Топология - Зейферт Г., Трельфалль В.

Author: Зейферт Г. Трельфалль В.

Tags: математика топология

ISBN: 5-93972-068-4

Year: 2001

Similar

Комбинаторная топология

Торические действия в топологии и комбинаторике

Теория Морса

Математическая энциклопедия. Предметный указатель

Text

Г. Зейферт и В. Трельфалль
Топология
Москва • Ижевск
2001

УДК 515
Интернет-магазин
• физика
• математика
• биология
,,, ,,, , «техника
http://shop.rcd.ru
Внимание!
Новые проекты издательства РХД
• Электронная библиотека на компакт-дисках
http://shop.rcd.ru/cdbooks
• Эксклюзивные книги — специально для Вас любая книга может быть
отпечатана в одном экземпляре
http://shop.rcd.ru/exclusive
Издание осуществлено при финансовой под-
поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту №01-01-14111
Зейферт Г., Трельфалль В.
Топология. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»,
2001, 448 стр.
Книга представляет собой классическую монографию по топологии,
принадлежащую перу известных немецких математиков. В ней с большим
мастерством разобрана теория гомологии, — ее суждение является лучшей в
мировой литературе. Разобраны также более специальные вопросы тополо-
топологии.
Хотя за прошедшие годы многие разделы несколько устарели, книга не
утратила своего значения и остается наиболее наглядным и ясным изложе-
изложением основных идей топологии.
Для математиков, механиков, физиков, студентов и аспирантов универ-
университетов, специалистов.
ISBN 5-93972-068-4
© НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001
http://rcd.ru

Оглавление
Предисловие ко второму русскому изданию 6
Предисловие к русскому переводу 6
Предисловие авторов 8
ГЛАВА I. Наглядный материал 10
§ 1. Основная задача топологии 10
§ 2. Замкнутые поверхности 15
§ 3. Изотопия, гомотопия, гомология 24
§ 4. Многообразия высших размерностей 27
Глава П. Симплициальный комплекс 33
§ 5. Окрестностные пространства 33
§ 6. Отображения 37
§ 7. Подмножества евклидовых пространств 43
§ 8. Отождествление 47
§ 9. n-мерный симплекс 52
§ 10. Полиэдры и их симплициальные подразделения (симпли-
циальные комплексы) 59
§ 11. Схема симплициального комплекса 62
§ 12. Конечные и однородные комплексы. Многообразия ... 66
§ 13. Барицентрическое подразделение 68
§ 14. Примеры полиэдров и комплексов 70
ГЛАВА III. Группы Бетти 80
§ 15. Алгебраические комплексы 80
§ 16. Граница, цикл 82
§ 17. Гомологичные алгебраические комплексы 85
§18. Группы Бетти 89
§ 19. Вычисление групп Бетти в простейших случаях 92
§ 20. Слабые гомологии 95
§ 21. Вычисление групп Бетти при помощи матриц инциденций 98
§ 22. Кусочные алгебраические комплексы 106
§ 23. Алгебраические комплексы и числа Бетти по модулю 2 . 110
§ 24. Псевдомногообразия и ориентируемость 117

4 Оглавление
ГЛАВА IV. Симплициальное приближение 122
§ 25. Особый симплекс 122
§ 26. Особые алгебраические комплексы 125
§ 27. Особые группы Бетти 127
§ 28. Теорема о симплициальном приближении. Инвариант-
Инвариантность симплициальных групп Бетти 131
§ 29. Призмы в евклидовом пространстве 132
§ 30. Доказательство теоремы о симплициальном приближении 138
§ 31. Деформации и симплициальные приближения отображе-
отображений 149
ГЛАВА V. Локальные свойства 158
§ 32. Локальные группы Бетти полиэдра 158
§ 33. Инвариантность размерности 165
§ 34. Инвариантность однородности комплекса 166
§ 35. Инвариантность границы 167
§ 36. Инвариантность псевдомногообразия и ориентируемости 168
ГЛАВА VI. Топология поверхностей 170
§ 37. Замкнутые поверхности 170
§ 38. Приведение к канонической форме 176
§ 39. Основная теорема топологии поверхностей 182
§ 40. Ограниченные поверхности 184
§ 41. Группы Бетти поверхностей 188
ГЛАВА VII. Фундаментальная группа 194
§ 42. Фундаментальная группа 194
§43. Примеры 202
§ 44. Группа симплициальных путей симплициального ком-
комплекса 205
§45. Группа симплициальных путей поверхностного комплекса 210
§46. Образующие и соотношения 214
§47. Линейчатые комплексы и замкнутые поверхности .... 217
§ 48. Фундаментальная группа и одномерная группа Бетти . . 220
§ 49. Свободные деформации замкнутых путей 224
§ 50. Фундаментальная группа и деформация отображения . . 227
§ 51. Фундаментальная группа в точке 227
§ 52. Фундаментальная группа составного полиэдра 228
ГЛАВА VIII. Накрывающий полиэдр 233
§ 53. Неразветвленный накрывающий полиэдр 233
§ 54. Основной и накрывающий пути 237
§ 55. Накрывающий полиэдр и подгруппа фундаментальной
группы 241
§ 56. Универсальный накрывающий полиэдр 248
§ 57. Регулярное накрытие 250
§ 58. Группа монодромии 254

Оглавление 5
ГЛАВА IX. Трехмерные многообразия 261
§ 59. Общие свойства 261
§ 60. Представление трехмерных многообразий посредством
многогранников 263
§ 61. Группы Бетти 270
§ 62. Фундаментальная группа 274
§ 63. Диаграмма Хегора (Heegaard) 280
§ 64. Ограниченные трехмерные многообразия 283
§ 65. Построение трехмерных многообразий при помощи узлов 286
Глава X. n-мерные многообразия 291
§ 66. Звездный комплекс 291
§ 67. Клеточный комплекс 298
§ 68. /i-многообразия 302
§ 69. Закон двойственности Пуанкаре 309
§ 70. Индексы пересечения клеточных алгебраических ком-
комплексов 315
§ 71. Дуальные базы 318
§ 72. Клеточная аппроксимация 325
§ 73. Индексы пересечения особых алгебраических комплексов 329
§ 74. Инвариантность индекса пересечения 332
§75. Примеры 343
§ 76. Ориентируемость и двусторонность 348
§ 77. Коэффициенты зацепления 353
ГЛАВА XI. Непрерывные отображения 361
§ 78. Степень отображения 361
§ 79. Формула следа 364
§ 80. Формула неподвижных точек 367
§ 81. Приложения 369
ГЛАВА XII. Вспомогательные сведения из теории групп . 374
§ 82. Образующие и соотношения 374
§ 83. Гомоморфное отображение и дополнительная группа . . 379
§ 84. Коммутирование групп 382
§ 85. Свободное и прямое произведения 383
§ 86. Абелевы группы 387
§ 87. Нормальная форма целочисленных матриц 395
Примечания 399
Указатель литературы 418
Предметный указатель 436

Предисловие
ко второму русскому изданию
Мы предприняли переиздание этой замечательной книги в целях
восполнить пробел в классической литературе по топологии — разделу
математики, получившего более бурное развитие в ХХ-веке. Эта книга
до сих пор остается наиболее полным и доступным руководством по
теории гомологии, топологии двумерных и трехмерных многообразий.
В ней изложены основные сведения по фундаментальным группам и
теории гомотопий.
С современными аспектами топологии можно будет ознакомиться
по книге С. П. Новикова «Топология», которая скоро появится в нашем
издательстве. Тем не менее книга Зейферта, Трельфалля, несомненно,
еще долгое время будет играть роль наиболее прозрачного изложения
основных идей и методов топологии, а также является замечательным
введением в эту область математики.
Предисловие к русскому переводу
Книга Зейферта и Трельфалля «Lenrbuch der Topologie» является,
несомненно, лучшим из существующих в настоящее время сочинений,
посвященных основным вопросам топологии полиэдров и, в частности,
многообразий. Она соединяет полную строгость и точность изложения
с большой наглядностью его и в этом отношении является единствен-
единственным произведением топологической литературы.
Она, несомненно, является лучшим источником, из которого мате-
математик, не связанный в своей работе с теоретико-множественными кон-
концепциями, а также механик, физик, химик могут познакомиться с то-
топологией. В частности, эта книга содержит в себе полную трактовку
элементарной топологии двух, трех и n-мерных многообразий.
Помимо тех вопросов, на которые указывают авторы книги в своем
предисловии, вне поля их внимания целиком осталась теоретико-мно-
теоретико-множественная топология, а также большая часть топологии непрерыв-
непрерывных отображений полиэдров (из которой дано только понятие сте-
степени отображения, хопфово обобщение формулы Эйлера-Пуанкаре
и простейший случай общей формулы для неподвижных точек полиэд-
полиэдров) . В настоящее время и основы теоретико-множественной топологии
(я имею в виду прежде всего элементарные предложения теории топо-
топологических и метрических пространств), и теория непрерывных отоб-

Предисловие к русскому переводу 7
ражений полиэдров и многообразий составляют необходимые состав-
составные части, так сказать, «топологического минимума». Оба эти раздела
топологии с достаточной полнотой изложены в книге Александров-
Hopf, Topologie I, к которой я и отсылаю читателя с замечанием, что
книга Зейферта- Трельфалля и книга, написанная совместно Хопфом
и мною, имея в качестве общей части элементарную теорию гомологии
для полиэдров, в основном хорошо дополняют друг друга, так что изу-
изучение обеих книг действительно гарантирует читателю основательное
владение предметом.
При этом не могу не отметить, что книга Александров-Hopf напи-
написана гораздо более отвлеченно и менее наглядно, но зато значительно
более систематично и полно, чем книга Зейферта-Трельфалля. Поэто-
Поэтому первое знакомство с топологией надо начинать именно с Зейферта-
Трельфалля. Различие между обеими книгами особенно типично в те-
теории гомологии полиэдров, изложенной и здесь и там: у Зейферта-
Трельфалля — очень наглядно и педагогично, но в применении лишь
к простейшим полям коэффициентов, тогда как Хопф и я даем пол-
полное изложение теории для любого поля коэффициентов (которая сей-
сейчас необходима во всех более глубоких топологических исследованиях,
будь то понтрягинская теория непрерывных групп, колмогоровская об-
общая теория двойственности или теория размерности).
Кстати, что касается названных теорий, а также упоминаемой Зей-
фертом и Трельфаллем в их предисловии теории проекционных спек-
спектров, то они войдут во второй том топологии, издаваемой Хопфом
и мною. Топологию же многообразий мы предполагаем включить лишь
в третий том.
При всем том, как бы ни пополнялась в ближайшие годы топологи-
топологическая литература, несомненно, что еще долгое время книга Зейферта-
Трельфалля вполне сохранит свое значение лучшей книги для первого
чтения по топологии.
П. Александров
Имеется ввиду книга Alexandroff P., Hopf H. Topologie, Berlin, Springer, 1935.

Предисловие авторов
Первым поводом к составлению предлагаемого учебника послужил
курс лекций, прочитанный одним из нас (Трельфаллем) в Высшей тех-
технической школе в Дрездене. Однако материал этих лекций вошел в кни-
книгу только частично. Основное содержание книги выкристаллизовалось
впоследствии, при тесном общении и ежедневном обмене мыслями меж-
между обоими авторами.
Топология — наука, находящаяся в настоящее время в своем рас-
расцвете. Желая дать введение в топологию и обзор основных ее резуль-
результатов, мы не смогли бы считать нашу цель достигнутой, перечислив
с возможно большей полнотой общие теоремы и приведя их доказа-
доказательства. Напротив, мы считали необходимым подробно остановиться
на основных понятиях топологии и систематически развить методы,
которые кажутся нам особенно плодотворными. Изложение основных
понятий и методов сопровождается разбором большого числа приме-
примеров.
Никаких специальных предварительных знаний у читателя этой
книги не предполагается. Небольшое число общеизвестных теорем, ко-
которыми мы пользуемся не давая их доказательств, снабжены в под-
подстрочных примечаниях указаниями литературы, где эти доказатель-
доказательства приведены именно в той форме, в какой это требуется. Мы огра-
ограничиваемся изложением комбинаторной или алгебраической тополо-
топологии, однако пользуемся, стараясь обойти возможно дальше теорети-
теоретико-множественные трудности, смешанным методом. Поэтому в центре
наших рассмотрений стоит введенное Брауэром понятие симплициаль-
ного комплекса и многообразия. Для читателя, незнакомого с теорией
групп и с употребляемыми в ней в настоящее время обозначениями,
мы приводим в последней главе сопоставление всех применяемых из
этой теории сведений; с содержанием этой главы нужно ознакомить-
ознакомиться между чтением второй и третьей глав книги. Мы старались сде-
сделать чтение отдельных глав книги по возможности независимым друг
от друга. Особое внимание обращено на составление подробного ал-
алфавитного предметного указателя. В примечаниях в конце книги да-
даны указания дальнейшей литературы и приведены некоторые допол-
дополнительные сведения; эти примечания должны облегчить возможность
перехода к дальнейшему изучению теорий, которые в книге не мог-
могли быть развиты подробно. На некоторых теориях — ввиду ограни-
ограниченного объема книги — мы совсем не могли остановиться. Из них
нам было особенно жалко опускать закон двойственности Александе-

Предисловие авторов 9
pa и теорию замкнутых множеств и проекционных спектров Алек-
Александрова. Мы надеемся заполнить эти пробелы в следующем томе,
если только в промежутке другие учебники топологии не исчерпают
этих вопросов.
Дрезден, январь 1934 г. Г. Зейферт, В. Трельфалль
Цифры в квадратных скобках относятся к указателю литературы, рас-
расположенному авторами в алфавитном порядке, маленькие цифры, стоящие
наверху, указывают на примечания в конце книги.

Глава I
Наглядный материал
§ 1. Основная задача топологии
Топология изучает свойства геометрических фигур, не меняющи-
меняющиеся при взаимно однозначных и взаимно непрерывных отображени-
отображениях. (Такие отображения называются топологическими.) Под геомет-
геометрической фигурой мы понимаем пока множество точек трехмерного
пространства (или пространства более высокого числа измерений);
отображение фигуры является непрерывным, если оно осуществляется
в какой-нибудь декартовой системе координат этого пространства при
помощи непрерывных функций. Эти функции не должны быть опреде-
определены во всех точках пространства, а могут быть заданы лишь в точках
отображаемой фигуры. Свойства, не меняющиеся при топологических
отображениях, называются топологическими свойствами фигуры.
Две фигуры, допускающие топо-
топологическое отображение одной на дру-
другую, называются гомеоморфными. На-
Например, полусфера и круг гомеоморф-
ны, так как при помощи ортогональ-
ортогонального проектирования полусфера топо-
топологически отображается на круг (на
рис. 1 круг этот заштрихован). Вооб-
Вообще поверхности, которые могут быть
Рис. 1 деформированы одна в другую посред-
посредством изгибания, растяжения и сжа-
сжатия, как например, поверхности шара, куба и эллипсоида, или плос-
плоское кольцо и боковая поверхность цилиндра, гомеоморфны. Нетрудно
привести сколько угодно примеров гомеоморфных фигур, в том числе
и таких, в которых гомеоморфность не видна сразу. Так, гомеоморфны
евклидова плоскость и сфера с одной выкинутой точкой («проколотая»
сфера), — одну можно топологически отобразить на другую при помо-
помощи стереографической проекции. Каждая из этих фигур сверх того
гомеоморфна внутренности круга (§6, 2-й и 3-й примеры).
В смысле элементарно геометрическом, т.е. без всяких бесконечно удаленных
точек.
Эта глава дает обзор элементарных геометрических образов, лежащих в основе
топологического исследования, и имеет лишь вводный характер, не претендующий
на полную математическую строгость рассуждений.

§1. Основная задача топологии 11
Вообще говоря, труднее доказать, что две фигуры не гомеоморф-
ны. Ясно, что точка и отрезок негомеоморфны, так как обе эти фи-
фигуры не могут быть отображены одна на другую даже только взаим-
взаимно однозначно. Легко убедиться также и в том, что отрезок и окруж-
окружность нельзя топологически отобразить друг на друга. В самом деле,
если А, В, С, три точки окружности, то А может быть непрерывным
движением по окружности переведено в В, не попадая по пути в С.
Это свойство окружности при топологических отображениях должно
сохраняться. Отрезок, однако, им не обладает, так как при непрерыв-
непрерывном переводе одного конца отрезка в другой нельзя миновать, напри-
например, середины отрезка*.
Но такого рода элементарные рассуждения уже недостаточны, ко-
когда мы сравниваем круг с шаром. Если мы, например, характеризуем
круг тем, что в нем существуют замкнутые кривые, разбивающие его
на две части, то нам нужно показать, что никакая замкнутая кривая
не разбивает шар на две части. Почему, однако, замкнутая кривая не
может оыть расположена внутри шара таким образом, что она прохо-
проходит через все точки какой-нибудь поверхности, разбивающей шар на
две части? На самом деле это не может произойти, но это вовсе не
очевидно.
Таким образом простейшие соображения, вроде тех, при помощи
которых мы доказали, что отрезок и круг топологически различны,
не дают еще возможности установить негомеоморфность круга, шара
и соответствующих образов высшего числа измерений (доказательство
этого см. в §33).
Гомеоморфизм играет такую же роль в топологии, как конгруэнт-
конгруэнтность в элементарной геометрии. Так же, как две конгруэнтные фигу-
фигуры не являются существенно различными с точки зрения элементарной
геометрии, две гомеоморфные фигуры, т. е. две фигуры, допускающие
топологическое отображение одной на другую, не являются существен-
существенно различными с точки зрения топологии. Однако в то время как две
конгруэнтные фигуры всегда могут быть переведены одна в другую
конгруэнтным отображением всего пространства самого на себя, для
гомеоморфных фигур может и не существовать топологического отоб-
отображения всего пространства, переводящего одну из фигур в другую.
Так, например, топологическим отображением всего пространства са-
самого на себя окружность не может быть переведена ни в какую зауз-
ленную кривую, даже в простейшую из таких кривых, изображенную
на рис. 2 (стр. 12). Несмотря на это обе кривые гомеоморфны, так так
точки узла можно взаимно однозначно и непрерывно отобразить на
Другое доказательство: если А есть любая точка окружности, то множество,
оставшееся от окружности по удалении точки А, связно (в том, например, смысле,
что всякие две его точки можно соединить простой дугой, принадлежащей целиком
этому множеству). Это свойство, очевидно, должно сохраняться при топологиче-
топологических отображениях; между тем отрезок им не обладает. {Прим. ред.)

12
Глава I
точки окружности, а при установлении гомеоморфности имеют значе-
значение только эти точки, а не точки всего объемлющего пространства.
Рис. 2
Рис. 3
Точно так же гомеоморфны, но не могут быть переведены одна
в другую топологическим отображением всего пространства на себя.
Простая замкнутая лента и такая же лента,
закрученная на угол, кратный 2тг (рис. 3).
Гомеоморфность этих фигур легко устано-
установить, разрезав каждую ленту и отнеся друг
другу соответствующие точки двух полу-
получившихся после разрезания конгруэнтных
полосок.
Узел и окружность, закрученная и
незакрученная лента являются топологи-
топологически эквивалентными фигурами, отлича-
отличающимися только тем, как они вложены
в трехмерное пространство. Различие меж-
между ними исчезает, если рассматривать трех-
трехмерное пространство как подпространство
четырехмерного и допустить деформации
в этом последнем. Тогда узел и окружность
можно деформировать друг в друга без са-
самопересечений, подобно тому как в трех-
можно сделать, например, с окружностью
Рис. 4
мерном пространстве это
и эллипсом1.
Мы в дальнейшем будем поэтому различать « внутренние» тополо-
топологические свойства фигуры,В т. е. свойства, не изменяющиеся при всех
топологических отображениях, от остальных свойств, зависящих отто-
оттого, как фигура помещена в пространстве, и неменяющихся лишь при
топологических отображениях всего пространства.
Поясним это различие еще на одном примере. При вращении
окружности вокруг прямой, лежащей в плоскости окружности, но не
пересекающей ее, получается поверхность, называемая тором. Через
любую точку О тора проходит образующая окружность а. Мы будем

§1. Основная задача топологии 13
называть ее меридианом тора. Кроме того, через точку О проходит
окружность Ь, описываемая этой точкой при вращении (рис. 4). На-
Назовем ее параллелью. Если допускать лишь топологические преобразо-
преобразования всего пространства, то меридиан и параллель тора существенно
отличаются друг от друга. В самом деле, меридиан можно стянуть
в точку, оставаясь внутри тора, а параллель нельзя. Поэтому фигу-
фигура, состоящая из тора и меридиана на нем, не может быть переведена
посредством топологического отображения всего пространства на себя
в фигуру, состоящую из тора и параллели. Однако это различие между
меридианом и параллелью не является внутренним свойством тора, так
как тор можно топологически отобразить на себя (хотя и не деформа-
деформацией) таким образом, что меридиан и параллель поменяются ролями.
В самом деле, представим себе тор в виде эластичной трубки и раз-
разрежем ее вдоль а и Ь. Получившуюся после разрезов поверхность мы
можем затем, изгибая и растягивая ее, расправить в плоский квадрат
(рис. 5). Поворот этого квадрата на 180° вокруг своей диагонали яв-
является топологическим отображением квадрата на себя, при котором а
и Ь меняются местами. Этому повороту соответствует отображение то-
тора самого на себя, обладающее требуемым свойством.
Еще один типичный пример различия между
внутренними топологическими свойствами фигуры
и свойствами, зависящими от расположения в про-
пространстве, дает ориентируемость и двусторонность
поверхностей, с которыми мы встретимся в следую-
следующем параграфе.
Различие между внутренними топологическими
свойствами напоминает различие между внутренни-
внутренними метрическими свойствами поверхности в дифе-
ренциальной геометрии и противопоставляемыми им рис 5
свойствами фигуры, состоящей из поверхности и все-
всего пространства. Первые не зависят от положения поверхности в про-
пространстве и определяются первой фундаментальной формой поверхно-
поверхности; вторые же определяются второй фундаментальной формой.
Основная проблема топологии заключается в установлении того,
гомеоморфны ли две данные фигуры, и в классификации, там где это
возможно, всех негомеоморфных между собой фигур. Хотя имеются
разработанные теории, изучающие любые подмножества евклидовых
пространств , мы не будем заниматься фигурами в таком широком
смысле слова, — это привело бы нас к нежелательным теоретико-мно-
теоретико-множественным усложнениям. Достаточно узким, чтобы избежать этих
усложнений, и достаточно широким, чтобы рассматривать почти все
интересные фигуры, является введенное Брауэром топологическое по-
понятие полиэдра, сужающееся в дальнейшем к понятию многообразия.
'Литературу см. у Tietze - Veitoris [8] I.

14 Глава I
Таким образом мы будем заниматься не теоретико-множественной то-
топологией, а топологией полиэдров и многообразий .
Свойством, отличающим полиэдр от любого точечного подмно-
подмножества пространства, является его триангулируемость. Полиэдр есть
множество, составленное из конечного или счетного числа отрез-
отрезков,треугольников, тетраэдров или соответствующих ячеек («клеток»)
более высокого числа измерений, причем клетки могут и не быть пря-
прямолинейными. Это образование мы не обязаны считать расположен-
расположенным непременно в каком-нибудь пространстве, — вернее, при желании
можем вовсе не рассматривать объемлющего пространства. Требова-
Требование триангулируемости исключает из рассмотрения большинство так
называемых патологических множеств; благодаря этому достигается
близость к объектам непосредственного геометрического созерцания.
Полиэдрами являются, например, все римановы поверхности, ев-
евклидовы пространства любых размерностей, так же как их откры-
открытые подмножества, алгебраические кривые и поверхности, проектив-
проективная плоскость и проективное пространство, все евклидовы и неев-
неевклидовы пространственные формы (Raumformen) и области раз-
разрывности (Diskontinuitatsbereiche) метрических групп движения, да-
далее — пространства положений и фазовые пространства (Lagen- and
Phasenratime) механических систем и т. д.
Для того чтобы приблизиться к решению основной проблемы топо-
топологии, мы будем разыскивать топологические инвариантные свойства
полиэдров, поддающиеся выражению в обычных математических тер-
терминах, свойства, которые должны будут служить нам отличительны-
отличительными признаками полиэдров. Важнейшими такими свойствами, стоящими
в центре нашего исследования, являются группы гомологии и фунда-
фундаментальная группа полиэдра.
Рассмотрим сначала, однако, в какой мере основная проблема под-
поддается решению без этих вспомогательных средств. С этой целью поста-
постараемся разобрать непосредственно частный случай основной проблемы,
именно выяснить, какие существуют негомеоморфные замкнутые по-
поверхности.
С изложенными здесь точками зрения трудно согласиться. Прежде всего едва
ли основной проблемой топологии в настоящее время является установление того,
гомеоморфны ли две данные фигуры или нет. Так поставленный вопрос восприни-
воспринимается как основной лишь в топологии поверхностей (где он благополучно решает-
решается) и в топологии трехмерных многообразии (где он еще очень далек от решения).
Только субъективными интересами авторов (работы которых относятся главным
образом к трехмерным многообразиям) можно объяснить данное ими определе-
определение «основной проблемы топологии». В современной топологии вообще нет одной
основной проблемы, а имеется множество различных основных проблем, идущих во
многих направлениях.
Столь же мало может претендовать на объективность мнение авторов о том, что
полиэдры охватывают «почти все» интересные фигуры. О всех этих вопросах см.
Александров - Hopf, Topologie I, введение и конец 3-й главы. (Прим. ред.)

§2. Замкнутые поверхности 15
§ 2. Замкнутые поверхности
В предыдущем параграфе мы показали, как, разрезав тор вдоль
меридиана и параллели, можно превратить его в плоский квадрат. Этот
квадрат, при условии, что его противоположные стороны рассматрива-
рассматриваются как эквивалентные, т. е. не считаются различными, называется
фундаментальным многоугольником или многоугольником Пуанкаре
для тора. Он полностью определяет тор, по крайней мере в смысле
его внутренних топологических свойств. Неопределенными остаются,
напротив, его метрические свойства и свойства расположения, вроде
величины площади тора, положения его в пространстве и т. п. Но как
раз этими свойствами топология поверхностей не занимается. С точ-
точки зрения топологии поверхностей все торы, получающиеся из фун-
фундаментального многоугольника при помощи изгибания и склеивания
соответствующих сторон, совершенно одинаковы, так что, например,
тор вращения с этой точки зрения ничем не отличается от замкнутой
заузленной трубки. Мы примем возможность разрезания поверхности
в один или несколько многоугольников за основу определения замкну-
замкнутой поверхности, именно под замкнутой поверхностью мы будем по-
понимать фигуру, получающуюся из конечного числа многоугольников
попарным склеиванием их сторон. Тем самым замкнутая поверхность
получает независимое от объемлющего пространства существование,
как двумерное многообразие, — понятие, точное определение которого
мы дадим позже.
Превращение тора в квадрат приводит нас к аналогичному пред-
представлению всего бесконечного ряда замкнутых поверхностей мно-
многоугольниками с попарно приведенными в соответствие сторонами.
С этой целью сделаем в торе отверстие, вырезав из него, например,
какой-нибудь кружок. Пусть граница I этого кружка проходит через
точку О. Деформируя тор с отверстием, мы легко можем придать ему
вид ручки (рис. 6). Вместо того чтобы вырезать отверстие в торе, мы
можем вырезать его в квадрате, представляющем тор (рис. 7); в этом
случае, разрезав границу I этого отверстия в точке О, мы получим
пятиугольник (рис. 8). Этот пятиугольник, очевидно, получается из
ручки, если мы разрежем ее вдоль кривых а и Ь и затем расправим.
Пятиугольник имеет одну «свободную» сторону-границу отверстия I,
остальные его стороны попарно соответствуют друг другу.
Возьмем теперь две ручки; разрежем каждую из них указанным
способом, чтобы из нее получился пятиугольник и склеим оба пяти-
пятиугольника вдоль «свободных» сторон I (рис. 9). Мы получим, как по-
показано на рис. 10, восьмиугольник с попарно приведенными в соответ-
соответствие сторонами. При склеивании соответствующих сторон друг с дру-
другом все восемь вершин многоугольника сливаются в одну точку и полу-
получается поверхность, напоминающая поверхность кренделя, — мы будем
называть ее двойным тором2. Стороны, соответствующие друг другу,

16
Глава I
О
О
О О
О
Рис. 6
Рис. 7
обозначены на рисунке одинаковыми буквами так же, как это было
сделано для тора. Склеивание надо производить таким образом, что-
чтобы направления, указанные стрелками, совпадали. Такие обозначения
дают нам возможность описать одной формулой соответствие, установ-
установленное между сторонами многоугольника, а вместе с тем и рассматри-
рассматриваемую замкнутую поверхность. В самом деле, будем двигаться в опре-
определенном направлении по границе многоугольника и будем снабжать
каждую сторону показателем +1, если она пробегается в направлении,
указанном стрелкой, и показателем —1, если она пробегается в проти-
противоположном направлении (показатель +1 мы будем большей частью
опускать). В случае двойного тора при произвольном направлении об-
обхода восьмиугольника и при ориентации сторон, указанной на рис. 10,
получается выражение
, —1т —1 ,
,-lb-l
О
О О
I I
о о
Рис. 9
Л а,
о
О
о

§2. Замкнутые поверхности
17
Вырезав в двойном торе круглое отверстие с границей, проходя-
проходящей, через точку О, мы можем приделать к нему еще одну ручку. Скле-
Склеивание соответствующих многоугольников вдоль «свободных» сторон
дает двенадцатиугольник. Так как двойной тор можно посредством де-
деформации, не меняющей его топологической структуры, превратить
в сферу с двумя ручками, то этот двенадцатиугольник представляет
нечто иное, как сферу с тремя ручками.
В общем случае 4/г-угольник представляет разрезанную сферу с h
ручками, или, что то же, тор с h— 1 ручками. Обе эти фигуры не явля-
являются топологически различными, так как одна может быть получена
из другой посредством деформации, 4/г-угольник есть не что иное, как
фундаментальный многоугольник сферы с h ручками. Попарное соот-
соответствие его сторон определяется формулой
т —ll, —1 1, —It —1 (U\
показывающей, в каком порядке расположены ориентированные сторо-
стороны многоугольника, когда мы проходим в каком-нибудь направлении
его границу. Каждой последовательности четырех сторон а^а~1Ь~1
соответствует ручка; если отделить эти четыре стороны от многоуголь-
многоугольника, разрезав его вдоль диагонали I, то мы получим представляющий
эту ручку пятиугольник. Также и сфере ставится в соответствие неко-
некоторый фундаментальный многоугольник, который после отождествле-
отождествления его сторон можно взаимно однозначно и непрерывно отобразить
на сферу. Именно, разрезав сферу вдоль дуги а с концами О и Р, мы
получим двуугольник с граничной окружностью
аа
-1
@)
В противоположность остальным фундамен-
фундаментальным многоугольникам этот двуугольник со-
содержит две различные, т. е. не отождествленные
точки О и Р (рис. 11). Чтобы получить поверх-
поверхность, топологически эквивалентную сфере, мы
должны сомкнуть обе стороны двуугольника, по-
повернув их вокруг точек О vs. P, как если бы в этих
точках были шарниры.
Сферой с h ручками (h = 0, 1,2,...) исчерпы-
исчерпывается только половина всех топологически раз-
различных замкнутых поверхностей. Вторая полови-
половина получается при помощи листа Мебиуса. Лист
Мебиуса представляет собой замкнутую ленту, закрученную на угол,
равный тг (рис. 12). Такая лента описывается, например, отрезком с
с началом О и концом Р при вращении этого отрезка вокруг непере-
непересекающей его оси; при этом вращение должно происходить таким об-
образом, чтобы отрезок оставался постоянно в одной плоскости с осью
Рис. 11

18 Глава I
вращения и за время полного оборота этой плоскости поворачивался
бы в ней на угол тг вокруг своей середины М.
Рис. 12
Разрезав лист Мебиуса вдоль отрезка с, мы получим прямоуголь-
прямоугольник с границей
сг'сг ~г
и с двумя различными (неэквивалентными) вершинами О и Р (рис. 13).
Две свободные стороны г' и г" вместе образуют границу листа Меби-
Мебиуса — непрерывную замкнутую линию, являющуюся топологической
окружностью, т. е. кривой, гомеоморфной окружности. Две другие сто-
стороны с' и с" примыкают друг к другу. Однако они входят теперь в гра-
границу четырехугольника не с различными показателями, как было в слу-
случае ранее рассмотренных фундаментальных многоугольников, а с оди-
одинаковыми. Поэтому говорят, что они поставлены в соответствие вто-
второго рода друг с другом, в противоположность имевшему место выше
соответствию первого рода.
Граница ручки, как и листа Мебиуса, состоит из одной топологи-
топологической окружности. Обе поверхности отличаются тем, что ручка в ев-
евклидовом пространстве является двусторонней поверхностью, а лист
Мебиуса — односторонней. Под этим понимается следующее: если бы
муха передвигалась по листу Мебиуса, не переползая его границы, —
например, вдоль средней линии листа, — то в некоторый момент она
очутилась бы вновь в исходной точке, но в положении антипода к сво-
своему начальному положению. Таким образом, лист Мебиуса, в противо-
противоположность ручке, не имеет двух разделенных границей сторон, одну
из которых можно выкрасить, например, в черный цвет, а другую —
в белый, так что различные цвета примыкают друг к другу лишь вдоль
границы. Лист Мебиуса имеет одну единственную сторону.
На это можно было бы справедливо возразить, что односторон-
односторонность не определена нами как внутреннее свойство поверхности и по-
поэтому нет никакого основания утверждать невозможность топологиче-

§2. Замкнутые поверхности
19
М
ского отображения ленты, закрученной на угол тг, на незакрученную.
Заставим, однако, передвигаться по поверхности вместо мухи малень-
маленькую снабженную стрелкой окружность с тремя отмеченными точка-
точками 12 3. Поверхность при этом нужно представлять себе как не имею-
имеющую толщины. Тогда при обходе вокруг листа Мебиуса кружок воз-
возвращается в исходное положение перевернутым, так что точки 12 3
совпадают теперь с точками 321 (рис. 13). Поверхность, обладающая
таким свойством, называется неориентируемой. В противном случае
поверхность называется ориентируемой, так как тогда заданную при
помощи маленькой окружности со стрелкой ориентацию окрестности
какой-нибудь точки можно однозначно перенести на окрестность лю-
любой другой точки поверхности. Ориентируемость является внутренним
свойством поверхности. О двусторонности, напротив, можно говорить
лишь в том случае, если поверхность расположена в трехмерном про-
пространстве. Двусторонность зависит от того, каким образом поверхность
расположена и потому ее не нужно смешивать с ориентируемостью.
Действительно, как мы позже по-
покажем, ориентируемую поверхность q
можно таким образом поместить
в некоторое неевклидово трехмер-
трехмерное пространство, что она будет м
в ней односторонней (§76). Как из
ручки можно сделать замкнутую
поверхность тора, заклеив отвер-
стие ручки кругом или, другими
словами, склеив ручку с продыряв-
продырявленной сферой вдоль их границ, так из листа Мебиуса можно получить
замкнутую поверхность, склеив его границу с границей круга. Эту по-
поверхность мы условно будем называть «замкнутым листом Мебиуса».
Произвести такое склеивание без самопересечений поверхности в трех-
трехмерном пространстве невозможно (§64). Однако можно показать, что
в четырехмерном пространстве оно уже осуществимо3. Впрочем для
внутренних топологических свойств этой замкнутой поверхности воз-
возможность вложения ее в то или иное пространство совершенно несу-
несущественно. Мы можем полностью изучить эти свойства, топологически
отобразив границу круга на границу (обычного) листа Мебиуса и рас-
рассматривая соответствующие точки как не отличающиеся друг от друга.
Вблизи каждой из этих точек замкнутый лист Мебиуса имеет такое же
строение, как обыкновенный кусок плоскости. Вопрос о том, помеща-
помещается ли определенная таким образом поверхность целиком в простран-
пространстве или возможно ли в пространстве осуществить склеивание вдоль
граничных окружностей, остается при этом в стороне.
Замкнутый лист Мебиуса является наряду со сферой одной из важ-
важнейших замкнутых поверхностей математики — так называемой: про-
проективной плоскостью.
О
Рис. 13

20 Глава I
В проективной геометрии проективную плоскость определяют
обыкновенно не как замкнутый лист Мебиуса, а при помощи допол-
дополнения евклидовой плоскости несобственной прямой. При таком пони-
понимании точкам проективной плоскости в какой-нибудь проективной си-
системе координат взаимно однозначно соответствуют системы отноше-
отношений, определяемые тремя действительными числами х\: ж 2: жз, причем
исключается лишь система 0: 0: 0. Если рассматривать х\, жг, жз как
однородные декартовы координаты*, так что ж = ^- и у = ^ представ-
хз tt/3
ляют обыкновенные декартовы координаты на евклидовой плоскости,
то эта последняя плоскость присоединением несобственной (бесконеч-
(бесконечно-удаленной) прямой с уравнением жз = 0 превращается в замкнутую
проективную плоскость.
Рассматривая xi, жг, жз как декартовы координаты трехмерного
пространства, мы тем самым приведем точки проективной плоскости
во взаимно однозначное соответствие с проходящими через начало ко-
координат прямыми пространства.
Докажем теперь топологическую эквивалентность многообразия
этих прямых с многообразием точек, составляющих замкнутый лист
Мебиуса. Опишем вокруг центра пучка прямых сферу радиуса 1. Каж-
Каждая прямая пучка пересечет ее в двух диаметрально-противоположных
точках. Отсюда следует, что точки проективной плоскости отобража-
отображаются взаимно однозначно и непрерывно на пары диаметрально-про-
диаметрально-противоположных точек единичной сферы, т. е. мы можем рассматри-
рассматривать проективную плоскость как совокупность всех пар диаметраль-
диаметрально-противоположных точек сферы. Чтобы представить себе проектив-
проективную плоскость, достаточно поэтому взять нижнюю половину сферы
и считать ее точки точками проективной плоскости, имея при этом
ввиду, что переходу через границу нижней полусферы — экватор —
соответствует перескакивание в диаметрально-противоположную точ-
точку экватора. Если спроектировать теперь ортогонально нижнюю полу-
полусферу на касательную к ней в южном полюсе S плоскость Е (рис. 14),
то проективная плоскость отобразится на единичный круг, у которого
отождествлены диаметрально-противоположные точки границ. Каж-
Каждая пара диаметрально-противоположных точек границы соответству-
соответствует при этом точке несобственной (бесконечно-удаленной) прямой, при-
присоединение которой к евклидовой плоскости превращает ее в замкну-
замкнутую поверхность — проективную плоскость.
Из рассмотренного отображения следует, во-первых, эквивалент-
эквивалентность проективной плоскости с замкнутым листом Мебиуса. Вырежем
* G. Kowalewski, Analytische Geometrie (Leipzig, 1923) § 14, стр. 32. Основные фак-
факты проективной геометрии в соответствующей нашему изложению форме мож-
можно найти, например, в книге Клейна «Неевклидова геометрия» (ОНТИ, 1935 г.)
гл. 1; прекрасное изложение основ проективной геометрии (сразу в п измерениях)
в аналитической форме можно найти в книге Schreier- Sperner, Einfiihrung in die
analytische Geometrie und Algebra, 2 том, Projektve Geometrie.

§2. Замкнутые поверхности
21
Рис. 14
из круга полоску, ограниченную двумя параллельными равноотстоя-
равноотстоящими от центра отрезками г' и г" (рис. 15) и двумя дугами гранич-
граничной окружности; отождествляя диаметрально-противоположные точ-
точки этих дуг, мы получим лист Мебиуса. Два остающихся сегмента кру-
круга, соединенные краями Ь, образуют замыкающий лист Мебиуса круг
с границей г'г" (рис. 16).
p
0
p
/
/
/
\
\
\
b
\
\
\
\
I
1
/
о
Рис. 17
Как проективную плоскость можно представлять замкнутым ли-
листом Мебиуса, так и, обратно, обычный лист Мебиуса можно рассмат-
рассматривать как проективную плоскость, в которой вырезано отверстие. От-
Отсюда получается новое представление листа Мебиуса . Так как с точки
зрения топологии безразлично, где именно мы вырежем в проективной
плоскости круглое отверстие, то можно вырезать его в середине кру-
Теперь, после того как установлено топологическое тождество замкнутого ли-
листа Мебиуса с проективной плоскостью, мы больше не будем употреблять термин
«замкнутый лист Мебиуса».

22 Глава I
га, изображающего проективную плоскость после отождествления каж-
каждой пары его диаметрально-противоположных граничных точек; мы
получим таким образом данное на рис. 17 представление листа Мебиу-
Мебиуса. Диаметрально-противоположные точки внешнего граничного круга
нужно отождествить. Внутренний круг образует границу листа Мебиу-
Мебиуса. Связь с обычной формой листа Мебиуса (рис. 13) легко устанавлива-
устанавливается, если мы разрежем нашу модель на две половины вдоль пунктир-
пунктирных линий и соединим обе половины вдоль внешних полуокружностей.
Во-вторых, отображение на круг дает нам фундаментальный мно-
многоугольник проективной плоскости. Нужно только рассматривать как
многоугольник, а именно как двуугольник, единичный круг, ограни-
ограниченный двумя сторонами a vs. а. Отождествление диаметрально-проти-
диаметрально-противоположных точек границы выражается формулой
аа.
При этом начало стороны а совпадает с ее концом в точке О проек-
проективной плоскости (рис. 18), а сторона а является образом проективной
прямой, разрезанием вдоль которой проективная плоскость превраща-
превращается в фундаментальный многоугольник.
Таким образом, проективная плоскость включается в ряд замкну-
замкнутых поверхностей, которые можно представить посредством фундамен-
фундаментальных многоугольников. Что проективная плоскость менее известна
в качестве замкнутой поверхности евклидова пространства, чем, напри-
например, тор, объясняется тем, что она, как и все замкнутые неориентиру-
емые поверхности, не помещается без самопересечений в евклидовом
пространстве (доказательство см. в § 64).
Из топологической эквивалентности листа Мебиуса, проективной
плоскости с вырезанным в ней отверстием и кругового кольца с отож-
отождествленными диаметрально-противоположными точками одной из его
граничных окружностей следует, что безразлично, заклеить ли круг-
круглое отверстие какой-нибудь замкнутой поверхности листом Мебиуса,
продырявленной проективной плоскостью, или отождествить диамет-
диаметральные граничные точки этого отверстия; во всех трех случаях мы
получим одну и ту же новую поверхность. Мы будем называть закле-
заклеенное таким образом круглое отверстие пленкой Мебиуса .
Теперь уже нетрудно получить все недостающие нам замкнутые
поверхности; для этого нужно только заклеивать пленками Мебиуса
разное число круглых дырок, прорезанных в обыкновенной сфериче-
сферической поверхности. Мы поступим с ними так же, как выше поступали
с ручками. Именно, вырежем в проективной плоскости (рис. 18) отвер-
отверстие с границей I, проходящей через точку О. Разрезав границу этого
Подробное описание имеющих здесь место наглядных соотношений можно най-
найти в книге Hilbert - Cohn - Vossen, Anschauliche Geometrie, Berlin, 1932, на стр. 279.
(Русский перевод: Д. Гильберт и С. Кон-Фоссен, Наглядная геометрия, ОНТИ,
1936, стр. 275 и далее).

§2. Замкнутые поверхности
23
отверстия в точке О, мы превратим фундаментальный многоугольник
проективной плоскости в треугольник с границей ага\1. Соединяя два
таких треугольника с границами а\а\1 и агйг^1 вдоль «свободных»
границ и опуская линию соединения I, мы получим четырехугольник
с границей a\a\a<ia<i (рис. 19), который является фундаментальным
многоугольником сферы с двумя пленками Мебиуса.
О„
1 а.
О
Рис. 18
Рис. 19
т
Рис. 20
О
Эта поверхность известна под названием «бутылки Клейна» или
«ориентируемого тора». Если разрезать фундаментальный много-
многоугольник вдоль диагонали т (отличной от линии соединения I) на два
треугольника и вновь соединить их вдоль сторон аг, получится новый
четырехугольник (рис. 20) с границей aima^m, представляющий, оче-
очевидно, ту же самую поверхность. Такой четырехугольник можно рас-
рассматривать, изогнув его так, чтобы края а\ совпали, — как цилиндр
(рис. 21). Однако в этом цилиндре отоясдествляются не точки гранич-
граничных окружностей, переходящие друг в друга при сдвиге: параллель-
параллельном образующей (это привело бы к обычному ориентируемому тору),
а точки, переходящие друг в друга при повороте на 180° вокруг пер-
перпендикуляра х к оси цилиндра, восстановленного в ее середине.
Осуществлять такое отождествление в евклидовом пространстве
окружностей можно лишь в том случае, если допускать самопересе-
самопересечение цилиндра (рис. 22). Если мы разрежем бутылку Клейна в про-
продольном направлении, она распадется на два листа Мебиуса, один из
которых показан на рис. 23.
Заклеивая к отверстий в сфере пленками Мебиуса, мы получим
замкнутую поверхность, которую можно представить в виде фунда-
фундаментального многоугольника с границей
(к)

24
Глава I
m
Рис. 21
Рис. 22
Рис. 23
Мы не знаем еще, исчерпывают ли получаемые таким образом по-
поверхности весь класс замкнутых поверхностей. Точно так же мы не
доказали, что среди них не существует топологически эквивалентных
поверхностей. Первый вопрос решается без труда в положительном
смысле; мы разберем его в § 38. Для доказательства же топологической
неэквивалентности полученных поверхностей (§ 39) приходится пользо-
пользоваться понятием групп Бетти и топологической инвариантностью этих
групп.
Мы перечислили не все поверхности, а только замкнутые. Каж-
Каждая из них характеризуется тем, что она не имеет границы и ее мож-
можно покрыть конечным числом многоугольников. Поверхности, для за-
замощения которых требуется бесконечное множество многоугольников,
называются бесконечными4. К ним принадлежат, например, евклидова
плоскость или однополостный гиперболоид, рассматриваемые в евкли-
евклидовом пространстве.
§ 3. Изотопия, гомотопия, гомология
Методы, при помощи которых мы будем доказывать негомеоморф-
негомеоморфность многообразий, например, замкнутых поверхностей, — основыва-
основываются, грубо говоря, на классификации образов низших размерностей,
расположенных в этих многообразиях. Поясним это на простейших
примерах кривых и поверхностей.
Рассмотрим сначала кривые без двойных точек и с определен-
определенным направлением обхода, т. е. топологические образы ориентирован-
ориентированной окружности. Такие замкнутые кривые можно классифицировать
следующим образом: две кривые а и Ь считаются эквивалентными, если

]3. Изотопия, гомотопия, гомология
25
их можно деформировать одну в другую на поверхности, на которой
они расположены. При этом мы имеем сначала в виду так называемые
изотопные деформации, т. е. такие, при которых все промежуточные
положения, принимаемые кривой а при переходе в Ь, являются опять
кривыми без двойных точек. Кривые а и Ь называются тогда изотоп-
изотопными. Например, два какие-нибудь одинаково ориентированные мери-
меридиана на торе изотопны. Точно так же изотопны плоские кривые I
и II на рис. 24; кривые I и ///, однако, уже не изотопны. Изотопные
деформации, с трудом поддающиеся математической обработке, будут
в дальнейшем играть второстепенную роль по сравнению с гомотопны-
гомотопными.
При гомотопной деформации кривой а
и Ь не требуется, чтобы все промежуточные
положения представляли кривые без двой-
двойных точек; более того, а при переводе в Ь
может иметь какие угодно самопересечения.
Если кривые а и Ь (теперь уже нет необходи-
необходимости налагать на них требование не иметь
двойные точки) переводятся одна в другую
гомотопной деформацией, то они называют-
называются гомотопными, точнее — свободно гомо-
гомотопными (frei homotop). Изотопные кривые
являются, естественно, гомотопными.
Все четыре кривые, изображенные на
рис. 24, на плоскости гомотопны друг дру-
другу, так как каждая из них даже гомотоп-
гомотопна нулю, т. е. может быть стянута в точку.
Негомотопны друг другу на торе, например,
два противоположно ориентированные ме-
меридиана тора. Точно так же негомотопны на
этой поверхности меридиан и параллель. Ни
один из меридианов и параллелей не гомотопен нулю.
Гомотопность можно определить, не пользуясь понятием дефор-
деформации, следующим образом. Две кривые а и Ь гомотопны на поверхно-
поверхности F друг другу в том случае, если существует непрерывное (не обяза-
обязательно топологическое) отображение какого-нибудь кругового кольца
(рис. 25) в F, переводящее две граничных окружности этого кольца а
и Ь соответственно в а и Ь. Действительно, когда такое отображение
существует, то переходу от а к Ь при помощи концентрических окруж-
окружностей соответствует гомотопная деформация а в Ь, и обратно: если
кривая а гомотопно переводится в Ь, то она при этом описывает «осо-
«особое» кольцо, т. е. непрерывный образ кругового кольца.
Отсюда легко перейти к обобщению, приводящему к самой естест-
естественной и несомненно к самой важной классификации замкнутых кри-
Рис. 24

26
Глава I
Рис. 25
Рис. 26
вых, к классам гомологии. Нужно только кольцо, т. е. топологическую
сферу с двумя отверстиями, заменить ориентируемой поверхностью
любого рода h с двумя отверстиями (на рис. 26 показан случай h = 1)
и отобразить ее непрерывно (не непременно взаимно однозначно) в F.
Если это отображение можно осуществить так, что края отверстий а и Ь
(ориентированные как на рисунке) переходят в две данные кривые а
и Ь, то а и Ь называют гомологичными между собой. Так например,
кривые а и Ь показанной на рис. 27 поверхности F (сфера с тремя руч-
ручками) гомологичны, так как они являются границей каждого из двух
торов (с двумя отверстиями), на которые а и Ь разбивают F.
Классы гомологии можно рассмат-
рассматривать, как мы позже покажем, как эле-
элементы некоторой абелевой группы —
одномерной группы Бетти. Группа эта
представляет топологический инвари-
инвариант поверхности F. С помощью груп-
группы Бетти доказывается, что перечислен-
перечисленные в предыдущем параграфе поверх-
поверхности являются топологически различ-
различными. На сфере, например, существует
только один класс гомологических между собою кривых; на проектив-
проективной плоскости два; группы же Бетти остальных замкнутых поверхно-
поверхностей бесконечны. Бегло намеченные здесь понятия нуждаются, есте-
естественно, в точном определении и доказательствах существования; это
и составит в основном содержание следующих глав.
Рис. 27

§ 4. Многообразия высших размерностей 27
§ 4. Многообразия высших размерностей
В то время как вопрос о классификации топологически различных
поверхностей решен полностью, для трех и большего числа измерений
соответствующая проблема еще не решена. Уже трехмерные тополо-
топологически различные пространства не поддаются такой классификации.
Между тем вопрос о классификации образов высших размерностей ин-
интересен не только сам по себе; к нему приводятся некоторые проблемы
из теории диференциальных уравнений и теории функций двух неза-
независимых комплексных переменных. Конечно, многомерные простран-
пространства не обладают такой наглядностью, как двумерные. В частности,
все замкнутые ориентируемые двумерные многообразия, т. е. ориенти-
ориентируемые замкнутые поверхности, являются римановыми поверхностями
алгебраических функций. Из трехмерных же замкнутых пространств
в нетопологической математике играют роль прежде всего два про-
пространства: проективное и сферическое.
Проективное пространство (действительное) получается, если мы
дополняем евклидово пространство новыми точками так, чтобы во
вновь получившемся множестве проективные преобразования были
бы взаимна однозначны. Достигнуть этого можно, замкнув евклидово
пространство несобственной плоскостью . Проективное пространство,
в противоположность евклидову, является замкнутым пространством,
его можно покрыть конечным числом тетраэдров (§ 14).
Точно так же, замкнув евклидово пространство таким образом,
чтобы конформные отображения стали в нем взаимно однозначны, мы
получим сферическое пространство .
Одним из конформных отображений является отображение взаим-
взаимными радиусами-векторами (инверсия), при котором центр единичной
сферы (сфера инверсии) не имеет образа в евклидовом пространстве.
Чтобы получить сферическое пространство, достаточно дополнить ев-
евклидово пространство только образом этой точки (вместо того чтобы
дополнить точками целой несобственной плоскости). Такое замыкание
пространства является аналогией замыкания комплексной плоскости,
превращающего эту плоскость в сферу комплексного переменного. Мы
еще вернемся к этому вопросу в § 145.
Элементами других многомерных многообразий, встречающихся
в математике, часто являются не геометрические точки, а предметы
иного рода. Мы уже познакомились выше с одним двумерным много-
многообразием, состоящим не из точек, именно с множеством всех неориенти-
неориентированных прямых, проходящих через одну точку трехмерного евклидо-
Точное определение проективного пространства можно найти в уже цитирован-
цитированной книге Schreier- Sperner или у Александрова - Hopf'a, стр. 264.
**F.Klein, Hohere Geometrie, §50, Berlin, 1926 (готовится русский перевод);
W. Blaschke, Differentialgeometrie I, § 40, Berlin, 1921 (имеется русский перевод,
ОНТИ, 1935).

28 Глава I
ва пространства. Это многообразие можно так отобразить на проектив-
проективную плоскость, что «близкие» прямые будут переходить в «близкие»
точки. Другие примеры получатся при рассмотрении всевозможных
конфигураций (положений) какой-нибудь механической системы.
Особенно простой случай дает, например, плоский двой-
двойной маятник. Он состоит из двух соединенных плоским
шарниром В твердых стержней 1\ и fa, один из кото-
которых подвешен свободным концом к неподвижной точ-
точке А (рис. 28). В остальном стержни, образующие двой-
двойной маятник, могут свободно перемещаться в плоско-
плоскости. Всевозможные положения, принимаемые маятни-
маятником, можно описать при помощи двух углов, образу-
образуемых каждым из стержней с вертикальным направле-
направлением. Каждому положению маятника ставятся в соот-
ветствие два значения параметров (риф, определенных
с точностью до числа, кратного 2тг. Поэтому, если мы
возьмем квадрат, лежащий на плоскости (рф со стороной, равной 2тг,
и отождествим в нем противоположные стороны, то получим геомет-
геометрическую модель для совокупности всех положений маятника. Но квад-
квадрат с отождествленными противоположными сторонами с топологиче-
топологической точки зрения есть тор. Таким образом, между положениями двой-
двойного маятника и точками тора устанавливается взаимно однозначное
соответствие, при котором близким точкам тора соответствуют мало
отличающиеся друг от друга положения маятника. Периодическое дви-
движение маятника, т. е. такое, при котором маятник возвращается в ис-
исходное положение, отображается тогда на замкнутую кривую, распо-
расположенную на торе .
Вместо плоских шарниров в точках А и В можно рассматривать
сферические шарниры. Всевозможные положения получающегося та-
таким образом сферического двойного маятника можно отобразить на
совокупность пар точек двух сфер, так что мало отличающимся по-
положениям маятника соответствуют близкие пары точек обеих сфер.
Каждое положение определяется четырьмя параметрами, например,
географической широтой и долготой на каждой сфере; поэтому «про-
«пространство конгруэнции» сферического двойного маятника является че-
четырехмерным многообразием.
Другим примером четырехмерного многообразия является совокуп-
совокупность всех ориентированных прямых трехмерного проективного простран-
пространства, которую, как мы сейчас покажем, также можно отобразить на сово-
совокупность пар точек двух сфер и которая поэтому топологически совпадает
с только что рассмотренным четырехмерным многообразием.
Представим себе наше действительное проективное пространство вло-
вложенным в комплексное проективное пространство, точками которого явля-
являются все системы отношений четырех комплексных чисел xi: жг: жз: х±, за
исключением системы 0: 0: 0: 0. Мы утверждаем, что множество ориенти-

§ 4. Многообразия высших размерностей 29
рованных действительных прямых моясно отобразить взаимно однозначно
и непрерывно на точки нулевой сферы
х\ + х\ + х\ + х\ = О
(все эти точки комплексы, т.е. имеют комплексные координаты). Каждая
действительная прямая пересекает нулевую сферу в двух различных сопря-
сопряженных комплексных точках Р и Р, и обратно: каждая пара сопряжен-
сопряженных комплексных точек нулевой сферы определяет соединяющую их дей-
действительную прямую д. Если Pi, P2, Рз три действительные точки на д, то
ориентацией д определяется некоторый их циклический порядок, например
PiP2Ps- Так как двойные отношения
(PPiP2P3) = А и (PPiP2P3) = A
представляют комплексные (и при этом не действительные) сопряженные
числа, то одно из них, например А, имеет положительную мнимую часть.
Это свойство двойного отношения А остается неизменным при цикличе-
циклической перестановке точек Pi, Р2, Рз, так как
(pp2psPi) = y^ и (ppsPiP2) = A!
Вместе с тем ориентированной прямой д однозначным образом соответствует
точка Р. Противоположно ориентированной прямой д соответствует тогда
точка Р, так как
(PPiP3P2) = \
Л
имеет отрицательную мнимую часть. Таким образом установлено взаимно од-
однозначное соответствие между ориентированными прямыми и точками нуле-
нулевой сферы. Как известно, существуют два семейства комплексных прямых,
расположенных на нулевой сфере . Пусть г какая-нибудь прямая «право-
«правого» и I «левого» семейства. Через каждую точку Р нулевой сферы прохо-
проходит в точности одна прямая левого [правого] семейства, пересекающая г[1]
в определенной точке Pr[Pi]- Каясдой точке Р сферы соответствует поэто-
поэтому взаимно однозначно пара точек, состоящая из одной точки на г и од-
одной на I. Наше утверясдение, что ориентированные действительные прямые
проективного пространства взаимно однозначно соответствуют совокупности
пар точек двух сфер, будет доказано, если мы покажем, что совокупность
всех точек г[1], т.е. совокупность всех (комплексных и действительных) то-
точек проективной прямой топологически эквивалентна действительной сфере.
В этом моясно убедиться, введя на проективной прямой систему проективных
координат /л : ц2. Точка /л : ц2 пробегает тогда все возможные комплексные
числа, включая оо, т. е. все точки комплексной числовой сферы.
*При допущении точек с комплексными координатами доказательство этого фак-
факта ничем не отличается от обычного рассуждения, при помощи которого в анали-
аналитической геометрии доказывается существование двух семейств прямых на однопо-
лостном гиперболоиде.

30 Глава I
Таким образом, подобно пространству конфигураций сферическо-
сферического маятника, многообразие всех действительны ориентированных пря-
прямых проективного пространства отображено на многообразие пар то-
точек двух сфер, так что мало отличающимся в смысле положения и ори-
ориентации прямым соответствуют близкие пары точек обеих сфер.
Не только положения механических систем, но и состояния дви-
движения их приводят к многомерным многообразиям, называемым фазо-
фазовыми пространствами''. Под состоянием движения материальной точ-
точки подразумевается при этом ее положение в пространстве вместе с ее
скоростью, определенной по величине и направлению. Пусть, напри-
например, материальная точка вынуждена двигаться в поле силы тяжести
по некоторой фиксированной сфере и пусть она обладает неизменным
запасом энергии, составленным из кинетической и потенциальной энер-
энергии и настолько большим, что точка может достигнуть самой высокой
точки сферы. Каждое состояние движения определяется тогда поло-
положением точки на сфере, — что дает два параметра, — и направлением
скорости, — что дает еще один параметр. Величину скорости здесь не
надо принимать во внимание, так как она полностью определяется за-
заданным общим количеством энергии и положением точки на сфере.
Таким образом, между состояниями движения точки и направлен-
направленными линейными элементами сферы устанавливается взаимно одно-
однозначное соответствие. Рассматриваемое фазовое пространство являет-
является трехмерным многообразием; как мы увидим в § 14 (задача 2), оно
может быть отображено на трехмерное проективное пространство. При
этом состояния движения точки соответствуют точкам (действитель-
(действительного) трехмерного проективного пространства так, что мало отлича-
отличающиеся друг от друга состояния движения отображаются в соседние
точки проективного пространства.
Уже рассматривая проективную плоскость как фигуру, склеенную
из круга и листа Мебиуса, мы отбросили обычное представление о фи-
фигуре, как о множестве точек евклидова пространства, и воспользова-
воспользовались абстрактным определением поверхности.
Если вложение двумерных многообразий в пространство еще мо-
может быть оправдано соображениями наглядности, то при рассмотрени-
рассмотрениях многообразий высшего числа измерений, элементы которых не яв-
являются точками, мы уже вынуждены отказаться от такого вложения.
Представление таких многообразий точечными множествами и поме-
помещение их в многомерное евклидово пространство было бы, вообще го-
говоря, искусственным приемом, не приносящим большой пользы. Но,
отбрасывая вложение в евклидово пространство, мы одновременно ли-
лишаемся возможности пользоваться данным выше определением топо-
топологического отображения и гомеоморфизма, так как непрерывность
отображения двух фигур мы определили вначале как непрерывность
отображающих функций, имеющих аргументами координаты евклидо-
евклидова пространства. Необходимо поэтому уяснить себе понятие непрерыв-

§ 4. Многообразия высших размерностей 31
ности, не пользуясь функциями координат. Ведь когда мы доказывали,
что пространство конфигураций двойного маятника эквивалентно то-
тору, мы не определили точно, что это означает. Поэтому нам нужно
теперь установить, в чем выражается непрерывность, если мы отказы-
отказываемся пользоваться функциями координат.
Что же общего имеют пространства конфигураций и фазовые про-
пространства с точечными множествами евклидова пространства и что да-
дает нам возможность говорить о их непрерывных отображениях? В этих
пространствах известно, какие элементы конфигурации (или состоя-
состояния движения) являются близкими к произвольному данному элемен-
элементу. Для каждого элемента существуют подмножества, — которые могут
быть выбраны, конечно, многими способами, — образующие окрестно-
окрестности этого элемента (этой точки). Взаимно однозначное отображение
является взаимно непрерывным, т. е. топологическим, если оно пере-
переводит окрестности в окрестности. Между точками сферы и точками
тора можно установить взаимно однозначное соответствие, так как эти
множества имеют одинаковые мощности. Однако обе поверхности не
гомеоморфны, так как нельзя установить такого взаимно однозначного
соответствия, при котором окрестность переходит в окрестность. Та-
Таким образом, выделение окрестностей является минимальным требова-
требованием, налагаемым на множество математических предметов, чтобы это
множество стало объектом топологического исследования, обладало бы
известными пространственными свойствами. В евклидовом простран-
пространстве, например, в качестве окрестностей данной точки можно выделить
любое множество, содержащее целиком некоторый описанный вокруг
этой точки шар. В зависимости от того, как велик выбранный шар,
мы получим большую или меньшую окрестность. В сферическом про-
пространстве окрестность имеющейся здесь несобственной точки должна
содержать все точки, находящиеся вне некоторого достаточно большого
шара. Окрестность проективной прямой должна содержать все прямые,
лежащие внутри достаточно «тонкого» однополостного гиперболоида,
для которого данная прямая является осью и т. д.
Сведя понятие топологического отображения к понятию окрест-
окрестности, мы освобождаемся от необходимости рассматривать фигуры
как подмножества объемлющего пространства; напротив, тогда о са-
самом этом пространстве можно говорить, как об объекте, равноправном
с другими фигурами, обладающими пространственными свойствами
и изучаемыми топологией — вроде замкнутых поверхностей, например.
Если мы поэтому определим пространство в геометрии как непрерыв-
непрерывное точечное множество, — а мы хотим исходить именно из такого опре-
определения, то оказывается, что сущность пространства самым глубоким
образом связана с понятием окрестности. Мы познакомимся дальше
с важными понятиями и предложениями, которые не имеют отноше-
отношения ни к расстоянию, ни к прямолинейности, ни даже к размерности
пространства. Однако, если речь идет о множестве точек, рассматри-

32 Глава I
ваемом как пространство, то всегда должно быть установлено, какие
точки лежат вблизи от любой заданной. Точечное множество, для ко-
которого не установлено ничего, кроме окрестностей точек, мы будем
называть окрестностным пространством (§5).
Понятие окрестности служит прежде всего для того, чтобы дать
математическое обоснование наиболее общему понятию о простран-
пространстве, — другими словами, чтобы конструировать пространство, осво-
освободив его от некоторых интуитивных представлений и сведя его по-
построение к основным понятиям современной теории множеств. Понятие
окрестностного пространства имеет в математике чрезвычайно широ-
широкую область применения: всякий раз, когда в множестве математиче-
математических объектов могут быть выделены окрестности, удовлетворяющие
известным аксиомам, мы имеем право говорить об этом множестве как
о пространстве в наиболее общем смысле слова; тогда понятия и пред-
предложения, установленные для произвольного окрестностного простран-
пространства, переносятся в область рассматриваемых объектов.
Если захотим теперь, по образцу синтетической геометрии, точно
обосновать намеченные нами при этих предварительных рассмотрени-
рассмотрениях понятия и предложения, подчинив их теории окрестностных про-
пространств, то мы должны подойти к ним с другой точки зрения и прежде
всего отказаться от всяких непосредственно наглядных представлений.
В ближайших главах связь между общими исследованиями и геометри-
геометрическими проблемами, рассмотренными в этой первой главе, будет рас-
раскрываться лишь случайно, на примерах. Лишь начиная с VI главы —
с топологии поверхностей — геометрические проблемы в узком смыс-
смысле слова выступят опять на первый план. Однако материал ближай-
ближайших глав не исчерпывается целиком рассмотрениями исключительно
общих окрестностных пространств. Напротив того, уже в ближайшей
главе мы обратимся к изучению окрестностных пространств весьма
специального типа — к уже упомянутым полиэдрам. Между очень ши-
широким понятием окрестностного пространства, введенным нами в круг
наших рассмотрений, и понятием полиэдра находят место понятия те-
теоретико-множественной топологии. Теоретико-множественная тополо-
гия изучает свойства топологических пространств и их подмножеств
в том числе и теорию размерности В этой книге мы не будем зани-
маться теоретико-множественной топологией
*См. F. Hausdorf [I], [2] и Александров [16].
**См. Tietze-Vietoris [8], V и Nobeling [1].
***По всем вопросам, затронутым в этом параграфе, см. Александров - Hopf,
Topologie I, гл. I, § 1 и след.

Глава II
Симплициальный комплекс
§ 5. Окрестностные пространства
Конечное или бесконечное непустое множество математических
предметов, — точек множества, — называется окрестностным про-
пространством, если для каждой точки определены некоторые подмноже-
подмножества, называемые ее окрестностями. Эти окрестности должны удовле-
удовлетворять следующим двум аксиомам .
Аксиома А. Для каждой точки Р окрестностного простран-
пространства существует по крайней мере одна окрестность; каждая окрест-
окрестность точки Р содержит Р.
Окрестность точки Р окрестностного пространства М мы будем
обозначать через
U[P\M).
Аксиома В. Вместе с окрестностью U(P | M) всякое подмно-
подмножество пространства М, содержащее эту окрестность, является
окрестностью точки Р.
Избранные здесь аксиомы окрестностного пространства и неудачны и неупо-
неупотребительны. Ставить понятие окрестности в основу понятия топологического про-
пространства вообще мало целесообразно (так как одно и то нее топологическое про-
пространство может быть определено различными системами окрестностей). Если же-
желать возможно меньше удаляться от намерений авторов и в то нее время сохранить
ту общую перспективу в теории топологических пространств, которая может счи-
считаться в настоящее время окончательно установленной, то наиболее быстро ведет
к цели следующий путь.
Рассмотрим множество Е элементов, называемых точками. Предположим, что
в этом множестве определены некоторые подмножества, называемые открытыми
множествами, и при том так, что выполнены следующие условия:
I. Все множество Е и пустое множество являются открытыми.
II. Сумма любого множества открытых множеств и пересечение конечного числа
открытых множеств есть открытое множество.
Множество Е с определенными в нем открытыми подмножествами называется
топологическим пространством. Любое подмножество А множества Е называется
окрестностью точки Р, если имеется открытое множество, содержащее Р и содер-
содержащееся в А.
Было бы правильным заменить везде понятие окрестностного пространства, как
оно вводится автором, формулированным сейчас понятием топологического про-
пространства. Так как, однако, для целен этой книги выбор между двумя этими по-
понятиями по существу не имеет значения, то не будет беды, если в ней остается
неудачное само по себе понятие окрестностного пространства. По всем этим вопро-
вопросам см. Александров - Hopf, Topologie, гл. I и И. (Прим. ред.)

34 Глава II
Примерами окрестностных пространств могут служить: 1. Мно-
Множество М всех целых чисел, в которых окрестность каждого числа
определена как любое подмножество М, содержащее это число. 2. То
же множество, если окрестность числа определена в нем как любое
подмножество М, содержащее само число, ему предшествующее число
и непосредственно за ним следующее число. 3. То же множество, если
за (единственную) окрестность каждой точки принято все множество.
Эти примеры приведены лишь с целью показать, насколько об-
общим является понятие окрестностного пространства; сами по себе они
не имеют никакого значения в дальнейших исследованиях . Напро-
Напротив, весьма важным является пример n-мерного евклидова простран-
пространства Rn. Его точками служат совокупности действительных чисел
xi, X2, ¦ ¦ ¦, хп; Rn состоит из всех таких совокупностей9. Под окрестно-
окрестностью точки (xi, ~х~2, ¦ ¦ ¦, хп) мы понимаем всякое подмножество Rn,
содержащее все внутренние точки произвольного куба, центром ко-
которого является (х\, ~х~2, ... ,хп), т. е. все точки (х±, жг, • • •, хп), удо-
удовлетворяющие неравенствам
Xi-Xi\<ri (i = I, 2, ..., п). A)
Другими словами, подмножество представляет окрестность точки
(xi, ~x~2, ¦ ¦ ¦, х~п) в том и только в том случае, если существует г/ такое,
что г/-куб вокруг (xi, ~x~2, ¦ ¦ ¦, хп) принадлежит рассмотренному под-
подмножеству. В частности, само Rn является окрестностью для каждой
из его точек. Определив таким образом окрестности, мы превращаем
наше евклидово пространство в окрестностное.
Расстояние между двумя точками (х\, жг, • • •, хп) и (ж1, жг, • • • ,хп)
определяется как неотрицательное число
— г А2 О}
хг) ¦ {¦*)
i=l
Пользуясь понятием расстояния, можно дать следующее определение
окрестности точки, эквивалентное уже рассмотренному: окрестность
точки (ж1, жг, • • •, хп) есть всякое подмножество Rn, содержащее все
точки произвольной шаровой окрестности нашей точки. При этом ша-
шаровой окрестностью называется совокупность точек, расстояние кото-
которых до (ж1, жг, • • •, хп) меньше произвольно выбранного положитель-
положительного е, т. е. совокупность точек х\, жг, • • •, хп, удовлетворяющих нера-
неравенству
-хгJ<е2. C)
В частности, за окрестность точки может быть принята сама
шаровая окрестность. Такую окрестность мы будем иногда называть

§ 5. Окрестностные пространства 35
(шаровой) е-окрестностью точки (х\, жг, • • •, хп); в зависимости от ве-
величины е мы получаем большую или меньшую е-окрестность. В обы-
обыденной речи под окрестностью точки подразумевается совокупность
близких к ней точек. Для нас же всякое множество является окрест-
окрестностью, если только оно содержит все точки какой-нибудь достаточно
малой шаровой окрестности.
Чрезвычайно важным классом окрестностных пространств, содер-
содержащим как частный случай все евклидовы пространства, являются
метрические пространства. Под метрическим пространством понима-
понимают некоторое множество R, для любых двух элементов которого А, В
определено неотрицательное число р(А, В), расстояние между точка-
точками А и В, так что выполнены следующие условия («аксиомы метриче-
метрического пространства»):
I (Аксиома тождества.) р(А, В) = 0 тогда и только тогда, когда
точки Аи В совпадают.
II (Аксиома симметрии.) р(А, В) = р(В, А).
III (Аксиома треугольника.) Для любых трех точек А, В, С имеет
место соотношение
р(А,В)+р(В,С)>р(А,С).
Если А есть точка метрического пространства, а е — положитель-
положительное число, то множество всех точек X таких, что р(А, X) < е, на-
называется шаровой окрестностью точки А с радиусом е (или просто
е-окрестностью) и обозначается U(A, e).
Всякое множество в метрическом пространстве R, содержащее
некоторую шаровую окрестность точки А, будем называть окрестно-
окрестностью этой точки.
Пусть даны два множества A vs. В. Под их суммой А + В пони-
понимается множество всех точек, принадлежащих либо А, либо В, либо
им обоим, а под пересечением — множество точек, принадлежащих од-
одновременно и А и В. Если пересечение двух множеств пусто, то это
значит, что множества не имеют общих точек. Такие множества назы-
называют иногда непересекающимися.
Пусть теперь N есть непустое подмножество окрестностного
пространства М. Мы условимся раз навсегда считать окрестно-
окрестностью U(Q | N) точки Q, принадлежащей N, пересечение какой-либо
окрестности U(Q | M) с подмножеством N. Тем самым мы делаем са-
само N окрестностным пространством. В самом деле, аксиома А, очевид-
очевидно, выполнена. Аксиома В также выполнена, так как всякое подмноже-
подмножество V множества N, содержащее U(Q\N), является пересечением
окрестности U(Q \ М) + V точки Q в М с множеством N, следова-
следовательно, является окрестностью точки Q в N. Таким образом всякое
непустое подмножество окрестностного пространства можно рас-
рассматривать как окрестностное пространство.

36 Глава II
В частности, благодаря сделанному условию, все подмножества
евклидова пространства (окрестности в котором определены выше),
в том числе все кривые и поверхности трехмерного пространства,
становятся окрестностными пространствами с полностью опреде-
определенными в них окрестностями.
Пусть, например, М есть прямая R1, N — множество точек
О ^ х < 1. Какое-нибудь подмножество U множества ЛГ является окрестно-
окрестностью U (О | ЛГ) точки х = 0, если существует е такое, что все точки 0 ^ х < е
принадлежат подмножеству U.
Пусть теперь N любое, быть может и пустое, подмножество
окрестностного пространства М и Р — точка М. Р называется
точкой накопления подмножества N, если каждая окрестность
U(P\M) точки Р содержит бесчисленное множество точек N;
граничной точкой N, если в каждой окрестности U(P | M) лежат
как точки N, так и точки, не принадлежащие N;
внутренней точкой N, если существует состоящая только из то-
точек N окрестность U(P \ М). В этом случае Р непременно принадле-
принадлежит N.
Совокупность всех граничных точек образует границу N. Каждая
точка N является либо граничной, либо внутренней точкой.
В рассмотренном выше примере подмножества ЛГ, 0 ^ х < 1, на пря-
прямой М все точки 0 ^ х ^ 1 суть точки накопления ЛГ, х = 0 ж х = — 1 —
граничные точки и точки 0 < х < 1 — внутренние точки ЛГ. Пустое мно-
множество не имеет ни точек накопления, ни граничных, ни внутренних точек.
Если ЛГ совпадает с М, то все точки ЛГ являются внутренними точками.
Подмножество N пространства М называется открытым относи-
относительно М, если никакая граничная точка N не принадлежит N и за-
замкнутым, если все граничные точки принадлежат N. Всякое окрест-
ностное пространство М является (если его рассматривать как свое
собственное подмножество) одновременно открытым и замкнутым, так
как все его точки являются внутренними. Вообще же надо помнить, что
свойство какого-нибудь множества N быть замкнутым или открытым
есть свойство по отношению к объемлющему пространству М (могу-
(могущему и совпадать с N). Подмножество N, например, может не быть
открытым относительно М, но может быть открытым относительно
какого-нибудь подмножества М' множества М, содержащего множе-
множество N (например, N всегда открыто относительно самого себя).
Отрезок о ^ х ^ 1 есть замкнутое множество прямой, 0 < х < 1 —
открытое множество. Множество же 0 ^ х < 1 не является ни за-
замкнутым, ни открытым. Пустое подмножество, так же как подмноже-
подмножество N = М, является одновременно открытым и замкнутым.
Очевидно, что сумма любого числа открытых подмножеств есть
опять открытое подмножество, пересечение любого числа замкнутых
подмножеств замкнуто.

§6. Отображения 37
Открытое подмножество характеризуется также тем, что оно со-
содержит целиком некоторую окрестность каждой своей точки. Замкну-
Замкнутое подмножество можно характеризовать поэтому как множество, до-
дополнительное к некоторому открытому .
Под замыканием подмножества N пространства М понимают пе-
пересечение всех содержащих N замкнутых подмножеств М. Замыка-
Замыкание N есть наименьшее замкнутое подмножество пространства М, со-
содержащее N.
Обратим внимание на различие между понятиями граничной точ-
точки подмножества и предельной точки последовательности. Бесконеч-
Бесконечная последовательность (в которой одна и та же точка может встре-
встречаться много раз) сходится к некоторой точке, называемой предель-
предельной точкой последовательности, если в любой заданной окрестности
этой точки лежат почти все точки последовательности (т. е. все за ис-
исключением конечного числа). При положенном нами в основу общем
понятии окрестностного пространства может случиться, что сходящая-
сходящаяся последовательность сходится к различным точкам , чего не может
произойти в евклидовых пространствах.
§ 6. Отображения
Если каждой точке Р окрестностного пространства А ставится
в соответствие в точности одна точка Р' пространства В, то гово-
говорят, что этим задается однозначное отображение Т пространства А
в пространство В. Точка Р' = Т(Р) называется образом точки Р; мно-
множество А', состоящее из образов всех точек А, называется образом
множества А.
А' есть подмножество В, которое может совпадать со всем В. Ес-
Если образы каждых двух различных точек А различны, то отображе-
отображение Ав В называется взаимно однозначным. В этом случае существует
обратное отображение А' на А, ставящее в соответствие каждой точ-
точке Р' ее прообраз Р. Обратное отображение обозначается через Т.
Обычно говорят об отображении множества А в множество В, если
все образы точек А образуют подмножество В (быть может совпа-
совпадающее с В). Если же каждая точка В наверное является образом
какой-нибудь точки А, т.е. если А' = В, то говорят об отображении
пространства А на пространство В.
Пусть отображение Т переводит А в подмножество простран-
пространства В, а В в свою очередь посредством отображения U переводится
Дополнительным к подмножеству N множества М называется множество то-
точек М, не принадлежащих N. Дополнительное множество обозначают через M—N.
Если, например, под единственной окрестностью каждой точки понимать все
множество, то всякая бесконечная последовательность сходится к любой точке мно-
множества.

38
Глава II
У
в подмножество окрестностного пространства С. При этом получает-
получается отображение А в С. Это отображение называется произведением
отображений Т и U и обозначается через UT [сомножители пишутся
именно в таком порядке, так как образом точки Р является U(T(P)^j =
= UT(P)}.
Отображение А в В называется непрерывным в точке Р про-
пространства А, если для каждой окрестности U(P' \В) образа Р' су-
существует окрестность U(P \ А), образ которой целиком принадлежит
U(P' | В). Отображение называется непрерывным, если оно непрерыв-
непрерывно в каждой точке.
Это определение является обобще-
обобщением классического определения непре-
непрерывности. В самом деле, функция
у = /(ж), осуществляющая отображе-
отображение оси ж в другую прямую, ось у, на-
называется непрерывной в точке Р = ж,
если для каждого наперед заданного
е > 0 существует 6 > 0 такое, что для
всех х в интервале \х — х\ < д имеет ме-
место соотношение /(ж) — /(ж)| < e. Но
это и значит, что для каждой напе-
наперед заданной е-окрестности U(P' | В)
образа у = f(x) должна существовать
^-окрестность U(P\A) прообраза х,
отображающаяся целиком в е-окрестность (рис. 29).
В более общем случае каждое отображение Т подмножества А
m-мерного евклидова пространства Rm с координатами х\, Х2, ¦ ¦ ¦, хт
на подмножество А' пространства Rn с координатами уг, у2, ¦¦¦, уп
можно осуществить при помощи п функций
О
Рис. 29
= fk(xi, х2, ¦ ¦ ¦, хт) (к = 1, 2, ..., п).
A)
Теорема I. Отображение Т непрерывно в том и только в том
случае, когда непрерывны отображающие функции A).
Как известно, функция нескольких переменных у = f{x\, жг,• • • ,хт)
называется непрерывной в точке rri, ~х~2, ¦ ¦ ¦, хт, если для каждо-
каждого е > О существует д > 0 такое, что для всех точек области опреде-
определения функция /, координаты которых х\, ж2, • • •, хт удовлеворяют
неравенствам
\Xi -Xi\<8,
имеет место неравенство
/(ЖЬ Ж2, . . . , Хт) - /(ЖЬ Ж2, . . . , Хт)\
?.

§6. Отображения 39
Доказательство. Назовем <5-кубической окрестностью Wg(P\A)
точки Р множества А множество всех точек А, лежащих внутри <5-куба
вокруг Р. В каждой окрестности U(P \ А) находится некоторая <5-куби-
ческая окрестность (если только 8 достаточно мало), так как U(P \ А)
есть пересечение А с некоторой окрестностью U(P \ Rm), а эта послед-
последняя содержит <5-куб.
a) Пусть отображение Т непрерывно. Пусть We (P' \ А') — за-
заданная е-кубическая окрестность образа Р' точки Р. В силу непре-
непрерывности Т существует окрестность U(P\A), образ которой лежит
в We(P' | А'). В U(P | А) лежит некоторая <5-кубическая окрестность,
отображающаяся таким образом в заданную е-кубическую окрест-
окрестность; а это и значит, что отображающие функции A) непрерывны.
b) Предположим теперь, наоборот, что непрерывны отображаю-
отображающие функции. Любая окрестность U(P' \ А') содержит е-кубическую
окрестность We(P' \ А'). В силу непрерывности отображающих функ-
функций существует <5-кубическая окрестность Wg(P \ А), образ которой це-
целиком принадлежит We(P' \ А'), следовательно, и подавно принадле-
принадлежит U(P' | А'). Таким образом Т непрерывно.
Теорема П. Если отображение окрестностного простран-
пространства А в окрестностное пространство В непрерывно, то непрерывно
также отображение А на подмножество А', являющееся образом А
в пространстве В. Обратно, из непрерывности отображения А на А'
следует непрерывность отображения А в В.
Доказательство. Любая окрестность U(P' \ А') есть пересече-
пересечение окрестности U(P' \ В) с А'. Если А отображено в В непрерыв-
непрерывно, то существует окрестность U(P\A), образ которой целиком ле-
лежит в U(P' | В), а следовательно, и в пересечении U(P' \ В) с А', т. е.
целиком лежит в U(P' \ А'). Так как U(P' \ А') взято произвольно,
то это значит, что отображение А на А' непрерывно. Пусть теперь,
обратно, отображение А на А' непрерывно и пусть дана произволь-
произвольная окрестность U(P' \B). Образуем окрестность U(P' \A'), равную
пересечению U(P' \B) с А'. В силу непрерывности отображения А
на А' существует окрестность U(P\ А), образ которой целиком при-
принадлежит U(P' | А'), следовательно, тем более U(P' \ В). Из теоре-
теоремы II следует, что для определения непрерывности безразлично, бе-
берутся ли окрестности Р' в А' или в В.
Теорема III. Если А отображено на А' непрерывно и при
этом подмножество N, принадлежащее А, переходит в подмноже-
подмножество N', принадлежащее А', то отображение N на N' тоже непре-
непрерывно.
Доказательство. В силу непрерывности отображения А на А'
для каждой окрестности U(P' \ А') точки Р' (Р' — образ точки Р, при-
принадлежащей N) существует окрестность U(P\A), отображающаяся

40 Глава II
в U(P' | А'). Пересечение U(P \ А) с N есть окрестность Р в N, так-
также отображающаяся в U(P' \ А'). Таким образом отображение N в А'
непрерывно, а тогда в силу предыдущей теоремы непрерывно и отоб-
отображение N на N'.
Теорема IV. Если отображения А на А' и А' на А" непрерыв-
непрерывны, то отображение А на А" тоже непрерывно.
Доказательство очевидно.
Отображение Т пространства А на А' называется топологическим
в том случае, если оно взаимно однозначно и непрерывно вместе со
своим обратным отображением Т. Если U(P\ А) окрестность точ-
точки Р, то в силу непрерывности отображения Т~х существует окрест-
окрестность U(P' | А'), отображающаяся в U(P\ А). Поэтому образ U(P\ А)
при отображении Т есть множество, содержащее U(P' \ А'), т.е. сно-
снова некоторая окрестность Р'. Таким образом, имеет место следующая
теорема.
Теорема V. Топологическое отображение, так же как и его
обратное, переводит окрестности в окрестности; обратно, всякое
взаимно однозначное отображение, обладающее этим свойством, яв-
является топологическим отображением.
Мы говорим о тонологическом отображении А в В, если А тополо-
топологически отображается на подмножество А' пространства В (причем А'
может совпадать с В). Два окрестностных пространства называются
гомеоморфными, если одно из них можно топологически отобразить на
другое.
Теоремы III и IV остаются справедливыми, если вместо того, что-
чтобы говорить в них о непрерывных отображениях, мы будем говорить
о топологических. Отсюда следует, в частности, что два окрестност-
окрестностных пространства, гомеоморфные третьему, гомеоморфны между со-
собой (транзитивность гомеоморфности).
Нас будут интересовать только такие свойства окрестностных про-
пространств и их подмножеств, которые не меняются при топологических
отображениях. Например, свойство подмножества евклидова простран-
пространства быть прямой линией не принадлежит к их числу, так как при
топологическом отображении на другое евклидово пространство пря-
прямолинейность, вообще говоря, теряется. Напротив, свойство подмно-
подмножества окрестностного пространства М быть окрестностью точки Р
является топологически инвариантным свойством, так как при тополо-
топологическом отображении М на М' окрестность точки Р пространства М
переходит в окрестность образа Р' пространства М'. То же самое име-
имеет место относительно понятий граничная точка, внутренняя точка,
точка накопления подмножества, предельная точка последовательно-
последовательности, открытое подмножество, замкнутое подмножество.

§6. Отображения 41
Действительно, рассмотрим, например, свойство точки R про-
пространства М быть граничной точкой подмножества N этого простран-
пространства. Покажем, что это свойство сохраняется при топологическом отоб-
отображении М на М', т. е. если это отображение переводит N в N', a R
в R', то В! является граничной точкой N'. Для доказательства заме-
заметим, что окрестности R в М и R' в М' соответствуют взаимно одно-
однозначно друг другу; но тогда в каждой окрестности точки R' имеются
как точки N', так и точки, не принадлежащие N', так как соответ-
соответствующее утверждение выполняется для каждой окрестности R в М.
Аналогично доказывается топологическая инвариантность осталь-
остальных из указанных понятий.
Свойство отображения множества А в В быть непрерывным или
топологическим также топологически инвариантно; другими словами,
если мы заменим Аи В гомеоморфными им окрестностными простран-
пространствами А' и В', то соответствующее отображение А' в В' также явля-
является непрерывным или, соответственно, топологическим.
Пример 1.
Топологическое отображение отрезка 0 ^ х ^ 1 прямой на отрезок
O^j/^l другой прямой. По теореме I отображение осуществляется непре-
непрерывной функцией у = f(x). Функция эта должна, кроме того, каждое значе-
значение между 0 и 1 принимать в точности один раз. Из анализа известий, что
такая функция либо монотонно возрастает, либо убывает. Отсюда следует,
что f(x) при х = 0 принимает свое наименьшее или наибольшее значение,
т. е. граничные точки одного отрезка соответствуют граничным точкам дру-
другого.
Пример 2.
Стереографическая проекция проколотой сферы на евклидову плос-
плоскость. Единичная сфера
х\ + х\ + х\ = 1
как подмножество трехмерного евклидова пространства является сама
окрестностным пространством; она остается окрестностным пространством
и в том случае, если мы «проколем» ее, т. е. выбросим из нее какую-нибудь
одну точку, например северный полюс @, 0, 1). Проколотая сфера гомео-
морфна евклидовой плоскости.
Топологическое отображение устанавливается, например, при помощи
стереографической проекции сферы из северного полюса на евклидову плос-
плоскость жз = 0, т. е. на плоскость экватора. Отображение взаимно однозначно,
так как единственная точка сферы, которая при этом не имеет образа, —
северный полюс, — из сферы выброшен.
Для того чтобы показать непрерывность отображения сферы на плос-
плоскость, мы должны для любой окрестности точки Р' плоскости найти такую
окрестность ее прообраза Р, которая отображается целиком в данную окрест-
окрестность точки Р'. Но любая окрестность точки Р' всегда содержит в'-окрести-
ость (круг с центром в Р'). Рассмотрим сферический сегмент с центром в точ-
точке Р, являющийся — как пересечение сферы с пространственной в-окрест-
ностью — окрестностью точки Р. При стереографической проекции такой

42 Глава II
сегмент отображается, как известно, на круг, внутри которого, но, вообще
говоря, не в центре, лежит Р'. Этот сегмент можно выбрать настолько ма-
малым, что он отобразится внутрь заданной e'-окрестности точки Р',
Точно так же показывается, что наше отображение непрерывно и в на-
направлении от плоскости к сфере. Поэтому оно является топологическим отоб-
отображением.
Воспользовавшись теоремой I, можно дать другое доказательство, по-
показав, что отображающие функции в данном случае непрерывны. Для то-
того чтобы различать координаты отображаемых точек и их образов, введем
в плоскости экватора систему координат ?i?2, совпадающую с x\x%. Тогда
отображающие функции (сразу в n-мерном случае!) определяются формула-
(г = 1, 2, ..., п-1);
Xi ~
г — xn
2r
причем г есть радиус сферы, в нашем случае равный 1.
Эти формулы определяют функции однозначные и непрерывные во всех
точках проколотой сферы и плоскости экватора.
Пример 3.
Евклидова плоскость гомеоморфна внутренности круга. Для того что-
чтобы получить топологическое отображение, можно, например, спроектировать
нижнюю полусферу без ограничивающего ее большого круга двумя спосо-
способами на евклидову плоскость, касающуюся полусферы в южном полюсе S
(рис. 14 стр. 21), — один раз посредством центральной проекции из центра
сферы М, второй раз — посредством ортогональной проекции. Оба отобра-
отображения суть отображения топологические, а так как два топологических отоб-
отображения, выполненных одно за другим, дают снова топологическое отобра-
отображение, то этим устанавливается топологическое соответствие между точками
евклидовой плоскости и внутренними точками единичного круга.
Упражнения: 1. Докажите, что цилиндрическая поверхность конеч-
конечной высоты h (без обеих граничных окружностей), однополостный гипер-
гиперболоид пространства, круговое кольцо (без краев) и сфера без двух точек
гомеоморфны друг другу.
2. Пусть граничная окружность круга топологически отображена на
себя. Покажите, что это отображение можно дополнить до топологического
отображения всего круга на себя.
3. Пусть М — подмножество евклидова пространства и Р не принадле-
принадлежащая М точка. Докажите, что если Р является граничной точкой М, то
она является одновременно точкой накопления, и обратно.

§ 7. Подмножества евклидовых пространств 43
§ 7. Подмножества евклидовых пространств
Окрестностные пространства, которыми мы будем заниматься
в дальнейшем, гомеоморфны подмножествам евклидовых пространств.
Структура таких пространств более специальна, чем структура окрест-
ностных пространств общего типа. Это находит свое выражение в том,
что для подмножеств евклидовых пространств справедливы многие
предложения, которые не могут быть выведены только из аксиом А
и В § 5. Поэтому мы посвятим настоящий параграф рассмотрению
окрестностных пространств М, являющихся подмножествами евкли-
евклидовых пространств.
На основании определения окрестности в евклидовом простран-
пространстве (стр. 34) и определения окрестности в подмножестве (стр. 35),
подмножество N пространства М в том и только в том случае явля-
является окрестностью U(P\M) точки Р в М, если N принадлежат все
точки М, расстояние которых до Р меньше некоторого е > 0. Совокуп-
Совокупность всех точек М, удаленных от Р меньше чем на е, т. е. пересечение
описанного вокруг Р е-шара, с множеством М, называется е-окрестно-
стью Ue(P | М). Ue(P | М) есть, очевидно, открытое относительно М
подмножество М, так как в неравенстве C) § 5 стоит знак <, а не ^.
Важным свойством, которым обладает каждое подмножество М
евклидова пространства, но не каждое окрестностное пространство, яв-
является следующее свойство: для любых двух различных точек Р и Q,
принадлежащих М, существуют непересекающиеся окрестности (т.е.
окрестности без общих точек). Такие окрестности мы получим, если
возьмем, например, пересечения с М двух достаточно малых е-шаров
вокруг точек Р и Q.
Отсюда следует, что сходящаяся последовательность, т. е. последо-
последовательность, почти все точки которой лежат в любой окрестности точ-
точки Р, имеет Р единственной предельной точкой. В самом деле, в силу
существования непересекающихся окрестностей почти все точки после-
последовательности не могут лежать в каждой окрестности Р и одновремен-
одновременно в каждой окрестности какой-нибудь другой точки Q.
Из предложений относительно подмножеств евклидовых про-
пространств, обычно доказываемых в анализе, нам понадобятся в дальней-
дальнейшем теоремы о точке накопления, о максимуме непрерывной функции
и о равномерной непрерывности.
Теорема I (принцип точки накопления). Каждое бесконеч-
бесконечное ограниченное подмножество евклидова пространства имеет по
крайней мере одну точку накопления*.
Доказательство можно найти, например, в книге К. Кпорр, Funktionentheorie,
часть I, стр. 22 (Goschen 1926). Доказательство, данное в этой книге для случая
двух измерений, легко переносится на n-мерный случай.

44 Глава II
Бесконечным называется множество, содержащее бесконечно мно-
много точек. Подмножество евклидова пространства ограничено, если аб-
абсолютные величины координат всех его точек не превосходят некоторое
конечное число .
Теорема II. Непрерывный образ ограниченного замкнутого мно-
множества евклидова пространства в другом евклидовом пространстве
есть также ограниченное и замкнутое множество.
Доказательство. Предположим, что непрерывный образ М'
ограниченного замкнутого множества М не является ограниченным
замкнутым множеством. Тогда существует состоящая только из раз-
различных точек М' последовательность Р[, Р^,..., либо вовсе не име-
имеющая точки накопления, либо сходящаяся к предельной точке R, не
принадлежащей М'. Выберем для каждой точки Р{ какой-нибудь из
ее прообразов Р, в М. По предположению множество Pi, P2, ¦ ¦ ¦ имеет
принадлежащую М точку накопления R. В каждой окрестности ее об-
образа В! лежит бесконечно много точек последовательности Р[, Р^,...,
что противоречит предположениям, сделанным относительно этой по-
последовательности. Отсюда непосредственно вытекает следующая тео-
теорема:
Теорема III (принцип максимума). Непрерывная функция,
заданная на ограниченном замкнутом подмножестве евклидова про-
пространства, достигает своего наименьшего и наибольшего значения.
Это следует из того, что функция осуществляет непрерывное отоб-
отображение подмножества на числовую прямую.
Теорема о равномерной непрерывности может быть сформулиро-
сформулирована следующим образом.
Теорема IV. Пусть ограниченное замкнутое подмножество А
евклидова пространства непрерывно отображено в окрестностное
пространство В и пусть каждой точке Q пространства В произ-
произвольно поставлена в соответствие некоторая определенная окрест-
окрестность U*(Q | В). Тогда существует S > 0 такое, что образ 5-окрест-
ности каждой точки Р множества А целиком покрывается окрест-
окрестностью U*(Q | В) надлежащим образом выбранной точки Q.
Доказательство. Допустим, что теорема неверна. Рассмотрим
последовательность чисел 1, = , о> •••> ->••• В силу нашего предполо-
жения для каждого д из чисел этой последовательности существует
Метрическое пространство, в котором всякое бесконечное множество имеет по
крайней мере одну точку накопления, называется компактным. Читателю предо-
предоставляется доказать, что множество, лежащее в каком-либо евклидовом простран-
пространстве тогда и только тогда образует компактное метрическое пространство, если оно
замкнуто и ограничено.

§ 7. Подмножества евклидовых пространств 45
точка Pi, 4-окрестность которой не отображается ни в какую окрест-
окрестность U*(Q\B). Так как А ограничено и замкнуто, последователь-
последовательность Pi, P2, Р3, ¦ ¦ ¦ имеет в А точку накопления Р. Пусть U*(P' \ В)
заданная окрестность образа Р' этой точки; тогда в силу непрерывно-
непрерывности отображения существует окрестность U(P\ А), образ которой ле-
лежит в U*(P' | В). Но U(P | А) содержит бесчисленное множество точек
последовательности Pj. Поэтому при достаточно большом i --окрест-
ность точки Pi целиком лежит в U(P\ А), а образ этой окрестности
также целиком лежит в U*(P' \ В), что противоречит сделанному пред-
пол ожению.
Допустив теперь, что множества As. В совпадают и соответству-
соответствующее непрерывное отображение является тождественным, мы получим
как следствие теорему:
Теорема V. Пусть каждой точке Q замкнутого ограничен-
ограниченного множества А евклидова пространства отнесена произвольная
ее окрестность U*(Q\ А). Тогда существует 6 > 0 такое, что
8-окрестность каждой точки Р множества А целиком покрывается
выбранной окрестностью U*(Q | А) некоторой точки Q.
Обычно теорема о равномерной непрерывности формулируется
так:
Теорема VI. Пусть ограниченное замкнутое подмножество А
евклидова пространства отображается однозначно и непрерывно
в другое евклидово пространство В. Тогда для произвольного е > О
существует д > 0 такое, что любые две точки А, расстояние между
которыми < 6, переходят в две точки В, находящиеся на расстоянии
меньше е.
Доказательство. Выберем в теореме IV за окрестность U*(Q\B)
каждой точки Q пространства В |-окрестность точки Q. Тогда суще-
ствует д > 0 такое, что ^-окрестность любой точки А отображается
в такую |-окрестность надлежащим образом выбранной точки Q. Ее-
ли расстояние между двумя точками Р\ и Р^ пространства А меньше 8,
то р2 принадлежит ^-окрестности точки Pi, а так как образ <5-окрестно-
сти в А покрывается |-окрестностью в В, то образы Р[ и Р^ находятся
А
вВна расстоянии < е.
Приведем еще несколько предложений относительно подмножеств
евклидовых пространств, которыми нам придется воспользоваться
в дальнейшем.
Теорема VII. Пусть М подмножество евклидова простран-
пространства (или гомеоморфно такому подмножеству), Р — точка М, Q —

46 Глава II
окрестность Р относительно М, Oi — окрестность Р относитель-
относительно fl. Тогда fli является также окрестностью точки Р относитель-
относительно М.
Доказательство, fl как окрестность точки Р в множестве М со-
содержит е-окрестность Ue(P \ М). Точно так же Oi содержит <5-окрест-
ность Ug(P | fl). Пусть г/ — число, меньшее каждого из радиусов е и д.
Тогда UV(P | М) принадлежит fl и UV(P \ fl) принадлежит fli. Вместе
с тем Ur,(P | М) принадлежит также fli. Таким образом, fli содержит
все точки М, находящиеся от Р на расстоянии < г/, а потому является
окрестностью Р относительно М.
Пусть теперь N есть подмножество М. Замыкание N' подмноже-
подмножества N относительно М было определено на стр. 37 как пересечение
всех содержащих N замкнутых подмножеств из М. В частности, все
граничные относительно М точки N принадлежат N'. Более того: за-
замыкание N' состоит в точности из N и его границы N. Чтобы убе-
убедиться в правильности этого утверждения, нужно показать, что сумма
N + N представляет замкнутое подмножество М. Пусть R есть гра-
граничная относительно М точка суммы N + N. Любая е-окрестность
Ue(R | М) содержит точку множества N + N, являющуюся либо точ-
точкой N, либо граничной точкой R множества N. В последнем случае R
находится на расстоянии, меньшем е от_Д, а так как существуют точ-
точки М, лежащие сколь угодно близко к R (определение граничной точ-
точки!), то оказывается, что в обоих случаях существуют точки N, нахо-
находящиеся от R меньше, чем на е, т. е. R является граничной точкой N
и принадлежит N. Таким образом доказывается, что граница N отно-
относительно М есть замкнутое подмножество М.
Пусть Mi и Мъ два непересекающиеся ограниченные замкнутые
множества в Rn и d(Pi, P2) расстояние между точками Pi из Mi и Р^
из M<i. Нижняя граница д всех расстояний d(Pi, P2) называется рас-
расстоянием между множествами Mi и М2. В силу замкнутости и огра-
ограниченности множеств Mi и М<± эта нижняя граница действительно
достигается, причем, так как множества не пересекаются, она больше
нуля.
Под диаметром множества в Rn понимается верхняя граница рас-
расстояний между любыми двумя точками этого множества. В случае за-
замкнутых ограниченных множеств эта граница тоже всегда достигается,
поэтому можно говорить о максимуме расстояний двух точек множе-
множества.

§8. Отождествление 47
§ 8. Отождествление*
В геометрии часто приходится разбивать точки какого-нибудь
окрестностного пространства на классы эквивалентных между собой
точек и рассматривать эти классы как «точки» нового окрестностного
пространства. Такое разбиение на классы получается, например, при
параллельном проектировании точек евклидова пространства на плос-
плоскость: все точки пространства, проектирующиеся в одну точку плос-
плоскости, т. е. все точки проектирующей прямой, образуют один класс.
Можно считать, что общая проекция точек такой прямой представляет
все точки этого класса, при том так, что они уже не выступают как
различные точки, но как тождественные со своей проекцией.
Другой пример! Пусть имеется группа трансляций (параллельных
перемещений) евклидовой плоскости, образуемая сдвигами вдоль оси
х, х' = х + ка и вдоль оси у, у' = у + к\Ь (к, кг = 0, ±1, ±2,...). Как
эквивалентные будем рассматривать точки плоскости, переводящиеся
друг в друга трансляциями группы, т. е. точки, координаты которых
отличаются соответственно на числа, кратные числам а и Ь, и будем
объединять такие точки в один класс. Если мы теперь выберем надле-
надлежащим образом из каждого класса по одному представителю, то эти
представители заполнят внутренность прямоугольника, две его сторо-
стороны и одну вершину (рис. 30), т.е. область, координаты точек которой
удовлетворяют соотношениям 0 ^ х < а, 0 ^ у < Ь. Легко видеть, что
«отождествление» всех эквивалентных точек превращает нашу плос-
плоскость в тор (§1), так как сторона х = а эквивалентна стороне х = 0,
а сторона у = Ь — стороне у = 0.
Отождествление служит нам, между прочим, для того, чтобы скле-
склеивать плоские фигуры вдоль их сторон и получать таким образом по-
поверхности. В качестве примера рассмотрим плоское множество, состо-
состоящее из двух треугольников (рис. 31). Будем считать эквивалентными
точки, соответствующие друг другу при топологическом отображении
какой-нибудь стороны одного треугольника на сторону другого. По-
После отождествления эквивалентных точек из двух треугольников полу-
получается четыреугольник. Мы хотим теперь выразить понятие отожде-
отождествления в терминах основных понятий теории множеств: множество,
подмножество, соответствие.
Пусть точки окрестностного пространства М разбиты на классы
(подмножества) таким образом, что каждая точка принадлежит в точ-
точности одному классу. Точки, принадлежащие одному классу, можно
назвать эквивалентными точками. При этом мы допустим, что один
класс может состоять, например, из одной только точки, в то вре-
время как другой содержит бесконечное число их. Составим новое мно-
*По всем вопросам этого параграфа см. Александров- Hopf, Topologie, гл. I и II
особенно § 5 гл. I и § 2 гл. II.

48
Глава II
Рис. 30
Рис. 31
жество М', «точками» которого являются классы эквивалентных то-
точек М. При этом мы получаем одновременно отображение простран-
пространства М на М', заключающееся в том, что точке Р из М ставится
в соответствие ее класс Р' из М'. Чтобы превратить М' в окрестност-
окрестностное пространство, нужно определить в нем окрестности. Это можно
сделать следующим образом. Пусть Pi, P2,... — все точки М, отоб-
отображающиеся в одну и ту же точку Р' пространства М'*. Выберем
для каждой точки Pj окрестность U(Pi \M), отобразим сумму этих
окрестностей U(P\ \ М) + [/(Рг | М) + ... в М' и примем за окрест-
окрестность U(P' | М') образ этой суммы. Определенные таким образом в М'
окрестности, очевидно, удовлетворяют аксиоме А. Они удовлетворяют
также аксиоме В. Действительно, пусть U' есть подмножество М', со-
содержащее U(P' \М'). Прообраз U множества U', т.е. совокупность
всех точек, отображающихся в точки U', представляет окрестность
U(Pi | М) любого прообраза Pj точки Р', так как U(Pi \ M) содержит
окрестность U(Pi \M). Поэтому U' является образом суммы окрест-
окрестностей U (Pi \М) + [/(Рг | М) + ... = U, т.е., в силу определения,
окрестностью точки Р'.
Говорят, что М', так оке как любое гомеоморфное М' окрест-
окрестностное пространство, получается из М путем отождествления
эквивалентных точек.
Пусть М — гомеоморфное М окрестностное пространство и пусть
эквивалентными точками М являются точки, соответствующие экви-
эквивалентным точкам М. Отождествление эквивалентных точек М дает
окрестностное пространство М', очевидно гомеоморфное М'.
Так как для каждой окрестности U(P' \ M') существует окрест-
окрестность прообраза Pj именно U(Pi\M), целиком отображающаяся
в U(P' | М'), то имеет место теорема:
Теорема I. Отображение М на М' непрерывно.
Пусть теперь, наоборот, окрестностное пространство М непрерыв-
непрерывно отображено на какое-нибудь другое пространство М'. Спрашивает-
Точек Pi, P2, ¦ ¦ ¦ может быть и несчетное множество.

§8. Отождествление 49
ся, в каком случае можно рассматривать М' как пространство, полу-
получившееся из М путем отождествления всех точек М, переходящих
в одну и ту же точку М'. Ответ на это дает теорема:
Теорема П. Пространство М', являющееся непрерывным об-
образом окрестностного пространства М, лишь в том случае полу-
получается из М путем отождествления всех точек с одинаковыми
образами, когда образ суммы U(P\\M) + U(P2\M) + ... являет-
является окрестностью точки Р' пространства М'. При этом Pi, Рг,...
суть все точки М, отображающиеся в Р', и окрестности U{P\ \ М),
U(P2 | М),... выбраны как угодно.
Доказательство. Нам нужно показать, что каждая окрестность
U(P' | М') является образом такой суммы U (Pi | М) + [/(Рг \М) + ...
Вследствие предположенной непрерывности, для каждой точки Pj
из точек Pi,p2,... существует окрестность U(Pi\M), отображаю-
отображающаяся в U(P' \М'). Множество U, состоящее из всех переходящих
в U(P' \М') точек М, содержит U(Pi\M) как свое подмножество,
а потому в силу аксиомы В само является окрестностью U(Pi \M)
точки Pj. Поэтому U(P' | М') представляет образ суммы окрестностей
U(Pi | М) + [/(Рг | М) + ..., что и требовалось доказать.
Отождествления точек могут производиться последовательно одно
за другим; при этом почти очевидно, что результат всех отождествле-
отождествлений не зависит от того, в каком порядке мы их производим. Другими
словами:
Если М' получается из М посредством отождествления эк-
эквивалентных точек, а М" таким оке образом получается из М',
то этим задается отображение М на М". Тогда М" можно полу-
получить непосредственно из М, отождествив все точки М, переходя-
переходящие в одну точку М".
Доказательство. Точка Р" пространства М" есть образ то-
точек Pi, P2,... пространства М'; Р/ в свою очередь есть образ точек
Рц, Р«2, • • • пространства М. Отображение М на М" непрерывно. По-
Поэтому в силу теоремы II достаточно показать, что ^2^2 U(Pij \M)
i 3
отображается на окрестность точки Р". Так как М' получает-
получается отождествлением точек Рц,Рг2,---> то ^и(Рц\М) переходит
з
в окрестность С/(Р/|М'). Далее, J2 U(P!\M') переходит в окрест-
%
ность U(P" | М"), так как М" получается из М' отождествлением то-
точек Р[, Рг, • • • Таким образом J2 S ^"№i I M) отображается на окрест-
окрестность U(P"\M").
Теорема III. Пусть, в частности, М является ограниченным
замкнутым подмножеством евклидова пространства, причем точки

50 Глава II
этого подмножества разбиты на классы. Пусть, далее, М отобра-
отображено однозначно и непрерывно на множество М' другого евклидова
пространства так, что каждая точка М' является образом и что
эквивалентные точки М переходят в одну и ту же точку М', а неэк-
неэквивалентные — в различные точки М' . Тогда М' получается из М
отождествлением эквивалентных точек.
Доказательство. По теореме II мы должны только показать,
что если Pi, P2, ¦ ¦ ¦ суть все отображающиеся в Р' точки М и U(Pi | M)
произвольная окрестность Рг, то образ суммы U(Pi | М) + [/(Рг | М) +
+ ... является окрестностью U(P' \М'). Очевидно, что этот образ
есть подмножество N' множества М', содержащее Р'. Предположим,
что N' не является окрестностью Р'. Тогда в каждой е-окрестности
точки Р' существуют точки множества М', не принадлежащие N'.
В частности, для каждого е из последовательности 1, i i ..., \,...
16 %
существует точка Q\, принадлежащая ^-окрестности Р', но не при-
надлежащая N'. Так как множество М ограничено и замкнуто, то по-
последовательность Qi, Q2, ¦ ¦ ¦ каких-нибудь прообразов точек Q[, Q'2, ¦ ¦ ¦
имеет по крайней мере одну точку накопления Q. Пусть Q' образ точ-
точки Q. В силу непрерывности отображения в каждой окрестности точ-
точки Q' содержится бесчисленное множество точек последовательности
Q[, Q'2,- ¦ ¦ Но эта последовательность имеет лишь одну точку накопле-
накопления Р', поэтому Q' = Р'. Таким образом, Q является одной из точек
последовательности Pi, Р2,..., например точкой Pi. Отсюда следует,
что множество точек Qi, Q2, ¦ ¦ ¦ лежит в U(Pi | М), т.е. бесчисленное
множество точек Q'1: Q'2,... лежит в N'. А это находится в противоре-
противоречии с нашим предположением.
Мы можем теперь выяснить вопрос, в каком случае из непрерыв-
непрерывности двух отображений из трех, связанных соотношением tpip = %
(сперва (р, а затем ф\), вытекает непрерывность третьего отображения.
Как уже было раньше замечено (§ 6), когда ip и ф непрерывны, % также
непрерывно. Напротив, из непрерывности ф и % не следует непрерыв-
непрерывность (р. В самом деле, если ф, например, переводит все точки в одну,
то при любом (р отображение % непрерывно. Из теоремы III вытекает,
однако, что непрерывность ip vs. \ ПРИ известных условиях влечет за
собой непрерывность ф. Именно имеет место следующее предложение.
Теорема IV. Пусть (р — непрерывное отображение ограничен-
ограниченного замкнутого подмножества М евклидова пространства в дру-
другое евклидово пространство и пусть ф — отображение (непрерыв-
(непрерывность которого не предполагается) образа М' в произвольное окрест-
ностное пространство. Тогда, если М" есть образ М' и отображе-
При произвольном разбиении на классы это, конечно, не всегда возможно.

§8. Отождествление 51
ние (fnp = x множества М на М" непрерывно, то ф также непре-
непрерывно.
Доказательство. Пусть Р' — произвольная точка М' и
Р" =ф(Р') ее образ в М". Пусть, далее, Pi, P2,... все точки М,
отображающиеся посредством (р в Р'. В силу непрерывности % для
каждой окрестности U(P" | M") существуют окрестности U(Pi | M),
С/(р21 JW),..., отображающиеся в U(P" \ M"). Будем считать теперь
все точки М, переходящие в одну точку М', эквивалентными точками;
по теореме III JVf' получается тогда из М отождествлением эквивалент-
эквивалентных точек. Поэтому сумма окрестностей U (Pi | М) + [/(Рг | М) + ...
переходит в окрестность U(P' \M'), которая в свою очередь отобра-
отображается в U(P" | М"). Отсюда следует, что отображение ф непрерывно
в Р', т.е. непрерывно в каждой точке множества М'.
Предположим теперь, что отображение (р представляет взаимно
однозначное и в направлении от М к М' непрерывное отображение.
Положив ф = (р~г, мы видим, что ф(р есть тождественное отображение,
т. е. наверное непрерывное. Но тогда и (р~г непрерывно. Отсюда следует
теорема:
Теорема V. Непрерывное и взаимно однозначное отображе-
отображение ограниченного замкнутого множества евклидова пространства
непрерывно в обе стороны, т. е. является топологическим отображе-
отображением.
Пример 1.
Пусть М есть круг (рассматриваемый вместе с границей). Отождествив
все точки его граничной окружности, мы получим сферу.
В самом деле, круг можно непрерывно отобразить на сферу так, что
эквивалентные точки перейдут в одну и ту же точку сферы. Такое отоб-
отображение получается, например, если мы отобразим каждый радиус круга,
пробегаемый от центра к границе, на меридиан сферы, идущий из южного
полюса в северный, причем конец каждого радиуса отобразим в одну и ту же
точку — северный полюс. Но тогда по теореме III сфера получается путем
отождествления всех точек круга, отображающихся в северный полюс.
Пример 2.
Примем за окрестность прямой g в множестве всех прямых, проходящих
через фиксированную точку евклидова пространства, совокупность прямых,
образующих круговой конус вокруг g (а также каждое подмножество пря-
прямых, содержащее такой конус); определенное при этом окрестностное про-
пространство («точками» которого являются прямые) гомеоморфно окрестност-
ному пространству, получающемуся из евклидовой сферы отождествлением
ее диаметрально-противоположных точек. Это есть введенная в § 2 проек-
проективная плоскость.
Примечание. Во многих теоремах этого и предыдущего параграфа го-
говорится о замкнутых ограниченных множествах евклидовых пространств.

52
Глава II
В большинстве случаев в формулировках этих теорем возмоясно заменить за-
замкнутые ограниченные подмножества евклидова пространства компактными
метрическими пространствами (т. е. такими метрическими пространствами,
в которых всякое бесконечное множество имеет хотя бы одну точку накоп-
накопления) . Читателю рекомендуется разобрать с этой точки зрения излоясенные
выше теоремы.
§ 9. п- мерный симплекс
Пусть в m-мерном евклидовом пространстве Rm даны п + 1 ли-
линейно независимых точек
Напомним, что п + 1 точек называются линейно независимыми, если
они не лежат ни в каком (п — 1)-мерном линейном подпространстве**.
Пусть координаты точки Pj будут
Pil, Рг2, ¦¦¦,Ргт (г = 0, 1, 2, . . . , п).
Предположим, что в точку Pj помещена масса
причем так, что сумма всех масс равна 1:
/Л0 + /Л1 + /Л2 + ¦ ¦ ¦ + /Лп = 1.
A)
B)
C)
Центром тяжести этих масс является определенная точка X с коорди-
координатами
п
Х\ = /
г=0
п
?'
г=0
Х2 =
г=0
D)
'Более подробно см. Александров- Hopf.
Изложение основных понятий афинной геометрии, на котором мы здесь не оста-
останавливаемся, можно найти в книге О. Шрейер и Е. Шпернер. Введение в линейную
алгебру в геометрическом изложении, том I, ОНТИ, 1934 г.

;9. 11-мерный симплекс
53
IM), /ii, ..., цп называются барицентрическими координатами точ-
точки X; они связаны соотношениями B) и C). Совокупность всех то-
точек X образует (прямолинейный) п-мерный симплекс Еп евклидова
пространства Rm.
Еп является, очевидно, замкнутым множеством евклидова про-
пространства. Точки Ро, Pi, ...,Pn называются вершинами п-мерного
симплекса. Симплекс полностью определяется, если заданы его вер-
вершины. Поэтому вместо того, чтобы обозначать одной буквой Еп, его
часто обозначают, записывая его вершины.
Если вместо координат х\, Х2, ¦ ¦ ¦, хт ввести другую декартову
систему ?i, ?2, •••, Cm, получающуюся из первой линейным преобра-
преобразованием с неравным нулю детерминантом, то обе части каждого из
равенств D) преобразуются одинаково, и мы получим уравнения
i=0
?2 =
i=0
E)
i=0
TTjii Щ2, • • •, T^irn суть координаты Pj в новой системе. Таким образом,
координаты центра тяжести во всех системах (декартовых) координат
выражаются одинаковыми формулами через барицентрические коор-
координаты.
В частности, координатную систему ?ь ?г> • • • > ?т можно выбрать
так, чтобы ?i, ?2, • • •, Сп были координатами линейного простран-
пространства Ln, в котором находится Еп. Тогда все ттт+i, ттт+2, ¦ ¦ ¦, ^%т будут
равны нулю и система E) обратится в
ь =
Е-
г=0
F)
Сп =
п
Е-
г=0

54 Глава II
Если, далее, принять векторы, идущие из точки Pq в точки Pi, P2, • • •
... ,Рп, за базисные векторы координатной системы, то тг^ станут рав-
равными 1 для г = 1,2,...,п,а все остальные тту обратятся в нуль, и мы
получим систему уравнений
1 = Ц,\, С.2 = М2> • • • > Sn = Mn- (.0
В такой координатной системе барицентрические координаты \х\,
Ц-2, ¦ ¦ ¦, Ц-п совпадают с декартовыми. Координаты точек Еп удовле-
удовлетворяют неравенствам
а > о, а ^ о,..., Cn ^ о,
Симплекс как подмножество евклидова пространства сам пред-
представляет окрестностное пространство, е-окрестность какой-нибудь его
точки состоит из точек пересечения симплекса с описанным вокруг
этой точки е-шаром. Нульмерный симплекс представляет одну точку,
одномерный симплекс —отрезок, двумерный симплекс — треугольник,
трехмерный симплекс — тетраэдр.
Множество точек симплекса, барицентрическая координата ко-
которых /лп = 0, образует (п — 1)-мерный симплекс, так называемую
(п — 1)-мерную сторону Еп~1 симплекса Еп, противолежащую точ-
точке Рп. В самом деле, формулы B)-D) остаются справедливыми для
этого множества, если только мы заменим в них п на (п — 1). Точно так
же против вершины Pj лежит сторона Е™~х.
к-мерной стороной симплекса Еп называется множество точек
симплекса, для которых п — к барицентрических координат равны ну-
нулю, а остальные к + 1 координаты меняются в соответствии с фор-
формулами B) и C). /с-мерная сторона также является симплексом Ек.
В частности, одномерные стороны симплекса называются его ребрами.
Вершины /с-мерной стороны являются одновременно вершинами сим-
симплекса Еп; обратно, симплекс, натянутый на любые к + 1 вершины Еп,
является /с-мерной стороной симплекса. Поэтому существуют ( ^^ J
/с-мерных сторон n-мерного симплекса.
Еп состоит из множества прямолинейных отрезков, соединяющих
точки стороны -Б™ с противоположной вершиной Рп. В самом деле,
для того чтобы получить центр тяжести всех п + 1 масс, можно найти
сначала центр тяжести масс ц,о, ц,\, ¦ ¦ ¦, l^n-i, — этот центр есть точ-
точка стороны Е™~г, а затем определить центр тяжести сосредоточенной
в этой точке массы /ло +ц,г + ¦ ¦ ¦ ц,п-г и массы /лп. Но центр тяжести этих
двух масс лежит как раз на соединяющем отрезке. Для того чтобы по-
показать, что каждая точка отрезка является точкой нашего п-мерного
симплекса, заметим, что массу ц,п можно изменять от 1 до 0, не изме-
изменяя отношения остальных масс; при этом общий центр тяжести всех

§9. ii-мерный симплекс 55
масс передвигается по отрезку, соединяющему Рп с точкой противопо-
противоположной стороны, определенной неизменным отношением п масс.
Пусть в евклидовом пространстве дано множество М и фиксиро-
фиксированная точка Р. Соединяя точку Р со всеми точками множества М
прямолинейными отрезками, мы будем говорить, что мы проектиру-
проектируем множество из центра проекций Р. Совокупность всех соединяю-
соединяющих отрезков называется проектирующий конусом. Тогда по дока-
доказанному следует, что n-мерный симплекс получается проектированием
его (п — 1)-мерной стороны из противоположной вершины. Очевидно,
n-мерный симплекс можно получить посредством последовательного
проектирования из нульмерного симплекса: сначала мы проектируем
одну вершину, например Ро, из другой, скажем, из Pi и получаем ре-
ребро симплекса; далее проектируем это ребро из вершины Р^, и получаем
двумерную сторону; продолжаем так далее до тех пор, пока проекти-
проектированием (п — 1)-мерной стороны из последней, не использованной еще
в качестве центра проекции вершины Рп, мы не завершим образование
всего симплекса Еп.
Важным свойством n-мерного симплекса является его выпуклость.
Под выпуклым множеством евклидова пространства понимают мно-
множество, содержащее целиком наряду со всякими двумя своими точками
также и соединяющий их отрезок. Пусть I/ — линейное пространство
наинизшей размерности, содержащее данное выпуклое множество. Раз-
Размерностью выпуклого множества называют размерность такого линей-
линейного пространства.
Выпуклое множество размерности г непременно содержит вну-
внутренние по отношению к Lr точки, так как в ней имеется г + 1 линейно
независимых точек, а вместе с ними целый r-мерный симплекс, содер-
содержащий внутренние по отношению к Lr точки. Мы называем множество
граничных внутри 17 точек выпуклого множества границей выпуклого
множества, а внутренние по отношению к Lr точки — внутренни-
внутренними точками множества. Позже (в главе V) мы покажем, что точки
границы и внутренние точки выпуклого замкнутого множества раз-
различаются внутренними топологическими свойствами, не зависящими
от расположения множества в евклидовом пространстве. Необходимо
различать внутренние точки выпуклого множества от точек выпуклого
множества внутренних по отношению к некоторому объемлющему про-
пространству. Внутренние точки выпуклого множества лишь в том случае
являются внутренними и по отношению к объемлющему пространству,
когда размерность объемлющего пространства совпадает с размерно-
размерностью выпуклого множества. В противном случае каждая точка выпук-
выпуклого множества является граничной точкой в объемлющем простран-
пространстве. Нульмерное выпуклое множество состоит из одной внутренней
точки.
Если мы будем проектировать замкнутое выпуклое множество В
из какой-нибудь точки, то получающийся при этом проектирующий

56 Глава II
конус также является замкнутым выпуклым множеством. В самом де-
деле, любые две точки проектирующего конуса Q\ и <5г проектируют-
проектируются в некоторые (вообще говоря не однозначно определенные) точки В.
Эти последние можно соединить отрезком, целиком лежащим в В. Про-
Проектирующий конус этого отрезка содержит отрезок, соединяющий Qi
Так как точка Ро представляет нульмерную выпуклую область,
а n-мерный симплекс получается из Ро последовательным проектирова-
проектированием, то n-мерный симплекс сам является выпуклым телом (т. е. огра-
ничейным, замкнутым, выпуклым множеством, размерность которого,
очевидно, равна п), n-мерный симплекс представляет, сверх того, наи-
наименьшее выпуклое тело, содержащее все вершины симплекса. Говорят,
что симплекс есть выпуклое замыкание п+1 точек (вершин симплекса).
Как выпуклое тело, n-мерный симплекс имеет определенную границу:
она состоит, очевидно, из всех сторон симплекса. Остальные точки сим-
симплекса являются его внутренними точками. Нульмерный симплекс не
имеет границы; он состоит из одной внутренней точки.
Всякий симплекс имеет вполне определенный центр, т. е. точку,
барицентрические координаты которой равны:
Mo = Mi = • • • = Mn I =
п+1
Линейное (афинное) отображение n-мерного симплекса Еп на г-мер-
ный симплекс 'Er (г ^ п) определяется следующим образом: мы отоб-
отображаем сначала вершины Еп в вершины'Ег, т. е. каждой вершине сим-
симплекса Еп ставим в соответствие вершину симплекса 'Ег, причем так,
чтобы каждая вершина ' Ег являлась образом по крайней мере одной
вершины Еп. Если теперь какая-нибудь точка Еп является центром
тяжести определенных масс, помещенных в вершины Еп, то мы такие
массы помещаем в вершины '.ЕГ-образы соответствующих вершин Еп,
и образом нашей точки считаем центр тяжести этих масс. Отображе-
Отображение Еп на 'Ег называется вырождающимся, если г < п. В этом случае
по крайней мере две вершины Еп отображаются в одну вершину ' Ег.
Если же г = п, то отображение является топологическим. При ли-
линейном отображении симплекса Еп на ' Ег каждая сторона Еп линей-
линейно отображается на сторону симплекса 'Ег, «натянутую» на вершины
'.ЕГ-образы соответствующих вершин Еп. Если поэтому две вершины
отображаются в одну, то натянутое на них ребро целиком переходит
в эту вершину.
Для того чтобы аналитически выразить линейное отображение Еп
на ' Ег, выберем в каждом из линейных пространств Ln и ' IT, несу-
несущих Еп и 'Ег, систему декартовых координат ?i, ?2, • • •, ?п и, соответ-
соответственно, '?i, '?2, • • •, %г- Пусть
-кц (г = 0, 1, ..., n; j = 1, 2, ..., п)

§9. ii-мерный симплекс 57
суть координаты вершин Ро, Pi, ..., Рп симплекса Еп, а
'щк (г = 0, 1, ..., n; k = 1, 2, ..., г)
— координаты их образов 'Ро, 'Pi, ..., 'Рп, причем некоторые из этих
образов могут, естественно, совпадать. Координаты центра тяжести по-
помещенных в точки Ро, Pi, ..., Рп масс мо> Мъ • • • > Мп в силу уравне-
уравнений D) равны:
п п п
г=0 г=0 г=0
В соответствии с этим центр тяжести масс мо> Мъ • • • > Мп, помещенных
в образы 'Ро, 'Pi, ..., 'Рп, имеет координаты:
п
'тг"9 '? = \ ^и'тг" f9)
г=0 г=0 г=0
Решая систему уравнений (8) совместно с уравнением C)
Mo + Mi + • • • + Мп = 1
относительно масс мо> Mi> • • • > Мп (вследствие линейной независимости
точек Ро, Pi, ..., Рп это возможно) и подставляя их величины в (9),
получим систему линейных соотношений вида:
3=0 3=0 3=0
Таким образом линейное отображение симплекса Еп на ' Ег осуще-
осуществляется однозначно определенным линейным отображением линей-
линейного пространства Ln на ' I/.
О симплексе говорят, что он ориентирован, если задан некоторый
определенный порядок его вершин. При этом считаем, что два порядка
вершин симплекса, отличающиеся четной перестановкой , определяют
одну и ту же ориентацию симплекса. Мы будем обозначать ориенти-
ориентированные симплексы в отличие от неориентированных светлыми ла-
латинскими буквами. Пусть, например, ориентированный симплекс Еп
определяется порядком вершин Ро, Pi, ..., Рп. Это записывается так:
Еп = +(Р0Р1...Рп).
*См., например, Ван-дер-Варден, Современная алгебра, ГТТИ 1934 г., стр. 28.

58 Глава II
Если мы поменяем местами две какие-нибудь вершины, например Ро
и Pi, то ориентация симплекса изменится. Противоположно ориенти-
ориентированный симплекс обозначается через
-Еп = -(P0Pi ... Рп) = +(Р1Р0 ... Рп).
При обозначении неориентированного симплекса посредством вершин
мы не будем писать знака:
Еп = {Р0Р1...Рп).
Данное нами определение ориентации связано с тем, что линейное
отображение n-мерного симплекса на себя, определенное перестанов-
перестановкой вершин симплекса, имеет положительный или отрицательный де-
детерминант в зависимости от того, является ли эта перестановка четной
или нечетной. В самом деле, каждая перестановка п + 1 вершин мо-
может быть получена, как известно, при помощи транспозиций, т. е. пе-
перестановок двух вершин. Но линейное отображение, осуществляющее
перестановку двух вершин, скажем, Pi и Р2, имеет отрицательный де-
детерминант. Чтобы убедиться в этом, возьмем Ро за начало координат и
ребра, идущие из Ро в другие вершины, — за базисные векторы системы
координат. В такой системе координат отображение имеет вид:
х[=х2, x'2 = xi, х'3 = х3,..., х'п=хп,
т.е. имеет детерминант, равный —1. Это доказательство неприменимо
при п = 1, но утверждение остается справедливым.
Все четные перестановки вершин правильного тетраэдра геометри-
геометрически отличаются от нечетных перестановок тем, что они могут быть
осуществлены вращениями тетраэдра вокруг своего центра.
С целью формальных упрощений мы введем также ориентацию
нульмерных симплексов. Эта ориентация заключается в том, что мы
приписываем нульмерному симплексу знак плюс или минус.
Для п = 1 ориентация +(PoPi) определяет некоторое направление
на отрезке, по отношению к которому Ро является «начальной верши-
вершиной», Pi — «конечной». Поэтому ориентированный одномерный сим-
симплекс можно обозначать отрезком со стрелкой, идущей в направлении
от начальной вершины к конечной. Для п = 2 последовательность вер-
вершин + (PoPiP2) и получающиеся из нее при помощи четных переста-
перестановок последовательности +(PiP2Po), + (p2PoPi) образуют одно и то
же циклическое расположение вершин, т. е. они определяют некоторое
направление обхода треугольника. Поэтому ориентация треугольника
может быть задана окружностью со стрелкой. Для п = 3 ориентация
+ (PoPiP2Ps) определяет винтовое направление. Винт, идущий из вер-
вершины к противолежащей стороне (грани), при вращении, соответству-
соответствующем последовательности остальных вершин, оказывается правым или
левым винтом в зависимости от ориентации тетраэдра.

§ 10. Полиэдры и их симплициальные подразделения 59
До сих пор мы рассматривали симплексы, расположенные в евкли-
евклидовом пространстве, и линейные отображения их. Если теперь топо-
топологически отобразить такой n-мерный симплекс е" на окрестностное
пространство М (так, что каждая точка М является образом некото-
некоторой точки еп), то получается при этом образ симплекса еп, который
мы будем называть также симплексом, точнее топологическим сим-
симплексом Еп, а е" будем называть прообразом Еп. Рассматривая то
же окрестностное пространство М как образ другого прообраза ~еп,
мы считаем получающиеся при этом топологические симплексы Еп
и Еп одинаковыми в том только случае, когда еп можно отобразить
линейно на ё™ так, что соответствующие при этом отображении
друг другу точки переходят в одну и ту оке точку М. При этом на
топологические симплексы переносятся с их прообразов понятия вер-
вершины, г-мерной стороны, центра, прямолинейного отрезка, границы,
внутренней точки. Нельзя, однако, говорить о расстоянии двух точек
топологического симплекса, так как при линейном отображении одного
симплекса на другой расстояние между точками меняется. Прямоли-
Прямолинейные симплексы евклидова пространства, с которыми мы до сих пор
имели дело, так же могут рассматриваться, как топологические сим-
симплексы. В этом случае образ и прообраз совпадают и отображение яв-
является тождественным. Если в дальнейшем речь идет о симплексе, то
при этом всегда подразумевается топологический симплекс. В зависи-
зависимости от обстоятельств он может оказаться, естественно, прямолиней-
прямолинейным.
Спроектировав, например, поверхность тетраэдра на описанную
вокруг тетраэдра сферу, мы переводим четыре прямолинейных сим-
симплекса двух измерений в четыре топологических симплекса, располо-
расположенных на сфере (сферические треугольники).
Задавая порядок вершин топологического симплекса, мы можем
ориентировать его совершенно так же, как прямолинейный, именно,
двумя противоположными способами.
Нетрудно представить себе, что понимается под линейным отоб-
отображением двух топологических симплексов Еп и 'Еп. Это — тополо-
топологическое отображение, при котором прообразы поставленных в соот-
соответствие точек переходят друг в друга линейным отображением пря-
§ 10. Полиэдры и их симплициальные
подразделения (симплициальные комплексы)*
Из симплексов составляются полиэдры. Полиэдры являются ок-
рестностными пространствами, составляющими объект нашего даль-
*См. Александров - Hopf, гл. III.

