ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ
серия основана в 1 996 г.
Министерство образования Российской Федерации Новосибирский государственный технический университет
Н.Ш. НИКИТИНА
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ
Издание 2-е, переработанное и дополненное
Рекомендовано
Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностям
Москва — Новосибирск ИНФРА-М - НГТУ 2001
УДК 519.2(075.8) ББК 65.051я73
Н62
Рецензенты:
В. В. Губарев, д-р техн, наук, проф.
А.	И. Кричевский, канд. техн, наук, проф.
В.	И. Хабаров, д-р техн, наук, проф.
Н. Я. Бамбаева, канд. экон. наук.
Н62
Никитина Н.Ш.
Математическая статистика для экономистов: Учеб, пособие.-2-е изд., перераб. и доп.- М.: ИНФРА-М; Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2001. - 170 с. - (Серия «Высшее образование»),
ISBN 5-16-000793-8 (ИНФРА-М)
ISBN 5-7782-0349-7 (НГТУ)
Учебное пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта к профессиональным образовательным программам по направлениям подготовки: 521500 — «Менеджмент», 521600 - «Экономика», 522200 — «Статистика», — и специальностям: 060100 - «Экономическая теория», 060400 — «Финансы и кредит», 060500 — «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 061100 - «Менеджмент организации», 061500 -«Маркетинг», 061700 - «Статистика», 061800 - «Математические методы в экономике», 062100 - «Управление персоналом», 351400 — «Прикладная информатика (в экономике)». В пособие включены разделы математической статистики: «Описательная статистика», «Предварительный анализ данных», «Корреляционный анализ».
Для преподавателей вузов и студентов.
ББК 65.051я73
ISBN 5-16-000793-8 (ИНФРА-М)
ISBN 5-7782-0349-7 (НГТУ)
© Н.Ш. Никитина, 2001
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..........;................................................ 6
Введение..................:.........................................   8
ВI.	Общие сведен ня.................................................. 9
В2.	Материальные объекты. Их вероятностная природа.................. 10
ВЗ.	Этапы решения задачи описания эмпирических данных вероятностными моделями.......................................................... 10
I.	Описательная статистика. Основные понятия выборочного метода...	12
1.1.	Основные понятия математической статистики. Задачи математической статистики.................................................... 13
1.2.	Этапы статистической обработки эмпирических данных с использованием компьютера.................................................. 18
1.3.	Оценивание характеристик случайных величин.................... 19
1.3.1.	Оценивание функционных характеристик..................... 20
1.3.2.	Оценивание числовых характеристик........................ 24
Задания для самоконтроля............................................. 30
1.4.	Интервальное оценивание числовых характеристик случайных величин............................................................ 33
1.4.1.	Асимптотические свойства оценок.......................... 34
1.4.2.	Постановка задачи интервального оценивания характеристик случайных величин. Основные понятия...........................  35
1.4.3.	Построение доверительных интервалов для математического ожидания....................................................... 37
1.4.3.1.	Построение доверительного интервала для математического ожидания	при известной дисперсии............. 37
1.4.3.2.	Построение доверительного интервала для математического ожидания	при неизвестной дисперсии........... 40
1..4	.4. Построение доверительных интервалов для дисперсии...	41
1.4.4.1.	Построение доверительного интервала для дисперсии при известном математическом ожидании...................... 41
1.4.4.2.	Построение доверительного интервала для дисперсии при неизвестном математическом ожидании.................... 42
Задания для самоконтроля............................................. 42
Контрольные вопросы и задания к главе 1.............................. 44
2.	Описание эмпирических данных вероятностными моделями............. 47
2.1.	Постановка задачи структурной и параметрической идентификации.. 48
3
2.2.	Типовые вероятностные модели одномерных непрерывных законов распределения. Общие сведения.............'....................... 50
2.2.1.	Нормальное (Муавра - Лапласа - Гаусса) распределение....	51
2.2.2.	Экспоненциальное (показательное) распределение.......... 51
2.2.3.	Равномерное (прямоугольное) распределение............... 52
2.2.4.	t-распределение Стьюдента............................... 52
2.2.5.	Распределение хи-квадрат................................ 53
2.2.6.	Распределение Фишера.................................... 54
2.3.	Упорядочение моделей. Метод плоскости моментов............... 54
2.4.	Статистическое оценивание параметров......................... 57
2.4.1.	Метод моментов.......................................... 58
2.4.2.	Метод максимального правдоподобия....................... 60
Задания для самоконтроля ........................................... 62
Контрольные вопросы и задания к главе 2............................. 63
3.	Предварительный анализ данных. Статистические критерии проверки гипотез............................................................. 65
3.1.	Постановка задачи. Общая логическая схема статистического критерия проверки гипотез.............................................. 66
Задания для самоконтроля.......................................... 69
3.2.	Проверка гипотез о равенстве числовых характеристик случайных величин........................................................... 70
3.2.1.	Проверка гипотез о равенстве дисперсий случайной величины при известных математических ожиданиях......................... 71
3.2.2.	Проверка гипотез о равенстве дисперсий случайной величины при неизвестных математических ожиданиях....................... 75
3.2.3.	Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий случайных величин при известных дисперсиях........................ 77
3.2.4.	Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий случайных величии при неизвестных дисперсиях :.................... 79
Задания для самоконтроля............................................ 80
3.3.	Проверка гипотез об однородности двух или нескольких выборок.	82
3.3.1.	Проверка гипотез об однородности двух выборок по критерию/2...	83
3.3.2.	Проверка гипотез об однородности двух выборок по критерию Вилкоксона-Манна-Уитни......................................... 85
Задания для самоконтроля.................;.......................... 88
3.4.	Проверка гипотез о стохастической независимости элементов выборки........................................................... 89
3.4.1.	Критерий серий, основанный на медиане................... 90
3.4.2.	Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий.............. 92
3.4.3.	Критерий стохастической независимости Аббе.............. 94
Задания для самоконтроля............................................ 95
3.5.	Проверка гипотез о согласии эмпирического распределения и выбранной модели.................................................... 97
3.5.1.	Критерий согласия /2 - Пирсона.......................... 97
3.5.2.	Критерий согласия Колмогорова-Смирнова.................. 101
4
Задания для самоконтроля........................................... 104
Контрольные вопросы и задания к главе 3............................ 105
4.	Анализ статистической связи. Корреляционный анализ............. 107
4.1.	Общие сведения. Задачи корреляционного анализа.............. 109
4.2.	Анализ статистической связи между количественными переменными. Измерение парных статистических связей.......................... 112
4.2.1.	Коэффициент корреляции................................  112
4.2.1.1.	Оценивание и свойства коэффициента корреляции.........	112
4.2.1.2.	Проверка гипотезы об отсугсгвии линейной сгатисгической связи..................................................... 116
4.2.1.3.	Доверительные интервалы для иегинного значения коэффициента корреляции..................................... 118
4.2.2.	Корреляционное отношение............................... 119
4.2.2.1.	Оценивание и свойства корреляционного отношения.	119
4.2.2.2.	Проверка гипотезы об отсутствии нелинейной корреляционной связи............................................. 123
4.2.3.	Частный коэффициент корреляции.......................'	125
Задания для самоконтроля........................................... 126
4.3.	Анализ статистических связей между порядковыми переменными. Ранговая корреляция............................................... 128
4.3.1.	Общие сведения .......................................  128
4.3.2.	Оценивание парных ранговых связей...................... 130
4.3.2.1.	Ранговый коэффициент корреляции Спирмэна......	130
4.3.2.2.	Ранговый коэффициент корреляции Кендалла........ 132
4.3.3.	Анализ множественных ранговых связей................... 135
4.3.3.1.	Коэффициент конкордации......................... 135
4.3.3.2.	Проверка статической значимости множественной связи 137
Задания для самоконтроля........................................... 138
Контрольные вопросы и задания к главе 4............................ 139
Литература......................................................... 141
Ответы к заданиям для самоконтроля................................. 142
Приложения......................................................... 143
Приложение 1. Функция стандартного нормального распределения.....	143
Приложение 2. Процентные точки распределения Стыодента...........	145
Приложение 3. Процентные точки распределения хи-квадрат............ 147
Приложение 4. Процентные точки / ’-распределения Фишера.......... 151
Приложение 5. Критические точки статистики критерия Вилкоксона...	161
Приложение 6. Критерий Аббе........................................ 165
Приложение 7. Таблица значений функции Колмогорова................. 166
Приложение 8. Преобразование Фишера (z-преобразование) выборочного * коэффициента корреляции............................................ 167
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие явилось результатом многолетнего опыта автора в преподавании курса «Математическая статистика» студентам экономических специальностей. Особенность пособия -его прикладная направленность. Все практические примеры в пособии взяты из области экономики или управления социальными и экономическими системами.
Основная цель данного учебного пособия - научить студентов анализировать и идентифицировать исследуемую прикладную задачу, выбирать адекватные методы ее решения, решать задачу, интерпретировать результаты в терминах прикладной области и прогнозировать поведение исследуемого процесса при изменении влияющих факторов.
В пособие включены лишь некоторые разделы математической статистики, призванные сформировать теоретическую базу и практические навыки, которые могут быть использованы студентами как в будущей профессиональной деятельности, так и при последующем изучении таких дисциплин, как «Статистика», «Эконометрика» и др.
Учебное пособие состоит из предисловия, введения, четырех глав («Описательная статистика. Основные понятия выборочного метода», «Описание эмпирических данных вероятностными моделями» «Предварительный анализ данных. Статистические критерии проверки гипотез», «Анализ статистической связи. Корреляционный анализ»), списка рекомендованной литературы и приложений с необходимыми таблицами математической статистики.
Пособие написано таким образом, чтобы студенты имели возможность самостоятельно изучать курс. Каждая глава теоретического материала начинается ее структурной схемой, позволяющей студенту составить целостное представление об изучаемом материале, увидеть взаимосвязь отдельных тем, понятий в теме, место темы в главе и курсе. Каждой теме предшествуют цели, которые должны быть достигнуты студентом в процессе ее изучения. Цели сформулированы в терминах, допускающих возможность последующей проверки их достижения. После изучения темы студент в состоянии сам проверить свои успехи, обратившись к целям и заданиям для самоконтроля, а преподаватель легко может составить контролирующие материалы, например в тестовой форме, ориентируясь на сформулированные цели.
В учебном пособии, наряду разобранными примерами приводятся контрольные задания, которые студенты при необходимости могут выполнить. Многие задания имеют содержательное описание.
6
Научная деятельность автора, послужившая основой для реализации данного учебного пособия, проводилась в Новосибирском государственном техническом университете при выполнении научных работ, связанных со статистической обработкой технической, медицинской, экономической, социологической и других видов информации.
Учебное пособие подготовлено на кафедре экономической информатики и в Научно-методическом центре Новосибирского государственного технического университета. По материалам пособия разработан электронный учебник.
Автор благодарен О. В. Казанской, совместная работа с которой повлияла на структуру курса и содержание основных разделов, а также В. В. Губареву, взявшему на себя труд прочесть рукопись и сделать ряд ценных замечаний и рекомендаций.
Автор признателен Э. И. Кропотовой, выполнившей компьютерный набор и оформление рукописи.
Н. Ш. Никитина
ВВЕДЕНИЕ
Mi Цели
Иметь представление:
•	об основных задачах математической статистики;
•	этапах решения задачи описания эмпирических данных вероятностными моделями;
•	природе исследуемого явления или процесса (стохастическая или детерминированная).
Знать:
•	определение понятия математической статистики;
•	понятия генеральной совокупности, выборки из генеральной совокупности;
•	характерные различия областей применения аппарата теории вероятностей и математической статистики.
Структура введения в курс «Математическая статистика» приведена на рис. 1.
Рис. 1. Структура введения
8
В 1. Общие сведения
Математическая статистика - это часть прикладной математической дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», которая изучает случайные явления, использует одинаковые с теорией вероятностей методы и понятия и основана на аксиоматике А. Н. Колмогорова [1].
Исследование поведения объекта или явления обычно осуществляется на основе изучения статистических данных - наблюдений и измерений. Поэтому первой задачей математической статистики является определение способов сбора и группировки статистической информации.
Вторая задача математической статистики состоит в разработке методов анализа статистических данных, адекватных целям исследования.
Итак, задачи математической статистики состоят в разработке методов сбора, систематизации и обработки статистических данных для их удобного представления, интерпретации и формирования научных и практических выводов.
Если попытаться дать сравнительную характеристику областей применения аппарата теории вероятностей и математической статистики, то результат можно представить в виде табл. 1.
Таблица I
Характеристика областей применения аппарата теории вероятностей и математической статистики
Теория вероятностей	Математическая статистика
1.	Модель, описывающая изучаемое явление или объект, известна априори (до опыта). Есть сведения обо всей генеральной совокупности, описывающей исследуемое явление 2.	Используемый математический аппарат не зависит от предмегной области 3.	Выводы о поведении исследуемого объекта или явления делаются по всей генеральной совокупности	1.	Модель, описывающая исследуемое явление, априори неизвестна 2.	Для определения модели можно проводить пробные испытания (сформировать выборку из генеральной совокупности) 3.	Иногда модель может быть задана априори с точностью до неизвестных параметров. 4.	Значения неизвестных параметров модели могут быть приближенно получены по выборке из генеральной совокупности 5.	Выводы о поведении объекта или явления делаются по выборке ограниченного объема и распространяются на всю генеральную совокупность
9
Генеральная совокупность - все мыслимые значения (измерения, наблюдения), описывающие поведение исследуемого объекта или явления.
Выборка из генеральной совокупности - ограниченный набор реально наблюдаемых выборочных из генеральной совокупности значений, описывающих исследуемый объект или явление. Количество этих значений называется объемом выборки.
В 2. Материальные объекты. Их вероятностная природа
Все законы природы и общества могут быть разделены на несколько классов, среди которых важное место занимают детерминированные и статистические (стохастические).
Детерминированные законы - это те, для которых характерно наличие причинной обусловленности протекающих процессов. К этому классу относятся законы небесной механики, физические законы (электричество, механика и пр.), т. е. все те, которые не имеют вероятностной природы.
Статистические (стохастические) законы определяют будущее состояние системы (объекта) неоднозначно, с некоторой вероятностью. Например, такие явления макромира, как долговременные изменения температуры, или явления микромира -положение электрона в электронной оболочке («электронное облако») и др.
Можно утверждать, что без случайности нет развития. Случайностью объясняются возникновение жизни на Земле, совершенствование биологических видов, исторические события, творческая деятельность, развитие социально-экономических систем [1].
Именно поэтому математическая статистика становится все более значимым инструментом статистического анализа и прогнозирования состояния, поведения и развития различных систем, в том числе экономических процессов и явлений.
В 3. Этапы решения задачи описания эмпирических данных вероятностными моделями
Решение задачи описания эмпирических данных (содержащих информацию о поведении реальных объектов) вероятностными моделями можно представить в виде пяти укрупненных этапов [1].
Содержание каждого этапа и применяемые на данном этапе методы отражены в табл. 2.
10

Табли ца 2
Этапы решения задачи описания эмпирических данных вероятностными моделями
Название этапа	Содержание этапа	Применяемые методы
1. Предварительная обработка данных (выборки из генеральной совокупности)	Анализ объема выборки, засоренности выборки, независимости элементов выборки	Методы непараметрической статистики (удаление засорений, проверка статистических гипотез, формирование требований к условиям проведения эксперимента)
2. Оценивание характеристик случайных величин	Точечное и интервальное оценивание числовых и функ-ционных характеристик	Методы непараметрического оценивания (как правило, при объеме выборки п < 60), параметрическое или непараметрическое оценивание (при объеме выборки п > 60)
3. Описание эмпирических данных вероятностными моделями (задачи аппроксимации)	Выбор типа модели, описывающей эм-пирическиещанные	Методы упорядочения моделей и выбора аппроксимирующего распределения (модели)
4. Оценивание неизвестных параметров модели	Точечное и интервальное оценивание параметров	Методы интервального и точечного	оценивания параметров модели (моментов, максимального правдоподобия и пр.)
5. Проверка гипотез о согласии модели и эмпирического распределения	Проверка адекватности выбранной модели и эмпирического распределения	Методы проверки гипотез о согласии (у2-Пирсона, Колмогорова - Смирнова, со2-Мизеса и пр.)
1. ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА
Структура главы «Описательная статистика. Основные понятия выборочного метода» представлена на рис. 2.
fio Яели
Иметь представление:
•	об основных задачах математической статистики (МС);
•	этапах статистической обработки эмпирических данных.
Знать и уметь различать понятия:
•	малая, большая и репрезентативная выборки;
•	формы представления выборки (негруппированная, группированная, вариационный ряд);
•	функционные и числовые характеристики случайных величин [6, 8];
•	точечные и интервальные оценки характеристик случайной величины;
•	характеристики положения, рассеяния, формы распределения;
•	характеристики порядковых статистик.
Уметь:
•	получать по выборке из генеральной совокупности оценки начальных и центральных моментов, оценки коэффициентов асимметрии и эксцесса, оценки характеристик порядковых статистик (медиану, квантили, процентили, квартили, децили, размахи), оценки функции и плотности распределения вероятностей случайной величины;
•	строить полигон частот, гистограмму и график накопленных частот.
Рис. 2. Структура раздела «Описательная статистика. Основные понятия выборочного метода»
12
1.1.	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Обозначим количество всех подлежащих обследованию объектов N (i = 1, N). Допустим, что каждому объекту i соответствует значение х,. Согласно данному ранее определению, совокупность всех возможных значений (теоретически домысливаемых) N объектов называется генеральной совокупностью, a N - объемом генеральной совокупности. Генеральная совокупность может быть конечной или бесконечной. Пусть количество реально наблюдаемых объектов из N равно п. Тогда х„ i = ],n - выборка из генеральной совокупности, п - объем выборки. Выборка из генеральной совокупности должна обладать следующими свойствами:
•	каждый элемент х, выбран случайно;
•	все X, имеют одинаковую вероятность попасть в выборку;
•	п должно быть настолько велико, насколько это позволяет решать задачу с требуемым качеством (выборка должна быть репрезентативной, представительной).
В дальнейшем будем иметь дело с выборкой, обладающей такими свойствами.
Принято считать, что при п > 60 выборка большая, или репрезентативная, а при п < 60 - малая. Такое деление выборки на большую и малую условно. Разные авторы используют разное пограничное п, делящее выборки на малые и большие, которое к тому же зависит от решаемой статистической задачи.
Понятие репрезентативная выборка не всегда можно связать с ее объемом п. Чаще это зависит от реально исследуемого объекта или явления, объема генеральной совокупности, трудоемкости и стоимости получения наблюдений или измерений для формирования выборки.
Возможны ситуации, когда генеральная совокупность мала. Например, исследуется время наработки до отказа уникального оборудования, когда в эксплуатации находится заведомо малое количество его экземпляров (N). Доступного для исследования оборудованиями) может быть еще меньше. Поэтому выборка объемом и, близким к объему генеральной совокупности N, может считаться репрезентативной и одновременно малой (и < 60).
да
Пример 1. Количество зарегистрированных малых предприятий торговли продуктами питания в городе Новосибирске равно 2436. Для исследования предприятий по объему товарооборота взято 136 предприятий. В данном случае ТУ =2436 - объем гене
13
ральной совокупности (все мыслимые предприятия данной категории), а п = 136 - объем выборки из генеральной совокупности.
Рассмотрим некоторые формы представления выборки из генеральной совокупности.
1.	Представление выборки из генеральной совокупности в не-группированном виде х„ i = 1, п . Такая форма связана с наличием сведений о каждом элементе выборки.
№ Пример 2. Исследование ежедневного простоя (в часах) бригады каменщиков из-за отсутствия строительных материалов в течение 10 дней представлено в виде: 1,3 0,7 2,8 2,3 1,15 0,25 1,17 0,8 2,4 0,45, п = 10. Здесь имеет место негруппирован-ная выборка.
2.	Представление выборки в виде вариационного ряда (в упорядоченном виде)
•^( I) — ^(2) — • • • — ^(/) — • • • — Х"(и) •
В этом случае xw - член вариационного ряда, или варианта. Часто Х(,) называют порядковой статистикой [1, 4]. Индекс (г) указывает на порядковый номер элемента в вариационном ряду. Часто Х(,) обозначают х^, где R - ранг порядковой статистики. Иногда используют обозначение хл, где А, - ранг /-го наблюдения в исходной (неупорядоченной) выборке. Любую функцию порядковых статистик также называют порядковой статистикой.
Форма представления выборки из генеральной совокупности в виде вариационного ряда не приводит к потере информации о каждом элементе выборки, но искажает информацию, устанавливая зависимость между соседними элементами выборки.
Необходимо помнить! Члены вариационного ряда, в отличие от элементов исходной выборки, уже не являются взаимно независимыми (по причине их предварительной упорядоченности).
3.	Представление выборки в группированном виде. Такая форма представления выборки из генеральной совокупности связана с разбиением области задания случайной величины X на L интервалов группирования. При этом известны только количество элементов выборки j = l,L, попавших в j интервал, и последовательность границ интервалов разбиения. Для определения числа
14
L интервалов искусственного группирования пользуются формулой Старджеса [5]
L= 1 + 3,322-lg«.	(1)
Иногда L может быть задано природой исследуемого явления или условиями проведения эксперимента. В данном случае ширина каждого интервала может быть отличной от других (неравноточное группирование).
На некоторых этапах статистического анализа необходимо исходную выборку представлять в группированном виде.
Рассмотрим последовательность процедуры группирования неупорядоченной выборки из генеральной совокупности.
1.	Формирование вариационного ряда.
2.	Выделение минимального и максимального элементов выборки:
Tinin — -^(1),
Хтах ~ Х(„).
3.	Определение числа интервалов группирования осуществляется из соображения точности и устанавливается либо эмпирическим путем в зависимости от объема выборки, либо по формуле Старджеса [5], либо определяется природой явления или условиями проведения эксперимента. Округление При нахождении L осуществляется до ближайшего целого числа.
4.	Определение ширины интервалов группирования (при равноточном группировании)
A =	(2)
Если при вычислении h необходимо округлить результат, следует помнить, что последний интервал группирования будет меньше ширины h при округлении в большую сторону и больше h при округлении в меньшую сторону.
5.	Формирование последовательности границ интервалов разбиения.
Образуемый вариационный ряд границ интервалов группирования будет выглядеть как
Х(1), х(1) + Л, х(1) + 2Л, ... , X(1)+ (L~ 1) -Л, х(п).
15
Иногда для того, чтобы Х(ц и х(л) попали внутрь соответственно 1-го и L-ro интервалов группирования, границы и х(„) корректируют следующим образом:
, _	h
xw~xm
, _	h
Х(п) ~ Х(п) + 2 
Следовательно, число интервалов разбиения увеличивается на 1
L' = L+ 1.
При этом последовательность границ интервалов разбиения будет представлена в виде
x'(i), x'(i) + h, x'(i) + 2Л, ... , x'(i) + L-h, х' (и).
6.	Определение количества элементов выборки nt, попавших в каждый j интервал.
Пример 3. Ниже приведены объемы выработки за месяц (в тыс. руб.) пятидесяти продавцов молочных изделий, работающих в разных районах города.
15 19	6	18	21	16	20	17	15	10
16 20	7	19	22	17	21	19	16	11
19 10	8	18	20	8	18	16	20	12
16 21	21	9	19	19	14	18	19	19
12 20	20	8	13	10	18	17	22	18.
Представим выборку в группированном виде.
1.	Формируем вариационный ряд
6	9	12	15	16	18	19	19	20	21 ,
7	10	12	16	17	18	19	19	20	21
8	10	13	16	17	18	19	19	20	21
8	10	14	16	17	18	19	20	20	21
9	11	15	16	18	18	19	20	21	22.
2.	Находим х(1)= 22, х^ = 6.
3.	Определяем число интервалов разбиения по формуле Стард-жеса(1)
L = 1 + 3,322 1g50 = 6,6, L = 1.
4.	Находим ширину интервала разбиения h по формуле (2)
, 22-6 „
п-------= 2,2857.
7
16
Ограничимся двумя знаками после запятой и получим h = 2,28.
Поскольку h округлено в сторону уменьшения, то последний интервал будет шире предыдущих.
5.	Строим вариационный ряд границ интервалов группирования (без корректировки границ первого и последнего интервалов): [6; 8,28], [8,28; 10,56], [10,56; 12,84], [12,84; 15,12], [15,12; 17,4], [17,4; 19,68], [19,68; 22].
Та же процедура, но с корректировкой границ первого и последнего интервалов, даст следующие результаты:
L' = L+ 1 =7+1 = 8;
•*(1) =x(i)	= 6 -1,14 — 4,86 ;
^)=^)+^22 + 1,14-23,14.
Получаем последовательность границ интервалов разбиения для Z = 8: [4,86; 7,14], [7,14; 9,42], [9,42; 11,7], [11,7; 13,98], [13,98; 16,26], [16,26; 18,54], [18,54; 20,82], [20,82; 23,14].
Ширина последнего интервала в том и другом случае (Z = 7 и L = 8) равна h = 2,32.
6.	Находим количество элементов выборки nj, попавших в J интервал, j -l,L (случай без корректировки границ интервалов)
J	1	2	3	4	5	6	7
п.	5	4	3	4	8	14	12
Находим nj, j = 1, Z +1 (случай корректировки границ интервалов разбиения)
7	1	2	3	4	5	6	7	8
	2	4	4	3	8	9	14	6
Группированная форма представления случайной величины не содержит информации о каждом элементе выборки. При этом часто в качестве значения случайной величины на каждом интервале принимается его середина.
Это важно! От негруппированной выборки всегда можно перейти к группированной, но не наоборот. Необходимо помнить, что переход к группированной форме представления выборки сопряжен с потерей информации об исследуемом объекте, процессе или явлении.
17
Любые характеристики случайной величины, полученные по выборке из генеральной совокупности, называются выборочными, или эмпирическими, характеристиками, а характеристики, полученные по генеральной совокупности, - теоретическими, или генеральными, характеристиками.
Задачи математической статистики. Основная задача математической статистики состоит в определении свойств генеральной совокупности по выборке ограниченного объема п с использованием по возможности априорных предположений.
К задачам математической статистики относятся следующие:
•	разработка и применение методов оценивания числовых и функционных характеристик генеральной совокупности по выборке из нее;
•	описание эмпирических данных вероятностными моделями;
•	проверка статистических гипотез;
•	определение взаимосвязи между характеристиками исследуемых объектов, процессов, явлений;
•	выявление согласия наблюдаемых (эмпирических) данных с теорией;
•	принятие решений;
•	другие задачи.
Все методы математической статистики можно разделить на параметрические методы, основанные на использовании знаний о вероятностной модели, и непараметрические, когда априорных представлений о виде модели нет или она не используется.
Параметрические методы рекомендуется применять для объема выборки п > 60.
1.2.	ЭТАПЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭМПИРИЧЕСКИХ ДАННЫХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЬЮТЕРА
Рассмотрим основные этапы статистической обработки эмпирических данных [1].
1-й этап. Предварительный анализ исследуемой реальной системы (объекта). На этом этапе определяются:
•	основные цели исследования на содержательном (неформализованном) уровне;
•	перечень показателей, характеризующих состояние (поведение) каждого из исследуемых объектов;
18
•	формализованная постановка задачи, по возможности включающая вероятностную модель исследуемого явления;
•	формы документов для сбора первичной информации.
2-й этап. Организационно-методическая подготовка. Этап включает:
•	разработку плана обследования;
•	планирование предполагаемого статистического анализа;
•	формулирование требований к исходным статистическим данным.
3-й этап. Сбор статистических данных и ввод их в персональный компьютер.
4-й этап. Первичная статистическая обработка. На данном этапе выполняются:
•	шкалирование, анализ области задания случайной величины X, анализ резко выделяющихся наблюдений, восстановление пропущенных данных, проверка однородности порций исходных данных й статистической независимости наблюдений выборки;
•	анализ закона распределения случайной величины по выборке из генеральной совокупности (оценивание числовых характеристик, корреляционной матрицы, проведение графического анализа, выдвижение гипотезы о виде модели, оценивание параметров модели и проверка адекватности модели и эмпирических данных).
5-й этап. Разработка методики вычислительного анализа статистического материала, включающей:
•	описание технологии обработки эмпирических данных с указанием используемых методов;
•	обоснование выбора методов исследования, прикладного программного обеспечения для статистического анализа и др.
6-й этап. Компьютерная обработка статистического материала. Формулирование требований к компьютерной системе (точность, разрядность, объем памяти, быстродействие, необходимые программные средства и пр.).
7-й этап. Анализ результатов исследования, состоящий:
•	из подготовки отчета;
•	интерпретации результатов;
•	анализа достижения целей.
1.3.	ОЦЕНИВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Оценкой & характеристики 0 называется функция выборочных значений	i = 1, п вида
0 = 0(Х1,Х2,-Х3, -	...,хп).
19
Знак «п» называется «крышечкой» и обозначает оценку. Оценки можно разделить на параметрические, основанные на знании вероятностной модели распределения, и непараметрические, когда модель, описывающая эмпирические данные, неизвестна или в ней нет необходимости.
Оценки характеристик обладают рядом свойств: несмещенностью (величиной смещения), эффективностью, состоятельностью и др. Некоторые из названных свойств будут рассмотрены в п. 1.4.1.
Оценка 0 - функция статистическая и, следовательно, тоже случайна. Все оценки случайных величин можно разделить на оценки функционных и числовых характеристик.
dhri
Запомните! Все характеристики, полученные по выборке из генеральной совокупности, называются эмпирическими, выборочными характеристиками, или их оценками.
1.3.1.	Оценивание функционных характеристик. Оценивание функции распределения и плотности вероятностей
Пусть дана выборка из генеральной совокупности xt, i = 1,и.
Необходимо получить оценку функции распределения F(x).
Положим, что х, независимы. Для получения функции F(x) выполним следующую последовательность действий:
•	сформируем вариационный ряд
Х(1 ) < Х(2) — ' * ' — < ... S Х(н).
•	выделим минимальный х1П1П = х(1) и максимальный хтах = х(„) элементы вариационного ряда;
•	для каждого значения случайной величины найдем такое пх, равное числу элементов выборки, значения которых меньше или равны заданному х. Тогда отношение
- п F(x)=— п
называется эмпирической функцией распределения (оценкой функции распределения).
20
Функция распределения, полученная по генеральной совокупности, называется истинной, или теоретической, функцией распределения и обозначается F(x).
Свойства эмпирической функции распределения:
•	0<F(x)<l, (F(x) лежит в интервале от 0 до 1);
•	F(x) - неубывающая функция;
•	F(x) - непрерывна справа;
•	F(x) - кусочно-постоянна и изменяется только в точках вариационного ряда. В общем случае F(x) можно представить в виде
О, при х<%(|),
F(x) = "S —, притче* <%(„), п
(3)
J, при х >Х(Я) , где пх - количество элементов выборки, значения которых меньше или равны заданному х. В асимптотическом пределе при п —> оо lim F(x) = F(x).
Пример 4. Распределение предприятий по издержкам обращения (млн. руб.), полученным в отчетном периоде, представлено в группированном виде количеством п, предприятий, попавших в j интервал, и интервалами объема издержек обращения х7.
Xj- х/+|	2-6	6- 10	10-14
ni	3	10	7
пх	3	13	20
F (х)	3/20 = 0.15	13/20 = 0.65	20/20 = 1
L
Общее количество предприятий п
Построим график функции F(x), который называется графиком накопленных частот. Вид функции F(x) представлен на рис. 3.
Ломаная, соединяющая точки (х„ иД j = \,L и представленная на рис. 4, называется полигоном частот. Ломаная, соединяющая
21
точки (Xj, т|7), j -},L, называется полигоном относительных частот. Здесь Xj - середины интервалов разбиения, а отношение
п
называется относительной частотой попадания в интервал.
Пример 5. Для данных примера 4 построить полигон частот (рис. 4).
Рис. 4. Полигон частот случайной величины X
Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длиной Л, а высотами соу = ns/h (плотность частоты).
Ж0 Пример 6. Для данных примера 4 построить гистограмму частот (рис. 5).
Площадьу'-го прямоугольника гистограммы равна
п,
S. - — -h - и , 7 h 7’
22
Рис. 5. Гистограмма частот случайной величины X
	2-6	6-10	10-14
	3/4=0,75	10/4=2,5	7/4=1,75
а площадь всей гистограммы -
S= Ynj J=i
Функцией относительных частот (плотностью относительной частоты), или гистограммой оценки плотности вероятностей, называют фигуру, состоящую из прямоугольников с основаниями h и высотами
И<(х) = (оу/п=-Х	(4)
h-n
WU Пример 7. Для данных примера 4 построить оценку плотности вероятностей (рис. 6).
X-X/+I	2-6	6- 10	10-14
(х)	0.15/4= 0,0375	0.5/4= 0,125	0.35/4= 0,0875
Рис. 6. Оценка плотности распределения вероятностей Wj (х)
Площадьj’-го прямоугольника равна и,	и,
St= (со< /nyh = -J—-h = hn	п
а площадь гистограммы -
L
S
В асимптотическом пределе
lim J7(x)=W(x), п->а>
23
т. е. оценка плотности вероятности равна истинному значению плотности вероятностей.
Плотность вероятностей и функция распределения являются функционными характеристиками и дают исчерпывающие сведения об интересующем нас законе распределения непрерывной случайной величины.
1.3.2. Оценивание числовых характеристик
При практическом изучении генеральной совокупности или выборки из нее часто достаточным оказывается знание некоторых числовых характеристик распределения или их оценок. Остановимся на некоторых основных характеристиках выборки из генеральной совокупности.
Оценки начальных моментов порядка к, полученные по не-группированной выборке из генеральной совокупности, равны
1 ” тк=--^х- ,	(5)
" ,=1
где к - порядок момента, к = 1,2, 3, ... .
Для группированных данных
1 L
^к=--Хп^ ’	<6)
" 7=1
где L - количество интервалов группирования, п, - количество элементов выборки, попавших в у'-й интервал, х/ - значение случайной величины, равное середине интервала группирования.
Оценку, которая может быть представлена одним числом, называют точечной оценкой (в отличие от интервальной оценки). В данном разделе рассматриваются точечные оценки числовых характеристик.
Начальный момент первого порядка (к= 1) называется выборочным средним, выборочным математическим ожиданием, или средним арифметическим значением выборки. Математическое ожидание характеризует положение распределения случайной величины на оси х. Следовательно, это характеристика положения распределения. Зависимость положения W(x) от ni\ проиллюстрирована на рис. 7.
К другим характеристикам положения распределения случайной величины относятся мода xmod и медиана xmed.
Мода - это такое значение случайной величины, которому соответствует максимум плотности вероятности непрерывной
24
случайной величины или наиболее вероятное значение дискретной случайной величины.
Рис. 7. Положение плотности распределения вероятностей с разными значениями т\
Медиана определяется по вариационному ряду и равна его среднему элементу
''"med ~	’	("7)
где т? - ранг порядковой статистики и определяется в виде Я = = 0,5 (л + 1) при п нечетном. При п четном Amed лежит между х п (2)
и х „ элементами вариационного ряда, т. е. х п < xmed < х „ , (у+1)	(у)	(-+1)
*med -0,5 х
+ хп
Соотношение между лстод, *med и «?| для некоторой асимметричной плотности распределения вероятностей показано на рис. 8.
Рис. 8. Соотношение характеристик х„1<х1, x,„«i, mi на графике плотности распределения вероятностей
25
Эмпирические центральные моменты порядка к, полученные по негруппированной выборке из генеральной совокупности, равны
1 "
(9) п /=1
где к - порядок момента, к = 2, 3, ... .
Для группированных данных
1 L
^k=-'Xnj-(Xj-mi)k.	(10)
Центральный момент второго порядка называется дисперсией и обозначается D.
Величина о = л/d называется среднеквадратическим отклонением.
Оценка дисперсии, полученная по выражениям:
D = jl2=52=--^(x/-m1)2, п М
] L
B = fi2 = д2 = — ’^п-(х-т1)2
(И)
(12)
>1
соответственно для негруппированной и группированной выборок, является смещенной оценкой дисперсии (понятие смещения оценки вводится в п. 1.4.1).
Для того чтобы получить несмещенную оценку, необходимо воспользоваться выражениями [4]
(13)
(14)
соответственно для негруппированной и группированной выборок.
Если в выражениях (11) и (12) вместо оценки тх используется истинное значение т\, то данные выражения дают несмещенную оценку о2.
26
Дисперсия и среднеквадратическое отклонение являются характеристиками рассеяния, или разброса, распределения случайной величины (рис. 9).
Рис. 9. Графики плотности распределения вероятностей с различными значениями дисперсии и одинаковыми математическими ожиданиями
Другой выборочной характеристикой рассеяния является размах
^\,п~Л(«)-х(1) •	О 5)
Характеристики формы распределения. Коэффициент асимметрии. В качестве характеристики формы распределения, отражающей его асимметрию, служит коэффициент асимметрии
Pi2=4-	<1б>
М2
Для симметричного распределения Р, (и р3) равен 0. Например, для модели нормального распределения = 0. При pj < 0 (р3 <0) распределение имеет левостороннюю асимметрию, при Pi > 0 (р3 > 0) - правостороннюю (рис. 10).
Неприведенный коэффициент эксцесса Р2 также является характеристикой формы распределения, а именно его островершинности, и определяется из выражения
Р2=4-	(17>
М2
27
Рис. 10. Зависимость формы плотности распределения вероят -пости от коэффициента асимметрии р|
Величина у = р2 — 3 называется приведенным коэффициентом эксцесса. Для нормальной модели случайной величины у = О, а Р2 = 3. Зависимость формы от у приведена на рис. 11.
Рис. И. Зависимость формы плотности распределения вероятности от приведенного коэффициента эксцесса у
Характеристики порядковых статистик. Иногда бывает удобно использовать числовые характеристики, являющиеся функциями порядковых статистик
Т( |) < Х(2) — • • • —	_    < Х(и) .
в силу их свойств.
Распределение средних членов вариационного ряда при л -> оо стремится к нормальному. Распределение крайних членов вариационного ряда отлично от нормального.
28
К числовым характеристикам порядковых статистик относятся медиана xmed, размах Ein, квантиль порядка р, или р-квантнль хр. Физический смысл квантили состоит в следующем. хр - это такое значение случайной величины, ниже которой лежит p-я часть распределения (наблюдений). Эмпирическая (выборочная) квантиль равна порядковой статистике ранга R
*р =	’
где R - ранг порядковой статистики, который определяется как целая часть числа
R = int(«p+ 1),	(18)
стоящего в скобках.
tS® Пример 8. Время обслуживания (в часах) каждого из пяти поставщиков в оптовой форме в течение рабочего дня представлено рядом
1,5 1,2 2,3 3,3 1,7.
Необходимо определить х0 35. Найдем ранг R порядковой статистики, соответствующей р = 0,35
R = int(5-0,35 + 1) = 2.
