МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. М.В.Ломоносова
механико-математический факультет
А.С.ДЕМИДОВ
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
ОСНОВНЫЕ ИДЕИ И ПОНЯТИЯ
Издательство Московского университета
1992г.

БВК 22.311
Л 30
УДК 517
Рецензенты: проф. В.М. Тихомиров
д.ф.-м.н. М.А. Шубин
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского Совета
Московского университета
Демидов А.С.
Д 30 Обобщенные функции в математической физике.
Основные идеи и понятия. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1992г. — 112с.
ISBN 5-211-02690-Х
В учебном пособии дается взаимосвязанное изложение ряда
основных идей, понятий, результатов теории обобщенных
функций и уравнений математической физики. Зародившись в недрах
математического анализа и уравнений математической физики,
теория обобщенных функций преобразила весь современный
анализ и, прежде всего, уравнения математической физики. Поэтому
элементы теории обобщенных функций стали необходимы
студентам всех физико-математических специальностей. Что же
касается студентов, специализирующихся по уравнениям
математической физики, то им без знания основ теории обобщенных функций
невозможно даже начать сколько-нибудь серьезную работу.
Книга адресована студентам (включая студентов младших
курсов) физико-математических специальностей. Она может быть
полезна аспирантам и преподавателям.
077(02)-92 — заказное ВБК 22.311
ISBN 5-211-02690-Х © Московский государственный
университет, 1992

ОГЛАВЛБНИБ
ПРЕДИСЛОВИЕ ч 4
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
§ 1. Температура в точке? Нет! В объемах, стягивающихся
. к точке ; 7
§ 2. Понятие о δ-образной последовательности и {-функции .. 9
§ 3. Некоторые пространства гладких функций. Разбиение
единицы 11
§ 4. Примеры j-образных последовательностей 14
§ 5. Об уравнении Лапласа 15
§ 6. Об уравнении теплопроводности 21
§ 7. Формула Остроградского-Гаусса. Формулы Грина и
функция Грина .! 27
§ 8. Интеграл Лебега % 30
§ 9. Пространства I/ и L[oc 36
§ Ю.Функции из Цос как линейные функционалы на Cq° 41
§ И.Простейшие гиперболические уравнения. Обобщенные
решения Соболева '. 41
ГЛАВА 2. ПРОСТРАНСТВА V\ V* и Х>'. ЭЛЕМЕНТЫ
ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ (ОБОБЩЕННЫХ ФУНК-
ЦИЙ ПО Л.ШВАРЦУ)
§ 12.Пространство 2>* производных по Соболеву 51
§ 13.Пространство Т># обобщенных функций 54
§ 14.Проблема регуляризации 56
§ 15.Обобщенные функций с точечным носителем. Теорема
Бореля.. 57
§ 16.Пространство V распределений (обобщенных функций по
Л.Шварцу) 60
ГЛАВА 3. ПРОСТРАНСТВА Я*.
ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 17.Ряды Фурье и преобразование Фурье. Простра«ства S и
S' 67
§ 18.Преобразование Фурье-Лапласа. Теорема Шли-Винера 77
§ 19.Фундаментальные решения. Свертка 80
§ 20.О пространствах Н* 82
§ 21.0 псевдодифференциальных операторах (ПЛО) 85
§ 22.Об эллиптических задачах 89
ДОПОЛНЕНИЕ (Ю.В.ЕГОРОВ). НОВЫЙ ПОДХОД К
ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 102
ЛИТЕРАТУРА. : ; Ю8
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ > 110
3

ПРЕДИСЛОВИЕ
Понятие функции вовсе не является в настоящий момент окончательно
выкристаллизовавшимся и беспрекословно установленным, как это казалось
одно время в конце 19 в.: без преувеличения можно сказать, что в настоящий
момент понятие функции подверглось дальнейшей эволюции и что спор о
звучащей струне все еще длится, только разумеется уже совсем в другой
научной обстановке, другими лицами и в другой терминологии.
Лузин Н.Н., Большая Советская энциклопедия, 1935г., т. 59, стр. 322.
Символично, что в том же 1935 году 26-летний С.Л. Соболев
представил в редакцию журнала "Математический сборник" свою
знаменитую работу [1], опубликовав тогда же ее краткое
изложение в .Докладах АН СССР [2]. Эта работа заложила основы
совершенно нового взгляда на понятие функции. Речь идет об
обобщенных функциях. Символично и то, что работа Соболева
была посвящена задаче Коши для гиперболических уравнений и,
в частности, все той же звучащей струне. Нет сомнения в том,
что приведенное выше высказывание Лузина о понятии функции
будет актуальным еще долгое время, причем стимулом для
развития, этого фундаментального понятия математики будут, как
и прежде, уравнения математической физики. Эта особая роль
уравнений математической физики (иначе говоря, уравнений с
частными производными, непосредственно связанных с явлениями
природы) объясняется тем, что они выражают математическую
суть фундаментальных законов естествознания и потому
являются источником и стимулом для развития основополагаювдих
математических понятий и теорий.
Большая роль в возникновении теории обобщенных функций
принадлежит Ж. Адамару, К.О. Фридрихсу, С. Бохнеру и
особенно Л. Шварцу. Последний опубликовал в 1944-1948 годах
серию замечательных работ по теории обобщенных функций, а
в 1950-1951 годах - двухтомную книгу [3], сразу ставшую
классической. Мастерски написанная, адресованная широкому кругу
специалистов, эта книга привлекла всеобщее внимание к теория
обобщенных функций. Огромный вклад в ее развитие внесли
такие выдающиеся математики, как И.М. Гельфанд, Л. Хермандер
и многие другие. В результате теория обобщенных функций
преобразила весь современный анализ и прежде всего уравнения с
частными производными. Поэтому элементы теории обобщенных
функций стали необходимы для общего образования студентов
всех физико-математических специальностей. Что же касается
студентов, специализирующихся по уравнениям математической
физики, то им без знания основ теории обобщенных функций
невозможно даже начать сколько-нибудь серьезную работу.
4

Неудивительно поэтому, что уравнениям математической
физики и обобщенным функциям посвящено очень много прекрасных
монографий и учебников (см., например, [3]—[17]). Однако
большинство из них рассчитано на сравнительно подготовленного
читателя. Что же касается этой небольшой книжки, то я
надеюсь, что она будет, понятной даже студентам младших курсов
физико-математических специальностей и послужит им
"стартовой площадкой" для глубокого изучения указанных выше книг и
журнальной литературы.
Содержание книги отражено в оглавлении. Если говорить
кратко, то в книге дается взаимосвязанное изложение ряда
основных идей, понятий, результатов теории обобщенных функций и
уравнений математической физики.
Глава 1 знакомит читателя с начальными элементами языка
обобщенных функций в контексте изучения классических
уравнений математической физики (уравнений Лапласа,
теплопроводности, струны). Здесь же дается изложение основ теории интеграла
Лебега, вводятся пространства Рисса интегрируемых функций. В
параграфе, посвященном уравнению теплопроводности, студент-
математик сможет познакомиться с обычно не входящим в
университетские программы для математиков методом размерности
и подобия, весьма полезным на начальном этапе изучения задач
математической физики.
Глава 2 посвящена элементам теории распределений Л.
Шварца. Главным здесь является § 16. Изложение ряда вопросов
может быть интересным и специалисту.
Глава 3 знакомит читателя с некоторыми современными
средствами и методами изучения линейных уравнений математической
физики. Здесь даются начальные элементы теории простраств
Соболева, теории псевдодифференциальных операторов, теории
эллиптических задач (включая простейшие результаты,
касающиеся индекса эллиптических операторов), а также некоторые
другие вопросы, так или иначе связанные с преобразованием
Фурье (как обычных, так и обобщенных функций).
В последние годы высказывание Лузина о том, что спор о
понятии функции все еще длится, получило новое подтверждение
(см. в связи с этим, например, работы [18-20]). В Дополнении,
написанном Ю.В. Егоровым, кратко изложены основные идеи
предложенного им варианта теории обобщенных функций, а
также полученные им, благодаря новому взгляду на обобщенные
функции, интересные результаты для линейных и нелинейных
задач математической физики.
Несколько замечаний относительно стиля изложения. Часть
материала дается по схеме:
определение-теорема-доказательство. Эта схема удобна для представления результатов в ясной
и концентрированной форме. Однако представляется разумным
5

дать возможность студенту не только .изучать уже готовые (так
сказать, данные свыше) определения и доказательства теорем, но
и как бы открывать их самому в процессе обдумывания встающих
вопросов. Этой цели служит ряд параграфов. Кроме того, часть
материала дана в виде упражнений и задач. Таким образом,
чтение книги местами требует некоторых усилий. Впрочем, более
сложные задачи снабжены указаниями или литературными
ссылками. Задачи и упражнения набраны петитом и индексируются
буквой Ρ (намек на Parking для разрешения маленьких Problems).
Начало доказательств отмечается символом > (стилизованной
буквой £>), в конце доказательств ставится <. Нумерация
теорем, лемм, определений, упражнений, ... имеет вид Jb.m, где к
номер параграфа, am- номер пункта в параграфе. Сноски в
тексте, набранные петитом, вводятся в виде попутных замечаний.
Они располагаются непосредственно в самом тексте сразу же
после соответствующего абзаца и имеют текущую нумерацию в
пределах каждого параграфа. Их значение во многом связано
с шутливым замечанием В.Ф. Дьяченко: "Самое главное надо
писать в сносках1^; только они и читаются,"
^СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ:
N = {1,2,3,...} и Ъ = {0,±1,±2,...} - множества натуральных и
целых чисел.
Жп и Сп - n-мерные евклидово и комплексное пространства; SsR%
С = С1.
Χ χ Υ - декартово произведение множеств X и Υ.
г = у/^Л - мнимая единица ("и прописное*).
i » 2πι - мнимые 2π (**и прямое**).
х<у, х^у, х>уух^у- отношения порядка в К.
о > 1 - α достаточно велико.
{х € X | Р(*)} - множество элементов, принадлежащих X и обладающих
свойством Р.
]а,61 = {х € R | а < χ ^ Ь}; аналогично определяются [а, 6], ]а,6[ и [а,&[.
{ап} - последовательность {α*}^ = {«ι. <»2»α3 »/··}*
/ : X Э х ι-*· /(*) € Υ - отображение / : Χ —* У, ставящее в соответствие
элементу χ £ X элемент /(а?) 6 У.
\а ~ характеристическая функция множества Л, т.е. 1д = 1 в А и
1д = 0 вне А,
х —* α - числовая переменная χ сходится (стремится) к а.
==» - "необходимо следует".
<=Ф> - "тогда и только тогда, когда" ("т. и т.т., к.и), т.е. эквивалентность.
Я глубоко благодарен Ю.В. Егорову, любезно
согласившемуся написать Дополнение, а также М.С. Аграновичу, М.И. Вишику,
А.И. Комечу, СВ. Конягину, В.П. Паламодову, В.М. Тихомирову
и М.А. Шубину за полезные обсуждения и критические замечания,
которые способствовали существенному улучщению рукописи. Я
благодарен также В.В. Александрову, Е.Г. Иванову, Г.В.
Лебедеву, Е.В. Панкратьеву и М.Г. Эпиктетову за помощь, которую
они мне оказали при оформлении рукописи на компьютере.
А.С. Демидов
6

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В ЗАДАЧИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§ 1. ТЕМПЕРАТУРА В ТОЧКЕ? НЕТ! В
ОБЪЕМАХ, СТЯГИВАЮЩИХСЯ К ТОЧКЕ
Температура. Эхо слово всем нам знакомо с детства.
Температуру можно измерять градусником, термометром... Эти первые
впечатления о температуре в определенном смысле ближе к
существу дела в сравнении с представлением о температуре как о
функции точки пространства и времени. Почему? Ла потому,
что понятие о температуре как о функции точки возникло как
некая абстракция в связи с концепцией сплошной среды. Реально
физическая величина рассматриваемой среды (например, ее
температура) измеряется сначала каким-то прибором в "большой"
области, содержащей данную точку £, затем с помощью прибора
с большей разрешающей способностью в меньшей области
(содержащей ту же точку) и т.д. В результате получаем (конечную)
последовательность чисел {αϊ,...,ад/} - значений физической
величины в последовательности вложенных в друг друга областей,
содержащих точку £. Идеализируем рассматриваемую среду,
предположив, что в ней возможно указанное выше построение
числовой последовательности для бесконечной системы вложенных в
друг друга областей, стягивающихся к данной точке ξ. Тогда мы
получим бесконечную числовую последовательность {ат}. Если
допустить (и в этом состоит концепция сплошной среды1), что
такая последовательность существует и имеет предел (не
зависящий от выбора системы вложенных в друг друга областей), то
этот предел и будет считаться значением физической величины
(например, температуры) рассматриваемой среды в точке ξ.
i)B некоторых и, прежде всего, в нелинейных задачах математической
физики оказывается разумным (см. Дополнение) рассматривать более
общую концепцию сплошной среды, в которой физическая величина (скажем,
температура, плотность, скорость...) характеризуется не значениями,
которые измеряются тем или иным множеством "приборов", иначе говоря", не
функционалом от етих "приборов", а "сходящейся" последовательностью
таких функционалов.
Таким образом, концепция сплошной среды, занимающей
область2) Ω, предполагает, что рассматриваемая в ней (т.е. в Ω)
числовая характеристика / физической величины является
функцией в обычном смысле слова: отображением области Ω в
числовую прямую (т.е. в Ж или в С). При этом функция / обладает
следующим свойством:
</,у4> = ат, т = !,... ,М. (1.1)
7

Здесь ат - числа, введение выше, а левая часть равенства (1.1),
которая определена3) формулой (f,<p*) = f f(x)<p*(x)dx>
представляет собой "осредненное" значение функции /, замеренное в
окрестности точки ξ € Ω с помощью "прибора", который мы
будем обозначать через (·,^). "Прибор" имеет разрешающую
способность, определяемую "аппаратной" (говорят также "пробной")
функцией φ£ : Ω —» Ж. Эта функция нормирована: f <p*(x)dx = 1.
2)Всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, область Ω -
это открытое связное множество в Ж", где η > 1, с достаточно гладкой
(п - 1)-мерной границей 80.
3)Интегрирование функции д по фиксированной (в данном контексте)
области часто будет записываться без указания области интегрирования,
а иногда и просто в виде J д.
Отметим, что более физичны "приборы", в которых φ* имеет
вид "шапочки" в окрестности точки £, т.е. φ*{χ) = <р(х — ξ) для
χ € Ω, где функция φ :Жп Эх = (хь... ,хп) »—► φ(ζ) € Ж обладает
следующими свойствами:
^>0, ίφ = 1, у> = Овнешара{а?еЖп| |х| = yjx\ + · ·· + х$ ^ р}.
(1.2)
При атом р^1 таково, что {х € Ω | \х — ξ\ < р} С Ω. Зачастую
можно считать, что "прибор" измеряет величину / равномерно
по области о/ 6 Ω. В этом случае φ = 1ω/Μ, где 1ω -
характеристическая функция области ω (т.е. 1ω = 1 в w и 1ω = 0 вне u>), a
\ω\ - объем области ω (т.е. \ω\ = / lw). В частности, если Ω = Еп,
а ω = {χ € Rn| Η < α}, то ^(я) = ία(χ), где
Ml) = («-/iBnl пр„|,к«,
ΙΟ при |*| > α,
a |Bn| - объем единичного шара Вп в Rn.
1.1.Р. Когда-то у гимназистов была популярна фраза: "Кто и шутя
и скоро пожелаетъ пи узнать число ужъ знаетъ." «Действительно,
выписывая последовательно число букв в словах этого предложения, можно
получить одиннадцатизначное приближение числа тг « 3.1415926536 (точнее
тг = ЗЛ41592653589793...). Совсем точное значение числа тг задается
формулой π = |ВзЬ известной всем (как и формула |Вз1 = 47Г/^) со школы.
Попробуйте вычислить |ВП| для η > 3. Это нам понадобится в дальнейшем.
Указание. Очевидно, что |£п| = 0п/н» где ση - площадь поверхности
1
единичной (п-1)-мерной сферы в Rnr поскольку \Вп\ = f rn~landr. Бели вы-
0
числение ση при η > 3 покажется читателю не простым или не интересным,
он сможет прочесть короткое и неожиданно красивое
Решение. Имеем
оо
Н*1аЖс= /c-r%n~1<Tndr = (^n/2)-r(n/2),/ (1.4)
8

где Г - функция Эйлера, определяемая формулой:
оо
Γ(λ) = / <А"-1е"*Л, где Re λ > 0. (1.5)
0
При η = 2 правая часть (1.4) равна тт. Поэтому
о°
/ e~t2dt = v^F. (1.6)
-оо
Тем самым ση = 2πη/2Γ""1(η/2). Подставляя η = 3, получаем 2Г(3/2) = </π·
Отсюда, в силу замечательной формулы Г(Л + 1) = λ · Γ(λ), (получаемой из
(1.5) интегрированием по частям и влекущей: Г(п + 1) = п\)1 находим, что
Г(1/2) = у/*. В итоге,
σ2η = ίΓΓΪ)ϊ· **»+! = (η-1/2).(η-3/2).....3/2.1/2· (1>7)
§ 2. ПОНЯТИЕ О ί-ОБРАЗНОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ί-ФУНКЦИИ
В предыдущем параграфе была намечена идея о том, что
задание функции / : Ω —► Ж (или функции / ; Ω --*· С) как
отображения области ί! С 1п в Ж (или в С) эквивалентно
заданию ее "осреднений"
</.¥>) = Jf(xMx)dx} φ£Φ, (2.1)
Ω
где Φ - достаточно "богатое" множество функций на Ω. Весьма
обший результат на этот счет приводится в § 10. Здесь же
докажем простую, но полезную лемму. Введем предварительно
для ε €]0,1] функцию 6€ : Жп —► Ж по формуле:
δ€(χ) =s φ(χ/ε)/εη, φ > 0, / φ = 1, φ = 0 вне Вп. (2.2)
Отметим, что
ίδε(χ)άχ = ίδβ(χ-ξ)άχ = 1.
Ж» Ω
2.1. Лемма. Пусть / Ε 07(Ω), т.е. / непрерывна в Ω С
ДО. Тогда
/(0 = lim У /(*)«.(* - 0ώ, ξ € Ω, (2.3)
Ω
9

т.е. функция / восстанавливается по семейству "осреднений"
{' '£€Ω, с>0
> Для любого η > 0 существует такое ε > 0, что |/(я) —/(ζ)\ ^ ι;,
если \х — ξ| ζ ε. Поэтому
(*-0<te
-/(f)
[//(*)*<
Ω
Ω
/
зд*Е%/й«Л9._-_
l/(«) - /(ί)|ί.(« - № ^ ?Ж£=(
£c(x — ξ)άχ = η. <
ί
2.2. Определение. Пусть Ф - подпространство пространства
(7(Ω), а £ Ε Ω. Последовательность {£с(ж — ξ), ж Ε Ω }*€*,*—·ο
функций χ ι—> £c(:r - £), для которой равенство (2.3) выполнено
для любой / £ (7(Ω) (для любой / Ε Φ), называется 6-образпой
последовательностью (на пространстве Ф), сосредоточенной у
точки ξ. Последние слова обычно для краткости опускают.
В § 4 приведены примеры 6-образных последовательностей на
том или ином подпространстве Φ С C(Q). Важные примеры таких
подпространств даны в § 3.
2.3. Определение. Линейный функционал1) ^, определенный
на пространстве C(Q) по формуле
. 6ξ : C(Q) Э f —+ /(О € Ж (или С), ξ G Ω, (2.4)
называют 6-функцией} или функцией Дирака, сосредоточенной в
точке ξ.
1)(Линейным) функционалом на (линейном) пространстве функций
называется (линейное) отображение атого пространства функций в числовую
прямую.
Часто ί-функцию (2.4) записывают в виде δ(χ—ξ), а ее действие
на функцию / € (7(Ω) записывают (ср. формулу (1.1)) в виде
</(*),*(*-*)) = /«) или («(*-О,/(«))«/(«· (2-5)
Употребляют также такую запись: (/,6ξ) = /(f) или (ίξ,/) = /(£)·
Функцию Дирака можно интерпретировать как измеритель в точке
("термометр", измеряющий "температуру" в точке). Бели ξ = О,
то пишут δ или $(х)<
10

§ 3. НЕКОТОРЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ. РАЗБИЕНИЕ ЕДИНИЦЫ
Вводимые в этом параграфе пространства гладких функций
играют важную роль в анализе. В частности, они являются
примерами пространства Φ в формуле "осреднений" (2.1).
3.1. Определение. Пусть Ω - открытое множество в!п, Ω
- замыкание Ω в Ж", а ш 6 Ζ+, т.е. m - целое неотрицательное
число. Тогда1)
1)В обозначении определяемых ниже пространств индекс m обычно
опускается, если т == 0.
3.1.1. Cm(Q) (соответственно CJ^(Q)) - это пространство т-
раз непрерывно дифференцируемых (и соотв. ограниченных) функций
φ : Ω —► С, т.е. таких, что функция да<р - непрерывна (и соотв.
ограничена) в Ω для \а\ ζ m. Здесь и ниже
*ert*) = a^rraiF· Η = α» + ··· + Λ». «iez+ = {o,i,2)...}.
Вектор а = (αι,...,<*η) называется мультииндексом.
3.1.2. Cm(Q) = Cm(En)|n, т.е.2) Ст(Й) - ограничение
пространства 0"*(Μη) на Ω. Это означает следующее: φ € (^(Ω) <=»
существует такая функция ф € С^К"), что у>(ж) = ^(«) Для χ € Ω.
2)Пространство Ст(й), вообще говоря, не совпадает с пространством
функции т раз непрерывно дифференцируемых вплоть до границы. Однако оно
с ним идентично, если граница области достаточно гладкая.
3.1.3. PCm(Q) (соответственно PC^(Q)) - это пространство
функций т раз кусочно непрерывно3) дифференцируемых (и соотв.
ограниченных) в Ω; это значит, что φ € PCm(Q) (соотв. φ 6
PC™ (Ω)) тогда и только тогда, когда выполнены два условия.
Во-первых, φ G 0,η(Ω\Κο) (соотв. φ β C^(Q\Ko)) для некоторого
компакта4) Ко С Ω. Во-вторых, для любого компакта К С Ω
существует конечное число таких областей Ω, С Ω, j = !,...,#,
являющихся пересечением конечного числа областей с гладкой
N -
границей, что К С U Ω^· и <р\ € Ст(ш) для любой компоненты
связности ω множества
((Дп'Нйап'))
3)рс от pice wise continuous. ,
4)Множество К С Шп называется компактом (компактным), если К
ограничено и замкнуто.
11

3.1.4. Носитель (support) функции φ € C(fi), который
обозначается через supp^, - это замыкание в Ω множества {χ Ε Ω |
φ{χ) ф 0}. Иными словами, suppy> - это наименьшее замкнутое в
Ω множество, вне которого функция φ равна нулю.
3.1.5. Со*(Й) = {φ £ Cm(U) | suppy? есть компакт}.
3.1.6. C?(Q) = {φ € С?(П) | suppp С Ω}.
3.1.7. а»(П) = пст(а),... >С8°(П) = Псу|(«)·
m m
3.1.8. Если у? € СУ(П) (или ρ Ε Со°(0)) и suppy? С ω, где
ω - подобласть области Ω, то функция ψ отождествляется с ее
ограничением на ω. При этом пишут: φ Ε С™(ш) (или ^ € С^(ш)),
3.2. Определение. Говорят, что множество А компактно в
Ω, если Л есть компакт и Л С Ω. При этом пишут: A <s Ω.
Очевидно, что (7ο*(Ω) = {φ € С71 (Ω) | suppy? € Ω}, причем
<Τ(Ω) С C?(Q) С Cm(U) ς Cm(Q) С РСтф),
где 1-е и 3-е включения следует заменить на =, если^ = Жп.
3.3. Пример.
L 0 при |я| ^ 1.
3.4. Пример.
ег(г)Эг:,-,к.)-{7Р/,М,"1,) ПР"Ц;!·
I, U при |ас| ^ 1.
3.5. Пример.(Частный случай (2.2)). Пусть ε > 0. Положим
*>,(*) = *>(*/*)> (3-1)
где ψ - функция примера 3.4. Тогда функция
6ε : χ ν—♦ р. (*)/ / ?.(*)<**. xGln, (3.2)
ж»
принадлежит С§°(ЖП) и, при этом,
6t{x) ^ 0, Vs € Жп, ίε(χ) = 0 при \х\ > ε} I 6s(x)dx = 1. (3.3)
12

З.б. Пример. Пусть t £ R,<p : t ι—► φ(ί) = / g{r)dr, где
—οο
(см- рис.) g(-t) = -g(t) и g(t) = £c(< -f 1 + ε) для t < 0 (6€
удовлетворяет (3.3)).
-l-2e -1
-1-2* -1
l+2e <
Имеем: v> € C£°(1),0 ^ ^ ^ !,¥>(*) = 1 при |x| < 1.
3.7. Пример. Пусть (xXy...,жп) € W1 - евклидовы координаты
точки х € Жп. Взяв у? из примера 3.6, положим
й,(*)= £ ^(«i + 2t1)-....^(*«+2*n), *j €Z, |t| = *! + ··· + *„.
Тогда семейство {yv}?Lo функций φν{χ) = Ψ»(χ)/ ί £ ΐΜ*))
образует разбиение единицы вй= Жп, т.е. у?„ Ε (?ο°(Ω), причем
1) для любого компакта К С Ω лишь конечное число функций
φν отлично от нуля в К\
2) 0 ζ φ¥(χ) < 1 и Σφ„(ζ) = 1 Var G Ω.
3.8. Предложение. Для любой области ω € Ω существует
функция φ € <?ο°(Ω), такая, что 0 ^ φ ^ 1 и у?(х) = 1 при χ € w.
t> Пусть ε > 0 таково, что 3ε меньше расстояния от ω до
θΩ = Ω\Ω. Обозначим ε-окрестность ω через ωε. Тогда функция
<р(х) = / £с(я - y)rfj/, x € :
(6е из (3.2)) обладает требуемыми свойствами. <
3.9. Определение. Пусть {Ω*} - семейство подобластей
Ων <§ Ω области Ω = \JSlv. Пусть каждый компакт К <§ Ω имеет
непустое пересечение лишь с конечным числом областей Ω^.
Тогда говорят, что семейство {Ω^} образует локально конечное
13

покрытие Ω.
3.10. Теорема (о разбиении единицы). Пусть {Ω„} -
локально конечное покрытие области Ω. Тогда существует
разбиение единицы, подчинение локально конечному покрытию, т.е.
существует семейство функций φν € C^(Q¥)t которое удовлетворяет
указанным выше условиям 1)-2).
Доказательство нетрудно провести самостоятельно; см.,
впрочем, [13, стр. 19]. Разбиение единицы является очень
распространенным и удобным техническим средством, с помощью которого
некоторые вопросы, относящиеся ко всей области Ω, удается
свести к вопросу в подобластях , покрывающих Ω (см., в частности,
в связи с этим § И, § 20, § 22).
§ 4.ПРИМБРЫ «-ОБРАЗНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Примеры в атом параграфе даны в виде упражнений.
Упражнение Ρ .4 Л будет в дальнейшем использовано при выводе формулы
Пуассона для решения уравнения Лапласа (см. § 5), Р.4.2 - при
выводе формулы Пуассона для решения уравнения
теплопроводности (см. § 6). Р.4.3 будет использовано при доказательстве
теоремы обращения преобразования Фурье (см. § 17), ас
помощью Р.4.4 легко доказывается (см. § 19) теорема Вейерштрасса о
приближении непрерывных функций полиномами.
4.1.Р. Показать, что последовательность {&у}у-++о функций 6у(х) —
^ Л а, где χ € К, является ^-образной на пространстве Cfr(R) (см. 3.1.1),
но не является 6-образной на С(Ж).
4.2.Р. Показать, что последовательность {£*}<-♦+о функций Ь%(х) as ·
где χ € R, не является 6-образной на C(R), но является 6-
образной на пространстве Φ С С(Ж) функций, удовлетворяющих условию:
V^ € Φ 3α > О, такое, что \φ(χ) ехр(—ах2)j -♦ О при |х| -+ оо.
4.З.Р. Показать, что последовательность {£ν}ι/„_ο Функций $у(х) =
Ш^, где χ € R» является 6-образной на пространстве Φ С С1 (К) таких
функций φ, для которых
/ \φ(χ)\άχ < оо, / \<p'(x)\dx < оо,
fi 1
4.4.P. Взяв многочлены $ь(х) = -4~ (1 - ^-\ , где χ€ Ж, а к -
натуральное, показать, что последовательность {$k}i/k-+Q является 6-образной
на пространстве Со (Ж)» но не является 6-образной на пространстве С^(Ш)
(ср. Р.4.1).
4.5.Замечание. При решении упражнений Ρ-4 Л-Р.4.4 полезно
нарисовать эскизы графиков соответствующих функций. Упражнения Р.4.1-Р.4.2
достаточно просты. Р.4.3-Р.4.4 более сложны, поскольку соответствующие
функции знакопеременны. В § 13 доказана лемма 13.10, позволяющая
легко решить Р.4.3-Р.4.4. При решении Р.4.2-Р.4.4 следует воспользоваться
377?
14

известными равенствами:
/е у dy s >/5г, / ах s ir, lim (l — afu)y к e~e.
J х ν—оо
§ 5. ОБ УРАВНЕНИИ ЛАПЛАСА
Три жемчужины математической физики. Так,
перефразируя название известной книги А.Я. Хинчина, можно сказать о
трех классических уравнениях с частными производными:
уравнении Лапласа, уравнении теплопроводности и уравнении
струны, фдна из этих жемчужин была найдена Лапласом, когда он
анализировал1) закон всемирного тяготения.
1)См. по ©тому поводу § 1 книги С.К. Годунова [15].
5.1. Определение. Функция и € C2(Q) называется
гармонической на открытом множестве ЙС1п, если она удовлетворяет в
Ω (однородному2^) уравнению Лапласа
Διι = 0, гдеД:С2(П)Э«^Д« = ^ + "-+^€С(Й), (5.1)
а жь...,жп - евклидовы координаты точки χ € Ω С 1Λη. Опера-
тор3' (5.1), обозначенный греческой буквой Δ -"дельта",
называется оператором Лапласа, или лапласианом.
2)Уравнение Ди = / с ненулевой правой частью иногда называют ура*·
нением Пуассона,
3) Оператором называется отображение f : Χ -+Υ, где X и Υ
пространства функций.
5.2.Р. Пусть функция и € С2(0)» где г € Ω С 1п, зависит лишь от
ρ = \х\у т.е. и(х) = ν(ρ). Показать, что Δια также зависит лишь от р, причем
а. = ^ + VV·
Гармонические функции двух независимых переменных тесно
связаны с анадитаческилш функциями одной комплексной
переменной, т.е. с функциями
w(z) = и(ху у) + it;(ar, у), ζ = a? + ty € С,
для которых выполнены так называемые уравнения Коши-Римана
их - vy = О, νΓ 4· «у = 0. (5.2)
Здесь индекс внизу означает производную по соответствующей
переменной (т.е. их = ди/дх,...,^ = d2u/dy2,...). Из (5.2)
следует:
**** + «уу = («а: - Vy)x + (t^ + Uy)y = О, Vxx + Vyv = 0.
Таким образом, вещественная и мнимая части аналитической
функции w(z) = u(s,y) +tv(«,y) являются гармоническими
функциями.
Рассмотрим следующую задачу для гармонических функций
в полуплоскости Ж% = {(ж, у) € Ж2 | у > 0}. Пусть / € РСь(Е),
15

т.е. (см. 3.1.3) / - ограниченная и кусочно-непрерывная функция
переменной а: € Ж. Будем искать функцию и £ С2(Ш+),
удовлетворяющую уравнению Лапласа
«** + Щу = 0 в Ш\ (5.3)
и следующему граничному (говорят также, краевому) условию
lim и(х,у) = /(ж), где χ - точка непрерывности функции /. (5,4)
Задача (5.3)-(5.4) называется задачей Дирихле для уравнения
Лапласа в полуплоскости, а функция и - ее решением. Задача
Дирихле имеет многочисленные физические интерпретации, одна
из которых указана в замечании 6.1.
Согласно нижеследующим упражнениям Р.5.12 и Р.5.15 задача
(5.3)-(5.4) имеет не более одного ограниченного решения. Мы
его сейчас найдем. Заметим, что мнимая часть аналитической
функции
\п(х -f гу) = In \х + гу\ + г arg(# + гу), (x, у) 6 Ж\
совпадает с arcctg(#/t/) €]0, тг[. Следовательно, эта функция
является гармонической в Ж+. Кроме того,
χ ( тг, если χ < О,
hm arcctg - = <
у-*+о у ^о, если χ > 0.
Указанные свойства функции arcctg(x/y) позволяют строить с ее
помощью гармонические в Ш*+ функции с кусочно-постоянными
граничными значениями. В частности, гармоническая в Е^.,
функция
Р^,у) = ~Ге
. х-ε . ζ+ε
arcctg . arcctg
У У J
удовлетворяет граничному условию
lim Λ (ж,-у) = 6е(х) при \х\ φ ε,
где функция 6ε(#) определена в (1.3) С другой стороны, если χ
- точка непрерывности /, то, в силу леммы 2.1,
/(«) = lim J 6;(ξ - χ)№άξ.
-ОО
Это позволяет предположить, что функция
оо
К2 э (ж> у) _^ lim j Ρ((ζ- х, У)/Ш (5-5)
— СЮ
принимает (в точках непрерывности /) значения /(ж), когда
16

у —* +0, и что эта функция является гармонической в Ж2, так как
f (6)(6+ι - б» [(^2 + ^ j л(е» -«, y)J = о.
Формальный переход к пределу в (5.5) приводит к интегралу
Пуассона (формула Пуассона)
00
«(*, У) = Ι /(ί)Ρ(* - ί,»)«, где Р(аг, у) = ;-И£-у, (5.6)
так как
limPc(a?,y) = 5- (arcctg-j - —^ГТ*
«—о τταχ \ у/ wxJ + yJ
Заметим, что условие (5.4) выполнено в силу Р.4.1. Отметим еще,
что функция и ограничена. В самом деле,
ОО 00
К*.у)\ = j !/(№(*-ί,уК^c J ρ(χ-ξ,y)dy = α
— ОО —ОО
Покажем теперь, что функция w гармонична в Ж+.
Дифференцируя (5.6), получаем:
ч^-рюш?**-*'** ν'·>°·ν*>°· (5·7)
— 00
Дифференцирование под знаком интеграла возможно, так как
где С зависит только от j ^ 0, к ^ 0 и R > 1. Из (5.7) следует, что
ОО
Аи(х,у)= J №ΑΡ(χ-ξ,ν)άξ.
-ОО
Но ΔΡ(χ - £,у) = ΔΡ(χ,2/) = 0 в 12+) так как
р{х>у) = -?έ (arcctg;) ■Δ (arcctg^)= °и Δέ = έΔ*
Таким образом, доказано, что интеграл Пуассона (5.6) дает
ограниченное в Ж+ решение задачи (5.3)-(5.4).
5.3.Р. Доказать оценку (5.8).
5.4. Замечание. Функция Р, определенная в (5.6), называется
ядром Пуассона. Она может быть интерпретирована как решение
задачи: ΔΡ = 0 в Ε^,Ρ(χ,Ο) = δ(χ), где δ(χ) - 6-функция4).
г

