— <р, то и Z.Af£O = 90° — <f. По рекомендации учителя
величину этого угла отмечают на чертеже, и тогда учащиеся выдви-
гают идею:
Z. АЕС=90°=а+(90е - <р).
Отсюда a = (f.
Как видим, прогнозирование совместно с анализом, синте-
зом, обобщением и с рядом методических рекомендаций помогает
учащимся найти путь решения задачи. Прогнозирование — важный
элемент поиска решений и мощное средство развития навыков ло-
гического мышления.
108
Упражнения. Эксперименты
1. При обсуждении идеи решения задачи на уроке некото-
рые учителя спешат и не выделяют время, чтобы обсудить, к чему
приведет выдвигаемое предложение. Особенно часто такая поспеш-
ность наблюдается в тех случаях, когда предлагаемый способ
действительно является рациональным. Но ведь многие учащиеся
класса этого еще не замечают. Не находятся ли они в таких слу-
чаях в положении начинающего шахматиста, необдуманно пере-
ставляющего фигуры и не продумывающего свои действия даже на
ход вперед?
Проследите на уроке за результатами использования про-
гнозирования при решении какой-либо задачи, например следую-
щей:
«Вычислить
I 4-cos 2а
ОС	ОС *
ctgy-tgy
если sin аcos а = т». 
Эту же задачу рассмотрите в параллельном классе без исполь-
зования прогнозирования.
В каком из классов на решение этой задачи ушло больше време-
ни? Результат усвоения способа решения задачи проверьте,
включив ее на следующем уроке в кратковременную контрольную
работу.
2. При тождественных преобразованиях иррациональных вы-
ражений учащиеся во многих случаях выдвигают один и тот же
способ: «Привести дроби к общему знаменателю». Тогда как ча-
ще к более рациональному решению приводит предварительное
сокращение дробей. Проверьте это, прогнозируя и сопоставляя
оба эти способа при упрощении выражения
/\/д/>3+Уд36  1—УдЬ\ ./ а—\[а a+tfFX
X л/a + ^Jb \ab / X Уд — 1	Ул4-1 /
Методом элементарных задач подготовьте учащихся к уме-
лому прогнозированию при упрощении подобных выражений. Для
этого составьте систему элементарных упражнений типа «Сокра-
тить дроби:
Эти упражнения получены путем выделения отдельных эле-
ментов из приведенного комбинированного примера и из ему подоб-
ных. Систему таких элементарных упражнений используйте на
уроках для устного и письменного решения. Почему желательно
сочетать устное и письменное решение подобных элементарных
задач?
<
§ 22.	КОМБИНАЦИЯ РАЗЛИЧНЫХ МЕТОДОВ
ПОИСКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
При решении задачи различные методы поиска используютс,
во всевозможных комбинациях друг с другом. Это подтверждается
рассмотренными примерами. Чтобы облегчить учащимся выбор ме
тодов поиска, наиболее подходящих к решаемой задаче, можнс
предложить таблицу 2.
Таблицу можно дать после ознакомления с несколькими пер-
выми методами поиска. К таблице учащиеся, как правило, обра-
щаются в тех случаях, когда при поиске решения начинают испы-
тывать затруднения. На конкретных примерах учитель иллюстри-
рует, как выбираются с помощью таблицы те методы, которые наи-
более подходят к решаемой задаче. Применение данной таблицы
могут иллюстрировать задачи, рассмотренные в предыдущих пара-
графах. Приведем еще ряд примеров.
Задача 1. Доказать, что (д/З—д/2)243 можно представить в виде
а д/3—b -^2, где а и b — целые числа, и За2—2b2 = 1.
Указание 3, а (см. табл. 2). Посмотрим, выполняется ли тре-
бование задачи в частных случаях:
(д^-д/2)2 = 5-2-х/б;
(-у/3-^2)3 = 9д/3-11 д/2;	3-92-2-112= 1;
(-73-д/2)4 = 49-20 д/6;
(д/3—д/2)5 = 89д/3— 109 д/2, 3-892 — 2-1092= 1.
Замечаем, что при нечетных показателях степени требования
задачи удовлетворяются.
Указание 4, в (см. табл. 2). Приведенные рассуждения под-
сказывают целесообразность составления новой, более общей задачи-
«Доказать, что при любом натуральном п (д/3—д^)2л+1 — а д/З—
— b д/2, где а и b — натуральные числа, и За2 — 262=1».
Теперь легко догадаться, что последнее утверждение доказы-
вается методом математической индукции. Тем самым будет реше-
на и данная задача.
Нередко встречаются очень простые задачи, вызывающие у
учащихся затруднения. Приведем примеры.
Задача 2. Высота равнобедренного треугольника, проведен-
ная к боковой стороне, равна 8 см и образует с основанием угол
в 45°. Найти площадь треугольника.
Задачу эту включаем в домашнее задание. Бывает так, что
к следующему уроку никто из учащихся с ней не справляется. Учи-
тель подчеркивает, что задача простая, и рекомендует дома, пла-
номерно рассматривая таблицу 2, найти в ней такое указание, ко-
торое поможет решить задачу. К следующему уроку многие учащи-
еся догадываются применить указание 3, б (табл. 2) и, построив
равнобедренный треугольник, легко решают задачу.
Задача 3. Все плоские углы при вершине треугольной пира-
110
Таблица 2
Указания	Дополнительные указания
1.	Ознакомиться с зада- чей Поиск решения 2.	Попеременно двигаясь ог искомых к данным н от данных к искомым, искать связь между ними 3.	Воспользоваться ин- дуктивным методом 4.	Переформулировать задачу 5.	Применить аналогию 6.	Применить нисходя- щий анализ Решение 7.	Изложить решение, об- основывая каждый его шаг Подвести итог решения.	а)	Выполнить чертеж, рисунок. б)	Выделить данные и искомое. в)	Проанализировать данные, выявить связи между ними и все возможные расположения фигур а)	Искомое заменить такими утверждениями, из которых оно следует. б)	Получать следствия из данных. в)	Использовать все данные а)	Рассмотреть частные случаи. б)	Выполнить с помощью инструментов более точный чертеж. Наблюдением выявить свойства фигур. в)	Сделать модель. Рассмотреть ее. Обосновать полученные выводы а)	Изменить условие задачи (временно учиты- вать только часть данных, заменить искомое и т. д.). б)	Решить задачу в частном случае. в)	Решить задачу, для которой данная является частным случаем а) Вспомнить задачу, аналогичную данной. Вос- пользоваться способом ее решения а) См. дополнительные указания в таблице 1. а)	Попытаться сократить рассуждения или найти другой, более простой способ решения. б)	Сделать проверку. в)	Запомнить те использованные при решении теоремы, которые были ранее неизвестны или за- быты
миды — прямые. Боковые ребра равны 6 см, 5 см, 7 см. Найти объем
пирамиды.
Если попытки решения не удаются, учитель рекомендует в
спокойной домашней обстановке найти в таблице 2 указание, ко-
торое поможет найти очень простой способ решения. Сделав мо-
дель (указание 3, в), многие учащиеся догадываются расположить
ее так, чтобы высотой пирамиды служило одно из данных ребер
(рис. 53). И тогда быстро возникает идея решения.
Наряду с различными видами и формами анализа не следует
пренебрегать и синтезом. Во многих случаях быстрее и удобнее
сообщить учащимся готовый способ решения. И в дальнейшем,
встречаясь с подобными задачами, учащиеся используют уже из-
вестный им способ и решают эти задачи синтетическим методом.
Твердое запоминание способов решения задач различных типов
очень облегчает учащимся поиск решения. Вот почему в таблице 2
помещено указание 5, а, рекомендующее подобрать задачу, анало-
гичную решаемой, и воспользоваться способом ее решения. И чем
больше ученик знает таких способов, тем лучше.
111
Встречаются задачи, поиск решения которых, вообще говоря^
осуществить можно, но затруднительно. В таких случаях учителю
лучше всего сообщить способ решения в готовом виде.	з
Задача 4. Доказать тождество	1
cos 20° • cos 40° • cos 80°=4-.
О
Решение. Обозначим левую часть через М, умножим и разде-
лим ее на 2 sin 20°. Тогда
___(2 sin 20°-cos 20°)-cos 40°-cos 80°_sin 40°• cos 40° • cos 80° 2 _
—	2 sin 20°	—	2 sin 20°	2~~
__sin 80°-cos 80° 2   sin 160°  sin (180° —20°)  sin 20°   1
4 sin 20°	2	8 sin 20° —	8 sin 20°	8 sin 20° IT'
Разумеется, можно путем беседы в какой-то мере подвести
учащихся к этому способу. Но зачем? Лучше выбрать следующий
путь. Предлагаем дома попытаться найти рациональный способ ре-
шения этой задачи. На следующем уроке решение сообщает классу
ученик (если такой найдется) или учитель.
Задача 5. Упростить выражение
А = cos2 (а 4- 0) 4~cos2 (а — 0)—cos 2а • cos 20.
Если ученику известен способ решения подобных задач путем
применения формул понижения степени синуса и косинуса, то ой
свободно преобразует данное выражение:
Л = -|- +-|-cos 2 (а4-0)4—4--|-cos (2а—20) —cos 2a-cos 20 =
= 1 4—|~2 cos 2а-cos 20 — cos 2a-cos 20= 1.	(1)
Если ученик не знаком с этим способом, то он вряд ли будет ис-
пользовать какие-либо методы поиска, а просто начнет решать нера-
циональным способом:
71= (cos a cos 0 — sin a sin 0)24-(cos a cos 04-sin a sin 0)2 — cos 2a X
Xcos20=...	(2)
и запутается в этих громоздких преобразованиях.
Поэтому способ решения данной задачи, как и некоторых других,
лучше сообщать в готовом виде.
В заключение данной главы подчеркнем, что совокупность
описанных здесь методов достаточна для того, чтобы ученик смог
осуществить поиск решения большинства задач, встречающихся
в школьном курсе математики.
ГЛАВА IV. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
§ 23.	ЭТАПЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ПРЕДЛОЖЕНИЙ
Изучение математических предложений, т. е. определений, ак-
сиом, теорем, можно подразделить на три этапа: введение, усвоение
и закрепление.
На этапе введения на уроке создается такая ситуация,
когда учащиеся либо сами «открывают» новые теоремы, самостоя-
тельно формулируют новые для них определения, аксиомы, либо под-
готавливаются к их пониманию.
Усвоение сводится к тому, чтобы учащиеся научились при-
менять определения, аксиомы, теоремы, быстро и безошибочно за-
помнили их, понимали каждое слово в их формулировках.
Закрепление определений, аксиом, теорем осуществляется
на последующих уроках и сводится к повторению их формулировок
и отработке навыков применения к решению задач.
В школьном курсе математики некоторые определения и теоре-
мы формулируются в виде правил, например:
Теорема. Произведение двух степеней с одинаковыми
основаниями равно степени с тем же овнованием и показателем,
равным сумме показателей этих степеней.
Правило. Чтобы умножить степени с одинаковыми основа-
ниями, надо основание оставить прежним, а показатели степеней
сложить.
Следует заметить, что учащиеся нередко путаются в термино-
логии, называя определения и теоремы правилами. Эта типичная
ошибка (привнесенная из начальной школы в среднюю) наблюдает-
ся в тех классах, где учитель не следит за правильным употребле-
нием терминов.
Изучение многих правил также можно подразделить на ука-
занные этапы: введение, усвоение и закрепление.
§ 24.	ВВЕДЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ПРЕДЛОЖЕНИЙ
Три способа введения определений, аксиом, теорем. В зависи-
мости от характера изучаемого материала, наличия учебного време-
113
ни, уровня развития учащихся и других факторов учителя выбира
один из следующих способов ознакомления учащихся с новым ма’
матическим предложением:
I способ. Учащиеся подготавливаются к самостоятельно,
формулированию определения, аксирмы, к «открытию» теорем
II способ. Учащиеся готовятся к сознательному восприяти
к пониманию нового математического предложения, формуляров,
которого им сообщается затем в готовом виде.
III с п о с о б. Учитель сам формулирует новые определения,
аксиомы, теоремы без какой-либо предварительной подготовки, а за-
тем сосредоточивает усилия учащихся на их усвоении и закреплении.
При осуществлении первых двух способов используется эврис-
тический метод, в классе создается проблемная ситуация, которая,
способствует самостоятельному «открытию» учащимися новых зна<
ний. Это повышает их интерес к занятиям, способствует развитию
творческих способностей, но требует определенной затраты учебного
времени, а нередко распыляет внимание учащихся на второстепен-
ные детали, отвлекает их от основной идеи новой темы.
Третий способ в методической литературе иногда осуждается,
считается догматическим. Однако требование всегда пользоваться
только эвристическим методом — это и есть проявление догматиз-
ма. Многие учителя успешно используют третий способ наряду с
первыми двумя. При их выборе важно учитывать различные факторы
и конечный результат. Например, если учитель затратил много вре-
мени на введение нового понятия первым способом, но учащиеся '
не успели достаточно хорошо усвоить его, не научились применять
определение к решению задач, то такая методика явно не оправдана.
Введение новой теоремы, аксиомы и т. д. первым или вторым спо-
собом проходит обычно более организованно и при большей само-
стоятельности и активности учащихся в тех случаях, когда исполь-
зуется метод целесообразных задач. Учитель заранее подготавливает
и четко формулирует специальные подготовительные задачи. Эти
задачи учителю лучше составлять самому, учитывая специфику рабо-
ты в своих классах. Умение составлять и использовать такие под-
готовительные задачи — важное профессиональное умение учителя.
Именно на эту сторону обращается внимание в приводимых ни-
же примерах.
Введение понятий. В одних случаях можно составить такие уп-
ражнения, чтобы на их основе учащиеся легко и быстро сформули-
ровали определение нового понятия. В других случаях этого доби-
ваться не стоит, достаточно ограничиться подготовкой к восприятию
нового определения.
Пример 1. Приступая к изучению геометрической прогрессии,
учитель предлагает следующее упражнение:
«Выпишите несколько первых членов последовательности (хп),
у которой Xi=2, xn+i=x„-3. Такая последовательность назы-
вается геометрической прогрессией. Попытайтесь сформулировать
определение геометрической прогрессии».
114
Упражнение учащиеся выполняют свободно, опираясь на ана-
логию с уже известным им определением арифметической прогрес-
сии. Когда же вводится понятие арифметической прогрессии, то
путём дополнительных вопросов также можно добиться самостоя-
тельного формулирования учащимися определения. Но здесь на
аналогию они не опираются, так как с подобным определением
встречаются впервые. Поэтому с целью экономии учебного времени
лучше изменить упражнение, исключив из него требование о само-
стоятельном формулировании нового определения, например:
«Выпишите несколько первых членов последовательности
(хп), У КОТОРОЙ Х1=4, Хя+1=Хп + 3».
Далее учитель говорит, что такая последовательность назы-
вается арифметической прогрессией, и сам сообщает ее определе-
ние.
При изучении геометрических понятий упражнения часто сос-
тавляются таким образом, чтобы учащиеся построили соответствую-
щую фигуру и смогли достаточно быстро выделить те признаки но-
вого понятия, которые необходимы для формулирования определе-
ния. Построенные при этом фигуры используются для последующей
работы (доказательства теоремы, решения задачи и т. .д.). Значит,
упражнения практически не требуют больших затрат времени.
Пример 2. Постройте угол. Продлите его сторону за вершину.
Вы получили два угла, которые называются смежными. Попытай-
тесь сформулировать определение смежных углов.
Обычно учащиеся быстро улавливают, что для формулирования
нового определения достаточно несколько перефразировать упраж-
нение, данное учителем. А он специально так конструирует упраж-
нения, чтобы облегчить учащимся эту работу. Мы значительно ус-
ложним ее, если, например, последнее упражнение дадим в таком
виде: «Проведите прямую, а затем из любой ее точки — луч. Вы
получили два угла, которые называются смежными». После выполне-
ния последнего упражнения (ср. его с предыдущим) учащимся зна-
чительно труднее самостоятельно сформулировать новое для них оп-
ределение.
В некоторых случаях учащимся предлагается составить модель
либо, рассматривая готовые чертежи, модели, выделить признаки
нового понятия и сформулировать его определение.
Пример 3. После того как введено определение параллеле-
пипеда (XI класс), учащимся предлагается такое упражнение:
«Рассматривая модели наклонного, прямого и прямоугольного
параллелепипедов, выделите признаки, по которым можно разли-
чать эти понятия. Сформулируйте определения прямого и прямо-
угольного параллелепипедов».
Пример 4. Нередко учащиеся пытаются изобразить усеченную
пирамиду без предварительного построения соответствующей пол-
ной пирамиды (рис. 64). В таком случае не все «боковые ребра» при
продолжении пересекаются в одной точке, т. е. полученный много-
гранник не является усеченной пирамидой (рис. 65). Чтобы умень-
115
Рис. 64
Рис. 65
Рис. 66
шить число таких ошибок, можно при введении усеченной пирамиды
предложить следующее упражнение:
«Сравнивая изображенные многогранники (рис. 64, 65), выдели-
те признаки, характерные для усеченной пирамиды. Какой из этих
многогранников не является усеченной пирамидой? Как проверить,
изображена ли на рисунке 66 усеченная пирамида? Каким путем
при изображении усеченной пирамиды можно избежать такой ошиб-
ки, которая иллюстрируется рисунком 65?»
«Открытие» теоремы. Как и в случае введения понятий, к са-
мостоятельному «открытию» многих теорем в курсе алгебры можно
подвести учащихся на основе рассмотрения частных примеров.
Пример 5. Решите уравнение: а) х2— 5х4-6=0; б) х24-7х-}-
4-12=0; в) х24-8%4-15=0. Попытайтесь установить зависимость
между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэф-
фициентами. Сформулируйте соответствующую теорему.
Подготовительные задачи, на основе которых учащиеся само-
стоятельно «открывают» и формулируют новые теоремы, вызывают у
них большой интерес.
При введении геометрических теорем часто используются уп-
ражнения на построение соответствующих фигур.
Пример 6. На одной стороне угла отложите несколько отрез-
ков равной длины. Через точки деления проведите параллельные
прямые, пересекающие вторую сторону угла. Измерением сравните
длины полученных отрезков. Сформулируйте свой вывод (предпо-
ложение). Можно ли этот вывод считать достоверным?
Такие упражнения учитель читает по частям, выдерживая пау-
зы, пока учащиеся выполнят очередное указание. Для ускорения
работы длины отрезков или величины углов сравниваются иногда
не измерением, а «на глаз». С этой же целью в некоторых случаях
предлагается рассматривать готовый чертеж (модель) или исполь-
зуется чертеж предшествующего упражнения.
Пример 7. Проведите в окружности две неравные хорды. Уста-
новите «на глаз», какая из них ближе к центру. Сформулируйте
свой вывод. Можно ли его считать достоверным?
В тех случаях, когда учащиеся приходят к выводу (точнее, к
гипотезе) на основании измерений и рассмотрения частных случаев,
116
на первых порах важным является вопрос (в упражнениях): «Можно
ли ваш вывод считать достоверным?* Учащиеся нисколько не сомне-
ваются в справедливости вывода, но, запомнив фразу учителя и по-
нимая, что именно ее он желает услышать, произносят: «Так как
измерения всегда неточны и наш вывод основан на рассмотрении
частных случаев, то его нельзя считать достоверным, надо дока-
зать». Повторяя эту мысль на последующих уроках, учащиеся по-
степенно забывают, что она ранее была подсказана учителем и
что они сомневались в ее справедливости. Они начинают полагать,
что таково их собственное мнение. Таким образом, у учащихся
возникает убеждение в необходимости доказывать гипотезы, полу-
ченные на основе неполной индукции.
Введение аксиом. Как и в случае определений и теорем, вве-
дение аксиом также сводится к рассмотрению частных случаев, чер-
тежей, моделей.
Пример 8. Составляется модель: треугольная пластинка при-
крепляется вершиной к плоскости, покрытой пластилином (рис. 67).
Задается вопрос: «Могут ли две плоскости иметь только одну общую
точку?» Многие учащиеся поспешно дают утвердительный ответ.
Тогда учитель, не изменяя положения плоскостей на модели, совме-
щает с треугольной пластинкой прямоугольную и опускает послед-
нюю на плоскость, покрытую пластилином (рис. 68). После такой
наглядной иллюстрации учащиеся хорошо осознают аксиому: «Если
две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечение
есть прямая».
Рис. 67
Рис. 68
Введение правил. Рассмотренные способы введения определе-
ний, аксиом, теорем относятся также и к правилам. В школьных учеб-
никах почти перед каждым правилом даются задачи, подготавлива-
ющие учащихся к самостоятельному формулированию этих правил
или хотя бы к их пониманию. Отсюда некоторые учителя полагают,
что эвристический метод необходимо использовать при введении
каждого правила. Другие учителя считают, что иногда уместны ис-
ключения. В тех случаях, когда на подготовительные упражнения
приходится тратить много времени и учащиеся с трудом восприни-
мают идею этих упражнений, целесообразно отказаться от эвристи-
ческого метода при введении правила и сообщить его в готовом
виде (см. § 9). В результате удается сэкономить время, четко из-
ложить новую тему, добиться более прочных навыков применения
нового правила. (Примеры введения правил см. в § 9—10.)
117
Упражнения. Вопросы
1.	Обобщая рекомендации, данные в § 9, 10, 24, перечисли
условия, которые желательно соблюдать при составлении упражн
ний для введения определений, теорем, а также различных правя
2.	При выполнении какого из следующих упражнений учащим
легче самостоятельно сформулировать новое для них определени
«1) Через точку окружности проведите две хорды. Вы получи,
угол, который называют вписанным. Дайте его определени
2) Постройте угол, вершина которого лежит на окружности, а ст
роны пересекают ее. Полученный угол называют вписанным. Сфо|
мулируйте его определение»? Не лучше ли дать это определение
готовом виде?
3.	Составьте упражнения для введения определений централь
ного угла, трапеции, вертикальных углов. Как добиться того, что
бы время, которое ученики затратят на это упражнение, было мини
мальным, а выполненный чертеж использовался бы и в дальнейше!
работе?
4.	Составьте такое упражнение, чтобы учащиеся самостоятельно
«открыли» теорему о диаметре, перпендикулярном хорде, и чтобы вре-
мя, затраченное на это упражнение, сразу же окупалось.
5.	Учащимся предложено упражнение: «Проведите отрезок в
7 клеточек. Приняв его за единицу, отложите на нем последователь-
2	3	2	3
но два отрезка длиною в — и — единицы. Найдите сумму ——Ь—-
Попытайтесь сформулировать правило сложения дробей с одинако-
выми знаменателями». Сформулируют ли учащиеся это правило? Не
лучше ли дать его в готовом виде? Проверьте на опыте эффектив-
ность этих двух подходов в двух параллельных классах.
§ 25. МЕТОДЫ УСВОЕНИЯ
Существует три метода усвоения математических предложений.
Нередко они применяются в комбинации один с другим. Выбор учи-
телем того или иного из этих методов или их комбинации зависит
от конкретных условий в данном классе. Рассмотрим эти методы.
Раздельный метод. Формулировки многих теорем, определений,
аксиом учащимся понятны, и они легко их запоминают после очень
небольшого числа повторений. В таких случаях целесообразно, чтобы
они сначала запоминали их, а потом учились применять к решению
задач.
Метод, при котором процессы запоминания определений, тео-
рем, аксиом и формирования навыков их применения протекают у
учащихся раздельно, неодновременно, называют раздельным.
Пример 1. Учитель сформулировал новое для учащихся опре-
деление. Далее оно повторяется отдельными учащимися класса
один-три раза и затем отрабатывается на упражнениях. При этом
118
одни учащиеся запоминают определение до перехода к упражнениям,
другие — не успевают запомнить его. Последние выполняют упраж-
нения иногда только по аналогии с предшествующими, не приме-
няя определение, а учат его дома, уже после выполнения упражне-
ний. Получается, что и у тех и у других учащихся процессы запоми-
нания определения и формирования навыков его применения проте-
кают раздельно. Отсюда н название метода — раздельный.
Очевидно, раздельный метод приносит мало пользы тем учащим-
ся, которые не успели запомнить определение и при выполнении уп-
ражнений не применяют его.
Учителя часто спрашивают у учащихся формулировки определе-
ний, аксиом, теорем вне процесса решения задач. Цель такого оп-
роса — повторить с классом формулировки и заодно проверить, пом-
нят ли их учащиеся. Очевидно, что при такой работе запоминание
и повторение формулировок отрывается от процесса формирования
навыков решения задач. Следовательно, и в подобных случаях фак-
тически используется раздельный метод.
Раздельный метод широко используется в школе. Он наиболее
прост в организационном отношении и весьма удобен в тех случаях,
когда формулировки определений, теорем понятны учащимся и лег-
ко ими запоминаются. Разумеется, легкость здесь понимается в от-
носительном смысле, в зависимости от уровня развития учащихся.
Из высказанных соображений следует, что раздельный метод
удобно, например, применять при усвоении определений хорды, тра-
пеции, четной и нечетной функции, теоремы Пифагора, признаков
параллельности прямых, теоремы Виета, свойств числовых не-
равенств, правил умножения обыкновенных дробей, сложения дро-
бей с одинаковыми знаменателями и т. д.
В тех случаях, когда не все учащиеся класса легко и быстро
запоминают новую формулировку, раздельный метод оказывается
непригодным. Это сразу выявляется на уроке, когда учащиеся начи-
нают с трудом и бессвязно излагать объяснения выполняемых
упражнений. В таких случаях учитель может успешно использо-
вать другой метод — компактный.
Компактный метод. Его сущность состоит в том, что учащиеся
читают по частям математическое предложение и по ходу чтения од-
новременно выполняют упражнения. Читая формулировку несколько
раз, они попутно запоминают ее. Нет надобности, следовательно,
выделять специально время на запоминание, затрачивать на это уси-
лия. По этой причине метод называют компактным.
Практически осуществить одновременное протекание процессов
запоминания математического предложения и формирования навы-
ков его применения удается лучше всего в тех случаях, когда работа
подразделяется на три шага.
Первый шаг. Подготовка к применению математического
предложения путем его разделения на логические части. Определение
разбивается на части по признакам, теорема — на отдельные усло-
вия и заключения. Если теорема или определение формулируются
119
в виде правила, то последнее разбивается на отдельные указанм
Второй шаг. Образец действий, предлагаемый учителем
показывает, как работать с подготовленным текстом: читает его о
частям и одновременно выполняет упражнения.
Третий шаг. Учащиеся читают по частям математичес
предложение и одновременно выполняют упражнения. При этом он
руководствуются как подготовленным текстом, так и образцом, npej
ложенным учителем.
На третьем шаге сочетается коллективная и самостоятельн
работа. Последняя на первом и втором шагах подготавливается т
что каждый учащийся класса имеет возможность выполнять упраж
нения при минимальной помощи учителя или совсем без
П р и м е р 2. Рассмотрим изучение понятия биссектрисы угла
V классе. Прежде всего методом целесообразных задач проводите^
работа по введению нового понятия. Учащимся предлагается выре-
зать из бумаги угол и перегибанием разделить его на два равны:
угла. Сообщается, что полученную линию сгиба называют биссектри-
сой угла. Вместе с учителем учащиеся устанавливают признак
нового понятия. Далее приступают к работе компактным методом.
Первый шаг. Учитель выписывает определение, затем чер->
точками отделяет в нем признаки и предлагает учащимся проделать:
то же самое. Текст приобретает такой вид:
«Луч, || выходящий из вершины угла || и делящий его на две
равные части, || называется биссектрисой угла».
Е О F
А °
В
А С *
а)
W	д К 1Р
5)	6) г)
О
д)
е)
О
t
N
*)
Рис.
Второй шаг. Дается упражнение: «Указать, какие линии на
чертежах (рис. 69) являются биссектрисами углов. Равные углы
обозначены одинаковым числом дуг». Учитель показывает, как с по-
мощью полученного текста выполнять упражнение: читает вслух
определение и, останавливаясь после каждой черточки, проверяет
выполнимость прочитанного признака:
«Луч [проверяем: ВС (рис. 69,а) действительно является лучом],
выходящий из вершины угла [проверяем: луч ВС выходит из вер- ’
шины угла и делящий его на две равные части [проверяем:
луч ВС делит угол АВК на два равных угла АВС и СВК], называет-
ся биссектрисой угла. [Так как все признаки выполнены, то ВС —
биссектриса угла АВК.}».
«Луч [проверяем: МО (рис. 69,6) действительно является лу-
чом], выходящий из вершины угла [проверяем: луч МО не выхо-
120
69
дит из вершины угла. Следовательно, луч МО не является биссек-
трисой угла. РО — биссектриса.]».
Третий шаг. Вызываемые ученики продолжают выполнять
упражнение. Класс следит за их работой. Роль учителя сводится к
умелому управлению деятельностью всех учащихся.
Чтобы отчетливо понять сущность методики такого управления,
рассмотрим механизм формирования умений и навыков при указан-
ном способе работы.
Учащийся последовательно выполняет ряд «умственных дейст-
вий». Они частично совпадают с рассуждениями, произносимыми
учеником вслух, частично проходят подсознательно. Так, прочитав
слово «луч», он прерывает чтение, проверяет выполнимость этого
признака и лишь затем продолжает читать определение. Очевидно,
в момент, предшествующий остановке, в его сознании происходят
какие-то «умственные операции». Он осознал, быть может, не отда-
вая себе в этом отчета, что признак прочитан и надо проверить,
выполняется ли он. Иначе ученик продолжал бы безостановочное
чтение определения.
