Субатомная физика: ядра и частицы. В 2-х томах. Том 2. Дальнейшее развитие - Валантэн Л.

Author: Валантэн Л.
Tags: ядерная, атомная и молекулярная физика физика ядерная физика физика элементарных частиц
Year: 1986
Similar
Теория конечных Ферми-систем и свойства атомных ядер
Общий курс физики. Ядерная физика
Экспериментальная ядерная физика. В двух книгах. Книга 1. Физика атомного ядра. Часть I. Свойства нуклонов, ядер и радиоактивных излучений
Ядерные взаимодействия
Text
                    
539 J
СУБАТОМНАЯ ФИЗИКА:
ЯДРА И ЧАСТИЦЫ
Г
.• 2. Дальнейшее
s развитие
LUC Valentin Professeur a I’Universite Paris VII
PHYSIQUE SUBATOMIQUE:
NOYAUX ET PARTICULES
Nouvelle edition entierement refondue
2. Developpements
Hermann Paris
Л.Валантэн
СУБАТОМНАЯ ФИЗИКА:
ЯДРА И ЧАСТИЦЫ
В двух томах
Том 2
Дальнейшее развитие
Перевод с французского
канд.физ.-мат. наук
Н.Н.Колесникова
Москва «Мир» 1986
ББК 22.38
В 15
УДК 539.12
Валантэн Л.
В 15 Субатомная физика (ядра и частицы): В 2-х т. Т. 2. Даль-
нейшее развитие: Пер. с франц.— М.: Мир. 1986.— 336 с., ил.
Книга известного французского физнка-теоретнка написана как учебное пособие
для студентов французских университетов, изучающих ядерную физику и физику
элементарных частиц. В ней излагаются общие представления физики атомного ядра и
частиц, а также рассматриваются ее приложения в различных разделах науки и тех-
ники. Книга не требует от читателя предварительного знакомства с квантовой механи-
кой н представляет собой хорошее введение к серьезному изучению ядерной физики.
Предназначена для широкого круга читателей от учащихся старших классов и
преподавателей средней школы до молодых научных работников разных специаль-
ностей, желающих ознакомиться с современной ядерной физикой. Может служить
учебным пособием для студентов университетов и вузов, специализирующихся по
ядерной физике.
1704070000-046
В 041 (0|)-87	74‘86, ч‘ 1
ББК 22.38
Редакция литературы по физике
© 1982, Hermann, 75015 Paris
© перевод на русский язык, «Мир», 1986
Часть третья
МОДЕЛИ В ФИЗИКЕ АТОМНОГО ЯДРА
В ядерной физике можно в первом приближении игнорировать
вопросы, имеющие принципиальный характер для физики частиц.
Как было отмечено в части I, это возможно хотя бы потому, что кине-
тическая энергия внутриядерных нуклонов мала (Ес«20 МэВ) в
масштабе элементарных частиц. И случай ядерной физики — отнюдь
не исключение: аналогичным образом поступают в кинетической
теории газов, где не принимается во внимание структура атомов
при рассмотрении области низких температур, и в теории атома,
где пренебрегают структурой ядра. В соответствии со сказанным
при описании ядер достаточно ограничиться решением уравнения
Шредингера для системы А нуклонов, забывая о наличии у послед-
них собственных возбужденных состояний. В особых случаях, когда
существование таких возбужденных состояний все же может про-
явиться, их можно учесть в следующем приближении, зная, что вес
таких состояний не может превышать нескольких процентов. Так,
если принять глубину ядерной потенциальной ямы равной ~50
МэВ, то элементарная оценка по теории возмущений дает для веса
состояния нуклона с энергией возбуждения 300 МэВ значение, не
превышающее (50/300)2, т. е. ~2,5%.
В силу этого можно, как уже говорилось во введении к гл. 4,
ограничиться гамильтонианом ядра вида
н= 2^+2 2 va₽,
а= 1 а= 1 ₽ < а
где Та — оператор кинетической энергии а-го нуклона, а —
оператор потенциальной энергии взаимодействия а-го и р-го нук-
лонов рассматриваемой системы. Но при решении уравнения на
собственные значения Hty~Ety встает ряд трудностей. Главная из
них в том, что проблема N тел не решена в общем виде. Сущест-
вуют, однако, различные обходные пути. Все они связаны с исполь-
зованием той или иной упрощенной модели. Среди последних наибо-
лее примитивными являются жидкокапельная модель и модель
ферми-газа, рассмотренные в гл. 4, где на их основе делались неко-
торые оценки-. При этом было сказано, что в дальнейшем эти
модели послужат прототипами более сложных моделей К их изло-
жению мы и приступим, подчеркивая аналогии с моделями, исполь-
6	ЧАСТЬ III
зуемыми в атомной и молекулярной физике, а также в физике твер-
дого тела. При этом мы будем предполагать, что читатель знаком с
квантовой механикой в большей степени, чем требовалось ранее
для понимания первого тома. Однако мы не будем выходить за
пределы университетской программы для физической специальности,
ограничиваясь приложением основных понятий к анализу некото-
рых простых случаев.
Глава 7
МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ОБОЛОЧЕК (СФЕРИЧЕСКИЕ ЯДРА)
Модель оболочек для ядер сферической формы — это модель
структуры ядра, во многих отношениях напоминающая планетарную
модель атома, которая и служила образцом для ее построения. Се-
годня модель оболочек — это краеугольный камень ядерной физики,
а потому и необходимо начинать с нее. В данной, 111 части книги
будут представлены многочисленные экспериментальные факты, до-
казывающие существование ядерных оболочек. В настоящей же гла-
ве, излагая модель, мы сначала сошлемся в качестве ее обоснования
на те простейшие аргументы, на основе которых в гл. 4, § 4, п. Б
был сделан вывод о существовании магических ядер. Кроме того,
будут рассмотрены примеры успешного применения модели, в част-
ности для объяснения свойств одночастичных возбужденных сос-
тояний. Подтверждением правильности модели является и ее внут-
ренняя согласованность.
§ 1. Модельный гамильтониан, средний потенциал
При нахождении возможных состояний системы трудности реше-
ния задачи N тел возникают уже при М>2. Но, как указывалось вы-
ше, трудности эти можно обойти, если обратиться к упрощенным
моделям, построенным на основе экспериментальных данных. Напри-
мер, в случае сложных атомов, состоящих из ядра и Z электронов,
трудности решения задачи Z+1 тел можно обойти, пользуясь плане-
тарной моделью, которая подсказывается свойствами инертных га-
зов и щелочных металлов. Согласно этой модели, все происходит
так, как если бы электроны, подчиняясь принципу Паули, двига-
лись независимо друг ст друга в некотором центральном поле, в
создании которого они сами участвуют. В первом приближении как
независимые частицы движутся и вырожденные электроны, разли-
чающиеся лишь своими магнитными числами и образующие так на-
зываемую атомную оболочку. Физическим обоснованием модели
является то, что она позволяет связать свойства инертных газов
(высокий ионизационный потенциал и слабое сродство к электро-
нам) с заполненностью оболочек, а свойства щелочных металлов —
с тем, что в них сверх заполненных оболочек (остова) имеется один
электрон. Ценность такой модели очевидна: благодаря ей задача
N тел становится элементарной, так как отыскание возможных сос-
тояний атома сводится к решению одночастичной задачи, а именно
8
ГЛ. 7. МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ОБОЛОЧЕК
задачи о движении частицы в «среднем» поле, создаваемом частицами,
входящими в состав атома.
Изучение свойств магических ядер привело исследователей в
области ядерной физики к убеждению, что такую модель независи-
мых частиц можно перенести и на ядро. Это эквивалентно предполо-
жению, что в первом приближении каждый из нуклонов, взаимодей-
ствующий с остальными (А — I) нуклонами, можно рассматривать
как нуклон в некоторой потенциальной яме1 *).
Последняя соответствует двухчастичному взаимодействию, усред-
ненному по всему распределению ядерного вещества (отсюда назва-
ние — «средний потенциал»). Поэтому самое простое — принять,
что средний ядерный потенциал пропорционален плотности нукло-
нов. Это означает, что глубина Vo ямы в центральной части неза-
висима от А и что ядро имеет диффузный поверхностный слой.
Эксперимент свидетельствует и о том, что равновесная форма маги-
ческих ядер — сферическая (дополнение Е). В данной главе мы
ограничимся рассмотрением только таких «сверхстабильных» ядер и
поэтому будем считать средний потенциал сферически-симметрич-
ным. В соответствии с (1.20) мы будем записывать его в виде потен-
циала Вудса — Саксона (рис. 7.2 и 7.3)
V(r) =---------(71)
1+eX'4O28Zj
где R, о и Vo — подгоночные параметры, подбираемые так, чтобы
наилучшим образом аппроксимировались экспериментальные дан-
ные.
Для параметров R и а, определяемых так же, как на рис. 1.9,
в настоящее время принимают значения
^ = r0Xi/3,	г0»1,ЗФ, ааЗФ.
То, что они несколько больше значений, найденных из рассеяния
электронов (гл. 1), интерпретируется как следствие конечного ра-
диуса действия ядерных сил. Что же касается глубины Vo вудс-
саксоновской ямы, то порядок ее величины был найден в гл. 4 на
основе модели ферми-газа, а именно: Vo~5O МэВ.
Но, как мы покажем позже, для того чтобы воспроизвести все
магические числа, к этому потенциалу потребуется еще добавить
так называемый спин-орбитальный член
Vz.s = -/(r)Ls,	(7.2)
1) Читателю, которому такой вывод о ядерном потенциале покажется не-
сколько неожиданным, придется подождать до § 5, где все его сомнения будут уст-
ранены.
§ 1. МОДЕЛЬНЫЙ ГАМИЛЬТОНИАН
9
где L — орбитальный угловой момент нуклона, s — его спин, а
/(г) — функция, которую для всех ядер можно принять равной
/?(г)==/==24Л-2/3 МэВ.	(7.3)
Таким образом, гамильтониан модели оболочек имеет вид
#о= 2 Fa+HM-ZLa Sj.	(7.4)
а= 1
Теперь решение уравнения на собственные значения Яоф=Еф
становится несложным. Действительно, в соответствии с тем, что
было сказано выше, проблема А тел сводится к однотельной, точнее
к независимым уравнениям Шредингера вида
Fa + V (ra)—fLa  sa] фа (ra) = еафа (га),	(7.5)
где и еа — собственная функция и энергия a-го нуклона. Следо-
вательно, в рассматриваемом приближении среднего поля энергия
магического ядра представляет собой сумму одночастичных энер-
гий нуклонов, а волновая функция ядра — произведение одночас-
тичных функций, а именно:
А	А
Е = 2 8a, ф(Гп Г2.......Гл)= П Фа (Га)-	(7-6)
а=1	а=1
Точнее, поскольку ядро — это система, содержащая идентичные фермионы двух
типов, его волновая функция должна быть антисимметризованиым (в соответствии
с принципом Паули) произведением одночастичных функций. Последнее можно
представить, например, в виде определителя Слэтера, а волновую функцию запи-
сать в следующей компактной форме:
/ N	\ ( N
ф (И ... гл) = 1 TJ (антисимметризованпое) фа(Га) It JJ (антисиммет-
\а= 1	} \а' = 1
ризованное) фа' (га') |-
Введение среднего поля и рассмотрение в качестве первого прибли-
жения независимого движения частей системы — это подход, весь-
ма распространенный в физике. Читателю, по-видимому, известно,
что кроме планетарной модели атома такой подход используется и в
модели ферми-газа (приложение 4), на основе которой в физике твер-
дого тела описываются электроны проводимости. Если он приводит
к приемлемым результатам, то их можно, разумеется, улучшить,
применяя теорию возмущений, считая при этом невозмущенным мо-
дельный гамильтониан Н<>, а возмущением — разность между «ре-
альным» гамильтонианом И и Но, называемую «остаточным взаимо-
действием». Тем самым мы получаем весьма простой косвенный метод
решения задачи N тел.
10
ГЛ. 7. МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ОБОЛОЧЕК
§ 2. Одночастичные состояния в случае потенциала Вудса — Саксона
Прежде чем переходить к теории возмущений, нужно убедиться,
что модель дает удовлетворительные результаты уже в нулевом
порядке. С этой целью применим ее вначале для объяснения маги-
ческих чисел. При нахождении уровней в случае потенциала Вуд-
са — Саксона мы сначала пренебрежем спин-орбитальным членом.
Затем покажем, что в этом случае не удается получить все без исклю-
чения магические числа. Чтобы этого достичь, потребуется ввести
член спин-орбитального взаимодействия, а в связи с этим обсудить
и его происхождение.
А. Некоторые сведения из квантовой механики
Если пренебречь спин-орбитальным членом, то в системе центра
масс [60] уравнение Шредингера, описывающее состояние каждого
из нуклонов, записывается в виде х)
Г f, 2	1
| ~ 2рГ V“ + V	=	(7-7)
где p — приведенная масса, приближенно равная массе т нуклона,
так как ц=т(А—1) т/тАжт. В случае сферической симметрии
угловой момент является интегралом движения, так как гамильто-
ниан Но коммутирует, в частности, с L2 и Lz. Ввиду этого волновая
функция нуклона в состоянии с заданным угловым моментом за-
писывается в виде
(Га) = t (ra) 2/71 (6а, <Ра)	(ба. <Ра).	(7-8)
где 3*7г (9а, <ра) — сферическая функция, которая является собствен-
ной функцией операторов L2 и Lz с собственными значениями по-
следних A2Z(Z+1) и tim, a Untl(ra) —решение уравнения
f ~ ~	+ “Ф + V (<«)] Z (га) = еаС7„, z (га). (7.9)
L 2р dra 2цга	J
Метод разделения переменных описан в дополнении Д, здесь же
мы ограничимся некоторыми пояснениями.
Индекс а означает весь набор квантовых чисел, определяющих
состояние рассматриваемого нуклона. В данном случае это два числа
(п, I), где п — радиальное квантовое число, а I — орбитальное кван-
товое число. Радиальное квантовое число связано с поведением ра-
диальной части волновой функции. При заданном потенциале пове-
дение радиальной функции определяется в первую очередь числом
х) Читатель, который не знаком в достаточной мере с аппаратом квантовой
механики, может сразу перейти к рис. 7.4.
§2 ОДНОЧАСТИЧНЫЕ СОСТОЯНИЯ
11
узлов функции /?„, z (г), т. е. числом прохождений этой функции через
нуль на интервале от нуля до бесконечности. Как R„tl(r), так и
у [(г) в случае связанных состояний обращаются в нуль на беско-
нечности (асимптотическое поведение). Узлу же функции	в
начале координат не обязательно отвечает узел в начале функции
R i(r) (примером может служить ls-состояние). Во избежание
путаницы условимся считать п равным числу узлов функции /?„, z (г)
или Un, с (г), исключая при их подсчете узел в начале координат, но
не в бесконечности (рис. 7.3 и 7.7).
В случае сферически-симметричного потенциала орбитальное
квантовое число I является «хорошим» квантовым числом, т. е. кван-
товым числом, соответствующим сохраняющейся величине. В нашем
случае это угловой момент каждого из нуклонов, характеризуемого
индексом а= (п, I). Магнитное квантовое число т в качестве харак-
теристики состояния не указывается, так как в данном случае нет
какого-либо выделенного направления (в частности, зависимости от
fpa), и поэтому (2/+1) состояний, различающихся значениями т,
вырождены. Это явствует из уравнения (7.9), в которое число т
вообще не входит, а потому собственное значение — энергия еа —
зависит от п и I, но не от т. Более того, и два возможных спиновых
состояния (2$+1=2 при s=l/2) также окажутся вырожденными,
если мы будем считать средний потенциал независимым от спина.
В этом последнем случае общая кратность вырождения для состоя-
ния (п, I) была бы равна d„, z=2(2/+1).
Б. Приближение гармонического осциллятора
В случае вудс-саксоновской формы (7.1) потенциала V(r) реше-
ние уравнения (7.9) нельзя представить в аналитической форме и
для его нахождения приходится прибегать к помощи ЭВМ. Но можно
(что мы ниже сделаем) выбрать близкий к нему потенциал V(г) та-
кой формы, чтобы решение уравнения имело удобный вид, и получить
таким способом представление о порядке величин, предсказываемых
моделью. Удобно, например, заменить вудс-саксоновский потен-
циал прямоугольной ямой или гармоническим осциллятором и затем
ввести соответствующие поправки. Рассмотрим ниже приближение
гармонического осциллятора, т. е. представим усредненный потен-
циал в виде
V(r) = -Vi[l-(r//?)2].	(7.10а)
где V'o — глубина ядерного потенциала в центре (при r=0), a R —
его радиус, определяемый условием V(R)=0. Чтобы перейти к обыч-
но используемым обозначениям, перепишем (7.10а) как
Но—(7|О6)
где (о0 = К2Р;/рЯ2.
12
ГЛ. 7. МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ОБОЛОЧЕК
Отсюда, если считать Vo»50 МэВ, имеем
Л<оо=/кК 2Vo/pr2/?2 « 50Л~1/3 МэВ.
Более точная оценка, полученная на основе экспериментальных дан-
ных с учетом свойств гармонического осциллятора [611, дает
/1<оо« 41Л-1/3 МэВ.	(7.10в)
Из этой формулы следует, что расстояние между уровнями тем мень-
ше, чем тяжелее ядро. Причина этого заключается в следующем:
глубина потенциальной ямы во всех ядрах примерно одна и та же
(Vo»50 МэВ) и примерно одинакова энергия нуклонов наименее
связанной оболочки (Е;«8 МэВ, см. рис. 4.2). Поэтому чем больше
в ядре нуклонов, тем больше должно быть заполнено уровней, от-
стоящих друг от друга на Лсо0; и, следовательно, тем плотнее они
будут располагаться. Этот вывод носит общий характер: чем больше
радиус системы вырожденных фермионов, тем теснее располагаются
уровни (см. приложение 4).
Но выражения (7.10) привели нас к задаче с известными решения-
ми. Ограничимся здесь указанием их главных особенностей. Прежде
всего, собственные функции гармонического (трехмерного) осцилля-
тора в прямоугольных координатах записываются в виде произведе-
ния полиномов Эрмита, а именно:
фпх, п пг (X, у, г) —С (пх, Пи, пг) НПх (х) И (у) НПг (г)е~г2^1^ ,
(7.11а)
где С(пх, пу, пг) — нормировочный множитель для состояния а=
=(пл,	к?)- Собственное же значение энергии равно
£л- = («*+«„ + riz + 3/2) Л »„ = (М + 3/2) Йсоо,	(7.12а)
где N—пх+пи+п2 есть «главное осцилляторное квантовое число».
К одному и тому же значению N, а следовательно, и EN могут
приводить различные комбинации квантовых чисел пх, пу и пг.
При N—0 существует единственная возможность, а именно а=
(0, 0, 0); при W=1 возможны уже три комбинации: а=(1, 0, 0),
а=(0, 1, 0) и а= (0, 0, 1). Значение 7V=2 можно получить шестью
способами: а=(2, 0, 0), а=(0, 2, 0), а= (0, 0, 2), а= (1, 1, 0), а=
= (1,0,1) и а= (0,1,1). Нетрудно убедиться в том, что при произволь-
ном N число всех возможных комбинаций определяется формулой
(7V + 1) (Мф-2)/2. Если же учесть еще и вырожденность по спину, то
общая кратность вырождения состояния с энергией EN будет равна
dA. = (2s + 1)	+ 2) = (.V + 1) (TV + 2).	(7.13)
Иными словами, в «главной оболочке», характеризуемой числом N,
можно поместить (Л' +1) (ДЦ-2) тождественных нуклонов.
§ 2. ОДНОЧАСТИЧНЫЕ СОСТОЯНИЯ
13
Чтобы иметь возможность перейти к сферически-симметричному
полю иного вида, желательно строить решение задачи осциллятора
на основе сферических функций и характеризовать эти решения
квантовыми числами пи/, определенными выше. Заметим, что ре-
шение для случая трехмерного осциллятора в такой форме имеет вид
ф„,г(г. е- Ф)-Р^п+1/2(р2)ехр(-4)^(е. <Р),	(7.Н6)
где р=гКрко0/А и А„+|/2(р2) — полином Лагерра. Для нас сущест-
венно, что собственное значение энергии [формула (7.12а)] можно
представить в виде
Е„, i = I2 («“1) +1 + 3/2] ^п.	(7-126)
а поэтому осцилляторное квантовое число N связано с радиальным
квантовым числом п и орбитальным числом / соотношением
Л/=2	[(7.14)]
Убедимся в этом, подсчитав общую кратность вырождения. При М=0
единственная возможность построения волновой функции — это
а=(п, /)=(1, 0), а следовательно, с учетом вырождения по спину
dt>—2. При М = 1 возможно лишь а=(1, 1) и, поскольку кратность
вырождения по магнитному квантовому числу при /= 1 равна 2/ф-1 =
=3, имеем <Л=2-3=6. При /V=2 имеется две возможности: а=(1, 2)
и а= (2,0). С учетом вырождения по магнитному квантовому числу и
спину da=2-5+2.1 = 12. Обобщая этот подсчет, нетрудно убедиться,
учитывая как специфическое (присущее гармоническому осцилля-
тору) вырождение, так и существующее для любого центрального
поля вырождение по магнитному квантовому числу, а также по
ориентации спина, что общая кратность вырождения уровня с ос-
цилляторным числом /V действительно определяется формулой (7.13).
Последовательность уровней в осцилляторной яме показана на
рис. 7.1, где спектроскопические обозначения дают возможность су-
дить о случайном (специфичном для осциллятора) вырождении. От-
метим, наконец, что каждому значению N’ соответствует строго опре-
деленная четность состояния, а именно +1, если N четное, и —1,
если Л/ нечетное. Четность состояния нуклона, находящегося в под-
оболочке (п, I), определяется изменением знака волновой функции
при замене г на — г или, иначе, при переходе от (г, 6, <р) к (г, л—6,
л+<р). Это зависит от четности функции g/'f (6, <р), а следовательно,
,= (—I)1. Из соотношения же (7.14) следует, что (—!)'=(—1)Л,
а поэтому nN=(— 1)л'.
В. Заполнение оболочек в схеме гармонического осциллятора
Посмотрим теперь, в какой мере рассматриваемая весьма упро-
щенная модель способна описать наблюдаемые магические числа.
14
ГЛ. 7. МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ОБОЛОЧЕК
Для этого найдем, как распределены по оболочкам нуклоны в основ-
ных состояниях ядер. Поскольку энергия в таких состояниях мини-
мальна, следует, очевидно, разместить А нуклонов на самых низких
уровнях. Но при этом следует соблюдать принцип Паули, запрещаю-
РИС. 7.1. Схема уровней трехмерного
гармонического осциллятора. Цифра-
ми указаны радиальные квантовые чис-
ла, а буквами (согласно спектроско-
пическим обозначениям) — орбиталь-
ные квантовые числа. В частности, бук-
вам s, р, d, f, ... соответствуют значе-
ния 1—0, 1, 2, 3....
щий двум идентичным нуклонам иметь одинаковые наборы кванто-
вых чисел (и, /, т, s). Поэтому в оболочке, характеризуемой числом
N, не может находиться более dN тождественных нуклонов (нейтро-
нов или протонов). Рассмотрим, например, уровни в ядре ЧО, со-
Таблица 7.1
Последовательность уровней гармонического осциллятора, характеризуе-
мых числом N. Числа пи/ приводятся в спектроскопических обозна-
чениях
/V	en	dN	2^ V /v	п (Z)	Четность
0		2	2	Is	4-
1	3,'2tiw	6	8		—
2	7/2Йсо	12	20	Id, 2s	+
3	9/2Aw	20	40	If, 2р	—
4	11/2Й.Ы	30	70	1g, 2d, 3s	+
5	13/2Й со	42	112	1ft, 2/, Зр	—
6	15/2/ю>	56	163	li, 2g, 3d, 4s	+
держащем 8 протонов и 7 нейтронов. В оболочке с Д/=0 может на-
ходиться только 2 протона и 2 нейтрона (см. табл. 7.1). В отсутствие
других нуклонов это было бы ядро 4Не (а-частица). Но остается еще
6 протонов и 5 нейтронов. В данном случае все эти частицы можно
поместить в оболочке с N = 1 (всего там могут находиться 6 протонов
и 6 нейтрнов). Но в случае ядра ДО. содержащего 9 нейтронов, приш-
§2. ОДНОЧАСТНЧИЫЕ СОСТОЯНИЯ
15
лось бы уже помещать 9-й нейтрон в состояние с N=2. Если обра-
титься к рис. 7.2, то нетрудно понять, что энергия отрыва нейтрона
от ядра 17О должна быть значительно меньше, чем от ядра 1ВО.
Аналогичная ситуация возникла бы и в том случае, если бы мы ре-
шили сопоставить энергии отрыва протона от ядер ’iF и ’jN. Опыт
это подтверждает, а потому мы имеем основание считать число 8 ма-
РИС. 7.2. Потенциальная яма в случае вудс-саксоновского потенциала в пред-
положении, что последовательность уровней такая же, как для гармонического
осциллятора. Штриховой горизонтальной линией показано свободное состояние.
Поскольку в данной модели обе ямы имеют одинаковую глубину, в случае ядра
'вО расстояние между уровнями несколько меньше. Через Es обозначена энергия
связи последнего нейтрона, называемая также энергией отрыва (та энергия, ко-
торую нужно сообщить, чтобы удалить нейтрон из ямы).
гическим. Рис. 4.6 позволяет количественно проверить правильность
выводов о том, что числа М=50, 82, 126 являются магическими:
скачкообразное падение энергий отрыва нейтронов выделяет ядра
с числом нейтронов, чуть меньшим чисел 50, 82, 126, как более ста-
бильные, чем ядра с несколько большими числами нейтронов.
Однако, как видно из табл. 7.1, модель, хотя и воспроизводит
первые три магических числа 2, 8, 20, не объясняет чисел 28, 50,
82 и 126. Но, может быть, причина кроется в том, что потенциал гар-
монического осциллятора (который мы будем в дальнейшем обозна-
чать через Ут. о) приводит к случайному вырождению, которого не
было бы в случае использования вудс-саксоновского потенциала
(обозначаемого через Ув. с)> считающегося более близким к реаль-
ности? Подобного рода попытки подправить потенциал потерпели
неудачу. Так, при снятии случайного (присущего осциллятору)
вырождения уровень, соответствующий N =3, расщепится на два
подуровня If и 2р, на которых могут находиться соответственно 14
и 6 тождественных нуклонов [согласно формуле 2(2/4-I), где 1=3
или 1]. Но тогда в качестве следующего после 20 магического числа
16
ГЛ. 7. МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ОБОЛОЧЕК
могло бы оказаться не 28, а 34 или 26 — в зависимости от относитель-
ного положения подуровней, возникающих при снятии вырожде-
ния.
Г. «Краевой» эффект
Как бы то ни было, потенциал Вудса — Саксона не приводит к
тому случайному вырождению, которое существует для осцилля-
торного потенциала. Например, для него энергия подуровня 1/
несколько ниже, чем подуровня 2р. И вообще при изменении формы
потенциала гармонического осциллятора Кг о и превращении в
потенциал Вудса — Саксона Кв. с каждый случайно вырожденный
уровень распадается на подуровни, из которых наиболее связан
имеющий наименьшее радиальное квантовое число или, что то же
самое [формула (7.14)], наибольшее орбитальное квантовое число.
Сказанное иллюстрируется в левой части рис. 7.4.
Такого рода «краевой» эффект, который, как мы убедимся, ска-
зывается на окончательном варианте модели, можно учесть, взяв
вместо вудс-саксоновской ямы потенциал гармонического осцилля-
тора с добавочным членом — возмущением, пропорциональным г4
(упр. 2). Можно показать, что введение этого возмущения эквива-
лентно введению члена —DL2, где D — положительный параметр,
подобранный так, чтобы обеспечивалось понижение уровней на ве-
личину— DI (/+1). Покажем, это «наглядно» в виде упражнения
для читателя.
Чтобы проследить за эволюцией уровней при переходе потенциала гармони-
ческого осциллятора в потенциал Вудса — Саксона, запишем тождество
Рв.с=Рг. о-Н^в.с— Иг.о) = Кг. о + ДИ.	(7.15)
Здесь выделена разность ДР=Рв с—Иг. о. так что ее можно рассматривать как
возмущение по отношению к гамильтониану гармонического осциллятора. Огра-
ничиваясь первым порядком теории возмущений, можно довольно просто устано-
вить основные свойства собственных значений энергии е„ г в случае потенциала
Вудса — Саксона. Действительно, если r„t t—собственное значение энергии в
случае гармонического осциллятора, то
en, I ~ Еп. ( +Деп, I,
Ч’ащО’) Д^^п, i(r)dv.	(7J6)
С учетом соотношения (7.8) и нормировки функций У™ (0, (р) получаем
00	со
Де», i = J Rn, I (г) ДРг2 dr | 2/?1 (6, <₽) |2 dQ =\Rn, I (г) ДРг2 dr =
о	о
00
= J иП't (г) ДР dr.	(7.17)
О
§2. ОДНОЧАСТИЧНЫР. состояния
17
„ иллюстрации рассмотрим оболочку N=3 гармонического осциллятора, вклю-
чающую вырожденные уровни 1/ и 2р. Чтобы вычислить ДеП1 £, разобьем интеграл
7.17) на две части:
а
де„>£=(Деп,£)14-(Деп,£)2= J U2. t(r)SVdr-]-[u2n, t^Wdr, (7.18)
О	а
е а (рис. 7.3) есть значение величины г, при котором оба потенциала равны друг
другу. При г>а величина Д V отрицательна, а поэтому и величина (Деп> £)2 отрица-
РИС. 7.3. В нижней части (/) показано поведение потенциалов Иг. О и Гц. с
[см. рис. 7.1 и формулу (7.106)], нормированных в предположении, что ядерное
вещество несжимаемо. В верхней части (II) показан примерный вид функции
t/nz(г)=[г/?,|£(г)]2. Отметим важный факт, что функция I/-состояния (п=1, 1—3)
в интервале 0<г<°о не имеет узлов, а функция состояния 2р (п=2, 1=1) имеет
в этом же интервале один узел (п=2). Он проявляется в том, что функция Uni (г)
проходит через нуль.
тельна. Этот член понижает подуровни по отношению к их невозмущенному поло-
жению. При г<а величина ДР, наоборот, положительна и член (Де„1£)х повышает
уровни. Но U2, I (г) принимает гораздо большие значения при г>а, чем при г<а
(см. рис. 7.3). Чтобы это пояснить, достаточно обратиться к соответствующему
классическому случаю [7]: для классического объекта, совершающего гармони-
ческие колебания, вероятность нахождения максимальна там, где он меняет на-
правление движения, т. е. там, где, замедляясь, он останавливается и начинает
двигаться в противоположном направлении (положение равновесия он проходит
очень быстро, пример чему — пружина).
Поэтому в итоге величина Деп£ оказывается отрицательной и, следовательно,
подуровни понижаются по отношению к положению невозмущенного уровня. Од-
нако в случае 2р-состояния следует учитывать наличие узла между г=0 и г=а.
Ввиду этого вероятность нахождения в интервале [0, а] в этом случае существенно
больше, чем для 1/состояния (в обоих случаях условие нормировки таково:
СО
5	(Г) dr = 1).
о
(7.19)
18
ГЛ. 7. МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ОБОЛОЧЕК
Следовательно, уровень If понижается сильнее, чем 2р. Это общая законо-
мерность: наименьшей энергией характеризуются те состояния, которые имеют
наименьшее число узлов в интервале 0<г<о, а значит, наименьшее радиальное
квантовое число или, что эквивалентно, наибольшее орбитальное квантовое чис-
ло. Ввиду сказанного потенциал Вудса — Саксона часто берут в виде
Гв. с ~ Кг о—DL2,	(7.20)
где D — положительный параметр, подбираемый так, чтобы правильно описыва-
лось понижение энергии —1) состояний с большими I.
Как уже говорилось, этот «краевой» эффект потенциала Vb. с не позволяет
правильно предсказать магические числа. Тем не менее он сыграет свою роль при
построении окончательного варианта модели оболочек, к рассмотрению которого
мы сейчас приступаем.
§ 3. Спин-орбитальный член
Выше мы предполагали, что средний ядерный потенциал не за-
висит от ориентации спина нуклона, в связи с чем достаточно было
характеризовать подуровни числами п и /. Действительно, как гово-
рилось в § 1, состояния с заданными (п, I) независимо от ориентации
спина (sz = + 1/2 или sz= —1/2) должны иметь одинаковую энер-
гию, если гамильтониан не зависит от спина. В 1948—1949 гг.
М. Майер и независимо от нее Д. Хаксель, Й. Йенсен и Г. Зюсс по-
казали, что все магические числа можно получить, если устранить
это вырождение таким образом, чтобы из двух подуровней (п, Z+
+ 1/2) и (п, I —1/2), возникающих за счет расщепления подуровня
(п, Z) (рис. 7.4), первый имел меньшую энергию. Как мы видим, до-
бавление к описанному выше среднему потенциалу добавочного
среднего потенциала, так называемого спин-орбитального потенци-
ала, было произведено чисто эмпирическим путем. Спин-орбиталь-
ный потенциал был выбран в форме (7.2). С учетом сказанного ис-
правленный средний потенциал можно записать в виде
V = VBC(r)-/(r)L.s.	(7.21)
Прежде чем говорить о происхождении последнего члена, выясним,
к каким следствиям приводит его введение, а именно как с его по-
мощью удается получить все требуемые магические числа.
Для этого напомним, что оператор вида (7.2) не коммутирует с
операторами Lz и sz, но коммутирует с операторами /2= (L+s)2,
Lz+sz, L2 и s2. В этом можно убедиться, используя последовательно
соотношения г)
L s = Lxsx + Lvsy + Lzsz,	(7.22а)
[L , Lj] = izijkLk, [sf, SyJ^te^Sfe,	(7.226)
L-s=?—-.	(7.22b)
*) Величина e/y* — единичный антисимметричный по всем индексам тензор
3-го ранга. Запись (7.226) означает, что по индексу k производится суммирова-
ние.— Прим, перев.
	ч-1/,5/2	(16)— [164]	184 /	3dJ/2 	 (4) —
БЛо . Чети. S	И—4s	Z- 4s 1/2	-г-т.	(2) — “ 3rf		 9	11 "/z — *12)— -2р	< >	3£/5/2		(6) — , .	/ "	2ff9/2 	(10)- \ 4			It e/2 — (14)—[126]	(26 C x	3PI/2	(2) — ~iP	3n’/2	 (4)- . .	_		2/5/2	 (6)-
йечетн	”		Ж-'”1 <	''			1 h1 ’/2	(12)—[82]	82 —3S	3s'/2  	 (2) — 	2d3/2 	 (4) —
4<щ J чети, *		57-2</5/2 	 (6)-[64] -	1y7/2 	 (8)- ✓ 4-(g— 4	Io 9/2	(10)—[50]	50 -	2p1/2			 (2) — (40 ]
Зйь! , Нечетн.	' —2p	<..— 	К 5/2 	 (6) —[381 L-J/—(4) v	1/7Д 	 (8)—[28]	28
ItlU J Четн.	' —Is		— 1d3/2 	(4) —[20]	20 -1tf	<'-2i'/2 			 (2)—[16] <	'	1ds/2 	 (6)—(14)
1ЙЩ Нечетн.	.	IP1/2 	 (2) — [8] 	8 'P	^-—^рЗ/г	 (4) — [6]
0 Четн.	— 1s	1sl/2	(2)—[2] 	2
РИС. 7.4. Схема уровней модели оболочек. Если аппроксимировать ядерный
потенциал Вудса —Саксона параболой (гармонический осциллятор), то мы при-
дем к схеме, изображенной на рис. 7.1, а также показанной в левом крайнем столб-
цеданного рисунка. Здесь уровни располагаются эквидистантно (разделены энерге-
тическим интервалом А<о) и содержат по несколько подуровней с одинаковой энер-
гией. Эти «вырожденные» подуровни разделяются при переходе от потенциала
параболической формы к потенциалу Вудса — Саксона. Наинизшим уровнем
«мультиплета» (подуровней, охватываемых одной фигурной скобкой) оказывается
тот, который имеет наибольшее орбитальное квантовое число. Но чтобы воспроиз-
вести все магические числа, следует к вудс-саксоновскому потенциалу добавить
спин-орбитальный член вида — fL-s, где f — параметр, L — орбитальный момент
рассматриваемого нуклона, as — его спин. Тогда каждый подуровень, характери-
зуемый числами п (радиальным квантовым числом) и I (орбитальным квантовым
числом), расщепляется на два подуровня, характеризуемые числами л, / и полным
моментом количества движения j (j=L+s), причем последний может принимать
лишь два значения, соответствующие значениям s= —1/2, а именно j=l—\/2.
Подоболочка сданным / содержит 2/4-1 различных магнитных состояний. Поэтому
в силу принципа Паули на ней не может находиться более 2/4-1 одинаковых нукло-
нов (числа, указанные в скобках в правой части схемы). Магические числа (указан-
ные в крайней правой части схемы) получаются так, как говорится в тексте после
формулы (7.24).
20	гл. 1. МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ОБОЛОЧЕК
Поэтому в модели оболочек употребляются базисные функции, ос-
нованные на связи I и s, т. е. являющиеся общими собственными
функциями операторов /2, jz, L2 и s2, так как тогда расщепление на
подуровни (n, I, j=l-\-1/2) и (n, I, j=l—1/2) определяется по существу
лишь величиной I. Действительно,
<«. /, /1s| n, I,	=
f—4<^г)>«' прп / = / + 1/2.
= ' Ln	(7-23)
при / = /—1/2,
а отсюда следует, что
(^е)н 5 = е«. и/=/+1/2 —еп, I. i-i-i/2—	-	(гУ>пг (7-24)
На каждом из подуровней (п, /, /) в соответствии с принципом
Паули может находиться не более ( 2/-Н) одинаковых нуклонов
(кратность вырождения 2/41). Поэтому, чтобы получить всю сово-
купность магических чисел (см. рис. 7.4), нужно выбрать достаточ-
но большое значение (/(г)>пь Следует отметить еще, что наибольшие
из магических чисел получаются благодаря наложению двух эф-
фектов. Один из них связан с переходом к потенциалу Вудса — Сак-
сона (это приводит к значительному понижению подуровней ос-
цилляторной оболочки /V, имеющих максимальные значения
/=/Макс). Другой — спин-орбитальное взаимодействие, приводящее
к значительному понижению подуровня с /=/макс+1/2. Магическое
число появляется за счет того, что подуровень (п, /макс, /=/макс+
Н-1/2), принадлежащий оболочке /V гармонического осциллятора,
понижается настолько, что оказывается среди подуровней оболочки
гармонического осциллятора с N'—N—1 (например, за счет опуска-
ния подуровня с /V=4, 5 и 6 возникают магические числа 50, 82 и
126). Блестящим подтверждением присутствия среди других уровней
подуровней с высоким орбитальным моментом и противоположной
четностью являются наблюдающиеся вблизи магических ядер
у-переходы с большими временами жизни, называемые изомерными.
Подробнее этот вопрос разбирается в § 3 дополнения 3, к которому
читатель может обратиться уже сейчас.
Попытаемся теперь выяснить происхождение потенциала спин-
орбитального взаимодействия в ядрах и для этого сначала рассмот-
рим спин-орбитальное взаимодействие в атомах. В атоме главной
составляющей частью среднего потенциала является кулоновский
потенциал Ze2!r, который действует со стороны ядра на электроны
К этому члену следует добавить среднее значение кулоновского
отталкивания между электронами. В результате потенциал спин-
орбитального взаимодействия выступает как релятивистская по-
§ 4. ПРИМЕР ОБЛАСТИ ВБЛИЗИ ЯДРА 2^РЬ
21
(7.25)
(7.26)
правка, определяющая тонкую структуру в атомных спектрах. Эту
поправку можно представить в виде [62]
А2 1 dV (г)
7]	—-----— —----- L • О»
l' s 2m₽c2 г dr
где — масса электрона, а V (г) — средний атомный потенциал.
Если перенести это выражение на случай ядра, то в приближении
гармонического осциллятора
й2 1 , 2	_ ^2<оо , _
— 2ц2с2 г (И“ог) L • s ~ 2тс2 L • s
или, с учетом соотношений (7.24) и (5.10в),
(6е)Ь5« 0,22(2/+!)Л~2/3 МэВ.	(7.27)
Между тем полуэмпирическая формула, полученная из соотношений
(7.3) и (7.24), приводит к выражению
(&)ь 5 ж — 12 (2/ + 1) Л -2/3 МэВ,	(7.28)
т. е. к величине, почти в 50 раз большей релятивистской поправки
типа (7 27).
Значит, ядерное спин-орбитальное взаимодействие отличается
по своей природе от атомного спин-орбитального взаимодействия,
ибо оно входит в средний потенциал как член первого порядка. Это
связано с тем, что сами нуклоны благодаря взаимодействию друг с
другом обеспечивают «собственную стабильность», т. е. существова-
ние ядра как связанной системы. Иными словами, основные харак-
теристики ядра и существующий в нем средний потенциал определя-
ются свойствами нуклон-нуклонного взаимодействия. И существо-
вание в ядре сильного спин-орбитального взаимодействия свиде-
тельствует о том, что существует значительное по величине взаимо-
действие такого типа и между нуклонами. Иначе говоря, нуклон-
нуклонное взаимодействие существенным образом зависит не толь-
ко от взаимной ориентации спинов партнеров, но и от их относитель-
ной скорости, так как L=rXp=rX(mv). Этот вывод, к которому
приводит модель оболочек, в дальнейшем был подтвержден, а его
объяснение в настоящее время видят в обмене мезонами, имеющими
спин 1 |631 Спин-орбитальное же взаимодействие в ядре есть не
что иное, как усредненное значение потенциала парного спин-
орбитального взаимодействия нуклонов.
§ 4. Пример области вблизи ядра l^Pb
Схему уровней на рис. 7.4 мы привели лишь для того, чтобы
объяснить происхождение магических чисел. Она носит качествен-
ный характер и в некоторых отношениях даже неверна. Например,
такие параметры модели оболочек, как ha0, f и D, по-разному зави-
22
ГЛ. 7. МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ОБОЛОЧЕК
сят от А. Кстати, из-за кулоновских поправок, которые нужно вво-
дить в случае протонов, порядок их уровней оказывается отличным
от порядка уровней в случае нейтронов, и данный эффект пропор-
Яейтроны	протоны
РИС. 7.5. Схема уровней ядра 2£^РЬ, расположенных вблизи уровня Ферми
(штриховая линия). Все уровни, расположенные ниже уровня Ферми, заполнены,
а выше него — свободны.
ционален числу Z или, грубо говоря, числу А. (Поэтому, чтобы про-
водить сравнение результатов вычислений с наблюдавшейся экспе-
риментально последовательностью уровней ядра вблизи границы
Ферми, нужно выделять достаточно узкие области массовых чисел.)
В качестве примера на рис. 7.5 приведены результаты расчетов
§ 4. ПРИМЕР ОБЛАСТИ ВБЛИЗИ ЯДРА 2°|РЬ
23
(Теор.) для области вблизи дважды магического ядра в°8РЬ (2=82,
yV= 126). При этом были использованы [641:
Потенциал Вудса — Саксона х) с параметрами
Я=1,27Л1/3; а = 2,9 Ф, По = 51 МэВ
( — 7 МэВ для нейтронов,
{	_ .. D	(7.29а)
(4-7 МэВ для протонов.
Спин орбитальный потенциал с функцией
/(г) = ^Д±-^Д. * = 32,	(7.296)
' v> 2т2сг г аг	'
где V(r) — потенциал Вудса — Саксона.
Потенциал кулоновского взаимодействия, соответствующий од-
нородному распределению заряда,
( (Z —1)е2
J го^1/3
| (Z-l)e2
I
(1 +
VJr) =
при г < г0сА'/3,
при г > ГосЛ1/3.
(7.29в)
Расчеты довольно хорошо согласуются с экспериментально наблю-
даемой схемой уровней (Эксп. на рис. 7.5), установленной путем
совместного изучения а-, [3- и у-радиоактивности (приложение 4 и
дополнения И и 3), а также ядерных реакций (приложение 7 и гл.
10), приводящих к образованию четырех соседних с |ГРЬ нечетных
ядер 827РЬ, 1гаРЬ, |?7Т1 и |°“Bi. Эти измерения позволили определить
не только энергию возбужденных состояний ядер, но и их спины J и
четности л. В итоге были установлены схемы уровней, приведенные
на рис. 7.6; мы воспользуемся ими для интерпретации схемы, пред-
ставленной на рис. 7.5. Но сначала рассмотрим метод, которым опре-
деляются энергии различных уровней, а затем покажем, каким об-
разом приписываются соответствующие им моменты.
А.	Положение уровней
Весьма примечательным фактом, бросающимся в глаза при рас-
смотрении рис. 7.5, является большая разность энергии между пос-
ледним из заполненных и первым из незаполненных уровней ядра
вГРЬ по сравнению со средним расстоянием между уровнями. Как
уже указывалось, это типично для магических ядер (аналогичных
атомам инертных газов). Но рассмотрим этот вопрос с количествен-
ной стороны.
Ь Различие в глубине ядерной потенциальной ямы для нейтронов и для
протонов объясняется так же, как и необходимость введения члена энергии сим-
метрии в формуле Бете — Вейцзекера (упр. 5).
2
§ 4. ПРИМЕР ОБЛАСТИ ВБЛИЗИ ЯДРА 2°?РЬ
25
Нечетное ядро, такое, как вг’РЬ, можно сравнить с атомом щелоч-
ного металла. С точки зрения модели оболочек его низколежащие
возбужденные состояния соответствуют уровням «внешнего» ней-
трона, движущегося вокруг «остова» (ядра с полностью за-
полненными оболочками), с энергией, близкой к энергии Ферми.
В частности, низшее энергетическое состояние ядра |“РЬ, т. е. ос-
новное состояние внешнего нейтрона, соответствует помещению его
в состояние с наименьшей (разрешенной принципом Паули) энерги-
ей, т. е. в состояние, обозначенное на схеме символом ^9/2. Аналогич-
ным образом предполагается, что низкоэнергетические уровни не-
четного ядра i“7Pb можно описать как «нейтронные дырки» вблизи
энергии Ферми ядра 828РЬ- В частности, основное состояние 28°’РЬ
сопоставляется дырке на самом верхнем из заполненных уровней
остова, а именно на уровне Pi/2. В рамках такой гипотезы наблюдае-
мый скачок в энергии отрыва нейтрона при переходе через магичес-
кое число /V-=126 (см. рис. 4.6) соответствует разности энергий ней-
тронных уровней pi/2 ugs/2. Поэтому измерение энергии отрыва ней-
трона от 2|,9РЬ и от 2с7РЬ позволило расположить два эти уровня так,
как показано на схеме рис. 7.5. Тот же метод при использовании
ядер 2взВ1 CeiPb+l протон) и 2°7Т1 (2°»РЬ — 1 протон) позволил
расположить на рисунке соответствующим образом протонные уров-
ни Si 2 и he/2-
Положение других уровней было найдено с помощью схемы уров-
ней, представленной на рис. 7.6. При этом использовалось то, что в
рамках модели независимых частиц последующие возбужденные
состояния 208РЬ и 2l)SBi отождествляются с помещением внешнего
нуклона на уровни, все более высокие по отношению к уровню Ферми
ядра 208РЬ (остов остается полностью заполненным). Точно так же
последующие возбужденные состояния 207РЬ и 2"7Т1 связывают с пе-
ремещением дырки на все более глубоко лежащие уровни. А по-
скольку предполагается взаимно-однозначное соответствие между
порядком заполнения оболочек и спектром возбужденных состоя-
ний ядер, то положение уровней на рис. 7.6 непосредственно свя-
зано с положением уровней соответствующих оболочек на рис. 7.5
в столбце «Эксп». В справедливости этого мы еще убедимся.
Б. Спин и четность состояний
Итак, основное состояние ядра, отличающегося от дважды маги-
ческого добавлением одного нуклона, ассоциируется с внешним
нуклоном, находящимся на уровне (n, I, ]), который следует непос-
редственно за оболочками, заполненными в дважды магическом «ос-
тове» (все уровни остова, лежащие ниже уровня Ферми, полностью
заполнены, а лежащие выше — свободны). Его квантовые характе-
ристики определяются следующим образом. В каждой заполненной
оболочке квантовое число /г принимает все (2/ +1) возможных зна-
26
ГЛ. 7. МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ОБОЛОЧЕК
чений, начиная от —/ до /, так что Jz=^jz=O. Отсюда следует, что
должно равняться нулю и число J, а следовательно, и суммарный
момент всех заполненных оболочек, т. е. 7Ос1ОВ=0. Момент же всего
нечетного ядра будет равен
= Гостов + j== 0-|-j = j,	(7.30а)
а его четность х)
Л = Гостов (~ 1)г = (— !)'•	(7.306)
Действительно, четность волновой функции нуклона, находящего-
ся в состоянии (и, I, j), равна (—1)', но каждая заполненная оболоч-
ка содержит четное число (2/4-1) нуклонов, а это означает, что л7--
=[(— 1)Ч2/,1=4-1, а поэтому лостов=4-1.
Например, в случае ядер 4SPb и 2“|Bi приведенные на рис. 7.6
характеристики 7я позволяют сделать заключение, что непосредст-
венно выше энергии Ферми ядра 2“РЬ находится нейтронный уровень
g9 2 (так как 1=^14 и л=4-1, а значит, /=44-1/2) и протонный уро-
вень Л9/2 (/=9/2 и л= —1, а поэтому /=5—1/2). Это было учтено при
построении схемы уровней на рис. 7.5 в столбце <Эксп». Конфигура-
ции основных состояний 209РЬ и 209В1 обозначают соответственно
символами (gg/a)1 и (Лд/г)1, где индекс 4-1 показывает, что сверх пол-
ностью заполненного остова 29еРЬ имеется один нуклон.
Приписание квантовых характеристик для ядер дважды маги-
ческих минус один нуклон производится аналогичным образом: их
основному состоянию соответствует дырка в оболочке остова с на-
именьшей энергией связи. В частности, результаты, приведенные
на рис. 7.6, свидетельствуют о том, что конфигурациями основных
состояний |?7РЬ и s?7Tl являются соответственно (si'2)-1 и (pi, 2)—
где индекс —1 показывает, что в остове имеется одна дырка.
В.	Привязка состояний
Описанная выше процедура применялась и для возбужденных
состояний четырех рассматриваемых ядер. Их нуклонные конфигу-
рации определяются указанием момента и четности ядра и обратно.
Это отражено на рис. 7.6, где для каждого из уровней приведены обе
характеристики. В модели независимых частиц можно считать остов
неизменным при возбуждении ядра до тех пор, пока энергия возбуж-
дения мала по сравнению с энергетическим интервалом, отделяющим
заполненные уровни остова от пустых; в нашем случае этот интервал
составляет около 3 МэВ (см. рис. 7.5). В самом деле, при больших
возбуждениях энергия может передаваться одному или нескольким
нуклонам остова, так как ее становится достаточно для перевода
нуклонов остова на уровни, лежащие выше энергии Ферми. Напри-
мер, при энергиях возбуждения порядка 3 МэВ ничто не препятству-
’) Напомним, что четность произведения функций равна произведению чет-
костей этих функций.
§ 4. ПРИМЕР ОБЛАСТИ ВБЛИЗИ ЯДРА 2£|РЬ
27
ет ядру 209РЬ перейти в состояние, соответствующее конфигурации
[(g9,2) + £ (pi/s)!-1 с двумя нейтронами в оболочке и дыркой в обо-
лочке pi,2- Это означает, что один pi/2-нейтрон остова перешел на
уровень, расположенный непосредственно выше уровня Ферми, на
котором по предположению был уже внешний нуклон.
В связи с тем что у дважды магических ядер велик скачок энер-
гии между их заполненными и незаполненными оболочками, к их
основным состояниям удобно привязывать состояния соседних ядер.
В случае же ядер, не являющихся магическими, в возбуждениях
даже при небольших энергиях могут участвовать несколько нукло-
нов, и этим объясняется, почему интерпретация схем уровней ста-
новится тем сложней, чем больше мы удаляемся от магических чисел.
К этому вопросу мы еще вернемся в следующих главах; сейчас же
отметим, что в приближении среднего потенциала остов |°вРЬ, как
и любой другой магический остов, можно рассматривать как состоя-
ние, от которого производится отсчет, т. е. как своего рода вакуум
частиц и дырок, сравнимый во многих отношениях с вакуумом в ди-
раковской теории дырок, о которой говорилось в приложении 2.
Иначе можно сказать, что магические ядра — это весьма хороший
«вакуум элементарных возбуждений», так как для элементарного
возбуждения (создания частицы и дырки) требуется затратить зна-
чительную энергию.
Г. Одночастичные волновые функции
В заключение данного параграфа рассмотрим вопрос о волновых
функциях модели оболочек. Они находятся одновременно с собствен-
ными значениями энергии при решении уравнений Шредингера вида
(7.5). Пример радиальных волновых функций Un, i,j(r)=rRni г, } (г)
нейтронов для состояний с энергией, близкой к уровню Ферми
для свинца, представлен на рис. 7.7.
Прежде всего заметим, что их асимптотическое поведение согла-
суется с общим свойством волновой функции связанного состояния
любой частицы, находящейся, например, в поле среднего потен-
циала. А именно она имеет вид ехр [—рл2р£/ г/А]. Это значит, что
чем сильнее связана частица, тем быстрее ее волновая функция стре-
мится к нулю. Мы это неявно допускали для любого связанного сос-
тояния, когда приняли для среднего ядерного потенциала форму,
аналогичную плотности нуклонов. Действительно, последняя за-
писывается как
А
Р(г)= 2 |фа(г)|2,	(7.31)
а= I
а это значит, что при суммировании отдельных вероятностей нахож-
дения мы получим величину, очень быстро убывающую при r>Rb,
28
ГЛ. 7. МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ОБОЛОЧЕК
а точнее имеющую форму, показанную (с точностью до осцилляций)
на рис. 1.20. Эти осцилляции («эффект орбиталей») можно рассмат-
ривать как дополнительное доказательство справедливости модели
оболочек, поскольку более тонкие эксперименты по рассеянию
электронов обнаружили их существование ’) [65].
РИС. 7.7. Вертикальная линия, проведенная при г=г0Д* указывает точку,
где потенциал Вудса — Саксона принимает значение, равное половине значения
в нуле. Число узлов функции 47п t у (г), как нетрудно убедиться, согласуется со
значением осцилляторного квантового числа. Условие нормировки волновой функ-
ции нуклона можно записать в виде
СО	со
1 - S I %, Г. i (г) I2 dw = $ I Я„, ,.у (г) Р г* dr = 5 I у (г) I2 dr.
о	о
Как явствует из рис. 7.7, наибольшую вероятность нахождения у
поверхности ядер имеют слабее всего связанные нуклоны, что оче-
видно из асимптотического поведения их волновых функций. Это
проявляется в тех ядерных процессах, где существенны эффекты
поверхности, в частности в реакциях передачи, которым посвя-
щено приложение данной главы.
*) Как показал более детальный анализ, точность существующих эксперимен-
тов пока недостаточна для того, чтобы утверждать, что эффект осцилляций экспе-
риментально обнаружен. Более точные расчеты, основанные на использовании
метода Хартри — Фока с эффективным (в частности, скирмовским) потенциалом,
приводят к осцилляциям гораздо меньшей величины, чем в элементарной теории
оболочек.— Прим, перев.
§ 5. ВНУТРЕННЯЯ СОГЛАСОВАННОСТЬ МОДЕЛИ
29
§5. Внутренняя
согласованность модели
Нам остается еще ответить на вопрос, поставленный в начале гла-
вы а именно: как может быть справедлива модель независимых
частиц в случае системы сильно взаимодействующих частиц? Мы
могли бы, конечно, сослаться на то, что правильностью большого
числа выводов модели подтверждается законность такого описания.
Но парадокс все равно оставался бы.
А. Роль принципа Паули
Чтобы его разрешить, следует иметь в виду, что взаимодейст-
вие двух нуклонов, находящихся в среднем потенциале — это неч-
то отличное от взаимодействия свободных частиц. Прежде всего
потому, что при правильном выборе среднего потенциала он должен
почти целиком включать взаимодействие свободных нуклонов.
А кроме того, принцип Паули существенно ограничивает возможнос-
ти взаимодействия между двумя фермионами, находящимися в этом
поле. Действительно, по логике модели все состояния до уровня
Ферми заполнены, поэтому взаимодействие двух частиц, находя-
щихся в среднем потенциале, возможно лишь при условии, что пос-
ле столкновения они окажутся в состояниях, которые не были за-
полнены. Но в таком случае два нуклона, находящиеся в запол-
ненных оболочках, не могут взаимодействовать, так как если бы
один из них передал при столкновении с другой частицей энергию,
достаточную для перехода последней на незаполненную оболочку,
лежащую выше уровня Ферми, то он сам должен был бы в силу за-
кона сохранения энергии 1) перейти на оболочку более глубокую,
чем первоначальная. Но это запрещено принципом Паули (так как
по предположению все эти уровни заполнены). Поэтому если все
оболочки заполнены, то средние пробеги нуклонов в среднем потен-
циале «безгранично» возрастают по сравнению с тем, что наблюда-
лось бы в отсутствие принципа Паули. Эта внутренняя согласован-
ность модели и есть один из.аргументов в пользу картины независи-
мых нуклонов: взаимодействие двух нуклонов в среднем поле не име-
ет ничего общего с взаимодействием свободных частиц. Аналогич-
ным образом объясняется и более общий парадокс: «вырожденный
ферми-газ не очень значительно отличается от идеального газа, если
только его плотность велика».
*) На самом деле закон сохранения энергии должен выполняться лишь с точ-
ностью до t\E~hJД/, где Д/— время жизни этого промежуточного (так называе-
мого виртуального) состояния. Но ДА меньше энергии, отделяющей верхнюю из
заполненных оболочек магического ядра от низшей из его свободных оболочек.
Действительно, минимальный интервал времени, разделяющий два последователь-
ных столкновения, можно оценить как время, затрачиваемое нуклоном с типичной
кинетической энергией 20 МэВ для совершения полуоборота вокруг ядра, что в
случае ядра свинца составляет Д/—5-10-22 с. А поэтому Д£=»1 МэВ, тогда как
энергетический интервал вблизи уровня Ферми — около 3 МэВ
30
ГЛ. 7. МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ОБОЛОЧЕК
Б. Среднее хартри-фоковское поле
При построении среднего потенциала, в максимальной степени
учитывающего элементарное нуклон-нуклонное взаимодействие,
долгое время удовлетворялись подгонкой параметров модели обо-
лочек к экспериментальным данным. В настоящее время прибегают
к методу Хартри — Фока, развитому в свое время в атомной физике
[66] для улучшения планетарной модели. Он состоит в построении
среднего потенциала методом итераций на основе следующей схемы
[67]. Вначале в качестве пробных функций берут волновые функции
модели оболочек фа (га) и с их помощью вычисляют в соответствии с
его определением средний потенциал, действующий на нуклон I:
vi(ri)= 2 $ Ф; (Г/) V(г,-, 17)1)7 (17) tfr,,	(7.32)
/ =# *
где V (rh rj) — потенциал нуклон-нуклонного взаимодействия ').
Затем с найденным средним потенциалом решается уравнение Шре-
дингера модели оболочек и снова находятся одночастичные волно-
вые функции. Их подставляют затем в формулу (7.32) и находят
улучшенное значение среднего потенциала, и т. д. до полного сог-
ласования, когда эффект новой итерации станет пренебрежимым.
Полученные в результате такой процедуры средний потенциал и
одночастичные волновые функции называются самосогласованными,
так как они в конечном итоге оказываются соответствующими друг
другу.
Преимущества такого метода очевидны, и понятно, почему он
в настоящее время широко используется во многих разделах ядер-
ной физики. Правда, при использовании нуклон-нуклонпых по-
тенциалов их предпочитают брать в более удобной (для расчетов
на ЭВМ) феноменологической форме [68].
§ 6. Выводы
В данной главе главной задачей было объяснить существование
магических чисел и в особенности скачков в энергиях отрыва нук-
лонов при пересечении одного из этих чисел. Для этого был исполь-
зован средний потенциал, аналогичный по форме плотности ядер, и
содержащий, кроме того, член-спин-орбитального взаимодействия
(его появление обусловлено зависимостью нуклон-нуклонного вза-
имодействия от скорости относительного движения), а также член
симметрии (упр. 5).
') В формуле (7.32) не учитывается антисимметрия волновой функции систе-
мы. В случае атомов это не приводит к слишком большим ошибкам (приближение
Хартри), но в ядерной физике антисимметризация необходима [67], в частности
из-за того, что сам потенциал нуклон-нуклонного взаимодействия имеет обменный
характер (см. гл. 2).
§6. выводы
31
Затем были рассмотрены другие примеры успешного применения
модели оболочек, причем особое внимание было обращено на ин-
терпретацию одночастичных возбужденных состояний ядер, назы-
ваемых так потому, что их свойства определяются состоянием одной
частицы или дырки с энергией, близкой к энергии Ферми полностью
заполненного остова. То, что такое приближение дает хорошие ре-
зультаты, связано, как было отмечено, с тем, что магические ядра
представляют собой системы, которые вполне можно рассматривать
как вакуумное состояние по отношению к частично-дырочным воз-
буждениям. Это допустимо, так как велика энергия элементарного
возбуждения, что является следствием значительного отличия энер-
гии верхнего из заполненных уровней энергии от низшего из сво-
бодных.
Мы попытались, наконец, дать обоснование модели с точки зре-
ния ее внутренней согласованности. В этом отношении важная роль
принадлежит принципу Паули, в связи с чем пришлось пояснить
идею метода среднего поля Хартри — Фока, с помощью которого, в
частности, находят одночастичные волновые функции нуклонов.
Разумеется, найденные таким методом волновые функции ядра пред-
ставляют собой не более чем первое приближение. Как выяснится в
последующих главах, нужно еще учитывать остаточное взаимодей-
ствие, связывающее нуклоны друг с другом. Но хартри-фоковский
базис позволяет производить их учет методом теории возмущений.
Приложение 7
НАБЛЮДЕНИЕ ОДНОЧАСТИЧНЫХ СОСТОЯНИИ
С ПОМОЩЬЮ РЕАКЦИИ ПЕРЕДАЧИ
При взаимодействии пучка частиц, обладающих достаточно вы-
сокой энергией, с ядром мишени могут протекать различные
реакции. Более сложные из них сопровождаются вылетом из ядра
значительного числа частиц, таких, как нейтроны, протоны, а-час-
тицы, и даже более тяжелых осколков. Но могут происходить и не-
которые простые реакции, такие, как неупругое рассеяние и реак-
ции передачи. Мы ограничимся здесь рассмотрением последних.
Рассмотрим, например, пучок ядер |Не и мишень 2®3РЬ.
В результате неупругого рассеяния ядро 2°|РЬ переходит в одно
из своих возбужденных состояний, отличающихся на величину Et
от энергии основного состояния. Частица же 3Не, возбудившая
ядро мишени, первоначально находившееся в основном состоянии,
регистрируется под углом 6 с кинетической энергией
E=E0—E/—Eli,	(7.33)
где Ео — начальная энергия ядра sHe, а ЕR — энергия отдачи ко-
нечного ядра. Последняя обычно мала по сравнению с Ео, и ее можно
найти из кинематики реакции (дополнение А).
Наряду с этим неупругим процессом можно также наблюдать
реакции типа 2°|Pb (3Не, t/)2S?fBi и 2“Pb (sHe, а)2в1РЬ. Это примеры
так называемых реакций передачи нуклона, при которых ядро 3Не
отдает или (соответственно) отрывает от ядра-мишени один нуклон
(здесь соответственно протон или нейтрон). Наблюдаются и случаи
передачи нескольких нуклонов, в частности в реакции ^РЬ (3Не,
p)\103Bi, а также и другие процессы, например так называемая реак-
ция передачи заряда 2^РЬ (3Не, 02esBi. В каждом из таких процессов
конечная частица при каждом угле наблюдения 0 обладает строго
определенной энергией. Например, если в реакции 22®Pb (3Не, d)239Bi
конечное ядро образуется в основном состоянии, то кинетическая
энергия дейтрона в нерелятивистском приближении равна
Еа=Ев + \<Ж (20ePb)—М (209Вi)J с2 4- [М (3Не) — М (d)]c2—Er,
(7.34)
где Ед — энергия отдачи конечного ядра 209Bi. Если бы это ядро
оказалось не в основном, а в одном из своих возбужденных состоя-
ний, то зарегистрированный под углом 0 дейтрон имел бы кинети-
ПРИЛОЖЕНИЕ 7. НАБЛЮДЕНИЕ ОДНОЧАСТИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ 33
ческую энергию
Е^Е.-Е^Е^-Е'^,
(7.35)
где Ef — энергия возбуждения конечного ядра, a Е1Р— соответ-
ствующая энергия его отдачи.
Поэтому для экспериментатора основной задачей является пра-
вильная идентификация конечных частиц и измерение их энергии.
Для этого он располагает различными методами; один из наиболее
точных основан на применении ядерных эмульсий, помещенных в
Расстояние в фотоэмульсии,си
РИС. 7.8. В реакции 20BPbfJHe, d)2MBi селективно заселяются одночастичные
протонные состояния 209Bi. При выбранном угле основное состояние h,^ менее
заселяется, чем возбужденные состояния, но при других углах ситуация обратная.
фокальной плоскости магнита-анализатора. Импульсы конечных
частиц определяются по их отклонению в поле магнита, а по длине
наблюдаемых треков после проявления эмульсий идентифицируют
частицы и вычисляют их энергию. В частности, таким способом был
измерен спектр дейтронов [69], получавшихся в реакции ^РЬ (3Не,
cO’s’Bi под действием частиц 3Не с энергией 20,3 МэВ. Приведенный
на рис. 7.8 спектр дейтронов был измерен под углом 0=110°.
Отметим сразу, что треки, оставляемые в эмульсии дейтронами
До их остановки, неодинаковы по длине. В их распределении но 2
2 As 2114
34
ГЛ. 7. МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ОБОЛОЧЕК
пробегам (которые тем больше, чем выше энергия дейтронов) обна-
руживают четкие пики. Они интерпретируются следующим образом.
Образовавшееся в реакции ядро отдачи 29|Bi может находиться толь-
ко в состоянии со строго определенной энергией, ввиду чего и обра-
зующиеся дейтроны в силу закона сохранения энергии будут уносить
строго определенную энергию, определяемую соотношениями (7.34)
и (7.35). Если, в частности, ядро 299 Bi образуется в основном состоя-
нии, то дейтрон уносит наибольшую энергию и оставляет в эмульсии
наиболее длинные треки. Это видно на рис. 7.8, где основное состоя-
ние ядра |99Bi характеризуется одночастичной конфигурацией 1/19-2.
Вообще, как видно на рис. 7.6, наиболее интенсивные пики соответ-
ствуют различным одночастичным состояниям ядра 29|Bi. Другие,
не идентифицированные на рис. 7.7 более слабые пики связаны с
образованием возбужденных состояний более сложной природы,
о которых пойдет речь в следующих главах.
Избирательный характер реакции 208РЬ (3Не, d)299Bi в отношении
уровней протона в ядре 299Bi понятен: в результате данной реакции
один из протонов ядра Ше (превращающегося в дейтрон) захваты-
вается остовом 2°ВРЬ на один из незаполненных уровней, близких
к уровню Ферми. Аналогичная селективность наблюдалась бы и
при использовании, например, реакции 298Pb(a, Z)299Bi. Удобство
использования а-частиц в качестве бомбардирующих частиц состо-
ит в возможности параллельного изучения реакции 20вРЬ (а, 3Не)
299РЬ, которая по причинам, аналогичным указанным, приводит к
селективному возбуждению нейтронных состояний в ядре отдачи
^9РЬ.
Что же касается дырочных состояний в ядрах |97РЬ и 2”Т1
(рис. 6.6), то их селективное заполнение производится с помощью
реакций отрыва нуклона от остова |98РЬ, например реакций
2оврЬ(зНе, a)2°’Pb, 208РЬ(/, а)297Т1, 298Pb (d, /)297РЬ, 29BPb(d, 3Не)
297Т1, 208Pb(/?, d) 297РЬ и т. д. Выход каждой из них можно оценить
в рамках теории ядерных реакций, рассматриваемой в гл. 10. Как
будет показано, их угловые распределения существенным образом
зависят от углового момента / состояния, в которое помещается
или из которого удаляется нуклон. Поэтому их изучение позволяет
практически однозначно установить квантовые характеристики
возбуждаемых уровней, в частности их моменты и четности.
Отметим, наконец, что угловые распределения в этих реакциях
носят осциллирующий характер (рис. 10.2); положение их макси-
мумов и минимумов зависит от моментов и четностей возбужденных
уровней. По этой причине не следует думать, что раз уровню 3ps z
соответствует самый большой пик на рис. 7.8, то он всегда заселяет-
ся сильнее всего в реакции 298РЬ(3Не, d)209Bi. Дело в том, что для
этого состояния угол 0 = 110° близок к максимуму углового распре-
деления, тогда как для состояния 1/г9/2 угловое распределение при
этом угле близко к минимальному значению.
ПРИЛОЖЕНИЕ 7. НАБЛЮДЕНИЕ ОДНОЧАСТИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ 35
УПРАЖНЕНИЯ
7 1 Покажите, что магические числа сильнее проявляются в энергиях отрыва,
чём в энергиях связи на нуклон В/А.
7 2 Покажите, что потенциал Вудса — Саксона можно разложить вблизи на-
чала координат в ряд
ги-к<о1+о+4(^)+о+4(^-)1=и.+1Р^+с*.
Покажите, рассматривая член сг4 как возмущение и взяв функции гармонического
осциллятора в качестве невозмущенных, что учет краевого эффекта эквивалентен
введению члена, пропорционального /(/-[-1), снимающего вырождение, специ-
фичное для осциллятора.
7.3.	Пользуясь данными рис. 7.5, покажите, что величина расщепления между под-
уровнями спин-орбитального дублета [например, (g7/2, g9/2), (i11/2, tls/2). (P1/2,
p „) и т. д.] определяется приближенной формулой (6e)ls~—12 (2Z+ 1)Л~2/3-
Оцените по рис. 7.5 расстояние между центроидами двух главных оболочек гар-
монического осциллятора. Существенно ли его отличие от ожидаемой величины?
Пользуясь соотношением Едг=(М-|-3/2)^<о0 и приведенными на рисунке энергиями
связи, найдите глубину среднего потенциала для свинца.
а) Интерпретируйте эти характеристики с точки зрения модели оболочек и
напишите соответствующие конфигурации.
7.4.	Допустим, что в нашей Вселенной изменился бы только знак ядерного спин-
орбитального члена (+gl-s вместо —gl-s).
1)	Какими стали бы магические числа?
2)	Какие дважды магические ядра были бы особо стабильны?
7.5.	Характеристики Jn основных состояний ядер ’ёО и ЧО равны 5/2+ и 1/2“со-
ответственно.
1)	Дайте объяснение этим характеристикам с точки зрения модели оболочек.
Какие конфигурации им соответствуют?
2)	Тот же вопрос о первом возбужденном состоянии с Jn= 1/2+ ядра еО.
3)	Какими с точки зрения модели оболочек должны быть значения Jn для
первого возбужденного состояния Чо?
4)	Оценить приближенно энергию первого возбужденного состояния Чо.
5)	Полные энергии связи В (A, Z) ядер '«О, Чо и Чо равны соответственно
131,7625 МэВ, 111,9521 МэВ и 127,620 МэВ. Найдите энергию нейтрона в послед-
ней из заполненных и первой из свободных нейтронных оболочек ядра Чо.
6)	Зная, что первое возбужденное состояние ядра 'вО лежит выше основного
на 0,87 МэВ, изобразите в масштабе положение двух последних из заполненных и
двух нижних из незаполненных нейтронных оболочек ядра 1|О. Сделайте все
комментарии которые вы сочтете нужными.
7)	Ядро 4F в основном состоянии с ./"=5/2+ имеет энергию связи 128,220 МэВ,
а первое возбужденное состояние с Jn= 1/2+ лежит на 0,5 МэВ выше основного.
Изобразите на графике, построенном для ответа на предыдущий вопрос, положе-
ние двух последних уровней незаполненных протонных оболочек в ядре 12О.
1_ 8) Чем вы объясните различие в энергии связи основных состояний ядер Чо
и sF? Найдите радиус равномерно заряженной по объему сферы, эквивалентной
этим ядрам. Приемлемо ли полученное значение?
9)	Сравните энергию первого возбужденного состояния ядра ЧО с энергией
первого возбужденного состояния ядра 4F и скажите, почему это склоняет вас
к мысли, что среднеквадратичный радиус протонного состояния 1/2+ в ядре 4F
2*
36
ГЛ 7. МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ОБОЛОЧЕК
больше, чем для состояния 5/2+. Согласуется ли это с тем, что вам известно о вол-
новых функциях частиц в модели оболочек?
7.6.	Исследование потенциала симметрии.
I)	Рассуждая так же, как и в случае члена энергии симметрии в формуле
Бете — Вейцзекера (гл. 4), покажите, что у ядра с избытком нейтронов средний
потенциал для протонов должен быть глубже, чем для нейтронов.
2)	Покажите, что вклад потенциала симметрии Va (учитывающего это различие
в глубине потенциальных ям) в член энергии симметрии в формуле Бете —
Вейцзекера в приближении среднего поля равен (N—Z)Va/2.
3)	Покажите, что порядок величины Va определяется формулой
Л/_7
Ка = 25—МэВ.
(7.36)
7.7.	Какие мишени и какие бомбардирующие частицы можно использовать для
изучения одиочастичиых состояний в ядрах soCa, мСа, «К, aiSc? Какие моменты
и четности можно предсказать для каждого из возбужденных состояний?
Глава 8
ЯДЕРНАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ
Данную главу, посвященную интерпретации ядерных спектров, мы
начнем с того, что введем понятия, которые могут показаться про-
тиворечащими сказанному ранее в связи с обоснованием оболочеч-
ной модели. Так, мы покажем, что ядра имеют не только «индиви-
дуальные» — однонуклонные, или одночастичные (частичные и ды-
рочные), возбужденные состояния, но и «коллективные» состояния,
названные так по той причине, что их интерпретация требует уче-
та нескольких или даже большого числа взаимодействующих нук-
лонов. Впрочем, существование двух таких различных типов воз-
буждения не есть нечто необычное. С аналогичной ситуацией мы
встречаемся в любых сложных системах; примером могут служить,
конечно, в первую очередь молекулы [70] и твердое тело [29], на
аналогию с которыми мы будем ссылаться.
Затем, вернувшись к эффекту спаривания, введенному в гл. 4,
мы покажем, что он связан с остаточным взаимодействием, которым
мы до сих пор пренебрегали, но роль которого в ядерной спектро-
скопии весьма значительна; в частности, благодаря ему спины ос-
новных состояний всех четно-четных ядер равны нулю, а их чет-
ность положительна. Приняв это во внимание, мы сможем не толь-
ко исправить недостатки оболочечной модели, но и соединить в
цельную картину наши, казалось бы, противоречивые представления
о ядерной системе.
§ 1. Аналогия с молекулами [70]
Мысль о существовании у ядер коллективных состояний враща-
тельного или колебательного типа возникла в начале 50-х годов в
результате анализа схем энергетических уровней четно-четных ядер.
Для интерпретации их спектров были разработаны модели, основы-
вающиеся на аналогии с молекулярной спектроскопией, о которой
нам придется сказать несколько слов, прежде чем идти дальше.
В молекуле одночастичное состояние называется электронным
состоянием. Главное, чем различаются два электронных состоя-
ния,— это то, к каким молекулярным «оболочкам» они принадле-
жат. Различие в энергии между двумя молекулярными орбиталя-
ми — того же порядка, что и между уровнями атомов, составляю-
щих молекулу. Это означает, что расстояние между уровнями двух
электронных состояний молекулы — величина порядка 1 эВ.
38
ГЛ. 8. ЯДЕРНАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ
Если молекуле передается энергия, недостаточная для измене-
ния ее электронной конфигурации (т. е. для одночастичиого воз-
буждения), то за счет этой энергии можно все-таки возбудить ее
коллективные движения — либо колебания, либо вращение моле-
кулы как целого вокруг ее собственного центра тяжести. Рассмот-
рим какую-нибудь двухатомную молекулу, скажем СО, в которой
Электронные
С
РИС. 8.1. Вибрационная и вращательная полосы основного электронного состоя-
ния. Точнее говоря, здесь представлены только основное (V=0) и первое возбуж-
денное (l/= 1) вибрационное состояния. Аналогичная структура, соответствующая
следующему электронному состоянию, лежит при гораздо более высокой энергии.
расстояние между наиболее массивными структурными единицами,
каковыми являются ядра, равно примерно 10-8 см. В случае коле-
баний это расстояние периодически изменяется относительно своего
равновесного значения, а в случае вращения молекулы «гантель»,
образуемая двумя ядрами, «вращается» вокруг своего центра тяжес-
ти. В обоих случаях электроны, значительно более легкие, нежели
ядра, следуют за вынужденным движением своего среднего потен-
циала (рис. 8.1, а). Для большей конкретности найдем порядок ве-
личины энергии, необходимой для того, чтобы изменить состояние
вращательного движения молекулы. Будем рассматривать вращение
вокруг оси, перпендикулярной оси гантели, и обозначим через
момент инерции системы в данном случае. Классическая формула
для энергии вращения с угловой скоростью такова: Ед=(1/2)^со2;
ее можно переписать в виде ER—]*l2ty, где I — угловой момент
системы. В такой форме она подсказывает нам, каким должно быть
соответствующее квантовомеханическое выражение: энергия вра-
§2. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
39
щения молекулы в состоянии с квантовым числом / дается выра-
жением
Р	/о п
£/ =----
Таким образом, при прочих равных условиях (одна и та же электрон-
ная конфигурация и одно и то же колебательное состояние) для
того, чтобы перевести молекулу из вращательного состояния с 7=0
во вращательное состояние с 7=1, требуется энергия
C f	~б-10-’эВ,	(8.2)
1	0 Щ ц/?2	цс2/?2	4	7
где р—приведенная масса системы С—0(рс2«7000 МэВ), а
см (7?2«1010 Ф2). Это означает, что мы имеем дело с энер-
гией, примерно в 104 меньшей, чем требуется для электронного воз-
буждения. Что же касается энергии колебательного возбуждения,
то она несколько больше вращательной и составляет величину по-
рядка 0,1 эВ. Таким образом, три спектроскопические ветви (элек-
тронная, колебательная и вращательная) характеризуются величи-
нами разного порядка, чем и оправдывается их раздельное изу-
чение.
Колебания молекулы сводятся к колебаниям гармонического ос-
циллятора, ввиду чего последовательность вибрационных уровней
описывается формулой £v=(l/+ 1/2)Йсо0; это означает, что уровни,
характеризуемые числами К=0, 1,2,..., располагаются экви-
дистантно. Вращательные же уровни расположены в соответствии
с законом 7(7+1), как это явствует из формулы (8.1), если в ней
момент инерции считать постоянным при заданных электронном
и колебательном состояниях. Таким образом, в спектре легко вы-
делить три последовательности уровней: каждому электронному сос-
тоянию отвечает своя вибрационная полоса, а каждому уровню
этой полосы, характеризуемому квантовым числом V, соответствует
вращательная полоса (рис. 8.1, б). Правда, нередко картина оказы-
вается не столь четкой, как в случае молекулы С—О, поскольку у
молекулы менее жесткой, чем двухатомная, вибрационные уровни
могут сильно перепутываться с вращательными; тем не менее в моле-
кулярных спектрах между двумя элементарными одночастичными
возбуждениями имеется весьма большое число возбуждений коллек-
тивной природы.
§ 2. Феноменологические модели [71]
Перенесем теперь все сказанное в ядерную физику, ограничиваясь
пока что случаем четно-четных ядер, феноменологическое описание
которых более простое. Но сначала дадим характеристику основных
свойств таких ядер.
40
ГЛ. 8. ЯДЕРНАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ
Основные состояния всех четно-четных ядер имеют нулевой
спин и положительную четность: Jn—Q+. Спин и четность первого
возбужденного состояния, за редким исключением, равны 7Л=2 1.
Это первый уровень полосы, построенной на основном состоянии,
которая может быть либо вибрационной (рис. 8.2. с), либо враща-
тельной (рис. 8.2, б) в зависимости от равновесной формы рассма-
2+---------------1,172 2+------------------1,23
0+----—-----0	0+----------О
й 1й	?0Sn
а
РИС. 8.2. Типичные примеры последовательностей уровней сферических (а)
и деформированных (б) четно-четных ядер. Энергии уровней указаны в мега-
электронвольтах.
триваемого ядра. На рис. 8.2 эти полосы ясно видны лишь в преде-
лах так называемой щели четно-четных ядер, т. е. энергетического
интервала между основным состоянием и зоной, где в спектре на-
чинает обнаруживаться большая плотность уровней. Наша зада-
ча — объяснить все указанные характеристики, но в данном пара-
графе мы ограничимся лишь рассмотрением вращательных и виб-
рационных полос.
А. Вращательная модель
Наиболее типичные вращательные полосы наблюдаются у так
называемых деформированных ядер, имеющих вид вытянутого эл-
липсоида (форму мяча для игры в регби); такая равновесная форма
встречается у ядер, массовые числа которых лежат посредине между
двумя соседними магическими числами. Примером могут служить
§ 2. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
41
ядра редкоземельных элементов (155<Л<;190) и актинидов (225<
<Л<250), которым подобную форму приписывают, поскольку их
измеренный квадрупольный момент положителен1) (рис. Е.1).
Как и в случае вращательных состояний молекул, низкоэнер-
гетический спектр таких ядер следует закону J (J+1), т. е. энергия
состояния со спином J, отсчитанная от основного состояния, равна
Р А2/ (/ + 1)	/о q,
=	2^	’
где — момент инерции ядра относительно оси, перпендикуляр-
ной его оси симметрии (далее мы увидим, что все происходит так,
^Ег!Ег- 12/1__________________________________________
+1+++i+++++++ +	++ +	+
+ т т ++ +
Т + + +
СЕ^/Ег - 7/|
~о-----------О 0 -Э-о^-о-ч-о-
гЕч!Ег = 10/3
—।  I*  г ..........i!'  >-------» » i * ..........
i_______i________i_______i________i—....___i________i_______I_______i—_
150	160	170	160	I90	220	230	240	250
РИС. 8.3. Сравнение экспериментальных данных с законом / (/+•). к которому
приводит простейшая модель.
как если бы ядра вращались вокруг этой оси). Как нетрудно убе-
диться, указанный закон выполняется и для конкретного ядра (см.
рис. 8.2, б) и как, более общая закономерность — на рис. 8.3. Не-
большое расхождение, наблюдающееся в случае состояний с боль-
шим спином, можно описать, усовершенствовав модель, в частности
предположив, что деформация, а стало быть, и момент инерции воз-
растают с увеличением скорости вращения «ядерной капли».
Главное отличие от молекулярного спектра, представленного
на рис. 8.1, — в отсутствии состояний с нечетным спином. Но такое
явление наблюдается и в случае так называемых гомополярных мо-
лекул, которые состоят из двух одинаковых атомов: О2, Н2, N2
_ *) Существуют деформированные ядра и другого типа, у которых квадруполь-
пый момент отрицателен и которые, следовательно, имеют форму сплюснутого
эллипсоида. Лишь у сферических ядер квадрупольный момент равен нулю. Обо
всем этом подробнее говорится в дополнении Е. (Спектры некоторых ядер
соответствуют неаксиальным деформациям [169].—Прим, перев.).
42
ГЛ. 8. ЯДЕРНАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ
и т. д. Подобные молекулы, как и эллипсоидальное ядро, изобра-
женное на рис. 8.4, а, инвариантны относительно отражения в плос-
кости х'Оу', а следовательно, и относительно операции пространст-
венной инверсии, с которой связано понятие четности (гл. 11). Можно
показать, что такая инвариантность служит причиной указанного
РИС. 8.4. Различие во «внутренней»
структуре ядер (а) и полярных моле-
кул (б) отражается в последователь-
ности наблюдаемых уровней.
явления: в частности, в спектрах четно-четных ядер в основной по-
лосе наблюдаются только состояния с положительной четностью,
а именно состояния 0+, 2+, 4 г, 6+, .... Причина, по которой у так
называемых полярных молекул, состоящих из двух неодинаковых
атомов, существуют состояния 1~, 3~, 5~, 7~, состоит в том, что
они не обладают свойством инвариантности относительно простран-
ственной инверсии (рис. 8.4,6).
РИС. 8.5. Деформированное яд-
ро с осевой симметрией инвари-
антно относительно вращения
вокруг оси Oz' (а), но не инва-
риантно относительно вращения
вокруг оси, лежащей в плоскос-
ти х'Оу' (б): при вращении оно
поочередно принимает то вид 1,
то вид 2.
Теперь отметим, что в случае ядер с эллипсоидальной равновес-
ной формой все происходит так, как если бы вращение происходило
вокруг оси, перпендикулярной оси симметрии, поскольку в фор-
мулу (8.3) входит лишь момент инерции относительно этой осп.
Это легко понять: при вращении вокруг перпендикулярной оси
(рис. 8.5, б) существует естественное условие квантования коллек-
тивного движения — нужно потребовать, чтобы волновая функция
системы принимала одно и то же значение после каждого поворота
на 2л вокруг оси, перпендикулярной оси симметрии системы Oz'
Наложив такое условие, мы приходим к закону J (/+1). В случае
же вращения вокруг оси Oz' нельзя указать какого-либо объектив-
ного условия подобного рода, так как поворот на любой угол е
вокруг оси симметрии (рис. 8.5, а) ничего не изменяет в рассма-
триваемой системе.
§ 2. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
43
Анализ показывает, что момент инерции, который требуется
ввести, чтобы получить энергии вращения, наблюдаемые в области
редкоземельных элементов и актинидов, в 2—3 раза меньше момен-
та инерции жесткого эллипсоида соответствующих размеров (упр.
8 6). Это означает, что во «вращательном движении» участвует
лишь часть ядра. Сначала этот результат пытались объяснить по ана-
логии с движением поверхности в так называемых безвихревых
жидкостях в гидродинамике. Позднее заниженное значение момента
инерции было приписано эффекту спаривания, в силу которого
часть ядерной среды ведет себя как сверхтекучая жидкость (см.
приложение 8).
Б. Вибрационная модель
Сказанное выше о вращении эллипсоидальных объектов можно
обобщить следующим образом: вращательные полосы невозможно
обнаружить в спектрах сферически-симметричных объектов. Это
по-прежнему связано с инвариантностью таких объектов относитель-
но операции вращения. В частности, не существует вращательных
состояний, соответствующих основному состоянию магических ядер,
которые по крайней мере при низких энергиях имеют сферическую
форму. Об этом свидетельствует спектр состояний, представленный
на рис. 8.2, а. Мы видим, что закон пропорциональности J(J+1)
здесь не соблюдается. Над первым возбужденным уровнем 2+ рас-
сматриваемых ядер лежит слабо расщепленный триплет (0+, 2+,
4+), «центру тяжести» которого соответствует энергия, примерно
вдвое большая, чем состояния 2+. Кроме того, можно видеть, что
энергия этого первого возбужденного состояния 2"1 в 10—100 раз
больше энергии первого уровня вращательных полос на рис. 8.2, б
(то, что эта закономерность имеет общий характер, очевидно из
рис. 8.6).
Все эти спектроскопические закономерности находят объясне-
ния в рамках вибрационной модели. Они типичны для так называе-
мых квадрупольных колебаний (рис. 8.7, а), при которых ядерная
капля колеблется относительно своей равновесной формы, прини-
мая поочередно форму то вытянутого, то сплюснутого эллипсоида.
Возможны и другие типы колебаний, например октупольные
(рис. 8.7,6) и дипольные (рис. 8.7, в). Стационарные состояния
ядер, колеблющихся подобным образом,— это их гармоники. Пер-
вой гармонике приписывают квант энергии fiQ0, называемый фо-
ноном по аналогии с коллективными колебаниями в твердых телах.
Для дипольных, квадрупольных и октупольных колебаний харак-
теристика этого кванта такова: 1~, 2+ и 3_. Вторая гармоника—
Двухфононная. В идеальном случае данное состояние должно пред-
ставлять собой вырожденный мультиплет с энергией, равной 2tiQb.
Например, в случае квадрупольных колебаний, которым отвечает

§2. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
45
лонон 2+, вторая гармоника — вырожденный триплет (0+, 2+,
4 ) который получается при объединении двух одинаковых фоно-
нов 2+. Это действительно наблюдается (в первом приближении)
на рис. 8.2, а. Снятие вырождения объясняется взаимодействием
двух фононов или, что эквивалентно, небольшой ангармоничности
колебательного движения. Дипольные колебания наблюдаются
при энергии, намного превышающей энергию квадрупольных коле-
баний. Наиболее хорошо известны дипольные колебания, соответ-
ствующие периодическим перемещениям всех нейтронов ядра от-
РИС. 8.7. Форма квадрупольных (а), октупольиых (б) и дипольных (в) колебаний.
Сравните эти названия с определениями мультипольных моментов, которые
даются в дополнении Е,
носитсльно протонов (см. рис. 8.7,в). Что касается октупольиых
колебаний, то для дважды магических ядер их энергия наименьшая.
Так, например, первое возбужденное состояние ядра 2g|Pb — это
состояние 3~, лежащее на 2,6 МэВ выше основного состояния.
В. Более сложные случаи
Выше, говоря о коллективных колебаниях, мы выделили лишь
два крайних случая: деформированные ядра, имеющие вращатель-
ные спектры, и сферические ядра, имеющие вибрационный спектр.
В промежуточных областях наблюдается связь между этими двумя
формами коллективных движений. В спектрах ядер, расположенных
в этих так называемых переходных областях, обнаруживаются
«квазивращательные» состояния в смеси с «квазивибрационными».
Для физика, занимающегося молекулярными явлениями и имею-
щего дело со спектрами сложных молекул, в этом нет ничего удиви-
тельного, но ядерщику покажется необычным то, что одно и то же
ядро может иметь две равновесные формы и совершать между ними
колебания. Некоторые называют такие ядра «мягкими».
Но в других отношениях аналогия между молекулярной и ядер-
ной спектроскопией оказывается неполной. В частности, в спектрах
молекул между двумя одночастичными уровнями лежит большое
число коллективных, в ядерных же спектрах энергия одночастич-
ных и коллективных возбуждений часто одного порядка величины.
Хотя, как правило, картина сложна, имеются простые схемы интер-
претации, о которых мы скажем ниже. Существуют также некоторые
46
ГЛ. 8. ЯДЕРНАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ
критерии, позволяющие определить, какие из уровней одного и то-
го же ядра имеют коллективный, а какие — одночастичный харак-
тер. Например, как показывается в дополнении 3, среднее время
жизни коллективных состояний по отношению к у-переходу так
называемого электрического квадрупольного типа намного меньше,
чем одночастичных состояний (дополнение 3, рис. 3.3). Допол-
нительную информацию дают ядерные реакции, о которых говори-
лось в приложении 7. Так, реакции передачи приводят преимуще-
ственно к заполнению одночастичных состояний, а неупругое рас-
сеяние — к селективному возбуждению коллективных уровней.
Продемонстрируем все сказанное на одном примере.
§ 3. Слабая связь
В гл. 7, § 4 мы видели, что интерпретация низкоэнергетических
уровней четырех ядер 2“РЬ плюс-минус один нуклон предельно
проста. Это состояния одной частицы или дырки. В приложении 7
было показано, что такие состояния заполняются в реакциях пере-
дачи, в частности в реакции 28|Pb(sHe, d)2e9Bi, относительно кото-
рой см. приложение 7, рис. 8.8. Иначе обстоит дело, если перейти
к энергиям, превышающим 2,61 МэВ, т. е. энергию первого воз-
бужденного состояния 3“ октупольных колебаний ядерного остова
28®РЬ. Здесь кроме одночастичных начинают появляться еще и кол-
лективные уровни. Например, в интервале от 2,49 до 2,74 МэВ
в спектре ядра e°eBi наблюдается мультиплет из 7 уровней, обус-
ловленных, как говорят, «слабой связью» между колебаниями осто-
ва и одиночного протона. Это показано на рис. 8.8, где мы видим,
что данные уровни возбуждаются селективно в результате неупру-
гого рассеяния 83®Bi(d, d) gs’Bi *. так что одночастичные уровни,
проявляющиеся в реакции 2"fiPb (8Не, d) |§8Bi, здесь практически
не заселяются. Следовательно, все происходит так, как если бы па-
дающий дейтрон, сталкиваясь с ядром-остовом i°8Pb, возбуждал ко-
лебания последнего, не оказывая никакого влияния на движение
внешнего протона на его низшей одночастичной орбите. А поскольку
происходит передача энергии, но не частицы, то вполне естественно,
что одночастичные состояния не заселяются.
Интерпретация квантовых характеристик наблюдаемого мульти-
плета пока еще очень проста. Если основное состояние ядра 2D8Bi
обусловлено связью «лишнего» протона hg/2 с ядерным остовом
мерь в состоянии 0+, то можно сказать, что рассматриваемый муль-
типлет обусловлен связью «лишнего» протона А8/2 с ядерным осто-
вом 208РЬ в состоянии октупольных колебаний 3“. Действительно,
если коллективные состояния ядерного остова совершенно не свя-
заны с одночастичными возбуждениями, то достаточно передать
энергию, равную 2,61 МэВ, ядру 208Bi в его основном состоянии
(Л+^г), чтобы перевести ядерный остов в возбужденное состояние
§ 3. СЛАБАЯ СВЯЗЬ
47
о- причем одночастичное состояние внешнего протона не изменя-
ется. В таком случае при энергии, равной 2,61 МэВ, должен по-
Знергия возбуждения, МэВ
Расстояние в фотоэмульсии,сн
б
РИС. 8.8. а — данные по неупругому рассеянию дейтронов с энергией 13 МэВ
на ядре i°8Pb (возбужденные состояния — коллективные); б — данные, получен-
ные при аналогичных условиях для ядра j^Bi (возбужденные состояния отвечают
слабой связи протона hs/s с коллективными состояниями остова |®®РЬ); в — муль-
типлет, расположенный вблизи 2,61 МэВ, представленный для большей ясности
в более крупном масштабе. Пик, обозначенный символом “Si, соответствует при-
меси кремния, имевшейся в мишени. Пики на рис. а и б изображены в разных мас-
штабах, а те из них, которые выходят за верхнюю границу графика, построены
с уменьшением, указанным цифрами в скобках.
явиться мультиплет вырожденных состояний со следующими спи-
нами и четностями:
|3—9/2К J <3 + 9/2, т. е. 3/2<J<15/2 (7 уровней),
л = л(3-)л(/19/2) = (—1) (—1)5 = +1.	(8.4):
48
ГЛ. 8. ЯДЕРНАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ
Это как раз характеристики тех 7 уровней, которые наблюдаются
вблизи энергии, равной 2,61 МэВ. Снятие вырождения указывает
на то, что некоторая связь все-таки есть, хотя она и достаточно
слаба, чтобы общая картина сохранялась.
