МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО
Факультет вычислительной математики и кибернетики
Кафедра прикладной теории вероятностей
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Часть 1
Нижний Новгород, 2000
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Основные правила комбинаторики
1.	На вершину горы ведут 7 дорог. Сколькими способами
турист может подняться на гору и спуститься с нее? Дайте ответ на
тот же вопрос, если подъем и спуск осуществляются различными
путями.
2.	В конкурсе красоты принимают участие 10 девушек .
Сколькими способами могут быть распределены между ними
первая, вторая и третья премии?
3.	Сколько имеется пятизначных чисел, которые делятся на 5?
4.	Сколько есть семизначных чисел, которые одинаково
читаются слева направо и справа налево ( например, таких, как
2314132, 7890987)?
5.	Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр
0,1,2,3,4,5, если:
а)	ни одна из цифр не повторяется более одного раза;
б)	цифры могут повторяться;
в)	цифры могут повторяться, но число должно-быть
нечетным?
6.	Сколько можно составить различных пятизначных чисел лри
условии, что две соседние цифры не должны совпадать?
7.	Имеется пять видов конвертов без марок и четыре вида
марок одинакового достоинства. Сколькими способами можно
выбрать конверт с маркой для посылки письма?
8.	Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими
способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и
одну - на правую так, чтобы эти перчатки были различных
размеров?
9.	Сколькими способами можно выбрать из колоды карт (36
листов) по одной карте каждой масти? Дайте ответ на тот же вопрос
при условии, что среди извлеченных карт не должно быть ни одной
пары одинакового достоинства.
10.	В селении живут 1500 человек. Доказать, что по крайней
мере двое из них имеют одинаковые инициалы.
11.	На одной из боковых сторон треугольника взято п точек ,
на другой - т точек. Каждая из вершин при основании
треугольника соединена прямыми с точками, взятыми на
противоположной стороне. Сколько точек пересечения этих прямых
4
образуется внутри треугольника? На сколько частей делят
треугольник эти прямые?
12.	В прямоугольной таблице из т строк и п столбцов
записаны числа +1 и -1 так, что произведение чисел в каждой
строке и каждом столбце равно 1. Сколькими способами это можно
сделать?
Сочетания
13.	Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых :
а^каждая следующая цифра больше предыдущей? б) каждая
следующая цифра меньше предыдущей?
14.	Сколькими способами можно составить комиссию в составе
трех человек , выбирая их из четырех супружеских пар, если:
а)	в комиссию могут входить любые 3 из 8 человек;
б)	в комиссию не могут входить члены одной семьи?
15.	Сколько хорд можно провести через 6 точек, лежащих на
окружности?
16.	У одного человека имеется 7 различных книг, а у другого -
9. Сколькими способами они могут обменять друг у друга две книги
на две книги?
17.	Сколькими способами можно разделить 12 различных
учебников ме>еду четырьмя студентами так, чтобы каждому
досталось по 3 учебника?
18.	В состав сборной включены два вратаря, 5 защитников, 6
полузащитников и- 6 нападающих. Сколькими способами тренер
может выставить на поле команду, в которую входят вратарь, 3
защитника^ полузащитника и 3 нападающих?
19.	ПяТь девушек и трех юношей направляют на дежурство по
территории студенческого городка, разбивая их при этом на две
группы по 4 человека в каждой. Сколькими способами это можно
сделать, если в каждой группе должен быть хотя бы один юноша?
20.	Даны натуральные числа от 1 до 30. Сколькими способами
можно выбрать из них три различных числа так, чтобы их сумма
была четной?
21.	Даны натуральные числа от 1 до 2и(и>2). Сколькими
способами можно выбрать из них три различных числа так, чтобы их
сумма была четной?
22.	В турнире принимали участие п шахматистов, и каждые
два шахматиста встретились один раз. Сколько партий было
сыграно в турнире?
23.	В скольких точках пересекаются диагонали выпуклого п-
угольника, если никакие 3 из них не пересекаются в одной точке?
5
24.	Рассмотрим	прямоугольную сетку
квадратов размерами тхп («шахматный город»). Каково число
различных кратчайших путей на этой сетке, ведущих из левого
нижнего угла (точки (0;0)) в правый верхний угол (точку (лг;л))?.
25.	На плоскости проведено п прямых так, что никакие 2 из
них не параллельны и никакие 3 не пересекаются в одной точке.
Найти количество точек пересечения этих прямых и количество
треугольников, образованных этими прямыми. Определить, на
сколько частей делят плоскость эти прямые?
Перестановки
26.	На собрании должны выступить 4 человека А, В, С, D.
Сколькими способами их можно разместить в списке ораторов, если
В не может выступить до того момента, пока не выступит А?
27.	Сколькими способами можно переставить буквы слова
«ЛОГАРИФМ» так, чтобы второе, четвертое и шестое места всегда
были заняты гласными буквами?
28.	Человек имеет 5 друзей и в течение 10 дней приглашает к
себе 3 из них так, что компания ни разу не повторяется. Сколькими
способами он может это сделать?
29.	Сколькими способами можно рассадить п гостей на п
мест за круглым столом так, чтобы два фиксированных лица
оказались рядом? Ответить на тот же вопрос, при условии, что
гостей рассаживают на скамью.
30.	На полке находятся т+п различных книг, из которых т в
черных переплетах, а л в красных. Сколько существует
перестановок этих книг, при которых книги в черных переплетах
занимают первые т мест? Сколько перестановок, при которых книги
в черных переплетах стоят рядом?
31.	Сколькими способами можно упорядочить множество
{1,2,...,2л} так, чтобы каждое четное число имело четный номер?
32.	Сколько можно составить перестановок из л элементов, в
которых данные два элемента не стоят рядом?
33.	Сколькими способами можно упорядочить множество
{1,2,...,л} так, чтобы числа 1,2,3 стояли рядом и в порядке
возрастания?
Размещения
34.	Студенту необходимо сдать 4 экзамена за 8 дней.
Сколькими способами это можно сделать?
35.	Сколько существует телефонных номеров,
состоящих из 6 различных цифр?
36.	Сколькими способами можно рассадить 4 студентов на 25
местах?
37.	В чемпионате страны по футболу в высшей лиге участвует
10 команд. Команды, которые займут первое, второе и третье места,
награждаются соответственно золотой, серебряной и бронзовой
медалями, а команды, которые займут последние два места,
покидают высшую лигу. Сколько разных результатов первенства
может быть?
38.	Научное общество состоит из 25 человек. Надо выбрать
президента общества, вице-президента, ученого секретаря и
казначея. Сколькими способами может быть сделан этот выбор,
если каждый член общества может занимать только один пост?
39.	Некто купил 8 различных поздравительных открыток и три
из них хочет послать трем различным адресатам. Сколькими
способами он может это сделать?
40.	Сколькими способами можно составить трехцветный
полосатый флаг, если имеется материал пяти различных цветов,
один из которых - красный? Ответить на тот же вопрос, при
условии,, что одна из полос должна быть красной.
Перестановки с повторениями
41.	Сколько различных «слов» можно получить, переставляя
буквы в слове «МАТЕМАТИКА»?
42.	Сколькими способами можно расселить 8 студентов по
трем комнатам: одноместной, трехместной и четырехместной?
43.	Сколько пятибуквенных «слов» можно составить из букв а,
Ь, с, если известно, что буква а встречается в слове не более двух
раз, буква b - не более одного раза буква с - не более трех раз?
44.	Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2
ладьи, 2 слона, 2 коня, ферзь и король) на первой линии шахматной
доски?
45.	Сколькими способами можно переставить буквы слова
«КАРАКУЛИ» так, чтобы никакие две гласные буквы не стояли
рядом?
46.	Сколькими способами можно разделить m + n + s
различных предметов так, чтобы в одной группе было т, в другой -
п, в третьей - s предметов?
47.	Сколькими способами можно разделить Зп различных
предметов между тремя лицами так, чтобы каждый получил п
предметов?
Сочетания с повторениями
48.	Сколькими способами можно выбрать 3 из 12 следующих
букв: AAA ТТТ ГГГ ЦЦЦ?
49.	В кондитерском магазине продаются 4 сорта пирожных:
наполеоны, эклеры, песочные и бисквитные. Сколькими способами
можно купить здесь 7 пирожных?
50.	В цветочном магазине продаются цветы 6 сортов. Сколько
можно составить различных букетов из 9 цветков в каждом, если
букеты, отличающиеся лишь расположением цветов, считать
одинаковыми?
51.	30 человек голосуют по 5 предложениям. Сколькими
способами могут распределиться голоса, если каждый голосует
только за одно предложение и учитывается лишь число голосов,
поданных за каждое предложение?
52.	Сколькими способами можно разложить 12 полтинников по
5 пакетам, если ни один из пакетов не должен быть пустым?
53.	Сколько различных частных производных пятого порядка
может иметь функция от трех переменных?
54.	Сколько целых положительных решений имеет уравнение
Х1 + Х2 + Хз+Х4 = 7 ?
55.	Сколько целых неотрицательных решений имеет
уравнение Xi + X2+-+Xm = n ?
56.	Сколько можно сделать костей домино, используя числа
0,1,..., г?