Итак, одни «умственные действия» (чтение признака, проверка
его выполнимости, высказывание вслух вывода) выявляются в речи
ученика непосредственно, другие — легко обнаруживаются косвен-
но по характеру последующего ответа. Каждому внешне прояв-
ляемому «умственному действию» предшествует «мыслительная опе-
рация», состоящая в осознании необходимости выполнения данного
действия. Причем сам факт «протекания» этой «мыслительной опе-
рации» обнаруживается по объективным, легко и точно устанавлива-
емым признакам. Мыслительные операции, действия обозначим бук-
вами ai, аг, bi, bi,... и перечислим их:
Oi — осознает задание: «Читая определение по частям, уста-
новить, является ли МР (рис. 69,в) биссектрисой угла ЛЛ40»;
а2 — читает первый признак в определении: «Луч»;
Ь\ — осознает задание: «Проверить, выполняется ли этот приз-
нак»;
Ь2 — проверяет;
Ci — осознает задание: «Сказать о своем выводе и показать
соответствующие элементы чертежа»;
d — говорит и показывает по чертежу: «МР является лучом»;
di — осознает задание: «Читать следующую часть определения»
и т. д.
Эту последовательность «действий» ученик заканчивает выводом:
«МР является биссектрисой угла АМО».
Эти «умственные действия» повторяются учеником в одной и той
же последовательности, и поэтому по закономерности 1.1 между ни-
ми устанавливаются связи, ассоциации: (а(; п2); (br, bi)',... . Неко-
торые из «умственных действий» варьируются в зависимости от
рассматриваемого чертежа, его обозначения и формы. Поэтому от-
дельные компоненты членов возникающих ассоциаций изменяются,
т. е. по закономерности 1.2 все они — обобщенные.
121
В дальнейшем происходит свертывание рассуждений. По законов
мерности V.2 выпадают некоторые действия, а остающиеся непосред-!
ственно связываются друг с другом. На основе элементарных ассо-й
циаций возникает составная, например, такая, которая первое дей-
ствие связывает с последним, с выводом. В результате ее проявле-'
ния ученик может, не вспоминая определение, сразу установить,
что, например, ОК (рис. 69,ж) является биссектрисой угла, а ОЕ
(рис. 69,е) — нет. А так как составная обобщенная ассоциация воз-
никла из элементарных, то по той же закономерности V.2 она легко
«развертывается» в первоначальную цепь рассуждений. Следова-
тельно, ученик может прийти к верному выводу не только путем
свернутых рассуждений, но и в случае необходимости легко обосно-
вывает свой ответ, ссылаясь на определение, «развертывает» рас-
суждения.
Переход к свертыванию рассуждений внешне проявляется в том,
что при появлении очередного чертежа учащийся старается сразу
высказать ответ, не формулируя определение, но по требованию учи-
теля легко объясняет свою догадку ссылкой на определение. Если,
например, при появлении очередного чертежа (рис. 69,д) ученик, не
вспоминая определение, заявляет: «Луч ОМ не биссектриса угла
ВОК, так как не делит его на равные части»,— учитель одобряет
такой ответ. Если же свой вывод учащийся затрудняется обосновать,
то следует возвратиться к компактному методу.	—д
Итак, с помощью компактного метода и в соответствии с закод
номерностями V.2 и V.3 удается целенаправленно управлять перехо-1
дом от развернутых внешних и внутренних действий, повторяющихся!
в заданной последовательности, к свернутым мыслительным onepaugj
ям — обобщенным ассоциациям.
Компактный метод обычно затрудняются использовать на первых
порах те учителя, которые привыкли задавать чрезмерно большое
количество дополнительных вопросов. А излишние вопросы снижают
эффективность метода. Чем это можно объяснить?
Рассмотренный процесс формирования обобщенных ассоциаций
приводит к выводу о том, что на третьем шаге компактного метода
целесообразно пунктуально придерживаться указанного учителем
образца решения задачи. Учитель сам продумывает этот образец, но
затем ему желательно строго соблюдать выбранную последователь-
ность рассуждений. Его помощь может сводиться лишь к кратким
дополнительным указаниям («Проверьте!», «Читайте!»), которые на-
правляют мысль учащегося по указанному пути и не отвлекают его
и весь класс от заданной последовательности рассуждений. Более
пространные объяснения или указания могут только отвлечь учаще-
гося от заданной последовательности рассуждений, что замедляет
запрограммированный процесс свертывания «мыслительных дейст-
вий» и образование нужных ассоциаций.
Например, если, прочитав слово «луч», ученик продолжает без-
остановочное чтение определения, уместно напомнить: «Проверьте!»
Только подобное краткое указание помогает учащемуся от «умст-
122
венного действия» а2 перейти к bi и Ь2 (см. указанный перечень
рассуждений). Аналогично только в случае затруднения ученика
уместно краткое указание «Показывайте!» (между действиями Ci и
(>). Если ученик убедился в выполнении прочитанного признака и
остановился, не зная, что делать дальше, учитель напоминает:
«Читайте!» и т. д.
Итак, основными условиями применения компактного метода яв-
ляются: пунктуальное соблюдение заданной последовательности рас-
суждений и краткость дополнительных указаний учителя.
Многие учителя, начинающие применять компактный метод, на
первых порах не соблюдают эти условия. В результате темп работы
снижается, нарушается ее четкость. Для соблюдения указанных ус-
ловий лучше вызывать сначала учащихся по желанию. Они быстрее
других улавливают все особенности образца ответа, более четко
соблюдают заданную последовательность рассуждений. Им реже
приходится давать дополнительные указания. Их ответы являются
дополнительными образцами решения для остальных учащихся. В
результате оказывается, что через некоторое время любой ученик
класса может самостоятельно выполнять упражнения изучаемого
типа.
По ходу выполнения упражнений ученик неоднократно перечи-
тывает определение. А так как при этом чтении он одновременно
выполняет активную мыслительную деятельность, направленную на
понимание каждого слова формулировки, то непроизвольно запоми-
нает ее по закономерности П.7 (или II.7*). На успешность и проч-
ность запоминания влияет также и тот факт, что формулировка по-
вторяется в процессе разнообразной деятельности (П.9).
Опыт, однако, показывает, что не все учащиеся достаточно бы-
стро запоминают формулировку. Значит, опираясь на одно только
непроизвольное запоминание, мы при данном методе не добиваемся
полного и быстрого успеха. Необходимо побуждать учащихся и к
произвольному запоминанию. С этой целью учитель предупреждает,
чтобы учащиеся, читая формулировку во время упражнений, стара-
лись запомнить ее. Возникающая при таком требовании установка
на прочное знание способствует хорошему запоминанию по законо-
мерности П.1.
В конце урока, на котором изучается новое определение (пра-
вило и т. д.), учитель напоминает: «Сегодня формулировку читали, а
к следующему уроку ее надо будет помнить». Некоторые учащиеся ее
уже запомнили. Остальным, сообразуясь с требованиями учителя,
приходится подучивать формулировку дома. Но теперь после ее не-
однократного применения и отчетливого понимания каждого слова
заучивание уже не имеет ничего общего с бессмысленной зубрежкой.
Проведенный анализ умственных действий ученика при изуче-
нии определения биссектрисы угла и методические выводы из этого
анализа можно повторить относительно других математических пред-
ложений. Следовательно, эти выводы носят общий характер.
ПримерЗ. Перед изучением некоторых правил учителя методом
123
целесообразных задач готовят учащихся к тому, чтобы они могл«
самостоятельно выполнять каждое указание правила, каждое промеЦ
жуточное преобразование при решении задач. Так, перед изучение^
квадрата двучлена учитель выписывает на доске одночлены: 1) (2 а)$
2) (—&2); 3) —т2п— и предлагает записать: а) квадрат первого’
одночлена; б) произведение второго и третьего; в) удвоенное про-
изведение первого и второго и т. п.
Далее доказывается тождество (a~l~b)2 = a2-j-2ab + b2 и присту-
пают к работе компактным методом.
Первый шаг. Ученики выполняют упражнение: «Разделить
правило черточками на отдельные указания:
Квадрат суммы двух выражений || равен квадрату первого вы-
ражения || плюс удвоенное произведение первого и второго выра-
жений II плюс квадрат второго выражения».
Расстановку черточек сверяют.
Второй шаг. Учитель дает образец выполнения упражнения с
помощью подготовленного к работе правила.
Третий шаг. В соответствии с образцом, указанным учителем,
вызванный ученик читает правило по учебнику и, останавливаясь
после каждой черточки, выполняет соответствующую часть упраж-
нения:
«Квадрат суммы двух выражений [учащийся убеждается, что
дан именно квадрат суммы (х2-\-2ху)2, а не что-либо другое]
равен квадрату первого выражения [записывает: (х2)2] плюс удво-
енное произведение первого и второго выражений [выполняет это
указание: 2 (х2) (2ху)] плюс квадрат второго выражения [записы-
вает: (2ху)2 — и упрощает полученное выражение х4 -\-4х3у-\-4х2у2]».
Остальные следят за его работой. Некоторые из них шепотом так-
же читают правило в процессе решения примера. К концу урока
почти все непроизвольно запоминают правило, а главное, умеют его
применять.
В некоторых случаях учитель рекомендует не читать каждый раз
все правило, а выбирать только ту часть его, которая применяется
в данный момент.
Пример 4. Первый шаг. Учащиеся выполняют задание:
«Разделить правило черточками на отдельные указания:
«Произведение двух отрицательных чисел || есть число положи-
тельное. || Чтобы найти модуль произведения, надо перемножить
модули этих чисел. ||
Произведение двух чисел с разными знаками || есть число от-
рицательное. || Чтобы найти модуль произведения, надо перемножить
модули этих чисел».
Второй шаг. Учитель дает образец ответа.
Третий шаг. Умножая (—1,4) *8, учащийся указывает, что
здесь числа с разными знаками, выбирает вторую часть правила, а
далее читает ее по частям и выполняет упражнение:
«Произведение двух чисел с разными знаками есть число отри-
124
цательное [ставит минус после знака равенства (—1,4)-8 =— ].
Чтобы найти модуль произведения, надо перемножить модули этих
чисел [перемножает и записывает результат: (—1,4)-8=—11,2]».
Приступая к следующему упражнению (— 11) • (—12), учащийся
указывает, что здесь оба числа отрицательные, и далее выполняет
упражнение, читая по частям только первую часть правила:
«Произведение двух отрицательных чисел есть число положи-
тельное [ставит знак плюс после знака равенства (—11) • (— 12) —
= 4~]. Чтобы найти модуль произведения, надо перемножить модули
этих чисел [перемножает и записывает результат: ( —11)«( — 12) =
= 4-132]».
Пример 5. Обычно учащиеся X классов легко запоминают и
применяют к решению задач признак параллельности прямой и плос-
кости, но испытывают большие затруднения, когда приходится при-
менять обратную теорему, хотя сравнительно легко запоминают фор-
мулировку и доказательство. Следовательно, в данном случае для
усвоения прямой теоремы уместно использовать раздельный метод,
а для усвоения обратной теоремы — компактный метод.
Первый шаг. Условия и заключение обратной теоремы раз-
Рис. 70
деляют черточками:
«Если плоскость проходит через прямую, || параллельную другой
плоскости, || и пересекает эту плоскость, || то линия пересечения
плоскостей параллельна данной прямой».
Второй шаг. Учитель предлагает задачи и показывает обра-
зец решения одной из них, например а):
«В пирамиде КА ВС проведено сече-
ние ОЕРМ (рцс. 70), параллельное реб-
ру АВ. Точки О и Е лежат соответственно
на ребрах АК и ВК- Доказать: а) МР\\АВ;
б) ОЕ\\АВ».
Третий шаг. Читая по частям
теорему в учебнике, учащиеся по образ-
цу, данному учителем, решают задачу,
например б):
«Если плоскость проходит через пря-
мую, параллельную другой плоскости
[плоскость АВК проходит через пря-
мую АВ, параллельную плоскости сече-
ния] , и пересекает эту плоскость [они пересекаются по прямой О£],
то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой [зна-
чит, прямые АВ и ОЕ параллельны]».
Обычно ученики довольно быстро (после 2—4 примеров) при-
учаются выделять в определении признаки понятия, в теореме — ус-
ловия и заключения и в дальнейшем самостоятельно подготавливают
определения и теоремы к применению. Еще быстрее они приучаются
к самостоятельному разбиению правила на отдельные указания.
Следовательно, спбсоб’разбиения определения на отдельные при-
знаки, правила — на отдельные указания и т. д., изученный на кон-
125
учебника. (Здесь налицо элементы
кретных примерах, обладает переносом. Он усваивается учащимиш
как общий метод анализа математических предложений. По сущест
ву, щкбльники обучаются умению составлять для себя программ;
действий по применению определений, теорем и т. д. Причем внеш
нин элемент этого умения — разбиение текста учебника черточка
ми — в дальнейшем становится для них необязательным.
Комбинация раздельного и компактного методов. Многие учите-
ля применяют метод, который можно считать комбинацией разделъ-,
ного и компактного методов.
Сущность этой комбинации. После вывода, например, нового:
правила оно повторяется 2—3 раза и, значит, запоминается отдель-
ными учащимися до решения задач. (Здесь налицо элементы раз-
дельного метода.) А далее учитель требует в процессе выполнения
упражнений формулировать правило по частям так, как показано в
приведенных примерах, но без
компактного метода.)
Для многих слабоуспевающих учащихся это требование оказы-
вается непосильным. Они обычно решают задачи у доски молча. А;
когда учитель просит объяснить выполняемые действия, учащийся
прерывает решение и произносит правило все сразу, если запомнил
его, от начала и до конца. Затем он опять продолжает работать
молча, не применяя правила. Это затруднение легко объяснить на
основе закономерности V.2 точно таким же образом, как это сдела-
но при описании алгоритмического метода (см. § 13).
В организационном отношении данное затруднение свидетельст-
вует о применении неудачной комбинации методов. Так как учащие-
ся затрудняются применять правило по ходу выполнения упражне-
ний, то это означает, что начинать надо было с компактного мето-
да. Но к нему не поздно перейти и в тот момент, когда выявились
затруднения. Тем самым мы демонстрируем учащимся, как в случае
необходимости переходить от одного метода к другому. Учащиеся до-
вольно быстро приучаются к такому переходу.
Нередко наблюдаются такие случаи. Класс выполняет упражне-
ние раздельным методом. А несколько учащихся открывают учебни-
ки, разыскивают нужное правило и это же упражнение выполняют
компактным методом. Факт весьма отрадный. Он свидетельствует и
об умении выбирать необходимый метод, и об овладении им, и о на-
личии в какой-то мере умений работы с книгой.
Используются и другие комбинации методов усвоения. Например,
начинают работать компактным методом, а по ходу выполнения уп-
ражнений переходят к раздельному.
Применение алгоритмического метода. Для усвоения некоторых
наиболее трудных математических предложений целесообразно ис-
пользовать алгоритмический метод.
Математическое предложение заменяется алгоритмом. Читая по-
очередно указания алгоритма, учащийся решает задачу. Таким обра-
зом у него формируется навык применения определения, аксиомы
или теоремы.
126
В некоторых случаях ограничиваются этим навыком, в других —
желательно, чтобы учащиеся запомнили еще и само математическое
предложение. Запоминание достигается, например, последующим за-
учиванием его.
При усвоении математических предложений работа алгоритми-
ческим методом, как и компактным, подразделяется на три шага.
Первый шаг. Подготовка к работе списка указаний. Иногда
учащиеся подводятся к его самостоятельному составлению.
Второй шаг. Образец ответа, предлагаемый учителем. Он по-
следовательно читает указания и одновременно решает задачу.
Третий шаг. Аналогичным образом работают учащиеся. Они
читают указания и решают задачу. При этом они руководствуются
как образцом ответа, так и списком указаний.
Примеры применения алгоритмического метода даны в § 13.
Рассмотрим еще один пример.
П р н м е р 6. Известно, что при переходе от сложения к вычита-
нию положительных и отрицательных чисел наблюдается путаница.
Ее частично можно объяснить «двойной функцией» знака минус:
как знака числа и знака действия.
Пусть, например, ученик выполняет упражнение —48 — 32. Он
может действовать двумя способами: 1) из (—48) вычесть число
(-J-32); 2) к ( — 48) прибавить число ( — 32). Нетрудно убедиться,
что второй способ короче. Но ведь это все надо показать ученику,
предусмотреть его действия, предупредить ошибки, помочь ему вы-
брать удобный способ решения. Возможность путаницы можно устра-
нить, если воспользоваться алгоритмическим методом. Одновременно
с введением правила вычитания учащимся дается алгоритм:
1.	Выбираем действие, которое будем выполнять.
2.	Применяем соответствующее правило.
3.	Проверяем результат с помощью микрокалькулятора.
Учитель показывает образец применения этого алгоритма. В со-
ответствии с образцом и алгоритмом учащиеся объясняют выполня-
емые упражнения, например, следующим образом:
Задача 1. Решаем —16—(4-19).
1.	Выбираем действие. Оно здесь уже указано. Будем выпол-
нять вычитание. Чтобы вычесть число (4-19), надо прибавить ему
противоположное число, т. е. —16 — (4-19)= —16-|-(—19).
2.	Выбираем теперь соответствующее правило сложения. Чтобы
сложить числа с одинаковыми знаками, надо поставить их общий
знак (ставим: «—») и приписать к нему сумму модулей (записыва-
ем: = —35).
3.	Результат проверяем с помощью микрокалькулятора (прове-
ряют). Результаты совпали, значит, еще на одном примере убеди-
лись в справедливости правила.
3 а д а ч а 2. Решаем —1,4—1,2.
1. Выбираем действие. К (—1,4) будем прибавлять число (—1,2),
т.е. —1,4 — 1,2= —1,44-(— 1,2).
Далее ученик решает и объясняет решение так, как в задаче 1.
127
При использовании алгоритмического метода для усвоения мате^И
матических предложений желательно учитывать все условия при-^и
менимости этого метода, перечисленные в § 13 (краткость списка ука
заний, соблюдение выбранной последовательности рассуждений»
и ДР-)-	Я
Из трех рассмотренных в данном параграфе методов при ус вое-'. 
нии определений, аксиом, теорем чаще всего используются разделы 'Я
ный и компактный, значительно реже — алгоритмический. Послед- Я]
ний целесообразен, например, при изучении таких трудноусваивае- Я
мых понятий, как предел последовательности, предел функции, не- Я
обходимые и достаточные условия и др. Но зато алгоритмический Я
метод шире применяется для формирования навыков решения задач Я
определенного типа (см. § 13).	Я
Отметим положительные стороны применения при обучении мате- Я
матике компактного и алгоритмического методов.	Я
Если в классе пользуются только одним раздельным методом, 1
то многие учащиеся не представляют себе, какие преобразования еле- Я
дует объяснять вслух (при работе у доски).	7
Нередко учащиеся объясняют такие детали решения задачи, ко- Я
торые давно всеми усвоены. Так, в V классе при изучении умножения Я
десятичных дробей учащийся умножает дробь 0,38 на 0,45 и громко Я
объясняет: «Пятью восемь — сорок. Ноль пишем, четыре замечаем. Я
Пятью три — пятнадцать...» Подобные объяснения были, ^гиятно, 
уместны в начальной школе, когда изучалось умножение мне эзнач- 1
ных чисел, А в данном случае они только отвлекают ктасс от Я
самостоятельной работы.	л
При использовании компактного метода эти типич ые недостатки 1
постепенно исчезают. Учащиеся начинают объяснять > >лько основ- I
ные моменты решения задачи (они как раз и зафиксированы в теоре- 1
мах, правилах и т. д.), а не второстепенные детали, касающиеся j
давно усвоенных вопросов.
Применение компактного и алгоритмического методов создает j
реальные возможности организации на уроках дифференцированного '
подхода к обучению.
Одним-учащимся достаточно одного раза для запоминания реко- >1
мендаций учителя, относящихся к решению того или иногЬ типа за- 1
дач, другим, менее внимательным и способным, одно и то же указа- 1
ние надо повторить много раз. Если учитель ориентиру- тся на пер-
вых, то для вторых его рекомендации нередко пропадг > бесполез- |
но, поскольку не запоминаются ими и не учитываются в дальнейшем. J
Если же указания повторяются в классе многократно, то способным
и внимательным учащимся работать становится неинтересно.
Компактный и алгоритмический методы как раз и позволяют,
учитывая индивидуальные особенности учащихся, дифференциро-
вать работу в классе. Всем учащимся одновременно показывают, как
применяются к решению задач определения, теоремы, списки указа-
ний и т. д. А пользуются ими одни меньше времени, другие больше —
каждый по своим способностям. Уменьшается механическое списы-
128
вание с доски, ибо учащиеся чувствуют себя уверенней, повышается,
следовательно, степень их самостоятельности в работе.
Упражнения. Эксперименты
1. Укажите сходства и различия компактного и алгоритмического
методов.
^2. Перечислите условия применимости каждого из методов ус-
воения. Почему неправомерно считать, что один из них, допустим
компактный, лучше других? Каким образом уровень развития уча-
щихся учитывается при выборе этих методов?
3.	Каким путем мы можем добиваться того, чтобы процессы
запоминания математического предложения и формирования навы-
ков его применения протекали одновременно?
4.	Проведите индивидуальные экспериментальные занятия с хо-
рошо и слабоуспевающими учащимися. Длительность такого занятия
с одним,,учащимся 5—10 мин. Учащихся подбираем из тех классов,
где ранее не использовался компактный метод. Второе занятие про-
водим после того, как этот метод начали применять.
Наблюдением установите, обладают ли учащиеся умением при-
менять ранее неизвестное им правило, если предварительно не по-
казыв^щчщ образец применения этого правила. Ход занятия: даем
выпис^щюе на отдельном листке правило, предлагаем выполнить со-
ответст^ющее упражнение, ведем наблюдения, не вмешиваясь в ра-
боту ^/дщетося. Сопоставьте выявленные умения, характерные для
хорошели слабоуспевающих учащихся. Как умения, которыми обла-
дают’сильные ученики, выработать у слабых?
5.	В тех кассах, где Вы начали применять компактный и ал-
горитмически методы, проведите наблюдения, выявляя следующие
факты: а) усилилась ли самостоятельность учащихся при выпол-
нении упражнений; б) в какой мере введенные методы оказывают
влияние на развитие речи учащихся; в) не усилился ли интерес
учащихся к занятиям и пр.
6.	Опираясь на понятие обобщенной ассоциации и закономернос-
ти, объясните механизм формирования умений и навыков при работе
компактным или алгоритмическим методом. Почему указания учи-
теля во время ответа учащегося должны быть краткими и число их
Минимальным? Как этого добиться?
- - 0А СОСТАВЛЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ
ДЛЯ УСВОЕНИЯ ПОНЯТИЙ
В методической и учебной литературе мало упражнений, кото-
рые можно использовать для усвоения понятий компактным методом
или комбинацией его с раздельным методом. Рассмотрим, как со-
ставляются такие упражнения и какие методы целесообразно приме-
нять при их выполнении.
Пример. Рассмотрим одно из определений параллелограмма.
Выделим из него все признаки: 1) четырехугольник; 2) две стороны
параллельны; 3) две другие также параллельны. (Другое опреде-
5 Заказ 596
129
Рис. 71
К В
Р О
Ж)
Каждьи
леиие параллелограмма будет иметь другие признаки.)
признак в определении заменяем поочередно его отрицанием и к из-;
мененному таким образом предложению составляем контрпример
(см. рис. 71, б, в, д, ж). Эти контрпримеры чередуются с примерами, J
удовлетворяющими определению данного понятия. Причем внешний?
вид примеров (форма и расположение чертежа, буквенные обозначе- <
ния и т. д.) все время изменяется. Остается сформулировать упраж-
нение:
1. Какие фигуры на следующих чертежах (рис. 71) являются -
параллелограммами? Данные обозначены на чертежах.	>
Выполняя это упражнение, учащиеся допускают следующие ти- .
личные ошибки. Доказав, что АВСК — параллелограмм (рис. 71, а),
многие из них по аналогии заявляют, что и МКРО тоже параллело- 
грамм (рис. 71,6). В этом случае полезно дать сразу еще один:
контрпример (рис. 72). Учащиеся отмечают,
что при одних и тех же данных (рис. 71,6 и 72)
фигуры могут быть различны. Только после
этого они приходят к верному выводу, что
МКРО (рис. 71,6) может быть, а может и не
быть параллелограммом,— данных недоста-
точно.
Выполнение подобных упражнений помо-
Рис. 72
гает устранить плохую привычку учащихся:
делать выводы исходя не из данных задачи.
а из чертежа.
Приведем еще несколько упражнений.
2. Какие из следующих уравнений являются квадратными:
а) 4х —2х* 2=3;	в) (х—2)-Зх = 0;	д) х2-Зх3 + 4 = 0:
б) 5х + 3 = 0;	г) х2+-^-+5=0;	е) х2 + л/х + 5 = 0?
3. Укажите высоты в следующих треугольниках (рис. 73). Дан-
ные обозначены на чертежах.
а) 5)	6) г) д) е) ж) з)
Рис. 73
130
При составлении упражнений для усвоения понятий полезно
использовать сравнение. Выполняя такие упражнения, учащиеся
приучаются устанавливать сходства и различия изучаемых понятий.
Так, при ознакомлении учащихся с гомотетией, центральной и осе-
вой симметрией можно дать следующие упражнения:
Рис. 74
4.	Прямые ВО и AAt пересекаются в точке О (рис. 74,а).
Точки Л и 41 симметричны относительно оси ВО. Почему точ-
ки Л и At симметричны относительно точки О?
5.	Точки А и At симметричны относительно точки О (рис. 74,а).
Симметричны ли точки А и At относительно прямой ВО?
Здесь данных недостаточно. Несмотря на это, учащиеся ошибочно
дают утвердительный ответ. В таком случае полезно сразу же пред-
ложить контрпример (рис. 74,6).
6.	Точка С гомотетична точке В относительно центра О с коэф-
фициентом k=2 (рис. 74,в). Будут ли точки О и С симметрич-
ны относительно точки В?
7.	МО — медиана треугольника АМК, АМ = МК (рис. 74,г).
Верно ли, что точки А и К симметричны относительно оси ОМ
и относительно точки О?
Для усвоения понятий вектора, гомотетии, центральной и осевой
симметрии полезно составлять упражнения на вычисление. Вместе
с упражнениями на построение и на доказательство они позволяют
разнообразить учебную работу.
—>-	—>•
8.	ОВ = КС, ОК — 4 см (рис. 74,6). Найти длину отрезка ВС.
9.	Точка At гомотетична точке А с центром О и коэффициен-
том k, ОА=2 см, ОД1==3 см (рис. 74,е). Вычислить коэф-
фициент гомотетии.
Упражнения
1.	Опираясь на закономерности, выявите все ошибки, которые
могут допускать учащиеся при выполнении упражнений № 1, 3, 5 из
данного параграфа.
2.	Нужно ли давать такие упражнения, которые заведомо про-
воцируют учащихся на ошибки?
3.	Перечислите соображения, которые желательно учитывать
при составлении упражнений для усвоения понятий.
4.	Составьте упражнения для усвоения понятий смежных углов,
проекции отрезка на прямую, трапеции.
5*
§ 27. ПРИЕМЫ ЗАКРЕПЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ПРЕДЛОЖЕНИЙ
В школьной практике распространены несколько приемов закреп-
ления математических предложений.
Первый прием. Учитель предлагает сформулировать и применить
те или иные определения, аксиомы, теоремы, встречающиеся по
ходу решения задач.
Пример 1. Построить график функции f (х)=х3 — Зх.
По ходу решения задачи учащиеся формулируют определение
нечетной функции и устанавливают, что данная функция нечетная.
Далее они вспоминают свойство графика нечетной функции. На
основе этого делается вывод, что исследование достаточно проводить
на интервале [0; +°о).
После таких рассуждений работа сокращается примерно на одну
треть: из двух критических точек (—1 и 4-1) учащиеся исследуют
на экстремум только одну (4*1), составляют не таблицу 3, как это
рекомендуют в некоторых пособиях, а таблицу 4.
Далее они строят график функции на
интервале [0; 4-00) и, отображая его
симметрично относительно начала коор-
динат, заканчивают решение (рис. 75).
Таким образом формулировки опре-
деления нечетной функции и свойства ее
графика увязываются с конкретной за-
дачей и помогают рационализировать ее
решение.
Второй прием. Учитель предлагает
сформулировать ряд определений, теорем,
132
аксиом во время фронтального опроса, с тем чтобы повторить их
и заодно проверить, помнят ли их учащиеся.
Очевидно, первый прием весьма удачный. И останавливаться на
нем подробнее не стоит только потому, что он широко известен и
применяется многими учителями.
А вот второй прием часто приводит к бесцельной трате времени.
Так, во время фронтальных опросов в течение нескольких уроков
подряд многократно повторяется одна и та же формулировка, на-
пример определение параллелограмма, квадрат двучлена и др.,
иногда до 30—40 раз, однако многие учащиеся не запоминают и не
понимают ее. Причина?
Многократное повторение формулировок вне процесса решения
задач неэффективно (см. § 4, 5). Действительно, такое повторение
однообразно, непродуктивно по закономерности П.9, и потому у
школьников возникает тенденция к механическому запоминанию.
Они по опыту знают, что учитель будет спрашивать формулировку,
а поэтому стараются запомнить ее даже в том случае, если она плохо
понята. А преждевременная установка на запоминание формули-
ровки до того, как она осознана в целом, затрудняет ее понимание
(II.6). Следовательно, фронтальный опрос в таком виде неэффек-
тивен.
Третий прием. Это тот же фронтальный опрос, но при его про-
ведении каждую формулировку ученики сопровождают примером или
контрпримером, который тут же демонстрируется классу на доске или
на экране. Методика такого фронтального опроса была описана
выше (см. § 4, 5). Проиллюстрируем ее еще несколькими при-
мерами.
Пример 2. Формулируя определение периодической функции,
учащийся приводит свой пример (y = cosx) и контрпример (у=
=x + cosx) и одновременно объясняет, почему первая функция —
периодическая, а вторая — нет. При этом важна и техническая
сторона работы. Пример и контрпример вызванный ученик может
свободно произнести вслух. Но для многих учащихся в классе эти
примеры понимаются и запечатлеваются в сознании лучше, если
они воспринимаются зрительно (закономерность III.7).