В общем случае интерпретация схем энергетических уровней
не так проста, как в случае ближайших к ядру 208РЬ нечетных ядер.
Но тем не менее существуют некоторые аналогии, в частности свя
занные с эффектом спаривания, к которому мы теперь перейдем.
§ 4. Эффект спаривания
В свое время при рассмотрении модели оболочек было отмече-
но, что описание ядерных систем с помощью усредненного потен-
циала — это в лучшем случае первое приближение, которое, если
оно окажется оправданным, можно затем улучшить, учтя апосте-
риори остаточные взаимодействия. Наиболее существенное и лучше
всего изученное из различных типов остаточного взаимодействия —
так называемое спаривание, с которым связывают объяснение двух
важных свойств основных состояний четно-четных ядер. Это, во-
первых, более высокая стабильность таких ядер по сравнению с
нечетными и нечетно-нечетными ядрами (гл. 4, § 4, п. А) и, во-вто-
рых, их квантовые характеристики 7л=0+ (§ 2).
А. Проявление эффекта спаривания
Чтобы показать, что эффект спаривания дает возможность
объяснить обе указанные особенности четно-четных ядер, рассмот-
рим ядро, содержащее магический остов плюс-минус 2 одинаковых
нуклона, например ядро ^Ро. В рамках оболочечной модели ос-
новное состояние этого ядра можно описать, поместив два внешних
протона в оболочку he/2 остова в2РЬ с полностью заполненными обо-
лочками. Отметим, что для системы двух частиц в оболочке (п, /, /)
и остова с моментом и четностью 0+ возможны состояния со следую-
щими квантовыми характеристиками:
л = [(-1)г]2 = +1. 1/-/|<^</ + /-
В случае двух идентичных фермионов в силу принципа Паули воз-
можны только четные значения числа J, как это видно х) из табл. 8.1.
Ч Читателю, знакомому с правилами сложения угловых моментов, будет по-
нятно и другое приводимое ниже доказательство. Еслиф/м, ф/„ т (1) и <p7-Si ma (2)—
соответственно аитисимметризованная волновая функция системы двух тож-
дественных фермионов, волновая функция фермиона 1 и волновая функция фер-
миона 2, то мы имеем
Фул = у=- У, </ь /а. mit m2\JM>
§ 4. ЭФФЕКТ СПАРИВАНИЯ
49
Таблица 8.1
Две тождественные частипы в одной и той же оболочке / не мо-
гут иметь одного и того же значения т. Поэтому клетки на диагонали
исключаются. В клетках указаны значения M =	Значения М
от g дО —8 соответствуют значению J = 8, от 6 до —6—значению
/ = 6 и т. д. В итоге четными J исчерпываются все возможные значе-
ния М.
В частности, в рассматриваемом случае это состояния с квантовыми
характеристиками 7п=0+, 2+, 4+, 6+ и 8+, которые мы будем обо-
значать символом (/z8/2)jn. В нулевом порядке теории возмущений
Ври /]=/2=/ это дает
Vjm = -pL=- Ь — (—	У, </.	Му <Pj,	(2)-
т
ври' полУЦелое число (число 2/— нечетное), а потому функция фудг тождест-
чо равна нулю при нечетном J.
50
ГЛ. 8. ЯДЕРНАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ
состояния со всеми возможными значениями этой конфигурации
представляют собой собственные функции гамильтониана Но с
собственным значением 2е8/2, где е8/3 — энергия частицы в обо-
РИС. 8.9. Иллюстрации к эффекту спаривания (пояснения в тексте).
лочкей8/2. Таким образом, в отсутствие остаточного взаимодействия
между двумя внешними протонами /г8/2 мы должны были бы наблю-
дать «вырожденный мультиплет», содержащий состояния Jn=
=0+, 2+, 4+, 6+ и 8+.
На самом же деле состояние Jn=0+ оказывается основным в
ядре Ц°Ро, а состояния 2+, 4 + , 6+ н 8ь хотя и наблюдаются, но при
§ 4 ЭФФЕКТ СПАРИВАНИЯ
51
нергиях, превышающих 1 МэВ (рис. 8.9, с). В рамках модели,
Э едполагающей, что все эти состояния возникают за счет одной
”РтОй же чистой конфигурации (й8/2)+2, нам пришлось бы сделать
вывод, что состояние (he 2)о+ связано значительно сильнее, чем
состояния (hs 2)jVo+. энергии которых практически совпадают.
Это различие есть проявление взаимодействия спаривания, которое
можно определить как то остаточное взаимодействие притяжения
(поскольку оно усиливает связь), которое проявляется между дву-
мя идентичными нуклонами практически только тогда, когда они
находятся в состоянии с полным моментом количества движения,
равным нулю: Ji2=ji+j2=O (поскольку практически лишь для
состояния 0+ энергия понижается по отношению к невозмущенному
значению). Действительно, тогда при спаривании двух тождествен-
ных нуклонов, при котором Ji2=0, происходило бы увеличение
энергии связи ядра по сравнению с тем, что предписывает простей-
шая оболочечная модель (не учитывающая остаточного взаимодей-
ствия), а тем самым получают объяснение оба отмеченных выше
свойства основных состояний четно-четных ядер.
Б. Оболочечная модель со спариванием
Возникновение эффекта спаривания можно представить себе
следующим образом. Рассмотрим две частицы в оболочке (п, /, /),
одну в состоянии |/1, mi), а другую в состоянии |/2, т2).
Плотности вероятности их нахождения изображены в разрезе
(аналогично орбиталям в химии) на рис. 8.9, б, причем штриховкой
выделена зона их перекрывания, а через 012 обозначен угол между
векторами ji и j2 х). С квантовой точки зрения остаточное взаимо-
действие между частицами даст наибольший эффект тогда, когда
перекрывание максимально. Это выполняется при 0i2=O или
612=л, т. е. в случае, когда векторы и j2 параллельны или анти-
параллельны, Равенство 0i2=O отвечает случаю, когда обе частицы
находятся в одном и том же состоянии I/, т) (т1=т2=т). Такая
конфигурация запрещена принципом Паули, если рассматривае-
мые частицы представляют собой идентичные фермионы. Случай
же 612=л разрешен, какова бы ни была система частиц: одна из них
находится в состоянии |/, т), а другая — в состоянии I/, —т)
—т2). Но тогда происходит спаривание, и мы имеем М12=
=ffli+m2=0, откуда и следует ожидаемое значение Ji2=0. В кор-
пускулярном представлении это означает, что спаренные нуклоны
Движутся по одной орбите в противоположных направлениях и
_ Векторы /\ и /2, изображенные на рисунке, имеют одинаковую длину, опре-
яемую квантовым числом /, но различные проекции на ось Oz, характеризуемые
числами т, и т2.~ Прим, перев.
52
ГЛ. 8. ЯДЕРНАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ
«размазываются» по этой незаполненной орбите так, что сохраняется
сферическая симметрия *) (рис. 8.9, в).
Благодаря такому «размазыванию» два нуклона могут даже пе- '
реходить из одной незаполненной орбиты в другую, соседнюю, так
как энергия спаривания — того же порядка величины, что и энер-
гетическое расстояние между двумя соседними оболочками, распо- I
ложепными по одну сторону от уровня Ферми. Это позволяет наг-
лядно объяснить, почему спаренное состояние /л=0+ при более
точном подходе следует рассматривать как смесь конфигураций,
для которых разность собственных значений Че, не превышает 2Д.
Например, хотя доминирующий вклад в волновую функцию ос-
новного состояния ядра м°Ро, рассматриваемую на основе оболо- ’
чечной модели, дает конфигурация (Л9/2)^+, но и амплитуды, отвечаю-
щие конфигурациям (Л/2)о+ и (t13/2) *+, не являются пренебрежимо
малыми. Точно так же обстоит дело и с теми ядрами, которые можно
рассматривать как магический ядерный остов с двумя дырками. На-
пример, доминирующий вклад в волновую функцию основного сос-
тояния ядра 826РЬ (ядро в°8РЬ минус 2 нейтрона) дает конфигурация
(Pi/2)^+, но и амплитуды конфигураций	(p3/2)rf и (йз/г)^
отнюдь нельзя считать пренебрежимо малыми. Это позволили уста-
новить реакции передачи.
Рассмотрим в качестве примера реакцию |°6Pb(d, р)2®7РЬ, в которой ядру
2оерь передается один нейтрон |72]. В рамках простой оболочечной модели основ-
ное состояние ядра 20вРЬ описывается конфигурацией (р1>2)^"+, и в силу принципа
Паули передаваемый нейтрон может оказаться: 1) либо на орбите Р,^, и при этом
заселяется основное состояние ядра 207РЬ, 2) либо на одной из орбит, расположен-
ных выше уровня Ферми ядра 2ОВРЬ, и тогда заселяются возбужденные состояния
gB 2’ *11 г... которым соответствует энергия возбуждения, превышающая
3 МэВ (см. рис. 7.5).
Но на самом деле, как показывает эксперимент, при такой реакции заселя-
ются также и все дырочные состояния ядра 207РЬ, представленные на рис. 7.6.
Это объясняется тем, что такое описание основного состояния ядра 206РЬ не сле-
дует в точности порядку заполнения оболочечной модели; взаимодействие спари-
вания приводит к распределению пар с моментом J12=0 по нескольким оболоч-
кам, расположенным по одну сторону от уровня Ферми. По интенсивности в пи-
ках, наблюдаемых при энергиях, соответствующих этим «дырочным состояниям»
ядра 207РЬ, можно вычислить амплитуды конфигураций (р1/2)^2- (/б/г)^2.....
участвующих в описании основного состояния ядра 206РЬ. В частности, экспе-
риментальные данные указывают на следующую форму волновой функции ос-
*) В этой модели минимальный интервал времени, разделяющий два таких
столкиовеиия, можно рассматривать как время, за которое иуклои с типичной
кинетической энергией ~20 МэВ совершает половину оборота вокруг ядра. В СЛУ‘
чае свинца, например, это дает А/—5-10-22 с. Отсюда находим ширину
соответствующего виртуального состояния: она равна ~1 МэВ.
§ 4. ЭФФЕКТ СПАРИВАНИЯ
53
новного состояния ядра гоеРЬ:
фо + (аоврЬ) = О,73<р®р+1	! + 0,444<р0+г)_.+
+ 0,345 <р°+ ,_г + 0,345?°1+	_ , + 0,173<р«+	„
( 3/J	( 13/2/	\ 7/2/
сумма весов наблюдаемых конфигураций взята равной единице. Иначе
в >ря, эксперимент указывает на то, что дне «нейтронные дырки» в состоянии
г j \_q могут быть обнаружены в оболочках, расположенных не слишком низко
по отношению к уровню Ферми. Например, оболочка р± 2 занята парой с моментом
j =0, с вероятностью 50% (0,732~0,5). Точно так же в оболочке f6/2, которая в
идеальном случае была бы полностью заполнена, на самом деле пара нейтронов с
вероятностью 18% может отсутствовать (в связи с чем оказывается возможной
передача нейтрона в эту оболочку). Другими словами, эта оболочка с вероятно-
стью 82% может быть занята парой нейтронов с моментом /12=0 Для следующих
оболочек вероятность отсутствия пары, естественно, становится все меньше и
меньше, или, что эквивалентно, для них становится все больше и больше вероят-
ность содержать пары.
В. Энергетическая щель четно-четных ядер
Во всех случаях, когда остаточное взаимодействие рассматри-
вается в рамках оболочечной модели, собственные состояния ядер-
ной системы оказываются комбинациями многих конфигураций
с близкими энергиями. Смесь конфигураций, которой описывается
основное состояние четно-четного ядра, обладает особыми свойст-
вами, которые позволяют объяснить существование «щели» в спект-
рах таких ядер (см. рис. 8.2). Об этих специфических свойствах
будет сказано в приложении к данной главе. Здесь же мы лишь
уточним понятие энергетической щели, для чего обратимся к
рис. 8.9, г.
На рис. 8.9, г представлен типичный пример, показывающий,
что расстояние 2Д между параболой, соединяющей четно-четные
ядра, и параболой, соединяющей нечетно-нечетные ядра, характе-
ризует также щель четно-четных ядер, на существование которой
указывалось в § 2. Когда четно-четному ядру, находящемуся в ос-
новном состоянии, передают энергию, превышающую 2Л, обнару-
живается большое число близких уровней, плотность которых
сравнима с плотностью состояний вблизи основного состояния не-
четно-нечетных ядер. В случае нечетно-нечетного ядра, фигуриру-
ющего на рис. 8.9, г, а именно ядра 'i!Sb, неспаренный протон на-
ходится в оболочке ^7/2, а неспаренный Нейтрон—в оболочке /гц/2.
Эти две частицы друг с другом не спарены, так как эти нуклоны не
одного и того же типа, да и движутся они по разным орбитам [73].
За счет сложения моментов только этих двух частиц возникает
° уровней с отрицательной четностью и спином в пределах от </МИн=2
Д0 ^макс==9, для которых
л=(—I)4 •(—1)’=—1,	II1/2—7/2KJ^l 1/2+7/2.
54
ГЛ. 8. ЯДЕРНАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ
Но к этому добавляются еще и другие мультиплеты, возникающие
за счет близких по энергии конфигураций, в связи с чем в непос-
редственной близости от основного состояния Jn=2~ ядра 12(Sb
наблюдается большое число близких уровней. В случае же сосед-
них четно-четных ядер основное состояние лежит на 2Д ниже гра-
ницы области близких уровней; это выглядит так, как будто при
спаривании двух одинаковых нуклонов высвобождается энергия,
равная 2Д. Таким способом можно учесть тот факт, что спектр
четно-четных ядер становится похожим на спектр нечетно-нечет-
ных ядер лишь выше щели. В нечетно-нечетном ядре внешний про-
тон и внешний нейтрон не спариваются друг с другом, а поэтому,
чтобы перевести в такое же состояние два тождественных нуклона
четно-четного ядра, нужно разрушить пару, затратив энергию.
Поскольку в щели расположены лишь коллективные состояния,
вывод таков: чтобы разрушить пару, нужно затратить энергию,
равную 2Д.
Механизм, лежащий в основе эффекта спаривания, в настоящее
время хорошо установлен; о нем мы скажем несколько слов в при-
ложении к данной главе. Сейчас же мы покажем, как при учете
этого эффекта упрощается интерпретация низкоэнергетических уров-
ней в спектре нечетных ядер.
§ 5.	Спектры сферических нечетных ядер
Спектроскопические характеристики нечетных ядер в значи-
тельной мере определяются свойствами неспаренного нуклона.
В отношении низкоэнергетических состояний спаренные нуклоны в
какой-то мере играют роль остова в основном состоянии 0+ четно-
четного ядра. На рис. 8.10, а представлена та последовательность
уровней нечетных изотопов свинца, которая должна была бы на-
блюдаться, если бы это были уровни неспаренного нуклона, свя-
занного с (полностью спаренным) ядерным остовом в состоянии 0ч.
При вычислении энергии этих одночастичных состояний последо-
вательность оболочек, представленная на рис. 7.5, была оставлена
без изменений. Например, ядро 2°|РЬ в основном состоянии содер-
жит один неспаренный нейтрон в оболочке /Б/2 (оболочка pi 2, за-
полненная двумя нейтронами в случае ядра 2£2РЬ, здесь пуста).
При заданной разности энергии между оболочками р1/2, f6/2 и р3 г
первое возбужденное состояние ядра |26РЬ мы получим, «подняв»
один нуклон из оболочки р3/2 в оболочку Д/г, которая тогда оказы-
вается заполненной. При этом должно возникнуть своего рода «ды-
рочное» состояние Рз/2 ядра 20тРЬ при энергии, равной разности
энергий уровней 3/2“ и 5/2“ (ср. рис. 7.5 и рис. 8.10). В рамках та-
йкой простой модели, переведя один нуклон из оболочки i13/2 в бо-
лее высокую оболочку /Б/2, мы получили бы «дырочное» состояние
1’13/2 с энергией, равной разности энергий уровней 5/2“ и 13 21
§5. СПЕКТРЫ СФЕРИЧЕСКИХ НЕЧЕТНЫХ ЯДЕР
55
РИС. 8.10. а — последовательность одночастичных уровней нечетных изотопов
свинца, соответствующая простейшей модели; б — экспериментальная последо-
вательность состояний; опа неплохо согласуется с последовательностью а, хотя
в ней имеются также состояния, отвечающие связи с коллективными степенями
свободы остова в состоянии последнего 2+. Сплошные линии — теоретические
кривые (приложение 8).
56
ГЛ. 8 ЯДЕРНАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ
ядра 20,РЬ. Однако имеется и более «экономный» способ возбужде-
ния — путем перевода неспаренного нуклона /Б 2 на более высокий
уровень plf2', это в известном смысле слова «частичное» состояние
энергия которого должна равняться разности энергий уровней
5/2" и 1/2“ ядра 2О’РЬ (ср. рис. 7.5 и рис. 8.11). Поэтому вторым воз-
бужденным состоянием должно быть состояние 1/2~, а состояние
13/2+ должно быть лишь третьим. Такова же процедура и для дру-
гих уровней, а также для спектров других изотопов, коль скоро
Незаполненное	Незаполненное	1	Незаполненное	
			мд
5	6	д	6
			
	3	4	ч
			Рй/2
	1Д	1Д	13	,
			'	’«/г
6	8	8	8
			
Основное	1-е возбужденное	2-е возбужденное	3-е возбужденное '
РИС. 8.11. Взаимнооднозначное соответствие, которое можно установить между
положением низкоэнергетических уровней и заполнением оболочек неспаренным
нуклоном в ядре f£5Pb. Цифрами слева указано число нейтронов в каждой оболоч-
ке. Частица обозначается крестиком, а дырка — штриховым кружком.
требуется получить только возбужденные состояния, содержащие
то же число спаренных нуклонов, что и в основном состоянии рас-
сматриваемого ядра [74].
На фиг. 8.10, б представлены характеристики некоторых уров-
ней, наблюдающихся экспериментально. Изменение положения
уровней 1/2“, 5/2", 13'2+ и 7/2“ (соединенных отрезками прямых)
довольно хорошо передает ситуацию, описанную выше. Конеч-
но, расстояния между уровнями оказываются не совсем теми, ка-
кими они должны были бы быть соответственно простой модели, на
основе которой была построена схема уровней рис. 8.10, а. Но со-
гласие с экспериментом можно улучшить, если более последователь-
но учесть остаточное взаимодействие спаривания (приложение 8).
Что же касается дополнительных уровней, фигурирующих на
рис. 8.10, б, то они соответствуют состояниям, возникающим из-за
связи неспаренного нуклона с коллективными степенями свободы
ядерного остова. Здесь ситуация не столь проста, как в идеальном
случае четырех изотопов, соседних с ядром |"8РЬ, так как первое
возбужденное состояние (2+) ядерных остовов 2«вРЬ, ГРЬ, . . .
имеет меньшую энергию, нежели состояние 3 ядра 1“РЬ (см.
рис. 8.6). Очевидно, что подобный анализ, сложный даже в случае
§6. ДЕФОРМИРОВАННЫЕ НЕЧЕТНЫЕ ЯДРА
57
сферических ядер, становится все более и более трудным при уда-
пении от магических ядер. Чем больше плотность уровней, тем
менее «чистой» становится волновая функция каждого из состояний.
§ 6.	Деформированные нечетные ядра
Можно, однако, предложить простую схему и для описания спект-
ров ядер, в которых число нейтронов и протонов промежуточное
между двумя соседними магическими числами. Это относится к яд-
рам со значительными деформациями, типичным примером которых
могут служить изотопы редкоземельных и актинидных элементов.
На рис. 8.12 представлен пример экспериментально наблюдающейся
последовательности уровней, из которой с очевидностью вытекает
следующая закономерность: каждому одночастичному состоянию
соответствует своя вращательная полоса.
В случае деформированных ядер найти одночастичные состоя-
ния, вообще говоря, труднее, чем в случае сферических ядер. Дело
в том, что угловой момент одиночного нуклона в несферическом
среднем потенциале не является интегралом движения (гл. 7, § 2,
п. А), а поэтому нельзя непосредственно применить процедуру,
изложенную в гл. 7. Ее заменила приближенная модель Нильссона
[75], родственная оболочечной модели. Суть модели в том, что по-
тенциал изотропного гармонического осциллятора та%г2/2 заме-
няется потенциалом гармонического осциллятора с цилиндрической
симметрией
— т [со2 (х'2 + у'2) + со£?'2] = у шсо2г'2—у т (со2—со|) г'2.
Член, содержащий г'2, снимает (2/-! 1 [-кратное вырождение обо-
лочек сферического поля. Тем не менее, как следует из теоремы
Крамерса, остается двукратное вырождение: в каждой оболочке
эллипсоидального поля могут быть только два тождественных нук-
лона — один, движущийся в одном направлении, а другой — в про-
тивоположном. Что же касается физически наблюдаемых состоя-
ний, то это не сами «внутренние» состояния модели Нильссона, а
состояния вращательных полос, построенных на каждом из них.
Лишь последние суть собственные состояния оператора полного
момента количества движения.
С коллективным движением вращения связаны особые кинемати-
ческие эффекты. В частности, сила Кориолиса, которая действует
Па неспаренный нуклон, увлекаемый вращающимся ядерным осто-
вом, может оказать весьма заметное влияние на последовательность
физических состояний. Такой эффект инерции особенно значителен
в случае ротационных полос, построенных на внутреннем состоя-
нии 1 2. Он очень четко виден на рис. 8.12. Заметным образом про-
является и влияние центробежной силы, примером чему может слу-
58
ГЛ. 8. ЯДЕРНАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ
жить эффект «обратного загиба» (back banding). Он возникает, когда
энергия вращения достаточно велика для распаривания нуклонов.
Если принять, что разрушения одной пары достаточно для перехода
2832,5
22(3,2
1661,3
1186,6
706,9
А98,4
293,9
182,2
РИС. 8.12. Схема уровней ядра ЫБТт, установленная с помощью реакции 1в5Но
(а, 4n)le6Tm. Для ясности вращательные полосы, отвечающие разным внутренним
состояниям, разделены. Стрелками указаны у-переходы в ядре после реакции.
Энергия дана в килоэлектронвольтах.
момента инерции ядра от своего «сверхтекучего» значения к зна-
чению для твердого эллипсоида, то разрушение пары будет
происходить при значении спина J, удовлетворяющем соотношению
2^J(J+1)«2^J(J + 1) + 2A,	<8’5)
(5 7. ВЫВОДЫ
59
е 2'Д — энергия, необходимая для разрушения пары. Таким обра-
зом в рассматриваемой модели во вращательной полосе должны
происходить нарушения интервалов при спинах, превышающих
то значение, которое дается соотношением (8.5). Чтобы оценить
порядок величины, положим 2Д«24Л~1/3 и «3^=2Л4Д2 6.
Получим J&Q,7A6/1а, что для редкоземельных элементов составля-
ет приблизительно 10.
§ 7.	Выводы
В данной главе мы намеренно «упростили» ядерные спектры, что-
бы подчеркнуть аналогию с другими областями спектроскопии.
Приступая к этой главе, мы уже знали о возможности одночастичной
(т. е. на языке частиц или дырок) интерпретации состояний ядра,
так как справедлива модель оболочек для сферических ядер, кото-
рая была подсказана атомной физикой. В частности, мы отметили,
что основное состояние дважды магического ядра представляет со-
бой удобную систему привязки (или, иначе говоря, достаточно
хороший вакуум частично-дырочных возбуждений), так как суще-
ствует большой скачок в энергии при переходе от верхней из запол-
ненных оболочек этого ядра к низшей из пустых оболочек, а сле-
довательно, для создания в этом ядре одного частично-дырочного
возбуждения нужно затратить «большую» энергию. Тем не менее
собственные состояния оболочечной модели — это всего лишь пер-
вое приближение (или, как еще говорят, это хороший базис для
сферических ядер). Чтобы получить следующее приближение, учтя
наличие остаточного взаимодействия, часто приходится в качестве
собственных состояний ядерной системы брать комбинации (смеси)
конфигураций (это означает, что разложение физических состоя-
ний по базису оболочечной модели содержит не один, а несколько
членов). Но существование значительного по своей величине эф-
фекта спаривания облегчает классификацию собственных состоя-
ний.
Действительно, оболочечная модель уподобляет ядерную мате-
рию квантовой жидкости при низкой температуре, а точнее говоря —
вырожденному ферми-газу. Между тем в 1956 г. микроскопическая
теория сверхпроводимости некоторых конденсированных сред при
низких температурах привела к заключению, что остаточное взаимо-
действие притяжения (обусловленное присутствием ионов), про-
являющееся в вырожденном газе электронов проводимости, вызывает
спаривание электронов и производит благодаря этому переход в
когерентное, а именно в сверхпроводящее состояние среды. По
аналогии можно объяснить и специфические свойства основного
состояния Д' =0+ четно-четных ядер, а именно: если в ядерном
ферми-газе «включить» остаточное взаимодействие притяжения меж-
ДУ Двумя тождественными «частицами» (взаимодействие спаривания),
60
ГЛ- 8. ЯДЕРНАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ
то мы придем к когерентному состоянию со спаренными нуклонами,
каковым является основное состояние Ул =0+ четно-четных ядер.
Тогда логично отсчитывать элементарные возбуждения системы от
этого состояния (эти возбуждения называют «квазичастицами»).
И действительно, состояние со спаренными частицами целесообраз-
но рассматривать как своего рода систему отсчета (хороший вакуум
«квазичастиц»), так как в спектрах четно-четных ядер имеется
довольно широкая «щель», а это означает, что для разрушения па-
ры или, иначе, для двухквазичастичного возбуждения необходима
«большая» энергия. И все же собственные состояния «оболочечной
модели со спариванием» — это всего лишь второе приближение (эти
так называемые собственные состояния БКШ, которые определяют-
ся в приложении к данной главе, составляют более адекватный ба-
зис, нежели собственные состояния оболочечной модели). В следую-
щем приближении кроме спаривания учитываются другие типы
остаточного взаимодействия, а в качестве собственных функций
ядерной системы часто приходится брать смеси конфигураций
«оболочечной модели со спариванием» (иначе говоря, в разложение
физических состояний по базису БКШ входит несколько квазичасти-
чных состояний). Такова основа, на которой делались попытки
учесть коллективные состояния.
Когда такие состояния были обнаружены, их интерпретация сна-
чала основывалась на аналогии с молекулярной физикой (враща-
тельные и вибрационные полосы) и частично с физикой твердого
тела (фононы). Их описание в рамках вращательных и вибрацион-
ных моделей называется «макроскопическим», так как в нем нашла
отражение модель жидкой капли, из которой берутся параметры
энергии поверхностного натяжения, энергии электростатического
давления, энергии вращения как функции момента инерции и т. д.
Позже были сделаны попытки «микроскопической» интерпретации
коллективных состояний. В них за основу была взята оболочеч-
ная модель, из которой были заимствованы параметры одночастич-
ных энергий, энергии спаривания и т. д. Но далее возникает во-
прос: коль скоро при учете остаточного взаимодействия спаривания
на основе оболочечной модели мы получили когерентное состояние,
то почему бы не построить когерентные состояния при учете других
типов остаточного взаимодействия на основе «оболочечной модели со
спариванием»? Как мы уже указывали, в отношении вибрационных
состояний намечается положительный ответ, подсказанный физикой
твердого тела [64в], в которой такие коллективные типы колеба-
ний получили название «плазмонов» (по аналогии с физикой плаз-
мы). Что же касается микроскопической интерпретации вращатель-
ных состояний, то здесь картина слишком сложна, чтобы ее описы-
вать в данной книге.
В заключение подчеркнем, что два описания ядерной системы,
микроскопическое и макроскопическое, не противоречат друг дру-
§7. ВЫВОДЫ
61
гу, но дополняют. Микроскопические модели так относятся к мак-
роскопическим, как статистическая механика (или даже кинетиче-
ская теория газов) относится к макроскопической термодинамике или
как атомная теория строения материи относится к классической ме-
ханике систем. И никто не может сказать, что идеи атомной струк-
туры закрывают путь термодинамике и механике. Аналогии, ко-
торые используются в двух указанных описаниях ядерной системы,
проистекают из одного корня — решения проблемы многих тел.
Их успех означает, что приближенные решения этой проблемы (по-
лученные на основе моделей) даются сходными математическими
моделями независимо от того, идет ли речь об описании макроскопи-
ческой или микроскопической системы частиц с сильным, электро-
магнитным или гравитационным взаимодействием. Будучи системой
конечного числа элементов, между которыми существует сильное
взаимодействие, ядро занимает особое место в той цепи, которая
идет от конденсированных сред к фундаментальным частицам.
Успех ее аналогий с конденсированными средами, т. е. макроскопи-
ческими системами элементов с электромагнитным взаимодействием,
возможно, позволит перебросить мост от таких сред к фундамен-
тальным частицам, т. е. микроскопическим системам элементов с
сильным взаимодействием.
Приложение 8
ПОНЯТИЕ КОГЕРЕНТНОГО СОСТОЯНИЯ
С самого начала главы мы говорили в основном о трех типах
состояний: одночастичных, коллективных и об одном особом сос-
тоянии — спаренном состоянии 0+ четно-четных ядер. Природа
последнего стала ясна с 1957 г., когда была создана теория явлении
сверхпроводимости, наблюдающихся в некоторых средах при низ-
ких температурах. Поэтому мы качественно рассмотрим основные
моменты такой аналогии.
§ 1.	Сверхпроводимость и сверхтекучесть
В 1911 г. Камерлинг-Оннес заметил, что при температурах, близ-
ких к абсолютному нулю, сопротивление некоторых проводников
для постоянного тока падает почти до нуля. Позже было эксперимен-
тально установлено, что при некой критической температуре Тс
происходит фазовый переход второго рода, возвращающий систему
из сверхпроводящего состояния в нормальное, т. е. проводящее
состояние. Это означало, что ниже температуры Тс существует фаза
электронов, когда ток может циркулировать практически без дис-
сипации энергии, т. е. так, что электронная «жидкость», существую-
щая в этой фазе, не теряет энергии за счет передачи ее среде. Иссле-
дования в данном направлении привели в конце концов к тому, что
в 1957 г. в физике твердого тела уже существовала удовлетвори-
тельная теория сверхпроводящего состояния, построенная благода-
ря аналогии с теорией явления сверхтекучести жидкого гелия-4
при низких температурах.
В самом деле, при низких температурах в жидком гелии тоже
происходит фазовый переход второго рода. В частности, ниже не-
которой критической температуры Т'с часть жидкости приобретает
способность течь без вязкости. Это так называемая сверхтекучая
фаза, образованная атомами гелия-4 в конденсированном состоя-
нии Бозе — Эйнштейна. При абсолютном нуле атомы гелия-4,
которые, будучи бозонами, не подчиняются принципу Паули, все
находятся в одном и том же квантовом состоянии, а при темпера-
туре Т, отличной от нуля, но не превышающей критической темпе-
ратуры Т'с, в этом конденсированном состоянии остается достаточ-
но много атомов, чтобы мог наблюдаться эффект сверхтекучести.
Образно говоря [76а], пока системе не сообщат энергию, необходи-
мую для того, чтобы «отделить от этой фазы» один атом 4Не, все
ПРИЛОЖЕНИЕ 8. ПОНЯТИЕ КОГЕРЕНТНОГО СОСТОЯНИЯ
63
атомы, составляющие ее, вынуждены перемещаться как одно целое,
так как в конденсированном состоянии у них один и тот же импульс
(все они находятся в одном и том же квантовом состоянии). Таким
образом, здесь мы имеем дело с макроскопическим проявлением
квантового эффекта, о чем свидетельствует еще и тот факт, что жид-
кий гелий-3 остается вязкой жидкостью (атомы гелия-3 — это не
бозоны, а фермионы).
Между поведением сверхтекучей фазы и поведением сверхпро-
водящей фазы аналогия совершенно явная: в обоих случаях мы име-
ем дело с циркуляцией жидкости без трения, т. е. без диссипации
энергии. В случае сверхтекучести, как мы только что говорили,
это связано с сущностью конденсированного состояния. Оставалось
выяснить природу квантового состояния системы электронов, уча-
ствующих в образовании сверхпроводящей фазы. Неполнота ана-
логии состояла в том, что электроны в проводнике образуют вы-
рожденный ферми-газ, а не газ бозонов, так что их поведение на
первый взгляд должно быть аналогично поведению жидкого гелия-3.
Под влиянием толчка, который дали Лондон и Ландау, был сделан
первый шаг: в кристаллической решетке твердого проводника, ко-
торый может переходить в сверхпроводящее состояние, ионы по-
рождают остаточное взаимодействие притяжения, достаточно силь-
ное для того, чтобы электроны связывались в пары, когда энергия
тепловых колебаний меньше kTc. В противоположность этому меж-
ду двумя атомами 3Не не существует достаточно сильного взаимо-
действия притяжения, которое сделало бы возможной сверхте-
кучесть этой жидкости, по крайней мере при тех температурах,
при которых наблюдается сверхпроводимость х).
Качественно можно объяснить [76а] свойства сверхпроводящих
сред, приписав электронным парам роль бозонов сверхтекучей фа-
зы жидкого 4Не. Это означает, что мы рассматриваем спаренные
электроны как связанное состояние с 7=0, и это оправдывается тем,
что для разделения пары нужна довольно большая энергия, соот-
ветствующая «энергетической щели» сверхпроводника. Таким обра-
зом, если система не получает энергии, необходимой для перевода
двух электронов из спаренной (сверхпроводящей) фазы в нормаль-
ную (проводящую) фазу, спаренные электроны находятся в «кон-
денсированном» состоянии и их движение есть движение совокуп-
ности электронов, перемещающейся как одно целое. Здесь мы снова
имеем дело с квантовым эффектом и его макроскопическими прояв-
лениями, такими, как отсутствие электросопротивления, сущест-
вование «энергетической щели», эффект Мейсснера [76а] и обнару-
женный сравнительно недавно эффект Джозефсона [76а].
) По последним данным [77], гелнй-3 обнаруживает сверхтекучесть при тем-
пературах, меньших 0,003 К.
64
ГЛ 8. ЯДЕРНАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ
§ 2.	Возбуждения спаренного состояния
Подход, основанный на том, чтобы рассматривать электронные
пары как бозоны, не дал возможности количественно описать экс-
периментально наблюдаемые эффекты, и лишь более строгая теория
Бардина, Купера и Шриффера (1957 г.) *) справилась, наконец,
со всеми трудностями, существовавшими в теории явления сверх-
проводимости с 1911 г. В ней используются методы решения проб-
лемы N тел, изложение которых выходит за рамки данной книги,
так что мы укажем, лишь, что они приводят к тем же выводам, что
и метод аналогий, излагавшийся выше, в том смысле, что они в
итоге тоже приводят к когерентному, упорядоченному движению
индивидуальных объектов, составляющих сверхпроводящую фазу.
Несколькими месяцами позже появления теории БКШ «полидис-
циплинарная» группа исследователей [76в] ввела понятие энергети-
ческой щели четно-четных ядер и на основе этой аналогии предло-
жила перенести математические методы, разработанные в физике
твердого тела, в ядерную физику, чтобы количественно учесть эф-
фекты остаточного взаимодействия спаривания. Это привело к ус-
пешной интерпретации не только элементарных возбуждений ядер-
ной среды, но и вероятностей а-, 0- и у-переходов, вероятностей
возбуждения в ядерных реакциях, моментов инерции деформирован-
ных ядер и т. д.
В теории БКШ базисом функций для ядерной системы служит
уже не базис оболочечной модели, т. е. набор собственных состоя-
ний модельного гамильтониана Нп [формула (7.4)], а тот, который
непосредственно учитывает эффект спаривания, а именно набор
собственных состояний гамильтониана Ha-\-hp, где hp— остаточное
взаимодействие спаривания. Этот так называемый базис БКШ
учитывает остаточное взаимодействие спаривания в том смысле, что
1) соответствующее ему основное состояние четно-четных ядер имеет
квантовые характеристики О+ и является «конденсированным»
состоянием, т. е. таким, в котором нуклоны движутся когерентно,
упорядоченно, и 2) низшие «одночастичные» возбужденные состояния
таких ядер отвечают разрыву пары, а потому их энергия должна
быть больше 2А. [Эти состояния возникают благодаря связи двух
элементарных возбуждений (по отношению к спаренному состоя-
нию) и называются квазичастичными.]
Остановимся еще на определении квазичастицы. Мы будем отож-
дествлять ее с элементарным возбуждением по отношению к спа-
ренному основному состоянию четно-четных ядер (называемому
квазичастичным «вакуумом»), которое выбирается в качестве состоя-
ния отсчета. Здесь как бы обобщается понятие частичных и дыроч-
ных возбуждений, определенных относительно основного состоя-
х) А также Н. Н. Боголюбова.— Прим, перев.
ПРИЛОЖЕНИЕ 8. ПОНЯТИЕ КОГЕРЕНТНОГО СОСТОЯНИЯ
65
ния дважды магических ядер, взятого за состояние отсчета. Чтобы
уточнить данное определение, скажем, что если в пренебрежении
энергией спаривания энергия частицы или дырки в заполненной
оболочке / равна е7, то в теории БКШ, учитывающей эффект спа-
ривания, соответствующему элементарному возбуждению (квази-
частице /) приписывается энергия
(8.6)
Убедимся, что это согласуется с экспериментом. В частности, ясно,
что возбужденные состояния четно-четных ядер, отвечающие раз-
рушению одной-единственной пары,— это двухквазичастичные сос-
тояния (эквивалентные частично-дырочным состояниям в случае
дважды магического ядра), так что если полностью пренебречь
взаимодействием этих двух квазичастиц, то такие состояния могут
лежать на рис. 8.2 и 8.9 только выше некой минимальной энергии
2А (т. е. 2е7 при е/=0). В противоположность этому в нечетных ядрах
возбужденные состояния одночастичной природы представляют
собой, очевидно, одноквазичастичные состояния (эквивалентные
состояниям с одной частицей или с одной дыркой системы: дважды
магическое ядро плюс-минус 1 нуклон) Поскольку в основном сос-
тоянии нечетного ядра имеется одна неспаренная частица, играю-
щая роль квазичастицы с минимальной энергией А [нужно положить
е7=-0 в формуле (8.6)], положение (относительно основного состоя-
ния) его возбужденных одноквазичастичных уровней дается выра-
жением (6е)7=е7—A=J^е27+А2—А. На практике это не намного
отличается от энергии е7, но важно то обстоятельство, что в прене-
брежении остаточным взаимодействием между квазичастицами по-
явления трехквазичастичных состояний можно ожидать лишь выше
энергии 2А. Именно это и показывает эксперимент, о чем, в частно-
сти, свидетельствует интерпретация данных рис. 8.10, где мы мол-
чаливо предполагали, что возбужденные состояния нечетных изо-
топов свинца — это одноквазичастичные состояния. Кроме того,
на рис. 8.10,6 мы видим, что теория БКШ (линии, соединяющие
собственные значения энергии У е72+А2—А, отсчитанные от энер-
гии основного состояния) лучше согласуется с экспериментом, не-
жели простая модель оболочек (см. рис. 8.10, а, где представлены
лишь энергии е7, найденные для ядра 207РЬ). Это объясняется тем,
что повсеместно выполняется неравенство Ке72+А2—А<е7.
В связи со сказанным отметим, что формула (8.6) приводит к
е7~е7 только при е7|>Л. По этой причине в учебных пособиях ввод-
ного характера принято говорить, что квазичастица, находящаяся
значительно выше (или значительно ниже) уровня Ферми, экви-
валентна элементарному возбуждению с участием просто «частицы»
(или «дырки»). Но педагогическая ценность такого упрощенного
толкования сомнительна, поскольку понятие квазичастицы имеет
3 As 2114
66
ГЛ. 8. ЯДЕРНАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ
реальный физический смысл только в непосредственной близости
от уровня Ферми [76 г]. Поэтому читателю, желающему лучше ра-
зобраться в данном вопросе, мы рекомендуем обратиться к работам
специального характера [76д]*).
§ 3.	Модельный расчет
Не вникая в технику решения проблемы N тел, можно объяс-
нить механизм спаривания, перефразировав схему рассуждений
Купера [766], относящихся к сверхпроводимости. Рассмотрим систе-
му из двух тождественных нуклонов, между которыми имеется «ос-
таточное взаимодействие», и остова с полностью заполненными
оболочками. Нас будут интересовать прежде всего связанные сос-
тояния 0+ такой ядерной системы (т. е. дважды магического ядра
плюс 2 тождественных нуклона). Разложим волновые функции
этих состояний по базису конфигураций оболочечной модели:
<+=2«>.	(8.7)
где волновая функция, отвечающая конфигурации двух тож-
А
дественных нуклонов (без остаточного взаимодействия) с характе-
ристиками Jn=0+, находящихся в оболочке jk (т. е. соответству-
ющая конфигурации [(/ft)2](H).
Чтобы найти собственные состояния такой системы, нужно ре-
шить уравнение Шредингера
+	=	(8.8)
где V—остаточное взаимодействие, а Еа—собственная энергия,
соответствующая волновой функции фа+. Разлагая последнюю со-
гласно (8.7) и проецируя затем на ортонормированный базис обо-
лочечной модели, получаем
2e/ftcg + 2	*' = E^ck.	(8.9)
где 2e?fc=((/ft)2, 0+|//о| (/fe),2 0+) есть энергия (отсчитываемая от
уровня Ферми) двух нуклонов в конфигурации (/ft) 2, a fc.=
= ((/ft)2, 0+1VI (/ft.)2, on есть матричный элемент оператора спа-
ривания.
Вообще говоря, уравнение (8.8) приходится решать численными
методами, но для того, чтобы можно было проанализировать конеч-
ные решения, мы предположим, что потенциал остаточного взаимо-
действия Vft.ft. можно представить в факторизованной форме
Vft.ft. = Gt>fct>;,,	(8.10)
где G — константа связи, характеризующая величину остаточного
х) А также [170].— Прим, перев.
ПРИЛОЖЕНИЕ 8. ПОНЯТИЕ КОГЕРЕНТНОГО СОСТОЯНИЯ 67
взаимодействия. Тогда уравнение (8.9) примет вид
(2e/ft—Еа) с% = — Gvk 2 Ck-Vk',
откуда коэффициенты с%:
<8-">
где к — константа, которая определяется выражением
Я=2Ф^'-	<8-12)
/г'
Кроме того, подставив (8.11) в (8.12), получим соотношение
k	к
которое позволяет найти искомые собственные значения путем
графического решения уравнения
7=УгСэф(^	(8.13)
k	R
На рис. 8.13 представлен график функции Ф (Е). Каждый раз, когда
энергия Е пробегает одно из значений 2e/ft, функция Ф (Ё) претер-
РИС. 8.13. Собственные значения энергии определяются точками пересечения
кривой Ф (£) с горизонтальной прямой Ф (£)= 1/G.
певает скачок от —сю до +оо. Что же касается собственных зна-
чений энергии, то они даются точками пересечения прямой 1/G с
кривой функции Ф(Е). В случае притягивательного взаимодействия
константа связи G отрицательна и энергия основного состояния
тем меньше, чем больше абсолютная величина G, а остальные сос-
тояния заключены в интервале между энергиями 2&j _j и 2е» двух
соседних конфигураций.
Точнее говоря, график рис. 8.13 показывает, что в случае оста-
точного взаимодействия притяжения основное состояние, посгро-
з*
68
ГЛ. 8. ЯДЕРНАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ
енное из функций конфигураций [(/д)210ч-» есть связанное состояние
(£а<0) по отношению к энергиям 2e,ft этих конфигураций. Следова-
тельно, можно сказать, что это есть связанное состояние двух эле-
ментарных возбуждений оболочечной модели с характеристиками
Jn=0+, и притом это состояние — «когерентное», т. е. конструк-
тивная линейная суперпозиция всех вместе взятых элементар-
ных возбуждений, участвующих в его образовании. В правиль-
ности последнего утверждения нетрудно убедиться, предположив,
например, что все величины vk действительны и одного знака. Тогда
из соотношения (8.11) явствует, что все амплитуды конфигура-
ций [(/ft)2l0+, участвующих в образовании рассматриваемого состоя-
ния,— величины одного знака, поскольку для этого особого (в смыс-
ле его единственности) состояния энергия Еа на рис. 8.13 всегда
лежит слева от 2e/ft, каково бы ни было число k. Такие рассуждения
носят качественный характер (см. § 4, п. Б данной главы), но они
хороши тем, что показывают, как в результате остаточного взаимо-
действия притяжения между двумя идентичными элементарными
возбуждениями оболочечной модели образуется (особое и когерент-
ное) состояние спаривания. Этот специальный вид остаточного вза-
имодействия, называемый взаимодействием спаривания, мы, чтобы
избежать путаницы, в следующем параграфе будем обозначать через
§ 4.	Коллективные состояния
Хотя сумма Ha-{-hp дает лучшее приближение к ядерному га-
мильтониану, чем один оператор Но, это не освобождает нас от необ-
ходимости учитывать и другие виды остаточного взаимодействия, в
частности те, которым обязаны своим существованием коллективные
состояния. После того как удалось учесть взаимодействие спа-
ривания, стали использовать и другие типы остаточного взаимо-
действия, выбирая в качестве базиса функции БКШ (т. е. собствен-
ные функции оператора H0+h^, что лучше, чем базис оболочечной
модели (собственные состояния гамильтониана Но), так как с самого
начала учитывается эффект спаривания. Это позволило в какой-то
мере понять механизм образования некоторых коллективных состоя-
ний и, в частности, причины упорядоченного движения нуклонов.
Например, метод, использованный при анализе спаривания в рам-
ках чисто оболочечной модели (см. предыдущий параграф), можно
применить и к другому виду остаточного взаимодействия, называе-
мому квадрупольный взаимодействием, используя в качестве ба-
зисных функций БКШ. Это позволило построить из двух квазичас-
тичных конфигураций с моментом и четностью 2+ (имеющих в от-
сутствие остаточного взаимодействия между квазичастицами энер-
гию, большую 2Д) когерентное состояние (т. е. конструктивную
линейную суперпозицию этих конфигураций), расположенное не-
ПРИЛОЖЕНИЕ 8. ПОНЯТИЕ КОГЕРЕНТНОГО СОСТОЯНИЯ
69
обычайно низко по сравнению с другими состояниями 2+, внося-
щими вклад в те состояния на рис. 8.3 и 8.9 , которые лежат в обла-
сти с большой плотностью уровней, так что оно оказывается далеко
внутри энергетической щели. Напрашивается мысль идентифици-
ровать это особое состояние, в котором нуклоны движутся когерент-
но, с первым состоянием 2+ сферических четно-четных ядер (сос-
тоянием квадрупольных колебаний). Его можно было бы тогда рас-
сматривать как связанное состояние двух квазичастиц с Jn=2+
примерно в том смысле, в каком мы могли считать спаренное состоя-
ние 0+ связанным состоянием элементарных возбуждений оболо-
чечной модели с квантовыми характеристиками Jn=0+.
Надежды на успешную «микроскопическую» интерпретацию кол-
лективных мод появились до подобного истолкования состояний
2+ квадрупольных колебаний. Основания для такой надежды сле-
дует искать в успешном анализе состояний дипольных колебаний,
изложенном в работах [71] (см., в частности, [716, 71в)]. Что же
касается вращательных состояний, то здесь математическая трак-
товка сложнее вследствие отсутствия сферической симметрии у де-
формированных ядер.
УПРАЖНЕНИЯ
8.1.	Как можно измерить линейную скорость v=v>R светящегося точечного объек-
та, вращающегося вокруг точки О? Объясните, почему по спектру, соответствую-
щему закону 1 (/+1), некой квантовой системы нельзя определить линейную ско-
рость Vi=<£>rt составляющих ее частиц. Как можно было бы измерить линейную
скорость о(=(ог,- радиоактивого ядра, входящего в состав «меченой» молекулы?
8.2. В библиотеках многих вузов имеется книга Ледерера, Холландера и Перлмана
«Таблицы изотопов» (Lederer С. М., Hollander J. М., Perlman I., Table of Isotopes,
6th edition, Wiley, New York, 1967). Попробуйте интерпретировать приведенные
в ней схемы уровней. Найдите в этих схемах вибрационные, вращательные спект-
ры, состояния оболочечной модели.
8.3	Первое возбужденное состояние ядра 3«Sr есть состояние 2+, лежащее на
1,84 МэВ выше основного состояния 0+. Это вращательное или колебательное со-
стояние?
а)	Основным состоянием соседнего нечетного ядра 89Y является состояние
1/2~, а первым возбужденным состоянием — состояние 9/2+ с энергией 0,91 МэВ.
Интерпретируйте эти состояния, исходя из оболочечной модели.
б)	Следующие два уровня 3/2" и 5/2“ имеют энергию, равную 1,51 и 1,74 МэВ.
Допускают ли они интерпретацию в рамках оболочечной модели и какую? Не лучше
ли рассматривать их как состояния слабой связи? Обоснуйте. Какие ядерные ре-
акции позволили бы выбрать из двух указанных интерпретаций более правиль-
ную?
в)	Последовательность состояний (7Л; Е, МэВ) ядра ®°Zr такова: (0+; 0), (0+;
1.75), (2+; 2.18), (5-; 2,32), (4-; 2,74), (3“; 2,75), (4+; 3,08); (6+; 3,45), (8+; 3,59) и
т. д. Начертите схему уровней в масштабе. Интерпретируйте ее, пользуясь харак-
теристиками основного состояния и первого возбужденного состояния ядра 88Y.
Для этого нужно пренебречь всеми типами остаточного взаимодействия и начер-
тить в выбранном масштабе уровни конфигураций (р1/2)2, (р1/2, gB/2)2 и fee/2)2-
Получите ли вы при этом характеристики Jn всех наблюдаемых уровней?
70
ГЛ. 8. ЯДЕРНАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ
После этого определите, какое влияние оказывает остаточное взаимодействие
на чистые конфигурации, а также иа те, которые могут быть смешанными, а имен-
но (Р1/2)о+ и (g9/2)o + -
г)	Понимая подО+ основное, а под0'+ —первое возбужденное состояние ядра
80*7*.	«	и
ао^г, покажите, что справедливы следующие выражения для их волновых функции:
q	b
^>с +	(fl2-}-/,2)1/2 Ф 1-^^1/2)0 + 3_^(а2_|_/,2)1/2 Ф [(^9/2)о+]>
V+ =(^^2)1/2 Ф [(2Р1/2)о2> + ] + ~8 +°2)1/2 Ф [О W4
д)	Покажите, что отношение вероятностей "р-переходов с уровня 2+ на уровни
0+ и 0'+ таково:
Р(2-->0+) ~<3400
Р(2+—>0'+) ~ а2
е)	Вычислите отсюда а и Ь, используя относительные вероятности, указанные
на рис. 3.2, а именно -—100% для перехода с уровня 2,18 МэВ и ~0,1% для пере-
хода с уровня с энергией 2,18 МэВ (на уровень с энергией —1,75 МэВ).
11 МэВ--------------4+
3 МэВ--------------2+
О--------------0+
§Ве
ж)	Какие ядерные реакции нужно было бы привлечь для проверки правиль-
ности ваших вычислений? Что при этом должно наблюдаться?
8.4.	Состояние 7/2_(£= 2,34 МэВ) ядра 2в2РЬ распадается путем £2-перехода час-
тично на уровень 5/2“ (£=0,57 МэВ) и частично на уровень 3/2- (£=0,89 МэВ).
Относительные вероятности распада равны 98 и 2%.
1)	Покажите, что эти вероятности распада не вполне согласуются с расче-
тами по одночастичной модели (дополнение 3, рис. 3.2).
2)	Почему это несогласие тем не менее объяснимо с точки зрения оболочечной
модели?
8.5.	При энергиях возбуждения, превышающих примерно 17 МэВ, плотность уров-
ней ядра аВе велика. Ниже этой энергии имеются только два уровня, характерис-
тики которых указаны на схеме.
1)	Дайте качественное объяснение такой картины. Каким образом можно было
бы показать, что эти первые уровни — начало вращательной полосы?
2)	В данном случае удобно воспользоваться «a-частичной моделью», в которой
ядро ®Ве рассматривается как «двухальфачастичная квазимолекула», т. е. как
система двух а-частиц, образующих гантель. Какое нужно взять в этой модели
ПРИЛОЖЕНИЕ 8 ПОНЯТИЕ КОГЕРЕНТНОГО СОСТОЯНИЯ
71
относительное расстояние между двумя а-частицами, чтобы получить эксперимен-
тальное значение энергии возбуждения уровня 2+? Приемлемо ли полученное зна-
чение радиуса ядра 4Ве?
3)	Какой должна быть в рассматриваемой модели асимптотическая форма вол-
новой функции ядра 4Ве в основном состоянии? Исходя из этой формы, покажите,
что в основном состоянии ядра 4Ве энергия связи а-частиц друг с другом должна
быть не больше 0,5 МэВ Согласуется ли это с экспериментальным значением от-
ношения В!А для ядра 4Ве (см. рис. 4.3)? Объясните.
4)	Возбужденные состояния ядра 4Ве распадаются с испусканием а-частиц и
их среднее время жизни очень мало. Покажите, что рассматриваемая модель пред-
сказывает это, и для примера оцените время жизни и ширину уровня 4+, лежаще-
го иа 11 МэВ выше основного уровня.
5)	Ядро 4Ве в основном состоянии тоже испытывает а-распад с Q^~0,1 МэВ.
Объясните, почему это не противоречит модели.
8.6.	Исследование момента инерции.
1)	«Радиус» эллипсоидального ядра обычно записывают в виде
где ₽ — так называемый параметр деформации. Пользуясь обозначениями
рис. Е.2, покажите, что
D с—а л f 16л	с2—а2
Р-_ЗР7 V ~~,1явс2+а2'
2)	Покажите, что с точностью до членов второго порядка по р справедливы
выражения
о	9
<?собст = 7^= ZtfoP (1 +0,17₽),	MR2b (1 + 0,31 Р),
У 5л	0
где Ссобст — внутренний квадрупольный момент ядра, а — его момент инерции
относительно оси, перпендикулярной оси симметрии.
3)	На основании данных рис. Ж.З покажите, что даже для наиболее деформи-
рованных ядер выполняется неравенство Р<0,3. Покажите, что с точностью ± 10%
момент инерции ядер равен моменту инерции твердого однородного шара относи-
тельно оси, проходящей через его центр.
4)	Покажите, что для правильного описания вращательных спектров, пред-
ставленных на рис. 8.2, б, нужны моменты инерции, примерно в 3 раза меньшие
предыдущей теоретической оценки.
5)	Покажите еще, что скорость нуклонов, движущихся независимо (~2 с/10
при Ес~~20 МэВ), намного больше скорости при их коллективном движении
few/?). Исходя из этого, покажите, рассматривая средние по времени значения,
что в отсутствие корреляций между нуклонами (модель независимых частиц) все
происходит так, как если бы ядра были абсолютно твердыми.
6)	Далее объясните, почему можно прийти к согласию с экспериментом, при-
писав части ядерного вещества свойство сверхтекучести.
7)	Предположив, что свойство сверхтекучести исчезает, когда одна из пар
разрушается, определите, при каком значении спина должен наблюдаться твердо-
тельный момент инерции в случае ядер, представленных на рис. 8.2, б. Объясни-
те, в чем состоит эффект «обратного загиба» для этих ядер.
8.7.	В дополнении Е показывается, что квантовый объект в состоянии с задан-
ной четностью не может иметь электрического дипольного момента, если при взаи-
модействии, ответственном за структуру рассматриваемого объекта, сохраняется
четность. Тем не менее первое возбужденное состояние атома водорода характери-
зуется отличным от нуля дипольным моментом. Как это объяснить? Проведите ана-
логичные рассуждения в случае полярных молекул, вспомнив, что их вращатель-
72
ГЛ. 8. ЯДЕРНАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ
ные состояния обладают чередующейся четностью (0+, 1“, 2+, 3~, . . .) и разде-
лены энергетическими интервалами порядка 10-3 эВ (сравните с fe7’~ 1/40 эВ).
8.8.	1) Объясните, почему в вибрационной модели магнитный момент вибрацион-
ного состояния четно-четного ядра должен быть малым. Исходя из этого, покажите
качественно, что магнитный момент состояний мультиплета слабой связи в первом
приближении равен магнитному моменту внешнего нуклона, с которым связан
данный мультиплет.
2)	Объясните, почему во вращательной модели ^-фактор вращательного со-
стояния четно-четного ядра в первом приближении равен отношению ZlA. Как это
сказывается на магнитном моменте вращательных состояний нечетных ядер?
8.9.	Ядро 17F переходит из первого возбужденного состояния в основное состояние
5/2+ в результате у-перехода с энергией 500 кэВ. Время жизни этого возбужденно-
го состояния равно 0,42 нс. В рамках оболочечной модели покажите, что это, весь-
ма вероятно, £2-переход, и определите спин и четность распадающегося состоя-
ния. Если предположить, что мы имеем дело с однопротонным переходом, то каков
должен быть эффективный заряд этого протона, чтобы одночастичная оценка пол-
ностью согласовалась с экспериментальным значением?
Какой эффективный заряд нужно приписать внешнему нейтрону в ядре
17О, чтобы аналогичным образом интерпретировать переход с энергией 871 кэВ
между его основным состоянием 5/2+ и первым возбужденным состоянием со
средним временем жизни т=0,26 нс? Сравните со значениями, которые приводят-
ся в дополнении Е. § 1, п. Г.
8.10.	Первое возбужденное состояние ядра 1171п распадается с периодом 1,93 ч
частично путем электромагнитного перехода в основное состояние Jn=9/2+ этого
же ядра (относительная вероятность 47%), а частично — путем 0-перехода в ос-
новное состояние ядра 1,7Sn (относительная вероятность 37%) и в первое воз-
бужденное состояние этого ядра (относительная вероятность 16%).
1)	Каковы характеристики Jn этого уровня?
2)	Основное состояние ядра 1171п распадается, наоборот, в результате перехода
в третье возбужденное состояние ядра 117Sn (см. схему уровней на данной страни-
це) с периодом 44 мин. Максимальная энергия, уносимая электронами, равна
740 кэВ. Какова разность атомных масс ядер 1171п и 117Sn?
3)	Экспериментально наблюдаются мультипольные переходы, указанные на
схеме уровней. Каким образом удалось показать наличие уровня 314 кэВ и каковы
наиболее правдоподобные квантовые характеристики всех уровней, показанных
на схеме?
4)	Почему в случае распада первого возбужденного состояния ядра 1171п
0-распад конкурирует с 7-распадом?
8.11.	Свойства состояний в модели Нильссона.
ПРИЛОЖЕНИЕ 8. ПОНЯТИЕ КОГЕРЕНТНОГО СОСТОЯНИЯ
73
1)	В предположении несжимаемости ядер покажите, что целесообразно ввести
параметр деформации 6 эллипсоидального ядра, определяемый соотношениями
W2,= t02,= ^ = C002(l+2fi/3),
cog (1-46/3).
2)	Исходя из этого, покажите, что гамильтониан «внутренних» нильссопов-
ских состояний может быть записан в форме
Нвнутр = ^0 Л ’ *	»
где Но — гамильтониан изотропного гармонического осциллятора и
<р).
3)	Покажите, что с //внутр коммутирует только оператор /z=/z+sz.
4)	Пусть функция \N, I, А, 2 > определяется соотношениями
HB = \N, I, A, 2> = (A + 3/2)A<o0|7V, /, A, 2>,
L2 | N, I, А, 2> = ji2L (L + 1) | N, I, А, 2>,
LZ\N, I, A, 2>-fiA\N, I, А, 2>,
sz|/V, I, А, 2> = &2|A, /, А, 2>.
Покажите, что собственные состояния гамильтониана //внутр можно искать в виде
Хо= 2 “лг,/, л, S I A, s>.
N, I, Л. £
где й=Л+2.
5)	Покажите, что в выбранном представлении 7/п и Р диагональны и что опе-
ратор 1*8 связывает состояния Л с состояниями Л±1, а оператор hf, связывает
состояния I с состояниями /±2 и состояния N с состояниями N±2. Исходя из
этого, покажите, что в разложении собственных состояний можно пренебречь
суммой по N.
6)	Диагонализуйте гамильтониан //внутр и проследите, как изменяются в за-
висимости от параметра 6 его первые собственные состояния.
7)	Объясните, почему физически наблюдаются не сами собственные состояния
гамильтониана //внутр, а состояния вращательной полосы, построенной на каж-
дом из них.
Глава 9
МОДЕЛЬ СОСТАВНОГО ЯДРА
В предыдущих главах мы привели несколько примеров ядер-
ных реакций, но не приступали к их теоретическому анализу. Мы
сделаем это в общих чертах в данной и последующей главах, по-
священных механизмам реакции, т. е. «моделям столкновения».
Читатель увидит, что подобные модели представляют собой рас-
пространение на случай рассеяния моделей ядерной структуры (из-
лагавшихся в начале третьей части книги), предложенных для
объяснения свойств связанных состояний. Чтобы упростить изло-
жение, мы остановимся последовательно на двух разных, даже на
первый взгляд противоречащих друг другу аспектах: в данной гла-
ве — на так называемой модели составного ядра, которая при эле-
ментарном подходе основывается на представлениях жидкокапель-
ной модели, а в последующей главе — на модели «прямой реакции»,
которая во многом опирается на представления оболочечной модели
ядра. После этого мы введем некую промежуточную модель, а именно
«оптическую модель», которая покажет, что два указанных аспекта
не противоречат друг другу, а являются взаимно дополняющими. Та-
ким образом, в конце следующей главы мы снова придем к выводам,
сделанным в предыдущей главе. Но пока что сосредоточимся на мо-
дели составного ядра [78].
§ 1. Первоначальные представления
До того как под влиянием успехов оболочечной модели устано-
вилось представление о ядре как о более или менее упорядоченной
системе, «смазанной» принципом Паули, считалось, что средняя
длина свободного пробега нуклонов в ядерной материи очень мала
и они движутся в ней беспорядочно. Большая величина и малый ра-
диус действия ядерных сил создавали впечатление, что ядро пред-
ставляет собой некое подобие капли, внутри которой нуклоны
вынуждены испытывать частные случайные столкновения между со-
бой. Исторически именно на основе такого представления проводи-
лись качественные рассуждения, приведшие к появлению модели
составного ядра. Например, предполагалось, что когда нейтрон про-
никает в ядро с массой А, он претерпевает длинный каскад столкно-
вений, в ходе которых его энергия случайным образом распределя-
ется между всеми нуклонами, составляющими каплю. Если принять
аакую гипотезу, то можно ожидать, что по истечении достаточного
§ 2. РЕЗОНАНСЫ СОСТАВНОГО ЯДРА
75
времени (вероятно, намного превышающего то, за которое падаю-
щий нейтрон смог бы пройти через все ядро-мишень) установится
некое состояние статистического равновесия (равнораспределения
энергии по степеням свободы). В принципе к такому состоянию рав-
новесия и относится термин «составное ядро».
Составное ядро, образовавшееся таким путем после захвата ней-
трона, имеет энергию возбуждения Ес, которая по закону сохране-
ния энергии дается выражением
£=H-Sn,	(9.1)
где е — кинетическая энергия падающего нейтрона в системе центра
масс, a Sn — энергия отделения нейтрона от составного ядра с мас-
совым числом Л + 1. Возбуждение затем теряется за счет испускания
одной или нескольких частиц (в зависимости от того, какова энер-
гия возбуждения). При очень низких энергиях единственным энер-
гетически разрешенным путем («открытыми каналами») для сня-
тия возбуждения является обратное испускание нейтрона с энер-
гией е (в системе центра масс), такой же, как у падающих нейтро-
нов, или же фотона (у-кванта). Реакция первого типа называется
упругим рассеянием на составном ядре *), а второго — радиацион-
ным захватом, для которого принято обозначение (п, y)A+zX.
Для некоторых тяжелых ядер к двум указанным каналам следует
добавить третий: деление на два тяжелых осколка. Случайное от-
крытие такого процесса в 1938 г. рассматривалось как дополни-
тельный аргумент в пользу жидкокапельной модели и модели состав-
ного ядра. С повышением энергии падающих частиц постепенно
открывается все больше и больше каналов реакции. Рассмотрим
сначала область низких энергий.
§ 2. Резонансы составного ядра
В дальнейшем областью низких энергий мы будем условно назы-
вать тот энергетический интервал, в котором наблюдаются резкие
изменения полного эффективного сечения (рис. 9.1), а именно острые
максимумы, которые (по причинам, аналогичным указанным в гл. 2,
§ 5, п. Б) называются резонансами составного ядра. Эта область * 2)
*) В отличие от упругого рассеяния, состоящего в отражении падающей
нейтронной волны от «поверхности» ядерной среды, такое отражение, подобное
оптическому, принято называть потенциальным рассеянием.
2) Для исследования области самых низких энергий широко использовались
нейтроны [79]. Будучи нейтральной частицей, нейтрон обладает тем преимущест-
вом, что для него не существует кулоновского барьера. Но зато работа с нейтро-
нами требует применения особых методов диагностики и регистрации пучка.
Энергию медленных нейтронов можно с высокой точностью измерять по времени
пролета. Для этого берут источник, который дает короткие импульсы нейтронов
(чтобы точно определять время вылета Д) и помещают быстро срабатывающий де-
тектор (чтобы точно определять время прилета tf). Последний помещают на рас-
стоянии d от мишени, достаточно большом для того, чтобы в целом обеспечивалось
76
ГЛ. 9. МОДЕЛЬ СОСТАВНОГО ЯДРА
РИС. 9.1. Полное эффективное сечение взаимодействия нейтронов малых энергий
с ядром ^U. Выбраны три интервала энергии. Учтите, что масштабы по вертикаль-
ной и горизонтальной осям во всех трех случаях разные. После внесения поправок
на аппаратную форму линии и па доплеровское уширение [79] ширины резонан-
сов оказываются в пределах от 0,03 эВ в первом энергетическом интервале до не-
скольких электронвольт в третьем. Резонансы постепенно сглаживаются — мы
переходим в область промежуточных энергий.
§2. РЕЗОНАНСЫ СОСТАВНОГО ЯДРА
77
простирается до нескольких десятков килоэлектронвольт для тя-
желых ядер и до нескольких мегаэлектронвольт для легких ядер.
При более же значительных энергиях на кривых полного эффектив-
ного сечения не обнаруживается более четко выраженных простран-
ственно разделенных резонансов; они сглаживаются, а энергетиче-
ская зависимость сечений становится медленно меняющейся (см.
рис. 9.1 внизу). Это связано с тем, что в области более высоких
энергий открывается большое число каналов, ввиду чего ширины
резонансов становятся сравнимыми с интервалами между ними.
Это — так называемая область промежуточных энергий.
На рис. 9.1 мы видим, что резонансы возвышаются над неким
«фоном», практически постоянным в энергетических интервалах,
составляющих сотни электронвольт. Этот фон называется эффектив-
ным сечением потенциального рассеяния. Его можно интерпрети-
ровать как величину, характеризующую вероятность отражения
(от поверхности ядра) волны, соответствующей падающим нейтро-
нам. И действительно, в первом энергетическом интервале на рис. 9.1
полное эффективное сечение взаимодействия ядра 238U с нейтронами
в промежутке между двумя резонансами примерно совпадает с се-
чением идеально отражающего шара (приложение 9) х). В самом де-
ле, эффективное сечение потенциального сечения здесь порядка 10 6,
что приблизительно совпадает с op7a4nR2, где R — радиус ядра
238JJ
При низких энергиях все ядра ведут себя сходным образом [116];
на фон потенциального рассеяния накладываются многочисленные
узкие резонансы, расстояния между которыми уменьшаются, а шири-
на увеличивается с повышением энергии падающих частиц. Это отно-
сится не только к нейтронам, но и к заряженным частицам, если они
способны преодолеть кулоновский барьер. Подробнее данный во-
прос рассматривается в приложении 9. Здесь же мы ограничимся
некоторыми замечаниями относительно ширин резонансов состав-
ного ядра.
А.	Ширина резонансов составного ядра
Форма резонансов, наблюдающихся при низких энергиях (см.
приложение 9), вблизи энергии резонанса довольно хорошо описы-
высокое разрешение по времени пролета bd=tf—t;, т. е. по скорости нейтронов
а значит, и по их кинетической энергии. В качестве детектора часто
применяется счетчик Гейгера — Мюллера, наполненный трифторидом бора (BF3).
Такое наполнение дает возможность использовать реакцию п+10В —► a+7Li,
которая отличается большим эффективным сечением при низких энергиях. В ре-
зультате данной реакции в баллоне счетчика образуются а-частицы, которые
ионизуют газ и вызывают срабатывание счетчика. Такой счетчик характеризуется
достаточно высокой эффективностью счета нейтронов, но не дает никакой инфор-
мации об их энергии, чем и вызвана необходимость в дополнительном измерении
их времени пролета.
1)	Это первое приближение мы оценим более критически в упр. 10.3.
78
ГЛ. 9. МОДЕЛЬ СОСТАВНОГО ЯДРА
вается выражением (3.14), о котором говорилось в гл. 3, § 1, п. Г.
Там же отмечалось, что естественную ширину квазистационарного
состояния, которое распадается только за счет процесса Y->Х+а,
можно отождествить с шириной резонанса в процессе упругого рас-
сеяния	В этом смысле наличие в спектре узкого резо-
нанса можно рассматривать как указание на наличие метастабиль-
ного состояния со средним временем жизни т=л/Г.
Например, типичная ширина резонансов упругого рассеяния
n-T238i7-^-n+2S8i7, наблюдающихся в первом энергетическом интер-
вале на рис. 9.1,— порядка 0,03 эВ. Это означает, что парциальное
время жизни т„ метастабильных состояний ядра !3BU, обнаруживаю-
щихся в данном интервале энергий, равно ~2-10“14 с. В третьем
энергетическом интервале на рис. 9.1 ширина Гп— порядка не-
скольких электронвольт, т. е. время жизни тп— порядка 10~1в с.
Столь близкие по энергии метастабильные состояния с таким боль-
шим средним временем жизни нельзя рассматривать как одноча-
стичные возбужденные состояния оболочечной модели, которые
после образования распадаются путем испускания нейтрона. По-
кажем это.
Б. Одночастичные резонансы
Прежде всего заметим, что по определению «одночастичный»
резонанс соответствует возбуждению метастабильного состояния
в среднем потенциале рассматриваемой системы, в нашем случае
ядра, в рамках оболочечной модели. Для того чтобы такой резонанс
мог проявиться, нужно, чтобы все происходило так, как если бы
средняя длина свободного пробега падающей частицы в ядре была
достаточно велика (т. е. было незначительно поглощение одночастич-
ной волны) и потому можно было бы свести задачу о рассеянии для
случая (Д4-1) тел к однотельной, а именно к задаче рассеяния одной
частицы на среднем потенциале (возможно, с многократным отраже-
нием до полного выхода частицы за пределы радиуса действия по-
тенциала).
Энергия, при которой должны появляться такие резонансы,
фиксируется требованием непрерывности волновой функции ча-
стицы на поверхности ядра. Для этого у поверхности ядра волновая
функция должна иметь пучность (максимум амплитуды, как в зву-
ковых трубах), тогда как в случае полного отражения на поверх-
ности должен быть узел волновой функции. Такое условие может вы-
полняться лишь при строго определенных значениях энергии, так
как внутренняя волновая функция может иметь пучность только
при определенном соотношении между длиной волны частицы и ра-
диусом ядра. В случае s-волн (/=0), которым мы здесь ограничимся,
согласование имеет место, когда отношение радиуса ядра R к чет-
§ 2. РЕЗОНАНСЫ СОСТАВНОГО ЯДРА
79
(9.4)
Д-«-тгт МэВ.
тс2 Л13
(9-5)
верти длины волны есть целое нечетное число: т. е. когда
КЯда(2л+1)л/2,	(9.2)
где К — волновое число нейтрона внутри ядра. Поскольку нас
здесь интересуют только порядки величин, возьмем вместо потен-
циала Вудса — Саксона прямоугольную яму глубиной Псда
«50 МэВ и радиусом R=r0 А1/5, где г0да1,4 Ф. Тогда
К = /2/п(е + У0)Й,	(9.3)
где е — энергия падающей частицы (е<^50 МэВ). Отсюда, так как
расстояние Де между двумя соседними резонансами «s-типа» опре-
деляется условием
Д(М/?) = /?4гАе = л’
находим
Rm R V
Тот же порядок величины можно получить исходя из того, что
энергии двух соседних резонансов «s-типа» в случае ядерной потен-
циальной ямы различаются на два кванта гармонического осцилля-
тора, т. е. [формула (7.10в)[
Де да 2/ш„ да 82/4 -V3 МэВ.	(9.6)
Вычислим теперь среднее время жизни т такого резонанса.
Для этого, рассуждая так же, как в дополнении Г в случае «-рас-
пада, напишем
T=TF/P(e),	(9.7)
где Р (е) — вероятность преодоления нейтроном с энергией е по-
тенциального барьера ядра, а тг— интервал времени между двумя
последовательными «попытками» нейтрона преодолеть барьер. В слу-
чае прямоугольной потенциальной ямы, как следует из дополнения
Б, получаем для s-волны
\К~ГГЧ А
где k — волновое число нейтрона вне потенциальной ямы. Время
V по порядку величины таково:
т ~ 2R 2Rm
т^ да — да -г—,
v	к к
где v=h.K.hn есть скорость нейтрона внутри потенциальной ямы.
Подставляя эти две оценки в выражение (9.7), получаем (в секун-
(9.8)
(9.9)
80
ГЛ. 9. МОДЕЛЬ СОСТАВНОГО ЯДРА
дах)
mR ~ тс1 2 * ~ 5-10~23Л1/3
2Л*	2Йс Y2е	|ЛеМэ3
(9.10)
Отсюда можем найти то, что в учебниках по квантовой механике
называется шириной «резонанса рассеяния в s-состояние» *) (е и
Годном выражаются в мегаэлектронвольтах)
Годном =	~ ~) 2kR да -^75- Г е .	(911)
В.	Резонансы системы N тел
После всего сказанного выше заметим, что на рис. 9.1 ширины
резонансов и расстояния между ними в 10s—10е раз меньше, чем
должно быть согласно формулам (9.5) и (9.11). Следовательно, здесь
мы имеем дело уже не с одночастичными резонансами. То обстоятель-
ство, что среднее время жизни связанных с резонансами метаста-
бильных состояний примерно в 105 раз больше тодноч, служит ос-
нованием для того, чтобы интерпретировать их в рамках модели сос-
тавного ядра. Ход качественных рассуждений таков: когда образу-
ется составное ядро с энергией возбуждения £’c=e+S„, распреде-
ленной, как предполагается, поровну между всеми нуклонами,
то вероятность того, что эта энергия возбуждения сконцентрируется
на одном из них, очень мала, а потому подобное ядро может срав-
нительно долго оставаться в возбужденном состоянии, прежде чем
испустит нейтрон с энергией е. А поскольку среднее время жизни
тп порядка 10~“—10-1? с сравнимо с временами жизни ту по от-
ношению к некоторым электромагнитным переходам, то в рассма-
триваемом случае с испусканием нейтрона составным ядром может
конкурировать испускание у-кванта. И действительно, ранее уже
отмечалось, что в области низких энергий наблюдаются не только
резонансы упругого рассеяния, но и резонансы радиационного зах-
вата.
Главный вывод, который можно сделать из сказанного выше,
состоит в том, что метастабильные состояния, проявляющиеся в
реакциях при использовании нейтронов малых энергий, невозмож-
но правильно описать, если воздействие ядра-мишени (A, Z) за-
менить некоторым средним потенциалом. Для описания этих квази-
стационарных состояний ядра (Д + 1, Z) нужно учитывать все Д + 1
нуклонов. Но это не те коллективные состояния, о которых гово-
рилось в гл. 8 (вращательные и вибрационные состояния, в которых
движение нуклонов упорядочено). Можно априори полагать, что
1) В упр. 9.4 мы предложим читателю сравнить такие резонансы с резкими
колебаниями кривой зависимости коэффициента прохождения света через оптиче-
ски тонкую пластинку от длины волны света.
§ 3. ГИПОТЕЗА БОРА И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА
81
для рассматриваемых состояний характерными должны быть не-
упорядоченное движение (Л + 1) нуклонов и флуктуации. Но это
означает, что для объяснения их спектроскопических характеристик
необходимо было бы в самом общем виде решить задачу (Л+1) тел.
Столь амбициозная программа пока еще не реализована, и громад-
ные усилия, которые пришлось бы приложить для решения такой
задачи, вряд ли оправдались бы полученными результатами. Тоже
самое относится и к интерпретации столкновений, приводящих к се-
лективному возбуждению подобного рода состояний. Это тоже по-
требовало бы решения в самом общем виде задачи о столкновении
для случая (Л+1) тел. Модель составного ядра — это такая модель
столкновений, которая предполагает простой механизм процессов
и позволяет обойти трудности решения задачи многих тел.
§ 3.	Гипотеза Бора и статистическая гипотеза
Одним из привлекательных моментов этого механизма является
то, что процесс столкновения любой частицы с ядром разделяется
на два этапа: образование составного ядра и его распад. Так назы-
ваемая гипотеза Бора состоит в том, что указанные два этапа пред-
полагаются независимыми друг от друга, т. е. считается, что тип
распада составного ядра зависит только от энергии, спина, четно-
сти, изоспина (см. гл. 13) составного ядра, но не от того, как оно
образовалось. Ее качественное обоснование и здесь опирается на
представления о ядре как о жидкой капле и выглядит следующим
образом. Когда какая-нибудь частица (п, р, а, . . ., тяжелый ион)
проникает внутрь ядра, она, вероятно, быстро «растворяется» в
нем и принесенная ею энергия равномерно распределяется между
всеми нуклонами «капли». По указанным выше причинам образо-
вавшееся в результате этого составное ядро до распада с испуска-
нием частицы сравнительно долго остается в своем возбужденном
состоянии и за это время полностью «забывает» о том агенте (ча-
стице п, р, а, . . ., тяжелом ионе), который вызвал его возбужде-
ние (выполняются лишь все законы сохранения: энергии, углового
момента, четности, изоспина и т. д.).
Иначе говоря, если рассматривается реакция X (х, у) Y, проте-
кающая через промежуточную стадию образования составного ядра
С в соответствии с уравнением
«X + АХ _ А+л<? _ + а;у	(9. J 2)
то, согласно гипотезе Бора, эффективное сечение этой реакции мо-
жет быть представлено в факторизованном виде
=	(9.13)
где ах й (ех) — эффективное сечение образования составного ядра С
падающей частицей х с энергией ех (в системе центра масс), а
•82
ГЛ. 9. МОДЕЛЬ СОСТАВНОГО ЯДРА
Ру (Ес) — относительная вероятность распада возбужденного состо-
яния составного ядра с энергией Ес по схеме C->y+Y. Обобщая
выражение (9.1), отметим, что энергия возбуждения Ес составного
ядра (с учетом закона сохранения энергии) дается формулой
Ec=^+Sx,	(9.14)
где — энергия отрыва частицы х от ядра С.
В области низких энергий, где узкие резонансы достаточно да-
леко отстоят один от другого (Г<^£), где D — среднее расстояние
между резонансами), мы имеем Ру=Гу/Г; Гу— парциальная ши-
рина, соответствующая испусканию частицы у, а Г — полная ши-
рина рассматриваемого квазистационарного уровня. В частности,
вблизи изолированного резонанса в реакции с нейтронами в прене-
брежении вкладом потенциального рассеяния в эффективное се-
чение оп,п упругого рассеяния формула (9.13) дает
п с (Гп/Г) _ Г„	_
nn.v ~ чп,ДГр/Г)~ Гу’
Однако экспериментальное подтверждение справедливости этого
соотношения нельзя рассматривать как решающий аргумент в
пользу гипотезы Бора, ибо соотношение (9.15) можно вывести и
при более общих предположениях, см. приложение 9, § 7. Впрочем,
в этой энергетической области (Г<^0) невозможно получить эк-
спериментальные данные, необходимые для проверки соотношения
(9.13) во всей его полноте, т. е. применительно к реакциям, проте-
кающим под действием падающих частиц различных типов. Это свя-
зано, в частности, с наличием кулоновского барьера для падающих
частиц, отличных от нейтрона.
При более высоких энергиях ширина резонансов становится
сравнимой со средним расстоянием между ними (Г«£)) и свой вклад
в амплитуду рассеяния начинают давать сразу несколько из них,
причем происходит интерференция волн. Вид каждого из интерфери-
рующих членов (амплитуда и относительная фаза) зависит, в част-
ности, от характеристик начального и конечного состояний, а тем
самым — от частиц, участвующих в реакции. При Г«£) число та-
ких членов еще «не очень велико», и потому нельзя рассчитывать на
то, что они пропадут при статистическом усреднении различных
вкладов в амплитуду рассеяния. Статистические флуктуации еще
будут играть существенную роль, и поэтому каждый случай следует
рассматривать по отдельности [80а]. В таких условиях гипотеза
Бора теряет свою практическую ценность: соотношение (9.13) более
неприменимо, поскольку необходимо учитывать характеристики на-
чального и конечного состояний «одновременно», т. е. не так, как
если бы реакции протекали в две независимые стадии, разделенные
во времени.
При тех энергиях, когда Г^>0, число открытых каналов и вкла-
дов в амплитуду рассеяния становится настолько большим, что ока-
§3. ГИПОТЕЗА БОРА И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА
83
зывается возможным принять так называемую статистическую ги-
потезу. Она состоит в том, что когда число состояний в малом энер-
гетическом интервале становится очень большим, их «ширины»,
«энергии», а стало быть, и относительные фазы можно рассматри-
вать как случайные величины (случайные распределения). Тогда при
вычислении среднего значения по ансамблю их вкладов в амплитуду
рассеяния все происходит так, как если бы их можно было склады-
вать некогерентно. Но тогда среднее значение интерферирующих
членов равно нулю, а поэтому вычисление дифференциальных се-
чений реакций, для которых справедлива статистическая гипотеза,
сводится к нахождению взвешенной суммы квадратов модулей всех
парциальных амплитуд рассеяния, вносящих свой вклад. При этом
для полных сечений таких реакций мы снова получаем соотношение
(9.13) [80]. Иначе говоря, можно надеяться, что соотношение (9.13)
окажется пригодным и в области промежуточных энергий (Г^>£)),
но тогда его экспериментальная проверка означает по существу
проверку правильности статистической гипотезы.
На рис. 9.2 воспроизведены результаты одного из первых эк-
спериментов, проводившихся с подобной целью (Гошал, 1950).
Здесь сечения реакций, вызываемых падающими а-частицами в ми-
шени ®lNi, сравниваются с сечениями реакций, вызываемых про-
тонами в мишени ^Си и приводящих к тем же конечным ядрам *).
Чтобы в обоих случаях могло образоваться составное ядро !$Zn с од-
ной и той же энергией возбуждения Ес [формула (9.14)], кинетиче-
ская энергия падающих протонов должна быть на 7 МэВ меньше
кинетической энергии падающих а-частиц, так как для ядра !$Zn
приближенно выполняется соотношение
Sp—Sa » [MCu + пгр)—MNi + ma)] ca « 7 МэВ. (9.16)
Если принять, что шесть наблюдавшихся реакций действитель-
но протекают через стадию образования составного ядра !»Zn,
которое затем распадается, испуская либо один нейтрон, либо два
нейтрона, либо один протон и один нейтрон, то из формулы (9.13}
вытекают следующие равенства:
{ ° Р.п	__ / аа,п А . ( Q р.п \ __ / °а, п \ .
\стр, 2п/ер \аа,2п'ва 'QP.Pn'Bp 'Qa,pn'Ba
( °р, in \	_ / % ап \
' ар, рп )ер \ % рп /еа
при условии, что фигурирующие в них отношения вычислены при
одной и той же энергии Ес составного ядра, т. е. что выполняется
’) Экспериментальная методика состоит в том, что после каждого облучения
измеряется активность конечных ядер, идентифицируемых по их характеристиче-
скому излучению. Затем по формуле (3.50) вычисляют эффективные сечения.
84
ГЛ. 9. МОДЕЛЬ СОСТАВНОГО ЯДРА
требование
еа—Ep=Sp—Sa»7 МэВ.
Можно написать также
(9-17)
п (ет?) р, 2п (е/г)	& р, рп (&р)	Ор, Zn (ер)
аа, п (еа)	°а. 2«(еа)	°а. рп (еа)	аа.7п(еа)
где ор, Zn (ер) и оа, z„ (еа) — соответственно эффективные сечения
•образования составного ядра ^Zn в случае протонов с энергией ер
РИС. 9.2. Эффективные сечения различных реакций, проходящих через стадию
образования одного и того же составного ядра. Шкала энергии падающих протонов
сдвинута на 7 МэВ относительно шкалы для а-частиц [см. формулу (9.15)].
и в случае а-частиц с энергией еа«Ер+7 МэВ. Как явствует из
рис. 9.2, теоретическое предсказание полностью согласуется с эк-
спериментом. Однако то обстоятельство, что сами сечения opiI/(ep)
и °а, Деа) оказались почти одинаковыми, является случайным.
Дело в том, что эффективные сечения ор> zn (ер) и оа, zn (еа) рассмат-
риваемого составного ядра случайно оказались почти одинаковыми
в исследуемом интервале энергий (yup. 9.1).
§ 4. ИСПАРЕНИЕ ЧАСТИЦ
85
Эксперименты типа проводившихся Гошалом не всегда столь
хорошо согласуются с гипотезой Бора, по крайней мере в ее про-
стейшей формех). Приходится вводить различные поправки, о
которых мы скажем позднее. Сейчас же мы рассмотрим характери-
стики реакций, к которым применимы модель составного ядра и ста-
тистическая гипотеза. Сначала остановимся на спектре, а затем на
угловом распределении испускаемых частиц. Исследование этих
РИС. 9.3. Функции возбуждения для реакций (р, хп) на ядре |зВBi при х от 2 до 7.
Эффективные сечення реакций (р, 6п) и (р, 7п) могут быть найдены лишь в сумме
с сечениями (р, р5п) и (р, рбп), так как нуклиды, образующиеся в последних реак-
циях, распадаются с образованием нуклидов, являющихся продуктами реакций
(р, 6п) и (р, 7п), прежде чем становится возможным измерение активности. Кривые,
обозначенные символом ор, р0, соответствуют эффективным сечениям образования
составного ядра еГ’Ро, вычисленным для черного (абсолютно поглощающего) ядра
радиусом 7?=г0Л1^3 (при r0= 1,5 Ф и rc= 1,3 Ф) с учетом вероятности прохождения
через кулоновский барьер (упр. 9.2).
двух характеристик дает более точную информацию о механизме
реакций, нежели измерения ее полного эффективного сечения или
функции возбуждения.
§ 4.	Испарение частиц
Если энергия падающих частиц сравнима с энергией в экспери-
менте Гошала или превышает ее, то образующееся составное ядро
обладает большой энергией возбуждения, от которой оно нередко
освобождается путем испускания нескольких частиц. На рис. 9.3
представлены типичные результаты, полученные в более широком
интервале энергии, чем на рис. 9.2. В обоих случаях дезэкситация
*) Самый важный момент, который требует более тщательного рассмотрения,—
это влияние так называемых процессов статистического предравновесня, о которых
будет сказано в гл. 10.
86
ГЛ. 9. МОДЕЛЬ СОСТАВНОГО ЯДРА
начинается с испускания первой частицы, уносящей некоторую
часть энергии Ес. Возникающее при этом промежуточное ядро в
свою очередь теряет энергию возбуждения либо путем каскада у-
переходов (см. рис. 8.12), либо путем испускания еще одной части-
цы, что наиболее вероятно, когда остающаяся энергия возбуждения
превышает порог испускания частицы промежуточным ядром. Такой
процесс повторяется до тех пор, пока не исчерпается вся начальная
энергия возбуждения. Здесь можно видеть аналогию с испарением
РИС. 9 4. Спектр испарения нейтронов в первом приближении имеет форму
распределения Максвелла N (Еп)~(Еп/г2)е~Еп!х, где N(En) — число нейтронов,
вылетающих из ядра с кинетической энергией в интервале от Еп до En-\-dEn, а
т — ядерная температура, определяемая соотношением (9.18), а именно rf(ln <о)/
ldEn=\lx. а — типичная форма спектра при т«0,8МэВ. Графически результаты
удобнее представлять, откладывая величину N(En)/En в логарифмическом мас-
штабе как функцию аргумента Еп. Тогда кривая распределения принимает форму
прямой линии, по наклону которой находится 1 т. а затем и ы(£п). б — типичный
график результатов измерений. Спектр испарения нейтронов, испускаемых со-
ставным ядром *MPd, зарегистрированный под углом 0=80°. Экспериментальные
данные достаточно хорошо согласуются с теорией при т=0,8 МэВ.
молекул из капли нагретой жидкости, и потому указанный процесс
называют испарением частиц. Если же представлять себе ядро как
некое твердое тело, то данный процесс аналогичен сублимации или
термоэлектронной эмиссии.
Как явствует из рис. 9.3, максимумы эффективных сечений
(р, хп) сдвигаются примерно на 10 МэВ при увеличении хна единицу.
Отсюда следует, что для данного ядра испарение одного нейтрона
приводит к потере энергии, в среднем равной 10 МэВ, причем лишь
ее небольшая часть уносится в форме кинетической энергии, по-
скольку энергия связи одного нейтрона равна приблизительно 8МэВ.
Типичный спектр испарения нейтронов представлен на рис. 9.4.
Чтобы отсюда вывести приблизительную форму спектра испарения
§ 5. УГЛОВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
87
заряженных частиц (р, а,. . .), нужно умножить на вероятность про-
хождения частицы через кулоновский барьер за счет туннельного
эффекта. Нетрудно сообразить, что по данной причине при прочих
равных условиях испарение нейтронов должно быть более вероят-
ным процессом. Однако очень важную роль здесь играет и плотность
уровней рассматриваемого ядра *). Иллюстрацией может служить
рис. 9.2. В самом деле, если бы все определялось только кулонов-
ским барьером, то эффективные сечения реакций (р, 2л) и (а, 2п)
были больше, чем реакций (р, рп) и (а, рп). То, что это не так, объяс-
няется отчасти тем, что плотность низкоэнергетических уровней ко-
нечного ядра 2sCu намного больше, чем конечного ядра "?Zn, так
как первое представляет собой нечетно-четное ядро, а второе —
четно-четное. Отметим, наконец, что и закон сохранения углового
момента приводит к многочисленным эффектам, особенно значитель-
ным в реакциях под действием тяжелых ионов, так как в этом слу-
чае составное ядро часто оказывается в состоянии с очень большим
угловым моментом (приложение 10). Укажем здесь на увеличение
к концу цепи вероятности дезэкситации за счет каскада у-переходов
и путем испускания а-частиц [82]. Это можно объяснить следую-
щим образом. Нуклон, испаряющийся с энергией, равной несколь-
ким мегаэлектронвольтам, уносит в среднем всего лишь несколько
единиц А углового момента, ввиду чего ядерные состояния, заселяе-
мые в конце цепи испарения, обладают еще большим угловым мо-
ментом (рис. 10.11), от которого они могут освободиться только за
счет каскада быстрых у-переходов или за счет испарения а-частицы
(последняя при той же кинетической энергии уносит примерно вдвое
больший угловой момент, чем нуклон). Мы подробнее остановимся
на этом в приложении 10.
§ 5.	Угловые распределения
Другой важной характеристикой реакций, к которым приме-
нима модель составного ядра, является ее угловое распределение.
Если оно изотропно в области низких энергий, то это значит, что
доминирует парциальная волна порядка /=0 (дополнение К). Если
пренебречь фоном, а также спинами партнеров, то вблизи изоли-
*) Правильный порядок величины плотности уровней <о(£е) можно получить,
используя в качестве первого приближения модель ферми-газа. Но при низких
энергиях возбуждения Ее нужно учитывать эффект спаривания (энергетическую
щель в спектре четно-четных ядер). При построении теории испарения в рамках
статистической теории целиком следуют процедуре, используемой в термодинамике
конденсированных сред [81]. В частности, вводится понятие «ядерной температу-
ры т», определяемой одним из основных соотношений термодинамики
dS/dEe~lft,	(9.18)
где S — «ядерная энтропия», связанная с плотностью уровней <о(Ее) формулой
Ьольцмана S=ln со(£е).
88
ГЛ. 9. МОДЕЛЬ СОСТАВНОГО ЯДРА
рованного резонанса с угловым моментом / должна быть, как пра-
вило, доминантной парциальная волна порядка I (приложение 9).
И тогда угловое распределение в системе центра масс должно опи-
сываться выражением |P;(cos 0)|2, где Pz(cos 0) есть полином Ле-
жандра порядка I. Свойства этой функции иллюстрирует рис. К.З.
В интервале [0, л] она имеет I минимумов и симметрична относитель-
но точки л/2. На на практике форму экспериментальных угловых
распределений удается воспроизвести достаточно хорошо, лишь
прибегая к детальному фазовому анализу, так как наличие фона
и учет спинов партнеров требуют включения достаточного числа
парциальных амплитуд [79]. Такой анализ, в частности, позволяет
найти квантовые характеристики резонансных состояний — их
спин и четность.
Но в той области энергий, где Г«О, число парциальных ампли-
туд, которые необходимо включать в рассмотрение, с одной сторо-
ны, слишком велико, чтобы можно было анализировать угловые
распределения методом парциальных волн, а с другой — слишком
мало, чтобы можно было принять статистическую гипотезу. В этой
области наблюдаются флуктуационные эффекты (называемые эрик-
соновскими), на которых мы не будем здесь останавливаться [80а].
Они постепенно ослабевают при более высоких энергиях и исчезают,
когда становится справедливой статистическая гипотеза (Г^>£)). Как
уже говорилось в § 3, вычисленные дифференциальные сечения ре-
акций, к которым приложима статистическая гипотеза, представляют
собой взвешенные суммы квадратов модулей парциальных амплитуд
рассеяния, вносящих свой вклад ‘). Поэтому можно ожидать, что
угловые распределения таких реакций будут «сглаженными» и
симметричными относительно точки л/2, ибо они соответствуют
взвешенной сумме большого числа членов, пропорциональных
Р2 (cos 0). Точнее, можно ожидать для углового распределения за-
висимости от угла вида 1/sin 0. В самом деле, большие угловые
моменты входят с доминирующими весами [21+1, согласно формуле
(К.48)], и при больших I мы имеем
Pj (cos 0) «	, о cos2 I (I + 4-Ъ—£1,	(9.19)
' л (/-(-1/2) sin 0 |Д 1 2 ) 4J	'	’
где частые осцилляции функции cos2 IQ оказываются незаметными,
когда имеется много парциальных волн. Как явствует из рис. 9.5,
в первом приближении выполняется закон 1/sin 0.