60 Глава II
нейшего изучения. В главах II-V, VII, VIII, XI мы изучим свойства
общих полиэдров. Главы VI, IX, X посвящены полиэдрам специального
вида — многообрязиям. Таким образом, во всех последующих рассмот-
рассмотрениях центральное место будут занимать полиэдры.
Полиэдр является окрестностным пространством, для которого
существует симплициальное разбиение. Симплициальное разбиение
окрестностного пространства К определяется следующим образом.
Пусть К покрыто конечным или счетным числом симплексов размер-
размерностей от 0 до n-топологических образов прямолинейных симплексов.
К множеству этих симплексов должны принадлежать вместе с каж-
каждым симплексом все его стороны. Симплексы образуют симплициаль-
симплициальное разбиение окрестностного пространства, если выполняются следу-
следующие четыре условия:
{к\) Каждая точка пространства принадлежит по крайней мере
одному симплексу.
(к2) Каждая точка принадлежит лишь конечному числу сим-
симплексов.
(/сз) Два симплекса либо не имеют общих точек, либо один из них
является стороной другого, либо они имеют общую сторону, являю-
являющуюся пересечением обоих симплексов.
Здесь нужно вспомнить определение равенства топологических
симплексов. Так, например, чтобы два топологических двумерных сим-
симплекса комплекса К имели общую сторону, недостаточно еще, чтобы
при топологическом отображении в полиэдр двух треугольников — про-
прообразов этих симплексов — две стороны этих треугольников отобрази-
отобразились в одно и то же множество точек комплекса К. Отображение тре-
треугольников в К должно быть таким, чтобы переходили в одну и ту же
точку К точки этих сторон, отнесенные друг другу при линейном (а не
при любом топологическом) отображении одной стороны на другую.
{ki) Если Р —точка окрестностного пространства К и U(P\Ei),
U(P | Е2), • • •, U(P\Er) — окрестности Р внутри всех симплексов
симплициального разбиения Е\, Е2, ..., Ег*, которым Р принадле-
принадлежит, то сумма
ЩР | Еу) + ЩР | Е2) + , ...,+U(P\Er)
является окрестностью U(P | К) точки Р в К.
Если окрестностное пространство К можно разбить на симплек-
симплексы так, чтобы выполнялись эти четыре условия, то такое пространство
называется полиэдром . Пусть из различных способов, которыми по-
полиэдр может быть разбит на симплексы, выбран один определенный.
Размерности симплексов Е\, Efo, ..., Ег могут меняться от 0 до п. Индексы
размерности, которые мы ставим всегда наверху, здесь опущены.
Таким образом, полиэдр — это множество точек, могущее быть разбитым на
симплексы; комплекс — это множество симплексов и их сторон, входящих в такое
разбиение. Только что определенные полиэдры естественно называть топологиче-

§ 10. Полиэдры и их симплициальные подразделения 61
Множество всех симплексов такого разбиения и всех их сторон назы-
называется симплициальным разбиением полиэдра К.
Если К есть комплекс, полученный при симплициальном разбие-
разбиении полиэдра Р, то мы будем часто полиэдр Р обозначать через К .
Два симплекса комплекса К называются инцидентными, если один
из них является стороной другого. Симплициальный комплекс назы-
называется п-мерным, если он содержит по крайней мере один п-мерный
симплекс, но не содержит симплексов высших размерностей.
Лемма. Множество К евклидова пространства Rm, состоящее
из конечного или счетного числа прямолинейных симплексов размер-
размерностей от 0 до п, является евклидовым полиэдром, если для сим-
симплексов и их сторон, кроме условия (&з), выполнено еще следующее
условие:
(р) для каждой точки К существует окрестность, имеющая об-
общие точки только с конечным числом симплексов.
Доказательство. К как подмножество евклидова пространства
представляет окрестностное пространство. Заданные симплексы и их
стороны образуют симплициальное разбиение К. В самом деле, кро-
кроме (&з), очевидно, выполняются условия (fci) и (/сг) и остается доказать
только (/С4). Окрестность U{P\Ei) [см. условие (А^)] содержит неко-
некоторую Si -окрестность точки Р относительно Ei, образованную из всех
точек Ei, удаленных от Р в Rm меньше чем на е,. Выберем г/ по-
положительным, меньшим чем ei, ег, ..., ег и сверх того настолько ма-
малым, чтобы г/-окрестность точки Р имела общие точки только с сим-
симплексами Ei, E<i, ..., Ег, — это возможно по условию леммы. Тогда
г/-окрестность точки Р относительно К представляет подмножество
суммы U(P | Ei) + U(P | Е2) +... + U(P | Er), т. е. эта сумма представ-
представляет окрестность Р относительно К. Тем самым доказано, что усло-
условие (Ua) также выполняется.
Пример 1.
Сфера есть полиэдр, так как по последней лемме совокупность сторон
скими или криволинейными полиэдрами. В отличие от криволинейных полиэдров
назовем евклидовым полиэдром множество, лежащее в некотором евклидовом про-
пространстве и являющееся суммой конечного или счетного числа прямолинейных сим-
симплексов, удовлетворяющих условиям (fci), (А;г), (&з) предыдущей страницы.
Как мы увидим ниже, всякий топологический полиэдр гомеоморфен некоторому
евклидову полиэдру; это предложение дает возможность при изучении топологиче-
топологических свойств полиэдров ограничиваться евклидовыми полиэдрами.
Заметим еще, что конечные евклидовы полиэдры [т. е. такие, которые могут быть
разбиты на конечное число симплексов, удовлетворяющих условиям (fci), (fe), (^з)]
могут быть определены, как множество точек, являющихся суммами конечного чис-
числа симплексов (пересекающихся между собою как угодно). О всех этих вещах см.
Александров- Hopf, гл. III.
В тех случаях, когда это не может вызвать недоразумений, мы при обозначении
полиэдра будем опускать черту.

62 Глава II
прямолинейного тетраэдра евклидова пространства представляет Симплици-
альный комплекс, который можно проектированием топологически отобра-
отобразить на сферу, описанную вокруг центра тетраэдра. Топологический образ
поверхности тетраэдра дает симплипиальное разбиение сферы. Другие сим-
плициальные разбиения того нее комплекса получаются, если мы возьмем
вместо тетраэдра, например, октаэдр или икосаэдр. Сравните с § 14.
Пример 2. Евклидова плоскость пред-
представляет полиэдр, так как ее можно замо-
замостить, например, равносторонними треуголь-
треугольниками.
Пример 3. Отдельный треугольник ев-
евклидовой плоскости естественно также явля-
является полиэдром К. Однако разбиение его на
бесчисленное множество треугольников, пока-
р „„ занное на рис. 32, у нее не есть симплипиаль-
симплипиальное разбиение, так как для точки Р не вы-
выполняется условие (Аи). В самом деле, сумма
U(P | .Ei) + U(P | .Ег) + . ..+ U(P\ Ег), о которой говорится в условии (Аи), не
является здесь окрестностью U(P\K), так как она состоит только из точ-
точки Р, — кроме нульмерного симплекса Р никакой другой симплекс такого
разбиения точку Р не содержит. Другие примеры приведены в § 14.
Покажем еще, так как это нам в дальнейшем понадобится, как сим-
плициальный комплекс может быть построен из отдельных симплек-
симплексов при помощи отождествления. Представим себе, что прообразы
всех симплексов симплициального разбиения расположены в евклидо-
евклидовом пространстве достаточно высокого числа измерений. Эти прооб-
прообразы, которые мы можем предполагать не имеющими попарно общих
точек, образуют вместе окрестностное пространство М, отображенное
непрерывно на К, так как каждый отдельный симплекс отображен да-
даже топологически на подмножество К. Если теперь мы будем считать
эквивалентными и отождествим все точки, имеющие один и тот же об-
образ в К, то мы получим как раз симплициальный комплекс К. В самом
деле, выберем в М какую-нибудь окрестность каждого из прообразов
произвольной точки комплекса К; в силу условия (к^) образ суммы
этих окрестностей представляет окрестность образа. Поэтому, по тео-
теореме II § 8, -ЕС получается из М отождествлением эквивалентных точек.
§ 11. Схема симплициального комплекса
Из свойства (&з) вытекает, что если имеются два различных сим-
симплекса симплициального комплекса, то все вершины одного из них не
могут совпадать со всеми вершинами другого, т. е. хотя бы один из
симплексов имеет по крайней мере одну вершину, не принадлежащую

§11. Схема симплициального комплекса
63
другому симплексу. Поэтому симплициальный комплекс определяет-
определяется всеми своими вершинами, если мы дадим так называемую схему
комплекса, т. е. укажем на какие из них должны быть натянуты сим-
симплексы*. Схема комплекса, изображенного на рис. 33 и состоящего из
треугольника и отрезка, имеет такой вид:
(Р0Р1Р2);
(Р1Р2); (Р2Р0); (Р2Р3); (Ро); (Pi); (РО; (Рз).
Рис. 33
Позже мы выведем для описания комплекса схемы иного рода, — так
называемые матрицы инциденций.
Если схемы двух симплициальных
комплексов К и К' одинаковы, то ком-
комплексы являются симплициальными раз-
разбиениями гомеоморфных полиэдров К
и К'. Более того, полиэдры К и К' мо-
могут быть топологически отображены один
на другой так, что симплексы К линей-
линейно переводятся в симплексы К'. Для того
чтобы осуществить такое топологическое
отображение, заметим сначала, что всякая
точка Р комплекса К является внутрен-
внутренней точкой в точности одного симплекса
симплициального разбиения, так как по
условию (fci) P принадлежит по крайней
мере одному симплексу и является поэтому либо внутренней точкой
этого симплекса, либо внутренней точкой одной из его сторон. Однако
в силу условия (&з) не существует двух комплексов, имеющих Р своей
внутренней точкой.
Пусть теперь Е есть симплекс комплекса К, имеющий Р своей
внутренней точкой. Найдем вершины комплекса К', соответствующие
вершинам Е. Эти вершины являются вершинами симплекса Е', ли-
линейно отображенного (благодаря соответствию вершин) на Е. Отнесем
теперь точке Р в полиэдре К точку Р' — образ точки Р при этом
линейном отображении симплекса Е на симплекс Е'. Этим мы осуще-
осуществляем взаимно однозначное отображение точек полиэдра К на точ-
точки К . Докажем, что это отображение топологическое. В самом деле,
если U(P' | К') есть окрестность Р' в К' и Е[, Е'2, ..., Е'г — симплек-
симплексы, содержащие Р', то пересечение U(P' \К') с симплексом Щ (г =
= 1, 2, ..., г) в силу определения окрестности в подмножестве окрест-
ностного пространства есть окрестность U(P' \ Е?) точки Р' в симплек-
симплексе Е[. Так как симплекс Ei посредством сконструированного линей-
линейного отображения топологически отображается на Е[, то окрестности
U(P' | Е'г) соответствует окрестность U(P
i. По условию
См. по этому поводу понятие поля вершин, Александров - Hopf, гл. IV.

64 Глава II
сумма U(P\E1) + U(P\E2) + ... + U(P\Er) является тогда окрест-
окрестностью точки Р в К. Ее образ в К' принадлежит U(P' \ К'). Таким
образом, отображение непрерывно в направлении от К к К'. Но так
как К и К' совершенно равноправны между собой, то это отображе-
отображение непрерывно и в противоположном направлении, т. е. представляет
топологическое отображение.
Пусть нам дано состоящее из конечного или счетного числа эле-
элементов множество W, в котором определены некоторые «отмеченные»
подмножества. Разберем, в каком случае это множество служит схемой
n-мерного симплициального комплекса в том смысле, что элементы W
взаимно однозначно соответствуют вершинам комплекса, а отмечен-
отмеченные подмножества — совокупностям вершин симплексов. Для этого,
очевидно, необходимо, чтобы выполнялись следующие три условия:
(Cxi) Каждое подмножество отмеченного подмножества является
снова отмеченным подмножеством, так как вместе с каждым симплек-
симплексом все его стороны принадлежат симплициальному комплексу.
(Сх2) Каждое отмеченное подмножество состоит максимум из п+1
элементов.
(Схз) Каждый элемент входит только в конечное число отмечен-
отмеченных подмножеств, — в силу условия (к2).
Чтобы показать, что эти условия также достаточны, построим
в Bп + 1)-мерном евклидовом пространстве R2n+1 соответствующий
прямолинейный комплекс. С этой целью установим взаимно однознач-
однозначное соответствие между элементами множества W и точками Pi, Р2,...
пространства R2n+1, причем потребуем, чтобы эти точки удовлетворя-
удовлетворяли следующим условиям:
A) Они не имеют точки накопления.
B) При к ^ 2п + 1 на каждые к + 1 точек можно натянуть един-
единственное /с-мерное линейное пространство. Другими словами, мини-
минимальное линейное пространство, в котором лежат любые к + 1 точек,
есть пространство к измерений.
Оба условия всегда можно выполнить. В самом деле, пусть пер-
первые г точек Pi, Р2, ..., Рг уже выбраны в соответствии с условием B).
Возьмем за Pr+i точку, у которой первая координата ii по крайней
мере на 1 отличается от каждой из координат xi точек Pi, Р2, ..., Рг
и которая не лежит ни в одном из линейных пространств, натянутых
на каждые к из точек Pi, Р2, ..., Рг (г ^ 2п + 1). Последнее условие
всегда выполнимо, так как каждое из конечного числа этих избегаемых
линейных пространств имеет размерность самое большее 2п. Но тогда
условие B) выполняется и для точек Pi, Р2, ..., Pr+i; отсюда следу-
следует, что и вся последовательность может быть подобрана надлежащим
образом.
Условие A) выполняется в виду того, что в случае бесконечного
числа точек Рг, Р2,... их координаты xi неограниченно возрастают.
Отнесем теперь каждому отмеченному подмножеству, состоящему

§11. Схема симплициального комплекса 65
из р+1 элементов множества W, симплекс, натянутый на соответству-
соответствующие этим элементам точки последовательности Рь Р2, Мы полу-
получим таким образом конечное или бесконечное множество К прямоли-
прямолинейных симплексов размерностей от 0 до п, расположенных в R2n+1.
Пользуясь леммой § 10, легко доказать, что К — комплекс. Рассмотрим
два симплекса К, Ер и Еч. Если к + 1 — число вершин, принадлежа-
принадлежащих по крайней мере одному из симплексов Ер, Eq, то к + 1 ^ 2п + 2,
так как р ^ п, q ^ п. По условию B) на эти (к + 1) вершин натягива-
натягивается /с-мерный симплекс Ек, сторонами которого являются Ер и Eq.
Поэтому Ер и Еч либо не имеют общих точек, либо имеют своим пе-
пересечением общую сторону.
Мы должны далее показать, что для каждой точки Q из К су-
существует окрестность, имеющая общие точки только с конечным чис-
числом симплексов. Опишем вокруг Q шар произвольного радиуса е > 0.
Пусть х\ есть координата х\ точки Q. В К существует только конеч-
конечное число вершин с координатами х\, меньшими, чем ~х~г + в. По (Схз)
существует лишь конечное число симплексов К, инцидентных с этими
вершинами, и только эти симплексы могут иметь общие точки с е-ша-
ром, описанным вокруг Q.
Отсюда, по лемме § 10, следует, что К есть комплекс. Что ком-
комплекс К имеет схему W, следует непосредственно из способа его по-
построения.
Мы доказали вместе с тем следующее предложение:
Каждый n-мерный комплекс можно прямолинейно вложить в
Bп + 1)-мерное евклидово пространство, т. е. для каждого п-мерного
комплекса существует в R2n+1 прямолинейный комплекс с той же схе-
схемой.
Из доказанного очевидно следует теорема:
Теорема. Всякий п-мерный полиэдр гомеоморфен некоторому
евклидову полиэдру, лежащему в Bп + 1)-мерном евклидовом про-
пространстве.
Существует основывающееся на понятии схемы комплекса чисто ком-
комбинаторное построение топологии, которому мы в этой книге следовать не
будем. При таком построении комплекс не является только целесообразным
средством описания полиэдра, определенного как окрестностное простран-
пространство, а, напротив, служит самостоятельным предметом исследования. По-
Посредством так называемых «элементарных преобразований», например ком-
комбинаторных подразделений, комплекс преобразуется в другие комплексы.
Эти элементарные преобразования играют роль гомеоморфных отображе-
отображений; в дальнейшем в топологии поверхностей нам представится случай разо-
разобрать пример элементарного преобразования (см. стр. 174). В чисто комби-
комбинаторной топологии симплекс можно не считать заполненным непрерывным
пространственным веществом, — он представляет просто отмеченное множе-
множество, состоящее из конечного числа вершин. В такой топологии исходным

66 Глава II
объектом изучения являются счетное число вершин схем и их отмеченные
подмножества, а единственными операциями — элементарные преобразова-
преобразования. Для нас нее исходным объектом служат непрерывные множества точек
и их окрестности, основной операцией — непрерывные отображения*10.
§ 12. Конечные и однородные комплексы.
Многообразия
Симплициальный комплекс называется конечным или бесконеч-
бесконечным, смотря по тому, составлен ли он из конечного или бесконечного
числа симплексов. Если К — конечный комплекс, то в полиэдре К каж-
каждое бесконечное множество точек имеет по крайней мере одну точку
накопления, так как тогда существует по крайней мере один симплекс,
содержащий бесконечное число точек множества. Если, напротив, К —
бесконечный комплекс, то центры всех его симплексов представляют
пример бесконечного подмножества полиэдра К без точки накопле-
накопления в К. Действительно, если Р — какая-нибудь точка полиэдра К,
то симплексы Е\, Е<±, ¦ ¦ ¦, Ег, к которым Р принадлежит, образуют по
условию (к^) окрестность точки Р. Эта окрестность содержит только
конечное число точек нашего множества, именно — центры симплек-
симплексов Ei, E2, ..., Ег и их сторон. Поэтому понятия «конечный» и «бес-
«бесконечный» комплексы оказываются топологически инвариантными;
полиэдр, допускающий в качестве симплициального разбиения конеч-
конечный симплициальный комплекс, не может быть гомеоморфен поли-
полиэдру «бесконечному», т. е. полиэдру, который есть сумма симплексов
бесконечного комплекса (ср. с примером 3 § 10). Мы имеем право, та-
таким образом, говорить просто о конечном или бесконечном полиэдре.
«Прокалывая» сферу, т.е. удаляя из нее одну точку, мы превращаем
конечный полиэдр, образуемый сферой, в бесконечный, именно — в ев-
евклидову плоскость (см. стр. 41).
Выберем произвольное непустое множество симплексов симплици-
симплициального комплекса. Эти симплексы вместе со всеми своими сторонами
образуют подкомплекс К\ комплекса К. Очевидно, подкомплекс есть
также симплициальный комплекс.
Подкомплекс Кг называется изолированным (в К), если каждый
симплекс из К, имеющий своей стороной какой-нибудь симплекс из К\,
также принадлежит к комплексу К\. Для каждого комплекса К су-
существует определенное максимальное число т изолированных подком-
подкомплексов; на это максимальное число изолированных подкомплексов К
можно разбить лишь одним способом (т может быть равно оо). Ес-
Если т = 1, то комплекс К называется связным. Связный симплициаль-
симплициальный комплекс характеризуется, очевидно, тем, что две любые вершины
По этим вопросам см. Александров- Hopf, гл. IV.

§ 12. Конечные и однородные комплексы. Многообразия 67
его Р и Q можно соединить путем, состоящим из ребер комплекса, т. е.
последовательностью ориентированных ребер, из которых первое име-
имеет Р своим началом, последнее имеет Q своим концом и начало каждого
следующего ребра совпадает с концом предыдущего {реберный путь).
Изолированный подкомплекс можно характеризовать топологиче-
топологически инвариантно как непустое подмножество Ко комплекса К такое,
что Ко является одновременно открытым и замкнутым в К; этому по-
последнему условию эквивалентно требование, что Ко не имеет границы.
Доказательство. Если Ко — изолированный подкомплекс,
то Ко, очевидно является непустым подмножеством без границы.
Пусть, обратно, N — произвольное непустое подмножество К, не имею-
имеющее в К границы. Если Р — точка подмножества N и Ег какой-нибудь
симплекс К, содержащий Р, то Ег целиком принадлежит N. В самом
деле, допустим, что Р' — не принадлежащая к N точка Ег. Приведем
в линейное соответствие точкам прямолинейного отрезка РР' значения
параметра s, изменяющегося от 0 до 1, и рассмотрим верхнюю грани-
границу s значений параметра, соответствующих всем принадлежащим к N
точкам отрезка. В каждой окрестности точки Р, соответствующей зна-
значению s, находятся как точки, принадлежащие к N, так и точки, ему
не принадлежащие, т.е. Р есть граничная точка N, что противоречит
предположению. Этим доказано, что N — Ко, где Ко — подкомплекс
комплекса К, содержащий вместе с каждой точкой Р все симплексы К,
к которым Р принадлежит. Поэтому Ко есть изолированный подком-
подкомплекс.
Из полученной топологической характеристики изолированных
подкомплексов следует также топологическая инвариантность поня-
понятия «связный» и топологическая инвариантность числа т.
n-мерный симплициальный комплекс называется однородным, ес-
если каждый /с-мерный симплекс его (к < п) является стороной по край-
крайней мере одного n-мерного симплекса. В противном случае комплекс
называется неоднородным. Под границей однородного n-мерного ком-
комплекса понимают совокупность всех его (п — 1)-мерных симплексов, ин-
инцидентных с нечетным числом n-мерных симплексов . Если, например,
однородный комплекс состоит из четырех плоских треугольников, при-
примыкающих к одной общей стороне подобно тому, как страницы книги
примыкают к ее корешку, то граница комплекса состоит из всех сторон
треугольников, за исключением их общей стороны. Такое определение
границы комплекса согласуется с данным выше, на стр. 56, определени-
определением границы симплекса, так как отдельный симплекс является однород-
однородным комплексом. Точно так же данному здесь определению границы
удовлетворяет граница выпуклого множества (стр. 55) и граница эле-
Это так называемая граница по модулю 2.

68 Глава II
мента (стр. 71). Это будет доказано ниже (стр. 72), когда мы выясним,
что выпуклая область и элемент являются однородными комплексами.
Топологическую инвариантность понятий «n-мерный», «однород-
«однородный», «граница» мы сможем доказать лишь позже (в главе V). Так как
размерность комплекса топологически инвариантна, то целесообразно
отмечать ее посредством верхнего индекса: Кп. Для размерности нуль
(но только для нее) ясно уже и сейчас, что она топологически инва-
инвариантна: нульмерный комплекс К состоит только из изолированных
точек, каждая из которых является своей собственной окрестностью
в К, а это не имеет места ни для каких комплексов высших размернос-
размерностей.
Особый интерес среди полиэдров представляют многообразия.
n-мерный полиэдр называется многообразием, если для каждой его точ-
точки существует окрестность, которую можно топологически отобразить
на внутренность n-мерного шара. Заметим, что внутренность п-мер-
ного шара образуется точками n-мерного евклидова пространства, ко-
координаты которых удовлетворяют неравенству х\ + х\ + ... + х2п < 1.
В качестве примера одномерного многообразия может служить окруж-
окружность; примером двумерного многообразия является сфера. Напротив,
круг (с границей) не является многообразием, так как его граничные
точки, как мы покажем в главе V, не подчиняются наложенному усло-
условию относительно окрестностей. Точно так же множество всех точек,
лежащих на ребрах тетраэдра, не является одномерным многообрази-
многообразием.
Многообразия представляют весьма естественные образования —
уже трехмерное евклидово пространство является многообразием.
Несмотря на это, многообразия более чем трех измерений представ-
представляют много трудностей для изучения (§ 68).
§ 13. Барицентрическое подразделение
В дальнейшем мы будем изучать свойства полиэдра, исходя из дан-
данного произвольного симплициального разбиения его. Другими словами,
нас интересуют те свойства комплексов, являющихся симплициальны-
ми разбиениями одного и того же полиэдра, которые общи всем таким
комплексам.
Мы не в состоянии в настоящее время дать общей характеристики
всех возможных разбиений одного и того же комплекса. Однако,чтобы
достигнуть нашей цели, мы должны все же научиться из данного сим-
симплициального разбиения получать при помощи подразделений другие
разбиения комплекса. Лишь имея возможность подразделить данное
разбиение как угодно мелко, мы сможем связать его с любым другим
разбиением и с самим полиэдром (см. IV главу).
Подразделение симплициального комплекса состоит в том, что

§ 13. Барицентрическое подразделение 69
каждый симплекс разбивается на меньшие, частичные симплексы так,
что опять получается симплициальный комплекс. Нам понадобится
в дальнейшем только некоторое определенное под-
подразделение, так называемое барицентрическое. Оно
получается следующим образом: сперва мы подраз-
подразделяем все ребра симплициального комплекса, вводя
их центры в качестве новых вершин; тогда каждое ре-
ребро распадается на два одномерных симплекса. Затем
из центра каждого двумерного симплекса мы проек-
проектируем прямыми линиями уже подразделенные гра-
граничные симплексы его (т. е. ребра). При этом центр рис. 34
топологического симплекса определяется с помощью
прямолинейного симплекса-прообраза (стр. 59). Точно так же и про-
проектирование подразделенных ребер производится в прообразе и затем
переносится на топологический симплекс. Таким образом каждый дву-
двумерный симплекс разбивается на 6 частичных двумерных симплексов
(проектирующим конусом одномерного симлекса является двумерный
симплекс). Далее мы проектируем из центра каждого трехмерного сим-
симплекса его уже подразделенные стороны и получаем из каждого такого
симплекса 4! частичных трехмерных симплекса, а также новые двумер-
двумерные и одномерные симплексы и один новый нульмерный симплекс —
центр проекций. Таким же образом мы продолжаем и дальше, до п-мер-
ных симплексов включительно. Рис. 34 показывает барицентрическое
подразделение двумерного симплекса.
Барицентрическое подразделение симплициального комплекса К
представляет снова симплициальный комплекс. Это следует, например,
из леммы § 10, если мы предположим, что комплекс К прямолинейно
вложен в евклидово пространство и там подразделен.
Так как барицентрическое подразделение симплициального ком-
комплекса снова есть комплекс, то мы можем опять барицентрически под-
подразделить его. Таким образом мы приходим к (/-кратным барицентри-
барицентрическим подразделениям. Выбирая g достаточно большим, мы можем
сделать частичные симплексы как угодно малыми. Точнее, имеет ме-
место следующее предложение:
Лемма. Всякий частичный симплекс g-кратного барицентриче-
барицентрического подразделения п-мерного прямолинейного симплекса Еп помеща-
помещается в симплексе, расположенном подобно с симплексом Еп и умень-
)д
раз.
Доказательство. Достаточно доказать лемму для случая д = 1
и затем для общего случая применить ее последовательно д раз.
Пусть еп — один из симплексов барицентрического подразделения сим-
симплекса Еп = (PqPi .. .Рп). Не делая существенных ограничений, мы
можем считать, что вершины Mq, Mi, ..., Мп симплекса еп являются

70 Глава II
как раз центрами сторон (Ро), (PoPi), ..., (PoPi...Pn). Барицентри-
Барицентрические координаты точки Mj (см. стр. 56) таковы:
Mo =Mi =••• = № = 7ХТ' Мг+i =№+2 = ••• = Мп = 0. A)
В декартовой системе координат ?i, ?2, • • •, ?п> базисные векторы ко-
которой идут из Ро в вершины Рь Р2, ..., Рп, координаты ?ъ ?г, • • •, ?п
точек Mo, Mi, ..., Мп совпадают соответственно с барицентрическими
координатами ц,1, ц2, ¦ ¦ ¦, Ць (стр. 54).
Еп определен неравенствами:
?i > 0, ?2 > 0, ..., Сп > 0, Ci + Ci + • • • + Cn < 1- B)
Рассмотрим теперь симплекс 'еп, определяемый неравенствами:
Ci^o,c2^o)...)Cn^o) ^i+Ci + .-. + Cn^^, (з)
располоясенный с Еп подобно, но уменьшенный по сравнению с ним
в -^— раз.
п + 1
Координаты A) точек Mj (г = 0, 1, 2, ..., п) удовлетворяют нера-
неравенствам C). Поэтому вершины е™, а вследствие выпуклости и весь
симплекс еп, целиком принадлеясит 'еп.
Упражнение. Пусть точки окрестностного пространства разбиты на
симплексы так, что выполняются условия (fei), (&г) и {к±) и каждые два сим-
симплекса либо не имеют общих точек, либо инцидентны, либо имеют одну или
несколько общих сторон. Докажите, что барицентрическим подразделением
всех симплексов можно превратить такое пространство в комплекс. (При
помощи метода полной индукции по отношению к размерности комплек-
комплекса покажите, что для барицентрического подразделения выполнено также
условие (кз) § 10, т.е. что два симплекса барицентрического подразделения,
имеющие общие точки, примыкают друг к другу лишь вдоль одной целой
общей стороны.)
§ 14. Примеры полиэдров и комплексов
Полиэдр является весьма общим понятием. Чтобы дать представ-
представление об его объеме, рассмотрим некоторые наиболее известные и важ-
важные окрестностные пространства и докажем, что они являются полиэд-
полиэдрами. В дальнейшем мы сможем воспользоваться этими пространства-
пространствами в качестве простейшего иллюстративного материала.
n-мерный элемент
Множество точек n-мерного евклидова пространства Rn, коорди-

§ 14. Примеры полиэдров и комплексов
71
наты которых удовлетворяют неравенству
9 9 9 ^ -,
x-l -f x2 i- .. . i- xn ^ ±
A)
образуют единичный шар евклидова пространства. Топологический об-
образ такого шара называется п-мерным элементом. Точки, для коорди-
координат которых в соотношении A) имеет место знак равенства, образуют
границу шара или, после соответствующего топологического отображе-
отображения, границу элемента (см. стр. 55). Топологическая характеристика
границы будет дана в главе V.
Выпуклым п-мерным телом называется замкнутое выпуклое мно-
множество Вп в Rn, содержащее внутренние точки.
Теорема. Выпуклое п-мерное тело Вп есть п-мерный элемент.
Для доказательства опишем вокруг
внутренней точки О множества В шар к,
целиком принадлежащий В, и обозначим
границу этого шара через к (рис. 35). По-
Покажем сначала, что луч, выходящий из О,
встречает границу В множества В в точ-
точности в одной точке. Так как В — ограни-
ограниченное множество, то луч встречает гра-
границу В по крайней мере в одной точке.
Но В как граница В является замкнутым
подмножеством Rn (стр. 46); поэтому сре-
среди точек В, лежащих на луче, существует
точка, наиболее удаленная от^ О. Назовем
ее Р. Все точки отрезка ОР, за исклю-
исключением Р, являются внутренними точка-
точками В. В самом деле, мы можем соединить точку Р прямыми линиями
со всеми точками шара к; тогда, вследствие выпуклости В, все соеди-
соединяющие отрезки будут принадлежать В и вокруг каждой точки отрез-
отрезка ОР можно будет описать шар, целиком принадлежащий В, имен-
именно — шар^ расположенный подобно с шаром к по отношению к центру
подобия Р. _ _
Обозначим точку пересечения луча ОР с к буквой р. Ставя в со-
соответствие точкам Р точки р, мы задаем взаимно однозначное отоб-
отображение границы В на к. Это отображение непрерывно в направ-
направлении р —>• Р. В самом деле, если бы отображение не было непре-
непрерывно в какой-нибудь точке р, то для некоторой заданной окрестно-
окрестности U(P\B) существовала бы сходящаяся к точке р последователь-
последовательность точек Pi, р2, ¦ ¦ ¦ на к, образы которых Pi, Pi,... лежали бы вне
U(P | В). Эти образы имеют на В точку накопления. Так как эта точка
накопления должна лежать на луче ОР, то ею может быть лишь Р, т. е.
Рис. 35

72 Глава II
почти все точки Pi, Р2, ¦ ¦ ¦ лежат в U(P \ В), что противоречит нашему
предположению. По теореме V, стр. 51, наше отображение непрерывно
тогда и в направлении от Р —>• р, т. е. является топологическим. Отоб-
Отображение В на к можно дополнить до отображения всего множества В
на шар к, для этого достаточно отрезки ОР линейно отобразить на
отрезки Ор.
Так как прямолинейный n-мерный симплекс представляет выпук-
выпуклое тело евклидова пространства Rn, то его можно топологически отоб-
отобразить на шар. Таким образом доказано, что шар, а вместе с тем
и п-мерный элемент, является полиэдром.
n-мерная сфера Sn
Множество точек (п + 1)-мерного евклидова пространства Rn+1,
координаты которых удовлетворяют соотношению
х\ + х\ + ... х2п+1 = 1 (n ^ 0),
называется Ь-мерной единичной сферой в Rn+1. Топологический образ
ее называется просто п-мерной сферой или п-мерным сферическим про-
пространством и обозначается через Sn. Нульмерной сферой является
пара точек.
Мы доказали выше существование топологического отображения
выпуклого тела Вп+1 на (п + 1)-мерный единичный шар, при котором
граница Вп+1 отображается на границу шара. Вследствие этого гра-
граница (п + 1)-мерного выпуклого тела Вп+1 представляет п-мерную
сферу. В частности, n-мерная сфера гомеоморфна границе (п +1)-мер-
+1)-мерного симплекса. Отсюда мы получаем сразу простейшее симплициаль-
ное разбиение n-мерной сферы. Для п = 2 это разбиение состоит из
четырех граней тетраэдра.
Нам понадобится в дальнейшем, наряду с этим тетраэдральным
разбиением, еще другое симплициальное разбиение сферы Sn, пред-
представляющее обобщение на п измерений октаэдрального разбиения дву-
двумерной сферы. Пусть
Vl, V2, ..., Vn+i
суть единичные векторы, идущие из начала координат 0 простран-
пространства Rn+1 в точки
A,0,0, ...,0), @, 1,0, ...,0),..., @,0,0,..., 1).
На векторы
b e2v2, ..., en+ivn+i (ek = ±1) B)
можно «натянуть» (п + 1)-мерный симплекс, именно симплекс, вер-
вершины которого суть точка О и концы векторов B). Таких симплек-
симплексов существует столько же, сколько имеется комбинаций знаков в B),

§ 14. Примеры полиэдров и комплексов 73
т.е. 2n+1. Каждые два из этих симплексов либо пересекаются по сто-
стороне, натянутой на их общие векторы, либо имеют лишь одну об-
общую точку — начало координат О; в последнем случае векторы одного
(п + 1)-мерного симплекса противоположны по знакам векторам друго-
другого. В силу леммы § 10 эти 2n+1 симплексов образуют симплициальный
комплекс. Легко видеть, что этот комплекс представляет выпуклое те-
тело, следовательно, (п+ 1)-мерный элемент. Граница его, n-мерная сфе-
сфера, состоит из 2n+1 n-мерных симплексов, имеющих вершинами кон-
концы векторов B). Эти симплексы образуют «октаэдральное» разбиение
n-мерной сферы. В противоположность тетраэдральному оно симмет-
симметрично относительно центра, т. е. при отображении
Х\ = Х\, 2?2 = Ж2, • • • , %п+1 = %п+1
октаэдральное разбиение переходит само в себя. Такое отображение
переводит диаметрально-противоположные точки сферы друг в друга.
Линейное пространство («плоскость») xn+i = 0 разбивает п-мерную
сферу на две полусферы. Эти полусферы не что иное, как п-мерные
элементы, — в этом можно убедиться, проектируя их, например, па-
параллельно оси xn+i на «плоскость» xn+i = 0. Таким образом, п-мер-
п-мерную сферу можно получить из двух n-мерных шаров, топологически
отображая их границы друг на друга и отождествляя соответствую-
соответствующие точки11, n-мерная сфера получается также, если мы отождествим
те граничные точки n-мерного шара
х\ + х\ + ... + х2п < 1,
которые являются зеркальными отображениями друг друга в эквато-
экваториальной плоскости хп =0. В самом деле, экваториальная плоскость
разбивает шар на два n-мерных элемента, отождествление границ ко-
которых дает сферу.
Проколотая n-мерная сфера, т. е. сфера, из которой удалена одна
точка, гомеоморфна евклидову пространству Rn — это вытекает из
того, например, что формулы стереографической проекции (стр. 41)
справедливы для любой размерности п.
Дополним Rn несобственной (или бесконечно удаленной) точ-
точкой, — образом центра проекции. Окрестности этой точки нужно опре-
определить как образы окрестностей центра проекции на n-мерной сфере,
т.е. как множества точек Rn, лежащих вне сферы достаточно боль-
большого радиуса и включающих, естественно, самое несобственную точку.
Пополненное одной бесконечно удаленной точкой n-мерное простран-
пространство взаимно однозначно (и притом топологически) отображается при
помощи стереографической проекции уже на всю n-мерную сферу. Та-
Таким образом, можно сказать, что присоединение одной несобственной
точки к евклидову пространству превращает его в сферу.

74
Глава II
Симплициальная звезда Stn
В дальнейшем нам придется неоднократно пользоваться так назы-
называемыми симплициальными звездами. Пусть Кп~х — (п — 1)-мерный
конечный симплициальный комплекс. Симплициальной звездой назы-
называется n-мерный симплициальный комплекс Stn, схема которого полу-
получается из схемы комплекса Кп~г следующим образом: берется новая
вершина О и из каждого г-мерного симплекса Ег = {PqP\ ... Pj) ком-
комплекса Кп~г образуют (г + 1)-мерный симплекс (OPqPi ... Pi). Точка О
называется центром, а комплекс Кп~г — краем симплициальной звез-
звезды. Необходимо иметь в виду различие между краем звезды и границей
симплекса или выпуклой области. Так, например, если звездой являет-
является симплекс, то край такой звезды не совпадает с границей симплекса.
В качестве примера симплициальной звезды могут служить все сим-
симплексы симплициального комплекса, имеющие одну общую вершину.
На рис. 36 дан пример двумерной звезды St2; симплексы ее края К1
отмечены жирными линиями и точками.
Каждая выпуклая n-мерная область ев-
евклидова пространства Rn, граница которой
есть комплекс Sn~1, состоящий из прямо-
прямолинейных (п — 1)-мерных симплексов, поро-
порождает звезду Stn. В самом деле, будем про-
проектировать прямолинейные граничные сим-
симплексы из какой-нибудь внутренней точки
области. В силу леммы § 10 (относитель-
(относительно комплексов евклидова пространства) при
этом получается n-мерный комплекс, являю-
являющийся симплициальной звездой, так как его
схема совпадает со схемой некоторой звез-
звезды Stn.
Рис. 36
n-мерное проективное пространство Рп
Рассмотрим окрестностное пространство, «точками» которого яв-
являются прямые, проходящие через начало координат О (п + 1)-мерного
евклидова пространства Rn+1 (n ^ 2). Окрестности в нем определим
следующим образом: мы берем евклидову окрестность какой-нибудь
точки, лежащей на прямой д, и окрестностью самой прямой д считаем
совокупность всех прямых, проходящих через точки этой евклидовой
окрестности (и через точку О). В частности, прямые, соединяющие О со
всеми точками е-шара, описанного вокруг какой-нибудь точки, взятой
на прямой д, отличной от О, образуют специальную окрестность д, —
«круговой конус», имеющий д своей осью. Как мы сейчас покажем, та-
такое окрестностное пространство Рп, называемое п-мерным проектив-
проективным пространством, есть полиэдр.

§ 14. Примеры полиэдров и комплексов 75
Прямая g пересекает единичную n-мерную сферу Sn простран-
пространства Rn+1 в двух ее диаметрально-противоположных точках Pi и Р^.
Если в множестве М = Sn всех точек п-мерной сферы счи-
считать эквивалентными диаметрально-противоположные точки сфе-
сферы и отождествить их, то получается проективное пространство.
Но пары диаметрально-противоположных точек n-мерной сферы вза-
взаимно однозначно отображаются на прямые, из которых составлено Рп.
Для доказательства того, что Рп получается отождествлением этих
пар, остается только показать, что сумме двух любых окрестностей
U(Pi | М) и U(p21 М) соответствует окрестность прямой g и что та-
таким путем можно получить все окрестности д; мы предоставляем это
читателю.
Проективное пространство Рп можно получить также из
п-мерного шара путем отождествления диаметрально-противопо-
диаметрально-противоположных точек его границы — (п — 1)-мерной сферы. Такое представле-
представление Рп для п = 2 было рассмотрено в § 2. Оно переносится, очевидно,
на случай произвольной размерности.
Координаты (действительные)
Xi, Х2, ¦ ¦ ¦ , Xn+i
всех точек прямой, проходящей через начало координат простран-
пространства Rn+1, отличаются лишь общим множителем пропорциональности.
Поэтому такие прямые, а вместе с тем и точки проективного простран-
пространства, можно поставить во взаимно однозначное соответствие с система-
системами отношений п+1 чисел, т. е. с числами х\, жг, • • •, жп+ъ определенны-
определенными с точностью до отличного от нуля множителя пропорциональности.
Исключается лишь система чисел, состоящая из одних нулей, так как
такой системе не соответствует никакая определенная прямая. Окрест-
Окрестность точки проективного пространства~х\ '~х~2' ¦ ¦ ¦ '¦ ~Хп+г составляется
из всех точек х\: x<i: ... : xn+i, для которых при фиксированных зна-
значениях ~x~i, ~х~2, ¦ ¦ ¦, ~Хп+г имеют место соотношения:
-хг\ < е,..., \xn+i - xn+i | < е,
так как этим точкам соответствуют все прямые, идущие из начала ко-
координат О пространства Rn+1 в точки кубической окрестности точки
E?i, ж~2> • • • > %n+i)- Величина такой окрестности зависит не только от
точки проективного пространства х\: Х2: • • • : хп+\ и от выбора е, но
также и от величины общего множителя чисел х.
Симплициальное разбиение проективного пространства Рп мож-
можно получить, переходя в октаэдральном разбиении n-мерной сферы Sn
к барицентрическому подразделению (оно также симметрично отно-
относительно центра) и отождествляя диаметрально-противолежащие сим-
симплексы этого разбиения. Переход к барицентрическому подразделению

76 Глава II
необходим, так как иначе нарушилось бы условие (&з), которому дол-
ясен удовлетворять симплициальный комплекс. В самом деле, любые
два n-мерные симплекса октаэдрального разбиения Sn после отожде-
отождествления диаметрально-противоположных точек имеют одни и те же
вершины (см. упражнение в конце § 13).
Топологическое произведение
Топологическое произведение двух окрестностных пространств А
и В есть новое окрестностное пространство Ах В, определяемое следу-
следующим образом: каждой паре точек, образованной из точки А простран-
пространства А и точки В пространства В, ставится во взаимно однозначное
соответствие точка А х В из А х В. Окрестность точки А х В состо-
состоит из совокупности всех точек Ах В таких, что А лежит в некоторой
окрестности точки А в А, а В — в некоторой окрестности точки В в В.
Сверх того, каждое множество точек пространствам/4 х В, содержащее
такую совокупность, считается окрестностью Ах В.
Евклидова плоскость представляет топологическое произведение
двух прямых, оси х\ и оси Х2- Вообще, если А и В суть со-
соответственно подмножества евклидовых пространств Ra и Rb, то
Ах В можно рассматривать как подмножество евклидова простран-
пространства Ra+b = Ra х Rb. В самом деле, пусть
х1,х2,...,ха (А)
координаты точки А подмножества А в Ra, и
Ха+1, Ха+2, ¦ ¦¦ , Ха+Ъ (В)
координаты точки В подмножества В в Rb. Тогда в качестве точки
Ах В мы выбираем точку Ra+b с координатами
Xi, X2, ¦¦¦, Ха, Xa+i, ..., Ха+Ь. (А X В)
Очевидно, множество точек Ах В, рассматриваемых таким образом как
подмножество пространства Ra+b, есть окрестностное пространство,
гомеоморфное топологическому произведению Ах В.
Упражнение. Докажите, что если А и В суть выпуклые тела раз-
размерностей а и /3 в пространствах Ra и Rb, то топологическое произведе-
произведение А х В, рассматриваемое указанным способом в евклидовом простран-
пространстве Ra+b, представляет выпуклое тело размерности а + /3. Граница этого
тела составлена из топологического произведения границы АнаВи грани-
границы В на А.

§ 14. Примеры полиэдров и комплексов 77
Теорема. Топологическое произведение двух полиэдров есть по-
полиэдр.
Доказательство. Поместим полиэдр А, заданный в некотором
симплициальном разбиении А, прямолинейно в евклидово простран-
пространство Ra, а В таким же образом в Rb, — как показано на стр. 65,
это всегда возможно. Тогда Ах В есть подмножество евклидова про-
пространства Ra+b, именно — сумма произведений каждого из симплек-
симплексов А на каждый из симплексов В. Каждое произведение Еа х Е@ есть
выпуклая область размерности а + C, граница которой составлена из
(а + /3 — 1)-мерных областей Е^~х х Е13 и Еа х Е^~х (см. предыдущее
упражнение). При этом Е^~х означает сторону Еа, а Е^~х — сто-
сторону симплекса Е@. Симплициальное разбиение произведения А х В
в пространстве Ra+b получается последовательным проектированием:
сперва мы подразделяем одномерные выпуклые тела (прямолинейные
отрезки), вводя их центры в качестве новых вершин. Считая далее, что
(к — 1)-мерные тела уже разбиты на симплексы, мы соединяем точки
границы каждого /с-мерного тела с какой-нибудь внутренней ее точкой
(т. е. проектируем границу из внутренней точки). При этом получается
симплициальное разбиение /с-мерного тела. Разбив таким способом на
симплексы тела всех размерностей, мы получим совокупность симплек-
симплексов, удовлетворяющую всем условиям леммы § 10, т. е. симплициальное
разбиение произведения Ах В.
В дальнейшем нам понадобится следующая лемма.
Лемма. Пусть топологическое произведение К х t полиэдра К
на единичный отрезок 0 < t < 1 отображено посредством / в поли-
полиэдр К следующим образом: для каждой точки Р полиэдра К точ-
точки f(P х 0) и f(P х 1) принадлежат одному симплексу комплекса К.т;
отрезок оке Р х t отображается линейно на отрезок, соединяющий
f(P х 0) и f(P х 1). Тогда, если отображение / непрерывно отобра-
отображает множества К х 0 и Кп х 1, то f является непрерывным
отображением всего произведения К х t.
Доказательство. Представим If как подмножество евклидова
пространства Ra с координатами х\, жг, • • •, ха. К х t является тогда
подмножеством пространства Ra x R1, где R1 — прямая с коорди-
координатой t. Точно так же представим К расположенным прямолинейно
в пространстве Rb с координатами у±, г/2, ¦ ¦ ¦, уь- Тогда отображение /
осуществляется отображающими функциями
Х1, Х2, ¦¦., Ха, t) = 2/г(жЬ Х2, ¦¦¦, Ха, 0)A - €) +
+У%{х1, х2, ¦¦¦, ха, 1)? (г = 1, 2, ..., Ь).

78
Глава II
Так как по предположению Уг(х\, жг, • • •, ха, 0) и Уг{х\, жг, • • •,
жа, 1) суть непрерывные функции от Ж1, жг, ..., жа (см. стр. 38), то
функция з/г(ж1, жг, ..., жа, *) непрерывна относительно каждой из пе-
переменных, т.е. f есть непрерывная функция.
Упражнение. 1. Покажите, что отождествление всех граничных точек
n-мерного шара дает сферу S".
2. Поставив в соответствие каждой точке А х В топологического про-
произведения А х В точку А пространства А, мы получаем непрерывное отоб-
отображение произведения А х В на А.
3. Материальная точка вынуждена двигаться с постоянной скоростью
а) на торе, Ь) на сфере. Покажите, что соответствующими фазовыми про-
пространствами (§ 4) являются
a) Топологическое произведение тора на окружность.
b) Проективное пространство Р3 трех измерений12.
4.Докажите, что единичную трехмерную сферу, координаты точек ко-
которой в четырехмерное пространстве удовлетворяют уравнению
х\ + х\ + х\ + х\ =
C)
можно разбить на два конгруэнтных (т.е. переводящихся друг в друга по-
посредством движения) трехмерных кольца
2 , 2 < 2 , 2
Х1 +Ж2 ^
(трехмерным кольцом называется топологическое произведение круга на
окружность, т.е. тор вместе с его «внутренностью»). Кольца эти имеют об-
общими точки граничного тора, удовлетворяющие, кроме соотношения C), еще
уравнению
Рис. 37
x\+xl=
«4- D)
При стереографическом проектировании
из северного полюса @, 0, 0, 1) на экваториаль-
экваториальную «плоскость» Х4 = 0, снабженную декарто-
декартовыми координатами ?i, ?2, ?3, (стр. 42), гранич-
граничный тор переходит в тор вращения, имеющий
осью вращения ось ?з- Этот тор вращения раз-
разбивает тогда трехмерное сферическое простран-
пространство (получающееся из экваториальной «плос-
«плоскости», если мы дополним ее образом северно-
северного полюса) также на два трехмерных кольца.
Средняя линия первого есть единичная окруж-
окружность плоскости ?i, ?2; средняя линия второго —
ось ?з (см. рис. 37). Средней линией трехмерно-
трехмерного кольца, получающегося при вращении кру-
круга, называется окружность, описываемая цен-
центром — этого круга).

§ 14. Примеры полиэдров и комплексов 79
5. Тор, рассматривавшийся в предыдущем упражнении, допускает
в сферическом пространстве деформацию самого на себя такую, что при этом
меридианы переходят в параллели, а параллели в меридианы [эта деформа-
деформация может быть даже осуществлена посредством сферического движения
(см. стр. 12 и упражнения на стр. 220)].
6. Если в единичной трехмерной сфере отождествить диаметрально
противоположные точки, т.е. перейти к проективному пространству Р3, то
рассматривавшийся тор переходит в однополостный гиперболоид, имеющий
в проективных координатах xi: ж 2: жз: ж 4 уравнение D). Гиперболоид этот
гомеоморфен тору и разбивает Р3 также на два трехмерных кольца. Та-
Таким образом, как проективное, так и сферическое трехмерное пространство
разбивается тором на два трехмерных кольца, переводимых друг в друга
проективным, соответственно сферическим, движением. Проведите доказа-
доказательство.
7. Докажите, что каждое (непустое) открытое подмножество п-мер-
ного евклидова пространства есть бесконечный комплекс. (Такое подмно-
подмножество можно исчерпать становящимися все мельче и мельче п-мерными
кубами, которые затем можно подразделить симплициально.)

Глава III
Группы Бетти
Мы познакомились с понятием полиэдра и его симплициального разбие-
разбиения. Все наши дальнейшие исследования связаны более или менее непосред-
непосредственно с нерешенной до сих пор проблемой дать исчерпывающую тополо-
топологическую классификацию полиэдров и с изучением свойств комплексов К,
являющихся их симплициальными разбиениями. При этом из свойств ком-
комплексов К для нас важны лишь те, которые общи всем комплексам, являю-
являющимся симплициальными разбиениями одного и того нее полиэдра или двух
гомеоморфных полиэдров. Такие свойства комплексов называются топологи-
топологически инвариантными. Мы начнем с исследования свойств комплекса, задан-
заданного в качестве симплициального разбиения некоторого полиэдра, и докажем
в следующей главе, что важнейшие из этих свойств — именно свойства, от-
относящиеся к так называемым группам Бетти — топологически инвариантны.
Настоящая глава посвящена чисто комбинаторным рассмотрениям, —
мы не пользуемся в ней нигде понятиями теории топологических про-
пространств, как, например, окрестность, непрерывность и т.п. Более того,
в этой главе мы можем представлять m-мерный комплекс Кп просто в виде
его схемы, т.е. множества «вершин», в котором отмеченные подмножества
определены как «симплексы», причем должны быть выполнены только усло-
условия (Cxi)—(Схг) § 11. Для простоты мы будем рассматривать всегда только
конечные комплексы.
§ 15. Алгебраические комплексы
В этом параграфе мы определим новое, крайне важное для всего
дальнейшего понятие алгебраического комплекса. Во избежание пута-
путаницы, в тех случаях, где возможны недоразумения, мы будем называть
симплициальные комплексы в том смысле, как мы их понимали до сих
пор, абсолютными комплексами.
Вообразим себе, что некоторым /с-мерным симплексам данного аб-
абсолютного комплекса К поставлены в соответствие некоторая ориен-
ориентация и некоторое целое число. Пусть Ек, Е$, ¦ ¦ ¦, Ек полученные ори-
ориентированные симплексы и щ, U2, ¦ ¦ ¦, us поставленные им в соответ-
соответствие целые числа. Тогда мы говорим, что имеем дело с алгебраическим
комплексом Uk = ^щЕк, в который входят ориентированные сим-
симплексы Е%, ..., Е* с коэффициентами и\, ..., us. Сам алгебраический
комплекс Uk определяется как линейная форма Yjui^i^ гДе симплек-
симплексы Ек играют роль переменных («неопределенные» — Unbestimmte),
а целые числа и±, ..., us являются коэффициентами.

§15. Алгебраические комплексы 81
Всегда можно считать, что в линейной форме ^ щЕ\ участвуют
все /с-мерные симплексы Ек, так как если коэффициенты щ бьши пер-
первоначально определены лишь для некоторых симплексов Ек, то для
остальных мы соответствующие коэффициенты полагаем равными ну-
нулю.
Для того чтобы данное определение алгебраического комплекса;
как линейной формы, было корректным с алгебраической точки зре-
зрения, необходимо ввести условие
{-u){-Ek) = uEk, A)
т.е. ориентированный симплекс Ек, взятый с коэфицаентом Uk, счи-
считается тождественным с противоположно ориентированным (срав-
(сравнительно с Ек) симплексом (—Ек), взятым с коэфицаентом (—и).
Существо дела в понятии алгебраического комплекса заключается,
очевидно, в том, что каждому /с-мерному ориентированному симплек-
симплексу Ек абсолютного комплекса К ставится в соответствие некоторое
целое число щ, причем симплексу (—Ек) ставится в соответствие чис-
число (—щ).
Другими словами: /с-мерный алгебраический комплекс данного аб-
абсолютного комплекса К есть функция и(Ек), определенная для всех
/с-мерных ориентированных симплексов Ек комплекса К и удовлетво-
удовлетворяющая следующим условиям:
A) она принимает целочисленные значения, лишь для конечного
числа симплексов отличные от нуля;
B) функция и(Ек) — нечетная, т.е.
и(-Ек) = -и(Ек).
Среди /с-мерных алгебраических комплексов имеется нулевой ком-
комплекс, у которого все коэффициенты щ [т. е. значения функции и(Ек)
для всех Ef] равны нулю.
Другим частным случаем алгебраического комплекса являются
так называемые одночленные комплексы, у которых только один коэф-
коэффициент отличен от нуля (т. е. лишь для одного симплекса Ек, рассмат-
рассматриваемого, конечно, с любой из его двух ориентации, функция и(Ек)
имеет значение ф 0). Если этот коэффициент равен ±1, то одночленный
комплекс есть просто ориентированный симплекс.
Алгебраические комплексы можно складывать, как обыкновенные
линейные формы: если

82 Глава III
то
B)
Таким образом /с-мерные алгебраические комплексы абсолютного ком-
комплекса К образуют абелеву группу, которую мы обозначим че-
через Ьк{К).
Примечание I. Мы рассматривали лишь целые числа в качестве ко-
коэффициентов (значений функции). Определенные нами алгебраические ком-
комплексы поэтому иногда называют целочисленными.
Потребовав, чтобы наши коэффициенты щ [значения наших функ-
функций и(Ек)] были элементами некоторой абелевой группы J — так называ-
называемого поля коэффициентов, мы получили бы совершенно аналогичным об-
образом определение алгебраических комплексов по полю коэффициентов J.
При этом попрежнему требуется выполнение условий A) и B).
В дальнейшем мы будем рассматривать почти исключительно лишь це-
целочисленные комплексы.
Из других полей коэффициентов мы будем иметь дело только с конеч-
конечной группой порядка 2, что приведет нас к так называемым алгебраическим
комплексам по модулю 2.
Примечание П. Вопрос о том, определять ли алгебраический ком-
комплекс как линейную форму или как функцию, есть, конечно, вопрос терми-
терминологии. Несмотря на то, что язык функций более прост с логической точки
зрения, мы будем в дальнейшем пользоваться языком линейных форм как
более привычным.
§ 16. Граница, цикл
Пусть Ек~г — сторона ориентированного симплекса Ек. Ориен-
Ориентация симплекса Ек позволяет ввести в Ек~1 определенную «инду-
«индуцированную» ориентацию, устанавливаемую по следующему прави-
правилу: если Pq вершина симплекса Ек, противоположная стороне Ек~х и
Ек = e(PoPi... Р^), где е = +1 или —1, то индуцированная ориентация
симплекса Ек~1 определяется выражением e(PiP2 ... Р^). Под границей
ориентированного симплекса Ек понимают (к — 1)-мерный алгебраиче-
алгебраический комплекс, образованный (к — 1)-мерными сторонами симплекса Ек
так, что каждая сторона входит в этот комплекс с индуцированной ори-
ориентацией и с коэффициентом 1. Пусть Е^~г, Ек~г, ..., Е\~х обознача-
обозначают произвольно ориентированные (к — 1) -мерные симплексы — стороны
симплекса Ек, тогда граница симплекса Ек представляет (к — 1)-мер-
ный комплекс
1=0 1=0

§ 16. Граница, цикл 83
Здесь е; = +1 или —1 в зависимости от того, совпадает ли произволь-
произвольно взятая ориентация стороны Ек~х с индуцируемой в ней ориентацией
или нет. Мы будем обозначать границу симплекса (или вообще алгебра-
алгебраического комплекса) при помощи точки наверху. Под границей любого
/с-мерного алгебраического комплекса Uk = ^ и^Е^ понимается сум-
ма границ его отдельных /с-мерных симплексов:
т'т*
U =
В соответствии с этим выполняются следующие правила:
(uk±vky = irk±vk, (i)
(mUky = mUk. B)
Кроме того, из
(mUky =0ит^0 следует Uk = 0. C)
В самом деле, по формуле B) (mUk)' = mUk = 0, вследствие чего
Uk=0.
Границу нульмерного алгебраического комплекса мы будем счи-
считать равной нулю по определению. Если граница /с-мерного алгебраи-
алгебраического комплекса равна нулю, то такой комплекс называется циклом.
Таким образом каждый нульмерный комплекс есть цикл. Из форму-
формулы A) вытекает, что сумма и разность двух циклов снова есть цикл.
Поэтому /с-мерные циклы образуют подгруппу Zk группы Lk Для /с = 0
Z0 совпадает с L0.
Относительно границы алгебраического комплекса имеет место
следующая важная теорема.
Теорема. Граница каждого алгебраического комплекса есть
цикл.
Доказательство. Так как граница комплекса есть сумма границ
ориентированных /с-мерных симплексов, то достаточно показать, что
граница ориентированного симплекса Ек есть цикл. При этом можно
считать, что /с > 1, так как граница одномерного симплекса, будучи
нульмерным комплексом является циклом по определению. Пусть
Ек = (Р0Р1...Рк) (/с>1).
Пусть Ек~2 есть какой-нибудь инцидентный с Ек (к — 2)-мерный
симплекс. Так как в символе (PqPi ¦ ¦ ¦ Рк) любые (/с — 1) букв можно

84
Глава III
при помощи четной перестановки перевести на последние места, то мы
можем без всякого ограничения общности допустить, что вершинами
симплекса Ек~2 являются как раз Р2, Рз, ..., Р/с- По определению гра-
границы
Ёк = {Р1Р2 ... Рк) - (Р0Р2 ...Рк) + ...
Поэтому
(?fe)- = (P2...Pfe)-(P2...Pfe) + ...
Но никакие другие симплексы границы, кроме двух написанных,
не содержат всех вершин Р2, ...,Рк. Поэтому симплекс (P2...Pfe)
в (Ек)' не входит, т.е.
(Еку =0.
Пример.
Пусть Кп есть приведенный на рис. 38 ком-
комплекс К2, представляющий симплициальное раз-
разбиение кругового кольца. Треугольники комплек-
комплекса К2, ориентированные как указано стрелка-
стрелками и взятые каждый с коэффициентом 1, об-
образуют алгебраический комплекс U2. Для того
чтобы определить границу этого комплекса, рас-
рассмотрим последовательно все стороны треуголь-
треугольников. Сторона (PiPs) не входит в U , так как
единственные примыкающие к ней два треуголь-
треугольника, -(-(PtPiPs) и -КР2Р5Р1), индуцируют в ней
противоположные ориентации, именно +(PiPs)
и +(P5-Pl)- Точно так же в U2 не входят (Р1Р4)
Рис. 38 и все остальные внутренние стороны треугольни-
треугольников. Напротив, к стороне внешнего контура (Р1Р2) примыкает только один
треугольник -{-(Р5Р1Р2), индуцирующий в ней ориентацию +(PlP2). Поэто-
Поэтому +(PlP2) входит в U2 с коэффициентом 1. Таким образом, U2 состоит из
всех сторон внутреннего и внешнего контуров, причем каждую такую сто-
сторону нужно брать в ориентации, указанной стрелками с коэффициентом 1.
Мы видим, что и есть действительно цикл. В данном случае уже стороны
внешнего контура сами по себе образуют цикл В\, так же как стороны вну-
внутреннего образуют цикл В\. Сторона +(PiP2), например, индуцирует в Рг
ориентацию +(Рг), а сторона +(РгРз) ориентацию — (Рг), вследствие чего Рг,
как и любая другая вершина, входит в (U2)' с коэффициентом 0.
Примечание. В случае произвольного поля коэффициентов J понятие
границы вводится следующим образом. Рассмотрим сначала «одночленный
комплекс» иЕк, т.е. алгебраический комплекс, у которого только один сим-
симплекс имеет отличный от нуля коэффициент. Если граница ориентированно-
k
го симплекса Ек есть Y^ Щ; S T0 полагаем

§ 17. Гомологичные алгебраические комплексы 85
После этого полагаем для любого алгебраического комплекса Uk = k
Uk =Y,{uhEkhy.
Пользуясь последовательно языком функций, определяем границу алге-
алгебраического комплекса Uk = f(Ek) сразу в предположении любого поля ко-
коэффициентов следующим образом. Пусть Ек~г входит в границы ориентиро-
ориентированных симплексов Ек, Ек, ..., Ек соответственно со знаками ei, ?2, • • •, ?s',
тогда определяем функцию f(Ek~1) так:
Этим определено значение функции f(Ek~1) для любого (к — 1)-мер-
ного ориентированного симплекса (данного абсолютного комплекса К); эта
функция удовлетворяет, как легко видеть, условиям § 15 и представляет со-
собою, следовательно, (к — 1)-мерный алгебраический комплекс поля коэффи-
коэффициентов J. Этот (к — 1)-мерный алгебраический комплекс называется гра-
границей алгебраического комплекса f(E ). Читателю предоставляется самому
убедиться в том, что это определение только по форме отличается от преды-
предыдущего.
§ 17. Гомологичные алгебраические комплексы
Из того, что граница алгебраического комплекса представляет
цикл, не вытекает еще, что справедливо и обратное — что всякий цикл
является границей некоторого алгебраического комплекса. Так, напри-
например, внешний контур В\ кругового кольца, о котором мы только что
говорили, не является границей никакого алгебраического комплекса
на К2. Если /с-мерный цикл Uk является границей (к + 1)-мерного ал-
алгебраического комплекса Uk+1 на Кп, то говорят, что Uk ограничивает
или гомологичен нулю на Кп. Это обозначают так:
Uk ~0.
Точнее следовало бы написать:
Uk ~ 0 на Кп,
подразумевая под этим, что Uk+1 лежит на Кп (т.е. Uk+1 есть алге-
алгебраический подкомплекс комплекса Кп). В соответствии с этим
Uk ~ 0 на к,
если к есть подкомплекс комплекса Кп, содержащий Uk+1. Если Uk ~ О
на к, то подавно Uk ~ 0 на Кп; обратное может быть неверно.

86 Глава III
Вообще два цикла или алгебраических комплекса называются го-
лологичными друг другу, если они отличаются друг от друга гомоло-
гомологичным нулю циклом, т. е. если их разность есть цикл, гомологичный
нулю:
Uk ~ Vk, если Uk - Vk ~ 0.
Соотношение Uk ~ Vk называется гомологией.
Так 1сак граница гомологичного нулю цикла, как и всякого цикла,
равна 0, то из Uk ~ Vk следует, что
(Uk-Vky =0, т.е. Uk = Vk.
Таким образом гомологичные друг другу алгебраические комплексы
имеют одну и ту же границу.
Пусть
ик ~ о, vk ~ о.
Тогда
[/fe = f/fe+1 Vfe = Vk+1.
По формуле A) § 16
т.е.
[/fe ± Vk ~ 0.
Сумма и разность гомологичных нулю циклов снова есть цикл,
гомологичный нулю. Отсюда следует, что гомологичные нулю /с-мер-
/с-мерные циклы образуют подгруппу Hfe в группе Zk всех /с-мерных циклов.
Таким образом гомологии можно складывать, вычитать и умножать
на целые числа. Напротив, как мы сейчас увидим на примере, гомо-
гомологии нельзя делить: из mUk ~ 0 не следует, вообще говоря, Uk ~ 0.
Далее, из Uk ~ Vk и Vk ~ Wk следует Uk ~ Wfe, так как вместе
с циклами Uk — Vk и Vk — Wk гомологична нулю и их сумма Uk — Wk.
Поэтому все /с-мерные циклы можно разбить на классы гомологичных
между собой циклов, так называемые классы гомологии. Такой класс
образуют, например, все гомологичные нулю /с-мерные циклы.
Пример 1. Рассмотрим одномерные классы гомологии (разбитого на
треугольники) кругового кольца (фиг. 38), причем будем пользоваться обо-
обозначениями и результатами предыдущего параграфа. Мы видели, что
Поэтому
В\ + Bi ~ 0 ИЛИ В\ ~ -В].

§ 17. Гомологичные алгебраические комплексы 87
В\ и — В\ принадлежат, таким образом, одному и тому же классу гомологии.
Покажем, что любой одномерный цикл U1 гомологичен циклу В}, взятому
с некоторым коэффициентом. В самом деле, если U1 содержит, например,
сторону внешнего контура, то ее моясно заменить двумя другими сторонами
примыкающего к этой стороне треугольника, прибавляя к U границу А1 это-
этого треугольника (надлеясащим образом ориентированного). Так как А1 ~ О,
то мы получаем при этом цикл 'U1, гомологичный циклу U1, не содерясащий
сторон внешнего контура. Если, далее, 'U1 содержит «диагональную» сто-
сторону, например +(PiPs), то ее также моясно заменить сторонами +(PiPi) +
+ (Р4Р5). Поступая аналогично со всеми входящими в 'U1 диагональными
сторонами, мы получим гомологичный U1 цикл "U1, не содерясащий ни внеш-
внешних, ни диагональных сторон. Но тогда "U1 может содерясать лишь стороны
внутреннего контура. Если бы туда входила, например, «радиальная» сто-
сторона (Р5Р2) с каким-нибудь отличным от нуля коэффициентом, то соответ-
соответственно ориентированная точка Рг входила бы в ("U1) с таким же коэффи-
коэффициентом, так как в "U1, кроме стороны (Р5Р2), не имеется никаких других
сторон, инцидентных с Рг. Но "U1 цикл, ("С/1) = 0; поэтому Рг не может
входить в ("U1)', т.е. Р5Р2 не может входить в "U1. Таким образом, "U1
состоит целиком из сторон внутреннего контура. Легко видеть, что каясдая
из этих сторон входит в "U1 с одним и тем же коэффициентом, так как ина-
иначе "U1 не было бы циклом. Поэтому окончательно мы можем утверждать,
что
"U1 =mBJ,
где то — целое число.
Мы доказали, что каясдый одномерный цикл рассматриваемого разбие-
разбиения кругового кольца гомологичен одному из циклов
0, ±В}, ±2В\, ±ЗВ},...
С другой стороны, никакие два из этих циклов не могут быть гомологичны
друг другу. В самом деле, если
/ т->1 И 7">1
то Bi ~ то Bi,
то (то.' — т")В1 = тВ\ ~ 0. Докажем, что тогда непременно то = 0, т.е.
то' = то".
Пусть тВ\ является границей двумерного алгебраического комплекса.
Какой-нибудь треугольник, примыкающий к стороне внутреннего контура,
входит тогда в этот алгебраический комплекс также с коэффициентом то.
Так как внутренние стороны, по условию, не входят в границу двумерного
комплекса, то и все другие треугольники входят в этот комплекс с коэффи-
коэффициентом то, т. е. наш двумерный комплекс = mil2. Граница его = то(-В„ -\-В})
и может быть равна тВ}, лишь когда то = 0. Таким образом показано, что
круговое кольцо имеет бесчисленное мноясество одномерных классов гомоло-
гомологии, в качестве представителей которых могут быть взяты циклы вида тВ\.
Пример 2. Пусть Кп проективная плоскость Р2, заданная в симпли-
циальном разбиении, показанном на рис. 39. Заметим, что приведенный на

Глава III
рисунке круг изображает проективную плоскость (§ 2) лишь после отожде-
отождествления противоположных вершин и сторон его граничной окружности.
При таком понимании рис. 39 представляет не что иное, как сокращенное
описание схемы симплипиального разбиения комплекса Р . Так, например,
обе точки Р на рисунке представляют одну и ту ясе точку проективной плос-
плоскости.
Алгебраический комплекс А1, состоя-
состоящий из четырех ориентированных сто-
сторон верхней полуокружности, взятых
каждая с коэффициентом единица, не
отличается от алгебраического ком-
комплекса, составленного таким ясе спо-
способом из четырех нижних сторон. Ес-
Если ориентировать все треугольники
так, что два треугольника, примыка-
примыкающие к обшей стороне, леясащей вну-
внутри круга, индуцируют в ней про-
противоположные ориентации, то полу-
получится двумерный алгебраический ком-
комплекс U2, причем if2 = 2A1. Поэто-
Поэтому 2А1 ~ 0. Легко видеть, что вся-
всякий двумерный комплекс, граница ко-
которого есть комплекс А1, взятый с ка-
каким-нибудь коэффициентом, сам име-
имеет вид kU2. В самом деле, так как ни
одна из средних сторон треугольников
не может входить в границу такого комплекса, то каждый из треугольников
должен входить туда с одним и тем ясе коэффициентом. Но граница ком-
комплекса kU2 равна -\-2kA1. Отсюда вытекает, что А1 представляет одномер-
одномерный цикл проективной плоскости (проективную прямую), не гомологичный
нулю; но тот ясе цикл, взятый с коэффициентом 2, уже ~ 0. Таким образом
мы видим, что из 2А1 ~ 0 еще не следует, что А1 ~ 0. Всякий одномерный
цикл U1 проективной плоскости либо ~ 0, либо ~ А1, т. е. проективная плос-
плоскость имеет только два одномерных класса гомологии. В самом деле, если
цикл U1 не лежит целиком на граничной окружности, то тем ясе способом,
который мы применяли при изучении кругового кольца, мы можем заме-
заменить его циклом 'U1, гомологичным U1 и леясащим целиком на периферии
круга. Для этого нуясно заменять шаг за шагом каясдую среднюю сторону
двумя другими сторонами примыкающего к ней треугольника (соответству-
(соответствующим образом выбранного и ориентированного). Так как 'U1 есть цикл, то
он непременно представляет цикл А1, взятый с некоторым коэффициентом.
Если коэффициент этот четный, то 'U1 ~ 0. Итак, 'U1 и, следовательно, U1
либо ~ 0, либо ~ А1.

§ 18. Группы Бетти 89
§ 18. Группы Бетти
С теоретико-групповой точки зрения классы гомологии представ-
представляют не что иное, как смежные классы разложения абелевой груп-
группы Ък, состоящей из всех /с-мерных циклов, по ее подгруппе Hfe, обра-
образованной циклами, гомологичными нулю. В самом деле, два цикла Uk
и Vk гомологичны тогда и только тогда, когда их разность гомологична
нулю, т. е. когда они принадлежат одному и тому же смежному классу
группы Ък по подгруппе Hfe. Поэтому, если под суммой двух классов
гомологии Нк и Нк понимать класс гомологии, в котором находится
сумма какого-нибудь цикла из Нк с каким-нибудь циклом из Нк, то
/с-мерные классы гомологии сами образуют абелеву группу. Эта груп-
группа, являющаяся дополнительной группой Zfe/Hfe, называется /с-мерной
группой Бетти Вк симплициального комплекса Кп. Поскольку мы
изучаем лишь определенное симплициальное разбиение полиэдра, есте-
естественно возникает вопрос, почему мы рассматриваем именно эту допол-
дополнительную группу, а не дополнительную группу, скажем, всех /с-мер-
/с-мерных комплексов по подгруппе /с-мерных циклов. Причина этого кро-
кроется в том, что группы Бетти любого выбранного симплициального
разбиения являются топологическими инвариантами полиэдра. Пред-
Предположение об их топологической инвариантности возникает само собой
при рассмотрении уже простейших примеров: кругового кольца, про-
проективной плоскости, тора (см. следующий параграф). Однако доказа-
доказательство инвариантности вовсе не просто. Оно будет проведено в IV
главе.
В то время как группы Lk, Zk, Hfe представляют собою решет-
решетки, т. е. свободные абелевы группы с конечным числом образующих,
группа Бетти Bfe, кроме нуля, может содержать, вообще говоря, и дру-
другие элементы конечного порядка. С другой стороны, Bfe имеет также
лишь конечное число образующих, как дополнительная группа абеле-
абелевой группы Zk с конечным числом образующих. Поэтому Bfe есть пря-
прямая сумма конечного числа циклических групп — именно, рк свободных
циклических групп и рк циклических групп, имеющих конечные поряд-
порядки ск, ск, ..., скк. При этом каждое число с можно считать делителем
предыдущего (§ 86)*. Числа рк и ск, ск, ..., скк однозначно определя-
определяются группой Вк и полностью характеризуют ее. рк называется к-ым
(или к-мерным) числом Бетти; ск, ск, ..., скк — к-мерными коэффи-
коэффициентами кручения симплициального комплекса К. Название «коэф-
«коэффициенты кручения» может быть оправдано, как мы позже увидим, на
примере пространства линзы (§ 61).
Рассмотрим образующий элемент каждого из рк + рк циклических
Напоминаем еще раз, что верхний индекс указывает размерность, а не является
показателем степени.

90 Глава III
прямых слагаемых групп Вк. Каждый из этих элементов представляет
собою класс гомологии. Выберем по представителю из каждого класса.
Мы получаем рк + рк /с-мерных циклов
Ак,...,Акрк, Вк,...,Вкрк. A)
Каждый /с-мерный цикл Uk гомологичен тогда линейной комбинации
этих циклов
Uk ~ ЬА* + ЬАк + ... + ?ркАкк+ тВк + щВк + ... + Г1ркВкк. B)
Так как с^А1^ ~ 0, то коэффициент ^ можно выбрать положительным
числом, меньшим чем с^: 0 ^ ?м < с*. Коэффициенты же r\v не связаны
никакими ограничениями. Очевидно, что при этих условиях коэффици-
коэффициенты ?м, r\v определяются циклом Uk однозначно. Составленная таким
путем система рк +рк /с-мерных циклов A) называется к-мерной базой
гомологии.
Существование коэффициента кручения с^ указывает на существо-
существование цикла, гомологичного нулю лишь в том случае, если он взят с ко-
коэффициентом, делящимся на с*.
Число Бетти рк представляет максимальное число гомологично
независимых циклов комплекса Кп. /с-мерные циклы Uk, Uk, ..., Uk
(взятые в конечном числе) называются гомологично независимыми, ес-
если между ними не существует никакого соотношения вида
по крайней мере с одним отличным от нуля коэффициентом. Если же
существует хоть одно такое соотношение, то они гомологично зависи-
зависимы. Каждый из циклов Ак^ базы гомологии A) представляет цикл, го-
гомологично зависимый сам по себе, так как с^А1^ ~ 0. Напротив, циклы
Вк, Вк, ..., Вкк гомологично независимы, так как цикл
гцВк + щВ% + ... + ripkBkk
гомологичен нулю лишь в том случае, когда все г/ равны нулю. В ком-
комплексе Кп не может существовать больше, чем рк гомологично незави-
независимых циклов, так как в силу соотношении B) любой /с-мерный цикл,
взятый с надлежащей кратностью, например с кратностью ск, гомоло-
гомологичен линейной комбинации рк циклов В\, Вк, ..., Вкк.
Нульмерная группа Бетти связного симплициального комплекса
есть всегда свободная циклическая группа. В качестве базы гомологии
можно выбрать любой ориентированный нульмерный симплекс, напри-
например Е®. Пусть, действительно, Е®, Е%, ¦¦¦, Е^о суть все нульмерные

§ 18. Группы Бетти 91
симплексы комплекса Кп, ориентированные положительно (знаком +)
и пусть
U0 = ихЕ^ + u2El + ...+ uaoElo
есть произвольный нульмерный цикл. Соединим вершины Е® и Е® пу-
путем, составленным из ребер (одномерных симплексов) комплекса — это
можно сделать вследствие связности комплекса Кп — и ориентиру-
ориентируем эти ребра так, чтобы каждые два ребра, примыкающие к общей
вершине, индуцировали в ней противоположные ориентации. Ориен-
Ориентированный таким образом путь является уже одномерным комплек-
комплексом U1 и U1 = ±(Е% - Е°), т.е. Е° ~ Е%. Поэтому U0 гомологичен
симплексу Ei, взятому с коэффициентом (ui+U2 + ¦ ¦ ¦ + иао). С другой
стороны, цикл Е®, взятый с произвольным коэффициентом за исклю-
исключением коэффициента 0, не может быть ~ 0, так как в границу любо-
любого одномерного симплекса одна вершина входит с коэффициентом +1,
другая же с коэффициентом —1; сумма коэффициентов = 0, и то же са-
самое имеет место для границы любого одномерного комплекса, т. е. для
любого гомологичного нулю нульмерного цикла. Тем самым доказано,
что Е® есть база гомологии и нумерная группа Бетти является сво-
свободной группой с одной образующей. Нульмерные классы гомологии
можно характеризовать еще проще при помощи алгебраического значе-
значения нульмерного цикла. Под алгебраическим значением нульмерного
цикла мы понимаем сумму коэффициентов всех ориентированных по-
положительно нульмерных симплексов, входящих в цикл. Тогда можно
сказать, что в связном комплексе два нульмерных цикла гомологичны
друг другу тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые алгебра-
алгебраические значения.
Столь же легко показать, что если Кп состоит из т компонент (изо-
(изолированных подкомплексов), то его нульмерная группа Бетти является
свободной абелевой группой, имеющей т образующих. Таким образом,
нульмерных коэффициентов кручения не существует.
При к > п группа Бетти Вк состоит из одного нулевого элемен-
элемента, так как в этом случае имеется только один /с-мерный класс гомоло-
гомологии, составленный из единственного существующего /с-мерного цикла,
именно, нулевого цикла. При к = п классов гомологии имеется столь-
столько же, сколько n-мерных циклов, т. е. из Un ~ V™ можно заключить,
что Un = Vn. Это вытекает из того, что кроме нулевого (п + 1)-мер-
ного комплекса в Кп не существует никаких других (п + 1)-мерных
комплексов. Будем называть /с-мерные комплексы f/f, [/J, • • •, U* ли-
линейно зависимыми или независимыми, смотря по тому, существует или
не существует для них линейное соотношение вида
hU* + t2U% + ... + UU* = О
по крайней мере с одним отличным от нуля коэффициентом. Тогда
можно сказать, что для к = п понятие линейной зависимости эк-

92 Глава III
вивалентно с понятием гомологической зависимости. Поэтому п-мер-
ное число Бетти рп равно максимальному числу линейно независимых
n-мерных циклов, п-мерные коэффициенты кручения равны нулю, так
как из mUn ~ 0 следует mUn = 0 и, если Un ± 0, то т = 0.
Остановимся коротко на том, как определяются группы Бетти для
бесконечных комплексов. Алгебраический комплекс в этом случае со-
составляется, как и раньше, из конечного числа симплексов. Граница,
цикл и гомологии определяются так же, как для конечных комплек-
комплексов. Элементами /с-мерной группы Бетти являются классы гомологии
/с-мерных циклов. Однако группы Бетти бесконечного комплекса име-
имеют, вообще говоря, бесконечное число образующих, так что их нельзя
характеризовать числами Бетти и коэффициентами кручения.
§ 19. Вычисление групп Бетти в простейших
случаях
1. Каждый одномерный цикл U1 кругового кольца (стр. 86) гомоло-
гомологичен в этом кольце некоторому кратному цикла В\, и никакое кратное
этого цикла не ~ 0. Поэтому одномерная группа Бетти представляет
свободную циклическую группу, базой гомологии которой является В].
Как мы показали выше, В0 также есть свободная циклическая группа.
В2 состоит только из нулевого элемента, так как в круговом кольце
вообще не существует отличных от нуля двумерных циклов. Таким об-
образом круговое кольцо имеет следующие числа Бетти:
р° = 1, р1 = 1, р2 = 0.
Коэффициенты кручения равны нулю для всех размерностей.
2. Проективная плоскость (стр. 87) имеет два одномерных, класса
гомологии. В1 представляет группу 2-го порядка. Базой гомологии яв-
является цикл А1 (проективная прямая). Так как на проективной плоско-
плоскости не существует двумерных циклов, то В2 состоит только из нулевого
элемента:
р° = 1, р1 = о, р2 = 0.
Наконец, в этом случае имеется один одномерный коэффициент кру-
кручения, равный 2.
3. Тор. Пусть тор задан симплициальным разбиением квадрата
(рис. 40) с отождествленными противоположными сторонами (стр. 13).
Ребра симплициального разбиения распадаются на внутренние
и граничные. Внутренние ребра, в свою очередь, можно разбить на вер-
вертикальные, горизонтальные и диагональные. Для определения групп
Бетти мы поступаем так же, как в случае кругового кольца.
I. Для каждого одномерного цикла U1 существует гомологичный
ему цикл, составленный целиком из граничных ребер. В самом деле,
каждое внутреннее вертикальное или диагональное ребро, входящее в

§ 19. Вычисление групп Бетти в простейших случаях
93
цикл U1, можно заменить двумя другими сто-
сторонами примыкающего к этому ребру спра-
справа треугольника; для этого достаточно приба-
прибавить к U1 гомологичный нулю цикл — гра-
границу этого треугольника (надлежащим обра-
образом ориентированного). Точно так же каждую
внутреннюю горизонтальную сторону мож-
можно заменить двумя сторонами примыкающе-
примыкающего к ней снизу треугольника. После конечного
числа таких замен мы получим гомологичный
циклу U1 цикл 'U1, лежащий целиком на гра-
границе квадрата. Так как 'II1 = О, то каждое
Ог
Ь,
О
О
Рис. 40
из ориентированных ребер стороны а квадрата входит в 'U1 с одним
и тем же коэффициентом, например а, а каждое из ребер стороны Ь —
с одним и тем же коэффициентом C.
Обозначим одномерный цикл, составленный из всех ребер сторо-
стороны а, взятых с коэффициентом 1 в ориентации, указанной на рисунке,
буквой а1 и соответствующий цикл для стороны Ь — буквой Ь1. Тогда
= аа1
(ЗЬ1.
Таким образом, классы гомологии циклов а1 и Ь1 являются образую-
образующими одномерной группы Бетти.
П. Докажем, что аа1 + (ЗЬ1 ~ 0 лишь если а = f3 = 0. Ориенти-
Ориентируем все треугольники квадрата так, чтобы каждые два треугольни-
треугольника, примыкающие к внутреннему ребру, индуцировали в этом ребре
противоположные ориентации. Граница двумерного алгебраического
комплекса U2, составленного из всех этих ориентированных треуголь-
треугольников, равна нулю, т. е. этот комплекс является циклом, потому что
противоположные стороны квадрата на торе совпадают. Пусть теперь
аа1 + (ЗЬ1 ~ 0. Этот одномерный цикл является границей двумерного
алгебраического комплекса, содержащего все треугольники квадрата
одинаковое число раз, так как внутренние ребра в границу не входят.
Другими словами, аа1 + (ЗЬ1 является границей комплекса U2, взятого
с некоторым коэффициентом: аа1 + Cb1 = (ml/2)'. Но U2 есть цикл,
(mil2)' = 0, следовательно, аа1 + /ЗЬ1 = 0. Циклы а1 и Ъ1 не имеют об-
общих одномерных симплексов. Поэтому а = C = 0. Одномерная группа
Бетти В1 представляет свободную абелеву группу с двумя образующи-
образующими, за базу гомологии которой можно принять циклы а1 и Ь1 (меридиан
и экватор тора). В0 и В2 суть свободные циклические группы. Таким
образом
р° = 1, рг=2, р2 = 1;
коэффициенты кручения отсутствуют.
Если бы квадрат, изображенный на рис. 40, был разбит на тре-
треугольники не тремя, а большим числом горизонтальных и вертикаль-

94 Глава III
ных линий и соответствующим количеством диагональных линий, то
получившийся при этом симплициальный комплекс имел бы, очевидно,
те же группы Бетти. Вообще, если симплициальное разбиение тора не
слишком сложно, то легко показать, что его группы Бетти такие же,
какие только что были получены нами. Поэтому естественно возника-
возникает предположение, что группы Бетти вовсе не зависят от выбранного
симплициального разбиения, а определяются тором как окрестностным
пространством (как полиэдром). Однако пока мы этого еще не доказа-
доказали (доказательство приведено в гл. IV), мы должны считаться с воз-
возможностью существования разбиений, ведущих к другим результатам,
отличным от полученных выше.
4. Симплициальная звезда. Пусть Кп — симплициальная звезда
с центром О и краем Кп~1 и Uk — любой /с-мерный цикл на Кп
(к > 0). Покажем, что Uk можно заменить гомологичным ему цик-
циклом 'Uk, не содержащим /с-мерных симплексов края Кп~г. В самом
деле, если такой симплекс, например Ек = e(PoPi ¦ ¦ ¦ Рк) входит в Uk
с коэффициентом и, то, вычитая из Uk границу симплекса
Ек+1=е(ОР0Р1...Рк),
умноженную на и, мы получим гомологичный Uk цикл, не содержа-
содержащий Ек. Таким способом мы можем по очереди избавиться от всех при-
принадлежащих Кп~г симплексов Uk, мы получим тогда цикл 'Uk ~ Uk,
у которого все /с-мерные симплексы инцидентны с О. Но такой цикл 'Uk
непременно = 0. Докажем это от противного: допустим, что в 'Uk вхо-
входит симплекс 'Ек с коэффициентом 'и. Тогда сторона 'Ек~г симплек-
симплекса 'Ек, противоположная вершине О, входит в ('Uk)' с тем же коэф-
коэффициентом, так как 'Ек есть единственный /с-мерный симплекс, имею-
имеющий 'Ек~г своей стороной и О вершиной. Но (rUk)' = 0, поэтому и 'и
должно быть равно 0. Тем самым показано, что при к > 0 каждый
k-мерный цикл симплициальной звезды гомологичен нулю:
р° = 1, р1 =р2 = ...=рп=0.
Коэффициенты кручения отсутствуют.
5. п-мерный симплекс. Так как n-мерный симплекс можно рас-
рассматривать как симплициальную звезду, центром которой является ка-
какая-нибудь вершина, а краем (звезды) — противоположная этой вер-
вершине сторона, то каждая группа Бетти n-мерного симплекса, за исклю-
исключением нульмерной, состоит только из нулевого элемента.
6. Сфера п измерений. Возьмем в качестве исходного тетраэдраль-
тетраэдральное симплициальное разбиение сферы (стр. 72). n-мерная сфера Sn
представляет при этом границу (п + 1)-мерного симплекса Еп+1. Но
тогда из пункта 5 следует, что всякий цикл Uk на Sn при к > 0 гомоло-
гомологичен нулю на Еп+1, т. е. является границей алгебраического комплек-

§20. Слабые гомологии 95
са Uk+1 , причем, за исключением случая, когда к + 1 = п + 1, Uk+1
сам лежит на Sn. Таким образом (при 0 < к < п) Uk ~ 0 на Sn.
Напротив, при к = п Uk+1 представляет комплекс, состоящий из
одного ориентированного симплекса Еп+1, взятого с некоторым коэф-
коэффициентом:
Uk+1=uEn+1,
так как в этом случае существует только один (п+1)-мерный симплекс.
Поэтому
Uk =uEn+1,
При и±0 иЕп+1 не может быть гомологичен нулю на Sn, ввиду то-
того что Sn имеет размерность п. Таким образом получается следующий
результат: каждая группа Бетти границы (п + 1)-мерного симплекса,
за исключением нульмерной и п-мерной, состоит только из нулевого
элемента, нульмерная же и п-мерная группы являются свободными
циклическими группами:
р° = 1, р1 =р2 = ...=рп-1 =0, рп = 1.
Коэффициенты кручения равны нулю.
С простыми примерами комплексов, имеющих любое количество
коэффициентов кручения, принимающих произвольные значения, мы
встретимся при рассмотрении трехмерных многообразий (см. гл. IX,
§ 61 и упражнение 4 § 62).
§ 20. Слабые гомологии
В последовательность решеток Lfe, Zfe, Hfe можно вставить еще одну
решетку Hfe, состоящую из всех /с-мерных циклов, каждый из которых,
взятый с отличным от нуля коэффициентом, принадлежит группе Hfe.
Очевидно, такие циклы образуют свободную абелеву группу, так как
если cUk и dVk входят вН* (с ф 0, d ф 0), то и cd(Uk ± Vk) принадле-
принадлежат Hfe, т.е. вместе с каждыми двумя циклами Uk и Vk принадлежит
к Н§ также их сумма и разность. Hfe есть подгруппа группы Н§, а Н§,
в свою очередь, является подгруппой Zk. Действительно, cUk входит
в Hfe и, следовательно, есть цикл, а тогда по формуле C) § 16 и Uk
представляет цикл. Мы получим последовательность решеток
Lk ryk xjfc xjfc
, Z/ , n0, n ,
каждая из которых содержится в предыдущей.
Циклы, входящие в группу Н§, называются слабо гомологичными
нулю (слабая гомологичность нулю обозначается так «). Таким обра-
образом

96 Глава III
означает, что существует целое число с ф 0 такое, что cUk ~ 0. Два
алгебраических комплекса Тк и Nk называются слабо гомологичными
друг другу,
Г к ^_, rjik
1 ~ 12 >
если их разность « 0. Соотношение такого вида называется слабой го-
гомологией.
Применимость по отношению к слабым гомологиям операций сло-
сложения, вычитания и умножения на целое число является только выра-
выражением групповых свойств группы Н§. Однако в противоположность
обыкновенным, сильным, гомологиям, слабые гомологии можно также
делить на отличное от нуля число. В самом деле
bWk и 0 A)
означает, что c(bWk) ~ 0 при некотором с ф 0. Допустим, сверх того,
что и Ь ф 0. Но тогда cbWk ~ 0, т. е.
Wk и 0. B)
Из A) следует, таким образом, B).
Рассмотрим разложение Нд по своей подгруппе Hfe. Покажем, что
классами смежности такого разложения являются элементы конечно-
конечного порядка дополнительной группы Bfe = Zfe/Hfe. В самом деле, каж-
каждый цикл из Нд, взятый с некоторым отличным от нуля коэффици-
коэффициентом, принадлежит к Hfe. Обратно, каждый цикл, кратное которого
есть цикл, гомологичный нулю, принадлежит Нд по определению. По-
Поэтому Нд содержит классы гомологии конечного порядка и только эти
классы, т.е. дополнительная группа Hg/Hfe есть подгруппа, составлен-
составленная из элементов конечного порядка группы Бетти. Эта подгруппа на-
называется к-мерной группой кручения. Ее порядок равен произведению
/с-мерных коэффициентов кручения.
Разлагая группу Zfe по подгруппе Нд, мы получаем разбиение всех
циклов на классы слабо гомологичных друг другу циклов. Группа
Zfe/H0 называется k-мерной приведенной группой Бетти комплекса13.
В силу теоретико-групповых соотношений (§ 83) приведенная груп-
группа Бетти Zfe/Hg изоморфна дополнительной группе (Zfe/Hfe)/(Hg/Hfe),
т.е., приведенную группу Бетти можно рассматривать как допол-
дополнительную группу {полной) группы Бетти Bfe = Zfe/Hfe, no группе
кручения Но /Н . Но В представляет прямую сумму группы кручения
и свободной абелевой группы с рк образующими. Поэтому приведенная
группа Бетти сама есть свободная абелева группа с рк образующи-
образующими. С помощью группы Нд осуществляется, таким образом, разложе-
разложение группы Бетти на конечную часть — группу кручения, и бесконеч-

§20. Слабые гомологии 97
ную — приведенную группу Бетти. Подчеркнем, однако, что приведен-
приведенная группа Бетти является, конечно, не подгруппой, а дополнительной
группой группы Бетти.
Базу гомологии также можно разбить на базу кручений и базу
слабых гомологии. Представим группу кручения в виде прямой суммы
циклических групп порядков ск, ск, ..., скк, где ск — /с-мерные коэф-
коэффициенты кручении. Выберем из каждой из этих групп по образую-
образующему элементу (которым служит определенный класс гомологии) и из
каждого выбранного класса по одному представителю. Выбранные рк
циклов образуют базу кручения. Точно так же, представляя приведен-
приведенную группу Бетти в виде прямой суммы рк свободных циклических
групп, выбирая из каждой по образующему элементу (которым служит
класс слабо гомологичных между собой циклов) и затем по представи-
представителю каждого класса, мы получим рк циклов, образующих базу слабых
гомологии. Каждый цикл комплекса слабо гомологичен линейной ком-
комбинации этих рк циклов. В базе гомологии
-^1 > ^2 > • • • > Ар* > В\ > В2, ¦ ¦ ¦, Врк,
введенной на стр. 90, Ак образуют базу кручения, Вк — базу слабых
гомологии. Переход от одной базы слабых гомологии
к другой
/ г>к I -тук I -тук
&\-> Щ> ¦ ¦ ¦ > врь
осуществляется при помощи унимодулярного преобразования с цело-
целочисленными коэффициентами
В случае тора (§ 19, пример 3) база кручения отсутствует, — группа
кручения состоит только из нулевого элемента. Базу слабых гомологии
образуют циклы аг(= В\) и Ь1{= В\), медиан и параллель тора. В слу-
случае проективной плоскости (§ 19, пример 2) отсутствует база слабых
гомологии, а база кручения состоит из цикла А1 — проективной пря-
прямой.
Выпишем вместе все группы и решетки, встретившиеся нам до сих
пор:
Lfe — решетка /с-мерных алгебраических комплексов;
Ък — решетка /с-мерных циклов;
Н§ — решетка слабо гомологичных нулю /с-мерных циклов;

98
Глава III
Hfe — решетка гомологичных нулю («сильно») /с-мерных циклов;
Вк = Zfe/Hfe — группа Бетти (полная);
Тк = Hg/Hfe — группа кручения;
Bg = Zfe/Hg = Bfe/(Hg/Hfe) — приведенная группа Бетти.
§ 21. Вычисление групп Бетти при помощи матриц
инциденций
Выше мы дали определение групп Бетти. Теперь мы хотим пока-
показать общий прием, позволяющий, по крайней мере для конечного ком-
комплекса, вычислить эти группы. С этой целью представим, что все сим-
симплексы определенным образом ориентированы (нульмерные знаком +)
и обозначены буквами
тогда при 0 ^ к ^ п — 1 имеют место граничные соотношения
a
(A = 1,2,...,
A)
Матрицу
можно рассматривать как таблицу с двойным входом. Левый вход об-
образуют ориентированные /с-мерные симплексы, верхний вход — сим-
симплексы размерности (к + 1). На пересечении х-й строки с А-м столб-
столбцом стоит коэффициент е^.л, показывающий, с какой ориентацией сим-
симплекс El входит в границу симплекса Е^+1. ек<х равен +1 или —1,
смотря по тому, имеет ли симплекс Е\ ориентацию, индуцирован-
индуцированную симплексом Е^+1 или противоположную ей. Если же симплек-
симплексы Е^ и Е^+1 вообще неинцидентны, то ек>сХ = 0. Матрица Efe на-
называется к-мерной матрицей инциденций симплициального разбиения
комплекса14.
Матрицы инциденций Е° и Е1 симплициального комплекса, состо-
состоящего из одного двумерного симплекса Е2, при ориентациях, указан-
указанных на рис. 41, имеют вид:
Е°
Е°г
Е°2
Е$
El
0
+1
-1
Щ
-1
0
+1
я!
-1
+i
0
Е1
El
El
El
Е2
+1
+1
-1

§21. Вычисление групп Бетти при помощи матриц инциденций 99
Е
Симплициальный комплекс полнос-
полностью определяется матрицами инциден-
инциденций. В самом деле, с помощью этих матриц
мы можем узнать все (к — 1)-мерные сторо-
стороны симплекса Е^, для каждой такой сторо-
стороны мы можем определить ее (к — 2)-мерные
стороны и т. д., пока мы не дойдем до вер-
вершин симплекса Е%- Таким образом матри-
матрицами инциденций определяется схема ком-
комплекса и, следовательно, сам комплекс. По-
Поэтому все свойства комплекса должны по-
получаться из матриц инциденций. Это спра-
справедливо, в частности, и для групп Бетти;
мы покажем сейчас, как можно найти эти группы, зная матрицы ин-
инциденций.
Если в уравнении A) к > 0, то, взяв границы обеих частей урав-
уравнения, мы получим соотношение
Рис. 41
= E
1=1
4л Е ^я?-1 =
x=i i=i
a / a
так как
есть цикл. Но симплексы
Ек~х = О,
линейно независимы, по-
поэтому каждый из коэффициентов в отдельности равен нулю:
fe-1 к
Эту систему уравнений мож:но заменить, пользуясь обозначениями ис-
исчисления матриц , одним уравнением
Efe-lEfe = g
= l, 2,
B)
Эти уравнения являются арифметическим выражением того, что гра-
граница алгебраического комплекса есть цикл; ведь каждое из них в от-
отдельности означает только, что граница границы (к + 1)-мерного сим-
симплекса равна нулю.
Ориентированные симплексы
См. О. Шрейер и Е. Шпернер, Теория матриц, ОНТИ, 1936.

100 Глава III
образуют базу свободной абелевой группы Lfe всех /с-мерных алге-
алгебраических комплексов. Введем вместо них для каждой размерности
к = 0, 1, 2, ..., п новую базу
Тогда для элементов новой базы имеют место граничные соотношения
ттк+1 _ \~^ i к ттк
появляющиеся вместо соотношений A) и дающие новые матрицы 'Efe.
Для этих новых матриц также выполняются соотношения
/Efe-i/Efe = 0)
вследствие того, что граница алгебраического комплекса, как и раньше,
есть цикл. Постараемся теперь выбрать для каждой решетки Lk (к =
= 0, 1, ..., п) новую базу так, чтобы новые матрицы имели возможно
более простую, каноническую форму Hfe. Переход от исходной базы
к новой мы будем производить последовательно, шаг за шагом. При
этом каждый шаг будет заключаться в том, что мы меняем только один
элемент базы одной определенной размерности. Замена осуществляется
при помощи следующих двух элементарных преобразований:
а) заменой симплекса Е\ алгебраическим комплексом
Ь) заменой симплекса Е\ комплексом U\ = —Е\.
В результате преобразования а) все базисные элементы [/?, за
исключением U*, совпадают с прежними базисными элементами Е^.
Вследствие этого меняются только матрицы инциденций Е* и Е*.
В Е* изменению подвергается только т-й столбец. Чтобы найти, как
он меняется, составим U\:
r'rt ( T?t I T?t\- \ ^ (Л—\ I Л — l\rrt — 1 \ ^ /_t—lrrt —1
CT=1 CT=1
т.е.
Таким образом, чтобы получить 'Е*, нужно прибавить к т-му столбцу
матрицы Е* ее v-й столбец.

§21. Вычисление групп Бетти при помощи матриц инциденций 101
В матрице Е* в левом входе Е\ заменяется алгебраическим ком-
комплексом U\ = Е\ + El, в то время как верхний вход остается без изме-
изменений. Составив
Dа-
мы видим, что
'е* = е* для цфи,
iFt _ t t
ev\ — ev\ ~ ?tA>
т. е. 'Е* получается из Е* вычитанием т-й строки из v-vs..
Элементарное преобразование Ь) изменяет знак в т-м столбце мат-
матрицы Е* и в т-й строке матрицы Е*.
Заменив посредством элементарныхпреобразований базу Е ба-
базой U, мы можем затем применить элементарное преобразование к ба-
базе U и заменить ее базой V. Матрицы 'Efe подвергаются при этом таким
же изменениям, как раньше матрицы Efe. В частности, посредством
преобразований а) и Ь) можно осуществить в Е* прибавление одной
строки к другой. Чтобы прибавить, например, т-ю строку к v-й мы ме-
меняем знак т-й строки, применяем преобразования а) и восстанавливаем
затем первоначальный знак т-й строки.
Отсюда следует, что с помощью элементарных преобразований а)
и Ь) можно осуществить элементарные преобразования матрицы (сло-
(сложение строк и столбцов, умножение строки или столбца на —1 ). По-
Посредством этих преобразований целочисленную матрицу можно при-
привести к указанной в § 87 канонической форме. Каноническая форма
матрицы имеет такой вид: на главной диагонали вверху слева стоят
инвариантные множители, число которых равно рангу матрицы; все
же остальные элементы матрицы в канонической форме равны нулю.
Заметим, между прочим, что элементарные преобразования а) и Ь) являются
частными случаямч целочисленных унимодулярных преобразований, переводящих
базис Е* в новый базис U*. Вообще из формулы A) следует, что при таких преоб-
преобразованиях ряд коэффициентов е*^1 при фиксированном а преобразуется по ин-
индексу т когредиентно с Е%, ряд же е*тХ преобразуется — при Л фиксированном —
контрагредиентно (см. §71). Так как мы в дальнейшем не будем пользоваться об-
общими целочисленными унимодулярными преобразованиями, то мы ограничиваемся
здесь элементарными преобразованиями. Можно показать, что каждое целочислен-
целочисленное унимодулярное преобразование можно свести к ряду преобразований а) и Ь).
Однако, так как это нам в дальнейшем не понадобится, доказательство мы опуска-
опускаем.

102
E°
Нульмерные
комплексы
Одномерные
комплексы
\
~* а
Глава III
нЧ
Нульмерные
комплексы
Одномерные
комплексы
1 0
а —г
о о
а-г
Рис. 42
Рис. 43
Мы хотим теперь определенным образом нормализировать мат-
матрицы инциденций. Начнем с того, что приведем матрицу Е° к указан-
указанной выше канонической форме (рис. 42). Применяя затем элементар-
элементарные преобразования, мы можем переставить инвариантные множители
так, чтобы они отсекали правый верхний угол матрицы Е° (рис. 43).
Число инвариантных множителей равно рангу 7° матрицы Е°. Про-
Производя указанную перестановку инвариантных множителей в Е°, мы
одновременно переставляем строчки матрицы Е1, так как левый вход
матрицы Е1 совпадает с верхним входом матрицы Е°. Но произведе-
произведение Е°Е1, как мы знаем, равно нулю, поэтому последние 7° строк пре-
преобразованной матрицы Е1 должны состоять сплошь из нулей.
Будем, далее, преобразовывать верхние а1 — 7° строчек мат-
матрицы Е1. Их преобразованиям соответствуют преобразования пер-
первых а1 —7° столбцов матрицы Е°, а так как эти столбцы состоят сплошь
из нулей, то величины eiito не изменятся. Могут измениться лишь эле-
элементы верхнего входа. Е° примет при этом свою окончательную, нор-
нормальную форму, которую мы обозначим через Н°. Далее, выполняя
преобразования столбцов матрицы Е1 (эти преобразования вообще не
влияют на матрицу Н°), мы приведем Е1 к нормальной форме Н1,
в которой инвариантные множители занимают такое же положение,
как в Н°. Остальные матрицы, до Е™ включительно, преобразовы-
преобразовываются шаг за шагом таким же способом.
Приведенная к нормальной форме Hfe матрица инциденций Efe
имеет своими элементами сплошь нули, за исключением элементов,
расположенных на диагональном отрезке, отсекающем верхний правый
угол матрицы (рис. 44). На этом отрезке стоят сначала рк отличных от 1
чисел с\, с*, ¦ ¦ ¦, скк, каждое из которых является делителем предыду-
предыдущего и которые служат, как мы покажем, /с-мерными коэффициентами
кручения. Остальные числа этого отрезка суть 7fe — рк единиц.
*При нормализации не играет никакой роли то, что Е°, Е1, ..., Е™ являются
матрицами инциденций симплициального комплекса. Нам придется воспользовать-
воспользоваться только соотношениями Efc-1Efc = 0.

§21. Вычисление групп Бетти при помощи матриц инциденций 103
В'
k-l
k-l
г-1
Ак
!
вк
ск
\
г
I
Ак
вк
Ck
Ак+1ВШ
—
L
N
--
ck+i
\
>
Jk-l
г
Рис. 44
Описанная нормализация матриц инциденций позволяет без тру-
труда прийти к цели, так как нормальные формы Hfe дают возможность
определить группы Lfe, Ък и Hfe /с-мерных алгебраических комплексов,
циклов и циклов, гомологичных нулю, и затем найти группы Бетти.
Мы покажем сейчас, как это производится.
Последние jk~1 из /с-мерных алгебраических комплексов, стоящих
в верхнем входе матрицы Нк~1 (к = 1, 2, ..., п), имеют границу, от-
отличную от нуля, так как в последних столбцах матрицы Hfe-1 стоят
инвариантные множители с\~г, cip1, ••-, cfe]7-i- Обозначим эти алге-
алгебраические комплексы буквами
Пусть
суть первые 7fe из алгебраических комплексов левого входа матри-
матрицы Hfe (к = 0, 1, 2, ..., п — 1). Они являются, очевидно, циклами слабо
гомологичными нулю (« 0). В самом деле, в последних 7fe столбцах Hfe
стоят инвариантные множители ск, ск, ..., скк. Поэтому граничные со-
соотношения суть
w \ — С \ ./i \ I /Л — -L, Zi. ...,/ . /С — U, -L, .... ТЬ J. ). I О )
Д Л Л V 77 7/7 77 7 / \/
Алгебраические комплексы и циклы Ск и Ак не должны существо-
существовать непременно для каждого к от 0 до п. Так, для к = 0 С0 не
существует, ввиду того что каждый нульмерный комплекс есть цикл.
Для к = п отсутствуют Ак, так как в n-мерном комплексе не существу-
существует (п + 1)-мерных симплексов и, следовательно, не может существовать
слабо гомологичных нулю n-мерных циклов (кроме n-мерного нулево-
нулевого комплекса). Ясно, что Ак и Ск отличны друг от друга, так как Ск

104 Глава III
имеют не равную нулю границу, в то время как Ак суть циклы. Одна-
Однако Ак иСк, вообще говоря, еще не исчерпывают всех ак элементов базы
/с-мерных алгебраических комплексов. Обозначим остальные элементы
этой базы буквами
k k
Эти элементы, очевидно, как и Ак, являются циклами, но не циклами,
слабо гомологичными нулю. Их число
рк = ак-1к-1к~1 D)
при 0 < к < п. При к = 0 р° = а0 - 7°, при к = п рп = ап - 7™-
Если условиться, что j~1 = jn = 0, то формула D) будет иметь место
при всех к от 0 до п.
Так как верхний вход матрицы Нк~1 представляет базу решет-
решетки Lk всех /с-мерных алгебраических комплексов (к = 1, 2, ..., п), то
мы можем теперь каждый такой комплекс Vk записать в виде
7« р« 7*-i
Vk - V хк,Ах + V vkBk + V zkCk
7—1 jU— 1 i^—1
A1^ и В^ суть циклы. Поэтому Vk есть цикл только в том случае, если
У 7(
к fe-1 дк-1 _ п
а это мож;ет быть вследствие линейной независимости комплексов Ак~г
лишь в том случае, когда все zk = 0. При /с = 0 комплексы С° отсут-
отсутствуют и каждый цикл также представляется линейной комбинацией
циклов А°х и ??°.
Таким образом, при к = 0, 1, ..., п свободная абелева группа Ък
всех /с-мерных циклов представляет группу, имеющую своими образу-
образующими 7 циклов А\ и рк циклов В^.
Переходим теперь к подгруппе Hfe /с-мерных циклов, гомологичных
нулю. Для того чтобы /с-мерный цикл
^ Т.УкЛ (к = 0,1,...,п-1) E)
А=1 м=1
был гомологичен нулю, нуж;но, чтобы он был границей (к + 1)-мерного
комплекса. Но (к + 1)-мерные комплексы Ак+1 и В& + ' суть циклы.

§21. Вычисление групп Бетти при помощи матриц инциденций 105
Поэтому Vk должен быть границей линейной комбинации комплек-
комплексов и
Л
\
\A=1 / A=l
Циклы .Ад и B\ линейно независимы. Поэтому правые части уравне-
уравнений E) и F) должны быть равны друг другу тождественно, откуда
следует, что
~fc _ ~к+1 к к _ п
х\ — ZX СЛ> Уц — и-
Таким образом, /с-мерный цикл E) тогда и только тогда гомологичен
нулю, когда его коэффициенты удовлетворяют условиям
хкх = 0 (mod с*), у* = 0. G)
Эти соотношения должны выполняться и при к = п, так как Ап от-
отсутствуют и единственный гомологичный нулю n-мерный цикл есть
n-мерный нулевой комплекс. Итак, два цикла Vk и 'Vk принадлежат
к одному классу гомологии (к = 0, 1, ..., п) в том и только в том слу-
случае, когда
хкх = 'хкх (mod с*) и у* = 'у*. (8)
Если поэтому в равенстве E) вместо коэффициентов х\ взять их вы-
вычеты ?д по модулю Сд:
0 < & < А, (9)
то получится соотношение
А=1
По условию (9) в этом соотношении отсутствуют все А\, для кото-
которых Сд = 1, так что индекс А в первой сумме пробегает значения от 1
до рк, где рк есть число отличных от 1 инвариантных множителей мат-
матрицы Efe. В силу соотношений (8) коэффициенты ?д и г/^ однозначно
определяются циклом Vk.
Другими словами, из соотношений G) и (8) следует, что порядки
циклических подгрупп группы Бетти Bfe, образующими которых яв-
являются циклы Ак, Ак, ..., Акк, равны соответственно ск, ск, ..., скк.
Циклические же подгруппы с образующими Вк, Вк, ..., Вк суть сво-
свободные циклические группы. В силу A0) каждый элемент группы Бет-
Бетти однозначно определяется как сумма элементов, взятых по одному из

106 Глава III
каждой такой подгруппы. Таким образом Вк есть прямая сумма этих
подгрупп. А\, А\, ..., Акк образуют вместе с циклами Вк, В\, ..., Вкк
базу гомологии, циклы же Вк, Вк, ..., Вкк сами по себе представляют
/с-мерную базу слабых гомологии. рк = ак — jk — jk~1 является числом
Бетти, а ск, ск, ..., скк /с-мерными коэффициентами кручения. Вместе
с тем группы Бетти определены полностью, и мы получаем следующую
теорему:
Теорема. Пусть ак есть число к-мерных симплексов симпли-
циального комплекса Кп ujk— ранг матрицы инциденций Efe. Тогда
k-мерное число Бетти
к к к к—Л
рК = аК - 7 - 7
G = 7™ = 0)- к-мерными коэффициентами кручения являются от-
отличные от единицы инвариантные множители матрицы Efe; они от-
отсутствуют, наверное, при к = п.
Числа Бетти и коэффициенты кручения называются иногда чис-
численными инвариантами комплекса, в противоположность другим ма-
математическим объектам, инвариантно связанным с комплексом, вроде
фундаментальной группы (которая будет рассмотрена дальше).
§ 22. Кусочные алгебраические комплексы
Хотя теоретически группы Бетти всегда можно вычислить при по-
помощи матриц инциденций, практически осуществить это по большей
части трудно. Рассмотрим, например, приведенное на рис. 40 (стр. 93)
симплициальное разбиение тора. Здесь а0 = 9, а1 = 27, а2 = 18. Та-
Таким образом приходится иметь дело с матрицами, имеющими по 27
рядов. Не говоря уже о приведении к каноническому виду, даже выпи-
выписывание таких матриц представляет большую работу. Поэтому жела-
желательно иметь более простой способ вычисления численных инвариантов
и групп Бетти. Такой способ мы получим, если в качестве элементов
/с-мерных комплексов будем рассматривать не отдельные симплексы,
как до сих пор, а более сложные образования, которые мы будем на-
называть кусками. Так же как из отдельных симплексов мы составляли
симплициальные комплексы, мы будем из таких кусков составлять ку-
кусочные комплексы и с их помощью определять группы Бетти.
Итак, для каждой размерности к = 0, 1, ..., п мы выбираем конеч-
конечное число симплициальных комплексов, называемых к-мерными куска-
кусками,
Пк Пк Пк
Для этих кусков должны выполняться следующие условия:

§22. Кусочные алгебраические комплексы 107
(Kyci). Q\, Qfe, ..., Q^k линейно независимы, т.е. из
следует всегда t\ = ?2 = ... = t^k = 0. Это условие выполняется,
например, если никакие два куска Q\ и Q^ не имеют общих /с-мерных
симплексов.
Линейная комбинация таких кусков называется кусочным алгебра-
алгебраическим комплексом. Так как куски линейно независимы, то два кусоч-
кусочных комплекса J^ t^Q1^ и S '^р$р, равны (совпадают) тогда и только
тогда, когда t\ = 't\, ?2 = '?2, • • •, tak = 'tak- Кусочные комплексы яв-
являются специальным образом составленными симплициальными ком-
комплексами, поэтому каждый кусочный комплекс имеет определенную
границу и можно говорить о кусочных циклах и кусочных циклах, го-
гомологичных нулю. Дальнейшие требования, налагаемые на кусочные
комплексы, таковы:
(Кусг). Граница (к + 1)-мерного кусочного комплекса есть /с-мер-
ный кусочный комплекс. Очевидно, достаточно потребовать вместо
этого, чтобы граница каждого (к + 1)-мерного куска была бы /с-мер-
ным кусочным комплексом:
Ч\ — 1_,е>с\Ч>с (,А — 1, 2, ..., а ). A)
(Кусз). Для каждого /с-мерного симплициального цикла существу-
существует кусочный цикл.
(КуС4). Если /с-мерный кусочный цикл гомологичен нулю, т.е. яв-
является границей (к + 1)-мерного симплициального комплекса, то он
является также границей (к + 1)-мерного кусочного комплекса.
Условия (KyCi)-(KyC4) взаимно непротиворечивы, так как сим-
симплексы Кп, взятые с какой-нибудь ориентацией, могут рассматривать-
рассматриваться как куски специальной кусочной системы, для которой, очевидно,
выполняются все четыре условия.
Для нахождения групп Бетти нужно теперь рассмотреть вместо
симплициальных алгебраических комплексов, составленных из «мел-
«мелких» элементов-симплексов, кусочные симплексы, образованные бо-
более «массивными» ячейками-кусками. Вычисление производится со-
совершенно таким же способом, как раньше. Разница лишь в том, что
исходным пунктом теперь являются не матрицы инциденций симпли-
симплициального комплекса, а матрицы кусочных инциденций
"Там, где это не может внести неясности, мы будем иногда вместо выражения
«алгебраический комплекс» говорить просто «комплекс».

108 Глава III
определяемые граничными соотношениями A). Мы, однако, проведем
вывод полностью, чтобы посмотреть, где именно приходится пользо-
пользоваться условиями (KyCi)-(KyC4).
Рассмотрим границу обеих частей равенства A), считая, что к > 0.
Так как Qkx+1 есть цикл, то его граница равна нулю, то-есть:
У У ё^Лё^ 1Qk = 0.
Вследствие линейной независимости кусков Qk~x, это равносильно
условию
ак
\^^k-li=k п „ „ Vk~1Vk П
> 6. ? \ = U ИЛИ -Ej ?j = U.
Применяя к кускам Qk, стоящим в левых и верхних входах матриц,
унимодулярные преобразования, мы приведем, как в § 21, одновремен-
но все матрицы Е к нормальным формам Н . Кусочные комплексы,
стоящие во входах матриц Н , по-прежнему линейно независимы и для
каждой размерности распадаются на три категории:
1. Комплексы Ах (А = 1, 2, ..., 7ук). Это циклы слабо гомологич-
гомологичные нулю.
2. Комплексы Вм (// = 1, 2, ..., рк). Это также циклы, но они не
гомологичны нулю ни с каким отличным от нуля множителем.
3. Комплексы Cv (у = 1, 2, ..., 7ук~1)- Эти комплексы уже не
являются циклами и
При этом 7 есть ранг матрицы Е , Ик суть инвариантные множ:ители
этой матрицы и рк = ак — jk — 7ук~1 (считая, что 71 и 7™ = 0). Далее
выводится, как и раньше, что всякий /с-мерный кусочный цикл есть
линейная комбинация циклов Ах и Вм. /с-мерный же кусочный цикл,
гомологичный нулю, т. е. в силу условия (КуС4) являющийся границей
(/с + 1)-мерного кусочного комплекса, есть линейная комбинация цик-
^
лов с^А^. Таким образом каждый кусочный цикл, а следовательно,
вследствие условия (Кусз), и каждый симплициальный цикл, гомоло-
гомологичен одной и только одной линейной комбинации вида
где 0 ^ ?i < ёд, а 77М — любое целое число. Но это значит, что те А , для
которых соответствующие инвариантные множители не равны едини-

§22. Кусочные алгебраические комплексы 109
це, вместе с В образуют /с-мерную базу гомологии, а ?? в отдельно-
отдельности — базу слабых гомологии. Поэтому число Бетти
рк =рк = ак - 7fe - 7к~г, B)
а коэффициенты кручения суть отличные от 1 инвариантные множи-
тели с^ = ск матрицы Е .
Пример 1. За кусочную систему тора (§ 19) моясно взять вершину О,
одномерные циклы а1 и б1 (меридиан и экватор тора) и двумерный комплекс
(цикл) U2, составленный из всех соответствующим образом ориентирован-
ориентированных двумерных симплексов тора. Условие (Kyci) выполняется, так как взя-
взятые fc-мерные куски не имеют общих fc-мерных симплексов. Условие (Кусг)
также выполняется, так как все наши куски суть циклы. Условие (Кусз) вы-
выполняется при к = 0 вследствие того, что каясдые два нульмерных симплекса
связного комплекса гомологичны меясду собой; при к = 1 — вследствие того
что по доказанному выше каясдый одномерный цикл ~ aa1+/3b1; при к = 2 —
потому что все двумерные циклы являются кратными куска (цикла) U2, об-
образованного из всех двумерных симплексов нашей поверхности. Наконец,
условие (Кус4) также выполняется: при к = 0 единственный гомологичный
нулю нульмерный кусочный цикл есть нулевой комплекс. При к = 1 то же
самое показано в п. II на стр. 93. Наконец, двумерных циклов, гомологич-
гомологичных нулю (кроме нулевого комплекса), не существует. Кусочные матрицы
инциденций имеют вид
1 и2
О
б1
Из этих матриц сразу получаются известные уже нам группы Бетти тора.
Пример 2. В качестве кусочной системы октаэдрального разбиения
сферы (§ 14) моясно взять две диаметрально-противоположные вершины эк-
экватора, две соединяющих эти вершины экваториальные полуокружности
(каясдая из этих полуокруясностей состоит из двух одномерных симплексов)
и две полусферы, на которые разбивается экватором. От такого кусочного
разбиения сферы моясно легко перейти к кусочному разбиению проективной
плоскости. Для этого нужно произвести барицентрическое подразделение на-
нашего симплекциального комплекса и затем отоясдествить диаметрально-про-
диаметрально-противоположные куски кусочного разбиения сферы. Получающиеся кусочное
разбиение проективной плоскости содерясит по одному куску каясдой раз-
размерности. Аналогичное разбиение применимо к проективному пространству
любого числа измерений, и мы можем таким путем для проективного про-
пространства Рп любой размерности получить кусочные матрицы инциденций
и найти с их помощью группы Бетти. Однако доказательство того, что мы
получаем при этом, действительно, кусочное разбиение проективного про-
пространства, представляет некоторые затруднения. Мы поэтому не произво-
производим вычислений, а в дальнейшем покажем (стр. 155) более простой метод
нахоясдения групп Бетти проективного пространства Рп.

110 Глава III
Понятие кусочного комплекса будет играть весьма важную роль
в теории многообразий (см. §41,61,67).
§ 23. Алгебраические комплексы и числа Бетти по
модулю 2. Формула Эйлера
Мы уже видели (см. §15, примечание I), что наряду с числочис-
ленными алгебраическими комплексами можно определить и алгебра-
алгебраические комплексы относительно любого поля коэффициентов J. При
этом J есть произвольная абелева группа. Мы в этом параграфе по-
подробно рассмотрим случай, когда J есть конечная группа G2, состо-
состоящая из двух элементов. Эту группу, очевидно, можно представлять
себе как группу [кольцо и даже алгебраическое поле (тело)] вычетов
по модулю 2, в соответствии с чем ее элементы мы будем обозначать
символами б и 1 с такими формулами для сложения:
0 + 0 = 0, 0 + 1=1, 1 + 1 = 0. A)
Алгебраические комплексы по группе G2 мы будем называть алгебра-
алгебраическими комплексами по модулю 215.
В соответствии с нашим общим определением (§ 15), /с-мерный ал-
алгебраический комплекс по модулю 2 есть конечная линейная форма
itf = ?>??, B)
где коэффициенты щ суть вычеты по модулю 2: б или 1. Так как из
соотношений A) следует, что в группе G2
-1 = 1,
то формула A) из § 15 переходит в
_Ek = Ек_
Другими словами, в теории алгебраических комплексов по моду-
модулю 2 мы не различаем две ориентации одного и того же симплекса, или,
что то же самое, мы рассматриваем симплексы без ориентации.
Это обстоятельство позволяет непосредственно определить /с-мер-
/с-мерный алгебраический комплекс по модулю 2 следующим образом: к-мер-
к-мерный алгебраический комплекс по модулю 2 абсолютного комплекса К
получается, если каждому абсолютному (т. е. неориентированному)
k-мерному симплексу комплекса К отнести один из вычетов по мо-
модулю 2: б или 1; при этом мы предполагаем, что лишь конечному чис-
числу симплексов отнесен вычет 1. Мы можем, конечно, сказать и так:

§23. Алгебраические комплексы и числа Бетти по модулю 2 111
/с-мерный алгебраический комплекс по модулю 2 есть линейная фор-
форма B), в которой коэффициенты суть вычеты по модулю 2, а «пере-
«переменные» Ек, суть неориентированные /с-мерные симплексы (данного
абсолютного комплекса К)*.
Алгебраические комплексы по модулю B) можно складывать как
линейные формы, руководствуясь при этом правилом A).
Отсюда следует, что /с-мерные алгебраические комплексы по мо-
модулю 2 данного абсолютного комплекса К образуют абелеву груп-
группу Lk(K). Нетрудно видеть, что в случае конечного комплекса К груп-
группа Lk(K) состоит из конечного числа элементов.
Каждому целочисленному алгебраическому комплексу U2 соответ-
соответствует алгебраический комплекс Uk по модулю 2, полученный заменой
каждого коэффициента в комплексе Uk его вычетом по модулю 2.
Наоборот, каждому комплексу Qk по модулю 2 соответствует бес-
бесконечно много целочисленных алгебраических комплексов Uk: они по-
получаются, если произвольно ориентировать каждый симплекс Qk и его
коэффициент щ в Qk заменить произвольным целым числом, имею-
имеющим по модулю 2 вычет щ. Все эти целочисленные комплексы будут,
очевидно, сравнимы между собой по модулю 2 (т. е. одному и тому же
симплексу в разных комплексах будут соответствовать коэффициенты
одной и той же четности).
Вышеописанный переход от целочисленного комплекса Uk к ком-
комплексу по модулю 2 Uk есть, очевидно, гомоморфное отображение
группы Lk(K) на группу Lk(K).
Комплекс Uk естественно называть вычетом по модулю 2 цело-
целочисленного комплекса Uk.
Граница к-мерного (неориентированного) симплекса получается,
если каждой (/с — 1)-мерной (неориентированной) грани отнести вы-
вычет 1. Она, таким образом, есть /с-мерный алгебраический комплекс по
модулю 2.
Граница любого алгебраического комплекса по модулю 2 есть сумма
границ составляющих его симплексов, причем суммирование произво-
производится по модулю 2, т.е. в соответствии с правилом сложения A).
Поэтому (/с — 1)-мерный симплекс Ек~х принадлежит к границе
алгебраического комплекса Uk no модулю 2 в том и только в том слу-
случае, если он инцидентен с нечетным числом симплексов из Uk. Гра-
Границу нульмерного комплекса по модулю 2 мы полагаем равной нулю по
определению. Мы можем теперь перенести все понятия, введенные для
обычных алгебраических комплексов, на алгебраические комплексы по
модулю 2.
*Это определение показывает, что fc-мерные алгебраические комплексы по моду-
модулю 2 данного абсолютного комплекса К взаимно однозначно соответствуют конеч-
конечным fc-мерным абсолютным подкомплексам комплекса К (т. е. конечным fc-мерным
абсолютным комплексам, составленным из симплексов комплекса К).

112 Глава III
Алгебраический комплекс по модулю 2 Uk называется циклом,
если граница его равна нулю:
Так, например, совокупность всех треугольников проективной плоско-
плоскости, изображенной на рис. 39, образует по модулю 2 цикл, так как
к каждому ребру примыкает в точности два треугольника. Напротив,
обыкновенные двумерные циклы (не по модулю 2) на проективной
плоскости, как мы знаем, не существуют. Всякий однородный в смысле
§ 12 подкомплекс, не имеющий границы, есть цикл по модулю 2.
Все нульмерные алгебраические комплексы по модулю 2 суть цик-
циклы. Цикл по модулю 2 называется гомологичным нулю, если он являет-
является границей (к + 1)-мерного комплекса. Два алгебраических комплекса
по модулю 2 (не обязательно циклы) называются гомологичными друг
другу, если их разность есть гомологичный нулю цикл по модулю 2.
Мы можем теперь разбить все циклы по модулю 2 на классы гомо-
гомологичных между собой циклов. Если определять сумму двух классов
при помощи сложения представителей этих классов, то эти классы го-
~ к ~ к
мологий можно рассматривать как элементы группы В • В является,
очевидно, группой, аналогичной группе Бетти Вк, и называется к-мер-
ной группой Бетти по модулю 2 симплициального комплекса Кп. Для
~ к
конечного комплекса Кп В является конечной группой, так как су-
существует только конечное число различных /с-мерных алгебраических
к
комплексов по модулю 2, именно 2а , и тем более конечное число клас-
классов гомологии. Uk+ Uk всегда равно нулю, поэтому каждый отличный
~ к ~ к
от нуля элемент группы В имеет порядок 2. Таким образом В есть
прямая сумма конечного числа, например qk, групп второго порядка.
qk называется к-мерным числом Бетти по модулю 2 комплекса Кп*.
Комплексы по модулю 2
Uk,Uk,...,Uk C)
называются линейно независимыми, если не существует никакого со-
соотношения вида
h U? + ... + ir Uk = 0 D)
по крайней мере с одним отличным от б коэффициентом I. Пусть ком-
комплексы C) являются, сверх того, циклами (все по модулю 2), они на-
называются гомологично независимыми, если гомология
h Uk + ... + ir Uk ~ 0 E)
Число Бетти по модулю 2 называют иногда fc-м или fc-мерным числом связности.
Какой смысл имеет это название, будет показано в §41 (теорема).

§23. Алгебраические комплексы и числа Бетти по модулю 2 113
может иметь место лишь при всех t = б. В противном случае говорят
о линейно зависимых комплексах или гомологично зависимых циклах
по модулю 2. Например, г различных /с-мерных симплексов линейно
независимы.
Пример системы гомологично независимых /с-мерных циклов по
модулю 2 мы получим, если возьмем в каждой из qk групп второго по-
~ к
рядка, являющихся прямыми слагаемыми группы В , по элементу (т. е.
по классу гомологии по модулю 2), отличному от нуля, и выберем затем
по представителю из каждого такого класса. Такая система qk циклов
по модулю 2 называется к-мерной базой Бетти по модулю 2. Пока-
Покажем, что qk есть максимальное число гомологично независимых по мо-
модулю 2 циклов. В самом деле, допустим, что циклы Uk, Uk, ..., Uk
гомологично независимы. Тогда никакие две из всех возможных ли-
линейных комбинаций i\Uk +. .. + tr Uk не гомологичны друг другу, т. е.
существует по крайней мере 2Г различных классов гомологии. Но все-
к к ~ h
го таких классов существует 29 , так как 29 есть порядок группы В .
Поэтому г < qk, т. е. к-мерное число Бетти по модулю 2 является
максимальным числом k-мерных гомологично независимых циклов по
модулю 2. Мы получаем полную аналогию с обычными числами Бетти.
Аналогично тому как раньше мы вычисляли числа Бетти из мат-
матриц инциденций, мы можем теперь вывести числа Бетти по модулю 2
из матриц инциденций по модулю 2. Матрицы эти получаются из гра-
граничных соотношений B):
Ё*-1 = fe1) (t = 1, 2, ..., а*; к = 1, 2, ..., ак; к = 1, 2, ..., п).
Процесс нормализации матриц проводится почти дословно так же, как
раньше. Только теперь приходится говорить не просто об алгебраиче-
алгебраических комплексах, а об алгебраических комплексах по модулю 2. Эле-
Элементами матриц инциденций являются уже не целые числа, а вычеты б
и 1. Вместо соотношения Efe~1Efe = 0, от которого существенным об-
образом зависел процесс нормализации, теперь имеет место соотношение
где под б подразумевается матрица, состоящая из ак~х строк и ак+1
столбцов, каждый элемент которой есть б. Второе из элементарных пре-
преобразований а) и Ь) § 21 теперь отпадает, так как замена комплекса по
модулю 2 комплексом, противоположным по знаку, в силу соотноше-
соотношения 1 = — 1 есть тождественное преобразование. Матрица Efe инциден-
инциденций по модулю 2, приведенная к нормальной форме Hfe, имеет своими
элементами сплошь б, за исключением элементов «диагонального» от-
отрезка, отсекающего правый верхний угол матрицы Hfe. Каждый из этих
последних элементов равен 1. Число их мы обозначим буквой дк.

114 Глава III
Алгебраические комплексы по модулю 2, стоящие во входах мат-
матриц Ё°, Ё1, ..., Ё™, представляют (при каждом /с) ак /с-мерных сим-
симплексов комплекса Кп. Поэтому они линейно независимы, и каждый
/с-мерный алгебраический комплекс по модулю 2 является их линейной
комбинацией. Но это свойство, очевидно, сохраняется при элементар-
элементарных преобразованиях; поэтому таким же свойством обладают и алге-
алгебраические комплексы по модулю 2, стоящие во входах нормированных
матриц Н°, Н1, ..., Н". Комплексы эти распадаются для каждой
размерности на три категории А\, Bk, Ck. Ck (v = 1, 2, ..., 5к~1)
суть последние 8к~1 из комплексов, стоящих в верхнем входе матри-
матрицы iik~1. Эти комплексы не являются циклами, так как в каждом со-
соответствующем им столбце стоит по элементу 1. А\ (А = 1, 2, ..., 8к)
представляют первые дк комплексов, стоящих в левом входе матри-
матрицы Hfe. Это — гомологичные нулю циклы, так как
*~ik+l л к (\ 1 о ск\ /с\
С\ = Ах (А = 1, 2, ..., 5 ). F)
Остальные алгебраические комплексы по модулю 2 мы обозначаем че-
через Вк (/л = 1, 2, ..., ак — 5к — 5к~1). Они являются циклами, но не го-
гомологичными нулю*. Произвольный /с-мерный цикл по модулю 2 мож-
можно представить в виде линейной комбинации циклов А\ и Вк. Так
как Ад ~ 0, то произвольный цикл гомологичен линейной комбинации
?
G)
С другой стороны, никакая линейная комбинация вида G) не гомоло-
гомологична нулю, так как в граничные соотношения F) входят только А\.
Поэтому Вк представляет к-мерную базу гомологии по модулю 2,
а к-мерное число Бетти по модулю 2 есть
При этом д~г и дп нужно считать равными нулю. дк есть ранг мат-
матрицы Hfe, т. е. наивысший из порядков отличных от нуля детерминан-
детерминантов (миноров) этой матрицы. Ранг матрицы, очевидно, не меняется
'Алгебраические комплексы по модулю 2 А*?, ??*, С* не являются, вообще го-
говоря, вычетами по модулю 2 введенных в §21 алгебраических комплексов А^, В*,
С*. Если, например, алгебраический комплекс С* в нормированной матрице ин-
циденций Hfc-1 стоит под четным коэффициентом кручения, то соответствующий
комплекс по модулю 2 есть цикл и поэтому не может быть ни одним из комплексов
(по модулю 2) С*.

§23. Алгебраические комплексы и числа Бетти по модулю 2 115
при сложении ее строк и столбцов. Поэтому 8к является одновременно
и рангом исходной матрицы инциденций по модулю 2 Efe.
Числа Бетти рк и числа Бетти по модулю 2 qk связаны соотношени-
соотношением, которое мы сейчас установим. Матрица инциденций Efe содержит дк
четных и, следовательно, jk — gk нечетных инвариантных множите-
множителей (к последним присчитываются, конечно, и множители, равные 1).
Но тогда нормальная форма Hfe матрицы Efe содержит минор поряд-
порядка jk — дк, величина которого нечетна (именно, равна произведению
всех нечетных инвариантных множителей), в то время как все ее ми-
миноры порядка (гук—дк + 1) имеют уже четные значения. Этим свойством
обладает и матрица Efe, так как общие наибольшие делители миноров
матрицы являются инвариантами матрицы при элементарных преобра-
преобразованиях (§ 87). Отсюда следует, что если мы перейдем теперь от мат-
матрицы Efe к матрице инциденций по модулю 2 Efe, заменив все четные
элементы матрицы Efe числом б, а все нечетные — числом 1, то матри-
матрица Efe будет иметь минор {^к — дк)-то порядка, равный 1, в то время
как все ее миноры Gfe — дк + 1)-го порядка равны б. Таким образом,
ранг матрицы Efe
Sk = jk — дк.
Подставив соответствующие значения в формулу (8), мы получим
Но в скобке здесь находится число Бетти рк (см. стр. 106). Следова-
Следовательно, окончательно мы получаем соотношение
дк=рк+дк+дк-1. A1)
При этом
д-1=дп = О.
Мы видим, таким образом, что к-мерная группа Бетти по моду-
модулю 2 определяется к-мерной и (к — 1)-мерной группами Бетти. Дей-
Действительно, эти группы определяют число Бетти рк, а также /с-мерные
и (к — 1)-мерные коэффициенты кручения. Следовательно, они опре-
определяют числа дк и дк~г, а вместе с тем и группу Бетти по модулю 2.
Число Бетти по модулю 2 qk не может быть меньше, чем обычное
число Бетти рк.
Для алгебраических комплексов по модулю 2 также можно опре-
определить кусочные комплексы и с их помощью вычислять группы Бетти
по модулю 2. При этом нужно ввести условия, соответствующие усло-
условиям (Kyci)-(Kyc4). Мы предлагаем читателю провести полностью все
рассуждение в качестве упражнения.

