БИБЛИОПКА
АБИТУРИЕНТА
СБОРНИК
задач по МОТеМОТИКе
с решениями

БИБЛИОТЕКА
АБИТУРИЕНТА
СБОРНИК
задач по математике
с решениями
ПКФ «БАО»
Донецк
1997
ББК 22.1я729
Сборник задач по математике с решениями./Сост.
Д.Н. Кравчук, Е.В. Кравчук, С.И. Клемина —
Донецк: ПКФ “БАО”, 1997.-192 с.
ISBN 966-548-035-9
Авторами обработаны варианты заданий вступительных экзаменов по
математике (1995-1996 г.г.) в ведущие ВУЗы России, Украины и Белоруссии.
В сборнике наряду с решемгямм типичных зкммсмамюнных задач дано
достаточное количество заданий для самостоятельной работы, приведены
основние понятия и формулы.
Г4306020000
97
ББК 22.1Я729
ПО ВОПРОСАМ ОПТОВЫХ ЗАКУПОК
ОБРАЩАТЬСЯ ПО ТЕЛЕФОНАМ:
Москва (095) 250-97-59
Ростов-на-Дону (8632) 62-33-03
Киев (044) 243-80-18
Донецк (0622) 55-11-44
Составители:
Д.Н. Кравчук — канд. физ.-мат наук, доцент
Е.В. Кравчук— канд. физ.-мат. наук, доцент
С.И. Клемина
Рецензент:
В.А. Лапоног — канд. физ.-мат. наук, доцент
ISBN 966-548-035-9
© ПКФ “БАО", 1997
ftalaUausA
знание без ераниц * *
з
Введение
В настоящем пособии авторы делают попытку помочь
тем, кто готовится к конкурсным экзаменам по матема-
тике в вузы. Пособие содержит систематическое изло-
жение методов решения уравнений и неравенств с одним
неизвестным: иррациональных, показательных, логариф-
мических и тригонометрических, уравнений и неравен-
ств, содержащих знак абсолютной величины. Приводят-
ся методы решения систем уравнений, рассматривают-
ся основные типы текстовых задач и задач, требующих
понятия производной.
В начале каждого параграфа приводятся краткие тео-
ретические сведения, затем на наиболее характерных
примерах разбираются различные методы И приемы ре-
шения задач. Для более полного усвоения материала
рекомендуется самостоятельно решить ряд примеров, от-
носящихся к данному типу. Для этого в конце каждого
параграфа приведены задания для самостоятельной
отработки предлагаемых методов решения. Задания рас-
положены по степени возрастания сложности и снабже-
ны ответами (в конце пособия). Для закрепления мате-
риала к каждой главе предлагаются варианты “контроль-
ной работы” средней сложности.
Пособие предназначено для поступающих в вузы, для
слушателей подготовительных отделений вузов, а так-
же для самостоятельного повторения курса алгебры.
4 Глава I. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ..
Глава 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Основные формулы  определения
Свойства степени.
Если а	> 0 и b > 0, то
1°.	а°= 1;
2°.	ап • ак = ап+к-
3°.	ап/ак = а”"*,
4°.	(ап)* = а”*;
5°. ап • Ьп = (а6)п;
Свойства арифметических корней
Если a>0иnG^)n> 1,то существует одно и только
одно неотрицательное число х такое, что выполняется равен-
ство хп = а. Это число х называется арифметическим корнем
п - ой степени из а.
Для любых натуральных п и Jt, больших 1, и любых а > О,
Ь> О
Если а < О, Ъ < 0, то при четном п
{а	при а > О,
—а	при а < 0.
Пусть а < 0, n 6 N. Тогда, если п - чётное, то нет таких
действительных х, что хп = а. Если же п - нечетное, то
существует одно и только одно такое действительное число х,
что хп = а. Это число называется корнем нечетной степени
из а: х = ?/а.
Natatiauswk
знаниебезераниц Я *
§1.1. Целые рациональные выражения
5
Формулы сокращенного умножения.
1°. а2-62 = (а-Ь)(а4-б);
2°. (а + 6)2 = а2 + 2а6 + 62;
3°. (а — Ь)3 = а2-л2а6Ц-62;
4°. (а + 6)3 = а3 4- За26 + Заб2 + б3;
5°. (а — б)3 = а3 — За2б 4-Заб2 — б3;
6°. а3 4-б3 = (а 4-б)(а2 — аб4-б2);
7°. а3 — б3 = (а — б)(а2 4-аб4-б2);
8°. ах2 4- Ъх 4-с = а(х — xi)(x — хг),
где «1, Х2 - корни уравнения ах2 4- Ъх 4- с = 0. 1
Значения переменных, при которых алгебраические выра-
жения имеют смысл (принимают действительные и конечные
значения), называют допустимыми. Областью определения
алгебраического выражения называют множество всех допу-
стимых значений входящих в него переменных.
Алгебраические выражения называют тождественно рав-
ными, если их значения совпадают при всех допустимых зна-
чениях переменных. Тождественные преобразования это за-
мена одного выражения другим,тождественно равным, но бо-
лее простым и удобным. В процессе упрощения мы не будем
находить область определения, если это не имеет принципи-
ального значения.
§1.1. Целые рациональные выражения.
Отметим, что при разложении на множители целых раци-
ональных выражений основными приемами являются: а) вы-
несение общего множителя за скобки; б)способ группировки;
в)испольэование формул сокращенного умножения.
Пример.
а)	Зах4 — 6а7г7 4- 12ах3 = Зах3(х — 2а6х4 4- 4).
б)	20х2 4- 3yz — 15ху — 4хг = (20х2 — 15xj/) 4- (3yz - 4xz) =
5х(4х — Зу) 4- z(3y - 4х) =	5г(4х - Зу) — z(4x — Зу) =
в Глава I. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ...
(4ж — Зу)(5ж — z) (надо объединить в группы те члены, ко-
торые имеют общие множители, и вынести за скобки общий
множитель каждой группы. Если после этого найдется об-
щий множитель у всех получившихся групп, то его выносят
за скобки. Этот способ называется способом группировки).
в)	4а2— ж2+2жу—у2 — 4а2 — (ж2 — 2жу+у2) = 4а2 —(ж—у)2 =
(2а)2 - (ж - у)2 = (2а + (ж - у))(2а - (ж - у)) = (2а + ж - у)(2а -
* + !/)•
$1.2. Дробные рациональные выражения.
При тождественных преобразованиях дробных рациональ-
ных выражений (т.е. содержащих деление на выражение с
переменной) используются следующие основные приемы:
1. Сокращение дробей, основаннное на основном свойстве
, ас а „
дроби: — = Например,
ж2 — Зжу _ ж(ж — Зу) _ ж
9у2 — ж2 ~ (3у-ж)(3у + ж) ~ Зу + ж'
2. Приведение к общему знаменателю - для этого необхо-
димо:
1)	разложить знаменатель каждой дроби на множители;
2)	составить наименьший общий знаменатель;
3)	домножив числитель и знаменатель каждой дроби на
дополнительные множители, привести их к общему знамена-
телю.
Действия над алгебраическими дробями осуществляются
следующим образом
ас ас ас a d _ ad а с а + с
b'd'bd' b : d~ b c~ 6? 6 + Ь"“Г‘
Пример 1.
/ 2а 4а2	\ / 2а 1 V* 8°2
\2а + Ь ~ 4а2 + 4а6 + 62/ \4а2 - b2 + b - 2а/ + 2а + 6
_ / 2а 4а2	\/ 2а	1 V1
“ \2а + 6	(2а + 6)2Д(2а-6)(2а + 6) + Ь-2а) *
NataHauslSSji
знание Без границ Ч *
|1.2. Дробяые рашюмальмые выражена*	7
8а2 _ 2а (2а + Ь) - 4а2 / 2а - 1(2а 4- *) V ’	8а2
+ 2а + 6	(2а + 6)2	Д(2а-^)(2а + 6)/ + 2а + 6
__ 4а2 + 2ab - 4а2 (2а - 6) (2а + 6)	8а2
(2а + 6)2	' 2а-2а-4 +2а + б“
2аЬ 2а —b 8а2 _ -2а(2а - i) 4- 8а2 _
~(2а + 6)’ -Ь + 2а4-*~ 2а 4-6
— ~4ea + 2оЬ 4- 8а2 _ 4а2 4- 2аЬ _ 2а(2а 4- Ь) _
2а + *	” 2« + 6 2а+ 4
Пример 2.
(а — 6)2 4- ab ' а5 4- 65 + а263 4- а362	_
(a + b)*-ab : («з 4- F 4- а26 4- аР)(а3 - 63) “
а2 - 2ab + b2 + ab ((а3 4- а26) 4- (63 4- а*2))(а3 - 63) _
~ d* + 2ab + b*-ab' (а® 4-а2*3) 4-(6* 4-вН2)
_ а2 - ab 4- fr2 (а2(а 4- Ь) 4- Ь2(а 4- Ь))(а3 - 43) =
а24-аб4-6а а2 (а3 4-F) 4-На3 4-F)
а2 - ab 4- 62 (а 4- Ь)(а2 4- Ь2)(а3 - Ь3) _
~a2 + ab + b2‘	(а34-63)(а24-62)
а2 - ab+ b2 (a + b)(a-b)(a2 + ab + b2} _
а2 4- ак + Р (а 4-^)(а2 — аЬ 4 Р) ” ° Ь'
Заданже 1. Упростить выражения:
i)(_?—-2__________!_'V	.
\2ж - у 2х 4- у 2х — 5у/ 4х2 - у2
»	й .	1 V (t -3)»+ 1Й
Д<2 + 3<4-2 t24-4<4-3 «2 + 5«4-б/	2
(0^4-0-44- Що*1 -Ь-1)2
’а2Ь-2 4- a~2b2 - (ab~l 4- а~'Ь) ’
8
Глава 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Оч (2р- g)2 + 2g2 - Зрд Ар2 - Зрд
9)----2РТ?-------- -2Trf-' ₽-°78'
За2 + 2ах — х2	ах — Зх2
10)(Зх-$а)(^х)-2+1°
а'1-6~1 аЧ3 /а’-б’у1
'а~3 + 6~3 : (а + Ь)2-За6 V ab ) ’
а = 1 - \/5, b = 1 + у/2.
а = 0.02, 6= -11.Q5, с= 1.07.
знание без границ У *
$1.3. Иррациональные выражения
9
р8 + 4р2 + Юр 4- 12 р3 — Зр2 + 8р
р3 — р2 + 2р + 16 р2 + 2р + 6
$1.3. Иррациональные выражения.
Выражение называется иррациональным, если оно содер-
жит извлечение корня из переменной или возведение перемен-
ной в дробную степень. Как правило, тождественные пре-
образования выполняются на множестве неотрицательных чи-
сел. При решении примеров мы будем это подразумевать и
специально не оговаривать.
Пример 1. Упростить выражение:
Пример 2. Упростить выражение :
((</?- tff)'2 + G£+ <^)"2):	=
р-д
= (	1	. __1____\ . у/р+у/ч _
\(^-</g)2	Р-Ч
_	+	Р~Ч _
(</Р~</g)2(<^+ У?)2 у/р+у/Ч
_ y/P+2tfty4 + у/ч+ у/р-2^Р^Ч + у/ч р- д _
((^“^(^+^))2	у/р+у/ч'
- 2у/Р + 2у/Ч . Р-9 _ Цу/Р+у/ч)(Р~Ч) _
(y/P-y/tf у/р^у/я (у/р - у/ч)Чу/Р + у/ч)
- 2(Р ~ 9) _ 2(у/Р- >/ч)(у/Р+ у/ч) _ 2(yf + у/д)
(у/Р-у/9)3	(у/^-у/ч)2	(у/Р-у/ч)’
Избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого
10
Глава 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ...
домножим числитель и знаменатель ва выражение, сопряжен-
ное к знаменателю, т.е. на сумму у/р 4- у/д. Получим
Р-9
Прямер 3. (~у= 1 :  4-	чд) *. (1 +	).
'Та + л/а+1 х/а~ Г Ve-И
Избавимся от иррациональности в знаменателе каждой из
дробей в первой скобке:
у/а 4- у/а — 1 _ у/а 4- у/а — 1
а-(а- 1)	1
Подстановка полученных выражений дает
Пример 4.
Г-
знание Вез границ	* *
SL3. Нрраимааямим мфажмш	11
Сделаем замену переменной: х/14-4 = а => t = в3 - 4.
Тогда исходное выражение примет вид
(а2 _ 4)-Lt_fiL + а + 1 = (аз _ 4)а+? + а + f _
л — а а	а\л ~~ а) а
_ (а —2)(о + 2)3 . . , 4 _ (а4-2)3 .	4
а(2 — а)	а в	° а
—(а 4- 2)2 4- а2 4- 4 _ —а2 - 4а — 4 4- а2 4-4 _ —4а
а	а	а
Пример 5. Упростить выражение
2bV^l
---==,гдех =
X - V Z2 — 1
Решение.
Упростим выражение х2 — 1:
х2 _ 1 = 1 <а + Ь}* _ 1 - (<» + ^)2-4аЬ _
4 ab	4аЬ
- а2 ^2ab^b2 -4аЬ _ а2-2дб4-*а _ (а-Ь)2
4ab	4ab ~~ 4аЬ
Тогда
х/х2 — 1 =
(g-tp |g-t|
4«*	27о\4
Учитывая, что а > Ь > 0, выполним окончательную додстаг
новку
2Ь • а ~ •
_ 2Ь(а - Ь) _ 2Ь(а-Ь)
о 4- 6 _ а — b а 4- b — а 4- Ь 2Ъ
2\/aVb 2\/a\/b
13 Глав* 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Задание 2. Упростить выражен»:
2а?”1/3	х3/3	х +1
х3/3 - За?”1/3 ” х®/3 - х3/8 ~ х3 - 4х + 3 ’
>/(2р + 1)»+д/(2р- 1)»
х > а > 0.
flalattausilk
знание без границ * *
$1.3. Иррациональные выражения
т - 1 г° 5 4- 1	2
х 4- х1/2 4-1 ' г1 s - I + г~° 8 ‘
т — v r*^2j/V< 4. г1/4у1/2
Х3/4 + г1/2у1/4	ж1/2 + у1/2
rM4v-l/4
х1/2_2хУЛу\/4 + yl/2 *
Рассмотрим примеры, содержащие произведения корней с
различными показателями.
Пример 1. Упростить 6х(5 4- 2х/б) \/3V*2r — 2>/Зх
Решение.
Убх(5 4- 2\/б) \/зч/27 - 2л/з7 =
= Убх(5 4- 2х/б)У(3^ - 2n/3^)2 =
= Убх(5 4- 2х/б)(18х - 12>/5х 4- 12х) =
= Убх(5 4- 2л/6)(30х - 12v^6x) =
= Убх(5 4- 2д/б)6х(5 - 2\/б) = Узвх2(5 4- 2>/б)(5 - 2^6) =
= Узбх2(25 - 24) = </36^2 = х/6^.
Пример 2. Вычислить \/з — \/5(3 4- \/5)(х/10 — \/2).
14 Глава 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ...
f.
Решение. Имеем
Уз~Уб(3 4- Уб)(\/Т0 - У2) =
= ^(3 - Уб)(3 + Уб)2 (У10 - У5)2
- У(3-Уб)(3 + У5)(3 + Уб)(10-2У20 + 2) =
= У(9 - 5)(3 + Уб)( 12 - 4 Уб) =
= ^4(3 + Уб)4(3 — Уб) = У 16(9 - 5) = Уб4 = 8.
Задание 3.
1)Упростить^4аг(11 +4\/б) • \/4У2х — 2УЗх.
2)Вычислить + 2ч/бУб — 1У2
3) Вычислить у/л — 2Уз I + УЗУ4
$1.4. Примеры с модулями.
Отметим, что при решении примеров с модулями применя-
ется метод интервалов. Суть его состоит в следующем:
1)	приравниваем к нулю выражения, стоящие под знаком
модуля;
2)	полученные значения буквенных величин откладываем в
области определения данного выражения;
3)	записываем выражение в каждом из полученных интер-
валов без знака модуля (раскрываем модуль, пользуясь его
определением).
m|m—3|
Пржмер Г (т>-т-6)|тГ
Решение. Область определения данного выражения т /
—2, m ф 0, т 3. Разложим трехчлен, стоящий в знамена-
теле, ра множители: т2 — т — 6 = (т — 3)(т + 2}._
О	3	т
ftalaHausSfe
знание без границ ' w
§1.4. Примеры с модулем*.	1Б
На интервале I ( т < 0 ) выражение примет вид
т(-(тп - 3))	_	1
(т — 3)(т + 2)(—т)	т + 2*
На интервале П (0 < т < 3)
т(-(т - 3)) _	1
(т — 3)(т 4- 2)т т + 2
На интервале III (т > 3)
т(т — 3)	_	1
(т — 3)(т + 2)т т + 2*
Ответ: -Ь- при m е (-оо; 2)U(-2;0)U(3;+oo), и “
m + Z	m + А
при m е (0; 3).
_	, V	У(х + 2)’ - 8г
Пример 2. Упростить —--------.
х/ж---7»
УЖ
Решение. Область определения х > 0. Имеем
\/(х + 2р — 8® _ х/ж2 + 4х + 4 —8г _ у/х1 — 4ж + 4у/х
ч/Ж — —-jib.	1
yJX	у/Х
(учитывая тождество \/с? = |а|).
Раскрывая модуль, получим
при ж — 2 > О,
т.е.ж > 2
при
ж — 2 < 0,
т.е.О < ж < 2
16 Глава 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ...
Задание 4. Упростить
1)
2)
1^4-6|6-1|-Ь2-|
в3 4- а2 — 2а
а|а 4- 2| — а2 4* 4 *
3)
|а? — 1|+|ж| + х
Зг2-4® + 1 ’
1*2-1| + *2 |ж-Ц
2ж2 - 1 х - 1 ’
Выделение полного квадрата под знаком корня.
Рассмотрим выражение вида \/а 4- 2\Д. Упрощение выра-
жений такого вида выполняют по следующей схеме: предста-
вим подкоренное выражение в виде
а 4- 2y/b = х 4- у 4- 2у/ху, где х + у = а, y/ху = Ь.
Тогда а 4- 2у/Ъ = (\/г 4- у/у)*- Иногда можно просто “уга-
дать” полный квадрат, стоящий под знаком корня. Напри-
мер, 74 + 273 = 74 + 21-Л = 5/Р + 2 • 1 • 73 + (73)2 =
5/(1+ 73)2 = 1 + у/3.
Пример 1. .Упростить
(Л- l)y2 + V» + 4\/5 = (75- 1)у 2 + 5/(1+ 2Т5)2 =
= (75- 1)5/2+1 + 25/2 = (75- 1)5/3+ 275 =
(Л - 1)5/(75+1)2 = (75 - 1)(75+1) = 2 - 1 = 1.
Пример 2. Вычислить
где а = 2.5.
Выделение полного квадрата под знаком корил.
17
Решение. Заметим, что а — 2у/а — 2 — 1 = (у/а — 2 — I)2.
Тогда
При а = 2.5	\/а — 2 — 1 < О, поэтому |^а — $ — 1| =
—(у/а — 2 — 1) и значение выражения равно
-(аДГ^-1)
у/а^Ъ — 1
4-1 =-1 + 1 = 0.
Аналогичным образом можно угадать и полный куб под
корнем.
Пример 3. Вычислить
^26- 15л/3 + \Аб+ 1б7з.
Решение. Заметим, что 26+15>/3 = (2+л/3)а, а 26—15\/3 =
(2 — л/З)3. Поэтому исходное выражение равно
У(2-?3)3 + ^(2 + х/3)3 = 2 — \/3 + 2 + л/З = 4.
Задание можно решить и другим способом. Обозначим ис-
комое выражение через х:
yfa-lbVS + ^26+1573 = х.
Возведем обе части равенства в куб
26 - 15х/3 + 3 \/26 — 15х/3\/26 + 15х/3 (^26- 15\/3+
+ ^26+1575^ +26+15>/3 =
= 52 + 3 ^262 - (15\/3)2х = 52 + 3^676-675* =
18
Глава 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ...
Таким образом, для х получим кубическое уравнение г3 =
52 4- Зх, или х3 — Зх — 52 = 0. Методом подбора убеждаемся,
что х = 4 будет корнем. Разделим многочлен на многочлен и
разложим левую часть на множители:
х3 — Зх — 52	| х — 4
х3 — 4х2[ х2 4- 4х + 3
4х2 - Зх - 52
4х2 — 16х
13х - 52
13х - 52
О
Итак, уравнение преобразуется к виду (х—4) (х2 4-4x4-13) = 0.
Квадратный трехчлен х2 4- 4х 4- 13 не имеет корней. Таким
образом, единственный корень рассмотренного уравнения х =
4.
Ответ: |х = 4
Контрольная работа.
Вариант 1.
\/зЪ - 2у/Ы + 2 + 3	1
х/ЗУ+2-I ’	2’
MaHausX
знание Без границ Ч *
Выделенке полного квадрата под знаком корна	19
6} (>/2 — 1)у 4 + ^9 — 4\/2;
/У(г + 2)»-8г ( (z—1)а + 3\
’ к г + 2	z3 + 8 )
8) у 20 + 14х/2 + ^20 - 14х/2.
z2 - Зг + 2
z3 —2г2 —4г + 8
Вариант 2.
8) V25 - 1075+ V25 + 10\/5.
20
Гмм 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Глава 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.
Равенство с переменной
/(ж) = д(х)
называется уравнением с одной переменной. Значение пере-
менной, при подстановке которого получается верное равен-
ство, называется корнем (или решением) уравнения. Решить
уравнение - найти все его корни или доказать, что их нет.
Область определения уравнения - это множество всех ж,
при которых одновременно имеют смысл выражения /(ж) и
д(х). Например, область определения уравнения \/х + 3 = 1 +
>/—ж это множество всех ж , удовлетворяющих неравенствам
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются рав-
носильными. Равносильными считаются также уравнения, не
имеющие корней. Например, уравнения
(ж — 1) = 0 и (ж — 1)(ж2 + 1) = О
равносильны.
В процессе решения стараются заменить уравнение более
простым, но равносильным ему.
Правила преобразования уравнения в равносильное:
1)	если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из
одной части в другую, изменив его знак, то получим уравне-
ние, равносильное данному;
ГммЗ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.
31
знание без границ
/(«) = О,
$(*) / О.
2)	если обе части уравнения умножить или разделять на
одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение,
равносильное данному;
3)	уравнение = 0 равносильно системе <
Пусть в результате преобразования уравнения
(1)
Л(«)=л(«)
получено уравнение
(2)
Л(«) = »(«)•
Если каждый корень уравнения (1) является корнем урав-
нения (2), то уравнение (2) называют следствием уравнения
(1). Корни уравнения (2), не удовлетворяющие уравнению (1),
называют посторонними корнями уравнения (1).
К появлению посторонних корней могут привести (но не
обязательно приводят) такие преобразования, как возведение
уравнения в квадрат (иля другую четную степень), умноже-
ние обеих частей уравнения на алгебраичесое выражение, со-
держащее переменную, потенцирование и некоторые другие.
Для того, чтобы исключить полученные в результате не-
равносильных преобразований посторонние корни, нужно сде-
лать проверку решений.
При решении уравнений недопустимо прибегать к преобра-
зованиям, ведущим к потере корней. Так, например, потеря
корней может произойти, если разделить обе части уравнения
Дх)А(ж) = g(x)h(x)
на h(z). Вместо этого следует вынести Л(х) за скобки:
/(z)A(z) - /(л)Л(ж) = 0,	Л(«)(/(х) - д(х)) = 0.
Л(х) = 0,
ft*) - g(*) = о-
22
Глава 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Основные формулы.
Квадратное уравнение ах2 + Ьх + с = О,
действительных корня
а # О, имеет 2
*1,2 =
—у/b2 — 4ас
если его дискриминант D = Ь2 — 4ас > 0.
Если D = 0, уравнение имеет один (кратный) корень xi =
Если D < 0, то действительных корней нет.
Теорема Внета. Если ур&ввевие ах2 + Ьх + с — 0 имеет
два действительных корня х\ и х?, то
с	Ь
«1 • *2 =	*1 + *2 =--------
а	а.
Для приведенного квадратного уравнения (а — 1)
*2 4- рх + д = О
эти формулы примут вид
*1 • *2 = 9.	*1 + *2 = ~Р-
$2.1. Уравнения высших степеней
Рассмотрим два основных метода решения уравнений вида
Р(х) = 0, где Р(х) - многочлен степени п, п > 2, - метод
разложения на множители левой части и метод введения новых
переменных.
1. Метод разложения на множители. Он состоит в следу-
ющем. Предположим( что нам удалось разложить многочлен
Р(х) на множители. Тогда уравнение примет вид
Pi(x) P2(x)...Pfc(*) =0
ftlataUauslik
знание без границ Ч **
§2.1. Уравнения высших степеней	23
и равносильно совокупности уравнений
Р1(г) = 0, Р2(х) = 0, .... Н,(*) = 0.
Здесь Pj(x), Р2(х), • • •, Р*(х) - многочлены более низкой сте-
пени, чем п.
Одним из приемов разложения на множители многочлена
является подбор целочисленного корня. Если коэффициенты
многочлена - целые числа, то целые корни уравнения
хп 4- air”*1 + • • • + an = О
следует искать среди делителей свободного члена. Когда це-
лый корень Z] найден, разделим стоящий в левой части мно-
гочлен на х — . Уравнение примет вид
(r-ri)Pi(x) = О,
где степень многочлена Pi (х) уже на единицу меньше. При-
равнивая РЦх) к нулю, получаем уравнение более низкой сте-
пени.
Пример 1. Решить уравнение х4—4х3—13х24-28х4-12 = 0.
Решение. Целые корни ищем среди чисел ±1, ±2, ±3, ±4,
±6, ±12. Проверяя эти числа, находим корень х = 2. Делим
многочлен х4 — 4х3 — 13г2 4- 28х + 12 на х - 2:
х4 _ 4г3 _ 1зР + 28г + 12 | х —2
х4 - 2х3	| х3 - 2х2 - 17х - 6
- 2х* - 13г2
—2х3 ± 4х2
- 17х2 4- 28х
— 17х24-34х
-6x4-12
-6x4-12
0
24
Гт* 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение примет вид
(г - 2)(z3 - 2х2 - 17г - 6) = 0.
Решаем уравнение х3 — 2х2 — 17х — 6 = 0. Методом подбора
убеждаемся, что х = — 3 будет корнем. Разделив на х 4- 3,
приведем исходное уравнение к виду
(х - 2)(ж + 3)(z2 - 5т - 2) = 0.
Квадратное уравнение х2 — 5х — 2 = 0 иЬвеет два корня
б ± х/25 + 3	5 ± \/33
^1,2 ~ о ~ л •
Ответ
Пример 2. Решить уравнение 4т3 - Юг2 + 14х — 6 = 0.
Решение. Целые корни уравнения подобрать не удается.
Для отыскания возможных рациональных корней умножим
уравнение на 2:
8т3 - 20х2 4- 28г —10 = 0,
(2т)3 - 5(2ж)2 + 14(2т) - 10 = 0.
Сделаем замену 2х = t. Получим уравнение
43 - 542 4- 144 - 10 = 0,
корень которого 4=1. Далее
43 - 542 4- 144 - 10 = (4 - 1)(42 - 44 4- 10).
Уравнение 42—444-10 = 0 не имеет действительных корней, по
этому единственный корень уравнения 4 = 1 и, следовательно,
Левая часть уравнения Р(х) = 0 может быть разложен*
на множители способом группировки и с помощью форму*
сокращенного умножения
Natallauswk
знание без ераниц * *
$2.1. Уравнения высших степеней
26
Пример 3. Решить уравнение 8х4 + х8 + 84х + 8 = 0.
Решение. 8х4 + х3 + 64х + 8 = (8х4 + я8) + (б4х + 8) =
х3(8х+1)+8(8х+1) = (8х+1)(х3+8) = (8£+1)(х+2)(х2-2я+4).
Получаем уравнение (8х + 1)(а? 4-2)(г2-2»+ 4) = 0, которое
распадается на три уравнения
8х + 1 = 0; х = -Ь
х + 2 = 0; х = —2;
х2 - 2х 4- 4 = 0 — корне! нет.
2. Метод введения новых переменных. Рассмотрим биква-
дратное уравнение ах4 4- Ьх2 + с = 0. Замена х2 = t, t > 0,
приводит его к квадратному.
Пример 1. Решить уравнение
х4 - Юж2 + 9 = 0.
Решение. Сделаем замену х2 = t, I > 0. Уравнение примет
вид t2 - 10t + 9 = 0. Откуда ti = 1, tj = 9. Следовательно,
X2 = 1 ==> Ж|,2 = ±1; X2 = 9 => *8,4 = +3.
Уравнения вида
ах4 + Ъх3 + сх2 + dx + к = 0
к	А*
называют возвратным, если выполнено условие — = (—) ,
в	в
к / 0. Так как х = 0 не является решением возвратного урав-
нения, то можно разделить обе части уравнения па х2 к после
соответствующей замены получить квадратное уравнение.
Глава X АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 2. Решить уравнение:
4х4 + 12х3 - 47х3 + 12ж + 4 = 0.
