Author: Сахарный Н.Ф.
Tags: физика математическая физика механика теоретическая механика издательство высшая школа
Year: 1964
Text
Н.Ф САХАРНЫЙ
У PC
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
Допущено
Министерством высшего и среднего специального обра-
образования РСФСР в качестве учебного пособия для меха-
механических, машиностроительных, приборостроительных,
электротехнических и строительных специальностей
высших технических учебных заведений
ВЫСШАЯ ШКОЛА 1964
Николай Федосеевич Сахарный
КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Научный редактор Г. И. Турилов
Редактор А. И. Власов
Художественный редактор А. М. Чабурин
Технический редактор Н. В. Яшукова
Корректоры И. С. Миловидопа и Н. А. Мурашева
Сдано в набор 19/IV-63 г. Индекс УТ-69. Подписано к печати 20/111-64 г.
Формат 60x907,6- Объем 52,75 печ. л. Уч.-изд.-л. 45,36. Т-04128.
Заказ 420. Тираж в переплете № 5 39 000 экз. Цена 1 руб. 46 коп.
Тираж в переплете № 7 1000 экз. Цена 1 руб. 51 коп.
Ярославский полиграфкомбинат «Главполиграфпрома» Государственного комитета
Совета Министров" СССР по печати, г. Ярославль, ул. Свободы, 97
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий курс предназначен для студентов механико-машино-
механико-машиностроительных специальностей высших технических учебных заведений
(очных, заочных и вечерних), изучающих теоретическую механику
по расширенной программе. Он может быть использован и инжене-
инженерами, желающими пополнить и углубить свои знания в области тео-
теоретической механики.
Основой для написания книги послужил курс лекций, который
автор читал в течение ряда лет в Московском высшем техническом
училище имени Баумана и во Всесоюзном заочном машиностроитель-
машиностроительном институте.
Книга написана в полном соответствии с утвержденной Министер-
Министерством высшего и среднего специального образования СССР програм-
программой по теоретической механике для высших технических учебных за-
заведений.
При изложении теоретического материала используется как основ-
основной общепринятый в настоящее время векторный метод. При этом осо-
особое внимание уделяется выяснению физической сущности законов,
теорем и основных понятий механики.
Большое место в книге отводится методам решения задач. Нали-
Наличие значительного количества подробно решенных задач должно по-
помочь студенту в его самостоятельной работе над курсом.
В конце каждого раздела курса приводятся вопросы для самопро-
самопроверки, на которые студент должен дать точные ответы, что особенно
необходимо при подготовке к экзамену.
2*
При подготовке рукописи к печати учтены ценные замечания чле-
члена-корреспондента АН СССР профессора Л. Н. Сретенского (МГУ),
профессора А. Г. Ишковой (МАИ), профессора В. М. Пучкова, профес-
профессора Ф. А. Бахшияна (ВЗПИ), профессора Г. Ю. Джанелидзе (ЛПИ),
доцента Г. И. Турилова (МАТИ), доцента Д. Ю. Айзенберга (МАИ),
которым автор выражает глубокую благодарность. Автор также очень
признателен товарищам по работе — доценту С. К- Маврину (ВЗМИ)
и доценту А. Л. Дворникову (МВТУ) — за внимание, проявленное
к его труду.
Автор отчетливо сознает, что при издании новой книги неизбежны
недостатки, и будет признателен всем читателям, которые пришлют
в адрес издательства свои замечания и пожелания, направленные на
улучшение книги.
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. ПРЕДМЕТ, МЕТОД, МЕСТО СРЕДИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
И ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
«В мире нет ничего, кроме движущейся материи, и движущаяся
материя не может двигаться иначе, как в пространстве и во времени»*.
Материя, в философском смысле,— это все то, что реально суще-
существует вне нас, независимо от нашего сознания и что может быть во-
воспринято нашими органами чувств непосредственно или с помощью
специальных приборов и экспериментов.
Движение, в философском смысле,— это всякое происходящее в
пространстве и во времени изменение реальности, всякий процесс.
Движение является основным, неотъемлемым свойством материи. Дви-
Движущаяся материя существует извечно и не может быть ни создана, ни
уничтожена. Пространство и время неотделимы от движущейся материи
и являются объективными формами ее существования.
Формы движения материи многообразны и взаимно связаны. Наи-
Наиболее простой формой движения материи является механическое дви-
движение. Под механическим движением материального объекта пони-
понимают происходящее с течением времени изменение его положения по
отношению к другим материальным объектам. Более сложные формы
движения материи — тепловые, химические, электромагнитные и Дру-
Другие процессы — не сводятся и не могут быть сведены к механической
форме движения. Они содержат механическую форму движения, но
полностью ею не объясняются и не исчерпываются.
Все многообразие явлений природы есть не что иное, как проявле-
проявление различных форм движения материи. Участие естественных наук
в познании явлений природы заключается в том, что естественные на-
науки изучают основные свойства материи и общие законы различных
форм ее движения.
Теоретическая механика относится к разряду естественных наук.
Она изучает общие законы механического движения и равновесия мате-
* В. И. Л е н и н. Соч., т. 18, изд, 5, стр. 181.
Введение
риальных объектов и возникающее при этом механическое взаимодей-
взаимодействие между материальными объектами.
В природе мы наблюдаем различные формы взаимодействия мате-
материальных объектов, но в теоретической механике рассматривается
только механическое взаимодействие. Под механическим взаимодей-
взаимодействием материальных объектов понимают такое их взаимодействие,
которое либо приводит к движению (в частности, к покою) одних ма-
материальных объектов относительно других, либо к деформации мате-
материальных объектов, либо к тому и другому вместе. Так, например,
вследствие механического взаимодействия Земли и Солнца мы наблю-
наблюдаем движение Земли относительно Солнца; тело, лежащее на столе,
вследствие механического взаимодействия с Землей и столом находит-
находится в покое относительно Земли; деталь вследствие механического взаи-
взаимодействия с молотом деформируется.