116 Глава III
В рассмотренных нами примерах комплексов, для которых были
вычислены группы Бетти, единственным комплексом, имевшим коэф-
коэффициент кручения и притом нечетный, была проективная плоскость
(стр. 92). Для нее д1 = 1, поэтому q1 = р1 + д1 = 1, q2 = р2 + д2 = 1.
Действительно, на проективной плоскости существует один одномер-
одномерный не гомологичный нулю цикл по модулю 2 (проективная прямая)
и один двумерный, — именно цикл, составленный из всех треугольни-
треугольников симплициального разбиения. Во всех остальных примерах коэффи-
коэффициенты кручения отсутствуют и числа Бетти по модулю 2 совпадают
с обычными числами Бетти.
Эйлерова характеристика. Рассмотрим альтернированную сумму
чисел Бетти по модулю 2. Воспользовавшись формулой A1) и прини-
принимая во внимание, что д~г = дп = 0, нетрудно убедиться, что эта сумма
равна альтернированной сумме чисел Бетти (обычных). Далее, на осно-
основании формулы
рк =
(стр. 106) и формулы
(стр. 109) можно заключить, что сумма, стоящая в правой части полу-
полученной формулы, равна также сумме
]T(-l)
feafe и сумме
к=0 к=0
где ак — число /с-мерных симплексов симплициального разбиения ком-
комплекса, а ак — число /с-мерных кусков кусочного разбиения. Таким
образом мы получаем соотношение
(-1) V = E(-l)fe9fe = E(-l)fe«fe = X>l)*a* = N. A2)
fe=0 fe=0 fe=0 fe=0
Число N называется эйлеровой характеристикой симплициального
разбиения комплекса Кп.
Воспользовавшись доказываемой в следующей главе топологиче-
топологической инвариантностью числа N, т. е. независимостью от того или ино-
иного симплициального разбиения комплекса Кп, мы можем сказать, что
формула A2) представляет обобщение формулы Эйлера для многогран-
многогранников на комплексы любой размерности. Проверим эту формулу, взяв
в качестве примера поверхность тетраэдра. Числа Бетти мы вычислили
Альтернированной суммой чисел ао, ai, аг, • • •, ап называется сумма ao — ai ¦
-... + (-1)"а„= E(-!)fcafc-

§24. Псевдомногообразия и ориентируемость 117
в § 19 (пример 6). Числа симплексов ак подсчитываются непосредствен-
непосредственно, и мы получаем
2 2
-l)kpk = 1 - 0 + 1 = ^](-l)feafe =4-6 + 4 = 2 = N.
Так что эйлерова характеристика тетраэдра равна 2. Сравните полу-
полученный результат с результатами § 38 и 41 гл. VI.
71 71
Упражнения. 1. Проверьте формулу Y^ (~l)fcPfc = S (—l)fc«fc напри-
fc=O fc=O
мерах § 19.
2. Докажите, что эйлеровы характеристики N(Sn) и N(Pn) п-мер-
ной сферы и n-мерного проективного пространства связаны соотношением
N(Sn) = 2N(Pn).
3. Пусть К1 представляет одномерный связный комплекс, состоящий
из а0 нульмерных симплексов и а1 одномерных. Пользуясь формулой —а° +
+ах = —р°+р1, покажите, что из К1 можно удалить в точности —ао+а1 + 1
одномерных симплексов так, что при этом такой «реберный комплекс» не
распадается.
§ 24. Псевдомногообразия и ориентируемость
Имеющиеся в нашем распоряжении средства позволяют теперь за-
заняться изучением специального класса комплексов — так называемы-
называемыми псевдомногообразиями. Псевдомногообразия представляют первую
ступень для перехода к изучению многообразий.
Замкнутое псевдомногообразие определяется следующим образом:
(IImi). Оно представляет конечный однородный n-мерный сим-
плициальный комплекс (п ^ 1). Однородность означает, что каждый
/с-мерный симплекс инцидентен (является /с-мерной стороной) по край-
крайней мере с одним /с-мерным симплексом (условие однородности).
(Пмг). Каждый (п — 1)-мерный симплекс инцидентен в точности
с двумя n-мерными (условие неразветвленности).
(Пмз). Для двух произвольных n-мерных симплексов псевдомно-
псевдомногообразия существует соединяющая эти два симплекса последователь-
последовательность, состоящая поочередно из n-мерных и (п—1)-мерных симплексов,
каждый из которых инцидентен с предыдущим (условие сильной связ-
связности) .
Замкнутое псевдомногообразие называется ориентируемым, если
его симплексы могут быть ориентированы когерентно, т. е. так, что
в каждом (п — 1)-мерном симплексе два примыкающие к нему п-мер-
ные индуцируют противоположные ориентации. Если же никакой ко-
когерентной ориентации не существует, псевдомногообразие называется
неориентируемым.

118 Глава III
Для того чтобы полностью определить n-мерный цикл замкнуто-
замкнутого ориентированного псевдомногообразия, достаточно знать, с каким
коэффициентом входит в этот цикл один n-мерный ориентированный
симплекс. В самом деле, каждый из n-мерных симплексов, примыкаю-
примыкающих к этому симплексу, должен входить в цикл с тем же коэффици-
коэффициентом. А так как по условию (Пмз) между каждыми двумя п-мерны-
ми симплексами существует соединяющая их цепочка примыкающих
друг к другу симплексов (n-мерных), то все n-мерные симплексы псев-
псевдомногообразия должны входить в цикл с одинаковыми коэффициен-
коэффициентами. Поэтому n-мерная группа Бетти В™ такого псевдомногообразия
есть свободная группа с одной образующей, т. е. n-мерное число Бетти
рп = 1.
В качестве базы этой группы Бетти можно взять один из двух
циклов, получающихся при когерентных ориентациях псевдомногооб-
псевдомногообразия. Точно так же можно показать, что на неориентируемом псевдом-
псевдомногообразии вообще не существует n-мерных циклов (кроме п-мерного
нулевого комплекса), т.е. его группа Бетти В™ состоит только из ну-
нулевого элемента рп = 0. Таким образом n-мерная группа Бетти дает
возможность определить, является ли замкнутое псевдомногообразие
ориентируемым или нет: необходимое и достаточное условие ориенти-
ориентируемости псевдомногообразия заключается в равенстве единице его
п-мерного числа Бетти рп.
Напротив, п-мерное число Бетти по модулю 2 qn как для ориен-
ориентируемых, так и для неориентируемых многообразий всегда равно 1,
так как всегда существует — и притом в точности один — отличный
от нуля n-мерный цикл по модулю 2 — совокупность всех п-мерных
симплексов.
Мы увидим позже (§ 36), что свойство комплекса быть псевдомно-
псевдомногообразием является топологически инвариантным свойством, так как
условия (Пм1)-(Пмз) можно выразить в терминах гомологии, а гомоло-
гомологические свойства (к которым мы причисляем и существование чисел
Бетти по модулю 2) топологически инвариантны. Докажем, что усло-
условие (Пмз) можно заменить условием qn = 1, т. е. точнее, что система
условий
I (IImi), (Пм2), (Пм3)
эквивалентна системе
II (Пщ), (Пм2), qn = 1.
Мы уже видели, что из I следует qn = 1. Покажем, наоборот, что
из II вытекает (Пмз): n-мерный комплекс по модулю 2 Un, состоя-
состоящий из всех n-мерных симплексов, которые можно соединить с дан-
данным симплексом Еп цепочкой последовательно инцидентных п-мер-
п-мерных и (п — 1)-мерных симплексов, представляет цикл (по модулю 2).
В самом деле, в силу (Пм2) к каждому (п — 1)-мерному симплексу ком-
комплекса Кп, а следовательно, и комплекса Un, примыкают в точности

; 24. Псевдомногообразия и ориентируемость
119
два n-мерных симплекса. Если бы в Кп существовали другие п-мер-
ные симплексы, кроме симплексов, принадлежащих Un, то они также
образовывали бы цикл по модулю 2, т. е. qn было бы по меньшей мере
равно 2. Поэтому Un исчерпывает весь комплекс Кп.
Относительно (п — 1)-мерной группы Бетти замкнутого псевдом-
псевдомногообразия также можно сделать несколько общих утверждений.
Теорема I. Нормальная форма Н™ матрицы инциденций Е™
для ориентируемого псевдомногообразия имеет вид A), для неориен-
тируемого — вид B):
Н
•п-1
и
0
0
0
п
1
0
0
0
п
и ..
1 ..
0 ..
0 ..
п ,,
. и
. 0
. 1
. 0
. п
A) Hnl =
2
0
0
0
п
и
1
0
0
п
и ..
0 ..
1 ..
0 ..
п ,,
. и
. 0
. 0
. 1
. п
B)
Ранг матрицы во втором случае равен числу ее столбцов, а в случае
A) —на единицу меньше числа столбцов. В случае B) существует
один отличный от 1 инвариантный множитель, равный 2.
Доказательство. Так как каждый (п—1)-мерный симплекс ком-
комплекса Кп инцидентен в точности с двумя n-мерными, то в каждой
строке матрицы Е™ находится в точности по две единицы, в то вре-
время как все остальные элементы равны нулю. Вследствие условия (Пмз)
можно утверждать, что, каким бы способом мы ни разделили столбцы
матрицы Е™ на два класса, существует по крайней мере одна стро-
строка Е™, две единицы которой принадлежат столбцам различных клас-
классов. Но такая матрица в силу чисто арифметических свойств (см. § 87)
допускает только одну из двух канонических форм A) и B). Мат-
Матрица A) относится к ориентируемому псевдомногообразию, так как
n-мерный комплекс, стоящий в верхнем входе первого столбца, есть
цикл. Во втором случае циклов не существует, следовательно, много-
многообразие неориентируемо.
Не равные единице инвариантные множители матрицы Е™ яв-
являются (п — 1)-мерными коэффициентами кручения. Поэтому выска-
высказанное предложение эквивалентно следующей теореме:
Теорема П. (п — 1)-мерные коэффициенты кручения замкнуто-
замкнутого ориентируемого псевдомногообразия равны, нулю. Если же замкну-
замкнутое псевдомногообразие неориентируемо, то существует в точности
один (п — 1)-мерный коэффициент кручения, равный 2.
Таким образом, в неориентируемом случае существует единствен-
единственный (с точностью до цикла, гомологичного нулю) не гомологичный ну-
нулю (п—1)-мерный цикл Un~1 такой, что 2Un~1 гомологичен нулю. Цикл

120
Глава III
этот можно получить следующим образом: пусть Е™, Е%, ..., Е^п суть
все произвольно ориентированные n-мерные симплексы псевдомного-
псевдомногообразия Кп. Так как Кп неориентируемо, n-мерный комплекс
имеет не равную нулю границу Un. Всякий (п — 1)-мерный симплекс
входит в Un либо с коэффициентом нуль, либо с коэффициентом 2,
в зависимости от того, индуцируют ли в нем одинаковые или противо-
противоположные ориентации прилегающие к нему n-мерные симплексы. По-
Поэтому Un = 2Un~1, где ип~х — некоторый цикл, т.е. 2Un~1 ~ 0. Допу-
Допустим теперь, что Un~x сам по себе ~ 0: Un~x = Vn. Тогда
2Un~l =
т.е (Un - 2Vny = 0,
или, другими словами, Un — 2Vn представляет n-мерный цикл. Однако
на неориентируемом многообразии только n-мерный нулевой комплекс
является циклом. Поэтому Un = 2Vn, меж:ду тем как мы предполагали,
что каждый n-мерный симплекс входит в Un с коэффициентом 1.
Ограниченное псевдомногообразие* получится, если мы сохраним
условия (IImi) и (Пмз), а условие (Пмг) заменим следующим:
(Пмг). Каждый (п — 1)-мерный симплекс инцидентен самое боль-
большее с двумя n-мерными, но существует по крайней мере один
(п — 1)-мерный симплекс, инцидентный только с одним п-мерным.
По определению границы однород-
однородного комплекса (на стр. 82) грани-
граница ограниченного псевдомногообразия
состоит из всех (п — 1)-мерных сим-
симплексов, каждый из которых инциден-
инцидентен только с одним n-мерным. Все
нележащие на границе точки и сим-
симплексы псевдомногообразия называют-
называются внутренними точками и симплек-
симплексами псевдомногообразия. Если n-мерные симплексы ограниченного
псевдомногообразия можно ориентировать когерентно, т. е. так, что
примыкающие к каждому внутреннему (п — 1)-мерному симплексу
n-мерные симплексы индуцируют в нем противоположные ориентации,
то такое псевдомногообразие называется ориентируемым.
Простейшие примеры ориентируемого и неориентируемого огра-
ограниченного псевдомногообразия представляют соответственно круговое
кольцо (стр. 84) и лист Мебиуса (рис. 45). На рис. 45 нужно отжде-
ствить обе стороны с. Дальнейшим примером ограниченного многооб-
многообразия является симплициальная звезда Stn с центром О, край которой
Рис. 45
Для большей точности следовало бы говорить «псевдомногообразие с грани-
границей».

§ 24. Псевдомногообразия и ориентируемость 121
Ап~г есть замкнутое псевдомногообразие. Условия (IImi) и (Пмз) вы-
выполняются для такой звезды потому, что они выполняются для ее края.
(Пмг) также выполняется: каждый (п — 1)-мерный симплекс края ин-
инцидентен с одним n-мерным симплексом. Каждый же из остальных
(п — 1)-мерных симплексов (инцидентных с О) инцидентен с двумя
п-мерными.
Если край Ап~1 звезды ориентируем, то Stn также ориентиру-
ориентируема, и наоборот. Действительно, пусть
(OP1P2...Pn-i)
есть (п — 1)-мерный симплекс звезды Stn инцидентный с О и пусть
Еп = +(ОР1...Рп-1Рп) и /Еп = -(ОР1...Рп-1'Рп)
— два n-мерных инцидентных с ним симплекса. Эти два симплекса
при таких ориентациях индуцируют в (OP\---Pn-i) противополож-
противоположные ориентации. Если снабдить теперь две лежащие на Ап~1 стороны
симплексов Еп и 'Еп соответственно индуцированными ориентациями
то они также индуцируют в своей общей стороне (Pi... Pn_i) проти-
противоположные ориентации. Отсюда следует, что когерентной ориентации
(п — 1)-мерных симплексов края Ап~1 соответствует когерентная ори-
ориентация n-мерных симплексов звезды Stn, и наоборот. Очевидно, край
когерентно ориентированной звезды Stn, рассматриваемой как алге-
алгебраический комплекс, есть когерентно ориентированный край.
Мы видели выше, что всякий n-мерный цикл замкнутого ориен-
ориентируемого псевдомногообразия есть само это многообразие, когерентно
ориентированное и взятое с некоторым коэффициентом. Соответству-
Соответствующее предложение справедливо и для ограниченного ориентируемого
псевдомногообразия, если только рассматривать на нем n-мерные цик-
циклы относительно его границы, т. е. n-мерные комплексы, границы кото-
которых лежат на границе псевдомногообразия. Доказательство такое же,
как для замкнутых псевдомногообразий.
Свойство замкнутого псевдомногообразия быть ориентируемым
выражается в том, что его n-мерное число Бетти рп = 1. Для ограни-
ограниченных псевдомногообразий аналогичное утверждение уже несправед-
несправедливо. Так, например, лист Мебиуса (неориентируемое псевдомногооб-
псевдомногообразие) имеет такие же группы Бетти, как круговое кольцо (ориентиру-
(ориентируемое псевдомногообразие). Поэтому доказать топологическую инвари-
инвариантность ориентируемости для замкнутых псевдомногообразий легче,
чем для ограниченных. Для замкнутых псевдомногообразий это непо-
непосредственно следует из инвариантности группы Бетти (IV гл.). Для
ограниченных же необходимо воспользоваться инвариантностью гра-
границы и более глубокими свойствами, изучаемыми в гл. V.

Глава IV
Симплициальное приближение
В этой главе мы докажем, что группы Бетти, определенные в предыду-
предыдущей главе при помощи некоторого симплициального разбиения, являются го-
гомологическими инвариантами полиэдра. Для доказательства мы рассмотрим
любые fc-мерные симплексы полиэдра Кп (§ 25), представляющие непрерыв-
непрерывные образы прямолинейных евклидовых симплексов. Из особых симплексов
можно составить особые алгебраические комплексы (§26), определить для
них сложение, а затем ввести понятия границы, цикла, ограничивающего
цикла (гомологичного нулю). Особые циклы распадаются на классы гомоло-
гомологичных между собой особых циклов. Эти классы образуют к-мерную особую
группу Бетти полиэдра (§ 27). Она топологически инвариантна по определе-
определению (стр. 129) и не связана со специальным симплициальным разбиением
полиэдра Кп. Если теперь полиэдр Кп будет задан в некотором симпли-
циальном разбиении, то мы сможем заменить каждый особый алгебраиче-
алгебраический комплекс, подразделив его сначала барицентрически симплициальным
алгебраическим комплексом данного разбиения. Такая замена осуществля-
осуществляется при помощи симплициального приближения (симплициальной аппрок-
аппроксимации) (стр. 143) и оставляет все существенные топологические свойства
особых алгебраических комплексов неизменными. Из возможности замены
особых алгебраических комплексов симплициальными вытекает, что особые
и обычные группы Бетти совпадают (§ 28). Существованию приближающе-
приближающего (аппроксимирующего) симплициального комплекса посвящена основная
теорема о приближениях (§28).
Симплициальное приближение представляет по существу переход от
непрерывного отображения комплекса к «симплициальному». Каждое непре-
непрерывное отображение можно перевести в симплициальное даже посредством
«деформации», — это составляет содержание теоремы о деформациях (§31).
Сюда же примыкает вопрос о поведении групп Бетти при деформациях отоб-
отображений; этот вопрос мы также рассмотрим.
§ 25. Особый симплекс
Рассмотрим непрерывное и однозначное отображение прямолиней-
прямолинейного (евклидова) симплекса хк в конечный или бесконечный п-мерный
полиэдр* Кп. Множество М, представляющее образ симплекса хк, на-
называется особым к-мерным симплексом Хк, если для каждой точки
Вместо К™ можно было бы взять любое окрестностное пространство и опре-
определить там особые симплексы, особые алгебраические комплексы и группы Бетти.
Однако эти образы представляют интерес лишь в случае полиэдра16.

§25. Особый симплекс 123
этого множества известно, какие именно точки хк отображены в нее.
В этой главе неориентированные симплексы мы будем обозначать кур-
курсивными жирными буквами . Может случиться, что М является одно-
одновременно образом симплекса хк и образом некоторого другого прямо-
прямолинейного симплекса х . В этом случае, очевидно, одно и то же подмно-
подмножество М полиэдра Кп представляет два особых n-мерных симплекса.
Симплексы эти считаются одинаковыми (не отличающимися друг от
друга) в том случае, если хк можно линейно отобразить, на хк так, что
каждые две соответствующие при этом отображении друг другу точки
симплексов хк и хк отображаются в одну и ту же точку полиэдра Кп.
Симплекс хк (так же, как хк) называется прообразом особого сим-
симплекса Хк. Прообразы особых симплексов мы будем обозначать малым
буквами.
Если, напротив, прообразы двух особых симплексов не могут быть
линейно отображены указанным способом друг на друга, то эти особые
симплексы считаются различными, даже если они представлены одним
и тем же множеством точек М в Кп. Размерность к особого симплек-
симплекса X может быть больше, равна или меньше размерности п полиэдра,
в котором Хг лежит.
Примеры.
Каждый симплекс симплициального разбиения полиэдра Кп можно
рассматривать как особый fc-мерный симплекс, так как он является топо-
топологическим образом прямолинейного евклидова симплекса.
Особым fe-мерным симплексом является и отдельная точка полиэдра,
если в эту точку отображены все точки какого-нибудь прямолинейного fe-мер-
ного симплекса.
Как угодно согнутый треугольник (даже, быть может, сжатый в линию
или в точку) образует особый двумерный симплекс.
Расположенная в евклидовой плоскости кривая Пеано представляет
одномерный особый симплекс.
При отображении хк в Кп г-мерная грань х симплекса хк отобра-
отображается на подмножество N множества М. Множество N, рассматри-
рассматриваемое как образ симплекса х , представляет, очевидно, особый г-мер-
ный симплекс и называется i-мерной стороной Х% особого /с-мерного
симплекса Хк. Мы говорим, что особые симплексы Х% и Хк инци-
инцидентны.
Для того чтобы ориентировать особый /с-мерный симплекс Хк,
нужно ориентировать его прообраз. Ориентированные симплексы мы
будем обозначать курсивными светлыми буквами. Таким образом, ори-
ориентированный особый /с-мерный симплекс X представляет подмноже-
'Заметим, что если нам известно только, что М есть образ симплекса Хк при
непрерывном и однозначном отображении, то мы еще не можем рассматривать М
как особый симплекс.
*""См. Hausdorff, Mengenlehre, [2], стр. 202.

124
Глава IV
ство М полиэдра Кп, являющееся образом ориентированного /с-мер-
ного симплекса хк при однозначном непрерывном отображении; отоб-
отображение это должно быть известно нам полностью в указанном выше
смысле.
Если прообраз хк заменен другим прямолинейным симплексом хк,
то отображения симплексов хк и хк на М дают два ориентированных
особых /с-мерных симплекса. Эти ориентированные особые симплексы
не считаются различными, если хк можно линейно отобразить на хк
с сохранением ориентации так, что соответствующие друг другу точки
переходят в одну и ту же точку М.
Для каждого ориентированного особого симплекса Хк существу-
существует противоположно ориентированный симплекс, обозначаемый — Хк.
Он получится, если мы изменим ориентацию прообраза хк, но оставим
неизменным отображение симплекса хк на М. Хк и — Хк соответству-
соответствуют одному неориентированному особому симплексу Хк.
Может случиться, что Хк и — Хк одинаковы. Это имеет место в том
случае, когда хк можно отобразить на себя линейно так, что ориента-
ориентация хк изменится, но каждые две соответствующие друг другу при
этом отображении точки перейдут в одну и ту же точку особого сим-
симплекса Хк. Тогда говорят, что ориентированный особый симплекс Хк
вырождается. Соответствующий неориентированный симплекс Хк так-
также называют в этом случае вырождающимся. Из невырождающегося
симплекса можно получить два ориентированных особых симплекса,
имеющих противоположные ориентации. В случае вырождения оба эти
симплекса совпадают.
Пример 1. Пусть дан (к — 1)-мер-
ный симплекс Ек~г какого-нибудь сим-
плициального разбиения полиэдра Кп
и пусть симплекс хк с вершинами
Ро, Pi, P2, ¦ ¦ ¦, Рк отображен на Ек~х ли-
линейно так, что две его вершины, напри-
например pk-i и рк переходят в одну верши-
вершину симплекса Ек~г. Тогда симплекс Ек~х
можно рассматривать, как особый fe-мер-
ный симплекс Хк, имеющий прообра-
прообразом хк.
Произведем линейное отображение
симплекса ж* на себя, меняющее места-
Рттс 4п
ми его вершины pk-i ~в-Рк и оставляющее
неизменными все остальные вершины. При таком отображении ориентация
симплекса хк меняется, точки же, соответствующие друг другу при этом
отображении, переходят в одну точку множества М = Ек~ . Поэтому Хк
представляет вырождающийся особый симплекс полиэдра Кк. Вообще при
линейном отображении симплекса хк на симплекс Ек~г (г > 0) получается
вырождающийся fc-мерный особый симплекс (стр. 56).

§ 26. Особые алгебраические комплексы 125
Пример 2. Отобразим одномерный симплекс, именно отрезок прямой
линии (poPi) = х1 (рис. 46) в евклидову плоскость так, что при этом каж-
каждые две точки отрезка, симметричные относительно его середины т, перей-
перейдут в одну точку. Получающийся тогда особый симплекс X1 вырождается.
В самом деле, отражение отрезка в его середине т представляет линейное
отображение отрезка на себя, изменяющее ориентацию. Каждые две соответ-
соответствующие пли этом отобраясении друг другу точки переходят в одну точку
симплекса X1. Если бы при отобраясении х1 на X1 точки ро и pi попреяс-
нему переходили бы в один конец отрезка X1, a m — в другой конец, но
симметричные относительно т точки не отобраясались бы в одну точку X1,
то X1 представлял бы особый, но не выроясдающийся одномерный симплекс.
Пример 3.
Если все fe+1 вершин особого симплекса Хк различны, то Хк, наверное,
не вырождается, так как при меняющем ориентацию линейном отобраясении
его прообраза х на себя изменяется образ по крайней мере одной из вершин
прообраза в особом симплексе. С другой стороны, особый fc-мерный сим-
симплекс (к > 0) является выроясдающимся, если он состоит из одной точки,
в которую отображены все точки прообраза. Нульмерный особый симплекс
не может выроясдаться. Напомним здесь, что мы ввели выше понятие ори-
ориентации и для нульмерных симплексов (стр. 58).
§ 26. Особые алгебраические комплексы
Особый, к-мерный, алгебраический комплекс есть совокупность
конечного числа (иногда равного нулю) невырооюдающихся особых
/с-мерных симплексов полиэдра Кп, каждый из которых ориентиро-
ориентирован и снабжен определенным целочисленным коэффициентом. Если
какой-нибудь ориентированный особый симплекс Xk входит в особый
алгебраический комплекс с коэффициентом а, то мы выразим то же
самое, сказав, что противоположно ориентированный симплекс — Хк
входит в комплекс с коэффициентом —а. Если же какой-нибудь осо-
особый симплекс совсем не входит в алгебраический комплекс, то говорят,
что он входит туда с нулевым коэффициентом.
Каждый /с-мерный симплекс симплициального разбиения полиэд-
полиэдра Кп можно рассматривать как особый /с-мерный симплекс, так как он
является топологическим образом прямолинейного симплекса. Поэто-
Поэтому рассмотренные в гл. III симплициальные алгебраические комплексы
являются одновременно особыми алгебраическими комплексами. Сим-
Симплициальные алгебраические комплексы определены только по отно-
отношению к некоторому симплициальному разбиению полиэдра Кп и со-
состоят из симплексов этого разбиения. Напротив, особые алгебраические
комплексы строятся из особых симплексов независимо от какого-либо
симплициального разбиения полиэдра Кп.
Среди особых /с-мерных алгебраических комплексов существует
k-мерный нулевой комплекс, каждый из симплексов которого имеет

126 Глава IV
коэффициентом нуль. Мы будем рассматривать такой комплекс одно-
одновременно и как симплициальный.
Сложение особых алгебраических комплексов определяется, как
обычно. Именно, при сложении двух особых /с-мерных алгебраических
комплексов складываются коэффициенты, с которыми каждый особый
/с-мерный симплекс входит в рассматриваемые комплексы.
Особые /с-мерные алгебраические комплексы полиэдра составля-
составляют в отношении сложения абелеву группу. Образующими этой груп-
группы являются невырождающиеся особые /с-мерные симплексы. Таких
образующих существует, вообще говоря, бесчисленное множество, при-
причем мощность этого множества равна мощности континуума. Нулем
группы является /с-мерный нулевой комплекс. Обратный элемент по-
получается изменением ориентации всех симплексов, входящих в данный
элемент группы, т. е. в данный алгебраический комплекс, или, что то
же, умножением всех коэффициентов комплекса на —1. Особый алге-
алгебраический комплекс Vk, состоящий из ориентированных особых сим-
симплексов Х\, Х\, ..., Хк (причем X-f ф Х% ф ... ф X*), входящих
в комплекс с коэффициентами соответственно г>\, г>2, • • •, vr записы-
записывается в виде суммы
Vk = vxX* + v2X$ + ...+ vrXkr. A)
Из определения особого алгебраического комплекса непосредственно
вытекает, что если mVk = 0 и т ф 0, то Vk = 0. Это не было бы верно,
если бы мы допустили, что в алгебраический комплекс могут входить
также вырождающиеся симплексы.
Рассматривая суммы вида A), мы можем и не предполагать, что
симплексы Хк, Хк, ¦ ¦ ¦, Хк непременно являются различными особы-
особыми симплексами. Наоборот, можно допускать, что в сумму A) входят
одинаковые или противоположно ориентированные симплексы, отно-
относительно которых возможно приведение. Исходя из формальных со-
соображений, целесообразно допустить, кроме того, что в особый алге-
алгебраический комплекс входят и вырождающиеся особые симплексы, —
конечно, в качестве элементов алгебраического комплекса, эквивалент-
эквивалентных нулю. Относительно встречающихся в дальнейшем сумм вида A)
мы будем допускать все эти возможности, если только явно не будет
оговорено противоположное.
Мы не определяем особый алгебраический комплекс просто как непре-
непрерывный образ некоторого симплипиального алгебраического комплекса.
В самом деле, рассматривая особые алгебраические комплексы как образы
симплициальных комплексов, мы не могли бы определить сложение особых
алгебраических комплексов так, чтобы оно не зависело от выбора комплек-
комплексов-прообразов. А такое сложение нам необходимо для определения особых
Все остальные особые симплексы входят в наш алгебраический комплекс с ко-
коэффициентами 0.

§ 27. Особые группы Бетти 127
групп Бетти, как топологических инвариантов полиэдра Кп. К этому опре-
определению мы сейчас переходим.
§ 27. Особые группы Бетти
Пусть хк (к > 0) есть прообраз особого ориентированного сим-
симплекса X (быть может, вырождающегося) и пусть
(к — 1)-мерный особый алгебраический комплекс J2 Хк 1 будем назы-
вать границей симплекса Хк и обозначать символом Хк:
При этом Хк~г есть ориентированная (к — 1)-мерная сторона особо-
особого симплекса Хк, имеющая своим прообразом ориентированную сто-
сторону хк~г симплекса хк (ориентация симплекса Хк~х индуцируется
ориентацией симплекса Хк). Среди граничных симплексов Хк~х мо-
могут встречаться вырождающиеся; это может произойти далее и в том
случае, когда симплекс сам не вырождается.
Рис. 47
Рассмотрим в качестве примера особый двумерный симплекс X2
(рис. 48), получающийся путем отождествления точек стороны (Р1Р2) неко-
некоторого треугольника (рис. 47), симметричных относительно середины т этой
стороны (симплекс этот имеет вид бумажного «картуза»). Как мы виде-
видели на стр. 124, из стороны (Р1Р2) получается вырождающийся особый сим-
симплекс. Такой симплекс считается эквивалентным нулю, поэтому X2 состоит

128 Глава IV
из двух особых одномерных симплексов, образующих вместе границу «карту-
«картуза». В этом примере полиэдром, в котором рассматривается особый симплекс,
можно считать трехмерное евклидово пространство.
Определение границы не зависит от специального выбора прооб-
прообраза хк симплекса Хк. В самом деле, если хк какой-нибудь другой
прообраз X , то в силу условия равенства особых симплексов суще-
существует сохраняющее ориентацию линейное отображение Т симплекса хк
на х , при котором попарно соответствующие друг другу точки этих
симплексов являются точками, переходящими в одну точку симплек-
симплекса Хк. Но Т отображает одновременно линейно и с сохранением ориен-
ориентации симплексы, входящие в хк = ^2хк~х, на симплексы, входящие в
(хк)' = Х)^1- Пользуясь снова определением равенства особых сим-
плексов^ы видим, что оба алгебраических комплекса ^ хк~г и ^ хк~г
переходят в один и тот же особый алгебраический комплекс, а имен-
но - в Хк.
Граница особого симплекса может быть равна нулю. Это имеет
место, например, при склеивании одномерного симплекса х1 своими
концами, т. е. при отображении отрезка (ориентированного) на тополо-
топологический круг.
Граница состоит в этом случае из двух нульмерных симплексов,
отличающихся между собой только ориентацией, т. е. равна нулю. Гра-
Граница симплекса —X, имеющего ориентацию, противоположную ори-
ориентации симплекса Хк, очевидно, равна границе симплекса Хк, взятой
с обратным знаком:
В частности, если Хк вырождается, то Хк совпадает с — Хк. Поэтому
хк = (-хку = -хк.
По правилу действий над алгебраическими комплексами, изложенно-
изложенному на стр. 126, алгебраический комплекс, равный самому себе, взятому
с противоположным знаком, есть нулевой алгебраический комплекс.
Таким образом, граница вырождающегося особого симплекса Хк пред-
представляет (к — 1)-мерный нулевой алгебраический комплекс.
Мы определяем границу особого к-мерного алгебраического ком-
комплекса как сумму границ составляющих его особых /с-мерных симплек-
симплексов
') = ?>**• A)
V
Если в сумму J^ vvXk входят одинаковые, противоположные по знаку
или вырождающиеся симплексы (эквивалентные нулю), то их грани-
границы соответственно равны, противоположны по знаку или равны нулю.

§ 27. Особые группы Бетти 129
Поэтому правая сторона равенства B) всегда представляет один и тот
же особый алгебраический комплекс, в какой бы форме ни записы-
записывать левую сторону. Граница нульмерного алгебраического комплекса
всегда равна нулю. Если граница особого /с-мерного алгебраического
комплекса равна нулю, то такой комплекс называется особым циклом.
Граница особого комплекса Xk+1 есть особый цикл, так как гра-
граница его прообраза xk+1 есть цикл. Следовательно, и граница любо-
любого особого (к + 1)-мерного алгебраического комплекса представляет
особый цикл. Особый /с-мерный цикл, являющийся границей особого
(к + 1)-мерного алгебраического комплекса, называется особым цик-
циклом, гомологичным нулю. Особые нульмерные комплексы всегда яв-
являются циклами. Сумма и разность особых циклов или циклов, гомо-
гомологичных нулю, есть снова соответственно особый цикл или особый
цикл, гомологичный нулю, — это доказывается так же, как и в случае
симплициальных алгебраических комплексов.
Два особых алгебраических комплекса (мы не требуем, чтобы они
были непременно циклами) называются гомологичными между собой
(на полиэдре Кп), если их разность гомологична нулю. Для того чтобы
два алгебраических комплекса были гомологичны между собой, необ-
необходимо, чтобы они имели одну и ту же границу (см. стр. 86).
В случае особых алгебраических комплексов можно говорить так-
также и о слабых гомологиях. Именно, особый цикл называется слабо го-
гомологичным нулю («0), если этот цикл, взятый с некоторым отличным
от нуля коэффициентом, гомологичен нулю.
Особые /с-мерные циклы распадаются на классы гомологичных
между собой циклов.
Определим сложение классов гомологии следующим образом.
Пусть в качестве слагаемых даны два класса гомологии. Выберем
в каждом из этих классов по одному циклу («представителю»), сло-
сложим эти циклы и назовем суммой взятых классов класс, содержащий
сумму представителей. Тогда классы гомологии можно рассматривать
как элементы группы, для которой групповой операцией является опре-
определенное таким образом сложение. Такая группа называется к-мерной
особой группой Бетти. Чтобы подчеркнуть отличие от особых групп,
мы будем называть введенные в гл. III группы Бетти симплициального
разбиения полиэдра симплициалъными группами Бетти. В дальней-
дальнейшем мы покажем, что особые группы Бетти изоморфны симплициаль-
ным группам Бетти соответствующих размерностей. Так как особые
группы Бетти являются топологическими инвариантами полиэдра, то
тем самым будет установлена топологическая инвариантность симпли-
симплициальных групп Бетти.
Итак, мы переходим к доказательству топологической инвариант-
инвариантности особых групп Бетти. Мы рассмотрим, однако, более общий во-
вопрос, именно, как ведут себя особые группы Бетти при непрерыв-
непрерывном (но не непременном взаимно однозначном) отображении ip полиэд-

130 Глава IV
pa Кп в полиэдр Кт (в частном случае Кт может совпадать с Кп).
Отображение ip переводит особый симплекс Хк полиэдра Кп в особый
симплекс Sfe полиэдра Кт. В самом деле, особый симплекс Хк полу-
получается из своего прообраза — симплекса хк — при помощи непрерыв-
непрерывного отображения /. Произведение tpf двух непрерывных отображе-
отображений есть снова непрерывное отображение. Поэтому Sfe как образ сим-
симплекса хк при непрерывном отображении ipf представляет особый сим-
симплекс. Противоположно ориентированный симплекс — Хк переводится
отображением ip в особый симплекс —Е. Вследствие этого, если X
и — Хк равны, то Sfe и —Sfe также равны, т.е. вырождающийся особый
симплекс при отображении ip переходит в вырождающийся (обратное,
конечно, неверно: образ невырождающегося особого симплекса может
быть вырождающимся симплексом). Таким образом, каждому особому
алгебраическому комплексу
ставится в соответствие вполне определенный его образ J^ v^S^.. Образ
суммы двух комплексов Vk + 'Vk = Y, v^X1^ + Y 'vJX^ равен сум-
сумме образов этих комплексов, т.е. Yvx^k>c + Y'v>c"^k>c- Далее, граница
особого алгебраического комплекса переходит в границу образа этого
комплекса. Коротко говоря, мы получаем следующее предложение:
Теорема I. При непрерывном отображении ip полиэдра Кт в по-
полиэдр К™ особые алгебраические комплексы переходят в особые алге-
алгебраические комплексы и все соотношения, существующие между ал-
алгебраическими комплексами полиэдра Кп и их границами, сохраняют-
сохраняются соответственно в Кт.
В частности, особые циклы переходят в особые циклы, а циклы,
гомологичные нулю, — в циклы, гомологичные нулю. Поэтому кале-
дому (особому) классу гомологии соответствует вполне определенный
образ-класс гомологии полиэдра Кт. Сумме двух классов гомологии
соответствует, очевидно, сумма их образов. Мы получаем следующее
важное предложение:
Теорема II. При непрерывном отображении ip полиэдра Кп
в полиэдр Кт особая к-мерная группа Бетти полиэдра Кп гомо-
гомоморфно отображается (§ 83) в особую k-мерную группу Бетти по-
полиэдра Кт. Обозначим получающееся гомоморфное отображение бук-
буквой Ф. Если Кп и Кт гомеоморфны и ip есть топологическое отобра-
отображение полиэдра Кп на Кт, то Ф представляет изоморфное отобра-
отображение. Гомеоморфные полиэдры имеют, таким образом, одинаковые
особые группы Бетти.
Последняя часть этого предложения вытекает из того, что при то-
топологическом отображении соответствие между особыми алгебраиче-

§28. Теорема о симплициальном приближении 131
скими комплексами полиэдров Кп и Кт является взаимно однознач-
однозначным.
Упражнения. 1. Считая доказанным, что симплициальные и особые
группы Бетти совпадают, доказать следующее предложение: каждое гомо-
гомоморфное (автоморфное) отображение одномерной группы Бетти тора (§ 19)
в себя можно осуществить некоторым непрерывным (топологическим) отоб-
отображением тора в себя.
2. Пользуясь тем же допущением, доказать, что не существует такого
топологического отображения кругового кольца на себя, при котором одна
граничная окружность отображается сама на себя с сохранением, а другая —
с изменением ориентации.
§ 28. Теорема о симплициальном приближении.
Инвариантность симплициальных групп Бетти
Симплициальные группы Бетти полиэдра были определены как
группы Бетти некоторого симплициального разбиения полиэдра. Мы
поэтому пока не можем утверждать, что они являются топологически-
топологическими инвариантами полиэдра, — можно предполагать, что они зависят
от выбранного симплициального разбиения. Напротив, особые группы
Бетти топологически инвариантны по определению. Но зато это опре-
определение не дает возможности найти их, т. е. вычислить числа Бетти
и коэффициенты кручения. Нам нужно показать теперь, что симпли-
симплициальные и особые группы Бетти совпадают и что, следовательно, сим-
симплициальные группы Бетти являются топологическими инвариантами.
Доказательство основывается на следующем важном предложе-
предложении.
Теорема о симплициальном приближении. Пусть Кп есть
конечный или бесконечный полиэдр, заданный в определенном симпли-
симплициальном разбиении, и пусть Ак — особый к-мерный алгебраический
комплекс полиэдра Кп, граница которого Ак~х представляет алге-
алгебраический комплекс заданного симплициального разбиения (в част-
частности, граница может быть равна нулю). Тогда существует сампли-
циалъный алгебраический комплекс А , гомологичный (в смысле осо-
бых гомологии) особому комплексу Ак (граница комплекса А в силу
сказанного на стр. 129, очевидно, также равна Ак~г). Размерность к
особого алгебраического комплекса Ак может быть меньше, равна или
даже больше размерности симплициального разбиения полиэдра Кп.
В частности, если Ак есть цикл, то Ак~г = 0, и мы получаем в виде
следствия:
*При к = 0 условие, что граница Ак 1 должна быть симплициальным комплек-
комплексом, естественно, отпадает.

132 Глава IV
(I) Всякий особый /с-мерный цикл гомологичен некоторому сим-
плициальному /с-мерному циклу.
Заменив в теореме о приближении размерность к размерностью
к + 1, мы будем иметь еще одно следствие:
(II) Если симплициальный /с-мерный цикл является границей осо-
особого (к + 1)-мерного алгебраического комплекса, то он является также
границей и некоторого симплициального (к + 1)-мерного комплекса.
Из (I) и (II) вытекает, что симплициальные и особые группы Бетти
изоморфны между собой. В самом деле, рассмотрим /с-мерные (симпли-
(симплициальные) циклы, принадлежащие одному и тому же симплициально-
му классу гомологии. Очевидно, они принадлежат одному и тому же
особому классу гомологии, если рассматривать их как особые циклы,
так как симплициально гомологичные циклы и подавно гомологичны
между собой как особые циклы. Таким образом, каждому симплици-
альному классу гомологии ставится в соответствие некоторый особый
класс гомологии. Различным симплициальным классам гомологии со-
соответствуют при этом различные особые классы, так как в силу (II)
два симплициальных цикла, не гомологичные между собой симплици-
симплициально, не могут быть гомологичны друг другу как особые циклы. На-
Наконец, в силу (I) каждый особый класс гомологии содержит все циклы
некоторого симплициального класса гомологии. Таким образом между
симплициальными и особыми классами гомологии существует взаимно
однозначное соответствие. Это соответствие является изоморфным, так
как если симплициальному классу гомологии Д^соответствует особый
класс Hi, а классу if 2 — класс if2, то сумме Hi + if2 соответствует
сумма Hi + if2- В самом деле, класс ifi + if2 определяется сложением
представителей классов ifi и if2- Но в качестве этих представителей
можно взять симплициальные циклы классов ifi и if2.
Таким образом, для доказательства того, что симплициальные
и особые группы Бетти совпадают, нам достаточно доказать теоре-
теорему о симплициальном приближении. Доказательству этой теоремы мы
предпошлем некоторые замечания о призмах в евклидовом простран-
пространстве.
§ 29. Призмы в евклидовом пространстве
Мы видели выше (§9, стр. 58), что линейное отображение прямо-
прямолинейного симплекса хп на себя в том и только в том случае сохраняет
ориентацию, когда детерминант преобразования положителен. Пусть
теперь в n-мерном пространстве Rn имеются два ориентированных
прямолинейных n-мерных симплекса хп и 'хп. Если линейное отобра-
отображение пространства Rn на себя, переводящее хп в 'хп с сохранени-
сохранением ориентации, имеет положительный детерминант преобразования,
то говорят, что эти симплексы ориентированы одинаково. Если "хп —

§ 29. Призмы в евклидовом пространстве 133
третий n-мерный симплекс, ориентированный одинаково с 'хп, то оче-
очевидно, что хп и "хп также ориентированы одинаково. Мы говорим,
что заданием ориентированного n-мерного симплекса хп определяется
ориентация всего пространства Rn, причем все n-мерные симплексы,
ориентированные одинаково с хп, определяют одну и ту же ориентацию
пространства.
Пусть хк есть (/-кратное барицентрическое подразделение лежаще-
лежащего в Rn прямолинейного симплекса хк. Ориентация симплекса хк опре-
определяет ориентацию несущего этот симплекс линейного подпростран-
подпространства Lk пространства Rn. Мы можем теперь ориентировать каждый
/с-мерный симплекс барицентрического подразделения хк одинаково
с симплексом хк (по отношению к линейному пространству Lk). В даль-
дальнейшем, когда будет идти речь о барицентрическом подразделении ори-
ориентированного симплекса хк, мы будем всегда предполагать, что все
/с-мерные симплексы подразделения ориентированы именно таким об-
образом, — одинаково с симплексом хк. Барицентрическое подразделение
ориентированного нульмерного симплекса совпадает с самим симплек-
симплексом.
Пусть прямолинейный симплекс хк, расположенный в простран-
пространстве не менее (к + 1) измерений, переводится посредством трансля-
трансляции (параллельного переноса) в симплекс ук, при этом мы предпола-
предполагаем, что вектор трансляции не лежит в /с-мерном линейном простран-
пространстве, определяемом симплексом хк. Симплекс хк при переходе в поло-
положение ук описывает точечное множество zk+1, называемое призмой.
хк называется нижним основанием призмы (или, просто, основани-
основанием), а его стороны ж? (О ^ i < к) — сторонами нижнего основа-
основания. ук и его стороны называются соответственно верхним основани-
основанием и сторонами верхнего основания призмы. Каждая г-мерная сторона
симплекса х также описывает при трансляции призму z , называ-
называемую (к + 1)-мерной боковой стороной призмы zk+1. Центр симплек-
симплекса хк описывает ось призмы, любая же другая точка хк описывает
отрезок, параллельный оси. Середина оси призмы называется центром
призмы. Так как боковые стороны сами представляют призму, то у каж-
каждой боковой стороны также имеется центр. При к = 0 мы будем иметь
в качестве одномерной призмы отрезок, при к = 1 — параллелограм,
при к = 2 — трехгранную призму. В дальнейшем мы будем предпола-
предполагать всегда к > 0.
Пусть ~zk+1 — другая (к + 1)-мерная призма. Существует линей-
линейное отображение призмы zk+1 на ~zk+1, при котором симплекс осно-
основания хк переходит в симплекс основания второй призмы ~х , а центр
призмы zk+1 — в центр призмы ~zk+1. Это линейное отображение од-
однозначно определяется линейным отображением симплекса хк на ~х ;
последнее может быть взято произвольно.
Так как основание призмы выпукло, то и сама призма zk+1 выпук-

134 Глава IV
ла, т. е. представляет замкнутое ограниченное множество в евклидовом
пространстве, содержащее наряду с любыми двумя точками весь соеди-
соединяющий их отрезок. Граница призмы zk+1 состоит из оснований хк, ук
и боковых сторон zk (v = 0, 1, 2, ..., к). Каждый луч, выходящий из
центра призмы, пересекает границу ее в точности в одной точке. Все
эти свойства призмы могут быть доказаны аналитически. Для этого
нужно взять одну вершину симплекса хк за начало координат и вы-
выбрать в качестве базисных векторов векторы vi, v2, • • •, v^, идущие из
начала координат в остальные вершины симплекса хк, и вектор транс-
трансляции t (также выходящий из начала координат). Точками призмы
являются тогда все концы радиусов-векторов
A2v2 + ... + AfeVfe + rt
@<А^<1; Ai+A2 + ... + Afe < 1; 0 < т < 1).
Однако разбирать это подробнее мы здесь не будем.
Мы хотим теперь разбить призму zk+1 на симплексы. Достиг-
Достигнуть этого можно бесконечно многими способами; нас, однако, интере-
интересуют только симплициальные разбиения специального вида, которы-
которыми нам придется в дальнейшем воспользоваться. Произведем (/-крат-
(/-кратное барицентрическое подразделение верхнего основания ук призмы
(под 0-кратным барицентрическим подразделением мы будем понимать
сам симплекс), затем разобьем боковые стороны призмы на симплексы
следующим образом: каждая одномерная боковая сторона разбивает-
разбивается своим центром на два одномерных симплекса. Мы считаем теперь,
что г-мерные боковые стороны z^ уже подразделены, и для того что-
чтобы получить подразделение (г + 1)-мерной стороны z*+1 или, при г =
= к, всей призмы, мы проектируем границу этой стороны из ее цен-
центра (см. стр. 74). Граница призмы z*+1 состоит из (неподразделенной)
стороны xl, нижнего основания, (/-кратно барицентрически подразде-
подразделенной стороны у^ верхнего основания и нескольких уже разбитых на
симплексы боковых сторон z^. Разбивая таким образом на симплек-
симплексы поочередно все боковые стороны, начиная от одномерных и кончая
самой призмой zk+1, мы получим нужное нам симплициальное разби-
разбиение. Рис. 49 и 50 иллюстрируют два простейших случая описанного
симплициального разбиения призмы.
Мы говорим, что разбитая на симплексы призма ориентирована,
если все ее (к + 1)-мерные симплексы ориентированы одинаково по от-
отношению к (/с + 1)-мерному линейному пространству, в котором призма
лежит. Совокупность всех одинаково ориентированных [к + 1)-мерных
симплексов призмы, каждый из которых взят с коэффициентом еди-
единица, является алгебраическим комплексом. Обозначим этот комплекс
через zk+1. Ориентируем теперь определенным способом симплексы
обоих оснований нашей призмы. Именно, за ориентацию нижнего осно-
основания хк примем ориентацию, индуцированную инцидентным с этим

§ 29. Призмы в евклидовом пространстве 135
основанием (/с + 1)-мерным симплексом комплекса zk+1 и обозначим
ориентированное таким образом нижнее основание через хк. На бари-
барицентрически же подразделенный симплекс ук верхнего основания мы
переносим ориентацию нижнего основания хк при помощи трансля-
трансляции. Тогда верхнее основание ук даст нам алгебраический комплекс ук,
состоящий из всех (одинаково) ориентированных симплексов (/-кратно-
(/-кратного барицентрического подразделения симплекса ук (см. рис. 50). Таким
же образом заменяя призму zk+1 ее боковыми сторонами zk, мы полу-
получим из этих /с-мерных сторон алгебраические комплексы zk, а соответ-
соответственно ориентированные (к — 1)-мерные стороны верхнего и нижнего
оснований призмы zk+1 дадут нам симплексы хк~х и алгебраические
комплексы ук~г. При этом призмы zk можно ориентировать произволь-
произвольно. Для простоты мы ориентируем каждую из них так, чтобы имела
место формула
т.е. чтобы каждый симплекс хк~х, имеющий ориентацию, индуциро-
индуцированную в нем соответствующей призмой zk, входил в границу ориен-
ориентированного симплекса х с коэффициентом 1.
Мы докажем сейчас, что полученные таким образом алгебраи-
алгебраические комплексы связаны, кроме формулы A), следующими гранич-
граничными формулами:
zk+1 = xk — yk — E2^- (^)
Формула B) утверждает, что граница барицентрического подраз-
подразделения верхнего основания равна барицентрическому подразделению
его границы. Формула D) является выражением того, что граница
призмы состоит из нижнего основания, верхнего основания и /с-мерных
боковых сторон, причем и стороны и основания подразделены, ориен-
ориентированы и рассматриваются как алгебраические комплексы. Форму-
Формула C) является следствием формул A), B), D). В самом деле, пользуясь
тем, что граница правой части формулы D) равна нулю (как граница
цикла: z представляет границу комплекса и, следовательно, есть
цикл), и применяя соотношения A) и B), мы получим C).
Для доказательства формул B) и D) заметим, что если они и могут
быть неверны, то только в отношении знаков. В самом деле, пусть ка-
какой-нибудь симплекс Ек входит, например, в границу комплекса zk+1.

136
Глава IV
Рис. 49
Симплекс Ек непременно является тогда симплексом, принадлежащим
либо хк, либо ук, либо одному из алгебраических комплексов zk, так
как всякий другой /с-мерныи симплекс призмы z инцидентен в точ-
точности с двумя (/с + 1)-мерными симплексами, индуцирующими на нем
противоположные ориентации . Допустим теперь, что граничный сим-
симплекс Ек есть один из ориентированных симплексов алгебраического
комплекса zk. Единственный инцидентный с Ек {к + 1)-мерный сим-
симплекс Ек+1 индуцирует в Ек определенную ориентацию, определяю-
определяющую, с каким знаком Ек входит в zk+1. Всякий другой ориентиро-
ванный симплекс комплекса г„ входит в z ~*~ с тем же знаком, — это
вытекает из того, что все симплексы комплекса zk и все симплексы
комплекса z + ориентированы по отношению к соответствующим ли-
линейным пространствам, несущим эти комплексы, одинаково. Таким об-
образом в zk+1 комплекс zk входит целиком (с тем или иным знаком).
Аналогично можно показать, что ук~х входит целиком в ук.
Рассматривая формулу D), мы видим, что знак при хк в этой фор-
формуле не может быть неверным, так как по определению ориентация
симплекса х есть ориентация, индуцируемая в нижнем основании при-
прилегающим к нему симплексом призмы zk+1. Точно так же не может
Это происходит потому, что линейное отображение (к + 1)-мерного линейного
пространства, в котором лежит zfc+1, на себя, переводящее один инцидентный с Ек
(к + 1)-мерный симплекс в другой и оставляющий все точки Ек на месте, имеет
отрицательный детерминант преобразования.
**3аметим, что мы задавали произвольно ориентацию призмы zk+1 и затем полу-
получали вполне определенные ориентации для хк,ук, xv~ , yv , zk, соответствующие
поставленным условиям. Можно, наоборот, сперва задать ориентацию симплекса хк,
а затем определить, пользуясь теми же условиями, ориентацию призмы zk+1 и всех
остальных комплексов. Соотношения A)—D) при этом, естественно, сохраняются
без всяких изменений.

§ 29. Призмы в евклидовом пространстве 137
быть неверным и знак у ук, так как на ук переносится посредством
трансляции ориентация симплекса хк. Итак, мы можем утверждать
справедливость следующих формул:
B')
~к+1 _ к к
Z —X —у —
По тем же причинам (в силу условий, определяющих ориентации
алгебраических комплексов zk, хк~г и ук~г) следует, что
fe-1 „fe
где многоточие означает (к — 1)-мерные боковые стороны z^, входя-
входящие в z*.
Правая часть формулы D') представляет цикл, так как она явля-
является границей комплекса zk+1. Вследствие этого
я*-У*-?>**) =0,
или, применяя соотношения A), B'), C'),
Сравнивая коэффициенты при х\, г, у", 1, мы получим
чем и доказываются формулы B)-D).
Отобразим призму zk+1 непрерывно в полиэдр Кп и обозначим че-
через Xk, Yk, Zk+1, Хк~г, Yk~x, Zk особые симплексы и алгебраические
комплексы, являющиеся образами соответствующих симплексов и ком-
комплексов хк, ук, zk+1, хк~г, ук~г, zk. В силу теоремы I § 27 для этих осо-
особых симплексов и комплексов справедливы формулы, получающиеся из
граничных соотношений A)-D) заменой малых букв большими. Пусть
теперь имеется конечное число призм zk+1, 'zk+1,..., отображенных
непрерывно в полиэдр Кп. Ориентированные симплексы хк, 'хк,...,
представляющие основания этих призм, переходят в особые симплексы
Хк, 'Хк,... Составим алгебраический комплекс
Ак = аХк + 'а'Хк + ...

138 Глава IV
и соответственно особые алгебраические комплексы
Вк = aYk + 'a'Yk + ...,
Ck+1 = aZk+1 + 'a'Zk+1 + ...,
где a, 'a,... — произвольные целые числа.
Пользуясь формулами A)-D), в которых малые буквы заменены
большими, мы без труда убедимся, что для этих особых алгебраических
комплексов справедливы следующие граничные формулы:
Ак = Ак~1, (I)
вк = вк-\ (п)
Qk=Ak-l __gfe-l)
Qk+1 =Ак _Вк _ ?,*_
§ 30. Доказательство теоремы о симплициальном
приближении
Построение алгебраического комплекса А , аппроксимирующего
особый алгебраический комплекс Ак, мы будем осуществлять при по-
помощи симплициального приближения. Такое приближение заключает-
заключается в замене вершин /с-мерных симплексов особого комплекса Ак близ-
близким; к ним вершинами симплициального разбиения полиэдра Кп, при-
причем замена эта производится так, что вершины каждого (/с-мерного)
симплекса особого комплекса Ак переходят снова в вершины одного
симплекса — быть может симплекса меньшей размерности — полиэд-
полиэдра Кп. Симплициальное приближение возможно осуществить лишь,
если симплексы комплекса Ак достаточно малы. В самом деле, в про-
противном случае может оказаться, что две вершины, принадлежащие од-
одному и тому же симплексу особого комплекса Ак, находятся в очень
далеких друг от друга симплексах симплициального разбиения поли-
полиэдра Кп, вследствие чего никакие близкие к этим вершинам вершины
симплициального разбиения не могут принадлежать одному симплек-
симплексу полиэдра Кп. В соответствии с этим симплициальному приближе-
приближению иногда должно предшествовать подразделение заданного особого
Аппроксимировать значит приближать. Мы будем иногда пользоваться и этим
термином.

§30. Доказательство теоремы о симплициальном приближении 139
комплекса, и конструкция проводится, вообще говоря, последовательно
двумя шагами.
1-й шаг. Переход к подразделению особого алгебраического ком-
комплекса Ак (стр. 140-142).
2-й шаг. Симплициальное приближение полученного подразделен-
подразделенного комплекса (стр. 143-147).
Разберем сначала отдельно случай нульмерного особого комплек-
комплекса (к = 0), так как общая теория симплициального приближения в этом
случае неприменима. Пусть
А0 = аХ° + 'а'Х° + ...
Соединим точку Х° прямой линией (см. стр. 58) с вершиной Y0 ка-
какого-нибудь симплекса полиэдра Кп, в котором (симплексе) Х° ле-
лежит. Ориентируем Y0 так же, как Х°. Соединяющий отрезок можно
рассматривать как особый одномерный симплекс Z1, имеющий грани-
границу Х° — Y0. Поэтому получающийся соответствующим образом алге-
алгебраический комплекс
А° = aY° + 'a'Y0 + ...
представляет нульмерный симплициальный комплекс, гомологичный
(в смысле особых гомологии) комплексу ^4°. Мы в дальнейшем будем
считать всегда, что к > 0.
Сверх всего, можно предположить, что Кп есть конечный полиэдр.
Покажем, в самом деле, что особый алгебраический комплекс Ак бес-
бесконечного полиэдра Кп помещается всегда целиком на некотором ко-
конечном подкомплексе симплициального разбиения полиэдра. Рассмот-
Рассмотрим сначала особый симплекс Хк. Если Хк имеет общие точки с бес-
бесконечным числом симплексов полиэдра Кп, то существует последова-
последовательность принадлежащих Хк точек, не имеющая точки накопления.
Однако последовательность соответствующих прообразов этих точек
в симплексе-прообразе хк имеет точку накопления, скажем, точку Н.
Но тогда отображение симплекса хк на Хк не является непрерывным
в точке if, что притиворечит определению особого симплекса. Так
как Ак состоит из конечного числа особых симплексов, то Ак лежит
на конечном подкомплексе полиэдра Кп. Поэтому теорему о симпли-
симплициальном приближении достаточно доказать для конечных полиэдров.
1-й шаг: подразделение особого алгебраического комплекса Ак.
а) Соединяющее призмы
Рассмотрим сначала принадлежащий полиэдру Кп отдельный
ориентированный особый симплекс X , который может оказаться
и вырождающимся. Выберем его прообразом ориентированный сим-
симплекс хк, лежащий в основании некоторой призмы zk+1. Предположим,

140 Глава IV
что призма zk+1 разбита на симплексы указанным в предыдущем па-
параграфе способом; симплекс, представляющий ее верхнее основание,
(/-кратно подразделен барицентрически.
Отобразим призму z +1 непрерывно в полиэдр Кп так, чтобы при
этом хк перешло соответствующим образом в Хк (т. е. так, чтобы обра-
образом хк в Кп был наш особый симплекс Хк), а каждый отрезок призмы,
параллельный ее оси, отобразился в точку. Другими словами, спроек-
спроектируем сначала призму параллельно своей оси на ее нижнее основание,
а затем отобразим на X . При этом симплекс верхнего основания у или
введенный в предыдущем параграфе алгебраический комплекс ук, со-
состоящий из одинаково ориентированных симплексов (/-кратного бари-
барицентрического подразделения верхнего основания, переходит в особый
алгебраический комплекс Yk. Этот комплекс называется д-кратным
барицентрическим подразделением особого симплекса Хк. Алгебраиче-
Алгебраический комплекс zk+1 переходит в особый алгебраический комплекс Zk+1.
Мы будем называть Zk+1 комплексом, соединяющим Хк и Yk. (/-крат-
(/-кратное барицентрическое подразделение и соединяющий комплекс одно-
однозначно определяются особым симплексом Хк, т. е. не зависят от выбора
призмы zk+1. В самом деле, пусть ~zk+1 — другая призма, подразделен-
подразделенная и ориентированная так же, как zk+1. Существует линейное отобра-
отображение Т призмы zk+1 на ~zk+1, переводящее ориентированное нижнее
основание хк первой призмы в такое же основание х второй призмы.
Так как соответствующие друг другу точки симплексов хк и хк имеют
один и тот же образ в Хк и каждый параллельный оси отрезок как
призмы z ~*~ , так и призмы z ^ переходит в точку, то всякие две со-
соответствующие в силу Т одна другой точки призм zk+1 и г имеют
один и тот же образ в Кп. Но Т переводит ориентированные симплек-
симплексы призмы zk+1 в ориентированные симплексы призмы ~zk+1. Поэтому
из определения равенства особых симплексов следует, что особые алге-
алгебраические комплексы Zk+1 и Z так же, как Yk и Y , не отличаются
друг от друга.
Для особого алгебраического комплекса Ак (/-кратное барицентри-
барицентрическое подразделение его Вк и соединяющий комплекс Ск+1 опреде-
определяются как сумма (/-кратных барицентрических подразделений и со-
соответственно соединяющих комплексов отдельных особых симплексов
комплекса Ак. Другими словами, если
Ак = аХк + 'а'Хк + ..., A')
a Yk и Zk+1 означают соответственно (/-кратное барицентрическое под-
подразделение и соединяющий комплекс симплекса Хк, то
Вк = aYk + 'a'Yk + ..., B')
Ck+1=aZk+1+'a'Zk+1+... C')

§30. Доказательство теоремы о симплициальном приближении 141
Если один из симплексов правой части формулы 1', например сим-
симплекс Хк, вырождается, т. е. Хк = —Хк, то, очевидно, Yk также = — Yk
и Zk+1 = —Zk+1, т.е. Yk = 0 и Zk+1 = 0. Таким образом барицентри-
барицентрическое подразделение Вк+1 и соединяющий комплекс Ск+1 однозначно
определяются особым алгебраическим комплексом Ак и не зависят от
того, входят ли в A') вырождающиеся симплексы или нет.
Ь) Граничные формулы
При отображении призмы zk+1 на особый симплекс Хк каждый от-
отрезок боковой стороны zk, параллельный оси призмы, переходит в точ-
точку. Поэтому лежащие на zk комплексы хк~г, ук~г, zk переходят соот-
соответственно в стороны Хк~г симплекса Хк в (/-кратные барицентриче-
барицентрические подразделения Ук~х сторон Хк~х и в комплексы Zk, соединяю-
соединяющие Хк~х с Ук~х¦ То же самое имеет место по отношению к призмам
'zk+1,..., принадлежащим другим особым симплексам 'Хк,.... В силу
формулы A') стр. 140 и формулы A) стр. 135 границей комплекса Ак
является алгебраический комплекс
Барицентрическое подразделение особого алгебраического комплек-
комплекса Ак~г представляет комплекс
??fe-1=a]ri;fe-1+/a]r%fe-1 + ..., E')
а комплексом, соединяющим Ак~х с Вк~1, служит комплекс
Ск = a^Z*+'a^'Z* + ... F')
Вследствие этого граничные формулы (I)-(IV) § 29 остаются справед-
справедливыми и для особых комплексов:
Ак = Ак-1, (Г)
вк = вк-\ (п')
Ск = Ак~х -Вк-\ (III')
fjk+i =Ак_вк_ Ск_ (IV')
Формула (II') выражает, что граница д-кратного барицентрического
подразделения особого алгебраического комплекса Ак равна д-кратному
барицентрическому подразделению его границы.
При g достаточно большом симплексы комплексов (барицентриче-
(барицентрических подразделений) ук, 'ук,... становятся как угодно малыми. Точнее,

142 Глава IV
если считать Кп прямолинейным полиэдром, расположенным в евкли-
евклидовом пространстве достаточно большого числа измерений (что в силу
сказанного в § 11 всегда возможно), и понимать под расстоянием двух
точек полиэдра Кп их расстояние в евклидовой метрике этого про-
пространства, то достаточно мелким подразделением Ак можно сделать
диаметры особых симплексов Вк как угодно малыми.
Закончив подразделение особого алгебраического комплекса Ак,
мы переходим к следующему шагу.
2-й шаг: симплициальное приближение подразделенного алгебраи-
алгебраического комплекса Ак.
а) Соединяющие призмы
Пусть Вк есть особый алгебраический комплекс vs. P — вершина
особого симплекса этого комплекса. Под особой симплициальной звез-
звездой с центром Р понимают совокупность всех особых симплексов осо-
особого комплекса Вк, имеющих Р своей вершиной. Предположим теперь,
что подразделение Вк комплекса Ак настолько мелко, что каждая осо-
особая звезда комплекса Вк лежит целиком внутри по крайней мере одной
звезды симплициального разбиения полиэдра Кп. После подразделе-
подразделения можно осуществить теорему V § 7. Именно, в качестве окрестно-
окрестности U*{Q\Kn) точки Q нужно взять внутренность симплициальной
звезды полиэдра Кп. Тогда существует е > 0 такое, что е-окрест-
ность любой точки Кп лежит целиком внутри некоторой звезды по-
полиэдра Кп. Ак нужно подразделить настолько, чтобы диаметры сим-
симплексов Вк стали меньше |.
Чтобы сделать ясной аналогию с первым шагом, мы будем обозна-
обозначать алгебраические комплексы Вк~х и В', г. е. (/-кратно подразделен-
подразделенные комплексы Ак~х и Ак, соответственно через Ак~х и
Ак = аЕк + 'а'Ек + ...
При этом мы допускаем снова, что среди особых симплексов Sfe, 'Sfe,...
правой части могут встретиться и одинаковые, и отличающиеся лишь
ориентацией, и даже вырождающиеся симплексы.
Пусть Pi, P2, ... суть все вершины особых симплексов
Sfe, 'Sfe,..., причем каждую точку Р\ мы пишем только один раз,
даже если она представляет несколько слившихся друг с другом осо-
особых вершин. Каждая вершина Р\ является центром особой звезды,
состоящей из /с-мерных симплексов комплекса Ак. Для того чтобы ап-
аппроксимировать комплекс Ак, мы ставим в соответствие каждой его
вершине Р\ «приближающую» (аппроксимирующую) вершину Q\ сим-
симплициального разбиения полиэдра Кп, причем Q\ выбирается так, что
особая звезда комплекса Ак с центром Р\ целиком лежит внутри сим-
симплициальной звезды полиэдра Кп с центром Q\. Вершина Q\, аппрок-
аппроксимирующая вершину Р\, вообще говоря, не определяется однозначно

§30. Доказательство теоремы о симплициальном приближении 143
вершиной Р\, так как в полиэдре Кп могут существовать несколько
симплициальных звезд, содержащих внутри себя особую симплициаль-
ную звезду с центром Р\. Если, однако, вершины Q\ уже выбраны, то
вся дальнейшая конструкция осуществляется вполне однозначно. Опи-
Описанный переход от особых вершин Р\ к аппроксимирующим симплици-
альным вершинам Q\ составляет весьма существенный шаг симпли-
циального приближения. В качестве примера на рис. 51 взят особый
одномерный комплекс (отмеченный жирной линией), который вложен
в двумерный полиэдр К2, состоящий из прямолинейных равносторон-
равносторонних треугольников.
Рассмотрим теперь отдельный особый симплекс, например, Sfe.
Пусть его вершинами являются точки Pi, P2, ..., Рр, а поставленные
им в соответствие симплициальные вершины суть Qi, Q2, ¦ ¦ ¦, Qp- Вер-
Вершины Qi, Q2, ¦ ¦ ¦, Qp, естественно, могут и не быть все различными,
в противоположность вершинам Р„. Покажем, что вершины Q явля-
являются непременно вершинами некоторого симплекса симплициального
разбиения полиэдра Кп. В самом деле, каждая из звезд, имеющих цен-
центрами Qi, Q2, ..., Qp, содержит внутри себя особый симплекс Ек. По-
Поэтому любая точка Р симплекса Ек является общей внутренней точкой
таких звезд .
Р принадлежит некоторому симплексу Е^ полиэдра Кп. Всякая
звезда St полиэдра Кп, имеющая Р своей внутренней точкой, должна
содержать симплекс Е\ причем Е^ не может лежать на краю звез-
звезды St. Но тогда центр этой звезды представляет непременно одну из
вершин симплекса ЕК Поэтому точки Qi, Q2, ¦¦¦, Qp являются ли-
либо вершинами какой-нибудь г-мерной стороны Е% симплекса Е\ либо
вершинами самого Е^. Так как Е% и Р принадлежат одному и тому же
симплексу Е\ то каждую точку симплекса Е% можно соединить пря-
прямолинейным отрезком с Р, а следовательно, с любой точкой особого
симплекса Sfe.
Примем теперь опять за прообраз особого симплекса Sfe ориентиро-
ориентированный симплекс хк, лежащий в основании (/с+1)-мерной призмы zk+1,
и определим непрерывное отображение призмы zk+1 в полиэдр Кп при
помощи следующих условий:
1. хк переходит надлежащим образом в Ек.
2. ук (рассматриваемый сейчас как неподразделенный) линейно
отображается на Е%, причем так: если вершина симплекса основания хк
р\ (А = 0, 1, ..., к) переходит в особую вершину Рм (ц, = 1, 2, ..., р)
симплекса Sfe, то соответствующая вершина q\ симплекса верхнего
Напомним здесь, что внутренняя точка симплициальной звезды есть точка, не
принадлежащая краю звезды.
Прямолинейность рассматривается здесь по отношению к симплексу EJ, см.
стр. 123.

144
Глава IV
основания ук переходит в вершину Q^ симплекса Ег, аппроксимиру-
аппроксимирующую особую вершину Рм.
Рис. 51
3. Параллельный оси отрезок (pq) призмы zk+1 линейно отобража-
отображается на прямолинейный отрезок, соединяющий точки Р и Q, где Р —
образ точки р в Sfe, a Q — образ точки q в W. Такой соединяющий от-
отрезок существует, так как по указанному выше любую точку симплек-
симплекса Ек можно прямолинейно соединить с любой точкой симплекса Ег. На
рис. 51 соединяющими отрезками служат начерченные прямые линии.
Отображение призмы zk+1 в Кп определяется поставленными
условиями однозначно. Непрерывность этого отображения вытекает из
леммы § 14, стр. 77. Симплекс Ег становится в результате отображе-
отображения ориентированным особым симплексом Hfe, прообразом которого
служит ук. Такой особый симплекс называется (симплициальным) при-
приближением симплекса Sfe.
Получающийся из призмы zk+1 алгебраический комплекс zk+1 пе-
переводится нашим непрерывным отображением в сосбый алгебраиче-

§30. Доказательство теоремы о симплициальном приближении 145
ский комплекс Zfe+1; Zfe+1 называется комплексом, соединяющим осо-
особый симплекс Ек с его приближением Нк.
Мы определяем теперь для особого алгебраического комплекса
Ак = оЕк + 'а'Ек + ... A")
приближение Bfe {соединяющий комплекс rfe+1), как сумму приближе-
ний (соединяющих комплексов) отдельных особых симплексов:
Bk = aUk + 'a'Uk + ..., B")
После выбора аппроксимирующих вершин приближение и соединя-
соединяющий комплекс однозначно определяются алгебраическим комплек-
комплексом Ак, и не зависит от того, входят ли в правую часть формулы A")
вырождающиеся симплексы или нет. Последнее доказывается таким же
образом, как на стр. 141. На рис. 51 приближение В1 показано пунк-
пунктирной линией.
Bfe представляет симплициальный алгебраический комплекс, так
как каждый симплекс (A)Hfe есть либо к-мерный симплекс симплици-
ального разбиения полиэдра Кп, либо вырождающийся особый сим-
симплекс (стр. 124, пример 1). В последнем случае он эквивалентен нуле-
нулевому алгебраическому комплексу.
Ь) Граничные комплексы
Рассмотрим отображение боковой стороны zk призмы zk+1, полу-
получающееся при описанном выше отображении призмы zk+1 в Кп. Это
отображение стороны zk, очевидно, обладает следующими свойствами:
1. Симплекс (нижнего) основания х\гх стороны zk переходит в сто-
сторону S^ особого симплекса Sfe.
2. При линейном отображении симплекса ук на симплекс Е% сим-
плициального разбиения полиэдра Rn сторона ук~г симплекса ук сама
отображается линейно на симплекс Eh. Симплекс Eh является либо
симплексом Ег, либо его стороной. Если теперь вершина р\ симплек-
симплекса хк~г переходит в вершину Рм особого комплекса S^, то в силу
конструкции отображения призмы zk+1, соответствующая вершина q\
симплекса ук~г переходит в вершину Q^, аппроксимирующую особую
вершину Рм.
3. Так как при отображении призмы zk+1 каждый параллельный
оси призмы отрезок (pq) линейно отображается на отрезок (PQ), со-
соединяющий образы точек р и q, то это имеет место, в частности, и для
параллельных оси отрезков стороны zk.

146 Глава IV
Отсюда следует, что лежащие на zk алгебраические комплексы
хк~г, ук~х, zk переходят соответственно в стороны Ек~г симплекса Ек,
в приближения Лк~г симплексов S^ и в отрезки Zk, соединяю-
соединяющие S^ с Н^.
То же самое имеет место по отношению к призмам 'zkl,..., принад-
принадлежащим остальным особым симплексам 'Sfe,... В силу уравнения A")
стр. 145 и уравнения A) стр. 135 граница особого алгебраического ком-
комплекса Ак
Afe-1=a]Ts*-1+'a]r/S*-1 + ... D")
Таким образом приближение особого комплекса Ак~г есть ком-
комплекс
В*-1=а]Гн*-1+'а]Г/Н;Г1 + ..., E")
а комплекс, соединяющий Ак~г сВ*
rfe=a]Tz?+/a]r/Z? + ... F")
Мы получаем снова граничные формулы (I)-(IV) § 29:
Afe = Afe-1, (I")
Bfe=Afe-\ (II")
pfe=Afe-i_Bfe-i) (III")
Формула (II") выражает, что граница приближения особого алгебраи-
алгебраического комплекса равна приблиоюению его границы.
Результаты
Нам остается сопоставить результаты первого и второго шагов.
Прибавим к соединяющим комплексам Ск и Ск+1 первого шага со-
соединяющие комплексы Ffe и rfe+1 второго. Мы получим новые соеди-
соединяющие комплексы
vk = ск + тк,
ук+1 _ Qk+1 , pfe+1
Принимая во внимание, что Ак есть не что иное, как переимено-
переименованное Вк, а А.к~г есть Вк~г, мы получим теперь из граничных соот-

§30. Доказательство теоремы о симплициальном приближении 147
ношений (I')-(IV') и (I")-(IV") новые граничные соотношения:
Ak = Ak-\ (I)
gfe = Bfe-i) (IV)
Vk = A*'1 -Bfe-\ (III)
Vk+1 =Ak -Bk-Vk. (IV)
Предыдущие рассуждения применимы для любого особого алгебраи-
алгебраического комплекса Ак. Допустим теперь, что Ак есть цикл, т.е.
Ак~г = 0. Тогда обращаются в нуль также барицентрическое подраз-
подразделение Вк~1 и его приближение Вк~1, а вместе с тем и соединяющие
комплексы Ск, Тк и Vk. Формула (IV) принимает более простой вид
Отсюда следует, что для каждого особого цикла существует гомологич-
гомологичный с ним симплициальный.
Допустим теперь, что граница Ак~х особого комплекса Ак есть
симплициальный комплекс. При помощи (/-кратного барицентрическо-
барицентрического подразделения из Ак~х можно получить комплекс Вк~1 и затем сим-
плициальное приближение В*0. Мы утверждаем, что Bfe-1 =Ак~г.
Это вытекает из следующего более общего предложения, которое мы
сейчас докажем: симплициальное приближение д-кратного барицен-
барицентрического разбиения Вг любого симплициального алгебраического
комплекса А% есть сам комплекс А%.
Доказательство. Теорема верна при г = 0, так как всякий нуль-
нульмерный комплекс А0 совпадает со своим (/-кратным барицентрическим
подразделением, а симплициальное приближение оставляет нульмер-
нульмерные симплексы комплекса А0 неподвижными. Допустим теперь, что
теорема доказана для (г — 1)-мерных комплексов А*, в частности,
для границы г-мерного симплекса Ег комплекса А%. Обозначим (/-крат-
(/-кратное барицентрическое подразделение симплекса Е% через Егд. При сим-
симплициальном приближении Егд переходит в некоторый алгебраический
комплекс 11г, в то время как Ег переходит по (индукционному) пред-
предположению в Е%. Так как граница приближения равна приближению
границы, мы получаем соотношение:
iii = Ei. A)
Пусть теперь ег — какой-нибудь симплекс барицентрического подразде-
подразделения Егд. Вершины симплекса ег переходят при аппроксимации в опре-
определенные вершины симплекса Ег, а потому ег переходит либо в еЕ%

148 Глава IV
(е = ±1), либо в одну из сторон симплекса Ег. В последнем случае при-
приближение симплекса ег вырождается и не оказывает влияния на при-
приближение симплекса Ег. Поэтому приближение U1 может быть только
симплексом Ег, взятым с некоторым коэффициентом, а тогда в силу
формулы A) W = Е\
Если теперь
Ai = -уЕг + 'iEi + ...
есть произвольный г-мерный алгебраический комплекс полиэдра Кп, а
его (/-кратное барицентрическое подразделение, то симплициальное
приближение
= А\
Наша теорема доказана для размерности г, а следовательно, по
индукции, и для любой размерности.
Вместо Bfe-1 в формулы (I)-(IV) можно теперь подставить Ак~г.
Тогда из формулы (III) получается
Vk = 0,
т. е. Vk есть цикл. Кроме того, по конструкции* Vk лежит на под-
подкомплексе Ак~х, составленном из всех (к — 1)-мерных симплексов
комплекса Ак~г. Симплициальное приближение комплекса Vk внутри
комплекса Ак~х представляет (см. стр. 147) гомологичный Vk /с-мер-
ный симплициальный комплекс на Ак~х. Но Ак~х не содерж:ит /с-мер-
ных симплексов. Поэтому симплициальное приближ:ение комплекса Vk
есть /с-мерный нулевой комплекс, т. е. Vk ~ 0. Пользуясь формулой
Ак — ~Вк — Vk ~ 0, вытекающей из формулы (IV), мы получаем сейчас
же соотношение Ак ~ Bfe.
Таким образом, доказательство теоремы о симплициальном при-
приближении закончено. Вместе с тем установлена топологическая ин-
инвариантность симплициальных групп Бетти и одновременно пока-
показано, что все понятия и теоремы, вытекающие из гомологических
свойств, являются топологическими свойствами полиэдра**. Так, на-
например, числа Бетти и коэффициенты кручения суть топологиче-
топологические инварианты, так как они определяются группой Бетти. Числа
*Vk = Ck + Г*. Что С* лежит на Ак~1, это очевидно. Для Г* это следует из
соображений, изложенных на стр. 147.
"Напомним здесь, что fc-мерные особые и fc-мерные симплициальные группы Бет-
Бетти (стр. 91) определены также при к > п (где п — размерность симплициального
разбиения полиэдра) и доказано, что те и другие совпадают.

§31. Деформации и симплициальные приближения отображений 149
Бетти по модулю 2 также инварианты, — они могут быть выраже-
выражены через числа Бетти и количества четных коэффициентов круче-
кручения. Эйлерова характеристика инвариантна и равна одному и тому
оке числу для любых симплициальных разбиений полиэдра, так как
она равна альтернированной сумме чисел Бетти. Нетрудно показать,
что все указанные свойства симплициального разбиения полиэдра не
меняются, если мы переходим от данного разбиения к другому при
помощи некоторых простейших операций, именно, при помощи рас-
рассматриваемых в § 37 подразделений и укрупнений. Оказывается, од-
однако, что мы совсем не должны рассматривать такие подразделения
симплициальных разбиений полиэдра, так как мы показали, что ука-
указанные свойства двух различных симплициальных разбиений полиэдра
одинаковы вне зависимости от того, можно ли связать эти разбиения
общим подразделением или нет.
Однако полученные результаты выходят далеко за пределы дока-
доказательств инвариантности. Перекинуть мост от одного симплициаль-
симплициального разбиения к другому мы могли бы при помощи более простых
средств17. Важно то, и это нужно особенно подчеркнуть, что мы опре-
определили группы Бетти топологически инвариантно и тем самым раз на-
навсегда освободились от симплициального разбиения, при помощи ко-
которого конструктивно был задан полиэдр. Впредь мы не должны бу-
будем на каждом шагу заниматься аппроксимациями. А это представляет
преимущество, — особенно в теории отображений многообразий, — ко-
которое окупит нам труды, затраченные на инвариантное определение
групп Бетти .
§31. Деформации и симплициальные приближения
отображений
Мы сейчас переходим к теореме, являющейся также теоремой
о приближении. Однако здесь будет идти речь не о приближении осо-
особых комплексов, а о приближении непрерывных отображений полиэд-
полиэдра Кп в полиэдр Кт. Чтобы сформулировать теорему, мы должны вве-
ввести два понятия, играющих в топологии важную роль, именно, понятие
деформации отображения и понятие симплициального отображения.
Пусть полиэдр Кп, который мы для простоты предположим конеч-
конечным, отображается непрерывно двумя способами в полиэдр Кт. Обо-
Обозначим соответствующие непрерывные отображения через до и д\. Мы
говорим, что до можно гомотопно деформировать в дг, если «между до
и д\ существует непрерывное семейство отображений». Под этим пони-
понимается следующее: существует семейство непрерывных отображений
такое, что каждому значению параметра t, изменяющегося в интерва-
*По поводу затронутых здесь вопросов см. Александров-Hopf, главы VIII и IX.

150 Глава IV
ле 0 ^ t ^ 1, ставится в соответствие отображение gt этого семейства,
в частности, значениям t = 0 и t = 1 соответствуют заданные отображе-
отображения до и gi; при этом образ gt (Р) точки Р должен зависеть непрерывно
от параметра t и от точки Р полиэдра -ЕС™.
Дадим еще одно определение гомотопной деформации, эквива-
эквивалентное приведенному. Пусть Кп х t есть топологическое произведение
полиэдра Кп на единичный отрезок 0 ^ t ^ 1. до можно гомотопно
деформировать bjib том и только в том случае, если Кп х t можно
при помощи непрерывного отображения / отобразить в Кт так, что
/(Р х 0) = /о(Р) и /(Р х 1) = д\(Р). В самом деле, отображением топо-
топологического произведения Кп х t определяется семейство отображений
полиэдра Кп в Кт. Мы должны положить только
gt(P) = /(Р х *). A)
Обратно, непрерывное семейство gt отображений полиэдра Кп опреде-
определяет в силу уравнения A) непрерывное отображение топологического
произведения Кп х t.
Второе определение имеет то преимущество, что оно задает все
семейство отображений gt при помощи одного отображения / тополо-
топологического произведения. Кп х t называется полиэдром деформации
(полиэдра Кп), at — параметром деформации.
Полиэдр деформации можно следующим образом вложить в ев-
евклидово пространство: пусть Rr есть евклидово пространство с коор-
координатами х\, Х2, ¦ ¦ ¦, xr, t. Поместим конечный полиэдр Кп, заданный
в определенном симплициальном разбиении*, прямолинейно в линей-
линейное подпространство t = 0 пространства Rr+1, — это возможно, как
показано в § 11, при г ^ 2п + 1. Тогда при параллельном переносе, пе-
переводящем линейное пространство t = 0 в линейное пространство t = 1,
Кп опишет как раз полиэдр деформации.
Если до можно деформировать в д\, то д\ можно деформировать
в до. Если, далее, д\ можно деформировать в </2, то и ^ можно дефор-
деформировать в #2- Это дает возможность разбить непрерывные отобра-
отображения полиэдра Кп в Кт на классы отображений, гомотопно дефор-
деформируемых друг в друга. Эти классы называются для определенности
гомотопичными классами (или классами гомотопии).
Мы требовали, чтобы отображения gt @ ^ t ^ 1) были только
однозначными и непрерывными. Если все эти отображения являются,
кроме того, топологическими, то тогда говорят об изотопной деформа-
деформации отображения д0 в д1. При этом не требуется, чтобы отображение /
полиэдра деформации в полиэдр Кт было топологическим отображени-
отображением. Так, например, непрерывное перемещение круга К2 в евклидовой
плоскости К2 есть изотопная деформация.
"То-есть симплициальный комплекс Кп.

§31. Деформации и симплициальные приближения отображений 151
Может случиться, что Кп совпадает с Кт, т.е. gt есть отобра-
отображение полиэдра Кп в себя. Если, в частности, до есть тождественное
отображение, то непрерывное семейство отображений gt называется го-
гомотопной (или соответственно изотопной) деформацией полиэдра Кп
в себя. Мы будем в дальнейшем иметь дело только с гомотопными
деформациями, о которых будем говорить обычно просто как о дефор-
деформациях (опуская слово «гомотопные»).
Пусть даны полиэдры К и К вместе с их симплициальными
разбиениями Кп и Кт. Под симплициальным отображением полиэд-
полиэдра-ЕС в полиэдр К понимают непрерывное отображение К в К ,
при котором каждый симплекс Е% комплекса Кп (г = 0, 1, ..., п) отоб-
отображается линейно на некоторый симплекс Е-7' j ^ i комплекса Кт
(стр. 60). Если относительно каждой вершимы комплекса Кп известно,
в какую вершину комплекса Кт она отображена, то тем самым симпли-
циальное отображение определено полностью. При этом соответствие
между вершинами комплексов Кп и Кт должно удовлетворять одно-
одному единственному условию, именно, чтобы вершины каждого симплек-
симплекса из Кп переходили снова в вершины некоторого симплекса из Кт.
Тривиальный пример симплициального отображения получается при
отображении всех вершин комплекса Кп в одну вершину Кт.
Теорема, которую мы хотим сейчас доказать, заключается по суще-
существу в том, что каждое непрерывное отображение полиэдра К в К
можно деформировать в симплициальное отображение, если только
симплициальное разбиение Кп достаточно мелко.
Пусть до есть непрерывное отображение полиэдра К в Кт. Под-
Подразделяя Кп достаточно мелко, мы можем сделать так, что образ каж-
каждой симплициальной звезды комплекса Кп будет лежать целиком вну-
внутри некоторой симллициальной звезды комплекса Кт. Поставим те-
теперь в соответствие каждой вершине Р„ комплекса Кп вершину П^
комплекса Кт так, чтобы звезда с центром \iv содержала целиком
внутри себя образ звезды с центром Pv. Тогда если Pq, Pi, ..., Pi, на-
например, являются вершинами г-мерного симплекса Ег комплекса Кп,
то каждая из звезд с центрами По, Щ, ..., П$ содержит внутри себя
образ до{Ег) (вершины По, Щ, ..., П$ могут и не быть все различны-
различными). Отсюда следует, что По, Щ, ..., П$ также являются вершинами
некоторого симплекса комплекса Кт. В самом деле, если до(Р) есть
образ какой-нибудь точки Р симплекса Ег и S — симплекс из Кт,
содержащий точку до(Р), то все звезды с центрами По, Щ, ..., П^ со-
содержат до{Р) внутри себя. Но тогда По, Пь ..., П^ являются вершина-
вершинами симплекса S и, следовательно, вершинами некоторого симплекса Е-7'
комплекса Кт. Таким образом мы видим, что соответствие между точ-
точками Pv комплекса Кп и точками Ии комплекса Кт определяет неко-
некоторое симплициальное отображение д\ комплекса Кп в Кт.
Образ д\ (Р) рассматриваемой нами точки Р симплекса Е% принад-

152 Глава IV
лежит симплексу Е-7'. Но тогда д\ (Р) так же, как и до (Р), принадлежит
симплексу S, и эти две точки можно соединить прямолинейным от-
отрезком. Отсюда следует также деформируемость отображения до в д\:
точку до (Р) нужно заставить перемещаться по соединяющему отрезку
в точку дг{Р) (при этом точка до(Р) может иногда «перемещаться»,
оставаясь неподвижной). Точнее, мы определяем непрерывное отобра-
отображение / полиэдра деформации Кп х t в Кт следующими требова-
требованиями: /(Р х 0) = до(Р), f{P х 1) = gi(P) и отрезок, пробегаемый
точкой Р на Кп х t, при возрастании t от 0 до 1 отображается линей-
линейно на отрезок (иногда состоящий из одной точки), соединяющий до(Р)
и д\ (Р). Непрерывность отображения / следует из леммы, приведенной
на стр. 77.
Полученный результат можно сформулировать так:
Теорема I (теорема о деформации). Всякое непрерывное
отображение полиэдра К в полиэдр К может быть (гомотопно)
деформировано в симплициальное отображение, если только симпли-
циальное разбиение Кп состоит из достаточно мелких симплексов.
При этом в течение всей деформации образ точки Р полиэдра К не
покидает ни одного из симплексов комплекса К™, на котором он на-
находился в начале деформации. Поэтому образ точки Р движется все
время по симплексу наименьшей размерности, содержащему этот
образ в начале деформации.
По теореме 11 § 27 при непрерывном отображении полиэдра К
в К /с-мерная группа Бетти полиэдра К подвергается гомоморф-
гомоморфному отображению в /с-мерную группу Бетти полиэдра К . Посмот-
Посмотрим теперь, как влияет на это гомоморфное отображение деформация
непрерывного отображения.
Теорема II. Пусть до и д\ — два отображения полиэдра К
в К , Ак с границей Ак~1 — особый алгебраический комплекс на К ,
Ак с границей Ак~г и~Вк с границей В*0 — образы комплексов Ак
и Ак~1 при отображениях соответственно до и д\. Тогда, если до
можно деформировать в д\, то на Кт существуют особые соединя-
соединяющие комплексы Тк и Тк+1, удовлетворяющие граничным соотноше-
соотношениям
= Afe-Bfe-rfe.
Ffe (соответственно rfe+1) лежит на множестве, описываемом при
деформации образом множества Ак~г (соответственно Ак). Если,
в частности, Ак~г = 0 (Afe-1 и Bfe-1 в этом случае также = 0),
то Тк = 0 и Ак ~ Вк (см. рис. 52).

§31. Деформации и симплициальные приближения отображений 153
Доказательство. Вложим полиэдр деформации Кп х t тем же
способом, как на стр. 150, в евклидово пространство Rr+1.
Пусть особый алгебраический ком-
комплекс Ак задан суммой
Ак = аХк + 'а'Хк + ...
Пусть, далее, хк есть прообраз симплек-
с& Хк, & zk+1 — построенная на хк приз-
призма с верхним основанием ук. Отобра-
Отобрала 4-1
зим z + непрерывно на подмножество
полиэдра Кп х t, описываемое при па-
параллельном переносе (стр. 150) точками
особого симплекса Хк, так, чтобы вы-
выполнялись следующие условия: хк пере-
переходит требуемым образом в особый сим- рИс. 52
плекс Хк, расположенный на полиэдре Кп хО, а каждый параллельный
оси отрезок призмы zk+1 линейно отображается на отрезок, описывае-
описываемый соответствующей точкой в Кп х t. Если теперь разбить zk+1 на
симплексы и ориентировать их, как в § 29, то ориентированные сим-
симплексы или алгебраические комплексы
к к
, у ,
fe+i fe-i fe-i к
z , xv , yv , zv
перейдут при отображении призмы zk+1 в Кп х t в особые алгебраи-
алгебраические комплексы
Хк л/~к ryk+1 'yk—l \rk—l ryk
полиэдра Кп х t. Рассуждая аналогично для остальных особых сим-
симплексов комплекса Ак и произведя сложение, мы получим особые ал-
алгебраические комплексы
Вк = aYk + 'a'Yk + ...,
Ck+1 = aZk+1 + 'a'Zk+1 + ...,
Ак~г = а ]Г X*-1 + 'a ]T 'X^1 + ...,
Эти комплексы связаны граничными формулами стр. 138.
*— образом основания отображаемого отрезка.

154 Глава IV
Особые алгебраические комплексы Ск+1 и Ск целиком лежат на
множествах, описываемых соответственно комплексами Ак и Ак~1 при
параллельном переносе на Кп х t. Для Ck+1 это ясно. Что касает-
касается Ск, то можно было бы предположить, что множество, описываемое
комплексом Ак~1, вообще говоря, не совпадает с суммой множеств, опи-
описываемых отдельными особыми симплексами Хк~г, '' Хк~г,... В самом
деле, может случиться, что какой-нибудь из этих симплексов формаль-
формально входит в правую часть выражения для Ак~г, но, по существу, вовсе
не принадлежит комплексу Ак~г, потому ли, что он вырождается, или
потому, что он сокращается с каким-нибудь другим симплексом. По-
Поэтому мы должны доказать, что если, например,
Xk^=±!Xkv~\ B)
то
yfe-l _ _|_/yfe-1
1 /л ^ *v
И
rvk—1 _i_r г7к—1
Это, однако, непосредственно вытекает из построения и из определения
равенства особых симплексов.
При отображении полиэдра Кп х t в Кт особые алгебраические
комплексы Ак, Ак~г, Вк, Вк~1, Ск, Ск+1 переходят в особые комплек-
комплексы Afe, A'0, Bfe, В'0, rfe, rfe+1, о которых говорится в теореме П. По
теореме I стр. 130 граничные формулы при этом сохраняются, т. е.
Afe = Afe-1, (I)
в* = в*-1, (п)
pfe+i =Ak_Bk_ Tk^
Формулы (III) и (IV) представляют как раз граничные формулы, о ко-
которых идет речь в нашей теореме. Алгебраический комплекс Тк (со-
(соответственно rfe+1) лежит, сверх того, на образе множества, описы-
описываемого комплексом Ак~х (соответственно Ак) полиэдра Кп х t при
параллельном переносе. Таким образом теорема II доказана.
По теореме II образы особого цикла Ак при деформируемых одно
в другое непрерывных отображениях до и д\ гомологичны друг другу
на Кт. Отсюда вытекает:
Теорема III. Гомоморфное отображение к-мерной группы Бет-
Бетти полиэдра Кп в k-мерную группу Бетти полиэдра К.т, опреде-
определяемое по теореме II § 27 непрерывным отображением полиэдра Кп

§31. Деформации и симплициальные приближения отображений 155
в К™, не меняется при гомотопной деформации непрерывного отоб-
отображения. Таким образом это гомоморфное отображение (гомомор-
(гомоморфизм) является инвариантом гомотопичного класса отображений.
Теорема справедлива, в частности, и тогда, когда речь идет о де-
деформации комплекса Кп в себя. В этом случае Кп совпадает с Кт,
а до есть тождественное отображение. Так как отображения групп Бет-
Бетти полиэдра Кп самих в себя, осуществляемые посредством до, суть
тождественные отображения, то получаем теорему:
Теорема IV. Гомоморфное отображение групп Бетти полиэд-
полиэдра Кп в себя, получающееся при деформации Кп (в себя), является
тождественным отображением.
Теорема III дает необходимое, хотя ни в коем случае не достаточное
условие для того, чтобы два отображения полиэдра Кп в Кт принадле-
принадлежали к одному (гомотопическому) классу. Пусть, например, Кп = Кт
есть n-мерная сфера Sn, т.е., скажем, граница (п + 1)-мерного сим-
симплекса Еп+1 = (Ро Pi.. .Рп Рп+\), а отображение д\ сферы Sn на себя
осуществляется линейным отображением симплекса Еп+1, при кото-
котором вершины Рг, Рз, ..., Pn+i остаются неподвижными, в то время
как Ро и Pi меняются местами друг с другом. Спрашивается: принад-
принадлежит ли д\ к классу тождественных отображений, т. е. можно ли д\ го-
гомотопно деформировать в тождественное отображение? Алгебраичес-
Алгебраический комплекс Еп+1 на сфере Sn образует базу гомологии п-мерной
группы Бетти сферы, представляющей свободную циклическую груп-
группу. Наше отображение переводит ориентированный симплекс Еп+1 =
= +(Р0 Pi... Рп Рп+1) в -En+1 = +(Pi Ро Р2 ... Рп Рп+1), а Ёп+1 в -
—Еп+1. Таким образом осуществлямое посредством д\ гомоморфное
отображение п-мерной группы Бетти в себя не есть тождественное
отображение, т. е. по теореме IV д\ не принадлежит к классу тожде-
тождественных отображений.
Упражнение. Для каких размерностей п замена друг другом диамет-
диаметрально противополоясных точек единичной п-мерной сферы принадлежит
к классу тоясдественных отобраясений? [Осуществите замену диаметрально
противополоясных точек посредством последовательных отражений.]
В качестве дальнейшего приложения теоремы II определим группы
Бетти проективного пространства Рп.
Выясним сначала, для каких размерностей Рп ориентируемо.
С этой целью напомним, что Рп получается путем отождествления
диаметрально-противоположных точек п-мерной сферы Sn. Ориенти-
Ориентируем какое-нибудь симметричное относительно центра симплициаль-
ное разбиение сферы, например октаэдральное (§ 14), когерентно. Так
как замена друг другом диаметрально-противоположных точек сфе-
сферы представляет произведение (п + 1) отражений, каждое из которых

156 Глава IV
меняет ориентацию сферы, то при такой замене ориентация сферы Sn
остается неизменной или меняется в зависимости от того, является ли п
нечетным или четным. При п нечетном два ориентированных п-мер-
ных симплекса сферы Sn отображаются в ориентированный таким же
образом n-мерный симплекс проективного пространства Рп, и мы по-
получаем когерентную ориентацию Рп. При п четном, напротив, Рп не
может быть ориентируемым, так как если бы существовала когерентная
ориентация Рп, то она получалась бы из некоторой когерентной ориен-
ориентации Sn, в то время как при переходе от Sn к Рп каждые два ориен-
ориентированных n-мерных симплекса сферы Sn отображаются на два про-
противоположно ориентированных n-мерных симплекса Рп (чтобы лучше
представить себе, как обстоит дело, рассмотрите случай п = 2 и п = 3).
Таким образом, Рп ориентируемо при п нечетном и неориентируемо
при п четном.
Введем теперь в Рп проективные координаты х\, жг, • • •, хп+\ (как
в § 14) и обозначим через Рк проективное подпространство, определя-
определяемое уравнениями
хк+2 = 0,..., хп+1 = 0. (Рк)
Тогда среди проективных пространств последовательности Рп, Рп~г,
...^Р1, Р° каждое следующее пространство содержится в предыду-
предыдущем.
Для того чтобы найти /с-мерную базу гомологии @ < к < п), мы бу-
будем исходить из особого /с-мерного цикла Uk. Если Uk содержит точку
@, 0, ..., 0, 1), то мы заменим Uk симплициальным приближением, не
содержащим этой точки и взятым в таком симплициальном разбиении
пространства Рп, для которого эта точка является центром п-мерного
симплекса. Удалим теперь из Рп внутренность маленького шара, опи-
описанного вокруг точки @, 0, ..., 0, 1) и не имеющего общих точек с Uk.
Тогда Рп превратится в псевдомногообразие с границей. Деформиру-
Деформируем это псевдомногообразие в особый комплекс, расположенный в Рп~г,
при помощи семейства отображений
%\ = Хх, 2?2 = Ж2, • • • , Хп = Хп, Жп+1 = t%n+l>
где t пробегает значения от 1 до 0. При этом Uk переходит в гомо-
гомологичный с Uk особый цикл 'Uk. Если к < п — 1, то мы повторяем
аналогичный процесс и «загоняем» 'Uk в Рп~2. Таким образом мы по-
получим в конце концов цикл Vk, гомологичный Uk и расположенный
в Рк. Если теперь к четное, то Рк неориентируемо и все /с-мерные
циклы пространства Рк гомологичны нулю на Рк, т.е. при к четном
/с-мерная группа Бетти проективного пространства Рп состоит толь-
только из нулевого элемента. При к нечетном наР* существует /с-мерный
цикл Р , получающийся при когерентной ориентации пространства Рк,
а всякий другой /с-мерный цикл Vk гомологичен наР* циклу Рк, взя-
взятому с некоторым коэффициентом. Поэтому при к нечетном /с-мерная

§31. Деформации и симплициальные приближения отображений 157
группа Бетти пространства Рп есть циклическая группа, а Рк обра-
образует базу гомологии. Легко убедиться, что она имеет в этом случае
порядок 2. В самом деле, при к нечетном Рк+1 есть неориентируемое
псевдомногообразие, имеющее в силу § 24 в точности один /с-мерный
коэффициент кручения, равный двум. Поэтому 2Рк ~ 0 в Рк+1. Сам
цикл Рк наверное не гомологичен нулю в Рк+1. Покажем, что он так-
также не гомологичен нулю в Рп. В самом деле, если Рк есть граница
алгебраического комплекса Uk+1 в Рп, то Uk+1 можно способом, при-
примененным ранее к Uk, «загнать» в подпространство Рк+1, причем все
точки цикла Рк останутся на месте. Но тогда Рк является границей
особого комплекса Vk на Рк+1, чего не может быть. Мы получаем сле-
следующий результат:
Группы Бетти нечетной размерности проективного простран-
пространства Рп представляют циклические группы, второго порядка; группы
Бетти четной размерности состоят только из нулевого элемента.
Исключения представляют только нульмерные группы Бетти для
любых п и п-мерные для нечетных п; эта группы всегда являются
свободными циклическими группами.
В качестве баз гомологии нечетных размерностей можно взять
когерентно ориентированные проективные подпространства Р1, Р3,
Р5,...18.

Глава V
Локальные свойства
Мы доказали в четвертой главе, что группы Бетти являются топологи-
топологическими инвариантами. Это первые топологические инварианты полиэдра,
с которыми мы познакомились. Однако с помощью групп Бетти мы получа-
получаем только весьма грубую классификацию полиэдров. Два полиэдра, имеющие
одинаковые группы Бетти, могут не быть гомеоморфными, — это видно уже
на простейшем примере отрезка (одномерного симплекса) и круга (двумер-
(двумерного симплекса). В самом деле, группы Бетти обоих этих полиэдров совпа-
совпадают, — нульмерные группы представляют свободные циклические группы
с одной образующей, а все остальные состоят только из нулевого элемента
(стр. 90 и 94). Однако, как показано в §1, отрезок и круг не могут быть
топологически отображены один на другой.
Группы Бетти представляют инварианты «в целом» (im Grossen), ко-
которые могут быть вычислены, если известен весь полиэдр. Разница между
отрезком и кругом вырисовывается, напротив, уже при рассмотрении сколь
угодно малых окрестностей какой-нибудь точки окружности и концевых то-
точек отрезка. Даже эти окрестности невозможно топологически отобразить
друг на друга. В этой главе мы рассмотрим инварианты «в малом» (im
Rleinen), которые позволят нам установить локальные свойства полиэдра.
Эти инварианты могут быть определены, если известна только сколь угод-
угодно малая окрестность рассматриваемой точки. Важнейшими, инвариантами
в малом являются «локальные группы Бетти» или «группы Бетти в точке».
С помощью этих групп мы докажем топологическую инвариантность раз-
размерности (определенной до сих пор только посредством симплициального
разбиения), границы, псевдомногообразия, ориентируемости и т. д19.
Рассмотрения этой главы применимы как к конечным полиэдрам, так
и к бесконечным.
§ 32. Локальные группы Бетти полиэдра
Пусть Кп есть связный полиэдр, заданный в определенном сим-
плициальном разбиении, размерности п > 0, и Р — какая-нибудь точка
в Кп.
Проведем в г-мерном симплексе симплициального разбиения, со-
содержащем точку Р, прямолинейный луч, выходящий из Р. Пусть этот
луч выходит из симплекса в точке Q. Совокупность всех отрезков (PQ),
которые ^можно провести таким образом из Р, заполняет в точности
полиэдр Q, состоящий из всех симплексов комплекса Кп, содержащих

§32. Локальные группы Ветти полиэдра 159
точку Р. Полиэдр Г2 называется симплициалъной окрестностью точ-
точки Р в полиэдре Кп. По условию D) § 10 О является и обычной окрест-
окрестностью точки Р в Кп. Совокупность концов Q отрезков (Р(З)заполняет
некоторые симплексы комплекса Кп, образующие так называемый
окрестностный комплекс А точки Р. А не является окрестностью
точки Р; напротив, А состоит из совокупности симплексов Q, не со-
содержащих Р. Если Р есть вершина симплициального разбиения, то ft
является симплициальной звездой с центром Р, а А — краем этой звез-
звезды . Если же Р не является вершиной, то всегда можно найти другое
симплициальное разбиение, в котором Р уже будет вершиной. Для это-
этого достаточно спроектировать окрестностный комплекс А из точки Р.
Мы будем понимать теперь под (локальной) к-мерной группой
Бетти комплекса Кп в точке Р /с-мерную группу Бетти окрестност-
ного комплекса А точки Р. Таким образом, группы Бетти Кп в точке Р
определены нами при помощи некоторого заданного симплициального
разбиения полиэдра Кп. Мы покажем, однако, что в действительности
они не зависят от симплициального разбиения, т. е. представляют то-
топологические инварианты полиэдра Кп 20.
Пример 1.
Пусть Р — внутренняя точка п-мер-
ного симплекса Еп комплекса Кп (п > 1).
Окрестностный комплекс А представляет
границу симплекса Еп, т.е. (п — 1)-мерную
сферу. Группы Бетти комплекса Кп в точ-
точке Р размерностей от 1 до (п — 2) состоят
только из нулевых элементов, а нульмерная рис gg
и (п— 1)-мерная группы суть свободные цик-
циклические группы (см. стр. 95).
Пример 2.
Пусть Р есть внутренняя точка (п — 1)-мерного симплекса Еп~г
комплекса Кп, инцидентного с к n-мерными симплексами Е™, Eg, ¦ ¦ ¦,
Eg (рис. 53). Пусть п > 1, а В1, ??2, ¦¦¦, Вк — вершины симплек-
симплексов Е^, Eg, ..., Eg, противоположные их общей стороне Еп~х. Тог-
Тогда окрестностный комплекс Ап~1 точки Р состоит из к симплициаль-
ных звезд St™, St^, • • •, Sf^T1 с центрами Blt B2, ¦ ¦ ¦, Вк, имею-
имеющих общим краем границу Sn~2 симплекса Еп~г. Вычислим теперь
(п — 1)-мерную группу Бетти в точке Р. С этой целью ориентируем
(п — 1)-мерные симплексы звезды St™~x когерентно, именно так, чтобы
получающийся при этом (п—1)-мерный алгебраический комплекс Stf^1
вместе со снабженным фиксированной ориентацией симплексом Еп~г
В дальнейшем мы под звездой будем понимать то комплекс ?1, то полиэдр С1.
Употреблением этих обозначений исключается возможность недоразумения.

160 Глава V
образовал бы цикл . Это всегда возможно, так как Stf^1 совместно
с Еп~х является границей симплекса Е™. Тогда
{sqr1)- = -Ёп~\ A)
(п — 1)-мерные циклы
5*?-1 -sq-1, sq-1 -sq~\ ..., stnkz\ -sq-1 B)
(числом к — 1) являются циклами, независимыми в смысле гомологии
а Ап~х. В самом деле, из соотношения
следует
Но в комплексе Ап~1, по отношению к которому рассматривается по-
последнее соотношение, не существует n-мерных симплексов. Поэтому
знак гомологии в этом соотношении можно заменить знаком равенства
(стр. 91). Так как никакие два алгебраических комплекса St^ и Stv не
имеют для /л ф v общего (п — 1)-мерного симплекса, то отсюда сразу
следует, что
й\ = «2 = • • • = Чк-1 = 0.
С другой стороны, каждый (п — 1)-мерный цикл Un~1 на Ап~г пред-
представляет линейную комбинацию алгебраических комплексов S't™.
В самом деле, если какой-нибудь (п — 1)-мерный симплекс комплек-
комплекса St1^1 входит в Un~1 с коэффициентом Ьц, то и все остальные
(п — 1)-мерные симплексы St1^1 входят туда с тем же коэффициен-
коэффициентом, так как иначе Un~1 не может быть циклом. Поэтому
ТГП — 1 г Си™—1 | г Qj.n—1 | | г O4.tl — 1
U = Oibt1 + O2ot2 + . . . + Okbtf.
k
По формуле A) 11п~г = 0 лишь в том случае, если J2 Ь^ = О.Ио тогда
гп—1
мы можем написать Un~1 в форме
v=\
Напомним здесь, что переход от неориентированных симплексов к ориентиро-
ориентированным мы отмечаем переходом от жирного шрифта к светлому.

§32. Локальные группы Ветти полиэдра 161
Отсюда следует, что (п—1)-мерные циклы B) представляют (п — 1)-мер-
ную базу гомологии комплекса Ап~1. Таким образом, при п > 1
(п — 1)-мерная группа Бетти комплекса Ап~х есть свободная цикли-
циклическая группа с к — 1 образующей.
При п = 1 Р есть общая вершина к одномерных симплексов. Поэто-
Поэтому А0 состоит из к точек, и (п— 1)-мерная группа Бетти комплекса А0
есть свободная циклическая группа с к образующими.
Для того чтобы доказать независимость групп Бетти в точке Р от
выбранного симплициального разбиения полиэдра Кп, мы рассмотрим
две симплициальные звезды Q и Q' комплекса Кп, имеющих общий
центр Р. Мы не требуем существования симплициальных разбиений
полиэдра Кп, для которых Q и соответственно Q являются симплици-
альными окрестностями точки Р, а ставили условием лишь, чтобы Г2
и ft были окрестностями Р в К . Если бы мы могли доказать гомео-
гомеоморфность границы А звезды Г2 и границы А звезды Г2 , то это озна-
означало бы, что существует такое непрерывное отображение ц> полиэдра А
в А и непрерывное отображение ф полиэдра А в А, при которых отоб-
отображения ф{р полиэдра А на себя (сперва производится отображение ip,
а потом ф\) и <рф полиэдра А на себя суть тождественные отображе-
отображения. Однако доказать, что A vs. А гомеоморфны, мы не в состоянии.
Но мы можем доказать следующую теорему:
Теорема I. Существует непрерывное отображение ip полиэд-
полиэдра А в А и непрерывное отображение ф полиэдра А в А такие, что
отображения (рф полиэдра А на себя и (рф полиэдра А на себя мож-
можно деформировать в тождественное отображение. Доказательство
дано ниже.
Из этой теоремы вытекает следующая теорема:
Теорема П. А и А имеют одинаковые группы Бетти.
Доказательство. Как показано на стр. 129, отображение ц> по-
полиэдра А в А вызывает гомоморфное отображение Ф /с-мерной груп-
группы Бетти Bfe полиэдра А в /с-мерную группу Бетти 'Bfe полиэдра А .
Точно так же отображение ф вызывает гомоморфное отображение Ф
группы 'Вк в Bfe. Но отображение ф(р полиэдра А в себя можно дефор-
деформировать в тождественное отображение, поэтому соответствующее го-
гомоморфное отображение ФФ группы Бетти Bfe в себя есть тождествен-
тождественное (изоморфное) отображение (§31, теорема IV). По тем нее причинам
гомоморфное отображение ФФ группы 'Bfe в себя также представля-
представляет тождественное отображение. Но это может быть лишь в том случае,
когда гомоморфные отображения Ф и Ф взаимно однозначны и когда Ф
есть обратное отображение для Ф. Поэтому Bfe и 'Bfe изоморфны.

162 Глава V
В частности, если А и А суть окрестностные комплексы точки Р,
взятые в двух различных симплициальных разбиениях полиэдра Кп,
то из теоремы II получается следующая теорема.
Теорема III. Группы Бетти в Р не зависят от выбранного
симплициального разбиения.
В то нее время оказывается, что для определения групп Бетти в 'Р,
вовсе не нужно исходить из симплициального разбиения всего поли-
полиэдра Кп. Достаточно знать только симплициальную звезду fl с цен-
центром Р, являющуюся окрестностью точки Р. Группы Бетти в Р пред-
представляют группы Бетти границы А звезды fl; поэтому их можно вы-
вычислить, если нам известна сколь угодно малая окрестность точки Р.
Перейдем теперь к доказательству теоремы I. Сделаем сначала
некоторые предварительные замечания, fl состоит из совокупности
прямолинейных отрезков (PQ), соединяющих точку Р с точками Q по-
полиэдра А. Возьмем определенную часть, скажем, -^-ю, каждого такого
отрезка. Тогда совокупность отрезков (PR) = \(PQ) образует новую
симплициальную звезду fl с границей А\. fli получается^ следователь-
следовательно,^ fl посредством «подобного уменьшения», поэтому fli гомеоморф-
на fl. Но во всякой окрестности U(P\Kn) точки Р содержится неко-
некоторое подобное уменьшение звезды fl, так как пересечение окрестности
U(P\K ) со звездой fl является окрестностью U(P\fl) (см. стр. 34)
и в этой окрестности лежит подобное уменьшение звезды fl. С другой
стороны, каждое подобное уменьшение звезды fli является окрест-
окрестностью точки Р в fl, а потому, по теореме VII § 7, представляет
также окрестность точки Р в Кп. Совокупность отрезков (RQ) об-
образует «зону», которую мы обозначим через (AAi) (рис. 54). Мы гово-
говорим, что эта зона «проектируется» на А (соответственно на А{), если
каждый отрезок (RQ) отображается в свою граничную точку Q (соот-
(соответственно R). Точно так нее можно, естественно, определять подобное
уменьшение, зону и проекцию зоны для звезды fl . Заметим при этом,
что прямолинейный отрезок в fl, вообще говоря, не является прямо-
прямолинейным отрезком в fl.
Рассмотрим теперь шесть вложенных последовательно друг в дру-
друга симплициальных звезд
**1, **1, **2; **2? **3; **3' \ )
fli, 0,2, Оз представляют подобные уменьшения звезды fl, a fl1: fl2,
fl3 — подобные уменьшения fl , причем каждая звезда последователь-
последовательности C) целиком содержится внутри предыдущей. Эти звезды можно

§32. Локальные группы Ветти полиэдра
163
построить поочередно, принимая за fli звезду fl, за О,г — подобное
уменьшение звезды fli, лежащее целиком внутри fli, за fl2 — подобное
уменьшение звезды fli, лежащее внутри flly и т.д. Обозначим границы
звезд C) буквами
Аг, А[, А2, А2, А3, а'3. D)
Эти границы выделяют четыре зоны
(AiA2), (АгА2), (А2А3), (А2А3),
содержащих соответственно четыре границы Аг, А2, А2, А3. В са-
самом деле, А1} например, принадлежит зоне (AiA2), т.е. множеству
f^i — ^2, так как по предположению Ах находится внутри звезды flx,
a fl2 лежит внутри flx и поэтому не имеет общих точек с
А\, А2, А3 гомеоморфны с А,
а А1: А2, А3 гомеоморфны с А ; по-
поэтому мы можем рассматривать отоб-
отображения ip и ф, о которых идет
речь в доказываемой теореме, как со-
соответственно отображения А2 в А2
и А2 в А2. Определим теперь ip
и ф следующим образом: спроектиру-
спроектируем зону(А1А2) на А2. Тогда А2 как
множество, принадлежащее этой зоне, Рис. 54
подвергается непрерывному отображению (р в А2. Проектируя, напро-
напротив, зону (А2А3) на А2, мы получим непрерывное отображение ф мно-
множества А2 в А2 (рис. 55).
Если теперь до означает тожде-
тождественное отображение множества А2 на
себя, a gi — отображение ф(р, то утвер-
утверждение, что до деформируемо в gi, экви-
эквивалентно следующему утверждению: то-
топологическое произведение А2 х t мно-
множества А 2 на единичный отрезок @ ^
t ^ 1) можно отобразить непрерывно
в А2 посредством отображения / так,
что для каждой точки L множества А2
f(L х 0) = go(L) =1и/(?х1) = 9l(L).
Для того чтобы построить /, разобьем
А2 х t на две части А2 х г и А2 х s, где г означает полуотрезок 0
V А
as — полуотрезок =- ^ t
Рис. 55
1. Обе эти части мы отображаем следующим

164 Глава V
образом: для каждой точки L множества А2, мы отображаем отрезок
L х г линейно на прямолинейный отрезок, соединяющий L = go{L) с
<p(L), т. е. на проектирующий луч, описываемый точкой L при проекти-
проектировании зоны (А2Аз) на А2- Полуотрезок же Ixs мы отображаем ли-
линейно на прямолинейный отрезок, соединяющий </?(?) с ip(p(L) = gi(L),
т. е. на проектирующий луч, описываемый точкой </?(?) при проектиро-
проектировании зоны (А2А3) на А2. Отображение обоих полуотрезков дает отоб-
отображение / всего отрезка А2 х t, являющееся непрерывным вследствие
леммы стр. 77. Но образ множества А2 х г принадлежит зоне АгА2,
образ А2 х s — зоне (А2Аз). Поэтому образ f(A2 x t) принадлежит во
всяком случае зоне (А\ Аз). Если теперь спроектировать одновременно
обе зоны (AiA2) и (А2Аз) на А2, то тем самым множество f(A2 x t)
также «загоняется» на А2. Точки f(L x 0) = go{L) = L и f(L x 1) =
= ф{р(Ь) = дг{Ь) при таком проектировании остаются на месте, так
как они уже лежат на А2. Поэтому; производя сначала отображение /,
а затем указанное проектирование, мы получим искомое непрерывное
(по теореме IV § 6) отображение f(A2 x t). Этим доказана деформиру-
деформируемость отображения ф(р в тождественное отображение. Аналогичным
способом доказывается и деформируемость ip-ф в тождественное отоб-
отображение.
Топологическую инвариантность локальных групп Бетти можно
выразить иначе при помощи следующей теоремы:
Теорема IV. Если два полиэдра К и К' гомеоморфны в окрест-
окрестностях своих точек Р и Р' соответственно, т. е. существуют
окрестности шиш' точек Р и Р', которые можно топологически
отобразить друг на друга так, что при этом точки Р и Р' соответ-
соответствуют одна другой, то группы Бетти полиэдра К в Р совпадают
с группами Бетти полиэдра К' в Р'.
Доказательство. Возьмем на ш симплициальную звезду п с
центром Р, являющуюся окрестностью точки Р. При топологическом
отображении шнаш' Г2 переходит в симплциальную звезду Г2 с цен-
центром Р'. Так как при топологических отображениях окрестности пере-
переходят в окрестности, то Г2 есть окрестность Р'. Но тогда группы Бетти
в Р и в Р' являются группами Бетти гомеоморфных краев звезд ОиО
соответственно, т. е. они изоморфны.
Упражнения. 1. Каковы локальные группы Бетти п-мерного евклидо-
евклидова пространства?
2. Докажите, что область евклидова пространства невозможно тополо-
топологически отобразить на область евклидова пространства высшего числа изме-
измерений. Под областью понимают произвольное открытое подмножество про-
пространства.

§33. Инвариантность размерности 165
3. Если Ек (к < п) есть топологический fc-мерный симплекс в R", то в
каждой окрестности произвольной точки Р симплекса Ек существуют точки,
не принадлежащие Е .
§ 33. Инвариантность размерности
Мы определили целый ряд понятий, например, размерность, псев-
псевдомногообразие, ориентируемость, при помощи симплициального раз-
разбиения полиэдра. Таким образом эти понятия определены пока не свой-
свойствами полиэдра, а свойствами симплициального разбиения. Молено
было бы предположить, что из двух возможных симплициальных раз-
разбиений одного и того же полиэдра одно является трехмерным, а другое
четырехмерным, одно ориентируемо, а другое неориентируемо, одно
имеет границу, а другое не имеет. Однако теперь в нашем распоря-
распоряжении имеется средство показать, что ничего подобного случиться не
может, т. е. что все возможные симплициальные разбиения полиэдра
одновременно n-мерны, одновременно ориентируемы или неориентиру-
емы, одновременно имеют или не имеют границу. Вместе с независимо-
независимостью этих понятий от симплициального разбиения устанавливается их
топологическая инвариантность, т. е. инвариантность при топологиче-
топологических отображениях. В самом деле, пусть, например, два полиэдра К\
и K<i гомеоморфны и К\ имеет размерность п. Тогда K<i также п-ме-
рен, так как n-мерное симплициальное разбиение полиэдра К\ пере-
переходит при топологическом отображении также в n-мерное разбиение
полиэдра K<i.
Мы сейчас последовательно докажем топологическую инвариант-
инвариантность понятий размерность, однородный комплекс, граница, замкну-
замкнутое псевдомногообразие, ориентируемость, псевдомногообразие с гра-
границей. Доказательство будет заключаться в том, что каждое из рас-
рассматриваемых понятий мы охарактеризуем независимо от какого-ли-
какого-либо симплициального разбиения. Решающую роль при этом будут иг-
играть локальные группы Бетти, топологическая инвариантность кото-
которых уже установлена.
Начнем с инвариантности размерности. Нульмерные полиэдры мы
уже раньше определили инвариантно, без помощи симплициальных
разбиений, как полиэдры, состоящие только из изолированных точек.
В n-мерном симплициальном комлексе Кп (п > 0) существует по край-
крайней мере один n-мерный симплекс Еп, но не существует симплексов
большей размерности, (п — 1)-мерная группа Бетти в центре симплек-
симплекса Еп, как показано в примере 1 § 32, представляет группу, состоящую
не только из нулевого элемента, — именно, она представляет свободную
абелеву группу с одной, а для п = 1 с двумя образующими. Группы же
Бетти размерности большей, чем (п— 1), в каждой точке комплекса Кп
состоят только из нулевого элемента, так как окрестностный комплекс

166 Глава V
содержит максимум (п — 1)-мерные симплексы. Таким образом мы по-
получаем следующую инвариантную характеристику размерности:
Теорема I. Размерность п полиэдра К, состоящего не только
из изолированных точек, есть наименьшее число п, обладающее тем
свойством, что в каждой точке полиэдра К группы Бетти размер-
размерностей п, п + 1,... содержат лишь нулевой элемент.
В частности, два многообразия различных размерностей не могут
быть гомеоморфны. Это следует, впрочем, непосредственно из теоре-
теоремы IV § 32; из этой теоремы получается следующая теорема:
Теорема II. Локальные группы Бетти в каждой точке много-
многообразия Кп совпадают с группами Бетти (п — 1)-мерной сферы.
В самом деле, каждая точка Р многообразия^™ имеет в качестве
окрестности симплициальную звезду, граница которой гомеоморфна
(п — 1)-мерной сфере.
Топологическая инвариантность размерности вовсе не является таким
наглядно очевидным фактом, как это может показаться. Об этом говорит
уже то, что размерность инвариантна только по отношению к топологиче-
топологическим отображениям; по отношению к взаимно однозначным, но не непрерыв-
непрерывным, или по отношению к непрерывным, но не взаимно однозначным отоб-
отображениям, размерность уже не является инвариантной. Например, отрезок
можно отобразить взаимно однозначно на треугольник, так как оба множе-
множества имеют одинаковую мощность. Точно так же отрезок можно отобразить
на треугольник непрерывно, — такое отображение осуществляет кривая Пе-
ано, проходящая через каждую точку треугольника, но имеющая кратные
точки 1.
§ 34. Инвариантность однородности комплекса
Пусть К — произвольный, но непременно однородный полиэдр,
заданный в определенном симплициальном разбиении Кп и Сг — со-
совокупность всех г-мерных симплексов Кп, не являющихся сторонами
(г + 1)-мерных симплексов. Сг может быть пустым множеством. Сг
можно охарактеризовать независимо от симплициального разбиения
следующим образом: С0 состоит только из изолированных точек по-
полиэдра Кп; если же г > 0, то Сг совпадает с замыканием ' Сг точек Р
полиэдра Кп, обладающих следующими двумя свойствами:
1. (г — 1)-мерная группа Бетти в Р при г = 1 есть свободная абелева
группа с двумя образующими, а при г > 1 — свободная циклическая
группа.
2. Существует окрестность точки Р, все точки которой также об-
обладают свойством 1.

§35. Инвариантность границы 167
Доказательство. Прежде всего очевидно, что Сг содержится
в' С1, так как все внутренние точки г-мерных симплексов множества Сг
обладают свойствами 1 и 2 и поэтому принадлежат к ' Сг. Граничные
же точки г-мерных симплексов Сг принадлежат' Сг ввиду того, что' Сг
есть замкнутое множество. Пусть теперь, наоборот, Р есть точка, обла-
обладающая свойствами 1 и 2, а Е^ — симплекс наивысшей размерности, на
котором эта точка лежит. По свойству 1 j не может быть меньше, чем г.
Если j > г, то в каждой окрестности точки Р существуют внутренние
точки симплекса Е^, в которых (г — 1)-мерные группы Бетти являются
при г = 1 свободными циклическими группами, а при г > 1 состоят
только из нулевого элемента, а это противоречит свойству 2. Таким
образом симплекс наибольшей размерности, на котором Р лежит, есть
г-мерный симплекс, вследствие чего он принадлежит Сг. Так как Сг
замкнуто, то замыкание всех точек Р, т. е.' Сг, также принадлежит Сг.
Таким образом ' Сг содержится в Сг, а следовательно, ' Сг = Сг.
Если поэтому К™ и К? суть два различных симплициальных раз-
разбиения одного и того нее полиэдра Кп, а С\ и С\ — соответственно
подкомплексы всех г-мерных симплексов К™ и Kg, не являющихся
сторонами (г + 1)-мерных симплексов, то С\ и С^ представляют одно
и то же множество точек ' Сг
Однородный п-мерный полиэдр есть такой полиэдр, для которого
подмножества 'С0, 'С1, ..., 'Сп~1 суть пустые множества; тем
самым однородный полиэдр определен инвариантно.
§ 35. Инвариантность границы
Пусть Кп (п > 1) — однородный полиэдр, заданный в определен-
определенном симплициальном разбиении, а Щ~г (v = 1, 3, 4, 5,...) — совокуп-
совокупность (п — 1)-мерных симплексов из Кп инцидентных в точности с v
п-мерными.
Мы хотим охарактеризовать X™ топологически инвариантно.
Рассмотрим внутреннюю точку (п — 1)-мерного симплекса множе-
множества Ц;~г. Как показано в примере 2 § 32, (п — 1)-мерная группа Бетти
в такой точке есть свободная абелева группа с (v — 1) образующей. По-
Поэтому, если L'v означает замыкание всех точек Р, в которых (п —1)-мер-
ная группа Бетти есть свободная абелева группа с {v — 1) образующей,
то Ц;~г входит в L'v. X™ и L'v, вообще говоря, не совпадают . Мы
можем показать, однако, что Щ~х определяется топологически инва-
инвариантно множеством L'v. Прежде всего L'v является подкомплексом
симплициального разбиения Кп {либо пустым множеством). В са-
самом деле, если (п — 1)-мерная группа Бетти в точке Р есть свободная
*Что L'v, вообще говоря, больше, чем ?™ 1, показывает следующий пример:
пусть К™ представляет поверхность двух тетраэдров, имеющих общую вершину.
Тогда ?3 состоит из общей вершины обоих тетраэдров, a L^ есть пустое множество.

168 Глава V
абелева группа с {у — 1) образующей, то то нее имеет место во всех
внутренних точках симплекса Е наименьшей размерности, на котором
лежит Р, так как все такие точки имеют одинаковые окрестностные
комплексы и, следовательно, одинаковые группы Бетти. Поэтому L'v
содержит все внутренние точки Е, а вследствие замкнутости, и все
граничные точки. Таким образом одновременно с Р L'v содержит сим-
симплекс наименьшего числа измерений, на котором Р лежит.
Так как во всякой внутренней точке n-мерного симплекса Кп
(п — 1)-мерная группа Бетти есть свободная абелева группа с одной об-
образующей и так как v — 1 ф 1 (ввиду того что значение v = 2 было нами
исключено), то размерность комплекса L'v самое большее равна п — 1.
Если в L'v существует (п—1)-мерный симплекс Еп~1, то с этим сим-
симплексом инцидентны в точности v n-мерных симплексов Кп, так как
иначе (п—1)-мерная группа Бетти во внутренней точке симплекса Еп~х
не может быть свободной абелевой группой с {у—1) образующими (при-
(пример 2 §32). Поэтому Еп~х входит в X™. Таким образом X™ пред-
представляет совокупность всех (п — 1)-мерных симплексов комплекса L'v.
Из § 34 следует, что комплекс (полиэдр, множество) L'v определяет под-
подкомплекс X™ топологически инвариантно. Но L'v само определяется
топологически инвариантно заданным полиэдром Кп. Поэтому и X™
связано с Кп топологически инвариантно. При п = 1 X™ состоит из
совокупности точек полиэдра К1, в которых нульмерная группа Бетти
есть свободная абелева группа с v образующими.
В § 12 мы определили границу однородного n-мерного комплекса
(полиэдра), как совокупность (п — 1)-мерных симплексов, инцидентных
с нечетным числом n-мерных. Теперь граница однородного комплекса
может быть определена топологически инвариантно как сумма подком-
подкомплексов X™, Хз~\ Xg,... Вместе с тем установлена топологическая
инвариантность границы симплекса n-мерного элемента и выпуклой об-
области.
Упражнение. Докажите, что плоское кольцо и лист Мебиуса негомео-
морфны.
§ 36. Инвариантность псевдомногообразия и
ориентируемости
Мы уже знаем, что свойство (Пм1) замкнутого псевдомногообра-
псевдомногообразия быть однородным конечным комплексом есть свойство топологи-
топологически инвариантное (стр. 67 и §35). Свойство (Пмг) становится инва-
инвариантным, если сформулировать его следующим образом: все инвари-
инвариантные подкомплексы X™, состоящие из (п — 1)-мерных симплексов,
инцидентных в точности с v ф 2 n-мерными симплексами, представ-
представляют пустые множества. Относительно условия связности (Пмз) мы
уже установили на стр. 118, что оно эквивалентно с равенством qn = 1,

§36. Инвариантность псевдомногообразия и ориентируемости 169
где qn есть n-мерное число Бетти по модулю 2, инвариантность кото-
которого доказана на стр. 148.
Ориентируемость замкнутого псевдомногообразия выражается
в том, что его n-мерное число Бетти равно 1 (стр. 118). Инвариант-
Инвариантность этого также доказана на стр. 148.
Если ориентируемое замкнутое псевдомногообразие Кп разбито на
симплексы двумя различными способами и когерентно ориентирова-
ориентировано, то получающиеся при этом два ориентированных разбиения молено
рассматривать, как два особых n-мерных цикла ??" и В^.
n-мерная группа Бетти полиэдра Кп есть свободная циклическая
группа, образующей которой является как класс гомологии, содержа-
содержащий ??f, так и класс, содержащий В%. Поэтому ??f ~ ±В%. Если в этом
соотношении стоит знак +, то мы говорим, что оба симплициальных
разбиения ориентированы одинаково.
Ориентацию полиэдра Кп можно определить, не пользуясь ни-
никаким симплициальным разбиением. Назовем ориентирующим п-мер-
ным циклом на Кп произвольный особый n-мерный цикл В™ на Кп,
обладающий тем свойством, что каждый n-мерный цикл гомологичен
циклу ??", взятому с некоторым коэффициентом. Если Щ — другой
ориентирующий цикл, то ??" и В% определяют одинаковые или проти-
противоположные ориентации Кп, смотря по тому, имеет ли место соотно-
соотношение В™ ~ В%, или В™ В%.
Пусть ориентируемое и ориентированное циклом Вп псевдомно-
псевдомногообразие Кп топологически отображено на псевдомногообразие К™,
ориентированное посредством цикла В™ (Кп может совпадать с К").
Тогда Вп переходит в ориентирующий цикл 'Вп многообразия К™, т. е.
'Вп ~ ±ВП. В зависимости от того, стоит ли здесь знак + или —, мы
говорим об отображении с сохранением или с обращением ориента-
ориентации. Так, например, рассмотренное на стр. 154 «отображение» п-мер-
ной сферы обращает ориентацию.
Вводя понятие удвоения, мы можем свести исследование псевдом-
псевдомногообразий с границей к исследованию замкнутых псевдомногообра-
псевдомногообразий. Удвоение определяется для однородного комплекса Кп, имею-
имеющего границу, следующим образом: берется гомеоморфный Кп экзем-
экземпляр 'Кп, и точки границы Кп отождествляются с соответствующи-
соответствующими в силу гомеоморфности точками границы ' Кп. Так как, например,
удвоение круга получается при склеивании двух кругов своими грани-
границами. Это удвоение представляет двумерную сферу.
Мы можем теперь охарактеризовать псевдомногообразие с грани-
границей топологически инвариантно следующим образом: псевдомногооб-
псевдомногообразие с границей есть однородный комплекс с границей, удвоение ко-
которого представляет замкнутое псевдомногообразие. Псевдомногооб-
Псевдомногообразие с границей ориентируемо в том и только в том случае, когда
ориентируемо его удвоение. Доказательство этого предложения (чисто
комбинаторное) мы предоставляем читателю.