Решение. Это наиболее простой случай возвратного урав-
нения а = к, b = d. Разделим уравнение на х2 и сгруппируем
слагаемые
4[ х3 + -4 ) +12[г+- ) -47 = 0.
у х3/	\ х/
Сделаем замену х 4- — = t; тогда х2 4- —j = t2 - 2. Имеем
X	X*
4(Г3-2)4-12*-47 = 0 О
Итак,
11
2 ’
2х2 + \\х + 2
2х
*з =
2х2 — 5х 4- 2
2х
Пример 3. Решить уравнение (х4-1)(*4-2)(х+3)(х4-4) = 3.
Решение.
((х + !)(« + 4)) ((х + 2)(х + 3))=3,
(х2 + 5х 4- 4)(х3 4- 5х 4- 6) = 3.
Замена х2 4- Ьх 4- 4 = t => х2 4- Ьх 4- 6 = t 4- 2; уравнение
примет вид t(t 4- 2) = 3; t2 4- 2t — 3 = 0; tj = -3; <з = 1.
x2 4- 5x 4-4 = -3-	Г*а4-5®4-7 = 0 - решений нет;
х2 4- 5x4- 4=1; в3 4-5x4-3 = 0;	»i,2 = —•
Ответ:
ftalaHausWk
знание без границ “ ж
|3.1. Ураааммяа мкашх ст мм и «й	37
Пржмер 4. Решить уравнение 2(6х+5)3(Зж+2)(ж+1) = 1.
Решение.
(6х + 5)’ • 2(3х + 2)6(х +1) = 6;
(6х + 5)’(6х + 4)(6х + 6) = 6.
Сделаем замену бх + 5 = I. Имеем
t3(t - l)(t + 1) = 6, t2(t2 - 1) = 6, t4-t2-6 = 0;
Г = -2
Р = 3.
„	<-5
Следовательно, х = —-— =
б
— нет решении,
< = ±7з.
±>/3-5
б
р. ±\/5 — 5
Ответ: -------
6
Пржмер 5. Решить уравнение х4 —8х3+Зх3+52х+42 = 0.
Решение. Заметим, что (х3 — 4х)3 = х4 — 8х® + 16х3. Тогда
х4 - 8х® + Зх3 + 52х + 42 = х4 - 8х3 + 1бх3 - 16х3+
+ Зх3 + 52х + 42 = (х2 - 4х)3 - 13(х3 - 4х) + 42.
Сделаем замену х3 - 4х = t\ получим t2 - 13< + 42 = 0.
П1 = 7,
[<2 = 6;
х3 — 4х = 7,
х3 — 4х = 6;
х2 - 4х - 7 = 0,
х2 — 4х — 6 = 0;
®1,з = 2± \ХТТ,
хз,4 = 2±\/1б.
Ответ:
Пржмер 6. Решить уравнение
(х2 - х + I)4 — 6х2(х2 - х + I)2 + 5х4 = 0.
Э8
Глав* 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Решение. Уравнения такого вида называются однород.
ныжи. Так как х = 0 не будет корнем этого уравнения, разде-
лим уравнение на я4, при этом потери корней не произойдет.
Получим
= I. Имеем
Сделаем замену
t2 — 6t 4-5 = 0
=> h = 1; Ъ = 5.
(я3 — я 4- I)3 - я3
я2
(я3 — я 4-1)3 — 5я3
(я3 — х + 1 — я)(яа — я 4-1 4- я) = 0;
(я3 — я 4-1 - у^бя)(я3 — я 4-1 4- Тбя) = 0;
Ответ:
Пржмер 7. Решить уравнение
Зя ( 2я
2я2 - 4я 4-1 + 2я2 - 6я 4-1
Решение, я = 0 не является корнем уравнения, поэтому
можно разделить числитель и знаменатель каждой дроби на
3	4-	2
2я — 4 4- -	2я-б4- -
я	я
§2.1. Уравнения высших степеней	М
Па1аНаи$Ж
знание без границ * *
Сделаем замену 2х + — — 6 = I. Получим
х
3	2	„ -ЗР-Г4-4
—	"t" — = 3. —   11
<4-2 t	t(t + 2)
Пример 8. Решить уравнение (ж 4- 2)4 + (х4- 4)4 = 82.
Решение. Сделаем замену х 4- 3 = t Тогда
(t - I)4 4- (t 4- I)4 = 82. 2t4 4- 12f1 2 4 2 = 82. (4 4-6t2 - 40 = 0;
t2 = —10	- нет решений
t3=4	=> t - ±2; x 4-3 = ±2; x, =M; x2 =-5.
Ответ: — 1; —5
Заданию 1. Решить уравнения
1. а) х4 4- Зх3 - 2х2 — 6х 4- 4 = 0;
б) х3 - 6х2 - 13х 4- 42 = 0,
в) х4 4- х3 — 5х2 — Зх 4- 6 = 0:
г) х4 — х3 — 5х2 — х — 6 = 0
2. а) х3 — х2 - 4х 4- 4 = 0;
б) 2х4 4- х3 - 2х2 — х = 0.
в) х4 4 х3 - 8х = 8;
г) х5 - х4 - 5х3 4- 5х2 = 4 - 4х
3. а) х4 - 2х2 - 3 = 0;
30
Глава 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
б) х4 —8х247 = 0.
4.	а) 2х4 4 9х8 - х2 4 9х 4 2 = 0;
б)	2х4 + Зх8 - 16х2 4 Зх 4 2 = 0;
в)	2хв - Зхв 4 х4 - бх3 4 х2 - Зх 4 2 = 0;
г)	х8 + х2 4- х 4- х*1 4- х“2 4- х“э = б.
5.	а) (х 4- 3)(х 4- 1)(х 4- 5)(х 4- 7) = -16;
б)	(х - 1)х(х 4-1)(х 4- 2) = 24.
б.	а) 64(8х 4- 7)2(4х 4- 3)(х 4- 1) = 63;
б)	16(2х 4 1)2х(х 4 1) = 3.
7.	а) х4 - 2х3 - 14х2 4- 15х 4 56 = 0;
б)	х4 4- бх3 4- 4х2 - 15х - 6 = 0.
8.	а) (х2 4 х 41)4 — Зх2(х2 4 х 4 I)2 4- 2х4 = 0;
б)	(х2 4 2х 4 2)4 - 5х2(х2 4 2х 4 2)2 - 14х4 = 0.
2х	Зх _ 7
9	х2 - 2x47+ х» 42x47 “8’
. х2 — 10х 4 15 _ Зх
б) х2-6x4 15 ~ х2-8x4 15*
10. а) (х 4 З)4 4 (х 4 б)4 = 16;
б) (х2 - бх)2 - 2(х — З)2 = 81.
$2.2. Иррациональные уравнения.
При решении иррациональных уравнении (уравнений, со-
держащих неизвестное под знаком корня или возведения в
дробную степень) следует учитывать, что:
1) все корни четной степени, входящие в уравнения, явля-
ются арифметическими. Другими словами, подкоренное вы-
ражение должно быть неотрицательным и значение корня нео-
трицательно,
2) все корни нечетной степени определены при любом дей-
ствительном значении подкоренного выражения. При этом
^alaHausA
знание без границ '*
$2.2. Иррациотлыгые урамеяия
значение корня имеет тот же знак, что и подкоренное выра-
жение.
Используя эти свойства, иногда можно установить, что
уравнение не имеет решении, не прибегая к преобразованиям.
Например, уравнение у/х + 3 = —2 не имеет решений, так
как квадратный корень не может быть отрицательным чи-
слом. Уравнение \/5 — х — у/х — 1 — 2 не имеет решений, т.н.
его область определения является пустым множеством.
При решении иррациональных уравнении используются два
основных метода: 1)возведение обеих частей уравнения в
одну и ту же степень, позволяющую избавиться от радика-
лов; и 2) введение новой переменной.
При возведении обеих частей уравнения в четную степень
возможно появление посторонних корней. Это происходит,
как правило, либо за счет возможного расширения области
определения исходного уравнения, либо за счет возведения в
четную степень его левой и правой частей, которые равны по
абсолютной величине, но отличаются знаком. По этим причи-
нам при решении иррациональных уравнений с помощью воз-
ведения в четную степень необходимо делать проверку най-
денных корней путем подстановки их в исходное уравнение.
Проверка в этом случае является составной частью решения.
Следует также помнить, что формальное применение свойств
« Зк/~Т а*/~ з*/Г а*	__
корней vab = va v b, у 6 ~	может привести
к сужению области определения, что недопустимо.
Пример 1. Решить уравнение + 16 — х + 4 = 0.
Решение. Уединим радикал и затем возведем обе части в
квадрат
у/х 4-16 = х — 4; => х + 16 = х2 — 8х + 16;
х2 — 9х = 0; => Xi =0, Х2 = 9.
Проверка. показывает, что х> = 0 ~ посторонний корень.
Ответ: [э]
32
Глава 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Решение. Уединим радикал (это обычно упрощает решение
уравнения) и возведем обе части в квадрат:
6>/3 — х = 10 — 2х; Зу^З — х = 5 — г;
Еще раз в квадрат:
9(3—х) = 25—10»+х2; х2 — х—2 = 0; =► »i = — 1, хз = 2.
Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ: | —1;2 .
При решении иррациональных уравнений проверка корней
бывает затруднительна. В таких случаях лучше следить за
равносильностью преобразований.
Пример 3. Решить уравнение >/il + х — y/ib - 4х =
Решение: Преобразуем уравнение к виду у/51 + х
>/^0 — 4х + >/5 + Зх и перейдем к равносильной системе
После упрощений имеем
х - 2 = >/(20 - 4х)(5 + Зх),
5
13х2 - 44х - 96 = О,
22+V1732
’* =—13—
V 3 -
22->/1732
г, = —13—
Системе удовлетворяет лишь корень »i =------—
 —	и
Ответ:
22+ >/1732
13
J2.2. Иррациональны* уравнения	33
^ataHausnii.
Пример 4. Решать уравнение
л/Пх + 3-	л/57+7 + ч/х"="2 = 0.
Решение. Найдем область определения уравнения
'11х + 3>0,
2-х>0,
9х + 7 > О,
, х - 2 > 0;
а? <2,
Так как область определения состоит только из одно* точки
х = 2, то остается лишь проверить, что х = 2 удовлетворяет
уравнению: \/25 — 0 — \75б + 0 = 0- верно. Итак,
Ответ: [g].
Пример 5. Решить уравнение \/2х — 1 + v^x — 1 = 1.
Решение. Возведем обе части уравнения в куб и преобра-
зуем
Зх - 2 + 3</(2х- 1)(я - 1)«/2я^Т +	= 1.
Т.к. по условию — 1 + \/х — 1 = 1, получим
Зх — 2 + 3 </(2х - 1) (аг — 1) = 1,
3</(2х- 1)(х- 1) = 3 - Зх,
У(2х - 1)(х - 1) = 1 - х.
Еще раз возведем в куб, получим
(2х -1)(х - 1) = (1 - г)’, (х - 1)((х - 1)’ + 2х - 1) = 0.
Последнее уравнеие имеет корни xj = 0; хг = 1. Следует за-
метить, что использование исходного уравнения в процессе
преобразования не приводит, вообще говоря, к равносиль-
ным уравнениям. Поэтому необходимо проверить полученные
корни. Оказывается, что х = 0 - посторонни* корень.
г.
34
Глава 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 6. Решить уравнение \fx + 7 — у/х + i = 0.
Решение. Перенесем \/х + $ в правую часть и возведем обе
части уравнения в шестую степень.
(х 4-1)2 = (х 4- 3)э; х3 + 8х2 + 13® - 22 = 0,
(х - 1)(х2 + 9® + 22) = 0, => х=1
Проверка: v8 — v4 = 0, что верно.
Пример 7. Решить уравнение
х2 + Зх - 18 + 4\/ха 4-Зх —б = 0.
Решение. Введем новую переменную у/х^ 4- Зх — б = 1, t >
0. Тогда г2 4- Зх = I2 4- 6 и уравнение примет вид
I2+б-184-41 = 0; Ф=> I2 4-41-12 = 0.
Г<1 =2,
[12 = —6
— не подходит, т.к. 1 > 0.
Далее
v/x24-3x-6 = 2, <=>
х2 4- Зх — 6 = 4,
х2 4- Зх — 10 = 0, Xi = —5, ®2 = 2.
Ответ: —5; 2
|2.2. Иррацмомажикм урмиемиа
3S
Пржмер 8. Решить уравнение y/xqx — уху/х = 56.
Решение. Преобразуем уравнение, перейдя для удобства к
дробным показателям степени
Сделаем замену переменной t9^10 = t, t > 0. Получим
I2-1-56 = 0; Г* = 8’
[ <2 = —7 — не подходит.
Вернемся к переменной х:
г 3/10 = 8, х = 810/3 = 210 = 1024.
Ответ: 1024 .
Применение однородных уравнений:
Пржмер 9. Решить уравнение
Ух2 + 1 + 2х + 3 У1 + х3 - 2х = 4Ух2-!.
Решение. Преобразуем уравнение
У(*+ 1)’ + 3 У(х-1)2 = 4 У(х+!)(»-!).
Поскольку х = 1 не является корнем уравнения, то можно
разделить обе части уравнения на У(х — I)3, при этом потерн
корней не произойдет:
Обоаначим \/---г = t, имеем
V х — 1
<2 + 3 = 4/
[«1 = 1,
[ta = 3.
Эб
Глава 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Вернемся к переменной х.
----- = 1, <=>	--- = 0 — нет решении:
X — 1	X — 1
——- =243
х — 1
122
121
Ответ:
122
121
Прммер 10.
у/х2 +16-6.
Решить уравнение
х/х + 4 + х/х — 4
Решение. Умножим обе части уравнения на 2
х/х + 4 + х/7^4 = 2х + 2у/(х - 4)(х + 4) - 12
и сделаем замену у/х + 4 + у/х — 4 = t, t > 0. Т.н. 2х +
2у/х + 4 х/х — 4 = (х/х + 4 + х/« — 4)2, то получим
= t2 - 12; t2 - t - 12 = 0, I _
= —3 —не подходит.
Тогда
у/х + 4 + у/х — 4 = 4; х/х + 4 = 4 — х/х — 4;
ж + 4 = 16 — 8х/х — 4 + г — 4, х/х — 4 = 1, х = Б.
Проверка: >/5 + 4 +
Ответ: [б]
у/Ь — 4 = 4 - верно.
Пример 11. Решить уравнение
^х3 + у^§а^ +
ftalaHausW.
знаниебезгрвниц **
(2.2. Иррациональные уравнения	37
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители
(ж3 + 81'V'4)l/8 + (23 + 2®'4z3'4)1/3 =
= (х9'4(х3'4 + 23'4))1'3 + (2w/4(28'4 + ж3/4))1/3 =
= х3'4(х3'4 + 23'4)1'3 + 23'4(23'4 + ж3'4)1/3 =
= («3/4 + 23/4)V3(X3/4 + 23/4) _ (л?3/4 + 23/4)4/3
Получим уравнение
(Хз/4 + 2з/4)4/э = з
Отсюда
жЗ/4 + 23/4 = 33/4	х _ (33/4 _ 23/4)4/3
Ответ: | (З3'4 - 23'4)4'3 .
Заданже 2. Решить уравнение:
1)27х + 5 = х + 2;
2)7® + 5 — у/х — 3 = 2;
3)7® + 3 + у/Зх - 2 = 7;
4)757+9- 711® + 1 = 77а?+ 4;
5)73® + 4 + у/х — 4 = 27®;
в)7® + 34 - 77^3 = 1;
7)^24 + ^- ^5 +v7= 1;
8)7®- 1 + 7x^7 - 72ж - 3 = 0;
9)У1 + Тх+ ^1 - у/х = 2;
Ю)^ж + 7® + 11 + У® - 77+ 11 = 4;
11)7х + 2 - 73ж + 2 = 0;
12)7х + 1 +,74ж+ 13 = у/Зх + 12;
13) (ж + 1)7х2 + х —2 = 2х + 2;
14)(ж - 3)Тх2 —5х + 4 = 2ж - б.
^alaHaustik
знание без границ -
Глава 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
82-3. Урашмшш с модулями
Задайте 3. Решить уравнение:
2)2^4ГЛ - 5 =
$ХЗ. Уравненжя с модулями.
При решении уравнений, содержащих неизвестное под зна-
ком модуля (абсолютной величины), следует учитывать опре-
деление модуля
3)х/х2 + 32- 2{/х2 + 32 = 3;
4)2</х + 5<£- 18 = 0;
5)х2 - 4х - 6 = у^2х2 —8x4- 12;
6)(х + 4)(х 4-1) - 3\/х2 4- 5г 4- 2 = 6;
[а, если а > 0,
I —а, если а < 0.
ТАк простейшее уравнение с модулем вида
|/(х)| = 6, b G R,
при Ь < 0 решений не имеет, при 6 = 0 равносильно уравнению
/(х) = 0, при 6 > 0 равносильно совокупности уравнений
/(*) = ь,
Н*) =
Например,
9) У1 4- 2х 4- х2 4- 2 </1 - 2х 4- х2 = 3 Ух2 - 1;
10)	у/4 4- х2 4- 4х + 5 v^4 4- х2 — 4х = бу/х3 — 4;
11)Ух6 4- У243т26 4- ^243 4- Уз2вх^ = 4;
12)Ух7+ У128х*«+ У128 4- v^^x7 = 3;
(5 — х)\ДГ="х 4-(х — 3)у/х"="5 _
 •11	~** !-Я- 1	ямва
|5х2-3| = 2 <=►
15)(х + v/x2 - 1)6(х - у/*2 ~ I)3 = I;
16)5 v^x22 4- Ху/х'<у/х - 22 ’Ух7 = О;
17) УГ+7 +	= №
18) ^2 + х 4- у/2^1: = №
19)х + х/(х +
х - 2) = 2 4- у/х + 6 4-	- 2;
5х2-3 = 2,
5х2-3= -2;
Приведем два способа решения уравнения более общего
вида
1/(*)1 = *(*)•
/ способ. Уравнение равносильно совокупности систем
Г/(®) = Р(«)»	(-/(«)=»(«),
I /(») >0;	I /(х) < 0.
II способ. Если правая часть д(х) имеет более простой
вид, чем /(х), то целесообразно заменять уравнение совокуп-
ностью систем
/(х) = у(х),
U
/(*) = -5(х),
г
40
Глт 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 1. Решить уравнение |za + х — 1| = 2z — 1.
Решение. Уравнение равносильно совокупности систем
х2 + х — 1 = 2z — 1,
2z - 1 > 0;
х2 + х - 1 = —(2z — 1),
2z —1>0;
{Zi =0; za = 1,
2z- 1 > 0;
Решение первой системы совокупности будет z = 1; второй
- X = (-3 4- х/17)/2.
_ Г -З + х/П
Ответ 1; ----------
л»
Уравнения, содержащие несколько модулей, а также те, ко-
торые не сводятся к простейшим вида |/(z)| = д(х), решаются
методом интервалов.
Пример 2. Решить уравнение |z| — 2|z + 1| + 3|z + 2| = 0.
Решение. Разобьем числовую прямую точками 0; -1; -2
на четыре интервала, на каждом из которых можем записать
уравнение без знаков модуля __________ ___—
---
-2	О X
Получим совокупность систем
z<-2,
-	z + 2(z + l)-3(z + 2) = 0;
-	2 < z < -1,
-	z + 2(z + l)+3(z + 2) = 0;
' - l<z<0,
-	z-2(z + l) + 3(z + 2) =0;
z > 0,
z-2(z + i) + 3(z + 2) = 0.
z < -2,
z = -2;
-2 < z < -1,
z = -2;
- 1 < z < 0,
4 = 0;
z > 0,
z = -2.
2 .
Решение имеет только первая система совокупности.
Ответ:
|3.3. Урмншм с модулями
Па1аНаи$Ж
знание без арениц ч *
41
Пржмер 3. Решить уравнение
Решаем методом интервалов, учитывая, что I > 0.
О
///
//
2
- (< - 2)~- (t-3) = 1;
t = 2; - нет решениА,
<-2-(<~3) = 1;
t = 3, - нет решении.
Итак, решением уравнения с модулем получился промежу-
ток [2;3]. Следовательно,
Ответ: [5; 10] .
Пржмер 4. Решить уравнение
Решение. Преобразуем левую часть
16-х’	8(16-х’
42
Глава 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Имеем
8|1б -	= ~8	1«в-«’1=-(1в-»3).»#±4.
что возможно лишь при условии 16 — х2 < 0, т.е. х G
(-сю; -4) U (4; +оо).______
Ответ: (—сю; —4) U (4; +оо) .
Пример S. Решить уравнение (х2 — 5х + 6)2 — 5|х2 — 5х +
6| - 6 = 0.
Решение. Введем новую переменную |х2 — бх + 6| = <, t > 0.
Получим уравнение
t2 - Ы - 6 = 0
<1=6, х2 — бх + 6 = 6;
<а = — 1, - не подходит.
Xi = 0, ха = б;
Ответ: 0; б .
Задание 4. Решить уравнение:
1)|х + 2| = 2(3 — х);	2)|3х - 2| + х = 11;
3)|х’ - 7| = 2;	4)1» - х’| = 5;
б)|7х - 12| - |7х - 11| = 1;	в)|Б» - 13| - |в - 5х| = 7;
7)||х-1| + 2|=1;	8)||»|-2| = 1;
9)||х|-1| = 4 + «;	Ю)|х - |4 - »|| - 2» = 4;
11)|х - 1| + |х - 2| + |х - 3| = 2; 12)|х - 3| + |х + 2|-
13)|х’-4х + 3|+	-|х-4| = 3;
+ |х’-бх + 6|= 1;	14)|х’- 9| + |х - 2| = 5;
Задание 5. Решить уравнение:
= |*+ 1|;
= к 4-3|;
знание без границ	* w
$2.3. Урмхмпм с модошмм
3)(х 4- 2)3 = 2|х + 2| + 3;
4)(х4-1)2 + |х4-1|-2 = 0;
Ь)\/г 4- 2Vx — 2 — 1 + \jх — 2у/х — 2—1 = х - 2;
б)х/х3 - бх 4- 9 4- \/х2 +4х +4 = х - б;
7)^/х 4- 2у/х -3-2 + ^х - 2>/х — 3 — 2 = х - 3;
8)\/х3 — 2х 4- 1 4- \/х3 —4x4-4 = х — 3;
Ух-2у/5?9(х-б.9)
9) VX-5.9-VO
Контрольная работа по теме: “Алгебраические уравне-
ния”
Решить уравнения:
I вариант
1) (х3 4- 2х)а - (х 4- I)2 = 65;
5) 4V7+T=|2x-l|4-3;
б)
|х3 — 4х| 4- 3
х3 4- |х - 5|
7) |16 — 9х| — |9х — 5| = 11;
8) >/бх 4- 1 — \/х — 3 = \/Зх 4- 4.
Глава 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
II вариант
1) (а?3 + 2а?)3 - 7(а?3 + 2х) + 6 = 0;
3)	(г — 3) V*a?3 —ба? + 4 = 2а? — 6;
4)	ii;ii-2=l*+,|i
5)	|г3 - 4« + 3| + |а?3 - 5а? + 6| = Г,
6)	|8а? - 8| + |8а? + 5| = 13;
7)	\/8 - 2ж + г3 = \/а?3 + 2 + ?б -2ж;
$3.1. Решение квадратных неравенств	46
Глава 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ
НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Две функции, соединенные между собой одним из знаков
>»<»>»<• образуют неравенство . Всякое значение х, при
подстановке которого это неравенство обращается в верное
числовое неравенство, называется решением неравенства. Ре-
шить неравенство - найти все его решения или доказать, что
их не существует.
При решении неравенств преобразуют обе части, заменяя
неравенство равносильным. Равносильными называются не-
равенства, множества решений которых совпадают.
Преобразования неравенств осуществляются в соответ-
ствии со следующими правилами:
1.	Если из одной части неравенства перенести слагаемое
в другую, изменив его знак на противоположный, получим
неравенство, равносильное данному.
2.	Если обе части неравенства умножить или разделить на
одно и то же положительное число; то получим неравенство,
равносильное данному.
3.	Если обе части неравенства умножить или разделить на
одно и то же отрицательное число, изменив его знак на проти-
воположный, то получим неравенство, равносильное данному.
$3.1. Решение квадратами неравенств.
Рассмотрим неравенства вида
ах2 4- Ьх + с > 0 (< 0), а / 0.
ГммЭ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА...
4в
Возможны 6 случаев:
3) а > О, D > О
1) a >0,£><0
2) а>0,£> = 0
t • • > О (-оо;+оо)
4) а < О, D < 0 б) а < О, D = 0	6) а < 0. D > О
Пржмер. Решить неравенство:
а)	2»2+5ж4-2 >0; х\ = —2; х? —
Ответ:
^lalaHausx
знаниебезграниц **
|3.1. Решение квадратных неравенств
6)	ха—6x4-9 > 0; (х-3)2 > 0;
Ответ: (—оо; 3) U (3; 4-оо) .
в)	25—ха >0;	= —5, «2 = 5.
Ответ: [—5; 5]
г)	(х4*1)2 <0;
Ответ: |х — —1
Задайте 1. Решить неравенство:
1)х2 — 4» > 0;
3)х2 — х < 0;
5)х2 — 4х — 5 > 0;
7)х2 - 4х 4* 6 > 0;
9)ха4-4х4-4 <0;
11) — х2 4-х — 2 < 0;
13)3*-ж’-4 <0;
15)3х2 - 6х + 8 < 0;
17)4х — 2х3 — 5 > 0;
га	2х	Зх-10
' 3	3	4	’
21)х(х+1) >2(1 —2х —х2);
23)х3 4- 9 < 0;
2)ха + 4х > 0;
4)х2 + 4х < 0;
6)х2-4х-5<0;
8)х2 - 4х + 6 < 0;
10)х2 + 4x4*4 > 0;
12)х-х’-2>0;
14) - х2 + 3ж - 4 > 0;
16) - 2ха + 4х — 5 < 0;
18)х(х+1) < 2(1 — 2х —х2);
20)—+ 2 >If;
40^	10’
22)2х(х — 1) < 3(х + 1);
24)4х2 + 12х + 9 < 0.
48	Глава 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА...
$3.2. Метод жжтервалов для решежжя рацжожальжых
веравевств.
Решение рациональных неравенств вида /(х) > 0 (/(х) <
0), где /(х)~ либо многочлен, лнбо отношение многочленов
основано на следующем свойстве непрерывной функ-
Qw
ции. Если непрерывная функция /(х) обращается в ноль в
точках xi и х3 («1 < х3) и между этими точками не имеет
других корней, то в промежутке (xj; х3) функция сохраняет
знак. Поэтому для нахождения промежутков энакопостоян-
ства на координатной прямой отмечают все точки, в которых
левая часть неравенства /(х) обращается в ноль или не суще-
ствует (терпит разрыв). Для того, чтобы определить знак ле-
вой части в рассматриваемом промежутке, достаточно найти
знак /(х) в какой либо ’’пробной” точке этого промежутка.
Пржмер 1. Решить неравенство (х 4- 3)(х + 2)(х — 1)х > 0.
Решение. Приравнивая сомножители к нулю, ищем корни
и откладываем их значения на координатной прямой:
Ответ: (-оо; -3) U (-2; 0) U (1; +оо)
Пржмер 2. Решить неравенство (х - 2)3(х +1 )(х — 1)3(х2 4*
2x4-5) <0.
Решение.
ftataiiaustil!.
знание без ераниц Ч *
Метод интервалов...	49
Пример 3. Решить неравенство
ж8 - бх7 + 9хв - х2 + бх - 9 < 0.
Решение. Разложим левую часть неравенства на множи-
тели:
(х® - х2) - (бх7 - бх) + (9хв - 9) = х2(хв - 1)-
- 6х(хв - 1) + 9(х6 - 1) = (хв - 1)(х2 - бх 4- 9) =
= (х3 — 1)(х3 4-1)(х — З)2 =
= (х - 1)(х2 + X 4- 1)(х 4- 1)(х2 - X 4- 1)(х - З)2.
Получим
(х - 1)(х 4- 1)(х2 4- X 4- 1)(х2 - X 4- 1)(х - З)2 < 0;
Ответ: (—1; 1)
Пример 4. Решить неравенство
3(е- )(* + 2)а
(г’ + 1)(х+1)’(*-2) "
Ответ: (—оо;-1)U(-1; 1|и(2;+оо)
50
Глава 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА...
Пример 5. Решить неравенство
1	5
2- х 2 + х
< 1.
Решение. Перенесем единицу в левую часть, приведем
дроби к общему знаменателю и разложим на множители чи-
слитель и знаменатель.
1
2 — х
- 1 > О
х2 — 4х 4- 8
(2 - х)(2 4- х)
>0;
Числитель корней не имеет, х2 — 4х 4- 8 > 0 при любом х.
Имеем,
Ответ: (—2; 2)
Задание 2. Решить неравенство:
Зх2- 10x4-3
2)х3- 10x4-25
(* - 3)(х 4- 2)
Г2-1
15) — 9 < х4 — 10х2 < 56;
' х3 4- 3x4- 2~
.«♦*»+*»-> < 0.
X*
14)т3 4- т2 — т — I > 0;
16)216хв4- 19х3 < 1.
^aiaUausl^i
знание без границ “ ш
Овстамы и совожужостя трамисг*
51
Задаиша 3. Решить неравенство:
(* + 2)2 )
х9 4- Зх3 — х — 3
х2 4 Зх - 10
>0;
3)(х2 4 4х 4 10)2 - 7(х2 4 4х 4 11) 4 7 < 0;
3	, 25х - 47	3
бх2 - ж - 12 < Юг - 15 Зх 4 4’
2-х	1 — 2ж
х8 4 х3 > х9 — Зх2 ’
(х2 — х — 2)(ж2 4 5х 4 6)
(ж2 - 2х - 3)(ж2 - 5ж 4 4) “ ’
(ж2 4 2х - 3)(ж2 4 5ж 4 4)
(ж2 4 ж — 2)(ж2 — 5ж — 6) “
$3.3. Системы и совокупности неравенств
с одной переменной.
Говорят что несколько неравенств с одной переменной
образуют систему, если ставится задача найти все общие
решения ( пересечение множеств решений ) заданных вера*
венств. Неравевства.образующие систему объединяют фигур*
ной скобкой. Например,
6x42 > Зх - 1,
Зх 4 11 > 8х - 4;
Ответ: (-1;3]
з
52
Глава 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА...
Говорят, что несколько неравенств с одной переменной
образуют совокупность , если ставится задача найти все та-
кие значения переменной, каждое из которых является реше-
нием хотя бы одного из данных неравенств (т.е. найти объ-
единение множеств решений этих неравенств) .Для обозначе-
ния совокупности неравенств используют квадратную скобку.
Например,
‘ 2х — 3 Зх — 2
~5~ > ~2~
х , Зх
-з + > Т;
Ответ:
7
Пржмер 1. При каком а неравенство
(а 4- 1 )г2 - 2(а — 1)х 4- За — 3 > О
выполняется при всех значениях х?
Решение. Требования задачи будут удовлетворены при од-
новременном выполнении условий <14-1 > 0 к D < 0. Таким
образом, получим систему
а 4- 1 > 0,
4(а — I)2 — 4(а 4-1)(3а — 3) < 0;
а > -1,
а2 4- а — 2 > 0.