На это согласие со статистической гипотезой обычно указывают
как на подтверждение модели испарения, поскольку результаты
теоретических вычислений легко интерпретируются в рамках такой
модели. Ход рассуждений таков. Интуиция подсказывает нам, что
угловое распределение испаряющихся частиц должно быть изотроп-
9 Это качественная интерпретация результатов работы 180].
§ 5. УГЛОВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
89
ным в системе центра масс. Но для этого нужно, чтобы составное ядро
до распада «забыло» о направлении движения падающих частиц.
Однако данное требование не выполняется: переданный ему угловой
момент лежит в плоскости, перпендикулярной этому направлению
(1=гХр), и остается в ней до распада, так как время релаксации
спинов в макроскопической мишени обычно очень велико по срав-
нению с временем жизни составного ядра. Поэтому следует ожидать,
что на самом деле частицы будут испаряться преимущественно в
РИС. 9.5. Примеры угловых распределений испаряющихся частиц. График а
показывает, что анизотропия протонов с энергией 3,3 МэВ, испускаемых одним
и тем же составным ядром мСо, больше в случае, когда реакция вызывается а-час-
тицами энергии 20,7 МэВ, чем в случае использования протонов с энергией
16,33 МэВ. Вообще анизотропия тем более резко выражена, чем больше угловой
момент состояния, в котором оказывается образовавшееся составное ядро (гра-
фик б).
направлении движения пучка, симметрично по отношению к углу
л/2 с некоторой анизотропией, тем более заметно выраженной,
чем выше угловой момент образующегося составного ядра [806].
Действительно, ось пучка— единственное направление, лежащее во
всех плоскостях, перпендикулярных плоскости, в которой ориенти-
рованы спины. Поэтому в данном направлении будет зарегистри-
ровано тем больше испарившихся частиц, чем быстрее вращение
ядра, т. е. чем больше его спин. Таким образом, должен наблю-
даться максимум при 0=0 или 0=л (ось пучка) и минимум при
0=л/2, т. е. в направлениях, перпендикулярных пучку и, стало
быть, лежащих в плоскости спина.
§ 6.	Выводы
В реакциях, рассматривавшихся в данной главе, участвуют прак-
тически все степени свободы ядерной системы. Поэтому априори ин-
терпретация таких реакций может показаться слишком сложной
90
ГЛ. 9. МОДЕЛЬ СОСТАВНОГО ЯДРА
задачей. Однако модель составного ядра дает возможность объяс-
нить их основные характеристики. В такой модели используется
статистический подход. С точки зрения этой модели резонансы, на-
блюдаемые при низких энергиях, имеют малую ширину, потому что
нужно долго ждать, чтобы после захвата падающей частицы вся
энергия в результате флуктуации сконцентрировалась на одной ча-
стице. В этой связи легко понять гипотезу Бора, которая эквива-
лентна устранению связи выходного канала с входным: к моменту
распада составное ядро «забывает» о том, как оно образовалось. Уточ-
ним, что оно «забывает» обо всем, кроме необходимости выполнения
законов сохранения. Это очень важная оговорка, поскольку, как
мы видели, данное обстоятельство приводит к многочисленным след-
ствиям. Это относится и к реакциям, к которым приложима стати-
стическая гипотеза, оправдывающаяся при очень больших плотно-
стях уровней. Как мы отмечали, предположение о хаотичности фаз
непосредственно ведет к модели испарения, которая удовлетвори-
тельно воспроизводит и наблюдаемые экспериментально «максвел-
ловские» спектры, и симметричные угловые распределения. В при-
ложении 10, где речь пойдет о реакциях под действием тяжелых
ионов, мы укажем и на другие следствия явления испарения.
В следующей главе мы снова вернемся к модели составного ядра,
чтобы дать ей «микроскопическую» интерпретацию. Мы увидим, что
после столкновения с нуклоном ядра-мишени падающая частица име-
ет возможность либо сразу же вылететь из ядра, либо испытать
новые столкновения и образовать составное ядро. Это снова при-
ведет нас к оболочечной модели, существование которой мы здесь
игнорировали, отдав предпочтение жидкокапельной модели.
Приложение 9
ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ РЕЗОНАНСА
В данном приложении мы рассмотрим вопрос о параметризации
резонансов в реакциях с нейтронами малых энергий (см. рис. 9.1).
Мы часто будем обращаться к дополнению К, где излагается метод
парциальных волн; в частности, оттуда будет взята формула для
полного эффективного сечения, которое мы перепишем примени-
тельно к случаю резонанса при упругом рассеянии частиц с момен-
том I, пренебрегая при этом вкладом фона и влиянием спинов парт-
неров.
§ 1.	Формула Брейта — Вигнера
В случае упругого рассеяния частицы с угловым моментом I эф-
фективное сечение дается выражением [формула (К.31)]
az = ^(2/+l)sin*6t.	(9.20)
Оно обращается в нуль при б^=/гл и проходит через максимум
бГс=$-(2/ + 1) при 6i=(2n+!)£=£ +шт. (9.21)
При медленном изменении величины 6г между двумя указанными
значениями зависимость сечения (9.20) энергии слабая. Но когда
фаза возрастая, быстро проходит через значение (2п+1)л/2,
то резко меняется и сечение oz, и в этом случае говорят о резонансе
порядка I. Форма этих резонансов определяется в основном функци-
ей sin2 б;. Четыре типичных случая представлено на рис. 9.6.
Рассмотрим сначала случай «а» этого рисунка. Обозначим через
Ег энергию резонанса, т. е. энергию, при которой бг=л/2, и допу-
стим, что вблизи резонанса величина 6; ведет себя в первом прибли-
жении как линейная функция энергии. Тогда можно написать
л/2 + л(£—£г)/2Г,	(9.22)
где положительная константа Г характеризует ширину резонанса.
В самом деле, при 6г=л/4 и при 6г=Зл/4 мы имеем Е=ЕГ—Г/2 и
Е=Ег-\-Г/2. Точнее, в интервале между двумя указанными значе-
ниями
ctg (т- 60 = 2{Е7Е}'	<9-23)
92
ГЛ. 9. МОДЕЛЬ СОСТАВНОГО ЯДРА
ввиду чего выражение (9.20) можно переписать в виде
(21 + 1) i-|-ctg2 6' = 'fta (2^ + 1) (£_£г)«_| rs/4‘	(9-24)
Это и есть так называемая формула Брейта — Вигнера. Она опи-
сывает форму и содержит характеристики резонанса упругого рас-
РИС. 9.6. Поведение функции sins6t вблизи резонанса для четырех типичных слу-
чаев (внизу) и соответствующие кривые изменения разности фаз 6Z (вверху).
сеяния в пренебрежении вкладом фона и влиянием спинов партне-
ров. Одно из этих ограничений мы сейчас снимем.
§ 2.	Влияние фона
В трех других случаях рис. 9.6 можно написать выражение для
6г в виде
б,	= 6*4- 6, =6^4- л/2-|- л (£ — ЕГ)/2Г,	(9.25)
где 6*— постоянный или медленно меняющийся при изменении Е
сдвиг фазы, связанный с наличием фона. Тогда величину можно
записать в следующем виде:
= £ (2/ 4-1) | e2ib‘- 11* = £(2/ 4-1)| e2i6't-e-2i6‘ |2 =
= ^(2/4-1)|Лг4-4|2.
где
Л г = е216' — 1 = 2iet6‘ sin 6[,	26)
Ль=1— e~2i6‘ = 2iei6i sin6*.
На рис. 9.7 показан ход изменения эффективного сечения при
низкоэнергетическом упругом рассеянии вблизи резонанса «s-типа»
(1—0), найденного в предположении, что вклад фона эквивалентен
ПРИЛОЖЕНИЕ 9. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ РЕЗОНАНСА
93
вкладу рассеяния на жесткой сфере. В этом случае имеем Аь^
де—2ikR [формула (К.35)[, а отсюда
о _ а — 25_________Г2 _______[_ 4л/?г 4- -4л—___Г ___________
k (Е— £г)2 + Г2/4 '
(9.27)
В этом выражении первый член совпадает с формулой Брейта —
Вигнера при /=0; он пропорционален |ЛГ|2. Второй член есть эффек-
тивное сечение потенциального рассеяния на жесткой сфере радиу-
сом /?; он пропорционален Иь|2. Наконец, третий член представ-
ляет «интерференцию» между потенциальным и резонансным рас-
сеянием; он определяется величиной 2Re (АГА1). В целом мы имеем
РИС. 9.7. Кривая изменения эф-
фективного сечения упругого рас-
сеяния вблизи резонанса s-типа.
Горизонтальной штриховой линией
показан вклад потенциального рас-
сеяния на ядре, отождествляемом с
жесткой сферой.
дело со случаем «г» рис. 9.6. Как нетрудно убедиться, должен быть
провал (деструктивная интерференция) эффективного сечения при
энергии Е=ЕГ—(Г/2А/?), а значение 4л/А2 должно теперь дости-
гаться не точно при Е=ЕГ, а при Е=ЕГ—kRT/2 (упр. 9.6). Как
видно из рис. 9.1, такую форму имеют многие резонансы.
Разбиение амплитуды рассеяния на две части Аг и Аь удобно
тем, что дает возможность проследить за поведением эффективного
сечения упругого рассеяния вблизи резонанса. Но оно остается
чисто формальной процедурой, так как экспериментально невозмож-
но разделить эти два вклада во времени. В самом деле, чтобы вы-
явить «эффект интерференции», необходимо энергетическое разре-
шение, меньшее ширины резонанса, а это означает, что протяжен-
ность во времени рассеянных волновых пакетов должна быть боль-
ше А/Г.
§ 3.	Учет спинов
Когда нейтрон (спин s=l/2; четность лп=+1) взаимодействует
в состоянии с относительным угловым моментом I с ядром, спин
которого равен /, а четность равна лл, могут быть обнаружены толь-
ко те резонансы, характеристики 2я которых удовлетворяют еле-
94
ГЛ. 9. МОДЕЛЬ СОСТАВНОГО ЯДРА
дующим условиям:
J = I ±1± s (сохранение полного углового момента),
(9.28)
л = лл, (— 1)г (сохранение четности).
Чтобы не вносить излишних усложнений в изложение принципа,
на котором основан учет спинов партнеров, мы ограничимся слу-
чаем рассеяния в s-состоянии (/=0). Тогда второе из условий (9.28)
принимает вид л=лЛ,, а первое дает
J = 7 + 1/2 или /=/ — 1/2 при /=#0,
/= 1/2 при / = 0.	'
Таким образом, при /=0 рассеяние в s-состоянии может происхо-
дить только с /=1/2, так что его эффективное сечение совпадает с
вычисленным ранее в пренебрежении спинами партнеров. Но при
/±0 возможны два значения: /=/±1/2. Это означает, что всего
возможны 2 (2/±1) начальных состояний, различающихся магнит-
ными квантовыми числами. В случае неполяризованных пучка и
мишени вероятность нахождения в каждом из них равна 1/[2 (2/± 1)].
Их вклады слагаются некогерентно, так что вероятность g(J) реа-
лизации состояния с фиксированным J дается выражением
g = 2 (2/± 1) ’	(9.30)
Если предположить, что потенциальное рассеяние не зависит от
спина, то его эффективное сечение останется равным 4л/?2, так как
/ + 1/2
2 £(-0=1-
J = l -1/2
Что же касается резонансного рассеяния, то, если спин ближайшего
метастабильного состояния равен J, вклад дает только амплитуда
с фиксированным J и формула Брейта — Вигнера принимает вид
о —	л______________ (Q 3 В
2(2/±1) А2 (Е— Ег)2±Г2/4’	V7.O1)
Максимальное же сечение при резонансе в процессе упругого рас-
сеяния при наличии метастабильного состояния со спином J должно
равняться
‘”"“=w4±-	-	<9-32»
Нередко сравнения этого выражения с экспериментом достаточно,
чтобы приписать определенные спин и четность исследуемому ме-
тастабильному состоянию, но для большей надежности следует
привлекать данные по угловому распределению (дополнение К).
ПРИЛОЖЕНИЕ 9. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ РЕЗОНАНСА
95-
§ 4.	Исследование логарифмической производной
Прежде чем обобщать формулу Брейта — Вигнера на случай
неупругого рассеяния и на любые реакции, выразим полученные
ранее результаты через логарифмическую производную нейтронной
волновой функции на поверхности ядра. Ограничимся рассмотре-
нием рассеяния в s-состоянии и не будем учитывать спины партне-
ров. Тогда уравнение (Д.6) при 1=0 и (т. е. вне ядра) будет
иметь вид
d-^fl+^UB(r) = 0,	(9.33)
где &2=2р£7Й2 и £7о(г)=гДо(г). По аналогии с выражением (К.27)
его решение можно записать как
yB(r)r>R = ^k(e-'kr-Se^), S0 = e2‘6».	(9.34)
Учет взаимодействия производится путем наложения на So гранич-
ных условий. Условия на бесконечности налагают только ограни-
чение на модуль величины So. В общем случае ISOI^1, в частном же
случае упругого рассеяния
| So | = 1, т. е. 60—действительная величина.	(9.35)
Следовательно, величина So будет определяться по существу толь-
ко условием сшивания функции U0(r) и ее производной на поверх-
ности ядра (при r=R). Введем обозначение
<7о
Г dUB (r)/dr 1
L J
r = /?‘
(9.36)
Тогда из выражения (9.34) получаем
^~qo-ikRe
(9.37)
Отметим, что если qB — действительная величина, то мы имеем
случай чисто упругого рассеяния (без реакции), так как справед-
ливо условие (9.35). Ограничимся сначала этим случаем и подста-
вим выражение для So в формулу (К.43), положив в ней 1=0. Раз-
деляя члены Аг и Аь, получаем, как в § 2,
6yn₽ = -J|4 + 4|2,	(9.38)
где
4=1-е2^.	(9.39>
Если 7о=оо, то Аг=0 и вклад в оупр дает только Аь. Это случай
потенциального рассеяния на жесткой (непроницаемой) сфере радиу-
сом R. Данный результат очевиден, так как бесконечное значение
S6
ГЛ. 9. МОДЕЛЬ СОСТАВНОГО ЯДРА
логарифмической производной qB на границе среды означает, что
на ней нейтронная волновая функция имеет узел. При энергии же
Ег, удовлетворяющей условию
<7о(^) = 0,	(9.40)
должен быть резонанс. В этом случае на поверхности ядра нейт-
ронная волновая функция имеет пучность.
Чтобы найти выражение для эффективного сечения упругого
рассеяния вблизи этого s-резонанса, разложим функцию qB(E) в
ряд в окрестности значения Ег и ограничимся членом, линейным по
(Е—Er). С учетом условия (9.40) напишем
qe(E) = qB(Er) + (E-Er) + ... « (Е—Ег)
(9Л1)
Подставив это выражение в формулу (9.38), в пренебрежении членом
Аь получим
Г2
<9Л2>
где введено обозначение
Гупр =-2kR/(dqB/dE) ег.	(9.43)
Таким образом, мы снова получили формулу Брейта — Вигнера, в
которой Г есть ширина резонанса упругого рассеяния.
§ 5.	Параметризация резонанса «s-типа» в общем случае
Когда имеются открытые каналы неупругого рассеяния или
реакции, то часть падающей волны поглощается и величина q0
уже не является действительной. Представим ее в виде
90 = Reg04-t Im^0.	(9.44)
Подставив выражение (9.37) в формулу (К.44), получим при 1=0
л —4kR Im qB
апогл — 7? (Re<70)24-(Im?0 —Л/?)2’
(9.45)
Снова обратимся к разложению (9.41) и предположим, что в ок-
рестности резонанса можно написать
<?„(£) «(E-Er) (±^E+i lm qD.	(9.46)
Тогда, подставив (9.46) в (9.45), получим
п ~ Л ГупрГпогл
"°™ ~ 7? (£_£г)2 + Г2/4’
(9.47)
ПРИЛОЖЕНИЕ 9. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ РЕЗОНАНСА
97
где введены обозначения
Гупр =—2kR/Re (dqJdE)Er,
ГПогл = 2 Im ?0/Re (dqjdE)Er,	(9.48)
Г = Г -4- Г
1 — 1 упр Г х ПОГЛ"
Выражение (9.47) дает вклад процессов поглощения (неупругого
рассеяния или реакции) в полное эффективное сечение вблизи ре-
зонанса. Вводя обозначения (9.48) в формулу (9.38) и пренебрегая
членом, содержащим Аь, получаем для сечения упругого рассеяния
вблизи этого резонанса [в обозначениях (9.48)]
Г2
аупР ~	(Е—ег)2_|_г2/4 •	(9.49)
Полное же эффективное сечение в пренебрежении членом с Аь вблизи
этого резонанса принимает вид
__	_ л _____ГупрГ____	,q
Ог — Оулр -f- °погл — 'JT (£_-Ег)2-[_ Г2/4 '	(У.Ои)
Наконец, если учесть потенциальное рассеяние (вклад члена Аь)
и спины партнеров, то, как нетрудно убедиться, вблизи данного
резонанса будем иметь
= g(J) -р- (£-еУ+г2/4 + S (J)	(Е-Ег?+Г*/4 + 4л^2-
Это общее выражение показывает, в частности, что интерференцион-
ный член практически незаметен, когда вклад упругого канала очень
мал по сравнению с вкладом других каналов (Гупр<^Гпогл). Такой
случай часто встречается на рис. 9.1.
§ 6.	Резонансы и полюса амплитуды рассеяния
В § 4 мы видели, что резонансу можно поставить в соответствие
обращение в нуль логарифмической производной. Покажем теперь,
что это эквивалентно установлению связи между резонансом и полю-
сом амплитуды рассеяния или же полюсом функции S при некото-
ром комплексном значении энергии. Ограничимся случаем рассея-
ния в s-состоянии. Заметим, что при использовании обозначения
(9.43) выражение (9.39) принимает вид
д	'"упр
r (E-Er) + iI\„v/2-
(9.51)
Эта функция действительно имеет полюс при комплексном значении
£ = £г-!Гупр/2.
4 № 2114
(9.52)
98
ГЛ. 9 МОДЕЛЬ СОСТАВНОГО ЯДРА
То же самое можно сказать и о функции So, так как, если пренеб-
речь членом Аь, мы имеем
S0=e2i6« ж\ — Аг
Е Ег /Г упр/2
Е—Ег + «ГуПр/2
(9.53)
Найдя фурье-образ функции Аг, нетрудно убедиться, что эти полю-
са соответствуют метастабильному состоянию, распадающемуся
тем скорее, чем более полюс Е удален от действительной оси (ве-
лика ширина Гупр). В самом деле,
__>г
11 упр
(Е—Ег) -НГупр/2
е-‘Е1аЕ^се~‘Ег<~г^.
(9.54)
Таким образом, каждому метастабильному состоянию можно
поставить в соответствие полюс функции So (или в более общем
случае матрицы S, см. дополнение К, § 6) при некотором комплекс-
ном значении Е. (Обратное утверждать нельзя.) При действитель-
ном значении Е мы имели бы связанное состояние. Более полное
исследование полюсов матрицы S как функции аргумента k можно
найти в гл. 13 работы [140а]. Отметим, что знание этих полюсов в
принципе открывает доступ к динамике ядерной системы. •
§ 7. Выводы и аналогии
При том подходе, который использовался в данном приложе-
нии, не требуется знать, что происходит внутри ядерной среды при
взаимодействии ядра с нуклоном низкой энергии. Но, хотя все
определяется поведением волновой функции частицы на больших
расстояниях, нам потребовалось ввести в качестве параметра рас-
стояние R, на котором осуществляется «сшивание» внешней волны с
внутренней волной, пока что не конкретизированной. Характери-
стики наблюдаемых резонансов зависят, конечно, от природы этой
внутренней волны. Например, если ядерная среда эквивалентна
прямоугольной потенциальной яме глубиной Ув и радиусом R, то
внутренняя s-волна будет иметь вид
UD = с sin Кг, К = Г2ц (£—Vo)/A	(9.55)
и ширина резонанса будет даваться [с учетом формулы (9.43)] вы-
ражением (9.11) (упр. 9.4). Это был бы одночастичный резонанс,
но ширина резонансов, наблюдающихся в случае низкоэнергети-
ческих нейтронов, значительно меньше.
Это говорит о том, что структура внутренней волны гораздо
сложнее, чем (9.55). Модель составного ядра позволила нам учесть
это, хотя мы и не в состоянии использовать внутреннюю волновую
функцию для проведения расчетов, поскольку нам неизвестно ее ана-
литическое выражение. Тем не менее гипотеза Бора позволила
установить соотношение (9.13), подтвержденное опытом. И все же,
ПРИЛОЖЕНИЕ 9. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ РЕЗОНАНСА
99
как мы отметили в § 3, этим еще не доказывается правильность
данной гипотезы. Соотношение (9.13) можно получить и без нее, в
чем нетрудно убедиться, исходя из отношения выражений (9.49)
и (9.47).
Итак, отказавшись от догадок относительно того, что происходит
внутри ядерного «черного ящика», мы тем самым придали всему
изложенному в настоящем приложении весьма общий характер.
Полученные нами результаты можно перенести и на другие физи-
ческие системы, где наблюдаются аналогичные явления (электри-
ческие цепи, волноводы, твердое тело, атомы, элементарные ча-
стицы и т. д.).
УПРАЖНЕНИЯ
9.1.	Начиная с какой энергии протонов и а-частиц вероятность их прохождения
через кулоновский барьер становится равной единице в случае эксперимента
Гошала? Почему можно ожидать, что тогда будет выполняться равенство ор, zn~
~аа, Zn?
9.2.	Интерпретируйте рис. 9.3, пользуясь результатами упр. 1.10.
РИС. 9.8. При £>0 представлен график
для коэффициента Ст прохождения	Сг
s-нейтрона через средний ядериый потен-	1 " Л	,
циал в виде прямоугольной потенциальной	j\j
ямы глубиной Vo«5O МэВ и радиусом	/
7?«6,5Ф [см. формулу (Б. 12) при	/
/?yr2|.iV(J/^= 13л/4]. При £<0 вертикаль-	/_____________________
ными линиями показаны связанные s-coc-	——4q-------------j	2
тояния в такой прямоугольной яме [76,	Е/Ип
гл. 6].
9.3.	Вычислите значения /макс для протонов и а-частиц в максимумах кривых
функций возбуждения на рис. 9.2. Почему эксперимент Гошала тем не менее со-
гласуется со статистической гипотезой?
9.4	Волновая функция s-нейтрона (7=0) в среде, воздействие которой можно за-
менить прямоугольной потенциальной ямой, равна U0(r)/r, где U0(r) — функция
вида (9.55).
1)	Выведите формулу (9.55) и вычислите логарифмическую производную вели-
чины UB(r) при r=R (с внутренней стороны).
2)	Вычислите dqoldE—{dqfJdK)(dKldE).
3)	Покажите, что в случае одночастичного s-резонанса выполняется равенство
К/?=(2п|-1)л/2, а из него выведите выражение (9.11), пользуясь определением
(9 43).
9.5.	Воспроизведем теперь и уточним выводы предыдущего упражнения, опираясь
на результаты дополнения Б, представленные графически на рис. 9.8.
1)	Получите все результаты, представленные на рис. 9.8.
2)	Покажите, что осцилляции, наблюдающиеся при £>0, можно рассматри-
вать как одночастичные резонансы.
3)	Как эти «резонансы» располагаются относительно связанных состояний?
4)	Покажите, что при соответствующем изменении параметров рис. 9.8 при-
годен для анализа явления прохождения монохроматического света сквозь тон-
кую пленку.
4*
JOO	ГЛ. 9. МОДЕЛЬ СОСТАВНОГО ЯДРА
9.6.	Вычислите производную по Е выражения (9.27). Определите с ее помощью
положение (энергию) провала и максимума функции возбуждения, представлен-
ной на рис. 9.7.
9.7.	В сечении реакции радиационного захвата 135Хе(п, у)136 Хе обнаруживается
сильный резонанс при энергии Е=0,084 эВ. Парциальные ширины этого резонанса
таковы: Г„=0,0907 эВ и Г =0,0257 эВ. В резонансе полное эффективное сечение
равно 3,5-10® б.
1)	Вычислите эффективные сечения захвата и рассеяния при энергии резо-
нанса.
2)	Что можно сказать о спине выявленного метастабильного состояния, зная,
что спин / ядра 13^Хе равен 3/2?
Глава 10
ОБЗОР ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
Данную главу мы начнем с рассмотрения тех реакций, характе-
ристики которых не укладываются в рамки модели составного ядра.
Это так называемые прямые реакции, которые протекают в тех слу-
чаях, когда налетающая частица едва задевает ядро-мишень, причем
длительность столкновения намного меньше времени жизни состав-
ного ядра. Затем мы обратимся к «оптической модели», представляю-
щей собой распространение оболочечной модели на случай несвя-
занных состояний в задаче рассеяния. Она позволяет проследить
за движением падающей частицы в среднем потенциале ядра-ми-
шени до того момента, когда в результате многократных столкно-
вений образуется составное ядро. Это дает основу для объединения
моделей столкновения, на первый взгляд противоречащих друг
другу. В приложении к данной главе мы кратко остановимся на
некоторых особенностях ядерных реакций, вызываемых тяжелыми
ионами.
§ 1. Механизм прямого взаимодействия
Типичный пример проявления прямого взаимодействия — реак-
ция (р, 2р), протекающая при падении на легкие ядра протонов с
энергией, достаточной для того, чтобы их дебройлевская длина вол-
ны X была меньше среднего расстояния между двумя нуклонами
ядра-мишени или же сравнима с ним. Пользуясь формулой
=Mz2m£, нетрудно убедиться, что для этого падающим протонам
достаточно иметь энергию в несколько десятков мегаэлектронвольт.
При таких условиях все происходит так, как если бы падающий
протон, столкнувшись с одним из протонов ядра-мишени, выбил его
и вылетел сам из ядра. Может, конечно, случиться и так, что оба
партнера после столкновения начнут многократно сталкиваться с
другими нуклонами ядра-мишени. Но это привело бы к реакции
более сложной, нежели процесс (р, 2р), а если бы столкновения типа
«Ударов бильярдных шаров» были очень многочисленными, то обра-
зовалось бы составное ядро. Очевидно, что из ядра легче всего выйти
без повторного взаимодействия тем протонам ядра-мишени, которые
находятся на поверхности, и поэтому реакции (р, 2р) лучше всего
проводить на легких ядрах.
Такие реакции позволили, в частности, определить энергию связи
£/.(/) нуклонов в различных оболочках (п, L, j). Для этого доста-
точно было измерить на совпадение кинетические энергии Ег и Е2
102
Гл. 10. ОБЗОР ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
двух вылетающих протонов, так как из закона сохранения энергии
вытекает соотношение:
£J/)=£0-(£1+£2)-£R,	(10.1)
где £0 — энергия падающего протона, а £я — энергия отдачи
конечного ядра [83]. Аналогичную информацию дают и другие
типы прямых реакций. Мы покажем это позднее, но сначала уточ-
ним сам механизм.
А.	Степени свободы, участвующие в реакции
Кратко модель составного ядра можно характеризовать, сказав,
что это модель столкновения, описывающая самые разнообразные
реакции, для которых общим является то, что все они приводят к
сложному возбуждению ядерной системы, затрагивающему много-
численные степени свободы последней. В противоположность этому
о модели прямого взаимодействия можно сказать, что она представ-
ляет собой модель столкновения, описывающую разнообразные
реакции, для которых общим является селективное возбуждение
лишь вполне определенных состояний, тогда как большая часть
степеней свободы рассматриваемой системы N тел остается практи-
чески «замороженной».
Ранее нам уже встречались многие реакции подобного типа.
Например, в реакции передачи протона 208Pb(sHe, d)209Bi (см.
рис. 7.8) селективно заселяются одночастичные уровни конечного
ядра 209Bi, тогда как степени свободы ядра 209РЬ остаются заморо-
женными. Все происходит так, как если бы в реакции участвовал
только протон, внесенный ядром 3Не в одну из внешних оболочек
ядра 208РЬ. Точно так же в реакции неупругого рассеяния 209Bi (d, d)
209Bi (см. рис. 8.8) заселяются преимущественно коллективные
состояния ядра-мишени, хотя в принципе при этой энергии в реак-
ции могли бы участвовать и многие другие степени свободы системы
(209Bi+d). В первом приближении это выглядит так, как будто дейт-
рон, взаимодействуя с ядром-мишенью, возбуждал только колеба-
ния поверхности ядра 208РЬ.
Желая подчеркнуть эту особенность прямых реакций, обычно
говорят, что в них мы имеем дело с взаимодействием лишь малого
числа нуклонов в течение короткого промежутка времени, порядка
того, за который падающая частица проходит поперечник ядра-
мишени. При всей своей ясности такой картины она может приво-
дить к недоразумениям, а потому, противопоставляя модель пря-
мой реакции модели составного ядра, мы будем делать упор на
различие в характере затрагиваемых степеней свободы. Сейчас мы
увидим, как это отражается на экспериментальной стороне вопроса.
§ 1. МЕХАНИЗМ ПРЯМОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
103
Б Спектр и угловое распределение
На рис. 10.1 показано, как можно идентифицировать частицы,
являющиеся продуктами прямой реакции: они дают пики в высоко-
энергетической части спектра и вылетают преимущественно в направ-
лении вперед, причем полная интенсивность их части спектра (про-
интегрированная по углам) мала по сравнению с полной интенсив-
ностью испарительной части спектра. Самая простая схема интер-
претации основана на предположении, что прямые реакции свя-
заны с взаимодействием, происходящим практически только на
поверхности ядра. Тем самым главная роль приписывается процес-
сам испарения, так как, делая подобное предположение, молчаливо
принимают, что в случае более глубокого проникновения частицы в
ядро велика вероятность образования составного ядра. Кроме
того, если ограничить процессы прямого взаимодействия прицель-
ными параметрами порядка ядерного радиуса R, или, что эквива-
лентно, связывать их только с парциальными волнами высокого
порядка, близкого к ImKC~PiRrti (дополнение К), то будет понятно,
что направленность углового распределения вперед для таких
«периферийных» столкновений будет выражена тем сильнее, чем
больше импульс pt падающих частиц. Точнее, если можно было бы
уподобить прямые реакции упругому рассеянию, то угловая ширина
максимума Д6 в первом приближении должна была бы равняться х)
де«А/Р1.£«1//макс.	(ю.2)
Но для того, чтобы приблизиться к такой ситуации, нужно еще,
чтобы при рассматриваемой реакции были малы передаваемая ядру
энергия Д£=£(—Е{ и передаваемый угловой момент Д/=/{—lh
ибо лишь при таких кинематических условиях столкновение приб-
лиженно можно считать упругим (Д£=0 и Д/=0). Кроме того,
сколь бы мал ни был передаваемый угловой момент Д/, он должен
быть совместимым с одновременной передачей импульса Др=р(—р/.
Отметим, что такая совместимость надежнее всего гарантируется,
если выполняется соотношение
|Др| = Др=Ад//£.	(10.3)
Тогда угловое распределение должно иметь максимум при угле,
определяемом данным соотношением. Остановимся подробнее на
этом.
В.	Метод спектральных исследований
Поскольку в прямых реакциях затрагиваются лишь отдельные
степени свободы ядерной системы, такие реакции являются хоро-
) Если читатель не помнит, откуда берутся приводимые ниже соотношения,
он может обратиться к гл. 1.
Sew^/JH
° s
r-i ri

s
s
5 * «
S 2
•—’ >_<
Я >v
I—4
C3 E
к
s
к
a
s
и
к
s Э
ж s
3 S
з
s =
Q
3
з

* s к a
s ** о ri
3
₽
li°


Я s
5 §
s§
§ I. МЕХАНИЗМ ПРЯМОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
1(5
им спектроскопическим инструментом исследований. Анализ уг-
Ш0Вых распределений для наблюдающихся экспериментально пиков
Лозволяет определять характеристики состояний, селективно за-
селяемых в каждой конкретной реакции. Рассмотрим, например,
пеакцию 58Ni (d, /?)69Ni, при которой в результате прямого взаимо-
действия заселяются различные состояния конечного ядра 69Ni.
Каждому пику, наблюдаемому в спектре протонов, соответствует
определенное состояние ядра 69Ni, которое мы для простоты сначала
будем рассматривать как однонейтронное состояние в оболочке,
нежащей над уровнем Ферми остова 58Ni с полностью заполненными
РИС. 10.2. Угловые распределения
четырех пиков, наблюдающихся в
спектре протонов, которые обра-
зуются в реакции r’eNi(d, p)59Ni,
вызванной дейтронами с энергией
15 МэВ. Все четыре случая разли-
чаются передачей углового момента
А/. Сплошными линиями показаны
результаты теоретических вычисле-
ний, проводившихся в рамках ме-
тода искаженных волн (§ 3, п В).
оболочками. Например, основное состояние с Jn=3/2~ ядра 59Ni
мы будем пока считать чистой конфигурацией (рз/г)^1-
Состояние дейтрона — это практически s-состоянне, а ядро-
мишень 58Ni характеризуется спином и четностью Jn=0+, так что в
данном случае передаваемый угловой момент А/, соответствующий
образованию определенного пика, можно принять равным угловому
моменту I нейтрона, помещаемого в оболочку (и, /, /). Например,
для пика протонов, соответствующего образованию основного
состояния ядра 69Ni (нейтрон попадает на оболочку 2р3/2), мы долж-
ны иметь А/=/=1. И действительно, его угловое распределение,
помеченное значением 1=1 на рис. 10.2, обнаруживает максимум
при ()«ЮС в хорошем согласии с формулой (10.3) при А/ = 1
(упр. 10.1). Вообще на рис. 10.2, как и предсказано, максимум наб-
людаемых угловых распределений приходится на тем больший угол,
чем больше величина А/. В частности, при А/=/=0 максимум рас-
положен при 0=0 и, как нетрудно убедиться (упр. 10.1), его угло-
вая ширина А0 согласуется с формулой (10.2).
Более тщательный теоретический анализ (см. ниже) позволяет
рассчитать форму углового распределения при каждом значении А/.
Он дает возможность с большей уверенностью приписать экспери-
ментально наблюдаемым состояниям четность л=(—I)z и спин /=
106
ГЛ. 10. ОБЗОР ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
=/±1/2. Состояния с этими двумя значениями j, соответствующи-
ми одному значению /, можно различить, тщательно проанализи-
ровав угловое распределение при больших углах [84]. Мы не будем
на этом останавливаться, поскольку такой анализ потребовал бы
довольно глубокого исследования роли спинов партнеров, которой
мы до сих пор пренебрегали.
РИС. 10.3. Спектр протонов, регистрируемых при 0=9°, в реакции 68Ni (d, p)S9Ni,
вызванной дейтронами с энергией 15 МэВ. Идентификация осуществлялась с по-
мощью фотоэмульсиовных пластинок, помещавшихся в фокальной плоскости маг-
нитного спектрографа. Энергия найденных состояний ядра b9Ni отсчитывается от
основного состояния. Она указывается (в МэВ) над каждым пиком. Ниже в скоб-
ках указывается угловой момент, приписанный на основании анализа угловых
распределений.
Рис. 10.3 показывает, насколько сложен спектр протонов в ре-
акции 38Ni (d, /?)99Ni. Используя схему уровней рис. 7.4, можно
было бы попытаться интерпретировать основное состояние ядра
t9Ni (пик, соответствующий значениям £=0, 1=0), его первое воз-
бужденное состояние (£=0,340 МэВ, /=3) и его второе возбужден-
ное состояние (£=0,471 МэВ, 1=1) как чистые однонейтронные
состояния (2/?3/2)+1, (2/6/2)+1 и (2pl/2)+1. Тогда пику, расположенно-
му на 3,071 МэВ выше основного состояния и помеченному значе-
нием /=4, соответствовало бы состояние lg9/2. На самом деле нали-
чие многих уровней с/=1 и /=3 указывает на то, что квазиодноча-
стичные состояния здесь «растворены» во многих ядерных уровнях в
силу остаточных взаимодействий. По интенсивности наблюдаю-
§ 2. ОПТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
107
щихся пиков путем теоретического анализа можно определить веса
различных конфигураций, участвующих в описании уровней ядра
L>Ni. Благодаря такому анализу прямые реакции и представляют
интерес с точки зрения спектроскопических исследований.
§ 2.	Оптическая модель
Итак, как говорилось в начале предыдущей главы, модель со-
ставного ядра и модель прямой реакции описывают два противо-
положных по своему характеру механизма ядерных реакций. Меж-
ду двумя этими крайними случаями существует целый ряд проме-
жуточных процессов, ясно прослеживающихся на рис. 10.1. Ниже,
набросав общую картину ситуации, мы изложим «оптическую мо-
дель», успехи которой породили желание интерпретировать всю
совокупность процессов столкновения и в конечном счете построить
единую теорию ядерных реакций.
А.	Переход от прямой реакции к составному ядру
Когда нуклон проникает внутрь ядра, на него действует поле,
создаваемое А нуклонами. Характеристики процессов, которые за
этим последуют, зависят от свойств нуклон-нуклонного взаимодей-
ствия и от ядерной плотности. Как было показано в гл. 7, в ядерной
среде, обладающей высокой плотностью, важную роль играет
принцип Паули или, точнее, антисимметрия волновой функции.
В частности, поэтому запрещены нуклон-нуклонные столкновения,
в результате которых одна из частиц могла бы оказаться в уже за-
полненном состоянии. Феноменологически данное обстоятельство
можно учесть, вводя «эффективное» нуклон-нуклонное взаимодей-
ствие, благодаря чему средняя длина свободного пробега нуклонов
в ядерной материи становится больше, чем в отсутствие принципа
Паули. Такой подход позволил нам в обход проблемы М тел описы-
вать, по крайней мере в первом приближении, низкоэнергетические
связанные состояния, пользуясь средним потенциалом. Возникает
соблазн применить аналогичный подход и для описания рассеяния.
Но при использовании такого приближения параметры соответст-
вующего среднего потенциала, и в частности его глубина, становят-
ся функциями энергии падающих частиц. Можно, однако, надеять-
ся, что параметры модели будут меняться медленно и что в пределе
нулевой энергии будут получаться характеристики обычной обо-
лочечной модели. В этом состоит одна из гипотез оптической модели,
к которой мы вернемся ниже (см. рис. 8.9).
В этой модели потенциальное упругое рассеяние рассматрива-
ется как прямой процесс, в результате которого падающая частица
только отклоняется от направления первоначального движения
(испытывает преломление) в среднем ядерном потенциале. Чтобы
108
ГЛ. 10. ОБЗОР ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
учесть довольно большую вероятность поглощения частицы ядром,
в первом приближении оказывается достаточным, как мы увидим,
добавить к среднему потенциалу мнимую часть, после чего он при-
нимает вид
U=V+iW,	(10.4)
где V и W — действительная и мнимая части «оптического потен-
циала U», названного так по той причине, что подобный потенциал
вводится при рассмотрении поглощения света в конденсированных
средах. Но прежде, чем обсуждать оптическую модель, посмотрим,
к каким типам реакции приводят процессы поглощения.
О поглощении ядром-мишенью частицы, скажем протона, можно
говорить, если после столкновения этой частицы с нуклоном ядра
оба партнера окажутся в состоянии с энергией, превышающей уро-
вень Ферми. Тогда по окончании такого процесса выходящая волна
уже наверняка не будет совпадать с падающей. Но здесь возможны
разные случаи. Проще всего описывается тот случай, когда из ядра
сразу же вылетают два нуклона. Тогда мы имеем реакцию (р, 2р)
или (р, рп) в зависимости от того, с каким нуклоном сталкивается
падающий протон — с протоном или нейтроном ядра-мишени.
Другой случай, легко поддающийся описанию,— когда после
столкновения энергия каждого из двух партнеров недостаточна для
их отрыва. Тогда они оказываются в потенциальной яме пленни-
ками и, как правило, вынуждены постепенно терять свою энергию
в каскаде последовательных столкновений, в результате которых
образуются многочисленные пары дырка — частица, называемые по
аналогии с физикой твердого тела «экситонами» [85а]. По истечении
некоторого времени релаксации возникает то состояние ядра, рас-
смотренное в гл. 9, которое получило название составного ядра.
Фактически эта стадия часто достигается и в том случае, когда энер-
гия одного или даже обоих партнеров после столкновения превы-
шает энергию их отрыва. Нужно лишь, чтобы они находились в
«неудобном» положении для вылета из потенциальной ямы и испы-
тали новые столкновения, которые станут началом каскада столкно-
вений аналогично предыдущему случаю.
Между двумя рассмотренными крайними случаями имеется це-
лая гамма промежуточных процессов, начиная от прямой реакции и
кончая составным ядром. Например, мы, очевидно, имеем дело с
прямым взаимодействием, если после первого столкновения один
из партнеров сразу же вылетает из потенциальной ямы, унося боль-
шую часть энергии падающей частицы, тогда как второй остается в
одном из связанных состояний [к таким процессам относятся не-
упругое рассеяние (р, р') и реакция обмена зарядом (р, л)]. То же
самое можно сказать о процессе, в котором два нуклона связыва-
ются, образуя дейтрон, который вылетает из ядра, унося почти всю
имеющуюся энергию [это так называемая реакция передачи (р, d)]-
§2 ОПТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
109
Но коль скоро партнеры претерпевают повторное столкновение,
задача описания процесса сильно усложняется, если только в конце
концов не образуется составное ядро, т. е. система, находящаяся в
статистическом равновесии. В тех же случаях, когда частицы ис-
пускаются в ходе каскада столкновений ядром, состояние которого
далеко от равновесного *), задача оказывается сложной, как и все
задачи подобного рода.
Б. Поглощение падающей волны, мнимый потенциал
Выше были перечислены различные процессы поглощения пада-
ющей волны, а ранее говорилось о том, что их можно описать, вводя
комплексный потенциал. Чтобы показать это, рассмотрим одномер-
ный случай и для примера возьмем в качестве действительной и мни-
мой частей оптического потенциала (10.4) прямоугольные потенци-
альные ямы глубиной Vo и IVo. Уравнение Шредингера для частицы
с приведенной массой ц в случае такого потенциала имеет вид
-^+^-(£-V-I-1Vo)aP = O.	(Ю.5)
Его решения можно представить в виде
^(x) = e,Kx = eiKRxe~Krx,	(10.6)
где Д’ — комплексное волновое число, которое дается выражением
K = KR + iK, = (l/h)]^(E-V0-iWD).	(10.7)
Если IV» намного меньше разности Е—Vo, то можно написать
KR « (1/А)/2р(£—Vo) « pV,-/A,	(10.8а)
« W0KrI2(£ —Vo) « W0/hvh	(10.86)
где Vj — скорость частицы в ядерной среде. Таким образом, погло-
щательную способность последней можно характеризовать комплек-
сным показателем преломления, который, как и в оптике, дается
выражением
п_ *внутр к _ }E2n(E—V0—iW0) Vj . ITq (109)
^внешн k	/2цЕ ~ ve №ive '	’ ’
х) Многочисленные экспериментальные .данные по этому вопросу накоплены
в работах, посвященных так называемым реакциям глубокого отщепления [856]
(теоретики, которые с недавних пор начали ими интересоваться [85в], называют
их еще «процессами статистического предравновесия»). В настоящее время некото-
рого успеха в их анализе удалось добиться на основе метода Монте-Карло, который
состоит в моделировании каскадов столкновений на ЭВМ. Но разрабатываются и
олее фундаментальные подходы, исходящие из довольно старой теории [80г],
в которой делалась попытка скорректировать статистическую гипотезу, чтобы
учесть процессы прямого взаимодействия. Мы не останавливаемся здесь на этом,
оскольку указанные разработки еще не достигли уровня, на котором их можно
•io бы считать законченными.
110
ГЛ. 10. ОБЗОР ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
Напомнив эти результаты, займемся (до самого конца главы)
их интерпретацией в случае ядра. Начнем с некоторых общих заме-
чаний по поводу того, какой смысл придавать величине 1Е0. Плот-
ность вероятности найти падающую частицу внутри ядра на рас-
стоянии х от поверхности, очевидно, равна
|ф(х)|2 = е-2КЛ	(10.10)
Следовательно, можно ввести среднюю длину пробега до поглоще-
ния, определив ее как
A=l/2K7»Au,./2IE0.	(10.11)
Она соответствует уменьшению потока на 2Wjti за единицу време-
ни х), которое в рассматриваемой модели интерпретируется как
ослабление одночастичной волны за счет различных форм возбуж-
дения ядерного вещества, т. е. как поглощение отдельной частицы в
ядерной потенциальной яме. Но следует помнить, что отождествле-
ние состояний задачи рассеяния с волновыми функциями частицы в
некоторой средней потенциальной яме (гл. 9, § 2, п. Б) — это в
лучшем случае лишь первое приближение в задаче N тел. Если оно
окажется реалистическим, то результаты можно улучшить путем
учета остаточного взаимодействия, как мы это сделали в гл. 8, где
речь шла о связанных состояниях. В нашем случае существование
всевозможных типов остаточного взаимодействия учитывается мни-
мым потенциалом iW. Это с очевидностью следует из формулы
(10.11), в которой величина Л имеет смысл средней длины свобод-
ного пробега частицы в среднем потенциале ядра-мишени. В самом
деле, первичная частица, испытав столкновение в ядре с таким
средним потенциалом, потеряла бы характер самостоятельной ча-
стицы. Соответствующая ей волна уже не будет одночастичной, а
после многих внутриядерных столкновений выходящая волна может
даже стать волной дезэкситации составного ядра, которая, как мы
видели в гл. 9, § 2, п. В, не имеет более ничего общего с одноча-
стичной волной. Но уточним теперь введенные понятия.
В.	Оптический потенциал для нейтронов, эффект Рамзауэра
В рамках оптической модели с компонентами потенциала V
и IE в форме Вудса — Саксона анализировались многие экспери-
менты. Это относится и к экспериментальным результатам, пред-
ставленным на рис. 10.4. Их анализ позволил найти зависимость
глубины этих потенциалов от энергии падающих нейтронов
(рис. 10.5). Отсюда можно сделать ряд простых выводов [86].
х) В упр. 10.2 мы предлагаем читателю вывести более строго этот результат,
пользуясь понятием тока, определение которого дается в учебниках по квантовой
механике.
§2. оптическая модель
111
Прежде всего отметим, что экспериментальные данные не очень
опошо согласуются с гипотезой черного ядра, которое в дополнении
К определяется как ядро, поглощающее всякую частицу, прибли-
зившуюся к нему на расстояние, меньшее его радиуса. Действи-
тельно, в рамках такой гипотезы, принимаемой в модели состав-
РИС. 10.4. Зависимость полного эффективного сечения о7 взаимодействия ней-
тронов с разными ядрами от энергии нейтронов. Сплошные линии — эксперимен-
тальные кривые, штриховые линии — теоретические кривые (вычисленные для
случая черного ядра с 7?= 1,4 А1^ Ф).
РИС. 10.5. Зависимость глубины действительной (Уо) и мнимой (IV'c) части опти-
ческого потенциала от энергии падающих нейтронов. Компонента Wo учитывает
поглощение в объеме ядра.
ного ядра, полное эффективное сечение о7 изображалось бы пунк-
тирными линиями (см. рис. 10.5), построенными в соответствии с
формулой (К.51), а именно с выражением
а7 = 2л(7? + Х)2.	(10.12)
Отсюда вытекает, что ядро оказывается для нейтронов «серым»,
так как наблюдаются четко выраженные осцилляции, а это говорит
том, что существует достаточно интенсивная прошедшая одноча-
112
ГЛ. 10. ОБЗОР ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
стачная волна, которая заметным образом интерферирует с падаю-
щей волной позади ядра. Это означает, что введенная ранее средняя
длина свободного пробега А не является пренебрежимо малой по
сравнению с радиусом ядра в противоположность тому, что предпо-
лагается в модели составного ядра. Как нетрудно убедиться
(упр. 10.4), из представленных данных следует приближенное ра-
венство А«Я. Мы снова приходим к неоднократно повторявшемуся
выводу: столь большие средние длины свободного пробега возмож-
ны лишь благодаря действию принципа Паули, который запрещает
очень многие внутриядерные нуклон-нуклонные столкновения.
Метод анализа экспериментальных данных в общем такой же,
как в случае эффекта Рамзауэра, который наблюдается при рас-
сеянии электронов в инертных газах. Используется то, что сечения
ст должны быть максимальны тогда, когда прошедшая одночастич-
ная волна оказывается в фазе с падающей волной позади ядра.
Если в качестве приближения рассмотреть случай прямоугольных
потенциальных ям, то данное условие выполняется, когда
(KR—k)2R = 2nn,	(10.13)
где п — целое число. По положению последовательных максимумов
определяют величину Vo, а по амплитуде осцилляций — величи-
ну №0.
Из рис. 10.5 явствует, что глубина действительной части потен-
циала убывает с увеличением энергии, начиная от значения, типич-
ного для оболочечной модели, которое отвечает нулевой энергии.
Этим подтверждается то, что утверждалась в п. А. Мнимая же
часть потенциала возрастает с увеличением энергии. Качественно
это можно объяснить следующим образом. Поглощение становится
более сильным при увеличении энергии нейтронов, поскольку при
этом, с одной стороны, уменьшается роль принципа Паули, а с дру-
гой — открывается все больше каналов реакции. Что касается
формы мнимой части потенциала, то в выборе ее существуют две
тенденции. Одни предпочитают брать ее в форме потенциала Вудса —
Саксона, что соответствует «поглощению во всем объеме», а другие —
в виде потенциала с максимумом на поверхности ядра, что эквива-
лентно усилению поглощения в приповерхностной области. Во вто-
ром случае в качестве обоснования приводится соображение, что
там, где (как на поверхности) плотность мала, принцип Паули ска-
зывается в меньшей степени, а потому поглощение должно усили-
ваться. Заметим, наконец, что при проведении точного анализа
необходимо вводить спин-орбитальный потенциал и потенциал сим-
метрии, действительные части которых при стремлении энергии к
нулю принимают такие же значения, как и в оболочечной модели.
§2. ОПТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
113
р Метод искаженных волн
Для определения параметров оптической модели с высокой точ-
ностью проводят и другие типы экспериментов. Самые простые из
них состоят в измерении угловых распределений упругого рас-
сеяния, которые после измерений стремятся воспроизвести как
можно точнее с помощью так называемого метода искаженных волн,
более точного, чем рассмотренное в начале главы приближение,
учитывающее рассеяние на поверхности ядра. В этом методе учиты-
вается возможность рассеяния во всем объеме ядра, а роль, которую
выполняет оптический потенциал и, в частности, его мнимая часть,—
это более полное описание происходящих процессов, а именно тех,
в которых одночастичная волна не полностью поглощается ядром.
Обычно вычисления проводятся в рамках борновского приближе-
ния, в связи с чем и сам метод называют борновским приближением с
искаженными волнами [87]. Такой метод был использован при про-
ведении анализа экспериментальных данных по угловому распре-
делению упругорассеянных протонов с энергией 17 МэВ на различ-
ных мишенях, представленных на рис. 1.6, б. Комментируя эти
данные в гл. 1, мы не упомянули о том, что кривые, проведенные
сплошными линиями, получены путем подобных вычислений. Они,
как нетрудно видеть, превосходно согласуются с эксперименталь-
ными точками.
На основании аналогичных вычислений были построены и
кривые рис. 10.2; они тоже хорошо согласуются с эксперименталь-
ными данными. Главное отличие от предыдущего случая здесь со-
стоит в следующем. Падающая дейтронная волна, описываемая в
рамках оптической модели, распространяется до той «точки» ядер-
ного объема, где происходит реакция (d, р), а далее, от этой «точки»
до выхода из ядра, распространяется также, ослабляясь, протонная
волна. Поэтому нужно знать оптические потенциалы и протонов, и
дейтронов; их определяют в предварительных экспериментах по
упругому рассеянию частиц этих двух типов. В конечном итоге
можно найти так называемые спектроскопические факторы, т. е.
вероятности заселения различных ядерных состояний, возбуждае-
мых в рассматриваемой реакции.
Д- «Широкие структуры»
Мы пока что не затрагивали проблемы, которую ставит сущест-
вование большого числа узких резонансов при низких энергиях.
Оптическая модель непригодна для их описания, поскольку, как
МЫ видели, эти резонансы составного ядра не имеют одночастичной
природы. Не пытаясь их воспроизвести, можно все-таки получить
некоторую информацию об их свойствах при статистическом под-
ходе. Так, если усреднять нейтронные резонансы в энергетическом
114
ГЛ. 10. ОБЗОР ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
интервале, намного превышающем и их ширину Г, и расстояние
между ними D, то найденное усредненное полное эффективное се-
чение от медленно меняется с изменением энергии, но при этом
наблюдаются так называемые широкие структуры, т. е. нечто вроде
одночастичных резонансов, интерпретация которых явилась одним
из первых успехов оптической модели. На рис. 10.6 представлены
результаты одного ставшего классическим расчета [88], в котором
в качестве оптического потенциала была взята комплексная пря-
РИС. 10.6. Теоретическая зависимость среднего полного эффективного сечения
Оу нейтронов (деленного на nR2) от атомного номера А и энергии (точнее от вели-
чины х2=7?2/г2). Расчет по оптической модели при /?=1,45 А1 8 Ф, Vo=42 МэВ,
W7Vo=O,O5. Результаты теоретического расчета довольно хорошо передают
экспериментальную ситуацию.
моугольная потенциальная яма. Хорошее согласие с экспериментом
было получено при £ = 1,45Л1/8 Ф, У0=42 МэВ и W'’o/Vo=0,05.
Сначала займемся интерпретацией широких структур s-типа,
которые видны на графике в области низких энергий (kR^>~0) при
значениях А, близких к 20, 60 и 160. Напомним, что s-резонансы
(/=0) в случае прямоугольной потенциальной ямы возникают при
низкой энергии (£<^Уо), когда выполняется соотношение (9.2), а
именно
RK « £/2цУ()//г = (2л + 1)л/2,	(10.14)
где п — целое число. Из данного соотношения следует, в частности,
что в случае прямоугольной потенциальной ямы с 1/0=42 МэВ s-
резонансы при нулевой энергии, соответствующие значениям 1, 2
и 3 числа п, должны возникать при значениях 20, 60 и 160 массо-
вого числа А. Их естественно интерпретировать как однонейтрон-
§3. выводы
115
ные резонансы 1), так как нейтронные оболочки 2spa, 3s1Z2 и 4si/2
расположены вблизи уровня Ферми в трех областях ядер с массо-
выми числами, близкими к 20, 60 и 160. Сохранить за ними назва-
ние «широких структур» разумно потому, что их ширина (на поло-
вине высоты) не совпадает с одночастичной шириной Годноч [фор-
мула (9.11)1, а равна
Гщ. с Годном + 2^0-	(10.15)
В самом деле, решения уравнения Шредингера в случае мнимого
потенциала можно представить в форме
ф(х, t) = ty(x)eilE+iW^t/ii==‘ty(x)eiEt,,i	(10.16)
где величина 21FO играет роль ширины одночастичного состояния.
Мы фактически предвосхитили этот результат, когда, обсуждая
формулу (10.11), отметили, что уменьшение потока одночастичной
волны на 2В70/л за единицу времени представляет «меру порчи»
этой волны за счет других видов возбуждения ядра. Другими сло-
вами, величина 2W0/fi, — это что-то вроде вероятности перехода из
одночастичного резонанса во всевозможные состояния составного
ядра, которые для удобства рассмотрения были усреднены. Если же
говорить проще, то величина 2W0/h. есть ширина области, в кото-
рой в силу остаточного взаимодействия каждое одночастичное
метастабильное состояние «растворяется» среди различных родст-
венных ему состояний системы N тел. Таким образом, подход обо-
лочечной структуры распространяется и на несвязанные состояния
в процессе рассеяния.
Все сказанное выше о широких структурах s-типа можно пере-
нести и на структуры, обозначенные на рис. 10.6 буквами Р, D, F
и т. д., чтобы показать, что они соответствуют метастабильным
состояниям оболочечной модели, имеющим квантовые характери-
стики р, d, f и т. д. Правильность такой интерпретации подтверж-
дается наблюдением «промежуточных структур», названных так
потому, что их ширины являются промежуточными между широкими
структурами и резонансами составного ядра, а также еще и потому,
что они отвечают промежуточным состояниям с двумя частицами и
одной дыркой [называемым «входными» (doorway) состояниями],
через которые проходят ядра, прежде чем достигнуть стадии состав-
ного ядра [89].
§ 3.	Выводы
В данной главе мы показали, что оптическая модель позволяет
понять [90], как происходит постепенный переход от прямой реак-
пии к реакциям, проходящим через стадию составного ядра. Пара-
) Если читатель не помнит, что такое одночастичный резонанс, то ему обяза-
ельно нужно еще раз посмотреть гл. 9, § 2, п. Б.
116
ГЛ. 10. ОБЗОР ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
метры модели фигурируют на всех этапах такого перехода — как
при анализе процессов прямого взаимодействия, так и при стати-
стическом рассмотрении состояний составного ядра. Прямые реак-
ции могут служить прекрасным «инструментом» спектроскопических
исследований только в рамках метода искаженных волн. Их эффек-
тивные сечения составляют лишь очень малую долю полного эффек-
тивного сечения, поскольку в ядерной среде велика вероятность
поглощения. Однако принцип Паули препятствует ядру быть аб-
солютно черным. Об этом с особой убедительностью свидетельствует
«ядерный эффект Рамзауэра». При самых низких энергиях оптиче-
ская модель позволяет делать только предсказания статистического
характера. Ее главный успех в этой области — интерпретация
широких структур, т. е. «одночастичных резонансов», очень быстро
«растворяющихся» среди многочисленных состояний составного
ядра. Именно в этом смысле можно говорить, что оптическая мо-
дель перебросила мостик к единой теории ядерных реакций, кото-
рая, отталкиваясь от распространения оболочечной модели ядра на
состояния в задаче рассеяния, дает возможность лучше понять
модель составного ядра.
Все модели, о которых говорилось в данной главе, были перене-
сены в другие области физики, от атомной физики [911 до физики
частиц. И здесь, рассматривая несвязанные состояния задачи рас-
сеяния, мы снова приходим к выводу, сделанному в гл. 8: все встре-
тившиеся нам аналогии проистекают из того факта, что атомное
ядро — это система, очень подходящая для исследования решений
проблемы N тел. В приложении к данной главе мы представим тому
новые иллюстрации.
Приложение 10
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ РЕАКЦИЙ
с ТЯЖЕЛЫМИ ИОНАМИ
физика тяжелых ионов сейчас стала одной из важнейших иссле-
довательских тем, предусмотренных в программах исследований
практически всех лабораторий ядерной физики. Первоначально
проведение таких исследований в значительной мере мотивирова-
лось поисками так называемых сверхтяжелых элементов, т. е. остро-
ва относительно стабильных ядер в области массовых чисел, кото-
рые следовало уточнить, экстраполируя наилучшим образом маги-
ческие числа за Z=82 и Z=126. Вначале казалось, что для получе-
ния сверхтяжелого составного ядра достаточно бомбардировать
тяжелое ядро тяжелыми ионами. Но позже оказалось, что эта задача
непростая, если вообще возможная, из-за существования незаме-
ченного ранее глубоко-неупругого процесса. Данный процесс (мы
на нем остановимся ниже) сам стал предметом исследований, и, в
частности, для этих исследований большинство промышленно разви-
тых стран строят или проектируют строительство новых ускорите-
лей тяжелых ионов. Франция в этом отношении не отстает «от моды»:
в рамках последнего плана развития научных исследований ее
правительство ассигновало кредиты на строительство в Кане
(деп. Кальвадос) национальной машины, сокращенно называемой
G.A.N.I.L. (большой национальный ускоритель тяжелых ионов) *).
С учетом того что данный вопрос пока еще находится в состоя-
нии развития [92], мы в настоящем приложении остановимся только
на двух наиболее характерных особенностях реакций, вызываемых
тяжелыми ионами: широкой структуре при фиксированном угле и
глубоко-неупругих процессах. Предварительно нам придется ска-
зать несколько слов об упругом рассеянии и о распаде составных
ядер.
Прежде всего отметим, что малая длина волны таких ионов, свя-
занная с их большой массой (Х»0,05 Ф для ионов 40Аг с энергией
9 Один из двух крупнейших в мире работающих ускорителей нерелятивист-
ских тяжелых ионов (циклический ускоритель У-400 М) находится в СССР, в Объ-
единенном институте ядерных исследований (Дубна), где под руководством акад.
1 Н. Флерова ведется широкий круг исследований, в частности впервые были
синтезированы элементы с Z=102—109. Другой крупнейший ускоритель (линей-
ный, UNILAC) действует в Дармштадте (ФРГ), где был недавно синтезирован эле-
мент с Z= 108 и, по-видимому, наблюдался один случай образования ядра с Z= 109.
среди крупнейших из строящихся и проектируемых ускорителей такого типа кро-
ме Упоминаемого в тексте французского ускорителя следует отметить У-400 М
в Дубне, Michigan в США и RIKEN в Японии.— Прим, перев.
118
ГЛ. 10. ОБЗОР ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
200 МэВ), позволяет рассматривать их в первом приближении
полуклассически. Понятие траектории в этом случае имеет смысл.
В частности, при анализе различных наблюдаемых процессов важ-
ное значение имеют так называемые скользящие траектории. Такая
траектория соответствует столкновению, в котором партнеры лишь
слегка задевают друг друга. При прицельных параметрах, больших
РИС. 10.7. Примерный вид траектории, соответствующей скользящему столкно-
вению. Часть траектории, изображенная штриховой линией, показывает, как под
действием притягивающего ядерного потенциала ион отклоняется от первоначаль-
ной кулоновской траектории к углу, меньшему, нежели угол 0с, определяемый
соотношением (10.20).
чем в скользящем столкновении, взаимодействие партнеров стано-
вится почти чисто кулоновским, как показано на рис. 10.7.
§ 1. Упругое рассеяние и широкая (гросс) структура
Столкновения, близкие к скользящему, часто приводят к упру-
гому рассеянию. Их анализ аналогичен анализу дифракции Френеля
или Фраунгофера в зависимости от того, играет ли кулоновское
поле важную роль или нет. Это ясно видно на рис. 10.8.
А. Радиус взаимодействия тяжелых ионов.
Рис. 10.8, а похож на рис. 1.6. Путем анализа представленных
на нем данных можно определить, в частности, радиус взаимодей-
ствия двух тяжелых ионов. Коль скоро нас интересует только
порядок величины, мы можем воспользоваться тем, что два сосед-
них максимума в случае дифракции Фраунгофера разделены угло-
гр|1'ЮЖЕНИЕ 10. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕН. РЕАКЦИЙ С ТЯЖЕЛЫМИ ИОНАМИ ] 19
выМ интервалом, который определяется соотношением А (<?/?)« л.
Последнее можно переписать в виде *)
A (sin6u. м/2) « лЛ./2/?.	(10.17)
В случае системы 12С+16О с энергией £ц. м=78 МэВ’ два первых
минимума на рис. 10.8 расположены при 0ц. м=19° и 0Ц. м=
=24°. Зная, что здесь Х=А/)/2р-£ц м~0,2 Ф, из соотношения
РИС. 10.8. а — угловое распределение упругого рассеяния 12Сф16О, по форме
напоминающее кривую дифракции Фраунгофера, б— угловая зависимость отно-
шения экспериментального дифференциального эффективного сечення о к резер-
фордовскому дифференциальному эффективному сечению Од в случае упругого
рассеяния ]®O-|-208Pb. Она обнаруживает ход, характерный для дифракции Фре-
неля. В обоих случаях сплошные линии — теоретические кривые, соответствую-
щие оптической модели, наилучшим образом аппроксимирующие эксперименталь-
ные данные (отдельные точки). В отсутствие диффузности ядерной поверхности ос-
цилляции были бы выражены еще резче.
(10.17) получаем R (С+О)«7 Ф. Такой порядок величины прекрасно
согласуется с общим выражением, полученным в результате точного
анализа упругого рассеяния тяжелых ионов:
R (*i + Х2) = г0 (ЛУ3 + А*/3) + а,	(10.18)
где г0«1,36Ф; а«0,5Ф.
Такое значение параметра г0 типично для радиуса объектов, свя-
занных сильным взаимодействием (гл. 1). Параметр а характери-
зует диффузность поверхности.
*) Для дальнейшего чтения необходимо, чтобы читатель хорошо усвоил по-
нятия, введенные в гл. 1. Напомним, что соотношение (10.17) вытекает из следую-
^егго° БЬ1Ражения для импульса, передаваемого при упругом рассеянии: q—
—L2p sin 0ц. м /2]/А.=[2 sin 0ц. м /2]/Л.
120
ГЛ. 10. ОБЗОР ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
Б. Дифракция Френеля
Заметим, что высота кулоновского барьера системы двух тя-
желых ионов и дается выражением
V(X14-XZ)= жД+Хг) •	(10.19)
В случае, представленном на рис. 10.8, а, она пренебрежимо мала
по сравнению с энергией падающих ионов, так как V (С+О)« 10 МэВ.
Поэтому наблюдается картина дифракции Фраунгофера, которая,
напоминаем, в оптике возникает, когда расстояние от источника
света до экрана наблюдения бесконечно велико по сравнению с
характерным размером отверстия, на котором происходит дифрак-
ция. В случае рис. 10.8, б это условие не выполняется, так как
И(О+РЬ)»80 МэВ, что примерно равно £ц. м/2. Здесь кулонов-
скими эффектами нельзя пренебрегать: параллельный падающий
пучок расходится в кулоновском поле, прежде чем достигнуть
поверхности ядра. Иными словами, кулоновское поле играет роль
рассеивающей линзы, фокус которой расположен перед ядерпым
полем на расстоянии тем меньшем, чем меньше отношение £ц. М/И.
С точки зрения сильного взаимодействия это выглядит так, как
будто на ядро падает пучок, являющийся изображением первичного
пучка в кулоновской линзе; расстояние от мнимого изображения до
поверхности тем меньше, чем ближе отношение У/£ц. м к единице.
Таким образом, мы имеем дело с дифракцией Френеля, которая, как
известно, в оптике наблюдается тогда, когда источник света нахо-
дится на конечном расстоянии от предмета, на котором происходит
дифракция [46].
Здесь снова, как и в гл. 1, § 6, при определении радиуса ядра
из эксперимента, в котором проявляются эффекты интерференции
электромагнитного взаимодействия с сильным взаимодействием, мы
сталкиваемся с аналогичными трудностями, а именно: как опреде-
лить критический прицельный параметр Ьс по графику рис. 10.8, б,
который, очевидно, совершенно аналогичен графику рис. 1.4? Ре-
цепт, используемый в настоящее время, таков: в качестве крити-
ческого угла 0с, называемого углом скользящего столкновения,
берется значение 0, при котором о/он=1/4. Например, на рис. 10.8, б
мы имеем 0с»37о; отсюда, пользуясь формулой (1.14), выведенной
в гл. 1, §5, а именно
получаем £(0+РЬ)«12 Ф. И в этом случае найденный нами по-
рядок величины прекрасно согласуется с общей формулой (10.18).
ПРИЛОЖЕНИЕ
10. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕН. РЕАКЦИЙ С ТЯЖЕЛЫМИ ИОНАМИ 121
В Широкие структуры при фиксированном угле
При проведении экспериментов с тяжелыми ионами при фикси-
рованном угле в достаточно широком интервале энергий в случае
сравнительно легких систем на кривых функций возбуждения были
РИС. 10.9. Широкие структуры на кривых возбуждения упругого рассеяния для
некоторых сравнительно легких систем. Экспериментальные точки соответствуют
значениям дифференциальных эффективных сечений при 0ц.м=90°.
обнаружены «горбы» (рис. 10.9), первоначально интерпретирован-
ные как своего рода резонансы, названные тогда «квазимолекуляр-
пыми состояниями». Мысль состояла в следующем: не могут ли
падающий ион и ядро-мишень образовать метастабильное состоя-
ние, когда притягивающий ядерный потенциал уравновешивается
совместным действием отталкивающего кулоновского потенциала
(ZiZ2e2r) и центробежного барьера [Д2/(/-|-1)/2рг2] (тем самым
определялся бы и радиус гипотетической орбиты)? Но в настоящее
время предложено более тривиальное объяснение явления как
интерференции волн, соответствующих двум уходящим под одина-
ковыми углами траекториям скользящего столкновения, охваты-
122
ГЛ. 10. ОБЗОР ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
вающим ядро-мишень с противоположных сторон. Например, в слу-
чае симметричных систем типа 1сО+1еО при такой интерпретации
широкая структура должна наблюдаться всякий раз, как угловой
момент, вычисленный для этих траекторий, принимает четное значе-
ние (ибо речь идет о системе двух идентичных бозонов, волновая
функция которых должна быть симметричной х)).
§ 2. Составное ядро и «глубоко-неупругие» процессы
В тех случаях, когда длина волны тяжелых ионов очень мала
они могут, очевидно, взаимодействовать в состояниях с очень боль-
шим относительным угловым моментом. Например, для системы
40Аг+1в6Но с энергией 226 МэВ (мы подробнее рассмотрим эту
систему ниже), согласно формуле (1.10), выведенной в гл. 1,
/мак. ~ R I 2р (Ец. м-V)/A = 4	1 -	’	(10-21)
где R и V — функции, которые даются выражениями (10.18) и
(10.19), может быть достигнуто значение Ё„ах«163А. Значения
такого порядка для /мах отвечают прицельным параметрам, близ-
ким к скользящему столкновению, при которых происходят так
называемые квазиупругие столкновения; к последним относятся
реакции передачи одного или нескольких нуклонов, а также
а-субструктур. При уменьшении прицельного параметра (или, что то
же самое, углового момента) мы последовательно переходим к
глубоко-неупругим реакциям (см. ниже), а затем к реакциям с обра-
зованием составного ядра (с полным слиянием), которое распада-
ется путем деления (при малых угловых моментах) за счет испарения
все большего и большего числа частиц, сопровождаемого испуска-
нием все меньшего и меньшего числа фотонов.
А. Составное ядро
На рис. 10.10 представлена в координатах энергия возбуждения — угловой
момент — типичная ситуация, в которой оказывается конечное ядро после испа-
рения частиц (в данном случае 4 нейтронов) из составного ядра с массовым числом
А (.4=166), образованного тяжелыми ионами (в данном случае 40Аг с энергией
181 МэВ). Длинным узким прямоугольником показана область заселения состоя-
ний конечного ядра (в данном случае ядра l62Yb, образующегося в реакции
12eTe(40Ar,'4n)162Yb) Параболическая кривая, соответствующая энергиям вращения
Er=k2l(I+\)/2f, называется «ираст-линией». По определению она соединяет
состояния с наименьшим для рассматриваемых спинов значением энергии. Таким
*) Пользуемся случаем указать, что тяжелые ионы — идеальные частицы для
выявления эффектов, связанных с принципом антнсимметризании для одинаковых
фермионов и принципом симметризации для одинаковых бозопов. Например, Уг‘
левые распределения системы 13С-|-1аС (два тождественных фермиона) сильно от-
личаются от угловых распределений системы 12С+12С (два тождественных бозона)-
ПРИЛОЖЕНИЕ 10. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕН. РЕАКЦИЙ С ТЯЖЕЛ ЫМИ ИОНАМИ |23
6 азом, она представляет собой границу, ниже которой не может существовать
никаких ядерных состояний.
н энергия конечного ядра выше нраст-линин на величину, равную примерно
ергии связи нейтрона (~8 МэВ), так как это та энергия, на которой в среднем
Эстаиавливается процесс испарения нейтронов, или, что эквивалентно, с которой
начинается каскад испускания фотонов. В случае реакции (Аг, 4п) (см. рис. 10.10)
длинный узкий прямоугольник со стороны низких угловых моментов ограничива-
ется реакцией (Аг, 5п), а со стороны высоких — реакцией (Аг, Зп). В самом деле,
за указанными пределами составное ядро, образовавшееся с данной энергией воз-
РИС. 10.10. Схема, показывающая в координатах энергии — угловой момент
основные характеристики распада составного ядра, образовавшегося в реакции
с тяжелыми ионами в состоянии с очень большим угловым моментом.
буждения, вынуждено было бы испустить одним нейтроном больше (или соответст-
венно меньше), так как каждый нейтрон уносит в среднем энергию 10 МэВ и одну
единицу ft углового момента [82].
При таких условиях в конце цепочки испарений, т. е. когда более вероятными
становятся у-переходы, конечное ядро, образовавшееся в результате реакции с
тяжелыми ионами, часто оказывается в состоянии с большим угловым моментом.
Тогда возникает каскад весьма быстрых у-переходов, схематически показанных
на рис. 10.10 стрелками. Сначала он возникает там, где плотность уровней вели-
ка,— это так называемый статистический каскад, а затем следует каскад переходов
между уровнями ираст-полосы, имеющими существенно вращательный характер;
заключительный этап — переходы основной полосы, на которые приходится вся
интенсивность.
Нетрудно сообразить, что в силу сказанного реакции, вызы-
ваемые тяжелыми ионами, проходящие через стадию образования
составного ядра,— наилучший способ исследования ядер с очень
большим спином. Фактически же возможности в данном отношении
ограничиваются существованием процесса деления. Действительно,
главным каналом распада составных ядер, образующихся в состоя-
нии с очень большим моментом, оказывается деление, так как барьер
124
ГЛ. 10. ОБЗОР ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
деления тем меньше, чем выше энергия вращения системы. Наблю-
даются преимущественно два тяжелых осколка деления, суммарная
кинетическая энергия которых (измеренная, скажем, при помощи
полупроводникового детектора) в первом приближении равна энер-
гии их кулоновского отталкивания в точке разрыва. Их распреде-
ление по массам похоже на гауссоиду с максимумом при половине
массы составного ядра; это означает, что в данном случае наиболее
вероятно симметричное деление. Иллюстрацией к сказанному могут
служить графики для системы 4ОАг+1еьНо при энергии 226 МэВ,
представленные на рис. 10.11.
Б Глубоко-неупругий процесс
Доля реакций, приводящих к образованию составного ядра, за-
висит, в частности, от произведения зарядов сталкивающихся ядер
ZjZ2- При Z,Z2S:2000 она становится очень малой по отношению к
полному эффективному сечению реакции. Остальное приходится на
реакцию нового типа, обнаруженную недавно. Это так называемые
глубоко-неупругие реакции. Этот новый тип процессов был обнару-
жен при попытках получить сверхтяжелые ядра; характеристики
таких процессов представлены на рис. 10.11, б, 10.12,6 и 10.13.
На рис. 10.11,6 треугольником в центре показана область
массовых чисел и кинетических энергий, в которой по предположе-
нию должны были находиться продукты деления составного ядра
(ср. с рис. 10.11, а). Но здесь не было зарегистрировано сколько-
нибудь заметного числа событий. В то же время справа и слева от
треугольника зарегистрирован большой выход реакции, отвечаю-
щий осколкам, полная кинетическая энергия которых близка к той,
которая должна быть в случае процесса деления, но примерно с та-
ким распределением по массам, как для слабо неупругого процесса
или реакции передачи.
У читателя может возникнуть мысль, что мы имеем дело с несим-
метричным делением. Но такой вариант отпадает, если сравнить
рис. 10,12, а и б. В самом деле, как и в любом другом процессе
распада составного ядра (рис. 9.5), угловое распределение продук-
тов деления в системе центра масс симметрично относительно 90°
с очень заметной анизотропией, обусловленной тем, что они вы-
летают из ядра в состоянии с очень большим угловым моментом.
На рис. 10.12, а оно соответствует закону 1/sin 0, выведенному в
гл 9, § 5 Распределение же, представленное на рис. 10.12, 6,
имеет совершенно другой вид: большинство зарегистрированных
осколков вылетают под углом несколько меньшим, чем соответст-
вующий траектории скользящего столкновения, т. е. в данном слу-
чае 0^100° в системе центра масс [согласно формуле (10.20)].
Таким образом, приходится признать, что в противоположность
случаю составного ядра рассматриваемый процесс «сохраняет вое-
РИС. 10.11. Карта, изображающая зависимость числа событий от массы каждого
из двух осколков, зарегистрированных на совпадение при фиксированном угле,
и от их полной кинетической энергии в системе центра масс, а — число событии
достигает 1000 в области упругого рассеяния (Л=40 и .4=165) и уменьшается
по мере того, как увеличивается передача массы и процесс становится все более
неупругим. В центральной части появляются осколки деления (см. текст). 6
точки пересечения продолженных горизонтальных и вертикальных черточек дают
положение упругорассеянных осколков (350 МэВ в системе центра масс соответст-
вуют 520 МэВ в лабораторной системе). Как нетрудно видеть, в треугольнике, в ко-
тором ожидались продукты деления, практически нет событий; в то же время
по обе стороны треугольника зарегистрированы осколки, образующиеся за счет
глубоко-неупругого процесса.
126
ГЛ. 10. ОБЗОР ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
РИС. 10.12. а—угловое распределение осколков деления, испускаемых состав-
ным ядром 209At, которое образуется в реакции 12С+197Аи. Распределение прибли-
зительно соответствует закону 1/sin 0. б — угловое распределение осколков, об-
разующихся за счет глубоко-неупругого процесса в реакции 8*KH-206Bi, имеет
совершенно иную форму: оно обнаруживает резкий максимум под углом, несколь-
ко меньшим, чем 0с, что можно объяснить, используя данные рис. 10.8.
ПРИЛОЖЕНИЕ 10 НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕН РЕАКЦИЙ С ТЯЖЕЛЫМИ ИОНАМИ 127
РИС. 10.13. Распределение по массам продуктов глубоко-неупругого процесса,
наблюдаемое экспериментально при разных углах. Эти распределения, имеющие
максимум при массах, близких к меди, относительно узкие при угле (78°), несколь-
ко меньшем 0С, но их ширина увеличивается с уменьшением угла.
столкновения. Иначе говоря, мы имеем дело с процессом, который
протекает быстрее, нежели процесс, заканчивающийся распадом
составного ядра. Но тогда вызывает удивление большая потеря
полной кинетической энергии осколков между входным и выходным
128
ГЛ. 10. ОБЗОР ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
каналами, тем более что последняя остается близкой к энергии ку-
лоновского отталкивания независимо от начальной энергии. Эту
особенность выявленных глубоко-неупругих процессов называют
энергетической «релаксацией» и объясняют последнюю действием
сил вязкости, возникающих вследствие трения нуклонов на грани-
це соприкосновения двух ядер. Для объяснения этого явления
было предложено много различных моделей, сводящих все к задачам
классической механики и гидродинамики: две ядерные капли пере-
катываются со скольжением одна относительно другой и временно
слипаются, давая возможность нуклонам в большей или меньшей
степени диффундировать через поверхность соприкосновения в
зависимости от длительности контакта.
Подобные представления позволяют объяснить то обстоятельст-
во, что при ZiZ2^2000 не наблюдается образования составного
ядра. Силы трения столь быстро замедляют падающий ион, что при
больших Z,Z2 его слияние с ядром-мишенью оказывается невозмож-
ным из-за совместного действия центробежного барьера и кулонов-
ского поля.
Можно, в частности, объяснить и характер распределений на
рис. 10.13, а именно возрастание ширины распределения масс
осколков при уменьшении угла, под которым они регистрируются,
если угол не превышает 6^. Действительно, чем ближе направление
вылета осколков к направлению «вперед», тем больше времени
они находятся в контакте и, следовательно, тем больше времени
у нуклонов для диффузии через область соприкосновения. Но из
статистической механики хорошо известно, что диффузия характе-
ризуется нормальным распределением, ширина которого с течением
времени t увеличивается пропорционально Vt. Учитывая это, ко-
личественные расчеты подобных процессов можно проводить на
основе уравнения Фоккера — Планка [81].
Итак, физика тяжелых ионов обращается к аналогии с гидроди-
намикой. Одно из направлений, о которых мы здесь не говорили
(область релятивистских тяжелых ионов), расширяет такую анало-
гию вплоть до исследования ударных волн [93] и сверхплотной ядер-
ной среды [94], которые могут обнаруживаться в столкновениях
при энергиях порядка нескольких гигаэлектронвольт на нуклон ’).
Пока что ничего подобного экспериментально наблюдать не удается.
УПРАЖНЕНИЯ
10.1.	Выразите величину Др [формула (10.3)] через 0. Найдите отсюда угол, при
котором должен быть максимум углового распределения, помеченного значением
/=1 на рис. 10.2. Покажите, что угловая ширина ДО распределения, помеченного
на рис. 10.2 значением /=0, согласуется с формулой (10.2).
‘) Исследования с релятивистскими ионами проводятся в СССР, в Дубне
(ОИЯИ), под руководством акад. А. М. Балдина.— Прим, перев.
ПРИЛОЖЕНИЕ 10. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕН. РЕАКЦИИ С ТЯЖЕЛЫМИ ИОНАМИ 129
10	2. Покажите, что в случае комплексного (оптического) потенциала выполняется
соотношение
.. . , д 2W
div/+1Fp = Tp,
где р = ф*ф=|ф|2,	/=-^-(ф*Дф—фДф*)-
Объясните данный результат, вспомнив, каков смысл величин р и /.
10 3. На рис. 10.14 длина рассеяния нейтронов есть как бы «эффективный» радиус
ядра. Точнее говоря, это параметр а, с помощью которого эффективное сечение
РИС. 10.14. Зависимость длины рассеяния а для нейтронов от массового числа А,
потенциального рассеяния можно представить в виде опот=4л|а|2. Почему рас-
хождение экспериментальных данных с моделью жесткой сферы (апот=4л/?2) для
ядер с массовыми числами А, близкими к значениям 12, 55 и 150, можно рассмат-
ривать как согласие с оптической моделью?
10.4.	В дополнении К показывается, что полное эффективное сечение от связано с
Im/(0) оптической теоремой [формула (К.46)]
or=^ 1т/ (0).
1)	Покажите, что в рамках оптической модели при можно написать
R
=	{1-ехр [2i(K—£)//?2—fe2]} 2nbdb,
о
где Ь — прицельный параметр.
2)	Выведите отсюда выражение для от.
3)	Сравнив это выражение с данными рис. 10.5, получите рис. 10.4.
4)	Пользуясь данными рис. 10.4, вычислите среднюю длину свободного про-
бега нейтрона в ядре как функцию первичной энергии.
5)	Покажите, что эта средняя длина свободного пробега намного больше, чем
должно быть в том случае, когда не принимается во внимание принцип Паули.
Для этого воспользуйтесь данными о сечении упругого нуклон-нуклонного рас-
сеяния, представленными на рис. 2.6, и формулой из кинетической теории газов
A— l/Nc. где N — число частиц в единице объема, ас — полное эффективное
сечение рассеяния. Объясните результат.
5 К? 21Ц
ГЛ, 10. ОБЗОР ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
130
10.5.	Вернитесь к вопросу 7 упражнения 8.3 и начертите примерное угловое рас-
пределение в каждом случае, считая, что падающие частицы — дейтроны с энер-
гией 30 МэВ.
10.6.	Покажите, что «горбы», наблюдающиеся на рис. 10.5, не являются одночас-
тичными резонансами.
10.7.	Вернитесь к упражнению 1.10 и дополнительно выполните следующее:
1)	Вычислите угол скользящего столкновения для данной системы.
2)	Определите, какого типа будет дифракция — Френеля или Фраунгофера.
3)	Проведите точнее кривую предполагаемого изменения отношения
О8ксп (6)^я (6)-
10.8.	Покажите, что все происходит так, как если бы в реакциях (тяжелые ионы,
хп) прицельный параметр уменьшался с увеличением х. Противоречит ли это ги-
потезе Бора составного ядра?
Часть четвертая
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
Исследование особенностей взаимодействий и свойств частиц в
значительной мере опирается на подкрепленную всем нашим преды-
дущим опытом убежденность в справедливости целого ряда законов
сохранения. Среди них наиболее известны законы сохранения
энергии, импульса и углового момента, которые связывают с ин-
вариантностью физических законов в первом случае относительно
переноса начала отсчета времени, во втором — относительно пере-
мещения системы как целого в пространстве и в третьем —- относи-
тельно вращения. Принципы инвариантности требуют, чтобы при
прочих равных условиях (это важнейшее требование!) два опыта,
проведенные в первом случае в разные моменты времени, во втором—
в разных местах и в третьем — при разных ориентациях, давали
одинаковые результаты *).
Одним из достоинств этих так называемых геометрических [95]
принципов инвариантности является то, что предельно ясны те
гипотезы, на которых основывается наша уверенность в справедли-
вости названных выше законов сохранения. Но существуют и
законы сохранения иного характера (из них наиболее известны
законы сохранения электрического, барионного и лептонного за-
ряда), которые относятся в большей мере к структуре взаимо-
действий, нежели к пространственно-временным корреляциям
описываемых ими явлений. В число таких законов входят законы
сохранения странности (гл. 12) и изоспина (гл. 13), которые от-
ражают свойства симметрии взаимодействий, такие, как, напри-
мер, зарядовая независимость сильного взаимодействия. В центре
внимания физики высоких энергий стоит исследование соотношений
между такими законами сохранения и «динамическими» [95] при-
х) Строго говоря, при проверке инвариантности относительно какого-либо
преобразования необходимо подвергнуть такому преобразованию всю Вселенную.
На практике данное требование можно выполнить лишь в каком-то приближении.
Например, чтобы показать инвариантность относительно вращения законов, про-
являющихся в эффекте Зеемана, считают, что достаточно повернуть на один и тот
же угол систему, состоящую из рассматриваемого атома и магнитного поля, а так-
же детектор фотонов. Правда, при этом мы пренебрегаем, в частности, влиянием
магнитного поля Земли, которое мы не в состоянии поворачивать по своему ус-
мотрению. Если бы мы не знали, что его влияние незначительно, то у нас ие было
бы оснований ожидать, что два опыта, проведенные при разных ориентациях, да-
лут одинаковые результаты. В частности, при повороте вокруг оси, перпендикуляр-
ной оси магнитного поля Земли, могла бы измениться интенсивность линий л
и о, и это следовало бы учитывать, прежде чем делать выводы.
132
IV. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
нципами инвариантности, названными так по той причине, что они
относятся к динамике каждого взаимодействия. Один из принци-
пов подобного рода, знакомый читателю.— принцип калибровоч-
ной инвариантности уравнений Максвелла, с которой связан закон
сохранения электрического заряда или, точнее, электрического
тока. Руководствуясь этой аналогией, теоретики, занимающиеся
физикой частиц, пытаются сейчас на основе калибровочной инва-
риантности взаимодействий сформулировать общую систему дина-
мических законов сохранения, имея в виду создание единой теории
всех видов взаимодействий.
К тому же в 1956 г. выяснилось, что некоторые законы сохране-
ния, связывавшиеся с принципом инвариантности и опиравшиеся на
«квазигеометрические» предположения, на самом деле носят динами-
ческий характер. Из них наиболее известен закон сохранения
четности, связанный с принципом инвариантности физических зако-
нов относительно пространственной инверсии. Этот принцип инва-
риантности кажется геометрическим в том смысле, что он покоится
на неком априорном представлении о пространстве-времени. Однако
ему пришлось приписать динамический характер, когда обнару-
жилось, что его справедливость зависит от природы взаимодействий.
В частности, как мы увидим ниже, он нарушается при слабом вза-
имодействии.
Глава И
ЧЕТНОСТЬ И СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ ВОПРОСЫ
Анализируя правила отбора, наблюдавшиеся при электромагнит-
ных переходах между атомными уровнями, Лапорт [96] ввел в 1924 г.
квантовое число четности. Экспериментальные данные указывали
на то, что волновые функции атомных состояний являются либо
четными, либо нечетными функциями своих пространственных
переменных. Это понятие, облегчающее классификацию состояний,
позже было распространено и на другие системы, в частности на
ядра и адроны. В данной главе мы напомним определение четности
и рассмотрим несколько простых примеров. Затем введем принцип
инвариантности относительно пространственной инверсии и пока-
жем, что он нарушается в слабом взаимодействии. В заключение
мы кратко остановимся на понятиях зарядового сопряжения и об-
ращения времени.
§ 1. Четность
Рассмотрим оператор «пространственной инверсии», который мы
определим его действием на некую функцию пространственных
переменных, а именно равенством
Ф'(Г1, г2, ...) = Рф(г1, г2, ...) = ф(—гх, —г2, ...).	(11.1)
Итак, Р — это оператор, обращающий пространственные перемен-
ные, т. е. меняющий их знак на обратный. Его собственные функции
и собственные значения л находятся путем решения уравнения на
собственные значения
г2, ...) = яфл(г1( г2, ...) = фя(— гп —г2, ...). (11.2)
При таком их определении ясно, что четные функции являются соб-
ственными функциями оператора Р, соответствующими собственным
значениям л=Н~1, а нечетные — его собственными функциями с
собственными значениями л=—I. В самом деле, это две единствен-
ные возможности, так как действуя на произвольную функцию дваж-
ды оператором Р, мы получаем исходную функцию:
= р (Лфл) = РЛфл = лРфп = л2фя == фл.	(11.3)
Иначе говоря, оператор Р2 есть оператор тождественного преобра-
зования, и из соотношения (12.3) явствует, что единственные две
возможности таковы: л=±1.
134
ГЛ. 11 ЧЕТНОСТЬ И СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ ВОПРОСЫ
Выводы, которые сделал Лапорт, можно сформулировать сле-
дующим образом: собственные функции атомного гамильтониа-
на Н являются также собственными функциями оператора простран-
ственной инверсии с возможными собственными значениями л=±1.
Отсюда вытекает, в частности, то, что атомные уровни можно харак-
теризовать квантовым числом четности л. Двум уровням с разной
четностью соответствуют волновые функции, ведущие себя по-
разному, и, следовательно, они, если не считать случайных совпаде-
ний, должны иметь разные энергии. Разумеется, это отнюдь не
означает, что два уровня с одинаковой четностью вырождены: соб-
ственные состояния характеризуются еще и другими квантовыми
числами. Все сказанное выше приложимо к любой системе, гамиль-
тониан которой коммутирует с оператором Р. В самом деле, из
соотношения
[Н, Р]=0
следует, что можно найти систему собственных состояний, общую
для операторов Н и Р. Оно означает, что гамильтониан, ответст-
венный за структуру рассматриваемой системы, инвариантен отно-
сительно «операции пространственной инверсии» (приведенное выше
перестановочное соотношение эквивалентно равенству РНР~1=Н),
а в более широком смысле — что в системе с таким гамильтонианом
четность не меняется во времени. Экспериментальные данные пока-
зывают, что это относится к гамильтонианам не только электромаг-
нитного, но и сильного взаимодействия. Мы еще вернемся к этому
вопросу, но проиллюстрируем сначала сказанное несколькими
примерами.
§ 2. Четность частиц
Использовавшийся в III части общий метод приписания спина и
четности ядерным состояниям основывался на законах сохранения
углового момента и четности в процессах распада и ядерных реак-
циях, а именно: спин и четность одного состояния находят по спину и
четности другого состояния, пользуясь правилами отбора для пере-
ходов или реакций, связывающих эти два состояния. Следуя по та-
кому пути, определяют характеристики всех состояний. Но для
этого требуется, очевидно, знать необходимые квантовые характе-
ристики хотя бы одного состояния. Точно так же обстоит дело и с
элементарными частицами. Здесь цепочка начинается с того, что
условно приписывают так называемую внутреннюю четность, рав-
ную + 1, протону и нейтрону, т. е. принимают
л/,=лп=+1.	(11-4)
Выбор одинаковой четности для протона и нейтрона диктуется за-
рядовой независимостью сильного взаимодействия. Значение +1
§2. ЧЕТНОСТЬ ЧАСТИЦ
135
удобно с точки зрения ядерной физики. В самом деле, тогда чет-
ность любого ядерного состояния равна его так называемой орби-
тальной четности, сколько бы нуклонов ни содержала ядерная
система. Например, четность дейтрона ’) равна
ла = л„лД-1Г = (-1У = + 1,
поскольку в дейтроне протон и нейтрон находятся в состоянии с
четным относительным угловым моментом. Познакомимся поближе с
понятием внутренней четности, рассмотрев некоторые типичные
примеры.
А. Спин и четность л-мезонов
Распад л°—>2у указывает на то, что л°-мезон имеет целый спин,
и многочисленные данные о распаде трех л-мезонов свидетельствуют
в пользу приписания им значения Jn« =Jn+^Jn-=O. Фактически
имеется единственное точное экспериментальное подтверждение это-
го значения — для л+-мезона. Оно следует из сравнения прямой и
обратной реакций л++с/->р+р и р+р->-л+-Ы; отношение наблю-
дающихся эффективных сечений этих реакций согласуется с прин-
ципом детального равновесия2) только при значении Ул+=0. Но
с учетом того обстоятельства, что л+-мезоп есть античастица для
л “-мезона, а также гипотезы зарядовой независимости и многочис-
ленных экспериментальных указаний можно принять данное зна-
чение для всех трех мезонов.
Кроме того, на основании экспериментальных данных л-мезо-
нам приписывается внутренняя четность, равная —1. Хорошей ил-
люстрацией здесь может служить реакция
n-+d^n+n.	(11.5)
Оказывается, что эта реакция протекает даже тогда, когда л~-
мезон захватывается дейтроном в состоянии покоя, т. е. когда си-
стема (л~, d) находится в s-состоянии (/=0) относительного углового
момента. Закон сохранения четности в сильных взаимодействиях
применительно к рассматриваемой реакции дает
ля-л4(—1)'- = л„л„(—1//,	(11.6)
где /,=0 есть относительный угловой момент системы (л-, d), а
'/ — относительный угловой момент конечной системы двух нейтро-
нов. С учетом того что л^= + 1, равенство (11.6) принимает вид
Лд~ — (— 1 )lf.
(П.7)
ностей ^ап0МфИМ’ чт0 четность произведения функций равна произведению чет-
2)	Об этом принципе говорится в § 6, где речь идет об обращении времени.
136
ГЛ. II. ЧЕТНОСТЬ И СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ ВОПРОСЫ
Чтобы найти четность л-мезона, нам остается определить Д Для
этого воспользуемся сначала законом сохранения углового момента.
В начальном состоянии имеем
Ji — Jd~\~ ^л- Ц — ^d + 0 + О — Jd — 1,
(И.8)
и в силу закона сохранения углового момента получаем Jf=l.
Это значение можно получить четырьмя способами ([/у—
<//+£):
а)	// = 0	и	S = sni + sBj = l	(четный триплет),
б)	lf =\	и	S = s„-|-s„a = 0	(нечетный синглет),
в)	//=1	и	S = s„+sBj=l	(нечетный триплет),
г)	и	S = $П1 + snj = 1	(четный триплет).
Но нз них лишь в случае «в» выполняется условие антисимметрии
волновой функции системы тождественных фермионов, в данном
случае двух нейтронов (см. гл. 2, § 2, п. Б). Поэтому следует при-
нять значение //=1, т. е. (—1)'/=—1, так что
лл- = —1.	(11.9)
Таким образом, приписание л “-мезону внутренней четности —1
диктуется экспериментальной необходимостью в рамках постулата
сохранения четности в процессах сильного взаимодействия. Тоже
самое значение принимается для л+-мезона (являющегося антича-
стицей по отношению к л“-мезону), а также и для л°-мезона, как
для третьего члена триплета л-мезонов.