Глава VI
Топология поверхностей
В случае образов двух измерений основная проблема топологии, про-
проблема гомеоморфизма, решается полностью. Однако решение осуществляет-
осуществляется методами, которые не могут быть обобщены на большее число измерений.
Поэтому мы будем излагать топологию поверхностей в значительной степени
независимо от полученных нами до сих пор результатов, годных для любого
числа измерений. Мы будем исходить не из симплициального комплекса, а из
многоугольников, отождествление сторон которых дает замкнутую поверх-
поверхность.
§ 37. Замкнутые поверхности
Топологическим многоугольником называется круг евклидовой
плоскости, граничная окружность которого разбита г(^ 2) точка-
точками — вершинами на г отрезков — сторон многоугольника. Каждый
топологический образ такого круга с перенесенной на него сеткой вер-
вершин и сторон также есть топологический многоугольник.
При г ^ 3 каждый многоугольник можно представить в виде вы-
выпуклого куска евклидовой плоскости, ограниченного прямыми линия-
линиями.
Пусть теперь на плоскости задано a2Qz 1) многоугольников, не
имеющих общих точек. Пусть некоторые стороны этих многоугольни-
многоугольников отображены топологически друг на друга, причем так, что гранич-
граничные точки каждой из этих сторон непременно переходят в граничные
точки другой стороны (см. пример 1 §6). Множество М многоуголь-
многоугольников, стороны которых отображены таким образом друг на друга,
называется системой многоугольников.
Мы будем рассматривать только такие системы многоугольников,
у которых общее число сторон четное и каждая сторона связана топо-
топологическим отображением в точности с одной другой стороной.
Точки системы многоугольников М, отображающиеся друг на дру-
друга, мы считаем эквивалентными в том же смысле, в каком мы раньше
определили эквивалентность точек окрестностного пространства (§8).
Таким образом, в М различаются следующие классы эквивалентных
точек: внутренние точки многоугольников эквивалентны только сами
себе; каждая внутренняя точка стороны многоугольника имеет, кроме
себя самой, еще в точности одну эквивалентную точку; наконец, верши-
вершина может иметь любое конечное число эквивелентных точек. Стороны

§ 37. Замкнутые поверхности 171
многоугольников могут быть поставлены попарно в соответствие друг
другу произвольным образом, лишь бы выполнялось одно условие: мно-
многоугольники не должны распадаться на два класса так, чтобы стороны
каждого класса были поставлены в соответствие сторонам только этого
же класса (условие связности).
Множество М, получающееся из М отождествлением эквивалент-
эквивалентных точек и являющееся поэтому, как и М, окрестностным простран-
пространством, называется замкнутой поверхностью или замкнутым двумер-
двумерным многообразием. Слово «замкнутое» означает здесь, во-первых, что
поверхность составлена из конечного числа многоугольников, и, во-вто-
во-вторых, что поверхность не имеет свободных ребер, т. е. не имеет «грани-
«границы».
Соответствие сторон многоугольников определяет, какие верши-
вершины принадлежат к одному классу эквивалентных вершин и дают одну
точку поверхности. Если в системе многоугольников существует а0 раз-
различных классов эквивалентных вершин многоугольников, то все вер-
вершины отображаются в а0 различных точек поверхности. Мы будем на-
называть эти а° точек вершинами поверхности. Вершины поверхности
получаются из вершин многоугольников при помощи отождествления.
Точно так же образы сторон многоугольников называются ребрами,
а образы многоугольников — элементами поверхности. Число их со-
соответственно равно а1 и а2. Ребра и элементы поверхности представля-
представляют непрерывные, но, вообще говоря, не топологические, образы сторон
многоугольников и самих многоугольников. Именно, может случить-
случиться, что при отождествлении сторон обе граничные точки какой-нибудь
стороны окажутся эквивалентными, т. е. отобразятся в одну вершину.
Тогда соответствующее ребро поверхности касается самого себя и пред-
представляет топологический круг. Точно так нее элемент поверхности мо-
может касаться самого себя. Касания эти могут происходить вдоль одного
или нескольких ребер или даже только в вершинах. Касания элемента
поверхности могут получиться, если, например, поверхность строится
только из одного многоугольника. В качестве примера можно указать
систему многоугольников, состоящую из одного четырехугольника, да-
дающего тор (§ 1).
Когда мы в дальнейшем будем иметь дело с поверхностью, точки
которой определенным образом разбиты на элементы, ребра и верши-
вершины, то мы будем говорить о подразделенной поверхности или о по-
поверхности, разбитой на многоугольники. Если, напротив, мы не дума-
думаем о таком разбиении, а рассматриваем поверхность как окрестностное
пространство, то мы говорим просто о поверхности. Понятия подразде-
подразделенной поверхности и поверхности просто находятся, очевидно, в такой
нее связи друг с другом, как понятия симплициального комплекса и по-
полиэдра (§ 10). Так, например, куб и додекаэдр представляют различные
подразделенные поверхности, гомеоморфные одной и той нее поверхно-
поверхности — сфере.

172
Глава VI
pi
a
P,
b/
(П1)
D
e
P-,
e
\
/-
(П5)
Таким образом мы сопоставим три понятия: систему многоуголь-
многоугольников М, состоящую из отдельных не имеющих общих точек много-
многоугольников, у которых некоторые точки определены как эквивалент-
эквивалентные; подразделенную поверхность М, получающуюся из М отожде-
отождествлением эквивалентных точек, но для которой еще существенно раз-
разбиение точек поверхности на отдельные элементы поверхности, ребра
и вершины; наконец, определенную системой многоугольников замкну-
замкнутую поверхность, которую мы рассматриваем независимо от какого-ли-
какого-либо разбиения на элементы.
Приведем пример подразделенной по-
поверхности, которую в противоположность
кубу или додекаэдру нельзя поместить
в трехмерное евклидово пространство без
самопересечения. Пусть система много-
многоугольников состоит из двух четырехуголь-
четырехугольников П1 и Щ, эквивалентные стороны ко-
которых обозначены на рис. 56 одинаковы-
одинаковыми буквами. Точно так же обозначены оди-
одинаковыми буквами вершины многоуголь-
многоугольников, сливающиеся после отождествле-
отождествления эквивалентных сторон в одну верши-
вершину поверхности. Соответствие между экви-
эквивалентными сторонами многоугольников
указано на рис. 56 стрелками: соответствующие стороны должны отож-
отождествляться так, чтобы направления стрелок совпадали. В этом при-
примере а° = 2, а1 = 4, а2 = 2. В дальнейшем мы установим, что по-
поверхность, определяемая такой системой многоугольников, представ-
представляет бутылку Клейна (стр. 23 и 183).
Нас интересует в дальнейшем не система многоугольников сама по
себе, а поверхность, ею определяемая. Но тогда, естественно, возника-
возникает вопрос, в каком случае две системы многоугольников определяют
одну и ту же поверхность! Другими словами, в каком случае подраз-
подразделенные поверхности, получающиеся из этих систем отождествлением
эквивалентных точек, представляют различные подразделения (разби-
(разбиения на многоугольники) одной и той же поверхности? Два системы
многоугольников, наверное, приводят к одной и той же поверхности,
если их можно топологически отобразить друг на друга так, что эк-
эквивалентные точки одной системы переходят в эквивалентные точки
другой. Такие системы многоугольников мы будем считать равными
(одинаковыми). Но отсюда следует, что для поверхности, получающей-
получающейся из системы многоугольников, несущественно, как именно сторона а'
топологически отображается на соответствующую сторону а". Важно
лишь, как граничные точки А' и В' стороны а' отображаются на гра-
граничные точки А" и В" стороны а". Таким образом, существуют толь-
Рис. 56

§ 37. Замкнутые поверхности 173
ко два существенно различных отображения двух соответствующих
сторон одной на другую. Одно из этих отображений переводит А' в А",
а другое А' в В".
Доказательство. Пусть оба топологических отображения Т
и Т*, отображающих а' на а", переводят граничную точку А' в А", а В'
в В". Тогда непрерывное отображение S стороны а' на себя, получа-
получающееся последовательным выполнением отображений Т и Т*~1, есть
топологическое отображение, оставляющее граничные точки А' и В'
стороны а' неподвижными.
Допустим теперь, что а' представляет сторону многоугольника П.
Существует топологическое отображение многоугольника П на себя,
при котором а' отображается на себя посредством S, а точки всех
остальных сторон П остаются неподвижными (упражнение 2 § 6). Заме-
Заменим многоугольник П образом его при этом отображении (этот образ
снова обозначим через П). Мы получим ту же систему многоугольни-
многоугольников, но в этой системе эквивалентные точки сторон а' и а" определя-
определяются уже отображением Т*. Таким образом Т, действительно, мож-
можно заменить произвольным другим топологическим отображением Т*,
лишь бы Т* отображало граничные точки стороны так нее, как Т; при
этом после отождествления эквивалентных точек получается всегда од-
одна и та же поверхность.
Поэтому, если все многоугольники системы представляют, напри-
например, прямолинейные многоугольники евклидовой плоскости, то мы мо-
можем считать, что соответствующие стороны отображаются друг на дру-
друга линейно.
Мы ориентируем теперь стороны многоугольников, т. е. указыва-
указываем, какую из двух граничных точек каждой стороны мы будем считать
начальной и какую конечной. При этом ориентации соответствующих
друг другу сторон должны совпадать, так что при отображении этих
сторон начальная точка переходит в начальную же, а конечная — в ко-
конечную. Кроме того, мы ориентируем сами многоугольники. Ориен-
Ориентация многоугольника заключается в том, что все стороны его ори-
ориентируются когерентно, т. е. каждая вершина многоугольника для од-
одной из примыкающих к ней сторон является начальной точкой, а для
другой — конечной. Ориентация, получаемая стороной многоугольни-
многоугольника при когерентной ориентации его границы, называется ориентаци-
ориентацией, индуцированной ориентацией многоугольника. Многоугольник, так
же как и сторона многоугольника, может быть ориентирован двумя
различными способами. На рисунках мы будем указывать ориентацию
стороны посредством прямой стрелки, помещаемой на самой стороне,
а ориентацию многоугольника — посредством круговой стрелки, нари-
нарисованной внутри многоугольника.
Ориентация многоугольника определяет также направление обхо-
обхода, т. е. устанавливает некоторый циклический порядок сторон много-

174
Глава VI
угольника. Мы будем считать, что стороны и многоугольники опре-
определенным способом ориентированы, и будем обозначать соответствую-
соответствующим друг другу стороны одинаковыми буквами. Тогда система много-
многоугольников может быть задана чисто комбинаторной схемой. Мы за-
записываем стороны каждого многоугольника отдельной строчкой в по-
порядке, определяемом направлением обхода, и снабжаем их показателем
+1 (который можно по усмотрению опускать) или —1 в зависимости
от того, совпадает ли ориентация стороны с ориентацией, индуцируе-
индуцируемой в этой стороне многоугольником, или нет. Такая схема полностью
определяет систему многоугольников, а следовательно, и поверхность.
Каждая строка схемы указывает стороны одного многоугольника в их
циклической последовательности; обозначения сторон указывают, ка-
какие стороны соответствуют друг другу; показатели же определяют, ка-
каким из двух существенно различных способов соответствующие сторо-
стороны топологически отображаются друг на друга.
Не меняя системы многоугольников, мы можем циклически пе-
перемстить стороны в каждой строчке; далее, любую сторону можно пе-
переориентировать, — это влечет за собой изменение показателей, с кото-
которыми эта сторона входит в схему. Наконец, можно изменить ориента-
ориентацию любого многоугольника, — это отражается на схеме следующим об-
образом: циклический порядок букв в соответствующей строчке меняется
на противоположный и одновременно меняются на противоположные
все показатели этой строчки.
В качестве примера мы приводим схему рассматривавшейся выше
(рис. 56) системы многоугольников:
Многоугольник
Многоугольник
bad-1 е-1,
bade.
Теперь мы можем продвинуть далее решение вопроса о том, в ка-
каком случае две системы многоугольников дают одинаковые поверхно-
поверхности. Для этого мы вводим следующие элементарные преобразования,
при помощи которых из системы многоугольников получаются другие,
отличные от нее системы, определяющие ту же поверхность.
\ /
Рис. 57
Рис. 58

§ 37. Замкнутые поверхности 175
Одномерное подразделение состоит в том, что две соответствую-
соответствующие друг другу стороны разбиваются двумя соответствующими точка-
точками каждая на пару сторон, в то время как соответствие между точками
остается прежним. Обратный переход от подразделенной таким обра-
образом системы многоугольников к первоначальной системе называется
одномерным укрупнением (рис. 57).
Двумерное укрупнение заключается в том, что отождествлением
двух эквивалентных сторон два различных многоугольника соединя-
соединяются в один; обратный процесс — разбиение одного многоугольника на
два — называется двумерным подразделением (рис. 58).
Две системы многоугольников, которые могут быть переведены
друг в друга при помощи конечного числа таких операций, так же как
и принадлежащие им полиэдральные поверхности, называются элемен-
элементарно преобразуемыми. Но поверхность, определяемая системой мно-
многоугольников, не меняется ни при одномерных элементарных преобра-
преобразованиях, ни при двумерных, так как в силу § 8 отождествление мо-
может производиться шаг за шагом. Отсюда следует, что элементарно
преобразуемые системы многоугольников определяют гомеоморфные
поверхности.
Все элементарно преобразуемые друг в друга подразделенные по-
поверхности обладают двумя важными общими свойствами. Именно, они
имеют одинаковую (эйлерову) характеристику и одинаковый характер
ориентируемости. Оба эти понятия были уже определены на стр. 116
и 117 и для комплексов, и для псевдомногообразий, причем мы ис-
исходили при определении из симплициального разбиения. Однако мы
не рассматриваем сейчас поверхность как симплициальный комплекс.
Поэтому мы должны теперь определить характеристику и ориенти-
ориентируемость для подразделенных поверхностей заново, исходя из схемы
подразделения поверхности на многоугольники. Связь между старым
и новым определениями будет установлена в § 39. Мы понимаем под
характеристикой полиэдральной поверхности число
N = a°-a1+a2,
где а0, а1, а2 означают количества вершин, ребер и элементов подраз-
подразделенной поверхности. Так, например, для четырехугольника, покры-
покрывающего тор (стр. 13),
JV=1 — 2 + 1 = 0.
Для поверхности куба
JV = 8-12 + 6 = 2.
Элементарно преобразуемые подразделенные поверхности имеют оди-
одинаковые характеристики. В самом деле, при одномерном элементарном

176 Глава VI
преобразовании числа а0 и а1 меняются каждое на единицу, в то время
как а2 остается неизменным. При двумерном нее элементарном преоб-
преобразовании меняются на единицу а1 и а2.
Подразделенная поверхность называется ориентируемой, если
многоугольники, на которые она разбита, могут быть ориентированы
таким образом, что в каждых двух соответствующих друг другу сторо-
сторонах индуцируются противоположные ориентации. Это отражается на
схеме системы многоугольников следующим образом: при надлежащей
ориентации многоугольников каждая сторона входит в схему один раз
с показателем +1 и один раз с показателем —1. Нетрудно убедиться, что
свойство подразделенной поверхности быть ориентируемой сохраняет-
сохраняется при подразделениях и укрупнениях. Приведенная выше в качестве
примера поверхность (стр. 174) неориентируема.
Таким образом мы получили в результате следующее необходи-
необходимое условие для того, чтобы две подразделенные поверхности были
элементарно преобразуемы: поверхности должны иметь одинаковые
характеристики и должны быть одновременно ориентируемы или
неориентируемы.
Это условие также достаточно. Для доказательства мы покажем,
что все подразделенные поверхности, удовлетворяющие этому условию,
могут быть посредством подразделений и укрупнений приведены к од-
одной и той же канонической форме.
§ 38. Приведение к канонической форме
Приведение к канонической форме осуществляется шестью после-
последовательными шагами.
1-й шаг. Если заданная система многоугольников состоит из а2
(> 1) многоугольников, то, применяя а2 — 1 раз двумерное укрупнение,
мы придем к одному единственному многоугольнику, стороны которо-
которого попарно соответствуют друг другу. Схема такой системы, состоящей
из одного многоугольника, имеет только одну строку, причем каждая
буква входит в эту строку два раза. Если какая-нибудь буква входит
в строку с противоположными показателями, то говорят, что сторо-
стороны, обозначенные этой буквой, находятся в соответствии первого рода;
в противном случае говорят, что стороны находятся в соответствии вто-
второго рода. Как мы показали выше, подразделенная поверхность ори-
ориентируема тогда и только тогда, когда каждые две соответствующие
друг другу стороны ее находятся в соответствии первого рода.
Если речь идет о поверхности, гомеоморфной сфере, то наш мно-
многоугольник можно получить таким же образом, как при изготовлении
плоских разверток обычных выпуклых многогранников; такие разверт-
развертки, как известно, служат для изготовления картонных моделей мно-

5 38. Приведение к канонической форме
177
гогранников. Устранение внутренних сторон развертки превращает ее
в один многоугольник.
2-й шаг {«стягивание»). Пусть в многоугольнике имеется последо-
последовательность сторон аа~г, причем все стороны многоугольника не исчер-
исчерпываются этими сторонами, так что общее число сторон не меньше 4.
2-й шаг заключается в том, что мы переходим к многоугольнику, схема
которого получается из схемы старого многоугольника вычеркиванием
последовательности сторон аа'1.
Рис. 59
Рис. 60
Рис. 61
Второй шаг сводится к подразделениям и укрупнениям следую-
следующим образом. Пусть схема многоугольника выражается строкой
(рис. 59)
где волнистые линии означают последовательности сторон, детальное
рассмотрение которых нас сейчас не интересует. Мы можем допустить,
что справа и слева от аа~г стоит по меньшей мере по одной стороне.
Тогда двумерное подразделение многоугольника даст нам два много-
многоугольника
пт ля т п (тмлс (\(У\
(буквой х обозначена вновь введенная сторона). Посредством одномер-
одномерного укрупнения сторон а, ж, а также ж, а можно объединить их
в стороны у и у соответственно. Получаются два многоугольника со
схемами
У И 11
Наконец, двумерное укрупнение снова соединяет эти многоугольники
в один.
Применяя второй шаг до тех пор, пока это возможно, мы придем
либо к двуугольнику, либо к многоугольнику с не менее чем четырь-
четырьмя сторонами, не содержащему последовательности сторон вида аа~г.
Двуугольник может иметь лишь одну из двух схем:
аа
аа.
@)

178 Глава VI
Обе принадлежат к установленным каноническим формам. Поэтому
в дальнейшем мы можем предполагать, что наш многоугольник состоит
не менее чем из четырех сторон и не содержит последовательности
вида аа~1.
3-й шаг. Приведение к подразделенной поверхности с одной вер-
вершиной .
Пусть получившийся многоугольник
есть r-угольник (г ^ 4). Будем обо-
обозначать эквивалентные вершины много-
многоугольника одинаковыми буквами. Оче-
Очевидно, либо все вершины эквивалентны,
либо, кроме класса Р, существуют другие
классы эквивалентных вершин. В послед-
последнем случае этот многоугольник можно пе-
перевести в другой многоугольник, в кото-
котором число вершин Р на единицу мень-
меньше. В самом деле, в этом случае суще-
Рис. 62 ствует вершина Q, ограничивающая вме-
вместе с некоторой вершиной Р сторону т
многоугольника. Таким образом в границу многоугольника входит по-
последовательность QmP (или PmQ). Обозначим вторую сторону, при-
примыкающую к вершине Р, через а. Вторая граничная точка этой сторо-
стороны есть либо точка Q, либо точка Р, либо точка какого-нибудь другого
класса эквивалентных вершин. Соединим эту вторую граничную точку
диагональю d с исходной точкой Q и разобьем затем r-угольник (по-
(посредством двумерного подразделения) на треугольник А и (г—1)-уголь-
(г—1)-угольник П (рис. 62). Тогда сторона а', соответствующая стороне а, непре-
непременно принадлежит П. Если этого нет, то а совпадает либо с т, либо
с т~1. Если а совпадает с т, то в А входит последовательность сто-
сторон mm, а тогда, вопреки предположению, Q = Р. Если же а совпадает
с т~1, то к нашему r-угольнику можно применить второй шаг, а мы
предположили, что это уже невозможно. Отождествляя теперь a vs. а'
при помощи двумерного укрупнения, мы получаем новый г-угольник,
в границу которого вершина Р входит на единицу меньшее число раз,
а вершина Q — на единицу белынее.
К новому r-угольнику снова либо можно применить второй шаг,
либо же нельзя, т. е. он обладает тем же свойством, что и исходный.
В последнем случае применяя повторно только что описанный процесс,
мы можем опять уменьшить число вершин на единицу.
Таким образом поступают, пока имеются стороны, к которым мож-
можно применять операцию третьего шага, — значит, во всяком случае не
далее того момента, когда на границе оказывается лишь одна вершина.
4-й шаг. Выделение мебиусовых пленок. Если с помощью преды-
предыдущих трех шагов нормированная подразделенная поверхность неори-
ентируема, то по крайней мере две стороны многоугольника находят-

5 38. Приведение к канонической форме
179
ся в соответствии второго рода. Пусть это будут, например, стороны
с рис. 63. Схема многоугольника в таком случае имеет вид
с.
A)
Разобьем многоугольник на два многоугольника диагональю а, соеди-
соединяющей конечную точку одной стороны с с конечной точкой другой.
Схема получающейся системы многоугольников имеет тогда вид
га,
с.
B)
Соединим теперь снова оба многоугольника вдоль стороны с. Это про-
производится посредством двумерного укрупнения, в результате которого
получается многоугольник
аа ¦
содержащий последовательность сторон аа. Такую последовательность
мы называем мебиусовой пленкой (см. § 2). Описанный процесс преоб-
преобразования схематически показан на рис. 63 и 64.
Рис. 63
Рис. 64
Если в получившемся многоугольнике опять имеется пара сторон,
находящихся в соответствии второго рода друг с другом, то из этой
пары тем же способом можно сделать еще одну мебиусову пленку. При
этом имеющиеся уже мебиусовы пленки сохраняются. Продолжая та-
таким же образом, мы каждую пару сторон, находящуюся в соответствии
второго рода, превратим в пленку Мебиуса. Если при этом вообще ис-
исчерпываются все стороны многоугольника, то мы получаем канониче-
каноническую форму неориентируемой поверхности
При к = 1 получается двуугольник, о котором говорилось выше.
5-й шаг. Выделение ручек. Пусть теперь, напротив, поверхность ли-
либо ориентируема, либо после выделения пленок Мебиуса остаются еще
пары сторон, находящиеся в соответствии первого рода. Тогда непре-
непременно должны существовать две разделяющие друг друга на границе

180
Глава VI
многоугольника пары сторон первого рода, т. е. входящие в последова-
последовательность сторон в таком порядке:
___ с___ rf-i __ с __ <i__.
В самом деле, если пара сторон с не разделяется никакой другой па-
парой, то все стороны последовательности с ~^~^, с соответствуют
друг другу, так как мы предположили, что все пленки Мебиуса уже
выделены полностью. Но тогда вершины сторон, лежащих между обе-
обеими сторонами с, могут быть эквивалентны друг с другом и с конеч-
конечными точками сторон с и никоим образом не могут быть эквивалентны
с начальными точками с, т. е. существует по крайней мере два класса
эквивалентных вершин. А это находится в противоречии с результата-
результатами третьего шага (по предположению уже выполненного). Обе разде-
разделяющие друг друга пары соответствующих сторон можно теперь при
помощи элементарных преобразований заменить последовательностью
aba~1b~1, как это показано на рис. 65, 66, 67. На основании изложен-
изложенных в § 2 соображений мы называем такую последовательность ручкой.
Дальнейшее преобразование в ручки других разделяющих друг друга
пар сторон (находящихся в соответствии первого рода) не отражается
ни на уже имеющихся ручках, ни на пленках Мебиуса. В самом де-
деле, при производимых нами элементарных преобразованиях отмечен-
отмеченные на рис. 65, 66, 67 волнистыми линиями последовательности сторон
только перемещаются, но не разрываются. Поэтому, если наша поверх-
поверхность ориентируема, ее можно привести к канонической форме
.-ih-i
Ьг
-1,-1
(h)
Рис. 65
Рис. 66
Рис. 67
6-й шаг. Замена ручек пленками Мебиуса. Остается разобрать
только случай, когда имеются одновременно и ручки, и пленки Мебиу-
Мебиуса. В этом случае каждая ручка может быть заменена посредством дву-
двумерных подразделений и укрупнений двумя пленками Мебиуса. Такая
замена осуществляется следующим образом: заданный многоугольник
(рис. 68) разбивается на два многоугольника, соединяемые затем снова

§38. Приведение к канонической форме 181
в один так, что шесть рассматриваемых сторон (две стороны пленки
Мебиуса и четыре стороны ручки) заменяются тремя парами сторон,
каждая из которых находится в соответствии второго рода (рис. 69).
Далее остается только три раза применить выделение мебиусовых пле-
пленок (четвертый шаг см. рис. 70-72). Таким образом каждая система
многоугольников приводится к канонической форме, состоящей только
из одного многоугольника, так называемого канонического многоуголь-
многоугольника одного из следующих типов:
аа'1, @)
aibiai1bi1a2b2U21b21 ~-~-~.- афно^Ь^1, (К)
Канонические многоугольники @) и (К), с одной стороны, и (к), с дру-
другой, — отличаются характером ориентируемости. Между собой мно-
многоугольники каждой группы отличаются величинами характеристик.
Вычисление характеристик дает соответственно
JV = 2 —1 + 1 = 2, @')
N= 1-2Л+ 1 = 2A -h), (h1)
N=l-k + l = 2-k. (к')
Эти формулы выражают одновременно связь между числом ручек
или соответственно пленок Мебиуса поверхности с ее характеристикой.
Ориентируемые поверхности имеют всегда четные характеристики. Мы
видели,что характеристика N и характер ориентируемости не меняют-
меняются при элементарных преобразованиях. Поэтому мы можем сформули-
сформулировать полученный результат следующим образом.
Теорема. Две подразделенные поверхности элементарно преоб-
преобразуемы одна в другую в том и только в том случае, когда они имеют
равные характеристики и обе одновременно либо ориентируемы, либо
99
нет .
Сформулированная теорема значительно приближает нас к нашей
цели — дать классификацию всех замкнутых поверхностей. Именно,
мы знаем теперь, что все замкнутые поверхности исчерпываются по-
поверхностями вида @), (h) и (/с). Но можно было бы предположить, что
два канонических многоугольника определяют одну и ту же поверх-
поверхность далее в том случае, когда они, наверное, не являются элементарно
преобразуемыми. В следующем параграфе мы покажем, что этого слу-
случиться на самом деле не может. Для доказательства мы воспользуемся
установленными в прошлой главе теоремами инвариантности.
Изображения канонических многоугольников приведены: для @) на стр. 17,
рис. 11; для (h) на стр. 13, рис. 5 (h = 1) и на стр. 16, рис. 10 (h = 2); для (к) на
стр. 23, рис. 18 (к = 1) и на стр. 23, рис. 19 (к = 2).

182
Глава VI
Рис. 68-72
Упражнения. 1. Покажите, что замкнутая поверхность с характери-
характеристикой N может быть представлена одним многоугольником, соответствие
сторон которого выражается следующей схемой (симметричная канониче-
каноническая форма):
ClC2 ~-~-~~-~-~ CJV+2C! С2 ~-~~-~~-~, CN+2-
При этом последний показатель равен —1 лишь в том случае, когда поверх-
поверхность ориентируема, так что N четно. Какую характеристику имеет поверх-
поверхность, представленная такой схемой, если взять в качестве последнего пока-
показателя —1 при N нечетном?
2. Приведите к каноническому виду систему многоугольников примера,
данного на стр. 174.
§ 39. Основная теорема топологии поверхностей
Пусть задана система многоугольников М. При помощи элемен-
элементарных преобразований — двумерных подразделений — из этой си-
системы можно получить систему, состоящую только из треугольников.
Отождествление эквивалентных точек такой системы превращает ее

§39. Основная теорема топологии поверхностей 183
в симплициальный комплекс, обладающий, очевидно, всеми свойства-
свойствами (Пм1)-(Пмз) замкнутого псевдомногообразия (§ 24). Произведенные
подразделения не меняют ни характеристики полиэдральной поверх-
поверхности, ни ее характера ориентируемости. Однако в том случае, когда
подразделенная поверхность представляет симплициальный комплекс,
данные на стр. 150 определения характеристики и ориентируемости
поверхности совпадают с определениями, приведенными на стр. 116
и 117; на страницах же 169 и 148 показано, что ориентируемость псев-
псевдомногообразия и характеристика симплициального комплекса явля-
являются топологически инвариантными свойствами. Отсюда следует, что
две замкнутые подразделенные поверхности могут быть гомеоморфны
лишь в том случае, если они имеют равные характеристики и одина-
одинаковый характер ориентируемости. В частности, все поверхности, за-
заданные каноническими многоугольниками @), (h) и (/с), отличаются
друг от друга. Если, наоборот, две подразделенные поверхности имеют
равные характеристики и обе одновременно ориентируемы или неори-
ентируемы, то в силу теоремы § 38 эти две поверхности элементарно
преобразуемы и, следовательно, гомеоморфны.
Сопоставление полученных результатов позволяет сформулиро-
сформулировать следующее предложение.
Основная теорема топологии поверхностей. Две замкнутые по-
поверхности гомеоморфны в том и только в том случае, когда они
имеют равные характеристики и когда они одновременно либо ори-
ориентируемы, либо неориентируемы. Общим видом ориентируемой за-
замкнутой поверхности является сфера с h (> 0) ручками; общим видом
неориентируемой замкнутой поверхности — сфера с к (^ 0) пленками
Мебиуса.
Число ручек h и число пленок Мебиуса к часто называют родом
ориентируемой и соответственно неориентируемой поверхности. Род
поверхности связан с характеристикой формулами @'), {К'), (к') §38.
Мы пользовались до сих пор определением замкнутой поверхно-
поверхности, как окрестностного пространства, получающегося из системы мно-
многоугольников. Эквивалентным этому является следующее определение,
указывающее место замкнутых поверхностей среди всех вообще поли-
полиэдров: замкнутая поверхность есть конечное связное двумерное мно-
многообразие.
Доказательство. Так как замкнутая поверхность, как мы виде-
видели, является псевдомногообразием, то она представляет конечный связ-
связный двумерный полиэдр. Условие, определяющее многообразие, т. е.
существование у каждой точки окрестности, гомеоморфной внутрен-
внутренности круга, очевидно, выполняется для внутренних точек канониче-
канонического многоугольника. Для внутренних точек сторон многоугольника
оно также выполняется, так как каждая сторона имеет в точности од-
одну эквивалентную ей сторону. Наконец, для вершины многоугольника

184 Глава VI
мы получим окрестность, гомеоморфную внутренности круга, если мы
у каждой вершины канонического многоугольника отрежем по малень-
маленькому треугольнику и посредством отождествления составим из этих
треугольников фигуру, гомеоморфную кругу (исключение представля-
представляет лишь тривиальный случай сферы, — в этом случае обе вершины
не являются эквивалентными друг другу точками, и мы получим, как
и требуется, два круга).
Пусть теперь, обратно, К2 есть произвольное конечное связное
многообразие, заданное в некотором симплициальном разбиении. По
теореме II § 33 группы Бетти в каждой точке Р многообразия К2 сов-
совпадают с группами Бетти окружности. Поэтому (см. пример 2 § 32)
каждое ребро симплицильного разбиения многообразия К2 инцидент-
инцидентно в точности с двумя треугольниками, а окрестностный комплекс вер-
вершины К2 есть окружность. Но тогда можно считать, что К2 составле-
составлено из своих треугольников путем последовательного отождествления
их сторон. Условие связности (стр. 170 — 172) выполняется вследствие
того, что К2 было предположено связным (§ 12). Поэтому К2 является
замкнутой поверхностью в смысле определения § 37.
Упражнения. 1. Каждое замкнутое двумерное псевдомногообразие
с характеристикой N = 2 гомеоморфно сфере.
2. Пусть в R3 имеется состоящий из прямолинейных отрезков конечный
одномерный связный комплекс К1 с характеристикой, равной N. Докажите,
что если вокруг каждой точки комплекса К1 описать одинаковыми радиуса-
радиусами маленькие сферы, то для этих сфер существует огибающая их замкнутая
поверхность с характеристикой 2N.
§ 40. Ограниченные поверхности
Ограниченная поверхность есть окрестностное пространство, получа-
получающееся из системы многоугольников посредством отождествления эквива-
эквивалентных точек, — именно, посредством склеивания многоугольников вдоль
их сторон. Эквивалентными точками считаются точки двух сторон много-
многоугольников, переходящие друг в друга при фиксированном топологическом
отображении, установленном между этими сторонами. Однако в то время
как в случае замкнутых поверхностей каждой стороне соответствует в точ-
точности одна эквивалентная ей сторона, в случае ограниченных поверхностей
некоторые стороны многоугольников (по крайней мере одна сторона) остают-
остаются свободными. Такие стороны называются граничными сторонами. Помимо
этого для ограниченных поверхностей, так же как и для замкнутых, должно
выполняться условие связности (§37).
Так же, как в случае замкнутых поверхностей, стороны и многоуголь-
многоугольники ограниченных поверхностей могут быть ориентированы. Поэтому огра-
ограниченная поверхность также может быть задана комбинаторной схемой.
Пусть а0, а1, а2 — количества неэквивалентных вершин, сторон и мно-
многоугольников системы многоугольников. Тогда мы опять называем число
N = а0 - а1 + а2
характеристикой ограниченной поверхности.

§40. Ограниченные поверхности 185
Поверхность называется ориентируемой, если многоугольники ее могут
быть ориентированы таким образом, что в каждой из двух соответствующих
друг другу сторон индуцируются противоположные ориентации.
При элементарных преобразованиях (подразделениях и укрупнениях),
определяемых так же, как для замкнутых поверхностей, характеристика
и ориентируемость поверхности не меняются. Так как последовательными
подразделениями ограниченная поверхность также может быть переведена
в симплициальный комплекс, представляющий ограниченное псевдомногооб-
псевдомногообразие, то характеристика и ориентируемость являются инвариантами огра-
ограниченной поверхности.
Ограниченные поверхности классифицируются при помощи того же ме-
метода, который был применен для классификации замкнутых поверхностей.
Именно, мы отыскиваем определенные канонические формы, к которым мо-
может быть приведена каждая ограниченная поверхность при помощи элемен-
элементарных преобразований, и показываем, что эти канонические формы него-
меоморфны между собой. Ограниченная поверхность в канонической форме
может быть представлена одним многоугольником, имеющим схему
(г > 0, h > 0)
в случае, если рассматриваемая поверхность ориентируема, и схему
(г > 0, h > 0)
в случае, если она неориентируема. Таким образом, каноническая форма
ограниченной поверхности получается из канонической формы замкнутой
поверхности тем, что мы прибавляем в схеме канонической формы замкну-
замкнутой поверхности последовательность сторон вида qihq^1 ~^~^, qrlrq^1- При
этом h, I2, ¦ ¦ ¦, lr представляют граничные стороны. Если в каноническом
многоугольнике произвести отождествление каждых двух сторон qi ж qj1,
то мы получим канонический многоугольник замкнутой поверхности, в ко-
котором прорезано г отверстий (рис. 73).
Для того чтобы привести к канонической форме ограниченную поверх-
поверхность, заданную произвольной системой многоугольников, мы исходим из
симплициального разбиения этой поверхности. Такое разбиение, как мы ви-
видели, представляет ограниченное псевдомногообразие, граница которого есть
определенный одномерный подкомплекс R.
Мы предполагаем, что наше симплициальное разбиение обладает сле-
следующим свойством: каждый треугольник разбиения либо имеет одну общую
вершину или одну общую сторону с границей поверхности, либо не имеет во-
вовсе общих точек с этой границей. Такое предположение допустимо, так как
если исходное симплициальное разбиение не обладает этим свойством, то мы
можем перейти к его барицентрическому подразделению. Пусть А представ-
представляет треугольник, примыкающий к границе, т. е. треугольник, имеющий либо
одну общую вершину, либо одну общую сторону с R. Тогда существуют в точ-
точности две примыкающие к границе стороны, инцидентные с А. При этом под
стороной, примыкающей к границе R, поверхности мы понимаем сторону, не
принадлежащую к R, но одна вершина которой лежит на R; тогда другая

186
Глава VI
Рис. 72
Рис. 73
вершина такой стороны, наверное, не лежит на R. Обратно, каждая примы-
примыкающая к R сторона инцидентна в точности с двумя примыкающими к R
треугольниками. Поэтому мноясество всех примыкающих к R треугольников
и сторон распадается на конечное число циклических последовательностей,
состоящих попеременно из треугольников и сторон, причем каждый член
такой последовательности инцидентен с двумя соседними членами.
i*Slb2
Рис. 75
Рис. 76
Пусть
есть такая циклическая последовательность. Соединяя Ai с Дг вдоль сто-
стороны oi, присоединяя затем Аз к Аг вдоль а г и т.д., присоединяя, нако-
наконец, As к As_i вдоль os_i, мы составим из треугольников Ai, Аг, ..., As
один многоугольник П. Сторона as входит в П дважды: один раз как сто-
сторона треугольника Ai (мы обозначим ее как таковую через a's) и один раз
как сторона треугольника As (в этом случае мы можем сохранить ее обозна-
обозначение as). Поступим таким же образом с остальными циклическими после-
последовательностями. Ясно, что произвольно взятая сторона границы R долж-
должна леясать на границе одного из таких многоугольников, скажем, на гра-
границе многоугольника П. Покажем тогда, что мноясество сторон границы R,
принадлеясащих многоугольнику П, составляет одну связную последователь-
последовательность сторон. В самом деле, пусть Pi есть лежащая на R вершина стороны а;.

§40. Ограниченные поверхности 187
Тогда при г > 1, если Pi-i отлично от Pi, совокупность принадлежащих R
точек треугольника Д* состоит из стороны Pi-iPi, если же Pi-i совпадает
с Pi, то эта совокупность состоит из одной точки Pi-i = Pi. При г = 1 Pi-i
нуясно заменить вершиной Ра, т.е. леясащей на R вершиной стороны а'а. Та-
Таким образом в многоугольнике П стороны последовательности P'sP\Pi... Ра
и только эти стороны принадлежат границе R поверхности. При этом неко-
некоторые из точек Р могут совпадать. Так, на рис. 74 Pi = Рз = Ра = Ръ- Ес-
Если теперь посредством укрупнений объединить стороны последовательности
P'sPiPi ...Ра в одну сторону I многоугольника П и опустить верхний значок
у стороны а'а, чтобы соответствующие друг другу стороны были обозначены,
как и раньше, одинаковыми буквами, то граница многоугольника П будет
представлена последовательностью
Таким же образом мы поступаем с многоугольниками, соответствующими
другим циклическим последовательностям вида ДкггДгаг • • • Asas. Кроме
таких многоугольников у нас еще могут остаться треугольники, не примыка-
примыкающие к границе. Соединяя все эти многоугольники и треугольники в один,
мы получим многоугольник, имеющий схему
При этом h обозначают все имеющиеся граничные стороны, а волнистые ли-
линии — остальные стороны, находящиеся попарно в соответствии друг с дру-
другом (рис. 75).
Рассекая полученный многоугольник на части и составляя из них затем
снова один многоугольник, мы можем заменить последовательности сторон
bilib~x такими же последовательностями, стоящими непосредственно одна за
другой. Как сделать замену, например, для случая первых двух последова-
последовательностей, показано на рис. 75, 76. При такой замене ни другие последова-
последовательности вида bdibj1, ни последовательности сторон, обозначенные в схеме
многоугольника волнистыми линиями, не испытывают разрыва (они могут
лишь перемещаться). Применяя последовательно такой процесс объедине-
объединения, мы придем к многоугольнику, содержащему, кроме последовательности
сторон qihq^1... qrbqr1, лишь стороны, попарно соответствующие друг дру-
другу. Но начальная и конечная точки написанной последовательности представ-
представляют одну точку поверхности, так как в силу соответствия сторон начальная,
точка стороны qi эквивалентна с конечной точкой стороны q-f1, т.е. с на-
начальной точкой стороны <?2 и т.д., и, наконец, с конечной точкой q^1. Если
поэтому мы отрежем от нашего многоугольника последовательность сторон
qihq^1.. .qrlrq^1, произведя разрез по диагонали 1, имеющей граничными
точками две эквивалентные точки (обозначим их через О), то мы получим
новый многоугольник с одной граничной стороной I. К этому новому много-
многоугольнику можно применить процесс, которым мы пользовались для приве-
приведения к каноническому виду замкнутых поверхностей, причем так, что число
неэквивалентных с О точек будет все время уменьшаться. Тогда все вершины
многоугольника станут в конце концов эквивалентны с О. Присоединяя затем
снова вдоль стороны I отрезанную ранее часть многоугольника, мы придем

188 Глава VI
к требуемой канонической форме ограниченной поверхности. Канонические
формы отличаются друг от друга числом граничных контуров, характери-
характеристикой и характером ориентируемости, — тремя свойствами, являющимися,
как мы знаем, инвариантными; поэтому они определяют негомеоморфные
поверхности.
Упражнение. Удвоение (стр. 169) ориентируемой (соответственно
неориентируемой) поверхности рода h (соответственно к), имеющей г отвер-
отверстий, представляет замкнутую поверхность рода h = 2/i+r — 1 (соответствен-
(соответственно ~к = 2к + 2г - 2).
§41. Группы Бетти поверхностей
В случае замкнутых поверхностей отыскание групп Бетти не пред-
представляет никаких затруднений. В самом деле, в силу обобщенной фор-
формулы Эйлера (§ 23), характеристика
N=p° -р1+р2.
Так как поверхность есть связный полиэдр, то р° = 1 (§ 18). Так как
поверхность представляет ориентируемое или неориентируемое много-
многообразие, то в силу § 24 р2 = 1 в случае ориентируемости и р2 = О
в случае неориентируемости. Таким образом
N = 2 — р в ориентируемом случае,
N = 1 — р в неориентируемом случае.
Одномерное число Бетти определяется, как мы видим, характеристи-
характеристикой поверхности. Следовательно, см. § 38, оно определяется также ро-
родом поверхности h (для ориентируемой) или к (для неориентируемой
поверхности):
р1 = 2 — N = 2h в ориентируемом случае,
р1 = 1 — N = к — 1 в неориентируемом случае.
Что касается коэффициентов кручения, то только в случае неориен-
неориентируемости существует один одномерный коэффициент кручения, рав-
равный 2 (§24).
Одномерная группа Бетти ориентируемой замкнутой поверхнос-
поверхности рода h есть, таким образом, свободная циклическая группа с 2h об-
образующими. Одномерная группа Бетти неориентируемой замкнутой
поверхности рода к представляет прямую сумму свободной абелевой
группы с (к — 1) образующими и группы второго порядка.
Нульмерная и двумерная группы Бетти не представляют особого
интереса, так как нульмерная группа Бетти каждого связного поли-
полиэдра представляет свободную циклическую группу (§18). Двумерная

§41. Группы Бетти поверхностей 189
же группа определяется уже общим свойством замкнутой поверхности
быть замкнутым (ориентируемым или неориентируемым) псевдомно-
псевдомногообразием. В силу § 24 двумерная группа Бетти в случае ориентируе-
ориентируемости представляет свободную циклическую группу, а в случае неори-
неориентируемости состоит из одного нулевого элемента.
Для того чтобы найти одномерную базу гомологии, мы воспользу-
воспользуемся следующей леммой.
Лемма. Вершины, ребра и (двумерные) элементы подразделенной
поверхности образуют кусочную систему.
Напомним, что кусочная система (§ 22) определяется всегда по от-
отношению к некоторому симплициальному разбиению полиэдра. Мы
возьмем какое-нибудь симплициальное разбиение К2, получающее-
получающееся из заданного подразделения поверхности при помощи дальней-
дальнейших подразделений. Так как куски представляют симплициальные
алгебраические комплексы, мы должны вместо слов вершины, ребра
и элементы поверхности говорить точнее: алгебраические комплексы,
состоящие соответственно из ориентированных вершин, из подразде-
подразделенных и когерентно ориентированных ребер, из элементов поверхно-
поверхности.
Доказательство. То, что условия (Kyci) и (Кусг) выполняют-
выполняются для каждой размерности, условия (Кусз) для размерностей 0 и 2
и (Кус4) для размерности 1, доказывается настолько просто, что до-
доказательства мы опускаем (сравните с примерами, приведенными на
стр. 109-109). Доказательства же того, что для размерности п =
= 1 выполняется условие (Кусз), а для размерности к = 0 — усло-
условие (Кус4), мы приведем совместно, показав справедливость следую-
следующего предложения: если U1 есть одномерный симплициальный алге-
алгебраический комплекс на К2 и граница его U1 есть нульмерный кусоч-
кусочный комплекс, т. е. составлен из полиэдральных вершин, то существу-
существует гомологичный комплексу U1 одномерный кусочный комплекс V1.
Из этого предложения вытекает непосредственно выполнимость усло-
условия (Кус4) при к = 0. Если же мы предположим, что U1 есть цикл,
то получим условие (Кусз) для к = 1. Построение комплекса V1 осу-
осуществляется путем «вытеснения» U1 из внутренностей многоугольни-
многоугольников (элементов поверхности) на стороны многоугольников. Рассмотрим
подкомплекс U^ комплекса U1, лежащий на внутренних одномерных
симплексах некоторого элемента П подразделения поверхности. При
этом под внутренними одномерными симплексами поверхности К2 мы
понимаем одномерные симплексы, не принадлежащие сторонам много-
многоугольников подразделения. Алгебраический комплекс U^ определяет
на многоугольнике 'П системы многоугольников, из которой наша по-
поверхность получилась, алгебраический комплекс 'U^', 'U^ представ-
представляет нульмерный алгебраический комплекс (цикл) на границе много-

190
Глава VI
угольника 'П, алгебраическое значение которого (сумма коэффициен-
коэффициентов) равно нулю. Но нульмерный цикл, алгебраическое значение кото-
которого равно нулю, всегда ~ 0 на связном комплексе (§ 18). Поэтому на
границе многоугольника 'П существует одномерный комплекс 'U^, име-
имеющий такую же границу, как 'U^. Тогда разность 'U^ — 'U} представ-
представляет цикл и при этом цикл, гомологичный нулю в 'П, так как каждый
одномерный цикл на круге гомологичен нулю. Соответствующие ком-
комплексам 'U^ и 'Щ алгебраические комплексы U^ и Щ поверхности К2
также гомологичны между собой. Заменяя теперь U^ комплексом U}
и вытесняя таким же образом комплекс U1 из остальных элементов по-
поверхности, мы получим гомологичный комплексу U1 комплекс V1, все
симплексы которого принадлежат сторонам многоугольников подраз-
подразделения. По предположению V1 = U1 есть нульмерный кусочный ком-
комплекс. Поэтому все одномерные симплексы произвольного когерентно
ориентированного ребра подразделения входят в V1 с одинаковыми ко-
коэффициентами, т. е. V1 есть одномерный кусочный комплекс, что нам
и нужно было показать.
Доказанная только что лемма позволяет вычислить еще одним спо-
способом группы Бетти подразделения поверхности, заданной системой
многоугольников, и, кроме того, позволяет найти базу гомологии. Для
этого нужно только составить кусочные матрицы инциденций (§ 22)
и привести их к каноническому виду. Мы произведем вычисление для
канонических многоугольников @), (h), (к), схемы которых даны на
стр. 181 (см. рис. 11,10 и 19). Матрицы имеют вид
Е°
Р
О
а
1
-1
П,
Е°
О
0 0...0 0
«1
a-h
b
п,
@)
(h)
E°
О
... ak
0 0...0
Ei
«i
«2
ак
П
2
2
2
(k)

§41. Группы Бетти поверхностей
191
Для того чтобы привести к канонической форме матрицу инциден-
ций Е° для случая @), мы прибавляем первую строчку ко второй.
Каноническая форма Н° имеет тогда вид
Н°
Р-0
о
Точка О образует нульмерную базу гомологии. Матрица инциден-
ций Е1 для случая @), так же как обе матрицы инциденций для слу-
случая (/г), уже записана в канонической форме. Поэтому для замкнутой
поверхности рода h одномерную базу гомологии (являющуюся одно-
одновременно базой слабых гомологии) образуют 2ft, одномерных циклов
а\, Ь\, ..., ah, bh- Для того чтобы привести к канонической форме мат-
матрицы инциденций (к), мы вычитаем первую строку в Е1 из всех осталь-
остальных строк. При этом получаются следующие канонические формы:
н°
О
/ J Qi(l2 ¦ ¦ ¦ &k
о о ... о
H1
к
г~а2
пк
П
2
0
0
к одномерных ^ циклов а$, аг, • • •, ак образуют здесь базу гомо-
%=\
логий. Одномерные циклы аг, • • •, а,к в соответствии с тем, что число
Бетти р1 = к — 1, образуют базу слабых гомологии.
В то время как одномерные числа Бетти различным образом выра-
выражаются через характеристику для ориентируемых замкнутых поверх-
поверхностей и неориентируемых, число Бетти по модулю 2 для всех по-
поверхностей имеет вид q' = —N + 2. В самом деле, N = qo — Qi + Q2,
a qo = 42 = 1 (стр. 116).
База гомологии по модулю 2 получается путем составления мат-
матриц инциденций Е и Е1 по модулю 2. Для этого нужно в матрицах Е
и Е1 все четные числа заменить классом вычетов б, а все нечетные —
классом вычетов 1. Для поверхностей (К) и (к) матрицы инциденций Е°
и Е1 уже имеют канонические формы. Поэтому стороны каноническо-
канонического многоугольника, рассматриваемые как алгебраические комплексы
по модулю 2, образуют одномерную базу Бетти по модулю 2. Исклю-
Исключением здесь является только тривиальный случай сферы (h = 0).
Геометрическое значение числа q1 определяется следующим пред-
предложением:

192 Глава VI
Теорема. Одномерное число Бетти по модулю 2, q1 = 2 — N,
равно максимальному числу неразбивающих поверхность циклических
сечений (Ruckkehrschnitte).
Под циклическим сечением мы понимаем не имеющий двойных
точек замкнутый симплициальный путь симплициального разбиения
поверхности, т. е. одномерный подкомплекс этого разбиения (§ 23), в ко-
котором каждая вершина инцидентна в точности с двумя ребрами (одно-
(одномерными симплексами). Рассмотрим систему г циклических сечений,
относительно которой мы предположим, что никакие два из этих се-
сечений не имеют общего ребра. Говорят, что такая система «разбива-
«разбивает» поверхность, если существуют два треугольника симплициального
разбиения, которые не могут быть соединены цепочкой последователь-
последовательно инцидентных треугольников и ребер так, чтобы ни одно из этих
ребер не принадлежало к циклическим сечениям. Что существует по
меньшей мере 2 — N неразбивающих циклических сечений (при произ-
произвольном симплициальном разбиении), можно заключить, рассматривая
одномерный комплекс, состоящий из всех ребер канонического много-
многоугольника (стр. 181). Допустим теперь, что система циклических сече-
сечений состоит из г > 2 — N циклических сечений к\, kq, ..., кг. В таком
случае все эти сечения, рассматриваемые как алгебраические комплек-
комплексы по модулю 2, зависимы между собой в смысле гомологии, так как
число Бетти по модулю 2, 2 — N, представляет максимальное число
алгебраических комплексов по модулю 2, независимых в смысле го-
гомологии. Поэтому существует двумерный алгебраический комплекс по
модулю 2, например, двумерный подкомплекс U2, граница которого
равна линейной комбинации этих циклических сечений:
U2 = eifei + ё2&2 + ... + ёгкг,
причем не все ё равны 0. Так как мы предполагаем, что никакие два
циклических сечения fej и kj, не имеют общих ребер, то правая часть
написанного соотношения ф 0, вследствие чего С/2 не может быть ни
нулевым комплексом, ни всей поверхностью. Пусть V2 означает часть
поверхности, дополнительную к комплексу С/2 (V2 также представля-
представляет алгебраический комплекс по модулю 2). Тогда никакой двумерный
симплекс комплекса U нельзя соединить с двумерным симплексом
комплекса V2 цепочкой последовательно инцидентных треугольников
и ребер, не переходя при этом ни одного из циклических сечений. Таким
образом q1 + 1 циклических сечений всегда разбивают поверхность23.
Замечание. Узкая полоска, идущая вдоль циклического сечения
неориентируемой поверхности, представляет либо круговое кольцо, либо лист
Мебиуса. В первом случае циклическое сечение называют двусторонним, во
втором — односторонним. (Для того чтобы получить такую полоску, мож-
можно поступить, например, следующим образом: произвести двукратное бари-
барицентрическое подразделение заданного симплициального разбиения и затем

§41. Группы Бетти поверхностей 193
взять все треугольники, инцидентные с ребрами и вершинами рассматривае-
рассматриваемого циклического сечения.) Если циклическое сечение неориентируемой по-
поверхности обладает тем свойством, что рассеченная вдоль него поверхность
уже ориентируема, то такое сечение называется ориентирующим.
Упражнение. При помощи упражнения 1 § 38 покажите, что на каж-
каждой неориентируемой поверхности существует ориентирующее циклическое
сечение. Ориентирующее циклическое сечение является двусторонним или
односторонним в зависимости от того, четен или нечетен род поверхности к.
(При рассечении характеристика поверхности остается неизменной. Восполь-
Воспользуйтесь тем, что характеристика ориентируемой замкнутой поверхности все-
всегда четная.)

Глава VII
Фундаментальная группа
Группы Бетти дают исчерпывающую классификацию всех многообра-
многообразий лишь для случая двух измерений. Важнейшим инвариантом, дающим
возможность различать полиэдры и многообразия более высоких размерно-
размерностей там, где группы Бетти совпадают, является фундаментальная группа.
Фундаментальная группа, вообще говоря, не является абелевой группой. По-
Полиэдр имеет только одну фундаментальную группу; она связана с поведением
одномерных путей полиэдра . Фундаментальная группа полиэдра является
инвариантом в целом. Однако так же, как и в случае групп Бетти, мож-
можно ввести соответствующий инвариант в малом — фундаментальную группу
в точке.
§ 42. Фундаментальная группа
Пусть ориентированный отрезок w непрерывно отображен в ко-
конечный или бесконечный полиэдр Кп. Мы говорим тогда, что этим
в полиэдре определяется путь w. Образы точек w называются точ-
точками пути. Если Р и Q — начальная и конечная точки w, Р и Q —
их образы, то Р называется начальной, Q — конечной точкой пути
и говорят, что w «ведет» из Р в Q. Если точка непрерывно пробегает
отрезок W, перемещаясь из Р в Q, то образ этой точки «пробегает»
непрерывно путь w из Р в Q. При этом образ точки может оставать-
оставаться неподвижным в полиэдре, так как наше определение не исключает
возможности того, что w отображен целиком в одну точку. Тогда весь
путь w состоит из этой точки.
Пусть прообраз пути w, отрезок w, топологически отображен на
другой ориентированный отрезок w' так, что начальная точка перехо-
переходит в начальную, а конечная — в конечную. Тогда Тп' также отобра-
отображен (посредством w) однозначно и непрерывно в Кп и определяет там
путь W1. Мы рассматриваем w и w' как один и тот же путь24. Очевидно,
точки пути w совпадают с точками пути w'
В самое последнее время Гуревичем (W. Hurewicz, Amsterdam) даны определе-
определения так называемых r-мерных групп гомотопии, являющихся обобщением фунда-
фундаментальной группы в классическом смысле: для г = 1 определение Гуревича дает
обычную фундаментальную группу; для г > 1 группы Гуревича оказываются ком-
коммутативными. См. заметки Гуревича в Proced. Kon. Akad. Amsterdam за 1935-36 г.
(Прим. ред.)
Если желать полной строгости, то определение пути надо сформулировать так.

§42. Фундаментальная группа 195
Если принять за прообраз w единичный отрезок прямой 0 ^ s ^ 1,
с начальной точкой s = 0 и конечной s = 1, то каждому значению s
в инервале 0 ^ s ^ 1 принадлежит одна определенная точка пути w.
Точки w могут быть бесчисленным количеством способов отнесены
к параметру, пробегающему значения от 0 до 1. Если s' — другой такой
параметр, то s и s' связаны топологическим, т. е. монотонным преоб-
преобразованием координат; s можно принять за время, в течение которого
пробегается путь.
Если и — путь из Р в Q, a v — из Q в R, то оба пути можно
объединить в один. Для этого нужно оба прообраза п и v объединить
в один, W, и отобразить точки W, как раньше. Образ w есть путь w,
называемый произведением путей и и v и обозначаемый через
W = UV.
w получается, следовательно, при последовательном пробегании сна-
сначала пути и, а потом v. Обратный путь, w~1, получается посредством
изменения ориентации прообраза W. Путь, начальная точка которого
совпадает с конечной, называется замкнутым.
Последовательность, состоящая из конечного числа ориентирован-
ориентированных ребер симплициального разбиения полиэдра Кп, в которой конеч-
конечная точка каждого ребра совпадает с начальной точкой следующего,
мы будем называть симплициальным путем, ведущим из Р в Q (ес-
(если Р — начальная точка первого, a Q — конечная точка последнего
ребра). Симплициальный путь можно рассматривать как произведе-
произведение отдельных ребер. В самом деле, каждое ориентированное ребро
представляет (как одномерный симплекс) непрерывный (даже тополо-
топологический) образ прямолинейного ориентированного одномерного сим-
симплекса, т. е. направленного отрезка, а потому является путем в смысле
нашего определения.
Пусть отображение прообраза w пути гПо в полиэдр Кп испыты-
испытывает гомотопную деформацию, оставляющую на месте начальную точ-
точку Р и конечную точку Q пути. Тогда говорят, что путь wq (гомотопно)
Будем рассматривать непрерывные отображения tp направленных прямолиней-
прямолинейных отрезков w в полиэдр К. Два таких отображения, а именно, отображение <fii
отрезка wi и отображение ip2 отрезка W2 называются эквивалентными, если су-
существует топологическое отображение t отрезка wi на отрезок п>2 с сохранением
ориентации (т.е. так, что начальная точка wi переходит в начальную точку W2,
а следовательно, конечная точка wi — в конечную точку W2) и удовлетворяющее
условию:
ip2t(x) =vi(x)
для любой точки х отрезка wi. Это определение эквивалентности удовлетворяет,
как легко видеть, аксиомам равенства и ведет к разбиению всех наших отображе-
отображений <р на классы эквивалентных между собой отображений. Путь и есть, по опре-
определению, класс эквивалентных между собой отображений tp.
Читатель должен раз навсегда усвоить, что путь и множество всех точек пути
(т.е. множество точек Кп, являющихся образами отрезка w при отображении ip) —
разные вещи. (Прим. ред.)

196 Глава VII
деформируется (или испытывает гомотопную деформацию). Таким об-
образом, если t — параметр, пробегающий значения от 0 до 1, и каждому
значению t соответствует отображение gt отрезка w в Кп, в частно-
частности, значению t = 0 — отображение до отрезка Ш на woi & значению
t = 1 — отображение д\ отрезка w на некоторый путь w\\ если, далее,
образ gt(R) точки R отрезка w непрерывно зависит от t и R, причем
образами начальной точки Р и конечной точки Q при всех значениях t
являются соответственно точки Р и Q, то путь wo называется гомотоп-
гомотопно деформируемым в w\, а пути wo и W\ — гомотопными друг другу
в полиэдре Кп. Очевидно, в этом случае имеет место и обратное —
путь w\ деформируем в wq. Гомотопные между собой пути, как мы
видим, всегда имеют одинаковые начальные и конечные точки.
Так же как при деформации отображения, мы можем теперь за-
задать все отображения gt отрезка w одним отображением / полиэдра
деформации w x t где w x t представляет топологическое произведение
отрезка w на единичный отрезок t(O^t^l). Заг/Jxt можно взять,
в частности, обыкновенный плоский прямоугольник, прямоугольник
деформации. Тогда деформацию можно определить также следующим
образом: путь wo деформируем в w\, если существует непрерывное
отображение / прямоугольника деформации w x t в полиэдр Кп, при
котором стороны г<7хО = гGоигGх1 =_Wi переходят соответственно
в пути wo и !Bi, а две другие стороны Р х t и Q x t переходят соот-
соответственно в точки Р и Q; w x 0 означает при этом топологическое
произведение прообраза w на точку 0 отрезка t. Связь меж:ду отобра-
жением / и отображениями gt устанавливается, как и в случае дефор-
деформации отображения, соотношениями
f(Rxt)=gt(R).
Различие заключается лишь в том, что теперь отображение / должно
удовлетворять еще дополнительному условию, — именно, переводить
стороны PxtnQxtB точки Р и Q (рис. 77-79) .
Если wo можно деформировать Btoi,awi в W2, то wo можно де-
деформировать в W2- В самом деле, рассмотрим прямоугольники дефор-
* Таким образом деформация пути есть деформация (непрерывное видоизмене-
видоизменение) отображения <р отрезка w в полиэдр Кп (и, следовательно, всех эквивалент-
эквивалентных с ip отображений). Деформация пути отнюдь не есть деформация множества
точек пути; только усвоив это различие, читатель правильно поймет, например, до-
доказанное выше свойство симметрии: если путь wq деформируем в w\, то и путь w±
деформируем в wo.
Деформация закрепленной своими концами веревки или резиновой ленты в ев-
евклидовом пространстве является лишь частным случаем рассмотренных здесь де-
деформаций. В самом деле, веревка не имеет двойных точек и при деформации не
может пересекать сама себя. В общем же случае гомотопной деформации могут
существовать и узловые точки, и самопересечения пути. Деформации таких типов,
какие испытывает веревка, также поддаются математической обработке: они осу-
осуществляются изотопными деформациями пространства самого в себя.

;42. Фундаментальная группа
197
маций, принадлежащие деформациям путей wo в w\ и w\ ъуоъ- Так как
стороны этих прямоугольников, отображающиеся в w\, представляют
прообразы одного и того же пути W\, то эти стороны W\ можно отож-
дествить, причем так, что каждые две отождествленные точки будут
иметь одинаковые образы в Кп. Мы получим тогда новый прямоуголь-
прямоугольник, отображенный непрерывно в Кп, две параллельные стороны кото-
которого переходят соответственно в wo и W2, а две другие соответственно
в Р и в Q. А это и значит, что путь wq деформируем в и>2- На до-
доказанной таким образом транзитивности понятия «деформируемость»
основывается разбиение путей, соединяющих две точки, на классы де-
деформируемых друг в друга путей.
Пусть
р. «> . Q
wo = а... Ьcod...е
Рис. 77
W х 1 =W,
Pxt
Q*t
w*O=wn
Рис. 78
есть путь в полиэдре Кп, представляющий
произведение путей а, ..., Ь, со, d, ..., е,
и пусть путь со можно деформировать в С\.
Покажем, что тогда wo можно деформиро-
деформировать в
w\ = а...bcid...е.
В самом деле, по предположению су-
существует непрерывное отображение «сред-
«среднего» прямоугольника рис. 80, при кото-
котором со переходит в со, ~с\ в с\, а верти-
вертикальные стороны переходят соответствен-
соответственно в общие начальную и конечную точ-
точки путей со и с\ (рис. 81). Это отобра-
отображение среднего прямоугольника можно до-
дополнить до отображения всего прямоуголь- рис 79
ника в Кп, переводящего ахО, ..., Ь х 0, dxO, ...,ёхО соответственно
в пути а, ..., b, d, ..., е и каждую вертикальную линию (за исключе-
исключением вертикальных линий среднего прямоугольника) — в одну точку.
Если в произведении аЬ первый (второй) множитель представля-
представляет путь, состоящий из одной точки, то аЬ можно деформировать в Ь
(соответственно в а).
Доказательство. В прямоугольнике, приведенном на рис. 82,
нижняя сторона состоит из двух частей Но и Ъо- Соединим прямоли-
прямолинейным отрезком каждые две точки отрезка bo и противоположной
стороны Ь\ соответствующие друг другу при некотором линейном отоб-
отображении, установленном между Ъо и Ъ\. Точно так же соединим пря-
прямолинейным отрезком каждую точку отрезка ~йо с начальной точкой
со может быть также первым или последним сомножителем произведения.

198
Глава VII
а* О
ax
1
b>
1
c>
l=c-
d,
1
exl
6x0 слО=с
0
Рис. 80
Рис. 81
стороны 6i. Тогда прямоугольник можно непрерывно отобразить на Ь\
так, что каждый соединяющий отрезок перейдет в конец этого отрезка,
лежащий на Ь\. Если теперь отобразить Ь\ на путь Ь, то мы получим
отображение прямоугольника в Кп, при котором ао&о перейдет в аЪ,
а обе вертикальные стороны прямоугольника перейдут в начальную
и конечную точки пути Ь. Но это и значит, что аЬ можно деформиро-
деформировать в Ь.
Если из двух деформируемых друг в друга пу-
путей wq и w путь Wo состоит из одной точки, то го-
говорят, что путь w сводится в точку или гомотопен
нулю. Поэтому замкнутый путь w гомотопен в Кп
нулю, если прямоугольник можно непрерывно отоб-
отобразить в Кп так, что одна его сторона w перейдет
в w.
Пример. Пусть полиэдр Кп есть n-мерное ев-
Рис 82 клидово пространство Rn. Тогда каждый замкну-
замкнутый путь в нем гомотопен нулю. В самом деле, каж-
каждую точку пути w можно заставить перемещаться прямолинейно с по-
постоянной скоростью так, чтобы через секунду она достигла начальной
точки w, и в соответствии с этим можно построить требуемое отобра-
отображение прямоугольника деформации. То же заключение справедливо,
если Кп представляет n-мерный симплекс Еп (например, расположен-
расположенный прямолинейно в Rn). В частности, (п = 1) замкнутый путь w,
состоящий из отрезка а, пробегаемого сперва в одну сторону, а затем
обратно, гомотопен на а нулю. Отсюда следует, что всякий путь w,
пробегаемый сначала в одну сторону, а затем обратно, т. е. путь ви-
вида w = ии~1, в любом полиэдре гомотопен нулю. Чтобы убедиться
в этом, достаточно непрерывно отобразить ориентированный отрезок а
на путь и. Тогда мы получим непрерывное отображение, переводящее

;42. Фундаментальная группа
199
прямоугольник деформации в полиэдр таким образом, что одна сторо-
сторона прямоугольника переходит в путь w, а остальные — в начальную
точку этого пути.
Гомотопные нулю замкнутые пути моясно охарактеризовать так-
также следующим образом: замкнутый путь w гомотопен нулю в том
и только в том случае, если на него можно натянуть особый эле-
элемент поверхности. При этом особым элементом поверхности мы на-
называем образ круга при непрерывном отображении его (круга) в поли-
эдр Кп.
В самом деле, вместо того чтобы производить непосредственно
непрерывное отображение % нашего прямоугольника в полиэдр Кп,
переводящее w в w, а остальные стороны в начальную точку w, мы
можем разбить это отображение на два. Именно, сначала мы строим
непрерывное отображение ц> прямоугольника деформации на круг К2,
переводящее сторону w\ в граничную окружность, а остальные три
стороны в одну и ту же точку О (рис. 83) и все вертикальные отобра-
отображающие отрезки прямоугольника линейно на соответствующие хорды
круга, а затем отображаем круг в полиэдр Кп посредством отображе-
отображения ф; тогда % = Ф<Р- Очевидно, это всегда возможно. По теореме IV § 8
ф является непрерывным отображением. Таким образом, если w гомо-
гомотопен нулю, то на него можно натянуть особый элемент поверхности.
Обратно, если задано непрерывное отображение ф круга К2 в поли-
полиэдр Кп, то тем самым определено одновременно отображение ф(р = х
прямоугольника деформации.
Мы предполоясим теперь, что
полиэдр Кп есть связный поли-
полиэдр. Тогда каждые две точки его
моясно соединить путем. Рассмот-
Рассмотрим в Кп всевозможные замкну-
замкнутые пути, выходящие из какой-ни-
какой-нибудь произвольной, но фиксиро-
фиксированной начальной точки О. Эти
ш
1
Рис. 83
пути распадаются на классы де-
деформируемых друг в друга путей.
Мы будем называть их просто классами путей. Класс путей, содержа-
содержащий путь w, мы будем обозначать иногда символом
М-
Будем рассматривать класс {W1W2}, содерясащий произведение пу-
путей w\ ts.W2, как произведение классов {w\\ и {«72}• Тогда классы путей
будут играть роль элементов некоторой группы, так называемой фун-
фундаментальной группы F связного полиэдра25. Очевидно, произведение
классов {w\\ и {11J} не зависит от того, какие именно представители w\
и W2 этих классов берутся для составления произведения. В самом де-
деле, как показано на стр. 196-197, если w\ и W2 заменить гомотопными

200 Глава VII
им путями w'i и wf2, то w'iW2 гомотопен w\W2, т.е. определяет тот же
класс.
Установленная нами групповая операция (перемножение) удовле-
удовлетворяет групповым аксиомам:
1) ассоциативный закон, очевидно, выполняется;
2) существует единичный элемент, — именно, класс путей, гомотоп-
гомотопных нулю. В самом деле, по доказанному на стр. 197, если умножить
произвольный путь слева или справа на путь, гомотопный нулю, то
получается путь, принадлежащий тому же классу, что и исходный;
3) для каждого элемента существует обратный элемент, — имен-
именно, класс, содержащий пробегаемый в противоположном направлении
элемент исходного класса. Это следует из того, что всякий путь ви-
вида ии~1 гомотопен нулю. Напротив, коммутативный закон не всегда
выполняется; {w\}{w^}, вообще говоря, не равняется {11J}{wi}, т.е.
фундаментальная группа, в противоположность группам Бетти, не яв-
является, вообще говоря, абелевой. Мы займемся впоследствии вопросом
о связи между фундаментальной группой и одномерной группой Бет-
Бетти (§48).
Класс путей {u>i}{u>2} содержит произведение W1W2, а также и каж-
каждый путь, получающийся из wiW2 при помощи деформации. В частности,
{u>i}{u>2} содержит путь w, получающийся из wiu>2 при сдвиге его «сере-
«середины» с точки О (рис. 84); wi и и>2 могут принадлежать одному и тому же
классу и даже совпадать.
Рассматриваемая как абстрактная груп-
группа, фундаментальная группа не зависит от
выбора начальной точки О, т. е. связный по-
полиэдр Кп определяет ее полностью. В са-
самом деле, пусть в качестве начальной точки
взята вместо точки О точка О'. Проведем из
точки О в точку О' какой-нибудь путь v и по-
ставим в соответствие классу {«/} путей, ис-
исходящих из О', класс
Рис. 84 , _!
\wj = \vw v )
путей, выходящих из О. Класс {w}, очевидно, не зависит от выбора пу-
пути w' из класса, которому w' принадлежит. Обратно, классу {w} путей,
исходящих из О, поставим в соответствие класс {v~1wv} путей, выхо-
выходящих из О'. Такое соответствие является как раз обратным предыду-
предыдущему, так как на основании первого соответствия мы из w' получаем
{w} = {vw'v~1}, а на основании второго из {w} получаем
{v~1wv} = {v (vw'v~1)v} = {w'}.
Таким образом соответствие, установленное между классами путей, вы-
выходящих из О и О'', является взаимно однозначным. Кроме того, оно

§42. Фундаментальная группа 201
изоморфно: произведению
соответствует класс путей
{vw'1w'2v~1} = {vw'1v~1vw'2v~1} = {vw'1v~1} {vw'2v~1},
т.е. произведение классов, соответствующих классам {ги'Л и {w'2}. Во
время преобразований мы пользовались тем, что путь v v гомотопен
нулю и что умножение на гомотопный нулю путь не меняет исходного
класса путей.
Изоморфизм между фундаментальными группами F(O) (с началь-
начальной точкой О) и F(O') (с начальной точкой О') зависит от выбора вспо-
вспомогательного пути v. Если вместо v взять вспомогательный путь и, то
соответствие
{w} —>• {v~1wv} A)
заменится соответствием
{w} —>• {u~1wu} = {u~1vv~1wvv~1u} = {{u~1v)v~1wv(u~1v)~1}, B)
т.е. для того чтобы из изоморфизма A) получить изоморфизм B), мы
должны трансформировать все элементы группы F(O') одним и тем же
элементом {и~гу} . Таким образом, изоморфизм между F(O) и F(O')
определяется только с точностью до внутренних автоморфизмов
группы F(O').
Мы видели (§ 27 гл. II), что при непрерывном отображении ip поли-
полиэдра Кп в полиэдр Кт /с-мерная группа Бетти Кп испытывает гомо-
гомоморфное отображение в /с-мерную группу Бетти полиэдра Кт. Дока-
Докажем сейчас соответствующую теорему для фундаментальной группы.
Прежде всего при непрерывном отображении ip всякий путь w поли-
полиэдра Кп переходит в путь w' полиэдра Кт, так как прообраз w пути
w то подвергается сначала непрерывному отображению / на w, а затем
непрерывному отображению tp. Произведение отображений ipf являет-
является снова непрерывным отображением и определяет поэтому путь w'
в Кт. Далее, если wo и w\ представляют два деформируемые друг
в друга пути в Кп, то их отображения w'o и w[ также деформируе-
деформируемы друг в друга. В самом деле, гомотопность путей wq и w\ означает,
что прямоугольник деформации O^s^l,O^t^l мож:но непрерывно
отобразить в Кп так, что параллельные стороны t = 0 и t = 1 перейдут
вшоиш1,а две другие параллельные стороны перейдут соответственно
в общую начальную точку А и общую конечную точку В путей wq и w\ .
*То-есть умножить слева на {и 1г>}, справа на {и 1г>} 1. Такая трансформация
осуществляет внутренний автоморфизм фундаментальной группы. См. О. Шмидт.
Абстрактная теория групп, ОНТИ, 1936.

202 Глава VII
Производя затем отображение tp, мы получим непрерывное отображе-
отображение прямоугольника деформации в полиэдр Кт, переводящее стороны
?=0и?=1в w'q vl w'i, & s = 0 vl s = 1 соответственно в общую на-
начальную точку А' и общую конечную точку В' путей w'o и w^. А это
и значит, что w'o и w^ гомотопны в Кт. Наконец, произведение двух
путей переходит, очевидно, в произведение их образов.
Пусть теперь О является начальной точкой замкнутых путей фун-
фундаментальной группы F полиэдра Кп. Примем ее образ О' за началь-
начальную точку замкнутых путей фундаментальной группы F' полиэдра Кт.
Так как при непрерывном отображении гомотопные пути переходят
в гомотопные, то каждый класс путей группы F отображается на опре-
определенный класс путей группы F'. Так как, далее, образ произведения
двух путей равен произведению из образов, то это отображение груп-
группы F в F' представляет гомоморфизм. Говорить о гомоморфном отобра-
отображении группы F в F можно и в том случае, когда за начальную точку
путей в Кт берется не О', а какая-нибудь другая точка ?1. В самом деле,
между группами F'(O') и F(O) существует изоморфизм, устанавлива-
устанавливаемый посредством вспомогательного пути, идущего из О' в ?1. Если,
однако, производится гомоморфное отображение группы F в F'(O'),
а затем изоморфное отображение группы F'(O') на F(f2), то при этом
получается гомоморфное отображение Ф группы F(O) в F(Cl). В си-
силу сказанного на стр. 201, при изменении вспомогательного пути Ф
умножается только на внутренний автоморфизм группы F(Q). Таким
образом окончательно получается следующая теорема.
Теорема. При непрерывном отображении ц> полиэдра Кп в по-
полиэдр Кт фундаментальная группа F полиэдра Кп подвергается го-
гомоморфному отображению Ф в фундаментальную группу F полиэд-
полиэдра Кт. Ф определяется только с точностью до внутренних автомор-
автоморфизмов группы F. Если Кп и Кт гомеоморфны, а <р является тополо-
топологическим отображением Кп в К.т, то Ф представляет изоморфизм,
т. е. гомеоморфные полиэдры имеют изоморфные фундаментальные
группы.
Последняя часть этой теоремы вытекает непосредственно из того,
что при топологическом отображении соответствие между путями Кп
и Кт взаимно однозначно.
§ 43. Примеры
1. Фундаментальная группа топологического произведения двух поли-
полиэдров К\ и Ki равна прямому произведению фундаментальных групп обоих
сомножителей.
Доказательство. Всякая точка Р топологического произведения

§43. Примеры 203
К\ х Ki однозначно представляется (см. стр. 76) в виде
Р = Р1хР2. (Р)
ли^-К" есть какой-нибудь полиэдр, a_g — непрерывное отображение полиэд-
полиэдра К в К\ х К2, переводящее точку Р полиэдра К в точку Р произведения
Кг х К2: _
Р^Р, (Я)
то соотношение (Р) определяет непрерывное отображение gi
? ^ A (fli)
полиэдра К в .fifi и непрерывное отображение дг
Р - Р2 Ы
полиэдра К в ЛГг. Если, напротив, заданы непрерывные отображения gi и дг,
то с помощью соотношения (Р) определяется непрерывное отображение д.
В частности, если К есть ориентированный отрезок, то отображения д, gi, дг
определяют соответственно пути w, wi, u>2 в К\ х ЛГг, -RTi, -ЙГг- Гакмл* обра-
зол* каждому пути w в К\ х Кп ставится в соответствие пара путей wi,
W2 и обратно. Если, с другой стороны, К есть прямоугольник, отображаю-
отображающийся посредством g в К\ х Кп так, что три стороны его переходят в точку
О = О\ х Ог, а четвертая сторона — в путь w, то эти нее три стороны перево-
переводятся отображением gi в точку Oi, а четвертая — в путь Wi (г = 1, 2). При
этом wi, u>2 есть пара путей, поставленная в соответствие пути w. Поэтому,
если w гомотопен нулю в К\ х К2, то wi гомотопен нулю в Ki, а и>2 в К2.
Обратное такнее справедливо: если оба пути_и;1 и и>2 гомотопны нулю, то
существует отображение gi прямоугольника К в Ki, переводящее три сто-
стороны прямоугольника в точку Oi, а четвертую в путь Wi. Отображение д,
определяемое отображениями gi и дг, переводит те нее три стороны прямо-
прямоугольника в точку О = О\ х Ог, а четвертую — в путь w. Выберем теперь за
начальную точку замкнутых путей в Ki точку Oi, а в К\ х К2 точку О\ х Ог.
Тогда каждому классу путей произведения К\ х К2 соответствует взаимно
однозначно пара классов путей в К\ и К2. Произведение двух классов путей
из К\ х К2 можно получить, очевидно, перемножая соответствующие классы
путей в К\ vl K2. Отсюда и следует, что фундаментальная группа произве-
произведения К\ х К2 представляет прямое произведение фундаментальных групп
сомножителей К\ и К2.
2. Фундаментальная группа п-мерного симплекса, так же как и п-мер-
ного евклидова пространства, содержит только единичный элемент, так как
каждый замкнутый путь в симплексе (в евклидовом пространстве) гомото-
гомотопен нулю.
3. Фундаментальная группа п-мерной сферы S" при п > 1 также состоит
только из единичного элемента. Для доказательства допустим сначала, что
замкнутый путь w сферы Sn не проходит через точку сферы О', диамет-
диаметрально-противоположную начальной точке пути. Тогда, заставляя все точки
пути w непрерывно скользить по меридианам, проходящим через точки О

204 Глава VII
и О', так, чтобы в один и тот нее интервал времени (например, в одну се-
секунду) они попали в точку О, мы получим деформацию пути w в точку О.
Пусть теперь наш путь проходит и через диаметрально-противоположную
точку О'. Тогда мы разбиваем сферу Sn на симплексы так, чтобы О было
вершиной симплициального разбиения, а О' — внутренней точкой п-мерно-
го симплекса, и производим, как в §31, симплициальное приближение отоб-
отображения прообраза w пути w в Sn. При этом w испытывает деформацию,
«освобождающую» точку О', но не сдвигающую путь с начальной точки О.
Мы приходим, таким образом, к рассмотренному только что случаю. При
доказательстве нельзя обойтись без симплициального приближения, так как
может случиться, что рассматриваемый путь проходит через каждую точку
сферы.
4. Полиэдр, фундаментальная группа которого состоит только из еди-
единичного элемента, называется просто-связным. Такой полиэдр характеризу-
характеризуется, следовательно, тем, что каждый замкнутый путь в нем можно свести
в точку или, что то нее, на каждый замкнутый путь можно натянуть элемент
поверхности. Этот элемент поверхности, само собой разумеется, может быть
расположен в полиэдре с особенностями (например, может иметь точки раз-
разветвления, складки, самопересечения и т.п.). Вопрос о том, насколько поли-
полиэдр определяется условием быть просто-связным для случая, когда полиэдр
является многообразием, связан с важнейшими нерешенными проблемами
топологии. Для одного измерения вопрос решается легко, так как существу-
существует всего одно конечное и одно бесконечное одномерное связное многообра-
многообразие, именно окружность (одномерная сфера) и прямая линия. Прямая линия
является просто-связным полиэдром. Для двух измерений, как мы увидим,
определив фундаментальные группы всех двумерных связных многообразии
(всех замкнутых поверхностей — см. § 47), двумерная сфера является един-
единственным конечным просто-связным двумерным многообразием, евклидова
плоскость является единственным бесконечным просто-связным двумерным
многообразием26. Для трех измерений представляется вероятным, что трех-
трехмерная сфера является единственным конечным просто-связным многообра-
многообразием (гипотеза Пуанкаре). Для четырех измерений топологическое произве-
произведение двух двумерных сфер дает пример конечного многообразия, являю-
являющегося, как показано в примере 1 этого параграфа, просто-связным, но не
гомеоморфного четырехмерной сфере. В самом деле, двумерное число Бетти
для топологического произведения двух сфер р2 = 2 , в то время как дву-
двумерное число Бетти четырехмерной сферы в силу § 19 должно быть равно
нулю.
*Что двумерное число Бетти топологического произведения двух сфер К\ и Ki,
наверное, не равно нулю, можно показать, например, так: посредством указанного
на стр. 203 отображения д\ сфера К\ х Pi [Pi есть точка сферы Ki) топологиче-
топологически отображается на сферу К\. Если произвести симплициальное разбиение сферы
К\ х Pi и затем когерентно ориентировать его, то мы получим двумерный цикл U2,
не гомологичный нулю в К\ х Ki. В самом деле, если U2 гомологично нулю, то его
образ 'U2 при отображении дх также гомологичен нулю (§27, теорема 1). Однако
цикл 'U2 представляет когерентно ориентированную сферу Ki, а потому на К\ он
не может быть гомологичен нулю.

§ 44. Группа симплициальных путей симплициального комплекса 205
§ 44. Группа симплициальных путей
симплициального комплекса
Итак, фундаментальная группа F связного полиэдра определена
как топологический инвариант. Для того чтобы вычислить этот топо-
топологический инвариант, мы будем исходить, как и в случае группы Бет-
Бетти, из некоторого заданного симплициального разбиения нашего поли-
полиэдра. С помощью этого разбиения мы определим новую группу, группу
симплициальных путей. Определение этой группы не будет топологи-
топологически инвариантным, но зато мы будем в состоянии вычислить ее. Да-
Далее, пользуясь симплициальным приближением, мы покажем, что эта
группа совпадает с фундаментальной группой, чем и будет доказана
топологическая инвариантность группы симплициальных путей.
Рассмотрим конечный или бесконечный полиэдр Кп, заданный в
некотором фиксированном симплициальном разбиении. Пусть его ре-
ребра (одномерные симплексы) определенным образом ориентированы
и обозначены через а\, «2, • • •¦ Мы будем рассматривать сначала толь-
только симплициальные пути комплекса Кп, т.е. произведения вида
w = a1lae^ ... а%* (ег = ±1, ет = ±1, ..., ez = ±1),
в которых конечная точка симплекса а^1 всегда совпадает с начальной
точкой а^1 и т. д. За симплициальный путь мы будем считать также
и такой путь, который не содержит ни одного ребра, т. е. состоит только
из одной вершины симплициального разбиения.
Чтобы избежать путаницы, мы будем иногда называть пути и де-
деформации, рассмотренные в §42, непрерывными путями и непрерыв-
непрерывными деформациями в противоположность симплициальным путям
и их комбинаторным деформациям, которые будут сейчас определены.
Если мы будем обходить в определенном направлении, выходя из
какой-нибудь вершины, границу двумерного симплекса Е2 комплек-
комплекса Кп, то мы получим замкнутый симплициальный путь, например
Такой путь называется граничным путем треугольника Е2. Каждый
треугольник имеет шесть различных граничных путей, так как обход
можно начинать из любой из трех вершин и идти в одном из двух
противоположных направлений.
Введем теперь элементарные комбинаторные деформации (а)
и (/3), которые позволят нам получать из симплициальных путей дру-
другие симплициальные пути.
(а). Деформация (а) заключается в том, что мы вставляем или
опускаем ребро, пробегаемое последовательно сначала в одном, а затем
в противоположном направлении: симплициальный путь

206
Глава VII
заменяется путем
.. .ap ap ap
При этом начальная точка симплекса арр должна совпадать с конечной
точкой dp", а следовательно, также с начальной точкой aeq4. Обратно,
в выражении для симплициального пути w сочетание вида аррар р мо-
может быть опущено . Применяя деформацию (а) последовательно соот-
соответствующее число раз, мы можем вставить в симплициальный путь
w = W\W2 произвольный симплициальный путь и, пробегаемый сперва
в одном, а затем в противоположном направлении. Тогда из пути w
получится симплициальный путь
Vj' = WiUU~1U>2-
(/3). Эта деформация состоит в том, что мы вставляем или опус-
опускаем граничный путь двумерного симплекса, т. е. идем по заданному
пути w до некоторой вершины, затем проходим граничный путь, начи-
начинающийся и кончающийся в этой вершине, и, наконец, остаток пути w.
Введем еще третью элементарную
комбинаторную деформацию, сводя-
сводящуюся к первым двум.
G). В симплициальном пути w
симплекс а\г, принадлежащий
гра-
граничному пути a^a^cig3 двумерно-
двумерного симплекса, заменяется выражени-
выражением (af'ajj3I или, наоборот, — выра-
выражение а^ез а2е2 заменяется симплек-
симплексом а\х. Деформацию 7 можно осуще-
осуществить, очевидно, при помощи (/3) и (а)
(рис. 85; на нем ?\ = 1, е2 = —1,
ез = -1).
Два симплициальных пути w и w',
переводимые один в другой конечным
числом элементарных комбинаторных
деформаций, называются комбинатор-
комбинаторно деформируемыми (друг в друга)
или комбинаторно гомотопными. Та-
Такие пути имеют совпадающие началь-
начальРис. 85
ные и совпадающие конечные точки.
Если, однако, w — замкнутый путь, причем первый и последний симплексы
обратны друг другу, так что
то Oj' и а( ' нельзя сократить друг с другом, т. е. при комбинаторных деформациях
начало и конец симплициального пути не должны меняться.

§ 44. Группа симплициальных путей симплициального комплекса 207
Пусть теперь комплекс Кп есть связный комплекс. Замкнутые
симплициальные пути, выходящие из фиксированной вершины О, рас-
распадаются на классы комбинаторно гомотопных путей. Мы будем на-
называть их классами симплициальных путей. Класс симплициальных
путей пути w мы будем обозначать пока символом [w]. Если под произ-
произведением двух классов [wi] и [у^] понимать класс [w^w^], то классы сим-
симплициальных путей можно рассматривать как элементы группы F^ —
группы симплициальных путей заданного симплициального разбиения
полиэдра Кп. Очевидно, данное определение произведения двух клас-
классов не зависит от того, какие именно симплициальные пути w\ и и>2
выбираются в качестве представителей классов \ш\] и [w^]- Так же как
и в случае фундаментальной группы, можно показать, что все группо-
групповые аксиомы выполняются и что группа не меняется, если вместо О
мы возьмем в качестве начальной точки симплициальных путей дру-
другую вершину О'.
Группа симплициальных путей Ffe полиэдра Кп совпадает с его
фундаментальной группой F. Чтобы показать это, заметим снача-
сначала, что каждую комбинаторную деформацию можно осуществить
как непрерывную деформацию. В самом деле, граница треугольника
и путь, проходимый туда и обратно, непрерывно гомотопны нулю. По-
Поэтому, вместо того чтобы просто «опустить» их, мы можем свести их
в точку (стр. 197, при этом может не остаться вообще никакого пути).
Отсюда следует, что если выбрать в качестве начальной точки непре-
непрерывных путей группы F и симплициальных путей группы Ffc одну и ту
же вершину О симплициального разбиения полиэдра Кп, то каждый
класс симплициальных путей [w] будет целиком лежать в классе непре-
непрерывных путей {w}. Поэтому доказательство совпадения групп F^ и F
проводится аналогично доказательству инвариантности групп Бетти.
Именно, мы должны показать две вещи.
(I). Каждый замкнутый непрерывный путь, имеющий начальной
точкой вершину О, можно непрерывно деформировать в симплициаль-
ный путь. Другими словами, в каждом {ги}-классе лежит по крайней
мере один [ги]-класс.
(II). Если симплициальный путь с начальной точкой О непрерывно
гомотопен нулю в Кп, то он может быть сведен в О также посредством
комбинаторных деформаций27. Поэтому в каждом {ги}-классе лежит
самое большее один [ги]-класс. Соответствие между элементами групп F
и Ffe оказывается, таким образом, взаимно однозначным. А так как
для определения произведения двух элементов можно пользоваться,
в частности, симплициальными путями, то это соответствие является
изоморфным.
Предложения (I) и (II) будут доказаны с помощью теоремы о де-
деформации § 31.
(I). Пусть w есть произвольный выходящий из О замкнутый путь,
имеющий прообразом отрезок w. По теореме о деформации отображе-

208
Глава VII
Рис. 86
ние до отрезка w на w можно деформировать в симплициальное отоб-
отображение дг достаточно мелкого подразделения отрезка w. Начальная
и конечная точки отрезка w в любой момент деформации отображают-
отображаются в точку О, так как при деформации образ каждой точки отрезка w
не покидает симплекса комплекса Кп, которому этот образ принадле-
принадлежал в начале деформации. Поэтому получающийся при деформации
из w = go(w) путь gi(w) либо является точкой О, либо состоит толь-
только из ребер полиэдра Кп, между которыми могут быть вставлены еще
некоторые пути, изображаемые точками*. Как показано на стр. 197,
пути, изображаемые точками, могут быть опущены. Поэтому путь w
гомотопен некоторому симплициальному пути.
(II). Если w есть замкнутый симплициаль-
ный путь, сводящийся непрерывной деформаци-
деформацией в начальную_точку О, то прямоугольник де-
деформации РPoQoQ можно непрерывно отобра-
отобразить в Кп так, что сторона PQ = w перейдет
в w, а остальные стороны — в точку О (рис. 86).
Отметим на w точки, имеющие образами вер-
вершины симплексов пути w, и проведем через эти
точки вертикальные прямые. Далее, проведем
дополнительные вертикальные и горизонталь-
горизонтальные прямые, которые вместе с уже проведенны-
проведенными вертикальными прямыми покрывают прямоугольник деформации
настолько мелкой сеткой, что все прямоугольники сетки, примыкаю-
примыкающие к одной вершине ее, всегда отображаются внутрь некоторой сим-
плициальной звезды полиэдра Кп (по теореме о равномерной непре-
непрерывности стр. 44 разбиение прямоугольника РPoQoQ такой сеткой все-
всегда возможно). Проведя еще диагонали прямоугольников, мы превра-
2
тили сетку в симплициальный комплекс К . По теореме о деформации
отображение до комплекса К2 в Кп можно деформировать в симпли-
симплициальное отображение дг- Пусть w* означает подразделенную сторо-
сторону w прямоугольника деформации. Тогда образ ее до(п>*) представляет
подразделенный симплициальный путь w. Отображение до переводит
стороны РРо, PoQoi QoQ B нульмерный симплекс О. Но при деформа-
деформации отображения до в д\ образ каждой точки отображаемого отрезка
не покидает симплекса комплекса Кп, в котором этот образ находил-
находился в начале деформации^ поэтому при деформации образом каждого
отрезка разбиения пути РPoQoQ все время является точка О. По тем
же причинам, если образом точки деления отрезка w (т. е. образом вер-
вершины разбиения w*) при до является вершина комплекса Кп, то этот
образ не изменяется во все время деформации; если же образом такой
точки является внутренняя точка ребра а пути w, то эта точка пе-
То-есть вершины комплекса являются образами отрезков подразделения w.

§ 44. Группа симплициальных путей симплициального комплекса 209
реходит в вершину ребра а. Поэтому путь gi(w*), получающийся при
деформации из go(w*), состоит из тех же ребер, что и w (если не обра-
обращать внимания на пути, изображаемые точками, которые могут быть
опущены), причем, однако, некоторые ребра могут, вообще говоря, про-
пробегаться несколько раз туда и обратно. Таким образом от w к gi(w*)
во всяком случае можно перейти при помощи ряда последовательных
комбинаторных деформаций типа (а).
2
Переведем теперь путь w* на К посредством ряда комбинаторных
деформаций в путь РPoQoQ. Это можно сделать, например, следую-
следующим образом: заменим сначала каждый отрезок пути w* двумя други-
другими сторонами треугольника разбиения,_примыкающего к этому отрез-
отрезку. Мы получим тогда ведущий из Р в Q путь, представляющий лома-
ломаную линию, состоящую попеременно из вертикальных и диагональных
отрезков. Заменим, далее, каждый диагональный отрезок этой линии
двумя другими сторонами лежащего под этим отрезком треугольника
(примыкающего к отрезку) и опустим вертикальные отрезки, пробега-
пробегаемые туда и обратно. Мы получим тогда новый путь РP\Q\Q- Приме-
Применяя к P\Q\ такой же процесс и поступая таким же образом далее, мы
придем в конце концов к пути РPqQqQ. Однако всякая примененная
к w* комбинаторная деформация определяет в силу симплициального
отображения д\ комбинаторную деформацию пути gi(w*) [эта дефор-
деформация может, правда, оказаться тождественной, т. е. не менять пути
gi(w*)]. Именно, операции (/3), примененной к треугольнику Е2 ком-
2
плекса К , соответствует в Кп операция (/3) или (а), или тождествен-
тождественная деформация, смотря по тому, отображается ли Е2 в треугольник,
в отрезок или в вершину комплекса Кп, операции же (а), примененной
2
к отрезку Е1 комплекса К , соответствует в Кп операция (а) или тож-
тождественное преобразование, смотря по тому, переходит ли Е1 в отрезок
комплекса Кп или в его вершину.
Таким образом посредством комбинаторных деформаций w можно
перевести в gi(w*), а затем в образ пути Р PoQoQ- Этот образ является,
однако, точкой О. Поэтому w комбинаторно гомотопен нулю.
Этим доказано, что инвариантно определенная фундаментальная
группа F совпадает с комбинаторно определенной группой симплици-
симплициальных путей Ffc. В дальнейшем мы будем поэтому обе группы обозна-
обозначать одинаковыми буквами.
Из доказанной тождественности обеих групп вытекает еще, что
фундаментальная группа комплекса Кп не изменится, если мы выки-
выкинем из Кп внутренние точки всех симплексов размерности, большей,
чем 2. В самом деле, группа симплициальных путей зависит только от
подкомплекса, состоящего из нульмерных, одномерных и двумерных
симплексов Кп, т.е. от двумерного «остова» симплициального разбие-
разбиения Кп.

210 Глава VII
§ 45. Группа симплициальных путей поверхностного
комплекса
Результаты § 44 позволяют свести вопрос о выражении фундамен-
фундаментальной группы данного полиэдра Кп посредством образующих и со-
соотношений к более простому вопросу об отыскании группы симплици-
симплициальных путей двумерного симплициального комплекса. Это же, как мы
увидим в § 46, принципиально возможно. Однако соотношения, получа-
получающиеся при рассмотрении симплициального комплекса, вообще гово-
говоря, весьма многочисленны и не дают возможности делать какие-либо
заключения о структуре фундаментальной группы. Для того чтобы
иметь возможность пользоваться этими соотношениями, приходится
упрощать их, исключая часть образующих. Существенно более простые
соотношения получаются, если мы будем исходить не из симплициаль-
симплициального, а из поверхностного комплекса, построенного из многоугольни-
многоугольников. Поэтому мы переходим сейчас к определению поверхностного ком-
комплекса. В то время как до сих пор все наши рассуждения относились
к произвольным комплексам, в дальнейшем мы для простоты ограни-
ограничимся рассмотрением только конечных комплексов.
Линейчатый комплекс составляется из конечного числа отрезков
посредством отождествления некоторых из концов этих отрезков. При
этом может случиться, что отождествляются оба конца одного отрез-
отрезка. Образ отрезка в линейчатом комплексе мы называем ребром. При-
Примером линейчатого комплекса может служить, например, линейчатый
комплекс замкнутой поверхности, заданной в канонической форме, или
линейчатый комплекс куба.
При помощи подразделения ребер линейчатый комплекс нетрудно
превратить в одномерный симплициальный комплекс. Поэтому линей-
линейчатый комплекс является полиэдром в смысле § 10.
Для того чтобы ориентировать ребро, нужно ориентировать его
прообраз. Произвольно ориентированные ребра можно рассматривать
как пути линейчатого комплекса. Мы будем обозначать их буквами av,
а ребра, ориентированные противоположно, — символами а.
При помощи путей av и а мы будем составлять «линейчатые
пути», т. е. пути вида
afa^-.-al* (е„ = ±1).
Конечная точка каждого ребра такого пути должна совпадать с на-
начальной точкой непосредственно следующего ребра.
Поверхностный комплекс получается «натягиванием» на некото-
некоторые замкнутые линейчатые пути элементов поверхности. Пусть
есть замкнутый путь, состоящий по крайней мере из одного ребра.
Возьмем круг единичного радиуса и поставим в соответствие точкам

§45. Группа симплициальных путей поверхностного комплекса 211
его граничной окружности значения какого-нибудь параметра, напри-
например, длину дуги s: 0 ^ s ^ 2тг. Точно так же отнесем значения парамет-
параметра s, меняющегося в таком же интервале, точкам замкнутого пути w
и отождествим затем каждую точку граничной окружности с принад-
принадлежащей тому же значению s точкой линейчатого пути. О возника-
возникающем при этом окрестностном пространстве мы будем говорить, что
оно получилось из линейчатого комплекса натягиванием на путь w
элемента поверхности, — именно, натягиванием образа круга; w, ги~г
и путь, получающиеся из w и w~1 циклической перестановкой ребер,
являются граничными путями, элемента поверхности. Заметим, что w
может иметь, скажем, двойные точки; например, w может быть ра-
равен аа~г. Повторяя натягивание элементов поверхности конечное число
раз, мы превратим линейчатый комплекс в поверхностный комплекс.
Сам линейчатый комплекс мы также будем считать поверхностным
комплексом (не имеющим натянутых элементов поверхности).
Так же как в случае симплициального комплекса, мы можем
определить группу линейчатых путей поверхностного комплекса К.
С этой целью мы выберем фиксированную вершину О в качестве на-
начальной точки линейчатых путей, и выходящие из О замкнутые линей-
линейчатые пути разобьем на классы, — именно, мы будем считать, что два
таких пути принадлежат одному классу в том случае, если их можно
комбинаторно деформировать один в другой. При этом комбинаторная
деформация определяется, как и в случае симплициального комплек-
комплекса (§ 44), — меняется только соответственно переходу от треугольников
к многоугольникам операция (/3).
(а). Операция (а) заключается в том, что мы вставляем или опус-
опускаем ребро, пробегаемое туда и обратно.
(/3). Операция (/3) заключается в том, что мы вставляем или опус-
опускаем граничный путь элемента поверхности. В частности, если в ка-
какой-нибудь путь входит ребро а, являющееся границей элемента по-
поверхности, то это ребро может быть опущено (рис. 87).
Классы линейчатых путей можно рассматривать как элементы
группы линейчатых путей F^ поверхностного комплекса К, причем
групповая операция этой группы определяется так же, как раньше.
Покажем теперь, что группа линейчатых путей F^ совпадает
с фундаментальной группой F комплекса К. Для частного случая, ко-
когда К разбит на симплексы, это совпадение уже доказано в § 44, так
как тогда поверхностный комплекс К представляет симплициальный
комплекс К2 или К1. Мы покажем, что при последовательных под-
подразделениях, превращающих К в симплициальный комплекс, группа
линейчатых путей не меняется. Этим наше общее утверждение будет
сведено к уже доказанному случаю.
Мы различаем два типа подразделений:
(U1). Подразделение ребра: внутренняя точка ребра поверхностно-

212 Глава VII
го комплекса определяется как новая вершина. Тогда ребро распадает-
распадается на два ребра подразделения.
(U2). Подразделение элемента поверхности: прообраз элемента по-
поверхности, являющийся обычным кругом, разбивается хордой на два
сегмента, причем так, что концы хорды при отображении граничного
круга переходят в вершины линейчатого комплекса. Тогда хорда пере-
переходит при отображении в новое ребро, а оба сегмента переходят в два
новых элемента поверхности.
При подразделении из поверхностного комплекса получается, оче-
очевидно, опять поверхностный комплекс. Последовательно подразделяя
поверхностный комплекс К, мы можем превратить его в симплици-
альный комплекс. Это можно сделать, например, следующим образом:
мы разбиваем сначала каждый элемент поверхности на треугольники,
а затем производим двукратное барицентрическое подразделение.
Пусть К* означает поверхностный комплекс, получающийся из К
однократным применением подразделения (U1) или (U2). Тогда утвер-
утверждение, что К и К* имеют одинаковые группы линейчатых путей,
эквивалентно следующим двум утверждениям:
1. Выходящий из О замкнутый линейчатый путь w* комплекса К
можно комбинаторно деформировать в К* в линейчатый путь поверх-
поверхностного комплекса К.
2. Выходящий из О замкнутый путь w комплекса К, комбинаторно
гомотопный нулю в К*, комбинаторно гомотопен нулю также в К.
Р
Р Т Q
Рис. 87 Рис. 88
Доказательство пункта 1. Пусть К* получается из К подраз-
подразделением ребра а, которое в точке Т разбивается на два ребра бис,
причем если рассматривать эти ребра как пути, то они связаны соот-
соотношением Ьс = а (рис. 88). Конечная точка Q ребра а не должна непре-
непременно быть отличной от начальной точки ребра а. Если в линейчатый
путь w* поверхностного комплекса К* входит одно из сочетаний ви-
вида bb~1, сс~г, Ь~гЬ, с~1с, то в силу комбинаторной деформации (а) такое
сочетание можно опустить. Опуская все такие сочетания, мы получим
либо путь, не содержащий вовсе b и с , либо путь, содержащий их

§45. Группа симплициальных путей поверхностного комплекса 213
в виде сочетаний Ьс (= а) или с~1Ь~1 (= а). Таким образом w* можно
комбинаторными деформациями перевести в путь комплекса К. Пусть,
далее, К* получается из К подразделением элемента поверхности П;
П распадается на два элемента поверхности Р и S, разделенных новым
ребром d (рис. 89). Пусть граничные пути элементов Р и S суть du~1
и dv~1. Если в линейчатый путь w* комплекса К* входит ребро d ,
то посредством комбинаторных деформаций (/3) и (а) мы можем за-
заменить его путем v . Таким образом и в этом случае путь w* можно
комбинаторно деформировать в путь w.
Доказательство пункта 2. Пусть линейчатый путь w поверхност-
поверхностного комплекса К комбинаторно гомотопен нулю в К*. Тогда в К*
существует такая последовательность путей
w, wl, wl, ..., w* =0,
что от каждого из этих путей можно перейти к следующему посред-
посредством одной комбинаторной деформации внутри К*. Эти пути ком-
комплекса К* (кроме самого пути w) не являются, вообще говоря, путями
комплекса К. Покажем, что каждому пути w* можно поставить в со-
соответствие путь Wi, комплекса К таким образом, что в последователь-
последовательности путей
W = W0, Wi, W2, ¦¦¦, Wr
каждый путь получается из предыдущего посредством одной или
нескольких комбинаторных деформаций внутри К и что wr = 0. Этим
будет доказано, что путь w комбинаторно гомотопен нулю внутри К.
Пусть К* получается из К подразделением ребра а. Тогда соот-
соответствие между w* и Wi устанавливается следующим образом: каждому
ребру К*, отличному от Ь и с, относится то же самое ребро комплек-
комплекса К. Напротив, ребру Ь±г относится а±г, ребру же с±г не ставится
в соответствие ничего. Очевидно, что путь W\, соответствующий та-
таким образом пути w*, представляет замкнутый линейчатый путь в К,
выходящий из О. Если теперь переход от w* к w*+1 осуществляется
комбинаторной деформацией (а), примененной к ребру, отличному от Ь
и с, или деформацией (/3), то переход от Wi к w^+i осуществляется
такой же деформацией. Если же w*+1 получается из w* посредством
деформации (а), примененной к Ь или с, то Wi+i получается из Wi по-
посредством деформации (а), примененной к w^+i (или Wi = Wi+i). Если
же К* получается из К при подразделении элемента поверхности, то
мы устанавливаем следующее соответствие между w* и wf. ребру ком-
комплекса К*, отличному от разбивающего ребра d, мы относим то же
самое ребро комплекса К. Ребро же d мы заменяем путем v. Если те-
теперь мы вставляем или опускаем в К* путь dd~x, то в сооответствии
с этим в К мы должны вставить или опустить путь vv~1, что осуще-
осуществляется с помощью деформации (а). Деформациям же (/3), приме-
примененным к многоугольникам Р и S, соответствуют в К комбинаторные

214 Глава VII
деформации, сводящиеся к деформациям (/3) и (а). Таким образом до-
доказана инвариантность группы линейчатых путей F^ при подразделе-
подразделениях, а следовательно, и совпадение этой группы с фундаментальной
группой F.
§ 46. Образующие и соотношения
Обозначим снова ориентированные ребра поверхностного комплек-
комплекса К через а\, аг, •••, aai, a начальную точку замкнутых путей —
буквой О. Для того чтобы найти систему образующих проведем из О
в каждую вершину комплекса К фиксированный линейчатый путь,
который мы будем называть вспомогательным путем,. За вспомога-
вспомогательный путь, принадлежащий вершине О, примем самое эту точку.
Тогда каждому ориентированному ребру а$ можно однозначно поста-
поставить в соответствие замкнутый путь Ai, выходящий из О, — именно,
путь, идущий сначала по вспомогательному пути в начальную точку
ребра пг, затем по а$ в конечную точку и, наконец, по пути, обратному
вспомогательному пути конечной точки, возвращающийся в точку О.
А^ представляет некоторый линейчатый путь
Ai = <p{av), (A)
принадлежащий как таковой к определенному классу линейчатых пу-
путей. Этот класс мы также будем обозначать, опуская квадратные скоб-
скобки, через Ai. Классы А\, А — 2, ..., Аа\ могут быть и не все различ-
различными.
Нетрудно показать, что эти классы могут быть приняты за обра-
образующие группы линейчатых путей. Именно, каждый выходящий из О
замкнутый путь w можно комбинаторно деформировать в произведе-
произведение линейчатых путей Ai. Пусть, например,
w = F(ai) = af a^" ... а%*
есть такой путь. Тогда, применяя только операции (а), мы можем де-
деформировать его в путь
так как w можно превратить в W, вставляя между каждыми двумя
последовательными ребрами пути то пробегаемый туда и обратно вспо-
вспомогательный путь.
Перейдем теперь к соотношениям*. Соотношение
R{Ai) = 1
означает, что класс линейчатых путей R{Ai) есть единичный класс, т. е.
что путь R(Ai) можно комбинаторно деформировать в вершину О.

§ 46. Образующие и соотношения
215
Мы покажем, что всегда существует ко-
конечное число соотношений, из которых все
остальные соотношения вытекают как след-
следствия. Такие соотношения распадаются на
два типа.
(I). Заменим в уравнении [А) каждое
ребро av соответствующим замкнутым ли-
линейчатым путем Av. Тогда мы получим со-
соотношение
Ai = <fii{Av). (I)
Чтобы убедиться в правильности этого
соотношения, достаточно заметить, что его
левая сторона получится из правой, если мы
опустим пробегаемые туда и обратно вспомогательные пути. Соотноше-
Соотношений типа (I) существует столько же, сколько существует ребер в раз-
разбиении нашего (конечного) комплекса.
Рассмотрим в качестве примера рис. 90. На нем изображены ребра, кото-
которые можно считать ребрами некоторого комплекса. Пусть вспомогательным
путем точки Рг выбран путь /гг = сца^1, вспомогательным путем точки Рз —
путь /гз = аца^а^1. Вспомогательные пути, идущие в Pi, P4, Ръ, указаны на
рисунке. Вспомогательный путь точки О, состоящий только из этой точки,
обозначим через ho. Тогда, например, путь
A3 =
' Я4Я5 a6
а путь
причем нужно иметь в виду еще, что пути hv составлены из отдельных ре-
ребер. Оба пути можно, очевидно, деформировать комбинаторно один в дру-
другой, пользуясь лишь операциями (а). Поэтому классы путей Аз. и ipz{Av)
действительно совпадают.
(II). Если aV а^1... а%* есть граничный путь элемента поверхнос-
поверхности П, то путь А1' Ае^ ... Aez* можно комбинаторно деформировать в О,
вследствие чего имеет место соотношение
4е' 4
... Ае' = 1.
(П)
В самом деле, путь А^1 Ае^ ... A\z может быть сначала деформирован
в путь, идущий из О по вспомогательному пути h начальной точки ре-
ребра а^1, обходящий затем П и возвращающийся по Ьг1 в точку О; для
этого достаточно опустить пробегаемые туда и обратно вспомогатель-
вспомогательные пути h, ведущие в остальные вершины, т. е. применить конечное
число раз операцию (а). Применяя затем к элементу поверхности П

216
Глава VII
О
О
Рис. 91
операцию (/3), мы получим путь hh~x, который может быть комбина-
комбинаторно деформирован в О посредством операции (а).
Рис. 91 дает иллюстрацию описанного процесса деформации.
П представляет треугольник, е; = ez = 1, em = 1. В соответствии
с этим путь A\A^AZ деформируется в точку О.
Число соотношений типа (II) равно числу многоугольников ком-
комплекса К.
Соотношения (I) и (II) образуют систему определяющих соотно-
соотношений, т. е. левая сторона любого соотношения Я{Аг) = 1 при по-
помощи соотношений (I) и (II) и тривиальных соотношений AiAj1 =
= A~xAi = 1 может быть приведена к 1.
Доказательство. Соотношение R(Ai) = 1 означает, что линей-
линейчатый путь Д[</9$(а„)], который мы обозначим через wo(au), комбина-
комбинаторно гомотопен нулю, т. е. существует такая последовательность путей
wo(av), wi(av), ..., wm{av),
что путь Wj{av) (j = 1, 2, ..., m) получается из Wj-\{av) применением
одной операции (а) или (/3), а путь wm{av) вообще не содержит множи-
множителей (представляет точку О). Преобразовывая левую сторону Я{Аг)
нашего соотношения при помощи соотношения (I), мы получим выра-
выражение Д[</^(^4гу)] = wq(Av). Составим теперь из Av последовательность
произведений
wo(Ao), wi(Au), ..., wm(Av) = 1.
Если Wj{av) получается из Wj-\{av) применением операции (а),
то Wj(Al/) получается из Wj-\(Al/) применением тривиальных соот-
соотношений AVA~X = 1 или А~хAv = 1. Если же wi{av) получается
из Wj-i(av) применением операции (/3) к многоугольнику П комплек-
комплекса -ЕС, то Wj(Av) получается из Wj-i(Av) применением соотношения (II),
относящегося к П. Таким образом, пользуясь соотношениями (I), (II)
и тривиальными соотношениями, мы можем перевести R(Ai) последо-
последовательно в wq(Au), w\(Av), ..., wm(Av), т.е. в 1.

§ 47. Линейчатые комплексы и замкнутые поверхности 217
В качестве примера рассмотрим одномерный
симплициальный комплекс, состоящий из сторон тре-
треугольника (рис. 92), т.е. симплициальное разбиение
одномерной сферы (окружности). Начальная точ-
ка О есть вершина трехсторонника. Вспомогательные
пути вершин Pi и Рг суть соответственно hi = oi,
hi = aj ; ho состоит из точки О. „/ , \„
Линейчатые пути: ai '
Ai = hoaihi1 = aiaj = <pi{av), Рис. 92
Аг = hiu2h2 = СЯО2Я3 = 4>i(uv),
A$ = h2(i3h0 = a3 аз = ipz(o,v).
Соотношения:
Ai = A1A2A3, \ (I) Соотношений (II) не существует.
A3 = Аз2 Аз = 1.
Таким образом, остается только одна образующая Аъ, все нее соотношения
становятся тривиальными. Фундаментальная группа окружности есть по-
поэтому свободная циклическая группа. Классы путей представляются, оче-
очевидно, замкнутыми путями, пробегающими окружность 0, 1, 2,... раз в том
или другом направлении.
Точно так же фундаментальная группа плоского кольца, трехмерно-
трехмерного кольца, вообще топологического произведения окружности на п-мерный
элемент есть свободная циклическая группа. Действительно, она представ-
представляет прямое произведение фундаментальной группы окрунсности и фунда-
фундаментальной группы п-мерного элемента (§ 43,1); последняя нее состоит толь-
только из единичного элемента (§ 43, 2).
Если натянуть на трехсторонник (рис. 92) элемент поверхности, то до-
добавляется соотношение типа (II):
АХА2АЪ = 1, (II)
откуда следует, что Ai = \. Это находится в соответствии с тем, что фунда-
фундаментальная группа n-мерного элемента состоит только из 1.
Упражнение. Пусть г представляет лежащий в R3 тор вращения. До-
Докажите, что не существует топологического отображения пространства R на
себя, переводящего тор г в себя и меняющего ролями его меридиан и парал-
параллель. [Рассмотрите параллель и меридиан как элементы фундаментальной
группы ограниченного тором г трехмерного кольца.]
§ 47. Линейчатые комплексы и замкнутые
поверхности
В качестве дальнейшего приложения методов, изложенных в § 46,
найдем фундаментальные группы линейчатых комплексов и замкну-
замкнутых поверхностей.

218 Глава VII
Пусть ai, a,2, ¦¦¦, aai — ребра линейчатого комплекса К1. Рас-
Рассмотрим сначала простейший случай, когда К1 имеет только одну вер-
вершину О. Все cij представляют тогда замкнутые пути; вспомогательные
пути отсутствуют, а замкнутые пути А$, являющиеся представителями
образующих элементов фундаментальной группы, совпадают с а$. Со-
Соотношения типа (I) имеют вид А$ = Ai, т.е. тривиальны; соотношений
же типа (II) не существует совсем. Таким образом фундаментальная
группа оказывается свободной группой с
а1 = -N + 1 = -а0 + а1 + 1
образующими. Здесь а0 = 1 и а1 означают соответственно числа вер-
вершин и ребер линейчатого комплекса, a N = а0 — а1 — эйлерову ха-
характеристику. Полученный результат можно вывести также непосред-
непосредственно. В самом деле, каждый линейчатый путь есть произведение
замкнутых путей а$ = А^. Отсюда следует, что классы Ai суть образу-
образующие фундаментальной группы. Произведение же \\ Щ? является еди-
ничным элементом фундаментальной группы лишь в том случае, если
путь YI А^г можно деформировать в О при помощи операции (а), т. е.
i
с точки зрения теории групп в том случае, если произведение П^Г
г
приводится к 1 при помощи тривиальных соотношений AiAj1 = 1
и A~xAi = 1.
Отыскание фундаментальной группы линейчатого комплекса К1,
имеющего более чем одну вершину, может быть сведено к разобран-
разобранному только что простейшему случаю. В таком комплексе непременно
существует ребро, например ai, начальная точка Р и конечная точ-
точка Q которого различны. Пусть h — вспомогательный путь точки Р.
Мы выбираем тогда за вспомогательный путь точки Q путь /мц. При-
Принадлежащий ребру ai замкнутый путь Ai есть тогда путь /iai(/iai)~1,
т.е. ребро ai дает соотношение Ai=l. Пусть теперь
Ai = ipi{av) (i = 2,3)...,a1; v = 1, 2, ..., a1).
Соответствующее соотношение имеет вид
Так как Ai = 1, мы получаем тогда систему определяющих соотноше-
соотношений
Ai = <pi(A^) (г,м = 2J)...,а1). (I)
При этом <Рг(оц) означает произведение путей, получающееся из ifi(av),
если мы опустим все множители сц. Но соотношения (I) представляют
как раз соотношения комплекса К\, получающегося из -ЕС1, если мы

§ 47. Линейчатые комплексы и замкнутые поверхности 219
опустим ребро а\ и отождествим вершины Р и Q, т. е. если мы как бы
сведем ребро а\ в точку. В самом деле, система вспомогательных путей
комплекса К1 переходит при вычеркивании ребра а1 в систему вспомо-
вспомогательных путей комплекса К\, а замкнутые пути А\, принадлежащие
ребрам комплекса К^, являются как раз путями А\ = </?j(aM). Поэтому
соотношения фундаментальной группы комплекса К± суть
т.е. соотношения (I). К1 и К\ имеют, таким образом, одинаковые
фундаментальные группы.
Если К\ имеет больше чем одну вершину, то мы применяем опи-
описанный процесс еще раз и так далее до тех пор, пока мы не придем
к комплексу К^, имеющему только одну вершину. Для всех комплек-
комплексов К1, Kl, ..., К^ характеристика N = а0 — а1, очевидно, одинакова.
Фундаментальная группа комплекса Kg есть, однако, как мы видели,
свободная группа с A — N) образующей. Таким образом мы получа-
получаем следующий результат: фундаментальная группа линейчатого ком-
комплекса К1 есть свободная группа с A — N) образующей, где
N = a° -a1
есть эйлерова характеристика линейчатого комплекса.
Канонические многоугольники замкнутых поверхностей (§ 38) с
отождествленными эквивалентными сторонами принадлежат к типу
поверхностных комплексов. Так, например, канонический многоуголь-
многоугольник тора состоит из вершины О, двух ребер а и Ь (меридиан и парал-
параллель тора) и элемента поверхности, натянутого на линейчатый путь
aba~1b~1. Образующие фундаментальной группы соответствуют реб-
ребрам а и Ь; мы обозначим их буквами A vs. В. Так как имеется только
одна вершина, то вспомогательные пути отсутствуют, т. е. соотношения
типа (I) представляют тождества. Из соотношений же типа (II) суще-
существует одно соотношение, соответствующее единственному имеющему-
имеющемуся элементу поверхности; оно выражает, что граничный путь элемента
поверхности гомотопен нулю на поверхностном комплексе и имеет вид
АВА-ХВ~Х = 1.
Это соотношение означает, что образующие А ж В перестановочны.
Таким образом, фундаментальная группа тора есть свободная абелева
группа с двумя образующими.
Пользуясь совершенно такими же соображениями при рассмотре-
рассмотрении остальных поверхностей, мы получим следующий результат.
Теорема. Фундаментальная группа ориентируемой замкнутой
поверхности рода h (сфера с h ручками, h = 0, 1, 2,...) может быть

220 Глава VII
представлена как группа, порождаемая 2 — N = 2h образующими, свя-
связанными соотношением
Фундаментальная группа неориентируемой поверхности рода к (сфе-
(сфера с к пленками Мебиуса, к = 1, 2,...) имеет 2 — N = к образующих,
связанных соотношением
Кроме фундаментальной группы сферы (h = 0), состоящей только из
единичного элемента, и фундаментальной группы проективной плос-
плоскости (к = 1), представляющей группу второго порядка, все фунда-
фундаментальные группы замкнутых поверхностей суть бесконечные груп-
группы, так как числа Бетти этих групп (стр. 393) равны 2 — N = 2h > 0
в ориентируемом случае и 1 — N = к — 1>0в неориентируемом.
Упражнения. 1. Найдите фундаментальные группы ограниченных по-
поверхностей.
2. Пользуясь предложением, сформулированным в упражнении 1 § 38,
покажите, что группа с соотношением
изоморфна группе с соотношением
С1С2 • • • CihC\ С2 ¦ ¦ ¦ Cih = !•
§ 48. Фундаментальная группа и одномерная группа
Бетти
Прообраз w пути w полиэдра Кп представляет одномерный прямо-
прямолинейный симплекс, непрерывно отображенный на w. Поэтому w явля-
является вместе с тем ориентированным особым симплексом, а следователь-
следовательно, и особым одномерным алгебраическим комплексом. Если вместо w
взять какой-нибудь другой прообраз пути w, например w', то мы полу-
получим таким же образом особый симплекс w'. Особые симплексы w и w',
вообще говоря, различны, в то время как w и w', рассматриваемые как
пути, одинаковы. Это происходит потому, что при определении равен-
равенства путей мы допускали топологические отображения их прообразов,
в то время как при определении равенства особых симплексов мы тре-
требовали, напротив, чтобы их прообразы отображались друг на друга
линейно. Можно, однако, показать, что такого рода различные осо-
особые симплексы (представляющие одинаковые пути) являются гомоло-
гомологичными друг другу особыми алгебраическими комплексами. В самом

§48. Фундаментальная группа и одномерная группа Бетти 221
деле, по определению существует топологическое отображение прооб-
прообраза w на го', при котором попарно соответствующие друг другу точки
имеют одинаковые образы в Кп. Это отображение переводит w в ориен-
ориентированный особый симплекс w\ на w', имеющий ту же границу, что го'.
Но тогда го' —Wi ~ 0 как всякий одномерный цикл на отрезке. Эта го-
гомология сохраняется при отображении отрезка го' на w (стр. 129), а так
как при этом гп\ переходит в w и го' в w', to w ~ w'. Таким образом
каждому пути w соответствует обозначаемый той же буквой особый
одномерный алгебраический комплекс. Сам этот комплекс зависит от
выбора прообраза w пути w, но его класс гомологии определяется од-
однозначно. Поэтому можно говорить о гомологичных друг другу путях.
Если путь замкнут, то соответствующий особый комплекс представляет
цикл.
Теорема I. Произведению w = W\W2 двух путей соответствует
сумма принадлежащих этим путям особых алгебраических комплек-
комплексов, т.е. w ~ w\ + W2¦
Доказательство. Прообразом пути W1W2 является отрезок го,
составленный из двух отрезков гО\ vs.W2- На этом отрезке гО\ + w~2 ~ гО.
Но тогда соответствующие образы гомологичны в Кп.
Теорема II. Если два пути wq и w\ гомотопны, то они также
гомологичны между собой (обратного может и не быть).
Доказательство. Пусть щ, го±, u,v —
стороны прямоугольника деформации, принад-
принадлежащего деформации пути wo в w\ (рис. 93).
Этот прямоугольник дает гомологию
гО\ —гпо+п — v^O.
Тогда для образов рассматриваемых сторон
имеет место гомология рис gg
W\ — Wo + U — V ~ 0.
Так как стороны п и v отображаются в точки, то и к v представляют
вырождающиеся особые симплексы (стр. 124). Поэтому в написанном
соотношении «zti можно опустить и остается гомология w\ — wq ~ 0.
Что гомологичный путь может не быть гомотопен нулю, показыва-
показывает пример «горлового сечения» I двойного тора (стр. 224): это сечение
гомологично, но не гомотопно нулю.
Таким образом каждому классу путей связного полиэдра Кп ста-
ставится в однозначное соответствие некоторый класс гомологии. Так как
при этом произведению двух классов путей соответствует сумма от-
отнесенных им классов гомологии, то мы получаем гомоморфное отоб-
отображение х фундаментальной группы F в группу Бетти В1. Для того

222 Глава VII
чтобы ближе исследовать это гомоморфное отображение, достаточно
рассмотреть симплициальные пути и соответственно симплициальные
алгебраические комплексы некоторого симплициалъного разбиения по-
полиэдра Кп. Выберем в качестве начальной точки замкнутых путей вер-
вершину О симплициального разбиения. Так как каждый замкнутый сим-
плициальный одномерный цикл может быть превращен прибавлени-
прибавлением симплициального пути, пробегаемого туда и обратно, в замкнутый
симплициальный путь, проходящий через точку О, то каждый класс
гомологии представляет образ по крайней мере одного класса путей,
т.е. % есть гомоморфизм группы F на В1. Поэтому % полностью ха-
характеризуется нормальным делителем Н группы F, соответствующим
нулевому элементу группы В1. Мы утверждаем, что Н есть коммутант
фундаментальной группы.
Доказательство. Каждый коммутатор F1F2F^1F^1 группы F,
наверное, переходит в нулевой элемент В1, так как В1 есть абелева
группа. Мы должны показать еще только, что, и обратно, каждый эле-
элемент из Н, т. е. класс путей, содержащий произвольный гомологичный
нулю путь w, принадлежит к коммутанту. Пусть
представляет двумерный алгебраический комплекс с границей w. Отне-
Отнесем каждому треугольнику Ef симплициальный путь rj, идущий из О
по некоторому пути щ до вершины треугольника Ef, обходящий затем
вокруг этого треугольника и возвращающийся по и~ в О. При этом
обход треугольника Ef должен производиться таким образом, чтобы г^
рассматриваемый как аглебраический комплекс, представлял как раз
границу ориентированного симплекса Ef. Каждый путь гг гомотопен
нулю. Поэтому симплициальный путь w можно деформировать в
w = w(r11r22 ¦¦¦гаа) ¦
Так как, далее, путь
1 ' ' а '
так же как w, есть граница комплекса U2, то оба эти пути представляют
одинаковые алгебраические комплексы. Поэтому w' есть нулевой ком-
комплекс, пробегающий каждый одномерный симплекс одинаковое число
раз в обоих направлениях. При помощи комбинаторных деформаций
путь
w = f(a,j)
можно перевести, однако, в симплициальный путь

§48. Фундаментальная группа и одномерная группа Бетти 223
где Aj означает принадлежащий симплексу aj замкнутый симплици-
альный путь (§ 46). Тогда каждый из путей Aj входит в W одинаковое
число раз с показателем +1 и с показателем —1, так что при комму-
коммутировании фундаментальной группы W переходит в нулевой элемент.
Это значит, что класс путей, содержащий W', а следовательно и класс
путей, содержащий w' и w, принадлежат к коммутанту группы F. Вме-
Вместе с тем доказана следующая теорема.
Теорема III. Одномерная группа Бетти В1 связного полиэд-
полиэдра Кп есть коммутированная фундаментальная группа (дополни-
(дополнительная группа фундаментальной группы F по ее коммутанту).
Теорему эту можно легко проверить на замкнутых поверхностях,
сравнивая результаты § 41 и § 47.
Мы характеризовали гомотопный нулю путь как путь, на который
можно натянуть особый элемент поверхности. Мы можем теперь дать
аналогичную характеристику для замкнутого пути, гомологичного ну-
нулю.
Теорема IV. Замкнутый путь w гомологичен нулю в том
и только в том случае, если на него можно натянуть ориентиру-
ориентируемую ограниченную поверхность (с границей w); расположение этой
поверхности в полиэдре может иметь особенности.
Доказательство. По только что доказанной теореме путь w,
рассматриваемый как элемент фундаментальной группы, принадлежит
к коммутанту, т. е. то можно деформировать в произведение коммута-
коммутаторов
Поэтому замкнутый путь
гомотопен нулю, и на него можно натянуть элемент поверхности, про-
прообраз которого есть (Ah + 1)-угольник с границей
При отображении этот многоугольник переходит в ограниченную по-
поверхность рода h, расположенную, быть может, с особенностями в поли-
полиэдре Кп и имеющую границу w (для случая h = 1 см. рис. 6-8 стр. 16).
Если, обратно, на путь w можно натянуть такую поверхность, — други-
другими словами, если ограниченную поверхность можно непрерывно отоб-
отобразить в Кп так, что граница единственного отверстия этой поверхно-
поверхности перейдет bw,iow гомологичен нулю. В самом деле, так как натя-
натянутая поверхность ориентируема, то на этой поверхности существует

224 Глава VII
Рис. 94
особый двумерный алгебраический комплекс; границей которого явля-
является в точности путь w (рассматриваемый как одномерный алгебраи-
алгебраический комплекс).
Пример пути, на который можно натянуть поверхность рода 1, но нельзя
натянуть никакого элемента поверхности, дает «горловое сечение» I двойно-
двойного тора, отделяющее две половины этого тора друг от друга (рис. 94). Дей-
Действительно, как легко убедиться, рассекая двойной тор вдоль I, это сечение
представляет границу тора с отверстием. Поэтому элемент фундаментальной
группы, содержащий путь I, — именно, L = (АВА~1В~1)~ , есть коммута-
коммутатор. С другой стороны, мы покажем сейчас, что L не является единичным
элементом и, следовательно, на I нельзя натянуть никакого элемента поверх-
поверхности. Для этого поступим следующим образом: фундаментальная группа F
имеет одно определяющее соотношение
ABA~1B~1CDC~1D~1 = 1. A)
Добавим еще два соотношения:
A = D, B = C. B)
Мы получим тогда дополнительную группу F группы F (§ 83). Из соотноше-
соотношения A) вытекает, что F есть свободная группа с двумя образующими А ж В.
Поэтому с в F не может иметь места соотношение АВА~1В~1 = 1. Тем менее
такое оотношение может быть справедливым в F.
Таким образом, горловое сечение двойного тора гомологично, но не го-
гомотопно нулю.
§ 49. Свободные деформации замкнутых путей
До сих пор мы рассматривали только такие деформации замкну-
замкнутых путей, которые оставляли неподвижными начальные точки этих
путей. Сейчас мы займемся деформациями, при которых начальные

§49. Свободные деформации замкнутых путей 225
точки путей также могут перемещаться. Такие деформации называют-
называются свободными в противоположность рассмотренным до сих пор свя-
связанным деформациям. Под «деформацией» просто без добавления при-
прилагательных «свободная» или «связанная» мы будем понимать всегда
связанную деформацию.
Точное определение свободной деформации таково:
Два замкнутых пути wo и w\ полиэдра Кп называются свободно
деформируемыми друг в друга или свободно гомотопными, если пря-
прямоугольник деформации W x t можно непрерывно отобразить в Кп
так, что сторона W х 0 = Wo переходит в путь wo, а сторона W х 1 = W\
переходит в путь w\, в то время как каждые две соответствующие точ-
точки Р х t и Q х t двух других сторон отображаются обе в одну точку
полиэдра Кп. _ _
Две ориентированные стороны Р х t и Q x t переходят, следователь-
следовательно, в один и тот же путь v, соединяющий начальную точку Ро пути wo
с начальной точкой Р\ пути w\. При передвижении стороны Wo x О
параллельно самой себе по прямоугольнику до совпадения с противо-
противоположной стороной прямоугольника, образ этой стороны — путь wo ис-
испытывает как раз свободную деформацию, а начальная точка Ро пути
wo пробегает путь v.
Связь между свободными и связанными деформациями устанав-
устанавливается следующей леммой.
Лемма. Если при свободной деформации замкнутого пути wo
в путь w\ начальная точка Ро пути wo описывает путь v, то wo
можно {связанно) деформировать evw\v~1. Обратно, еслигио можно
связанно деформировать в путь vwiv'1, то wo и w\ свободно гомо-
гомотопны.
Доказательство. Рассмотрим два прямоугольника R и Т, гра-
границы которых подразделены и обозначены способом, указанным на
рис. 95. Мы можем считать, что Т получилось из R сведением в точку
сторон п' и п", т. е. отождествлением всех точек каждой из этих сторон.
Такое сведение можно осуществить, например, посредством обозначен-
обозначенного на рисунке непрерывного отображения ip прямоугольника R на Т,
при котором пути Wo,W\,v',v" переходят в таким же образом обозна-
обозначенные пути прямоугольника Т. Если путь wo свободно деформируем
вщи начальная точка wo описывает путь v, то существует непре-
непрерывное отображение ф прямоугольника Т в Кп, переводящее Wo вюо,
п>1 в w\, а две другие стороны v' и v" — в путь v. Тогда отображение
ip(p = х переводит стороны п' и п" прямоугольника R в точки, а две
другие стороны — в пути wo и vw\v~1. А это и означает, что пути wo
и vw\V~1 гомотопны друг другу. Обратно, пусть путь wo можно свя-
связанно деформировать в vw\v~1. Тогда мы можем считать, что задано
отображение % прямоугольника R в Кп и уравнение % = фир определит

226
Глава VII
нам (по теореме IV § 8) непрерывное отображение ф прямоугольника Т,
переводящее wq и wi в wq и w\, а две другие стороны — в v.
V" W,
—• 1
р " 1
г—» '
Рис. 95
Если два пути с общей начальной точкой связанно гомотопны, то
они тем самым гомотопны и свободно. Обратное уже неверно, — это
видно хотя бы на примере путей т и а рис. 94. В самом деле, путь т
можно свободно деформировать в а, заставляя его переходить через
положения т!. Напротив, пути /пиане гомотопны связанно, так как
путь т гомотопен ЬаЬ~1, а классы путей т и а, именно, ВАВ~1 и А,
различны; выражение
А{ВАВ~1)-1 = ABA'1 В'1,
как было показано в конце § 48, равно 1. Вообще имеет место следующая
теорема.
Теорема. Два выходящие из О замкнутые пути wq и w\ свобод-
свободно гомотопны между собой в том и только в том случае, если они
являются представителями сопряженных элементов Wo и W\ фун-
фундаментальной группы, т. е. если существует элемент V такой, что
Wq = VW\V~1. Все пути, принадлежащие одному классу сопряжен-
сопряженных элементов фундаментальной группы, составляют, таким образом,
класс свободно деформируемых друг в друга путей 28.
Доказательство непосредственно вытекает из самой формулировки
леммы.
Сопоставим здесь вместе три возможных разбиения на классы за-
замкнутых путей, выходящих из фиксированной точки О.
1. Разбиением на наиболее узкие классы является разбиение на
классы путей. Два пути принадлежат одному и тому же классу пу-
путей, если их можно деформировать друг в друга, сохраняя начальную
точку О неподвижной. Классы путей образуют элементы фундамен-
фундаментальной группы.