Установление меры механического взаимодействия материальных
объектов привело к понятию силы. Сила в теоретической механике
есть величина, которая не только отражает объективное существова-
существование механического взаимодействия между материальными объектами,
но и является количественной мерой этого взаимодействия.
Таким образом, сила возникает только в результате механического
взаимодействия материальных объектов. Поэтому нельзя рассматри-
рассматривать силу как нечто, существующее в природе само по себе, незави-
независимо от материального объекта, являющегося ее источником, и мате-
материального объекта, испытывающего ее действие. Пользуясь понятием
силы, нужно всегда помнить, что только в целях простоты мы заме-
заменяем этим понятием механическое взаимодействие между рассматри-
рассматриваемыми материальными объектами.
Механическое взаимодействие между материальными объектами не
обязательно осуществляется путем непосредственного контакта. На-
Например, движение тела под действием силы притяжения Земли совер-
совершается в воздухе при отсутствии непосредственного контакта между
телом и Землей.
Физическая природа сил разнообразна. Вопрос о физической при-
природе силы в теоретической механике не играет роли, так как здесь нас
интересует только тот эффект, который производят на данный мате-
материальный объект действующие на него силы назависимо от физичес-
физической сущности этих сил.
Из определения механического движения следует, что можно го-
говорить об изменении положения того или иного материального объ-
объекта лишь по отношению к другому какому-нибудь материальному
рбъекту, который играет при этом роль системы отсчета.
Если положение всех точек материального объекта по отношению к
выбранной системе отсчета остается все время неизменным, то мате-
материальный объект по отношению к этой системе отсчета находится в по-
покое. Если же положение каких-нибудь точек материального объекта с
Введение
течением времени изменяется, то этот материальный объект по отно-
отношению к данной системе отсчета находится в движении.
Так как выбор системы отсчета в известной мере произволен и за-
зависит от характера рассматриваемой задачи, то понятия о механичес-
механическом движении и покое являются по существу отн^ительными, и мате-
материальный объект, движущийся по отношению к одной системе отсчета,
может находиться в покое по отношению к другой системе отсчета.
Поэтому при изучении механического движения всегда нужно знать
ту систему отсчета, по отношению к которой будет изучаться данное
движение. Если такая система отсчета не задана, то задача изучения
механического движения становится в механике неопределенной. Лю-
Любое механическое движение (и равновесие) имеет объективный характер,
и относительность механического движения не означает, что оно субъ-
субъективно.
Так как в природе абсолютно неподвижных материальных объектов
не существует, то принципиально невозможно установить абсолют-
абсолютно неподвижную систему отсчета. Следовательно, понятия абсолют-
абсолютного движения и абсолютного покоя, т. е. движения и покоя относи-
относительно абсолютно неподвижной системы отсчета, не имеют конкрет-
конкретного смысла. В теоретической механике возможность установления
абсолютно неподвижной системы отсчета постулируется. Эту систему
отсчета можно мыслить как часть введенного Ньютоном трехмерного
абсолютно неподвижного пространства, в котором все измерения про-
проводятся на основании аксиом геометрии Эвклида. За основную, или
абсолютно неподвижную систему отсчета, отвечающую полностью при-
принятой в теоретической механике совокупности основных законов,
условно принимают гелиоцентрическую систему, т. е. систему коор-
координат с началом в центре Солнца и осями, направленными к трем так
называемым неподвижным звездам. Но при решении многих техни-
технических задач движение Земли относительно гелиоцентрической систе-
системы не учитывают и абсолютно неподвижную систему отсчета соеди-
соединяют с Землей. Очевидно, что при этом совершаются некоторые по-
погрешности, которые, однако, невелики и могут быть учтены.
Наряду с предположением о существовании абсолютного простран-
пространства, в теоретической механике, следуя Ньютону, делается предполо-
предположение о существовании абсолютного времени, одинакового для всех
точек как абсолютно неподвижной системы отсчета, так и любой под-
подвижной системы отсчета независимо от'характера ее движения.
Все эти представления Ньютона о пространстве и времени были в
своей основе материалистическими, поскольку пространство и время
признавались им объективно существующими. Однако понятия про-
пространства и времени устанавливались Ньютоном метафизически, так
как он отрывал пространство и время от движущейся материи.
Несмотря на метафизичность учения Ньютона о пространстве и
времени, все же для случаев движения тел со скоростями, значитель-
значительно меньшими скорости света, введенные им понятия пространства и
Введение
времени являются полноценными и достаточно точными абстракциями
реального пространства и реального времени.
В определении механического движения, кроме понятий про-
пространства и времени, содержится еще понятие о том, что движется,
т. е. понятие о ма»риальном объекте, имеющем массу*.
В теоретической механике различают материальные объекты толь-
только по их геометрической форме, массе и по распределению массы в
объемах этих материальных объектов, полагая, что все другие физи-
физические свойства одинаковы. Кроме того, в теоретической механике
считают, что материальным объектам присуще такое свойство, в силу
которого в одном и том же месте не могут находиться одновременно два
или большее количество материальных объектов.
В качестве материальных объектов в теоретической механике рас-
рассматриваются: абсолютно твердое тело, материальная точка и меха-
механическая система материальных точек или тел.
Всякое реальное тело природы вследствие взаимодействия с дру-
другими материальными объектами, будет ли оно оставаться в покое или
приходить в определенное движение, изменяет свою форму (деформи-
(деформируется). При этом величины этих деформаций зависят от материала
тела, его геометрической формы и размеров, а также от действующих
на тело сил. Учет этих деформаций имеет существенное значение при
расчете прочности частей (деталей) различных инженерных сооруже-
сооружений или машин**. При этом для обеспечения необходимой прочности
той или иной конструкции материал и размеры ее частей подбирают так,
чтобы деформации при действующих силах были достаточно малы.