Ответ:
а G (1;4-оо)
Пржмер 2. При каких значениях р оба корня квадратного
трехчлена х2 4- 2(р 4- 1)х 4- 9р — 5 отрицательны?
Решение. По теореме Виета п 4- «2 = — (2р 4- 1),
NataHausiiBi
знание Вез араниц “ *
Системы и совокупности неравенств
63
х2 = 9р—5. Так как оба корня по условию отрицательны,
то «1 + ха < О, Х| • ха > 0. Учитывая, что дискриминант
должен быть положительным, получим систему
{- (2р+1)<0,
9р — Б > 0,
4(р4-1)2 — 4(9р —5) > 0;
1
Р>“2’
5
< Р>9.
Гр< 1»
1р>6;

'/77774 '/777777. '//////}
Ответ:
///7Л'//7/7*7'/////<\	\//////}
Задание 4.
1)	При каком наименьшем целом к квадратный трехчлен
(к — 2)х2 + 8х 4- к + 4 положителен при всех х?
2)	При каком наименьшем целом а трехчлен (а — 1 )х2 — (а 4-
1)х 4- a 4- 1 положителен при всех х?
3)	При каком наименьшем целом а трехчлен (а - 3)х2 —
2ах 4- За - б положителен при всех х?
_	2
4)	При каких значениях тп неравенство х* — тпх > — вы-
т
полняется при любых х?
5)	Найти все значения а, при которых выражение
У(а 4- 1)х2 - 2(а'- 1)х 4- За - 3
имеет смысл для любых действительных х.
6)	При каких значениях т оба корня уравнения (т-2)х2 —
2тх 4- т 4- 3 = 0 положительны?
64
Глава 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА...
7)	Пре каких значениях тп корим уравнения 4х2 — (3m 4-
1)х — т — 2 = 0 заключены в промежутке между — 1 и 2 ?
ах
8)	При каких значениях в неравенство <1.5 выпол-
няется для любых действительных значений х?
ГТ	х2 4- mx - 1
9)	При каких значениях т неравенство	$ < 1
выполняется для любых действительных значений х?
х2-тх-2	,
10)	При каких значениях m неравенство —=— --> — 1
х2 - Зх + 4
выполняется для любых действительных значений х?
§3.4. Неравенства с модулями.
Рассмотрим примеры замены простейших неравенств, со-
держащих неизвестное под знаком модуля, системами и сово-
купностями неравенств. Пусть /(х) и j(x) - некоторые функ-
ции, тогда
1°. |/(х)|<$(х)
2°. |/(х)|>р(х>
/(х) < $(х)>
/(я) > -f(x).
/(») > f(«),
/(х) < -л(х).
Пржмер 1. Решить неравенство |х — 6| < х2 — бх 4- 9.
Решение. Неравенство равносильно системе
х — б < х2 — бх + 9,
х — 6 > —(х2 — бх 4- 9);
х2 - бх + 15 > 0,
(х - 1) (х - 3) > 0.
Решением первого неравенства является вся числовая пря-
мая, так как его дискриминант отрицателен. Решением вто-
рого является промежуток (—оо, 1 )и(3; +оо), который и будет
пересечением множеств решений неравенств системы.
Ответ: I -оо; 1) U (3; 4-оо) I
4\alaHausiili
знание без границ Ч «Ь
|3.4. Нярамистш с модулями ...	ОТ
Пример 2. Решить неравенство |х2 — 2х — 8| > 2х.
Решение. Неравенство равносильно совокупности нера-
венств
х2 — 2х — 8 > 2х,
х2 — 2® — 8 < -2х.
г2 — 4х — 8 > О,
х2 - 8 < 0.