§50. Фундаментальная группа и деформация отображения 227
2. Все пути сопряженных между собой (как элементы фундамен-
фундаментальной группы) классов путей образуют класс свободно деформиру-
деформируемых друг в друга путей. Эти классы не образуют, вообще говоря, ни-
никакой группы.
3. Все пути класса смежности фундаментальной группы по своему
коммутанту образуют класс гомологичных между собой путей. Такие
классы гомологии составляют одномерную группу Бетти В1 29.
§ 50. Фундаментальная группа и деформация
отображения
При непрерывном отображении ip связного полиэдра Кп в связ-
связный полиэдр Кт фундаментальная группа F полиэдра Кп испытыва-
испытывает гомоморфное отображение Ф в фундаментальную группу F поли-
полиэдра Кт, причем Ф определяется только с точностью до внутренних
автоморфизмов группы F (§42). Мы докажем теперь, что при дефор-
деформации отображения ip гомоморфизм Ф не меняется. В самом деле, пусть
отображение ip переводит начальную точку О группы F в начальную
точку О, группы F и пусть при деформации отображения ip в отоб-
отображение ipi, точка ft описывает путь v с конечной точкой Oi. Пусть,
далее, w' и w^ суть образы выходящего из О замкнутого пути w при
отображениях ip и ipi такие, что при деформации отображения ip в ipi,
путь w' испытывает свободную деформацию в w[. Но тогда, по лем-
лемме § 49, пути w' и vw'1v~1 гомотопны. Поэтому w отображается посред-
посредством ip и ipi в один и тот же определенный с точностью до внутренних
автоморфизмов класс путей группы F .
В частности, при деформации полиэдра Кп в себя фундамен-
фундаментальная группа полиэдра Кп подвергается внутреннему автоморфиз-
автоморфизму.
§51. Фундаментальная группа в точке
Мы видели выше (§32, теорема III), что для всех симплициаль-
ных разбиений полиэдра Кп группы Бетти окрестностных комплексов
точки Р одинаковы. Это предложение справедливо также для фунда-
фундаментальной группы.
Теорема. Пусть А\ и А2 представляют края двух симплици-
альных звезд полиэдра Кп с центрами в Р, причем звезды эти об-
образуют окрестности точки Р в Кп и А\ (а следовательно, так-
также А^) является связным комплексом. Тогда А1 и А2 имеют одина-
одинаковые фундаментальные группы. Фундаментальная группа комплек-
комплекса Ах (или А2) называется фундаментальной группой в точке Р.

228 Глава VII
Доказательство. По теореме I § 32 существуют непрерывные
отображения ip комплекса А\ в А<± и ф комплекса А<± в А\ такие, что
отображения ф(р и <рф соответственно комплексов А\ и А^, в себя мож-
но деформировать в тождественные отображения. Принадлежащие <р
и ф гомоморфные отображения ФиФ фундаментальных групп Fi и F2
комплексов А\ и А2 обладают тогда, по доказанному в § 50, тем свой-
свойством, что гомоморфные отображения ФФ и ФФ групп Fi и F2 в себя
суть внутренние автоморфизмы. Но тогда Ф является взаимно одно-
однозначным отображением группы Fi на F2, т.е. изоморфизмом. В самом
деле, если для двух различных элементов F{ и F" из Fi <&(F[) = <fr(F"),
то тогда ФФ(^П1/) = ФФ(.Р\"), а этого при внутреннем автоморфизме
группы Fi быть не может. Если, далее, F% есть элемент группы F2, пе-
переходящий при автоморфизме ФФ группы F2 в заданный элемент F%,
то элемент Ф^) группы F2 переводится гомоморфизмом Ф в F^', т.е.
каждый элемент из F2 есть образ некоторого элемента из Fi. Одно-
Однозначность Ф, таким образом, доказана.
§ 52. Фундаментальная группа составного полиэдра
Вычисление фундаментальной группы полиэдра К часто можно
упростить, разбив К на два полиэдра с известными фундаментальны-
фундаментальными группами. Пусть К' и К" — два связных подкомплекса связного
n-мерного симплициального комплекса К, причем каждый симплекс
из К принадлежит по крайней мере одному из этих подкомплексов.
Предположим, кроме того, что D — пересечение подкомплексов К'
и К" — это пересечение не пусто вследствие связности комплекса К
и также связно.
Пусть F, F , F , Fd — фундаментальные группы комплексов К,
К', К" и D. Выберем в качестве начальной точки замкнутых путей
точку О, принадлежащую D. Тогда каждый замкнутый путь комплек-
комплекса D является одновременно путем комплексов К' и К", т. е. каждому
элементу группы F^ соответствуют элемент группы F' и элемент груп-
группы F и имеет место следующая теорема.
Теорема I. F представляет дополнительную группу свободного
произведения F' Q F". Именно, F получается из этого свободного про-
произведения, если мы отождествим каждые два элемента F' и F", со-
соответствующие одному и тому же элементу FD, т. е., полагая эта
элементы равными, добавим тем самым новые соотношения между
образующими групп F' и F".
Доказательство. В соответствии с общим методом вычисления
фундаментальной группы мы соединяем каждую вершину комплек-
комплекса К вспомогательным путем с вершиной О. Если вершина принад-
принадлежит D, то вспомогательный путь можно провести целиком в D, так

§52. Фундаментальная группа составного полиэдра 229
как D по предположению связно. Далее, вспомогательные пути вер-
вершин, принадлежащих к К' и К", таким же образом должны целиком
пробегать в К', соответственно в К".
Симплекс произвольной размерности комплекса К принадлежит
либо к К' (но не к К"), либо к К" (но не к К'), либо и к К' и к К", т. е.
к D. В соответствии с этим множество всех симплексов комплекса К
распадается на три не имеющих общих элементов подмножества К ,
К" и D.
Образующие Av группы F могут быть поставлены во взаимно од-
однозначное соответствие с ребрами av комплекса К (стр. 214). В зави-
зависимости от того, принадлежит ли av к К , К или D, мы переименуем
соответствующую образующую Av в Kj, К j или Dj.
Соотношения типов (I) и (II) группы F соответствуют взаимно од-
однозначно ребрам и треугольникам комплекса К. Эти соотношения так-
также разбиваются на три класса, определяемые принадлежностью соот-
соответствующего ребра (или треугольника) к К , К или D. Соотношения
каждого из этих трех классов имеют вид:
R'{{Dj,K"j) = l (г = 1,2,...,*"), (К")
Дг(с)A),) = 1 (г = 1, 2, ...,8). (D)
Благодаря специальному способу, которым мы выбирали вспомогатель-
вспомогательные пути, в Щ не входят образующие К^, в R" не входят К}:, авй| '
не входят ни те, ни другие.
Соотношения (D), очевидно, представляют определяющие соот-
соотношения фундаментальной группы F(?») комплекса D. Соотношения
(D) + (К ) и соответственно (D) + (К ) представляют определяющие
соотношения фундаментальных групп F и F комплексов К' и К".
Наконец, (S) + (К ) + (К ) являются определяющими соотношения-
соотношениями фундаментальной группы комплекса К, эти соотношения можно,
очевидно, заменить следующей системой соотношений:
тШ"Л (F")
D'j = D" для всех j. (d)

230
Глава VII
Соотношения (F ) вместе с (F ) представляют соотношения свободного
произведения групп F' и F" (§85). Соотношения же (d) означают, что
элементы ?)'• и D'- групп F и F , соответствующие одному и тому же
элементу Dj группы F^, должны быть отождествлены.
Доказанная таким образом теорема принимает особенно простой
вид, если фундаментальная группа комплекса D сводится к единично-
единичному элементу. Тогда фундаментальная группа комплекса К представ-
представляет свободное произведение фундаментальных групп комплексов К'
и К".
Коммутируя все фундаментальные группы теоремы I и принимая
во внимание теорему III § 48, мы получаем следующую теорему:
Теорема II. Одномерная группа Бетти В1 комплекса К пред-
представляет дополнительную группу прямого произведения групп Бет-
Бетти 'В1 и "В1 комплексов К' и К". Она получается отождествлени-
отождествлением элементов групп 'В1 и "В1, соответствующих одному и тому оке
элементу группы Бетти В^ комплекса D.
Соответствующая теорема для групп Бетти высших размерностей
менее проста, вследствие чего мы ее здесь не приводим30.
В качестве приложения теоремы I найдем фундамен-
фундаментальную группу винтового узла (Torusknoten). Винтовой
узел определяется следующим образом: проведем на боко-
боковой поверхности круглого цилиндра конечной длины, рас-
расположенного в евклидовом пространстве Л3, образующие,
отстоящие друг от друга на равных расстояниях -щ (если
измерять вдоль направляющей окружности цилиндра). По-
Повернем верхнее и нижнее основания цилиндра друг относи-
относительно друга на угол -^р (на рис. 96 т = 3, п = 5) и отожде-
отождествим лежащие после этого друг над другом точки верхнего
и нижнего краев цилиндрической поверхности. Это отожде-
отождествление можно осуществить, изогнув цилиндрическую по-
поверхность и склеив соответствующим образом ее края. В ре-
результате цилиндрическая поверхность превращается в тор.
Если тип — взаимно простые целые числа, то взятые т об-
образующих поверхности сливаются в одну замкнутую линию,
обегающую тор вдоль параллели т раз и вдоль меридиа-
меридиана п раз. Эту линию мы и называем винтовым узлом, при-
принадлежащим числам т, п . Присоединим теперь к R3 одну несобственную
точку так, чтобы Д3 превратилось в трехмерную сферу S3 (§ 14), и «про-
«просверлим» эту сферу вдоль узла, т.е. заставим скользить маленький шар
своим центром по узлу, и удалим из S3 все точки, пробегаемые при сколь-
скольжении внутренними точками шара. Оставшаяся после просверливания узла
Рис 96
'Винтовой узел 2, 3 является простейшим (если не считать окружности) узлом
(Kleeblattschlinge), представленным на рис. 2, стр. 12.

5 52. Фундаментальная группа составного полиэдра
231
часть пространства Ss представляет ограниченный трехмерный полиэдр К,
границей которого является идущий вдоль узла тонкий рукав (тор) . Поли-
Полиэдр К называется дополнительным пространством узла, а его фундамен-
фундаментальная группа — группой узла. Для того чтобы найти группу узла, разобьем
сферу S3 на две части тором, на котором лежит винтовой узел. При этом
Рис. 97
упомянутый выше рукав вокруг узла распадается на два идущих вдоль узла
«полурукава». Полиэдр же К, как следует из упражнения 4 § 14, распадается
на два трехмерных кольца, у каждого из которых выдолблен вдоль поверх-
поверхности обвивающий это кольцо желобок с полукруглым профилем. Трехмер-
Трехмерное кольцо, лежащее в «конечной» части пространства, мы можем принять
за подкомплекс К', кольцо же, содержащее несобственную точку простран-
пространства Л3, — за подкомплекс К". Пересечение D обоих этих трехмерных ко-
колец представляет закрученное круговое кольцо (двумерное), покрывающее
часть тора (именно, часть, не содержащую точек желобка; рис. 97). По §46
фундаментальная группа F' полиэдра К' есть свободная группа с одной об-
образующей А (обозначенной при доказательстве теоремы 1 этого параграфа
символом К ), а фундаментальная группа F" полиэдра К", — свободная
группа с образующей В; А может быть представлено средней линией трех-
трехмерного кольца К', изогнутой так, чтобы она примыкала к точке О средней
*Все описываемое здесь наглядно может быть без труда сформулировано при
помощи точных понятий.

232 Глава VII
линии кругового кольца D, т.е. к начальной точке путей. Точно так же В
представляется примыкающей к точке О средней линией второго трехмер-
трехмерного кольца К". В качестве образующей фундаментальной группы D, также
являющейся свободной группой с одной образующей (стр. 215), мы возьмем
среднюю линию D кругового кольца. Группа F' О F" есть свободная груп-
группа двух образующих А ж В. При надлежащих ориентациях путей А ж В
путь D, рассматриваемый как элемент группы F', равен Ат; рассматривае-
рассматриваемый же как элемент F" он равен В™. Поэтому группа винтового узла т, п
получается наложением на две образующие группы соотношения
Отсюда следует, между прочим, что винтовой узел, для которого т > 1
и п > 1, как, например, простейший узел, не может быть переведен изотопной
деформацией пространства в окружность, так как его группа не является
свободной группой с одной образующей31.
Упражнения. 1. Докажите, что если в евклидовом пространстве R4,
дополненном бесконечно удаленной точкой до сферы S4, просверлить путь,
представляющий состоящую из прямолинейных отрезков и неимеющую двой-
двойных точек замкнутую линию, то фундаментальная группа дополнительно-
дополнительного пространства содержит только единичный элемент. (Примените теоре-
теорему I к сфере S4, разбитой на два подкомплекса: на дополнительное про-
пространство А ж высверленную часть V; V есть топологическое произведе-
произведение окруясности на трехмерный шар, пересечение же D полиэдров А ж V
представляет топологическое произведение окруясности на двумерную сфе-
сферу. Фундаментальная группа А не меняется при присоединении к А полиэд-
полиэдра V. Почему подобного доказательства нельзя провести в случае простран-
пространства трех измерений?)
2. Найти четырехмерное многообразие, фундаментальная группа кото-
которого есть свободная группа с г образующими. (Возьмите г топологических
произведений окруясности на трехмерную сферу, высверлите в каждом из
них по маленькому четырехмерному шару и составьте при помощи 4-мерной
сферы с г «отверстиями» требуемое многообразие.)
3. Постройте четырехмерное многообразие с произвольно заданной фун-
фундаментальной группой с конечным числом образующих. (Если в многообра-
многообразии К4 высверлить не имеющий двойных точек путь w ж присоединить к по-
лучающемуся при высверливании ограниченному полиэдру К топологиче-
топологическое произведение двумерной сферы на элемент поверхности, то получится
многообразие 'К4, фундаментальная группа которого получается из фунда-
фундаментальной группы многообразия К4 присоединением соотношения w = 1.)

Глава VIII
Накрывающий полиэдр
С понятием фундаментальной группы тесно связано понятие накрыва-
накрывающего полиэдра. Пусть, например, кольцо единичного радиуса катится по
плоскости; оно пробегает при этом полоску плоскости бесконечной длины
(рис. 98). Эту полоску моясно бесконеч-
бесконечное число раз навернуть как ленту вокруг
кольца так, что кольцо будет накрыто по-
полоской бесчисленное множество раз. На-
Начальная точка О замкнутого пути, отме-
отмеченного на кольце, повторяется на полос-
полоске периодически, причем расстояние меж-
между двумя последовательными положения-
положениями ее равно 2тг. Путь, идущий на полос-
полоске из одной такой точки в другую, при
накручивании на кольцо образует путь,
обходящий кольцо несколько раз. Однако Рис. 98
каждый элемент фундаментальной груп-
группы кольца может быть представлен путем, обходящим кольцо вокруг. С дру-
другой стороны, путь, соединяющий две точки полоски, определяется однознач-
однозначно (если не считать гомотопные пути различными) начальной и конечной
точками пути, т. е. перемещением, переводящим начальную точку в конеч-
конечную. Поэтому фундаментальную группу моясно изоморфно отобразить на
«группу скольжений» полоски, элементами которой являются перемещения
полоски на число кратное 2тг вдоль себя. Подобным же образом фундамен-
фундаментальную группу каждого полиэдра моясно рассматривать как группу сколь-
скольжении некоторого определенного полиэдра, так называемого универсального
накрывающего. Другие неразветвленные накрывающие какого-нибудь поли-
полиэдра, — а мы будем иметь дело только с неразветвленными накрывающи-
накрывающими, — соответствуют подгруппам фундаментальной группы, так что знание
фундаментальной группы полиэдра дает нам полное представление о всех
возможных накрывающих полиэдра.
§ 53. Неразветвленный накрывающий полиэдр
Пусть К и К — конечные или бесконечные связные полиэдры. Мы
говорим, что К накрывает К, или что К есть накрытие полиэдра К,
если задано непрерывное отображение S полиэдра К на К, удовлетво-
удовлетворяющее следующим условиям:
(Накр. 1) В каждую точку Р полиэдра К отображается по крайней
мере одна точка Р полиэдра К. Мы говорим, что Р лежит над Р.

234
Глава VIII
(Накр. 2) Пусть Pi, P2,... — все лежащие над Р точки. Тогда
существуют «отмеченные окрестности» U(P), U (Pi), [/(Рг),... та-
такие, что U (Pi), [/(Рг),... посредством G отображаются топологиче-
топологически на U(P) (условие неразветвленности).
(Накр. 3) Всякая точка полиэдра К, лежащая над какой-нибудь
точкой из U(P), принадлежит по крайней мере одной из отмеченных
окрестностей U(Pi), [/'(Рг),... (условие отсутствия границы).
Условие (Накр. 2) определяет отображение G как топологическое в ма-
малом, и исключает, таким образом, возможность существования, например,
ъ к
b
b2
*~
a,
a2
a3
a
62 ~
К
a4
a4
ъ к
Рис. 99
а, а2
Рис. 100-102
складок или точек разветвления римановои поверхности, распростертой на
двумерной сфере. Мы будем рассматривать в дальнейшем только такие
неразветвленные накрывающие полиэдры. Условие (Накр. 3), как мы до-
докажем в § 54, устанавливает возможность неограниченно переносить каж-
каждый путь исходного полиэдра на накрывающий полиэдр. Такая возможность
не вытекает еще, как видно из следующего примера, из условий (Накр. 1)
и (Накр. 2). Пусть исходный полиэдр представляет круговое кольцо, а накры-
накрывающий полиэдр — прямоугольную полосу с принадлежащими к ней длин-
длинными сторонами, но не принадлежащими короткими (на рис. 99 короткие
стороны, не принадлежащие нашему накрывающему полиэдру, обозначены
буквами а и 6), причем полоса эта отображена на кольцо так, что ее открытые
концы перекрываются (рис. 99). Тогда условия (Накр. 1) и (Накр. 2) выпол-
выполняются; условие же (Накр. 3) не выполняется. Именно, оно не выполняется
для окрестности U(P) точки Р, лежащей под линией а или Ь. Путь, обходя-
обходящий два раза вокруг внутренней окружности кольца, не может быть перене-
перенесен на накрывающий полиэдр так, чтобы накрывающий путь посредством G
отображался на исходный. Заметим, что исходный полиэдр получается из
накрывающего отождествлением точек, имеющих один и тот же прообраз.

5 53. Неразветвленный накрывающий полиэдр
235
В самом деле, здесь применима теорема II § 8, так как при отображении G
произвольная окрестность точки Р переходит в окрестность лежащей под
ней точки Р.
^Простой пример накрывающего полиэдра дает тор. Если отобразить
тор К, представленный на рис. 101 прямоугольником, разделенным на че-
четыре квадрата, на тор К так, чтобы каждый из четырех квадратов К кон-
конгруэнтно отображался в квадрат тора К, то при этом устанавливается че-
четырехлистное накрытие тора К тором К. Можно представлять себе, что
накрывающий тор К получается из исходного тора К, например, следую-
следующим образом: берутся четыре лежащие над К и конгруэнтных с К тора,
каждый из которых рассекается вдоль меридианов (на рис. 100 меридиан
изображается вертикальной линией) и которые затем в циклическом порядке
склеиваются друг с другом (рис. 101). Если представлять себе тор как по-
поверхность вращения, расположенную в обычном трехмерном пространстве,
то меридиан оказывается замкнутой линией самопересечения тора К. Если
же рассматривать К — независимо от какого-либо вложения в простран-
пространство — как двумерное многообразие, то точки этой линии самопересечения
ничем не отличаются от других точек.
Два накрывающих полиэдра считаются одинаковыми, если один
из них можно топологически отобразить на другой так, что каждые
две соответствующие при этом друг другу точки будут лежать над
одной и той же точкой. Два гомеоморфных полиэдра могут оказаться
различными накрывающими для одного и того же полиэдра.
Примеры. Кроме рассмотренно-
рассмотренного выше четырехлистного накрытия
тора К тором К, можно дать другое
четырехлистное накрытие тором К1
такое, что К и К'', рассматрива-
рассматриваемые как накрывающие полиэдры,
будут различны. Для этого нужно
только рассечь каждый из четырех
листов вдоль меридиана и паралле-
параллели и присоединить их друг к другу
крест-накрест. Рис. 102 показывает
тор К', представленный в виде квад-
квадрата и разбитый на четыре листа так,
что одинаково расположенные точки
этих четырех листов (малых квадра-
квадратов) леясат над одной и той же точ-
точкой К.
Приведем еще два примера на-
накрывающих полиэдров, которыми мы в дальнейшем воспользуемся. Пусть
исходный полиэдр К представляет двойной тор, рассматриваемый как вло-
вложенная в обычное пространство сфера с двумя ручками. Предположим, что
на этом двойном торе леясат три конгруэнтных экземпляра с рассеченными
Рис. 103

236
Глава VIII
ручками. Для того чтобы получить один накрывающий полиэдр, мы соединя-
соединяем первый и второй экземпляры крест-накрест друг с другом вдоль сечений
левых ручек (рис. 103), в то время как третий экземпляр слева соединяет-
соединяется сам с собой и дает там гладкую поверхность. Справа же мы соединяем
р<
pi ^ pi Pl^ pi pn pn
Рис. 104
P' P'
Рис. 105
крестообразно второй и третий экземпляры, соединяя сам с собой первый
экземпляр. Второй накрывающий получается, если мы склеим слева каж-
каждый из листов сам с собой, справа же соединим их в циклическом порядке
друг с другом. Рассеченные меридианы ручек дают (там, где склеивались
различные экземпляры, т. е. не получалось гладкой поверхности) замкнутые
кривые самопересечения, по которым пересекаются два или все три экзем-
экземпляра. Самопересечения показаны на рисунке схематически.
Другая модель накрывающей поверхности получится, если мы предста-

§54. Основной и накрывающий пути 237
вим каждый из трех экземпляров двойного тора в виде канонического поли-
полигона восьмиугольника и надлежащим образом соединим эти полигоны друг
с другом. Накрывающая поверхность оказывается тогда многоугольником
с попарно эквивалентными сторонами. На рис. 104 и 105 эквивалентные вер-
вершины и ребра обозначены одинаково, в то время как вершины, ребра и эле-
элементы поверхности, лежащие над одними и теми же вершинами, ребрами
и элементами, различаются верхними значками. Накрывающая поверхность
в обоих случаях ориентируема и ее характеристика равна утроенной харак-
характеристике исходной поверхности: N = 3N = —6. В самом деле, над каждой
вершиной, каждым ребром и каждым элементом поверхности лежат в точно-
точности три накрывающих элемента. Накрывающая поверхность имеет поэтому
род h = 4 (стр. 181).
§ 54. Основной и накрывающий пути
Пусть w — прообраз (в смысле § 42) пути W полиэдра К, а Т —
отображение w на W. Тогда GT представляет непрерывное отображе-
отображение Т прообраза w в К, определяющее в К путь W. Говорят, что W
есть принадлежащий пути W основной путь и что W накрывает
путь W. Мы докажем сейчас, что не только каждый путь W накрываю-
накрывающего полиэдра К определяет таким образом основной путь w на К, но
и, наоборот, — каждому пути исходного полиэдра соответствует лежа-
лежащий над ним путь накрывающего полиэдра, причем это соответствие
может быть установлено столькими способами, сколько точек накры-
накрывающего полиэдра лежит над начальной точкой А пути W.
Теорема I. Если w есть ведущий из А в В путь полиэдра К,
а А — лежащая над А точка накрывающего полиэдра К, то суще-
существует в точности один путь W с начальной точкой А, накрываю-
накрывающий путь W.
Доказательство. Выберем в качестве прообраза пути W ори-
ориентированный единичный отрезок w @ ^ s ^ 1). Пусть Т — отобра-
отображение отрезка w на W, &JT' — произвольное непрерывное отображе-
отображение отрезка w в полиэдр К, определяющее там путь W; W является
путем, накрывающим W в том и только в том случае, если w пере-
переводится отображением GT' в путь W, т. е. если существует топологи-
топологическое отображение S отрезка w на себя такое, что соответствующие
точки s и S(s) отображениями Т и GT' переводятся в один и тот же
образ в К: T(s) = GT'S(s). Однако в силу определения равенства пу-
путей отображение Т" дает нам тот же путь в К, что и T'S = Т. Таким
образом мы получим самый общий накрывающий путь W, если отобра-
отобразим w при помощи непрерывного отображения Т в К так, что GT = Т.

238 Глава VIII
Другими словами, точка T(s) для каждого s должна лежать над T(s).
Вместе с тем теорема I сводится к следующей лемме:
Лемма. Пусть задано непрерывное отображение Т единичного
отрезка 0 ^ s ^ 1 в полиэдр К. Тогда, если А есть лежащая над
А = Т@) точка накрывающего полиэдра К, существует в точности
одно непрерывное отображение Т единичного отрезка в К такое, что
Т@) = A, a T(s) для каждого s лежит над T(s).
Доказательство, а) Существование отображения Т. Пусть
каждой точке Р полиэдра К отнесена некоторая отмеченная окрест-
окрестность U(P). Разделим единичный отрезок w на п равных частей
г\, г2, ¦ ¦ ¦, гп и выберем п настолько большим, чтобы образ Т(гг) каж-
каждого частичного отрезка принадлежал целиком отмеченной окрестно-
окрестности Ui (некоторой точки, нас в дальнейшем не интересующей). Что та-
такой выбор числа п возможен, следует из теоремы о равномерной непре-
непрерывности (§7, теорема IV): мы должны только в качестве приведенной
там окрестности U*(P \ В) для каждой точки Р выбрать отмеченную
окрестность U(P). Выберем теперь какую-нибудь лежащую над U\
отмеченную окрестность C/i, содержащую точку А. В силу (Накр. 3)
такая окрестность существует. Так как посредством отображения G
U\ отображается на U\ топологически, то мы можем топологически
перенести в U\ лежащий в U\ образ Т(г\) отрезка г\. Таким обра-
образом мы получим отображение Т\ первого частичного отрезка г\ъ U\,
при котором его начальная точка s = 0 переходит в А. Далее, таким
же способом мы переносим второй частичный отрезок г2 — именно,
мы выбираем отмеченную окрестность С/г, содержащую целиком Т(г2),
затем лежащую над ней окрестность СТг, содержащую образ конечной
точки отрезка г\, т. е. точку Т\ ( ^ J, и переносим затем топологиче-
топологически Т(г2) в С/г- При этом получается непрерывное отображение Тг от-
резка Г2 в С/г и Тг ( ^ J = T2 f ^ ). Продолжая таким же образом дальше,
мы получаем последовательность отображений Т\, T2, ..., Тп частич-
частичных отрезков г\, г2, ¦ ¦ ¦, гп, причем всегда выполняется соотношение
ТА ^ J = Tj+i ( ^ ) • Эти частичные отображения дают совместно требу-
требуемое отображение Т единичного отрезка в накрывающий полиэдр К.
Ь) Единственность отображения Т. Пусть Т" — какое-нибудь
другое непрерывное отображение единичного отрезка, удовлетворяю-
удовлетворяющее условиям леммы. Мы можем допустить, что отображения ГиГ'
совпадают друг с другом для всех значений параметра до некоторого
определенного значения s*(^ 0). В силу непрерывности они совпада-

§54. Основной и накрывающий пути 239
ют также и при самом значении s*. Но тогда существует отмеченная
окрестность U* точки T*(s*) = T'(s*), топологически отображающа-
отображающаяся посредством G на отмеченную окрестность U* лежащей под этой
точкой точки T(s*). Далее, в силу непрерывности Т и Т" существует
е > 0 такое, что при s < s* + е все точки T(s) и T'(s) лежат в U*.
Так как, однако, T(s) и T'(s) лежат над одной и той же точкой T(s)
окрестности U*, a U* и U* находятся во взаимно однозначном соответ-
соответствии друг с другом, то T(s) = T'(s). Таким образом Т и Т" совпадают
также для всех значений параметра, вплоть до s* +e, а следовательно,
совпадают и вообще. Лемма доказана.
Воспользуемся теоремой I, чтобы дать определение числа листов
накрывающего полиэдра.
Пусть Р и Q — две точки К. Мы можем тогда установить взаимно
однозначное соответствие между точками, лежащими над Р, и точка-
точками, лежащими над Q. В самом деле, проведем путь W, идущий из Р
в Q, и отнесем каждой, лежащей над Р точке Pj конечную точку пу-
пути, выходящего из Р\ и лежащего над W. Обратно, каждой лежащей
над Q точке Qk отнесем конечную точку лежащего над \?~г пути,
выходящего из Qk- По теореме I пути, о которых идет речь, существу-
существуют и определяются однозначно. Второе из установленных соответствий
является, очевидно, обратным первому, так что между точками, лежа-
лежащими над Р, и точками, лежащими над Q, устанавливается взаимно
однозначное соответствие. Над каждой точкой полиэдра К лежит,
таким образом^одно и то же число, например, g точек накрываю-
накрывающего полиэдра К. Это число называется кратностью накрытия или
числом листов д; оно может быть как конечным, так и бесконечным.
Теорема I устанавливает связь между путями основного и накры-
накрывающего полиэдров. Следующая теорема позволяет сделать то же са-
самое в отношении классов путей. Она утверждает, что деформация пути
накрывающего полиэдра отражается известным образом на пути, ле-
лежащем в основном полиэдре, и обратно.
Теорема II. Если Wo и W\ — два пути в К, ведущие из А
в В, a Wo и Wi —^ведущие из А в В основные пути, и Wo можно
деформировать в W\, то Wo также можно деформировать в W\.
Обратно, если Wo и W\ — два ведущие из А в В и деформируемые
друг друга пути полиэдра К, a Wo и W\ — два соответствующие
накрывающие пути, выходящие из одной лежащей над А точки А,
то оба эти пути ведут в одну лежащую над В точку В и также
деформируемы друг в друга.
Доказательство первой части этой теоремы следует из непрерыв-
непрерывности отображения G (см. стр. 201).

240
Глава VIII
R
Рис. 106
Доказательство же второй части хотя
также основывается на соображениях то-
того же рода, однако менее просто. Имен-
Именно, здесь нужно перенести прямоугольник
деформации с основного полиэдра на на-
накрывающий, а для этого в нашем распоря-
распоряжении не имеется никакого отображения,
непрерывного и однозначного в целом (im
Grossen): имеется лишь отображение, топо-
топологическое в (отмеченных) окрестностях.
Деформируемость пути Wo в W\ означа-
означает, что существует непрерывное отображе-
отображение Т, переводящее прямоугольник дефор-
деформации R с координатами 0 ^ s ^ 1,
0 < t < 1 (рис. 106) в полиэдр К так, что
ориентированные стороны t = 0 и t = 1 пе-
переходят в пути Wo и W\, а стороны s = 0
и s = 1 переходят в точки А и В. Мы по-
построим сейчас непрерывное отображение Т
прямоугольника R в К, обладающее тем свойством, что для каждой
точки (s, t) прямоугольника R T(s, t) лежит над T(s, t), a T@, 0),
в частности, совпадает с А. При этом единичный отрезок t = 0 отоб-
отображается непрерывно так, что для любого s точка T(s, 0) лежит над
T(s, 0), а Т@, 0) = А. По доказанной только что лемме этот единич-
единичный отрезок переходит тогда в лежащий над Wo и начинающийся в А
путь Wo- Точно так же единичные отрезки s = 0 и s = 1 переводятся
отображением Т соответственно в А и в конечную точку В пути Wo-
Наконец, сторона t = 1 перейдет в накрывающий путь W\, который
поэтому также должен окончиться в В. Таким образом, доказав суще-
существование отображения Т, мы докажем тем самым деформируемость
пути Wo в W\.
Для построения Т разобьем прямоугольник деформации R п рав-
равноотстоящими горизонтальными и п вертикальными прямыми на п
частичных прямоугольников г^
п ^ ° ^ n> n ^ " ^ n>
причем выберем п настолько большим, чтобы образ T(rik) каждого
такого прямоугольника лежал целиком в отмеченной окрестности TJ%k
(некоторой надлежащим образом взятой точки); по теореме о равно-
равномерной непрерывности это всегда возможно. Будем теперь строить Т
постепенно, перенося каждый из частичных прямоугольников г^ на К.

§ 55. Накрывающий полиэдр и подгруппа фундаментальной группы 241
Начнем с Гц. Выберем лежащую над 11ц отмеченную окрестность С/ц,
содержащую точку А; это возможно по условию (Накр. 3). Перене-
Перенесем, далее, образ Т(гц) прямоугольника Гц, лежащий целиком в С/ц,
топологически в С/ц, т.е. возьмем гомеоморфный образ этого обра-
образа при топологическом отображении 11ц на С/ц. Мы получим тогда
непрерывное отображение Тц прямоугольника Гц в С/ц, при котором
Тц@, 0) = А и Tn(s, ?) лежит над T(s, t). Далее, выберем лежащую
над С/21 отмеченную окрестность С/21, содержащую точку Тц( —, 0),
т.е. образ правой нижней вершины прямоугольника Гц, и топологи-
топологически перенесем T(r2i) в С/21. Это даст нам отображение Tbi прямо-
прямоугольника г2i в С/21. Отображения Тц и Т21, как легко видеть; на общей
стороне прямоугольников г\ и r^i совпадают. В самом деле, оба отоб-
отображения переводят начальную точку D,0) этой стороны в одну и ту
же точку, а так как и Тц (—, ? J, и Т21 (^, t J лежат над одной точкой
Т(-, tj, то из леммы следует, что Тц(-, t\ = T2i(^, tj. Таким же
способом следующий прямоугольник г31 непрерывно отображается по-
посредством Тя1 в К так, что Tbi DH) = Т31 D, 0 ), и доказывается, что
отображения Т21 и Т31 в точках общей стороны прямоугольников Г21
и гз1 совпадают. После п шагов мы получаем непрерывное отображе-
отображение Ti всей полоски Гц, Г21, • • •, rni, при котором Ti(s, t) леж:ит над
T(s, t), а сторона s = 0, 0<t<^, переходит в А. Таким же образом
для остальных полосок щ, г2%-, ¦ ¦ ¦, rni (i = 2, 3, ..., п) мы получа-
получаем отображения Tj, причем также Tj(s, t) леж:ит всегда над T(s, i),
a Tj(O, t) = А. Так как, далее, отображения Тг и Тг+1 также совпадают
в точках общего единичного отрезка г-й и (г + 1)-й полоски (в силу лем-
леммы), то при этом получается требуемое непрерывное отображение Т
всего прямоугольника деформации R, для которого T(s, t) лежит над
T(s, t) и f @, 0) = А.
§ 55. Накрывающий полиэдр и подгруппа
фундаментальной группы
Выберем в качестве начальной точки замкнутых путей в полиэд-
полиэдре К некоторую точку О, а в накрывающем полиэдре К — лежащую
над О точку О\. Тогда, как показано на стр. 202, непрерывное отобра-
отображение G ставит в соответствие каждому классу путей фундаменталь-

242 Глава VIII
ной группы F полиэдра К определенный класс путей фундаментальной
группы F полиэдра К. Это соответствие представляет гомоморфное
отображение группы F на определенную подгруппу Hi группы F.
Однако вторая часть теоремы II предыдущего параграфа утвер-
утверждает, что два негомотопные пути F переводятся посредством G в два
также негомотопных пути F. Отсюда следует, что гомоморфное отоб-
отображение группы F на Hi есть даже изоморфизм.
Фундаментальная группа F накрывающего полиэдра изоморфна,
следовательно, некоторой подгруппе Hi фундаментальной группы
основного полиэдра. Hi получается как совокупность образов путей F
при отображении посредством G в пути основного полиэдра.
Нужно заметить, однако, что подгруппа Hi еще не определяется
полностью накрывающим полиэдром К, а зависит также, как мы по-
покажем, от выбора начальной точки О\. Пусть теперь
F = Hi + Hi{.F\2} + Hi{i^i3} + ...
представляет разложение группы F по Hi. Здесь \F\i\ означает, как
и на стр. 199, класс путей, содержащий путь F-ц. Если Н\ есть произ-
произвольный путь из Hi, a ifi — накрывающий путь, начинающийся в О\,
то Нг есть замкнутый путь. Отсюда следует, что все пути полиэдра К,
соответствующие путям определенного класса смежности Hi{.Fij} по-
полиэдра К, ведут из О\ в одну и ту же конечную точку Oj — имен-
именно, в конечную точку начинающегося в О\ и лежащего над Fu пу-
пути F\i. Таким образом каждый класс смежности Hi{Fn} определяет
точку Oi над О. Различные классы Hi{Fij} и Hi{Fij} определяют раз-
различные точки Oi ф Oj, так как иначе путь FnFZ1 был бы замкнут,
т.е. класс {.Fiji71]} был бы элементом подгруппы Hi, в то время как
{.Fij} и {Fij} принадлежат различным классам смежности. Ввиду то-
того что конечные точки путей Fu, F12, ¦ ¦ ¦ исчерпывают, очевидно, все
лежащие над О точки полиэдра К, мы получаем взаимно однознач-
однозначное соответствие между правыми классами смежности подгруппы Hi
группы F и лежащими над О точками накрывающего полиэдра. От-
Отсюда следует, в частности, что число листов накрывающего полиэдра
равно индексу подгруппы Hi группы F.
Каждый выходящий из Oj замкнутый путь Щ можно деформиро-
деформировать в путь вида F^HiFn, например, хотя бы в путь F^1 (FuHiF^1)Fu.
При этом Hi есть замкнутый путь, выходящий из Oj. Пути F^HiFn
соответствует на К путь F^HiFn. Это путь, принадлежащий сопря-
сопряженной с Hi подгруппе Hj = {i7'ij}~1Hi{i71ij}. Обратно, каждый путь,

§ 55. Накрывающий полиэдр и подгруппа фундаментальной группы 243
соответствующий в К пути подгруппы Hi и начинающийся в Oi, за-
замкнут. В самом деле, путь частного вида F^HiFn переходит в вы-
выходящий из Oi путь F^HiFn накрывающего полиэдра, а этот путь
замкнут, так как F^1 ведет из Oi в О\, Н\ ведет из О\ в О\, a Fn из О\
снова ведет в Oi. Для любого пути из Hj имеет место то же самое: такой
путь можно деформировать в путь вида F^HiFu, чему соответству-
соответствует на К деформация соответствующего пути, оставляющая конечную
точку пути неизменной. Но это значит, что если мы возьмем вместо О\
в качестве начальной точки замкнутых путей накрывающего лолиэд-
ра К точку Oi, то фундаментальной группе F полиэдра К соответству-
соответствует сопряженная с Hi подгруппа {Fii}~1Hi{Fu}, причем надлежащим
выбором точки Oi можно получить любую сопряженную с Hi подгруп-
подгруппу. Таким образом накрытие полиэдра К полиэдром К определяет
целый класс сопряженных подгрупп фундаментальной группы F.
Мы докажем сейчас, что и, обратно, каждый класс сопряженных
подгрупп определяет накрытие полиэдра. Тогда вопрос о построении
всех накрывающих с данным числом g листов накрытия будет сведен
к теоретико-групповому вопросу об отыскании всех классов сопряжен-
сопряженных подгрупп индекса g фундаментальной группы основного полиэд-
полиэдра. Для конечного полиэдра и конечного числа листов мы проведем
построение в § 58.
Доказательство существования
I. Построение полиэдра К. Пусть Н — произвольная подгруппа
фундаментальной группы F . Требуется построить накрывающий по-
полиэдр К, фундаментальной группе F которого при надлежащем выбо-
выборе начальной точки О\ над точкой О соответствует на К группа Н.
Предположим, что О есть вершина симплициального разбиения поли-
полиэдра К, — в случае надобности этого всегда можно добиться соответ-
соответствующим подразделением. Мы построим накрывающий полиэдр К
с таким симплициальным разбиением, что при отображении К на К
каждый симплекс полиэдра К будет линейно отображаться на сим-
симплекс К. Такое разбиение мы будем называть симплициальным разби-
разбиением К, соответствующим разбиению основного полиэдра К.
Задача построения полиэдра К будет решена, если мы сможем за-
задать его схему (§ 11). Элементами схемы у нас будут некоторые классы
путей, которые мы сейчас определим.
Пусть А — вершина полиэдра К. Разобьем совокупность путей,
ведущих из О в А, на классы, так называемые Н-классы. Именно, мы
Для простоты мы пишем теперь Н вместо Hi.

244 Глава VIII
причисляем два пути U и U' к одному iJ-классу в том и только в том
случае, если замкнутый путь UU ~г принадлежит подгруппе Н. Каж-
Каждой вершине А полиэдра К принадлежат тогда некоторые iJ-классы
В частности, пути подгруппы Н сами образуют такой класс — «еди-
«единичный Н-класс». Он принадлежит точке О. Мы будем обозначать его
через О\. _ _
Два Я-класса Аг и Вк называются соседними, если соответству-
соответствующие им конечные точки А и В являются вершинами одномерного
симплекса с полиэдра К и_если, сверх того ^замкнутый, путь UcV~1,
в котором U есть путь из Ai, а V — путь из В/,, принадлежит Н. При
этом, очевидно, безразлично, какие именно пути U и V выбираются
из Ai и В),. _
Если iJ-класс Ai задан, то существует^ точности один принадле-
принадлежащий вершине В соседний Н-класс By, В/, состоит из совокупности
путей V, для которых при фиксированном U замкнутый путь UcV~1
представляет путь подгруппы Н. Что класс В], всегда существует, сле-
следует из существования пути, входящего в этот класс, хотя бы пути
V=Uc.
Мы можем доказать теперь следующую лемму.
Лемма. Пусть Ег — какой-нибудь симплекс основного комплек-
комплекса К, имеющий вершинами точки А, В, ..., С, и пусть выбран ка-
какой-нибудь Н-класс Ai, соответствующий вершине А. Тогда для каж-
каждой из остальных вершин В, ..., С существует в точности по од-
одному Н-классу В},, ..., С\ такому, что все эти Н-классы являются
попарно соседними.
В самом деле, классы В},, ..., С\ однозначно определяются тре-
требованием быть классами, соседними с Ai. Остается только показать,
что^ эти iJ-классы попарно соседни. Покажем это, например, для В],
и С\. Пусть U — путь класса Ai (рис. 107), а, Ь, с — ориентированные
симплексы СВ, АС и АВ± тогда Ub и Uc — представители классов С\
и В},. Условие того, что В], и С\ соседние, заключается в принадлеж-
принадлежности пути Ub-a- (f/c) к Н. Это, однако, действительно имеет место,
так как путь Ub-a- (Uc)~1 гемотопен нулю, т.е. принадлежит единич-
единичному классу путей фундаментальной группы.
Из леммы вытекает, что если мы определим в качестве отмечен-
отмеченных подмножеств схемы (стр. 64) каждую систему попарно соседних
if-классов, пути которых ведут в вершины одного и того же симплек-
симплекса комплекса К, то Н-классы комплекса К можно рассматривать
как элементы схемы некоторого симплициального комплекса К. В са-
самом деле, легко установить, что в этом случае выполняются все усло-
условия (Cxi), (Cx2) и (Сх3) §11.

§ 55. Накрывающий полиэдр и подгруппа фундаментальной группы 245
Другими словами, симплициальный
комплекс К можно описать следующим
образом: каждой его вершине Ai взаим-
взаимно однозначно соответствует if-класс Ai
комплекса К. Этому классу соответству-
соответствует, далее, определенная вершина комплек-
комплекса-ЕС, — именно, конечная точка А путей
Я-класса Аг. Вершины Аг, Вк, ..., С\ яв-
являются вершинами одного симплекса в том
и только в том случае, если соответствую-
соответствующие им вершины А, В, ..., С комплекса К
являются вершинами симплекса и, сверх „ ..,._
тт ~\ 1=, 7=? РИС. 107
того, Н-классы Ai, В},, ..., С\ попарно со-
седни^
К представляет связный комплекс. Для доказательства достаточ-
достаточно показать^ что каждый if-класс Ai можно соединить с единичным
if-классом О\ с помощью ряда if-классов, в котором каждые два смеж-
смежных класса являются соседними. Выберем в Ai симплициальный путь,
идущий из О\ в А; такой путь непременно существует, так как каж-
каждый путь из О в А можно деформировать в симплициальный путь
(стр. 152). Части (отрезки) пути U, ведущие из О в вершины, лежа-
лежащие на U (вернее, соответствующие таким частичным путям классы),
образуют ряд, обладающий требуемым свойством.
П. Покажем теперь, что при некоторых условиях К является на-
накрывающим комплексом (полиэдром) комплекса К, именно, если каж-
каждой вершине Ai комплекса К (соответствующей if-классу Ai) отнесем
в качестве накрытой точки Ai, а каждый симплекс комплекса К отоб-
отобразим линейно на симплекс комплекса К, натянутый на соответству-
соответствующие вершины. Тогда выполняются три условия, определяющие на-
накрытие. В самом деле, условие (Накр. 1) выполняется потому, что для
каждого симплекса комплекса К существует система соседних if-клас-
if-классов, а следовательно, существует по меньшей мере один накрывающий
его симплекс. Пусть теперь Р — произвольная точка комплекса К,
а Ег — симплекс, для которого Р является внутренней точкой (та-
(такой симплекс определяется однозначно). Все симплексы, имеющие Ег
своей стороной, образуют окрестность U(P) точки Р в К. Мы утвер-
утверждаем, что U(P) есть отмеченная окрестность. Действительно, лежа-
лежащая над Р точка Р является внутренней точкой лежащего над Е% сим-
симплекса Е\, определяемого системой г + 1 соседних if-классов, веду-
ведущих в вершины симплекса Ег. Если теперь Ег+к есть инцидентный
с Е% симплекс, то по лемме существует в точности одна система сосед-
соседних if-классов, ведущих в вершины симплекса Ег+к, которая содер-

246 Глава VIII
жит заданную систему соседних Н-классов (ведущих в вершины Ег)
как подсистему. Таким образом симплексы, имеющие своей стороной
симплекс Ег, соответствуют взаимно однозначно симплексам со сторо-
стороной Е\. А это и значит, что окрестность U(P) точки Р в К, состав-
составленная из совокупности инцидентных с Егх симплексов, топологически
отображается на окрестность U(P), т.е. условие (Накр. 2) также вы-
выполняется. Пусть, наконец, Q^ есть точка комплекса К, лежащая над
точкой Q окрестности U(P). Q принадлежит инцидентному с Е% сип-
лексу Е^+к окрестности U(P). Поэтому Q^ принадлежит лежащему
над EJ+k симплексу Егр?к, который содержит лежащую над Р точ-
точку Рм. Но это значит, что Q^ принадлежит к окрестности С/(РМ), т.е.
выполнено условие (Накр. 3).
Ш. Накрывающий комплекс К принадлежит подгруппе Н фун-
фундаментальной группы F комплекса К *. Выберем за начальную точку
замкнутых путей в К лежащую над О точку О\, которая соответству-
соответствует единичному iJ-классу О г- Пусть теперь U есть симплициальный
путь комплекса К, идущий из О в некоторую вершину A, &UT — ча-
частичный путь, состоящий из первых т ребер пути U. Тогда iJ-классы
путей Uo, Ui, ..., Ui = U дадут нам ряд классов, в котором каждые
два рядом стоящие являются соседними классами. Вершины комплек-
комплекса К, определяемые двумя такими рядом стоящими Н-классами, явля-
являются тогда также соседними вершинами, вследствие чего ряд вершин,
соответствующий этому ряду iJ-классов, можно соединить лежащим
над U симплициальным путем U. Начальная точка пути U принадле-
принадлежит iJ-классу пути Щ, т.е. представляет вершину О\.
Если теперь U есть, в частности, принадлежащий к Н замкнутый
симплициальный путь, т.е. если U лежит в единичном iJ-классе О\,
то начинающийся в О\ накрывающий путь U возвращается в О\. Если
же U не принадлежит к Н, т.е. лежит в iJ-классе Oj ф О\, то соот-
соответствующий симплициальный путь Ui в К ведет из О\ в Oj ф О\, т. е.
не замкнут. Так как каждый выходящий из О замкнутый путь можно
деформировать в симплициальный путь, то этим доказано, что выхо-
выходящий из О замкнутый путь U накрывается замкнутым же путем U
с начальной точкой О\ в том и только в том случае, когда U при-
принадлежит Н. Отсюда следует, что если за начальную точку замкнутых
путей К принять точку О\, то фундаментальная группа F полиэдра К
отображается как раз на подгруппу Н группы F, т. е. К есть накрыва-
накрывающий полиэдр, принадлежащий подгруппе Н.
*То-есть фундаментальная группа комплекса К отображается в подгруппу Н.

§ 55. Накрывающий полиэдр и подгруппа фундаментальной группы 247
Единственность полиэдра К
Пусть теперь К' — какой-нибудь другой накрывающий полиэдр ,
принадлежащий к тому же классу сопряженных подгрупп фундамен-
фундаментальной группы F полиэдра К, что vs. К, — именно, к классу, содер-
содержащему подгруппу Н. Тогда в полиэдре К' существует такая лежащая
над О точка О[, что если мы выберем ее за начальную точку замкну-
замкнутых путей в К', то фундаментальная группа полиэдра К' отобразится
как раз на подгруппу Н (может случиться, что в К' существует боль-
больше чем одна лежащая над О точка, обладающая этим свойством). Мы
построим отображение полиэдра К на К', при котором О\ переходит
в О[, а соответствующие друг другу точки лежат над одной и той же
точкой К. _ _
Пусть Р — какая-нибудь точка полиэдра К. Проведем из О\ в точ-
точку Р путь W. Соответствующий основной путь есть выходящий из точ-
точки О путь W. Пусть W' — начинающийся в О[и лежащий над W путь
полиэдра К', конечная точка которого Р'. Мы ставим тогда в соот-
соответствие точке Р точку Р'. Покажем, что это соответствие не зависит
от выбора соединяющего пути W. Пусть V — другой путь, соединяю-
соединяющий О\ с Р. Так как путь WV~X замкнут, то WV~X принадлежит к Н.
Но тогда лежащий над WV~X и начинающийся в точке О[ накрыва-
накрывающий путь также замкнут, так как при выборе точки О[ начальной
точкой замкнутых путей в К' фундаментальная группа полиэдра К'
отображается на Н. Таким образом пути W и V ведут в одну и ту
же конечную точку Р'. Так как при помощи обратной конструкции мы
от Р' однозначно переходим к Р, то установленное между точками К
и К' соответствие является взаимно однозначным.
Так как К и К' совершенно равноправны, то для установления
того, что получающееся отображение, есть гомеоморфизм, достаточно
показать его непрерывность в одном направлении, например, в направ-
направлении Р —>• Р'. Таким образом мы должны теперь показать, что для
заданной окрестности U'(P') можно найти окрестность U(P), образ
которой целиком лежит в U'(P'). Пусть U{ есть лежащая в U' отме-
отмеченная окрестность точки Р' (за такую окрестность можно взять, на-
например, пересечение с U' произвольной отмеченной окрестности точ-
точки Р'), a U' — отмеченная окрестность точки Р, являющаяся тополо-
Мы не предполагаем относительно К', что существует симплициальное разбие-
разбиение его, переходящее в симплициальное разбиение К. Более того, мы теперь совсем
не будем рассматривать никаких симплициальных разбиений.

248 Глава VIII
гическим образом U'. Пусть, далее, U — настолько малая окрестность
точки Р, что при отображении в К она переходит в подмножество U
окрестности Ui и, сверх того, каждую точку U можно соединить с Р
путем, целиком принадлежащим к U. Так как К есть комплекс, то
такую окрестность найти можно. Например, соответствующим обра-
образом подобранная симплициальная звезда с центром Р удовлетворяет
всем поставленным требованиям. Мы утверждаем, что при отображе-
отображении К на К' U переходит целиком внутрь U'. Пусть, в самом деле,
W — путь, идущий из О\ в Р. Выберем в качестве пути, идущего из О\
в точку Q окрестности U, путь W вместе с пробегающим внутри U
из Р в Q путем AW. Тогда основной путь W ¦ AW идет сначала из О
в Р, а затем пробегает внутри U\. Соответствующий путь W ¦ AW
полиэдра К' идет из О[ в Р' и остается затем в U{, а следователь-
следовательно, и подавно в U'. Поэтому образ точки Q, являющийся концом пути
W ¦ AW, лежит в U', что и требовалось доказать.
Мы получаем следующий окончательный результат.
Теорема. Накрытия полиэдра взаимно однозначно соответ-
соответствуют классам сопряженных подгрупп. Точнее: если К есть накры-
накрывающий полиэдр полиэдра К и за начальную точку замкнутых путей
в К выбрана точка О, лежащая над начальной точкой О замкнутых
путей К, то фундаментальная группа F полиэдра К отображается
на изоморфную с F подгруппу Н фундаментальной группы F полиэд-
полиэдра К. Если же вместо О начальной точкой выбрана другая лежащая
над О точка, то F отображается на подгруппу, сопряженную с Н.
Упражнения. 1. Какая связь существует между характеристиками ко-
конечного полиэдра и его д-кратного накрытия?
2. Если F есть свободная группа с а образующими, а Н — ее подгруппа
индекса г, то Н есть свободная группа с i(a — 1) +1 образующими. [Восполь-
[Воспользуйтесь тем, что F есть фундаментальная группа линейчатого комплекса
с характеристикой N = 1 — а (§ 47).]
3. Покажите, что единственным накрывающим просто-связного полиэд-
полиэдра является он сам.
§ 56. Универсальный накрывающий полиэдр
Среди накрывающих полиэдра К особенно большое значение име-
имеет накрывающий полиэдр, принадлежащий подгруппе Н = 1. Он на-
называется универсальным накрывающим полиэдра К. Универсальный
накрывающий полиэдр характеризуется тем, что его фундаментальная
группа F = Н состоит только из единичного элемента, т. е. он представ-

§56. Универсальный накрывающий полиэдр 249
ляет просто-связный полиэдр. Из теоремы, изложенной на стр. 248,
сразу получаем следующую теорему.
Теорема I. Для каждого связного полиэдра К существует одно-
однозначно определяемый накрывающий полиэдр, фундаментальная груп-
группа которого состоит только из единичного элемента, — универсаль-
универсальный накрывающий К.
Следующая теорема показывает, что универсальный накрываю-
накрывающий дает в известном смысле самое сильное накрытие.
Теорема П. Универсальный накрывающий полиэдр К характе-
характеризуется тем, что он является накрывающим для всякого другого
накрытия К полиэдра К.
Доказательство основывается на следующей лемме.
Лемма. Если полиэдр К есть накрывающий полиэдра К, а К —
накрывающий полиэдра К, то К является также накрывающим по-
полиэдра К.
Условие (Накр. 1), по которому над каждой точкой Р полиэдра К
лежит по крайней мере одна точка Р, очевидно, выполняется. Что-
Чтобы показать выполнимость условий (Накр. 2) и (Накр. 3), рассмотрим
симплициальное разбиение полиэдра К, соответствующее какому-ни-
какому-нибудь симплициальному разбиению основного полиэдра К, и симпли-
симплициальное разбиение полиэдра К, соответствующее этому разбиению
полиэдра К. Выберем, как мы это делали при доказательстве суще-
существования накрытия (стр. 245), в качестве отмеченных окрестностей
точек Р и накрывающих ее точек Pi, P2, • • • совокупность симплексов,
содержащих эти точки. Взятые таким образом симплициальные звез-
звезды отображаются друг на друга топологически. Отсюда следует, что
условия (Накр. 2) и (Накр. 3) выполняются, и, следовательно, лемма
справедлива.
Пусть теперь К есть универсальный накрывающий полиэдра К,
а К — накрывающий полиэдр полиэдра К. Тогда по лемме К накры-
накрывает К. Так как фундаментальная группа полиэдра К состоит толь-
только из единичного элемента, то К является универсальным накрываю-
накрывающим и для К, т. е. универсальный накрывающий полиэдра К накры-
накрывает также полиэдр К. Обратно, если накрывающий полиэдр полиэд-
полиэдра К накрывает всякий накрывающий полиэдр, то он накрывает также
и универсальный накрывающий К, т. е. совпадает с К (см. § 55, упр. 3).

250 Глава VIII
С примерами универсальных накрывающих полиэдров мы уже ча-
часто встречались. Евклидова плоскость представляет универсальный
накрывающий полиэдр тора (см. § 8 — отображение плоскости на тор,
получающееся там при отождествлении эквивалентных точек), а пря-
прямая линия — накрывающий полиэдр окружности. Вообще, n-мерное ев-
евклидово пространство представляет универсальный накрывающий по-
полиэдр топологического произведения а окружностей, а n-мерная сфе-
сфера — универсальный накрывающий n-мерного проективного простран-
пространства.
Упражнения. 1. К1 представляет линейчатый комплекс, состоящий
из сторон двух треугольников, имеющих одну общую вершину. Найдите его
универсальный накрывающий К1.
2. Полиэдр К2 получается из единичного круга отождествлением точек
его граничной окружности, расположенных на расстоянии (при измерении
вдоль окружности) —^ друг от друга (так что мы отождествляем в одну
точку р точек окружности). Покажите, что фундаментальная группа поли-
полиэдра К есть циклическая группа р-го порядка и что универсальный накры-
накрывающий К2 состоит из р кругов с общей границей.
§ 57. Регулярное накрытие
1-е определение. При отображении К на К фундаментальная груп-
группа F полиэдра К отображается в подгруппу группы F, зависящую, во-
вообще говоря, от того, какая именно из лежащих над О точек Oi ДJ, • • •
взята в качестве начальной точки замкнутых путей полиэдра К. Та-
Таким образом группе F соответствует либо подгруппа Hi, либо Нг и т. д.
Все эти подгруппы сопряжены в F и образуют полную систему сопря-
сопряженных подгрупп, причем среди них могут встречаться и одинаковые
подгруппы. В том случае, когда все эти подгруппы совпадают, т. е.
когда подгруппа, в которую переходит фундаментальная группа F,
есть нормальный делитель группы F, накрывающий полиэдр, называ-
называют регулярным накрывающим.
Примерами регулярных накрывающих являются все накрывающие то-
тора, так как фундаментальная группа тора коммутативна; универсальные на-
накрывающие, так как они принадлежат нормальному делителю Н = 1; дву-
двулистные накрывающие, так как подгруппа индекса 2 всегда есть нормальный
делитель.
2-е определение. Регулярное накрытие можно характеризовать
также тем, что либо все его пути, лежащие над одним и тем оке
замкнутым основным путем, одновременно замкнуты, либо они все
одновременно не замкнуты. Действительно, пусть Wj представляет на-

§ 57. Регулярное накрытие 251
пинающийся в Oj накрывающий путь, лежащий над замкнутым пу-
путем W. Тогда Wi замкнут или не замкнут в зависимости от того, при-
принадлежит ли W к Hj или нет. Если теперь все сопряженные подгруп-
подгруппы Hj совпадают, например равны Н, то либо путь W принадлежит
всем этим подгруппам — и тогда все пути Wi замкнуты, — либо W
не принадлежит ни одной из них — и тогда все они не замкнуты. Ес-
Если, с другой стороны, не все Hj совпадают друг с другом, — например
Hi ф Нг, — то существует путь W, принадлежащий к Hi, но не при-
принадлежащий к Нг. Тогда путь W\ замкнут, a Wi не замкнут.
То, что мы взяли за начальную точку пути W точку О, не пред-
представляет существенного ограничения, так как каждый замкнутый путь
полиэдра К всегда можно превратить при помощи выходящего из О
вспомогательного пути, пробегаемого туда и обратно, в путь, выходя-
выходящий из О.
Приведенное на стр. 235 рис. 103, I трехлистное накрытие тора не яв-
является регулярным. В самом деле, путь, соответствующий параллели левой
ручки, замкнут или нет, смотря по тому, начинается ли он в листе 3 или
в листе 2.
3-е определение. Регулярное накрытие можно характеризовать еще
и третьим способом, именно, при помощи понятия скольжения. Сколь-
Скольжение накрывающего полиэдра К определяется как топологическое
отображение полиэдра К на себя, при котором каждая точка полиэдра
остается лежать над той же самой основной точкой. Таким образом при
скольжении полиэдра К точки, имеющие один и тот же образ на К,
лишь меняются местами. Существует самое большее одно скольжение,
переводящее точку О\ в другую, лежащую над О точку, например,
в точку С>2- Действительно, пусть Р — произвольная точка полиэдра К.
Проведем из О\ в Р путь W\. Пусть W — соответствующий основной
путь. При скольжении путь W\ переходит в выходящий из О2 и лежа-
лежащий над W путь Wi, так что Р переходит в одпозначно определяемую
точку, именно, в конец пути Wi. Все скольжения, допускаемые полиэд-
полиэдром К, образуют, очевидно, группу — группу скольжении D накрыва-
накрывающего полиэдра. Группа эта может состоять только из тождественного
отображения, — это крайний случай. Другой крайний случай мы име-
имеем, когда порядок группы скольжении равен числу листов накрытия.
Это имеет место тогда, когда точку О\ можно перевести посредством
скольжения в каждую из остальных точек Ог, Оз> • • •; другими словами,
когда группа перемещает лежащие над О точки транзитивно.
Третья характеристика регулярного накрытия формулируется те-
теперь так: К представляет регулярное накрытие полиэдра К в том
и только в том случае, когда лежащие над какой-нибудь точкой по-

252 Глава VIII
лиэдра К точки накрывающего К перемещаются группой скольже-
скольжении транзитивно. В самом деле, если накрытие не регулярно, то в по-
полиэдре К существует, как мы знаем, путь W, над которым лежат как
замкнутые, так и не замкнутые пути. Но тогда, очевидно, группа сколь-
скольжений не может быть транзитивной, так как при скольжении замкну-
замкнутый путь может переходить только в замкнутый же. Обратно: мы знаем
из § 55, что два накрывающие полиэдра К и К', определяющие один
класс сопряженных подгрупп (т. е. в нашем случае один и тот же нор-
нормальный делитель Н), допускают топологическое отображение друг на
друга, при котором соответствующие точки имеют одну и ту же основ-
основную точку в К. При этом можно любую, лежащую над О точку О\
перевести в произвольную точку О[ полиэдра К', — если только при
выборе О[ в качестве начальной точки замкнутых путей фундамен-
фундаментальная группа F отображается в ту же подгруппу группы F, в кото-
которую отображается группа F накрывающего полиэдра К при выборе О[
начальной точкой. Если теперь, как в нашем случае (при регулярном
накрытии), Н — нормальный делитель группы F, то это условие выпол-
выполнено всегда, как бы ни была выбрана над точкой О точка О[. Предпо-
Предполагая, что К и К' совпадают, мы получим скольжение накрывающего
полиэдра К, переводящее О\ в произвольную, лежащую над О точку.
Для иллюстрации можно воспользоваться двумя накрытиями
двойного тора, описанными в § 53. Первое накрытие, как мы видели,
нерегулярно, поэтому его группа скольжений не может быть транзи-
транзитивной. Группа эта, более того, содержит только единичный элемент,
т. е. «неподвижное» скольжение является единственно возможным. Об
этом нетрудно заключить хотя бы из того, что средний лист 2 рассека-
рассекается в обеих ручках, в то время как каждый из листов 1 и 3 рассекается
только в одной ручке. Во втором накрытии, напротив, три листа можно
перемещать циклически, так что мы имеем регулярное накрытие.
При регулярном накрытии группа скольжений D изоморфна до-
дополнительной группе F/H. Смежные классы разложения группы F по
подгруппе Hi = Н
взаимно однозначно соответствуют лежащим над О точкам О\, Ог,...
С другой стороны, каждой точке 0$ соответствует скольжение Du,
переводящее О\ в 0$. Поэтому между классами смежности H{i*ij}
и скольжениями Du, имеется взаимно однозначное соответствие
ВДО < > Du.
Для того чтобы показать, что это соответствие осуществляет изо-
изоморфизм между дополнительной группой F и группой скольжении D,

§ 57. Регулярное накрытие 253
определим скольжение, соответствующее произведению двух классов
Flt
Рис. 108
Для того чтобы прийти в точку Ofe, мы идем из О\
в Oj вдоль пути F\i и затем далее в Ok вдоль пути Fn~,
начинающемся в Oj и лежащим над F\j (рис. 108). Fn~
и Fij лежат над одним и тем же основным путем F\j,
поэтому Fik можно получить из F\j при помощи сколь-
жения Лц. Таким образом Dn переводит точку Oj в Ok,
а скольжение DijDy (сначала Dy, затем Dij!) — точку Oi
в Ok, т.е. DuDij = D\k- Это и означает, что произведе-
произведению H{Fn} ¦ H{Fij} соответствует произведение скольже-
скольжений DuDij. Напомним при этом, что произведение двух
путей получается, если мы идем сначала по пути, пред-
представляющему левый множитель, а затем по пути, представ-
представляющему правый множитель (стр. 195); произведение же
двух движений получается, если мы выполняем сначала
движение, указываемое правым, а затем левым множите-
множителем. Если в частности Н = 1, т.е. К — универсальный
накрывающий полиэдр, то F/H = F и группа скольжении
изоморфна фундаментальной группе основного комплекса. Таким об-
образом мы выяснили, что фундаментальная группа полиэдра К есть не
что иное, как группа скольжений его универсального накрывающего.
Так, например, фундаментальная группа проективной плоскости есть
группа второго порядка; это соответствует тому, что группа скольжений уни-
универсальной накрывающей поверхности — сферы — состоит из двух скольже-
скольжений: тождественного скольясения и отражения в центре сферы (замена друг
другом диаметрально-противоположных точек). Фундаментальная группа
тора имеет соотношение ABA'1 В = 1, т.е. является свободной абелевой
группой с двумя образующими (стр. 219). Группа скольжений образуется
трансляциями евклидовой плоскости, переводящими в себя сеть прямоуголь-
прямоугольников (§8).
В случае нерегулярного накрытия группу скольжений D также
можно рассматривать как дополнительную группу. Именно, если Hj
означает, как и раньше, подгруппу группы F, которая при начальной
точке замкнутых путей Oj соответствует фундаментальной группе по-
полиэдра -ЕС, a Zj есть нормализатор (так называемая Zwischengruppe)
подгруппы Hj в F, т. е. совокупность элементов {W} группы F, для
которых {И^}—1Нг{И^} = Н, то D изоморфно дополнительной груп-
группе Zj/Hj.
Упражнения. 1. Проведите доказательство последнего утверждения.

254 Глава VIII
2. Если n-мерный полиэдр Кп имеет универсальным накрывающим
n-мерную сферу Sn, то при четном п порядок фундаментальной группы
полиэдра Кп равен 1 или 2. [Характеристика полиэдра Кп есть делитель
характеристики сферы Sn.]
3. Докажите, что фундаментальная группа ориентируемой поверхности
рода h = 4 изоморфна как нормальному делителю, так и одной из трех со-
сопряженных подгрупп фундаментальной группы ориентируемой поверхности
рода h = 2. [См. в § 53 примеры накрывающих двойного тора.]
4. Неориентированные линейные элементы проективной плоскости об-
образуют трехмерное многообразие, так называемое пространство кватернио-
кватернионов. Его фундаментальная группа есть группа кватернионов. Воспользуйтесь
тем, что все подгруппы группы кватернионов известны и определите все 2-,
4- и 8-листные накрывающие полиэдры пространства кватернионов. Опре-
Определите, какие из этих накрывающих гомеоморфны пространству ориентиро-
ориентированных линейных элементов проективной плоскости и пространствам неори-
неориентированных и ориентированных линейных элементов сферы (см. упр. 3
стр. 78 и примечание12).
§ 58. Группа монодромии
Мы переходим теперь к вопросу о нахождении всех конечнолист-
ных накрытий конечного полиэдра К. Предположим, что кратность
накрытия равна д.
Пусть W — выходящий из О замкнутый путь полиэдра К. Тогда
существует д накрывающих путей W\, W2, ¦ ¦ ¦, Wg, имеющих началь-
начальными точками соответственно О\, Ог, •••, Од. Конечные точки этих
путей также попарно различны. Пусть эти конечные точки обозначе-
обозначены буквами Ofex, Ofe2, • • •, Ofeg. Поставим тогда пути W в соответствие
подстановку
1 2 ... д
Очевидно, гомотопным путям соответствуют при этом одинаковые под-
подстановки, а произведению W\Wi двух путей соответствует произведе-
произведение подстановок путей W\ и Wi. Таким образом получается гомоморф-
гомоморфное отображение фундаментальной группы F на некоторую группу М,
состоящую из подстановок д чисел. Группа М называется группой мо-
монодромии накрывающего полиэдра.
Нетрудно определить все элементы фундаментальной группы F,
отображающиеся в единичный элемент группы М. Такими элемента-
элементами являются классы замкнутых путей W полиэдра К, обладающих
тем свойством, что всякий путь в К, накрывающий путь W, всегда за-
замкнут, какая бы из точек О\, Ог, • • •, Од ни была взята за начальную.
См., например, A. Speiser, Gruppen von endlicher Ordnung (Berlin 1927), стр. 76.

§58. Группа монодромии 255
Пусть Hi, H2, ..., Нэ означают, как и раньше, сопряженные подгруп-
подгруппы, соответствующие фундаментальной группе полиэдра К, когда за
начальные точки выбраны точки О\, О^, ..., Од. Тогда пути W соот-
соответствует единичная подстановка в том и только в том случае, если
этот путь принадлежит пересечению Т всех подгрупп Hi, H2, ..., Нэ.
Поэтому имеет место следующая теорема.
Теорема. Группа монодромии М накрывающего полиэдра К
изоморфна дополнительной группе F/T фундаментальной группы F
основного полиэдра по подгруппе Т, где Т представляет пересечение
сопряженных подгрупп Hi, H2, ..., Нэ, к которым принадлежит на-
накрытие К. Порядок группы М вследствие этого всегда ^ g (числа ли-
листов). Знак равенства имеет место лишь в том случае, если все под-
подгруппы Hi, H2, ..., Нэ совпадают, т. е. когда К представляет регу-
регулярное накрытие. Тогда группа монодромии изоморфна дополнитель-
дополнительной группе F/Hi и, следовательно, в силу § 57, 3 изоморфна группе
скольжений накрывающего полиэдра.
Вообще, если каждому элементу какой-нибудь группы F ставит-
ставится в соответствие подстановка из g цифр так, что произведению двух
элементов соответствует произведение отнесенных им подстановок, то
говорят, что имеется представление группы F. Если два представления
одной группы обладают тем свойством, что одно получается из другого
некоторой перестановкой цифр 1, 2, ..., д, то эти представления счи-
считаются одинаковыми. Таким образом накрывающий полиэдр К инду-
индуцирует представление фундаментальной группы F основного полиэдра.
Связность полиэдра К выражается в транзитивности представления:
если г и j — какие-нибудь два элемента подстановок, то существует
элемент {W} группы F, переводящий i в j. Чтобы убедиться, что это
так, нужно взять только в качестве W основной путь, соответствующий
пути W накрытия, соединяющему точки 0$ и Oj друг с другом.
Покажем теперь, что и, обратно, каждому транзитивному пред-
представлению Р фундаментальной группы F принадлежит в точности один
накрывающий полиэдр К. Пусть Hi — подгруппа элементов группы F,
оставляющих на месте цифру 1. Hi состоит, таким образом, из совокуп-
совокупности путей, для которых накрывающие пути искомого накрытия К,
начинающиеся в точке О\, замкнуты. Но это означает, что К принад-
принадлежит подгруппе Hi. Если поэтому накрывающий полиэдр, индуциру-
индуцирующий заданное представление Р группы Hi вообще существует, то он
представляет накрывающий полиэдр К, принадлежащий подгруппе Hi
группы F. Обратно, представление Р' группы F, индуцируемое накры-
накрытием К, ставит в соответствие путям, принадлежащим подгруппе Hi
притом только этим путям, подстановки, оставляющие цифру 1 на ме-

256 Глава VIII
сте. Но тогда, вследствие леммы из теории групп, которую мы сейчас
докажем, представления Р и Р' совпадают.
Лемма. Транзитивное представление Р группы F определяется
подгруппой Нъ которая состоит из всех элементов, оставляющих на
месте цифру 1.
Доказательство. В разложении*
все элементы одного смежного класса переводят цифру 1 в одну и ту
же цифру, элементы же из разных классов переводят 1 в различные
цифры. Мы можем принять, что элементы смежного класса Hiji^ij}
переводят 1 в г. Так как подстановки представления Р содержат толь-
только цифры от 1 до g и так как вследствие транзитивности Р существуют
элементы F, переводящие 1 в любую из цифр 1, 2, ¦ ¦ ¦, д, то в разложе-
разложении F по Hi существует в точности д классов смежности:
F = B1{F11} + Hi{.F12} + ... + B1{Flg}.
Поэтому если {W} — какой-нибудь элемент группы F, то мы можем
узнать, в какую цифру подстановка, соответствующая элементу {W},
переводит произвольную цифру г. В самом деле, {-FhHW'} принад-
принадлежит определенному смежному классу, например Hi{Fn~}; {Fn}{W}
переводит тогда 1 в к, а потому {И^} переводит i в к, чем лемма и до-
доказывается.
Таким образом мы свели вопрос об определении всех g-кратных на-
накрытий конечного полиэдра К к вопросу о нахождении всех представ-
представлений фундаментальной группы F полиэдра К посредством транзи-
транзитивных групп подстановок из g элементов32. А этот вопрос можно
решить, например, следующим способом. Начнем с того, что, следуя
описанному в § 46 процессу, найдем образующие
Ai, A2, ..., As
фундаментальной группы F полиэдра К и соотношения
R^Ai) = 1, R2(Ai) = 1, ..., Rr(Ai) = 1.
Очевидно, представление Р группы F определено полностью, ес-
если мы знаем, какие подстановки поставлены в соответствие образую-
образующим. Поставим теперь в соответствие образующим А\, А2, ..., As про-
произвольные подстановки Р\, Р2, ¦ ¦ ¦, Ps из g цифр 1, 2, ..., g и проверим,
выполняются ли следующие два условия:
Доказываемая лемма относится к абстрактной теории групп, и элементы F мо-
могут и не быть классами путей. Однако мы удерживаем здесь, чтобы не менять
обозначений, прежнее обозначение групповых элементов при помощи фигурных
скобок.

§58. Группа монодромии 257
(Mi) Подстановки Rj(Pi), принадлежащие левым частям Rj(Ai)
определяющих соотношений группы F, суть единичные подстановки.
(М2) Группа, образованная подстановками Рь Р2, ..., Ps, транзи-
тивна.
Условие (Mi) эквивалентно условию, что двум произведениям
П(^4^) и Il'(Ai), представляющим один и тот же элемент группы F, ста-
ставится в соответствие одна и та же подстановка, что соответствие меж-
между элементами группы F и подстановками однозначно. Тогда условие,
в силу которого произведению двух элементов группы относится про-
произведение соответствующих подстановок, выполняется, очевидно, само
собой. Так как существует лишь конечное число возможностей устано-
установить соответствие между конечным числом образующих А\, А2, ..., А8
группы F и подстановками из g элементов, то при помощи конечного
числа испытаний мы можем найти все представления группы F. Ес-
Если представление уже найдено, то мы находим подгруппу элементов
группы F, оставляющих на месте цифру 1, и затем, следуя § 55, строим
соответствующий накрывающий полиэдр.
Так как каждое скольжение осуществляет некоторую перестановку ле-
лежащих над точкой О точек Oi, O2, ..., Og, то группу скольжении, D ре-
регулярного накрывающего полиэдра также можно представить как регуляр-
регулярную группу подстановок чисел 1, 2, ..., g . Однако только в том случае, ко-
когда группа скольжений абелева, эти подстановки совпадают с подстановками
группы монодромии М. Именно, оба представления группы F/H регулярны-
регулярными группами подстановок являются известными из теории групп представле-
представлениями, получающимися в том случае, когда мы относим элементу Q группы
F/H один раз подстановку
Х2 ... Xg
X2Q ... XaQ
)
i, X2, ..., Xg — элементы группы F/H), а другой раз — подстановку
Х2 ... Хд
QX2 ...
Первая группа подстановок есть группа монодромии, а вторая — груп-
группа скольжений. Действительно, для того чтобы получить группу монодро-
монодромии (соответственно, группу скольжений) как группу подстановок точек
О\, Ог, • • •, Од, достаточно только заменить в этих перестановках элементы
группы F/H точками Oi, О2, ¦ ¦ ¦, Од (эти точки находятся во взаимно одно-
однозначном соответствии со смежными классами разложения группы F по Н).
Тогда подстановки обеих групп совпадают лишь в том случае, когда для каж-
каждого Q имеет место равенство XiQ = QXi, т.е. когда группа F/H абелева.
'Группа подстановок порядка п называется регулярной, если подстановки, из
которых она состоит, являются подстановками п элементов.

258
Глава VIII
В качестве приложения теории на-
накрывающих определим трех- и четырех-
четырехлистные накрытия дополнительного про-
пространства простейшего узла, проекция ко-
которого обозначена на рис. 109 жирной ли-
линией . Фундаментальная группа этого до-
дополнительного пространства, как доказа-
доказано на стр. 232, имеет соотношение
А2 = В3.
При этом А гомотопно средней линии
трехмерного кольца, лежащего в конечной
части пространства, а В — средней ли-
линии оставшегося трехмерного кольца (оба
трехмерных кольца вместе образуют до-
дополненное несобственной точкой до трех-
трехмерной сферы трехмерное евклидово про-
пространство).
Для того чтобы найти трехлистные
накрытия, мы должны поставить в соот-
соответствие элементу В подстановку из трех чисел, куб которой дает квадрат
другой подстановки. Очевидно, здесь имеются лишь две возможности: либо
элементу В относится тождественная подстановка, либо циклическая. Одна-
Однако, так как группа должна быть транзитивной, тождественная подстановка
исключается. Поэтому
В^ A23).
Для А тогда имеются две возможности: либо тождественная подстановка
(I)
либо
А^{12){3). (II)
В случае (I) группа монодромии есть циклическая группа третьего поряд-
порядка, т.е. соответствующее накрытие регулярно. В случае же (II) эта группа
представляет дидергруппу (Diedergruppe) шестого порядка (или группу ан-
ангармонических отношений). Так как порядок ее 6, т. е. больше, нежели число
листов C), то накрытие нерегулярно. В случае (I) «меридиану» ВА~г со-
соответствует циклическая подстановка A2 3). Поэтому в накрывающем про-
пространстве мы возвращаемся к исходной точке лишь после трехкратного об-
обхода узла. Иначе обстоит дело в случае (II). Здесь ВА~г = A) B3). Поэтому
путь, накрывающий меридиан и начинающийся в Oi, замкнут, а начинаю-
начинающийся в Ог замыкается лишь после двухкратного обхода. Таким образом
получаются трехлистные накрытия.
*Этот интересный пример возник в результате переписки с H.Kneser'om.
**Относительно представления подстановок циклами см. A. Speiser, Theorie der
Gruppen von endlicher Ordnung, Berlin 1927, стр. 106.

§58. Группа монодромии 259
При определении четырехлистных накрытий в соответствие элементу В
не может быть поставлена ни циклическая подстановка A2 34), ни подста-
подстановка A 2) C) D), так как третья степень этих подстановок не может быть
равна квадрату какой-нибудь подстановки. Тождественная подстановка ис-
исключается вследствие транзитивности группы монодромии. Остаются только
два возможных случая
В ^A2 3) D), (I)
В -A3) B4). (II)
В случае (I) В3 = A) B) C) D), а следовательно, и А2 = A) B) C) D). Поэто-
Поэтому А может переставлять либо только два элемента, либо два раза по два
элемента. Принимая во внимание еще транзитивность группы монодромии,
мы получаем в случае (I) только две возможности
A ^A4) B3), (ПО
а в случае (II) — одну
А->A234). (II)
Таким образом имеются три четырехлистных накрытия пространства, до-
дополнительного к простейшему узлу. Только одно из них — последнее — пред-
представляет регулярное накрытие с циклической группой скольжений. В слу-
случае (II) группа монодромии есть симметрическая группа четырех цифр
(группа октаэдра), в случае же Aг) — знакопеременная группа (группа тет-
тетраэдра). Меридиану ВА~г соответствуют в рассматриваемых трех случаях
следующие перемещения листов
A234), A0
A3 4) B), A2)
A23 4), (II)
Назовем д-кратное накрытие узла цикличным в малом (im Kleinen) в том
случае, когда маленький круг должен быть обведен вдоль узла д раз для то-
того, чтобы соответствующий накрывающий путь получился замкнутым. То-
Тогда (Ii) и (II) цикличны в малом. Однако только (II) также цикличен в целом
(im Grossen) (если понимать под этим регулярное накрытие с циклической
группой скольжения). В § 77 мы познакомились с другим определением на-
накрытия, цикличного в целом. Там будет также показано, что каждое накры-
накрытие, цикличное в целом, также циклично в малом. Если речь идет просто
о цикличном накрытии, то мы понимаем всегда под этим накрытие, циклич-
цикличное в целом.
Для простейшего узла всегда имеется при любом числе листов д накры-
накрытие, цикличное в целом. Оно определяется подстановками
В->{\2...дJ, A = {\2...gf.

260 Глава VIII
Стоящие наверху числа 2 и 3 являются здесь показателями степени цикличес-
циклической подстановки. В § 77 мы увидим, что для любого узла всегда существует
в точности одно циклическое накрытие с данным числом листов.
Упражнения. 1. Определите пятилистные накрытия простейшего узла
(таких накрытий существует два).
2. Покажите, что существует 15 различных двулистных накрытий двой-
двойного тора.
До сих пор мы пользовались теорией групп для исследования накрытий
полиэдра. Обратно, в вопросе о нахождении образующих и соотношений под-
подгруппы Н по образующим и соотношениям группы F теория накрывающих
оказывает услуги теории групп. Пусть F имеет образующие Ai, A2, ¦ ¦ ¦, Аа
и соотношения Ri(A1,) = 1, ..., Rr(A1,) = 1. Построим поверхностный ком-
комплекс К с одной вершиной О, ребрами Ai, A2, ¦ ¦ ¦, Аа, дающими после ориен-
ориентации их образующие фундаментальной группы полиэдра К, и г элементами
поверхности, натянутыми на замкнутые пути B.i(Av), ..., B,r(Av). В силу
§ 46 F представляет тогда как раз фундаментальную группу полиэдра К.
Подгруппу Н можно рассматривать теперь как фундаментальную группу
принадлежащего Н накрывающего полиэдра К. Предположим для простоты,
что число листов д, равное индексу Н в F, конечно. Тогда К есть поверхност-
поверхностный комплекс, состоящий из д вершин, ад ребер и гд элементов поверхности.
Тогда образующие и соотношения можно определить, пользуясь процессом,
описанным в § 46. Изложенный метод, принадлежащий К. Райдемейстеру,
можно изложить независимо от его геометрической оболочки в терминах
чистой теории групп. См. К. Reidemeister [1], [7].

Глава IX
Трехмерные многообразия
§ 59. Общие свойства
Трехмерное замкнутое многообразие М3 есть трехмерный связ-
связный конечный полиэдр, у каждой точки которого имеется окрестность,
гомеоморфная внутренности трехмерного шара. «Замкнутость» озна-
означает здесь, как и в случае поверхности, компактность полиэдра; ей со-
соответствует конечность комплекса, получающегося при симплициаль-
ном разбиении полиэдра, и отсутствие у него границы. Мы будем вна-
вначале рассматривать только замкнутые многообразия, вследствие чего
обычно термин «замкнутый» будем опускать. По теореме II § 33 груп-
группы Бетти в каждой точке многообразия М3 являются группами Бет-
Бетти двумерной сферы. Поэтому числа Бетти окрестностного комплекса
ро=р2 = 1,р1 =0.
Мы хотим теперь сформулировать в комбинаторных терминах
свойство комплекса быть трехмерным многообразием. С этой це-
целью рассмотрим какое-нибудь определенное симплициальное разбие-
разбиение многообразия М3. Каждый двумерный симплекс Е2 должен быть
инцидентен в точности с двумя трехмерными симплексами, так как
иначе двумерное число Бетти р2 в центре симплекса Е2 не будет рав-
равно 1 (см. 2-й пример § 32). Отсюда вытекает, что двумерные и трехмер-
трехмерные симплексы, примыкающие к ребру Е1 многообразия М3, образуют
одну или несколько, допустим I, циклических последовательностей, со-
составленных попеременно из двумерных и трехмерных симплексов так,
что каждые два рядом стоящие симплекса последовательности инци-
инцидентны друг с другом. Покажем, что I должно равняться 1. В самом
деле, окрестностный комплекс центра симплекса Е1 состоит из дву-
двумерных сфер, имеющих общими лишь граничные точки симплекса Е1.
Поэтому двумерное число Бетти окрестностного комплекса равно I.
С другой стороны, как указывалось выше, оно равно единице. Отсюда
и следует, что 1 = 1.
Рассмотрим, наконец, симплициальную звезду, образованную сим-
симплексами многообразия М3, примыкающими к вершине Е°. Край этой
звезды представляет двумерный комплекс, у которого каждый одно-
одномерный симплекс инцидентен в точности с двумя двумерными, в то
время как симплексы, примыкающие к одной вершине, образуют в точ-
точности одну циклическую последовательность (иначе соответствующие

262 Глава IX
свойства не имели бы места по отношению к симплексам размерно-
размерностей 2 и 3, так как эти симплексы можно получить из одномерных
и двумерных симплексов края звезды проектированием из Е°). Таким
образом край звезды состоит из одной или нескольких замкнутых по-
поверхностей. Легко обнаружить, что она состоит в точности из одной
замкнутой поверхности, — это следует из равенства единице ее нуль-
нульмерного числа Бетти р° = 1 (§ 18). Так как, далее, р1 = 0, то такой
поверхностью может быть либо сфера, либо проективная плоскость;
последняя, однако, отпадает, ввиду того, что р2 = 1 (§ 41).
Обратно, нетрудно убедиться, что если окрестностный комплекс
каждой вершины симплициального комплекса представляет сферу, то
этот симплициальный комплекс является трехмерным многообразием.
В самом деле, из сделанного предположения вытекает, что каждый дву-
двумерный симплекс инцидентен в точности с двумя трехмерными и что
симплексы, примыкающие к каждому ребру, образуют в точности од-
одну циклическую последовательность, т. е. что каждая точка комплекса
имеет окрестность, гомеоморфную трехмерной сфере. Таким образом
мы получаем следующий результат:
Теорема I. Трехмерный связный конечный симплициальный
комплекс представляет замкнутое многообразие в том и только
в том случае, если окрестностный комплекс каждой его вершины,
является двумерной сферой.
Из этой теоремы вытекает
Теорема II. Каждое трехмерное замкнутое многообразие пред-
представляет одновременно замкнутое псевдомногообразие.
Для доказательства нужно лишь убедиться в том, что два трех-
трехмерных симплекса можно соединить цепью, состоящей из двумерных
и трехмерных симплексов. Совокупность всех трехмерных симплексов,
которые можно соединить с фиксированным трехмерным симплексом,
образует некоторый подкомплекс. Если этот подкомплекс не исчерпы-
исчерпывает всего многообразия М3, то он может иметь общими с остающейся
частью многообразия только вершины или ребра, но не двумерные сим-
симплексы. Но тогда окрестностный комплекс такой вершины или центра
такого ребра, наверное, не является сферой, а состоит из двух подком-
подкомплексов, имеющих, самое большее, общие вершины.
Теорема II дает возможность различать ориентируемые и неори-
ентируемые трехмерные многообразия.
В дальнейшем мы докажем закон двойственности Пуанкаре, утвер-
утверждающий, что для n-мерных замкнутых многообразий числа Бетти по
модулю 2 связаны соотношениями q1 = qn~% (§ 69). В случае п = 3 этот
закон дает
<? = <? и ?=<?. A)

Представление трехмерных многообразий... 263
Отсюда следует, что эйлерова характеристика в трехмерном случае
N = q°-q1+q2-q3=0. B)
Теорема III. Эйлерова характеристика трехмерного замкну-
замкнутого многообразия равна 0.
Как показано в § 23, эйлерова характеристика равна альтерниро-
альтернированной сумме чисел Бетти:
N = p°-p1+p2-p3.
Так как р° для связного комплекса всегда равно 1, а р3 = 1 или О
в зависимости от того, ориентируемо М3 или нет (§24), то отсюда
следует, что
р2 = р1 для ориентируемых многообразий,
р2 = р1 — 1 для неориентируемых многообразий.
Из § 24 следует далее, что трехмерное многообразие имеет кру-
кручение только в том случае, если оно неориентируемо; в этом случае
существует в точности один двумерный коэффициент кручения, рав-
равный 2. Таким образом для того чтобы знать все численные инвари-
инварианты трехмерного многообразия, достаточно знать, ориентируемо оно
или нет, и знать его одномерные численные инварианты. Одномерные
же инварианты, как показано в § 48, можно найти, зная фундаменталь-
фундаментальную группу многообразия. Поэтому фундаментальная группа является
важнейшей характеристикой трехмерного многообразия.
Из равенства р2 = р1 — 1 следует, что для неориентируемого много-
обризия р1 = р2 +1, т. е. в этом случае р1, наверное, > 0. Таким образом
получается
Теорема IV. Одномерная группа Бетти, и тем более фун-
фундаментальная группа неориентируемого трехмерного многообразия,
представляет бесконечную группу.
Как показывает пример топологического произведения проектив-
проективной плоскости на (п — 2)-мерную сферу (§43, 1), эта теорема имеет
место только по отношению к размерности 3.
§ 60. Представление трехмерных многообразий
посредством многогранников
Аналогично тому, как поверхность можно задавать многоугольни-
многоугольником, стороны которого попарно поставлены в соответствие друг другу,

264 Глава IX
так трехмерное многообразие М3 можно задавать трехмерным много-
многогранником, гомеоморфным шару, у которого грани попарно отнесены
друг к другу. Так, М3 можно построить, взяв конечное число трехмер-
трехмерных симплексов и отождествив некоторые из их сторон (§ 10). Постро-
Построение можно производить постепенно: мы исходим от одного симплекса,
присоединяем к нему вдоль какой-нибудь двумерной грани другой сим-
симплекс и т. д. Присоединение трехмерных симплексов можно всегда осу-
осуществлять так, что в конце построения мы придем к симплициальному
комплексу, гомеоморфному шару. Граница этого шара будет разбита
на симплексы и каждые два двумерных симплекса границы будут со-
соответствовать одному треугольнику многообразия JVf3. Таким образом
всякое трехмерное многообразие М3 можно представлять себе в ви-
виде шара, двумерные симплексы границы которого считаются попарно
эквивалентными и отождествляются.
Мы можем освободиться от условия, что поставленные друг другу
в соответствие стороны являются непременно треугольниками. С этой
целью мы определим трехмерный многогранник как шар (или тополо-
топологический образ шара), граница которого R разбита на многоугольники,
причем должны выполняться следующие условия:
Каждый многоугольник есть по меньшей мере двуугольник; каж-
каждая точка границы R принадлежит по крайней мере одному много-
многоугольнику; каждые два многоугольника либо совсем не имеют общих
точек, либо имеют общими некоторые вершины и ребра . Вершины,
ребра и многоугольники границы R мы называем вершинами, ребрами
и гранями (или сторонами) многогранника. Так, например, додекаэдр
представляет многогранник с 12 гранями, 30 ребрами и 20 вершинами.
Точно так же является многогранником шар, разбитый окружностью
большого круга на два полушария, если только мы подразделим окруж-
окружность большого круга на части по меньшей мере двумя вершинами.
При помощи барицентрического подразделения из многогранника
можно получить Симплициальный комплекс. Барицентрическое под-
подразделение особого алгебраического комплекса нужно производить сле-
следующим образом: сначала каждое ребро многогранника разбивается
своей серединой на два частичных симплекса; точнее, прямолинейный
барицентрически подразделенный одномерный симплекс, представля-
представляющий симплициальную звезду St1, отображается топологически на
каждое из ребер полиэдра. Граница стороны а2 полиэдра превращает-
превращается при этом в гомеоморфный окружности симплициальный комплекс.
Мы берем теперь симплициальную звезду St2, край которой подраз-
подразделен симплициально так же, как граница стороны а2, и отображаем
эту звезду топологически на а2 так, чтобы симплициальное разбиение
'Граница многогранника представляет гомеоморфную сфере специальную по-
поверхность в смысле § 37, специальную потому, что элементы поверхности являются
сейчас сами многоугольниками, вследствие чего самокасания исключены.

Представление трехмерных многообразий... 265
края звезды St перешло бы в симплициальное разбиение границы сто-
стороны а2. При этом а2 сама превращается в симплициальную звезду.
Поступая так со всеми остальными сторонами многогранника, мы сде-
сделаем из границы многогранника а3 симплициальный комплекс.
Далее, мы берем симплициальную звезду St3, граница которой
представляет симплициальный комплекс, имеющий ту же схему, что
и получившаяся граница многогранника а3, и отображаем St3 топо-
топологически на а3 так, чтобы симплициальное разбиение границы звез-
звезды St3 перешло в симплициальное разбиение границы многогранни-
многогранника а3. Получающееся при этом симплициальное разбиение многогран-
многогранника называется его (первым) барицентрическим подразделением.
Пусть теперь стороны многогранника поставлены попарно в со-
соответствие друг другу, а именно, посредством таких топологических
отображений, которые переводят вершины в вершины и ребра в ребра
(при этом предполагается, что отнесенные друг другу стороны имеют
равные количества вершин). Потребуем, кроме того, чтобы при каж-
каждом таком топологическом отображении частичные симплексы бари-
барицентрических подразделений обеих сторон отображались друг на друга
линейно. Соответствие сторон делает некоторые ребра и некоторые вер-
вершины полиэдра эквивалентными. Однако мы здесь раз навсегда пред-
предполагаем, что при этом никакое ориентированное ребро не становится
эквивалентным самому себе, взятому с противоположной ориентаци-
ориентацией, т. е. что никакое ребро не имеет эквивалентных внутренних точек.
Это условие не налагает никаких существенных ограничений, так как
ориентированное ребро, эквивалентное самому себе, взятому с проти-
противоположной ориентацией, может быть подразделено на два ребра, ни
одно из которых уже не имеет эквивалентных внутренних точек. На-
Напротив, две граничные точки одного ребра могут быть эквивалентны.
Мы обозначим вершины, являющиеся эквивалентными в силу уста-
установленного соответствия сторон, через 'а°, "а°,...; после отождествле-
отождествления эквивалентных точек все эти вершины сливаются в одну и ту же
точку а®; индекс v пробегает значения от 1 до а0. Точно так же си-
систему эквивалентных ребер мы обозначим через ' а},, " а},,... . Число
систем эквивалентных ребер пусть будет равно а1, так что v пробегает
значения от 1 до а1. Две эквивалентных стороны обозначим через 'а2
и "а2; всего пусть имеется а2 таких пар эквивалентных сторон. Нако-
Наконец весь многогранник назовем 'а3. Ясно, что после отождествления
эквивалентных точек 'а3 превращается в комплекс. В самом деле, ба-
барицентрическое подразделение многранника 'а3 после отождествления,
вообще говоря, не дает еще симплициального комплекса, так как неко-
некоторые неэквивалентные симплексы подразделения многогранника 'а3
могут иметь эквивалентные вершины, так что после отождествления
'Речь идет здесь о вершинах, ребрах и сторонах многогранника, а не его бари-
барицентрического подразделения.

266 Глава IX
могут найтись разные симплексы, имеющие полностью совпадающие
вершины. Другими словами, для разбитого на симплексы точечного
множества, получающегося из многогранника после отождествления
эквигалентных точек, может не выполняться условие (/сз) § 10. Одна-
Однако, если мы еще раз произведем барицентрическое подразделение всех
симплексов уже подразделенного барицентрически полиэдра' а3, то по-
после отождествления мы получим симплициальный комплекс К3 (§13,
упражнение).
Это построение показывает, что К3 в смысле гомеоморфизма одно-
однозначно определяется «схемой» многогранника, т. е. таблицей, в которой
приведены все вершины, ребра и стороны многогранника с указанием
инциденций и соответствий между ними. В самом деле, легко видеть,
что при помощи такой схемы можно определить схему первого, а вме-
вместе с тем и второго барицентрического подразделения со всеми соот-
соответствиями и затем найти схему комплекса К .
Если соответствие между сторонами многогранника установлено
произвольно, то К3, вообще говоря, не будет многообразием. Выясним,
каким условиям должно удовлетворять попарное соответствие сторон,
чтобы К3 было многообразием М3.
По определению каждая точка многообразия должна иметь окрест-
окрестность, гомеоморфную внутренности трехмерного шара. Для комплек-
комплекса К3, получающегося при помощи отождествления сторон многогран-
многогранника, это условие может не выполняться лишь в точках
«1 , «2 > • • • > аа° >
соответствующих вершинам многогранника.
В самом деле, если Р есть внутренняя точка полиэдра 'а3, то,
очевидно, у нее существует окрестность, гомеоморфная внутренности
трехмерного шара.
Если Р' есть внутренняя точка стороны 'а„, Р" — соответствую-
соответствующая ей точка на стороне "а?, то для Р' и Р" можно выбрать «окрест-
«окрестности-полушария» после отождествления сторон 'а% и " а?, превраща-
превращающиеся в окрестность точки Р, гомеоморфную внутренности шара.
Наконец, если 'а^,'а^, ..., ^а^ представляет систему эквива-
эквивалентных ребер полиэдра, а Р', Р", ..., Р^ суть эквивалентные вну-
внутренние точки этих ребер, то для каждой из этих точек моясно выбрать
по окрестности, имеющей вид «сектора шара», притом такой, что по-
после отождествления все эти окрестности сольются в одну окрестность,
гомеоморфную внутренности шара.
Если же Р представляет одну из точек а°, а®, ¦ ¦ ¦, а°0, то окрест-
окрестный комплекс ее может представлять любую замкнутую поверх-
поверхность, — это легко доказывается построением соответствующих при-
примеров.

Представление трехмерных многообразий... 267
Для того чтобы комплекс К3 имел и в этих точках окрестности,
гомеоморфные внутренности шара, т е. чтобы он был многообразием,
необходимо, как мы знаем, чтобы его характеристика равнялась нулю
(§ 50). Замечательно, что это условие является также достаточным, т. е.
имеет место следующее предложение:
Теорема I. Комплекс К3, получающийся путем попарно-
попарного отождествления сторон многогранника, является многообразием
в том и только в том случае, когда его характеристика равна нулю.
Так как N моясно без особого труда подсчитать, то эта теорема дает
удобный критерий для определения того, является ли такой комплекс
многообразием или нет.
Доказательство. Так как К3 получается из многогранника пу-
путем попарного отождествления его сторон, то, как показано выше,
лишь у конечного числа точек а°, а^, ¦ ¦ ¦, а°0 может не существовать
окрестностей, гомеоморфных внутренности шара. Окрестностные ком-
комплексы этих точек в каком-нибудь симплициальном разбиении ком-
комплекса К3 суть замкнутые поверхности. Выберем теперь симплици-
альное разбиение так, чтобы
°1 > °2 > • • • > аа°
были вершинами и чтобы симплициальные звезды вокруг этих вершин
Stx, St2, ¦ ¦ ¦, Stao
не имели общих точек. Край Av звезды St3v есть замкнутая поверх-
поверхность с характеристикой Nv, и мы должны показать, что из равен-
равенства N = 0 вытекает равенство Nv = 2, т.е. что окрестностный ком-
комплекс Av представляет сферу. Пусть К есть комплекс, получающий-
получающийся после удаления из К3 всех звезд Stf, вЩ, ..., St^0, (их края не
удаляются). К представляет ограниченный трехмерный комплекс,
граница которого образована поверхностями Av. Характеристика ком-
плекса К равна
В самом деле, если мы удалим все симплексы звезды 5t^ (в том чис-
числе и симплексы ее края), то характеристика комплекса К3 уменьшит-
уменьшится на единицу, так как характеристика симплициальной звезды равна
всегда 1 (§ 23, упр. 1). Если мы присоединим теперь снова симплексы
окрестностного комплекса Av, то к характеристике прибавится чис-
число Nv. Составим теперь удвоение К2 комплекса К . Оно получается

268 Глава IX
путем отоясдествления соответствующих граничных точек двух экзем-
экземпляров комплекса К . Характеристика удвоения равна удвоенной ха-
характеристике комплекса К минус сумма характеристик граничных
поверхностей, т. е. равна
а0 а0 а0
2N + 2 У^Ш„ - 1) - V Nv = 2N + У^Ш„ - 2).
А. J А. J А. ^
1^—1 1^—1 1^—1
Однако К2, как легко видеть, имеет уже в каждой точке окрестность,
гомеоморфную внутренности шара. Поэтому К2 представляет трех-
трехмерное многообразие, т. е. его характеристика равна 0. Но по предпо-
предположению N = 0. Таким образом остается
Е(^ " 2) = °.
так как характеристика поверхности Nv должна быть ^ 2. Отсюда сле-
следует, что Nv = 2, что и требовалось доказать.
Характеристика комплекса К3 равна
где с? означает число г-мерных симплексов какого-нибудь симплици-
ального разбиения полиэдра К3 или общее число г-мерных кусков ку-
кусочной системы (§23). Если К3 задан многогранником 'а3 с попарно
отнесенными друг другу сторонами, то кусочную систему образуют,
как мы покажем в следующем параграфе, ориентированные вершины,
ребра, стороны и сам многогранник, причем, конечно, эквивалентные
вершины, ребра и стороны не считаются различными кусками. Поэто-
Поэтому, чтобы получить величину характеристики N, нужно взять за а0,
а , а числа а0, о1, о? неэквивалентных вершин, ребер и сторон поли-
полиэдра 'а3 и положить а3 = 1.
Приведем примеры некоторых многообразий, которыми мы в даль-
дальнейшем воспользуемся.
Пример 1. Пространства линзы. Если в качестве меры сложности мно-
многогранника рассматривать число пар поставленных в соответствие сторон, то
линзы являются простейшими многогранниками. Линза представляет кусок
трехмерного пространства, ограниченный двумя сферическими сегментами.
Разобьем край линзы на р равных дуг, — тогда оба сферических сегмента
превращаются в р-угольники 'а2 и "а2. Соответствие между 'а2 и "а2 мо-
может быть установлено разными способами. Например, можно отразить ниж-
нижний сегмент 'а2 в плоскости, проходящей через край линзы, вследствие чего

Представление трехмерных многообразий...
269
этот сегмент перейдет в верхний сегмент "а2. Обобщением такого соответ-
соответствия является соответствие, осуществляемое следующим образом: сначала
мы производим такое же отражение сегмента " а2 в плоскости края, а затем
поворачиваем получающийся образ на угол —^-. Можно сказать, что в этом
случае соответствие меясду точками сегментов ' а2 и " а2 осуществляется вин-
2nq _ ,
товым вращением на угол —=-. Соответствие меясду точками обоих гранич-
граничных сегментов линзы, получающееся таким образом, полностью определяет-
2-nq
ся углом вращения —=—. Поэтому принимая, что рид — взаимно простые
числа, мы не сделаем никаких существенных ограничений. Кроме того, мояс-
V
но предположить еще, что 0 ^ q ^ ^, так как независимо от того, произведем
ли мы правое или левое вращение, мы получим, очевидно, одно и то же мно-
многообразие. Но тогда все р вершин и все р ребер, на которые распадается край
линзы, эквивалентны друг другу: а0 = а1 = а2 = а3 = 1, и N = 0. Полу-
Получающийся поэтому после отоясдествления полиэдр действительно является
многообразием (в чем, впрочем, можно легко убедиться непосредственно);
он носит название пространства линзы (р, q). На рис. 110 р = 3, q = 1. При
р = 2 можно взять в качестве линзы шар, а в качестве ребра линзы — эк-
экваториальную окружность; тогда рассматриваемое соответствие превраща-
превращается в соответствия меясду диаметрально-противоположными точками гра-
граничной сферы шара; поэтому пространство линзы B, 1) есть, как следует
из § 14, проективное пространство Р3. При р = 1 у нас вообще не получит-
получится многогранника: ребро линзы имеет в этом случае только одну вершину,
и следовательно, оно будет касаться самого себя, что не допускается.
Если мы нанесем еще вторую точку де-
деления, то мы получим полиэдр, гомео-
морфный трехмерной сфере S . В са-
самом деле, в этом случае вращение от-
отсутствует и эквивалентными являют-
являются точки сферы, симметричные отно-
относительно плоскости экватора, — а это
дает, как известно, трехмерную сфе-
сферу (см. § 14). Поэтому мы будем счи-
считать трехмерную сферу также про-
пространством линзы.
Чтобы дать представление о труд-
трудностях, возникающих в трехмерной то-
топологии, заметим здесь, что уже для
этих простейших трехмерных многооб-
многообразий — пространств линзы — проблема гомеоморфизма не решена, т.е., во-
вообще говоря, не установлено, в каких случаях два пространства линзы (р, q)
и (р', </) гомеоморфны (см. стр. 275 и стр. 356).
Пример 2. Трехмерный тор (топологическое произведение трех окруж-
окружностей). Как топологическое произведение двух окружностей — обычный
тор — может быть представлен квадратом, противоположные стороны кото-
которого поставлены в соответствие друг другу посредством параллельного пере-
, 0/ /
'а/ / ,
/
1 \
_ 1 \
0\ ^
а \\
1
- -__ 'а
Рис. 110

270 Глава IX
носа, так и трехмерный тор можно представить кубом с отождествленными
противоположными гранями (причем соответствие также устанавливается
при помощи параллельного переноса). В таком кубе имеются три неэквива-
неэквивалентных ребра и столько же неэквивалентных граней (сторон), в то время
как все вершины эквивалентны друг другу. Поэтому N = 0.
§61. Группы Бетти
В предыдущем параграфе мы вывели условие для того, чтобы по-
полиэдр, получающийся отождествлением сторон многогранника, являл-
являлся многообразием. Относительно многогранников, которые будем рас-
рассматривать сейчас, мы не будем предполагать, что это условие непре-
непременно должно выполняться. Поэтому точки полиэдра К3, соответству-
соответствующие вершинам многогранника, могут не иметь окрестностей, гомео-
морфных трехмерному шару.
Многогранник 'а3, его стороны 'а? и "а?, его ребра 'а^, "а^,
'"al,..., и его вершины 'а°, "а?,'"а„,..., являются трех-, двух-,
одно- и нульмерными элементами, т. е. ориентируемыми ограниченны-
ограниченными псевдомногообразиями. Поэтому любое симплициальное разбиение
каждого такого элемента может быть ориентировано когерентно. Мы
будем рассматривать среди всех возможных симплициальных разбие-
разбиений только двукратное барицентрическое подразделение многогранни-
многогранника 'а3. Вершины мы ориентируем знаком +, ребра же и стороны долж-
должны быть ориентированы так, чтобы те из них, которые соответствуют
друг другу, имели одинаковые ориентации, т. е. чтобы при отображе-
отображении эквивалентных сторон (или ребер) друг на друга переносились бы
и их ориентации. На рисунках мы не будем отмечать симплициального
разбиения, ориентацию ребер мы будем указывать стрелками, а ориен-
ориентацию сторон — круговыми стрелками. Если 'а*, "а?,... представляют
систему эквивалентных /с-мерных элементов многогранника, то мы бу-
будем обозначать /с-мерные алгебраические комплексы, состоящие каж-
каждый из одного ориентированного элемента, соответствующими светлы-
светлыми буквами 'а?, "а?,... Напротив, а* будет обозначать у нас /с-мерный
алгебраический комплекс комплекса К3, получающийся из алгебраи-
алгебраических комплексов 'а*, "а*,... отождествлением эквивалентных точек.
Таким образом на JC3 имеются следующие алгебраические комплексы
размерностей от 0 до 3:
а1
2
а3.
а°2, ...
а1
2
а
а0
2

§61. Группы Бетти 271
Мы утверждаем, что эти алгебраические комплексы образуют на К3
кусочную систему (§22). В самом деле, все эти комплексы линейно
независимы, так как они не имеют общих симплексов. Далее, граница
каждого а^ составлена из алгебраических комплексов ак~г. Для то-
того чтобы доказать, что условия (Кусз) и (Кус4) также выполняются,
рассмотрим на К3 симплициальный алгебраический комплекс Uk, гра-
границей которого является линейная комбинация алгебраических ком-
комплексов ак~г [может случиться, что эта граница представляет нулевой
(к — 1)-мерный комплекс], и постараемся построить гомологичный Uk
алгебраический комплекс Vk, составленный целиком из алгебраиче-
алгебраических комплексов а^.. Будем рассматривать еще «прообраз» комплек-
комплекса Uk — алгебраический комплекс 'Uk на многограннике 'а3, получа-
получающийся из U , если для каждого /с-мерного симплекса комплекса U
взять один из соответствующих ему симплексов полиэдра 'а3, снабжен-
снабженный такой же ориентацией и коэффициентом.
Если к = 3, то каждый из когерентно ориентированных трехмер-
трехмерных симплексов полиэдра 'а3 должен входить в 'Uk с одним и тем же
коэффициентом, так как иначе Uk не может быть линейной комбина-
комбинацией алгебраических комплексов а2,. Поэтому 'Uk представляет ком-
комплекс 'а3, взятый с некоторым коэффициентом; тем самым предложе-
предложение для к = 3 доказано.
Пусть теперь к = 2. Рассмотрим алгебраический комплекс 'U^,
состоящий из симплексов комплекса 'U2 не лежащих на границе мно-
многогранника 'а3. Граница комплекса 'U^ лежит на границе многогран-
многогранника 'а3 и, как всякий одномерный цикл на двумерной сфере, огра-
ограничивает там некоторый комплекс 'U2; 'U?L — 'U2 представляет по-
поэтому цикл, а так как это есть цикл на ' а , то он гомологичен там
нулю. Но тогда U^, наверное, ~ U2, на К3, так что если мы заме-
заменим в U2 комплекс U2 комплексом U2, то мы придем к гомологич-
гомологичному U2 комплексу V . Прообраз его 'V2 не содержит никаких вну-
внутренних симплексов многогранника 'а3. Этот прообраз можно выбрать
так, чтобы из двух возможных прообразов каждого двумерного сим-
симплекса комплекса V2 в 'V2 входил бы симплекс, принадлежащий 'а2
(а не "а2). Но тогда 'V2 представляет линейную комбинацию алгебра-
алгебраических комплексов 'а2. В самом деле, так как граница комплекса V2
есть линейная комбинация алгебраических комплексов а^, то каждый
из когерентно ориентированных двумерных симплексов комплекса 'а2
должен входить в 'V2 с одним и тем же коэффициентом. Поэтому V2
есть алгебраический комплекс, удовлетворяющий поставленным требо-
требованиям.
Такой же процесс вытеснения ведет к цели и при к = 1:
мы вытесняем сначала 'U1 на границу многогранника 'а и за-
затем таким же способом на границу каждого отдельного комплек-
комплекса 'а2. Алгебраический комплекс V1, получающийся при этом из U1,

272
Глава IX
представляет уясе линейную комбинацию алгебраических комплек-
комплексов а\.
Таким образом заключаем, что группы Бетти полиэдра К3 моясно
вычислить по способу, описанному в § 22, исходя из кусочной систе-
системы, состоящей из алгебраических комплексов а?. Вместе с тем доказа-
доказано, что способ подсчета характеристики полиэдра К3, данный в §60,
является правильным. Очевидно, К3 является ориентируемым в том
и только в том случае, когда а3 = 0, т. е. когда в формуле
/ 2
. af,
v=\
'ev + "ev = 0. Это означает, что 'a2v и "a2v при когерентной ориентации
всей границы многогранника должны входить в эту границу с противо-
противоположными ориентациями. Другими словами, моясно сказать, что для
наблюдателя, находящегося вне полиэдра, круговые стрелки, указыва-
указывающие ориентации каждых двух соответствующих друг другу сторон,
направлены в противоположные стороны. Мы будем называть две ори-
ориентированных стороны 'а2, и "а2, для которых это имеет место, сто-
сторонами, находящимися в соответствии первого рода; в противном же
случае мы будем говорить о соответствии второго рода. Итак, К3
ориентируемо в том и только в том случае, если каждая пара отнесен-
отнесенных друг другу сторон находится в соответствии первого рода. Про-
Пространства линзы и трехмерный тор суть ориентируемые многообразия.
Пример 1. Пространства линзы. Кусочные матрицы инциденций про-
пространства линзы (р, q) имеют вид
Е2
О
Эти матрицы уясе имеют нормальную форму. Выпишем в виде таблицы числа
элементов ак, ранги -fk и вычисленные по формуле рк = ак —¦ук —¦ук~1 числа
Бетти (стр. 106):
к =
ак
7к
Рк
0
1
0
1
1
1
1
0
2
1
0
0
3
1
—
1
Пространство линзы имеет единственный одномерный коэффициент
кручения, равный р. Число q вообще не находит отражения в группах Бетти.
На этом примере становится ясным геометрическое значение одномерно-
одномерного коэффициента кручения: одномерный коэффициент кручения, равный р,
указывает, что существует одномерный цикл, сам по себе ничего не огра-
ограничивающий, но становящийся гомологичным нулю, если взять его с коэф-
коэффициентом р. В самом деле, край линзы, состоящий из р эквивалентных

§61. Группы Бетти
273
ребер 'о1,
(р)
о1, ограничивает кусок поверхности, именно — сфери-
сферический сегмент. В случае р = 2 (проективное пространство Р3) существуют
два эквивалентных ребра, превращающиеся после отождествления в линию
гомотопную проективной прямой, а проективная прямая, взятая с коэфн-
циентом 2, ограничивает, как известно, кусок поверхности, именно — про-
проективную плоскость (стр. 88). Кроме того, пространство линзы дает ключ
к объяснению названия «коэффициент кручения». Многогранник превраща-
превращается в пространство линзы, если подвергнуть его кручению вдоль оси линзы,
т. е. отождествить точки верхнего и нижнего сферического сегмента, перехо-
переходящие друг в друга при винтовом вращении.
Пример 2. Октаэдрическое пространство получается, если мы возьмем
в качестве трехмерного многогранника октаэдр, повернем каждые два проти-
противоположные треугольника его на угол ^ Друг относительно друга и отожде-
3
ствим их. На рисунке 111 сеть октаэдра нанесена на плоскость при помощи
проектирования, именно — посредством стереографической проекции; при
этом плоскость нуясно мыслить себе превращенной в сферу присоединением
бесконечно удаленной точки. Бесконечно
удаленная точка является вершиной сети.
Для того чтобы было легче представить
себе, как обстоит дело, соответствующие
друг другу элементы обозначены на рисун-
рисунке одинаковыми символами, а не посред-
посредством употреблявшихся нами в общей те-
теории символов 'а?.
Кусочная матрица инциденпий Е1
приводится посредством преобразований
§ 87 к нормальной форме
3
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
с
. (°
d \
b\
{и)
,-—
tin)
a
ч
0
с
2-
a
—.
(H)
b
(IV)
у
(I
)
_J
0 .
с
/d
(ni)
Рис. 111
Количества систем эквивалентных вершин,
ребер и сторон, а также ранги матриц инциденпий и числа Бетти рк
выписываем, как и в предыдущем примере, в виде таблицы:
к =
ак
7*
Рк
0
1
0
1
1
4
4
0
2
4
0
0
3
1
—
1
В этом случае существует один одномерный коэффициент кручения, рав-
равный 3. Одномерная Группа Бетти является поэтому группой третьего по-
порядка.
Упражнение. Покажите, что в октаэдрическом пространстве четыре
ребра а, Ь, с, d гомологичны одно другому и каждое из них, взятое с коэф-
коэффициентом 3, гомологично нулю.

274 Глава IX
§ 62. Фундаментальная группа
В предыдущем параграфе мы показали, как найти группы Бетти;
в этом параграфе мы хотим показать, как можно определить фунда-
фундаментальную группу трехмерного многообразия К3, зная путем каких
идентификаций произошло К3 из многогранника а3. Это можно сде-
сделать, пользуясь следующим предложением:
Теорема I. Фундаментальная группа многообразия К3 совпа-
совпадает с фундаментальной группой поверхностного комплекса К2, по-
получающегося из границы многогранника 'а3 отождествлением экви-
эквивалентных точек.
Доказательство. Мы должны показать две вещи: I. Каждый
замкнутый путь w комплекса К3, начальной точкой которого являет-
является фиксированная точка О комплекса К2, может быть деформирован
в путь w\ комплекса К . П. Если путь w\ комплекса К гомотопен
нулю в К3, то он гомотопен нулю также в К2.
Для доказательства I рассмотрим множество w' всех точек много-
многогранника 'а3, отображающихся в точки пути w. Если на 'а3 существу-
существует внутренняя точка Р, не принадлежащая w', то мы деформируем w'
в путь, лежащий на границе многогранника 'а3 «посредством проек-
проектирования из точки Р», т. е. мы заставляем двигаться точки пути w
с постоянной скоростью по прямолинейным лучам, выходящим из Р,
до границы многогранника' а . Такому проектированию соответствует
в К3 деформация пути w в путь w\ на К2. Если же w' исчерпывает
все внутренние точки многогранника 'а3, то тогда нужно одну точку Р
«освободить», что можно сделать, например, при помощи симплици-
ального приближения пути w в К3 (такое приближение является, как
показано на стр. 152, деформацией пути w).
Таким же образом доказывается П. ПустьА обозначает «особый
прямоугольник деформации», описываемый путем w\ при сведении его
в точку О, а 'А — множество всех точек многогранника 'а3, отобра-
отображающихся в А. Тогда мы проектируем 'А из какой-нибудь не принад-
принадлежащей 'А внутренней точки Р полиэдра 'а3 на границу полиэдра;
этому проектированию соответствует вытеснение А из К3 на подком-
подкомплекс К2. Если такой точки Р не существует, то сначала А нужно
симплициально аппроксимировать, т. е. нужно симплициально аппрок-
аппроксимировать в К3 непрерывное отображение достаточно мелко подраз-
подразделенного симплициально прямоугольника деформации А на А.
Для отыскания соотношений можно воспользоваться способом
§ 46. Особенно просто сделать это в случае, когда все вершины мно-
многогранника эквивалентны. Они соответствуют тогда одной и той же
точке О в К3 и эту точку можно выбрать за начальную точку за-
замкнутых путей в К . Вспомогательные пути тогда отпадают, и ориен-
ориентированные ребра многогранника (собственно — соответствующие им

§62. Фундаментальная группа 275
замкнутые пути в К3) дадут нам все образующие фундаментальной
группы. Соотношения получаются при обходе граней многогранника.
Такой простейший случай имеет место, например, для пространства
линзы (р, q). Для него существует одна единственная образующая а (мы
опускаем теперь индексы, употреблявшиеся в предыдущем параграфе),
а единственное соотношение получается при обходе одного из двух эквива-
эквивалентных многоугольников: ар = 1. Таким образом, фундаментальная группа
пространства линзы (р, q) есть циклическая группа порядка р, не завися-
зависящая от числа q.
Теперь можно предполагать две возможности: либо два пространства
линз (р, q) и (р, q') при q ф q' гомеоморфны, либо известные нам до сих пор
инварианты — фундаментальная группа и группы Бетти — слишком слабы
для того, чтобы установить различие таких пространств. Оказывается, что
может иметь место как тот, так и другой случай, в зависимости от свойств
чисел q и </. Что касается гомеоморфизма, то легко может быть доказана
следующая теорема:
Теорема II. Если q и q' удовлетворяют сравнению
qq' = ±1 (mod p),
то пространства линз (р, q) и (р, </) гомеоморфны.
Так как это сравнение при заданном q имеет в точности одно решение q',
удовлетворяющее нормирующему условию 0 ^ q' ^ ^> т0 числа q и q' опре-
определяются определяются одно другим взаимно однозначно.
Доказательство. Разобьем линзу L, имеющую угол кручения —=—,
р полуплоскостями, проходящими через ось линзы, на р одинаковых тетра-
тетраэдров Ti, Гг, ..., Тр, (две из граней каждого такого тетраэдра являются
поверхностями — частями сферических сегментов; рис. 110 показывает слу-
случай р = 3) и составим из них новую линзу с углом кручения . В линзе L
тетраэдр Ti имеет с нижним сферическим сегментом общий треугольник Ai;
а с верхним — общий треугольник Д». Далее, все Ti имеют общую ось лин-
линзы Ъ; ребра же, противоположные оси Ъ, эквивалентны друг другу и дают
в пространстве линзы одно и то же ребро а. Треугольники попарно эквива-
эквивалентны в силу соответствия, установленного меясду сферическими сегмента-
сегментами, — именно, At эквивалентен с Ai+q, причем в случае необходимости i-\-q
нужно редуцировать по модулю р. Чтобы построить теперь из р тетраэдров
новую линзу L', мы соединим тетраэдры Ti и Ti+q своими эквивалентными
гранями Дх и Ai+q, далее присоединяем к Д_1+<г вдоль грани Дц-г^ тетра-
тетраэдр Ti+2q и т.д. Таким образом мы получим линзу L', отличающуюся от
первой линзы только тем, что в L' ребра а и Ъ поменялись ролями. Пусть
г/ 27Г^' тт /
угол кручения линзы L равен . Число q показывает, что в цикличе-
циклической последовательности 2\, Ti+q, Ti+2q, ..., Гг,..., в которой тетраэдры

276 Глава IX
располагаются в L' вокруг оси а, тетраэдры 2\ и Гг (последний совпада-
совпадает с Гг+жр) удалены друг от друга на расстояние q' или р — q' интервалов.
Поэтому в нашей циклической последовательности разность индексов тет-
тетраэдров Т2+хр и Ti равна, с одной стороны, qq' или q{p — <?')> а с ДРУГОИ
стороны, эта разность = B + хр) — 1, т. е.
B + xp)-l = qq или q(p-q);
значит:
qq = ±1 (mod p).
Из теоремы II следует, например, что пространства линз G, 2) и G, 3)
гомеоморфны, так как 2-3 = —1 (mod 7). Гомеоморфны ли, однако, про-
пространства (р, 1) и (р, 2), с помощью теоремы II установить невозможно. Мы
познакомимся позже (§ 77) с инвариантом, не являющимся следствием из
фундаментальной группы, с помощью которого можно установить различие
некоторых пространств линз, например пространств E,1) и E, 2). Напротив,
относительно пространств G,1) и G, 2) до сих пор неизвестно, различны они
или нет.
Заметим еще, что каждое пространство линзы можно разбить на два
трехмерных кольцевидных тела, имеющих один и тот же тор своей грани-
границей. Высверлим в линзе L вдоль ее оси Ъ концентрический с линзой телесный
цилиндр В. При отождествлении сферических сегментов этот цилиндр пре-
превращается в трехмерное кольцо. То же самое имеет место в отношении допол-
дополнительного пространства А, остающегося после высверливания цилиндра В.
Чтобы убедиться в этом, нужно только разбить линзу L, как мы только что
делали, на р тетраэдров и составить из них линзу L'. В линзе U А пред-
представляет теперь цилиндр, идущий вдоль оси а линзы; при отождествлении
эквивалентных точек этот цилиндр превращается в трехмерное кольцевид-
кольцевидное тело. Сравните это замечание с изложенным на стр. 283.
В качестве следующего примера рассмотрим сферическое пространство
додекаэдра . Оно получается из додекаэдра при отождествлении противопо-
противоположных его граней — пятиугольников, повернутых друг относительно друга
на угол ^г. На рис. 112 показана сеть додекаэдра, полностью определяющая
рассматриваемое пространство. В этом случае имеется а0 = 5 неэквивалент-
неэквивалентных вершин О, Р, Q, R, S, а ребра распадаются на тройки эквивалентных
друг другу ребер. Характеристика этого пространства N = 5 — 10 + 6 — 1 = 0,
так что пространство сферического додекаэдра представляет многообразие.
Мы выбираем за начальную точку замкнутых путей точку О и будем считать
вспомогательными путями вершин Р, Q, R, S пути a, h, /-1, /-1d. Тогда об-
образующие классы путей фундаментальной группы могут быть представлены
*Н. Kneser (8), стр. 256.

5 62. Фундаментальная группа
277
замкнутыми путями
Рис. 112
А = аа~х,
В = abh~\
С = hcf,
D = f-1d(d-1f),
Е = (Г 1d)e,
G = (Г
H = hh~
I = aif,
К =
Соотношения типа I получаются отсюда, если в правых частях заменить
всюду большие буквы малыми. Но тогда A = D = F = H = 1, а поэтому все
остальные соотношения этого типа становятся тривиальными.
В качестве соотношений типа II при обходе пятиугольников получаются

278
Глава IX
следующие 6 соотношений:
ABODE = 1,
BKEF'1!'1 = 1,
AIDK^H'1 = 1,
CI~1G~1EH= 1,
BH^F^DG = 1,
AG~1K~1CF= 1,)
Исключение G и К дает
BGE = 1,4
ВКЕГ1 = 1,
I=1K,
CI-1G~1E=1,
G~1K-1C=1.
ВСЕ = 1,
В1ЕГ1 = 1,
СГХВЕ = 1,
Из 1-го и 4-го из этих соотношений получается
Е = С~1В~1, 1 = СВ.
Исключая поэтому Е и / из второго и третьего соотношения, мы получим
ВСВС'1 -В^С'1 = 1
(I)
С В'1 С'1 ВС'1 В'1 = 1. (II)
Определим теперь из этих соотношений при помощи коммутирования одно-
одномерную группу Бетти. Мы переходим, как всегда в случае абелевых групп,
к аддитивной записи и будем обозначать элементы группы Бетти при помо-
помощи черты наверху. Тогда
-С = 0,
-С - В = О,
(I)
(П)
т. е. В = С = 0. Это значит, что одномерная группа Бетти состоит только из
нулевого элемента. Так как сферическое пространство додекаэдра ориенти-
ориентируемо, то отсюда следует, что его числа Бетти имеют следующие значения:
Коэффициенты кручения отсутствуют.
Но такие же точно численные инварианты имеет трехмерная сфера. Та-
Таким образом, чтобы установить, совпадает пространство додекаэдра с трех-
трехмерной сферой или нет, знания групп Бетти еще недостаточно. Мы рассмот-
рассмотрим поэтому, не различаются ли фундаментальные группы этих пространств.

§62. Фундаментальная группа 279
С этой целью преобразуем дальше довольно сложные соотношения (I) и (II).
Подставив в (I) на место, отмеченное точкой, левую часть соотношения (II),
мы получим вместо (I) соотношение
ВСВС'1 ¦ С В'1 С'1 ВС'1 В'1 ¦ В~2С~г = 1,
или после сокращения
в2с-1в-3с-1 = 1. (Г)
Введя в (/') и в (II) новую образующую U, связанную со старыми формулой
С = U~1B, мы получим
В2 ¦ В~ги ¦ В~3 ¦ В~ги = 1, и~гВ ¦ В'1 ¦ В~ги ¦ В ¦ В~ги ¦ В'1 = 1,
или
В4 = UBU, U2 = BUB,
или же, наконец:
В5 = {BUJ = U3. (III)
Из соотношений (III) следует, что пространство додекаэдра негомео-
морфно трехмерной сфере, так как его фундаментальная группа не состоит
только из единичного элемента. В самом деле, соотношения (III) выполняют-
выполняются в группе икосаэдра, если под В понимать вращение вокруг какой-нибудь
вершины икосаэдра на угол -^-, а под U — вращение в том же направлении на
о
угол — вокруг центра прилегающего к этой вершине треугольника. Таким об-
образом группа икосаэдра есть либо сама группа (III), либо ее дополнительная
группа, вследствие чего фундаментальная группа пространства додекаэдра
не состоит только из единичного элемента. Можно показать, что (III) есть
группа 120-ого порядка, являющаяся бинарной группой икосаэдра .
Сферическое пространство додекаэдра дает нам пример многооб-
многообразия, имеющего такие же группы Бетти, как трехмерная сфера, но не
гомеоморфного с трехмерной сферой. Такие многообразия называются
пространствами Пуанкаре. Можно построить бесчисленное множество
различных пространств Пуанкаре. Однако пространство сферического
додекаэдра есть единственное из всех известных пространств Пуанка-
Пуанкаре, имеющее конечную фундаментальную группу33.
Таким образом, группы Бетти не дают исчерпывающей характери-
характеристики трехмерной сферы. Предположение, что трехмерная сфера пол-
полностью характеризуется своей фундаментальной группой, составляет
содержание до сих пор недоказанной «гипотезы Пуанкаре». Так как
фундаментальная группа трехмерной сферы состоит только из единич-
единичного элемента, то проблема может быть сформулирована также следу-
следующим образом: существуют ли, кроме трехмерной сферы, другие трех-
трехмерные замкнутые многообразия, в которых каждый замкнутый путь
может быть стянут в точку (гомотопен нулю).
"ihber. Deutsch. Math. Vereinig., 42, 1932, задача 84, стр. 3.

280 Глава IX
Упражнения. 1. Покажите, что гиперболическое пространство доде-
додекаэдра, получающееся из додекаэдра при отождествлении противоположных
сторон, повернутых друг относительно друга на угол -^ (а не на f, как
в случае сферического пространства додекаэдра), представляет многообра-
многообразие. Докажите, найдя фундаментальную группу этого многообразия, что оно
имеет три коэффициента кручения, равные 5, и что его одномерное число
Бетти р =0.
2. Докажите, что соотношения фундаментальной группы пространства
октаэдра (§ 61) суть
abc = adb = acd = bdc = 1
и что группа тетраэдра есть дополнительная группа этой группы [написан-
[написанные соотношения имеют место в группе тетраэдра, если под а, Ь, с, d пони-
понимать вращения на угол -^- вокруг четырех вершин тетраэдра].
О
3. Из двух трехмерных многообразий Mi и Мг можно посредством «сло-
«сложения» получить новое многообразие. Именно, мы высверливаем в каждом
из обоих многообразий по маленькому шарику и склеиваем получающиеся
при этом «ограниченные многообразия» своими граничными сферами. Та-
Такое склеивание можно сделать двумя существенно различными способами —
с сохранением ориентации и с обращением ее. Считая, что фундаменталь-
фундаментальные группы многообразий Mi и Мг известны, найдите фундаментальную
группу получающегося описанным образом замкнутого многообразия и его
одномерную группу Бетти.
4. Пользуясь решением упражнения 3, постройте трехмерное многооб-
многообразие с произвольно заданной одномерной группой Бетти.
§ 63. Диаграмма Хегора (Heegaard)
Мы установили ряд общих свойств трехмерных многообразии, но
познакомились до сих пор лишь с отдельными примерами таких мно-
многообразий. Вопрос о классификации всех трехмерных многообразий,
в противоположность вопросу о классификации двумерных многооб-
многообразий (поверхностей), до сих пор не решен. В качестве подхода к реше-
решению этого вопроса может служить диаграмма Хегора, к ознакомлению
с которой мы сейчас переходим.
Будем называть телом рода h трехмерный полиэдр (тело), полу-
получающийся из шара при попарном отождествлении 2h несоприкасаю-
несоприкасающихся друг с другом элементов поверхности шара, находящихся в со-
соответствии первого рода (стр. 272). Это отождествление можно произ-
произвести в обычном пространстве, деформируя шар таким образом, чтобы
каждые два находящиеся в соответствии элемента совпали. Получаю-
Получающееся тело можно рассматривать как шар с приделанными к нему h
телесными ручками. Границей такого тела является ориентируемая по-
поверхность рода h; h окружностей, получающихся из границ попар-
попарно отождествляемых элементов поверхности, называют меридианами

§63. Диаграмма Хегора (Heegaard) 281
тела рода h. Телом рода 1 является обыкновенное трехмерное коль-
кольцо.
Теорема. Каждое ориентируемое трехмерное многообразие М3
можно получить, складывая два тела одного и того оке рода свои-
своими поверхностями, т. е. топологически отображая эти поверхности
друг на друга и отождествляя соответствующие точки.
Доказательство. Пусть рассматриваемое трехмерное многооб-
многообразие задано в некотором симплициальном разбиении. Высверлим во-
вокруг каждой из а0 вершин этого разбиения маленький шарик, для ко-
которого эта вершина является центром. Точно так же вдоль каждого
из а1 ребер разбиения высверлим окружающий это ребро небольшой
цилиндр, соединяющий два шарика, лежащих вокруг концов ребра.
2
Остающаяся после такого высверливания вершин и ребер часть М1
нашего многообразия составлена из а3 «сточенных» вдоль ребер трех-
трехмерных симплексов и представляет трехмерное тело в описанном вы-
выше смысле (т. е. тело некоторого рода К). В самом деле, такое тела
можно построить, исходя из одного сточенного симплекса Е3, присо-
присоединяя к нему вдоль общей грани соседний симплекс Е3, присоединяя
затем Е% вдоль грани симплекса Ef или Е3 и т. д. Соединив таким
образом все трехмерные симплексы, мы получим топологический шар,
в котором кужно еще попарно отождествить некоторые не имеющие об-
общих точек элементы его поверхности. Ясно, что отнесенные друг к дру-
другу элементы поверхности находятся в соответствии первого рода, так
как иначе Mi, а следовательно, и М3, не было бы ориентируемым.
Точно так же можно показать, что высверленная часть М3, составлен-
составленная из а° шаров и а1 цилиндров, есть тело того же типа.
Таким образом каждое ориентируемое трехмерное многообразие
может быть задано ориентируемой поверхностью М2 рода h, именно,
общей поверхностью тел М3 и М3, если мы укажем на М2, каким об-
образом эти тела примыкают к М2. Это можно сделать, отмечая на М2
меридианы тел М3 и М32- Такие меридианы образуют на М2 две
системы Si и Ег, не имеющих двойных точек окружностей. Каждая
система состоит из h окружностей, причем окружности одной и той
же системы не имеют общих точек друг с другом (окружности разных
систем могут иметь общие точки). Обе системы обладают тем свой-
свойством, что если рассечь М2 вдоль h окружностей системы Si (или Ег),
то мы получим сферу с 2ft. отверстиями. Если теперь на ориентируе-
ориентируемой поверхности М2 рода h произвольно заданы две таких системы Si
и Ег, то трехмерное многообразие определяется ими полностью и од-
О рассечении можно говорить, если окружности систем Ei и Ег составлены
из ребер симплициального разбиения; мы будем предполагать, что дело обстоит
именно так.