4'Сама же формула (5.6), дающая решение задачи: Аи = О в Ш? ,
1а(х,0) = /(х), может быть весьма наглядно интерпретирована следующим
образом. Источником, "возбуждающим" физическое поле и(х,у), является
функция f(x), которая есть "сумма" по ξ точечных источников /{ζ)δ(χ — ξ).
Поскольку один точечный источник 6(х — ξ) порождает поле Р(х — ξ,у),
постольку "сумма" таких источников будет (з силу линейности задачи)
порождать поле, являющееся "суммой" (т.е. интегралом) по ξ полей, имеющих
вид: f^)P(x — ξ, у). Физики обычно при ©том говорят, что происходит
суперпозиция (наложение) полей, порожденных точечными источниками. Этот
принцип суперпозиции прослеживается во многих формулах, дающих решение
ЛИНеЙНЫХ задач математической физики (см. в связи с этим формулы
(5.10), (6.15), (7.14), ...). Математики обычно употребляют в таких случаях
термин "свертка" (см. § 19).
5.5. Замечание. Отметим, что (в смысле данного выше
определения) функция Ρ является неограниченным в Ж+ решением
задачи (5.3)-(5.4), если f(x) = 0 при χ φ 0, а /(0) равно, скажем,
единице. С другой стороны, для этой (кусочно непрерывной)
граничной функции / задача (5.3)-(5.4) допускает ограниченное
решение и(х,у) = 0. Таким образом, нет единственности решения
задачи Дирихле (5.3)-(5.4) в классе функций С2(Ж+^. По этому
поводу см. также Р.5.6, Р.5.12 и Р.5.15.
5.6.Р. Найти неограниченное решение и € С°°(Ж5_) задачи (5.3)-(5.4)
при f(x) В 0.
5.7.Р. Пусть к € Ж, а и - решение задачи (5.3)-(5.4), представленное
формулой (5.6). Найти lim (xq + ку,у) в двух случаях: 1) / - непрерывна,
2) / ~ разрывна в точке а?о·
5.8.Р. Доказать
5.9. Предложение. Пусть Ω и ω - две области в Ж2. Пусть
и : Ω Э (я, у) ι—► и(х,у) ЕЖ- гармоническая функция и пусть
*К) = *(ί > Ч) + «Ж, Ч), (ί, η) € ω С Ж2
аналитическая функция комплексной переменной С = £ + «7 со
значениями в Ω (т.е. (ж, у) € Ω). Тогда функция
υ(ξ,η) = ν(χ(ξ,η),ν(ξ,η)), (ξ,η)€ω
является гармонической в ω.
5.10.Р. Пусть ρ и φ - полярные координаты в диске D = {р < Я,<р €
[0,2тг[} радиуса Я. Пусть / € PC(dD)t т.е. / - определенная на границе
BD диска D функция, непрерывная всюду на 3D за исключением конечного
числа точек, где она имеет разрывы 1-го рода. Рассмотрим задачу Дирихле
для уравнения Лапласа в диске D: найти такую функцию и € C2(D), что
Аи = 0 в D, lim ч(рУч>) = /(Я</>), (5.9)
Р-+Я
где s = Яу> - точка непрерывности функции / 6 PC^(dD). Показать, что
формула
2тЯ
«•)D^f:l)d° *.-i -сю)
R2 + р2 _ 2Rpcos(ip -θ)' -Я
0
18

Представляет ограниченное решение задачи (5.9). Формула (5.10) была
найдена Пуассоном в 1823 году.
Указание. Сделать преобразование w = Λ§χ| полуплоскости ШЯ на диск
D и использовать формулу (5.6).
5.11.Р. Интерпретировать ядро интеграла Пуассона (5.10), т.е. функцию
1 (Я2-*2)
2тгЯ Я2 + р2 - 2Hpcos(v? - θ)'
аналогично тому, как это сделано в замечании 5.4 в отношении функции Р.
5.12.Р. Используя нижеследующую теорему 5.13, доказать
единственность решения задачи (5.9), а также единственность ограниченного решения
задачи (5.3)-(5.4) в предположении, что ограниченная функция / -
непрерывна. (Ср. с замечанием 5.5).
5.13. Теорема (принцип максимума). Пусть Ω -
ограниченное открытое множество в1п с границей dQ. Пусть и Ε C(U) и
пусть и гармонична в Ω. Тогда it достигает своего максимума на
границе области Ω, т.е. существует точка х° = (х°,.:.,х°) € <9Ω,
такая, что и(х) ^ и(х°) Vx £ Ω.
> Пусть т = sup и(х), Μ = supu(x) = м(х°), х° £ Ω. Предпо-
х£дС1 я?€П
ложим от противного, что m < Μ. Тогда х° G Ω. Положим
/\ /\ Μ -~ т. О|о
υ(χ) = и(х) + 2rf2 [ж - χ Г,
где d - диаметр области Ω. Из неравенства \х ~ х°|2 ζ d2
следует, что
v(«) ^ m 4- 2(jp d2 = —-— < Μ, χ Ε <9Ω,
Заметим, что v(x°) = u(x°) = Μ. Таким образом, ν достигает
своего максимума в некоторой точке, лежащей внутри Ω. Как
известно, в такой точке Δν ^ 0. Между тем,
М — тА /v^, ft4o\ Μ — т Λ
Αν = Аи+-2^~Δ (J> - *ί)'] = -ι?- · 2« > °·
Полученное противоречие доказывает теорему. <
5.14.Р. В предположениях теоремы 5.13 показать, что и достигает
своего минимума на dQ. (В силу ©того результата теорема 5.13 известна
также как принцип минимума).
5.15.Р. Используя нижеследующую теорему 5.16, доказать
единственность ограниченного решения задачи (5.9), а также задачи (5.3)-(5.4).
Сравнить с упражнением 5.12.
5.16. Теорема (о разрывной мажоранте). Пусть Ω -
ограниченное открытое множество в IR2 с границей 5Ω, a F -
конечное множество точек ж* € Ω, k = 1,...,JV. Пусть и и
ν - две функции, гармонические в Ω\^ и непрерывные в Q\F.
Пусть существует константа Μ, такая, что \и(х)\ ζ Μ, \ν(χ)\ ζ Μ
Vx G ft\F.
Предположим, что и(х) ^ v(x) для_ любой точки χ € dQ\F.
Тогда и(х) ζ υ(χ) для всех точек χ € Ω\^.
19

> Заметим сначала, что функция In |ж|, где χ G Ж2\{0}, является
гармонической. Положим
N
*(,) = «(*) - ф) - Σ, ^щIn 1^.
Здесь 0 < ε < dt где d - диаметр^, в силу чего ]n(d/\x — ж*|) ^ 0.
Рассмотрим область Ωε, полученную вырезанием из Ω дисков
радиуса ε с центрами в точках а:* Е F, к =_1,...,JV. Очевидно,
что we гармонична в Ω€, непрерывна в Qe и и;в(аг) ^ 0 для
s G #Ωε = Ωε\Ωε. Поэтому, в силу принципа максимума, we(x) ^ 0
для χ G Ω*. Остается устремить ε к нулю. <
5.17.Р. Пусть Ω С Ж - односвлзное открытое множество,
ограниченное замкнутой жордановой кривой dU. Пусть на ΘΩ задана функция /,
непрерывная всюду, за исключением конечного числа точек, где она имеет
разрывы 1-го рода. Используя предложение 5.9, теорему Римана о
существовании конформного отображения Ω на единичный диск (см. , например,
[39]), докажите существование ограниченного решения и 6 С2(0) следующей
задачи Дирихле:
Аи = 0 в Ω, lim u{x) = /(e), (5.11)
где β - точка непрерывности функции / € РС(дО). Используя теорему
5.16, докажите единственность ограниченного решения задачи (5.11) и
непрерывную (уточните, в каком смысле) зависимость решения от граничной
функции /. (Ср. с 22.31).
5.18. Теорема (о среднем арифметическом). Пусть и -
функция, гармоническая в диске D радиуса R. Предположим, что
и G C(D). Тогда значение и в центре диска D равно среднему
арифметическому и(х), χ € dD, т.е. (в обозначениях Р.5.10)
2тй
О
> Утверждение очевидным образом следует из (5.10). <
5.19.Р. Пусть и - непрерывная функция в области Ω С Ж2 и пусть и
удовлетворяет (5.12) для любого диска D С Ω. Показать (рассуждая от
противного), что если и φ const, то и(х) < ||u|| Var 6 Ω, где ||u|| - максимум
\и\ в U.
В силу теоремы 5.18, результат упражнения 5.19 можно
сформулировать в виде следующего утверждения.
5.20. Теорема (сильный принцип максимума). Пусть и -
гармоническая функция в области Ω С Ж2. Тогда если и φ const,
то и(х) < \\и\\ Vs G Ω, где \\uVi - максимум \и\ в Ω.
5.21.Р. В предположениях Р.5.19 показать, что и - гармоническая в
области Ω.
Указание. Пусть а € Ω и пусть D С Ω - диск' с центром в а. Пусть
ν - функция, ограниченная и гармоническая в Г>, такая, что ν = и на
3D. Используя результат Р.5.19, показать, что функция w = и — ν является
постоянной в D.
20

5.22. Замечание. Из Р.5.21 и теоремы 5.18 вытекает, что
функция, непрерывная в области Ω С Е2, является гармонической
х. и т.т., к. свойство о среднем арифметическом (5.12)
выполнено для любого диска D С Ω. Этот факт, также как и все
остальные в этом параграфе, верен для любой ограниченной
области Ω С Жп, η ^ 3, имеющей гладкую (п — 1)-мерную
границу. (Что касается формул, то они соответствующим образом
преобразуются).
Отметим еще один полезный факт.
5.23. Лемма. (Э4(>и?р*-Хопф-Олейник). Пусть и гармонична
в Ω и непрерывна в Ω, где область Ω <§ Жп имеет гладкую
(п — 1)-мерную границу Г. Пусть в точке аг0 € Г существует
производная ди/ди по направлению внешней нормали к Г, причем
и(х0) > и(х) Vs € Ω. Тогда &|/&/|«Жв > °-
Доказательство см., например, в [7], [12].
§ 6. ОБ УРАВНЕНИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Как известно, чтобы нагреть тело, занимающее область Ω С Ж3,
от температуры щ = const до температуры щ = const, требуется
подвести к телу в виде тепла энергию, равную С-(t*i - и0) · |Ω|, где
|Ω| - объем области Ω, а С - (положительный) коэффициент,
называемый удельной теплоемкостью. Пусть u(x,t) - температура в
точке χ = {х\уХ2,хъ) € Ω в момент времени ί. Выведем
дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция и. Будем
предполагать, что физическая модель реального процесса такова,
что рассматриваемые ниже в связи с этим процессом функции
(тепловая энергия, температура, тепловой поток) достаточно гладки.
Тогда изменение тепловой энергии в параллелепипеде
П = {жбЖ3|х| <x<x°k+hk, A? = 1,2,3}
за время г (начиная с момента времени f°) может быть
представлено в виде
С-[и(х*,? + т)-и(х*,^].\Щ + о(т.\11\) =
С-Ы*,Г).т + о(т)].\П\ + о(т.\Т1\), (6.1)
где |П| = h\ · hi · Λ3, а, о(А) есть о-малое от А Е Ж при А —► 0.
Указанное изменение тепловой энергии связано с наличием
теплового потока через границу параллелепипеда П. Согласно
закону Фурье, тепловой поток, проходящий за единицу времени
через некоторую площадку в направлении нормали к этой
площадке, пропорционален с (отрицательным) коэффициентом — к
производной температуры вдоль указанной нормали.
Коэффициент пропорциональности к > 0 называется коэффициентом
теплопроводности. Таким образом, количество тепловой
энергии, вошедшей за время τ в параллелепипед Π через площадку
21

si = x\ + Αι, равно
ди
а вышедшей за то же время через площадку χχ = х° равно
*(«;.*5.«з)-^(*;,«5.*1;*в)ч--Аа-Ав+ое--|п|).
Поэтому изменение тепловой энергии в Π за счет теплового
потока вдоль оси х\ равно
Γέ(^0)Ιτ(χν0))Λι+ο(Λι)
τ·Λ2·Α3 + ο(τ.|Π|).
Ясно, что сумма изменений тепловой энергии в Π по всем
трем направлениям равна общему изменению тепловой энергии
в П, т.е. (6.1). Разделим полученное таким образом равенство
на τ · |П| и устремим г, Λχ, /ι2 и Л3 к нулю. Тогда получим
уравнение теплопроводности
4?= έ (*sr)+έ (*£)+έ (*з*) · (6·2)
Бели коэффициенты С и к постоянны, то уравнение (6.2) может
быть переписано в форме
ди /а2« дЧ д2и\ к п
т=а{дЩ + Щ + щ)' ™ев = ё>0·
6.1. Замечание. В случае, когда распределение температуры
не зависит от времени, т.е. щ = 0, температура и удовлетворяет
уравнению Лапласа (если к = const). Тем самым, задача Лирихле
для уравнения Лапласа (см. § 5) может быть интерпретирована
как задача о распределении установившейся (стационарной)
температуры в теле, если известно распределение температуры на
поверхности тела.
Если интересуются распределением температуры внутри тела,
там, где (в течение некоторого времени) влияние граничных
условий не очень существенно, то идеализируют ситуацию и
рассматривают следующую задачу:
С^ = div(* . grad u), {χ, у, ζ) € Κ3, t > О,
u\tz=0-f(xiyyz)}
где / - распределение температуры (в теле, не имеющем границы,
т.е. в R3) в момент времени t = 0. Эту задачу иногда называют
задачей Коши для уравнения теплопроводности.
Предположим, что / и Jb, а следовательно, и и не зависят от
22

у и ζ. Тогда и есть решение задачи
СЖ=^(*'£)' M€R+ = {l€l-i>0}' <6·3)
«U =/(*)> (6-4)
6.2. Гипотеза. Способ, с помощью которого была решена
задача (б.З)--^^)1), подсказывает, что в случае задачи (6.3)-(6.4)
ее решение, по-видимому, может быть выражено формулой
00
«(«,<)= J №Mx-t,t)dt,
-оо
где ν - решение уравнения (6.3), удовлетворяющее условию
lim v(z,t) = δ(χ), где δ - ί-функция. (6.5)
Ниже (см. теорему 6.6) показывается, что эта гипотеза верна.
1)Ом. сноску 4 к § 5.
Попытаемся найти эту функцию v. Она удовлетворяет
следующим условиям:
-оо
где Q - общее количество тепла, которое в нашем случае равно
С. Мы видим, таким образом, что ν есть некоторая функция G
пяти независимых переменных я, t, С, Jb и Q, т.е.
v = G(z,t,C,k,Q). (6.7)
6.3. Замечание. Метод, с помощью которого мы найдем
функцию ν, берет свои истоки в механике [21]. Он называется
методом перехода к безразмерным параметрам (переменным).
Заметим, что единицы измерения величин v, ху t и Q, скажем,
в системе единиц СИ, таковы: [ν] = К, [х] = м, [t] = с, [Q] =
Вт. В силу (6.6), [C\[v]/[t] = МЮ/[«]а, №][*] = №1; поэтому
размерности величин С и к выражаются формулами:
[С] = Вт/(м · К), [ik] = Вт · м/(с · К).
Так как С, к и Q играют роль параметров функции v(x,t)>
предпочтительнее выразить единицы измерения ν и, например, χ
через [f], [С], [Jfc] и [Q]. Имеем:
[*] = у/ЩЩШ, [v) = [QW{t)[k)[C]-
Возьмем другую систему единиц измерения
[<*] = *-*[']. [СГ\ = °с[С\, [Г] = 'к[к); [Q*] = 'q[QI
где σ^, σα, 0>, <tq - масштабные коэффициенты, т.е.
положительные (безразмерные) числа. Поставим вопрос: чему равны
масштабные коэффициенты σχ и σν (для переменных жиг;,
являющихся "производными" от выбранных нами "основных" физиче-
23

ских переменных ί, С, к и Q)? Имеем:
[х*] = Λίρ = *, [*) = *шу/№Ш = ^vVc[t*P*]/(<WC1)·
Поэтому
0* = y/<7t<?k/<7c и аналогично συ = σρ/ν^ϊσΤσο". (6.8)
Числовые значения $*,..'., »* переменных t,...,v в новой системе
единиц измерения определяются из соотношений
t*[e} = t[t),...,v*[v*] = v[v).
Тем самым,
*· = -, с* = —, k* = —, g* = -2-f
σ* · σο σ* σ$
г = «♦/ , ν = υ-
V *t<r*
* y/<rt<?k<rc
Например, если [t] = с, а [<*] = ч, то <rt = 3600, а<*= ί/3600.
Заметим теперь, что зависимость (6.7) выражает закон,
который не зависит от выбора единиц измерения. Поэтому
v* = G(z*,t\C*,k*,Q*) (6.9)
с той же функцией G. Выберем теперь систему единиц измерения
так, чтобы t* = С* = к* = Q* = 1, т.е. положим σ* = ΐ, σο =
С, σ* = fc, σρ = Q. Тогда
χ* = ху/С/{Ы)у ν* = vs/tkC/Q.
Отсюда, в силу (6.9), имеем
«(*,<) = -^Лу^-хК Γίί,Ι^^,Ι,Ι,Ι,Ι). (6.10)
6.4. Замечание. К формуле (6.10) можно было бы прийти
чисто формальным путем. А именно, сделав замену переменных,
Г = — С* = — к* = — О* = — ж* = — ν* = —
σχ' σα' cr*' σρ' σΓ * συ
потребовать, чтобы υ* было бы равно G(s*,t*, С*, &*,(?*), т.е.
потребовать, чтобы
—оо
Тогда из (6.6) с необходимостью вытекает (6.8). Выбрав, как и
выше, масштабные коэффициенты σ*, σο, σ* и σρ, получим вновь
(6.10). Тем не менее, использование соображений, связанных с
размерностью, полезны. Они позволяют, во-первых,
протестировать правильность вхождения тех или иных параметров при
постановке задачи: обе части любого равенства, входящего в задачу,
24

должны иметь согласованные размерности. Во-вторых,
соображения размерности позволяют найти нужную замену переменных
(не обязательно связанную лишь с масштабными множителями).
Все это позволяет автоматически (и потому легко) избавиться
от "лишних*' параметров и тем самым облегчить как анализ, так
и вычисления2). Кроме того, переход к безразмерным
параметрам позволяет применить соображения подобия, которые иногда
существенно облегчают решение весьма трудных задач (см. [21]).
^'Рассмотрим задачу о температурном поле бесконечной пластины
толщины 25, имеющей начальную температуру То = const, в случае, когда
на поверхности пластины происходит теплообмен (при коэффициенте
теплоотдачи а) со средой, имеющей температуру Τχ = const. Иначе говоря,
рассмотрим задачу
§ = «0· τ>°· ΚΚ* **f U±s = a<r-ri>Ub5: TLo = T°·
Функция Г= /(τ,ί,α,5,к,а,Т\}То) априори зависит от 8 параметров .
Составление таблиц значений такой функции, если каждый из параметров
принимает хотя бы 10 значений, принципиально невозможно, т.к.
потребовалось бы миллион страниц. Переход же к безразмерным параметрам
и = (Г - Γι)/(7Ί - Г0), χ = i/S, t = ατ/52, σ = k/aS
сводит всю проблему к задаче
!т = ё'<>0· w<i5 (·**£) Ι~±ι-°· «L·-1· <6U>
решение которой и = u(t,x}a) можно представить (ото важно для
прикладников) в виде компактных таблиц (на каждое значение σ ^ 0 - одна страница).
Для того, чтобы найти функцию д и, тем самым, ν, подставим
выражение (6.10) в уравнение теплопроводности (6.2). Получим
Q\/C/kfi\g(v)/* + У ■ 9'{У)П + 9"Ш = 0, т.е. {удШП + я'Ь) = 0-
Таким образом, функция д удовлетворяет линейному уравнению
9'(У) + У9(У)№ = const. (6.12)
Если д - симметрична, т.е. д{—у) = д(у)) то ^'(0) = 0 и потому
функция д удовлетворяет однородному уравнению (6.12), решение
которого очевидно выражается формулой: д(у) = А · ехр(—у2/4).
Константа А определяется из второго условия в (6.6):
оо оо оо
Q = ί Cvdx = ACQ/VkCt ί e-c*3/Aktdz = 2AQ ί е~?<%,
-ОО —ОО -ОО
т.е. (с учетом формулы (1.6)) А = lftyy/π) и, следовательно,
v(x,t) = (Q/2VkC*t) ·exp(-Cx2/4kt). (6.13)
6.5. Теорема. Пусть / € С(Ж), причем для некоторого
σ € [1,2{, α > 0 и Μ > 0 справедливо неравенство:
}f(x)\ ζ Μехр(фГ) V* € Ж. (6.14)
Тогда функция и : Ш%. = {(x,t) € Ж2 | t > 0} -» Ж, определенная
25

формулой
оо
u(x,t)= j №)Ρ(ζ-ξ,№, P(x,t) = (l/2y/rt)exj>(-x2/4t), (6.15)
— ОО
является решением уравнения теплопроводности
fjT=§f в 12+ = {(χ,ί)€ΐ2 |ί>0}. (6.16)
Это решение бесконечно дифференцируемо и удовлетворяет
начальному условию (или, как иногда говорят, условию Коши)
Kmou(z,t) = f(x). (6.17)
При этом, VT > О ЗС(Т) > 0, что
КМ)1 ^ С(Г)ехр((2а|х|П Vx 6 1 и V* € [0,7]. (6.18)
> Функция Ρ(χ,ί) = (4πί)""1/2βχρ(—χ2/it), как это следует из
построения функции (6.13), удовлетворяет соотношениям (6.6), в
которых С = к = Q = 1. Поэтому формула (6.17) следует из Р.4.2,
а (6.16), также как и гладкость функции «, вытекает из известной
теоремы о дифференцируемое™ интегралов по параметру (см.,
например, [22]), поскольку соответствующий интеграл равномерно
сходится, ибо для УЯ > 1 Ve > θ 3Ν > 1 такое, что
|^-(/(0Ρ(*-ίι<))|«<ε (6.19)
\ξ\>Ν
при χ € [—Я,Я], i Ε [1/Я, Я]. При j + к > О подинтеграль-
ное выражение в (6.19) оценивается при указанных χ и t через
Οκί(ξ)Ρ(χ — £,*). Поэтому для доказательства неравенства (6.19)
достаточно установить оценку (6.18). Заметим, что при σ £ [1,2[
КГ < 2*(|*г + К - «Г), К - «Г ^ *(ί - *)2 + с.К - «I.
Выберем ε так, чтобы 1 — 4Т · а0 · ε > О, где а0 = а · 2". Тогда
при t < Г (ср. [15, стр. 41])
КМ)| ^ 2^/e°lfi' -exp(-(«-i)a/4<)^ <
м (2α|χ|)' / «(2|С-«|)' .e-((*-f)/2v^)a^L<
J 2уД^
М1еМ*\Г />·β-(ΐ-«Γβ.«χ·-ο»/« .ea.c«(|«-€i/a>/«)aV«_i-.
J 2vt
Полагая ι; = (f - x)(l - 4Та0е)х'2/(2уД), имеем
|«(c,t)| < С(Г)е(2аН)' /«-'*+β'ΙΊ·^ιϊ.
26
/

Отсюда следует оценка (6.18), если заметить, что
оо оо оо
О 0 0
6.6. Замечание. Вообще говоря, существует решение задачи
(6.16)—(6.17), которое отлично от (6.15). Так, например, функция
м(я,<)> представленная рядом
оо
«(*,<) = Σ ¥>(го>(*) · x2m/(2m)!, (Μ) € Ш2+, (6.20)
m=0
в котором функция φ 6 С°°(Ж) удовлетворяет условиям:
suppp С [0,1], Vm € Z+ \<p(m)(t)\ ζ (jm)\, где К 7 < 2, (6.21)
является очевидно решением задачи (6.16)-(6.17) при / = 0.
(Условие 7 < 2 нужно для равномерной (относительно χ и *, |я| ^ Я < оо)
сходимости ряда (6.20) и его производных). Этот простой, но
важный факт был подмечен в 1935г. А.Н. Тихоновым [23], который
воспользовался при построении ряда (6.22) результатом Карлемана
[24] о существовании ненулевой функции <р, обладающей
свойствами (6.21). Важно подчеркнуть, что построенное А.Н. Тихоновым
ненулевое решение (6.20) уравнения теплопроводности
(удовлетворяющее условию и(ху0) = 0) растет при \х\ —* оо быстрее, чем
ехрСх2 VC > 0 (и медленнее, чем ехрСх*, где σ = 2/(2 — 7) > 2). С
другой стороны, можно показать, опираясь на принцип максимума
для решений уравнения теплопроводности (см., например, [15, 16,
23, 25]), что решение задачи (6-16)—(6.17) единственно, если
выполнено условие (6.18). Теорему единственности в более широком
классе функций доказал в 1924г. Хольмгрен [26].
Из сказанного в замечании 6.6 вытекает
6.7. Теорема. Пусть / Ε С(Ж), причем / удовлетворяет (6.14).
Тогда формула (6.15) представляет решение задачи (6.16)-(6.17)
и это решение единственно в классе (6.18).
§ 7. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА.
ФОРМУЛЫ ГРИНА И ФУНКЦИЯ ГРИНА
Пусть Ω ограниченная область в!п с гладкой (п — 1)-мерной
границей dQ. Пусть / = (/ι,...,/n) - вектор-функция, такая,
что Д е С(й) и dfk/dxk e PC(Q) Vi. Тогда, как известно [22],
справедлива формула Остроградского-Гаусса1)
/Σ^* = /ΣΛ(*)·«ΗΓ, (7.1)
где a* = afc(x) - косинус угла между внешней нормалью ι/κΓ = 9Ω
в точке а: € Г и fc-й координатной осью, а dT - "элемент площади'*
2?

Г. При η = 1 формула (7.1) является формулой Ньюгона-
Лейбница.
1)формула (7.1) - ©то частный случай важной теоремы Стокса об
интегрировании дифференциальных форм на многообразии с краем (см.,
например, [22]), которая выражается легко запоминающейся формулой Пуанкаре:
Г άω = Γ ω. Из формулы Пуанкаре следует (7.1) при
ибо
άω = Y^(dfk{x)/dxk)dx, а ш\ш = ]£/к(.)«4Л\
Если fk(x) = Ak(x)v(x), где ν 6 РСР^^&ф), то (7.1) влечет:
/•■Ε^)Λ""/έ^+/έΑ"'·β'*· (7-2)
Ω vw~1· ' Ω «~L дЯ
Полагая Ak = g—, где и G PC2(Ω) f]C1 (Ω), получаем первую
формулу Грина
о яо о *—1
Ω 0Ω Ω
где Δ - оператор Лапласа (см. § 5). Вычтем из (7.3) формулу,
которая отличается от (7.3) лишь тем, что и переобозначено через
ν, а υ - через и. Тогда получим так называемую вторую формулу
Грина для оператора Лапласа
ί(ν · Аи - и · Дг;)йх ^ ( L ~ - и~\ dT. (7.4)
Ω 0Ω
Из формулы (7.4) вытекает (если положить ν Ξ 1)
замечательное следствие:
JAudx^J^dr. (7.5)
Ω ©Ω
В частности, если функция « G Сх(й) гармонична в Ω, то f j^dT =
©Ω
0. Это так называемая интегральная формула Гаусса.
Перепишем формулу (7.4) в виде
/ u{y)Av(y)dy = I v(y)Au(y)dy + I \и(у)-^(у) - «(у)^(«)| <*Г.
ω ω да
(7.6)
Возьмем точку ж 6 Ω. Заменим в формуле (7.6) функцию г; на
функцию Εσ(χ, ·) 6 Ρ(72(Ω), которая зависит от χ как от параметра
28

и которая удовлетворяет уравнению
АуЕа(х,у) = Σ 5>#«(*,У) = **(* - *), (7.7)
*=ι у*
где δα определено в (1.3), а 1/а 2> 1. Опираясь на результат
нижеследующего упражнения 7.1, устремим α к нулю. В итоге,
учитывая лемму 2.1, получим
«(χ) = Je(x- y)Au(y)dy + J [ч(у)аД(^, У) " Я(« " V)-
rfy-
δι/
Ω βΩ
(7.8)
7.1.Р. Используя результат Р.5.2 и теорему 5.13, показать, что общее
решение уравнения (7.7), зависящее только от \х — у|, представляется в виде
Еа(х — 2/) + const, где функция Еа € С1 (Ж1*) совпадает при \х\ ^ а с функцией
1/(2* . In |x|) хфО, п = 2,
-1/((п - 2)ση · |*Г~2) * Φ 0, η ^ 3,
а при |ar| < or справедлива оценка |2?a(s)| ^ Ι^(*)Ι· Через ση обозначена (см.
Р.1.1) площадь единичной сферы в Шп.
Указание. В силу (7.5) и (1.3) J (dEa/dt/)dT = f AEadx = 1.
\х\=а \x\<ot
Пусть χ € Ω. Возьмем2) функцию д(х, ) : Ω Э у ■—► д(х, у), кото-
рал является решением следующей задачи Дирихле для
однородного уравнения Лапласа со специальным граничным условием
Ауд(х,у) = 0 в Ω, д(х,у) = ~Е(х - у) для у € Г. (7.10)
Подставим2^ функцию д{х>) в формулу (7.6) вместо функции v.
Полученное равенство сложим почленно с (7.8). В результате
будем иметь следующее интегральное представление функции
и € PC2(Q)f]Cl(Q):
и(х) = JG(x,y)Au(y)dy + J ^Ли{у)аГ, (7.11)
η an
где
С(*,у) = Я(*-у) + 0(*,у). (7.12)
2'В § 22 приводится теорема о существовании решения для задач
существенно более общих, чем задача (7.10). Там же дается теорема о
гладкости решений.
Функция (7.12) называется функцией Грина задачи Дирихле для
уравнения Лапласа
Аи = / в Ω, и = φ на #Ω. (7.13)
Это название связано с тем, что, в силу (7.11), решение задачи
(7.13), где / Ε ΡΟ(Ω), φ € C{dQ)> представляется с помощью
функции G в виде
и(х) = J f(y)G(x, y)dy + j 9{у)Щ^аТ. (7.14)
η en
29

Формулу (7.14) называют часто формулой Грина.
7.2.Р. Пусть Ω = »», где l£ = {χ = (х\хп) € Жп | х' 6 Ж"-1, *п > О}, *
х' = (rx,...,a:n„i) € Ж""*1. Показать, что в атом случае G(x,у) = E(xty) —
Е(х**у}* где я:* = (х',—Хп) - "зеркальное" отражение точки χ относительно
гиперплоскости хп = 0· Проверить (ср. с (5.6)), что
dG(xty)t _ _2__ хп
ду 1у.=0 ση [{χχ _ yi)2 + ... + {χη_χ _ yn^l)2 + Xn]n/2 *
§ 8. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА1)
Ос легкой руки Е.Б. Лынкина, рискнувшего прочитать осенью 1964г.
студентам-математикам 2 курса механико-математического, факультета
МГУ теорию интеграла Лебега в рамках обязательного курса
"Математический анализ", теперь теория интеграла Лебега входит, как правило, в
учебные программы для студентов-математиков младших курсов. Тем не
менее, возможно некоторые читатели не знакомы с этим предметом. Им
адресован этот и следующий параграфы. При первом чтении можно, бегло
прочитав определения и формулировки утверждений этих параграфов, идти
дальше. Для дальнейшего важно знать, по крайней мере, двча факта: 1) если
/ кусочно непрерывна в Ω <§ Жп, то / интегрируема по Риману; 2) функция,
интегрируемая по Риману, интегрируема и по Лебегу, а ее интеграл по
Риману совпадает с ее интегралом по Лебегу (см. ниже Р.8.15). По мере
необходимости (когда речь будет идти о предельных переходах* под знаком
интеграла, замене порядка интегрирования и пр.) целесообразно вернуться
к более внимательному прочтению §§ 8-9 и цитируемых учебников.
В §§ 1-2 была намечена идея представимости (иначе говоря,
задания) функции ее "осреднениями". Эта идея связана с
понятием интеграла. Напомним, что известное с 1-го курса определение
интеграла было дано Коши. Это было первое аналитическое
определение интеграла. Коши дал и первое строгое определение
непрерывности функции. Он доказал, что непрерывные на отрезке
функции интегрируемы. В связи с развитием (Дирихле, Рима-
ном) понятия функции как поточечного отображения в числовую
прямую возник вопрос о классе функций, для которых существует
интеграл в смысле определения данного Коши. Риман дал ответ
на этот вопрос (см., например, [27]). По этой причине интеграл,
введенный Коши, называют интегралом Римана.
Пространство функций, интегрируемых по Риману, весьма
широко. Однако оно не полно (см. сноску 5 к § 8) относительно
сходимости, определяемой интегралом Римана, аналогично тому, как
множество рациональных чисел (в отличие от множества
действительных чисел) не полно относительно сходимости, определяемой
евклидовым расстоянием на прямой. Действительно, пусть
fn(x) = χ"1*'2 при χ €]1/п, 1] и fn(x) = 0 при χ φ, 1/η].
30

1
Очевидно, что f\fm(x) - fn{x)\dx —*· 0 при тип-^оо, т.е. после-
о
довательность {/*} является фундаментальной
последовательностью (см. сноску 5 к § 8) относительно сходимости, определяемой
интегралом Римана. Из определения интеграла Римана следует,
что функция χ ι—► x~xf2 (к которой поточечно сходится
последовательность {fn(x)}) не интегрируема по Риману. Более того,
легко показать, опираясь на Р.8.15 и теорему 8.17, что не
существует никакой функции /, интегрируемой по Риману, для которой
]im f \f(x) — fm(x)\dx = 0, т.е. пространство интегрируемых по
Риману функций не полно относительно сходимости,
определяемой интегралом Римана. (См. также упражнение Р.8.23).
Эта и ряд других серьезных причин побудили (см., например,
[27]) к развитию понятия интеграла. Особую роль по своей
значимости занимает интеграл Лебега! В 1901 г. 26-летний Лебег
ввел (см. ниже определение 8.12) пространство £(Ω) функций,
определенных на открытом множестве Ω С Жп и называемых ныне
интегрируемыми по Лебегу, а также интеграл, носящий теперь
его имя (см. определение 8.12). Этот интеграл был определен
Лебегом как функционал
который в случае Ω ~]α, 6[ обозначается стандартным образом и
обладает следующими шестью свойствами:
Ъ b+h
1. Jf(z)dx= j f(x - h)dx для любых α, b и h.
a a+h
b с а
2. J f(x)dx + j f(x)dx + J f(x)dx = 0 для любыж α, бис.
α b с
b b b
3. / [f(x) + g(x)]dz = / f(x)dx -f / g(x)dx для любыя α и 6.
а а
ix ^ 0, если / ^ 0 и i > а.
а
Ь
4. f f(x)dz
а
1
5. fl-dz^l.
о
6. Если с возрастанием η функция fn(x) стремится, возрастая, к
/(ж), то интеграл от fn(x) стремится к интегралу от f(x).
"Условие 6, - пишет Лебег [28, стр. 92], - занимает особое
31

место. Оно не носит ни того характера простоты, как первые
пять, ни того характера необходимости". Тем не менее, именно
условие б стало краеугольным камнем в изложении Лебегом его
теории интегрирования.
Ниже дается2^ конструктивное построение интеграла Лебега
и пространства £(Ω), приводятся необходимые нам в дальнейшем
результаты теории интеграла Лебега.
2)Следуя в основном книге Г.Е. Шилова и Б.Л. Гуревича [29]; см.
также [30, 31].
8.1. Определение. Говорят, что множество А С Ω есть
множество меры нуль, если Vs > 0 существует семейство
параллелепипедов
Щ = {χ = (*!,...,*") € Жп | X; e]ajkybjk[}, к е N,
оо оо
таких, что 1)А С U Щ; 2)]И /|(Щ) < ε, где μ(Π*) - мера парал-
лелепипеда, т.е. μ(Π*) = UJi:1(bjk — ajfc).
8.2. Определение. Говорят, что некое свойство Р(х),
зависящее от точки χ G Ω, справедливо почти всюду (п.в.), если
множество точек ж, где -Р(ж) не реализуется, имеет меру нуль.
Говорят также, что Р(х) верно для почти всех χ 6 Ω.
8.3. Определение. Ступенчатой функцией в Ω называют
такую функцию / : Ω —» Ж, которая является конечной линейной
комбинацией характеристических функций неких
параллелепипедов Щ, к = 1,..., Ν, N в Ν, т.е.
N
f(x) ^J2Ck' W*)> ck e Κ, χ € Ω. (8.1)
fc=l
При атом сумма ]П с& /i(IIjt), обозначаемая через //, называется
интегралом ступенчатой функции (8.1).
8.4. Определение. Комплекснозначная функция / : Ω Э х <—►
/(#) € С, конечная для почти всех χ Ε Ω, называется измеримой,
если существуют последовательности {ym}, {hm} ступенчатых
в Ω функций, такие, что lim \gm(x) -r ihm(x)] = f(x) для почти
m-+oo
всех χ £ Ω.
8.5.Р. Показать, что если / и g измеримы в Ω, а h : С -+ С непрерывна,
то измерима функция Ω Э х ·—► h(f(x)tg(x)) £ С,
8.6. Определение. Множество А С Ω называется измеримым,
если 1д - измеримая функция.
8.7.Р. Показать, что любое открытое, любое замкнутое множество
измеримы. Показать, что дополнение к измеримому - измеримо. Показать, что
счетное объединение и счетное пересечение измеримых множеств измеримо.
8.8. Определение. Говорят, что / принадлежит классу L+
(точнее, £+(Ω)), если в Ω существует возрастающая последова-
32