57.	Трое ребят собрали т подберезовиков, п подосиновиков и
s белых, грибов. Сколькими способами они могут разделить эти
грибы между собой, если все грибы одного вида считать
одинаковыми?
58.	Поезду, в котором находится п пассажиров, предстоит
сделать т остановок. Сколькими способами могут распределиться
пассажиры между этими станциями, если учитывать лишь
количество пассажиров, вышедших на каждой остановке?
59.	Сколькими способами можно разложить п одинаковых
предметов по т (т < и) различным пакетам, если ни один из
пакетов не должен быть пустым?
Размещения с повторениями
60.	Четверо студентов сдают экзамен. Сколькими способами
им могут быть поставлены оценки (по пятибалльной системе), если
известно, что никому из них не будет поставлена
неудовлетворительная оценка?
61.	Сколькими способами можно распределить 8 различных
учебников между четырьмя студентами?
62.	В некотором государстве не было даже двух жителей с
одинаковым набором зубов. Какова наибольшая возможная
численность населения этого государства, если полное число зубов
у человека равно 32?
63.	Поезду, в котором едут п пассажиров, предстоит сделать
т остановок. Сколькими способами могут распределиться
пассажиры между этими остановками?
ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ИСХОДОВ,
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
В задачах 64-93 нужно построить пространство элементарных
исходов £2 и описать указанные события как подмножества п.
64.	Из колоды в 32 карты наудачу выбираются две карты
(прикуп при игре в преферанс). Событие А = {обе карты - тузы}.
65.	При наборе телефонного номера абонент забыл две
последние цифры и набирает их наудачу, помня только, что они
нечетные и разные. Событие А = {номер набран верно}.
66.	'Из шестизначных телефонных номеров, не содержащих
одинаковых цифр, наудачу выбирается один. Событие А = {цифры
номера следуют в порядке возрастания}.
67.	Три игральные кости подбрасываются один раз. События:
А = {сумма очков, выпавших на верхних гранях костей, равна 12};
В= {на первой кости выпало четное число очков}; С - {на всех костях
выпало одинаковое число очков}.
68.	Три занумерованных шара раскладываются наудачу по
трем ящикам. В каждый ящик может поместиться любое число
шаров. События: А = {все шары попадут в один ящик}; В = {в
первый ящик попадут два шара}; С = {в каждый ящик попадет по
одному шару}.
69.	В каждый разряд восьмиразрядного двоичного числа
случайным образом записывается либо 0, либо 1. События:
У
^{количество записанных нулей равно количеству единиц}; В - {в
самый старший и самый младший разряды записаны нули}.
70.	В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 18
команд, занумерованных от 1 до 18. Из них по жребию
формируются две подгруппы по 9 команд в каждой. События А,В,С
состоят в том, что команды с номерами 1 и 18 попадут
соответственно: а) в первую подгруппу; Ь) в одну подгруппу; с) в
разные подгруппы.
71.	Из урны, содержащей 10 шаров, занумерованных от 1 до
10, наудачу один за другим извлекают все находящиеся в ней шары.
События: А = {последним извлечен шар с номером 5}; В = {первым
извлечен шар с нечетным номером}; С = {при извлечении четные и
нечетные номера шаров чередовались}.
72.	N различных предметов случайным образом
распределяются между т лицами (m<N), причем каждый может
получить любое число предметов из имеющихся. События: А =
{каждому достанется хотя бы по одному предмету}; В = {хотя бы
одному лицу ничего не достанется}; С = {все предметы достанутся
одному лицу}; D = {ровно двум лицам ничего не достанется}.
73.	При игре в бридж колода в 52 карты случайным образом
распределяется между четырьмя игроками (по 13 карт каждому).
События: А = {каждому достались карты только одной масти}; В =
{первому игроку достались все фигуры ( валеты, дамы, короли)}; С =
{Каждому достался туз}.
74.	Уходя из гостей п мужчин, имеющих одинаковые размеры
обуви, надевают обувь в темноте. Каждый из них может отличить
левый башмак от правого, но не может отличить свою обувь от
чужой. События: А = {каждый наденет обувь от одной пары}; В =
{каждый наденет свою обувь}.
75.	Проводятся последовательные испытания на надежность 8
приборов. Каждый следующий прибор испытывается только в том
случае, если предыдущий был испытан и оказался надежен.
События: А = {произведено 8 испытаний}; В = {ненадежный прибор
обнаружен при четвертом испытании}; С = {проведено не менее
четырех испытаний}.
76.	Из множества чисел {1, 2.30} наудачу выбирается одно
число: если оно кратно трем, то эксперимент заканчивается; если
оно при делении на 3 дает остаток 1, то подбрасывается монета и
эксперимент заканчивается; если же остаток при делении этого
числа на 3 равен 2, то подбрасывается игральная кость и
эксперимент заканчивается.
77.	Из урны, содержащей два шара (белый и черный),
последовательно с возвращением извлекается по одному шару до
тех пор, пока не появится белый шар. События: А = {извлекались
только черные шары}; В = {до появления белого шара произведено
не более пяти извлечений}; С = {белый шар появился при четном
номере извлечения}.
78.	Монета подбрасывается до тех пор, пока два раза подряд
не выпадет герб. События: А = {монета подброшена не более семи
раз}; В = {в первый раз выпал герб}.
79.	Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет
второй герб. События: А = {выпали два герба подряд}; В = {первый
герб выпал при четном номере подбрасывания, а второй - при
нечетном}; С = {после выпадения первого герба произведено не
более четырех подбрасываний}.
80.	Подбрасывается монета до появления двух гербов или
двух цифр подряд. События: А = {в первый раз выпала цифра}; В =
{было произведено 9 подбрасываний монеты}; С = {цифра выпала
два раза}.
. 81. Три игрока равной силы проводят шахматный турнир по
схеме: в первом туре играют А и В (С отдыхает). Затем в каждом
туре победитель предыдущего тура играет с отдыхавшим в
предыдущем туре. Турнир продолжается до тех пор, пока один из
игроков не выиграет две партии подряд. Ничьих партий нет.
События: D = {выиграет турнир игрок С}; Е = {турнир закончится в
три тура}; F= {игрок А примет участие только в одном туре}.
82.	В урне три шара: белый, красный и зеленый.
Последовательно с возвращением из урны извлекается по одному
шару. Процесс извлечения оканчивается в случае, когда цвет вновь
извлеченного шара оказался отличным от цвета предыдущего шара.
События: А - {эксперимент закончится извлечением красного шара};
В = {будет извлечено 10 шаров}.
83.	Из множества натуральных чисел случайным образом
выбирается одно. Если выбрано число п и п>1, то подбрасывается п
игральных костей и эксперимент заканчивается. Если выбрана 1, то
снова выбирается одно натуральное число и т.д. События: А =
{эксперимент закончится подбрасыванием пяти игральных костей};
В = {на первых трех костях выпадет одинаковое число очков}.
84.	Подбрасывается игральная кость до первого выпадения
единицы. События: А = {единица выпадет при седьмом
подбрасывании}; В = {при первом подбрасывании выпадет нечетное
число очков}.
85.	Телефонный кабель длины L случайным образом
перерезан в одной точке. Событие А = {длина меньшего куска
кабеля > L/4}.
86.	На окружности единичного радиуса с
центром в начале координат случайным образом ставится точка.
Событие А = {длина дуги окружности между данной точкой и точкой
с координатами (1;0) не превосходит я/4}.
87.	В круге радиуса г параллельно заданному направлению
случайным образом проводится хорда. Событие А - {длина хорды
меньше г}.
88.	Стержень длины а случайным образом разломан на три
части. Событие А = {из полученных отрезков можно построить
треугольник}.
89.	Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу
независимо друг от друга в произвольные моменты времени в
течение данных суток. Время стоянки одного судна - один час, а
другого - два часа. События: А = {одному из пароходов придется
ожидать освобождения причала}; В = {пароходы подойдут к причалу
одновременно}.
90.	Производится выстрел по плоской прямоугольной мишени,
которая в декартовой системе координат удовлетворяет условиям:
-2<х<2,-1<У<1. Непопадание в указанный прямоугольник
исключено. События: А - {абсцисса точки попадания не меньше
ординаты}; В = {произведение координат точки попадания
неотрицательно}; С = {сумма абсолютных величин координат точки
превышает единицу}.
91.	Эксперимент состоит в радиолокационном обнаружении
воздушной цели. Наблюдаемый результат - положение светящейся
точки (отраженного импульса от цели) на экране индикатора цели,
имеющего форму круга радиуса 10 см с центром в начале
координат. События: А = {цель находится в первом квадранте}; В =
{цель находится в круге радиуса 5 см, центр которого совпадает с
центром экрана}; С = {цель находится в круге радиуса 2,5 см, центр
которого сдвинут на 5 см вдоль оси ОХ в отрицательном
направлении}.
92.	’ Случайным образом выбираются три отрезка, длина
каждого из которых не превосходит а>0. Событие А = {сумма
длин отрезков не превосходит а}.
93.	Производится два выстрела по круглой мишени радиуса R.
По условиям стрельбы непопадание в мишень исключено. События:
А = {при втором выстреле произошло попадание в ту же четверть
круга, что и при первом}; В= {при первом выстреле произошло
попадание в круг радиуса R/4 с центром, совпадающим с центром
мишени}.