282 Глава IX
нозначно. Именно, мы рассекаем М вдоль окружностей системы Si,
превращая ее в сферу с 2h отверстиями, заделываем эти отверстия
двумерными элементами («крышками») и рассматриваем получаю-
получающуюся сферу как границу шара. Попарное отождествление «крышек»
дает нам тело рода h, поверхностью которого является М2, а меридиа-
меридианами — окружности системы Si. Точно так же с помощью системы S2
мы строим второе тело рода h.
Замкнутая поверхность М2 с нанесенными на ней двумя система-
системами Si и S2 называется диаграммой Хегора многообразия М3.
Нетрудно построить все диаграммы Хегора, даваемые тором. Они
состоят из двух произвольных, не гомотопных нулю и не имеющих
двойных точек замкнутых симплициальных путей. Среди многооб-
многообразий, имеющих диаграммой Хегора тор, находятся все простран-
пространства линзы, так как каждое пространство линзы, как мы видели на
стр. 275-277, распадается при просверливании вдоль оси линзы на два
трехмерных кольца. Точно так же топологическое произведение окруж-
окружности на сферу имеет диаграммой Хегора тор. В самом деле, это мно-
многообразие можно получить, отождествляя у двух топологически отоб-
отображенных друг на друга трехмерных колец соответствующие точки
поверхностей (границ), вследствие чего можно сказать, что произве-
произведение окружности на сферу представляет удвоение (§36) трехмерного
кольца. Таким образом здесь оба меридиана диаграммы Хегора совпа-
совпадают. Можно доказать, что пространствами линзы и топологическим
произведением окружности на сферу исчерпываются все многообразия,
у которых диаграммы Хегора могут быть представлены тором34.
О диаграммах Хегора, изображаемых поверхностями высших ро-
родов, известно мало. Сферическое пространство додекаэдра имеет диа-
диаграмму Хегора рода 2. А.Пуанкаре натолкнулся на пространства, на-
называемые теперь его именем, при рассмотрении диаграммы Хегора33.
Диаграмму Хегора можно определить также для неориентируе-
мых многообразий. Для этого нужно только ввести неориентируемые
тела. Они получаются из шара попарным отождествлением неимеющих
общих точек многоугольников поверхности шара, причем многоуголь-
многоугольники по крайней мере одной пары должны находиться в соответствии
второго рода. Граница такого тела представляет тогда неориентируе-
мую поверхность, имеющую четную характеристику N, следовательно,
также и четный род к = 2/с' (см. стр. 181; характеристика представляет
четное число, потому что она равна одной и той же величине незави-
независимо от того, имеется ли у нас соответствие первого рода или второ-
второго). Что каждое неориентируемое замкнутое трехмерное многообразие
можно разложить на два неориентируемых тела описанного типа до-
доказывается так же, как и в случае ориентируемого многообразия.
Диаграмма Хегора позволяет свести вопрос о построении всех
То есть полиэдрами, гомеоморфными обычному круговому диску.

§ 64. Ограниченные трехмерные многообразия 283
трехмерных многообразий к двумерной проблеме, именно, к постро-
построению всех возможных диаграмм Хегора. Если бы, однако, такое по-
построение даже можно было осуществить, то проблема гомеоморфизма
в трехмерном случае все же не была бы еще решена, так как нужно
было бы еще уметь ответить на вопрос, в каком случае две различных
диаграммы Хегора дают одно и то же многообразие. В простейшем
случае, когда диаграмма Хегора имеет род 1, мы можем указать все
различные диаграммы. Однако вопрос об эквивалентности различных
диаграмм, т. е. проблема гомеоморфизма для пространств линзы, не
решена уже и в этом случае.
Другой способ подсчета всех трехмерных многообразий мог бы за-
заключаться в построении всех многогранников со сторонами, поставлен-
поставленными во взаимное соответствие. Это также двумерная проблема, под-
поддающаяся, однако, решению в столь же малой степени, как и подсчет
диаграмм Хегора.
Из теории функций комплексного переменного известно, что каж-
каждую замкнутую ориентируемую поверхность можно представить как
разветвленную накрывающую числовой сферы с конечным числом то-
точек разветвления . Аналогично этому каждое замкнутое ориентируе-
ориентируемое трехмерное многообразие может быть представлено, как разветв-
разветвленное накрытие трехмерной сферы35. Разветвление происходит здесь
вдоль замкнутых линий (узлов), лежащих в трехмерной сфере. Однако
и здесь подсчет и установление тождественности различных накрытий
приводит к нерешенным вопросам. Может случиться, что одно и то
же многообразие получается несколькими способами из совершенно
различных узлов разветвления. Так, например, для сферического про-
пространства додекаэдра известны три различных узла разветвления33.
Упражнение. Если трехмерное многообразие может быть задано мно-
многогранником, имеющим h пар отнесенных друг другу сторон, то для этого
многообразия существует диаграмма Хегора рода h. (В какой мере справед-
справедливо обратное предложение — неизвестно.)
§ 64. Ограниченные трехмерные многообразия
Ограниченное трехмерное многообразие есть ограниченный, одно-
однородный, конечный, связный полиэдр К3, допускающий симплициаль-
ное разбиение со следующими свойствами:
1. Окрестностный комплекс каждой внутренней точки JC3 есть
сфера.
2. Окрестностный комплекс граничной точки относительно JC3
есть круг.
*См. напр. Н. Weyl, Die Idee der Riemannschen Flache.

284 Глава IX
Рассматривая группы Бетти в точках комплекса К3, легко пока-
показать, что тогда и каждое симплициальное разбиение комплекса К3 об-
обладает этими свойствами.
Простейшими примерами ограниченных трехмерных многообра-
многообразий являются шар, шаровой слой и трехмерное кольцо.
Ограниченное трехмерное многообразие можно было бы опреде-
определить так же, как ограниченный однородный комплекс, удвоение кото-
которого представляет замкнутое трехмерное многообразие.
Граница К2 ограниченного многообразия К3 состоит из одной
или нескольких замкнутых поверхностей.
В самом деле, так как окрестностный комплекс каждой граничной
точки Q относительно К3 представляет круг, то окрестностный ком-
комплекс точки Q относительно К2 есть окружность. Поэтому если К2
распадается на изолированные подкомплексы К2, К$, ¦ ¦ ¦, К2, то каж-
каждый из них представляет конечное связное двумерное многообразие,
т. е. замкнутую поверхность (стр. 183).
Мы ставим теперь вопрос, каждая ли замкнутая поверхность мо-
может быть границей (или компонентой границы) трехмерного ограни-
ограниченного многообразия и в какой мере свойства граничных поверхностей
определяют свойства самого К3.
Если К3 ориентируемо, то, ориентируя когерентно все его трех-
трехмерные симплексы, мы получим трехмерный алгебраический комплекс,
граница которого является двумерным циклом, лежащим на К , при-
причем каждый двумерный симплекс комплекса К2 входит в эту границу.
Таким образом на граничных поверхностях К2, К$, ¦ ¦ ¦, К2 должны
существовать не равные нулю двумерные циклы, а это может быть
лишь в случае, когда граничные поверхности ориентируемы. Поэтому
мы получаем следующее предложение.
Теорема I. Ориентируемое ограниченное трехмерное многооб-
многообразие имеет только ориентируемые граничные поверхности.
Обратное предложение, конечно, не имеет места, так как, удаляя,
например, из какого-нибудь неориентируемого замкнутого многообра-
многообразия трехмерный симплекс, мы получаем неориентируемое ограничен-
ограниченное многообразие, граница которого есть сфера.
Следствие. Проективная плоскость Р2 не может быть вло-
вложена в трехмерное евклидово пространство (дополненное несоб-
несобственной точкой до трехмерной сферы S3). Точнее: Р2 не может
быть подкомплексом симплициального разбиения трехмерной сфе-
сферы S336. В самом деле, Р2 есть однородный двумерный комплекс, не
имеющий границы (в смысле границы однородного комплекса, см. § 12).
Если Р2 есть подкомплекс сферы S3, то Р2 представляет двумер-
двумерный цикл по модулю 2 (§ 23). Так как, однако, двумерное число Бетти
по модулю 2 сферы S3 q2 = 0, то каждый двумерный цикл по моду-
модулю 2 в сфере гомологичен нулю (§ 24). Поэтому должен существовать

§ 64. Ограниченные трехмерные многообразия 285
трехмерный подкомплекс К3, имеющий своей границей Р2; К3 пред-
представляет трехмерное ограниченное многообразие, так как точка Q
комплекса К3 не лежащая на Р2, имеет в качестве окрестностно-
го комплекса относительно К3 двумерную сферу, а если Q лежит
на Р2, то ее окрестностный комплекс относительно S3 разбивается
проективной плоскостью Р2 на две ограниченных поверхности с об-
общей граничной окружностью. Обе эти поверхности суть круги, так
как вместе они должны составлять сферу. Так как К3, сверх того,
ориентируем, ибо сфера S3 ориентируема, то мы тем самым прихо-
приходим к противоречию с теоремой I.
Составим удвоение К3 ограниченного многообразия К3. Окрест-
Окрестностный комплекс каждой граничной точки также при этом «удваи-
«удваивается». Но удвоение круга есть сфера. Поэтому окрестность каждой
точки удвоения К3 гомеоморфна внутренности шара, т.е. К3, пред-
представляет замкнутое трехмерное многообразие. Но тогда его характери-
характеристика равна 0 (§59). Поэтому, если N означает характеристику ком-
комплекса К3, a N — характеристику границы К2, то
2N - N = 0, A)
т. е. имеет место следующее предложение:
Теорема II. Характеристика трехмерного многообразия и ха-
характеристика его границы определяются одна другой взаимно одно-
однозначно.
Из формулы A) следует далее еще одно предложение:
Теорема III. Характеристика границы ограниченного трех-
трехмерного многообразия есть всегда четное число. Поэтому никакая
неориентируемая поверхность нечетного рода, в частном случае про-
проективная плоскость, не может образовать границу ограниченного
трехмерного многообразия.
Напротив, две проективных плоскости вместе могут являться гра-
границей ограниченного многообразия, как показывает пример топологи-
топологического произведения проективной плоскости на отрезок.
Если К3 ориентируемо и род (число ручек) граничных поверх-
поверхностей К2, К^, ..., К2 равен соответственно hi, hi, ..., hr, то в си-
силу §38
%=\ %=\
Далее, в выражении
N = p°-p1+p2-p3
число Бетти р° = 1 и р3 = 0, так как в К3 не существует никаких

286 Глава IX
трехмерных симплициальных циклов ф 0. Подставляя эти выражения
для N и N в A), мы получим
р1 = 1 +р2 + \ B]Г> - 2г) =р2 - (г - 1) + ?>.
^ г=1 ' г=\
Но р2 по меньшей мере равно г — 1, так как граничные поверхности К2,
.К"!) • • • > -K^-i) если их когерентно ориентировать, представляют г — 1
гомологично независимых двумерных циклов, так как они вместе ни-
ничего не ограничивают. Поэтому
%=\
и мы получаем теорему:
Теорема IV. Одномерное число Бетти ориентируемого огра-
ограниченного трехмерного многообразия по меньшей мере равно общему
числу ручек всех его граничных поверхностей. Указанная нижняя гра-
граница для р1 достигается, например, у тела рода h (§63).
Отсюда следует, что ограниченнее ориентируемое трехмерное мно-
многообразие, у которого каждый замкнутый путь гомологичен нулю,
а тем более просто-связное многообразие такого типа, может иметь гра-
граничными поверхностями только сферы37.
§ 65. Построение трехмерных многообразий при
помощи узлов
Из многочисленных возможных способов38 построения трехмер-
трехмерных многообразий мы выбираем в качестве примера принадлежащий
Дэну (Dehn [2]) способ построения при помощи узлов. Этот способ мо-
может быть коротко описан так: мы просверливаем трехмерную сферу,
получившуюся в результате присоединения к трехмерному евклидову
пространству бесконечно удаленной точки, вдоль узла. При этом по-
получается ограниченное многообразие — пространство, дополнительное
к узлу. Замыкая это пространство трехмерным кольцом, т. е. отобра-
отображая топологически друг на друга границу дополнительного простран-
пространства и границу трехмерного кольца (обе границы являются торами)
и отождествляя соответствующие точки, мы и приходим к новому зам-
замкнутому многообразию.
Мы начнем с выяснения понятий «узел» и «просверливание».
Пусть получающаяся из евклидова пространства трехмерная сфера S3
разбита на симплексы, и симплициальное разбиение ее снова обозна-
обозначено через S3. Узлом к называется одномерный подкомплекс этого

§65. Построение трехмерных многообразий при помощи узлов 287
симплициального разбиения, в котором (в подкомплексе) каждая вер-
вершина инцидентна в точности с двумя ребрами. Таким образом узел
представляет топологическую окружность, т. е. топологический образ
окружности. Однако не каждая топологическая окружность в S3 пред-
представляет узел. Так, например, топологическая окружность, в которой
сделано бесчисленное множество сходящихся к некоторой точке петель,
т.е. «окружность, заузленная бесчисленное число раз» (см. рис. 113),
не является узлом, так как такая окружность не может быть составле-
составлена из ребер симплициального разбиения сферы S3. Иногда мы будем
определять узел так же, как не имеющий двойных точек замкнутый
путь пространства R3, состоящий из конечного числа прямолинейных
отрезков. Такой путь действительно является узлом в смысле данного
выше определения, так как прямолинейные отрезки всегда могут быть
приняты за ребра симплициального разбиения.
Два узла называются эквивалентны-
эквивалентными, если существует сохраняющее ориен-
ориентацию топологическое отображение про-
пространства на себя, переводящее один узел
в другой39.
Для того чтобы пояснить термин про-
просверливание, мы предположим еще, что
симплициальное разбиение сферы S обла-
обладает следующим свойством: каждый г-мер-
г-мерный симплекс, вершины которого лежат
на к, целиком принадлежит к. Тогда ни
для какого треугольника симплициального
разбиения все три вершины его не могут
лежать на к и никакое ребро разбиения не
может быть хордой узла к. Симплициальное разбиение, обладающее
таким свойством, всегда может быть получено при помощи барицен-
барицентрического подразделения.
Пусть теперь Pi, Р2, ..., Рг — вершины узла к, записанные
в том порядке, в каком они встречаются при обходе вдоль узла,
a St\, St2, ¦ ¦ ¦, Str — симплициальные звезды барицентрического под-
о
разделения S сферы S3, имеющие вершины узла своими центрами.
Из сделанного предположения относительно разбиения S3 вытекает,
что всегда только следующие непосредственно друг за другом звез-
звезды Stp и Stp+i (в случае необходимости р + 1 нужно редуцировать
по модулю г) имеют общие точки, причем эти общие точки заполняют
тогда элемент поверхности EPtP+i . Кроме того, элементы поверхно-
поверхности Ер'р+1 не имеют между собой общих точек. Отсюда следует, что
Рис. 113
*Если рассматривать симплициальное разбиение S3 как клеточное разбиение
(§68), то трехмерные звезды Stp и элементы поверхности -Ep,p+i представляют
клетки, дуальные вершинам и ребрам узла к.

288 Глава IX
подкомплекс, состоящий из симплициальных звезд St\, St2, ¦ ¦ ¦, Str,
представляет трехмерное кольцевое тело Vo, имеющее своей средней
линией узел к. В самом деле, можно представлять себе, что Vo полу-
получается следующим образом: начиная от звезды Sti, мы каждую следу-
следующую звезду присоединяем к предыдущей по элементу поверхности;
при этом каждый раз получается шар, пока при последнем шаге мы
не отождествим двух не имеющих общих точек элементов поверхно-
поверхности границы шара. Просверливание вдоль узла к состоит в том, что
мы удаляем из 53 внутренние точки трехмерного кольцевого тела Vo.
Остающееся пространство А представляет трехмерное ограниченное
многообразие, имеющее границей тор Т. Определим одномерную груп-
группу Бетти В^ «дополнительного пространства» А. Выберем на торе Т
меридиан то, например граничную линию элемента поверхности Er$
и параллель bo, т.е. замкнутую линию, гомологичную в Vo ориентиро-
ориентированной средней линии трехмерного кольца; bo определяется при этом
только с точностью до меридиана то, взятого с произвольным коэффи-
з
циентом. Применим теперь к обоим подкомплексам Vo и А сферы S
теорему II § 52. Одномерная группа Бетти трехмерного кольца Vo име-
имеет образующие то и bo и соотношение то ~ 0 . Будем считать, что
группа Бетти В^ также представлена образующими и соотношения-
соотношениями, причем допустим, что то и bo входят в число образующих. Тогда
соотношения группы Бетти В^ сферы S3 получаются, если мы при-
присоединим к неизвестным нам соотношениям группы Vo соотношения
группы Бетти, т. е. соотношение то ~ 0 (мы не вводим здесь соотноше-
соотношений, определяющих коммутативность группы, так как они указываются
уже аддитивной транскрипцией гомологии). Но В^ состоит только из
нулевого элемента. Это значит, что если в группе Бетти В^ положить
то ~ 0, то все элементы этой группы становятся нулями. А это воз-
возможно лишь в том случае, когда В^ есть порожденная элементом то
циклическая группа. Эта циклическая группа В а есть свободная цик-
циклическая группа. В самом деле, по теореме IV § 64 одномерное число
Бетти пространства А по меньшей мере равно общему числу ручек гра-
граничных поверхностей, т.е. по меньшей мере равно 1, вследствие чего
группа Bji бесконечна . В частности цикл bo гомологичен в А цик-
циклу хто, где х — однозначно определяемое целое число. Если х ф 0, то
мы можем заменить bo параллелью b* ~ bo — хто) цикл Ь* уже гомоло-
гомологичен в А нулю.
Топологически отображая граничный тор Т' какого-нибудь трех-
трехмерного кольца V на граничный тор Т пространства А и отож-
Образующими группы Бетти являются классы гомологии, определяемые цик-
циклами то и Ьо • Поэтому следовало бы собственно вместо то писать соответствующий
класс гомологии, а вместо знака ~ знак, установленный для обозначения равенства
групповых элементов.
"Другое простое доказательство этого предложения имеется на стр. 358.

§65. Построение трехмерных многообразий при помощи узлов 289
дествляя соответствующие точки, мы получим замкнутое многообра-
многообразие М3. Образ т меридиана т! кольца V на Т есть замкнутый путь
на Т гомологичный, следовательно, линейной комбинации циклов то
т ~ ат0 + РЩ (на Т). A)
Заметим, между прочим, что так как т не имеет двойных точек, то це-
целые числа а и /3 не имеют общих множителей. Одномерная группа Бет-
Бетти Вм многообразия М3 получается из В^ (опять по теореме IV § 64),
если мы положим равным нулю меридиан т «замыкающего» трехмер-
трехмерного кольца V:
ат0 + AЪ1 ~ 0 (в М3).
Так как 6g ~ 0 в А, то у нас остается только соотношение
'О,
являющееся определяющим соотношением группы Вм- Таким обра-
образом, Вм есть циклическая группа порядка а.
В частности, если в соотношении A) а = 0, мы получаем либо
трехмерную сферу, либо пространство Пуанкаре. Однако и в этом слу-
случае замыкание дополнительного пространства может быть произведено
бесчисленным числом способов, в зависимости от выбора числа /3.
Поясним описанный процесс на примере простейшего узла. По § 52 фун-
фундаментальная группа пространства А определяется в этом случае соотноше-
соотношением
А2 = В3. B)
Выберем начальной точкой замкнутых путей точку тора Т. В качестве ме-
меридиана то можно выбрать путь
т0 = В А'1
(рис. 109), а в качестве параллели — путь
Ъо = А2,
так как А2 в обозначениях §52 есть средняя линия кругового кольца D.
Для того чтобы найти в дополнительном пространстве гомологичную нулю
параллель bo, составим при помощи неопределенного числа х выражение
6* = А2(ВА'1)'* ~ А2+ХВ~Х. C)
Утверждение, что при таком отождествлении всегда получается комплекс, рав-
равносильно утверждению, что симплициальное разбиение тора Т, топологически пе-
перенесенное на Г', может быть дополнено до симплициального разбиения всего V.
Доказывать этого мы не будем, а предположим, что топологическое отображение
тора Т на Т' просто обладает этим свойством.

290 Глава IX
Из этого выражения видно, что х надо положить равным —6, так как тогда
по формуле B)
Ъ*о ~ А~4В6 ~ {А~2В3) ~ 0. (в А)
Чтобы получить пространство Пуанкаре, мы выбираем в качестве меридиа-
меридиана, замыкающего трехмерного кольца путь
т = т0Ь*0<3 = BA-1[A2(BA-1ff. D)
Пусть т гомотопен нулю в замыкающем трехмерном кольце, следоват ельно,
и в М3. Поэтому в М3 кроме B) имеется еще соотношение
(ВА-1)[А2(ВА-1)в]/3 = 1. E)
Что этими соотношениями исчерпываются все соотношения фундаменталь-
фундаментальной группы многообразия М3, следует из теоремы I § 52. Простейший способ
замыкания пространства А дает нам случай /3 = 0. Тогда т = то, и мы по-
получим трехмерную сферу, служившую нам отправным пунктом. При /3 = — 1
соотношения B) и E) фундаментальной группы многообразия М3 принима-
принимают вид
А2 = В3, ВА-1(ВА-1)-°А~2 = 1, или А2 = 15
А2 = В3 = {ВА~1)-Ъ.
Вводя вместо А новую образующую С, определяемую уравнением А = СВ,
мы получим
(СВJ = В3 = С5.
А это есть как раз (с точностью до обозначений) соотношения фундаменталь-
фундаментальной группы сферического пространства додекаэдра (§62). Доказательство
того, что совпадают не только фундаментальные группы, а также и сами
пространства, требует вспомогательных средств, выходящих за рамки этой
книги33.
Для других значений числа /3 получаются также пространства Пуанка-
Пуанкаре, причем только негомеоморфные, так как можно показать, что фундамен-
фундаментальные группы их различны.

Глава X
n-мерные многообразия
Благодаря своей однородной структуре (все точки имеют гомеоморфные
друг другу окрестности) многообразия играют среди полиэдров особо важ-
важную роль. В предыдущих главах мы пытались дать исчерпывающую класси-
классификацию двумерных и трехмерных многообразий. В двумерном случае нам
это удалось. Однако уже в трехмерном случае мы оказались в состоянии
привести лишь более или менее систематизированные примеры трехмерных
многообразий. Полная классификация n-мерных многообразий представляет
в настоящее время проблему, не дающую никаких надежд на решение. К то-
тому же проблема гомеоморфизма в случае более чем трех измерений отсту-
отступает на задний план, — большее значение имеют общие свойства многомер-
многомерных многообразии. Все эти свойства основываются на возможности дуаль-
дуальных разбиений многообразия. Мы рассмотрим здесь из таких свойств закон
двойственности Пуанкаре, а также теорию индексов пересечения и коэффи-
коэффициентов зацепления.
В случае более трех измерений мы будем изучать не просто многооб-
многообразия, а так называемые n-многообразия (гомологические многообразия),
представляющие обобщение обычных. Мы начнем со вспомогательных по-
понятий, которые подготовят нас к определению п-многообразий и к введению
дуальных разбиений.
§ 66. Звездный комплекс
Звездный комплекс есть по определению конечный симплициаль-
ный комплекс, разбитый на определенные свои подкомплексы, а именно
на звезды , притом разбитый таким образом, что край каждой г-мернои
звезды нацело слагается из некоторых (г — 1)-мерных звезд.
Построение звездных комплексов происходит индуктивно следую-
следующим образом:
нульмерный звездный комплекс К® состоит из конечного числа
вершин
°1 > °2 > • • • > аа° >
называющихся нульмерными звездами комплекса К®. Одномерный
звездный комплекс К\ получается из К®, если мы дополним К® ко-
конечным числом одномерных звезд
а1 > а2> ¦ ¦ ¦ > аоД>
'Определение звезды (точнее: симплициальной звезды) см. в § 14 (стр.73-74).
Там же дано определение центра и края звезды.

292
Глава X
причем так, что край каждой а„ состоит из некоторых нульмерных
звезд комплекса if°. Если вообще if™ представляет (п — 1)-мерный
звездный комплекс со звездами
„к к к
а1 > а2> • • •> аак
размерностей к (к = 0, 1, ..., п — 1), то
n-мерный звездный комплекс if™, получа-
получается, если мы дополним комплекс if™1
конечным числом n-мерных звезд а™,
U2, ..., а"г„, при этом край каждой звез-
звезды а™ должен состоять из (п — 1)-мерных
звезд комплекса if™.
Мы будем называть симплициальный
комплекс, состоящий из всех симплексов
звезд if™, барицентрическим подразделени-
подразделением комплекса if™ и будем обозначать его
* п
Рис. 114 через ifa. На рис. 114 показана часть дву-
двумерного звездного комплекса. Двумерными
звездами его являются многоугольники, границы которых обозначены
жирными линиями.
Пример. Звездный комплекс можно получить из любого конеч-
конечного полиэдра if™. Для этого следует разбить его сначала каким-ни-
каким-нибудь образом на симплексы, а получившийся симплициальный ком-
комплекс подразделить затем барицентрически; /с-мерными звездами яв-
являются тогда барицентрически подразделенные /с-мерные симплексы
комплекса if™.
Введем следующее определение: (п — 1)-мерная звезда а^~х
и /с-мерная звезда а^ комплекса if™ называются непосредственно ин-
инцидентными, если а™ лежит на краю а^. Если же между двумя
звездами о'иа* i < k существует последовательность звезд возраста-
возрастающих размерностей аг, аг+1, ..., ак~1, ак, каждая из которых непо-
непосредственно инцидентна со следующей, то мы будем называть а* и ak
просто инцидентными.
Из определения звездного комплекса следует, что числа а0, а1, ...,
ап, звезд размерностей от 0 до п, а также непосредственные ин-
циденции этих звезд могут быть заданы произвольно, если только
каждая к-мерная (к > 0) звезда инцидентна по крайней мере с одной
(к — 1)-мерной звездой. Пусть Р* есть центр звезды а?. Легко видеть,
что звездный комплекс можно расположить прямолинейно в (a0 +Q;1 +
+ ... + а")-мерном евклидовом пространстве. Это можно сделать при
Верхний индекс при вершине указывает здесь, как и в дальнейшем размерность
звезды, центром которой является эта вершина.

§66. Звездный комплекс 293
помощи следующего построения: мы выбираем в этом евклидовом про-
пространстве а° + а1 + ... + ап линейно независимых точек
РО рО р туп туп туп
1 > Г2 > ¦ ¦ ¦ > га° > • • • > Г1 > Г2 > ¦ ¦ ¦ > гап
и из центров проекций Р\, Р\, ..., Р^ проектируем те из точек
Pi, Р®, ¦ ¦ ¦, Р^о, которые должны лежать на краях звезд а\, а^, ...,
o^i, далее производим аналогичное проектирование из точек Рр,
Pi,..., Ра22ит.д.
Мы не требовали выше, чтобы каждая /с-мерная звезда была инци-
инцидентна по крайней мере с одной (к + 1)-мерной. Если, однако, это имеет
место, то звездный комплекс называется однородным. Очевидно, звезд-
звездный комплекс К™ является однородным в том и только в том случае,
* п
если его барицентрическое подразделение Ка есть однородный сим-
плициальный комплекс. Напротив, /с-мерная звезда ак комплекса К"
при любых обстоятельствах является однородным /с-мерным подком-
* п
плексом барицентрического подразделения Ка, т. е. каждый г-мерный
симплекс (г < /с) звезды ак служ:ит стороной по крайней мере одного
/с-мерного симплекса.
Мы хотим теперь выразить свойства n-мерного звездного комплек-
комплекса и его барицентрического подразделения при помощи инциденций,
связывающих звезды комплекса.
Теорема I. Пусть а0, а1, ..., ак (к ^ 0) — последовательность
звезд, каждая из которых непосредственно инцидентна со следую-
следующей. Тогда центры этих звезд Р°, Р1, ..., Рк являются вершинами
к-мерного симплекса, принадлежащего звезде ак. Обратно, вершины
каждого k-мерного симплекса можно рассматривать как центры та-
такой последовательности звезд.
Доказательство. Теорема справедлива при к = 0. Допустим,
что она уже доказана для размерности к— 1. Докажем, что она справед-
справедлива тогда и для размерности к. В самом деле, если а0, о1, ..., ак~1
представляет ряд непосредственно инцидентных звезд, то их центры
Р°, Р1, ..., Рк~1 являются по предположению вершинами принадле-
принадлежащего звезде ак~1 симплекса. В силу инцидентности звезд ак~1 и ак
симплекс (Р°Рг... Рк~г) лежит на границе звезды ак. Поэтому верши-
вершины Р°, Р1, ..., Рк~1 определяют принадлежащий звезде ак симплекс.
Если теперь, обратно, Ек представляет произвольный /с-мерный
симплекс звезды ак, то точка Рк является его вершиной, а проти-
противоположная ей сторона Ек~1 лежит на краю звезды ак и входит
поэтому в инцидентную с ак звезду ак~1. В силу индукционного
предположения вершины симплекса Ек~1 являются центрами после-
последовательно инцидентных звезд а0, а1, ..., ак~1. Но тогда ряд звезд

294 Глава X
а0, о1, ..., ак~1, ак, центры которых являются вершинами симплек-
симплекса Ек, представляет ряд последовательно инцидентных звезд.
Следующая теорема является обобщением теоремы I.
Теорема II. Пусть аг, ак, ..., а1 (г < к < ... < I) представля-
представляет ряд звезд возрастающей размерности, причем каждые две звез-
звезды этого ряда, следующие одна за другой, инцидентны (но не обя-
обязательно непосредственно) друг с другом. Тогда центры этих звезд
Рг, Рк, ..., Р1 являются вершинами некоторого симплекса комплек-
* п
са Ка, причем таким путем мы можем получить каждый симплекс
* п
комплекса Ка.
Доказательство. Вставляя в ряд аг, ак, ..., а1 промежуточные
звезды, мы можем дополнить этот ряд до ряда звезд а0, а1,..., а1~г, а1,
в котором каждые две звезды, следующие одна за другой, непосред-
непосредственно инцидентны. По теореме I центры этих звезд являются вер-
вершинами принадлежащего звезде а1 симплекса. Но тогда центры звезд
первоначального ряда определяют некоторую сторону этого симплекса.
Пусть теперь, обратно, Е1 представляет произвольный симплекс
* п
комплекса Ка. Рассмотрим подкомплексы К®, К*, ..., К™, образо-
образованные соответственно сначала всеми нульмерными звездами, затем
всеми нульмерными и одномерными и т.д., наконец, всеми звездами
вообще. Пусть К? — первый из этих комплексов, содержащий сим-
симплекс Е1. Тогда одна вершина симплекса Е1 является центром /i-мер-
ной звезды oft, в то время как сторона симплекса Е\ противоположная
этой вершине, принадлежит краю звезды ah. E^ представляет сторону
некоторого симплекса Eh звезды ah (или же Ej = Eh). Из теоремы I
следует, что вершины этого симплекса являются центрами последова-
последовательно инцидентных звезд. Поэтому и вершины симплекса Е^ являют-
являются центрами (посредственно или непосредственно) инцидентных звезд.
Если мы знаем, сколько звезд каждой размерности входит в JC™
и какие звезды непосредственно инцидентны, то мы знаем вместе с тем
и все посредственные инциденции. По теореме II мы можем поэтому
* п
построить симплексы комплекса Ка, а на основании теоремы I устано-
* п
вить, из каких симплексов комплекса Ка составлены звезды комплек-
комплекса К". Если между звездами двух звездных комплексов JC™ и 'К"
установлено взаимно однозначное соответствие, при котором непосред-
непосредственно инцидентные звезды комплекса JC™ соответствуют непосред-
непосредственно инцидентным звездам комплекса 'К" и обратно, то тем самым
определяется одновременно взаимно однозначное и сохраняющее инци-
* п
денции соответствие между барицентрическими подразделениями Ка
* п
и 'Ка этих комплексов такое, что при этом симплексы каждой звезды

§66. Звездный комплекс 295
комплекса if™ переходят в симплексы соответствующей звезды ком-
комплекса 'if™. Мы будем называть два таких звездных комплекса изо-
изоморфными.
Из теоремы II вытекает, кроме того, следующее предложение:
Теорема III. Пусть
P\Pk, ...,Pl (i<k< ...<1)
вершины одного, а
Р1,Рт,...,Рг A<т<...<г)
* п
вершины другого симплекса комплекса Ка. Тогда точки
pi pk pi pm pr
также являются вершинами симплекса этого комплекса.
Это видно из того, что звезды аг, ак, ..., ак, ат, ..., аг последо-
последовательно инцидентны (хотя может быть и не непосредственно).
Мы займемся теперь специально однородными звездными комплек-
комплексами if™. По отношению к таким комплексам имеет место важная те-
теорема о существовании дуальных звездных комплексов, ради которых
мы вообще ввели понятие звездного комплекса.
Теорема IV. Для каждого однородного звездного комплекса if™
существует определяемый с точностью до изоморфизма дуальный
звездный комплекс if™. Этот комплекс характеризуется следующи-
следующими свойствами: каждой k-мерной звезде ак комплекса if™ соответ-
соответствует взаимно однозначно «дуальная» (п — 1)-мерная звезда bn~k
комплекса К?, причем инцидентным звездам первого комплекса со-
соответствуют инцидентные звезды второго.
Доказательство. Количество звезд каждой размерности звезд-
звездного комплекса if™, существование которого мы хотим доказать, точ-
точно так же, как инциденции этого комплекса, определяются услови-
условием дуальности. Таким образом, для того чтобы мы могли построить
такой комплекс, необходимо еще, чтобы с каждой /с-мерной звездой
была инцидентна по крайней мере одна (к — 1)-мерная. А это усло-
условие выполняется, так как в силу однородности комплекса if™ каж-
каждая его (п — /с)-мерная звезда инцидентна по крайней мере с одной
(п — к + 1)-мерной. На рисунке 115 границы двумерных звезд исход-
исходного звездного комплекса (того же, что и на рис. 114) обозначены жир-
жирными линиями, а границы двумерных звезд дуального комплекса —
пунктирными.

296
Глава X
Если построить дуальный звездный
комплекс для if™, то мы получим if™. Та-
Таким образом if™ и if™ равноправны по от-
отношению друг к другу. Так как звезды а?
if™ и дуальные звезды bVrk
комплекса
комплекса if™ связаны взаимно однознач-
однозначным соответствием, то таким же соответ-
соответствием связаны и их центры Р? и Q^~k,
т. е. вершины барицентрических подраз-
* п * п
делений ifa и ifb. Пусть (РгРк...Р1)
Рис. 115 (г < к < ... < I) представляет симплекс ком-
* п
плекса ifa. По теореме II соответствую-
соответствующие звезды о*, ак, ..., а1 последовательно инцидентны. Но тогда
и дуальные звезды Ьп~г, Ьп~к, ..., Ьп~1 такж:е последовательно ин-
инцидентны. Поэтому, опять в силу теоремы II, центры этих звезд
Qn~%, Qn~k, ..., Qn~l являются вершинами некоторого симплекса ком-
*
плекса Къ. Отсюда следует, что при отображении Р* <->• Q%~k симплек-
* п * п
сы комплекса Ка переходят в симплексы комплекса Къ, и обратно.
Поэтому дуальные звездные комплексы if™ и ifb™ можно рассматри-
* п * п * п
вать как один и тот же симплициальный комплекс К = Ка = Кь,
симплексы которого двумя различными способами объединены в звез-
звезды; так мы и будем поступать в дальнейшем.
* п
Условимся записывать вершины каждого симплекса комплекса if
всегда в порядке возрастания их верхних индексов. По теореме II все
эти индексы различны, т. е. вершины симплекса являются центрами
* п
звезд различных размерностей. Каждый симплекс комплекса if будет
иметь тогда определенную первую и определенную последнюю верши-
* п
ну. Так как по теореме I каждый /с-мерный симплекс комплекса if ,
* п
принадлежащий /с-мерной звезде ак звездного комплекса ifa, может
быть задан рядом, состоящим из к + 1 последовательно инцидентных
звезд а0, а1, ..., ак, а симплекс дуальной звезды Ьп~к — соответствен-
но рядом звезд а , а + , ..., а , то положение звезды по отношению
к ее дуальной определяется следующей теоремой:
Теорема V. Звезда ак состоит из совокупности k-мерных сим-
симплексов, имеющих центр Р^ этой звезды своей последней вершиной.
Дуальная оке с ак звезда Ьп~к составляется из (п — к)-мерных сим-
симплексов, имеющих точку Рк своей первой вершиной.
Из теоремы V следует, что две дуальные звезды имеют общей точ-

5 66. Звездный комплекс
297
кой только центр, в то время как две не дуальные звезды ак и Ъп k
(дополнительных размерностей) вообще не имеют общих точек. Обоб-
Обобщением этого является следующее предложение:
Теорема VI. Пересечение звезд ак и Ьп~г, имеющих центра-
центрами Рк и Р%, состоит из совокупности (к — {)-мерных симплексов ком-
* п
плекса К , имеющих Р% первой вершиной, а Рк — последней. Таким
образом эти две звезды имеют не пустое пересечение лишь в том слу-
случае, если i ^ к и если центр звезды Ьп~г принадлежит звезде ак.
Доказательство, а) Рассмотрим (к — г)-мерный симплекс
(РгРг+1... Рк~гРк). Симплекс этот является стороной некоторого
n-мерного симплекса (Р° ... Рг... Рк ... Рп). По теореме V (Р° ... Рк)
принадлежит звезде ак, а (Рг...Рп) — звезде Ьп~%. Но тогда общая
сторона этих симплексов (РгРг+г... Рк~гРк) принадлежит пересече-
пересечению симплексов ак и bn~i.
Рис. 116
/3) Мы должны показать теперь, что каждый симплекс пересечения
звезд ак и Ьп~г является стороной (к—г)-мерного симплекса (Рг... Рк).
Пусть Е = (Pr ...Ps) представляет такой общий симплекс звезд ак
и Ъп~г (размерность его может быть и меньше, чем s — г). Тогда су-
существует (s — г)-мерный симплекс ES~T, имеющий Рг своей первой,
аР8- последней вершиной. Это следует из того, что Е является да-

298 Глава X
же стороной n-мерного симплекса. Далее, так как Ps принадлежит ак,
существует симплекс Ek~s, имеющий Ps своей первой, а Рк — послед-
последней вершиной, и симплекс Ег~г, имеющий Рг своей первой и Рг —
последней вершиной (так как Рг принадлежит Ьп~г). По теореме IV
три симплекса Ег~г, Es~r, Ek~s являются сторонами (к — г)-мерного
симплекса, имеющего Pi первой, а Рк — последней вершиной.
Для иллюстрации введенных понятий рассмотрим в качестве симплици-
ального комплекса Ка октаэдр. Барицентрическое подразделение восьми его
треугольников дает нам звездный комплекс К , составленный из восьми дву-
двумерных звезд с центрами Р?, Pi, ..., Pi. Точки Pi, P\, ..., Pl2 — середины
ребер октаэдра — представляют центры двенадцати одномерных звезд ком-
комплекса, в то время, как вершины октаэдра играют роль шести нульмерных
звезд. Звезда, дуальная к нульмерной звезде Р°, составляется из восьми тре-
треугольников, имеющих Pi первой вершиной. Граница этой дуальной звезды
состоит из четырех одномерных звезд, т. е. представляет четырехугольник
дуального звездного комплекса К^ (куба, обозначенного на рис. 116 пунк-
пунктирными линиями). Рис. 116 изображает разбиение октаэдра и дуальное раз-
разбиение куба в стереографической проекции.
§ 67. Клеточный комплекс
/с-мерная звезда называется k-мерной клеткой в том случае, если
ее край имеет такие же группы Бетти, как (/с — 1)-мерная сфера, и если
при к > 1 он представляет замкнутое псевдомногообразие. Нульмер-
Нульмерная клетка состоит из одной точки, одномерная — из двух отрезков,
инцидентных с одной точкой. Граница двумерной клетки представляет
окружность, а сама клетка — круг. Для трех измерений граница есть
сфера, а трехмерная клетка — шар (см. упр. 1 параграфа 39). Четы-
Четырехмерных клеток и клеток высшего числа измерений мы уже не в со-
состоянии перечислить. Существуют клетки, негомеоморфные /с-мерному
шару, — в качестве примера можно указать четырехмерную симплици-
альную звезду, границей которой является трехмерное пространство
Пуанкаре.
Если все звезды звездного комплекса представляют клетки, то мы
будем называть такой комплекс клеточным.
Всякий барицентрически подразделенный /с-мерный симплекс пред-
представляет /с-мерную клетку. Поэтому любой конечный симплициальный
комплекс превращается после барицентрического подразделения в кле-
клеточный комплекс. Клетки можно рассматривать, следовательно, как
обобщения симплексов: они играют в клеточном комплексе такую же
роль, как симплексы в симплициальном. В ближайших параграфах,
при изучении многообразии, мы увидим, почему нельзя ограничиться
рассмотрением симплексов.
При к > 1 край /с-мерной клетки ак представляет (к — 1)-мерное

§ 67. Клеточный комплекс 299
ориентируемое многообразие. В самом деле, (/с — 1)-мерная группа Бет-
Бетти этого края совпадает с соответствующей группой Бетти (к — 1)-мер-
ной сферы, т. е. есть свободная циклическая группа. А из § 24 следует,
что это условие эквивалентно с ориентируемостью. Но тогда, по дока-
доказанному на стр. 121, сама клетка ак есть ориентируемое ограниченное
псевдомногообразие. Поэтому /с-мерные симплексы клетки ак могут
быть когерентно ориентированы (двумя противоположными способа-
способами). Клетка ак превращается при этом в ориентированную к-мерную
клетку, которую мы будем обозначать через ак. Аналогичная когерент-
когерентная ориентация двух одномерных симплексов, составляющих одномер-
одномерную клетку, возможна и при к = 1. Нульмерные клетки ориентируются
как нульмерные симплексы (стр. 59). Таким образом ориентированная
/с-мерная клетка (к Jj 0) представляет множество ориентированных
симплексов, которое можно рассматривать, считая что каждый сим-
симплекс входит туда с коэффициентом 1, как /с-мерный алгебраический
комплекс. Граница ориентированной клетки ак (в смысле границы ал-
алгебраического комплекса) представляет когерентно ориентированный
край звезды ак (стр. 121). Таким образом ориентация /с-мерной клетки
дает нам ориентацию всех [к — 1)-мерных клеток, составляющих гра-
границу этой /с-мерной клетки; эта ориентация называется ориентацией,
индуцированной ориентацией /с-мерной клеткой.
Снабдим теперь каждую /с-мерную клетку клеточного комплек-
комплекса Кп произвольной из двух возможных ориентации и зафиксируем
эти ориентации. Обозначим ориентированные таким образом клетки
через а^. (/с = 0, 1, ..., п; >с = 1, 2, ..., ак). Так как никакие две /с-мер-
/с-мерные клетки не имеют общих /с-мерных симплексов, то ориентированные
/с-мерные клетки представляют линейно независимые алгебраические
комплексы.
Под к-мерным клеточным алгебраическим комплексом клеточно-
клеточного комплекса мы понимаем выражение вида
qia\+q2al + ... + qakakak, A)
где клетки а1^ рассматриваются как симплициальные алгебраические
* п
комплексы барицентрического подразделения К комплекса Кп. Кле-
Клеточный алгебраический комплекс представляет собой, таким образом,
симплициальный алгебраический комплекс специального вида, имен-
именно такой, симплексы которого, в соответствии с A), могут быть объ-
объединены в клетки. Если такое объединение возможно, то оно возмож-
возможно только единственным способом, так как, вследствие линейной неза-
независимости /с-мерных клеток, коэффициенты qi, 52, ..., qak однозначно
определяются алгебраическим комплексом.
Клеточный алгебраический комплекс называется циклом (в част-
частности циклом, гомологичным нулю), когда соответствующий симпли-
симплициальный комплекс представляет цикл (цикл, гомологичный нулю).

300 Глава X
Граница клеточного алгебраического комплекса также является кле-
клеточным алгебраическим комплексом, так как таким комплексом явля-
является граница каждой отдельной клетки
•fe+l _ V^ к пк /\ _ 1 о пк+1Л
ах — 2^?>сха>с (л — L,/,..., а ).
Здесь е\х = +1, когда ориентация клетки а^ совпадает с ориентацией,
индуцированной клеткой а^ . Если эти ориентации противоположны,
то е^.Л = —1. Наконец, е^.л = 0 в том случае, когда а* и a^+1 вообще
не инцидентны.
Для каждого симплициального /с-мерного цикла клеточного ком-
комплекса Кп существует гомологичный с ним клеточный цикл. Мы до-
докажем более общее предложение:
Теорема I. Пусть Uk есть симплициальный алгебраический
подкомплекс клеточного комплекса, т. е. алгебраический подкомплекс
того симплициального комплекса, из симплексов которого складыва-
складываются клетки клеточного комплекса Кп, а его граница Uk представ-
представляет (к — 1)-мерный клеточный алгебраический комплекс (который
может быть также нулевым комплексом). Тогда существует кле-
клеточный комплекс, гомологичный Uk.
Доказательство. Пусть сначала к = 0 и Е° представляет нуль-
нульмерный симплекс комплекса U0. Тогда либо Е° сам является нуль-
нульмерной клеткой, либо он является центром некоторой Z-мерной клет-
клетки, на краю которой имеется, очевидно, нульмерная клетка, гомоло-
гомологичная Е°. Таким образом каждый нульмерный симплекс гомологичен
нульмерной клетке, вследствие чего каждый нульмерный алгебраиче-
алгебраический комплекс гомологичен нульмерному клеточному алгебраическому
комплексу.
Пусть теперь к > 0. Рассмотрим алгебраический подкомплекс Vk,
состоящий из всех /с-мерных симплексов комплекса Uk, инцидентных
с центром Рп n-мерной клетки ап. Так как Uk состоит целиком из
{к — 1)-мерных клеток, то никакой граничный симплекс комплекса Uk,
а следовательно, и никакой граничный симплекс подкомплекса Vk, не
может быть инцидентен с Рп. Поэтому Vk лежит на краю звезды ап.
Рассмотрим два случая:
а) к = п. Vn представляет тогда n-мерный алгебраический ком-
комплекс, составленный из симплексов клетки ап, граница которого ле-
лежит на краю звезды ап. Но тогда, по доказанному на стр. 120, Vn
"При к = 0 условие, чтобы граница была клеточным алгебраическим комплексом
естественно отпадает.

§ 67. Клеточный комплекс 301
представляет ориентированную звезду ап, взятую с некоторым коэф-
коэффициентом. Таким образом Un оказывается составленным целиком из
n-мерных клеток.
Ь) 0 < к < п. Vk является тогда (к — 1)-мерным циклом края звез-
звезды ап, при этом гомологичным на нем нулю, так как край (п — 1)-мер-
ной звезды имеет такие же группы Бетти, как (п — 1)-мерная сфера.
(Это имеет место и при к = 1, ввиду того что алгебраическое зна-
значение, т. е. сумма коэффициентов нульмерного цикла Vk равна нулю,
как бывает всегда у границы одномерного алгебраического комплек-
комплекса.) Но это значит, что на краю звезды ап существует алгебраический
комплекс 'Vk, граница которого равна границе подкомплекса Vk. Раз-
Разность V — 'V представляет тогда цикл на ап, причем цикл, гомо-
гомологичный нулю (как всякий цикл n-мерной звезды, см. стр. 93). Заме-
Заменяя поэтому в Uk алгебраический подкомплекс Vk комплексом 'Vk, мы
получим гомологичный Uk комплекс, не содержащий внутренних сим-
симплексов звезды ап. Поступая так со всеми n-мерными клетками, мы
заменим Uk гомологичным ему алгебраическим комплексом Uk, лежа-
лежащим на подкомплексе Кп~х комплекса Кп, где Кп~х — подкомплекс,
составленный из клеток комплекса Кп размерностей от 0 до п — 1.
Если к = п — 1, то, как показывает a), Uk уже сам представляет кле-
клеточный комплекс. В противном же случае мы применим процесс Ь) по
отношению к Кп~1 и заменим Uk гомологичным ему алгебраическим
комплексом Uk, лежащим на Кп~2, т.е. на подкомплексе, образован-
образованном всеми 0, 1, ..., (п—1) -мерными клетками комплекса Кп. Поступая
подобным образом дальше, мы придем, в конце концов, к алгебраиче-
алгебраическому комплексу Uk_k, гомологичному Uk и лежащему на подкомплек-
подкомплексе Кк, состоящем из клеток размерностей от 0 до к, а тогда мы сможем
воспользоваться заключением а).
Вместе с тем получается следующий важный результат:
Теорема II. Ориентированные клетки клеточного комплекса
образуют кусочную систему.
Это вытекает из того, что условия (Kyc.i)-(Kyc.4) §22 для кле-
клеток выполняются. Поэтому для определения групп Бетти мы можем
взять за основу клеточные алгебраические комплексы. Матрицами ин-
циденций являются тогда матрицы (е^Л), получающиеся из граничных
соотношений B). Заметим, что клеточный комплекс определяется эти-
этими матрицами полностью (с точностью до изоморфизма), так как для
построения звездного комплекса достаточно знать его звезды и их непо-
непосредственные инциденции.
Наряду с ориентированными симплексами и симплициальными
алгебраическими комплексами мы рассматривали неориентированные
симплексы и алгебраические комплексы по модулю 2; точно так же
наряду с ориентированными клетками и клеточными комплексами мы

302 Глава X
можем рассматривать клетки по модулю 2 и клеточные комплексы по
модулю 2. /с-мерная клетка по модулю 2 (мы будем говорить — неори-
неориентированная /с-мерная клетка) есть симплициальный /с-мерный алге-
алгебраический комплекс по модулю 2, состоящий из всех неориентирован-
неориентированных /с-мерных симплексов клетки, /с-мерный алгебраический клеточ-
клеточный комплекс по модулю 2 представляет линейную комбинацию /с-мер-
/с-мерных клеток по модулю 2, коэффициенты которых суть классы вычетов
по модулю 2, т. е. 0 или 1.
Предложения относительно клеточных алгебраических комплек-
комплексов переносятся, как и в симплициальном случае, на клеточные алге-
алгебраические комплексы по модулю 2. Для этого нужно только заменить
во всех соотношениях коэффициенты кольца целых чисел соответству-
соответствующими классами вычетов по модулю 2.
Клетки по модулю 2 образуют кусочную систему по модулю 2.
§ 68. h-многообразия
Мы определили многообразие как полиэдр, каждая точка кото-
которого имеет окрестность, гомеоморфную внутренности n-мерного ша-
шара, и изучали определенные таким образом двумерные (поверхности)
и трехмерные многообразия. Однако такое определение многообра-
многообразия, очевидно, не является комбинаторным. Вследствие этого при рас-
рассмотрении многообразий размерностей больше, чем 3, мы сталкива-
сталкиваемся с трудностями, непреодолимыми при нынешнем состоянии топо-
топологии. В нашем распоряжении нет никаких средств даже для того,
чтобы узнать, является ли многообразием симплициальный комплекс,
заданный своей схемой. Именно, неизвестно, можно ли из существова-
существования окрестности, гомеоморфной внутренности шара, у каждой точки
n-мерного полиэдра Кп заключить, что (п — 1)-мерный окрестност-
ный комплекс вершины симплициального разбиения Кп гомеоморфен
(п — 1)-мерной сфере. Но даже если бы это было нам известно, мы не
вышли бы из затруднений, — оставался бы открытым вопрос, как опре-
определить по заданной схеме симплициального комплекса, является ли он
(п — 1)-мерной сферой или нет. Эта «проблема сферы» для случая бо-
более двух измерений не решена. Однако целый ряд предложений, отно-
относящихся к гомологическим свойствам многообразий (но не к гомотопи-
гомотопическим) , может быть доказан без использования определения многооб-
многообразия в полной мере. Эти предложения остаются справедливыми для
любого комплекса, если только окрестности каждой точки его ведут се-
себя по отношению к гомологическим свойствам так же, как окрестности
точек многообразия. Для этого достаточно потребовать, чтобы груп-
группы Бетти в каждой точке совпадали с группами Бетти (п — 1)-мерной
сферы. В соответствии с этим мы введем понятие /i-многообразия (го-
(гомологического многообразия).

§68. h-многообразия 303
п-мерным (замкнутым) h-многообразием М" называется связ-
связный конечный п-мерный комплекс, имеющий в каждой точке такие
же группы Бетти, как (п — 1)-мерная сфера110.
Таким образом нульмерные и (п — 1)-мерные группы Бетти в каж-
каждой точке должны быть свободными циклическими группами; все же
остальные группы должны состоять только из нулевого элемента. Ис-
Исключение представляет лишь случай п = 1; в этом случае нульмерная
группа Бетти представляет свободную группу с двумя образующими.
Мы будем заниматься только замкнутыми /i-многообразиями. Од-
Однако, как и в случае поверхностей, можно рассматривать как много-
многообразия с границей, так и бесконечные /i-многообразия41. Замкнутые
/i-многообразия являются конечными многообразиями, не имеющими
границы.
Теорема I. Все связные конечные многообразия являются одно-
одновременно h-многообразиями.
Это предложение непосредственно вытекает из теоремы II § 33.
В частности, А-многообразиями являются рассмотренные в VI и IX
главах двумерные и трехмерные многообразия, точно так же как п-мер-
ная сфера Sn и n-мерное проективное пространство Рп при п > 0. Сре-
Среди одномерных комплексов существует только одно /i-многообразие,
именно гомеоморфное окружности. В самом деле, нульмерная груп-
группа Бетти в вершине симплициального одномерного комплекса имеет
столько свободных образующих, сколько одномерных симплексов вы-
выходит из этой вершины. А так как эта группа должна иметь две сво-
свободные образующие, то с каждой вершиной должны быть инцидентны
в точности два одномерных симплекса. В дальнейших рассмотрениях
тривиальный случай п = 1 мы опускаем.
Пусть Кп — полиэдр, заданный в некотором симплициальном раз-
разбиении. Мы всегда можем узнать, является ли этот комплекс /г-много-
образием или нет. Так как г-мерные группы Бетти во всех внутренних
точках /с-мерного симплекса одинаковы, то мы должны исследовать
группы Бетти только в центрах всех /с-мерных симплексов, т. е. в вер-
вершинах барицентрического подразделения комплекса Кп.
Рассмотрим теперь некоторые свойства /г-многообразий.
I. Каждое /i-многообразие Мп есть однородный комплекс, т. е.
какое бы мы ни рассматривали симплициальное разбиение, каждый
/с-мерный его симплекс инцидентен по крайней мере с одним п-мер-
п-мерным. В противном случае (п — 1)-мерная группа Бетти в центре этого
/с-мерного симплекса не была бы свободной циклической группой, а со-
состояла только из нулевого элемента.
П. Каждый (п — 1)-мерный симплекс инцидентен в точности
с двумя п-мерными. Действительно, если v ф 2, то (п—1)-мерная груп-
группа Бетти в центре (п — 1)-мерного симплекса представляет свободную
абелеву группу с v — 1 ф 1 образующими (§ 32, 2-й пример).

304 Глава X
Отсюда следует, что окрестностный комплекс Ап~1 вершины Р,
т. е. граница симплициальной звезды с центром Р, также есть однород-
однородный (п — 1)-мерный комплекс, каждый (п — 2)-мерный симплекс кото-
которого инцидентен в точности с двумя (п — 1)-мерными. Так как, далее,
комплекс Ап~1 имеет такие же группы Бетти, как (п—1)-мерная сфера,
то его (п — 1)-мерное число Бетти по модулю 2 есть qn~x = 1. Таким
образом окрестностный комплекс Ап~х представляет (п — 1)-мерное
псевдомногообразие (см. стр. 117).
Далее, из того же свойства II мы получаем еще одно свойство.
III. Каждые два п-мерных симплекса /i-многообразия Мп можно
соединить цепочкой последовательно инцидентных симплексов размер-
размерностей п и п — 1. Допустим противоположное. Тогда Мп можно раз-
разбить на два подкомплекса, имеющих своим пересечением комплекс Кк,
размерность которого не превышает п — 2. В самом деле, в качестве од-
одного такого подкомплекса возьмем все n-мерные симплексы, которые
можно соединить цепочкой описанного типа с каким-нибудь одним сим-
симплексом. Все остальные n-мерные симплексы составят второй подком-
подкомплекс. Рассмотрим окрестностный комплекс Ап~1 какой-нибудь вер-
вершины комплекса Кк. Он представляет, очевидно, (п — 1)-мерный ком-
комплекс, распадающийся на два подкомплекса (лежащих соответственно,
на подкомплексах /i-многообразия Мп), которые либо вовсе не пере-
пересекаются, либо их пересечение имеет размерность, не превышающую
п — 3. Отсюда вытекает, что не каждые два (п — 1)-мерных симплекса
на Ап~1 могут быть соединены соответствующей цепочкой. А это на-
находится в противоречии с доказанным свойством комплекса Ап~1 быть
псевдомногообразием.
Так как доказанные только что свойства I—III совпадают со свой-
свойствами (IImi)—(Пмг), определяющими псевдомногоозразие (§24), то
тем самым устанавливается следующая теорема:
Теорема П. Каждое h-многообразие есть псевдомногообразие.
Поэтому теоремы, доказанные раньше для псевдомногообразий,
справедливы и по отношению к /i-многообразиям. В частности, можно
говорить об ориентируемых и неориентируемых /i-многообразиях. Что-
Чтобы установить дальнейшие свойства /i-многообразий, докажем лемму.
Лемма. Пусть комплекс Bk+1 (k ^ 0) состоит из двух
симплициальных звезд St1^1 и St^1, имеющих общий край Ак,
и пусть группы Бетти комплекса Bk+1 совпадают с группами Бет-
Бетти (к + 1)-мерной сферы. Тогда комплекс Ак имеет такие же группы
Бетти, как к-мерная сфера. Рис. 117 может служить иллюстрацией
для случая к = 1.
Доказательство. Пусть иг представляет г-мерный цикл на Ак;
*При доказательстве мы предполагаем, что рассматриваемые алгебраические

§68. h-многообразия
305
0 ^ i ^ к. При г = 0 мы предполагаем, сверх того, что алгебраическое
значение (сумма коэффициентов) комплекса U1 равно 0. На рисунке U1
состоит из двух точек, взятых с коэффициентами +1 и —1. Как пока-
показано на стр. 93, Uz ~ 0 как в комплексе Stk+1, так и в комплексе
Stk+1. Поэтому существуют алгебраические подкомплексы U{+1 и Щ+г
звезд Stk+1 и Stk2+1
такие, что
Щ+1 = U\
Щ+1 = IP.
A)
B)
Алгебраический комплекс
(з)
является тогда циклом.
I. Пусть теперь i < к. В этом
случае цикл C) гомологичен ну-
нулю на Вк+1, так как его размер-
размерность г + 1>0и</с + 1, а Вк+1
имеет такие же группы Бетти, как
(к + 1)-мерная сфера. Пусть в со-
соответствии с этим
yi+2 = JJi+l _щ+1_ D)
Разложим V%+2 на сумму
где под Vi+ мы понимаем со-
совокупность симплексов комплек-
комплекса Vl+2, инцидентных с центром
звезды Stk+1. Тогда в соответ-
соответствии с формулами E) и D)
Рис. 117
vi+2 = vi+2 - v2i+2 = ui+1 - щ+1 - \q
i+2
F)
Левая сторона формулы F) принадлежит к St\+1, так же как алгебра-
алгебраический комплекс Ul+ правой части. Поэтому комплекс U\^~ + V^+ =
i.k+1
. Но индекс 2 указыва-
. Поэтому U%+1 лежит
= Ui+1 также должен принадлежать к t
ет, что этот комплекс принадлежит и к
комплексы не являются особыми (т.е. считаем их симплициальными). Тривиаль-
Тривиальный случай к = 0 мы опускаем.

306 Глава X
на Ак. Из F) следует, что Щ+1 - Ui+1 ~ 0. Но тогда Щ+1 и Ui+1
имеют одну и ту же границу U1. Отсюда следует, что для каждого
цикла Ul комплекса Ак можно найти лежащий на Ак алгебраический
комплекс Ut+1, имеющий U1 своей границей, т.е. что группы Бетти
размерностей от 1 до к — 1 комплекса Ак состоят только из нулево-
нулевого элемента, в то время как нульмерная группа Бетти представляет
свободную циклическую группу.
П. Пусть теперь i = к. Так как (к + 1)-мерная группа Бет-
Бетти комплекса Вк+1 есть свободная циклическая группа, то каждый
(к + 1)-мерный цикл является кратным некоторого цикла Вк+1. В част-
частности, это имеет место для цикла C):
Uk+1-Uk+1=mBk+1.
Bk+1 можно разбить, и притом единственным способом, на два алге-
алгебраических комплекса Вк+1 и Вк+1, принадлежащих соответственно
звездам Stk+1 и Stk+1. Но тогда Uk+1 = mBk+1, т.е. Uk = Uk+1 =
= mBk+1. Это показывает, что Uk представляет цикл Вк+1, взятый
с коэффициентом т, вследствие чего /с-мерная группа Бетти комплек-
комплекса Ак есть свободная циклическая группа.
Теперь мы можем доказать следующую важную теорему:
Теорема III. Если Р — вершина заданного в симплициальном
разбиении h-многообразия Мп, то край Ап~х симплициалъной звез-
звезды Stn с центром Р также является (п— 1)-мерным h-многообрази-
h-многообразием (n ^ 2).
Доказательство. I. Так как Ап~1, по докаказанному выше, есть
(п — 1)-мерное псевдомногообразие, то Ап~х представляет связный ко-
конечный (п — 1)-мерный комплекс. П. Мы должны показать теперь, что
группы Бетти в каждой точке А комплекса Ап~1 совпадают с группами
Бетти (п—2)-мерной сферы. С этой целью представим себе, что все сим-
симплексы Мп, не принадлежащие к Stn, отброшены, и допустим, что А
является вершиной симплициального разбиения звезды Stn. Это до-
допущение не вносит существенных ограничений, так как мы можем все-
всегда подразделить Ап~х таким образом, чтобы А стало вершиной под-
подразделения, а затем дополнить это подразделение комплекса Ап~1 до
подразделения всей звезды Stn путем проектирования из вершины Р.
Пусть St" обозначает симплициальную звезду на Ап~г с центром А,
а Ап~2 — ее край (рис. 118). Тогда n-мерный симплекс, содержащий
отрезок (РА), имеет своими вершинами Р, А, Ао, А1, ..., Ап_2, где
(A0Ai... Ап_2)
представляет (п — 2)-мерный симплекс комплекса Ап~ . Пусть Q —
центр отрезка (РА). Разобьем наш n-мерный симплекс на два п-мерных

§68. h-многообразия
307
Рис. 118
симплекса
(PQA0A1
и (AQA0A1...An-2)
Точно так же поступим со всеми остальными инцидентными с (РА)
n-мерными симплексами звезды Stn. При таком подразделении Q пре-
превращается в вершину. Край В™ симплициальной звезды с центром Q
можно рассматривать как состоящую из двух частей: из совокупности
(п — 1)-мерных симплексов вида (PAqAi ... Ап-2) и (п — 1)-мерных сим-
симплексов вида (AAo-^i • • --^п-г) [вместо Aq, А\, ..., Ап_2 нужно под-
подставлять поочередно все вершины (п — 2)-мерных симплексов комплек-
комплекса Ап~2]. Но это значит, что окрестностный комплекс точки Q состо-
состоит из двух симплициальных звезд с общим краем Ап~2. По опреде-
определению /i-многообразия группы Бетти окрестностного комплекса В™
точки Q таковы же, как группы Бетти (п — 1)-мерной сферы. Поэтому,
в силу леммы, группы Бетти комплекса Ап~2, т.е. группы Бетти ком-
комплекса Ап~1 в точке А, совпадают с группами Бетти (п — 2)-мерной
сферы, что и требовалось доказать.
Мы убедились, что каждое связное конечное многообразие явля-
является /i-многообразием. Теперь мы можем выяснить, как обстоит дело
с обратным предложением:
Теорема IV. Для п = 1, 2, 3; и только для этих размерностей,
каждое замкнутое h-многообразие является замкнутым многообра-
многообразием.
В одномерном случае теорема очевидна, так как единственное

308 Глава X
существующее /i-многообразие представляет топологическую окруж-
окружность.
Пусть теперь Р — точка двумерного многообразия. Произведем
симплициальное разбиение, имеющее Р своей вершиной. По теоре-
теореме III окрестностный комплекс точки Р есть одномерное /г-многооб-
разие, т. е. гомеоморфен окружности, а тогда симплициальная звезда
с центром Р гомеоморфна кругу. Таким образом каждое замкнутое
двумерное /i-многообразие есть конечный, связный комплекс, каждая
точка которого имеет окрестность, гомеоморфную внутренности круга.
Другими словами, замкнутое двумерное /i-многообразие представляет
не что иное, как замкнутую поверхность (стр. 183); для таких поверх-
поверхностей мы дали в шестой главе полную классификацию.
В трехмерном /i-многообразии окрестностный комплекс всякой
точки есть двумерное /i-многообразие, имеющее такие же группы Бет-
Бетти, как двумерная сфера. По основной теореме топологии поверхностей
единственной поверхностью, обладающей таким свойством, является
сфера. Но тогда симплициальная звезда каждой точки /г-многообра-
зия М3 гомеоморфна шару, т. е. М3 представляет полиэдр, рассмат-
рассматривавшийся в главе IX (обыкновенное многообразие).
В случае более трех измерений наша теорема (об эквивалентности
/i-многообразий с многообразиями) несправедлива, так как существу-
существуют трехмерные многообразия, пространства Пуанкаре, имеющие такие
же группы Бетти, как группы Бетти трехмерной сферы, но не гомео-
морфные трехмерной сфере. Покажем, что существуют четырехмер-
четырехмерные /i-многообразия, не являющиеся многообразиями. Рассмотрим ком-
комплекс КА, состоящий из двух симплициальных звезд St\ и Stf с об-
общей границей, представляющей сферическое пространство додекаэдра.
Все точки такого комплекса, за исключением точек Р\ и Рг — центров
звезд St\ и St\, — имеют окрестностными комплексами трехмерные
сферы. Однако группы Бетти и в точках Р\ и Рг совпадают с группа-
группами Бетти трехмерной сферы, так как для точек Р\ и Р<± окрестностный
комплекс есть сферический додекаэдр, группы Бетти которого таковы
же, как у трехмерной сферы (стр. 278). Таким образом комплекс КА
есть /i-многообразие. Однако он не является многообразием. В самом
деле, фундаментальная группа в точке Pi, а также в Рг, как показано
на стр. 278, есть бинарная группа икосаэдра, состоящая только из еди-
единичного элемента. Поэтому точки Pi и Рг не могут иметь окрестностей,
гомеоморфных внутренности трехмерного шара.
Познакомившись с объемом понятия /i-многообразия, мы перехо-
переходим к рассмотрению важнейшего свойства /i-многообразий, — к суще-
существованию дуальных клеточных разбиений. Начнем с того, что пре-
превратим заданное /i-многообразие М™ в звездный комплекс. Для этого
разобьем Мп на симплексы и затем объединим эти симплексы над-
надлежащим образом в звезды. Звездный комплекс получится, например,
если мы произведем барицентрическое подразделение произвольного

§69. Закон двойственности Пуанкаре 309
симплициального разбиения комплекса Мп (стр. 292). Мы покажем
сейчас, что каждое звездное разбиение h-многообразия Мп является
одновременно клеточным разбиением.
Доказательство. Прежде всего все n-мерные звезды являют-
являются клетками. В самом деле, край n-мерной звезды, как показано на
стр. 303, есть псевдомногообразие, имеющее такие же группы Бетти,
как группы Бетти (п — 1)-мерной сферы [так как группы Бетти в цен-
центре звезды совпадают с группами Бетти (п — 1)-мерной сферы]. По той
же причине являются клетками (п — 1)-мерные звезды (п — 1)-мерного
/i-многообразия. В частости, так как край n-мерной звезды комплек-
комплекса М™ по теореме III является (п — 1)-мерным /i-многообразием, то
(п — 1)-мерные звезды этого края также оказываются (п — 1)-мерными
клетками. Но /i-многообразие есть однородный комплекс, т. е. каждая
его (п — 1)-мерная звезда инцидентна по крайней мере с одной п-мер-
ной, поэтому клетками являются все (п —1) -мерные звезды. Рассуждая
таким же образом дальше (вплоть до нульмерных звезд), мы получаем
полное доказательство теоремы.
Но тогда звездное разбиение, дуальное по отношению к данному
звездному разбиению, также представляет клеточное разбиение. По-
Поэтому каждое h-многообразие допускает дуальные разбиения на клет-
клетки. В дальнейшем мы будем обозначать заданное клеточное разбиение
/i-многообразия М™ через М™, дуальное разбиение — через Мьп, об-
* п
щее их барицентрическое разбиение — через М . Ориентированные
клетки разбиения М™ обозначим через а^., клетки дуального разби-
разбиения Мьп — через 6™~fe. Общий центр клеток а^. и 6™~fe назовем Р*
(fc = 0,l,...,n; x=l, 2,...,<**).
§ 69. Закон двойственности Пуанкаре
Рассмотрим /i-многообразие Мп с двумя заданными на нем фик-
фиксированными дуальными клеточными разбиениями М™ и М*. Пусть
оно ориентируемо и снабжено определенной ориентацией, т. е. все его
n-мерные симплексы когерентно ориентированы одним из двух воз-
возможных способов. Пусть, далее, а?. и 6™~fe — две ориентированных
дуальных клетки. Мы определим их индекс пересечения x(aSr> ^>Z~k)
следующим образом:
Правило: Выберем из симплексов барицентрического разбиения
клетки а^. /с-мерный симплекс
Ek =
ориентация которого определяется ориентацией клетки а^. Далее, та-
таким же образом выберем из симплексов клетки 6™~fe (n — /с)-мерный

310
Глава X
симплекс
Тогда
Еп~к = r](PkPk+1 ...Рп).
грп Г(Р^Р^ Рк РП\
есть n-мерный симплекс (по теореме III § 66), знак которого ? зависит
* п
от ориентации разбиения М , и мы определяем индекс пересечения
x(aSr> Ь%~к), как произведение ?г/?42:
Таким образом индекс пересечения равен всегда ±1. На рис. 119 п = 2,
к = 1, С = 1, V = С = -1.
Определение таково, что безраз-
безразлично, расположены ли вершины Е
и Еп~к по возрастающим верхним ин-
индексам или нет. Существенно лишь,
что Рк находится в Ек на последнем,
а в Еп~к — на первом месте и что по-
порядок вершин в Еп такой же, как в Е
и в Еп~к. В самом деле, если мы пере-
переставим в Ек две вершины (ф Рк), то ?
и ? изменятся, в то время как с г/ не
произойдет ничего. Соответствующий
результат получается, если мы поме-
поменяем местами две вершины симплекса Еп~к.
Далее, определение не зависит от выбора симплексов Ек и Еп~к
из барицентрически подразделенных клеток а^ и 6™~fe. Действитель-
Действительно, заменим Ек симплексом 'Ек, имеющим с Ек общие вершины,
за исключением одной, скажем, за исключением вершины Р°, заме-
замененной вершиной 'Р°. Так как Ек и 'Ек индуцируют в своей об-
общей (к — 1)-мерной стороне противоположные ориентации (вследствие
предположенной когерентной ориентации симплексов клетки а^.), то
'Ек = —?('Р°Р1... Рк). Вместо же Еп мы должны взять
1Еп = -С('Р°Р1...Рк...Рп),
так как Еп и 'Еп также индуцируют в общем (п— 1)-мерном симплексе
противоположные ориентации. Тогда индекс пересечения получается
(-СМ-С) = ???С,
т. е. такой же, как и раньше. Заменяя снова симплекс 'Ек соседним сим-
симплексом клетки а1^ и продолжая таким же образом дальше, мы можем
Рис. 119

§69. Закон двойственности Пуанкаре 311
достигнуть произвольного симплекса клетки а^., так как граница клет-
клетки а^. есть псевдомногообразие. Такие же соображения применимы по
отношению к клетке 6™~fe.
Напротив, индекс пересечения меняет знак, если мы изменим ори-
ориентацию одной из клеток а1^, 6™~fe или всего многообразия Мп.
Если к = 0, то а^ состоит из одной вершины Р°, являющейся
одновременно центром дуальной n-мерной клетки Ь™. Тогда
Е° = ?(Р°) и Еп = т?(Р°Р1... Рп).
Если мы предположим еще, что а^ ориентировано знаком +1, то ? = 1 и
Х(а^> &") = »?С = +1 или — 1
в зависимости от того, совпадает ли ориентация Ь™ с ориентацией JVfn
или нет. Такой индекс пересечения можно назвать также коэффициен-
коэффициентом покрытия точки Р° клеткой Ь™.
Индекс пересечения двух клеток не есть, вообще говоря, симмет-
симметрическая функция этих клеток. Именно имеет место соотношение
Х(а° , bl~k) = (-l)fc(-fc)x(brfc, а*). B)
Доказательство. Мы имеем
j^n-k __ п(ркрк+1 рпЛ = т( — -\\п-к(рк+1 рпрк\
?jn _ /•('рОр1 рк-1 ркрк+1 рп\ __
рпркрО Р^~^\
А тогда, по правилу, индекс пересечения x(^~fe> aSr) равен произведе-
произведению коэффициентов, стоящих в правых частях трех последних урав-
уравнений:
x(bZ~k, a*) = ^C(-l)fe(n-fe)xD, ЬГ*),
что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь наряду с клетками а^ и 6™~fe две соответствен-
соответственно инцидентных с этими клетками дуальных клетки af и 6™~fe+1.
Ориентируем их так, чтобы имели место соотношения (рис. 120)
акх = ак1-1+..., C)
j^n-k+l = Ьп-к + щ

312 Глава X
Пусть Рк и Рк~г — центры клеток а^ и ак~х и
Ек = ?(pOpl pfe^
— ориентированный симплекс клетки а^., а
j^n-k+1 _ mipk-^pk рп\
— ориентированный симплекс клетки 6™~fe+1.
Рис. 120
Тогда
есть симплекс клетки ак , а
Еп~к = rj(PkPk+1 ...Рп)
— симплекс клетки 6™~fe. Пусть, наконец, ориентация /г-многообра-
зия Мп снова определяется симплексом
Еп = С(Р°Р1 ...Р").
Тогда, в силу нашего правила,
так что
1—к\
E)

§69. Закон двойственности Пуанкаре 313
Если мы сделаем теперь более общее предположение, именно если мы
отбросим условие, что ориентации клеток ак~х и &™-fe+1 определяются
уравнениями C) и D), а будем считать, что эти ориентации заданы нам
придется заменить эти уравнения уравнениями
4 = W?f-1af + ---=P«f + ---. F)
bl~k+1 = {Ь)гп-*Ъп-к + ... = abl~k + ... G)
Тогда
.Y_fe rri—k\ п„1 л\к.,( .,к— 1 г.п—к+1\ (о\
так как при перемене ориентации клетки ак~х или Ъ™~к меняется знак
правой части формулы E).
Предположим теперь, что клетки а^ (к = 0, 1, ..., п; >с = 1, 2, ...,
afe) ориентированы произвольно, клетки же 6™~fe дуального разбиения
ориентированы так, что все индексы пересечения x(a^> °^~fe) оказыва-
оказываются равными +1. Из (8) следует тогда, что р<т(—l)fe = 1 или
р={-1)ка. (9)
Однако р представляет не что иное, как коэффициент ^'е^1 матри-
матрицы инциденций Eg клеточного разбиения М?, а а — коэффициент
(b)e"~fe матрицы инциденций E^~fe клеточного разбиения М?. Поэто-
Поэтому уравнение (9) означает, что Е^ представляет транспонированную
матрицу инциденций E^~fe, умноженной на (—l)fe*
E*-i = (_i)^-fe) A0)
т.е. что имеют место граничные соотношения (индексы (°) и (ь' у ек~х
мы теперь опять можем опустить):
. h \ ^
а — у
а
ST-l^k к-1ъп-к
/Л I ix х
Таким образом в результате получается теорема:
Транспонированная матрица получается при замене строк матрицы столбцами
и обратно, т. е. при отражении матрицы в главной диагонали. Мы будем обозна-
обозначать транспонированную матрицу чертой наверху, идущей в направлении главной
диагонали.

314 Глава X
Теорема I. Если ориентировать клетки разбиения М? дуаль-
дуального к заданному клеточному разбиению М™ так, что индекс пересе-
пересечения каждой клетки М™ с дуальной клеткой Мьп {именно в этом
порядке!) = 1, то матрица инциденций Е^ разбиения М™ равня-
равняется транспанированной матрице инциденций E^~fe разбиения Мьп,
умноженной на (—l)fe.
Для того чтобы получить закон двойственности Пуанкаре, мы вы-
вычислим теперь группы Бетти Мп один раз, исходя из клеточного раз-
разбиения М™ второй раз, — исходя из клеточного разбиения М? и при-
применим затем матричное уравнение A0); /с-мерное число Бетти
РН = ^a-la-lt1 = ^b-lb-lt1 (* = 0, 1, ..., П).
При этом а* означает число /с-мерных клеток разбиения М?, 7а ~~
ранг матрицы Е^ и 7^ = 7™ = 0 (§ 22); числа, снабженные индексом Ь,
имеют соответствующее значение по отношению к разбиению М™. Од-
Однако а? == а™~к, так как для каждой /с-мерной клетки существует
в точности одна (п — /с)-мерная. Далее, по формуле A0), 7а = 1ь~к-
Поэтому
рк = апь~к - 7rfe - 1Гк = РП~к-
/с-мерные коэффициенты кручения представляют, с одной сторо-
стороны, отличные от единицы инвариантные множители матрицы Ejj,
а с другой стороны, в силу A0), инвариантные множители матрицы
Е^ = (—l)n~feE"~fe~1. Таким образом /с-мерные коэффициенты круче-
кручения совпадают с (п — к — 1)-мерными коэффициентами кручения и мы
можем окончательно сформулировать следующую теорему:
Теорема II (Закон двойственности Пуанкаре). к-мерное
число Бетти ориентируемого замкнутого h-многообразия совпада-
совпадает с (п — к)-мерным числом (к = 0, 1, ..., п); к-мерные же ко-
коэффициенты кручения равны коэффициентам кручения размерности
п-к-1 (к = 0, 1, ...,п-1).
Отсюда следует, в частности, уже известный нам факт, что у
замкнутых, ориентируемых /i-многообразий не существует (п — 1)-мер-
ных коэффициентов кручения, так как у них не существует нульмер-
нульмерных коэффициентов кручения (стр. 91).
Закон двойственности Пуанкаре существенным образом основы-
основывается на ориентируемости /i-многообразия. Для неориентированных
/i-многообразий никакая ориентация n-мерных клеток не приведет нас
к уравнению A0), так как Е° имеет ранг а°а — 1, а Е^ — ранг а? = а°а
(§24).
Однако и для неориентируемых многообразий можно установить
закон двойственности, получающийся еще проще, так как при его выво-
выводе можно совсем не обращать внимания на ориентацию клеток. В этом

§70. Индексы пересечения клеточных алгебраических комплексов 315
случае матрицы инциденций связываются не уравнением A0), а срав-
сравнением
Е^ = E?~fe (mod 2).
v n—k
В самом деле, элементы матриц Е^ и Еь отличаются друг от дру-
друга самое большее знаком. Другими словами, матрицы инциденций по
модулю 2, Ё^ и Ё^~ при помощи транспонирования переходят друг
в друга, вследствие чего они имеют один и тот же ранг S^1 = 5^~ ¦
Но тогда, по формуле (8) § 23, /с-мерное число Бетти по модулю 2
пк _ к ск xfe-1 _ пк ск хк-1 _
= а2~к — 5™~к~1 — 82~к = Qn~k ¦
Таким образом получается теорема:
Теорема III (Закон двойственности по модулю 2). Как
у ориентируемых, так и у неориентируемых замкнутых h-многооб-
разий k-мерное число Бетти по модулю 2 равно (п — к)-мерному.
Из этой теоремы вытекает, если мы воспользуемся формулой A2)
стр. 116, еще одно предложение, касающееся эйлеровой характеристи-
характеристики:
Теорема IV. Эйлерова характеристика h-многообразия нечет-
нечетной размерности равна нулю:
N = 0.
§ 70. Индексы пересечения клеточных
алгебраических комплексов
Топологическое содержание закона двойственности, выведенного
нами формально при помощи матриц инциценций, раскрывается, ко-
когда мы переходим от чисел Бетти к базам слабых гомологии. Мы
хотим показать, что между такими базами размерностей к и п — 1 так-
также существует некоторое двойственное соотношение. С этой целью мы
определим индекс пересечения двух клеточных алгебраических ком-
комплексов и воспользуемся им (§ 71) для построения дуальных баз слабых
гомологии.
Пусть
Ак = 4
=Г)\ЬХ +Г]202 + . ..+Г]акЬак

316 Глава X
суть два алгебраических комплекса, составленных из клеток дуальных
разбиений. Так как а^~к = ак, например = ак, то индексы обоих алге-
алгебраических комплексов пробегают значения от 1 до одного и того же
числа ак. Оба комплекса имеют самое большее конечное число общих
точек, так как клетка о? не имеет общих точек ни с одной из кле-
клеток 6™~fe, за исключением дуальной клетки 6™~fe, с которой а1^ имеет
общий центр. Для дуальных клеток индекс пересечения определен в на-
начале предыдущего параграфа. Для двух недуальных клеток дуальных
разбиений мы полагаем его равным нулю. Тогда индекс пересечения ал-
алгебраических комплексов Ак и Вп~к мы будем считать равным сумме
индексов пересечений отдельных клеток. Точнее:
Х(Ак, Вп~к) = Y,HZ*VxX(ak«, Ьпх~к) = ]Гbv*x{<&, K~k)- A)
Таким образом индекс пересечения двух алгебраических комплексов
является билинейной формой векторов, представляющих эти комплек-
комплексы.
Ориентация всего /i-многообразия Мп — устанавливает определен-
определенную ориентацию в каждой из клеток разбиения М™. Обозначим сумму
всех таким образом ориентированных симплексов через Мк. Подстав-
Подставляя в формулу A) к = 0 и Вп~к = М? и пользуясь соотношением
страницы 311, мы получаем следующий результат: индекс пересечения
алгебраического комплекса А0 с ориентирующим комплексом М"? ра-
равен алгебраическому значению комплекса А0.
Очевидно, для индекса пересечения выполняются соотношения
Х(Ак + Ак, Вп~к) = Х(Ак, Вп~к) + Х(Ак, Вп~к) B)
х(Ак, Вп~к) = (-1)к^-к)х{Вп-к, Ак); C)
последнее в силу формулы B) стр. 311.
Формулу E) § 69:
Х(а>с: Ьх ) — (,-J-J Х(ао > Ьь J>
относящуюся к двум дуальным клеткам а^ и 6™~fe, такясе моясно рас-
распространить на произвольные алгебраические комплексы размерно-
размерностей к и п — к. Именно, заметив, что все граничные клетки 6™~fe+1,
за исключением Ь^~к, не имеют общих точек с а^., мы можем вме-
вместо 6™~fe написать в левой части нашей формулы 6™~fe+1. В правой ча-
части соответственно вместо а^ можно написать ак~г. Тогда мы получим
формулу
*(<?, brk+1) = (-i)fexD> ь:~к+г). D)

§70. Индексы пересечения клеточных алгебраических комплексов 317
Эта формула установлена в предположении, что дуальная с b™~k+1
клетка ак~г инцидентна с а^. Однако, если это не так, формула все же
остается справедливой, так как тогда обе части равны нулю. В самом
деле, левая часть не равна нулю только в том случае, когда в грани-
границу клетки b™~k+1 входит дуальная с а\ клетка b^~k, т.е. когда b™~k+1
и 6™~fe, а следовательно, и дуальные клетки ак~г и а^., инцидентны.
Точно так же правая часть не равна нулю, если в границу клетки а^.
входит дуальная к ь™~к+1 клетка ак~г. Поэтому формула D) остает-
остается справедливой для двух произвольных клеток а1^ и Ъ™~к+1. Вместе
с тем, по формуле B), для двух произвольных клеточных алгебраи-
алгебраических комплексов Ак и вп~к+1 дуальных подразделений М™ и Мьп
имеет место соотношение
Х(Ак, Вп~к+1) = (-1)кх(Ак, Вп~к+1). E)
Из этой важной формулы сразу получается следующий вывод. Пусть Ак
является циклом, т. е. А = 0. Правая часть формулы E) обращается
тогда в нуль. В левой же части у нас стоит вп~к+1, т.е. произволь-
произвольный, гомологичный нулю (п — /с)-мерный цикл. Мы получаем, таким
образом, теорему:
Теорема I. Индекс пересечения произвольного k-мерного кле-
клеточного цикла Ак с гомологичным нулю (п —к)-мерным циклом Вп~к
дуального разбиения всегда равен нулю.
Эта теорема остается справедливой и в том случае, когда Вп~к
только слабо гомологичен нулю: Вп~к и 0. Тогда
сВп-к~0 (с^О).
Но
х(Ак, сВп~к) = сХ(Ак, Вп~к).
По теореме I левая часть = 0, следовательно, равна нулю и правая
часть, а так как с ф 0, то x(^fe> Bn~k) = 0. Отсюда получается еще
одна теорема:
Теорема П. Если Ак и' Ак и Вп~к и' Вп~к - циклы двух
дуальных разбиений, то
Х(Ак, Вп~к) = Х('Ак, 'Вп~к),
т. е. индекс пересечения двух циклов не меняется при замене каждого
цикла слабо гомологичным ему циклом того же разбиения.
В качестве примера рассмотрим клеточное разбиение М% тора на 4 квад-
квадрата, именно — показанное на рис. 121 жирной линией (противоположные
стороны большого квадрата нужно отождествить). Дуальное разбиение Mj}
состоит тогда также из четырех квадратов, обозначенных пунктирными ли-

318
Глава X
/
\
/
\
/
\
\
/
V
р0
о\
л л
/
\
\
Рис. 121
ниями. Общее барицентрическое подразде-
2
ление М состоит из 4 х 8 треугольников.
Мы ориентируем их когерентно в соответ-
соответствии с ориентацией, указанной на рисун-
рисунке стрелкой. Пусть два одномерных цик-
цикла дуальных разбиений, индекс пересечения
которых мы разыскиваем, суть циклы А1
и. В1, образованные каждый двумя клетка-
клетками (на рисунке эти циклы обозначены двой-
двойными линиями). Так как п = 2, а к = 1,
то здесь к = п - к + 1. Индекс пересече-
пересечения определяется по правилу: на А1 берет-
берется одномерный симплекс -(Р°Р1), на В1 —
одномерный симплекс +(Р1Р2). При помо-
помощи этих симплексов составляется двумер-
двумерный симплекс (Р°Р1Р2). При взятой нами
когерентной ориентации он имеет знак +1. Тогда индекс пересечения
Х{А\ В1) = (_
= -1.
Для определения индекса пересечения ориентируемость многооб-
многообразия является существенным предположением. Если мы хотим рас-
распространить теорию на неориентируемые многообразия, мы должны
будем ограничиться алгебраическими комплексами по модулю 2. Два
алгебраических клеточных комплекса по модулю 2 Ак и Вп~к, состав-
составленные из клеток дуальных разбиений, дают индекс пересечения по
модулю 2, представляющий класс вычетов целых чисел по модулю 2.
Именно,
х(Ак, В""*) = б или 1
в зависимости от того, является ли число общих точек комплексов Ак
и Вп~к четным или нечетным.
Формулы A)—E) остаются справедливыми и для комплексов по
модулю 2. Нужно заменить только входящие в них целые числа вы-
вычетами этих чисел по модулю 2. На знаки в формулах можно тогда
естественно не обращать внимания.
§ 71. Дуальные базы
Пусть даны два ряда «переменных» или «неизвестных»
ЖЬ Х2, ••., Хт И 2/1, у2, ••., Ут,

§71. Дуальные базы 319
каждый из которых связан целочисленным унимодулярным линейным
преобразованием
а12х2 + • • • + а1тхт,
хт = amiXi + ат2х2 + ... + аттхт,)
У! = А11у1 + А12у2 + • • • + А1тут, Л
\ (А)
Ут = Ат1у1 + Ат2у2 + • • • + Аттут, )
с рядом новых переменных, отмеченных черточками наверху. Если од-
одна из матриц преобразования является транспонированной обратной
матрицей другой:
А = а ,
то оба преобразования, а также оба ряда переменных, называются
контрагредиентными. Aik представляет тогда алгебраическое допол-
дополнение элемента о^, деленное на детерминант |а| = ±1. Соотношение
контрагредиентности является, очевидно, равноправным по отноше-
отношению к обоим преобразованиям.
Так как А~г = а, то решение уравнений (А) дает
ух = anY - 1 + «122/2 + • • • + ат1ут,
ут = а.\тУ\ + а2ту2 + ... + аттут.
Поэтому
к=\
т. е. два контрагредиентных преобразования оставляют инвариантной
«единичную билинейную форму» ^2i=1 х%у%. Это свойство может слу-
служить определением контрагредиентных преобразований.
В случае, когда оба ряда переменных преобразуются одинаково,
мы говорим, наоборот, о когредиентных преобразованиях.
С примерами когредиентных и контрагредиентных преобразова-
преобразований мы встречались уже на стр. 101.
Пусть теперь снова Мп есть ориентируемое многообразие с дуаль-
дуальными клеточными разбиениями М™ и JW™. Пусть дуальные клетки а^.
и 6™~fe ориентированы так, что x(aSr> ^~k) = +1- Применяя к клеткам
4,а|, ..., акак

320 Глава X
унимодулярное преобразование (а), мы получим новую базу
^ ^ ^
а1> а2> ¦ ¦ ¦ > аак
группы (решетки) всех /с-мерных клеточных алгебраических комплек-
комплексов разбиения М?. Коэффициенты Ci> Сг> • • • > Cafe алгебраического
комплекса^ = ?iai+?2u2 + -. •+?«*«*,. подвергаются при этом контра-
гредиентному преобразованию (А), так как
in—к in—к in—к
01 ,02 , • • • , Ьак
Пусть теперь дуальные клетки
in—к in—к in—к
01 ,02 , • • • , °ак
преобразуются контрагредиентно по отношению к а^., т. е. при помощи
уравнений (А). Тогда коэффициенты г/^ алгебраического комплекса
ак ак
Вп-к _ \р Ьп-к _ \р гГЪп-к
такясе преобразуются контрагредиентно по отношению к 6™~fe, а сле-
следовательно, и по отношению к ?ж. Поэтому билинейная форма ^
остается инвариантной:
Так как в левой части этой формулы стоит индекс пересечения
x(Ak, Bn~k), то вместе с тем показано, что если мы будем пользоваться
выбранными таким образом новыми базами а' и^ , индекс пересе-
пересечения произвольных алгебраических комплексов J^ i>c'ak< и J^ rj^b^
по-прежнему будет выражаться единичной билинейной формой.
Две базы клеточных алгебраических комплексов a^ ub^ , обла-
облагающие этим свойством, называются дуальными одна по отношению
к другой. Таким образом для произвольной базы af, a|, ..., a^k суще-
- -тп—k^rn—к -z-k
ствует одна и, очевидно, только одна дуальная база о1 о2 , • • •, оак,
причем каждую пару дуальных клеточных баз можно получить из
некоторой специальной пары посредством контрагредиентных унимо-
дулярных преобразований.
Дуальные базы можно охарактеризовать еще несколько иначе,
именно требованием, чтобы матрица индексов пересечения дуальных
баз
г—к Тп~к\ с
x(<v Ь" ) =д^
были единичной матрицей afe-ro порядка.

§71. Дуальные базы 321
Мы хотим рассмотреть сейчас, как меняются граничные соотно-
соотношения A1) параграфа 69:
' ¦>
A)
при контрагредиентных преобразованиях дуальных баз. Если мы при-
применяем к клеткам а1^ целочисленное унимодулярное преобразование, то
при фиксированном индексе и коэффициенты ек~г в уравнениях A) пре-
преобразуются когредиентно по отношению к а^., коэффициенты же ек~г
в B), напротив, контрагредиентно по отношению к 6™~fe. Так как, одна-
однако, а^ и Ь™ испытывают контрагредиентные преобразования, то ко-
коэффициенты ек~х в B) преобразуются когредиентно с а^., т.е. так же,
как в уравнении A). Таким же образом, если мы заменим при помощи
двух контрагредиентных преобразований дуальные базы ак~х и b™~k+1
новыми дуальными базами, то при фиксированном индексе ек~х меня-
меняются в обоих уравнениях одинаковым образом когредиентно с b™~k+1
(т.е. контрагредиентно с ак~г). Поэтому после преобразований коэф-
коэффициенты ?к~г в обоих преобразованных граничных соотношениях по-
прежнему совпадают:
ХЖ (г)
х=1
Как показано на стр. 108, при помощи целочисленных унимодулярных
преобразований баз всех размерностей (от 0 до п), клеточные матрицы
инциденций
Е°, Е\ ....Е™
разбиения М™ могут быть одновременно приведены к нормальной фор-
форме. Предположим, что матрицы (ef^1) уже представляют матрицы
в нормальной форме. Тогда элементы базы распадаются на три типа:
гАк (A = lJ)...Ofe=7n"fe),
24 (М = 1, 2, ...,/= p"-fe), C)
3Ак {v = l,2,...,1k-1=1n~k).

322 Глава X
В § 22 мы обозначали элементы этих типов буквами Ах, В^, С„. Кле-
Клеточные комплексы 1Aks представляют циклы, слабо гомологичные ну-
нулю; 2Ак1 образуют базу слабых гомологии; 3Ак вообще не являются
циклами; граничные соотношения A) принимают тогда вид
Элементы базы, дуальной с базой C), суть алгебраические комплексы,
обозначаемые по порядку через
3В^~к (А = 1,2, ...On"fe =7fe),
2В^-к (n = l,2,...,pn-k=pk), E)
1B"-fe {v = l, 2, ..., 7n"fe =7fe).
Вследствие доказанного совпадения коэффициентов ев A) и B)
2 rjn-fe+1 / i\fcJc-l 1 rjn-fe 2 rjn-fe+1 п 1 rjn-fe+1 п f«^
Отсюда следует, что матрицы инциденций, соответствующие базисным
элементам Ь, также все одновременно имеют нормальную форму, и что
клеточные комплексы 2??™~fe не являются циклами, 2В™~к образуют
базу слабых гомологии, а 1В™~к представляют циклы, слабо гомоло-
гомологичные нулю.
Так как матрица индексов пересечения дуальных баз (рис. 122)
есть единичная матрица, то средняя ее часть — матрица
xBAk,2B^-k)=Sp<7 (ра=1,2,...,рк) G)
также есть единичная матрица.
Итак, если понимать под двумя дуальными базами слабых гомоло-
гомологии 2Ак1 и 2В™~к (//=1,2,..., рк) такие базы слабых гомологии дуаль-
дуальных клеточных разбиений, матрица индексов пересечения которых G)
есть единичная матрица, то отсюда следует существование дуальных
баз слабых гомологии.
Остается только один шаг, чтобы получить следующий результат.
Теорема I. Для каждой заданной k-мерной базы слабых гомо-
гомологии существует дуальная (п — к) -мерная база, определяемая одно-
однозначно с точностью до циклов слабо гомологичных нулю.
В самом деле, переход от специальной базы слабых гомологии 2Akl
к произвольной совершается при помощи целочисленного унимодуляр-
ного преобразования и прибавления слабо гомологичных нулю циклов.
Но преобразование базы 2Akl однозначно определяет преобразование

§71. Дуальные базы
323
lAk
2Ак
дуальной базы слабых гомологии 2??" к. Именно, так как мы требуем,
чтобы матрица индексов пересечения после преобразований снова бы-
была единичной матрицей G), то преобразования баз 2А^ и 2В™~к долж-
должны быть контрагредиентными. Прибавление слабо гомологичных нулю
циклов не меняет индексов пересечений. Поэтому как к элементам но-
новой /с-мерной, так и к элементам новой (п — /с)-мерной базы можно
прибавлять циклы, слабо гомологичные нулю.
Существование дуальных баз
слабых гомологии раскрывает бо-
более глубокие корни закона двой-
двойственности Пуанкаре, выражающе-
выражающегося соотношением рк = рп~к меж-
между числами Бетти. Точно так же мо-
может быть топологически обоснова-
обосновано установленное в § 69 двойствен-
двойственное соотношение между /с-мерными
и п — к — 1-мерными коэффициента-
коэффициентами кручения.
Первые рк из комплексов 1А\ в
C), т. е. комплексы
1дк \ дк 1 дк
образуют /с-мерную базу кручения
(см. стр. 97). Комплексы же
Рис. 122
1 туп—к—1 1 туп—к—1 1 туп—к—1
&1 > -С*2 > • • • > &рк
образуют базу кручения размерности п — к — 1. Но матрица индексов
пересечения
хСАк, 3B?"fe) = <5СТТ (а, т = 1, 2, ..., рк)
как часть матрицы, изображенной на рис. 122, есть единичная матрица.
Поэтому, полагая для сокращения
Aa = Acn \-Ч Вт = Вт и Вт = Вт >
мы получаем следующую теорему:
Теорема П. Существует к-мерная база кручения
и (п — к — 1)-мерная база кручения
уп—к—1 туп—к—1
n-k-l
nk I

324 Глава X
обладающие тем свойством, что если
>п—к т>п—к т>п—к
— произвольные комплексы, для которых
В1 = С\В\
ti—k—l г?п—к л -rtti—k—l r?n—k Jz -rtti—k—l
. В2 =С2Щ ,-¦¦¦, ?>рк =СрЬВрк
(ск суть к-мерные коэффициенты кручения), то матрица индексов
пересечения
есть единичная матрица43.
Мы доказали эту теорему для случая, когда натянутый на
ckB™~k~1 (n — /с)-мерный комплекс В™~к представляет специальный
комплекс 3??™-fe. Однако ничего не изменится, если мы возьмем ком-
комплекс В™~к произвольным. В самом деле, по теореме I § 70
Х(Ат> Вт - Вт ) = U>
так как Ак слабо гомологичен нулю, а В™~к — 3В™~к цикл. Поэтому
/ л к х-»т} к \ / л к Ч х-»т} к\
VI А П I = VI А И I
Рассуждения этого параграфа могут быть проведены также для
алгебраических комплексов по модулю 2. Тогда получится следующая
теорема, соответствующая теореме I:
Теорема III. Для каждой k-мерной базы слабых гомологии по
модулю 2
Ак, Ак2, ..., Акк
существует дуальная (п — к)-мерная база
Бп—к туп—к туп—к
1 , Щ > • • • > -ty '
такая, что матрица индексов пересечений по модулю 2 представляет
единичную матрицу дк-го порядка.
Примеры, иллюстрирующие изложенное в этом параграфе, приве-
приведены в § 75.

§72. Клеточная аппроксимация 325
§ 72. Клеточная аппроксимация
До сих пор мы рассматривали только пересечения и индексы пе-
пересечений клеточных алгебраических комплексов, взятых в дуальных
клеточных разбиениях. Наша ближайшая цель — установить зависи-
зависимость полученных результатов от специального разбиения многооб-
многообразия на клетки и определить индексы пересечений для произволь-
произвольных особых алгебраических комплексов. Это осуществляется посред-
посредством аппроксимации особых комплексов. Однако теперь приходится
рассматривать уже не симплициальную аппроксимацию, а аппрокси-
аппроксимацию клетками дуальных разбиений. Такую клеточную аппроксима-
аппроксимацию мы сейчас определим. Дальнейшие рассмотрения относятся к про-
произвольному клеточному комплексу Кп, относительно которого мы не
предполагаем, что он является /г-многообразием.
Основной теоремой является здесь следующая теорема о прибли-
приближении:
Теорема I. Пусть Ак — особый алгебраический комплекс кле-
клеточного комплекса Кп* и Ак = Ак~х есть клеточный комплекс
на Кп , в частности нулевой (к — 1)-мерный комплекс. Тогда су-
ществует гомологичный комплексу Ак клеточный комплекс А .
Эта теорема представляет распространение теоремы о симплици-
альном приближении главы IV на случай клеточных комплексов.
Доказательство. Так как граница Ак есть (при к > 0) клеточ-
клеточный алгебраический комплекс, то она является одновременной сим-
плициальным комплексом. Поэтому по теореме о приближении § 28
существует гомологичный комплексу Ак симплициальный алгебраиче-
алгебраический комплекс 'Ак (т. е. алгебраический комплекс барицентрического
* п
подразделения К клеточного комплекса Кп), а для этого комплекса
по теореме I § 67 существует гомологичный клеточный комплекс. Для
к = 0 теорема остается справедливой, доказательство только упроща-
упрощается, так как тогда не нужно обращать внимания на границу.
Следствие. Если (Ак) — наименьший клеточный подкомплекс,
на котором лежит алгебраический комплекс Ак, то можно допу-
допустить, что А также лежит на (Ак) и что Ак ~ А на (Ак).
Наименьшим клеточным подкомплексом (Ак) называется пересе-
пересечение всех клеточных подкомплексов, на которых лежит алгебраиче-
алгебраический комплекс Ак. Наименьший подкомплекс пуст в том и только в том
*Мы будем говорить коротко: Ак — особый алгебраический комплекс клеточ-
клеточного комплекса К™, вместо того, чтобы говорить: Ак есть особый алгебраический
комплекс того полиэдра, клеточным разбиением которого является комплекс Кп.
"Для к = 0 это условие, естественно, отпадает.

326 Глава X
случае, когда Ак есть нулевой /с-мерный комплекс . Сформулирован-
Сформулированное следствие непосредственно вытекает из теоремы I: мы выбрасыва-
выбрасываем из Кп все клетки, не принадлежащие к (Ак), рассматриваем таким
образом Ак как алгебраический комплекс клеточного комплекса (Ак),
и вместо того, чтобы применять теорему I к Кп, применяем ее к (Ак).
Мы хотим теперь аппроксимировать клетками произвольный «осо-
«особый комплекс» Ст в Кп. Под особым комплексом мы понимаем мно-
множество, состоящее из конечного числа особых невырождающихся сим-
симплексов, причем наряду с каждым особым симплексом к этому мно-
множеству причисляются также все его невырождающиеся стороны. Кле-
Клеточная аппроксимация производится следующим образом: сначала все
особые симплексы комплекса Ст снабжаются произвольными ориен-
тациями. Обозначим такие ориентированные симплексы через
ХО "уО v-0 . vm vm ~уп
1,Л2,...,Л(до,...,Л1 , -Л2 ,-•-, Л-fjm.
Каждому симплексу Х^ ставится в соответствие его аппроксима-
аппроксимация — /с-мерный клеточный алгебраический комплекс АпХ^, а так-
также (к + 1)-мерный особый комплекс Соед Х^ — комплекс, соединя-
соединяющий симплекс Х% с его аппроксимацией. Тогда каждому особому
алгебраическому комплексу
соответствует определенная аппроксимация
и особый соединяющий алгебраический комплекс
Комплексы Ап Х^ и Соед Х^ теперь должны быть выбраны так, чтобы
для каждого алгебраического комплекса Uk выполнялись следующие
условия:
a) An Uk и Соед Uk лежат на наименьшем клеточном подкомплек-
подкомплексе, содержащем Uk;
b) (AuUky = AuUk;
c) (СоеДику = Uk - AnUk - Соедйк**.
В этом случае {Ак) не представляет никакого подкомплекса в смысле стр. 66,
так как пустой подкомплекс мы исключили там из рассмотрения.
Для к = 0 условие Ь) отпадает, а в с) нужно поставить Соед ик = 0. Струк-
Структура формулы с) в точности совпадает со структурой соответствующей формулы
стр. 138.

§ 72. Клеточная аппроксимация
327
Если каждому особому симплексу отнесен таким способом кле-
клеточный алгебраический комплекс, то мы говорим, что особый ком-
комплекс Ст в Кп клеточно аппроксимирован.
Очевидно, достаточно чтобы требования а), Ь), с) выполнялись
лишь по отношению к особым симплексам Uk = X%. Тогда они выпол-
выполняются для произвольного алгебраического комплекса Uk сами собой.
Мы утверждаем теперь следующее:
Теорема II. Каждый особый комплекс Ст может быть кле-
клеточно аппроксимирован.
Мы покажем даже больше: если особый подкомплекс с комплек-
комплекса Ст* уже аппроксимирован, то аппроксимацию его можно допол-
дополнить до аппроксимации всего Ст.
Доказательство. Выберем из множества всех симплексов ком-
комплекса Ст, не принадлежащих к с, симплекс Хк наименьшей размер-
размерности. Либо это 0-мерный симплекс, либо — в случае к > 0 — все невы-
рождающиеся стороны симплекса Хк принадлежат подкомплексу с.
Мы покажем сейчас, как построить для Хк аппроксимацию и связыва-
связывающий комплекс.
Пусть сначала к > 0. То-
Тогда аппроксимации и связываю-
связывающие комплексы невырождающих-
ся сторон симплекса Хк уже опре-
определены, так как все такие сторо-
стороны принадлежат к с. В частности,
комплекс
A)
является тогда вполне определен-
определенным особым алгебраическим ком- л
плексом. Его граница есть
Хк - (СоедХку.
MX"
Обозначая здесь временно Хк через Uk г и применяя ко второму
члену формулу, соответствующую формуле с) для случая размерности
к — 1, мы получаем
= Хк - (Хк -АиХк- Соед(Хку) = АиХк.
B)
Но этот алгебраический комплекс, как аппроксимация, представляет
клеточный комплекс (рис. 123). Поэтому, обозначая алгебраический
То-есть особый комплекс, симплексы которого являются одновременно симплек-
симплексами комплекса С"*.

328 Глава X
комплекс A) временно через Ак, мы можем применить к нему тео-
теорему I. Из этой теоремы следует, что существует клеточный алгебраи-
алгебраический комплекс А ~ Ак. Граница комплекса А совпадает с Ак, т.е.
выражается формулой B). Определим теперь в качестве AnXfe кле-
точный алгебраический комплекс А . Так как (А )' = Ак, то
(АпХку =АпХк. C)
Если теперь (Хк) есть наименьший клеточный подкомплекс комплек-
комплекса Кп, содержащий Хк, то Хк также принадлежит к (Хк). Но тогда
в силу а) и СоедХ*0, а следовательно, и весь комплекс A) принадле-
принадлежит (Хк). Далее, из следствия теоремы I вытекает, что (Хк) содержит
и аппроксимацию комплекса A), т. е. А = Ап Хк. Наконец, по той же
теореме Ак ~ А на (Хк), т. е. на (Хк) существует особый соединяющий
алгебраический комплекс Vk+1 с границей Ак — А . Полагая
Vk+1 = Соед Хк,
мы получаем
(Соед Хку = Vk+1 =Ак-Ак = (Хк - Соед Хк) - Ап Хк.
Таким образом мы построили алгебраические комплексы Ап Хк
и Соед Хк и доказали, что условия а), Ь), с) выполняются для Uk = Хк.
По предположению, условия а), Ь), с) выполняются для всех симплек-
симплексов комплекса с. Следовательно, они выполняются и для всех особых
алгебраических комплексов, составленных из симплексов комплекса с
и нового дополнительного симплекса Хк. Дополняя комплекс с пооче-
поочередно одним симплексом за другим и строя соответствующие аппрок-
аппроксимации, мы получим в конце концов аппроксимацию всего комплек-
комплекса Ст.
Остается рассмотреть только простейший случай, когда рассмат-
рассматриваемый симплекс Хк имеет размерность 0. Наименьший клеточный
комплекс (Х°) представляет тогда клетку наименьшего числа измере-
измерений, содержащую Х°. По следствию из теоремы I существует клеточная
аппроксимация Ап Х°, гомологичная Х° на (Х°), а вместе с тем и осо-
особый связывающий комплекс Соед Х° с границей Х° — Ап Х°. Этим
доказательство заканчивается.
Пусть теперь Ак есть произвольный особый /с-мерный алгебраичес-
алгебраический комплекс, /с-мерные симплексы его, вместе со всеми их невыро-
ждающимися сторонами размерностей от к — 1 до 0, образуют особый
комплекс Ак. Тогда для аппроксимации Ак нужно аппроксимировать
комплекс Ак.

§73. Индексы пересечения особых алгебраических комплексов 329
Рассмотрим особые алгебраические комплексы произвольных раз-
размерностей
A\\Ak2\...,Ak/. D)
Симплексы этих комплексов, вместе с их невырождающимися сторо-
сторонами, образуют особый комплекс С. Мы говорим, что комплексы D)
аппроксимируются одновременно, если аппроксимируется комплекс С.
В этом случае каждое линейное соотношение между алгебраическими
комплексами D) и их границами оказывается справедливым и по от-
отношению к аппроксимациям, т. е. если
..., Af, А\\ А\\ ..., Af) = О
есть линейное соотношение с целыми коэффициентами, то имеет место
также соотношение
Ф(АиАк1\ АиАк22, -.., AnAf, (Ап^1)', (Аи Ак22}, ..., (Ап Л*")-)=0.
Это вытекает из того, что Ап (А+В) = Ап А+Ап В и Ап А = (Ап А)'.
Однако если алгебраические комплексы D) аппроксимируются не од-
одновременно, а каждый сам по себе, независимо друг от друга, то соот-
соотношения между комплексами могут, вообще говоря, и не переноситься
на аппроксимации. Если, например, Akl и А*2 имеют одинаковые гра-
границы, то при «раздельной» аппроксимации Ап Akl и Ап А\? могут уже
не совпадать.
Если
Ak\Ak22,...,Ak° E)
— подсистема системы D), причем комплексы E) аппроксимированы
одновременно, то эту аппроксимацию можно дополнить до одновремен-
одновременной аппроксимации всей системы D). В самом деле, особый комплекс,
соответствующий алгебраическим комплексам E), является подком-
подкомплексом комплекса С.
Все наши рассуждения могут быть проведены, очевидно, и по от-
отношению к алгебраическим комплексам по модулю 2.
§ 73. Индексы пересечения особых алгебраических
комплексов
Рассмотрим снова ориентируемое /i-многообразие Мп, на кото-
котором при помощи ориентирующего комплекса Оп (стр. 169) установ-
установлена определенная ориентация, n-мерные симплексы симплициально-
го разбиения многообразия Мп могут быть когерентно ориентирова-
ориентированы, причем только одним способом, так, что получающийся при этом

;¦
330 Глава X
n-мерный алгебраический комплекс ~ Оп. Мы хотим определить сей-
сейчас индекс пересечения x(^4fe> Bn~k) двух произвольных особых ком-
комплексов Ак и Вп~к. При этом приходится сделать, конечно, одно огра-
ограничение:
(Е). Граница Ак~х комплекса Ак не имеет общих точек с Вп~к,
а граница Вп~к~1 комплекса Вп~к не имеет общих точек с Ак.
Для двух клеточных комплексов Ак
г,"-*-1 и Вп~к дуальных разбиений это усло-
вие выполняется само собой, так как две
клетки размерностей к и п — к, взятые
из дуальных разбиений, либо не имеют
совсем общих точек, либо имеют общий
*-1 центр. Для особых же комплексов огра-
ограничение (Е) необходимо. В самом де-
деле, при определении индекса пересече-
Впк ния мы пользуемся клеточными аппрок-
аппроксимациями. Поэтому если наше ограни-
У чение не выполняется, как на рис. 124, то
о на какие бы мелкие клетки объемлющее
/i-многообразие М™ не было разбито, все-
с' гда можно подобрать аппроксимирующие
клеточные комплексы так, чтобы они по
произволу либо пересекались, либо нет.
Рассмотрим теперь, наряду с имеющимися особыми алгебраиче-
алгебраическими комплексами Ак и Вп~к, два особых комплекса 'Ак и 'Вп~к,
также удовлетворяющие условию (Е) (см. рис. 125). Границы их обо-
обозначим так:
Ак = Ак~\ 'Ак = 'Ак-\ Aа)
туп—к гуп—к—1 t г\п—к / гуп—к—1 (~\к\
Пусть, далее, Uk, Uk+1, Vn~k, vn~k+1 — соединяющие алгебраические
комплексы, удовлетворяющие следующим формулам соединения :
ик = Ак~1-'Ак-1, 1
U"+1=Ak-'Ak-Uk,j Ba)
¦{гп — к г>п — к—1 fT>n — k—l Л
xVn—fc+1 туп—к / туп—к -xrn—k I '
*На рис. 125 А* (а также fAk~1, Б"-*-1, 'в™-*-1) состоит из двух точек,
снабженных противоположными ориентациями (знаками).

5 73. Индексы пересечения особых алгебраических комплексов 331
Рис. 125
Наконец, пусть не только комплексы Ак и вп~к~г не имеют общих
точек, но и каждый из комплексов
Ак, 'Ак, Uk+1
не имеет общих точек ни с одним из комлексов
гуп — к—1 f ryn—k—1 -\rn-k
а каждый из комплексов
туп—к /туп—к уп—к+1
не имеет общих точек ни с одним из комплексов
Ak-\'Ak-\Uk.
(За)
D6)
C6)
Dа)
Мы будем называть две пары Ак, Вп к и 'Ак, 'Вп к, для которых су-
существуют соединяющие комплексы описанного вида, связанными пара-
парами. Если, например, комплексы 'Ак,'Вп~к получаются соответственно
из Ак и Вп~к при помощи достаточно малой деформации, то обе па-
пары являются связанными. В самом деле, при деформации комплексы
Ак, Ак~г, Вп~к, вп~к~г описывают некоторые соединяющие комплек-
комплексы Uk+1, Uk, vn~k+1, Vn~k, для которых как раз выполняются фор-
формулы Bа) и BЬ) (см. стр. 152), и если деформация достаточно мала,
то комплексы (За) не имеют общих точек с DЬ), а (ЗЬ) с Dа).
При аппроксимации алгебраических комплексов Ак, Вп~к клетка-
клетками достаточных мелких дуальных разбиений М™ и М? также получа-
получается связанная с Ак, Вп~к пара. Действительно, пусть (Ак) и {Ак~г)

332 Глава X
суть наименьшие клеточные подкомплексы разбиения М?, содержа-
содержащие Ак и Ак~г, а (Вп~к) и (Вп~к~1) — аналогичные подкомплексы
(разбиения Мьп) для Вп~к и Вп~к~1. Пусть, далее, клетки М™ и Мьп
настолько малы, что (Ак) не имеет общих точек с {Вп~к~1), а (Вп~к) —
с (А'0). Тогда клеточные аппроксимации комплексов Ак, Ак~г, Вп~к,
gn-k-i и ПрИнадЛежащие к ним особые соединяющие комплексы так-
также расположены на этих минимальных подкомплексах и удовлетво-
удовлетворяют условиям относительно отсутствия общих точек, налагаемых на
связанные пары. Остается показать только существование достаточно
мелких разбиений, обладающих требуемыми свойствами. Это можно
сделать так: будем рассматривать Мп как подмножество некоторого
евклидова пространства и будем измерять расстояния между точка-
точками Мп в (обычной) метрике этого пространства. Точки комплекса Ак
и вп~к~г образуют в евклидовом пространстве два замкнутых подмно-
подмножества. Пусть 5' — расстояние между этими подмножествами. Очевид-
Очевидно 5' > 0. Пусть точно так же 5" > 0 (здесь 5" — расстояние между Ак~г
и Вп~к). Пусть, наконец, д — меньшее из чисел 5' и д". Тогда для то-
того чтобы быть уверенным, что (Ак) не имеет общих точек с (Вп~к~1),
а (Ак~1) с (Вп~к), достаточно сделать клетки разбиений М™ и Мьп
меньшими по диаметру, чем jr. Существование же клеточных разбие-
разбиений с клетками произвольной малости вытекает из того, что Мп можно
разбить на сколь угодно малые симплексы, а каждое (барицентрически
подразделенное) симплициальное разбиение есть клеточное разбиение.
Мы определим теперь индекс пересечения двух удовлетворяющих
условию (Е) особых комплексов следующим образом: мы заменяем Ак,
Вп~к двумя клеточными комплексами 'Ак, 'Вп~к, принадлежащими
соответственно дуальным разбиениям ' М? и 'М.™ и образующими
с Ак, Вп~к связанную пару, и определяем в качестве индекса пересе-
пересечения комплексов Ак и Вп~к определенный в § 70 индекс пересечения
х('Ак, 'Вп~к).
§ 74. Инвариантность индекса пересечения
Мы должны теперь показать, что определение индекса пересече-
пересечения не зависит от выбора клеточных разбиений 'М? и ' М? и от выбо-
выбора связанной с Ак, Вп~к пары клеточных комплексов этих разбиений.
Пока мы не доказали этого, символ x(^fe> Bn~k) имеет смысл только
для двух алгебраических комплексов, составленных из клеток задан-
заданных дуальных разбиений .
Индекс указывающий размерность п /г-многообразия М, мы для простоты пока
опускаем. При доказательстве теорем I—III мы считаем, что М расположено в евкли-

§74. Инвариантность индекса пересечения 333
Теорема I. Пусть Ак, Вп~к и ' Ак, 'Вп~к — две связанных пары
особых алгебраических комплексов, А , ' А — одновременные аппрок-
аппроксимации комплексов Ак и 'Ак в клеточном разбиении Ма и, нако-
наконец, Вп , 'Вп — одновременные аппроксимации комплексов Вп~к
и'Вп~к в дуальном клеточном разбиении М^. Тогда, если клетки раз-
разбиений Ма и Мь достаточно малы, т. е. меньше надлежащим обра-
образом выбранного числа д, то
х{а\ вп~к) = х('Ак, >W-k).
Доказательство. Выберем S настолько малым, чтобы не толь-
только алгебраические комплексы (За) и DЬ), и соответственно, (ЗЬ) и Dа)
предыдущего параграфа, но даже наименьшие клеточные подкомплек-
подкомплексы, содержащие эти алгебраические комплексы, не имели общих то-
точек. При этом наименьшие подкомплексы для алгебраических комплек-
комплексов (За) и Dа) берутся на Ма, а для комплексов (ЗЬ) и DЬ) — на Мь.
Тогда имеющиеся уже одновременные аппроксимации алгебраических
комплексов Ак, 'Ак в разбиении Мь можно дополнить до одновремен-
одновременной аппроксимации всех комплексов (За) и Dа). Таким же образом од-
одновременные аппроксимации алгебраических комплексов Вп~к и 'Вп~к
в разбиении Мь, можно дополнить до одновременной аппроксимации
всех комплексов (ЗЬ) и DЬ). Будем обозначать аппроксимации ком-
комплекса при помощи черты наверху. Тогда имеют место формулы A),
A6), B), B6), получающиеся из формул (la), (lb), Bа), BЬ) надчер-
киванием всех входящих в эти формулы алгебраических комплексов
(это следует из § 72, стр. 328). Надчеркнутые алгебраические комплек-
комплексы C), соответствующие комплексам (За), не имеют общих точек с D6),
комплексы же C6) не имеют общих точек с D).
Мы теперь будем иметь дело только с надчеркнутыми комплекса-
комплексами, из которых (За) и D) суть клеточные алгебраические комплексы
на Ма, а C6), D6) — комплексы дуального разбиения Мь. Положе-
Положение надчеркнутых комплексов весьма мало отличается от положения
ненадчеркнутых. Поэтому надчеркнутые комплексы можно иллюстри-
иллюстрировать тем же рисунком (рис. 125).
Дальнейшие рассуждения носят уже чисто комбинаторный ха-
характер, так как рассматриваемые алгебраические комплексы являют-
являются комплексами дуальных клеточных разбиений. Доказательство того,
^ п ^ ^ п ^
что индексы %(А , В ) и х(М , 'В ) совпадают, разбивается на
две части. Пользуясь формулой E) § 70, мы получаем,
х(Ак, (Vn-k+1y) = (-1)кх((АкГ, Vn~k+1) = 0,
довом пространстве. При этом выражение «клетка < S» означает, что рассматрива-
рассматриваемый по отношениюк этому евклидову пространству диаметр клетки меньше S.

334 Глава X
—rk—1
А
—rk—1 / /~г^\ \ -^-уп—к-\-1 - —.
так как А [= (А )•) и V не имеют общих точек. С другой сто-
^, Д, I 1
роны, подставляя в формулу B6) (V )•, мы получим
Х(Ак, (Vn-k+1y) = Х(Ак, В"-* - >Вп~к - Vn~h) =
так как А и V™ не имеют общих точек. Поэтому
Х(Ак, В"-') = Х(Ак, 'Вп~к). A)
1очно так же, в виду отсутствия общих точек у U и В ,
х((пк+1у, >вп-к) = {-1)^х(пк+\ ('вп-ку) = о.
fc+1
С другой стороны, подставляя в формулу B) (U ), мы получим
Х((пк+1У, 'В"-*) = х(Ак - 'Ак - пк, >Tf-k) =
= х(Ак-'Ак,'Вп-ку
так как U и '??" не имеют общих точек. Таким образом
Х(Ак, 'Tt-k) = X('Ak, 'Вп~ку B)
Из формул же A) и B) вытекает требуемый результат:
Рассмотрим теперь, что получается при переходе от одного клеточного
разбиения к другому.
Теорема IIfe. Пусть ак и Ъп~к — две ориентированных дуаль-
дуальных клетки дуальных разбиений Ма и Мь, h-многообразия М, причем
индекс пересечения этих клеток :
г, = Х(а\ Ьп~к) = ±1.
Тогда аппроксимации клеток ак и Ъп~к в новых дуальных разбиени-
разбиениях Ма и Мь, клетки которых меньше, чем надлежащем образом
выбранное число S, имеют такой оке индекс пересечения*:
r, = X(ak,T~k).
'Заметим, что символ \ фигурирует здесь в двух различных значениях, в первый
раз как индекс пересечения по отношению к дуальным разбиениям Ма и М;,, а во
второй раз — по отношению к Ма и М^.

§74. Инвариантность индекса пересечения 335
ак представляет когерентно ориентированную симплициальную
звезду барицентрического подразделения М комплекса Ма, т.е. явля-
является по отношению к Ма особым /с-мерным комплексом, который мо-
может быть клеточно аппроксимирован в смысле § 72. Таким образом Щ
есть клеточный комплекс на Ма._Точно так же Ъ есть клеточный
комплекс на дуальном разбиении М{,.
Доказательство теоремы IIfe осуществляется методом полной ин-
индукции по отношению к к. Докажем сначала теорему II0. В этом слу-
случае мы имеем дело с дуальными клетками а0 и Ьп. Ориентируем оба
клеточные разбиения Мь и М ь когерентно так, чтобы получающие-
получающиеся при этом комплексы В^ и Мъ были гомологичны ориентирующему
комплексу Оп:
м?~Ж1~оп. (з)
Пусть ?{, = ±1 представляет коэффициент, с которым Ьп входит в М™,
а 'Ьп является суммой отличных от Ьп n-мерных клеток комплекса М™,
так что
Мьп = еьЪп + 'Ъп. D)
Тогда заданная аппроксимация клетки Ьп в Мь может быть допол-
дополнена до одновременной аппроксимации Ьп и 'Ьп. Пусть при этом 'Ьп
переходит в 'Ъ . Аппроксимацией комплекса М? = еф" + 'Ьп являет-
является тогда алгебраический комплекс еьЬ + 'Ь . А так как каждый цикл
при аппроксимации переходит в гомологичный цикл и Мь, является
единственным на Мь циклом, гомологичным циклу М™, то
Мь = ?ЪЬ + Ъ . D)
Предположим теперь, что клетки разбиений Ма и Мь настолько малы,
что не только а0 и 'Ьп, но даже наименьшие подкомплексы комплек-
комплексов М а и Мь, на которых лежат соответственно 5° и Ь , не имеют
общих точек. Тогда алгебраические комплексы 5° и 'Ь также не име-
имеют общих точек, так как, будучи аппроксимациями, они принадлежат
наименьшим подкомплексам. Обозначим еще алгебраическое значение
комплекса а0 через еа = ±1. Сумма коэффициентов алгебраического
комплекса 5° также равна еа, в виду того, что 5°, как аппроксимация,
гомологичен с а0. Мы имеем тогда
Х(а°, Ьп) = еьХ(а°, еьЬп) =
= еьх{а\еьЬп + '
= ebX(a°, Щ) =
E)

336 Глава X
(в силу стр. 316). Таким же образом
Х(а°, Ъп) = еьХ(а°,
и, так как 5° и 'Ь не имеют общих точек,
= еьх(а°,
E)
Из E) и E) следует, что
а вместе с тем и теорема II0.
Рис. 126
Предположим теперь, что теорема
jjfe-i уже доказана и докажем теоре-
теорему IIfe. Пусть ак~х — клетка разбие-
разбиения Ма, инцидентная с ак. Тогда дуаль-
дуальная с ак~1 клетка Ьп~к+1 инцидентна
с Ъп~к. Пусть ориентации клеток ак~1
и ьп~к+1 выбраны так, что ак~1 входит
в ак, а Ьп~к — в Ъп~к+1 с множителем
+1 (рис. 126):
ак =
Vе-1
_i_
Аппроксимацию клетки Ьп к в М ь можно дополнить до одновре-
одновременной аппроксимации клеточных алгебраических комплексов Ьп~к,
'Ьп~к, ьп~к+1. Обозначим аппроксимации этих комплексов через Ъ ,
'Ь,Ь . Выберем теперь клеточные разбиения ЬМа и М ь на-
настолько мелкими, чтобы алгебраические комплексы 'ак~1 и ьп~к+1,
с одной стороны, и 'Ъп~к и ак, с другой стороны, не имели общих точек
и после аппроксимации. Таким образом
\ /—fe-l Г -гП-fe+l
а) а не должен иметь общих точек с о ,
m /Тп~1с г- —к
р) о не должен иметь общих точек с а .
Кроме того, на основании теоремы П*, можно еще потребовать, что-
чтобы выполнялось соотношение

§74. Инвариантность индекса пересечения 337
Но из формулы E) § 69 следует, что
Х(а\ bn~k) = {-l)\{ak-\ bn~k+1). F)
В соответствии с этим
Х(а\ Т~к) = Х(а\ Т~\ Т~к) = (в силу /?)
Х{ак, {Ь )) =
(-1)кх((аку, Ъп~к+1) = (по формуле E) § 70)
= (-1)кх(ак-\ bn~k+1) = (в силу а). F)
В силу 7) правые части формул F) и F) равны между собой. А то-
тогда равны также и левые, что и требовалось доказать.
Теорему IIfe легко можно распространить на клеточные алгебраи-
алгебраические комплексы.
Теорема III. Пусть
Ак — W пк it B"-fe — V'tj hn~k
— два клеточных алгебраических комплекса дуальных разбиений Ма
к п—к
и Мь ориентируемого h-многообразия М, А и В — аппрокси-
аппроксимации этих комплексов в двух других дуальных клеточных разбиени-
разбиениях Ма и Мь- Тогда, если разбиения Ма и Мь достаточно мелки,
т. е. клетки их по величине меньше некоторого S, то
Х(Ак, Вп~к) = Х(Ак, Вп~к).
Доказательство. Выберем Ма и Мь настолько мелкими, что-
чтобы для аппроксимаций а?, bv каждых двух клеток а^ и 6™~fe из Ак
и Вп~к имело место соотношение
Х(ак, С*) = Х«, К~к).
Для /л = v это возможно по теореме IIfe. Для /л ф v а^ и Ь™~к не
имеют общих точек, вследствие чего при достаточно мелком разбиении
на клетки не имеют общих точек и их аппроксимации. Но
^^ nk V^tj hn~k I — V^^ n -v(nk hn~k)

338
Глава X
Х{А ,В
Так как правые части этих соотношений совпадают, то равны между
собой и левые, т. е.
Х{А\ Вп~к) = Х(Ак, Вп~к).
Инвариантность индексов пересечения получается теперь так: пусть Ак,
Вп~к — два данных особых алгебраических комплекса; 'Ак, 'Вп~к —
связанная с Ак, Вп~к пара клеточных комплексов дуальных разбие-
разбиений 'Ма и 'Мь; "Ма, "'Мъ — связанная с Ак, Вп~к пара клеточных ком-
комплексов двух других дуальных разбиений "Ма и "Мь. Пусть комплек-
комплексы Ак, ''Ак, "Ак переходят при одновременной аппроксимации клет-
ками третьего разбиения Ма в клеточные комплексы А , 'А , "А ,
комплексы же Вп~к, 'Вп~к, "Вп~к таким же образом переходят при
аппроксимации клетками дуального разбиения М ь в комплексы В ,
'Вп , "Вп . По теореме I, если Ма и Мь достаточно мелки, то
Точно так же
Поэтому
Х(Ак, Вп к) = Х('Ак, 'W к)
Х('Ак, 'В*'') = Х("Ак, "Вп~к). G)
Далее, по теореме III, так как ''Ак, 'вп~к суть клеточные алгебраиче-
алгебраические комплексы дуальных клеточных разбиений,
Х('Ак, 1Вп-к) = Х('Ак, >Вп~к).
И, таким ж:е образом,
Х("Ак, "W~k) = Х("Ак, "Вп~к).
Подставляя это в G), мы получаем требуемый результат
Х('Ак, >Вп-к) = х("Ак, "Вп-к).
Проследим еще раз ход доказательства, пользуясь приведенной схемой.
и лк а туп—к
'Ак, "В
т
Ак, В
т—к
'Ак, 'Вп~к
''А , "В
п-к
Ак, Вп~к
т
'Ак, >Вп~к

§74. Инвариантность индекса пересечения 339
Мы заменяем особые алгебраические комплексы Ак, Вп~к сначала дву-
двумя связанными комплексами 'Ак, 'Вп~к одной пары дуальных клеточ-
клеточных разбиений, а затем связанными комплексами ' Ак, "Вп~к другой
пары таких разбиений. В этих клеточных разбиениях индексы пересе-
пересечения определяются комбинаторно по § 70. Равенство друг другу по-
получающихся индексов доказывается путем клеточной аппроксимации
всех шести алгебраических комплексов в третьем клеточном разбие-
разбиении, отмеченном черточкой наверху (нижний ряд). При доказатель-
доказательстве этих равенств в направлении вертикальных стрелок мы пользуем-
пользуемся теоремой III настоящего параграфа, а в направлении горизонталь-
горизонтальных стрелок — теоремой I44.
Теперь теоремы, доказанные в § 70 для клеточных алгебраических
комплексов, нетрудно перенести на особые алгебраические комплек-
комплексы. При этом, конечно, все время неявно предполагается, что каждые
два особых комплекса Ак и Вп~к, встречающиеся под знаком индекса
х{Ак, Вп~к), удовлетворяют условию (Е) § 73.
Если два особых комплекса Ак и Вп~к не имеют общих точек, то
их индекс пересечения = 0. В самом деле, Ак и Вп~к можно аппрокси-
аппроксимировать настолько мелкими клетками, что их аппроксимации также
не будут иметь общих точек. Дистрибутивный закон для индексов пе-
пересечения особых комплексов также выполняется:
Х(Ак, В?~к + В™~к) = Х(Ак, В™~к) + Х(Ак, В™-к). (8)
Действительно, рассмотрим аппроксимацию комплекса Ак в клеточ-
клеточном разбиении Ма и одновременную аппроксимацию комплексов ??™~fe
и В"%~к в дуальном разбиении JVij,. Для этих аппроксимаций выполня-
выполняется соотношение
Х{А,В1 +ВХ ) = Х{А,В1 )+Х{А,В2 ). (8)
Но при достаточно мелких клеточных разбиениях Ма и Мь индексы
пересечения обоих комплексов совпадают с индексами пересечения их
аппроксимаций. Поэтому из формулы (8) следует соотношение (8).
Так же, как формула (8), переносится на случай особых комплек-
комплексов формула
Х(Ак, Вп~к) = (-l)fe("-fe)x(B™-fe, Ak) (9)
и формула
Х(Ак, (Вп~к+1У) = (-l)fex(ife, Bn~k+1). A0)
Здесь Ак и Вп~к+1 означают два произвольных алгебраических ком-
комплекса, границы которых не пересекаются. Отсюда следует, как и рань-
раньше, что индекс пересечения /с-мерного цикла со слабо гомологичным

340 Глава X
(п — /с)-мерным равен 0, и индекс пересечения двух циклов не меняет-
меняется, если каждый из них заменить слабо гомологичным с ним циклом.
Последнее утверждение дает возможность говорить об индексе пере-
пересечения двух классов гомологии (слабых) размерностей к и п — к, за-
заданных в определенном порядке. Вместе с тем отпадает также неявно
сделанное в теоремах I и II § 71 предположение, что циклы дуальных
баз слабых гомологии, или соответственно без кручения, должны быть
циклами дуальных клеточных разбиений; вместо них можно взять про-
произвольные особые циклы.
Пусть два ориентируемых и определенным образом ориентирован-
ориентированных псевдомногообразия Кк и Кп~к отображены посредством непре-
непрерывных отображений / и д в ориентируемое /i-многообразие Мп. Ори-
Ориентирующие циклы Вк и Вп~к псевдомногообразий Кк и Кп~к пере-
переходят при этом в два особых цикла f(Bk) и д(Вп~к) (стр. 129), обла-
обладающих определенным индексом пересечения. Если вместо Вк и Вп~к
взять другие ориентируемые циклы 'Вк и 'Вп~к: 'Вк ~ Вк (на Кк)
и 'Вп~к ~ Вп~к (на Кп~к), то
f(Bk) ~ f('Bk), \
> на Мп,
вследствие чего
X(f(Bk), g(Bn-k)) = X(f('Bk), g('Bn-k)).
Особым комплексам, являющимся образами ориентированных псев-
псевдомногообразий Кк и Кп~к, соответствует в Мп определенный ин-
индекс пересечения. Индекс этот зависит только от ориентации псев-
псевдомногообразий Кк и Кп~к и от непрерывных отображений.
Индекс пересечения по модулю 2 существует и в том случае, ко-
когда Кк Кп~к или Мп неориентируемы.
Насколько дуальные клеточные разбиения удобны для построе-
построения общей теории, настолько же неудобно находить индекс пересечения
двух алгебраических комплексов при помощи клеточных аппроксима-
аппроксимаций в дуальных клеточных разбиениях в практических случаях. Поэто-
Поэтому, прежде чем переходить к примерам, мы докажем лемму, которой
удобно пользоваться при подсчете индекса пересечения.
Лемма. Пусть Мп — ориентируемое h-многообразие с коге-
когерентно ориентированным симплициальным разбиением и Еп — его
ориентированный п-мерный симплекс. Пусть, далее, в Еп лежат два
ориентированных прямолинейных симплекса Хк и Хп~к, не имею-
имеющие кроме общего центра Рк никаких других общих точек. Если, то-
тогда, ?(Ро Pi... Р/с) есть ориентированный симплекс барицентрическо-
барицентрического подразделения симплекса Хк, r/(Pk Pc+i... Pn) — такой же сим-
симплекс барицентрического подразделения Хп~к и если коэффициент С,

3 74. Инвариантность индекса пересечения
341
выбран так, что п-мерный симплекс ?(Ро Pi... Pk ¦ ¦ ¦ Рп) ориентиро-
ориентирован одинаково с Еп (§29), то
х(х\ хп~к) = ст?с.
На рис. 127 приведен случай, когда п — к = 2, к = 1. В качестве
симплекса Е3 (на рисунке не обозначенного) нужно представлять себе
большой трехмерный симплекс, содержащий X1 и X2 внутри себя.
Доказательство. При доказа-
доказательстве мы воспользуемся тем, что ин-
индексы пересечения двух связанных пар
особых алгебраических комплексов сов-
совпадают. Если симплекс Хк зафиксиро-
зафиксирован, &Хп~к непрерывно деформируется
в новый симплекс 'Хп~к так, что гра-
граница симплекса Хп~к в течение всего
времени деформации не встречает Хк,
а граница симплекса
Хк
ет X
п—к
не встреча-
то
Рис. 127
Х(Хк, Хп~к) = Х(Хк, 'X*
'X
п-к
образуют две связанных пары
так как Хк, Хп~к и Хк,
(см. стр. 152, теорему II).
Рассмотрим сначала случай к = 0. Без ограничения общности мож-
можно предположить, что Х° снабжен знаком ? = +1, а Хп ориентирован
одинаково с Еп, т. е. что г/ и ? совпадают. Тогда нужно показать толь-
только, что х(Х°, Хп) = 1. С этой целью мы переведем Хп в симплекс Еп
и Х° — в центр симплекса Еп. Это осуществляется тремя последо-
последовательными шагами. Первый шаг состоит в том, что Хп посредством
деформации переводится в положение X™, подобное с симплексом Еп
относительно центра подобия Х°. Это, очевидно, всегда можно сделать
так, чтобы фиксированная точка Х° в течение деформации не попада-
попадала на границу симплекса Хп. Поэтому
х(х°, хп) = х(х°, х?).
Второй шаг заключается в проектировании симплекса X™ из центра
подобия Х° на симплекс Еп. При таком проектировании Х° не перехо-
переходит через границу симплекса Хп, вследствие чего
Х(Х°, X?) =
Еп
Наконец, третьим шагом Х° переводится в ориентированный тем же
знаком ? = 1, как и Х°, центр Xf симплекса Еп. Тогда
Х(Х°, Еп) =
Еп),

342 Глава X
так что в целом
Х(Х°, Хп) = Х(Х1 Еп).
Но симплициальное разбиение /i-многообразия Мп можно рассматри-
рассматривать как клеточное разбиение, в котором Еп представляет п-мерную
клетку, а Х^ — дуальную с ней нульмерную. Отсюда следует, что
Х(Х1 Еп) = 1.
Предположим теперь, что лемма доказана для размерностей к — 1
и п — к + 1. Докажем ее для симплексов Хк и Хп~к. Ориентация сим-
симплекса Хк задается частичным симплексом
а ориентация симплекса Хп~к — частичным симплексом
J7(PfcPfc+i...Pn). (Xn~k)
Мы можем допустить, что Pk-i есть центр (к — 1)-мерного сторо-
стороны Хк~г симплекса Хк (а не центр, например, стороны низшего числа
измерений). Тогда существует симплекс хп~к+1, имеющий Хп~к своей
стороной, a Pfe_i — своим центром. Симплексы Хк и хп~к+1 имеют
своим пересечением отрезок P^-iP}*. Пусть Хк~г ориентирован так,
что он входит в границу симплекса Хк со знаком +1. Тогда его ориен-
ориентация задается частичным симплексом
Точно так же пусть хп~к+1 ориентирован так, что Хп~к входит в его
границу с коэффициентом +1, т.е. его ориентация определяется ча-
частичным симплексом
»7(Pfc-iPfc...Pn). (Хп~к+1)
Но по индукционному предположению
х(хк-\ хп~к+1) = (-i)fec?C-
С другой стороны,
Х(Хк, Хп~к) = Х(Хк, (Хп~к+1У) = (-1)кХ(Хк, Хп~к+1) =
= (-1)кх(Хк-1, Хп~к+1) (по формуле 10).
*Если Хп fc+1 выходят за пределы симплекса Еп, то моясно заменить сначала
симплексы Хк и Х™~* подобными им уменьшенными симплексами так, что ни
индекс пересечения x(^fc> Хп~к), ни коэффициенты ?, г/, С не изменятся. Центром
подобия при этом берется точка Р^.