хельность {hk}%Li ступенчатых функций, такая, что fhm^C Vm
для некоторой константы С и, кроме того, hm | /. Последнее
означает3), что для почти всех χ € Ω fti(ar) ^ Аг(я) ^ · · · ^ hm(x) ^
... и lim hm(x) = /(ж).
m—t-oo
3)Аналогичный смысл имеет обозначение hm I /.
Легко доказывается
8.9. Предложение. Если / € £+(Ω), то / - измерима в Ω.
8.10. Определение. Интеграл (по Лебегу) функции / 6
Ι+(Ω) определяется формулой: Г / = lim f hm> где {Лт}ш=1
то—»оо
- возрастающая последовательность функций, определяющая /
(см. 8.8.).
Можно показать, что определение 8.10 корректно, т.е. J f
зависит только от /,. а не от выбора последовательности hm j /.
8.11. Лемма (см. [30, стр. 148]). Пусть /„ € £+, /η Τ /, //η ^
С Vn. Тогда /€1+и//= lim /n.
8.12. Определение. Говорят, что функция / : Ω —> Ж
интегрируема (в Ω) по Лебегу, если существуют две функции g и h из £+,
такие, что / = у — Λ. При этом число f g — f h, которое обозначают
J f(x)dx (или просто //), называется интегралом Лебега функции
π
/. Линейное (вещественное) пространство интегрируемых в Ω
функций обозначается через £(Ω) (или L)4\ Если 1д С £(Ω), то
число μ(Α) = / 1д называется мерой множества А С Ω.
4'При этом, две функции отождествляются, если их разность равна
нулю почти всюду (см., в связи с этим, Ρ.8.14, Р.8.18).
8.13. Замечание. Легко проверяется, что // зависит лишь
от /, т.е. определение 8.12 корректно.
8.14.Р. Показать, что f f — О, если / = 0 п.в.
N
8.15.Р. Пусть hpf(x) = ]Р τη* ·1γιΛχ)* ГД€ тк = ™* /(*)» ~ ступенчатая
*=1 **П*
N
функция, соответствующая нижней сумме Дарбу ^ тд.д(П^) функции /,
*=1
интегрируемой по Риману. Проверить, что из определений 8.8, 8.10 и 8.12
непосредственно вытекает, что / 6 Ь^ (тем самым, / € L), и кроме того,
N
интеграл по Риману, равный lim У] т^м(П^), совпадает с интегралом
N-*°°k=l
Лебега J f(x)dx = lim f htf(x)dx.
8.16.P. Пусть / измерима на JO, 1] и ограничена: m ^ f(x) ^ Λ/.
Рассмотрим разбиение отрезка [τη,Μ] точками Уя· : У0 < У1 < * * * < VN = М".
Пусть σ = тах(у£ ~ Vfc-l)· Рассмотрим сумму
N
S = **Гукй{х € [0,1] | ук_х < /(г) ^ ук}.
Аг=1
3

Доказать, что 3 lim S, и ©тот предел есть интеграл Лебега J f(x)dx.
8.1Т. Теорема. (Веппо Леви, 1906г.; см. [30, стр. 151]). Пусть
fn € L(Q) и /«(я) Τ f(x) Var Ε Ω. Если существует константа С,
такая, что f fn ^ С Vn, то / € £(Ω) и lim //„ = //.
8Л8.Р. (Ср. с Р.8.14). Показать, что / = О п.в., если /^OmJ/ = 0.
8.19.Р. Проверить, что если φ € L, ψ 6 L, то max(v?,t/>) € L, тш(^,^) € L.
8.20. Теорема. (Лебег, 1902г.; см. [30, стр. 154]). Пусть
fn € Ι(Ω) и пусть /п(я) —► /(я) п.в. в Ω. Предположим, что
существует функция д £ £(Ω), называемая мажорантой, такая, что
!/»(*)! ^ д(*) Vn £ 1, V* € Ω. Тогда / е L(Q) и // = lim /Д.
t>—-*оо
8.21. Лемма. (Фату, 190бг.;см. [30]). Пусть /п € I, /п)0и
/я -+ / п.в. Если //п ^ С Vn, где С < оо, то / € I и 0 ^ // ^ С.
8.22. Теорема. (Фишер и Ф.Рисс, 1907г.). Пространство I,
снабженное нормой \\φ\\ = /М> является банаховым5).
5)Нормой в линейном пространстве X называется функция || · II : X Э
/ ι—» ((/(Ι ζ Ж, обладающая свойствами: ||/|| > 0 при f ф 0 € X, ||0|| =
О, ЦА/Ц = |λ| · Ц/11 для любого числа λ, ||/ + д\\ ^ ||/|| + \\д\\. Слова
"пространство X снабжено нормой" означают, что в пространстве X вводится
понятие сходимости. А именно·, /п —♦■ / при η —+ оо, если p(fn>f) ~+ О,
где p(fn,f) = ||/п —/II- При этом говорят, что пространство X
является нормированным. Введенная функция ρ обладает, как легко видеть,
следующими свойствами: р(/,я) = Р(р»/)> р(/»^) ^ р(/»5) + р($»&), причем
р(/>з) > О? если / ф д. Если на множестве X к X определена функция р,
обладающая указанными свойствами, то она называется расстоянием в X,
а пара (Ху р) называется метрическим пространством (вообще говоря,
нелинейным). Ясно, что нормированное пространство является линейным
метрическим пространством. Метрическое пространство называется полным,
если для любой фундаментальной последовательности {/п}п>1 (®т<> значит,
что p(fn,fm) -*■ 0 при п,т —► оо) существует такое / 6 X, что р(/п,/) —► 0.
Нормированное пространство называется банаховым, если оно полно.
> Пусть \\<рп — <р\\ —► 0 при п,т —* оо. Тогда существует
возрастающая последовательность индексов {η*}*^ι, что jj<^n — <£>m!| ^
JV-I
2~* Vn > nk. Положим fN(z) = 53 №nfc+10O-¥>η*001· После-
довательность {/ν}ν=2 является возрастающей и //// ^ 1. Из
оо
теоремы Б.Леви отсюда следует, что ряд ]П |y?nfc+1(x) — ^пк(«)|
сходится почти всюду. Тем самым, почти всюду сходится и ряд
оо
]С i^nfc+i(#) ~ <Pnk(x)\- Иными словами, для п.в. χ существует
lim <рПк = ^>(я)6).Покажем, что φ £ L и \\<рп — <р\\ —+ 0 при
fc~*oo
η —* оо. Имеем: Υε > 0 3iV ^ 1, что / \φητη{%) — ^п*(я)Ия ^ ε
при ram ^ N, rik ^ N. Опираясь на лемму Фату, перейдем к преде-
34

лу при nm -+ со. Получим: φ-~ψηΗ € L> J \<p(x) — <pnk(x)\dx ^ ε; тем
самым, φ € L, & \\φ - <рПк\\ -* 0 при к -* оо. Отсюда ||<р - <рп|( -> О
при η -* оо, т.к. \\φ - φη\\ ^ |Ь ~ <Рпк\\ + |bnfc - Vn||. <
б)Таким образом, фундаментальная последовательность в L содержит
подпоследовательность, сходящуюся почти всюду. Этим фактом мы
воспользуемся в 9.7 и в 10.2.
8.23.Р. Постройте пример ограниченной (ср. пример в начале § 8)
последовательности, которая фундаментальна относительно сходимости,
определяемой интегралом Римана, но которая не имеет предела относительно
этой сходимости.
Указание. Для λ € [0, l[ рассмотрите последовательность
характеристических функций множеств Сп, которые вводятся ниже при построении
канторова множества меры 1 - λ. Пусть {λη} - последовательность поло-
00
жительных чисел, таких, что 2J 2η""1λη = λ € [0,1], Канторово множество
п=1
С С [0,1] (см. [30]~j32]), соответствующее последовательности {λη}, строится
η 2*-1
так: С = f)Cn, Сп = [0,1]\( |J /η), In = (J J&. Здесь /*> - ifc-й интервал
m=l Jfc=l
m-го ранга, т.е. интервал длины Am, центр которого совпадает с центром
&-го (& = 1,.. .,2т"""*) отрезка множества Cm_j, Иными словами, канторово
множество строится шаг за шагом следующим образом. На 1-м шаге из
отрезка Cq = [0,1] "выбрасывается" его "средняя часть" /χ с длиной λχ, на
2-м-шаге из оставшихся 2-х отрезков множества Οχ = Cq\I "выбрасываются"
«χ "средние части", каждая из которых имеет длину Аз- На m-м шаге
(т ^ 3) из оставшихся 2т~1 отрезков множества Ст„\ "выбрасываются"
их "средние части", каждая из которых имеет длину \т. Легко видеть
(проверьте!), что множество С измеримо, а его мера μ{0) равна μ = 1 — λ ^ 0.
Сравнительно нетрудно показать, что множество С несчетно, и более того,
существует взаимнооднозначное соответствие между С и Ж. Это на первый
взгляд удивительно, т.к. при λ = 1 мера μ(0) = 0. Тем не менее, это так!
(Докажите). Канторово множество часто фигурирует в качестве основы
построения разного рода "каверзных" примеров.
8.24. Теорема. (Фубини, 1907г.; см. [29, стр. 43] ). Пусть
Ω# - открытое множество в К*, a Qy - открытое множество в Жт.
Пусть / : Ω Э (#,у) '—-* /(я>У) ~~ интегрируемая функция в прямом
произведении Ω = Ω* χ Qy. Тогда
1) для почти всех у € Ωχ (соотв. χ £ Ων) функция f(,y) : Ω* Э
χ ι—► /(ж, у) (соотв. /(*,у) :С1у Э χ ι—► /(ζ, у)) является элементом
пространства L(Q,X) (соотв. £(Ων));
2) ljf(xr)dx\ e L(Qy) (соотв. Н/(-,2/)<Ы 6 1(Ω9))\
3) Jf(x,y)dxdy = J\J f(x,y)dz\ dy= J\J f(x,y)dy
ny \ftx
Ωχ
dx.
35

8.25. Замечание. Существование двух (повторных)
интегралов
dx
J \j f(x>y)dx\dyiiL J \lf(x,y)dy\
не влечет, вообще говоря, ни их равенства, ни интегрируемость
функции / в Ω = Йг χ йу (см,, например, [32, стр. 184]). Но
справедлива
8.26. Лемма. Пусть / - функция, определенная в Ω = Ω* х Ων.
Предположим, что / измерима и / ^ 0. Пусть также существует
dy = A. Тогда/€ΐ(Ω*χΩν),
повторный интеграл / / /(ar, y)dx
Ω» In.
и (потому) справедливо свойство 3) теоремы 8.24.
> Положим /т = тт(/,Ят), где Нт = тах(Ль. ..,Лт), {Л*}
- последовательность ступенчатых функций, таких, что Л* —► /
п.в. (см. 8.4). Заметим, что /m = lim тш(А*,Ят) п.в., при-
fc-+oo
чем |/т| ^ |Ят|, т.к. / ^ 0. Поэтому /m = lim дкт п.в., где
дкт = тах(тт(Л*,Ят),-|Ят|).Далее, \дкт\ ζ \Нт\ € I V* ^ 1.
Следовательно, по теореме Лебега, / € L. В силу теоремы Фуби-
ни имеем тогда:
: /^т 7 \] ^т(х'у№
п„ In*
dy < А. Заметим, что
/η ΐ /· Отсюда, по теореме Б.Леви, / € £(Ω). <
8.27. Теорема, (см. [30, стр. 292]). Пусть / € L(R), £ € £(R).
Пусть F(a?) = //(<)<**, G(x) -fg(t)A. Тогда
о о
b b
ί F(x)g(x)dx + / f(x)G(x)dx = F(6)G(6) - F(o)G(a).
a a
При этом функция F(x) имеет для почти всех χ 6 R производную
F'(x) = lim(F(c + σ) - F(x))fa, причем F#(e) = f(x) п.в.
§ 9. ПРОСТРАНСТВА V и £fe
7©c
9.1. Определение. (Ф.Рисс). Пусть 1 ^ ρ ^ со.
Пространством Ζ/Ρ(Ω) (или просто 2/) суммируемых, или интегрируемых в
•ρ-ой степени функций называется комплексное пространство
измеримых функций1^ /, определенных в Ω и таких, что \f\p £ L(Q).
56

Бели / € ■£-1(Ω), то интеграл от / определяется формулой:
jf = jli*f + ijlmf.
^Точнее, классов функций {/} : Ω —► С, где д € {/} <=* 9 = / п.в.
9.2. Лемма. Пусть р€ [1,оо{. Тогда отображение
II · II, -V э / ~ Ц/11, = U \\f(*Wdx\ , (9.1)
которое иногда будет обозначаться || · ||l», является нормой2).
2)Т.е : выполнены свойства нормы (см. сноску 5 к § 8).
► Не очевидна лишь справедливость неравенства треугольника,
т.е. неравенства
II/+*1К 11/11, ±11*11, (9-2)
которое (в случае нормы (9.1)) называется неравенством Мин-
ковского. Оно тривиально при ρ = 1. Докажем его при ρ > 1,
опираясь на известное [31] неравенство Гельдера
ΙΙ/·ίΙΙι<ΙΙ/ΙΗΙίίΐι> где1/р+1/в = 1, р>1. (9.3)
Имеем:
[/i/+^-'f"{[/i/r]'" + [/wf"}
[J\f + 9\(p-l)q]l4=[J\f + 9r
|1/ϊ Г Г Ίΐ-(1/Ρ)
Но
Аналогично доказательству теоремы 8.22 доказывается
9.3. Лемма. Пусть 1 ^ ρ < со. Пространство 17, снабженное
нормой (9.1), является банаховым.
9.4. Лемма. Комплексификация пространства ступенчатых
функций3^ плотна в У, 1 ^ ρ < оо.
3)Комплексификацией вещественного линейного пространства X
называется комплексное линейное пространство элементов вида / = g + ί/ι, где
£ и /ι - элементы X.
> Достаточно доказать, что V/ € Ζ^, где / ^ 0, существует
последовательность {ft*} ступенчатых функций, таких, что
||/-А*Ия-0при*^ао. (9.4)
В случае ρ = 1 возьмем последовательность {ft*}*^, такую, что
ft* ΐ / € ϊ+ и /Λ* —► //. Тогда получим (9.4). Если 1 <
ρ < оо, то положим J£n = {χ G Ω | 1/η ^ /(χ) ^ η}, где η ^ 1
и /«(я) = 1#η(χ) ·/(ж) (1#Λ - характеристическая функция Еп).
Имеем /η ΐ /, откуда (/ - /η)ρ 1 0. 'По теореме Б.Леви ||/ - /„||ρ =
з*
ό 37

1/2
( /1 f(x) - fn(z)\pdx J -► 0 при η -> oo. Поэтому Υε > Ο 3η ^ 1,
такое, что ||/ — fn\\p < ε/2. Зафиксируем это п. Заметим, что
j lEn = /1^ ^ JnP\f\p < оо. В силу неравенства Гельдера,
ffn = /1*„/ ^ (/ΐ^)1/,/(/Ρ)1/ρ < °°· Так как /„ € ЦП) и
/п(я) € [0,п] Vx 6 Ω, то существует последовательность {Λ*}
ступенчатых функций, определенных в Ω и принимающих значения
в [0,п], такая, что lim / |/п — /ь*| = 0. Отсюда
lb—» оо
ΙΙ/η-Λ^ΙΡ=[/ΐ/η-ΑΠρ]1Ρ=[/(Ι/η~Λ.Ιρ*"Ί/η-ΑΑ|)] %
ηι-(ΐ/ρ) ^ |/n _ ft, |1 P _> о при к -> oo.
Выберем такое #, что ||/n — Afc||p < ε/2 для fc > К. Тогда
ΙΙ/-Λ*ΙΙρ^ΙΙ/-/»ΙΙρ + ΙΙ/»-Λ*ΙΙ<ί чк^к. <
9.5. Теорема. Пусть / € Ьг(0), причем / = 0 п.в. вне
некоторого А <§ Ω. Пусть ρ > 0 - расстояние между А' и ΘΩ.
Тогда для любого ε €]0,/>] функция
Re(f) = Λ : Ω Э х —> /,(*) = Jf(y)6t(x - y)dy, (9.5)
где ίε определено в (3.2), принадлежит пространству <?ο°(Ω).
При этом4),
Нт||/-Д||р = 0, 1ζρ<οο.
ί-»0
(9.6)
^'Функция (9.5) называется регуляризацией (по Стеклову) функции /.
> Очевидно, что /€ € Со°(й). Докажем (9.6). В силу леммы
9.4, V77 > 0 существует такая функция h = h\ -j- ift^, где Λ ι и &2
ступенчатые функции, что ||/— ft||p < η* Имеем: ||/~ Λ||Ρ ^
||/-% + Ι|Λ-Α(Λ)||Ρ + ||Λ(/-Λ)||ρ. Покажем, что ||ВДЦР ^ ||<?||Ρ.
При ρ = 1 это очевидно:
dz =
/ / 1^(у)|-*е(ж-у)йу
Ω Ш J
У /^(Х~2/)ЙХ j Иу)Иу= I Ыу)№у*
ω ш
38

Если ρ > 1, то по неравенству (9.3):
11Д.(*)1|? = /|л(*Ж<*«<
η
η ш
I
(Р-1)/Р
\ 1/Р-
ie(«-y)dy
цб.(*-9)тг*у\
dz =
da; =
Лу«.(*-»)1*(»ж^
η Ln J
Ω Ln
Итак, \\ί~Μ\Ρ*ζ2η+\\!ι-ϋε(Ιι)\\ρ. В силу (8.1), А= Ε с, >1щ5
*=1
где Cjb G С, откуда
ЦЛ-Дг(А)1Б =
TV
<&£
/lEc*.(lnfc-ft(liu))
η *=1
ff>*|) m&KJ\lnh-Mlnk)d*<C^
г.к. (1щ — /2ff(lnfc)) = 0 вне ε-окрестности параллелелипипеда Щ.
Взяв ε < if/С, получим \\h - Ar(A)llp < η· <
9.6. Следствие. Cq°(Q) плотно в /^(Ω), 1 ^ ρ ^ оо.
> Пусть д € Lp(ii). Заметим, что 4η > О ЗК <ε Ω, такое, что
|0 - д * ltf ||р < η- По теореме 9.5 существует ε > 0, такое, что
U · 1лг — ЗД · 1лг)||р < 9- <
9.7. Следствие. Пусть / € Ll(Q), /-= О п.в. вне ΛΓ € Ω. Тогда
зуществует последовательность функций /т € 6ο°(Ω), такая, что
fm -* f п.в. при m —* оо, если |/| < Μ п.в.
> В силу (9.5)-(9.6), ||/ - Λ*(/)||ι -► 0 при ε -> 0. Поэтому,
:огласно сноске 6 к § 8, существует подпоследовательность {fm}
юследовательности {Ле(/)}с_>о, такая, что /w —► / п.в. Оценка
l/m| ^ Μ очевидна. <
9.8.Р.5) Показать, что \\и - Яс(«)||с -+ ° при е -+ 0, если и € <?о(Я).
5>3десь и ниже ||/||с = sup \f(x)\ для / 6 C(Q).
x€fl
39

9.9. Определение. £°°(ίϊ) - это пространство существенно
ограниченных функций в Ω, т.е. пространство измеримых функций
/ : Ω —* С, таких что
11/11,0= inf sup |/(«)|<oo, μ(Ω\ω) = 0. (9.7)
Условие (9.7) означает, что почти всюду функция / ограничена,
т.е. ЗА/ < оо, такое, что \f(x)\ ^ Μ п.в.; при этом ||/||оо = inf А/.
Вез труда доказывается
9.10. Лемма. Пространство £°°(Ω), снабженное нормой (9.7),
является банаховым.
9.11. Замечание. Знак оо в обозначении пространства и
нормы (9.7) оправдан тем, что \\f\\oo = Ит ||/||р, если Ω <§ Rn.
Этот факт доказан, например, в [33, стр. 57].
9.12. Определение. Пусть X - нормированное пространство
с нормой || · ||. Через X* обозначается пространство непрерывных
линейных функционалов на X. Пространство X' называется
сопряженным к X.
Легко проверяется
9.13. Предложение. Пространство Х\ снабженное нормой
lWr = «P%?1, /€*',
*ех 1И1
является банаховым. Здесь (/,х) - значение / на χ € Χχ
9.14. Теорема. (Ф.Рисс, 1910г.). Пусть 1 ^ ρ < оо. Тогда
(LP)' = L*, где 1/р+ 1/д = 1 (q = оо при ρ = 1). Точнее:
1) V/ € L*(Q) 3F € (^(О))', т.е. такой линейный непрерывный
функционал F на Ζ^(Ω), что
(^ 9) = Ι /(*№«)*> Vy> € 1/(П); (9.8)
Ω
2) VF € (LP(Ω))' существует единственный6) элемент (функция)
/ € L*^), такой, что справедливо (9.8);
3) соответствие / :. (I/)' Э F »—► / € Lf является
изометрическим изоморфизмом банаховых пространств, т.е. отображение / -
линейно, биективно и \\IF\\q = ||F||p.
б)См. сноску 4 к § 8.
> Утверждение 1), также как и оценка ||F||p ;ζ ||/||*, очевидны
при ρ = 1. При ρ > 1 нужно использовать неравенство Гельде-
ра. Утверждение 2), а также оценка \\F\\'p ^ ||/||g доказываются,
например, в [33, стр. 166]. <
9.15. Определение. Пусть ρ € [Ι,οο]. Через Цое(С1) (или
просто Lfoc) обозначается пространство локально интегрируемых
в р-й степени функций f : Ω —► С, т.е. функций, таких, что / · \к €
LP(Q) УК € Ω. В Ι?ββ(Ω) вводится сходимость: /,·-►/ в L?oe(0) т.
и τ.τ.,κ. \\1К . (/, - /)||р — 0 при i -* оо VK € Ω.
40

Отметим очевидный факт: если 1 < г < s < оо, то
рссьгое$цоесцоссь1с.
§ 10. ФУНКЦИИ ИЗ L}oc КАК ЛИНЕЙНЫЕ
ФУНКЦИОНАЛЫ НА С§°.
Намеченная в §§ 1-2 идея представимости (т.е. задания)
функции ее "осреднениями" может теперь быть оформлена в весьма
общей форме как следующая
10.1. Теорема. Любая функция / € Ц0С{Щ однозначно1)
восстанавливается по линейному функционалу
(/, ·} : <70°°(Ω) Э φ *-+(/, φ) = j f{x)<p{x)dx € С (10.1)
Ω
(т.е. по множеству чисел |(/,у>)| €c°°(fi)j)· ^Ри этом>
соответствие / <—► (/>·)> / € Цосу является линейным.
*)Как элемент пространства LJoc(Q) (см. сноску 4 к ·§ 8).
> Предположим, что одному функционалу соответствуют две
функции /ι и /г. Тогда /(/ι - h)<p = 0 \/<р € Cq°. Отсюда, в силу
нижеследующей леммы 10.2, вытекает, что f\ = /2 п.в. <
10.2. Лемма. Пусть / € L}oc(Q). Если / f(x)<p(x)dx = О V^ €
6£°(Ω), то / = 0 п.в.
> Пусть ω € Ω. Заметим, что |/| · 1*, = / · 0, где д(х) =
1ω · ехр[— ι arg/(&)]. ( Если / - вещественнозначная функция, то
д(х) = — sgn/(ar) · lw(ar)). Согласно следствию 9.7, существует
последовательность функций <рп £ Со°(П), такая, что п.в. в Ω
f 'Ψη —► f 9 при η -> оо, причем |у>п| ^ 1. Так как / |/| = // · <jr, а
по теореме Лебега: / / д = lim // · v?n, то /1/| = 0, поскольку
η η-οοΩ w
f f · <ρη = 0- Тем самым, / = 0 п.в. в ω. Следовательно, в силу
Ω
произвольности ω <ε Ω, / = О п.в. в Ω. <
§ 11. ПРОСТЕЙШИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
СОБОЛЕВА
В этом параграфе на примере самого простого уравнения с
частными производными щ + их = О1), называемого иногда
уравнением переноса, иллюстрируется одно из основных достижений
теории обобщенных функций. Речь идет о новом понимании
решений дифференциальных уравнений, точнее, о новом (расши-
41

ренном) понимании самих дифференциальных уравнений. Это
понимание позволяет корректно рассматривать важные задачи
математической физики, которые в обычном смысле не имеют
решения. Это новое осмысление уравнений математической
физики и их решений, оформленное С.Л. Соболевым в 1935г. (см.,
например, [4]) под названием "обобщенные решения", позволяет,
в частности, доказать теорему существования и единственности
обобщенного решения задачи Коши:
Lu == щ + «t = О, ОМ) € Ж+ = {(χ,*) Ε Ж2 ! t > 0},
(ИД)
. и\м = /(.), хеШ (11.2)
для уравнения (11.1) при любой функции / € PC (Ж) (и даже
/ € £>1ос> см· ниже теорему 11.1). Справедлива 1?акже теорема
(см. Р.11Л1) о непрерывной зависимости решения этой задачи
от / € Ь}0С(Ж).
*) Через щ и их обозначены частные производные .функции u(x,t) no
t и по х.
Поясним суть проблемы. Уравнение (11.1) равносильно
системе
щ + их · dx/dt = t), dx/dt = 1.
Поэтому вдоль прямой аг = < + а, где а - вещественный
параметр, du(t -f a,t)fdt = 0. Другими словами, w(* -h α,ί) = «(α,Ο) Vt.
Таким образом, функция f(x) = lim и(х,£) необходимо1 должна
быть непрерывной; при этом u(x,t) = /(χ — 2)2). Если / -
дифференцируема, то ώ(χ,ΐ) = f(x — у) - решение задачи (11.1)—(11.2).
Но эта задача не имеет решения (дифференцируемого или даже
непрерывного), если / разрывна, например, если f(x) = θ(χ)> .где
θ : Ж Э х »—* θ(χ) ЕЖ- функция Хевисайда, т.е.
в(х) = 1 при χ ^ 0 и 0(х) = 0 при χ < 0. (11.3)
{ 2)Из этой формулы следует, что график функции χ ι—► u(x,t) при каждом
фиксированном £ можно получить перенесением (сдвигом) графика функции
/ вправо вдоль оси χ на расстояние t. По этой причине уравнение (ИЛ)
называют иногда уравнением переноса.
Однако рассмотрение задачи (11.1)—(11.2) с начальной
функцией (11.3) оправдано хотя бы потому, что эта задача возникает (как
минимум, на формальном уровне) при изучении распространения
плоских звуковых* волн в некой среде. Соответствующий
процесс описывается так называемой системой дифференциальных
уравнений акустики
ut + -рх = 0, pt + ρ · с2их = 0, ρ > 0, с> 0. (11.4)
Ρ
Здесь ρ - плотность, с - характеристика сжимаемой среды, а
и = u(x,t) и ρ = p(x,t) - соответственно скорость и давление в
42

момент времени t в точке х. Положив
а = и + р/(р-с), β-и-рЦрс),
получим эквивалентную систему at -f cax = О, β% — сД. = 0 двух
уравнений переноса. Тем самым, задача (11Л)—(11.2) с начальной
функцией (11.3) возникает при рассмотрении распространения
звуковых волн, скажем, при начальной скорости u(zft) = θ(χ) и
нулевом начальном давлении.
11 Л.Р. Показать, что любое решение класса С1 системы (11,4) пред-
ставимо в виде
u(x,t) ζζ[φ(χ - ct) + ф(х + ct)]/2,
p(x,t) =[φ{χ - ct) - ф(х + ci)]/2, где φ € С1, tf 6 С1. (11.5)
11.2.P. Показать, что справедлива
11.3. Теорема, V/ € С1 (Ж) VF € С(ЙЗ-) задача Коши
щ + их = F(x,<) в R*., ιι|#=0 = /(*), хеШ
имеет, причем единственное, решение и 6 С^Ж^.),
Хотя, как уже было сказано, при f(x) = #(#) задача (11.1)-
(11.2) не имеет регулярного решения (т.е. решения в обычном
понимании этого слова), тем не менее, рассуждения, приведшие
к формуле u{x,t) = f(x — t)> да и сама эта формула наводят на
мысль называть решением задачи (11.1)—(11.2) функцию /(ж — <),
какова бы ни была функция / 6 РС(Ж) (и даже / € £/0С(Ж)), тем
более, ^то справедлива
11.4. Лемма. Пусть / £ Ц0С(Ж) и пусть {/п} -
последовательность функций fn G С1 (Ж), таких, что3)
/п -+ / в L}0C($L) при η ~> оо.
Тогда функция и : Ж+ Э (ж,*) ι—* u(x,t) = /(ж — t) принадлежит
lL№> причем и = lim «я в l!0C(K^), где «(*,*) = f{x-tf\
n-+oo
3)Такая последовательность, согласно нижеследующей лемме 11.5,
существует.
^'Заметим, что un(xtt) - решение задачи (11.1)—(11.2), если ип =
/п(*)·
> Поскольку / = f1 + if2, a /* = /J - /*, где /£ = max(±/*,0),
достаточно рассмотреть случай, когда / ^ 0. Сделаем замену
переменных {Xyt) н—+ (|М)> г^е 2/ — #~*· Заметим, что u(x,t) = /(у) и
Ь / d \ Ь / d-a \
I ! fu(x,t)dz \dt^ I i ί f(y)dy \dt< ос
для любых α, 6, с, of, таких, что 0 < α < 6, с < d. Отсюда, в силу
леммы 8.26, и € Ь}0С(Ж\). Далее, для тех же самых а, 6, с, d
Ь / d \ d-a
f lJMx,t)-u(x,t)\dx\dt*i(b-a) J \fn(y)-f(y)\dy-*Q
a \c / c~b
43

при η —► оо. <
11.5. Лемма. V/ Ε Ь}се(Ж) существует последовательность
функций /п € С°°(Ж), сходящаяся к / в Ь}ое(Ж).
> Пусть {φμ}^ - разбиение единицы в Ж (см. § 3), φμ € Со°(Ж)
и φμ - φμ = VV Имеем: φμ · f Ε L1(M). По теореме 9.5 существует
последовательность {/£}£Lx функций f£ € С°°(Ж), таких, что
для любого фиксированного μ : lim \\φμί — /£||ι = 0. Положим
η—*οο
/η(*) = Σ Ψμ(ζ)ί£(χ), * € Ж. Имеем: /„ € С°°(Ж). Заметим,
μ=1
оо М
что Vc > 0 ЗМ € Ν, такое, что £ ψμ{χ) = Σ Ψμ(χ) ПРИ W < с·
/ι=1 μ=1
Следовательно,
J\f(x)-fn(x)\dz = J
— С
С
/
Μ
/w-E^)/iw
μ=1
dx:
Μ
EMw-/i)
Μ
м c
Отсюда
lim /|/-/»|<te<£; lim [ \ψμ/- f£\dz = 0,
I—fOO / *—' П-+00 /
0=
т.к. lim H^./-/«Hi =0. <
n~+oo
Определение решения задачи (11.1)—(11.2), где / Ε 1^, с πο~
мощью формулы u(z,t) = f(z — t) весьма заманчиво, однако оно
имеет ι большой дефект: с помощью конкретной формулы
можно определить решение лишь узкого класса задач. Лемма 11.4
подсказывает лишенное этого дефекта аппроксимативное
11.6. Определение. Пусть / € L}oc(R). Скажем, что и Ε
L}0c№%) является обобщенным решением задачи (11.1)—(11.2), если
существует последовательность решений ип Ε С1(Ж^) уравнения
(11.1), такая, что при η —► оо
ип-> и в L}oe(Rl) и ип\^0->/вЬ}ос(Ж).
Аппроксимативный подход к определению обобщенного
решения может быть применен к широкому классу задач. Так выше
было построено (но не названо), например, обобщенное решение
уравнения АЕ(х) = δ(ζ) (см. (7.9)), а также обобщенное решение
задачи ΔΡ = 0 в Ж+, Р(ж,0) = δ(χ) (см. замечание 5.4).
Однако и аппроксимативное определение, несмотря на технические
удобства, имеет существенный недостаток: оно не выявляет тот
реальный математический объект, то "обобщенное"
дифференциальное уравнение, непосредственным решением которого является
44

определяемое "обобщенное решение".
Поиск подходящего определения обобщенного решения
дифференциальных уравнений (и соответствующих "обобщенных"
дифференциальных уравнений) разумно вести, анализируя
вывод уравнений математической физики (в рамках той или иной
концепции сплошной среды). Анализ, проведенный в §§ 1-2, лемма
10.2, а также формула Остроградского-Гаусса (7.2) подсказывают
подходящее (как это будет видно из предложения 11.8)
11.7. Определение. Пусть / € Ц0С(Щ. Функция и € L}oe(R\)
называется обобщенным решением задачи (11.1)—(11.2), если она
удовлетворяет следующему интегральному тождеству
Jfa + Y,Hx,t)dxdt + JrtztO)f(x)dx = 0 Vp€C2(«3.). (П.б)
ч ж
11.8. Предложение. При и € С1(Ж%) (11.6)<=*(11ЛН11.2).
> Пусть φ € Со(К+) и пусть Ω - ограниченная область в Ж+ с
границей Г = #Ω. Из формулы (7.2) следует, что
/ (Щ + ux)<pdzdt + I (<pt+ <px)udxdt = / {φ -
о ■ η an
Бели suppy? с Ω, причем
(см. рис.) (sapp φ f\0tt) С Ж* =
{(xyt) £ Ж2 11 = 0}, то формула
(11.7) может быть переписана
в виде
ii)[cos(i/, t) -h cos(i/, x)]dT.
(11.7)
/(««+ ux)<pdxdt + Hipt + <p,)tidxdi = - Hy>u)|t=0<fe. (11.8)
Η
4
Далее, в силу леммы 10.2,
(11.1) <=> [(ut + ux)<pdzdt = Q V^€C01(i+)
Η
(11.2) <=* J f{*M*,0)d* = f и\м-Ф№ V^€C0x(l^).
Отсюда и из (11.8) следует, что (11.6)<=>(11.1)-(11.2). <
Предложение 11.8 показывает, чт<> определение 11.7
согласуется с определением обычного (дифференцируемого, или, как
говорят, регулярного) решения задачи (11.1)—(11.2).
Нижеследующая теорема 11.2 оправдывает то новое, что содержится в
определении 11.7 и, кроме того, показывает, что интегральное
45