Ответ: (—оо; 2у/2) U (2 + 2>/3; +оо)
3°. Неравенства более общего вида, содержащие одно или
несколько выражений под знаком модуля, решаются методом
интервалов.
Пржмер 3. Решить неравенство ————— > 2.
Решение. Разобьем область определения на два проме-
жутка, на каждом из которых можно записать неравенство
без знака модуля:
Исходное неравенство равносильно объединению двух систем
«<3,	р>3,
-(* -3) U J х —3	>
х2 — Ъх + 6 “ ’ I х2 — 5х 4- б
Решим первую систему:
х < 3>	f х < 3,
~(* - 3)	4=> < х- 1-5 п.
(х-2)(х-3) " ’ I х-2 “*
Глава 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА...
бб
♦
Решим вторую систему:
* _ 3,
(*-3)
(х-2)(х-3)" ’
<0;


Ответ : (1.5; 2)
Пржмер 4. Решить неравенство |х — 1| + |2 — х| > 3 4- х.
Решение. Разобьем числовую прямую точками х = 1 и
х = 2 на три промежутка и решим данное неравенство на
каждом промежутке.
На 1-ом:
я < 1,
- (х - 1) + (2 - х) > 3 + х;
<=> х е (-оо;0).
$3.4. Неравенства с моду мыв ...
х > 2,
(»-!)-
*> 2,
<=► г 6 (6; +оо).
Объединяя найденные решения, получаем
Ответ: (—оо; 0) U (6;+оо)
4°. Неравенства вида
1/001 > IHOI
иногда целесообразно решать не методом интервалов, а пере-
ходя к равносильному неравенству
/’(х)>,’(х),
которое в свою очередь сводится к неравенству
/’(«)-?(«)> о «=> (Дх) -«(х))(/(х) + ,(»)) >0.
Пример 5. Решить неравенство |г — 1| > |г|.
Решение. Данное неравенство равносильно неравенству
(z-l)2>z2 <=> (г-1-z)(z-1 + z) > 0 <=>
Ответ:
>8
Глав* 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
|3.4. Неравенства с модулям*
знание без границ	Ч*
59
Задание 5. Решить неравенство:
1) |z —3|> —Г,
3) |5 — 8z| < 11;
5) |2z - 3| < 4;
7) |z2 — 2х| < х;
9) jz — в| > х2 — 5х + 9;
11) |z24-4z4-3|>z4-3;
13) |z2-l|>z24-l;
2) |z24-21z4-34| < -1;
4) |2x+l|>5;
в) |5z — 4| > 6;
8) |z2 - 3x| 4- z - 2 < 0;
10) |x2 - 2x - 3| < 3x - 3;
12) |z2 — 6z 4-8| < 4 — x;
7)!t±2|-t<2;
8) 21 ~*6 > -1-
'к-8|	*’
»)
10) |2х 4- 3| > |х| - 4х - 1;
15)
> 1;
14)
16)
2z- 1
<4;
17) |z24-3zj > 2-х2;
19) |х2 —1|<3х;
21) 2|x+l|>z + 4;
23) |х2 - 5х| < б;
25) |х2 — х — 8| < z;
27) |z — 2z2| > 2z2 — z.
z —3
z — 5
>i;
18) z2 - x - 2 < |5z - 3|;
20) |2z - 1| > x - 1;
22) |4z2 4-21z 4-84| < —3;
26) |z2 4- 6z 4- 8| < —z2 — 6z — 8;
Задание в. Решить неравенство:
1) |2х - 1| < |» + 3|;
2) (|» - 1| - 3)(|х 4- 2| - 5) < 0;
3)х’-5|х|4-6<0;
4) ||х- 1|-5|<2;
5)
6)
(1 + х)(2 4-
х2 — |х| — 2 -
|х4-3|4-х
11)2|х|<4+к+1|;
12)	|х- 1| + |х + 2|-|х-3| >4;
13)|х + 2| + |х + 1| + |х-4|>0;
14)	|х - 1| - 2|х - 2| + 3|х - 3| < 4;
15)	|х - 1| - |х| + |2х + 3| > 2х 4-4;
16)	|х 4- 3| < 3 4- |х|;
П)
18)
19) I* > о-
х’-5x4-6 ~ 21
-|ж+21!
21) (к! - 8)(|х| - 2) > 0;
22) (|х| - 3)(|х| 4- 7) < 0;
25) |7 — 2х| < |3х — 7| 4-|х + 2|;
27) |х - 1 - х’| < |х’- Зх 4-4|;
26) |х’ -к11<
4
28) |2z2 - х - 10| > |г2 - 8х - 22|.
60
Глава 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА...
§3.5. Иррациональные неравенства.
Основным методом решения иррациональных неравенств
является метод сведения исходного неравенства к равносиль-
ной системе рациональных неравенств или совокупности та-
ких систем. При этом следует помнить, что если обе части
неравенства на некотором множестве X определены и прини-
мают только неотрицательные значения, то возведя обе части
неравенства в квадрат или другую четную степень и сохра-
нив при этом знак исходного неравенства, получим неравен-
ство, равносильное данному (на множестве X ).
Возведение в нечетную степень с сохранением знака не-
равенства всегда является равносильным преобразованием.
Приведем примеры решения простейших иррациональных
неравенств.
1°. ’-+</7М < j(r) <=>	/(x)<s2n+1;
2°. ’"+</7W > s(«)	<=>
3°. Ч/7Щ < «(»)	<=>
I /(*) > 0,
< g(x) > o,
l/(z)<y2"(z);
g(*) < o,
/(x) > 0;
g(z) > o,
/(x)>y2n(z).
Пример 1. Решить неравенство y/x~+ 5 < 1 — x.
Решение. Неравенство равносильно системе (см. 3°):
' х + 5 > 0,	( х > —5,
< 1 - X > 0,	<=> J X < 1,
, X 4- 5 < (1 - Zp; I (ж + l)(r - 4) > 0;
^alatiaus^ii
знание Саз ераниц “
§3.5. Иррациональные неравенства ..	61

/4//4//^/4/4//А

*е[-5;-1).
Ответ: (—5;—!)
Пример 2. Решить неравенство у/ —х* + бх — 5 > 8 — 2х.
Решение. В соответствии с 4° исходное неравенство равно*
сильно совокупности двух систем
8 - 2х < О,
- х2 + бх — 5 > 0;
8 — 2х > 0,
— х2+6х —5 > (8 — 2х)2.
{х > 4,
- (х - 1)(х - 5) > 0;
{х < 4,
5(х — 3)(х — 4.6) < 0.
4

х 6 (4; 5].

хе (3,4].
62
Глава X АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА...
Решением исходного неравенства является объединение этих
промежутков:
Ответ: (3,5]
Чтобы избежать ошибок при решении неравенств более об*
щего вида, следует прежде всего найти область определения
исходного неравенства, а затем обосновано осуществить рав-
носильный переход на всей области определения или на ее ча-
стях.
Пржмер 3. Решить неравенство (ж — l)\^z2 — z — 2 > 0.
Решение. I способ. Найдем область определения:
х2 _ х - 2 > 0- zz/zzzz42?w_____________________
, 4 _ и,	-Г
г Е (—оо: — 1] U (2;+оо).
Числа «1 = —1 и zj = 2 являются решениями неравенства
(дают случай равенства). На остальной части области опре-
деления, т.е. при z € (—оо; — 1 )U(2; +00) корень \/zJ — z — 2
строго положителен, следовательно исходное неравенство рав-
носильно неравенству z — 1 > 0. Имеем систему
| z Е (-00; -1) U (2; +оо);
t z — 1 > 0.
z € (2; +00).
С учетом уже найденных решений Z| = — 1; гд = 2 получаем
ответ: z = — I; z Е (2. +оо)
II способ. Неравенство может быть решено методом ин-
тервалов. Найдем область определения неравенства: z Е
(-оо; — l]U[2;+oo) и корни первого и второго сомножителей
Zi = 1; zj = — 1: zs = 2. Нанесем корни на числовую прямую
и определим знаки левой части неравенства в промежутках,
принадлежащих области определения
ftataHausnk
знание без границ * *
§3.6. Иррациональные неравенства ...
«3
Пржмер 4.
Решить неравенство >-----------< 4.
у/2х — 3 — 1
Решение. Избавимся от иррациональности в знаменателе
дроби. Для этого домножим числитель и знаменатель дроби
на выражение, сопряженное к знаменателю, т.е. на сумму
у/2х — $ 4-1. Получим
(ж-2)('/5^3+1)	(x-2)(v^7^3+l)
2х - 3 — 1	<	2(х-2)	’
При х / 2 имеем право сократить дробь на х — 2 . После
преобразований получим
\/2х"=~3 < 7,
х#2;
{2х - 3 > О,
2х - 3 < 49.
х#2;
Ответ:
(1.5; 2) U (2; 26)
Пржмер 5. Решить неравенство >/х + 2 — y/bx > 4х — 2.
Решение. Найдем область определения неравенства:
х + 2 > О,
5х > 0;
х > 0.
Умножим обе части неравенства на положительное выражение
у/х + 24- у/5х:
х + 2 — 5х > (4х — 2)(\/х + 2 + у/5х) <=>
0 > 4х — 2 + (4х — 2)(л/Г+2 +	<=>
(4х - 2)( 1 + у/Г+2 + ч/б7) < 0;
Учитывая область определения, а также то, что выражение во
второй скобке строго положительно, получим систему
4х — 2 < 0,
х > 0;
Ответ:
1
Х<2'
х > 0;
64
Глав. 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА...
Пржмер 6. Решить неравенство у/х — у/бг + 1 < у/Ъя + 1.
Решение. Найдем область определения неравенства:
г > О,
6ж + 1 > 0, <=> х Е [0; 4-оо)
2z 4-1 > 0;
Далее перенесем у^Ъх 4- 1 в правую часть. Так как обе части
неравенства теперь положительны, можно возвести неравен-
ство в квадрат, при этом получим на множестве х Е [0; 4-оо)
равносильное неравенство
х < 6г 4- 1 4- 2\/6z 4- 1у/2х 4- 1 4- 2я 4-1 <=>
2у/Ьх 4- 1у/2г 4-1 > -7г - 2.
Последнее неравенство при х Е (0; 4-оо) выполняется всегда.
Получаем ответ
Ответ: [0; 4-оо)
Пржмер 7. Решить неравенство
3
2*
Решение. Сделаем замену переменной
Получим систему
= t, t>0 .
2«-2)(t+|) n
2t
t > 0.
Решением системы будет промежуток t Е (2; 4-оо) . Осталось
решить простейшее неравенство
5 — 3z
х - 1
>0<=>»е (1;|)
\ V /
Ответ :
1\laiatiausilli
знание без границ	Ч
§3.6. Иррациональные неравенства ...
65
Пример 8. Решить неравенство
\/ж2 — Зж — 4 > —3 .
Решение. Так как квадратный корень не может принимать
отрицательные значения, то неравенство выполняется всюду
в области определения. Остается лишь найти область опреде-
ления:
ж2—Зг—4 > 0 <=> (ж—4)(ж+1) > 0 <=> х 6 (—оо; —1]и(4;+оо).
Ответ:	(—оо; — 1] U [4; +оо)
Задание 7. Решить неравенство:
1)	\/9ж - 20 < х;
2)	\/х2 + 4х + 4 < ж + 6;
3)	У‘2ж -h 14 > ж 4- 3;
4)	\/2ж2 — Зж — 5 < ж — 1;
5)	\Jx2 — 2х > 4 — ж;
6)	у/х + 78 < ж + 6;
7)	\/2х - 1 < ж;
8)	yjx + 14 < ж + 2;
9)	х/(ж + 2)(ж — 5) < 8 — ж;
10)	у^ж2 -I- ж — 2 > ж;
11)	2ж — 3 < 2\/ж2 -9;
12)	х/(ж - 3)(2 - ж) < 3 + 2ж;
13)	ж < убг2 — ж — ПО;
14)	\/ж3 + Зж + 4 > -2;
15)	^ТТ2 < -5;
16)	«Г=Т<3;
17)	у'Зж — 8 < -2;
3.
66
Глава 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА...
18)	У^7+~Т > — 8;
19)	(х + 1)>/7+ 4Ух + 7 < 0;
20)	(х+1)/(х + 4)(х + 7) <0;
21)	(» + 3)Л^>0;
V о — х
22)	(х + 3)^Е2>0;
уВ — х
Уб + х - х2 Уб + х — х2
23)	2х + 5	~ х + 4	;
24)	- 2х - х2 х/8 - 2х - х2
' х + 10	“	27+9
Задание 8. Решить неравенство:
2- ут+"з 1
х-1	> "З’
5)Ух 4- 4 + Ух — 4 > У5х;
в)Ух — 2 + Ух + 2 > х/2х;
7)х < 1 —	— ху/\ + х2;
8)х < — 1 — у 1 - хУГ+7^;
9)УГ+7+	> гУГТР;
10) х/2 + х + У2 — х > 2 \/4 — х2;
11) Ух”-4 > Ух”-2 - У2;
12)Ух+ 4 > УТ+2 + У2;
13)\/10х-х2 > 5 - \/25 - х2;
^atatlauswk
знание без ераниц В «Ь
§3.5. Иррациональные неравенства...
67
14)	\/4х - х2 > 2 — v^4 — z2;
15)	{/(1 + х)2 4- 4 </(1 -х)2 > 5 У1 - х2;
17)</хТТ 4- #Г+2 + х/7+3 < 0;
16)	</(2 4- х)2 4- 4 {/(2-х)2 > 5 {/4 - х3;
18)	4-х/Г^2 > У2х - 3.
Контрольная работа по теме: “Алгебраические нера-
венства”
Решить неравенства!
/вариант
1)	|2хэ - 9х + 15| > 20;	1)
2)	|5®+1| — |2х — 4| > 3;	2)
х3 ~ 4х
3)	< °’	3)
х‘ 4- 4х — 61
4)	\/Зх - х2 < 4 — х;	4)
5)	(х — 2)\/—х2 4-4х 4-6 > 0; 5)
6)	4х4 - 9х2 + 2 < 0;	6)
7)	>/57+6 < -5;	7)
8)	х2 - 14х 4-49 < 0.	8)
II вариант
|х2 - 5х| < 6;
х2 4-|5х — 4| — 1 < |Зх-2|;
1 1 < 1
х — 2 х “ х + 2’
\/х2 + 4х + 4 < х 4* 6;
(х - 1)\/16-х2 < 0;
х2 — 4(\/х)2 — 12 < 0; •
>/Зх - 8 < -2;
х2 4- 16х 4- 64 < 0.
68 ГЛАВА 4. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Глава 4. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
§4.1. Показательные уравнения.
Показательными называются уравнения, у которых пере-
менная входит в показатель степени.
Решение показательных уравнений основано на свойствах
показательной функции у = ах, а > 0, а / 1:
1°. Область определения - множество R всех действитель-
ных чисел.
2°. Множество значений функции - множество всех поло-
жительных чисел: а* > 0 для всех х G R.
3°. При а > 1 функция возрастает, т.е. если Х\ < х?, то
а*1 < а*3. При 0 < а < 1 функция убывает, т.е. если Xj < х?
, то а** > а*3.
4°. аХ| = аХз тогда и только тогда, когда х\ = xj.
На последнем свойстве основан метод решения простейших
показательных уравнений вида
а?^ = а9^, а > 0, а -ф. 1
путем приведения левой и правой частей к одному основанию,
т.е.
а/(г) = aff(r) <=>	/(z) = з(х).
Natatfausfiili
знание без границ	Ч «Ь
§4.1. Показательные уравнения ...
69
Пржмер 1. Решить уравнение: а) 6х = 216;
б) 10*’+*-2 = 1; в) 4х = в2*"3.
Решение, а) Число 216 можно представить как 63, тогда
уравнение примет вид 6х = 63 => х = 3. Ответ: 3	.
б) Поскольку 1 = 10°, то данное уравнение равносильно
уравнению х2 + х — 2 = 0. Ответ: —2; 1
в) Приведем обе части к одному основанию 2: 4х = (22)х =
22х; 82х~3 = (23)2х~3 = 26х”9. Получим

22г
2х = бх — 9
Ответ:
g
Пржмер 2. Решить уравнение З2*”1 • 53х+2 = г- • 52х • З3*.
О
Решение. Для того, чтобы упростить переход к единому
основанию, раздел им обе части уравнения на выражение,
стоящее в правой части (это можно сделать, т.к. показатель-
ная функция в ноль не обращается). Получим
32г-1.5Зх+2
(9/5) • 52х • З3* ~ 1
г+З = 0 .
Ответ:	— 3
При решении показательных уравнений часто используется
такой прием, как вынесение общего множителя.
Пржмер 3. Решить уравнение:
б) 4* - з»->/2 - з*+1/2 _ 4«-1/2
а) 52х+1 — 3 • 52х“* = 550;
Решение, а) Вынося в левой части уравнения 52х-1 за
скобки, получаем
52х-1(52 -3) = 550;
52х-1 22 = 550; <=> 52х”‘= 25;
2г-1 = 2; <=>х = |.
Л»
70 Глава 4. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Ответ: 3/2
б) В данном уравнении присутствуют два различных осно-
вания. Сгруппируем члены, содержащие степени с одинако-
выми основаниями;
4’ + 4"‘^ = 3'+'/2 + З'-'/2;
Вынесем общие множители за скобки в левой и правой части
4*-1/2(2+ 1) - з»-»/2(з+ 1)
Разделим на выражение, стоящее в правой части, получим
* — 3/2
Ответ: 3/2
Уравнения, левая и правая части которых не приводятся к
одному основанию, решаются при помощи логарифмирования
левой и правой частей уравнения.
Пример 4. Решить уравнение 52х-1 = 73-г.
Решение. Прологарифмируем уравнение по основанию 5 ,
получим равносильное уравнение
2z — 1 = (3 — х) log5 7 <==> г(2 4- log5 7) =
Ответ:
1 4-31ogs7
2 4- log5 7
Уравнения вида /(а*) = 0 при помощи золены переменной
t = ах, t > 0 , сводятся к решению равносильной ему сово-
купности простейших показательных уравнений аТ = 1\,ас —
t-2,.. .,ах =tk, где	-	- корни уравнения /(<) = 0 .
ftataltausjiiil
знание без границ Ч *•
§4.1. Показательные уравнения ..
71
Пример 5. Решить уравнение 52* — 2 • 5* — 15 = 0.
Решение. Пусть 5* = t,t > 0. Тогда 52* — t2. Для новой
переменной получим уравнение t2~ 2i —15 = 0 Его корни ti —
-3 (не подходит, т.к. t > 0), <2 = 5- Вернемся к переменной х
5* = 5
<=> х — 1. Ответ: 1
Применение однородных уравнений. Уравнения, содержа-
щие три различных основания, как правило, являются од-
нородными и решаются делением на одну из показательных
функций.
Пример в. Решить уравнение 27* + 12* = 2 • 8*.
Решение. Разделим уравнение на 8*, получим
Сделаем замену переменной (3/2)* = t,t > 0. Имеем
t3 +1 - 2 = 0
(f - 1)(42 + t 4- 2) = 0.
Единственный корень: 4 = 1, т.е. исходное уравнение равно-
сильно уравнению (3/2)* = 1 <=> х = 0 .
Ответ: 0
Применение различных методов.
Пример 7. Решить уравнение:
а)	(^2 + Л)’+ (\/ГД/5)'= 4;
6)	(yj2 + Л)’ + (\А - Л)' = V ,
в) 2— 1(7 + 3%/5)'-3(3 + л/5)*4 2 = 0
72 Глава 4. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Решение, а)
Поэтому 2 —
Заметим, что (2 - >/3)(2 + х/З) = 4 — 3 =
Ъ =
3
= (2 + х/З)”1. Тогда исходное
уравнение принимает вид
(2 + х/З)*'2 + (2 + Л)"*/2 = 4
и заменой (2 + у/5)*12 — t, t > 0 сводится к уравнению
t2 - 4t + 1
Уравнение имеет два корня (оба положительны).
tl = 2-V3 = (2 + y/3)-1,	Г(2 + х/3)*'2 = (2 + а/ЗГ1;
12 = 2 + ч/3;	[(2+\/3)*/’ = 2 + V/3;
'«/2= -I;
z/2 = 1;
Ответ: —2; 2
б) Легко убедиться, что х = 2 является корнем данного
уравнения. Докажем, что других корней нет. Для этого раз-
делим обе части уравнения на 2Г, получим
Так как 0 <	— < 1 и 0 < » 2у~ < 1, то обе пока-
зательные функции, стоящие в левой части уравнения, моно-
тонно убывающие, а их сумма - также монотонно убывающая.
Всякая монотонная функция принимает каждое свое значе-
ние только в одной точке. Поэтому значение 1 принимается
только в точке х = 2, и других корней нет.
Ответ: 2	.
в) Преобразуем уравнение
2-*(14 + 6х/5)ж - 3(3 + у/Ь)ж + 2 = 0.
'NtdaUaus^t.
знание без границ я *
§4.1. Показательные уравнения ...
73
Заметим, что (3 + 75)2 = 14 4- бТб, и поэтому уравнение при-
мет вид
(3 + Тб)2* - 6(3 + у/ЬГ + 4 = 0.
Сделаем замену (3 4- Тб)* = t, t > 0, получим t2 - 6t 4- 4 = 0,
h,2 = 3 ± Тб; (оба корня положительны):
(3 + Тб)* = 3 + Тб,
(34-75)* = 3-75;
.« = logs+yj(3 - 75).
Ответ:
1»1°8з4-Уб(3 Тб)
Задажже 1. Решить уравнение:
1)7128 = 42*;
2)71-1*’ =49;
3)52/* = 625;
4)2ТгТТ _ 16^(0 2б)&-*/4,
<3 —5г4-б _ р
8)(15*’+*-2)г“4 = 1;
11)2* 5* = 0.1(10*-1)5;
12)2*~1 - б*"1 =0.001 • 102г+5;
13)10*+ 10*"1 = 0.11;
74 Глава 4. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
14)4Х-1 + 4х + 4х+1 = 84;
15)2*3-1 -3х’ = Зх3"‘-2Х’+2;
16)52х-1 + 23* - 52х + 22х+2 = 0;
17)3 • 4* + 3 • 4х+1 + 4х+2 = 62;
18)9* - 2>+1/2 = 2х+7/2 - З2*'1;
19)2 • 5х = 3х"1 • 7;
20)3* • 8х/(х+1) = 36;
21)132х — 6 • 13х+5 = 0;
22)42х”3 — 3 • 4Х“3 — 1 = 0;
23)62х - 8 • 6х + 12 = 0;
24)8Х-4Х = 2Х;
25)23х+1 + 2х*2 = 16;
26)25"х + 5“х+1 = 50;
27)64|/х - 23+3/х + 12 = 0;
28)43хЧх -8 = 2- в*3**73.
Задание 2. Решить уравнение:
^alaHausA
знание без границ Ч
§4.1. Показательные неравенства ...
76
9)3—1 +5*"1 = 34;
10)1 4-3*/2 = 2*;
11)х24* - 22*+4 = 0;
12)(8* 4-2*)/(4* — 2) = 5;
13)3-4* + 2-9* =5-6*;
14)3-9*4-5-6* = 22*+1;
15)4*-2 - 14* = 3-49*;
16)9*4-4* = 2.5-6*;
17)(774- 1)* 4- 2*+1 (у/14- 4)* = 10;
18)32«а4.в*-9 + 4.15га+3г-5 _ 3.52»а+6ж-9.
= 81;
11
25)216 4- 27 • 6* = 6* \А>2* — 6х+1 4-9;
26)8 • 3* \/32* - 6х 4- г2—2 = 22* - 4 6* 4- 7 • З2*.
§4.2. Показательные неравенства.
Решение простейших показательных неравенств основано
на свойствах монотонности показательной функции: неравен-
ство а^т) > равносильно неравенству f(x) > д(х), если
а > 1, и неравенству f(x) < д(х), если 0 < а < 1. Учитывая
эти свойства, многие показательные неравенства решаются
методом приведения обеих частей к одному основанию.
76 Глава 4. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Пример 1. Решить неравенство:
б)(0.1)4*а-2,"2< (0.1)2*-3.
а)25х >
1253*-2;
Решение, а) Поскольку 25х = 52х;	1253*”2 = 59х-6,
то исходное неравенство равносильно неравенству 52х >
59х“6 4=» 2х > 9х — б х < 6/7.
Огвет: (—оо; 6/7) |
б) Данное неравенство равносильно неравенству
4х2-2х-2 > 2х—3 <=> 4х2-4х + 1 > 0 <=> (2х-I)2 > О,
которому удовлетворяют все действительные числа.
Ответ:	(—оо; +оо)
При решении некоторых показательных неравенств исполь-
зуется преобразование, состоящее в вынесении общего мно-
жителя за скобки.
Пример 2. Решить неравенство: а) х2 • 5х — 52+х < 0;
б) 2Х+2 - 2х+3 - 2х + 4 > 5х+1 - 5х+2.
Решение, а) Вынесем за скобки 5х, получим 5х(х2 —25) < 0,
что равносильно неравенству х2 — 25 < 0, т.к. 5х > 0.
Ответ: (—5; 5]
б) Вынесем в левой части 2х за скобки, а в правой 5х. Имеем
равносильное неравенство
2*(4 — 8 — 16) > 5Х(5 — 25)
Ответ:
(0;+°о)
Неравенство вида /(ах) > 0 (/(ах) < 0) при помощи замены
переменной t = а* сводится к решению системы неравенств
t >0,
. 7(0 > 0.
«>0;	\
/(«)<0/’
а затем к решению соответствующих простейших показатель-
ных неравенств.
flalaHauslSk
знание без грани» * *
И-1- Показательные неравенства ...
Пржмер 3. Решить неравенство 4~х+0-8 — 7•2“* — 4 < 0.
Решение. Обозначим 2-х = t, t > 0, получим
t >0,
2t2 - И - 4 < 0; I 2(t + l/2)(t - 4) < 0;	° < 1 < 4
Следовательно, исходное неравенство равносильно неравен-
ству
Неравенства, которые не приводятся к единому основанию,
могут быть решены при помощи логарифмирования.
Пример 4. Решить неравенство З2*-1 < 11®”*.
Решение. Прологарифмируем неравенство по основанию 3.
Учитывая, что основание логарифма больше единицы, знак
неравенства сохраним тем же. Имеем
2z- 1 < (3- ar)log3 11 <=> (2 + log311)х < 1 + 31ogs 11 .
Отсюда, учитывая, что число 2 4- logg И > 0, получаем
Ответ: (-оо; (1 + 3log3 11)/(2 +logg 11))
Задание 3. Решить неравенство:
1)5* > 3125;
2)j(0.04)r-1 < 6256*-8;
3)
(1Х /1.
\64/ > V 8’
5)(0.2)(2*~3)/{*“2) > 5;
78 Глава 4. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
6)(1/3)^ > 3“*;
7)(0.2)(2х+1)/(1"ж) > ((К2)~3;
8)х2 • 3х — Зх+1 < 0;
9)2 • 16х - 2Чх - 42х~2 < 15;
10)5* -Зх+1 >2(5*-* -Зх‘2);
11)7’-1-2х<5Г-2-2х-1;
12)3Х 4- 2х”1 > 2х+2 + 3х-* - 2Х‘3;
13)16х+1/2< 15- 4х + 4;
14)25‘х 4- 5“х+1 > 50;
15)4' - 2х+1 > 3;
16)52х“3 — 2 • 5х-2 > 3;
17)2 • Зх+1 — 5 • 9Х“2 > 81;
18)2'/х - 5 • 2°	< 24.
Задание 4. Решить неравенство:
0(2* - 4)(х2 - 2х - 3) > 0; 2)25 • 2х - 10х 4- 5х > 25;
3)2’х“2* > 4*x+lt;
5)ж -З1'"1’ > 5г;
7)41/х-1 -г^'-’-З < 0;
9)0.64 < х/о~8*(*“3) < 1;
11)—-— <--------!---•
'3*4-5	3*+1 - Г
4)2ж  7Х“* > |г|;
6)2Х 4- 2,х| > 2>/2;
8)\/9* - 3*+2 > 3х - 9;
10)3^ 4-З7'-1 -3^-2 < 11;
12)0.2^ > 25;
14>2^<
10 4-4'/2
4
ftataHausiik
знание без границ Ч *
Глава 5. Логарифмические уравнения и неравенства 79
Глава 5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
$5.1. Логарифмические уравнения.
Логарифмическим называется уравнение, содержащее не-
известное под знаком логарифма.
Решение логарифмических уравнений основано на опре-
делении логарифма и свойствах логарифмической функции
у - logax, a > 0, а ± 1.
Определение. Логарифмом числа х по основанию а назы-
вается показатель степени 6:6 = loga х, в которую нужно
возвести основание, чтобы получить число х : ab = х.
Свойства логарифмической функции.
1°. Область определения функции - множество всех поло-
жительных чисел (0;4-оо).
2°. Множество значений - множество R всех действитель-
ных чисел.
3°. При a > 1 функция возрастает, т.е. если Х2 >	> О,
то loga Х2 > loga xi. При 0 < a < 1 функция убывает, т.е. если
*2 > «1 > О, ТО loga х2 < bgo XI.
4°. Для X} > О, Х2 > 0 loga = 1°8а х2 тогда и только
тогда, когда х\ = Х2.
Свойства логарифмов (а > 0, a / 1).
1°. х = a,O8« *, х > 0 (основное логарифмическое тожде-
ство).
2°. loga a = 1.
3°. loga 1 = 0.
80 Глава Б. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
4°. Ioga(xi • х2) = loga xi + log,, х2, xi > 0, х2 > 0.
5°. lo&a(xi/x2) = loga xt - log,, xt, xi > 0, x2 > 0.
6°. logaxp = plogaz, r>0,p6R.
7°. log,,* =	x > 0, b > 0, b / 1 (формула
lOgfcO
перехода к новому основанию). В частном случае loga b =
1/log^a, b > 0, 6/ 1.
8°. loga, X = ± loga Г, loga, X* = loge *•
Рассмотрим наиболее типичные примеры логарифмических
уравнении.
Уравнения, решаемые с помощью определения логарифма-.
logo /(*) = *
/(*) = аь
(а > 0, а / 1)
не требуют исследования области определения, так как посто-
ронних корней иметь не могут.
Пример 1. Решить уравнение: a) logj/3 I — - 1 = 2; б)
lg(2x - 5)2 = 0 .
Решение, а) Исходное уравнение равносильно уравнению
х = — 9 .
Ответ: —9
б) Данное уравнение равносильно уравнению (2х—5)2 = 10°,
которое имеет два корня zi = 2, х2 = 3.
Ответ: 2; 3
Аналогично решаются уравнения вида:
1о8/(.) д(*) = ъ
(/(*))* = М, М > о,
/(г) > 0, /(»)#!.
NataHauslffii
знание без границ Ч *
$5.1. Логарифмические уравнения ...
81
Пример 2. Решить уравнение:
а)	1о&-1 3 = 2; б) \о^(2х2 - Зх - 4) = 2.
Решение, а) Исходное уравнение равносильно системе
f(x-l)2 = 3,	>
3
Ответ: 1 4- V3
б)	Уравнение равносильно системе
2х2 — Зх — 4 = х2;
х/ 1,
х2 — Зх — 4 = 0;
< х / 1
1»*2 = 4;
Уравнения, решаемые потенцированием : уравнение вида
1о«а /(*) = 1°&> (а > 0, а / 1)
равносильно каждой иэ следующих систем
( /(«) >о»	(д(*) > о,
с	ИЛИ ч
I /(*) = s(*) I /(*) = «(*)
(выбирают ту систему, которая проще); уравнение
l°g/(x) А = 1о^(г) А (Л > 0)
равносильно системе
{/(*) >0,	Г д(х) > 0,
/(ж) / 1» или системе < д(х) / 1,
/(х) = д(х)	( /(х) = д{х)
Для решения уравнений указанных видов можно ограни-
читься только решением уравнения /(х) = д(х), а затем сде-
лать проверку найденных корней подстановкой их в исходное
уравнение.
82Глава 5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Пример 3. Решить уравнение: a) logr3_j(x3 + 6) =
logr’-i(4*2 “ *)» 6)logx3+x(r2 - 4) = 1о^г3.6(г2 - 4).
Решение. В каждом уравнении перейдем к уравнению -
следствию, а затем с помощью проверки исключим посторон-
ние корни.
a)	log.a-Jx3^ 6) = log,a_l(4x2 - г) => X3 + 6 =
4х2 — х => х3 — 4г2 + х 4- 6 — 0. Последнее уравнение
имеет три корня xi = —1, х2 = 2, хз = 3. Корень xj =
— 1 не удовлетворяет условию х2 — 1 >0, т.е. не входит в
область определения исходного уравнения. Остальные корни
удовлетворяют уравнению. Ответ: [ 2~3
б)	l°gr3+»(*2-4) = log4x2-e(r2-4) => *3+х = 4г2—6 =>
х3 — 4х24-*4-6 = 0. Из трех корней последнего уравнения х\ =
— 1, х2 = 2, Хз = 3 только хз = 3 удовлетворяет исходному, а
числа —1 и 2 не входят в область определения. Ответ: 3	.
Применение свойств логарифма произведения, частного и
степени.
Пример 4. Решить уравнение:
a)log7(x - 2) - log7(x 4- 2) = 1 - log( 2х - 7);	6)lg(2x) =
llg(r - IS)".
Решение, a) Преобразуем уравнение в равносильное:
log7(x - 2) 4- log7(2x - 7) = log7 7 4- log7(x 4- 2).
Используя свойство логарифма произведения, потенцируем
это уравнение
(х—2)(2х—7) = 7(х4-2) <=> 2х2-18х = 0 <=> х, = 0; х2 = 9
Поскольку операция потенцирования могла привести к по-
явлению посторонних корней, сделаем проверку найденных
решений: корни должны входить в область определения х—2 >
0; х 4- 2 > 0; 2х — 7 > 0. Xi = 0-посторонний корень.
Ответ: 9
б)	Область определения данного уравнения определяется
условиями:	х > 0, х 15. Формальное применение свой-
ства логарифма степени с четным показателем lg(x — lb)4 =
§5.1. Логарифмнчесжие уравнения ...
41g(x - 15) приведет к сужению области определения и воз-
можной вследствие этого потере корней. Чтобы избежать
потери корней формулу логарифма степени с четным пока-
зателем применим в более общем виде, лишь расширяющем
область определения.
lg(x - 15)" = 41g|x - 15|.
Имеем
х - 15 = 2х,х > О,
lg(2x) = lg|x - 15| « 2х = |х - |5| «
I X — 10 = —ZX, X > и
Единственный корень уравнения х = 5.
Ответ: 5 [
Замечание. Формальное использование формул 4°-6° мо-
жет привести как к расширению, так и к сужению обла-
сти определения исходного уравнения. Вследствие этого воз-
можны соответственно как появление, так и потеря корней.
Применение формул 4°-6° "справа -налево” приводит к урав-
нению - следствию (его область определения шире). В этом
случае необходимо проверять принадлежность каждого из
найденных корней области определения исходного уравнения.
Чтобы избежать потери корней при использовании формул
4°-6° ’’слева - направо”, следует применять более общие фор-
мулы, лишь расширяющие область определения:
logo(/(х)р(х)) = loge |/(х)| 4- 1о& |$(х)|;
bgo(/(x))p = ploga |/(х)|, если р- четное число.
В уравнениях, содержащих логарифмы с различными осно-
ваниями, следует перейти к одинаковому основанию, исполь-
зуя формулы перехода к новому основанию 7°-8°.
84Глава 5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Пржмер 5. Решить уравнение 2 log2 r-blogyj х+log х — 9.
Решение. Область определения уравнения х > 0. Приведем
все логарифмы к основанию
,	logo X
gy5l~i^72~2lofei;
log?*
~iog2x.
Подставим в исходное уравнение:
2 log2 х + 2 log2 x — log2 x = 9 <=> 3 log2 x = 9
<=> log2 x = 3 <=> x = 8.
Число x = 8 входит в область определения и удовлетворяет
исходному уравнению.
Ответ: 8 
Заметим, что применение формул перехода к новому осно-
ванию также может приводить к потере или появлению по-
сторонних корней. Проверка позволяет избавиться от посто-
ронних корней. Чтобы не потерять корни, предпочтительнее
всегда переходить к основанию, не содержащему переменной.
Уравнения вида F(log^r) /(аг)) = 0 с помощью замены пе-
ременной log^,) f(x) = < сводятся к уравнению F(t) = 0, а
затем к решению простейших логарифмических уравнений.
Пример 6. Решить уравнение
logj 10 - log* 10-6 log, 10 = 0.
Решение. Сделаем замену переменной log, 10 = t;
P-l2-6t = 0 <=> t(t - 3)(t 4- 2) = 0 <=>
< = o,
t = 3,
< = -2;
‘ log, 10 = 0,
log, 10 = 3, <=>
log, 10 = -2;
•0,
x= «Го,
XZZ10-1'2
Использование основного логарифмического тождества
часто упрощает решение логарифмических уравнений, однако
нужно следить за условиями его применимости.
flatattauswil
знание без границ Ч *
§5.1. Логарифмические уравнения ...
Пржмер 7. Решить уравнение
log2(9 - 2х) = 10,8<3-х).
Решение. Область определения данного уравнения задается
условиями х — 3 > 0; 9 -- 2х > 0. Применим в правой части
'уравнения основное логарифмическое тождество, имея в виду
при этом, что мы расширяем область определения, и поэтому
полученное уравнение не будет равносильным исходному.
log2(9 - 2х) = 3 - х <=> 9 - 2х = 23-х <=> 2х 4- 8 • 2'х - 9 = 0.
Сделаем замену 2х — t, t > 0, получим t 4- 8/f — 9 = 0 <=>
t2 - 9t + 8 = 0 => ti = 1, t2 = 8 => xi = 0, x2 = 3 .
Заметим, что корень x2 = 3 не входит в область определения
данного уравнения.
Ответ: | 0 }
Рассмотрим примеры решения степенно-показ отельных
уравнений, т.е. уравнений вида
(и(х)У^ = (и(х))^
Заметим, что корнями такого уравнения считаются только
решения смешанной системы
и(х) > 0,
u(z) 1,
/(*) = д(х)
и те значения х, для которых и(х) — 1, если при этих значе-
ниях определены f(x) и д(х). Функция вида (и(х)У^ опре-
делена только при и(х) > 0, поэтому те значения х, которые
формально удовлетворяют равенству	= (ti(r))^*\
но при которых и(х) < 0, не принято считать корнями
степенно-показательного уравнения.
Наиболее простой способ решения степенно-показательных
уравнений - логарифмирование.
86 Глав» 5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Пример 8. Решить уравнение |г —	= |г — 113.
Решение. I способ. Найдем область определения
х>0, |г—1|>0 <=>> х G (0; 1) U(l;+oo)
Прологарифмируем данное уравнение по основанию 10, полу-
чим
(lg2* - igr2)lg|« - 1| = 31g|z - 1|.
Преобразуем
lg|r - 1 Klg’r - Igz2 - 3) = 0
lg|ar - 1| = 0,
lg2ar - Igz2 -3 = 0;
Найдем корни первого уравнения |г — 1| = 1 => Х[ = 0 - не
входит в область определения; Х2 = 2 - входит. Решая второе
уравнение (с помощью замены переменной), получаем еще два
корня *з = 1000, Хч = 0.1.
Уравнение может быть решено и другим способом.
II способ. Рассмотрим два случая:
1) Если основание равно единице |г — 1| = 1, т.е. х = 0, или
z = 2, проверяем, будут ли эти значения корнями исходного
уравнения. Оказывается, что г = 2 удовлетворяет уравнению,
a z = 0 - нет, т.к. не входит в область определения.
2) Если основание |z — 11 > 0, |z — 11	1, уравнение может
быть решено как показательное, т.е. остается приравнять по-
казатели lg2z — Igz2 = 3. Получаем еще два корня х = 1000 и
х = 0.1.
Ответ: 0.1; 2; 1000
Пример 9. Решить уравнение 3х 4- log2(3z — 4) = 10.
Решение. Нетрудно подбором найти корень уравнения х —
2. Других корней уравнение не имеет, так как в левой части
равенства стоит сумма двух возрастающих функций, которая
значение 10 принимает только один раз при х = 2.
Ответ: 2
ftalaHauswk.
знаниебезграниц Ч4»
§5.1. Логарифмические уравнения ...	87
Пример 10. Найти п из уравнении
log2 3 • lofo 4 • log4 5... log^n 4- 1) = 10.
Решение. Перейдем в каждом логарифме к основанию 2 по
формуле перехода к новому основанию
1гмг о lo«2 4 log25 log2(n+l)
10fo3i^3bM" log,»' -10
После сокращения получим log2(n 4- 1) = 10 => n 4- 1 =
210 => и = 1023.
Ответ: 1023	.
Задание 1. Решить уравнения:
l)log7(2r2 — 5x4-31) = 2;
2)log5(x2 — 11x4-43) = 2;
3)log»+i(*2 -3x4- 1) = 1;
4)log2iog3x = 1;
5)log1/3iog1/2r =r -1;
6)4»oe«(i/3)-i = 0 5.
7)iogx(3-2v^) = 2;
8) log„.„ 2^2 = 1;
9) l°g»+2 5 = 4;
10)logx(36^36) = 8/3;
ll)213w' = 1;
О
,Л1» x 4- 1	, x
12)	log3 —- = loga -—
X	I — x
13)	log4(x2 4- 3x - 4) = log4 ^--1;
x 4- 4
14)	log(6+x)/3 3 = log_ 1/(,+>) 3;
15)	logxa_6r+81°g2r’-2r-8(z2 + 5») = 0;
88Глава 5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
16)1о&, logjogyjr = 1/2;
17)	loga iogg log2(x - 5) = iog3 2-1;
18)2,oe«(-2x) = lofo81
Задание 2. Решить уравнения:
1)	loga x + log9 x 4- log2 lx = 5.5;
2)	log2 x 4- log^ * + iogl/8 x = 16/3;
3)	log, 4 4- log,2 64 = 5;
4)	log,? 16 4- log2, 64 = 3;
5)3 log, 16 - 41og16x = 2Iog2z;
6)lgx - lg3 = lg(x 4- 2) - lg(x2 - 4);
7)5 log*, x 4- logi z3 4- 8 log9,a x2 = 2;
8)lg(x 4- 5) - lg(3x 4- 25) = lg(x - 15) - igl 7;
g) *	4-	— 3-
5 - 41gz + 14-igr ~ ’
10)lg(7x - 9)2 4- lg(3x - 4)2 = 2;
ll)lg2x3 — lOlgx 4-1 = 0;
12) log,/2 x2 - 14 log16, x3 4- 40 log«, \fx = 0;
14)lg(10x) • lg(0.1x) = Igx3 - 3;
15) log| x 4- log5,(5/x) = 1;
16)4 log^(—z) 4- 21og4 x2 4- 1 = 0;
17) logyj x 4- 3 log2 x 4 log,/2 x = 2;
18)31gx2 - ig2(-x) = 9,
19)41о8бг’ _4bg6»+i +4iog8r-i _
20)lg’(100x) + lg2(10x) = 14 + lg|;
21)x,+1«' = 100;
^alattaus^ii
знание Вез границ * *
§51 Логарифмические уравнения ...	89
22)z1-‘«r = 0.01;
23)х,о*эг+2 = 256;
24)?°«з<3х) = 9;	'
25)г,о*>г“’ = 1/27.
Контрольная работа по теме ” Логарифмические уравне-
НИЯ .
Решить уравнения:
/вариант
1)3,о«*ж+ж,о8>г = 6;
2)г,о*«г = 4;
3)| log2 х 4-log,2| = 2;
4) log<(x4- 12) log, 2= 1;
5)|(log5(2z - З)2)2 4- 12(1о& у/х^2 = (logs(2r - З)3) 1о& ж3;
6) log2_a.,(2 - гг - г*) = 2 - — -1 —;
1о84/з(2 “ 2ж )
7) l°&te+7(9 +	+ 4х2) + log:u+3(6*2 4- 23х 4- 21) = 4;
8)3*4-log2(3r-l) = 30;
//вариант
1)51о8‘* 4-х1ов‘* = Ю;
2)?«г = 10000;
3)|log2*4- log, 16| = 4;
4) logg(r 4- 72) • log, 3 = 1;
5)|(log3(5r - 6)3)2 - (log3(5x - 6)3) loga x6 = -6(log3(l/r))2
6)1083-^(9-;
7) l°gi-2r(6*2 ~ 5r 4- 1) - logi_3,(4x2 - 4x 4- 1) = 2;
8)23*-5 4-log3 ж = 17.
SO Глава 5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
§5.2. Логарифмические неравенства.
Решение простейших логарифмических неравенств осно-
вано на следующих свойствах монотонности логарифмической
функции:
loga /(*) > *Oga $(*);
a > 1;
Г loga f(x) > loge g(x)-
t 0 < a < 1;
/(z) > g(x) > 0;
a > 1;
0 < f(x) < g(x)\
0<a< 1;
При решении логарифмических неравенств следует избе-
гать преобразований, которые могут привести к потере или
появлению посторонних решений, так как в противном слу-
чае обоснование правильности ответа, как правило, есть бо-
лее сложная задача, чем решение исходного неравенства. Тем
самым, по существу, основным методом решения логарифми-
ческих неравенств является метод перехода к равносильным
неравенствам, системам или совокупностям систем.
Рассмотрим примеры решения простейших неравенств.
Пример 1. Решить неравенство:
х — 2	( п 10	\
а) 1оК7 ~\ < 0; б) log1/9 I х2 - —г + 1) > 0;
Z — О	у о	/
в) log2 log1/3 logs X > 0.
Решение, а) Поскольку основание логарифма больше еди-
ницы, а 0 можно представить как log7 1, то данное неравен-
ство равносильно двойному неравенству, а оно в свою очередь
системе:
{ж - 2	/х-2
z-3>0’_ I ж^з>0
— < 1	I 1
ж-3 < ’	I ж-3
Решением первого неравенства системы будет промежуток
(—оо;2) U (3; +оо), а второго - (—оо;3). Их пересечение есть
промежуток (—оо;2).
Nataliausl№i
знание без границ * *
^5.1. Логарифмические неравенств ...
91
Ответ:	(—ос:2) |
б) Основание логарифма меньше единицы, поэтому полу-
чим двойное неравенство
(х “ ~ 3) > °’
\ /
Решение первого неравенства - (—оо; 1/3) U (3; 4-оо), второго
[0; 10/3]. Решение системы находим как пересечение получен-
ных множеств.________________
Ответ: (0; 1/3] U (3; 10/3] .
в) Исходное неравенство равносильно следующему
iog1/3 log5 х > 1 <=> 0 < log5 х < 1/3 <=> 1 < г < 51/3.
Ответ: (1; ^5)
Решение неравенств вида /(log. х) >0 (••• < 0) при по-
мощи замены переменной log. х = t сводится к решению не-
равенств f{t) > 0 (/(<) < 0) с последующим решением про-
стейших логарифмических неравенств.
Пример 2.
Решить неравенство:
1g3 а? - 31gx 4- 3
1g* - 1
Решение. Положим Igx — t:
У2 — Зу 4- 3
у- 1
У2 - 4у 4- 4
У- 1
< 1 <=>
(У-2)2
У - I
f
IT
feT
92Глава 5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Вернемся к переменной х: Igx < 1
Ответ: (0; 10)
0 < х < 10.
Рассмотрим примеры решения неравенств более общего
вида.
Пржмер 3. Решить неравенство:
a) bgi/3(ж2 - 6х 4-18) - 2 logi/3(х - 4) < 0; 6)logr2(24-x) < 1;
в) Vx2 — 4 log3(x 4- 5) < 0.
Решение, а) Поскольку в ходе решения этого неравенства
не избежать преобразований, расширяющих область опреде-
ления исходного неравенства, прежде всего найдем область
определения. Она определяется системой
{х2 — 6х 4- 18 > 0;
<=> х > 4.
х - 4 > 0;
Таким образом, неравенство равносильно системе
f bg1/3(x2 - 6х 4- 18) < log1/3(z - 4)2,
( г > 4;
{х2 — 6х 4- 18 > (х — 4)2;	( х > — 1;
<=> < л <=> х > 4.
х > 4;	I х > 4;
Ответ: (4; 4-оо)
б) Данное неравенство равносильно неравенству
iogx2(2 4-x) < log^a х2,
которое ввиду того, что основание логарифма переменное, в
свою очередь равносильно совокупности двух систем
х2 > 1,
2 4-х < х2,
2 4-х > 0;
0 < х2 < 1,
2 4- х > а?2;