СОБЫТИЯ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
94.	Проверить справедливость соотношений
а)А\В=АВ; b) А\В = А\АВ = (Au В)\В; c)AUB = AB;
d)uAn = nAn', е)АВ-AuB; f)nAn=<uAn',
g)A(B\C)- AB\AC\ h)ABC с АВ и АС и ВС а Аи ВиС;
i)(A\B)v(A\C) = А\ВС.
95.	Упростить
а)А<иАВ; b)(A\C)(B\C); с)(А\С)(В\С); d)(AvВ)(АиВ);
e)(AuB)(AuB)(AuB).
96.	Верны ли следующие равенства
а)	АВ и CD - (А и В)(С о D);
Ь)	(А и В)(Аи С)(В <jC) = AB^iAC'uBC-
с)А\В = А\В; </)А\(В\С) = (А\В)иС;
е)А\(В\С) = (А\В)оАС; /)(АиВ)\С = (А\С)и(В\С);
g)(AuB)\C = Au(B\C); h)(A\B)(C\D) = AC\BD;
i)(A\B)(C\D) = AC\(BuD); j)(AuB)\B = А\В;
97.	Показать, что если ВсА,п (Л \ Z?) и S = А.
98.	Обязаны ли совпадать события А и В, если:
а)А = В; Ь)АиС = ВиС; с) АС = ВС;
(С - некоторое событие);
d) А(А\В) = В(В\А); е) А( А \ В) = В( А \ В); f)A\B=0.
99.	Определить события А и В, если:
а)АиВ = А; Ь)АВ = А.
100.	Пусть А и В - некоторые события. Найти все
события X такие, что: а) АХ = ВХ; Ь)Х и Au X и А = В .
101.	Пусть А, В, С - случайные события. Выяснить
смысл равенств: а)АВС — А; Ь)А'иВ'иС = А.
102.	Пусть на плоскость наудачу бросается точка и пусть
события А и В состоят в том, что эта точка попадет
соответственно в круг А, круг В. Какой смысл имеют события:
А, В, Аи В, АиВ, АВ, ^АВ ?
103.	Доказать, что для любых событий А и В
соотношения
AcB, Az)B, AuB = Br AB-A, A\B=Q
равносильны.
104.	Очередной посетитель входит в зал музея, где уже
собралось 2п человек, и начинает отыскивать знакомых
среди, собравшихся. Интересующие нас события: А= {среди
собравшихся найдется п человек, знакомых посетителю}, В ~
{среди собравшихся найдется п человек, незнакомых
посетителю}. Доказать, что события АиВ и А\В^)В
достоверные.
105.	Доказать, что события А и В совместны тогда и
только _ тогда, когда пересечение трех событий
АиВ, АиВ, А<иВ не пусто.
106.	На отрезке [а,Ь] наудачу ставятся две точки. Пусть
х и у координаты этих точек. Изобразить на плоскости Оху
области, соответствующие событиям £1,А,В,АВ,А\В,А^В,
где А = {вторая точка ближе к левому концу отрезка, чем
первая точка к правому концу}, В ={расстояние между точками
меньше половины длины отрезка}.
107.	Мишень состоит из 10 кругов, ограниченных
концентрическими окружностями с радиусами
R\< R2<---<Rw- Событие Ак- {попадание в круг радиуса
Rk}, к = 1,10	Что означают события:
6	ю	—
В = и Ак, С = п Ак, D - А] Аг ?
Jr=l	к~5
108.	Двое играют в шахматы. События: А={выиграет
первый игрок}, В={выиграет второй игрок}. Что означают
события: а) АДВ; b)AAB; с)АВ\ d)B\A; е)А\В 7
109.	Пусть А1,А2,--чАд| - события. Доказать, что
N N	N N
о n Ai= п и Ai= An 
л=1 i=n	n=l i—n
110.	Пусть А, В, С - три произвольных события. Найти
выражения для событий, состоящих в том, что:
а)	произошло только А;
Ь)	произошли А и В , С не произошло;
с)	все три события произошли;
d)	произошло по крайней мере одно из событий;
е)	произошло одно и только одно событие;
/) ни одно событие не произошло;
g) произошло не более двух событий.
111.	Производится стрельба двумя снарядами по трем
бакам с горючим, расположенным рядом друг с другом в одну
линию. Для воспламенения всех баков требуется два
попадания в один и тот же бак или два попадания в соседние
баки. Пусть для всякого к=1,2,3 событие дЛ ={попадание в к-
ый бак при первом выстреле}, событие Вк ={попадание в к-ый
бак при втором выстреле}. Описать через А/, и Bi события,
заключающиеся: а) в воспламенении всех баков; Ь) в
воспламенении всех баков за счет двух последних; с) в
воспламенении всех баков за счет попадания в один из баков;
d) в отсутствии воспламенения всех баков.
112.	Производится наблюдение в течение времени Т за
четырьмя работающими элементами электрической схемы.
Каждый из элементов к моменту окончания наблюдения
может оказаться в рабочем или нерабочем состоянии. Пусть
события А, В, С, D, Е, F состоят соответственно в том, что в
нерабочем состоянии оказались: а) ровно один из четырех
элементов; Ь) хотя бы один элемент; с) не менее двух
элементов; d) ровно два элемента; е) ровно три элемента; f)
все четыре элемента схемы." Построить пространство
элементарных исходов этого эксперимента, описать
перечисленные события как подмножества Q и указать, в чем
состоят события: Лий; АВ; ВиС; ВС, D о E<J F; BF .
113.	Два баскетболиста по очереди бросают мяч в
корзину до первого попадания. Выигрывает тот, кто первый
забросит мяч. События: Ак- {первый баскетболист попадает
при своем к броске}; вА={второй баскетболист попадает при
своем к броске}; А={выигрывает первый баскетболист};
В ^{выигрывает второй баскетболист}. Первый баскетболист
бросает первым. Выразить события А и В через события Ак
и Вк> к = 1,2,..’. .
114.	Из урны, содержащей черные и белые шары,
извлечены п шаров. Пусть А,={г- й шар белый}, i = l,n.
Выразить через а, следующие события: а) все шары белые;
/>)хотя бы один шар белый; с) ровно один шар белый; J) все
п шаров одного цвета.
115.	Является ли операция симметрической разности
а) коммутативной; Ь) ассоциативной ?
116.	Доказать, что если АДВ = CAD, то АДС = BAD.
117.	Относительно событий, перечисленных в каждом
примере, указать, образуют ли они в данном опыте полную
группу событий.
1)	Опыт - бросание одной монеты. События: д,={выпал герб};
д2={выпала цифра}.
2)	Опыт - бросание двух монет. События: Д]={выпало два
герба}; д2 ={выпало две цифры}.
3)	Опыт - бросание двух игральных костей. События:
С1={выпало две шестерки}; Сг = {не выпало ни одной
шестерки}; Сз = {выпала ровно одна шестерка}.
4)	Опыт - передача двух сигналов по каналу связи. События:
/),= {хотя бы один сигнал не искажен}; Г)2- {хотя бы один
сигнал искажен}.
5)	Опыт - передача трех сообщений по каналу связи.
События: Ei- {все три сообщения переданы без ошибок};
Ег- {все три сообщения переданы с ошибкой}; Ез= {Два
сообщения переданы с ошибкой, а третье без ошибки}.
118.	Являются ли следующие группы событий
несовместными?
1)	Опыт - бросание одной монеты. д,={выпал герб};
д2={выпала цифра}.
2)	Опыт - бросание двух монет. Bi = {на первой монете выпал
герб}; В2 = {на второй монете выпал герб}.
3)	Опыт - производится два выстрела по цели. События:
Со={ни одного попадания}; Ci = {ровно одно попадание};
С2- {Два попадания}.
4)	Опыт - производится два выстрела по цели. События:
Di ={одно попадание}; О2 = {один промах}.’
5)	Опыт - передача трех сообщений по радио. События: Ei ={в
первом сообщении есть ошибка}; £2= {во втором
сообщении есть ошибка}; £3 = {в третьем сообщении есть
ошибка}.
119.	Показать, что система событий
В, АВ, А. и В образует полную группу попарно несовместных
событий.
120.	Пусть Q = {®:ffl = (xi,x2,x3 - );x,e {0,1},г = 1,2,...}.
Образуют ли следующие системы множеств полную группу
попарно несовместных событий?
1)	Д„ = {юе Q:xn-l},n = l,2,...;
2)	Вп = ](ое £2:£Х/ = пкп = 1,2,...;
3)	Со — {(М, )}, Сл -6 Q: Пх,- -1, Хп — о|
I i=i	J
121.	Пусть Q определено также, как и в задаче 120. В
следующих примерах требуется найти верхний и нижний
пределы последовательности событий и ответить на вопрос:
имеют ли эти последовательности пределы.
"I) Ап = 1®е &:тахх,- = lk и = 1,2,... ;
I	1<1<П J
2)	Вп = |®е	;minx, = о|, и = 1,2,... ;
3)	СЛ = {®6 й:х„ = 1}, И = 1,2,... ;
4)	D„= oi®G&:Zx; = *k п = 1,2,... .
*=11	;=1 J
122. Пусть А,В,С-три события. Для п = 1,2,...положим
Азп-2 - -4’ Азп-1 = В, Азп = С. Найти верхний и нижний пределы
последовательности А„- При каких условиях эта
последовательность имеет предел?