тождество (11.6) является тем самым "обобщенным"
дифференциальным уравнением, о котором выше шла речь.
11.9. Замечание. Доказательство предложения 11.8
восходит к предложенному Лагранжем выводу уравнения Эйлера-
Лагранжа и условий трансверсальности в вариационном
исчислении (см., например, [30], [34]).
11.10. Теорема. V/ € Ь}0С(Ж) задача (11.1)—(11-2) имеет,
причем единственное, обобщенное решение и 6 Ь}0С(Ж+).
> Докажем сначала существование. Так как функция
и : Ж\ Э (М) ·—» t*n(*,0 = f(x ~ *)
является регулярным решением уравнения (11.1) и удовлетворяет
начальному условию «n|t=0 =: fn(x), то, в силу предложения 11.1,
J(<Pt + Ψ*) · Undxdt + j fn(xM*,0)dx = 0 V^ G Cj (»!}.). (11.9)
С другой стороны, по лемме 11.4, последовательность {i*n}£Li
стремится в Ljoc(R\) к функции и £ Ь}0С(Ш\), такой, ч£о u(x.,t) =
f(x — t). Остается проверить, что эта функция и удовлетворяет
(11.6). Для этого заметим: 4φ G Cq(K+) 3αφ > 0 и 6^> 0, что
supp^C {(x,i)6l2 I \x\ ^a(pj0^t^b(p}.
Поэтому
/
(un(x,t) - w(x,t))(v?t + φχ)άχάί
[max \φ% + φ*\]- j\ j \fn(x~ t) - /(x - *)№* Λ ^
0 \-αφ J
Μ φ · 6^ / |/η (χ) - f(x)\dx —► 0 при η —► οο.
Отсюда, учитывая (11.9), получаем ^11.6). .
Докажем единственность. Пусть «ι и «2 - два обобщенных
решения задачи (11.1)—(11.2). Тогда их разность и = «ι -- щ
удовлетворяет соотношению /(у?< + <px)udxdt = 0 Vy? £ Cq(IR+).
1».
Покажем, что г*(я,*) = 0 п.в. В силу леммы 10.2, достаточно
показать, что уравнение
ψχ + ^χ = *(*,*), ОМ) € М| (11.10)
имеет решение φ £ Cq(M\) для любой # € Со°(Ж+). Но это следует
из Р.11.2. В самом деле, пусть Τ > 0 таково,-что #(#,*) Ξ 0, если
t ^ Т. Положим
46

I
<p(x,t) = J g(
χ-ί + r, r)dr.
Очевидно (см. рис.), что φ € СЦШ?^) и φ - решение (11.10). <
11.11.Р. Доказать, что обобщенное решение задачи (11.1)—(11.2)
непрерывно зависит в jL^c(R? ) от начальной функции / € L? (Ж).
11.12.Р. Показать, анализируя доказательство теоремы 11.10, что
определение 11.7 эквивалентно определению 11.6.
11.13.Р. Проверить непосредственно, что функция u(x,t) = θ(χ — t)
является решением задачи (11.1)—(11.2) в смысле определения 11.10, если
/(*) = »(*)·
В нижеследующих упражнениях Q — {ОМ) € К2 | χ > 0, t > 0}.
11.14.Р. Рассмотрим задачу
т + их = о в <?, (ii.li)
uLo = /(*>' *>0' (11Л2>
"Lso = *<*>· <>0· (плз)
t£=/ a:
Эта задача называется смешанной, т.к. она включает одновременно
начальное условие (11.12) и граничное условие (11.13). Показать, что задача
(11.11)—(11.13) имеет, причем единственное, решение и € C*(Q) т. и т.т., к.
/ 6 СЧК+), /ι € СЧЛ+), а /(0) = Л(0), /'(0) = ~Ь'(°)·
11.15.Р. Показать, что следующая задача
щ - их = 0 в Q, (11.14)
uLo = /(x)' х>0 (11Л5)
и=/ а:
имеет, причем единственное, решение и € C*(0) т. и τ.τ.,κ. / € С*(®.+).
Сравнить с задачей (П.!1)-(11ЛЗ). Сравнить характеристики, т.е. семейства
прямых dx/dt =1и dx/dt = — 1 (представленных на рисунках), вдоль которых
решения уравнений (11.11) и (11.14) постоянны.
11Л6,Р. Рассмотрим смешанную задачу для системы уравнений
акустики
щ + (1/р)рх = 0, pt + /Λ* = 0, (x,t) 6 Q, (11.16)
uLo = /(*)' Ηι=ο=*<χ)· х>0> (11Л7)
(11Л8)
где /, д vl h - функции из С^Ж^).
lj Нарисовать линии уровня функций и ± (1/рс)р.
2) Показать, что задача (11.16)—(11.18) имеет, причем единственное,
решение и £ C*{Q), ρ € C^(Q) τ, и т.т., к.
h(Q) = g(0) и /'(О) + (l/pc2)h'(Q) = 0. (11.19)
Показать также, что это решение (и,р) представляется формулами (11.5), где
Ч>(У) = Ну) + (1/рс)д(у), Ф{у) = f(y) - (1/рс)д(у), если у > 0 (11.20)
и
V(y) = {2/pc)h(-yfc) + /(-у) - (1/рсМ-у), если у ^ 0. (11.21)
47

11.17. Замечание. Часто вместо системы (11.4) уравнений
акустики рассматривают уравнение 2-го порядка
&р/д1*-<*.&р/дх2 = 0,
которое очевидным образом следует из системы (11.4), если ρ ξ
С2, и Ε С2. Это уравнение называется уравнением струны^
поскольку график функции ρ можно интерпретировать как форму
малых колебаний струны. Уравнение струны - частный случай
волнового уравнения
pit - с2Ар = 0, ρ = р(М)> хеШп, t> 0. (11.22)
Здесь Δ - оператор Лапласа. При η = 2 волновое
уравнение описывает колебания мембраны, при η = 3 - колебания 3-х
мерной среды,
11.18. Замечание. Уравнение струны примечательно во
многих отношениях. Оно было первым уравнением с частными
производными, которое появилось в математических исследованиях
(В.Тейлор, 1713г.). Оно явилось источником плодотворной
дискуссии (см., например, [35], [36]), в которой вырабатывалось
понятие функции (д'Аламбер, Эйлер, Д.Бернулли, Фурье, Риман,...).
11.19. Замечание. Многие отличительные свойства тех
или иных дифференциальных операторов А(у,дУ19. ^дУт)} у € Ω
определяются свойствами соответствующих им
характеристических полиномов А(у,т/1,... ,i/m) от переменной η = (*7ι,...,Φη).
Так, уравнению струны utt - ихх = 0 (или общее, волновому
уравнению ии — Аи = 0) соответствует гиперболический*полином
г2 _ £2 £r2 _ j£p^ уравнению Лапласа Аи = 0 - эллиптический
полином |£|2 Ξ ]Г)£|, уравнению теплопроводности щ - Аи = 0
к
- параболический полином г — |£|2. В соответствии с типом
характеристического полинома дифференциальные уравнения с
частными производными классифицируются на гиперболические,
эллиптические, параболические, ... (Точные определения см.,
например, в [37]).
11.20. Пример. Рассмотрим задачу (11.16)—(11.18) с / =
g = О, Λ = 1. Это означает, что в начальный момент t =
О скорость и и давление ρ равны нулю, а на границе χ = О
поддерживается давление ρ = 1. Формулы (11.5), (11.20)—(11-21)
дают такой результат:
Ρ=ΐ| 2ί/,Μ ^>^*=* и = 0, ρ = 0, если ί < х/с1
и = 1/рс, ρ = 1, если < ^ ж/с /
(11.23)
u=q,p=o Функции и и ρ - разрывны,
что не удивительно, т.к.
условие (11.9) нарушено. Но с другой стороны, формулы (11.23)
хорошо соответствуют физическим процессам. Это влечет
48

11.21.Р. Лайте подходящие определения обобщенных решений для
следующих задач:
1) «*+«* = F(x,t) в Q = {(x,t) € IR2 | χ > О,t > О};
ttlt=o = Λ*>· * > 0; Ч*=о = ад' * > 0;
2) ut + (ΐ/ρ)ρχ = Ffot), pt + Ρ · с2** = G(:r,t) в Q;
ttli=0 = Λ*>· Ht=0 = *(a?)' * > °; UL=:0 = hM> f > °-
3) Ptt - c2pxx - F(x,t) в полуполосе Ω = {(ic,t) € Ж+ |0 < a? < 1};
pLo= '(*>»wlt=o=*w»°<x<v> H*=o = *°w·pL=i=Λιw·*>°-
Уточнить требования к функциям /, #, λ, F, G, при которых решения этих
задач принадлежат, скажем, пространству С1, PC1 или £*ое· Доказать
теоремы существования, единственности и непрерывной зависимости (ср.
с Ρ .11.11).
Заключим этот параграф рассмотрением нелинейного
уравнения
tit + (ti2/2)* = euxx + 6.(*,t), и = «(*,*), (11.24)
где ε ^ 0, а 6 - заданная функция. Это уравнение, называемое
уравнением Бюргерса, является в гидродинамике модельным при
€ > О для системы Навье-Стокса, а при ε = О - для системы
Эйлера (см. [38]).
Рассмотрим
сначала уравнение (11.24)
при ε = 0 и Ь = 0.
В этом случае
регулярное (класса
С1)решение этого
уравнения удовлетворяет
системе: dx/dt = и,
du/dt = 0. Тем са-
мым, вдоль
характеристики, т.е. вдоль кривой, определяемой уравнением dx/dt =
h'OMJi решение u(x,t) постоянно, и, следовательно, указанная
только что кривая является, на самом деле, прямой χ = а + /(α)ί,
которая зависит от параметра α £ R и некоторой функции /.
Функция / определяется из соотношений: /(а) = dx/dt, dx/dt = ii(s,t),
т.е. /(ж) = ti(ar,0). Если / - убывающая функция, например,
f(x) = — th(ar), то характеристики пересекаются при ΐ > 0, причем
» точке пересечения
ti(«-0>i)>ti(flc + 0>t). (11.25)
Непрерывное решение "прекращает" свое существование. Таким
образом, задача Коши
Щ + (u2/2)s = 0 вЖ*:, «||я0 =/(*), х€Ж (11.26)
не имеет, вообще говоря, непрерывного решения даже для
аналитических начальных данных. В гидродинамике этот эффект
хорошо известен. Он связан с возникновением ударных волн*\
49
r=a+/(a)t
и=До)

характеризующихся скачкообразным изменением плотности,
скорости, ... Таким образом, физика подсказывает, что решение
задачи (11.26) целесообразно искать как обобщенное решение
класса PC1.
5)См. Дополнение.
Предположим, что и - обобщенное решение задачи (11.26),
причем и терпит разрыв вдоль кривой
7 = {0М)€Ж2|* = А(*), АбСЧ*,/?]};
точнее, пусть для (x}t) € 7 выполнено условие (11.25).
11.22.Р. Докажите (ср. с Р. 12.6), что вдоль этой линии 7, называемой
линией разрыва, выполнено условие Гюгонио
d\(t)/dt = [u(X(t) + 0, t) + u(A(<) - О, t)]/2. (11.27)
Можно показать (см., например, [38]), что соотношения (11.25),
(11.27) заменяют на линии разрыва у дифференциальное уравнение
tit + («2/2)* = 0.
Один из подходов к изучению задачи (11.26) основан на
рассмотрении задачи Коши для уравнения (11.24) при ε > 0 (и Ь = 0)
с последующим переходом к пределу при е —* 0 (см., например,
[38]). Дело в том, что (при 6 = 0) уравнение (11.24) может быть,
как это не удивительно, сведено к хорошо изученному уравнению
теплопроводности. Действительно, справедлива
11.23. Теорема. Решение уравнения (11.24) представимо в
виде и = — 2e(lnG)x, где G - решение линейного параболического
уравнения
Ъ = еО„-Щ&0. (11.28)
> Пусть и - решение. Положим
P(z,t) = «(*,*)> Q0M) = -ti2(*f 0/2 +ί«·(*.<)+ *(*.*)·
Имеем: Pt = uti Qx = —« · ux + euxx + 6*(£,t). Отсюда Pt = Q*.
Тем самьщ, определена функция
Ράε + Qdt.
(0,0)
Имеем: Ρ* = Ρ, Ft = Q. Поэтому Ρ, + (F*)2/2 - sP** = b- Введя
функцию G = exp[—Ρ/2ε], получаем, что G - решение уравнения
(11.28), а и = -2ε(1ηβ)„ т.к. ii = Fx. <
F(*,<)= У
50

ГЛАВА 2. ПРОСТРАНСТВА V\ Z># и V1.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
(ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ ПО Л. ШВАРЦУ)
§ 12. ПРОСТРАНСТВО Р* ПРОИЗВОДНЫХ
ПО СОБОЛЕВУ
Определение обобщенного решения и € L\oc для той или иной
задачи математической физики, данное Соболевым [1], и, s
частности, определение 11.7 основано на теореме 10.1 и формуле
(7.2) Остроградского-Таусса. Напомним, что теорема 10.1 утвер-.
ждает эквивалентность следующих двух представлений элемента
и е L}oc :
1) Ω Э х у—> и(х) и 2) C^{Q) 3<p*—>f u(x)<p(x)dx,
ω
а из формулы (7.2) следует, что для оператора
дифференцирования да = дМ/дх? ...дх%» и любой функции и € С|л,(П)
справедливо тождество:
f(d«u(x))<p(x)dx = (—l)l«l fu(x)dQ<p(x)dx 4φ £ Cg°(Q).
Таким образом, функционал
θα« : 6£°(Ω) Э^ь-, (£<Ч γ?) = (-l)w / u(x)da<p(x)dx 4φ € С0°°(П)
Ω
(12.1)
определяет функцию даи(х), если и € С,в,ф)· Так как функционал
(12.1) определен также и для и € £/0<.(Ω), то, следуя Соболеву,
можно дать
12.1. Определение. Пусть a = (αι,...,αη) - мультиин-
декс. Производной порядка α функций и € L}oc(Q) называется
функционал даи, определенный формулой (12.1).
Опираясь на теорему 10.1, формулу (7.2) и тождество
f a(x)(dau(x))<p(x)dx =(-l)|a| ί и(х)да(а(х)<р(х))<1х,
Ω Ω
tie (74(0), ν>€<70°°(Ω),
верное для любой функции а € <7°°(Ω), введем следующей
формулой:
адаи : Cg°(0) Э ¥> ►—* (-1)Н / ιι(χ)0α(α(*Μ*))<ί* € С (12.2)
Ω
51

операцию умножения функционала даи, где и € /^(Ω), на α £
12.2. Определение. Пространством производных по Соболеву
будем называть пространство функционалов вида Σ даиа, где α
Н<оо
- мультииндекс, а и € /^.(Ω), снабженное операцией умножения по
формуле (12.2). Это пространство будем обозначать через ^(Ω).
12.3. Пример. Найдем производные функции х+ € Ь}0С(Щ,
которая определяется так: х+ = χ при χ > 0, х+ = 0 при ж < 0.
Имеем:
{χ'+,φ) = -(*+>¥>') = - / *+¥>'(*)<** = - / V(*)*c =
ϊ £
оо
- *¥>(*)|Γ + / Φ№ = / θ(χ)φ(χ)άχ = (0, ρ),
ο ι
т.е. ж+ = 0 - функция Хевисайда. Найдем χ+, т.е. 0'. Имеем:
оо
(0» = -φ,φ') = -Jr'(x)dx = -^(г)|~ = у>(0) = (ilVp), (12.3)
О
т.е. 0' = 6(ж) - ί-функция Дирака. Найдем производную δ-функции
порядка к. Имеем:
(δ^,φ) = -(δ("-1\φ') = ... = (-1)*<6, *><*>) = (-l)Vfc)(fl). (12-4)
12.4.P. Пусть 0ε € С°°(Ж), 0 < 0ε(*) ^ 1, причем θε(χ) = 1 при
χ > г и 0f(x) = 0 при х < —е. Положим £е (х) = 0£(я). Показать, что
lim£_*o$4v>> = (-1)М*>(0) V* ^ 0, 4φ € Cg°(R).
12.5. Замечание. Формулы (12.4) позволяют продолжить
функционал б(*) с пространства функций Со°(Ж) на пространство
функций, fc раз непрерывно дифференцируемых в точке χ = 0 (ср.
определение 2.2). С другой стороны, формула (12.3) не определена
на пространстве С(Е), т.к. на С(Ш) не определен функционал 0.
Определим функцию 0± : Жп Э ж ι-* 0±(s) следующей формулой:
М*) = W*)> * € 1, <?± = {ж = («ι,..., хп) € Жп | ±хк > О V*}.
(12.5)
Если η = 1, то 0+ = 0 - функция Хевисайда, а 0- = 1 — 0+ (в L}oe).
12.6.Р. (ср. с Р.11.22). Пусть F € СХ(Ж), λ € Сг(Щ, и± € С1^2). Пусть
для (χ,ί) € Ω С Ж2 u(x,t) = u+(x,t)e+(x-\(t))+u-(x,t)e„(x-\(t)). Найти «t и
(F(u))s, заметив, что F(u(x,t)) = F(u+(*,*))*+(х-λ(ί)) + F(ii_ (*,*))*-(*~Λ(*))·
Показать, что «< -f (F(u))x = 0 почти всюду в Ω т. и т.т., к., во-первых,
щ + (F(u))x Ξ 0 в Ω\7» где 7 = {(*»*) € Ж2 | χ = λ(ί)}, а во-вторых, на линии 7
л riA(t) F(«(g+0,t)-F(tiQc-0,t)
выполнено условие Гюгончо: -^ = ^fc+olO-ufr-O.t) '
12.7.Р. Проверить (см. (12.5)), что $g f*ag>0+ = *(*)» * € Жп.
12.8.Р. Показать, что функция F(x,i) = 6(t — \х\/2) является
фундаментальным решением оператора струны, т.е. (d2/di2 — d2/dx2)E(x,t) = 5(χ,ί).
52

Здесь 6{x,t) - ^функция bIxR, т.е. (6(χ,ί),φ) ж ^(0,0) V^ €^(Κχ R),
12.9.P. Заметив, что для φ 6 ^§°(Κ) lim
, показать, что ^1η|χ| = ν.ρ,£, τ .β.
/ ln|ar|V(ar)^
lim
*-0
(^InkU) = v.p. / Zbp-dx V* € C~(E), где v.p. / χ^φ(χ)άχ - так
называемое главное значение = valeur principal (φρ.) интеграла J* χ~^φ(χ)άχ.
/
-00
которое определяется по формуле:
00
v.p. / х~г<р(х)ах= lim / χ~ιφ(χ)άχ. (12.6)
J —* J
-oo jr|>r
12.10.P. Учитывая, что ln(ar ^ te) = [ln|r ^ ie| + iar%(x ψ «e)] -► (m |x| ±
ϊπθ(χ)] при е —► +0, доказать простейший вариант (очень употребительных в
математической физике (см., например, [39])) формул Со ходкого
—!—«v.p.i± ·**(*), (12.7)
je^tO r
т.е. доказать, что lim / ^§^Г * ν'Ρ· / ^^ ± ·**(<>) V* € С§°(Е).
е~*+0-оо -ею
12.11. Замечание, Из формул (12.7) следует, что
6(х) = f(x - JO) - f(x + iO), где f(x + iy) = JL(* + ty)-1, (12,8)
т.е. j-функция, являясь элементом Z>*(JR), допускает представление
в виде разности граничных значений на вещественной оси двух
функций, аналитических соответственно β С+ и β С*, где С± в
{ζ = χ -f iy е С | ±у > 0}. Это простое наблюдение имеет глубокие
обобщения в теории гиперфункций (см., например, [40])»
12.12. Замечание. Любая непрерывная функция F % С(!)
имеет, как элемент пространства £/ос, производную по Соболеву
F9 е D*(lR). Если эта производная п^пя&$сп локально интегри-
руемой функцией, иначе говоря, если F(x) = f f(y)4y + F(a), где
a
/ € Ь}0С(Ж), то, как следует из теоремы 8.27,
F'(x) = lim a~x(F(x + σ) - F(*)) для почти всех ι£ΐ. (12.0)
При этом формула (12.9) полностью определяет производную по
Соболеву F9. Подчеркнем, что последнее утверждение ?еряе?
силу (даже в предположении, что формула (Χ2-Θ) справедлив),
если F9 £ L}0C(M). Так, например, καητηοροββ амщцццщ (щ> $ί,
стр. 321] или [30, стр. 286]), соответствующая KWTopp^y ццдщрфцу
меры нуль (см. указание к Р.8.23), т.е. непрерь^иад МРИРТРНЙЭД
53

функция К € С[0,1], принимающая значение (2к — 1) · 2~п пг, к-м
(к = 1,...,2П~Х)·интервале /η =]<**,б£[ η-го ранга (см. указание к
Р.8.23), имеет для почти всех χ € [0,1] нулевую производную, но
ее производная по Соболеву К' отлична от нуля. А именно,
ЛГ' = ЕЕ(2*-1)-2_п(5(а:-ь»)-^-^))· (121°)
п=1 *=1
12.13.Р. Доказать формулу (12.10).
§ 13. ПРОСТРАНСТВО 2># ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Элементы пространства Т>* были определены как конечные
линейные комбинации функционалов даиа (12.1), т.е. производных
функций uQ € Ljoe. Если отвлечься от конкретного вида
функционалов, т.е. рассмотреть произвольный линейный функционал
f:C?(Q)3<p>-+ </,*>)€ С, (13.1)
то получим элемент пространства 2>#(Ω), который будем называть
обобщенной функцией (в области Ω). Ладим точное
13.1. Определение. V#{Q) - это пространство всех линейных
функционалов (13.1), в котором введены операции
дифференцирования да и умножения на функцию а € С°°(П) по следующим
формулам:
(*7,1Р> = (-1)W</,*V>, <«/,«>> = (/,«¥>) 4<P € Cg°(Q)! (13.2)
13.2. Пример. / = £ £<*>(* - Jb), χ € Ж, т.е. (f,<p) =
£(-l)VA)(*) \/<p e CS°(R). Очевидно, что / € 2>#(Е), но
fcssO
/ g 2>k(R). Таким образом, Ί>\(1) ς 2>#(Ω). Впрочем,
справедлива
13.3. Лемма. (П. дю Буа Реймон). Если / € Х>#(Ж) и /' = О,
то / = const. (Тем самым, / € I>*(R));
оИмеем: (У,φ) = (/,ν*') = 0 Vy> € С£°(1). Возьмем функцию
¥>о € CJ°(R), такую, что J<po = 1. Любую функцию φ € С§°(Ж)
можно представить в виде φ = φι -f (JV) y>o> где Vi = Ρ ~ (JV) Vo·
a:
Заметим, что f <ρχ = 0. Положим ^(ar) = / y>i (£)<*£· Имеем ψ €
-00
Q°(IR) и ^ = Ψι* Поэтому (ί,φ) = </,^> + {/, (JV) р0)· Отсюда,
поскольку (/,^;) = 0) имеем (f,<p) — Сf φ, где С = (/,¥>о)· <
Обобщая понятие δ-образной последовательности, введем
13.4. Определение. Будем говорить, что последовательность
функционалов /„ € V* слабо сходится к / € Ί)# на пространстве
Φ Э С§°, если /ν —► / в 2># на пространстве Ф,*т.е. lim„-.oo(fu, φ) =
54

limu-+oo(fir,<p) = (f,<p) V<P £ Ф. Если Ф = Cg0, то уточнение "на
пространстве С™" обычно опускается.
13.5. Определение. Говорят, что подпространство X
пространства V* полно относительно слабой сходимости, если для
любой последовательности {fu}%\ функционалов /„ € X,
удовлетворяющей условию:
(Л - /л»ψ) —► 0 Vv? € Со0 при ι/, μ —► оо,
существует такое / € X, что /„ —► / в 2>#.
13.6.Р. Показать, что не полно относительно слабой сходимости.
13.7.Р. Показать, что V& полно относительно слабой сходимости.
13.8. Лемма. Если /„ —► / в Ί># на пространстве Φ Э Q0, то
даи —► 5а/ в 2># на пространстве Φ для любого а.
►<*7*,p> = (-ΐ),β,<Λ,0<ν> — (-i)|ai(/,d» = (aa/,^>. <
13.9. Пример. Пусть /„ = «u», т.е. (/„ρ) = / ^φ)άχ.
Тогда fl = сев их, f" = -ι/ · sin их,... Имеем: (/„, у>) —► 0 Vp € Q°
при ν —► оо. Таким образом, cosi/x —► 0 в 2>*, i/sinι/* —> 0 в
13.10. Лемма. Пусть α = (αι,..'.,α„) € Ω С Ж". Пусть
последовательность {/*}£!ι функций /„ € L}oe(tt) и точка 6 =
(*ι,···,Μ1) € П, где
Π = {* = (*1)...)*η)€ΐη||**-α*|<σ*, σ» > 0 V*} С Ω,
XI Хп
таковы, что для F„(x) = /· · · / fv{y)dyi.. .dyn верны два свойства:
.1) |F„(*)| < G(*), χ € Ω, где G € ^00(Ω),
2) Fv{x) —► 0+(s — α) п.в. в Ω, где' 0+ определена в (12.5).
Тогда /„ слабо сходится к 6(х — а) на пространстве
Φ = {φ е C(Q) Ι φ € Ll(Q), дп(р/дхх... дхп € ^(Ω)}· (13.3)
качестве Ь = (6χ,...,6η) можно взять любую точку из П, такую,
что bk < ад Vfc.
> Используя теоремы 8.20, 8.24 и 8.27, получим, что для
любой φ € Φ
Ω αϊ αΛ
-<-ν/·7τ3^*-·*-4·>·'
13.11.Р. Опираясь на лемму 13.10, решить задачи Р.4.3 и Р.4.4.
Обобщим теперь понятие носителя функции (см. § 3), придав, в
частности, точный смысл обычному для физиков высказыванию:
"6(х) = 0 при χ ф О".
55

13.12. Определение. Пусть / € Ι>*(Ω), а ω - открытое
множество в Ω. Говорят, что / есть нуль (обращается в нуль)
на ω (при этом пишут /\ω = 0 или f(x) = 0 при χ € Ω), если
(Ш = 0V^€ СГ(ш).
13.13. Определение. Аннуляционннм множеством
функционала f € V*({1) называется максимальное открытое множество
Ωο = Ωο(/) С Ω, на котором / является нулем, т.е, /|Ω = О,
причем условие /| = О влечет ω С Ω0.
Ясно, Ωο(/) есть объединение таких ω С Ω, для которых
/L = °-
13.14. Определение. Пусть / € ί>#(Ω). Носителем
функционала /, который обозначается supp/, называется дополнение к
аннуляционному множеству Ωο(/), т.е. множество Ω\Ωο(/).
13.15.Р. Пусть / € Х^(О). Проверить, что χ € eupp/ т. и т.т., к. для
любой окрестности ш С О точки яг существует такая функция φ € Cq°(u/),
что {J, φ) Φ 0. Проверить также, что определение 13.14 эквивалентно
определению 3.1.4, если / € C(Q).
13.16.Р. Найти горр$(а)(аг) и ·αρρ[(*ι + ·-· +*η)^(»)1.
13.17.Р. Пусть / € Ζ>*(Π), α € С00, причем а(х) = 1 для χ € supp/.
Верно ли, что а · / = / ?
13.16.Р. Пусть и/ - открытое множество в Ω, такое, что ω Э supp/,
/ € Ρ^(Ω). Показать, что а/ = /, если а(х) = 1 для а: € «*/.
13Л9.Р. Пусть / € V#(Q) - обобщенная функция с компактным
носителем. Показать,что формула (F, φ) ш (/,ψφ) Vy> € С°°(0), V € С°°* где ψ Ξ 1
на supp/ определяет проделасем«е функционала f на пространство С°°(0),
т.е. F - линеймый функционал на С°°(П), причем (F,<p) = (/,<?) V<<p € С?£°(Я).
§ 14. ПРОБЛЕМА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
Идея представимости функции / : Ω —► С с помощью "осред-
няющего" ее функционала (10.1) касалась лишь локально
интегрируемых функций. Однако во многих вопросах анализа большую
роль играют также функции, не являющиеся локально
интегрируемыми. В этом причина постановки так называемой проблемы
регуляризации: пусть д : Ω Э χ и*· д(х) - функция, локально
интегрируемая всюду в Ω за исключением подмножества N С Ω.
Требуется найти функционалы / € V*, такие, что
<f,V) = Jti*M*)d* 4<peC?(V\N). (14.1)
Ω
При этом говорят, что функционал / регуляризует
(расходящийся) интеграл f g(x)dx.
η
Ясно, что функционалы /, удовлетворяющие (14.1), можно
представить в виде
/ = /o + /i, /o€F0,
56

где /ι - частное решение проблемы регуляризации (т.е. /ι
удовлетворяет (14.1)), a Fo - линейное подпространство функционалов
/о € 2>^(Ω), таких, что
<Л,Р)=0 V<p€C?(tt\N). (14.2)
Вопрос об описании подпространства Fo связан лишь с
множеством N D supp/o. В случае, когда N = хо € Ω, этот вопрос, т.е.
вопрос об общем виде функционалов с точечным носителем,
рассматривается в § 15. Что касается частного решения проблемы
регуляризации, то ограничимся рассмотрением регуляризации
1/Р, где Ρ - полином от переменной χ £ Ж.
14.1. Пример. Рассмотрим регуляризацию функции 1/х.
Другими словами, найдем функционал / 6 Х>^(Ж), который
удовлетворяет условию: χ · / = 1. Заметим (см. (12.6)), что
оо
(ν.ρΛ,^ = J ±<p(x)dx 4φ € C5°(K\0).
-ОО
Таким образом, функционал ν.ρ.(1/χ) регуляризует функцию 1/х.
Так как (6,φ) = 0 ty> € Cg°(R\0), то ν.ρ.(1/χ) + С · ί(χ), где С € С, а
потому (см. (12.7)) и функционалы 1/(х ± iO) тоже регуляризуют
функцию 1/х.
14.2.Р. Проверить, что
00
(г.р.1,у)= У »(*>-/(-*»*, v<,€c0~(H).
— 00
14.3.Р. Пусть m^l, а аб С°°(Ж). Определим для к ^ 2 функционал
v.p.(l/x*) € 2>#(Ж) формулами:
оо
(ν·ρ·^**)=/ i {φ{χ)+V(_I) -2 [ν(0)+· ·'+(f^Tv(i~2)(0)J}dx
о
ори А; = 2т и
оо
(ν·Ρ·^·*) " / £ {*(*>+ <*<-*> - 2 pi°>+ ···+ (f^!v(fc"2)(0)]} dx
о
при fc = 2т + 1.
Показать, что функционал v.p.(l/ar*) регуляризует функцию (1/х*).
14.4.Р. (Ср. с Р.16.25). Найти решение / 6 Р#(Ж) уравнения P{x)f = 1.
оо
Иначе говоря, регуляризовать интеграл Г Ρ"1(χ)φ(χ)άχ, где Ρ - полином.
§ 15. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ С ТОЧЕЧНЫМ
НОСИТЕЛЕМ. ТЕОРЕМА БОРЕЛЯ
Как было показано в § 14, проблема регуляризации функции,
локально интегрируемой всюду в ί) С ln, кроме точки ζ G Ω,
57

приводит к вопросу об общем виде функционала / € Ζ>#(Ω),
сосредоточенного в точке £, т.е. удовлетворяющего условию:
supp/ = ξ. Ясно (см. Р.13.16), что конечная сумма ί-функции и ее
производных, сосредоточенных в точке ξ, т.е. сумма
]Г свб(*>(* - О, са € С, N £ N (15.1)
является примером такого функционала.
Но является ли сумма (15.1) общим видом функционала / € 2>#,
носитель которого сосредоточен в точке ξ? Можно показать, что
ответ на этот вопрос отрицателен, однако справедлива
15.1. Теорема. Если / € Х># и / = £><*ί(α)(* - 0> то с<* = О
α
при |а| > Nj для некоторого Nj.
> Согласно нижеследующей теореме Бореля, существует
функция φ € С§°(й), такая, что для любого α
*M*)L€ = (-1),в|/с«, если са # О
И
fl'VOOljp.* =: 0, если са = 0.
Для такой функции ψ имеем: (]Ссвб(в)(« —£),^ ) = Σ21« где
сумма берется по тем а, для которых са ф 0. <
15.2. Теорема. (Борель). Лля любого множества чисел
αα € С, запараметризованного мультииндексами а = (αϊ,..., αη), и
для любой точки ξ € Ω С W1 существует такая функция φ € (?ο°(Ω),
что #ар|- = аа Va.
> Без ограничения общности можно считать, что ξ = 0 € Ω.
Если коэффициенты аа не "сильно растут" при |а| —* оо, точнее,
если существуют Μ > 0 и ρ > 0, такие, что £ аа ^ Af р~к Vi € Ν,
то существование требуемой функции очевидно. Действительно,
поскольку в рассматриваемом случае ряд Σααζα/α\, где а! =
. а
αχ! · ... · ап!, сходится в шаре Б,, = {х £ Жп \ \х\ < р}, можно в
качестве искомой функции взять функцию.
ф) = ф(х/р) Σ «**°/«! € Cg°(B,) С C?(Q),
α
где
ψ € CJ°(ln), V = 0 при |*| > 19ф = 1 при |*| < 1/2.
Однако в общем случае ряд Υ^ααχα/α\ может расходиться в
а
Вр. В чем причина расходимости? Очевидно, в невозможности
обеспечить достаточно быстрое убывание ααχα/α! при |а| —* оо
для всех х, принадлежащих фиксированному шару Вр. Положение
58

можно пытаться исправить, рассмотрев ряд
Σ^(Φ«)·ΜβΜ (15.2)
or
где pa достаточно быстро сходятся к нулю при |а| —► оо. Если
окажетсяг что ряд (15.2) сходится к некоторой функции φ 6 С°°,
то тогда, как легко видеть, φ € <?ο°(Ω) и д"<р\ 0 = αα. В самом
деле, полагая по определению η = (7ι»···»7η) ^ β = (Α>···ιΑ»)>
если ук < /?* Vfc, и β - 7 = (ft - 7ι, · · · ι Αι - 7η), имеем:
Μ- = Σ>//*) (ς 7κ^ ί*-7*) Ι- (*v) L-) ■=
Остается показать, что ряд (15.2) сходится к φ € <7°°(Ω). Заметим,
что поскольку Σ = ]Г) + ]П , достаточно убедиться в том, что
β |α|<* |cr|>Jb
существуют такие числа ра < 1, для которых
Σ Σ Ψ(*/Ρ«)««*α№ € С*(Ω)' VJb.
Попробуем найти ра = pj, зависящие лишь от j = |α|. Если будет
установлено, что V/?, такого, что \β\ ^ Дг, справедливо неравенство
|^(^(χ/ρ,α,)αβχβ/α!| < Сар«, (15.3)
где Со, = Са(ф) < оо, то, взяв р, = Ί~' Ι Σ Св I , получим
Σ Σ \е"(Ф(х/рЫ)аах'№\ < Σ « Σ c° h L
J>k|a|=i i>* [ Ν=ί J
Таким образом, осталось доказать (15.3). При |е*| > к ^ \β\ имеем:
л!
1*β
Вернемся к вопросу об общем виде обобщенной функции / €
2?#(Ω) с носителем в точке ξ = О £ Ω. Заметим прежде всего
(см. Р. 13.19), что для любой функции a € CJ°(Q), такой, что
о=1 в некоторой окрестности точки ξ = 0, справедлива формула:
59