< х2 - х - 2 > 0,
х > -2;
[0< |х|< 1,
I х2 — 2 — х < 0;
Nataliausl№i
знание без границ * *
§5.1. Логарифмические неравенства ...
93

х G (—оо; — i) и (1; +оо),
х G (-оо; -1)U(2; -Foo),
х > -2.
х G(-l;0)U(0;l),
*е(-1;2);


х G (—1;0) U (0; 1)
х 6 (-2; -1) U (2; +оо)
Объединение найденных множеств дает решение исходного
неравенства -
Ответ: (-2; -1) U (-1,0) U (0; 1) U (2; +оо)
в) Найдем область определения неравенства
х2 - 4 > 0,
х 4- 5 > 0;
х G (-оо; -2] U [2, +оо),
х G (—5; -Foo);
х G (-5; —2] U [2; +оо).
Далее неравенство может быть решено методом интервалов (с
учетом найденной области определения):
(-5;-4];х = -2;г = 2
Ответ:
94 Глава 5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Задание 3. Решить неравенства:
l)log2(2z — 1) > -2;
3)log1/2(z3 — 5x4-6) > —1;
5) logt.< 0;
> 0;
X - 1
9) logj(5z2 + 6x + 1) < 0;
ll)(r-6)/lob(x-2)>0;
13)'ob/a ~7~F > -1;
15)loge(x2 - 4z 4- 3) < 1;
17)(x-3) Iog1/7(x4-8) > 0;
19) \/x2 — 4x
x (log2( 1 - x) - 3) < 0;
21)(x — 1) log1/8(x 4-7) < 0;
23)log22(x-l)>4;
25) log2(x2 — 4x — 5) < 4.
2)log1/3(5z- 1) > 0;
4)lg(z2 - 5x 4- 7) < 0;
e) logo s JY3 - "2;
8)lo^-l) $ 0.
X 0
10)	iog8(x2 — 11x4-43) >2;
12)x/z - 0.5/loga x2 > 0;
*2 + 4* .
14)* * 9 log,/з-27TT<,•.
16) log1/(i(x2 - 3x + 2) < -1;
18)(x+ l)lOg4(x + 4) < 0;
20)(x - 6) logo(x - 3) > 0;
22) 1ой ,(2x - 1) > 9;
Задание 4. Решить неравенства:
1) Iog3(l - 2r) > log3(5r - 2);
2)log5(l -x) < log&(x-f- 3);
3)	lo&(*2 - r - 2) < log8(3 - x2 4- 2x);
4)	Iogo б(*2 + 1) < logo s(2r - 5);
ftataHauswil
знание без границ Ч *
95
§5.1. Логарифмические неравенства ...
а? + 4
5)	1°81/з(8 “ *) > 1о«1/з 2ТТз;
6)	Iog1/2(r 4- 5)2 > logo 5(3z - I)2;
7)	logo.7(* - 2) > log07(3r - 4);
8)	loga x 4- log^ x + log1/3 x < 6;
9)	logo + 0 5) 4- logo.6 « > 1;
10)	log1/3(z - 2) 4- loga 5 < loggfc 4- 2);
jj 4* 1
U)logi/2log3^—>0;
12)	logo i l°g2 X- Л* < 0;
x — i
z2 — 2x
13) logo,5 loge x_ g- < 0;
14)5|<<з(2/(»+2)) < 1;
15)	log2 loga < log1/2log1/3
16)lg2z - Igz - 2 > 0;
17)	log2(z - 1) - logo.5(z - 1) > 2;
18)	logo 5 * + logo.e x - 2 < 0;
19)	lofeI <-------2— 
1 log2 x — 2 log2 x 4- 6
20>nfe+ri>^
21)5 logo 8 x < 6 4-log2 8;
22) log2/2(3z 4- 1) > logj/2(3r 4- 1)4 6;
23)1OfeX -
96Глава 5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Задание 5. Решить неравенства:
3) 1°взх — 2 х — > 4х - 2 5>logj₽ ——— > 1; О 7)	- 3/2) > 0;	2) logl/,(2.5z - 1) > -2; 4)log.-!(* + l)>2; ejlofc.jl + 2z" - z6) >0; 2x 4- 0.4 8) °8* 5(1 -z)	°’ 10) log,, (26-3*) >2;
9) logl log9(3* - 9) < 1;
ll)logI/3(2*+2 — 4*) < —1;	»2) lofczwf»*2 + + 8) > 2 14) log. |z - 2| < 1;
13) logkt(6z + 27) > 2; 15,l°6*2 |z-3|^2; 2x + 5 17) Og* 4(z — 1) <0, 19) log3t(6 + 2z - z2) > 1;	16) logo 2.(z2 - 8z + 16) > 0; 4x 4- 1 ^'□«•«(z-l)^^ 20) logI_3(z3 - 4z + 3) < 0; 22) log2l+4(z2 - z) > 1;
21)1о^3(2 + г) < 1;	23) log3r+1(z2 — 4) > 1.
Контрольная работа по теме: ’’Логарифмические и по-
казательные неравенства”
1вариант
1)	Найти область определения
функции
У = ^/bgi/з *°8з I*- 3Г.
Решить неравенства :
^alattausiVi'
знание без ераниц ч
97
§5.1. Логарифмические неравенстм...
2)	logo 5(z + 3) < logo 26(r + 15);
. 3r — 1 л
3)	og* ?+T > 0;
4)	Iog3(Iog2(2 - log< x) - 1) < 1;
5)x,Qe’* + i6ar“,o«’x < 17;
6)	logl(s - I)2 - logo ns - 1) > 5;
7)3* + 2*“* — 2*+2 - 3*'1 + 2*”3 > 0;
9	10 + 4х/2
8,2»-2	4
Ilвариант
1)	Найти область определения
функции
У = \/bg?/2(* - 3) - 1;
Решить неравенства :
2)	l°gi/3(* - 1) + log1/3(* + 1)+
+ 1°ктз(5 - «) < 1;
3)	log2r(*2 - 5* + 6) < 1;
4)	logg log27log2(x2 + х + 2) < -1;
5)5»°82'+х,о8б» < Ю;
в) log?/2(3x +1)4- log2(3x + 1) > 6;
7)3*+2 + 7* > 4 • 7*"1 + 34 • З*"1;
98
Глава 6. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ.
Глава 6. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
§6 1. Системы двух уравнений
с двумя неизвестными
Рассмотрим уравнение с двумя переменными /(ж; у) — 0.
Пара значений переменных (г; у), обращающая уравнение в
верное равенство, называется решением уравнения.
Пусть даны два уравнения с двумя переменными /(г; у) —
0; у(х; у) — 0. Если ставится задача найти все общие решения
двух уравнений с двумя неизвестными, то говорят, что надо
решить систему
Г /(*; у) = о,
= о
Две системы называются равносильными, если они имеют
одни и те же решения.
В процессе решения систему заменяют другой, более удоб-
ной, но равносильной исходной. Возможность такой замены
обусловлена следующими правилами.
1°. Если каждое уравнение системы заменить равносиль-
ным, то получим систему, равносильную данной.
2°. Если одно уравнение системы оставить без изменения,
а другое заменить суммой или разностью уравнений системы,
то получим систему, равносильную данной.
Рассмотрим основные приемы решения систем уравнений.
Метод подстановки. Если хотя бы одно из уравнений си-
стемы позволяет выразить одну переменную через другую, то
применяют метод подстановки.
Пример 1.’ Решить систему
{г — Зу = 10;	| х — Зу + 10;
х2 - 24у = 100;	[ (Зу + 10)2 - 24у = 100;
Г У1 = -4,уз = 0;
t xi = -2; х2 — 10.
Ответ:
(-2,-4); (10;0)
§6.1. Системы двух уравнений с двумя неизвестными
Метод алгебраического сложения.
Пржмер 2. Решить систему
х2 + у2 - 2® + Зу - 9 = 0;
2х2 + Зу2 - Зх + 5у - 17 = 0;
Решение. Первое уравнение умножим на 2 и вычтем из
второго
( у = х + 1;
I х2 + (х + I)2 - 2х + 3(х + 1) - 9 = 0;
( Х1 = 1,х2 = -2.5;
I У1 = 2; уз - -1.5.
Ответ; (1;2); (-2.5;-1.5)
Пример 3. Решить систему
х3 + у3 = 65;
х2у + ху2 = 20;
Решение. Второе уравнение умножим на 3 и сложим с пер-
вым, выражение в правой части представляет собой полный
куб.
х3 + Зх2у + Зху2 + у3 = 125;	| (х + у)3 = 125,;
+ V) = 2°;	= <;
х + у = 5;
ху = 4;
Получили простейшую систему. Выражая из первого уравне-
ния х — 5 — у и подставляя во второе уравнение, придем к
100
Глава 6. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ...
уравнению: Ьу - у2 — 4. Переписав его в виде у2 - 5у -I- 4 — О,
легко получаем две пары решений (4; 1), (1; 4).
Ответ: (4; 1); (1;4)
Метод введения новых переменных. Привести систему
уравнений к простейшей часто удается с помощью замены пе-
ременных. Наиболее часто используемые виды замен
( х + 1/ = и;
I ху = и;
ИЛИ
х 4- у - и;
х
Приведем примеры.
Пример 4. Решить систему
{х2 4- ху + у2 - 4;	( (г + у)2 - ху = 4;
X 4 ху 4- у = 2;	[ (х 4 у) 4- ху = 2;
Сделаем замену х 4- у — и; ху — v, получим
и2 — v = 4;	и2 4- и — 6 — 0;	( щ — 2; uj = —3;
u + v — 2;	v = 2 — u;	[ t>i = 0; v2 = 5.
Осталось решить две простейшие системы
( х -by = 2;	Гх1=0;х2 = 2;
I zy = 0;	I Vi = 2; J/з = 0;
2){
х4-1/ = 3;
ху = 5;
— решений нет
Ответ: (0;2); (2;0)
Пример 5. Решить систему
х 4- у 4- ~ - 9;
У
(Г +	= 20;
У
yalaHausl'ji',
знание без границ Ч *
§6-1. Системы двух уравнений с двумя неизвестными 101
Решение. Сделаем замену
* + У = и;
«1/ = *•;
Получим
и + v = 9;
uv = 20;
«1 = 4; U2 = 5;
vi = 5; v2 = 4;
Возвращаясь к переменным х и у и решая простейшие системы
находим я?! = 10/3; х2 = 4, t/i = 2/3; 1/2 = 1-
Ответ: (10/3; 2/3); (4; 1) .
Применение однородных уравнений.
Пример 6. Решить систему
х у _ ]3
У х 6 ’
х + у = 5;
Решение. В первом уравнении, однородном относительно х
и у, сделаем замену ~ = t:
2
G = h
V
3
2
Остается решить две простейшие системы
’ х _ 2
< У = Г
,х + у + 5;
Ответ:
(2;3); (3;2)
х 3
У ~ 2;
X + у = 5;
102
Гллва 6. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ...
Пример 7. Решить систему
Зх2 4- 2ху + у2 - 11;
х2 4- 2ху 4- Зу2 = 17;
Решение. Умножим обе части первого уравнения на 17, а
обе части второго на 11, а затем вычтем из первого уравнения
второе:
51z2 4- 34zj/ 4- 17$/2 = 187;
1 lz2 4 22zj/4-33t/2 = 187;
' 40r2 4- 12ху - 16j/2 = 0;
z2 4-2zj/4- 3t/2 = 17;
Первое уравнение является однородным. Поскольку значение
у = 0 не является решением системы, разделим обе части его
на у2, сократим на 4 и затем сделаем замену * — t:
10t2 4- 3t - 4 = 0;
h - 0.5; t2 = -0.8
Подставляя вместо t найденные его значения, получим две си-
стемы, которые решаются методом подстановки:
( - = 0.5;
1)	< *
I х2 4- 2zj/ 4- З?/2 = 17;
- = -0.8;
2)	У
х2 4- 2ху + 3j/3 = 17;
Ответ: (±1;±2); (т4/\/3; ±5/\/3)
Пример 8. Решить систему
Решение. Сделаем замену переменных z4-l/—l = ,,2z —
у 4- 3 = получаем систему
4z - 5t = -2.5;
3z + t = -1.4;
^laiaUaus^i
знание без границ Ч *
§6.1. Системы двух уравнений с двугхл неизвестными 103
Решая полученную систему систему способом подстановки,
находим z — —0.5; t = 0.1. Далее имеэм
г + у - 1 = -2;
2z-j/ + 3= 10;
г = 2;
у = -3;
Ответ: (2; —3)
Системы, симметричные относительно неизвестных. К
системам, симметричным относительно неизвестных, отно-
сим те, которые не изменяются при взаимной замене неиз-
вестных.
Пример 9. Решить систему
х2 + у = 1;
у2 +ж = 1;
Решение. Первое уравнение системы оставим без измене-
ния, а вместо второго запишем разность первого и второго
уравнений.
(х3
< „
® +у= 1;
X1 - у2 - (ж - у) = 0;
(ж2
х +!/= 1;
(ж - у)(х + у - 1) = 0;
Второе уравнение равносильно совокупности двух уравнений
г-у = 0;
х 4- у - 1 = 0 ;
Поэтому исходная система распадается на две:
1)
« - У = 0;
ж2 + 1/= 1;
* = Уз
у2 + у - 1 = 0;
—1± V5
2
-1 ± v/5
2
х —
У =
104
Глава 6. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ...
(х + у — 1 = 0; j у = I — х;	Гх1=0;хз=1;
^|z2 + j/ = l;	| г2 - z = 0;	t !/i = 1;!/з = 0;
Ответ: (0; 1); (1;0); ((-1 ± Тб)/2; (-1 ± х/5)/2) .
Решение систем методом умножения и деления основано
на следующих правилах:
Если обе части уравнения fifay) — 9?fay) ни при каких
значениях fay) одновременно в ноль не обращаются, то си-
стемы
/1(Х,У) = 9ifay)>
= 92 fay);
fi(x,y) = 91 fay);
h(xty)h(x,y) =
flfay) =gi (z,i/);
_ 91 fay)
hfay) 92 fay)'
равносильны.
Пример 10. Решить систему
' (х + у)ху = 120;
(х - у)ху = 30;
Разделим первое уравнение на второе
х + 1/	.
(г - у)ху = 30;
х + у = 4(г - у)\
(ж - у)ху — 30;
3
i/=gx;
г3 = 125;
Ответ: (5; 3)
^atatiausnii
знание без границ Ч *
§6.1. Системы двух уравнений с двумя неизвестными
За дайке 1. Решить систему:
105
(х + 0.2)2+
+ (у + 0.3)2= 1;
3)
г - 1/= 1;
7)<
у2 -ху = -12;
х2 — ху = 28;
х2у + ху2 = 6;
ху = 3;
(х - у)(х2 - у2) = 45;
[х3 + у3 = 7;
2
UV = -8;
( х3 + у3 = 9;
[ ху = 2;
{и2 + UV = 15;
v2 + uv = 10;
|9х2 + Юу2 =
= 24ху + Зх - 4у + 2;
8х + 7у = 68;
( 12(х + у)2 + х = 2 5— у;
10) <
( 6(х - у)2 + X = 0.125 + у;
{х ~ у _ 5
у х “ 6’
х2 - у2 = 5;
х2!/3 = 16;
х3у2 = 2;
15)
19) <
х + у 3 ’
1	1	3
х	у	4
(х + у)2 + 2х - 35 - 2у;
(х - у)2 - 2у = 3 - 2х;
х3- у3 = 19(х - у);
16)
2х2 — Зху + у2 = 3;
х2 + 2ху — 2у2 = 6;
£±#=12;
I/2
(х2 + 1КУ2 + 1) = 10;
(х 4- 1/)(ху - 1) = 3;
106
Глава 6. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ...
Контрольная работа, по теме: ’’Системы двух уравне-
ний с двумя неизвестными”
Решить систему:
1вариантп
1)
2)
3)
4)
5)
2 _ 7Q.
X у — 7Z,
1)
х2у3 = 108;
X + у - ху = 1;
2	2	о	2)
х2 + у2 - ху = 3;
х + у2 = 7;
3)
ху1 = 12;
2х2 + 15ху + 4уа+
+ 43х + 24у + 7 = 0; 4)
х - 2у + 5 = 0;
|х- 1| + |у-5| = 1;
5)
у = 5 + |х - 1|;
II вариант
( х3у2 = 64;
I XV = 16;
( х 4- у + ху - 7;
I х2 + у2 + ху = 13;
р2 + И=5;
I ху2 = 2;
( х2 ~ Зху+4у2-
<	- бх 4- 2у - 0;
[ х - 2у = 3;
( у - 2|х| + 3 — 0;
1 Ы + X - 3 = 0;
§6.2. Системы трех уравнений
с тремя неизвестными
Решением системы трех уравнений с тремя неизвестными
/(*, 1/. х) = 0;
9(x,ytz) =0,
Л(х,у, z) - 0;
называется всякая тройка чисел (г, у, z), удовлетворяющая ка-
ждому уравнению системы.
Рассмотрим основные приемы решения.
Линейные системы. Любая линейная система может быть
решена методом последовательного исключения неизвест-
ных (метод Гаусса).
ftalaHausiflk
знание Везераниц Ч *
§6.2. Системы трех уравнений с тремя неизвестными 107
Пример 1. Решить систему
х 4- 2у 4- Зх = 3
Зх 4 у 4- 2х = 7
2х 4- Зу 4- z — 2
Решение. Первое уравнение оставим без измемнения и с его
помощью исключим х из второго и третьег о уравнений. Для
этого ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на
- 3, а к третьему - первое, умноженное на -2;
х 4- 2у 4- Зх = 3;
— by -7х = -2;
- у - bz - -4;
х 4- 2у 4“ Зх = 3;
У 4- 5z = 4;
-- by- lz = -2;
Далее, используя второе уравнение, исключим у из третьего
(прибавим к третьему второе уравнение, умноженное на 5):
х 4- 2у 4- Зх = 3;
У 4- bz = 4;
18х = 18;
Таким образом система приведена к треугольному виду. Из
последнего уравнения находим z — 1-, затем, зная z из второго
уравнения у и, наконец, х.
Ответ: (2;—1,1)
Иногда линейная система может быть решена проще.
Пржмер 2. Решить систему
108
Глав* 6. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ...
Решение. Сложим все три уравнения системы 2x±2y±2z =
2 или х 4- у -Ь z — 1. Затем вычтем из этого уравнения первое:
получим д: — — 2; вычтем второе: у =*6, третье: z — —3.
Ответ: (—2; 6; —3)
Нелинейные системы.
Пример 3. Решить систему
ух = 4;
xz = 3;
ху = 27;
Решение. Систему будем считать простейшей, к решению
системы такого вида часто сводится решение более сложных
нелинейных систем. Выразим из первого уравнения у через г,
а из второго х через z и подставим в третье:
Ответ: (±4.5; ±6; ±2/3)
Пример 4. Решить систему
*(у+ *) = 27;
у{х + z) = 32;
г(ж + у) = 35;
Решение. Раскроем скобки. Полученная система линейна
относительно xyt xz и yz. Решим ее способом, предложенным
в примере 2. Сложив все три уравнения и поочередно вычитая
§6.2. Системы трех уравнений с тремя неизвестными
109
из найденного равенства первое, второе и третье уравнения,
приходим к простейшей системе (см. пример 3)
ху = 12;
xz — 15;
yz = 20;
Ее решение (±3; ±4; ±5).
Ответ: (£3; ±4; ±5)
Пример 5. Решить систему
5жу = 6(ж + у);
31/z = 2(1/ + z);
4z® = 3(x + z);
Решение. Заметим, что система имеет нулевое решение
(ОДО). Если же х 0;у	0;z	0 , то уравнения можно
разделить на Gxy, 2yz и 3xz, получим
{1/г + l/l/= 5/6;
l/l/+l/z = 3/2;
!/«+!/* = 4/3;
Система линейна относительно 1/х, 1/у, \(г. Решая ее, полу-
чим \/х =1/3,1/1/ = 1/2, 1/z = 1.
Ответ: (0; 0; 0); (3; 2; 1) .
Метод подстановки .
Пример 6. Решить систему
5
6’
110
Глава 6. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ...
Решение. Заметим, что второе и третье уравнения линейны
относительно неизвестных, поэтому легко выразить, к при-
меру, у и z через х и подставить в пёрвое.
Г X = -2;
< У = 3;
[ z = Г,
Ответ: (—2; 3; 1)
Пример 7. Решить систему
2x1/4- у + 2х = 15;
yz 4-J/4- z - 11;
2xz 4- z 4- 2х — 26;
Решение. Прибавим к обеим частям каждого уравнения по
единице - это позволит разложить левые части на множители.
2ху + у+ 2х + 1 = 16;
yz 4-1/ + z 4- 1 = 12;
2xz 4- z 4- 2х 4- 1 = 27;
Г (2х 4- 1)(у 4-1) = 16;
J (у 4-l)(z 4-1) = 12;
I (2х 4- l)(z 4- 1) = 27;
Введем новые переменные 2х ± 1 = u, у ± 1 = v, z + 1 = t,
Тогда система имеет вид
uv = 16;
vt - 12 ;
ut = 27;
{u = ±6;
v = ±8/3;
t = ±9/2;
Осталось вернуться к старым переменным.
I /5 5 7 \ 7 7	II	Щ
°ТВеТ: \2’3’2’/’ \ 2; 3’ 2J
ftalaHausii®!.
знаниебезграниц 4*
111
$6.2. Системы трех уравнений с тремя неизвестными
Задание 2. Решить систему:
{х 4- у 4- Зг = 9;
4r - 2j/ + 2г = 12;
Зх - 2у 4- z = 8;
{х — 2у 4- 3z = 5;
2х — 5sz + z ~ —8;
х — 3t/ — 4z = —19;
| У3 4- г3 - 7х3;
3)	< s/4- г = Зх;
( г - х = S/-2;
Г х 4- у 4- z = 6;
4)	< х(у 4- z) = 5;
[ у(х 4- z) = 8;
' ху 4- х 4- у = 7;
5)	yz 4- у 4- z = -3;
xz 4- z 4- х = —5;
{3xs/ 4- 2у — Зх = 52;
2s/z — 3s/ — 2z = 21;
6xz — 9x 4- Az = 18;
' x - 2y 4- 3z = 9;
7)<
x2 4-4s/2 4-9z2 = 189;
k 3xz - 4s/2;
{x 4- у + z — 0;
2x 4- 3s/ 4- z = 0;
(x+l)24-(l/4-2)24-(*4-3)2 = 14;
{x(tf4-x) = 5;
y(x 4- z) = 8;
+ 10 = 9;
112
Глава 6. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ...
{х 4- у 4- Z - 3;
х + 2у- z = 2;
х 4- yz 4- zx = 3;
{х 4- ху = 2;
У + zx = 2;
z 4- ху = 2;
{2х + у + z = в;
Зх + 2у + z = 9;
Зх3 4- 2J/3 4- z3 = 27;
$6.3. Системы показательных
и логарифмических уравнений
При решении систем, содержащих логарифмимческие урав-
нения, следует следить за областью определения, преобразо-
вания проводить не механически, а сознательно, не обходить
вниманием ни один переход, где возможны потери решении
или появление посторонних. Если приходится делать преобра-
зования, при которых могут появиться посторонние решения,
то в конце решения необходимо провести исследование по от-
бору решений (например, проверку). Преобразования, допус-
кающие потерю решений, лучше не использовать.
Пример 1. Решить систему
k lg(3z - у) 4- lg(x/ 4- х) - 41g2 = Э,
Решение. Область определения системы определяется усло-
виями Зх — у > 0; у 4- х > 0. В первом уравнении системы
/0\ (2г-у)/2
= t, t > 0, получим 3/24-7t—6 — 0.
сделаем замену
Его корни t\ = |,	<2 = — 3 - не подходит. Далее имеем
2х — у = 2, или у = 2х - 2. Подставим во второе уравнение:
lg(3x - 2х 4- 2) 4- lg(2x - 2 + х) = 41g2;
^iatallauswk
знание без границ Ч »
§6.3. Системы показательных и логарифмических уравнений 113
lg(x + 2) + lg(3® - 2) = 41g2;
3z3 4- 4x - 20 = 0; <=>	= 2; x2 =-10/3.
Соответственно yi =2; y? = —26/3. Пара (-10/3;—26/3) не
входит в область определения системы.
Ответ: (2; 2)
Пример 2. Решить систему
lg(*2 + у2) = 1 4- Ig8;
lg(® 4- у) - lg(® - у) = lg3;
Решение Область определения: х -Ь у > 0; х — у > 0. Изба-
вимся от логарифмов в обоих уравнениях, получим систему
х3 + у2 = 80;
х + у = 3(ж — у);
г = 2у;
V2 = 16;
у = ±4;
х — ±8;
Пара (—8; —4) не входит в область определения.
Ответ: (8; 4)
Пример 3. Решить систему:
х»’-у’-1в=1;
X - у = 2;
Решение. Область определения определяется условием х >
0. Для решения первого уравнения рассмотрим два случая:
1) х = 1, тогда у = -1. 2) х3 - у2 — 16 = 0. В этом случае
нужно решить систему
г2 - у3 - 16 = 0;
х - у = 2;
Ее решение (5;3).________
Ответ:	(1;—1); (5;3)
Глада в. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ...
Пример 4. Решить систему
5^-2^ = 200;
52^4-22^ = 689.
Решение. Обозначим 5^* = z, 2^ = t, (z > 0,t > 0),
тогда получим равносильную систему
{zt - 200;
z2 + t2 = 689;
Ее решения (25; 8) и (8; 25). Переходим к старым переменным.
Первая пара решений дает систему
|5^ = 25;	f у^=2;	( х = 8;
(2^ = 8;	|>/!/ = 3;	IУ = 9;
А вторая систему:
(5^ = 8;	Г = log5 8;	Г х = (log6 8)3;
(2^ = 25;	( \/у = log2 25;	( у = (log2 25)2.
Ответ: (8; 9); (log3 8; log2 25) .
Пример 5. Решить систему
’ log9(x3 + I/3) = log3(x + у);
k 1о&з(*2 ~ У2) ~ 1°8з(® •+ у);
Решение. Область определения: х 4- у > 0; х3 + у3 > 0;
ж2 — у2 >0. Избавимся от логарифмов
{х3 4- X/3 = (х 4- у)2;	( (х + у)(х2 - ху 4- у2 - х - у) = 0;
х2-у2=х + у,	( (*+ 1/)(* - У - О = 0;
Так как х + у > 0, то уравнения можно сократить на х + у 0,
получим систему
{х = у + 1;	( у1 = 0;уз = 1;
х2 4- у2 - ху = х + у;	( Xi = 1; х2 = 2;
Обе пары входят в область определения.
Ответ: (1;0); (2; 1)
^atatiausi^l
знание без границ X *
115
§6.3. Системы показательных и логарифмических уравнений
За дайне 3. Решить систему:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Ю)
И)
12)
f (0 48r’+2)2r-*' = 1;
I Lg(* + У) ~ 1 = lg6 - lg(z + 2у);
{loga(* - У) = 5 - log2(r 4- 1/);
Igz - lg4 _ _
igl/-lg3~ lf
( logr У = 2;
I l°gr+i(l/ + 23) = 3;
f 4**- = 32;
I bg3(x ~ У) = 1 - bg3(® +1/);
f (®2 4-!/)2^x’= 1;
19(х2 + !/) = 6*’^;
{ 5rJ-51r+10 _ i.
* J
*l/ = 15;
( 3“r -2V = 1152;
l 1°8Уб(® + У) = 2;
' 3х 2V = 972;
<
k logv/st* - У) = 2;
f lg(«2 + у2) = 1 -f lg8;
I lg(^ + У) - lg(* - y) = lg3;
f (« + »)3»-* = 1;
l 3 log5(z 4- у) = X - y;
{31+2log3(v-*) _ 4g.
21og6(2i/- x - 12)-
~ logs(l/ “ ®) = logsfo 4-«);
f lg(x - 3) - lg(5 - y) = 0;
1 4-1</4?-8v/8V - 0;
116
Глава 6. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ...
13)
И)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
(loga х + log,, у - 2) log18 а = 1;
2z + у — 20а = 0;
z2 W2
— + — = 12;
V х
2~ ,овзг 4-5,og» i - 1;
О
^ = 2;
(2ж)«/’ = 64(z > 0);
logr(3z + 2j/) = 2;
\о^(2х + 31/) = 2;
xya-7v+io = 1;
х + У = 8(ж > 0);
х + у= 12;
2(2 logy2 х — log1/r у) = 5;
..^.logKr _ _2.5.
ух = х ;
logs у • l°gj/(l/ — 2ж) = 1;
2(log1/y х - 21<^э у) + 5 = 0;
ху2 = 32;
ftatattausW
знание без ераниц * *
Глава 7. ПРОИЗВОДНАЯ
Глава 7. ПРОИЗВОДНАЯ.
Основные понятия и формулы
Предел функции. Рассмотрим фунцию у = /(х), опреде-
ленную в окрестности точки х = а (под окрестностью будем
понимать любой интервал, содержащий эту точку). Число А
называется пределом функции /(ж) в точке х — а, если по мере
приближения х к а разность |/(ж) - А| стремится к нулю и это
записывается в виде lim /(ж) = А. Подчеркнем при этом, что
поведение функциии в самой точке а не принимается во вни-
мание.
Заметим, что для непрерывной функции выполнено равен-
ство /(а) = А и предел функии при ж —> а совпадает со зна-
чением фунции /(ж) в этой точке.
Определение производной. Пусть функция у — /(ж)
определена в точках х и х». Разность ж> — ж называют при-
ращением аргумента и обозначают Дж; разность /(xi) — /(ж)
называют приращением фунции и обозначают Д/(ж) или Ду.
Итак, Дх = х\ — х и Д/ = f(x\) — /(ж) = f(x 4- Дж) — /(ж).
Если для фунции у = /(ж) в фиксированной точке ж суще-
ствует предел отношения приращения функции к приращению
Ду	Л
аргумента ——, при условии, что Дж стремится к нулю, то
Дх
фунция у = /(ж) называется дифференцируемой в точке х, а
этот предел называется производной фунции у = /(ж) в точке
х и обозначается /'(ж) или у1. Итак,
/ = ГМ =
11т А/ = lim /(х + Д;)-/м
Дг-Ю Дж д«-»о Дж
118	Глава 7. ПРОИЗВОДНАЯ
Пример» Рассмотрим линейную функцию у = кх 4- Ь.
&у - к(х 4- Дх) 4- Ь — (кх 4- Ъ) — к Ах, тогда
if = lim = lim к — к.
Дх-чО Дх Д*-чО
Касательная к кривой. Иногда касательную к кривой
у = f(x) определяют как прямую имеющую с этой кривой
одну общую точку. Прямая х = 0 имеет с параболой у = х2
одну общую точку, но не является касательной к этой линии в
точке х = 0. В то же время прямая у — 1 имеет с косинусоидой
у = сов х бесконечное множество общих точек (ж = 2яй, к 6 Z)
и в каждой из них является касательной к этой линии.
Чтобы дать определение касательной нам опять понадо-
бится определение предела.
Пусть М и N - две произвольные точки кривой у = /(х).
Соединим их прямой линией и будем следить за поведением
этой секущей по мере приближения N к М. Секущая будет
поворачиваться вокруг точки М и может случиться так, что
независимо от способа стремления (слева или справа) она бу-
дет занимать некоторое предельное положение. Эта прямая и
назавается касательной к графику функции у = f(x) в точке
М.
Найдем уравнение касательной к графику функции у =
f(x) в точке М(хо, уо). Пусть N(x\, j/i) - некоторая точка кри-
вой, близкая к М. Тогда мы можем считать, что Х| = хо+Дх,
У1 = S/o + Ду. Отношение —---— представляет собой угло-
Xi — Хо
вой коэффициент секущей, проведенной через точки М и N.
Если существует предел этого отношения, то предельное вы-
ражение будет не чем иным как угловым коэффициентом ка-
„ У1 — Уо Ду
сательнои. Но ------ — ——. Следовательно, угловой коэф-
Xi — х0 Дх
фициент касательной есть значение производной в точке xq.
Итак, уравнение касателной имеет вид
У ~ Уо = /z(xo)(x-xo).
^atatiausWik
знание без границ * *
Основные понятна и формулы
119
Правила дифференцирования. Пусть u(z) и v(z) -
фунции, дифференцируемые в точке xq. Тогда справедливы
следующие соотношения
1.	(и ± «У = и* ± t/,
2.	(и • v)' = и1 • v + V* • и,
/и\' __ и' • V — v' • и
' \?/ “ Цз ’
4.	(с • и)' = с • и' (с — постоянная).
Таблица производных.
1.	с' = 0;
2.	(z")/ = az"-1;
3.	(cx)' = e*;
4.	(a*)1 — a* In a;
5.	(lnx)' = l;
6.	(log» x)' = -1-;
z ma
7.	(ein z)' = cos z;
8.	(cos z)' = — sin z;
9.	(tgz)' = —
cos3 z
io.	(ctg x)1 = —r-V~;
81П X
11.	(arcsin z)' = j—=-
Vl — a
12.	(arccosz)' = —J
13.	(arctg xY = —;
13.	(arcctg xY = — -——
Примеры.
,	_ . cosz „ ,	. „