Пример 3. Предлагается сформулировать правило деления
обыкновенных дробей. Вызванный с места ученик сначала приводит
3 5
свой пример а затем формулирует правило и одновременно
применяет его к решению этого примера. По ходу его ответа другой
ученик, стоящий у доски, записывает пример и некоторые из устно
выполняемых операций. Тем самым все остальные учащиеся мвгут
не только слышать объяснения, но и видеть решение. Такая методика
работы облегчает восприятие (IV. 1— IV.3) и концентрирует внимание
(1П.2; III.7) учащихся.	1
Для лучшего усвоения и запоминания некоторые из воспроизво-
димых формулировок повторяются подряд по два-три раза, но каж-
дый раз с новыми примерами. При повторном воспроизведении
133
формулировки слабоуспевающий ученик, который сразу мог бы и не
вспомнить эту формулировку, но, прослушав только что своего то-
варища, тоже дает четкий и ясный ответ. За это его желательно по-
ощрить, вселяя в него уверенность и усиливая интерес к занятиям.
Сопоставим второй и третий приемы. При фронтальном опросе
учащиеся часто дают нечеткий, неверный ответ. В таком случае*
учитель вынужден вызывать еще нескольких учеников для вос-
произведения этого же определения, правила и т. д. Если ответы
учащихся не сопровождаются примерами и контрпримерами, то такое
повторение — бессмысленное дело. Ученики плохо слушали форму-
лировку, произнесенную без примера и вне процесса решения за-
дачи. Тем более они ее не слушают второй раз. Надоедает. А вот
с меняющимися примерами одну и ту же формулировку дважды
слушать интересно, потому что здесь имеет место повторение с
вариациями. Все это можно подтвердить, опираясь на закономер-
ности II.9; III.2; 1П.6 и др.
Некоторые учащиеся в соответствии с закономерностью Эббин-
гауса (П.8) очень быстро забывают воспроизведенную на уроке
формулировку. Но если она сразу повторяется с другим примером,
то сохраняется в памяти лучше, так как по той же закономерности
момент самого интенсивного забывания уже прошел. Здесь сказы-
вается также и то обстоятельство, что повторное воспроизведение
формулировки с другим примером приводит к разнообразной дея-
тельности. А это не только улучшает запоминание (П.9), но и уси-
ливает внимание (1П.5; III.6).
Так как рассредоточенное по времени повторение эффективнее
концентрированного (II. 10), то формулировку, воспроизведенную на
данном уроке, желательно повторить в дальнейшем. Но когда это
сделать лучше? Здесь важно соблюдать меру. Если повторение
растянуть на чрезмерно большой срок, то по закономерности Эббин-
гауса часть материала забывается и приходится тратить много вре-
мени на восстановление забытого. Перед учителем всякий раз воз-
никает проблема: как установить оптимальные сроки повторения?
Рассмотрим в связи с этим один из возможных приемов обучения.
Четвертый прием. Чтобы добиться прочного знания ряда опреде-
лений, аксиом, теорем, учитель составляет их перечень и на каждом
уроке спрашивает по нескольку формулировок. Каждую формулиров-
ку учащиеся обязательно сопровождают своими примерами и контр-
примерами. Некоторые формулировки повторяются на уроке по два-
три раза, но каждый раз с новыми примерами и контрпримерами.
Остается уловить момент, когда целесообразно вновь повторить дан-
ную формулировку. В этом помогает следующая схема:
Если учащийся верно ответил на вопрос, учитель ставит про-
тив номера этого вопроса в своем списке знак «-(-». При недоста-
точно четком ответе либо при неумении привести соответствующий
пример или контрпример формулировка тут же повторяется один-два
раза и против ее номера в списке ставится знак « — ». На следующих
уроках в первую очередь повторяются вопросы, против которых
134
в списке учителя стоят знаки «—», а затем переходят к следующим
вопросам из данного списка и т. д.
В результате чаще всего повторяется тот материал, который
усваивается хуже, исключается случайность в повторении. Если ка-
кой-то вопрос долго не рассматривался и был забыт, к нему обя-
зательно возвращаются на следующих уроках.
К наилучшим результатам данный прием приводит в тех случаях,
когда для повторения по указанной схеме удается выделять по
нескольку минут на каждом уроке в течение нескольких недель под-
ряд. Очевидно, при этом эффективность запоминания достигается
за счет рассредоточенного и разнообразного повторения (II.9; 11.10).
Одновременно укрепляются навыки применения определений, теорем
и т. д., так как каждая формулировка сопровождается примерами и
контрпримерами.
Пятый прием. Он заключается в том, что во время фронтального
опроса применяются специальные упражнения, которые требуют от
учащихся умения применять определения, теоремы, аксиомы в
различных ситуациях, умения быстро ориентироваться в условиях
задачи. Это гораздо полезнее простого воспроизведения форму-
лировок. Вместо любого вопроса вида «Что называется...?» или
«Сформулируйте такую-то теорему, аксиому» нетрудно составить со-
ответствующее упражнение.
Пример 4. Вместо вопросов: «Что называется ромбом, пря-
моугольником и т. д.?», «Перечислите признаки ромба, прямоуголь-
ника и т. д.» — предлагается упражнение:
1. Какие фигуры изображены на следующих чертежах (рис. 76)?
Данные обозначены на чертеже.
Характерной особенностью таких упражнений является чередо-
вание примеров и контрпримеров. Так, по данным упражнения 1 уча-
щиеся выясняют, почему АМРО — ромб (рис. 76,6), а относительно
четырехугольника АМВК (рис. 76,а) можно лишь утверждать, что
это параллелограмм, хотя он похож на ромб; почему АОЕС — ромб
(рис. 76,6), a BKJM (рис. 76,е) — квадрат, хотя, основываясь
на расположении этих фигур, некоторые учащиеся высказывают
противоположные мнения.
Выполняя подобные упражнения, учащиеся и вспоминают со-
ответствующие определения, теоремы, аксиомы, и применяют их.
Такая активная мыслительная деятельность приводит к эффектив-
135
ному непроизвольному запоминанию формулировок по закономер-
ности Смирнова — Зинченко (II.7*) или по закономерности II.7. Кро-
ме того, формулировки повторяются в процессе выполнения различ-
ных упражнений, а разнообразное повторение приводит к продуктив-
ному запоминанию (II.9). Но главное, упражнения вида 1 обычно вы-
полняются с гораздо большим интересом, чем простое воспроиз-
ведение формулировок.
И еще одна немаловажная деталь для учителя. Если учащийся
доказал, что НТ РЕ — прямоугольник (рис. 76,в), ему вполне
можно поставить оценку. А вот за простое воспроизведение фор-
мулировок соответствующих признаков' параллелограмма и пря-
моугольника оценку не поставишь. И получается, что за 5—6 минут
фронтального опроса учитель ставит несколько оценок.
Наконец, упражнения типа 1 выполняют еще одну функцию. Они
очень быстро готовят учащихся к пониманию и самостоятельному
решению таких задач, для которых эти упражнения являются эле-
ментами. Иными словами, такие упражнения позволяют с большой
эффективностью использовать метод элементарных задач.
Пример 5. Вместо того чтобы задавать вопросы: «Какие ли-
нии являются осями симметрий ромба, квадрата, равностороннего
треугольника и т. д.? Имеются ли у них центры симметрий?» —
гораздо полезнее дать такое упражнение:
2. Назовите оси и центры симметрий следующих фигур (рис. 77).
Данные обозначены на чертежах.
Пример 6. Вместо вопросов, требующих сформулировать то
или иное свойство неравенств, предлагаем упражнение:
3. Объясните, какие из следующих пар неравенств неравносильны:
а)	Зх > 4 и — 6х > — 8;
б)	6х< 18 и х<3;
в) хд/х<3 д/х и х<3;
г) х-^>3 7* и х>3.
Пример 7. Свойства логарифмической функции учащиеся фор-
мулируют и продуктивно запоминают в процессе выполнения та-
кого упражнения:
4.	Какие из следующих графиков (рис. 78) не могут быть (и
по какой причине) графиками функции y=logox, если:
а) а>1; б) 0<а<1?
Подобные упражнения позволяют и повторить формулировки
Рис. 77
136
свойств функции, и обратить внимание учащихся на характерные
особенности расположения ее графика. Их можно предлагать также
при изучении квадратичной, логарифмической, показательной и дру-
гих функций.
Следует обратить особое внимание на принципиальное отличие
формулировки упражнения вида № 4 от формулировок предшест-
вующих упражнений. В предшествующих упражнениях данные обо-
значены на чертежах. Опираясь на эти данные, ученик может
обосновывать свои выводы, доказывать. Тогда как в упражнении № 4
на рисунке не указаны данные. Свой вывод учащийся может сде-
лать только из рисунка, основываясь, при- этом ня характерных
особенностях-расположения графиков изученных функций. Однако
доказать свое утверждение ученик не может. Поэтому в тексте
упражнения__£Л£»ва: « Ка кие^из—графиков я вл я ются...» — заменены
словами: «Какие.из графиков не могут быть...».
При такой постановке вопроса ученик может дать вполне аргу-1
ментированный ответ, например: «График, изображенный на рисунке
78, в, не может являться графиком функции у= logfl х при 0<а< 11
так как он не проходит через точку с координатами (1; 0). А графир
на рисунке 78, г может быть графиком указанной функции, так
как на этом рисунке нет явных нарушений в расположении
графика этой функции».
Все сказанное относится и к двум следующим упражнениям:
5.	Какие из следующих графиков (рис. 79) не могут быть (и по
какой причине) графиками функции у=ах\ если: а) а>0; б) а<0?
Приведем еще несколько упражнений, для которых характерно
чередование примеров и контрпримеров.
Рис. 79
137
Рис. 80
6.	Какие пары фигур на рисунке 80 не могут быть гомотетичными?
Для остальных фигур указать возможное расположение центра
гомотетии.
Здесь также ученик не может доказать, что прямые а и b (рис. 80)
гомотетичны. Но зато он может утверждать, что прямые о и с не яв-
ляются гомотетичными, так как на рисунке они явно непараллельны.
Рис. 81
7.	Выразить вектор КМ через векторы а и b (рис. 81). Данные
обозначены на чертежах.
8.	Вычислить площади следующих четырехугольников (рис. 82).
Данные обозначены на чертежах.
Встречаясь с примерами и контрпримерами в упражнениях вида
1—8, учащиеся легко привыкают к следующему приему обучения.
Как только кто-либо в классе допускает ошибку в формулировке оп-
ределения, теоремы, аксиомы, учитель предлагает всем придумать
и записать в тетради соответствующий контрпример. Некоторые из
этих контрпримеров тут же демонстрируются классу, и учащиеся,
допустившие ошибку, сразу исправляют ее.
Примеры:
1)	«Угол, образованный двумя хордами, называется вписанным»,
«Хорда — это прямая, соединяющая две точки окружности».
Учащиеся быстро строят контрпримеры, иллюстрирующие оши-
бочность этих формулировок (рис. 83).
А О
а)
Рис. 83
138
2)	«Функция f называется периодической, если для нее существует
такое число Т, что при любом х из области определения функции
f (x)=f (х + Т)».
Обычно некорректность этой формулировки замечают далеко не
все учащиеся. Но как только кто-нибудь из них показывает контр-
пример lg (x-f-O) = lg х, все сразу догадываются, что надо указать
Т=£0.
3)	Учащийся сформулировал: «Если две прямые одной плоскости
соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти
плоскости параллельны». Классу предлагается показать на модели,
что это утверждение неверно.
Упражнения
1.	Почему нежелательно воспроизводить на уроках формулировки
теорем, правил и т. д. вне процесса решения задач, без соответ-
ствующих примеров и контрпримеров?
2.	В § 26 даны советы по составлению упражнений для усвоения
понятий (см., например, рекомендации к подбору чертежей на
рис. 71). Можно ли эти рекомендации использовать при составле-
нии упражнений, предназначенных для закрепления математических
предложений?
3.	Учитывая рекомендации, данные в § 26 и 27, составьте упраж-
нения для закрепления понятий: а) биссектрисы, медианы, высоты
треугольника; б) признаков подобия треугольников.
4.	Проверьте в V или в VI классе эффективность такого приема
повторения правил, когда с помощью схемы, рассмотренной в § 27,
удается повторять в первую очередь тот материал, который быстрее
забывается учащимися.
5.	Почему в упражнениях 4 и 5 данного параграфа слово «явля-
ются» заменено словами «не могут быть»?
§ 28. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОЯСНЯЮЩИЕ ОПИСАНИЯ
За последние десятилетия несколько раз менялись школьные учеб-
ники математики, но это не значит, что все учебники, действовавшие
ранее, плохие и их нельзя использовать. В каждом из них есть свои
достоинства. А их недостатки обнаруживались не сразу; иногда после
длительной работы по тому или иному учебнику. Опыт этой работы,
анализ недостатков прежних школьных учебников и анализ их до-
стоинств — все это позволяет совершенствовать как учебники, так
и методику работы учителя математики.
Известно, что определение в школьном курсе математики — это
такое математическое предложение, в котором определяемое поня-
тие сводится к ранее введенным понятиям. Рассмотрим с точки зре-
ния этого требования формулировки из разных учебников:
1. «Часть прямой, ограниченная с обеих сторон, называется от-
139
резком» (Киселев А. П. Элементарная геометрия.— М., 1980).
2. «Отрезком АВ называется множество, состоящее из двух то-н
чек Л и В и точек, лежащих между ними» (Колмогоров А. Н.у
Семенович А. Ф., Черкасов Р. С. Геометрия: Учеб, пособи
для 6—8 кл. ср. шк.— М., 1980).
Первая формулировка не является строгим определением, так
как в ней понятие «отрезок» сводится к таким понятиям, как «часть
прямой», «ограниченная», которые в предшествующем тексте книги:
А. П. Киселева не вводятся. Когда учащимся дают подобные формуй
лировки, рассчитывают только лишь на интуитивное, житейское вос-
приятие понятий «часть», «ограниченная» и т. д. Но так как форму- :
лировка 1 выделена в книге, то некоторые учащиеся, а иногда и учи-
теля принимают ее как определение.
Формулировка 2 в контексте учебного пособия А. Н. Колмого- i
рова и др. является строгим определением, так как авторы предва-;
рительно определяют понятие «лежать между», приводят примеры,
способствующие усвоению учащимися данного понятия, и разъяс-
няют, что понятия «точка», «множество» принимаются как неопре-
деляемые. Опыт работы учителей по данному учебному пособию по-
казал, что понятие «лежать между» усваивается учащимися с тру-
дом, что здесь кратким разъяснением обойтись не удается, а нужно
рассмотреть ряд примеров и контрпримеров. Этот опыт в какой-то
мере был учтен авторами, которые в последнем издании данного по-
собия увеличили число примеров и контрпримеров, относящихся к
данному понятию.
Итак, формулировка 1 не является строгим определением, а на
изучение определения 2 требуется много времени, и многие учащиеся
плохо усваивают понятия «отрезок» и «лежать между».
В то же время, несмотря на плохое знание определений отрезка
(а также луча, многоугольника и др.), мы практически не встречаем-
ся в школах с такими случаями, когда ученик не смог бы начертить
отрезок, многоугольник или перепутал бы эти фигуры с какими-либо
другими фигурами. Значит, понимания учащимися данных понятий
на интуитивном уровне вполне достаточно.
В школьном курсе математики мы часто сталкиваемся с подоб-
ными ситуациями, когда строгие определения понятий либо недоступ-
ны учащимся, либо требуют большой затраты учебного времени, а
какие-либо предложения, заменяющие определения, оказываются
некорректными. Выход из таких ситуаций можно найти, если опи-
раться на психолого-дидактические закономерности и, в частности,
на понятие стимулирующего звена.
В тех случаях, когда определения изучаемых понятий оказывают-
ся для учащихся труднодоступными, целесообразно заменять эти
определения поясняющими описаниями. Поясняющим описанием
условимся называть такое легко понятное, доступное учащимся пред-
ложение, которое вызывает у всех учащихся один и тот же нагляд-
ный образ и помогает хорошо усвоить новое понятие. Это усвоение
должно быть доведено до такого уровня, чтобы в дальнейшем уча-
140
щиеся, не вспоминая поясняющего описания, могли легко, быстро
и безошибочно распознавать все объекты, охватываемые данным
понятием.
Очевидно, не следует добиваться запоминания поясняющих опи-
саний и при работе с ними неуместны вопросы типа «Что называет-
ся...?», так как в ответ на подобный вопрос учащийся должен сфор-
мулировать определение, но не поясняющее описание.
На первоначальном этапе обучения поясняющее описание высту-
пает в роли стимулирующего звена. После образования необходи-
мых навыков и в результате свертывания рассуждений по законо-
мерности V.2 может постепенно «выпадать» мыслительный акт по
использованию поясняющего описания, а его формулировка может
забываться. Остаются обобщенные ассоциации — прочные навыки.
Позже учащиеся, обладая уже достаточными знаниями, умениями
и навыками, смогут свободно усвоить соответствующие научные оп-
ределения.
Пример 1. Даем поясняющие описания: «Луч — это часть
прямой, ограниченная с одной стороны точкой — началом луча; отре-
зок — это часть прямой, ограниченная с двух сторон, как на рисун-
ке 84».
Далее учащимся показываем, как обозначают отрезки и лучи, и
предлагаем упражнение: «Указать, какие фигуры на рисунке 85 мож-
но считать отрезками, лучами». При выполнении упражнения уча-
щиеся опираются на такие интуитивно понятные им признаки, пере-
числяемые в поясняющих описаниях, как «часть прямой, ограничен-
ная». Рассуждения по применению этих признаков выступают в роли
стимулирующих звеньев (см. определения 7 и 8 в § 2). Эти рассуж-
дения помогают каждому учащемуся безошибочно отделять отрезки
от лучей и от других фигур. Сами рассуждения в соответствии с за-
кономерностью V.2 очень быстро свертываются. Опыт работы по опи-
сываемой методике показал, что по прошествии нескольких минут
учащиеся начинают сразу без заметного обдумывания распознавать
отрезки и лучи и по требованию учителя свободно объясняют свой
ответ.
Сравним. Для прочного усвоения понятий отрезка и луча с по-
мощью поясняющих описаний учащимся достаточно нескольких ми-
нут, а для изучения научных определений отрезка и луча и связан-
ных с ними понятий в 70-е годы отводили два урока. Но дело не толь-
ко во времени, а в результатах. Строгие определения отрезка и луча
не понимаются и не запоминаются многими учащимися, а пояс-
Рис. 85
Рис. 84
141
Рис. 86
--1»
няющие описания обеспечивают прочное усвоение соответствующи
понятий.
Поясняющие описания отрезка, луча и других понятий совпадаю
с формулировками из учебников А. П. Киселева. Традиционный опы
работы по учебникам этого талантливого педагога-математика таю
же может свидетельствовать о целесообразности использования по
ясняющих описаний.
Пример 2. Вместо труднодоступных для учащихся опреде
лений многоугольника и связанных с ним понятий области, внутрен
ней области, на которые в тематическом плане отводилось в свое вре-
мя три урока, можно дать такое поясняющее описание:
«Под многоугольником будем понимать часть плоскости, огра-
ниченную замкнутой ломаной, вместе с этой ломаной».
Далее даем упражнение на распознавание многоугольника и его
элементов: «Указать многоугольники, их вершины, углы, стороны,
диагонали (рис. 86)». За несколько минут (вместо 3-х уроков!) уча-
щиеся усваивают эти понятия.
Пример 3. Вместо определений многогранника и связанных
с ним понятий многогранной поверхности, геометрического тела и
т. д. можно дать такое поясняющее описание: «Под многогранником
будем понимать часть пространства, со всех сторон ограниченную
многоугольниками».
Далее учащимся демонстрируют модели цилиндров, конусов,
многогранников, фигур в виде многогранников, у которых одна или
несколько граней удалены либо заменены криволинейными поверх-
ностями, и предлагают показать многогранники, их ребра, верши-
ны, грани, диагонали. За несколько минут (вместо целого урока, не-
обходимого для изучения соответствующих определений!) учащиеся
прочно усваивают понятие многогранника.
Пример 4. Определение дуги окружности как пересечения
окружности и ее центрального угла учащиеся запоминают без осо-
бых затруднений, но формально. После изучения этого определения
вопрос: «Является ли линия АВ дугой окруж-
/	**^4 д ности (рис. 87)?» — нередко ставит учащихся
в тупик. В дальнейшем при решении задач уча-
I щиеся опираются не на данное определение, а на
\.	'ч/ интуитивно наглядный образ дуги как части кри-
вой. Значит, и в подобных случаях определения
уместно заменять поясняющими описаниями.
Рис. 87	Выводы. Ряд определений понятий в школь-
142
ном курсе математики целесообразно заменять поясняющими опи-
саниями. Такую замену лучше всего осуществлять авторам учебни-
ков. Не противопоказано это делать и учителям, если такая замена
приводит к лучшему усвоению программного материала.
Поясняющие описания не заучиваются, и в дальнейшем не про-
веряется, как запомнили их учащиеся. Поясняющие описания вы-
полняют лишь роль стимулирующих звеньев, способствующих фор-
мированию прочных навыков при выполнении упражнений на рас-
познавание в момент введения соответствующих понятий.
Строгие определения целесообразно заменять поясняющими опи-
саниями только тогда, когда такие определения усваиваются уча-
щимися с трудом и когда в дальнейшем учащиеся опираются не на
эти определения, а на какие-либо интуитивно наглядные образы,
вполне достаточные для верного формирования понятия.
Упражнения
1.	Для каких понятий целесообразно давать поясняющие описа-
ния? Нужно ли требовать их запоминания?
2.	Целесообразно ли давать поясняющие описания таким поня-
тиям, как угол, ломаная?
3.	На конкретном примере объясните методику работы, при ко-
торой поясняющие описания выполняют роль стимулирующих
звеньев.
§ 29. «РАБОЧИЕ» И «НЕРАБОЧИЕ» ФОРМУЛИРОВКИ
Учитывая потребности практики, рассмотрим требования, кото-
рым должны удовлетворять формулировки определений, теорем,
различных правил.
Определения должны быть доступными для учащихся и удоб-
ными в применении. С этой точки зрения определения можно услов-
но подразделить на «р а б о ч и е» и «нерабочие». К послед-
ним, в частности, относятся все те определения, которые целесооб-
разно заменять поясняющими описаниями. Встречаются и другие
случаи.
Пример 1. Определение: «Параллелограмм, все стороны ко-
торого равны, называется ромбом» — содержит лишние признаки.
Это приводит к тому, что при письменном оформлении контрольных
и самостоятельных работ учащиеся загромождают решение задачи
излишними рассуждениями. Например, установив, что четырехуголь-
ник является параллелограммом, учащиеся доказывают затем ра-
венство всех его сторон. Только после этого они делают вывод о том,
что четырехугольник является ромбом. Если же дается определе-
ние: «Параллелограмм, у которого две смежные стороны равны, на-
зывается ромбом»,— то решения задач учащиеся оформляют более
рационально.
143
В	Пример 2. Определение линей-
4^	ного угла как пересечения двугран-
/р	ного угла и плоскости, перпендику-
J.—В, лярной его ребру, неудобно в приме
7 нении, и учащиеся обычно им не
/	пользуются. При решении задачи
с	'Сг	учащимся легче сначала построить
Рис	линейный угол, чем его плоскость.
Отсюда более удобным, «рабочим»
определением (хотя и не вполне
строгим) является следующее, более конструктивное и традиционно
испытанное: «Угол, стороны которого перпендикулярны ребру
двугранного угла и лежат на его гранях, а вершина расположена
на ребре, называется линейным углом двугранного угла».
Очень неудобными в применении оказываются такие формулиров-
ки теорем и определений, в которых используются буквенные обозна-
чения, относящиеся к частным случаям. «Нерабочими» являются
и такие формулировки, в которых делается попытка объединить оп-
ределение с эвристическим подходом к введению понятия.
Пример 3. Рассмотрим следующее введение понятия угла
между скрещивающимися прямыми:
«Пусть АВ и CD — две скрещивающиеся прямые (рис. 88). Рас-
смотрим произвольную точку Л1| и проходящие через нее прямые А (В|
и С|£)|, соответственно параллельные прямым АВ и CD. Пусть
угол между прямыми Д|В( и C\D\ равен <р. В таком случае будем
говорить, что угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD
равен <р».
В этой формулировке осуществляется эвристический подход. Уча-
щиеся подводятся к новому понятию. Это хорошо, но спрашивается,
как на следующих уроках учащиеся будут отвечать на вопрос: «Что
называется углом между скрещивающимися прямыми?» А такой
вопрос приходится часто задавать в процессе решения задач. Как
поступать учителю в подобных'случаях? Можно дать, например, та-
кое определение: «Углом между двумя скрещивающимися прямыми
называют угол, стороны которого параллельны этим прямым», до-
бавив, что из двух таких углов выбирают меньший.
Иногда в учебниках объединяют несколько теорем в одну фор-
мулировку.
Пример 4. Рассмотрим формулировку такой теоремы: «Если
внутренние накрест лежащие углы равны или сумма йнутренних одно-
сторонних углов равна 180°, то прямые параллельны». Такая форму-
лировка неудобна для учащихся, так как при решении задач им при-
ходится каждый раз применять только одну из этих теорем. Значит,
приведенную формулировку целесообразно «разъединить» и дать чет-
кие и краткие формулировки двух теорем.
Правила также можно подразделять на «рабочие» и «нерабо-
чие». Если, пользуясь правилом, ученики испытывают некоторые
неудобства, допускают ошибки или учителю приходится давать им
144
^Каждый раз дополнительные указания, то правило условимся счи-
'тать «нерабочим».
Известный советский методист К. С. Барыбин установил,
что причиной многих типичных ошибок учащихся являются неудач-
ные формулировки правил. Если последовательность операций, вы-
полняемых учеником, не совпадает с их последовательностью в пра-
виле, то вероятность ошибок возрастает. Следовательно, необходи-
I мо соответствующим образом изменить эти правила. К сожалению,
эти ценные методические рекомендации К. С. Барыбина не всегда
учитываются в школьных учебниках.
Пример 5. Умножая положительные и отрицательные числа,
\ учащиеся часто забывают поставить знак произведения или же за-
‘ писывают модуль произведения вплотную к знаку равенства, не ос-
f тавляя место для знака « —». Эти ошибки происходят из-за того,
J что в правиле сначала указывается, как найти модуль, а затем знак
L произведения. Чтобы уменьшить число ошибок, достаточно изме-
t нить последовательность указаний в правиле.
; П р и м е р 6. Сравним правила:
«Чтобы умножить две дроби, надо: 1) умножить их числители;
2) умножить их знаменатели; 3) первое произведение взять числи-
телем, второе — знаменателем дроби, полученной в результате ум-
ножения».
«Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой ра-
вен произведению их числителей, а знаменатель равен произведе-
нию знаменателей».
Если ученик работает компактным методом, а другой метод в дан-
ном случае не стоит использовать, то первое из приведенных правил
менее удобно. Действительно, умножая числители, ученик сразу за-
писывает это произведение в числителе. После этого чтение третьего
указания правила становится бессмысленным. Кроме того, мешает
работе нумерация в правиле. Если ученик по ходу выполнения упраж-
нения произносит «первое», «второе», «третье», то это лишние слова.
Если он их не произносит, тогда зачем они? Выше подчеркивалось,
что умение разделять правило на отдельные указания формируется
у всех учащихся очень быстро. Следовательно, незачем в правиле
нумеровать указания.
Из сказанного ясно, что второе из приведенных правил имеет ряд
преимуществ (в сравнении с первым). Однако и его мы еще не назо-
вем «рабочим» правилом. Почему? Дело в том, что учителю при вы-
полнении почти каждого упражнения приходится напоминать уча-
щимся: «Сократите дробь, выделите целую часть». Чтобы учащиеся
ие забывали этого, желательно дополнить правило соответствующи-
ми указаниями и сформулировать его, например, так:
«Чтобы умножить две дроби, || надо разделить произведение их
числителей || на произведение знаменателей. || Сократить. || Выде-
лить целую часть».
145
Тогда действия и речь ученика выглядят так: «Чтобы умножии
к Г 7 15 I
две дроби	надо разделить произведение их числителе)
Г7 15	7-151	„ Г 7 15	7-15 1
=------J на произведение знаменателей — • — — 6 ;4 •
Сократить [...=-£	=
Выделить целую часть £... = 1	».
Упражнения. Эксперименты
1.	Перед учителем повседневно стоит следующая проблема: надо
ли добиваться от всех учащихся твердого запоминания правил, on- ;
ределений и т. д.? Согласны ли Вы со следующим подходом к решению
этой проблемы?
Все «рабочие» правила, определения и т. д. учащиеся должны ••
твердо помнить. Они запоминают их легко, если применяют их ком-
пактным методом (II.7) и у них выработаны установки на прочное
и точное запоминание (II.1). «Нерабочие» формулировки запоми-
нать необязательно и проверять их знание не надо.
Как выработать у учащихся указанные установки? Стоит ли
ждать, пока ученик «мучительно» вспоминает и искажает формули-
ровку? (См. упр. 2 и 3, § 4.) Способствует ли твердое запоминание
формулировок развитию математической речи учащихся?
Если да, тогда надо ли учителю особенно тщательно следить за
грамотностью каждой формулировки (в математическом и стилисти-
ческом отношениях)?
2.	В одних школьных учебниках правило сложения чисел с раз-
ными и одинаковыми знаками давалось в виде единой формулировки,
в других оно разделено на два правила. Сначала учащиеся изучают
сложение отрицательных чисел и только на следующих уроках пере-
ходят к сложению чисел с разными знаками. Проведите на уроках
или в индивидуальных занятиях экспериментальные наблюдения, со-
поставляя и выявляя, какой из этих двух подходов лучше.
В предшествующих главах подчеркивалось, что учеников следует
учить не только применению определений, теорем, но и умелому вы-
бору их. Если на данном уроде выполняются упражнения на умно-
жение только отрицательных чисел, то есть ли у ученика необходи-
мость выбора нужного правила или он может, не вдумываясь, выпол-
нять одно и то же действие? С этой точки зрения какой из только что
указанных подходов лучше?