123. Пусть N = {1,2,3,..,}- множество натуральных чисел,
множество всех
верхний и нижний
Имеет ли эта
Для и = 1,2,... обозначим через А„
натуральных делителей числа п. Найти
пределы последовательности ап 
последовательность предел?
124. Пусть R =
действительных чисел,
найти верхний и нижний
событий и ответить на
последовательность предел?
1) Ап = 1хе В:хе|--;1
Iй п))
( , 1 , 1
хе R :хе —1 +—;1 —
п п
В следующих
пределы
вопрос:
- множество всех
примерах требуется
последовательности
имеет ли эта
2) Вп =
-, и = 1,2,..
п = 1,2,..
1
3) С„ = {
D	ОхН)", (-1)'
xeR.xe -2-1--;2----
п п
п = 1,2,..
4) £)„ = < х е /?: х е
п (	1	J Al
u £ —;k + — If, n —1,2,...
k=-n{	n	n II
125.
Пусть R2 = {(x, y)< x < +°о, —°° < у < +oo}-
плоскость. В следующих примерах требуется найти верхний и
нижний пределы последовательности событий и ответить на
вопрос: имеет ли эта последовательность предел?
1)	Ал = 1(х,у)е я2:|х-у| <1+-1, и = 1,2,... ;
I	п)
2)	Вл = 1(х,у)б В2 :|х-у| >!--[, « = 1,2,... ;
I	п\
3)	Сп= (х,у)е R2:x2+y2 <1 + ^- -,
и = 1,2,... ;
4)
2 (
Dn = (х, у) 6 R : X—
I п 1
л = 1,2,... ;
АЛГЕБРЫ ист-АЛГЕБРЫ
126.	Пусть Q = {1,2,3,4,5,6}. Построить наименьшую
алгебру, содержащую: а) множество {2,3}; Ь) множества
{2,3,4} и {4,6}.
127.	Пусть А и В- произвольные подмножества
множества Q. Построить наименьшую алгебру, содержащую
множества А и В.
f128. Пусть Fi и f2 _ алгебры (ст- алгебры)
подмножеств множества Q. Всегда ли класс F = f]of2
является алгеброй (<т - алгеброй)?
129.	Пусть Q = {ю: to = (xi,х2,х, = ±1, i = 1,2,--.}.
Множество А с Q назовем симметрическим, если из того, что
to = (xi,x2,---)g А следует, что и &>' = (-xi,-x2,---)g А.
Доказать, что совокупность всех симметрических подмножеств
множества Q является с-алгеброй.
130.	Пусть Q- произвольное множество. Обозначим
через F совокупность всех подмножеств множества Q,
каждое из которых не более чем счетно или имеет не более
чем счетное дополнение. Доказать, что класс F является ст-
алгеброй.
131.	Пусть D = {£>i,£>2,--->£>«} разбиение множества fl
(£), ^0, i = l,n; D,<^D, =0 при i*j; UD, = f2). Описать
/-1
алгебру, порожденную разбиением D. Сколько элементов
содержит эта алгебра?
132.	Доказать, что любая алгебра подмножеств
произвольного множества £1, состоящая из конечного числа
элементов, порождается единственным конечным разбиением
множества £2.
133.	Пусть	- подмножества множества £2
такие, что для любого набора ст = (<У|,...,<7„), е {0,1}
п	I Ак > <5 к ~ 1
Па^'^О , где A?‘ = s___________	Описать алгебру,
*=i	[At,crjt = O.
порожденную классом ^ = {АнА2>--->А,1}- Сколько элементов
содержит эта алгебра?
134.	Пусть £> = {D|,D2,---} - счетное разбиение
множества £2. Описать <т - алгебру, порожденную разбиением
D. Какова мощность этой <7-алгебры?
135.	Пусть £2=(0;1]. Положим К = {(0;х]: 0 < х < 1} и
L = {(х;у]: 0< х < у < 1). Доказать, что а -алгебры,
порожденные классами К и L, совпадают.
136.	Пусть R = (—оо;оо)- действительная прямая и
(a,b] = (хе R : а < х<Ь} для всех ~^<а<Ь<^. Условимся
под интервалом (а, понимать интервал (а,°°). Обозначим
через А_систему множеств в R, состоящую из всевозможных
конечных объединений непересекающихся интервалов вида
(а, Ь] и содержащую пустое множество. Показать, что система
А является алгеброй. Будет ли эта система ст-алгеброй?
КЛАССИЧЕСКАЯ СХЕМА
137.	Брошены три монеты. Найти вероятность того, что
выпадут ровно два герба.
138.	Брошены две игральные кости. Какова вероятность
выпадения на двух костях в сумме не менее 9 очков? Какова
вероятность выпадения единицы по крайней мере на одной
кости?
19
139.	Из пяти карточек с буквами А,Б,В,Г,Д наугад одна за
другой выбираются три и раскладываются в ряд в порядке
появления. Какова вероятность, что получится слово «ДВА»?
140.	В урне 3 белых и 7 черных шаров. Какова
вероятность того, что вынутые наугад два шара окажутся
черными?
141.	Из урны, содержащей 4 белых и 5 черных шаров,
случайным образом без возвращения извлекаются 2 шара.
Найти вероятности следующих событий: А={извлечены два
белых шара}; В={извлечен один белый и один черный шар}.
142.	В урне лежат 5 одинаковых шаров, занумерованных
от единицы до пяти. По схеме случайного выбора с
возвращением из урны трижды вынимается шар. Найти
вероятности следующих событий: А={трижды был извлечен
один и тот же шар}; В={ровно в двух случаях из трех был
извлечен шар с нечетным номером}.
143.	Из урны, содержащей три красных, два зеленых и
один желтый шар, по схеме случайного выбора без
возвращения извлекают 3 шара. Найти вероятности
следующих событий: А={хотя бы один цвет не будет
представлен в выборке}; В={извлечены два красных и один
зеленый шар}.
144.	На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Опыт
состоит в случайном выборе трех карточек и раскладывании
их в порядке поступления в ряд слева направо. Найти
вероятности следующих событий: А={появится число 123};
В={появится число, не содержащее цифры 3}; О{появится
число, состоящее из последовательных цифр}; ^{появится
четное число}.
145.	10 вариантов контрольной работы, написанные
каждый на отдельной карточке, перемешиваются и
распределяются случайным образом среди восьми студентов,
сидящих в одном ряду, причем каждый получает по одному
варианту. Найти вероятности следующих событий:
Д={варианты с номерами 1 и 2 останутся
неиспользованными}; В={варианты 1 и 2 достанутся рядом
сидящим студентам}; С={будут распределены
последовательные номера вариантов}.
146.	Из колоды карт (36 листов) по схеме случайного
выбора с возвращением извлекаются две карты. Каковы
вероятности следующих событий: А={извлечены две дамы};
В={извлечены две бубновые дамы}; С={извлечены две карты
бубновой масти }; £>{извлечены две карты одной масти}.
147.	На восьми одинаковых карточках написаны
соответственно числа 2,4,6,7,8,11,12 и 13. Наугад берутся две
карточки. Определить вероятность того, что образованная из
двух полученных карточек дробь сократима.
148.	Имеется 5 отрезков, длины которых равны
соответственно 1,3,5,7 и 9 единицам. Определить вероятность
того, что с помощью взятых наугад трех отрезков из данных
пяти можно построить треугольник.
149.	Из колоды карт (52 карты) наугад извлекаются три
карты. Найти вероятность того, что это будет тройка, семерка
и туз.
150.	Среди 25 экзаменационных билетов 5 «хороших».
Два студента по очереди берут по одному билету. Найти
вероятности следующих событий: А={первый студент взял
хороший билет}; В={второй студент взял хороший билет};
С={оба студента взяли хорошие билеты}.
151.	Найти вероятность того, что в номере случайно
выбранной машины сумма первых двух цифр равна сумме
двух последних (предполагается, что номер состоит из
четырех цифр).
152.	Найти вероятность того, что купленный в автобусе
билет окажется счастливым (сумма трех первых цифр равна
сумме трех последних).
153.	Из карточек разрезной азбуки составлено слово
СТАТИСТИКА. Затем из этих 10 карточек по схеме выбора без
возвращения отобрано 5. Найти вероятность того, что из
отобранных карточек можно составить слово ТАКСИ.
154.	В шкафу находится 10 пар ботинок различных
сортов. Из них случайно выбирается 4 ботинка. Найти
вероятность того, что среди выбранных ботинок отсутствуют
парные.
155.	А и В и еще 8 человек стоят в очереди. Определить
вероятность того, что А и В отделены друг от друга тремя
лицами.
156.	Колода из 36 карт хорошо перетасована. Найти
вероятности следующих событий: А={все 4 туза расположены
рядом}; В= {места расположения всех тузов образуют
арифметическую прогрессию с шагом, равным 7}.
157.	10 книг на одной полке расставлены наудачу.
Какова вероятность того, что 3 определенные книги
поставлены рядом.
158.	На книжной полке произвольно расставлены 4 книги
по теории вероятностей и 3 книги по теории множеств. Какова
21
вероятность того, что книги по одному и тому же предмету
окажутся рядом.