Поэтому при изучении общих законов механического движения и
общих условий равновесия твердых тел можно пренебрегать малыми
деформациями этих тел и рассматривать их как недеформируемые,
или абсолютно твердые. Абсолютно твердым телом называют такое
тело, расстояние между двумя любыми точками которого всегда ос-
остается неизменным. В дальнейшем при изучении теоретической меха-
механики будем рассматривать все тела как абсолютно твердые.
Во многих случаях форма и размеры движущегося тела не играют
существенной роли. Поэтому вводится понятие о материальной точ-
точке, не имеющей протяженности, но обладающей массой. К понятию
материальной точки мы приходим, пренебрегая всеми размерами тела
по сравнению с его расстоянием от других тел или по сравнению с раз-
размерами других входящих в изучаемую проблему тел. Под материаль-
материальной точкой понимают тело (имеющее массу), размерами которого
при изучении его движения (или равновесия) можно пренебречь. На-
Например, при изучении движения Земли вокруг Солнца можно принять
* Понятие массы как одного из свойств материи предполагается знакомым
учащимся из курса физики. Содержание этого понятия будет разъяснено в
разделе «Динамика».
** Эти вопросы рассматриваются в курсах сопротивления материалов и тео-
теории упругости
Введение
Землю за материальную точку с массой, равной массе Земли, ввиду
того, что размеры Земли весьма малы по сравнению с ее расстояниями
от Солнца, и поэтому ими можно пренебречь. Но в задаче о вращении
Земли вокруг ее оси уже нельзя принять Землю за материальную точ-
точку, а нужно рассматривать ее как тело конечных размеров.
Материальную точку можно рассматривать не только как абстракт-
абстрактный образ тела с массой, равной массе этого тела, ной как абстрактный
образ части тела с массой, равной массе этой части. В самом деле, вся-
всякое тело можно мысленно разбить на отдельные части, размеры кото-
которых по всем направлениям малы по сравнению с размерами всего тела,
и, следовательно, этими размерами можно пренебречь. Каждую такую
отдельную столь малую часть тела можно принять за материальную
точку. Отсюда следует, что всякое тело можно представить состоящим
из материальных точек, характер связи между которыми зависит
от свойств этого тела. При этом масса всего тела равна арифметичес-
арифметической сумме масс всех материальных точек, входящих в состав этого
тела.
Если тело конечных размеров совершает поступательное движение,
то все его точки движутся одинаково. Чтобы определить в этом случае
движение тела, достаточно найти движение одной его точки — центра
тяжести тела, предполагая при этом, что вся масса тела сосредоточена
в этой точке. Поэтому поступательно движущееся тело всегда можно
рассматривать как материальную точку, совпадающую с его центром
тяжести и имеющую массу, равную массе этого тела. Таким образом,
не обязательно понимать под материальной точкой тело очень малых
размеров. Материальная точка — это тело (имеющее массу), враща-
вращательными движениями которого, по сравнению с поступательными,
можно пренебречь. Заменяя тело материальной точкой, мы не только
сохраняем за ним его массу, но также и способность взаимодейство-
взаимодействовать с другими материальными объектами*.
Механической системой материальных точек или тел называется
такая их совокупность, в которой положение или движение каждой ма-
материальной точки или каждого тела зависит от положения и дви-
движения всех остальных. Определяющим признаком механической сис-
системы материальных точек или тел является наличие сил взаимодей-
взаимодействия между отдельными материальными точками или телами системы.
Классическим примером механической системы является наша сол-
солнечная система, в которой все тела связаны силами взаимного притя-
притяжения. Другим примером механической системы может служить любая
машина или механизм, в которых все тела связаны силами взаимного
давления или натяжения. Совокупность материальных точек или тел,
между которыми нет никаких сил взаимодействия, например группа
летящих самолетов или летящий рой пчел, механическую систему
* На чертеже материальная точка изображается геометрической точкой.
1 Н. Ф. Сахарный
10 Введение
не образует. В теоретической механике рассматривают только механи-
механические системы материальных точек или тел*.
Если расстояние между двумя любыми материальными точками
(или телами) механической системы не изменяется при движении или
покое этой системы, то такая механическая система называется не-
неизменяемой; в противном случае механическая система называется из-
изменяемой. В частности, неизменяемой механической системой являет-
является абсолютно твердое тело. Примерами изменяемой механической
системы могут служить упругие тела, а также механизмы, состоящие
из твердых звеньев, перемещающихся относительно друг друга.
Положение и движение механической системы относительно выб-
выбранной системы отсчета известно, если известно положение и, следо-
следовательно, движение каждой материальной точки, принадлежащей этой
механической системе относительно той же системы отсчета, и нао-
наоборот. Поэтому изучению движения механической системы должно
предшествовать изучение движения одной материальной точки как
простейшей механической системы.
По характеру материальных объектов в теоретической механике
различают механику материальной точки, механику абсолютно твер-
твердого тела и механику механической системы.
Материальная точка абсолютно твердое тело и механическая систе-
система — понятия отвлеченные, результат абстракции. Введение этих
понятий в теоретическую механику вносит значительное упрощение в
исследование механического равновесия и движения реальных мате-
материальных объектов. Метод абстракции, таким образом, играет в тео-
теоретической механике весьма важную роль.