Б. Спин и четность резонанса Д(1236)
Рассмотрим теперь случай резонанса Д(1236), наблюдаемого, в
частности, при упругом рассеянии л++р->л++р. В связи с этим
напомним, что полное эффективное сечение упругого рассеяния двух
бесспиновых частиц при резонансе для парциальной волны порядка
/, проходит через максимум, принимая при этом значение [формула
(К.32)]
сфак = 4л (2/ф- 1)/£2.	(11 10)
В случае рассеяния (л+, р) учет спина протона (спин л-мезона ра-
вен нулю) приводит к следующей модификации предыдущей фор-
мулы (приложение 9):
омакс=4л 2£_н =2я(27+1)/^	(11.11)
Отсюда можно найти спин резонансного состояния J. Пользуясь
этим, находим из рис. 2.10, что спин резонанса Д (1236) равен J=3/2,
§ 2. ЧЕТНОСТЬ ЧАСТИЦ
137
оскольку тогда выражение (11.11) оказывается равным 8л, k2
/соответствующая кривая показана штриховой линией на рис. 2.10).
Данное значение спина J может быть получено двумя способами:
либо 1—1 и ^ = ^4-1/2 (состояние р3/2), либо 1=2 и J=l—1/2 (состоя-
ние d '»)• Однако ход наблюдаемого углового распределения при
энергиях, близких к резонансу (135 МэВ^Е^260 МэВ, рис. 11.1),
позволяет решить эту дилемму в пользу парциальной волны р3 2,
РИС. 11.1. Угловое распределение л+—р-
рассеяния в системе центра масс. Энер-
гии, указанные на кривых, относятся к
лабораторной системе. То обстоятельство,
что угловое распределение сильно зависит
от энергии, связано с наличием А (1236)-
резонанса. Вблизи этого резонанса рас-
пределение имеет такую форму, которая
должна быть в случае состояния pS/,2.
что подтверждается точным анализом (дополнение К, § 4, п. В).
Основываясь на этом, получаем четность А (1236)-резонанса:
яд = (-1Глля/>=(-1)1.(-1).( + 1)=+1.
В Внутренняя четность
Из квантовой механики читатель знает, что собственный
угловой момент, или спин,— это чисто квантовая величина, по
крайней мере когда речь идет о таких объектах, как электрон или
протон, а его полуцелые значения свидетельствуют о том, что он не
связан с орбитальным движением. Поэтому, говоря о четности,
следует иметь в виду, что орбитальная четность лор6=(—1)1 пред-
ставляет лишь одну сторону данного понятия. Если не обратить
внимание читателя на этот момент, то у него могло бы сложиться
ложное впечатление, что внутренняя четность есть проявление слож-
ности структуры элементарных частиц, внутри которых происходит
орбитальное движение каких-то других частиц. В этом отношении
очень полезно разобрать случай фотона; ему приписывают не только
138
ГЛ. 11. ЧЕТНОСТЬ И СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ ВОПРОСЫ
спин, равный 1, но и внутреннюю четность, равную —1. Как воз-
никают эти значения, можно элементарно объяснить, исходя из
того, что векторный потенциал А в некотором смысле эквивалентен
волновой функции фотона (дополнение 3). Его векторное поведение
по отношению к операции вращения позволяет приписать фотону
спин Jv=l. Мы показали, что А — истинный (полярный) вектор,
т. е. при пространственной инверсии он преобразуется следующим
образом:
РА(г) = А(—г) = — А (г).	(11.12)
По определению четности мы должны, стало быть, приписать ему
внутреннюю четность nv=—1. Следует еще добавить, что данное
значение определено по отношению к вакууму. Четность вакуума
можно выбирать произвольно, ио во избежание ненужных услож-
нений ее условно принимают равной +1. Таким образом, фотон есть
векторная частица. Вообще частицы со спином и четностью /я=0+,
О-, 1~, 1+ и т. д. называются соответственно скалярными, псевдо-
скалярными, векторными, псевдо векторными и т. д. Например,
л’-мезон — псевдоскалярная, а w-мезон — векторная частица.
§ 3.	Пространственная инверсия
До сих пор мы лишь пользовались понятием четности, не вникая
глубоко в его смысл. Он выясняется при рассмотрении вопроса об
инвариантности физических законов относительно пространствен-
ной инверсии. Впервые это сделал Вигнер [98] в 1932 г., интерпре-
тируя выводы из экспериментов Лапорта. Заметим, что операция
пространственной инверсии есть произведение оператора отражения
в плоскости хОу (операции зеркального отражения) и поворота на
угол 180° вокруг оси Oz, перпендикулярной дайной плоскости.
А поскольку в инвариантности законов относительно вращения мы
уверены, то следует рассмотреть либо пространственную инверсию,
либо отражение. Этому как раз и будет посвящено дальнейшее.
Представим себе, что мы наблюдаем за некоторым явлением,
скажем движением секундной стрелки часов, прохождением элект-
рона через камеру Вильсона, находящуюся в магнитном поле,
испусканием фотона атомом и т. д. Обозначим через So последова-
тельность событий, наблюдаемых непосредственно. А теперь прос-
ледим за тем же явлением в зеркало. Последовательность событий
S„ видимая в зеркале, отличается от последовательности So, но тем
не менее симметрична ей: отражение стрелки движется в обратном
направлении, отражение электрона пробегает по симметричной
траектории в изображении соленоида, намотанного симметричным
образом, и если бы можно было увидеть глазом поляризацию фото-
нов, изображения, то она оказалась бы противоположной поляри-
зации фотонов, наблюдаемых непосредственно; Поскольку ни один
§3 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ИНВЕРСИЯ
139
ксперимент пока еще не ставит под сомнение принцип инвариант-
ности по отношению к вращению, постулат инвариантности физи-
ческих заколов относительно пространственной инверсии эквива-
лентен предположению, что отраженная в зеркале последователь-
ность S, имеет такое же право на существование, как и последо-
вательность So.
Чтобы показать, что тот или иной физический закон подчиняется
данному принципу, нужно выяснить, как преобразуются при про-
странственной инверсии те физические величины, которые имеют к
нему отношение (например, q, J, Е, В, А и т. д. в случае законов
электромагнетизма). В частности, следует учитывать, что существуют
векторные величины двух типов.
а)	Полярные векторы (или «истинные» векторы), которые меняют
знак при операции пространственной инверсии. К ним относятся
векторы г, N=dr/dt, y=d2r/dt2, p=mv (импульс), J=qv (ток), Е (на-
пряженность электрического поля), А (векторный потенциал) и т. д.
б)	Аксиальные векторы (или псевдо векторы), которые не меняют
знака при пространственной инверсии. К ним относятся L=pxr, ,«
(магнитный момент), В (магнитная индукция) и т. д.
Вообще полярные векторы можно строить как векторные про-
изведения аксиального вектора на полярный, а аксиальные векто-
ры — как векторные произведения двух полярных векторов или
двух аксиальных векторов. Например, сила Лоренца есть полярный
вектор, так как она имеет следующий вид: F=<?(E4-vx В). Точно
так же скалярные величины можно строить как скалярные произве-
дения двух полярных векторов (например, F-dr) или двух аксиаль-
ных векторов (например, в-В)- Эти величины не меняют знака
при пространственной инверсии, и выше при перечислении различ-
ных величин мы считали, что такими величинами являются масса т
и заряд q. В то же время скалярное произведение аксиального век-
тора и полярного вектора есть величина, которая меняет знак при
операции пространственной инверсии и называется «псевдоскаляр-
ной». К псевдоскалярным величинам относится фиктивная магнитная
масса, которая иногда вводится в теории магнетизма.
Вспомнив все это, нетрудно доказать с помощью формул (2.1),
что уравнения Максвелла инвариантны относительно пространст-
венной инверсии, т. е. не изменяются, если в них величины Е (г),
В (г), J (г) и р(г) заменить на —Е(—г), +В(—г), —J (—г) и +р(—г).
В той мере, в какой уравнения Максвелла приложимы к микроско-
пическому миру, можно утверждать, что электромагнитное взаимо-
действие подчиняется принципу инвариантности относительно про-
странственной инверсии (и зеркального отражения). Эксперимен-
тальные данные указывают на согласие с этим принципом не только
электромагнитного, но и сильного и гравитационного взаимодейст-
вий. Со слабым же взаимодействием дело обстоит иначе. Это мы по-
кажем в следующем параграфе.
140
ГЛ. И. ЧЕТНОСТЬ И СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ ВОПРОСЫ
§ 4.	Слабое взаимодействие не инвариантно относительно
пространственной инверсии
До 1954 г. принцип инвариантности физических законов от-
носительно пространственной инверсии выступал как нечто нераз-
рывно связанное с нашими представлениями о пространстве-време-
ни. Никто не решился бы усомниться в том, что симметрия правого
и левого выполняется во всех взаимодействиях. Правда, в 1848 г.
Пастер задумывался по поводу симметрии правого и левого, заме-
тив, что некоторые органические соединения встречаются в биоло-
гических структурах только в левовращающей форме [99]. Когда же
эти соединения синтезируют в лаборатории, они образуются с рав-
ными статистическими весами и в лево-, и в правовращающей форме,
так что биологическую асимметрию нельзя приписать электромаг-
нитному взаимодействию, ответственному за структуру этих соеди-
нений, но следует искать в некой изначальной асимметрии. Напри-
мер, можно связывать ее с асимметрией при первоначальном синте-
зе и с последующим распространением за счет репродукции. Можно
также усматривать ее причину в некой статистической флуктуации,
оказавшейся благоприятной для одной популяции «левых» микро-
организмов, после чего в результате естественного отбора она ока-
залась выделенной.
А. 6—т-парадокс и несохранение четности
Иная ситуация возникла в случае экспериментальных данных
(накопленных за период с 1954 по 1956 гг.) о 2л- и Зл-распаде час-
тицы, которую позже назвали К+-мезоном, после того как стало
известно, что эта частица имеет такие же характеристики 7я, что и
л-мезоны, а именно J’k+=0_. Чтобы стало ясно, в чем суть пробле-
мы, сразу же отметим, что в силу закона сохранения углового мо-
мента л-мезоны, рождающиеся при распаде К4-мезона, должны
быть в состоянии с относительным угловым моментом, равным нулю.
Следовательно, четность системы в конечном состоянии должна быть
равна либо +1, либо —1 в зависимости от того, происходит ли рас-
пад на 2л- или на Зл-мезона’
л(2л с / = 0) = (-1)гл£ = (+1)(-1)г = +1,
л(3л с / = 0) = (—1)гл^ = (+!)(—1)3 = —1.	' ' ’
До 1956 г. считалось, что эти два типа распада относятся к
двум разным частицам. И действительно, если рассматривать чет-
ность как величину, сохраняющуюся во всех процессах, то невоз-
можно допустить мысль, что одна и та же частица, распадаясь, могла
бы превращаться в две системы частиц, различающиеся четностью.
Поэтому частицу, распадающуюся на 2л, первоначально называли
6+-мезоном, а частицу, распадающуюся на Зл — т1 -мезоном. Однако
§4. СЛАБОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
141
выглядело так, как если бы у этих двух частиц были одинаковы
В' ы и средние времена жизни; это окончательно подтвердилось в
Тчбб г в связи с чем возник парадокс 6—т-частиц. Проще всего было
б I предположить, что это одна и та же частица, но такое предполо-
Ы е несовместимо с законом сохранения четности. Учитывая все
то Ли и Янг высказали постулат о несохранении четности в про-
цессах слабого взаимодействия, которое, в частности, ответст-
венно за распад 0+- и т+-мезонов. С этого момента два указанных ме-
зона стали одним — /<+-мезоном, распад которого, происходящий за
счет слабого взаимодействия, не подчиняется закону сохранения
четности.
Прежде чем Ли и Янг пришли к этим выводам, у них возникло
(в 1956 г.) подозрение, что слабое взаимодействие не инвариантно
относительно пространственной инверсии. Они указали на то, что
справедливость этого принципа в данном частном случае пока ни-
кем не проверялась, и предложили провести ряд экспериментов.
Результаты проведенного несколькими месяцами позже эксперимен-
та сразу подтвердили правильность их догадки. Кратко остановим-
ся на этом эксперименте.
Б
[У-распад поляризованных ядер
Эксперимент By, Эмблера, Хейворда, Хоппса и Хадсона [100]
прост лишь по своей идее. Ядра со спином, отличным от нуля, можно
ориентировать, приложив к образцу, охлажденному до очень низкой
температуры, магнитное поле с достаточно большой индукцией В
(обычно -~105 Гс), так как ядерные магнитные моменты примерно
в 1000 раз меньше электронных моментов (об отношении tne/mp см.
дополнение Е) Но в случае ферромагнитного или парамагнитного
образца (например, Fe, Со, Ni и некоторых редкоземельных эле-
ментов) можно обойтись и не очень большой магнитной индукцией
(~ ЮО Гс), так как этого оказывается достаточно для ориентирова-
ния атомов или ионов. Дело в том, что в атоме такого образца элект-
рон или «электронная дырка» создают в месте нахождения ядра силь-
ное магнитное поле (10е—109 Гс, дополнение Ж), благодаря чему
ориентация магнитного момента электронной оболочки практически
на 100% передается ядрам. Чтобы предотвратить деполяризацию,
обусловленную тепловым движением, необходимо поддерживать
образец при очень низкой температуре (0,01 К, что достигается путем
адиабатического размагничивания), особенно если предполагается
выключать поляризующее магнитное поле на время измерений.
Названные выше исследователи выбрали для эксперимента 60Со,
ядро которого, обладающее ядерным спином /=5, претерпевает
Р -распад. После того как магнитные моменты ц (а следовательно,
и ядерные спины I) были «выстроены» в одном направлении, прово-
дились два последовательных измерения: сначала регистрирова-
142
ГЛ II ЧЕТНОСТЬ И СВЯЗАННЫЕ С НЕИ ВОПРОСЫ
лись электроны, испускаемые вниз (рис. 11.2, а), а затем — испус-
каемые вверх (рис. 11.2, б). Эти два измерения соответствуют про-
странственной инверсии, так как В, ц и I — аксиальные векторы
а ре — полярный вектор. В действительности измерения произво-
дились несколько иначе — при втором измерении детектор не пере-
ставляли наверх; его оставляли под криостатом и просто меняли
направление намагничивания (изменяя для этого направление тока
в обмотке электромагнита), как показано на рис. 11.2, в. Конфи-
гурации бив эквивалентны и различаются только поворотом. Ре.
зультаты таких измерений ясно показали, что электроны испускают-
РИС. 11.2. При прочих равных условиях в случае а регистрируется больше элек-
тронов, чем в случае Ь.
ся преимущественно в направлении, обратном направлению векто-
ра I, тогда как принцип инвариантности относительно пространст-
венной инверсии требовал, чтобы в случае в регистрировалось
столько же электронов, сколько и в случае а. А поскольку не известно
экспериментов, в которых ставился бы под сомнение данный прин-
цип в случае сильного взаимодействия (ответственного за структуру
ядра ®" Со), или же в случае электромагнитного взаимодействия (от-
ветственного за существование магнитного момента у этого ядра),
то отсюда приходится сделать вывод, что наблюдаемое нарушение
принципа связано с самой Р-радиоактивностью. Результаты же дру-
гих экспериментов, на которых мы остановимся ниже, убедительно
показали, что такого рода нарушение характерно не только для Р~ра-
диоактивности, но и для всех процессов слабого взаимодействия.
В Спиральность нейтрино
Еще одним экспериментальным доказательством нарушения при-
нципа инвариантности по отношению к пространственной инверсии
в слабых взаимодействиях является тот факт, что пучок нейтрино
может существовать только в одном состоянии круговой поляриза-
§ 4. СЛАБОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
143
тогда как пучок света (фотонов) может быть и с левой, и с пра-
11ИИ’круговой поляризацией. Точнее говоря, эксперимент показы-
В°И что нейтрино всегда движется так, что его спин Sv (аксиальный
вает’ \ направлен противоположно его импульсу pv (полярный век-
ВеК) тогда как фотон (тоже частица с нулевой массой) может иметь
Т ин ориентированный как параллельно, так и «антипараллельно»
Cq отношению к направлению распространения. В связи с этим го-
п0 т что нейтрино встречается в природе только в состоянии с от-
рицательной спиральностью hv=—1, понимая под спиральностью
h среднее значение оператора (S• р)/(|S| • |р|). Фотон же может сущест-
вовать и в состоянии со спиральностью /iv= + l (векторы Sv и pv
параллельны), и в состоянии со спиральностью hv=—1 (векторы
S и Рт антипараллельны). Если бы этого не было, то в электромаг-
нитном взаимодействии тоже нарушался бы принцип инвариантнос-
ти относительно пространственной инверсии, так как указанные
два состояния с разной спиральностью отвечают двум конфигура-
циям, из которых одна есть результат пространственной инверсии
другой.
Эксперимент, позволивший измерить спиральность нейтрино,
описывается в приложении к данной главе. Его результат hv=—1
убедительно показывает, что нейтрино не имеет определенной внут-
ренней четности, так как его волновая функция не есть собственное
состояние оператора четности. В самом деле, операция пространст-
венной инверсии превращает нейтрино в некий объект, не сущест-
вующий в природе, а именно объект с лептонным числом нейтрино,
но со спиральностью, равной -4-1, поскольку р — истинный вектор,
aS — псевдовектор.
Далее мы увидим, что спиральностью +1 обладает антинейт-
рино. Оно тоже не имеет определенной внутренней четности, так
как операция пространственной инверсии приводит для него к фик-
тивному объекту с лептонным числом антинейтрино, но со спираль-
ностью нейтрино (—1). Данный результат подвел прочное основание
под так называемую «теорию двухкомпонентного нейтрино», которая
до ее признания хотя и считалась изящной в математическом отно-
шении, но отвергалась как не согласующаяся с принципом инвари-
антности относительно пространственной инверсии [формализм этой
теории был построен еще до гипотезы Паули (Вейлем в 1929 г.)1.
В этой теории уравнение Дирака для нейтрино с массой, принимае-
мой за нуль, имеет только два линейно-независимых решения (а не
четыре, см. приложение 2). Одно из них соответствует положитель-
ной энергии и в настоящее время связывается с нейтрино в состоя-
нии со спиральностью hv=—1, другое — отрицательной энергии
и описывает антинейтрино со спиральностью /iv=+l. Тем самым
антинейтрино существенно отличается от нейтрино, поскольку всег-
да Распространяется (со скоростью света, =0) со спином,
ориентированным по направлению движения, но не наоборот. Пос-
144
ГЛ. II. ЧЕТНОСТЬ И СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ ВОПРОСЫ
ледние экспериментальные данные согласуются с этой изящной тео-
рией, которая, как мы увидим ниже, в равной мере применима и к
нейтрино тД/г=—1), и к антинейтрино Тц(/1=-М).
§ 5.	Зарядовое сопряжение и СР-инвариантность
Итак, когда над нейтрино осуществляют операцию Р прост-
ранственной инверсии, получают объект, не существующий в при-
роде, а именно «фиктивное нейтрино со спиральностью +1». Но
если произвести над этим фиктивным объектом так называемую опе-
рацию зарядового сопряжения (обозначаемую через С), которая в
данном случае состоит в изменении знака лептонного заряда, то мы
получим снова объект, существующий в природе,— антинейтрино
со спиральностью +1. Естественно сделать предположение, что
хотя слабое взаимодействие не инвариантно относительно операции
Р, оно инвариантно относительно операции, представляющей собой
произведение С-Р,— в этом случае становится понятной теория
двухкомпонентного нейтрино. Но прежде, чем анализировать с этой
точки зрения экспериментальную ситуацию, мы дадим элементарные
сведения о зарядовом сопряжении.
А. Зарядовое сопряжение
Если изменить знак электрического заряда у обеих частиц, вза-
имодействующих через посредство электромагнитного поля, то
последовательность событий, которая характеризует их эволюцию,
не изменится: уравнения А^аксвелла не меняют своего вида при за-
мене величины р(г) величиной —р(г), если только одновременно
величины J (г), Е(г) и В (г) заменяются на — J (г), — Е(г) и —В (г)
соответственно. Такая инвариантность приобретает новый смысл в
рамках теории Дирака: дырка в море состояний с отрицательной
энергией частиц с зарядом q ведет себя с точки зрения электромаг-
нитного взаимодействия как частица с зарядом —q. Ввиду этого
рассматриваемое преобразование называют зарядовым сопряжени-
ем, а инвариантность относительно такого преобразования проявля-
ется в существовании «античастиц электромагнитного взаимодейст-
вия».
Общее определение зарядового сопряжения таково: это операция
С, которая состоит в обращении всех электрических, барионных,
лептонных зарядов (и странности, о чем речь пойдет в гл. 12) час-
тиц без изменения их положения и скорости. Короче говоря, при
прочих равных условиях данная операция состоит в преобразова-
нии системы частиц в систему античастиц. До 1956 г. считалось само
собой разумеющимся, что все физические законы инвариантны по
отношению к операции С. Сейчас этот неявный постулат подтвержден
для всех взаимодействий, кроме слабого. О наличии такого исключе-
§5 ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ И СР-ИНВАРИАНТНОСТЬ	[45
говорит хотя бы существование единственного состояния спи-
НИЯ ности нейтрино. В самом деле, если произвести «зарядовое со-
Ра^жение» нейтрино, мы получим объект, не существующий в при-
ПР _ «фиктивное антинейтрино со спиральностью —1».
Р Итак, слабое взаимодействие нарушает две симметрии: одновре-
менно нарушается Р-инвариантность и С-инвариантность. Но не
означает ли случай нейтрино, что при слабом взаимодействии сохра-
няется некая симметрия менее высокого порядка — СР-инвариант-
ность? Поставим вопрос следующим образом: будет ли «отражение»
S последовательности событий S(l в «зеркале», обладающем кроме
обычных свойств способностью обращать заряды всех объектов, столь
же реальным, как и последовательность So? В частности, будет ли
вероятность испускания позитронов в направлении спина ядра
«антикобальта» такой же, как и вероятность испускания электронов
в направлении, противоположном спину ядра кобальта? Экспери-
мент подобного рода технически неосуществим, поскольку не так-то
легко получить ядро антикобальта. Но зато аналогичные экспери-
менты можно провести с элементарными частицами, и такие экспери-
менты дают положительный ответ на поставленный нами вопрос.
Рассмотрим один пример.
Б. Поляризация мюонов при распаде заряженных л-мезонов
Рассмотрим распад покоящегося л+-мезона
лч-^р+ + тц,	(11.14)
в результате которого лептоны р+ и vu разлетаются с противополож-
но направленными импульсами (закон сохранения импульса). В на-
чальном состоянии мы имеем л+-мезон с нулевым спином, так что
в конечном состоянии для р+-лептона, попавшего в область регист-
рации (на рис. 11.3 она расположена справа), -возможны только
два варианта — а и б (закон сохранения углового момента). Если
бы слабое взаимодействие, ответственное за этот распад, было Р-ин-
вариантно, то оба варианта были бы равновероятны (напомним, что
тогда ничего не менялось бы при повороте на 180е вокруг оси, пер-
пендикулярной направлению движения) и, в частности, пучок ц’-ле-
птонов не был бы поляризован вдоль его оси. На самом же деле изме-
рения [101] поляризации р+-частиц (например, по направлению вы-
лета позитронов распада остановившихся р+-лептонов) дают ре-
зультаты, совместимые только с вариантом а, но в этом случае спи-
ральность нейтрино равна —1.
А теперь рассмотрим распад покоящегося л “-мезона
~* И- +^ц.	(11 15)
Заметим, что вариант в зарядово-сопряжен по отношению к а.
Днако измерения поляризации р,'-лептонов показывают, чго этот
146
ГЛ. II. ЧЕТНОСТЬ И СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ ВОПРОСЫ
случай не реализуется в процессе (11.15), тогда как вариант г
в котором спиральность антинейтрино равна +1, столь же веро-
ятен, как и случай а в процессе (11.14). Оба варианта получаются
друг из друга (с точностью до поворота) путем СР-преобразования,
и их равновероятность дает возможность предположить, что слабое
РИС. 11.3. Варианты б и в не реализуются, тогда как аиг реализуются. Вариан-
ты а и г отличаются друг от друга лишь «СР преобразованием» (и поворотом).
(Вектор S есть проекция спина на направление вылета.)
взаимодействие СР-инварнантно. Многочисленные эксперимен-
тальные данные согласуются с таким постулатом, который мы, пре-
жде чем закончить главу, кратко рассмотрим в более широком плане.
§ 6.	Обращение времени и СРТ-инвариантность
До принятия гипотезы Ли и Янга [102] неявным образом при-
нималось, что физические законы инвариантны не только по отно-
шению к непрерывным преобразованиям Лоренца (сдвигам во време-
ни, трансляциям и вращению), но и по отношению к трем дискрет-
ным преобразованиям Р, С и Т, где Т — операция «обращения вре-
мени», которая сводится к замене времени t на —/ в уравнениях дви-
жения частицы или системы частиц. (Более точное определение этой
операции дается в упр. 11.10.)
А. Обращение времени
При такой операции меняют свой знак на обратный все нечетные
функции времени, например скорость, а следовательно, импульс,
угловой момент, ток, магнитная индукция и т. д. Как нетрудно
отсюда сообразить, уравнения Максвелла Т-инвариантны; в част-
ности, это означает, что если в заданный момент /0 обратить скорость
v частицы, движущейся в электромагнитном поле, и выполнить Т-
операцию над всеми величинами, от которых зависит ее движение,
то эта частица снова пройдет все те промежуточные состояния, ко-
§6. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ И СРТ-ИНВАРИАНТНОСТЬ
147
она прошла до момента /0, как если бы мы прокручивали в об-
ТОРном порядке фильм с записью ее первоначального движения ’).
PaT^j.a инвариантность, ранее предполагавшаяся для всех взаимо-
ействий, приводит к многочисленным следствиям, относящимся
дак к связанным состояниям (теорема Крамерса), так и к состояниям
в задаче рассеяния, в которых продукты реакции испытывают распад
[1031 Из нее следуют, в частности, простые соотношения, называе-
мые «принципом детального равновесия», устанавливающие связь
между эффективными сечениями процессов, обращенных во време-
ни * 2), например реакций a+b-^c+d и c-]-d-+a+b. К настоящему
времени все эти следствия подтверждаются в случае процессов с
участием электромагнитного и сильного взаимодействий. Что же
касается слабого взаимодействия, то это одна из актуальных проб-
лем. В приложении 14 будет приведен экспериментальный факт,
в связи с которым в 1964 г. встал вопрос о CP-инвариантности и,
следовательно, о Т’-инвариантности, ибо операции С, Р и Т тесно
связаны между собой, о чем мы сейчас скажем несколько слов.
Б. СРР-инвариантность
В самом деле, можно показать, что все взаимодействия должны
быть инвариантны относительно операции СРТ (произведение опе-
раторов С, РиТ). Доказательство основывается на столь общих пред-
положениях, что это утверждение носит название «СРТ-теоремы»
(порядок операций не имеет значения). В рамках данной теоремы
если нарушается Р-инвариантность, то должна нарушаться и С-ин-
вариантность (и наоборот); именно это мы и видели в случае слабого
’) Такая обратимость микроскопических процессов («микрообратимость»)
ни в коей мере не противоречит необратимости макроскопических процессов (вто-
рому принципу термодинамики). Более того, микрообратимость постулируется
в статистической механике и, в частности, в /7-теореме Больцмана. Этому кажу-
щемуся парадоксу обычно дают вероятностную интерпретацию: макроскопиче-
ская система, предоставленная сама себе, стремится перейти в наиболее вероятное
состояние, необратимые же процессы крайне маловероятны [104].
2) Из инвариантности по отношению к обращению времени следует принцип
детального равновесия, но обратное утверждение неверно [103]. В случае прямой
и обратной реакций, протекающих при одной и той же энергии в системе центра
масс, этот принцип записывается в виде
Ра (2SO+ 1) (2S6+ 1) (ab	р2 (2SC+ 1) (2Sd + 1)	(cd-^ab),
(11.16)
где ра и рс — импульсы (в ЦМ) падающих частиц а и с, a Sa, St,, Sc и Sd — спины
партнеров. Например, для эксперимента по определению спина зт-мезона (§ 2,
п- А) принцип детального равновесия запишется так:
"jq (РР *	— ЗРл (25л -{- 1)	(nd > рр),
где — искомый спин зт-мезона.

148
ГЛ. 11. ЧЕТНОСТЬ И СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ ВОПРОСЫ
взаимодействия. Если же мы примем СР-инвариантность, то можно
доказать следующее: для каждой частицы существует античастица
с «СР-сопряженными» модами распада, причем относительные веро-
ятности распада и парциальные времена жизни для этих мод распа-
да такие же, как для соответствующей ей частицы. Но этот вывод
остается в силе, даже если СР-инвариантность нарушается. Тогда
он выступает как следствие СРТ-теоремы, которая требует одновре-
менного нарушения Т-инвариантности, чтобы обеспечивалась СРТ-
инвариантность.
§ 7. Выводы
В данной главе мы обсудили связь между законом сохранения
и принципом инвариантности на одном типичном примере — чет-
ности и пространственной инверсии. Далее было показано, что при
слабом взаимодействии нарушается Р-инвариантность. После того
как было введено понятие зарядового сопряжения и соответствующей
инвариантности (тоже нарушающейся в слабых взаимодействиях),
выяснилось, в каком смысле операция СР позволяет частично сохра-
нить утраченную симметрию. В этой связи (и из стремления к еди-
ному подходу) представляется целесообразным ввести понятие
CP-инвариантности как «унитарное» (т. е. единое) определение сим-
метрии в природе. Тогда все античастицы, в том числе и антинейтри-
но, предстают как физическая реализация этой инвариантности
Важно добавить, однако, что сильное, электромагнитное и гравита-
ционное взаимодействия обладают большей симметрией, поскольку,
как указывают имеющиеся в настоящее время экспериментальные
данные, они порознь Р- и С-инвариантны.
Наконец, было отмечено, что даже если бы СР-инвариантность
оказалась нарушенной, основные выводы, касающиеся античастиц,
остались бы в силе в рамках СРГ-теоремы. По всей вероятности, тог-
да пришлось бы допустить, что нарушается сама инвариантность по
отношению к обращению времени и, чтобы учесть это, можно было
бы постулировать, например, существование других видов взаимо-
действия пли, как предлагал Вигнер [95], чтобы сохранить единый
подход,— существование неких «метачастиц», которые оставалось
бы только открыть. На самом деле уже с 1964 г. известно, что СР-
инвариантность «слегка» нарушается в слабом взаимодействии. Но
парадоксально то, что это нарушение наблюдается только в одном
особом процессе — распаде странного мезона >~2л (см. приложе-
ние 12), и притом с весом порядка 10-3. Для сравнения напомним,
что нарушение Р- и С-инвариантности наблюдается во всех процес-
сах слабого взаимодействия с весом, равным 100%, о чем свидетель-
ствует, например, тот факт, что нейтрино существует только в од-
ном состоянии спиральности.
Теперь мы можем задать себе вопрос; а почему природа должна
« 7. ВЫВОДЫ
149
оваться с разными принципами инвариантности, и с такими,
соглас qp- или СРТ инвариантность, и с инвариантностью по от-
КаК ниЮ к переносу начала отсчета времени, сдвигам и вращению
нои1еостранстве? Отвечая на этот вопрос, некоторые говорят: дело
В X что человеческий ум хочет, чтобы это было так во что бы то
В Тстало Указывают в качестве примера, что закон сохранения энер-
НИи-импульса удерживается на протяжении веков ценой изменения
ги физического содержания: вслед за кинетической и потенциальной
Энергией пришлось ввести тепловую энергию, затем энергию, свя-
занную с массой. Эволюция от Р- к СР- и затем к СРТ-инвариант-
ности рассматривается как еще одна иллюстрация к этому желанию
унификации любой ценой. Короче говоря, по существу... «главней-
шая цель всякой теории в том, чтобы добиться предельной простоты
и предельной немногочисленности своих неприводимых элементов
(а именно фундаментальных постулатов), не отказываясь от адек-
ватного представления каждого экспериментального факта» (А. Эйн-
штейн, «Этюды о науке»).
Но можно иначе переформулировать поставленный выше вопрос:
в каких формах могли бы существовать мы сами «здесь и теперь» и
какую структуру имел бы наш мозг, если бы физические законы изме-
нялись от одного момента времени к другому и от точки к точке да
еще в зависимости от направления наблюдения? Какие свойства
приписали бы мы античастице, если бы она не выступала как реали-
зация СРГ-теоремы? Физик обычно ограничивается тем, что пере-
носит проблему в плоскость адекватности математического языка:
«.. Тут возникает загадка, глубоко волновавшая исследователей всех
времен. Как получается, что математика, этот продукт человеческой
мысли (. . .), оказывается в столь удивительном соответствии с
объектами реальной действительности?» (А. Эйнштейн, «Геометрия
и опыт»). На этот вопрос каждый физик отвечает по-разному в
зависимости от своих философских воззрений, что иногда приводит
к жарким битвам, которые не всегда ограничиваются столь вежли-
вым обменом идеями, как в случае знаменитой дискуссии [105в]
между Бором, испытавшим в ранней молодости влияние «экзистен-
циалистской» философии Кьеркегора [105а], и Эйнштейном, в своей
молодости бывшим под влиянием немецких философов [1056]. Для
других — как для Ферми, чье мировоззрение формировалось в ат-
мосфере Италии начала века,— вопрос не ставится в такой форму-
лировке. Короче говоря, такого рода проблемы — арена борьбы
различных творческих темпераментов. Читатель должен сам разоб-
раться во всем этом и найти свой собственный ответ.
Приложение 11
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
СПИРАЛЬНОСТИ НЕЙТРИНО
Эксперимент Гольдхабер, Гродзинса и Саньяра [1061, позволив-
ший определить спиральность нейтрино, не назовешь простым ни
по идее, ни по ее реализации. Однако он необычайно поучителен и
послужит прекрасной иллюстрацией к тому, что говорилось в данной
главе. Опуская отдельные подробности, в которых, правда, и кроется
все его изящество, мы изложим общую схему этого эксперимента.
f Sm(l)
Psm
РИС. 11.4. Упрощенная схема распада ядра 152Еи (а), а также варианты ориен-
тации спина до (6) и после (в) у-распада ядра Sm (1). (В данном случае S есть про-
екция спина на направление вылета.)
Для своего эксперимента названные выше авторы выбрали ядро
’УЕц, которое в состоянии /л=0~ распадается за счет /(-захвата
(переход гамов-теллеровского типа), переходя в возбужденное сос-
тояние ядра ’e|Sm. Запишем уравнение процесса в следующем виде:
ек(1/2) + Еи(0) —v(l/2)4-Sm(l).	(11.17)
Далее это состояние Sm (1) очень быстро (т«7-10~’4 с) распадается
за счет у-перехода в основное состояние /л=0+, которое мы обозна-
чим через Sm(0). Обратимся сначала к /(-захвату, после которого
ядро Sm (1) испытывает отдачу с импульсом, противоположным
импульсу нейтрино (закон сохранения импульса). Кроме того, по-
скольку в начальном состоянии полный момент количества движения
системы равен 1/2 (/(-электрон + Ей), в силу закона сохранения
момента количества движения проекции спина ядра отдачи Sm(l) и
нейтрино на направление разлета должны иметь противоположные
знаки (рис. 11.4, б).
Следовательно, ядро Sm (1) и нейтрино v будут иметь одинаковую
ПРППОЖ- Ч- ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПИРАЛЬНОСТИ (51
альность, и задачу определения спиральности нейтрино можно
C,1,IP j к более простой задаче определения спиральности фотона,
СВС<ускаемого при высвечивании ядра Sm(l). В самом деле, у-пере-
11С2$т(1) в Sm(0) происходит в среднем через 7-10~14 с после К-зах-
та (рис. П-4, а), и благодаря малости этого интервала времени т
Вотяризация ядра Sm(l) сохраняется до момента испускания фото-
на На этом этапе, как показано на рис. 11.4, в, фотоны, испущен-
ные в направлении, противоположном направлению вылета нейтри-
но имеют такую же спиральность, как и нейтрино (закон сохране-
ния момента количества движения). Но каким образом отличить такие
Лотоны от тех, которые испустились в одном направлении с другими
нейтрино? Регистрация нейтрино и фотонов, вылетающих одновре-
менно в противоположных направлениях, методом совпадений —
задача, которая кажется выходящей за пределы существующих воз-
можностей. Выбор ядра 152Ен был удачен и в этом отношении. Во-
первых, нейтрино, испускаемые при электронном захвате, случайно
оказываются близкими по энергии к фотонам, испускаемым позже
при переходе в основное состояние ядра 152Sm (0), которое весьма
кстати оказывается стабильным. Во-вторых, благодаря малому сред-
нему времени жизни состояния Sm(l) оно характеризуется сравни-
тельно большой естественной шириной уровня. Поэтому когда ядро
Sm сначала испускает нейтрино, а затем — в противоположном
направлении — фотон, то оно последовательно испытывает отдачу
в двух противоположных направлениях, импульсы в которых почти
полностью компенсируются. Фотоны, испускаемые в таких усло-
виях, можно регистрировать по резонансному рассеянию Sm(0)-|-
+y->Sm(l)-^-Sni(0)+y, если поместить на их пути мишень из
I52Sm(0). В тех же случаях, когда нейтрино и фотон испускаются в
одном направлении, соответствующие импульсы отдачи ядра скла-
дываются и энергия фотона отличается от той, которая необходима
для возникновения резонанса (сходные рассуждения проводятся в
дополнении Ж в связи с эффектом Мёссбауэра).
Итак, суть рассматриваемого эксперимента в следующем: задача
определения спиральности нейтрино сводится к определению направ-
ления круговой поляризации фотонов с энергией 960 кэВ, претер-
певших резонансное рассеяние в мишени, содержащей ядра Sm (0).
Эта задача разрешима современными техническими средствами:
поляризацию таких фотонов можно определить по комптоновскому
рассеянию в железе при периодическом изменении намагниченности
за счет внешнего магнитного поля.
УПРАЖНЕНИЯ
bV Покажите, что оператор бесконечно малого смещения е можно представить
кажДе A~l~b(№-p)/ft, где р — оператор импульса частицы. Исходя из этого, по-
тпяиИТе’ ,|ТО Условие инвариантности гамильтониана Н частицы по отношению к
сляции имеет вид [р, //]=0. Сделайте выводы.
152	гл- Ч- ЧЕТНОСТЬ И СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ ВОПРОСЫ
11.2.	Какую последовательность экспериментов нужно было бы вам принести ч
бы убедиться в справедливости принципа инвариантности по отношению к вращ°'
нию в пространстве, рассматривая испускание фотонов идентичными атомам
помещенными в магнитное поле, значительно более сильное, нежели магнитя И‘
поле Земли?
11.3.	Покажите, что векторное произведение двух полярных векторов есть аксн
альный вектор. Исходя из этого, покажите, что угловой момент I есть аксиальный
вектор. Опираясь, например, на закон Био и Савара, покажите, что то же самое
можно сказать о магнитной индукции В. Убедитесь в том, что данный вывод учи-
тывается в общем виде уравнениями Максвелла, и на основании этого покажите
что векторный потенциал А есть полярный вектор. Укажите другие законы, г:сй
зволяющие сделать такие же выводы.
11.4.	Существование только одного состояния спиральности нейтрино указывает
на нарушение Р-инвариантпости в слабых взаимодействиях. Почему то обстоя-
тельство, что свекловичный сахар является левовращающим, нельзя рассматри-
вать как указание на нарушение инвариантности того же типа в электромагнитном
взаимодействии?
11.5.	Покажите, что собственные значения оператора С обязательно должны быть
равны ±1. Укажите частицы, которые могут быть собственными состояниями
этого оператора. Почему в класс адронов в вашем перечне входят лишь некоторые
мезоны? Какие из всевозможных систем двух л-мезопов являются собственными
состояниями оператора С? Назовите другие системы, которые могут быть отнесе-
ны к его собственным состояниям.
11.6.	Некое четно-четное ядро в своем основном состоянии претерпевает а-распад.
Покажите, что при этом могут заселяться состояния дочернего ядра только с
jn=Q+1 1~, 2+ и т. д., но не с Jn=0_, 1+, 2“и т. д. Известно, что возбужденные
состояния четно-четного ядра распадаются в основное состояние путем квадру-
польного электрического у-перехода. Каковы квантовые характеристики этого
состояния?
11.7.	Рассмотрим две частицы со спинами 1/2, и будем характеризовать их вектором
относительного положения г=гх—г2 и относительным импульсом р=рх—р2-
I)	Покажите, что потенциал вида
Ке = У0(г) + У, (r)svs2
совместим с принципами инвариантности по отношению к пространственным
сдвигам, вращению, пространственной инверсии и обращению времени. Покажите,
что центральный потенциал, зависящий от спина и не зависящий от скоростей, не
может содержать других членов без нарушения этих принципов.
2)	Покажите, что потенциал, зависящий от скорости, кроме Кс может содер-
жать спин-орбитальный член, а именно
VtS=V(r)(rXp).S=Vv(r)L.S.
3)	Наконец, покажите, что если вводится нецентральный потенциал, то он
должен иметь вид
I/ -v TH HSl-r)(S2-r) 1 с \
Ку —Ку (г) I ---—----------sx-s2 I,
где слагаемое s, -s2/3 (произведение следов) со знаком минус введено для того,
чтобы среднее значение потенциала по всем направлениям было равно нулю. Этот
член при анализе нуклон-нуклонного рассеяния фигурирует под названием тен-
зорного потенциала» (дополнение Л).
11.8.	В приводимой ниже таблице указывается, как преобразуются некоторые фн
зические величины при операциях Р, Т и С. Проверьте правильность таблицы-
Ппипож II. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПИРАЛЬНОСТИ 153			
—					
———"			
Исходная величина		Результат операции	
	р	Т	с
——-— '			
Вектор положения г (/)	—г (Z)	г(-0	
Импульс р(0	—р(0	—р (—0	р(0
Полный угловой момент J (t)	J (0	-J (-0	J (0
Этектрический заряд q	<7	<7	—<7
Напряженность электрического поля	—Е (—г. /)	Е (г, -/)	-Е(г, /)
Е(г, 1)			
Магнитная индукция В (г, t)	В (-г, t)	-в (г, -о -	-В (г. /)
Электрический дипольный момент	—Ре (0	Ре(—0	—Ре(0
Ре(0			
Магнитный дипольный момент pi (/)	в (0	-В (-0	—в (0
11.9.	В дополнении Е на основе принципа соответствия дается определе-
ние мультипольных моментов квантовой системы. В частности, показывается,
что статический электрический дипольный момент Ре квантового объекта в
стационарном состоянии | п > с определенной четностью равен нулю, если фи-
зические законы инвариантны относительно операции Р. Физический смысл
этого таков: энергия W —р;-Е взаимодействия такого объекта с электри-
ческим полем Е равна нулю (| — pfc-E|n>=0). Откажемся теперь от
принципа соответствия и докажем это утверждение, основываясь па свойствах
частиц.
1)	Скажите, почему гамильтониан взаимодействия нейтрона, находящегося
одновременно в электрическом поле Е и магнитном поле В, в первом прибли-
жении следует записывать в виде
Н (В, Е)= — aS B-pS-E,
где величина pS интерпретируется как статический электрический дипольный
момент нейтрона?
2)	Покажите, что гамильтониан Н (В, Е) является Р-инвариантным толь-
ко при р=0.
3)	Покажите также, что гамильтониан Н (В, Е) является Т-инвариаит-
ным только при 0=0. Исходя из этого, докажите, что, даже если четность не
является хорошим квантовым числом, электрический дипольный момент ней-
трона должен быть равен нулю, если физические законы инвариантны по отно-
шению к обращению времени.
4)	Как бы вы действовали, чтобы, пользуясь, например, методом магнитного
Резонанса, показать, что 0—0? Укажем, что, после того как обнаружилось кажу-
щееся нарушение Р инвариантности в распаде К£->-2л, были проведены очень точ-
ные измерения. Новейшие результаты совместимы со значением 0=О(р£<е-1О~2!'
см), тем более что существование возбужденных состояний нуклонов позволяет
уклонам в их основном состоянии приобретать в электрическом поле индуциро-
анпый дипольный момент, по порядку величины сравнимый с минимально изме-
римым в настоящее время. Покажите это путем несложных выкладок, пользуясь
риеи возмущений (до второго порядка включительно, как в случае нелинейного
154
ГЛ. II. ЧЕТНОСТЬ И СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ ВОПРОСЫ
эффекта Штарка), учтя в первую очередь вклад А (1236)-резонанса в индуциров
ный дипольный момент.
11.10. Напомним, что унитарное преобразование U определяется равенством
<1/<р | tAj; >= <ф|ф>. Антиунитарное преобразование А определяется равенств™
<Аф|Аф>=<ф|ф>*.
1)	Покажите, что преобразования этих двух типов сохраняют нормировке
функций.
2)	Покажите, что если операцию Т обращения времени определить просто как
операцию, в результате которой величина t заменяется величиной —I, то, в част-
ности, трансформанта 7"|ф> плоской волны <p=exp{t(pz—Et)/n} не будет удовлет-
ворять уравнению Шредингера для исходной свободной частицы —(A-2/'2/n)v2<n=»
= 1ЛЭф/а/=Е'ф.
3)	Если же определить операцию Т как операцию замены / на —t с одновре-
менным комплексным сопряжением, то Т-трансформанта плоской волны будет
удовлетворять тому же самому уравнению Шредингера, что и исходная плоская
волна. Покажите это и обобщите.
4)	Исходя из этого, покажите, что при таком определении операции обращения
времени она является антиунитарной. Сделайте выводы.
5)	Скажите, почему при таких услових оператору Т нельзя сопоставить опре-
деленные квантовые числа, тогда как операторам Р и С можно?
Глава 12
СТРАННОСТЬ И СТРАННЫЕ ЧАСТИЦЫ
Странные частицы были впервые обнаружены в космических
лучах при помощи камер Вильсона (Рочестер и Батлер, 1947), но их
точные характеристики были установлены благодаря сооружению
ускорителей высоких энергий в сочетании с разработкой пузырько-
вых, а затем искровых камер, открывших новые перспективы в об-
ласти элементарных частиц. Данная глава посвящена «эмпирическо-
му» описанию странных частиц. С их свойствами мы ближе позна-
комимся в приложении 12. Их классификации мы коснемся в следую-
щей главе, а в последней главе этот вопрос будет в центре внимания.
Таким образом, читатель будет постепенно получать все более полное
представление о свойствах странных частиц, начиная с их общей
экспериментальной характеристики.
§ 1. Принцип действия пузырьковой камеры ')
Низкая эффективность камер Вильсона объясняется, в частности,
малой плотностью вещества в парообразной фазе. В 1952 г. Глейзер
предложил для увеличения числа событий, происходящих в объеме
приемлемых размеров, применить жидкость. При этом использова-
лось свойство перегретой жидкости образовывать пузырьки при на-
личии в ней неоднородностей. В пузырьковой камере, содержащей,
например, жидкий водород или пропан С3Нв (это легко сжижаемый
газ, богатый водородом), такие критические условия создают путем
резкого понижения давления. Когда через жидкость, находящуюся
в таком состоянии, проходят заряженные частицы, их траектории
становятся видимыми вследствие образования пузырьков пара вбли-
зи ионов, которые выступают в качестве неоднородностей.
Жидкость сохраняет подобного рода чувствительность в течение
всего лишь 10 мкс, и поэтому с пузырьковой камерой работают в
периодическом режиме: через одинаковые промежутки времени, ска-
жем каждую секунду, производят расширение и одновременно от-
крывают затворы фотоаппаратов, наведенных на камеру с трех
сторон. Как правило, в объеме камеры создают сильное магнитное
поле, и по радиусу кривизны траекторий заряженных частиц можно
вычислить их характеристики [формула(2.21)]. Нейтральные частицы
не оставляют следа в камере, но их тем не менее можно идентифици-
’) Принцип действия искровой и проволочной камер излагается в приложении
Данной главе (приложение 12).
156
ГЛ. 12. СТРАННОСТЬ И СТРАННЫЕ ЧАСТИЦЫ
ровать, пользуясь либо следами продуктов их распада, либо уравне-
ниями баланса энергии-импульса. Пример снимка, сделанного в
пузырьковой камере, приведен на рис. 12.1.
§ 2. «Странное» поведение некоторых частиц
Этот типичный снимок интерпретируется следующим образом.
Один из л-мезонов падающего пучка взаимодействует с одним из
протонов жидкости, и происходит реакция
л-4-р-+/С04-Л0,	(12.1)
где № и Л° — нейтральные частицы, которые можно идентифициро-
вать по их продуктам распада. Обозначения Л° и приписываются
частицам, которые на снимке распадаются согласно уравнениям
Л°—*л-+р, № —> п+4-п~.	(12.2)
Только такие моды совместимы с кинематическим анализом события
и с законом сохранения электрического заряда. Баланс энергии-
импульса дает массу этих частиц. Например, имеем для А°
Мдос4 = Ех. — р^с2 = (Ея- + Ер)2—(рл- + рр)2 с2	(12.3)
и аналогичное соотношение для Л". Проведенные недавно измерения
[1071 дали следующие значения:
Мл„с2 = (1115,6 ± 0,06) МэВ; Мк.с2 = (497,8 ± 0,15) МэВ.
Снимок показывает также, что эти частицы «живут» сравни-
тельно долго, поскольку продукты их распада появляются лишь
на расстоянии нескольких сантиметров от места взаимодействия па-
дающего л--мезона с протоном. Измерения [ 1201 их среднего времени
жизни дали следующие значения:
тЛ« = (2,52±0,03)-10-»°с,	94.
тЛо = (0,86 ± 0,006) IO’10 с.	1	’
И наконец, применив к распаду (12.2) закон сохранения барионного
числа, нетрудно было установить, что А0 — это барион [fi(A°)= + U.
а № — мезон [В(№)=0].
Теперь заметим, что время жизни этих частиц очень велико по
сравнению с характерными временами сильного взаимодействия.
Например, типы распада бариона Л° сравнимы с модами распада ба-
риона А (1236), но его время жизни приблизительно в 2-1014 раз
больше. Это говорит о том, что Л° распадается за счет слабого взаимо-
действия, тогда как А (1236)-резонанс распадается за счет сильного
взаимодействия. Но и многие другие частицы ведут себя подобным
же образом. К ним относятся, например, барионы 2 и S, а также
§2. «СТРАННОЕ» ПОВЕДЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЧАСТИЦ
157
л"
РИС. 12 1. Нейтральные частицы не ионизуют газ и поэтому не оставляют следа.
Мы провели их следы пунктиром (на схеме) лишь для большей ясности. Траектории
же частиц п+, л~ и р в магнитном поле на снимке видны.
158
ГЛ. 12. СТРАННОСТЬ И СТРАННЫЕ ЧАСТИЦЫ
Таблица 12.1
Основные характеристики восьми барионов со спином J—1/2 и чет-
ностью л = -р! [107]
Части ца	Масса, МэВ/с2	т, с	Основные типа распада	Относительная вероятность, %	S
р	938,28±0,05		Стабильная		0
п	939,57±0,05	(9,3±0, !)• 103	рф-е-ф-v	100	0
л»	1115,6±0,06	(2,52±0,02)-10-10	р4-л- Пф-Л°	1 CD CD СО 1 1	—1
S +	1189,4^0,1	(0,80 + 0,006). 10~1°	рф-л0 нф-л+	-51,7 -48,3	—1
X"	1192,5±0,1	< ю-*4	А»+у	-100	—1
S-	1197,4-^0,07	(1,49±0,02)-10-’»	пф-п~	-100	—1
Е°	1314,7^0,07	(3±0,2). 10-“	А°ф-л+	-100	—2
	1321,3±0,2	(1,66±0,04). 10-10	Л°+л-	-100	—2
/(-мезоны; средние времена жизни этих частиц указаны в табл. 12.1
и1 12.2, а рождаются они в реакциях следующего типа:
л- + р —-»К+ +	л~	—*№-]-S"; л+ ф- п —> К° + S+;
л-ф-р — Е-ф-/(+ф-№; n- + p->S» + A?_|_^o;	(12.5)
л~ ф- р —>	ф-Л+; л~ф-р—+ пф-№-[-№’ и т. д.
В связи с этим можно задать себе два вопроса:
а)	Почему эти частицы не желают рождаться поодиночке, а по
меньшей мере образуются парами?
б)	Почему эти частицы не распадаются наиболее быстрым обра-
зом, а именно за счет сильного взаимодействия?
Добавим, что эффективные сечения реакций «совместного рожде-
ния» (12.1) и (12.5) могут составлять несколько десятков миллибарн,
тогда как эффективные сечения других типов процессов рождения,
казалось бы тоже возможных, столь малы, что их не удается наблю-
дать. Это относится, например, к процессам
л_ф-р—>Л_ф-2+; л~ф-р —► №ф-2°; л+ф-п—•.Л’’ф-S ;
л+ф-р —> 3’ ф-Л- ф- №; л~ + р—> Е° + К+	(12.6)
л+ф-р —пф-/(+ф-/<+; л- + р —> Ев ф-№ ф-№ и т. д.
$ 3. СТРАННОСТЬ
159
Таблица 12.2
Основные характеристики восьми мезонов со спином J =0 и четностью
л----1 [107] (см. § 4)
Части- ца	Масса, МэВ с2	Т, с	Основные типы распада	Относительная вероятность, %	S
л°	134,97 ±0,01	(0,84±0,01)-10-16	т+т	-98,8	0
л+	139,58±0,01	(2,60 + 0,02)- IO"8	P++Vn	-100	0
Я"	То же	То же	Сопряженные по отношению к	То же	0
к+	493,8 ±0,1	(1,237±0,002)-IO-8	1 © К К	;> + +Л + +± t к + + а. + + , +	© о £ к	£	О)	00 - CD N - СЧ О О -	- СО - * СЧ Ю — <Х> СО Tf i н ш	1
к-	То же	То же	Сопряженные по отношению к К +	То же	-1
№ К5	497,8 ±0,1 То же	}См. табл. 11.3	}Табл. 11.3	} Табл. 11.3	1 —1
	548,8 ±0,6	Г = Д/та:2,6 кэВ	т+т Зя» я+ + л“ ±я°	-38,6 -30,3 -23,1	0
§ 3.	Странность
Загадочное поведение частиц, о которых говорилось в предыду-
щем параграфе, послужило основанием называть их «странными
частицами». Чтобы объяснить свойства этих частиц, Гелл-Ман и
Нишиджима предложили ввести четвертый заряд («странность» S),
сохраняющийся в сильном и электромагнитном взаимодействии, но
не сохраняющийся в слабом взаимодействии.
А. Странность сохраняется в сильном и электромагнитном
взаимодействиях	|
В самом деле, предположим, что странность сохраняется в силь-
ном и электромагнитном взаимодействиях, и будем считать, что у
различных частиц этот заряд таков:
S(n) = S(p) = 0; S(A«) = —1; S(A+) = +l.	(12.7)
160
ГЛ- 12 СТРАННОСТЬ И СТРАННЫЕ ЧАСТИЦЫ
Тогда процессами рождения л-мезонов и образования А-резонанса
описанными в гл. 2, фиксируются значения
S(n-) = S(n+) = S(n") = 0, S(A) = 0.	(12.8)
Аналогично из реакции (12.5) вытекает
S(2-) = S(2") = S(S+) = —1,
S(A-) = S(T<") = -1. S(Ku)=+1,	(12.9)
S(3~) = S(El') = —2.
С учетом этих значений становится ясно, почему процессы (12.6)
не могут протекать за счет сильного или электромагнитного взаимо-
действия. Таким образом, и специфика рождения странных частиц,
и запрещенность реакций (12.6) объясняются одним и тем же зако-
ном — законом сохранения странности в сильном и электромагнит-
ном взаимодействиях.
Б. Странность не сохраняется
в процессах слабого взаимодействия
Если бы странность сохранялась во всех процессах распада, то
почти все частицы, перечисленные в табл. 12.1 и 2, были бы стабиль-
ными. Исключение составляли бы только частицы S", л° и т]с, распад
которых возможен за счет электромагнитного взаимодействия, а
также нейтрон и заряженные л-мезоны, распад которых мог бы про-
исходить за счет слабого взаимодействия (при этом не нарушались
бы никакие законы сохранения). Все же остальные частицы, приве-
денные в таблицах, не могут распадаться без нарушения закона сох-
ранения странности. Во всех энергетически разрешенных (с учетом
их массы) случаях такого распада изменение странности при перехо-
де от начального состояния к конечному равно единице. Поскольку
их время жизни относительно такого распада по порядку величины
типично для слабого взаимодействия [ср. с временем жизни А (1236)-
резонанса), можно сделать вывод, что это взаимодействие нарушает
закон сохранения странности [нетрудно убедиться, что А(1236)-ре-
зонанс распадается с сохранением странности]. Но нарушение зако-
на сохранения странности происходит не как попало, а в соответ-
ствии с определенными правилами отбора [108], которые будут рас-
смотрены ниже.
§ 4.	Вместо выводов
Наиболее важные результаты, связанные со странностью, будут
рассмотрены в следующих главах. Сейчас же сделаем несколько
замечаний по поводу табл. 12.1 и 12.2. Прежде всего напомним, что
в настоящее время известно более 200 адронов. Таким образом, пе-
§4 ВМЕСТО ВЫВОДОВ
161
печисленные в этих таблицах 16 частиц — это лишь небольшая,
хотя и важная по своему значению, часть системы адронов. Восемь
частиц табл. 12.1 составляют так называемый «октет» барионов, име-
ющих такие же, как у нуклонов, спин и четность, а именно /л=
==1/2+. Точно так же восемь частиц табл. 12.2 образуют «октет» ме-
зонов, имеющих тот же спин и ту же четность, что и у л-мезонов, а
именно Jn=0~. Но существование восьми барионов и восьми
мезонов с указанными характеристиками предсказывают (см. гл. 14)
и современные теоретические модели. Их массы и странности (в таб-
лицах странность обозначена через S) соответствуют этим октетам.
Напомним еще, что антибарион несет барионный заряд В=—1,
и это нужно учитывать во всех процессах, где они участвуют, и
поэтому, например, частица антисигма-плюс S+ (часто обозначае-
мая символом 2+) отличается от частицы сигма-минус хотя у
них одинаковый электрический заряд q=—1, так как у первой В—
=—1, а у второй В= + 1 (кроме того, у них противоположные стран-
ности и разные массы). Таким образом, октету барионов с Тл=
= 1/2+ соответствует отличный от него октет антибарионов. В то же
время октет мезонов с J+—0~ является своим собственным «антиок-
тетом». Действительно, «антимезон» — это тоже мезон в том смысле,
что и у того и у другого барионный заряд В=0. Например, мезоны
л+, К+ и № являются античастицами мезонов л“, и №, а мезо-
ны л° и 1]° — это свои собственные античастицы. Вспомним еще, что
частицы № и № различаются только тем, что у них противополож-
ные знаки странности. Благодаря этому они обладают очень интерес-
ными свойствами, на которых мы остановимся в приложении, чтобы
проиллюстрировать понятия, введенные в начале IV части.
6
№ 2114
Приложение 12
СИСТЕМА К0 — К9
Данное приложение преследует двоякую цель: во-первых, по-
казать, как реализуются понятия, введенные выше в IV части книги
и, во-вторых, дать одну из лучших иллюстраций к постулатам кван-
товой механики на примере системы К°—К”. Эти два мезона, анти-
частицы друг друга, различаются лишь тем, что у них противополож-
ные странности. Но этого достаточно для того, чтобы в процессах
сильного взаимодействия они вели себя по-разному. Однако посколь-
ку в слабых взаимодействиях не требуется сохранение странности,
конечные продукты их распада оказываются одинаковыми (СРТ-
теорема). Это позволяет мезонам дублета (К0—/С°) совершать уди-
вительные превращения.
§ 1.	Рождение нейтральных /С-мезонов и реакции с их участием
Можно получить вторичный пучок нейтральных К-мезонов, по-
местив на выходе синхротрона мишень, например, из углерода.
Тогда взаимодействие протонов (выведенного ускоренного пучка)
с нуклонами ядер мишени может приводить к реакциям совместного
рождения, таким, как
/’ + /’-* р+р + М° + № или /> + «-> р + и + № +
р + р—s-p4-S+4-K° или р п —* p4-Sl) + K0-• • •
Реакции (12.5) дают пучки нейтральных /С-мезонов меньшей интен-
сивности, так как пучки л-мезонов сами являются вторичными.
В первую очередь приходится решать следующую задачу: каким
образом экспериментально отличить К? от №? По типам распада
этого сделать нельзя в силу СР 7-теоремы, но можно попытаться раз-
личить их по процессам сильного взаимодействия. Например, для
№-мезона разрешена реакция
К° + р — К++п,	(12.11а)
а реакции
№+р—Е+ + л°, К° + п-^К~ + р	(12.116)
запрещены в силу закона сохранения странности, который^должен
выполняться в сильном взаимодействии. Что же касается /O’-мезо-
на, то для него разрешены реакции
К°+р-* 2+ + л°, К>-]-п — К~ + р,	(12.11в)
ПРИЛОЖЕНИЕ 12. СИСТЕМА К"—К"
163
а реакция
д'» 4-р —> Л++ п	(12.11г)
ппещена. При этом предполагается, что не ставится под сомнение
"и само понятие странности, ни ее приписание различным частицам
Гл И)- Чтобы убедиться в справедливости этого, рассмотрим неко-
топые следствия, относящиеся к системе Л°—Л°. Мы проведем теоре-
тический анализ, предполагая сначала, что все взаимодействия СР-
инвариантны.
§ 2.	Распад нейтральных Л-мезонов
Среди различных типов распада Л-мезонов существует «2л»-мода,
которая в случае нейтральных Л-мезонов имеет две формы: л°4-л° и
Но при распаде частицы с нулевым спином на 2л-мезона
конечное состояние в обоих вариантах обязательно должно иметь
нулевой угловой момент (s-состояние, /=0) и, следовательно, чет-
ность + 1 [так как лл+я:л-(—l)°=Gw)2(—1)°=+П. Кстати, эти
состояния являются собственными функциями оператора зарядового
сопряжения с собственным значением +1 и, следовательно, в це-
лом — собственными состояниями CP-оператора с собственным зна-
чением + 1, т. е.
СР | л° + л°> = + | л° + л°>,
СР | л+ + л_> = + | л+ + л~>.	(12.12а)
Другой тип распада Л-мезонов — это «Зл»-распад, для которого
в случае нейтральных Л-мезонов возможны два варианта л°4-л04-л°
и л+Ч-л-Ч-л0. Путем аналогичных рассуждений можно показать, что
эти состояния, образовавшиеся в результате распада частицы с ну-
левым спином, обязательно должны быть собственными состояниями
CP-оператора с собственным значением —1, т. е.
СР | л°-ф л° + л°> = — | л° + л0 + л°>,
СР | л+ 4- л- 4- л°> = — [л+4-л~4-л>.	* ‘	’
Но состояния 1Л°> и 1Л°> не являются собственными состояниями
CP-оператора. Действительно, оператор С заменяет Л° на Л° (и
наоборот), а оператор Р умножает каждое из этих состояний на
1 (их внутренняя четность равна —1). В итоге имеем
СР|Л°> = —|Л°>, СР|Л°> = — |Л°>.	(12.13)
Тем не менее из этих состояний можно построить собственные сос-
тояния CP-оператора, обозначаемые через 1Л£> и 1Ла), а именно:
иг>=(1/Г2)(|л»>-,л»»,	П21
1^г>=(1/К2)(|Л°>4-|К°».	(
6*
164
ГЛ. 12. СТРАННОСТЬ И СТРАННЫЕ ЧАСТИЦЫ
Действительно, с учетом соотношений (12.13) нетрудно убедиться
что эти ортонормированные состояния являются собственными сос-
тояниями CP-оператора с собственными значениями +1 и —1, т. е.
СР|К«>=-НК°>, СР|К°2> = -|К»>.	(12.15)
Так как по нашему предположению все взаимодействия, и в част-
ности слабое, CP-инвариантны, приходится сделать вывод, что на
2л может распадаться только состояние \К°), а на Зл — только сос-
тояние \К2). Но выделение энергии (а значит, и фазовое простран-
ство) больше в случае распада на 2л, чем на Зл-мезона, а поэтому в
первом случае распад значительно более вероятен. Следовательно,
в рамках такой теории можно ожидать существования двух частице
разными средними временами жизни: меньшим для I и большим
для |/С2). Это действительно подтверждается экспериментом: время
жизни ?! частицы К1, распадающейся на 2л, почти в 600 раз меньше
времени жизни т2 частицы К°2, которая распадается (в частности)
на Зл (табл. 12.3). Посмотрим, как это удалось установить, и про-
следим еще за некоторыми теоретическими выводами *).
Таблица 12.3
Основные характеристики К*г и /й-мезонов
Частица	т, с	Главные типы распада	Относительная вероятность, %
к?	(О,86±О,О6)-1О-10	Л+	68,7
	Т1	л°-фл°	31,3
к?	(5,17±0,04) IO-8	+ Л0-]-!!0	21,4 12,6
	т2	Jl+n+vu H-pe-J-v	26,8 38,9
§ 3.	Регенерация /^-мезонов
Мезоны № и не являются собственными состояниями опера-
тора СР, но их можно рассматривать как собственные состояния опе-
1) У читателя мог бы возникнуть вопрос, почему не наблюдаются состояния
типа (1/У2)(|n)=tz|n)), где |п) — нейтрон, а |л) — антинейтрон. Дело в том, что
у нейтрона и антинейтрона противоположные барионные заряды, а барионный
заряд сохраняется во всех взаимодействиях. Это не позволяет им интерферировать
(так называемое правило суперотбора). Что же касается №- и №-мезонов, то они
различаются лишь странностью (она у них противоположна), а так как странность
не сохраняется в слабом взаимодействии, они могут интерферировать в процессах
такого взаимодействия. В этом и состоит необычность данной системы.
ПРИЛОЖЕНИЕ 12. СИСТЕМА К»—№
165
тора странности с собственными значениями <S=+1 и S=—1. Это
^состояния, которые рождаются в процессах сильного взаимодей-
ствия Обратив равенства (12.14), можно переписать их в виде
| А°> = (1 /Г 2) (| А?> +1 А°г», I К»> = (1 /Г 2) | А°2> -| КЧ»
(12.16)
и интерпретировать следующим образом: в момент своего рождения
каждый нейтральный А-мезон может с вероятностью 1 /2 находиться
в образе либо /("-мезона, либо А2-мезона. А поскольку среднее время
жизни этих частиц сильно различается, активность, связанная с
распадом на 2л-мезона, первоначально примерно в 600 раз больше,
чем для распада А2-мезона. По этой причине сначала наблюдается
распад на 2л-мезона. Но по прошествии некоторого времени, доста-
точно малого по сравнению с временем жизни А2-мезона (но превы-
шающего время жизни А?-мезона, скажем, в 15 раз), наблюдаются
практически только мезоны распада А" частицы, так как Армезоны
уже исчезли в результате распада на 2л-мезона. В результате вдали
от зоны рождения нейтральных /(-мезонов они обнаруживаются в
форме чистого пучка /("-мезонов.
Здесь можно видеть некоторую аналогию с поведением пучка
фотонов. Для описания электромагнитного излучения имеются два
разных базиса: базис состояний линейной поляризации и базис сос-
тояний круговой поляризации; оба базиса удобны, но в разных слу-
чаях. Например, если поместить поляризатор на пути пучка фото-
нов, поляризованных по кругу, то на выходе из него интенсивность
будет вдвое меньше, чем на входе, и прошедший пучок будет в чис-
том состоянии линейной поляризации (это в равной мере относится
и к случаю неполяризованного падающего пучка). Чтобы объяснить
данное явление, удобно перейти к другому базису: каждое состоя-
ние круговой поляризации в любой момент можно рассматривать
как линейную суперпозицию с равными весами двух взаимно-орто-
гональных состояний линейной поляризации. В других же обстоя-
тельствах удобнее поступать наоборот. Это помогает, например, ин-
терпретировать появление света при помещении четвертьволновой
фазовой пластинки между скрещенными поляризатором и анализа-
тором. В случае нейтральных A-мезонов аналогичную роль играют
базис собственных состояний CP-оператора [формула (12.14)] и ба-
зис собственных состояний оператора странности [формула (12.15)];
первый из них больше подходит для описания процессов слабого
взаимодействия, а второй — сильного.
В качестве иллюстрации рассмотрим пучок нейтральных А-ме-
зонов вдали от зоны рождения, т. е. там, где его можно считать чис-
тым пучком А"-мезонов. Поместим на его пути экран из какого-либо
вещества, скажем из углерода. Позади этого экрана будет наблю-
даться повторное появление Армезонов (так называемая «регене-
166
ГЛ. 12. СТРАННОСТЬ И СТРАННЫЕ ЧАСТИЦЫ
рация К?-мезонов»), обнаруживаемых по продуктам их распада на
2л-мезона. В самом деле, есть линейная суперпозиция (с равными
весами) №- и Л'°-мсзонов, но взаимодействие тех и других в углероде
неодинаково. В частности, в результате этого амплитуда /(()) рас-
сеяния К°-мезона на нулевой угол отлична от соответствующей амп-
литуды /(О) для №-мезона. Таким образом, на выходе из регенери-
рующей среды в направлении 0=0 мы будем иметь состояние |Л)
даваемое выражением
l*>=^[f(O)|K°>+Z(O)|№>] =
= х[-Ц^|№2>+-^=^|№г>],	(12.17)
где х зависит от характеристик регенерирующей среды. Следователь-
но, при данной толщине слоя вещества регенерировавших /^-мезо-
нов тем больше, чем больше различаются f и f.
Разумеется, рассеяние нейтральных К-мезоНов происходит не
только на нулевой угол и наблюдается также регенерация при
0=^=0 (называемая некогерентной), интенсивность которой пропорци-
ональна, с одной стороны, величине [/(0)—^(0)]/2, а с другой — чис-
лу N рассеивающих центров. Но регенерация особенно велика при
0=0: на «фоне» некогерентной регенерации выделяется пик с цент-
ром в точке 0=0, высота которого пропорциональна №. Эта регенера-
ция — когерентная в том смысле, в каком этот термин употребляется
применительно к твердому телу (приложение 1, §3); она называ-
ется трансмиссионной регенерацией. В приложении 1 мы отмечали,
что в случае частиц высокой энергии когерентность в указанном
смысле слова «наблюдаема» только под углами, практически рав-
ными нулю, а следовательно, фактически вообще ненаблюдаема (из-
за наличия падающего пучка при 6=0). Здесь же мы встречаемся с
исключением, обусловленным тем, что часть пучка, прошедшая в
виде Лгмезонов, отличима от пучка К2-мезонов; мезоны этих двух
видов различимы по их типам распада. При этом весьма существенно
н то, что разность масс и Л® намного меньше энергии элементар-
ных возбуждений регенерирующей среды *). То, что это так, выяс-
нится ниже.
§ 4.	Разность масс и /^-мезонов
В рамках СРТ-теоремы массы К+- и К "-мезонов должны быть
одинаковы, и то же самое относится к №- и №-мезонам. Разность
масс Ат между заряженными и нейтральными /(-мезонами (Ат^
') Обратившись к приложению 1, § 3, читатель должен вспомнить, что данное
условие эквивалентно требованию отсутствия отдачи частиц регенерирующей
среды. Это необходимо, чтобы обеспечить пространственную когерентность про-
цесса.
ПРИЛОЖЕНИЕ 12. СИСТЕМА К’—Х°
167
, МэВ см. табл. 12.2) имеет в основном электромагнитную приро-
Что’же касается разности масс 6m нейтральных мезонов Л? и
то она может быть связана лишь с тем, что типы распада этих
иц за счет слабого взаимодействия разные. Поэтому можно ожи-
4 что она очень мала, скажем порядка величины Ат, умножен-
ной на отношение эффективных интенсивностей слабого и электро-
магнитного взаимодействий. Эксперимент подтверждает такое пред-
положение, так как по последним данным
6т=(3,6±0,1) ’10“’ эВ.
(12.18)
Существуют разные методы измерения разности масс 6m. Самые
точные основаны на применении искровых или проволочных камер,
РИС. 12.2. Падающие /(^-мезоны регенерируют волну К?-мезонов сначала в Rif
а затем в R2, и в результате интерференции этих двух волн модулируется число
распадов (на 2л) мезонов /(?, регистрируемых на выходе из R2.
принцип действия которых будет рассмотрен в конце данного при-
ложения. Но сначала мы изложим метод Кронина и Фитча и приве-
дем один из результатов, полученных с его помощью.
Представим себе, что у нас имеется чистый пучок /(“-мезонов, на пути которого
помещена первая мишень-регенератор Rt (рис. 12.2). Возьмем за начало отсчета
времени момент выхода из /?t и запишем состояние системы в этот момент в виде
l^(0)>=ai|№> + p1|K?>,
(12.19)
где коэффициенты а, и определяются соотношением (12.17). При положительных
‘ зависимость волновой функции от времени передается формулой вида
IX (/)>= а11 f&> e-iE^lh е-№тг_|_ 1 уф e-iElt/h e-t/2zlt	(12,20)
где энергии Ег и Е2 удовлетворяют соотношению (£t—Е2)/с2=т1—m2=Sm. На
расстоянии d от края Rr поместим вторую мишень-регенератор R2, в которой вол-
бы св.?занная с состоянием ах|/(2>. вызовет новую регенерацию /(“-мезонов. Что-
избсжать ненужных усложнений, предположим, что R2 практически не оказы-
вает влияния на волну, соответствующую P1|Ei>, и что можно пренебречь распа-
дом Л'2-мезонов за время t±t=dlv, где v — скорость /(-мезонов. При таких условиях
168
ГЛ. 12. СТРАННОСТЬ И СТРАННЫЕ ЧАСТИЦЫ
на выходе из R2 волновую функцию системы можно записать в виде
. E2d	. Etd d
|х(А^~а1[а2|/ф+р2|к?>]е-‘	e~Tv^ v
i	d \	E,a
иа^/фе hv+W2e hv +Pifi”^/| «!>/' b,
(12.21)
где а2 и P2 — определяются свойствами вещества мишени R2. Учитывая взаимную
ортогональность состояний |№> и |Х2>, найдем число N (d/v) мезонов Ki на вы-
ходе из R2 как
|	. 6md	d I2
^(4) = |(K?l*(v))|2~|«1₽2e hv
__d . .
« laiPaP+IPipe “T1+2a1p2p1e w cos-^-r (12.22)
hv
где третий член учитывает интерференцию волны К?-мезонов, вышедших из R2l
с волной xj-мезонов, выходящих из мишени Rlt после прохождения через нее
волны К2-мезонов, претерпевшей в промежутке между Rt и R2 только сдвиг по
фазе. Это выражение показывает, что если изменять d относительно некоторого
среднего значения d0 и при каждом значении d регистрировать на выходе из R2
число 2л-распадов, то, построив график зависимости числа распадов от d, можно
по частоте осцилляции кривой определить величину 6m (при заданной энергии
пучка скорость v фиксирована). Точность измерения при таком методе зависит от
относительной величины интерференционного члена и двух прямых слагаемых;
поэтому лучше всего выбирать толщины мишеней Ri и R2 так, чтобы приближенно
выполнялось равенство |сС1Р2|«1[ч| ехр {—id0/'2vT1) (упр. 12.8).
§ 5. Нарушение СР-инвариантности
Именно в результате таких экспериментов впервые была обна-
ружена [1081 редкая (относительная вероятность ~1,6-10-3) мода
распада л'+л- нейтрального, относительно более долгоживущего
/(-мезона, который после этого стали называть /фмезоном (а не
Л'1-мезоном). Хотя такой распад происходит весьма редко, он ставит
под вопрос CP-инвариантность, поскольку, как мы видели, состоя-
ние 2л есть собственное состояние оператора СР с собственным зна-
чением + 1, тогда как К2 есть собственное состояние оператора СР
с собственным значением —1. Был также обнаружен распад /фме-
зона на л°+л° (относительная вероятность ~0,9 • 10-3), но все после-
дующие (с 1964 г. до настоящего времени) попытки обнаружить
нарушение СР-ннвариантности в других процессах оказались без-
успешными. Об этой загадке природы мы говорили уже в гл. П,
§ 7. Здесь ограничимся следующим замечанием.
Существование слабой ветви распада /(£->л+4~л- позволило
измерить с более высокой точностью разность масс /ф мезона и
мезона K°s (нейтрального, более короткоживущего P-мезона, кото-
рый с 1964 г. стали обозначать символом /(®, а не /(J). Эксперимент
ПРИЛОЖЕНИЕ 12. СИСТЕМА К»—К»
169
ит в том, что на пути чистого пучка мезонов помещают толь-
СОСодну мишень-регенератор и наблюдают модуляцию числа распа-
К° на 2л-мезона. Такая модуляция обусловлена интерференцией
Д°Вны КУ,-мезонов с волной регенерированных /(^-мезонов. Именно
В°^ с помощью методики, описываемой в упр. 12.8, и техники экс-
Теп'имента, о которой говорится ниже, было получено значение
(12.18).
§
6. Принцип действия искровой и проволочной камер
Большая часть результатов, приводимых в данном приложении,
была получена благодаря разработке искровых, а затем проволочных
камер. Эти детекторы имеют много преимуществ перед пузырьковыми
камерами, особенно когда речь идет о регистрации редких событий.
Искровая камера состоит из тонких параллельных металличес-
ких пластинок. Каждая вторая заземлена и находится между двумя
пластинками, на которые можно подавать импульсы высокого напря-
жения (скажем, 104 В) длительностью порядка 10~7 с. Промежутки
между пластинками (порядка нескольких миллиметров) заполнены
инертным газом под атмосфернььм давлением. Когда заряженная час-
тица проходит через такой промежуток, она ионизует газ вдоль своей
траектории. Если при этом на камеру подано напряжение, вдоль
линии ионизации возникает разряд в форме цепочки видимых (и
слышимых) искорок. Открывая одновременно затворы одного
или нескольких фотоаппаратов и проявляя затем фотопленки,
восстанавливают последовательность регистрируемых событий. Что-
бы отводить продукты ионизации, возникшие ранее, на камеру по-
дают также небольшое постоянное напряжение порядка нескольких
десятков вольт. При таких условиях после проявления четко видны
только искры, соответствующие событиям, которые не более чем
на несколько десятых микросекунды опережали запуск камеры.
Длительность «цикла» искровой камеры (несколько миллисе-
кунд) намного меньше, чем пузырьковой камеры (~ 1 с), а потому
можно гораздо чаще делать фотоснимки. Такое быстродействие позво-
ляет также запускать камеру (подавать на нее высокое напряжение)
только тогда, когда мы более или менее уверены, что нужное собы-
тие окажется на фотоснимке. Для этого предусматривают соответ-
ствующую схему, из которых самая простая — с двумя пластмас-
совыми сцинтилляторами по обе стороны камеры, совпадение им-
пульсов которых сигнализирует о прохождении частицы через ка-
меру и служит командой запуска камеры (подачи высокого напря-
жения) с одновременным открыванием затворов фотоаппаратов. На
Рис. 12.3 представлена более сложная схема, позволяющая изме-
рять редкие случаи распада	происходящего в конце
вакуумной камеры, изображенной слева. Пластмассовые сцинтил-
яторы Ръ р2> рз и р„ включенные на совпадения, дают возмож-
170
ГЛ. 12. СТРАННОСТЬ И СТРАННЫЕ ЧАСТИЦЫ
ность приближенно определить траекторию частиц с положительным
зарядом (например, л+-мезонов) при условии, что соответствующие
образом выбран ток в обмотках электромагнита В. Пластмассовые
сцинтилляторы N-i, N2, N3 и TV4 служат той же цели в случае отри-
цательно заряженных частиц (которыми могут быть л “-мезоны)
Чтобы точно знать, что две частицы, одна с положительным, а дру!
гая с отрицательным зарядом, испущены одновременно (как должно
быть при распаде К1~+-п++л~), нужно фиксировать совпадения
Р—N выходных импульсов двух схем четырехкратного совпадения
о которых говорилось выше. Как только такое совпадение произош-
ло, импульс совпадения запускает четыре искровые камеры С4—С4 и
включает протяжку фотопленки. По проявленной фотопленке с
большой точностью определяют траекторию двух частиц, а по ней
РИС. 12.3. Схема эксперимента, позволяющая идентифицировать распад /Q->
(с учетом магнитной индукции В) — их импульсы. Предполагая,
что это два л-мезона, на основании кинематических соотношений
вычисляют массу распавшейся частицы. Если она равна массе
К^-мезона, то это означает, что предположение, по-видимому, пра-
вильно и, по всей вероятности, речь идет действительно о /С^-мезо-
не и о его распаде на 2л. Если же полученная масса отличается от
массы К?,-мезона, то, значит, предположение неверно и зарегист-
рирован не распад на 2л. Вообще говоря, нужные события могут
имитировать, вызывая срабатывание соответствующей схемы совпа-
дений, другие заряженные частицы, отличные от л+ и л~, возникаю-
щие в других типах распада (р± и е±). Более того, в нейтральном
пучке имеются частицы, отличные от /Q-мезонов (в частности, нейт-
роны), которые тоже могут давать вклад в фон.
Но все неоднозначности идентификации можно установить следующим обра-
зом. Чтобы исключить события с участием электрона, на пути частиц помещают
черепковский счетчик, обозначенный на рис. 12.3 буквой С (мы здесь не будем оста-
навливаться на принципе его действия), который в рассматриваемом случае1)
дает на выходе импульс тогда и только тогда, когда через него проходит электрон.
Для исключения таких событий регистрацию производят только в отсутствие им-
пульсов счетчика С. Иначе говоря, сигнал совпадения Р—N, запускающий иск-
’) В пороговом черепковском счетчике высота выходных импульсов при
заданном импульсе частицы тем больше, чем меньше ее масса. Стало быть,
достаточно установить порог подобного счетчика так, чтобы он был выше им-
пульсов от р-лептонов и электронов (позитронов).
ПРИЛОЖЕНИЕ 12. СИСТЕМА К»—К»
171
ямеры и фоторегистрирующие устройства, пропускается через схему «ан-
ровые кс ИМПульсами от счетчика С: Остается исключить лептоны ц. Для
тисовпад и помещают железный блок (заштрихованная область на рис.
Эо°ч? достаточно толстый, чтобы останавливать л-мезоны, но не лептоны. Тогда
12-°)> Пластмассовые сцинтилляторы Р5 и Ns, помещенные за железным блоком,
проходить только лептоны. Для улучшения идентификации распада А?,-*
нужно, чтобы искровые камеры и фоторегистрирующие устройства за-
~*Лкались схемой антисовпадения между сигналом Р—N и импульсами от счет-
чика С и сцинтилляционного счетчика Рь или N6.
В последнее время искровые камеры вытеснены проволочными
камерами, которые, собственно, тоже искровые, но позволяют об-
ходиться без фоторегистрации. Они состоят не из пластинок, а из
взаимно перпендикулярных систем проволок, параллельно натяну-
тых на параллельные рамки. Такие скрещенные проволоки позволя-
ют определять координаты х и у искры. Координаты считывают по
матрице магнитных сердечников, возбуждаемых током, который ,
проходит в точке пересечения двух проволок.
УПРАЖНЕНИЯ
12.1.	Вычислить пороговую энергию следующих реакций:
Л-+Р-+ К°-4-А°,
л~ + р —>S-+K++№.
12.2.	С учетом приписания странности (12.7) покажите, что реакции (12.5) позволя-
ют приписать частицам, перечисленным в табл. 12.1 и 12.2, указанные там стран-
ности. Кроме того, объясните, как можно установить странность т)-мезона по
продуктам его распада.
12.3.	Покажите, что реакция Н_Ч-р-^Л0+Л° разрешена всеми законами сохра-
нения, в том числе и законом сохранения странности. Исходя из этого, покажите,
что в принципе внутреннюю четность частицы Е~ можно определить, не прибегая
ни к каким дополнительным соглашениям, кроме Лр=4-1.
12.4.	Скажите, почему отсутствие распада А+—*-л++у можно рассматривать как
указание на нулевой спин Д''-мезона.
12.5.	В принципе возможен распад AG^-p+e_+v. Приняв, что такой распад ха-
рактеризуется теми же константами, что и распад нейтрона, оцените порядок ве-
личины относительной вероятности такого процесса. Сделайте выводы.
12.6.	Два скрещенных поляризатора (со взаимно перпендикулярными осями) в
принципе совершенно не пропускают свет. Что наблюдается, когда между' ними
вводят четвертьволновую фазовую пластинку? Можно ли данное явление сравнить
с регенерацией Д?-мезоиов?
12.7.	Напомним, что состояния |2s> и |2р> атома водорода вырождены (с точно-
стью до лэмбовского сдвига), и обозначим их энергию через е. Напомним также,
что если поместить такой атом в однородное электрическое поле Е, направленное
вдоль оси Ог [потенциал которого V=Ez~Er cos 6= V^3/8n£7g/, (6)), вырожде-
ние снимается; это так называемый линейный эффект Штарка [7].
а) Диагонализовав матрицу 2X2 данной задачи, покажите, что новые собст-
венные состояния имеют вид (l/pr2)(|2s>± |2р», и выразите соответствующие
собственные энергии через е и V.
зна Состояния № и К0 вырождены; их общую массу обозначим через т. Обо-
чим через v недиагональные элементы матрицы массы между собственными
172
ГЛ. 12. СТРАННОСТЬ И СТРАННЫЕ ЧАСТИЦЫ
функциями оператора странности. Покажите, что этими собственными состояния
ми являются /('i и К®, и выразите их собственные энергии через т и v.
в) Заметим, что относительная разность их масс 6m/m — величина поряди
7 -10-15. Скажите, почему это в принципе позволяет очень точно доказать, что гпЛ
витационное поле действует одинаково на частицу и античастицу.
12.8.	После того как было обнаружено нарушение CP-инвариантности, мезоны
К? и Л'г стали обозначать символами К® и Среднее время жизни Ks-мезона
в покое таково: Ts~0,86-10-10 с. Относительная вероятность его распада на л+-{_
+л~ составляет приблизительно 69%. Среднее время жизни Кд-мезона в покое
равно 5,2-IO-8 с. Относительная вероятность его распада на л++л_ равна
примерно 0,16%.
Представим себе, что на пути пучка Кд-мезонов помещена мишень, регене-
рирующая их в /(^-мезоны. Примем за начало отсчета времени момент выхода из
этой мишени и запишем состояние системы в этой точке как
I X (0)> « | Kl> + £ |
а)	Как меняется со временем волновая функция системы, если известны т5>
Тд, ms и щд?
б)	Масса покоя нейтральных /(-мезонов — порядка 500 МэВ/c2. Кинетическая
энергия пучка таких частиц равна 5 ГэВ. Вычислите is и Тд.
в)	Какой должна быть величина е, чтобы на выходе из регенерирующей мишени
число распадов Ks- и К1-мезонов на л+Ц-л- оказалось одинаковым?
г)	Разность масс Ks- и Кд-мезонов — порядка 3,6 • 10—6 эВ. Пусть х — рас-
стояние, пробегаемое пучком после выхода из мишени-регенератора. Считая а
действительной величиной, найдите, как меняется со временем число распадов
системы на л++л_ на различных расстояниях х.
д)	Постройте график этой зависимости, нормировав ее так, чтобы на выходе
из регенерирующей мишени (при х=0) число распадов было равно единице. Целе-
сообразно ли принимать для е значение, о котором говорилось в пункте «в»?
12.9.	Состояния Ki и К° представляют собой линейные суперпозиции состояний
К° и К° с противоположной странностью. Почему такие состояния реализуются
в виде частиц, тогда как подобной реализации не находят состояния типа
(1//2)(|п>+|п}) и (1/К2)(|е+>+|р>)?
12.10.	Можно ли получить информацию об элементарных возбуждениях в твердом
теле, исследуя температурную зависимость когерентной регенерации в нем? (Ру-
ководствуйтесь соображениями относительно эффекта Мёссбауэра, дополнение
Ж.)
Глава 13
изоспиновый ФОРМАЛИЗМ
Чтобы можно было рассматривать нейтрон и протон как два раз-
личных зарядовых состояния одной и той же частицы — нуклона,
Гейзенберг ввел в 1933 г. изящный в математическом отношении ап-
парат, так называемый изоспиновый формализм. Он основывался
на приписании нуклону (по аналогии со спином) «изоспина 1/2».
Первоначально казалось, что теория изоспина носит чисто формаль-
ный характер, но обнаружение зарядовой независимости ядерных
сил наполнило ее физическим содержанием, а сам изоспин, как вы-
яснилось, имеет смысл динамического квантового числа, сохраняю-
щегося в сильных взаимодействиях. Теории изоспина и посвящена
данная глава. Сначала мы введем соответствующую терминологию
и обозначения. Затем на примере эффекта Зеемана уточним границы
аналогии между спином и изоспином (который называют еще «изо-
барическим спином» и — не совсем правильно — «изотопическим
спином»), В заключение остановимся на применении изоспинового
формализма.
§ 1. Терминология и обозначения
На рис. 13.1, а представлен «спектр масс» октета барионов с
/я=1/2+, основные характеристики которого приводились выше
(табл. 12.1). Октет мезонов с Тл=0- (табл. 12.2) и «декуплет» барио-
нов с /я=3/2+ (рис. 13.1, б) — еще два типичных примера семейств
адронов. Каждое такое семейство представляет собой так называе-
мый супермультиплет.
Члены супермультиплета образуют подгруппы из частиц близкой
массы, например: два нуклона, три 2-частицы, четыре Д-резонанса
и т. д. Такие подгруппы называются «изоспиновыми мультиплета-
ми». Члены одного изоспинового мультиплета различаются только
(электрическим) зарядовым состоянием, массы же их практически
одинаковы (с точностью до электромагнитных поправок). В самом
деле, относительная разность масс 6.М/М двух соседних зарядовых
состояний по порядку величины равна отношению интенсивностей
электромагнитного и сильного взаимодействий, т. е. это величина
порядка нескольких тысячных. В этом можно видеть один из доводов
пользу зарядовой независимости сильного взаимодействия, о чем
пойдет речь ниже.
до^ ля °писания всех этих закономерностей можно приписать каж-
У адрону динамическое квантовое число, обозначаемое через t.
174
ГЛ. 13. ИЗОСПИНОВЫЙ ФОРМАЛИЗМ
определив его так, чтобы мультиплетность соответствующих ему
зарядовых состояний равнялась 2/+1. Например, для синглетов
Л, Q" и т] изоспин равен 0, для дублетов N, Е, Е (1530) и К он равен
л
М, ГэВ
°' (1672)
3(1530)
s = - 1 ; — х (1 385)
5 = 0	=- Л (1236)
J" = 1/2*	J" = 3/2*
а	б
РИС. 13.1. Спектры масс восьми барионов с Jn= 1/2 (с) и десяти барионов с 7л=:
=3/2+ (б). Интервалы между массами частиц одного изослинового мультиплета
(порядка нескольких мегаэлектронвольт) иа рисунке сильно увеличены (для яс-
ности).
1/2, для триплетов S, S (1385) и л он равен 1, а квадруплет А имеет
изоспин, равный 3/2. Мы сейчас увидим, что в некотором векторном
пространстве, называемом зарядовым или же изотопическим про-
странством, изоспин играет роль, формально аналогичную той, ко-
торую играет угловой момент или, точнее, спин в обычном физичес-
ком пространстве.
§ 2. ИЗОМУЛЬТИПЛЕТ
175
т гла каждому члену одного и того же изомультиплета можно
- вить в соответствие (в зависимости от его зарядового состоя-
поС1асобственное значение так называемой третьей компоненты опе-
ННЯ па изоспина (действующего в зарядовом пространстве), которое
«ЯТрм обозначать через t3. Это новое внутреннее квантовое число
бУд Аормальный аналог магнитного квантового числа, являющегося
^бст^енным значением оператора jz. Например, нуклон с /=1/2
ушествует в двух зарядовых состояниях, которые в физике частиц
принято1) характеризовать значениями /3=1/2 (протон) и t3=
==—1/2 (нейтрон). Точно так же для пионов изоспин /= 1, а значения
/ =1 0 и —1 приписываются соответственно л+-, л°- и л “-мезо-
нам И вообще в физике частиц максимальное значение /3 приписы-
вается тому члену изомультиплета, который имеет наибольший элек-
трический заряд.
§ 2. Изомультиплет
Чтобы пояснить принцип приписания адронам значений t и
/3, воспользуемся аналогией между изомультиплетом и зееманов-
ским расщеплением в слабом поле. Рассмотрим в качестве примера
атом щелочного металла. Гамильтониан его внешнего электрона мож-
но записать в виде
=	(13.1)
где fl- s — оператор спин-орбитального взаимодействия, ответ-
ственного за тонкую структуру, а Нв — член, не зависящий от спи-
на электрона, который мы будем считать доминирующим. Если в
первом приближении можно рассматривать член /1 • s как возмуще-
ние по отношению к Но, то собственные энергии будут даваться вы-
ражением
=	/ + </!• «>„,<,/, / = /±1/2,	(13.2)
гДе £°, i — собственные значения невозмущенного гамильтониана
которые характеризуются значениями радиального квантового
числа п и орбитального квантового числа /.
Поместим теперь рассматриваемый атом в магнитное поле, на-
правленное по оси Oz и достаточно слабое для того, чтобы можно
было считать величину магнитного взаимодействия р • В малой по
сравнению со спин-орбитальным взаимодействием. Тогда каждое
состояние, характеризуемое числами п, I и /, превратится в мультип-
лет из 2/+1 компонент, различающихся значениями магнитного
а ин? яДеРНой физике часто встречается обратное приписание значений 13,
нейтпоННп° ZslP>=(— 1/2)|р> и Z3|n>=(l/2)|n). Тогда для ядра, содержащего N
ланием °В ” пРотонов, имеем T3=(N—Z)/2. Исторически это было вызвано же-
нейгг,^„,,меть пол°жительные значения 7\ для стабильных ядер, в которых число
ей гронов всегда больше числа протонов.
176
ГЛ. 13. ИЗОСПИНОВЫЙ ФОРМАЛИЗМ
квантового числа т. В самом деле, при указанных условиях гамиль
тониан системы и его собственные значения в первом порядке теорий
возмущений запишутся следующим образом:
W = НА — ц • В = НА—pogJ • В = нд—
В п, l,J, т~	' В-п, I, j (Р' В>п. т =	(13.3)
—	V-ogmB,
где Цо — магнетон Бора, a g — фактор Ланде данного состояния
Подведем итог.
а)	В отсутствие поля атомная система инвариантна относительно
вращения. Ее гамильтониан НА коммутирует со всеми тремя компо-
нентами оператора полного углового момента j(/x, jy, jz). £ro
собственные состояния (2/+1)-кратно вырождены.
б)	В присутствии поля В система инвариантна уже только отно-
сительно вращения вокруг оси Oz. Ее гамильтониан Н коммутирует
только с jz. Магнитное вырождение снято, и наблюдаются 2/+1
подуровней зеемановского мультиплета.