1.	I/ = 2sinz------h5ex. j/- ?
Применяя правила дифференцирования суммы и пользуясь
таблицей производных, получаем
сое 3*	1
(2sinz----------F 5ex)' = 2(sinz)' — -(cosz/ + 5(e*)' =
3	3
= 2 cos z + ;; sin z + 5e*.
2.	y=xi logez. 1/ - ?
120
Глава 7. ПРОИЗВОДНАЯ
Применяя правило дифференцирования произведения и
пользуясь таблицей производных, получаем
2	1
1/ = (xiУ  log3х + х» • (log3 х)' = -x~i log3 X + xi
3.	Хорда параболы у = х2 — 2х + 5 соединяет точки xi = 3
и Х2 = 1. Написать уравнение касательной, проведенной к
параболе и параллельной данной хорде.
Находим ординаты точек хорды: у\ = х2 — 2xj 4-5 = 8,
У2 — 4. Угловой коэффициент хорды находим по формуле
к=У2^. = 2
х2 - Х1
По условию касательная параллельна хорде, поэтому ее угло-
вой коэффициент к\ — к = 2. Но угловой коэффициент ка-
сательной равен производной в точке касания, следовательно,
l/(xo) = 2. Так как j/ = 2х - 2, то имеем
2х — 2 = 2
х = 2.
Таким образом, абсцисса точки касания х = 2. Итак, уравне-
ние касательной имеет вид
у - 5 = 2(х - 2) <=> у = 2х + 1.
Производная сложной функции. Если у = /(у(х)), то
производная находится по формуле
Примеры.
1. Вычислить производную функции у = (1 4- sin2 х)“ а .
Имеем
(/ = ^(1 4- sin2x) = - ^(1 + sin2x)~i  (1 4- sin2 x)' =
= —1(1 4-sin2 x)~i *2sinx • (einx)' =
At
— —1(1 +sinx2)~i -2sinxcosx — —1(1 + sin2x)'i sin2x.
^alaHauswk
знание без границ Ч ’ь
Основные понятия и формулы
121
Применение производной для исследования функ-
ций.
Говорят, что функция у = f(x) возрастает (убывает) на
промежутке (а, 6), если для любой пары точек x\,xz из этого
интервала, удовлетворяющих соотношению zi < zj, выпол-
нено неравенство f(x\) < /(«2) (Z(xi) > f(xi))- Проме-
жутки возрастания и убывания еще называют промежутками
монотонности функции.
Точка z* называется критической точкой функции у =
f(x), если производная в этой точке не существует или равна
нулю.
Точка z0 называется точкой локального максимума (мини-
мума) функции у = f(x), если для всех z из достоточно малой
окрестности этой точки выполнено неравенство f(x) < f(x0)
(f(x) > f(xo)). Точки локального максимума и минимума на-
заваются точками локального экстремума функции.
Приведем без доказательства ряд теорем, касающихся по-
ведения фунцций.
Теорема 1. Если фунция f(x) имеет положительную (от-
рицательную) производную в каждой точке интервала (a,b),
то она возрастает (убывает) на этом интервале.
Теорема 2. Необходимое условие экстремума в точке.
Если х* - точка локального экстремума функции у = f(x)
и функция дифференцируема в этой точке, то f'(x*) —6.
122
Глава 7. ПРОИЗВОДНАЯ
Теорема 3. Достаточное условие существования экстре-
мума. Если у = f(x) непрерывна в точке г*, дифференци-
руема на интервалах (а,х*), (х*,Ь) и производная f'(x) при
переходе через згу точку меняет знак, то х* - точка локаль-
ного экстремума. При этом х* - точка локального максимума,
если знак меняеся с + на —, и минимума, если с — на +.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значения Нун-
ции у = f(x) на отрезке (а, 6] применяют следующий алго-
ритм.
1.	Вычислить производную
2.	Найти критические точки , среди них отобрать принад-
лежащие отрезку [о; 6].
3.	Вычислить значения функции в критических точках,
попавших во внутрь отрезка, и на концах отрезка.
4.	Среди полученных чисел выбрать наибольшее и наимень-
шее.
Например, найдем наименьшее и наибольшее значение’
функции
у = х3 — Зх3 — 45х + 225
на отрезке [0; 6]. Найдем производную
j/ = Зх2 - 6х - 45 = 3(х2 - 2х - 15) = 3(х - 5)(х+ 3)
Критические точки xi = — 3 - не принадлежит отрезку [0; 6],
хз = 5 - принадлежит.
/(0) = 225; /(5) = 125 - 75 - 225 + 225 = 50;
/(6) = 216 - 108 - 270 4- 225 = 63.
Наибольшее значение /(0) = 225; наименьшее - /(5) = 50.
Примеры ж задняя.
Пример 1. Решить неравенство /(х) <	1), если
/(z) = X2 - 2х + 3, Ф(х) = |х2 4- 2х.
Решение. ф'(х) = х 4- 2, ^(-1) = 1. Далее
/(*) < «'(-1)
х2 - Зх + 3 < 1 <=> х2 - Зх + 2 < 0.
NalaHauswk
знание Без границ * *
Основные понятия м формулы
123
Уравнение у = х2 — Зх 4- 2 задает параболу с ветвями на-
правленными вверх (коэффициент при х2 - положительный).
Корни уравнения х2 — Зх 4- 2 = 0 - Х| — 1, х2 = 2 легко нахо-
дятся по теореме Виета. Следовательно, х2 — Зх + 2 < 0, если
х €[1,2].
Ответ:	[1,2]
Пример 2. Найти промежутки монотонности фунции
/(х) = 2х3 — 9х2 4- 12x4-1.
Решение.
Найдем производную, f = 6х2 - 18х 4-12 = 6(х2 - Зх 4- 2).
/'(х) < 0, если х G (1,2) и /'(х) > 0, если х е (— оо, l)U(2,4-oo)
(см. Пример 1).
Ответ:
/(х) убывает на интервале (1,2)
и возрастает на интервалах (—оо, 1) U (2, 4-оо)
Пример 3. Найти а, при котором для всех х возрастает
функция /(х) = ах 4-	4- х.
Решение. Найдем производную, /'(х) = в+1. Условие
возрастания: /'(х) > 0, следовательно, а4-1 > 0 => а > — 1.
Но из этого интервала необходимо исключить точку а = 1,
так как при а = 1 фунция /(х) не определена
Ответ: a 6 (—1,1) U (1,4-оо) .
Пример 4. Составить и решить уравнение
х3 - 5х2 4- — /х(1) • х = sin(7r/'(0)),
«5
. . X2
где /(х) = —-.
х 4- 1
Решение. Найдем производную:
(х + 1)”
=	/'(0) = 0, sin(</'(0)) = ein(O) = 0.
124
Глава 7. ПРОИЗВОДНАЯ
Уравнение имеет вид
х3 — бх2 4- — • 7 • х = 0, <=> х3 — бх2 + 4х = 0, или
3 4
х(х2бх 4- 4) = О =>
х = О,
х2 — 5х 4- 4 = О
Ответ: xi = О, Хз = 1, хз = 4 .
Пример 5. Вычислить площадь треугольника, ограничен-
ного осями координат и касательной к графику функции
х
у — ------- в точке хо = 1.
1.
Решение. Найдем уравнение касательной.
1(2х-1)-2 х ._	1,
(2х — I)2	’	“ ~(2х- I)2’
1/(1) = -1
Уравнение касательной имеет вид у — 1 = —1(х — I) <=> у =
—х 4- 2. Полученная прямая пересекает координатные оси в
точках xi = 0, i/i — 2, у? = 0, т? = 2. Так как координат-
<ые оси взаимноперпендикуллярны, то треугольник является
прямоугольным. Оба катета равны 2 . Имеем = - 2 -2 = 2.
_____	W
Ответ:	= 2 .
Пример 6. Исследовать функцию у = х3 — 3x4-1 и указать,
сколько корней имеет уравнение х3—Зх 4-1 = к, где к Е (1,2).
Решение. Найдем точки экстремума функции у.
у' = Зх2 - 3 = 3(х2 - 1) = 3(х - 1)(х 4- 1),
j/(x) = 0 <=>х = -1,или х—1.
При переходе через точки х = — 1, г = 1 j/ меняет знаки сле-
дующим образом 4-, —, 4-. Т. е х = — I - точка максимума,
х = 1 - точка минимума и j/(— 1) = 3,	у(1) = — 1.
Прямые у — к параллельны оси абсцисс и при непрерыв-
ном перемещении, соответсвующем изменению к от 1 до 2,
Основные понятия и формулы
126
не пересекают экстремумов функции. Минимум расположен
всегда ниже, а максимум - выше любой из упомянутых пря-
мых у = к, к G (1,2). Следовательно кубическая парабола
у = х3 — Зх + 1 пересекает прямую у = к, к € (1,2) в трех
точках.
27 4 1
Пример 7. Касательная к графику функции у = "у а' — j
образует с осью Ох угол arctg 2 и пересекает в точках А и
В окружность с центром в начале координат. Найти радиус
окружности, если АВ — 1.
Решение. Из условия задачи следует, что угловой коэффи-
циент касательной к = tg(arctg2) = 2. Пусть хо - абсцисса
27
точки касания. Тогда у'(хо) = 2. у* = —- • 4х3 = 54г3. Следо-
1 л
вательно, 54х3 = 2, х3 = —, хо = -. Тогда ордината точки
/1\	27	1	1	1	1	1
касания у0 = у- =	Уравнение
\ о /	£	Л	i	О	2	о
касательной:
1 „ / 1\
р + з = 2(х_з/
у = 2х — 1.
Так как окружность имеет центр в начале координат, то ее
уравнение имеет вид х2 4- у3 = г2. Найдем точки пересечения
касательной и окружности:
х2 + у2 = г2
у = 2х - 1
( х2 + (2х - I)3 = г3
| у = 2х - 1
Из первого уравнения находим:
5х3 - 4х + 1 - г2 = 0, — = 4 - 5(1 - г3) = 5г3 - 1.
4
Так как касательная пересекает окружность в двух точках,
то уравнение должно иметь два корня, т.е. выполнено нера-
венство 5г2 — 1 > О, или г3 > —. Следовательно, г е 4г;+оо).
О	Lv® /
126
Глава 7 ПРОИЗВОДНАЯ
_	2± л/5г^ - 1
Тогда я?1,2 =-----j-----
1/1,2 = 2*1,2+ 1; "ЛИ
я?1 =
2 - у/5г2 - 1
*2 =
5
5
2л/5г5 - 1 - 1
Vi =
-2^5г5 - 1 - 1
У2 =
5
5
|АВ|=1 ==> 1 = |АЯ|2 = (*! - *з)2 + (У1 “ !*)’=
✓	\ 2	/	\ 3
( < (бг»_1)+«(6г»_0=
\	5	/	\ а 1 2а	2а
20\	,2 4
— ) — 4г--= 1 =>
25/	5
л 2	9 о 9	3
4Г = 5’ Г = 20’ Г=££
= (5г2
(здесь учтено требование г >	.
3
Ответ: г = —-= .
2\/5
Пример 8. Из точки М, расположенной на положитель-
ной полуоси Оу проведены касательные к графику функ-
g
ции у = —, которые пересекают ось Ох в точках К и L.
Найти площадь треугольника MKL, если угол ZKML равен
о	.	1
2arcsin —т=.
g
Решение. Фунция у = —х является четной, поэтому &KML
хл
- равнобедренный. Пусть О - начало координат. Тогда
ZKMO = ZOML = а = IzKML = arcsin—.
2	ч/б
Samkl = 25дмко> ZMKO = ~ - а,
ШаНаиА
знаниебезграниц Ч4*
Основные понятия и формулы
127
tgZMKO =
сое ZMKO = сое
= sin а =
sinZMKO =
2 — угловой коэффициент касательной.
Но 1/ = 8 • (—2)— —------В точке касания ха- 1/(*о) —
16	„	\	*
—=• = 2	=> х» = -8, => Xq ~ —2. Следовательно,
х3
. .	8
I/O = 1/(го) = (—= 2- Уравнение касательной имеет вид
у—2 = 2(х 4-2); у = 2x4-6. Подставляя в последнее выражение
у = 0, получим координаты точки К: 2х +6 = 0, х = —3,
т.е. К"(—3;0). Подставив х — 0, получим: Л/(0;6). 5д mkl =
25дмко = 2 • - • 3 • 6 = 18.
Ответ: «$дмкь = 18 •
Пример 9. При каком значении а выражение х2 4- z? при-
нимает наибольшее значение, если х\, х?- точки экстремума
функции f(x) = —х3 4- Зах2 — 6(2а2 — За — 1)х — 5. Обосновать
решение.
Решение, /'(х) = -Зх2 4- бах - 6(2а2 — За — 1) = -3(х2 -
2ах 4- 2(2а2 — За — 1)). Критические точки: f(x) — 0 <=>
х2 - 2ах 4- 2(2а2 — За — 1) = 0. Дискриминант трехчлена имеет
вид
~ = а2 - 2(2а2 - За - 1) = -За2 4- ба 4- 2.
Уравнение /'(х) = 0 имеет корни, если D > 0, или —За2 4-
6а 4- 2 > 0. Корни уравнения За2 — ба — 2 = 0 имеют вид
3 i 4""б	х/15	{	/г»	/г» \
“1.2 =--------= 1±—. Те. а€ (1-^;! + ^).
Запишем выражения для корней уравнения /Х(х) == 0
xi = а — \/—За2 4- ба 4- 2, xj = а 4- х/—За2 4- 6а 4- 2.
128
Глава 7. ПРОИЗВОДНАЯ
Производная исследуемой функции представляет собой ква-
дратичную функцию. Если уравнение f'(z) = 0 имеет два
корня ri и Z2, то при переходе через эти точки квадратичная
функция обязательно меняет знак. Поэтому Х| и х2, указан-
ные выше, являются точками элстремума.
Найдем значение выражения х2 4- х2
х2 4- х2 = (п 4- х2)2 - 2г 1^2 = 4а2 - 2(а2 — (—За2 4-ба4- 2)) =
= 4а2 — 2(4а2 — ба — 2) = —4а2 4- 12а 4- 4 = —4(а2 — За — 1).
Полученная функция S = —4(а2 — За — 1) (парабола с от-
рицательным коэффициентом при старшей степени) имеет
максимум в точке, где S' = 0. Имеем: —8а 4- 12 =
л 3 „ «
0 => а = -. Найденное значение принадлежит промежутку
/15	/15
;1+ — •
3
Ответ: а = - .
Задачи для самостоятельного решения.
Задание 1. Наити производные следующих функции
1) р = (к4 - т2 + I)3;
_ 1 — CO8 2х
1 4- cos 2х ’
5) у — /4х3 — 1х2 4- 1;
7) 1/= Ух2 - 1(х4 - 1),
9) У = е^-^2;
И) у — (х 4- 1) /х2;
13) у=х2со8-;
х
15) у = сое2 Зх;
X3 - Зх2 4- 1
2) у  --------;—;
х - 1
1 10-г
4)
6) у - (sin2x 4- 1)ег ;
8) у = 1п х/х7 - 1;
10) у = </х(1 - х)2;
12) у = tg2x - ctg2x;
14) у = х 4- sinx сое х;
16) i/ = 8»n2^.
NalaHaustfii
знание без границ * w
Основные понятия и формулы
129
Задание 2. Найти промежутки возрастания и убывания
функций
1)	+	2) /(х) = -х(х-3)’,
3) fM =	;	4> Л*) = <2' - >)(2* - 4).
' ' ' х2 + х + Г
Задание 3. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции на отрезке
1 )у = х3 - Зх2 + Зх + 2, [-2,2]; 2>*' =	+ 4x3 + *• I ~2' Ч‘>
3)р = х8 - х3 + х + 2, [-1,1];	4)У = £ +	(-5, -1).
о X
Задание 4. Найти точкм экстремума функции
1)		2)	In ж Ч- 2 »=	X	’
3)	у = Х2е	4)	У = ж3е-х;
5)	у = е~г - е“2х;	6)	у = ж + 1п( 1 — 2ж).
Задание 5. Доказать, что уравнение 1 — ж3 — ж8 =0 имеет
только один действительный корень, причем этот корень наг-
ходится в промежутке (0, 1).
Задание 6. Найти все значения параметра а, для которых
вершины двух парабол у = 4ж2 + 8аж — а и у = 4ах2 — 8ж + а — 2
лежат по одну сторону от прямой у — —б.
Задание 7. К линии у = -ж2+ж+1 проведены касательные
в ее вершине и двух точка/; расположенных по разные сто-
роны от вершины. Треугольник с вершинами в точках пере-
сечения этих касательных является равносторонним. Найти
площадь треугольника.
Задание 8. Найти наименьшее и наибольшее значение
х2 - 1
функции /(ж) = -=---- на отрезке [-1,
хл + 1
Задание 9. Решить уравнение
ЛГИ - Ух - /'(0) = f (1) - 4,
где /(х) = х8 + х + 2.
Задание 10. Найти промежутки монотонности функции
/(ж) = 2х3- 3ж(3ж — 4) + 1.
5.
130 Глава 8. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Глава 8. ЗАДАЧИ НА
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ.
Задачи на составление уравнений, или текстовые алгебра-
ические задачи, представляют собой традиционный вид кон-
курсных задач. Остановимся .прежде всего, на задачах, кото-
рые условно можно назвать задачами ” на движение”.
§8.1. Задачей ”иа движение”
Допущения, которые обычно принимаются (если не огово-
рено иное) в условиях задач ”на движение”:
а)движение считается равномерным; при этом пройденный
путь определяется по формуле
S=vt
б) повороты движущихся тел принимаются мгновенными,
без затрат времени;
в) если тело движется по течению реки, то его скорость v
равна сумме скорости в стоячей воде (собственной скорости)
и скорости течения реки
Г — Vc<>4 +•	.
а если против течения, то
г = vco6 - vmeM.
При решении задач на движение часто встречаются следу-
ющие два элемента:
NataMaus
знание без границ
§8.1. Задачи "на движение’’...
131
а)движение навстречу друг другу. В этом случае, если пер-
воначальное расстояние между двумя объектами было S, их
скорости Vi и V2, то время, через которое они встретятся,
равно
V) 4- V2
(в этом случае сумма скоростей vj -Ь V? называется скоростью
сближения).
б)	Один объект догоняет другой (движение в одном напра-
влении) то
V2 - V1
(скорость сближения v = v? - t?i).
Замечание. При решении задач необходимо следить за еди-
ницами измерения.
Пример 1. Моторная лодка, обладая скоростью движения
v = 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами по
реке туда и обратно без остановки за 6 ч 15 мин. Расстояние
между пунктами 60 км. Найти скорость течения.
Решение. Пусть г^ч = х, vno теч = 20 + х, vnp теч = 20 - х.
1	25
6 ч 15 мин = 6- = — ч
4	4
г»	60
Время, затраченное на путь по течению —------, на путь про-
60	25
тив течения —-----, что вместе по условию составляет —.
20 — х	4
Составим уравнение
60	60 _ 25
20 + х + 20 - х ~ 4’
=> 5z2 = 80,
х — ±4.
Корень z = -4 не подходит по смыслу задачи
Ответ х — 4
132
Глава 8. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Пржмер 2. Моторная лодка в парусник, находясь на озере
на расстоянии 30 км друг от друга, движутся навстречу друг
другу и встречаются через один час. Если бы моторная лодка
находилась в 20 км от парусника и догоняла его, то на это
потребовалось бы 3 ч 20 мин. Определить скорость лодки и
парусника.
Решение. Пусть х - скорость лодки, у ~ скорость парус-
ника. Тогда скорость сближения лодки и парусника при дви-
30
жении навстречу равна х 4- у, а время до встречи --, что
а? + у
по условию составляет 1 час. Если бы лодка догоняла парус-
ник, то скорсть сближения была бы х — у, а время до встречи
20 iO __
——или —. Имеем систему уравнении
-^=1;
X + у
20 _ 10
х — у 3
х 4- у = 30;
х — у = 6;
х = 18;
у = 12.
Ответ:
скорость лодки 12 км ч,
скорость парусника 18 км ч
Пржмер 3. Выйдя со станции с опозданием в 20 мин, по-
езд покрыл перегон в 160 км со скоростью, превышающей ско-
рость по расписанию на 16 км ч и пришел к концу перегона
вовремя. Какова по расписанию скорость поезда на этом пе-
регоне.
Решение. Пусть х - скорость по расписанию. Тогда дей-
ствительная скорость х 4- 16.Время, которое должен был за-
160
тратить поезд на перегон по расписанию---, а на самом деле
160
было затрачено время-----—, что на 1/3 часа меньше. Соста-
х 4- 16
вим уравнение
160	160 _ 1
х ж4-1б“3’
xi = 80, Х2 = —96.
Ответ: | 80клсч
ftalaHauSf
§8.2. Задачи "на работу”...
133
§8.2. Задачи ”иа работу”
Очень близки по математической модели к задачам на
"движение” задачи, в которых кто-либо выполняет какую-
нибудь работу, или задачи, связанные с наполнением и опо-
рожнением резервуаров (бассейна). В задачах такого типа
вся работа или полный объем резервуара играет роль рассто-
яния (пути), а производительности объектов, совершающих
работу, аналогичны скорости движения. Будем использовать
обозначения: работа - А ; производительность труда - N (ко-
личество работы, выполненной за единицу времени). Работа,
выполненная за время t, в этом случае равна
А = Nt
Абстрактная работа (которая не измеряется в штуках, коли-
честве изделий и т. п.) обычно принимается за 1.
Производительность совместной работы равна сумме про-
изводительностей.
Пример 1. Двое рабочих, работая вместе, выполнили не-
которую работу за 6 ч. Первый из них, работая отдельно,
может выполнить всю работу на 5 ч скореее, чем второй ра-
бочий, если последний будет работать отдельно. За сколько
часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить
всю работу.
Решение. Примем всю работу за единицу. Пусть первый
рабочий может выполнить всю работу за х ч. Тогда второму
потребуется я+5 ч. Производительность первого- второго
- Тогда за 6 ч совместной работы с производительно-
стью, равной сумме производительностей, рабочие выполнили
всю работу. Имеем уравнение
Решая последнее уравнение находим х = 10.
Ответ: 10 ч, 15 ч .
134
Глава 8. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
§8.3. Задачи с целочисленными неизвестными
В этом параграфе рассмотрим задачи на составление урав-
нений, в которых неизвестные величины могут принимать
только целые значения. Часто эти задачи составлены таким
образом, что их однозначное решение можно найти только
при использовании этого обстоятельства.
Пример 1. Найти двузначное число зная, что цифра его
единиц на 2 больше цифры десятков и что произведение иско-
мого числа на сумму его цифр равна 144.
Решение. Пусть х - цифра десятков, у - единиц. Тогда
исходное число есть 10х + у. По условию задачи
у = х + 2,	Гу = х + 2,
(10х + у)(х + у) = 144, ( (Юж + х + 2) (2х + 2) = 144,
Jl/ = x + 2,
[ Их3 + 13г -70 = 0.
Из двух корней х\ = 2, xj = — Ц последний не подходит по
смыслу. Тогда у = 2 + 2 = 4.
Ответ: | 24 .
Пример 2. Трехзначное число оканчивается цифрой 2.
Если ее перенести в начало записи, то полученное число будет
на 18 больше, чем исходное. Найти это число
Решение. Пусть первая и вторая цифры числа соответс-
венно равны х, у. Тогда ЮОх + 10у + 2 - исходное число. По
условию задачи число 200 + 10х + у на 18 больше исходного,
т.е.
200 + Юх + у - (ЮОх + 10у + 2) = 18 =>
- 90х - 9у = -180, => Юх + у = 20.
Тогда исходное число ЮОх + 10у + 2 = 10(10х + у) + 2 = 10 •
20 + 2 = 202.__
Ответ: | 202 .
JVaiafiausMif
знание без границ * *
§8-4. Задачи на ’'проценты”...
136
$8.4. Задача на 55 проценты”
Процентом называется одна сотая часть какого-либо чи-
сла.
Нахождение процента от числа .Для того, чтобы найти
а% от числа 6 нужно число Ь разделить на 100 и умножить на
а. Например, 30% от 600 равны 600 : 100 - 30 = 180.
Нахождение числа по его процентам. Если известно, что
а% числа х равны Ь, то число х можно найти по формуле
х = - • 100. Так, если 3% вклада в Сбербанке составляют
а
150
150 гривен, то этот вклад равен —- • 100 = 5000 гривен.
3
Нахождение процентного отношения чисел. Чтобы найти
процентное отношение двух чисел а и Ь, надо отношение этих
чисел умножить на 100%.
Пример 1. В двух кусках 24 м ситца. Сколько ситца в
первом куске, если 15% первого равны 75% второго.
Решение. Пусть в первом куске х м, тогда во втором -
24 — х. По условию задачи
0.15г = 0.75(24- х), => х = 5(24 - г), => х = 20.
Ответ: 20
Пример 2. Частное 2-х чисел равно 2. Если делимое уве-
личить на 50%, а делитель уменьшить на 25%, то сумма полу-
ченных чисел равна 15. Найти делимое
Решение. Пусть делимое равно х. Тогда делитель равен
х
В результате преобразований делимое будет равно 1.5х,
Mi
(% \
— Получим:
Z *
15x4-0.75^^ = 15, =>
Зх 4-0 75х = 30,
=> х = 8.
Ответ: 8
136 Глава 8. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Пржмер 3. В трех ящиках 48 кг сахара. Во 11-ом 80%, в
III на 25% меньше, чем во II. Сколько сахара в первом ящике.
Решение. Пусть в I-м ящике х кг сахара, тогда во П-м - 0.8
х, а в Ш-м - 0.75 • 0.8г.
Составим уравнение
* + 0 8*+ 0.75 0.8* = 48, => 2.4* = 48.
Ответ: 20 .
Рассмотрим теперь задачи экономического профиля, став-
шие популярными в последнее время и именуемые задачами
на ”сложный процент*’.
Мы говорим, что имеем дело со ’’сложными процентами”,
если некоторая величина подвержена поэтапному изменению.
При этом каждый раз ее изменение составляет определенное
число процентов от значения, которое эта величина имела на
предыдущем этапе.
Рассмотрим сначала случай, когда в конце каждого этапа
величина изменяется на одно и то же постоянное количество
процентов - р%.
Некоторая величина А, исходное значение которой равно
А о, в конце первого этапа будет равна
Ai = А° + рю А) = Ао (1 + уэд) .
В конце второго этапа ее значение станет равным
Ai = A1 + Т^ол 1 = л‘ (‘+ wo) = л° О + Т5о) •
Здесь множитель 1 + р/100 показывает, во сколько раз вели-
чина А увеличилась за один этап. Нетрудно проверить, что в
конце третьего этапа
Аз = Ао (1 +	, и так далее.
В конце n-го этапа
Эта формула показывает, что величина А растет (или убы-
вает при р < 0) как геометрическая прогрессия, первый член
которой Ао, а знаменатель - 1 + р/100.
ftalallausW
знание без границ Ч w
§8.4. Задачи на "проценты”...
137
Пример 4. Банк принимает вклад под 320 % годовых, но
% начисляется ежемесячно. Из начисленной суммы взыски-
вается налог в размере 25 %. Оставшаяся после этого сумма
прибавляется к первоначальному вкладу и все повторяется.
Во сколько раз увеличится первоначальный взнос через пол-
года (Ответ округлить до целых).
Решение. Так, как годовая ставка - 320%, то ежемесячная
320	80 пг г,
составит — = —%. Пусть первоначальный вклад был Ло,
тогда к концу первого месяца
(здесь мы уже учли налоговые отчисления по вкдаду в размере
25% - множитель 75/100). Итак,
Применяем формулу указанную выше: после к-ro месяца
вклад становится
— (?) .
Таким образом, за шесть месяцев первоначальный вклад уве-
личится в
Аб = /б\
Ао \5j
и 2.9 раза.
Ответ: В три раза .
В заключении рассмотрим задачу, когда приращение вели-
чины А на каждом этапе изменяется.
Пусть величина А в конце первого этапа испытывает изме-
нение на pi%, в конце второго этапа - на рз%, в конце тре-
тьего на рз% и т.д. Если р* > 0, то величина А на этом этапе
возрастает, если же рк < 0, то величина А на этом этапе убы-
вает. Как уже упоминалось, изменение величины А на р% рав-
носильно умножению этой величины на множитель 1 4- р/100.
138
Глава 8. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Поэтому окончательный вид искомой формулы такой:
л"~Ло(1 + Т5б) (1+Тй)'(1+кй)
Пример 5. Обувная фабрика, приобретя новейшее обору-
дование, установила его в три этапа. Каждый этап, длив-
шийся целое число месяцев, сопровождался увеличением объ-
ема выпуска прдукции на один и тот же процент. На первом
этапе это увеличение составило 12.5%, на втором - 25%, на
третьем - 33|%. В итоге выпуск обуви увеличился на 212 5
%. Сколько месяцев длился период увеличения выпуска обуви
Решение. Пусть первоначальний объем выпуска обуви со-
ставлял Vo единиц. За первый месяц выпуск обуви увеличился
на 12.5% и составил
Vl = Vo+^12-5=V°(1 + ^)-
За второй месяц объем увеличился еще на 12.5%, т.е. стал
равным
V1
100
12.5\3
1+ 100/
Пусть первый этап длился х месяцев. Тогда по истечении этих
месяцев к концу первого этапа объем составил