(f,<p) = (f,a<p) Vv? € C°°(Q). В частности, функционал / определен
на полиномах. Полагая са = (—1)'в'(/,«*/<*·)> получим
(/>*>> = Σ **(#аЫ+ (/>'*) VAT,
где
rw(x;
>-·&
О < елг < 1. (15.4)
Весьма заманчиво считать, что для подходящей
последовательности {ejy }§?-ι, О < ε# < 1, справедливо условие:
</,rjv)—+0 при ЛГ-^оо, (15.5)
поскольку тогда из теоремы 15.1 вытекает очевидное
15.3. Предложение. Если / € Ρ#(Ω), supp/ = 0 Ε Ω и верно
(15.5), то 3Ν € Ν, такое, что / = £ с«£(а).
|а|<ЛГ
Однако условие (15.5), вообще говоря, не выполняется, если
/ € 2>#. Соответствующий пример можно построить с
использованием так называемого базиса Гамеля (см., например, [31,
стр. 166]).
§ 16. ПРОСТРАНСТВО V1 РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
(ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ ПО Л.ШВАРЦУ)
Представляется естественным желание иметь теорию
обобщенных функций, в которой выполнено условие (15.5) и,
следовательно, справедливо предложение 15.3. Это скромное желание
(приводящее, как будет видно из дальнейшего, к теории
распределений Л. Шварца) наталкивает на следующее:
1) ввести в пространстве 0§°(Ω) сходимость, причем такую,
чтобы в смысле этой сходимости
Jim г* = 0€С*о°°(П), (16.1)
где rpr определено в (15.4) для некоторого подходящего ε^ €]0,1[;
2) рассматривать в дальнейшем только те функционалы / €
2>#(Ω), которые непрерывны относительно введенной сходимости.
Ясно, что можно ввести разные сходимости, согласно
которым γν —► 0 при N —► оо. Но какую выбрать? Рассматривая
этот вопрос необходимо иметь в виду, что выбор той или иной
сходимости определяет и подпространство тех линейных
функционалов на Cq0, которые будут непрерывны относительно этой
сходимости. Поэтому представляется целесообразным дополнить
указанные выше пункты 1) и 2) требованием:
3) подпространство функционалов, непрерывных относительно
вводимой сходимости, должно включать в себя пространство 2>*
60

производных по Соболеву (поскольку это пространство, как уже
было показано в предыдущих параграфах, играет очень важную
роль в задачах математической физики).
Согласно нижеследующей теореме 16.1, требование 3)
однозначно определяет сходимость в пространстве Cq°; при этом (см.
предложение 16.10) оказывается выполненым и условие (16.1).
16.1. Теорема. Пусть {<pj} - последовательность функций
Ψ) € Со°(П). Тогда эквивалентны следующие два условия:
1°. (/,«)-0 при j->oo V/€D>;
2°. а) существует такой компакт К С Ω, что supp^j С К Vj;
b) тах\дащ(х)\ —► 0 при j —► оо Va.
> Импликация 2° => 1° очевидна. Обратное утверждение
вытекает из нижеследующих лемм 16.2-16.5.
16.2. Лемма. Va 3Ca, такое, что max|^a^(ar)| ^ Ca Vj.
> Рассмотрим для каждого α последовательность
функционалов
φ^ : ЬЩ Э f *-+J Ях)0*<рЛх)ах, j < 1,
η
определенных на пространстве Ζ,α(Ω). Функционалы φγ* очевидно
линейны и непрерывны, т.е. (по теореме Ф.Рисса 9.14) <pj G L°°.
Согласно условию 1°, {<Pj\f) —► 0 при j —► со V/ Ε L1. Поэтому, в
силу теоремы Банаха-Штейнгауза1), существует такая константа
Са, что ||^e)||TO ** Ca Vj. <
^Теорема Банаха-ШтеЙнгауза (1927г.) утверждает следующее (см.,
например, [30] или [31]). Пусть X - банахово пространство, а {<Pj} -
семейство линейных непрерывных функционалов на X. Бели для
любого χ € X существует такое Сх < оо, что K<Pj,tf)| ^ Cj Vj, то
существует константа С < оо, такал, что |((^·,χ)| ^ С при \\х\\ ^ 1 для Vj.
> Предположим противное и заметим, что если последовательность
функционалов <j>j не ограничена при ||а?|| ^ 1, то она не ограничена и в шаре
Вг(а) = {х € X | ||аг - а\\ ^ г}. Возьмем точку χχ € #ι(0), функционал φ^
и такое число г χ < 1, что |{v>jbj»ic)| > 1 для χ € ВГ1(х\) С В\(0). Затем
возьмем точку Х2 € Вп(х\), функционал φ^2 и число τη, < rj, такие, что
|(v>fc2,#)| > 2 для χ 6 ВГ2(х) С ΒΤι(χχ). Продолжив это построение, получим
последовательность замкнутых шаров ВГк(хь), вложенных в друг друга,
радиусы которых стремятся к нулю. При этом, |(v?j. ,я:о)1 > 3 Аля х0 € fl-^r*
(пересечение f]Brft непусто в силу полноты X). <
16.3. Лемма. Va Vxo € Ω #°Vj(so) —► 0 при j —► оо.
> д«<ра(х0) = (6<а\х - «ο),(-1)|β|«(*)> - 0, т.к. «<«)(* - хо) €
Ρ>(Ω). <
16.4. Лемма. Существует такой компакт К С Ω, что
61

ψ Предположим противное. Положим Kj = (J supp^. Можно
*<;
считать, что пересечение (supp^;)p|(fi\jK') не пусто, т.е. 3xj £
Q\/Q, такое, что <Pj(xj) Φ 0. Для каждого j выберем такое
Xj > 0, что
^^>I V«€V5 = {|«-*i|<Ai}cMi=:«ippW\A';. (16.2)
Заметив, что V5p|14 пусто при j ^ Jb, рассмотрим функцию
/ € Ь/ос(0), равную нулю вне [) Vj, и такую, что
/(χ) = а;|^(*;)Г1ехРНад8МхМ для а; € Vh j ^ 1, (16.3)
где aj > 0 - константы, которые мы сейчас подберем так, чтобы
получить доказывающее2) лемму неравенство
/
ftpjdx
>3-
(16.4)
Заметим, что supp/v?;* С (Vj\jKj), т.к. supp^ С (Mj(JjFi;).
Поэтому последний интеграл в равенстве
/ ftpjdx = / <pjdx+ / /v?;rfx
(eupp/v?j)\V,
оценивается через
< max|v?;| / \f\dx < Ah где A,· =
Ω к*
If f<Pjdx
К
С X) \ak\ · /i(Vfc). Возьмем α;· = 2(Α>· -f i). Тогда получим (16.4),
*<i
поскольку, в силу (16.2)—(16.3), / f<pjdx ^ α;·/2. <
^Неравенство (16.4) противоречит исходному условию 1°.
16.5. Лемма. Va to > 0 Vso € Ω ЗА 3ι/ ^ 1, такие, что
|у>^ (х)| < ε при (ж - х0| < λ и j ^ ι/.
t> Предположим противное. Тогда За 3εο > 0 3xq € Ω, такие,что
для любого j 3xj € {х € Ω | \х — ж0| < l/i}} такое, что выполнено
неравенство |^j («;)1 ^ ео· Но с другой стороны
i^Wi ^ \via)(*i) - йв)(*о)1+Иа)Ы1—о,
т.к.
И°°(*;) -.^а)Ы1 < с\х§ - *oi - о, а 0>(.о) - о
по леммам 16.2 и 16.3. <м
Ιβ·6· Замечание. На самом деле, доказано чуть больше, чем
анонсировалось в теореме 16.1. А именно, условие 2° вытекает
из предложения: (/,^>) —* 0 при j —► оо для любой / G L}oc(tt) и
для любой производной по Соболеву / = дад> где д G Ll(Q).
62

Определим, введенные Л.Шварцем [3], пространства V и Т>\
16.7. Определение· Пространство 2?(Ω), называемое иногда
пространством основных (говорят также пробных, ср. § 1) функций,
есть пространство Со°(П), в котором введено следующее понятие
сходимости последовательности функций ψ^ € С™ (Ω) к функции
φ € С?(П):
a) существует такой компакт ΛΓ, что supply С К Vj;
b) V)? = (А, ...,/?„) νσ > 0 3 такое ΛΓ = Ν(β,σ) € Ν, что
|^^(r)~^y?(a?)|<<7 Vxe Ω при i £ ΛΓ.
При этом пишут: <pj —* у? в Ρ при j —* оо (или lim,--к» <Pj ~ φ в V).
16.8. Замечание. Ясно, что 2>(Ω) = f| ^(ΩΧ ГД* ?ΜΩ) -
пространство функций (^(Ω), снабженное сходимостью, которая
отличается от введенной в определении 16 J лишь тем,что муль-
тииндекс в условии Ь) удовлетворяет условию \β\ ^ 8. Можно
показать (см. Р. 16.23), что V*(U) = U ν*9{Ω) (т.е. / € Vb <=> 3s ^ 0,
такое, что / € 2>J), где 2>^(Ω) - пространство линейных
функционалов на 2>«(Ω), непрерывных относительно указанной сходимости
в Ϊ>,(Ω). Пространства 2>, и ί>£ были введены Соболевым [1].
16.9. Определение. Пространство Ρ'(Ω) обобщенных по
Л.Шварцу функций, называемое также пространством
распределений, - это пространство линейных непрерывных функционалов
на 2>(Ω), т.е. линейных функционалов на 2>(Ω), непрерывных
относительно введенной в Ί>(Ω) сходимости.
16.10. . Предложение. Существует последовательность
{£tf}??si> 0 < €n < 1> такая, что lim г# = 0 в 2>, где rN
определено в (15.4).
> По формуле Тейлора
rN{X) = a(f) £ ^x" f(l-tr-^"Htx)dt.
Отсюда и из формулы Лейбница получаем, что \д^г^(х)\ ^
CNe%~m ζ (1/2)*/2 при Ν Ζ No =.2|/?|, если εΝ < \C„VN. <
Из предложений 15.3 и 16.10 вытекает
16.11. Теорема. (Л.Шварц). Если / € Τ>\Ω), supp/ = 0 € Ω,
то существуют такое N € N и такие са € С, что / = £ са6^а\
16.12.Р. Пусть fk € 2>'(R), где к β О или к = 1, причем х- fk(x) =r fc.
Показать (ср. пример 14.1),что f0(x) = С*(*), /i(ar) = v.p.± +С*(*), где С € С.
Нижеследующая серия упражнений Р.16.13-Р.16.25 относится к вопросу
о структуре (общем виде) распределений. В конце параграфа приведены
указания.
16.13.Р. Проверить эквивалентность следующих утверждений:
а) / - распределение с компактным носителем, ?.е. / € V*(0), причем
supp/ - компакт в Ω;
63

Ъ) / € £'(Ω)* т*е* / ~ линейный непрерывный функционал на £(Ω), т.е.
пространстве (7°°(Ω), снабженном следующей сходимостью: lim φ: = φ в
£ <=» lim ay,· = oy в D Vo € Сп°(Я)·
i-»oo *
16.14.P. Доказать, что / € 2>'(Ω) т. и τ .т., к. / € 2>#(Ω) и для
любого компакта К С 0 существуют такие константы С = С(л,/) > 0 и
ЛГ = ЛГ(К,/) € Ν, что
К/.ν>| < C:PKfNM V* € <?§°(*,Ω) = {ф € С§°(0) | supp^ С *}> (16.5)
где
ρκ,νΜ= Σ *φΙ*Μ*)Ι· (ιβΛ)
|a|^JV
16.15.Ρ. (Ср. с Р.16.14). Пусть (J KN = Ω, где 1ΓΝ - компакты в Мп.
Показать, что / € S'(Q) (см. Р.16.13) т. и т.т., к. / € Ρ#(Ω) и существуют
такие константы С = С(/) > О и Ν = Ν(/) ^ 1, что |(/,у)| ^ С · Pjv(v)
V*> € Cg°(0), где
vn(v)= Σ sup ΙβΜ*)Ι· (16.7)
Ιβ.Ιβ.Ρ. (Продолжение). Пусть / € £'(П), supp/ С α/ С Ω С Кп, причем
ώ компакт в Ω. Используя (16.7) и замечая, что \ф(х)\ ^ / \ьх . & ^(g)| ***
Ω ч 1'"
V^ € <?ο°(Ω), показать, что существуют такие числа С > О и к ^ 1, что
Ω
cte VV6Cg°(a/). (16.8)
16.17.Р. (Продолжение). Проверив, что функция φ 6 Cq°(q/) одно-
опт'
значно восстанавливается по ее производной ф — ьх& А^тУ» показать,
что линейный функционал / : ф ·-+ (/,¥>), определенный на подпространстве
У = {^ 6 Co(w) | ^ = Лдг*^ АгтУ| V € <?§°)} пространства Lx(w), является
непрерывным.
16.18.Р. (Продолжение). Применяя теорему Хана-Банаха о
продолжении линейных непрерывных функционалов (см. [31, стр. 169]), показать, что
существует функция д € L°°(u/), что
апт
16.19.Р. (Продолжение). Показать, что справедливы
16.20. Теорема (об общем виде распределений с компактным
носителем). Пусть / € £;(Ω)· Тогда существует такая функция F 6 C(Q) и
число Μ ^ 0, такие, что / = daFf где α = (Μ,.,.,Λ/), т.е.
/·
{/, V) = (-Ι)'*' Ι Ρ(χ)θαφ(Χ)άχ VV € C§
16.21. Теорема (об общем виде распределений). Пусть / € Τ>'(Ω).
Тогда существует такая последовательность функций Fa € С (Ω), параметри-
00
зованных мультииндексами a € ^1, что / = ]Г}д°^. Точнее, FQ = Σ Fa,·,
a j=l
64

Faj € C(Q)% причем
1) suppFotj С Ω^» где {^j}j^i - локально конечное покрытие Ω;
2) Vj ^ 1 ЗМу ^ 1, что Ftti = 0 при \а\ > My
16.22.Р. (Питре [41]). Пусть Л : £(Ω) -* 5(Ω) линейный непрерывный
оператор, обладающий свойством локальности, т.е. supp(Au) С supp(tt) Vit €
£(Ω). Тогда Л - дифференциальный оператор, точнее: существует такое
семейство {α>α)α£Ζη функций aQ € C°°(Q)t что для и € E(Q) (i4ti)(a?) =
53 оа(^)^аи(д:), где т(х) ^ #(#) < со для любого компакта К С Ω.
|<*|<т(*)
16.23.Р. (См. замечание 16.8). Проверить, что 1^(0) = Ut>J(fl).
*
16.24. Замечание. Говорят, что функционал / € V1 имеет конечный
порядок сингулярности, если существует к ^ 1 и функции /а € £*ос» гДе
|а| ^ fc, что / = ]Р #α/α· То наименьшее fc, при котором возможно
Н=*
такое представление /, называется его порядком сингулярности. В этих
терминах пространство производных по Соболеву V является, согласно
данному выше определению 12.2, пространством всех тех распределений,
которые имеют конечный порядок сингулярности.
16.25.Р. Разрешить следующий парадокс. С одной стороны, разрывная
функция
Г Reexp(-1/H) при ζ φ О, ζ = χ + iy € С,
/(*»y)=s ι16·9)
I 0 при ζ = 0
(как вещественная часть аналитической в С\0 функции, имеющей нулевые
вторые производные по χ и по у в начале координат) является решением
уравнения Лапласа на плоскости. С другой стороны, (см. [5, вып. 2, § 3,
п. 6]): если / € V'(Q) и Δ/ Ξ 0 в Ω, то / € С°°(П).
16.26.Р. Показать, что 5 метризуемо, а V - нет.
16.27. Замечание. В V (соответственно в €) можно ввести структуру
так называемого (см. [31], [42]) линейного локально выпуклого
топологического пространства (Л.Л.В.Т.П.)3), причем такую, что сходимость в не^
будет совпадать с той, которая введена выше. Например, окрестность нуля
в V можно задать с помощью любого конечного набора всюду
положительных функций 7т € C(Q) (т = 0,1,... ,М;А/ 6 Z+) как множество Rcex тех
функций φ € ^ο°(Ω)> Для которых \9αφ\ < 7|α|ι если |α| ^ Μ. Топологию в
€ можно задать, введя расстояние по формуле, приведенной в указании к
Р.16.26. Тем самым, Ε является пространством Фреше, т.е. полным
метрическим Л.Л.В.Т.П. На пространства Фреше распространяется (см., например,
[42]) теорема Банаха-Штейнгауза: пространство линейных непрерывных
функционалов на пространстве Фреше (в частности, пространство £;)
полно относительно слабой сходимости. Хотя V не является пространством
Фреше (в силу Р.16.26), V1 также полно относительно слабой сходимости
(непосредственное доказательство см., например, в [5]).
3) Линейное пространство X называется линейным локально выпуклым
топологическим пространством, если оно - топологическое [31], операции
сложения и умножения на число непрерывны и, кроме того, любая
окрестность нуля в X содержит выпуклую окрестность нуля.
Указания к Р.16.13-Р.16.26:
16.13. Бели предположить, что Ь) не влечет а), то найдется
последовательность точек яг j^, таких что х^ —► 9Ω, ι/^Ов окрестности а?^.
16.14. Если / € V, но оценка (16.5) неверна, то ЗК = К С Ω VW ^ 1
3* € С£°(П), suppy С KNi причем \(/,φΝ)\ ^ Ν £ Μαρ\φ^\ Имеем:
Г 1*К* К
О
65

16.15. Так как (/,од = (/, ρφ), где ρ € С§°, ρ Ξ 1 на supp/, тол = supp p.
Предостережение: вообще говоря, К ф supp/. Действительно, следуя [3,
т. 1, стр. 94], рассмотрим функционал / <= £'(В&)» определенный формулой;
</,¥>) = lim
то—юо
( Σ ЧМ*)) -шу(0)-(1птУ(0)
Очевидно, что supp/
есть множество точек вида 1/ί/, ί/ ^ 1, вместе с их предельной точкой χ = 0.
Рассмотрим последовательность функций <?j € Cq°(1R), таких, что 4>j(x) = О
при а: ^ j^y, ¥>j(a?) = 1/VJ при 1/j ^ χ ^ 1. Взяв в (16.6) К = eupp/, имеем:
PK}n(<Pj) *~* ° ПРИ i ~* °° VN ^ 1, в то время как {/,</>) = j/\/7 -* оо.
16Л6. euP|a«v(r)| ^ ^(лг)вир|^.э«^(г)|.
К л
16.17. Применить (16.8).
16.18. По теореме Рисса (см. 9.14), (L1)' = L°°.
16.20. Доопределить д вне ц> нулем (см. Р.16.18) и взять F(r) =
(-i)mn / *(у)««у.
у<*
. 16.21. Пусть J^^J = 1 ~ разбиение единицы. Имеем:
16.22. Проверить, что функционал Aa ι £ Э и »-+ Ли _ принадлежит
£', причем supp Лα = α. Тем самым, Л« = У^ (αα(#)9αι0
|а|^ш(а)
Используя теорему Банаха-Штейнгауза (см. сноску 1 к § 16), доказать, что
sup m(o) < оо для любого К С К С Ω. Применив Л к (у — аг)а/а!, показать,
что α € С°°(0).
16.23. Применить теорему 16.21.
16.25. Функция (16.9) не принадлежит V1 (т.е. не допускает регуляризации
в V1) как и всякая функция / € C°°(]R\0), которая ни при каком m € N
и С > 0 не удовлетворяет оценке |/(х)| ^ С|х|~т при 0 < |а?| < е, где
1/е > 1. Последнее можно доказать, построив последовательность таких
чисел £j > 0, что для функции <Pj{x) = £j</>(js), гДе V € <?о(^)» *Л = ^ вне
области {1 < \х\ < 4}, f φ = 1, выполнены условия: J f(x)4>j (x)dx X- оо при
В*
j —► оо, но <pj —► 0 в Z> при j. —♦ со.
16.26. Расстояние в € можно задать формулой ρ(φ, ф) = ά(φ — ψ), где
оо
ά(φ) = ^2~^πύη(ρ^(ν>), 1), a pjy определено в (16.7). V - не метризуемо,
1
т.к. для последовательности од т(я) = </?(х/т)/Аг, где ^ € Ρ(Κ.)ι нарушено
свойство, верное в метрическом пространстве: если од m —► 0 при fc —·> оо,
то Vm 3fc(m), что ОД(т) т —► 0 при т —► со.
66

ГЛАВА 3. ПРОСТРАНСТВА Я*.
ПСЕВ ДО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 17. РЯДЫ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ФУРЬЕ. ПРОСТРАНСТВА 5HS'
В 1807г. Жан Фурье сказал свое слово в знаменитом (шедшем
с начала 18 века) споре о звучащей струне [35, гл. XII]. Он,
как пишет Лузин [36], совершил открытие, которое "произвело
величайшее недоумение и растерянность среди всех математиков.
Оно опрокидывало все понятия" и стало источником новых
глубоких идей для развития таких понятий как функция, интеграл,
тригонометрический ряд ... Открытие Фурье (как это ни странно
на первый взгляд) состоит в формальном правиле вычисления
коэффициентов
р/2
а* = - f u(y)e-*k,p*dy, i = 2ти, г = у/^Л (17.1)
Ρ J
-р/2
(называемых коэффициентами Фурье) в "разложении"
«(*)~ Σ «**i(*/p)*> \*\<Ф (17.2)
*=-оо
"произвольной" функции и : Ω Э х »—► и{х) Ε С, где Ω =] — р/2,р/2[,
по гармоникам
еКк/Р)х _ C0S2ir(k/p)z + гвш2ж(к/р)х, к € Z. (17.3)
Тригонометрический ряд (17.2) называется рядом Фурье
функции it (точнее, рядом Фурье функции и по системе функций (17.3)1).
Первый результат о сходимости рядов Фурье получил в 1829г.
24-летний Л. Дирихле (см., например, [22]): если и кусочно
непрерывна на [—р/2,р/2], а число интервалов ее монотонности конечно,
то ряд Фурье функции и сходится к ней в каждой точке
непрерывности и; если к тому же функция и непрерывна и и{—р/2) = и(р/2),
то ряд (17.2) сходится к и равномерно. Хотя коэффициенты Фурье
(17.1) определены для любой функции и Ε Ь1, ряд Фурье может
расходиться в некоторых точках даже для непрерывных функций
(см., например, [30]—[31]; ср. также Р.17.9). Что же касается
интегрируемых функций, то в 1922г. 19 -летний А.Н. Колмогоров
построил [43] знаменитый пример функции « 6 L1, ряд Фурье
которой расходится почти всюду (а затем и пример всюду
расходящегося ряда Фурье интегрируемой функции).
*)См. в связи с этим формулы (17.17)-(17.18).
Важное значение имеет следующая теорема (см., например,
[30, стр. 196]) о сходимости рядов Фурье в пространстве L2: "для
любой и € £2(Ω), где Ω =] — р/2,р/2[, ряд (17.2) сходится к и
67

в L2(Q)\ т.е.
\\и - J] акек\\ь2 —* О при N —► оо, (17.4)
где
ел- : Ω Э я ι—► ек(х) = exp f i-x J . (17.5)
Эта теорема выявляет прозрачный геометрический смысл
коэффициентов Фурье. Действительно, рассмотрим в L2(Q) x L2(U)
комплекснозначный функционал
р/2
(ti, г;) = / ιι(χ)ϋ(χ)άχ,
-Р/2
где ν - функция, комплексно-сопряженная к υ. Очевидно, что
этот функционал определяет в пространстве L2(Q) скалярное
произведение2^, относительно которого (как легко видеть) функции
(17.5) ортогональны, т.е.
(ек,ет) = Оприкфт. (17.6)
Поэтому, выбрав Ν ^ \т\ и умножив скалярно функцию
(и - £ акЧ) на ет, получим |(«,ет) - ат · {е^ет)\ = |(ti -
\kteN
Σ, aibejb,em)| ^ ||ti- E a*ejb|M|em||L2. Отсюда и из (17.4)
следует, что
), тб! (17.7)
Таким образом, коэффициент ак - это алгебраическое
значение ортогональной проекции вектора и Ε £2(Ω) на направление
вектора е*.
2) Это означает, что функционал (u, v) линеен по первому аргументу,
причем (и, и) > О, если и φ О, и (и,ν) = (г/, и), где черта сверху
означает комплексное сопряжение. Отметим, что функция и ι—► \\и\\ = у/(и%и)
является нормой (см. сноску 5 к § 8), причем |(и,г/)| ^ ||и|| · ||г/|| (ср. с (9.3)
при ρ = 2). Напомним еще, что банахово пространство X (см. сноску 5 к
§ 8) с нормой || · || называется гильбертовым, если в X существует такое
скалярное произведение (·,·), что (х,х}= \\х\\ Vr € X* Таким образом, L2(Q)
- гильбертово пространство.
После того как стал ясен геометрический смысл
коэффициентов Фурье, может показаться удивительным, что, как пишет
Лузин, "ни тонкий аналитический ум д'Аламбера, ни творческие
усилия Эйлера, Д.Бернулли и Лагранжа не смогли решить этого
труднейшего вопроса"3), т.е. вопроса о формулах для
коэффициентов а* в (17.2). Однако не следует забывать, что указанная
выше геометрическая прозрачность формул (17.7) стала
возможной лишь благодаря тому, что формулы Фурье (17.1) поставили в
повестку дня вопросы, решение которых позволило придать точ-
68

ный смысл таким словам, как "функция", "представление функции
тригонометрическим рядом" и многое, многое другое.
3) Причина постановки этого вопроса исторически была связана с
проблемой звучащей струны (см. [35], [36]) - первой системой с бесконечным
числом степеней свободы, подвергшейся математическому исследованию.
Бще в 1753г. Д. Бернулли пришел к выводу о том, что наиболее общее
движение струны можно получить сложением главных колебаний. Другими
словами, общее решение и = u(x,t) дифференциального уравнения струны
ии - uxt = 0, \х\ < р/2, t > 0 (17.8)
удовлетворяющее, например, условиям периодичности
*(-р/2,*) - «(p/2,t) = 0, и*(-р/2,«) - и*(р/2,*) = 0 (17.9)
может быть представлено в виде суммы распространяющихся вправо и
влево (вдоль характеристик χ ± t = 0, ср. § 11) гармоник, точнее:
u(x,t) = £[a+e<A*(*+t) + a-eiX"(*-% (17.10)
где af б С, а Aj = 2irk/p. . Действительно, уравнение (17.8) и граничные
условия (17.9) линейны и однородны. Поэтому линейная комбинация
функций, удовлетворяющих (17.8)-(17.9), также им удовлетворяет. Этот факт
наталкивает на мысль найти общее решения задачи (17.8)-(17.9),
суммированием (с неопределенными коэффициентами) частных решении
уравнения (17.8), удовлетворяющих условиям периодичности (17.9). Уравнение
(17.8) относится к числу тех, у которых существует бесконечная серия
частных решений с разделенными переменными, т.е. ненулевых решений
вида φ(χ)φ(ί). В самом деле, подставив эту функцию в (17.8), получим
φχχ(χ)φ(ί) = φ(χ)Φίφ)- Отсюда
φχχ (τ)/φ(χ) = Фа(г)1Ф{г) = coi»t. (ir.il)
Из условий периодичности (17.9) следует, что φ € X, где
X = {φ € C2(Q)f]cl(Q) | v>(-p/2,<) = V>(p/2,t), /(-ρ/2,«) = *'(р/2.*)}·
(17.12)
Тем самым, функция φ необходимо (см. (17.11)) должна быть собственней
функцией оператора ''
-d2/dx2 : X —> L2(Q)t Ω =] - р/2,р/2[. (17.13)
Это значит, что φ - ненулевая функция пространства X, удовлетворяющая
условию
-ά2φ/άχ2 =μ·φ, (17.14)
для некоторой константы μ € С, называемой собственным числом
(значением) оператора (17.13). Из принадлежности φ пространству X вытекает, что
число μ может быть только положительным (т.к. иначе φ S 0). Обозначим
μ через λ2. Тогда из (17.14) следует, что φ(χ) = aeiXx, λ € Ж, a € С\{0}.
Очевидно, что эта формула совместима с условием φ € X т. и т.т., к.
λ = λ* = 2kir/p, k € Ζ. Таким образом, с учетом (17.11), получаем
<рк(х)фк(1) = a+eiX**eiXki + a];eix**е~*Хк*t af € С,
и, следовательно, формула Д. Бернулли (17.10) установлена.
Формула Д. Бернулли не только ввела в обиход принцип сложения
колебаний, но и поставила много серьезных математических проблем.
Одна из них связана с нахождением коэффициентов а* в формуле (17.10)
для каждого конкретного колебания, которое (ср. с Р.11.21) определяется
начальными условиями
1фг,0) = /(г), щ(х,0) = д(х), (17.15)
т.е. начальным отклонением струны от положения равновесия и
начальной скоростью движения ее точек. Иначе говоря, формула Д. Бернулли

поставила .вопрос об определении коэффициентов at из условий:
£(«+ + apeiA*» = /(г), £\λ*(α+ - ape"»» = *(.).
*€Z Jb€Z
Любопытно, что в 1759г., т.е. через 6 лет после работы Д. Берну л ли,
формулы (17.1), дающие ответ на поставленный вопрос, чуть было не нашел
23-летний Лаг ран ж. Ему оставалось сделать в своих исследованиях лишь
перестановку пределов, чтобы получить эти формулы. Но, как пишет Лузин
[36], "мысль Лагранжа устремлялась по другому пути, и он, почти касаясь
открытия, так мало сознавал это, что бросил по адресу Д. Бернулли фра^у:
"Досадно, что столь остроумная теория несостоятельна*1.
Спустя полвека ответ на поставленый вопрос, как уже было сказано,
дал Фурье, выписавший формулы (17.1). По этой причине метод, схема
которого изложена выше на примере решения задачи (17.8)-(17.9), (17.15),
называется методом Фурье (см., например, [14]-[15]). Применяется также (по
понятным причинам) название метод разделения переменных. Этот метод
весьма популярен в математической физике.
Читатель без труда найдет методом Фурье решение задачи Дирихле
для уравнения Лапласа в прямоугольнике, рассмотрев предварительно
частный случай:
Д«(*,у) = 0, (с, у) €]0,1[2; «|#_0 = «|#=1 = 0; t.|f_0 = /(«), u|y=1 = g{x).
Столь же просто получить методом Фурье решение
оо
u(ar.t) = uN(xtt) + Υ" 2sm^* e"A»*cosAfcg, Λτ ^ 0, V0 Ξ 0 (17.16)
*>λγ *[ +σsin λ*1
задачи (6.11) для уравнения теплопроводности. В формуле (17.16) λ? - © о
к-е (к 6 Ν) собственное число оператора
-cfi/dx2 : Υ — L2(0), Ω =]0,1[,
определенного на пространстве
γ = {Ψ € σ2(π) f]cHu) | (φ ± *ψ')\χ=±1 = ο},
где <τ ^ 0 - параметр задачи (6.11). Отметим, что Ад. £-](& — 1/л,(& — 1/2)тг] -
это fc-й корень уравнения ctgA = <τλ, а собственные функции φ^(ζ) = cosA^.ar
оператора (17.16) удовлетворяют (ср. (17.6)) условию ортогональности:
1
(v>bV>m)= / Vfc(*)vm(*)rfa? = 0 при кфт. (17.17)
Действительно, интегрируя πα частям (а в многомерном случае,
применяя формулу Остроградского-Гаусса), учитывая граничные условия {φ :i;
σφ')\ _ , =0и то, что — φ*1 = А?<рд., имеем:
1
-1
1 1
Vkv'ml^ - / v'kVm - VmVfc |_χ + / ¥>'fcV>m = °-
-1 -1
Можно показать (см., например, [14]), что собственные функции φ^, к 6 И,
образуют (ср. с (17.4)) полную систему в L2 = У, т.е. W € L2 Уе > 0
70

Ν
существуют Ν ^ 1 и такие числа οχ,...,α^, что ||u — J^ ak9k\]L* < ε·
Поэтому (ср. с (17.2)-(17.7)) формальный ряд
называемый рядом Фурье функции и по ортогональной (в силу (17.17))
системе функций <0£, сходится к it в L2. Читатель легко проверит, что
(l»Vfc)/(v*»Vfc) = 2sinAfc/(Ajfe[l + <7ein2Ajt]), а также то, что ряд (17.16)
равномерно сходится вместе со всеми своими производными при t ^ ε для любого
е > О и определяет гладкое (исключая угловые точки (х,<) = (±1,0)), причем
единственное (см., например, [25]), решение задачи (6.11).
Отметим еще одно обстоятельство. Ряд (17.16) быстро сходится при
больших t. Можно показать, что для любого к ^ 1
\u(x,t) - uN(x,t)\ < I0"k/N при t > Ar/(4.3N2). (17.19)
Однако при малых t ряд (17.16) сходится очень медленно. Поэтому при
малых t целесообразно пользоваться иным представлением решения задачи
(6.11), которое получено ниже в § 18 с помощью соображений размерности
(см. § 6) и так называемого преобразования Лапласа.
Подставим формально (17.1) в (17.2). Тогда получим
со Р'2
и(х) = ]Г -ех{к1р)х I е~*кМуи(у)<1у. (17.20)
*=-~p 4i*
Устремим ρ к бесконечности и перейдем формально в (17.20)
к пределу. В результате для "произвольной" функции и : Ж —> С
получим (формальное!) выражение
со о©
и(х) = J е^ ( I е-Ыч(у)ау) άξ. (17.21)
— СО —СЮ
Закончим формальные выкладки и дадим точное
η
17.1. Определение. Пусть ξ € Жп, х € Жп, χξ = Σ xUk, т.е.
χξ = (χ, ξ) - скалярное произведение х и ξ. Функция
η(ξ) = Ι Γ^'φ)ώ, i = 2πι, t = >/=T : (17.22)
ж*
называется образом Фурье функции и G 1^(ЖП), а отображение
F : i1(TRn) Э и ι—► 5 = F« G С называется преобразованием Фурье
(в jb»(*n))·
17.2. Лемма. Если и € I^1"). TO Ft* € С(1п), причем
HF«||c ^ ||u|U,.
> Из теоремы 8.20 (Лебега) следует, что и = Fu € С(Ж); при
этом S(f) ζ / ti(#)tte. <
71

17.3· Пример· Пусть и±(х) = θ±(χ)β*αχ, где ж € Ж, α > 0, а 0±
определено в (12.5). Тогда й±(£) = ^щ. Отметим", что и± £ L1,
хотя и± € L1. Отметим также, что функция и± аналитически
продолжается в комплексную полуплоскость С^.
Ниже в теореме 17.6 даны достаточные условия, при которых
формальное выражение (17.21) приобретает точный смысл одной
из важнейших формул в анализе. Ладим предварительно
17.4. Определение* Пусть ρ ^ 1, а к € Ζ. Говорят, что
функция и € Ι^(Ω) принадлежит пространству Соболева \Ур>к(&), если
все ее производные по Соболеву даи> где |α| ^ к} принадлежат
1/(0). Сходимость в пространстве Wp,k характеризуется нормой
(17.23)
т.е. Uj —» и в Wp,k при j -* со, если ||к - iij||w>,* —> 0 при j —* оо.
Легко проверить, что Wp,k - банахово пространство.
17.5. Лемма.4) \¥1>п(Жп) С C(Rn), т.е. для любого элемента
{и} € Wl,n существует единственная функция и £ С, совпадающая
почти всюду с любым представителем5) элемента4 {и}, причем
IMIc < 1Нк«.·.
4)Лемма 17.5 - простой частный случай теорем вложения Соболева (см.,
например,
справедливое
частности, § 20, где рассмотрен случай ρ = 2)
«)См. сноску 1 к § 9.
> Из теоремы 8.24 (Фубини) и теоремы 8.27 следует, что
функция и допускает представление в виде
*ι Г хз Г а?п
[4], [8], [44], [48]). Отметим, что вложение W*k(R*) С С(1П),
ое при п/р < к, нарушается, если ρ > 1, а п/р = к (см., в
«<"=//·/
дпи(у1)...уп)
dyidy2...dyn
dyn
dy2
dyi
ζ =(агь... £„),
откуда вытекает ее непрерывность и оценка ||u||c ^ /lag „j/1· ^
17.6. Теорема. Пусть ii € W1,n(Rn). Тогда для любого
Ν Ν
и(х) = Ш^ин(х), n*uN{z)= J ~. J еЫЩЖ!...^, (17.24)
-JV -JV
а и = Fti - преобразование Фурье (непрерывной6)) функции и.
силу леммы 17.5,
72