Следовательно, х035 =	= 1,5 (второй элемент вариационного
ряда).
Квантиль уровня р = 0,5 х0 5 называется медианой.
dri
Будьте внимательны! Функции порядковых статистик всегда определяются по вариационному ряду.
Иногда вместо квантили пользуются процентной точкой, или процентилью.
Процентиль xq%- это такое значение случайной величины, выше которого лежит q(°/o) распределения.
Иначе - процентной точкой уровня q(%) 0 < q < 100 называется такое хч, при котором выполняется условие
/’{х > Х(,} = 6//100 .
29
Теоретическая квантиль хр является функцией, инверсной функции распределения случайной величины, и определяется из выражения
F(xp)=p.	(19)
Например, функция экспоненциального распределения имеет вид
F(x) = \~e ~f- ,
где а и X - параметры модели.
Пользуясь выражением (19), получим:
хр-а
F (х) -1 - е к = р ,
хр~а
е '* - 1 - р ,
хп - а -1п(1-р) = -^-— ,
Л
хр = а-Х 1п(1 -р).
Если р = 0,25, 0,5, 0,75, тохр соответственно 1-я, 2-я и 3-я квартили.
Величина £Ь,25;0,75 = *о,75 - л?о,25 называется интерквартильным размахом и является также характеристикой рассеяния.
Прир = 0,1, 0,2, ..., 0,9 речь идет о децилях х0,ь *о,2,  , *о,9- Соответственно величина £o,i;o,9= *о,9-*о,1 называется интердецильным размахом.
Задания для самоконтроля
Вопрос 1. Среди перечисленных характеристик случайной величины «выпадающей» из общего ряда является характеристика __. Сделайте правильный выбор.
Характеристики
А.	Коэффициент эксцесса
Б. Медиана
В.	Математическое ожидание
Г. Функция распределения
Д. Интердецильный размах
30
Основание, по которому выделена характеристика
1.	Характеристика порядковых статистик
2.	Функционная характеристика
3.	Числовая характеристика
Вопрос 2. Сравните значения характеристик распределения случайных величин X и Y, представленных на графиках, с помощью соотношений >, =, <.
Мода	X__Y
Медиана	X__Y
Математическое ожидание	X__Y
Коэффициент асимметрии	X__Y
Вопрос 3. Выборка из генеральной совокупности задана в виде распределения частот. Заполните в таблице недостающие характеристики случайной величины.
XJ	3	7	И	15	19
nJ	2	7	11	8	2
					
					
Г,(т)					
Вопрос 4. Заданы две выборки значений случайной величины из генеральных совокупностей
X; 13,7,24, 18, 7, 15
Y: 15,6, 27, 19, 8, 23,5, 13
Для них одинаковой числовой характеристикой из приведенного списка является__. Сделайте правильный выбор.
А.	Среднеквадратическое отклонение
Б. 1-я квартиль
В.	Коэффициент асимметрии
Г. Медиана
Д. Начальный момент 1-го порядка
Вопрос 5. Графики 1-3 оценок плотности вероятностей являются однотипными в смысле характеристики _____ . Сделайте пра-
вильный выбор.
31
1.	Дисперсия
2.	Размах
3.	Мода
4.	Центральный момент 3-го порядка
Вопрос 6. Группированная выборка распределения рейтинга успеваемости студентов (в баллах) представлена в таблице. Зачет получают студенты, набравшие более 300 баллов.
Л,	100-150	150-200	200-250	250-300	300-350	350-400	400-450
«/	8.	15	18	26	16	12	5
Вероятность того, что студенты не получат зачет, равна_.
Вопрос 7. Из приведенного ниже списка к характеристикам положения распределения относятся___ . Сделайте правильный
выбор.
А.	Центральный момент 4-го порядка
Б. Мода
В.	Медиана
Г. Интердецильный размах
Д. Математическое ожидание
Вопрос 8. Задана группированная выборка распределения случайной величины Y:
У]	1,2	1,5	2,0	2,5
«/	5	15	20	10
Смещенная дисперсия равна____.
Вопрос 9. Вторая квартиль, полученная по выборке из генеральной совокупности
8,5, 7,1, 8,7, 6,2, 2,9, 4,4, 6,0, 5,8, 5,4, 3,5,
равна____.
32
1.4. ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Структура главы «Интервальное оценивание числовых характеристик случайных величин» представлена на рис. 12.
Интервальное^ оценивание числовых характеристик
Цели
Асимптотические свойства оценок
Постановка задачи интервального оценивания числовых характеристик случайных величин. Основные понятия
Построение доверительных интервалов для т\
Построение доверительных интервалов для
Построение доверительных интервалов для а2 при неизвестном mi
Построение доверительных интервалов для ГП[ при известном а
Построение доверительных интервалов для гщ при неизвестном а
Построение доверительных интервалов для а2 при известном т\
Рис. 12. Структура главы «Интервальное оценивание числовых характеристик случайных величин»
Цели	•
Знать:
•	постановку задачи интервального оценивания;
•	критерии качества оценок (несмещенность, состоятельность, эффективность);
•	понятия: доверительный интервал; доверительная вероятность; уровень значимости;
•	закон распределения /И| (при известном и неизвестном о); закон распределения о2 (при известном и неизвестном т\).
Уметь:
•	определять по статистическим таблицам распределений квантили или процентили нормального распределения, /-распределения Стьюдента и ^-распределения при заданном уровне доверительной вероятности />;
•	вычислять доверительные интервалы для т\ при известном и неизвестном о для разных уровней доверительной вероятности />;
 33
•	вычислять доверительные интервалы для о2 при известном и неизвестном ?И| для разных уровней доверительной вероятности />;
•	объяснять зависимость ширины интервала от объема выборки, уровня доверительной вероятности и прочих условий.
1.4.1.	Асимптотические свойства оценок
Любая оценка 0 характеристики 0 (v) как функция от результатов наблюдения 0(v) является случайной величиной, а значит ее свойства могут быть описаны плотностью вероятностей Ж( 0; п) и функцией распределения F( 0; п).
Так как оценка 0 получена по выборке конечного объема п, то ее свойства зависят от п, что и отражено в записи.
Практическое определение п) и F(Q, и) при конечных объемах п в большинстве случаев затруднительно, поэтому гораздо проще вычислить асимптотическое (при п -> оо) распределение. Для оценки 0 как случайной величины при фиксированном v также могут быть найдены математическое ожидание М{ 0(v)} и дисперсия £>{0(v)}. Такое описание оценок важно для получения точностных показателей и характеристик достоверности оценки, отражающих ее качество [1,6]. Рассмотрим свойства оценок.
Несмещенность. Оценка 0(v) называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемой характеристике 0(v)
Af{0(v)}=0(v).
Разность b{ 0(v)} = М{ 0(v)} - 0(v) называется смещением. Для несмещенной оценки b{ 0(v)} = 0. Если Z>{ 0(v)} * 0 при конечном объеме выборки п, но lim Z>{ 0 (v)} = 0, то 0(v) называется аснм-«->оо
птотическн несмещенной.
Состоятельность [1]. Оценка 0(v) называется состоятельной, если при и—>оо она сходится по вероятности к 0(v), т. е. если выполняется условие
lim Р{| 0(v) - 0(v)| > в} = 0 для сколь угодно малых £ > 0.
«->00
34
Эффективность. Оценка 0 ,(v) считается эффективнее оценки 0 2(v) той же характеристики, если для несмещенных оценок 0 i(v) и 0 2(v) выполняется условие
D{ 0 i(v)} < D{ 0 2(v)} или сг{ 0 i(v)} < сг{ 02(v)}.
Если оценки 0 i(v) и 0 2(v) смещенные, то сравнение оценок по эффективности осуществляется с помощью неравенства
А{ 0 ,(v)} < А{ 02(v)},
где A{0(v)} = ^2{6(v)} + o2{0(v)} - средний квадрат отклонения оценки.
Мерой эффективности оценки может служить величина:
£)(0Эф)
ef( 0) =---=г---для несмещенных оценок,
Z)(0)
Д(0Э(Ь)
ef( 0) =-------для смещенных оценок,
А(0)
где £>(0 Эф) и А0эф - соответственно дисперсия и средний квадрат отклонения более эффективной оценки 0 эф по сравнению с анализируемой оценкой 0.
1.4.2.	Постановка задачи интервального оценивания характеристик случайных величин. Основные понятия
Если на основании имеющихся у нас данных (выборки из генеральной совокупности) конструируется оценка 0(хь параметра 0 [1, 3, 4], то при этом понимается, что величина 0 является лишь приближенным значением неизвестного параметра 0 даже в том случае, когда эта оценка состоятельна, несмещена и эффективна.
При малых п конкретное значение оценки 0 может очень сильно отклоняться от истинного значения характеристики 0. Вопрос состоит в том, как велико может быть это отклонение.
Можно найти такое 8 и указать интервал вида (0-8; 0+8), получивший название доверительного интервала, который с зара
35
нее заданной вероятностью р (близкой к 1) покрывал бы неизвестное нам истинное значение характеристики 0.
Эта вероятность, называемая доверительной вероятностью, обычно задается из условия
/*{| 0 - 9 | < 8} =р при малом 8	(20)
или
Р{9-8<д< 9 + 8} =р.	(21)
Чем меньше 8, тем точнее оценка 0. Поэтому 8 иногда используют в качестве характеристики точности оценки, ар - ее надежности.
Величину a ~ 1 -р называют уровнем значимости или вероятностью ошибки.
Для построения интервальной оценки 0 параметра 0 необходимо знать закон распределения оценки 0 как случайной величины.
Плотность вероятности W( 0) симметричного распределения 0 представлена на рис. 13.
Рис. 13. Плотность распределения вероятностей оценки 0
Границы доверительного интервала для неизвестной характеристики 0 будут определяться из условия (20).
Ширина интервала, (0-8; 0+8) определяется величиной доверительной вероятности р или уровнем значимости а. Для симметричных распределений статистики 0 вводятся в рассмотрение вероятности а, = аг = а/2.
36
Обычно к интервальному оцениванию характеристик прибегают при малом объеме выборки, когда точечные оценки не являются устойчивыми.
Доверительные интервалы бывают односторонними и двухсторонними.
Остановимся на построении двухсторонних доверительных интервалов для математического ожидания т\ и дисперсии D выборки.
1.4.3.	Построение доверительных интервалов для математического ожидания
1.4.3.1.	Построение доверительного интервала для математического ожидания при известной дисперсии
Исходные положения:
•	дана выборка из генеральной совокупности х„ i = 1,и;
•	элементы выборки х, независимы и случайны;
•	«j - точечная оценка математического ожидания, полученная по выборке объема и;
•	о известна, т.е. известно истинное значение и.
Примем без доказательства, что асимптотическое распределение Wj (как случайной величины) при известном о стремится, как правило, к нормальному распределению [1,4, 5]
lim W{ Wj) = W/X ), /7->со
где индекс N означает нормальное распределение.
Используя правила построения доверительных интервалов, потребуем, чтобы выполнялось условие
Р{| пц-т^<Ь}=р.	(22)
Раскроем выражение в скобках, одновременно проводя стандартизацию случайных величин wj - 8 и wj + 8, с помощью преобразования вида (Х-т])/и, где пц и о - соответственно
37
математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины X. При этом получим
Р{ Wj - 8 < гп\ < wj + 8} = Ф {—---------— } -
о
ф Дот,-8)-М(от,)^ с
где ф(х) = —т= je 2dt = —+ Ф0(х) -функцияЛапласа,
<2л —	2
а Ф (х) = -т=|е 2 dt - интеграл вероятностей.
>/2л о
Из свойств математического ожидания и дисперсии для одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин [4] получим
М{ тг } = mj, о{ mj } = о/V» .
Следовательно,
Р{ - 8 < Ш] < Wj + 8} = Ф '
 - Ф<!—-о
и
Известно, что функция нормального распределения нечетная, т.е.
и
Тогда, используя (22), получим
Р{ тх - 8 < mi < wj +6} = 2 Ф 
38
Чтобы определить ширину доверительного интервала 8, необходимо найти функцию, обратную функции распределения
8>/п
М/)/2=----,
и
где ир/2 - квантиль нормального распределения уровня р/2. Она может быть найдена по таблицам функции нормального распределения (см. прил. 1).
Следовательно,
й- ст
5 = ира -=,
и в качестве доверительного интервала для т\ можно использовать интервал
о _ , о т1 ~ ир/2‘ ~r <f»}< тх + ир12-	.
Vn	уи
(23)

Проанализируйте последнее выражение и определите,
как изменяется ширина доверительного интервала с изменением объема выборки и доверительной вероятности.
Пример 9. Результаты исследования длительности оборота оборотных средств торговых фирм города (в днях) представлены в
группированном виде
	14-23	23-32	32-41	41-50	50-59	59-68	68-77
п.1	2	3	9	17	10	6	3
Построить доверительный интервал при р = 0,95 для средней длительности оборота оборотных средств торговых фирм города при условии, что среднеквадратичное отклонение и известно и равно 10 дням. В данном примере wj =47,12. Квантиль нормального распределения для р = 0,95 найдем из таблицы прил. 1 ирп ~ «0-475 = 1,96.
39
Используя (23), получим доверительный интервал для т\ при известном о
47,12
101,96 V50
< гп\ < 47,12 +
101,96 V50
44,35 <W] <49,89.
1.4.3.2. Построение доверительного интервала для математического ожидания при неизвестной дисперсии
Допустим, что выборка из генеральной совокупности имеет нормальное распределение. Тогда примем без доказательства, что тх (являясь случайной величиной) при неизвестном о распределено как /-распределение Стьюдента с (п - 1) числом степеней свободы [1, 4, 5].
При этом доверительный интервал для т\ при неизвестном о для заданного уровня доверительной вероятности р может быть найден из выражения
S	S
P{mx-t\-aJ2(n- 1)-т= < ?И| < тх + /|^2(и- 1)-7= },	(24)
л/n	л/и
где а = 1 -р, a /1-а/2 - квантиль /-распределения Стьюдента с (п - 1) числом степеней свободы уровня (1 — ос/2), которая может быть найдена по статистическим таблицам квантилей или процентных точек /-распределения Стьюдента (см. прил. 2).
Пример 10. Для задачи из примера 9 при р = 0,95 получить интервальную оценку для при условии, что S = 10,66, пц =47,12. Из таблиц процентных точек /-распределения Стьюдента (см. прил. 2)найдем
tali 1оо%(« - 1) = t2 5%(50 - 1) = /2,5%(49) = 2,01.
Используя (24), получим
„„	10,66-2,01	' 10,66-2,01
47,12----— < wi < 47,12 + -’-......~—,
V49	V49
44,07 </И| <50,17.
40
На Ваш взгляд, зависит ли ширина доверительного интервала для от того, есть ли априорная информация о а или нет (при прочих равных условиях)? Попытайтесь объяснить Ваш Ьтвет.
1.4.4. Построение доверительных интервалов для дисперсии
1.4.4.1. Построение доверительного интервала для дисперсии при известном математическом ожидании [4, 5]
Примем без доказательства, что о2 как случайная величина при известном т\ имеет распределение / с п числом степеней свободы Х2(и). Тогда доверительный интервал для о2 при заданном р может быть получен в виде
2	z ч	2	/ ч ’	v ’
Ха/2100 % W X(l-a/2)100%W
где Х2а/2ЮО%0) И Х2(1-«/2) 100 %(«) процентили /-распределения с п числом степеней свободы могут быть найдены по таблице процентных точек /-распределения (прил. 3).
ЖЗ Пример 11. Для задачи из примера 10 построим при р - 0,9 интервальную оценку для дисперсии длительности оборота оборотных средств торговых фирм города при условии, что средняя длительность оборота известна и равна т\ =47,12. Точечная оценка а2 - 111,42. Значения /5% (50) = 67,51 и /95% (50) = 34,76 находим из таблицы процентных точек /-распределения (прил. 3).
Следовательно, из выражения (25) получим интервальную оценку а2 в виде
50-111,42	2 50-111,42
	 < ст <	, 67,51-------------34,76
82,53 < ст2 < 160,25.
41
1.4.4.2. Построение доверительного интервала для дисперсии при неизвестном математическом ожидании
Примем без доказательства, что о2 (как случайная величина) при неизвестном т\ имеет ^-распределение с (п - I) числом степеней свободы [4, 5]. Тогда доверительный интервал для о2 при заданном уровне доверительной вероятности р может быть получен из неравенства
(n-l)-S2	,_2,	(л-1)-S2
—-------------< о < —---------------—.	(26)
Ха/2100%(” ~ О Х(1-а/2)100%("“1)
Пример 12. Для задачи из примера 10 построим при р = 0,9 2	V»	V»
интервальную оценку для о при неизвестной средней длительно-сти оборота оборотных средств торговых фирм города. Воспользуемся значением оценки S2 = 113,63 (см. пример 10). Величины Х25%(49) = 66.34 и Х295%(49) = 33,93 найдем из таблицы процентных точек %2-распределения (прил. 3). Используя выражение (26), по-v»	2
лучим доверительный интервал для о при неизвестном т\ в виде
49113,63	2 49113,63
	 < ст < 	 66,34-------------33,93
83,93 < о2 < 164,10.
Задания для самоконтроля
Вопрос 1. По выборке объема п из генеральной совокупности получена оценка математического ожидания . Условие = 0 характеризует________________________. Сделайте правиль-
ный выбор.
А.	Эффективность
Б. Несмещенность
В.	Состоятельность
Г. Средний квадрат отклонения оценки
Вопрос 2. Известны оценки ^=3,5 и 52=1,44 выборки из нормальной генеральной совокупности, описывающей распределение возраста детей, посетивших детскую поликлинику в течение
42
одного дня. Вероятность посещения поликлиники детьми в возрасте от 2,5 до 4,5 лет равна_.
Вопрос 3. Вероятности р - 0,9 соответствует выборочная квантиль х0 9 =распределения выборки из нормальной генеральной совокупности с характеристиками тй] =-30,5, ст = 50,1.
Вопрос 4. Процентной точке х2% = 32,85 хи-квадрат распределения с числом степеней свободы п = 19 соответствует вероятность Р = •
Вопрос 5. Даны две оценки 0] и 02 параметра 0 эмпирического распределения и характеристики этих оценок
5{0,} = -3,4, 6{02} = 2,0;
£>{01} = 2,8, £>{02} = 4,1.
Здесь 5{0} и £>{0} - символы соответственно смещения и дисперсии оценок характеристик, стоящих в скобках. Лучшей из оценок является оценка_____. Критерий, в смысле которого оценка явля-
ется лучшей,.
А. Состоятельность
Б. Несмещенность
В. Эффективность
Г. Минимум среднего квадрата отклонения оценки
Вопрос 6. Разделите предложенные оценки характеристик случайной величины на две группы;. Укажите соответствующие основания для разделения на группы___,____.
Оценки характеристик случайной величины
1.	йз = -61,7
2.	0,15 < р? < 0,21
3.	тй|-3,71 <	< т\+3,Т1
4.	ст2 = 18,22
5.	т2 = 61,13
Основания
А.	Точечное оценивание числовых характеристик
Б. Интервальное оценивание числовых характеристик
В.	Оценивание параметров модели
Г. Оценивание числовых характеристик
Вопрос 7. Если надежность интервальной оценки среднеквадратического отклонения выборки из нормальной генеральной со-
43
вокупности необходимо повысить, то ширину доверительного интервала следует (уменьшить, увеличить)_________.
Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, приведенных в скобках.
Вопрос 8. Построение доверительного интервала для дисперсии выборки при неизвестном математическом ожидании осуществля-
ется в предположении, что при п -> оо оценка дисперсии имеет распределение__. Сделайте правильный выбор.
I.	Нормальное
2.	Хи-квадрат с п числом степеней свободы
3.	/-Стьюдента с п числом степеней свободы
4.	Хи-квадрат с (л-1) числом степеней свободы
5.	/-Стьюдента с (п-1) числом степеней свободы
Вопрос 9. При одинаковом уровне доверительной вероятности надежность оценки дисперсии, полученной по выборке из генеральной совокупности, при известном т\__. (сделайте правиль-
ный выбор).
1.	Выше
2.	Ниже
3.	Остается без изменения по сравнению с надежностью той же оценки при неизвестном пр
Вопрос 10. Задана выборка из генеральной совокупности объема п = 24 с известным математическим ожиданием пр = 4,5 и о =2,3. Интервальная оценка дисперсии выборки при доверительной вероятности р = 0,99 задается границами и.
вопросы и задания к главе 1
1.	В чем состоит отличие генеральной совокупности от выборки из нее?
2.	Какую выборку можно считать репрезентативной?
3.	Назовите основные формы представления выборки из генеральной совокупности?
4.	Какая из форм представления выборки содержит наибольшую информацию об исследуемом объекте?
5.	Можно ли элементы вариационного ряда считать взаимно независимыми?
6.	Как перейти от негруппированной выборки к группированной?
7.	Можно ли по группированной выборке составить негруппи-рованную?
8.	Что такое эмпирическая характеристика?
44
9.	Какую оценку можно считать несмещенной (асимптотически несмещенной), состоятельной, эффективной (асимптотически эффективной)?
10.	Что такое эмпирическая функция распределения? Какими свойствами она обладает?
11.	Что такое эмпирическая плотность вероятности?
12.	Как построить гистограмму и график накопленных частот?
13.	Какие числовые характеристики определяют положение эмпирического распределения на оси случайных величин?
14.	Назовите характеристики формы распределения.
15.	Какие характеристики эмпирического распределения отражают рассеяние случайной величины?
16.	Как получить оценку медианы по выборке из генеральной совокупности?
17.	Назовите известные Вам характеристики порядковых статистик.
18.	Что такое доверительная вероятность и уровень значимости?
19.	В чем отличие точечной оценки от интервальной?
20.	Когда предпочтительнее использование интервальной оценки перед точечной?
21.	Как связаны ширина доверительного интервала и доверительная вероятность?
22.	Почему ширина доверительного интервала для т\ при известной о уже ширины доверительного интервала для т\ при неизвестной о?
23.	Как ширина доверительного интервала для некоторой числовой характеристики случайных величин зависит от объема выборки п (при прочих равных условиях)?
24.	Найдите квантиль х0 65 и медиану х05 выборки: 1,5, 8,7, 13,9,4,6, 7,3, 5,9, 11,7,3,1,9,8, 12,4.
25.	Для предыдущего примера найдите оценки wbCT, S.
26.	В 9 опытах измерялось содержание углеводов в единице продукта. По результатам обработки экспериментальных данных получено /й]= 18,8 г., о = 4,7 г. Построй те 90 %- и 95 %-ные доверительные интервалы для дисперсии содержания углеводов в единице продукции.
27.	Выполните предыдущее задание при условии, что известно значение гщ = 18,8 г., полученное по генеральной совокупности.
28.	Исследовалось время безотказной работы 56 лазерных принтеров. Из априорных наблюдений известно, что среднеквадратичное отклонение времени безотказной работы ст = 50 ч. По ре
45
зультатам исследований получено среднее время безотказной работы Wj = 1500 ч. Построить 90 %- и 99 %-ные доверительные интервалы для среднего времени безотказной работы.
29.	Выполните предыдущее задание при условии, что априорных сведений о среднеквадратичном отклонении времени безотказной работы лазерных принтеров нет. Известна лишь оценка о = 59 ч, полученная по результатам наблюдений.
30.	Время обслуживания клиентов (в минутах) в железнодорожной кассе представлено выборкой: 1,0, 1,5, 2,0, 2,0, 2,25, 3,0, 3,0, 3,5, 3,7, 3,75, 4,0, 6,0, 7,0, 8,0, 1,5, 4,5, 6,0, 3,75, 17,0, 16,0, 15,1, 18,0, 19,0, 18,5. Постройте гистограмму и график накопленных частот.
31.	По предыдущей задаче определите процент клиентов, время обслуживания которых более 13 мин и менее 6 мин.
2. ОПИСАНИЕ ЭМПИРИЧЕСКИХ ДАННЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫМИ МОДЕЛЯМИ
Структура главы «Описание эмпирических данных вероятностными моделями» представлена на рис. 14.
Рис. 14. Структура главы «Описание эмпирических данных вероятностными моделями»
47
Ж Цели
Иметь представление:
•	о задачах структурной и параметрической идентификации;
•	априорном и апостериорном подходах при выборе вероятностных моделей для описания эмпирических данных;
•	критериях качества оценок: состоятельности, несмещенности, эффективности;
•	подходах к формированию набора моделей, из которого необходимо выбирать адекватную (в смысле некоторого критерия выбора) модель;
•	процедуре построения плоскости моментов с расположением на ней моделей вероятностных распределений;
•	сравнительных свойствах оценок, полученных методами моментов и максимального правдоподобия.
Знать:
•	наиболее распространенные в практике статистических исследований модели распределений;
•	суть методов моментов и максимального правдоподобия оценки параметров одномерных непрерывных законов распределения.
Уметь:
•	выбирать по плоскости моментов гипотетическую модель для описания эмпирических данных;
•	вычислять оценки параметров типовых одномерных моделей ' распределений методом моментов;
•	вычислять оценки параметров типовых одномерных моделей распределений методом максимального правдоподобия.
2.1.	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СТРУКТУРНОЙ И ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ
Ранее отмечалось, что одной из основных задач математической статистики является описание эмпирических данных вероятностными моделями, т. е. обоснованный выбор среди множества (заранее известных) моделей той, которая наилучшим (в некотором смысле) образом соответствует статистическому материалу, характеризующему реальный исследуемый объект, процесс или явление.
Модель представляет собой математическое описание интересующих исследователя связей и соотношений между реальными элементами анализируемой системы. Если в описании модели используются случайные величины, то такая модель называется вероятностной, или стохастической [1, 7, 8].
48
В качестве вероятностных моделей, описывающих эмпирические данные, могут использоваться модели одномерных и многомерных распределений, модели смесей, регрессионные модели и другие.
В данном пособии будем рассматривать наиболее часто используемые одномерные вероятностные модели.
Успешное решение проблемы наилучшей статистической обработки результатов эксперимента зависит от знания подходящей модели и от умения прилаживать ее к исследованию реальной ситуации.
Кроме того, необходимо помнить, что использование параметрических методов обработки результатов эксперимента, основанных на использовании вероятностных моделей, предпочтительнее при наличии большой выборки. В некоторых параметрических задачах, например при проверке гипотез о согласии по критерию %2-Пирсона, объем выборки должен удовлетворять условию и > 200.
Выбор (подбор) адекватной модели во многом определяет качество статистических выводов при решении задач планирования, прогнозирования, оптимального управления, оценки эффективности функционирования систем, диагностики, нормирования [1].
Выбор (подбор) вероятностной модели, наилучшим (в некотором смысле) образом описывающей результаты эксперимента, называется задачей вероятностной (статистической) идентификации, или аппроксимации.
Различают задачи структурной и параметрической идентификации [5]. Структурная идентификация предполагает априорный или апостериорный выбор вероятностной модели, наиболее адекватно описывающей эмпирические данные [9, 10].
Априорный выбор (подбор) основан на неформализованном подходе, использующем наличие теоретических предпосылок о виде закона распределения исследуемой случайной величины или длительный субъективный опыт экспериментатора и позволяющем определить гипотетическую модель.
Апостериорный выбор реализует формализованный подход, в основе которого лежит процедура обоснованного выбора модели из некоторого набора моделей по совокупности идентифицирующих ее характеристик.
Задачи структурной идентификации основаны на использовании модели, представленной в виде [7-10]
Л(2Г;ё),
49
где X - исследуемая случайная величина, 0 - вектор неизвестных параметров модели; А( ) - обозначение типа модели.
Суть параметрической идентификации состоит в оценивании по эмпирическим данным Х= {xh i=l,n} оценок параметров 0 = 0(А”). Чаще вместо термина «параметрическая идентификация» используют понятие «статистическое оценивание параметров».
В практике статистических исследований имеют место две основные роли вероятностных моделей:
•	для адекватного описания исследуемого реального процесса или явления, имеющего вероятностную природу и четкую физическую интерпретацию;
•	как вспомогательное средство при реализации методов статистической обработки данных, например при описании функций от случайной величины, используемых при построении статистических оценок, статистических критериев и прочего.
2.2.	ТИПОВЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ ОДНОМЕРНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Пусть А(Х-,&) - модель случайной величины X с вектором параметров 0 = {а, X, а, Р,...}, где а - параметр положения (сдвига), X - параметр масштаба рассеяния, а, Р, ... - параметры формы модели (распределения).
Если параметры а и /. известны, то можно перейти к стандартной форме записи
А(Х0; 0,1, а, р,...),
„ Х-а где X0  -------стандартизованная случайная величина.
X
Рассмотрим наиболее распространенные в практике статистических исследований законы распределения [3, 7, 8].
50
2.2.1.	Нормальное (Муавра - Лапласа - Гаусса) распределение
Нормальное распределение рассмотрено впервые А. Муавром в 1733 г., а в 1809 г. снова открыто независимо от А. Муавра К. Гауссом. Распределение Муавра-Лапласа-Гаусса занимает ведущее место в теории и практике вероятностно-статистических исследований, в частности в экономике, социологии, технике, медицине, биологии и пр. [1].
Пусть X- случайная величина с математическим ожиданием ту и среднеквадратичным отклонением о. Плотность распределения вероятностей нормального распределения имеет вид [1, 6-9]
(*-о)2
WN{x-,d,X) = -^=e	,	(27)
где |х| < оо , а - параметр положения (|а| < оо), X - параметр масштаба (X > 0).
Функция распределения представлена в виде
9-q)2
1 х	2	/
„ z а х 1 f 2Л .	Х-|
<й-ф[
Нормальное распределение симметрично относительно т> и имеет следующие числовые характеристики: математическое ожидание т\ = Q, дисперсия D = о2 = X2, коэффициент асимметрии pi = 0, неприведенный коэффициент эксцесса р2 = 3, приведенный коэффициент эксцесса у = 0.
2.2.2.	Экспоненциальное (показательное) распределение
Экспоненциальное распределение хорошо описывает случайные величины, характеризующие длительность жизни элементов, систем, индивидуума (задачи теории надежности, демографии и др.) [1,3, 7, 10].
Функциональные и числовые характеристики случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение, представлены в виде
х-а
WE(x;a,k) = ~e л ,х> а	(28)
А.
51
О при х<а,
Г£(х;аД) = <
х-а
(29)
1-е
при х > а,
ту = а + A,, D = ст2 = A.2, Pi = 2, Р? = 9, уг = 6, где л е (а, оо), | а | < да, А, > 0.
2.2.3.	Равномерное (прямоугольное) распределение
Равномерное (прямоугольное) распределение [3, 7-10] находит применение при анализе времени ожидания «обслуживания» при точно периодическом, через каждые Т единиц времени, прибытии (включении) обслуживающего устройства и при случайном поступлении заявки на обслуживание в этом интервале [1].
Функциональные и числовые характеристики равномерного распределения имеют вид
0
^Л(х;а,А.) = 1 ГЛ(х;а,А.) = . Л
при х <а,
при а<х<а + А.,
1 при х^а + А.,
А. п 2 mi =а +—, D-u - —, 2	12
где хе(а,а + А.), |а|<оо, А.>0.
Pl — 0, р2 -1,8, у2 — —1,2,
2.2.4.	{-распределение Стьюдента
Закон распределения Стьюдента с п числом степеней свободы [3, 7-10] используется при построении доверительных интервалов и проверке статистических гипотез. Если имеются независимые нормально распределенные случайные величины •••, £п ,с ту - 0 и о2, то случайная величина
52
имеет ?(и)-распределение Стьюдента с п числом степеней свободы.
В данном распределении п - параметр формы распределения.
Функциональные и числовые характеристики распределения имеют вид:
Fs/(x;d,X, w) = 1-;~sign (г)-/ 2	I1+—
t n
x-a .	_	.
где z =----, sign () - знак числа, стоящего в скобках, Г(а) гамма-
X
функция, 4 (а, Р) - неполная бета-функция, х е (-оо, оо ), | а | < оо,
2 X2
X > 0, п = 1,2, 3, ..., т\ = а, при п > 2, D = <3 =- при п > 3 (при
, П~2
и = 1,2 а не существует).
Коэффициент Pi = 0 при п > 4 (при п = 1,2, 3 Pi не существует,
формально Pi = 0 для всех п).
Р2= —— + 3, при и>5(при и = 1, 2, 3, 4 р2 не существует).
п-4
2.2.5.	Распределение хи-квадрат
Распределение %2 находит широкое применение при построении интервальных оценок параметров и статистических критериев
Показано, что сумма квадратов (% (п) =	+ ... +	) независи-
мых одинаково стандартно нормально распределенных случайных величин S,o; S,i, подчиняется закону %2-распределения с п степенями свободы.
Распределение %2 имеет случайные характеристики:
/ л-1 _-Wг(х-,а,Х,п)= (х °—е к ,
Х2-г|-|
53
О при х<а,
F 2 (х; а, X, п) =
при
х>а,
где у(а, х) - неполная гамма-функция, х е (а, оо ), | а | < оо, X > О, п = 1, 2, 3,.... Выражения для т\ и о2 приведены в [8, с. 204].
2.2.6.	Распределение Фишера
Данное распределение аналогично распределениям %2 и /-Стьюдента нашло применение при построении интервальных оценок и статистических критериев.
Отношение двух выборочных дисперсий, вычисленных по двум выборкам объемами nt и п2 и извлеченных из одной и той же нормальной генеральной совокупности, имеет F-распределение Фишера с л, и »2 числом степеней свободы F (щ, п2) . Плотность вероятности распределения Фишера имеет вид
г ”1 + »2
I 2 J
WF (х; а, X, «|, п2)  -т—-г—
Х-Г| ЬгР
12 ) I 2
г2
И} + и2 ’
где хе (а, оо), |ц| < оо, Х>0, и, =и2 =1, 2, 3....
Функция распределения, т\ и о2 для распределения Фишера приведены соответственно в [7, с. 175] и в [8, с. 214, 215].
2.3.	УПОРЯДОЧЕНИЕ МОДЕЛЕЙ.
МЕТОД ПЛОСКОСТИ МОМЕНТОВ
При решении прикладных статистических задач перспективным является описание исследуемого явления на модельном уровне (параметрическое описание), что требует развитых средств выбора модели из некоторым образом сформированного набора моделей.
Часто на основе априорных сведений выбрать модель не удается. В настоящее время существует ряд методов, позволяющих решить эту задачу с использованием результатов статистического наблюдения. Поскольку существует большое разнообразие моде
54
лей, то актуальным становится вопрос формирования набора моделей, из которых впоследствии будет осуществлен выбор адекватной модели. Здесь возможны два подхода:
•	формирование произвольного набора моделей, например с ориентацией на прикладную область;
•	формирование набора моделей по некоторому принципу (полноты, наименьшей избыточности и др.).
Выбор модели из набора можно осуществлять простым перебором моделей с последующим оцениванием параметров модели (см. п. 2.4), проверкой гипотез о согласии модели и эмпирического распределения (см. п. 3) и выбором оптимальной модели в смысле минимальной критической статистики.
Другой метод выбора строится на основе предварительного упорядочения моделей по некоторым характеристикам. Рассмотрим метод упорядочения, в основе которого лежат характеристики
и	р2 распределения случайной величины. Метод получил название метода плоскости моментов [9].
Плоскость моментов - это плоскость в координатах pf и р2. Обнаружено, что все модели распределений случайных величин, имеющие теоретические характеристики Pj2 и р2, могут занимать на плоскости моментов либо точку (модели, не имеющие параметров формы), либо кривую (модели с одним параметром формы), либо область (модели с двумя и более параметрами формы). Поскольку характеристики pf и р2 - случайные величины, то зона притяжения каждой модели определяется не только значениями Р^ и р2, но и дисперсией этих характеристик. Более глубоко этот вопрос рассмотрен в работах [9, 10]. На рис. 15 приведена плоскость
Рис. 15. Плоскость моментов
55
моментов с расположенными на ней моделями нормального, равномерного и экспоненциального распределений.
Область недопустимых значений pf и р2 (критическая область) ограничивается соотношением
Р2>Р?+1.
Последовательность выбора модели по плоскости моментов состоит из следующих шагов:
•	расположение на плоскости моментов моделей распределений в соответствии с их значениями Р^ и р2;
•	построение зоны притяжения модели (доверительных интервалов для р^ и р2);
•	вычисление оценок pf и Р2 по выборке из генеральной совокупности и расположение точки с координатами (pf, Р2) на плоскости моментов;
•	выбор модели, в зону притяжения которой попала точка с координатами (р^ и Р2 ).
Метод упорядочения, основанный на плоскости моментов, достаточно прост. Однако у него есть ряд недостатков. Вот лишь некоторые из них:
•	метод применим только для моделей, имеющих теоретические характеристики р^ и р2 (есть модели, например распределение Коши, для которых теоретические моменты не существуют);
•	с увеличением значений характеристик Р^ и р2 дисперсии их оценок также увеличиваются и зоны притяжения различных моделей, расположенных на плоскости моментов, начинают перекрываться - растет неопределенность при выборе моделей;
•	на плоскости моментов существует критическая область, попадание в которую р2 и Р2 не позволит выбрать адекватную эмпирическим данным модель.
В практике статистических исследований используются и некоторые другие методы упорядочения: ae-диаграмм, плоскости квантилей, метод упорядочения по затянутости «хвостов» распределений [6, 11].
56
Пример 13. Распределение магазинов по объему розничного товарооборота (млн. руб.) в одном из районных центров пред-
ставлено в группированном виде:
Товарооборот (млн. руб.)	61-65	65-69	69-73	73-77	77-81	81-85	85-89	89-93	93-97	97-101
Число магазинов	1	4	5	8	14	9	6	1	1	1
Необходимо подобрать гипотетическую модель распределения для описания эмпирических данных.
Найдем оценки числовых характеристик выборки, используя выражения (6, 10, 12, 16, 17):
/й| = 78,92 млн. руб., Ь = о2 = 52,15 млн. руб., Дз = 80,35 млн. руб., ц4= 8906,9 млн. руб.
Следовательно, (З2 =0,043, Р2 = 3,145.
Точка с координатами (0,043, 3,145) попадает на плоскости моментов (см. рис. 15) в зону притяжения модели нормального распределения. Поэтому в качестве гипотетической модели, описывающей эмпирическое распределение магазинов по объему розничного товарооборота, можно предложить нормальное распределение (см. п. 2.2.1). Параметры модели а и А. неизвестны.
2.4.	СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ
Пусть задана выборка конечного объема xh i = 1, и. Положим, что известна гипотетическая модель, описывающая эмпирические данные с точностью до неизвестных параметров
Задача статистического оценивания параметров состоит в поиске таких оценок 0, являющихся функциями элементов выборки
Q = G(xl, хп),
которые являются лучшими в смысле некоторых критериев качества (см. п. 1.4.1).