159.	В партии изделий 90 исправных и 10 бракованных.
Найти вероятность того, что среди 10 проданных изделий:
а)ровно одно бракованное; Ь) нет бракованных.
160.	В партии из 50 изделий 5 бракованных. Из партии
выбирается наугад 6 изделий. Определить вероятность того,
что среди этих 6 изделий 2 окажутся бракованными.
161.	Из 10 билетов выигрышными являются 2.
Определить вероятность того, что среди взятых наугад пяти
билетов: а) ровно один выигрышный; Ь) ровно два
выигрышных; с) хотя бы один выигрышный.
162.	Колода карт (36 листов) делится случайным
образом на две пачки по 18 кар! в каждой. Найти вероятности
следующих событий: 4={в каждой пачке оказалось по два
туза}; В={в одной из пачек тузов не Сказалось}.
163.	5 юношей и 7 девушек разыгрывают по жребию 4
билета на концерт. Найти вероятности следующих событий:
Д={все билеты достанутся девушкам}; В={два билета
достанутся девушкам и два юношам}.
164.	В маршрутном такси ехали 12 пассажиров, среди
них 4 девушки. На очередной остановке два пассажира
вышли. Найти вероятности следующих событий: Д={вышли
две девушки}; 8={вышла одна девушка},
165.	У туристов было 10 одинаковых на вид банок с
консервами, из них 4 банки с мясом, 4 с рыбой и 2 с овощами.
Во время дождя надписи на банках были смыты, поэтому на
привале туристы вскрыли 3 банки наудачу. Найти вероятности
следующих событий: Д={во всех трех банках оказались разные
консервы}; В={ровно в двух банках оказались мясные
консервы}.
166.	Среди 25 экзаменационных вопросов 10 легкие.
Студент наудачу извлекает две карточки, каждая из которых
содержит по одному вопросу. Найти вероятности следующих
событий: <4={оба вопроса легкие}; 8={ровно один вопрос
легкий}.
167.	В партии из 16 деталей 8 изготовлено на станке
марки А, 4 - на станке марки В и 4 - на станке марки С. Из
этой партии деталей наудачу выбираются 3 детали. Найти
вероятности следующих событий: О={все выбранные детали
изготовлены на станках разных марок}; Е={ровно две детали
изготовлены на станке марки Л}.
168.	Из колоды карт (52 листа) наудачу вынимается
несколько карт. Какое минимальное число карт нужно извлечь,
чтобы с вероятностью более 0,5 утверждать, что среди них
будут карты одной масти?
169.	Общество, состоящее из пяти мужчин и десяти
женщин, наудачу разбивается на пять групп по три человека.
Найти вероятность того, что в каждой группе будет по одному
мужчине.
170.	В купейном вагоне (9 купе по 4 места) семи
пассажирам продано семь билетов. Найти вероятности
следующих событий: А~ {пассажиры попали в два купе}; В=
{пассажиры попали в три купе}. Рассмотреть два случая: 1)
пассажиры покупают билеты в разное время независимо друг
от друга; 2) пассажиры едут вместе, и один из них покупает
билеты всей группе (предположить, что номера проданных
пассажиру мест идут подряд, а наименьший номер места
выбирается случайно из множества номеров {1,2,...,30}).
171.	10 рукописей разложены по 30 папкам (на одну
рукопись 3 папки). Найти вероятность того, что в случайно
выбранных 6 папках не содержится целиком ни одной
рукописи.
172.	Среди кандидатов в студенческий совет факультета
3 первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из
этого состава выбирается 5 человек на конференцию. Найти
вероятности следующих событий: Д={будут избраны одни
третьекурсники}; В={все первокурсники попадут на
конференцию}; С={не будет избрано ни одного
первокурсника}.
173.	10 приезжих мужчин, среди которых Иванов и
Петров, размещаются в гостинице в двух трехместных и
одном четырехместном номерах. Найти вероятность того, что
Иванов и Петров попадут в четырехместный номер.
174.	На тренировке по футболу, роли игроков
распределяются случайным образом среди 11 участников (1
вратарь, 4 защитника, 3 полузащитника и 3 нападающих).
Какова вероятность, что два друга Коля и Миша: а) будут
играть в нападении; Ь) получат разные роли, причем один
будет играть в нападении, а другой в защите?
175.	20 футбольных команд, среди которых 4 призера
предыдущего первенства по жеребьевке разбиваются на 4
занумерованные подгруппы по 5 команд. Найти вероятности
следующих событий: А={в первые две подгруппы не попадет
23
ни один из призеров}; В={в каждую подгруппу попадет по
одному призеру}.
176.	Найти вероятность того, что дни рождения 12
человек придутся на разные месяцы года.
177.	В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли
3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью
выходит на любом этаже, начиная со второго. Найти
вероятности следующих событий: А={все пассажиры выйдут
на четвертом этаже}; &={все пассажиры выйдут одновременно
на одном и том же этаже}; С={все пассажиры выйдут на
разных этажах}.
178.	7 яблок, 3 апельсина и 5 лимонов раскладываются
случайным образом в три пакета по 5 штук в каждый. Найти
вероятность того, что в каждом пакете окажется по одному
апельсину.
179.	В группе 10 студентов. Найти вероятности
следующих событий: Д={ровно у двух студентов этой группы
день рождения приходится на июнь}; В={в группе нет ни
одного студента, родившегося в июне}.
180.	Три приятеля в одно и то же время независимо друг
от Друга пошли в бар. В городе есть 5 баров. Какова
вероятность того, что ровно 2 приятеля встретятся в одном
баре?
181.	В соревновании по гимнастике участвуют 10
человек. Трое судей должны независимо друг от друга
перенумеровать их в порядке, отражающем (по мнению судей)
их успехи в соревновании. Победителем считается тот, кого
назовут первым хотя бы двое судей. Найти вероятность того,
что победитель будет определен.
182.	В урне а белых и b черных шаров (а> 2, Ь> 2) . Из
урны без возвращения извлекается 2 шара. Найти
вероятность того, что извлечены шары: 1) одного цвета; 2)
разного цвета.
183.	Из последовательности чисел 1,2,...,л (п> 2)
наудачу выбираются два числа. Какова вероятность того, что
одно из них меньше К, а другое больше К, где 1 < К < п -
произвольное целое число?
184.	Бросается п игральных костей. Найти вероятность
того, что на всех костях выпадет одно и то же число очков.
185.	Два равных по силе противника играют матч из п
партий в теннис. Каждая партия заканчивается чьей-то
24
победой. Найти вероятность того, что первый игрок выиграет
ровно т партий.
186.	Из урны, содержащей шары с номерами от 1 до п, к
раз (к < п) извлекается шар и каждый раз возвращается
обратно. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров
образуют возрастающую последовательность.
187.	Числа 1,2,...,л (п > 3) расставлены случайным
образом. Предполагается, что различные расположения чисел
равновероятны. Найти вероятность того, что числа 1,2,3
расположены в порядке возрастания, но не обязательно
рядом.
188.	На полке в случайном порядке расставлено п книг,
среди которых находится двухтомник Д.Лондона. Найти
вероятность того, что оба тома двухтомника расположены
рядом.
189.	В кинозале К рядов по L мест в каждом. Зал
заполняется зрителями полностью. Какова вероятность того,
что два конкретных лица, купивших билеты независимо друг
от друга, будут сидеть рядом?
190.	п мужчин и п женщин (и>3) случайным образом
рассаживаются в ряд на 2л мест. Найти вероятности
следующих событий: Д={два лица одного пола не займут
места рядом}; В={все мужчины будут сидеть рядом}.
191.	Имеется 2л карточек, на которых написаны числа от
1 до 2л, и 2л конвертов, на которых написаны те же числа.
Карточки случайным образом вкладываются в конверты (в
каждый конверт по одной карточке). Найти вероятность того,
что сумма чисел на любом конверте и лежащей в нем
карточке четна.
192.	Из урны, содержащей 2л белых и 2л черных шаров,
извлекается без возвращения 2л шаров. Найти вероятность
того, что в выборке будет одинаковое число черных и белых
шаров.
193.	В партии, состоящей из N изделий, имеется М
(M<N) дефектных. Из партии выбирается для контроля л (п<М)
изделий. Если среди контрольных окажется более т (т<п)
дефектных, то вся партия бракуется. Найти вероятность того,
что партия будет забракована.
194.	Для уменьшения числа игр 2л футбольных команд,
среди которых два призера прошлого чемпионата, путем
жеребьевки разбиваются на две подгруппы по л команд в
каждой. Какова вероятность того, что команды-призеры
попадут в разные подгруппы?
195.	Батарея из К орудий ведет огонь по группе из L
(L> К) самолетов. Каждое орудие выбирает цель случайно и
независимо от других. Найти вероятности следующих
событий: А={все орудия выбрали одну и ту же цель}; В={все
орудия выбрали разные цели}.
196.	В отделение связи поступило М различных
телеграмм. Каждая из них может быть отправлена по любому
из N каналов. Найти вероятности следующих событий:
А={первый канал будет бездействовать}; В={по первому
каналу будет отправлена ровно одна телеграмма}.