> Из теоремы Фубини следует, что
t*J I I WJ I t*J
М*) = I · · · / / u(v)
■н
dON(yi -χχ)
Ь-оо ь-оо
d6N{y2 - а?а)
ду2
дух
deN(yn - хп)
dy\
dyn,
Ν
hk > -λ2*+ι и Σ Ajb = ~ / x~
1 sinxdx = |. Поэтому #Ατ(σ) —+ 0(σ)
где ίΝ(σ) = / 6N(5)rf5, a fo(«) = / еь*# = т2гД·. Заметим (ср.
Ρ .4.3 и Р.13.11), что 0Λτ(σ) -► Θ(σ)) σ € Ж, причем VAT |0лг(<т)| ^
(*+1)/2Ν
const. Действительно, полагая А* = / δχ{σ)<1σ для к 6 Ζ+,
fc/2iV
имеем: λ - не зависит от ЛГ, |А*.| X 0 при А: —► со, причем
и |#лг(<т)| ^ 2λο· Далее (также как в доказательстве леммы 13.10)
следует проинтегрировать по частям, применить теорему Лебега
и получить, что un{x) —* и(х), <
17.7. Замечание. Приведенное доказательство теоремы,
содержащее, в частности, решение упражнения Р.4.3 (и Р.13.11),
показывает (с учетом доказательства леммы 17.5), что утверждение
теоремы 17.6 справедливо при более широких предположениях:
достаточно потребовать, чтобы функция и и η ее производных
дки/дх\дх2 · · · дхк, к = 1,..., п, были бы интегрируемы в Жп.
17.8. Замечание. Утверждение теоремы 17.6 имеет смысл,
конечно, лишь для и £ L1 f]C. Однако это необходимое условие не
является достаточным для справедливости (17.24), что следует из
17.9.Р. Построив (ср. [31, стр. 345]) последовательность функ-
оо
ций ψΝ € L1(M)nCWi таких что / у"1 sin Ny<pN(y)dy —► со (при
N —* со) и ||y>//j|£i + |i^//||c ^ 1 и применив теорему Банаха-
Штейнгауза (см. сноску 1 к § 16), показать, что существует
функция φ G Ir1(R)f)C(R), для которой равенство (17.24) нарушается
хотя бы в одной точке χ € Ш.
Формальное выражение (17.21) и теорема 17-.6 наводят на мысль
о целесообразности введения преобразования
F-1 г^ДОэи·—►F-"1t*€CJ
определенного по формуле
(Ρ-Ιδ)(β)= ίβϊχξη(ξ)άξ1 i = 2тгг, г = л/=Т, χ G Шп.
(17.25)
Эта формула отличается от формулы (17.22) знаком у экспоненты.
Преобразование F""*1 называется обратным преобразованием Фурье,
73

поскольку и = F^Fu, если и е W1*n(Rn)i aF«6 Ll(R),
Определим (вслед за Л. Шварцем [3]) пространство быстро
убывающих функций S = <S(lRn) С 1У1,П(ЕП). В пространстве S
(см. ниже теорему 17.16) преобразования F"1 и F являются
автоморфизмами (т.е. линейными обращаемыми отображениями S
на себя).
17.10. Определение. Элементами пространства S(Rn)
являются такие функции и € С°°(ЖЛ), которые удовлетворяют
следующему условию: для любых мультииндексов α = (αϊ,... ,α„)
и β = (/?ι,...,/?η) существует такое число Сар < оо, что Vx =
Ι*β#ι*(*)Ι<σ«* где *« = *?*...*;·, ag= ,/
C/Xj . · . С/Ж η
При этом говорят, что последовательность функций г^ Ε S
сходится в 5 к и (uj; —* г/ в <S) при j —»■ оо, если Υε > 0 Vm £ N 3jo €
N Vj ^ io справедливо неравенство: pm(uj — ti) ^ £, где*
M«)=euP ( 2(i + wrR*)l
Очевидно, что e~*3 G 5(K), но e^emfe**3) g 5(1).
17.11.P. Проверить, что пространство S является пространством Фреше
(см. замечание 16.27), в котором расстояние ρ можно задать формулой:
оо
p{u,v) = d(u - ν), где <i(p) = ^ 2~m mf(l,pm(v>))·
m=l
17.12.P. Показать (см. Р.16.13), что V(Rn) С S(Rn) С £(!n). В
частности, показать, что из сходимости в V (в S) следует сходимость в S
(в 5). Проверить, что V плотно в 5, а S плотно в €.
17.13.Р. Интегрируя по частям, проверить, что справедлива
17.14. Лемма. Для любых мультииндексов α, β и
любого и G S
(-i)l«P[fi?(^ii(*))](0 = (ί)'"ΐ€β#δ(0. ϊ = Fti. (17.26)
17.15. Следствие, F5 С 5, т.е. Fti G 5, если ti € S.
> Так как и 6 5, то для любого фиксированного JV Ε Ν и любых
а,/? € ££ существует άαβ > О, что \θ^(χβη(χ))\ ζ άαβ(1 + \χ\)~Ν.
Поэтому, в силу леммы 17.14,
1ГЗГS(0I < \№(χβ»)]\\ο ζ Οαβsup |#(«Ί·)|. (17.27)
Χ
Тем самым, ц € 5. <
17.16. Теорема. Отображения F : S -* 5 и F"1 : 5 -* 5 - это
взаимообратные и непрерывные автоморфизмы пространства S.
> F ~ линейно и, в силу теоремы 17.6, мономорфно. Проверим,
что V5 € S Зи е S, что Fu = й. Положим uo = FS. Так как щ € 5,
то согласно теореме 17.6, и = F""1F2 = F^tin. Рассмотрим
функцию и(х) = tio(—х). Имеем: и = F""1^ = Fti. Непосредственно из
74

определения 17.10 следует, что Fuj ~^0в5, если и3; —► 0 в S. Те
же самые рассуждения справедливы для F"1. <
17.17. Лемма, (равенство Парсеваля). Пусть / и д €
5(ЖП). Тогда
(F/,Fff)L. - (fig)*, т.е. J/(f)i((K = //ΟΟί (*)<**· (17.28)
в* вя
Кроме того,
(Р/, <?> = {/, Fff), т.е. J /(ί)ί(0« = У /(«Ж*)***· (17-29)
> Из теоремы Фубини следует (17.29), так как
У f(x)g(x)dx = J j f(z)e-**tg(t)dz<K - / /(0*(ί)«
ι* ж» ж* а»
Пусть h = Fg. Тогда д = Fft, так как
«КО = (Р-1*)^) = Je^h(x)dx = je-**th(z)dz = (FA)(0·
Подставив #(£) = ft({) и £(х) = Ь(х) в (17.29), получим (FfyFh)L2 =
(/jA)^ ^ € «S, т.е. (с точностью до обозначений) (17.28). <
Заметим, что обе части равенства (17.29) определяют линейные
непрерывные функционалы на 5:
f:S$9>—> J f(*)g(x)dx, / : S Э 0 —> У /ШО*·
В связи с этим, дадим (следуя Л. Шварцу [3]) два определения.
17.18. Определение. 5'(ЕП) - это пространство медленно
растущих обобщенных функций, т.е. пространство линейных
непрерывных функционалов / : «$(ЖП) -* С, снабженное операцией
дифференцирования (daf,(p) = (—1)'а'{/,#ву>), где а € JT£, и
операцией умножения (α/, φ) = (/, а^>) на любую jueu/iewwtf растущую
функцию а, т.е. такую функцию о € С°°(ЖП), для которой
выполнено условие: Va 3Ca < оо 3Na < со, что \даа(х)\ $ Са(1 + И)^*.
17.19. Определение. Пусть / £ 5', # £ 5'. Тогда формулы
<F/,v>) - </,Ру>) Vy> € S и (Ρ-^,Ψ) - (<7,F-V> W> G S (17.30)
определяют обобщенные функции / = Р/ 6 S' и F-"1^ € «S',
которые называются соответственно преобразованием Фурье
обобщенной функции f £ Sf и обратным преобразованием Фурье обобщенной
функции g £ S'.
17.20. Пример. Ясно, что δ G «S', 1 € 5'. Найдем Pi и
F1. Имеем:
(F«,p) = <i,Fp) = £(0) = lim ( e-ix*ip{x)dx = f <p(x)dx = (l,p),
75

т.е. F6 = 1. Аналогично, F *ό = 1. Далее, (Fl,^) = (l,Fy>) =г
(F~4*V) = (6,¥'г¥(р)} т.е. F1 = ί. Аналогично, F~xl = δ.
17.21.Р. Проверить (ср. Р.17.12), что £'(!") С &{Жп) С V'(Rn).
17.22.Р. Доказать (ср. Р.16.19 и [17, стр. 90]), что / € S'(Rn) т. и т.т.,
к. существует конечная последовательность {/cr}|a|<jv функций fa € С7(ЖП),
удовлетворяющих условию: |/а(#)| ^ С{\ + |х|)т, где С < оо, т < оо, и
таких, что / = ^ £а/о> Тем самым, 5' С V*'.
|аКЛГ
17.23.Р. Проверить, что отображения Έ : Sf -+ S* и F"1 : Sf -+ Sf
являются взаимообратными автоморфизмами пространства £', причем
непрерывными относительно слабой сходимости в «S', т.е. если ι/ -♦ со, то
(F/„,v>> - (F/,v>) V</> € $ <=> (/„,</>) — </,</>) 4φ e S.
17.24.P. Вычислить F£ и Fl (cp. P.17.20), рассмотрев
последовательности функций
Sv(x) = ν . 1[-1/„д/„](*) и Μ*) = 1[_У|У](*). где 1[α>4 = 0(* - a) - 0(* - Ь).
17.25.Р. Рассмотрев последовательность функций
fu(x) = 0± (*)€**/", χ € Ж, показать (см. (12.7)), что ?±(ξ) = ±^—.
17.26. Замечание. Пространство S* является полным
относительно слабой сходимости, так как S является пространством
Фреше (см. Р.17.11 и замечание 16.27).
17.27.Р. Показать, что формула (17.26) верна для любого и £S*.
17.28. Лемма. Пусть7) / € S'(Жп). Тогда / = F/ является
медленно растущей функцией (см. определение 17.18), причем
№ = Ш,е-1«). (17.31)
''Напомним, что пространство Е1 определено в Р.16.13.
о В силу Р.16.20, / = Σ 9йU, где /0 € С0(!п). Поэто-
|о|<т
му <7(0,*К0> = EW/.(*),(Fv)(«)> = Σ(-ΐ)|α|(Λ,(*),^(*)> =
E(i)w(/e(«).FKe^o](«)> = шм!Ш [I *-*«?**(№]**■
a a
Т.к. /e(*)e~l*i?<V(0 € 1х(ж2 х !£), то (по теореме Фубини)
(7(0.v>(0> = / [/D1)'·'/·^^] ψ(№ =
Итак (в силу Р.13.19), /(f) = (/(ж),е~!а*). Аналогично,
0*7(0 = </(*). (-«V*·"*). (17-32)
Т.к. / € £' С S', то (в силу определения 17.10) 3JV ^ 1, что
!(/(*), ф(х))\ ζ Ν sup Σ (1 + Ν)" · 1^(*)1 V* € 5.
Поэтому |0<»7(ΟΙ = |(/(«М*)(-1*Уе-«*)| ^ С(1 + |ξ|)". <
Г6

§ 18. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ-ЛАПЛАСА.
ТЕОРЕМА ПЭЛИ-ВИНЕРА
Доказанная в § 17 формула (17.26) (справедливая для и € £',
см. Р.17.27) содержит в себе важное свойство преобразования
Фурье, которое часто выражают следующими словами:
"оператор дифференцирования при применении преобразования Фурье
переходит в умножение на независимую переменную". Точнее,
верна формула
F(D%u(x)) = Г «(0> где D% = (i)-|ft«d°, ab Fii, tc £β'. (18.1)
Свойство (18.1) позволяет в определенном смысле сводить
задачи для линейных дифференциальных уравнений к алгебраическим.
Так, применив преобразование Фурье к дифференциальному
уравнению
A(Dm)u(z) Ξ £ aQD°xu{x) = /(*), αα € С, / € S*\ (18.2)
|ot|^m
получим эквивалентное "алгебраическое" уравнение
Α(0·ϊ(0ξ ( ]Г ОаГ ] -Щ) =/(0, /€^. (18.3)
Как доказали Хермандер [45] и Лоясевич [46], уравнение (18.3)
всегда имеет решение и Ε S' (см. в связи с этим замечание
19.2). Поэтому формула и = F_15 определяет решение
дифференциального уравнения (18.2). Действительно, в силу (18.1) и
теоремы 17.16,
/(*) = Ρ-^/ίΟ) = F_1(^(0 · δ(0) = ^(υ^ρ-^δίΟ) = A(D.)u(*)·
Изложенная идея построения решения линейного
дифференциального уравнения с помощью преобразования Фурье во многом
схожа с идеей операционого исчисления1) (см., например, [39]),
использующего так называемое преобразование Лапласа
(впервые (см. [47, стр. 121]) введенного в науку малоизвестным при
жизни гениальным норвежцем Нильсом Абелем, умершем от
чахотки в 26 лет). Преобразование Лапласа переводит функцию /,
зависящую от аргумента t € Ж+ и интегрируемую с "весом" e~et
при любом 5 > 0, в функцию
оо
L[f](s) = fe-8tf(t)dty s > 0. (18.4)
о
^Проиллюстрируем идею операционного исчисления на примере задачи
(6.11), ограничиваясь случаем σ = 0. Иными словами, рассмотрим задачу
Щ = uXXt t > 0, |х| < 1; «|χ=±1 = 0; и|<=0 = 1. (18.5)
Как уже было отмечено в § 17, ряд (17.16), построенный методом Фурье
и дающий решение этой задачи, очень медленно сходиться при малых
t. Это, впрочем, можно было заранее предвидеть, поскольку ряд Фурье
77

медленно сходится для разрывных функций, а в угловых точках полуполосы
{|а;| < 1, t > 0} функция u(x,t) терпит разрыв. В связи с этим, рассмотрим
предварительно задачу
- = а-^, * > 0,. г > 0; Т|{=0 = Ту, Т|т=() = Т0. (18.6)
которая моделирует распределение температуры в окрестности угловой
точки.
Переходя стандартным образом (см. § 6) к безразмерным параметрам
г = ξ/νϊϊ, « = (Т - Ti)/(7b - Ά),
получим из (18.6), что и(т,£) = /(г) , где функция »/ удовлетворяет
следующим условиям:
/"M+j/'W-O, /(0) = 0, /(оо) = 1.
Отсюда u(r,£) = erf(i/(2v^r)) = 1 - erfc((/(2y/ar))t где
V
-£/е-·*,.
erf (у) = — I e""^ rftj, erfc(y) = 1 - erf (у).
0
Эти предварительные соображения подсказывают, что решение u(xtt)
задачи (18.5), по-видимому, при малых t должно хорошо аппроксимироваться
следующей суммой
1 - [erfc((l - x)/2>/t) + erfc((l + *)/2v% (18.7)
Эта подсказка позволит нам сейчас с помощью преобразования Лапласа
получить представление решения задачи (18.5) в виде ряда, быстро
сходящегося при малых t. Обозначив через v($,x) функцию Ь[и(*,х)](э)} где и
- решение задачи (18.5), перепишем, с учетом следующих двух очевидных
свойств преобразования Лапласа:
L[l](s) = 1/», L[f')(s) = , · L[f)(s) - /(0), (18.8)
задачу (18.5) в ("алгебраическом" по переменной а) виде
(з · v(s,x) - 1) - г/агаг(«,#) = 0, г/(«,х) . =0, а > 0.
Эта задача явно решается. Ее решением, очевидно, является функция
v(s,x) =s · ch(\/5!r)/ch(>/*)·
Таким образом, решение и задачи (18.5) удовлетворяет соотношению
L[u(-, x))(s) = i - i . ch(y/ax)/ ch(v^). (18.9)
s а
Формулы (18.7) и (18.9) подсказывают, что для того, чтобы получить
представление решения задачи (18.5) в виде ряда, быстро сходящегося при
малых ί, следует
во-первых, найти преобразование Лапласа функции Д(*) = erfc(fc/2\/t);
во-вторых, представить правую часть формулы (18.9) в виде ряда,
членами которого являются функции вида Ь[Д].
Ниже будет показано, что
ОД(*)=-«Ф(-*>А). (18.10)
S
С другой стороны, выражая ch через ехр и представляя (1 + ϊ)~*1» где
q = ехр(—2у/а) < 1, в виде ряда 1 — q + q2 — g3 + · · ·» получим, что
-f^4 = έ(_1)"+1 W"^2" + 1 - *И + ежр[-У?(2п + 1 + *)}} /··
η=0
(18.11)
78

Опираясь на (18.8)-(18.11) можно показать, что решение задачи (18.5) пред-
ставимо в виде, ряда
Г N 1
*0Μ) = 1+ 53(-1)η+1αη +rn, (18.12)
L=0 J
где α„ = erfc((2n + 1 - х)/2\Д) + erfc((2n + 1 + *)/2\/t), a rN = ]£ (-1)η+1αη.
n>N
18.1.P. Показать, что
Ιγ*
1>-ЛгК^у-еЧ>(-^/<)· (18.13)
18.2.Ρ. Сравнив оценку (18.13) с оценкой (17.19), показать, что при t ^ 1/4
целесообразнее пользоваться представлением решения задачи (18.5) в форме
(18.12), а при t ^ 1/4 - в форме (17.16).
Установим формулу (18.10). Она следует из формулы
.£,[/£](*) = exp(-fcV^ (18.14)
и второй формулы (18.8), так как fk(0) = 0, j'k(t) = |π"-1/2ί""3/2βχρ(-Α?2/4<).
Что же касается формулы (18.14), то с учетом Р.18.3 ее можно доказать так:
W ■= 37? /'-3'1 ·-"'"'" = ^ ]- -*" + $» -
о о
оо
Ιβ-*^7 / e-<l-«/*)a A, - β-* А (Замена : ц s JLf α = ->/ϊ).
У 2νΤ 2V '
0
оо
18.3.Ρ. Пусть F(a) = f exp[-(tj - *)2]A?, где a > О. Тогда F Ξ ^.
0
У*аэл«ие. F'(a) Η 0.
Между преобразованиями Фурье и Лапласа существует
глубокая взаимосвязь. Она выявляется при анализе равенства
9β7(ξ) = </(*), (-ЬД-1*), /'€ί'(Κη), Д€2;,
доказанного в лемме 17.28. Правая часть этого равенства имеет
смысл при любом комплексном ξ € Сп и является непрерывной
функцией в Сп. Тем самым, как известно из курса теории функций
комплексного переменного, определена аналитическая функция
/: С" Э ξ -- 7(0 = </(*), e"tei> € С,
которая может рассматриваться как преобразование Фурье в
комплексной области. Эта функция иногда называется
преобразованием Фурье-Лапласа. Такое название оправдано тем, что, скажем
для функции / = 0+/ G Ь1(Ж) (ср. пример 17.3), функция
оо оо
С_ Э ξ ■—» / e-**f(x)dz = ( e-**4{x)dx € С,
-оо О
будучи аналитической в нижней полуплоскости С-, является для
вещественных ξ (соотв. для мнимых ξ = —*β/2π, где s > 0) преобра-
79

зованием,Фурье (соотв. преобразованием Лапласа) функции /.
Важная роль преобразования Фурье-Лапласа заключается в
том, что благодаря так называемым теоремам Пэли-Винёра,
определенные свойства данной аналитической функции позволяют су.
дить не только о том, является ли эта функция преобразованием
Фурье-Лапласа некоторой функции /, но и характеризуют
свойства этой функции /. В § 22 будет использована (ср. пример 17.3)
18.4. Теорема. (Пэли-Винер). Пусть / - аналитическая
в С-, причем
00
sup ί №-ίη)\2άξ<οο.
η>0 J
— oo
Тогда / - преобразование Фурье в С- функции / = 0+/ 6 Ь2(Ж).
Доказательство этой и обратной теоремы см. в [33].
§ 19. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ. СВЕРТКА
Как было отмечено в начале § 18, дифференциальное уравнение
A(Dx)u(x) = £ аад%и{х) = /(*), аа 6 С, / € £', (19.1)
|а|^т
имеет решение и Ε Sf. В отличие от уравнения (18.2) функция /
в (19.1) принадлежит €' С 5'. Это обстоятельство позволяет дать
"явную" формулу для решения уравнения (19.1), в которой особо
выделена роль функции /. Отметим в связи с этим, что формула
"(Ж) = έ / /(y)eXp(~^y|)dy, ι > О, / € £' Π РСь, (19.2)
ж·
дающая (ср. (7.8)-(7.9)) решение уравнения — Аи + q2u = /, теряет
смысл при q = О, если supp/ некомпактен (например, / = 1).
Для вывода искомой "явной" формулы для решения и
уравнения (19.1) представим сначала функцию 5 = Fu в виде й(£) =
/(£Ж0> где ^ £ $' ~ решение уравнения Α(ξ) · β(ξ) = 1 (см.
ниже замечание 19.2). После этого останется выразить функцию
и = F""1(/ · е) через / = F"1/ и функцию е = F""1?, которая
удовлетворяет (в силу соотношения Α(ξ)η(ζ) = 1) уравнению
A(Dx)e(x) = 6(ar). (19.3)
19.1. Определение. Функция Ε € V' называется
фундаментальным решением оператора A(DX), если A(Dx)E(x) = ί(χ).
19.2. Замечание. Любой дифференциальный оператор с
постоянными коэффициентами имеет (как было доказано в [45]-
[46]) фундаментальное решение в классе S'. Однако появление
пространства V в определении 19.1 оправдано тем, что для
некоторых дифференциальных операторов можно (как показал
80

Хермандер) построить в V фундаментальное решение локально
более гладкое по сравнению с фундаментальным решением из S1.
(Отметим, что два фундаментальных решения Е\ и Еч оператора
A(DX) отличаются на функцию ν = Е\ — Еъ, удовлетворяющую
уравнению A(Dx)v = 0).
Если Α(ξ) φ 0 для любого ξ € Жп, то формула Е(х) =
Ί?~χ(1/Α(ξ)) определяет, очевидно, фундаментальное решение
оператора A(DX). При этом, Ε £ «S;, т.к. 1/Α(ξ) € Sf. В общем случае
фундаментальное решение может быть построено, например, с
помощью регуляризации интеграла f !ρ(ξ)<Ιξ/Α(ξ) (ср. Р.14.4), что
проще всего сделать для φ € V, поскольку в этом случае
регуляризация (в силу аналитичности функции φ = Υφ) возможна
путем выхода по ξ в комплексную область, где Α(ξ) ψ 0 (см.,
например, [17]).
19.3. Примеры. Из Р.7.1 следует, что функция (7.9)
является фундаментальным решением оператора Лапласа. Согласно
Р.12.8, функция θ(ί — |x|/2) есть фундаментальное решение
оператора струны. Для оператора теплопроводности д% — дхх
фундаментальным решением является функция E(z,t) = ^(ί)Ρ(χ,ί), где
функция Ρ определена в (6.15). Действительно, в силу доказанных
в § 6 свойств функции Р, для любой φ € 2>(Ж2) имеем:
со
(Et - ЕХХу<р) = ~(E,<pt + Ψχχ) = - \\т^1 ί{φ% + <pxx)Edxdt =
lim
e-+0
00 oo
1 j{Pt - Pxx)<pdzdt+ J P(z,t)<p{x,t)dx
= *(*.')L=t=0.
Перед тем как представить решение и = F 1(/-е) уравнения
(19.1) через / € £' и фундаментальное решение е £ S' оператора
A(DX), выразим функцию F"1(/ «У) через / и g в предположении,
что g = F-1y € €'. Согласно теореме 16.20, существуют мультиин-
дексы α и β и непрерывные функции /а и ^, имеющие компактные
носители, что / = Ь£/а, g = Df^. Поэтому
f-4/(0 · 7(0) = г-ЧГ^/аЮ. у,(0) = Dp'T-l(f* · у,).
Вычислим F"^/* -У/?). Имеем ϊαΰβ- ff ε~Κν+σ)ξία(ν^β(σ)άν<Ισ.
Полагая у -Ь σ = ж и используя компактность supp/a и supp^,
получим /<* · У/? = F[/a * 0^], где через ^ * ψ обозначена (см.
примечание 4 к § 5) свертка двух функций φ и ф, т.е.
(v> * V0M = / φ(ν)Ψ{* - y)rfy·
19.4.Р. Проверить, что если φ € Cq » V> € Cq » το φ*ψ = ^*V» Οα(φ*ψ) :
(£><V) * V = Ψ * (£>°Ψ).

19.5. Определение. (Ср. Р.19.4). Сверткой f * у двух
распределений / = Dafa €ίΉ</ = Όβρβ € £', где /α, §β € C0(ln),
называется обобщенная функция Da+P(fa * <?/?)·
Заметим, что для / Ε 5' и g € £' справедлива формула:
F-1(/-S0 = /*1/· (19.4)
Действительно, F[D^(/. * да)] = £fl+*F(/a * да) = (ζα7α)(ξβ9Ρ).
Найдем теперь F_I(/ -g) в случае, когда / Ε £', а # € 5'.
19.6.Р. Пусть / € £', 0 € 5'. Положим £i/(x) = φ{χ/υ)δ{χ), где <р ζ
Ср°(Жп), ν = 1 при |аг| < 1. Проверить, что gv 6 £'; 9v -+ 9 в Sf; f -Ци -+ f ·$
в 5', a (f*gv,v) - <F~г(/.?),*> V<? € S.
Опираясь на Р.19.6 и обобщая формулу (19.4), дадим
19.7. Определение. Свертка /*у двух распределений / € £' и
g £S' ~ это функция из 5', задаваемая формулой f*g = F~l(f · J).
(Отметим, что / € С00, £ € <S')·
19.8.Р. (Ср. 19.4.Р). / € £', 5 € 5' =» / * * = ^ * /; £>«(/ * $) =
(D*/)** s f*(D<*g); δ*9 = 9.
Из предыдущего следует, что справедлива
19.9. Теорема. (Ср. (19.2) и примечание 4 к § 5). Искомая
"явная" формула для решения уравнения (19.1) имеет вид: и = /*е,
где е € 5' - фундаментальное решение оператора А(Де).
19.10.Р. Доказать теорему Вейерштрасса о равномерном приближении
полиномами непрерывной функции / € С (К) на компакте К С Жп : We > 0 3
такой полином р, что \\f(x) — р(я)|1с(КЛ < *·
Указание. Пусть Ω - окрестность А\ Следуя схеме доказательства
леммы 13.10 и учитывая Р.4.4, положить
/п
/MMa?-v)<iVi г«е М*) = JJ [-^=(1 - ~*т)" Ι ι х = (*ι,...ι*η)·
Ω т=1
19.11. Лемма. Пусть и£ Ll{\C, ν £ L2. Тогда и * ν € £2,
причем
\\**ν\\»<Μ\ι*·Μ\ι*. («л)
> Имеем: |/η(ξ - 7/)^|2 ^ (/ \η(ξ - цДОц) ·Λ(ί) = ||ιι||£> ·Α(ξ), где
^(0 = /1««-ч)1-Кч)12*|. Ho(cM.8.2e)/i4(iK = IMIb-NUi. <
§ 20. О ПРОСТРАНСТВАХ Я*
Изучение обобщенных решений уравнений математической
физики естественным образом приводит к семейству банаховых
пространств Wp,mj введенных Соболевым. Напомним определение
17.4 пространства WPttn(Q). При ρ ^ 1 и т £ 7L+ пространство
Wp,m(Q) - это банахово пространство тех функций и € -^(Ω), для
82

которых конечна норма
1 ΝΙι^.-(Ω) = ( / £ \d"«\pdx) . (20.1)
\Ω |er|<m /
Здесь даи - обобщенная произведшая функции «, т.е..
даи = ν € ^0C(Q) и /».рЛв = (-1)|а| f uda<pdx 4φ € 08°(Ω). (20.2)
Функцию ν, удовлетворяющую условиям (20.2), С.Л. Соболев
назвал слабой (weak) производной порядка а функции и. Возможно
по этой причине в обозначении пространств Соболева возникла
буква W.
При ρ = 2 пространства Wp,m являются гильбертовыми (см,
сноску 2 к § 17). Они обозначаются (по-видимому, в честь
Гильберта) через Ят. Роль этих пространств необычайно велика в
современном анализе. Их роль в теории эллиптических
уравнений обозначена в § 22. Подробное изложение теории этих
пространств можно найти, например, в [44], [48].
Представим элементы теории пространств Н3 в виде серии
определений, задач и замечаний.
20 Л .Р. Используя формулу (18.1), проверить, что введенное выше для
га € 7L+ пространство Нт(ШЛ) - ©то пространство тех и 6 5/(ffin), для
которых (1 + |i|)w(Fu)(i) € L2(lrt).
20.2. Определение. Пусть s € 1. Пространство Н8 = Н*(Жп)
состоит из тех и € S' = S'(En), для которых конечна норма
И«11. = 11(0*.· s(OIIl»(i·). г*е (0 = 1 +10, г = f«. (20.2)
20.3.Р. Проверить, что S С Яа С #^ С 5', если α > /?, причем
операторы вложения непрерывны, а вкладываемые пространства плотны в
объемлющих.
20.4. Теорема (вложения Соболева). Если s > η/2 + m,
то справедливо вложение Н*(Жп) С С™(ЖП), причем существует
С < оо, что
|N(m)<C7|M|.Vtietf·, (20.3)
где
Hie») = Σ sup Ρ"«(*)Ι·
|оКт-€»'
> Надо доказать: V« G #'(ЖП) 3υ G С™(ЖП), υ —и п.в., причем
IMI(m) ^ C||ull*· Достаточно доказать для т — 0. Из неравенства
ι«(οι=|/г«)(0' · <о-'е^| < н«н. (/<о-м). ,
где и е 5(Ж), следует оценка (20.3). Если и € Я5, un Ε S и
IK - «II -+ 0, то в силу (20.3) 3v € С0, что ||un - v||(0) -► θ и
83

IMI(o) ^ C\\u\\.. Т.к. ||u - t/||i3(n) ^ Cn(||« - «nil. + ||«n - «11(0)) - 0,
TO U = V Π.Β. <
20.5.P. Пусть и(х) = <р(|я|)1пЬ|я|, где χ € Ж2, ау- функция из пример*
3.6. Показать, что и € Я1 (Ж2). Тем самым, tfn/2(Rn) не вкладывается
в С(Жп).
20.6.Р. Проверить, что δ € Я*(ЖП) при s < -η/2.
20.7. Теорема (Соболева о следах). Пусть s > 1/2.
Тогда для любой (вообще говоря, разрывной) функции и € Я5(ЖП)
определен след уи € Я*~1/2(ЖП~1), который в случае
непрерывности функции и совпадает с ограничением и\х =0 функции и на
гиперповерхность хп = 0. При этом ЗС < оо, что
1М1'.-1/а<С1Н|. Vu€#'(ln), (20.4)
гДе II * II* ~ ноРма пространства Я<7(ЖП""1).
> Пусть χ = (я', жп) € Жп~1 х Ж. Для и G 5(ЖП) имеем: и(х', 0) =
/
Ж*"1
ei*r
/δίί',ί»)*!
«'; поэтому (||γ«||;_1/2)2 = / (ξ')2-1 χ
Ж—ι
/2(ί',ί»Κ»
άξ'. Далее, \!Щ\^п)^п\2 ^ А{^)!{^\Щ)\^^
где Α(ξ') = /(Ο"2·*· ^ Cf(i'>"#+1/2, а С. = C/(l + *2)"2·ώ < оо
при t > 1/2; (* = 6,(1 + КТГ1/2)· Поэтому |ΗΙ',-ι/2 < tfMU Д"
u€S. Если t* € Я5(ЖП) и при η -+ оо ||и„ - к||, -► 0, ta un € 5,
то Згу G Я5""1/2(ЖП"1), что \\уип — Hli-1/2 —► 0; to - не зависит от
выбора последовательности {ип}. По определению уи = ги; при
этом справедлива оценка (20.4). <
20.8. Определение. Оператор Ρ = ΡΩ : ί>'(^η) Э / ι—► Ρ/ €
Ρ'(Ω), где Ω - область в Жп, а (Ρ/, ν?) = (/, φ) Vy> € Ϊ>(Ω), называется
оператором сужения на область Ω распределений, заданных в Жп.
20.9. Определение. Обозначим через #*(Ω) пространство
РпЯ*(Жп), снабженное нормой
||/||5,n = inf||L/||„ /еЯ'(О), (20.5)
где нижняя грань берется по всем продолжениям Lf € Я5(ЖП)
функции / G #5(Ω) (т.е. P&Lf = /). Если из контекста ясно,
что речь идет о функции / 6 #5(Ω), то наряду с ||/||*,п будем
писать ||/||,.
20.10. Определение. Пространство Я*(Г), где Г = ΘΩ -
гладкая граница области Ω <s Жп, есть пополнение пространства
С°°(Г) по норме
ιμγ.,γ=Σιι^ιι:- (20.6)
Аг=1
К
Здесь ||·||'β - норма пространства Я*(Ж"""1), Σ Фъ Ξ *~ разбиение
84

к
единицы (см. § 3), подчиненное конечному покрытию U Г* = Г,
Jb=l
где Г* = Ω*(^|Γ, а Ω* - η -мерная область, в которой не
пересекаются нормали к Г. Далее, функция <pkp € С™(Жп~1) определяется
по формуле: {<fkp)W) = Μσ* ЧуОМ^ГЧу'))» гДе <τ* -
диффеоморфизм Жп, (аффинный вне некоторого шара и) "распрямляющий"
Г*. Это означает, что для χ € Ω* п-я координата уп = уп(х) точки
у = (j/jj/n) = <Tk(*) равна координате этой точки на внутренней
нормали к Г. Если из контекста ясно, что речь идет о функции
ρ € Я*(Г), то наряду с ||/>||ir будем писать также \\p\\'s.
20.11. Замечание. Определение 20.10 пространства Я*(Г)
корректно, т.е. не зависит от выбора покрытия, разбиения
единицы и диффеоморфизмов σ*. В книге [10] этот факт изящно
доказывается с помощью техники псевдодифференциальных операторов.
20.12.Р. Пусть 8 > 1/2. Показать, что оператор C(U)f)H*(Q) Э и ι—►
tilp 6 С(Г) продолжается до непрерывного оператора *у : Η*(Ω) —+ Я*~1'2(Г).
20.13. Замечание. Функция у и € Я*~1'2(Г), где $ > 1/2,
называется граничным значением функции и € #5(Ω). Сравнительно
нетрудно показать (см., например, [48]), что Я*"1'2(Г), где s > 1/2,
является пространством граничных значений функций из Η'(Ω).
Условие s > 1/2 существенно, как показывает пример функции
и € Я1'2(Е^), заданной (см. Р.20.5) формулой: и(х) = <p(x)lnlnx.
20.14. Замечание. Известная теорема Арцела (см. [31],
[33]) утверждает, что если семейство {/п} функций /п € С(Й),
заданных в Ω <s En, равномерно ограниченно (т.е. sup||./n|| < оо)
η
и равностепенно непрерывно (Ve > 0 36 > 0, что |/п(ж) — /п(у)\ <
ε Vn, если \х — у\ < ί), то из этой последовательности можно
выбрать сходящуюся в С(Й) подпоследовательность. С помощью
этой теоремы можно доказать (см., например, [44], [48]), что
справедлива
20.15. Теорема (о компактности вложения). Пусть Ω €§ №п,
а последовательность {ип} функций ип Ε Я*(Ω) (соотв. ип £
Η*(ΘΩ)) такова, что ||ип||* ^ 1 (соотв. ||«η(|', ^ 1)· Тогда из
этой последовательности можно выбрать подпоследовательность,
сходящуюся в Я*(0) (соотв. в Н*(дй))9 если t > s.
§ 21. О ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ОПЕРАТОРАХ (ПДО)
Класс ПДО - шире класса дифференциальных операторов. Он
включает в себя операторы вида
Аи(х) = / К(х, х- y)u(y)dy\ и € σ§°(Ω).
η