Существует большое многообразие методов оценивания параметров вероятностных моделей по эмпирическим данным, которые можно разделить на точечные и интервальные. В данном разделе остановимся только на точечном оценивании параметров.
57
В свою очередь точечное оценивание параметров можно осуществлять методами:
•	моментов (М-оценивание);
•	максимального правдоподобия (МП-оценивание);
•	минимума %2 (МХК-оценивание);
•	робастными (устойчивыми к отклонению модели от номинальной);
•	другими.
Рассмотрим оценивание параметров методами моментов и максимального правдоподобия.
2.4.1. Метод моментов
Пусть некоторая непрерывная случайная величина X описывается моделью JV(X;6). Необходимо оценить неизвестные параметры 0 модели по выборке конечного объема Х= {xt, / = 1, п}, полученной из генеральной совокупности.
Суть М-оценивания состоит в приравнивании оценок моментов (начальных, центральных) эмпирического распределения соответствующим теоретическим моментам выбранной модели, являющимся функциями неизвестных параметров модели [1, 5, 9, 10], и в решении полученной системы уравнений.
Количество уравнений в системе определяется количеством искомых параметров.
Начальные и центральные теоретические моменты порядка к могут быть получены из выражений
тк = jxkW(X-,Q')dx = mk(Qy,
х
Р* = J(x-)kfT(X; Q)dx = ц* (0), X
а их оценки тк и - по выборке объема п. Полагая, что тк и p.t являются состоятельными оценками характеристик fffy(0) и цД0) (см. п. 1.4.1), приравняем их друг другу и получим систему уравнений
. и‘(§? =	.	(30)
. Мб) =
58
Решая ее относительно неизвестных параметров 0, получим М-оценки QM.
tlSD Пример 14. Для статистических данных к примеру 13 оценить параметры модели нормального распределения, выбранной в качестве гипотетической. Из п. 2.2.1 следует, что плотность вероятностей нормальной модели имеет вид (27), а теоретические моменты /И| = а, о2 = X2. Оценки пц и б2, полученные по группированной выборке в предыдущем примере, thy =78,92 млн. руб., б2 = 52,15 млн. руб.2
Составляя систему уравнений ту = thy, ст2 = о2 и решая ее, получим dM - thy, =5 .
Следовательно, М-оценки параметров а и А. нормальной модели равны а = 78,92 млн. руб., А = 7,22 млн. руб. В окончательном виде модель нормального распределения может быть представлена выражением
_(х~78?92)2
W(X-, 78,92, 7,22) =---104’31 .
7,22-у2л
Метод моментов относительно прост, но есть распределения, для которых функциональная зависимость между моментами и параметрами достаточно сложна [8, 9]. В этом случае для М-оценивания необходимо привлечение численных методов. М-оценки, как правило, несмещенные, но они менее эффективны, чем МП-оценки. Поэтому, выбирая метод оценивания параметров, необходимо выделить критерий или совокупность критериев качества оценок (простота вычисления, несмещенность, эффективность, состоятельность и другое), наиболее значимых в данном случае. И только после этого выбирать метод оценивания. Более глубоко методы оценивания параметров распределений описаны в [9, Ю].
59
2.4.2. Метод максимального правдоподобия
Пусть в результате статистического наблюдения получена выборка X = {х„ i = 1,п}, которая описывается некоторой моделью W(X-,Q). Согласно методу максимального правдоподобия [1, 3, 5, 10] искомые оценки QMn определяются из условия
£(%],	х„; ёмп)-тахЛ(х1, х„; 0),
0
где L - функция правдоподобия, определяемая как
£(х1,...,х„;0) = П^(х/,0).	(31)
/=1
При условии независимости элементов х, выражение (31) дает совместную плотность вероятностей - меру правдоподобия получения {л,} при каждом формальном 0. Следовательно, можно > найти значение 0, максимизирующее функцию правдоподобия.
Вместо L удобнее работать с In L, поскольку от работы с произведением можно перейти к работе с суммами. Кроме того, в большинстве случаев удается избавиться от экспоненциальной зависимости в плотности распределения вероятности.
Таким образом, МП-оценки параметров 0 ищутся из системы уравнений:
^ = 0, 30!
^ = 0, [30,
где к - количество искомых оценок параметров.
Необходимо оценить параметры а и А экспоненциального распределения модели методом максимального правдоподобия. Составим функцию правдоподобия L и получим In L
60
( X —fl \ «	1	1	1 «
lnZ = y In — e — In-----------У(л\-а).
Й I/ J V
МП-оценки dMn и Хмп ищем из системы уравнений:
61nZ да
6lnZ . бХ
б In Z п _	„
------- - = 0, что недопустимо. Следовательно, оценки амп для да X
экспоненциальной модели не существует. Действительно, в точке х = а плотность вероятности экспоненциального распределения претерпевает разрыв первого рода.
Найдем Хмп.
д in L дк
XU~a)
~Т + ^—2---=
X X
XU~a) —------= п,
X п	п
XU—а) ХЛ’< ^мп=~------= —----— = т^-а.
п п п
Из последнего выражения следует, что если параметр а неизвестен, то, поскольку амп не существует, для получения Хмп необходимо иметь некоторую другую оценку параметра а, например dM , полученную по методу моментов.
Пример 15. Цена различных типов электроприборов в магазине (в тыс. руб.) представлена в группированном виде:
Цена (тыс. руб)	0-0,9	0,9-1.8	1,8-2,7	2,7-3,6	3,6-4,5	4,5-5,4	5,4-6,3
Количество приборов	25	16	5	1	1	1	1
61
Необходимо подобрать гипотетическую модель, описывающую эмпирические данные.
Получим оценки:
/й] = 1,23 тыс. руб., 6 = 1,18тыс. руб, р2 = 3,57, 02=8,11.
Оценки р2 и Р2 позволяют в качестве модели, аппроксимирующей эмпирическое распределение, выбрать экспоненциальную модель (см. п. 2.3) с плотностью вероятностей, определяемой выражением (28).
Пример 16. Для данных примера 15 найти МП-оценки параметров экспоненциальной модели.
Для экспоненциальной модели (28) оценки параметров, полученные по методу моментов, равны
Хм = 6 = 1,18 тыс. руб., dM =тх -1М =1,23-1,18 = 0,05 тыс. руб.,
Подставляя значение dM в выражение для Хмп, получим
Хмп = тх - dM = 1,23 - 0,05=1,18 тыс. руб.
Для экспоненциальной модели Хмп = ХМ.
Задания для самоконтроля
Вопрос 1. Для выборки из нормальной генеральной совокупности тх - 26,4, D = 6,1. Оценки параметров сдвига а и масштаба X нормальной модели, полученные по методу моментов, равны: d =,Х =.
Вопрос 2. Оценки характеристик р2 = 0,11 и Р2 = 2,93 получены по выборке объема п = 80 из генеральной совокупности. Для аппроксимации эмпирических данных можно выбрать в качестве гипотетической модель___(сделайте выбор)
А.	Нормального
Б. Экспоненциального
В.	Равномерного распределения.
Вопрос 3. Для выборки из нормальной генеральной совокупности тх = 13,8, 6 = 1,3. Оценки параметров сдвига а и масштаба X
62
нормальной модели, полученные по методу максимального правдоподобия, равны а -, X =.
Вопрос 4. Оценки характеристик - -0,08 и Р2 == 2.1 получены по выборке объема п = 65 из генеральной совокупности. Для аппроксимации эмпирических данных можно выбрать в качестве гипотетической модель___(сделайте выбор)
А. Нормального
Б. Экспоненциального
В.Равномерного распределения.
Вопрос 5. Для выборки из экспоненциальной генеральной совокупности гщ = 1015, о = 11,4. Оценки параметров сдвига а и масштаба X экспоненциальной модели, полученные по методу моментов, равны d =, X =.
Вопрос 6. Оценки характеристик 0^ = 3,83 и 02 = получены по выборке объема п = 73 из генеральной совокупности. Для аппроксимации эмпирических данных можно выбрать в качестве гипотетической модель___(сделайте выбор)
А. Нормального
Б. Экспоненциального
В. Равномерного распределения.
Вопрос 7. Для выборки из экспоненциальной генеральной совокупности тх = -124, Ь= 16,0. Оценки параметров сдвига а и масштаба X экспоненциальной модели, полученные по методу максимального правдоподобия, равны d =, X =.
Контрольные вопросы и задания к главе 2
1.	Какие функции выполняют вероятностные модели в задачах статистических исследований?
2.	В чем состоит суть задач структурной идентификации?
3.	Сделайте постановку задачи параметрической идентификации.
4.	Назовите ограничения на использование параметрических методов статистики.
5.	Назовите наиболее распространенные модели одномерных непрерывных законов распределений. Каковы области их применения?
6.	Поясните термин «упорядочение моделей».
63
7.	Дайте характеристику метода упорядочения моделей, основанного на плоскости моментов.
8.	Назовите основные этапы процедуры выбора модели по плоскости моментов.
9.	Какими недостатками обладает метод упорядочения моделей по плоскости моментов?
10.	В чем состоит суть метода моментов оценивания параметров модели?
11.	Какими свойствами обладают оценки, полученные по методу моментов?
12.	Поясните суть метода максимального правдоподобия оценивания параметров.
13.	В одном из банков в течение дня измеряли время (в минутах) обслуживания клиентов. Группированные результаты наблюдений представлены ниже:
Время обслуживания (мин'.)	10-12	12-14	14-16	16-18	18-20	20-22	22-24
Количество клиентов	2	4	8	12	16	10	3
Для данного задания выполнить следующее:
•	выдвинуть гипотезу в виде модели, аппроксимирующей эмпирическое распределение, обосновать выбор модели;
•	оценить параметры выбранной модели методами моментов и максимального правдоподобия.
Опираясь на эмпирические данные задания, ответьте на вопрос: «Насколько правомерно использование в данном случае параметрических методов статистической обработки данных?» Обоснуйте Ваш ответ.
3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ. СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ
Структура главы «Предварительный анализ данных. Статистические критерии проверки гипотез» приведена на рис. 16.
Рис. 16. Структура главы «Предварительный анализ данйых. Статистические критерии проверки гипотез»
Цели
Иметь представление:
•	о ситуациях, когда необходима проверка статистических гипотез;
•	содержательном смысле критической статистики.
65
Знать:
•	пять шагов логической схемы статистического критерия проверки гипотез;
•	определение понятий «статистическая проверка гипотез», «уровень значимости», «ошибка первого рода», «ошибка второго рода», «мощность критерия»;
•	различать понятия «односторонний и двусторонний критерии», «простые и сложные гипотезы».
Уметь:
•	объяснять значимость и содержание каждого шага логической схемы проверки статистических гипотез;
•	определять по таблицам математической статистики верхнюю и нижнюю критические границы для заданного уровня значимости а;
•	использовать графическое представление задачи построения статистического критерия проверки гипотез (при одностороннем и двустороннем критерии).
3.1.	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОБЩАЯ ЛОГИЧЕСКАЯ СХЕМА СТАТИСТИЧЕСКОГО КРИТЕРИЯ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ
На разных этапах статистического исследования возникает необходимость в формулировании и экспериментальной проверке некоторых предположительных утверждений (гипотез, истин), от которых зависят правомерность и эффективность применяемых методов анализа, например:
•	можно ли считать подлежащие обработке данные результатами независимых наблюдений случайной величины;
•	при наличии нескольких групп исходных данных можно ли считать, что они извлечены из одной генеральной совокупности;
•	симметричен ли закон распределения исследуемой случайной величины относительно центра группирования;
•	какую модель надо выбрать для описания эмпирических данных;
•	какова природа и величина неизвестных параметров рассматриваемой стохастической схемы и т. д.
Наша цель в данном случае - проверить, не противоречит ли высказанная нами гипотеза Но имеющимся эмпирическим данным.
Процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы с имеющейся выборкой х2, х„ осуществляется с
66
помощью того или иного статистического критерия и называется статистической проверкой гипотез.
Результат такого сопоставления может быть как отрицательным (данные наблюдения противоречат выдвинутой гипотезе, следовательно, от нее надо отказаться), так и положительным (наблюдения не противоречат высказанной гипотезе, и поэтому ее можно принять в качестве одного из решений).
Неотрицательный результат статистической проверки гипотез не означает, что высказанное нами предположительное утверждение является наилучшим. Могут также существовать другие гипотезы, которые не будут противоречить тем же эмпирическим данным.
Принятая в этом случае гипотеза будет рассматриваться как достаточно правдоподобное, не противоречащее опыту утверждение.
Статистические критерии проверки гипотез разнообразны, но у них единая логическая схема построения критерия, которая укладывается в 5 шагов [1].
1-й шаг. Выдвигается основная (или проверяемая) гипотеза Но. Гипотеза Н, которая противоречит основной Но, называется альтернативной, или конкурирующей.
2-й шаг. Задается уровень значимости критерия а. Дело в том, что любое статистическое решение, принимаемое на основе ограниченного ряда наблюдений, сопровождается, хоть и малой, вероятностью ошибочного заключения. Именно в доле случаев а гипотеза Но может быть отвергнута при условии, что она верна, или, наоборот, в доле случаев Р мы можем принять гипотезу Но, в то время как она ошибочна. При фиксированном объеме выборки п величину вероятности а или Р мы можем выбирать самостоятельно. Если есть возможность сколь угодно увеличивать п, то теоретически можно добиться как угодно малых ошибок аир при любой фиксированной конкурирующей гипотезе Н\.
Величину а называют уровнем значимости, размером критерия или ошибкой первого рода. Это вероятность отвергнуть основную гипотезу Но при условии, что оиа верна.
Чем весомее для исследователя потери от ошибочного отвержения гипотезы Но, тем меньшее а необходимо выбирать. Обычно пользуются стандартными значениями а (0,1; 0,05; 0,025; 0,01; 0,005; 0,001).
1^0 Пример 17. Величина а = 0,05 означает, что в среднем в 5 случаях из 100 при использовании данного статистического критерия будет ошибочно отвергаться справедливая основная гипотеза Но.
67
3-й шаг. Задается некоторая функция результатов наблюдения - критическая статистика
Vkp= v(Xb*2,
Как функция наблюдений эта' критическая статистика также является случайной величиной и в предположении справедливости Но подчинена некоторому хорошо изученному закону распределения С ПЛОТНОСТЬЮ ВерОЯТНОСТИ IF(v;/Kp).
Механизм построения закона распределения критической статистики описан в [1].
ИГ1
Содержательный смысл критической статистики - мера расхождения имеющейся в распоряжении исследователя выборки с основной гипотезой Ни.
Например, в гипотезе об однородности двух выборок случайных величин Хи К- мера различия между функциями распределения F(x) и F(y).
4-й шаг. Из статистических таблиц распределения Hz(v;/Kp) или расчетным путем находятся квантили уровня а/2 и 1-а/2 или процентные точки <|/(1^а/2)юо% и \|/(а/2)юо %, являющиеся соответственно нижней укрн и верхней укрв критическими точками (границами). Они делят всю область допустимых значений фкр на области:
•	неправдоподобно малых (I);
•	правдоподобных (II);
•	неправдоподобно больших (III).
Область принятия гипотезы Но определяется как доверительный ’интервал для \|/кр, который формируется на основе распределения статистики IF(\|/Kp) при уровне доверительной вероятности р = 1 - а.
Различают односторонние и двухсторонние критерии. Для одностороннего критерия область принятия основной гипотезы может иметь ограничение только с одной стороны (сверху или снизу). При этом область значений статистики укр разбивается на две: область правдоподобных и область неправдоподобно больших или неправдоподобно малых значений.
Для двухстороннего критерия область принятия гипотезы Но имеет два ограничения - сверху и снизу.
68
W(v«r)
5-й шаг. Определяется наблюденное (расчетное) значение критической статистики \|/расч подстановкой в ц/кр конкретных выборочных значений xi,x2,..., хп или некоторых функций от них. Если окажется, что принадлежит области правдоподобных значений, то гипотеза Но верна, т. е. не противоречит выборочным данным. В противном случае Но отвергается с ошибкой первого рода а. Отвержение Но означает, что <|/расч не подчиняется закону распределения Hz(\pKp). Ошибка Р может возникнуть тогда, когда принимается Но, в то время когда она неверна. Р называется ошибкой второго рода, а (1 - Р) - мощностью критерия.
Если проверяемая гипотеза Но сводится к проверке точного равенства, то гипотеза называется простой, в других случаях мы имеем дело со сложной или вложенной гипотезой.
Пример 18. Первый шаг проверки гипотез об однородности двух выборок выглядит так:
Но’ F(x) = F(y),
Hf. F(x) * F{y).
Здесь Но - гипотеза простая, Н - гипотеза сложная (вложенная).
J
I Задания для самоконтроля
чИи***"
Вопрос 1. Для двустороннего критерия по сравнению с односторонним (при ограничении сверху) при одном и том же уровне
69
значимости верхняя критическая точка будет расположена ___. Сделайте правильный выбор.
I.	Левее
2.	Правее
3.	Останется без изменения
Вопрос 2. Вероятностью принятия основной гипотезы при условии, что она неверна, называют___. Сделайте правильный
выбор.
А.	Доверительную вероятность
В.	Уровень значимости
С.	Ошибку второго рода
D.	Ошибку первого рода
Вопрос 3. Поставьте каждому шагу логической схемы проверки статистического критерия соответствующие ему функции.
Функции
А. Формулирование Но
1-й шаг	Б. Вычисление урасч
2-й шаг	В. Задание а
3-й шаг	Г. Проверка условия и принятие реше-
4-й шаг	ния об истинности или ложности Но
5-й шаг	Д. Задание <|/кр
Е. Вычисление критических границ статистики фкр
Ж. Исследование предельного распределения статистики укр
3.	Формулирование Н\
3.2.	ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАВЕНСТВЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Цели
Иметь представление о практической применимости гипотез о равенстве числовых характеристик случайных величин.
Знать законы распределения критических статистик для гипотез о равенстве числовых характеристик случайных величин при различных начальных условиях.
Уметь:
•	проверять, используя пять шагов логической схемы, гипотезы о равенстве дисперсий при известных и неизвестных математических ожиданиях;
70
•	проверять гипотезы о равенстве математических ожиданий при известных и неизвестных дисперсиях;
•	вычислять критические границы для гипотез о равенстве характеристик случайных величин при заданных уровнях значимости;
•	объяснять зависимость ширины области принятия основной гипотезы от уровня значимости, вида критической статистики и других характеристик случайных величин.
Ж Пример 19. Пусть, например, необходимо определить среднее время обслуживания клиентов банка. Для этого в течение двух дней проводили эксперимент и получили соответственно тх и mY . Поскольку тх и mY являются статистиками, то они случайны. Чтобы убедиться в том, что среднее время обслуживания клиентов банка в первый и второй дни можно считать равными, надо проверить гипотезу типа
Но: тх = ту.	1
Такие гипотезы называются гипотезами о равенстве характеристик случайных величин.
Проверка гипотез о равенстве числовых характеристик случайных величин, принадлежащих одной генеральной совокупности (однородных, см. п. 2.3 данного раздела), также бывает нужна в практических ситуациях, когда выборки малы и есть необходимость объединить их в одну.
3.2.1.	Проверка гипотез о равенстве дисперсий случайной величины при известных математических ожиданиях
Данная гипотеза может найти применение, например, при метрологической аттестации нового измерительного прибора.
tSBJD Пример 20. Проведено исследование розничного товарооборота продовольственных магазинов в двух районах области (по 50 магазинов в каждом). Априори известны средние значения розничного товарооборота - 78,9 и 78,68 тыс. руб. Полученные в результате оценки среднеквадратичных отклонений в первом и втором районах области соответственно равны 7,22 и 7,79 тыс. руб. Можно ли считать, что разброс розничного товарооборота магазинов в районах неодинаков при уровне значимости 0,05? Можно ли
71
сделать вывод о разной покупательной способности населения районов?
В данном случае речь идет о необходимости проверки гипотез о равенстве дисперсий двух выборок при известных до опыта математических ожиданиях.
Исходные предположения	____
Пусть имеются две выборки х, i = l,nt , ypj = 1,п7 случайных величин X и Y из нормальных генеральных совокупностей и пусть математические ожидания тх и ту этих случайных величин известны. Необходимо проверить гипотезу о равенстве дисперсий случайных величин.
1-й шаг. Формирование основной Но и альтернативной Н\ гипотез:
Но: tj2x = ст2, .
Яь с2х * с2.
2-й шаг. Задание уровня значимости а.
3-й шаг. Формирование критической статистики. В качестве меры различения ох2 и оу2 выбрана величина
Ч^кр —	/ СТу .
Примем доказательства, что предельное распределение статистики хркр как случайной величины стремится к ^распределению Фишера Г(ц/кр; и2) с и, и и2 числом степеней свободы
lim Я(\|/кр) =	«1, п2).
,/?2
4-й шаг. Определение критических границ.
Верхняя критическая граница определяется как процентная
ОС
точка распределения Фишера уровня — • 100%
2-
Ч'кр.в = Fa («1>«2)'
—100%
2
Для ^распределения Фишера нижняя критическая точка может быть найдена из выражения
ЧЧр.н — F а	—	•
(1--)100%	и
72
Значение процентной точки F„ (п,, п-,) находится из таблиц — 100% 2
математической статистики для распределения Фишера (см. прил. 4).
5-й шаг. Расчет наблюденного или расчетного значения критической статистики из выражения
Ураем
(32)
где о2г и о2 - оценки дисперсий случайных величин X и У, полученные по выборкам из генеральных совокупностей.
Если выполняется условие
F а	< Ураем < Fa	(33)
(1--)100%	н	—100%
2	2
то Но верна с ошибкой первого рода, в противном случае Но отвергается (см. рис. 18).
Пример 21. В банке в течение двух дней проводилось исследование времени обслуживания клиентов. Данные представлены в табл. 3. Обозначим время обслуживания клиентов в первый день X, а во второй - Y.
73
Таблица 3
Статистические данные времени обслуживания клиентов в байке
Номер интервала группирования j	Время обслуживания (мин)	Цу (1-й день)	V (2-й день)
1	10-12	2	2
2	12-14	4	4
3	14-16	8	9
4	16-18	12	13
5	18-20	16	16
6	20-22	10	8
7	22-24	3	3
Известно априори, что т,:= 17,8, ту = 17,6, = гь = 55. Можно ли считать одинаковыми отклонения от среднего времени обслуживания клиентов банка в 1-й и во 2-й дни при а = 0,01?
В данном случае предстоит проверить гипотезу о равенстве дисперсий при известных математических ожиданиях. Предварительно найдем о2. =8,38, ду =8,14.
1-й шаг.
гт, _2 __	2
/То. оX	’
Я. л-2	, _2
I • X	*
2-й шаг. а = 0,01.
3-й шаг. Укр = 62v /о2.
Из предыдущего известно, что при п\ и п2 со распределение статистики стремится к распределению Фишера F(\ркр; п\, п?}.
4-й шаг. Находим верхнюю и нижнюю критические границы, используя таблицу процентных точек распределения Фишера (прил. 4),
’	<Икр.в= Fo5%(55,55) = 2,04,
укрн= 1/2.04 = 0,49.
5-й шаг. Расчетное значение критической статистики находим из (32)
- 8’38_ 1 оз 'Ирасч 0	~ 1,03 .
о, 14
Поскольку условие (33) выполняется 0,49 < 1,03 < 2,04, то Но верна, т. е. дисперсии о2Х и ст2 можно считать равными.
74
3.2.2. Проверка гипотез о равенстве дисперсий случайной величины при неизвестных математических ожиданиях
Пусть имеются две выборки i = 1, n,, yj,j = 1, п2 случайных величин X и Y из нормальных генеральных совокупностей и пусть математические ожидания тх и ту неизвестны. Необходимо проверить гипотезу о равенстве дисперсий.
1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез
Но:	= Оу ,
Т/i: а х о у .
2-й шаг. Задание уровня значимости а.
3-й шаг. Выбор критической статистики
Помните, что в качестве оценки дисперсии по возможности всегда необходимо использовать несмещенную оценку.
При неизвестном математическом ожидании оценка S2 может быть получена из (13) или (14).
Предельное распределение статистики ц/кр при неизвестных тх и ту стремится к распределению Фишера с (и|- 1) и («2- 1) числом степеней свободы
lim ^(Укр) = Я^кр; «I - h«2- 1). -»оо -
4-й шаг. Определение критических границ. Соответственно верхняя и нижняя критические точки равны:
Wb= Fa («1-1, «2^1),
—100%
2
'Икр.н ~ F- а\ («1 “ 1, «2~1) — I/'Vkp.b •
I-- 100%
I 2)
75
5-й шаг. Расчетное значение критической статистики при неизвестных математических ожиданиях определяется из выражения
~2	------У (Л/ " )2
sx2 «1-1^
Ураем - -2 “	,	„2
м..	1	х"1 /	к 2
у
«2	1 /=1
(34)
где Sx и Sy - несмещенные оценки дисперсий случайных величин X и Y, полученные по выборкам.
Если выполняется условие
F, а,1	(И1-1, «2-1 )< Ураем <	( «1~1 , «2~ 1),	(35)
1—	.100%	—100%
(	2)	-	2
то Но верна с ошибкой первого рода. В противном случае Но отвергается.
Пример 22. Для данных примера 21 проверить гипотезу о равенстве дисперсий при неизвестных математических ожиданиях тх и mY для уровня значимости а = 0,1.
Поскольку тх и ту неизвестны, то для поиска д\- и д2 воспользуемся оценками тх и ту. По статистическим данным получим
тх = 17,84, ту = 17,65, §2Х = 8,54, S\ = 8,29.
Верхняя и нижняя критические границы могут быть найдены по таблице процентных точек F - распределения Фишера (прил. 4)
yKpB = F5% (54,54) = 1,73,
укрн= 1/1,73 = 0,58.
V/pac4 найдем из (34)
8,54 ют
Уоасч =------= 1,03.
расч 8,29
Поскольку выполняется условие (35) 0,58 < 1,03 < 1,73, то гипотеза Но о равенстве дисперсий при неизвестных математических ожиданиях не отвергается.
76
3.2.3. Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий случайных величин при известных дисперсиях
Пусть даны две выборки из нормальных генеральных совокупностей случайных величин Хи У и известны их дисперсии. Необходимо проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий.
1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез
Нп-.тх=тг,
Н]'. тх^ ту-
Такая задача ставится обычно тогда, когда выборочные средние оказываются различными. Возникает вопрос: значимо ли это различие?
2-й шаг. Задание уровня значимости а.
3-й шаг. Формирование критической статистики и определение закона ее распределения при nt-»oo, п2-»оо
1/йд. - ту\
'Икр= Г~....~2=’
Н+£г у п} п2
lim ^(укр) = Ф (укр; 0, 1),
>п2">0°
где Ф (фкр; 0,1) - стандартизованное нормальное распределение [1].
4-й шаг. Верхняя и нижняя критические границы соответственно равны
'Икр.в — м1-а ’ Т .
'Икр.н ЧА<р.в ,
1 -а где и,_а - квантиль уровня ---- нормального распределения на-
V	2
ходится по таблице прил. 1.
77
5-й шаг. Определение расчетного значения критической статистики
Ч^расч
(36)
и принятие решения. Если выполняется условие
Ч^кр н < Чфасч < ЧАф.в ,
(37)
то гипотеза Но верна. В противном случае Но отвергается с ошибкой первого рода а.
Данный алгоритм проверки гипотез о равенстве тх и ту справедлив и при отклонении распределения случайных величии X и Y от нормального, но при условии, что «1 и п2 больше 30.
Пример 23. Для данных примера 21 проверить гипотезу о равенстве тх и ту при условии, что дисперсии априори известны и равны Оу = 8,65, сг^ =8,12 при а = 0,05. Оценки тх = 17,84, mY = 17,65, необходимые для вычисления ч/расч из (36), получим по выборкам.
Верхняя и нижняя критические границы могут быть найдены по таблице функции нормального распределения (прил. 1)
Ч^кр.в— 1,96, 4/кр.н ~ — 1,96 .
Следовательно,
Ч/раеч /8,65 8,12 °’344’
V 55 + 55
Поскольку условие (37) выполняется -1,96 < 0,344 < 1,96, то Но верна. Следовательно, тх и ту (среднее время обслуживания клиентов в банке в 1 -й и во 2-й дни) можно считать равными.
78
3.2.4. Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий случайных величин при неизвестных дисперсиях
Пусть имеются две выборки из нормальных генеральных совокупностей случайных величин X и У. Необходимо проверить гипотезу о равенстве тх и mY.
1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез
Ну, тх = Wy,
Н\‘. тх^ ту.
2-й шаг. Задание уровня значимости а.
3-й шаг. Формирование критической статистики
_	|/йЛ.-да}, |	|
'Укр I 1 .............	1	'. |	
(п,-1)52+(и2-1)52 Vi+«2
V (и, + п2 - 2)
Предельное распределение статистики ц/кр. стремится к /-распределению Стьюдента с («| + и2 - 2) числом степеней свободы.
lim Дуукр) = t (урц,; пх + п2 - 2).
Wj ,/?2 “*°0
4-й шаг. Верхняя и нижняя точки критерия находятся из выражений
Ч^крв	2),
ГИкр.н Ч^кр.В)
где t “ 100o/o(«i + «2_ 2) - верхняя процентная точка /-распределения Стьюдента, которая может быть определена по статистическим таблицам прил. 2. Поскольку /-распределение Стьюдента симметрично, то нижняя критическая точка симметрична верхней относительно 0.
5-й шаг. Определение расчетного значения критической статистики
Ц/рвсч
|/Йу-/Йг| I И|И2
kn,-l)S2 +(^-1)^ V«l+«2 '
(n, +n2 -2)
(38)
79
Если выполняется условие
Ч^кр.н < Ч^расч < Ч^кр.в,	(39)
то гипотеза Но верна. В противном случае Но отвергается с ошибкой первого рода а.
Данный алгоритм проверки гипотез о равенстве тх и ту справедлив и при отклонении распределения случайных величин X и Y от нормального, ио при условии, что п} и и2 больше 30.
Пример 24. Для данных примера 21 проверить гипотезу о равенстве тх и ту при условии, что дисперсии сгх и о2у неизвестны, а уровень значимости а = 0,01. Для вычисления фрасч воспользуемся значениями тх , ту, §х и Sy, полученными по эмпирическим данным
тх = 17,84, ту = 17,65, S2x = 8,38, S2y = 8,14.
Из выражения (38) получим
.1^.0,097.
р 54-8,38 + 54-8,14 V НО
V 108
Верхнюю и нижнюю критические точки находим по таблице процентных точек ^-распределения Стьюдента (прил. 2)
Укр.в = to.5 % («1 + «2 - 2) = Zo.5 % (Ю8) = 2,62,
Ч^кр.н Ч^кр.в — 2,62 .
Следовательно условие (39) выполняется -2,62 < 0,097 < 2,62, т. е. гипотеза Но верна с ошибкой первого рода а = 0,01.
Задания для самоконтроля
Вопрос 1. Две серии испытаний радиодальномера по 9 измерений в каждой серии до и после юстировки прибора дали следующие результаты:
<52х = 0,032 км2, о2 = 0,022 км2,
при априорных предположениях
mix = 0,03 км, т2у - 0,05 км.
80
Юстировка (повлияла, не повлияла) на разброс ошибки радиодальномера при уровне значимости а = 0,05.
Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, данных в скобках_________.
Вопрос 2. Исследование длительности оборота оборотных средств двух групп предприятий (по 13 предприятий в каждой) дало следующие результаты:
тх = 23 дня, ту = 26 дней, агх = 4 дня, ду = 9 дней.
Для уровня значимости 0,01 можно считать, что отклонения в длительности оборота оборотных средств групп предприятий (одинаковы, неодинаковы).
Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, данных в скобках_________.
Вопрос 3. Исследование пропусков по болезни детей в двух группах детского сада в течение года (по 16 детей в каждой группе) дало следующие результаты:
т1(1) = 32 дня, т1(2) = 41 день, S? = 9 дней2, S2 = 17 дней2.
При а = 0,1 можно считать, что среднее количество дней пропусков по болезни в обеих группах (одинаково, неодинаково).
Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, данных в скобках_________.
Вопрос 4. Исследование в течение месяца (25 рабочих дней) ежедневных простоев двух строительных бригад из-за отсутствия материалов дало следующие результаты:
w1(1) =1,75 ч., /й1(2) = 1,99 ч., при априорных предположениях
о2 = 1,4 ч2., ст2 = 1,1 ч2.
При а = 0,01 среднее время простоев бригад можно считать (одинаковым, неодинаковым).
Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, данных в скобках_________.
Вопрос 5. Исследование длительности оборота оборотных средств двух групп предприятий (соответственно по 16 и 15 предприятий в каждой) дало следующие результаты:
тх = 23 дня, тг = 26 дней, ёх = 4 дня, о2 = 9 дней.
81
Для области принятия гипотезы о равенстве отклонения длительности оборота оборотных средств групп предприятий при а = 0,01
Vkp в  > н •
Вопрос 6. Предельное распределение статистики i|/Kp для проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий при неизвестных дисперсиях будет стремиться к распределению _____.
Сделайте правильный выбор.
А.	Лапласа
Б. Фишера F (п\, пт)
В.	%2(Z-1)
Г. Стьюдента, t (и,+ пг- 2)
3.3.	ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ ОБ ОДНОРОДНОСТИ ДВУХ ИЛИ НЕСКОЛЬКИХ ВЫБОРОК
Цели
Иметь представление:
•	о разнообразии статистических критериев проверки гипотез об однородности двух или нескольких выборок случайных величин;
•	условиях применимости и свойствах различных критериев однородности двух или нескольких выборок случайных величин в зависимости от исходных условий.
Знать:
•	определение однородности двух или нескольких выборок случайных величин;
•	законы распределения критических статистик для критериев однородности хи-квадрат и Вилкоксона - Манна - Уитни.
Уметь:
•	выбирать адекватный, в смысле начальных условий, критерий однородности выборок случайных величин;
•	проверять гипотезы об однородности двух выборок по критерию %2;
•	проверять гипотезу о£ однородности двух выборок по критерию Вилкоксона - Манна - Уитни (при объемах выборок меньше или равных 25 и при объемах выборок больше 25).
82
dri
Если выборки однородны, то считают, что они извлечены из одной генеральной совокупности, следовательно, имеют одинаковые, но неизвестные непрерывные функции распределения.
3.3.1. Проверка гипотез об однородности двух выборок по критерию %2
Если данные представлены в группированном виде, то для проверки однородности можно использовать критерий однородности %2.
Пусть имеются две выборки объемами п\ и п2. Элементы каждой выборки независимы, непрерывны и сгруппированы в L интервалов. Проверим, принадлежат ли выборки одной генеральной совокупности. Критерий однородности %2 применим при и > 60 (еще лучше, если выполняется условие п > 200) и данные представлены в группированном виде [1,3].
1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез
Но : F(x) = F( у ),
#,:F(x)*F(y).
2-й шаг. Задание уровня значимости а.
3-й шаг. Формирование критической статистики
/	\2
«1 «2 J
^кр=«1 «2 У
где Ц/ и v, - количество попаданий в J-й интервал группирования соответственно первой и второй выборок. Если п} =п2~п, то
Укр- 2,-----
Н K/+V
83
Предельное распределение критической статистики стремится к ^-распределению с (L - 1) числом степеней свободы, т. е.
lim Д\|/кр) = Х2(Жр; L- 1),
Л] ,П2
4-й шаг. Определение верхней критической точки статистического критерия
Vkp.b= Х2а%(^- 1),
где x2a%(Z-I) ~ a-процентная точка %2-распределения, которая может быть получена с помощью таблиц процентных точек (приложение 3) для %2-распределения. Критерий однородности %2 является односторонним. Области неправдоподобно малых значений статистики %2 нет. Чем меньше расчетное значение критической статистики, тем более благоприятные условия складываются для принятия гипотезы об однородности двух выборок.
5-й шаг. Определение расчетного значения критической статистики
4^ =	(40)
М H/+V7
Если
Ч^расч < Ч^крв 1	(41)
то гипотеза Но верна, в противном случае Но отвергается. i|/paCT не может быть меньше нуля.
Пример 25. Для данных примера 21 проверим однородность двух группированных выборок случайных величин X и У по критерию %2 при уровне значимости а = 0,1.
Получим верхнюю критическую точку критерия по таблице прил.3
Укрв = %210 % (7-1) = Х2ю % (6) = 10,645.
1|/расч найдем из выражения (40) и, воспользовавшись значениями для Ц/ и V, из примера 21, вычислим
^.(2-2)2 (4-4)2 (8-9)2 (12-13)2
Vpac4 4	8	17	25
84
+ 0M6)l+(W+(M)i=
32	18	6
Следовательно, условие (41) выполняется 0,321 < 10,645, и Но верна с ошибкой первого рода а = 0.1.
3.3.2. Проверка гипотез об однородности двух выборок по критерию Вилкоксона - Манна - Уитни
Критерий Вилкоксона - Манна - Уитни является ранговым и применяется для проверки однородности двух выборок независимых случайных величин, распределения которых неизвестны [1,3].
Критерий находит применение при объеме выборки меньше 60, так как при больших п возрастает трудоемкость метода. Статистические данные должны быть представлены в негруппированном виде.
Здесь возможны два случая. Рассмотрим их последовательно. -
Случай А. Пусть имеются две выборки независимых непрерывных случайных величин (и < 25 для обеих выборок) i = 1,пь, yhj = 1,«2, где п\ < 25, пг <25.
Рассмотрим последовательность критерия.
1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез
Яо:Ях) = Ду),
Н\. Fix) ф Fly),
где Fix) и Fly) - неизвестные непрерывные функции распределения случайных величин X и К
2-й шаг. Задание уровня значимости а.
3-й шаг. Формирование критической статистики. Статистика критерия имеет вид
Л|+»2
Wp = 2Х1,	(42)
' i=i
где - ранги элементов выборки меньшего объема < п2).
Суммирование рангов Л, осуществляется по элементам меньшей выборки.
Предельное распределение статистики стремится к распределению Вилкоксона - Манна - Уитни.
85
Для принятия решения об однородности двух выборок по критерию Вилкоксона-Манна-Уитни необходимо выполнить следующую последовательность действий.
1. Проанализировать объемы выборок П\ и пг, сравнить их между собой. Меньшую выборку будем считать первой. Пусть П\ -объем меньшей выборки.
2. Из двух выборок составляем общий вариационный ряд с обозначением рангов вариант. Если в обеих выборках есть одинаковые варианты, то в общем вариационном ряду первыми записываются варианты меньшей (первой) выборки.
4-й шаг. По статистическим таблицам критических точек распределения Вилкоксона - Манна - Уитни [12] для уровня значимости а находим нижнюю критическую точку (см. таблицу прил. 5)
^Икр.н ^а/2 (^1, ^2)5
где (Оа/2 (п\, п2) - квантиль распределения Вилкоксона.