3.	Проведите экспериментальные наблюдения на уроке или ин-
дивидуальных занятиях сразу после введения правила сложения
отрицательных и положительных чисел. Во время эксперимента фик-
сируйте: а) время, затрачиваемое учащимися на обдумывание того,
какой знак имеет искомая сумма двух чисел; б) допускаемые ошиб-
ки; в) смотрят ли учащиеся на правило. Последнее наблюдение лег-
146
ко осуществить, если раскрытый учебник находится перед учащим-
ся и мы следим за его взглядом.
Дайте учащимся подряд восемь — десять упражнений на сложе-
ние только отрицательных чисел, а затем следующие два упражне-
ния: — 5 + 3; 4 + ( —3). Ведите наблюдения по указанному плану.
Сопоставьте время обдумывания знака суммы в последних двух уп-
ражнениях. Какие требования к системе упражнений можно сфор-
мулировать на основе этого эксперимента?
4.	В учебниках алгебры, по которым школьники работали до
70-х годов, предлагалось поясняющее описание понятию «функция»,
но без каких-либо оговорок. Это давало повод рассматривать дан-
ную формулировку как определение и подвергать ее критике. После
длительной дискуссии в 70-е годы в учебнике «Алгебра, 6» было
дано строгое определение функции сначала через понятие «соот-
ветствие», а в последующих изданиях через «отношение». Однако
педагогический опыт в дальнейшем показал, что учащиеся при та-
ком подходе плохо усваивали понятие функции и сопутствующие
ему понятия, несмотря на то, что на них тратилось много уроков.
Поэтому в последних изданиях одного из учебников «Алгебра, 6»
возвратились к поясняющему описанию: «Зависимость переменной у
от переменной х называется функцией, если каждому значению х
соответствует единственное значение у». Нужно ли требовать от
учащихся запоминания этой формулировки? Достаточно ли ее пони-
мать и уметь учитывать при решении задач? Оправдан ли по-
добный возврат в школьном учебнике к прежнему, традиционному
опыту?
Не допустим ли мы и в других случаях грубые ошибки в ра-
боте, если не будем учитывать и анализировать традиционный опыт?
Правомерно ли поступают авторы некоторых современных статей
и учителя, когда новые педагогические приемы противопоставляют
«традиционной методике», понимая под этим термином что-то от-
жившее, консервативное?
5.	В тех классах, где вы начали применять компактный и алго-
ритмический методы, проведите наблюдения, выявляя следующие
факты: а) усилилась ли самостоятельность учащихся при выполне-
нии упражнений; б) в какой мере введенные методы оказывают
влияние на развитие речи учащихся; в) усилился ли интерес уча-
щихся к занятиям.
6.	С помощью соответствующего рисунка или модели составьте
контрпримеры, иллюстрирующие следующие ошибочные формули-
ровки учащихся: «Средней линией треугольника называется прямая,
соединяющая середины двух сторон треугольника», «Прямая пер-
пендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым
этой плоскости».
ГЛАВА V. СТРУКТУРА СИСТЕМЫ
УПРАЖНЕНИЙ
§ 30. ОДНОТИПНОСТЬ УПРАЖНЕНИЙ
Систему упражнений, которая содержит задачи одного и того
же типа, будем называть однотипной.
Мы заинтересованы в том, чтобы учащиеся решали задачи вдум-
чиво и обоснованно. В какой мере это зависит от однотипности систе-
мы упражнений? Просматривая закономерности 1.9; 1.4; III.6, за-
мечаем, что выполнение упражнений одного типа — это одно из усло-
вий этих закономерностей. При его соблюдении учащиеся побуж-
даются к «бездумному» решению (1.9), увеличивается вероятность
ошибок (1.4 и 1.5), ослабляется внимание (III.6).
Выходит, с одной стороны, что однотипность упражнений — зло.
С другой стороны, в каждом разделе любого учебника матема-
тики дается большое число упражнений одного и того же типа. Оче-
видно, этот факт отражает традиционный опыт преподавания и
свидетельствует о необходимости однотипных упражнений.
К последнему выводу мы приходим также на основании законо-
мерностей 1.1 и 1.6. Поскольку ассоциации возникают путем повто-
рения одних и тех же действий (закономерность 1.1), то однотипность
упражнений желательна. Так как для формирования обобщенной
ассоциации требуется тем меньше упражнений, чем более учащийся
развит (1.6), то однотипные упражнения особенно необходимы для
слабых учеников и в меньшей мере для сильных.
Очевидно, нельзя учитывать только одну из противоречивых осо-
бенностей однотипной системы упражнений. Это подтверждается
следующим фактом. В 70-е годы была предпринята попытка умень-
шить число однотипных упражнений при изучении многих тем. Это
совместно с другими обстоятельствами привело к ухудшению вычис-
лительных навыков и навыков тождественных преобразований.
Педагогический опыт свидетельствует еще об одном удивитель-
ном противоречии. В учебниках алгебры мы в каждом разделе встре-
чаемся с большим числом однотипных упражнений. Для всех оче-
видно, что учащимся явно недостаточно выполнить одно-два упраж-
нения типа х2 — у2\ т2 — п2, чтобы усвоить формулу разности квад-
ратов двух чисел. В учебниках и на уроках таких упражнений дают
десятки. Все они отличаются друг от друга разве только буквами.
148
В то же время на уроках геометрии дают нередко всего одну-две
задачи какого-нибудь типа. Этого явно недостаточно для усвоения
способа решения этих задач (особенно слабыми учениками), что и
выявляется обычно на контрольных работах. Эта тенденция, воз-
можно, сложилась в связи с тем, что задачи по готовым чертежам
стали решать сравнительно недавно. А без таких задач на уроках
геометрии было довольно трудно осуществлять принцип однотипно-
сти упражнений. (Реализацию этого принципа, используемого совме-
стно с другими принципами, могут иллюстрировать упражнения, дан-
ные по рисункам 13, 14, 71—73, 76—82 и др.)
Итак, и теория и практика приводят к выводу о наличии некото-
рого противоречия. С одной стороны, однотипность при обучении
математике необходима, с другой — она приводит к снижению инте-
реса, внимания, к ошибкам, ослабляет активность мыслительной
деятельности. Для формирования у всех учащихся прочных навыков
необходимо непременно сохранить однотипность системы упражне-
ний, а для нейтрализации ее отрицательных последствий одновре-
менно использовать и другие принципы.
Упражнения. Эксперименты
1.	Чем объяснить противоречия: необходимость и отрицатель-
ные последствия однотипности упражнений?
2.	Об однотипности упражнения на уроке геометрии может идти
речь только в том случае, если успевают решить достаточно большое
число задач. Возможно ли этого добиться при сочетании устного и
письменного решения задач по готовым чертежам? Прикиньте, а за-
тем проверьте на уроке, сколько времени займет выполнение шести-
семи упражнений, например, по рисунку 71.
3.	Проведите эксперимент. В 4 — 5-минутную контрольную ра-
боту включите шесть-семь упражнений на одно и то же действие,
например на умножение дробей. Пятое упражнение в этой системе
пусть будет на другое, но сходное действие, например на деление дро-
бей. Допустят ли учащиеся ошибку? Ответ объясните, опираясь на
закономерности. Проверьте, сколько таких ошибок будет в Вашем
классе.
4.	Проведите по одному кратковременному занятию отдельно с
группой сильных и группой слабых учащихся. Предложите им вы-
полнять однотипные упражнения. Почему внимание сильных уча-
щихся в такой ситуации должно ослабевать, а слабых — усиливать-
ся? Проверьте, подтверждается ли Ваш прогноз.
§ 31. ПРИНЦИП НЕПРЕРЫВНОГО ПОВТОРЕНИЯ
Сущность принципа непрерывного повторения. В однотипную
систему упражнений по новой теме с первого момента ее изучения
включаются задачи из предшествующих разделов. Цель их включе-
ния — руководствуясь закономерностями 1.9; 1.4; III.6, усилить вни-
149
мание и активность мыслительной деятельности учащихся, устр
няя тем самым отрицательное влияние однотипности упражнени
Одновременно осуществляется систематическое, непрерывное повто
рение изученного материала. Обозначим структуру такой системь
в виде следующей схемы:
Tlf Т2, Тз, Mlt (М2?), Т4, Тъ, М3, Те, Т7, Тз, Кх, Тд, ...,	(1
где Ti, Т2, Тз, ... — задачи одного типа по новой теме; Mt, М2, ..., Кх
К2, ...— задачи других типов из пройденных тем.
В схеме (1) существенно то, что упражнения одного типа труп-.
пируются подряд по два-три, изредка — по четыре. Целесообраз-;?
ность именно такой группировки следует из закономерности 1.9. Если-
выполняются все ее условия при решении первых задач системы (1),
то учащиеся решают задачи Т2 и Тз без обоснования. Если одновре-
менно при этом выполняются и условия закономерности Шеварева,
то у учащихся начинает формироваться ошибочная ассоциация.»
Чтобы выявить ее, мы подбираем задачу АД, внешне сходную с Тз.
Учащиеся не замечают их отличий и ошибаются, решая задачу Мх
тем же способом, что и Т3.
Ошибка анализируется, и уверенность учащихся в безошибоч-
ности своих действий уменьшается, т. е. нарушается одно из усло-
вий закономерности 1.9. Поэтому учащиеся в большей мере начина-
ют вдумываться в решения следующих задач.
Если ошибка не допускается, то все равно активность мысли-
тельной деятельности учащихся возрастает, так как в системе (1), в
сравнении с однотипной, нарушается ряд условий закономер-
ности 1.9.
Если способ решения задачи Л11 некоторые учащиеся забыли, то
для восстановления навыков учитель сразу предлагает задачу М2.
В противном случае эта задача опускается, так как главная цель
урока — изучение новой темы. Поэтому в схеме (1) рядом с М2
стоит знак «?».
Однотипная система упражнений приводит к однообразным опе-
рациям, что в соответствии с закономерностью III.6 ослабляет вни-
мание. Система (1), наоборот, способствует усилению внимания.
Это было показано в § 5 на конкретном примере устного решения
задач по рисункам 13 и 14.
Рассмотрим пример использования данного принципа на уроке
алгебры. Допустим, изучается тема «Умножение одночленов». В
систему однотипных упражнений по этой теме «вклиниваем» упраж-
нения из пройденных тем, например:
1)	7-(-с);	5)	— 2-( —и);	9)	65-(-65);	13)	-4с7--|-с7;
2)	х-( —5);	6)	— а2-(—а);	10)	хт-(-х");	14)	8d3 + (-9d3).
3)	— а-0,3;	7)	х3-( —х);	11)	уп-( — у3);
4)	_ 6-f-0,9;	8)	п4-( —и3);	12)	— 2а3-4а5;
150
Здесь упражнения 1—3 одного типа. В них повторяется одна
и та же особенность (знак умножения), которую ученик может
не осознавать, если действует только по аналогии. В результате по
закономерности Шеварева осознание этой особенности снижается
и многие ученики допускают ошибку в упражнении 4:
-6 + 0,9= -0,9b.
Ошибка замечается другими учащимися. Усиливается интерес.
Ослабляется излишняя самоуверенность учащихся в безошибочности
своих действий. В результате последующие упражнения учащиеся
выполняют более внимательно и вдумчиво (1.9). Но через некоторое
время внимание опять ослабляется из-за однообразия упражнений
5—8, и некоторые учащиеся в соответствии с закономерностями
Шеварева и III.6 вновь допускают ошибку в упражнении 9:
65-(-65)==_610.
После этого интерес, внимание и активность мыслительной дея--
тельности учащихся еще более усиливаются. Поэтому в упражне-
нии 14 ошибку допускает значительно меньшее число учащихся,
а иногда — никто. Но если ее все же допускают отдельные учащиеся,
то последующие упражнения выполняются всеми особенно сосредо-
точенно.
Еще раз подчеркнем, из каких соображений составляется сис-
тема упражнений по схеме (1). Задачи нового типа группируются
именно по две-три, изредка — по четыре не случайно. Нам необхо-
димо решать задачи одного типа (см. § 30). Но в соответствии с
закономерностью 1.9 учащиеся прекращают обосновывать решение
второй, а тем более третьей задачи данного типа. Поэтому,
вообще говоря, исходя только из этой закономерности, нам надо
было бы в каждую группу включать не более, чем по две за-
дачи одного типа. Однако при этом приходится учитывать, что
в классе всегда есть такие ученики, которые схватывают идею реше-
ния задач нового типа медленнее других. Первую задачу они только
слушают, вторую — начинают понимать, третью — пытаются решить
самостоятельно. И, если получается, приобретают уверенность. А без
уверенности в своих силах ослабляется внимание (III.6). Учитывая
потребности этих учащихся, мы и увеличиваем число задач одного
типа в каждой группе до трех-четырех. При этом мы заведомо
идем на то, что последние задачи данного типа в каждой группе
более сильные учащиеся могут решать без обоснования. Идем на
это ради тех, кто новую тему схватывает медленнее других. Но,
конечно, нам надо позаботиться и о том, чтобы исключить ослабле-
ние внимания и активности мыслительной деятельности у более силь-
ных учащихся. Соответствующие способы рассмотрим ниже.
Условия применимости принципа непрерывного повторения.
1.	Последовательность упражнений в системе (1) определяется не
столько материалом учебника, сколько учителем. Только он может,
151
учитывая уровень знаний своих учащихся, при подготовке к уроку
или по ходу урока изменять число задач одного типа, следующих'
друг за другом.
2.	Основная цель урока — изучение новой темы. Поэтому боль-
шинство задач в системе (1) должно быть по новой теме.
3.	Учитывая закономерности Шеварева и 1.9, из пройденных тем
желательно подбирать такие упражнения, которые по отдельным
внешним признакам сходны с упражнениями новой темы.	/(
4.	Когда решаются «комбинированные» задачи, насыщенные раз-
нообразным материалом из предшествующих разделов, принцип,
непрерывного повторения осуществляется сам собой. Однако когда
удается решать подряд много «комбинированных» задач, то необ-
ходимость чередования задач различных типов возрастает.
5.	При использовании принципа непрерывного повторения общее
число упражнений того или иного типа фактически не уменьшается
по сравнению с однотипной системой. Только упражнения этого типа
рассредоточиваются на более длительное время (1.7).
Упражнения. Эксперименты
1. Сопоставим два рассмотренных принципа. Не противоречат
ли Вашему опыту следующие рассуждения?
Однотипная система упражнений приводит часто к возникновению
ошибочных ассоциаций. Их ошибочность выявляется не сразу при
изучении данной темы, а значительное время спустя. Возникает как
бы иллюзия хорошего усвоения темы.
Система упражнений, составленная по принципу непрерывного
повторения, тоже приводит к ошибкам. Эти ошибки допускаются
в момент изучения темы. Они сразу анализируются. Учащиеся ста-
новятся более внимательными. Число ошибок быстро уменьшается, и
в итоговых контрольных работах они почти не наблюдаются.
Справедлив ли в таком случае следующий парадоксальный вы-
вод? Ошибки, допускаемые спустя длительное время после изучения
данной темы, свидетельствуют о ее плохом усвоении. Ошибки, до-
пускаемые в момент изучения темы, не только не страшны, а, наобо-
рот, полезны. Они побуждают учащихся к более вдумчивому,
внимательному, осторожному решению задач.
Какие из ранее рассмотренных примеров подтверждают этот
вывод?
2. Проведите эксперимент совместно со своим коллегой или с уча-
щимся старшего класса. Эксперимент проводится в виде индиви-
дуальных занятий с двумя учащимися V—VIII классов примерно
одинакового уровня знаний. Объясните им новую тему, которая
еще не изучалась на уроке. Объясняет один учитель обоим учени-
кам, затем каждый занимается со своим. Учащимся предлагаются
упражнения, условия которых выписаны в двух отдельных тетрадях.
Им остается только решать и записывать ответы.
В одной тетради упражнения располагаются по принципу не-
152
прерывного повторения. За образец можно взять систему упражне-
ний, приведенную в данном параграфе. В другой тетради все уп-
ражнения располагаются по однотипной системе.
Сопоставьте наблюдения свои и Вашего коллеги. Кто из учащихся
чаще ошибался? Кто из них был внимательней и успевал выполнить
больше упражнений? Через один-два дня проведите контрольную ра-
боту, составленную по принципу непрерывного повторения и одинако-
вую для обоих учащихся. Сопоставьте результаты.
§ 32. КОНТРПРИМЕРЫ — «ПРОВОЦИРУЮЩИЕ»
УПРАЖНЕНИЯ
Под контрпримером будем понимать любую задачу, которая
провоцирует учащихся на ошибку, помогая выявить и устранить име-
ющиеся у них ошибочные ассоциации. Такое понимание контрпри-
мера несколько шире общепринятого, но оно удобно в дидакти-
ческом плане.
Пример 1. При введении по-
нятия смежных углов полезно рас-	/	/ &
смотреть рисунок 89, а — пример	/	/ в --------
смежных углов и рисунок 89, б —	/	Л-----
контрпример.	aj	ф
Если же ученик всегда строил
и наблюдал смежные углы в од-	Рис 89
ном и том же положении, напри-
мер, как на рисунке 89, а, то у него формируется ошибочная ассо-
циация. Он не узнает смежных углов, расположенных в непривыч-
ном для него положении. На вопрос: «Являются ли углы АВС и СВК
смежными (рис. 89, в)?» — такой ученик отвечает: «Нет». Этот
вопрос в дидактическом плане является контрпримером, так как
позволяет выявить заблуждение учащихся.
Контрпримеры, изредка включаемые в систему упражнений, по-
могают усиливать интерес учащихся, их внимание, активизировать
мыслительную деятельность.
Пример 2. При закреплении признаков подобия треугольников
даем сначала три задачи одного типа «Указать подобные тре-
угольники (рис. 90). Данные обозначены на чертежах». Поскольку
все эти задачи решаются с применением одной и той же теоремы, то
по закономерностям 1.9 и Ш.6 у хорошо успевающих учащихся может
снизиться и активность мыслительной деятельности, и внимание. За-
ведомо идем на это, так как в классе есть такие учащиеся, ко-
торые смогут дать достаточно аргументированное объяснение только
при решении третьей задачи и лишь после того, как прослушают
образцы решения предыдущих. Значит, их внимание к третьей задаче
будет уже достаточно устойчивым, потому что она стала им по-
сильной, возникла уверенность и т. д. (III.3; Ш.5). А для тех
учащихся, внимание которых снизится, подготавливаем «сюрприз».
Четвертым упражнением даем контрпример: «Треугольники АВС и
153
КВМ с общим углом В подобны (рис. 91). Параллельны ли стороны
АС и КМ?»
С помощью этого контрпримера удается выявить заблуждение,
общее почти для всех учащихся. Они утверждают, что ЛСЦКМ, ссы-
лаясь на теорему, которую многие учителя сообщают учащимся;
«Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него тре-
угольник, подобный данному»,— тогда как здесь надо было бы опи-
раться на обратную теорему. Но последняя неверна. Ошибка учащих-
ся анализируется с помощью заранее подготовленных чертежей: вы-
являют, что АС и КМ могут не быть параллельными (рис. 92).
Анализ ошибки позволяет усилить активность мыслительной дея-
тельности и внимание (теперь уже всех учащихся) к решению после-
дующих задач. Активность мыслительной деятельности возрастает,
так как нарушается одно из условий закономерности 1.9 — устраня-
ется излишняя самоуверенность учащихся в безошибочности своих
действий. Внимание усиливается благодаря соблюдению целого ряда
условий: неожиданности появления контрпримера, его отно-
сительной новизне и контрасту в сравнении с предыду-
щими упражнениями, положительным эмоциям, по-
сильности заданий, усилению активности мыслительной дея-
тельности, углублению понимания и т. д. (III.2—III.5).
Следовательно, в создавшейся ситуации можно опять дать груп-
пу из трех-четырех задач одного типа на применение уже
другого признака подобия: «Указать подобные треугольники
(рис. 93). Данные обозначены на чертежах».
Теперь уже при решении последней группы однотипных задач
внимание сильных учащихся ослабляется менее интенсивно, так как
они ожидают еще один контрпример, а ожидание усиливает вни-
мание (III.2). Последнюю группу задач действительно завершаем
контрпримером (рис. 93, г). И когда он появляется, в классе возни-
кает оживление и резко усиливается интерес. Те учащиеся, которые
Рис. 93
154
догадываются, что на последнем ри-
сунке дан контрпример, ждут, как
отреагируют на него другие. В классе	\ j
находятся и такие учащиеся, кото-	\ /у \
рые то поднимают, то опускают руки:	2
они еще полностью не осмыслили	4
задачу и думают с напряженным
вниманием. Учителю в этой ситуации	Рис- 94
лучше вызвать того ученика, который
может допустить ошибку. Как только произносится ошибочный
ответ: «Треугольники подобны»,— число догадавшихся возрастает.
Каждый спешит объяснить сущность допущенной ошибки. Для
этого лучше всего заранее подготовить чертеж (рис. 94), по которо-
му легко можно продемонстрировать, что по данным задачи на
рисунке 93, г треугольники могут быть и подобны и не подобны.
С помощью контрпримера учитель преднамеренно провоцирует
учащихся на ошибку. И если учащиеся недостаточно внимательны,
не вникают в смысл произносимых объяснений или у них имеется
ошибочная ассоциация, то в классе обязательно кто-либо допус-
тит ошибку. При этом возможны две ситуации:
1) Часть учащихся заметила ошибку. Тогда каждый спешит
сообщить о своей догадке.
2) Никто не заметил ошибку, реплика учителя: «Ошибка!» —
воспринимается как неожиданность, и тогда объяснение учителя все
слушают с особым вниманием.
В обеих ситуациях последующие задачи решают еще более со-
средоточенно (1.9).
Если контрпримеры включаются в систему упражнений достаточ-
но часто, то в ожидании их (III.2) учащиеся стараются все
время поддерживать свое внимание в напряжении. Постепенно
напряженное внимание перерастает в привычку. Тем самым мы вос-
питываем внимательность.
Где учителю брать контрпримеры? Как накапливать их? Боль-
ше всего в этом помогает практическая работа. Учитель фиксиру-
ет любую ошибку. Один ученик ошибся — могут ошибиться и другие.
И мы составляем на основе таких ошибок соответствующий контр-
пример. На следующем уроке дадим его, и если ошибка повторя-
ется, то на последующих уроках полезно дать еще серию контрпри-
меров.
Рассмотрим ряд ситуаций, раскрывающих методику составления
и применения контрпримеров.
Пример 3. Предлагая упростить выражение
А =
COS X
COS X
.	/1 — COS X	„ ,	_
+-Л/-Г-;-------» если 0<х<л,
V 1 + cos х
убеждаемся, что не все учащиеся понимают, зачем здесь даются
ограничения для переменной. Одни записывают решение верно:
155
Л1 4-cos х4-1 — cos х	2
=------—i-------=~—. так как sinx>0 при 0<х<л.
Ism х|	sin х	г
Другие забывают поставить знак модуля, не учитывают ограниче-
ния для переменной, но ответ получают верный. И некоторых
учащихся бывает даже трудно убедить в ошибке. Видоизменяем
тогда условие задачи так, чтобы при неверном решении ученик обяза-
тельно допустил ошибку, т. е. получаем контрпример:
«Упростить выражение
1 4-COS X
1 —COS X
। _ / 1 —cos X
+-V -r~i-----> если л <х < 2л».
V 1+cosx
Пример 4. BV классе изучается прямоугольный параллеле-
пипед. Вызываемые учащиеся показывают на модели ребра, грани,
вершины и все время допускают ошибки. Почти никто в классе от-
веты не слушает. Как поступать учителю в подобных ситуациях?
Работу можно организовать в виде игры. Учащимся предлагает-
ся заметить ошибки ведущего, в роли которого выступает учитель.
Он 4—5 раз повторяет слово «грань» и показывает грань на модели,
а в последний раз показывает на ребро. Всего один учащийся за-
метил ошибку. Его похвалили. Учитель повторяет этот прием.
Теперь многие учащиеся настораживаются. Когда прием повторяется
в третий раз, и учитель произносит слово «вершина», а показывает <
на грань, все поднимают руки. Каждый старается первым сооб-
щить о замеченной ошибке. Равнодушных и невнимательных на
уроке уже нет. Учитель (в соответствии с закономерностью Шева-
рева) старается усыпить бдительность учащихся. Для этого он не-
сколько раз подряд дает правильный ответ, а затем допускает
ошибку. Каждый учащийся в такой ситуации стремится быть вни-
мательным и первым заметить ошибку.
Как видим, контрпримеры позволяют на изучаемом математи-
ческом материале создавать на уроках игровые ситуации.
Пример 5. Сравним упражнения: «Найти область определения
функции:
, д/^х — 4 — х2
logs (х —3,5) ’
д/5х —4 — г
У~~ log3 (х —2)
При выполнении упражнения а) учащиеся «забывают» учитывать,
что при х=4,5 знаменатель обращается в нуль. Несмотря на это,
они получают верный результат: 3,5<х^4. Сверяясь с ответом,
учащиеся не обнаруживают свою ошибку, так как значение х = 4,5 на-
ходится вне найденного ими интервала (рис. 95).
1	3,5 4 4,5 х
Рис. 95
7	2	3	4 X
Рис. 96
156
Изменяем упражнение так, чтобы значение х, при котором зна-
менатель обращается в нуль, «разрезало» интервал, найденный уча-
щимися. Получаем, таким образом, упражнение б), являющееся
контрпримером (рис. 96). Если учащиеся забудут учесть, что х=£ 3, то
получат неверный результат: 2<х^4. Сверяясь с ответом, ученик
теперь сам обнаружит ошибку.
Следовательно, подобными контрпримерами мы не только побуж-
даем к особой сосредоточенности при решении задач, но и воспиты-
ваем, приучаем к самоконтролю, к ответственности за полученный
результат.
Пример 6. Решая уравнение sinx=0,7 ученик записал:
«х=(—1)" arcsin 0,7-|-лп». Для того чтобы проверить, понимает ли
-J5 г-
он решение, даем контрпример sin х=-%-. Если ученик не вникает
л/б
в условие, то допустит ошибку: х=(— I)" arcsin —|-лп.
Пример 7. На уроке почленно перемножают неравенства. Учи-
тель замечает, что некоторые учащиеся воспринимают объяснения
формально. Чтобы проверить понимание и привлечь к пунктуальной
проверке всех условий теоремы, учитель дает контрпример. Кто не
вдумывается в решение, допускает ошибку:
3<с<14
Л ~2<fe< ~ 1
— 6<afe< —14.
Ошибка и ее анализ оживляют работу. Все ждут следующего
контрпримера. Внимание усиливается.
В тех классах, где контрпримеры начинают использовать сис-
тематически, они воспринимаются учащимися как своеобразная иг-
ра, в которой побеждают более внимательные и сообразительные.
И именно это вызывает у учащихся исключительный интерес и повы-
шенное внимание. И если один учащийся ошибся при решении контр-
примера, а хотя бы несколько человек понимают сущность ошибки,
то в классе наступает особый накал: живо поднимаются руки, каж-
дый спешит сообщить о своей догадке, внимание заостряется.
Систематическое использование контрпримеров помогает все вре-
мя поддерживать внимание учащихся в напряжении.
Все ошибки сразу анализируются. Поэтому контрпримеры выпол-
няются, как правило, под наблюдением учителя. Их нежелательно
включать в домашнее задание. При таком подходе в памяти уча-
щихся фиксируется не ошибка, а ее анализ.
Выводы. Основные особенности методики применения контр-
примеров относятся к организации любой работы (с детьми или
взрослыми). Всякая работа, выполняемая человеком, становится по-
степенно привычной. Тогда в соответствии с психологическими за-
кономерностями «усыпляются» бдительность и осторожностн? ослаб-
ляется внимание. Отсюда бесполезны всякие призывы: «Будьте вни-
мательны, осторожны, пунктуальны!» Не надо призывов! Достаточно
157
поставить человека в такие условия, чтобы любой его неосторо;
ный, недостаточно продуманный шаг, невнимательность и беспе
ность неминуемо приводили бы к ошибке. Причем эта ошибка додж
быть заметной, бросающейся в глаза, моментально обнаруживаем!
и... обязательно наказуемой! Только в этом случае человек моб
лизует все свои внутренние резервы и стремится быть в дальнейпц
максимально сосредоточенным и пунктуальным.
Если же ошибки, пусть даже незначительные, затушевываютс
и остаются скрытыми, своевременно не обнаруженными, то создаете
только видимость успеха. Все эти мелкие, временно скрытые пре
махи перерастают в дальнейшем в явный брак, перечеркиваю-
всю работу.
Применительно к обучению математике данный метод сводится
к следующему. Выявляем и преднамеренно провоцируем учащихся на;
ошибки. Не подумал, расслабился, невнимателен — сразу ошибся/!
А наказуемость на уроках математики — это смех и оживление клас-
са. Смех лучше всяких призывов излечивает от невнимательности!
при решении задачи.
Упражнения. Эксперименты
1.	Укажите ошибки, допущенные учеником при решении нера-
венства
0,5log03X>2,
0,5|ОЕ"зХ>(0,5)-‘,
10go.3X> — I,
1	1 Ю
IOgo,3X>logo,3—,
о
Несмотря на эти ошибки, ответ ученик получил верный. Составьте
контрпримеры, т. е. аналогичные неравенства, при ошибочном
решении которых учащийся не получит верный результат.
2.	В предшествующих параграфах приведено большое число
контрпримеров. Они включались, например, в упражнения, данные
по рисункам 1, 3, 6—8, 13, 14, 71—81 и др. Выделите эти контрпри-
меры. Укажите, как они составляются, из каких соображений
включаются в ту или иную систему упражнений.
3.	Проверьте на уроках рекомендации, высказанные относитель-
но методики использования контрпримеров. Проверите наблюдения
за учащимися при работе с контрпримерами.