Здесь К € V'(Q χ Ж"), причем К € <7°°(Ω χ (Жп\0)), Если
К(х,х-у) = Σ аа(х) ■ 6^(х - у), το Аи(х) = Σ аа(х)даи(х).
|orj^m 1*1^"»
Еще одним примером Π ДО являются сингулярные интегральные
операторы [49]. Однако даже не конкретные важные примеры
определяют то исключительное место в современной
математической физике, которое занимает (оформившаяся в середине 60-х
годов [50], [51], [52]) теория ПДО. Дело в том, что ПДО являются
мощным и удобным средством изучения линейных
дифференциальных операторов (в первую очередь, эллиптических).
Прежде чем привести соответствующие определения и
результаты, поясним вкратце на простом примере основную идею,
лежащую в основе применения ПДО. Рассмотрим в Жп эллиптическое
дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
a(D)ti= £ aaD«ii = /. (21.1)
|aKm
Эллиптичность означает, что
*m(0 s £ ««Γ Φ 0 при |{| φ 0.
|ft|=m
Это эквивалентно условию
W)\ =
Σ «λ*
jor|^m
> С|£Г при ΚΙ ^ Μ > 1. (21.2)
Докажем следующий результат о гладкости решений
уравнения (21.1). Если и Ε Н*~1 и a(D)u £ #5~m при некотором 5, то
и G Я5. Этот факт можно, конечно, установить, построив и изучив
свойства фундаментального решения оператора a(D) (см.,
например, [6]). Однако вместо того, чтобы решать трудную задачу
регуляризации функции l/a(f), где ξ € Жп, (эта задача
возникает после применения преобразования Фурье к уравнению (21.1),
записанного в виде ¥~ια(ξ)¥η = /) достаточно "всего навсего"
заметить два момента. Во-первых, учитывая (21.2), можно
"вырезать" особенность функции 1/а с помощью множителя ρ Ε С00,
такого, что ρ = 1 при \ξ\ ^ Μ + 1, ρ Ξ 0 при \ξ\ ^ Μ. Во-вторых,
(F~1(p/a)F)(F-1aF)« = и + (F^rFJti, г = 1 - />. (21.3)
Поэтому ввиду очевидных неравенств
I/KOMOI < tf(i + |i|)-m, woi < cN(i + к|)-^ vjv > ι, (21.4)
влекущих за собой неравенства
\\(F-\p/a)F)f\\, < C||/||,_m, ||(P-lrP)«||. < C||u||.-*, (21.5)
имеем в итоге так называемую априорную оценку
IMI. < С(Н/11.-« + ΙΜΙ..0, / = a(D)u, и € Н>, (21.6)
где С не зависит от и. Из (21.6) следует указанный выше
результат о гладкости решений эллиптического уравнения (21.1).
86

Название "априорная" для оценки (21.6) решения уравнения (21.1)
связано с тем, что она (может быть) установлена до выяснения
вопроса о разрешимости уравнения (21.1), т.е. α рпогг.
Простота приведенного вывода априорной оценки (21.6)
достаточно ярко характеризует роль операторов вида F~laF. Такие
операторы называются псевдодифференциалъными, построенными
по символу а = α(ξ). Мы будем их обозначать также через
Ορ(α(ξ)) или a(D). В зависимости от класса символов
получается тот или иной класс ПЛО. Если α(χ,ζ) = ]ΙζαΛ(χ)£α,
то a(x,D)u(x) = Ορ(α(χ,ξ))η(χ) = Y^u*{x)D%u(z). Если α(χ,ξ) -
функция, положительно однородная нулевого порядка по £, т.е.
α(χ,ίξ) = α(χ,£) для t > 0, то α(χ,ί>) = Ορ(α(χ,ξ)) - это
сингулярный интегральный оператор [49], а именно:
Op(a(X,i))u(x) = b{x)v(z)+\im j _ C<j*'* ~^u(y)dy.
\χ-ν\>ε
Здесь c(x,tz) = c(x,z) при t > 0 и f c(x,z)dz = 0. В частности,
в одномерном случае, когда α(ξ) = α+0+(£) 4- α_#_(£), где 0+ ~
функция Хевисайда, а #_ = 1 — θ+, имеем:
Ορ(α(ζ,0)« = —2ir~"U^ + 2»V'P"7 ж - у "Μ**?'
что вытекает из Р.17.25 и (12.7).
Введем важный в теории ПДО класс символов.
21.1. Определение. Пусть m G Ж. Обозначим через
Sm = 5m(R") класс таких функций а € С°°(ЕП χ 1"), что α(χ,ξ) -
βο(*,0 + βι(0. причем Va V/? ЗС*а/5 € 5(ЖП) ЭС> € 1, что
№?3fαοΟτ,οΐ ^ ce/>(«) · «Г""", №?«ι(01 ^ с/,(0т-,/ч,(О = ι + К|.
(21.7)
Если α G 5т, то оператор а(я,/)), заданный формулой
Ор(а(х,€))«(*) = / eteia(*>0«(0#. « = *"« (21.8)
и определенный, очевидно, на Cq°, продолжается до непрерывного
отображения из Н$(Шп) в #5~m(Rn), как показывает
21.2. Лемма (о непрерывности). Пусть а 6 Sm. Тогда
Vs € Ж ЗС > 0, что
||a(*, ОД|,-« ^ C||u||, Vii G C0°°(ln). (21.9)
> Если α(χ,ξ) = αχ(ξ), то оценка (21.9) очевидна. Поэтому
достаточно установить эту оценку для a = qq (см. определение
21.1). Полагая Aqv = α0(χ,Ό)ν} заметим, что
87

Ввиду (21.1) и леммы 17.14, имеем:
\(Α0ν)(ξ)\ < Са J(V)m(t - η)-Μ\ν(η)\<Ιη, \α\ > 1.
Из неравенства треугольника \ξ\ ^ \η\ + \ξ — η\ следует, что
(03ζ(ην(ζ-ηΫ°1· (21.10)
Поэтому (05"ml(^ot;)(OI<C'«/(»7),(i-|7),5"m|"|a,^(»7)l^· Остает-
ся применить неравенство (19.5). <
21.3. Пример. Пусть α(ξ) = £+l/(|£|2+g2), ε ^ 0, q > 0. Тогда
a e S° при ε > 0 и α G S*"2 при ε = 0. При этом (ср. (19.2)), для
η = 3 a(D)ii(s) = гЦх) + тг / \z-y\~1 ехр(-2тгд|х-у|)и(у)</у, ii € С£°.
ж»
Действительно, положим / = Ор(1/(|£|2 + i2))ti, что эквивалентно
ti = (|D|2 + q2)f, т.е. -Δ/ + (2*rg)2/ = 4π2κ. В силу оценки
11/11* ^ ^ΙΜΙ*+2» решение последнего уравнения единственно в Η*.
Оно представляется в виде / = 4яг2С * ti, где (ср. Р.7.1) G(x) =
ехр(—2ягд|х|)/4тг|я| £ Я0 - фундаментальное решение оператора
-Δ + (2π(/)2.
21.4. Определение. Пусть α Ε 5m. Оператор Ορ(α(ζ,ξ))
называется эллиптические, если (ср. (21.2)) существуют такие
Μ > 0 и С > 0, что
|a(*,OI>C7|ir V*€RnH|i|>JI#.
21.5.Р. Следуя приведенному выше доказательству оценки (21.6) и
используя лемму 21.6, доказать, что для эллиптического оператора Ορ(α(χ,ξ))
с символом а € Sm справедлива априорная оценка
\\и\\$ ζ C(||a(*,D)||5_m + IMI.-JV) V" € Я*, С = C(.f ЛГ), ЛГ £ 1. (21.11)
Указание. Полагая Л = Ор(р(£)/а(х,£)), где /? € С00, ρ Ξ 1 при |(| ^
Μ + 1, ρ Ξ 0 при \ξ\ ^ М, показать, что Я · Ορ(α(χ,ξ))υ, = u + Op(r(x,i))ut
где г е 5я1"1.
21.6. Лемма (о композиции). Пусть oG5*, 6 € 5"1. Тогда
VAT ^ 1
а(*,я)Ор(б(*,0)= Σ Рр[№(«.0(Д?*(*.0]/«« + зйг.
где ||TjV^|U+iv—(Jb+m) ^
Доказательство см., например, в [51].
21.7. Определение. Оператор Τ : Cq° -* S' называется
сглаживающим, если VAT ^ 1 Vs € Ж ЗС > 0, что ||Ти||#+лг ^
C||ti||# Vm € Н°.
21.8.Р. Пусть имеется последовательность функций ay € 5mJ, где m,j I
-со при j Τ +οο· Тогда существует функция а € 511*1, что (a- J^ a^) €
j<;v
Sm" VAT > 1.
Указание. Следуя идее доказательства теоремы 15.2 Борелл, положить
оо
«(*.0 = £*(i/*i)aj(*.0.
;=ι
88

где φ € С°°(!п), φ(ξ) = 0 при \ξ\ ^ 1/2, φ(ξ) = 1 при \ξ\ ^ 1, и выбрать *,·
столь быстро стремящиеся к +оо при j —► со, что при \х\ ^ 1 и \а\ + |/?| +1 ^ j
выполнено неравенство:
V»/
Решение см., например, в [10, стр. 28].
21.9. Определение. Оператор А : Cq° —► S' назовем псевдо-
дифференциалъным класса L, если А = Ор(а(ж,£)) + Т, где а Е Sm
для некоторого mGl, a T - сглаживающий оператор. Любая
функция ал € 5т, такая, что (ал — α) Ε S"~N VN, называется
символом оператора A G L.
21.10.Р. Применив лемму 21.6, показать, что оператор А € L обладает
(ср. Р.16.22) свойством псевдолокальности, иначе говоря, если φ и ф из Cq°,
причем ф = 1 на supp</?, то <£j4(1 — V) ~ сглаживающий оператор.
21.11. Замечание. Класс L инвариантен не только
относительно операции композиции (см. лемму 21.6 и Р.21.8), но и
относительно замены переменных. Справедлива (см., например,
[10], [52]).
21.12. Лемма (о замене переменных). Пусть α G Sm.
Тогда в системе координат, задаваемой (аффинным вне
некоторого шара) диффеоморфизмом σ : χ ι—► у = σ(χ), оператор
β(«, Де) = Ορ(α(ζ,ξ)) представим для любого Ν ^ 1 в виде:
Σ Op[Va(y^){^a(x^)\^iatlm>l. „σ-Η9)] + TNt (21.12)
\<x\<N
где t<rf(x) - матрица, транспонированная к матрице <г'(х) = да/дх,
а φ<*{ν>ή) ~ многочлен по η степени ^ |аг|/2, заданный формулой:
φ*{ν,η) = -^D?exp[i(a{z) - σ{χ) - σ'(χ)(Η - χ),ι,)] \г=хх=а_1(уу
При этом, ||r*t,|Uw2+i]-m < C|M|, Vi; € Я*.
§ 22. ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
В § 5 была рассмотрена (для некоторых областей Ω)
простейшая эллиптическая задача, а именно: задача Дирихле для
уравнения Лапласа. К этой задаче можно свести изучение
другой важной эллиптической задачи - задачи с наклонной (говорят
также косой) производной в диске Ω = {(я,у) € Ж2 | х2 -f у2 < 1}
для уравнения Лапласа:
Аи = 0 в Ω, ди/дХ = / на Г = <9Ω, / € С00(Г). (22.1)
Здесь д/дХ = (ад/дх - Ьд/ду) - дифференцирование вдоль
направления λ (возможно "наклонного" относительно нормали к границе
Г). Это направление зависит от гладкого векторного поля
σ:Γ3«^ σ(β) = (α(·), Ь(в)) £ Ж2, a2(s) + 62(s) 9ε 0 Vs € Г.
Отождествим точку s G Г с ее полярным углом φ £ [0,2тг]. Тогда,
если σ(φ) = (cosy?, — sinу>), то λ = ι/ - (внешняя) нормаль к Г; если
89

σ(φ) = (—sinу?,cos<p), то λ = г - касательная к Г. Все эти и другие
случаи важны в приложениях. Однако наш интерес к задаче
(22.1) вызван, прежде всего, тем, что она ярко иллюстрирует
проблематику, относящуюся к общим эллиптическим задачам.
Оказывается, что разрешимость задачи (22.1) зависит (см.
ниже Р.22.1-Р.22.4) от так называемой степени отображения σ
относительно начала координат, а именно, от целого числа
N = {arg[a(27r) + ι6(2τ)] - arg[a(0) + ιό(0)]}/2π.
Ясно, что N - это число оборотов со знаком, которые точка
σ{φ) делает вокруг начала координат, двигаясь вдоль замкнутой
кривой σ : [0,2тг] Э φ *—► <τ(φ) = (а(<р),Ь(<р)).
При Ν ^ 0 задача (22.1) всегда разрешима, но неоднозначно:
размерность а пространства решений однородной задачи равна
2ЛГ + 2.
Если N < 0, то для разрешимости задачи (22.1) необходимо
и достаточно, чтобы правая часть / была "ортогональна"
некоторому подпространству размерности β = 2\Ν\ — 1. Точнее,
существуют (2|iV| — 1) линейно независимых функций Ф; Ε £2(Г),
таких, что задача (22.1) разрешима т. и т.т., к.
^/Φ;ί/Γ = 0ν^ = 1,...,/? = 2|ΛΓ|-1.
г
При этом размерность α пространства решений однородной
задачи равна 1. Частный случай задачи (22.1), когда λ = ν - нормаль
к Г, называется задачей Неймана для уравнения Лаплас/а. В этом
случае JV" = —1, т.к. α(φ) + ib(<p) = exp(—tp). Задача Неймана
разрешима т. и т.т.,к. j fdY = 0, причем решение определяется
г
с точностью до аддитивной постоянной. Действительно, если
J fdT = 0, то на Г определена непрерывная функция
г
8
g(s) = g(s0) + / f(<p)dtp.
So I
По функции g построим решение ν задачи Дирихле: Αν = О в Ω,
ν = g на Г. Тогда вещественная часть аналитической функции
и + iv, т.е. функция и (определяемая с точностью до аддитивной
постоянной), является решением рассматриваемой задачи
Неймана, т.к. ди/ди = dv/дт = /, где д/дт - дифференцирование по
касательной к Г. Обратно, если и - решение задачи Неймана,
то выполнено условие "ортогональности": f fdT = 0. Это сразу
г
следует1) из формулы Гаусса (7.5). Наконец, из первой формулы
Грина (7.3) вытекает1) что если ui, «2 - два решения задачи
/
90

Неймана, то « = «ι - «2 = const, т.к.
/ (ul 4- Uy)dxdy = 0, т.е. их = uy = 0 <£=> и = const.
η
1^При дополнительном условии: и € С2(П). Это условие выполнено при
/ € С°°(П) в силу априорных оценок для эллиптических задач (см. ниже).
Впрочем, утверждение справедливо и без этого дополнительного условия
(см., например, § 28 и § 35 в [37]).
Рассмотрим теперь общее эллиптическое (см. 21.4)
дифференциальное уравнение
а(х, D)u = Σ a«{*)D"v = /» «ι € Я5(0) (22.3)
в области Ω <s Жп с гладкой границей Г. Пример задачи с
наклонной производной показывает, что, по-видимому, разумно
поставить такой вопрос: сколько граничных условий
6;(*,£>НГ= £ bjfi(x)Dpu\r = gj на Г, j = l,...·,** (22.4)
|1|<т;
нужно поставить (т.е. чему равно число μ) и каковы должны быть
граничные операторы2) Ьу, чтобы были выполнены два условия:
1) задача (22.3)-(22.4) разрешима при любой правой части
F = (/,</,. ·. ,д) € #*'м = Я*>m(Q) х Π Я-т'-1/2(Г), (22.5)
i=i
которая, возможно, ортогональна некоторому конечномерному
подпространству Yq С Я*,м;
2) решение и задачи (22.3)-(22.4) определяется однозначно
с точностью до некоторого конечномерного подпространства
Хо С #·(Ω).
2)Пример задачи: &и = /вП, Аи = ρ на Г показывает, что произвольные
граничные операторы (22.4) задавать нельзя.
Ниже будет дан ответ на поставленный вопрос в терминах
алгебраических условий на старшие части символов
дифференциальных операторов. Эти условия являются не только
достаточными, но и необходимыми (по крайней мере, при η ^ 3)
для разрешимости задачи (22.3)-(22.4) в указанном выше смысле.
Однако прежде чем приводить эти условия, обратимся к серии
упражнений, относящихся к задаче с наклонной производной.
22.1.Р. Положив U =r ur, V = -иу, показать, что решение и задачи (22.1)
определяет решение W следующей задачи Гильберта: найти аналитическую
функцию W =: U + iV в Ω, непрерывную в Ω и удовлетворяющую на Г
граничному .условию aU + bV = /. Кроме того показать, что решение
W указанной задачи Гильберта однозначно с точностью до аддитивной
постоянной определяет решение и задачи (22.1).
22.2.Р. Проверить, что на Г = {z = |z|exp(i<p), \z\ = 1} определена
непрерывная функция g(<p) = arg[a(y>) .+ ib(<p)] — Νφ. Построив, далее, в
Ω = {\ζ\ < 1} аналитическую функцию ρ + iq по решению задачи Дирихле:
Δ<? = 0 в Ω, q = д на Г, показать, что аналитическая в Ω функция c(z) — ζ™ ·
91

ехр(р(Я|У) + *9(я»у))» где ζ = x + iy, удовлетворяет на Г условию: с = ρ·(α+ιδ)
где ρ as eP/\a + tb| > 0.
22.3.Р. Пусть N ^ 0 и пусть С = ( + *»? - аналитическая в Ω функция,
такая, что ξ = ρ · //|ο + t6|2 на Г. Полагая ί/ + «V = с(г)С(г), проверить, что
(Re c)U + (Im с) V = |с|2 Re(C/ + iV)<(z) = pf на Г, (22.6)
т.е. (aU + bV) '= / на Г. Показать, что при JV > 0 общее решение задачи
Гильберта представляется в виде c(z)[C{z)+Wq(z)\j где Wq = О при |z| = 1, \Υ$
- аналитична при О < \ζ\ < 1 и имеет полюс при ζ = 0 кратности ^ N.
Доказать, используя теорему 5.16, что
-1
Щ(*) = ίμ0 + ^2 [(λ* + ίμ*)ζ* - (Хк + «μ*)*-*], где λ* € К, μ* € Ж.
т.е. Wo (ζ) является линейной комбинацией 2Ν + 1 линейно независимых
функций.
22.4.Р. Пусть JV < 0. Проверить, что если U+ iV - решение зада*
чи Гильберта, то для функции ζ(ζ) = (ί/ + t'V)/c(z) выполнено условие
(22.6). Лалее, записав гармоническую при \z\ < 1 функцию Re ((z) в
виде интеграла Пуассона (5.10) и разложив в ряд Фурье функцию Re ((z)
оо
при \ζ\ = 1, доказать, что ζ(ζ) = (Aq/2 + ic) + ^ (λη - ίμ)ζη, при |з| < 1
где с 6 К, λ„ = A J /(у) yffiyffljfc)". Λ· = - J Я?) ffiyflffik) · °пи·
раясь на этот результат и учитывая, что функция ((ζ) имеет при ζ = 0
нуль кратности ^ |iV| ^ 1 показать, что при ΛΓ < 0 не существует
более одного решения задачи Гильберта, а необходимым и достаточным
условием разрешимости задачи Гильберта при ΛΓ < 0 является условие
λο ss ··· = Ai^y· ι = μχ = ··· = M|jvj-1» т.е. "ортогональность" функции / к
(2|7V| — 1) -мерному пространству.
22.5. Замечание. Решение задач Р.22.1-Р.22.4 изложено,
например, в § 24 учебника [15].
Вернемся к краевой задаче (22.3)-(22.4) в области Ω <е Кп,
представив ее в виде уравнения Ли = F для оператора
А:Н3(П)Эи*—+АиеН*>м} (22.7)
где Ли Ξ (α(χ,£>)«,γ6ι(χ,Ζ>)ιι,:.. ,γ6μ(χ,Ι))ιι). Здесь γ - оператор
граничных значений на Г (см. 20.12), а Н8,А* - банахово
пространство введенных в (22.5) функций F = (/,yi,..., £μ) с нормой
||F||,,m = ||/||.-« +έΐΙ»ΙΓ.-«^ι/3· (И.8)
Рассматривая операторное уравнение Ли = F, мы будем
пользоваться следующими стандартными обозначениями. Бели Я" и У -
линейные пространства, А - линейный оператор из £ в У, то
КегА = {ζ е X | Ах = 0}, Coker A = У/Im A,
где ImA = {у Ε У | у = Ах, я G X} - образ оператора А, а У/ImA
- фактор-пространство пространства У по ImA, т.е. линейное
пространство классов смежности по ImA (см. .[31]). Напомним,
92

что линейные пространства Кег А и СокегЛ называются
соответственно ядром и коядром оператора А. Напомним также, что если
X и У - банаховы пространства, то через L(X,Y) обозначается
пространство линейных непрерывных операторов из X в У.
Как уже было сказано выше, мы хотим найти условия на
символы операторов a(ar,D) и bj(x,D), при которых
α = dim Кег А < со, β = dimCoker А < со. (22.9)
Свойство (22.9) будем в дальнейшем записывать коротко:
ind.4 = <*-/?< со, (22.10)
называя число ind*4 € Ъ индексом оператора А
22.6. Замечание. Из Р.22.7 и леммы 22.8 вытекает, что 1тА
замкнут в гильбертовом пространстве HS,M. Поэтому Coker.4
изоморфно ортогональному дополнению 1т А в Н*'М.
22.7.Р. Доказать существование непрерывного оператора продолжения
Φ : HS(Q) —► Я*(ЕП), РФи = и (22.11)
и показать, что оператор (22.7) непрерывен при з > max(mT) + 1/2.
i '
Указание. При Ω = Ж? в качестве Φ можно взять оператор
Φ/ = Ορ((η-)~')θ+Ορ((η-)*)υ, <*,_> = η- + 1, ц_ = -пм + |ц'|, (22.12)
где L : ΛΓ*(Ω) —► #5(ЖП) - любой оператор продолжения, а 6+ -
характеристическая функция ffij. В силу теоремы 18.4 Пэлн-Винера, функция
0+Op((?7_)*)L/ не зависит от L, т.к. функция (?j-)'(Li/ — 1>2/) аналитически
продолжается по ηπ в С+ =* Op((rj_)*)(Li/ - L2/) = 0-$ € L2. Поэтому
(см. (20.5)) ||ФЛ|3д» ^ Cinf |^+Op((4->ML/||0|i· < Cinf ||L/||5,a» = C||/||f|1..
К К
Бели Cl - компакт в Жл, то Ф/ = у> · / + ^ Ψ* * ^k(^k * /)» г#е У^ ^fc = *
jb=0 fc=0
К /С
в Ω, <рд> € Со°(П^), a (J Ω* - такое покрытие области Ω, что |J Ω^ Э
*=1 fc = l
Г; ^ € Cq°(0^)» V'Jb^Jb ^ ^Jfc» a ^k " оператор, заданный по формуле (22.11) в
локальных координатах у = <г&(я), "распрямляющих" Г (см. 20.10).
22.8. Лемма.(Л.Шварц). Пусть А Е L{X,Y) и dimCoker A < оо.
Тогда ImA - замкнут в У.
Пояснение. Рассмотрим пример. Пусть А ~ оператор вложения
X = С1 [0,1] в У = С[0,1]. Очевидно, Im Л φ У = Im А. Согласно
22.8, dimCoker Л = оо. Это легко понять непосредственно.
Действительно, пусть <pa(t) = \t — α|, где a £]0,1[, t € [0,1]. Имеем:
у>а € ImA, y>a — у?/? £ 1тА при α φ β> т.е. элементы у?а - это
представители линейно независимых векторов в У/ImA. Таким
образом, dim(y/ImA) = оо.
Доказательство леммы 22.8 опирается на теорему Банаха об
обратном операторе3). Оно приведено, например, в [10, стр. 72].
3)Пусть X и Υ - банаховы пространства, А € L(X,Y). Если Кег Л = О, то
ЗЛ-1 : ЪлА —► X. Однако, как показывает пример, приведенный в пояснении
к лемме, оператор Л"1 может не быть непрерывным. Теорема Банаха (см.
93

[31]) утверждает, что А 1 будет непрерывным, если 1тЛ = У.
22.9. Лемма. Если ind А < со, то ЗС > 0, такое, что
|М|, ζ C(\\Au\Um + ||α||,-ι) Vti € Я*(П). (22.13)
> Пусть Χχ - ортогональное дополнение в Н*,м кХо = КегА
Имеем: А 6 Ц-Χι,Υι), где Υχ = Im.4, причем Л - изоморфизм
Хх и У1. Пространство Υχ - замкнуто (лемма 22.8) и потому
банахово. По теореме Банаха А"1 € L(Yx>Xx). Обозначим через
ρ ортогональный проектор X на Xq. Тогда
N1. ^ IMI. + li(i - р)«Н. = IMI. + IM"U(i - р)«||, <
|Н|, + d\\A(l - p)u\\SiM ζ ΙΜΙ» + C*i|Hu||J>M + С2|ИЬ·
Остается заметить, что \\pu\\s ^ C||u||,-i. Это верно, т.к. ри £
ХоУ dimXo < оо, а потому \\pu\\s ^ <7||ρΐί||,_ι (ибо непрерывная
функция ||ν||, ограничена на конечномерной сфере ||ν||,-ι = 1, ν £
Хо). <
22.10. Лемма. (22.13) => dimKer.4 < оо.
с> Предположим, что dimKeiA = оо. Пусть {uj}j*Lx - op-
тонормированная последовательность в Xq = КегЛ. Тогда
lltifc-ttmlfj = 2. Из (22.13) следует: ||«*-«„»||, = л/2 ζ С\\ик-ит\\ш-и
т.к. (щ - Um) G Xq. Поэтому ||u* - um||,-i ^ y/2/C. рледователь-
но, из ограниченной в #*(Ω) последовательности {ti;} нельзя
выбрать сходящуюся в Я5"""1^) подпоследовательность. Но это
противоречит компактности вложения #*(Ω) в Η*~Χ(Ώ) (см.
теорему 20.15). < *
22.11. Замечание. Леммы 22.9 и 22.10 показывают роль
априорной оценки (22.13). Путь к ее доказательству подсказывает
доказательство априорной оценки (21.11) в Еп (см. указание к
Р.21.5). Более того, справедлива
22.12. Лемма. Пусть R £ L(H*>M,Я*), причем
R · Аи = и + Tti, ||Г«||,+1 ^ С||||||, (22.14)
и
А · W = Fi + TiFb ||Г1^||,+1|м < ОДН.,*. (22.15)
Тогда ind Л < оо.
> Очевидно, что (22.14) =*· (22.13). Поэтому dimKer,4 < оо.
Далее, Τχ : Н*,м —* Я*,м - компактный (в другой терминологии
вполне непрерывный) оператор [31], т.е. Γι переводит ограниченное
множество в HS,M в компактное, что вытекает из (22.15) и
компактности вложения Н8+1,м в Я*,м (теорема 20.15). Отсюда, по
теореме Фредгольма (см. [30-31]) подпространство Υχ = Im(l +Τχ) -
замкнуто в Яв,м, причем dimCokerYi < оо, а уравнение (l+Tx)F = F
имеет решение для любого F Ε Υχ. Остается заметить, что
lmA = Im(l + Γι), а уравнение Аи = F имеет VF € Υχ решение
и = uFi. <
22.13. Определение. Оператор R, удовлетворяющий (22.14)
и (22.15), называется регуляризатором оператора А.
94

22.14.P. Пусть Г = 3Ω, где Ω <§Ξ Μη+1. . Ясевдода^ерекциллмсы*
оператор4) А : Я* (Г) — #5-т(Г) класса Lm на замкнутом многообразии Г
называется «ллиптои-ческил*, если его символ4) а удовлетворяет условию:
\а(х,()\ ^ С|£|т при аг € Г и |(| > 1. Доказать, что та А < оо.
Ухазание. Пусть J^Vjb = 1 ~" разбиение единицы, подчиненное конечному
покрытию иГд. = Г, a V'fc € С£°(Гд.), причем V'fc^jb — V*· Показать (ср. с
указанием к Р.21.5), что оператор4)
Я/ = £**Op(pfc(0/a*(*,0)Vfc/. / € Я*~т(Г), (22.16)
где ρ € С°°(ЖП), ρ = 1 при |£| ^ Л/ + 1 и ρ = 0 при |ξ| ^ М, является
регуляризатором для А.
4)Пусть ξ = (£ι,..·,£η) € Жп - координатное представление линейного
функционала ν на касательном пространстве к Г в точке ρ € Г, имеющей
локальные координаты χ — (χχ,...,χη). Функционал (вектор) ν называется
кохасателъным. Множество таких векторов обозначается Т£Г. Оно
изоморфно Жп. Значение ν на касательном векторе gradg = (д/дх\,... ,д/Эхп)
вычисляется по формуле: (^grad^.) = i\d/dxi + h ЫЭ/дхп. Бели у = σ(χ)
- другая локальная система координат той же точки ρ € Г, & η = (ι^, ..., ηη)
- соответствующее координатное представление кокасательного вектора
ν, то в силу равенства ((,grada:) = (i^grady) имеет место соотношение:
ξ = *σ*(χ)η, где ίσ/(χ) определено в 21.12. В множестве \J Т£Г есте-
Р€Г
ственным образом вводится структура гладкого многообразия. Оно
называется к о ка с am ел ьным расслоением. Пусть функция а 6 С°°(ТрГ) такова,
что для ντο чек Г д. С Г, имеющих локальные координаты ху функция а
совпадает с некоторой функцией а^ € Sm. Пусть 53<Pjb = 1 -
разбиение единицы, подчиненное покрытию (Jr^ =г Г, а ψ% 6 Сп°(Г^)» причем
i/>£(l>£ =r </?fc. Из леммы 21.12 о замене переменных вытекает, что
формула А : Н'(Г) Э и ι—► Аи = ]Г) ν>*Ορ(αλ(χ,ξ))ψ*ΐί 6 #*~т(Г) однозначно с
точностью до оператора Г€ £(#*(Г),Н5"~т+1(Г)) определяет линейный
непрерывный оператор, который называется псевдодифференциальным класса
L™ с символом а.
Продолжим изучение краевой задачи (22.3)-(22.4). Всюду
ниже предполагается, что выполнено
22.15. Условие. Если dim Ω = 2, то старшие коэффициенты
оператора a{x,D) вещественны.
22.16. Лемма. Главный символ ат(х,£) = Σ αα(ζ)ξα опе-
|а|=т
ратора a{z,D) всегда допускает при условии 22.15 факторизацию
[50], т.е. функция
am(2/,r?)= Σ α«(*Κβ|*=«σ'(*)ΐι; *=*~ЧуУ
|of|=m
где σ определено в (21.12), может быть представлена в виде
ат{у,щ) = α+(ν,η) · a-(«,iy), η = (i/>4r>) € Г1"1 х Ж. (22.17)
Здесь функция а±(у, *7), также как и функция a±x(y, r/), непрерывна
при г/ ^ 0 и при любом ή φ О аналитически продолжается по fjn
95

в комплексную полуплоскость Ст. При этом:
α±(υ^η) = ίμα±(ν,η) при t > О, (η',ηη) € ИГ"1 X Ст>
где число μ является целым5). Кроме того, m = 2/z.
5>Как будет видно из дальнейшего, это число μ, равное порядку однород.
ности функции α_|_(ι/,τ?) по rjn и называемое индексом факторизации символа
ат, не случайно обозначено той же буквой, что и искомое число граничных
операторов bj(x,D) в задаче (22.3)-(22.4).
> Если коэффициенты аа{х) при |а| = m вещественны, то
при η1 φ О уравнение am(y,f/) = 0, где η = (η',ηπ) € Ж"*"1 х К,
имеет относительно ηη только комплексно-сопряженные корни
ι/„ = ±t'A*(y,q') £ С±, где t = 1,...,/*. Поэтому m = 2/ι -
четное число и
«±(», η) = с±(») П'(±<Ф» + ЗД> ι/)), <*(*) ^ 0. (22.18)
При п ^ 3 формула (22.17) справедлива всегда.
Действительно, при ηη φ 0 каждому корню t7„ = ±tA(y, η') € С± уравнения
атп(«с, »|) = 0, где q = (t7',Jfo), соответствует в силу однородности
am(w, η) относительно ι; корень ηη = ТА(у, —q') € Ст. Остается
заметить, что функция A(y,t/) непрерывна по rf φ 0, а сфера
l^l = 1 - связна при п ^ 3. <
22.17. Замечание. Ясно, что символ |т;|2 оператора Лапласа
допускает факторизацию: \η\2 = 17+17-, где *7± = ±ΐφι + |ι/|. Однако
символ оператора (д/ду2 + *д/ду\)т не факторизуем, т.к. (ι/η +
*V)~m аналитически продолжается по ifo в С+ (в С_) лишь при
η' > 0 (η' < 0).
Перейдем к формулировке условия, накладываемого на
символы операторов bj(x,D). Зафиксируем точку xq € Г. Выделим
старшие части символов операторов α(χο,Ζ?) и 6;·(εοι#)>
записанных в координатах у = (у\уп) € Жп-1 х Ж, локально
"распрямляющих" Г. Это значит, что вблизи точки xq граница Г задается
уравнением уп = 0, где у - внутренняя нормаль к Г. Итак,
рассмотрим полиномы по η:
<*πι(ζο,η)= Σ α<*£° Η*«,·(*ο,9)= Σ ^β(χ0)ξβ, j = l,..., γ,
|aj=m |£|=mj·
где (согласно лемме 21.12) ξ = *σ'(«ο)ι?ι а σ : ж ι—► у -
диффеоморфизм, "распрямляющий" Г вблизи точки xq. Пусть η* φ 0.
Пусть выполнено условие 22.15, т.е. ат(хо^) = а+(а?о>»7) а-(хо>*?)«
Обозначим через
β
]СМ*>£ Ξ *mi(*o,9) mod a+(*0,9) (22.19)
Jk=l
остаток от деления bmj(xo,r}) на β+Ο^Οι^) (где 6mj. и а+
рассматриваются как многочлены по ηη).
22.18. Условие (дополнительности [53], или условие Шапи-
96

ро-Лопатинского [54], [55]). Полиномы (22.19) линейно
независимы, т.е.
det(bjk(xy η')) φ О V* € Г, Vf/ φ 0. (22.20)
Иными словами, главные символы bmj{x^) граничных
операторов, рассматриваемые как полиномы от г/п, линейно независимы
по модулю функции α+(χο,η) - полинома по ηη,
22.19. Замечание. В случае дифференциального оператора
a(x,D) или в случае псевдодифференциального оператора a{x,D)
с рациональным символом, скажем как в примере 21.3, α+(η',ηη) =
(—1)μα_(—τ/,— ηη). Поэтому при формулировке условия 22.18
функцию α+(ζ0, η) можно заменить на a_(s0> *?)· По той же причине
в этих случаях несущественно, является ли уп внешней или
внутренней нормалью к Г.
22.20. Определение. Задача (22.3)^(22.4) и
соответствующий ей оператор А называются эллиптическими, если выполнены
условия 22.15 и 22.18.
22.21. Пример. Пусть a(xtD) - эллиптический оператор
порядка m = 2/z. Пусть Bj(x,D) = d*~lldv*~l + ..., j = Ι,...,/i, где
ν - нормаль к Г, а многоточие означает оператор порядка < j — 1.
Тогда (при условии 22.15) det(6j*(&,i/)) = 1 для любого a(ar,D).
22.22.Р. Пусть Λ - гладкое векторное поле на Г = 3Ω, где Ω - компакт
в №п. Показать, что задача Пуанкаре
a(x,D)u = У2 aa(x)DQu = / в Ω, Эи/ЭА + Ь(а:)и = 3наГ (22.21)
|сг|<2
для эллиптического оператора a(x,D) является эллиптической в случае
η ^ 3 т. и т.т., к. поле Λ ни в одной точке Г не является касательным к
Г. Проверить также, что в случае п — 2 задача (22.21) эллиптична (при
условии 22.15) для любого невырождающегосл поля А.
22.23. Теорема. Пусть оператор А : Η*>Μ(Ω) -> #5(Ω),
соответствующий дифференциальной краевой задаче (22.3)-(22.4):
а(х, D)u == Σ <*a(x)DQu = / в Ω € Κη,
|a|<m
6,(*,Я)и|г= J2 М*)д/,Чг = « наГ> J = l,--.,M = m/2>
является эллиптическим. Пусть (ср. Р.22.7) s > тах(т,) + 1/2.
Тогда indA < оо. При атом
|М|, ^ C(||a(ar, Z>)tt||f.m + £ №(«,£>Hr||',-mi + NU)· (22.22)
i=i
> Наметим доказательство, детали которого можно найти в [50],
[53], [55J. Используя разбиение единицы (аналогично тому, как это
предлагалось в указаниях к Р.22.7 и Р.22.14) и учитывая Р.21.5,
можно проблему построения регуляризатора для оператора А
7
97