Применение метода абстракции, обобщение результатов опыта и не-
непосредственных наблюдений позволили теоретической механике уста-
установить основные ее законы, или аксиомы. Из этих аксиом, соединен-
соединенных с методами математического анализа, теоретическая механика
получает все дальнейшие выводы о механическом движении и равно-
равновесии материальной точки, абсолютно твердого тела и механической
системы. Достоверность теоретической механики зависит, таким обра-
образом, от достоверности ее аксиоматики, на которой она покоится, так
как математические выводы из этой аксиоматики внести ошибок не
могут. При этом не следует забывать, что аксиомы теоретической меха-
механики так же, как и ее основные понятия, имеют опытное происхож-
происхождение.
По характеру рассматриваемых задач теоретическую механику де-
делят обычно на статику, кинематику и динамику. В статике рассмат-
рассматриваются вопросы об эквивалентности различных систем сил, прило-
приложенных к абсолютно твердому телу, т. е. вопросы о замене заданной
системы сил другой, эквивалентной ей по механическому воздействию
* Для краткости часто механическую систему материальных точек или тел
называют механической системой или просто системой.
Введение 11
на данное твердое тело. Наряду с этим статика занимается также рас-
рассмотрением необходимых и достаточных условий равновесия различ-
различных систем сил, действующих на абсолютно твердое тело. При этом сле-
следует иметь в виду, что устанавливаемые в статике законы сложения
сил и приведения любой системы сил к простейшему виду одни и те
же как при равновесии твердого тела, так и при его движении*. В
кинематике рассматриваются общие геометрические свойства механи-
механического движения материальной точки, абсолютно твердого тела и ме-
механической системы независимо от действия на них сил. Наконец, в
динамике изучаются общие законы механического движения матери-
материальной точки, абсолютно твердого тела и механической системы с уче-
учетом действия на них сил. Заметим, что динамика пользуется теми же аб-
абстрактными представлениями о материальных объектах, что и статика
и кинематика, но в дополнение к ним рассматривает основную мате-
материальную характеристику материального объекта — его массу.
Теоретическая механика является научной базой теории механиз-
механизмов и машин, сопротивления материалов, теории упругости и пласти-
пластических деформаций, гидравлики, гидромеханики и газовой динамики
с их многочисленными приложениями в машиностроении, авиации,
кораблестроении и других областях техники. Вместе с тем на базе
теоретической механики продолжают успешно развиваться вопросы
устойчивости движения механических систем, теории колебаний и тео-
теории гироскопа. Эти дисциплины также тесно сязаны с теорией автома-
автоматического регулирования машин и производственных процессов.
Астрономия, внешняя баллистика и физика своим современным сос-
состоянием также во многом обязаны теоретической механике.
Роль и значение теоретической механики состоит не только в том,
что она представляет собой одну из научных основ современной тех-
техники, но и в том, что ее законы и методы способствуют развитию
точного естествознания в целом, а также выработке правильного ма-
материалистического мировоззрения.
В настоящее время теоретическая механика, основанная на законах
Галилея — Ньютона, называется классической механикой.
Классическая механика имеет ограниченную область применимос-
применимости. Последующее развитие науки показало, что для описания движе-
движения тел—порядка атомных и меньших размеров, а также для тел, раз-
размеры которых больше размеров атома, и движущихся со скоростями
того же порядка, что и скорость света,— классическая механика ока-
оказалась непригодной. Изучение этих проблем является предметом ре-
релятивистской и квантовой, или волновой, механики.
И релятивистская и квантовая механика являются как бы некото-
некоторым обобщением классической механики в разных направлениях, так
что сама классическая механика является частным случаем каждой
* Это важное положение будет использовано в дальнейшем в разделе «Ди-
«Динамика».
\2 Введение
из них. Формулы, уравнения и закономерности классической механи-
механики могут быть получены из соответствующих соотношений релятивист-
релятивистской механики, если в них будем пренебрегать величиной отношения
скорости тела к скорости света по сравнению с единицей. Результаты
классической механики можно также получить из соотношений кван-
квантовой механики, если считать в этих соотношениях массу движущегося
тела подавляюще большой по сравнению с массой электрона.
В релятивистской механике пространство и время утрачивают пос-
последние черты той абсолютности, которой они обладали в классической
механике. Последовательный анализ основных понятий релятивист-
релятивистской механики приводит к установлению взаимосвязи пространства,
времени и движущейся материи. Таким образом, метафизическое пред-
представление Ньютона об абсолютном времени и пространстве, существую-
существующих независимо от движущейся материи и наряду с ней заменяется
в релятивистской механике представлением, выдвинутым диалектичес-
диалектическим материализмом, рассматривающим пространство и время как объ-
объективные формы существования материи.
В классической механике масса движущегося тела считалась по-
постоянной величиной, „не зависящей от скорости тела, в то время как
релятивистской механикой было установлено, что масса тела не яв-
является постоянной и зависит от скорости тела.
Релятивистская механика и квантовая механика не опровергли при-
пригодности классической механики, а только уточнили область прило-
приложения классической механики. Эти новые механики лишь строго до-
доказали, что предметом классической механики является изучение об-
общих законов движения тел больших размеров (начиная с размеров
молекул) и движущихся медленно по сравнению со скоростью света.
Очень сложная в математическом отношении форма, которую при-
принимают законы релятивистской и квантовой механики, излишне ус-
усложняет метод исследования движения всех тел, отличных от микро-
микрочастиц (электроны, позитроны и др.), при скоростях, не близких к
скорости света, т. е. движений, которые имели и имеют огромное зна-
значение в обычной технической практике и небесной механике. Поэтому
классическая механика никогда не потеряет своего научного значения
и практической ценности.
В данном курсе рассматриваются проблемы только классической
механики.
§2. ОСНОВНЫЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Механика получила свое развитие в глубокой древности под вли-
влиянием запросов практики.
Первые дошедшие до нас исследования античных ученых в области
механики относятся главным образом к различным вопросам статики.
Введение 13
Великий ученый и философ древности Аристотель C84—322 гг.