4.	Решая систему неравенств
х2-2х- 15<0,
х2 < 64,
158
некоторые учащиеся допускают ошибку: (х2<64) => (х<8). Несмотря
на это, они получают верный ответ и потому ошибку не замечают,
считают ее несущественной. Составьте контрпример, т. е. видоизмени-
те данную систему так, чтобы указанная ошибка обязательно при-
вела бы к неверному результату. (Указание. Коэффициенты
легче всего подбирать с помощью числовой прямой (рис. 95, 96).)
§ 33. ПРИНЦИП СРАВНЕНИЯ
Под принципом сравнения понимают чередование упражнений на
прямые и обратные операции, чередование любых других задач, ког-
да хотят подчеркнуть их взаимосвязь, сходства и различия. Этот
принцип желательно использовать в тех случаях, когда среди упраж-
нений встречаются такие, которые учащиеся различают с трудом,
путают, смешивают их.
Пример. Учащиеся часто путают задачи на нахождение дроби
данного числа (I тип) и числа по данной величине его дроби (II тип).
Задачи I типа решаются в теме «Умножение дробей». Учащиеся
довольно быстро усваивают способ решения. Однако при этом у них
формируется ошибочная обобщенная ассоциация. Она ошибочна, так
как в ее состав не входят компоненты, позволяющие учащимся
быстро отличать задачи I типа от задач II типа. Внешне эти задачи
сходны друг с другом. Поэтому при решении в дальнейшем задач
II типа (например, найти число, ~ которого составляют 20) про-
О
является та же самая ошибочная ассоциация. В результате ученик,
не успев полностью осознать условие задачи, быстро произносит:
4
«Надо число 20 умножить на — ». При этом ученик не может сам се-
бя проконтролировать, так как проявление ассоциации сопровожда-
ется чувством уверенности и вероятность самоконтроля снижается
(1.3) . («Зачем проверять, когда и так ясно, что надо число умножить
на дробь!»)
Следовательно, путаница предопределена, если с самого начала
решались задачи только I типа. Так как при их решении выполня-
ются все условия закономерностей Шеварева и 1.9, то учащиеся не
вдумывались в условия, осознавали их лишь частично. Но ответ
получался всегда верный. Создавалась лишь видимость успеха.
Задачи II типа решают в теме «Деление дробей». Здесь и далее
задачи обоих типов начинают чередовать. Но теперь чередование по-
могает мало. Опоздали!
Как только предлагается задача I или II типа, ученик, не вду-
мываясь в условие, произносит: «Надо умножить дробь на число».
Если угадал — ошибочная ассоциация, проявившаяся при решении
данной задачи, еще более укрепляется. Если не угадал, моментально
произносит: «Разделить!» Моментально, так как думать и вникать в
условие задачи необязательно. Ведь в данной ситуации возможны
159
только два способа решения: «Не угадали один способ — значит п
меняем другой».
Какой можно наметить выход из создавшейся ситуации? Оп
дали с чередованием — значит придется переучивать. Это трудно,
иного выхода нет. Все время чередуем задачи I и II типа, до
ваемся каждый раз отчетливого и полного объяснения. Говор
«Надо разделить число на дробь» — требуем объяснить поче,
заставляем указывать, исходя из какой особенности условия сдел
этот вывод. Предлагаем сделать соответствующий схематическ
рисунок и по нему объяснить, почему выбран данный способ
Р
шения. Ни в коем случае не довольствуемся ответом без объясн
ний, даже если ответ верен.
Как избежать переучивания? Для этого лучше всего решать з;
дачи I и II типа вперемешку с самого начала. Но их введени
связано с разными темами. Поэтому поступаем следующи:
образом.
При изучении темы «Умножение дробей» совсем не решаем за-
дачи I типа. Если правило умножения дробей вводится с помощью
задачи на нахождение дроби числа, то ограничиваемся разбором
только одной-двух таких задач.
Когда переходим к делению дробей, вводим одновременно за-;
дачи I и II типов. Выявляем их сходства и различия. Далее эти'
задачи все время чередуем. При этом учащиеся вынуждены тщатель-
но вдумываться в условие каждой задачи. Прежде чем решить, уче-
нику приходится выбрать способ решения. Но полной уверенности
у него еще нет, так как нет еще соответствующих ассоциаций.
Поэтому для выбора приходится отчетливо осознавать условие зада-
чи, указывать, чем она отличается от сходной, быть может, и сфор-
мулировать соответствующую сходную задачу и т. д.
При такой методике у учащихся формируются одновременно две
обобщенные ассоциации. Каждая соответствует своему типу задачи.
В каждой из этих ассоциаций имеются компоненты, которые побуж-
дают ученика прежде всего выявить различия между задачами. Про-
цесс формирования этих ассоциаций происходит медленно, так как
учащимся приходится все время осуществлять выбор, думать и при-
слушиваться к объяснениям, что нам и надо.
В зависимости от содержания изучаемого материала, цели урока
и других соображений учитель может выбирать любой из трех
принципов: непрерывного повторения, сравнения, включения в систе-
му упражнений контрпримеров. Каждый из этих принципов в соче-
тании с однотипной системой позволяет ослабить ее недостатки и
сохранить положительное влияние.
Принцип сравнения удобно использовать при одновременном изу-
чении некоторых тем: сложение и вычитание дробей, умножение
положительных и отрицательных чисел и т. д. Во многих других
случаях невозможно осуществить одновременное изучение прямых
и обратных операций, да и не к чему: у нас есТь другие принципы.
160
Упражнения. Эксперименты
1.	Проверьте в своем классе методические рекомендации, данные
для устранения путаницы при решении задач на нахождение дро-
би данного числа и числа по данной величине его дроби. Сопос-
тавьте результаты проверки с Вашими прошлыми наблюдениями при
работе по другой методике.
2.	При решении показательных неравенств учащиеся допускают
ошибку:	>4”)	(х> !) Объясните, почему в данном случае
своевременное применение принципа сравнения путем непрерывного
/ 1 \Л 1
чередования неравенств вида 3*>3 и ( —\ > — помогает устра-
нять такие ошибки.
3.	Принцип сравнения реализуется, когда мы при изучении те-
оремы чередуем упражнения на применение этой теоремы и ей обрат-
ной. Можно ли утверждать, что в упражнениях, данных по рисун-
кам 90—92, используется принцип сравнения?
4.	С помощью каких принципов можно устранять отрицатель-
ные последствия однотипности упражнений? Почему нет смысла ут-
верждать, что один из этих принципов важнее других?
§ 34. ПРИНЦИП ПОЛНОТЫ И ДРУГИЕ ПРИНЦИПЫ
Система упражнений удовлетворяет принципу полноты, если она
обеспечивает хорошее усвоение изучаемой темы и позволяет исклю-
чать возможность формирования ошибочных ассоциаций.
Выбирая из учебника задачи к изучаемой теме, учителю посто-
янно приходится следить за тем, чтобы при таком отборе не нару-
шался принцип полноты. Очевидно, если мы не дадим учащимся за-
дачи какого-то типа, то они не научатся их решать. Случаи нару-
шения принципа полноты могут проявляться и в более скрытой форме.
Пример 1.В§3 описывался случай, когда учащиеся не реши-
ли задачу из-за того, что не смогли построить угол между диаго-
налью боковой грани и другой боковой гранью правильной тре-
угольной призмы (см. рис. 6). Причина этого — нарушение принципа
полноты системы упражнений. В ней имелись задачи, при решении ко-
торых приходилось строить углы, когда прямая располагалась «свер-
ху» от плоскости (см. рис. 5), и не встречались случаи, когда пря-
мая располагалась бы «слева или справа» от плоскости (рис. 6).
(Примеры соответствующих упражнений см. в § 19.)
С подобными ситуациями мы сталкиваемся и в других случаях.
Привыкая к какому-то одному расположению фигур, учащиеся не уз-
нают их в несколько непривычном положении. Не узнают, допустим,
смежных углов на рисунке 89, в. Следовательно, при решении задач
желательно все время видоизменять форму, расположение и обозна-
чения фигур. Аналогично, записывая алгебраические выражения, же-
лательно использовать различные буквы, например, прописные.
6 Заказ 596
161
Пример 2. Учащиеся изучили тему «Разложение многочлена
на множители с помощью формулы квадрата двучлена». Контроль-,
ную работу по этой теме класс написал неплохо, но в дальнейшем
в этом классе стали допускать ошибки вида
4a2-6ab + 9fe2=(2a-3t)2.	(1)
Особенно часто такие ошибки встречались при сокращении дро-
бей, когда начали изучать следующую тему «Алгебраические
дроби». Причина ошибок — нарушение принципа полноты в системе
тренировочных упражнений. В ней отсутствовали соответствующие
контрпримеры. Включая их, предлагаем учащимся разложить на
множители:
1)	а2 + 6а-}-9;	4)	а2 — 2а+4;	7)	_Lzn2_|_2mn + 4n2;
2)	b2-4ab + 16;	5)	х2+2х-М;	8)	9p2_pq + » q2.
3)	d2 + c2-2cd;	b)	±b2-±b+l-,	щ	i_3x + 9x2Gf
Если ученик осознает только лишь наличие квадратов двух
чисел и не проверяет, является ли третий член их удвоенным про-
изведением, то он верно выполнит первые три упражнения, но до-
пустит ошибку вида (1) в упражнении 4. После ее анализа учащиеся,
и притом без напоминания учителя, начинают проверять, является ли
третий член трехчлена удвоенным произведением.
Через некоторое время опять наступает самоуспокоение. Неко-
торые ученики перестают проверять свои выводы. Тогда они опять
допускают ошибку в упражнении 9 (контрпримере). После этого
стараются работать еще внимательнее. Такое усиленное внимание
поддерживаем, включая в последующие упражнения еще один-два
контрпримера. В результате в дальнейшем учащиеся допускают мень-
ше ошибок вида (1).
Следовательно, предложенная система упражнений удовлетворя-
ет принципу полноты. Если же из нее исключить контрпримеры,
то учащиеся в момент изучения самой темы не будут допускать
ошибок вида (1), а в дальнейшем таких ошибок будет много.
Пример 3. Раньше (примерно до 60—70-х годов) решения
многих задач по геометрии с тригонометрией завершали вычислением
искомой величины с помощью таблиц логарифмов. На экзаменах
учащиеся показывали умения решать задачи, обосновывать решение,
доводить его до числового результата. Значит, можно сказать, что
система тренировочных задач удовлетворяла принципу полноты.
Позже стереометрические задачи на вычисление стали решать
главным образом в общем виде. Получался парадокс. Ученик мог
получить, например, формулу для нахождения объема пирамиды в
общем виде, но не умел вычислить этот объем по найденной фор-
муле. Значит, система упражнений перестала удовлетворять принци-
пу полноты.
Этот недостаток мы можем теперь устранить, используя микро-
калькуляторы.
.162
Допустим, ученик решил задачу: «Основание пирамиды — равно-
бедренный треугольник с боковой стороной а и углом при вер-
шине 2q>. Каждое боковое ребро пирамиды также равно а. Найти
объем ее, вычислить его при а= 12,06 м, <р=21°» — и получил
формулу
V=-^-a3-sin	cos2 ф—
Подставив числовые значения
V=(12,Об)3 • sin 21 ° • д/cos2 21° — 0,25,
учащиеся обсуждают и записывают последовательность операций.
Применительно, например, к МК-56, последовательность операций
в вычислительном режиме выглядит так:
21°
Х->П. 2
F. cos
F. х2
0,25
F. V~
П->Х. 2
F. sin
X
х->П. 3
3
B.t
12,06
F. x*
3
ri->x. з
x
Затем учащиеся вычисляют: V= 165,2 см3.
Следовательно, использование микрокалькуляторов позволяет
при решении стереометрических задач на вычисление добиваться
того, чтобы не нарушался принцип полноты.
Подбирая систему упражнений к уроку, учителю приходится
следить также за соблюдением и других дидактических принципов:
сознательности, доступности, активности и др. Упражнения должны
быть доступными, выполняться с полным пониманием, располагаться
с постепенным нарастанием трудности. Все это общеизвестно и
широко освещено в методической литературе. Поэтому остановимся
бегло лишь на нескольких ситуациях.
Пример 4. В VII классе решаем задачи на доказательство по
готовым чертежам, например, следующие:
«По данным, обозначенным на чертежах (рис. 97), доказать:
a) Z_A=Z_C\ б) АК—ВС\ в) ЛМ=ЛЕ\ г) НА = НЕ».
Хотелось бы дать контрольную работу с включением подобных
задач. Но еще не все учащиеся могут записывать их решения само-
стоятельно. В такой ситуации включать подобные задачи в конт-
Рис. 97
6*
163
В К	рольную работу недопустимо! Нельзя пред-
А лагать заведомо недоступное задание (прин-
цип доступности)! Как быть? Можно посту-
пить следующим образом.
Решаем указанные задачи а) — г) устно
в начале урока. Предупреждаем, что неко-
торые из них будут включены в контрольную
А работу. Чтобы хорошо ее написать, достаточ-
Рис- 98	но внимательно слушать решения, запом-
нить их, а затем записать то, что запомнили.
Для лучшего запоминания решения некоторых из этих задач предла-
гаем повторить. Для повторного решения вызываем более слабых
учеников. Это для них доступно, поэтому работают охотно.
В конце урока даем контрольную работу на 7—8 мин. I вариант
решает, например, задачу в), второй — б). Такая контрольная рабо-
та вполне посильна для любого слабого ученика. Но для сильных
она слишком проста. Поэтому для желающих даем III вариант. В не-
го включаем новую задачу, которую на сегодняшнем уроке не
разбирали, например: «По данным, обозначенным на рисунке 98, най-
ти величину угла А».
Следующие уроки организуем подобным образом. Что это дает?
Во время устных упражнений все стараются быть предельно вни-
мательными, так как знают, что любую из разбираемых задач могут
включить в контрольную работу. Она для всех посильна (принцип
доступности). Каждому предоставляется возможность рискнуть и
попытаться решить более сложную задачу (принцип активности и
индивидуального подхода).
Случается, что слабый ученик за контрольную работу получа-
ет оценку 4 или даже 5, а сильный, взявшись за III вариант, не
успевает его закончить и получает плохую оценку. На следующем
уроке он уже не решается браться за III вариант, а выполняет I
(или II) и получает свою заслуженную оценку «5». Но через пару
уроков он не выдерживает и опять берется за III вариант. Учится
рисковать и рассчитывать свои силы. Воспитательное значение этого
неоспоримо.
Домашние задания также можно давать дифференцированными.
Предлагаем выполнять дома или ряд тренировочных упражнений,
или вместо них — дополнительное задание, содержащее элементы до-
гадки. Догадался ученик — выполняет дополнительное задание. Оно
по объему может быть меньшим основного. Не догадался — выпол-
няет ряд тренировочных упражнений. Такой подход, как указано в
§ 3, позволяет (в соответствии с закономерностью 1.6) давать уча-
щимся тем меньше тренировочных упражнений, чем более они раз-
виты. Например, предлагаем решить одну из следующих задач:
«МА— высота пирамиды МАВСК (рис. 99), АВСК, — прямо-
угольник. а) Построить линейный угол двугранного угла ВС. б) Мо-
жет ли угол КОВ, где точка О лежит на ребре МС, быть линейным
углом двугранного угла AfC?»
164
Г
Задача а) более легкая. Ее решит каждый
ученик, особенно в том случае, если предва-
рительно на уроке строили линейные углы
двугранных углов КС и АВ. При решении
задачи б) ученик должен догадаться вос-
пользоваться методом от противного. Если
КОВ — линейный угол двугранного угла МС,
то KB.LAC, что возможно в случае, когда
основание пирамиды — квадрат. Ученику,
который все это доказал, незачем выполнять
упражнение а).
Следовательно, с помощью подобных заданий мы осуществляем
дидактический принцип индивидуального подхода.
Принципы индивидуального подхода, дифференцированного обу-
чения и другие успешно реализуются, когда на уроках математики
систематически используются упражнения, побуждающие учащихся
к выбору наиболее рационального способа решения. Приведем при-
меры таких упражнений.
1. Вычислить полуустно или с помощью микрокалькулятора:
а)
3<8
2<63 .	, 2 <66
<28	’ <14
При выполнении подобных упражнений полезно проводить со-
ревнования. Подводя их итоги, выявляем, кто вычислял рациональ-
нее, а значит, и быстрее. В классе с большим интересом слушают
объяснения тех учащихся, которые полуустно выполняли упражнения
а, б быстрее, чем остальные на микрокалькуляторах:
2. Выявить наиболее рациональный способ решения и вычислить
полуустно или на микрокалькуляторе:
а)
б)
в)
<63-<14
V8
Здесь опять учащиеся на опыте убеждаются в том, что в уп-
ражнении б вычисления лучше провести с помощью микрокалькуля-
тора, а в упражнениях а, в результат проще и быстрее получается
полуустным вычислением, если предварительно «уловить структуру
чисел»:
<99-<75
<33
/(9-11)-(25-3)
V 11-3
= 3-5.
ГЛАВА VI. ОРГАНИЗАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ
МАТЕМАТИКЕ
§ 35. ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗАДАЧ
В соответствии с закономерностью свертывания рассуждений
(V.2)- желательно, чтобы первые упражнения новой темы учащиеся
выполняли обоснованно, опираясь на изучаемые определения, тео-
ремы. Если учитель этого не добивается, то обосновывать после-
дующие упражнения этой темы учащимся становится все труднее
(см. § 6). Эти соображения учителю желательно учитывать при оцен-
ке эффективности используемых приемов. Рассмотрим некоторые из
приемов.
Комментированное решение задач. Этот прием был разработан
в 60-е годы липецкими учителями. ^Его сущность состоит в сле-
дующем: к доске никто не выходит и при вызове учащиеся не
встают. Весь класс выполняет одно и то же упражнение в одном
и том же темпе. Это достигается таким образом. Учащиеся, сидя
за партой на своем месте, поочередно вслух комментируют, обосно-
вывают выполняемое упражнение. Каждый ученик внимательно слу-
шает объяснения, так как учитель в любой момент может предло-
жить ему продолжить объяснение. Поскольку переход от ответа одно-
го ученика к ответу другого повторяется часто и даже в пределах
решения одной задачи, то учащиеся приучаются не спешить, со-
размерять свои записи при решении с комментариями вы-
званного ученика и привыкают к тому, что в любой момент мо-
гут спокойно продолжить ответ. Такое комментирование решаемой
задачи нацеливает учащихся на то, что главное — это не быстрота
выполнения преобразований, а их обоснований Прием хороший, но,
к сожалению, в настоящее время он редко используется в школах,
о нем мало упоминают в литературе, и многие учителя с ним не-
знакомы.
Комментированному решению задач или самостоятельной работе
должна предшествовать коллективная работа с вызовом учащихся
к доске. Такое мнение, основанное на опыте, высказывают многие
учителя.
Коллективная работа с вызовом учащихся к доске — первона-
чальный и необходимый этап изучения новой темы. Рассмотрим
различные формы организации такой работы.
166
Коллективная работа с дополнительными заданиями для лучших
учеников. Первые упражнения новой темы, как правило, выполня-
ются коллективно. При этом учитель требует, чтобы вызванный уче-
ник, записывая решение на доске, сопровождал его необходимыми
объяснениями. Остальные работают молча и должны прислушивать-
ся к объяснениям. Такая коллективная работа каждому ученику пре-
доставляет возможность одновременно и слышать объяснения, и
видеть решение. В этом ее достоинство. Однако требование
учителя «прислушиваться к объяснениям* иногда не выполняется,
так как многие учащиеся решают задачи быстрее, чем их товарищ,
вызванный к доске. Сверяясь с записями на доске, они проникаются
преждевременной уверенностью в безошибочности своих действий. А
это в соответствии с закономерностью 1.9 приводит их к стремле-
нию обходиться при решении без объяснений, пренебрегать ими.
Создающаяся ситуация усугубляется тем, что учащиеся, вырвав-
шиеся вперед, обращаются с просьбой о дополнительных зада-
ниях. Чтобы они не оставались без дела, учитель вынужден предла-
гать этим учащимся новые задания и даже поощрять отличными
оценками тех из них, которые быстрее других успевают закон-
чить работу. В результате многие учащиеся начинают еще больше
спешить, стараются выполнить упражнений побольше и, конечно, без
обоснования, не прислушиваются к объяснениям.
Предлагая решать задачи «вперед» в самом начале изучения
новой темы, учитель тем самым молчаливо разрешает не выполнять
требование «прислушиваться к объяснениям», т. е. разрешает устра-
няться от коллективной работы, и тогда фактически «разрушается»,
перечеркивается начатая коллективная работа.
Коллективная работа в любой сфере человеческой деятельнос-
ти протекает успешно только тогда, когда, например, с помощью
команд разумно координируются одновременные усилия всех ее
участников, заинтересованных в успехе общего дела.
В условиях коллективной работы класса «команды» (т. е. необ-
ходимые, разумные объяснения) дает один вызванный ученик. Ос-
тальные должны понимать разумность и необходимость этих команд
и выполнять соответствующие действия в одном и том же темпе.
В противном случае коллективная работа не получается, а она на
определенном этапе необходима. Как же организовать ее должным
образом?
Прием образцовых ответов. В соответствии с условиями законо-
мерности 1.9 побуждать учащихся к обоснованию решения задачи
можно двумя путями: видоизменением структуры системы упраж-
нений (см. § 31—33) и организационными приемами. В последних
особую роль играет повышение требовательности к ответу вызванно-
го дченика.
' При решении первой задачи нового типа учитель, как правило,
применяет эвристическую беседу. В процессе ее обсуждается спо-
соб решения.	л
Далее компактным или алгоритмическим методом учитель дает
167
образец ответа на оценку «5». Естественно, его образец ответ
включает в себя целый ряд заранее продуманных особенностей -
методических компонентов (см. § 12). Их роль — облегчить работ
класса.
Весь класс нацеливается на то, что при решении задачи буд<
учитываться не только быстрота и безошибочность решения, но
четкое обоснование решения, которое должно быть доступны
каждому ученику класса, грамотность речи, выбор правильно.
темпа, умение держаться у доски (не заслонять собою
показывать указкой элементы чертежа) и т. д^ Отличная оценка
вызванному ученику ставится за неукоснительное соблюдение всех
этих требований. Поэтому на первые 5—7 упражнений ученики
вызываются только по желанию. Если вызванный ученик допуска-
ет неточности в объяснении или ему приходится напоминать, чтобы
он показывал элементы чертежа, не заслонял собою записи, не
забывал объяснять действия и т. д., то ему оценка снижается. При
этом может случиться, что число желающих отвечать на какое-то вре-
мя уменьшится. И если их совсем не станет, то учитель еще раз
дает образец ответа. И теперь его слушают с еще большим
вниманием.
Такие высокие требования заставляют учеников очень вниматель-
но прислушиваться к ответам товарищей. Те, кто быстрее усваивает
новый материал, стараются заметить и учесть все неточности и по-
грешности в ответах вызываемых учеников. Значит, хотя они и быстро
улавливают сам ход решения, но не спешат и внимательно слу-
шают ответ, все его детали. Те, кто новую тему усваивают медлен-
нее, тем более слушают внимательно, так как сразу чувствуют, что
весь темп работы, все объяснения приспособлены к их возмож-
ностям и помогают им хорошо понять материал.
Однако долго так работать не удается, да это и не нужно.
Через некоторое время наступает момент, когда часть учащихся ус-
ваивает способ решения задач нового типа и может свободно и лег-
ко объяснять решение. Этих учащихся заданный темп и стиль рабо-
ты перестают удовлетворять, а для остального класса они еще не-
обходимы.
Дифференцированное обучение. В тот момент, когда (при ис-
пользовании предшествующего приема) одним учащимся объяснения
по ходу решения задач становятся уже необязательными, а дру-
гим — они еще нужны, переходят к дифференцированной работе.
Класс разбивается на две группы. В первую — объединяются
все те учащиеся, которые считают, что уже поняли новый ма-
териал и могут работать самостоятельно. Им упражнения дают в од-
ном варианте. Эти учащиеся списывать не будут. Самостоятель-
ная работа выполняется по желанию. Однако учитель рекомен-
дует некоторым из учащихся воздержаться от самостоятельной ра-
боты и продолжить работу с классом. Причем на этих рекомендациях
учитель особенно не настаивает.
Ставится условие: все, кто работает самостоятельно, с вопросами
168
к учителю не обращаются. Можно советоваться друг с другом,
можно сверять свое решение с ответами и даже с фрагментами
решений, заранее выписанными на доске или демонстрируемыми
на экране. Такое условие вполне уместно на данном этапе обуче-
ния, так как все ученики, приступающие к самостоятельной работе,
уже могут решать задачи новой темы, могут сами себя проконтро-
лировать, могут посоветоваться друг с другом. С вопросами эти уче-
ники могут обратиться к учителю после самостоятельной работы. Ее
длительность 10—15 мин, не менее. Эта длительность определяется
потребностями остальных учащихся класса.
В эти 10—15 мин учитель все свое внимание уделяет второй
группе, т. е. тем ученикам, которые еще не усвоили новую тему до-
статочно хорошо. Эти ученики продолжают такую же коллективную
работу, которая описана выше: поочередно выходят к доске,
решают задачи и объясняют их. Но есть и очень существенные отли-
чия. Теперь уже учитель не ставит такие «строгие» оценки, как силь-
ным ученикам. Кроме того, учитель вызывает к доске сразу по 2—3
ученика. Один решает вместе с классом и комментирует вслух,
другие работают молча. Когда первый заканчивает работу, ему
ставится оценка за решение и объяснение. Теперь все вместе прове-
ряют, верно ли выполнили упражнения два других вызванных уче-
ника. Им также ставятся оценки за записанные решения, но, как
правило, без устных объяснений. К доске выходят следующие 2—3
ученика и т. д. Все это делается для того, чтобы к доске вызвать
как можно больше учеников. Всем хочется поработать именно
у доски. Всем и особенно более слабым ученикам хочется, чтобы
учитель поощрил их за успехи в усвоении новой темы, и притом
перед всем классом.
Заканчивая коллективную работу с этой частью класса, учи-
тель для первой группы учащихся включает кодоскоп или поворачи-
вает вращающуюся доску с фрагментами решения задач из само-
стоятельной работы. Эти фрагменты содержат 1—2 ошибки — контр-
примеры. По опыту зная об этом, учащиеся особенно тщательно и с
интересом стараются сверить свои решения и обнаружить ошибки на
доске (или на экране). Теперь они тоже хотят обсудить с учителем
результаты своей работы и учитель переходит к работе с ними, а в
это время вторая группа учащихся выполняет кратковременную са-
мостоятельную работу на 1—2 мин.
Учителя, начинающие работать по описываемой методике, на пер-
вых порах затягивают проверку самостоятельной работы, требуя
от более сильных учащихся первой группы подробных объяснений.
Это лишнее. Эти учащиеся свободно могут объяснять самостоятель-
но решенные задачи. Достаточно обсудить с ними возникшие
вопросы, затем сразу перейти к очередной работе теперь уже со всем
классом.
Итак, при описанной методике первые задачи новой темы реша-
ются подробно по тем образцам, которые дает сначала учитель,
а затем сильные учащиеся (по желанию). Слушая эти образцы,
169
остальные учащиеся повторяют рассуждения и приучаются к коммен-
тированному решению задач нового типа. Вот почему на втором эта-
пе при дифференцированном обучении, когда одновременно проходят
самостоятельная и коллективная работы, все ученики уже могут объ-
яснять решения (читают и произносят по памяти алгоритмы, прави-
ла и т. д.).
Значит, основная особенность описанной методики состоит в том,
что на первом этапе к коллективной работе привлекается весь класс,
а на втором — учитель работает только с теми, кто новую тему
усваивает медленнее.
Опыт работы показывает, что описанные приемы удобны лишь
тогда, когда приходится выполнять много упражнений одного типа
и когда самостоятельная работа с одной группой учащихся и одно-
временная коллективная работа с другой группой длятся не менее
10—15 мин. Использование всех этих приемов влечет за собой
перестройку структуры всего урока. Изучение новой темы сдвигается
к началу урока так, чтобы успеть завершить все запланированные
формы работы.
Приведем описание одного из уроков, проведенного по рассмот-
ренной методике.
Урок алгебры в VIII классе начался с проверки домашнего зада-
ния. Решения задач, заданных на дом, были заранее выписаны на
доске дежурными по классу из конспекта учителя. В этих решениях
имеются ошибки такого характера, которые могут допустить и сами
учащиеся, например:
1) x1 2+^-x=Q,	2) 4х2+4х —3 = 0,
«5
х(х + |)=0,
2
х| =0; х?——. Xi = — 0,5; х2= 1,5.
О
Предлагается, сверяясь с записями на доске, проверить домаш-
нее задание и обнаружить ошибки. Учащиеся с места анализируют
замеченные ими ошибки. Учитель показывает указкой называемые
выражения и со слов учащихся записывает все их поправки (верные
и ошибочные), затем, подводя итог дискуссии, зачеркивает все не-
верные записи. Одни учащиеся сразу же начинают просматривать
решения следующих задач, другие — вносят в свои тетради поправки
и вновь подключаются к проверке.
Вызываются для анализа решений также и те учащиеся, кото-
рые руки не поднимают.
Проверка домашнего задания на уроке заняла 4 мин. Учитель
поставил две оценки тем учащимся, которые дали обстоятель-
ный анализ ошибок, объяснив, почему должно быть —4 и —2/3.
Переходят к новой теме «Приведенные квадратные уравнения».
После небольшого вступительного слова на 20—25 с учитель
дает задание: «Читая учебник, выяснить, какое уравнение на-
170
зывают приведенным и чем оно отличается от квадратного уравнения
общего вида». При этом указываются абзацы учебника, которые сле-
дует читать. Выдерживается пауза. Читают. Учитель в это время вы-
вешивает листы с квадратными уравнениями различного вида.
Переходят к устным упражнениям на закрепление новых понятий.
Предлагается указать виды уравнений на вывешенных листах. По-
путно отрабатываются обобщенные ассоциации, относящиеся к при-
меняемым терминам, т. е. вырабатывается «мгновенная реакция».