Верхняя критическая точка находится из выражения
Ч'кр в = («1+W2+I) «1 — Укр.н	(43)
или в виде
Vkp в ~ 2MFE— i|/KpH>
где 2M1F может быть взято из таблицы прил. 5 для соответствующих П\ И «2
5-й шаг. Вычисление расчетного значения критической статистики
Урасч = £ R>>'
осуществляется суммированием рангов Л”1 вариант первой выборки в общем вариационном ряду.
Если выполняется условие
'Дкр.н < 'Драсч. < 'Дкр.в ,	(44)
то гипотеза Но верна. В противном случае Но отвергается.
Случай Б. Объем хотя бы одной из выборок больше 25. Отличие данного случая от предыдущего состоит только в вычислении
86
Ч/кр.н на четвертом шаге проверки гипотезы об однородности. А именно,
Укр.н = й(а/2, «1, и2)
2
2
(45)
1 —а z где М]_а - квантиль нормального распределения уровня -- (на-
~	2
ходится по статистическим таблицам функции нормального распределения прил. 1).
Пример 26. Объемы дневных продаж овощных магазинов в двух районах области представлены выборками х„ /= 1,п, у,, j = 1, п2 (в тыс. руб.), «1 = п2 = 27.
х-.	17	13	22	9	20	9	20	9	22
	20	21	21	22	19	23	14	20	19
	17	И	8	21	10	20	18	11	15
У:	17	13	22	9	20	10	16	9	21
	15	21	21	22	18	21	15	20	18
	17 '	И	8	21	17	15	18	11	19
Проверить гипотезу об однородности двух выборок по критерию Вилкоксона - Манна - Уитни при уровне значимости а = 0,05.
Поскольку и/ = и2 = 27, то воспользуемся алгоритмом для случая Б. Будем считать первой выборку х„ i= 1,п{ .
Составим из двух выборок общий вариационный ряд, проставляя сразу ранг Rk, к = 1, п} + и2 элемента объединенного ряда. Принадлежность элемента той или иной выборке обозначим с помощью индекса ранга.
Элемент ряда	8х	8 г	9х	9х	9х	9г	9у	10х	10г
К	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Элемент ряда	Их	Их	Пг	Их	13х	13г	14х	15х	15г
л*	10	11	12	13	14	15	16	17	18
Элемент ряда	15г	15у	16г	17х	17х	17г	17у	17у	18х
Л*	19	20	21	22	23	24	25	26	27
87
Окончание таблицы
Элемент ряда	18г	18г	18г	19%	19л-	19г	20л-	20Л-	20л-
л*	28	29	30	31	32	33	34	35	36
Элемент ряда	2O.v	20л-	20г	20г	21%	21%	21%	21г	21г
Л*	37	38	39	40	41	42	43	44	45
Элемент ряда	21к	21г	21т	22Л-	22Л-	22Л-	22г	22у	23л-
Rk	46	47	48	49	50	51	52	53	54
Используя выражения 45 и 43, вычислим соответственно ц/крн и ЧАф.в> полагая, что для а = 0,05 и}_а = и0 475 =1,96
~Г
Ч\-р.н
(27 + 27 +1) • 27 -1 ,	/27-27(27 + 27 + 1)
	1,96. /------------- 2-------------------------------------------N 12
= 628,7,
Укр.в = (27+27+1)27 - 628,7 = 856,3.
По формуле (42) получим ц/расч = 734.
Как видно из результатов вычислений, условие (44) выполняется 628,7 < 734 < 856,3. Следовательно, Но верна и выборки следует считать однородными с ошибкой первого рода а = 0,05.
Задания для самоконтроля
Вопрос 1. Исследование в течение 10 дней производительности двух предприятий, выпускающих стиральные машины, дало следующие результаты:
1	82	74	64	72	84	68	76	88	70	60
2	52	63	72	64	48	70	78	68	70	54
Распределение производительности выпуска стиральных машин на обоих предприятиях можно считать (одинаковыми, различными), если использовать критерий однородности Вилкоксона при уровне значимости а = 0.05.
Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, данных в скобках.
88
Вопрос 2. Исследование времени обслуживания клиентов двух филиалов банка в течение рабочего дня дало следующие результаты:
Время (мин)	10-12	12-14	14-16	16-18	18-20	20-22	22-24
1-й филиал	2	4	8	12	16	10	3
2-й филиал	5	11	16	12	7	3	1
Распределение времени обслуживания клиентов в филиалах можно считать (одинаковым, различным), если использовать критерий однородности %2 при уровне значимости а = 0.01.
Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, данных в скобках_______.
Вопрос 3. Для двух выборок случайных величин X и Y объемов п\ = 30, лэ = 31 при уровне значимости а = 0,01 границы критической области по критерию однородности Вилкоксона равны:
ЧАф.в —> 'Vkp.h. •
Вопрос 4. Для проверки гипотезы об однородности двух выборок, представленных в группированном виде, необходимо воспользоваться критерием (%2, Вилкоксона).
Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, данных в скобках.
3.4.	ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫБОРКИ
Яели
Иметь представление:
•	о разнообразии статистических критериев проверки стохастической независимости элементов выборки;
•	условиях применимости и свойствах различных критериев проверки гипотез о стохастической независимости элементов выборки;
•	сравнительной мощности критериев о стохастической независимости элементов выборки.
Знать:
•	ранговые критерии стохастической независимости (критерий серий, основанный на медиане, критерий «восходящих» и «нисходящих» серий);
•	критерий стохастической независимости Аббе.
89
Уметь:
•	проверять гипотезы о стохастической независимости с помощью ранговых критериев (критерий серий, основанный на медиане, и критерий «восходящих» и «нисходящих» серий);
•	проверять гипотезу о стохастической независимости с помощью критерия Аббе.
Прежде чем приступить к статистической обработке результатов наблюдений, необходимо убедиться в том, что элементы выборки образуют случайную последовательность (являются случайными и независимыми).
Существует ряд критериев для проверки случайности и независимости элементов выборки. Рассмотрим некоторые из них.
3.4.1. Критерий серий, основанный на медиане
Пусть дана выборка xt, i = 1, и из некоторой генеральной совокупности. Необходимо проверить случайность и независимость элементов выборки. Для этого воспользуемся критерием серий, основанном на медиане [1], являющимся ранговым.
1-й шаг. Формулирование основной и альтернативной гипотез.
Но: элементы выборки i = \,п являются стохастически независимыми,
Н\. элементы выборки i = \,п не являются стохастически независимыми.
2-й шаг. Задание уровня значимости а.
3-й шаг. Формирование критической статистики.
Прежде чем определить вид критической статистики, необходимо выполнить следующую последовательность действий.
1.	Сформировать из элементов выборки вариационный ряд
•^(1) —^(2) —  — %(>) —	-^(л) 
2.	Найти оценку медианы, xmed = ^((„+i)/2), если л нечетно,	(46)
х med = о.5[ х(„/2) + х(„/2+1) ], если п четно.	(47)
3.	В исходной выборке вместо каждого х(;) будем ставить «+», если Х(,) > х ,ned, «-», если < х ined- Если Х(,) = х med, то знак не ставить.
Полученная последовательность «+» и «-» может характеризоваться количеством серий v(«) и длиной самой длинной серии т(л).
90
При этом под серией понимается последовательность подряд идущих «+» или «-». Серия может состоять только из одного «+» или «-». Длина серии - количество подряд идущих «+» или «-».
В данном критерии одновременно рассматривают пару критических статистик (двумерная критическая статистика)
4>кр = V|>{v(«), т(я)}.
Предельное распределение статистики \ркр является двумерным с частными предельными распределениями у(п) и т(н).
4-й шаг. Определение верхней и нижней критических точек распределения осуществляется расчетным путем из выражений
Чф (и) = 0.5(л +1 - их_а^п -1),	(48)
TKp(«) = 3.3-lg(«+l),	(49)
1 -а где и{_а - квантиль нормального распределения уровня----.
~ 2
5-й шаг. Определение расчетных значений критической статистики.
УрасчОО определяет количество серий в исходной выборке, а Трасч(и) - длину самой длинной серии. Если одновременно выполняются условия
Г^расч(^) ^кр(и),
S Г /ч	(50)
1 ^расч(^) ТКР(И),
то Но может быть принята с ошибкой первого рода. В противном случае элементы выборки нельзя считать стохастически независимыми.
Запомните! Критерий серий, основанный на медиане, улавливает только монотонное изменение среднего (оценки математического ожидания).
Пример 27. Для выборки xt, i = 1,27 из примера 26 проверить гипотезу о стохастической независимости элементов выборки при а = 0,05 с помощью критерия серий, основанного на медиане. Для п = 27 медиана равна 14-му элементу вариационного ряда *med = *(14) =19’
91
Построим последовательность «+» и «-»
----1— 4- — 4- — +• Ч—I—НН—h — 4--4- — 4--.
Следовательно, vpac<1(«) = 15, трасч(и)= 6.
Из выражений (48) и (49) найдем
vKp(27) = 0,5 (27 + 1- и0475>/27-1 ) = 9,003,
тк-р(27) = 3,3 1g (27+1) = 4,78.
Поскольку условие (50) не выполняется, то элементы выборки нельзя считать случайными и независимыми.
3.4.2. Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий
По аналогии с критерием серий, основанном на медиане выборки, в ранговом критерии «восходящих» и «нисходящих» серий также формируется последовательность серий «+» и «-» [1].
Для этого в исходной выборке из генеральной совокупности xh i = 1,и на месте /-го элемента ставят «+», если х,+] > х,, и «-», если х,+| < х. Если х,+| = х„ то в серии ничего не проставляется.
Рассмотрим последовательность критерия.
1-й шаг. Формулирование основной и альтернативной гипотез:
Но: элементы выборки-х„ / = 1,и являются стохастически независимыми,
Нь элементы выборки х„ i = 1,п не являются стохастически независимыми.
2-й шаг. Задание уровня значимости а.
3-й шаг. Формирование критической статистики
Укр = xp{v(z?)> <п)}- .
Предельное распределение статистики фкр является двумерным с частными предельными распределениями v(n) и т{п).
4-й шаг. Определение верхней и нижней критических точек
фкРв V|q,(w)
>-о-
М1-а 2
16и-29
90
.Г
фкр Н ^кр(п) j 6, L7,
при п < 26
при 26 < п < 153
при 153 < п < 1170 .
(51)
(52)
92
5-й шаг. Вычисление расчетных значений статистик vpac4(n) и ^расч(^)-
Vpac4(«) - количество серий в последовательности «+» и «-», траСч(и) - длина самой длинной серии.
Если одновременно выполняются условия
^расч(^) '* VKp(w),
__^расч(^) < ^крОО,
(53)
то Нй может быть принята с ошибкой первого рода. В противном случае элементы выборки нельзя считать стохастически независимыми.
Запомните! Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий улавливает смещение оценки математического ожидания монотонного и периодического характера. Это более мощный критерий по сравнению с критерием серий, основанном на медиане.
Пример 28. Для выборки xh i = 1,27 из примера 26 про
верить гипотезу о стохастической независимости элементов выборки при а = 0,05 с помощью критерия «восходящих» и «нисходящих» серий.
. Построим последовательность серий
------+ - + — +.
Получим vpac4(w) = 21, Трасч(«) = 4.
Найдем vKp(w) и ткр(и) соответственно из (51) и (52)
Тк₽(27)^6,
vKp(27) = — (2  27 -1) -1,96.1-6'27 29 = 13,52.
р 3	V 90
Поскольку условие (53) выполняется, то Но верна и элементы выборки можно считать случайными и независимыми.
93
3.4.3, Критерий стохастической независимости Аббе
Если выборках,, i= \,п принадлежит нормальной генеральной совокупности, то для выяснения вопроса о ее случайности предпочтительнее воспользоваться критерием квадратов последовательных разностей (критерий Аббе) [1].
Критерий Аббе позволяет обнаружить систематическое смещение среднего в ходе выборочного обследования.
1-й шаг. Формулирование основной и альтернативной гипотез:
Но: элементы выборки х„ i = 1, п являются стохастически независимыми,
Н\: элементы выборки не являются стохастически независимыми.
2-й шаг. Задание уровня значимости а.
3-й шаг. Формирование критической статистики
44= Ya’ = q2(n)IS2,	(54)
где
-*,)2>	(55)
S2 - несмещенная оценка дисперсии выборки.
При п < 60 предельное распределение критической статистики Ya > затабулировано и представлено в статистических таблицах для различных значений а (прил. 6) [13, табл. 1.9].
4-й шаг. Определение нижней критической точки осуществляется двумя способами.
Если п > 60, то
MI-a
Укрн = 1 + Г—'..у... —,	(56)
1и + 0,5 1 + W|_a
У у ~ у
где w,_a - квантиль стандартизованного нормального распределе-
ния. Таблица значений квантилей щ_а нормального распределе-
ния приведена в прил. 1.
94
При п < 60 фкр„ = у^п) находится по статистическим таблицам прил. 6.
5-й шаг. Вычисление расчетного значения критической статистики
фрасч~ С[~ (ti) IS .
Если щ(± > w*"' то гипотеза о стохастической независимости т JJdvH	I лр.п J
элементов выборки принимается. В противном случае элементы выборки нельзя считать случайными и независимыми.
Пример 29. Для выборки х,, i = 1,27 из примера 26 проверить гипотезу о стохастической независимости элементов выборки при а = 0,05 с помощью критерия Аббе. Остановимся лишь на последних двух шагах логической схемы критерия.
Поскольку п < 60, то с помощью таблицы прил. 6 для а = 0,05 получим
Ч^кр.н — Уо,О5 ~ 0,69.
Вычислим Урасч, воспользовавшись (54) и (55). Предварительно по выборке получим оценки
w, =16,85, S2 =23,89, q\n) = 30,31.
Следовательно,
30,31 . _7
Фоасч = ---= 1,27 .
₽	23,89
Так как хррасч > укр.н, то Но верна и элементы выборки следует считать случайными и независимыми.
Задания для самоконтроля
Вопрос 1. Фиксирование скорости автомобилей в некоторой точке трассы дало следующие результаты:
31, 39, 40, 45, 27, 28, 35, 55, 21, 33.
Полученные значения считать случайными и независимыми (можно, нельзя), если использовать критерий «восходящих» и «нисходящих» серий при а = 0,05.
Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, приведенных в скобках.
95
Вопрос 2. Исследование возраста покупателей компакт-дисков в одном из магазинов города дало следующие результаты:
20, 20,32,27,40,24,22, 18, 16, 15, 18, 26, 19, 17, 19, 18.
Полученные значения считать случайными и независимыми (можно, нельзя), если использовать критерий серий, основанный на медиане при а = 0,01.
Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, приведенных в скобках_______.
Вопрос 3. Фиксирование скорости автомобилей в некоторой точке трассы дало следующие результаты:
31, 39, 40, 45, 27, 28, 35, 55, 21, 33.
Полученные значения считать случайными и независимыми (можно, нельзя), если использовать критерий Аббе при а = 0,001.
Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, приведенных в скобках_______.
Вопрос 4. Из двух критериев проверки стохастической независимости элементов выборки наиболее мощным является критерий (серий, основанный на медиане; «восходящих» и «нисходящих» серий).
Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, приведенных в скобках_______.
Вопрос 5. Из перечисленных ниже критериев к критериям, имеющим двумерное распределение статистики, относится__.
А.	Критерий однородности Вилкоксона
Б. Критерий стохастической независимости Аббе
В.	Критерий серий, основанный на медиане
Г. Критерий однородности %2
Вопрос 6. Чем короче длина самой длинной серии при проверке гипотезы о стохастической независимости по критерию «восходящих» и «нисходящих» серий, тем (ниже, выше) вероятность принять основную гипотезу.
Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, приведенных в скобках.
Вопрос 7. Чем больше значение несмещенной дисперсии S2 при проверке гипотезы о стохастической независимости по критерию Аббе, тем (выше, ниже) вероятность отвергнуть основную гипотезу.	•
Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, приведенных в скобках.
96
3.5.	ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О СОГЛАСИИ ЭМПИРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ВЫБРАННОЙ МОДЕЛИ
Цели
wRtJ Иметь представление:
•	о критериях проверки гипотез о согласии эмпирического и теоретического распределений;
•	условиях применимости статистических критериев проверки согласия эмпирического распределения с моделью.
Знать:
•	критерий проверки согласия %2-Пирсона;
•	критерий проверки согласия Колмогорова - Смирнова;
•	причины возникновения слишком малых расчетных значений критической статистики для критерия согласия %2-Пирсона.
Уметь:
•	проверять гипотезу о согласии эмпирического й теоретического распределений по критерию %2-Пирсона;
•	проверять гипотезу о согласии эмпирическогр и теоретического распределений по критерию согласия Колмогорова - Смирнова.
Пусть выдвинута гипотеза о том, что случайная выборка из генеральной совокупности может быть описана некоторой моделью с функцией распределения Fmod(x; ®), где ® - вектор параметров, которые могут быть как известны, так и неизвестны.
Большинство критериев проверки согласия основаны на использовании меры расстояний между анализируемой эмпирической функцией распределения F (х) (определенной по выборке объема и) и гипотетической модельной Fmod(x; ® ).
Здесь рассмотрены критерии согласия %2-Пирсона и Колмогорова - Смирнова.
3.5.1. Критерий согласия %2-Пирсона
Критерий согласия %2-Пирсона позволяет осуществлять проверку гипотезы о согласии, когда параметры модели неизвестны [К Н, 15].
Неизвестные параметры модели могут быть заменены в модели их оценками, полученными по выборке, например по методу моментов или методу максимального правдоподобия (см. п. 2.4).
Критерий согласия %2-Пирсона применим при п > 200 и требует группирования выборки. При этом число интервалов группирования L > 8, а количество попаданий в каждый интервал ц, должно
97
быть не менее 7... 10. В противном случае соседние интервалы необходимо объединить в один, не забывая при этом корректировать L.
Рассмотрим последовательность критерия согласия %2-Пирсона.
1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез
Но: F(x) = Fmod(JT; ®),
Я,: #(x)^Fmod(X ®).
2-й шаг. Задание уровня значимости а.
3-й шаг. Формирование критической статистики
-И-/7 )2 чч= L-----------—
£ nPj
(57)
где p.j , j -\,L - количество попаданий в каждый у'-й интервал группирования, pj - теоретическая вероятность попадания ву-й интервал
Pj= ЛпоаС^+ь® )-FmOd(xy; ®).	(58)
Здесь xj+\ и xj - соответственно верхняя и нижняя границы текущего интервала группирования.
Предельное распределение статистики ч^р при и -> оо имеет вид
lim	; L-S-l),	(59)
./=1 n-Pj	V	7
где S - количество параметров модельного распределения, согласие с которым проверяется, a %2(ч/кр; L-S-l) - функция хи-квадрат распределения с (L -S - 1) числом степеней свободы.
4-й шаг. Определение верхней и нижней критических точек по таблице процентных точек % -распределения (прил. 3):
Ч^кр.в ~ X а/2100 % (7. — S — 1 ),
фкр.п = Х2(1-а/2) 100 % (L - S - 1).
5-й шаг. Определение расчетного значения критической статистики
(«о)
7=1 n'Pj
98
Если выполняется условие
Х2(1-а/2)100% (L-S- 1) < \|/расч < X^lOO % (^ -*$’~ 1),	(61)
то гипотеза о согласии Но верна с ошибкой первого рода а. В противном случае гипотеза Но отвергается.
Отвержение гипотезы Но при <|/раСч <Х’(1-сЛ)-100%	на
первый взгляд противоречит здравому смыслу [1]. Однако надо отметить, что фрас,, как статистика также является случайной величиной со своей дисперсией. А значит одинаково неправдоподобными можно считать как слишком большие, так и слишком малые
Причинами возникновения слишком малых \урасч могут быть как неудачный выбор Fmod(x; О) (например, при искусственном завышении числа параметров модели), так и некорректное проведение эксперимента при деформировании выборки, например стремление искусственно «подогнать» эмпирические данные под результат.
Пример 30. Результаты исследования отклонения фактического выпуска продукции (тыс. руб.) от планового (план -1000 тыс. руб.) 400 предприятий представлены в группированном виде:
Фактический выпуск	950- 960	960- 970	970-980	980-990	990- 1000	1000- 1010	1010-1020	1020-ЮЗО	1030- 1040	1040- 1050
Количество предприятий	5	15	60	72	80	60	55	30	20	3
Подобрать адекватную модель для описания эмпирических данных и проверить гипотезу о согласии по критерию %2-Пирсона для уровня значимости а = 0,1.
Для решения задачи, воспользовавшись выражениями (6), (12), (16) и (17), получим оценки
т{ =997,45, о2 =361,998, р2 =0,05, 02 =2,43.
Основываясь на методе плоскости моментов (рис. 15), можно предположить, что эмпирическое распределение (р2, Р2) попадает на плоскости моментов в зону притяжения нормального распределения, следовательно, в качестве гипотетической можно выбрать модель нормального распределения.
99
Для проверки гипотезы о согласии по критерию %2-Пирсона необходимо получить оценки параметров модели. Воспользовавшись методом моментов (см. п. 2.4.1), найдем
dM = 997,45X =19,03.
Следовательно, плотность вероятности нормальной модели будет иметь вид (27)
(х-997,45)2
^(х;а,Х) =----Ц=Х 723 "6 .
19,03л/л
Для удовлетворения условий применимости критерия согласия %2-Пирсона необходимо объединить 1 и 2 интервалы, а также 9 и 10.
Проверим гипотезу о согласии, опираясь на 5 шагов логической схемы статистического критерия.
1-й шаг
H0-.F(x) = FN(X-,a,X),
Нх: F(x)^ FN(X;a,X),
где индекс N означает нормальную модель распределения.
2-й шаг. а = 0,1.
3-й шаг. Вид и ее предельное распределение определяются выражениями (57) и (59).
4-й шаг
Ч^кр в — X 5% (L-S-1),
где исправленное количество интервалов группирования L - 8, число параметров нормальной модели S = 2. Следовательно, из таблицы процентных точек хи-квадрат распределения (прил. 3) найдем
Укрв = Х25 % (5)= 11*07,
Vkph- X 95 % (5) - 1,15.
5-й шаг. Для определения ч/расч следует вычислить теоретическую вероятность pj на заданном интервале, для чего необходимо воспользоваться статистическими таблицами функции нормального распределения (прил. 1).
Результаты вычислений сведены в табл. 4.
100
Необходимо обратить внимание на следующие особенности:
•	для вычисления р. границы первого и последнего интервалов соответственно имеют вид (-°о, 970), (1030, оо);
•	для того чтобы при вычислении pz воспользоваться таблицей нормального стандартного распределения, границы интервалов необходимо стандартизировать в виде
х -/й,
2‘
Таблица 4
Результаты вычисления ура(.,, к примеру 30
№ интервала	Границы интервалов х—х,. /	II X 1 _s>	ф(г,)	д=Ф(г,+|)~	ид	Hi	(Н,-пр,)г и-д,
1	-ОО - 970	-ОО	-0,5				
2	970-980	-1,44	-0,4251	0,0749	29,96	20	3,311
з	980-990	-0,92	-0,3212	0,1039	41,56	60	8,182
4	990-1000	-0,39	-0,1517	0,1695	67,80	72	0,260
5	1000-1010	0,13	0,0517	0,2034	81,36	80	0,023
6	1010-1020	0,66	0,2454	0,1937	77,48	60	3,944
7	1020-1030	1,18	0,3810	0,1356	54,24	55	0,011
8	1030-да	1,71	0,4564	0,0754	30,16	30	0,001
		оо	0,5	0,0436	17,44	23	1,772
X 				1,0	400	400	17,494
В соответствии с результатами вычисления
УРасч= 17,494,
следовательно, условие (61) не выполняется, т. е. гипотеза о согласии эмпирического распределения с нормальной моделью отвергается.
3.5.2. Критерий согласия Колмогорова - Смирнова
Критерий согласия Колмогорова - Смирнова позволяет проверить гипотезу о согласии при небольшом объеме выборки, когда Fmod известна полностью, т. е. известны и параметры модели [1,6, 12, 15].
101
Рассмотрим последовательность критерия.
1-й шаг. Формулирование основной и альтернативной гипотез //o:F(x) = Frnod(^;0), Н} : F(x)^ Fmod(X;Q).
2-й шаг. Задание уровня значимости а.
3-й шаг. Формирование критической статистики.
В критерии Колмогорова-Смирнова для введения меры отклонения эмпирического и модельного распределений используются статистики вида:
D,,= max|F(X)-7<nod(X;0)| ;
Z>„+ = max (F(X) - Fmod (X;0)) ;	(62)
Z>,>rnax(Fmod(X;0)-F(X)).
Статистики вида JnDn и JnD~ являются статистиками Кол- , могорова и Смирнова соответственно. При этом
£>„ = тах|п„+,£г|.
Известны точные распределения статистик Dn, D* и D~ [13]. Для практических целей обычно достаточно статистики D„.
Поэтому в качестве воспользуемся функцией вида
W =	=>/w-max|F(A^-^n0d(^;®)|-	(63)
А. Н. Колмогоров показал, что если функция ^nod(X;0) непрерывна, то распределение \|/кр имеет пределом функцию
00	П 2 ш2
К(Ч/кр) = £ (-!)'•е	‘Р>	(64)
/=-оо
получившую название функции Колмогорова и не зависящую от вида функции Fmod (%; 0).
Однако если Fmod(^f;0) задана с точностью до неизвестных параметров 0 и они оцениваются по выборке [1], то предельное распределение статистики Dn -Jn уже зависит от /\nod(^V;0) При этом
102
статистика v|/Kp будет зависеть только от формы распределения Fmod(X;0). Если в модельном распределении есть только параметры сдвига и масштаба, то применимость критерия Колмогорова - Смирнова корректна.
4-й шаг. Из определения функции распределения следует, что при достаточно большом п и любом t|/Kp > 0 вероятность того, что примет значение, меньшее t|/Kp, будет иметь вид
Р\^ОП >Ткр} = 1-/:(Ткр) = 1- £ (-1)'	= а. (65)
/=-00
Значение при заданном а можно найти с помощью таблицы функции (65), представленной в прил. 7.
Нижняя критическая граница в критерии Колмогорова не используется.
5-й шаг. хррасч определяется из выражения (63) подстановкой значений п и D„ для конкретных эмпирических данных. Если выполняется условие
Ч^расч < Ч^кр в?
то гипотеза о согласии эмпирического распределения и модельного принимается.
Критерий согласия Колмогорова - Смирнова может использоваться и при большом объеме выборки. Для этого необходимо выборку представить в группированном виде и значения F(X) и Fmod(X;0) определять на границах интервалов группирования.
Пример 31. Для задания примера 30 проверить гипотезу о согласии эмпирического распределения с нормальной моделью по критерию Колмогорова - Смирнова при а = 0,05.
Результаты вычисления статистики \дкр сведены в табл. 5. Методика вычисления F (Х\ а, X) рассмотрена в примере 30.
1-й шаг. Но: F (А) = FN (X; а, X),
H}:F(X)*FN(X,a,X).
2-й шаг. а = 0.05.
3-й шаг. Вид xj/кр и ее распределение определяются соответственно из выражений (63) и (64).
4-й шаг. Укрв = 1.36 определяем из таблицы прил. 7 для уровня а = 0,05.
103
5-й шаг. Используя данные табл. 5, находим
Vpac4=max \f(X)-Fn(X; 997,45, 19,03)|->/й =
= 0,0317-7400 = 0,634.
Поскольку \jTpaC4 > ц/кр.в, то гипотеза Но отвергается с ошибкой первого рода а = 0,05.
Таблица 5
Результаты вычисления урас., к примеру 31
Г раницы интервалов хгх/ 1	Г(т7)	•Е 1 >Ь к" и N	ФЦ)	Cv(X;a, Х) = = 0,5 + Ф(7;)	F(%) -Fn(.X;o, X)
	0	—00	-0,5	0	0
-оо - 960	0,0125	-1,97	-0,4756	0,0244	0,0119
960-970	0,05	-1,44	-0,4222	0,0778	0,0278
970-980	0,2	-0,92	-0,3159	0,1841	0,0159
980-990	0,38	-0,39	-0,1517	0,3483	0,0317
990-1000	0,58	0,13	0,0517	0,5517	0,0283
1000-1010	0,73	0,66	0,2454	0,7454	0,0154
1010-1020	0,8675	1,18	0,3810	0,8810	0,0135
1020-1030	0,9425	1,71	0,4564	0,9564	0,0139
1030-1040	0,9925	2,23	0,4871	0,9871	0,0054
1040-оо	1,0	ОО	0,5	1,0	0
Задания для самоконтроля
Вопрос 1. Значения размера прибыли предприятий за отчетный период сгруппированы в 11 интервалов. Гипотеза хи-квадрат Пирсона о согласии эмпирического распределения с нормальной моделью при а = 0,05 будет (принята, отвергнута), если расчетное значение статистики vppac4 = 11,05.
Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, приведенных в скобках_______.
Вопрос 2. Гипотеза о согласии распределения размера прибыли предприятия за отчетный период с равномерным распределением по критерию Колмогорова - Смирнова при а = 0,05 и при \ррасч = = 7,34 будет (принята, отвергнута).
104
Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, приведенных в скобках_______.
Вопрос 3. Из перечисленных ниже критериев к односторонним относятся___. Сделайте правильный выбор.
А.	Критерий о равенстве тх и ту при неизвестных о2 и о2
Б. Критерий стохастической независимости Аббе
В.	Критерий согласия Колмогорова - Смирнова
Вопрос 4. Из перечисленных ниже критериев к критериям проверки гипотез о согласии относятся __. Сделайте правильный
выбор.
А. Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий
Б. Критерий Колмогорова - Смирнова
В. Критерий однородности двух выборок %2
Г. Критерий %2 -Пирсона
Вопрос 5. Из перечисленных ниже критериев к критерию, имеющему двумерное распределение статистики, относится____..
Сделайте правильный выбор.
А. Критерий однородности Вилкоксона
Б. Критерий стохастической независимости Аббе
В. Критерий серий, основанный на медиане
Г. Критерий однородности %2
Контрольные вопросы и задания к главе 3
1.	Назовите основные типы статистических критериев проверки гипотез.
2.	Приведите примеры применения аппарата статистической проверки гипотез.
3.	Назовите шаги логической схемы проверки статистического критерия.
4.	Что означает уровень значимости критерия?
5.	Каков смысл критической статистики критерия?
6.	Что общего в методике построения доверительных интервалов и проверки статистических гипотез?
7.	Поясните смысл понятий «ошибка первого рода», «ошибка второго рода», «мощность критерия».
8.	Зачем необходимо знать закон распределения критической статистики?
105
9.	В чем отличие одностороннего и двухстороннего критериев, простой и сложной гипотез?
10.	Как зависит ширина области принятия основной гипотезы от уровня значимости?
11.	Как определяются критические границы для одностороннего и двухстороннего критериев при заданном уровне значимости а?
12.	Приведите примеры практических задач, когда необходима проверка гипотез о равенстве математических ожиданий, дисперсий.
13.	Таблицами какого предельного распределения необходимо воспользоваться, чтобы найти \|/кр,в и Укр н для гипотезы о равенстве дисперсий при неизвестных математических ожиданиях?
14.	Какие выборки следует считать однородными?
15.	Какие критерии однородности вы знаете? Каковы условия применимости этих критериев?
.16. Известно \|/Расч = 0>76 критерия /2 однородности двух выборок, сгруппированных в 12 интервалов. Можно ли считать, что при уровне значимости а = 0,1 гипотеза будет отвергнута?
17.	В каких случаях и для чего необходимо проверять гипотезу о стохастической независимости элементов выборки?
18.	Дайте сравнительную характеристику критерия серий, основанного на медиане, и критерия «восходящих» и «нисходящих» серий по их мощности.
19.	Можно ли считать элементы выборки 25 08 83 26 87 95 15 15 86 95 59 08 51 02 25 92 95 02 77 02 случайными и независимыми, если использовать критерий «восходящих» и «нисходящих» серий при а = 0,05? А при использовании критерия Аббе?
20.	Назовите условия применимости критериев согласия %2-Пирсона и Колмогорова - Смирнова?
21.	Если тррасч = 23,73 для критерия согласия %2-Пирсона эмпирического распределения с экспоненциальной моделью, то можно ли считать гипотезу о согласии верной при а = 0,01 и количестве интервалов группирования выборки L = 11?
22.	Почему в критерии ^-Пирсона не может быть недопустимо малых значений критической статистики?
23.	Можно ли принять гипотезу о согласии эмпирического распределения с экспоненциальной моделью по критерию Колмогорова-Смирнова, если \|/расч= 0,216, а = 0,05, п = 100, L = 8?
106
4. АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКОЙ СВЯЗИ. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ
Структура главы «Анализ статистический связи. Корреляцией ный анализ» приведена на рис. 19.
Рис. 19. Структура главы «Анализ статистический связи. Корреляционный анализ»
107
Цели
Иметь представление:
•	о целях изучения главы «Анализ статистической связи. Корреляционный анализ»;
•	задачах корреляционного анализа;
•	применимости аппарата корреляционного анализа при решении экономических задач;
•	статистической связи между количественными и порядковыми переменными (ее наличии, степени тесноты, тенденции, структуре).
Знать:
•	способы обнаружения статистической связи, ее структуры и тенденции изменения;
•	методы измерения парных и частных связей между количественными переменными;
•	методы измерения парных и множественных связей между порядковыми переменными;
•	свойства различных измерителей связей.
Уметь:
•	строить корреляционные поля (диаграммы рассеяния);
•	анализировать связь (степень тесноты, структуру связи, тенденцию) между исследуемыми переменными многомерного признака;
•	выбирать с учетом специфики и природы анализируемых переменных адекватный измеритель связи;
•	оценивать парные коэффициенты корреляции, корреляционные отношения, частные коэффициенты корреляции, ранговые коэффициенты корреляции Кендалла и Спирмэна, коэффициент конкордации;
•	интерпретировать результаты корреляционного анализа в терминах решаемой прикладной задачи;
•	строить интервальные оценки для парного коэффициента корреляции;
•	проверять гипотезу о статистической значимости парной линейной и нелинейной статистической связи;
•	проверять гипотезу о статистической значимости выборочного значения коэффициента конкордации.
108
4.1.	ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ЗАДАЧИ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА
При решении типовых задач, практически связанных с нормированием, прогнозом, планированием, диагностикой и другими, приходится иметь дело с объектами, процессами и системами, как правило, описываемыми многими параметрами, между которыми возможна связь.
Любой закон природы или общественного развития может быть представлен описанием совокупности взаимосвязей. Если эти зависимости стохастичны, а анализ осуществляется по выборке из генеральной совокупности, то данная область исследований относится к задачам статистического исследования зависимостей [2], которые включают в себя корреляционный, регрессионный, дисперсионный и ковариационный анализы.
В данном учебном пособии рассмотрены основные элементы анализа структуры и степени тесноты статистической связи между анализируемыми переменными, т. е. задачи корреляционного анализа.
Основное содержание корреляционного анализа составляют методы, которые позволяют ответить на вопросы:
•	существует ли связь между исследуемыми переменными?
•	какова структура связей между параметрами исследуемого многомерного признака?
•	как измерить тесноту связей?
В задачах корреляционного анализа под структурой связей понимается лишь факт наличия или отсутствия связи, а не форма этой зависимости.
Корреляционный анализ - совокупность методов исследования параметров многомерного признака, позволяющая по выборке из генеральной совокупности сделать статистические выводы о мерах статистической зависимости между компонентами исследуемого признака.
Прежде чем приступить к изучению методов анализа структуры и тесноты связи между исследуемыми переменными, рассмотрим описание общей схемы взаимосвязи параметров при статистическом исследовании зависимостей, приведенной на рис. 20.
На рис. 20 S - модель исследуемого реального объекта, реализующая механизм преобразования входных переменных в отклик. х/;, j = 1, т - входные переменные, описывающие условия функционирования объекта (некоторые из них могут быть подвергнуты
109
Случайные факторы
Объясняющие переменные (предикторные)
Результирующие переменные (отклик)
Рис. 20. Общая схема взаимосвязи параметров при статистическом исследовании ,	зависимостей
регулированию). Эти факторы часто называют независимыми, предикторными или объясняющими. е(,), / = 1, п - случайные, остаточные компоненты, влияние которых на у(,) трудно учесть (измерить). К ним относятся также случайные ошибки в измерении анализируемых параметров. Такие компоненты называют еще латентными или просто «остатками». у('\ i-\,n - выходные переменные (отклик), характеризующие результат функционирования объекта. Иногда их называют объясняемыми переменными.
Далее будем пользоваться введенными понятиями.
При исследовании статистической связи между компонентами многомерного признака исследователю приходится решать следующие задачи [2]:
•	выбора подходящего измерителя связи с учетом специфики и природы анализируемых переменных;
•	 точечного или интервального оценивания связи по выборочным данным, полученным в результате эксперимента;
•	проверки гипотезы о значимости (статистически значимом отличии значения корреляционной характеристики от нуля) анализируемого измерителя связи;
•	анализа структуры связей между компонентами многомерного признака.
Все это задачи корреляционного анализа. В качестве измерителей степени тесноты парных связей между количественными переменными могут использоваться индекс корреляции, коэффициент корреляции (иногда используют термин «коэффициент корреляции Пирсона»), корреляционное отношение, частный коэффициент корреляции, применяемый для исследования частных или «очищенных» связей, освобожденных от опосредованного одновременного влияния на исследуемую парную связь других переменных.
110
Если статистическая информация о многомерном признаке представлена не в количественной, а в порядковой шкале, то измерение парных связей осуществляется посредством ранговых выборочных измерителей связи — коэффициентов корреляции Кендалла и Спирмэна.
Измерение степени тесноты множественной связи между количественными переменными возможно с помощью множественного коэффициента корреляции (или коэффициента детерминации), а между порядковыми переменными - с помощью коэффициента конкордации.
При таком многообразии измерителей статистической связи важной становится задача выбора адекватного измерителя.
Применимость того или иного измерителя определяется как формой представления исходной статистической информации (количественные или порядковые признаки), так и формой связи (линейная, нелинейная). От грамотного выбора адекватного измерителя связи зависит достоверность статистических выводов, распространяемых на исследуемую многомерную генеральную совокупность.
Предварительный анализ структуры связи между компонентами исследуемого многомерного признака, представленного выборкой из генеральной совокупности, осуществляют с помощью корреляционных полей.
Под корреляционным полем (диаграммой рассеяния) переменных (м, v) понимается графическое представление результатов измерений (щ, Vi), ..., (w„ v,), ..., (м„, v„), i = \,n этих переменных в плоскости (w, v). На основании анализа корреляционного поля легко решить вопрос о наличии или отсутствий связи, проследить характер связи (линейная, нелинейная, функциональная или стохастическая) и ее тенденцию (положительная, отрицательная).
Пример 32. Исследование зависимости между среднемесячными доходами на семью (в тыс. руб.) и расходами на покупку кондитерских изделий (в руб.) представлено табл. 6.