до н. э.) изложил в своих сочинениях учение о равновесии рычага и
других простейших машин, общее учение о движении и силах и пер-
первый ввел в науку термин «механика». Метод Аристотеля существенно
отличается от современного метода точных наук и носит метафизичес-
метафизический характер. Аристотель стремился выяснить причины явлений при-
природы, исходя из общих аксиоматических положений, не прибегая к
наблюдению и опыту, и поэтому иногда приходил к результатам, не
подтверждающимся действительностью. Так, например, Аристотель
считал, что скорости тел, падающих в пустоте, пропорциональны их
весам. Он также считал, что для поддержания прямолинейного и рав-
равномерного движения тела необходимо действие постоянной силы. Эти
и некоторые другие ошибочные представления Аристотеля о механи-
механическом движении держались в науке свыше полутора тысяч лет.
Среди ученых классической древности следует также выделить ве-
великого математика и механика Архимеда B87—212 гг. до н. э.) и
известного астронома Птоломея (II в. н. э.).
Архимеду принадлежит строгое доказательство условий равно-
равновесия рычага. Им были установлены правила сложения и разложения
параллельных сил, дано определение центра тяжести ряда геометри-
геометрических фигур и тел, открыты законы равновесия тел, плавающих в
жидкости. Архимеда следует считать основоположником статики и
гидростатики как точных наук. Свои теоретические знания в области
механики Архимед применял к различным практическим вопросам
строительства и военной техники.
Птоломей создал так называемую геоцентрическую систему мира,
в которой движение всех небесных тел объяснялось в предположении,
что Земля является неподвижной и находится в центре вселенной.
Ошибочная теория Птоломея о строении вселенной господствовала в
науке в течение двенадцати веков.
В период с III по XIV в. развитие механики, как и других естес-
естественных наук, приостановилось вследствие причин исторического
характера. Ученые этого периода продолжали придерживаться лож-
ложного представления Аристотеля о механическом движении, считая
безусловно правильными все положения, содержащиеся в сочинениях
этого ученого. Многие исследования этого периода были посвящены
отысканию «перпетуум мобиле», т. е. вечного двигателя, работающего
без получения энергии извне, и поэтому мало способствовали разви-
развитию механики.
Естественные науки, а вместе с ними и механика, начали снова раз-
развиваться в эпоху Возрождения, с XV в. В начале этого периода осо-
особенно большой прогресс в развитии механики был достигнут благодаря
работам знаменитого итальянского ученого Леонардо да Винчи A452—
1519). Он занимался исследованиями в области теории механизмов,
изучал трение в машинах, исследовал движение воды в трубах и дви-
движение тел по наклонной плоскости. Им был построен эллиптический
14 Введение
токарный станок, который до сих пор носит его имя. Ему принадлежит
идея создания вертолета с двумя винтовыми поверхностями, вращаю-
вращающимися вокруг вертикальной оси, и летательного аппарата с машу-
машущими крыльями. Леонардо да Винчи первый познал важность нового
понятия механики — момента силы относительно точки.
Несколько времени спустя Николай Коперник A473—1543) — один
из величайших польских ученых — доказал несостоятельность ос-
основных положений геоцентрической системы мира, созданной Птоло-
меем, и впервые заложил основы научно правильной картины движения
всех планет, включая и Землю, вокруг Солнца. Систему мира, создан-
созданную Коперником, называют гелиоцентрической. Благодаря работам
Коперника и наблюдениям датского астронома Тихо-Браге немецкий
астроном Иоганн Кеплер A571—1630) установил свои три знаменитых
закона о движении планет, которые и послужили Ньютону основанием
для открытия закона всемирного тяготения.
Средневековый период развития механики заканчивается работами
гениального итальянского ученого Галилео Галилея A564—1642),
исследования которого открыли новую эпоху в развитии механики. Ис-
Исследования Галилея изложены в его сочинении «Беседы и математичес-
математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, отно-
относящиеся к механике и местному времени». Галилей был зачинателем
современной динамики. Он открыл закон инерции и закон независи-
независимости действия сил от состояния тела. Им была создана теория пара-
параболического движения снаряда. Галилей доказал много весьма важных
свойств равноускоренных и равнозамедленных движений. До Гали-
Галилея силы, действующие на тело, рассматривали только в состоянии
равновесия и измеряли действие сил только статическими методами.
Галилей установил динамический метод сравнения действия сил. Он
является творцом новой отрасли механики — учения о сопротивлении
материалов. Галилей полностью опроверг неверные представления Ари-
Аристотеля о механическом движении.
Работы Галилея по динамике были продолжены и развиты знаме-
знаменитым голландским ученым Гюйгенсом A629—1695), который создал
теорию колебаний физического маятника, введя при этом понятия о
центре качаний, о приведенной длине физического маятника и о мо-
моменте инерции тела относительно оси. Кроме того, Гюйгенс обобщил
введенное Галилеем понятие ускорения на случай криволинейного
движения точки и установил понятие о центростремительной и цен-
центробежной силах. Ряд его работ относится к теории удара упругих
твердых тел.
Завершение построения основ динамики было сделано великим
английским ученым Исааком Ньютоном A643—1727), который в
книге « Математические принципы натуральной философии» дал вполне
строгую формулировку основных законов классической механики и
применил их к решению многих новых задач механики. Ньютону при-
принадлежит открытие закона всемирного тяготения, который лег в ос-
Введение 15
нову небесной механики Им был сформулирован закон параллело-
параллелограмма сил и закон сложения движений. Одновременно с Лейбницем
A646—1716) Ньютон создал основы анализа бесконечно малых. После
Ньютона успех в развитии теоретической механики зависел главным
образом от применения в ней анализа бесконечно малых.