Учитель показывает указкой коэффициенты уравнения — учащиеся
должны мгновенно называть: «свободный член», «второй коэффици-
ент» и т. д.
Далее коллективно выводят формулу корней приведенного квад-
ратного уравнения (причем разрешается пользоваться учебником).
Затем предлагается дать ее словесную формулировку. Затрудняются.
Это учитель предвидел и сразу же поворачивает вращающуюся
доску, на которой написана формулировка.
Приступают к работе компактным методом. Формулировку уча-
щиеся делят на логические части. Учитель дает образец ее при-
менения. Переходят к коллективной работе. Уравнения даются по
одному, после выхода к доске очередного учащегося. Вызываются
по желанию. Все прислушиваются к объяснениям. При малейшей
неточности поднимаются руки. Учащиеся с места дают краткие по-
правки. Решают, например, уравнение хг + 5х-|-6=0. Вызванный
ученик читает частями правило и одновременно решает: «Корни при-
веденного квадратного уравнения [убеждается, что оно приведенное}
равны половине второго коэффициента, взятого с противополож-
ным знаком [записывает: х= —2,5], плюс-минус корень квадратный
[продолжает запись: х==—2,5±л/ ] из квадрата этой половины
[пишет: х= —2,5±-\to>25] без свободного члена, т. е. минус 6 [запи-
сывает: х——2,5 ±д/б,25 — 6]». Последующие вычисления ученик
проводит с краткими комментариями и заканчивает решение.
Оценки объявляются сразу после очередного ответа, и ставят-
ся они довольно строго.
Переходят к дифференцированной работе. Учитель формирует
первую группу, спрашивая: «Кто разобрался с новым материалом
и может работать самостоятельно?» Одному из учеников рекомендует
воздержаться от самостоятельной, дает задание первой группе и
указывает: «Остальные работают со мной». Теперь к доске выходят
более слабые ученики. Это сразу чувствуется по темпу их работы,
по неточностям в объяснениях. Оценки по сравнению с предшест-
вующей частью урока несколько завышенные, но воспринимаются
классом с удовлетворением.
Далее второй группе учащихся предлагается решить одно урав-
нение самостоятельно. В это время включйется кодоскоп. Первая
группа учащихся проверяет самостоятельную работу по ответам и
фрагментам решений, появившимся на экране. Затем на экране по-
являются ответы последних упражнений из самостоятельной работы
171
первой группы и подробное решение уравнения, данного второй
группе учащихся. Им также предлагается проверить решение.
Приступают к контрольной работе. В каждом из двух вариан-
тов по два уравнения. Они выписаны на обратной стороне вращаю-
щейся доски.
Урок приближается к концу. Учительница предусматривала
самопроверку (как в предшествующей самостоятельной) и анализ
контрольной работы, но это сделать уже не успевают. Поэтому объ-
являет: «Работу кончаем. Можно решить только одно уравнение.
Запишите домашнее задание». Листки сдают.
Подводится итог урока.
§ 36. ПРИЕМЫ КОЛЛЕКТИВНОГО РЕШЕНИЯ
НЕЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗАДАЧ
Организовать на уроке коллективное решение неэлементарной
задачи — дело не простое. Трудность заключается в том, что обыч-
но далеко не все учащиеся класса могут полностью решить неэле-
ментарную задачу. Поэтому на многих уроках вызываются одни и те
же сильные ученики.
Наиболее опытные учителя находят Выход из этого положения
в тщательной отработке со всеми учащимися элементов решения не-
элементарной задачи (метод элементарных задач) и в разбиении ее
на отдельные задания. К сожалению, такая методика используется
редко. Сопоставим ее с менее удачными, но широко распространен-
ными приемами.
Сущность одного из них. Вызывается учащийся. Он записывает
на доске условие задачи полностью или в виде краткой схемы,
оформляет рисунок, чертеж и т. д. Этот же учащийся остается у
доски на протяжении всего решения задачи. Он находит способ ре-
шения, записывает и обосновывает его. Этот прием имеет ряд
существенных недостатков.
В классе возникает неудачная психологическая ситуация, ког-
да часть учащихся работает пассивно, механически списывает с до-
ски. Такая неудачная ситуация является следствием двух причин:
во-первых, многие учащиеся уверены, что задачу от начала и до конца
будет решать один вызванный к доске ученик, а если он не спра-
вится с ее решением, то с места будут спрашивать только жела-
ющих. И это ожидание каждый раз действительно оправдывается.
Во-вторых, вызванный к доске учащийся часто начинает решение без
предварительного его обсуждения, когда и сам он, и класс еще не
уяснили до конца идею решения. Ясно, что многие учащиеся в
таких случаях вынуждены механически списывать с доски.
Ход урока ставится в зависимость от вызванного к доске уча-
щегося. Если он решает задачу уверенно, все идет как будто глад-
ко. В противном случае затягивается время, учитель начинает
нервничать, в классе возникает шум. По этой причине учителя ста-
раются вызывать к доске для решения задачи лучших учащихся.
172
Вызванного к доске торопят. Если он по ходу решения задачи
задумался, то учитель не ждет его, а сразу предлагает классу по-
могать ему. Из-за такой помощи в итоге неясно, чего же этот уче-
ник действительно не знал, а что он знал, но просто не успел
ответить, не успел сообразить. По этой причине учителя часто завы-
шают оценку вызываемому ученику, несмотря на неоднократную
помощь и подсказки.
Прием разбиения задачи на отдельные задания. Решение зада-
чи подразделяется на следующие задания (они могут видоиз-
меняться): усвоение условия; продумывание плана, идеи решения;
коллективное обсуждение идеи решения; оформление решения. Эти
задания у доски выполняет не один, а поочередно несколько уча-
щихся.
1.	Усвоение условия задачи. Один из учащихся
(иногда сам учитель) кратко записывает на доске условие задачи,
анализирует его. Например, когда дается геометрическая задача, он
выполняет чертеж, записывает, что дано и что требуется доказать
и т. д. Затем вызванный учащийся садится на место. Ему ставит-
ся за это задание оценка в тех случаях, когда оно представля-
ет определенные трудности для класса, например при решении неко-
торых задач по геометрии.
2.	Обдумывание идеи решения. Классу дается зада-
ние: наметить, продумать идею решения задачи. Выдерживается
необходимая пауза, во время которой учащимся рекомендуется де-
лать наброски решения на черновике, разрешается советоваться друг
с другом. Записывать решение в тетради в это время учитель не
разрешает, так как решение может оказаться нерациональным или
неверным, а также чтобы отдельные учащиеся не сидели без дела,
когда весь класс будет записывать решение задачи.
Каждый учащийся ожидает вызова, поэтому во время паузы он не
может думать ни о чем другом, кроме задачи. Тем самым в классе соз-
дается удачная психологическая ситуация, которая заставляет актив-
но работать весь класс. Конечно, не каждый ученик находит способ
решения задачи, но все думают над ней.
Во время паузы обычно наступает либо напряженная тишина,
либо «рабочий шум». Чтобы не мешать работе класса, учитель
беседует с отдельными учащимися только шепотом или вполголоса,
отвечает на их вопросы, выслушивает предложения, помогает.
3.	Обсуждение идеи решения. Классу предлагается
обсудить идею решения задачи. Иногда рассматривают несколько
способов решения, выбирают из них наиболее рациональный. Об-
суждение часто выливается в дискуссию, что способствует повыше-
нию интереса к предмету. Учитель постепенно приучает высказы-
вать идею решения в виде краткого плана, без подробных обосно-
ваний. Учащемуся, высказавшему идею решения задачи, он ставит
положительную оценку, несмотря на то, что его ответ очень краток по
времени. От него не стоит добиваться объяснений. Если он изложил
идею, то почти всегда знает и детали решения, а их могут объ-
173
яснить и другие учащиеся, например те, которые во время дискус-
сии руки не поднимают. В конце дискуссии объявляются оценки;
тем учащимся, которые объясняли идею решения задачи перед всем
классом или высказывали ее учителю во время паузы.
4.	О фо рмление решения задачи. Учителя использу-
ют следующие варианты выполнения этого задания:
а)	Одному из учащихся предлагается записать решение задачи
на доске, за что ему также ставится оценка. Причем, поскольку
идея решения задачи уже обсуждалась и неясных вопросов не оста-
лось, учитель вызывает к доске тех учащихся, которые в обсуждении
плана решения активного участия не принимали. Остальные учащие-
ся записывают решение задачи в тетрадях. Они работают само-
стоятельнее, чем в том случае, когда решение задачи не разбивается
на отдельные задания. Действительно, после паузы и обсуждения
большинство учащихся представляют себе весь ход решения и им не-
зачем списывать с доски.
б)	Предлагается устно изложить решение задачи с подробными
объяснениями. За это еще одному учащемуся также ставится оценка.
в)	Решение задачи предлагается записать самостоятельно.
г)	Иногда учитель заранее планирует для одной-двух задач вы-
полнить только первые три задания. А записать решения этих задач
предлагается либо во время самостоятельной работы в конце урока,
либо дома.
Пример. Классу дается задача: «Основание пирамиды — рав-
нобедренная трапеция, длина диагонали которой равна / и состав-
ляет с большим основанием трапеции угол а. Все боковые грани
пирамиды наклонены к плоскости основания под углом <j>. Найти
площадь полной поверхности пирамиды».
Ставится первое задание. Вызванный ученик выполняет чертеж
(рис. 100) и кратко записывает данные: «КАВСМ — пирамида,
АВ\\СМ, AM —ВС, Z_ABM = a, каждая боковая грань составляет
с основанием угол <р. Найти 5ПОЛ». Выполняя рисунок, ученик объ-
ясняет: «Линейные углы двугранных углов при сторонах основа-
ния мы построим по ходу решения задачи, а затем выясним,
в какую точку основания проектируется высота пирамиды».
За эту работу ученику ставится оценка, если он выполнил
ее верно и достаточно быстро.
Д'
Рис. 100	Рис. 101
174
Ученик садится на место. Предлагается обдумать идею реше-
ния. У доски никого нет. Выдерживается пауза. Думают. Советуют-
ся друг с другом и с учителем. Высказывают свои предложения.
Заметим, что самостоятельно найти рациональный способ реше-
ния данной задачи ученики могут только в том случае, если забла-
говременно методом элементарных задач отработаны соответствую-
щие «элементы». В данном случае ученики должны быть хорошо зна-
комы с теоремами о свойстве пирамиды, каждая боковая грань кото-
рой составляет с основанием угол <р, и о нахождении площади четы-
рехугольника по его диагоналям и углу между ними. Если этих теорем
ученики не знают, то нерационально находят площади основания
и боковой поверхности.
Переходят к обсуждению. Одни из учеников предлагает пост-
роить линейные углы, затем доказать равенство полученных тре-
угольников и т. д. Другой ученик подчеркивает, что этого делать
не надо. Так как боковые грани, говорит он, наклонены к основа-
£
нию пирамиды под одним и тем же углом <р, то $бок=^^ • Поэтому
решение задачи сводится к нахождению площади основания.
Чтобы облегчить дальнейшую работу, отдельно изображают ос-
нование пирамиды (рис. 101) и четко формулируют вспомогатель-
ную задачу: «Найти площадь равнобедренной трапеции, диагональ
которой / образует с большим основанием угол а».
Так как учитель во время паузы выяснил предложения некоторых
учеников, то преднамеренно вызывает сначала того, который идет
по менее рациональному пути. Этот ученик предлагает через вершину
трапеции М провести прямую, параллельную диагонали АС, про-
должить ВА и из полученного треугольника найти высоту трапе-
ции и сумму ее оснований. Тут же другой ученик вспоминает,
что диагонали трапеции равны, что они с основанием образуют рав-
ные углы. Поэтому можно найти угол между диагоналями. Он
равен 180° — 2а. Тогда площадь трапеции равна половине произве-
дения диагоналей и синуса угла между ними.
Подводится итог дискуссии. Объявляются оценки тем, кто участ-
вовал в ней и высказывал учителю свои идеи во время паузы.
Приступают к оформлению решения либо оставляют в тетрадях
место и таким же образом обсуждают следующую задачу, а пись-
менное оформление решений обеих задач завершают во время само-
стоятельной работы.
При оформлении решения данной задачи вспоминают, что пло-
щадь полной поверхности пирамиды в подобных случаях лучше найти
сначала в общем виде:
С	С	гЗосиСОв2 -£•
$пол=56ок + SOCH=—-f- SOCH=— (1 + cos ф)=-----------.
пол оок I осн cos у | осн cos <р '	1 V/ cos
Завершая решение задачи, учащиеся получают
175
.	.2	Z2 sin 2a cos2 -2-
S0CH=^-Z2 sin (180° —2a)=-y sin 2a; SnojI=-
Из сказанного ясно, что прием «разбиения» решения неэлемен-
тарной задачи на отдельные задания имеет целый ряд преимуществ
в сравнении с предшествующим приемом.
§ 37. ПРИЕМЫ ПРОВЕРКИ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ
Если в классе пользуются приемом «разбиения» задачи на от-
дельные задания, то появляется возможность улучшить организацию
работы при проверке домашнего задания. Остановимся сначала на
более распространенных в школе, но менее удачных приемах про-
верки домашних заданий на уроках математики.
Первый прием. К доске вызывается учащийся. Ему предлагает-
ся доказать теорему, которая была задана на дом, или решить за-
дачу. Для подготовки к ответу ему дается время. Класс в это время
занят другой работой. Затем вызванный учащийся отвечает, осталь-
ные слушают.
Второй прием. К доске для подготовки к ответу вызываются
одновременно несколько человек. Класс в это время выполняет дру-
гую работу. Затем вызванные учащиеся поочередно отвечают, ос-
тальные слушают. Второй прием в отличие от первого позволяет
несколько сэкономить учебное время, поскольку учащиеся готовят-
ся у доски не поочередно, а одновременно. Поэтому этот прием на-
зывают уплотненным опросом. Уплотненный опрос очень широко
распространен в школах.
Перечислим ряд недостатков этих двух приемов, которые учителю
необходимо учитывать и по возможности нейтрализовывать.
1.	Вызванным учащимся выделяется время на подготовку к от-
вету. Остальным не дается время, чтобы продумать ответы на по-
ставленные вопросы. Следовательно, им остается только одно —
пассивно слушать ответы вызванных учащихся.
2.	Если вызванные учащиеся отвечают уверенно, то опрос, и
особенно уплотненный опрос, внешне проходит хорошо. Внешне,
поскольку остальные учащиеся вопросы заранее не продумывают и
в лучшем случае пассивно слушают ответы.
3.	Если вызванные учащиеся отвечают плохо, то уплотненный
опрос затягивается нередко на 15—20 мин и даже более. Учитель
не всегда имеет возможность по ходу опроса вызвать других уча-
щихся, так как они не готовились к ответу, и им приходится вы-
делять дополнительное время на подготовку к ответу. В таких
случаях как раз и выявляются недостатки опроса и уплотненного
опроса.
Третий прием. От указанных недостатков при проверке домашних
заданий легко избавиться, если в классе используется прием «раз-
биения» задачи на отдельные задания. Применяя этот прием, учи-
176
тель при решении задач и изучении теорем формирует и постоянно
проверяет каждый раз умение выполнять чертеж, умение выделять
условие и заключение теоремы и т. д. Это задание учащиеся тем бо-
лее могут выполнить при объяснении задачи или теоремы, заданных
на дом. Отпадает, следовательно, необходимость проверять эти уме-
ния. Все это и позволяет упростить проверку домашнего задания.
К началу урока дежурные по классу выполняют на доске чер-
тежи (без дополнительных построений и записей) ко всем теоре-
мам и задачам, заданным на дом. Форма, расположение и буквен-
ные обозначения чертежей иные, чем, например, в учебнике.
Учитель дает задание доказать такую-то теорему или изложить
решение такой-то задачи. Выдерживается пауза. Все замолкают,
готовятся к ответу. Затем к доске вызывается учащийся. Его слу-
шают гораздо внимательней, чем, например, при уплотненном опросе,
так как к ответу готовился весь класс. Поэтому каждый учащий-
ся легче и быстрее улавливает неточности в ответе вызванного то-
варища и готов высказать необходимые дополнения, замечания,
поправки.
Если ученик отвечает плохо, учитель может вызвать на помощь
любого другого, поскольку время на подготовку к ответу давалось
всему классу.
Некоторые учителя требуют, чтобы, излагая теорему, учащийся
придерживался определенной схемы, при которой ответ становится
более четким, ясным и понятным всему классу: формулируется тео-
рема, указывается, что дано и что требуется доказать, а затем изла-
гается доказательство. При этом все элементы чертежа учащийся
обязательно показывает указкой, иначе за его ответом трудно сле-
дить. (Последнее требование, к сожалению, не всегда соблюдает-
ся.) Затем таким же образом проверяются следующие теоремы, за-
дачи. Такой опрос проходит обычно более четко, чем уплотненный
опрос, при большей активности учащихся и с меньшей затратой
учебного времени.
Этот же прием целесообразно использовать и на уроках алгеб-
ры. На доске заранее записывается вывод формулы, решения урав-
нений, неравенств и т. д. В некоторых решениях преднамеренно
допущены ошибки. Предлагается сверить свою работу с записями
на доске и подготовиться к аргументированным объяснениям решен-
ных задач. Пауза. Думают. Вызванный ученик объясняет решение,
затем отвечает следующий и т. д. Каждый ученик в такой обстановке
имеет возможность и участвовать в обсуждении решений и испра-
вить в своей тетради ошибки.
Подчеркнем еще одну характерную особенность последнего при-
ема. При его использовании учащиеся начинают отчетливо пони-
мать, что записывание и запоминание преобразований при выполне-
нии домашних заданий — это не главное. Все это записано заранее
на доске. Главным является умение прокомментировать, аргумен-
тированно объяснить домашнее задание.
§ 38.	ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ
Самостоятельная работа является необходимым этапом изуче-
ния любой темы. Как правило, она проводится после коллективно-
го решения задач новой темы и обязательно предшествует контроль-
ной работе по этой теме.
При проведении самостоятельной работы учитель сталкивает-
ся со следующими затруднениями:
1.	Учащиеся заканчивают работу неодновременно. Поэтому це-
лесообразно заранее включать дополнительное задание для тех,
кто работает быстрее.
2.	Трудно подобрать задание, одинаково посильное всем уча-
щимся. Если выполняется ряд простых однотипных упражнений,
например, на умножение и деление дробей, то здесь посильность
задания регулируется его объемом. Труднее подобрать, например,
геометрические задачи, одинаково посильные для всех. В этом
случае хорошо помогает уже упомянутый прием сочетания устных
и письменных упражнений (см. § 34). Сначала решают несколько
задач устно, а затем некоторые из них йключаются в самостоятель-
ную или в контрольную работу.
3.	Трудно организовать проверку самостоятельной работы. Иног-
да учитель собирает и проверяет тетради всех учащихся. Это хо-
рошая форма проверки, но она не всегда осуществима. Поэтому
используются и другие приемы. Среди них — некоторые явно не-
удачные. Например, сначала выполняют самостоятельную работу,
а к концу ее один из учащихся записывает решение задачи на
доске для последующей проверки. Это приводит к лишней трате
времени.
Гораздо лучше получается, когда один-два ученика записывают
решения задач на вращающейся доске. К концу самостоятельной
работы доски поворачиваются и классу предлагается проверить
решения задач. Еще лучше эта же форма получается при наличии
кодоскопа.
Некоторые учителя при отсутствии вращающейся доски и кодо-
скопа используют другой вариант проверки. Класс пишет самостоя-
тельную работу. Один-два ученика молча решают эти же задачи на
доске. Списывание сводится к минимуму следующим предупрежде-
нием: «Кто хочет, может сверяться с записями на доске по ходу ре-
шения, но лучше после него. Проверьте свои возможности». После
самостоятельной будет дана контрольная работа с подобными упраж-
нениями.
Отметим ряд типичных недостатков, наблюдаемых, к сожале-
нию, на многих уроках.
Некоторые учителя сами мешают спокойной и сосредоточенной
работе учащихся, неоднократно прерывают ее всякими указаниями,
репликами, замечаниями.
Заметив ошибку в тетрадях одного-двух учеников, учитель отры-
вает весь класс от работы и дает соответствующее указание всем
178
ученикам, чтобы не повторили ошибку. Это лучше делать до или
после самостоятельной работы.
Увидев, что отдельные ученики закончили работу и сидят без
дела, учитель громко объявляет новое очередное задание. Это за-
дание следует предусмотрительно давать до самостоятельной работы.
Объясняя одному ученику, учитель говорит слишком громко, тем
самым мешая работе всего класса.
Все ученики сосредоточенно работают, и в напряженной тиши-
не время от времени раздается громкий стук каблуков при ходьбе
учителя по классу.
Иногда учитель слишком долго дает объяснение одному ученику,
не замечая, что три-четыре ученика все это время держат подня-
тые руки и просят его помощи. Это неправильно. Надо ориентиро-
ваться на весь класс, а не на отдельного ученика. Учителю следует
как можно чаще окидывать взглядом класс и спешить туда, где
его помощь более необходима. Если поднимают руки сразу два-три
ученика, можно кивнуть им, сейчас, мол, подойду. Ученики, удосто-
верившись, что учитель заметил их, обычно успокаиваются и про-
должают свою работу.
Рассмотрим один из приемов проведения самостоятельной рабо-
ты с использованием микрокалькуляторов. Этот прием удобно при-
менять при изучении действий с положительными и отрицательными
числами, с десятичными дробями и в других случаях.
После введения нового правила, допустим, сложения положитель-
ных и отрицательных чисел проводится коллективная работа ком-
пактным методом (см. § 25). Затем переходят к самостоятельной
работе. И здесь учитель сталкивается с рядом затруднений.
Во-первых, применяя новое правило, учащиеся на первых порах
еще не уверены в правильности выполняемых действий и часто об-
ращаются к учителю с просьбой проконтролировать результаты,
а он не всегда успевает сделать это.
Во-вторых, когда классу предлагают проверить самостоятель-
ную работу, например, по демонстрируемым на экране ответам, то
многие учащиеся в лучшем случае ограничиваются исправлением
ошибок, не вникая в их сущность. Это объясняется тем, что пос-
ле выполнения всех упражнений самостоятельной работы учащимся
трудно переключать свои мысли и возвращаться к рассуждениям,
проведенным при выполнении предыдущих упражнений.
Чтобы устранить эти затруднения, некоторые учителя стараются
включать в самостоятельную работу минимальное число упраж-
нений, иногда — всего одно-два упражнения. Это уже лучше, но при
этом темп работы несколько замедляется, так как часть учащихся ка-
кое-то время остается незагруженной.
Использование микрокалькуляторов позволяет устранить эти за-
труднения. В этом случае при проведении самостоятельной работы
предлагается действовать по следующему плану: сначала выполнить
очередное упражнение по правилу, затем сразу проконтролировать
полученный результат с помощью микрокалькулятора и лишь после
179
этого приступить к следующему упражнению. Как при этом обеспе-
чить последовательность выполняемых действий каждым учеником
именно в указанном порядке (сначала решать по правилу, а затем
сразу проверять каждый результат с помощью микрокалькулятора)?
Для пунктуального соблюдения всеми учащимися такой последова-
тельности действий класс предупреждается, что после самостоятель-
ной работы будет предлагаться кратковременная контрольная ра-
бота. На ней подобные упражнения надо будет решать только по
правилу, при выключенных микрокалькуляторах.
После неоднократного чередования самостоятельных и контроль-
ных работ учащиеся убеждаются в том, что главная цель урока —
научиться применять изучаемое правило, что микрокалькуляторы
только помогают проконтролировать получаемые результаты, помо-
гают быстрее обнаруживать, анализировать и предупреждать ошиб-
ки. В результате во время самостоятельной работы учащиеся все
усилия сосредоточивают на выполнении упражнений по правилам
и при их изучении начинают смотреть на микрокалькуляторы толь-
ко как на вспомогательное средство, помогающее усвоению изу-
чаемого материала и успешному выполнению последующих конт-
рольных работ.
§ 39.	ОРГАНИЗАЦИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ
РАБОТЫ
Обычно учащиеся очень ответственно относятся к контрольным
работам. Но если при их проведении систематически не поддержи-
вается должный порядок, то это чувство ответственности у отдель-
ных учащихся постепенно угасает. Например, все они понимают,
что воровство, плагиат — преступление. Но как много наших уча-
щихся списывают на контрольных работах или помогают списы-
вать другим и снисходительно, благодушно относятся к этому пороку,
не ставят знака равенства между ним и плагиатом.
Рассмотрим -некоторые типичные ошибки в организации кон-
трольных работ.
Учащиеся нередко поворачиваются, даже переговариваются, пе-
редают друг другу карандаши, резинки, что-то достают из портфе-
ля. Многие из них первые несколько минут и даже более не могут
сосредоточиться: вздыхают, по нескольку раз меняют позу, рисуют
на черновике фигуры, не относящиеся к делу, вертят в руках ка-
кой-либо предмет. И как правило, у этих учащихся не хватает вре-
мени, чтобы закончить работу.
Нередко учащийся сидит боком и чуть влево сдвигает свою
тетрадь так, что сидящий сзади свободно читает его работу.
Иногда и сам учитель громко делает замечания (значит, от-
влекает класс от работы), заполняет журнал, что-то пишет или
просматривает, т. е. отвлекается от наблюдения за классом. Неред-
ко учитель отвечает на вопросы отдельных учащихся. Если отве-
180
тил одному, то почему и не другим. Но тогда контрольная работа
теряет свои функции.
Самым главным нарушением является списывание. Оно имеет
место всегда и там, где наблюдаются хотя бы малейшие, незначи-
тельные нарушения дисциплины. Например, учащиеся сидят исклю-
чительно спокойно в течение всей контрольной работы, а в конце ее,
когда сдают работы, возникает всего лишь минутное оживление
и кто-то из учащихся уже успел спросить и записать «решение
задачи». Учитель только что видел у этого ученика пустой лист, а
теперь там что-то написано. Значит, списывание или взаимные
консультации нельзя устранить в тех классах, где наблюдаются
малейшие нарушения порядка.
Но главные причины списывания заключаются в следующем:
кто-то в классе хочет списать, потому что не знает вопроса, не
уверен в своих знаниях и в классе есть ученики, которые готовы,
хотят «помочь» товарищу. Помогают либо из ложного чувства то-
варищества, либо под влиянием соответствующего «коллективного
убеждения» класса. Следовательно, прежде всего учитель должен
устранить эти главные причины списывания.
Для этого, во-первых, контрольная работа должна быть по-
сильной для всех учащихся без исключения. И каждый ученик дол-
жен быть уверен в том, что выполнит работу верно. Если не уверен,
будет думать не о работе, а о том, у кого спросить. Во-вторых,
сильные учащиеся должны быть загружены полностью до момен-
та окончания контрольной работы. Причем каждый должен быть
загружен так, что если отвлекся, например кому-то помог, то может
не успеть написать всю работу и получить за это «4» или даже «3».
В последнем случае коллективное мнение класса, его «симпатии»
будут на стороне именно этого ученика, а не того, кто просил списать.
Следовательно, такая, если можно так выразиться, идеальная,
желаемая обстановка в классе может исключить списывание на кон-
трольных работах и приучить учащихся к должному порядку, сфор-
мировать твердое убеждение в том, что любую работу нужно вы-
полнять исключительно ответственно, добросовестно, качественно.
Эти убеждения и привычки очень пригодятся учащимся в дальнейшей
трудовой жизни. Покажем, что эти, так сказать, идеальные требо-
вания реализовать не трудно.
Прежде всего каждой контрольной работе должна предшество-
вать соответствующая самостоятельная работа с аналогичными уп-
ражнениями. Если последнюю написали хорошо и при минимальной
помощи учителя, то можно давать контрольную работу. В противном
случае учитель не спешит и еще какое-то время повторяет с клас-
сом изученный материал. (О приемах, позволяющих добиваться
посильных заданий в контрольных работах, см. § 34.)
Далее, в контрольной работе упражнения желательно распола-
гать в порядке возрастающей трудности и так, чтобы первые упраж-
нения мог выполнить каждый учащийся.
Чтобы полностью загрузить всех учащихся в продолжение всей
181
контрольной работы до самого ее конца, некоторые учителя посту-
пают следующим образом. Предлагается такое количество упраж-
нений, чтобы все их никто в классе не успел выполнить за отведен-
ное время. Объем задания заранее не устанавливается. Например,
даны 10 упражнений. Сразу после окончания работы учитель выяс-
няет, что 10 упражнений не выполнил никто, 9 — 2—3 ученика, 8 —
12—15 учеников. Тогда учитель объявляет, что за верное выполне-
ние 8 упражнений будет выставляться оценка «5». Таким образом
устанавливается верхний, максимальный предел для лучших уче-
ников данного класса в каждый данный момент времени. При таком
подходе в классе возникает благодатный соревновательный эффект.
В работу включаются сразу все учащиеся, никто не теряет ни одной
минуты, не отвлекается в продолжение всей работы.
Подобные контрольные работы можно условно назвать «беско-
нечными». Они благодаря соревновательному эффекту побуждают
всех учащихся работать максимально сосредоточенно и позволяют
все время увеличивать объем заданий с учетом возможностей самих
учащихся данного класса.
Чтобы указанный соревновательный эффект проявился в наи-
большей мере, нужна еще и соответствующая организация работы. К
организованности (если работа посильна для всех) учащихся мож-
но приучить очень быстро.
Учитель кратко объясняет, что на контрольной работе необхо-
димо соблюдать следующий порядок. Усаживаемся строго в заты-
лок друг другу. Садимся прямо, тетрадь располагаем перед собой.
Усаживаются. Учитель проверяет и продолжает. Читаем текст за-
дания. Ручки в это время никто не берет. Задаем вопросы по тек-
сту задания, но не по способу решения и не переговариваемся.
К работе приступим по команде, закончим ее тоже по команде, все
одновременно. Все необходимые инструменты должны быть на столе.