Таблица 6
Зависимость расходов семьи на покупку кондитерских изделий от среднемесячных доходов
Доходы семьи (тыс. руб.), U	4,8	3,8	5,4	4,2	3,4	4,6	3,4	4,8	5,0	3,8	5,2	4,0	3,8	4,6	4,4
Расходы на кондитерские изделия (руб.), г	75	68	78	71	64	73	66	75	75	65	77	69	67	72	70
111
Корреляционное поле, построенное по статистическим данным табл. 6, приведено на рис. 21.
Рис. 21. Зависимость расходов семьи на кондитерские изделия (К, руб.) от среднемесячных доходов (U, тыс. руб.)
Анализ рис. 21 позволяет сделать вывод о наличии сильной линейной статистической связи между среднемесячными доходами семьи и затратами на приобретение ею кондитерских изделий.
При этом связь имеет положительную тенденцию, т. е. с ростом предикторной переменной U наблюдается увеличение отклика V.
4.2.	АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКОЙ СВЯЗИ МЕЖДУ КОЛИЧЕСТВЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ. ИЗМЕРЕНИЕ ПАРНЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ
4.2.1.	Коэффициент корреляции
4.2.1.1.	Оценивание и свойства коэффициента корреляции
Пусть исследуется парная зависимость между случайными компонентами X и Y двумерного признака. Предположим, что в результате эксперимента получена выборка из двумерной нормальной генеральной совокупности. Степень тесноты статистической связи между двумя исследуемыми компонентами может быть измерена с помощью выборочного коэффициента корреляции [2, 4, 14, 15].
1 ”
соу(Х.Г) ---1-2_L =...........  =	(66)
бу-Ov 1	"	,	«	,
112
где cov{X,7} - оценка второго смешанного центрального момента случайной величины (X У).
Формально коэффициент корреляции может быть вычислен для любой пары параметров многомерного признака. Однако он является адекватным измерителем степени тесноты лишь линейной статистической связи между анализируемыми признаками, независимо от тенденции связи. Необходимо также отметить, что коэффициент корреляции имеет четкий смысл как характеристика степени тесноты связи только в случае совместной нормальной распределенности исследуемых случайных величин Хи У.
Свойства коэффициента корреляции. В общем случае коэффициент корреляции может принимать значения | г | < 1. В частности, если | г | = 1 между исследуемыми признаками существует функциональная линейная зависимость. При г = -1 имеет место отрицательная линейная зависимость, при г = 1 - положительная. Если г = 0, то параметры Хи У некоррелированы. Однако это вовсе не означает, что X и У независимы, если априори допускается отклонение этой зависимости от линейной. Следовательно, некоррелированность не означает независимости исследуемой пары признаков. В то же время независимость всегда означает и некоррелированность X и У. При г = 0 необходимо дополнительное статистическое исследование степени отклонения распределения рассматриваемых величин от нормального.
Коэффициент корреляции обладает свойством симметрии, т.е.
Гх.У = Гу.х-
Для случая многомерного случайного признака i = \,п; j = 1, р (р -размерность признака) статистический анализ всех парных связей может быть представлен корреляционной матрицей многомерного признака.
	х(|)	х<2)		д.(Р)
х(1)	1	Г\2		
х(2>	61	1		Ър
			1	
Д.(Р)	Гр\	6,2		1
113
Запомните! Коэффициент корреляции как измеритель степени тесноты парной статистической связи имеет четкий смысл при линейной тенденции связи и совместной нормальной распределенности исследуемых пар параметров многомерного признака.
Парный коэффициент корреляции не учитывает опосредованного или совместного влияния других факторов.
Пример 33. В табл. 7 приведены результаты исследования стоимости квартир z,, i = 1, п (тыс. руб.), общей площади м, , i = 1, п (м2) и удаленности квартиры от областного центра у, , i -1, п (км.).
Таблица 7
Зависимость стоимости квартиры Z от ее площади V и удаленности от областного центра У
Y	74	47	92	48	93	72	42	50	64	78	39	96	74	88	55	80	99	85
и	56	70	29	69	25	60	71	68	65	49	62	16	58	32	64’	49	10	36
Z	44	69	27	78	30	48	79	65	56	43	80	30	43	29	64	43	19	37
Необходимо исследовать вид связи между удаленностью квартиры от областного центра, ее стоимостью и общей площадью.
Корреляционные поля для пар компонентов (У, Z), (Y, U),(U,Z) приведены на рис. 22.
Судя по корреляционному полю, между Y и Z (а) можно предположить наличие сильной линейной связи с отрицательной тенденцией. Не проводя предварительного анализа данных, допустим, что исследуемая трехмерная зависимость имеет совместно нормальное распределение.
Из выражения (66) получим оценку ry 7 по п = 18 элементам выборки. Для этого определим оценки числовых характеристик
mY = 70,89, т7 =49,11, &2У =371,32, <t2z =356,43.
Тогда на основе (66) получим
rY 7 = -0,99 .
Наше предположение подтвердилось. Между стоимостью квартир и их удаленностью существует сильная отрицательная корреляция, близкая к функциональной зависимости.
114
б
в
Рис. 22. Корреляционные поля для пар компонентов: a-(Y,Z);6-(Y,U)-e-(U,Z)
115
4.2.1.2.	Проверка гипотезы об отсутствии линейной статистической связи
Надежность характеристики г ослабевает с уменьшением объема выборки п, поэтому важно уметь определять минимальное значение г , отклонение которого от нуля можно считать значимым. Это задача проверки статистической гипотезы о значимости линейной связи [1,4].
Показано, что в случае совместной нормальной распределенности исследуемых параметров и большом п распределение г асимптотически нормально с
=	——Г—^—.
п
Однако при малых п и г, близких к 1, это допущение нарушается. Хорошее приближение распределения г к нормальному закону получается при малых значениях | г |, что позволяет сконструировать критерий об отсутствии корреляционной связи между исследуемыми признаками. Рассмотрим пять шагов логической схемы статистического критерия.
1-й шаг. Формирование гипотезы об отсутствии статистической связи
/70: гху= О,
Н\- гхг^0.
2-й шаг. Задание уровня значимости а .
3-й шаг. Выбор вида критической статистики
При н->со предельное распределение статистики ц/кр имеет ^-распределение Стьюдента с (п - 2) числом степеней свободы
lim ^(Vkp) = '(Vk₽; n - 2).	(67)
П-ЭСС
4-й шаг. Определение критических границ
Vkpb =Z«ioo%("-2)’
2
ЦЛср.н ЦЛср.в
116
где (п-2) - процентная точка /-распределения Стьюдента —100% 2
уровня у-100 %.
5-й шаг. Определение расчетного значения критической статистики
к } \^п-2
Vpac =	(68)
V' - ?X,Y
/Если выполняется условие
Ч^кр.н < Ч^расч < ЧЧр.в,	(69)
то гипотеза Но верна, в противном случае, Но отвергается с ошибкой первого рода а.
Пример 34. Для данных примера 33 проверить гипотезу об отсутствии линейной статистической связи между стоимостью квартиры и ее удаленностью от областного центра при уровне значимости а = 0,05. Воспользуемся пятью шагами логической схемы проверки гипотез.
1-й шаг.
Д): rY.7.= 0,
Н\. ГуZ * 0.
2-й шаг. а = 0,05.
3-й шаг. Вид критической статистики
k z|V«-2
Vkp =	— 
ф~Г Y.Z
Согласно (67) при п —> со закон ее распределения стремится к /-распределению Стьюдента с (п - 2) числом степеней свободы.
4-й шаг. Найдем критические границы для критерия, воспользовавшись таблицей процентных точек /-распределения Стьюдента из прил. 2.
Vkp.b=/2,5%(16) = 2,12,
н	2,12.
117
5-й шаг. Расчетное значение критической статистики найдем из выражения (68)
VpaCM —
0,99-716
Vl-0,992
= 28,07.
Поскольку 28,07 не попадает в интервал (-2,12; 2,12), условие (69) не выполняется и гипотеза Нъ ошибочна.
Действительно, корреляционную связь с rY z =-0,99 нельзя считать незначимой.
4.2.1.3.	Доверительные интервалы для истинного значения коэффициента корреляции
Как уже отмечалось в п. 1.4.2, при малой выборке точечными оценками числовых характеристик пользоваться некорректно. Необходимо интервальное оценивание.
Построим доверительные интервальные оценки для истинного значения коэффициента корреляции [2, 4]. Это можно сделать, основываясь на нормальной распределенности г . Верхнюю и нижнюю границы интервала гя и гн можно вычислить из выражения
Гнв
1-г2)	1-г2
----+ир—г"
2-п у у/п
(70)
где ир - квантиль нормального распределения, р - уровень довери-~2
тельной вероятности.
Однако использование выражения (70) возможно при многих
ограничениях, выполнение которых не всегда возможно, а именно:
•	г должно быть близко к величине ± 1;
•	п достаточно велико.
Избавиться от этих ограничений позволяет преобразование
1	. 1 + г
г = -1п—,	(71)
2	1 -г
предложенное Р. Фишером. Он показал, что z в выражении (71) даже при малых п достаточно близко к нормальному закону рас
118
пределения. Это позволило Р. Фишеру сконструировать доверительный интервал в виде
и
г
. Up-
zH „ =—In---Т —р^==--------= arcth г + —f===-----.	(72)
’ 2 \ — г 7^3 2(и-1)	7^3 2(и-1)
Отсюда следует, что истинное значение коэффициента корреляции г с доверительной вероятностью (д) заключено в пределах
th zH < г < th zB
где th z - гиперболический тангенс от аргумента z.
Зная z„ и zB, можно найти th zH и th zB, воспользовавшись таблицей преобразования Фишера из прил. 8.
Пример 35. Для данных примера 33 и полученного значения fy z получить интервальную оценку для истинного значения коэффициента корреляции при р = 0,95. Из выражения (72) получим (при м£ = м0 475 = 1,96): 2
1, 1-0,99 1,96 — In---------==•
2 1 + 0,99 7Г?
-0,99
34
--3,124,
1, 1-0,99 1,96 -0,99 _ ln-----+   ----------
2 1 + 0,99 715	34
= -2,111.
Воспользовавшись таблицей прил. 8 и помня, что знаки функции th z и аргумента z одинаковы, найдем:
th z„ = - 0,997, th z„ = -0,971.
Следовательно
-0,997 <rr,z<- 0,971.
4.2.2. Корреляционное отношение
4.2.2.1. Оценивание и свойства корреляционного отношения
Как отмечалось в п. 4.2.1.1, при отклонении парной статистической зависимости от линейной коэффициент корреляции теряет свой смысл как характеристика степени тесноты связи. В этом слу
119
чае следует воспользоваться таким измерителем связи как корреляционное отношение [2, 4, 15].
Корреляционное отношение применимо в тех случаях, когда:
•	между парой исследуемых признаков отмечается нелинейная зависимость;
•	характер выборочных данных (количество, плотность расположения на диаграмме рассеяния) допускает, во-первых, их группирование по оси предикторной переменной, во-вторых, возможность подсчета «частных» математических ожиданий внутри каждого интервала группирования.
Приведем последовательность методики вычисления корреляционного отношения.
Пусть имеет место выборка из двумерной генеральной совокупности	i = \,n, а между X и Y существует нелинейная
зависимость (см. рис. 23) и компоненты X и Y имеют совместно нормальное распределение.
Рис. 23. Нелинейная зависимость между компонентами X н У двумерного признака
1.	Разобьем диаграмму рассеяния по предикторной переменной X на L непересекающихся интервалов группирования, которые могут иметь разную длину.
2.	Найдем «частные» математические ожидания отклика Y в каждой из L выделенных групп
(73)
где j = l,Z, k = \,nf, ttj - количество элементов выборки в j-м интервале группирования.
120
3.	Найдем математическое ожидание по группированному отклику, используя «частные» ,
(74)
4.	Получим групповую дисперсию выходной переменной К
> 1 L
(75)
" ./=1
и дисперсию, найденную по негруппированному отклику
°2г	-ш,.)2.	(76)
« ,=1
5.	Корреляционное отношение зависимой переменной Y по независимой (предикторной) переменной X может быть получено из отношения
Свойства корреляционного отношения. Корреляционное отношение не обладает свойством симметрии, т. е. ру.х рх.у . Кроме того, рУХ неотрицательно, поскольку предполагается, что оно является результатом извлечения корня квадратного из ру.х. Корреляционное отношение ру.х < 1.
Из ру.х = 1 следует, что между Y и X существует однозначная функциональная зависимость. Обратное утверждение в общем случае неверно.
Отсутствие корреляционной связи между Y и X означает, что условные средние ш сохраняют от группы к группе постоянное значение, равное общему среднему ту, поэтому ру.х = 0.
Необходимо также отметить, что между ру.х и рХ У нет какой-либо определенной зависимости. Некоррелированность Y от X не означает некоррелированности X от Y.
И, наконец, исследования показали, что ру.х > |гУЛ|. Условие равенства выполняется в случае линейной зависимости Хи К
121
Все замечания относительно смысловой интерпретации ру.х аналогичны интерпретации значений Гх,у.
Пример 36. Для данных примера 33 получить оценку корреляционного отношения для пары компонентов, между которыми можно предположить наличие нелинейной связи. Из диаграммы рассеяния (рис. 22) такую связь можно предположить в парах признаков (U, Z) и (У, U). Получим оценки корреляционных отношений pz.f/ и pf; z . Для этого сформируем группы по предикторной переменной, считая ею вначале переменную U (случай А), а затем переменную Z (случай Б), и получим соответственно оценки pZ f/ и pf/ z . Результаты группирования приведены на рис. 24.
Случай А. Предикторная переменная - U, отклик - Z.
Рис. 24. Результаты группирования точек диаграммы рассеяния для пары признаков (I/, Z)
Значения z(, в зависимости от группы j = 1,4 , а также оценки групповых математических ожиданий fhz. приведены в табл. 8.
Таблица 8
Значения г,- для /-групп и (предикторная переменная U)
Номер группыJ	1	2	3	4
Значения z,, попавшие в у-группу	30, 19	27, 30, 29, 37	44, 48, 43, 43, 43	69, 78, 79, 65, 56, 80, 64
Значение ih7.	24,5	30,75	44,2	70,14
Оценки т7 =49,11, oz =356,43. Вычислим из выражения (75)
5^=320,89.
122
Следовательно, согласно (77)
2	320^89 р =0,95.
zl 356,43	z(/
Случай Б. Предикторная переменная Z, отклик U. По этой переменной элементы отклика разбиваются также на 4 группы.
Значения Ut, в зависимости от группы j = 1, 4 , а также оценки ти приведены в табл. 9.
Таблица 9
Значения Uj дляу-групп и mv. (предикторная переменная Z)
Номер группы]	1	2	3	4
Значения и„ попавшие ву-группу	29, 25, 16, 32, 10	56, 60, 49, 58, 49,36	70, 68, 65, 64	69,71, 62
Значение	22,4	51,33	66,75	67,33
Оценки т(/ = 49,39, 6(2; =368,24.
Вычислим 62-,f/ из выражения (75)
=324,21.
Следовательно, согласно (77)
,	324 21
р2 =-----= 0,88, р(/ z = 0,94.
'	368,24	' z
Полученные оценки свидетельствуют о наличии сильного нелинейного влияния U на Z и Z на U.
4.2.2.2. Проверка гипотезы об отсутствии нелинейной корреляционной связи
Какую величину корреляционного отношения можно признать статистически значимо отличающейся от нуля? Последовательность статистического критерия можно представить пятью шагами [2,4].
1-й шаг. Формулирование основной и альтернативной гипотез
Но- Prz = 0,
H:pyz*0.
123
2-й шаг. Задание уровня значимости а.
3-й шаг. Формирование критической статистики и исследование закона ее распределения
p2rz n-L
Уч> —	„2 •	,
1 —р rz L — 1
(78)
где L - число интервалов группирования для вычисления prz .
При п -> от предельное распределение гркр стремится к F-рас пределению Фишера с (Z-1) и {n-L) числом степеней свободы.
4-й шаг. Пользуясь таблицей процентных точек F-распределения Фишера (прил. 4), находим:
Укр.в = Zkioo0/. {L - 1) {п - L).	(79)
5-й шаг. Получаем расчетное значение критической статистики из выражения (78)
_ p2rz n-L
(SO)
Если условие
Ураем <	100 % [(Z -!),(«“ £)]	(81)
выполняется, то Но верна (критерий односторонний).
Следовательно, можно считать, что величина pr.z незначима и влиянием Z на Y можно пренебречь.
1Й0 Пример 37. Для оценки p(/.z = 0,94, полученной в примере 36, проверить значимость нелинейной статистической связи между компонентами U и Z для уровня значимости а = 0,01.
Для проверки гипотезы по таблице прил. 4 найдем
F} «/о (L - 1, п - L) = Л % (3,14) = 5,564.
Расчетное значение критической статистики, полученное из (80), равно
0,88 14
Ураем =~ -	—= 34,22.
1-0,88 3
Поскольку условие (81) не выполняется, то корреляционная нелинейная связь между U и Z значима.
124
4.2.3. Частный коэффициент корреляции
Иногда в практических ситуациях не удается интерпретировать на содержательном уровне выявленную парную связь между исследуемыми компонентами признака. Причину этого часто следует искать в опосредованном влиянии на исследуемые показатели некоторого третьего фактора [2, 4, 15]. Роль опосредованно влияющих факторов могут играть множество неучтенных показателей. Следовательно, необходимо введение измерителей статистической связи, которые были бы очищены от такого влияния.
В качестве измерителя степени тесноты связи между переменными Хи Y при фиксированных значениях других переменных используются частные («очищенные») коэффициенты корреляции.
Пусть имеется многомерный нормальный вектор X Х-{хт,х(2\...,х^},
где - компоненты вектора, р - его размерность. Необходимо определить частный коэффициент корреляции г у между и х(1) компонентами вектора при фиксированном множестве переменных хм, дополняющих пару.х(,) и x'J> . При данных условиях
где Ну - алгебраическое дополнение для элемента rtj в определителе корреляционной матрицы R анализируемых признаков xw, т.е. в определителе
	1	Г12	Из	Гхр
	Г21	1	Г23	Г2р
det R =	Ли	Г32	i	ГзР
	Гр!	ГР2	Грз	i
Выражение (82) при условии р = 3 будет иметь вид
Последовательно присоединяя к мешающим переменным все новые признаки из набора, можно получить рекуррентные соотношения для частных коэффициентов корреляции Пгрд...*) по" рядка к (т.е. при к исключенных опосредованно влияющих пара
125
метров) по частным коэффициентам корреляции порядка к- 2 (к = 1,2, ...,р-2)
_ Г12(З..Л) -Г1*+|(3.,Л) 'Г2к+Ц3...к)
Г12(3,4,...,*+1 ~ I--2~	.. ~ 2	. ~ •	V84)
~ rU+l(3..jt))(l “ r2it+l(3..T))
Если условие нормальности вектора нарушаются, то возникают проблемы, связанные с необходимостью учета фиксированного уровня значений мешающих переменных [2, с. 82-83, 4].
Пример 38. Для задачи из примера 33 определить степень тесноты частной связи между удаленностью и стоимостью квартиры при фиксированном значении площади квартир. Воспользуемся выражением (83)
г = _Frz ~rYl,rzv = -0,99-0,89(-0,91)
Щ,/)	а/о-О’89 )(1-0,912)
Следовательно, зависимость стоимости квартиры от ее удаленности от центра без учета площади квартиры несколько ниже = -0,99).
Задания для самоконтроля
Вопрос 1. К задачам корреляционного анализа из перечисленных ниже задач относятся__.
А.	Проверка гипотезы о наличии парной статистической ранговой связи
Б. Проверка гипотезы об однородности двух случайных величин
В.	Выбор адекватного измерителя статистической связи
Г. Оценивание случайных характеристик случайной величины
Вопрос 2. На основе анализа корреляционного поля можно сделать вывод, что между Хи У связь_.
А. Положительная связь, близкая к линейной
******	Б. Функциональная зависимость
*	*	В. Сильная связь с отрица-
ж *	тельной тенденцией
ж *	Г. Нет статистической связи
*	Д. Сильно выраженная нели-
--------------------►„ нейная связь
126
Вопрос 3. Корреляционному полю на рисунке из предложенного набора значений характеристик поставьте в соответствие значение адекватного измерителя свя- у зи____.
А.	= 0,98, -	* * ** *
Б-^=0,02,
В.	гху{2} =-0,55,	*
Г. рух =0,91.	____________________
Вопрос 4. Для выборки из нормальной генеральной совокупности, представленной в виде таблицы,
X	2	11	13	6	8
Y	10	3	1	5	6
тх = 8, ihy = 5, <тх = 14.8,	= 9.2. Следовательно оценка
f = ' х,у ___
Вопрос 5. В предыдущем задании связь между X и К можно охарактеризовать как__. Сделайте правильный выбор.
А.	Сильную
Б. Функциональную
В.	Средней степени тесноты
Г. С отрицательной тенденцией
Д. Отсутствие связи
Е. Слабую
Ж. С положительной тенденцией.
Вопрос 6. По выборке из двумерной нормальной генеральной совокупности объемом 67 элементов получена оценка rXY = 0,24. При уровне значимости а =0.01 статистическую связь между % и Y можно считать (значимой, незначимой) ________ при ц/расч =
____. Сделайте правильный выбор.
Вопрос 7. Исследование зависимости тормозного пути автомобиля X от скорости его движения Y и состояния асфальтового покрытия Z дало следующие результаты
rA,z = -0,99, rYz = -0,48, rYX = 0,51.
Значение частного коэффициента корреляции rvr(Z) =
127
Вопрос 8. По данным предыдущего задания можно предположить, что___.
А.	Между скоростью движения автомобиля и состоянием асфальтового покрытия сильная отрицательная связь
Б. Между длиной тормозного пути и скоростью движения сильная отрицательная очищенная связь
В.	Между состоянием асфальтового покрытия и длиной тормозного пути частная связь отсутствует
Вопрос 9. Исследовалась зависимость рейтинга студентов X от среднего балла аттестата Y. Групповое среднеквадратическое отклонение и дисперсия, полученная по негруппированным данным X, соответственно равны
о„,г= 15, Д =318.
Зависимость рейтинга от среднего балла аттестата рх.г =.
4.3.	АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ПОРЯДКОВЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ. РАНГОВАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ
4.3.1.	Общие сведения
Иногда при исследовании зависимостей имеет место ситуация, когда шкала количественного измерения степени проявления некоторого свойства (признака) отсутствует (неизвестна) или ее просто не может быть. Кроме того, возможна ситуация, когда информация имеет условный характер и может быть использована только для ранжирования объектов.
Примерами таких процессов могут служить показатели эффективности функционирования различных социально-экономических систем, структура потребительского бюджета семьи, степень прогрессивности предлагаемого на конкурс проекта [2, 4].
В подобных ситуациях вместо конкретных значений исследуемого признака используются его ранги.
Ранговая корреляция отражает статистическую связь между порядковыми переменными.
Исходный статистический материал представлен упорядочениями (ранжировками) п объектов по некоторым свойствам.
Методы ранговой корреляции основаны на использовании условной числовой метки, обозначающей место объекта в ряду всех анализируемых объектов, которые располагаются в порядке убывания исследуемого свойства. При этом под условной числовой меткой понимается ранг объекта по исследуемому признаку.
128
Последовательность рангов элементов вариационного ряда, указывающих на место объекта в ряду, называется ранжировкой.
Пример 39. На экспертизу представлен ряд альтернативных проектов благоустройства студенческого городка под условными девизами
А, В, С, D, Е, F, G, Н, I.
В результате экспертизы установлены следующие места проектов:
1 -е и 2-е места поделили проекты С и I, 3- и 4-е места - D и Н, 5-, 6-, 7-е места - B,Gvi F, 8-е место - проект А, 9-е место - проект Е. В соответствии с установленным рейтингом проекты представлены в табл. 10.
Таблица 10
Распределение проектов по местам
Место	1,2	1,2	3,4	3,4	5, 6,7	5, 6, 7	5, 6,7	8	9
Проект	С	/	D	H	В	G	F	A	E
Ранги 1 и 2, 3 и 4, 5, 6 и 7 соответственно для проектов С и I. D и Н, B,G и F являются неразличимыми. Иногда их называют объединенными рангами. Для данного примера можно установить два вида ранжировок, приведенных в табл. 11.
Таблица 11
Ранжировки проектов
Проект	С	I	D	H	В	G	F	A	E
Ранжировка a)	1	1	2	2	3	3	3	4	5
Ранжировка б)	1,5	1,5	3,5	3,5	6	6	6	8	9
Для случая а) проектам, занявшим одинаковые места, присваивается одинаковый ранг, равный текущему рангу в последовательности. В случае б) значение объединенного ранга равно среднему значению рангов проектов с неразличимыми рангами. В нашем примере таких групп проектов - 3.
Следовательно,
R=	=	= i 5 R =	= 2±1 = 3 5
2	2	2	2	2
n _ RB +	+ &i- • _ 5 + 6 + 7
M =------------------------=---------------— ft
3	3	3
129
Под ранговой корреляцией понимается статистическая связь между порядковыми переменными.
Существуют методы и измерители, позволяющие измерить и проанализировать статистическую парную и множественную связь между несколькими параметрами исследуемого многомерного объекта, если они представлены ранжировками.
4.3.2.	Оценивание парных ранговых связей
4.3.2.1.	Ранговый коэффициент корреляции Спирмэна
Для измерения степени тесноты парной статистической связи между ранжировками К. Спирмэн в 1904 г. предложил показатель, который впоследствии получил название рангового коэффициента корреляции Спирмэна [2, 4, 12]
fW=l—(85) n -n~i
где Да) и R^- i ранги соответственно параметров к и J. Выражение (85) справедливо при отсутствии в ранжировках групп объединенных рангов. Если такие группы есть, то определяется из выражения
-(п3 -п)-У (R<k) -R,(J))2 -Т(к) -Ти)
=(.«) = 6__________________________________
Г,	тп	=’
. -(п3-п)-2Т(к) -(п3-п)~2Ти}
\[_б	JL6
где У**3 и 7^ могут быть найдены из выражения
(»!*’) -»!*’ .	(87)
1Z )=| L	J
где - количество элементов в группе неразличимых рангов, а т(к) - число групп неразличимых рангов.
Нетрудно убедиться, что при совпадающих ранжировках R-k} -	а при противоположных =-1. Во всех
прочих случаях |	| < 1. Если - 0, связь между компонентами
130
отсутствует. Кроме того, очевидно, что ранговый коэффициент корреляции обладает свойством симметрии, т. е.	.
Пример 40. Для данных примера 32 вычислим степень тесноты парной связи между доходами семьи и расходами на приобретение кондитерских изделий с помощью рангового коэффициента корреляции Спирмэна.
Составим вариационные ряды для U и V и расставим ранги (см. табл. 12 и 13).
Таблица 12
Вариационный ряд для параметра U
и	3,4	3,4	3,8	3,8	3,8	4,0	4,2	4,4	4,6	4,6	4,8	4,8	5,0	5,2	5,4
R!"’	1	1	2	2	2	3	4	5	6	6	7	7	8	9	10
Таблица 13
Вариационный ряд для параметра V
V	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	75	75	75	77	78
R<r)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	11	11	12	13
В табл. 14 представлены ранжировки в соответствии с первоначальным положением элементов в исходной двумерной совокупности (см. табл. 6).
Таблица 14
Ранжировки для параметров U и V
r<'7)	7	2	10	4	1	6	1	7	8	2	9	3	2	6	5
R<r>	11	5	13	8	1	10	3	II	11	2	12	6	4	9	7
Поскольку в ранжировках есть группы объединенных рангов, ~(5) к
то для вычисления необходимо воспользоваться выражения-
ми (86) и (87).
Для ранжировки R^"'1	= 4, п{'1> = 2,	- 3,	= 2,
иГ =2.
131
Для ранжировки R^, п№= 1, r^vy = 3. Проведем вычисления поправочных коэффициентов (87)
[(8-2) + (27-3) + (8-2) + (8-2)] = 3,5,
= J_ (27 - 3) = 2.
Следовательно,
|(33 75-15)-( 16+9+9+16+16+4+16+9+9+9+4+9+4)-3,5-2 ?(’) — &___________________________________________;
|(3375 -15)-4
-(3375-15)-7 6
= 560-130-i5 =
554,5
Следовательно, между доходами семьи и расходами на покупку кондитерских изделий существует сильная положительная связь.
4.3.2.2.	Ранговый коэффициент корреляции Кендалла
Другим измерителем степени тесноты статистической связи между двумя ранжировками является ранговый коэффициент корреляции Кендалла [2, 4], определяемый выражением
=(*) = 1-
4	1
п(п -1)
(88)
где у(Д(4), Д-7)) - минимальное число обменов последовательности Д(7), необходимое для приведения ее к упорядочению, аналогичному R^k>. Очевидно, что у(Д(*), Д(у)) симметрична относительно своих аргументов.
При совпадающих ранжировках R-k> и Д(/) обменов не будет, следовательно, v( R^, RI,J> ) = 0 и = 1. Во всех других случаях для выполняется условие <1.
132
Выражение (88) справедливо при отсутствии в ранжировках групп объединенных рангов.
В противном случае необходимо воспользоваться формулой
-(к} 2(Т^+Т^)
t . . "(”.70	(89)
} 2TW t 2T(J}
у n(n-l) n(n-l)
где - оценка парного рангового коэффициента корреляции из выражения (88). Поправочные коэффициенты 7’<i) и Т(Г> могут быть получены в виде
=-^w,w(w'A)-l),	(90)
2 ,=1
где m(k) - количество групп объединенных рангов, пр - количество элементов в группе. Свойства парного рангового коэффициента корреляции Кендалла аналогичны свойствам коэффициента корреляции Спирмэна.
Необходимо заметить [2, 4, 12], что вычисление является более трудоемким, чем . Статистические свойства рангового коэффициента корреляции Кендалла более исследованы. Кроме того, он обладает большими удобствами при его пересчете, если к п статистическим объектам добавляются новые. Между масштабами шкал, в которых измеряют и , нет простого соотношения. Но при умеренно больших п (п > 10) и при условии, что абсолютные величины значений этих коэффициентов не слишком близки к единице, для них справедливо соотношение
¥(S) ~1 5 =(Х)
М Пример 41. Для данных примера 32 вычислим парную ранговую связь между доходами семьи и расходами на кондитерские изделия с помощью коэффициента корреляции Кендалла.
Воспользуемся ранжировками, полученными в примере 40 (см. табл. 14) для вычисления v(J^u\ Д-^). Для этого ранжировку
133
R^ сформируем в порядке возрастания, a R-1^ - в соответствии с ранжировкой . Данные сведем в табл. 15.
Таблица 15
Ранжировки U и К для примера 41
	1	1	2	2	2	3	4	5	6	6	7'	7	8	9	10
я'17’	1	3	5	2	4	6	8	7	10	9	11	11	11	12	13
Вычисление v(A,(H), R-y)) осуществляем следующим образом. Сравниваем во второй ранжировке последовательно каждый элемент, начиная с первого, со всеми последующими. Если предыдущий элемент больше последующего, то необходим обмен между этими элементами и, следовательно, v,j = 1. В противном случае Vij = 0. Индексы i, j означают соответственно порядковые номера сравниваемых рангов в ранжировке .
Анализ степени согласованности двух ранжировок дает следующие результаты (см. табл. 15).
Vl,2 = V1.3 = vl,4 = ...= V] |5 = 0,
V2,3 = V2,5 ~ v2,6 = V2,7 = • • •= У2Д5 = 0, У2д = 1,
v3,4 = Узд — 1, Узд = Узд = .. .= Узд5 = 0,
Уд,5 = Уд,6 ~	Уд,15 = 0, V5,6 = V5,7 ~	V5.15 = 0,
Уб,7 ~ Уб,8 ~ •••=УбД5 = 0, У7Д = 1,
v7,9 = V7.10 =	V7.15 = 0, Vg,9 = У8Д0 = • • •= Vg,15 = 0, У9Д0 = L
У9Д1= У9Д2 =	У9Д5 = 0, У|0Д1 = ...= У)0Д5 ~ 0,
Уц,12 = •••- У11Д5 ~ о, У12ДЗ - V12.14 = У12Д5 = 0,
V13.14 = V13.15 = 0, V14,I5 = O.
Следовательно, v( R^'r>, R-^ ) = 5. Тогда из (88) найдем
т(К} = 1 -
4-5
15(15-1)
= 0,905.
134
Поправочные коэффициенты из (90) равны 7’{")=|[2-1 + 3-2 + 2-1 + 2-1] = 6,
T(V} = --3-2 = 3.
2
Получим т^)’из(89)

0,905-^i^
15-14
15-14Д 15-14J
Проверка статистически значимого отличия от нуля ранговых корреляционных характеристик может быть осуществлена при не слишком малых п (п > 10) при заданном уровне значимости. Данный вопрос рассмотрен в [2, с. И 4, 4]. Там же рассмотрена методика построения доверительных интервалов для т£;К) и [2, с.116, 4].
4.3.3.	Анализ множественных ранговых связей
4.3.3.1.	Коэффициент конкордации
Свойства рассмотренных выше измерителей парных связей свидетельствуют о том, что чем теснее связь, тем больше информации содержит одна переменная относительно другой. На практике бывает важно объяснить поведение одной переменной (отклика) поведением совокупности других. Для решения таких задач используются измерители степени тесноты множественной связи [2, 4, 12].
Кендаллом был предложен показатель W(m), названный коэффициентом конкордации (согласованности), который вычисляется из выражения
W(m) =
-]2 т(п +1)
2
(91)
135
где т - число одновременно анализируемых порядковых переменных, - i-й ранг отобранной для исследования порядковой переменной, kj, j= 1,т - номер этой переменной в исследуемом многомерном признаке.
Коэффициент конкордации обладает следующими свойствами:
•	0< W (т)< 1;
•	W (да) = 1 при условии, когда все да анализируемых упорядочений совпадают;
•	коэффициент конкордации, вычисленный для двух переменных, пропорционален парному ранговому коэффициенту корреляции Спирмэнат^1’.
Выражение (91) справедливо для случая отсутствия групп объединенных рангов. Если это условие не выполняется, то W (да) вычисляется по формуле
W(m) =
-пУ-т^Т^
12 »
(92)
где Г(Л/) - поправочный коэффициент, который вводится для групп объединенных рангов и вычисляется из выражения (87).
Пример 42. Для данных примера 33 вычислить степень тесноты множественной статистической связи между стоимостью квартир, площадью и их удаленностью от центра.
Воспользуемся для этой цели коэффициентом конкордации. Прежде всего необходимо сформировать ранжировки для всех трех компонентов (да = 3). Результаты сведены в табл. 16.
Табл ица 16
Ранжировки компонент У, U, Z к примеру 33 (табл. 6)
я<г>	9	3	14	4	15	8	2	5	7	10	1	16	9	13	6	11	17	12
R^	8	16	4	15	3	10	17	14	13	7	И	2	9	5	12	7	1	6
R™	7	12	2	13	4	8	14	И	9	6	15	4	6	3	10	6	1	5
XR^	24	31	20	32	22	26	33	30	29	23	27	22	24	21	28	24	19	23
136
В каждой ранжировке есть группы объединенных рангов: в и - по одной группе из двух элементов, в - две группы из трех и двух элементов соответственно.
Вычислим поправочные коэффициенты Т^\ 1^и\ 7(Z):
/Г) = jW = 2 /г) = J_ (6 + 24) = 2 5
12
Результаты вычислений X 7?^у) приведены в табл. 16.
./=1
Для вычисления W (т) предварительно найдем числитель выражения (92), обозначив его через S.
S = (24 - 28,5)2 + (31 - 28,5)2 + (20 - 28,5)2 + (32 - 28,5)2 +
+ (22 - 28,5)2 + (26 - 28,5)2 + (33 - 28,5)2 + (30 - 28,5)2 +
+ (29 - 28,5)2 + (23 - 28,5)2 + (27 - 28,5)2 + (22 - 28,5)2 +
+ (24 - 28,5)2 + (21 - 28,5)2 + (28- 28,5)2 + (24- 28,5)2 +
+ (19 - 28,5)2 + (23- 28,5)2 = 474,5
Вычислим коэффициент конкордации (92)
474 5
W(m) = -j------------’-----------= 0,109.
т~32(183-18)-3(2 + 2 + 2,5)
Полученный результат позволяет сделать предположение^, что одновременной тесной зависимости между стоимостью квартиры, ее площадью и удаленностью от центра не существует.
4.3.3.2.	Проверка статистической значимости множественной связи
Для проверки статистической значимости выборочного значения коэффициента конкордации можно воспользоваться фактом приближенной %2(и - 1 )-распределенности величины т(п- 1) W (т) [2, 4], справедливой в случае отсутствия связи в генеральной совокупности. Таким образом, если окажется, что условие т(п - 1) W (т) > х20 ]оо%(п - 1) выполняется, то гипотеза об отсутствии ранговой множественной связи между компонентами многомерного признака должна быть отвергнута. Величина
137
X2u ioo%(«- 1)-<х • 100% - процентная точка %2-распределения и может быть найдена из таблицы прил. 3.
Пример 43. Для данных примера 42 проверим гипотезу о •Ни значимости ранговой множественной связи (коэффициента конкордации) при уровне значимости а = 0,05. Воспользуемся логической схемой статистического критерия.
1.	Формулируем основную и альтернативную гипотезы
Но: W (т) = 0,
Hr.
2.	Задаем уровень значимости а = 0,05.
3.	Выбираем вид критической статистики
V|/Kp = w(n- 1)F (m).
Известно, что в асимптотическом пределе и при слабой связи между компонентами распределения статистики, ((/кр стремится к %2-распределению с (и - 1) числом степеней свободы.
Jim г[да(н - l)FK(m)] = F 2 (Ч^; п -1).
4.	Найдем верхнюю критическую точку из таблицы прил. 3 Уирв = Х25% (И) = 27,587.
5.	Расчетное значение критической статистики получим, воспользовавшись данными примера 42.
Ч/расч = 3(18-1) 0,109 = 5,559.
Поскольку ч/раСч < Укри, то гипотеза об отсутствии множественной ранговой связи принимается. Следовательно, связь между
стоимостью квартиры, удаленностью от центра и площадью в данном конкретном случае не является значимой.
Задания для самоконтроля
Вопрос 1. Зависимость балльной оценки проектов на озеленение территории X и стоимости работ по реализации проекта Y представлена последовательностью рангов:
138
а?	1	5	5	2	6	3	1	4	7	4
Ry	1	5	4	3	7	3	2	4	5	6
Ранговый коэффициент корреляции Спирмэна равен
Вопрос 2. На основании полученного выше коэффициента корреляции Спирмэна можно сделать вывод, что__
А. Ранжировки имеют совпадающие упорядочения сильной степени согласованности
Б. Ранжировки имеют противоположные упорядочения сильной степени согласованности
В. Ранжировки не являются согласованными,
Г. Ранжировки имеют совпадающие упорядочения средней степени согласованности
Д. Ранжировки имеют противоположные упорядочения средней степени согласованности
Вопрос 3. Для данных задания 1 ранговый коэффициент корреляции Кендалла равен___.