В то время как Ньютон разрабатывал динамику, статика получила
свое дальнейшее развитие в работах его современника — французского
ученого Вариньона A654—1722). Вариньон установил в окончатель-
окончательном виде понятие момента силы относительно точки и доказал теорему
о моменте равнодействующей, носящую его имя. Он решил задачи сло-
сложения сил, приложенных к одной точке, и параллельных сил, а также
установил условия равновесия этих сил. Кроме того, Вариньону при-
принадлежит созданиеоснов графостатики. Благодаря Вариньону статика
твердого тела получила почти полное завершение.
Систематическое и последовательное применение методов анализа
бесконечно малых к задачам механики было осуществлено впервые ве-
великим математиком и механиком Леонардом Эйлером A707—1783),
который большую часть своей творческой жизни провел в России, бу-
будучи членом открытой по указу Петра I в 1725 г. в Петербурге Россий-
Российской Академии наук. В России механика начала развиваться со вре-
времен Эйлера. Творческая сила Эйлера и разносторонность его научной
деятельности были поразительны. В работе «Теория движения твер-
твердых тел» Эйлер вывел в общем виде дифференциальные уравнения
движения твердого тела вокруг неподвижной точки. В гидродинамике
ему принадлежит вывод дифференциальных уравнений движения
идеальной жидкости. Применяя метод анализа бесконечно малых,
Эйлер развивает полную теорию свободного и несвободного движения
точки и впервые дает дифференциальные уравнения движения точки
в естественной форме. Им дана формулировка теоремы об изменении
кинетической энергии, близкая к современной. Эйлером было положе-
положено начало понятию потенциальной энергии. Ему принадлежат первые
работы по основам теории корабля, по исследованию реактивного дей-
действия струи жидкости, что послужило основанием для развития тео-
теории турбин.
Одновременно с Эйлером членом Петербургской Академии наук
состоял и великий русский ученый, основатель Московского универси-
университета, М. В. Ломоносов A711 —1765). Для теоретической механики
имеет принципиальное значение открытый Ломоносовым фундамен-
фундаментальный закон природы о сохранении массы и движения. Ломоносов за-
занимался также изучением связи массы инертной и массы тяготеющей.
Он был автором целого ряда остроумных механических устройств:
прибора для определения вязкости жидкости, гидравлического пресса,
модели вертолета с двумя поверхностями, вращающимися в разные
стороны, и других. Его научная деятельность и методологические взгля-
взгляды имели огромное влияние на развитие всей русской науки и, в част-
частности, механики.
16 Введение
Большое влияние на развитие в механике аналитических методов,
т. е. методов, основанных на применении дифференциального и инте-
интегрального исчисления, оказали труды выдающихся французских
ученых Ж- Даламбера A717—1783) и Ж- Лагранжа A736—1813).
В 1743 г. Ж- Даламбер в своей работе «Трактат по динамике» ус-
установил принцип, носящий его имя, который послужил базой для по-
построения механики систем, подчиненных связям. С помощью этого прин-
принципа можно составление уравнений движения несвободной механичес-
механической системы свести к составлению уравнений равновесия.
В 1788 г. появилось сочинение Ж- Лагранжа «Аналитическая ме-
механика», в котором вся механика была изложена строго аналитически
на основе принципа Даламбера и принципа возможных перемещений.
При этом Лагранжем были получены дифференциальные уравнения
движения механической системы в обобщенных координатах. Дальней-
Дальнейшее развитие аналитических методов, предложенных Лагранжем для
исследования движения и равновесия несвободных механических
систем, привело к установлению ряда дифференциальных и вариацион-
вариационных принципов механики.
В механике наряду с аналитическими методами получают дальней-
дальнейшее развитие и более наглядные геометрические методы. Из работ
этого направления отметим работу французского ученого Пуансо
A777—1859) «Элементы статики», которая явилась основанием совре-
современной геометрической статики твердого тела. Пуансо применил гео-
геометрические методы исследования также в кинематике и динамике.
Он, вместе с Шалем A793—1880) и Резалем A828—1896), является
творцом кинематики как самостоятельного отдела теоретической ме-
механики. При этом кинематика сразу же нашла себе широкую область
применения в теории механизмов и машин.
Ряд важнейших исследований по аналитическим методам решения
задач механики принадлежит знаменитому русскому математику и
механику М. В. Остроградскому A801 —1861). Он установил очень
важный вариационный принцип динамики — принцип наименьшего
действия, позволяющий сводить изучение движения механических
систем к некоторой экстремальной задаче. Этот принцип называется
принципом Остроградского — Гамильтона, так как независимо от
Остроградского и в несколько менее общем виде он одновременно так-
также был дан английским ученым Гамильтоном A805—1865).
М. В. Остроградский решил также много частных механических
задач в области гидростатики, гидродинамики, теории упругости,
теории притяжения и баллистики.
Большой вклад в разработку новых методов интегрирования диф-
дифференциальных уравнений динамики внесли Гамильтон и немецкий
ученый Якоби (Г804—1851).
В создании нового направления в исследовании аналитической те-
теории механизмов и машин успешно работал выдающийся русский уче-
ученый П. Л. Чебышев A821—1894).
Введение 17
Одной из классических задач механики является задача о движении
твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта задача имеет первосте-
первостепенное значение для теории гироскопов, нашедшей широкое приме-
применение в различных областях современной техники. Эйлер дал анали-
аналитическое решение этой задачи в простейшем случае, а именно в случае
движения тела вокруг неподвижной точки по инерции. Пуансо дал
для того же самого случая наглядную геометрическую интерпретацию.
Лагранж решил эту задачу в том случае, когда твердое тело имеет ди-
динамическую ось симметрии, проходящую через неподвижную точку.
После Эйлера и Лагранжа многие ученые пытались найти новый слу-
случай решения этой задачи, т. е. новый случай интегрируемости диффе-
дифференциальных уравнений движения твердого тела вокруг неподвижной
точки, но безуспешно.