Рассмотрим теперь спектр масс адронов. Наблюдаемые массы
суть собственные энергии «адронного гамильтониана», структуру
которого нам нужно выяснить. Для «супермультиплета» с фиксиро-
ванными J, л и В они определяются значениями S, t и t3. Характер
такой зависимости показан на рис. 13.1. Ограничимся пока самым
простым случаем спектрального анализа — случаем изомультипле-
та с заданными a— (J, л, В), S и t. Тогда отдельные состояния раз-
личаются только электрическими зарядами, а потому представляется
естественным приписать небольшие различия в их массах электро-
магнитному взаимодействию (явным образом зависящему от заряда),
не покушаясь при этом на зарядовую независимость сильного взаимо-
действия. В таком предположении целесообразно записать адрон-
ный гамильтониан Н и его собственные энергии М в виде
H = HF + HV,	(13.4)
Ма, S, I, t, —	s, t, t, ~ s, t	S, t, t,t
где HF — та часть гамильтониана сильного взаимодействия, собст-
венные значения которой М£, s, t не зависят от t3 (зарядовая незави-
симость сильного взаимодействия) и дают основную часть массы
адронов Hv — гамильтониан электромагнитного взаимодействия,
который мы считаем целиком ответственным за «снятие вырождения»
и слабое «расщепление» изомультиплета на 2/+1 подуровней, харак-
теризуемых значениями t3 (зарядовая зависимость электромагнитно-
го взаимодействия). Формальную аналогию между спином и изо-
спином можно проследить шаг за шагом. В следующем параграфе
мы покажем, в частности, что изоспин есть величина, сохраняющая'
ся в процессах сильного взаимодействия. Таким образом, экспери-
ментальные данные в своей совокупности говорят о том, что на изо-
§3. СИСТЕМА ДВУХ НУКЛОНОВ
177
можно перенести аппарат теории угловых моментов. При этом
спнН ую независимость сильного взаимодействия можно сформу-
заРяЛь в виде динамического принципа инвариантности. Из него
л,,РрКает закон сохранения изоспина как следствия инвариантности
ВЫстемы сильно взаимодействующих частиц относительно вращения
^некотором «абстрактном» пространстве, так называемом простран-
втве зарядовых состояний. Все это аналогично геометрическому
принципу инвариантности относительно вращения в обычном (физи-
ческом) пространстве, из которого вытекает закон сохранения мо-
мента количества движения. Сказанное об изомультиплете можно
резюмировать следующим образом (сравните с тем, что говорилось
об эффекте Зеемана).
а)	Если пренебречь электромагнитным взаимодействием, то
«адронная система» инвариантна относительно вращения в прост-
ранстве зарядовых состояний. Ее гамильтониан Н Р коммутирует
с тремя компонентами оператора изоспина t, действующими в том
же (зарядовом) пространстве (изоспин — сохраняющаяся величина).
Его собственные состояния (2/+1)-кратно вырождены.
б)	Если учесть Ну, то система инвариантна уже только относи-
тельно вращения вокруг «третьей оси» изоспинового пространства.
Гамильтониан системы коммутирует теперь только с /3 (закон сох-
ранения заряда). Вырождение снимается, и потому массы 2/+1
подуровней изоспинового мультиплета несколько различаются.
§ 3. Система двух нуклонов
Прежде чем приводить примеры, демонстрирующие закон сохра-
нения изоспина, следует дать более точное математическое опреде-
ление рассматриваемых величин хотя бы для простейшего случая —•
нуклона с изоспином, равным 1/2. Представление оператора изос-
пина 1/2 в зарядовом пространстве в виде матриц совершенно такое
же, как оператора спина 1/2 в спиновом пространстве: и тот и другой
выражаются через матрицы Паули [7]. Разумеется, идентичность
формализма не означает одинаковой физической интерпретации.
В частности, в зависимости от того, какое из собственных значений /3,
+ 1/2 или —1/2, получается при действии оператора /3 на функцию
«нуклонного состояния» [обозначаемую в зарядовом пространстве
символом IZ, /3)=|1/2, Zs>], мы будем иметь дело либо с протоном,
либо с нейтроном:
?311/2, /3> = +(1/2)| 1/2, /3> Протон,	5
?3|1/2, /3> = — (1/2)| 1/2, /3> Нейтрон.	1
Ниже мы будем пользоваться как эквивалентными следующими
обозначениями:
Для протона 11/2, 1/2>, или | р>, или |+>,
Для нейтрона 11/2, —1/2>, или |п>, или |—>.
(13.6)
178
ГЛ. 13. ИЗОСПИНОВ ЫЙ ФОРМАЛИЗМ
В случае системы двух нуклонов можно по аналогии с правилами
сложения моментов количества движения установить правила сло-
жения изоспинов. Для этого введем действующие в пространстве
зарядовых состояний операторы 7®=[f(l)+t (2)Р и 7’3=/з(1)-р
+<з(2). Их собственные функции называют «изоспиновым трипле-
том» (7=1) и «изоспиновым синглетом» (7=0). По построению они
обладают следующими свойствами:
Т*\Т, 73> = 7(7 + 1)|7, 73>, 73|7, 73> = 73|7, 73>,
Т = 1 для триплетных состояний 11, 73> с 73 = -]-1, 0, —1
(13.7)
7 = 0 для синглетного состояния | 0, 0> с 73 = 0.
Приняв те же обозначения, что и в случае сложения двух спинов
1/2 [формула (2.2)], получим результаты, представленные в табл.
13.1.
Таблица 13.1
Изоспиновые состояния системы двух нуклонов
Состояние
I «+>1 2+)
у|={|1+>|2-) + |1-)|2+)}
Система
(РР)
(рп) изоспиновая функ-
ция симметрична
(пл)
(рп) изоспиновая функ-
ция антисиммет-
рична
Мы видим, что с учетом зарядовой независимости сильного взаи-
модействия изоспин 7=0 можно приписать только одному связанно-
му состоянию системы двух нуклонов — основному состоянию дейт-
рона. Действительно, если бы мы предположили, что связанным яв-
ляется состояние системы (рп) с 7=1, то должны были бы наблю-
даться и аналогичные связанные состояния систем (пп) и (рр),
т. е. два других члена изоспинового триплета. Вообще зарядовую
независимость нуклон-нуклонного взаимодействия можно кратко
выразить следующим образом: если пренебречь кулоновским взаимо-
действием, то свойства любой системы двух нуклонов в состоянии
с 7=1 не зависят от значения величины 73. Разумеется, они могут
зависеть от значения 7, и это действительно имеет место. В частное-
4 СОХРАНЕНИЕ ИЗОСПИНА В СИЛЬНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ (79
арактеристики сильного взаимодействия (пр) и (рр) не одина-
ТИ’ Х так как система (рр) может существовать только в состоянии
1 тогда как система (пр) может существовать и в состоянии с
И в состоянии с 7=0.
Основываясь иа формализме изоспина, можно сформулировать принцип Паули
рлующей «обобщенной» форме: система любых двух нуклонов может находить-
В ^олько в состоянии, антисимметричном относительно обмена частицами в про-
СЯпанстве, которое является произведением обычного пространства, пространства
Ниновых’состояний и пространства зарядовых состояний [1]. Тоже самое можно
Формулировать и иначе: система любых двух нуклонов в состоянии с относитель-
X угловым моментом £, спином S и изоспииом Т может существовать только
в том случае, если сумма L-f-S+T есть нечетное число. Это существенно упрощает
классификацию потенциалов нуклон-нуклонного взаимодействия в состояниях
с различными значениями L, S и Т (см. рис. Л. 1).
§ 4. Сохранение изоспина в сильном взаимодействии
Рассмотрим несколько примеров, когда сохранение изоспина
проявляется особенно просто.
А. Запрещенная реакция d+d
Единственная стабильная система, содержащая четыре нукло-
на,— это а-частица. Рассуждая так же, как и в случае дейтрона, мы
приходим к приписанию ей изоспина 7=0. Но тогда в силу закона
сохранения изоспина должна быть запрещена реакция d-(-d -> а+л°.
В самом деле, имеем 7(d)=7(a)=0 и 7(л)=1, откуда следует, что
T(d+d)=0 и 7(а+л0) = 1. Эксперимент подтверждает запрещен-
ность этой реакции в том смысле, что данная реакция наблюдается
лишь с очень малым эффективным сечением, которое можно припи-
сать только электромагнитному взаимодействию (на него закон сох-
ранения изоспина не распространяется).
Б. Сравнение реакций р+р — d-}-n* и p-}-n-*-d-\-n°
Рассмотрим реакции
p+n-^d+л.0, p+p-*-d+n+,	(13.8)
конечные состояния которых характеризуются одним и тем же
значением 7=7(d-|-n)=l. Найдем вероятность обнаружить на-
чальные системы в состоянии с 7= 1. Для этого воспользуемся фор-
мулами табл. 13.1:
|Р>|Р>^|1+>|2+> = |1, 1>,
|р> | и> == 11-]_> 12—> = рЦ-(| 1, 0> + |0, 0».	<13-9)
сюда видно, что система (р-\-р) есть чистое состояние с 7=1, тог-
как система (р+п) — линейная суперпозиция с одинаковыми ве-
180
ГЛ. 13. ИЗОСПИНОВ ЫИ ФОРМАЛИЗМ
сами состояний с Т=1 и T=Q. При таких условиях, если изоспин
сохраняется, вклад может давать только состояние с 7=1, а Пс,
этому отношение полных эффективных сечений реакций (13.8) при
любой энергии должно быть таким:
Р+ _ о(р + р—-d+?t+) _	1	_9
о0 — о(р+п—-d+л0)	(]/"Т/2)2	UO.10)
Это подтверждается экспериментом. Например, при 600 МэВ имеем
о' =(3,15+0,22) мб и о°=(1,5±0,3) мб. Такое согласие с экспери-
ментом говорит также о том, что при рассматриваемой энергии
вклад электромагнитного взаимодействия пренебрежимо мал.
В Сравнение (л~-|-/?)- и (л+-|-р)-рассеяния
Согласно правилам сложения изоспина нуклона 7"(Лг)=1/2
с изоспином Т (л) = 1, система л-мезон — нуклон может существо-
вать только в состояниях с 7=1/2 и 7=3/2. В приложении 13 мы
уточним, что изоспин системы л++р может быть только 7=3/2,
а система л~+р, вообще говоря, есть линейная суперпозиция со-
стояний с 7=1/2 и 3/2. В соответствии с вводимыми там обозначе-
ниями
|л+>|р>^|1, 1>| 1/2, 1/2> = |3/2, 3/2>,
|л~>|р> = |1, -1>|1/2, 1/2> =	_	(13П)
= |/1|3/2,-1/2>-]/||1/2, —1/2>.
Учтем эти формулы при сопоставлении полных эффективных
сечений взаимодействий л++р и л“+р, представленных на рис. 2.10.
Конкретно нас будет интересовать процесс образования Д(1236)-
резонанса, изоспин которого равен 7=3/2 (см. рис- 13.1). Если счи-
тать изоспин «хорошим квантовым числом», то в соответствии с
(13.11) отношение полных эффективных сечений в вершине резонан-
са должно быть равно
°(Л+Ч-р-► Д) _ I	q	/19 191
ОЩ-+Р-+ Д) (KW	(1
Но это как раз то, что наблюдается на рис. 2.10. Отсюда можно сде-
лать вывод, что при энергии резонанса вклады состояний с 7=1/2
во взаимодействие л~+р пренебрежимо малы по сравнению с вкла-
дами, соответствующими значению 7=3/2. Правда, это справедли-
во не при всех энергиях. В частности, на том же рис. 2.10 можно за-
метить присутствие резонансов рассеяния л~+р, не проявляющих-
ся в рассеянии л++р. А это означает, что мы имеем дело с резонан-
сами в состояниях с 7=1/2.
§ 5. АНАЛОГОВЫЕ СОСТОЯНИЯ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
181
§5.
Аналоговые
состояния в ядерной физике
В качестве последнего примера проявления зарядовой независи-
сильного взаимодействия остановимся на состояниях, назы-
W°pmijx в ядерной физике аналоговыми. Прежде всего укажем, что
ва ерной физике характеристики зарядовых состояний протона и
нейтрона выбираются обычно в соответствии с соотношениями
/3|р> = (—1/2)1 Р>. /3|«> = (+1/2)|«>.	(13.13)
Они очевидно, обратны тем, которые принимаются в физике час-
тиц ' Но в таком случае для ядра, состоящего из Z протонов и N
нейтронов, имеем
Т3=Е/з(0=А2
1=1
(13.14)
В частности, для ядра г^РЬ это дает 73=(126—82)/2=22.
Ядра с фиксированным А, у которых N и Z различаются только
на единицу, называются зеркальными. Такими парами являются
(:;Н, 1Не), (?Н, 1Не), (Ше, |Li), (ДЛ, JBe), ("Be, |В) и т. д. Ядро зер-
кальной пары, содержащее наибольшее число нейтронов, характе-
ризуется значением 73=-f-i/2, а второе ядро — значением Т3=—1/2.
Таким образом, мы имеем дело с изоспиновыми дублетами (7'=1/2).
Если пренебречь кулоновским взаимодействием, то их спектры
должны быть одинаковыми. Это действительно можно видеть на
рис 13.2, а в частном случае дублета (^О, "F); небольшие расхож-
дения в энергии здесь связаны с кулоновскими поправками
(упр. 13.7). Такие состояния называют «аналоговыми» по отноше-
нию друг к другу.
Отметим, что само по себе существование аналоговых состояний
В зеркальных ядрах не доказывает ни зарядовой независимости
сильного взаимодействия, ни зарядовой симметрии. В самом деле,
аналогия в структуре зеркальных ядер предсказывалась и моделью
Гейзенберга (в которой, как мы помним, особая роль отводилась
протон-нейтронному взаимодействию, см. гл. 2, § 2, п. А), посколь-
ку в двух зеркальных ядрах имеется одинаковое число (п—р)-
связей. Изоспиновый формализм, введенный в таких рамках, был
Удобен, но не имел тогда такого физического смысла, как теперь.
В то же время рис. 13.2, б можно уже рассматривать как довод
в пользу зарядовой независимости, так как в представленных здесь
спектрах четко обнаруживаются аналоговые состояния, несмотря на
то что ядра, которым они соответствуют, имеют неодинаковое число
'п р)-связей. В плане зарядовой независимости эти аналоговые
состояния принадлежат к одному и тому же триплету (Г=1; J и л
и^£нРованы) с 7'3=+1, 0 и —1 для ядер соответственно |4С, ?4N
в и Кроме уровней с 7=1 на рисунке видны и другие уровни, от-
182
ГЛ. 13. ИЗОСПИНОВЫЙ ФОРМАЛИЗМ
меченные значением 7=0. Это синглетные изоспиновые состояния
которые имеются только в ядре ,4N, так как значение 7=0 совмести-
мо только со значением 73=0 (сравните со случаем дейтрона).
МэВ
11,41
13	- 7,78			2*
	f. *70	
12	О,/У Л ЛЛ	2
	Л *>О	
	O,Z6 < О1	  з
11	Jjirl —	- (0 )
	5,17		— 1'
10
.	8,92
1*
12,60-------.
= 1/2-
5,38		3/2*
5,08	-----3/2 *
4,55	-----3/2"
3,85	---- 5/2-
3,06	-----1/2'
—1—1/2*
5,10 ----3/2*
4,69 ----3/2'
3,86
3,10
5/2- 6 -
0,00 ________
1/2-	5 - (5,15)
0,87 - —  1/2*
0,50	1/2*
—13- 5/2*	-—^i-»5/2*’
А .А =4,14	ДЛ=0.60
*JF»
2 -
1 -
oL
т = 1
”0(7, = - I)
8,12
--------7,20
--------6.86
-------- 6,60
6,40
------- 6.32
--------5,75
------- 3	'10,74
10,47	‘
-------2*	:
10,43
 2-	9,80	—
------- 2*
------- з-
ZZZ £	8,32-------(2‘)
1	7,34	   2-
7,01--------(2-)
6,89------- 0"
6,72 ---------3-
6.58-------- о*
6,09--------- Г
0,00
(2,31)--------О*
0.00________
(0,156)	0
7=0	7=1
14N(73 = 0)
а
РИС. 13.2. а — спектры двух зеркальных ядер. Спектры сдвинуты так, чтобы их
основные состояния лежали на одном уровне, хотя дефекты масс Д53 этих ядер
(указанные под спектрами) неодинаковы, б — спектры не смещены относительно
друг друга, как на рис. а, но энергия основного состояния ядра WN условно при-
нята за начало отсчета. В спектре ядра 14N, кроме аналоговых состояний с Г=Ь
имеются уровни с Т=0.
Основные состояния всех ядер с N=Z (73=0) (такие ядра назы-
ваются «самосопряженными») являются изосинглетными (7=0).
Это значит, что ядра такого типа в таких состояниях наиболее сим-
§ 6. ПРАВИЛА ОТБОРА ПО ИЗОСПИНУ
183
ичны. Эту закономерность можно обобщить: основное состояние
меТР характеризуемого значением 73= (TV—Z)/2, отвечает мини-
ядрьному значению изоспина Т, совместимому с его значением Т3,
маД 7’= IT’sI. Например, ядра 14С и 14О в своем основном состоянии
Т.,еют изоспин 7=1. Состояния с Т—2, которые были бы у них
общими с ядрами |4В, )4N и “F (изоспиновый квинтет), характеризу-
ются значительно большей энергией; они лежат настолько высоко,
что оказываются нестабильными по отношению к испусканию час-
тиц. Точно так же обстоит дело с ядрами "В и J4F, которые в основ-
ном состоянии должны иметь Т=2. Все это можно учесть в формуле
для масс, в которой член, зависящий от изоспина, непосредственно
связан с энергией симметрии. Разумеется, из-за наличия кулонов-
ского взаимодействия в этих состояниях возможно небольшое сме-
шивание состояний с различными изоспинами. Тем не менее класси-
фикация состояний по изоспину оказывается в основном справед-
ливой даже для ядер с большими Z. Например, основное состояние
ядра в“8РЬ можно рассматривать как практически чистое состояние
с 7=22.
Амплитуды рассеяния для процессов, связывающих аналоговые
состояния, больше других, так как в этом случае оказывается оп-
тимальным перекрывание волновых функций начального и конеч-
ного состояний [109]. Например, выход реакции (р, и) на ядре-ми-
шени 14N (7=0) практически равен нулю, поскольку у конечного
ядра 14О нет состояний с 7=0. В реакции же ’Li (р, п)’Ве селектив-
но заселяется главным образом основное состояние ядра ’Be, так
как это аналоговое состояние ядра-мишени ’Li. Такого рода селек-
тивное заселение было обнаружено в 1961 г. [ПО], и с тех пор ана-
логовые состояния исследуются в связи с теорией ядерных реакций.
Они могут служить типичным примером так называемых входных
состояний (гл. 2).
§ 6. Правила отбора по изоспину
Изоспин не сохраняется ни в процессах электромагнитного, ни в
процессах слабого взаимодействия. Но для систем сильно взаимо-
действующих частиц в тех случаях, когда можно пренебречь влия-
нием двух названных выше взаимодействий, изоспин оказывается
Достаточно «хорошим квантовым числом». В этом случае возникают
некоторые правила отбора. В частности, наиболее облегченными
оказываются те электрические дипольные переходы, для которых
'А'1 = 1. и p-переходы, при которых А7=0. Последнее правило от-
бора легко объяснить: амплитуды P-переходов, связывающих ана-
логовые состояния, больше других, так как в этом случае оптималь-
но перекрывание волновых функций начального и конечного состоя-
нии [109]. Например, ядро 14О в основном состоянии (7я=0+, 7=1)
за счет р 1 -распада превращается в ядро 14N, но переход происходит
184
ГЛ. 13. ИЗОСПИНОВЫП ФОРМАЛИЗМ
преимущественно не в основное состояние (/"=!+, Т=0), а в ана-
логовое состояние (7я=0+, 7=1), лежащее на 2,31 МэВ выше ос-
новного. Соответствующие относительные вероятности переходов
равны 0,6 и 99,4%. Подобного рода переходы между аналоговыми
состояниями называют «сверхразрешенными». Для них Д7=о
AJ=0, Дл=0, а значения lg ft — порядка 3—3,5 (дополнение И
табл. И. 1).
Аналогичные правила отбора существуют и в физике частиц.
Например, «безлептонный» распад барионов за счет слабого взаимо-
действия происходит в соответствии с правилом отбора | Д7| = 1/2.
Рассмотрим в виде иллюстрации распад А “-частицы. Относительные
вероятности безлептонных мод распада и п+л° равны соот-
ветственно 66,3 и 33,7%. Изоспин А°-частицы 7(A) равен нулю, так
что начальное и конечное состояния различаются по изоспину не
менее чем на 1/2 (|Д7| = 1/2 или 3/2). Если принять правило отбора
|Д7| = 1/2, то мы получим для отношения вероятностей распада
(приложение 13)
*2__Х(Л°^Р+л-)_ (KW 9
— мл»->п+л°) “ (KW ~	'
Это приблизительно согласуется с экспериментальным отношением
вероятностей. Значит, вклад распада с Д7=3/2 пренебрежимо мал,
так как, если рассматривать только этот случай, мы должны были
бы получить обратное отношение, а именно Л_/Л“=(К 1 /3)2(V2/3)2=
= 1/2.
§ 7. Выводы
В данной главе мы ввели новое динамическое квантовое число —
изоспин. В пространстве зарядовых состояний, носящем также наз-
вание изоспинового пространства, свойства изоспина такие же, как
спина в спиновом пространстве. Физическим содержанием формализ-
ма изоспина является зарядовая независимость сильного взаимо-
действия, которая формулируется здесь следующим образом: га-
мильтониан сильного взаимодействия инвариантен по отношению
к вращению в изоспиновом пространстве. Отсюда следует, что изо-
спин есть величина, сохраняющаяся в процессах сильного взаимо-
действия.
Симметрия сильного взаимодействия в изоспиновом пространстве
нарушается при учете слабого и электромагнитного взаимодействии,
в которых изоспин не сохраняется. Это нарушение симметрии про-
является, в частности, в снятии вырождения внутри изоспинового
мультиплета. В следующей главе та же идеология будет использо-
вана для объяснения (по аналогии с изомультиплетами) существо-
вания супермультиплетов.
Приложение 13
СЛОЖЕНИЕ ИЗОСПИНОВ
Спин п изоспин имеют разный физический смысл, но их представ-
ления в соответствующих пространствах одинаковы. Поэтому ана-
логичны и правила их сложения. Мы напомним их на примере систе-
мы двух частиц, одной с изоспином 1, а другой с изоспином 1/2.
Рассмотрим, например, систему л-мезон — нуклон и введем опе-
раторы /2(л), ts(n), t2(N) и /3(М), действующие в изоспиновом про-
странстве, собственные состояния |/, ts) которых обладают следую-
щими свойствами:
/2(л)|/, /3> = /(/ + 1)|/> /з>» где / = 1,
G (rt) |	= /»I где ts = ± 1,0,	(13 16)
f2(/V)|/, /3>=/а + 1)|/, /3>, где /=1/2,
/3> = /3|/, /3>, где /3 = ±1/2.
Эти состояния соответствуют в пространстве зарядовых состоя-
ний трем л-мезонам и двум нуклонам, и, чтобы избежать путаницы,
мы в дальнейшем будем обозначать их следующим образом:
|1, 1> = |л+>, 11/2, 1/2> = | р>,
|1,0>==|л°>,	| 1/2, —1/2> = |п>,	(13.17)
|1, -l>s|n->.
Далее определим операторы 7"2=[t (л) Д-t (AZ)]a и 73=?s(n)-f-/3(M),
собственные значения \Т, Т3) которых обладают свойствами
Т2\Т, 73> = 7’(7+1)|Л. Т3у, где Т3 = 3/2, 1/2,
Л|Л Т3> = Т3|7', 73>, где 73 = -Г,...,+Т.	‘ '
И наконец, введем операторы Т±=Тг±П\, формальные аналоги
операторов Д и действие которых определяется соотношением
Т±\Т, 7’3> = /7'(Г+1)-Г3(73± 1)| Т, 73±1>. (13.19)
Задача, которую мы ставим перед собой, состоит в том, чтобы вы-
разить собственные функции операторов Т2 и Та через собственные
состояния операторов /2(л), /2(/V), /3(л) и /3(/V). Всего имеется шесть
таких состояний; четыре из них соответствуют значению 7'=3/2 с
Тз = ±3/2, ± 1/2, а два— значению Т= 1/2 с 7"3 = ± 1/2. Сначала
заметим, что в пространстве, являющемся прямым (тензорным)
186
ГЛ. 13. ИЗОСПИНОВ ЫЙ ФОРМАЛИЗМ
произведением пространств (л)®(Лг), значение 73=3/2 может быть
получено лишь единственным способом, а именно когда
13/2, 3/2>= | л+> | р>.	(13.20)
Чтобы получить состояние |3/2, 1/2), подействуем на (13.20)
оператором Т_=/_(л)-|-/_(Л0. Это дает
Т_ 13/2, 3/2> = КЗ | 3/2, 1/2> =
= [/_ (л)-М_ (7V)]| л+>|р> =
= I л+> I п> + /21 л°> I р>.,
т. е. 13/2, 1/2>= /J |л+>| П>+ у yl л°> | р>.	(13.21)
Повторяя такую операцию, получаем другие два состояния с
7=3/2:
/Т	ГТ
11 л->|р>+ у з-|п>|л°>,
(13.22)
| 3/2, —3/2>=|л_> п>.
Наконец, заметим, что два состояния с 7=1/2 должны быть ортого-
нальны четырем предыдущим и, стало быть,
|1/2, 1/2>= ]/||л^>|гг>- ]/у|л°>|р>,
11/2, -1/2> = У 1|лй>|п>- /||л->|р>.
(13.23)
Чтобы выразить состояния системы л-мезон — нуклон через соб-
ственные функции операторов 72 и 73, достаточно обратить эти ли-
нейные уравнения. Это дает
I п+> | Р> = 13/2, 3/2>,
|n°>|p>=/||3/2, 1/2>-/1|1/2, 1/2>,
|л->|р>= /у|3/2, -1/2>-]/-||1/2, -1/2>,
|л+>|п>= /4| 3/2, 1/2>+ /-||1/2, 1/2>,
|л°>|н> = /||3/2, -1/2>+ /1|1/2, -1/2>,
| л->|п> = |3/2, —3/2>.
(13.24)
ПРИЛОЖЕНИЕ 13. СЛОЖЕНИЕ ИЗОСПИНОВ
187
УПРАЖНЕНИЯ
13 1 Исходя из зарядовой независимости, сделайте следующее.
а)	Покажите, что изоспин ядер и ^Не равен Т— 1/2, поскольку «тринейтрон»
„ «трипротон» (sLi) нестабильны.
6)	Пренебрегая кулоновским взаимодействием, вычислите на этом основании
отношение эффективных сечений реакций p+d-w+-ф?Н и p+d-j-rf'+aHe.
13 2 В тех же предположениях:
1)	Покажите, что справедливы выражения
а+ = о(л:++р—» л+ + р) = |/з/2 |2.
2
O0sO(3X 4" Р * 110 + n) = д' I fs/2 Л/2 Г'
о_ = о (л--фр —* л” -f-р) =-д-1 /3/2 — 2f1/a |2,
где ° 2 ц fi g — амплитуды л-нуклонного рассеяния в состояниях с Т=3/2 и
7=1/2.
2)	Исходя из этого, покажите, что при /1/а~0 отношение эффективных сече-
ний таково:
. -1-2-1
о+-°о-°— ~ '9 9 '
Тем самым вы воспроизведете результат (13.12).
3)	Покажите, что в общем случае выполняется неравенство
(/^-/2F0)a<o+<(r^+K2^)2-
4)	Найдите такие же отношения эффективных сечений для реакций, протекаю-
щих при взаимодействии К-мезонов с нуклонами.
13.3.	Согласуется ли правило отбора |ДГ|=1/2 с относительными вероятностями
различных мод распада 2+-частицы? Тот же вопрос для К-мезонов.
13.4.	Покажите, что в случае системы двух одинаковых нуклонов обобщенный
принцип Паули эквивалентен обычному принципу Паули. Исходя из этого, пока-
жите, что если <р — вектор состояния такой системы, то PrP° Pxq>=-—<р, где Рг,
Р° и Рх — операторы обмена (соответственно) пространственными координатами,
спином и изоспином. Покажите, что данное соотношение может быть обобщено на
систему двух разных нуклонов. Сделайте выводы.
13.5.	Покажите (продолжая упр. 11.7), что если добавить к принципам инвариант-
ности, изложенным в гл. 11, принцип инвариантности относительно вращения в
изоспиновом пространстве, то центральный потенциал нуклон-нуклонного взаи-
модействия в задаче рассеяния можно представить в виде
^С — Vo (г)-ф V$ (г) Si-s2 + Vt (г) ti- ta-ф Vs, т (si’s2) (tr ta)-
13.6.	Покажите, что сдвиги фаз, представленные на рис. Л.1, правильно классифи-
цированы по значениям изоспина (7=1 и 7=0), т. е. в соответствии с обобщенным
принципом Паули.
13	7. Полные энергии связи В (A, Z) ядер ЦО и в их основном состоянии с
—5/2+ (внешний нуклон в оболочке d6/a) таковы: В (17,8)= 131,762 МэВ и
В (17,9)= 128,220 МэВ (см. рис. 13.2, а).
Упр. 7.5 было показано, что разность энергий связи двух рассматриваемых
ядер (Дв~3,54 МэВ) обусловлена кулоновским взаимодействием. Отсюда при ис-
пользовании формулы Бете и Вейцзекера был вычислен радиус R равномерно за-
188
ГЛ. 13. ИЗОСПИНОВЫЙ ФОРМАЛИЗМ
ряженного (по объему) шара, эквивалентного ядру с Л=17, в соответствии с фоп
мулой	т
дв=д	(9>8_8>7)= з 16ю 3>54 МэВ
Теперь покажите, что ядра ’/О и 1gF в своем основном состоянии образуют
изоспиновый дублет (7=1/2), и найдите положение их первого состояния с Т~
=3/2.
1)	Если бы ядра ^N, Чо, '«F и JoNe в своем основном состоянии образовали
изоспиновый квадруплет (7=3,2), то какими должны были бы быть энергии связи
ядер *?N и JoNe?
2)	На самом деле энергия связи ядра в его основном состоянии равна
В(17,7)=123,867 МэВ. Покажите на этом основании, что ядра гвО и '»Е в основном
состоянии образуют изоспиновый дублет, и вычислите параметр энергии симмет-
рии аа в формуле Бете и Вейцзекера. Убедитесь, что данное значение хорошо со-
гласуется с тем, что вы ожидали.
3)	Энергия связи ядра wNe в основном состоянии — величина порядка 113
МэВ. Ядро же 1вС не связано. Исходя из этого, покажите, что ядра l?N и JoNe в ос-
новном состоянии представляют собой два члена изоспинового квадруплета, и
вычислите отсюда энергию первого возбужденного состояния с 7=3/2 ядер ЦО и
1rF. Каковы должны быть характеристики этих состояний с 7=3/2 в оболочечной
модели?
4)	Оцените порядок величины энергии низшего состояния с 7=5/2 для членов
секстета, включающего ядра от 1еС до iiNa.
5)	Если бы вам нужно было выявить состояния с 7=3/2 ядра *вО, то какую
(или какие) из следующих реакций вы бы выбрали: неупругое рассеяние дейтронов
на ядре ’вО; неупругое рассеяние а-частиц на ^О; неупругое рассеяние протонов
на ^О; реакцию 'gO (d, р)'вО; реакцию “О (Чо, ^О/вО?
13.8.	Обратимся к рнс. 13.2,6.
1)	Чем объясняется наблюдаемое различие в энергии между основными состоя-
ниями ядер 14С и 14О и их аналоговым состоянием в ядре 14N (7=0; Ул=0+)?
2)	Пользуясь формулой Бете и Вейцзекера, объясните наблюдаемую разность
энергий между основным состоянием ядра 14N (7=0) и его первым возбужденным
состоянием с 7=1.
3)	Пользуясь формулой (13.19) приложения 13, покажите, что оператор 7+,
действуя на функцию основного состояния ядра ’gO, дает первое возбужденное
состояние с 7=1 ядра '?N в соответствии с соотношением 7+|7=1, 1вО> =
= У”2|7=1, 14N>. Исходя из этого, покажите, что для 0+-перехода, связыва-
ющего эти два состояния, выполняется равенство |Л4,у|2=2 (дополнение И).
4)	В гл. 8 мы видели, что плотность уровней нечетно-нечетиых ядер, как пра-
вило, очень велика даже в непосредственной близости от их основного состояния.
Объясните, почему это не наблюдается в случае ядра 14N и вообще ядер с 7=0.
5)	Объясните характеристики 7я основных состояний следующих ядер:
?Н(7«=1+), !ы(7я=1+), 5°В(7л=3+), 74N(J"=1+). Только эти четыре не-
четно-нечетных ядра стабильны. Почему?
6)	Ответьте на вопрос 4 упр. 13.7, отнесенный к четным ядрам, и предложите
формулу масс для возбужденных состояний. Пользуясь ею, оцепите порядок вели-
чины энергии первого уровня (7=3, 7л=0+)для членов «изоспинового септупле-
та», охватывающего ядра от J4Be до |oNe. Сделайте соответствующие выводы.
13.9.	Какого типа состояния конечного ядра 14N преимущественно заселяются в
реакции 16O4-d->14N-|-a?
Глава I4
КЛАССИФИКАЦИЯ ЧАСТИЦ
В предыдущей главе мы занимались классификацией состояний
частиц, входящих в один и тот же изомультиплет. Теперь же мы,
продолжая аналогию с примером, приведенным в гл. 13, § 2, прове-
дем систематику различных изомультиплетов по соответствующим
им значениям квантовых чисел a, S и Т, фигурирующих в формуле
(13.4). Это позволит нам полнее раскрыть понятие супермультипле-
та, которого мы коснулись в связи с рис. 13.1. Затем мы познако-
мимся с кварковой моделью. В заключение будут сделаны некоторые
замечания по поводу теории зашнуровки.
§ 1. Супермультиплеты
Сначала мы представим модель систематики элементарных час-
тиц, предложенную в 1961 г. Гелл-Манном и независимо от него
И. Нееманом. Ее математический аппарат основан на использовании
теории групп Ли и по уровню своей сложности лежит за рамками дан-
ной книги. Впрочем, в приложении к настоящей главе будут указа-
ны работы, в которых читатель сможет найти всю необходимую ин-
формацию.
А. Представление супермультиплетов
Существование супермультиплетов элементарных частиц ныне
не вызывает сомнений. Частицы наиболее известных из супермульти-
плетов представлены на диаграммах рис. 14.1 в координатах Т3 и Y
(«гиперзаряд»). Последний определяется как сумма
Г=В+Х,	(14.1)
где В — барионный заряд, aS — заряд, соответствующий стран-
ности. Отсюда для мезонов F=S, а для барионов F=l+S. Посколь-
ку барионный заряд сохраняется во всех процессах, сохранение
или несохранение гиперзаряда зависит от сохранения или несохра-
нения странности. Однако в моделях, которые приводят к диаг-
раммам рис. 14.1, он вводится более естественным образом, неже-
ли странность, а именно различные заряды адронов оказываются
связанными между собой соотношением
= +	= +	(14.2)
где q — электрический заряд.
Масса,МэВ/с2
•₽
939
Масса, МэВ/с2
•к0
к*
496
®£0
1116
1 193
549
138
у
С
о

Масса, МэВ/с2
+1 - .А"	.Д'*	.Д‘	«Д + + 1236
О- •£-	*1°	•Г+	1385
'1-	•=-	• = “	1530
-2-	-Г?'	1672
_____1____J______J________j______I______I______I_________________
i ” +1 Т,
= 3/2*
6
у
Масса,МэВ/с2
с
Л'с
•N
1 520
Масса, МэВ/с2
у
♦1-	•№	«К*	892
®Л“
£-	<-£О
1 690
I 670
1 820
-1 О
J’ = 3/2’

tj	t=(i) 784
О- »л- ®ко	=p765
-1-	.к-	•К0	892
1	। I______। I_______________-
-1 -J О Ч +1	т3
Г = 1-
г	д
РИС. 14.1. Пример супермультиплетов в представлении (Y, Г). а — октет_с
Уя=1/2+; б— октет с Jn=0~; в — декуплет с J31=3/2+; г — октет с Jn=3/2 ;
д — октет с 7Я=1~.
§ 1. СУПЕРМУЛЬТИПЛЕТЫ
191
Мы уже приводили ранее октеты частиц: a(J=l/2, л=+, В=1)
/q _t 0), а также декуплет в (3/2, +, 1). Октеты же г (3/2, —, 1)
11 дц _1( 0) образуют другие адроны, массы которых указаны в
И обка’х. Их, как правило, обозначают теми же буквами, что и час-
С цы октетов а и б, имеющие тот же набор динамических квантовых
чисел. Некоторые из них нередко носят еще свои «исторические»
обозначения. Сюда относятся, например, мезоны л (765) и т] (784)
октета д, которые в гл. 1 назывались р- и и-мезонами.
Б. «Октетная» модель
Рассмотрим теперь ту модель, которая привела к вышеупомяну-
той классификации адронов. Прежде всего заметим, что на основа-
нии рис. 14.1 можно попытаться анализировать спектр масс супер-
мультиплета, «разбив» на две части адронный гамильтониан сильного
взаимодействия HF и его собственные энергии MF. Точнее, вспоми-
ная, что расщепление изомультиплета по массам было обеспечено
благодаря добавлению члена Hv [см. формулу (13.4)1, можно по
аналогии написать
Нр= Но Ч~ hf,	(14 3)
Ma, S, t — (НрУа, S, ~	+ ^рУа s_ t,
где Но — гамильтониан сильного взаимодействия, который, если бы
он был один, привел бы к одной и той же массе М°а для всех частиц
супермультиплета с заданным a~(J, л, В). Оператор 1гР снимает
вырождение, которое имелось в его отсутствие. Второй член —
тоже гамильтониан сильного взаимодействия, о чем свидетельству-
ет довольно большая величина наблюдаемых разностей масс. Зада-
ча состоит в том, чтобы найти модель, которая привела бы к класси-
фикации адронов, представленной на рис. 14.1.
Путь решения такой задачи был выбран следующим образом.
Мы видели, что закон сохранения изоспина в процессах сильного
взаимодействия проистекает в конечном счете из принципа инва-
риантности гамильтониана адронной системы по отношению к вра-
щению в зарядовом пространстве. Заметим, что этот динамический
принцип инвариантности включает в себя сохранение в процессах
сильного взаимодействия и квантового числа Т3, а значит, и элект-
рического заряда. Но в таких процессах выполняются также зако-
ны сохранения барионного заряда и странности, однако мы пока что
не задумывались над тем, а не являются ли они частью более широ-
ких законов сохранения. А разве не может случиться так, что, рас-
сматривая их отдельно от других законов сохранения, мы что-то
теряем и не извлекаем всего возможного? Вполне закономерно по-
ставить вопрос: не существует ли некий динамический принцип
инвариантности, более общий, нежели принцип инвариантности
относительно вращения в изопространстве, который охватывал бы
192
ГЛ 14 КЛАССИФИКАЦИЯ ЧАСТИЦ
все законы сохранения, выполняющиеся в случае сильного взаимо
действия? Если он существует, то у нас был бы более общий взгляд
на сильное взаимодействие и все заряды, характеризующие его соб-
ственные состояния (адроны), были бы естественным образом связа-
ны между собой. Первый правильный шаг в данном направлении
был сделан в результате включения в общую схему странности или
точнее, гиперзаряда. Первый же утвердительный ответ (на постав-
ленный выше вопрос), основанный на согласии с экспериментом, был
дан в 1961 г. под названием «восьмеричного пути» [111] или «октет-
ной» модели. Эта модель приводит к введению гиперзаряда (14.1)
и к соотношению (14.2), связывающему различные типы зарядов
а также к «фундаментальным супермультиплетам», построенным
из октетов, как показано на рис. 14.1, а и б. Кроме такой класси-
фикации частиц модель дала ряд других правильных предсказаний,
из которых самым блестящим был вывод соотношений между мас-
сами членов супермультиплетов (см. п. В). Перефразируя то, что
говорилось по поводу изоспиновых мультиплетов, постулаты ок-
тетной модели можно сформулировать следующим образом.
а)	Если пренебречь членом hF, то системы адронов инвариантны
относительно «вращения» в пространстве зарядовых и гиперзарядо-
вых состояний.
б)	При учете члена hF эта динамическая инвариантность час-
тично нарушается, но без нарушения законов сохранения заряда и
гиперзаряда.
в)	Гиперзаряд определяется как У=В+5, где В — целое, при-
чем В= 1 для барионов, В=—1 для антибарионов и В=0 для мезонов.
В. Массовая формула Гелл-Манна и Окубо
В рамках указанных выше гипотез о том, каким образом член
hF нарушает симметрию гамильтониана Н„, соотношение (14.3)
удается представить в виде
M^y,t = M°a + aaY + ba[t(t + l)-Y^/4],	(14.4)
где аа и Ьа — в первом приближении константы для одного и
того же супермультиплета. Для октета барионов из этой формулы
вытекает соотношение
1(MW+M=) = 1(3MA + MX).	(14-5)
В качестве упражнения нетрудно убедиться в том, что это соотноше-
ние выполняется с точностью выше 1 %. Кроме того, согласие с экс-
периментом оказывается превосходным в случае декуплета барио-
нов с 7л=3/2+, для которого из (14.4) вытекает равенство
Л4х—М д = Л4=—= ТИп—Л4я.
(14-6)
§ 2. КВАРКОВАЯ МОДЕЛЬ
193
одящая в него частица Q" была обнаружена уже после того, как
ГИла предложена октетная модель, и это явилось одним из под-
вепждеиий правильности последней. Формула (14.6) позволила
т Доказать массу порядка 1679 МэВ для этой частицы, а ее харак-
теристиками должны были быть /я=3/2+, B=+l, q=—1, Т—0 и
_____2. При такой массе и странности (S=—3) она могла распадать-
ся только с нарушением закона сохранения странности, т. е. за
счет слабого взаимодействия и, следовательно, со сравнительно
большим средним временем жизни (~10~10 с). С учетом этого и ве-
лись ее поиски. В 1964 г. она была обнаружена, и масса ее оказалась
равной 1672 МэВ. Заметим, что ее большое среднее время жизни
нисколько не мешает ей принадлежать к тому же декуплету, в ко-
торый входят и частицы с очень малым временем жизни, например
А (1236)-резонанс. В этом можно видеть ответ на вопрос, поставлен-
ный в гл. 2, § 5: нужно ли сохранять особый «статут» для резонансов,
которые за счет сильного взаимодействия распадаются за очень ма-
лое время (~5- IO*21 с), тогда как они естественным образом ста-
новятся в один ряд с другими частицами, практически стабильными
в масштабе времени резонансов?
§ 2. Кварковая модель
Принцип инвариантности, охватывающий законы сохранения
заряда и гиперзаряда, предсказывает, однако, существование не
только октетов и декуплетов, но еще и некоего триплета, исходя
из которого можно построить все прочие супермультиплеты. Чле-
ны этого гипотетического триплета получили название кварков. Что-
бы можно было понять, в чем суть кварковой модели, мы приведем
основные характеристики этих пока что не обнаруженных частиц.
А. Характеристики кварков
В самом простом варианте модели, предложенной независимо
Гелл-Манном и Цвейгом, три кварка должны иметь дробные кван-
товые числа [это необходимо для справедливости формулы (14.2)].
Это мы и видим в табл. 14.1 [112]. Два из них имеют гиперзаряд 1/3:
Таблица 14.1
Характеристики кварков в простейшей кварковой модели
Кварк	t	G	Y	В	s	Q
и	1/2	1/2	1/3	1/3	0	2/3
d	1/2	-1/2	1/3	1/3	0	—2/3
S	0	0	—2/3	1/3	—1	-1/3
7
№ 2114
194
ГЛ. 14. КЛАССИФИКАЦИЯ ЧАСТИЦ
кварк и (от английского слова «ир» — вверх) с /3=+1 /2 и кварк я
(от английского слова «down» — вниз) с ts=—1/2. Третий, обозна
чаемый буквой s (от английского слова «strange» — странный), имеет
гиперзаряд — 2/3. Он входит в состав странных частиц, внося свою
странность S=—1. Например, частица со странностью S=—3
состоит из трех s-кварков. Вообще трех кварков и, d и s достаточно
чтобы получить все частицы, представленные на рис. 14.1. В част-
ности, в простейшем варианте этой модели барионы составляются
из трех кварков (откуда В=1), и их группировка в октет и декуплег
вытекает отсюда естественным образом. Действительно, при сложе-
нии трех изоспинов 1/2 (мультиплетпость 2) получается 8 состояний
составляющих два изоспиновых дублета (Т= 1/2 мультиплетность 2)
и один изоспиновый квадруплет (7=3/2, мультиплетность 4), так
как (см. приложение 14)
(2) ® (2) ® (2) = (2) ® [(1) ф (3)] = (2) ф (2) © (4).	(14.7)
Аналогично этому, комбинируя три кварка, получают 27 барионов,
образующих один синглет, два октета и один декуплет в соответствии
с соотношением
(3) ® (3) ® (3) = (1) ф (8) © (8) © (10).	(14.8)
Если учитывать не только спин, но и относительный угловой мо-
мент входящих в состав барионов кварков, то аналогичным образом
можно получить много различных супермультиплетов. Точно так
же получаются супермультиплеты антибарионов — путем объеди-
нения трех антикварков, имеющих по определению барионное чис-
ло В=—1/3. Что же касается мезонов (В=0), то в данной модели
они выступают как связанные состояния системы кварк — анти-
кварк. И действительно, из кварка и антикварка можно построить
большое число октетов, имеющих S=0, с различными спинами и
относительными угловыми моментами.
Б. Очарование, четыре аромата
Классифицируя адроны по значениям квантовых чисел В, ts и
У, мы приходим к октетной модели, если считать физически допусти-
мыми только целые значения барионного числа, гиперзаряда и
электрического заряда. Допустив возможность дробных внутрен-
них квантовых чисел, Гелл-Манн и Цвейг предложили заполнить
лишний, не использованный ранее триплет тремя гипотетическими
частицами — кварками, характеристики которых представлены в
табл. 14.1. Пока что ни один объект подобного рода не был обнарУ'
жен. И все же многие ученые, работающие в области физики высо-
ких энергий, уверены, что адроны действительно состоят из квар-
ков, хотя эти «новые элементарные частицы», возможно, и не могут
существовать в свободном состоянии. Для того чтобы иметь уверен-
§2. КВАРКОВАЯ МОДЕЛЬ
195
что эти невидимые объекты действительно существуют, име-
S много оснований.
Прежде всего, в кварковой модели схема классификации адронов
азывается столь простой, естественной и стройной, что трудно
Сказаться от мысли о их реальном существовании. В этом огно-
ении дополнительным подтверждением явилось эксперименталь-
ное обнаружение [1131 так называемых очарованных частиц. Дело
том> что в рамках унитарных теорий (гл. 3) гипотеза о существо-
вании нейтрального промежуточного бозона приводит к возникнове-
нию следующей трудности: нейтральные токи, связанные с обмс-
ном этим бозоном, должны приводить к распадам типа 7(®->-р+4-р.г\
вероятность которых оказалась на самом деле в 108 раз меньшей,
нежели предсказывалось существовавшими в то время теориями.
И вообще тогда становилось непонятно, почему нейтральные токи,
изменяющие странность (|ДХ| = 1), наблюдаются реже, чем токи,
сохраняющие странность (AS=0). Чтобы устранить эту трудность,
Глэшоу, Илиопулос и Майани [114] предложили в 1970 г. ввести
еще одно внутреннее квантовое число «очарование», приводящее
к новому правилу отбора, способному объяснить эксперименталь-
ные данные. Но для этого нужно было допустить существование
четвертого, очарованного кварка, обозначаемого буквой с, и соот-
ветствующим образом подкорректировать предсказания первона-
чальной трехкварковой модели. В частности, при переходе к этой
«четырехкварковой» модели табл. 14.1 и рис. 14.1 переходят в табл.
14.2 и рис. 14.2. Такая модель предсказывает целый ряд новых ад-
Таблица 14.2
В четырехкварковой модели очарование имеет только кварк с
Кварк	Q	В	3	с	Кварк	а	В		с
и	2/3	1/3	0	0	S	— 1/3	1/3	—1	0
d	-1/3	1/3	0	0	С	2/3	1/3	0	1
ронов. Например, число мезонов с увеличивается от 9 до 16,
а число барионов с /я=1/2+ возрастает от 8 до 20. После 1974 г.
были обнаружены некоторые из таких новых очарованных адронов
с характеристиками, предсказанными данной моделью. К ним от-
носятся очарованные D°- и О+-мезоны, представленные на рис. 14.2.
тех пор считается, что кварки могут обладать четырьмя разными
«ароматами»: и, d, s и с.
Но число четыре — это минимум, определяющийся в рамках
У итарных теорий тем, что в них проводится параллель между су-
ществованием четырех кварков и четырех лептонов, о которых речь
7-
196
ГЛ. 14. КЛАССИФИКАЦИЯ ЧАСТИЦ
шла в гл. 3. После неожиданного открытия нового тяжелого лещ
тона, а именно т-лептона, о котором упоминалось в гл. 3, унитарные
теории ориентируются на модели с большим числом кварков и леп-
тонов. В настоящее время рассматривается как возможное число
шесть.
В. Партоны (кварки и глюоны)
Еще одно указание на существование кварков дают так называе-
мые лептоадронные эксперименты, которые состоят в зондировании
адронов пучком лептонов. Угловое распределение рассеянных лев-
§2. КВАРКОВАЯ МОДЕЛЬ
197
в в первом приближении не зависит от их (начальной) энергии,
Т°Н пайней мере если она превышает несколько десятков гигаэлект-
П° вольт. Такое поведение согласуется с так называемой гипоте-
РоН 1асШТабной инвариантности, если рассматривать адрон как свя-
3°нную систему точечных частиц, взаимодействие которых убывает
Увеличением междучастичного расстояния, так что на малых рас-
тояниях их можно считать практически свободными («асимптоти-
ческая свобода»). Эти гипотетические частицы, первоначально
названные «партонами» 1115], были вскоре отождествлены с внутри-
адронными частицами, такими, как кварки, вводимые в кварковой
модели (см. табл. 14.2), а также глюоны — кванты кварк-кваркового
взаимодействия, о которых говорилось в гл. 2. С тех пор разрабаты-
вается теория взаимодействий, называемая «квантовой хромодина-
микой», в рамках которой надеются объяснить всю совокупность
экспериментальных данных, обходясь одним октетом глюонов и ми-
нимальным числом 4 кварков, дополненным таким же числом леп-
тонов. Скажем несколько слов об этой теории.
Г. Хромодинамика: цвет и удержание (конфайнмент)
Название «квантовая хромодинамика» образовано по аналогии
с квантовой электродинамикой, но в нем находит отражение и пред-
ставление о «цвете», введенное для того, чтобы объяснить ряд экс-
периментальных фактов. Один из них — проблема Д++-резонанса,
имеющего момент Jz=3/2. В рамках простейшей кварковой модели
эта частица рассматривается как совокупность трех «-кварков с
выстроенными параллельно спинами 1 /2; поэтому волновая функция
этой системы симметрична относительно обмена спинами. А посколь-
ку четность Д-резонанса равна +1, пространственная часть трех-
кварковой волновой функции тоже должна быть симметричной.
Но тогда мы приходим к противоречию с принципом антисимметри-
зации системы тождественных фермионов (в данном случае системы
трех н-кварков). В обход данной трудности в 1964—1965 гг. было
предложено [116] приписать кваркам дополнительную степень сво-
боды, названную цветом, и потребовать, чтобы волновая функция
системы кварков была антисимметрична относительно одновремен-
ного обмена не только пространственными координатами и спинами,
но и цветом. В частности, коль скоро волновая функция резонанса
в состоянии с J г=+3/2 симметрична относительно обмена про-
странственными координатами и спинами, она должна быть анти-
симметричной относительно операции обмена цветом.
но настояЩее время полагают, что необходимы три цвета кварков,
все известные нам адроны считаются «белыми» в том смысле, что
рки трех цветов входят в их состав в равных пропорциях. Гово-
198
ГЛ. 14. КЛАССИФИКАЦИЯ ЧАСТИЦ
рят, что адроны существуют, по-видимому, только в синглетном
цветовом состоянии. Например, все известные нам барионы описы-
ваются как системы трех кварков разного цвета. Точно так же все
известные в настоящее время мезоны можно рассматривать как
кварк-антикварковые системы, вектор состояния которых имеет
ВИД
I Мезон> = -pL- (q1q1 + q~q2 + q~q3),	(14.9)
где qlt q2 и q3 соответствуют кваркам трех цветов. Но зато пню-
теза синглетных по цвету адронов делает невозможным наблюдение
в свободном состоянии и самих кварков, и таких систем, как дн-
кварк, т. е. субструктура, составленная из двух кварков. Тем самым
мы подходим к теории конфайнмента, в которой цвет оказывается
скрытым квантовым числом, поскольку он, по-видимому, не может
проявляться вне «адронного мешка».
Внутри этого мешка кварк-кварковое взаимодействие осуществ-
ляется, как полагают, посредством октета цветных глюонов, пост-
роенного с помощью триплета основных цветов. Эти глюоны осу-
ществляют обмен цветом между кварками, порождая тем самым
кварк-кварковое взаимодействие, увеличивающееся с возрастанием
расстояния между кварками. Образно говоря, цвет в данной модели
играет роль заряда сильного взаимодействия и силы, действующие
на адроны, по предположению не имеющие цвета,— это лишь оста-
ток от сильного взаимодействия кварков. Например, нуклон-
нуклонное взаимодействие — это всего лишь остаток от взаимодей-
ствия между кварками (не странными и не очарованными), анало-
гично тому как потенциал взаимодействия двух нейтральных
атомов есть остаток от электромагнитных взаимодействий между со-
ставными частями атома. У лептонов же, тоже бесцветных, нет даже
и такого остаточного взаимодействия. Истинное же сильное взаимо-
действие — это взаимодействие между цветными частицами (квар-
ками и глюонами). Его интенсивность возрастает с увеличением рас-
стояния между партнерами, ввиду чего все эти гипотетические час-
тицы удерживаются внутри адронного мешка.
Если такая картина правильна, то хромодинамика (теория дале-
ко еще не завершенная) находилась бы в согласии с экспериментом,
включая и неудачи попыток наблюдать свободные кварки и глюоны.
Но тогда, если только не существует некоторый порог рождения,
еще не достигнутый на современных ускорителях, пришлось бы при-
мириться с тем, что с адронами достигнут предел, за которым уже
нельзя надеяться прямым путем наблюдать еще более мелкие струк-
турные составляющие вещества. К аналогичному выводу приво-
дит теория зашнуровки, на которой мы кратко остановимся, прежде
чем заканчивать главу.
§3. ТРАЕКТОРИИ РЕДЖЕ И ЗАШНУРОВКА
199
§3
Траектории Редже и зашнуровка
Если учесть, что возможны не только различные варианты сложе-
ля спинов кварков, но и различные относительные угловые мо-
1енты, то в кварковой модели можно ожидать существования боль-
шого ’числа супермультиплетов. Стало обычным дополнительно
классифицировать такие состояния с помощью диаграмм (Чу и
фпаучн), на которых по одной оси откладываются спины наблю-
даемых частиц, а по другой — квадраты их массы. Несколько ти-
пичных диаграмм такого рода для барионов представлены на
пис. 14.3. Построенные на них кривые (в данном случае прямые),
имеющие, как видно на рисунке, регулярный характер, получили
название «траекторий Редже». Они связывают между собой частицы
с фиксированными л,ТиУ (называемые иногда рекурсиями Редже).
Например, на рис. 14.3, б представлены траектории Редже для чле-
нов декуплета с J"=3/2+. В частности, частицы траектории Редже
для А (1236)-резонанса являются резонансами с изоспином 7=3/2,
наблюдаемыми при взаимодействии (л, нуклон). В то же время (л,
нуклон)-резонансы с изоспином 7=1/2 располагаются на траекто-
риях Редже как на диаграмме а, так и на диаграмме в рис. 14.3,
где они обозначены символом М. Эти два типа резонанса легче дру-
гих выявляются, по крайней мере при энергиях, меньших 3 ГэВ,
а потому их траектории лучше изучены.
Подобная ситуация встречается почти во всех областях спектро-
скопии. Например, если построить график зависимости углового
момента состояний гармонического осциллятора от их собственных
энергий (ср. рис. 14.3, г), то мы увидим, что точки, соответствующие
уровням с одним и тем же радиальным квантовым числом п, ложатся
на одну и ту же прямую линию в соответствии с формулой (7.14),
а именно
En. п. z=(/V + 4)Aw= [2(п—1)-М+4] Ьы. (14.10)
Точно так же на аналогичной диаграмме точки, соответствующие
Уровням с фиксированным п, в случае кулоновского потенциала (ато-
ма водорода) ложатся на гиперболы. Нетрудно убедиться и в том,
что ДЛЯ вращательных состояний молекул или ядер, принадлежащих
к одной вращательной полосе (фиксированное электронное состоя-
ние), аналогичные кривые имеют регулярный характер. В частности,
в случае гомеополярных молекул и четно-четных ядер уравнение
Этой кривой принимает вид (/+1)/2^ (гл. 8). Она связывает
энергию вращательных состояний со спинами /, отличающимися
ДРУГ от друга на две единицы А, аналогично траекториям Редже для
арионов. Можно привести еще много других примеров, подтвер-
ждающих следующий общий вывод: исследования спектров показь -
т, что траектории Редже для состояний, волновые функции кото-
200
ГЛ 14 КЛАССИФИКАЦИЯ ЧАСТИЦ
0	1	2	3	4	5 Б 7	8	9	10	11	12
Н?ГэВ7сй
б
РИС. 14.3. Диаграмма Чу — Фраучи возбужденных состояний для барионовых
супермультиплетов рис. 14.1. а — траектории Редже октета с Jn— 1/2+; б — то же
для декуплета с Jn=3/2+ (обнаружены и другие состояния Na- и Де-резонансов,
но их характеристики J31 с определенностью не установлены); в — то же для ок-
тета с /л=3/2_; г — состояния гармонического осциллятора. Темные квадратики
соответствуют найденным частицам, а светлые — предсказываемым.
§3. ТРАЕКТОРИИ РЕДЖЕ И ЗАШНУРОВКА
201
РИС, 14.3 (продолжение),
202
ГЛ. 14. КЛАССИФИКАЦИЯ ЧАСТИЦ
рых имеют одно и то же число узлов, представляют собой регул я п.
ные кривые, характер которых определяется структурой системы к
которой они принадлежат.
В случае системы адронов еще нет общепринятой интерпретации подобной
регулярности. Первоначально наличие ее рассматривалось как подтверждение
гипотез, выдвигающихся сторонниками «теории полюсов Редже», которые пыта-
лись перенести в релятивистскую область результаты, полученные в рамках тео-
рии потенциала Т. Редже, рассматривавшим угловой момент как комплексную
переменную [117]. В такой теории амплитуда рассеяния [формула (К.25)]
1 “
f (6) = 2ik L (2Z+ [Sz (Л) ~ l] Pl <cos 6)	<14 11)
1=0
является функцией комплексной переменной I. Резонанс должен происходить каж-
дый раз, когда амплитуда рассеяния проходит через полюс при целом положитель-
ном значении действительной части переменной 1(E) (где E=/i2£2/2p в нереляти-
вистском случае). Кривая действительной части функции 1(E) и называется тра-
екторией Редже. Что же касается мнимой части функции 1(E), то она прямо свя-
зана с шириной резонанса. Мы здесь не будем углубляться в теорию полюсов Редже,
но порекомендуем читателю обратиться к соответствующей литературе [118].
Отметим, однако, что феноменологические теории, основанные на таком под-
ходе, дают основание надеяться на то, что в конце концов удастся связать между
собой различные процессы сильного взаимодействия, опираясь по существу только
на постулат причинности. И все это тогда, когда другие теории сильных взаимо-
действий (в частности, теория поля) из-за сложности вычислений столкнулись с
известными трудностями на уровне количественных предсказаний (как раз тех,
которые особенно эффективно стимулируют экспериментатора). Первые признаки
успеха, достигнутого в этих феноменологических теориях, побудили сторонников
модели зашнуровки (гл. 2, § 4, п. В) попытаться придать количественную форму
гипотезе «демократии частиц», на которой покоится их модель. Согласно этой
гипотезе, нет принципиальных различий между связанным состоянием и резонан-
сом; а поэтому, трактуя все адроны (резонансы и связанные состояния) с позиции
их равноправия, модель зашнуровки предполагает, что:
а)	все адроны можно рассматривать как связанные состояния адронных си-
стем, геометрические и динамические квантовые числа которых совместимы с ха-
рактеристиками порождаемой ими частицы;
б)	все адроны могут играть роль частицы Юкавы в процессе сильного взаимо-
действия (частица, за счет обмена которой порождается взаимодействие) при усло-
вии, что их геометрические и динамические квантовые числа совместимы с выполне-
нием всех законов сохранения в рассматриваемом процессе.
Как догадывается читатель, в такой модели не очень-то просто проводить
вычисления, ибо, с одной стороны, чтобы найти связанные состояния адронных
систем (т. е. адроны, порождаемые взаимодействием адронов между собой), нужно
знать гамильтониан сильного взаимодействия, а с другой — чтобы найти гамиль-
тониан сильного взаимодействия, нужно знать характеристики участвующих
в обмене адронов. Это означает, что перед нами случай исключительно сильной
нелинейной связи. Несмотря на существование все еще не преодоленных труднос-
тей, сторонники зашнуровки не теряют надежды. Их программа амбициозна: они
рассчитывают на то, что в результате такой зашнуровки автоматически опреде-
лятся только реально существующие частицы. Следовательно, должны воспроиз-
вестись частицы, описываемые октетной моделью, а также получить объяснение
причины наблюдаемых симметрий.
Указанный подход в какой-то мере сходен с используемым в оболочечной мо
дели ядер (гл. 7). В самом деле, в этой модели тоже применяется своего рода за-
шнуровка, а точнее «самосогласование», в результате которого в конце концов
§ 4. ВЫВОДЫ
203
т одновременно и средний потенциал (гамильтониан рассматриваемой мо-
по-тУчаК^го собственные состояния (реализующиеся ядерные уровни). Отсюда уже
дели) и ым образом вытекает классификация наблюдаемых ядер по значениям
есТ~т® / /ит д. В области частиц ситуация далеко ие столь ясна.
А, ‘ > п’ ’ '
§ 4. Выводы
В данной главе мы еще раз продемонстрировали плодотворность
подхода, направленного на отыскание все более и более общих прин-
ципов инвариантности. Усмотрев преимущества изоспинового фор-
мализма, мы попытались охватить не только сохранение электриче-
ского заряда, но и сохранение странности в рамках принципа инва-
риантности более общего, нежели принцип инвариантности относи-
тельно вращения в зарядовом пространстве. Мы видели, что этой
цели отвечает октетная модель, которая позволила естественным
образом связать воедино различные динамические квантовые числа.
Микроскопическую интерпретацию успешного приложения этой
модели дает кварковая модель, в которой кварки, гипотетические
частицы, выступают в настоящее время с четырьмя (возможно, в
скором времени с шестью) разными ароматами и тремя разными цве-
тами.
Квантовая хромодинамика, соединившая кварковую модель с
попытками унификации взаимодействий, возможно, в ближайшем
времени приведет к теории конфайнмента кварков и глюонов, кото-
рая позволит объяснить причины неудачи попыток эксперименталь-
ного наблюдения этих гипотетических частиц в свободном состоя-
нии. Но еще нельзя считать полностью потерянными все надежды
наблюдать эти составные частицы, так как в принципе может су-
ществовать некий порог рождения цветных частиц, аналогичный
порогу ионизации атома.
Наконец, регулярность в свойствах возбужденных состояний чле-
нов супермультиплетов (траектории Редже) представляет собой
столь общее для спектроскопии явление, что ее пока еще нельзя
рассматривать как подтверждение теории полюсов Редже, тем более
что вытекающие из последней феноменологические теории сейчас
наталкиваются на некоторые трудности, в частности при объясне-
нии наблюдаемого поведения эффективных сечений в области высо-
ких энергий. Что же касается модели зашнуровки, то ее амбициоз-
ные цели далеко не достигнуты и она наталкивается на трудности,
связанные с отсутствием адекватной техники вычислений.
Итак, в физике высоких энергий остается открытым вопрос:
Достигнут ли в области элементарных частиц предел, дальше кото-
рого уже невозможно наблюдать в свободном состоянии все более
1елкис составные части вещества? Возможно, что такими самыми
 ементарными «кирпичиками» вещества не являются даже кварки.
204
ГЛ 14 КЛАССИФИКАЦИЯ ЧАСТИЦ
Гипотетическое число кварков, необходимое для объяснения всех
экспериментальных данных, стало столь велико (уже шесть арома.
тов и три цвета), что некоторые предлагают постулировать сущест_
вование двух «субкварков», из которых можно получить все кварки
Неужели и внутри этой матрешки мы найдем новую матрешку, Хотя
предыдущая и «ненаблюдаема в свободном состоянии?» И если да
то будет ли когда-нибудь конец?
Приложение 14
/математический аппарат
Предсказания модели октета могут быть установлены лишь на основе теории
vnn которая выходит за рамки нашей книги. Поэтому мы ограничимся указа-
Гисм на литературу (119]. Напомним в этой связи, что операторы бесконечно ма-
лого поворота е вокруг осей Ох, Оу и Ог определяются следующим образом:
5?х(е)=1— 1’е/х.	5?v(e) = l—te/j,, 5?2 (е) = 1 — ie/2.	(14.12)
Если гамильтониан коммутирует с операторами	и 5?2, то он коммутирует
также с операторами jx. jy и jz. Поскольку операции вращения образуют группу,
а всякое вращение можно рассматривать как произведение операторов бесконечно
малых поворотов, можно сформулировать следующее положение: гамильтониан
сферически-симметричной системы коммутирует, в частности, с операторами спе-
циальной группы вращений в трехмерном пространстве. Эта группа, которая в
работах, цитированных в конце главы, обозначается символом SO(3), имеет в ка-
честве матричного представления, известного читателю, матрицы вращения 51-
С точки зрения группы вращения спин S и угловой момент L обладают такими
же свойствами, хотя их матричные представления и иные. Данное утверждение
может быть распространено на случай полуцелых спинов в рамках группы 5(7(2),
матричными представлениями которой служат унитарные (А-А+=/, откуда бук-
ва О) и унимодулярные (det А= 1, откуда буква 5 — специальная) матрицы 2Х 2.
Хотя матричные представления групп 50(3) и 50(2) неодинаковы, они, как не-
трудно показать, изоморфны или, точнее, «гомоморфны», т. е. одной матрице
соответствует несколько матриц А (в данном случае две, а именно ±71). Чтобы из-
бежать такого двойного определения, обычно работают с группой SU (2).
Собственные функции оператора момента количества движения произволь-
ного объекта, инвариантного относительно вращения,— это физическая реали-
зация системы собственных векторов представления группы 5(7(2): они нумеру-
ются значениями j, и их мультиплетность равна 2/+ 1. Напомним, что собственные
состояния с мультиплетностью 2 (спин 1/2) матричного представления порядка
2 группы 5(7(2) в принципе позволяют получить все мультиплеты путем последо-
вательного тензорного умножения. Например [7],
(2)®(2) = (1)ф(3),	(14.13)
где (1) — синглет, а (3) — триплет (складывая два спина 1/2, мы получаем 7=0
и 7—1). Повторяя такую процедуру, получаем
(2) ® (2) ® (2) = (2) ® [(1) е (3)] = (2) е (2) е (4),	(14.14)
г,де квадруплет (складывая три спина 1/2, мы получаем два состояния с
И И °д"° С /=3/2Ь 11 т. д.
ние. сходя из аналогии между спином и изоспином, мы сформулировали положе-
- гамильтонианы сильного взаимодействия инвариантны относительно вращения
обоая,ЯД°ВОМ пР<>стРанствс. В рамках теории групп это выражается аналогичным
гр™: гамильтонианы сильного взаимодействия коммутируют с операторами
гия пЫ действующими в пространстве зарядовых состояний Эта анало-
ниана°ЗВ°ЛЯеТ также сРазУ сказать: собственные функции адронного гамильто-
ская п "УмеРуемые значениями t и имеющие мультиплетность 2/+1, есть физиче-
простпанЛИЗа,111Я собствениых векторов представления той же группы в зарядовом
стве. Короче юворя, в рамках теории групп можно объединить мио-
206
ГЛ. 14. КЛАССИФИКАЦИЯ ЧАСТИЦ
гие свойства сильного взаимодействия (зарядовую независимость, изоспинов
мультиплеты, сохранение числа t, соотношения между амплитудами переходов*^
т. д.), в которых находит выражение изоморфизм представлений спина и изоспин И
В рамках теории групп гипотезы октетной модели эквивалентны предполож3’
нию, что группа SU (2) вращений в зарядовом пространстве является лишь по6"
группой более широкой группы, которая включает также и гиперзаряд, онпрЛ'
ляемый как Y=B-}-S, где В — целое число. Исходя из этого, Гелл-Ман и НеекХ
предложили в качестве такой более широкой группы группу SU (3), матричный
представления которой порождаются унитарными и унимодулярными матрицам»
ЗХЗ1). Тем самым достигается более широкая унификация, и это отражается в
следующем утверждении: гамильтонианы сильного взаимодействия коммутируют
с операторами группы SU (3). Тогда супермультиплеты оказываются физической
реализацией свбственных векторов представления данной группы в соответствую,
щем пространстве. Вообще говоря, они могут выступать в форме синглетов, три-
плетов, октетов, декуплетов. Поскольку ранее физически приемлемыми считались
только целые значения динамических квантовых чисел, рассматривалась удовлет-
воряющая этому условию октетная модель. Когда же данное требование отброси-
ли, то пришли к простейшему трехкварковому варианту кварковой модели, в ко-
торой триплет группы SU (3) играет ту же роль, что и изоспиновый дублет в груп-
пе SU (2), в том смысле, что для группы SU (3) записывается следующий аналог
соотношения (14.14) ЦП]:
(3) ® (3) ® (3) = (1) ф (8) ф (8) ф (10).	(14.15)
Затем с введением очарованного кварка кварковая модель стала четырехкварко-
вой. Ее формальной основой является группа, обозначаемая символом SU (4).
Что же касается цветовой группы, то это группа SU (3); глюоны образуют октет
данной группы.
УПРАЖНЕНИЯ
14.1.	Из формулы (14.4) выведите соотношение (14.5).
1)	Проверьте ее по экспериментальным данным для октета с Jn = 1/2+.
2)	Экспериментально наблюдаются резонанс рассеяния п-мезона на нуклоне с
характеристиками (7я=3/2“, 7'= 1/2) и массой 1520 МэВ [М (1520) на рис. 14.1]
и резонанс рассеяния /(-мезона на нуклоне с характеристиками (7я =3/2“, 7=1)
н массой 1670 МэВ [S (1670) на рис 14.1]. В то же время наблюдаются два резо-
нанса рассеяния /(-мезона на нуклоне с характеристиками (7л=3/2~, Т~0) и
массами 1518 и 1690 МэВ. Однако не было обнаружено Е-резонансов с массой ме-
нее 1800 МэВ. Первый из наблюдаемых резонансов такого типа имеет массу в ин-
тервале 1800—1870 МэВ. Масса следующего лежит в пределах от 1900 до 1960 МэВ.
Покажите отсюда на основании формулы (14.5), что Л (1690)-резонанс, по всей ве-
роятности, принадлежит октету с /л=3/2_ и что характеристики первого Е-резо-
нанса, вероятно, таковы: /я=3/2~.
3)	Покажите, что для декуплета с /л=3/2+ выполняется соотношение 7=1+
+ F/2. Исходя из этого, покажите, что в случае данного декуплета формулу масс
(14.4) можно представить в виде M=A-\-BY. Сравните с экспериментом.
14.2.	Пользуясь данными табл. 14.1, найдите значения чисел 13 и Y для какой-
нибудь комбинации трех кварков.
1)	Какие частицы получаются, если взять три одинаковых кварка?
2)	Покажите, что существует 6 перестановок трех разных кварков и 3 переста-
новки двух одинаковых кварков с третьим кварком другого типа (например, 2«
1) В историческом плане отметим, что группа SU (3) уже использовалась
несколько раньше в ядериой физике (Эллиот, 1958), конечно, в весьма отлич-
ном контексте, так как речь шла о классификации ядерных состояний по вред-
ставлениям группы, в которой квадрупольный момент (деформация) играеТ
такую же роль, как и странность в октетной модели [120].
ПРИЛОЖЕНИЕ 14. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
207
п ажите, что всего можно образовать 27 линейных ортогональных комби-
и ‘О- 1'^функций любых трех кварков.
нании Укажите кварковый состав каждого бариона на рис. 14.1.
Скажите, почему значения энергии (массы) частиц в супермультиплетах в
4 пе должны давать информацию о кварк-кварковом взаимодействии и, в
п₽Иности о членах, зависящих от спина (spsj и от скоростей (L-s).
чаСцН Если рассматривать адрон как совокупность кварков (и антикварков) в
14 ем потенциале, то как должно было бы проявляться «остаточное взаимодейст-
СР?1спаривания», если бы оно существовало?
и 4 Какими типами кварк-кваркового взаимодействия или какими членами
4 сонного среднего потенциала» можно было бы объяснить тот факт, что траекто-
рии Редже связывают между собой состояния, спины которых изменяются на 2 еди-
14Т*Схемы 1 и 2, представленные ниже, эквивалентны схемам рис. 2.7. Точнее,
схема 1 отвечает взаимодействию л-мезон — нуклон, после которого л-мезон ре-
РИС.
гистрируется как рассеянный вперед. Схема 2 отвечает случаю, когда л-мезон ис-
пускается в направлении назад в системе центра масс. Предположим, что взаимо-
действие выражается в обмене частицами X (в первом случае) и Y (во втором слу-
чае).
1)	Покажите, что набор квантовых чисел р-мезона ([л(765) на рис. 14.1, д]
позволяет ему быть частицей X.
2)	Покажите, что по своим характеристикам Д-резонанс может быть частицей
3)	Если принять, что в процессах 1 и 2 возможен обмен только частицами ука-
занных двух типов, то как можно было бы качественно объяснить тот факт, что
рассеяние л-мезонов высоких энергий на нуклонах происходит чаще вперед, не-
жели назад?
14.6. При измерении эффективного сечения взаимодействия /<_-мезонов с нуклона-
ми обнаруживаются многочисленные резонансы.
0 Чему равен гиперзаряд этих резонансов?
2)	Чему может равняться их изоспин?
3)	Чему равен пзоспин резонансов системы , п)?
4)	Тот же вопрос относительно резонансов системы (К~, р).
Ь) Для какой из двух последних систем наблюдаются резонансы, не обнару-
живаемые для другой?
с 6) Один из таких резонансов, обнаруживаемых только одной системой, де-
ва егоТмасКС?МУМа’ Когда ИМПУЛЬС Д- мезонов равен примерно 1,1 ГэВ/c. Како-
чениями^чК 6'”' ?Ы назвалиего> пользуясь принятыми в настоящее время обозна-
9) кГ° ШиРН|,а Равна 95 МэВ. Каково его время жизни?
10) уК0ВЬ1 наиболее вероятные типы его распада?
с i -<) £далосв установить, что в этом резонансе доминирует парциальная волна
11) рКова его четкость?
аково(вы) возможное(ные) значение(ия) его спииа?
208
ГЛ. 14. КЛАССИФИКАЦИЯ ЧАСТИЦ
12) Другой резонанс наблюдается в двух системах (К~, п) и (К~, р) с масс .
~1770 МэВ/c2. Как бы вы назвали его, пользуясь принятыми обозначениями? *
13) Какого порядка величины должно быть отношение эффективных сечени-
рождения этого резонанса в системах (К~, п) и (Д’-, р)?
14)	У этого резонанса такие же спин и четность, как и у резонансов, о которы
речь шла в вопросах 6—11. Исходя из какого соотношения масс искали бы вы Ц*
тицы, принадлежащие к тому же супермультиплету, что и эти два резонанса? Ня
чертите примерный спектр масс для этого супермультиплета и постройте для НеГо
диаграмму Y=f(T3).
15)	Поскольку не существует нейтронных мишеней, для исследования систе-
мы (/(~, п) пользуются дейтериевой мишенью. Как объяснить возможность исполь-
зования такой методики и как следует проводить эксперимент, чтобы извлечь и-<
него информацию о системе (К~, п)?
16)	Считаете ли вы возможным существование резонансов системы (К+-м?.
зон — нуклон)? Почему?
Дополнения
дополнение Д
ЧАСТИЦА В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
В данном дополнении мы кратко напомним о том, как с помощью
стационарных сферических волн решается задача о движении бес-
спиновой частицы в центральном поле. Мы здесь ограничимся рас-
смотрением общих свойств движения в центральном поле как в
случае связанных состояний, так и в задаче рассеяния. Вопрос о
связанных состояниях более подробно рассматривается в гл. 7,
а вопрос о рассеянии — в дополнении К-
Уравнение Шредингера для частицы с приведенной массой р,
взаимодействующей с другой частицей (или с эквивалентной ей
системой частиц) посредством центрального потенциала У(г), за-
писывается следующим образом:
—-^Д + У(г))ф = Еф.	(Д.1)
Поскольку потенциал V(r) обладает сферической симметрией, га-
мильтониан Н удобно записать в сферических координатах. Для
этого достаточно вспомнить, как в таких координатах записывается
лапласиан. Тогда уравнение (Д. 1) принимает вид
ЬШ-+тг)+2^+М*<'’ ’	”>• <д-2>
Центральный потенциал по определению не зависит от углов 6 и <р.
Следовательно, он коммутирует с операторами Lx, Lv, Lz и L2.
Запись гамильтониана Н в (Д.2) свидетельствует о том, что то же са-
мое относится и к нему. Этого и следовало ожидать, так как и в
классической физике орбитальный момент частицы в центральном
поле сил является интегралом движения. В таких условиях логично
искать общие собственные функции операторов И, L2 и Ьг в виде
т (г, 6, <р) = Й/?' (6, ср) Rt (г),	(Д-З)
где 2/™ (0, ф) — сферические гармоники. Они образуют полную систе-
му общих собственных функций операторов L2 и Lz, а именно:
А23/''!(0, <р) = /(/+1)&2 й/^(0, ф),
^"(0, <p) = mAs/H6, <₽),	(Д-4).
5^(0, ф)3/у*'(6, <p)dQ = 6z,z.6m,m..
210
ДОПОЛНЕНИЕ Д. ЧАСТИЦА В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
Что же касается так называемых радиальных функций Ri(r), то
учетом соотношений (Д.4) они находятся путем решения \равс
нения	р
Г К2 ( d2 . 2 d \ . Z (Z-(- 1) Й.2 . ,,, J D , .	v
[ 2ц ^dr2 + г dr)+ 2цг2 + Ri(r) — ERi(r). (Д.5)
Его удобно преобразовать к другой форме, положив Ri(r)=RJi(r)/r
Тогда оно приобретает вид
( ft2 d2 , 1(1+1)Л2 , ...	,
V 2ц dr2 + 2цг2 + Ut(r)~ EUi(r).	(Д.б)
Это так называемое радиальное уравнение формально имеет такую
же структуру, как и одномерное уравнение Шредингера с эффек-
тивным потенциалом
К>фф = У О') + ^7^ •	(Д.7)
Заметим, что член /(/+1)Й2/2рг2 аналогичен кинетической энергии
вращения (величина рг2 имеет смысл момента инерции). Его называ-
ют «центробежным потенциалом» или «центробежным барьером»,
поскольку его градиент имеет ту же структуру, что и центробежная
сила инерции. В дополнении Г мы видели, какую роль он играет в
частном случае испускания а-частиц.
Не все решения радиального уравнения (Д.6) физически прием-
лемы; чтобы функции Ri(r) были нормируемыми, они должны быть
ограниченными на бесконечности и регулярными в начале коорди-
нат. В частности, чтобы избежать сингулярности функции Ri(r)—
= Ui(r)/r в начале, нужно наложить на Ut(r) условие
t7i(0)=0.	(Д.8)
Это равносильно тому, чтобы рассматривать радиальное уравнение
(Д.6) как одномерное уравнение Шредингера для частицы с приведен-
ной массой ц в поле с потенциалом
Еза,ф(г) в интервале (0, +<»),
Бесконечно отталкивающий (бесконечный барьер) при г < 0.
Относительно всех потенциалов, которые могут нам встретиться,
мы будем предполагать, что определенные подобным образом ра-
диальные функции образуют полную систему функций, зависящих
от переменной г. Следовательно, собственные функции т (г, 0.
<р)=а//,'(6, q)Ri(r) [формула (Д.3)1 будут составлять базис сфери-
ческих волн, по которому мы будем разлагать функции перемен-
ных (г, 0, ф).
Итак, в случае центрального потенциала можно отделить угло-
вые переменные, поскольку угловой момент есть интеграл движения:
угловое движение описывается всегда функциями й/уДО, ср), каков
§ 1 Е<0; СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ
211
был центральный потенциал. Радиальные же волновые функ-
бы Н11явисят от его характеристик — радиуса действия, глубины,
11,1,1 оц формы и т. д. Граничными условиями (в начале координат
^^бесконечности) определяется общий характер и физически при-
Н Нрмых волновых функций, и соответствующих им собственных
еМЛ„гНй (энергетический спектр). Точнее говоря, в случае потен-
ЭИапа стремящегося к нулю при г, стремящемся к бесконечности
щтомы в дальнейшем будем предполагать), спектр будет дискретным
в области отрицательных энергий и непрерывным — в области по-
ложительных энергий.
। £<0; связанные состояния
В самом деле, асимптотическая форма уравнения (Д.6) при г,
стремящемся к бесконечности [т. е. в случае, когда можно прене-
бречь эффективным потенциалом (г)], такова:
=	(Д-9)
При Е<0 его общие решения имеют вид суммы двух экспонент, воз-
растающей и убывающей. Из них физически приемлемы лишь те
решения, в которых коэффициент перед возрастающей экспонентой
равен нулю. Это условие может выполняться только при некоторых
дискретных значениях Е1>г, Е2,г, . . .,	. ., нумеруемых двумя
индексами п и I (п — радиальное, а I — орбитальное квантовое
число, см. гл. 7). При таких дискретных значениях асимптотическое
поведение функций f/ni z (г) дается формулой
пп,, (Г)г -^а=а„г1е~ ', Vn, z=ЕЕЕП,	(Д. 10)
к
где величины у,,. z и ani z определяются точной формой потенциала.
Подобная ситуация характерна для связанных состояний частицы
с приведенной массой р, находящейся в поле сил с потенциалом
I (г); с одной стороны, асимптотическое поведение (Д. 10) воспроиз-
водит ненаблюдаемость такой частицы на больших расстояниях (ве-
роятность ее присутствия очень быстро падает до нуля с увеличе-
нием г), а с другой — дискретный характер собственных значений
энергии объясняет наблюдаемую дискретность спектра. Свойства
таких состояний в случае оболочечной модели сферических ядер
рассматриваются в гл. 7.
§ 2- Е>0; рассеяние
Г)
п этом случае в противоположность предыдущему физически
знацМЛеМЫе ФУНКЦ,,И существуют при любом положительном
ении энергии. Действительно, при любом значении Е>0 ре-
212
ДОПОЛНЕНИЕ Д. ЧАСТИЦА В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
шения уравнения (Д.6), регулярные в начале координат, в асимпт
тическом пределе осциллируют в соответствии с выражением кп-, '
некие (Д.9)]	Урав'
Ut(k, г),-»» =al(k)sinkr + blcoskr,	(Д-11а)
которое можно также переписать в виде
Ut(k, = СДА) sin [Лгф-ФД^)],	(Д.116)
где Ф;(А) и Ci(k) — величины, связанные с точной формой погенциа-
ла V(r). Стало быть, собственные значения существуют при всех
Е>0, так что в данной области они образуют непрерывный спектр
Такая ситуация характерна для состояний частицы с приведен-
ной массой р, испытывающей рассеяние на потенциале V’(r)
В самом деле, с одной стороны, асимптотическое выражение (Д. 1])
воспроизводит амплитуду, с которой подобная частица может быть
обнаружена вдали от рассеивающего центра, а с другой — непре-
рывный характер собственных энергий объясняет возможность про-
ведения экспериментов по рассеянию при любых, сколь угодно
близких друг другу значениях энергии.
В заключение отметим еще, что в противоположность связанным
состояниям состояния задачи рассеяния имеют бесконечную крат-
ность вырождения, поскольку при фиксированном положительном
значении энергии Е собственная функция может иметь любые на-
боры квантовых чисел (I, т) углового момента. Следовательно, в
случае пучка частиц с фиксированной энергией E(k)=h2k2/2fx, но
не имеющих определенного значения углового момента (относи-
тельно рассеивающего центра) в соответствии с принципом супер-
позиции волновая функция может иметь вид
Ф = У, «Л тф/. т (k, Г)=У V ai,m Ul (в. <₽) (Л-12)
I, tn	I т— —L
Характеристики таких состояний задачи рассеяния используются
во многих главах; общие сведения о них даются в дополнении К.
дополите Е
статические моменты ядер
Нейтрон и протон имеют ненулевые электромагнитные характе-
истики, и, как следствие этого, состоящие из них ядра имеют элект-
рические и магнитные мультипольные моменты. Здесь нас будут ин-
тересовать главным образом электрический квадрупольный и маг-
РИС Е.1. Расстояние от элемента объема dv с радиусом-вектором г до точки Р
с радиусом-вектором R равно |R—г|, так что вклад заряда р(г)Дс в Ф (R) равен
p(r)tfo/|R—г|.
нитный дипольный моменты, измерение которых дает ценнейшие
сведения о свойствах ядер и может рассматриваться как один из
самых чувствительных методов проверки моделей ядерной структу-
ры. Мы начнем с рассмотрения ядра как классической (не кванто-
вой) системы частиц, чтобы напомнить, что такое мультипольные
моменты распределения заряда.
§ 1. Электрические мультипольные моменты распределения заряда
Рассмотрим распределение р (г) заряда, заключенного в объеме V
(Рис. Е.1), и выберем систему координат xyz с началом в точке О,
которую вначале будем считать произвольной. Найдем сначала выра-
ение для потенциала Ф (R), создаваемого данным распределением
ряда в точке Р, находящейся за пределами объема V (ее радиус-
0DnT°P по отношению к началу координат обозначим через R, ко-
каж 3™ — чеРез X, Y, Z). В искомый потенциал дает свой вклад
Мыи элемент объема dv, содержащий заряд p(r)do, так что по-
214
ДОПОЛНЕНИЕ Е. СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ ЯДЕР
лучим
(Е.ц
А. Разложение потенциала по мультиполям
Если разложить величину IR—г|-1=[(А—х)2+(У—р)2ф(2_
—z)2]~1/a в ряд Тейлора, тоФ (R) примет вид быстро сходящегося ряда
q	X; 1	Х:Х/
Ф№ = ~х+^Р1-^+	(Е.16)
i	i, i
где Xi, A2, Ая — это координаты A, Y, Z, a q, — электриде-
ские мультипольные моменты распределения р(г), а именно (по оп-
ределению)
9 = Jp(r)du	(Е.2а)
есть электрический монополь, т. е. полный (скалярный) заряд си-
стемы:
Р/=4 */Р(г)	(Е .26)
есть i-я компонента вектора электрического дипольного момента
р= $ ф (r)dt>;
Qz/ = J (3xfxy— г2б/у-)р(г) dv	(Е.2в)
есть одна из пяти линейно-независимых компонент тензора электри-
ческого квадрупольного момента.
Ограничимся пока что в данном разложении членами второго по-
рядка; когда мы познакомимся с квадрупольным моментом, то уви-
дим, что такое разложение во многих отношениях оказывается бо-
лее удобным записывать в сферических координатах. Отметим, что
если начало отсчета О нашей системы координат поместить в центр
масс системы и если этот центр масс совпадает с центром распреде-
ления заряда, то дипольный момент нашего распределения заряда
будет равен нулю. Это положение классической физики позволяет
наглядно представить себе вывод, который мы сделаем ниже, а имен-
но что у ядра не может быть дипольного момента, так как с класси-
ческой точки зрения его центр масс совпадет с центром его распре-
деления заряда. Это относится ко всем квантовым объектам, кроме
полярных молекул, которые в химии и определяются как молекулы,
центр системы зарядов которых не совпадает с центром масс.
Отметим также, что в подобной системе координат, каковы бы
ни были индексы i и /, компонента 0,-у- равна нулю для любого объек-
та со сферической симметрией распределения заряда. Именно по-
§ 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ
215
этому, измерив квадрупольный момент ядра, можно установить,
сферическое оно или деформированное. Остановимся на такого рода
измерениях.
Б Квадрулольное взаимодействие
Рассмотрим ядро, характеризуемое его плотностью р(г), в неко-
торой среде, где существует электрический потенциал У (г). Это
естественная ситуация для любого ядра: электроны атома или окру-
жающей среды (например, кристалла) создают потенциал У(г),
который действует на ядро. В приближении точечного ядра энергия
взаимодействия «распределения» заряда ядра с электронным рас-
пределением дается выражением
Го=#(О),
(Е.З)
где q — заряд ядра (равный Ze), а У (0) — значение электронного
потенциала в начале координат, которое мы будем считать равно-
весным положением ядра. Однако от такого приближения приходит-
ся отказаться, если мы желаем учитывать так называемые эффекты
сверхтонкой структуры, к которым относится и взаимодействие с
квадрупольным моментом.
В самом деле, если учесть конечную протяженность ядра, то
энергию 1У0 кулоновского взаимодействия (точечных зарядов) нужно
заменить общим выражением
W = J р(г) У (г) d3r.	(Е.4)
Предположим сначала, что для электронов, создающих У (г), ве-
роятность нахождения внутри ядра равна нулю, и разложим этот
потенциал в ряд Тейлора вблизи начала координат:
з
V(t) = V0 + yXi(^ + 'ух.х.(™\	(Е.5)
'	“	< 1 к дх, /0 1 2!	1 J \dxi дх/Jo	'	'
i= 1	i, j
причем
= 4лрв(0)==0,	(E.6)
\Щ2 / о \ ду2 )о‘\ дг2 J о
если ре(г)— плотность зарядов, создающих рассматриваемый потен-
циал. Подставив тогда (Е.5) в (Е.4), получим
lV = y(0)Jp(r)do + £ (^)op/P(r)dt,+
+4-£(^7)oi^p(r)du+-==
= 9y(O)-p.E(O)-l£(5)oP^P(r)du’
». i
(E.7)
216
ДОПОЛНЕНИЕ Е. СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ ЯДЕР
если воспользуемся определением напряженности электрически
поля Е=—ДУ и соотношениями (Е.2). Член нулевого порядка
соответствует взаимодействию заряда ядра с потенциалом, создавав
мым электронным облаком. Член первого порядка есть энергия взац
модействия вектора электрического дипольного момента с напряжен"
ностью электрического поля, создаваемого электронным облаком"
т. е. он равен нулю при р=0 (отсутствие ядерного дипольного взаи-
модействия). Что же касается члена второго порядка (квадруполь-
ное взаимодействие), то он соответствует той энергии, которая возни-
кает за счет связи тензора ядерного квадрупольного момента с тен-
зором градиента электрического поля электронного облака. Дейст-
вительно, после вычитания из члена второго порядка разложения
(Е.7) величины (относительно физического смысла такой операции
см. § 3, п. В)
6» = -| (V • Е)о j г2р (г) du = — 1 (ДУ)о j г2р (г) du,	(Е.8)
он переписывается в виде
= —	) Qi/ = -^y ( л-^-) Qu- (Е.9а)
2	6	\ дх[ JdilJ 6 X-\dx(-дх,/о
/	i, /
Если выбрать оси координат так, чтобы они совпадали с главными
осями градиента поля, то член квадрупольного взаимодействия
примет вид
Г 1 [(JV)	+	1.	(Е.96)
2	6 [\<Эх2 /о \ ду2 )й йг/ \ дг2 /о J
Чтобы не усложнять без необходимости изложение, мы рассмот-
рим случай, когда градиент поля обладает цилиндрической симмет-
рией относительно оси Oz. В этом случае с учетом равенства (Е.6)
имеем
\дг2)0~ г\дх2)и- \ду2)0
и выражение (Е.96) принимает вид
= Т (-S-)o j (3*2~'2) р (О = Т	(Е-9в)
где
Qzz = ^(3z2—г2) р (г) du = Q.	(Е.Ю)
Формула (Е.Ю) есть классическое выражение для ядерного квадрУ’
польного момента в системе (Ох, Оу, Oz). Не касаясь пока что методов
измерения (см. дополнение Ж), заметим, что величину QBHyTP мо>кН0
вычислить по измеренному значению 1У2 только тогда, когда точно
известен градиент поля электронного облака (d2V/dz2)0 среды, 6
5 1 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ	217
пй находится ядро. Эту величину удобно связать с аналогич-
кот°Р, цчиной в системе координат, жестко связанной с главными
н011 и дра, которые называются осями его собственной системы
°СЯМдинат. Обозначим эти оси через Ох', Оу' и Oz', и пусть 6=а
К0°Р-р будут углы (сферической системы координат), образуемые
РИС. Е.2. Оси системы координат Ох, Оу, Oz совпадают с главными осями гради-
ента поля, а оси собственной системы Ох', Оу', Ог' — с главными осями ядра.
осью Oz'-, тогда получим [с учетом равенства cos G=cos 8' cos а+
-|-sin 6' sin a cos(<p—₽)]
„ 3 cos2 а— 1 „
V 2 внутр»
(ЕЛ)
где
<?вНутр = $ (З/2 — г'2) Р (г') dsr'
(Е.12)
есть квадрупольный момент, вычисленный в собственной системе
координат и называемый внутренним квадрупольным моментом.
В-	Квадрупольный момент
Чтобы лучше усвоить определение квадрупольного момента,
рассмотрим несколько примеров.
1.	Внутренний квадрупольный момент однородного эллипсоида.
Представим себе ядро в форме эллипсоида с полуосями а и с (рис.
Е.2, а) и будем считать, что заряд распределен равномерно с плот-
ностью р0. Тогда, положив х'2+у'2=у2, имеем
+ с а Г'1—(г'/с)!
Фввугр = р0 dz'	J	(2z'2—y2)2nydy —
-с	О
= -^р0о2с(с2—а2).