Проверьте. Во время работы нельзя задавать вопросы, поворачи-
ваться, менять позу, доставать что-либо из портфеля, раскрывать
книги. (Они могут закрытыми лежать на столе.) Все это необходи-
мо, чтобы не мешать работе своих товарищей, не отвлекать их.
Далее учитель улыбается, чтобы успокоить и снять напряжение
в классе, и предлагает приступить к работе. В продолжение всей
контрольной работы учитель ни в коем случае не ходит по классу,
а стоит впереди (но не сзади) и наблюдает за порядком. Почему
только перед классом? Если кто-то хочет нарушить одно из указан-
ных требований, то перед этим обязательно смотрит на учителя:
следит ли он. А так как в спокойной обстановке и при полной ти-
шине в классе заметно любое движение, то учащийся, приподняв
голову, почти всегда встречает взгляд учителя.
Если же кто-то нарушил порядок, например раскрыл книгу, то
замечание вслух делать нельзя. Учитель только взглядом дает по-
нять этому ученику, что заметил нарушение, а после окончания ра-
боты может объявить, что контрольную работу этого ученика прове-
рять не будет. Но ни в коем случае нельзя за какое-либо нарушение
182
ставить «2». Это, к сожалению, наблюдается часто. Оценка ставится
за знание, а не за дисциплину.
Перед окончанием работы учитель объявляет: «Осталась мину-
та». Это делается для того, чтобы все успели завершить очередное
упражнение, закончить мысль. Затем объявляется: «Работу закон-
чили». Все кладут ручки, закрывают тетрадь или переворачивают
листок, кладут тетрадь (листок) на край стола. Учитель спокойно
20—30 с следит, чтобы все выполнили последнюю команду. Первые
несколько раз приходится давать реплики такого вида: «Разгова-
ривать еще нельзя», «Наташа, все кончили писать — ждем тебя».
Когда все закончили работу, сзади сидящие ученики быстро
пробегают вперед, собирают тетради и кладут на стол учителя. Те-
перь он разрешает разговаривать, обсуждать работу, смотреть в
книги, в тетради, задавать вопросы. И в классе наступает шумная
рабочая обстановка.
Тут же сразу проводится анализ контрольной работы. Поэтому
она должна быть закончена за некоторое время до звонка. Именно
сразу после окончания контрольной работы учащиеся проявляют
повышенный интерес к содержанию работы, горячо обсуждают и
внимательно выслушивают способы решения, возможные ошибки,
различные варианты оформления записей и т. п. Хорошо, если за-
ранее на кодопозитиве подготавливаются фрагменты решений и де-
монстрируются на экране.
Анализ контрольной работы, повторяем, лучше всего проводить
сразу после ее окончания, когда учащиеся проявляют к ее содер-
жанию повышенный интерес. На другой день или позже учащиеся
уже теряют интерес к содержанию работы и многие интересуются
только оценкой.
К описанному порядку и организованности учащиеся привыкают
очень быстро сначала на кратковременных контрольных работах,
а потом и на более длительных.
Многие учителя математики г. Таганрога используют следующий
прием. Кратковременные контрольные и самостоятельные работы
учащиеся выполняют в тетради, под лист которой подкладывается
отдельный лист с копиркой. Копию работы они сдают учителю и
сразу проверяют свои решения по образцам, появляющимся на
экране или на вращающейся доске. При этом возникает деловая,
оживленная дискуссия. Учащиеся очень заинтересованно участвуют
в ней, внимательно прислушиваются ко всем высказываниям, сразу
же вносят необходимые поправки в свои тетради и ставят себе про-
гнозируемые ими оценки. Анализ контрольной работы сразу после ее
окончания по заранее подготовленным решениям с ошибками и по
остающимся у учащихся копиям работ гораздо эффективнее, чем
анализ контрольной на следующем уроке, когда многие учащиеся
уже забывают ход решения и интересуются только оценкой.
Некоторые учителя ограничиваются контрольными работами, рас-
считанными на целый урок и проводимыми в конце изученного раз-
дела или в конце четверти. Желательно проводить также (и как
183
можно чаще) кратковременные контрольные работы длительность,
5—10 мин. Такие работы имеют большой учебно-воспитательны
эффект. Они помогают активизировать деятельность учащихся н
каждом уроке, приучают к постоянной сосредоточенности и даю
возможность своевременно судить о качестве усвоения изучаемог
материала.
§ 40.	УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
На уроках математики в последние годы стали широко исполь-
зовать устные упражнения. Они позволяют ускорять темп работы,
усиливать интерес учащихся, способствуют развитию сообразитель-
ности, смекалки. Но далеко не всегда устные упражнения приво-
дят к ожидаемым результатам. Причина этого в том, что методика
проведения устных упражнений сложнее, чем письменных. Когда
класс записывает решение задачи, учитель видит, кто работает и
как работает, видит в тетрадях также и результаты работы. А как
проверить, действительно ли все учащиеся активно думают над за-
дачей при ее устном решении? Отвечает-то всегда один ученик и
сообщает он, как правило, только результат выполненного упраж-
нения, а процесс его получения остается скрытым.
Проводя устные упражнения, учитель должен быть уверен, что
работают все, и притом активно. Он должен также получить об-
ратную информацию: как выполнили упражнения, усвоен ли способ
решения. Отсюда вывод: чтобы гарантировать участие в работе всех
учащихся, нужно, очевидно, соблюдать ряд условий эффективности
устных упражнений. Рассмотрим их.
1.	Желательно, чтобы задачи для устных упражнений в V—XI
классах были заранее выписаны на отдельных листах или на доске,
чтобы каждый ученик на протяжении всего процесса устного реше-
ния видел данные задачи. Желательность и, можно сказать, даже:
необходимость соблюдения этого условия следуют из закономер-
ности Ш.7 об усилении внимания при зрительных формах восприя-
тия. В этом легко убедиться, предложив учащимся устно выполнить,
например, упражнения (8х4—4х3у) :2х2; -р|~в двух случаях, ког-
да их условия задаются на слух или зрительно. Спросим у ребят,
в каком из этих случаев решать легче, и получим единогласный от-
вет: «Легче решать, когда видим условие».
Если такой же «минутный эксперимент» проведем при устном
решении двух геометрических задач, одну из них предложив по
готовому чертежу, вторую — без чертежа, то придем к следующему
выводу.
На уроках геометрии почти каждое высказывание и каждый
ответ на поставленный вопрос (и не только во время устных упраж-
нений) должны сопровождаться демонстрациями по соответствую-
щим чертежам или моделям. Иначе не все учащиеся класса успе-
184
вают представить или найти на чертеже те фигуры, о которых го-
ворится на уроке. Чертеж и данные задачи должны находиться пе-
ред глазами учащихся на протяжении всего решения.
К сожалению, это требование часто нарушается. Вопросы учи-
теля и ответы учащихся не всегда сопровождаются демонстрацией
по соответствующим чертежам или моделям. В таких случаях осо-
знавать услышанное могут только те учащиеся, которые мысленно
представляют соответствующие фигуры. Но именно это не могут и
не успевают сделать многие учащиеся.
Кстати, данная рекомендация имеет прямое отношение и к пись-
менным упражнениям. Если мы настойчиво напоминаем учащимся,
что решение геометрической задачи лучше начинать с левой стра-
ницы тетради и с начала листа, чтобы чертеж был виден на протя-
жении всего решения, то намного облегчаем работу учащимся и
себе при проверке тетрадей: не приходится многократно перевора-
чивать лист, чтобы еще и еще раз в процессе решения или проверки
посмотреть на чертеж.
2.	Условия геометрических задач, решаемых устно, желательно
задавать хотя бы частично на чертеже. Это намного облегчает вос-
приятие и решение задачи. (См. упр. 5, § 5.)
3.	Устные упражнения желательно чередовать с письменным
выполнением упражнений аналогичного типа на самостоятельных и
контрольных работах. Если это условие нарушается, то оказывает-
ся, что через какое-то время многие учащиеся не могут справиться
на контрольной работе с такими же задачами, которые они решали
устно.
Опытом работы многих учителей выработано правило: желатель-
но, чтобы учащиеся записывали примерно третью часть всех гео-
метрических задач, решенных на уроке. В § 34, 38, 39 описан один
из способов чередования устных и письменных упражнений на уро-
ках геометрии. Там же показано, что если учащиеся привыкли к
тому, что некоторые из устно решаемых задач на уроке могут быть
включены в контрольную работу в конце урока, то они особенно
активно участвуют в устных упражнениях.
4.	На уроках алгебры задачи нового типа сначала лучше ре-
шать письменно и лишь затем для закрепления навыков — устно.
В таком случае учащиеся через некоторое время свободно решают
устно довольно сложные для них задачи, например, на разложение
многочленов на множители с применением нескольких способов
(группировки, вынесения общего множителя и т. д.). Тогда как до
письменного решения задач по новой теме многие учащиеся затруд-
няются решать устно даже простейшие из этих задач. Какова при-
чина этого? После письменного решения алгебраических задач но-
вого типа уже не отдельные учащиеся, а все приобретают умения
представлять и выполнять устно соответствующие операции.
На уроках геометрии, наоборот, лучшие результаты достигаются
в тех случаях, когда решение задачи на доказательство учащиеся
185
разбирают сначала устно (по готовому
чертежу) и лишь затем записывают их
решение.
5. Во время устных упражнений следу-
ет особенно тщательно соблюдать паузы,
чтобы учащиеся успевали обдумать реше-
ния задач. Роль паузы и методика работы,
позволяющая «приковать» внимание всего
класса к решаемой задаче на протяжении
всей паузы, подробно описаны в § 4 и 5.
6. При устном решении задач особен-
Рис. 102
но важно соблюдать принципы построения системы упражнений
(однотипности, непрерывного повторения, использования контрпри-
меров и т. д.). Все сказанное в главе V о методике решения и чередо-
вания задач одного и того же и различных типов в первую очередь
относится к подбору (для данного урока) системы устных упраж-
нений.
7.	Условия задач для устного решения можно задавать на табли-
цах, с помощью кодоскопа, вращающихся и магнитных досок. Усло-
вия задач могут быть записаны также и на классной доске.
Учителя г. Таганрога для этой же цели пользуются специаль-
ной дощечкой (рис. 102), на которую прикрепляются листы с зада-
чами. Изготовление, хранение листов с задачами и работа с ними на
уроке не сложнее, а иногда и проще, чем подготовка и применение
ко депозитивов. Эти два средства (кодоскоп и дощечка) позволяют
разнообразить работу.
В дощечку вбиты два тонких гвоздя. На их остро заточенные
концы (а) с лицевой стороны дощечки накалывается стопка листов
с задачами (б). Чтобы не поранить руку, на эти гвозди при перено-
се дощечки накалываются кусочки канцелярской резинки.
В нужный момент урока эта дощечка вывешивается. После ре-
шения задачи, помещенной на верхнем листе, он снимается, и перед
глазами учащихся открывается новая задача. Взгляды всех уча-
щихся направлены на появившуюся задачу, каждый спешит рас-
смотреть и решить ее. Затем снимается следующий лист и т. д.
Обостренное внимание в момент появления очередного листа
объясняется закономерностью Ш.2. Когда листы с чертежами (или
с алгебраическими упражнениями) даются не сразу, а открываются
один за другим, то неожиданность появления, контраст между уп-
ражнениями и т. д. приковывают и поддерживают внимание всех
учащихся (III.2). Такой же эффект достигается и при работе с го-
доскопом.
Листы свободно накалываются и снимаются с гвоздей. Неболь-
шие отверстия, остающиеся при этом, незаметны и не мешают ис-
пользовать листы с задачами по многу раз. Хранят листы в папках
по темам. Это позволяет быстро находить их при повторном исполь-
зовании.
186
г
Размеры дощечки в миллиметрах указаны на рисунке 102. Зада-
чи записываются на двойных листах из ученической тетради. Иног-
да используют листы чуть большего формата. Чертежи, условия за-
дач записываются фломастерами. Толщина линий и букв должна
быть не менее 2—3 мм, иначе они плохо видны отдельным учащимся.
Еще раз подчеркнем, что учителю лучше самому научиться со-
ставлять задачи по готовым чертежам и другие устные упражне-
ния. Поэтому в предшествующих параграфах особое внимание уде-
лялось методике составления упражнений и подбору их в определен-
ные системы упражнений.
Остановимся еще раз на методике составления устных упражне-
ний путем выделения «элементов» из более «сложных» задач. Устные
упражнения подготавливаем для конкретного класса. Поэтому вы-
деляем те «элементы», которые могут затруднить именно наших
учащихся.
Пример. Пусть учащимся предстоит упростить выражения:
При выполнении подобных упражнений учащиеся пользуются
часто нерациональным способом: приводят сначала дроби к общему
знаменателю. Тогда как их лучше иногда предварительно сокра-
щать. Чтобы сформировать соответствующие навыки, выделяем из
упражнений 1) и 2) отдельные элементы и, варьируя данные, состав-
ляем соответствующие устные упражнения:
Сократить дроби:
У^Л3-!-Уп?П .	д х X —V* .
д/т-ру/г	V*—1
5) *	.	g\ Ус ' +V?
7 1-V& ’	1+VF1
Если некоторые учащиеся нашего класса «забыли» формулы
суммы или разности кубов чисел, то можно отдельные из упражне-
ний 3) — 6) выполнить письменно или еще более их упростить,
например разложить на множители выражения:
V^+W;	1+W-
ГЛАВА VII. РАЗВИТИЕ И ВОСПИТАНИЕ
УЧАЩИХСЯ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ
МАТЕМАТИКЕ
§ 41. ПРИЕМЫ МЫСЛИТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ.
ФОРМИРОВАНИЕ УМЕНИЙ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Учащимся постоянно напоминают, что изучаемый материал надо
прежде всего хорошо понять. Но какую мыслительную деятельность
должны для этого выполнять учащиеся? На этот вопрос, как пра-
вило, им не дают никаких разъяснений. Между тем, только владея
определенными приемами мыслительной деятельности, учащийся
может логически, с должным пониманием запоминать программный
материал. В противном случае он прибегает к «зубрежке».
Взрослый человек обладает определенными умениями и навыка-
ми и может не отдавать себе отчета в том, каким образом он запо-
минает, что делает для того, чтобы понять материал. Учителю же,
для того чтобы объяснить учащимся, как запомнить и понять изу-
чаемый материал, необходимо знать и сущность приемов запоми-
нания и методические пути, помогающие учащимся овладевать эти-
ми приемами.
Так как по основной закономерности памяти важнейшими усло-
виями успешного, не механического запоминания являются пони-
мание материала и активные формы мыслительной деятельности, то
все приемы запоминания сводятся к тому, чтобы на основе актив-
ных интеллектуальных действий как можно глубже, полнее и от-
четливее понять материал. Значит, приемы активной мыслитель-
ной деятельности над материалом являются одновременно и при-
емами понимания, и приемами запоминания.
Отсюда ясно, что учить работе с книгой, обучать умению слу-
шать объяснения — это значит прежде всего приучать учащихся
пользоваться различными приемами мыслительной деятельности.
В психологии известен целый ряд приемов мыслительной дея-
тельности. Одни из них хорошо известны учителям, например обоб-
щение, конкретизация, классификация, систематизация. Другими
приемами (например, реконструкцией) пользуются далеко не все
учителя и не в должной мере, так как не совсем ясно представля-
ют себе их сущность и важность для учебного процесса. В психо-
логии разработана и третья группа приемов, которые мало известны
учителям. Рассмотрим сущность приемов мыслительной деятель-
ности (в первую очередь менее известных) и возможные пути их
использования.
188
Прием использования стимулирующих звеньев. Пусть у учаще-
гося надо сформировать связь двух мыслей, т. е. ассоциацию (А; В),
такую, чтобы осознание им вопроса А мгновенно влекло бы от-
вет В. Этого можно добиться либо путем непосредственного и
неоднократного повторения друг за другом этих мыслей, либо «вкли-
ниванием» между ними промежуточного процесса — стимулирую-
щего звена. В одних случаях удобен первый из этих способов. На-
пример, им учащиеся пользуются при заучивании стихотворений. Од-
нако некоторые учащиеся точно таким же образом заучивают опреде-
ления, теоремы, весь заданный параграф учебника, что очень плохо.
В других случаях более удобен второй способ, т. е. прием исполь-
зования стимулирующих звеньев. Он состоит в следующем.
Многократное, неизменное, механическое повторение мыслей (что
обычно и делают учащиеся, склонные к «зубрежке») стараются
заменить повторяющимися упражнениями одного и того же типа.
В этих упражнениях между данными мыслями Л и В учащиеся «вкли-
нивают» какие-то промежуточные рассуждения (стимулирующие
звенья), которые углубляют понимание изучаемого материала и ак-
тивизируют мыслительную деятельность. В результате (см. § 2 и 13)
после неоднократного повторения с промежуточными рассуждения-
ми Л! у учащегося образуются две очень прочные ассоциации (А;
М; В) или одна ассоциация (А; В), если промежуточные рассуж-
дения «свертываются». В обоих случаях учащиеся не только легко,
быстро и верно отвечают на вопрос А, но и при необходимости сво-
бодно развертывают свои рассуждения до полного и обоснованного
ответа по схеме А->-Л1—>-В.
\ В качестве стимулирующих звеньев могут выступать процессы
вспоминания, применения определений, теорем, алгоритмов, созерца-
ния и представления графиков, моделей, любые рассуждения по
ходу решения задач или изучения теоретического материала (под-
робнее см. § 2).
Из этого перечня видно, что в традиционной методике накопле-
но достаточное число средств {модели, графики, алгоритмы, схемы),
которые как раз и способствуют использованию стимулирующих
звеньев в широком плане. Несмотря на наличие огромного арсе-
нала указанных средств, работа по использованию учащимися сти-
мулирующих звеньев пускается на самотек. В таких условиях одни
учащиеся после долгих проб и ошибок постепенно начинают сами
пользоваться стимулирующими звеньями, но не всегда и не в долж-
ной мере. Другие не пользуются этим приемом, что сильно затруд-
няет их учебную деятельность.
Важно, не ограничиваясь общими советами учащимся, состав-
лять для них специальные программы, планы, списки указаний, та-
кие, чтобы, читая их в процессе выполнения упражнений, учащиеся
пользовались стимулирующими звеньями. Такой способ учащиеся
применяют охотно, поскольку при этом значительно облегчается их
работа.
Из сказанного ясно, что широко использовать прием стимули-
189
рующих звеньев позволяют алгоритмический и компактный методы.
Более того, эти методы помогают формировать у учащихся умения
применять данный прием в конкретных ситуациях (см. § 2, 13,
25 и др.).
Рассмотрим один пример.
На первых уроках стереометрии учащиеся испытывают большие
трудности в усвоении материала, одной из причин которых явля-
ется слабо развитое пространственное воображение. Учащиеся, на-
пример, не могут представить пространственную фигуру по ее ри-
сунку. Чтобы целенаправленно формировать у них навык восприя-
тия стереометрического чертежа и развивать пространственное вооб-
ражение, желательно на первых порах решать одни и те же зада-
чи одновременно и по рисунку, и по модели.
Например, на доске и в тетради изображена призма, перед до-
ской располагается ее модель. Предлагается установить взаимное
расположение двух ребер призмы.
Вызванный ученик, руководствуясь соответствующим списком
указаний, последовательно выполняет следующие действия: 1) от-
мечает какими-нибудь знаками на рисунке указанные ребра; 2) на-
ходит и показывает всему классу, где располагаются соответствую-
щие ребра на модели; 3) снова показывает эти ребра на рисунке
и делает вывод об их взаимном положении. Аналогичным образом
другие учащиеся выполняют еще ряд подобных упражнений. Они вы-
полняются с интересом, легко и безошибочно, потому что учащиеся
сами контролируют по модели свои действия.
В данном приеме существенно то, что работа учащихся с мо-
делью вклинивается в процесс выполнения упражнения. Значит,
все действия с моделью выполняют роль стимулирующих звеньев,
которые в дальнейшем постепенно свертываются и сами собой вы-
падают по мере развития пространственного воображения.
Если же указанные упражнения на первых уроках стереометрии
выполняются только по рисунку, без модели, то учащиеся просто
пытаются угадать ответ, ошибаются и еще долгое время путают
скрещивающиеся прямые, изображенные на рисунке, с пересекаю-
щимися прямыми.
Прием реконструкции. Известно, что многие учащиеся стремят-
ся пересказывать материал заданного параграфа учебника близко к
тексту. Слово в слово повторяя одни фрагменты учебника, они в
то же время пропускают другие, теряя важные взаимосвязи в из-
ученном материале и зачастую искажая его. Взрослые же, наоборот,
останавливаясь прежде всего на главном и опуская излишние под-
робности, стараются излагать изученный материал по-своему, сво-
ими словами. И чем лучше материал понят, тем легче это удается.
Такие резкие различия в работе над изучаемым материалом объяс-
няются не возрастными особенностями, как это полагают некоторые
учителя, а тем, что учащиеся не владеют очень важным мыслитель-
ным приемом реконструкции.
В психологии установлено, что в процессе запоминания и по-
.190
следующего воспроизведения материал часто подвергается измене-
ниям. Любое эквивалентное изменение материала называют рекон-
струкцией. Частными случаями реконструкции являются обобщение
материала, его конкретизация, перемещение отдельных частей под-
линника и т. д.
Чтобы реконструировать, но не исказить изучаемый материал,
учащийся должен хорошо его понять в результате активной мысли-
тельной деятельности, и тогда (по основной закономерности па-
мяти) материал хорошо усваивается.‘Пользуясь приемом реконст-
рукции, учащийся постепенно избавляется от вредной привычки —
бездумной «зубрежки». Следует поощрять всякую попытку учащего-
ся изложить по-своему хотя бы какую-то часть материала. Уме-
нию реконструировать материал учебника надо специально обу-
чать.Лолезно при чтении новой темы по учебнику учить составлять 
тезисы, излагать материал в.д^азвернутом или сокращенном виде,
приводить свби примеры^обобщать, сравнивать и т. д. )
Когда учащиеся воспроизводят бпредёлёшй^тебремы, то жела- |
тельно; чтобыформулировкионисопровождали своими примерами iT/
контрпримерами. Следует поощрять также попытки формулировать
определения, аксиомы своими словами. Но при этом необходимо
сразу же тщательно анализировать случаи искажения формули-
ровки: не просто отвергать неправильную формулировку, а добивать-
ся с помощью контрпримеров, чтобы весь класс понял сущность '
ошибки.
Реконструировать материал учебника — это непростое дело, и
этому надо специально учить. Особенно много ошибок допускают
школьники при реконструкции определений. Объясняя, как строятся
определения, нужно показать на примерах, каким образом одному
и тому же понятию можно дать различные определения.
Несколько проще учащиеся реконструируют формулировки пра-
вил. Но и здесь учителю следует быть очень осторожным и помнить,
что эти формулировки составлялись й шлифовались несколькими по-
колениями учителей и авторов учебников. Лучше всего каждую
формулировку правила, данную учеником «своими словами», ана-
лизировать всем классом; тогда школьники приучаются не только
видоизменять правила, но и критически осмысливать свои пред-
ложения.
Обучая реконструкции теорем, желательно (особенно первона-
чально) приучать учащихся при изложении доказательства теоремы
изменять форму и расположение чертежа, буквенные обозначения,
в том числе, где это возможно, изменять также буквенные обозна-
чения при доказательстве алгебраических теорем. Это, кроме того,
помогает легко и очень быстро изжить довольно распространен-
ный недостаток: заучивание буквенных обозначений при доказатель-
стве теорем.
Желательно также везде, где это уместно, обращать внимание
учащихся на возможность видоизменения отдельных фрагментов до-
казательства, на различные формы записи доказательства <?дной и
191
той же теоремы. Наконец, всегда, когда это возможно, не стоит
жалеть времени на разбор различных способов доказательства од-
ной и той же теоремы.
Прием мысленного составления плана. Он заключается в том, что,
читая, мы намеренно или подсознательно разбиваем материал на
отдельные логические части и даем им названия. Эту работу можно
выполнить лишь тогда, когда текст понятен (в противном случае
заголовки выделяемых частей или шире содержания, или не охва-
тывают его). Этот прием помогает глубже понять материал, а значит,
и лучше его запомнить. Заметим, что школьники обычно не владеют
этим важным приемом: они составляют план прочитанного лишь
тогда, когда получают специальное задание, а не для того, чтобы
лучше понять и запомнить материал. Поэтому необходимо форми-
ровать у школьников соответствующие умения и навыки.
Рассморим один из способов формирования таких умений и на-
выков.
Еще в начальной школе учащихся учат составлять план, но позже
при изучении большинства предметов, в том числе математики,
план, к сожалению, почти не применяют. Поэтому соответствую-
щие умения и навыки приходится восстанавливать. Некоторые учите-
ля математики это делают в два этапа.
I этап. Дается готовый план доказательства новой теоремы,
и учащимся предлагается самим доказать ее с помощью плана.
Например, к теореме о площади трапеции можно дать такой план:
1) провести диагональ; 2) выразить площади полученных треуголь-
ников через высоту трапеции и ее основания; 3) найти площадь
трапеции.
Такую новую форму задания учащиеся воспринимают с интере-
сом. Как только план появляется, например, на экране, все зати-
хают — думают. Очень многие изъявляют затем желание отвечать
у доски, и притом с гораздо большей охотой, чем в том случае, ко-
гда учитель предлагает доказать теорему, заданную на дом. Вызван-
ного к доске учащегося все слушают с большим вниманием.
II этап. Учащихся учат составлять план уже решенной зада-
чи или изученной теоремы. Сначала эта работа выполняется кол-
лективно, а затем самостоятельно. Причем здесь учителю при-
ходится неоднократно показывать образцы составления плана. Уча-
щиеся свободно воспринимают готовый план, но не сразу у них по-
являются умения и навыки составления плана.
Что дает вся эта работа? Хорошо успевающие учащиеся X—XI
классов и взрослые люди обычно не запоминают детали доказатель-
ства теоремы. Они помнят план, а промежуточные преобразования
возникают в сознании по ходу доказательства, сами собой, точно
так же, как и при решении з^дач. Следовательно, у них объем за-
поминаемого теоретического материала сравнительно невелик, ком-
пактен.
А вот слабоуспевающие учащиеся стараются запомнить все
детали доказательства. Им приходится поэтому запоминать матери-
192
ал очень большого объема. Формирование навыков составления
плана поднимает в этом отношении всех учащихся до уровня сильных,
и притом в очень короткие сроки.
Прием выделения смысловых опорных пунктов. Читая текст, мы
Часто мысленно делим его на логические части, давая им краткие
заглавия или выделяя образы, примеры, отдельные слова или выра-
жения, характеризующие эти части. Такие заглавия, образы, слова,
выделяемые по ходу ознакомления с материалом, в психологии назы-
вают смысловыми опорными пунктами. Они или выделяются из текста
в готовом виде, или придумываются. По существу опорные пункты
в своей совокупности представляют план материала. Hq/незавершен-
ность, фрагментарность словесных формулировок, образный, сим-
волический или даже эмоциональный характер некоторых опорных
пунктов — все эта отличает их от плана. Основная цель выделения
опорных пунктов — активизация мыслительной деятельности уча-
щихся, побуждающая их вникнуть в изучаемый текст, понять его.
Смысловой опорный пункт — это опорный пункт понимания.
Пример. Некоторые учащиеся с трудом запоминают определе-
ния, аксиомы, теоремы из первого раздела стереометрии. Чтобы
облегчить запоминание, предлагаем таблицу (см. задний форзац).
В ней формулировки зашифрованы рисунками, выделены в виде
смысловых опорных пунктов. Рекомендуем при воспроизведении фор-
мулировки смотреть на рисунок. В дальнейшем учащийся представ-
ляет рисунок, как бы «прочитывает» по нему формулировку. Запо-
минает не столько формулировки, сколько рисунки. Это легче. Здесь
при работе с таблицей используется прием выделения смысловых
опорных пунктов, а действия ученика с чертежами выполняют роль
стимулирующих звеньев.
Формировать у школьников умение применять данный прие^
лучше всего в процессе конспектирования изучаемого материала.
Для этого приходится многократно показывать, каким образом при-
менительно к содержанию материала удобно его зашифровывать с
помощью различных символов, знаков, рисунков, отдельных слов
и т. д. Обучаясь при конспектировании выделять смысловые опорные
пункты и убеждаясь в том, что они способствуют прочному запоми-
нанию материала, школьники постепенно приучаются к мысленному
выделению их в процессе чтения.
Другой путь формирования умений применять прием выделения
смысловых опорных пунктов предлагает В. Ф. Шаталов. Его опорные
конспекты не что иное, как смысловые опорные пункты. Эти конспек-
ты учащимся даются только в готовом виде. Многократное их при-
менение приводит, по утверждению В. Ф. Шаталова, к тому, что
постепенно учащиеся приучаются составлять такие конспекты само-
стоятельно.
Прием прогнозирования.. Решая любую задачу (в быту, на про-
изводстве, в учебе), человеку приходится постоянно предвидеть ход
событий и на основе анализа, синтеза, обобщения ситуации, соз-
давшейся на данный момент, регулировать и корректировать свою
7 Заказ 596
193
последующую деятельность, прогнозировать ее результаты. Соот-
ветствующий прием мыслительной деятельности называют прогно-
зированием. Чтобы учить его применению, мы перед чтением того
или иного абзаца, решением задачи предлагаем учащимся подумать,
попытаться предсказать, что именно мы сейчас сможем увидеть,
прочитать, получить. И пусть они, опираясь на знания, пофантази-
руют, поспорят о своих предположениях, а затем, наблюдая опыт,
читая текст книги, проверят их. Особенно широко прогнозирование
можно использовать при поиске решения задачи Кем. § 21).
Прием соотнесения. Он сводится к увязываний изучаемого ма-
териала с прежними знаниями и отдельных частей нового друге
другом. Действия, направленные на выполнение этих задач, помо-
гают включать новый материал в структуру прежних знаний, приво-
дят к познанию взаимосвязей явлений и предметов, т. е. усиливают
глубину и отчетливость понимания и тем самым ведут к успешному
запоминанию.