В 1888 г. Парижская Академия наук объявила конкурс на лучшее
теоретическое исследование движения твердого тела вокруг неподвиж-
неподвижной точки. Премию на этом конкурсе получила русская женщина—ма-
женщина—математик и механик Софья Васильевна Ковалевская A850—1891). Она
дала полное решение этой задачи в новом случае, значительно более
сложном по сравнению со случаями Эйлера и Лагранжа Эта работа
доставила С В. Ковалевской мировую известность и в значительной
степени способствовала прославлению русской науки.
Весьма важную проблему механики составляет изучение устойчи-
устойчивости движения и, в частности, устойчивости равновесия. Наиболее
существенные и глубокие результаты по изучению устойчивости дви-
движения были получены гениальным русским механиком и математиком
А. М. Ляпуновым A857—1918) Решение этой труднейшей и важнейшей
проблемы механики, полученное А. М Ляпуновым, далеко опередило
работы в этой области зарубежных ученых.
В конце XIX и начале XX веков начала развиваться механика тел
переменной массы, т. е. тел, масса которых изменяется с течением
времени. Основные результаты в этом направлении были получены рус-
русскими учеными И. В. Мещерским A859—1935) и К. Э Циолковским
A857—1935).
И. В. Мещерский первый получил основное дифференциальное
уравнение движения точки переменной массы и решил ряд задач дина-
динамики точки переменной массы для случаев одновременного присоеди-
присоединения и отделения частиц. Работы И. В. Мещерского являются науч-
научной основой для изучения движения ракет, реактивных самолетов и
других тел переменной массы.
К Э. Циолковский исследовал прямолинейное движение ракеты в
среде без сил тяжести и сил сопротивления и вывел формулу для опре-
определения скорости ракеты. К. Э. Циолковский раар»а4ет-ад теорию поле-
полета составных рачяет" дТХКЗЗа~в, что амеет?А.ошвима#ьнае соотношение
весов между отдмядаод дарупеншми составной ракеты позволяющее
достигнуть максимальной скорости. Он лап основные конструктивные
очертания жидкостных ракет дальнего действия. К. Э Циолковский.
18 Введение
является основоположником ракетной техники и астронавтики,
т. е. науки о полетах в космическом пространстве.
Самым выдающимся механиком нашей Родины является Н. Е. Жу-
Жуковский A847—1921) — национальная гордость русской науки. Поч-
Почти четвертая часть его работ относится непосредственно к теоретичес-
теоретической механике. Работа Н. Е. Жуковского «О гидравлическом ударе»
получила мировую известность. Им проделана большая работа
и по теории удара твердых тел. Значительными исследованиями
Н. Е. Жуковского являются его работы в области теории регулирова-
регулирования, атакжео начале наименьшего действия. ВместесС. В. Ковалевской
он более всех в мире продвинул решение задачи о движении твердого
тела вокруг неподвижной точки. Н. Е. Жуковский дал остроумную гео-
геометрическую интерпретацию решения С. В. Ковалевской. Таким об-
образом, полное решение этой труднейшей задачи механики принадле-
принадлежит русским ученым С. В. Ковалевской и Н. Е. Жуковскому.
Н. Е. Жуковский доказал основную теорему о подъемной силе кры-
крыла, сформулировал гипотезу для подсчета циркуляции скорости
около профиля крыла с острой задней кромкой, предложил ряд теоре-
теоретических профилей крыльев и разработал вихревую теорию гребного
винта. Все это сделало его творцом новой науки —аэромеханики, яв-
являющейся теоретической основой авиационной техники.
В декрете Совета Народных Комиссаров РСФСР, подписанном 3
декабря 1920 г., В. И. Ленин назвал Н. Е. Жуковского «отцом русской
авиации». Своими научными открытиями Н. Е. Жуковский поднял на
новую ступень развитие авиации, теоретической механики, технических:
наук и прославил на много столетий Россию и русское имя.
Одним из крупнейших представителей созданной Н. Е. Жуков-
Жуковским школы русских гидроаэромехаников является С. А. Чаплыгин
A869—1942). С. А. Чаплыгину принадлежат выдающиеся исследо-
исследования в области движения твердого тела вокруг неподвижной точки,
исследования движения тел с неголономными связями и др.
Наиболее крупные работы С. А. Чаплыгина относятся к гидро- и аэ-
аэромеханике. Ему принадлежат очень важные исследования по теории
механизированного крыла. С. А. Чаплыгин развил теорию крыла, ука-
указав на плодотворность применения к этим задачам методов теории
функций комплексного переменного. Он является основоположником
теории крыла при ускоренных и замедленных движениях. С. А. Чап-
Чаплыгин разработал теорию решетчатого крыла, нашедшую широкое
применение в расчетах турбомашин. С. А. Чаплыгин является осно-
основоположником новой науки — газовой динамики, или аэродинамики
•больших скоростей.
Идеи Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина, оказавшие огромное
влияние на развитие гидро- и аэродинамики не только в России, но
и во всем мире, успешно разрабатываются в настоящее время в трудах
многих советских ученых.
Введение 19
Большими достижениями в области механики наша страна во мно-
многом обязана также А. Н. Крылову A863—1946). Ему принадлежат
капитальные труды по теории гироскопов, баллистике вращающегося
снаряда, теории упругости, теории колебаний, а также работы по при-
приближенным вычислениям и уравнениям математической физики. Ра-
Работы А. Н. Крылова по теории качки корабля на волнении, а также
фундаментальные исследования по вопросам плавучести и непотопляе-
непотопляемости кораблей, прочности их корпуса, теории девиации компасов
ставят его имя в первый ряд создателей современной науки о корабле-
кораблестроении.