Вопрос 4. Степень тесноты связи между доходами семьи X, накоплениями Y и расходами Z, представленная ранжировками
Rx	4	5	1	2	3	5
Ry	4	5	2	1	3	
R:	3	5	1	2	4	
равна
Вопрос 5. Для предыдущего задания при проверке гипотезы об отсутствии ранговой множественной связи при а = 0,01 значение Vkp.b ~___•
Вопрос 6. На основании полученного в вопросе № 4 значения выборочного коэффициента конкордации можно сделать вывод, что множественная связь между упорядочениями__.
А. Очень сильная
Б. Отсутствует
В. Средней степени тесноты
Г. Слабая
Контрольные вопросы и задания к главе 4
1.	Перечислите основные задачи корреляционного анализа.
2.	Что такое корреляционное поле? Какую информацию оно содержит?
139
3.	Что Вы понимаете под понятием «адекватный измеритель статистической связи»?
4.	Как выбрать адекватный измеритель статистической связи?
5.	Для измерения какой связи используется парный коэффициент корреляции, частный коэффициент корреляции, корреляционное отношение?
6.	Когда необходимо использовать измерители степени тесноты ранговой связи?
7.	Назовите свойства коэффициента корреляции, корреляционного отношения, частного коэффициента корреляции.
8.	Назовите свойства ранговых коэффициентов корреляции Кендалла и Спирмэна, коэффициента конкордации.
9.	Зависимость между средними ежемесячными доходами семьи % (тыс. руб.), накоплениями К(сбережения в банках, тыс. руб.) и ежемесячными расходами Л(тыс. руб.) представлена в табл.
X	7.2	7.2	9.1	9.6	7.3	3.0	6.3	2.3	6.6	10.3
Y	42	43	51	50	40	20	36	19	38	56
Z	4.2	4.5	5.7	5.6	4.6	2.1	4.2	1.7	4.1	5.8
Выполните следующие задания:
•	установите вид связи и тенденцию между всеми парами компонентов;
•	выберите адекватный измеритель связи;
•	определите степень тесноты парных и частных связей;
•	проверьте гипотезы о значимости парных измерителей связи;
•	постройте интервальные оценки для парных коэффициентов корреляции;
•	вычислите парные ранговые коэффициенты корреляции Кендалла и Спирмэна;
•	измерьте степень тесноты множественной связи;
•	проверьте гипотезу о значимости множественной ранговой связи между всеми компонентами;
•	по каждому заданию сделайте выводы в терминах решаемой задачи.
140
ЛИТЕРАТУРА
1.	Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных: Справ, изд. - М.: Финансы и статистика, 1983. -471 с., ил.
2.	Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей: Справ, изд. - М.: Финансы и статистика, 1985. -487 с., ил.
3.	Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 1022 с.
4.	Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб, пособие для втузов. - М.: Инфра, 1977. - 302 с.
5.	Колемаев А.В., Турундаевский В.Б., Староверов О,В. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш, шк., 1991. - 400 с.
6.	Губарев В. В. Математическая статистика. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998.- 131 с.
7.	Губарев В.В. Вероятностные модели: Справочник. - В 2 ч. -Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1992. -Ч. 1. -198 с.
8.	Губарев В.В. Вероятностные модели: Справочник. - В 2 ч. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1992. - Ч. 2. - 188 с.
9.	Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Теория распределений. - М.: Наука, 1966. -588 с., ил.
10.	Крамер Г. Математические методы статистики. - М.: Мир, 1975. -648 с., ил.
11.	Тарасенко Ф.П. Непараметрическая статистика. - Томск: Изд-во Томского ун-та, 1976. - 292 с., ил.
12.	Кендэл М. Ранговые корреляции. -М.: Статистика, 1975.-214 с., ил.
13.	Большее Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. - М.: Наука, 1965. - 465 с.
14.	Кюн Е. Описательная индуктивная статистика: Пособие-памятка. - М.: Финансы и статистика, 1981. - 126 с., ил.
15.	Карасев А.И. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для экономических специальностей вузов. -4-е изд. - М.: Статистика, 1979. -279 с., ил.
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
Ответы к заданиям иа стр. 27-28. Xs 1. Г, 2. Xs 2. < < < >. № 3. <а; : 0.5, 1.75, 2.75, 2.0, 0.5; 1^(х): 0.02, 0=06, 0.09, 0.07, 0.02; #;(л): 0.07, 0.3, 0.67, 0.93. 1.0. Xs 4. Г. № 5. 3. № 6. 0.67. № 7. Б, В, Д. № 8. 0,17. X® 9. 6.0.
Ответы к заданиям на стр. 36-38. Xs 1. Б. № 2. 0.606. № 3. 33.63. № 4. 0.975. № 5. 02 , Г. № 6. 1, 4, 5, - А; 2, 3 - Б. № 7. Увеличить. № 8. 4. № 9. 3. № 10. 2.79, 12.84.
Ответы к заданиям иа стр. 53-54. № 1. 26.4, 2.47, № 2. А. № 3. 13.8, 1.3. № 4. В. №5. 1003.6, 11.4. №6. Б. №7. dMn - не существует, d можно найти по методу моментов, dM =-128, \мп =4.
Ответы к заданиям иа стр. 59-60. № 1.2. № 2. С. № 3. 1 - А 3; 2 - В, 3 - Д, Ж; 4-Е, 5-Б, Г.
Ответы к заданиям иа стр. 68-69. № 1. Не повлияла. №2. Одинаковы. № 3. Не одинаково. № 4. Одинаково. № 5. 4.25, 0.24. № 6. Г.
Ответы к заданиям на стр. 74-75. №1. Различно. №2. Различно. Xs 3. 1044.87, 815.13. Xs 4. Хи-квадрат.
Ответы к заданиям иа стр. 80-81. Xs 1. Можно. Xs 2. Нельзя. Xs 3. Можно. X» 4. «восходящих» и «нисходящих» серий. X» 5. В. X» 6. Выше. X» 7. Выше.
Ответы к заданиям на стр. 87-88. X» 1. Принята. Xs 2. Отвергнута. Х®3. Б, В. Х»4. Б, Г. X® 5. В.
Ответы к заданиям на стр. 106-107. X® 1. А, В. Xs 2. Д. Xs3. Г. Xs 4. -0.96. Xs 5. А Г. Xs 6. Незначимой, 1.99. Xs 7. 0.28. Xs 8. В. Xs 9. 0.71.
Ответы к заданиям иа стр. 116. Xs 1. 0.93. Xs 2. A. Xs3. 0.60. Xs 4. 0.91. Xs 5. 13.28. Xs 6. A.
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Функция стандартного нормального распределения
X	Ф(х)	X	Ф(х)	X	Ф(х)
0,00	0,0000	0,42	0,1628	0,84	0,2995
0,01	0,0040	0.43	0,1664	0,85	0,3023
0,02	0,0080	0,44	0,1700	0,86	0,3051
0,03	0,0120	0,45	0,1736	0.87	0,3078
0,04	0,0160	0,46	0,1772	0,88	0,3106
0,05	0.0199	0,47	0,1808	0,89	0,3133
0,06	0,0239	0,48	0,1844	0.90	0,3159
0,07	0.0279	0,49	0,1879	0,91	0,3186
0,08	0,0319	0,50	0,1915	0,92	0,3212
0,09	0,0359	0,51	0,1950	0,93	0,3238
0.10	0,0398	0,52	0,1985	0,94	0,3264
0,11	0,0438	0,53	0,2019	0.95	0,3289
0,12	0,0478	0,54	0,2054	0,96	0,3315
0,13	0,0517	0,55	0,2088	0,97	0,3340
0,14	0,0557	0,56	0,2123	0,98	0,3365
0,15	0,0596	0,57	0,2157 .	0,99	0,3389
0,16	0,0636	0,58	0,2190	1,00	0,3413
0,17	0,0675	0,59	0,2224	1,01	0,3438
0,18	0,0714	0,60	0,2257	1,02	0,3461
0,19	0,0753	0.61	0,2291	1,03	0,3485
0,20	0,0793	0,62	0,2324	1,04	0,3508
0,21	0,0832	0,63	0,2357	1,05	0,3531
0,22	0,0871	0.64	0,2389	1,06	0,3554
0,23	0,0910	0,65	0,2422	1,07 ,	0,3577
0,24	0,0948	0,66	0,2454	1,08	0,3599
0,25	0,0987	0,67	0,2486	1,09	0,3621
0,26	0,1026	0,68	0,2517	1,10	0,3643
0,27	0,1064	0,69	0,2549	1,11	0,3665
0,28	0,1103	0,70	0,2580	1,12	0,3686
0,29	0,1141	0,71	0,2611	1,13	0,3708
0,30	0,1179	0,72	0,2642	1,14	0,3729
0,31	0,1217	0,73	0,2673	1,15	0,3749
0,32	0,1255	0,74	0,2703	1,16	0,3770
0,33	0,1293	0,75	0,2734	1,17	0,3790
0,34	0,1331	0,76	0,2764	1,18	0,3810
0,35	0,1368	0,77	0,2794	1,19	0,3830
0,36	0,1406	0,78	0,2823	1,20	0,3849
0,37	0,1443	0,79	0,2852	1,21	0,3869
0,38	0,1480	0,80	0,2888	1,22	0,3888
0,39	0,1517	0,81	0,2910	1,23	0,3907
0,40	0,1554	0,82	0,2939	1,24	0,3925
0,41	0,1591	0,83	0,2967	1,25	0,3944
143
Окончание прил. 1
X	Ф(х)	X	Ф(х)	X	Ф(х)
1,26	0,3962	1,71	0,4564	2,32	0,4898
1,27	0,3980	1,72	0,4573	2,34	0,4904
1,28	0,3997	1,73	0,4582	2,36	0,4909
1,29	0,4015	1,74	0,4591	2,38	0,4913
1,30	0,4032	1.75	0,4599	2,40	0,4918
1,31	0,4049	1,76	0,4608	2,42	0,4922
1,32	0,4066	1,77	0,4616	2,44	0,4927
1,33	0,4082	1,78	0,4625	2,46	0,4931
1.34	0,4099	1,79	0,4633	2,48	0,4934
1,35	0,4115	1,80	0,4641	2,50	0,4938
1,36	0,4134	1,81	0,4649	2,52	0,4941
1,37	0,4147	1,82	0,4656	2,54	0,4945
1,38	0,4162	1,83	0,4664	2,56	0,4948
1,39	0,4177	1,84	0,4^71	2,58	0,4951
1,40	0,4192	1,85	0,4678	2,60	0,4953
1,41	0,4207	1,86	0,4686	2,62	0,4956
1,42	0,4222	1,87	0,4693	2,64	0,4959
1,43	0,4236	1,88	0,4699	2,66	* 0,4961
1,44	0,4251	1,89	0,4706	2,68	0,4963 .
1,45	0,4265	1,90	0,4713	2,70	0,4965
1,46	0,4279	1,91	0,4719	2,72	0,4967
1,47	0,4292	1,92	0,4726	2,74	0,4969
1,48	0,4306	1,93	0,4732	2,76	0,4971
1,49	0,4319	1,94	0,4738	2,78	0,4973
1,50	0,4332	1,95	0,4744	2,80	0,4974
1,51	0,4345	1,96	0,4750	2,82	0,4976
1,52	0,4357	1,97	0,4756	2,84	0,4977
1,53	0,4370	1,98	0,4761	2,86	0,4979
1,54	0,4382	1,99	0,4767	2,88	0,4980
1,55	0,4394	2,00	0,4772	2,90	0,4981
1,56	0,4406	2,02	0,4783	2,92	0,4982
1,57	0,4418	2,04	0,4793	2,94	0,4984
1,58	0,4429	2,06	0,4803	2,96	0,4985
1,59	0,4441	2,08	0,4812	2,98	0,4986
1,60	0,4452	2,10	0,4821	3,00	0,49865
1,61	0,4463	2,12	0,4830	3,20	0,49931
1,62	0,4474	2,14	0,4838	3,40	0,49966
1,63	0,4484	2,16	0,4846	3,60	0,499841
1,64	0,4495	2,18	0,4854	3,80	0,499928
1,65	0,4505	2,20	0,4861	4,00	0,499968
1,66	0,4515	2,22	0,4868	4,50	0,499997
1,67	0,4525	2,24	0,4875	5,00	0,499997
1,68	0,4535	2,26	0,4881		
1,69	0,4545	2,28	0,4887		
1,70	0,4554	2,30	0,4893		
144
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Процентные точки распределения Стьюдента
\а	40%	25%	10%	5%	2,5%	1%	0,5%	0,25%	0,1%	0,05%
п\										
1	0,3249	1,0000	3,08	3,3138	12,7062	31,8205	63,6567	27,3213 318,3088 636,6192		
2	0,2887	0,8165	1,8856	2,9200	4,3027	6.9646	9,9248	14,0890	22,3271	31,5991
3	0,2767	0,7679	1,6377	2,3534	3,1824	4,5407	5,8409	7,4533	10,2145	12,9240
4	0,2707	0,7407	1.5332	2,1318	2,7764	3,7469	4,6041	5,5976	7.1732	8,6103
5	0,2672	0,7267	1,4759	2,0150	2.5706	3,3649	4,0321	4,7733	5,8934	6,8688
6	0,2648	0,7176	1,4398	1,9432	2,4469	3.1427	3,7074	4,3168	5,2076	5,9588
7	0,2632	0,7111	1,4149	1,8946	2,3646	2,9980	3,4995	4,0293	4,7853	5,4079
8	0,2619	0,7064	1,3968	1.8595	2,3060	2,8965	3,3554	3,8325	4,5008	5,0413
9	0,2610	0,7027	1,3830	1,8331	2,2622	2,8214	3,2498	3,6897	4,2968	4,7809
10	0,2602	0,6998	1,3722	1,8125	2,2281	2,7638	3,1693	3,5814	4,1437	4,5869
11	0,2596	0,6974	1,3634	1,7959	2,2010	2,7181	3,1058	3,4966	4,0247	4,4370
12	0,2590	0,6955	1,3562	1,7823	2,1788	2,6810	3,0545	3,4284	3,9296	4,3178
13	0,2586	0,6938	1,3502	1,7709	2,1604	2,6503	3,0123	3,3725	3,8520	4,2208
14	0,2582	0,6924	1,3450	1,7613	2,1448	2,6245	2,9768	3,3257	3,7874	4,1405
15	0,2579	0,6912	1,3406	1,7530	2,1314	2,6025	2,9467	3,2860	3,7328	4,0728
16	0,2576	0,6901	1,3368	1,7459	2,1199	2,5835	2,9208	3,2520	3,6862	4,0150
17	0,2573	0,6892	1,3334	1,7396	2,1098	2,5669	2,8982	3,2224	3,6458	3,9651
18	0,2571	0,6884	1,3304	1,7341	2,1009	2,5524	2,8784	3,1966	3,6105	3,9216
19	0.2569	0,6876	1,3277	1,7291	2,0930	2,5395	2,8609	3,1737	3,5794	3,8834
20	0,2567	0,6870	1,3253	1,7247	2,0860	2,5280	2,8453	3,1534	3,5518	3,8495
21	0,2566	0,6864	1,3232	1,7207	2,0796	2,5176	2,8314	3,1352	3,5272	3,8193
22	0,2564	0,6858	1,3212	1,7171	2,0739	2,5083	2,8188	3,1188	3,5050	3,7921
23	0,2563	0,6853	1,3195	1,7139	2,0687	2,4999	2,8073	3,1040	3,4850	3,7676
24	0,2562	0,6848	1,3178	1,7109	2,0639	2,4922	2,7969	3,0905	3,4668	3,7454
25	0,2561	0,6844	1,3163	1,7081	2,0595	2,4851	2,7874	3,0782	3,4502	3,7251
26	0,2560	0,6840	1,3150	1.7056	2.0555	2,4786	2,7787	3,0669	3,4350	3.7066
27	0.2559	0,6837	1,3137	1,7033	2,0518	2,4727	2,7707	3,0565	3,4210	3,6896
28	0,2558	0,6834	1,3125	1,7011	2,0484	2.4671	2,7633	3,0469	3,4082	3.6739
29	0,2557	0.6830	1.3114	1,6991	2,0452	2,4620	2,7564	3;0380	3,3962	3,6594
30	0,2556	0,6828	1,3104	1,6973	2.0423	2,4573	2,7500	3,0298	3,3852	3,6460
32	0,2555	0,6822	1,3086	1,6939	2,0369	2,4487	2,7385	3,0149	3,3653	3,6218
34	0,2553	0,6818	1.3070	1,6909	2,0322	2,4411	2,7284	3,0020	3,3479	3,6007
36	0,2552	0,6814	1,3055	1,6883	2,0281	2,4345	2,7195	2,9905	3,3326	3,5821
38	0,2551	0,6810	1,3042	1,6860	2,0244	2,4286	2,7116	2,9803	3,3190	3,5657
40	0,2550	0,6807	1,3031	1,6839	2,0211	2,4233	2,7045	2-.9712	3,3069	3,5510
42	0,2550	0,6804	1,3020	1,6820	2,0181	2,4185	2,6981	2,9630	3,2960	3,5377
44	0,2549	0,6801	1,3011	1,6802	2,0154	2,4141	2,6923	2,9555	3,2861	3,5258
46	0,2548	0,6799	1,3002	1,6787	2,0129	2,4102	2,6870	2,9488	3,2771	3,5150
48	0,2548	0,6796	1,2994	1,6772	2,0106	2,4066	2,6822	2,9426	3,2689	3,5051
50	0,2547	0,6794	1,2987	1,6759	2,0086	2,4033	2,6778	2,9370	3,2614	3,4960
55	0,2546	0,6790	1,2971	1,6730	2,0040	2,3961	2,6682	2,9247	3,2561	3,4764
60	0,2545	0,6786	1,2958	1,6707	2,0003	2,3901	2,6603	2,9146	3,2317	3,4602
65	0,2544	0,6783	1,2947	1,6686	1,9971	2,3851	2,6536	2,9060	3,2204	3,4466
70	0,2543	0,6780	1,2938	1,6669	1,9944	2,3808	2,6479	2,8987	3,2108	3,4350
80	0,2542	0,6776	1,2922	1,6641	1,9901	2,3739	2,6387	2,8870	3,1953	3,4163
90	0,2541	0,6772	1,2910	1,6620	1,9867	2,3685	2,6316	2,8779	3,1833	3,4019
100	0,2540	0,6770	1,2901	1,6602	1,9840	2,3642	2,6259	2,8707	3,1737	3,3905
120	0,2539	0,6765	1,2886	1,6577	1,9799	2,3578	2,6174	2,8599	3,1595	3,3735
150	0,2538	0,6761	1,2872	1,6551	1,9759	2,3515	2,6090	2,8492	3,1455	3,3566
200	0,2537	0,6757	1,2858	1,6525	1,9719	2,3451	2,6006	2,8385	3,1315	3,3398
145
Окончание прил. 2
\а п\	40%	25%	10%	5%	2,5%	1%	0,5%	0,25%	0,1%	0,05%
250	0,2536	0,6755	1,2849	1,6510	1,9695	2.3414	2,5956	2,8322	3,1232	3,3299
300	0,2536	0.6753	1,2844	1,6499	1,9679	2,3388	2,5923	2,8279	3,1176	3,3233
400	0,2535	0,6751	1,2837	1,6487	1,9659	2,3357	2,5882	2,8227	3,1107	3,3150
500	0,2535	0.6750	1,2832	1.6479	1.9647	2.3338	2.5857	2,8195	3.1066	3,3101
Примечание. При вычислении процентных точек распределения Стьюдента для п, отсутствующих в таблице, можно воспользоваться разложением в ряд по отрицательным степеням п функции, обратной функции распределения f 1J:
1„(а;л)«1„ +	+	+ ^ф2+1Нр + .„,
п п~ п п
где/а= «j.,, - квантиль нормального стандартного распределения, ”2~ '
£1(0 ~~0,1 + <„),
Й2(С) = х7(5/’+16г>Зс).
96
g,('“) = 3i4(3'’+!9<‘ + l7/“^l5/J’
g<(O = Т^(79<> + 776<1 +1482<1 ~ 1920<] -945/J.
146
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Процентные точки распределения хи-квадрат
\а п\	99,5 %	99 %	97,5 %	95%	90%	80 %	70%	60%	50%	40%	30 %	20 %	10%	5%	2,5 %	1 %	0,5 %
1	0,04393	0,0’157	0,0’982	0,0’393	0,0158	0,0642	0,148	0,275	0,455	0,708	1,074	1,642	2,706	3,841	5,024	6,635	7,879
2	0,0100	0,0201	0,0506	0,103	0,211	0,446	0,713	1,022	1,386	1,833	2,408	3,219	4,605	5,991	7,378	9,210	10,597
3	0,0717	0,115	0,216	0,352	0,584	1,005	1,424	1,869	2,366	2,946	3,665	4,642	6,251	7,815	9,348	11,345	12,838
4	0,207	0,297	0,484	0,711	1,064	1,649	2,195	2,753	3,357	4,045	4,878	5,989	7,779	9,488	11,143	13,277	14,860
5	0,412	0,554	0,831	1,145	1,610	2,343	3,000	3,655	4,351	5,132	6,064	7,289	9,236	11,070	12,832	15,086	16,750
6	0,676	0,872	1,237	1,635	2,204	3,070	3,828	4,570	5,348	6,211	7,231	8,558	10,645	12,592	14,449	16,812	18,548
7	0,989	1,239	1,690	2,167	2,833	3,822	4,671	5,493	6,346	7,283	8,383	9,803	12,017	14,067	16,013	18,475	20,278
8	1,344	1,646	2,180	2,733	3,490	4,594	5,527	6,423	7,344	8,351	9,524	11,030	13,362	15,507	17,535	20,090	21,955
9	1,735	2,088	2,700	3,325	4,168	5,380	6,393	7,357	8,343	9,414	10,656	12,242	14,684	16,919	19,023	21,666	23,589
10	2,156	2,558	3,247	3,940	4,865	6,179	7,267	8,295	9,342	10,473	11,781	13,442	15,987	18,307	20,483	23,209	25,188
11	2,603	3,053	3,816	4,575	5,578	6,989	8,148	9,237	10,341	11,530	12,899	14,631	17,275	19,675	21,920	24,725	26,757
12	3,074	3,571	4,404	5,226	6,304	7,807	9,034	10,182	11,340	12,584	14,011	15,812	18,549	21,026	23,336	26,217	28,300
13	3,565	4,107	5,009	5,892	7,042	8,634	9,926	11,129	12,340	13,636	15,119	16,985	19,812	22,362	24,736	27,688	29,819
14	4,075	4,660	5,629	6,571	7,790	9,467	10,821	12,079	13,339	14,685	16,222	18,151	21,064	23,685	26,119	29,141	31,319
15	4,601	5,229	6,262	7,261	8,547	10,307	11,721	13,030	14,339	15,733	17,322	19,311	22,307	24,996	27,448	30,578	32,801
16	5,142	5,812	6,908	7,962	9,312	11,152	12,624	13,983	15,338	16,780	18,418	20,465	23,542	26,296	28,845	32,000	34,267
17	5,697	6,408	7,564	8,672	10,085	12,002	13,531	14,937	16,338	17,824	19,511	21,615	24,769	27,587	30,191	33,409	35,718
18	6,265	7,015	8,231	9,390	10,865	12,857	14,440	15,893	17,338	18,868	20,601	22,760	25,989	28,869	31,526	34,80'5	37,156
19	6,844	7,633	8,907	10,117	11,651	13,716	15,352	16,850	18,338	19,910	21,689	23,900	27,204	30,144	32,852	36,191	38,582
20	7,434	8,260	9,591	10,851	12,443	14,578	16,266	17,809	19,337	20,951	22,775	25,038	28,412	31,410	34,170	37,566	39,997
21	8,034	8,897	10,283	11,591	13,240	15,445	17,182	18,768	20,337	21,991	23,858	26,171	29,615	32,671	35,479	38,932	41,401
22	8,643	9,542	10,982	12,338	14,041	16,314	18,101	19,729	21,337	23,031	24,939	27,301	30,813	33,924	36,781	40,289	42,796
23	9,260	10,196	11,688	13,091	14,848	17,187	19,021	20,690	22,337	24,069	26,018	28,429	32,007	35,172	38,076	41,638	44,181
24	9,886	10,856	12,401	13,848	15,659	18,062	19,943	21,652	23,337	25,106	27,096	29,553	33,196	36,415	39,364	42,980	45,558
25	10,520	11,524	13,120	14,611	16,473	18,940	20,867	22,616	24,337	26,143	28,172	30,675	34,382	37.652	40,646	44,314	46,928
26	11,160	12,198	13,844	15,379	17,292	19,820	21,792	23,579	25,336	27,179	29,246	31,795	35,563	38.885	41,923	45,642	48.290
27	11,808	12,879	14,573	16,151	18,114	20,703	22,719	24,544	26,336	28,214	30,319	32,912	36,741	40,113	43,194	46,963	49,645
28	12,461	13,565	15,308	16,928	18,939	21,588	23,647	25,509	27,336	29,249	31,391	34,027	37,916	41,337	44,461	48,278	50,993
29	13,121	14,256	16,047	17,708	19,768	22,475	24,577	26,475	28,336	30,283	32,461	35,139	39,087	42,557	45,722	49,588	52,336
Продолжение прил. 3
\а п \	99,5 %	99 %	97,5 %	95%	90%	80%	70%	60 %	50%	40 %	30%	20 %	10%	5%	2,5 %	1 %	0,5 %
30	13,787	14,953	16.791	18,493	20.599	23,364	25,508	27,442	29,336	31,316	33,530	36,250	40,256	43,773	46,979	50,892	53,672
31	14,458	15,655	17.539	19,281	21,434	24,255	26,440	28,409	30,336	32,349	34,598	37,359	41,422	44,985	48,232	52,191	55,003
32	15,134	16,362	18.291	20,072	22,271	25,148	27.373	29,376	31,336	33,381	35,665	38,466	42,585	46,194	49.480	53,486	56,328
33	15,815	17,073	19.047	20,867	23,110	26,042	28,307	30,344	32,336	34,413	36,731	39.572	43,745	47,400	50.725	54,776	57.648
34	16,501	17,789	19.806	21,664	23,952	26,938	29,242	31,313	33,336	35,444	37,795	40,676	44,903	48,602	51,966	56.061	58,964
35	17,192	18,509	20,569	22,465	24,797	27,836	30.178	32,282	34,336	36,475	38,859	41,778	46,059	49.802	53,203	57.342	60,275
36	17,887	19,233	21,336	23,269	25,643	28,735	31,115	33.252	35,336	37,505	39,922	42,879	47,212	50,998	54.437	58,619	61.581
37	18,586	19,960	22,106	24,075	26,492	29,635	32,053	34,222	36,336	38,535	40,984	43,978	48.363	52,192	55,668	59,892	62,882
38	19.289	20,691	22,878	24,884	27,343	30,537	32,992	35,192	37,335	39,564	42,045	45,076	49,513	53.384	56,895	61,162	64,181
39	19,996	21,426	23,654	25,695	28,196	31.441	33,932	36,163	38.335	40,593	43,105	46,173	50,660	54.572	58.120	62.428	65.476
40	20,707	22,164	24,433	26,509	29,051	32,345	34.872	37,134	39,335	41,622	44,165	47,269	51,805	55,758	59.342	63,691	66,766
41	21,421	22,906	25.215	27,326	29,907	33,251	35,813	38.105	40,335	42,651	45,224	48,363	52,949	56.942	60,561	64,950	68,053
42	22,138	23.650	25,999	28,144	30,765	34,157	36,755	39,077	41,335	43,679	46,282	49.456	54,090	58,124	61,777	66,206	69,336
43	22,859	24,398	26.785	28,965	31,625	35,065	37,698	40,050	42,335	44,706	47,339	50,548	55,230	59,304	62,990	67,459	70.893
44	23,584	25,148	27,575	29,787	32,487	35,974	38,641	41,022	43,335	45,734	48,396	51,639	56,369	60,481	64,201	68.709	71,893
45	24,311	25,901	28,366	30,612	33,350	36,884	39,585	41,995	44,335	46,761	49,452	52,729	57,505	61,656	65,410	69,957	73,166
46	25,041	26,657	29,160	31,439	34,215	37.795	40,529	42,968	45,335	47,787	50,507	53,818	58,641	62,830	66,617	71.201	74,437
47	25,775	27,416	29,956	32,268	35,081	38,708	41,474	43,942	46,335	48,814	51,562	54,906	59,774	64,001	67.821	72,443	75,704
48	26,511	28,177	30,755	33,098	35,949	39,621	42,420	44,915	47,335	49,840	52,616	55,993	60,907	65,171	69,023	73,683	76,969
49	27,249	28,941	31,555	33,930	36,818	40,534	43,366	45,889	48,335	50,866	53,670	57,079	62,038	66,339	70,222	74,919	78,231
50	27,991	29,707	32,357	34,764	37,689	41,449	44,313	46,864	49,335	51,892	54,723	58,164	63,167	67,505	71,420	76,154	79.490
61	28,735	30,475	33,162	35,600	38,560	42,365	45,261	47.838	50,335	52,917	55.775	59,248	64,295	68,669	72,616	77,386	80,747
52	29,481	31,246	33,968	36,437	39,433	43,281	46,209	48.813	51,335	53,942	56,827	60,332	65,422	69,832	73,810	78,616	82,001
53	30,230	32,018	34,776	37,276	40,308	44,199	47,157	49,788	52,335	54,967	57,879	61,414	66,548	70,993	75,002	79,843	83,253
54	30,981	32,793	35,586	38,116	41,183	45,117	48,106	50,764	53,335	55,992	58,930	62,496	67,673	72,153	76.192	81,069	84.502
55	31,735	33,570	36,398	38,958	42,060	.46,036	49,054	51,739	54,335	57,016	59,980	63,577	68,796	73,311	77,380	82,292	85,749
56	32,490	34,350	37,212	39,801	42,937	46,955	50,005	52,715	55335	58,040	61,031	64,658	69,918	74,468	78,567	83,513	86,994
57	33,248	35,131	38,027	40,646	43,816	47,876	50,956	53,691	56,335	59,064	62,080	65,737	71,040	75,624	79,752	84,733	88,236
58	34,008	35,913	38,844	41,492	44,696	48,797	51,906	54,667	57,335	60,088	63,129	66,816	72,160	76,778	80,936	85,950	89,477
Продолжение прил. 3
\а п \	99,5 %	99 %	97,5 %	95%	90%	80 %	70%	60%	50 %	40 %	30 %	20%	10 %	5%	2,5 %	1 %	0,5 %
59	34,770	36,698	39,662	42.339	45,577	49,718	52,857	55,643	58,335	61,111	64,178	67.894	73,279	77.931	82,117	87.166	90,715
60	35.535	37,485	40,482	43,188	46,459	50,641	53,809	56,620	59,335	62,135	65,226	68,972	74;397	79,082	83,298	88,379	91.952
61	36,301	38,273	41,303	44,038	47,342	51,564	54,761	57,597	60,335	63.158	66,274	70,049	75,514	80.232	84,476	89,591	93,186
62	37,068	39,063	42,126	44,889	48,226	52,487	55,714	58,574	61,335	64.181	67,322	71.125	76,630	81,381	85,645	90,802	94,419
63	37,838	39.855	42,950	45,741	49,111	53,412	56,666	59,551	62,335	65.204	68,369	72,201	77.745	82.529	86.830	92,010	95.649
64	38,610	40,649	43,776	46.595	49,996	54,336	57,619	60,528	63,335	66,226	69,416	73,276	78,860	83,675	88,004	93,217	96,878
65	39,383	41,444	44,603	47,450	50,883	55,262	58,573	61,506	64,335	67,249	70,462	74,351	79,973	84,821	89.177	94.422	98.105
66	40,158	42,240	45,431	48,305	51,770	56,188	59,527	62,484	65,335	68,271	71.508	75,425	81,086	85.965	90.349	95,626	99,330
67	40,935	43.038	46,261	49.162	52.659	57.115	60,481	63,461	66,335	69,293	72.554	76.498	82,197	87,108	91.519	96.828	100.554
68	41,713	43,838	47.092	50,020	53,548	58,042	61.436	64,440	67,334	70,315	73,600	77.571	83,308	88.250	92,688	98.028	101.776
69	42,494	44,639	47,924	50,879	54,438	58.970	62,391	65,418	68,334	71,337	74,645	78,643	84,418	89.391	93.856	99.227	102.996
70	43,275	45,442	48,758	51,739	55.329	59,898	63,346	66,396	69.334	72,358	75,689	79.715	85,527	90,531	95,023	100.425	104.215
71	44,058	46,246	49,592	52,600	56,221	60,827	64,302	67,375	70,334	73.380	76,734	80,786	86,635	91,670	96.189	101.621	105,432
72	44,843	47,051	50,428	53,462	57.113	61,756	65,258	68,353	71,334	74,401	77,778	81,857	87,743	92,808	97.353	102,816	106,648
73	45,629	47,858	51,265	54,325	58,006	62,686	66,214	69,332	72.334	75.422	78.822	82.927	88,850	93.945	98.516	104.010	107,862
74	46.417	48,666	52,103	55,189	58,900	63,616	67,170	70,311	73,334	76,443	79.865	83.997	89,956	95,081	99,678	105,202	109.074
75	47,206	49,475	52,942	56,054	59,795	64,547	68,127	71,290	74,334	77,464	80,908	85,066	91,061	96.217	100.839	106,393	110.286
76	47,997	50,286	53,782	56,920	60,690	65,478	69,084	72,270	75.334	78,485	81.951	86,135	92,166	97,351	101.999	107,582	1 11.495
77	48,780	51,097	54,623	57,786	61.586	66,409	70,042	73,249	76,334	79.505	82,994	87,203	93,270	98,484	103.158	108.771	112.704
78	49,582	51,910	55,466	58,654	62,483	67,341	70,999	74,228	77,334	80.526	84,036	88,271	94,374	99,617	104,316	109.958	113,911
79	50,376	52,725	56,309	59,522	63,380	68,274	71,957	75.208	78,334	81.546	85,078	89.338	95.476	100,749	105,473	111,144	115.117
80	51,172	53.540	57.153	60,391	64,278	69.207	72.915	76,188	79,334	82,566	86.120	90.405	96,578	101.879	106,629	112,329	116.321
81	51,969	54,357	57,998	61,261	65,176	70,140	73,874	77,168	80,334	83,586	87,161	91.472	97.680	103,010	107.783	113,512	117,524
82	52,767	55,174	58,845	62,132	66,076	71,074	74,833	78,148	81,334	84.606	88,202	92,538	98,780	104,139	108,937	114,695	118.726
83	53,567	55.993	59,692	63,004	66.976	72,008	75,792	79.128	82,334	85,626	89,243	93,604	99,880	105.267	110,090	115,876	119,927
84	54.368	56,813	60,540	63,876	67.876	72.943	76,751	80,108	83.334	86,646	90,284	94,669	100.980	106.395	111,242	117.057	121,126
85	55,170	57,634	61,389	64.749	68,777	73,878	77,710	81,089	84,334	87,665	91,325	95,734	102,079	107,522	112,393	118.236	122,325
86	55,973	58,456	62,239	65.623	69.679	74,813	78.670	82,069	85,334	88,685	92,365	96,799	103,177	108,648	113,544	119,414	123,522
87	56,777	59,279	63,089	66,498	70,581	75,749	79,630	83,050	86,334	89,704	93,405	97,863	104,275	109,773	114,693	120,591	124,718
Окончание прил. 3
150
п \	99,5 %	99 %	97,5 %	95%	90 %	80 %	70 %	60 °А,	50 %	40 %	30%	20%	10 %	5%	2,5 %	1 "А,	0,5 %
88	57,582	60,103	63,941	67,373	71,484	76,685	80,590	84,031	87,334	90,723	94,445	98,927	105,372	110,898	115,841	121,767	125.913
89	58,389	60,928	64,793	68,249	72,387	77,622	81,550	85,012	88,334	91,742	95,484	99,991	106,469	112,022	116,989	122,942	127,106
90	59,196	61,754	65,647	69,126	73,291	78,558	82.511	85,993	89,334	92,761	96,524	101,054	107,565	113,145	118U36	124,116	128,299
91	60,005	62,581	66,501	70,003	74,196	79,496	83,472	86,974	90,334	93,780	-97,563	102,117	108,661	114,268	119,282	125,289	129,491
92	60,815	63,409	67,356	70,882	75,101	80,433	84,433	87,955	91,334	94,799	98,602	103,179	109,756	115,390	120,427	126,462	130,681
93	61,625	64,238	68,211	71,760	76,006	81,371	85,394	88,936	92,334	95,818	99,641	104,241	110,850	116,511	121,571	127,633	131,871
94	62,437	65,068	69,068	'72,640	76,912	82,309	86,356	89,917	93,334	96,836	100,679	105,303	111,944	117,632	122,715	128,803	133,059
95	63,250	65,898	69,925	73,520	77,818	83,248	87,317	90,899	94,334	97,855	101,717	106,364	113,038	118,752	123,858	129,973	134,247
96	64,063	66,730	70,783	74,400	78,725	84,187	88,279	91,881	95,334	98,873	102,755	107,425	114,131	119,871	125,000	131,141	135.433
97	64,878	67,562	71,642	75,282	79,633	85,126	89.241	92.862	96,334	99,892	103,793	108,486	115,223	120,990	126,141	132,309	136,619
98	65,694	68,396	72,501	76,164	80,541	86,065	90,204	93,844	97,334	100,910	104,831	109,547	116,315	122,108	127,282	133,476	137,803
99	66,510	69,230	73,361	”77,046	81,449	87,005	91,166	94,826	98,334	101,928	105,868	110,607	117,407	123,225	128,422	134,642	"138,987
100	67,328	70,065	74,222	. 77,929	82,358	87,945	92,129	95,808	99,334	102,946	106,906	111,667	118,498	124,342	129,561	135,807	140,169
Примечание.	,
Для больших значений п процентная точка /’-распределения может быть получена из аппроксимационных выражений [1]
г 1 I-------------------Г
Ха-100%(«) ® - 1 «Г-а +	И
2	( Л L 2
Ха100%(") = »О- — + М,_а
где И(_а - квантиль нормального стандартного распределения, которая может быть найдена по таблице прил. 1.