единиц.
Пусть второй этап длился у месяцев, а третий этап z меся-
цев. Проводя аналогичные рассуждения для второго и тре-
тьего этапов (считая, что начальный объем на каждом после-
дующем был равен конечному объему на каждом предыдущем
этапе) придем к выводу, что в итоге периода реконструкции
конечный объем выпуска обуви составил
A 12.5VZ	25 V Л 33*
V + 100 ) V + 100/ \ + 100/
§8.5. Задачи на смеси и сплавы...
139
знание без границ	* *
По условию задачи этот объем составил 212.5% первоначаль-
ного. Т.е. стал равен
Vo + А. 212.5 = Vo
Л 212.5\
( 1 +------I •
\	100 J
В результате придем к уравнению
212.5
100
Л 1АХ Л . iV Л 1V 3125
V *8/ (1 + i) (,1 + з) =Тоо-
/9\х /5\v (4\* 625	32х 5* 22'	52
\8/	\4/	\3/ ~ 200’	23* ' 22v ’ 3* “ 23'
Или
2~Зг — 2у+2*+3 . «j2»—« _ gy—2 _ ।
Так как числа 2,3,5 - простые, а числа x,y,z - натуральные, то
равенство возможно лишь в случае, когда
{- Зх - 2у + 2z + 3 = 0,	( у = 2,
2х — z — 0,	< 2х = z,
у -2 = 0,	I - 3z_4 + 4x-I-3 = 0,
Решениями системы являются числа х = 1, у = 2, z = 2.
(’ледовательно, весь период восстановления длился x+y+z = 5
месяцев.
Ответ: 5 месяцев .
§8.5	. Задачи на смеси и сплавы
Рассмотрим примеры задач, в условиях которых речь идет
<• составлении сплавов, растворов или смесей двух или не-
скольких веществ.
Основные допущения, которые принимаются в задачах по-
добного рода, состоят в следующем:
а)	все получающиеся сплавы или смеси однородны;
б)	при слиянии двух растворов, имеющих объемы Ц и [Zj,
получается смесь, объем которой равен U\ -Pt/j. Заметим, что
такое допущение не всегда выполняется в действительности.
140
Глава 8. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Пржмер 1. Имеется кусок сплава меди с оловом массой
12 кг, содержащий 45 % меди. Сколько чистого олова надо
прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав
содержал 40 % меди.
Решение. Пусть к имеющемуся сплаву нужно добавить х
кг чистого олова. Тогда вес полученного сплава - (12 4- х) кг
и он содержит 40% меди. В этом сплаве меди 0.4(12+ х) кг.
Было меди - 0.45 • 12 кг. Т.к. масса меди не изменилась, то
0.4(12 + х) =0.45 12, =>
х = 1.5.
Ответ: 1.5
Пржмер 2. Имеется сталь двух сортов с содержанием ни-
келя 5% и 40%. Сколько стали того и другого сорта необхо-
димо взять, чтобы после переплавки получить 140 т стали с
содержанием никеля 30%.
Решение. Пусть стали /-го сорта нужно х т. Тогда стали
//-го сорта понадобится 140 — х т. Никеля в первом сплаве
0.05х т, во втором - 0.4(140 — х) т. По условию задачи нам
нужно., чтобы никеля в 140 т стали было 30%, т.е.
0.05х + 0.4(140 - х) = 0.3 • 140.
Решая последнее уравнение, находим х = 40.______________
Ответ: 40т стали с %5 сод. никеля и 100 т с 40 % сод.
§8.6	. Задачи, решаемые при помощи неравенств
Существует много задач, рассчитанных на умение соста-
влять не только уравнения, но и неравенства, и с их помощью
получать ответы на поставленные вопросы.
Пример 1. Производительность первого автозавода не
превышает 950 машин в сутки. Производительность вто-
рого составляла первоначально 95% от производительности
/ -го. После ввода дополнительной линии второй завод уве-
личил производство на 23% от числа машин, выпускаемых в
ftalattausiiiik
знание без ераниц * w
$8.6. Задачи, решаемые при помощи неравенств	141
сутки первым заводом и стал выпускать их более 1000 штук в
сутки. Сколько автомобилей в сутки выпускал первый завод,
если каждый завод выпускает в сутки целое число машин.
Решение. Пусть х - производительность /-го завода, тогда
начальная производительность второго составляла 0.95z. По-
сле реконструкции производительность П-го завода составит
0.95ж + 0.23z. Тогда
( х < 950,
t 0.95z + 0.23г > 1000.
При этом по условию задачи необходимо, чтобы х, 0.95х и
0.23г были целыми числами. Решение системы дает 847 <
х < 950. Учитывая, что 0.23z - целое, заключаем, что иско-
мое число должно делиться на 100. Единственным решением
является х = 900.
Ответ: |~900
Пржмер 2. Двум бригадам общей численностью 18 чело-
век было поручено организовать в течении трех суток непре-
рывное дежурство по одному человеку. Первые 2-е суток де-
журили рабочие /-й бригады, распределив между собой время
поровну. Известно, что во //-й бригаде 3 девушки, остальные
- юноши. Причем, девушки дежурили по 1 часу, а юноши рас-
пределили остаток времени поровну. Оказалось, что сумма
прдолжительности дежурств каждого юноши //-й бригады и
любого члена /-й бригады меньше 9 часов. Сколько человек в
первой бригаде.
Решение. Пусть в первой бригаде х человек, тогда во вто-
48
рой бригаде 18 — х. Каждый член первой бригады дежурил —
24 — з х
часов. Каждый юноша второй бригады дежурил ——------
(18 — X) — 3
часов. Из условия задачи суммарное время дежурств членов
первой бригады и юношей со второй не превышала 9 часов,
т.е.
(18-х)-Зх ’	15-х х ’
142 Глава 8. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
7	16
15 — г х
<3,
7x4- 16(15-х)-3х(15-х)
х(15 — х)
После преобразовании придем к неравенству	< 0.
Решая его методом интервалов, получаем х € (— оо, 0)U(8,10)U
(15, +оо). С учетом ограничений задачи получим, что 8 < х <
10, или х = 9.
Ответ: 9
§8.7	. Задачи, в которых число
неизвестных превышает число уравнении
При решении ряда задач мы можем столкнуться с си-
туацией, когда количество неизвестных в составленной си-
стеме уравнений превышает число самих уравнений. Дей-
ствительно, если выбирать неизвестные руководствуясь прин-
ципом наибольшего удобства математической записи условий
задачи, то та величина, которую необходимо найти, может
и не войти в их число. Поэтому может случиться так, что
однозначное определение всех неизвестных из системы урав-
нений невозможно, однако искомая комбинация этих неизвест-
ных тем не менее находится однозначно.
Пример 1. Резервуар снабжается водой по пяти трубам.
1-я труба наполняет его за 40 мин, 2-я, 3-я в 4-я, работая
одновременно, - за 10 мин, 2-я, 3-я и 5-я - за 20 мин и, наконец,
4-я и 5-я - за 30 мин. За сколько времени наполнят резервуар
все пять Труб при одновременной работе?
Решение. Примем всю работу, необходимую для заполне-
ния резервуара за 1 . Производительности труб обозначим
соответственно х>, z?, Хз, z4, zg и переведем время в часы:
40 мин= 2/3 ч, 10мин= 1/6 ч, 20 мин= 1 /3 ч. Тогда по условию
^alaHaustih
знание без границ Ч *
§8.7. Задачи, в которых число неизвестных ..	143
задачи
3
11 = 2:
*2 + *3 + *4 =
<
«2 + *3 + *5 =
1
*4 +	— т;
2
3
Z1 “ 2’
*2 + *з + *4 = 6;
*2 + ^3 + Гб = 3;
Х4 4- Хь = 2
Первое уравнение умножим на 2, а затем сложим все уравне-
ния системы. Получим
2(zi + *2 + *з + *4 + *б) = 14.
Следовательно, производительность совместной работы всех
пяти труб равна 14/2=7. Тогда работа по заполнению резер-
вуара будет выполнена за 1/7 часа.
Ответ: 1/7 часа .
Пржмер 2. 4 станка разной поизводительности произво-
дят одинаковые детали. Если работают все четыре станка,
то заказ может быть выполнен за 8 часов. Если работают
только 1-й, 3-й и 4-й, то необходимое время - 9.6 часа, если
же работают 1-й, 2-й и 3-й - за 12 часов. За сколько часов
смогли бы выполнить заказ (работая одновременно) только
1-й и 3-й станки.
Решение. Обозначим производительности 1-го, 2-го, 3-го и
4-го соответственно за х, у, z, w, По условию задачи
1
* + !/ + * + w =
О
’ + , + ю=9!6:
1
z 4- j/ + z = —
144
Глам 8. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Из первого вычитаем третье уравнение: w — g ~	= д-
Подставляя во второе уравнение найденное значение, получим
х + z =	— w =	~ ТЪ Тогда необходимое время
составит	— 16 часов.
Ответ:
16часов .
§8.8	. Задачи, при решении
которых используется производная
Схема решения таких задач практически одна и та же.
Совокупность требовании и ограничении задачи позволяют
построить так называемую целевую функцию. Затем требу-
ется лишь решить экстремальную задачу - найти минимум
или максимум построенной функции. Спектр может быть до-
вольно обширным: планиметрия, стереометрия, задачи физи-
ческого, химического, экономического характера и пр.
Пример 1. Три бригады должны выполнить работу. Пер-
вая бригада делает в день 200 деталей, вторая на а деталей
меньше, чем первая, а третья бригада делает в день на 5а де-
талей больше, чем первая. Сначала первая и вторая бригады,
работая вместе, выполняют 1/5 всей работы, а затем все три
бригады, работая вместе, выполняют 4/5 работы. На сколько
деталей в день меньше должна делать вторая бригада, чем
первая, чтобы вся работа была выполнена указанным спосо-
бом как можно скорее.
Решение. Как следует из условия, вторая бригада делает
(200 — а) деталей ( => 0 < а < 200). Третья бригада делает
(200+5а). Пусть Q - количество деталей, которое необходимо
изготовить. Тогда время всей работы t слагается из двух
частей:
Q/5
ti ~ 1—™-------время работы первой и второй бригад,
4 — 00 — а
.	4Q/5	- <
<2 = gQQ ”4--время совместной работы бригад.
Итак, суммарное время
,(о) = Q/5 . «Э/» _ но о
' '	400 - а 600 + 4а 60000 + 250а - а’
4\atalfausWik
знание Вез ераниц * *
Задания для самостоятельной работы	145
представляет собой целевую функцию. Мы должны найти ее
минимум. Найдем производную:
_	220  <?(а - 125)
' '	(60000 + 250а-а2)2'
t'(a) = 0, если а = 125. При переходе через это значение
производная меняет знак с — на 4-. Следовательно, a = 125 -
точка минимума.
Ответ: | a = 125 .
Задания для самостоятельном работы
Задание 1. В бассейн проведены 4 трубы. Когда открыты
1, 2 и 3-я - он наполняется за 4.8 часа. Если открыты 1, 3 и
4-ая - 8 часов. Если же открыты 2 и 4-ая - за 6 часов. За
какое время наполнят бассейн все 4 трубы.
Задание 2. 3 рабочих выполняют работу. 1-й работал 6 ч,
'2-й -4 ч, 3-й -7 ч. Если бы работал 4 ч, 2-й - 2 ч и 3-й -5 ч,
то было бы выполнено 2/3 объема всей равботы. За сколько
часов закончили бы работу все 3, работая одновременно.
Задание 3. 2 пешехода вышли одновременно навстречу
друг другу и встретились через 3 часа 20 мин. За какое время
пройдет все расстояние 1-й, если он пришел в то место, из ко-
торого вышел второй на 5 часов позже, чем второй пришел в
то место откуда вышел первый.
Задание 4. Со станции А вышел в 5 ч утра почтовый по-
езд по направлению к станции В, АВ = 1080 км. В 8 часов
утра со станции В вышел по направению к А скорый поезд,
который проходил в час на 15 км больше, чем почтовый. Че-
рез сколько часов после выхода скорого встретились поезда,
если их встреча произошла в середине АВ.
Задание 5. В сосуде 10 л соляной кислоты. Немного от-
лили и долили воды (столько же), опять отлили (столько же)
и долили водой. Сколько литров отливали каждый раз, если
получили 64% раствор.
146
Глм* 8. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Задание 6. Имеется лом двух сортов. В каждом из них
содержание никеля - 5% и 40% соответственно. Из них вы-
плавляют сталь с 30 % содержанием никеля. Сколько лома с
40% содержанием никеля нужно взять, чтобы получить 140 кг
стали
Задание 7. Принимая вклад под 900 % банк ежемесячно
начисляет проценты. Из начисленных процентов вычитается
налог 20 %. Оставшаяся сумма прибавляется к первоначаль-
ному вкладу и уже к этой новой сумме применяется эта же
процедура. Во сколько раз сумма вклада через полгода пре-
высит первоначальный.
Задание 8. В банк вложено 250000 $ под 640% годовых,
налог - 25%. На сколько превысит первоначальный взнос
вклад через 5 месяцев.
Задание 9. Сбербанк ежемесячно начислял на вклады
20
—%, затем повысил их до 12/5%, а через некоторое время
- до 25%. Когда вкладчик забрал свои деньги, оказалось, что
их стало на 140% больше, чем первоначально внесенный вклад.
Сколько месяцев вклад находился в банке, если под действием
каждого процентного начисления он находился целое число ме-
сяцев.
NalaiLausiSk
знание без границ * *
Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
147
Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
$9.1. Тождественные преобразовали
тригонометрических выражении
Рассмотрим единичную окружность. Пусть точка А этой
окружности имеет координаты (1;0), а вектор О А назовем
начальным радиус - вектором. Выполним поворот началь-
ного радиус - вектора вокруг начала координат против часо-
вой стрелки (в положительном направлении) на угол а. Тогда
точка А перейдет в точку Р с координатами (za, ya). Угол
поворота а будем измерять либо в градусах: 1° = полного
оборота, либо в радианах: 1 радиан - центральный угол, опи-
рающийся на такую дугу окружности, длина которой равна
радиусу этой окружности. Полный оборот равен 2тг радиан,
1 радиан равен * — 180°
Синусом угла о называется отношение ординаты точки Р
к радиусу окружности
Va
~^ = Va = вша-
(поскольку R = 1).
Косинусом угла а называется отношение абсциссы точки
Р к радиусу
Тангенсом угла а называется отношение ординаты к аб-
сциссе
140
Глам ». ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Котангенсом угла а называется отношение абсциссы к ор-
динате
ctga = —.
Уа
вша, сова, tga, ctga называются тригонометрическими
функциями.
Таблица значении тригонометрических функции
основных углов.
а	0	я/б	я/4	я/3	я/2	я	Зя/2	2я
sin а	0	1/2	V2/2	V3/2	1	0	— 1	0
сова	1	\/3/2	v^/2	1/2	0	- 1	0	1
tga	0	>/з/з	1	\/3	—	0	—	0
ctga	—	\/3	1	>/3/3	0	—	0	—
Знаки тригонометрических функции.
Функция sin а принимает положительные значения для
углов а, лежащих в I и II четверти, соответственно, отрица-
тельные - в III и IV; сова - положительные в I и IV четверти,
сгрицательные - во II и III. tg а и etg а положительны в I в
III четверти, отрицательны во II и IV.
Следующие свойства вытекают непосредственно из опреде-
ления
sin(—а) = — sin а;	сов(—а) = сое а;
tg (~а) = -tg (а); etg (—а) = -etg а;
-j.e. sin а, tg а, etg а являются нечетными функциями, а сова
- четная функция.
Периодичность.
Функции sin а,cos а имеют период 2я, tg а, etg а - я.
ftatdHausiiii
знание Сез границ “ *
§9.1. Тождественные преобразования...
149
Пример 1. Вычислить sin 945°.
sin 945° = sin(720° 4- 225°) = sin(225° 4- 360° • 2) = sin 225° =
о _ v2
~~
= sin(225° - 360°) = sin(—135°) = - sin 135'
Соотношения между тригонометрическими функ-
циями одного и того же аргумента.
1°.
2°.
3°.
4°.
5°.
6°.
sin2 a 4- cos3 a = 1
sin a
tg a = -------
cos a
cos a
etg a = —------
sin a
tg a • etg a = 1
,	2	1
1 4- tg 2 a = ——
cos* a
.	2	1
1 4- etg 2a = —y-
sin a
•2
Пример 2. Найти cos a,tg a, etg a, если sin a = pj и % <
Решение. Поскольку a принадлежит II четверти, то cos a <
0, и
г---— Г 25"	12
coea = —vt —em “ = -у1-1б9="13;
5	'	12
18“ = -12;	<*8" = ~5-
Пример 3. Упростить
sin о	14- cos a
_— ---. 
1 4- cos a	sin a
Решение. Приведем дроби к общему знаменателю
sin2 a 4- (1 4- cos a)2 _ sin2 a 4-1 4- 2 cos a 4- cos2 a
sin a(1 4-cos a)	sin a( 14-cos a)
2(1 4-cos a) _ 2
sina(l 4- cos a) sin a
150
Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Формулы приведения.
Формулами приведения называются соотношения, с помо-
щью которых значения тригонометрических функции аргу-
ментов у^01'	2я±сг выражаются через значения
функции угла а. При этом следует запомнить правило:
\ к . Зж .
а)	при переходе от функции углов — ± а, — ± а к функ-
циям угла а название функции меняют на ” ко-функцию”; при
переходе от функций углов * ± а, 2я ± а к функциям угла а
имя функции не меняют;
б)	считая а острым углом, перед функцией угла а ставят
такой знак, какой имеет приводимая функция.
Пржмер 4. Вычислить: а)
tg (270° + а);
Решение, а)
г) ctg (я + а).
8я
cos —;
V
б) 8in(—585°) ;
в)
(8яЛ	(ч	*
I —- I = сое (Зтг — —
\ 3 )	\	3
= сое
3/
б)
ein(-585°) = - ein(585°) = - sin(2ir 4- 225°) = - sin 225° =
— — sin(ff 4- 45°) = sin 45° =
Лв
в)	tg (270° 4- а) = tg I — 4- а ) = -ctg a.
\ X	J
r) ctg (я 4- а) — ctg а.
Формулы сложения.
sin(a 4- 0) — sin a coe 0 4- сое a sin 0
sin(a — 0) = sin a coe 0 — cos a sin/?
coe(a 4- 0) ~ coe a cos 0 — sin a sin 0
cos(a — 0) = cos a cos 0 4- sin о sin 0
^alatiauswk
знание без границ Ч *
§9.1. Тождественные преобразования...
151
tg (а + /3) =
tg а + tg 0
1 - tg atg 0
tg (« - /3) =
tg а - tg
1 + tg atg 0'
Пример 5. Вычислить сое 15° и sin 15°.
Решение.
cos 15° = cos(45° — 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =
/2 a/3	/2 1 _ v/6 + V2
2 ‘ 2 + 2	2 ~	4
sin 15° = sin(45° — 30°) = sin 45° cos 30° — cos 45° sin 30° =
Формулы двойного угла.
sin 2a = 2 sin a coe a
cos 2a = cos2 a — sin2 a
. n 2tg °
tg 2a = ---—-r-
1 - tg 2a
Пример 6. Вычислить sin 75° sin 15°.
Решение, sin 75° sin 15° = sin(90° — 15°) = cos 15° sin J 5° -
^sin 30° = i
i	4
Пример 7. Доказать тождество
л 1 sin 2a — cos 2a
tg 4a--------— = ——-----------------
cos 4a sin 2a + cos 2a
152
Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Решение. Приведем левую часть к виду правой
	1 tg 4а сов 4а — 1 ein 4а — 1
tg 4а------— = —----------------=-----------=
cos 4а сое 4а	сое 4а
_ 2 sin 2а cos 2а — (sin2 2а 4- сое2 2а) _
cos2 2а — sin2 2а
_	- (сов 2а — sin 2а)2	_
(cos 2а - sin 2а)(сов 2а 4 sin 2а)
sin 2а - сое 2а
sin 2а 4- сое 2а
Формулы половинного аргумента ( понижения сте-
пени). ________________________________________
.2	1 — cos 2а
sin а =-----------
2
2	1 4- сов 2а
сов а =-----------
2
а sin а 1 — cos а
tg — =----------= —:-------
2	14- сов а sin а
Пример 8. Упростить выражение: 3 4-4 cos 2а 4- сов 4а.
Решение.
3 4-4 cos 2а 4- сов 4а — 2 4- 4 сов 2а 4- (1 4- сов 4а) =
= 24-4 сов 2а 4- 2 сов2 2а = 2( 1 4- 2 сов 2а 4- сов2 2а) =
= 2(1 4- cos 2а)2 = 2(2 cos2 а)2 — 8 сое4 а.
Преобразование произведения тригонометриче-
ских функций в сумму.
sin а сов /3 = - (sin(a 4- 0) 4- sin(a — 0))
cos a cos 0 = ~ (cos(a 4- 0) 4- cos(a — 0))
•»
sin a sin 0 = (cos(a — 0) — cos(a 4- 0))
&
^aiafiauswk
знание без границ W
§9.1. Тождественные преобразования..
153
Пример 9. Доказать тождество
(я \ . /я ч ein За
— — а 1 sin I — — а I = —;-
6	'	\3	/	вша
Решение. Используя формулы преобразования произведе-
ния тригонометрических функций в сумму, упростим левую
часть
2 sin a (cos 2а 4- |) _ 2 sin а cos 2а 4- sin а _
sin а	sin а
_ sin За — sin а 4 sin а _ sin За
sin а	sin а ’
что и требовалось доказать.
Сумма и разность одноименных тригонометричес-
ких функций.
sin а 4- sin /3 = 2 sin
sin а — sin в — 2 sin-----— cos —-—
2	2
а 4- /3 а — /3
сов а 4- cos в = 2 cos------cos —-—
2	2
а + /3 . а - /3
cos а — cos /3 = — 2 sin —-— sin —-—
tg а 4- tg /3 =
sin(a + /3)
cos a cos (3
tg a - tg /3 =
sin(a — /3)
cos a cos (3
154
Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Пример 10. Доказать тождество
at	5а
сова 4- cos 2а 4- сов ба + сов 7а = 4 сов -сов —сов 4а
Л	л
Решение. Преобразуем левую часть
(сов а 4- сов 7а) 4- (сов 2а + сов ба) =
= 2 сов 4а cos За 4- 2 cos 4а cos 2а = 2 сов4а(сов За 4- сов 2а) —
5а	а
= 4 сов 4а сов — сов —.
лл	л»
Выражение тригонометрических функции через
тангенс половинного аргумента.
sin а —
2tgf
1 + tg ч
сов а =
l + tg2§
tg а =
2tgf
1 - tg 2?
etg а =
2tg|
Пример 11. Вычислить sin 4а 4-cos 4actg 2a, если tg 2a =
4.
Решение
. л , Л 2tg 2a 1 — tg 22a	1
sin 4a 4- cos 4actg 2a = ----— 4- -------;r=— ’ :—тг" =
ь 1 4- tg 22o	1 f tg 22a tg 2a
2 4	1 - 16 1 _ 1
“ 1 +16 + 14-16 *4 “ 4
^alaHausA
знание без границ Ч
§9.1. Тождественные преобразования...
155
Пример 12. Вычислить sin (пр — 2arctg |).
Решение. Применем формулы приведения, а затем выразим
косинус через тангенс половинного аргумента
sin
2____2_ = _
1 + ¥	25'
Задание 1. Доказать тождества
2)
3)
4)
(1 4- сое 1 2а 4- tg 2а)(1 — cos"1 2а 4- tg 2а) = 2tg 2а;
sin 4а
1 4- сое 4а
• 6 а ।
sin — — cos
sin (J 4- За
3
2» °
cos 2a
----------— etg
1 4- cos 2a
a sin2 a — 4
i — =-----------cos a;
2	4
5	3 \
4’ + 2“J
5)
1 — sin(3a — я)
2 sin2 (Зя — 2а) сов2(5я 4- 2а) — у — 4 8*п
4	4
6)
1 — sin 4а 4- etg
7)
8)
1 — cos 4a
cos-2 2a - 1
9)
cos"1 2а 4- etg
/3	„X
I — n — 2a I cos 4a = 0;
\4	/
»)-1 =ctg (a/2);
1 4- cos 4a
sin-2 2a - 1
5
2
etg
5
4
Ю)
Н)
-=tg
а) (сое а — etg а)
12)
13)
cos(3* — 2a)
2sin2 (v + a
(tg a 4- cos-1
(cos a 4- etg a)(tg a — cos-1 a) 1
tg 2a 4- etg 30 _ tg 2a
etg 2a 4- tg 30 tg 30'
sin6 a 4- cos6 a 4- 3 sin2 a cos2 a — 1;
156
Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
14) cos а 4- cos 2а + cos 6а 4- сое 7 а =
= 4 cos(a/2) cos(5a/2) сов 4а;
15) cos а 4- sin а + сов За 4- sin За =
= 2у/2 cos a sin (v 4- 2а^ ;
16)
17)
sin а 4- sin
18)
19)
(3	\
-я 4- 4а 1 4- sin(3ir — 8а) — sin(4ir — 12а) =
*	/
4 cos 2а cos 4а sin 6а;
14 \	/	8 \	Л
+ v)	+8m	(°	~ о *)	=	°;
О /	у	v J
(сов а — сов /?)2 — (sin а — sin /?)2 =
. у а — в
— 4 sm —-— cos (а 4- р)\
л»
sin 9а + sin 10а + sin 11а4 sin 12а =
— 4cos(a/2) cos asin(21a/2);
20) cos 2a — cos За — cos 4a 4- cos 5a =
— —4sin(a/2)sinacos(7a/2);
sin 2a — sin 3a 4- sin 4a
---- --------— ----—- = tg 3a;
cos 2a — cos 3a 4- cos 4a
(cos a — cos /3)2 4- (sin a — sin /3)2 = 4 sin2
у 9 Л cos2 a — cos2 в
ctg 2 a - ctg 2P = ——2----j-C
sm a sin p
2tg a
cos 4atg 2a — sin 4a = —-----
tg 'a — 1
21)
22)
23)
24)
Задание 2. Упростить выражение Выражение тригономе-
трических функций
1) cosa(l 4- cos"1 a 4- tg a)(l — cos-1 a 4- tg a);
cos-1 2a 4- sin 2atg 2a	1
1 4- cos 4a + 4sin2	— a) ctg (~ — a) ’
1 — cos(8tt — Зтг)
tg 2a — ctg 2a ’
^alaHausA
знание без границ Ч
§9.1. Тождественные преобразования...	157
,х	14-sin 2а	,
4) -----—-----—---------------------—+ сое а;
cos(2a — 2^)ctg (а — £ir)
5) sin2 (ту + 2/?) - sin2 (^ - 2в\ ;
(°	«	\	2 °	•	2	О
— — Зтг I — cos — 4- sin —;
2	/	4	4
(я	а\ .	/я	а\	.	а
— —	— I sin	( — — — J sin	— ,
6	2/	\3	2/	2
8)	cos2 (а + 2/?) + sin2(a — 20} — 1;
9)	sin (2* + t) ctg i ~ cos (2* + t)
cos — Зя) ctg	4- cos (jw - a) ’
10)	sin 4а — 2 cos2 2а 4- 1;
cos За 4- cos 4а 4- cos 5а
sin За 4- sin 4а 4- sm 5а ’
2 sin 1—sin 2	/	1\-2
2 sin 1 4- sin 2	\ ® 2 /
O4 sin а
13> ~~~з—/Г'Т > если tg а = 2;
sin а 4- 3 cos*5 а
, .. 2 sin 2а — 3 cos 2а
14)	если Q ~ 3;
4 sm 2а 4- 5 cos 2а
15)	— 4>/2 sin x — cos 2x 4- \lb 4- 4x/2 sin x — sin ( ^ - 2x j;
16)	\/sin4 x 4- cos 2x 4- \/cos4 x — cos 2x;
17)	x/sin4 z 4- 4 cos2 x 4- \/cos4 x 4- 4 sin2 x;
/	/^ir \
18)	i/20.5 — 24sin I — 4-x j 4-4.5 cos 2x4-
4-\/20.5 — 24 cos x — 4.5сов(я — 2x).
Задание 3. Вычислить:
1) sin2(ff/8) 4- сов2(Зя/8) 4- sin2(5w/8) 4- сов2(7я/8);
2) tg 435° 4-tg 375°;
1Б8 Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
(. чУЗсо»40°
7з)
4) (ein 160° + ein40°)(ein 140° + ein20°)+
+ (sin 50° - sin 70°)(sin 130° - ein 110°);
(. чУ§сов20°
^2/	;
6)	(1 - 2 sin 50°) coe 160°;
7)	tg 255° - tg 195°;
8)	7—если tg a = 0.2;
' 6 + 7em2a’	b
9)	(cos 70° 4-coe 50°)(coe 310° + coe 290°)+
4-	(cos 40° 4- co5,160°)(coe 320° — cos 380°);
10)	cos 10° sin 20° sin 70° — ~ cos 40°,
4
11)	tg 3a + (tg a)~3, если tga + tg~1a = 3;
12)	sin4 15° +cos4 15°,
13)	Iog2(sin 126° — sin 18°) 4- log0 8 sin 54° — log^ 1 — coe2 162°);
14)	loga sin 20° + logvtj(2 cos 10°) — loga cos 40° -
15)	logj/зsin 18° — loga(2 cos 36°) 4- 2 log9(sin 54° - coe 72°);
16)	log3(4 sin 20°) 4- log^j cos 10° ~ log3 sin 60°—
,	1 4- sin 10°
-	----й----
§9.2.Тригонометрические уравнения
Простейшими тригонометрическими уравнениями назы-
ваются уравнения вида sin г — а (где |a| < 1 ), сое г — а
(где |а| < 1), tg х = а (где -оо < а < 4-оо), ctg х = а (где
—оо < а < 4-оо).
Уравнение вида
sin х = а
ftalaHausfik
знание без ераниц \ *
$9.2. Тригонометрические уравнения	>89
имеет решение
ж = (—1)* агсвша 4-»гй, к € 1L
В дальнейшем будем предполагать, что к € Z, n Е Z, I € Z.
Частные случаи:
ein х = 0	<==> х — irk\
sin х — 1	<=>	х = — 4- 2irk;
sinx=—1	<=>	х = — + 2як;
Например, уравнение sin 2х = | решается так
2х= (-1)*агс8т| + тг*, <=>	* = (-!)* 75 + ^7“
X	1X X
Уравнение вида
| cos х = а
имеет решение
х = ± агссов а 4- 2пк, к 6 Z
Частные случаи:
cos х = О
л
ж = - 4- гк-}
X
COS X = 1	<=> х = 2тгАг;
cosz = —1	<=> х = тг 4- 2пк,
Наибольшее количество ошибок бывает при решении урав-
нений вида
cos х = —b,	0 < b < I.
Решение имеет вид х = ± агссов(—6) 4- 2хп, где агссов(—6) -
угол, находящийся во второй четверти, поэтому
arccos(—b) = к — агссов Ь.
160
Глав» 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Таким образом,
х = ±(я - arccos b) 4- 2яп.
Например, уравнение сое х = — — имеет решение
\	/у
л — —] + 2яп = ±— + 2яп.
о'	О
Уравнение вида
tg х = а
имеет решение
х = arctg а + кк, к Е TL
Частные случаи:
tg х — 0	<=> х = irk;
.	я >
tg х - 1	<=> х = - + я*;
4
tg т — — 1	<=►	х=~ + *к\
4
Уравнение вида 
etg х = а
имеет решение
х = arcctg а + irk, к е Z
Частные случаи:
etg х — О
1= 2+’*:
Основные приемы приведения тригонометрических
уравнении к простейшим.
Если уравнение не является простейшим, то с помощью то-
ждественных преобразований его нужно свести к одному или
нескольким простейшим уравнениям, совокупность которых
равносильна исходному.
$9.2. Тригонометрические уравнения
161
4\atattauiWk
знание без границ “ ш
Разложение на множители.
Пример 1. Решить уравнение sin 2х = сое4 | - sin4 |.
Решение. Преобразуем правую часть уравнения, используя
формулы для косинуса двойного аргумента и основное триго-
нометрическое тождество:
sin 2х =
(	2 ®	• 2 ® \ /	2 ®	"2^"\
(сое --еш -) (cos - + SUI
sin 2х = cos х <=> 2 sin х cos х — cos х — 0 <=>
сов г (2 sin х — 1) = 0.
Получили совокупность уравнений
[cosx = 0;
2 sin х — 1 = 0;
к ,
ж= 2+’*;
х = (-!)*£+»*,* 6 Z.
Ответ:
^ + тгА:, (-1)*^ + 7г*, keZ
I	о
Пример 2. Решить уравнение sin Зх — 2 cos (~ - х).
Решение . В правой части применем формулы приведения
sin Зх = 2 sin х <==> sin Зх — sin х — sin х = 0 <=5>
	(sin Зх — sin х) - sin х = О
2 cos 2х sin х — sin х ~ 0 <==>
sin х(2 cos 2х — I) — 0 <=>
sin х — 0;
cos2x —
2
Ответ :
7гп, n G Z; + лк, к 6 Z
о
162
Глава S. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Замена переменной.
Пример 3. Решить уравнение сое 2х — б ein х — 3 = 0.
Решение. Т.к. сое 2х = сое2 х — sin2 х = 1 — 2 ein2 х, то
1 — 2вш2 х — бвшх — 3 = 0	<=>
2 sin2 х 4- 5 sin х + 2 = 0
2i2 + Ы 4- 2 = 0,
где sinx = i, |f| < 1. Решая квадратное уравнение, находим
два корня h — ~	= — 2 (не подходит).
sinx = — - <=> х = (—1)* arcsin ( — - j 4- як =
Ответ :
Однородные уравнения.
Однородными уравнениями соответственно первой, второй
и третьей степени называются уравнения вида
(1)
a sin кх 4- Ъ сое кх — 0;
(2)	a sin2 кх 4- fcsinkxcoekx 4- с сов2 кх = 0;
(3) a sin3 кх 4- b sin2 кх сов кх 4- с sin кх сое2 кх 4- d cos3 кх = 0.
т.е. уравнения, в которых у всех слагаемых сумма показате-
лей одинакова, а правая часть равна нулю.
Для решения этих уравнений при а / 0 рассмотрим такие
значения х, при которых cos кх = 0. Тогда из каждого урав-
нения следует, что при тех же значениях х должно быть и
sin кх = 0, а это невозможно. Значит, решениями этих урав-
нений могут быть только такие значения х , при которых
coskx 0. Поэтому если (при а / 0) разделить обе части
уравнения (1) на сов кх, уравнения (2) - на сое2 кх, уравнения
(3) - на сое3 кх, то потери корней не произойдет
В результате получим алгебраическое уравнение относи-
тельно tg кх, для решения которого надо сделать замену пе-
ременной tg кх = t.
ftalallausiUi
знание без границ * *
59.2, Тригонометрические урааиеямл
163
Пример 4. Решить уравнение 2 sin2 х — sin х сое х —сое2 х —
0.
Решение. Уравнение является однородным второй степени.
Разделим его на сое2 х, получим
2 tg 2 ж — tg х — 1 = 0	<=>	2t2 - t - 1 = 0, (tg х = t)
tg ж = 1;
х - - 4- кк, к е Z;
4
I
х = -arctg - + irkt
л*
kEZ;
Ответ:
Я	1	, ,	~
— + irk; -arctg - 4- irk, к е Z
4	2
Пример 5. Решить уравнение 6 sin2 х4-sin х сое х -сое2 х =
2.
Решение. Это уравнение не является однородным, но его
можно привести к однородному второй степени, если правую
часть представить в виде	2(sin2 х 4- сое2 ж). Приведя
подобные и затем разделив на сое2 х, получим
4tg 2х 4- tg х — 3 = 0 <=>
' tg х = -1;
3
tg х =
4
я »
1 = - 4 + »*;
з
х = arctg - 4- irk,
4
Ответ:
-- 4- кк; arctg - 4- пк; к G £
4	4
Введение вспомогательного аргумента.
Уравнение вида acosx 4- 6 sin ж — с может быть приведено
к однородному второй степени, но иногда оказывается более
удобным другой способ решения. А именно, разделим обе ча-
сти уравнения на у/а^ 4- Ь2’-
a	b	i
V«24-^ у/аа + Ь2
164
Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Тогда число —===== можно считать синусом, а число
7а2 4- 62
b
- косинусом некоторого вспомагательного аргу-
va2 4- Ь3
мента ф (основное тригонометрическое тождество выпол-
нено). В левой части получили, таким образом, синус суммы
с
ein ф сое х 4-сое ф sin х =