Этот прием имеет очень большое значение в обучении и широко
используется многими учителями. Ссылки на законы, правила, на
проведенные опыты, на используемые таблицы — все это помогает
глубже понять материал и лучше его усвоить. Однако нередко на
уроках наблюдаются отступления от такой традиционной, проверен-
ной методики. Выслушав изученный по учебнику материал, учитель не
всегда задает вопросы, выясняющие понимание его учащимися. А
это приводит к тому, что при самостоятельном чтении учебников
они не пользуются приемом соотнесения. Желательно приучать уча-
щихся ставить себе вопросы: «Почему?», «На каком основании?» —
и отвечать на них всякий раз, когда они встречаются с каким-то
утверждением. При многократном использовании данной рекомен-
дации ученики постепенно привыкают самостоятельно ставить себе
эти вопросы и широко использовать прием соотнесения.
Перечислим еще несколько приемов мыслительной деятельнос-
ти (они же — приемы запоминания или понимания).
Сравнение как прием логического запоминания. Запоминание
осуществляется тем быстрее и прочнее, чем резче выступают при-
знаки сходства или различия между известным и изучаемым ма-
териалом, между отдельными частями нового.
[Важными приемами запоминания являются также обобщение^.,
конкретизация, классификация,"^	воспроизведение
-материала, но только в^реконструированном виде, применение ана-
лиза, синтеза, аналогии. Сущность этих приемов общеизвестна. Рас-
смотрим возможные методические пути их использования на уроках.
Обычно школьники и без специального обучения пользуются
аналогией, но далеко не всегда правильно. Например, по аналогии
с известными теоремами планиметрии ученики высказывают сле-
дующие ошибочные предположения: «Два перпендикуляра к одной
и той же прямой в пространстве параллельны между собой», «Два
угла с соответственно перпендикулярными сторонами в простран-
стве равны», и т. п.
194
Обучая умению использовать аналогию в комплексе с другими
приемами мыслительной деятельности, и в первую очередь с прие-
мами сравнения и конкретизации, нужно учить школьников не
только выявлять признаки сходства в рассматриваемых явлениях,
объектах, задачах, но и улавливать их существенные, хотя и мало-
заметные различия. Надо учить умению самостоятельно приводить
примеры и контрпримеры, которые подтверждают или, наоборот,
опровергают вывод, сделанный по аналогии.
Учащиеся обычно легко запоминают примеры, приведенные в
учебнике, но с трудом подбирают собственные примеры. Нужно при-
учать школьников приводить свои примеры и контрпримеры. Соот-
ветствующие приемы проведения фронтального опроса описаны в § 27.
/ Ученики часто ошибаются, искажают формулировки. Однако если
ошибка сразу же сопровождается анализом, требующим от учащих-
ся собранности, сообразительности, использования знаний, то она
может стать полезной. Допустим, ученик сказал: «Прямые на плос-
кости, не имеющие общей точки, называются параллельными». Учи-
тель сразу предлагает привести контрпример, иллюстрирующий оши-
бочность этого определения. Если никто не может справиться с зада-
нием, учитель чертит на доске три прямые, содержащие стороны
треугольника. Эти прямые не имеют общей точки, но не параллель-
ны. Теперь все в классе догадываются, что в формулировке были
пропущены слова: «Две прямые...». Если кто-либо оговаривается:
«Четырехугольники с равными углами подобны», приводят контр-
пример, рисуя прямоугольник и квадрат.
Если же учитель просто отвергает ошибочную формулировку
и просит другого ученика дать верное определение, то школьникам
кажется, что и первый отвечавший сказал то же самое, ошибки в
определении они не замечают.
Таким образом, в процессе изучения программного материала
мы знакомим учащихся с различными приемами мыслительной дея-
тельности н отрабатываем умения и навыки их применения.
§ 42. РАЗВИТИЕ МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ
В методической литературе постоянно подчеркивают необходи-
мость развития мышления учащихся на уроках математики. Многие
авторы отмечают, что уже сам по себе процесс изучения математи-
ки приводит к умению логически, доказательно мыслить.
Очевидно, развитие мышления учащихся многократно ускоряет-
ся и усиливается, если учитель, обучая математике, одновременно
учит умелому применению различных мыслительных приемов. Дей-
ствительно, мышление учащегося (да и не только его) проявляется
в умении анализировать и синтезировать, обобщать, конкретизиро-
вать и т. д., т. е. в умении применять различные приемы мыслитель-
ной деятельности к изучаемому материалу, к решению задачи, к
любой жизненной ситуации.
7*
195
Развитие мышления учащихся, т. е. формирование у них умений
и навыков применения различных приемов мыслительной деятель-
ности, осуществляется следующими этапами:
1)	Знакомим учащихся с отдельными мыслительными приемами.
Причем знакомим с этими приемами обязательно в процессе изу-
чения соответствующего материала.
2)	Совместно с учащимися приходим к выводу, что прием, с ко-
торым сегодня познакомились в процессе изучения новой темы или
решения задачи, не потребовал лишней траты времени. Более того,
этот прием облегчил понимание. Его использование усилило интерес
к изучаемому материалу.
3)	Выбор того или иного мыслительного приема осуществляем
в зависимости от содержания изучаемого материала. Поэтому в
дальнейшем, когда учащиеся повторно встречаются с тем или иным
приемом, напоминаем, что прием нам уже знаком. Далее выделяем
те особенности данной и ранее изученной темы, благодаря кото-
рым целесообразно использовать именно данный прием.
4)	Учим комплексному использованию различных' мыслительных
приемов во всевозможных комбинациях друг с другом.
5)	В дальнейшем вырабатываем привычку самостоятельного при-
менения мыслительных приемов. Для этого постоянно напоминаем о
целесообразности тех или иных действий, если учащиеся забывают
это. Рассмотрим примеры.
Учитель постоянно напоминает, что, прочитав в книге или услы-
шав на уроке при объяснении, при ответе товарища какое-либо
утверждение, полезно проверить, действительно ли оно справедли-
во, поставив перед собой вопросы: «Почему?», «На каком основа-
нии?» (прием соотнесения); напоминает также, что преобразования,
приведенные в книге, полезно воспроизводить, по возможности ви-
доизменяя их (приемы воспроизведения и реконструкции).
Учащихся приучают везде, где это возможно, сопоставлять изу-
чаемый материал с прежними знаниями, устанавливая сходство
и различия (прием сравнения). Учитель постоянно требует при вос-
произведении изучаемого материала приводить свои примеры и
контрпримеры (прием конкретизации).
Учащимся советуют при конспектировании располагать записи в
наиболее удобной форме (закономерность IV.1). Им рекомендуют
различным образом оформлять свои записи, используя всевозмож-
ные символы: стрелки, подчеркивания, цветовые выделения (прием
использования стимулирующих звеньев). Прочитав текст, учащиеся
выделяют из него главное и коротко рассказывают, о чем идет в нем
речь (прием.составления плана).
Чтобы учащиеся действительно выполняли перечисленные ре-
комендации, чтобы целенаправленно управлять их мыслительной дея-
тельностью, целесообразно руководствоваться закономерностью V.4
и дидактическим правилом (см. § 6), в котором подчеркивается,
что сначала учитель ставит конкретное задание, направляющее уси-
лия учащихся на использование определенных мыслительных про-
196
цессов, а затем предлагает читать тот или иной абзац учебника,
слушать объяснение.
Использование этого дидактического правила открывает заман-
чивые перспективы развития мышления учащихся. Учитель, опира-
ясь на закономерность V.4, побуждает учащихся использовать те
или иные мыслительные приемы. Эти приемы он сам выбирает при-
менительно к содержанию данного материала. Тем самым учащиеся
постепенно приучаются сами себе ставить подобные задания, по-
буждающие их применять мыслительные приемы, наиболее соот-
ветствующие содержанию изучаемого материала. Следовательно,
они привыкают не просто слушать или читать, механически запо-
миная материал, а осмысливать, обдумывать его.
Рассмотрим еще один пример комплексного использования ряда
приемов.
После изучения того или иного раздела полезно составлять с
учащимися схемы и выполнять упражнения по этим схемам. Это
позволяет повторять изученное с использованием целого ряда прие-
мов мыслительной деятельности.
Пример. Изучив тему «Параллельные прямые», предлагаем
упражнение: «Составить схему, указывая в ней зависимости между
определениями, аксиомами, теоремами и зашифровывая их форму-
лировки».
Учащиеся (на первых порах совместно с учителем) составляют,
например, таблицу (см. табл. 6).
Далее в схеме, изображенной на доске, стираются все стрел
ки и предлагаются упражнения:
I.	Сформулировать определения, аксиомы, теоремы, указанные
в блоках 1; 2; 3.
197
2.	Восстановить стрелками все связи между определениями, ак-
сиомами, теоремами в блоках 1; 2; 3. (Вызываемые ученики рисуют
стрелки, остальные сверяют по своим тетрадям.)
3.	Воспроизвести те фрагменты доказательств теорем, где вы-
являются связи, указанные в блоках 1; 2; 3. (Для ускорения рабо-
ты заранее подготавливаются чертежи к соответствующим доказа-
тельствам.)
Очевидно, подобная работа позволяет обобщать изученный ма-
териал, устанавливать взаимосвязи, которые ускользают от внима-
ния учащихся при изучении отдельных теорем. При этом учащиеся и
повторяют материал, и учатся применять различные мыслительные
приемы.
Подчеркнем еще раз, что целенаправленное обучение приемам
мыслительной деятельности нисколько не замедляет процесс усвое-
ния программного материала. Наоборот, этот процесс все более и
более ускоряется по мере овладения этими приемами, т. е. по мере
развития мышления учащихся.
§ 43. РАЗВИТИЕ ПАМЯТИ ШКОЛЬНИКА
Почти на каждом уроке учащимся предлагается изучить дома
тот или иной материал. Но не всегда их знакомят с приемами запо-
минания, не всегда дают советы, как лучше запомнить тот или иной
материал.
Выше подчеркивалось, что все приемы запоминания являются
одновременно приемами понимания и мыслительной деятельности.
Поэтому, формируя навыки применения этих приемов, мы одновре-
менно учим умелому и ускоренному запоминанию. Можно сказать,
что тем самым мы развиваем память школьника.
Вооружая учащихся различными приемами запоминания, разви-
вая их память, мы облегчаем их работу, делаем ее интересной,
ускоряем процесс усвоения знаний.
Одним из наиболее эффективных способов запоминания формули-
ровок правил, определений, теорем является использование компакт-
ного метода. Применяя этот метод в процессе выполнения упражне-
ний, учащиеся попутно, без специальных усилий запоминают новую
формулировку (II. 7). Запоминание формулировки становится, как
указано, еще более эффективным, если при использовании компакт-
ного метода учитель выдвигает требование: «Читая правило (опре-
деление) во время упражнений, старайтесь запомнить его. Завтра
его надо будет знать на память». Это требование вырабатывает
у учащихся установку на прочное и точное запоминание, и усвоение
происходит еще эффективнее (II. !)•)(-
Следовательно, сочетание компактного метода с требованием
о точности и прочности запоминания приводит к тому, что учащие-
ся легко запоминают все формулировки. В результате по прошествии
некоторого времени учащиеся овладевают наиболее эффективным
198
способом запоминания формулировок, и проблема их заучивания,
а тем более «зубрежки» снимается.
Аналогичным образом при использовании алгоритмического ме-
тода учащиеся легко запоминают способы решения задач. Требова-
ние учителя: «Запомнить алгоритм в процессе его применения» —
ещр более облегчает его усвоение. В результате учащиеся овладевают
новым способом, запоминания аргументированных объяснений по
ходу решения задач данного типа. Этот способ настолько облегчает
ИХ работу, настолько нравится им, что они просят давать алгоритмы
решения задач новых типов, а также сами, по своей инициативе,
^пытаются составлять алгоритмы.
Остановимся на таких рекомендациях, которые помогают запоми-
нать формулы, например тригонометрические:
I.	Формулы лучше запоминать не по одной, а группами, отме-
чая сходство и различия между ними.
2.	Желательно запоминать вывод формулы и те преобразования,
которые помогают восстановить ее связь с другими формулами.
3.	Надо внушить себе мысль: «Твердо помнить формулы». Воз-
никающая при этом установка способствует прочному запоминанию.
4.	В процессе решения задач полезно воспроизводить словес-
ные формулировки формул. Разъясняем, что проговаривание форму-
лировок по ходу решения задач не замедляет процесс решения, что
оно способствует лучшему запоминанию формул и уменьшает ве-
роятность ошибок.
Пример. Преобразуя выражение cos 4а +2 sin2 а, прогова-
риваем: «Косинус удвоенного угла (cos 4а = cos 2 (2а)) равен раз-
ности квадратов косинуса и синуса этого угла» — и одновременно
записываем: «cos2 2а — sin2 2а +2 sin2 2а = 1». Если же ученик произ-
носит формулу и вместо слов: «...равен разности квадратов косинуса
и синуса этого угла» — говорит: «Косинус квадрат альфа минус
синус квадрат альфа», то он и пишет машинально: «cos2a — sin2a»
вместо «cos2 2a — sin2 2а». Следовательно, число ошибок-описок в
последнем случае возрастает.
5.	Если формула забыта, не следует ограничиваться беглым
взглядом на нее. Восстанавливая забытую формулу по справочнику,
полезно особое внимание обратить на те ее элементы, которые бы-
ли забыты, а также на вывод формулы, на ее связь с другими фор-
мулами. Подчеркнуть их сходства и различия.
Пятое указание учащиеся выполняют неохотно. Поэтому учитель
останавливает вызванного ученика и требует пунктуально выпол-
нить рекомендации, данные в пятом указании.
Для лучшего запоминания, напоцмер, тригонометрических фор-
мул полезно дать таблицу (см. ггерёдннй форзац). В ней форму-
лы удобно расположены группами, блоками. Условными знаками
указывается идея вывода каждой формулы. Например, между двумя
верхними блоками таблицы имеется знак: } ф. Он показывает, что
если почленно сложить равенства, охватываемые фигурной скобкой,
то получится формула, на которую указывает стрелка.
199
Учащимся рекомендуют разобраться со всеми условными знака-
ми таблицы и, пользуясь одновременно учебником, воспроизвести
выводы формул, а затем переписать таблицу. Ее переписывают от-
дельными блоками: сначала внимательно рассматривают все форму-
лы данной группы, их расположение в таблице, условные значки,
а затем переписывают этот блок по памяти и сверяют записи с табли-
цей. Аналогично работают с остальными блоками по мере изучения
формул. Те из блоков, которые не удалось записать безошибочно,
воспроизводят еще раз в этот или на следующий день. В после-
дующие дни рекомендуется воспроизвести таблицу два-т.ри раза и
использовать ее в дальнейшем как справочник.
Механическое запоминание таблицы исключается. Условные зна-
ки учащийся не забывает только в том случае, если помнит идеи
выводов. В свою очередь эти знаки помогают запоминать выводы,
восстанавливать их в памяти.
Следовательно, таблица со всеми ее условными знаками по-
буждает учащихся во всей полноте использовать прием выделения
смысловых опорных пунктов. Оперируя условными знаками таблицы,
учащиеся применяют также прием стимулирующих звеньев. При ра-
боте с таблицей они обращают особое внимание на связи между
формулами (прием соотнесения), на сходства и различия формул
(прием сравнения). Использование этого комплекса мыслительных
приемов способствует лучшему запоминанию (II. 7).
К сожалению, большинство учащихся, и притом хорошо успеваю-
щих, не помнят формул. Следовательно, одних рекомендаций, облег-
чающих запоминание, недостаточно. Нужно еще и безоговорочное
требование: «Основные формулы все обязаны помнить!» Только при
постоянном соблюдении этого требования у учащихся возникает уста-
новка на прочное и точное запоминание. Эта установка совместно с
активными формами мыслительной деятельности обеспечивает твер-
дое запоминание формул всеми учащимися (II. 1; II.7).
Возникает вопрос. Не увеличиваем ли мы нагрузку учащимся,
если, кроме формул, требуем еще запоминания формулировок? Разъ-
ясняем учащимся, что объем запоминаемого материала при этом не
возрастает. Легче запомнить формулу вместе с ее формулировкой,
чем одну только формулу.
Даем дополнительно следующие рекомендации: запоминать не
текст формулировки, например, из учебника, а формулы; при вос-
произведении формулировки смотреть на формулу (а в дальнейшем
представить ее) и «прочитывать» по ней формулировку.
Чтобы учащиеся свободно выполняли последнюю рекомендацию,
специально обучаем умению бегло давать словесные формулировки
различных выражений ( -	, \a-\-b и т. д.) и добиваемся твер-
дого овладения терминологией.
Методика, которая помогает развивать способности учащихся
к запоминанию доказательств теорем и способствует их эффектив-
200
ному усвоению, описана в предшествующих главах. Напомним
основные идеи этой методики.
К доказательству теорем приучаем постепенно. Сначала мето-
дом элементарных задач учим решать задачи с одним-двумя умо-
заключениями, затем — с двумя-тремя и т. д., постепенно увеличивая
.^рбъем рассуждений». Если на некотором этапе обучения учащиеся
решают задачи, например, только с двумя-тремя умозаключениями,
а доказательство очередной теоремы содержит восемь-десять умо-
заключений, то предлагать это доказательство недопустимо. Иначе
мы будем идти по пути явного нарушения принципа доступности,
что не может быть оправдано никакими соображениями.
В тех случаях, когда доказательство очередной теоремы до-
ступно учащимся, не ограничиваемся его объяснением. Лучше разу-
чивать доказательство прямо на уроке. Для этого оно повторяется
один-два раза по измененному чертежу, с другими буквенными обо-
значениями. Отрабатываем отдельные фрагменты доказательства на
задачах по готовым чертежам. Демонстрируем на экране это же до-
казательство, но с пропусками и ошибками и предлагаем, пользуясь
учебником, заполнить пропуски в доказательстве, найти в нем
ошибки.
Как найти время для подобной работы? Время экономим за счет
того, что опускаем доказательства ряда теорем. Из однотипных тео-
рем (признаки равенства треугольников, признаки подобия, парал-
лельности и т. д.) доказываем только одну. Но уже не просто знако-
мим с доказательством, а разучиваем его. Приучаем учащихся вни-
кать во все детали доказательства, приучаем запоминать его с
полным пониманием и безукоризненно. Формируем соответствующие
привычки к точному запоминанию, к четкому и безошибочному вос-
произведению. Значит, развиваем память.
Что касается правомерности данной концепции, то, следуя ей,
мы не нарушаем программу. Наоборот, соблюдаем основную идею и
дух программы, так как учим применять каждую теорему, учим дока-
зывать и запоминать (§ 25—27).
Пропущенное доказательство теоремы мы всегда можем рассмот-
реть в процессе решения задач в данном месте курса или позже.
Одни учащиеся при этом запомнят доказательство. (Тем лучше!)
Другие — только поймут его. Но все усвоят главную идею: каждую
теорему можем доказать, опираясь на ранее доказанные.
Пользуясь приемом «разбиения» (см. § 36), мы облегчаем уча-
щимся усвоение доказательства новой теоремы. Разбивая его на
отдельные задания, предоставляем учащимся возможность само-
стоятельно выполнить некоторые задания при изучении новой
теоремы.
Пользуясь приемом «разбиения» и соблюдая ряд элементарных
требований, мы при проверке домашних заданий приучаем учащихся
четко и грамотно воспроизводить изученную теорему (§ 36).
Усвоение доказательства теоремы облегчаем, если даем план
его. Приучаем к самостоятельному составлению плана доказываемой
201
теоремы и убеждаем, что запоминание по плану является более эф-
фективным (§ 41).
Учим пользоваться приемом выделения смысловых опорных пунк-
тов и другими приемами (§ 41). Добиваясь того, что учащиеся,
изучая доказательства теорем, решая задачи, одновременно овла-
девают различными приемами мыслительной деятельности, мы тем
самым осуществляем главную цель обучения. А она сводится к раз-
витию мышления, памяти, к воспитанию учащихся в процессе обу-
чения математике.
§ 44. ФОРМИРОВАНИЕ УМЕНИЙ РАБОТЫ
С УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРОЙ
Многие учащиеся не умеют работать с книгой. Формирование
соответствующих умений — одна из основных задач учителя мате-
матики.
Основные идеи методики обучения работе с книгой сводятся к
следующему.
Читая учебник или дополнительную литературу (книги для чтения
по математике или пособия для факультативных занятий), учащийся
должен выделить главное из прочитанного, хорошо усвоить его и
прочно запомнить. Этого ои может добиться только в том случае,
если, изучая материал, выполняет над ним активную мыслительную
деятельность (11.7). Чтобы исключить поверхностное понимание и
возможные искажения прн последующем воспроизведении мате-
риала, ученик должен быть настроен на необходимость точного
и прочного (т. е. длительного) запоминания. Соответствующая
направленность в деятельности ученика и установки возникают под
влиянием требований учителя и в дальнейшем способствуют точному
и прочному запоминанию (II.1). Ученик должен добиваться отчетли-
вого понимания изучаемого материала (П.4).
Активную мыслительную деятельность над материалом, направ-
ленную на его глубокое понимание, ученик может осуществить
путем применения тех или иных приемов мыслительной деятель-
ности, и тогда материал будет хорошо усвоен (II.7**). Эти приемы
должны соответствовать изучаемому материалу. Следовательно,
надо учить умелому применению мыслительных приемов, выбору
их в зависимости от содержания материала.
Перед учителем возникает еще одна проблема. Как побуждать
всех учащихся наиболее активно работать над материалом учебника?
Более того, как выработать привычку всегда работать над изучае-
мым материалом максимально активно и результативно? Ведь не сек-
рет, что некоторые (а часто многие) учащиеся не прилагают долж-
ных усилий к занятиям. Решать эту проблему учитель может, если
опирается на закономерность V.4. В ней как раз и перечислены
все условия, которые побуждают, заставляют всех учащихся осу-
ществлять активную мыслительную деятельность над материалом.
202
Используя дидактическое правило (§ 6), учитель активизирует
деятельность учащихся. Более того, у них формируются умения и на-
выки самим себе подбирать и ставить задания, активизирующие их
мыслительную деятельность над материалом. Иными словами, фор-
мируются все необходимые умения работы с книгой.
Как видим, обучение работе с книгой сводится к формированию
умений применения мыслительных приемов.
Главное, что вся эта работа проводится попутно с изучением
программного материала и приводит к эффективному усвоению
этого материала.
Перед учителем, приступающим к работе по предлагаемой ме-
тодике, возникает ряд проблем.
1.	Прежде всего, ему самому нужно овладеть разнообразными
мыслительными приемами и не только на интуитивном уровне, но
так, чтобы умело показывать учащимся, как пользоваться этими
приемами.| Опыт работы с учителями показал, что это отнюдь не
простая задача. Но ее необходимо решить.
2.	Работа с книгой на уроке требует больше времени, чем из-
ложение новой темы учителем. Однако позже это время окупается.
Многие темы учащиеся в дальнейшем самостоятельно изучают на
уроке н дома. Причем объем домашних заданий не возрастает: ска-
зываются приобретенные навыки.
3.	Как часто учащиеся могут изучать новый материал по книге?
Все ли параграфы учебников пригодны для подобной работы? К со-
жалению, нет. Действующие школьные учебники математики со-
держат материал, часто недоступный учащимся, излагаемый иногда
чрезмерно кратко, сухо, а иногда и слишком подробно. Поэтому,
^выбирая материал для самостоятельной работы с учебником, учи-
телю приходится прежде всего учитывать уровень доступности соот-
ветствующего текста учебника. При этом большую помощь оказы-
вает сочетание различных методов. Например, часть нового мате-
риала учитель объясняет сам, а несколько абзацев из учебника пред-
лагает изучить самостоятельно.
4.	Самая важная проблема, возникающая перед учителем при
обучении работе с книгой, сводится к следующему: как добиться
того, чтобы все учащиеся действительно применяли рекомендуемые
им приемы мыслительной деятельности, и как проконтролировать
эти процессы. Остановимся подробнее на способах решения этой
проблемы.
Большую помощь по управлению мыслительными процессами,
протекающими в сознании учащихся, и по контролю над этими про-
цессами оказывают дидактическое правило (§ 6) и конспектиро-
вание. 5/ум-	,	и
Составляемый конспект помогает учащемуся направлять свои
мыслительные усилия по заданному пути, так как запись конспекта,
т. е. моторная деятельность, усиливает и облегчает внимание (III.7).
По конспекту, который самостоятельно составил учащийся, легко
увидеть, какими приемами мыслительной деятельности он пользо-
203
вался. Тем самым учитель может осуществлять контроль над про-
цессами, протекающими в сознании учащихся.
Нередко имеют в виду только одну цель конспекта — лучшее
сохранение в памяти изученного материала, возможность более
быстрого восстановления забытого. Важна еще одна цель конспек-
тирования в школе. Она сводится к формированию у учащихся уме-
ний и навыков использования приемов мыслительной деятельности.
При составлении конспекта могут применяться самые различные
мыслительные приемы. В соответствии с этим изменяются форма и
содержание конспекта.
В одних конспектах материал сокращается максимально, часть
его зашифрорывается путем использования знаков^ символов, схем
(см. § 4 Г—43)7Такои~конспект может прочесть без труда лишь тот,
кто участвовал в его составлении. При составлении такого конспек-
та и при его расшифровке учащиеся применяют ряд приемов: рекон-
струкцию, стимулирующие звенья, выделения смысловых опорных
пунктовиЧТ^дТТУчевидно, далеко не^сякииТГатериал удобно за-
шифровать^ с помощью символов.
Часто в конспекте нужно записать цитату, мысли автора выра-
зить своими словами, сопроводить их своими примерами. Нередко
материал записывается в конспекте в диде тезисов или плана. Мно-
гие пользуются именно такими конспектами. ЕстпГстгештально не обу-
чать учащихся составлять такие конспекты, то они начинают просто
переписывать из книги куски текста.
Во многих случаях в конспект, в котором преобладает словес-
ный текст, выписываемые формулы и т. д., вводятся «искусственные»
символы: стрблкщ подчёртйвание однойТили несколькими чертами и
т. д. Ярким примером~подобных конспектов"являются «Философские
тетради» В. И. Ленина (Ленин В. И. Поли. собр. соч.— Т. 29).
Введшие символики во время составления конспекта помогает
выделять главное, реконструировать материал, использовать'стиму-
лирующие звснья ^Г другие приемы мыслительной" деятельности. В
дальнейшем привзглядёПш^какой-либо символ мгновенно вспомина-
ется расположенный возле него текст. Некоторые учителя учат уча-
щихся составлять конспекты именно такого вида. При этом они обра-
тили внимание на любопытную деталь. Подобные конспекты состав-
ляют лучшие учащиеся X—XI классов, даже если их этому никто не
учил. Следовательно, такой стиль конспектирования — результат
самостоятельной работы с литературой. Целенаправленное обучение
позволяет формировать соответствующие умения у всех учащихся.
Рассмотрим примеры составления конспектов. Наибольшую поль-
зу учащийся получает не в том случае, когда пользуется готовым,
кем-то данным конспектом, а когда самостоятельно, составляет его,
т. е. одновременно учится применять мыслительные приемы. Но
учтем, что такая работа требует затраты учебного времени.
Излагая доказательства теорем на уроках алгебры, учащиеся
обычно более или менее свободно воспроизводят преобразования,
но очень часто не могут их объяснить. Избежать такого механичес-
204
кого запоминания помогает следующий_дрием^«Оформляя доказа-
тельство теоремы, учащиеся З^ТГйсываютне только преобразования,
но и их обоснованиеТПричем словесные объяснения располагаются
так, чтобьГДв соответствии с закономерностью IV. 1) обеспечить
наилучшее восприятие и понимание этих объяснений. При повторе-
нии на данном уроке или на следующем при проверке домашнего
задания на доске, выписываются только преобразования, а обосно-
вывают их учащиеся устно. Таким образом, усвоение доказательства
теоремы сводится не к механическому запоминанию выкладок, а к
умению их обосновывать.
’ Пример 1. В учебниках алгебры свойство степени с рацио-
нальным показателем
ар-а4 = ар+ч... (1)
доказывают сначала для частного случая и при этом объясняют
почти все преобразования, кроме (б) и (г); затем приводится до-
казательство теоремы в общем виде, но уже без всяких объяснений:
а3 «а5 =a15-al5 =	3 + 5 (2)
(а)	(б)	(в)	(г)	(д)	(е)
Аналогичным образом доказательство теоремы (в общем виде) без
обоснований записывают на доске многие учителя, и потому в те-
традях учащихся остаются одни только преобразования, без обо-
снований. Неудивительно, что учащиеся, пользуясь своим конс-
пектом или учебником, запоминаютпоследовательность преобра-
зований, но не могут их обосновать.
Рассмотрим, как можно организовать самостоятельное изуче-
ние данн9И-деоремы_по учебнику. Учитель заранее выписывает на
доске (кодопозитиве) строку (2) и в соответствии с дидактичес-
ким правилом ставит классу задания:
1) Прочитать по учебнику доказательство свойства (1) для
частного случая и указать, как Обосновываются Преобразования,
обозначенные на экране буквами (а), (б), .~(е) в строке (2).
2) Составить план доказательства теоремы.
Выполняя эти задания, учащиеся в процессе чтения учебника
пользуются^приемами «соотнесения» и «составления плана». Они
самостоятельно находят в учебнике необходимые объяснения.
Обосновать преобразования (б) и (г) помогает учитель. Далее
предлагается, пользуясь учебником, записать доказательство тео-
ремы в общем виде, обосновывая каждое преобразование. Кон-
спект оформляется, например, так:
Представим показатели степеней в виде дробей с одинаковыми
km,
знаменателями: р =—,	—, где k и т — целые числа; п —
г п	п
натуральное число. Тогда
205
БЕСПЛАТНЫЕ
УЧЕБНИКИ!
ВРЕМЕН СССР
БОЛЬШАЯ БИБЛИОТЕКА
НА САЙТЕ
«СОВЕТСКОЕ ВРЕМЯ»
sovietime.ru
СКАЧАТЬ