2
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Процентные точки F-распределеиия Фишера. Q = 0,05 %
т'	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	15	20	24	30	40	50	60	100	120	200	500	со
1	1624	2004	2164	2254	2314	23 44	2374	2394	2414	2424	2434	2444	2464	2484	2494	2504	2514	2524	2524	25 З4	2534	2534	2544	2544
2	200'	200'	200'	200'	200'	200'	200'	200'	200'	200'	200'	200'	200'	200'	200'	200'	200'	200'	200'	200'	200'	200'	200'	200'
3	266	237	225	218	214	211	209	208	207	206	204	204	203	201	200	199	199	198	198	197	197	197	196	196
4	106	87,4	80,1	76,1	73,6	71,9	70,6	69,7	68,9	68,3	67.8	67,4	66,5	65,5	65,1	64,6	64,1	63,8	63,6	63.2	63.1	62,9	62,7	62,6
5	63,6	49,8	44,4	41,5	39,7	38,5	37,6	36,9	36,4	35,9	35,6	35,2	34,6	33,9	33,5	33,1	32,7	32.5	32,3	32.1	32,0	31,8	31,7	31.6
6	46,1	34,8	30,4	28,1	26,6	25,6	24,9	24,3	23,9	23,5	23,2	23,0	22,4	21,9	21,7	21,4	21,1	20.9	20,7	20,5	20.4	20,3	20.3	20,1
7	37,0	27,2	23,5	21,4	20,2	19,3	18,7	18,2	17,8	17,5	17,2	17,0	16,5	16,0	15,7	15,5	15,2	15,1	15.0	14.7	14.7	14,6	14,5	14,4
8	31,6	22,8	19,4	17,6	16,4	15,7	15,1	14,6	14,8	14,0	13,8	13,6	13,1	12,7	12,5	12,2	12.0	11,8	11.8	11.6	11.5	11,4	11,4	и,з
9	28,0	19.9	16,8	15,1	14,1	13,3	12,8	12,4	12,1	11,8	11,6	Н,4	11,0	10,6	10,4	10.2	9.94	9.8	9,71	9,53'	9,49	9.40	9.32	9.26
10	25,5	17,9	15,0	13,4	12,4	11,8	и,з	10,9	10,6	10,3	10,1	9,93	9,56	9,16	8,96	8,75	8.54	8.42	8.33	8,16	8,12	8,04	7.96	7.90
11	23,6	16,4	13,6	12,2	11,2	10,6	10,1	9,76	9,48	9,24	9,04	8,88	8,52	8,14	7,94	7,75	7,55	7,43	7.35	7,18	7.14	7,06	6,98	6.93
12	22,2	15,3	12,7	11,2	10,4	9,74	9,28	8,94	8,66	8,43	8,24	8,08	7,74	7,37	7,18	7,00	6,80	6.68	6.61	6,45	6,41	6,33	6,25	6.20
15	19,5	13,2	10,8	9,48	8,66	8,10	7,68	7,36	7,11	6,91	6,75	6,60	6,27	5,93	5.75	5.58	5,40	5.29	5,21	5.06	5,02	4,94	4.87	4.83
20	17,2	11.4	9,20	8,02	7,28	6,76	6,38	6,08	5,85	5,66	5,51	5,38	5,07	4,75	4.58	4,42	4,24	4,15	4,07	3,93	3,90	3,82	3.75	3.70
24	16,2	10,6	8,52	7,39	6,68	6,18	5,82	5,54	5,31	5,13	4,98	4,85	4.55	4,25	4.09	3.93	3,76	3,66	3.59	3.44	3.41	3.33	3.27	3.22
30	15,2	9,90	7,90	6,82	6,14	5,66	5,31	5,04	4,82	4,65	4,51	4,38	4,10	3.80	3.65	3.48	3,32	3.22	3,15	3.00	2.97	2,89	2.82	2,78
40	14,4	9,25	7,33	6,30	5,64	5,19	4,85	4,59	4,38	4,21	4,07	3,95	3.68	3,39	3,24	3.08	2.92	2,82	2.74	2,60	2,57	2,49	2.41	2.37
60	13,6	8,65	6,81	5,82	5,20	4,76	4,44	4,18	3,98	3,82	3,69	3,57	3.30	3,02	2.87	2,71	2.55	2.45	2.38	2.23	2.19	2,11	2,03	Г.98
120	12,8	8,10	6,34	5,39	4,79	4,37	4,07	3,82	3,63	3,47	3,34	3,22	2,96	2,67	2,53	2.38	2,21	2,11	2.01	1.88	1.84	1.75	1,67	1.60
оо	12,1	7,60	5.91	5,00	4,42	'4.02	3,72	3,48	3,30	3,14	3,02	2,90	2,65	2,37	2,22	2.07	1,91	1,79	1.71	1.53	1,48	1.36	1.22	1,00
В таблице даны процентные точки с тремя значащими цифрами, причем, например, 1624 означает 162-104.
Процентные точки F-распределения Фишера. Q = 0,1 %
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	15	20	24	30	40	60	120	оо
1	40532	5 0002	54042	56252	57642	58592	59292	59812	60232	60562	61072	61582	62 092	62352	62612	62872	63132	63402	63 662
2	999	999,0	999	999	999	999	999	999	999	999	999	999	999	1000	1000	1000	1000	1000	1000
3	167,0	149	141	137	135	133	132	131	130	129	128	127	126	126	125	125,0	125	124,0	124
4	74,1	61,3	56,2	53,4	51,7	50,5	49,7	49,00	48,5	48,1	47,4	46,8	46,1	45,8	45,4	45,1	44,8	44,4	44,1
5	47,2	37,1	33,20	31,1	29,8	28,8	28.2	27.6	27.2	26,9	26,4	25,9	25,4	25,1	24,9	24,60	24,3	24.1	23,8
6	35,5	27,00	23,70	21,9	20,8	20	19,5	19	18,7	' 18,4	18	17,6	17,1	16.9	16.7	16,4	16,2	16	15,8
7	29,3	21,7	18,8	17,2	16,2	15,5	15	14.6	14,3	14,1	13,7	13,3	12.9	12,7	12,5	12,3	12,1	11,9	11,70
8	25,4	18,5	15,8	14,4	13,5	12,9	12,40	12	11,8	Н,5	11,2	10,8	10,5	10,3	10,1	9,92	9,73	9,53	9,33
9	22,9	16,4	13,90	12,6	11,7	И,1	10,70	10,4	10,1	9,89	9,57	9,24	8.40	8,72	8.55	8,37	8,19	8.00	7,81
10	21	14,9	12,6	н,з	10,5	9,92	9,52	9,20	8,96	8,75	8,45	8,13	7,80	7,64	7,47	7,30	7,12	6,94	6,76
11	19,7	13,8	11,6	10,4	9,58	9,05	8,66	8.35	8,12	7,92	7,63	7.32	7,01	6,85	6.68	6,52	6,35	6,17	6,00
12	18,6	13	10,80	9,63	8,89	8,38	8,00	7,71	7,48	7,29	7,00	6,71	6,40	6,25	6,09	5,93	5,76	5,59	5,42
13	17,8	12,3	10,2	9,07	8,35	7,86	7,49	7,21	6,98	6.80	6,52	6,23	5,93	5,78	5,63	5,47	5.30	5,14	4.97
14	17,1	11,8	9,73	8,62	7,92	7,43	7,08	6.80	6,58	6,40	6,13	5,85	5,56	5.41	5,25	5,10	4.94	4,77	4,60
15	16,6	н,з	9,34	8,25	7,57	7,09	6,74	6,47	6,26	6,08	5,81	5,54	5,25	5,10	4,95	4,80	4,64	4,47	4.31
16	16,1	11	9,00	7,94	7,27	6,81	6.46	6,19	5,98	5,81	5,55	5,27	4,99	4,85	4,70	4,54	4.39	' 4.23	4,06
17	15,7	10,7	8,73	7,68	7,02	6,56	6,22	5,96	5,75	5,58	5,32	5,05	4,78	.4,63	4,48	4,33	4,18	4.02	3,85
18	15,4	10,4	8,49	7,46	6,81	6,35	6,02	5,76	5,56	5,39	5,13	4,87	4,59	4,45	4,30	4,15	4.00	3,84	3,67
19	15,1	10,2	8,28	7,26	6.62	6,18	5,85	5,59	5,39	5,22	4,97	4,70	4,43	4,29	4,14	3,99	3,84	3,68	3,51
20	14,8	9,95	8,10	7,10	6,46	6,02	5,69	5,44	5,24	5,08	4,82	4,56	4,29	4,15	4.00	3,86	3,70	3,54	3,38
21	14,6	9,77	7,94	6,95	6,32	5,88	5,56	5,31	5,11	4,95	4,70	4,44	4,17	4.03	3,88	3.74	3,58	3,42	3,26
22	14,4	9,61	7,80	6,81	6,19	5,76	5,44	5,19	4,99	4,83	4,58	4,33	4,06	3,92	3,78	3,63	3,48	3,32	3,15
Продолжение прил. 4
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	15	20	24	30	40	60	120	оо
23	14,2	9,47	7,67	6,69	6,08	5,65	5,33	5,09	4,89	4,73	4,48	4,23	3,96	3,82	3,68	3,53	3,38	3,22	3.05
24	14	9,34	7,55	6,59	5,98	5,55	5,23	4,99	4,80	4,64	4,39	4,14	3,87	3,74	3,59	3,45	3,29	3,14	2,97
25	13,9	9,22	7,45	6,49	5,88	5,46	5,15	4,91	4,71	4,56	4,31	4,06	3,79	3,66	3,52	3,37	3,22	3,06	2,89
26	13,7	9,12	7,36	6,41	5,80	5,38	5,07	4,83	4,64	4,48	4,24	3,99	3,72	3,59	3,44	3,30	3,15	2,99	2,82
27	13,6	9,02	7,27	6,33	5,73	5,31	5,00	4,76	4,57	4,41	4,17	3,92	3,66	3,52	3,38	3,23	3,08	2,92	2,75
28	13,50	8,93	7,19.	6,25	5,66	5,24	4,93	4,69	'4,50	4,35	4,11	3,86	3,60	3,46	3,32	3,18	3,02	2,86	2,69
29	13,4	8,85	7,12	6,19	5,59	5,18	4,87	4,64	4,45	4,29	4,05	3,80	3,54	3,41	3,27	3,12	2,97	2,81	2,64
30	13,3	8,77	7,05	6,12	5,53	5,12	4,82	4,58	4,39	4,24	4,00	3,75	3,49	3,36	3,22	3,07	2,92	2,76	2,59
40	12,6	8,25	6,60	5,70	5,13	4,73	4,44	4,21	4,02	3,87	3,64	3,40	3,15	3,01	2,87	2,73	2,57	2,41	2,23
60	12	7,76	6,17	5,31	4,76	4,37	4,09	3,87	3,69	3,54	3,31	3,08	2,83	2,69	2,55	2,41	2,25	2,08	1,89
120	Н,4	7,32	5,79	4,95	4,42	4,04	3,77	3,55	3,38	3,24	3,02	2,78	2,53	2,40	2,26	2,И	1,95	1,76	1,54
оо	10,8	6,91	5,42	4,62	4,10	3,74	3,47	3,27	3,10	2,96	2,74	2,51	2,27	2,13	1,99	1,84	1,66	1,45	1,00
Процентные точки F-распределения Фишера. Q = 0,5%
\л т\	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	15	20	24	30	40	60	120	со
1	16211	20000	21615	22500	23056	23437	23715	23925	24091	24224	24426	24630	24836	24940	25044	25148	25253	25359	25465
2	198,50	199,00	199,17	199,25	199,30	199,33	199,36	199,37	199,39	199,40	199,42	199,43	199,45	199,46	199,47	199,47	199,48	199,49	199,51
3	55,552	49,799	47,467	46,195	45,392	44,838	44,434	44,126	43,882	43,685	43,387	43,085	42,778	42,622	42,466	42,308	42,149	41,989	41,829
4	31,333	26,284	24,259	23,155	22,456	21,975	21,622	21,352	21,139	20,967	20,705	20,438	20,167	20,030	19,892	19,752	19,611	19,468	19,325
5	22,785	18,314	16,530	15,556	14,940	14,513	14,200	13,961	13,772	13,618	13,384	13,146	12,903	12,780	12,656	12,530	12,402	12,274	12,144
6	18,635	14,544	12,917	12,028	11,464	11,073	10,786	10,566	10,391	10,250	10,034	9,8140	9,5888	9,4741	9,3583	9.2408	9,1219	9,0015	8,8793
7	16,236	12,404	10,882	10,050	9,5221	9,1554	8,8854	8,6781	8,5138	8,3803	8,1764	7,9678	7,7540	7,6450	7,5345	7,4225	7,3088	7,1933	7,0760
8	14,688	11,042	9,5965	8,8051	8,3018	7,9520	7,6942	7,4960	7,3386	7.2107	7,0149	6,8143	6,6082	6,5029	6,3961	6,2875	6,1772	6,0649	5,9505
9	13,614	10,107	8,7171	7,9559	7,4711	7,1338	6,8849	6,6933	6,5411	6,4171	6,2274	6,0325	5,8318	5,7292	5,6248	5,5186	5,4104	5,3001	5,1875
Продолжение прил. 4
К п т\	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	15	20	24	30	40	60	120	СО
10	12,826	9,4270	8,0807	7,3428	6,8723	6,5446	6,3025	6,1159	5,9676	5,8467	5,6613	5,4707	5,2740	5,1732	5,0705	4,9659	4,8592	4,7501-	4,6385
11	12,226	8,9122	7,6004	6,8809	6,4217	6,1015	5,8648	5,6821	5,5368	5,4182	5,2363	5,0489	4,8552	4,7557	4,6543	4,5508	4,4450	4,3367	4,2256
12	11,754	8,5096	7,2258	6,5211	6,0711	5,7570	5,5245	5,3451	5,2021	5,0855	4,9063	4,7214	4,5299	4,4315	4,3309	4,2282	4,1229	4,Q 149	3,9039
13	11,374	8.1865	6,9257	6,2335	5,7910	5,4819	5,2529	5,0761	4,9351	4,8199	4,6429	4,4600	4,2703	4,1726	4,0727	3,9704	3,8655	3,7577	3,6465
14	11,060	7,9216	6.6803	5,9984	5,5623	5,2574	5,0313	4,8566	4,7173	4,6034	4,4281	4,2468	4,0585	3,9611	3,8619	3,7600	3,6553	3,5473	3,4359
15	10,798	7.7008	6,4760	5,8029	5,3721	5,0708	4,8473	4,6743	4,5364	4,4236	4,2498	4,0698	3,8826	3,7859	3,6867	3,5850	3,4803	3.3722	3,2602
16	10,575	7,5138	6,3034	5,6378	5,2117	4,9134	4,6920	4,5207	4,3838	4,2719	4,0994	3,9205	3,7342	3,6378	3,5388	3,4372	3,3324	3,2240	3,1115
17	10,384	7,3536	6,1556	5,4967	5,0746	4,7789	4,5594	4,3893	4,2535	4,1423	3,9709	3,7929	3,6073	3,5112	3,41'24	3,3107	3,2058	3,0971	2,9839
18	10,218	7,2148	6,0277	5,3746	4,9560	4,6627	4,4448	4,2759	4,1410	4,0305	3,8599	3,6827	3,4977	3,4017	3,3030	3,2014	3,0962	2,9871	2,8732
19	10,073	7,0935	5,9161	5,2681	4,8526	4,5614	4,3448	4,1770	4.0428	3,9329	3,7631	3,5866	3,4020	3,3062	3,2075	3,1058	3.0004	2,8908	2,7762
20	9,9439	6.9865	5,8177	5,1743	4,7616	4,4721	4,2569	4,0900	3,9564	3,8470	3,6779	3,5020	3,3178	3,2220	3,1234	3,0215	2,9159	2,8058	2,6904
21	9,8295	6,8914	5,7304	5,0911	4,6808	4,3931	4,1789	4,0128	3,8799	3,7709	3,6024	3,4270	3,2431	3,1474	3,0488	2,9467	2,8408	2,7302	2.6140
22	9,7271	6,8064	5,6524	5,0168	4,6088	4,3225	4,1094	3,9440	3,8116	3,7030	3,5350	3,3600	3,1764	3,0807	2,9821	2,8799	2,7736	2,6625	2.5455
23	9,6348	6,7300	5,5823	4,9500	4,5441	4,2591	4,0469	3,8822	3,7502	3,6420	3,4745	3,2999	3,1165	3.0208	2,9221	2,8198	2,7132	2,6016	2,4837
24	9,5513	6,6609	5,5190	4,8898	4,4857	4,2019	3,9905	3,8264	3,6949	3,5870	3,4199	3,2456	3,0624	2,9667	2,8679	2,7654	2,6585	2,5463	2,4276
25	9,4753	6,5982	5,4615	4,8351	4,4327	4,1500	3,9394	3,7758	3,6447	3,5370	3,3704	3,1963	3,0133	2.9176	2,8187	2,7160	2,6088	2,4960	2,3765
26	9,4059	6,5409	5,4091	4,7852	4,3844	4,1027	3,8928	3,7297	3,5989	3,4916	3,3252	3,1515	2,9685	2,8728	2,7738	2,6709	2,5633	2,4501	2,3297
27	9,3423	6,4885	5,3611	4,7396	4,3402	4,0594	3,8501	3,6875	3,5571	3,4499	3,2839	3,1104	2,9275	2,8318	2,7327	2,6296	2,5217	2,4079	2,2867
28	9,2838	6,4403	5,3170	4,6977	4,2996	4,0197	3,8110	3,6487	3,5186	3.4117	3,2460	3,0727	2,8899	2,7941	2,6949	2,5916	2,4834	2,3690	2,2469
29	9,22 97	6,3958	5,2764	4.6591	4,2622	3,9830	3,7749	3,6130	3,4832	3,3765	3,2111	3,0379	2,8551	2,7594	2,6601	2,5565	2,4479	2,3331	2,2102
30	9,1797	6,3547	5,2388	4,6233	4,2276	3,9492	3,7416	3,5801	3,4505	3,3440	3,1787	3,0057	2,8230	2,7272	2,6278	2,5241	2,4151	2,2998	2,1760
40	8,8278	6,0664	4,9759	4,3738	3,9860	3,7129	3,5088	3,3498	3,2220	3,1167	2,9531	2,7811	2,5984	2,5020	2,4015	2,2958	2,1838	2,0635	1,9318
60	8,4946	5,7950	4,7290	4,1399	3,7600	3,4918	3,2911	3,1344	3,0083	2,9042	2,7419	2,5705	2,3872	2,2898	2,1874	2,0789	1,9622	1,8341	1,6885
120	8,1790	5,5393	4,4973	3,9207	3,5482	3,2849	3,0874	2,9330	2,8083	2,7052	2,5439	2,3727	2,1881	2,0890	1,9839	1,8709	1,7469	1,6055	1,4311
со	7,8794	5,2983	4,2794	3,7151	3,3499	3,0913	2,8968	2,7444	2,6210	2,5188	2,3583	2,1868	1,9998	1,8983	1,7891	1,6691	1,5325	1,3637	1,0000
Продолжение прил. 4
Процентные точки F-распределения Фишера. Q~ 1 %
ел ел
п т\	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	15	20	24	30	40	60	120	ОО
1	4052,2	4999,5	5403,3	5624,6	5763,7	5859,0	5928,3	5981,1	6022,5	6055,8.	6106,3	6157,3	6208,7	6234,6	6260,7	6286,8	6313,0	6339,4	6366,0
2	98,503	99.000	99,166	99,249	99,299	99,332	99,356	99,374	99,388	99,399	99,416	99,432	99,449	99,458	99,466	99,474	99,483	99,491	99,499
3	34,116	30,817	29,457	28,710	28,237	27,911	27,672	27,489	27,345	27,229	27,052	26,872	26,690	26,598	26,505	26,411	26,316	26,221	26,125
4	21,198	18,000	16,694	15,977	15,522	15,207	14,976	14,799	14,659	14346	14,374	14,198	14,020	13,929	13,838	13,745	13,652	13,558	13,463
5	16,258	13,274	12,060	11,392	10,967	10,672	10,456	10,289	10,158	10,051	9,8883	9,7222	9,5527	9,4665	9,3793	9,2912	9,2020	9,1118	9,0204
6	13,745	10,925	9,7795	9,1483	8,7459	8,4661	8,2600	8,1016	7,9761	7,8741	7.7183	7,5590	7,3958	7,3127	7,2285	7,1432	7,0568	6,9690	6,8801
7	12,246	9,5466	8,4513	7,8467	7,4604	7,1914	6,9928	6,8401	6,7188	6,6201	6,4691	6,3143	6,1554	6,0743	5,9921	5,9084	5,8236	5,7372	5,6495
8	11,259	8,6491	7,5910	7,0060	16,6318	6,3707	6,1776	6,0289	5,9106	5,8143	5,6668	5,5151	5,3591	5,2793	5,1981	5,1156	5,0316	4,9460	4,8588
9	10,561	8,0215	6,9919	6,4221	6,0569	5,8018	5,6129	5,4671	5.3511	5,2565	5,1114	4,9621	4,8080	4,7290	4.6486	4,5667	4,4831	4,3978	4,3105
10	10,044	7,5594	6,5523	5,9943	5,6363	5,3858	5,2001	5,0567	4,9424	4,8492	4,7059	4,5582	4,4054	4,3269	4,2469	4,1653	4,0819	3,9965	3,9090
И	9,6460	7,2057	6,2167	5,6683	5,3160	5,0692	4,8861	4,7445	4,6315	4,5393	4,3974	4,2509	4,0990	4,0209	3,9411	3,8596	3,7761	3,6904	3,6025
12	9,3302	6,9266	5,9526	5,4119	5,0643	4,8206	4,6395	4,4994	4,3875	4,2961	4,1553	4,0096	3,8584	3,7805	3,7008	3,6192	3,5355	3,4494	3,3608
13	9,0738	6,7010	5,7394	5,2053	4,8616	4,6204	4,4410	4,3021	4.1911	4,1003	3,9603	3,8154	3,6646	3,5868	3,5070	3,4253	3,3443	3,2548	3,1654
14	8,8616	6,5149	5,5639	5,0354	4,6950	4,4558	4,2779	4.1399	4,0297	3,9394	3,8001	3,6557	3,5052	3,4274	3,3476	3,2656	3,1813	3.0942	3,0040
15	8.6831	6,3589	5,4170	4,8932	4,5556	4,3183	4,1415	4,0045	3,8948	3,8049	3,6662	3,5222	3,3719	3,2940	3,2141	3,1319	3,0471	2,9595	2,8684
16	8,5310	6,2262	5,2922	4,7726	4,4374	4,2016	4,0259	3,8896	3,7804	3,6909	3,5527	3,4089	3,2588	3,1808	3,1007	3,0182	2,9330	2,8447	2,7528
17	8,3997	6,1121	5,1850	4,6690	4,3359	4,1015	3,9267	3,7910	3,6822	3,5931	3,4552	3,3117	3,1615	3,0835	3,0032	2,9205	2,8348	2,7459	2,6530
18	8,2854	6,0129	5,0919	4,5790	4,2479	4,0146	3,8406	3,7054	3,5971	3,5082	3,3706	3,2273	3,0771	2.9990	2,9185	5,8354	2,7493	2,6597	2,5660
19	8,1850	5,9259	5,0103	4,5003	4,1708	3,9386	3,7653	3,6305	3,5225	3,4338	3,2965	3,1533	3,0031	2,9249	2,8442	2,7608	2,6742	2,5839	2,4893
20	8.0960	5,8489	4,9382	4,4307	4,1027	3,8714	3,6987	3,5644	3,4567	3,3682	3,2311	3,0880	2,9377	2,8594	2,7785	2,6947	2,6077	2,5168	2,4212
21	8,0166	5,7804	4,8740	4,3688	4,0421	3,8117	3,6396	3.5056	3,3981	3,3098	3.1729	3.0299	2,8796	2,8011	2,7200	2,6359	2,5484	2,4568	2,3603
22	7,9454	5,7190	4,8166	4,3134	3,9880	3,7583	3.5867	3,4530	3,3458	3,2576	3.1209	2,9780	2.8274	2,7488	2,6675	2,5831	2,4951	2,4029	2,3055
23	7,8811	5,6637	4,7649	4,2635	3,9392	3,7102	3,5390	3,4057	3,2986	3,2106	3.0740	2,9311	2,7805	2,7017	2,6202	2,5355	2,447	2,3542	2,2559
24	7,8229	5,6136	4,7181	4,2184	3,8951	3,6667	3,4959	3,3629	3,2560	3,1681	3,0316	2,8887	2,7380	2,6591	2,5773	2,4923	2.4035	2,3099	2,2107
25	7,7698	5,5680	4,6755	4,1774	3,8550	3,6272	3,4568	3,3239	3,2172	3,1294	2,9931	2.8502	2,6993	2,6203	2,5383	2,4530	2,3637	2.2695	2,1694
26	7,7213	5,526?	4,6366	4,1400	3,8183	3,5911	3,4210	3,2884	3.1818	3,0941	2,9579	2,8150	2,6640	2,5848	2,5026	2,4170	2,3273	2,2325	2,1315
27	7,6767	5,41 81	4,6009	4,1056	3,7848	3,5580	3,3882	3,2558	3,1494	3,0618	2,9256	2,7827	2,6316	2,5522	2,4699	2,3840	2,2938	2,1984	2,0965
28	7,6356	5,4э29	4.5681	4,0740	3,7539	3,5276	3,3581	3,2259	3,1195	3,0320	2,8959	2,7530	2,6017	2,5223	2,4397	2,3535	2,2629	2,1670	2,0642
29	7,5976	5,4205	4,5378	4,0449	3,7254	3,4995	3,3302	3,1982	3,0920	3,0045	2,8685	2,7256	2,5742	2,4946	2,4118	2,3253	2,2344	2,1378	2.0342
30	7,5625	5,3903	4,5097	4,0179	3,6990	3,4735	3,3045	3,1726	3,0665	2,9791	2,8431	2,7002	2,5487	2,4689	2,3860	2,2992	2,2079	2,1107	2,0062
40	7,3141	5,1785	4,3126	3,8283	3,5138	3,2910	3,1238	2,9930	2,8876	2,8005	2,6648	2,5216	2,3689	2,2880	2,2034	2,1142	2,0194	1,9172	1,8047
60	7,0771	4,9774	4,1259	3,6491	3,3389	3,1187	2,9530	2,8233	2,7185	2,6318	2,4961	2,3523	2,1978	2,1154	2,0285	1,9360	1.8363	1,7263	1,6006
120	6,8510	4,7865	3,9491	3,4796	3,1735	2,9559	2,7918	2,6629	2,5586	2,4721	2,3363	2,1915	2,0346	1,9500	1,8600	1,7628	1,6557	1,5330	1,3805
ОО	6,6349	4,6052	3,7816	3,3192	3,0173	2,8020	2,6393	2,5113	2,4073	2,3209	2,1848	2,0385	1,8783	1,7908	1,6964	1,5923	1,4730	1,3246	1,0000
Продолжение прил. 4
Процентные точки F-распределения Фишера. Q = 2,5 %
Ul оч
\ п т \	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	15	20	24	30	40	60	120	ОО
1	647,79	799,50	864,16	899,58	921,85	937,11	948,22	956,66	963,28	968,63	976,71	984,87	993,10	997,25	1001,4	1005,6	1009,8	1014,0	1018,3
2	38,506	39,000	39,165	39,248	39,298	39,331	39,355	39,373	39,387	39,398	39,415	39,431	39,448	39,456	39,465	39,473	39,481	39,490	39,498
3	17,443	16,944	15,439	15,101	14,885	14,735	14,624	14,540	14,473	14,419	14,337	14,253	14,167	14,124	14,081	14,037	13,992	13,947	13,902
4	12,218	10,649	9,9792;	9,6045	9,3645	9,1973	9,0741	8,9796	8,9047	8,8439	8,7512	8,65^5	8,5599	8,5109	8,4613	8,4111	8,3604	8,3092	8,2573
5	10,007	8,4336	7,7636	7,3879	7,1464	6,9777	6,8531	6,7572	6,6810	6,6192	6,5246	6,4227	6,3285	6,2780	6,2269	6,1751	6,1225	6,0693	6,0153
6	8,8131	7,2598	6,5988	6,2272	5,9876	5,8197	5,6955	5,5996	5,5234	5,4613	5,3662	5,2687	5,1684	5,1172	5,0652	5,0125	4,9589	4,9045	4.8491
7	8,0727	6,5415	5,8898	5,5226	5,2852	5,1186	4,9949	4,8994	4,8232	4,7611	4,6658	4,5678	4,4667	4,4150	4,3624	4.3089	4,2544	4,1989	4,1423
8	7.5709	6,0595	5,4160	5,0526	4,8173	4,6517	4,5286	4,4332	4,3572	4,2951	4,1997	4,1012	3,9995	3.9472	3,8940	3,8398	3,7844	3,7279	3.6702
9	7,2093	5.7147	5,0781	4,7181	4,4844	4,3197	4,1971	4,1020	4,0260	3,9639	3,8682	3,7694	3,6669	3,6142	3.5604	3,5055	3,4493	.3,3918	3,3329
10	6,9367	5,4564	4,8256	4,4683	4,2361	4,0721	3,9498	3,8549	3,7790	3,7168	3,6209	3,5217	3,4186	3,3654	3,3110	3,2554	3,1984	3,1399	3,0798
И	6,7241	5,2559	4,6300	4,2751	4,0440	3,8807	3,7586	3,6638	3,5879	3,5257	3,4296	3,3299	3,2261	3,1725	3,1176	3.0613	3,0035	2.9441	2,8828
12	6,5538	5,0959	4,4742	4,1212	3,8911	3,7283	3,6065	3,5118	3,4358	3,3736	3,2773	3,1772	3,0728	3,0187	2,9633	2.9063	2,8478	2,7874	2,7249
13	6,4143	4,9653	4,3472	3,9959	3,7667	3,6043	3,4827	3,3880	3,3120	3,2497	3,1532	3,0527	2,9477	2,8932	2,8373	2,7797	2,7204	2,6590	2,5955
14	6,2979	4,8567	4,2417	3,8919	3,6634	3,5014	3,3799	3,2853	3,2093	3,1469	3,0501	2,9493	2,8437	2,7888	2,7324	2.6742	2,6142	2,5519	2,4872
15	6,1995	4,7650	4,1528	3,8043	3,5764	3,4147	3,2934	3,1987	3,1227	3,0602	2,9633	2,8621	2,7559	2.7006	2,6437	2,5850	2.5242	2,4611	2,3953
16	6,1151	4,6867	4,0768	3,72^4	3,5021	3,3406	3,2194	3,1248	3,0488	3,9862	2,8890	2,7875	2,6808	2,6252	2,5678	2,5085	2,4471	2,3831	2,3163
17	6,0420	4,6189	4,0112	3,6648	3,4379	3,2767	3,1556	3,0610	2,9849	2,9222	2,8249	2,7230	2,6158	2,5598	2,5021	2,4422	2,3801	2,3153	2,2474
18	5,9781	4,5597	3,9539	3,6083	3,3820	3,2209	3,0999	3,0053	2,9291	2,8664	2,7689	2,6667	2,5590	2,5027	2,4445	2,3842	2,3214	2,2558	2.1869
19	5,9216	4,5075	3,9034	3,5587	3,3327	3,1718	3,0509	2,9563	2,8800	2,8173	2,7196	2,6171	2,5089	2,4523	2,3937	2.3329	2,2695	2,2032	2,1333
20	5,8715	4,4613	3,8587	3,5147	3,2891	3,1283	3,0074	2,9128	2.8365	2,7737	2,6758	2,5731	2,4645	2,4076	2,3486	2,2873	2,2234	2,1562	2,0853
21	5,8266	4,4199	3,8188	3,4754	3,2501	3,0895	2,9686	2,8740	2,7977	2,7348	2,6368	2,5338	2,4247	2.3675	2,3082	2,2465	2,1819	2,1141	2,0422
22	5,7863	4,3828	3,7829	3,4401	3,2151	3,0546	2,9338	2,8392	2,7628	2,6998	2,6017	2,4984	2,3890	2,3315	2Д718	2,2097	2,1446	2,0760	2,0032
23	5,7498	4,3492	3,7505	3,4083	3,1835	3,0232	2,9024	2,8077	2,7313	2,6682	2,5699	2,4665	2,3567	2,2989	2,2389	2.1763	2.1107	2,0415	1,9677
24	5,7167	4,3187	3,7211	3,3794	3,1548	2,9946	2,8738	2,7791	2,7027	2,6396	2,5412	2,4374	2,3273	2,2693	2,2090	2,1460	2,0799	2,0099	1,9353
Продолжение прил. 4
V п /и\	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	15	20	24	30	40	60	120	ОО
25	5,6864	4,2909	3,6943	3,3530	3,1287	2,9685	2,8478	2,7531	2,6766	2,6135	2,5149	2,4110	2,3005	2,2422	2,1816	2,1183	2,0517	1,9811	1,9055
26	5,6586	4,2655	3,6697	3,3289	3,1048	2,9447	2,8240	2,7293	2,6528	2,5895	2,4909	2,3867	2,2759	2,2174	2,1565	2,0928	2,0257	1,9545	1,8781
27	5,6331	4,2421	3,6472	3,3067	3,0828	2,9228	2,8021	2,7074	2,6309	2,5676	2,4688	2,3644	2,2533	2,1946	2,1334	2,0693	2,0018	1,9299	1,8527
28	5,6096	4,2205	3,6264	3,2863	3,0625	2,9027	2,7820	2,6872	2,6106	2,5473	2,4484	2,3438	2,2324	2,1735	2,1121	2,0477	1.9796	1,9072	1,8291
29	5,5878	4,2006	3,6072	3,2674	3,0438	2,8840	2,7633	2,6686	2,5919	2,5286	2,4295	2,3248	2,2131	2,1540	2,0923	2,0276	1,9591	1,8861	1,8072
30	5,5675	4,1821	3,5894	3,2499	3,0265	2,8667	2,7460	2,6513	2,5746	2,5112	2,4120	2,3072	2,1952	2,1359	2,0739	2.0089	1,9400	1,8664	1,7867
40	5,4239	4,0510	3,4633	3,1261	2,9037	2,7444	2,6238	2,5289	2,4519	2,3882	2,2882	2,1819	2,0677	2,0069	1,9429	1,8752	1,8028	1,7242	1,6371
60	5,2857	3,9253	3,3425	3,0077	2,7863	2,6274	2,5068	2,4117	2,3344	2,2702	2,1692	2,0613	1,9445	1,8817	1,8152	1,7440	1.6668	1,5810	1,4822
120	5,1524	3,8046	3,2270	2,8943	2,6740	2,5154	2,3948	2,2994	2,2217	2,1570	2,0548	1,9450	1,8249	1,7597	1,6899	1,6141	1,5299	1,4327	1,3104
ОО	5,0239	3,6889	3,1161	2,7858	2,5665	2,4082	2,2875	2,1918	2,1136	2,0483	1,9447	1,8326	1,7085	1,6402	1,5660	1,4835	1,3883	1,2684	1,0000
Процентные точки F-распределения Фишера. Q = 5 %
\ п т \	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	15	20	24	30	40	60	120	ОО
1	161,45	199,50	215,71	224,58	230,16	233,99	236,77	238,88	240,54	241.88	243,91	245,95	248,01	249,05	250,09	251,14	252,20	253,25	254,32
2	18,513	19,000	19,164	19,247	V9,296	19,330	19,353	19,371	19,385	19,396	19,413	19,429	19,446	19,454	19,462	19.471	19,479	19,487	19.496
3	10,128	9,5521	9,2766	9,1172	9,0135	8,9406	8,8868	8,8452	8,8123	8,7855	8,7446	8,7029	8,6602	8,6385	8,6166	8,5944	8,5720	8,5494	8.5263
4	7.7086	6,9443	6,59)4	6,3883	6,2560	6,1631	6,0942	6,0410	5,9988	5,9644	5,9117	5,8578	5,8025	5,7744	5.7459	5,7170	5.6878	5,6581	5,6281
5	6,6079	5,7861	5,4095	5,1922	5,0503	4,9503	4,8759	4,8183	4,7725	4.7351	4,6777	4,6188	4,5581	4.5272	4,4957	4,4638	4,4314	4,3984	4.3650
6	5,9874	5,1433	4,7571	4,5337	4,3874	4,2839	4,2066	4,1468	4.0990	4,0600	3,9999	3,9381	3,8?42	3,8415	3,8082	3,7743	3,7398	3,7047	3.6688
7	5,5914	4,7374	4,3468	4,1203	3,9715	3,8660	3,7870	3,7257	3,6767	3,6365	3,5747	3,5108	3,4445	3,4105	3,3758	3,3404	3,3043	3,2674	3,2298
8	5,3177	4,4590	4,0662	3,8378	3,6875	3,5806	3,5005	3,4381	3,3881	3,3472	3,2840	3,2184	3,1503	3,1152	3,0794	3.0428	3,0053	2,9669	2.9776
9	5,1174	4,2565	3,8626	3,6331	3,4817	3,3738	3,2927	3,2296	3,1789	3,1373	3.0729	3,0061	2,9365	2,9005	2,8637	2,8259	2,7872	2,7475	2,7067
10	4,9646	4,1028	3,7083	3,4780	3,3258	3,2172	3,1355	3.0717	3,0204	2.9782	2,9130	2,8450	2,7740	2,7372	2,6996	2,6609	2.6211	2,5801	2,5379
и	4,8443	3,9823	3,5874	3,3567	3,2039	3,0946	3,0123	2,9480	2,8962	2,8536	2,7876	2,7186	2,6464	2.6090	2,5705	2.5309	2,4901	2,4480	2,4045
12	4,7472	3,8853	3,4903	3,2592	3,1059	2,9961	2,9134	2,8486	2,7964	2,7534	2,6866	2,6169	2,5436	2,5055	2,4663	2,4259	2,3842	2,3410	2.2962
13	4,6672	3,8056	3,4105	3,1791	3,0254	2,9153	2,8321	2,7669	2,7144	2,6710	2,6037	2,5331	2,4589	2,4202	2,3803	2,3392	2,2966	2,2524	2,2064
14	4,6001	3,7389	3,3439	3,1122	2,9582	2,8477	2,7642	2,6987	2,6458	2,6021	2,5342	2,4630	2,3879	2,3487	2,3082	2,2664	2,2230	2,1778	2,1307
15	4,5431	3,6823	3,2874	3,0556	2,9013	2,7905	2,7066	2,6408	2,5876	2,5437	2,4753	2,4035	2,3275	2,2878	2,2468	2,2043	2,1601	2,1141	2,0658
Продолжение прил. 4
Ul 00
X. п /пХ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	15	20	24	30	40	60	120	ОО
16	4,4940	3,6337	3,2389	3,0069	2,8524	2,7413	2,6572	2,5911	2,5377	2,4935	2,4247	2,3522	2,2756	2,2354	2,1938	2,1507	2,1058	2,0589	2,0096
17	4,4513	3,5915	3,1968	2,9647	2,8100	2,6987	2,6143	2,5480	2,4943	2,4499	2,3807	2,3077	2,2304	2,1898	2,1477	2,1040	2,0584	2,0107	1,9604
18	4,4139	3,5546	3,1599	2,9277	2,7729	2,6613	2,5767	2,5102	2,4563	2,4117	2,3421	2,2686	2,1906	2,1497	2,1071	2,0629	2,0166	1,9681	1,9168
19	4,3808	3,5219	3,1274	2,8951	2,7401	2,6283	2,5435	2,4768	2,4227	2,3779	2,3080	2,2341	2,1555	2,1141	2,0712	2,0264	1,9796	1,9302	1,8780
20	4,3513	3,4928	3,0984	2,8661	2,7109	2,5990	2,5140	2,4471	2,3928	2,3479	2,2776	2,2033	2,1242	2,0825	2,0391	1,9938	1,9464	1,8963	1,8432
21	4,3248	3,4668	3,0725	2,840]	2,6848	2,5727	2,4876	2,4205	2,3661	2,3210	2,2504	2,1757	2,0960	2,0540	2,0102	1,9645	1,9165	1,8657	1,8117
22	4,3009	3,4434	3,0491	2,8167	2,6613	2,5491	2,4638	2,3965	2,3419	2,2967	2,2258	2,1508	2,0707	2,0283	1,9842	1,9380	1,8895	1,8380	1,7831
23	4,2793	3,4221	3,0280	2,7955	2,6400	2,5277	2,4422	2,3748	2,3201	2,2747	2,2036	2,1282	2,0476	2,0050	1,9605	1,9139	1,8649	1,8128	1,7570