§75. Примеры 343
Поэтому
х(х\ хп~к) = ы,
что и требовалось доказать.
При определении индекса пересечения двух особых алгебраиче-
алгебраических комплексов Ак и Вп~к можно опустить сначала все особые сим-
симплексы, не имеющие общих точек с пересечением D точечных мно-
множеств, несущих комплексы Ак и Вп~к. В самом деле, можно разложить
индекс пересечения по формуле (8) и воспользоваться тем, что алгебра-
алгебраические комплексы, не имеющие общих точек, дают индекс пересече-
пересечения = 0. Отметим особо случай, когда пересечение состоит из конечного
числа точек, причем в каждой такой точке встречаются только два сим-
симплекса, пересекающиеся так, как это указано в лемме. В этом случае мы
будем говорить, что оба особых алгебраических комплекса пересека-
пересекаются в общих точках гладко. Индекс пересечения x(/4fe> Bn~k) равен
тогда сумме определяемых посредством леммы индексов в отдельных
точках пересечения.
Методы и теоремы этого параграфа непосредственно переносятся
на алгебраические комплексы по модулю 2.
§ 75. Примеры
1. Рассмотрим в качестве примера ориентируемые поверхности.
Для простоты возьмем поверхность рода h = 2 — двойной тор. Предпо-
Предположим, что он задан своим каноническим многоугольником. Мы знаем
уже, что циклы а, Ь, с, d, образуют базу слабых гомологии (§41); мы
будем искать теперь для этой базы дуальную базу. Пересечения можно
удобнее проследить на рис. 128, если заменить циклы а, Ь, с, d гомо-
гомологичными им циклами а', Ь', с', d', расположенными внутри восьми-
восьмиугольника.
При соответствующем симплициальном раз-
разбиении наши циклы пересекаются, очевидно,
гладко. Определяя индекс пересечения при
помощи такого специального разбиения и счи-
считая, что ориентация поверхности задана гра-
граничным кругом aba~1b~1 cdc~xd~x, мы полу-
получим, в соответствии с формулой (9) § 74, зна-
значения
Х(а',Ь') = 1 и х(Ъ',а') = -1.
х(й') с') = 0, так как а' и с' не имеют общих
точек. Точно так же х(а'> а') = 0. В самом
деле, из а' ~ а следует, что х(а'> а>) = х(а'> а)-

344
Глава X
X
а
Ь
с
d
а
-1
Ъ
1
с
-1
d
1
X
а
Ь
с
d
Ъ
1
—а
1
d
1
—с
1
А этот последний индекс пересечения = 0 ввиду отсутствия у а и а'
общих точек. Поэтому матрица индексов пересечения имеет вид
A)
Места, оставленные пустыми, нужно считать заполненными нулями.
Меняя в этой матрице порядок и ориентации циклов, стоящих в ее
верхнем входе, мы получаем единичную матрицу
B)
Таким образом циклы
Ь, —a, d, —с
образуют искомую дуальную базу по отношению к базе
а, Ь, с, d.
База а, Ь, с, d обладает следующим особым свойством: элементы ее
можно разбить на пары так, что циклы одной пары имеют индекс пе-
пересечения ±1, в то время как индекс пересечения циклов различных
пар = 0. Это свойство присуще не только поверхностям, — им обла-
обладают все многообразия, размерности которых выражаются формулой
2Bт + 1), т = 0, 1, 2,... Для доказательства рассмотрим в /г-много-
образии М2к циклы «средней» размерности к. По формуле (9) § 74
Х{А\ Bk) = {-l)kkx{B\ Ак).
Поэтому х(Ак, Вк) = ±х(Вк, Ак), в зависимости от того, четно к или
нечетно, т. е. матрица индексов пересечения
х(вк Bkv)
базы слабых гомологии
В пересечении г-й строчки с fc-м столбцом стоит индекс пересечения г-го ком-
комплекса как первого, с fc-м как вторым.

§ 75. Примеры
345
при нечетном к кососимметрична, а при четном — симметрична. В обо-
обоих случаях ее детерминант равен ±1. Действительно, надлежащими
независимыми целочисленными унимодулярными преобразованиями
ее строк и столбцов мы можем перейти к дуальным базам (§ 71), а для
таких баз матрица индексов пересечения есть единичная матрица.
Для нас представляет интерес только тот случай, когда к нечетно.
В этом случае можно воспользоваться алгебраической теоремой, утвер-
утверждающей, что целочисленную унимодулярную кососимметричную мат-
матрицу можно привести когредиентными целочисленными унимодуляр-
унимодулярными преобразованиями строк и столбцов к «ящичной форме» A).
В матрице такой формы вдоль главной диагонали находятся только
главные миноры вида
О 1
-1 О
все же остальные элементы равны нулю*. Полученную таким образом
новую базу слабых гомологии можно рассматривать как 2Bт + 1)-мер-
ный аналог сопряженным циклическим сечениям замкнутых ориенти-
ориентируемых поверхностей46.
Отсюда вытекает, далее, что среднее число Бетти (размерности к =
= 2т + 1) 2Bт + 1)-мерного ориентируемого /i-многообразия четно. Но
тогда и характеристика N такого /i-многообразия также четна. В самом
деле, по закону двойственности Пуанкаре
2fe
v=0
j1-...±2pk-1TPk-
2. При рассмотрении индексов пересече-
пересечения на неориентируемых поверхностях мы
должны ограничиться индексами пересече-
пересечения по модулю 2. Рассмотрим неориентируе-
мую поверхность рода 3. Неориентированные
стороны а, Ь, с канонического шестиуголь-
шестиугольника образуют одномерную базу по модулю 2
(§41). На рис. 129 изображены два гомоло-
гомологичных с а по модулю 2 цикла а' и а". Так
как а' и а "пересекаются гладко, то их индекс
пересечения по модулю 2 будет
Х(а, а) = Х(а', а") = 1,
Рис. 129
*См. К. Hensel и G. Landsberg, Theorie d/ algebr. Funkt. einer Var., стр. 636
и далее (Leipzig 1902).

346 Глава X
в то время как индексы пересечения а' со сторонами b vs. с равны 0.
Матрица индексов пересечения по модулю 2 имеет, поэтому, вид
X
а
Ъ
с
а
1
Ъ
1
с
1
Таким образом база гомологии по модулю 2 дуальна сама с собой.
3. Перенесение ориентации вдоль пути. Пусть имеется п-мерное
/i-многообразие Мп, заданное в некотором клеточном разбиении М?.
Будем называть нульмерные клетки вершинами, а одномерные — ре-
ребрами разбиения М?. Пусть w есть замкнутый путь, составленный из
ребер М™ (реберный путь). Каждой вершине пути w соответствует
n-мерная клетка, а каждому ребру — (п — 1)-мерная клетка дуального
клеточного разбиения М™. Эти n-мерные и (п — 1)-мерные клетки че-
чередуются друг с другом в последовательности, определенной путем w.
Мы хотим теперь ориентировать их. Ориентируем произвольно п-мер-
ную клетку, соответствующую начальной точке О пути. Следующую
n-мерную клетку ориентируем так, чтобы в общей (п— 1)-мерной клет-
клетке индуцировались противоположные ориентации и т. д. Таким спосо-
способом ориентацию начальной n-мерной клетки можно переносить вдоль
всего пути. При этом мы возвратимся к начальной m-мерной клетке ли-
либо с исходной ориентацией, либо с противоположной. В соответствии
с этим говорят, что путь w либо сохраняет ориентацию, либо обращает
ее. Такое определение имеет смысл, естественно, только для заданного
клеточного разбиения и для пути, составленного из ребер этого разби-
разбиения. Индексы пересечения дают нам средство определить сохраняю-
сохраняющий или обращающий ориентацию путь независимо от разбиения.
Очевидно, Мп ориентируемо в смысле § 24 в том и только в том
случае, когда каждый замкнутый реберный путь из М™ сохраняет
ориентацию. В последующем мы ограничимся поэтому рассмотрением
лишь неориентируемых /i-многообразий. В каждом таком многообра-
многообразии существует в точности один (п—1)-мерный коэффициент кручения,
равный 2 (стр. 119), т.е. существует в точности один (п — 1)-мерный
класс гомологии второго порядка; принадлежащие этому классу (осо-
(особые) циклы характеризуются тем, что они гомологичны нулю не сами
по себе, а взятые с коэффициентом 2. (п—1)-мерный цикл Un~1, облада-
обладающий этим свойством, может быть получен следующим способом: возь-
возьмем все n-мерные клетки разбиения М™, ориентируем их произвольно,
но фиксированно, и рассмотрим границу n-мерного алгебраического
комплекса Un, составленного из совокупности всех таких ориентиро-
ориентированных n-мерных клеток. Тогда любая (п — 1)-мерная клетка либо во-
вовсе не входит в эту границу, либо входит с коэффициентом 2, смотря по
тому, индуцируют ли две прилегающие к ней n-мерные клетки одинако-

§75. Примеры 347
вые или противоположные ориентации. Отсюда следует, что Un равна
некоторому циклу Un~1, взятому два раза, т.е. 2Un~1 ~ 0, и Un~1 не
гомологичен 0 (сравните со стр. 119. Различие от изложенного рань-
раньше выражается лишь в том, что мы вместо симплексов рассматриваем
здесь клетки).
Теперь легко видеть, что реберный путь w сохраняет ориентацию
в том и только в том случае, когда w пересекается с циклом Un~1 в чет-
четном числе точек. Это следует из того, что Un~1 образован в точности
теми (п — 1)-мерными клетками разбиения М™, в которых две приле-
прилегающие n-мерные клетки индуцируют одинаковые ориентации. Мы мо-
можем, следовательно, сказать: путь то сохраняет ориентацию в том
и только в том случае, когда индекс пересечения по модулю 2 пути w
с циклом Un~x равен О*. Это определение можно распространить на
произвольные непрерывные пути (не только реберные). Оно не зависит
от выбранного симплициального разбиения /i-многообразия Мп: как
мы показали выше, цикл определяется /i-многообразием Мп топологи-
топологически инвариантно с точностью до слагаемого гомологичного нулю.
Отсюда следует одновременно, — так как при замене цикла гомоло-
гомологичным циклом индекс пересечения не меняется, — что гомологичные
пути ведут себя в смысле сохранения или обращения ориентации оди-
одинаково.
Но то же самое относится тогда с большей силой к гомотопным
путям. Поэтому элементы фундаментальной группы F /г-многообра-
зия Мп можно разбить на две категории по свойству принадлежащих
им путей сохранять или обращать ориентацию**. Классы путей, сохра-
сохраняющих ориентацию, образуют в F подгруппу Н индекса 2. В самом
деле, произведение двух путей, обращающих ориентацию, есть путь,
сохраняющий ориентацию. Поэтому принадлежащее подгруппе Н (дву-
(двулистное) накрывающее многообразие Мп (§ 55) связано с Мп тополо-
топологически инвариантно.
М" ориентируемо. Действительно, перенесем на Мп дуальные
клеточные разбиения М™ и М^1 и рассмотрим какой-нибудь замкну-
замкнутый путь w, составленный из ребер разбиения Мп. Если этот путь
обращает ориентацию, то и основной лежащий под ним путь w разбие-
разбиения М™ также обращает ориентацию. Но тогда w не может принадле-
принадлежать подгруппе Н, т. е. w, вопреки предположению, не замкнут.
Мп есть единственное ориентируемое двулистное накрытие h-мно-
гообразия Мп, так как если 'Мп есть другое такое накрытие, то за-
Точнее следовало бы говорить об индексе пересечения принадлежащих w
и Un~1 алгебраических комплексов по модулю 2.
В дальнейшем под w понимаются пути, выходящие из фиксированной точки О
многообразия М™, а под w — пути накрывающего многообразия М™, выходящие
из лежащей над О фиксированной точки О.

348
Глава X
мкнутый путь 'w накрывающего многообразия'Мп переходит в сохра-
сохраняющий ориентацию замкнутый путь многообразия Мп, т.е. в путь,
принадлежащий подгруппе Н. Принадлежащая 'Мп подгруппа 'Н яв-
является, таким образом, подгруппой группы Н. А так как Н также долж-
должна иметь в F индекс 2, то она совпадает с Н46.
§ 76. Ориентируемость и двусторонность
Мы видели, что ориентируемость есть свойство, присущее поверх-
поверхности как двумерному многообразию, независимо от того, каким спо-
способом поверхность расположена в пространстве. Понятиям ориентиру-
емый-неориентируемый противостоят понятия односторонний-двусто-
односторонний-двусторонний, связанные уже с расположением поверхности в пространстве.
Чтобы получить наглядное представление о двустороннем расположе-
расположении поверхности в трехмерном многообразии М3, предположим М3
снабженным дифференциально-геометрической метрикой и рассмот-
рассмотрим вектор, нормальный к поверхности.
Будем обводить начальную точку по по-
поверхности вдоль замкнутого пути, забо-
заботясь о том, чтобы вектор все время оста-
оставался нормальным к поверхности. Если
при этом направление вектора при воз-
Рис. 130 вращении в исходную точку всегда оста-
остается прежним, независимо от того, по ка-
какой замкнутой кривой двигалась началь-
начальная точка, то поверхность лежит двусто-
ронне, в противном случае — односто-
односторонне.
Иногда ориентируемые поверхности
называют двусторонними. Однако эти
понятия не являются эквивалентными.
Действительно, существуют:
1. Ориентируемые двусторонние
поверхности — например сфера или тор,
расположенные в трехмерной сфере.
2. Неориентируемые односторонние
поверхности — например, проективная
плоскость в проективном пространстве.
Рис. 131 3. Ориентируемые односторонние
поверхности.
4. Неориентируемые двусторонние поверхности.
Пример поверхностей типа 3 и 4 дает топологическое произведение про-
проективной плоскости на окружность. Такое произведение можно получить,

§76. Ориентируемость и двусторонность 349
отождествляя диаметрально-противоположные точки меридианов тора, яв-
являющегося границей кольцевидного трехмерного тела. При этом отожде-
отождествлении круг, натянутый на меридиан, превращается в проективную плос-
плоскость, т. е. в неориентируемую поверхность, расположенную в получающемся
трехмерном многообразии, очевидно, двусторонне. На рис. 130 показано сече-
сечение кольцевого трехмерного тела (поверхность тора и ограниченная ею вну-
внутренняя область) меридианальной плоскостью; натянутый на меридиан круг
заштрихован. Экваториальная же плоскость пересекает тор по круговому
кольцу. При отождествлении диаметрально-противоположных точек (таком
же, как раньше) это кольцо превращается в ориентируемую поверхность —
тор, очевидно, расположенную в многообразии односторонне. Рис. 131 пока-
показывает пересечение с экваториальной плоскостью.
Введенные в этой главе понятия позволят нам теперь от соображе-
соображений, связанных с наглядными представлениями, перейти к математиче-
математической формулировке понятий односторонности и двусторонности и рас-
распространить их на произвольное число измерений.
Пусть Мп~1 — (п — 1)-мерное /i-многообразие, вложенное тополо-
топологически в п-мерное /i-многообразие Мп; другими словами, Мп~г есть
подмножество многообразия Мп. Кроме этого, мы требуем еще, чтобы
существовало симплициальное разбиение многообразия Мп, в кото-
котором Мп~1 образует подкомплекс. Мы определим сначала односторон-
односторонность и двусторонность многообразия Мп~1 при помощи такого сим-
плициального разбиения. Будем рассматривать барицентрически под-
подразделенные симплексы его как клетки клеточного разбиения М™. То-
Тогда на Мп~г одновременно определяется клеточное разбиение М™~г.
Обозначим (п — 1)-мерные клетки разбиения М^~г посредством а™.
Далее, пусть (см. рис. 132)
Р^ — центр клетки а™,
Ь\ — одномерная клетка, дуальная с а™ в Мп,
а"д2 — (п — 2)-мерная клетка на М™, являющаяся общей сторо-
стороной клеток а™ и а™,
QkX — центр клетки а™^2,
Ь2>сХ — клетка, дуальная с а™^2 в Мп,
с^л — клетка, дуальная с «™д2 в Мп~г и имеющая точку Р„ на-
начальной, а Р\ — конечной.
Ориентированные клетки Ь\ дают нам общее истолкование рас-
рассмотренных ранее нормальных векторов к поверхности. Мы будем
называть их трансверсальными одномерными клетками многообра-
многообразия Мп~г. Две трансверсальные одномерные клетки Ь\ и Ь\ называ-
называются соседними, если (п— 1)-мерные клетки а™ и а™ имеют общую
сторону а™ д. Так как при переходе к дуальным клеткам инциденции
сохраняются, то Ь\ и Ь\ входят в границу клетки Ь^л:
ехЬ\

350 Глава X
Если коэффициенты еж и е\ противоположны по знаку, то мы будем
говорить, что Ь\ и Ь\ направлены одинаково. В противном же случае
они направлены противоположно. Точное определение односторонно-
односторонности и двусторонности имеет тогда такой вид:
Мп~1 расположено в Мп двусторонне, если трансверсальные од-
одномерные клетки могут быть ориентированы таким образом, что
каждые две соседние направлены одинаково. Если же это невозмож-
невозможно, то Мп~г лежит в Мп односторонне. При этом оказывается, что
понятие односторонности или двусторонности не зависит от выбора
клеточного разбиения.
Рис. 132
с^Л можно рассматривать, как пересечение многообразия Мп~г
с Ь\х. В самом деле, Ь^Л может иметь общие точки только с такими
клетками разбиения М™, которые содержат центр Q^\ клетки Ь\х
(по теореме VI §66), т.е. с клетками а"д2, а^, а™- Пересечение
же клетки Ь^Л с а™ состоит из соединяющего отрезка (одномерного
симплекса) (P^Q^x). Назовем одномерные клетки с\сХ ребрами М™.
Если тогда Ь\ и Ь\ направлены одинаково, то мы будем понимать под
принадлежащей ребру с^Л обходной дугой с^л дугу граничного круга
клетки Ь^Л, ведущую из конечной точки клетки Ь\ в конечную точку
клетки Ь\х и не встречающую при этом Мп~г. Пусть теперь С есть
замкнутый реберный путь на Мп~г, т. е. путь, составленный только из
ребер с]<х, и пусть он идет через точки
Pi,P2, ..., Pr, Pr+i = Pi-
Ориентируем трансверсальные одномерные клетки Ь\, Ь\, ..., Ь]., Ь].+1
так, чтобы каждые две, следующие одна за другой, были направле-
направлены одинаково; если ориентация клетки Ь\ как-нибудь выбрана, то это

§76. Ориентируемость и двусторонность 351
возможно только одним способом. При этом одна и та же трансвер-
сальная клетка может входить в путь С несколько раз, в том числе
и с противоположными ориентациями. В зависимости от того, име-
имеет ли место равенство Ъ],+1 = +Ъ\ или Ъ],+1 = —Ъ\, мы говорим, что
направление «нормального вектора», или просто: направление стрел-
стрелки вдоль С сохраняется или обращается. Очевидно, что если h-мно-
гообразие Мп~11 двусторонне, то направление стрелки сохраняется
вдоль каждого реберного пути С; если же оно односторонне, то су-
существует по крайней мере один реберный путь, обращающий, направ-
направление стрелки. Заменяя в С каждое ребро с^л, принадлежащей ему об-
обходной дугой с^Л, мы получим в случае сохранения направления стрел-
стрелки замкнутый путь С, не пересекающий Мп~г. Напротив, в случае об-
обращения направления стрелки вдоль С, получающийся путь ведет из
конечной точки клетки Ь\ в начальную точку этой клетки; чтобы полу-
получить замкнутый путь С с начальной точкой Pi, нужно присоединить
клетку Ь\. Очевидно, путь С может быть деформирован в свой обход-
обходный путь. Для этого достаточно только непрерывно перевести каждое
ребро с^Л в дугу с^л внутри одной половины клетки Ь^Л; начальная
и конечная точки клетки c\tX перемещаются тогда вдоль Ь\ и Ь\ в ко-
конечные точки клеток Ь\ и Ь\. Если С — путь, сохраняющий направле-
направление стрелки, то С, а следовательно, и гомотопный с ним путь С имеет
с Мп~г индекс пересечения по модулю 2 равный б, так как Мп~г и С
не имеют общих точек. Если же направление стрелки обращается, то
этот индекс, напротив, равен 1, так как Мп~1 пересекается тогда с С
в точности в одной точке Р\. Так как, далее, для каждого замкнуто-
замкнутого пути /i-многообразия Мп~1 существует гомологичный с ним ребер-
реберный путь, — ибо все ребра с\х образуют реберный комплекс дуального
с М™ разбиения, — то отсюда следует теорема:
Теорема I. Если Мп~1 двусторонне, то для каждого замкнуто-
замкнутого пути С на М" индекс пересечения по модулю 2 %(МП~1, С) = б;
если же Мп~1 односторонне, то существует путь С, для которого
х(Мп~1, С) = 1. При этом М" и С рассматриваются, естествен-
естественно, как алгебраические комплексы по модулю 2.
Так как индексы пересечения не зависят от выбранного симплици-
ального разбиения, то эта теорема дает нам характеристику односто-
односторонности и двусторонности, также не зависящую от симплициального
разбиения.
Дадим еще одну характеристику односторонности и двусторонно-
двусторонности. Так как С есть реберный путь дуального к М^~г клеточного раз-
разбиения, то мы можем ориентацию (п — 1)-мерных «поверхностных»
клеток а™ переносить вдоль С. Именно мы ориентируем а™ про-

352 Глава X
извольно, а затем каждую из остальных клеток ряда
„п-1 пп~1 пп~Х пп~1 \-пп~1
а1 > а2 > ' ' ' > аг > аг+1 — ±а1
ориентируем так, чтобы всякие две, следующие одна за другой клет-
клетки индуцировали в общей их (п — 2)-мерной клетке противоположные
ориентации. Тогда в зависимости от того, имеет ли место соотноше-
соотношение а™+\ = а™, или а™+1 = —а™, мы будем говорить, что С есть
путь, сохраняющий «поверхностную» ориентацию, или обращающий
ее. Точно так же вдоль обходного пути С можно переносить ориента-
ориентацию n-мерных «пространственных» клеток. В самом деле, С состоит из
одномерных клеток дуального к М™ клеточного разбиения. Поэтому
можно говорить, что С является путем, сохраняющим или обращаю-
обращающим пространственную ориентацию. Это имеет вполне точный смысл.
Обозначим через а™ инцидентную с а™ n-мерную клетку, содержа-
содержащую конечную точку клетки Ь\ (мы предполагаем снова, что каждые
две следующие одна за другой клетки ряда Ь\, Ь\, ..., Ь]., Ь].+1 имеют
одинаковые направления) и пусть а™ ориентирована так, что а™
входит в ее границу с коэффициентом +1:
а1=ап«-1+... A)
Если мы будем теперь идти по пути с^ из центра клетки а™ в центр
клетки а™ (А = х+1) и будем переносить ориентацию а™ вдоль с^л, то
мы придем с ориентацией +а™ (это легко подсчитывается, если вспо-
вспомнить, что все проходимые нами n-мерные клетки имеют своей сторо-
стороной клетку а™~2). Таким образом, перенося пространственную ориен-
ориентацию вдоль С, мы приходим от +а™ к +а™+1.
Мы различаем теперь следующие возможности:
Случай I. Направление стрелки вдоль С сохраняется.
a) Поверхностная ориентация вдоль С сохраняется.
Тогда а™+1 = а™, и в силу A) а™+1 = а™, т.е. пространственная
ориентация вдоль С также сохраняется.
b) Поверхностная ориентация вдоль С обращается.
Тогда а%+1 = —а™, вследствие чего а™+1 = —а™. Таким образом
в этом случае пространственная ориентация вдоль С обращается.
Случай П. Направление стрелки вдоль С обращается.
a) Поверхностная ориентация вдоль С сохраняется.
Тогда а™+1 = а™. а™+1 и а™ лежат теперь с различных сторон
клетки а™. В силу A) они индуцируют в а™ одинаковые ориента-
ориентации, т. е. пространственная ориентация вдоль С обращается.
b) Поверхностная ориентация вдоль С обращается.

§ 77. Коэффициенты зацепления 353
Тогда а™+1 = —а™. а™+1 и а™ индуцируют в а™ противополож-
противоположные ориентации. Таким образом пространственная ориентация вдоль С
сохраняется.
Если мы заметим еще, что перенос ориентации был топологически
инвариантно определен также для любых непрерывных путей (§ 75)
и что гомотопные пути, например С и С, всегда либо одновременно
обращают ориентацию, либо сохраняют ее, то мы получим следующее
предложение.
Теорема II. Если Мп~г лежит в Мп двусторонне (случай I),
то поверхностная и пространственная ориентация вдоль пути С,
принадлежащего М™, либо одновременно обращаются, либо одно-
одновременно сохраняются. Если же Мп~1 лежит в Мп односторонне
(случай II), то существует по крайней мере один путь, вдоль кото-
которого обращается либо одна поверхностная ориентация, либо одна про-
пространственная.
Если Мп ориентируемо, то пространственная ориентация сохра-
сохраняется вдоль любого пути. Отсюда следует теорема:
Теорема III. В ориентируемом многообразии Мп ориентиру-
ориентируемость вложенного в него М" эквивалентна с двусторонностью,
а неориентируемость — с односторонностью.
В частности в трехмерном евклидовом пространстве каждая
ориентируемая поверхность лежит двусторонне, а каждая неориен-
тируемая — односторонне.
§ 77. Коэффициенты зацепления
Коэффициенты зацепления определяются в n-мерном ориентируе-
ориентируемом /i-многообразии Мп для двух гомологичных нулю или, общее, для
двух слабо гомологичных нулю особых циклов
А*'1 и Вп~к,
не имеющих общих точек. Рассмотрим сначала случай, когда Ак~г го-
гомологичен нулю, а Вп~к слабо гомологичен (быть может, также го-
гомологичен) нулю. Тогда Ак~г есть граница особого алгебраического
комплекса Ак и мы определяем коэффициент зацепления
V(Ak~1, Bn~k)
как индекс пересечения
Х(Ак, Вп~к).

354 Глава X
Такой индекс существует, так как по предположению цикл Вп~г не
имеет общих точек с границей комплекса Ак. Другими словами, коэф-
коэффициент зацепления V(Ak~1, Bn~k) есть индекс пересечения /с-мерно-
го комплекса Ак, натянутого на Ак~1, с Вп~к. При этом безразлично,
натянем ли мы на Ак~г комплекс Ак или какой-нибудь другой ком-
комплекс 'Ак. В самом деле, так как Вп~к слабо гомологичен нулю, а
Ак — 'Ак есть цикл, то
х(Ак - 'Ак, Вп~к) = 0, т. е. Х(Ак, Вп~к) = х('Ак, Вп~к).
Если, например, М™ есть трехмерная сфера, а Ак~х и Вп~к меридиан
и средняя линия трехмерного кольцевого тела, т. е. две зацепленных
окру ясности, то в качестве Ак можно взять круг, натянутый на мери-
меридиан. Круг этот пересекается со средней линией гладко. Коэффициент
зацепления меридиана со средней линией равен, таким образом, ±1.
Если же Ак~г также только слабо гомологичен нулю, то существу-
существует число а ф 0 такое, что аАк ~ 0 (а не должно быть непременно
наименьшим из чисел, обладающих этим свойством). Пусть Ак, алге-
алгебраический комплекс, натянутый на Ак~х, т.е.
Ак = аАк-\
В этом случае мы определяем коэффициент зацепления47 посредством
равенства
V(Ak-\ Bn~k) = ^x(Ak, Bn~k).
Таким образом V, вообще говоря, есть дробное число. Если мы
возьмем вместо Ак другой алгебраический комплекс ''Ак с грани-
границей 'аАк~г, то мы получим в качестве коэффициента зацепления чис-
число ^~х('Ак, Bn~k). Однако а'Ак —'аАк есть цикл, индекс пересечения
а
которого с любым слабо гомологичным нулю циклом равен нулю. По-
Поэтому
аХ('Ак, Вп~к) = 'аХ(Ак, Вп~к),
или
f Х('Ак, Вп~к) = ±х(А\ Вп~к).
а. "
Следовательно, коэффициент зацепления не зависит от выбора плен-
пленки Ак.
Вместо того чтобы пересекать Вп~к с пленкой Ак, натянутой
на аАк~1, можно, наоборот, пересекать Ап~к с пленкой вп~к+1, на-
натянутой на f3Bn~k. При этом коэффициент зацепления получается тот

§ 77. Коэффициенты зацепления 355
же самый с точностью до знака. В самом деле
ViA*'1, Вп~к) = ^х(Ак, Вп~к) =
(по основной формуле A0) § 74)
= (-i)fe4x(^fe~\ вп~к+1).
р
Формулам (8) и (9) § 74 в случае коэффициентов зацепления соответ-
соответствуют формулы
V(Ak~1, В?~к + В%~к) = V(Ak~1, В?~к) + V(Ak~1, В%~к)
и
У{Ак~1, Вп~к) = (-]
Коэффициент зацепления не меняется, если заменить цикл Ак г гомо-
гомологичным с ним (в «дополнительном пространстве» цикла Вп~к отно-
относительно многообразия Мп) циклом 'Ак~1. В самом деле, если Uk не
имеет общих точек с Вп~к и
jjk = Ak-l _'Ак-1^
ТО
Точно так же можно заменить Вп~к циклом, гомологичным ему в до-
дополнительном пространстве цикла Ак~х.
Напротив, если мы заменим Ак~х произвольным гомологичным
ему в М" циклом, не имеющим с Вп~к общих точек, то V(Ak~1, Bn~k)
может измениться на целое число. Действительно, так как Ак~1—'Ак~1
представляет тогда некоторый гомологичный нулю цикл, то его индекс
пересечения с Вп~к является, как мы видели, целым числом. Поэтому
каждым двум классам гомологии Нк~1 и Нп~к, имеющим как элемен-
элементы группы Бетти конечные порядки, можно поставить в соответствие
некоторый определенный с точностью до целого числа коэффициент
зацепления, именно коэффициент зацепления каких-нибудь двух не
пересекающих друг друга представителей этих классов. В частности,
в Bт + 1)-мерном /i-многообразии каждому классу гомологии конеч-
конечного порядка размерности m соответствует коэффициент самозацепле-
самозацепления, т. е. коэффициент зацепления двух гомологичных друг другу и не

356 Глава X
имеющих общих точек m-мерных циклов. Коэффициенты самозацеп-
самозацепления представляют топологические инварианты /i-многообразия. Ими
пользуются иногда для установления различия между многообразия-
многообразиями.
Поясним это на примере пространства линзы. Вычислим коэффициент
самозацепления оси Ъ пространства линзы (р,, q). Произведем для этого та-
такую деформацию оси линзы, чтобы ее начальная точка Р, лежащая на ниж-
нижнем сферическом сегменте, перешла бы в точку Р' края линзы. Эквивалент-
Эквивалентная точке Р точка Q — конечная точка оси линзы — перемещается тогда
сама собой по верхнему сферическому сегменту в некоторую определенную
точку Q' края линзы. Остальные же точки оси Ъ мы заставляем перемещать-
перемещаться внутри линзы так, чтобы они перешли в конце концов в соединяющую
дугу Ъ1 = P'Q' края линзы; эта дуга представляет ^-ю часть всего ребра.
Ъ и Ь' представляют два гомологичных одномерных цикла. Для того чтобы
найти их коэффициент зацепления, рассмотрим цикл рЪ1, т.е. ребро линзы,
пробегаемое q раз, и натянем на него двумерный алгебраический комплекс,
например, взятый с коэффициентом q круг К , разбивающий линзу на две
симметричных половины. Так как b и К2 пересекаются гладко, то их ин-
индекс пересечения = ±1, т.е. \(Ъ, qK2) = ±q, так что искомый коэффициент
самозацепления
У(Ь,Ь')=±%.
Коэффициенты самозацепления остальных классов гомологии получаются,
если мы будем брать ось Ъ с коэффициентами v (у = 0, 1, ..., р — 1), так
как одномерный цикл Ъ образует одномерную базу гомологии. Мы получаем
тогда
V(ub, vb') =±^2|,
где верхний или нижний знак берется в зависимости от ориентации простран-
пространства линзы.
Для того чтобы два пространства линзы (р, q) и (р', </) были гомео-
морфны, нужно прежде всего, чтобы у них совпадали фундаментальные
группы, т.е. чтобы v = p'. Это условие необходимое. Кроме этого нужно,
чтобы число —, являющееся одним из коэффициентов самозацепления лин-
линзы (р, </), являлось также коэффициентом самозацепления в линзе (р, q).
Поэтому число — должно быть сравнимо с одним из чисел ±v2 - по моду-
модулю 1, т. е. должно существовать целое число v такое, что
q = ±v2q (мод. р).
Если, например (р, q) = E, 1), то написанное сравнение удовлетворяется
только при q' = ±1. q' = 2 не является его решением. Отсюда следует, что
пространства линзы E,1) и E, 2), наверное, различны (Alexander [2], [10]).
Таким образом совокупность всех значений коэффициентов самозацеп-
самозацепления одномерных циклов трехмерного многообразия есть топологический

§ 77. Коэффициенты зацепления 357
инвариант; этот инвариант позволяет иногда установить негомеоморф-
негомеоморфность многообразий там, где это не удается сделать с помощью сильней-
сильнейшего из известных нам средств — фундаментальной группы.
Для пространств линзы G,1) и G, 2) коэффициенты самозацепления
ничего не дают в смысле решения проблемы гомеоморфизма, так как легко
подсчитать, что совокупность значений коэффициентов самозацепления для
этих пространств одинаковы.
В пространстве линзы C,1) коэффициенты самозацепления суть
О, -к, -^ = -к (мод. 1)
при одной ориентации иО, -- при противоположной ориентации простран-
о
ства. Так как обе системы различны, то отсюда следует, что пространство
линзы C,1) невозможно отобразить топологически на себя с обращением
ориентации. В сооветствии с этим говорят, что пространство линзы C,1)
асимметрично. Явление асимметрии встречается у многообразий, начиная
лишь с числа измерений три48.
Упражнения.
1. Два многообразия, получающиеся из двух пространств линз C,1)
посредством «сложения» (см. упр. 3 §62), негомеоморфны, хотя они имеют
одинаковые фундаментальные группы. [Найдите базу гомологии каждого из
двух получающихся пространств и подсчитайте величины коэффициентов
самозацеплений.]
2. В ориентируемом многообразии Мп существует fe-мерная база кру-
кручения
Ak,Ak2,...,Akpk
и (п — к — 1)-мерная база кручения
В п—к — 1 &n—к — 1 тэп—к — 1
такие, что коэффициент зацепления V(A^, В"~к~1) при jx ф v и = —,
при p, = v. cM обозначает здесь соответствующий А\ коэффициент кручения
(см. § 71).
3. Если трехмерное ориентируемое многообразие имеет в точности один
одномерный коэффициент кручения, то существует по крайней мере один
одномерный цикл с отличным от 1 коэффициентом самозацепления.
4. Если ориентируемое трехмерное многообразие имеет единственный
коэффициент кручения, причем этот коэффициент есть простое число вида
Ах + 3, то такое многообразие асимметрично.
Мы уже неоднократно вовлекали в круг наших рассмотрений до-
дополнительное пространство узла. В § 52 мы пользовались винтовым
узлом для иллюстрации фундаментальной группы, в § 65 произвольный
узел служил нам для построения трехмерных многообразий. Наконец,
в § 58 мы применяли простейший узел при рассмотрении накрываю-
накрывающих полиэдров. Это последнее применение находится в тесной связи
с коэффициентами зацепления.

358 Глава X
Рассмотрим лежащий в разбитой на симплексы трехмерной сфе-
сфере S3 снабженный определенной ориентацией узел к. Предположим,
что он составлен из ребер симплициального разбиения сферы. Пусть,
кроме того, нет ни одного треугольника, все вершины которого при-
принадлежали бы узлу, и ни одного одномерного симплекса, который был
бы хордой узла. Если рассматривать барицентрически подразделенные
симплексы сферы S3 как клетки клеточного разбиения S%, то опреде-
определенное в § 65 просверливание вдоль узла состоит в том, что мы удаляем
все трехмерные клетки дуального разбиения S^, центры которых яв-
являются вершинами узла к. Двумерные клетки, дуальные к ребрам уз-
узла к, представляют меридианальные сечения высверленного трехмер-
трехмерного кольцевого тела V, а граничные окружности этих клеток суть
меридианы его границы Т. При надлежащей ориентации все они гомо-
гомологичны друг другу на граничном торе Т кольцевого тела V. Произ-
Произвольный лежащий на S^ одномерный клеточный цикл и дополнитель-
дополнительного пространства А гомологичен нулю в S3 и является поэтому грани-
границей клеточного алгебраического комплекса U2. Если выбросить из U2
все клетки, дуальные ребрам узла к, т. е. все меридианальные сечения
трехмерного кольца V, то у нас останется двумерный алгебраический
комплекс 'U2, граница которого состоит из и и из некоторых меридиа-
меридианов трехмерного кольца. А так как все меридианы гомологичны на Т
фиксированному меридиану то, то
и ~ агпо (на А).
а представляет коэффициент зацепления цикла и с к. В самом деле ко-
коэффициент зацепления меридиана то с к при надлежащей ориентации
сферы S3 равен 1, поэтому
V(k, и) = V(k, агпо) = а.
Если теперь два клеточных цикла и и v имеют один и тот же коэф-
коэффициент а с к, то оба они гомологичны циклу ато, а поэтому гомо-
гомологичны друг с другом на А. Так как, далее, каждый произвольный
особый одномерный цикл на А гомологичен клеточному циклу, то у нас
получается теорема:
Теорема. Два особых одномерных цикла и и v дополнительно-
дополнительного пространства А узла к гомологичны на А один другому в том
и только в том случае, когда они имеют одинаковые коэффициенты
зацепления с к.
Тем самым доказано вновь, что группа Бетти дополнительного
пространства А есть свободная циклическая группа (§ 65).
Рассмотрим фундаментальную группу F дополнительного про-
пространства А, так называемую группу узла. Пути (классы путей) этой

§ 77. Коэффициенты зацепления 359
группы, коэффициенты зацепления которых с узлом А делятся на
некоторое определенное число д, образуют подгруппу Н группы F. Мы
хотим исследовать принадлежащее подгруппе Н накрытие А дополни-
дополнительного пространства А.
Каждому элементу группы F принадлежит определенный коэффи-
коэффициент зацепления, — именно, коэффициент зацепления какого-нибудь
пути, являющегося представителем этого элемента, с узлом к. Ставя
в соответствие каждому элементу группы F, принадлежащий ему ко-
коэффициент зацепления, редуцированный по модулю д, мы тем самым
устанавливаем гомоморфное отображение группы F на циклическую
группу порядка д, при котором в единицу переходит как раз подгруп-
подгруппа Н. Таким образом, Н есть нормальный делитель, и дополнительная
группа F/H есть циклическая группа порядка д. Вместе с тем на-
накрытие А регулярно и его группа скольжений циклично, т. е. А есть
циклическое накрытие в смысле стр. 259. А характеризуется тем,
что соответствующий замкнутому пути основного полиэдра А путь на-
накрывающего полиэдра А замкнут в том и только в том случае, когда
коэффициент зацепления исходного пути с к сравним с нулем по мо-
модулю д.
Определенное таким образом накрытие является, сверх того, един-
единственным g-листным циклическим накрытием. В самом деле, если Н
есть нормальный делитель группы узла F, принадлежащий к заданно-
заданному циклическому накрытию, то F/H есть циклическая группа поряд-
порядка д. Поэтому при гомоморфном отображении F^F/H каждый комму-
коммутатор FjFfcF^F^ переходит в единичный элемент группы F/H, т.е.
каждый коммутатор группы F принадлежит подгруппе Н. Но тогда Н
содержит коммутант К группы F. Н состоит, таким образом, из неко-
некоторых смежных классов разложения группы F по К, и эти классы,
рассматриваемые как элементы дополнительной группы F/K, образу-
образуют в ней подгруппу индекса д. Но F/K есть коммутированная группа
узла, т. е. свободная циклическая группа, а такая группа имеет только
одну подгруппу индекса д. Таким образом доказана единственность
группы Н, а вместе с тем дано чисто теоретико-групповое доказатель-
доказательство существования циклических накрытий.
Можно доказать, что на каждый узел может быть натянута не
имеющая особенностей ориентируемая поверхность, для которой узел
является границей. Тогда g-листное циклическое накрытие можно по-
получить также, разрезая дополнительное пространство А вдоль этой
поверхности, что дает нам один «лист», и соединяя в циклической по-
последовательности друг с другом g таких листов. В самом деле, полу-
получающееся таким образом накрытие допускает, очевидно, циклическую
группу скольжений порядка д.
Циклические накрытия играют в теории узла важную роль. В то
время как коммутированная группа узла является всегда свободной

360 Глава X
циклической группой, циклические накрытия с конечным числом ли-
листов имеют, вообще говоря, одномерные коэффициенты кручения.
Необходимым условием эквивалентности двух узлов является совпа-
совпадение коэффициентов кручения g-листных циклических накрытий*.
Вместо того чтобы определять циклические накрытия простран-
пространства А, т.е. трехмерной сферы, просверленной вдоль узла к, мы могли
бы с таким же успехом определить циклические накрытия простран-
пространства S3 — к, т.е. трехмерной сферы, из которой удалены точки уз-
узла и (такое пространство, собственно, и представляет дополнительное
пространство узла). Это следует из того, что теоремы этого парагра-
параграфа остаются в силе при замене А пространством S3 — к. В самом де-
деле, если и и v — два особых одномерных цикла в S3 — к, то к мож-
можно заменить настолько тонким трехмерным кольцевым телом, что и
и v будут лежать целиком в дополнительном пространстве А. Если
теперь и и v имеют одинаковые коэффициенты зацепления с узлом:
V(k, и) = V(k, v), то и ~ v в пространстве S3 — к. При этом А пред-
представляет собой конечный, a S3 — к бесконечный полиэдр.
'J.W.Alexander [17], КReidemeister [6]. Там же приведены дальнейшие указания
литературы.

Глава XI
Непрерывные отображения
§ 78. Степень отображения
Из многочисленных возможностей применения изложенных нами
методов к теории отображений полиэдров и многообразий мы выбираем
только две: именно, мы рассмотрим степень отображения и формулу
неподвижных точек.
В § 31 мы разбили непрерывные отображения комплекса К в ком-
комплекс К на классы отображений, гомотопно деформируемых друг
в друга. Проблема отыскания всех возможных классов отображений
для двух заданных комплексов К и К является одной из важных про-
проблем топологии. В такой общей постановке проблема решается, конеч-
конечно, только для специальных комплексов, — например, для случая, ко-
когда К есть п-мерная сфера, а К — произвольный n-мерный комплекс .
С условием, необходимым для того, чтобы два отображения ip и ф при-
принадлежали к одному классу, мы уже познакомились: осуществляемые
посредством ip и ф гомоморфные отображения групп Бетти комплек-
комплекса -ЕС в группы Бетти К, а также (определяемое с точностью до вну-
внутренних автоморфизмов) гомоморфное отображение фундаментальной
группы комплекса К в фундаментальную группу К должны для (риф
совпадать.
Если, в частности, К и К суть ориентируемые и известным обра-
образом ориентированные замкнутые псевдомногообразия одинаковой раз-
размерности п, то n-мерные группы Бетти обоих комплексов суть сво-
свободные циклические группы. Пусть база гомологии комплекса К (К.)
состоит из n-мерного цикла Вп(Вп), получающегося при когерентной
ориентации всех симплексов определенного симплициального разбие-
разбиения комплекса К (К), и пусть образ цикла Вп гомологичен 7В™. То-
Тогда осуществляемое непрерывным отображением ip комплекса К в К
гомоморфное отображение n-мерной группы Бетти полностью опреде-
определяется числом 7- 7 называется степенью отображения </?49. Таким
образом степень отображения есть инвариант класса отображений.
Если реформировать ip в симплициальное отображение ф (предвари-
(предварительно подразделив симплексы К достаточно мелко), то симплексы
комплекса К переводятся отображением ф в симплексы комплекса К
*См. H.Hopf [19].

362 Глава XI
(иногда быть может вырождающиеся) и образ цикла Вп тогда не толь-
только гомологичен, а просто равен циклу 7 В™. Пусть, например, в ка-
какой-нибудь определенный симплекс Е™ симплициального разбиения К
отображаются а симплексов комплекса К с сохранением ориентации
и Ь симплексов с обращением ориентации. Тогда j = а — Ь. Выражаясь
наглядно, степень отображения показывает, сколько раз положительно
накрывается комплекс К образом комплекса к.
Примеры. Рассмотренное на стр. 154 отображение границы п-мер-
ного симплекса на себя, при котором две вершины меняются местами,
а все остальные вершины остаются неподвижными, имеет степень отоб-
отображения 7 = — 1-
Пример отображения, имеющего произвольную степень 7> можно
получить так: пусть А представляет географическую долготу, а 9 —
широту на сфере S2. Формулы
л' = 7а, # = е
определяют непрерывное отображение сферы S2 на другую сферу ' S2
с географическими координатами 'А, в'. При надлежащей ориентации
обеих сфер степень такого отображения есть 7- В самом деле, если
7 ф 0, то симплициальное разбиение сферы S2, получающееся, если
мы проведем экватор и З7 равноотстоящих меридианов, переходит при
нашем отображении в симплициальное разбиение сферы ' S2, осуще-
осуществляемое экватором и тремя равноотстоящими меридианами. Все тре-
треугольники разбиения 'S2 будут тогда покрыты в одинаковом смысле
(т. е. либо все с сохранением ориентации, либо все с обращением ее)
каждый |7| треугольниками сферы S2. Если же 7 = 0, то вся сфера S
отобразится в один меридиан сферы 'S2, и степень отображения будет
равна нулю на основании следующей теоремы:
Теорема. Если при непрерывном отображении <р какая-нибудь
точка Р комплекса К оказывается непокрытой образом комплекса К
или если ip можно деформировать в отображение ф, оставляющее
какую-нибудь точку непокрытой, то степень отображения = 0.
Доказательство. Произведем настолько мелкое симплициаль-
симплициальное разбиение комплекса к, имеющее Р своей вершиной, чтобы симпли-
циальная звезда Stn вокруг Р не имела общих точек с ф(К). Особый
цикл ф(Вп) лежит тогда на комплексе К, получающемся из К отбрасы-
отбрасыванием n-мерных симплексов звезды Stn. По теореме о приближении
(§ 28) на К существует гомологичный циклу ф(Вп) симплициальный
цикл. Но этот симплициальный цикл должен быть равен нулю, так как
он не содержит симплексов звезды STn. Поэтому ф(Вп) ~ 0 на К,
т. е. ф имеет степень отображения = 0.
Если К совпадает с К, то получается такое предложение: деформа-
деформация комплекса на себя имеет степень отображения +1. Это следует

§78. Степень отображения 363
из того, что тождественное отображение комплекса на себя имеет сте-
степень отображения +1.
Пусть ip есть непрерывное отображение комплекса К в К, а (р\ —
непрерывное отображение комплекса К в Ki. (р\(р представляет тогда
непрерывное отображение комплекса К в Ki. Если j и 71 суть сте-
степени отображений <р и ip\, то степень отображения ip\ip равна 7i7-
В самом деле, если цикл В™ на Ki имеет то же значение, что Вп на К
и В™ на К, то
<р(Вп)~7Вп (на К), A)
(на КО. B)
При отображении </?i гомология A) сохраняется (§27, теорема I). По-
Поэтому
<рг (<p(Bn)) ~ 7<^i(Bn) ~ 77iB? (на КО,
что и требовалось доказать.
Если, в частности, (р есть топологическое отображение комплек-
комплекса К на К, a ifi — обратное отображение, то ц>\ц> представляет тож-
дественное отображение, т.е. 77i = 1- Но тогда 7 = 7i = il- Топо-
Топологическое отображение комплекса К на К. имеет степень отобра-
отображения ±1. По существу мы доказали это уже в §36. На основании
этой теоремы мы можем подразделить все топологические отображе-
отображения комплекса к на К на отображения с сохранением ориентации или
без сохранения ее, в зависимости от того, равна степень отображения
+1 или —1.
Если К является не только псевдомногообразием, но даже h-мно-
гообразием, то степень отображения можно рассматривать так же, как
индекс пересечения точки Р комплекса К (ориентированной знаком +)
с образом ip(Bn) ~ jBn цикла Вп. В самом деле, х(-Р> <Р(Вп)) =
= х(-Р, 7ВП) = 7Х(-Р> В") = 7 (стр. 317). Это определение можно при-
применить и тогда, когда мы допускаем, что К есть ограниченное ориенти-
ориентируемое псевдомногообразие, а К — ориентируемое замкнутое /г-много-
образие, т. е. когда дело идет об отображении, например, круга на сфе-
сферу. Степень отображения имеет смысл в этом случае, конечно, только
по отношению к определенной точке комплекса К, причем эта точка
не должна, сверх того, принадлежать образу границы комплекса К.
Упражнение. Пусть n-мерное ориентируемое ограниченное псевдом-
псевдомногообразие к непрерывно отображено в n-мерное ориентируемое /г-много-
образие К. Докажем, что
a) если две точки Р и Q на К можно соединить путем, не пресекающим
образа границы комплекса К, то степени отображения bPeQ одинаковы;
b) если отображение подвергается деформации и во все время деформа-
деформации точка Р комплекса К не попадает на образ границы комплекса К, то
степень отображения в Р остается во время деформации неизменной.

364 Глава XI
§ 79. Формула следа
Теперь мы хотим перейти к предложениям относительно существо-
существования неподвижных точек непрерывных отображений, с этой целью мы
выведем фундаментальную «формулу следа» Хопфа (Н. Hopf).
Пусть Кп есть конечный n-мерный комплекс с определенным сим-
плициальным разбиением. Пусть ак — число его /с-мерных симплексов
и пусть
ук ук ук
представляют базу свободной абелевой группы (решетки) Ьк всех его
/с-мерных алгебраических комплексов. Ставя в соответствие каждому
алгебраическому комплексу Vk алгебраический комплекс
ак
'у* = Y^ T*\v\ 0* = 1, 2, ..., ак), Aк)
А=1
мы получаем линейное преобразование, осуществляющее гомоморфное
отображение Тк решетки Ьк в себя. Пусть такие линейные преобразова-
преобразования будут даны для всех размерностей /с = 0, 1, 2, ..., п. При этом мы
ставим еще условие, в силу которого отображения Тк не будут являть-
являться вполне независимыми друг от друга. Именно, мы требуем, чтобы
отображения Тк сохраняли границу. Это значит, что если на основа-
основании уравнений (lfe) алгебраический комплекс
переходит в алгебраический комплекс
ак
1Ттк V^ i-xrk
>с=\
то Uk переходит на основании уравнений Aк~1) в 'U . В следую-
следующем параграфе мы будем рассматривать сохраняющие границу отоб-
отображения Тк, получающиеся посредством симплициального отображе-
отображения комплекса Кп в себя; здесь, однако, мы будем пользоваться лишь
предположением, что граница сохраняется.
Из сохранения границы следует, что цикл переходит в цикл, цикл,
гомологичный нулю, — в цикл, гомологичный нулю, и цикл, слабо го-
гомологичный нулю, — в цикл, слабо гомологичный нулю. В самом деле,
если, например, Uk~x « 0, т.е. Uk = dJk~x, то в силу сохранения гра-
границы 'Uk = c'Uk~1, т. е. 'Uk~1 также слабо гомологичен нулю. Поэтому

§79. Формула следа 365
классу слабо гомологичных между собой /с-мерных циклов соответству-
соответствует при отображении также определенный такой класс. Отсюда следует,
что при сохраняющих границу отображениях Тк приведенные группы
Бетти размерностей 0, 1, ..., п подвергаются гомоморфным отображе-
отображениям в себя.
Пусть Вк (р = 1, 2, ..., рк) — база слабых гомологии размер-
размерности к. Тогда гомоморфное отображение Bfe /с-мерной приведенной
группы Бетти в себя задается слабыми гомологиями
Ч"«Е^В" p = l,2,...,pk). Bк)
<т=1
Формула, которую мы хотим вывести, устанавливает связь между сле-
следами преобразований Тк и Bfe. Под следом (Spur) линейного преобразо-
преобразования понимают сумму коэффициентов, стоящих на главной диагонали
матрицы преобразования. Таким образом
След Т* = ?>*„,
Рк
След В* = XX-
След есть инвариант преобразования и не зависит от выбора базисных
элементов Vk или соответственно Вк .
Устанавливаемая формула следует непосредственно из приведен-
приведенных одновременно к нормальной форме Hfe (к = 0, 1, ..., п — 1) мат-
матриц инциденций (§21). Во входах этих матриц стоят комплексы трех
типов Ак, Вк, Ск. Ак суть циклы слабо гомологичные нулю, Вк обра-
образуют базу слабых гомологии, относительно которой мы предположим,
что она совпадает с базой, обозначенной теми же буквами в форму-
формуле Bfe). Наконец, Ск не являются циклами. При этом
Cl = (*-1Ak-1 0x1,2,...,-г"-1). A)
Комплексы Ак, Вк, Ск образуют вместе базу решетки Ьк всех /с-мер-
/с-мерных алгебраических комплексов. Поэтому их можно использовать в ка-
качестве базисных элементов Vk линейного преобразования (lfe). Квад-
Квадратная матрица (ткх) = Тк, состоящая из коэффициентов преобразо-
См. О. Ю. Шмидт, «Абстрактная теория групп», второе издание, 1933г. стр. 139.
След называют иногда также характером матрицы.

366 Глава XI
вания (lfe), распадется тогда на 9 прямоугольников
Тк
' Ак
'Вк
гСк
Ак
<*кр*
B1)
C1)
Вк
A2)
0%
C2)
Ск
A3)
B3)
i pa
tk
Y
tk
P
tk-i
Y
(Tk)
Воспользуемся теперь еще тем, что Тк есть отображение, сохраня-
сохраняющее границу. Из этого следует, во-первых, что комплексы 'Ак и 'Вк
являются циклами, так как Ак и Вк являются циклами. Поэтому в вы-
выражения для 'Ак и 'Вк не могут входить комплексы Ск, т. е. коэффици-
коэффициенты прямоугольников A3) и B3) должны равняться нулю. Но тогда
коэффициенты (Зка совпадают с уже обозначенными таким же обра-
образом коэффициентами (Зка слабых гомологии Bfe). Во-вторых, так как
алгебраические комплексы Ак суть слабо гомологичные нулю циклы,
то то же можно сказать про их образы ' Ак. А тогда все коэффициен-
коэффициенты матрицы A2) должны быть равны нулю. В-третьих, уравнение C)
должно оставаться в силе при замене входящих в него алгебраических
комплексов их образами. Поэтому
>Г<к _ fc-1 i дк-1
7
fe-1-1
Линейное отображение Тк /с-мерных алгебраических комплексов да-
дает для 'Ск определенное линейное выражение через комплексы Ак,
Вк, Ск, точно так же линейное отображение г?к~1 (к — 1)-мерных ком-
комплексов дает для 'Ак^х определенное выражение, однако, уже только
через комплексы (циклы) Ак~г. Подставляя эти выражения в последнее
уравнение и замечая, что алгебраические комплексы Ак и Вк ничего
не добавляют к выражению границы, так как они являются циклами,
мы получим
^=1 /
или, пользуясь формулой C),
X ^ h h 1 * h 1
\ л/ *^ 4
^l^-1,
вследствие чего
Vе ck~x

§ 80. Формула неподвижных точек 367
В частности, при \х = v
Таким образом следы частичных матриц Тк = G^) и Afe 1 = (а^1)
совпадают:
След Tfe = След Ак~\ B)
Пользуясь этим соотношением, мы получаем
п
к=0
Тк = V(-1)*След Вк + След Г° + (-1)пСлед А".
Так как не существует слабо гомологичных нулю /с-мерных циклов, то
След А™ = 0. Точно так же След Г° = 0, так как все нульмерные
алгебраические комплексы суть циклы. Поэтому мы получаем оконча-
окончательно формулу следа Хопфа:
к=0 к=0
Если взять в качестве отображений Тк тождественные отображения, то
матрица Тк превращается в единичную матрицу, имеющую ак строк,
a Bfe превращается в единичную матрицу, имеющую рк строк. Поэтому
След Тк = ак; След Вк = рк,
и формула следа переходит в формулу Эйлера (§ 23):
]T(-l)feafe = ?(-1) V,
обобщением которой и является формула Хопфа.
§ 80. Формула неподвижных точек
Мы рассматриваем теперь произвольное непрерывное отображе-
отображение до нашего конечного комплекса кп в себя. Произведем два симпли-
циальных разбиения комплекса Кп, крупное и мелкое. Пусть мелкое
разбиение получается из крупного m-кратным барицентрическим под-
подразделением и пусть его симплексы настолько малы, что образ каждой
симплициальнои звезды лежит целиком внутри некоторой симплици-
симплициальнои звезды крупного разбиения, по теореме о равномерной непре-
непрерывности этого всегда можно добиться.

368 Глава XI
По теореме о деформации д0 всегда можно деформировать в сим-
плициальное отображение д\. При отображении д\ ориентированный
/с-мерный симплекс е\, мелкого разбиения переходит в ориентируемый
симплекс Ек:
ekv -* Ек. A)
Ек либо представляет /с-мерный симплекс крупного разбиения, либо,
если при симплициальном отображении е\, переходит в симплекс раз-
размерности, меньшей чем /с, вырождающийся симплекс, эквивалентный
с нулевым /с-мерным комплексом. Так как m-кратное барицентрическое
*к
подразделение Ev симплекса Ек представляет /с-мерный алгебраиче-
алгебраический комплекс мелкого разбиения, то симплициальное отображение д\
ставит в соответствие каждому /с-мерному симплексу е^ определенный
*к
/с-мерный алгебраический комплекс Ev мелкого разбиения:
е* - Ev. B)
Произвольному алгебраическому комплексу ^ и^е^ соответствует то-
v
*к
гда алгебраический комплекс ^uvEv. Вместе с тем задается гомо-
V
морфное отображение Тк решетки Ьк всех /с-мерных алгебраических
комплексов мелкого разбиения в себя.
Это гомоморфное отображение сохраняет границу, так как ёк пере-
переходит в m-кратно барицентрически подразделенную границу симплек-
-*к
са Ек, т. е. в (Ev)' (граница барицентрического подразделения симплек-
симплекса равна барицентрическому подразделению его границы; см. стр. 145).
Поэтому мы можем применить к гомоморфному отображению Тк фор-
мулу (Н) §79.
Предположим теперь, что отображение до не имеет неподвижных
точек. Если допустить, что Кп лежит в евклидовом пространстве, то
расстояние каждой точки Р от ее образа до (Р) есть непрерывная функ-
функция от Р. Так как до не имеет неподвижных точек, то нижняя граница 8
таких расстояний, действительно достигаемая по теореме III § 7, пред-
представляет положительное число. Допустим теперь, что уже симплексы
крупного разбиения настолько малы, что диаметр каждого симплек-
симплекса < ^. Тогда произвольная точка комплекса Кп и ее образ при отоб-
отображении до принадлежат симплексам, не имеющим общих точек. То
же самое имеет место при аппроксимирующем симплициальном при-
приближении pi, так как при аппроксимации ни одна точка не покидает
симплекса, которому она принадлежала первоначально (§ 31). Поэтому

§81. Приложения 369
образ Ev симплекса ек при гомоморфном отображении Тк не содержит
симплекса ек. Отсюда следует, что
След Тк = 0 (к = 0, 1, ..., п)
и формула следа (Н) при отображении B), не имеющем неподвижных
точек переходит в формулу
z /
;-1)*След Bfe = 0.
При этом дело идет сначала об отображениях групп Бетти, осуществля-
осуществляемых посредством соответствия B). Но это те же отображения, которые
осуществляются посредством A). В самом деле, образ цикла при отоб-
отображении B) есть подразделение образа при отображении A), а такие
два образа гомологичны. Со своей стороны гомоморфное отображение,
осуществляемое при A), совпадает с отображением, осуществляемым
при д0, так как оба отображения деформируемы друг в друга (§31,
теорема Ш).
Таким образом мы получаем следующий результат, в котором сно-
снова нет никаких аппроксимаций:
Теорема. Необходимое условие для того, чтобы непрерывное
отображение конечного комплекса Кп в себя не имело неподвижных
точек, заключается в равенстве нулю альтернированной суммы сле-
следов гомоморфных отображений, которым подвергаются при непре-
непрерывном отображении группы Бетти комплекса:
п
^(—1)'сСледВ'с = 0 (формула неподвижных точекM0 (F)
к=0
§81. Приложения
Для предлагаемых примеров к формуле (F) имеют важное значе-
значение следующие три замечания:
Пусть Кп — связный комплекс. Тогда нульмерная база слабых го-
гомологии образуется точкой, ориентированной знаком + (стр. 90). При
непрерывном отображении такая точка снова переходит в точку, ориен-
ориентированную знаком +. Поэтому след отображения нульмерной группы
Бетти = 1. Другими словами,
(I) Из р° = 1 следует След В0 = 1.

370 Глава XI
Далее, так как в случае, когда рк = 0, число /с-мерных циклов базы
слабых гомологии также = 0, мы получаем, что
(II) Изрк = 0 следует След Вк = 0.
(III) Если Кп есть ориентируемое п-мерное /i-многообразие, то чис-
число Бетти рп = 1 и база (слабых) гомологии представляет п-мерный
цикл Мп, являющийся когерентно ориентированным многообразием.
Тогда, если образ цикла Мп гомологичен jMn, то След В™ = 7, при-
причем 7 есть степень отображения.
Пример 1. п-мерный шар. Как показано в § 19,
р° = 1, р1 =р2 = ...=рп=0.
Принимая во внимание замечания (I) и (II), мы получаем
п
J2(-l)k След Вк = 1-0 + 0-. .. = 1^0.
к=0
Непрерывное отображение шара в себя имеет всегда по крайней
мере одну неподвижную точку.
Пример 2. п-мерная сфера. В силу § 19
р° = 1, p2 = ...=pn~1=Q, pn = l.
По формуле неподвижных точек, если отображение не имеет непо-
неподвижных точек, то
п
]T(-l)fe След Вк = 1 + (-1) = 0.
к=0
Поэтому степень неимеющего неподвижных точек непрерывного
отображения п-мерной сферы в себя 7 = (—l)n+1.
Этот результат легко получить и элементарным путем: пусть Р' —
образ точки Р при непрерывном отображении до единичной п-мерной
сферы в себя. Заставим передвигаться Р' по окружности большого
круга, определяемой точками Р и Р', в точку, диаметрально-проти-
диаметрально-противоположную точке Р. Такое передвижение представляет гомотопную
деформацию отображения до, деформирующую до в дг, где дг есть
отображение, переводящее каждую точку сферы в точку, диаметраль-
диаметрально-противоположную, до и дг имеют одинаковые степени отображения
(стр. 361). Но степень отображения д± равна (—l)n+1, так как замена
друг другом диаметрально противоположных точек сферы эквивалент-
эквивалентна произведению (п +1) отражений, каждое из которых имеет степень
отображения = — 1.
Полученный результат нетрудно подтвердить на примерах сфер
размерностей 1,2,3.

§81. Приложения 371
Пример 3. Деформации, неимеющие неподвижных точек. Если
непрерывное отображение комплекса в себя представляет деформацию,
то соответствующее гомоморфное отображение групп Бетти есть тож-
тождественное отображение (§31, теорема IV), вследствие чего
СледВ* =рк.
Поэтому по формуле A2) § 23
)V
fe=O fe=O fe=O
2J-1)" След В* = ^(-1) V = 2J-lr<** = N-
Применяя формулу неподвижных точек, мы получаем, что равенство
нулю эйлеровой характеристики есть необходимое условие для суще-
существования деформаций, не имеющих неподвижных точек51.
Если комплекс Кп представляет, в частности, п-мерное h-многооб-
разие Мп, то при нечетных п это условие выполняется всегда (§ 69, тео-
теорема IV). При четных же п, напротив, это условие существенным обра-
образом влияет на число многообразий, допускающих деформации без непо-
неподвижных точек. Так, например, для замкнутых поверхностей (п = 2)
N = 2A - К), или = 2 - к,
где ft. и /с — число ручек, или соответственно пленок Мебиуса замкнутой
поверхности. N обращается в нуль только при h = 1 или к = 2, т.е.
у тора и бутылки Клейна; таким образом, только относительно этих
двух замкнутых поверхностей можно предполагать возможность суще-
существования деформаций без неподвижных точек. Для этих поверхностей
такие деформации действительно существуют и их нетрудно указать.
Пример 4. п-мерный шар с дырами. Пусть имеется п-мерный
шар V™, заданный в определенном симплициальном разбиении. Уда-
Удалим из него внутренние точки I ориентированных симплексов Е™,
Е%, ..., EJ1, не имеющих общих точек ни между собой, ни с грани-
границей шара Vn. У остающегося комплекса V нульмерное число Бет-
Бетти р° = 1. Всякий /с-мерный цикл Uk симплициального разбиения при
к > 0 гомологичен в Vn нулю (§ 19). Поэтому существует алгебраиче-
алгебраический комплекс Uk+1, для которого Uk является границей:
Если теперь к < п — 1, то n-мерные симплексы не входят в Uk+1,
следовательно, не входят туда и удаляемые n-мерные симплексы
.Е™, Е%, ..., Ef, т.е. Uk+1 гомологичен нулю даже и в У™. Поэтому
числа Бетти
р0 = 1, р1=р2 = ...=рп-2 = 0. B)

372 Глава XI
Если, напротив, к = п— 1, то заданный цикл Un~1 в силу уравнения A)
является границей алгебраического комплекса
Un = ai-E? + ... + оцЕ? + 'Un ('Un принадлежит Т"),
т.е.
ИЛИ
U4-1 = а1Ё% + ...+ оцЁ? (на Vn).
Это значит, что каждый (п — 1)-мерный цикл комплекса V гомологи-
гомологичен линейной комбинации I граничных комплексов
??,..., ?Г- C)
Но эти комплексы гомологично независимы. В самом деле, если бы для
них выполнялось соотношение вида
fcE% + ... + 0iE? ~ 0,
то на V существовал бы n-мерный комплекс Wn ф 0, граница кото-
которого была бы равна
Wn = /ЗхЁ? + ... +
Это значило бы, что Wn — /?i-E™ — ... — А-Б™ представляет п-мерный
цикл в bVn (в V с «заделанными» дырками). А единственный такой
цикл есть нулевой комплекс. Так как Wn не содержит ни одного из сим-
симплексов ?"", то отсюда следует, что /?i = ... = /?;= 0. Таким образом I
комплексов C) образуют в V (п — 1)-мерную базу слабых гомологии,
т.е. р™-1 = 1.
Мы предполагаем теперь относительно внешней границы комплек-
комплекса V™, что она переходит либо сама в себя, либо в гомологичный себе
цикл, так, например, она может сжиматься. Если, сверх того, а из I
граничных сфер C) переходят каждая сама в себя или в гомологичный
самой себе цикл, в то время как остальные Ь = I — а сфер меняются
местами друг с другом, то на главной диагонали матрицы отображе-
отображения В™ стоят а единиц и Ь нулей. Поэтому
След В™ = а,
а в силу B)
След В0 = 1 След В1 = ... = След В™ = 0.

§81. Приложения 373
Формула неподвижных точек дает тогда следующее необходимое усло-
условие для того, чтобы не было неподвижных точек:
или
Так как а есть целое положительное число, то для нечетных п вообще
не существует отображений комплекса V без неподвижных точек, для
четных же п такие отображения существуют лишь, когда а = 1. Так,
например, круговое кольцо допускает неимеющее неподвижных точек
вращение вокруг своего центра. Для сферического слоя, напротив, не
существует никаких отображений без неподвижных точек, при которых
обе граничные сферы переводятся в гомологичные им циклы.
Упражнения. 1. Если при однозначном и непрерывном отображении
n-мерной сферы в себя какая-нибудь точка сферы остается свободной (непо-
(непокрытой образом сферы), то такое отображение имеет неподвижную точку.
2. Непрерывное отображение проективного пространства Рп в себя при
четном п всегда имеет неподвижную точку, при нечетном нее п, для того что-
чтобы отображение не имело неподвижных точек, степень отображения должна
быть равна 1.
3. Непрерывное отображение двумерной сферы в себя обладает либо
неподвижной точкой, либо «диаметральной точкой», либо и тем и другим.
4. На двумерной сфере нельзя задать никакого непрерывного векторно-
векторного поля.

Глава XII
Вспомогательные сведения из теории групп
§ 82. Образующие и соотношения
Топология тесно связана с теорией групп. Мы коротко изложим
в этой главе теоретико-групповые предложения, которыми мы пользо-
пользовались при топологических исследованиях. В противоположность груп-
группам, рассматриваемым обычно в алгебре или геометрии, в топологии
имеют дело главным образом с группами, задаваемыми образующими
и соотношениями . Мы рассмотрим поэтому сначала, в чем состоит
такой способ задания группы.
Пусть F — конечная или бесконечная группа и
А1,А2,...,Аа A)
— некоторое число ее элементов (среди которых могут встречаться
и тождественные). Говорят, что эти элементы являются образующи-
образующими группы F, если каждый элемент из F можно представить в виде
произведения элементов А\, А2, ..., Аа и обратных элементов
А^,А^,...,А-\ B)
Такое произведение мы будем называть «словом». Так, например, сло-
словами являются АхА^1 или A^^AqA^. Исходя из формальных сообра-
соображений, мы вводим еще пустое слово, не содержащее ни одной образу-
образующей. Каждое слово представляет, таким образом, групповой элемент.
Однако один и тот же элемент может быть представлен различными
словами. Пустое слово является групповой единицей. Мы будем обо-
обозначать ее также знаком 1. Для сокращенной записи слова мы будем
пользоваться символом W(Ai), причем мы полагаем, что
Это утверждение справедливо в основном в применении к топологии двух-
и трехмерных многообразий, теории узлов и т.п.; n-мерная топология, а также
современная теоретико-множественная топология опирается главным образом на
общую теорию бесконечных абелевых групп, новая эпоха в которых создана пон-
трягинской теорией характеров. (Прим. ред.)
Определения и элементарные предложения из теории групп можно найти, на-
например, в книге Ван - дер - Вардена «Современная алгебра», ч. I (ГТТИ, 1934 г.),
глава II.

§82. Образующие и соотношения 375
(читается тождественно равно), если каждый элемент одного слова
совпадает с соответствующим элементом другого. Если же, напротив,
слова Wi(.Aj) и W2(Ai) представляют один и тот же элемент группы,
но не совпадают непременно одно с другим, то мы будем называть эти
слова равными
W1(Ai) = W2(Ai).
Если написать все элементы слова в обратном порядке и одновременно
изменить знак у каждого показателя степени на противоположный, то
мы получим так называемое обратное слово W~1(Ai). Очевидно, это
слово представляет групповой элемент, обратный групповому элемен-
ту W(Ai).
Пусть два слова Wi(Ai) и W^-Aj) равны. Уравнение
называется соотношением, существующим в группе F между образую-
образующими Ai, А2, ..., Ап. Обыкновенно соотношение записывают так, что-
чтобы справа стояла групповая единица:
Таким образом вопрос об отыскании всех соотношений эквивалентен
вопросу об отыскании всех слов, представляющих групповую единицу.
Среди соотношений содержатся всегда тривиальные соотношения
AiA-1 = 1 и A~xAi = 1. C)
Пусть теперь R(Ai) = 1 представляет соотношение, a W(Ai) — ка-
какое-нибудь слово группы F. Тогда «применяя соотношение R{Ai) = 1»,
мы можем получить из W(Ai) новое слово. Применение соотношения
R(Ai) = 1 состоит в том, что либо из W(Ai) вычеркивается входящее
туда слово Д±1) т.е. слово W\R±1W2 заменяется новым словом W1W2
либо в W(Ai) вставляется слово R±x. Получающиеся таким образом
слова в силу соотношения R±x = 1 равны исходному слову.
Пусть
R^Ai) = 1, R2(Ai) = 1, ..., Rr(Ai) = 1 D)
представляют конечное число соотношений группы F, причем г может
быть также и равным нулю. Если тогда, применяя конечное число раз
соотношения D) и тривиальные соотношения C) к слову W(Ai), мы
можем превратить его в пустое слово, то
W{Ai) = 1
представляет соотношение группы F, называемое следствием соотно-
соотношений D). В случае, когда каждое соотношение группы F является

376 Глава XII
следствием соотношений D), D) называются системой определяющих
соотношений группы F. Такая система характеризуется тем, что каж-
каждое представление групповой единицы может быть переведено путем
применения соотношений системы D) и тривиальных соотношений C)
в пустое слово. Отсюда следует также, что применением этих соотноше-
соотношений каждое слово может быть переведено в каждое равное ему слово.
Мы не требуем от системы определяющих соотношений, чтобы соот-
соотношения ее были независимы, т. е. чтобы ни одно из них не являлось
следствием остальных.
Система определяющих соотношений D) вместе с образующи-
образующими A) полностью определяют группу F. В самом деле, задавая соотно-
соотношения D), мы задаем тем самым и все их следствия, а следовательно,
и все представления групповой единицы. Но тогда для каждых двух
слов устанавливается, дают ли они одинаковые элементы группы или
разные. Несмотря на это вопрос о способе вычисления, позволяющем
решить, равны ли два данных слова или нет, представляет до сих пор
нерешенную в общем случае проблему теории групп (проблема слов —
Wortproblem).
Сделанное нами предположение относительно конечности числа
образующих и числа определяющих соотношений не может считаться
естественным с точки зрения теории групп, так как существуют груп-
группы, представляемые лишь при помощи бесконечного множества обра-
образующих. В качестве примера такой группы можно указать группу всех
рациональных чисел, за исключением нуля, в которой групповой опе-
операцией является умножение. Такая группа не может иметь конечного
числа образующих ввиду существования бесконечного множества про-
простых чисел. Однако в теории конечных комплексов, стоящей в центре
наших топологических исследований, нам нужны лишь группы с ко-
конечным числом образующих и определяющих соотношений. Мы огра-
ограничимся поэтому для простоты рассмотрением только таких групп.
Пример 1.
Целые числа с алгебраическим сложением в качестве групповой опера-
операции образуют бесконечную группу. За образующую А этой группы можно
выбрать число +1. Групповой единицей является число 0; элемент Ак пред-
представляет число -\-к. Слово Aei Ае2 ..., где е = ±1, может быть переведено при
помощи одних тривиальных соотношений в Ак и это слово равно групповой
единице лишь в том случае, когда к = 0. Каждое соотношение группы явля-
является поэтому следствием тривиальных соотношений, вследствие чего система
определяющих соотношений есть пустая система (не содержит ни одного со-
соотношения). Такого рода группа, имеющая одну образующую и ни одного
определяющего соотношения, называется свободной циклической группой.
Пример 2.
Классы вычетов целых чисел по модулю g образуют, если рассматри-
рассматривать в качестве групповой операции обычное сложение таких классов, груп-
группу порядка д. В качестве образующей этой группы можно взять класс А,

§82. Образующие и соотношения 377
содержащий число 1. Система определяющих соотношений состоит из одно-
одного соотношения А3 = 1. В этом уравнении 1 означает групповую единицу, т. е.
класс, содержащий число 0. Такая группа называется циклической группой
порядка д.
Если группа задана системой образующих и определяющих со-
соотношений, то из этой системы можно получить другие образующие
и определяющие соотношения. Это производится при помощи следую-
следующих операций:
1. Добавление или исключение соотношения, являющегося след-
следствием других соотношений.
Пусть
R^Ai) = 1, R2(Ai) = 1, ..., Rr{Ai) = 1 E)
представляют систему определяющих соотношений группы F, и Rr+\ (Ai
есть следствие соотношений E). Тогда
R1(Ai) = l, R2(Ai) = l, ..., Rr(Ai) = l, Rr+1(Ai) = l F)
также являются системой определяющих соотношений, и обратно. В са-
самом деле, совокупность всех следствий системы E) совпадает с сово-
совокупностью всех следствий системы F).
2. Добавление или исключение одной образующей.
Пусть
Аг,А2,...,Аа G)
суть образующие группы F, а E) — определяющие соотношения. Тогда
в качестве новой образующей можно ввести произвольное произведение
W(Ai) = Aa+1. Для образующих
Аъ А2, ..., Аа, Аа+1 (8)
система
R1(Ai) = 1, R2(Ai) = 1, ..., Rr{Ai) = 1, A-^WiAi) = 1 (9)
является системой определяющих соотношений. В самом деле, пусть
R(A1,A2,...,Aa+1) = l
есть произвольное соотношение группы F. Применяя соотношение
Aa+i = W(Ai), мы получим соотношение
R(A1,A2,...,W(Ai)) = l, A0)
в которое новый элемент Aa+i больше не входит. Это соотношение есть
следствие соотношений E), так как E) есть система определяющих

378 Глава XII
соотношений группы F. Таким образом, посредством применения со-
соотношений E) и тривиальных соотношений левая часть формулы A0)
может быть переведена в пустое слово.
Предполагая, напротив, что (9) есть система определяющих со-
соотношений для образующих (8), мы можем доказать, что G) так-
также являются образующими группы, а E) — системой определяю-
определяющих соотношений для этих образующих. В самом деле, в силу ра-
равенства A+i = W(Ai) каждое произведение образующих (8) можно
выразить через образующие G). Пусть теперь имеется соотношение
R(Ai, A2, ..., А а) = 1. По предположению оно является следствием со-
соотношений (9). Поэтому существует конечная последовательность слов
R(A1,A2,...,Aa),
R'(A1,A2,...,Aa,Aa+1),
R"(Ai, A2, ..., А, A+i),
каждое из которых получается из предыдущего путем применению од-
одного из соотношений (9) или тривиального соотношения А\А~е = 1
( е = ±1; i = 1, 2, ..., а + 1) и последнее из которых есть пустое слово.
Заменяя всюду A+i словом W(A)> мы получим из этой последова-
последовательности последовательность слов
R(A1,A2,...,Aa),
R'(A1,A2,...,Aa,W(Ai)),
R"(A1,A2,...,Aa,W(Ai)),
Наше доказательство будет закончено, если мы покажем, что каждое из
этих слов может быть переведено в следующее лишь при помощи соот-
соотношений E) и тривиальных соотношений А\А~е = 1 (г = 1, ..., а).
А это действительно имеет место, так как если какое-либо слово
i?(fe+1)(A, A2, ..., Аа, Аа+1) получается из i?W(A, A2, ..., Аа, A+i)
применением одного из г первых соотношений (9) или одного из
тривиальных соотношений А\А~е = 1 (г = 1, 2, ...,а), то сло-
слово i?(fe+1) (Аь А2, ..., Аи W(A)) точно таким же образом получается
из Д(*> (А, А2, ..., A, W{Ai)). Если же R(~k+1\A1, A2,..., Аа, Аа+1)
получается из R^k\Ai, A2, ..., Аа, A+i) применением соотношения
Ai+i^XA) = 1 или тривиального соотношения Aj+iAT+i = 1>
то Д^+1) (А, А, • • •, A, W(A)) получается из Д« (А, А2, ..., Аа,
W(A)) применением соотношения We(A)WA~e(A) = 1, которое сво-
сводится к одним тривиальным соотношениям.

§83. Гомоморфное отображение и дополнительная группа 379
Существует теорема, утверждающая, что от каждого представле-
представления группы F при помощи образующих и определяющих соотношений
можно перейти к каждому другому такому представлению, применяя
конечное число раз описанные элементарные операции. В дальнейшем
мы этой теоремой пользоваться не будем. Доказательство ее основыва-
основывается на том, что введением новых образующих и соотношений каждое
из данных представлений можно перевести в одно и то же третье пред-
представление, содержащее образующие как первого, так и второго пред-
представления.
§ 83. Гомоморфное отображение и дополнительная
группа
Если каждому_ элементу F группы F однозначно ставится в соот-
соответствие элемент F другой группы F, причем так^что образ F$ произ-
произведения F1F2 = F3 равен произведению образов FiF2, то мы говорим,
что этим задается гомоморфное_отображение группы F в F. В случае,
когда каждый элемент группы F является образом некоторого элемен-
элемента группы F, говорят о гомоморфном_отображении группы F на К
Если гомоморфное отображение F на F взаимно однозначно, то F и F
называются изоморфными группами.
Для гомоморфных отображений одной группы на другую имеет
место следующая основная теорема, относящая каждому гомоморфно-
гомоморфному отображению группы F на F некоторую дополнительную группу
группы F:
Теорема о гомоморфизме. Каждая группа F, на кото-
которую группа F гомоморфно отображается, изоморфна дополнительной
группе F/N; при этом N есть нормальный делитель группы ?, состо-
состоящий из совокупности элементов, переходящих в единицу группы F.
Обратно, F можно гомоморфно отобразить на каждую дополнитель-
дополнительную группу F/N {где N — произвольный нормальный, делитель груп-
группы F). Определение дополнительной группы* и доказательство этой
теоремы можно найти, например, в книге Ван-дер-Вардена, «Совре-
«Современная алгебра», ч. 1, стр. 38 (ГТТИ, 1934 г.).
Пусть теперь F задана образующими и определяющими соотно-
соотношениями §82,A), D). Мы хотим представить таким же образом до-
дополнительную группу F =F/N. Предположим, что существует конеч-
конечное число элементов S\(Ai), 62(^4»), ..., Sa(Ai), для которых N явля-
является наименьшим нормальным делителем, содержащим эти элемен-
элементы. (В случае, когда N имеет конечное число образующих Si(Ai),
Дополнительную группу часто называют факторгруппой, или же группой вы-
вычетов.

380 Глава XII
S2(Ai), ..., Ss(Ai), это предположение выполняется всегда.) Каждый
элемент N является тогда произведением конечного числа элементов
вида
FiA^SKA^F-^Ai) (e = ±l). A)
В самом деле, каждое такое произведение есть элемент подгруппы N,
так как N есть нормальный делитель. С другой стороны, сами эти про-
произведения образуют нормальный делитель; а так как N должен быть
наименьшим нормальным делителем, то такие произведения исчерпы-
исчерпывают всю подгруппу N. Будем обозначать надчеркиванием элемента
группы F класс смежности дополнительной группы F/N, в котором
этот элемент лежит. Тогда классы
3Ь32, ...,Д, B)
образуют, очевидно, систему образующих группы F и имеют место со-
соотношения _ _
R1(Ai) = l,...,Rr(Ai) = lA
S1(Ai) = T,...,Ss(Ai) = T.j
Класс 1, в котором лежит единица группы F, представляет при этом
нормальный делитель.
Мы утверждаем, что C) представляет систему определяющих со-
соотношений группы F, т. е. что каждое соотношение R{Ai) = 1 является
следствием соотношений C). В самом деле, R(Ai) = 1 означает, что
R(Ai) принадлежит к N. Но каждый элемент N представляет произве-
произведение элементов вида A). Поэтому с помощью соотношений Ri(Ai) =
= 1, ..., Rr(Ai) = 1 и тривиальных соотношений R(Ai) может быть
переведено в произведение элементов вида A). Но тогда R(Ai) путем
применения соотношений Ri(Ai) = 1, ..., Rr(Ai) = 1 и тривиальных
соотношений может быть переведено_в произведение трансформиро-
трансформированных элементов Sf:1(Ai), ..., S^1(Ai); это же последнее произведе-
произведение может быть преобразовано в пустое произведение путем примене-
применения соотношений S\(Ai) = 1, ..., Ss(Ai) = 1 и тривиальных.
Таким образом соотношения дополнительной группы получаются
путем прибавления к соотношениям группы добавочных соотношений.
В результате получается следующая теорема.
Теорема. Если группа F имеет образующие
Ai, A2, ..., Аа
и соотношения
RtiAi) = 1, R2(Ai) = 1, ..., Rr(Ai) = 1

§83. Гомоморфное отображение и дополнительная группа 381
и если N есть наименьший нормальный делатель, содержащий неко-
некоторые элементы
то дополнительная группа F/N= F имеет образующие
Ai, A2, ..., Аа
и определяющие соотношения
RifAt) = 1, R2(Ai) = !,..., Rr(Ai) = 1,
5iC4) = Т, S2(Ai) = !,•••, Sr(Ai) = 1-
При этом Ai означает класс смежности, в котором лежит Аг .
При выводе теоремы I мы исходили из определенного нормаль-
нормального делителя N и искали соотношения дополнительной группы F/N.
Можно поступить и наоборот: присоединить к соотношениям группы F
произвольные дополнительные соотношения. Мы получим тогда снова
дополнительную группу F/N, именно дополнительную группу наимень-
наименьшего нормального делителя, содержащего левые стороны дополнитель-
дополнительных соотношений.
Выведем из теоремы о гомоморфизме следствие, которым мы вос-
воспользовались в § 20. Пусть из трех групп
F,D,N D)
D и N являются нормальными делителями группы F, и N содержит-
содержится в D. N определяет гомоморфное отображение группы F на фак-
фактор-группу F/N= tF. При этом группы D) переходят соответственно в
F = F/N, D = D/N, N = N/N = Т.
Так как D есть нормальный делитель F, то D есть нормальный дели-
делитель F и существует гомоморфное отображение F на F/D. Выполнен-
Выполненные одно за другим гомоморфные отображения F на F и F на F/D
дают одно гомоморфное отображение группы F на F/D, при котором
в единицу группы F/D переходят как раз элементы группы D. Таким
образом имеем следующую теорему об изоморфизмах Эмми Нетер:
F/D и F/D=(F/N)/(D/N)
изоморфны.

382 Глава XII
§ 84. Коммутирование групп
Мы применим теперь теорему I предыдущего параграфа к одному
частному случаю, имеющему большое значение. Пусть F есть группа
с образующими
А1,А2,...,Аа A)
и определяющими соотношениями
(F) R^Ai) = 1, R2{Ai) = 1, ..., Rr{Ai) = 1, B)
а N — наименьший нормальный делитель, содержащий все коммутато-
коммутаторы
А4АкАг1Аъ1 (i,k = l,2,...,a).
По теореме I дополнительная группа F/N= F имеет тогда образующие
АиА2,...,Аа (Т)
и определяющие соотношения
(F) R^Ai) = 1, R2{Ai) = Т, ..., Rr(Ai) = Т; B)
AiAkA^A'1 (i,k = l,2,...,a). C)
При этом Ai обозначает класс смежности элемента Ai группы F при
разбиении ее по N. Вместо C) можно было бы написать также
А\Ак = АкАг.
Таким образом образующие, а следовательно, и все элементы группы F,
переместительны друг с другом, т. е. F является абелевой группой. Го-
Говорят, что она получается из F коммутированием. Коммутированная
группа получается из F присоединением соотношений C), выражаю-
выражающих переместительность. _
Мы должны показать еще, что F определяется только самой груп-
группой F и не зависит, например, от выбора образующих или определяю-
определяющих соотношений группы F. Мы сделаем это, дав для F другое опре-
определение, делающее очевидной ее независимость от способа представле-
представления группы F. Коммутированная группа F есть дополнительная груп-
группа группы F по коммутанту К. Коммутантом группы F называется,
как известно, нормальный делитель К, порожденный всеми коммута-
коммутаторами FpFcrF~1F~1, где Fp и Fa — произвольные элементы из F. Мы
должны показать, что N=K. По теореме I § 83 N есть наименьший нор-
нормальный делитель, содержащий коммутаторы AiA^A~xA^1, т.е. спе-
специальные коммутаторы группы F. Поэтому N содержится в К. Но К
содержится также в N, так как произвольный коммутатор FpF^F^F^1
переходит при гомоморфном отображении -^Fb единичный элемент 1
в силу коммутативности группы F. Таким образом N содержит все ком-
коммутаторы группы F, а следовательно, и весь коммутант К, т.е. N=K.

§85. Свободное и прямое произведения 383
§ 85. Свободное и прямое произведения
Группа F называется свободным произведением подгрупп
F2, • • •, Fh, что записывается формулой
A)
если каждый отличный от единицы элемент группы F может быть од-
однозначно представлен в виде произведения
FuFkx •••Fz(- B)
При этом элементы F^F^... суть отличные от единицы элементы
групп Fj, Ffc, .. .и каждые два рядом стоящие элемента принадлежат
различным из этих групп, так что i Ф к и т. д. Структурой групп
Fi, F2, • • •, Fft определяется также структура их свободного произве-
произведения F, так как для того, чтобы умножить два элемента, заданных
выражениями вида B),
нужно записать эти выражения одно за другим. Если z' ф г", то полу-
получающийся при этом элемент
FiU'Fk'x' ¦ ¦ ¦ Fz>?> -FVv'-FVv'... Fz>>?» C)
уже имеет вид B). Если же Fz>^ и FZ"Q" принадлежат одной и той
же группе, то Fz>?> Fi»,,» представляет определенный элемент Fz> груп-
группы Fz>. Если теперь Fzt ф 1, то получающееся произведение имеет
нормальную форму B). В противном случае Fz> можно вычеркнуть
и применять процесс заново. Таким образом произведение либо при-
примет однозначным образом определенную нормальную форму вида B),
либо окажется единицей группы.
Теорему о существовании свободного произведения h произволь-
произвольных групп Fi, F2, ¦¦ -,Fh мы здесь доказывать не будем. Доказатель-
Доказательство ее можно найти в книге F. Klein, Hohere Geometrie, стр. 361, Berlin
1926 (ОНТИ подготавливает издание русского перевода этой книги).
Если группы Fi, F2, ..., Fh заданы образующими и определяющи-
определяющими соотношениями, то из них можно вывести образующие и определя-
определяющие соотношения их свободного произведения. Покажем это для двух
групп Fi и F2 с образующими и определяющими соотношениями
А1,А2,...,Аа, 1
{ 1
В1,В2,...,ВЬ, 1
{ 2>

384 Глава XII
Очевидно, что элементы
Ai, Ai, ..., Аа, ??i, i?2, • • •, Bf,
порождают свободное произведение F = F1OF2 и что в этом свободном
произведении выполняются соотношения
R1(Ai) = l, ..., Rr(Ai) = l, S1(Bk) = l,...,Ss(Bk) = l. (F)
Эти соотношения являются определяющими соотношениями свобод-
свободного произведения, т. е. каждое соотношение свободного произведения
является следствием этих соотношений. В самом деле, пусть имеется
какое-нибудь равное единице группы F произведение, образованное из
элементов Аи В. Разобьем его на возможно более длинные сомножите-
сомножители (частичные произведения), каждый из которых состоит или только
из А, или только из В, так что в общем произведении рядом с каждым
таким сомножителем, состоящим из А, стоит сомножитель, в который
входят только В, и обратно. В силу B) каждый из этих сомножителей
в отдельности должен быть равен единице. Поэтому путем применени-
применениях соотношений (F), — именно, либо г первых, либо s последних из этих
соотношений — и тривиальных соотношений каждый из сомножителей
может быть преобразован в пустое слово, а тогда то же самое справед-
справедливо по отношению ко всему данному произведению. Доказательство
остается в силе, очевидно, и в случае любого числа групп, в результате
чего получается следующая теорема.
Теорема I. Для того чтобы получить систему образующих
и определяющих соотношений свободного произведения некоторого
числа групп, нужно выписать вместе образующие и соотношения
всех перемножаемых групп.
В качестве примера рассмотрим свободное произведение h свобод-
свободных циклических групп Fi, F2, • • •, F^. Группа Fj имеет тогда одну об-
образующую Ai и не имеет никаких соотношений. Поэтому свободное про-
произведение F имеет h образующих и также не имеет никаких соотноше-
соотношений. F называют свободной группой с h образующими А1, А2, ..., Ah.
Мы можем теперь показать, что сколько бы мы ни задали обра-
образующих и соотношений произвольного вида, всегда существует груп-
группа F, порождаемая этими образующими и имеющая данные соотноше-
соотношений своими определяющими соотношениями. Для того чтобы постро-
построить группу F, мы построим сначала из данных образующих свободную
группу. Добавление соотношений приводит нас, по теореме I § 83, к до-
дополнительной группе, обладающей требуемыми свойствами.
Упражнение. Докажите, что свободное произведение двух групп мо-
может иметь конечный порядок лишь в том случае, когда один из сомножителей
состоит только из единицы.

§85. Свободное и прямое произведения 385
Группа F называется прямым произведением подгрупп Fi, F2, ...,
?^, что записывается формулой
F = F1xF2x...xFft, D)
если каждый элемент группы F однозначно представляется в виде про-
произведения
FuF2>c...FhC E)
и каждый элемент группы F,, при /л ф v перестановочен с каждым
элементом из FM. Структура прямого произведения однозначно опре-
определяется структурой его сомножителей, так как уравнение
Fit,' F2>t>... F^Qt ¦ Fi^" F2>c>>... FhQtt =
= {Fu, Fu,,) (F2x,, F2»,,)... (FhC {Ь)
сводит умножение элементов в прямом произведении к умножению эле-
элементов в его сомножителях.
Существование прямого произведения, имеющего сомножителями
произвольно заданные группы, доказывается построением такого про-
произведения: в качестве элементов вводят символические произведения
или последовательности букв E) и определяют их перемножение при
помощи уравнений F).
Если группы Fi, F2, ..., Fh заданы образующими и соотношени-
соотношениями, то мы можем найти и образующие, и соотношения прямого про-
произведения. Мы рассмотрим опять случай двух групп с образующими
и определяющими соотношения (Fi) и (F2). Элементы
Аг, А2, ...,Аа, Вг,В2,...,Вь
являются, очевидно, образующими прямого произведения Fi x F2 = F.
Точно так же очевидно, что соотношения
= 1, ..., Rr(Ai) = 1, 5i(Bfc) = 1, ..., Ss(Bk) = 1
АгВкА-хВ~х = 1 (г = 1, 2, ..., а; к = 1, 2, ..., Ъ),
вместе с соотношениями, выражающими коммутативность образую-
образующих:
Л D. Л-1 1}
являются соотношениями, выполняющимися в F. Эти соотношения об-
образуют систему определяющих соотношений, так как каждое произве-
произведение, составленное из элементов A vs. В, можно с помощью соотноше-
соотношений коммутативности привести к виду

386 Глава XII
и если это произведение = 1, то Y\Ai и \\ В/, в отдельности должны
г к
равняться 1. В самом деле, по определению каждый элемент прямо-
прямого произведения однозначно представляется в виде E), следовательно,
единичный элемент может быть представлен лишь произведением 1 • 1.
Но тогда каждое из произведений J\ Ai и JJ В], может быть переведено
г к
в пустое слово лишь при помощи соответственно соотношений групп Fi
и F2 и пустых слов.
В результате получается следующая теорема.
Теорема II. Для того чтобы получить систему образующих
и определяющих соотношений прямого произведения F = F\ x F2 х... х
Fh, нужно выписать вместе образующие и соотношения отдельных
групп Fi, F2, ..., Fh и добавить к ним соотношения коммутативно-
коммутативности между образующими каждых двух групп Fi, F], (i ф к).
В качестве примера рассмотрим прямое произведение h сво-
свободных циклических групп Fi, F2, ..., F^, порожденных элементами
А\, A<i, ..., Ah. Образующими прямого произведения являются эти А,
а определяющими соотношениями — одни соотношения коммутативно-
коммутативности
AiAkA-1A~1 = l (i,k = l,2,...,h).
Так как сомножители здесь суть абелевы группы, то таковой же яв-
является и само прямое произведение. Такое прямое произведение назы-
называется свободной абелевой группой с h образующими. Так как каждый
элемент группы F, однозначно представляется в виде А — iai, то каж-
каждый элемент свободной абелевой группы с h образующими однозначно
представляется в виде
р лоц \ач дан
и произведение двух элементов
есть элемент
Да1 + а1 /t°4+«2 Aa'h+a'h
Л1 Л2 ¦ ¦ ¦ Ah
Если поэтому поставить в соответствие элементу F целочисленный век-
вектор («i, «2, • • •, OLh), то тем самым устанавливается изоморфизм меж-
между F и группой всех целочисленных /i-мерных векторов (имеющей груп-
групповой операцией векторное сложение). Таким образом каждый элемент
группы F может быть представлен целочисленным /i-мерным вектором
или, что то же, точкой с целочисленными координатами в /i-мерном ев-
евклидовом пространстве. Все такие точки образуют /i-мерную точечную

§86. Абелевы группы 387
решетку. Поэтому вместо термина «свободная абелева группа с h обра-
образующими» употребляют иногда термины «h-мерная решетка». Вместо
того чтобы представлять элемент вектором, мы могли бы представлять
его параллельным перенесением, осуществляемым этим вектором, та-
таким образом свободная абелева группа с h образующими изоморфна
группе трансляций /i-мерной точечной решетки. Под нульмерной ре-
решеткой мы понимаем группу, состоящую только из единичного элемен-
элемента.
Сделаем еще одно замечание! В прямом произведении F = Fi XF2 х
х ... xFh каждая из подгрупп Fi, F2, • • •, F^ есть нормальный дели-
делитель. Класс смежности в разложени F по Fi состоит из совокупно-
совокупности элементов, получающихся, если зафиксировать в выражении E)
элементы i7^, • • •, F^ и заставить F\u пробегать все элементы груп-
группы Fi. Таким образом дополнительная группа по Fi изоморфна группе
F2x...xFk.
§ 86. Абелевы группы
До сих пор мы употребляли для обозначения групповой опера-
операции знак алгебраического умножения. Однако, когда речь идет об абе-
левых группах, то знак умножения обычно заменяют знаком сложе-
сложения — а для обозначения единицы группы пользуются вместо знака 1
знаком 0. Вместо произведения двух элементов тогда говорят об их
сумме, вместо прямого произведения-прямая сумма, вместо единично-
единичного элемента — нулевой элемент. Такая терминология служит для того,
чтобы оттенить тесную связь, существующую между теорией абелевых
групп и теорией линейных уравнений с целочисленными коэффициен-
коэффициентами. Всюду, где мы будем пользоваться аддитивной транскрипцией,
мы будем считать, что групповая операция является абелевой; в этом
случае мы не будем выписывать отдельно соотношения коммутативно-
коммутативности. Соотношение, характеризующее циклическую группу порядка р,
записывается в аддитивной транскрипции не в виде Ар = 1, а в виде
рА = 0. (Из этого соотношения нельзя заключить, как мы это дела-
делали в случае алгебраических уравнений, что А = 0. По обе стороны
от знака равенства у нас стоят здесь групповые элементы, а не числа,
и имеющееся сходство является чисто внешним.)
Рассмотрим сначала свободную абелеву группу Fm с образующими
Аи А2, ..., Ат. A)
Как мы видели на стр. 386, каждый элемент группы Fm однозначно
представляется в виде
ai^i + а2А2 + • • • + атАт. B)

388 Глава XII
Совокупность элементов, обладающих тем свойством, что каждый эле-
элемент из Fm однозначно представляется в виде линейной комбинации
этих элементов, называется базой группы Fm; таким образом элемен-
элементы A) образуют базу. Пусть
Аг, А2, ..., Ап C)
есть какая-нибудь другая база Fm. Докажем прежде всего, что п долж-
должно быть равно т. В самом деле, допустим, например, что т < п. Вы-
Выразим элементы новой базы через элементы старой
т
Y
К = Y, а»»А» (" = 1, 2, ..., п). D)
Так как т < п, то между строчками матрицы (а„м) существует линей-
линейное соотношение с рациональными коэффициентами, а следовательно,
также и линейное соотношение с целочисленными коэффициентами (из
которых не все обращаются одновременно в нуль). Но тогда такое же
соотношение существует между элементами A'v, что противоречит их
свойству быть базисными элементами. Таким образом матрица (о^м)
есть квадратная матрица, вместе с чем одновременно доказано, что
число т (размерность решетки) является инвариантом ее:
Теорема I. Две решетки изоморфны тогда и только тогда,
когда они имеют одинаковые размерности.
Элементы АЙ, наоборот, однозначно выражаются через A'v:
т
А* = Е^а (М = 1,2,...,т). E)
А=1
Подставляя E) в D), мы получаем
т
К = Е <ь>А\А'\- F)
Поэтому в силу свойств базисных элементов A'v
1 ПРИ V = Л.
или, в матричных обозначениях,

§86. Абелевы группы 389
Переходя к детерминантам, мы будем иметь
а так как {ailt) и (Cilt) — целочисленные матрицы, то
и из формулы G) следует, что ([31>с) является матрицей, обратной
для (а1Ж). Переход от одной базы к другой осуществляется, следо-
следовательно, целочисленным унимодулярным преобразованием.
Теорема II. Подгруппа G т-мерной решетки Fm также явля-
является решеткой, размерность которой не превышает т.
Доказательство. Пусть Ах, А2, ..., Ат — образующие груп-
группы Fm, и Fm_i есть решетка, порождаемая элементами А1, А2,..., Ат_х
(Fm_i есть, очевидно, подгруппа группы Fm). Пусть, далее, Н есть под-
подгруппа, состоящая из всех элементов G, принадлежащих Fm_i. Пред-
Предположим, что для Fm_i теорема уже доказана. Тогда Н есть максимум
(т — 1)-мерная решетка. Пусть В\, В2, ¦ ¦ ¦, Вк_\ есть база группы Н
(k ^ т). Будем искать среди всех элементов
G = дгАг + ... + дтАт
группы G элемент
+ ...+д*тАт,
у которого последний коэффициент имеет возможно меньшее положи-
положительное значение. (Случай, когда дт, постоянно = 00, мы можем ис-
исключить, так как тогда G=H и'нам нечего доказывать.) дт, является,
очевидно, числом, кратным числу д^, вследствие чего
G-~rBk
Ут
есть элемент группы Н, т. е. линейная комбинация элементов Bi,B2, ¦ ¦ ¦,
???_!. Таким образом В\, В2, ..., В/, являются системой образующих
группы G. Каждый элемент группы G представляется элементами В\,
В2, ..., В], однозначно. В самом деле, иначе существовало бы соотно-
соотношение
х2В2 + ...+ хкВк = 0
по крайней мере с одним не равным нулю коэффициентом. Заменяя
здесь В их выражениями через А, мы получим в качестве коэффици-
коэффициента при Ат число ж/с^го 7^ 0) в т0 время как элементы Ат по условию
не могут быть связаны никаким линейным соотношением. Таким обра-
образом G есть /с-мерная решетка (к < т) с базой В1, В2, ..., Вк. Так как

390 Глава XII
теорема, очевидно, справедлива при к = 0, то она выполняется и при
любом к. _
Пусть теперь F есть произвольная абелева группа с образующими
Ai, А2, ..., Ат
и Fm — m-мерная решетка с базой
^4i> -"-1-, • • • > Ат.
Поставим в соответствие каждому элементу
aiAi + а2А2 + ... + атА
группы Fm элемент
а2А2 + ... + атА
тАт
тАт
группы F. Мы получим тогда гомоморфное отображение решетки Fm
на группу F. Те элементы из Fm, которые отображаются в нулевой эле-
элемент группы F, образуют подгруппу N группы Fm и элементы груп-
группы F взаимно однозначно соответствуют классам разбиения группы Fm
по N. Сама F изоморфна дополнительной группе Fm/N.
Выберем теперь из N какие-нибудь образующие
Nlt N2, ..., Nn;
так как N — решетка, размерность которой не превышает т, то это все-
всегда возможно. При этом мы не требуем, чтобы выбранные образующие
представляли базу подгруппы N. Если
Nv = 'Y^avlxAIJ, 0= 1, 2, ..., n),
то матрица коэффициентов
Км) (8)
полностью_определяет Nv, следовательно, и N, следовательно, также
и Fm/N= F. Обратное, очевидно, неверно, так как группа F может быть
выражена при помощи матрицы (а„м) бесчисленным множеством спо-
способов. Так, например, мы получим новую матрицу, если заменим обра-
образующие А\, А2, ..., Ат и iVi, N2, ..., Nn групп Fm и N новыми образу-
образующими А[, А2, ..., А'т и N[, N2, ..., N'n, связанными со старыми це-
целочисленными унимодулярными преобразованиями. Мы хотим теперь
при помощи таких преобразований привести матрицу (а„м) к нормаль-
нормальной форме. Для этого мы применим последовательно конечное число

;86. Абелевы группы
391
раз следующие специальные унимодулярные преобразования (элемен-
(элементарные преобразования);
a) Замена образующей Аа образующей Аа — АТ (афт).
В матрице (а„м) такой замене соответствует прибавление столбца
с номером а к столбцу с номером т. В самом деле,
Д/ — \ /7 Л — 4- п Л -Х- п Л -\- —
= ... + ava(Aa - АТ) + ... + (aVT + ava)AT + ...
b) Замена образующей Ат образующей — Ат.
Такая замена сопровождается изменением знаков всех элементов
т-го столбца матрицы (avlx).
Точно так же можно произвести соответствующие замены образу-
образующих JVb N2, ..., Nn:
а') Замена N^ образующей N^ + N\ (хф А) осуществляет сложе-
сложение А-й строки с к-й строкой.
Ь') Замена N\ через — N\ влечет за собой перемену знаков у эле-
элементов А-й строки.
Комбинируя надлежащим образом эти четыре операции — сложе-
сложение строк и столбцов и замену знаков в строке или столбце, — мы
можем получить другие операции, например, замену друг другом двух
строчек или столбцов. Как показано в § 87, при помощи таких преоб-
преобразований матрицу ранга 7 можно привести к диагональной форме
О
О
При этом каждое из чисел с делится на последующие; первые р из них
отличны от 1, последние j — р равны 1. Числа с называются инвари-
инвариантными множителями матрицы (aVIJ).
Если А[, А'2, ..., А'т — получившиеся новые базисные элементы
группы Fm, то элементы
и все их линейные комбинации представляют в точности все элементы
подгруппы N. Поэтому два элемента
[+р2А'2
¦f «2^2
РтА'т

392 Глава XII
группы Fm принадлежат одному и тому же смежному классу подгруп-
подгруппы N в том и только в том случае, когда
(pi - qi)A[ + (pa - q2)A'2 + ... + (рт - qm)A'm
принадлежит к N, т. е. когда
Pi = <?i( мод ci), р2 = <й( мод с2), ..., р1 = q1{ мод с7),
Но тогда элементы
&А[ + ?2А'2 + ... + С7^; + Ъ+1А'1+1 + ... + i)mA'n (9)
(О < См < СА»> ^j" произвольны) A0)
доставляют в точности по одному представителю из каждого класса.
Другими словами, элементы дополнительной группы F = Fm/N (мы
будем снова обозначать их при помощи надчеркивания) при нормиру-
нормирующих условиях A0) однозначно записываются в виде
flX + 64 + . . . + С7^7 + ??7+l37+1 + . . . + VmA'm. A1)
Так как элементы А^ дополнительной группы F имеют соответственно
порядки с\, С2, ¦ ¦ ¦, с7 или сю, то F есть прямая сумма порожденных
элементами А1: А2, ¦¦¦, Ат циклических подгрупп. В результате мы
получаем теорему:
Теорема III. Каждая абелева группа F с конечным числом об-
образующих есть прямая сумма р конечных циклических групп поряд-
порядков с\, С2, ¦ ¦ ¦, ср up свободных циклических групп; при этом мож-
можно допустить, что каждое с делится на последующее. с\, сг, ..., ср
суть отличные от единицы инвариантные мнооюители матрицы ко-
коэффициентов (а7М), при помощи которой группа F задается, ар есть
разность между числом столбцов матрицы т и ее рангом 7- Числа
с\, С2, • • •, ср ир= т —7 однозначно определяются абелевой группой F
и называются соответственно коэффициентами кручения и числом
Бетти группы.
Такие названия находят свое оправдание в геометрическом зна-
значении, которое имеют указанные числа в случае, когда F есть группа
Бетти комплекса (§ 18,61).
Мы должны еще доказать однозначность чисел с\, c<i, ..., ср
и р. Порожденная элементами Аг, А2, ..., Ар подгруппа U порядка
с\, С2, • • •, ср состоит, очевидно, из совокупности элементов конечного

§86. Абелевы группы 393
порядка группы F и поэтому не зависит от выбора образующих. F/U,
как показано на стр. 381, изоморфна подгруппе, порожденной элемен-
элементами А1+1, ..., Ат, т.е. изоморфнар-мерной решетке. Таким образом
мы видим, что число р есть инвариант группы F и нам остается рас-
рассмотреть еще только конечную подгруппу U. Если мы умножим все эле-
—-/
менты порожденной А^ циклической подгруппы порядка см на целое
положительное число х, то получающиеся при этом элементы представ-
ляют циклическую подгруппу порядка -——— . В соответствии с этим
(см, х)
при умножении всех элементов группы U на х мы получим подгруппу
группы U порядка
М(х)= Cl C2
(сь х) (с2, х) '" (ср, х)'
М(х) только тогда = 1, когда все его сомножители = 1, т. е. когда х есть
кратное числа с\. Таким образом мы получаем инвариантную характе-
характеристику числа ci. Охарактеризовав инвариантно числа см {ц, < р), мы
рассматриваем числа х, для которых
М(х)= Cl C2
(сь х) (с2, х) '" (см, х)'
Это равенство выполняется в том и только в том случае, когда каждый
из множителей
(см+ь ж)' ¦"' (ср, х)
равен 1, т. е. когда х делится на см+1. Таким образом см+1 также полу-
получает инвариантную характеристику.
С помощью инвариантов абелевой группы мы можем также раз-
различать неабелевы группы. В самом деле, из каждой неабелевой груп-
группы F мы можем посредством коммутирования получить — и при этом
однозначно — абелеву группу F. Назовем коэффициентами кручения
и числом Бетти неабелевой группы^ коэффициенты кручения и чис-
число Бетти коммутированной группы F. Тогда необходимое условие изо-
морфности двух групп Fi и F2 заключается в совпадении их коэффи-
коэффициентов кручения и чисел Бетти. Если группа F задана образующими
А1,А2,...,Ат A2)
и определяющими соотношениями
В.г{Аг) = 1, R2(Ai) = 1, ..., Rr(Ai) = 1, A3)
*(а, Ь) означает общий наибольший делитель чисел а,

394
Глава XII
то коэффициенты кручения и число Бетти могут быть^получены сле-
следующим образом: определяющие соотношения группы F суть соотно-
соотношения A3) вместе с соотношениями коммутативности
1 к к 1 \ ) ? ? ¦ ¦ ¦ ? / * V /
Вместо того чтобы рассматривать F как дополнительную группу груп-
группы F по коммутанту, мы можем считать, что F получается из т-мерной
решетки Fm, определяемой соотношениями A4), путем присоединения
добавочных соотношений A3). Но это означает, что F есть дополни-
дополнительная группа решетки Fm по подгруппе N, порождаемой левыми
частями соотношений A3). Поэтому матрица, определяющая подгруп-
подгруппу N в Fm, есть просто матрица коэффициентов аддитивно записанных
соотношений A3). Коэффициенты кручения и число Бетти определя-
определяются из этой матрицы указанным выше способом.
В качестве иллюстрации описанного процесса рассмотрим группу F тре-
тремя образующими и четырьмя определяющими соотношениями:
А2 = В3 = С4 = ABC = 1.
Заметим, что F есть группа вращений октаэдра: А представляет вращение во-
вокруг середины ребра, В — вращение вокруг середины прилегающего к этому
ребру треугольника и С — вращение вокруг вершины октаэдра . Соотноше-
Соотношения коммутированной группы F суть
Матрица коэффициентов этой группы имеет вид
а ее нормальная форма
2
0
0
1
0
3
0
1
0
0
4
1
2
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
Таким образом, рассматриваемая группа имеет один коэффициент кручения,
равный 2, а число Бетти ее равно 0.
Если группа J?1 имеет отличное от нуля число Бетти, то коммути-
коммутированная группа F, следовательно, тем более сама группа F есть беско-
бесконечная группа. Если известно, напротив, что число Бетти = 0, то этого
еще недостаточно, чтобы сказать, конечна группа или бесконечна. Так,
например, свободное произведение двух групп второго порядка, точно
так же, как их прямое произведение (представляющее нециклическую
группу 4-го порядка — Vierergruppe), имеет два коэффициента круче-
кручения, равные 2, и число Бетти 0. Однако свободное произведение этих
групп есть бесконечная группа, а прямое произведение — конечная52.
Упражнение. Определите коэффициенты кручения симметрической
группы подстановок из п цифр.
'Доказательство см. у W. v. Dyck, Math. Ann. 20 A882), стр. 35.

§ 87. Нормальная форма целочисленных матриц 395
§ 87. Нормальная форма целочисленных матриц
В § 86 мы пользовались теоремой, что каждая целочисленная мат-
матрица Е при помощи элементарных преобразований, т. е. при помощи
прибавления или вычитания одной строки (столбца) из другой, пере-
перемены знаков всех элементов строки (столбца), замены друг другом двух
строк (столбцов), может быть приведена к диагональной форме. Дока-
Докажем теперь эту теорему. Пусть
Е = (е1Ж) (t = 1, 2, ..., п; х = 1, 2, ..., т)
есть данная матрица, ei>c представляет целое число, стоящее на пере-
пересечении i-й строки с н-ш столбцом. Пусть ранг матрицы Е равен 7-
Если 7 = 0, то матрица уже имеет нормальный вид. Пусть 7 > 0.
Выберем отличный от нуля элемент матрицы и переведем его на место
(i, к) = A, 1). Обозначим этот элемент снова через ец. Допустим те-
теперь, что не все элементы первой строчки и столбца делятся на ец, —
пусть, например, s\k есть элемент первой строчки, дающий при делении
на ец остаток е'п < ец. Повторяя надлежащее число раз прибавление
или вычитание первого столбца из /с-го, мы можем добиться, чтобы на
месте A, к) стояло число е'п. Меняя местами первый и /с-й столбцы, мы
переносим е'п на место A,1). Точно так же мы поступим, если в пер-
первом столбце имеется элемент, не делящийся на ец. Описанный процесс
мы повторяем до тех пор, пока все элементы первой строки и столбца
не будут делиться на элемент, занимающий место A,1); этот элемент
мы снова обозначим через ец. Что мы в конце концов непременно при-
придем к такому элементу, следует из того, что при каждом шаге абсо-
абсолютная величина элемента ец уменьшается. Прибавляя или вычитая
теперь первый столбец (строчку) соответствующее число раз к осталь-
остальным столбцам (строчкам), мы можем превратить все элементы первой
строчки (столбца), за исключением элемента ец, в нули. Пусть в по-
получающейся таким образом новой матрице имеется элемент е^ (г Ф 1,
к ф 1), не делящийся на ец. Мы можем тогда путем прибавления г-й
строки к первой перенести этот элемент в первую строку и начать опи-
описанный процесс снова. Таким же образом мы будем продолжать до тех
пор, пока все элементы не будут делиться на элемент, стоящий на ме-
месте A,1), и в первой строке и столбце будут стоять сплошь нули, за
исключением элемента ец.
Рассмотрим теперь матрицу Ei, получающуюся из Е вычеркива-
вычеркиванием первой строчки и столбца. Любые элементарные преобразования
матрицы Е могут быть осуществлены элементарными преобразования-
преобразованиями матрицы Ei, не оказывающими никакого влияния на первую строку
и столбец матрицы Е (ввиду стоящих в первой строке и столбце нулей).
При помощи таких преобразований мы можем добиться, чтобы на ме-
месте B,2) стоял элемент sii, являющийся делителем всех остальных

396 Глава XII
элементов матрицы Е, в то время как все отличные от ?22 элементы
второй строки и столбца будут нули. Так как при элементарных пре-
преобразованиях матрицы Е делимость всех элементов матрицы Е на ец
сохраняется, то ?22 делится на ец. Продолжая подобный процесс даль-
дальше, мы придем к матрице, в которой все элементы, за исключением
некоторых стоящих на диагонали, равны 0. Число отличных от нуля
элементов такой матрицы должно быть равно j, так как при элементар-
элементарных преобразованиях ранг матрицы j не меняется. Каждый из диаго-
диагональных элементов ец, ?22, • • •, ?77 есть делитель следующего за ним.
Эти диагональные элементы, называющиеся инвариантными множи-
множителями матрицы Е, отличаются от чисел с, о которых говорится на
стр. 391, только порядком своего расположения (а этот порядок может
быть сделан произвольным с помощью перестановки строк и столбцов):
?и = с7, ..., е77 = с\. Однозначность получающейся таким образом
нормальной формы, т. е. независимость ее от того, каким образом мы
ведем нормирующий процесс, мы показали уже в § 86, установив там,
что инвариантные множители однозначно характеризуются заданной
при помощи матрицы абелевой группой. Можно показать также одно-
однозначность нормальной формы матрицы и непосредственно. Обозначим
через Di общий наибольший делитель всех детерминантов г-го поряд-
порядка матрицы Е. По известным теоремам теории детерминантов* Dj не
меняется при элементарных преобразованиях матрицы. Но в нормаль-
нормальной форме Di, равен произведению первых i диагональных элементов
ец, ..., ец, поэтому
т.е. инвариантные множители определяются уже самой матрицей Е.
В практических случаях не всегда выгодно в точности придержи-
придерживаться описанного процесса; иногда выгоднее применять преобразова-
преобразования матрицы в другой последовательности. Рассмотрим в качестве при-
примера матрицу, являющуюся матрицей инциденций псевдомногообразия
(см. стр. 119). Такая матрица Е имеет п строк и т столбцов и обладает
следующими свойствами:
(a) В каждой строчке стоят в точности два отличных от нуля эле-
элемента, абсолютная величина каждого из них равна 1.
(b) Если разделить все столбцы на два произвольных класса, то
непременно найдется строчка, обе единицы которой стоят в столбцах
различных классов.
Приведение к нормальной форме осуществляется следующими че-
четырьмя шагами:
1-й шаг. Производя перестановки строк и столбцов, мы можем при-
*См. М. Бохер, «Введение в высшую алгебру», ГТТИ, 1933.

§ 87. Нормальная форма целочисленных матриц
вести матрицу Е к виду
т-\
397
±1
*
*
±1
*
*
0 .
±1 .
*
0
0
0
±1
(I)
где звездочки обозначают элементы (нули или единицы), которые нас
ближе не интересуют. Для того чтобы получить из Е матрицу (I), мы
переводим сначала при помощи перестановок столбцов обе единицы
первой строчки на первое и второе места. В силу (Ь) существует стро-
строка, скажем, г-я, одна единица которой находится в первом или втором
столбце, а другая — в /с-м. Переставляя тогда третий столбец с /с-м
и г-ю строчку со второй, мы получим матрицу, первые две строчки ко-
которой совпадают с первыми двумя строчками матрицы (I). Продолжая
аналогичным образом, мы придем к матрице (I).
2-й шаг. Меняя знаки столбцов, мы можем добиться, чтобы в каж-
каждой из т — 1 первых строк находилась в точности одна +1 и одна —1.
3-й шаг. Прибавим все столбцы, начиная со второго, к первому.
Матрица примет тогда вид
(П)
В первом столбце стоят теперь либо нули, либо двойки (причем двойки
могут находиться лишь в последних п—т+1 строчках). Для того чтобы
все выписанные единицы имели знак +, мы должны лишь надлежащим
образом изменить знаки строчек.
4-й шаг. Прибавляя (или вычитая) первую, соответственно вто-
вторую,. .., (т — 1)-ю строчку к остальным, мы можем оставить во втором,
соответственно в третьем, ..., в т-м столбце только по одной единице.
Матрица будет иметь тогда вид
(III)
и
0
0
*
1
*
*
*
и .
1 .
* .
. . 0
. . 0
. . 1
. . *
и
0
0
*
1
0
0
0
и .
1 .
0 .
0 .
. . 0
. . 0
. . 1
. . 0

398
Глава XII
Все элементы последних п — т + 1 строчек, за исключением эле-
элементов первого столбца, суть нули, первый же столбец остался неизмен-
неизменным. Если теперь первый столбец совсем не содержит двоек, а состоит
только из нулей, то мы получаем нормальную форму
(IV)
Если же в первом столбце имеется несколько двоек, то при помощи
вычитания или сложения строк мы можем уничтожить все эти двойки,
за исключением одной, а эту остающуюся двойку перевести в левый
верхний угол, мы получим тогда матрицу
(V)
и
0
0
0
1
0
0
0
и
1
0
0
... 0
... 0
... 1
... 0
2
0
0
0
и
1—1
0
0
и
0
0
0
... 0
... 0
1—1
... 0
Нормальная форма (IV) или (V) получается в соответствии с тем, имеет
ли исходная матрица Е ранг т — 1 или т.

Примечания
1 (стр. 12). Узлы в R4. Если допускать самопересечения, то каж-
каждый узел может быть деформирован в окружность уже в трехмерном
пространстве xyz. Если же считать, что пространство xyz вложено в че-
четырехмерное пространство xyzt, то в этом четырехмерном простран-
пространстве такая деформация может быть осуществлена без самопересече-
самопересечений. Предположим, например, что при деформации узла в окружность
пересекаются два маленьких куска узла, определенных следующим об-
образом: а есть отрезок —1<ж<+1,у = г = 0;Ь есть полуокружность
у2 + z2 = 1, х = 0, z ^ 0. Тогда дело заключается в том, чтобы переве-
перевести кусок Ь в полуокружность Ь', заданную соотношениями у2 + z2 = 1,
х = 0, z ^ 0, не пересекая при этом лежащего в пространстве xyz узла.
Этого можно добиться, вращая полуокружность Ь как твердое тело ев-
евклидова пространства yzt вокруг оси у до тех пор, пока она не придет
в положение Ь'.
2 (стр. 15). Склеивание двойного тора из восьмиугольника особен-
особенно ясно представлено в книге Гильберта и Кон-Фоссена (Hilbert und
Cohn-Vossen [I], стр. 265) . В этой книге можно найти интересный ма-
материал, который может служить дополнением к нашей первой главе.
3 (стр. 18). Вложение неориентируемых поверхностей в про-
пространство. Все возможные способы вложения проективной плоскости
в евклидово пространство -R3, для которых кривые самопересечения
не имеют двойных точек, найдены Боем (Boy) [I]. Смотрите также
Schilling [I], конец первого тома: Топологическое осуществление про-
проективной плоскости в пространстве посредством не имеющей особен-
особенностей поверхности. Проективную плоскость, не имеющую самопере-
самопересечений, можно получить в четырехмерном евклидовом пространстве
следующим образом: мы проектируем границу листа Мебиуса, распо-
расположенного в трехмерном евклидовом подпространстве R3 нашего че-
четырехмерного пространства, из точки, не принадлежащей R3, и затем
присоединяем проектирующий конус к листу Мебиуса. Что проектив-
проективная плоскость может представлять в i?4 даже алгебраическую поверх-
поверхность, показано в прибавлении I к книге Hilbert und Cohn-Vossen [1]**.
В этой книге можно найти также интересные замечания относительно
замыкания листа Мебиуса в R3 и относительно различных пленок Ме-
Мебиуса.
В русском переводе стр. 262.
См. русский перевод этой книги, стр. 295.

400 Примечания
4 (стр. 24). Бесконечные поверхности систематически рассмотрены
в книге B.Kerekjart6 [6], отдел V: Offene Flachen.
5 (стр. 27). Замыкание пространства и группы. В связи с изложен-
изложенной точкой зрения на проективное и сферическое пространства есте-
естественно возникает вопрос, можно ли замкнуть евклидово пространство
еще каким-нибудь способом, налагая требование взаимной однознач-
однозначности на преобразование других групп, кроме конформной и проек-
проективной. Примеры таких замыканий можно найти у Seifert [I], стр. 30.
Конформная и проективная группы отличаются от других групп тем,
что только для них в замкнутом пространстве выполняются условия
подвижности (Beweglichkeitsbedingungen) Ли-Гельмгольца. Относи-
Относительно замыкания комплексного числового пространства при помо-
помощи групп рациональных преобразований см. Н. Behnke и P. Thutten,
Theorie der Funktionen mehrer komplexer Veranderlichen, Berlin 1934,
стр. 3.
6 (стр. 27). Пространства конфигураций в механике. Простран-
Пространство конфигураций механической системы приобретает особо важное
механическое значение, если мы будем рассматривать не только его то-
топологические свойства, а, следуя Якоби , введем в нем метрику, в ко-
которой траектории являются геодезическими линиями. При этом общая
энергия задается раз навсегда постоянной, а потенциальная является
функцией точки. См. хотя бы Е. Т. Whittacker, Analytische Dynamik,
Berlin 1914, § 104. Если, например, в случае плоского двойного маятни-
маятника, подвешенного в поле тяготения, общая энергия настолько велика,
что маятник может достигать любого положения, то пространство кон-
конфигураций представляет весь тор. Так как каждая замкнутая кривая
на торе может быть переведена [при некоторых условиях , в данном
случае выполняющихся] в геодезическую линию установленной указан-
указанным выше способом метрики и так как на торе существует бесчислен-
бесчисленное множество негомотопных друг другу замкнутых кривых, то отсюда
следует существование бесчисленного множества различных периоди-
периодических движений плоского двойного маятника.
7 (стр. 30). Относительно фазовых пространств в механике см.
Birkhoff [5].
8 (стр. 34). В литературе чаще всего пользуются так называе-
называемым хаусдорфовым окрестностным пространством. Аксиомы Хаус-
дорфа суть следующие (Hausdorff [I], стр. 213 и 260): (А) — аксиома А
текста. (В) Для каждых двух окрестностей точки Р существует
окрестность этой точки, принадлежащая их пересечению. (С) Ес-
Если точка Q лежит в окрестности U(P) точки Р, то существу-
существует окрестность U{Q), являющаяся, подмножеством U(P) (таким
*Н. Weyl, Mathematische Analyse des Raumproblems, Berlin 1923, стр. 30.
** С. G. Jacobi, Gesammelte Werke, Supplementband, Berlin 1884, стр. 44.
***См. например, L. Bieberbach, Differentialgleichungen, 3 изд., Berlin 1930, стр. 195.