(Е.13а)
218
ДОПОЛНЕНИЕ Е. СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ ЯДЕР
Если же ввести сюда заряд ядра Ze=(4/3)npoa2c, то получим
2	4
Qm>-T₽:=~5 (Ze) (с2 a2) = -g- Ze/?2T],	(E.13gj
где R — среднеквадратичный радиус ядра [7?2=(а24-с2)/2], а я-
=(с2—а2)/(п2+с2) есть параметр деформации. Тем самым мы еще пГ
убеждаемся, что квадрупольный момент сферического объекта paL3
нулю и что внутренний квадрупольный момент вытянутого эллипсе
идального ядра (в форме мяча для регби, с>а) положителен а
сплюснутого эллипсоидального ядра (с<п) — отрицателен.
2.	Элементарная модель дважды магического ядра±один нуклон
Рассмотрим теперь систему, состоящую из равномерно заряженной
«сферической сердцевины», вокруг которой по большому кругу ра.
диусом R (рис. Е.2, б) вращается точечная частица с зарядом q
Если мы пренебрежем влиянием этой частицы на форму сферически-
симметричного остова, то последний не даст никакого вклада в
квадрупольный момент системы, так что если х', у' иг' — коорди-
наты частицы, то в любой момент времени, а значит, и в среднем мы
имеем
<?вЯутр = 9<32'2—/?г> = — qR*.	(Е.14)
Далее можно вычислить Q по формуле (Е.11). Если обозначить через
/ квантовое число, характеризующее длину вектора момента ча-
стицы, а через т — его проекцию на направление Ог градиента
поля, выбранного в качестве оси квантования, то в квазикласси-
ческом приближении можно написать cosot=m/K/(/+l). что дает
Q(b m) = ?^^QBByTP.	(Е.15а)
Это означает, что при квантовом описании оператор квадрупольного
момента Q будет иметь 2/4-1 разных средних значений, отвечающих
различным возможным значениям т. В самом деле, на основании
принципа соответствия в рассматриваемом случае можно ввести
оператор Q=q(3z2—г2) и написать
Q (j. т) = (₽/, т (0 [я (Зг2—г2)] <рл т (г) d3r,	(Е.156)
где фу, т (г) — волновая функция, описывающая пространственное
поведение частицы, находящейся в состоянии I/, т>. Выражение
(Е.156) нетрудно интерпретировать, заметив, что ф*(г)ф(г) есть
плотность вероятности найти частицу в точке с радиусом-вектором г-
Выражение (Е.15а) показывает, что эти 2/4-1 средних значении
связаны между собой соотношением
Q (j, тд _ З/nj—/(; 4~ 1)	(Е. 16)
<?(/. т^)	3tn2_j(j+i)’
j I. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ	219
что энергию квадрупольного взаимодействия можно выразить
таК з одно из них. В качестве такого значения условились выбирать
чеРечину <2(/» /)’ которую называют квадрупольным моментом рас-
В.еЛтоиваемой квантовой системы и обозначают через Q. Таким об-
разом. по определению имеем
Q = Q (!,!) --= $ <Р/, j (г) [q (Зг2 — г2)] <рА у (г) ++ =
_ 3/ —/(/4-1) л	1 02
~ 2/0+1) ^«нутр— (/2/ + 2^
при Следовательно, Q в какой-то мере характеризует проекцию
Иа ось Oz собственного квадрупольного момента, отвечающего час-
тице, вращающейся в экваториальной плоскости х'Оу' (см. рис. Е.
2 б), т. е. имеющей проекцию полного углового момента / на ось
бг собственной системы координат, равную m’=j. Точнее, можно
написать
"Р-	(ЕЛ7а)
О	при / = 0 или 1/2,
00	СО
<г2> = J Rnl. (г) r2RnlJ (г) г2 dr = J R*u (г) г4 dr,
о	о
где Rnu(r) — радиальная волновая функция, соответствующая
функции <р,,7(г).
Такой моделью можно воспользоваться для оценки величины
квадрупольного момента дважды магического ядра ± один нуклон.
В этом случае / — целое число и Q ненаблюдаемо только при /=Ь2.
Чтобы оценить порядок величины среднего значения <г2>, примем,
что плотность вероятности нахождения внешней частицы постоянна
во внутренней области ядра r<R=ru/41'3 и равна нулю вне ее. Тогда
нормированная радиальная волновая функция будет иметь вид
^„u(r)=KW при и равна нулю при r>R. Интегрирование в
(Е.17а) дает уже использовавшийся ранее результат <r2>=(3/5)R2,
а выражение для Q приобретает вид
4=0, в случае если внешней частицей является нейтрон
или нейтронная дырка,
Q = — т=- eR2, в случае если внешний протон
' 1 находится в состоянии |/, />,	(Е.176)
Q =	, в случае протонной дырки в состоянии
1/1
где дыр°чН°Му состоянию приписан «эффективный заряд», противо-
ДиоЖНЬ1^ П° знакУ заРяДУ частицы, в соответствии с предписанием
Рака применительно к рассматриваемому случаю. Как нетрудно
220
ДОПОЛНЕНИЕ Е. СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ ЯДЕР
сообразить (рис. Е.2, б), внешний протон служит «зародышем» сплю
нутой формы (Q<0) распределения заряда, а «избыточная дЫркс'
придает ядру слегка вытянутую форму (Q>0).	р 31
3.	Обобщение. Квантовомеханическое определение квадруи0Пь
ного момента, основанное на принципе соответствия, можно обоб-
щить на любое ядро, рассматриваемое как система А нуклонов'
В частности, если представить оператор квадрупольного момента как
сумму одночастичных операторов, то квадрупольный момент ядра
будет равен	F
А
Q = Q (J, J) = 2 еа \ J (г,, г2, ..., ги) х
а= 1
х(3г“ —./(г,, r2, . ...rjdt, (Е.18)
где <рА Ди, г2, . . ., гл) — волновая функция ядра в стационарном
состоянии с полным угловым моментом J и проекцией M=J на
ось квантования, еа — заряд, равный нулю для нейтрона и 4е
для протона, а интеграл берется по всему конфигурационному про-
странству с элементом объема dT=d3rid3r2, . . d3ra. Этот интеграл
удается вычислить только при использовании упрощенных моделей.
Тем не менее можно с его помощью установить некоторые общие
правила и, в частности, показать, что квадрупольный момент ядра
в состоянии с полным угловым моментом J—0 или J=1/2 равен
нулю (§ 4). Это не означает, что ядро с таким ядерным спином обя-
зательно сферическое; просто в этом случае энергия квадрупольного
взаимодействия равна нулю и, следовательно, невозможно отсюда
оценить его деформацию. Прежде чем уточнять сказанное, восполь-
зуемся полученными результатами для того, чтобы обсудить экспе-
риментальные данные, относящиеся к основным состояниям нечет-
ных ядер.
Г. Сферические и деформированные ядра
На рис. Е.З представлена зависимость наблюдаемого квадру-
польного момента от числа протонов Z или от числа нейтронов N-
Квадрупольный момент принято измерять в единицах площади,
что дает возможность получать энергию взаимодействия прямо в
электронвольтах, если градиент поля (d2V/dz2) выражается в воль-
тах на квадратный сантиметр (с учетом заряда электрона). В ядер-
ной физике удобной единицей площади является барн.
Влияние магических чисел весьма заметно, так как при переходе
через каждое из них квадрупольный момент меняет знак: из положи-
тельного для системы магическое ядро — один нуклон он становится
отрицательным для системы магическое ядро+один нуклон в соот-
ветствии с формулой (Е.176), которая и количественно A0BO^n°
хорошо согласуется с экспериментом. Например, для ядра ез15
221
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МУЛЬТИПОЛЬН ЫЕ МОМЕНТЫ
овном состоянии с 7л=9/2_ (ядро 2^РЬ+один протон й9/2) тео-
6 ское значение Q=—0,24 б, а экспериментальное Q=—0,35 б.
РетНЧ таК же для ядра “К в основном состоянии с 7л=3/2+ (ядро
Т°411^ один протон d3/2) теоретическое значение Q равно +0,043 б,
периментальное +0,055 б. Согласие можно еще улучшить, если
3честь эффект поляризации остова [121], который аналогичен поля-
• Нечетное М
х нечетное Z
РИС. Е.З. Квадрупольный момент (в барнах) основных состояний нечетных ядер.
Сферическая равновесная форма является исключением. Она встречается лишь
вблизи магических чисел. Деформированные ядра имеют форму, близкую к вытя-
нутому эллипсоиду.
Ризацни ионов электронами в твердом теле. Он состоит в своего рода
ориентированном увлечении нуклонов остова вследствие взаимо-
действия (которым мы пока что пренебрегали) между внешним нук-
лоном и нуклонами остова. Если (в первом приближении) не учи-
ывать различия между нуклонами, то поляризационный заряд ра-
как в случае протона, так и в случае нейтрона.
В этом случае выражение (Е.176) принимает вид
Q = —(Е.17в)
222
ДОПОЛНЕНИЕ Е. СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ ЯДЕР
где еЭфф — так называемый эффективный заряд рассматриваемого нуклон
торый в первом приближении (гармонического осциллятора) дается формулой [Л5
ri । 7/ЛТ < 1,5», если внешняя частица — протон,
0,5е, если внешняя частица — нейтрон,
^эфф — е
и формулой с противоположными значениями для нуклонной дырки. При э
отмеченное согласие наблюдается и для ядра с дважды магическим остовом £
нейтрон. Например, для ядра в?О в основном состоянии 5/2+(ввО ф- один нейтп
d5 2) экспериментальное значение Q равно —0,026 б, тогда как формула (Е 17ь
дает —0,019 б.
Демонстрируемая этими примерами сферичность магических
ядер — это тем не менее явление исключительное: для большинства
ядер модель, в которой учитывается только вклад внешнего нукло-
на, непригодна. В самом деле, согласно формуле (Е.17в), величина
Q должна была бы составлять от 10-2 б (10~26 см2) до 0,5 6 (5-10~г
см2) в зависимости от массового числа А, тогда как эксперименталь-
ные значения в 10—100 раз больше. Более того, столь большие
квадрупольные моменты отмечаются не только у ядер с нечетным
числом протонов, но и у ядер с нечетным числом нейтронов. Для это-
го требуется лишь, чтобы число нейтронов и протонов лежало между
двумя соседними магическими числами. При использовании «мак-
роскопического» описания формула (Е.176) дает для т) значения,
достигающие +0,3; это означает, что ~30% нуклонов находятся
вне той наибольшей сферы, которую можно провести в данном вы-
тянутом эллипсоиде. Таким образом, измерения квадрупольных
моментов указали на то важное обстоятельство, что большинство
ядер имеют несферическую равновесную форму, в создании которой
участвует значительное число нуклонов. Ниже будет показано, что
измерение магнитных дипольных моментов ядер дает дополнитель-
ную информацию о ядерной структуре.
§ 2. Магнитные мультипольные моменты
распределения токов
За счет движения нуклонов внутри ядра создается некоторое
распределение токов и, как следствие, распределение ядерного маг-
нетизма. К этому так называемому орбитальному магнетизму добав-
ляется спиновый магнетизм, обусловленный наличием у нуклонов
собственного магнитного момента. Чтобы получить разложение по
мультиполям такого распределения магнетизма, можно воспользо-
ваться тем же методом, что и в § 1, где речь шла о распределении
заряда. Мы это сделаем в свое время, но в данном параграфе нас
будет интересовать только первый отличный от нуля член такого
разложения, а именно дипольный магнитный момент, энергия взаи-
модействия которого с окружающей средой дается выражением
Wl = — цН,	(Е 19)
^2. МАГНИТНЫЕ МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ
223
_______магнитный дипольный момент ядра, а Н — магнитное поле,
гДе ^ое действует на ядро со стороны внешней среды. Эта энергия,
К°Т°Ртавляющая собой скалярное произведение двух псевдовекторов
лРе^1 называется энергией магнитного дипольного взаимодействия,
jl мерив ее, можно определить ц, если известно Н.
Орбитальный магнитный момент
Рассмотрим сначала плоский виток с током i, ограничивающий
площадь S. Соответствующий ему магнитный момент представляет
собой псевдовектор, направленный по нормали п к поверхности (с
ориентацией, показанной на рис. Е.4), модуль которого в единицах
системы Гаусса *) равен iS/c, где с — скорость света. Таким обра-
зом, имеем
р = -^-5п.	(Е.20а)
Если говорить о круговом токе, создаваемом частицей с зарядом
q и массой т при движении со скоростью v по окружности радиуса
г, то i=dq/dt~qV/2nr, S=nr2 и выражение (Е.20а) дает
fi-sC	(Е21а)
где L=rXmv есть угловой момент частицы относительно центра
масс О системы, состоящей из рассматриваемой частицы и той, кото-
рая заставляет ее двигаться по орбите. Такая система, помещенная
в магнитное поле с магнитной индукцией В, взаимодействует с ним,
и энергия этого взаимодействия дается выражением
^Г==_И1.В = _^_Ь.В.	(Е.22)
совп) Напомним. что в гауссовой системе единиц единица измерения тока i
с еп'аДаСТ-С едиипцей СГСЭ, а единица измерения магнитной индукции В —
Целы'НИЦеЛ СГСМ. В данной книге мы пользуемся этой системой с единственной
мой в чтобь|„ читател1О было легче перейти к специальной литературе, цитируе-
мые ДаЛьнейшем. В приложении к книге 1122] излагаются основные ислользуе-
систем,СцеМЫ единиц измерения и даются соотношения между единицами разных
вираж. част1юсти, в системе МКСА мы имеем ji=<Sn и p.i = (q/2tn)L. (Последние
еиия справедливы и в Международной системе единиц СИ.— Прим, персе.)
224
ДОПОЛНЕНИЕ Е. СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ ЯДЕР
Выражения (Е.21) и (Е.22) можно обобщить на систему частиц. Для это
ио исходить из общего определения магнитного момента, соответствующее0^*'
пределению тока J (г):	0 Рас-
х J (г)	(Е20б)
которое в частном случае переходит в (Е.20а). Если va — скорость частицы с
миром а, то J=2'Tva^(r—га) и> следовательно,
а
^=27X‘?(r“XV“)=2^XLa = 2bL'	<Е21б)
а	а
Все эти формулы можно перенести в квантовую механику, опи-
раясь на принцип соответствия; тогда р., становится оператором
орбитального магнитного момента. Например, операторы магнит-
ного момента электрона, протона и нейтрона в состоянии с угловым
моментом L относительно центра масс (совпадающего с центром рас-
пределения зарядов) системы, которой они принадлежат, соответст-
венно равны
= — ~2т^с L’’	= 2М^с L* ‘"z « = °'
Б. Спиновый магнитный момент
Предположим теперь, что частица (т, q) не точечная и не только
движется по орбите, но и «вращается» вокруг своей собственной оси.
Тогда, согласно классической электродинамике, полный момент
> LT — OG xmV + CGMx V' dm = L-f- Lf,	(E .23)
где через G обозначен центр тяжести частицы (т, q), а V' — относи-
тельная скорость материальной точки М с массой dm. Полный угло-
вой момент Lr должен рассматриваться как векторная сумма орби-
тального углового момента L и «собственного углового момента»
L,-. Точно так же имеем рг=|и=р,£+р7, где р/—«собственный
магнитный момент», и, если распределение заряда неточечной час-
тицы совпадает с распределением ее массы, можно написать
- —+	(В.24)
Эти псевдоклассические рассуждения не стоили бы внимания,
если бы не выяснилось, что они неправильны. В самом деле, если
при переходе к квантовой теории в случае орбитального магнетизма
можно опираться на принцип соответствия, то как быть со спиновым
магнетизмом, если известно, что спин — это существенно квантовая
характеристика? Возьмем хотя бы электрон. Спрашивается, имеет
ли смысл говорить о распределении его массы или заряда, да и ка
§ 2. МАГНИТНЫЕ МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ
225
эти распределения. Уже одно это показывает, насколько
”ЗМеРванно пытаться описывать свойства электрона с позиций клас-
P11CgCKoii теории, что, кстати, оказывается и ненужным, и недоста-
Т°Чфак'тически же для описания всей совокупности физических
“ств электрона достаточно знать его массу, заряд и спин. Масса
св0ИКтеризует его инерцию и связь с гравитационным полем, а
ХаРяд определяет интенсивность его взаимодействия с электромаг-
заР , полем. Что же касается его спина (и тем самым оси симмет-
нЯ в классическом представлении о частице), его «операциональный»
Рмысл был показан в опытах Штерна и Герлаха. В нем находит ст-
арение наличие у электрона двух дополнительных степеней свобо-
ды- что же касается теории их измерения, то свойства спина такие
ре' как любого момента количества движения (те же перестановоч-
ные соотношения). Тремя перечисленными измеряемыми величина-
ми физик вполне может обойтись при описании поведения электро-
на. В частности, поскольку свойства спина такие же, как углового
момента, по аналогии с формулой (Е.22) можно утверждать, что
электрон, помещенный в магнитное поле с магнитной индукцией В,
будет с ним взаимодействовать и энергия взаимодействия будет рав-
на
IV'=— as-В,
где s — спин электрона, a a — константа, которую нужно опреде-
лить экспериментально и затем интерпретировать. По аналогии с
той же формулой (Е.22) будем называть as спиновым магнитным мо-
ментом и обозначать через ра. При этом ожидается, что множитель
а будет выражаться через фундаментальные постоянные физики.
Впервые существование такого «собственного» магнитного мо-
мента со всей очевидностью проявилось в аномальном эффекте Зее-
мана. Из эксперимента следовало, что
(Е.25а)
ГДе&> — величина, близкая к 2. Это соотношение явилось следстви-
ем уравнения Дирака, описывающего движение релятивистских
частиц со спином 1/2, благодаря ему и само понятие спина выступи-
ло в новом свете. Значение £=2 было первым проверенным следстви-
из этого уравнения, а именно того, что в нем учитывался реляти-
зм частиц. Что же касается вопроса о какой-то гипотетической
П УтРенней структуре» электрона, то о ней вообще не было речи.
ДНее одним из достижений квантовой теории поля явилось блес-
8
226
ДОПОЛНЕНИЕ Е. СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ ЯДЕР
тящее объяснение даже очень малого отклонения *) экспепи
тального значения величины ge от 2.	р 1ен'
Но в случае нуклонов дело обстоит намного сложнее.
В. Спиновый магнитный момент нуклонов
Как и электрон, протон и нейтрон — это фермионы со спин
1/2. Заменив в уравнении Дирака для электрона величины —е011
те на заряд и массу нуклона, мы получим уравнение Дирака плИ
нуклона. В рамках такой теории магнитный момент должен был бы
равняться нулю для нейтрона и значению
+ 2МрсJ s’ 8p~Z,	(Е.25б)
для протона. На самом же деле Штерн в 1933 г. получил удивитель-
ный результат: магнитный момент протона оказался в 3 раза боль-
ше, чем предсказывалось. В 1936 г. Раби разработал более точную
методику измерения и, будучи под впечатлением теории Дирака,
снова провел эксперименты. Они дали для протона значение
gp=—5,58550.	(Е.26а)
Ситуация стала еще более запутанной после того, как Альварец
и Блох, измерив в 1940 г. магнитный момент нейтрона, получили
значение
gn=—3,82629,
(Е.266)
где знак минус указывает, что направление магнитного момента
противоположно направлению спина. Итак, приходилось принять
для спинового магнитного момента протона и нейтрона следующие
значения:
рг = ^ = 2,79275^,
р„ = »=-1,91348^,	(Е.26в)
где рл,=-^~-—ядерный магнетон.
В связи с этим возникли первые сомнения по поводу смысла
понятия «элементарности» частиц г). Позднее появились друг1,е
*) Чтобы продемонстрировать высокую степень точности этой теории^
экспериментальных методов, приведем значение этого отклонения: ge
=0,00231914 ±6-10~8. Оно тоже было получено без каких-либо гипотез о «вну
тренней структуре» электрона.
2) Отвлекаясь несколько от основной темы в сторону элементарных части .
отметим, что эти данные еще более акцентируют загадку «тяжелого электрон
(гл. 3, § 4, п. Л). Дело в том, что лептон ji~ имеет даже магнитный момент, тако_»
какой имел бы дираковский электрон с массой Щц=207те, а именно РР
=£и(—еД/2тц.с) s, где£ц«2. Согласие идет еще дальше: gp— 2=0,00233228, то д
как для электрона ge— 2= 0,0023194,
j 2. магнитные мультипольные моменты
227
ческие данные, тоже указывавшие на противоречивый харак-
фаКТ 0 понятия; в гл. 2 уже говорилось о том, что заряд нуклонов
теР ЭТеделен в конечном объеме и что у нуклонов имеются возбуж-
РасПР состояния. В этой связи отметим, что расчеты по кварковой
ДеН* пц воспроизводят экспериментальное значение отношения маг-
М0Дных моментов нуклонов с точностью до 2%. Теория дает рг,/рп=
ни__3/2 тогда как экспериментальное значение равно —1,47. В то
" время расчет по модели зашнуровки дает в некотором смысле
жеполняюш.ий результат, а именно не для отношения, а для суммы
Я°4-и «1, экспериментальное значение которой равно 0,88. Однако
пе нужно слишком спешить, приписывая такой относительный успех
этим «самосогласованным» моделям.
Г. Магнитные моменты ядер
Теперь мы можем изложить результаты, относящиеся к ядерным
магнитным моментам. Сначала предположим, что оператор магнит-
ного момента ядра, состоящего из А нуклонов, можно записать в
виде суммы одночастичных операторов, сохранив за нуклонами
ядерной системы орбитальные и спиновые магнитные характеристи-
ки свободных нуклонов. Иначе говоря,
А
Й = На 2	+ Ssa Sa ),	(Е.27)
а = 1
где
7 1 для протона,	( gp 5,58 для протона,
&1а	( 0 для нейтрона,	{ gn^—3,83 для нейтрона,
eh
Ptv =	с — ядеРныи магнетон-
Далее мы можем действовать так же, как при квантовомеханическом
определении понятия квадрупольного момента. В частности, в ка-
честве определения магнитного момента условились из 2J4-1 сред-
них значений величины pz выбирать то, которое соответствует проек-
ции (момента количества движения J рассматриваемого ста-
ционарного состояния) на ось квантования (направление магнитного
поля, посредством которого выполняется измерение). Согласно это-
му определению,
Р = И(Л /) = </, J> =
= J Ч’л j (г1. г2, ..., r J	J (rn r2...тл) dx (E.28a)
^обозначениях § 1, п. В, 3. Расчет этого общего выражения возмо-
гу Опять-таки лишь при использовании упрощенных моделей,
на иДеСЬ огРаничимся тем, что изложим метод Шмидта, основанный
Редположении, что магнитный момент нечетного ядра равен
8*

§ 2. МАГНИТНЫЕ МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ
229
ному моменту неспаренного нуклона. Если ввести гиромаг-
магн1,т отношение (g-фактор) рассматриваемого ядерного состояния
« соответствии с равенством
и == <J, J | рг | Ji Jy = JI hI Jy — PivgJt (E.286)
r
приняв гипотезу Шмидта, можно написать
р = </, /1 Ра (gih + ёЛ) I Ь /> = Ра£Ь	(Е.28в)
р /__полный момент количества движения неспарениого нуклона.
Тогда g можно вычислить методом, разработанным в атомной физике
случая аномального эффекта Зеемана [123]. Напомним, что для
этого используют либо векторную модель, либо то обстоятельство,
что в подпространстве фиксированного J матричные элементы опе-
ратора р пропорциональны матричным элементам оператора J,
а именно в данном случае
<	/, т | р | /, ту = р^ </, /п | j | j, т>.
Это дает возможность записать, с одной стороны,
<	/. m|p-j|/> my = PN<h m\gl\-j + gss-i\j, ту
и, с другой стороны,
<	/. т I р • j I j, ту = pNg <i, m I /2 I j, тУ = p.Ngj (j + 1).
Отсюда получаем
(Е.29)
п—л	—s(s4~l) । „ i (/ + l)+s (s+ О—*)
ё	2/U+l)
и, следовательно,
Р/Рл' = у	при / = z + t’
1 Г 1	/	3\	1	1	<Е-3°)
И/^ = 7+т| —-2-^+(/ + -2 J при 1 = 1—2-
На рис. Е.5 представлена зависимость этих теоретических зна-
чений от /. Приятно констатировать, что экспериментальные зна-
чения лежат между двумя линиями Шмидта и что они близки к тем
^Ретическим значениям, которые рассматриваются как наиболее
равдоподобные с точки зрения оболочечной модели. Например,
нитный момент основного состояния ядра sTO с 7л=5/2+ согла-
ных сост ^ЧГ|1ИТНЬ|е моменты р (выраженные в ядерных магнетонах pjv) основ,
тронов to" г' ЯДеР с нечетным числом Z протонов («) и с нечетным числом N ней-
< ) Сплошные кривые — линии Шмидта.
230
ДОПОЛНЕНИЕ Е. СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ ЯДЕР
суется1) со значением, вычисленным в предположении, что внеш
нейтрон находится в состоянии +/2(/ 1/2=2+1/2). Подобное^
гласие в случае системы дважды магическое ядро ± один нук С°"
кажется естественным, но то, что общее согласие имеется и в друг°Н
случаях, представляется несколько неожиданным. Это тесно св**
зано с существованием эффекта спаривания: когда два нуклон'
спарены и один из них находится в состоянии I/, т), то другой
обязательно в состоянии I/,—т), так что их вклады в магнитны*
момент компенсируются. В таких условиях понятно, почему Маг
нитный момент нечетного ядра обусловлен в основном неспаренным
нуклоном. К тому же поправки, которые следует ввести Bg-фактоп
чтобы учесть магнетизм, связанный в случае деформированных ядеп
с вращением нуклонов [125] (главным образом протонов, поскольку
они заряжены), как правило, малы (порядка ZM»0,5). В этом смы-
сле наблюдаемые отклонения от линий Шмидта дают информацию
о примесях конфигураций, участвующих в описании волновой функ-
ции рассматриваемого физического состояния. В самых общих чер-
тах дело обстоит так. Если волновую функцию нечетного ядра
записать в виде
п	п
Ф = ай<р + 2 “/Фо 2 I ai 12 = 1 (нормировка),
1=1	1 = 0
(Е.31)
где ф — волновая функция основной конфигурации оболочечной
модели, а а{ (при t’+=0) — амплитуда функции примесной конфигу-
рации ф/, то будем иметь
р = J Ф*р2Ф dx = | а01 2 j ф*РгФ +
" г -
+	2 Re 2аХ- J (P*M’idT +
+	2	\	=
i. /'	0 О
= | а012 ршмидт + поправочные члены.
Заметим, в частности, что поправочные члены, линейные по а/^о,
могут давать заметный вклад, если все они одного знака и, следова-
тельно, усиливают друг друга [121]. Такого рода поправки, рассмат-
риваемые здесь как примесь конфигураций, часто интерпретируются
1) В настоящее время полагают [124], что превосходное согласие, наблюдае-
мое в данном конкретном случае, есть всего лишь численное совпадение, выра-
жающееся в том, что две поправки, о которых будет сказано ниже (эффект магнит-
ной поляризации остова и эффект обменных токов), здесь компенсируют друг ДРУ"
га. Расхождение же, наблюдающееся иа рис. Е.5 в случае ядра 209Bi, другой систем
дважды магическое ядро + один нуклон, обусловлено тем, что в данном конкрет-
ном случае две указанные поправки складываются [124]. Не следует забывать, чт
численное согласие с экспериментом не всегда является гарантией адекватное
теории.
§3. ПОРЯДКИ ВЕЛИЧИН
231
эффект магнитной поляризации остова неспаренным нуклоном
'^Наконец, следует сделать критические замечания и по поводу
си (Е.27) оператора магнитного момента, а стало быть, и выра-
заП*пй (Е.ЗО) в том отношении, что они приписывают нуклону,
жеНодЯщемуся внутри ядра такие же магнитные характеристики,
Н3 • для свободных нуклонов, несмотря на то что внутри ядерной
^стемы происходит непрерывный обмен мезонами. На существова-
С е связанных с этим эффектов, называемых эффектами обменных
Н”КОБ, указывалось уже давно [126]. В частности, их считают от-
ветственными за то, что магнитные моменты ядер 3Не и 3Н слегка
выходят за пределы линий Шмидта, но они существенны и во всех
других ядрах.
Отметим еще, что, когда желательна очень высокая точность
расчетов, необходимо принимать во внимание и поправки на суще-
ствование возбужденных состояний нуклонов [124]. В рамках дан-
ной книги мы не будем затрагивать эти стороны вопроса.
§3. Порядки величин
Разложение по мультиполям энергии взаимодействия двух систем
в виде суммы скаляров различной природы может служить иллюст-
рацией к тому положению, что если нужно определить, обладает ли
данный объект некой асимметрией, его следует привести во взаимо-
действие с другим объектом, обладающим асимметрией того же вида
(вспомните принцип Кюри [127], связывающий симметрию действий
с симметрией причин). Например, чтобы узнать, чему равен заряд
объекта (скаляр), нужно подвергнуть его действию потенциала
(скаляра); чтобы измерить его электрический дипольный момент
(вектор), нужно поместить его в электрическое поле (вектор); чтобы
определить, имеется ли у рассматриваемого объекта электрический
квадрупольный момент (тензор 2-го ранга), нужно использовать
среду, в которой имеется градиент поля (тензор 2-го ранга). Точно
так же, чтобы обнаружить магнитный дипольный момент (псевдо-
вектор), нужно применить магнитное поле (псевдовектор). Иначе
говоря, взаимодействующие объекты связываются при наличии оди-
наковой симметрии.
Методы измерения электрических и магнитных мультипольных
моментов ядер основываются на следующем принципе: между ядром
5го окружением существует так называемое сверхтонкое взаимо-
Пг,ИСтвпе’ которое проявляется в снятии вырождения магнитных
ц|ДУР0Впеи- Из экспериментальных методов такого рода в настоя-
время наиболее распространены: 1) атомная спектроскопия,
нансТ°4\НЫе И молекУляРные пучки, 3) ядерный магнитный резо-
• 4) эффект Мёссбауэра, 5) возмущенные угловые корреляции.
Ри первых метода [128] хорошо освещены в большинстве руко-
232
ДОПОЛНЕНИЕ Е. СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ ЯДЕР
водств по атомной физике [123]. Мы изложим два последних в св
с приложениями ядерной физики к физике твердого тела. Этому ПЗИ
свящается дополнение Ж, но сначала познакомимся с порядка»?'
некоторых величин.
А. Магнитное дипольное взаимодействие
Для магнитных дипольных моментов типичен порядок величины
ядерного магнетона nN=eh/2Mpc, где Мр — масса протона. Он
примерно в 2000 раз меньше магнетона Бора для электрона рд==
—еК/2тес, а именно p^=5,049-10-24 эрг/Гс. Поскольку 1 эВ=1,6у
X 10-18 Дж=1,6-10~12 эрг, энергия магнитного взаимодействия при
р~рв такова:
W 9В = - м • н «	«3. ю-адГс.
Следовательно, мы имеем:
1)	в случае типичного поля, создаваемого обычным магнитом
В=1000 Гс, №=3-10-9 эВ;
2)	в случае магнитного поля, создаваемого сверхпроводящим
магнитом, В=200 ООО Гс, 1Г~6-10-7 эВ;
3)	в случае максимального локального поля на ядре в ферромаг-
нитной среде Я=109 Гс, 1V,=3-1O~8 эВ.
Эти цифры позволяют судить о том, сколь незначительно расщеп-
ление вырожденных уровней, связанное с таким сверхтонким взаи-
модействием.
Б. Электрическое квадрупольное взаимодействие
Для ядерных квадрупольных моментов типичным порядком вели-
чины можно считать 5 б. Градиенты макроскопических полей слиш-
ком малы, чтобы с их помощью можно было выявить такие квадру-
польные моменты. Градиенты поля, достаточно большие для этого,
могут существовать в атомах и в твердом теле. Поскольку энергии,
с которыми мы имеем дело в таких средах, порядка 1 эВ, а разме-
ры — порядка 1 А (10~8 см), в них можно ожидать локальных элект-
рических полей порядка —dV/dzxl В/10~8 смяаЮ8 В/см и гради-
ентов порядка	В/см)/10-8 см«1018 В/см2. И если ядр°
не расположено в узле кубической решетки, то вполне реально на-
блюдать за счет квадрупольного взаимодействия расщепление по-
рядка
ГэВ ~ ('S')0Q « (Ю18 В/см2) (е-5- 10~24 см2) « 5-10"8 эВ.
§4 НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПРАВИЛА
233
в.
Изотопический сдвиг и изомерный сдвиг
В § 1, п. Б мы рассматривали только взаимодействие ядра с
ешними электронами в случае, когда (у2У)о=(ДУ)о=0. Но элект-
ВН некоторых состояний имеют заметную вероятность нахожде-
Р я внутри неточечного ядра. Это относится, в частности, к 1s-
Н„ектронам. В таком случае при мы имеем Д V(r)=4npe (г),
э — плотность заряда электронного облака внутри ядра.
Таким образом, отказ от точечности ядра приводит не только к
снятию вырождения за счет квадрупольного взаимодействия, но и
смещению (сдвигу) всех линий за счет эффекта конечных размеров
ядра. В первом приближении такой сдвиг дается выражением (Е.8):
(ДЮконечн. разм « — (ДЮо j	(г) dv = -у- ре (0) <Г2>, (Е.32)
где мы приближенно заменили электронные волновые функции,
медленно меняющиеся на расстояниях порядка радиуса ядра, их
значениями в начале координат (центре ядра). Исследования этого
смещения позволили получить весьма надежную информацию о том,
как изменяется среднеквадратичный радиус ядра при переходе
от одного изотопа к другому, а также при переходе ядра в одно из
своих возбужденных состояний. В обоих случаях величина ре(0)
в первом приближении не меняется, поскольку нам приходится срав-
нивать два изотопа (одно и то же Z и одинаковое состояние электро-
нов) или же два состояния одного и того же ядра (снова одинаковые
Z), так что в наблюдаемые отношения смещений параметры, харак-
теризующие состояние атомных электронов, не входят. В первом
случае эффект называется изотопическим сдвигом, а во втором —
изомерным сдвигом. Как мы увидим в дополнении Ж, он очень чет-
ко обнаруживается в мёссбауэровских спектрах.
§ 4. Некоторые общие правила
Мультипольные моменты системы, находящейся в заданном стационарном
состоянии, называют статическими моментами этой системы. В квантовом описа-
нии фигурируют средние значения операторов мультипольных моментов, опреде-
ленных, например, на основе принципа соответствия. На практике измеряют толь-
элек7Рический монопольный, магнитный дипольный и электрический квадру-
л ль,1Ыи статические моменты. Но, как мы увидим в дополнении 3, в случае у-иэ-
и^НИЯ ДЛЯ Описа,1ия электромагнитных переходов между начальным и конеч-
ментС°е£?Я1"1ЯМИ приходится уже рассматривать операторы мультипольных мо-
между °°лее высокого порядка. Матричные элементы этих различных состояний,
момен К0Т0Рьми происходит переход, называются динамическими мультипольными
т°в nJaM“ ГПоэтому нахождение общего выражения для мультипольных момен-
Устан<ееТ отн,одь не чисто академический интерес, тем более что это позволит нам
иие 3)'ТЬ некотоРые общие правила, используемые в дальнейшем (дополне-
234
ДОПОЛНЕНИЕ Е. СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ ЯДЕР
А. Электрические моменты
Рассмотрим величину Qif т, определяемую выражением
Qi. т = $ Р (г) гЧУТ' (О, <р) d3r,	(Е,33а)
где р (г) — функция, характеризующая распределение заряда, см. рис. Е 1
Й/Г* (6. Ф) — комплексно-сопряженная сферическая гармоника порядка /(0
Ф — углы, показанные на рис. Е.1). Покажем, что существует простая связь нем
ду величинами Qi, т и электрическими мультипольными моментами [122]. Дч,
этого сначала заметим, что из определения сферических' функций (0, q) выте_
кают следующие соотношения:
<	2о, о J Р (0	(0> ф) d3r = J р (г) <Рг =
<	21. о J Р (г) rlQi (6, ф) = J р (г) г A cos 6 <Рг =
==V<iJp(r)zd3r=P<i₽- _____
<	2г,о^] Р(г) г2^2(6, Ф)А = |р(г) г2 рС|1(зСо82е-1)А =
=V тУ	V
Иначе говоря, QOi0 и электрический монополь (заряд) q, Qli0 и составляющая рг
электрического дипольного момента, Q2 0 и составляющая Qzz электрического
квадруполыюго момента различаются только постоянным множителем. Вообще
существуют простые соотношения между 2(4-1 составляющими мультипольного
момента порядка 1(1=0 для скалярного монополя, (=1 для трех составляющих
вектора дипольного момента, 1=2 для пяти компонент тензора 2-го ранга квадру-
польного момента, 1=3 для семи компонент тензора 3-го ранга октупольного мо-
мента,...) и величинами Qi<m. Например, для электрического дипольного момента
/3	/ 3	/ з
C1’i= V	Qi-“ = V 4л Рг’ Q1> V 8^(Px+iPl/)'
так как в обозначениях рис. Е.1 имеем
x=r sin 0 cos ф, У—г sin 0sin <р, z=r cos0
и, следовательно,
S/Ще.т)—	/Jiti,
]/^««е-
/ Ae-<.sl„e_+
§ 4. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПРАВИЛА
235
такими выражениями для мультнпольных моментов в сферических коор-
Именно ‘ю^уки-ся на практике для вывода общих правил. При проведении вы-
дината ГОраздо удобнее соответствующих выражений в декартовых коорди-
числен в ква11ТОВОй механике 2J+1 средних значений оператора Qlt т (вид кото-
на^ХуСТанавливается на основе принципа соответствия) записываются в следую-
щем0 виде:
ФЛ М (Г1, г2........гл) г^2/Г’ X
Ql, т
(0а, а) Фу. м Сь г2- • • •' ГЛ dT	(Е.ЗЗб)
/обозначения те же, что и в § 1, п. В,3). Для иллюстрации выведем одну из серий
правил, о которых упоминалось выше в данном дополнении.
°° 1 Отсутствие электрических моментов нечетного порядка. Если четность
мерной системы является хорошим квантовым числом (что мы будем предпола-
гать), то собственные состояния <рд м системы имеют определенную четность. Но
тогда произведение ф/, мФ/, м есть четная функция независимо от того, равна ли
четность каждой из функций +1 или — 1. Что же касается функции ГаЩ™* (0а, фсс),
то ее четность равна четности функции З/?1, а именно (—1/, так как замена г на
—г эквивалентна замене (г, 0, ф) на (г, я—0, ф+л). Таким образом, подынтеграль-
ное выражение в формуле (Е.ЗЗб) является четным при четном I и нечетным —
при нечетном Z; следовательно, при нечетном I интеграл равен нулю. Иначе гово-
ря, если четность есть хорошее квантовое число, то ядра не имеют электрических
мультнпольных моментов нечетного порядка (в частности, у них нет измеримого
электрического дипольного момента). Как уже отмечалось в гл. 11, это является
следствием сохранения четности в сильном и электромагнитном взаимодействиях.
2. Отсутствие электрических моментов порядка I в состояниях с J^l/2.
Чтобы удобнее было использовать технику сложения моментов, можно формально
рассматривать величину ТаЙ/Г'(©«, фа)> фигурирующую в формуле (Е.ЗЗб), как
волновую функцию состояния с угловым моментом (Z, т). В ней г1а является ра-
диальной частью, а угловой частью — 2/Г (0а, фа), т. е. собственная функция
операторов Р и lz с собственными значениями Z(Z+1) и т. Разумеется, в формуле
(Е.ЗЗб) величина ГаЗ/™* (6а, Фа) не выглядит как волновая функция, но ничто ие
мешает применить К произведению фа=ф/, м (Г/, • • ., Ч, • • •> гл)гаЙ/Г (6а, фа)
формулы, найденные для случая сложения двух угловых моментов (J, М) и (Z, т).
Разложим функцию фа по общим собственным функциям операторов Z2=(J+/)2
^=2 С/>цф- л
(Е.34)
где ц— т-\-М и сумма распространяется только на такие значения /, которые
совместимы с условием |J—l\<I<J+l. В этом выражении Фа, /, ц обозначает
ооственную функцию операторов I2 и 1г с собственными значениями / (/+1) и
о.у. в — коэффициент Клебша — Гордана (J, Z, М, т\1, р). С учетом формулы
' -ат) выражение для М) принимает вид
А	А
<?/, т (J, М)= 2 еа \ Ф«Ф^. М dx = 2 2 еаС1. и
а=1	О	а=1 1. ц
’а, Z, цФУ.М dT’
(E.35a)
ва'етзд11'''1"1 11нтегРал равен нулю, когда 1^=J или Отсюда, если рассматри-
состояние с /<1/2, то все интегралы в сумме (Е.35) равны нулю, так как
236
ДОПОЛНЕНИЕ Е. СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ ЯДЕР
тогда I=J~H никогда не может равняться J 1). Тем самым мы пришли к обок
нию утверждения (см. выше) о том, что у ядер, находящихся в стационарно
стоянии, имеющих спины J=0 или J= 1/2, среднее значение статического ква*
вольного момента равно нулю.	ДРУ'
3. Определение статических мультипольных моментов. Из предыдущсго
дует, что если ц=М, то т=0, так как ц=т4-/И. Тогда наблюдаемыми с-с
значениями могут быть только <2г о (J, /И), и с учетом условия I=J выраже
(Е.35а) принимает вид
ель
сРедииМи
'" ‘-гиие
А
Cj. М 2 еа \ Фа. J. мЪ, М dT ПРИ J > V2,
а = 1
О при J 1/2,
(Е.356)
где интегралы не зависят от выбора оси квантования (М — немая переменная)
Следовательно, имеем	'
Q/,o(A CJ. м,	<J, I, Mi, 0) J,
M2) ~Cj a,l,M2,0\J,M2y 	<E'36)
Это обобщенная форма выражения (6.16), так как при 1=2 мы получаем
<J, 2, Мь 0| J, Mi> __ ЭМ?—J (J+ 1)
<J, 2, М2, 01 J, Л12> ~ 3M22—J (/4-1) '
Читатель, хорошо знакомый с квантовой механикой, узнает в выводах пунк-
тов 2 и 3 следствия теоремы Вигнера — Эккарта [7], доказательство которой опи-
рается только на инвариантность относительно вращения.
Б. Магнитные моменты
Чтобы получить аналогичные выражения в случае магнитных мультипольных
моментов, которые мы будем обозначать через сМ^т, определим плотность рас-
пределения «магнитных зарядов»:
pAl(r)^-divM(r) = -vM(r),	(Е-37)
где М (г) — плотность магнитного момента. Тогда можно будет написать
<Мц т = J Рм (Г) И«/Г’ (6, ф) <Рг	(Е.38)
в полной аналогии с (Е.ЗЗа). Например, в случае магнитного дипольного момента
имеем
о—J РД1 (г) гЧУ1 (0, ф) сРг= р^ РД1 (г) г d3r,
откуда после интегрирования по частям с учетом определения (Е.37) получаем
<^1. о = J Мг (г) ePt = А	(Е.39а)
Аналогично
±1 =	(Вх Т ру).	(Е.396)
*) При />0.— Прим, перев.
§ i. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПРАВИЛА
237
П звила, установленные для электрических мультипольных моментов, мож-
прострапить на магнитные мультипольные моменты.
н° *,i3C Поскольку М (г) — псевдовектор [т. е. М(—г)=+М(г)], то из определения
ч7> следует, что рл] (г) — псевдоскаляр, т. е. рл](—г)=— рЛ1 (г). В таком случае
J ' ь подынтегрального выражения в формуле (Е.38) равна —(—1)', и если
чет рть есть хорошее квантовое число, то наблюдаемы только магнитные мульти-
чеТН ые моменты нечетного порядка. В частности, не должно существовать наб-
н^лаемого магнитного монополя.
ЛК2 Путем разложения, аналогичного (Е.34), нетрудно убедиться, что паблю-
’ Только магнитные мультипольные моменты порядка Z, удовлетворяющего
даоавенству Z>l/2, где J—полный угловой момент в рассматриваемом стацио-
нарном состоянии. В частности, ядро в состоянии с J—Q не имеет наблюдаемого
магнитного момента.
3. В тех же рамках наблюдаемыми являются только средние значения
связанные между собой соотношением
M1) Mt, О | У, Afx> / Mi .	\
(J, Ms) - <J, I, M2, 01 J, M2y - м2 при ~ )'
За магнитный мультипольный момент порядка I заданного стационарного состоя-
ния условились принимать 0 (J, J).
Дополнение Ж
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЯДРА С ЕГО ОКРУЖЕНИЕМ
В большинстве ядерных экспериментов можно пренебрегать влия
нием атомных электронов и среды, образующей мишень или радио]
активный источник. Но это не всегда так. В данном дополнении мы
рассмотрим два типичных примера, в которых обнаруживается взаи-
модействие ядра с его окружением: эффект Мёссбауэра и возмущение
угловых корреляций. В обоих случаях речь будет идти о сверхтон-
ких взаимодействиях, которые позволяют получить информацию
о самом ядре (измерить мультипольные моменты) или о свойствах
его окружения (измерить локальные поля).
§ 1. Эффект Мёссбауэра
Резонансное возбуждение атомного уровня фотонами от источ-
ника из того же вещества легко наблюдается. Иначе обстоит дело
в ядерной области. Это связано главным образом с тем, что естест-
венная ширина Г ядерных уровней очень мала по сравнению с энер-
гией отдачи 7? ядра-излучателя (источника) или ядра-поглотителя
(мишени). Например, естественная ширина Г первого возбужден-
ного уровня ядра 57Fe, лежащего при £=14,4 кэВ по отношению к
основному состоянию, равна п,'т=4,6-10~9 эВ (измеренное среднее
время жизни т=98 нс), тогда как при испускании и при поглоще-
нии это ядро приобретает энергию отдачи 7?«г£2/2/Ис«0,002эВ
(где М — масса атома b,Fe). Чтобы наблюдать резонансное погло-
щение мишенью из 6’Fe фотонов, испускаемых источником из ”Fe,
нужно как-то скомпенсировать влияние отдачи, энергия которой
в сумме составляет 27?: если пренебречь естественной шириной уров-
ня, то энергия испускаемых фотонов равна £v=£—R, тогда как
для того, чтобы наблюдался резонанс, они должны иметь энергию
£v=£+7?. Один из способов такой компенсации (первоначально ис-
пользованный Муном) состоит в том, что рассматриваемый радиоак-
тивный источник закрепляют на специальном роторе и подбирают
скорость вращения последнего так, чтобы разница 27? компенсиро-
валась за счет эффекта Доплера.
Мы еще не упоминали о явлении доплеровского уширения линии
за счет теплового движения атомов. Это уширение Д отнюдь нельзя
считать пренебрежимо малым по сравнению с 7? и при обычной тем-
пературе. Например, при 300 К мы имеем 2Д«0,03 эВ для железа-
Использование этого эффекта позволило в некоторых случаях на
§ I. ЭФФЕКТ МЕССБАУЭРА
239
резонансное поглощение без какой-либо иной компенсации
блюда м^ссбауэр занимался этим, используя линию 129 кэВ, ис-
^^аем ю источником 1911г (Д«з0,047 эВ, Длз0,1 эВ при 300 К).
МсК полагая уменьшить число резонансных поглощений, он пони-
температуру источника и мишени. Но результат оказался про-
зИЛоПоложным: при температурах, при которых 2Д<2Д, резонанс-
ное возбуждение заметно усилилось.
Н° Интерпретация данного явления сходна с объяснением когерент-
рассеяния нейтронов низкой энергии (приложение 1, § 3).
Поглотитель
Ilf - « А	I
детектор
с
а
РИС Ж-l- а—схема опыта; б — исследование ширины уровня, пример ядра
1911г.
В кристалле заметная доля актов испускания или поглощения может
происходить «без отдачи», если энергия отдачи, которую получил бы
атом, меньше энергии фонона [129]. Качественно можно сказать,
что в этом случае импульс отдачи получает весь кристалл *).
Отмеченное явление, получившее название эффекта Мёссбауэра,
сразу же было применено для измерения ширины уровней и для
проверки соотношения Г=й/т. Для этого достаточно укрепить ис-
следуемый источник на подвижной каретке и изменять ее скорость
v так, чтобы за счет эффекта Доплера осуществлялась «развертка»
спектра. Между детектором и источником помещают поглотитель
того же изотопического характера, что и источник, как показано на
Рис. Ж.1, а. В отсутствие отдачи резонансное поглощение должно
происходить при о=0. В этом случае число фотонов, регистрируемое
Детектором, будет минимально, так как фотоны, претерпевшие ре-
зонансное поглощение в поглотителе, затем повторно испускаются
разных направлениях и, стало быть, выбывают из прошедшего
учка. При постепенном изменении скорости v изменяется допле-
ния^06 смещение линии испускания относительно линии поглоще-
Рис ЖВ РезУЛьтате записывается контур линии, как показано на
можн ' Ширина ядерных уровней столь мала, что источник
ko.-ikv пеРемещать со скоростью, составляющей всего лишь нес-
----о сантиметров в секунду.
в
or пвоп₽Г°м СЛУ436 процесс передачи энергии протекает совершенно независимо
а передачи импульса [129].
240 ДОПОЛНЕНИЕ Ж. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЯДРА С ЕГО ОКРУЖЕНИЕМ
§ 2. Применение эффекта Мёссбауэра
для исследования сверхтонкой структуры
Эффект Мёссбауэра нашел многочисленные приложения
Некоторые из них основаны на крайней малости отношения Г ₽
(например, Г/£ «3 -IO-13 для линии с энергией 14,4 кэВ ядра '-рм
позволяющей проводить измерения с высокой точностью. Так I
частности, в опытах с «падением» фотонов в поле тяготения в напр’авВ
Ленин к мёссбауэровскому спектрометру удалось проверить одно и
предсказаний общей теории относительности — о смещении линии
под действием этого поля. Другие приложения основаны на малой
ширине ядерных уровней. Мы здесь коснемся тех из них, которые
сдвиг взаимодействие
К.См/С
б
РИС. Ж-2. а — схема энергетических уровнен при учете сверхтонкого взанмг
действия; б — мёссбауэровский спектр биферроценила при 20 К (источник Сг:
относятся к измерению сверхтонких взаимодействий между ядром
и его окружением.
Возможности применения эффекта Мёссбауэра в данной области
связаны с тем, что ширина ядерных уровней намного меньше энер-
гии взаимодействия, скажем, ядерного магнитного момента с ло-
кальным магнитным полем или электрического квадрупольного мо-
мента с градиентом поля в кристалле (дополнение Е, § 3). Благодаря
этому можно, пользуясь установкой типа представленной на рис.
Ж-1, наблюдать сверхтонкое расщепление ядерных уровней. Как
правило, радиоактивный изотоп подвижного источника берут рас-
пределенным в некой «матрице» (например, диамагнитном металле
с кубической структурой), в которой его магнитные подуровни оста-
ются вырожденными, а исследуемый образец служит неподвижным
поглотителем. Если в этом образце имеется сверхтонкое взаимодей-
ствие между рассматриваемыми ядрами и их окружением, то ско-
рость счета, регистрируемая детектором, будет падать каждый Ра^
когда скорость источника (и соответствующее ей доплеровское с
щение) будет отвечать резонансному поглощению в образце. Резу-
тэты, которые дает такой метод, показаны на рис. Ж-2 и Ж-3-
§2. ПРИМЕНЕНИЕ ЭФФЕКТА МЕССБАУЭРА
241
д Электрическое квадрупольное взаимодействие
На рис. Ж-2 представлены данные исследования сверхтонкого
рзапмодействия, обусловленного связью квадрупольного момента
q первого возбужденного состояния (/я=3/2“) ядра 67Fe с градиен-
том внутреннего поля Vzz в образце биферроценила (диамагнитного
материала с некубической структурой) при 20 К. Подвижным источ-
ником служит хромовая фольга (диамагнитный материал с кубичес-
кой структурой), содержащая радиоактивный изотоп 57Со, за счет
0-распада которого заселяется первое возбужденное состояние ядра
»'Fe. Последнее распадается в основное состояние 67Fe (с Jn=l/2~ и,
РИС. Ж-3. а — магнитное расщепление вырожденных уровней ядра 57Fe (пере-
ходы показаны с учетом того, что магнитные моменты уровней 3/2“ и 1/2“ проти-
воположны по знаку); б — мёссбауэровский спектр образца FeFs, показывающий
сверхтонкую структуру.
следовательно, с Q=0), испуская у-квант с энергией 14,4 кэВ, соот-
ветствующий линии, о которой говорилось выше. Эту линию сме-
щают с помощью эффекта Доплера и вызывают таким образом ре-
зонансное поглощение в образце биферроценила.
На рис. Ж-2, б мы видим две составляющие линии, происхож-
дение которых поясняется схемой энергетических уровней, пред-
ставленной на рис. Ж.2, а. Гамильтониан квадрупольного взаимо-
действия в общей форме записывается следующим образом:
х=wfenj	+ n + n	(Ж. 1)
где т]—(Ут —Vyy)/V2Z характеризует нарушение аксиальной сим-
метрии (если оно имеется) градиента поля. В случае аксиальной сим-
метрии (т]==0) мы снова получаем выражение для энергии взаимо-
действия, приводившееся в дополнении Е, а именно:
Е (т)=wfeiy <3т2 —7 (J+1)} •	<ж-2)
Отметим, что магнитные подуровни +т и —т остаются вырожден-
и- По этой причине уровень 3/2“ на рис. Ж-2, а расщеплен толь-
242 ДОПОЛНЕНИЕ Ж ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЯДРА С ЕГО ОКРУЖЕНИЕМ
ко на два подуровня, отстоящих на величину A£q=QVzz/2, котоп
мёссбауэровский спектрометр позволяет определить (см. рис. Ж о
Как нетрудно заметить, две линии поглощения расположены’ ’
симметрично относительно значения скорости и=0. Это объясняет'6
тем, что квадрупольное расщепление налагается на изомерный сдпиЯ
(дополнение Е, § 3), схематически показанный на рис. Ж.2, а Г
Если известен квадрупольный момент Q ядра, введенного в по
глотитель, то по измеренному значению AEq можно вычислить гпа'
диент внутреннего поля Vzz в поглотителе (образце), что дает ин
формацию о локальной структуре последнего и, в частности, 0
характере взаимодействий с малым радиусом действия. Часто
прежде чем вычислять Vzz, приходится учитывать влияние атомных
электронов, которые существенно изменяют градиент поля, дейст-
вующего на ядро (поправка Штернхеймера [130]). Тем не менее та-
ким путем все-таки можно получить информацию о направленности
связей в различных соединениях (измерение параметра т]), об изме-
нениях структуры в зависимости от температуры и других парамет-
ров и т. д.
Б. Магнитное дипольное взаимодействие
На рис. Ж.З представлены данные исследования сверхтонкого
взаимодействия между магнитным моментом ядра 6,Fe и магнитным
полем Н, существующим в месте расположения этого ядра в образце
FeF3 (антиферромагнитном материале) при 4 К. Метод исследования
такой же, как изложенный в п. А. В полученном спектре теперь
шесть составляющих, происхождение которых поясняется схемой
энергетических уровней на рис. Ж.З, а. В каждом из двух состоя-
ний, связанных у-переходом с энергией 14,4 кэВ, ядро ”Fe обладает
магнитным моментом, взаимодействие которого с магнитным полем
Н описывается гамильтонианом
^ = — M.H = -gp„J.H	(Ж-3)
в обозначениях дополнения Е. Всего имеется шесть линий, дающих
резонанс, и по расстоянию между ними можно вычислить p/Z/J-
Зная р, далее находят Н\ таким образом, можно сказать, что в рас-
сматриваемом эксперименте ядра ”Fe используются для зондирова-
ния магнетизма в соединении FeF3 при 4 К. Подобным методом мож-
но исследовать: локальное поле в месте расположения ядра железа
в различных соединениях; зависимость этого поля от температуры,
локальные поля в сплавах; различные вклады в магнетизм (вклады
разных электронных оболочек, эффекты поляризации, роль элект-
ронов проводимости и т. д.).
§3. УГЛОВЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ
243
р Выводы
Измерения градиентов поля и магнитных полей в соединениях
ценную информацию для исследователя в области физики
плого тела, металлофизика, химика, биолога. Мёссбауэровская
тВрЕтроскопия, несомненно, самый простой метод таких измерений.
Поэтому она так быстро развилась сразу после открытия эффекта
Мёссбауэра и сейчас применяется во многих областях науки. Тем
е менее у нее тот недостаток, что довольно ограничен круг ядер,
к которым она приложима, и соединений, в которых энергия эле-
ментарных возбуждений не слишком мала по сравнению с энергией
отдачи включенных в них ядер. Число актов поглощения и испус-
кания без отдачи должно быть достаточно велико, чтобы сигнал
превышал уровень фона. Когда это условие не выполняется, при-
ходится обращаться к другим методам исследования сверхтонких
взаимодействий, из которых наиболее известные (хорошо освещае-
мые в руководствах по атомной физике [123]) основаны на явлении
магнитного резонанса.
Ниже будет изложен метод, являющийся дополнительным по
отношению к ним — метод возмущенных угловых корреляций. В
настоящее время он еще мало применяется вне лабораторий, заня-
тых фундаментальными исследованиями; им пользуются в ядерной
физике, в частности для измерения мультнпольных моментов ядер.
Ведь, рассматривая сверхтонкие взаимодействия, можно избрать
подход, противоположный принятому нами выше, а именно подход
исследователя в области ядерной физики: ввести нуклид с неиз-
вестными мультипольными моментами в среду с известным градиен-
том поля и с известным магнитным полем, чтобы определить квадру-
польный момент и магнитный момент нуклида.
§3. Угловые корреляции
Читателю, по-видимому, хорошо известно, что интенсивность излучения, ис-
пускаемого излучателем в заданном направлении, зависит, кроме прочего, от
Угла между этим направлением и осью симметрии излучателя. Точнее говоря, уг-
ловое распределение регистрируемого излучения зависит от характера излуча-
™я- распределение неодинаково в случае излучающего диполя, квадруполя и
в'ят" "е'1т0 похоже наблюдается и в ядерной физике: вероятность зарегистриро-
меж частицУ’ испущенную радиоактивным ядром, вообще говоря, зависит от угла
НоГоДУ БХС)ДНЬ,М направлением детектора (направлением испускания) и осью ядер-
тивн СПина (осыо излучателя). В случае статистического ансамбля ядер (радиоак-
преп°Г° источника) со спинами, выстроенными в одном направлении, угловое рас-
мультЛеНИе испУскаемых частиц анизотропно и его форма зависит, в частности, от
ПодобИП°ЛЬНОС™ перехода, с которым связано испускание излучения 1131].
магнит°е выстРаивание ядерных спинов можно осуществить, например, создав
иизкойНОС П°Ле в месте расположения образца-источника, поддерживаемого при
РаспрепТеМПеРаТуРе' ® обычном же случае неполяризованного источника угловое
спины б’1ение испУскаемых частиц оказывается изотропным, так как ядерные
Коси1е-1ьСПОР!,ДОчно ориентированы в пространстве. В силу инвариантности от-
но вращения мы должны получать постоянную скорость счета, переме-
244 ДОПОЛНЕНИЕ Ж. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЯДРА С ЕГО ОКРУЖЕНИЕМ
тая детектор по сфере с центром в источнике, если нет никаких причин д.1я
метрии.	аси*
Но и не прибегая к методам спиновой поляризации, можно выделить в ва
активном источнике ансамбль ядер, ориентация спинов которых друг ОтнИ”>‘
тельно друга не будет носить случайный характер. Например, если иСИ'
(рис. Ж-4, а), находящееся в начальном состоянии со спином J„, распадает*^
переходя в результате каскада из двух у-переходов сначала в промежуточное Я’
стояние со спином Jj (испускание первого фотона уу), а затем в конечное состояв0"
со спином J2 (испускание второго фотона у2), то, зарегистрировав фотон у>х в
сированном направлении, можно выделить ансамбль ядер, спины которых X
будут распределены совершенно хаотически относительно направления вылет
фотона у>2. Для этого нужно, чтобы среднее время между моментами регистрации
Схема сов-
падений
РИС. Ж-4. а — двухфотонный каскад; б — схема измерения угловой корреляции.
фотонов Yj и у>2 (среднее время жизни т промежуточного уровня) было мало (по
сравнению с временем релаксации ядра в своем промежуточном состоянии); тог-
да «подготовка» ядер, выполненная путем регистрации фотона У], не будет нару-
шаться до момента «анализа», состоящего в регистрации фотона у’2. Если данное
условие выполняется, то, регистрируя у»! и у>2 методом совпадений (рис. Ж-4, б)>
мы получим кривую зависимости числа совпадений от угла 0 между направлени-
ями вылета фотонов y>j и у>2, которая называется функцией угловой корреляции
испускаемого излучения или просто угловой корреляцией. Пример такой кривой
представлен на рис. Ж. 5, а. Здесь мы имеем случай угловых корреляций между
фотонами Yj и у2 каскада
71	V»
J о =" 0	* JI ’ 1	* J 2 = 0,
включающего только дипольные переходы (рис. Ж.5, б).
Как нетрудно видеть, кривая функции угловой корреляции W (0) симметрий
на относительно значения 0=90 Это должно быть общим правилом для всех
угловых у»—у-корреляций как следствие инвариантности электромагнитного взаи
модействия относительно пространственной инверсии. Форма же функции 1г О
определяется типом рассматриваемого перехода. Например, форма криво •
представленной на рис. Ж.5, а, а именно
1Г(0)~ (l + cos20)
S4. МЕТОД ВОЗМУЩЕННЫХ УГЛОВЫХ КОРРЕЛЯЦИЙ
245
а дЛЯ чисто дипольных переходов. Это можно показать следующим об-
характеР
Ра3°ы правление на неподвижный детектор на рис. Ж-4, б фактически оказыва-
ыделеиным, и во избежание ненужного усложнения вычислений его можно
еТСя в дка1|естве оси квантования Ог. В самом деле, при таком выборе расчет уг-
вЗЯТЬ корреляций между фотонами У]—у2 сводится к нахождению углового рас-
л°вы ия фотонов у2 относительно оси Ог. Кроме того, выбрав в качестве оси
П**отования Ог направление движения фотона ylt можно сразу же сказать, что
|'вый у-переход подготавливает промежуточный уровень со спином Jx= 1 только
пе₽ стояниях с магнитными числами A4i=± 1; при этом подуровень с A4j=O исклю-
вС°ся, так как проекция углового момента фотона на направление его распростра-
РИС. Ж.5. а — кривые угловой корреляции (полярная диаграмма и график в
прямоугольных координатах); б — магнитные подуровни, выделяемые совпаде-
ниями —у2.
нения может принимать только значения (дополнение 3). При таких условиях
второй у-переход — с промежуточного уровня на уровень конечного состояния
•^2=0, происходит путем испускания фотона, уносящего только ДЛ4=±1. Сле-
довательно, угловое распределение фотонов у2 относительно направления вылета
Y1 должно совпадать с распределением дипольного излучения, соответствующего
атомным спектральным линиям о+ и о~ в эффекте Зеемана, т. е. имеет форму (Ж-4).
. ал°г линии л(ДЛ4=0), для которой угловое распределение пропорционально
s,n и, здесь отсутствует.
Изложенный метод часто применяется в ядерной физике для измерения не
лько у—у-корреляций, но и а—у-, Р—у-, р—у-корреляций и т. д. Он дает цен-
к сведения о природе взаимодействий, а также о структуре ядра или частиц.
чи вопросы мы не будем здесь затрагивать, так как наша цель — познакомить
ких еЛЯ с приложением метода угловых корреляций к исследованию сверхтон-
взаимодействий. Мы ограничимся одним типичным примером.
§ 4- Метод возмущенных дифференциальных угловых корреляций
но мадыЧаЛа МЫ ИЗЛ0жим один из методов, которыми можно измерять сравнитель-
пРомсж\С времена жизни (от нескольких десятых до нескольких сот наносекунд)
У очных уровней в каскаде ух—у2 типа тех, о которых говорилось выше.
246 ДОПОЛНЕНИЕ Ж. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЯДРА С ЕГО ОКРУЖЕНИЕМ
При таком методе пользуются преобразователем времени в амплитуду /
§ 5, п. В), соединенным с корреляционным устройством рис. Ж-4, б, действу^' &•
по схеме рис. 5.14. Детектор фотонов Уг здесь тоже неподвижен, так что»
между направлениями вылета фотонов ух и у2 фиксирован. Импульс счетчи &
соответствующий прибытию фотона Ух, открывает преобразователь времера '
амплитуду, фиксируя тем самым начало отсчета времени. Импульс счетчик в
соответствующий приходу фотона у2, закрывает преобразователь. Тем самьп/
меряется промежуток времени А/ между моментами регистрации фотонов у й Из'
Кривая зависимости числа совпадений Nc от AZ представляет собой экспоне
характерную для распада рассматриваемого промежуточного уровня (рис. Ж g т¥-
По ней легко определяется среднее время жизни т.	’ °)
Если в источнике излучающие ядра участвуют в сверхтонком взаимодействи
то описанная схема позволяет также измерить интенсивность последних. НапрИ’
РИС. Ж.6. По оси ординат от-
кладывается величина Nc в лога-
рифмическом масштабе, а — из-
мерение т= 770,693; б — моду,
ляция совпадений сверхтонким
вз аимодействием.
мер, включив внешнее магнитное поле Н, перпендикулярное плоскости регистра-
ции фотонов yt и у2, мы заставим прецессировать вокруг этого поля магнитный
момент jx ядра в его промежуточном состоянии. При таких условиях, поскольку
начало отсчета времени по-прежнему фиксируется детектором 1, все происходит
так, как если бы в интервале А/ детектор 2 переходил из углового положения fl
в положение	где — угловая скорость ларморовой прецессии и знак
(плюс или минус) зависит от направления прецессии. Например, если угловая кор-
реляция между Yj и Ya имеет форму (Ж-4), то при наличии возмущения, вносимого
внешним полем, она примет вид (без учета эффектов релаксации)
W (0, A/) ~ [1 + cos2 (0 ±	А/)] ~ [З-4-cos 2 (0 ± <oL А/)].	(Ж-5)
Таким образом, при фиксированном 0 убывание числа совпадений будет модули-
ровано с частотой 2<й£ (рис. Ж-6, б). Следовательно, по кривой убывания числа
совпадений при наличии поля Н можно непосредственно определить ш£=р// «
Отсюда, зная Н, можно найти р, или наоборот.
Отметим, что данный метод применяется и для исследования квадрупольных
взаимодействий. Как правило, он позволяет получать примерно такие же резуль-
таты, как и мёссбауэровская спектроскопия, но для более широкого круга образ-
цов [132]. Дополнительным его преимуществом является то, что в случае динами-
ческих исследований систем он дает возможность измерять времена релаксации
вплоть до Ю-10 с (предел, налагаемый преобразователем времени в амплитуду)
Дело в том, что когда времена релаксации ядер в образце сравнимы с периодами
модуляции кривой убывания, корреляционная функция (Ж-5) обнаруживает спе-
цифические изменения (ослабления). В этом случае метод возмущенных угловых
корреляций дает информацию, дополнительную по отношению к данным мёссбауэ-
ровской спектроскопии.
дополнение 3
гдМ*А-ИЗЛУЧЕНИЕ
Для анализа данных о у-переходах в ядрах и получения ценных
ведений о ядерной структуре вполне достаточно пользоваться
обычной классической электродинамикой, исходя из того эмпири-
ческого факта, что ядро, как и любая другая квантовая система,
может, распадаясь, переходить из одного из своих возбужденных
состояний в состояние с меньшей энергией, испуская спонтанно
Лотон (квант). Возможны два метода описания электромагнитных
переходов в ядрах. Один из них состоит в том, чтобы шаг за шагом
следовать классической теории излучения, связывая при этом ин-
тенсивность излучения с числом испускаемых фотонов. Такого
подхода мы будем придерживаться в данном дополнении. Второй
подход состоит в том, чтобы рассматривать гамильтониан электро-
магнитного взаимодействия как возмущение, зависящее от времени,
благодаря которому становятся возможными у-переходы, причем
вид гамильтониана заимствуется из классической физики. Второй
подход быстрее приводит к цели, если хорошо понят первый. Мы
воспользуемся им в дополнении И, чтобы, рассмотрев у-излучение,
по аналогии с ним трактовать 0-распад.
§ 1. Полуклассическое описание излучения
Прежде всего напомним, что в вакууме г) свойства электрического поля Е и
магнитного поля В, создаваемых объектом, характеризуемым плотностью заряда
Р.ю.Я И плотностьго тока J (г- 0> определяются системой уравнений Максвелла
“й которая в гауссовой системе единиц записываются следующим образом:
Закон Кулона (теорема Гаусса)
V	-E = 4np,	(3.1а)
Закон Фарадея
V	xE+t77=0’	<3,б>
Закон Ампера, подправленный Максвеллом,
V	X В-1 —(3 iB,
с dt с '	(31в)
Отсутствие магнитных зарядов
____^В=<	(3.1г)
*> Е вакууне в
совпадает с H, a D — с Е.
248
ДОПОЛНЕНИЕ 3. ГАММА-ИЗЛУЧЕНИЕ
где р и J подчиняются уравнению непрерывности
Чтобы «расцепить» эти уравнения, удобно ввести векторный потенщ,
и скалярный потенциал ф. Поскольку дивергенция ротора равна нулю, на 'ал Л
нии уравнения (3.1г) можно определить А равенством	,!Свз-
B=VXA,
(3.2Г“,
(3.2г)
а поскольку ротор градиента тоже равен нулю, на основании уравнений (3 1л
и (3.2г) можно определить <р равенством	' ' С|
с , 1 <?А
E+TaF=-v,P-
Тогда уравнение (3.1а) принимает вид
V2<P + у	(V  Л) = — 4лр,
(3.2а)
а уравнение (3.1в) с учетом соотношения уХ (уХА)=у (V -А)—у2А записывается
как
2
с
V2A
1 б2А
с2 di2
4л
с
J.
(3.2в)
Чтобы завершить разделение зацепляющихся уравнений, заметим, что А и
определяются уравнениями (3.1) лишь с точностью до так называемого калибро-
вочного преобразования. В самом деле, если Л — некая скалярная функция, а
пара (А, ф) есть допустимое решение, то, как нетрудно убедиться, пара (А', <р') -
= (А+уЛ, ф—(1/с)дЛ/б/) тоже является решением, соответствующим тем же
полям Е и В. Преобразование (А, ф)-*(А', ф') и называется калибровочным пре
образованием; оно, в частности, позволяет наложить условие Лоренца
V-A+y-^-=°-	Р-За)
Тогда уравнения (3.2а) и (3.2в) переходят в независимые уравнения
v2,₽-^-^-=—4лР.	(34а)
V2A_2.^A=_±Lj,	(3.46)
с2 di2 с
Решив их, по формулам (3.26) и (3.2г) можно найти Е и В.
Беря комбинации решений системы уравнений в частных производных (3.4),
строят решения, соответствующие рассматриваемой физической задаче, налагая
нужные граничные условия.
А. Волны в вакууме
Калибровка Лоренца, определяемая условием (3.3а), не единственная, к
торой пользуются на практике. В частности на большом расстоянии от излуча
щей системы, где р и J равны нулю, более удобна кулонова калибровка [1221, 11
зываемая также поперечной калибровкой:
у-А = О, откуда следует =0.
(3 3.')
5 I. ПОЛ У КЛАССИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
249
(3.5а)
(3.56)
(3.5в)
вЫборе потенциалов свойства излучения в вакууме определяются урав-
при таком
Н-ИЯМН , б2А =0
V2A-^r dt2
B==VXA,
1 дЬ
с dt
В частности, в случае монохроматического излучения с амплитудой А(| и
астотой у=со/2л’можно написать
А(г, 0 = Aoexp{i (к-г—о>/)} + к. с.,	(3.6а)
к с означает комплексно сопряженное выражение. Из волнового уравнения
(З^а) следует, что
Лс=о),
(3.66)
а (3.36) дает
к-А=0.	(З.бв)
Таким образом, вектор-потенциал А перпендикулярен волновому вектору к.
То же самое относится к В и Е, для которых в силу соотношений (3.5) справедли-
вы формулы
B = ikxA-|-K. с.,	(3.7а)
E = i— А-4-к. c. = i'AA-|-K. с.	(3.76)
с
И наконец, напомним, что поток dP энергии излучения через элемент поверх-
ности площадью dS равен потоку через ту же поверхность вектора Пойнтинга
о= (с/4л)ЕХ В. В нашем случае вектор о совпадает по направлению с вектором к,
так что если площадку dS детектора расположить перпендикулярно вектору к,
то средний поток энергии излучения, падающий на нее, будет равен
(^)сред., = I Ао NS = I Ао IMS,	(3.8)
где мы учли, что векторы Е и В взаимно перпендикулярны. Таким
образом, эта интенсивность известна, если (посредством граничных
условий) задана величина |А0|, т. е. если нам известны характерис-
тики источника излучения, который по предположению находится
«бесконечно далеко» от детектора.
Б. Запаздывающие потенциалы
Чтобы определить Ао, воспользуемся тем, что однородное урав-
нение (3.5а) есть не что иное, как асимптотическая форма [при
(г> 0=0] более общего уравнения
4J-	<39)
Граничные условия, налагаемые характером распределения тока J.
посредственно учитываются с помощью метода запаздывающих
енциалов, который называется также методом функций Грина.
250
ДОПОЛНЕНИЕ 3. ГАММА-ИЗЛУЧЕНИЕ
В этом методе расходящуюся волну, удовлетворяющую
(3.9), записывают в виде
УРавнецИ10
А = ’ С JZLj ^p{‘*lr-n}
4л J с |г—г'|	СЗ-Юа)
если за начало координат взят центр тяжести излучающей системы (Рис ч
Чтобы подчеркнуть, что в случае используемой поперечной калибровки в вьф
РИС. 3.1. В волновой зоне
(г»А»г) решения уравнений
Максвелла носят поперечный
характер.
жение (3.10а) входит только поперечная составляющая вектора J (вектор А перпен*
дикулярен вектору к вдали от источника), мы запишем расходящуюся волну в вида
A = nC^e_x2^IZ-r'|}dV,	(3.106)
J с|г—г |	'	1
где п — единичный вектор, лежащий в плоскости, перпендикулярной вектору к.
Поскольку на практике детектор находится на расстоянии, намного превышаю-
щем размеры излучателя (г>г')> можно написать
।	, ।	---7Т5	/,	2г-г' . г'2 \ 1/2	(, r-г'\	„
|г—г |=у (г—г)2 = И 1--—|—яг1 1----------—cose,
где 0 — угол между г н г' (рис. 3.1). В таком случае fc|r— r'|=fer—к-г' и, следова-
тельно,
А = п — С— е ~,kr' dV.	(3. Юв)
г J с
Подставив (З.Юв) в (3.8), получим выражение для среднего
потока излучения в пределах входного телесного угла детектора
d£l:
-^-e_'kr'd3r'|
2 dS _ св2
г2 ~2лс3
I n Je-‘k r'd3r' |2^-
(З.П)
Переход от этого классического выражения к его квантовому
эквиваленту основывается на том механизме «электромагнитных
переходов», который в свое время предложил Бор, желая избежать
трудностей в своей планетарной модели атома. В случае квантово
системы, переходящей из начального стационарного состояни
li) с энергией Et в другое, конечное стационарное состояние /
§2. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ^-ИЗЛУЧЕНИЯ
251
- -й Е/, процесс потери энергии за счет излучения не может
непрерывным. При электромагнитном переходе из состояния
он регистрируется в детекторе с энергией Wtf~E{—Ef (в
смысл, лишь если его понимать как вероятностный процесс;
с эНеРнГепрерывным. При электромагнитном переходе из состояния
рТв состояние I/) испускается квант электромагнитного поля, и
‘’Небрежении энергией отдачи излучателя). Такой механизм может
рРе смысл, лишь если его понимать как вероятностный процесс;
”метоМу отношение средней интенсивности излучения (т. е. средней
П°епгии, излучаемой за единицу времени) dP=dWldt к энергии
п" =йсо, уносимой одним фотоном, следует понимать как вероят-
ость перехода в единицу времени. В частности, вероятность того,
что в единицу времени будет испущен один фотон в телесный угол
равна
Аи> dt Лы
(3.12а)
или, с учетом выражения (3.11),
= I Cn Je-,k r'd3r'|2dQ.
2лйс3 I J
(3.126)
Классическое выражение для тока J, создаваемого частицей с заря-
дом е, массой т и скоростью v, таково: J=ev=e(p/m). Опираясь
на принцип соответствия и распространяя его на случай переходов
из состояния It) в состояние If), мы получаем для системы А частиц
2
<Рг(Г1', r'A)dr dQ.
(3.12в)
в обозначениях дополнения Е, § 1, п. В, где cpz — волновая функция
начального, a <pz — конечного состояний. Отметим, что в выражении
(3.12в) мы не учитывали спина и поэтому рассматривали только ор-
битальный ток J =ev. Чтобы освободиться от этого ограничения,
следует ввести спиновый ток, как это делалось при рассмотрении
магнитных мультипольных моментов (дополнение Е, § 2).
§ 2.	Основные характеристики у-излучения
Чтобы познакомиться с основными характеристиками у-излуче-
ия, рассмотрим сначала частный случай так называемых электри-
еских дипольных переходов.
А
• электрическое дипольное приближение
Рав^ЭМеТИМ ПРежде всего> что волновые функции ср,- и с;у практически
с„ ы нУлю вне области с размерами порядка 10~12 см в ядерном
• Учае (н порядка 10~8 см в атомном случае). В этой области произ-
252
ДОПОЛНЕНИЕ 3. ГАММА-ИЗЛУЧЕНИЕ
ведение к -г' намного меньше единицы для наиболее часто встреч
щихся переходов. Так для ядерного перехода с энергией 100
(и атомного перехода с энергией 10 эВ) мы имеем	!
kr’=— г' = ^-г'<510-3.
с лс
Поэтому мы можем вначале ограничиться приближение
ехр{—ik-г'}=1. Кроме того, на основании теоремы Эренфес?1
[7] можно написать	4 а
= t> =
1 г'ан—нг'а 11>= £'-.д£/ <f | г; 1i>,
где И — гамильтониан излучающей системы (ядра в нашем случае)
a |i) и I/) — его собственные состояния с энергией Ег и Ef. Поскольку
для фотона выполняется соотношение
Е/—Ef = Wif = pc = tikc,
выражение (3.12в) в рассматриваемом приближении принимает
вид
d).=
со*?2
2лАс
А
а= 1
d&.
(3.13)
Чтобы отсюда найти полную вероятность испускания (в единицу
времени), остается проинтегрировать dk по dti в пределах 4л стера-
диан. Здесь нас будут интересовать только случаи, когда измерения
проводятся без учета поляризации фотона. Предположим также, что
в переходе участвует только один протон (его радиус-вектор есть
г'). Тогда, если выбрать п в плоскости векторов к и г, то в обозначе-
ниях, принятых на рис. 3.1, имеем
| еп- </1 г' | i> |2 = е21 п |21 </1 г' | i> |2cos2 (у—0 ) =
= е2| </] г' | i> |2 sin2 6.
Но, поскольку
sin2 6 c/Q == 2л У sin3 0 dO = -y-,
4Л	0
окончательно получаем
(314)
° fvc
Полученная величина называется вероятностью электрического Дй
польного перехода. Выражению (3.14) можно, как мы сейчас пок
жем, дать элементарную полуклассическую интерпретацию.
§2. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ v-ИЗЛУЧЕНИЯ
253
r самом деле, согласно классической теории, интенсивность
чеНИЯ частицы с зарядом е, движущейся с ускорением у, в гаус-
"овь1Х единицах измерения выражается формулой
С°Б dW 2 е2у2
= -V-75--	(3.15а)
dt 3 с3
Рассмотрим простой случай частицы, движущейся с постоянной уг-
овой скоростью со по кругу радиусом R в экваториальной плоскости
Усматриваемой системы. Ее центростремительное ускорение равно
У(й2/?, так чт0 мы получаем классическое выражение
dlF	2eW	(3.156)
dt з с3	'	'
от которого можно перейти к соответствующему квантовому выра-
жению так, как это делалось в предыдущем параграфе. Для этого
нужно заменить в нем R2 квадратом модуля матричного элемента
перехода, т. е. величиной
| J tpf [re~iat + к. с.] ф^г |2 = 4 cos2 со/1 ф/ rcpf d3r
Тогда средняя во времени интенсивность излучения будет равна
dW \	_ 4 е2(лг
dt /средн 3 с3
Ф/ Гф; d3r I ,
так как (cos2o)/)cpc4H=l/2. Отсюда находим вероятность перехода
Z.=(l/ Wlf)(dW/dt)cvew. Если учесть условие 1^,7=Аы, то полученное
выражение есть не что иное, как формула (3.14). Таким образом,
рассмотренный случай соответствует классическому случаю излу-
чения диполя eR, осциллирующего с частотой v=a>/2n, и, значит,
выражение (3.14) отвечает определенному типу излучения — элект-
рическому дипольному.
Средние времена жизни т=1/Х уровней, с которых происходят
такие переходы, в принципе очень малы. Так, переписав выражение
(3.14) в виде 6
6 \ he
з е2
I -г-R2C,
he
нетРУДно убедиться, что в случае перехода с энергией 100 кэВ в ядре
средних массовых чисел (/?«5-10~13 см) мы имеем Z«1013 с-1, т. е.
т%Ю-’з с Существование электрических дипольных переходов не
противоречит тому, что у атомов и ядер нет статического электри-
ческого дипольного момента. Если средние значения (ilerlt) и </|ег|/>
°ператора электрического дипольного момента равны нулю, то вов-
се не обязательно равны нулю матричные элементы электрического
Дипольного перехода (f\er\i). Действительно, такие переходы воз-
°Жпы, когда начальное и конечное состояния имеют противопо-
®н<ную четность и их полные угловые моменты различаются не
лее чем на единицу. Чтобы показать это, удобно воспользоваться
254
ДОПОЛНЕНИЕ 3. ГАММА-ИЗЛУЧЕНИЕ
формулой (Е.ЗЗ) и переписать выражение (3.14) в общей форМе1

где
А
01, т I ~	. еа С Фу м п га&\ (®а> Фа) ф/р Му, п.с/т.
а = I J Г 11
(3.16)
J, М и л — квантовые характеристики состояний, между которыми
рассматривается переход, а именно полный угловой момент, его
проекция на ось квантования и четность. Из этого выражения
легко вывести «правила отбора» для электрических дипольных пере-
ходов, рассуждая так же, как в дополнении Е, § 4. Чтобы переход
такого типа был возможен, должны быть отличны от нуля матрич-
ные элементы {f\Qt, m|i), а для этого должны выполняться следую-
щие условия:
1) т. е. четность начального и конечного состояний долж-
на быть противоположна;
2) \J/—Jf+Ji и	т. e. полные угловые мо-
менты состояний должны различаться не более чем на единицу А.
Б. Обобщение
Когда указанные условия не выполняются, переходы все же
могут оказаться возможными, но выяснение этого вопроса требует
отказа от приближения ехр {—ik-r'}«l. Если ограничиться сле-
дующим членом разложения экспоненты ехр{—ik-r'}, а именно
членом —ik-r', то выражение (3.12в) примет вид
dL
о
2лАс3
А
а=1
ф,- dx
2
dQ.
(3.17)
Вероятность такого перехода меньше, чем вероятность электричес-
кого дипольного типа; их отношение — порядка (kR)2, где R —
размер излучателя. Численно в примере, рассмотренном в начале
п. А, это отношение было бы равно (5-10-3)2=2,5-10-6, а времена
жизни для переходов такого типа были бы приблизительно в 4-Ю*
раз больше, чем для электрических дипольных переходов. В соот-
ветствии с правилами отбора, которые мы установим в п. В, этн
переходы тоже могут оказаться запрещенными, и тогда излучение
возможно лишь за счет еще более медленных переходов, отвечаю-
щих членам более высокого порядка в разложении экспоненты
г) С учетом тождества |(/|r'|i)|2=(l/2)|(/|x'+t(/'|i)|2+(l/2)(/|x'—Ц/ 1()1 "с
+ K/|z'|i)|2.
§2. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ v-ИЗЛУЧЕНИЯ
255
I fk-r'}. Вообще разным членам этого разложения
€*Р j j-k. г'}=1—ik -r'+(l/2!)(ik •г')2+... отвечают переходы, подчи-
е*Р щНеся своим правилам отбора, причем вероятность перехода тем
НЯньше, чем выше порядок члена в разложении. Меньшая вероят-
ме„ть означает большее время жизни. Наиболее вероятные переходы
110 т название электрических дипольных переходов и обозначаются
Н°мволом £1; следующие (в порядке убывания) вероятности назы-
ваются магнитными дипольными и обозначаются через М1, а далее
,т электрические квадрупольные (£2-переходы); переходы более
высоких порядков обозначаются символами М2, ЕЗ, /ИЗ, £4, /И4
и т. Д.
Вероятности таких переходов даются формулой, обобщающей выражение
(3.16), а именно [133]
<3>в>
где (2/+1)1!=1 -3-5-7 . . . (2/+1), a т — оператор электрического (о=£) или
магнитного (о=/И) мультипольного момента. Точнее говоря, в обозначениях до-
полнения Е, § 4 имеем Qn m=Qi. т и Qi!m=a^i, т Например, величина
соответствует выражению (3.16) для вероятности электрического дипольного пе-
рехода, в чем нетрудно убедиться, положив Z=1 в формуле (3.18). В качестве уп-
ражнения нетрудно показать также, что выражение (3.17), проинтегрированное
в пределах 4л стерадиан, можно представить в виде суммы Л (Л41)-| /. (£2) вероят-
ностей магнитного дипольного и электрического квадрупольного переходов. Об-
щий результат получить сложнее, и мы ограничимся тем, что только приведем его:
вероятности перехода, соответствующие члену (—Дс-г')1 в разложении функции
exp{ ik-r}, можно представить в виде Л(Л'1;_1)+Х(£;). Чтобы закончить интер-
претацию формулы (3.18), нам остается указать вытекающие из нее правила от-
бора и ожидаемые в каждом случае порядки величин.
В. Правила отбора для у-излучения
Чтобы определить мультипольность возможных переходов между
начальным состоянием |i) и конечным состоянием If), нужно знать,
каким условиям должны удовлетворять значения момента количест-
ва движения J и четности л этих состояний, для того чтобы матрич-
ные элементы перехода (f\Q” m\i) были отличны от нуля. Рассуждая
так же, как это делалось в дополнении Е, § 4, читатель может в
качестве упражнения показать, что для этого должны выполняться
следующие условия:
1) для четности начального и конечного состояний должны быть
справедливы соотношения
{(—1)' для 21-польного электриче-
ского перехода;
,	+ l or	(3.19а)
(—1)Z+I для 2'-польного магнитного
перехода;
2) полные угловые моменты этих состояний должны удовлетво-
256
ДОПОЛНЕНИЕ 3. ГАММА-ИЗЛУЧЕНИЕ
рять условиям
|	+(3.19б\
Эти правила, очевидно, есть следствие законов сохранения ч
ности и момента количества движения (гл. 11). В виде иллюстра
рассмотрим несколько примеров.	ЦИи
Из первого возбужденного состояния 2+ четно-четного Япп
происходит переход в его основное состояние 0+ с испускание8
фотона, который (чтобы обеспечивалось сохранение четности "
углового момента) обязательно уносит /=2 и л=+1. Такой переход
очевидно — чисто квадрупольный (только 1=2) электрический
[л=(—I)1 при 1=2]. Но часто приходится встречаться с переходами
которые кроме доминирующего мультиполя содержат также «следы»
других мультиполей. Например, при переходе между состояниями
5/2+ и 3/2+ фотон уносит такой угловой момент, при котором воз-
можно выполнение векторного равенства J,-=J/4-l. Последнее экви-
валентно правилу (3.196), которое в данном случае приводит к зна-
чениям 1=1, 2, 3 и 4. А поскольку этот переход происходит без
изменения четности, то в силу правила (3.19а) возможными оказы-
ваются только магнитные мультипольные переходы четного порядка
и электрические мультипольные — нечетного. Таким образом,
вероятность рассматриваемого перехода в наиболее общем виде
должна записываться как
Ь=Х (ЛН)+Х (Е2)+1 (М3)+ЦЕ4),
но при этом нужно помнить, что (как говорилось выше) величина
Л(о() очень быстро убывает с возрастанием /. Если вкладом /^-пере-
хода, может быть, и нельзя полностью пренебрегать, то уж /ИЗ- и
Е4-переходами во всяком случае пренебречь можно. Следовательно,
можно сказать, что мы имеем дело с (Л4 Ц-Е^-переходом, в котором
доминирует вклад /И 1-перехода.
Рассмотренные соотношения (3.19) называются правилами отбо-
ра для у-излучения. К ним нужно добавить еще одно правило, свя-
занное с поперечным характером электромагнитных волн (мы оста-
новимся на нем в § 4): у-переходы между двумя состояниями с
нулевыми полными угловыми моментами запрещены.
Г. Оценка вероятности одночастичного перехода
Для экспериментального определения вероятностей у-переходов
чаще всего пользуются косвенными методами. А именно измеряют
среднее время жизни т уровня, с которого происходит переход )>
и затем вычисляют X по формуле 1=1/т.
*) При т> 10-6 с можно непосредственно наблюдать уменьшение во ®Ре'"®сЯ
интенсивности рассматриваемой линии. При 10-6<т< 10-*1 с можно пользоват
методом задержанных совпадений (гл. 5, §3). При т<10-11 с приходится пр
бегать к более хитроумным методам (основанным, скажем, на эффекте Доплер
на которых мы не будем здесь останавливаться.
§2. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ^-ИЗЛУЧЕНИЯ
257
Ппи этом обычно применяются детекторы, разрешающая способ-
* которых (предел разрешения равен 0,2 кэВ в настоящее время)
Н0СГстаточна для выделения зеемановских компонент *), соответ-
^юших разным значениям А1 £- и Mf. Поэтому в данном дополнении
СТВ'б\'дем говорить лишь о вероятностях перехода, усредненных по
мЬ’ возможным значениям т=М{—Mf, как это указано в формуле
в |g) Путем сравнения полученных таких образом эксперимен-
1 льных значений с теоретическими, даваемыми формулой (3.18),
Jiojkho будет установить квантовые характеристики состояний,
•вязанных переходом, и, следовательно, их спектроскопический
тяпактер. Отметим, однако, что для подобного сравнения потребу-
ется ввести конкретную модель, так как для нахождения теорети-
ческого значения величины 1(ог) нужно знать явный вид волновых
Функций <р{ и ф/. Результаты, представленные на рис. 3.2, были
получены на основе расчетов в рамках оболочечной модели в пред-
положении, что при рассматриваемом у-переходе изменяется **
стояние лишь одного протона [133].
со-
Коль скоро речь идет лишь о порядках величины, рассмотрим в качестве вол-
евых функций ф, и iff два состояния вида
Фг = 5?,(г)Й/7'(0, ф)1+>.	Ф/ = 5?/(г)8/о(0. ф)|+>.
между которыми возможен 2г-польный переход. При этом предполагается, что
гостояние |+>, описывающее ориентацию спина протона, не изменяется при пе-
реходе. Матричный элемент электрического 2г-польного перехода запишется в
виде
</1 „ I '> = е f 3= rl^' (0- Ф) (И (0> *Р)'2 dr dQ=
J 4л
00
о
где была учтена ортонормированность спиновых функций ((+|+)= 1) и сфериче-
ских функций 2/"'(О, ф) (0. УУУ™ (6. ф)<&2=1). Если приближенно счи-
тать радиальные волновые функции постоянными внутри ядра и равными нулю
вне его [т. е с учетом нормировки 5?;W=5?/(r)= ]/"3/5^3 при r<5J], то форму-
ла (3.18)
принимает вид
X (£,) = —2(/+Q. (-А- ~ (kR)2lat.
/[(2Z-|-1) !!]2 \l + 3j he
МЧто же касается вероятностей магнитных переходов, то они (по порядку величи-
Даются выражением
Z ~ (i.s/c2) х (Et),
Где у__
скорость протона на его орбите.
Эти оценки, известные под названием вероятностей одночастич-
> Соответствующие порядки величин приводятся в дополнении Ж, § 4.
9
№2114
258
ДОПОЛНЕНИЕ 3. ГАММА-ИЗЛУЧЕНИЕ
ных переходов или «вероятностей переходов Вайскопфа»
как мы сейчас увидим, своего рода эталоном.
СлУжат,
РИС. 3.2. Вероятность одночастичного перехода Л (о;) для ядра с А= 100. На гра-
фике обнаруживаются следующие общие закономерности, о которых говорилось
в тексте: 1) при фиксированной энергии перехода Асо вероятность перехода M<rt)
тем меньше, чем больше /; 2) при фиксированном значении ог вероятность Х(щ)
тем больше, чем больше Лы; согласно формуле (3.19), она возрастает как
~(fi.<o)^+1. В рамках принятой модели величина Л(о;) пропорциональна /?
Поэтому для ядер с Л=#100 можно написать (поскольку Я=г0Л*/»)
[X (о,)1а = [X (о,)]100 (Л/100)2"3	(3.20)
§ 3. Гамма-спектроскопия
Чтобы показать, чем обусловлен интерес к у-спектроскопии»
рассмотрим несколько типичных примеров, выбранных среди ма
нитных гексадекапольных (А14), электрических квадрупольнь •
(£2) и электрических дипольных (£1) переходов.
§ 3. ГАММА-СПЕКТРОСКОПИЯ
259
я< = 9/2+.
П4-переходы
В качестве примера рассмотрим ядро “Y, магическое по числу
-тронов, основное состояние с 7”=1/2~ которого в рамках обо-
Не'чечной модели отвечает неспаренному протону в 2р1/2-оболочке
Л°, рис. 7.4). Из своего первого возбужденного состояния оно
пеходит в это основное состояние, испуская у-квант с энергией
m3 кэВ, с большим (в ядерном масштабе) средним временем жизни.
Действительно, измерения дали для него значение т=16 с, откуда
?;= 1 /т«6,3 -IO"8 с-1. Если учесть соотношение (3.20) (см. подпись к
вис 3.2), то это значение очень хорошо согласуется с оценками,
представленными на рис. 3.2, в случае Л44-перехода с энергией
913 кэВ. На этом основании припишем следующие квантовые ха-
рактеристики исходному уровню, руководствуясь соотношениями
<319):
+ l =-^ + 4 = 9/2
л. = Л/(_1)/+1 = (_1)(_1)5= + 1 )
Такие характеристики легко интерпретировать в рамках
оболочечной модели: первое возбужденное состояние с 7л=9/2;
ядра “Y соответствует неспаренному протону в 1^8/2-оболочке, а
наблюдаемый у-переход соответствует переходу этого протона с
уровня lg9 а на уровень 2р12. Несмотря на весьма приближенный
характер оценок, представленных на рис. 3.2, в данном случае ими
можно пользоваться с достаточной уверенностью. Действительно,
не вызывает сомнений, что рассматриваемый переход соответствует
значению /=4, так как при двух соседних значениях /=3 и /=5
наблюдаемое среднее время жизни должно было бы быть примерно в
10° раз меньше или соответственно больше. Кроме того, хотя Х(Е4)
иА(Л14) различаются приблизительно в 10 раз, вариант Е4-перехода
следует отбросить не только потому, что он привел бы к расхожде*
нию в 10 раз с измеренным значением т, но еще и потому, что он
привел бы к состоянию с Jn=9/2_. Но такому состоянию невозмож-
но было бы дать какую-либо разумную интерпретацию в рамках
оболочечной модели (1Л9/2-оболочка расположена слишком высоко).