Уравнение приведено к простейшему и при условии, что
имеет решение | 4- 2тгДс — ф, где ф —
Пржмер 6. Решить уравнение sin Зх — сое Зх =
Решение . Разделим обе части уравнения на у/2:
1,1	, v3
—= Bin Зх =. cos Зх = 
72	2
. _ ж „ . ж 73
sin Зх сое ——сое Зх sin — = —-
4	4	2
Ответ: (-1)*£ 4-	4- к Е Z
а и 1Z
Метод оценки левой и правой части.
Уравнения вида
sin ах cos Ьх = 1, sin ах 4- sin Ьх = 2
и аналогичные этим уравнениям решаются путем приведения
к системам тригонометрических уравнений.
Пример 7, Решить уравнение sin х 4- 3cos4x = 4.
Решение. В виду ограниченности функций синус и косинус
равенство достигается лишь тогда, когда sin х = 1 и cos 4х = 1
^alatlausfk
знание без границ “ *
$9.2. Тригонометрические ураииеиил
165
одновременно. Следовательцо, данное уравнение равносильно
системе
sin х = 1;
cos4z = 1;
2
яп ™
x = —,ПЕ Z;
Приравнивая правые части найденных равенств, получаем
n = 1 + 4к. Подставляя вместо п полученное значение, на-
ходим общие решения уравнений системы г = | 4 2zrJb, к G Z.
Ответ:
4- 2тгАс, к e Z
Пример 8. Решить уравнение 3sin5z = cos2z - cos8z —
sin 15z.
Решение. Учитывая, что cos 2х — cos 8z = 2 sin 5z sin 3z, по-
лучим
3 sin 5z + sin 15z = 2 sin 5z sin 3z
2 sin 5z 4- (sin 5z 4- sin 15z) = 2 sin 5z sin 3z
2 sin 5z 4- 2 sin lOz cos 5z = 2 sin 5z sin 3z
sin 5z(l 4- 2 cos2 5z — sin 3z) = 0
sin 5z = 0;
sin 5z(14-14-cos lOz— sin3z) = 0 <=>
cos lOz — sin 3z = —2;
Первое уравнение совокупности дает z = Во втором
равенство достигается лишь при одновременном выполнении
условий cos 10z = — 1 и sin 3z = 1:
cos lOz = — 1;
sin 3z = 1;
10 ’	’
2ят „
m G Z;
2wm _
. После ynpo-
7Г 2irn
То'
7Г
6 +
_	7Г 2кп к
Приравняем правые части: — 4-
„	1 4- Ют
щении получим п = -------, где пит- целые числа. Это ра-
венство возможно, если m = 24-3/ и п = 74-10/, I G Z. Подста-
Зтг л „
вляя полученные значения тип, находим z — — 4-2тг/, / G Z.
2
166
Глава О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Ответ
^.*62; ^ + 2W, leZ
О	2.
Использование формул понижения степени.
Пример 9. Решить уравнение sin4 х + сое4 х = | sin2 2х
Решение. Применен формулы понижения степени (поло-
винного аргумента)
(I — cos2x \ 2
2	)
2	1 • 2о
= -еш22х;
Лл
2
1
4
1 • 2n
2 wn 2xi
cos 2х = О
Ответ
7Г irk
4 + T
V*eZ
X =
Использование формул преобразования произведе-
ния в сумму.
Пример 10. Решить уравнение
7 3?	х	5 з?
ein — cos 4- sin — cos — + sin 2x coe 7x = 0.
2	2	2	2
Решение.
^(sin 2x4-sin 5x)+^(sin(—2x)+sin 3x) + ^(sin(—5x)+sin 9x) = 0;
X	*
sin 3x 4- sin 9x = 0 <=> sin 6x cos 3x = 0
-r,*eZ;
0
7Г 7ГП _
- + —,n€Z.
о з
’ sin 6х = 0;
cos Зх = 0;
х —
Ответ:
я* Я-П „
—,nez
t)	D J
ftalaHausjik
знание без границ * *
§9.2. Тригонометричяаим уравнения	167
Задачи повышенной трудности.
Пример 11. Решить уравнение tg Зх = tg 5х
Решение. Уравнение приводится к простейшему таким
образом
.г лп л ein(3x — 5х) л	sin 2х
tg 5т - tg Зх = 0 <=> —---------- = 0 <=>------------
cos Зх сое 5х	сое Зх сое 5х
sin 2х 0;
cos Зх 0;
сое 5х / 0;
irk . п
х = —,к
Лл
. 7Г 1ГП „
х # « + -г»п е Z;
о о
. тг ят
I#io +Vme'
Ответ: ятп, т G Z
Пример 12. Найти наибольшее отрицательное решение (в
градусах) уравнения — sin* х = sin х.
Решение.
— sin3 х = sin х <=> x/cos2 х = sin х <==> | cos г | = sin х
Область определения уравнения - I и II четверть (sinx > 0)
В первой четверти совх > 0 , поэтому |совх| = cosx и
уравнение принимает вид cos х = sin х. Решая это однородное
первой степени уравнение, получим tg х = 1	<=> х =
j + irk. Первой четверти принадлежат только ж = + 2*к.
Во второй четверти cosx < 0, следовательно |совх| =
— cos х
— cosx = sinx
tg х = -1
Во вторую четверть попадают лишь х =	+ 2кк, к € Z.
Наибольшее отрицательное решение в градусах —225°.
Ответ: —226°
168
Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Пржмер 13. Найти число корней уравнения
\/4 — г2 (ein 2ях — 3 сое тгат) = 0.
Решение. Областью определения уравнения является про-
межуток [—2; 2]. Исходное уравнение равносильно совокупно-
сти двух уравнении
4 — х2 = 0;
sin 2ях — 3 сое хх = 0;
х = ±2;
сое тгх(2шп ях — 3) = 0
'X = ±2;
сое 1гх = 0;
3
еш хх = - .
»	X
Третье уравнение системы решений не имеет. Второе дает
х = - 4- й, й е Z, из которых в область определения по-
1	3
падают лишь ±~; ±-. Итак, всего уравнение имеет 6 корней:
Л» Л»
Пример 14. Решить уравнение у/1 4- соех — \/1 - сое х
1 + sin х.
Решение. Заметим, что в виду ограниченности функции
косинус оба корня в левой части уравнения определены при
любых значениях х. Однако, в силу ограниченности синуса,
правая часть уравнения неотрицательна, следовательно, та-
ковой должна быть и левая часть. Это немедленно влечет за
собой условие cost > 0, т.е. уравнение может иметь реше-
ния только в первой и четвертой четверти. Учитывая, что
обе части уравнения неотрицательны, имеем право возвести
уравнение в квадрат:
1 + соях — 2\/1 — cos2 х 4- 1 — соех = (1 4-sin х)2;
$9.2. Тригонометрические уравнения
169
ftataHauSfOi
знаниебезграниц **
2 — 2 V sin2 х = 1 + 2 sin х 4 sin2 х
<=> 2 — 2|sinx| = 1 + 2 sin г 4~sin2x.
Если x принадлежит первой четверти, то | sin х| = sin х и урав-
нение принимает вид
sin2 x4-4sinx—1 = 0 <=> t2 4- 4t — 1 = 0, t = smx, |/| < 1.
Из двух корней квадратного уравнения h,2 = —2± х/5, под-
ходит лишь t = — 2 + у/Ь. Решая простейшее уравнение
sin г = —2 + \/5, отбираем корни, попавшие в первую четверть
х = arcsin(\/5 — 2) 4- 2лп, п € Z.
Пусть теперь х принадлежит четвертой четверти: | sin х | —
— sin х
2(1 4- sin г) = (1 4- sin х)2 <=> (14- sinx)(2 — 1 — sin х) = 0 <=>
(1 4- sinx)(l — sinx) = 0
1 4- ein х = 0;
1 — sin х = 0;
Четвертой четверти принадлежат значения х — ~ 4- 2 л/, / Е
*
Z._______________________________________________
Ответ:
arcsin(\/5 — 2) 4- 2яп, п 6 Z; ~ 4- 2л7, / 6 Z
Пример 15. Решить уравнение
l°gtg х sin х 4- logcoer ctg x = 1.
Решение. Область определения уравнения:
х Е (Яяп; £ 4- 2лп) , х £	4- 2лп, п € Z.
Перейдем в исходном уравнении к основанию cos х.
bgccrsinx
bgco.xtg X
.4- iogcoe г
ctg X = 1
170
Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
bgccgsinx
l°gco.r einr - 1
+ i°£:oer COS Г — logco,^ ein X = I
logccSin*
/ 1__________
Vogco^sinz - 1
Обозначим log,.,,,, sin z = t, имеем
* “ °’	Г einr = 1;
—= 1; I lofeo., sin x = 2;
Решения первого уравнения совокупности х = — 4- 2irk не вхо-
дят в область определения уравнения. Второе уравнение дает
ein х = сое3 х или
sin2 3х + ein я — 1 = 0 <==> i? 4-1 - 1 = 0 <=> ti,j = ——т--------
(t — —у*8 по модулю превосходит единицу, поэтому не мо-
жет быть синусом). Отбирая из решении уравнения sin г =
-1 4-V5
2
Ответ:
те, которые входят в область определения, получим
arcsin |	Г-14- k 2 >	| 4- 2я£, к G Z
Пример 16. Решить уравнение
sin ( — сое 2х
Кб
/4 .
= сов I -нетл?
КЗ
Решение. Перейдем с помощью формул приведения к од-
4	\	/ я 4	\
- Я 81П X I = 8Ш I — — -Я81П X I.
3	J	\ л 3	/
Тогда
. /я « \	f *	*  \	Л
вт I — сое 2х I	— ein	I — —	—я sm х I	=	0
Кб /	\2	3 J
поименным функциям: cos
lcoe2z 4-* — 1я8шг ?coe2z — 1 4- 1явтя
2 сое -2-----£ 2--------bid -5-------1---2-----= 0
2	2
'Xatallauswk
знание без границ Ч **
$9.2. Тригонометрические уравнения
171
4 .
-я sin Z
4 .
-Я81ПХ
= у + »*; * е Z;
= тгАс; к G Z;
Первое уравнение после упрощений дает
sin2 г + 4sin ж + (1 + 6к) = О
Сделаем замену sin х = t, |t| < 1. Получим квадратное урав-
нение
f2 + 4t + (l +6к) = 0.
Его дискриминант равен D = 16 — 4(1+ 6k) = 12 — 24k =
12(1 — 2k) и будет неотрицательным при к — 0; —1; -2;.... С
учетом требования |/| < 1 нас устраивают лишь значения к =
0 и к = — 1. При к = 0 приходим к простейшему уравнению
sin г = — 2 + г/3, => х — (— l)m arcsin(—2 + л/3) + кт. При
к — — l:sinx=l <=> х = у + 2тг/, Z G Z.
Второе уравнение совокупности после упрощений сводится
sin2 х — 4 sin х + 1 + 6k = 0
Решая его аналогичным образом находим х = —у+2irk, к Е
и х — (—1)/+1 arcsin(\/3—2) + тг/ , / € Z. Объединяя найденнные
решения, получаем
Ответ:
~ + 7гп, n Е Z; ± arcsin(2 — >/3) + тг/, / Е Z
Пример 17. Решить уравнение
16 cos х  cos 2х  cos 4г • сое 8х = 1.
Решение. Домножим обе части уравнения на sin х. Полу-
ченное при этом уравнение не будет равносильным исходному,
так как содержит посторонние корни, а именно, корни урав-
нения sin г = 0 (заметим, что значения х — xl, I Е Z исход-
ному уравнению не удовлетворяли). Поэтому, решив уравне-
ние, сделаем проверку корней, чтобы исключить посторонние
корни.
8 • (2 cos х sin х) • cos 2х cos 4r сов 8z = sin х\
173
Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
|1г
к
2 * (2 sin 4z cos 4z) сое 8z = sin z;
2 sin 8z сое 8z = sin z;
sin 16z = sin z <=> sin 16z — sin z = 0	<=>
n 17z . 15z Л
2 coe —sin -г— = 0
At	L
17x я
-_ = - + <n,n
= »*, t £ Z;
x £ id, I e Z;
Отбросив посторонние корни, получим ответ
Ответ:
(1+2п)тг /л 2Агтг ,	,_л
—-г=---,n#8+17p; —, Ar# 15-|-15t
11	13
Пример 18. Решить уравнение sin = z2 — 2\/3z 4- 4.
Решение.
Заметим, что
< 1, a za — 2у/Зх + 4 =
(z — \/3)а + 1 > 1. Поэтому равенство возможно лишь при
условии
Эта система ни при каких n Е Z не имеет решений..
Ответ: 0
Пример 19. Решить уравнение
sin(4 - 2д/3)’ = 8Й1(л/3- !)'.
^lataUaus^ii
знание без границ * w
§9.2. Тригонометрические уравнения
173
Решение. Заметим, что (х/3- I)2 = 3-2УЗ +1 = 4-2УЗ.
Обозначим (\/3 - 1)г = у , у > 0, тогда (4 - 2\/3) = у2:
ein у2 = sin у
ein у2 — sin у = О
п • У3-!/	1^ + 1/ п
2 sin----- сое —-— = 0.
2	2
^ = »n.nez;
Лл	Л»
Первое уравнение совокупности дает у2 — У — 2тгп = 0 и
1 ± х/1 4- 8тгп
имеет решение -------------, при 1 4- 8тгп > 0, т.е. при
п = 0; 1; 2;.... Учитывая также, что у > 0, оставляем только
1 4- х/1 4- 8™
значения ------------, п = 0; 1; 2;....
Далее
(73- 1)х =
1 + х/Т"+^ЯП
2
<=> х = 1оК(Уз-1)
1 + \/1 + 8яп
2
п = 0; 1; 2;
Совершенно аналогично второе уравнение совокупности дает
решения
.	—1 4- \/1 4- 4я 4- 8яп
сх = bg(73_1)---------------------
Ответ
1 4- уО 4- 8тгп
,О8(Т5-1)	2	’
.	-1 4- \/1 4- 4тг4- 8я-п
1)	2	’	— 0,1,2,,..
Пример 20. Решить уравнение
sin х 4- ein2 х 4- cos3 х
174
Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Решение. Уравнение равносильно системе
( sin г 4- sin2 х 4- сое3 х — 0;
I « + » + °;
\	л»
sin х(1 + sin г) + сое х - сов2 х = О
<=> sin х( 1 4- sin х) 4- сое х(1 — sin2 х) -- 0
(14- ein x)(sin х 4- сое х - сов хеш х) = 0
[smх 4- 1 = 0;
sin х 4 cos х — сое х sin х = 0;
Первое уравнение совокупности с учетом требования х ф — *
дает х — — % 4- 2xn, п G Z, п 0. Второе уравнение умножим
на два, а затем прибавим и вычтем единицу:
2(sin х 4- сое х) 4- 1 — 2 сое х sin х — 1 = 0
<=> 2(sin х 4- сов г) - (sin х 4- сое г)2 4-1 = 0;
Сделаем замену sinx 4- соех = t, получим 2t — t2 4- 1 = 0 <=>
h,2 = 1 ± х/2. Так как sin х 4- сое х < 2, то sin х 4- сов х = 1 — х/2.
Решаем это уравнение методом вспомагательного аргумента
х/2	х/2	х/2
-—sinx4- —-cosx =	(1 - х/2)
Лл	Л»
ir . .к	х/2
вш(т + £) = ^-1 Ответ: □ я . —7 4- (—1) arcsin 4	cos — ВШ X 4 sin — cos X = —	1 4	4	2 (—1)* arcsin |	— 1 J 4- irktk G Z 4- 2m, n G Z,n /0; - 1) +*k,k GZ \ *	J
$9.2. Тригонометрические уравнения
знание без границ	* *
176
Пржмер 21. Решить уравнение
2 sin2 х + 5 sin2 у — 4 sin х sin у — “2 sin х — sin у 4- - = О
Решение. Запишем данное уравнение следующим образом
sin2 х 4- sin2 х 4- 4 sin2 у 4- ein2 у — 4 sin у sin х — 2sin х -
- sin у 4- 1 4- | = 0
4
Теперь перегруппируем его
(sin2 х — 4 sin x sin у 4- 4 sin2 у) 4- (sin2 x — 2 sin x 4- 1)4-
( i	1\	Л
4- I siu у - sin у 4- - ) = 0
\	4J
(sin x — 2 sin y)2 4- (sin x — I)2 4-
smy-
1\2
2/
Так как (sin x — 2 sin у)2 > 0 и (sin x — I)2 > 0 и (sin у — |)2 > 0,
то данное уравнение может иметь решение лишь при условии
sin х — 2 sin у = 0;
sin х — 1 = 0;
1 Л
sm у - - = 0;
л»
sin х = 2 sin у;
sinx = 1;
einy=|;
sin x = 1;
1
вшу --
л>
Ответ:
x — т: + 2тгп, n е Z; у = (—l)fcу 4- irfc, к G Z
2	О
Пример 22. Решить уравнение
—=— ) (4 — 2 сов2 х) = 1 4- 5 sin Зу
cos2 х / '	'
Решение. Заметим, что 2 4-1 сое2 х > 3, 2 < 4 - сое* х < 4,
—4 < 1 4- 5sin3y < 6, cosx 0. Значит, данное уравнение
= 0
176
Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
будет иметь решение лишь при условии
сое2 х ’
4-2сов4х = 2;
1 4* БвтЗу — 6;
сое2 г = 1;
сое4 х = 1;
sin Зу = 1;
®	* € Z;
’ «1 = 2яЛ;
xj = я + 2як,
< к е Z;
ж 2	_
V = g + n е Z;
Ответ:
тг 2 \	ж	2 \
2я£; т- + ^яп ) , ( я + 2кк\ - + -яп ) , ic, п е Z
о 3 / \ о з у
Задание 4. Решить уравнения:
1)	3sin2 2х + 7сов2х — 3 = 0;
2)	\/Звт2х + совбх — совЭх — 0;
3)	(1 +сов4х)ет2х = сов22х;
4)	sin 2х + вт(я - 8х) = у/2 сов Зх;
5)	сов9х — сов7х + совЗх - совх = 0;
6)	2сов2х + 5етх — 4 = 0;
7)	тт|^+“’2*+,=0:
8)	sinx + \/3совх = 0;
9)	вш2х — 2втхсовх = Зсов2х;
10)	3 сов2 х = ein2 х + sin «2х;
11)	4sinx +совх = 4;
12)	совЗх — sinx = \/3(совх — einЗх);
13)	сов2х — I — sin2x;
1\а1а11аи$Ж
знание Вез ерениц * *
$9.2. Тригонометрические уравнения	177
14)
16)
16)
17)
18)
1»)
20)
21)
22)
23)
ein4 х + сое4 х = 5/8;
sin41х 4* сое4 2х = sin 2х сое 2х;
sin4 х 4- сое4 х = sin 2х — 0.5;
X Зх	. _	• л • «
сов — сое —— sin х sin Зх — sin 2х sin Зх = 0;
л	л»
sin х sin Зх + sin 4х sin 8х = 0;
cos Зх cos 6х = сое 4х сое 7х;
4tg 23х — сое" 2 Зх = 2;
cos-2 2х — ein"2 2х = 8/3;
sin2 2х — 4 sin2 х .	,
—г------------=------4- 1 = 2tg 2х;
sin2 2х + 4 sin2 х — 4
sin 2х sin 6х — cos 2х cos 6х = >/2 sin Зх cos 8х;
24) sin х сое х сов 2х сов 8х = — sin 12х;
4
r г \	л \ /it \ . fit
25) sm ( — + 5х I cos ( — +2x1 — sin (— + х I sm ( -- — 6x
\4	/	\4	/	\4	/	\4
Задание 5. Решить уравнения:
1)
2)
(x	x \ 2
sin — — coe — I
2	2/
sin 3x + sin x = 4 sin3 x;
3)
4)
5)
6)
cos 3x — 2 sin
cos 6x = 2 sin
sin 2x — sin 3x + sin 8x = coe
6 sin2 x + 2 sin2 2x = 5;
\ 3ir | x
7) 1 — cos(x + x) — sm —-— = 0;
*
8) 25 sin2 x + 100 cos x = 89;
9) cos 2x + 3 sin x = 2;
178
Глам 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
10)	сое 2r 4- ein3 х 4- sin х = 0.25;
11)	ein3 3z = 3 сое3 3z;
12)	2 em x — сое x = 2/5;
13)	6 sin3 x 4- sin z coe z — coe3 x = 2;
14)	coe2z + coe6z + 2sina z = 1;
15)	coe3 z + cos3 2z — coe3 3z — cos3 4z = 0;
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
ein 2z sin 6z = coe z coe 3z;
sin 3z — 4 sin z coe 2z = 0;
2(coe 4z — sin z coe 3z) = sin 4z 4- sin 2z;
. z 3z	1 . _	. 3z z
sin — coe —------ж em 2z = sin — cos —;
2	2	y/3	2	2
5( 1 4- coe z) = 2 4- sin4 z — cos4 z;
coe4 2z 4- 6 coe3 z = 25/16;
coe z — x/3 sin z = coe 3z;
sin z 4- sin 2z 4- sin 3z = coe z 4- coe 2z 4- coe 3z;
etg 3z 4- sin-3 z — 3ctg z — 4 = 0;
2	\
з’ *)•
(ein 2z 4- x/3 coe 2z)3 = 2 — 2 coe
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Задание 6. Решить уравнения:
^lalaHausX
знаниебезграниц **
§9.2. Тригонометрические уравнения
179
з
7) sin3 lg(—х) - - sin lg х2 + сое 1g ж2 = 1,
л
8) сое2 (ж ein ж) = 1 4- logj \/ж3 4- х 4- 1;
сое Ж
Ю)
12)
13)
14)
. /2тг	\	/2% .	\
sin I — сов х 1 = cos I еш ж 1 ;
\ 5	/	\ о /
sin 7х 4- сое 2ж = —2;
sin ж sin 7х = — 1;
cos 2ж^ 2ж 4- tg 6ж) — 4 sin 6ж sin 8ж;
sin 2ж 4- \/3 сое 2ж = 2 sin ж 4- \/3;
15)
16)
—— сое ж
sin ж 4- tg х =	.------;
2 sin ж
• n • n 1	- л
sin ж sm 2ж sin Зж = -г sin 4x;
4
17)
1 — (coe x 4- sin ж) coe = 2 coe2 (
18)
19)
2 сое2 ж 4- sin3 х
--------г-:-----= sin ж;
сов ж 4- 2 еш ж
2(sin3 ж — сое3 ж) = 1 4- (sin ж 4- сое ж)3;
20)
sin — 4- 3 сое х = 4;
180
ОТВЕТЫ
Глава 1.
1“Д24/(5» - 2х);	3)2;	3)(* + 1)/(» - 2а);	4)1/(а4);
5)(m/nf+"; 6)1 + 3х2; 7)(x-i/)/(x + p); 8)1/(хр); 9)0.5;
10)1; 11)1/4; 12)0.1; 13)-7/24; 14)1; 15) (а + 2)/(а-1);
16) р.
1)(\/Н+Л)2/(а-6); 2)1; 3)1/>£ГГТ; 4)0;5)4р-
6)	7)1;	8)v?^4/(l + 2); 9)1/(а6);
io)(x/m-s/n)2; 11)»2; 12)х+1; 13)(^5+^®)/(-Ух- -t/vY.
14)х-Ьр; 15)—(^х + ^/р); 16)а + 5.
Задание 3.
1)</50х; 2)2; 3)2.
Задание 4.
1)(62 — 1)/у/Ъ при 6 е (0; 1); (Ь2 + 3)/у/Ь при Ь G (1;4-оо);
2)—а/2 при а € (—оо;—2); а(а — 1)/2 при a Е (—2;+оо);
3) 1/(1 - Зх) при х Е (-оо; 0);	при х Е (0; 1/3) U
(1/3; 1); 1/(х — 1) при х Е (1;+оо); 4)2 при х Е (-оо; -1);
2х2/(2х2 —1) при х Е (-l; -V5/2)U(-x/5/2;^/2)U(^/2; 1);
0 при х Е (1; 4-оо).
Контрольная работа.
I вариант. 1)6 при 0 < |6| < 1;	1/6 при |6| > 1;
2)2а при а Е (—\/3; 0) U (\/3; 4-оо); —2а при а Е (—оо; —\/3) U
(0; >/3); 3)х(х — 1)/(х2+1) при х Е (—оо; 0]; х/(1— х) при х Е
(0; 1); х/(х - 1) при х G (1; +оо);	4) -\/х(1 4- 2х"а);
NataHausiiBi
Ответы
181
Б)-2;	6)1;	7)z - 2 при z е (2;+оо);	при
z е (-оо; -2) U (-2; 1) U (1; 2); 8)4.
II вариант. 1)а/6 при а > Ь\ b/а при а < 6; 2)2 при а >
0; —2 при а < 0; 3)gjffq при х е (-оо; 0);	при х €
(0;1); 3/х при х G [1; +оо); 4)7?; 5)-1; 6)7; 7)1/(х + 2);
8)5.
Глава 2.
Задание 1.
1.а)1;-2;-1 ± 75; б)-3;2;7; в)-2;1;±75; г)-2;3;
2.а)1;±2; б)-1/2;0;±1; в)-1;2;	г)±1;±2; З.а)±7з,
б)±1;±л/7; 4.а)(-5±ТИ)/2; 6)1/2; 2;-2±Т^; в)1/2;2 г) Г,
5.а)—4 ±75; б)-3;2; 6.а)(±3/72 - 7)/8; 6)(±7з72-1)/2;
7.а)(1 ± Т29)/2; (1 ± ТЗЗ)/2; б)(-3 ± ТЗЗ)/2; (-3 ± Т5)/2;
8.a) -1;(-1-72±v/2v^- 1)/2; б)(-2- 77± 7з + 4Л)/2;
9.а)3 ± 72; 6)7 ± 734; 1О.а)-5;-3; 6)3; 3± 275.
Задание 2.
1)4; 2)4; 3)6; 4)0; 5)4; 6)-61;30; 7)9; 8)1; 3/2; 2; 9)0;
10)5; 11)2; 12)-1; 13)—3; 2; 14)0; 5.
Задание 3.
1)5/3; 2)10; 3)±7; 4)64; 5)-2;6; 6)-7;‘>; 7)1; 8)64;
9)9/7; 10)63/31; 11)(48/6 - З8/6)6/8; 12)(37/8 - 27/8)8/7;
13)3; 5; 14)8; 15)±1; 16)0; 4; 17)±1; 18)±2; 19)3; 20)9-
Задание 4.
1)4/3; 2)—9/2; 13/4; 3)±3;±Л; 4)±2; ±ТП; 5)(-оо; 11/7];
6)(—оо;6/5]; 7)0; 8)±1;±3; 9)—2.5; 10)0; 11)2; 12)-6; 2;
13)2; 5/2; (9 + 7Й)/4; 14)-3; 2; (-1 + 7^5)/2.
Задание 5.
1)-2 - 75; 75; 2)(Т13 - 5)/2; (-7 - Т13)/2; 3)-5; 1;
4)-2;0; 5)6; 6)0; 7)7; 8)0; 9)[5.9; 11.8); 10)(-оо;-5.5)U
(5.5; +оо).
Контрольная работа.
I вариант. 1)-4;2;	2)1;	3)-4;	4)14;	5)0; 3;
6)-2/3;1/2;2; 7)(-оо;5/9]; 8)4.
II вариант. 1)-1 ± 77;-1 ± 72; 2)0; 3)0; 5; 4)-2 -
>/5;ч/5; 5)2;5/2; (9+ х/17)/4; 6)[-5/8; 1); 7)3; «)1.
182
ОТВЕТЫ
Глава 3.
Задание 1.
1)(-оо;0) U (4;+оо);	2)(-оо; -4] U [0;4-оо);	3)(0; I),
4)[—4;0); 5)(—оо; — l)U(5; 4-оо); 6)[-1;5); 7)(-оо;4-оо); 8)0;
9)-2; 10)(—оо; 4-оо); 11)(-оо; 4-оо); 12)0; 13)(-оо; 4-оо);
14)0; 15)0; 16)(-оо; 4-оо); 17)0; 18)(—1/3; 2); 19)(—оо;-Ноо),
20)(-оо;+оо); 21)(-оо; —1/3)U(2; 4-оо); 22)(-1/2;3); 23)0,
24)-3/2.
Задание 2.
1)(-5;-1) U (1;+оо),	2)(-оо; 1/3) и (3;5) U (5;+оо);
3)(-1;5); 4)(-2;-l)U(-l;2); 5)(-8; 1); 6)(-оо; 1)и(4/3; 2);
Т>(-4 5; -2)0(3, +оо); 8)(1;6); 9)(1;3)0(3;5); 10)(-oo;-2)U
(-1;0); 11>(—1;4); 12)(-2;0)U(0; 1); 13)(-1;1); 14)(1;+оо);
15)(- ч/14; -3) U (-1; 1) U (3, 7Й); 16)(-1/2; 1/3).
Задание 3.
1)(—2; 0)U(0; 1); 2)(-оо; -5)U(-3;-1)U(1;2); 3)(-3;-1);
4)(- оо; -4/3)U(—79/75;3/2)U(2; 4-оо); 5)(-оо; -7)U(-l;0)U
(0,1) U (3; 4-оо); 6)(—оо, —2) U (1; 2) U (3; 4-оо); 7)(-оо;-3]и
[-2;—1) U (-1; 1) U [2; 3) U (4;4-оо); 8)(-оо;-4] U (-3;-2) U
(6;4-оо).
Задание 4.
1)5, 2)2; 3)7; 4)(-2;0); 5)[1; +оо); 6)(-oo;-3)U(2;6];
7)(—3/2; 12/7); 8)(-6;6); 9)(-6;2); 10)(-7; 1).
Задание 5.
1)(-<х>,+ - со); 2)0;	3)(-3/4; 2);	4)(-оо;-3) U
(2,+оо);	5)(-1/2;7/2); 6)(-оо;-2/5] U [2;+оо);	7)(1;3);
8)(1 - Т3;2 - 75); 9)(1;3); 10)(2;5); ll)(-oo;-3)U
(-3,-2) U (0;+оо); 12)(1;3];4; 13)0; 14)(—оо; —9/2] U
(-7/6; +оо); 15)(-оо; -1)0(2; 3)0(3; +оо); 16)(4;5)U(5;+oo);
17)(—оо; - 2/3]О[1/2; +оо); 18)(-5,3 + 275); 19)(-1+75; 1 +
75]; 20)(—оо; +оо); 21)(-оо;-2)U(2;+оо); 22)0; 23)[— 1;2]О
(3;6); 24)(—оо; —2) U (—1;+оо); 25)(2Л;4]; 26)(-4;-2];
27) (0; 1/2).
Задание 6.
1)	(-2/3,4);	2)	(-7;-2) и (3;4); 3)(-3;-2) U
(2,3); 4)(-6;-2] U [4; 8]; 5)[2/3; 1] О (2;+оо); 6)(-5;-2)и
ftalaHausiiiiit
знание без ераниц Ч *
Ответы
183
(—1; оо); 7)(—оо; O)U(1; +оо); 8)(2; 3)U (3; +оо); 9)(-оо; 3); 10)
(-4/7, +оо); 11)(-3;5); 12)(-оо;-8)U(2; +оо); 13)(-оо,-8/3]
U(2;+oo); 14)(1; 5); 15)(-оо; - 3/2); 16)(-оо;0); 17)(-оо, - 6)и
(-7/2;+оо); 18)(2;+оо); 19)(3/2; 2); 20)[—5; -4) и(- 2, -2 +
%/3); 21)(—оо; -8)U(-2; 2)U(8, +оо); 22)(-3; 3); 23)(-оо; - 2/3]
и[1/2;2); 24)(-оо;3); 25)(-со; -2) U (5/2; +оо); 26)(-v/2-
1/2;-1/2) U (-1/2; 1/2) U (1/2; (1 + \/2)/2);	27)(-оо; 3/2];
28)(—оо, -4) U (-3; (9 - >/4б5)/6) U ((9 + х/?65)/6; +оо).
Задание 7.
l)[20/9;4) U (5;+оо); 2)(-4;+оо); 3)[-7; 1); 4)[5/2;3);
5)(8/3;+оо); 6)(3;+оо); 7)[1/2; 1) U (1;+оо);	8)(-14;2);
9)(—оо;—2]U[5; 74/13); 10)(-oo;-2]U(2;4-oo); ll)(-oo,-3]U
(15/4; +оо); 12)[2;3); 13)(-оо; -10]; 14)[-1;+оо); 15)(-оо;
-127); 16)[5;86);	17)0;	18)[-1/2;+оо);	19)(-4;-1];
2О)(—оо; -7] U [-4; -1]; 21)[-3; 6) U (8; +оо); 22)(-3; 6];
23)(-2;-1];3; 24)[—4; 1); 2.
Задание 8.
1)(—2; 1) U (1;+оо);	2)(2;8); 3)(1/2;+оо); 4)(1;+оо);
5)(4;+оо); 6)(2;+оо); 7)(-оо;0) U (3/4; ^/(75 - 1)/2); 8)0;
9)[—1;0) U (0; 1); 10)[—2;0) О (0;2); 11)(-оо;2) U (4;+оо);
12)(—4;—2); 13)(0;5); 14)(0;2); 15)(-оо;0) и (63/65;+оо);
16)(—оо;0) U (126/65; +оо);	17)(-оо;-2);	18)(1;3/2) U
(2;+оо).
Контрольная работа.
I вариант. 1)(-оо; -1/2] U [5; +оо); 2)(—оо;-8/3] U
[6/7;+оо); 3)(-8;0); 4)[0;3]; 5)(2;5); -1; 6)[-Л;-1/2]U
[1/2; V^J; 7)0; 8)7.
II вариант. 1)(-1;2)U(3;6); 2)(4- Уп; 1]; 3)(-2;2-
2>/2)U(0;2)U[2+2v/2;+oo); 4)(-4;+со); 5)(-4; 1]; 4; 6)[0;6];
7)0; 8)—8.
Глава 4.
Задание 1.
1)7/12; 2)0; 3)1/2; 4)24; 5)3; 6)1; 7)2; 3; 8)-2; 9)(3±
л/13)/2; 10)—5/2;3; 11)3/2; 12)-3; 13)-1; 14)2; 15)±Л;
16)1; 17)1/2; 18)3/2; 19)(lofc7 - log,2 - l)/(log,5 - 1);
20)—1о£з6;2; 21)0;logls5; 22)2; 23)l;log,2; 24)log,(l/2 +
184
ОТВЕТЫ
ч/5/2); 25)1; 26)-1; 27)3,1о&-8; 28)-1;2/3.
Задание 2.
1)0;4/3;	2)17/13;	3)-1/2;3/2;	4)7;	5)3;	6)7;
7)±3; 8)±2; 9)2; 10)2; 11)±4; 12)l;loga(3 + \/29) -
1;	13)0; 1;	14)-logl63;	15)log7/21; 16)±logl 52;
17)1о^+12;	18)1;-4,	19)4/5;	20)5/2; 21)2; 22)81;
23)(log9^^) *; (log4/9 ?~j^) *; 24)2; 25)2; 26)0;logL5|;
logi.e i-
l)(5;+oo); 2)(11/13;+oo); 3)(-oo; 1/4); 4)(0;64); 5)(5/3; 2);
6)(2; +oo); 7)(1;4),	8)[-/3; >/3]; 9)(-oo; 1]; 10)(3;+oo);
11)(—oo;2); 12)(4,+oo); 13)(-oo; 1|; 14)(-oo;-lJ; 15)(log2 3 ;
+oo); 16)(2;+oo); 17)[4 - logs 5; 4); 18)[0; 36).
Задание 4.
1)(—1; 2)U(3;+oo); 2)(0;2); 3)(-4;0); 4)0; (1-log72;+oo);
5)(1 - log3 5;0] U (1 + Iog3 5; +oo);	6)(-oo; iog2(\/5 - 1)] U
(0.5;-boo); 7)(-oo,0)U(l/2, +oo); 8)(2;+oo); 9)(-l;0)U(3;4);
10)(0;4); 11)(-1; 1); 12)(-l;0)U(0; 1); 13)(-oo; 0)U(l; +oo);
14)(3;+oo).
Глава 5.
Задажже 1.
l)-2;9/2; 2)2.9; 3)4; 4)9; 5)0.125; 6)1/9; 7)/2 - 1;
8)3; 9)</5-2; 10)6; 11)1/2; 12)(1 +x/T7)/4; 13)-5; 14)-4;
15)8; 16)25; 17)21; 18)-I8
Задажже 2.
1)27, 2)4. 3)2; 4)</4/2.4, 5)0 25;4; 6)3; 7)x/3; 3;
8)20, 9)УНк 10; 10)13/21; 2, 11)УП);10; 12)1; \Л/2;4;
13)10"e; Ю-2: 102; 104	14)10; 100; 15)l;5;l/25; 16)-l/2;
17)1/2; V5; 18)-l000; 19)5; 20)10; 10-9/a; 21)0.01; 10;
22)0.1; 100; 23)1/16 4. 24)1/9:3; 25)3;27.
Контрольная работа.
I вариант 1)3. 1/3. 2)41/4; 3)2; 1/2; 4)4; 5)3; 9/4;
6)±l/2 7)-l/4. 8)3
II вариант 1)5; 1/5.	2)0.01; 100; 3)4; 1/4, 4)9;
5)36/25:3/2. 6)±l/2. 7)1/4. 8)3
4\atalIausA
знание без ераниц * ш
Ответы
185
Заданже 3.
1)(5/8;+оо); 2)(1/5;2/5]; 3)(1;2)U(3;4); 4)(2;3); 5)(4;6);
в)[—16/3; —3); 7)(-l;0)U(l;+oo);. 8)[2;3); 9)[-6/5,-l)U
(-1/5; 0);	10)(-оо;2) U (9; +оо);	11)(2;3) U [5,+оо),
12)1/2; (1;+<х>); 13)(-1/3; 1); 14)(-3;-1/3) U (3/2, +оо);
15)[—1;1) U (3;5);	16)(-оо;-1) и (4;+оо);	17)[-7,3];
18)(—3;—1); 19)(—7;—2); 2О)(3; 4) U (6;+оо); 21)(-7;-6)и
(1;+оо);	22)(1/2; 9/16] и (9/2;+оо); 23)(1; 1.04) U (26;+оо);
24)—2; 2; (-9/8; -1); 25)(-3; -1) U (5; 7].
Заданже 4.
1)(2/5;3/7]; 2)(-1;1); 3)(2;5/2); 4)(5/2;+оо); 5)(3/2,2)U
(7; 8); 6)(-oo;-5)U(-5;-l)U(3;+oo); 7)(2;+оо), 9)(0; 27);
9)(0; 1/2]; 10)(3;+оо); 11)[2;+оо); 12)(1;+оо); 13)(3;4]и
(6;+оо); 14)(0;+оо); 15)(-оо;-2); 16)(0;0.l]U (100;+оо);
17)(1;5/4) и (3;+оо); 18)[1/2;4]; 19)(1/64; 1/4) U (1/4;4);
20)(0.1;1)U(1;10); 21)(0; l/8]U(l/4;+оо); 22)(-1/3;-7/24)и
(1;+оо); 23)(0; 10).
Заданже 5.
1)(1/2;1); 2)[1/2; 1)и[2;+оо); 3)(2/3;l)U(l;+oo); 4)(2;3);
5)(1/2;1) и (2;+оо);	в)(1;^);	7)(3/2;2);	8)(0;23/35);
9)(log, 10;+оо); Ю)(-оо;0); 11)[0;log,3); 12)(-4/3;-17/22);
13)(—3; —1) U (1;9); 14)(0; 1) U (1;2) U (2; +оо); 15)[5;+оо);
16)(3;4) и (4;5) и (5;+оо);	17)(9/2;+оо); 18)(7/2;+ос);
19)(1/3;2); 20)(2 + \/2;4); 21)(-2;-I) U (-1;0) U (0; 1) U
(2;+оо); 22)(—3/2;—l)U(4;+oo); 23)(5;+оо).
Контрольная работа.
I вариант. 1)[0; 2) и (4; 6); 2)(1;+оо); 3)(1/3; 1) U (1; 2);
4)(4-14;1); 5)(1/4; 1) и (1;4); 6)(1; 1 + 1/2<^) U (3,+<х>),
7)[4;+оо); 8)(3;+оо).
И вариант. 1)(3;7/2)U[5,+оо); 2)(2;5); 3)(0; 1/2)и(1;2)и
(3;6); 4)(—3; —l)U(0; 2]; 5)(1/5;5); 6)(-1/3;-7/24)U(l;+ос);
7)(2;+оо); 8)(—оо; 0) U (1; +оо).
Глава 6.
Заданже 1.
1)(0.6;0.3); (0.4;0.5); 2)(-1;2); (2;-I); 3)(2; 1);(-1;-2),
4)(1;2); (2; 1);	5)(7;3);(-7;-3); 6)(3;2); (-3;-2); 7)(1;2);
(2;1); 8)(5;4);(286/53; 188/53); 9)(1;2); 10)(1/4; 1/6); (1/12;
IM
ОТВЕТЫ
1/3); (—5/24;—7/24); (-3/8;-l/8); ll)(l;3); (3; 1); (-1;-3);
(—3;—1); 12)(3;2); (-3;-2); 13)(4; 1); (1;4); 14)(l/2;4);
15)(2;4); (4 : 2); 16)(2; 1); (—2;-1); IT) (3;2); (1;4);
(—3;—4); (-5;-2); 18)(2; 1); (6;-3); (8 + 2-75; -2 - 275);
(6 - 275;-2 + 275); 19) (0;0); (77; 7?), (-Л1-7?);
(718; -715); (-715; 715); (2;3); (-2;-3); (3;2); (-3;-2);
20)(—2; 1); (1; —2); (1;2); (2; 1); (0;-3); (-3,0).
Контрольная работа.
I вариант.
1)(2; 3); 2)(l;-l);(-l; 1); (1;2);(2;1); 3)(3;±2);(4;±75);
4)(—1;2);(-184/21;-79/42); 5)(l/2; 11/2); (3/2; 11/2).
II вариант.
1)(4;1); 2)(1;3);(3; 1); 3)( 1; ±72); (2; ±1); 4)(12;9/2);
(1;—1); 5)(2; 1); (-6;9); (0;-3).
Задание 2.
1)(1;-1;3); 2)(2;3;3); 3)(3;4;5); (3/2;5/2;2); (0;l;-l);
4)(1;4;1);	(1;2;3);	(5;2;-1); (5;4;-3);	5)(-5;-3;0);
(3;l;-2);
Задавав 3.
1)(2;4); 2)(6;2); 3)(2;4); 4)(2; 1); 8)(7S; 1); (-75; 1);
6)(10;1.5); (0.2.75); (15; 1); 7)(-2; 7); 8)(5; 2); 9)(8;4);
10)(4; 1); 11)(16;20); 12)(6;2); 13)(9a;2a);(a; 18a);a> 0,a ±
1; 14)(6;6); 15)(v^; 2);(74/2; -3); 18)(5;5); 17)(3;5); (6;2);
(1;7); 18)(3;9);(9;3); 19)(3;9); 20)(2;4); (472; 27?).
Глава 7.
Задание 2.	1) Возрастает на (—6,0) и на (0;2);
убывает на (—оо;—6) и на (2; +оо); 2) Возрастает на
(1,3); убывает на (— оо;1), (3;+оо); 3) Возрастает на
(—оо, —|); убывает на (—|;оо); 4) Возрастает на (—оо, 1)
и на (2;+ос); убывает на (1;2).
Задание 3. 1) Унамм — —24; Умамб —- 4; 2) Уыыш — 0?
Унамб — 17;	3) Унамм = 1* Умаяб — 3;	4) ]/нахм = ~~ Ю/З;
Уиахб = -2.
Задание 4. 1) х = е — точка минимума^ 2) х = 1/е
— точка максимума^ 3) х — 0 — точка минимума, х = 2
— точка максимумам 4) х = 3 — точка лшксимрма; 5) ж =
In 2 — точка максимумам 6) ж = — 0.5 — точка максимума.
NataHausf&ll
знание без границ * *>
Ответы	187
Задание 6. (—оо; —4) U I ~-;0 ).
у 4 /
Задание 7. 5д =
3
Задание 8. шах/(г) = /(2) =
Задание 9.	= 1,хз = 5.
min /(г) = /(0) = -1.
Н»1
Задание 10. Функция возрастает на
(—оо; 1) U (2; 4-оо) и убывает на промежутке
множестве
(1.2).
Глава 8.
Задание 1. 4.
Задание 2. 6.
Задание 3. 10.
Задание 4. 9.
Задание 5. 2.
Задание 6. 100.
Задание 7. es 16.8.
Задание 8. 1094560.
Задание 9. 7.
Глава 9.
Задание 2.
1) 2 sin a ;	2)cos~32or; 3)(—1/2) sin 8а; 4) —ein2 а;
5)sinasin4/7; 6)2\/2sin sin (^^) ;	7)(l/4) sin(3a/2);
8)—sin 2asin4/?; 9)-tg (ct/8); 10)y/^ein(4a - 45°), ll)ctg 4a;
12)4; 13)10/11; 14)—9/4; 15)4; 16)1; 17)3; 18)8.
Задание 3.
1)2; 2)4; 3)3; 4)1; 5)2; 6)0.5; 7)2ч/3, 8)65/113; 9)1;
10)1/8; 11)18; 12)7/8; 13)1; 14)0; 15)0; 16)1.
ГЗд дяттир 4»
1)5+ т; 2)т. (-1)‘+,5т + ^; 3)5 + ^; (-1)*^ + ^;
4)5+^. (-1)4+т; 5)^.5+^; e)(-i)‘5+r*; 0-5+
тгАг; 8)—% + irk‘t 9)-^ + я£; arctg 3 + тгЛ; 10)-arctg 3 + iri;
ll)|+2%fc; 2arctg |+2тгД:; 12)13)rfc;
5+Я*; 14)±f+^; 15)5 + ^; 16)5 + rl; 17)£ +
1в)^;^; 19)^; 20)±^ +	21)±J + ^, 22)5 + ^;
23)ft + ^; (~1)‘+4 + t; 24)5*; 25)^.
188
ОТВЕТЫ
1)**; | + A?; 2)**; } +	3)} + **; ±} 4- **; 4)} +
3ч ±fr + #;	5)^; 6Ц+ЗЧ 7)я + 2ж*; ±$ж + 4як;
8)± arccoe08 + 21Г*; 9)(-l)* } + **;}+2**; 10)(-l)*+l} +
**;	11)±} + 31» 12)2arcctg 3 + 2xfc, -2arctg 7 + 2**;
13)—} + xJr; arcctg $+2xJt; 14)ft + 34 15)3^ ie)ft +
#,} + #;	18)ft+34 19)ж*;±^ + 2х*;
2О)±£ + 2я*; 21)±} + ^; 22)жЛ; (-1)*} + ^; 23)} + ^;
±4 + 2ж*; 24)^ +я*; ±}+я*; 25)2^;	+ ф.
Задажие 6.
1>П + 4* + iiW-k = 0;1;2;...; £ + ж3/ + 4г3/3,/ =
0; 1;2;...; 2)±| агссов(-1 + х/б/2)+я*; 3)}+2xlt; (-1)*+1} +
irk-, 4)±| arccoe (jL) + 2яп, n € Z; 5)log3(4m — я/3), n ~
1;2; 3;..., log3(4xi + ж/З), к = 0; 1;2;3;...; в)± j arccoe ? +
2irk,k G Z; } + &,k G Z; 7)-10’r'<+,rn;	n G Z;
8)0; 9)} + жги, m G Z; 10)} + (—l)n+1 aresin(5-\/2/8) + irn,
-}4-(~l)n arcsin(5\/2/8) = яп, n G Z; 11)}4-2я*; 12)} + **;
13)34 k G Z, к # 2 +4/; (~l)n+ ft; 14)rt; -Af + 2яп,
15)±Sf+2<n;	18)}+ir*,
—arctg 2 +	19)(— 1)*} + } + irk-, 2O)2r + 8x4.
^laiaHauSfM
знаниееезграниц
СОДЕРЖАНИЕ
Введение	3
Глава 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБ-
РАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИ-
ЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ	4
$1.1. Целые рациональные выражения	5
$1.2. Дробные рациональные выраже-
ния	б
$1.3. Иррациональные выражения	9
$1.4. Примеры с модулями	14
Глава 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВ-
НЕНИЯ	20
$2.1. Уравнения высших степеней	22
$2.2. Иррациональные уравнения	30
$2.3. Уравнения с модулями	39
Глава 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРА-
ВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕ-
МЕННОЙ	45
$3.1. Решение квадратных неравенств	45
$3.2. Метод интервалов для решения
рациональных неравенств	48
$3.3. Системы и совокупности нера-
венств с одной переменной	51
$3.4. Неравенства с модулями	54
$3.5. Иррациональные неравенства	60
Глава 4. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕ-
НИЯ И НЕРАВЕНСТВА	68
$4.1. Показательные уравнения	68
$4.2. Показательные неравенства	75
190
Глава 5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВ-
НЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА	79
§5.1. Логарифмические уравнения	79
§5.2. Логарифмические неравенства	90
Глава в. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ	98
§6 1 Системы двух уравнений с двумя
неизвестными	98
§6.2 Системы трех уравнений с тремя
неизвестными	106
§6.3 Системы показательных и лога-
рифмических уравнений	112
Глава 7.	ПРОИЗВОДНАЯ	117
Глава 8.	ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ
УРАВНЕНИЙ	130
§8 1	Задачи ” на движение”	130
§8 2	Задачи ”на работу”	133
§8 3	Задачи с целочисленными неиз-
вестными	134
§8.4	Задачи на’’проценты”	135
§8.5.	Задачи на смеси и сплавы	139
§8 6. Задачи, решаемые при помощи
неравенств	140
§8.7. Задачи, в которых число неиз-
вестных превышает число урав-
нений	142
§8.8. Задачи, при решении которых ис-
пользуется производная	144
Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ	147
§9 1.	Тождественные преобразования
тригонометрических выражений	147
§9 2.	Тригонометрические уравнения	158
Ответы	180
Та1аМаи$Ж
знаниебезграниц **
Производственно-
коммерческая фирма
«БАО»
Приглашает к сотрудничеству:
авторов, литературных агентов,
книготорговые организации,
предпринимателей-книготорговцев
ПО ВОПРОСАМ
ПРИОБРЕТЕНИЯ КНИГ
ОБРАЩАТЬСЯ ПО ТЕЛЕФОНАМ:
Киев (044) 243-80-18
Донецк (0622) 55-11-44
Учебное издание
СБОРНИК
задач do математике с решениями
Составители
Д.Н. Кравчук, Е.В. Кравчук, С.И. Клсмина
Ответственный за выпуск Скрипник В. М.
Технический редактор Спивак Т.Н.
Сдано в производство 07.01.97. Подписано к печати 10 02.97.
Формат 84x108 1/32. Бумага газета. Печать высокая с ФПФ.
Усл. печ. л. 10,08. Уч.-изд. л. 5,16. Усл. кр.-отг. 10,39.
ПКФ “БАО"
340114, Донецк, ул. Университетская. 80а
Агентство “Мультипресс”
340015. Донецк, пр. Богдана Хмельницкого, 102.
Содержание  качество текста соответствует
качеству предоставленных мадательством
орппшалов
Отпечатано с готового оригинал-макета в иждлтель-
стве "Доиеччина”. 340118. г Донецк-118, Киевский
проспект. 48