197.	Опыт состоит в том, что п различных предметов
случайным образом распределяются среди m человек (т<п),
причем таким образом, что каждый может получить любое
число предметов из имеющихся. Найти вероятности
следующих событий: А={все предметы достанутся одному из
участников}; В={определенное лицо не получит ни одного
предмета}; С={определенные т\ лиц (т, < т) получат по
одному предмету}; ^{определенные П1 предметов
достанутся одному человеку}.
198.	Из множества всех последовательностей длины п,
составленных из цифр 0,1,2, случайно выбирается одна.
Найти вероятности событий: ^{последовательность
начинается с нуля}; /^{последовательность содержит ровно
т+2 нуля, причем два из них находятся на концах
последовательности}; С={последовательность содержит ровно
т единиц}; О={в последовательности содержится ровно
то нулей, W1 единиц и т2 Двоек}.
199.	Найти вероятность pN того, что случайно взятое
натуральное число из множества {1,2........N} делится на
фиксированное натуральное число К. Найти Нщ Рх 
200.	По схеме случайного выбора с возвращением из
множества натуральных чисел {1,2,...,А/}, ТУ >4 выбираются
числа X и Y. Что больше Р2=Р{Х2~¥2 делится на 2} или
Рз = Р{Х2~У2 делится на 3}?
201.	Из совокупности всех подмножеств множества S
={1,2......А/} по схеме выбора с возвращением выбираются
множества А\ и Аг- Найти вероятность того, что AjO д2=®.
202.	Из множества чисел £={1,2,...,п} выбирается два
числа. Какова вероятность, что второе число больше первого,
если выбор осуществляется: а) без возвращения; Ь) с
возвращением?
203.	Из множества чисел {1,2,...,Л/} по схеме выбора без
возвращения выбираются числа ^р^2,^3. Найти вероятности
событий: А = {£, < £2}; В={£2 лежит между и £3}.
204.	Каждая из п палок случайным образом ломается на
две части - длинную и короткую. Затем 2л полученных
обломков наудачу объединяются в п пар, каждая из которых
образует новую палку. Найти вероятности следующих
событий: А- {все обломки объединяются в первоначальном
порядке}; В= {все длинные части объединяются с короткими}.
205.	Монета подбрасывается л раз. Найти вероятность
того, что число появлений герба нечетно.
206.	Несколько раз бросается игральная кость. Какое
событие более вероятно: ^={сумма выпавших очков четна}
или В={сумма выпавших очков нечетна}?
207.	Рассмотрим множество из N элементов. Наудачу
выбирается одно из непустых подмножеств. Найти
вероятность того, что в выбранном подмножестве четное
число элементов.
208.	В урне находятся черные и белые шары, причем
отношение числа белых шаров к числу черных шаров равно
a. Найти вероятность того, что при извлечении всех шаров из
урны последним окажется черный шар.
209.	Из урны, в которой находятся черные и белые
шары, с возвращением извлекается два шара. Доказать, что
вероятность того, что шары одного цвета, не меньше 0,5.
210.	Два игрока независимым образом подбрасывают
(каждый свою) монеты. Найти вероятность того, что после п
подбрасываний у них будет одно и то же число гербов.
211.	Определить вероятность того, что выбранное
наудачу целое число N при а) возведении в квадрат; Ь)
возведении в четвертую степень; с) умножении на
произвольное целое число оканчивается единицей.
212.	Определить вероятность того, что последние две
цифры у куба наудачу взятого целого числа Л/ равны единице.
213.	Из множества натуральных чисел по схеме выбора с
возвращением случайным образом выбирается два числа.
Найти вероятность того, что остатки от деления каждого из
них на заданное натуральное число к равны.
ДИСКРЕТНЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ
214.	Найти вероятность того, что при подбрасывании
игральной кости выпадает четное число очков, если
вероятность выпадения к очков пропорциональна к, к = 1,6.
215.	Монета, с вероятностью выпадения герба равной
2/3, подбрасывается 7 раз. Найти вероятность того, что
разность между числом выпавших гербов и числом выпавших
цифр не меньше 3.
216.	Две игральные кости таковы, что вероятность
выпадения к очков для одной пропорциональна к, а для
другой обратно пропорциональна к, к = 1,6. Найти
вероятность того, что при одном подбрасывании этих двух
костей на каждой из них выпадет одно и то же число очков.
217.	Две игральные кости подбрасываются до тех пор,
пока не выпадет одинаковое число очков на каждой. Найти
вероятность того, что будет сделано не менее трех
подбрасываний.
218,	Из множества натуральных чисел выбирается одно
число. Какова вероятность того, что оно кратно 3, если
вероятность выбора числа к пропорциональна 1/к2,
к = 1,2,... .
219.	Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, по
схеме выбора с возвращением последовательно извлекается
один шар до тех пор, пока впервые не появится белый шар.
Найти вероятность того, что процесс выбора закончится на
шаге с четным номером.
220.	Симметричная монета подбрасывается до тех пор,
пока не выпадет второй герб. Найти вероятность того, что
номер шага, на котором выпал второй герб, вдвое больше
номера шага, на котором выпал первый герб.
221.	Два игрока независимо друг от друга называют по
одному натуральному числу. Выигрывает тот, кто назвал
большее число. Считая, что вероятность назвать число к для
/-го игрока пропорциональна	/с=1,2,...; /=1,2, найти
вероятность выигрыша второго игрока.
222.	В урне 6 шаров (3 белых, 2 красных и 1 зеленый).
Последовательно с возвращением из урны извлекается по
одному шару. Процесс извлечения заканчивается в случае,
когда цвет вновь извлеченного шара оказался отличным от
цвета предыдущего шара. Найти вероятность того, что
последний извлеченный шар зеленого цвета. •
223.	В условиях задачи 81 найти вероятности рА, рв, рс
выигрыша игроков А, В, С.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
224.	После бури на участке между 40-м и 70-м
километрами телефонной линии произошел обрыв провода.
Какова вероятность того, что разрыв произошел между 50-м и
55-м километрами линии?
225.	На перекрестке установлен автоматический
светофор, в котором 1 мин горит зеленый свет и полминуты -
красный и т.д. Какова вероятность того, что автомобиль,
подъехавший в случайный момент времени, проедет через
перекресток без остановки?
226.	На отрезке ОА длины L случайным образом
поставлена точка В. Найти вероятность того, что меньший из
отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую, чем U3.
227.	В круге радиуса R проводятся хорды параллельно
заданному направлению. Какова вероятность того, что длина
наугад взятой хорды не более R, если равновозможны любые
положения точек пересечения хорды с диаметром,
перпендикулярным выбранному направлению?
228.	На плоскости проведены параллельные линии,
расстояние между которыми попеременно равно 1,5 и 8 см.
Определить вероятность того, что наудачу брошенный на эту
плоскость круг радиуса 2,5 см не будет пересечен ни одной
линией.
229.	На отрезке ОА длины L случайным образом
поставлена точка В. Затем на отрезке ВА случайным образом
поставлена точка С. Найти вероятности того, что: а)длина
отрезка ВС меньше длины отрезка ОВ; Ь) длина отрезка ВС
меньше, чем U2.
230.	На отрезке ОА длины L случайным образом
поставлены две точки В и С. Найти вероятности того, что: а)
длина отрезка ВС меньше расстояния от точки О до
ближайшей к ней точки; Ь) длина отрезка ВС меньше, чем U2.
231.	На отрезке АВ длины I наудачу поставлены две
точки L и М. Найти вероятность того, что точка L будет ближе к
точке М, чем к точке А.
232.	Стержень длиной 200мм случайным образом
ломается на три части. Определить вероятности того, что:
29
а)длина части стержня между изломами не превышает 10мм;
Ь) длина хотя бы одной части стержня не превышает 10мм.
233.	Стержень длины / сломали на три части, выбирая
наудачу точки разлома. Найти вероятность того, что из
полученных трех частей можно составить треугольник.
234.	Какова вероятность того, что сумма длин трех
наудачу взятых отрезков, длина каждого из которых не
превосходит L, будет больше L?
235.	В круг радиуса R вписаны квадрат и правильный
треугольник. Точка наудачу бросается в круг. Найти
вероятности того, что она окажется внутри : а) квадрата; Ь)
треугольника.
236.	В квадрат наудачу брошены три точки. Найти
вероятность того, что они образуют вершины: а) какого-нибудь
треугольника; Ь) правильного треугольника; с) прямоугольного
треугольника.
237.	Какова вероятность того, что сумма двух наудачу
взятых положительных чисел, каждое из которых не больше
единицы, не превосходит единицы, а их произведение будет
не больше 2/9 ?
238.	Из отрезка [-1,2] наудачу взяты два числа. Какова
вероятность того, что их сумма больше единицы, а
произведение меньше единицы?
239.	Две точки выбираются наудачу на отрезке [-1;1].
Пусть р и q координаты этих точек. Найти вероятности того,
что: а) решение уравнения рх + q = 0 удовлетворяет условию
х>0; Ь) уравнение x2 + px + q = 0не имеет действительных
корней.
240.	Значения а и б равновозможны в квадрате
|о| < 1, |б| < 1. Найти вероятности следующих событий: Д={корни
уравнения	х2 + 2ал + b = 0 действительны};	В={корни
уравнения х2 + 2ах + Ь = 0 положительны}.