наконец, если бы даже мы отказались от требования согласия с
теоретической моделью, то существуют ведь и другие эксперимен-
тальные методы определения спина и четности и они указывают на
правильность приписания значений J”=9/2+. К ним относятся
методы, основанные на ядерных реакциях (гл. 10) и на явлении
нутренней конверсии (§ 4 данного дополнения).
пр г’кспеРимент показывает, что, как правило, вероятности УИ4-
Реходов очень хорошо согласуются с оценками вероятностей одно-
пп0ТИЧНЬ1х пеРехОДОв (приводимых на рис. 3.2) для ядер с числами
НрнТОНОв или нейтронов, лежащими в интервале от 39 до 49 (запол-
Ие lgs/2-оболочки) или от 65 до 81 (заполнение 1/1ц/2-оболочки),
9’
260
ДОПОЛНЕНИЕ 3. ГАММА-ИЗЛУЧЕНИЕ
или с числом нетронов, лежащим в интервале от 115 до 125 (за
нение Нхз/2-оболочки). Такое согласие свидетельствует в пот°Л'
оболочечной модели, поскольку во всех трех случаях оно связан^
заполнением оболочки, предшествующей магическому числу (5рС
82 и 126), у которой соседняя с ней оболочка имеет такие спин ’
четность, при которых между ними возможен как раз ЛИ-перехо И
Состояния, распад которых происходит за счет таких переходов
О 20	40	60	80	100	120 МО 160	180	200	220	240
Л
РИС. 3.3. Зависимость от А фактора ускорения fp для £2-переходов из первого
возбужденного состояния 2+ в основное состояние четно-четных ядер. Уровни 2+
имеют коллективный характер (в переходе участвуют несколько нуклонов).
называют изомерными, подчеркивая этим, что их средние времена
жизни относительно у-высвечивания очень велики и могут дости-
гать нескольких лет при малой энергии перехода (см. рис. 3.2 при
£v»100 кэВ).
Б. £2-переходы
Однако экспериментальные вероятности перехода редко столь
хорошо согласуются с одночастичными теоретическими опенками,
как в рассмотренном выше случае. Так, например, как видно из
рис. 3.3, наблюдаемые вероятности £2-переходов с первого возбуЖ"
§ 3. ГАММА-СПЕКТРОСКОПИЯ
261
кого состояния 2+ четно-четных ядер в их основные состояния
Ле систематически выше теоретических. В связи с этим вводят
°оЭффиииент ускорения //г=Хэксп/Х/„ где Хэксп— экспериментальная
к поятность перехода, а — ее одночастичная оценка.
I Систематическое ускорение переходов такого типа является
олнительным свидетельством в пользу коллективного характера
ервого возбужденного состояния 2+ четно-четных ядер. Например,
области редкоземельных элементов и актинидов, т. е. там, где
наблюдаются очень большие электрические квадрупольные моменты
«см рис. Е-3), согласно данным рис. 3.3, электрические квадруполь-
ные переходы «ускорены» в 200—300 раз по сравнению с «одноча-
сенчным эталоном». В данном случае мы имеем дело с «коллектив-
ными» переходами между вращательным состоянием 2+ и основным
состоянием 0+, т. е. с переходами, в которых принимает участие
несколько нуклонов.
Вблизи магических ядер коэффициенты ускорения наименьшие,
по и здесь они не равны единице, а меняются в пределах от 10 до
30. Это означает, что и здесь переходы имеют коллективный харак-
тер, что связано с колебательной природой состояний 2+. Данную
ситуацию можно объяснить также, опираясь на интерпретацию этих
состояний, предложенную в приложении 8: все конфигурации,
участвующие в их описании, в случае когерентных состояний при
переходе интерферируют конструктивно.
В. £1-переходы
Все изложенное выше в данном дополнении относительно у-излу-
чения можно целиком перенести на случай атомных переходов
с единственной разницей в значениях величин Асо и R. Тогда может
вызвать удивление то обстоятельство, что в атомной физике, как
правило, ограничиваются электрическими дипольными перехода-
ми,тогда как в ядерной физике дело обстоит иначе. Для этого есть
свои причины.
Во-первых, в рамках оболочечной модели одночастичный £1-
переход возможен только между такими двумя соседними оболоч-
ками jfi и /р/, для которых ji—jf=l и n(-nz=—1. Однако все уров-
ни одного и того же мультиплета гармонического осциллятора имеют
Одинаковую четность. Правда, благодаря совместному влиянию
Добавок D12 и gl -s (к потенциалу) среди уровнен мультиплета с
главным квантовым числом 7V оказывается уровень мультиплета с
главным квантовым числом АН-1 (и, следовательно, с противопо-
ложной четностью), но тогда разность /(—всегда больше 2 (см.
Рис. 7.4). Таким образом, с точки зрения оболочечной модели ядра
озможность наблюдения £1 -переходов между двумя низколежащи-
и уровнями исключена. В случае же модели атомных оболочек
го-либо похожего не происходит.
262
ДОПОЛНЕНИЕ 3. ГАММА-ИЗЛУЧЕНИЕ
Во-вторых, вероятность переходов высокого порядка муль
польности в атомной физике столь мала, что они не играют cv.Tlb
ственной роли из-за наличия других, более «быстрых» процесс
потери энергии, например за счет неупругих столкновений в спеп°В
которую представляет собой источник. В ядерном же случае ’
обычных условиях не существует эквивалентного процесса релаг
сации, так как электронное облако, окружающее ядро, препятсг"
вует их столкновениям х).
§ 4. Внутренняя конверсия
Теперь мы кратко остановимся на другом электромагнитном
процессе распада ядра, конкурирующем с у-излучением,— на внут-
ренней конверсии. Внутренняя конверсия состоит в том, что ядр0
переходит из состояния с энергией Et в состояние с меньшей энер-
гией Ef за счет передачи энергии —Е} непосредственно од-
ному из электронов своей атомной оболочки. Электрон, находив-
шийся в состоянии п, становится свободным, если энергия Vi'tl
больше его энергии связи Еп. При этом он уносит кинетическую
энергию
Te=Wif-En.
Как мы покажем далее, здесь речь идет не о внутреннем фотоэффек-
те, при котором атомный электрон поглощает фотон с энергией Ev—
— Wlf. Здесь процесс осуществляется без участия реального фото-
на, а энергия от ядра к электрону передается главным образом за
счет их кулоновского взаимодействия
(322)
а = 11К-Га1
где га и R — радиус-векторы протона и электрона, соответственно.
Поскольку кулоновское взаимодействие убывает с увеличением
расстояния R—га|, следует ожидать, что вероятность конверсии в
оболочках К, L, М,... будет все более уменьшаться. Это схемати-
чески показано на рис. 3.4 в частном случае внутренней конверсии,
сопровождающей (3“-переход * 2).
Атомные переходы, отличные от дипольных, все же наблюдаются, когда
эффекты релаксации становятся слабыми. Такое условие выполняется, например,
в астрофизике в случае атомов «межгалактического» газа, столь разреженного
что частота атомных столкновений очень мала.
2) Измерения подобного рода проводятся либо при помощи магнитного спект-
рометра, в фокальной плоскости которого помещается фотопластинка, либо при
помощи полупроводникового детектора (с р—n-переходом), обладающего высок»
разрешением. Отметим также, что, как и в случае электронного захвата (гл. •
§ 4, п. Б), после внутренней конверсии происходит перестройка атомной оболо
кн, сопровождающаяся испусканием либо рентгеновского фотона, либо оже-эл
трона.
§4. ВНУТРЕННЯЯ КОНВЕРСИЯ
263
Коэффичиенты внутренней конверсии
Итак, в статистическом ансамбле идентичных ядер, находящих-
в возбужденном состоянии с энергией Eh часть ядер перейдет в
^печное состояние Et, испустив фотон с энергией W7(/=El-—Ef, а
к° ие — за счет вырывания конверсионного электрона с энергией
С точки зрения статистической теории можно говорить о
том что рассматриваемое возбужденное состояние имеет две воз-
можности распада за счет электромагнитных процессов с переходом
одно и то же конечное состояние: у-излучение и внутреннюю кон-
версию. Если обозначить через Xv и X, ----------------
вероятности перехода, соот-
РИС. 3.4. а — спектр Р-частиц; б —
схема энергетических уровней. На
непрерывный спектр электронов, со-
ответствующий р--распаду на уровень
£ , налагаются линии конверсионных
электронов, соответствующих внутрен-
ней конверсии в оболочках К, L, М
и т. д.
ветствующие этим двум типам распада, то полная вероятность
распада рассматриваемого возбужденного состояния будет равна
Z=Xv+Ze. Для удобства эту величину записывают в виде
X = XV-|-XC = XV(1 -фа), а = Xc/Xv = Ne/Nv,	(3.23)
где а — так называемый полный коэффициент внутренней конвер-
сии, который можно определить экспериментально, измерив после-
довательно число электронов Ne и число фотонов Ny, испускаемых
в единицу времени. На практике измеряют непосредственно пар-
циальные коэффициенты внутренней конверсии ак, aL, аЛ1, . . .,
относящиеся к атомным оболочкам К, L, М, . . ., причем а=аА-+
+«д+аЛ1-|-..., а при достаточном разрешении находят и коэффи-
циенты ам, а£н, аЛН1....соответствующие атомным подуровням
2S1/2, 2P1/2i 2Р3/2 оболочки L, и т. д. Такие измерения, особенно
измерения отношения aiJaK, позволяют очень недежно определять
мультипольности переходов и тем самым дают весьма ценную спект-
роскопическую информацию. Дело в том, что в этих отношениях
ядерные матричные элементы сокращаются и остается зависимость
только от атомных волновых функций [134]. Даже измерения одних
коэффициентов ак дают очень ценные сведения, поскольку эти
коэффициенты, как видно из рис. 3.5, сильно зависят от мульти-
п°льности перехода.
Не входя в подробности вычислений, можно интуитивно понять
основные закономерности, обнаруживающиеся на графиках рис. 3.5,
именно то, что при прочих равных условиях коэффициенты ак
264
ДОПОЛНЕНИЕ 3. ГАММА-ИЗЛУЧЕНИЕ
1)	для более тяжелых ядер;
2)	для переходов с меньшей энергией;
3)	для переходов более высокого порядка мультипольнос
4)	для А1(-перехода (нежели для Et-перехода).
Закономерность 1 объясняется тем, что в одном и том же ат
ном объеме электроны располагаются тем ближе к ядру, чем боль'
РИС. 3.5. Коэффициенты внутренней конверсии ак для электрических (а) и маг-
нитных (б) мультипольных переходов в ядрах с атомными номерами Z=20, 50
nieZ. Действительно, нормированная волновая функция Л'-электрона
имеет вид феА (/?)=(1/Йла3)ехр {—R/a}, где a=aolZ и а0— боров-
ский радиус атома водорода. Поэтому вероятность нахождения К-
электронов |<ре (/?)12 должна быть пропорциональна величине Z3, и,
действительно, рост коэффициентов ак происходит практически по
закону Z3. Происхождение правил 2—4 одно и то же: чем больше
среднее время жизни tv по отношению к у-переходу, тем больше у
атомных электронов шансов принять на себя возбуждение ядра.
Это становится особенно ясно, если заметить, что время жизни ту
может оказаться на несколько порядков величины больше «времени
обращения» электронов на их «орбитах».
Необходимо отметить, что внутренняя конверсия существенным
образом влияет на время жизни возбужденных состояний. Если взять
уровень 9/2+ с энергией 913 кэВ в ядре (§ 3, п. А), то в этом
случае полный коэффициент внутренней конверсии для Л14-пере-
§4. ВНУТРЕННЯЯ КОНВЕРСИЯ
265
а в основное состояние 1 /2— есть величина порядка 10-г. Следо-
х°Лельно, время жизни этого уровня (т« 16 с) определяется про-
ваТс0М испускания у-излучения, так как если ту — время жизни
^отношению к у-переходу, то с учетом соотношения (3.23) имеем
<3'24»
т =
е в данном случае t=tv/(1+0,01)«tv.
Но этот случай — одно из немногочисленных исключений.
Например, для Л44-перехода, связывающего первое возбужденное
состояние (УЯ=9/2Ч) ядра ,}Nb с его основным состоянием (J”=
= 1/2"), полный коэффициент внутренней конверсии значительно
больше, чем в предыдущем случае, ибо намного меньше энергия
возбуждения (1Г17«104 кэВ). В этом случае измерения дают с»
«270, так что среднее время жизни рассматриваемого состояния,
согласно формуле (3.24), уменьшается по сравнению стт в 271 раз.
Если бы распад происходил только за счет у-излучения, то среднее
время жизни составило бы 50 лет (см. рис. 3.2), но на самом деле
из-за внутренней конверсии экспериментальное значение оказы-
вается равным всего лишь 62 дням.
Б. Переходы 0—0
Правила отбора для внутренней конверсии такие же, как и
для у-излучения, за одним исключением: переходы между двумя
состояниями с нулевыми полными угловыми моментами в случае
внутренней конверсии разрешены, в отличие от случая у-излучения.
Во поскольку магнитный монополь не существует, такие монополь-
ные (/=0) переходы могут быть только электрического типа и,
следовательно, они не меняют четности: л = (—1)°= +1. Это означает,
что возможны только переходы 0+ -> 0+ и О--*0~. Если энергия
распада превышает 2/ис1 2=1,02 МэВ, то такие переходы чаще всего
происходят за счет внутренней «материализации», т. е. путем рож-
дения электронно-позитронной пары. Что же касается переходов
0-*0 с изменением четности (0+—0~ и 0~->0*‘), то они могут
происходить только с испусканием двух фотонов или же одного
фотона и одного конверсионного электрона. Мы ограничимся лишь
некоторыми замечаниями по этому поводу.
1. Запрещенность у-переходов типа 0-> 0. Наблюдение у-перехода состоит
с ₽егистрацни фотонов вдали от излучающей системы, т. е. там, где мы имеем дело
поперечными волнами электромагнитного поля. С корпускулярной точки зре-
hor RTa ос°бенность излучения должна быть связана с характеристиками фото-
с частности, приписание электромагнитному полю векторного характера (три
и, Тавляющие) и приписание фотону спина, равного единице (три составляю-
сь J’ это два взаимно дополняющих способа выражения трансформационных
век'тСТВ закон°в электродинамики относительно вращения. Вообще скалярному,
°Рному, тензорному ранга 2 и т. д. полю необходимо ставить в соответствие
266
ДОПОЛНЕНИЕ 3 ГАММА-ИЗЛУЧЕНИЕ
квант со спином, равным 0, 1, 2, ... (соответственно). Можно показать, что т
ному полю ранга S в принципе соответствует квант, обладающий 2Хф-'1 сте^1*30'1'
свободы. Однако, когда речь идет о фотоне, нужно еще учесть то обетоятелГ'ЯМи
что вдали от излучатели решениями уравнений Максвелла являются попепе^*0
волны: в вакууме векторы Е и В перпендикулярны направлению распространений
Иначе говоря, в волновой зоне возможны только два состояния поляризаци^*
в плоскости, содержащей Е и В; третье, в принципе возможное, состояние поля "
зации, а именно в направлении вектора к, в зоне излучения исключено. Ковп₽И
кулярный эквивалент такой ситуации устанавливается на основе взаимно м С'
значного соответствия между двумя состояниями круговой поляризации (право'
и левой) электромагнитного поля и проекциями —1 и +1 спина фотона на напоя
ление его движения [135]. Третья, а именно равная нулю, проекция в случж
реального фотона исключена.
В рамках релятивистской теории можно показать, что данная особенность —
иметь только два состояния поляризации (а не три) — является следствием от
сутствия массы у фотона. Интуитивный способ такого доказательства состоит в
том, чтобы обратить вопрос о роли массы в рассматриваемом случае [136]: почему
у частиц с отличной от нуля массой покоя не два состояния поляризации, а боль-
ше? или почему спин частицы с ненулевой массой покоя не остается всегда пара.,
лельным направлению ее движения? Ответ таков: данное свойство лоренц-инва-
рнантно только в случае частицы с нулевой массой [137]. В случае же частицы с
ненулевой массой, даже если векторы к и S параллельны в одной системе отсчета,
они не обязательно параллельны в другой. Достаточно указать на то, что в системе
отсчета, в которой такая частица покоится, относительное направление векторов
к и S не определено и, стало быть, рассматриваемое свойство не имеет определен-
ного смысла. Но такая ситуация невозможна в случае фотона, так как не сущест-
вует системы отсчета, в которой частица с нулевой массой покоилась бы (фотон
движется со скоростью света в любой системе отсчета).
Запрещепность у-переходов между двумя состояниями с ядерным спином, рав-
ным нулю, обусловлена указанными свойствами фотона: такой переход потребо-
вал бы испускания фотона с нулевой проекцией его спина на направление распро-
странения, что невозможно.
2. Монопольные переходы с внутренней конверсией. Выше мы говорили только
о волновой зоне (определяемой неравенством	где г — расстояние от
излучателя до детектора, "k—Xlk и R — размер излучателя), в которой решения
уравнения Максвелла имеют характер поперечной волны. Совсем иной характер
носят эти решения в ближней зоне (7.>г> /?) и в зоне индукции (r«Z> R). В блнж
ней зоне мы имеем дело не с поперечным, а с продольным полем: это кулоновское
поле Е=ег/г*, которому в случае внутренней конверсии соответствует потенциал
(3.23). В зоне индукции поле носит промежуточный характер: оно ни чисто про-
дольное, ни чисто поперечное.
В ближней зоне как раз и происходит внутренняя конверсия; здесь ничем не
запрещены безызлучательные переходы 0—>- О, которые выражаются в вырывании
электрона под действием продольного кулоновского поля. Факт эксперименталь-
ного наблюдения монопольных переходов такого типа является одним из лучших
доказательств того, что внутренняя конверсия не есть внутренний фотоэффект,
никакой фотоэффект невозможен, поскольку в данном случае невозможно испус
каиие реального фотона. И вообще, если бы в основе внутренней конверсии лежал
фотоэффект, было бы непонятно, почему нельзя наблюдать экспериментально
«внутренний эф)фект Комптона», приводящий к непрерывному спектру рассеян-
ных фотонов и вылетевших из атома электронов, с вероятностью, близко
к вероятности внутреннего фотоэффекта.
И наконец, отметим, что с точки зрения теории обменного взаимодейств
(гл. 2) процесс внутренней конверсии можно рассматривать как обмен виртуальн
ми фотонами между протонами ядра и атомными электронами. Это означало
сведение действия кулоновского потенциала к формальному обмену «фотон
с ш=0», неспособными распространяться за пределы облака атомных электрон
дополнение И
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ^-РАСПАДА
Хотя в ядре нет электронов, при -распаде из него вылетают
электрон и антинейтрино. Если вдуматься, то такой же парадокс
существует и в случае у-излучения. И вообще всякий процесс спон-
танного испускания частицы будет иметь характер парадокса до
тех пор, пока его описание основывается на обычной квантовой
механике, в которой нет ни рождения, ни уничтожения частиц.
Квантовая теория поля, релятивистская по своей сущности, сво-
бодна от этого недостатка, но в данной книге мы ограничимся фено-
менологической теорией, основанной на теории возмущений, в пер-
вом порядке которой вероятность перехода записывается в виде [7]
X = ^|<f|/i|i>|2p(E),	(И.1)
п
где h — гамильтониан возмущающего взаимодействия. На данном
выражении мы и сосредоточим ниже свое внимание, поскольку
именно с его помощью Ферми создал свою феноменологическую
теорию (З-распада, опираясь на аналогию с у-переходами, вероятно-
сти которых вычислил на той же основе Дирак.
При таком подходе потребуется, однако, немного погрешить
против обычной квантовой механики, объявив, что изменение со-
стояния системы, вызванное возмущением h, сопровождается испу-
сканием частиц: фотона в случае электромагнитного возмущения йу,
пары (е, v) в случае, когда возмущением является слабое взаимо-
действие /?/). Впрочем, такой же трюк мы уже делали в дополнении 3,
где, исходя из принципа соответствия, мы искусственно придали
классической теории излучения корпускулярную интерпретацию,
отождествляя процесс излучения с испусканием фотонов. Совершен-
но очевидно, что роль, которую играл принцип соответствия при по-
луклассической трактовке излучения в дополнении 3, остается и
при подходе, основанном на теории возмущений, когда берут клас-
сическое выражение
= A-Jdo
С J
о+ ) В данном дополнении мы будем под Р-распадом понимать как Р--, так и
"распад’ ограничиваясь лишь некоторыми замечаниями относительно различий
Ду ними (в основном кулоновского характера). Для простоты мы будем назы-
I Мы б электРоном» и электрон Р~-распада, и позитрон Р+-распада. Точно так же
лептУдем понимать под «нейтрино» связанные с ними (в силу закона сохранения
б-. <>Н11<>Го числа) антинейтрино и нейтрино. Соответствующие характеристики
,Аем помечать индексами е и V.
2?68
ДОПОЛНЕНИЕ И. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ р-РАСПАдд
ддля энергии электромагнитного взаимодействия
вгования фотонов переписывают его как
= <pf’A-J(pidT =
А
= — ^2 Ay | A I Н ф/б а^аф/
а— I
и с учетом сущес|
(И 2)
г_де J — ядерная плотность тока, А — значение в точке га вектоп
н ого потенциала, создаваемого нуклонами, а остальные обозна-
ч«ения такие же, как и в дополнении 3. Здесь нетрудно узнать тог
сэмый матричный элемент, к которому в дополнении 3 мы пришли
пюлуклассическим методом, и если его подставить в формулу (И 1)
то получатся те же, что и раньше, вероятности перехода. Это ц
пеонятно, так как оба метода основаны на одних и тех же рабочих
гипотезах: на принципе соответствия в на предположении об испус-
кании частиц.
В случае испускания Р-частиц принцип соответствия ничего вам
не дает, а потому приходится угадывать форму гамильтониана
слабого взаимодействия, точнее говоря, постепенно строить его на
основе анализа экспериментальных данных. В настоящее время в
этом направлении достигнуты серьезные успехи благодаря совмест-
ным усилиям физиков-ядерщиков и физиков, исследующих частицы
[1 38]. Но в данном дополнении мы ограничимся изложением фено-
менологической теории Ферми, которому с ее помощью удалось
получить представление о свойствах слабого взаимодействия на
основе гипотез весьма общего характера.
§ 1.	Матричный элемент р-распада
Как уже говорилось выше, Ферми при вычислении вероятности
Р- перехода Х=1/т воспользовался аналогией с испусканием у-из-
лу'чения Расчет основывался на использовании первого прибли-
жения теории возмущений. Приближение первого порядка допусти-
мое, поскольку, как мы видели в гл. 3, средние времена жизни по
отношению к у- и Р-распаду намного больше характерных ядерных
вр емен. Уточняя сказанное об этом в гл. 3, можно истолковать
«медленность» таких процессов распада, как следствие малости
матричных элементов гамильтониана (hv или йр) возмущающего
взаимодействия по сравнению с разностью энергий АЕ между двумя
собственными состояниями ядерного гамильтониана (1 т<?АЕ«Т
А. Теория Ферми
Итак, главная задача — угадать форму гамильтониана Ар>
который правильно воспроизводил бы основные закономерност
p-распада. Как мы сейчас увидим, некоторого успеха в этом отн
§ I МАТРИЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ Р-РАСПАДА
269
(И.За)
п можно добиться, если взять матричный элемент того же
11161 что и в случае у-излучения, а именно
вид3»
J I Л₽ I £’> = S Vf (Г) <Г) (Г) SF(Pi (О
сЛучае одночастичного перехода, а в общем случае
А
(Л Лр | i> = 5 f<Pf (Г1- •  • - гд)	(га) X
<х= I
>'^(Га)^;(Г1........TA)dT,
(И. 36)
где <Г/ 11 (Pf — волновые функции начального и конечного ядерных
сОСтояний, ф₽(га) ифг,(г(х) — значения волновых функций электрона
и нейтрино в точке га нахождения нуклона, a gF — так называемая
константа Ферми, характеризующая слабое взаимодействие. Ска-
жем несколько слов о такой записи матричного элемента.
Матричный элемент перехода, при котором в конечном состоянии
появляется фотон, линеен по А [дополнение 3, формула (3.14);
формула (И.2)], и А(га) = |А0|п ехр {—ik-r} можно интерпретиро-
вать как значение в точке га волновой функции испускаемого фото-
на (дополнение 3, § 2). По аналогии будем связывать с испусканием
пары (е, v) матричный элемент перехода, линейный относительно
ф* (Га) и фС(га). Наконец, чтобы гамильтониан мог обеспечить пра-
вильную величину для вероятности распада, в выражение (И.З)
вводят константу gF, которая играет роль, аналогичную роли
заряда е в случае электромагнитных переходов.
На самом деле гамильтониан слабого взаимодействия гораздо
сложнее. В частности, он зависит от спинов и импульсов партнеров,
но в выражении (И.З) всем этим пренебрегают, поскольку оно дает
лишь порядок величины.
Б. Матричный элемент «разрешенного перехода
фермиевского типа»
Поскольку мы пренебрегаем зависимостью гамильтониана от
спина электрона и нейтрино, запишем их волновые функции в виде
Фе = у=е*₽г, ф\. = уД=-е'к',г, к/ = рД	(И.4)
где V — объем нормировки, который в конечный результат не вой-
4ет. Выбирая такие плоские волны, мы пренебрегаем также взаимо-
действием в конечном состоянии пары (е, v) и с ядром, и с атомными
эдектронами. В случае нейтрино это вполне допустимо, но что ка-
6ается электрона, то мы должны будем позже ввести поправки на его
вктромагнитное взаимодействие с указанными заряженными ча-
ицами и, в частности, учесть влияние кулоновского барьера.
270
ДОПОЛНЕНИЕ И. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ fl-РАСПАДА
Заметим теперь, что при значениях га, вносящих существенн •
вклад в интеграл (И.З), произведение (ke+kv)-ra в среднем значГ
тельно меньше единицы (менее 0,1 при энергии перехода, равно”'
1 МэВ), и, следовательно, как и в случае у-излучения, можно и
пользовать «разложение по мультиполям». В частности, будем
говорить, что имеем дело с разрешенным переходом фермиевского
типа, если в формуле (И.З) можно ограничиться первым членом
такого разложения, т. е. приближением
.	.	e-‘(ke+kv)r !
фе(г)фу(г) =-------р----«у.	(И.5)
В этом случае выражение (И.З) принимает вид

(И.6)
где характеризует перекрывание начальной и конечной волно-
вых функций. Например, ядро иС в своем основном состоянии
с Jn=3/2~ в результате £+-распада переходит в основное состояние
с Jn=3/2_ ядра иВ. При учете только сильного взаимодействия
эти два основных состояния имели бы одинаковую структуру и
различались бы лишь заменой протона на нейтрон (гл. 12). В част-
ности, с точки зрения оболочечной модели распад нуклона в этом
случае не сопровождается его переходом в другую оболочку: про-
тон р3,2 ядра “С в результате распада р n+e++v становится ней-
троном ^3/2 ядра 11В. Но тогда волновая функция нуклона в конеч-
ном состоянии практически такая же, как и в начальном, и можно
считать, что	если соответствующим образом нормированы
волновые функции <р/ и <pf.
Итак, в рамках используемого разложения (И.5) матричный эле-
мент разрешенного перехода фермиевского типа сводится к констан-
те (не зависит от энергии распада). Из этого мы будем исходить в
следующем параграфе, посвященном в основном спектрам испускае-
мых электронов.
§ 2.	Спектр электронов для разрешенных переходов
Как следует из выражения (И.6), матричный элемент разрешен-
ного перехода не зависит от энергии-импульса испускаемых ча-
стиц. Чтобы выяснить, какова форма спектра испускаемых при
распаде частиц, следует учесть плотность конечных состоянии
р(Е), т. е. число состояний на единичный интервал энергии dnid
при энергии, равной энергии перехода Е. Но вначале уточним, как
измеряется энергетический спектр электронов.
§2. СПЕКТР ЭЛЕКТРОНОВ ДЛЯ РАЗРЕШЕННЫХ ПЕРЕХОДОВ
271
д. Измерение спектра
Для таких измерений пользуются неподвижным детектором
входным телесным углом АПе, при помощи которого в течение
Соемени измерения А/ регистрируют электроны с кинетической
энергией, лежащей в пределах от Те до Те+Д.Т е. На практике детек-
тор дает возможность сразу регистрировать спектр, т. е. зависи-
мость числа электронов в интервале А'Д от Те. Конечно, имеются
некоторые технические трудности, связанные с тем, что электроны
теряют часть энергии в источнике и в окнах детектора, но в прин-
ципе по зарегистрированной кривой нетрудно вычислить число
зарегистрированных электронов за единицу времени на единицу
телесного угла и единицу кинетической энергии, т. е. dsN/dt dQe dTe,
а отсюда — вероятность перехода за единицу времени на
единицу телесного угла и кинетической энергии, т. е. d^kldQ,, dTe,
где к — вероятность перехода за единицу времени. Для этого
достаточно воспользоваться соотношением dNtdt=—KN, где N —
число нуклидов, имеющихся в момент измерения t. После этого
нужную информацию получают, сравнивая экспериментальные
данные с теоретическим выражением, выведенным из формулы (И.1),
а именно в случае разрешенного перехода фермиевского типа
_ 2л gp । , । d2p (Е)
dQedTe Д V2 1	1 dQedTe ’
(И.7)
Таким образом, на этом этапе требуется вычислить величину
«Рр (£) _ d3n
dQei!Te dEdQedTe '
Б. Расчет плотности конечных состояний
(И.8)
Число электронов с заданным спином в объеме V, имеющих
импульс в пределах от ре до pe-irdpe, направленный в пределах
телесного угла dQe, дается выражением (приложение 4)
P*edPedQeV
d?n=—----------.
(2лА)3
То же самое относится и к нейтрино. Поэтому общее число состоя-
ний при распаде, в результате которого один электрон регистри-
руется в телесном угле dQe с импульсом в пределах от ре до pe-[~dpe
и одно нейтрино испускается в телесном угле с импульсом в
пределах от pvpp pv+dpv, равно
 P2edpedQeVpldpvdCivV
(2лД)«
(И.9)
272 ДОПОЛНЕНИЕ И. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ Р-РАСПЛдд
С учетом соотношения Е~] = pjc2 -|- mjc* имеем
Pedpe = Ее I гЕге— m2cldEe,	(И (
Pvdpv = Е. VЕ2 — т2с^Ех,	(И (
где пока что не делается предположения о нулевой массе нейтш
но mv и где £, есть полная энергия i-й частицы, связанная с кине"
тической энергией 7\- соотношением
E^T^mfi2.	(И.Ц)
На основании всех этих соотношений из формулы (И.9) получаем
выражение
<Рп	,,2 Ее Е2 — mtc'Ey Ei - т2с'	/TJ
d^dEMledEe~	(2^	’	(И.12)
в котором при желании можно заменить dEe дифференциалом dT ,
поскольку в силу равенства (И. II) имеем dEe=dTe.
При p-распаде энергия отдачи ядра пренебрежимо мала (гл. 3),
так что с весьма хорошей степенью точности выполняется соот-
ношение
E = Ee + Ev,	(ИЛЗ)
где Её — энергия электрона, Е — энергия нейтрино, а Е — энер-
гия перехода. Когда регистрируют электроны с энергией Ее в ин-
тервале dTe(^=dEe), речь идет об электронах с фиксированной
энергией, а поэтому на основании равенства (14.13) можно написать
dE—dE, п, следовательно,
din_______d (	(И 14)
dQvd£vdQedEe	dQv dEdQedTe)'	'	'
На этом этапе мы должны были бы остановиться и учесть возмож-
ные пространственные корреляции между нейтрино и электроном.
Но, поскольку мы принимаем гипотезу отсутствия корреляции и
при измерении регистрируем только электрон (а нейтрино может
быть испущено в любом направлении в пределах полного телесного
угла 4л), можно непосредственно интегрировать выражение (И 14)
по JQV. В результате получаем
сРп ___ d2p (Е)
dEdQedTe = dQedTe —
₽ 4лр УЕе -	(Е - Ее) уР(Е- Ее)2 - mV (И ] 5)
(2лАс)“
§2. СПЕКТР ЭЛЕКТРОНОВ ДЛЯ РАЗРЕШЕННЫХ ПЕРЕХОДОВ
273
иия<е мы покажем, что выражение (И.7) при mv=0 вполне удовлет-
орительно описывает непрерывный спектр электронов, испускае-
1Х при разрешенном переходе, если учтены также и кулоновские
поправки, которыми мы пока пренебрегали.
В. График Кюри
Самый точный метод измерения спектров основан на отклонении
частиц в магнитном поле, т. е. на использовании соотношения
(2.20), которое в случае электронов имеет вид рес=300 Вр. В фо-
кальной плоскости магнитного спектрографа помещают фотопластин-
ку, на которой регистрируются отклоненные электроны, и по отк-
лонению на пластинке вычисляют импульс ре зарегистрированных
в данной точке электронов. Таким путем сразу получают распреде-
ление по импульсам (однозначно связанное с энергетическим спект-
ром), а отсюда — вероятность перехода на единицу времени, те-
лесного угла и импульса, которая теоретически дается формулой,
сходной с выражением (И.7), а именно
I АЛ |2 J2P (Ф
diiedpe- А г21 d€iedpe-
(И. 16)
С учетом соотношения (И. 10а) можно легко вычислить величину
d2p(E)/dQedpe, исходя из выражения (И. 15). Окончательно имеем
сР7.
dQe dpe
ДЪ I М: f I2	/*"	/ m ,r2 \ 2
F ' F(Z, Ee)p2(E —£e)2 1/ 1 —, (И.17)
8^h‘c3	'	’' e’ ? \E-EeJ '
где введена еще так называемая функция Ферми F(Z, Ее), которая
учитывает искажение волновой функции электронов кулоновскими
эффектами (о них упоминалось выше, но мы пока что ими пренебре-
гали). Аналитическое выражение для этой кулоновской поправки
довольно сложное, и на практике пользуются численными табли-
цами. Для примера на рис. И.1 показано, какую роль играет куло-
новское поле ядра в случае 0~- и 0+-переходов при Z=20 и ТИакс=
= 1 МэВ.
Из выражения (И. 17) явствует, что при mv=0 величина
(Pe)/p2eF (Z, Ее) пропорциональна разности Е—Ее=Е—тес2—Те.
Поэтому если теория верна, то кривая зависимости этой величины от
П (график Кюри) должна представлять собой прямую *). На рис. И.2
Цредставлен график Кюри для распада 3H->-?He+e_+v. Экспери-
ментальные точки ложатся на прямую, соответствующую значе-
Нию mv=0, и график позволяет сделать вывод, что, во-первых,
масса нейтрино меньше 0,25 кэВ и, во-вторых, Тнакс=17,9 кэВ.
основании теоретических соображений, изложенных в гл. 11,
перев ЛитеРатУРе такие графики иногда называют графиками Ферми.— Прим.
’° К» 2114
274 ДОПОЛНЕНИЕ И. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ Р-РАСПАдд
принимается значение tnv=m^ =mVil=myll=0. И вообще графИк
величины КN (ре)1р2Е ДЛЯ всех разрешенных переходов оказь
вается прямой линией. Когда же наблюдается график более сложной
формы, то это означает, что данный переход относится к запрещен11
ным, матричный элемент которых зависит от импульса электрона
нейтрино (§ 3). Отметим еще, что график Кюри — наиболее точный
метод определения Тмакс, а следовательно, и Qp.
РИС. ИЛ. Распределение по им-
пульсам TV(-q), где n=pe/mec.
Кривая Z=0 дает распределе-
ние, которое должно было бы
быть в отсутствие искажения
электронной волновой функции
кулоновским полем ядра, т. е.
при F(Z, Ее)=\. Кулоновское
взаимодействие уменьшает веро-
ятность испускания е+-частиц и
облегчает выход е_-частиц.
РИС. И.2. Из выражения (И. 17) явствует,
что при т-=/=0 не было бы прямой линии.
Так, кривые, соответствующие т-=1 кэВ и
/и-=0,5 кэВ, не согласуются с эксперимен-
тальными данными (отдельные точки). Значе-
ние т~=0 лучше согласуется с эксперимен-
том, во всяком случае на основании этого
графика можно принять, что ш-<250 эВ. В
настоящее время принята граница т-<60 эВ.
§ 3.	Классификация переходов
Теоретическое выражение для величины %, т. е. отнесенной к еди-
нице времени вероятности разрешенного перехода фермиевского
типа, легко получить исходя из d2,kldQedpe. Для этого достаточно
проинтегрировать выражение (И. 17) (положив в нем mv=0) по Ц.,
что дает 4л, и по ре— в пределах от 0 до ремакс. Из соображении
удобства можно ввести безразмерные величины W=E/mec2 и и е—
=Ее!тес2, а также преобразовать интеграл по ре в интеграл по
We. Тогда с учетом соотношения (И. 10а) и определения величины
получим
х=	p(z, we)(w-weyiv /^-и^дилв)
1
где нижний предел Ее=тес2 соответствует значению ре~^< а веР*
ний (Ее—Е) — значению /2е=ремакс- Величина /И;/, характер
§ 3. КЛАССИФИКАЦИЯ ПЕРЕХОДОВ
ющая перекрывание волновых функций, безразмерная, и то же
3У 10е относится к интегралу по 1Ге. Это значит, что постоянный мно-
житель, взятый в скобки, имеет размерность времени в степени —1.
Поэтому удобно написать
Х =	т0 = ^-4,	(И.19)
Где f(Z, IF)— значение интеграла, входящего в формулу (И. 18),
которое может быть взято из таблиц [139]. Величина f(Z, W) сильно
зависит от энергии перехода и от кулоновского барьера, так что
удобнее характеризовать переходы не вероятностью X (или временем
7^0,693/Х), а отношением X// (Z, W), которое на данном этапе
зависит только от На практике пользуются обратной величи-
ной этого отношения, точнее, десятичным логарифмом произведе-
ния f(Z, IF) Т, которое обозначают через ft:
(И.20)
Оказывается, что произведение ft действительно весьма заметно из-
меняется в зависимости от типа перехода. Если t выражать в се-
кундах, то 1g ft чаще всего лежит в пределах от 3 до 14. Но есть и
особые случаи, например распад 116In(j”=9/2+)-^-115Sn(J3t=l/2+),
для которого 1g//«23. Посмотрим, в чем причина столь большого
разброса.
А. Переходы фермиевского типа
С точки зрения принятого нами приближения всякий переход разрешен толь-
ко при условии, что
Л4'У= $	°’
С учетом сказанного в дополнении 3, § 4 (мы это уже использовали при обсужде-
нии матричных элементов у-переходов) данное условие приводит к так называе-
мым правилам отбора Ферми
&J=Jl—J f=0,	Дл = л/Лу=+1.	(И.21)
Переходы, для которых выполняются эти правила, обычно характеризуются зна-
чениями 1g ft от 3 до 6 в зависимости от степени перекрывания волновых функций
начального и конечного состояний. Когда величина 1g ft близка к 3, такой переход
называют «сверхразрешенным», подчеркивая этим то обстоятельство, что связы-
ваемые им состояния имеют совершенно аналогичную структуру (см. гл. 13 отно-
сительно аналоговых состояний). С точки зрения оболочечной модели это означает,
что конфигурации начального и конечного состоянии идентичны с точностью до
амены нейтронов протонами и наоборот, или, точнее, идентичны в смысле заря-
давои независимости сильного взаимодействия. Такого рода благоприятные усло-
ия часто встречаются в ядрах малой и средней массы, т. е. там, где линия сте-
льности близка к прямой N=Z. Три примера представлены в табл. И.1 (поме-
10*
276 ДОПОЛНЕНИЕ И. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ Р-РАСПАДД
Таблица ц /
Некоторые «сверхразрешенные» переходы. Во всех случаях вели
lg ft остается почти постоянной, хотя величина Т сильно меняете*1*13
изменением EW&KC	я с
Родитель- ское ядро (частица)		Дочернее ядро (частица)		T	^макс’ МэВ	Igft	Тип Распада
п	1/2 +	р	1/2+	11,7 мин	0,782	3,07	Ф+Гт
зн	1/2+	3Не	1/2+	12,4 лет	0,0179	3,03	Ф+Гт
6Не	0+	6Li	1 +	0,81 c	3,5	2,8	ГТ
14О	0 +	14N *	0 +	71,1 c	1,811	3,48	ф
2вА|	0 +	26Mg	0 +	6,6 c	3,202	3,48	ф
34С1	0 +	34S	0 +	1,53 c	4,5	3,49	ф
чены буквой Ф в столбце «Тип»). Когда структуры начального и конечного со-
стояний менее близки, перекрывание функции в /И,у становится меньше и 1g//
возрастает.
До сих пор мы ограничивались приближением ехр{—ik-r'}=l- Но сущест-
вуют и так называемые запрещенные переходы, соответствующие учету матрич-
ных элементов, содержащих члены более высоких порядков разложения
ехр{—/к-г}=1+(—ik-r)+. - -+(—ik-г///!+. . , . Например, так называемые
первые запрещенные переходы фермиевского типа характеризуются значениями
lg ft, лежащими примерно в пределах от 6 до 9; для них справедливы правила от-
бора
AJ = 0 или ±1, Дл = —1, кроме 0—> 0.	(И.22)
Соответствующий им матричный элемент получается заменой выражения
= tpid-c
на
\ фр(— ik-г) <p, dT.
(И.23)
Последний аналогичен матричному элементу электрического дипольного у-пере-
хода и, следовательно, приводит к правилам отбора (И.22). Между прочим, если
принять типичное для ядер значение kR~ 1/10, то он оказывается примерно в
10 раз меньше матричного элемента разрешенного перехода, и этим объясняется,
почему lg ft принимает указанные выше значения.
Сказанное выше можно обобщить на так называемые запрещенные переход
фермиевского типа /-го порядка, в матричные элементы которых входит чле
(—/к-г///! разложения функции ехр{—ik-г}. Величина 1g//для таких переходе
тем больше, чем выше /, а соответствующие правила отбора таковы: запрещенн
переход фермиевского типа /-го порядка между двумя ядерными состояниями
§3. КЛАССИФИКАЦИЯ ПЕРЕХОДОВ
277
л'и
может происходить лишь в том случае, если I удовлетворяет одновре-
меНно двум условиям:
1Л—Ji+Jf,	Дл = (-1)/,
(И.24)
и частности, при 1=0 и /=1 мы получаем соответственно правила (И.21) и (И.22).
Их интуитивная (нерелятивистская) интерпретация такова: при переходе, выз-
ванном возмущающим гамильтонианом фермиевского типа, испускается пара
. v) в синглетном спиновом состоянии (S=se+sv=O), уносящая относительный
игловой момент 1=0 в случае разрешенного перехода, 1= 1 в 1-м запрещенном пере-
ходе, Z=2 в Z-м запрещенном переходе и т. д. Это одно из проявлений взаимодей-
ствия фермиевского типа.
Б. Переходы гамов-теллеровского типа
На самом деле оператор фермиевского взаимодействия — не единственный
член гамильтониана слабого взаимодействия. С другим содержащимся в нем чле-
ном связаны так называемые переходы гамов-теллеровского типа, при которых,
образно говоря, испускается пара (е, v) в триплетном состоянии (S=s₽+sv = l).
Если при этом уносится угловой момент 1=0, 1=1, 1=2, . . ., то переход соот-
ветственно называется разрешенным, запрещенным первого порядка, запрещен-
ным второго порядка и т. д. Типичный пример разрешенного перехода гамов-
теллеровского типа — распад ядра 6Не, характеристики которого указаны в
табл. И.1. Для него правило (И.21) не выполняется, так как ДТ=1 и Дл=+1,
но тем не менее соответствующая ему величина lg ft даже несколько меньше, чем
для сверхразрешенного перехода фермиевского типа. Дело в том, что, комбинируя
Z и S, мы приходим в случае разрешенных переходов гамов-теллеровского типа
(Z—0) к правилам отбора
Д/=/;— J^—0 или ±1, Дл= +1; кроме 0—> 0.	(И.25)
При тех же предположениях можно установить и правила отбора для запрещен-
ных переходов. Так, для первого запрещенного перехода гамов-теллеровского типа
ДТ = 0, или ±1, или ±2; Дл = —1.	(И.26)
Значения lg ft для таких переходов — того же порядка величины, что и для за-
прещенных переходов фермиевского типа того же порядка.
Следует, однако, обратить внимание на то, что приводившиеся выше правила
отбора справедливы без учета релятивистских эффектов для нуклонов, которые
определяются отношением v/c порядка 1/10. Но такие эффекты тоже приводят к
появлению дополнительных запретов, причем их влияние на вероятности пере-
хода оценивается величиной порядка о2/с2. Вопрос о влиянии подобных эффектов
на правила отбора рассматривается в работах специального характера [140].
Отметим, наконец, что в большинстве случаев в вероятность перехода дают
вклад оба указанных выше типа взаимодействия. Например, в табл. И.1 в случае
Р’Распада нейтрона и ядра 3Н выполняются правила отбора как (И.21), так и
'И.23). Здесь мы имеем дело со «сверхразрешенными» переходами, в которые дает
существенный вклад и фермиевское (так называемое векторное) взаимодействие
и гамов-теллеровское (так называемое аксиальное) взаимодействие [138].
§ 4.	Константа Ферми, отношение gcf/SF
Один из способов определения константы Ферми состоит в
том, что анализируют переходы, в которые дает вклад только фер-
миевское взаимодействие и для которых хорошо известна струк-
278 ДОПОЛНЕНИЕ И. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ fl-РАсПАДД
тура начального и конечного ядерных состояний. Например, само
точное значение величины gF было получено при использованц6
Р-распада ядра 14О (см. табл. И.1). Здесь мы имеем дело с чист
фермиевским переходом, и при этом перекрывание волновых функ
ций начального и конечного состояний является практически «под^
ным», что в рамках зарядовой независимости сильного взаимо-
действия приводит к значению |A4iZ|2=2 (упр 13 8) С учетом эк'
спериментального значения величины 1g ft из формулы (И.20) полу-
чаем то~7ООО с, а отсюда
gF = (1,418 ± 0,004)- 10-4Sэрг-см3.	(И.27)
В это значение внесена поправка на электромагнитные эффекты
(порядка НО-3) [138], и при его вычислении было принято что
IMfZ|2=2.
Подобного же рода анализ переходов гамов-теллеровского типа
(например, распада ядра 6Не), а также смешанных переходов
(например, распада нейтрона) позволяет найти константу, характе-
ризующую гамов-теллеровское взаимодействие. Это значение мы
приводим ниже в виде отношения [138]
gGr/S2F= 1.39 ± °.°6-	(И.28)
Обе эти константы определяют также вероятность электронного
захвата и всех процессов, в которых участвуют электрон и нейтрино
(гл. 3, § 4). В данной книге мы не будем затрагивать ни интерпре-
тации отношения (И.28), ни так называемой теории универсального
слабого взаимодействия, рассматривающей с единой точки зрения и
Р-распад, и другие процессы с участием пары (ц, vu), и распад
странных частиц.
дополнение К
мЕТОД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
В данном дополнении в продолжение дополнения Д будет из-
ложен метод описания рассеяния с помощью парциальных волн.
По причинам, отмеченным в дополнении А, рассмотрение будет
проводиться в системе центра масс. Спины частиц, участвующих
Б процессе рассеяния, учитываться нами не будут, поскольку это
делается в соответствующих главах книги по мере необходимости.
§ 1. Назначение метода
В конце дополнения Д было показано, что волновая функция
бесспиновой частицы, испытывающей рассеяние (£>-0) в централь-
ном поле, имеет следующий общий вид:
ф=Е £	(к.1)
I т=-1
где были использованы обычные обозначения. Метод парциальных
волн — это метод решения общей задачи о столкновении частицы
с системой, действие которой приближенно можно заменить цент-
ральным потенциалом. Он включает:
а)	запись в форме (К.1) волновой функции свободно движущейся
частицы с заданной энергией в падающем пучке, что означает отыс-
кание коэффициентов alm(k) и радиальных волновых функций
Ut(kr) в отсутствие потенциала;
б)	доказательство того, что в асимптотической области (при
г->оо) эффект включения потенциала сводится к сдвигу фазы 6Z
сферической волны порядка / (так называемой парциальной волны);
в)	представление в виде функции бг величин, которые могут
быть измерены в случае рассеяния (полных и дифференциальных
эффективных сечений рассеяния, поляризации,...);
г)	получение путем сравнения с экспериментом информации о
свойствах потенциала взаимодействия и вообще о процессе столк-
новения.
Этот общий метод хорошо освещается во всех руководствах
по квантовой механике, а потому мы здесь ограничимся изложе-
нием его основной идеи и выводов. Начнем с того, что напомним,
пак свободно движущаяся частица описывается в квантовой меха-
ИКе сферическими волнами.
280
ДОПОЛНЕНИЕ К. МЕТОД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
§ 2. Свободное движение частицы
Частица с массой р, движущаяся свободно с кинетическ •
энергией £=р2/2ц, описывается стационарным уравнением Щ°И
дингера (Д.1), в котором У(г)=0. Поскольку гамильтониан
рассматриваемом случае коммутирует с операторами рх, р и в
решения этого уравнения совпадают с общими собственными фун
циями этих трех операторов, т. е. записываются в виде плоски'
волн, которые в декартовой системе координат выглядят следующим
образом:
ei(kxX+kvy+kzz> = gfkr, + k2y + k2z = k2 = р2/П2.	2)
Но, с другой стороны, Н коммутирует и с операторами L2 и L
а поэтому решения уравнения Шредингера можно выбрать так’
чтобы они были также собственными функциями операторов L2 й
Lz. Тогда их удобно записывать в сферической системе координат
так как они будут представляться сферическими волнами (Д.З)
ylrlm(k,	<p)Rt(k, г). Как говорилось выше, мы хотим
освежить в памяти читателя последнее представление.
Свойства решений в виде сферических волн вытекают из того,
что говорилось в дополнении Д. Если положить kr—p, то уравнение
(Д. 5) при У(г)=0 примет вид
l$+75+(1-^)]^<P)=o.	(К.3)
Уравнение такого вида называется уравнением Бесселя, и его
решения хорошо известны. В частности, при E<ZQ величина k —
мнимая и уравнение (К.З) не имеет физических решений, т. е. таких,
которые были бы одновременно регулярными в начале координат и
ограниченными на бесконечности. Смысл этого очевиден: частица в
отсутствие взаимодействия не может быть связанной. Но при £>0
данное уравнение имеет одно и только одно приемлемое с точки
зрения физики решение. Им является функция Бесселя, обозначае-
мая символом /Др). Следовательно, при каждом значении Е су-
ществует только одно значение орбитального квантового числа /,
а решение уравнения Шредингера имеет вид
Фг. = Ф) ji(kr).
Можно показать, что набор таких сферических волн представляет
собой полную систему ортонормированных функций. Чтобы лучше
познакомиться с таким базисом, рассмотрим свойства этих функции.
А. Свойства функций Бесселя
Поведение функций Бесселя /Др)=/ДМ в начале координат
таково:
^^-» = -(2Щ)!! • (2/ + 1)!! = 1-3-5...(2/ + 1).	(К’4)
§ 2. СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ
281
Это
асимптотическая форма дается выражением
/, (kr)r^ = sin (ftr—/л/2).	(К.5)
qr0 частный случай общего выражения (Д. 116) при U i(k, г)=
Для дальнейшего полезно знать, каков характер поведе-
ния функций krji(kr)^pjl(p). При возрастании р от нуля такая
функция возрастает сначала как pz+1 и первый раз достигает мак-
симума при 1(1+1). Далее она бесконечно осциллирует между
РИС. К.1. График функции р2/(/’(р) при 1=0, 1=3 и 1=6.
Двумя крайними значениями, которые асимптотически приближа-
ются к 4-1 и —1, согласно формуле (К. 5). Такое асимптотическое
поведение достигается практически уже при р«2/. На рис. К. 1
показана зависимость от р квадрата этой функции; это облегчит ин-
терпретацию квазиклассического правила, устанавливаемого ниже.
В- Разложение плоской волны по сферическим волнам
Базис сферических волн образуют общие собственные функции
операторов Н, L2 и Lz. Но плоские волны тоже образуют базис —
°ни являются общими собственными функциями операторов Я,
Pv и рг. В дальнейшем нам важно будет уметь переходить от
одного такого базиса к другому. В частности, плоскую волну exp {tk-
*г} свободной частицы с заданным импульсом р=Ак и заданной энер-
еи E=h2k2!2p можно записать в виде следующего разложения по
282
ДОПОЛНЕНИЕ К. МЕТОД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
сферическим волнам:
eikr = У, £ «z, т (к) 2/? (О, <f) jt (kr).	(К
Z=O»l=-Z
Если направить ось z вдоль вектора к, то плоская волна запишете
в виде exp {zfe}=exp {ikr cos 0} и в ее разложении (К. 6) осганутс
только члены с т=0, так как
/^zArcose = _	£ [ettrco.6] = 0.	(К 7)
Следовательно, это разложение можно переписать в виде
е1кг = 2 (kr) Pt (cos 6),	(K 8)
поскольку
W z (6> <р) = ]/"+7Г Pi(cos °)’	(М
где P;(cos 6) — полином Лежандра порядка I. Зная свойства таких
полиномов, можно показать, что коэффициент 0г равен (2/+1)гг.
Поэтому в окончательном виде рассматриваемое разложение будет
таким:
е'Лг = 2 (2/+ l)z tjtfjzr)Pzcos(0).	(К. 10)
1=0
С учетом формулы (К. 5) его асимптотическая форма дается выраже-
нием
1 °°
(eikz)r^ = У (2/ + 1) z7 sin (fer—/л/2)Р, (cos 6),	(К.П)
z=i
которое можно переписать в виде
1 °°
(6^)^^ = —2,(2/+ 1)/' {e<(fr<-W2)_e-i(*r-zn/2)} p^cosO).
Z= о
(К. 12)
В. Полуклассическое рассмотрение
Прежде чем доказывать, что действие потенциала V(г)=#0 сво-
дится к сдвигам фаз 6г парциальных волн разложения (К. 12b
покажем, что для большинства из них наличие частииы-мише1^
не сказывается, если потенциал имеет конечный радиус действ»
§3. УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ
283
Напомним (см. рис. К. 1), что функции Бесселя остаются практи-
чески равными нулю, пока величина р—/ггменьше чем К/(/+1), т. е.
при г < J/7 (/-]-1)/Z:.	(К. 13)
у]о это означает, что движение падающей частицы с относительным
угловым моментом I почти не зависит от того, каково ее взаимодей-
ствие внутри сферы радиуса r^l	так как вероятность на-
хождения частицы в этой области пропорциональна интегралу по
этой области от функции г2/7(/гг), что практически равно нулю.
Следовательно, на некоторых парциальных волнах не скажется
наличие потенциала с радиусом действия d. Это будут волны, орби-
тальные числа которых / превышают значение /„акс, определяемое
соотношением И/макс^макс+О»^ или, иначе,
/макс »^-l/2« d/X-1/2.	(К.14)
С точки зрения классической теории этот результат можно пояснить
следующим образом. Относительный угловой момент L=rXp ча-
стицы, являющийся интегралом движения, связан с прицельным
параметром соотношением [формула (1.10)]
|L| = fep.	(К.15)
Отсюда ясно, что частица с импульсом р, имеющая относительный
угловой момент, по модулю больший чем dp, будет пролетать вне
области действия потенциала с радиусом действия d. А поскольку,
согласно квантовой теории, L2 может принимать только значения
4г/(/+1), то справедливо следующее полуклассическое соотношение;
|L| = AH(/+l)«A(/+l/2).	(К. 16)
Но отсюда вытекает условие (К. 14), согласно которому при рассея-
нии частицы с энергией Б=р2/2р в поле потенциала с радиусом дей-
ствия d заметный сдвиг фазы приобретают только те падающие пар-
циальные волны, порядок которых / меньше величины /макс, в
первом приближении равной d/X, где X — приведенная дебройлев-
ская длина волны падающей частицы:
Х =	=	(К. 17)
Теперь покажем, что только эти волны дают заметный вклад в амп-
литуду рассеяния.
§3. Упругое рассеяние
Как показано в приложении 1, вдали от мишени волновая функ-
ция рассеянней частицы должна иметь асимптотическую форму
Ф>->оо = е1Аг + /(6)^,	(К. 18)
284
ДОПОЛНЕНИЕ К. МЕТОД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
где f(Q) — амплитуда рассеяния, связанная с дифференциальным
эффективным сечением в системе центра масс соотношением 4
(Й)ц-М	(К. 19)
В свете этого равенства ясно (и мы продемонстрировали это в свое
время), что измерения дифференциальных эффективных сечений
дают ценнейшую информацию о волновой функции рассеянной
частицы, а стало быть, и о потенциале взаимодействия. В данном
параграфе мы изложим общий метод нахождения амплитуды рассея-
ния /(6).
А. Определение фаз рассеяния
Как мы видели в дополнении Д, в случае рассеяния частицы
в центральном поле существует бесконечно кратное вырождение
по I и т, ввиду чего в соответствии с принципом суперпозиции сле-
дует искать волновую функцию в общей форме (К. 1). Чтобы можно
было непосредственно сравнивать выражения (К. 1) и (К. 10),
примем за ось z направление волнового вектора к падающего пуч-
ка. Тогда выражение (К- 1) примет вид [см. формулу (К. 9)1
СО
^ = Xt«(^)^v^P((cosO),	(К-20)
1=0
и с учетом формулы (Д. 116) его асимптотической формой будет
= X at (k) -in [fer + Фг (fe)] Pt (cos 6),	(K.21)
z=o	r
где, как мы помним, Фг(&) — фазы, зависящие от вида потенциала
К(г); коэффициенты at(k) будут найдены в п. Б путем сравнения с
выражением (К- 18).
Представим фазу Ф;(/г) в виде
Фг(£)= — /л/2 + 6г(/г).	(К. 22)
Сравнивая выражения (Д. 116) и (К. 5), мы видим, что в случае
свободного движения частицы [К(г)=0| фазы Фг(&) парциальных
сферических волн равны — /л/2. Следовательно, в формуле (К. 22)
6г(/г) = 0 при V(r) = 0	(К.23)
и, значит, величина бг(/г) есть сдвиг фазы парциальной сферической
волны порядка I рассеянной частицы относительно парциальной
сферической волны порядка / свободной частицы. Поэтому данную
величину называют фазой рассеяния порядка /. Как мы сейчас
§ 3. УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ	285
покажем, амплитуда рассеяния выражается непосредственно через
Лазы рассеяния 6г(/г), и знания их позволяют извлекать из экспери-
ментальных данных информацию о потенциале взаимодействия.
Б Парциальные амплитуды рассеяния
Чтобы выразить f(6) через фазы рассеяния, достаточно отожде-
ствить выражение (К. 21) с асимптотической формой общего вида
волновой функции в задаче рассеяния (К. 18), разложив при этом
плоскую волну exp ikz по функциям рассматриваемого базиса,
т е. по сферическим волнам. Используя асимптотическую форму
последних (К. И), получаем соотношение
£at	Р[ (cos0)=
= У (21 + 1) I1 s,n pt (C0S e) + f (G)	.
i
Далее, воспользовавшись формулой sin x=[exp (ix)—exp(—ix)]/2i,
перепишем это выражение в виде суммы сходящихся (exp {ikr]!r)
и расходящихся (ехр (—ikr}/r) сферических волн, после чего при-
равняем коэффициенты, характеризующие амплитуды порознь при
сходящихся и при расходящихся волнах. Тогда получим два соот-
ношения — одно для сходящихся волн:
У Hte-'<e«-z"rt)P,(cosG)=y (2/+1) —— Pz(cosG), (К.24а)
/=0	1=0
а другое — для расходящихся:
У а/(вг-'л/2) Pt (cos G) = У (21 + 1) ilPt (cos G) + 2if (6).
1=0	1=0
(К.246)
Поскольку полиномы Лежандра взаимно ортогональны, соотноше-
нием (К. 24а) определяются коэффициенты at:
п	(2/ + 1)^Л
°'-------k----•
Подставив полученные значения а( в соотношение (К. 246), оконча-
тельно находим
f (°) = 2k У (2/ + 1) (e2i6‘-1) P,(cos G),	(К.25a)
/=0
1 w
f (0) = t52(2^+ l)^6/sin6zPz(cos6),	(K.256)
z=o
286
ДОПОЛНЕНИЕ К. МЕТОД ПАРНЦАЛЬНЫХ ВОЛН
или, иначе,
«> 1
7(0) = ХЛ(е)> ft(ty=~kVl+ l)e‘e,sin6A(cose), (К.26)
z= о	’
fi(G) — вклад парциальной волны порядка I в амплитуду рассеяния
Ее называют парциальной амплитудой рассеяния /-го порядка
Подставив (К. 12) и (К. 25) в (К. 17), нетрудно убедиться, ЧТо
асимптотическую форму общего решения можно записать в виде
i 00
= 2krH (2/ +1)il	Pt (cosO),
z=o
(К.27)
где введено обозначение S;=exp {2/6 J.
Рассмотрим некоторые следствия.
В. Эффективное сечение упругого рассеяния
В соответствии с общим определением (К. 19) дифференциальное
сечение упругого рассеяния в системе центра масс записывается как
, , .	оо	2	/ со	\ / ос	\
1 = 0
о
Ц. М. 21 ^(0)
1 = 0
= 21Ме)12+22 2 Re [ft(0)^(0)].
причем
I ft (6) I2 = р (2/ + 1 )2 sin2 6{ Pl (cos 0),	(К.28а)
Re [ft (6) f[, (0)] = ^(2/ + 1) (2/' + 1) cos (6,— 6Z.) sin 6Z sin 6r x
x P[ (cos 0) Pi- (cos 0).	(K.286)
В этом выражении |/г(0)|2— дифференциальное эффективное сече-
ние упругого рассеяния за счет сдвига фазы только одной парциаль-
ной волны порядка /, т. е. это есть эффективное сечение упругого
рассеяния частиц с относительным угловым моментом, характери-
зуемым орбитальным числом /. Но если фазовый сдвиг 6г=И=0 при'
обретает не одна, а несколько парциальных волн, то нахождение
сечения рассеяния не сводится к сложению величин l/z(0)l2- На это
указывает наличие перекрестных членов вида Re [/г(0)/> (6)1 (Деи‘
ствителыюй части произведения f/fr). Ими определяется относитель-
ная роль вкладов различных парциальных волн (порядков / и /1
за счет их интерференции.
§ 4,- ИЛЛЮСТРАЦИИ К МЕТОДУ ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
287
Такие эффекты интерференции, конструктивной при одних
углах и деструктивной при других, усредняясь, дают нуль в полном
эффективном сечении. Последнее формально является следствием
ортогональности полиномов Лежандра. В самом деле, имеем
Pt (cos 0) Pi' (cos 0) dQ =	&i, i'	(К-29)
я
и, следовательно,
<к30>
У	1 = 0
В данном выражении каждое слагаемое вида
о{ = ^(2/ + l)sin26,
(К-31)
есть вклад парциальной волны порядка I в полное эффективное се-
чение. Он достигает максимума, когда фаза рассеяния порядка I
равна нечетному целому числу, умноженному на п/2:
ozMaKC =	(2/ + 1) при 6г = (2п +1) л/2, где п — целое. (К.32)
В этом случае мы имеем дело с «резонансом» '): расходящаяся волна
сдвинута по фазе на л/2 относительно волны того же порядка сво-
бодно движущейся частицы. Рассмотрим для примера несколько
частных случаев.
§ 4.	Иллюстрации к методу парциальных волн
Изложенный выше метод парциальных волн применяется во всех
областях физики — от физики элементарных частиц до физики
конденсированных сред. Мы здесь рассмотрим только несколько
примеров, которые используются и более полно исследуются в
главах основного текста.
А.	Случай изотропного углового распределения
При X^>d формула (К. 14) дает /макс=0. Тогда Д0) сводится к
/о(0), и, поскольку Po(cos0)=l, имеем
(a), = IW=T-	(К.33)
’) Это утверждение уточняется в приложении 9: если величина 6Z(£) быстро
проходит через значение (2п+ 1)л/2, то наблюдается резонанс, но обратное утверж-
дение неверно. В том же приложении 9 анализируется ход изменения эффек-
тивного сечения вблизи резонанса брейт-вигнеровского типа.
288
ДОПОЛНЕНИЕ к. МЕТОД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
Это означает, что эффективное сечение не зависит от 0, так что
угловое распределение в системе центра масс является изотропным
В самом деле, из сравнения кривых изменения величин р2/о(р) и
Р2/1(р) следует ожидать, что парциальная волна /=1 практически
не даст вклада при X^2d, если в данном энергетическом интервале
не окажется резонанса порядка /=1. Следовательно, если исклю-
чить эти особые случаи, то угловое распределение в системе центра
масс должно быть изотропным при
£ = Й2£2/2р < fa/4pd2.	(К-34)
Мы дали «оптическую интерпретацию» такой ситуации в гл. 2, где
речь шла о нуклон-нуклонном рассеянии. В этом случае р=т/2
РИС. К.2. Сферическая волна по-
рядка 1=0 свободной частицы
характеризовалась бы функцией
г/о(М> тогда как сферическая волна
порядка 1=0 рассеянной частицы
характеризуется функцией Ua(r).
Е=Еяа(>12 и формула (К. 34) дает £лабСЮ МэВ при 1,5 Ф.
В случае рассеяния нейтронов на достаточно тяжелом ядре мы имеем
£=£ла6, р«т и Rxr0A1/3, так что если исключить особый случай
(резонансы при /=/=0), то дифференциальное эффективное сечение
должно оставаться изотропным до энергий £лаб^А2/4т/^42/3. При
А«200 это составляет £лаб<Ю,2 МэВ.
Отсюда следует, что, какова бы ни была рассматриваемая систе-
ма, если только угловое распределение в системе центра масс ока-
зывается изотропным, то прямое сравнение экспериментальных
значений с выражением (К. 33) дает величину 60(&)- Опа несет ин-
формацию о природе взаимодействия, как мы сейчас покажем на
одном простом примере.
Б. Рассеяние на «жесткой» сфере
Рассмотрим сферический объект, потенциальную энергию вза-
имодействия которого с падающей частицей можно представить себе
в виде бесконечно высокого барьера, простирающегося от центра до
r=R (рис. К. 2). Такой объект физически непроницаем — это так
называемый случай жесткой сферы или же, иначе, идеально отра-
жающей сферы. Если дебройлевская длина волны X падающей ча-
стицы гораздо больше R(kR^}), то рассеяние происходит в s-
состоянии (/=0) и тогда эффективный потенциал (Д. 7) не содержит
§ 4. ИЛЛЮСТРАЦИИ К МЕТОДУ ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
289
центробежного барьера. Следовательно, он не отличается от беско-
нечного барьера. Но в случае такого барьера частица не может
^ходиться при r<ZR, и мы должны потребовать, чтобы s-волна обра-
щалась в нуль на поверхности сферы.
Таким образом, задача сводится к нахождению выражения для
волновой функции системы с учетом этого требования. В данном
случае волновая функция сохраняет свою асимптотическую форму
вплоть до r—R, а поэтому требование обращения в нуль волновой
функции при r=R записывается при учете формулы (К. 27) как
=	=	=0,	(К.35)
1\	£.П,1\
откуда 60 = — kR.
Интерпретация этого результата, поясняемая схемой рис. К. 2,
основывается на том, что величина б0 есть по определению сдвиг фа-
зы между рассеянной волной с /=0 и волной того же порядка сво-
бодно движущейся частицы.
Из (К. 33) и (К. 31) получаем соответственно
sin2fe/?
k2
R2,
f do \
. sin2 kR , n„
°ynP = 4л	« 4л №
(К.36a)
(K.366)
где полное эффективное сечение упругого рассеяния сгупр есть ре-
зультат интегрирования в пределах 4л стерадиан изотропного
дифференциального эффективного сечения (do/d£2)e.
Эти результаты используются в гл. 9 в случае рассеяния нейт-
ронов малых энергий па ядрах. Оказывается, что ядерное вещество
в данном случае ведет себя наподобие отражающей сферы при всех
энергиях, кроме тех, которые соответствуют резонансам.
В.	Общий случай
Когда энергия падающих частиц не удовлетворяет требованию
(К. 34), вклады парциальных волн порядка /=#0 уже не являются
пренебрежимо малыми и угловые распределения рассеяния переста-
ют быть изотропными. Их анализ, вообще говоря, достаточно сло-
жен, но в некоторых случаях простой взгляд на форму наблюдаемого
Распределения дает ценнейшую информацию.
1.	Резонансы в рассеянии. Это относится к экспериментам,
проводимым вблизи резонансной энергии, когда вклад дает не-
большое число парциальных волн. Тогда если резонанс характе-
ризуется угловым моментом с орбитальным числом I, то доминирует
парциальная волна порядка I и, согласно формуле (К. 28а), угловое
Распределение рассеянных частиц пропорционально Pf(cos 6).
290
ДОПОЛНЕНИЕ К. МЕТОД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
Например, угловое распределение, зарегистрированное при энерг
/?-резонанса(/=1), описывается формулой cos20, посколькуP^cosof”
=cos 0. Если речь идет о d-резонансе (/=2), то закон распредел?
ния будет вида (3cos20—I)2, поскольку Р2 (cos0)=(3cos2G--l) о
Вообще в случае резонанса, характеризуемого угловым моментом с
орбитальным числом /, кривая углового распределения должна
обнаруживать (/+1) осцилляций в интервале [0, л], ибо величина
P;(cos 6) имеет I нулей в этом интервале, как показано на рис. К 3
Этим пользуются и в ядерной физике, и в физике частиц для прж
писания спина и четности наблюдаемым резонансам. Соответствую-
РИС. К З. Общий характер поведения
функции Pz(cos 0) при углах 0, мень-
ших л/2. Ход кривой в интервале от
л/2 до л легко установить исходя из
того, что при четном I функция Pz(cos
0) четная (симметричная относительно
точки л/2), а при нечетном — нечетная
(антисимметричная относительно точки
л/2). Одна из основных закономерно-
стей — уменьшение угловой ширины
ДО первого максимума с центром в
точке 0=0 при увеличении I, а имен-
но Д0« 1/Z. Функция (cos 0) имеет
I нулей в интервале 0<0<л.
щие примеры приводятся в приложении 7 и в гл. И, там же ука-
зывается и то, какие поправки следует внести при учете спинов
партнеров.
2.	Нуклон-нуклонное рассеяние. Другой интересный случай —
упругое нуклон-нуклонное рассеяние, в котором в отличие от
обсуждавшегося выше случая нет резонансного состояния. Здесь
при каждом (не слишком малом) значении энергии вклад дают
несколько парциальных волн. Но, как явствует из формулы (К. 28а),
чем выше порядок парциальной волны, тем с большим статистиче-
ским весом входит она в амплитуду рассеяния. Если учитывать
лишь вклад парциальной волны с максимальным /, то мы воспроиз-
ведем качественные результаты, установленные в гл. 2 в связи с
обсуждением рис. 2.6. Действительно, угловая ширина А0 первого
максимума функции Pz(cos0) в первом приближении равна АО»
«1// (см. рис. К. 3). Отсюда, принимая во внимание оценку (К. 14),
получаем формулу, приведенную в гл. 2, § 4, п. А, а именно
А0Ц И. » 1/^макс ~ ^/d,	(К-37)
где d — радиус действия потенциала нуклон-нуклонного взаимо-
действия. В табл. К. 1 указываются значения I для парциальных
волн, которые могут давать заметный вклад при d«l,5<J> в том
§ 5. УЧЕТ ПОГЛОЩЕНИЯ
291
Таблица К.1
Значения I (от 0 до ZMaKC) Для парциальных волн, вносящих главный
вклад в амплитуду рассеяния при различных энергиях
£Лаб’ МэВ	0	20	80	180	320	500
1 (ОТ 0 ДО /Макс)	0	0 и 1	от 0 до 2	от 0 до 3	от 0 до 4	от 0 до 5
интервале энергий, где рождение л-мезонов отсутствует или незна-
чительно. Из таблицы видно, что некорректность анализа, прове-
денного в гл. 2, связана в основном с тем, что волна порядка /Макс
не единственная из волн, на которые оказывает влияние потенциал.
Поэтому, чтобы получить точную информацию о нуклон-нуклонном
потенциале, нужно выйти за рамки аналогии между рассеянием и
дифракцией и обратиться к последовательному анализу экспери-
ментальных данных. Некоторые из выводов, вытекающих из такого
анализа, будут приведены в дополнении Л.
§ 5.	Учет поглощения
Соотношения (К. 24а) и (К. 246) легко интерпретировать. В пер-
вом из них учитывается, что в асимптотической области сходящиеся
сферические волны (содержащие радиальную функцию ехр {—ikr}/r)
в задаче рассеяния такие же, как в случае свободной частицы. Нало-
жение такого требования позволяет определить коэффициенты at.
Второе из соотношений (К. 246) содержит всю информацию о потен-
циале У(г), на котором происходит рассеяние. Оно учитывает,
что расходящиеся сферические волны (с радиальной функцией
exp {ikr}/r) становятся в задаче рассеяния отличными вплоть до асим-
птотической области от аналогичных волн в отсутствие потенциала
V(г). Действительно, расходящаяся часть полной волновой функции
включает в себя, с одной стороны, волну /(6)ехр {ikr}/r, рассеян-
ную потенциалом, а с другой,— расходящуюся часть плоской волны
свободно движущейся частицы, а именно те части амплитуд рас-
ходящихся волн, которые не вошли в член /6)ехр \ikr\lr в асимпто-
тической области. Относительный вес этих двух частей определя-
ется коэффициентами ah которые входят также в левую часть равен-
ства (К. 246) и играют, как мы покажем ниже, роль своего рода
«нормировочных коэффициентов».
В самом деле, сопоставление левых частей равенств (К.24а) и (К.246) при-
водит к следующему отношению амплитуд расходящихся и сходящихся волн:
R, ____________Р‘ <cos в) _е-|<л/2 + 2tOz — /_|,| е2‘ I	(К.38)
ate l Pt (cos 6)
292
ДОПОЛНЕНИЕ К. МЕТОД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
Равенство единице модуля отношения Rt обеспечивает сохранение в данном с
чае числа частиц: поскольку при чисто упругом рассеянии на центральном
тенциале сохраняется угловой момент, то число частиц, падающих на рассеивав
щий центр с заданным угловым моментом /, равно числу частиц, уходящих от па
свивающего центра с тем же самым угловым моментом. Поэтому величины а иг'
рают роль «нормировочных коэффициентов» в том смысле, что устанавливают'пп'
каждом значении I такое соотношение между амплитудами расходящихся и схсь
дящихся волн, при котором выполняется условие унитарности. Итак, если пои
столкновении возможно только упругое рассеяние, то
|fy| = |(—l)«e2*6z|= 1.	(К.39)
Основываясь на сказанном выше, можно сделать обобщение и на случай столк-
новений, при которых наряду с упругим рассеянием возможны неупругие про-
цессы или реакции. Например, когда пучок протонов взаимодействует с ядрами
какой-нибудь мишени, то кроме упругого рассеяния можно наблюдать неупругое
рассеяние (рр'), при котором ядро оказывается в возбужденном состоянии, а
также процессы других типов — реакции (pn), (pd), (ра) и т. д. Для протекания
таких процессов требуется, чтобы не нарушались никакие законы сохранения и
в частности, чтобы их энергетический порог был ниже энергии падающих протез
нов. Но если протекают такого рода процессы, то амплитуды сходящихся волн
[описывающих, например, падающие протоны с относительной энергией E(k)=
=Л2й2/2р] больше амплитуд расходящихся волн тех же частиц, так как некоторые
частицы участвуют в неупругих процессах. Неупругие процессы могут состоять
либо в том, что после взаимодействия те же частицы улетают с энергией E(k')=£
ФЕ (k), оставив при этом ядро в одном из его возбужденных состояний (неупругое
рассеяние), либо в том, что частицы поглощаются, а вместо них вылетают другие
частицы (реакции в собственном смысле слова). И в том и в другом случае падаю-
щий пучок частично поглощается — в том смысле, что число первоначальных час-
тиц (например, протонов) с заданной относительной энергией Е (k)— {р./ту)Е1
уменьшается.
Чтобы учесть это и избежать противоречий, следует допустить, что в рассмат-
риваемых случаях величина 6; принимает комплексные значения н при этом
|Kr| = |(_iye2l6t| <1.	(К.40)
Это и есть то условие, которое мы должны были наложить, чтобы учесть, что в слу-
чае упругого рассеяния при наличии поглощения поток первичных частиц с энер-
гией Е (/г) ослабевает в результате рассеяния.
А. Эффективные сечения упругого и неупругого рассеяния;
полные сечения
Разумеется, амплитуда упругого рассеяния по-прежнему дается формулой
(К.26), которую удобно записывать в виде
СО
/упр (0) L <2/ +	Pl tcos °)-	(К-41)
1=0
где введено обозначение
S^e2i\	(К.42)’
§ 5. УЧЕТ ПОГЛОЩЕНИЯ
293
Тогда выражение для полного эффективного сечения упругого рассеяния примет
ВИД
00	00
аупр = ^ У (2<+ 1) |1-SZ |2=У (oynp)t,	(К.43)
1=о	(=0
что полностью эквивалентно выражению (К.30), когда все б; — действительные
величины.
Чтобы найти полное эффективное сечение поглощения (неупругого рассеяния
и реакций), достаточно заметить, что в случае падающей волны, нормированной
на единичный поток, вероятность поглощения равна 1—|PZ|2, так что отношение
числа поглощенных частиц к числу упругорассеянных частиц в одном и том же
состоянии I равно (1—|Яг|2)/| 1— SJ2. А поскольку |fy| = |SJ, имеем
оо
Ппогл = ^- У (21+ 1) (1 -1 St I2) = У (опогл),.	(К.44)
1=0	1 = 0
Наконец, полное эффективное сечение о/ находится как сумма полных эф-
фективных сечений упругого рассеяния и поглощения:
СС	00
о/ = Оупр+^погл У, (2^+ 1) (1 — Re Sz) = f (o/)z.	(К-45)
1=0	1=о
Ноэто эффективное сечение характеризует число частиц, вышедших из пучка, дви-
гавшегося в направлении к, а потому было бы естественно связать его с амплитудой
рассения на угол 0=0. Поскольку Pt(cos 0)=Р((1)=1, мы легко найдем искомое
соотношение, сравнив выражение (К-45) с выражением (К.41) при 0=0. Оно назы-
вается оптической теоремой и имеет вид
4тг
at Im НО)-	(К.46)
Наиболее характерные результаты приведены в табл. К 2. [О том, чему равно
Таблица К.2
Поведение (а)г в зависимости от S{
sz	6z	Ri	^°ynph	(°ПОГЛh	(О,)4
!	пл	(-1)'	0	0	0
0	Мнимая	0	1)		-§-(2/-Ы)
—1	(2«+1)у	(-!)'+!	4r(2z+l)	0	^-(2/+!)
(°)z при S{= ±1, говорилось ранее. Случай Sz=0 рассматривается в п. Б.] Они
Позволяют сделать следующий вывод: упругое рассеяние можно наблюдать и в
отсутствие неупругих процессов, неупругие же процессы всегда сопровождаются
Упругим рассеянием.
294
ДОПОЛНЕНИЕ К. МЕТОД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
Б. Поглощающая (черная) сфера
Из табл. К-2 следует, что
(aynp)t= (чпогл)г — ^2 (2?+1) при S[ = 0.	(К.47)
Этот результат допускает классическую интерпретацию, корпускулярную в слу-
чае оП0ГЛ и волновую в случае оупр. Рассмотрим сначала (оПогл)г и заметим, что
значение St=0 соответствует значению Rf=O. Таким образом, 5г=0 означает
что парциальная волна порядка I полностью поглощается при взаимодействии'
Иначе говоря, при Sz=0 всякая частица, летящая по отношению к рассеивающему
центру с относительным угловым моментом, характеризуемым квантовым числом I
вызывает неупругий процесс. С корпускулярной точки зрения вклад таких час-
тиц в эффективное сечение поглощения равен разности площади круга радиусом
равным прицельному параметру 6z+i, и площади круга радиусом bt, где t>i + I й
bi определяются формулой (К.15) при |L|=A (Z+1) и А/ соответственно, а именно
(Рпогл)г = п (bt +1)2 — л (&г)2 =	-^-=^ (2/ +1),	(К-48)
что совпадает с выражением (К.47).
В соответствии с такой корпускулярной интерпретацией можно говорить о
«поглощающей сфере» радиусом R, обладающей свойствами
S; = 0 при I < kR,
St = 1 при I > kR.
(К.49)
Такой объект поглощает все частицы с прицельным параметром Ь, меньшим R,
и не оказывает влияния на частицы с прицельным параметром, превышающим
R (Sf=l соответствует значению аПогл=°упр=0; см. табл. К-2). Полное эффек-
тивное сечение поглощения будет равно сумме всех парциальных вкладов (оПогл)г
В рассматриваемом простом случае это даст
оо	l=kR
рпогл —	, (рпогл)г —	, й2 (^ ') ~~jp (k^H- 1)2 = л +	°®)
Z=o	1 = 0
В частности, когда дебройлевская длина волны X падающих частиц пренебрежимо
мала по сравнению с радиусом R поглощающей сферы, получаем классический
результат оП0ГЛ=л/?2.
С корпускулярной точки зрения следовало бы ожидать, что поглощающая
сфера (по определению захватывающая любую попадающую на нее частицу) не
будет вызывать упругого рассеяния. Но то же самое выражение (К.47) показыва-
ет, что это неверно и что в рассматриваемом случае
<7погл/2= о"уПр = оП0гл = л (/?-(-^)2 (~ л/?2 при X /?).
Дело в том, что существование упругого рассеяния есть следствие волновой при-
роды частиц. Непосредственно за поглощающим объектом оказывается область
«тени», так как по определению подобный объект полностью исключает попадаю-
щую на него часть падающей волны (обозначим эту часть через фпогл)- С ТОЧК*
зрения волновой теории этот объект можно заменить источником, испускаюши
волну фрасс, по амплитуде равную волне фпогл. но по фазе противоположную е ,
так что фраСс=—Фпогл- При этом тень оказывается результатом деструктивн
интерференции, а соотношение (К-51) интерпретируется следующим °°Р^3кл;
раз интенсивность волн фрасс и фпОгл одинакова и волна фП0гл Дает вклад '
в полное сечеиие оПолн, то волна фрасс должна давать такой же вклад, как и фпогл.
§6. выводы
295
§ 6. Выводы
Метод парциальных волн применяется в самых различных обла-
стях физики. Он позволяет теоретически исследовать столкновения
между системами, каковы бы они ни были. Мы показали это на
примерах, взятых из ядерной физики и физики частиц. Когда вклад в
рассеяние вносит небольшое число парциальных волн, этот метод
позволяет, как мы видели, определять квантовые характеристики
резонансов, наблюдаемых в указанных двух областях физики.
Данной стороне вопроса уделяется особое внимание в приложении 9
и гл. 11. Кроме того, как было продемонстрировано, метод парциаль-
ных волн позволяет получить ценную информацию о нуклон-нук-
лонном взаимодействии. Для этого нужно точно определять фазы
ассеяния (см. дополнение Л). Кроме того, он дает общие для всех
энергий соотношения, такие, как оптическая теорема и формулы для
поглощающего объекта, которые используются в гл. 10. Добавим,
что в принципе вовсе не обязательно ограничивать этот метод (как в
данном дополнении) рамками нерелятивистской теории потенциала.
Его релятивистское обобщение, называемое теорией S-матрицы,
оказывается ценным инструментом в физике частиц: оно позволяет
обходиться без спекулятивных догадок о том, что происходит в «чер-
ном ящике» взаимодействия. Короче говоря, универсальность
метода парциальных воли в том, что он дает возможность получать
ценную информацию, исходя лишь из самых общих положений
[141].
Дополнение Л
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ НУКЛОН-НУКЛОННОГО
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Если можно рассматривать гл. 2 и дополнение К как первые
две последовательные ступени в процессе ознакомления читателя
с важнейшими свойствами двухнуклонной системы, то данное допол-
нение — это третья ступень того же процесса и посвящено оно
некоторым вопросам, оставшимся до сих пор в тени.
§ 1.	Квадрупольный момент дейтрона (тензорный потенциал)
Чтобы объяснить квантовые характеристики дейтрона 7Л = 1 + , проще всего
предположить, что образующие его два нуклона находятся в S-состоянии относи-
тельного углового момента (L=0) и триплетном спиновом состоянии (S=l). Тогда
имеем nd=(—lf=+1 и Jd=L-f-S=l, т. е. 7Л=1 + . В таком случае, если прене-
бречь эффектом обменных токов, дейтрон должен был бы обладать магнитным ди-
польным моментом
Ва = Рл>+Рп> т- е. p<t = (2,7927—1,9135)	0,8792цдг.
Разница между этой оценкой и экспериментальным значением р^=0,85739рд,
столь мала, что ее можно было бы попытаться объяснить обменными токами, если
бы с 1939 г. не было известно, что дейтрон обладает отличным от нуля электриче-
ским квадрупольный моментом Qj=2,74-10-27 см2. Но в случае чистого 5-состоя-
ния квадрупольный момент должен был бы равняться нулю, поскольку такое со-
стояние сферически-симметрично. Этот экспериментальный результат потребовал
модификации прежнего описания и обратил внимание исследователей на то, что
нуклон-нуклонное взаимодействие не может быть чисто центральным.
Но заметим, что хотя в волновую функцию дейтрона пришлось ввести «при-
месь» волн с £т^0, тем не менее 5-волна должна оставаться доминирующей. Дей-
ствительно, экспериментальное значение магнитного момента весьма близко к тео-
ретическому, вычисленному в предположении чистого S-состояния, а наблюдаемый
квадрупольный момент слишком мал по сравнению с квадратом радиуса дейтрона,
а именно /?4~2-10-26 см2 (см. упр. 2.2). Экспериментальные значения величин
lld и Qd удалось воспроизвести, приняв для волновой функции дейтрона выражение
(справедливость которого будет показана в конце параграфа)
2l’d = «S<Pss1 Ч~aD4>3D,>
где (с учетом нормировки |as|2-|-|aD|2= 1) |as|2=0,96 и |aD|2=0,04. Иначе гово-
ря, дейтрон — это спиновый триплет, в котором доминирует 5-волна (®Si в спект-
роскопических обозначениях), но имеется и «примесь» волны с 7=2 (Ч?1 в спектро-
скопических обозначениях)1).
Чтобы прийти к удовлетворительному описанию всех свойств дейтрона, при-
шлось кроме всего прочего допустить существование нецентрального потенциала
*) Верхний индекс слева есть значение 2S-|-1, т. е. 3 для триплетного со-
стояния. Нижний индекс равен J, в данном случае это 1. Указанные выше
значения множителей а$ и aD не включают поправок (еще плохо известных)
иа существование возбужденных состояний нуклонов.
§ 2. ФАЗЫ НУКЛОН-НУКЛОННОГО РАССЕЯНИЯ
297
в нуклон-нуклонном взаимодействии. В самом деле, в случае центрального по-
тенциала связанные стационарные состояния представляют собой собственные со-
стояния оператора углового момента, точнее, операторов L2 и Lz; поэтому волно-
вая функция связанной системы, записанная в виде суперпозиции волн L=0 и
7,—2, ие может соответствовать системе, в которой взаимодействие составных
частей имеет чисто центральный характер. Так впервые возникла необходимость
ввести в потенциал нуклон-нуклонного взаимодействия нецентральный член, на-
зываемый тензорным потенциалом. Как мы увидим в следующем параграфе, его
существование было подтверждено исследованием нуклон-иуклонного рассеяния.
Чтобы отразить то обстоятельство, что тензорное взаимодействие зависит от ориен-
тации спинов относительно радиуса-вектора, соединяющего два нуклона, его за-
писывают в форме
v с я <si-n (s2-r)	1
Vt—VV) *12i *12 -------^2------з" S1 ‘ S2-
Заметим, что S12 — тензор с нулевым следом.
Хотя при добавлении нецентрального потенциала связанными становятся сос-
тояния, которые не являются собственными функциями оператора углового момента
L, они в силу закона сохранения полного момента количества движения J=L+S
будут собственными состояниями операторов J2 и J?. С учетом этого триплетное
состояние с полным моментом J можно представить как суперпозицию триплетных
состояний (5=1) с орбитальными моментами L=J, L=J—1 и Z.=J-f-l. Таким
образом, можно попытаться взять волновую функцию дейтрона в виде суперпо-
зиции состояния 35j, 3Pi и 3D1, поскольку при сложении моментов с L=0, 1 или
2 с S= 1 можно получить J= 1. Но четность системы двух частиц в состоянии с
относительным угловым моментом L равна (—1)л, а потому составляющую 3Ру
с отрицательной четностью приходится отбросить. Таким образом, четное триплет-
ное состояние 7Я=1+ может быть лишь суперпозицией состояний 3S1 и 3ОХ, а
поэтому при наличии в потенциале взаимодействия нецентрального члена в таком
виде должна записываться волновая функция дейтрона. Значения коэффициентов
as и ад находят из условия наилучшего согласия с экспериментом.
§ 2.	Фазы нуклон-нуклонного рассеяния
Путем анализа экспериментальных данных на основе найденных выше теоре-
тических формул в принципе можно однозначно определить фазы рассеяния 6z(fe).
Проводя такой анализ, требования, диктуемые формой экспериментальных угло-
вых распределений, обычно дополняют еще более жесткими требованиями, выте-
кающими из экспериментов по поляризации. Дополнительные требования нала-
гаются [через посредство формулы (К.46)] измерениями полных эффективных се-
чений. Анализ обычно проводят на ЭВМ методом наименьших квадратов. В ЭВМ
вводят как можно больше экспериментальных данных и минимизируют отклоне-
ние значений, найденных с помощью теоретических формул, с подбираемыми фа-
зами от экспериментальных значений, взвешенных в соответствии с их ошибками.
Если имеется несколько решений с одним и тем же доверительным уровнем, то
выбирают то из них, которое обеспечивает наиболее правдоподобную энергетиче-
скую зависимость всех фаз рассеяния Cz(fe). При этом, конечно, предполагается,
что анализ начат с малых энергий, при которых существенным образом проявля-
ется лишь очень небольшое число парциальных волн, и что затем, переходя в по-
иске решений к более высоким энергиям, постепенно увеличивают число рассмат-
риваемых парциальных волн. Действительно, прежде чем переходить к более высо-
ким энергиям, важно иметь уверенность в том, что вплоть до этих энергий Лазы
меняются непрерывно. Все же, несмотря на все предосторожности такого рода,
подобный метод пригоден лишь для некоторых энергий. При высоких энергиях
число парциальных волн, дающих заметный вклад в амплитуду рассеяния, стано-
вится большим, а кроме того, возрастает число возможных неупругих процессов.
298 ДОПОЛНЕНИЕ Л. НУКЛОН-НУКЛОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
В связи с этим встает проблема однозначности решения. Как правило, уже пви
/макс~5 трудно выделить из решений, характеризуемых одним и тем же уровнем
доверия, то, которое не завышает вклада одних парциальных волн и не занижает
вклада других.
А. Обозначения
В случае нуклон-нуклонного рассеяния нельзя пренебрегать спинами взаимо-
действующих частиц, ввиду чего число различных амплитуд рассеяния возрастает
в 4 раза (три для триплетного состояния и одна — для синглетного). Прежде все-
го потому, что сильное взаимодействие зависит от спинов, в связи с чем фазы рас-
сеяния в синглетном спиновом состоянии (S=0) нужно отличать от фаз рассеяния
в триплетном состоянии (S=l). Чтобы это отметить, у функции, обозначающей
§2. ФАЗЫ НУКЛОН-НУКЛОННОГО РАССЕЯНИЯ
299
состояние, вверху слева ставят индекс 23+1. Далее сильное взаимодействие час-
тиц зависит от их расположения по отношению к ориентации спинов (тензорный
потенциал) и от их относительной скорости (спин-орбитальный потенциал), так
что нужно различать состояния с различными значениями полного момента
J1L4 S, получаемыми в результате векторного сложения L и S (|Z—S|^J«^Z+S).
Чтобы это учесть, внизу справа пишется индекс J. Например, кривая, помечен-
ная символом 3d2 (рис. Л.1), показывает, как изменяется в зависимости от энергии
фаза парциальной волны 1=2 (d-состояние), когда рассеяние происходит в трип-
летном состоянии с J=2. Наконец (см. рис. Л.1), фазовые сдвиги в изотриплетном
состоянии (7= 1) отличаются от фазовых сдвигов в изосинглетном состоянии (7=0).
Как нетрудно видеть, на рис. Л.1 представлена энергетическая зависимость
фаз рассеяния лишь при 1^2 и при энергиях до 400 МэВ. Это та область, которая
особенно важна для физика-ядерщика. Дело в том, что средние кинетические энер-
гии нуклонов ядерной системы — порядка 20 МэВ и, следовательно, данных
рис. Л.1 вполне достаточно для понимания важнейших характеристик ядер.
Б. Отталкивательная сердцевина (кор)
Чтобы уяснить себе физический смысл представленных результатов, чита-
тель должен в качестве упражнения убедиться (вернувшись к рис. К.2) в том, что
фаза рассеяния 6; (k) отрицательна или положительна в зависимости от того, яв-
ляется ли эффективный потенциал при энергии А+2/2ц отталкивательным или при-
тягивающим (в первом случае происходит опережение, а во втором — отставание
рассеянной волны относительно свободной волны). В случае нуклон-нуклонного
рассеяния эффективный потенциал оказывается либо отталкивающим, либо при-
тягивающим в зависимости от состояния и энергии системы. Например, поведение
фазы рассеяния ls0 (в этом случае центробежный барьер отсутствует) показывает,
что в этом состоянии нуклон-нуклонный потенциал имеет характер притяжения
приблизительно до 250 МэВ (б>0), а затем становится отталкивающим (б<0).
В этом можно видеть неоспоримое доказательство существования отталкивания
на малых расстояниях. Если представить себе отталкивающую часть потенциала
в виде бесконечно сильного отталкивания на меньших расстояниях (жесткая серд-
цевина или кор), то порядок величины Ь можно оценить, руководствуясь формулой
(К-35). А именно
—dfi^/dk,
откуда, учитывая энергетическую зависимость фазы рассеяния xs0, получаем
й=»0,6 Ф. Такой грубой аппроксимации часто оказывается достаточно при реше-
нии ядерных задач; в частности, она позволяет понять, почему ядра не могут кол-
лапсировать (сжиматься в точку, гл. 4).