24	4,2597	3,4028	3,0088	2,7763	2,6207	2,5082	2,4226	2,3551	2,3002	2,2547	2,1834	2,1077	2,0267	1,9838	1,9390	1,8920	1,8424	1,7897	1,7331
25	4,2417	3,3852	2,9912	2,7587	2,6030	2,4904	2,4047	2,3371	2,2821	2,2365	2,1649	2,0889	2,0075	1,9643	1,9192	1,8718	1,8217	1,7684	1,7110
26	4,2252	3,3690	2,9751	2,7426	2,5868	2,4741	2,3883	2,3205	2,2655	2,2197	2,1479	2,0716	1,9898	1,9464	1,9010	1,8533	1,8027	1,7488	1,6906
27	4,2100	3,3541	2,9604	2,7278	2,5719	2,4591	2,3732	2,3053	2,2501	2,2043	2,1323	2,0558	1,9736	1,9299	1,8842	1,8361	1,7851	1,7307	1,6717
28	4,1960	3,3404	2,9467	2,7141	2,5581	2,4453	2,3593	2,2913	2,2360	2,1900	2,1179	2,0411	1,9586	1,9147	1,8687	1,8203	1,7689	1,7138	1,6541
29	4,1830	3,3277	2,9340	2,7014	2,5454	2,4324	2,3463	2,2782	2,2229	2,1768	2,1045	2,0275	1,9446	1,9005	1,8543	1,8055	1,7537	1,6981	1,6377
30	4,1709	3,3158	2,9223	2,6896	2,5336	2,4205	2,3343	2,2662	2,2107	2,1646	2,0921	2,0148	1,9317	1,8874	1,8409	1,7918	1,7396	1,6835	1,6223
40	4,0848	3,2317	2,8387	2,6060	2,4459	2,3359	2,2490	2,1802	2,1240	2,0772	2,0035	1,9245	1,8389	1,7929	1,7444	1,6928	1,6373	1,5766	1,5089
60	4,0012	3,1504	2,7581	2,5252	2,3683	2,2540	2,1665	2,0970	2,0401	1,9926	1,9174	1,8364	1,7480	1,7001	1,6491	1,5943	1,5343	1,4673	1,3893
120	3,9201	3,0718	2,6802	2,4472	2,2900	2,1750	2,0867	2,0164	1,9588	1,9105	1,8337	1,7505	1,6587	1,6084	1,5543	1,4952	1,4290	1,3519	1,2539
оо	3,8415	2,9957	2,6049	2,3719	2,2141	2,0986	2,0096	1,9384	1,8799	1,8307	1,7522	1,6664	1,5705	1,5173	1,4591	1,3940	1,3180	1,2214	1,0000
Процентные точки F-распределения Фишера. Q ~ 10 %
'/м'Х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	15	20	24	30	40	60	120	03
1	39,864	49,500	53,593	55,833	57,241	58,204	58,906	59,439	59,858	60,195	60,705	61,220	61,740	62,002	62,265	62,529	62,794	63,061	63,328
2	8,526	9,0000	9,1618	9,2434	9,2926	9,3255	9,3491	9,3668	9,3805	9,3916	9,4081	9,4247	9,4413	9,4496	9,4579	9,4663	9,4746	9,4829	9,4913
3	5,538	5,4624	5,3908	5,3427	5,3092	5,2847	5,2662	5,2517	5,2400	5,2304	5,2156	5,2003	5,1845	5,1764	5,1681	5,1597	5,1512	5,1425	5,1337
4	4,545	4,3246	4,1908	4,1073	4,0506	4,0098	3,9790	3,9549	3,9357	3,9199	3,8955	3,8703	3,8443	3,8310	3,8174	3,8036	3,7896	3,7753	3,7607
5	4,060	3,7797	3,6195	3,5202	3,4530	3,4045	3,3679	3,3393	3,3163	3,2974	3,2682	3,2380	3,2067	3,1905	3,1741	3,1573	3,1402	3,1228	3,1050
Окончание прил. 4
*\л т \	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	15	20	24	30	40	60	120	ОО
6	3,776	3,4633	3,2888	3,1808	3,1075	3,0546	3,0145	2,9830	2,9577	2,9369	2,9047	2,8712	2,8363	2,8183	2,8000	2,7812	2,7620	2,7423	2,7222
7	3,589	3,2574	3,0741	2,9605	2,8833	3,8274	2,7849	2,7516	2,7247	2,7025	2,6681	2,6322	2,5947	2,5753	2,5555	2,5351	2,5142	2,4928	2,4708
8	3,458	3,1131	2,9238	2,8064	2,7265	2,6683	2,6241	2,5893	2,5612	2,5380	2,5020	2,4642	2,4246	2.4041	2,3830	2,3614	2,3391	2,3162	2,2926
9	3,360	3,0065	2,8129	2,6927	2,6106	2,5509	2,5053	2,4694	2,4403	2,4163	2,3789	2,3396	2,2983	2,2768	2,2547	2,2320	2,2085	2,1843	2,1592
10	3,285	2,9245	2,7277	2,6053	2,5216	2,4606	2,4140	2,3772	2,3473	2,3226	2,2841	2,2435	2,2007	2.1784	2,1554	2,1317	2,1072	2,0818	2,0554
11	3,225	2,8595	2,6602	2,5362	2,4512	2,3891	2,3416	2,3040	2,2735	2,2482	2,2087	2,1671	2,1230	2,1000	2,0762	2,0516	2,0261	1,9997	1,9721
12	3,176	2,8068	2,6055	2,4801	2,3940	2,3310	2,2828	2,2446	2,2135	2,1878	2,1474	2,1049	2.0597	1,0360	2,0115	1,9861	1,9597	1,9323	1,9036
13	3,136	2,7632	2,5603	2,4337	2,3467	2,2830	2,2341	2,1953	2,1638	2,1376	2,0966	2,0532	2,0070	1,9827	1,9576	1,9315	1,9043	1,8759	1.8462
14	3,102	2,7265	2,5222	2,3947	2,3069	2,2426	2,1931	2,1539	2,1220	2,0954	2,0537	2,0095	1,9625	1,9377	1,9119	1,8852	1,8572	1,8280	1.7973
15	3,073	2,6952	2,4898	2,3614	2,2730	2,2081	2,1582	2,1185	2,0862	2,0593	2,0171	1,9722	1,9243	1,8990	1,8728	1,8454	1,8168	1,7867	1,7551
16	3,048	2,6682	2,4618	2,3327	2,2438	2,1783	2,1280	2,0880	2,0553	2,0281	1,9854	1,9399	1,8913	1,8656	1,8388	1,8108	1,7816	1,7507	1,7182
17	3,026	2,6446	2,4374	2,3077	2,2183	2,1524	2,1017	2,0613	2,0284	2,0009	1,9577	1,9117	1,8624	1,8362	1,8090	1,7805	1,7506	1,7191	1,6856
18	3,007	2,6239	2,4160	2,2858	2,1958	2,1296	2,0785	2,0379	2,0047	1,9770	1,9333	1,8868	1,8368	1,8103	1,7827	1,7537	1,7232	1,6910	1,6567
19	2.990	2,6056	2,3970	2,2663	2,1760	2,1094	2,0580	2,0171	1,9836	1,9557	1,9117	1,8647	1,8142	1,7873	1,7592	1,7298	1,6988	1,6659	1,6308
20	2,975	2,5893	2,3801	2,2189	2,1582	2,0913	2,0397	1,9985	1,9649	1,9367	1,8924	1,8449	1,7938	1,7667	1,7382	1,7083	1,6768	1,6433	1,6074
21	2,961	2,5746	2,3649	2,2333	2,1423	2,0751	2,0232	1,9819	1,9480	1,9197	1,8750	1,8272	1,7756	1,7481	1,7193	1,6890	1.6569	1,6228	1.5862
22	2,949	2,5613	2,3512	2,2193	2,1279	2,0605	2,0084	1,9668	1,9327	1,9043	1,8593	1,8111	1.7590	1,7312	1,7021	1,6714	1,6389	1,6042	1,5668
23	2,937	2,5493	2,3387	2,2065	2,1149	2,0472	1,9949	1,953 1	1,9189	1,8903	1,8450	1,7964	1,7439	1,7159	1,6864	1,6554	1,6224	1,5871	1,5490
24	2,927	2,5383	2,3274	2,1949	2,1030	2,0351	1,9826	1,9407	1,9063	1,8775	1,8319	1,7831	1,7302	1,7019	1,6721	1,6407	1,6073	1,5715	1,5327
25	2,918	2,5283	2,3170	2,1843	2,0922	2,0241	1,9714	1,9292	1,8947	1,8658	1,8200	1,7708	1,7175	1,6890	1,6589	1,6272	1,5934	1,5570	1,5176
26	2,909	2,5191	2,3075	2,1745	2,0822	2,0139	1,9610	1,9188	1,8841	1,8550	1,8090	1,7596	1,7059	1,6771	1,6468	1,6147	1,5805	1,5437	1,5036
27	2,901	2,5106	2,2987	2,1655	2,0730	2,0045	1,9515	1,9091	1,8743	1,8451	1,7989	1,7492	1,6951	1,6662	1,6356	1,6032	1,5686	1,5313	1,4906
28	2,894	2,5028	2,2906	2,1571	2,0645	1,9959	1,9427	1,9001	1,8652	1,8359	1,7895	1,7395	1,6852	1,6560	1,6252	1,5925	1,5575	1,5198	1,4784
29	2,887	2,4955	2,2831	2,1494	2,0566	1,9878	1,9345	1,8918	1,8568	1,8274	1,7808	1,7306	1,6759	1,6465	1,6155	1,5825	1,5472	1,5090	1.4670
30	2,881	2,4887	2,2761	2,1422	2,0492	1,9803	1,9269	1,8841	1,8490	1,8195	1,7727	1,7223	1,6673	1,6377	1,6065	1,5732	1,5376	1,4989	1,4564
40	2,835	2,4404	2,2261	2,0909	1,9968	1,9269	1,8725	1,8289	1,7929	1,7627	1,7146	1,6624	1,6052	1,5741	1,5411	1,5056	1,4672	1,4248	1,3769
60	2,791	2,3933	2,1774	2,0410	1,9457	1,8747	1,8194	1,7748	1,7380	1,7070	1,6574	1,6034	1,5435	1,5107	1,4755	1,4373	1,3952	1,3476	1,2915
120	2,748	2,3473	2,1300	1,9923	1,8959	1,8238	1,7675	1,7220	1,6843	1,6524	1,6012	1,5450	1,4821	1,4472	1,4094	1,3676	1,3203	1,2646	1,1926
СЮ	2,706	2,3026	2,0838	1,9449	1,8473	1,7741	1,7167	1,6702	1,6315	1,5987	1,5458	1,4871	1,4206	1,3832	1,3419	1,2951	1,2400	1,1686	1,0000
Примечание к таблице прил. 4.
Аппроксимация обратной функции /•’-распределения Фишера (квантили или процентные точки) может быть получена из выражения [1]
Fa.|Bi%(ni, т.) х е2"\
где
^-аМ2 z _________________О
h	2а-1Д	6 ЗЛ
2
£Л-а-3
Л = 2
\2а-1 + 2/>-1
- квантиль нормального стандартного распределения, может быть получена из табли-Т
цы прил, 1; к - количество элементов разложения в ряд Тейлора, используемого в функции P-распределения. Аппроксимация обратной функции /•'-распределения получается с учетом соотношения, связывающего р- и /^-распределения. Первые к = 10 членов разложения обеспечивают необходимую погрешность вычисления.
160
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
Критические точки значения статистики критерия Вилкоксона
				Q				2MW					в				2MW					Q				
		0,001	0,005	0,010	0,025	0,05	0,10				0,001	0,005	0,010	0,025	0,05	0,10			п	0,001	0,005	0,010	0,025	0,05	0,10	
1	2							4		20	22	28	31	35	40	45	130	11	23	111	123	129	139	147	156	385
	3							5	5	21	23	29	32	37	41	47	135		24	113	126	132	142	151	161	396
	4							6		22	23	29	33	38	43	48	140		25	116	129	136	146	155	165	407
	5							7		23	24	30	34	39	44	50	145	12	12	98	105	109	115	120	127	300
	6							8		24	25	31	35	40	45	51	150		13	101	109	113	119	125	131	312
	7							9		25.	25	32	36	42	47	53	155		14	103	112	116	123	129	136	324
	8						-	10	6	6	-	23	24	26	28	30	78		15	106	115	120	127	133	141	336
	9						1	и		7	21	24	25	27	29	32	84		16	109	119	124	131	138	145	348
	10						1	12		8	22	25	27	29	31	34	90		17	112	122	127	135	142	150	360
	11						1	13		9	23	26	28	31	33	36	96		18	115	125	131	139	146	155	372
	12						1	14		10	24	27	29	32	35	38	102		19	118	129	134	143	150	159	384
	13						1	15		и	25	28	30	34	37	40	108		20	120	132	138	147	155	164	396
	14						1	16		12	25	30	32	35	38	42	114		21	123	136	142	151	159	169	408
	15						1	17		13	26	31	33	37	40	44	120		22	126	139	145	155	163	173	420
	16						1	18		14	27	32	34	38	42	46	126		23	129	142	149	159	168	178	432
	17						1	19		15	28	33	36	40	44	48	132		24	132	146	153	163	172	183	444
	18					-	1	20		16	29	34	37.	42	46	50	138		25	135	149	156	167	176	187	456
	19					1	2	21		17	30	36	39	43	47	52	144	13	13	117	125	130	136	142	149	351
	20					1	2	22		18	31	37	40	45	49	55	150		14	120	129	134	141	147	154	364
	21					1	2	23		19	32	38	41	46	51	~5Г	156		15	123	133	138	145	152	159	377
	22					1	2	24		20	33	39’	43	48	53	59	162		16	126	136	142	150	156	165	390
	23					1	2	25		21	33	40	44	50	55	61	168		17	129	140	146	154	161	170	403
	24					1	2	26		22	34	42	45	51	57	63	174		18	133	144	150	158	166	175	416
	25	-	-	-	-	1	2	27		23	35	43	47	53	58	65	180		19	136	148	154	163	171	180	429
2	2						-	10		24	36	44	48	54	60	67	186		20	139	151	158	167	175	185	442
	3						3	12		25	37	45	50	56	62	69	192		21	142	155	162	171	180	190	455
	4					-	3	14	7	7	29	32	34	36	39	41	105		22	145	159	166	176	185	195	468
	5					3	4	16		8	30	34	35	38	41	44	112		23	149	163	. 170	180	189	200	481
	6					п	4	18		9.	31	35	37	40	43	46	119		24	152	166	174	185	194	205	494
	7					5	4	20		10	33	37	39	42	45	49	126		25	155	170	178	189	199	211	507
Продолжение прил. 5
т	п	Q						2MW	т	и	Q						2MW	т	п	О						2MW
		0,001	0,005	0,010	0,025	0,05	0,10				0,001	0,005	0,010	0,025	0,05	ОДО				0,001	0,005	0,010	0,025	0,05	0,10	
	8				3	4	5	22		II	34	38	40	44	47	51	133	14	14	137	147	152	160	166	174	406
	9				3	4	5	24		12	35	40	42	46	49	54	140		15	141	151	156	164	171	179	420
	10				3	4	6	26		13	36	41	44	48	52	56	147		16	144	155	161	169	176	185	434
	И				3	4	6	28		14	37	43	45	50	54	59	154		17	148	159	165	174	182	190	448
	12			-	4	5	7	30		15	38	44	47	52	56	61	161		18	151	163	170	179	187	196	462
	13			3	4	5	7	32		16	39	46	49	54	58	64	168		19	155	168	174	183	192	202	476
	14			3	4	6	8	34		17	41	47	51	56	61	66	175		20	159	172	178	188	197	207	490
	15			3	4	6	8	36		18	42	49	52	58	63	69	182		21	162	176	183	193	202	213	504
	16			3	4	6	8	38		19	43	50	54	60	65	71	189		22	166	180	187	198	207	218	518
	17			3	5	6	9	40		20	44	52	56	62	67	74	196		23	169	184	192	203	212	224	532
	18		-	3	5	7	9	42		21	46	53	58	64	69	76	203		24	173	188	196	207	218	229	546
	19		3	4	5	7	10	44		22	47	55	59	66	72	79	210		25	177	192	200	212	223	235	560
	20		3	4	5	7	10	46		23	48	57	61	68	74	81	217	15	15	160	171	176	184	192	200	465
	21		3	4	6	8	11	48		24	49	58	63	70	76	84	224		16	163	175	181	190	197	206	480
	22		3	4	6	8	11	50		25	50	60	64	72	78	86	231		17	167	180	186	195	203	212	495
	23		3	4	6	8	12	. 52	8	8	40	43	45	49	51	55	136		18	171	184	190	200	208	218	510
	24		3	4	6	9	12	54		9	41	45	47	51	54	58	144		19	175	189	195	205	214	224	525
	25	-	3	4	6	9	12	56		10	42	47	49	53	56	60	152		20	179	193	200	210	220	230	540
3	3					6	7	21		11	44	49	51	55	59	63	160		21	183	198	205	216	225	236	555
	4				-	6	7	24		12	45	51	53	58	62	66	168		22	187	202	210	221	231	242-	570
	5				6	7	8	27		13	47	53	56	60	64	69	176		23	191	207	214	226	236	248	585
	6			-	7	8	9	30		14	48	54	58	62	67	7")	184		24	195	211	219	231	242	254	600
	7			6	7	8	10	33		15	50	56	60	65	69	75	192		25	199	216	224	237	248	260	615
	8		-	6	8	9	11	36		16	51	58	62	67	72	78	200	16	16	184	296	202	211	219	229	528
	9		6	7	8	10	11	39		17	53	60	64	70	75	81	208		17	188	201	207	217	225	235	544
	10		6	7	9	10	12	42		18	54	62	66	72	77	84	216		18	192	206	212	222	231	242	560
	11		6	7	9	11	13	45		19	56	64	68	74	80	87	224		19	196	210	218	228	237	248	576
	12		7	8	10	и	14	48		20	57	66	70	77	83	90	232		20	201	215	223	234	243	255	592
	13		7	8	10	12	15	51		21	59	68	72	79	85	92	240		21	205	220	228	239	249	261	608
	14		7	8	и	13	16	54		22	60	70	74	81	88	95	248		22	209	225	233	245	255	267	624
	15		8	9	11	13	16	57		23	62	71	76	84	90	98	256		23	214	230	238	251	261	274	640
Продолжение прил. 5
				Q				2MW					Q									О				
т	п	0,001	0,005	0,010	0,025	0,05	0,10		т	п	0,001	0,005	0,010	0,025	0,05	0,10	2MW	т	п	0,001	0,005	0,010	0,025	0,05	0,10	2MW
	16	-	8	9	12	14	17	60		24	64	73	78	86	93	101	264		24	218	235	244	256	267	280	656
	17	6	8	10	12	15	18	63		25	65	75	81	89	96	104	272		25	222	240	249	262	273	287	672
	18	6	8	10	13	15	19	66	9	9	52	56	59	62	66	70	171	17	17	210	223	230	240	249	259	595
	19	6	9	10	13	16	20	69		10	53	58	61	65	69	73	180		18	214	228	235	246	255	266	612
	20	6	9	11	14	17	21	72		11	55	61	63	68	72	76	189		19	219	234	241	252	262	273	629
	21	7	9	II	14	17	21	75		12	57	63	66	71	75	80	198		20	223	239	246	258	268	280	646
	22	7	10	12	15	18	22	78		13	59	65	68	73	78	83	207		21	228	244	252	264	274	287	663
	23	7	10	12	15	19	23	81		14	60	67	71	76	81	86	216		22	233	249	258	270	281	294	680
	24	7	10	12	16	19	24	84		15	62	69	73	79	84	90	225		23	238	255	236	276	287	300	697
	25	7	11	13	16	20	25	87		16	64	72	76	82	87	93	234		24	242	260	269	282	294	307	714
4	4			-	10	11	13	36		17	66	74	78	84	90	97	243		25	247	265	275	288	300	314	731
	5		-	10	и	12	14	40 .		18	68	76	81	87	93	100	252	18	18	237	252	259	270	280	291	666
	6		10	и	12	13	15	44		19	70	78	83	90	96	103	261		19	242	258	265	277	287	299	684
	7		10	11	13	14	16	48		20	71	81	85	93	99	107	270		20	247	263	271	283	294	306	702
	8		11	12	14	15	17	52		21	73	83	88	95	102	ПО	279		21	252	269	277	290	301	313	720
	9	-	11	13	14	16	19	56		22	75	85	90	98	105	113	288		22	257	275	283	296	307	321	738
	10	10	12	13	15	17	20	60		23	77	88	93	101	108	117	297		23	262	280	289	303	314	328	756
	11	10	12	14	16	18	21	64		24	79	90	95	104	111	120	306		24	267	286	295	309	321	335	774
	12	-10	13	15	17	19	22	68		25	81	92	98	107	114	123	315		25	273	292	301	316	328	343	792
	13	11	13	15	18	20	23	72	10	10	65	71	74	78	82	87	210	19	19	267	283	291	303	313	325	741
	14	11	14	16	19	21	25	76		и	67	73	77	81	86	91	220		20	272	289	297	309	320	333	760
	15	11	15	17	20	22	26	80		12	69	76	79	84	89	94	230		21	277	295	303	316	328	341	779
	16	12	15	17	21	24	27	84		13	72	79	82	88	92	98	240		22	283	301	310	323	335	349	798
	17	12	16	18	21	25	28	88		14	74	81	85	91	96	102	250		23	288	307	316	330	342	357	817
	18	13	16	19	22	26	30	92		15	76	84	88	94	99	106	260		24	294	313	323	337	350	364	836
	19	13	17	19	23	27	31	96		16	78	86	91	97	103	109	270		25	299	319	329	344	357'	372	855
	20	13	18	20	24	28	32	100		17	80	89	93	100	106	113	280	20	20	298	315	324	337	348	361	820
	21	14	18	21	25	29	33	104		18	82	92	96	103	по	117	290		21	304	322	331	344	356	370	840
	22	14	19	21	26	30	35	108		19	84	94	99	107	113	121	300		22	309	328	337	351	364	378	860
	23	14	19	22	27	31	36	112		20	87	97	102.	НО	117	125	310		23	315	335	344	359	371	386	880
	24	15	20	23	27	32	38	116		21	89	99	105	из	120	128	320		24	321	341	351	366	379	394	900
Окончание прил. 5
т	п	Q						2MW	т	л	Q						2MW	т	п	Q						2MW
		0,001	0,005	0,010	0,025	0,05	0,10				0,001	0,005	0,010	0,025	0,05	0,10				0,001	0,005	0,010	0,025	0,05	0,10	
	25	15	20	23	28	33	38	120		22	91	102	108	116	123	132	330		25	327	348	358	373	387	403	920
5	5		15	16	17	19	20	55		23	93	105	по	119	127	136	340	21	21	331	349	359	373	385	399	903
	6		16	17	18	20	22	60		24	95	107	113	122	130	140	350		22	337	356	366	381	.393	408	924
	7	-	16	18	20	21	23	65		25	98	110	116	126	134	144	360		23	343	363	373	388	401	417	945
	8	15	17	19	21	23	25	70	11	11	81	87	91	96	100	106	253		24	349	370	381	396	410	425	966
	9	16	18	20	22	24	27	75		12	83	90	.94	99	104	по	264		25	356	377	388	404	418	434	987
	10	16	19	21	23	26	28	80		13	86	93	97	103	108	114	275	22	22	365	386	396	411	424	439	990
	11	17	20	22	24	27	30	85		14	88	96	100	106	112	118	286		23	372	393	403	419	432	448	.1012
	12	17	21	23	26	28	32	90		15	90	99	103	110	116	123	297		24	379	400	411	427	441	457	1034
	13	18	22	24	27	30	33	95		16	93	102	107	113	120	127	308		25	385	408	419	435	450	467	1056
	14	18	22	25	28	31	35	100		17	' 95	105	по	117	123	131	319	23	23	402	424	434	451	465	481	1081
	15	19	23	26	29	33	37	105		18	98	108	113	121	127	135	330		24	409	431	443	459	474	491	1104
	16	20	24	27	30	34	38	110		19	100	111	116	124	131	139	341		25	416	439	451	468	483	500	1127
	17	20	25	28	32	35	40	115		20	103	114	119	128	135	144	352	24	24	440	464	475	492	507	525	1176
	18	21	26	29	33	37	42	120		21	106	117	123	131	139	148	363		25	448	472	484	501	517	535	1200
	19	22	27	30	34	38	43	125		22	108	120	126	135	143	152	374	25	25	480	505	517	536	552	570	1275
ПРИЛОЖЕНИЕ 6
Критерий Аббе
\е п	0,001	0,01	0,05	\е и	0,001	0,01	0,05
4	0,2949	0,3128	0,3902	32	0,4963	0,6089	0,7177
5	0,2080	0,2690	0,4102	33	0,5027	0,6141	0,7216
6	0,1817	0,2808	0,4451	34	0,5090	0,6193	0,7256
7	0,1848	0,3070	0,4680	35	0,5150	0,6242	0,7292
8	0,2018	0,3314	0,4912	36	0,5208	0,6290	0,7328
9	0,2210	0.3544	0,5121	37	0,5265	0,6337	0,7363
10	0,2408	0,3759	0,5311	38	0,5319	0,6381	0,7396
11	0,2598	0,3957	0,5482	39	0,5373	0,6425	0,7429
12	0,2778	0,4140	0,5638	40	0,5425	0,6467	0,7461
13	0,2949	0,4309	0,5778	41	0,5475	0,6508	0,7491
14	0,3112	0,4466	0,5908	42	0,5524	0,6548	0,7521
15	0,3266	0,4611	0,6027	43	0,5571	0,6587	0,7550
16	0,3413	0,4746	0,6137	44	0,5616	0,6622	0,7576
17	0,3.552	0,4872	0,6237	45	0,5660	0,6659	0,7603
18	0,3684	0,4989	0,6330	46	0,5701	0,6693	0,7628
19	0,3809	0,5100	0.6417	47	0,5743	0,6727	0,7653
20	0,3926	0,5203	0,6498	48	0,5781	0,6757	0,7676
21	0.4037	0.5301	0,6574	49	0,5817	0,6787	0,7698
22	0,4142	0.5393	0,6645	50	0,5853	0,6814	0,7718
23	0,4241	0.5479	0,6713	51	0.5887	0,6842	0,7739
24	0,4334	0,5562	0,6776	52	0,5922	0.6869	0,7759
25	0,4423	0,5639	0,6836	53	0,5955	0,6896	0,7779
26	0,4509	0,5713	0,6893	54	0,5989	0,6924	0,7799
27	0,4591	0,5784	0.6946	55	0,6020	0,6949	0,7817
28	0,4670	0,5850	0.6996	56	0,6051	0,6974	0,7836
29	0,4748	0,5915	0,7046	57	0,6083	0,6999	0,7853
30	0,4822	0,5975	0,7091	58	0,6114	0,7024	0,7872
31	0,4895	0,6034	0,7136	59	0,6145	0,7049	0,7891
				60	0,6170	0,7070	0,7910
165
ПРИЛОЖЕНИЕ?
Таблица значений функции Колмогорова е=>-К(Л)
X	Q	X	§	X	§	X	Я	X	Q
0,29 ~	1,00000	0,76	0,6104	1,23	0,0970	1,70	0,0062	2,17	0,0002
0,30	0,99999	0,77	0,5936	1,24	0.0924	1,71	0,0058	2,18	0,0001
0,31	0,99998	0,78	0.5770	1,25	0,0879	1,72	0,0054	2,19	0.0001
0,32	0,99995	0,79	0.5605	1,26	0,0836	1,73	0.0050	2,20	0.0001
0,33	0,99991	0,80	0.5441	1,27	0,0794	1,74	0,0047	2,21	0,0001
0,34	0.99993	0,81	0,5280	1,28	0,0755	1,75 -	0,0044	2,22	0,0001
0,35	0,9997	0,82	11.5120	1,29	0,0717	1,76	0,0041	2,23	0,0001
0,36	0,9995	0,83	0.4962	1,30	0,0681	1,77	0,0038	2,24	0,0001
0,37	0.9992	0,84	0,4806	1,31	0,0646	1,78	0,0035	2,25	0,0001
0,38	0,9987	0,85	0,4653	1,32	0,0613	1,79	0.0033	2,26	0,0001
0,39	0,9981	0,86	0.4503	1,33	0,0582	1,80	0,0031	2,27	0,0001
0,40	0,9972	0,87	0,4355	1,34	0,0551	1,81	0,0029	2,28	0,0001
0,41	0,9960	0,88	Л,4209	1,35	0,0522	1,82	0,0027	2,29	0,0001
0,42	0,9945	0,89	0,4067	1,36	0,0495	1.83	0.0025	2,30	0,0001
0,43	0,9926	0,90	0.3927	1,37	0,0469	1,84	0.0023	2,31	0,000046
0,44	0.9903	0,91	0.3791	1,38	0.0444	1,85	0,0021	2,32	0,000042
0,45	0,9874	0,92	0,3657	1,39	0,0420	1,86	0,0020	2,33	0,000038
0,46	0,9840	0,93	0,3527	1,40	0.0397	1,87	0.0019	2,34	0,000035
0,47	0,9800	0,94	0,3399	1,41	0,0375	1,88	0,0017	2,35	0,000032
0,48	0,9753	0,95	71.3275	1,42	0.0354	1,89	0.0016	2,36	0.000030
0,49	0,9700	0,96	0,3154	1,43	0.0335	1,90	0.0015	2,37	0.000027
0,50	0,9639	0,97	0,3036	1,44	0,0316	1,91	0,0014	2,38	0,000024
. 0,51	0,9572	0,98	102924	1,45	0,0298	1,92	0.0013	2,39	0,000022
0,52	0,9497	0,99	0,2809	1,46	0,0282	1,93	0,0012	2,40	0,000020
0,53	0,9415	1,00	0,2700	1,47	0,0266	1,94	0,0011	2,41	0,000018
0,54	0,9325	1,01	0,2594	1,48	0,0250	_h?5 .	0,0010	2,42	0,000016
0,55	0,9228	1,02	0.2492	1,49	0.0236	1,96	0,0009	2,43	0,000014
0,56	0,9124	1,03	0,2392	1,50	0,0222	1,97	0,0009	2,44	0,000013
0,57	0,9013	1,04	0,2296	1,51	0,0209	1,98	0,0008	2,45	0,000012
0,58	0,8896	1,05	0,2202	1,52	0,0197	1,99	0.0007	2,46	0,000011 -
0,59	0,8772	1,06	0,2111	1,53	0,0185	2,00	0,0007	2,47	0,000010
0,60	0,8643	1,07	0,2024	1,54	0,0174	2,01	0,0006	2,48	0.000009
0,61	0,8508	1,08	0,1939	1,55	0.0164	2,02	0,0006	2,49	0.000008
0,62	0,8368	1,09	0.1857	1,56	0,0154	2,03	0,0005	2,50	0,0000075
0,63	0,8222	1,10	771777	1,57	0.0145	2,04	0,0005	2,55	0,0000044
0,64	0.8073	1,11	ТГ1700	1,58	0,0136	2,05	0,0004	2,60	0,0000026
0,65	0,7920	1,12	0,1626	1,59	0,0127	2,06	0,0004	2,65	0,0000016
0,66	0,7764	1,13	0,1555	1,60	0,0120	2,07	0,0004	2,70	0,0000010
0,67	0,7604	1,14	0,1486	1,61	0.0112	2,08	0,0004	2,75	0,0000006
0,68	0,7442	1,15	0.1420	1,62	0,0105	2,09	0,0003	2,80	0,0000003
0,69	0,7278	1,16	0,1356	1,63	0,0098	2,10	0,0003	2,85	0,00000018
0,70	0,7112	1,17	0,1294	1,64	0,0092	2,11	0,0003	2,90	0,00000010
0,71	0.6945	1,18	0,1235	1,65	0.0086	2,12	0,0002	2,95	0,00000006
0,72	0,6777	1,19	0,1177	1,66	0,0081	2,13	0,0002	3,00	0.00000003
0,73	0,6609	1,20	0,1122	1,67	0,0076	2,14	0,0002		
0,74	0,6440	1,21	0,1070	1,68	0,0071	2,15	0,0002		
0,75	0,6272	1,22	0,1019	1,69	0,0066	2,16	0,0002		
166
ПРИЛОЖЕНИЕ 8
Преобразование Фншера (z-преобразование) выборочного коэффициента корреляции г (? = th z, z = arc th г )
Г	,000	,002	,004	,006	,008	Г	,000	,002	,004	,006	,008
0,00	0000	0020	0040	0060	0080	0,50	5493	5520	5547	5573	5600
1	0100	0120	0140	0160	0180	1	5627	5654	5682	5709	5736
2	0200	0220	0240	0260	0280	2	5763	5791	5818	5846	5874
3	0300	0320	0340	0360	0380	3	5901	5929	5957	5985	6013
4	0400	0420	0440	0460	0480	4	6042	6070	6098	6127	6155
0,05	0500	0520	0541	0561	0581	0,55	6184	6213	6241	6270	6299
6	0601	0621	0641	0661	0681	6	6328	6358	6387	6416	6446
7	0701	0721	0741	0761	0782	7	6475	6505	6535	6565	6595
8	0802	0822	0842	0862	0882	8	6625	6655	6685	6716	6746
9	0902	0923	0943	0963	0983	9	6777	6807	6838	6869	6900
0,10	1003	1024	1044	1064	1084	0,60	6931	6963	6994	7026	7057
1	1104	1125	1145	1165	1186	1	7089	7121	7153	7185	7218
2	1206	1226	1246	1267	1287	2	7250	7283	7315	7348	7381
3	1307	1328	1348	1368	1389	3	7414	7447	7481	7514	7548
4	1409	1430	1450	1471	1491	4	7582	7616	7650	7684	7718
0,15	1511	1532	1552	1573	1593	0,65	7753	7788	7823	7858	7893
6	1614	1634	1655	1676	1696	6	7928	7964	7999	8035	8071
7	1717	1737	1758	1779	1799	7	8107	8144	8180	8217	8254
8	1820	1841	1861	1882	1903	8	8291	8328	8366	8404	8441
9	1923	1944	1965	1986	2007	9	8480	8518	8556	8595	8634
0,20	2027	2048	2069	2090	2111	0,70	8673	8712	8752	8792	8832
1	2132	2153	2174	2195	2216	1	8872	8912	8953	8994	9035
2	2237	2258	2279	2300	2321	2	9076	9118	9160	9202	9245
3	2342	2363	2384	2405	2427	3	9287	9330	9373	9417	9461
4	2448	2469	2490	2512	2533	4	9505	9549	9594	9639	9684
0,25	2554	2575	2597	2618	2640	0,75	0,973	0.978	0,982	0,987	0,991
6	2661	2683	2704	2726	2747	6	0,996	1.001	1,006	1,011	1,015
Окончание прил. 8
Г	,000	,002	,004	,006	,008	Г	,000	,002	,004	,006	,008
7	2769	2790	2812	2833	2855	7	1,020	1,025	1,030	1,035	1,040
8	2877	2899	2920	2942	2964	8	1,045	1,050	1,056	1,061	1,066
9	2986	3008	3029	3051	3073	9	1,071	1,077	1,082	1,088	1,093
0,30	3095	3117	3139	3161	3183	0,80	1,099	1,104	1,110	1,116	1,121
1	3205	3228	3250	3272	3294	1	1,127	1,133	1,139	1,145	1,151
2	3316	3339	3361	3383	3406	2	1,157	1,163	1,169	1,175	1,182
3	3428	3451	3473	3496	3518	3	1,188	1,195	1,201	1,208	1,214
4	3541	3564	3586	3609	3632	4	1,221	1,228	1,235	1,242	1,249
0,35	3654	3677	3700	3723	3746	0,85	1,256	1,263	1,271	1,278	1.286
6	3769	3792	3815	3838	3861	6	1,293	1,301	1,309	1,317 	1,325
7	3884	3907	3931	3954	3977	7	1,333	1,341	1,350	1,358	1,367
8	4001	4024	4047	4071	4094	8	1,376	1,385	1,394	1,403	1,412
9	4118	4142	4165	4189	4213	9	1,422	1,432	1,442	1,452	1,462
0,40	4236	4260	4284	4308	4332	0,90	1,472	1,483	1,494	1,505	1,516
1	4356	4380	4404	4428	4453	1	1,528	1,539	1,551	1,564	1,576
2	4477	4501	4526	4550	4574	2	1,589	1,602	1,616	1,630	1,644
3	4599	4624	4648	4673	4698	3	1,658	1,673	1,689	1,705	1,721
4	4722	4747	4772	4797	4822	4	1,738	1,756	1,774	1,792	1,812
0,45	4847	4872	4897	4922	4948	0,95	1,832	1,853	1,874	1,897	1,921
6	4973	4999	5024	5049	5075	6	1,946	1,972	2,000 .	2,029	2,060
7	5101	5126	5152	5178	5204	7	2,092	2,127	2,165	2,205	2,249
8	5230	5256	5282	5308	5334	8	2,298	2,351	2,410	2,477	2,555
9	5361	5387	5413	5440	5466	9	2,647	2,759	2,903	3,106	3,453
мы решим ваши задачи
экономическая статистика
эконометрика и статистические методы прогнозирования задачи линейного и динамического программирования
www.ecnmx.ru
решение задач на заказ
полнотекстовая экономико-математическая библиотека
каждую субботу бесплатное решение