241.	В квадрат с вершинами (0;0), (0;1), (1;0), (1;1)
наудачу брошена точка. Пусть (£,г?)- ее координаты. Найти
вероятность того, что корни уравнения х2 + & + q = 0 -
действительные.
242.	В единичный квадрат наудачу брошена точка.
Какова вероятность того, что точка будет удалена от центра
квадрата на расстояние, меньшее чем 1/3, если известно, что
от каждой из сторон квадрата она удалена больше, чем на
1/6?
243.	На окружности наудачу выбраны три точки А,В и С.
Найти вероятность того, что треугольник АВС будет
остроугольным.
244.	Начерчено 5 концентрических окружностей, радиусы
которых равны соответственно к  г (к = 1,5). Круг радиуса г и
два кольца с внешними радиусами Зг и 5г заштрихованы. В
круге радиуса 5г наудачу выбрана точка. Определить
вероятность попадания этой точки а) в круг радиуса 2г; Ь)в
заштрихованную область.
245.	(Бертран). На окружности радиуса г наудачу
выбираются две точки и соединяются хордой. Найти
вероятность того, что длина хорды превышает длину стороны
правильного вписанного треугольника.
246.	(Бертран). На окружности радиуса г выбрана точка
и через нее проведен диаметр. На диаметре наудачу
выбирается точка - середина хорды, перпендикулярной
диаметру. Найти вероятность того, что длина полученной
хорды превышает гл/З.
247.	(Бертран). Внутри круга радиуса г наудачу
выбирается точка. Эта точка является серединой хорды,
перпендикулярной проведенному через нее диаметру. Найти
вероятность того, что длина полученной хорды превышает
г-^З.
248.	Случайная точка X равномерно распределена в
круге S = {(х, у): %2 + у2 < R2}. Найти вероятность того, что
параллельный оси абсцисс отрезок длины R с серединой в
точке X целиком содержится в круге S.
249.	Два парохода должны подойти к одному и тому же
причалу. Время прихода каждого из них равновозможно в
течение данных суток и не зависит от времени прихода
другого. Определить вероятность того, что одному из
пароходов придется ожидать освобождения причала, если
время стоянки одного судна 1 час, а другого - 2 часа..
250.	В интервале времени [0;Т] в случайный момент и
появляется сигнал длительности А. Приемник включается в
случайный момент гб[0;Г] на время t. Предположим, что
точка (и, v) равномерно распределена в квадрате [0;Т]х[0;Т].
Найти вероятность обнаружения сигнала.
251.	Шар jc2 + у2 + z2 = З2 помещен внутри эллипсоида
2	2	2
^7 +	= 1. Найти вероятность того, что поставленная
52 42 З2
наудачу внутри эллипсоида точка окажется внутри шара.
252.	В шар вписан -куб. Найти вероятность того, что
поставленная наудачу внутри шара точка окажется внутри
куба.
253.	В шар радиуса /? наудачу бросаются Л/ точек. Найти
вероятность того, что расстояние от центра шара до
ближайшей точки будет не меньше а, 0<а <R.
254.	Перед вращающимся с постоянной скоростью
диском находится отрезок длиной 2h, расположенный в
плоскости диска так, что прямая, соединяющая середину
отрезка с центром диска, перпендикулярна отрезку. По
касательной к окружности диска в произвольный момент
времени слетает частица. Определить вероятность попадания
этой частицы на отрезок, если расстояние между отрезком и
центром диска равно L.
255.	На отрезке АВ длиной / наудачу поставлены две
точки /.и М. Определить вероятность того, что длины каждого
из трех полученных отрезков не превосходят заданной
величины а \-<а<1
<3
256.	Внутри квадрата с вершинамии (0;0), (0;1), (1;0).
(1;1) наудачу выбирается точка М(х,у). Найти вероятности
следующих событий:
А =	'х2 + у2 а2, а> о}, В = {(х,у) \ху <а, а > 0 ;
С = {(х,у) : тах(х,у) < а, а > 0}; D = {(х,у) :min(x,y) < я, 0 < а < 1}
257.	Даны две концентрические окружности радиусов
Г2 > и. На большей окружности наудачу ставятся две точки А
и В. Какова вероятность того, что отрезок АВ не пересечет
малую окружность?
258.	Какой толщины должна быть монета, чтобы
вероятность падения на ребро была бы 1/3?
259.	Какова вероятность, не целясь, попасть бесконечно
малой пулей в прутья квадратной решетки, если толщина
прутьев равна а, а расстояние между их осями равно /?
260.	На бесконечную шахматную доску со стороной
квадрата а бросается наудачу монета радиуса г (2г<а).
Найти вероятность того, что 1) монета целиком попадет
внутрь одного квадрата; 2) монета пересечет не более одной
стороны квадрата.
261.	Прямоугольная решетка состоит из цилиндрических
прутьев радиуса г. Расстояния между осями прутьев равны
соответственно а и Ь. Определить вероятность попадания
шариком диаметра d в решетку при одном бросании без
прицеливания, если траектория полета шарика
перпендикулярна плоскости решетки.
262.	На плоскость с нанесенной на ней квадратной
сеткой многократно бросается монета диаметра d, в
результате чего установлено, что в 40% случаев монета не
пересекает ни одной стороны квадрата. Оценить размер
сетки.
263.	Длинный однородный брус прямоугольного
поперечного сечения размера axb, Ь>а, случайно бросается
на горизонтальную плоскость так, что его ось параллельна
этой плоскости, а угол поворота относительно этой оси
равномерно распределен в [0,2гт]. Найти вероятность того, что
он упадет на более широкую грань.
ОТВЕТЫ
1. 49; 42. 2. 720. 3. 18000,4. 9000. 5. а) 300; 6)1080; в) 540,
6.59049, 7. 20. 8.30. 9.6561; 3024. 11. тл; (лг+1)(и + 1) .
12 2(n-i)(m-i) 13. а) 126; 6)210. 14. а) 56; 6)32. 15. 15. 16. 756.
17. 369600. 18. 6000. 19. 60. 20. 2030. 21.	.
3
л(л-1)	п(п- 1)(м- 2)(л- 3)	(т + п)!
22‘	2	' 23‘	24	’	‘ т!п!
и . „(л-IX*-2). „'' + ..+ 2	2С12 27 720
2	6	2
28.3628800. 29. 2п(п-2)! ; 2(п-1)! .	30. т!п! ; т!(м + 1)!.
З1.(л!)2 . 32. (л-2)(л-1)! . 33. (л-2)! . 34.1680. 35. 151200.
36.303600. 37.151200, 38.303600.	39.336.	40.60; 36. .
(m + n + sY.
41. 151200. 42. 280. 43. 60. 44. 5040. 45. 720. 46. ---, , ,	.
иг!и!$!
47.	48_ 20	49.120	50_ 2002	51	46376	52# 330	53	21
‘(л!)3 ' (ти + л-1)! 54.	20.	55. i—	-f- .	56. п\(т-1)!	(r+ 2)(г+ 1) 2
„ (иг+1)(л1+2)(л + 1)(л + 2)(s +l)(s+2)	(лг + и-1)!
•	8	’	’	и!(лг-1)! '
59.---^И~^!	60. 81. 61. 65536. 62. 4294967296. 63. тп
(л — т)1(т — 1)!
95. а)А; Ь)АВ\С; с) 0 ; с?)А; е)АВ . 96. Да для
Ь), е), /), /), j) и нет для остальных. 98. Да в a),d) и нет в
остальных случаях. 99. a)A=0, В — £1', Ь)А = £1, В =0 .
100. а) X = АВ о AD, (D - произвольное событие) ; Ь)Х — В.
106. Q = {(х, у): а < х <Ь, а < у < Ь};
А = {(х, у) е £1: у - а < b - х};
В = {(х,у) е £1:|х-у| <	};
АВ - {(х, у) е £1: у - а < b - х, |х - у| <
А \ В = {(х, у) e Q: у - а < b - х,|х - у| >	’>
AuB - {(x, y)e Q:y-a<b-x или
108.	Во всех случаях
110.a)ABC-, b)ABC-, c)ABC; d)AuBuC;
e) ABC u ABC и ABC-, f)ABC; g)AuB'D~C.
ничья.
111.	a)AiBi^A2B2^АзВз^A1B2VA2B1VA2B3VA3B2;
b) А2Вз'^> A3B2'’ c) AiBi^ A2B2^ A3B3,
d) Ai B3 АзВх^ Ai Аг Аз Bi B2 Вз 
112.
AuB = B; AB = A,BvC = B-,BC = O,DvE(jF = C;BF = F.
113.	A = /UMAiBvADDAi B\АзВзАз^-Л
B = AiB1^Ai^A2B2'^AiBiA2B2A3B3^- 
114.	а) су At', b)(jAi', c)\j(Ai^(c\ Aj))\ d) (n Ai) <-> (n Ai) 
i=i	i=i	i=i	j*i	ы	i=i
115.	а) да; b) да. 116. Указание: AAB — CAD =>(AAB)A0 =
(CAD) A 0	=> (AAB)A(CAC) = (CAD)A(BAB) =>
(AAC)A(BAC) = (BAD)A(BAC) =* (AAC) = (BAD).