свести* к случаю, когда Ω = Е+ , а символы α(χ,£) и fy(x,f) не
зависят от х. В этом случае определим оператор R : Н**м —* #*
по формуле:
RF = P+Op(r+/a+)9+Op(r-/a„)Lf + ]ГР+Ор(с,)(Л - /Д (22.23)
где Р+ - оператор сужения на Щ, L : Я*(1£) -* Я*(1П) - любой
оператор продолжения; через г± обозначены функции £±/(ξ±)μ,
"снимающие" особенности у символов 1/а± в точке ξ = О, т.к.
ξ± = ±ίξη + |ξ'|, a (ξ±) = ξ± + 1. Отметим, что (в отличие
от аналогичной функции ρ в (21.3)) функция г± аналитически
а*
продолжается по ξη € Ст. Далее, с,(£) = £ <7*(£')(££~7в+(0)>
где (cfcji^O) "" обратная (см. (22.20)) к (fy*(£')) матрица, а
ft = 7Я;(Я) · До/, где До/ = P+Op(r+/a+)e+Op(r-/a-)Lf.
Опираясь на теорему 18.4 Пэли-Винера, нетрудно проверить, что
функция До/ не зависит от L (ср. Р.22.7) и вместе с производными
по хп порядка j < μ обращается при хп=0в нуль.
Заметим, что Аи χ= Р+Ор(а~)Ор(а+)и+> где и+ β Н°(Шп) -
продолжение нулем при хп < 0 функции и € Я*(ЖП). В силу
теоремы Пэли-Винера, 0+0р(г_/а_)Ор(а_)/_ = 0 V/_ € Я°(1П),
если Р+/- = 0. Поэтому
R0Au =Р+Ор(г+/а+)в+Ор(г„/а-)Ор(а-)Ор(а+)и+ dk
Р+Ор(г+/а+)в+Ор(а+)и+ + Тхи = w + Г2«,
где||Г^||#+1<С|М|,.
Оператор До является регуляризатором для оператора,
соответствующего задаче Дирихле с нулевыми граничными условиями.
Аналогично доказывается , что в рассматриваемом случае
полупространства оператор (22.23) является регуляризатором для
Л. <
Непосредственно из оценки (22.22) вытекает
22.24. Следствие. Если и € Я'-^П), Аи € #*'Μ(Ω), то
и Ε Я*(Ω). В частности, если и £ HS(Q) - решение задачи
(22.3)-(22.4), причем / £ <7°°(Ω), gs € С°°(Г), то и € С°°(0).
22.25. Предложение. В условиях теоремы 22.23 КегЛ,
СокегЛ, а потому и incM не зависят от s.
> Если иеН* и Аи = 0, то, в силу 22.24, и € Я* Vt > s,
т.е. КегЛ не зависит от s. Далее, т.к. Н*,м есть прямая сумма
A(HS)+Q, где <2 - конечномерное подпространство, и т.к. Ht,M
плотно в Я5»м при < > 5, то (см. лемму 2.1 в [57]) Q С Я*»м.
Поэтому (с учетом 22.24)
Ht,M = я*'м(°|Я*'М = Я*'^рЛ(Я5)+Я'·" f|Q = Л(Я''м)+д,
т.е. СокегЛ не зависит от 5. <
98

22.26. Замечание. Хотя Кет А и СокегЛ не зависят от
5, однако при возмущении оператора А оператором
меньшего порядка6) или оператором со сколь угодно малой нормой6)
сНтКегЛ и dimCoker.4 могут меняться. Это видно (как легко
проверит читатель) даже в одномерном случае. Тем не менее,
ind A = dimKer A — dimCoker А не зависит от этих возмущений.
6)С помощью таких операторов строилась эллиптическая теория.
Более того, справедлива (см., например, [10], [56], [57])
22.27. Теорема (об устойчивости индекса). Пусть Ω <s Жп,
и пусть семейство эллиптических операторов
At : #'(Ω) -+ #'·Μ(Ω), где t € [0,1],
непрерывно по t, т.е.
\\Atu - ATu\\8iM < C(t,r)||ii||„ где C(t,r) —► 0 при t —► г.
Тогда ind .До = ind Αχ.
22.28. Замечание. Теорема 22.27 дает удобный способ
изучения разрешимости эллиптических уравнений Аи = F. В самом
деле, допустим, что для семейства эллиптических операторов
At = (1 - t)A + ΙΑχ : Н° —+ HS*M
известно, что ind^ = 0. Тогда ind A = 0. Если к тому же
удалось установить, что Кет А = 0, то уравнение Аи = F однозначно
разрешимо. Если же dimKer Л = 1, то уравнение Аи = F
разрешимо при любой F, ортогональной в Н$,м некоторой ненулевой
функции, а само решение определяется однозначно с точностью
до одномерного КегЛ.
Приведем (следуя [58])
22.29. Пример эллиптического оператора весьма общего
вида
А, = (а(х, D),6χ(χ, Х>)|г »„(.,D)\r) : Я*(Ω) — #'·Μ(Ω)
в области Ω € Шп с гладкой границей Г, для которого ind .41 =
0. Пусть
*(*.о= Σ ««(«κν. *д*.о= Σ m*)*v,
где q ^ 0. Пусть имеет место эллиптичность с параметром, т.е.
02„(*,i,i)= Σ ee(«)iV?4 0V(ili)5iOV.€ft.
Ν+*=2μ
Тогда α>2μ(χ,ηΛ) допускает (см. лемму 22.16) факторизацию
β2μ(#ι*7,</) = а+(ж>*7»^)a^-(^j»7>^)· Пусть также выполнен аналог
условия Шапиро-Лопатинского 22.18. А именно: для любого
χ € Г главные символы
1/*1+*<т,
граничных операторов, рассматриваемые как полиномы по г/п,
99

линейно независимы по модулю функции a+(:r,7/,g),
рассматриваемой как полином по ηη.
Повторим доказательство теоремы 22.23, предварительно за»
менив в определении нормы пространства Я5 (см. 20.2) (ξ) = 1 + |£|
на (£) = 1 + q + \ζ\. Тогда, ввиду очевидного неравенства
11(1 + 9 + KI)s2(0IU>(i«) ^ JlKi + ? + Ι£Ι),+1ΙΗ*»),
получим, что регуляризатор R оператора А± (см. доказательство
теоремы 22.23) удовлетворяет соотношениям:
R-Am^u + Tu, ||Ги||,^-|Н|,
и
Ai · i?F = F + TxF, ΙΙΤ^ΙΙ,,μ ^ -||F||#|J#.
Поэтому операторы 1-f Г и 1 + Ti являются при q >► 1
автоморфизмами соответствующих пространств, а уравнение А\и = F при
g >► 1 однозначно разрешимо. Тем самым, incMi = 0.
Из замечания 22.28 и примера 22.29 легко следует
22.30. Предложение. Пусть А : Я5 —► Я5'М - оператор,
соответствующий задаче из Р.22.21 (например, задаче Дирихле
a{x)D)u^ ]Г a«(*)DQu = f βΩ(ξΚπ,
|α| = 2μ
—— =ЛнаГ, j = 1,...,/i
для эллиптического оператора a(x,D), удовлетворяющего
условию 22.15)) или эллиптической задаче Пуанкаре (рассмотренной
в Р.22.22). Тогда indA = 0.
22.31. Следствие. (Ср. с Р.5.17). Задача Дирихле
Аи = / € Я5"2(П), и = де Н-1'\Г), s > 1
в области Ω € Жп с достаточно гладкой границей Г однозначно
разрешима. При этом,
1И1.<С-(||/||._а + ||,||;_1/2). (22.24)
> В силу принципа максимума (теорема 5.13), Кег А = 0.
Поэтому СокегЛ = 0, т.к. ind А = 0. Кроме того, т.к. Кег Л = 0, то из
общей эллиптической оценки (22.22) следует оценка (22.24).
Действительно, рассуждая от противного, возьмем последовательность
{«„}, такую, что \\un\\s = 1, а ||·4ΐΐη||*,Λ/ -+ 0. В силу компактности
вложения Η*(Ω) в Η*~ι(Ω) и оценки (22.22) можно считать, что ип
сходится в Я5 к и € Я5. Так как ||ип||* = 1, то \\и% = 1. Но с
другой стороны, ||ti||, = 0, ибо |И«||#|л# = 1ίπι||Λ«η||·,Μ = 0. <
22.32. Следствие. Задача Неймана
Аи = / € я-2(П), ^; = де я*-3'2(г), s > 3/2 (22.25)
100

в области Ω <s Шп с достаточно гладкой границей Г разрешима
т. и т.т., к.
/ f(x)dx - / g(y)dT = 0. ( (22.26)
Ω Γ
При этом решение и определяется с точностью до константы.
> Необходимость (22.26) сразу следует из формулы (7.5)
Гаусса. Из первой формулы Грина (или из леммы 5.23 Хопфа-
Олейник) следует, что Кет А состоит из констант. Отсюда
dimCoker.4 = 0, т.к. incM = 0. Поэтому задача (22.25)
разрешима, если правая часть F = (/,#) удовлетворяет одному и
только одному условию ортогональности. Таким образом,
необходимое условие (22.26) является также и достаточным для
разрешимости задачи (22.25). <
22.33. Замечание. Указанный в замечании 22.28 прием
изучения разрешимости эллиптических уравнений может быть
применен и в более общих ситуациях, например, для задач с условиями
сопряжения на поверхностях разрыва коэффициентов [59].
22.34. Замечание. Рассмотренная в этом параграфе теория
эллиптических краевых задач для дифференциальных операторов
допускает естественное обобщение на псевдодифференциальные
операторы (см. [50], [55]). В частности, можно показать [60],
что уравнение
ε «<*> + ^ JT^\dV = HX)' Ω@
Ω
для рассмотренного в примере 21.3 оператора имеет при ε ^ 0
и q ^ 0 единственное решение и £ #_1(Ω) для любой / Ε (7°°(Ω).
Если ε = 0, то
и = «о + Q · *|г> ti0 € C°°(Q), ρ € С°°(Г),
где δ\Γ - 6-функция, сосредоточенная на Г. При ε > 0 и € С°°(Й),
причем
и{х) = щ(х) + -ρ(ΰ)φε-**Ι* + Γ0(«,ε),
где ||^ο||ι,2 ^ Cy/ε, уп - расстояние по нормали от ж до у' € Г, а
φ £ <7°°(Ω), φ = 1 в малой (и φ = 0 вне чуть большей)
окрестности Г.
101

ДОПОЛНЕНИЕ (Ю.В. ЕГОРОВ)
НОВЫЙ ПОДХОД
К ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
1. Недостатки теории распределений. Теория распределен
ний Л. Шварца была создана в основном к 1950 году и быстро
завоевала популярность не только у математиков, но и у
представителей других естественных наук. Это объясняется в большой
степени тем, что в основу этой теории могут быть положены
фундаментальные физические принципы, так что ее применение
становится совершенно естественньш. С другой стороны,
множество замечательных математических результатов было получено
в последние годы именно благодаря широкому использованию
теории распределений. Однако быстро выяснилось, что эта
теория обладает двумя существенными недостатками, серьезно
затрудняющими ее применение как в математике, так и в других
естественных науках.
Первый из них связан с тем, что для распределений
невозможно в общем случае определить операцию умножения так, чтобы
эта операция была ассоциативной. Это видно, например, из
следующих рассуждений, принадлежащих Л. Шварцу:
произведение (6(х)-х)(1/х) определено, поскольку каждое распределение
можно умножать на бесконечно дифференцируемую функцию, и
равно 0. С другой стороны, произведение 6(х) · (х · (1/я)) также
определено и равно δ(χ).
Более того, Л. Шварц доказал следующую теорему.
Теорема. Пусть А - ассоциативная алгебра, в которой
определено дифференцирование (т.е. такой линейный оператор
D ; А —* А, что D(f · g) — f · D(g) + D(f) · g). Предположим,
что пространство С(Е) непрерывных функций на прямой является
подалгеброй в А, причем D совпадает с обычным
дифференцированием на множестве непрерывно дифференцируемых функций, а
функция, тождественно равная 1, является единицей алгебры А.
Тогда А не может содержать элемента ί, для которого х-6(х) = С.
Покажем, что произведение δ · δ не определено в
пространстве распределений. Пусть ω(χ) - такая функция из Со°(Ж), что
fu;(x)dx = 1, ω(0) = 1; положим ωε(χ) = ω(χ/ε)/ε. Естественно
считать, что 6 -6 = limu^, так что (δ ·δ,φ) = limfv*(x)<p(z)dx.
Однако (ω^,ω) = f<jj*(x)i4j(x)dx — ε"1 f ω2(χ)ω(εχ)άχ —► со при ε —► 0,
что доказывает наше утверждение. Таким образом, теория
распределений практически не может быть применена для решения
нелинейных задач.
Другой существенный недостаток теории распределений
связан с тем фактом, что даже "идеальные" для этой теории
линейные уравнения с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами
102

могут не иметь решений. Например, этим свойством обладает
уравнение
ди/дх + гхди/ду = /(х, у).
Можно подобрать такую бесконечно дифференцируемую функцию
/ с компактным носителем на плоскости переменных х, у, что это
уравнение не будет иметь решений в классе распределений ни в
какой окрестности начала координат. В действительности, таких
функций / довольно много - они образуют множество второй
категории в Q°(1R2)!
2. Ударные волны. В газовой динамике, в гидродинамике, в
теории упругости и в других разделах механики важную роль
играет теория разрывных решений дифференциальных уравнений.
Такие решения рассматриваются обычно при изучении ударных
волн. Под этим понимается такое явление, когда основные
характеристики среды имеют различные значения по разные стороны
от некоторой поверхности, называемой фронтом волны. Хотя
в действительности эти величины меняются непрерывно,
градиент их в окрестности фронта волны так велик, что их удобно
описывать с помощью разрывных функций.
Например, в газовой динамике скачок давления, плотности
и других величин происходит на расстояниях порядка Ю~10 м.
Уравнения газовой динамики имеют вид:
pt + {ρν)χ = 0 (уравнение непрерывности), (1)
(pv)t + (ρν2 + ρ)χ = 0 (уравнение движения), (2)
ρ = /(/,Г) (уравнение состояния). (3)
Здесь ρ - плотность газа, ν - скорость частиц газа, ρ - давление,
Τ - температура. Первые два уравнения имеют дивергентную
форму, что позволяет определить обобщенные решения с
помощью интегрирования по частям, как это делается в теории
распределений. При этом обычно считается, что .
Ρ = рл + 0(х - vt)(pn - /}л), Р = Рп + θ(χ - vt)(pn - рл),
где θ - функция Хевисайда, равная 0 при отрицательных значениях
аргумента и 1 - при положительных, а гладкие функции р„, рл,
РтРп" это значения плотности и давления, соответственно слева
и справа от поверхности волнового фронта.
Существенный недостаток такого описания состоит в том, что
здесь используется только одна, общая функция Хевисайда. Если
заменить ее гладкой функцией ве, для которой переход от нулевого
значения к единичному осуществляется на малом отрезке длины
ε, то условие (3) окажется нарушенным в этой зоне перехода и
это может повлиять на результаты вычислений!
Анализ этой ситуации подсказывает естественный выход: для
описания функций ρ и ρ следует воспользоваться разными
функциями θε. В пределе, 1*ри ε -+ 0, эти функции стремятся к одной
103

общей функции Хевисайда, но при ε φ О, эти функции должны
быть такими, чтобы было выполнено условие (3).
В действительности, такая ситуация встречается в приклад,
ной математике довольно часто: для правильного, адекватного
описания явления с использованием разрывных функций
необходимо запоминать способ аппроксимации этих разрывных функций
гладкими. Именно в этом, в принципиальной для теории
распределений невозможности такого запоминания, и состоит главный
недостаток этой теории, который не позволяет пользоваться ею
в нелинейных задачах.
Мы опишем теперь новую теорию, включающую в себя
теорию распределений и одновременно свободную от указанного
недостатка.
3. Новое определение обобщенных функций. Как бы широко
ни было пространство обобщенных функций, пространство
бесконечно дифференцируемых функций должно быть плотным в нем.
Это вполне естественное соглашение является общепринятым, оно
вполне оправдывается практическими приложениями, и у нас нет
причин отказываться от него. Поэтому естественно пространство
обобщенных функций определять как пополнение пространства
бесконечно дифференцируемых функций в некоторой топологии,
которая в сущности и определяет искомое пространство.
Например, пространство распределений можно определить,
рассматривая всевозможные последовательности бесконечно
дифференцируемых функций {/;}, для которых каждая последовательность
f fj(z)<p(x)dx имеет конечный предел при j —► со, если φ Ε Cq0.
Пусть Ω - некоторая область в пространстве Жп. Рассмотрим
пространство последовательностей {fj(x)} бесконечно
дифференцируемых функций в Ω. Назовем две последовательности {/;(»)}
и {gj(x)} из этого пространства эквивалентными, если для
каждого компактного подмножества К из Ω существует такое N € Ν,
что fj(x) = 9j(x) при j > Ν, χ Ε К. Множество последовательно-,
стей, эквивалентных {//(ж)}, и называется обобщенной функцией.
Пространство обобщенных функций обозначим через {/(Ω).
Если обобщенная функция такова, что для некоторого ее
представителя {fj(x)} и каждой функции φ из Χ>'(Ω) существует
lim / fj(x)<p(x)dx}
то можно определить распределение, соответствующее данной
обобщенной функции. Обратно, каждому распределению g €
2>'(Ω) можно сопоставить обобщенную функцию, определяемую
представителем fj(x) = g - Xj *ωε, где ε = 1/j, Xj - функция из
пространства <7ο°(Ω), равная 1 в точках, отстоящих от границы
области Ω на расстоянии ^ l/j. Таким образом, 2>'(Ω) С (?(Ω).
Если обобщенная функция определяется представителем
104

{fj(x)}> TO ee производной порядка α называется обобщенная
функция, которая определяется лредставителем {Dafj{x)}.
Произведением двух обобщенных функций, определяемых
представителями {fj(x)} и {gj(x)}t называется обобщенная функция,
соответствующая представителю {fj(x)9j(x)}-
Если F - произвольная гладкая функция от Jb комплексных
переменных, то для любых ib обобщенных функций /ι,...,Λ
определена обобщенная функция F(/i,... ,Д). Более того, такую
функцию можно определить и в том случае, когда F является
обобщенной функцией в Е2*. Например, обобщенная функция
"6", определяемая последовательностью {j-b>(jx)}, где ω Ε £?ο°(Ω),
fu;(x)dx = 1, соответствует 6-функции Дирака. Поэтому
обобщенную функцию "й"("6"(х)) можно определить как класс,
содержащий последовательность {j u>(j2(jx))}· ОтМетим* что
произведение χ · "δ"(χ) φ О, в отличие от теории распределений.
Это существенно, если вспомнить приведенную выше теорему
Л. Шварца.
Обобщенные функции обладают Свойством локальности. Если
Ωο - подобласть в Ω, то для каждой обобщенной функции /
определено сужение /|Ω 6 (7(Ωο). Более того, сужение можно
определить на каждое гладкое подмногообразие, содержащееся в
Ω, и даже определено значение f(x) для каждой точки из Ω. Надо
только понять, что такое сужение является обобщенной
функцией на соответствующем подмногобразии. В частности, значения
обобщенных функций в точке имеют смысл только как
обобщенные комплексные числа. Эти числа определяются следующим
образом.
Рассматривается множество всех последовательностей
комплексных чисел {cj}. В атом множестве вводится соотношение
эквивалентности так, что две последовательности являются
эквивалентными, если они совпадают при больших значениях j.
Полученные классы эквивалентных последовательностей и называются
обобщенными комплексными числами.
Обобщенная функция / равна 0 в Ωο, если найдутся такие
N € N и представитель {fj(x)}, что fj(χ) = 0 в Ωο при j > N.
Наименьшее замкнутое множество, вне которого / = О, называется
носителем /. Отметим, однако, что тут возникают парадоксы с
точки зрения теории распределений: может, например, случиться
так, что носитель / состоит из одной точки, но при эсом значение
/ в этой точке равно нулю!
Если область Ω покрыта конечным или счетным семейством
областей Ω;· и в каждой из этих областей определена обобщенная
функция /j, причем /»· — fj = О на пересечении областей Ω,· и
Ωρ то определена и притом единственным способом обобщенная
функция /, сужение которой на Ω;· совпадает с fj.
4. Слабое равенство. По аналогии с теорией распределе-
105

ний в теории обобщенных функций естественно вводится понятие
слабого равенства. Именно, обобщенные функции /ид слабо
равны, / ~ д} если для каких-либо их представителей {/;(*)} и
[gj(x)} выполнено условие:
lim / \fj - gj]<p(z)dx = О,
какова бы ни была функция φ из Со°. В частности, два
обобщенных комплексных числа, определяемые последовательностями
{а;} и {bj}y слабо равны, α ~ 6, если lim(aj — &,·) = 0 при J* —► со.
Понятно, что для распределений слабое равенство совпадает с
обычным. Если f ~ д, то Daf ~ Dag для любого а.
Слабое равенство не является "слишком слабым", как показывает
следующее утверждение.
Теорема. Если / G (?(Ж) и /' ~ 0, причем для некоторой
функции h из Со°(Ж), для которой f h(x)dx = а ф О, существует
конечный предел
lim f fj(z)h(z)dz = С,
то / ~ const.
> По условию
lim / fj(z)(p'(z)dx = О
для каждой функции ψ из Со°(Ж). Поэтому
lim f fj(x) · |σ(*) - a'lk(x) ia(x)dx\ dx = 0
для каждой функции σ из Со°(Е), т.е.
lim / fj(x)a(x)dx = СаГ1 I a(z)dz. <
Из доказано^ теоремы следует, например, что системы
обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами не имеют никаких слабых решений, кроме классических.
Если /ид- непрерывные в области Ω функции, то их
произведение fg слабо равно произведению обобщенных функций,
соответствующих функциям /ид.
Справедлива и более общая теорема: если F Ε С°°(Е2р)
и /ι,..., /ρ - непрерывные функции, то непрерывная функция
F(h, · ··>/$>) слабо равна обобщенной функции F{g\,... ,др), где #*
- обобщенная функция, слабо равная Д.
Отметим, что понятие слабого равенства может порождать
парадоксальные с точки зрения классической математики теоремы:
например, разрешима ^система уравнений:
у~0, у2 ~ I.
106

Ее решением является, например, обобщеная функция,
соответствующая /(ε, χ) = л/2 · sin(x/e).
Рассмотрим теперь задачу Коши:
du/dt = F(t, χ, щ ..., £>α,...), ii(0, ж) - Ф(х).
Здесь « = («!,... ,«лг) - неизвестный вектор, F и Φ - заданные
векторы. Можно показать, что такая задача имеет, и притом
единственное, слабое решение в классе обобщенных функций, не
делая никаких предположений о типе уравнений. А именно,
возьмем какие-нибудь представители {Ф;·} и {Fj} классов Φ и F
и рассмотрим задачу Коши:
dv/dt =Fj(tt χ, v(t - ε, χ),..., Dav(t - ε, χ),...),
v(t, ζ) ~ФДх) при - ε ^ t < 0,
где ε = Ifj. Ясно, что
t
о
при 0 ^ t ^ ε. Далее тем же способом можно найти v(t,x) при
ε ^ < ^ 2ε и т.д. Полученная функция v(xtt) = ν;(*,χ)
определяется при 0 ^ t ^ Τ однозначно и является гладкой функцией.
Таким образом, мы построили обобщенную функцию, которая и
называется слабым решением. Если эта обобщенная функция
принадлежит классу С™, где то - максимальный порядок
производных от « в правой части уравнения, то она удовлетворяет
уравнению в обычном смысле. Если функция F линейна по и и ее
производным и гладко зависит от <, так что можно рассматривать
решения задачи Коши в классе распределений, и если полученная
нами обобщенная функция является распределением, то она будет
решением в и смысле теории распределений.
107

ЛИТЕРАТУРА
1. СОБОЛЕВ С.Л.// Матем. сб. 1936. Т.43. Nl. С.39-71 (русск. перевод
в приложении к [4]).
2. СОБОЛЕВ С.Л.// ДАН СССР. 1935. Т.3(8). N7(67). С.291-294.
3. SCHWARTZ L. Theorie des distributions. Τ.Ι-Π. Paris, 1950-1951.
4. СОБОЛЕВ С.Л. Некоторые применения функционального анализа в
математичекой физике. М.: Наука, 1988.
5. ГЕЛЬФАНЛ И.М., ШИЛОВ Г.Е. Обобщенные функции. Вып.1-3. М.:
Физматгиз, 1958.
6. ХЕРМАНДЕР Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с
частными производными. Т. 1-4 М.: Мир, 1986-1988.
7. КУРАНТ Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.
8. ЛИОНС Ж.-Л., МАДЖЕНЕС Э. Неоднородные граничные задачи и их
приложения. М.: Мир, 1971.
9. ТРЕВ Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и
интегральных операторов Фурье. Т.1-2. М.: Мир, 1984.
10. ШУБИН М.А. Псевдо дифференциальные операторы и спектральная
теория М.:Наука, 1978.
11. ПАЛАМОДОВ В.П. Обобщенные функции и гармонический анализ. //
Итоги науки и техники. Современные проблемы математики.
Фундаментальные направления. Т.72. М.:ВИНИТИ, 1991.
12. ГИЛБАРГ Д., ТРУДИНГЕР Н. Эллиптические дифференциальные
уравнения с частными производными второго порядка. М.-.Наука, 1989.
13. ВЛАДИМИРОВ B.C. Обобщенные функции в математической физике.
М.: Наука, 1979.
14. ВЛАДИМИРОВ B.C. Уравнения математической физики. М.: На-
ука,1971.
15. ГОДУНОВ С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука,1971.
16. МИХАЙЛОВ В.П. Дифференциальные уравнения в частных
производных. М.: Наука, 1983.
17. ШИЛОВ Г.Е. Математический анализ (второй специальный .курс). М.:
Наука, 1965.
18. ВЛАДИМИРОВ B.C. // УМН. 1988. Т.43. Вып.5. С.17-53.
19. ДУБРОВИН Б.А., НОВИКОВ СП. // УМН. 1989. Т.44. Вып.6.
С.29-98.
20. ЕГОРОВ Ю.В.// УМН. 1990. Т.45. Вып.5(275). С.3-40.
21. СЕДОВ Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: ГИТТЛ,
1954.
22. ЗОРИЧ В.А. Математический анализ. Ч.П. М.: Наука, 1984.
23. ТИХОНОВ А.Н.//Матем. сб. 1935. Т.42 С.199-216.
24. CARLEMAN Т. Les fonstions quasianalitiques. Paris, 1926.
25. ФРИДМАН А. Уравнения с частными производными параболического
типа. М.:Мир, 1968.
26. HOLMGREN Ε.// Arkiv for Math, Astron. och Fysik. Stockholmm. 1924.
Bd. 18. Hafte 2. N:o 9.
27. ТУМАНОВ И.М. Анри Леон Лебег. М.: Наука, 1975.
28. ЛЕБЕГ А. Интегрирование и отыскание примитивных функций. Μ .-Л.:
ГТТИ, 1934.
29. ШИЛОВ Е.Г., ГУРЕВИЧ Б.Л. Интеграл,, мера и производная. М.:
Наука, 1967.
30. ШИЛОВ Г.Е. Математический анализ (специальный курс). М.:
Физматгиз, 1961.
31. КОЛМОГОРОВ А.Н., ФОМИН СВ. Элементы теории функций и
функционального анализа. М.: Наука, 1972.
32. ГЕЛБАУМ Б., ОЛМСТЕД Дж. ' Контрпримеры в анализе. М.: Мир,
1967.
33. ИОСИДА К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.
34. АЛЕКСЕЕВ В.М., ТИХОМИРОВ В.М., ФОМИН СВ. Оптимальное
управление. М.: Наука, 1979.
35. РИМАН Б. Сочинения. М: ОГИЗ,1948.
36. ЛУЗИН Н.Н. // БСЭ. 1-е изд. 1935. Т.59. С.322
108

37. ПЕТРОВСКИЙ И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными.
М.: Наука, 1961.
38. РОЖДЕСТВЕНСКИЙ Б.Л., ЯНЕНКО Н.Н. Системы квазилинейных
уравнений. М.: Наука, 1978.
39. ЛАВРЕНТЬЕВ М.А., ШАБАТ В.В. Методы теории функций
комплексного переменного. М.: Наука, 1965.
40. ШАПИРА П.^ Теория гиперфункций. М.: Мир, 1972.
41. PEETRE J.// Math. Scand. 1960. V.8. Р.116-120.
42. РОБЕРТСОН Α., РОБЕРТСОН В., Топологические векторные
пространства. М.: Мир, 1967.
43. КОЛМОГОРОВ А.Н. Избранные труды. Математика и механика. М.:
Наука, 1985.
44. БЕСОВ О.В., ИЛЬИН В.П., НИКОЛЬСКИЙ СМ. Интегральные пред-
ставления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.
45. ХЕРМАНЛЕР Л.// Математика. 1959. Т.З. N5. С.117-130.
46. LOJASIEWICZ S.// Studia Math. 1959. V.18. Р.87-136.
47. КНУТ Л. Искусство программирования для ЭВМ. Основные
алгоритмы. М.: Наука, 1976.
48. ВОЛЕВИЧ Л.Р., ПАНЕЯХ Б.П.// УМН. 1965. Т.20. Вып.1. С.3-74.
49. МИХЛИН С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные
уравнения. М.:Физматгиз,1962.
50. ВИШИК М.И., ЭСКИН Г.И. // УМН. 1965. Т.20. Вып.З. С.89-152.
51. КОН Дж., НИРЕНБЕРГ Л. // Псевдодифференциальные операторы.
М.:Наука,1967.С. 9-62.
52. ХЕРМАНЛЕР Л.// Псевдодифференциальные операторы. М.: Наука,
1967. С.63-87.
53. АГМОН С, ЛУГЛИС Α., НИРЕНБЕРГ Л. Оценки вблизи границы
решений эллиптических уравнений в частных производных при общих
граничных условиях. М.:ИЛ,1962.
54. АГРАНОВИЧ М.С.// УМН. 1965. Т.20. Вып.5. С.3-120.
55. ЭСКИН Г.И. Краевые задачи для эллиптических
псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука,1973.
56. АТКИНСОН Ф.В.// Матем. сб. 1951. Т.28(70). С.3-14.
57. ГОХБЕРГ И.Ц., КРЕИН М.Г.// УМН. 1957. Т.12. Вып.2. С.43-118.
58. АГРАНОВИЧ М.С, ВИШИК М.И.//УМН. 1964. Т.19. Вып.З. С.53-161.
59. ЛЕМИЛОВ А.С.// Вестник МГУ, сер матем. и мех. 1969. Вып.З.
С.30-36.
60. ЛЕМИЛОВ А.С.//Мат. сборник. 1973. Т.91(133). N3. С.421-444.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Задача Гильберта 91
- Дирихле 16
- Неймана 90
- Пуанкаре 91
- смешанная 47
- с наклонной (косой)
производной 89
- эллиптическая 97
Индекс оператора 93
- факторизации 96
Интеграл Лебега 33
- Пуассона 17
Коядро оператора 93
Лемма Заремба-Хопф-
Олейник 21
- о замене переменных 89
- о композиции 88
- о непрерывности 87
- Фату 34
- Л.Шварца 93
Мера 33
Метод Фурье (разделения
переменных) 70
Множество А компактно в Ω
(Л € Ω) 11
~ измеримое 32
- канторово 35
- компактное (компакт) 11
- меры нуль 32
Неравенство Гельдера 37
- Минковского 37
Норма 34
Носитель 12, 56, 105
Образ Фурье 71
Оператор компактный (вполне
непрерывный) 94
- Лапласа (лапласиан) 15
- продолжения 93
- псевдодифференциальный
(ПЛО) 87, 95
- - класса L 89
- сглаживающий 88
- сужения 84
- эллиптический 88, 95, 97
Оценка априорная 86
П.в. (почти всюду) 32 .
Покрытие локально конечное
14
Последовательность
^-образная 10
- слабо сходящаяся 54
- фундаментальная 34
Преобразование Лапласа 77
- Фурье 71
в комплексной области
(Фурье-Лап ласа) 79
обобщенных функций 75
обратное 73
обобщенных функций 75
Принцип максимума 19
сильный 20
- минимума 19
- суперпозиции 18
Пространство банахово 34
- гильбертово 68
- линейное локально
выпуклое топологическое
(Л.Л.В.Т.П.) 65
- метрическое 34
- нормированное 34
- полное 34
- производных по Соболеву
Vb 52
- Соболева 83
- Соболева WP>k 72
- сопряженное 40
- Cm(Q) 11
- сЫп) п
Ста(Й) 11
PC^iQ) 11
РС™(П) 11
С"» (ft) 12
СР[0) 12
сЦо),...,С°°(П) 12
- V 63
- V' 63
- г># 54
- ε 64
- £' 64
- LP 36
- £f 40
\ос
- L°° 40
- S 74
- S' 75
Равенство Парсеваля 75
Разбиение единицы 13
, подчиненное локально
конечному покрытию 14
Расстояние 34
Регуляризатор оператора 94
Ряд Фурье 67
по ортогональной системе
функций 71
Свертка 18, 81, 82
ПО

Символ 87, 89
- главный 95
Скалярное произведение 68
Степень отображения 90
Сходимость 34
Теорема Арцела 85
- Бореля 58
- Банаха-Штейнгауза 61
- Вейерштрасса 82
- вложения Соболева 83
- Лебега 34
- Б.Леви 34
- об общем виде
распределений 64
с компактным
носителем 64
- об устойчивости индекса 99
- о разрывной мажоранте 19
- о среднем арифметическом
20
- Пэли-Винера 80
- Ф.Рисса-Фишера 34
- Соболева о следах 84
- Фубини 35
- Л.Шварца (о распределении
с точечным носителем) 63
Уравнение Бюргере а 49
- волновое 48
- Лапласа 15
- Пуассона 15
- струны 48
Уравнения акустики 42
- Коши-Римана 15
Условие граничное (краевое)
16, 17
- Гюгонио 50, 52
- дополнительности
(Шапиро-Лопатинского)
96
- начальное 47
Факторизация 95
Формула Грина первая 28
вторая 28
- интегральная Гаусса 28
- Остроградского-Гаусса 27
Функция аналитическая 15
- гармоническая 15
- Лирака (^-функция) 10
- измеримая 32
- интегрируемая по Лебегу 33
- ступенчатая 32
- Хевисайда 42
Характеристики 47,- 49
"Число (значение) собственное
69
- обобщенное комплексное 105
Ядро оператора 93 .
- Пуассона 17
111

Учебное издание
Демидов Александр Сергеевич
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКЕ. Основные идеи и понятия
Зав. редакцией Л.А. Николова. Редактор И.В. Новикова.
Художественный редактор Ю.М. До брянская.
Н/К
Подписано в печать 30.09.92 Формат в 60x90/16. Бумага тип. X* 2.
Офсетная печать. Усл.печ.л. 7,0. Уч.-изд.л. 7,12. Тираж 500 экз.
Заказ №ΰ$ά Изд № 1600. Заказное. Цена 80 коп.
Ордена "Знак почета" издательство Московского университета.
103009, Москва, ул. Герцена, 5/7.
Типография ордена "Знак Почета" изд-ва МГУ.
119899, Москва, Ленинские горы.

W*