Примечания 401
образом окрестности являются открытыми множествами). (D) Всякие
две различные точки имеют непересекающиеся окрестности. Аксио-
Аксиомам Хаусдорфа удовлетворяют, например, открытые шаровые или от-
открытые кубические окрестности евклидова пространства. (См. в тексте
примечание редактора и указанную там литературу.)
9 (стр. 34). Однородность евклидова (числового) пространства.
Мы не определяем точки евклидова пространства как математические
объекты, которые могут быть поставлены во взаимно однозначное
соответствие с совокупностями из п действительных чисел. Для нас
точка евклидова пространства есть совокупность п чисел. На стр. 54
мы вводим в евклидовом пространстве систему декартовых координат.
Тогда каждая точка х\, x<i, • • •, хп получает декартовы координаты
г/г, г/2, ¦ ¦ ¦, уп- Необходимо отличать совокупность п чисел, определя-
определяющую точку, от совокупности п декартовых координат ее, несмотря
на то, что, в частности, может быть х\ = у\, х% = У2,, ¦ ¦ ¦, хп = уп.
евклидово пространство не является однородным в логическом смысле
слова , т. е. в том смысле, что две его точки на основании аксиом нельзя
отличить одну от другой. В евклидовом пространстве это не так, ввиду
того, что числа по своим свойствам представляют отличающиеся друг
от друга индивидуумы. Однородность евклидова пространства нужно
понимать в том единственно важном с точки зрения математики смыс-
смысле, что евклидово пространство является многообразием (см. § 12).
10 (стр. 65). Чисто комбинаторная топология. О значении ком-
комбинаторных методов см. Kneser [4], Tietze-Vietouis [8]. Исчерпыва-
Исчерпывающее чисто комбинаторное изложение топологии поверхностей дает
Reidemeister [7], комбинаторный очерк топологии поверхностей Levi [1]
и Chuard [I]. Комбинаторной теорией узлов занимается Reidemeister [6].
Статья о топологии в энциклопедии (Dehn-Heegard [1]) также дает
комбинаторное изложение, однако трудности, на которые мы наталки-
наталкиваемся при строгом проведении чисто комбинаторных методов, не вы-
выявляются там полностью. С этими трудностями, с которыми мы встре-
встречаемся уже при рассмотрении основных понятий и которые в настоя-
настоящее время непреодолимы более, чем в трех измерениях, можно позна-
познакомиться у Bilz [I], Kneser [4], Furch [2], [3], [5], Weyl [2]. Попытки пре-
преодолеть их посредством надлежащим образом выбранного определения
понятия «элементарное преобразование» предпринимали среди других
Newmann [I],[4], Alexander [18], Tucker [3]. Смотри, далее, связанную
с работой Weyl [2] статью de Rham [I], далее, Mayer [1] и Bergmann [2].
В недавно вышедшей работе Nobeling (Monatshefte f. Math,
u. Phys.) дается доказательство так называемой основной гипотезы
комбинаторной топологии (Nauptvermutung), радикально устраняю-
устраняющей все упомянутые трудности. Однако в опубликованном доказатель-
доказательстве Nobeling есть неясные места. В своем докладе на 1-й международ-
* Н. Weul, Philosophe der Mathematik und Naturwissenschaften, Miinchen 1927.

402 Примечания
ной топологической конференции (сентябрь 1935) автор указал, что
в последующей публикации дефекты его первого доказательства будут
исправлены.
11 (стр. 73). Строго говоря, мы доказали в тексте только то, что
при отождествлении границ двух конгруэнтно отображенных друг на
друга шаров получается сфера. Для того чтобы показать, что сфера
получается также при произвольном топологическом отображении А
границ двух шаров, V\ и Уг, можно поступить так: пусть А' есть кон-
конгруэнтное отображение границы шара V\ на границу шара У2. Тогда
границы шаров Уг и У2' топологически отображаются одна на дру-
другую посредством отображения А'А~г. Это топологическое отображе-
отображение границ можно распространить до топологического отображения
шара Уг на шар У2', например, посредством линейных отображений
друг на друга соответствующих радиусов шаров V<i и У2'. В силу до-
доказанного на стр. 49, при склеивании шаров V\ и Уг получается то же
окрестностное пространство, что и при склеивании шаров V\ и У2'. Но
последнее склеивание дает сферу, так как границы V\ и У2 отображе-
отображены друг на друга конгруэнтно.
12 (стр. 78). Пространства линейных элементов. В упражнении
приведено два примера пространств, «точками» которых являются ли-
линейные элементы замкнутой поверхности. Вопрос о всех пространствах,
состоящих из ориентированных или неориентированных линейных эле-
элементов замкнутых поверхностей, разрабатывали Nielsen [6] стр. 306
(там даны фундаментальные группы всех пространств, состоящих из
ориентированных линейных элементов), Hotelling [I], [2], Threlfall [3].
См. далее v. d. Waerden, Jahresber. Deutsch. Math.-Vereinig. 42 A933),
задача 124, стр. 112 (неориентированные линейные элементы проектив-
проективной плоскости) и стр. 229, упражнение 4 в тексте книги.
13 (стр. 96). {Примечание переводчика). В немецком тексте авто-
авторы книги пользуются терминологией, отличной от той, которая дана
в переводе. Группу Бетти они называют группой гомологии, а приве-
приведенную группу Бетти — просто группой Бетти.
14 (стр. 98). Введением матриц инциденций Пуанкаре (Poincare,
в особенности в работе [4]) сделал значительный шаг вперед в деле
арифметизации топологии.
15 (стр. 109). Алгебраические комплексы по модулю т. С алге-
алгебраической точки зрения алгебраический комплекс представляет не
что иное, как линейную форму, в которой роль переменных играют
ориентированные симплексы. Коэффициенты такой линейной формы
принадлежат определенной области коэффициентов. (Общие области
коэффициентов впервые введены Александровым [14].) Если эта об-
область представляет совокупность целых чисел, то мы получаем обык-
обыкновенные алгебраические комплексы, рассматриваемые в § 15-22. Если
взять в качестве коэффициентов классы вычетов по модулю 2, то по-
получаются алгебраические комплексы по модулю 2. Общее в качестве

Примечания 403
коэффициентов можно взять классы вычетов по произвольному цело-
целому модулю т ф 1. Таким образом получаются группы и числа Бетти
по модулю т, топологическая инвариантность которых может быть
доказана так же, как в случае обыкновенных алгебраических комплек-
комплексов. Числа Бетти по модулю т определяются обыкновенными числа-
числами Бетти (называемыми иногда также числами Бетти по модулю 0)
и коэффициентами кручения. Обратно, коэффициенты кручения мо-
могут быть вычислены по числам Бетти по модулю т (т = 0, 2, 3,...).
Таким образом, в вопросах гомологии числа Бетти по модулю т не да-
дают никаких преимуществ по сравнению с обычными группами Бетти.
Однако в последнее время они приобрели значение для других иссле-
исследований (теоремы двойственности, вопросы отображений), см. напр.
Hopf [13], [19], Понтрягин [3]. Группы Бетти по модулю 2 были введены
Tietze [1] и затем рассматривались Veblen [5]. Группы Бетти по моду-
модулю т ввел Alexander [15].
16 (стр. 122). Для общих окрестностных пространств определение
группы Бетти выбирается так, чтобы сохранялось возможно больше
теорем, имеющих место в теории комплексов. Следующий простой при-
пример может пояснить это: рассмотрим на евклидовой плоскости множе-
множество точек, декартовы координаты которых задаются соотношениями
у = sin ^ для х ф —0,
-1 < у < +1 для х = 0,
и дополним это множество еще бесконечно удаленной точкой, присо-
присоединение которой превращает плоскость в двумерную сферу S2. Таким
образом мы получим замкнутое подмножество М сферы S2, в котором,
как легко убедиться, каждый особый одномерный цикл ~ 0. С другой
стороны, множество М разбивает сферу S2 в точности на две обла-
области. Таким образом при нашем определении особых групп Бетти закон
двойственности Александера (см. прим. 47), по которому число обла-
областей на единицу больше одномерного числа Бетти вложенного комплек-
комплекса, теряет свою силу для общих замкнутых множеств. Относительно
того, какое определение групп Бетти целесообразно давать в случае
произвольных замкнутых подмножеств евклидовых пространств, см.
Александров [7], [10], Cech [2], Lefschetz [12], Vietoris [2], [4].
17 (стр. 148). Доказательства инвариантности групп Бет-
Бетти. Идея применить для доказательства топологической инвари-
инвариантности симплициальных групп Бетти симплициальное приближе-
приближение особых алгебраических комплексов принадлежит Александеру
(J. W. Alexander). В своем первом доказательстве [1] он показывает изо-
морфность симплициальных групп Бетти двух различных симплици-
симплициальных разбиений одного и того же комплекса, однако он пользуется
не таким определением топологически инвариантных групп Бетти, ка-
какое дано у нас в тексте. Он исходит из более простого понятия особого

404 Примечания
алгебраического комплекса (как непрерывного образа симплициально-
го алгебраического комплекса). Во втором своем доказательстве [15]
Александер вообще не пользуется никакими особыми алгебраическими
комплексами, а аппроксимирует подразделение одного симплициально-
го разбиения комплекса в другом, и обратно.
Мы доказали в тексте инвариантность чисел Бетти по модулю 2
тем, что дали их выражения через обычные числа Бетти и коэффици-
коэффициенты кручения. С таким же успехом инвариантность их можно было
бы доказать непосредственно, введя особые алгебраические комплексы
по модулю 2, т. е. употребляя в качестве коэффициентов вместо целых
чисел классы вычетов по модулю 2. Доказательство теоремы о прибли-
приближении, а вместе с тем и доказательство инвариантности групп Бетти
по модулю 2 проводится для новой области коэффициентов совершенно
так же, как в тексте.
18 (стр. 157). Комплексное проективное пространство. Таким же
методом доказывается, что в комплексном проективном простран-
пространстве — многообразий 2п измерений — группы Бетти четных размер-
размерностей 0, 2, 4, ..., 2п суть свободные циклические группы, а группы
нечетных размерностей состоят только из нулевого элемента. Базы го-
гомологии состоят из комплексных проективных подпространств. (Точ-
(Точками комплексного проективного пространства являются системы от-
отношений (п + 1) чисел, пробегающих независимо друг от друга все
комплексные числа, за исключением системы, состоящей только из
нулей. Окрестности определяются так же, как мы определяли их на
стр. 74 для действительного проективного пространства.) Сравните
v.d.Waerden [2].
19 (стр. 158). Инвариантность в целом (im Grossen). Для частного
случая замкнутого псевдомногообразия инвариантность размерности
следует уже из результатов главы IV. В самом деле, размерность п
можно определить как наименьшее число, обладающее тем свойством,
что (п + 1)-е и все следующие числа Бетти по модулю 2 равны 0.
20 (стр. 159). Группы Бетти в точке. Вместо того чтобы опреде-
определять группы Бетти в точке с помощью определенного симплициального
разбиения и устанавливать затем их топологическую инвариантность,
можно определить их с самого начала топологически инвариантно, как
мы делали это для особых групп Бетти (§27). С этой целью, следуя
van Kampen [3], мы будем считать два особых /с-мерных алгебраиче-
алгебраических комплекса Uk и Vk полиэдра К «одинаковыми в точке Р», когда
Uk — Vk не содержит точки Р. Алгебраический комплекс Uk называ-
называется «циклом в Р», если U не проходит через Р. Наконец, Uk ~ Vk
в Р, если комплекс Uk — Vk гомологичен алгебраическому комплексу,
не содержащему Р. Другими словами, мы не обращаем внимания во
всех алгебраических комплексах на симплексы, принадлежащие к К —
— Р, т. е. не содержащие точки Р; мы рассматриваем «алгебраические

Примечания 405
комплексы по модулю (К — Р)». /с-мерные циклы в Р можно разбить
на классы гомологичных друг с другом циклов. Эти классы образу-
образуют абелеву группу, которая по определению топологически инвариант-
инвариантна и которая при к > 1 совпадает с (к — 1)-мерной группой Бетти
окрестностного комплекса в точке Р, что можно доказать при помощи
симплициального приближения. Алгебраические комплексы и группы
Бетти по модулю L, где L есть произвольное замкнутое подмножество
полиэдра К, применялись Лефшецем, например, в теории ограничен-
ограниченных многообразий (Lefschetz [12]); сравните прим. 41.
21 (стр. 165). Под теоремой об инвариантности размерности по-
понимается большей частью предложение, сформулированное в упраж-
упражнении 2 § 32. Инвариантность размерности была впервые доказана
Брауэром (Brouwer [6]). Другие доказательства см. Александров [16],
Lefschetz [12], Sperner [I].
22 (стр. 181). В чисто комбинаторной топологии поверхностей, в ко-
которой исходными объектами являются конечное или счетное число то-
точек, отрезков и элементов поверхности, имеет смысл лишь вопрос о воз-
возможности элементарного преобразования, а не гомеоморфизма. Поэто-
Поэтому теорема текста в чисто комбинаторной топологии является основной
теоремой теории поверхностей. Она была доказана сначала комбина-
комбинаторно Деном и Хегором (Dehn und Heegaard [I], стр. 190). Нормальная
форма поверхности не является у Дена и Хегора фундаментальным
многоугольником, а состоит из трех элементов поверхности. Фундамен-
Фундаментальный многоугольник фигурирует при комбинаторном доказатель-
доказательстве основной теоремы у Levi [I], стр. 71, точно так же у Reidemeister [7].
О других канонических формах поверхности см. Threlfall [I], о комби-
комбинаторных доказательствах — у Chuard [I].
23 (стр. 192). Решением проблемы гомеоморфизма еще не исчер-
исчерпываются все вопросы топологии поверхностей. Так, например, трех-
трехмерная топология ставит перед топологией поверхностей ряд трудных
задач, требуя построения всех возможных диаграмм Хегора и средств
для различения их друг от друга (ср. с прим. 34). Однако, в то время
как проблема гомеоморфизма решается при помощи гомологических
свойств замкнутых кривых на поверхности, вопросы, о которых идет
речь, связаны со свойствами гомотопии и изотопии. Вопрос о том, в ка-
каком случае две кривые на поверхности свободно гомотопны (§ 49), есть,
как показано на стр. 226, чисто теоретико-групповой вопрос: для его
решения нужно лишь найти все классы сопряженных элементов фунда-
фундаментальной группы поверхности. Эта проблема была полностью реше-
решена Деном (Dhen [3], [4]), она включает в себя вопрос о существовании
амфидромных кривых, т. е. таких кривых, которые могут быть гомо-
гомотопно деформированы на поверхности в кривые, обратные самим себе,
другими словами, направление обхода которых может быть гомотопной
деформацией изменено на обратное. Об изотопии кривых на поверх-
поверхности см. Ваег [1],[2]. Дальнейший относящийся сюда результат дает

406 Примечания
следующая теорема, доказанная Нильсеном (Nielsen [6]): каждый авто-
автоморфизм фундаментальной группы ориентируемой поверхности может
быть осуществлен топологическим отображением поверхности на себя.
Об отображениях поверхностей и теоремах о неподвижных точках см.
Neilsen [2]-[6], Brouwer [I], [5], [14], [15], Kneser [7], [9], Hopf [14]. Исчерпы-
Исчерпывающее изложение чисто комбинаторной топологии поверхностей дает
Reidemeister [7].
24 (стр. 194). Определение равенства путей отличается, таким об-
образом, от определения равенства ориентированных особых одномерных
симплексов, — для тех требовалось, чтобы их прообразы отображались
друг на друга линейно. Если бы мы потребовали этого также при ра-
равенстве путей, то ассоциативный закон для произведения (ab)c = а(Ьс),
вообще говоря, не выполнялся бы.
25 (стр. 199). Понятие фундаментальной группы введено Пуанкаре
(Poincare [2], [7]). Способ отыскания образующих и соотношений при
помощи вспомогательных путей мы заимствовали у Tietze [I].
26 (стр. 204). Теорема. Евклидова плоскость есть единственное
двумерное просто-связное бесконечное многообразие. Для доказатель-
доказательства построим отображение такого многообразия К на евклидову плос-
плоскость. Мы будем исходить из некоторого фиксированного симпли-
циального разбиения многообразия К. Каждое циклическое сечение
(Ruckehrschnitt) к вытекает из К однозначно определяемый элемент
поверхности. В самом деле, к гомотопно нулю, следовательно ~ 0 по
модулю 2, т.е. является границей двумерного подкомплекса Е. Этот
подкомплекс есть ограниченная поверхность, именно — элемент поверх-
поверхности. В силу § 40, для того чтобы доказать это, нам нужно только по-
показать, что каждый одномерный цикл и по модулю 2н& Е гомологичен
нулю по модулю 2. и, наверное, гомологичен нулю по модулю 2 на -ЕС,
поэтому существует конечный подкомплекс U с границей и. U не мо-
может содержать ни одного треугольника, лежащего вне Е, так как ина-
иначе U дол ясен был бы содержать все треугольники, лежащие вне Е, —
это следует из того, что U лежит на Е. Но U содержит только конечное
число треугольников. Поэтому и гомологичен нулю по модулю 2 уже
на Е. Е определяется однозначно, так как если бы на к можно было
натянуть еще вторую поверхность Е', то Е и Е' вместе представляли
бы цикл по модулю 2, а на К не может существовать никаких других
циклов по модулю 2, кроме нулевого комплекса, так как такой цикл
наряду с одним треугольником должен был бы содержать все осталь-
остальные. Если теперь Ei есть произвольный состоящий из треугольников
элемент поверхности нашего многообразия, имеющий границей fei, то
этот элемент поверхности может быть однозначным образом расширен
при помощи добавления к нему треугольников, имеющих общее ребро
или вершину с треугольниками из Е\. Дополним теперь — снова од-
однозначным образом — получающийся таким способом подкомплекс Т,

Примечания 407
который, вообще говоря, может иметь «отверстия» всеми элементами
поверхности, имеющими своими границами циклические сечения ком-
комплекса Т. Мы утверждаем, что комплекс Т, который получится при
этом, есть элемент поверхности. В самом деле, из способа построения Т
следует, что условие связности (Пмз) стр. 117 выполняется. Рассмотрим
тогда циклическое сечение к%, состоящее из граничных ребер комплек-
комплекса Т. Это циклическое сечение лежит также на границе комплекса Т,
так как при переходе от Т к Т никакие новые граничные ребра не до-
добавлялись. Поэтому натянутый на &2 элемент поверхности Е<± в силу
конструкции принадлежит к Т. С другой стороны, по условию (Пмз) Т
состоит из всех треугольников, которые можно соединить с каким-ни-
каким-нибудь треугольником комплекса Т, в частности, с каким-нибудь из тре-
треугольников, принадлежащих Е^. Но такими треугольниками являются
только треугольники самого E<i, так как граница Е<± принадлежит так-
также к границе Т. Поэтому Т принадлежит также к Еъ, откуда следует,
что Т = E<i есть элемент поверхности. Совокупность треугольников
комплекса Е2, не принадлежащих к Е1, образует элемент поверхно-
поверхности с отверстием, т. е. круговое кольцо Z\ с внутренним граничным
кругом fei и с внешним ка. Отобразим теперь Е\ топологически на
единичный круг евклидовой плоскости, a Z\ отобразим на круговое
кольцо плоскости с внутренним радиусом 1 и внешним 2 так, чтобы
отображения Е1 и Z1 совпадали на круге fei, общем им обоим; далее,
отобразим Z<i на круговое кольцо с внутренним радиусом 2 и внешним 3
и т. д. При этом мы получим топологическое отображение комплекса К
на всю евклидову плоскость.
27 (стр. 207). Отсюда следует, что два выходящие из О и дефор-
деформируемые друг в друга непрерывно замкнутые линейчатые пути w\
и W2 могут быть деформированы друг в друга также комбинаторно.
В самом деле, при помощи комбинаторной деформации w\ можно пе-
перевести сначала в и>\ ¦ и>21и>2, а затем в и>2, так как wiw^1 гомотопен
нулю непрерывно, а следовательно, в силу (II), и комбинаторно.
28 (стр. 226). Определите среди замкнутых поверхностей такие, на
которых существуют амфидромные кривые (прим. 23). В проективном
пространстве, кроме (всегда амфидромных) кривых, гомотопных ну-
нулю, амфидромны еще проективные прямые, т. е. вообще все кривые;
в пространстве линзы C,1) амфидромны только кривые, гомотопные
нулю.
29 (стр. 227). Переход от замкнутого пути w\ к гомологичному
ему пути также может быть осуществлен при помощи деформационно-
деформационного процесса, именно при помощи «деформации с разрывами». Под этим
понимается следующее: мы деформируем сначала путь w\ в путь w1,
имеющий двойную точку (самокасание) Р, причем относительно этой
точки можно предположить, что она является начальной точкой пу-
пути Wi, w\ представляет тогда произведение двух замкнутых путей w[

408 Примечания
и w'2. Будем теперь свободно деформировать их независимо друг от
друга так, чтобы в конце концов они снова слились в один путь W2-
К W2 можно применить тот же процесс, как к w\, и т. д. После г шагов
мы получим путь wr, который, очевидно, будет гомологичен исходному
пути w\. Легко сообразить, что таким способом можно, действитель-
действительно, получить любой путь, гомологичный пути W\. Вместе с тем трем
классам, о которых шла речь на стр. 226-227, — классу путей, клас-
классу сопряженных элементов и классу гомологии — соответствуют теперь
три вида деформаций: связанные деформации, свободные деформации,
деформации с разрывами.
30 (стр. 230). Определение групп Бетти составного комплекса дал
Вьеторис (Vietoris [6]). Сравните, далее, Mayer [I]. 0 фундаментальной
группе см. Seifert [I].
31 (стр. 232). Общее, группа с одним соотношением Ат = Вп толь-
только тогда изоморфна группе с соотношением Ат = Вп , когда пары
чисел т, п и т', п' совпадают (независимо от того, в каком порядке
берутся числа в каждой паре). Для доказательства нужно взять допол-
дополнительную группу от группы Ат = Вп по ее центру, порождаемому
элементом Ат. Дополнительная группа имеет соотношения А = В ,
и каждый ^элемент^ конечного порядка ее может быть трансформирован
в степень А или В. Таким образом, числа тип получают инвариант-
инвариантную характеристику. См. Schreier [I]. Необходимое условие эквивалент-
эквивалентности (§ 65) двух винтовых узлов т, п и т', п' заключается, таким
образом, в совпадении обеих пар. Однако при т = т' и п = п' мы еще
не можем утверждать, что оба узла эквивалентны, так как приходит-
приходится отличать узел от его зеркального отражения. Так, например, суще-
существует «правый» и «левый» простейший узел. См. Dehn [5], Goeitz [2],
Seifert [4].
32 (стр. 256). См. Reidemeister [4].
33 (стр. 279). Относительно открытия пространств Пуанкаре см.
Poincare [7]. Данный у него на стр. 106 пример представляет простран-
пространство сферического додекаэдра (см. Weber и Seifert [1]). Первый способ
построения бесчисленного множества различных пространств Пуанка-
Пуанкаре дал М. Ден (см. § 65). Другой подобный способ дает теория волокни-
волокнистых пространств (см. прим. 38 и Seifert [3], стр. 207). Оказывается, что
каждое пространство Пуанкаре, которое может быть разбито на волок-
волокна, допускает такое разбиение только единственным способом (обык-
(обыкновенную трехмерную сферу, допускающую разбиение на волокна бес-
бесчисленным множеством способов, мы не причисляем к пространствам
Пуанкаре) и что оно взаимно однозначно определяется кратностями
cui, сиг, ..., «г своих особых волокон (Ausnahmefasern), кратности эти
должны только удовлетворять условию — не иметь попарно общих мно-
множителей. Среди волокнистых пространств Пуанкаре сферическое про-
пространство додекаэдра есть единственный комплекс, имеющий конечную

Примечания 409
фундаментальную группу. Что многообразие стр. 289, получаемое из
простейшего узла по способу Дена, гомеоморфно сферическому про-
пространству додекаэдра, следует из возможности разбиения его на во-
волокна (см. Threlfall и Seifert [2], II, стр. 568). Такими же методами до-
доказывается, что сферическое пространство додекаэдра дает не только
пятилистное циклическое накрытие простейшего узла, но и двухлист-
ное накрытие винтового узла 3,5 и трехлистное накрытие винтового
узла 5,2 (Seifert [3], стр. 222).
34 (стр. 282). См. Seifert [1] и Goeiretz [I]. Относительно диа-
диаграмм Хегора более высоких родов см. Goeiritz [4], Kreines [I],
Reidemeister [8], [9], Singer [I].
35 (стр. 283). См. Alexander [3], [8].
36 (стр. 284). Данное в тексте доказательство для проективной
плоскости может служить, очевидно, для любой неориентируемой по-
поверхности. Что такая поверхность не только не может быть подком-
подкомплексом симплициального разбиения, но и вообще не может быть ка-
каким-нибудь образом вложена топологически в трехмерное простран-
пространство, следует из закона двойственности Алексакдера (прим. 47).
37 (стр. 286). Этот результат другим образом был получен Кнезе-
ром (Kneser [5]).
38 (стр. 286). Два другие способа построения замкнутых трехмер-
трехмерных многообразий получаются в связи с проблемой пространствен-
пространственных форм и теорией волокнистых пространств. Под пространственной
формой понимают п-мерное /i-многообразие, на котором, во-первых,
определена сферическая, евклидова или гиперболическая метрика, т. е.
каждая точка которого имеет окрестность, допускающую конгруэнт-
конгруэнтное отображение на шар одной из трех основных метрических форм,
именно, на шар n-мерного сферического, евклидова или гиперболиче-
гиперболического пространства (условие метрической однородности). Во-вторых,
на пространственную форму налагается условие неограниченности, по
которому из каждой точки по каждому направлению можно неограни-
неограниченно продолжать геодезический луч (при этом может случиться, что
луч этот возвратится сам на себя); это условие исключает, например,
возможность того, что каждое открытое подмножество пространствен-
пространственной формы снова есть пространственная форма. Среди всех простран-
пространственных форм три основные формы (сфера, евклидова и гиперболи-
гиперболическая плоскости) занимают особое положение, так как они являют-
являются единственными просто-связными пространствами. (Если добавить
к ним еще эллиптическое пространство, получающееся из метрического
сферического пространства путем отождествления диаметрально-про-
диаметрально-противоположных точек его, то эти четыре пространственные формы яв-
являются, сверх того, единственными, для которых выполняются усло-
условия движения Ли-Гельмгольца.) Оказывается, что в случае двух из-
измерений каждая замкнутая поверхность является областью разрывно-
разрывности для неимеющей неподвижных точек группы движения одной из

410 Примечания
трех основных метрических форм (см., например, Koebe [1]). Соответ-
Соответствующее предложение для трех измерений несправедливо, как можно
убедиться на примере топологического произведения сферы на окруж-
окружность. Тем не менее области разрывности в трех измерениях дают бо-
богатый источник для примеров; мы брали оттуда все примеры главы IX.
Группы движения сферического и евклидова пространств с конечной
областью разрывности могут быть полностью перечислены см. Hopf [2],
Threlfall и Seifert [2], Hantzsche и Wendt, Euklidische Raumformen. Об
областях разрывности гиперболического пространства известно мало,
см. Lobell [4], Weber и Seifert [I].
Повод к рассмотрению волокнистых пространств дают области
разрывности сферических групп движения, так же как пространства
линейных элементов замкнутых поверхностей (прим. 12), так как эти
пространства могут быть определенным образом разбиты на волокна.
Волокнами областей разрывности являются траектории непрерывных
групп движения единичной трехмерной сферы (называемой также ги-
гиперсферой); в пространствах линейных элементов волокно образуется
элементами, принадлежащими фиксированной точке поверхности. Во-
Волокнистое пространство представляет трехмерное многообразие, точ-
точки которого разбиваются на оо замкнутых кривых, так называемых
волокон, через каждую точку которых проходит в точности одно во-
волокно, и каждое волокно Н имеет «волокнистую окрестность», т. е. со-
содержащее Н подмножество волокон, которое может быть отображено
на «волокнистое трехмерное кольцо» так, что волокно переходит в во-
волокно; причем Н отображается в среднее волокно. Волокнистое трех-
трехмерное кольцо есть прямой круговой цилиндр евклидова пространства,
волокна которого суть прямые, параллельные оси, и нижнее и верхнее
основания которого повернуты на рациональный угол и склеены друг
с другом.
Вместо того чтобы рассматривать ныне еще нерешенную пробле-
проблему гомеоморфизма — дать полную систему топологических инвариан-
инвариантов трехмерных многообразий, — можно поставить проблему, подда-
поддающуюся разрешению, — дать для волокнистых пространств полную
систему инвариантов отображений, переводящих волокна в волокна
(Seifert [3]). Получающиеся при этом инварианты, посредством кото-
которых может быть вычислена фундаментальная группа, являются, ко-
конечно, инвариантами не рассматриваемого многообразия, а его разби-
разбиения на волокна, так что иногда остается открытым вопрос, не могут
ли два различных волокнистых пространства быть топологически эк-
эквивалентными как точечные множества.
Кроме того, существуют многообразия, которые вообще не могут
быть разбиты на волокна, так как возможность такого разбиения связа-
связана с определенными свойствами фундаментальной группы. Так, напри-
например, все замкнутые гиперболические пространственные формы точно
так же, как почти все топологические «суммы» (см. стр. 280), не мо-

Примечания 411
гут быть разбиты на волокна. Тем не менее инварианты волокнистых
разбиений оказываются полезными в топологии многообразий, так как
во многих случаях они позволяют установить топологическое различие
(негомеоморфность) многообразий. Примером здесь могут служить об-
области разрывности групп движения единичной трехмерной сферы, до-
допускающих неподвижные точки (в силу того, что такие области могут
быть разбиты на волокна, их можно полностью перечислить), а также
пространства Пуанкаре, о которых упоминается в прим. 33.
39 (стр. 286). Эквивалентность узлов. Можно было бы считать
два узла эквивалентными в том случае, если один из них может быть
переведен в другой посредством изотопной деформации отображения
прообраза узла (см. § 31). Однако тогда каждый узел можно было бы
перевести в окружность. Для этого нужно было бы только, туго натяги-
натягивая узел, стянуть заузление в точку. Другое понятие эквивалентности
исходит из возможности перевести один узел в другой при помощи изо-
изотопной деформации всего пространства (стр. 286). Мы не доказываем,
что это понятие совпадает с приведенным в тексте. Именно, каждая
изотопная деформация пространства осуществляет, очевидно, тополо-
топологическое отображение всего пространства на себя, сохраняющее ориен-
ориентацию. Однако мы оставляем открытым вопрос о том, может ли быть,
обратно, каждое такое топологическое отображение пространства на
себя осуществлено изотопной деформацией. Если определять узел как
прямолинейный полигон, то можно применять комбинаторные дефор-
деформации, которым соответствуют специальные изотопные деформации
отображения прообраза и при которых стягивание заузления в точ-
точку исключается. Узлы тогда представляют некоторый класс комбина-
комбинаторно деформируемых друг в друга пространственных полигонов, см.
Reidemeister [6].
40 (стр. 302). Это определение топологически инвариантно, так как
мы доказали в § 32, что группы Бетти в точке являются топологически-
топологическими инвариантами. Мысль рассматривать вместо многообразий h-мно-
гообразия возникла независимо у нескольких авторов — Александера,
Понтрягина, Вьеториса (Vietoris [2]), Вейля (Weyl [2]). Детальное рас-
рассмотрение впервые проведено Ван-Кампеном (van Kampen [3]).
41 (стр. 303). Ограниченные многообразия. Ограниченное п-мерное
многообразие можно определить, как показал van Kampen [3], стр. 37,
как ограниченный однородный комплекс, удвоение которого есть за-
замкнутое многообразие. Так как дуальный звездный комплекс клеточ-
клеточного разбиения ограниченного многообразия не является опять кле-
клеточным комплексом, то формальное доказательство закона двойствен-
двойственности Пуанкаре (§ 69) для ограниченных многообразий неприменимо,
и сам закон оказывается неверным. Напротив, если из дуального звезд-
звездного комплекса мы откинем все звезды, центры которых лежат на
границе, то мы снова получим клеточный комплекс. Поэтому для то-
того чтобы перенести закон двойственности Пуанкаре на ограниченные

412 Примечания
многообразия, мы можем, следуя Лефшецу (Lefschetz [12], стр. 154),
рассматривать алгебраические комплексы по модулю границы В (см.
прим. 20). Тогда (обыкновенное) число Бетти рк равняется (п — /^-мер-
/^-мерному числу Бетти по модулю В. Точно так же (обыкновенные) /г-мер-
ные коэффициенты кручения совпадают с (п — к — 1)-мерными по мо-
модулю В. Напротив, теория индексов пересечения переносится на огра-
ограниченные многообразия без существенных изменений. Особые алгебра-
алгебраические комплексы должны, помимо условия Е, подчиняться еще усло-
условию, чтобы пересечение покрытых этими комплексами множеств не
имело общих точек с границей. См. van Kampen [3].
42 (стр. 309). В определении индексов пересечения возможен неко-
некоторый произвол, причем в литературе это определение не стандарти-
стандартизовано. Вместо того чтобы полагать x(«fe, Ьп — к) = ?г](, можно было
бы определить индекс пересечения как произведение ?г/?и>(к, п), где
и>(к, п) есть некоторая функция чисел кип, равная по величине +1.
Так, например, у ван-Кампена (van Kampen [3]) ui = — (—l)fe. Подоб-
Подобный произвол, впрочем, допустим и в определении границы и коэффи-
коэффициента зацепления.
43 (стр. 324). Данное здесь доказательство теорем I и II примыкает
к доказательству Веблена (Veblen [4]).
44 (стр. 339). Следуя Лефщецу (Lefschetz [6], [7], [12]), мы устано-
установили возможность перехода от одного клеточного разбиения к друго-
другому тем, что посредством полной индукции свели индекс пересечения
х(Ак, Вп~к) к индексу пересечения %(^460, Вп), инвариантность кото-
которого доказывается легко. Аналогичными методами Лефшец доказыва-
доказывает, что двум особым циклам Аг и Bs может быть поставлен в соот-
соответствие при г + s ^ п (г + s — п)-мерный цикл (пересечение) Cr+S~n,
класс гомологии которого однозначно определяется классами гомоло-
гомологии циклов Аг и Bs. Этот класс гомологии можно считать «произведе-
«произведением» классов гомологии, содержащих циклы А7" и Bs. Таким образом
классы гомологии можно не только складывать друг с другом, но и пе-
перемножать. Вследствие этого классы гомологии образуют кольцо. На
это кольцо вместе с фундаментальной группой можно смотреть, сле-
следуя Хопфу, как на алгебраическую характеристику многообразия, опи-
описывающую его свойства, но, конечно, не исчерпывающую их. Кольцо
многообразия имеет значение, между прочим, в теории непрерывных
отображений (Hopf [12], [14]).
45 (стр. 346). Два циклических сечения ориентируемой замкнутой
поверхности называются сопряженными, если они гладко пересекают-
пересекаются в точности в одной точке. На рис. 128, стр. 343 a vs. Ь, например,
точно так же, как cud, представляют пару сопряженных циклических
сечений.
46 (стр. 347). Индексы пересечения играют роль в приложениях
топологии к алгебраической геометрии. Рассмотрим, например, в ком-
комплексной проективной плоскости алгебраическую кривую Ст т-го по-

Примечания 413
рядка, которая получается приравнением нулю тернарной формы т-й
степени. Можно доказать, что точки Ст образуют подкомплекс, кото-
который можно рассматривать — после соответствующего симплициально-
го разбиения и когерентной ориентации его двумерных симплексов —
как особый двумерный алгебраический комплекс в четырехмерном
многообразии комплексной проективной плоскости. Если пересечь Ст
с надлежащим образом выбранной проективной прямой С\ (т. е с дву-
двумерной сферой комплексной проективной плоскости), то получаются
в точности т точек пересечения. При этом оказывается, что тополо-
топологический индекс пересечения x(Cm, Ci) обоих двумерных циклов Ст
и С\ также равен т. Но тогда индекс пересечения Ст с произвольной
проективной прямой С[, также равен т в силу С\ ~ С[ (прим. 18),
несмотря на то, что действительное число общих точек циклов Ст и С\
может быть (например, когда С\ касается Ст) меньше, чем т. Если
определить теперь индекс пересечения двух произвольных алгебраиче-
алгебраических кривых как топологический индекс пересечения соответствующих
им циклов, то тогда легко получается теорема Безу: индекс пересе-
пересечения кривой m-го порядка С\ с кривой n-го порядка Сп равен т.п.
Доказательство: так как проективная прямая представляет двумерную
базу гомологии, то Ст ~ цС\. Индекс пересечения гомологичного ну-
нулю цикла Ст — ц,С\ с проективной прямой С[ равен нулю. Поэтому
х(Ст, С[) = MX(Ci. Ci)- Но, как выше установлено, x(Cm, Ci) = m
и x(Ci, Ci) = 1. Поэтому т = /л, т.е. кривая m-го порядка гомологич-
гомологична проективной прямой, взятой с коэффициентом т. Отсюда следует,
что х{Ст, Сп) = x("iCi, пС[) = mnx(Ci, С[) = ran, что и требова-
требовалось доказать. Этот пример должен только пояснить, каким образом
топология может быть использована в алгебраической геометрии. По-
Подробное изложение топологических методов алгебраической геометрии
см. v. d. Waerden [2], [3], Lefschetz [2], [4], [12], также F. Severi.
47 (стр. 354). Коэффициенты зацепления были введены Брауэ-
ром (Brouwer [9]). С теорией коэффициентов зацепления связано од-
одно из самых красивых и содержательных предложений топологии —
закон двойственности Александера (Alexander [5]). Пусть в п-мер-
ном евклидовом пространстве Rn (n > 1) рассматривается конечный
n-мерный комплекс Кг (т. е. Кг есть подмножество пространства Rn).
Пусть Rn — Кг означает множество пространства Rn, дополнитель-
дополнительное к Кг. Как подмножество евклидова пространства, Rn — Кг так-
также представляет комплекс, притом бесконечный (стр. 79). То же самое
имеет место по отношению к множеству Sn — Kr, получающемуся, если
мы присоединением одной бесконечно удаленной точки превратим Rn
в n-мерную сферу Sn. Закон двойственности Александера устанавли-
устанавливает связь между группами Бетти комплекса Кг и Sn — Kr. Он гласит:
если рк есть /с-мерное число Бетти комплекса Kr, a pk /с-мерное число
Бетти дополнительного пространства Sn — К7", то
pk=pn-k-l (fc^Q, Мп-1),

414 Примечания
а для обоих исключительных случаев (которые, впрочем, можно подчи-
подчинить общей формуле, изменив определение нульмерного числа Бетти)
р° = р™ + 1, р™ = р° — 1. Более глубокая причина существова-
существования таких зависимостей между числами Бетти выясняется, если мы
рассмотрим базы слабых гомологии Кг и Sn — Кг. Оказывается, что
можно выбрать /с-мерную базу слабых гомологии комплекса Кг
и (п — к — 1)-мерную базу комплекса Sn — Вг
-=n-fc-l -=n-fc-l
ах , ¦ ¦ ¦, Пргь-k-i
(при к у^ 0, к у^ п — 1) так, что матрица коэффициентов зацепления
будет иметь вид
При к = 0 вместо базы слабых гомологии (которая состоит тогда, как
известно, из стольких точек, сколько имеется у комплекса компонент,
т. е. связных изолированных частей) нужно взять полную систему го-
гомологично независимых нульмерных циклов, имеющих алгебраическое
значение 0 (таких циклов имеется на 1 меньше, чем компонент); в слу-
случае к = п — 1 для базы Bj нужно поступить соответственно.
Закон двойственности Александера справедлив также по моду-
модулю 2; в этом случае нужно только взять вместо баз слабых гомологии
и чисел Бетти базы гомологии и числа Бетти по модулю 2 (Alexander [5],
Понтрягин [3]). Эта теорема распространена с n-мерной сферы на лю-
любые многообразия (van Kampen |3], Понтрягин [3]).
Следствия из закона двойственности Александера:
1. Число областей, на которые n-мерная сфера Sn разбивается ком-
комплексом Кг, определяется только самим этим комплексом и не зависит
от того, каким образом Кг вложен в Sn. Это число равно на единицу
увеличенному (п — 1)-мерному числу Бетти, а также на единицу увели-
увеличенному (п — 1)-мерному числу Бетти по модулю 2 комплекса Кг. От-
Отсюда следует, что (п— 1)-мерное неориентпируемое псевдомногообразие
не может быть вложено в Sn (Brouwer [10]). В самом деле, для такого
псевдомногообразия р™ = 0, а число Бетти по модулю 2 qn~x = 1,
так что число областей, на которое разбивалась бы сфера Sn, должно
было бы, с одной стороны, = 1, а с другой = 2. Эту теорему мы уже
доказали (стр. 284 и прим. 36) для поверхностей, вложенных в трех-
трехмерную сферу S3, однако мы рассматривали не произвольные тополо-
топологические вложения поверхности, а только симплициальные. Вложенное

Примечания 415
в Sn ориентируемое (п—1)-мерное многообразие М", напротив, раз-
разбивает Sn в точности на две области, так как р™ = 1. Область, содер-
содержащая «бесконечно удаленную точку» сферы Sn обычно называется
внешней частью многообразия Мп~г, а вторая область — внутренней
его частью. Частным случаем последнего предложения является тео-
теорема Жордана, утверждающая, что евклидова плоскость разбивается
топологическим образом круга на две области.
2. Теорема об инвариантности области. Если область G (т.е. от-
открытое подмножество) n-мерного евклидова пространства Rn тополо-
топологически отображено на подмножество G' другого n-мерного евклидо-
евклидова пространства 'Rn, то G' также является областью (Brouwer [12]).
Докажем сначала лемму: пусть Sn есть n-мерная сфера, получающа-
получающаяся из Rn присоединением бесконечно удаленной точки Р, и Еп —
лежащий в Rn топологический n-мерный симплекс с граничной сфе-
сферой Sn~1. Если тогда J и А суть внутренняя и внешняя области, на
которые Sn разбивается в силу пункта 1 сферой S™'1, то Еп пред-
представляет в точности точечное множество J + Sn~1. Доказательство:
индекс пересечения по модулю 2 точки Р с Еп равен нулю, так как Р не
принадлежит к Еп. Но тогда индекс пересечения по модулю 2 симплек-
симплекса Еп с каждой другой точкой области А также равен нулю, так как
каждые две точки А можно соединить путем, не пересекающим Sn~1.
Если бы теперь в J существовала непринадлежащая Еп точка, то по
тем же причинам был бы равен нулю индекс пересечения по моду-
модулю 2 каждой точки области J с Еп. Но тогда для каждого лежащего
в Sn — S™'1 и гомологичного нулю в Sn нульмерного цикла U0 по
модулю 2 мы имели бы V(Sn~1, U°) = \{Еп, U°), что противоречит
закону двойственности Александера. Таким образом все точки обла-
области J принадлежат Еп. Точка области А, очевидно, не может принад-
принадлежать к Еп, так как каждые две внутренние точки симплекса могут
быть соединены отрезком, не пересекающим границы. Из леммы следу-
следует, в частности, что центр симплекса Еп является внутренней относи-
относительно Rn точкой Еп. Теорема об инвариантности области получается
теперь немедленно, если мы для каждой точки X области G постро-
построим маленький принадлежащий G прямолинейный n-мерный симплекс,
имеющий X своим центром. Образ n-мерного симплекса является то-
тогда топологическим симплексом, принадлежащим G' и X' является
внутренней точкой.
48 (стр. 356). Асимметрию пространства линзы C,1) заметил
Kneser [8]. Дальнейшие подробности о различении многообразий при
помощи коэффициентов зацепления см. Alexander [10], de Rham [I],
Reidemeister [9], Seifert [4].
49 (стр. 361). Степень отображения была введена Брауэром
(Brouwer [8]). Проблема построения непрерывного отображения ком-
комплекса Кп в К™ с заданной степенью отображения не всегда имеет
решение. Так, например, если Кп есть ориентируемая поверхность ро-

416 Примечания
да р > О, К™ — такая же поверхность рода q, то степень отображе-
отображения 7 должна удовлетворять условию: \j\(q — 1) ^ р — 1. Отсюда сле-
следует, в частности, что при непрерывном отображении поверхности ро-
рода р > 1 самое на себя речь может идти лишь о значениях степени
отображения 7 = 0, +1, —1 (Kneser [9]). В связи с этим возникает во-
вопрос, может ли всегда отображение степени 7 быть деформировано
так, чтобы (малая) область комплекса К™ была покрыта в точности |7|
раз? Положительное решение этого вопроса дали Hopf [19] (часть П)
и Kneser [9]. Теория степени отображения является только одним из
примеров алгебраическо-теоретико-групповых методов, применяемых
для изучения непрерывных отображений. Относительно этих методов
см. работы Hopf [12], [14], [19], в этих работах имеются указания на даль-
дальнейшую литературу.
50 (стр. 369). Формула неподвижных точек. Данный в тексте вы-
вывод формулы неподвижных точек примыкает к работе Hopf [9]. Сама
формула является частным случаем обобщенной формулы неподвиж-
неподвижных точек Лефшеца-Хопфа, утверждающей, что для произвольного
непрерывного отображения / однородного комплекса Кп самого на се-
себя XX~l)fe След Bfe равна взятой со знаком минус сумме индексов
всех неподвижных точек. Индекс изолированной неподвижной точ-
точки Р, если Р является внутренней точкой n-мерного симплекса, опреде-
определяется следующим образом: опишем вокруг Р маленькую сферу Sn~1
и проведем из каждой точки Q этой сферы вектор vq, ведущий в об-
образ f(Q). Пусть луч, проведенный из Р параллельно vq, пересека-
пересекает Sn~1 в точке (fi(Q). if представляет непрерывное отображение сфе-
сферы S™'1, и степень этого отображения называется индексом неподвиж-
неподвижной точки. Понятие индекса неподвижной точки фактически обязано
своим происхождением Пуанкаре (Poincare [1] 3 и 4 части). Обобщен-
Обобщенную формулу неподвижных точек Хопф доказал сведением к специ-
специальной формуле, выведенной в тексте (Hopf [7], [11]). Первоначальное
доказательство Лефшеца (Lefschetz [6], [7]) использует «метод тополо-
топологического произведения». Коротко он заключается вот в чем:
Непрерывное отображение / комплекса Кп в комплекс Кт может
быть задано следующим образом: мы составляем топологическое про-
произведение Кп х Кт и соответственно каждой точке Р комплекса Кп
отмечаем в этом произведении точку Р х /(Р). Такие точки образу-
образуют гоыеоморфное с Кп подмножество топологического произведения,
называемое характеристическим подкомплексом отображения /. Ес-
Если, кроме отображения /, задано еще отображение g комплекса Кп
в Кт, то под точкой совпадения отображений / и g понимают точ-
точку Р, для которой /(Р) = д(Р). Точки совпадения соответствуют, сле-
следовательно, общим точкам обоих характеристических подкомплексов
отображений / и д. Если, в частности, Кп и Кт суть многообразия
одинаковых размерностей, то обоим характеристическим подкомплек-
подкомплексам отображений / и д соответствует индекс пересечения, называемый

Примечания 417
алгебраическим числом точек совпадения. Лефшец дал формулу, ко-
которая позволяет вычислить это число, если известны осуществляемые
отображениями fug гомоморфные отображения групп Бетти. Обоб-
Обобщенная формула неподвижных точек получается из формулы Лефше-
ца в частном случае, когда Кп и Кт совпадают и д есть тождественное
отображение. Доказательство Лефшеца годится, таким образом, толь-
только для многообразий (ограниченных и неограниченных), но зато оно
охватывает многозначные отображения. Метод топологического про-
произведения оказался, впрочем, плодотворным и для других проблем,
касающихся отображений (см., например, Hopf [12], [14]).
Формула неподвижных точек находится в тесной связи с теорией
непрерывных векторных полей. «Малое преобразование» / т. е. отоб-
отображение комплекса на себя, сдвигающее точки лишь немного, опреде-
определяет векторное поле, векторы которого ведут из точки (прообраза) в ее
образ. Векторное поле непрерывно всюду, за исключением своих осо-
особых точек, соответствующих неподвижным точкам отображения. Мы
предположим, что имеется лишь конечное число особых точек поля.
Под индексом особой точки векторного поля понимается индекс соот-
соответствующей неподвижной точки малого преобразования. Так как при
малом преобразовании След В* = рг и альтернированная сумма чисел
Бетти равна эйлеровой характеристике, то мы получаем теорему Хоп-
фа (Hopf [5]): сумма индексов особых точек векторного поля равна по
величине эйлеровой характеристике многообразия.
Формула неподвижных точек позволяет иногда установить суще-
существование неподвижных точек (§81). От этого вопроса нужно отли-
отличать вопрос о наименьшем числе неподвижных точек класса отображе-
отображений, т. е. о наименьшем числе неподвижных точек, которое может быть
достигнуто деформацией данного отображения. Оценку наименьшего
числа неподвижных точек мы можем получить по Нильсену, разбивая
неподвижные точки на классы неподвижных точек. Две неподвиж-
неподвижные точки считаются принадлежащими одному классу неподвижных
точек, если их можно соединить путем w таким, что w вместе со своим
образом составляет гомотопный нулю замкнутый путь. Эквивалент-
Эквивалентное определение получается, если мы перенесем отображение основно-
основного комплекса на универсальный накрывающий, что возможно осуще-
осуществить, вообще говоря, многими способами. Точки, соответствующие на
основном комплексе неподвижным точкам одного из таких отображе-
отображений универсального накрывающего, принадлежат тогда одному классу.
См. Neilsen [4], [6] и Hopf [6]; там же имеются литературные ссылки на
работы Александера, Брауэра, Биркхофа и других авторов, занимав-
занимавшихся этим вопросом.
51 (стр. 371). Вообще справедлива теорема о том, что B/с + 1)-мер-
ное многообразие допускает деформации, не имеющие неподвижных
точек, см. Hopf [5].

418 Указатель литературы
52 (стр. 394). Что топология дает теоретико-групповые резуль-
результаты, которые невозможно или во всяком случае трудно получить,
идя чисто арифметическим путем, мы уже видели на примере стр. 260
при рассмотрении накрывающих полиэдров. Далее, такие результаты
получаются при определении структуры группы, заданной образующи-
образующими и соотношениями, в частности, при решении проблемы изоморфиз-
изоморфизма: являются ли изоморфными две группы, заданные образующими
и соотношениями. Очень красивый пример к этому доставляет тео-
теория кос Артина (Artin [2]), — там показывается, что симметрическая
группа перестановок из п цифр есть группа, заданная двумя образу-
образующими а и <т, соотношениями ап = (аа)п~1, а2 = 1 и соотношени-
соотношениями коммутативности: а перестановочна с агаа~г (при 2 ^ i ^ ^).
Другой пример можно найти у Threlfall и Seifert [2], стр. 577. Способ,
который позволяет — принципиально всегда, а практически во мно-
многих случаях — получить представление о группе, заключается в по-
построении образа группы (Gruppenbild), т. е. топологического линейча-
линейчатого или поверхностного комплекса, получающегося при помощи об-
образующих и соотношений (Dehn [4], Threlfall [1]). Если, например, мы
как-нибудь заменим многообразие многогранников (способом, указан-
указанным в § 60) и построим универсальное накрывающее многообразие, то
этот многогранник определит на накрывающем клеточное разбиение.
Линейчатый комплекс дуального клеточного разбиения представляет
групповой образ фундаментальной группы (Ден). Так, например, сфе-
сферическое пространство додекаэдра позволяет определить, что группа с
ссотношениями А5 = В2 = С3 = ABC есть бинарная группа икосаэдра
120-го порядка. Чтобы оценить трудности проблемы изоморфизма, до-
достаточно выбрать из бесконечного числа возможных способов превра-
превращения многообразия в многогранник какие-нибудь два и попытаемся
выразить каждую из получающихся при этом систем образующих и
соотношений при помощи другой (ср. § 62).
Указатель литературы
Прилагаемый указатель литературы ни в коей мере не претендует
на полноту. Литература до 1907 г. указана у Dehm [1], до 1923 г. —
у Kerekjartb [6], до 1930 г. — у v. d. Waerden [1] и S. Lefscherz [12]. У V. Tietze
und L.Vietoris [8] литература указана до 1930 г., однако полностью лишь
до 1926 г. Литературу по теории узлов можно найти у К. Reidemeister [6]
(до 1932 г.).
Allexander, J. W.
1. A proof of the invarince of certain constants in Analysis Situs. Trans.
Amer. Math. Soc. 16 A915), стр. 148-154.
2. Note on two threedimensional manifolds with the same group. Trans.
Amer. Math. Soc. 20 A919), стр. 339-342.
3. Note on Riemann spaces. Amer. Math. Soc. Bull. 26 A919), стр. 370-372.

Указатель литературы 419
4. On transformations with invariant points. Trans. Amer. Math. Soc. 23
A922), стр. 89-95.
5. A proof and extension of the Jordan - Brouwer separation theorem. Trans.
Amer. Math. Soc. 23 A922), стр. 333-349.
6. On the deformation of an n-cell. Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 9 A923),
стр. 406-407.
7. Invariant points of a surface transformation of given class. Trans. Amer.
Math. Soc. 25 A923), стр. 173-184.
8. A lemma on a system of knotted curves. Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 9
A923), стр. 93-95.
9. On the subdivision of 3-Space dy a polyhedron. Proc. Nat. Acad. Sci.
USA. 10 A924), стр. 6-8.
10. New topological invariants expressible as tensors. Там же, стр. 99-101.
11. On certain new topological invariants of a maniford. Там же, стр.
101-103.
12. Topological invariants of a manifold. Proc. Nat. Akad. Sci. USA. 10
A924), стр. 493-494.
13. On the intersection invariants of a manifold. Proc. Nat. Acad. USA. 11
A925), стр. 143-146.
14. Note on a theorem of H. Kneser. Там же, стр. 250-251.
15. Combinatorial Analysis Situs. Trans. Amer. Math. Soc. 28 A926),
стр. 301-329.
16 (и G. В. Briggs). On types of knotted curves. Ann. of Math. B) 28 A927),
стр. 562-586.
17. Topological invariants of knots abd links. Trans. Amer. Math. Soc. 30
A928), стр. 275-306.
18. The combimatorial theory of complexes. Ann. of Math. B) 31 A930),
стр. 294-322.
19. (и L.W.Cohen). A classiffication of the homology groups of compact,
spaces. Ann. of Math. B) 33 A932), стр. 538-566.
20. Some problems in topology. Verh. Math.-Kongr. 1 A932), стр.249-257.
21. A matrix knot invariant. Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 19 A933),
смтр. 272-275.
22. См. Veblen.
Allexandroff, P.
1. Zur Begriindung der n-dimensionalen mengentheoretischen Topologie.
Math. Ann. 94 A925), стр. 296-308.
2. Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie. Math. Ann.
96 A927), стр. 489-511.
3. Uber kombinatorische Eigenschaften allgemeiner Kurven. Там же,
стр. 512-554.
4. Uber stetige Abbildungen kompakter Raime. Там же, стр. 555-571.
5. Uber den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehung zur
elementaren geometrischen Anschauung. Math. Ann. 98 A928), стр. 617-636.
6. Uber die Dualitat zwischen den Zusammenhangszahlen einer abgeschlosse-
nen Menge und des zu ihr komplementaren Raumes. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen
1927, стр. 323-329.

420 Указатель литературы
7. Une definition des nembres de Betti pour un ensemble ferme quuelconque.
Comptes Rendus 184 A927), стр. 317-319.
8. Surcla decomposition de l'espace par des ensemdles fermes. Comptes
Rendus 184 A927), стр. 425-428.
9. Zum allgemeinen Dimensionsproblem. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen 1928,
стр. 25-44.
10. Untersuchungen iiber Gestalt und Lage beliebiger abgeschlossener
Mengen. Ann. of Math. 30 A928), стр. 101-187.
11. (и P. Urysohn). Memoire sur les espaces topologiques compacts. Verh.
Akad. Wetensch. Amsterdam. A) 14 Nr. 1 A929).
12. Sur la notion de dimension des ensembles fermes. Jouun. Math, pures
appl. (9) 11 A932), стр. 283-298.
13. Uber einen Satz von Herrn Borsuk. Monatsh. Math. Phys. 40 A933),
стр. 127-128.
14. Uber die Urysohnschen Konstanten. Fundam. Math. 20 A933),
стр. 140-150.
15. Dimensionstheorie, ein Beitrag zur Theorie der abgescglossenen Mengen.
Math. Ann. 106 A932), стр. 161-238.
16. Einfachste Grundbegriffe der Toplogie (Berlin 1932).
17. Local properties of closed sets. Ann. of math. 36 A935), стр. 1-35.
18. (и Hopf) Toplogie I (Berlin 1935).
19. Diskrete Raume. Мат. сборник 2 D4) 1937, стр. 501-519.
20. Открытые счетнократные отображения DAH.
Antoine, L.
1. Sur l'homemorphie de deux figures et de leurs voisinages. Journ. Math,
pures appl. (8) 4 A921), стр. 221-325.
2. Sur les ensembles parfaits partout discontinue. Comptes Rendus. 173
A921), стр. 284-285.
Artin, E.
1. Zur Isotopie zweidimensionaler Flachen im R4. Abh. math. Hamburg.
Univ. 4 A925), стр. 174-177.
2. Theorie der Zopfe. Там же, стр. 47-72.
3. Ср. также Klein [1], стр. 346.
Baer R.
1. Kurventypen auf Flachen. Journ. reine angew. Math. 156 A927),
стр. 231-246.
2. Isotopie von Kurven auf orientierbaren, geschlossenen Flachen und ihr
Zusammenhang mit der topologischen Deformation der Flachen. Journ. reine
angew. Math. 159 A928), стр. 101-116.
Bankwitz, C.
1. Uber die Torsionszahlen der zyklischen Uberlagerungsraume des Knote-
naussenraumes. Ann. of Math. 31 A930), стр. 131.
2. Uber die Fundamentalgruppe des inversen Knotens und des gerichteten
Knotens. Там же, стр. 129.
3. Uber die Torsionzahlen der alternierenden Knoten. Math. Ann. 103
A930), стр. 145-162.

Указатель литературы 421
Bergmann, G.
1. Zwei Bemerkugen zur abstrakten und kombinatorischen Topologie.
Monatsh. f. Math. 38 A931), стр. 245-256.
2. Zur algebraisch-axiomatischen Begriindung der Topologie. Math. Ztschr.
35 A932), стр. 502-511.
Betti, E.
l.Sopra gli spazi di un numero qualunque di dimensioni. Ann. Mat. pura
appl. B) 4 A871), стр. 140-158.
Bilz E.
1. Beitrag zu den Grundlagen der kombinatorischen Analysis Situs. Math.
Ztschr. 18 A923), стр. 1-41.
Birkhoff, G.D.
1. Proof of Poincare's geometric theorem. Trans. Am. Math. Soc. 14 A913),
стр. 14-22.
2.Dynamical Systems with two degrees of freedom. Am. Math. Soc. 18
A917), стр. 199-300.
3. Une generalisation a n dimensions du dernier theoreme de gemetrie de
Poincare Comptes Rendus 192 A921), стр. 196-198.
4. (и О. D. Kellogg). Invariant points in function space. Trans. Amer. Math.
Soc. 23 A922), стр. 96-115.
5. Dynamical Systems. Amer. Math. Soc. Colloquium Publ. IX (New York,
1927).
6. (и Р. A. Smith). Structure Analysis of surface transformations. Journ.
Math, pures appl. (9) 7 A928), стр. 345-379.
7. Einige Probleme der Dynamik. Jhber. Deutsch. Math.-Vereinig. 38 A929),
стр. 1-16.
Borsuk, K.
1. Uber Schnitte der n-dimensionalen euklidischen Raume. Math. Ann. 106
A932), стр. 239-248.
2. Uber die Abbildungen der metrischen kompakten Raume auf die Kreslinie
Fundam. Math. 20 A933), стр. 224-231.
3.Drei Satze uber die n-dimensionalen euklidischen Sphare. Там нее,
стр. 177-190.
Boy, W.
l.Uder die Curvatura integra und die Topologie gaschlossener Flachen.
Math. Ann. 57 A903), стр. 151-184.
Brauner, K.
1. Zur Geometrie der Funktionen zweier komplexen Veranderlichen. II.
Das Verhalten der Funktionen in der Umgebung ihrer Verzweigungsstellen Abh.
math. Semin. Hamburg. Univ. 6 A928), стр. 1-55.
Briggs, G.B.
1. Cm. Alexander.

422 Указатель литературы
Brouwer, L.E.J.
1. On one-one continuous transformations of surfaces into themselves. Akad.
Wetensch. Amsterdam, Proc. 11 A908), стр. 788-798; 12 A909), стр. 286-297;
13 A910), стр. 767-777; 14 A911), стр. 300-310; 15 A912), стр. 352-360; 22
A920), стр. 811-814; 23 A920), стр. 232-234.
2. On cntinuous vector distributions on surface. Akad. Wetensch. Am-
Amsterdam, Proc. 11 A908), стр. 850-858; 12 A909), стр. 716-734; 13 A910),
стр. 171-186.
3. Zur Analysis situs. Math. Ann. 68 A910), стр. 422-434.
4. Beweis des Jordanscgen Kurvensatzes. Math. Ann. 69 A910), стр. 169-175.
5. Uber eindeutige stetige Transformationen von Flachen in sich. Там нее,
стр. 176-180.
6. Beweis der invarianz der Dimensionenzhl. Math. Ann. 70 A911),
стр. 161-165.
7. Sur le theoreme de M. Jordan dans l'espace a n dimensions. Comptes
Rendus 153 A911), стр. 542-544.
8. Uber Abbildung von Mannigfaltigkeiten. Math. Ann. 71 A912), стр. 97-115
и стр. 598.
9. On looping coefficients. Akad. Wetersch. Amsterdam, Proc. 15 A912),
стр. 113-122.
10. Uber Jordansche Mannigfaltigkeiten. Math. Ann. 71 A912), стр. 320-327.
11. Beweis des Jordanschen Satzes fur den n-dimensionalen Raum. Math.
Ann. 71 A912), стр. 314-319.
12. Beweis der Invarianz des n-dimensionalen Gebietes. Math. Ann. 71
A912), стр. 305-313 и 72 A912), стр. 55-56.
13. Uber den naturlichen Dimensionsbegriff. Jahrb. f. Math. 142 A913),
стр. 146-152; Akad. Wetensch. Amsterdam, Proc. 26 A923), стр. 795-800; Math.
Ztschr. 21 A924), стр. 312-314.
14. Aufzahlung der Abbildungsklassen endlichfach zusammenhangender
Flachen. Math. Ann. 82 A921), стр. 280-286.
15. Uber die Minimalzahl der Fixpunkte bei den Klassen von eindeutigen
stetigen Transformations der Ringflachen. Math. Ann. 82 A921), стр. 94-96.
16. On transformations of Projektive Spaces. Akad. Wetensch. Amsterdam,
Proc. 29 A926), стр. 864-865.
Brown, A.B.
1. An extension of the Alexander duality theorem. Proc. Nat. Acad. Sci.
USA. 16 A930), стр. 407-408.
2. On the join of two complexes. Bull. Amer. Soc. 37 A931), стр. 417-420.
3. Group invariants and torsion coefficients. Ann. of Math. B) 33 A932),
стр. 373-376.
4. (см. Koopman).
5. Topological invariance of subcomplexes of singularities. Amer. Journ.
Math. 54 A932), стр. 117-122.
Burau, W.
1. Uber Zopfinvarianten, Abh. math. Sem. Hamburg. Univ. 9 A932),
стр. 117-124.

Указатель литературы 423
2. Kennzeichnung der Schlauchknoten. Там же, стр. 125-133.
Caratheodory, С.
1. Uber die Begrenzung einfach zusammenhangender Gebiete. Math. Ann.
73 A913), стр. 323-370.
2. Reelle Funktionen. 2 издю (Leipzig 1927).
Gech, E.
1. Trois theoremes sur l'homologie. Publ. Fac. Sci. Univ. Masaryk 144
A931), стр. 1-21.
2. Theorie generale de l'homogie dans un espace quelconque. Fundam. math.
19 A932), стр. 149-183.
3. Eine Verallgemeinerung des Jordan - Brouwerschen Satzes. Erg. math.
Kolloqu. Тетрадь 5 A933), стр. 29-31.
4. Theorie generale des varietes et de leurs theoremes de dualite. Ann. of
Math. B) A933), стр. 621-730.
5. Introduction a la theorie de l'homologie, Publ. Fac. Sci. Univ. Masaryk No.
184 A933), стр. 1-34 (На чешском языке с французским резюме, стр. 35-36).
Chuard, J.
1. Questions d'analysis situs. Rend. Circ. mat. Palermo 46 A922),
стр. 185-224.
Cohen, L. W.
1. Cm. Alexander.
Cohn- Vossen.
1. Cm. D.Hilbert.
Dehn, M.
1. (и P. Heegaard). Analysis Situs. Enz. Math. Wiss. Ill AB 3 (Leipzig 1907).
2. Uber die Topologie des dreidimensionalen Raumes Math. Ann. 69 A910),
стр. 137-168.
3. Transformation der Kurven auf zweiseitigen Flachen. Math. Ann. 71
A912), стр. 413-421.
4. Uber unendliche diskontinuierliche Gruppen. Math. Ann. 71 A912),
стр. 116-144.
5. Die beiden Kleedlattschlingen Math. Ann. 75 A914), стр. 402-413.
Dyck, W.
1. Beitrage zur Analysis. Situs. I. Math. Ann. 32 A888), стр. 457-512; II.
Math.. Ann. 37 A890), стр. 273-316.
2. Beitrage zur Analysis. Situs. Ber. Sachs. Akad. Wiss, 37 A885), стр. 314-
325 (I); 38 A886), стр. 53-69 (II); 39 A887), стр. 40-52 (III).
Ehresmann, C.
1. Sur la topologie de certaines varietes algebriques. Comptes Rendus 196
A933), стр. 152-154.

424 Указатель литературы
Err era, A.
1. L'origine et les problemes le l'analysis situs. Revue de l'Univ. de Bruxelles
7-8 A921), стр. 1-15.
2. Sur les polyedres regulies de l'analysis situs. Mem. Acad. Belgique B) 7
A922).
Feigl, G.
1. Fixpunktsatze fiir spezielle n-dimensionale Mannigfaltigkeiten. Math.
Ann. 98 A927), стр. 355-398.
2. Geschichtliche Entwicklung der Topologie. Jhber. Deutsch. Math. —
Vereinig. 37 A928), стр. 273-286.
Fenchel, W.
1. Elememtare Beweise und Anwendungen einiger Fixpunktsatze. Mat.
Tidsskr BH. 3/4 A932), стр. 66-87.
Fischer, A.
1. Gruppen und Verkettungen. Comment, math. helv. 2 A930), стр. 253-268.
Flexner, W. W.
1. (и S.Lefschetz). On the duality theorem for the Betti numbers of
topological manifolds. Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 16 A930), стр. 530-533.
2. The Poincare duality theorem for topological manifolds. Ann. of Math.
П. см. 32 A931), стр. 539-548.
3. On topological manifolds. Ann. of Math. B) 32 A931), стр. 393-406.
Frankl, F.
1. Topologische Beziehungen in sich kompakter Teilmengen euklidischer
Raume zu ihren Komplementen. S.-B. Akad. Wiss. Wien 136 A927), стр. 689-699.
2. (и L.Ponrjagin). Ein Knotensatz mit Anwendung auf die Dimensions-
theorie. Math. Ann. 102 A930), стр. 785-789.
3. Zur Topologie des dredimensionalen Raumes. Monattsch. f. Math. Phys.
38 A931), стр. 357-364.
Furch, R.
1. Orientierung von Hyperflachen im projektiven Raum. Abh. math. Semin.
Hamburg. Univ. 1 A922), стр. 210-212.
2. Zur Grundlegung der kombinatorischen Topologie. Abh. math. Semin.
Hamburg. Univ. 3 A924), стр. 69-88.
3. Zur kombinatorischen Topologie des dreidimensionalen Raumes. Там же,
стр. 237-245.
4. Uber den Schnitt zweir Spharen im B.3. Math. Ztschr. 28 A928),
стр. 556-566.
5. Plyedrale Gebilde verschiedener Metrik. Math. Ztschr. 32 A930),
стр. 512-544.
Gawehn, J.
1. Uber unberandete zweidimensionale Mannigfaltigkeiten. Math. Ann. 98
A927), стр. 321-354.

Указатель литературы 425
Gieseking, H.
1. Analytische Untersucgungen uber topologische Gruppen (Hilchenbach
1912).
Goeritz, L.
1. Die Heegaard-Diagramme des Torus. Abh. math. Hamdurg. Univ. 9
A932), стр. 187-188.
2. Knoten und quadratische Formen. Math. Ztsche. 36 A933), стр. 647-654.
3. Normalformen der Systeme einfacher Kurven auf orientierbaren Flachen.
Abh. math. Hamburg, Univ. 9 A933), стр. 223-243.
4. Die Abbildungen der Brezelflache und der Vollbrezel vom Geschlecht 2.
Там же, стр. 244-259.
Hadamard, J.
1. La geometrie de situation et son role en mathematiques. Rev. du mois. 8
A909), стр.'38-60.
2. Sur quelques applications de l'indice de Kronecker. Appendice a
J. Tannery, Theorie des Fonctions (Paris 1910).
Hausdorff, F.
1. Grundzuge der Mengenlehre (Leipzig 1914).
2. Та же книга, 2 изд. (Berlin 1927).
3. Гаусдорф, Теория множеств, Москва A937) (русский перевод предыд.
книги).
Heegaard, P.
1. См. Dehn.
2. Sur Г Analysis Situs. Bull. Soc. Math. France. 44 A916), стр. 161-242.
Heesch, H.
1. Uber topologisch regulare Teilungen geschlossener Flachen. Nachr. Ges.
Wiss. Gottingen I. N. 27 A932), стр. 268-273.
Hilbert, D.
1. (и S.Cogn.-Vossen). Anschauliche Geometrie (Berlin 1932). Имеется
русский перевод: Д. Гильберт и С. Кон - Фоссен, Наглядная геометрия (Моск-
(Москва 1936).
Hopf, H.
1. Die Curvatura integra Clifford - Kleinscher Raumformen. Nachr. Ges.
Wiss. Gottingen 1925, стр. 131-141.
2. Zum Clifford - Kleinscher Raumformen. Math. Ann. 95 A925), стр.
313-339...
3. Uber die Curvatura integra geschlossenen Hyperflachen. Там нее,
стр. 340-367.
4. Abbildungsklassen n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. Math. Ann. 96
A927), стр. 209-224.
5. Vektorfelder in n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. Там же, стр. 225-250.

426 Указатель литературы
6. Uber Mindestzahlen von Fizpunkten. Math. Ztschr. 26 A927), стр.
726-774.
7. A new proof of the Lefschetz formula en invariant points. Proc. Nat. Acad.
Sci. USA. 14 A928), стр.149-153.
8. On some properties of one-valued transformations. Proc. Nat. Acad. Sci.
USA. 14 A928), стр. 206-214.
9. Eine Verallgemeinerung der Euler-Poincareschen Formel. Nachr. Ges.
Wiss. Gottingen 1928, стр. 127-136.
10. Zur Topologie der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten. I. Neue
Darstellung der Theorie des Abbildungsgrades fur ropologische Mannigfaltigkei-
Mannigfaltigkeiten. Math. Ann. 100 A928), стр. 579-608; II. Rlasseninvarianten von Abbildun-
Abbildungen. Math. Ann. 102 A929), стр. 562-623.
11. Uber die algebtasche Anzahl von Fixpunkten. Math. Ztschr. 29 A929),
стр. 493-524.
12. Zur Algebra der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten. Journ. reine
angew. Math. 163 A930), стр. 71-88.
13. Uber wesentliche und unwesentliche Abbildung von Komplexen. Моск-
Москва. Математический сборник A930), стр. 53-62.
14. Beitrage zur Klassifizierung der Flachenabbildungen. Journ. reine angew.
Math. 165 A931), стр. 225-236.
15. Geometrie infinitesimale et Topologie. L'Enseignement math. 30 A931),
стр. 233-240.
16. Uber die Abbildungen der dreidimensionalen Sphere auf die Kugelflache.
Math. Ann. 104 A931), стр. 637-665.
17. (и W. Rinow). Uber den Begriff der vollstandigen differentialdeometri-
schen Flache. Comment, math. helv. 3 A931), стр. 209-225.
18. Differentialdeometrie und topolofische Gestalt. Jhber. Deutsch. Math.-
Vereinig. 41 A932), стр. 209-229.
19. Die Klassen der Abbildungen der n-dimensionalen Polyeder auf die
n-dimensionale Sphere. Comment, math. helv. 5 A933), стр. 39-54.
20. (и Erika Pannwitz). Uber stetige Deformationen von Komplexen in sich.
Math. Ann. 108 A933), стр. 433-465.
Hotelling, H.
1. Threedimensional manifolds of states of motions. Trans. Amer. Math.
Soc. 27 A925), стр. 329-344.
2. Multiple-sheeted spaces and manifolds of states of motions. Trans. Amer.
Math. Soc. 28 A926), стр. 479-490.
Johansson, J.
1. Topologische Untersuchungen uber unverzweigte Uberlagerungsflachen.
Skr. norske Vid. Akad. Oslo Math.-naturv. Kl. Nr. 15 A931), стр. 1-69.
2. Zu den zweidimensionalen Homotopiegruppen. Norsk. Mat. Forenings
Skr., B) Nr. 1/12 A933), стр. 55-59.
Kdhler, E.
1. Uber die Verzweigung einer algebraischen Funktion zweier Veranderlichen
in der Umgebung einer singularen Stelle. Math. Ztschr. 29 A929), стр. 188-204.

Указатель литературы 427
Катреп, Е. R. van.
1. Eine Verallgemeinerung des Alexanderschen Dualitatssatzses. Akad.
Wetensch. Amsterdam. Proc. 31 A928), стр. 899-905.
2. Zur Isotopie zweidimensionaler Flachen im R4. Abhandl. Math. Sem.
Hamdurg. Univ. 6 A928), стр. 216.
3. Die komdinatorische Topologie und die Dualitatssatze. (Den Haag 1929).
4. Komplexe in euklidischen Raumen. Abh. math. Sem. Hamburg. Univ. 9
A932), стр. 72-78 и стр. 152-153.
5. Some remarks on the join of two complexes and on invariant subsets of a
complex. Amer. J. Math. 54 A932), стр. 543-550.
6. On the Fundamental Group of an aigebraic curve. Amer. Journ. Math.
55 A933), стр. 255-260.
7. On the connection between the fundamental groups of some related
spaces. Там нее, стр. 261-267.
8. On somme lemmas in the theory of groups. Там нее, стр. 268-273.
Kellogg, O.D.
1. См. Birkhoff.
Kerekjarto, B.
1. Beweis des Jordanschern Kurvensatzes. Ber. Ungar. Akad. Wiss. 38
A919), стр. 194-198.
2. Uber die Brouwerschen Fixpunktsatze. Math. Ann. 80 A919), стр. 29-32.
3. Uber Transformationen des ebenen Kreisringes. Там же, стр. 33-35.
4. Zur Gebietsinvarianz. Ber. Ung. Akad. Wiss. 39 A921), стр. 220-221.
5. Kurvenscharen auf Flachen. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen A922),
стр. 71-79.
6. Vorresungen uber Topologie (Berlin 1923).
Kiang, Tsai- Han.
1. On the groups of orientable two-manifolds Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 17
A931), стр. 142-144.
Klein, F.
1. Hohere Geometrie (Berlin 1926). (Подготавливается русский перевод).
Kneser, H.
1. Kurvenscharen auf geschlossenen Flachen. Jhber. Deutsch. Math.-Vereinig
30 A921), стр.83-85.
2. Regulare Kurvenscharen auf den Ringflachen. Math. Ann. 91 A924),
стр. 135-154.
3. Ein topologischer Zerlegungsstz. Akad. Wetensch. Amsterdam, Proc. 27
A924), стр. 601-616.
4. Die Topologie der Mannigfaltigkeiten. Jhber. Deutsch. Math.-Vereinig.
34 A925), стр. 1-14.
5. Eine Bemerkung uber dreidimensionale Mannigfaltigkeuten, Nachr. Ges.
Wiss. Gottingen 1925, стр. 128-130.
6. Die Deformationssatze der einfachzusammenhagenden Flachen. Math.
Ztschr. 25 A926), стр. 362-372.

428 Указатель литературы
7. Glatting von Flachenabbildungen Math. Ann. 100 A928), стр. 609-617.
8. Geschlossene Flachen in dreidimensionale Mannigfaltigkeiten. Jhber.
Deutsch. Math.-Vereinig. 38 A929), стр. 248-260.
9. Die kleinste Bedeckungszahl innerhalb einer Klasse von Flachenabbildun-
Flachenabbildungen. Math. Ann. 103 A930), стр. 347-358.
Koebe, P.
1. Riemannsche Mannigfaltgkeiten und nichteuklidische Raumformen.
I. S.Ber. Preuss. Akad. Wiss. A927), стр. 164-196; II. A928), стр. 345-348;
III. A928), стр. 385-442; IV. A929), стр. 414-457; V. A930), стр. 304-364;
VI. A930), стр. 505-541; VII. A931), стр. 249-284.
Коортап, В. О.
1. (и Brown, А. В.). On the covering of analytic loci by complexes. Trans.
Amer. Math. Soc. 34 A932), стр. 231-251.
Kreines, M.
1. Zur Konstruktion der Poincare-Raume. Rend. Cicr. mat. Palermo 56
A932), стр. 277-280.
Kronecker, L.
1. Uber Systeme von Funktionen mehrerer Variabeln. Monatsberichte Berl.
Akad. A969), стр. 159-193 и стр. 688-698.
Kiinneth, H.
1. Zur Bestimmung der Fundamentalgruppe einer Produktmannigfaltigkeit.
S.-Ber. physik.-med. Soz. Erlangen 54/55 A922/23), стр. 190-196.
2. Uber die Bettischen Zahlen einer Produktmennigfaltigkeit. Math. Ann.
90 A923), стр. 65-85.
3. Uber die Torsionszahlen von Produktmennigfaltigkeiten. Math. Ann. 91
( 1924), стр. 125-134.
Kuratowski, C.
1. Topologie I. Espaces metrisables, espaces complete (Warschau 1933).
Landsberg, G.
1. Detrage zur Topologie geschlossener Kurven mit Knotenpunkten und zur
Kroneckerschen Charakteristikentheorie. Math. Ann. 70 A911), стр. 563-579.
Lefschetz, S.
1. Algebraic Surfaces, their cycles and integrals. Ann. of Math. 21 A920),
стр. 225-258.
2. On certain numerical invariants of algebraic varieties, with application to
Abelian varieties. Trans. Amer. Math. Soc 22 A921), стр. 327-482.
3. Continuous transformations of manifolds. Proc. Nat. Sci. USA. 9 A923),
стр. 90-93.
4. L'Analysis Situs et le Geometrie algabrique (Paris, 1924).
5. Intersections of complexes and manifolds. Proc. Nat. Sci. USA. 11 A925),
стр. 287-289.

Указатель литературы 429
6. Intersections and transformations of complexes and manifolds. Trans.
Amer. Math. Soc. 28 A926), стр. 1-49.
7. Manifolds with a boundary and their transformations. Trans. Amer. Math.
Soc. 29 A927), стр. 429-462.
8. The residual set of a complex on a manifold and related questions. Proc.
Nat. Acad. Sci. USA. 13 A927), стр. 614-622; стр. 805-807.
9. Closed points sets on a manifold. Ann. of Math. 29 A928), стр. 232-254.
10. Duality relation in topologiy. Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 15 A929),
стр. 367-369.
11. On transformations of closed sets. Ann. of Math. B) 32 A930),
стр. 273-282.
12. Topology (New York 1930).
13. On compact spaces. Ann. of Math. II 32 A931), стр. 521-538.
14. On singular chains and cycles. Bull. Amer. Math. Soc. 39 A933),
стр. 124-129.
15. On generalized manifolds. Amer. Journ. Math. 55 A933), стр. 469-504.
16. См. Flexner.
Lennes, N. J.
1. Theorems on the simple finite polygon and polyhedron. Amer. Journ.
Math. 33 A911), стр. 37-62.
2. Curves and surfaces in analysis situs. Bull. Amer. Math. Soc. B) 17 A911),
стр. 525.
Lense, J.
1. Uber die Indikatrix der projektiven Raume. Ihber. Deutsch. Math.-Verei-
nig. 34 A926), стр. 243-244.
Levi, F.
1. Geometrische Konfigurationen (Leipxig 1929).
Listing, J. B.
Vorstudien zur Topologie. Gott. Studien 1847, стр. 811-875.
2. Der Census raumlicher Komplexe. Abh. FGes. Wiss. Gottingen 10 A861),
стр. 352-358.
Lobell, F
1. Uber die geodatischen Linden der Clifford - Kleinschen Flachen. Math.
Ztschr. 30 A929), стр. 572-607.
2. Fin Satz liber die eindeutigen Bewegungen Cliford- Kleinscher Flachen in
sich. Journ. reine. angew. Math. 162 A930), стр. 114-125.
3. Zur Frage der Struktur der geschlossenen geodatischen Linien in den
offenen Clifford - Kleinschen Flachen. mit positiner Charakteristik. Journ. reine
angew. Math. 162 A930), стр. 125-131.
4. Beispiele geschlossener dreidimensionaler Clifford - Kleinscher Raume
negativer Kriimmung. Ber. Sachs. Akad. Wiss. 83 A931), стр. 168-174.
Mayer, W.
1. Uber abstrakte Topologie, Monatsh. Math. Phys. 36 A929), стр. 1-42
и стр. 219 до 258.

430 Указатель литературы
Menger, К.
1. Dimensionstheorie (Leipzig 1928).
Morse, H. M.
1. Recurrent geodesis on a surface of negative curvature. Trans. Amer. Math.
Soc. 22 A921), стр. 84-100.
2. A fundamental class of geodesies on any closed surface of genus greater
than one. Trans. Amer. Math. Soc. 26 A924), стр. 25-60.
3. Singular points of vector fields under general boundary conditions. Amer.
Journ. Math. 51 A929), стр. 165-178.
Newman, M.H.A.
1. On the foundations of Comdinatory Analysis Situs. Akad. Wetensch.
Amsterdam, Proc. 29 A926), стр. 611-641; 30 A927), стр. 670-673.
2. A property of 2-dimensional elements. Akad. Wetensch. Amsterdam.
Proc. 29 A926), стр. 1401-1405.
3. On the superposition of n-dimensional menifolds. Journ. London. Math.
Soc. 2 A927), стр. 56-64.
4. Topological equivalence of complexes. Math. Ann. 99 A928), стр. 399-412.
5. Combinatory topology of convex regions. Proc. Nat. Sci. USA. 16 A930),
стр. 240-242.
6. Combinatory topology and Euclidean n-space. Proc. London. Math. Soc.
B) 30 A930), стр. 339-346.
7. Intersection-complexes. I. Combinatory theory. Proc. Camvridge philos.
Soc. 27 A931), стр. 491-501.
8. A theorem in combinatory topology. Journ. Lond. Math. Soc. 6 A931),
стр. 186-192.
9. A theorem on periodix transformations of space. Quart. Journ. Math.
Oxford, ser. 2 A931), стр.1-8.
10. On the products and in topology. Journ. London Math. Soc. 7 A932),
стр. 143-147.
Neilsen, J.
1. Die Isomorphismen der allgemeinen unendichen Groppe mit zwei
Erzeugenden. Math. Ann. 78 A918), стр. 385-397.
2. Uber fixpunktfreie topologische Abbildunegen geschlossener Flachen.
Math. Ann. 81 A920), стр. 94-96.
3. Uber die Minimalzahl der Fixpunkte bei den Abbildungstypen der
Ringflachen. Math. Ann. 82 A920), стр. 83-93.
4. Uber topologische Abblidungen geschlossener Flachen. Abh. math. Semin.
Hamburg. Univ. 3 A924), стр. 246-260.
5. Zur Topologie der geschlossenen Flachen. Vortrage 6. Math.-Kongr.
Kopenhagen A925).
6. Untersuchungen zur Ropologie der geschlossenen zweiseitigen Flachen
I. Acta math. 50 A927), стр. 189-358; II. 53 A929), стр. 1-76; III. 58 A932),
стр. 87-167.
7. Uber regulare Reimannsche Flachen (danisch). Mat. Tidsskr. BH. 1
A932), стр. 1-18.

Указатель литературы 431
Nobeling, G.
1. Die neuesten Ergebnisse der Dinamensionstheorie. Jhber. Deutscher
Math.-Vereinig. 41 A931), стр. 1-17.
Pannwitz, E.
1. Fine elementargeometrische Eigenschaft von Verschlingungen und Knoten.
Math. Ann. 108 A933), стр. 629-672.
2. См. hopf.
Poincare, H.
1. Sur les courbes definies par une eqation differentielle. Journ. Math, pures
appl. C) 7 A881), стр. 375-424; C) A882), стр. 251-296; D) 1 A885), стр. 167
до 244; D) A886), стр. 151-217.
2. Analysis situs. Journ. Ecole polytechn. B) 1 A895), стр. 1-121.
3. V Complement a l'analysis xitus. Rend, circ, Palermo 13 A899),
стр. 285-343.
4. 2d Complement. Proc. London Math. Soc. 32 A900), стр. 277-308.
5. 3е Complement. Bull. Soc. Math. France 30 A902), стр. 49-70.
6. 4е Complement. Journ. Math, pures appl. E) 8 A902), стр. 169-214.
7. 5е Complement. Rend. circ. mat. Palermo 18 A904), стр. 45-110.
8. Sur un theoreme de Geometrie. Rend. circ. mat. Palermo 33 A912),
стр. 375-407.
Pontrjagin, L.
1. Zum Alexanderschen Dualitatssatz. Naxhr. Ges. Wiss. Cottingen A927),
стр. 315 до 322 и стр. 446-456.
2. Sur une hypothese fondamentale de la theorie de la dimension. Comptes
Rendus 190 A930), стр. 1105-1107.
3. Uber den algebraischen Inhalt topologischer Dualitatssatze. Math. Ann.
105 A931), стр. 165-205.
4. См. Frankl.
Rado, T.
1. Uber den Begriff der Reimannschen Flache. Acta. Litt. Sci. Szeged, 2
A925), стр. 101-121.
Reidemeister, K.
1. Knoten und Gruppen. Abh. Semin. Hamburg. Univ. 5 A926), стр. 7-23.
2. Elementare Begriindung der Knotentheorie. Ebd. Там же, стр. 24-32.
3. Uber Knotengruppen. Abd. math. Semin. Hamburg. Univ. 6 A928),
стр. 56-64.
4. Fundamentalgruppe und Uberlagerungsraume. Nachr. Wiss. Gottingen
A928), стр. 69-76.
5. Knoten und Verkettungen. Math. Ztschr. 29 A929), стр. 713-729.
6. Knotentheorie (Berlin 1932).
7. Einfiihrung in die komdinatorische Topologie (Braunschweig 1932).
8. Zur dreidimensionalen Topologie. Abh. math. Semin. Hamburg. Univ. 9
A933), стр. 189-194.

432 Указатель литературы
9. Heegaardiagramme und Invarienten von Mannigfaltigkeiten. Abh. math.
Semin. Hamburg. Univ. 10 A934).
10. Homotopiegruppen von Komplexen. Abh. math. Semin. Hamburg. Univ.
A934).
Rey Pastor, J.
1. Sulla topologia dei dimini di uno spazio ad n dimensioni. Atti. Accad.
naz. Lincei, Rend. VI s. 15 A932), стр. 524-527.
Rham, G. de.
1. Sur l'analysis situs des varietes a n dimensions. Journ. math, pures appl.
IX 10 A931), стр. 115-120.
2. Sur la theorie des intersections et les integrales multiples. Comment, math,
helv. 4 A932), стр. 151-154.
Reimann, B.
1. Fragment aus der Analysis Situs. Werke 2 изд., стр. 474.
2. Abelsche Funktionen § 19. Werke стр. 84.
Rinow, W.
1. Cm. Hopf.
Rubarz, J.
1. Uber grei Fragen der abstrakten Topologie. Monatsh. Math. Phys. 38
A931), стр. 215-244.
Scherrer, W.
1. Geometrische Deutung des Gausschen Verschlingungsintegrals. Comment,
math. helv. 5 A933), стр. 25-27.
Schilling, F.
1. Projektive und nichteuklidische Geometrie (Leipzig 1931).
Schreier, 0.
1. Uber die Gruppen AaBb = 1. Abh. math. Hamburg. Univ. 3 A924),
стр. 167-169.
2. Die Verwandtschaft stetiger Gruppen im Grossen. Abh. mat. Semin.
Hamburg. Univ. 5 A927), стр. 233-244.
Seifert, H.
1. Konstruktion dreidimensionaler geschlossener Raume. Ber. Sachs. Akad.
Wiss. 83 A931), стр. 26-66.
2. Homologiegruppen berandeter dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten. Math.
Ztschr. 35 A932), стр. 609-611.
3. Topologie dreidimensionaler gefaserter Raume. Acta math. 60 A932),
стр. 147-238.
4. Verschlingungsinvarianten. Sitz. Ber. Preuss. Akad. Wiss. 16 A933),
стр. 811-826.
5. См. Threlfall.
6. См. Weber.

Указатель литературы 433
Severi, F.
1. Uber die Grundlagen der algebraischen Geometrie. Abh. math. Semin.
Hamburg. Univ. 9 A933), стр. 335-364.
2. Sulla topologia e sui fondamenti dell'analisi generale. Rend. Semin. mat.
Roma B) 7 A931), стр. 5-37.
Singer, C.
1. Three-dimansional manifolds and their Heegaard diagrams. Trans. Amer.
Math. Soc. 35 A933), стр. 88-111.
Smith, P. A.
1. Cm. Birkhoff.
Sperner, E.
1. Neuer Beweis fur die Invarianz der Dimensionszahl und Gebietes. Abh.
math. Semin. Hamburg. Univ. 6 A928), стр. 265-272.
2. Uber die fixpunltfreien Abbildungen der Ebene (Hamburg, math.
Einzelschr. Тетрадь 14, Leipzig 1933).
Steinitz, E.
1. Beitrage zur Analysis situs. Sitz.-Ber. Berl. Math. Ges. 7 A908),
стр. 29-49.
2. Polyeder und Rau,einreilungen. Encykl. Math. Wiss. Ill AB 12 , стр. 139
(Leipzig 1916).
Tait, P. G.
1. On Knots. Trans. Roy. Soc. Edinburgh 28 A879), стр. 145-190; 32 A887),
стр. 327 до 339 и 493-506.
Threlfall, W.
1. Gruppenbilder. Abh. math.-phys. Kl. Sachs. Akad. Wiss. 41 Nr. 6 A932),
стр. 1-59.
2. (и H.Seifert). Topolgische Untersuchung der Diskontinuitatsbereiche
endicher Bewegungsgruppen des dreidimensionalen spharischen Raumes. I. Math.
Ann. 104 A930), стр. 1-70. II. Math. Ann. 107 A932), стр. 543-586.
3. Raume aus Linienelementen. Jhber. Deutsch. Math.-Vereinig. 42 A932),
стр. 88-110.
Tietze, H.
1. Uber die topologischen Invarianten mahrdimensionaler Mannigaltigkeiten.
Monatsh. Math. Phys. 19 A908), стр. 1-118.
2. Sur les representations continues des surfaces sur alles-memes. Comptes
Rendus 157 A913), стр. 509-512.
3. Uber stetige Abbildungen einer Quadratflache auf sich selbst. Rend. circ.
mat. Palermo 38 A914), стр. 247-304.
4. Uber den Richtungssinn und seine Verallgemeinerung. Jhber. Deutsch.
Math.-Vereinig. 29 A920), стр. 95-123.
5. Uber Analysis Situs. Abh. math. Hamburg. Univ. 2 A923), стр. 37-68.

434 Указатель литературы
6. Zur Topologie berandeter Mannigfaltigleiten. Monatsh. Math. Phys. 35
A928), стр. 25-44.
7. Beitrage zur allhemeinen Topologie. I. Axiome fiir verschiedene Fassungen
des Umgebungsbegriffs. Math. Ann. 88 A923), стр. 290-312. II. Uber die
Einfiihrung uneigentlicher Elemente. Math. Ann. 91 A924), стр. 210-224.
III. Uber die Komponenten offener Mengen. Monatsh. Math. Phys. 33 A923),
стр. 15-17.
8. (и L.Vietoris). Beziehungen zwischen den verschiedenen Zweigen der
Topologie. Encykl. Math. Wiss. Ill AB 13 (Leipzig 1930).
Tucker, A. W.
1. On combinatorial topology. Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 18 A932),
стр. 86-89.
2. Modular homology characters. Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 18 A932),
стр. 467-471.
3. An abstract approach to manifolds. Ann. of Math. 34 A933), стр. 191-243.
Ursell, H. D.
1. Intersections of complexes. Journ. London Math. Soc. 3 A928),
стр. 37-48.
Urysohn, P.
1. Cm. Alexandroff.
Veblen, 0.
1. Theory of plane curves in non-metrical analysis situs. Trans. Amer. Math.
Soc. 6 A905), стр. 83-98.
2. (и J.W.Alexander). Manifolds of dimensions. Ann. of Math. 14 A913),
стр. 163-178.
3. On the deformation of an n-cell. Proc. Acad. Sci. USA. 3 A917), стр. 654-
656.
4. The intersection numbers. Trans. Amer. Math. Soc. 25 A923), стр. 540-550.
5. Analysis situs. 2 изд. Amer. Math. Soc. Colloquium publ. 5 Pt. II. New
York Amer. Math. Soc. A931).
Vietoris, L.
1. Uber stetige Abbildungen einer Kugelflache. Akad. Wetensch. Amster-
Amsterdam. Proc. 29 A926), стр. 443-453.
2. Uber den hoheren Zusammenhang kompakter Raume und eine Klasse von
zusammenhangstreuen Abbildungen. Math. Ann. 97 A927), стр. 454-472.
3. Uber die Symmetrie der Zummanhangszalen kombinatorischer Mannigfal-
tigkeiten. Monatsch. f. Math. 35 A928), стр. 165-174.
4. Zum hoheren Zusammenhang der kompakten Raume. Math. Ann. 101
A929), стр. 219-225.
5. Erzeugung der regularen Unterteilung von simplizialen Komplexen durch.
wiederholte Zweiteilung. Monatsh. f. Math. u. Phys. 37 A930), стр. 97-102.
6. Uber die Homologiegruppen der Vereinigung zweier Komplexe. Monatsh.
Math. Phys. 37 A930), стр. 159-162.
7. См. Tietze.

Указатель литературы 435
8. Uber den hoheren Zusammenhang von Vereinigungsmengen und Durch-
schnitten. Fundam. math. 19 A932), стр. 265-273.
Waerden, B. L. van der.
1. Kombinatorische Topologie. Jhber. Deutsche. Jhber. Deutsch. Math.-
Vereinig. 39 A930), стр. 121 до 139.
2. Topologische Begriindung das Kalkuls der abzahlenden Geometrie. Math.
Ann. 102 A929), стр. 337-362.
3. Zur angebraischen Heometrie. IV. Die Homologiezahlen der Quadriken
und die Formeln von Halphen der Liniengeometrie. Math. Ann. 109 A933),
стр. 7-12.
Weber, C.
1. (и Н. Seifert). Die beiden Dodekaederraume. Math. Ztschr. 37 A933),
стр. 237-253.
Weyl, H.
1. Uber die Idee der Riemannschen Flache (Leipzig 1913).
2. Analysis Situs Combinatorio. Rev. mat. hisp-amer. 5 A923), стр. 209-218;
241 до 248; 273-279; 6 A924), стр. 33-41.
Wilder, R. L.
1. Point sets in three and higher dimensions and their investigation by means
of a unified analysis situs. Bull. Amer. Math. Soc. 38 A932), стр. 649-692.
Wilson, W.A.
1. Representation of a simplicial manifold on a locally simplicial manifold
Akad. Wetensch. Amsterdam. Proc. 29 A926), стр. 1129-1133.
2. Representation of manifolds. Math. Ann. 100 A928), стр. 552-578.
Wirtinger, W.
1. Uber die Verzweigungen bei Funktionen zwei Veranderlichen. Jhber.
Deutsch. Math.-Vereinig. 14 A905), стр. 517.
Zariski, O.
1. On the topology of algebroid singularities. Amer. Journ. Math. 54 A932),
стр. 453-465.

Предметный указатель
Ап — знак аппроксимации 326
Абелева группа § 86; аддитивная запись
387
Автоморфизм фундаментальной группы
при перемене начальной точки 201
— фундаментальной группы одномер-
одномерной группы Бетти тора; упр. 1. 131
при деформации 227
при перемене поверхности 405
Аксиомы окрестного пространства 33
Алгебраическая геометрия 412
Алгебраическое значение нульмерного
цикла 91
Александера закон двойственности 413
Альтернированая сумма чисел Бетти
116
Амфидромная кривая B8), 405
Амфидромные кривые 407
Аппроксимация (= приближение) сим-
плициальная IV гл., в частности 138
— барицентрического подразделения
147
— границы 146
— одновременная 329
— особых комплексов 145
Аппроксимирующая вершина 142
Асимметрия ориентированного многооб-
многообразия D8), 357
Афинное (=линейное) отображение сим-
симплекса 56
База гомологии fc-мерная 90, 97, 106
дуальная 322
по модулю 2 191
поверхности 191
— слабых гомологии дуального клеточ-
клеточного разбиения 332
База решетки 388
— Lk всех fc-мерных комплексов 100
Барицентрические координаты 53
Барицентрическое подразделение звезд-
звездного комплекса 292
ориентированного n-мерного сим-
симплекса 133
особого алгебраического комплекса
140
полиэдра 264
симплициального комплекса 68
Бесконечные поверхности D), 24
Бесконечный комплекс 66
его группы Бетти 92
его топологическая инвариант-
инвариантность 66
как евклидова плоскость 42
как открытое подмножество евкли-
евклидова пространства 79
Бинарная группа икосаэдра E2), 279
Бутылка Клейна 23
Веблена обобщение закона двойственно-
двойственности Пуанкаре 323
Векторное поле на сфере 372
непрерывное 416
Верхний индекс (=индекс размерности)
60, 68
Вершина многогранника 264
— полигона 170
— полиэдральной поверхности 171
— симплекс 52
Взаимно однозначное отображение 384
Винтовой узел C1), 230
Вложение неориентируемой поверхности
399
Внутренние топологические свойства 12
Внутренняя точка выпуклой области 55
ее топологическая инвариантность
40
ограниченного псевдомногообразия
120
подмножества 36
топологического симплекса 59
Волокнистое пространство 409
Волокно волокнистого пространства 410
Вспомогательные пути группы симпли-
циальных путей 214
Выпуклая область 55, 134
ее граница, внутренняя точка 55
есть n-мерный элемент 71
как симплициальная звезда 74
топологическое произведение двух
выпуклых областей 77
Выпуклое замыкание 56

Предметный указатель
437
Вырождающееся отображение симплек-
симплекса Еп на 'Ег 56
Вырождающийся особый симплекс 56
его граница 128
записанный формально в виде
суммы 108
Высверливание узла 287
Вычеты целых чисел по модулю 2 110
Гиперболические пространственные
формы 410
Гиперболическое пространство додека-
додекаэдра 279
Гипотеза Пуанкаре 204, 279
Гладкое пересечение особых комплексов
343
Гомеоморфизм 10, 40
— пространств линзы 268, 274, 282
Гомологии (знак ~) 86
— слабые (знак ~) 95
Гомологическая сфера (=пространство
Пуанкаре), определение 279
— примеры C3), 290
Гомологично независимые fc-мерные ал-
алгебраические комплексы 90
по модулю 2 113
Гомологичные алгебраические комплек-
комплексы § 7, 98
по модулю 2 111
— нулю пути 223
циклы 86
циклы по модулю 89
— пути 221
Гомоморфное отображение групп Бетти
130
группы 379
инвариантно относительно де-
деформаций 155, 227
фундаментальной группы 202
Гомоморфное отображение фундамен-
фундаментальной группы 201
Гомотопная деформация комплекса в се-
себя 150
отображения 150
пути 195
Гомотопный нуль путь 199
Граница 36
— n-мерного элемента 71
— алгебраического комплекса D2), 82
по модулю 2 112
— барицентрического подразделения
особого симплекса 141
— выпуклой области 55, 72
— нульмерного алгебраического ком-
комплекса 83
— ограниченного многообразия 283
— однородного комплекса 67
— ориентированного симплекса 82
— особого алгебраического комплекса
128
— особого симплекса 127
— симплекса 56, 59
— топологическая инвариантность 167
Граничная точка подмножества 37
— точка; ее топологическая инвариант-
инвариантность 41
Граничная сторона ограниченной по-
поверхности 184
Граничные соотношения 98, 99
Граничный алгебраический комплекс 81
по модулю 2 111
Граничный путь двухмерного сим-
симплекса 205
куска поверхности 210
Группа 374
— Бетти бесконечного к = 0 90
бесконечного к > 0 90
бесконечного n-мерного симплекса,
n-мерной сферы, n-мерной звезды 94
бесконечного комплекса 92
бесконечного листа Мебиоса 103
бесконечного псевдомногообразия
117
бесконечного размерности к § 18, 27
бесконечного специальных ком-
комплексов: кругового кольца, проек-
проективной плоскости, тора 92
в точке § 32, их топологическая ин-
инвариантность B0), 158
и фундаментальная группа 220
общего окрестностного простран-
пространства 403
особая § 27, 127
по модулю подмножества 404
составного комплекса 200
трехмерного многообразия 235, 244
— винтового узла 231
— гомологии 402
— дополнительная (=факторгруппа)
379
— комутант 382
— свободная 384
— свободная абелева 386
— свободная циклическая 376
— симплициальных путей симплициаль-
ного комплекса 205
линейного и поверхностного ком-
комплекса 210
— скольжений 251
— узла 357
— циклическая 376

438
Предметный указатель
Группа Бетти; гомоморфное отображе-
отображение 111
Группа Бетти; доказательство топологи-
топологической инвариантности; нахождение
403
Групповая единица 374
Групповые аксиомы 200
Группы Бетти fc-мерные 96, 105
дуальные 322
и коэффициенты кручения 92
и ориентируемость 155
на поверхности 191
Двойной маятник 28
— тор дуальные базы гомологии 343
— тор (=крендель) 15, 224, 254
Двойной тор; накрытие двулистное 261
Двойной тор; накрытие трехлистное 235,
251
Двулистное накрытие 250
ориентируемое 348
Двусторонность § 76, 18
Двухбережное циклическое сечение 192
Декартовы координаты (9), 87
Детерминант преобразования линейного
отображения 34, 132
Деформация комплекса без двойных то-
точек E1), 371
в себя 150
ее степень отображения 362
— отображения §31, 149
в симплициальное отображение 152
гомотопная 150
группы Бетти 154
изотопная 150
особые алгебраические комплексы
152
фундаментальная группа 226
— пути гомотопная 195
— пути комбинаторная 205
— пути непрерывная 205
— пути с разрывами B9), 407
— пути свободная 225
— пути связанная 225
Деформация без неподвижных точек 371
Диагональная форма матрицы 391
Диаграмма Хегора C4), 280
Диаметр множества евклидова про-
пространства 46
Додекаэдра поверхность 171
Дополнительное пространство винтово-
винтового узла 231
узла 287, 359
Дополнительное множество 37, 355
Дуальные базы 318
слабых гомологии 322
— звезды 295
— клеточные базы 320
— клеточные разбиения /г-многообразий
308
Дуальные базы на поверхности 321
Евклидова плоскость гомеоморфна вну-
внутренности круга 42
гомеоморфна проколотой сфере 41
есть полиэдр 61
просто-связна B6), 204
Евклидово пространство группы Бетти
в точке евклидова пространства 164
— пространство; однородность 401
— пространство; ориентация 132
Евклидовы пространственные формы
409
Единичная n-мерная сфера 72
Единичная билинейная форма 319
Единичный элемент группы 374
Жирный шрифт для неориентируемых
образов 58
Жордана теорема 413
Зависимость гомологическая 90, 112
— линейная 91, 113
Закон двойственности Пуанкаре 309
обобщенный Вебленом 322
по модулю 2 315
Закрученная лента 12, 17
Замкнутая поверхность § 2, 170
Замкнутое /г-многообразие 261, 302
Замкнутое подмножество окрестностно-
го пространства 36
Замкнутый путь 195
Замыкание 36
— множества в евклидовом простран-
пространстве 44
— пространства при помощи групп 400
Зацепления коэффициенты D2), D7),
D8), 353
Звездное разбиение /г-многообразия 309
Звездный комплекс 291
— однородный 293
Значение алгебраическое нульмерного
алгебраического комплекса (=сумма
коэффициентов) 91
Идентификация см. отождествление
Изоморфные группы 379
— звездные комплексы 294
Изотопные деформации отображений
150
— пространства 196
Изотопные кривые на поверхности 24

Предметный указатель
439
Икосаэдра группа бинарная E2), 279
Инвариантность топологическая 40, 123,
141, 149
в малом 158
в целом 404
границы 165
групп Бетти 148
индексов пересечения 332
конечного комплекса 66
области 413
однородности 166
окресности 40
ориентируемости § 36, 121
открытого подмножества 40
псевдомногообразия 167
размерности 67, 165
размерности §33, 21, 405
связанного комплекса 67
точки наклонения 40
чисел Бетти и коэффициентов кру-
кручения 149
эйлеровой характеристики 149
Инвариантность группы Бетти при
непрерывном отображении 130
Инвариантные множители целочислен-
целочисленной матрицы 102, 391
Инварианты в целом и в малом 158
— численные (=числа Бетти и коэффи-
коэффициенты кручения) 106
Индекс пересечения дуальных его топо-
топологическая инвариантность 332
клеток 309
клеточных алгебраических ком-
комплексов дуальных клеточных разби-
разбиений 316
особых алгебраических комплексов
329
по модулю 2 318, 346
произвол в определении 412
Индекс неподвижной точки 416
Индекс размерности всегда ставится
вверху 61, 68
Индуцированная ориентация стороны
клетки 299
симплекса 82
Инцидентные звезды звездного ком-
комплекса 292
— симплесы 61
if-классы соединяющих путей 246
Кватернионы; пространство кватернио-
кватернионов 254
Классы гомологии 25, 85, 129, 407
— их инварианты 155, 226, 361
— линейчатых путей [w] 207
— неподвижных точек 416
— отображений 150
— путей w 200
Клетка fc-мерная 298
— ориентированная 299
— по модулю 2 (=неориентированная)
302
Клеточная аппроксимация 325
клеточных алгебраических ком-
комплексов по модулю 2 328
Клеточное разбиение /г-многообразий
308
Клеточный комплекс 298
алгебраический 299
по модулю 2 301
— подкомплекс 325
Когерентная ориентация 117
Когредиентные преобразования и ряды
переменных 319
Кольцо закрученное 12, 18
— классов гомологии 412
Комбинаторная гомотопия 176
— топология A0), 65
Комбинаторные деформации B7), C9),
205
Коммутант 382
Коммутативная запись абелевых групп
387
Коммутатор 382
Комплекс 59
— алгебраический 80
fc-мерный 81
клеточный 298
по модулю т 402
по модулю 2 110
— бесконечный как открытое подмноже-
подмножество евклидова пространства 79
— деформации 150
— конечный 66
— однородной ограниченной 67
— особый 325
— с границей, равной нулю (цикл) 82
— связный 66
— симплициальный 60
— симплициальный вложенный прямо-
прямолинейно в евклидово пространство 65
— удвоение 168
Комплексная проективная плоскость
412
Комплексное проективное пространство
404
Конечная точка отрезка 58
пути 194
Конечо-листные покрытия 254
Контрагредиентные преобразования 319
Координаты барицентрические 53
— декартовы 54

440
Предметный указатель
Коэффициенты зацепления D2), D7),
D8), 353
— кручения D2), D7), D8), 354
Коэффициенты кручения абстрактной
fc-мерные, симплициального ком-
комплекса 89
п-мерные 92
вычисление из кусочков матриц ин-
циденций 107
вычисление из матриц инциденций
106
геометрическое значение для про-
пространств линзы 272
группы 392
группы октаэдра 394
нульмерные 91
поверхностей 188
проективной плоскости 92
псевдомногообразия 119
топологическая инвариантность
148
Край симплициальной звезды 74
Кратность накрытия (=число листов)
239
— симплекса в алгебраическом комплек-
комплексе 65
Круг, отображение его на себя 42
Круг; Удвоение 169
Круг; отождествление всех граничных
точек 51
Круговая стрелка, ориентирующая 58,
173
Кручения fc-мерная база 79, 324
— fc-мерная группа 96
Куб ее эйлерова характеристика 178
— как комплекс, дуальный октаэдру 298
— поверхность 171
Куски симплициального разбиения 106
Кусочная система 108
клеточного комплекса 301
поверхности 188
трехмерного многообразия 270
Кусочная система и группа Бетти 106
Кусочные комплексы 15
по модулю 2 114
Ли — Гельмгольца условия движения
C8), 400
Линейно зависимые fc-мерные алгебраи-
алгебраические комплексы 91
по модулю 2 113
Линейное отображение (=афинное)
призмы 133
симплекса 56, 59
Линейные элементы; пространство ли-
линейных элементов A2), 254
Линейчатый комплекс 117
его фундаментальная группа 217
огибается поверхностью упр. 2, 183
упр. 3, 210
Лист Мебиуса 18
замкнутый (=проективная плос-
плоскость) 19
как ограниченное псевдомногооб-
псевдомногообразие 120, 121
Локальные свойства 158
Максимум; теорема о максимуме 44
Матриц преобразование 100, 390
Матрица инциденций клеточная 301
кусочная 107
по модулю 2 112
псевдомногообразия 119
симплициальная 98
— нормальная форма 102
Матричное исчисление 99
Мебиуса пленка 22, 178
— их число неориентируемой поверхно-
поверхности 181
— связь с канонической формой неори-
неориентируемой поверхности 179
Меридиан тора 13
Метод топологического произведения
416
Метрика 409
Многообразие 68
— двумерное 183
— просто-связное 204
— трехмерное 261
Многообразия гомологические /г-много-
образия n-мерные гл. 10, D1), 291
— группы Бетти 270, 279
— замкнутые 261
— из узлов 286
— ограниченные 411
— ограниченные B0), 283
— построения при помощи диаграммы
Хегора и средством разветвленных
накрытий 280
— симметричные 357
— трехмерные гл. 9 261
— фундаментальная группа § 62 273
Многоугольник (=полигон) 170
Множества в евклидовом пространстве
36
Множители инвариантные целочислен-
целочисленные матрицы 101, 391
Модуль го; алгебраический комплекс по
модулю го 402
Модуль 2; алгебраический комплекс по
модулю 2 110

Предметный указатель
441
Модуль; алгебраические комплексы по
модулю подмножества D1), 404
— индекс пересечения по модулю 2 318,
346
— особый алгебраический комплекс по
модулю 2 403
Монодромии группа 254
Накрывающий комплекс VIII гл. 233
— полиэдр неразветвленный 233
— полиэдр VIII гл.; 233
— путь 237
— равенство накрывающих полиэдров
235
Накрытие в частности, простейшего уз-
узла 258
— внешнего и подгруппа фундаменталь-
фундаментальной группы 241
пространства узла 358
— двойного тора 235, 250
— двулистное 250
— конечно-листное 254
— кругового кольца 233
— кругового узла 234
— регулярное 250
— трехмерной сферы разветвленное 282
— универсальное 248
Накрытия дополнительного простран-
пространства простейшего узла 258, 283
Направление обхода многоугольника 17,
173
треугольника 58
Натягивание элемента поверхности 211
Начальная вершина отрезка 58
— точка пути 194
Независимые (в смысле гомологии)
fc-мерные алгебраические комплек-
комплексы 90
— групповые соотношения 376
— линейно fc-мерные алгебраические
комплексы 91
Неограниченность; условие неограни-
неограниченности для пространственных
форм 409
— условие неограниченности накрываю-
накрывающего полиэдра 233
Неориентируемая вложение поверхно-
поверхностей 399
— поверхность 18, 176
Неориентируемое многообразие 263
трехмерное 263
— псевдомногообразие 99
Неориентируемый тор (=бутылка Клей-
Клейна) 23
Неподвижные деформации, не имеющие
неподвижных точек, E1), 370
— минимальное число их 416
— отображения n-мерной сферы на себя
E1), 370
— точки E0), 367
Неподвижные точки отображения шара
на себя 370
Неподвижные точки при отображении
проективного пространства на себя
370
Непосредственно инцидентные звезды
292
Непрерывная деформация пути, B7),
205
— функция 38
Непрерывное отображение 37
Непрерывное отображение тора на себя
131
Непрерывность обратного отображения
51
Непрерывность; класическое определе-
определение 38
— равномерная 44
— сущность 31
Неразветвленность накрывающего поли-
полиэдра 233
— псевдомногообразия 117
Неразветвленный накрывающий поли-
полиэдр 233
Несобственная прямая 20
n-мерная сфера 72
n-мерный симплекс § 9, см. симплекс
Нормализатор подгруппы фундамен-
фундаментальной группы 253
Нормальная форма матриц инциденций
99
ограниченныхь поверхностей 184
полиэдральных поверхностей 176
симметрическая 182
целочисленных матриц 102, 395
Нулевой элемент абелевой группы 388
Область (= открытое подмножество) 164
— разрывности как пространственная
форма 409
Образ группы 418
— множества 37
— точки 38
Образующая группы 374
— фундаментальной группы 184
Обратное отображение 34, 51
Обратный противоположный элемент
375
— путь 195
Обращение ориентации при топологиче-
топологическом отображении 169
Обходная дуга 350

442
Предметный указатель
Ограниченная поверхность 184
Ограниченное n-мерное многообразие
411
— множество евклидова пространства
44
— псевдомногообразие 120
— трехмерное многообразие 283
Ограниченный однородный комплекс 68
Одинаково ориентированные симплексы
евклидова пространства 132
симплициальные разбиения псев-
псевдомногообразия 169
Одинаково направленные трансверсаль-
ные однородные одномерные клетки
350
Одновременная аппроксимация алгебра-
алгебраических комплексов 329
Одномерные классы гомологии симпли-
циального разбиения 86
Однородность евклидова пространства
401
— метрическая C8), 409
Однородный комплекс 67
звездный 293
Одностороннее многообразие 348
Односторонние поверхности 16, 348
Окрестностное пространство 33
Окрестностные аксиомы (8), 33
Окрестностный комплекс 159
Окрестность 34
— в евклидовом пространстве 33
— в комплексе 60
— в подмножестве евклидова простран-
пространства 43
— в связке прямых 51
— кубическая 39
— на кривых 35
— отмеченная 234
— симплициальная 159
— точки симплекса 54
— шаровая 34
Окружность; универсальная накрываю-
накрывающая ее 248
— фундаментальная группа ее 217
Октаэдр как звездный комплекс 298
Октаэдра группа 394
— пространство 273
— фундаментальная группа простран-
пространства октаэдра 279
Октаэдральное разбиение n-мерной сфе-
сферы 109
Определение фундаментальной группы
трехмерного многообразия при помо-
помощи поверхностного комплекса 263
Определяющие соотношения группы 376
дополнительной группы 381
подгруппы 260
фундаментальной группы 216
Ориентация 58
— n-мерных алгебраических комплексов
и одинаковая 168
— n-мерных симплексов одинаковая 132
— евклидова пространства 132
— индуцированная 82
— клетки 298
— многоугольника 174
— нульмерного симплекса 58
— особого симплекса 123
Ориентируемость многообразия 262, 272
— ограниченной поверхности 185
— поверхности; двусторонность 348
Ориентирующие циклическое сечение
193
Ориентирующий n-мерный алгебраиче-
алгебраический комплекс на псевдомногообра-
псевдомногообразии 169
Основания призмы 132
Основная теорема топология поверхно-
поверхности B2), 182
Основная точка 233
Основной путь 237
Основные формы, метрические 409
Особая симплициальная звезда 142
Особое круговое кольцо 25
Особые группы Бетти 127
Особый алгебраический комплекс 125
— комплекс 325
— комплекс по модулю 403
— прямоугольник деформации 274
— симплекс 122
вырождающийся 124
— элемент поверхности 199
Ось призмы 133
Открытое подмножество евклидова про-
пространства 36
евклидова пространства есть беско-
бесконечный комплекс 79
Отмеченная окрестность 234
Отображение 37
— в и на множество 37
— гомоморфное групп 379
группы Бетти 129
фундаментальной группы 202
— линейное (= афинное) n-мерное сим-
симплекса 56
призмы 133
— непрерывное 37, 361
n-мерной сферы 155
— обратное 37
— топологическое 21
си без обращения ориентации 169

Предметный указатель
443
Отображение с помощью обратных ра-
диус-векторов 28
Отображение симплициальное 151
Отображение, сохраняющие границу 364
Отображение; их произведение UT
(справа Т, затем U) 50
Отождествление точек как способ по-
построения комплексов 47
окрестностного пространства 48
Отражение n-мерной обращает ориента-
ориентацию 169
сферы 155
Отрезок (= одномерный симплекс) 54
— и окружность негомеоморфны 11
Отрезок соединяющий две точки топо-
топологического симплекса 55
Параллельные координаты (= декарто-
декартовы координаты) C), 53
Параметр деформации 155
Пеано кривая 123, 166
Перенос ориентации вдоль пути 352
Пересечение 35
Перестановка вершин n-мерного сим-
симплекса 57
Пленка Мебиуса 17, 178
Плоскость проективная 14, 20
Поверхностный комплекс 210
Поверхность бесконечная D), 24
— как многообразие 171
— ограниченная 184
— ориентируемая 353
— разбитая на многоугольники 170
Подкомплекс комплекса 66, 328
— однородный (= алгебраический) ком-
комплекс по модулю 2 110
Подмножество окрестностного про-
пространства 35
Подразделения поверхностного ком-
комплекса 210
— системы многоугольников 172
Подразделенная поверхность 176
элементарно преобразуемая 175
Полый шар 280
Предельная точка последовательности
40
Представление группы 255
транзитивное 255
Преобразование элементарное всех базы
всех fc-мерных алгебраических ком-
комплексов 101
матриц 101
системы многоугольников 174
Преобразование групповых элементов
201
Преобразования контрагредиентное и
конгредиентное 319
Преобразования целочисленные унимо-
дулярные 97, 389
Приведение матриц инциденций к кано-
каноническому виду 106
по модулю 2 110
Приведенная группа Бетти A3), 96
Призмы евклидова пространства 132
Применение теоретико-групповых отно-
отношений 374
Принцип точки накопления 36
Проблема гомеоморфизма 275, 276
Проблема сфер 302
Проблема топологии поверхностей 405
Проективная плоскость как алгебраиче-
алгебраическая поверхность четырехмерного ев-
евклидова пространства 399
как замкнутый лист Мебиуса 17
как пучок прямых 62
комплексная 412
не может быть вложена в трехмер-
трехмерное евклидово пространство C), 284
односторонняя в проективном про-
пространстве 348
получается отождествлением диа-
диаметрально диаметрально-противопо-
диаметрально-противоположных точек сферы 62
циклы по модулю 2 112
числа Бетти модулю 2 113
Проективное пространство 28
п-мерное 74
как пространство линзы 269
как фазовое пространство 30, 78
комплексное 404
трехмерное, разбиваемое однопо-
однополосным гиперболоидом на два трех-
трехмерных кольца 78
характеристика 116
Проектирующий конус 55
Проекция параллельная 55
— стереографическая 73
— точечного множества 54
— центральная 42
Произведение UT двух отображений
(сначала Т, потом U) 37
— двух путей w = uv сначала и, затем v
195
— двух элементов группы (в абелевой
группе называется суммой) 387
— классов гомологии 412
— путей и сумма алгебраических ком-
комплексов 189
— свободное и прямое групп 383
Проколотая сфера 10
п-мерная 72

444
Предметный указатель
есть бесконечный комплекс 66
Прообраз особого симплекса 123
Простейший узел 11
как винтовой 230
правый и левый 408
Просто-связанные пространственные
свойства (= основные формы) 409
Пространственные клетки 352
Пространственных форм проблема 409
Пространство волокнистое 409
— всех проективных прямых 29
— додекаэдра гиперболическое 276
— додекаэдра сферическое 277, 283, 290
— конгруэнции 28
— конфигураций F), 30
— линейных элементов A2), 254
— линзы, асимитричные D8), 357
— линзы, определение 269
— окрестностное 31
— проективное A8), B8) 27, 74
— проективное A8), B8), 75
— сферическое 27, 31
— сферическое, эллиптическое, евкли-
евклидово, гиперболическое 409
— топологическое (8), 32
— фазовое 30
— числовое (евклидово) 34
Противоположно ориентированный осо-
особый симплекс 124
Прямая сумма абелевых групп 387
Прямое произведение групп 386
Прямолинейный комплекс 64
— симплекс евклидова пространства 53
Прямоугольник деформации особый 274
пути 196
Псевдомногообразие его размерность
A9), 117
— ограниченное 120
— ориентируемое 117
Псевдомногообразие, определение 117
Пуанкаре гипотеза 204, 282
Пуанкаре закон двойственности 309
Пустое множество 33
— слово 374
— слово (= единичный элемент) 374
Путей группа 195
Путь 194
— гомологичный нулю 220
— симплициальный и непрерывный 195
накрывающих комплексов
Равенство
235
— особых симплексов 125
— путей B4), 202
— слов из групповых элементов 375
— топологических симплексов 59
Равенство путей 406
Равномерная непрерывность; теорема о
равномерной непрерывности 43
Разбиение комплекса симплициальное
60
— призмы 133
Разбиение путей на классы 226
Развертывание поверхностей B), 13
Размерность выпуклой области 55
— замкнутого многообразия 404
— решетки 388
— симплекса 56
— симшгациального комплекса 68
Разрывы; деформация с разрывами 407
Расстояние двух точек евклидова про-
пространства 34
— двух точечных множеств 48
Рациональные числа 376
Ребро массивного полиэдра 264
— многообразия 351
— полиэдра 171
— симплекса 55
Регулярная группа перестановок 257
Регулярное накрытие 252
Регулярное накрытие тора 248
Решетка (= свободная абелева группа)
388
— всех fc-мерных циклов 97
— всех fc-мерных циклов, гомологичных
нулю 98
— всех fc-мерных циклов, слабо гомоло-
гомологичных нулю 97
— сопоставление решеток 104
Род 183
— замкнутой поверхности 188
Рукав заузленный 11
— односторонний 19
Ручка 17, 180, 183
Светлые латинские буквы для обозначе-
обозначения ориентированных образов 57
Свободная абелева группа h образую-
образующих 384
Свободная деформация пути B9), 225
Свободная цилиндрическая группа (=
свободная группа с одной образую-
образующей) 217
Свободно гомотопные пути 225
Свободное произведение групп 383
Связанная деформация пути B9), 225
Связанная пара особых алгебраических
комплексов 331
Связность; условие связности много-
многоугольников 168
Связный комплекс 66

Предметный указатель
445
Симметрическая нормальная форма
трехмерных многообразий 357
Симплекс п-мерный 52
вырождающийся 124
особый 122
получается проектированием 54
прямолинейный евклидова про-
пространства 53
топологический 56
— вершины, ребра, стороны его 53, 54
— выпуклость его 55
— граница, внутренняя точка, центр 55
Симплициальная звезда 74
как ограниченное псевдомногооб-
псевдомногообразие 120
особая 142
— окрестность 158
Симплициальная аппроксимация 149
Симплициальная звезда; характеристи-
характеристика 261
Симплициальное отображение 151
— разбиение комплекса 60
— разбиение призмы 133
Симплициальный комплекс 59
определяемый матрицами инциден-
ций 98
получается посредством отожде-
отождествления 63
прямолинейно вложенный в евкли-
евклидово пространство 69
— путь поверхностного комплекса 210
симплициального комплекса 195
Система многоугольников 172
Скольжение накрывающего комплекса
251
Слабые гомологии (знак «) 95
След матрицы 365
Следа формула § 79, 367
Слова, проблема в теории групп 376
Слово из групповых элементов 374
Сложение трехмерных многообразий
279, 357
Соединяющий алгебраический ком-
комплекс, с аппроксимацией 140
с клеточной аппроксимацией 326
Соответствие первого (второго) рода
сторон многоугольника 18
— (второго)рода многоугольника 272
Соотношения определяющие, группы
374
дополнительной группы 379
подгруппы 260
тривиальные 375
фундаментальной группы 214
Сопряженные циклические сечения D5),
345
— элементы фундаментальной группы
226
Соседние Тг-классы 244
— трансверсальные одномерные клетки
349
Составной комплекс; его его группы Бет-
Бетти 408
— его фундаментальная группа 228
Сохранение ориентации при топологиче-
топологическом отображении 169
Степень отображения 361
деформации 331
топологического 363
Стереографическая проекция 41
для п измерений 72
Стороны многогранника 263
— многоугольника 170
— особого симплекса 123
— симплекса 54
Стрелка, воткнутая в поверхность 351
— круговая 58, 173
— ориентирующая отрезок 58
Стягивание сторон многоугольника 177
Сумма двух алгебраических комплексов
по модулю 2 110
— двух особых комплексов 126
— коэффициентов нульмерного алге-
алгебраического комплекса 91
— множеств 33
— прямая 387
— трехмерных многообразий 280, 357
Сумма
— алгебраических комплексов 443
Сфера п-мерная 75
как универсальный накрывающий
полиэдр 254
— двумерная 17
как метрическая поверхность 409
как пространство линейных эле-
элементов 254
октаэдрально триангулированная
72
просто-связная 204
с h ручками 17
тетраэдрально триангулированная
62
— получается из шара 75
— простая связность ее 204
— трехмерная, разбитая на два трехмер-
трехмерных кольца 78
— четырехмерная, просверленная 232
Сфера; характеристика 183
Сферические пространственные формы
409
Сферическое пространство 27
додекаэдра 276-279

446
Предметный указатель
метрическое 409
Сферы, проблема 302
Схема полиэдра 266
— симплициального комплекса 62, 244
— системы многоугольников 174
Сходящаяся последовательность точек в
окрестностном пространстве 37
Тело неориентируемое 284
— рода h 280
Теорема Везу 412
Теорема о гомоморфизме групп 379
Теорема о деформации 152
Теорема об аппроксимации 147
Теория размерности 32
Тетраэдр (= трехмерный симплекс) 54
— ориентация 57
— перестановка вершин 53
Тетраэдральное разбиение п-мерной
сферы 72
Тождественные слова из групповых эле-
элементов 375
Топологическая инвариантность ориен-
ориентируемости 168
Топологическая инвариантность размер-
размерности B1), 165
Топологическая инвариантность эйлеро-
эйлеровой характеристики 149
Топологический симплекс 56
Топологическое произведение 76
двух сфер 204
окружностей 269
окружности и сферы 269
Топологическое вложение поверхности
409
Топологическое отображение 10, 40
Топологическое произведение проектив-
проективной плоскости на окружность 348
Топологическое пространство 400
Топология поверхностей A0), 170
Топология поверхностей; основная тео-
теорема B2), 182
Топология чисто комбинаторная 401
Тор 12
— как пространство конфигураций
двойного маятника 28
— неориентируемый (= бутылка Клей-
Клейна) 18, 175
— особый (= непрерывный образ тора )
15
— рассматриваемый как квадрат 13
— с отверстием (= ручка) 15
Тор; Эйлерова характеристика 175
Тор; диаграмма Хегора 281
Точечные множества в евклидовых про-
пространствах 43
Точка накопления подмножества 36, 40
Точка накопления подмножества; ее то-
топологическая инвариантность 40
Точки совпадения 416
Транзитивное представление групп 255
Трансверсальная одномерная клетка
многообразия 349
Трансляция; группа трансляций евкли-
евклидовой плоскости 47
Транспонирование матрицы 313
Треугольник (= двумерный симплекс)
54
— согнутый (= особый двумерный сим-
симплекс) 123, 127
Трехмерное кольцо (= топологическое
произведение окружности на круг)
78
волокнистое 409
и пространства линзы 269
как ограниченное многообразие 279
Трехмерные многообразия; см. многооб-
многообразия 261
Триангулируемый 14
Тривиальные соотношения 216, 375
Удвоение ограниченного однородного
комплекса 169
— поверхности с г отверстиями 188
Узел простейший 11
Узлы в четырехмерном евклидовом про-
пространстве 399
Укрупнение системы многоугольников
175
Универсальное накрытие 248
Условие подвижности C8), 400
Условие связности псевдомногообразия
117
Фазовое пространство 30
Фигура геометрическая 13, 19
Формула неподвижных точек § 80, 370
общая 416
— связи в аппроксимациях 149
в особой призме 153
в призме 135
— следа § 79, 365
Формула неподвижных точек для поло-
полого шара 370
Фундаментальная группа n-мерного ев-
евклидова пространства 203
n-мерного симплекса 203
VII гл., B5), 14
в точке 227
дополнительного пространства
винтового узла 230
замкнутой поверхности 204
и группы Бетти 220

Предметный указатель
447
и деформация отображений 227
как группа скольжений 233
неориентированного трехмерного
многообразия 263
окружности, кольца, трехмерного
кольца 217
проективной плоскости 253
составного комплекса 228
топологического произведения 196
трехмерного многообразия § 62, 349
четырехмерного многообразия 232
Фундаментальная группа 194, 250
Фундаментальная группа топологиче-
топологического произведения 202
Фундаментальная группа тора 217
Фундаментальный многоугольник @),
(h), (fc), 181
двойного тора (рис. 10) 16
поверхности 15
проективной плоскости (рис. 18) 23
сферы (рис. 11) 17
тора (рис. 19) 23
тора (рис. 5) 15
Функция непрерывная 38
Характер матрицы (= след) 365
Характеристика эйлерова n-мерной сфе-
сферы и n-мерного проективного про-
пространства упр. 2 117
замкнутого трехмерного многооб-
многообразия 263
замкнутой поверхности 182
как альтернирующая сумма чисел
Бетти 116
куба и тора 175
накрытия д-листного 239
ограниченного трехмерного много-
многообразия 283
ограниченной поверхности 185
полиэдральной поверхности 175
реберного комплекса 218
симплициального комплекса 116
симплициальной звезды 267
Хаусдорфа аксиомы топологического
пространства 400
Хегора диаграмма § 63, 409
Центр n-мерного симплекса 54
— призмы 133
— симплициальной звезды 94
Цикл 129
— в точке 404
— по модулю 2 112
Циклическая группа 376
Циклическое сечение на поверхности
D5), 192
однобережное и двубережное 192
превращающее поверхность в ори-
ориентирующую 192
Циклическое накрытие узла 259, 359
в малом 259
Циклическое сечение; аналог цикличе-
циклического сечения для образов высших
размерностей 345
Четырехлистные накрытия тора 235
Четырехмерное пространство A), C),
232
Числа Бетти абстрактной группы 394
группы октаэдра 394
Численные инварианты (= числа Бетти
и коэффициенты кручения) 106
Число Бетти fc-мерное симплициального
комплекса 89
n-мерного псевдомногообразия 118
п-мерное 92
n-мерное псевдомногообразия 118
р1 ориентируемого ограниченного
трехмерного многообразия 285
р2 топологического произведения
двух сфер 285
по модулю т 402
по модулю 2 fc-мерное 112
поверхности 188
проективной плоскости 116
Число Бетти; геометрическое значение
191
Число Бетти; его вычисление с помощью
матриц инциденций 106
Число Бетти; его вычисление с помощью
матриц кусочных инциденций 106
Число Бетти; топологическая инвари-
инвариантность 131, 148
Число листов g накрывающего комплек-
комплекса 239
Числовая прямая (= евклидова прямая)
просто-связная 204
Шар евклидова пространства 71
— как ограниченное многообразие 283
— как трехмерный полиэдр 280
— просверленный 371
Шар; отождествление всех граничных
точек, см. симплекс 73
Эйлерова формула обобщенная 367
полиэдров 116
Эйлерова полиэдральная поверхность
175
Эквивалентные точки окрестностного
пространства (отождествление) 47
Эквивалентные узлы C9), 287

448 Предметный указатель
Элемент n-мерный; см. также симплекс Элементарные преобразования базы
и шар fc-мерных алгебраических комплек-
Элемент поверхности 171 сов 101
Элемент поверхности особый (= непре- матрицы 100, 391
рывный образ круга) 199 системы многоугольников 174
Элементарная преобразуемость 65
полиэдральных поверхностей 174
Элементарная комбинированная дефор- Ящичная форма кососимметрической
мация 205 матрицы 345
Г. Зейферт, В. Трельфалль
Топология
Дизайнер М. В. Ботя
Технический редактор А. В. Широбоков
Компьютерная верстка Р. Р. Сафин
Корректор М. А. Ложкина
Подписано в печать 10.09.01. Формат 60 х 841/16.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 26,04. Уч. изд. л. 26,34.
Гарнитура Computer Modern Roman. Бумага газетная.
Тираж 1000 экз. Заказ №
Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика»
426057, г. Ижевск, ул. Пастухова, 13.
Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084 от 03.04.00.
http://rcd.ru E-mail: borisov@rcd.ru
Отпечатано в полном соответствии с качеством
предоставленных диапозитивов в ГИПП «Вятка».
610033, г. Киров, ул. Московская, 122.