Последняя импликация верна, так как из ЛАВ = ААС следует, что
В±С. 117. Да в примерах 1 ),3) ,4) и нет в примерах 2),5). 118. Да
в примерах 1),3) и нет в примерах 2),4),5). 120. 1) нет; 2) нет; 3) да.
121.	1) Пт An = Нт Ая = 12 \ {(0,0,...)}, да;
п—»оо	л—>ОО
2)	НтВп= Нт Вя-12\{(1,1,...)}, да;
к—>°°	п—>°°
3)	Пт Сл = ]«е 12:£х, = °4* limC„ = ]®G Q:sup Пх,=1к
л—>°°	I i=l J л—>°°	L	fc^l J—&	J
нет;
4)	lim Dn ~ lim Dn = {<06 £2	< 00k да.
Л—>OO	/=1	J
122.	Jim AK = u b о С, lim An - ABC, последовательность Ал
rt—>00	n—>°°
имеет предел тогда и только тогда, когда А = В = С.
123.	lim A« =N, НтА„ = {1}, не имеет.
124.	1) lim А„ = lim An - [ОД] , да;
Л—>Da	л—>00
2)	lim Вп ~ lim В„ - (~1Д) > да;
л—>СЮ	Л—»00
3)	lim Cn — [“2,2], lim Cn — (^2,2) , нет;
Л—>OO	n—
4)	limDn = limDn = {0;±l;±2;...J ,да.
n—>OO	ft—>oc
125.	1) lim A„ = lim A„ = {(*, y) g fl2 :|x - y| < 1}, да;
п—>°°	Л—>oo
2)	lim Bn = lim Bn = {«Л y) e R2 =|* - y| 1}, да;
n—Л—»OO
3)	lim Cn = {(*> y) G 7?2: x2 + y2 < 1],
Л—><»
lim Cn = {(x>У)g 7?2 :%2+y2 < 1}, нет;
4)	lim D„ = lim D„ = {(0,0)} , да.
n—>OO	ft—>oo
126.	c){0,Q,{2,3},{1,4,5,6}}; -
b){0,Q, {4}, {6}, {1,5},{2,3}, {4,6}, {1,4,5},{1,5,6},{2,3,4},{2,3,6},
{1,2,3,5}, {1,4,5,6}, {2,3,4,6}, {1,2,3,4,5}, {1,2,3,5,6}}.
127.	{Q,0,A,~A,B,B,AB,AB, AB, AB,AuB,AuB,A\jB,AuB,
AB'U AB', ABAB}.	128. Нет. 131. Совокупность
всевозможных объединений элементов из£>, содержащая пустое
множество; 2й- 133. 22"-	134. Совокупность, состоящая из
пустого множества и всевозможных конечных или счетных
объединений элементов из D. Континуум. 136. Нет. 137. 3/8.
138.	5/18; 11/36. 139. 1/60. 140.7/15. 141. Р(А)=1/6; Р(В)=5/9.
142.	Р(А)=1/125; Р(В)=54/125.	143.	Р(А)= 0,7;	Р(В)=0,3.
144*Р(А)=1/60; Р(В)=2/5; Р(С)=1/20; Р(£>)=2/5. 145. Р(А)=1/45;
Р(Р)=7/45; Р(С)=1/15. 146. Р(А)= 1/81; Р(В)= 1/1296; Р(С)=Ш6;
P(D)=l/4. 147. 5/14. 148. 0,3. 149. 16/5525. 150. Р(А) = Р(В) =1/5;
Р(С) =1/30.	151. 0,067.	152. 0,055252.	153. 2/21.
154.	224/323 = 0,6935. 155.2/15. 156. Р(А) =1/1785; Р(В) =1/3927.
9933
157.1/15. 158. 2/35. 159. а) 0,408; Ь) 0,3305. 160. ---= 0,09.
105938
161. а)5/9; Ь) 2/9 ; с) 7/9.	162.	Р(А)= 153/385; Р(В)=ЯП1.
163.Р/А)=7/99; Р/В> 14/33.	164.	Р(А>1/11; Р/Р)= 16/33.
165.Р(А>4/15; Р/В)=0,3. 166. PfA>3/20; Р(В)=0,5. 167.Р/О>8/35;
Р(Е)=2/5.	168.	3.	169.	81/1001.
170.1 )Р(А) = 1/ 28985 = 0,0000345;
Р(В) = 224/28985 = 0,0077281;	2) Р(А)=8/15; Р(В) =7/15.
171.	^^ = 0,95. 172. PfA>l/143; PfB>2/91; PfC)=24/91.
13195
173. 2/15. 174. а) 3/55; b) 12/55. 175. PfA)= 14/323; PfB)= 125/969.
176. P(A) = 12!/1212 ~ 0,00005372. 177. Р(А) =1/216; Р(В) =1/36;
1те.
(12)10
Р(С)=5/9.	178. 25/91.
180.	0.48.	181.
(11 f
0.28.	М2. 1) <*-l>W-l).
(а + b)(a + b — 1)
2)-----------------.
(а + b)(a + b -1)
2{К - 1)(п - К) !{п{п -1)) . 184. 1/ б"-1.
185.		 —— . 186. 	-  ml(n-ni)l2n	к\{п — к)\пк			187. 1/6.	188. 2/п
189.	2(L — L(KL-	190. р(а) = ^!; 1)	(2и)!		p(B) = (n + D(^ (2л)!
191. 195.	^.192.-^.193. i (2и)! -	(и!)4(4и)!	*=»i+i р(А) = -4т; LK-1		скм	* c"n-m 194 п CnN	2”-1 Р(В)=Л-КУ.
196.	Р(А)=|	; Р(В1 = ^ N )	Nh	1)М-	1 1 -. 197. Р(А)= — т
Р(В)	= (1— \ т	|; 1	(и — miY-n	mi п ’	т
198. Р(А)=1/3;		Р(В) = С^2п-т~2*3-	п.	Р(С) = С^*2п-т*3~п
P(D)	_ п- то'mi	— *3-" - 199. pN=^-  т2-	N	1	. 200. Р3>Р2 К
203. Р(А)=1/2; Р(В)=1/3.
201.
—.	202. а) 0,5; Ь)----
4	2п
204. Р(А) =-----------,
(2и-1)!!
и!
Р(В) =
(2п-1)1!
205.	0,5.
1
7й’1 —1	1	(2пУ
2О6.Р(А)=Р(В)=О,5. 207.	-. 208. --------.	210.
2я-1	1+а	и!п!2
416
211. а) 0,2; Ь) 0,4; с) 0,04. 212. 0,01. 213. Uk. 214.4/7.215.—.
216. —. 217. —. 218.1/9. 219. 3/8. 220.1/3. 221.1/5. 222.1/4.
343	36
223. Рд = Рв = 5/14; РС = 2П. 224. 1/6.
л/3
227. 1- —. 228.6/19. 229. а)0,5; b) 0,75.
2
225. 2/3. 226. 1/3.
230. a)0,5; b) 0,75.
39	111
231. 0,75. 232. a) —; b) ------. 233. 0,25.
400	400
6)^1. 236. а) 1; b) 0; c) 0. 237. - +	= 0,487.238.
4Я	3	9
239. а) 0,5; b) 11/24. 240. PfA>2/3; Р(В)=11П. 241. 1/12.
243.0,25. 244. a) 0,16; b) 0,6.
r-	139
248. (4я - 3 V3) / 67Г. 249.	.
245. 1/3.	246. 0,5.
250. 1--I
2
2
234. 5/6. 235. a)
n
—In2 + —.
9	6
242. - .
4
247. 0,25.
£
2
-4
т
-4
T 1
2л/3
251.9/20.	252.---.
Зтг
4 3aY I
1—b ~^a
1 ' 3
f \2	;
'ML -
( I )	2
a
255. P =
4 ’
253.
£
2
256. P(A) =
P(B) =
1 + a\
a(l-lna), a < 1
257. —arccos— .
7Г Г2
a I
I J
 2r + d.
261.1- 1---------
I a
259.—| 2-—
l
3 A*
R3
1
n
— — arccos—
4
a
P(C) =
a ,
1,
258. Я—
2
260.
_ 1	(h}
254. — arctgl — .
я I L I
; P(D) = a(2-o).
, где R- радиус монеты.
2r + d
b
. 262.
( 2r	4
1)1-— ; 2)1—r-.
I a J	a
2	b
263. —arctg — .
ft	a
5 + 7Ю 
-----d.
3
ЛИТЕРАТУРА
1.	Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей. Задачи
и упражнения. - М.: Наука, 1973. - 367с.
2.	Виленкин Н.Я. Комбинаторика. - М: Наука, 1969. - 328с.
3.	Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория
вероятностей и математическая статистика. - Киев: Вища
школа, 1979. -408с.
4.	Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник
задач по теории вероятностей: Учеб, пособие для втузов. -
М.: Наука, 1989. - 320с.
5.	Климов Г.П., Кузьмин А.Д. Вероятность, процессы,
статистика. Задачи с решениями. - М.: Изд-во Моск, ун-та,
1985.-232с.
6.	Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория
вероятностей и математическая статистика: Учеб, пособие
для втузов/ Под ред. А.В. Ефимова. - М.: Наука, 1990. -
428с.
7.	Сборник задач по теории вероятностей, математической
статистике и теории случайных функций/ Под ред.
А-А Свешникова. - М.: Наука, 1965. -632с.