В. Тензорный и спин-орбитальный потенциалы
Существование тензорного и спин-орбитального потенциалов (гл. 7) проявля-
ется (на рис. Л.1) в различной энергетической зависимости фаз рассеяния sdlt
3d2 и 3d3 (в отсутствие названных потенциалов они должны были бы быть одинако-
выми), а также фаз рассеяния Зро, Яр1 и Зр2. Предлагаем читателю использовать ре-
зультаты фазового анализа на рис. Л.1 по аналогии с упр. 2.3 для объяснения
свойств дейтрона (связанное состояние \ с малой примесью волны 3d1) и характе-
ристик спин-орбитального потенциала, используемых в оболочечной модели (уров-
ни с /=z+l/2 лежат ниже, чем с j=l—1/2).
300 ДОПОЛНЕНИЕ Л. НУКЛОН-НУКЛОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Г. Юкавская константа связи
Как указывалось в гл. 2, именно анализ, проводившийся методом парциаль-
ных волн, нуклон-нуклонного взаимодействия позволил точно определить кон-
станту связи юкавского потенциала. Этот метод дает возможность выделить вкла-
ды в амплитуду рассеяния от волн с />£р-1 (с классической точки зрения с при-
цельными параметрами, превышающими р-1), так что для нахождения величины
(fine достаточно сравнить экспериментальное значение этих вкладов с теоретиче-
скими, вычисленными на основе потенциала Юкавы. Согласие оказывается вполне
удовлетворительным для всех J^0,7^p-1 (асимптотическая форма становится реа-
листической уже при Ф), если принять значение g2/ftc=14,8.
ЛИТЕРАТУРА1)
1,	Brink D. M., Nuclear forces, Oxford, Pergamon Press, 1965. В историче-
ском контексте вводятся основные понятия ядерной физики и воспроиз-
водятся наиболее важные журнальные статьи.
2.	Goldstein Н., Classical mechanics, New York, Addison-Wesley, 1971.
[Имеется перевод: Голдстейн Г. Классическая механика.— М.: Наука,
1978.1
3.	a) Wickmann Е. Н., Quantum physics, Berkeley course, New York, McGraw-
Hill, 1967.
b) Feynman R. P., Lectures on physics, New York, Addison-Wesley, 1964,
Vol. HI, Ch. 1—4. [Имеется перевод: Фейнман P. П. Фейнмановские
лекции по физике, т. 3.— М.: Мир, 1967.]
4.	PSSC, La physique, Paris, Dunod, 1970. Элементарное изложение, ука-
зывается здесь для будущих преподавателей.
5.	Baranger М., Sorensen R., The size and shape of atomic nuclei.— Scien-
tific American, 221, No. 2, p. 58 (1969).
6.	Расчеты на ЭВМ рассеяния волнового пакета содержатся в статье: Gold-
berg A. et al., American Journal of Physics, 35, 177 (1977).
7.	В порядке возрастающей трудности:
а)	Книга [3].
б)	Merzbacher Е., Quantum mechanics, New York, John Wiley, 1962.
в)	Cohen-Tannoudji C., Diu B., Laloe F., Mecanique quantique, Paris,
Hermann, 1973.
r)	Messiah A., Mecanique quantique, Paris, Dunod., ch X. [Имеется пере-
вод: Meccua А. Квантовая механика.— М.: Наука, 1978.]
д)	Ландау Л. Д-, Лифшиц Е. М. Квантовая механика.— М.: Наука,
1974, гл. XVII и XVIII.
8.	Мы предполагаем, что читатель знаком с основами масс-спектроскопии.
В противном случае рекомендуем обратиться к гл. 4 книги: Enge Н. А.,
Introduction a la physique nucleaire, Paris, Masson, 1972.
9.	Прежде чем обращаться к работам [7], те, кто интересуется философскими
вопросами, могут прочитать работу: Margeneau Н., Philosophy of scien-
ce, 11, 187 (1944).
10.	Moravcsik M. J., The two-nucleon interaction, Oxford, Clarendon Press,
1963.
11.	Wick G. C., Range of nuclear forces in Yukawa’s theory.— Nature, 142,
994 (1938). Данная статья перепечатана в книге [1].
(с) 12. Ebel G. et al., Nuclear physics, B33, 317 (1971).
13.	Cagnac В , Pebay J. C., Introduction a la physique atomique, Paris,
Dunod, 1970.
(c) 14. Feynman R. P., Quantum electrodynamics, New York, Benjamin, 1961.
[Имеется перевод: Фейнман P. П. Квантовая электродинамика.— М.:
Мир, 1969.]
15. Чтобы составить себе интуитивное представление, можно прочитать
гл. IV книги [1] и два первых параграфа гл. XII книги [16].
1) Литература, помеченная звездочкой, добавлена при переводе.— Прим,
перев.
302
ЛИТЕРАТУРА
(с) 16. Omnes R., Introduction a 1’etude des particules elementaires, Paris, Edis-
cience, 1970.
17.	Читатель, знакомый с квантовой механикой, может без труда ознако
миться с пятью первыми главами книги: Bjorken J. D., Drell S. D , Rela
tivistic quantum mechanics, New York, McGraw-Hill, 1964. [Имеется
перевод: Бьёркен Дж., Дрелл С. Релятивистская квантовая теория__________
М.: Наука, 1978.]
18.	а, Р and у spectroscopy, ed. К. Siegbahn, Amsterdam, North-Holland
1966, Ch. XXVI. [Имеется перевод: Альфа-, бета- и гамма-спектроско-
пия./Под ред. К- Зигбана.— М.: Атомиздат, 1969.1
19.	Пока было бы преждевременно давать ссылки на работы по слабому
взаимодействию. Они будут цитироваться в четвертой части настоящей
книги.
20.	[18], гл. XXIV А.
21.	Bohm D., The special theory of relativity, New York, Benjamin, 1965.
[Имеется перевод: Бом Д. Специальная теория относительности.— М.:
Мир, 1967.] Мы рекомендуем эту книгу будущим преподавателям. В ней
излагается дискуссия «Лоренц — Эйнштейн»; трудности того периода
в ней связываются с понятием сохранения у ребенка, исследовавшимся
школой Пиаже.
(с) 22. См. книги [138, 140].
(с) 23. Weinberg S., Physical review letters, 19, 1264 (1967).
24.	Зависимости между свойствами энергии связи и характеристиками
нуклон-нуклонного взаимодействия подробно рассматривается в гл. III
книги:
Blatt J. М., Weisskopf F., Theoretical nuclear physics, New York, John
Wiley, 1952. [Имеется перевод: Блатт Дж., Вайскопф В. Теоретическая
ядерная физика.— М.: ИЛ, 1954.]
25.	Bohr A., Mottelson В., Nuclear structure vol. I, New York, Benjamin,
1969, Appendice K‘> ch. II. [Имеется перевод: Бор О., Моттельсон Б
Структура атомного ядра, т. 1.— М.: Мир, 1971, приложение К и гл. II.I
26.	Книга [25], с. 168.
27.	Подробное рассмотрение модели ферми-газа см. в книге:
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика.— М.: Наука, 1951.
28.	Этот вопрос разбирается в гл. VI.
29.	Nozieres Р., Pines D., The theory of quantum liquids, New York, Benjamin,
1966. [Имеется перевод: Нозьер Ф., Пайне Д. Теория квантовых жидкос-
тей.— М.: Мир, 1967.]
30.	Понятие ядерной температуры вводится в гл. IX. Классической работой
является обзор:
Bethe Н., Reviews of modern physics, 9, 71 (1937).
(с) 31. Подробные сведения об ускорителях даются в книге:
Livingston М. S., Blewett J., Particle accelerators, New York, McGraw-
Hill, 1963.
(c) 32. a) MottN. F., Massey H. S., Theory of atomic collisions, Oxford, Pergamon
Press, 1954. [Имеется перевод: Мотт H., Месси Г. Теория атомных столк-
новений.— М.: Мир, 1969.]
б) Riston D. М., Techniques of high energy physics, New York, John Wi-
ley, 1963.
(c) 33. a) Jackson J. D., Classical electrodynamics, New York, John Wiley, 1962,
Ch. XV. [Имеется перевод: Джексон Дж. Классическая электродинами-
ка.— М.: Мир, 1965.]
б)	Fermi Е„ Nuclear physics, Chicago, III., University of Chicago Press,
1960, Ch. II. [Имеется перевод: Ферми Э. Ядерная физика.— М.: ИЛ,
1951.1
34.	Rich М., Modey R., Range energy tables, Berkeley report UCRL 2301.
35.	См. ссылки [86, 336], а также [32].
ЛИТЕРАТУРА
303
36.	По вопросам принципиального характера см.:
a)	de Witt В., Quantum mechanics and reality.— Physics Today (23 sept.
1870).
По поводу экспериментальных исследований в области физики высоких
энергий см. [32] и по ядерной физике см.:
б)	Ссылка [18].
По вопросам электроники см.:
в)	Malinstadt et al.. Electronics for scientists, New York, Benjamin, 1964.
37.	Martin B., Statistics for physicists. New York, Academic Press, 1972.
38.	Lefort M. Introduction a la chimie nucleaire, Paris, Dunod, 1966.
39.	Eisenberg J. M., Greiner IE., Nuclear models, Amsterdam, North-Holland,
1970.
40.	Guillien R., Physique nucleaire appliquee, Paris, Eyrolles, 1962.
41.	Rodier J., Chassany J. P., Manuel de radioprotection, Paris, Maloine, 1973.
42.	Le Henaff Y., La pollution radioactive, Supplement a Survivre et vivre.
43.	Tuck J., L’energie de fusion.— La recherche, fevrier 1972.
44.	Science and Public Affairs, mai 1972, p. 37.
45.	Kittel C., Introduction to solid state physics, New York, John Wiley,
1967. [Имеется перевод 1-го издания: Киттель Ч. Введение в физику
твердого тела.— М.: Физматгиз, 1963.]
46.	Piraux J., Radioisotopes and their industrial applications, London, Spring-
field, 1966.
47.	a) Kamen M., Tracer techniques in biology and medicine, New York, Aca-
demic Press, 1965.
6)	Wolf G., Isotopes in biology. New York, Academic Press, 1963.
48.	Albert P., L’analyse par radioactivation, Paris, De Visscher, 1962.
49.	Weinberg S., Les trois premieres minutes de 1’univers, Paris, Seuil, 1978.
50.	a) Omn'es R., Le role des particules en cosmogenese.— Annales de physi-
que, 4, 511 (1969).
6)	Omnes R., The possible role of elementary particle physics in cosmology'.—
Physics Reports, 3C, No. 1 (1972).
в)	Omnes R., L’univers et ses metamorphoses, Paris, Hermann, 1973.
51.	Audouze J., Vauclair S., L’astrophysique nucleaire, Paris, P. U. F. Que
sais-je? 1972.
52.	Reeves H., Evolution stellaire et nucieosynthese, Paris, Dunod, 1968.
53.	Clayton D., Principles of stellar evolution and nucleosynthesis, New York,
McGraw-Hill, 1966.
54.	Levy-Leblond J. M., Mecanique quantique des forces de gravitation et sta-
bilite de la metiere.— Journal de physique, supplement a No. 11—12, 20,
C3—43 (1969).
55.	Oppenheimer J., Volkoff G., Physical review, 55, 374 (1939).
56.	Baym G., Neutron stars, Copenhague, Nordita, 1971.
57.	Trimble V., Reines F., Review of modern physics, 45, 1 (1973).
58.	Некоторые подробности см. в гл. XI книги [18].
59.	В исторической перспективе исследования рассеяния а-частиц излагаются
в статье:
Elsberg R. М., Porter С. Е., Scattering of alpha particles.— Review of
modern physics, 33, 190 (1961).
(c) 60. При переходе к системе центра масс возникают некоторые вопросы, свя-
занные с числом степеней свободы. Они рассматриваются в статье: Pei-
erls R., Thouless D., Nuclear physics, 38, 154 (1962).
(c) 61. Книга [25|, c. 220.
62.	Работы |7|.
(c) 63. См., например, гл. VI книги [1].
64.	Blomqvist J., Wahlborm S., Arkiv Fysik, 16 , 545 (1960).
65.	Campi X., Dans: Proceedings of the conference on Hartree—Fock self con-
sistent theory of nuclei, Trieste, 1975.
304
ЛИТЕРАТУРА
66.	Brillouin L., L’atome de Thomas—Fermi, Paris, Hermann, 1934.
67.	Baranger M., Cargese Lectures in theoretical physics, New York, Benia-
min, 1962.
68.	Quentin P., Flocard H., Am. Rev. Nucl. Part. Sci., 28; 523 (1978).
69.	Mottelson R. R., Topics in nuclear structure theory, Copenhague, Nordita
No. 288 (1967).
70.	Barlow Q. M., The structure of molecules, New York, Benjamin, 1963.
71.	С другими точками зрения можно познакомиться в работах:
а)	[25], т. II.
б)	Eisenberg J., Greiner IF., Nuclear models, Amsterdam, North-Holland
1970.
в)	Rowe D. J., Nuclear collective motion, London, Methuen, 1970.
r)	Brown G., Unified theory of nuclear models, Amsterdam, North-Holland,
1964. [Имеется перевод: Браун Дж. Единая теория ядерных моделей и
сил.— М.: Атомиздат, 1970.1
72.	Mukerjee, Cohen, Physical review, 127, 1284 (1962).
73.	Bresman M., Bernstein A., Physical Review, 120 , 927 (1960).
74.	Книга [18[, гл. X.
75.	Nilsson S. G., Kgl. Dan. Vid. Selsk. Mat. Fys. Medd., v. 29, No. 16, (1955).
76.	Общие идеи no данному вопросу излагаются в книге:
a)	Feynmann R. Р. et al., Lectures on physics, Palo Alto, Addison-Wesley,
1963, v. 3. [Имеется перевод: Фейнман P. П. и др. Фейнмановские лекции
по физике. Т. 3.— М.: Мир, 1967.]
Более подробное изложение можно найти в книге:
б)	Schrieffer J. R., Theory of superconductivity, New York, Benjamin,
1964. [Имеется перевод: Шриффер Дж. Теория сверхпроводимости.—
М.: Наука, 1970.]
Приложение этих идей в ядерной физике см. в статье:
в)	Bohr A. et al., Physical Review, 110, 936 (1958).
Для ознакомления с понятием квазичастицы см. гл. 1 книги:
г)	Nozi'eres Р., Le probleme a N corps, Paris, Dunod, 1963.
Об использовании этого понятия в ядерной физике см. работу:
д)	Gillet V., Elements de physique nucleaire theorique, notes publiees par
le С. E. N. de Sac lay.
77.	Anderson P. IF., Physical review letters, 30, 368 (1973).
78.	a) Taylor J. R., Scattering theory, New York, John Wiley, 1972. [Имеется
перевод: Тейлор Дж. Теория рассеяния.— М.: Мир, 1975.]
б)	Newton R. G., Scattering theory of waves and particles, New York,
McGraw-Hill, 1966. [Имеется перевод: Ньютон P. Теория рассеяния
волн и частиц.— М.: Мир, 1969.]
79.	Lynn J. Е., Neutron resonance reaction, Oxford, Clarendon Press, 1966.
80.	a) Ericson T., Advances in physics, 9, 425 (1960).
6)	Ericson T., Strutinski V., Nuclear Physics, 8, 284 (1958).
в)	Preston M. A., Physics of the nucleus, Palo Alto, Addison-Wesley,
1963, Ch. 17. [Имеется перевод: Престон Al. Физика ядра.— М.: Мир,
1964.]
г)	Hauser Н., Feshbach N., Physical review, 87, 366 (1952).
81.	Reif F., Statistical and thermal physics, New York, McGraw-Hill, 1965,
82. Grover J. R., Gilat J., Physical review, 157, 803 (1967).
83.	Riou M., Ruhla C., Progress in nuclear physics. В книге [1].
84.	Cohen В., Concepts of nuclear physics, New York, McGraw-Hill, 1971.
85.	a) Griffin J. J., Physical review letters, 17, 478 (1966).
6)	Lefort M. La chimie nucleaire, Paris, Dunod, 1966.
в)	Feshbach H., Reviews of modern physics, 46, No. 1 (1974).
r)	Blann Al.— In: Proceedings of the Plitvice Lakes conference, Berlin,
Springer-Verlag.
86.	Книга [25], c. 165.
ЛИТЕРАТУРА
305
87.	Austern N., Direct nuclear reactions theories, New York, John Wiley, 1970-
88.	Feshbach H., Porter C., Weisskopf V., Physical review, 96, 448 (1954).
89.	Feshbach H., Kerman A., Lemmer R., Annals of physics, 41, 230 (1967).
90.	a) Jones P. B., The optical model in nuclear and particle physics, New York,
John Wiley, 1963.
6)	Hodgson P. E., Nuclear reactors and nuclear structure, Oxford, Claren-
don Press, 1971.
91.	Bardsley J. N., Mandi F.— In: Reports on progress in physics, v. XXXI,
part 11, 1968, p. 471. В этой статье входные (doorway) атомные состояния
называются «резонансами Фешбаха».
92.	a) Norenberg IP., Weidenmuller И. A., Introduction to the theory of heavy-
ion collisions, Berlin, Springer-Verlag, 1976.
6)	Hodgson P. E„ Nuclear heavy-ion reactions, Oxford, Clarendon Press,
1978.
93.	Sobel M. /., et al.. Nuclear physics, A 251, 502 (1975).
(c) 94. Lee T. D., Review of modern physics, 47, 267 (1975).
95.	Wigner E., Symmetries and reflexions, Bloomington, Indiana University
Press, 1967. [Имеется перевод: Вигнер E. Этюды о симметрии— М.: Мир,
1966.1
96.	Laporte О., Zs. Physik, 23, 135 (1924).
97.	Книга [16|, с. 261.
98.	Wigner Е., Gruppentheorie und ihre Anwendungen, Berlin, F. Vievey,
1931, Ch. 18. [Имеется перевод: Вигнер E. Теория групп и ее приложение
к квантовомеханической теории атомных спектров.— М.: ИЛ, 1961.]
99.	Jeager F. М., The principle of symmetry, Amsteidam, Elzevir, 1920.
100.	Wu C. S. et al., Physical review, 105, 1413 (1957).
101.	Garwin R., Lederman L., Weinrich M., Physical review, 105, 1415 (1957).
102.	Lee T. D., Yang C. N., Physical review, 106, 340 (1957).
103.	Sakurai J. J., Invariance principles, Princeton, N. J., Princeton Univer-
sity Press, 1964.
104.	Davies С. P., Physics of time asymmetry, Berkeley, Calif., University of
California Press, 1977.
105.	a) Jammer M., The conceptional development of quantum mechanics,
New York, McGraw-Hill, 1966.
6)	Einstein A., Philosopher-scientist, New York, Harper, 1959.
в)	Bohr N., Atomic physics and human knowledge.
106.	Goldhaber M. et al., Physical review, 109, 1015 (1958).
107.	Particle Data Group, Review of particle properties.— Physics Letters,
505, No. 1 (1974).
108.	Christenson J. H. et al., Physical review letters, 13, 138 (1964).
(c) 109. Wilkinson D., Isospin in nuclear physics, Amsterdam, North-Holland,
1969.
110.	Anderson, Wong, Physical review, 126, 2170 (1962).
111.	Gell-Mann M., He'eman Y., The eightfold way, New York, Benjamin, 1966.
112.	Kokedee J. J., Quark model, New York, Benjamin, 1969. [Имеется перевод:
Коккедэ fl.. Теория кварков.— М.: Мир, 1971.]
113.	TingS., Richter В., Review of modern physics, 49 235, 251 (1977).
114.	Glashow S. et al., Physical review, D 2, 1285 (1970).
(c) 115. Feynman R., Photon-hadron reactions, New York, Benjamin, 1972.
116.	Greenberg, Physical review letters, 13, 598 (1964).
117.	Regge T., de Alfaro V., Potential scattering, Amsterdam, North-Holland,
1965. [Имеется перевод: Редже T., де Альфаро В. Потенциальное рассея-
ние.— М.: Мир, 1966.]
118.	Введением в теорию полюсов Редже может служить гл. 14 книги [16].
Но прежде, чем к ней обращаться, читателю рекомендуется:
а)	Поанакомиться с соотношением «причинность — аналитичность»,
прочитав дополнение к книге:
И № 2114
306
литература
Leite-Lopes J, Introduction a la physique atomique, Paris, Hermann, 1966.
б) Познакомиться с перекрестной симметрией, прочитав гл. 8 книги [16].
119. a) Lipkin Н., Lee groups for pedestrians, Amsterdam, North-Holland, 1966^
Затем следует обратиться к книгам [111, 112]. Дополнительные сведения
по теории групп можно найти в книгах:
б)	Hammermesch М., Group theory, Palo Alto, Addison-Wesley, 1964.
[Имеется перевод: Хаммермеш М. Теория групп и ее применение к физи-
ческим проблемам.— М.: Мир, 1966.1
в)	Tinkham М., Group theory and quantum mechanics, New York, McGraw-
Hill, 1964.
r) Heine V., Group theory, Oxford, Pergamon Press, 1960.
120.	Dyson F., Symmetry groups in nuclear and particle physics, New York,
Benjamin, 1964.
121.	Книга [69], c. 21.
122.	Jackson J. D., Classical electrodynamics, New York, John Wiley, 1962.
[Имеется перевод: Джексон Д. Классическая электродинамика.— М.
Мир, 1965.1
123.	Cagnac В., Pebay J. С., Introduction a la physique atomique, Paris, Dunod,
1971.
(с) 124. Proceedings of the international conference on nuclear moments and nuclear
structure, Osaka, Physical society of Japan, 1973.
125.	Curie Pierre, Oeuvres, Paris, Gauthier-Villars, 1958, p. 78. [Имеется пере-
вод Кюри Пьер Избранные труды.— М.— JL: Наука, 1966.]
126.	Kopfermann J., Nuclear moments, New York, Academic Press, 1958.
[Имеется перевод: Копферман Г. Ядериые моменты.— М.: ИЛ, I960.]
127. Blin-Stoyle, Theories of nuclear moments, Oxford, Pergamon Press, 1960.
(c) 128. Siegert A., Physical review, 52, 787 (1937).
129.	a) Abragam A., L’effet Mossbauer, New York, Gordon and Breach, 1964
6)	Frauenfelder G., Mossbauer effect, New York, Benjamin, 1966. [Имеется
перевод: Фрауенфельдер Г. Эффект Мёссбауэра.— М.: Мир, 1966.|
130.	Wertheim G., Mossbauer effect, New York, Academic Press, 1964. [Имеется
перевод предыдущего издания: Вертхейм Г. Эффект Мёссбауэра. Прин-
ципы и применения.— М.: Мир, 1966.]
131.	Книга [18], гл. XIX.
132.	Hyperfine interaction, Palo Alto, Addison-Wesley, 1967.
133.	Гипотезы обсуждаются в книге [24]. Поправки были найдены Можков-
ским. О них говорится в гл. XV книги [18].
Аналогичная проблема в атомной физике рассматривается в книге:
Shore В. IV., Menzel D. Н„ Principles of atomic spectra, New York, John
Wiley, 1968.
134.	Книга [18], гл. XVI.
(с) 135. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика.— М--
Наука, 1981.
136. Wigner Е., Review of modern physics, 29, 225 (1957).
137. Гл. IV книги [16] и гл. IX книги:
Hagedorn R., Relativistic kinematics, New York, Benjamin, 1964.
(c) 138. Kallen G., Introduction to elementary particle physics, Palo Alto, Addison-
Wesley, 1964.
139. National Bureau of Standards, Table for the analysis of beta spectra,
N. B. S., No. 13 (1952).
(c) 140. Schopper H. F., Weak interactions and beta decay, Amsterdam, North-
Holland, 1967.
141. а) Книга [78a]; б) книга [786].
142*. Пятьдесят лет современной ядерной физики.— М.: Атомиздат, 1982.
143*. Шпольский Э. В. Атомная физика. Т. 1.— М.— Л.: ГИТТЛ, 1951.
144*. Барретт Б., Джексон Д. Размеры и структура ядер.— Киев; Наукова
Думка, 1981.
ЛИТЕРАТУРА
307
145*. de Jager J., de Vries H., de Vries C.— ADNDT, 1974, v. 14, p. 479.
146*. Engfer F. et al.— ADNDT, 1974, v. 14, p. 504.
147*. Vogel P.— ADNDT, 1974, v. 14, p. 599.
148*. Boehm F., Lee P. L.— ADNDT, 1974, v. 14, p. 605.
149*. Heiling K-, Stendel A.— ADNDT, 1974, v. 14, p. 615.
150*. Lacomb M. etal.— Phys. Rev., 1975, v. D12, p. 1495; 1980, v. C21, p. 861.
151*. Erkelanz K-— Phys. Rev., 1974, v. 13, p. 191.
152*. Nagels M. M., et al.— Phys. Rev., 1975, v. D12, p. 744.
153*. Reid R. V.— Ann. of Phys., 1965, v. 50, p. 411.
154*. Eikemeier H., Hackenbroch H. H.— Nucl. Phys., 1971, v. A169, p. 407.
155*. Тамм И., Иваненко Д.— Nature, 1934, v. 133, p. 981.
156*. Arnison G. et al.— Phys. Lett., 1983, v. B122, p. 103.
157*. УФН, 1983, t. 141, c. 499.
158*. Глэшоу Ш., Вайнберг С., Салам А.— УФН, 1979, т. 132, с. 201.
159*. Beiner М., Lombard R J.— Ann. of Phys., 1974, v. 86, p. 262.
160*. Струтинский В. M.— Яф, 1966, т. 3, с. 614.
161*. Myers №. J_, Swiatecki W J.— Nucl. Phys., 1965, v. 81, p. 1.
162*. Seeger P. A., Howard №. M.— Nucl. Phys., 1975, v. A238, p. 491.
163*. Garvey G. T. et al.— Rev. Mod. Phys., 1969, v. 41, p. SI.
164*. Колесников H. H.— Вестник МГУ, сер. физ.-астр., 1966, № 6, с. 76.
165*. Zeldes N.— Ark. Fys„ 1967, v. 36, p. 361.
166*. Оганесян Ю. Ц. и др — Письма ЖЭТФ, 1976, т. 23, с. 306.
167*. Munzenberg G. et al.— Zs. Phys., 1984, В. 315A, S. 145, 83.
168*. Черни Д., Посканцер А.— УФН, 1980, т. 131, с. 45.
169*. Давыдов А. С., Филиппов Г. Ф. Возбужденные состояния атомных
ядер.— М.: Атомиздат, 1967.
170*. Соловьев В. Г. Теория сложных ядер.— М.: Наука, 1971.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Авогадро (Avogadro) I 35, 43, 165
Аллен (Allen) / ПО
Альварец (Alvarez) / 73, 108, // 226
Альвен (Alfven) / 186
Амбарцумян А. В. / 190
Ампер (Ampere) II 247
Андерсон (Anderson) I 84, 87
Архимед (Archimede) / 152
Астон (Aston) / 47
Бабинэ (Babinet) / 24
Байер (Bayer) / 104
Балдин А. М. II 128
Бардин (Bardeen) II 64
Батлер (Butler) // 155
Беккерель (Becquerel) / 95
Бенж (Bunge) / 33
Бессель (Bessel) II 280, 283
Бете (Bethe) / 133, 134, 139, 146, 152,
207, 208, 229, // 23, 36
Био (Biot) // 152
Блох (Bloch) / 73, 226
Бозе (Bose) //62
Больцман (Boltzmann) / 148, // 147
Бор (Bohr) / 107, // 81, 85, 90, 130, 149,
176, 232, 250
Брейт (Breit) // 91, 92, 95, 96
Бройль де (Broglie de) I 24, 25, 36, 222
Вайнберг (Weinberg) / 120
Вайскопф (Weisskopf) // 258
Ван-де-Грааф (Van de Graaf) / 154, 155
Ван-дер-Ваальс (Van der Waals) / 136
Вапстра (Wapstra) / 126
Вейль (Weil) // 143
Вейцзекер (Weizsacker) / 133, 134, 139,
146, 152, 229, // 23, 36
Виганд (Wiegand) I 91
Вигиер (Wigner) I 89, // 91, 92, 95, 96,
138, 148, 236
Вик (Wick) / 61
Вильсон (Wilson) / 84, 163, // 155
Волков (Wolkoff) / 203
By (Wu) //141
Вудс (Woods) // 8, 10, 16, 18, 20, 23,
28, 35, 79, 110, 112
Вустер (Wooster) / 105
Галилей (Galilae) / 153
Гамов (Gamow) / 182, 184—186, 206,
232, 239, 240
Гаррисон (Harrison) / 187
Гаусс (Gauss) / 130, 180, // 233, 247
Гейгер (Geiger) / 13, 15, 21, 169, 170,
182, Il 77
Гейзенберг (Heisenberg) / 24 , 23, 37.
44, 52, 59—62, 64, 78, 96, 103, 107,
149, 156, 162, // 173
Гелл-Манн (Gell-Mann) // 159, 193,
194, 206
Герлах (Gerlach) / 72, 225
Герц (Hertz) / 76
Герцшпрунг (Hertzsprung) / 188, 191,
209
Гесс (Hess) / 83
Глейзер (Glaser) // 155
Глэшоу (Glashow) / 120, 195
Гокель (Gockel) / 83
Гольдхабер (Goldhaber) // 150
Гордан (Gordan) // 235
Гордон (Gordon) / 85, 91, 226, 228
Гоув (Gove) / 126
Гошал (Ghoshal) // 83, 85
Грин (Green) // 250
Гродзинс (Grodzins) // 150
Джозефсон (Josephson) // 63
Дирак (Dirac) I 53, 83, 85—88, 91,
110, 111, 226, 228, // 143, 144, 219,
225, 226, 266
Доплер (Doppler) / 184, // 238, 239,
241
Дэвис (Да vis) / 113, 208
Зееман (Zeeman) // 131, 173, 177, 225,
229, 245
Зюсс (Sflss) // 18
Иваненко Д- Д- I 59
Неясен (Jensen) //18
Илиопулос (Iliopulos) II 195
Ипсилантис (Ipsilantis) / 91
именной указатель
309
Камерлинг-Оннес (Kamerlingh-Onnes)
//63
Кеплер (Kepler) / 19
Клебш (Clebsh) // 235
Клейн (Klein) / 85, 91, 186, 226, 228
Клемперер (Klemperer) / 99
Кован (Cowan) / 111—ИЗ
Кокрофт (Cocroft) / 158
Комптон (Compton) // 266
Кориолис (Coriolis) // 57
Крамере (Kramers) II 147
Кронин (Cronin) // 167
Кулон (Coulomb) / 122, 123, // 247
Купер (Cooper) II 64, 66
Кьеркегор (Kierkegaard) // 149
Кюри М. (Curie М.) I 96, // 273, 274
Кюри Р. (Curie Р.) // 231
Лагерр (Laguerre) // 13
Ландау Л. Д. // 63
Ланде (Lande) // 176
Лаплас (Laplace) / 211, 222
Лапорт (Laporte) // 133, 134, 138
Ледерер (Lederer) // 69
Лежандр (Legendre) // 282, 285, 287
Лемэтр (Lemaitre) I 184, 185, 206
Леннард-Джонс (Lennard-Johns) / 135
Ли (Lee) // 141, 146
Лондон (London) // 63
Лоренц (Lorentz) / 84, // 139, 146, 248
Лоуренс (Lawrence) / 156
Майани (Maiani) // 195
Майер (Мауег) // 18
Максвелл (Maxwell) / 28, 51, 60, 150,
226—228 // 132, 139, 144, 146, 247,
250, 266
Марсден (Marsden) / 13, 15
Маттаух (Mattauch) / 126
Мейснер (Meisner) // 63
Мейтнер (Meitner) I 104, 105
Менделеев Д. И. / 51
Мёссбауэр (Mossbauer) / 42, 104, //
151, 172, 231, 238—241, 243
Мун (Moon) // 238
Мюллер (Muller) / 169, 170, 182, II П
Нееман (Ne’eman) // 206
Нильссон (Nilsson) II 57, 72
Нишиджима (Nishijima) // 159
Ньютон (Newton) / 122, 123
Оже (Auger) / 110
Окубо (Okubo) // 192
Оппенгеймер (Oppenheimer) / 203
Пастер (Pasteur) / 153, // 140
Паули (Pauli) / 53, 54, 71, 104, 106,
107, 113, 143, // 7, 9, 14, 19, 29, 31,
48, 51, 62, 107, 112, 116, 143, 177
Пауэлл I 59 (Powell) / 59, 83, 114
Пензиас (Penzias) / 182, 186
Перлман (Perlman) // 69
Планк (Planck) / 24, 36, 222, // 128
Пойнтинг (Poynting) // 249
Раби (Rabi) // 226
Рамзауэр (Ramsauer) / 160, // ПО, 112,
113
Рассел (Russel) / 188, 191, 209
Редже (Regge) // 199, 200, 202, 203,
207
Резерфорд (Rutherford) / 12—15, 19,
21, 23, 28, 29, 66, 71, 83, 96, 171
Рейд (Reid) / 58
Рейнес (Reines) / 111-113
Рентген (Rontgen) / 95
Рочестер (Rochester) // 155
Савар (Savart) // 152
Салам (Salam) / 120
Саксон (Saxon) II 8, 10, 16, 18, 20, 23,
28, 35, 79, НО, 112
Саньяр (Sunyar) // 151
Сегре (Segre) / 91
Слэтер (Slater) //9
Солпитер (Salpeter) / 190, 194, 207
Тамм И. Е. / 59
Тейлор (Taylor) // 214, 215
Томсон (Thomson) / 15, 21
Уилсон (Wilson) / 183, 186
Уолтон (Walton) / 158
Фарадей (Faraday) // 247
Ферми (Fermi) / 53, 74, 104, 107, 123,
139, 148—153, 204, // 22, 25—27, 29,
31, 34, 52, 66, 108, 115, 149, 268 , 273,
275 277
Фитч (Fitch) // 167
Фок В. А. / 133, // 28, 30, 31
Фоккер // 128 (Fokker) // 128
310
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Франк (Frank) / 76
Фраунгофер (Fraunhoffer) // 118—120,
130
Фраучи (Frautschi) // 199, 200
Френель (Fresnel) // 118—120, 130
Хаббл (Hubble) / 182, 184
Хадсон (Hudson) II 141
Хакенбройх (Hackenbroich) / 58
Хаксель (Haxel) II 18
Хан (Hahn) I 105
Хартри (Hartree) / 133, II 28, 30, 31
Хаяши (Hayashi) I 190
Хейворд (Hayward) // 141
Хойл (Ноу!) / 194
Холландер (Hollander) //69
Хоппе (Hoppes) // 141
Шмидт (Smidt) // 227, 229—231
Шредингер (Schrodinger) / 39, 60, 91
211, 222—224, 234, // 5, 9, 10, 27
66, 109, 115, 154, 209, 210, 280
Шриффер (Schrieffer) // 64
Штарк (Stark) // 154, 171
Штерн (Stern) / 72, 73, 225, 226
Штерн хеймер (Stenrheimer) // 242
Эйкемейер (Eikemeier) / 58
Эйнштейн (Einstein) I 185, // 62, 149
Эккарт (Eckart) // 236
Эллиот (Elliot) // 206
Эллис (Ellis) 1 105
Эмблер (Ambler) // 141
Эренфест (Ehrenfest) II 252
Эрмит (Hermite) // 12
Цвейг (Zweig) // 193, 194
Чандрасекар (Chandrasekhar) / 201,
202
Чемберлен (Chamberlain) / 91
Чу (Chew) // 199, 200
Чэдвик (Chadwick) / 13
Юкава (Yukawa) / 52, 59, 60—64, 114,
226, 227, // 202, 300
Янг (Yang) // 141, 146
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адиабатическое размагничивание 11 141
Адроиы 7 79, II 160, 192, 202
Адронный гамильтониан II 176, 191
— мешок 198
Активность изотопа I 128
----единица / 128
Аксиальный вектор (псевдовектор) II
139
а-распад / 229
а-спектроскопия / 237
Амплитуда рассеяния / 12, 36—43, 66,
71, 82, Н 297
Аналогия между рассеянием и диф-
ракцией 7 68
Аналоговые состояния // 181
Ангармоничность колебательного дви-
жения /7 45
Аннигиляционное давление 7 186, 187
Аннигиляция I 87
— (е~, е+) 7 88
— на 2 у / 88
Антивещество I 91
Антигалактики / 92
Антимезон I 91
Антинейтрино I 98, 106
— наблюдение / 111
Антинейтрон / 91
Антипараллельные спины / 53
Антипротон I 88, 91
Антисовпадения II 171
Аитиунитарное преобразование II 154
Античастицы 7 83, 90
Антиэлектрон / 83, 85
Аппаратная форма линии II 76
Аромат II 194, 195
Асимптотическая свобода II 197
Атом I 10
Атомные массы / 99
Атомный номер I 12, 241
Базис БКШ II 60, 64, 68
— оболочечной модели /7 68
—сферических волн II 281
Барионный заряд (барионное число)
/ 88—90
Барн 7 19, II 220
Барьер деления II 124
Безвихревые жидкости II 43
Безлептонные распады 7 117
Беккерель (единица измерения) 7 128
Белые карлики I 200, 201, 203
f-распад I 95, 104, 116
р +-распад 7 98
— поляризованных ядер II 141
Биологическая асимметрия 7/140
Бозон 7 12
Большой взрыв 7 92, 153, 184, 185
Борновское приближение И 113
----с искаженными волнами 7 113
Боровский радиус ядра 7 53
Брэгговское рассеяние I 40
Бутстреп (зашнуровка) 7 79
Вакуум Дирака 1 86
Вандерваальсова связь 7 151
Вектор Пойнтинга II 249
Векторная частица II 138
Векторный потенциал II 138
Вероятность дезэкситации I 100
— испускания II 252
— нахождения 7 108, 219
Вероятности переходов II 255, 256,
267, 273
----одночастичных (вероятности пе-
реходов Вайскопфа) II 258
Вес состояния II 5
Взаимодействие спаривания II 51,
59, 68
Взрыв сверхновой 7 196, 202
Вибрационная модель II 43
— полоса II 38
Вибрационные спектры ядер 1 146
— уровни 7/39
Виртуальное состояние II 52
Виртуальный фотон I 65
Виртуальные частицы I 63
В КБ-приближение 7 235
Внутренний квадрупольный момент II
217
Внутренняя инверсия I 104, 116, II
262
Возбужденные состояния нуклонов 7
74, 96
Возраст Вселенной 7 206
312
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Волновая зона // 250
Волновое число / 36
Волновой пакет // 93
Вращательная модель II 40
— полоса //38
Вращательные спектры ядер / 146
— уровни // 39
Время жизни мюона / 116
----составного ядра //89
----уровня / 101, // 253
— — частицы / 116
--------Д (1236) / 116
— пролета / 177, 477
—	распада / 149
—	релаксации спинов // 89
— фрагментации / 239
Вспышка сверхновой / 193
Вторично-квантованная теория / 64
Вторичные пучки / 159
Входные состояния // 115, 183
Вырождение / 149
Вырожденный ферми-газ / 148
Выстраивание ядерных спинов //'243
Гамильтониан модели оболочек // 9
— слабого взаимодействия / 117, 123
— ядра II 5
у-переход / 116
Гармонический осциллятор //11, 12, 14
Гауссова система единиц II 223
Гауссоида / 58
Геливая вспышка / 194
Германиевый детектор / 174
Гиперзаряд // 189, 192
Гипотеза Бора II 81, 82
— зарядовой независимости / 54, 90
— Паули I 106, // 143
— статистическая // 81, 83, 88
Главная оболочка // 12
— последовательность / 188, 190
Главное осцилляторное квантовое чис-
ло // 12
Главные оси ядра // 217
Глубоко-неупругий процесс // 117,
124
Глюон / 80, // 197
Гравитационное взаимодействие / 49
---- характеристики / 122
Гравитационный коллапс / 204
Гравитон (квант гравитации) / 92, 122
График Кюри II 273
— Ферми II 273
Гросс-структуры // 113, 121, см. также
Широкие структуры
Дважды магические ядра / 230. // 25
Двухчастичный потенциал сильного
взаимодействия / 57
Дебройлевская длина волны / 68
Дезэкситация / 100
Дейтерий I 53
Дейтрон / 52, 53, 93, 140, // 296
Деление ядер / 49, 112, 153
Демократия частиц // 202
Детекторы частиц / 168
Деформированные ядра // 40, 41, 45,
57, 220
Диаграмма Гёрцшпрунга — Рассела /
188
Диаграммы Чу и Фраучи II 199, 200
Динамическое квантовое число // 184,
206
Динод / 172
Дипольные колебания ядра //45
Дираковский электрон II 226
Длина волны де Бройля I 24
— тепловой волны / 150
Дифракционная картина / 68,	69
Дифракция / 68
Долгоживущие частицы / 117
Доплеровское уширение // 76, 238
Дуанты // 56
Дырка в море состояний / 86
Дырочное состояние / 87, 90
Дочернее ядро / 98, 129
Дочерний изотоп / 129
Естественная ширина уровня / 101
Жесткая (идеально отражающая) сфе-
ра // 288
Жидкий гелий-3 / 148
Жидкокапельная модель / 133, 147,
// 75
-----с оболочечными поправками /
134
Задача многих тел // 81
— N тел // 7, 9
Закон Био и Савара II 152
— Кулона I 89, 122
— Ньютона I 122
— сохранения барионного заряда /
89, 90
----- изоспина // 177
-----углового момента // 131, 136,
140
-----энергии-импульса // 149
— Хаббла I 184
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
313
Законы Кеплера I 19
Запаздывающий потенциал / 60, II
249
Запрещенная зона / 87
Зарядовая независимость / 64, 71,
II 134, 135
Зашнуровка (бутстреп) / 79
Защита реактора / 112
Звездная эра / 185
Зеркальные ядра // 181
Идентификация позитрона / 112
— конечных частиц // 33
Избыток массы / 126, 152
Изобар / 139, 141, 152
Изобарический спин см. Изоспин
Изомерный сдвиг // 233
Изоспин / 65, // 173
Изоспиновый мультиплет (изомульти-
плет) // 173, 175, 184, 188
Изотопический сдвиг // 233
Изотопический спин см. Изоспин
Импульс отдачи ядра / 43
—	Ферми 1 149
Инвариантность СРТ II 147
Интеграл движения // 10
Индивидуальные (и коллективные) сос-
тояния // 36
Интерференция потенциального и ре-
зонансного рассеяния II 93
— сильного и кулоновского взаимо-
действий / 27
Ионизационная камера / 170
Ираст-линия II 122, 123
Искровая камера / 169, // 169
Искусственные изотопы / 125
Истинный (полярный) вектор // 138,
139
Источник поля / 60
—	позитронов / 99
Исходное ядро / 98
Калибровка кулонова (поперечная) //
248
—	Лоренца II 248
Калибровочная инвариантность //
132
Калибровочное преобразование //
248
Камера Вильсона I 84, 114, 163, 169
Каскад переходов / 97, // 244
Квадрупольное взаимодействие //
215
Квадрупольные колебания ядра // 45
Квадрупольный момент II 219, 220
Квазивибрационные (и квазивраща-
тельные) состояния II 45
Квазимолекулярные состояния II
121
Квазипрямое доказательство сущест-
вования нейтрино / ПО
Квазистационарное описание / 102
— состояние I 103, // 78
Квазичастицы // 60, 65
Квазичастичные состояния // 64
Квази частичный вакуум // 64
Квант сильного взаимодействия / 59,
61
—слабого взаимодействия / 119
Квантованная теория / 60
Квантовая теория поля / 64
— хромодинамика (КХД) / 80, II
197
Кварки / 79
Кварковая модель / 80, // 193
К-захват / 109
Ковалентная связь / 151
Когерентное рассеяние / 43
— состояние /7 68
Коллапс ядер / 136
Коллиматор I 36
Комптоновская длина волны / 119
Комптон-эффект / 165—167
Конверсионный электрон // 263
Конденсированное состояние // 64
Константа гамов-теллеровского вза-
имодействия // 278
— связи электромагнитного взаимо-
действия / 66
— Ферми II 269, 277
—	фермиевской связи gp I 118
Контактное взаимодействие / 108
Конфаннмент // 198
Координатное пространство / 54
Корпускулярное приближение / 61
Космические лучи I 83
Космохронология / 206
Коэффициент Клебша — Гордана II
235
—	прохождения / 45
Коэффициенты внутренней конвер-
сии // 263, 264
—	прохождения и отражения / 222
Краевой эффект II 16
Кулоновская дифракция / 70
—	энергия ядра I 134, 137
Кулоновский барьер / 46, 101, II
77
Кулоновское взаимодействие / 55
—	рассеяние I 70
—	эффективное сечение / 46
Кюри (единица измерения) / 128
314
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Лабораторная система / 68, 210
Ларморова прецессия II 246
Лептоадронные эксперименты // 196
Лептон / 107
Лептонное число (электронное и мюон-
ное) / 115
Лептонный заряд / 113
-----сохранение /113
Линии Шмидта II 229
Линия стабильности / 50—52, 140,
204, // 275
Логарифмическая производная // 95,
97
Лэмбовский сдвиг // 171
Люминесценция / 171
Магические числа / 134, 145, 197, //
15, 18—21
—	ядра / 34, II 7, 27
Магнит-анализатор / 159, // 33
Магнетон Бора II 176
Магнитное квантовое число // 11
Магнитные линзы / 159
—	моменты ядер // 227
Магнитный дефлектор / 158
— момент II 224
------нейтрона / 73
		протона / 72
—	монополь // 237
Масса покоя / 77
—	Солнца / 183
—	Чандрасекара / 201, 202
—	ядер / 47
Массовая формула // 192
Массовое число / 12, 241, // 129
Матрицы вращения // 205
— Паули II 177
Матричный элемент перехода // 257,
269
Медленный процесс / 107
Мертвая звезда / 202
Метастабильные состояния // 78, 80,
94, 98, 100, 121
Метачастицы Вигнера //148
Метод:
возмущенных угловых корреляций
// 245
задержанных совпадений / 112
запаздывающих потенциалов // 250
искаженных волн // 105, 113
Монте-Карло // 104, 109
наименьших квадратов // 297
парциальных волн / 40, 57, 67, 77,
// 91, 279
прохождения / 17
совпадений / 175, // 151
Хартри — Фока / 133, // 30, 31
Шмидта II 227,
Штерна и Г ерлаха I 72
Методика ядерных фотопластинок /
114
Методы определения размеров ядер /
32
Мишень / 14
Мишень-регенератор // 167, 169
Модель:
Гейзенберга I 52, 59, 60, // 181
жидкокапельная / 133, // 5
независимых частиц //29
Нильссона II 57, 72, 73
оболочек // 7, см также Оболочеч-
ная модель
октетная // 191, 205
оптическая / 147, // 101, 107, 129
прямого взаимодействия // 102
расширяющейся Вселенной / 182
Резерфорда I 13
слабого взаимодействия Ферми /
107
составного ядра / 147, // 74, 102,
112
Томсона I 15
ферми-газа / 133, 138, 148, 151, //
5 9
Юкавы /61
Модельный гамильтониан II 7
Моды распада / 117
Момент инерции ядра // 71
— количества движения / 53, 225,
235, 254, 256, // 151, 177, 178, 225,
229, 297, см. также Угловой момент
Монохроматическая волна / 36, 37
Мультипольность перехода // 225,
263
Мультипольные моменты распределе-
ния зарядов // 214
Мюонное нейтрино (мю-нейтрино.) /
115
Накопительные кольца / 158, 159,
210, 220
Накопление статистики / 179
Нарушение СР-иивариантности // 168
Нейтрино / 106, НО, 115
vT /115
Нейтральные токи / 121
Нейтронное сродство / 197
Нейтронно-протонный дублет / 65
Нейтрон-протонное рассеяние / 52
Нейтронные звезды / 153, 199, 203
Непрерывный спектр 0-электронов /
104, 105
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
315
Несохранение четности в слабом вза-
имодействии // 141
Неспаренный нуклон / 144
Нестабильные ядра / 125
Нестатический потенциал / 57
Нецентральный потенциал / 57
Нормировка заряда / 30
Нуклеосинтез / 153, 188, 189, 193
Нуклид I 100
— получение I 127
Нуклонная дырка // 222
Нуклон-нуклонное взаимодействие /
56
— рассеяние / 56, 59, 61—63, 67
Ньютоновская гравитационная посто-
янная / 49, 201
Остаточное взаимодействие // 9, 51 —
53
Остов // 7, 25, 46
Отдача ядра / 19
Открытые каналы // 75, 81, 96
Относительная распространенность
изотопа / 241
— частица / 210, 211
Относительные вероятности распада
/ 238
Относительный угловой момент / 53,
// 283, 286
Отрицательная энергия // 143, 144
Отталкивательная сердцевина (кор) /
136, // 299
Отталкивающий потенциал /	135
Очарование // 194
Очарованные частицы / 121, // 195
Область промежуточных энергий //
76, 77
Обмен а-мезонами / 70, 187
— частицей / 61
Обменная частица / 61, 64, 65
Обменные кванты I 81
Обменный потенциал / 67, 69
— член / 58, 69
Обобщенный принцип Паули I 54
Оболочечная модель / 138, 147, см.
также Модель оболочек
— —со спариванием // 51, 60
— поправка / 144
Обратное рассеяние / 15
Обращение времени // 146
Объемная энергия ядра / 134,	136
Одночастичные резонансы // 78, 115
Октупольные колебания ядра II 45
Октет барионов // 161
— барионов // 161
Октетная модель // 191
Оператор Лапласа (лапласиан) /211,
222
— момента количества движения //
204
— четности / 54
Операциональный смысл спина //
225
Определитель Слэтера II 9
Оптическая теорема // 129
Опыты:
Андерсона I 85
Резерфорда /13, 21, 28
Штерна и Герлаха II 225
Эллиса и Вустера I 106
Орбитальное квантовое число // 10,
18, 19
Осколки деления // 124
Параметр деформации (ядра) // 71, 218
Параметризация резонанса //91
Партоны // 196
Парциальная волна // 137, 287, 297
— ширина резонанса // 100
Первичная материя / 84
Первичное квантование / 61
Первичный пучок / 15
Первое борновское приближение / 39
Передаваемый импульс / 27
Передача импульса / 162, // 103, 105
Перестановочное соотношение // 134,
225
Переходы гамов-теллеровского типа
// 277
— 0—0 // 265
— фермиевского типа // 269, 275
л-мезоны / 83
л-нуклонные резонансы / 76
Пионный обмен / 69
Плазмоны //60
Планеты и спутники / 199
Плотность вероятности нахождения
/ 43
—	конечных состояний // 271
—	уровней // 87
— ядер / 34
Плоская волна / 38
— — разложение по сферическим вол-
нам //281
Поверхностная энергия / 134
Поглощающая (черная) сфера // 294
Позитрон / 83
Позитроний / 88
Показатель (коэффициент) ослабле-
ния массовый / 166, 168
Полином Лагерра II 13
316
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
— Лежандра II 282, 287
—	Эрмита II 12
Полное эффективное сечение II 75,
129
Полупроводниковые детекторы / 173
Полуширина углового распределения
/ 69
Полюса амплитуды рассеяния II 97
Поляризация мюонов // 145
Поляризованные протоны / 55
—	пучки и мишени I 56
Понятие поля / 59, 60
Поправка Штернхеймера II 242
Порог рождения / 219
Постоянная Больцмана I 148
—	Планка I 12
— тонкой структуры I 15, 66
Потенциал
боннский / 58
Вудса — Саксона II 8, 10, 16, 18,
19, 23, 28, 35, 79, 110
комплексный II 129
Леннард-Джонса I 135
мнимый II 109
нуклон-ну клонного взаимодействия
I 67, 93
оптический II 108, ПО, 111
парижский I 58
Рейда I 58
сильного взаимодействия (асимпто-
тическая форма) I 63
спин-орбитальный // 112
симметрии II 112
скирмовский I 133
феноменологический / 58
Эйкемейера — Хакенбройха I 58
тензорный / 58, // 152, 296, 299
Юкавы 1 226, // 300
Потери энергии / 160, 163
Правила отбора для у-излучения //
255
--- по изоспину // 183
— — Ферми II 275
— сложения изоспинов // 178, 184
— — моментов количества движения
(угловых моментов) // 178
Правило суперотбора // 164
Преобразования Лоренца II 146
Преобразователь времени в амплитуду
/ 177
Пресны (субкварки) / 80
Приведенная дебройлевская длина
волны // 283
— длина волны / 24
— масса / 39, 210, //39
Примесь конфигураций // 230
Принцип;
антисимметризации I 54, 72, //
197
Гюйгенса I 24, 27
детального равновесия / 135, 147
инвариантности / 153
Паули I 53, 54, 71, 140, // 7, 9
14 , 25, 29, 48 , 51, 63, 107, 112, 129
— обобщенный / 54, // 179
причинности / 82
соответствия / 60, // 153, 220, 224
235, 267
суперпозиции / 59, // 212
Прицельный параметр / 20, 66, //
129, 283
Природные элементы / 125
Притягивающий потенциал / 136
Пробег частицы / 164
Проблема N тел / 133, 147, 153, // 107
Проволочная камера / 169, // 171
Продукты деления / 112
Промежуточные структуры // 115
Промежуточный бозон / 120
Пропорциональные счетчики / 169
Пространственная инверсия // 134
Пространство-время II 140
Пространство-произведение / 54
Пространство зарядовых состоянии //
177
— спиновых состояний / 54
Протонный коллайдер / 120
Протон-протонное рассеяние / 52
Процессы испарения // 103
— статистического предравновесия //
85, 109
Прямое взаимодействие // 101
— (тензорное) произведение // 186
Прямые реакции // 101, 103
Псевдовекторная частица // 138
Псевдоскалярная частица // 138
Пузырьковые камеры / 163, 169, //
155
Пульсары / 184, 193, 199
Радиальное квантовое число // 10,
18, 19
Радиационная эра / 185
Радиационный захват / 127, // 75,
100
Радиоактивность / 95, 96
Радиоактивные цепочки / 128
Радиоактивный распад / 95, 96
Радиус взаимодействия тяжелых ио-
нов // 118
— действия потенциала взаимодей-
ствия / 68
— ядра / 32, 33
предметный указатель
317
Разделение вещества и антивещества
1 186
—	изотопов / 48
Разложение потенциала в ряд Тейло-
ра // 215
---по мультиполям // 214, 270
Размеры ядер / 32
Размытость границы ядра / 137
Разрешение детектора I 175, 176
Разрушение пары II 58, 59
Распад К+-мезона II 140
—	нейтральных /(-мезонов // 163
—	странного мезона // 148
Распределение заряда нуклонов / 73
— Максвелла I 150, // 86
— нормальное (Гаусса) I 180, 181
— Пуассона I 180
Распространенность элементов / 182,
188
Рассеивающий центр / 36
Рассеяние вперед (назад) / 70
— комптоновское / 167, 172, 174,
// 151
—	пионов на протоне / 77
—	протон — протон / 70
—	рэлеевское I 165
—	электронов на нейтроне / 73
--------протоне / 73
-------- ядре / 40, 43
Расстояние наибольшего сближения /
15, 20
Реактор / 112
Реакции совместного рождения // 158
—	с тяжелыми ионами II 117
Реакция глубокого отщепления I 197,
// 109
—	отрыва // 34
—	передачи // 32, 46, 52, 108
Регенерация №-мезонов 1 42
—	KJ-мезонов // 165
--- когерентная II 166
Резерфордовское эффективное сече-
ние / 45
Резонанс / 74, II 92, 93
—	Д (1236) / 78, 117, II 136, 156, 193
—	рассеяния в s-состояние // 80
—	s-типа // 92, 93
Резонансы системы N тел // 80
Рекурсии Редже II 199
Реликтовое излучение I 182, 185
Релятивистская инвариантность I 77
Релятивистские тяжелые ионы // 128
Рождение нейтральных К-мезонов II
162
—	пар I 87, 165, 168, II 265
—	л-мезонов / 56
—	частиц / 56
Самосогласованные одночастичные вол-
новые функции // 30
Самоусиление (в ионизационной ка-
мере) / 170
Сверхпроводимость // 62
Сверхплотная ядерная среда // 128
Сверхразрешенные переходы II 184,
275, 276
Сверхстабильные ядра II 8
Сверхтекучее состояние I 204
Сверхтекучесть // 62
Сверхтонкое взаимодействие II 246
Сверхтяжелые элементы / 146
—	ядра // 124
Светимость звезд / 188
Свойства слабого взаимодействия /
107
Сдвиг фазы II 279
Серое ядро // 111
S-частица / 117
Сила Кориолиса II 57
— Лоренца II 139
Сильное взаимодействие I 23, 35, 47—
82
----величина / 49, 67
Скалярная частица II 138
Синглетное спиновое состояние I 54,
56, 72, 93
Синтез (слияние) ядер / 49
Синхротрон / 157, 158
Система №—К° II 162
— центра масс I 68, 210
Скользящая траектория II 118
Скользящее столкновение // 120—122
Слабая связь //46
Слабое взаимодействие / 95, 104
---- характеристики / 122
Слияние водорода / 189
— гелия / 189, 191
—	кремния / 192
—	(синтез) ядер / 49
Сложение угловых моментов / 48,
178
Случайные совпадения / 176, 177
Совпадения I 175
Соотношения (неопределенностей)
Гейвенберга I 24, 33, 37, 44, 62,
64, 96, 103, 162
Составное ядро // 75, 102, 103, 109
Состояния БКШ II 60
Сохраняющийся ток / 118, 119
Спаренное состояние // 62
Спектроскопические ветви // 39
—факторы // 113
Специальная группа вращений в трех-
мерном пространстве SO (3) И 205
318
предметный указатель
Спиральность нейтрино II 143, 150,
151
Спин II 174, 225
— нейтрино (антинейтрино) / 113
— ядра I 12, 53
Спиновая зависимость сильного вза-
имодействия I 65
Спиновый магнитный момент // 224
-------- нейтрона // 226
-------- протона // 226
— ток // 251
Спин-орбитальное взаимодействие //
20, 21, 30
Спин-орбитальный член II 8, 18
Соедний потенциал II 7, 8, 27, 30,
II 78, 99, 101, 107
Средние значения оператора II 235
Средняя длина свободного пробега
нейтрона в ядре // 129
Стабильность протона / 90
Стабильные ядра / 46—50, 98
Статистика Бозе — Эйнштейна 1 12
— Ферми. — Дирака I 12, 53
Статистические флуктуации / 173,
180
Статистический каскад II 123
Статический центробежный потен-
циал / 57
Стационарное уравнение 1 39
Странность / 118, II 155, 159
Странные частицы 1 83, 117, II 155
Структура нуклона I 72
Субкварки (преоиы) I 80, II 204
Супергигант I 192
Супермультиплет // 173, 189
Сферическая волна I 37
— гармоника II 234
Сферические ядра // 40, 45
Схема антисовпадений II 171
— совпадений / 176, 177, II 244
Сцепленные уравнения I 129
Сцинтилляторы I 112, 171
Таблица Менделеева I 51, 79
т-частица I 115
Температура Вселенной I 185
Теорема:
Бабинэ I 24
Больцмана II 147
Вигнера — Эккарта II 236
Гаусса I 19
Крамерса II 57, 147
Эренфеста II 252
Теория:
Бардина — Купера — Шриффера
(БКШ) //64
Р-распада // 267
P-сил I 59
возмущений /81, // 5, 9, 31
Гамова I 239
групп Ли II 189
двухкомпонентного нейтрино // 143
Дирака I 72, 87, 99, 111, // 226
зашнуровки // 198, 199
испарения // 87
ковалентной связи I 60
объединения / 120, 121
полюсов Редже II 202
поля квантовая / 82
потенциала / 82
релятивистского электрона / 85
сохраняющихся токов / 124
угловых моментов II 177
универсального слабого взаимодей-
ствия // 278
Ферми II 268
фотоэффекта / 60
электрослабых взаимодействий I 120
Юкавы I 59
Тепловые нейтроны /43, 112
Термоядерная эволюция звезды / 192
0—т-парадокс // 140
Тормозное излучение / 163, 164, 168
Траектории Редже II 199, 200
Трек / 84, 96, 163
Третья компонента оператора изо
спина // 175
— ось изоспинового пространства //
177
Трехмерный гармонический осцилля-
тор //14
Тринейтрон // 187
Триплетные спиновые состояния	/
54—56, 72, 93
Триплетные спиновые состояния	/
54—56, 72, 93
Трипротон // 187
Туннельный эффект / 101, 234
Тэватрон /158
Тяжелые мезоны / 70
Тяжелый электрон / 114, // 226
— лептон / 115
Угловое распределение / 17
-----нейтронов, упруго рассеянных
на ядрах / 26
-----протонов, упруго рассеянных
на ядрах / 26
— — упругого рассеяния электро-
нов / 29
Угловой момент / 93, 235, 236, П
10, 34, 38, 91, 123, 136, 174, 224,
225
предметный указатель
319
—	— орбитальный // 9
---относительный II 122, 135
—	— полный I 12, // 94, 153, 176,
220, 237, 254, 256, 265
—	— собственный (спин) / 12, //
137
Угловые корреляции / 243
Угол разлета аннигиляционных фото-
нов 1 88
—	скольжения 1 42
—	скользящего столкновения II 120
Ударные волны в ядерной материи II
128
Удержание кварков / 80, // 197
Универсальная константа gp 1 118,
123
Унитарное преобразование II 154
Унитарные теории / 80
Упругое рассеяние / 40, 43
—	— на составном ядре II 75
Уравнение Бесселя II 280
— Ван-дер-Ваальса I 136
— Дирака 1 87, 91, II 225, 226
— — для нейтрино с массой II 143
— Клейна — Гордона I 85, 91, 226
— на собственные значения II 5
—Фоккера — Планка II 128
— Шредингера / 39, 57, 60, 91, 211,
222—224, 234, II 5, 27, 66, 109,
115, 154, 209, 280
Уравнения Максвелла / 28, 51, 226,
227, II 139, 144, 152, 247, 250
Уровень Ферми / 139, // 22, 29, 34,
52, 65, 66, 105
Ускорение переходов // 261
Ускоритель Ван-де-Граафа 1	155
---тандемный / 155
—	Кокрофта — Уолтона I 158
—	линейный / 158
—	тяжелых ионов I 159, II 117
Ускоряющий электрод / 158
Фазовое пространство / 149
Фазотрон I 157
Фазы рассеяния // 284, 285
---нуклон-нуклонного II 297
Фактор запрета / 239
— Ланде II 176
Ферми (единица длины) / 19
Ферми-газ //59
Фермиевское море состояний / 86
Фермион I 12, 148
Физика тяжелых ионов // 128
Флуктуационные (эриксоновские) эф-
фекты II 88
Фон II 77
Фонон 11 43
Форма ядер / 34
Формула Бете—Вейцзекера 1 133,
139, 146, 152, 229, // 23, 36, 187
—	Брейта — Вигнера II 91, 92
—	масс // 188
—	Планка I 24
—	Резерфорда I 21, 23, 66, 71
Формфактор нуклонов I 73
—	ядра /30
Фотоумножитель / 112, 171
Фотоэмульсия / 169
Фотоэффект / 165
Фундаментальные постоянные физи-
ки // 225
—	частицы / 79, 81, 147
Функция Бесселя II 280
—	Ферми II 273
Фурье-компонента / 103
Фурье-образ I 103
Хаотичность фазы // 90
Хартри-фоковский базис // 31
Холодные звезды / 148, 193, 199
Хорошее квантовое число // 11, 180
Цвет // 197
Центробежный барьер / 238, 239,
// 121, 210, 289
Цикл CNO (цикл Бете) I 207
Циклотрон / 156
Частица Паули I 113
—	Юкавы II 202, см. также Юкавская
частица
Черенковский счетчик // 170
Черная дыра / 193, 201, 203, 205
—	сфера // 294
Четность // 133
—	вакуума // 138
—	внутренняя II 134, 137, 138
—	орбитальная // 135, 137
—	частиц // 134
—	ядра / 53
Четно-четные ядра / 232
Число Авогадро I 35, 43, 165
Ширина резонанса / 104
—	резонансов составного ядра // 77
—	уровня / 101
Широкие (гросс) структуры // 113,
121
Эволюция звезд / 182, 189
320
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Эквивалентность массы и энергии /
Экзотермический процесс / 216
Экзотические ядра / 146
Экситоны II 108
Эксперимент Гошала II 99
Эксперименты Франка и Герца I 76
Электрический монополь II 214
Электромагнитное взаимодействие (ха-
рактеристики) / 122
Электрон / 10
Электрон-антинейтринная пара / 98
Электронное нейтрино I 106
Электронный захват / 108, 116
Электрослабое взаимодействие / 121
Электростатический генератор / 154
— дефлектор / 158
Элемент объема (в декартовой и сфе-
рической системах координат) / 149
Элементарные частицы / 10, 147
Эндотермический процесс / 216
Энергетическая релаксация II 128
— щель II 53, 63
Энергетические единицы массы / 13
Энергия вращения молекулы //	39
— отдачи электронов I 167
-----ядра I 42, // 33
— отрыва нуклона / 144, // 25
— связи дейтрона / 49
----- ядер / 47, 48
-------- на один нуклон / 48
— симметрии ядра I 134, 137, II 183
— спаривания / 141
— Ферми в ядре / 139, 148, 150, 152,
II 25—27
Энергия-импульс / 61
Эффект:
Джозефсона //63
Доплера I 184, // 238, 239, 257
Зеемана II 131, 173, 177
— аномальный // 225, 229
Мейсснера II 63
магнитной поляризации остова
// 230, 231
Мёссбауэра I 42, 104, // 172, 238,
239
обменных токов // 230, 231
обратного загиба // 58, 71
Оже I 110
поляризации остова II 221
размазывания заряда / 44
Рамзауэра I 160, II НО, 112
спаривания // 43, 48, 87, // 230
экранировки / 45
Эффективная величина взаимодей-
ствия в объеме частицы / 119
Эффективное сечение / 12, 15
-----геометрическое / 18
----- дифференциальное / 17
-----— упругого рассеяния / 17
-------- ядерной реакции / 17
----- единицы измерения / 18
----- измерение / 16
— — кулоновского рассеяния / 18,
66
----- образования составного ядра //
81
----- полное / 17
-----потенциального рассеяния // 77
Эффективность детектора / 176
— сцинтиллятора / 171
Юкавская константа связи / 66, 67,
II 300
— мезонная теория / 66
Юкавские частицы / 79
Явление резонанса / 74
Ядерная астрофизика / 182
— материя / 45, 135, // 59
— потенциальная яма / 139, // 5, 79
— спектроскопия / 144, // 37
— температура / 159, // 87
— энтропия II 87
Ядерные оболочки II 1
— реакции II 101
— фотоэмульсии / 163, // 33
Ядерный гамильтониан / 138, // 68
— магнетон // 226, 227
— эффект Рамзауэра II 116
Ядро / 10, 12
— отдачи // 33
УКАЗАТЕЛЬ ЯДЕР
2«Аг 11 276
isAr / 113, 208
40Аг // 122, 124, 125
“’Au / 125
“eAu / 125, // 127
106В / 144
nB И 270
*бВ II 183
ХмВа / 143
’Be / НО, 111, 198, 207, II 183
®Ве / 194, 237, II 70, 71
’Be / 198
х°Вс 1 198
х|Ве / 198
2&i // 32
2e|Bi // 23, 25, 26, 32—34, 46 47, 85,
102, 125, 220, 230
2взВ1 / 106, // 32
ХХС II 27
12С / 191, 194, 195, II 119, 122, 126
13С / 196, II 122
14С // 182
ЧС / 152
Х?С // 188
“Са II 36
soCa // 221
гоСа // 36
1бвСе I 143
34С1 // 276
ЙС1 I 113, 208
|?Со I 130, 131
"Со II 89
«°Со II 142
133Cs I 127
шСз / 127
езСи 7/127
хУЕи // 149, 151
XXF // 183
"F II 35, 72, 188
teFe / 130
“Fe / 195
67Fe / 130, // 238, 240—242
/ 144
3H / 136, // 231, 276
|He / 209
3He / 136, 190, 207, // 32—34. 46, 102,
231
Hie / 14, 98, 135, 190, 194, 195, 207, 209
tHe I 94
«He // 276, 277
loHg I 125
“oHg / 125
166Ho II 58, 124, 125
Х1Б1п I 209
117In // 72
191 Ir II 239
129 J I 206
wK // 36, 221
84Kr ll 125, 126
xwLa I 144
aLi / 194
sLi / 110, 111, 144, 198
aLi / 198, 207, // 183
24Mg I 191, 196
26Mg / 196
1XW / 12, 45, 144, // 182, 183
l?N / 52
nNa //188
23Na / 191
®}NB // 265
20Ne / 191
21Ne / 196
22Ne / 196
2®Ni / 195
-68Ni // 89, 105, 106
"Ni II 105—107
leNi I 45, 46
140 // 182, 183, 276
168O / 152, // 35
“0/45, 46, 191, 195, //35, 89, 119, 122
XeO // 35, 188, 222
31P / 191
196Pb // 55, 56
204Pb // 56
322
указатель ядер
“®РЬ II 54
2S“Pb II 52, 56
2°гРЬ II 23, 32 , 34, 52, 56, 65, 70
2ggPb / 130, 228, II 21—27, 32,33, 45—
48 , 54, 56, 102 119, 183, 221
2s*Pb II 23, 125, 126
103Pd // 86
208Ро I 130, 230, 234
2J$Po I 106, II 85
212Ро / 130, 229, 230, 234
238Pu / 237
2MPu / 206
2l?Ra / 101
2eeRa I 101
103Ph // 86
'^Sb II 53
|}Sc // 36
28Si I 191 195, II 47
31Si / 191
152Sm II 150, 151
n’Sn II 72
119Sn I 209
124Sn / 209
ЧЬе I 46
128Te I 209, // 122
2|oTh / 101, 231
2soTh / 101, 103, 206 231
2|;Т1 // 23, 25, 26, 34
186Tm II 58
2saU / 237, 238
235U / 206
238U / 236, 238, // 78
239U // 78
135Xe // 100
хмХе / 143, II 100
sjY // 264
162Yb //122
soZn // 84
УКАЗАТЕЛЬ ЧАСТИЦ
а 1 15, 17—19, 21—23, 25, 28 29, 45,
98, 101, 171, 179, 182, 19J, 236, //
34, 70, 71, 77, 83, 87, 99
Гравитон / 92, 122
d (дейтрон) / 52, 182, 190, II 33, 46,
102, 105, 106, 108, 135
D° II 195, 196
D+ // 195, 196
А (1236) I 77, 78, 116—118, 237, II
136, 137, 156, 160, 174, 198
А- / 117, 118
Д++ II 197
е (электрон) I 22, 23, 25, 28, 29, 43, 45,
84, 87, 88, 106, 107, 163, 165, 167,
170, 277
е / 63
т] / 63
№ 7 42, 43, // 162, 190
К° II 160, 163, 190
К+ // 140, 156, 159, 163, 190
К~ II 159, 160, 162
К° II 163—168
К» // 148, 163-168
K°L Н 169—171
K°s Н 169—171
Л II 156, 158, 171, 190
р / 83, 116, 119, // 145, 278
р~ /114
п (нейтрон) / 13, 23, 25—28, 43, 52—
55, 62, 64, 68—71, 127, 160, 191, II
77, 83, 87, 100, 105, 108, 134, 135,
_ 158, 159, 276
п (антинейтрон) / 91
v (нейтрино) / 106, 108, 110—113,
119, II 113, 151, 277
(мю-нейтрино) / 115, 117, 119,
145, 278
v (антинейтрино) / 106, 107, 112,
113, // 143
/ 115, // 145, 146
л / 59, 63, 64, 65, 74, 77, 83, 123,
179, 219, // 135, 136, 140, 145,
147, 156, 161
л° / 62, 65, 69, 89, 117, II 136, 159,
160
л+ / 62, 65, 69, 77, 89, 93, 94, 117, //
136, 157, 159, 160
л- / 62, 65, 89, 93, 117, II 136, 156, 157,
159, 160, 171
р / 63
Позитрон / 82, 87, 88, 94
р (протон) / 12, 13, 26, 27, 43, 52—55,
62,64, 68—71,77, 88, 93,94, НО, 111,
160, 190, 191, 219, 221, // 34 , 83, 87,
_ 101, 106, 108, 134, 135, 156—159
р (антипротон) / 83, 91, 93, 219
2+ // 158, 161, 162, 174, 190
2° // 158, 161, 162, 174, 190
2- / 117, 118, // 158, 161, 162, 171,
174, 190
2 // 156
t //34
е // 156
т / 115, 196
0, т // 140, 141
Фотон (7-квант) / 81, 96, 127, 165, 167,
168, 170, 171, 182, 190, 191, // 80,
100, 138, 143, 151, 159, 247
W± 1 120
Z° I 120
си I 63
II 174, 190
Характерные единицы субатомной физики
Ферми
Барн
Мегаэлектронвольт
Кюри
1 ф=10"13 см=10-? А
1 б=10~24 см2=102 Ф2
1 МэВ= 1,602-10~13 Дж= 1,16-1010 К
1 Ки = 3,7-1010 распад/с
Некоторые численные значения, играющие важную роль в субатомной физике
Важное соотношение
Постоянная тонкой структуры
Скорость света
Энергия покоя электрона
Энергия покоя протона
Энергия покоя нейтрона
Энергия связи а-частицы
Энергия покоя заряженных л-мезонов
Комптоновская длина волны л-мезона
Ядерный магнетон
Дс/197 МэВ = 1 Ф»Дс/200 МэВ
е2/А-= 1/137,036» 1/137
с = 2,99792456-1010 см/с»3-1010 см/с
тес2 = 0,511 МэВ
Л1Р<:2 = 938,28 МэВ
М ,,<? = 939,57 МэВ
fi»28,3 МэВ
тпс? = 139,58 Л1эВ»140 МэВ
А/тлс»1,34 Ф
e/t/2/Vlpc»5,05-10~24 эрг/Гс
ОГЛАВЛЕНИЕ
Часть третья: МОДЕЛИ В ФИЗИКЕ АТОМНОГО ЯДРА
Глава 7. Модель ядерных оболочек (сферические ядра) 7
§ 1.	Модельный гамильтониан, средний потенциал............... 7
§ 2.	Одночастичные состояния в случае потенциала Вудса —
Саксона ..................................................... Ю
А.	Некоторые сведения из квантовой механики............. 10
Б. Приближение гармонического осциллятора................ 11
В.	Заполнение оболочек в схеме гармонического осциллятора 13
Г. «Краевой» эффект...................................... 16
§ 3.	Спин-орбитальный член................................... 18
§ 4.	Пример области вблизи	ядра	ga ’РЬ...................... 21
А.	Положение уровней.................................... 23
Б. Спин и четность состояний............................. 25
В.	Привязка состояний .................................. 26
Г. Одночастичные волновые функции ...	............ 27
§ 5.	Внутренняя согласованность модели........................ 29
А. Роль принципа Паули................................... 29
Б. Среднее хартри-фоковское поле ....	............ 30
§ 6.	Выводы . ................................................ 30
Приложение 7. Наблюдение одночастичных состояний с помо-
щью реакций передачи.................................. 32
Упражнения................................................ 35
Глава 8. Ядерная спектроскопия.................................... 37
§ 1.	Аналогия с молекулами [70]........................... 37
§2.	Феноменологические модели [71]....................... 39
А.	Вращательная модель............................... 40
Б. Вибрационная модель................................ 43
В.	Более сложные случаи.............................. 45
§ 3.	Слабая связь......................................... 46
§ 4.	Эффект спаривания.................................... 48
А.	Проявление эффекта спаривания .................... 48
Б. Оболочечная модель со спариванием ................. 51
В.	Энергетическая щель четно-четных ядер............. 53
§ 5.	Спектры сферических нечетных ядер.................... 54
§ 6.	Деформированные нечетные ядра........................ 5’
§ 7.	Выводы .............................................. 59
326
ОГЛАВЛЕНИЕ
Приложение 8. Понятия когерентного состояния ...................... б2
§ 1.	Сверхпроводимость и сверхтекучесть................... 62
§ 2.	Возбуждения спаренного состояния..................... 64
§ 3.	Модельный расчет........ ....	. .	. .	66
§ 4.	Коллективные состояния . ..........................   68
Упражнения......................................................... 69
Глава 9. Модель составного ядра ...	.	   74
§ 1.	Первоначальные представления......................... 74
§2.	Резонансы составного ядра............................ 75
А.	Ширина резонансов составного	ядра.................. 77
Б. Одночастичные резонансы............................. 78
В.	Резонансы системы N тел............................ 80
§ 3.	Гипотеза Бора и статистическая	гипотеза.............. 81
§ 4.	Испарение частиц..................................    85
§ 5.	Угловые распределения.............. ............... 87
§ 6.	Выводы............................................    89
Приложение 9. Параметризация резонанса............................. 91
§ 1.	Формула Брейта — Вигнера.............................. 91
§2.	Влияние фона.............................. .	...	92
§3.	Учет спинов ......................................... 93
§4.	Исследование логарифмической производной............. 95
§ 5.	Параметризация резонанса «s-типа» в общем случае ....	96
§ 6.	Резонансы и полюса амплитуды рассеяния............... 97
§ 7.	Выводы и аналогии...................................  98
Упражнения........................................................  99
Глава 10. Обзор ядерных реакций . .	.......... . .	101
§ 1.	Механизм прямого взаимодействия................ ....	101
А.	Степени свободы, участвующие в реакции.............102
Б. Спектр и угловое распределение ....	...........103
В.	Метод спектральных исследований................... 103
§ 2.	Оптическая модель................................... 107
А.	Переход от прямой реакции к составному ядру ....	107
Б. Поглощение падающей волны, мнимый потенциал . .	109
В.	Оптический потенциал для нейтронов, эффект Рамзауэра ПО
Г. Метод искаженных волн........................ ....	ИЗ
Д. «Широкие структуры»............... .... ИЗ
§3	. Выводы............................................. 115
Приложение 10. Некоторые особенности реакций с тяжелыми
ионами.......................................................  П7
§1	. Упругое рассеяние и широкая (гросс) структура .	. . П8
А.	Радиус взаимодействия тяжелых	ионов	.....	П8
Б.	Дифракция Френеля............................ 120
В.	Широкие структуры при фиксированном угле ....	121
§	2.	Составное ядро и «глубоко-неупругие»	процессы	...	.	122
А.	Составное ядро.............................. 122
Б.	Глубоко-неупругий процесс................. 124
Упражнения......................................................... 128
ОГЛАВЛЕНИЕ
327
Часть четвертая: ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ЧАСТИЦЫ
Глава 11. Четность и связанные с ней вопросы	133
§ 1.	Четность............................................. 133
§ 2.	Четность частиц....................................   134
А.	Спин и четность л-мезонов......................... 135
Б. Спин и четность резонанса Д(1236) ................. 136
В.	Внутренняя четность............................... 137
§3.	Пространственная инверсия........................... 138
§ 4.	Слабое взаимодействие не инвариантно относительно про-
странственной инверсии.................................... 140
А.	0 — т-парадокс и несохранение четности ...	. .	140
Б. Р~-распад поляризованных ядер ...	. .	. .	141
В.	Спиральность нейтрино............................. 142
§ 5.	Зарядовое сопряжение и СР-инвариантносгь............. 144
А. Зарядовое сопряжение............................... 144
Б. Поляризация мюонов при распаде	заряженных л мезонов 145
§6.	Обращение времени и СРТ'-инвариантность.............. 146
А. Обращение времени.................................. 146
Б. СРТ'-инвариантность..............................   147
§ 7.	Выводы........................    .	........... 148
Приложение 11. Экспериментальное определение спиральности
нейтрино..................................................... 150
Упражнения........................................................ 151
Глава 12. Странность и странные частицы........................... 155
§ 1.	Принцип действия	пузырьковой	камеры................. 155
§ 2.	«Странное» поведение	некоторых	частиц................ 156
§ 3.	Странность........................................... 159
А. Странность сохраняется в сильном и электромагнитном
взаимодействиях.................................. 159
Б. Странность не сохраняется в процессах слабого взаимо-
действия .....................................    160
§4.	Вместо выводов....................................... 160
Приложение 12.	Система К"—К"....................................  162
§ 1.	Рождение нейтральных /(-мезонов и реакции с их участием 162
§2.	Распад нейтральных K-мезонов . . .	............... 163
§3.	Регенерация /(’-мезонов.............................. 164
§ 4.	Разность масс Ki- и /(’-мезонов...................... 166
§ 5.	Нарушение СР-инвариантности.......................... 168
§6.	Принцип действия искровой и проволочной камер ....	169
Упражнения........................................................ 171
Глава 13. Изоспиновый формализм................................... 173
§ 1.	Терминология	и	обозначения....................... 173
§ 2.	Изомультиплет.......................................  175
§ 3.	Система двух	нуклонов................................ 177
§4.	Сохранение изоспина в сильном взаимодействии ....	179
А.	Запрещенная реакция d-j-d —> а-|-ли............... 179
328
ОГЛАВЛЕНИЕ
Б. Сравнение реакций р+р-> d-f-n+ и р+п -> d-f-л" ...	179
В.	Сравнение (л~+р)- и (л+4-р)-рассеяния............ 180
§5.	Аналоговые состояния в ядерной физике............... 181
§6.	Правила отбора по изоспину ...	................. I83
§ 7.	Выводы.............................................. 184
Приложение 13. Сложение изоспинов...............................  185
Упражнения......................................................  187
Глава 14. Классификация частиц................................... 189
§ 1.	Супермультиплеты.................................... 189
А.	Представление супермультиплетов.................. 189
Б. «Октетная» модель................................. 191
В.	Массовая формула Гелл-Манна и	Окубо............ 192
§ 2.	Кварковая модель .	.	............................... 193
А.	Характеристики кварков........................... 193
Б. Очарование, четыре аромата........................ 194
В.	Партоны (кварки и глюоны)........................ 196
Г. Хромодинамика: цвет и удержание (конфаннмент) ...	197
§3.	Траектории Редже и зашнуровка....................... 199
§4.	Выводы.............................................. 203
Приложение 14. Математический аппарат............................ 205
Упражнения....................................................... 206
ДОПОЛНЕНИЯ
Дополнение Д. Частица в центральном поле......................... 209
§ 1.	£<0; связанные состояния............................ 211
§2.	£>0; рассеяние...................................... 211
Дополнение Е. Статические моменты ядер........................... 213
§ 1.	Электрические мультипольные моменты распределения заряда 213
А.	Разложение потенциала по мультиполям............. 214
Б. Квадрупольное взаимодействие...................... 215
В.	Квадрупольный момент............................. 217
Г. Сферические и деформированные ядра................ 220
§ 2.	Магнитные мультипольные моменты распределения токов 222
А.	Орбитальный магнитный момент..................... 223
Б. Спиновый магнитный момент......................... 224
В.	Спиновый магнитный момент нуклонов............... 226
Г. Магнитные моменты ядер............................ 227
§ 3.	Порядки величин..................................... 231
А.	Магнитное дипольное взаимодействие............... 232
Б. Электрическое квадрупольное взаимодействие........ 232
В.	Изотопический сдвиг и изомерный сдвиг............ 233
§ 4.	Некоторые общие правила............................. 233
А. Электрические моменты............................. 234
Б. Магнитные моменты................................. 236
Дополнение Ж. Взаимодействие ядра с его окружением..............	238
§ 1. Эффект Мёссбауэра................................... 238
§ 2. Применение эффекта Мёссбауэра для исследования сверх-
тонкой структуры  ................................... 240
ОГЛАВЛЕНИЕ	329
А.	Электрическое квадрупольное	взаимодействие........ 241
Б. Магнитное дипольное	взаимодействие................. 242
В.	Выводы............................................ 243
§ 3.	Угловые корреляции................................... 243
§4.	Метод возмущенных дифференциальных угловых корреляций 245
Дополнение 3. Гамма-излучение..................................... 247
§ 1.	Полуклассическое описание излучения........	.	247
А. Волны в вакууме.................................... 248
Б. Запаздывающие потенциалы.............. ........... 249
§ 2.	Основные характеристики у-излучения................. 251
А.	Электрическое дипольное приближение............... 251
Б. Обобщение  ................................... ...	254
В.	Правила отбора для у-излучения.................... 255
Г. Оценка вероятности одночастичного	перехода......... 257
§ 3.	Гамма-спектроскопия................................  258
А.	М4-переходы....................................... 259
Б. £2-переходы........................................ 260
В.	£1-переходы................................. ....	261
§ 4.	Внутренняя конверсия........................... ....	262
А. Коэффициенты внутренней конверсии.................. 263
Б. Переходы 0 — 0 ..... .............................. 265
Дополнение И. Некоторые вопросы теории (i-распада................	267
§ 1.	Матричный элемент Р-распада........................... 268
А. Теория Ферми........................................ 268
Б. Матричный элемент «разрешенного перехода фермиев-
ского типа»..................................... 269
§ 2.	Спектр электронов для разрешенных переходов........... 270
А.	Измерение спектра.................................. 271
Б.	Расчет плотности конечных состояний................ 271
В.	График Кюри......................................   273
§ 3.	Классификация переходов........	................. 274
А.	Переходы фермиевского типа........................ 275
Б.	Переходы гамов-теллеровского	типа.................. 277
§ 4.	Константа Ферми, отношение £От!ёе ................... 277
Дополнение К. Метод парциальных волн .............................. 279
§ 1.	Назначение метода..................................... 279
§2.	Свободное движение частицы............................ 280
А.	Свойства функций Бесселя .......................... 280
Б. Разложение плоской волны по сферическим волнам . .	281
В.	Полуклассическое рассмотрение  .................... 282
§ 3.	Упругое рассеяние ................................... 283
А.	Определение фаз рассеяния.......................... 284
Б. Парциальные амплитуды рассеяния . . ................ 285
В.	Эффективное сечение упругого рассеяния............. 286
§ 4.	Иллюстрации к методу парциальных волн ...	. .	287
А.	Случай изотропного углового распределения.......... 287
Б. Рассеяние на «жесткой» сфере........................ 288
В.	Общий случай................................. ...	289
§ 5.	Учет поглощения...................................... 291
330
ОГЛАВЛЕНИЕ
А. Эффективные сечения упругого и неупругого рассеяния;
полные сечения.................................... 292
Б. Поглощающая (черная)	сфера...................... 294
§ 6.	Выводы.............................................. 295
Дополнение Л. Некоторые вопросы нуклон-нуклонного взаимо-
действия ........................................................ 296
§ 1.	Квадрупольный момент дейтрона (тензорный потенциал) 296
§ 2.	Фазы нуклон-нуклонного рассеяния.................... 297
А.	Обозначения...................................... 298
Б. Отталкивательная сердцевина (кор)................. 299
В.	Тензорный и спин-орбитальный потенциалы.......... 299
Г. Юкавская константа связи.........................  300
Литература.....................................................   301
Именной указатель................................................ 308
Предметный указатель ............................................ 311
Указатель ядер.................................................   321
Указатель частиц................................................. 323
Характерные единицы субатомной физики............................ 324
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении,
качестве перевода и другие просим присылать по адресу:
129820, Москва, 1-й Рижский пер., д. 2, изд-во «Мир».
Учебное издание
Люк Валантэн
СУБАТОМНАЯ ФИЗИКА: ЯДРА И ЧАСТИЦЫ
Том 2
ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ
Научи, редактор Е. С. Кураиский
Мл. научи, редакторы Г. Г. Сорокина, В. Н. Цлаф, Р. X. Зацепина
Художник Б. Н. Кузнецов
Художественный редактор К- В. Радченко
Технический редактор Т. А. Максимова
Корректор Т. И. Стнфеева
ИБ № 5395
Сдано в набор 22.01.86. Подписано к печати 26.08.86. Формат 60X90f/te«
Бумага кн.-журн. нмп. Печать высокая. Гарнитура литературная. Объем 21
бум. л. Усл. печ. л. 10,50. Усл. кр.-отт. 21. Уч.-изд. л. 20,50.
Изд. № 2/3986. Тираж 10 000 экз. Заказ № 2114. Цена 1 р. 80 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» 129820, ГСП, Москва, И-110, 1-Й Рижский пер.. 2
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени
МПО «Первая Образцовая типография» имени А. А. Жданова Союзполиграф-
прома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфий
и книжной торговли. 1 13054, Москва, Валовая, 28
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
ВЫПУСТИТ В 1987 г. КНИГУ:
Меес Ж- Астрономические формулы для калькуляторов. Пер.
с англ , 7 л., 40 коп.
Массовый выпуск и широкое использование миниатюрных ЭВМ — электрон-
ных калькуляторов — привели к необходимости в пособиях, в которых формулы
и схемы вычислений по ним были бы приведены в форме, наиболее удобной для рас-
четов при помощи карманного или настольного калькулятора. Именно подобную
цель поставил перед собой бельгийский специалист Ж. Меес. В небольшой по
объему книге собраны формулы для астрономических расчетов, чаще всего встре-
чающихся в практике как любителя астрономии, так и профессионала. За рубе-
жом книга Мееса давно стала настольным руководством для астрономов-любите-
лей.
Содержание: Юлианские и календарные даты. Эфемериды, всемирное и звезд-
ное время. Координаты наблюдателя. Конфигурации планет. Преобразования
астрономических координат. Прецессия и нутация Видимое место звезды. Рав-
ноденствия и солнцестояния.
Книга доступна для лиц со средним образованием.
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Заказы на книги издательства «Мир» принимаются в магазинах научно-тех-
нической книги.
ПОМНИТЕ!
Тираж книг определяется числом собранных заказов. Только своевременно
оформленный заказ гарантирует Вам приобретение интересующих Вас книг.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
ВЫПУСТИТ В 1987 г. КНИГУ:
Хелзен Ф., Мартин А. Кварки и лептоны. Введение в физи-
ку частиц. Пер. с англ., 25 л., 3 р. 80 к.
Книга представляет собой введение в теорию кварков и лептонов, написанное
на современном уровне с учетом^самых последних достижений физики элементар-
ных частиц. Она заполняет пробел в литературе на русском языке по физике эле-
ментарных частиц, будучи предназначенной для читателей среднего уровня под-
готовки по квантовой и релятивистской физике, имеющего предварительное зна-
комство лишь с основами нерелятивистской квантовой механики и специальной
теории относительности.
После вступительного обзора основных свойств частиц обсуждаются свойства
симметрии и вводится кварковая модель адронов. Далее вводится понятие об ан-
тичастицах и обсуждаются проблемы электродинамики скалярных и спинорных
частиц. Последующие главы содержат глубокое обоснование кварковой структуры
адронов, понятия партонов и основные идеи квантовой хромодинамики. Заключи-
тельные главы посвящены слабым и электрослабым взаимодействиям, идеям ка-
либровочной симметрии и модели Вайнберга — Салама.
Для студентов и аспирантов-физиков (как теоретиков, так и экспериментато-
ров).
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Заказы на книги издательства «Мир» принимаются в магазинах научно-тех-
нической литературы.
ПОМНИТЕ!
Тираж книг определяется числом собранных заказов. Только своевременно
оформленный заказ гарантирует Вам приобретение интересующих Вас книг.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
ВЫПУСТИТ В 1987 г. КНИГУ:
Ченг Т.-П., Ли Л.-Ф. Калибровочные теории элементарных
частиц. Пер. с англ., 38 л., 5 р. 60 к.
В книге дано современное изложение калибровочных теорий элементарных
частиц. Общая часть включает квантование полей методом функционального ин-
теграла, теорию перенормировок, ренормгруппы, элементы теории групп. Изла-
гаются модели алгебры токов, спонтанное нарушение симметрии, аномалии.
Основная часть книги посвящена собственно калибровочным теориям. Здесь
помимо квантовой хромодинамики и теории электрослабого взаимодействия изло-
жены модели техницвета, теория Великого объединения, теория солитонов и
инстантонов.
Первые три главы книги вводят читателя в круг основных представлений
современной квантовой теории поля Здесь кратко излагается каноническое кван-
тование полей, вводятся интегралы по траекториям в квантовой механике и теории
поля, обсуждается интегрирование по ферми-полям. Рассматриваются перенорми-
ровки и регуляризации и классификация перенормируемых теорий. Выводятся
уравнения ренормгруппы, рассматривается асимптотическое поведение эффектив-
ных констант связи. В гл. 4 излагаются элементы теории групп Описана кварко-
вая модель Гелл-Мана — Цвейга. В последующих двух главах обсуждается ки-
ральная симметрия, алгебра токов, спонтанное нарушение симметрии. Предметом
изложения в гл. 7 является кварк-партонная модель и бьеркеновский скейлинг.
В гл. 8 и 9 обсуждается классическая теория неабелевых калибровочных полей
и ее квантование. В гл. 10—14 подробно изложены квантовая хромодинамика,
квантовая ароматодннамика и Великое объединение. Две последние главы посвя-
щены монополям и инстантонам.
Для студентов, аспирантов и лиц, изучающих теорию элементарных частиц,
для специалистов, нуждающихся в справочном пособии по калибровочной теории
элементарных частиц.
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Заказы на книги издательства «Мир» принимаются в магазинах научно-тех-
нической литературы.
ПОМНИТЕ!
Тираж книг определяется числом собранных заказов. Только своевременно
оформленный заказ гарантирует Вам приобретение интересующих Вас книг.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
ВЫПУСТИЛО В 1986 г. КНИГУ:
Физика ион-ионных и электрон-ионных столкновений. Под ре
Ф. Бруйара, Дж. Мак-Гоуэна. Пер. с англ., 27 л., 4 р. 10 i
Книга содержит тексты лекций, прочитанных в Высшей Летней школе по ф1
зике ион-иоиных и электрон-ионных соударений, которая проводилась в Канад
Всего в книгу включено 12 лекций. В целом книга представляет собой уникалык
издание, с максимальной полнотой охватывающее важнейшие направления фи31
ки атомных столкновений.
В книге освещаются следующие вопросы.
Астрофизические явления, в которых существенную роль играют столкнове
ния электронов и протонов с ионами. Излагается плазмохимическая сторона во
проса об эволюции ранней Вселенной. Рассмотрены процессы, происходящие!
газовых туманностях, в горячей плазме звездных корон, в кометах, в межзвезд
ных облаках, атмосферах планет и др.
Роль атомных столкновений в термоядерной плазме, влияния примесей тяже-
лых атомов и ионов на баланс энергии и характер нагрева плазмы в токамаках т
ДР-
Диссоциативная рекомбинация молекулярных ионов (основное внимание уде-
лено обсуждению поведения термов молекулярного иона и квазимолекулы, участ-
вующих в процессе).
Возбуждение ионов электронным ударом.
Экспериментальные исследования процессов электрон-ионной рекомбинации.
Изменение параметров неупругих электрон-ионных и ион-ионных соударений.
Удержание заряженных частиц в экспериментах по исследованию столкновений.
Исследование ион-ионной рекомбинации в плазме послесвечения.
Для исследователей, занимающихся физикой низко-и высокотемпературной
плазмы, верхней атмосферы, газовых лазеров, а также атомной, молекулярной и
химической физикой.
Книгу можно приобрести в магазинах научно-технической книги.