В нашей стране теоретическая механика получила особенно боль-
большое развитие после Великой Октябрьской социалистической революции.
Советские механики продвинули далеко вперед развитие идей сво-
своих предшественников и открыли новые области плодотворного при-
применения теоретической механики.
Полеты советских искусственных спутников и космических ракет,
увенчанные триумфальными космическими полетами советских пило-
пилотов-космонавтов, открыли человечеству путь в космос и к планетам сол-
солнечной системы. Эти величественные успехи убедительно свидетель-
свидетельствуют о развитии широкого фронта советской науки, прежде всего
математики, физики и механики.
Перед отечественной наукой и техникой XXII съездом КПСС по-
поставлена следующая историческая задача: в кратчайший срок занять
самые передовые в мире позиции во всех решающих областях науки и
техники. Решение этой задачи требует дальнейшего повышения качест-
качества подготовки инженерных кадров, расширения теоретической базы
их знаний. Этой же цели подчинено и преподавание теоретической
механики в высших технических учебных заведениях нашей страны.
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
СТАТИКА
Г лав а I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ
§1. СИЛА, СИСТЕМА СИЛ, ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СИСТЕМА СИЛ
И УРАВНОВЕШЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ
В статике рассматриваются следующие две основные задачи:
1) сложение сил и приведение системы сил, действующих на абсолют-
абсолютно твердое тело, к простейшему виду; 2) определение необходимых и
достаточных условий равновесия действующих на абсолютно твердое
тело систем сил.
Все тела в той или иной степени деформируемы. В тех случаях,
когда этими деформациями можно пренебречь, тело рассматривается
как абсолютно твердое, т. е. предполагается, что расстояния между
любыми его точками остаются неизменными.
В статике рассматривают все тела как абсолютно твердые, но для
краткости часто называют их твердыми телами или просто телами.
Если данное тело может получить любое перемещение в простран-
пространстве, то такое тело называется свободным. Примером свободного тела
может служить снаряд, выпущенный из дула орудия.
Мера механического взаимодействия тел, определяющая интенсив-
интенсивность и направление этого взаимодействия, называется в механике
силой.
Если в результате действия одного тела на другое происходит из-
изменение движения, в частности изменение покоя другого тела, то тог-
тогда говорят о динамическом проявлении силы. Например, в брошенном
теле вследствие механического взаимодействия его с Землей проис-
происходит изменение движения, и, следовательно, мы наблюдаем динами-
динамическое проявление силы тяжести тела, с которой это тело притягивает-
притягивается к центру Земли.
Если же в результате действия одного тела на другое не происходит
изменения движения, в частности не происходит изменения покоя дру-
Глава I. Основные понятия и аксиомы статики 21
гого тела (вследствие механического взаимодействия этого тела
еще и с другими телами), то в этом случае говорят о статическом
проявлении силы. Например, если тело лежит на столе, то сила тяже-
тяжести тела не вызывает изменения движения этого тела (в данном случае
•состояния покоя) вследствие механического взаимодействия тела с
опорой (столом), и в этом случае мы наблюдаем статическое проявле-
проявление силы тяжести тела.
Понятие силы в механике имеет научную ценность потому, что ее
можно измерять. Измерение силы в механике основано на сравнении
сил. Если сравнивать динамическое или статическое проявление силы
с проявлением силы, принятой за единицу измерения, то можно произ-
произвести динамическое или статическое измерение силы. При этом две
сравниваемые силы считают равными, если их действия на тело в од-
одних и тех же условиях одинаковы. За единицу силы в технической сис-
системе единиц (МКГСС) принимается сила в один килограмм A кГ),
в международной же системе единиц (СИ) за единицу силы принимает-
принимается один ньютон A «)*.
Как известно из опыта, действие силы на тело вполне определяет-
определяется численным значением (модулем), направлением и точкой приложе-
приложения. Поэтому сила, действующая на тело, является величиной вектор-
векторной.
Для статического измерения сил служат известные из курса физи-
физики приборы, называемые динамометрами. Главную часть этих прибо-
приборов составляет градуированная пружина. Принцип действия динамомет-
динамометра основан на том, что до известных пределов деформация пружи-
пружины (растяжение или сжатие) пропорциональна силе, ее вызывающей, и
исчезает по прекращении действия этой силы. При этом о модуле силы,
приложенной к пружине, судят по величине растяжения или сжатия
пружины. Такой способ измерения модуля силы основан, таким обра-
образом, на равновесии между приложенной силой, модуль которой из-
измеряется, и силой упругости, развиваемой пружиной динамометра.
Поэтому этот способ измерения модуля силы можно назвать статичес-
статическим. Другой, динамический, способ измерения модуля силы будет
указан в динамике**.
Кроме модуля силы, важно еще указать направление и точку при-
приложения силы. Направление и точка приложения силы зависят от ха-
характера механического взаимодействия тел и их взаимного положения.
Например, сила тяжести, с которой Земля действует на тело, направ-
направлена к центру Земли и приложена к центру тяжести тела. Силы дав-
давления двух прижатых друг к другу гладких тел направлены по нор-
* 1 гсГ=9,81 к, а 1 н=0,102 кГ (см. раздел «Динамика», § 87).
** Мы теперь знаем, как измерить и определить силу в статике, но еще не
знаем, как связана эта сила (модуль и направление ее) с изменением состояния
движения,— это представляет основную задачу динамики.
22 Раздел I. Статика
мали к поверхностям этих тел в точках их касания и приложены в этих
точках* и т. д.
Графически сила изображается направленным прямолинейным от-
отрезком (со стрелкой), совпадающим по направлению с направлением
силы (рис. 1). Длина этого отрезка выражает в выбранном масштабе
модуль силы, направление отрезка соответ-
соответствует направлению силы, его начало сов-
совпадает с точкой приложения силы**. Пря-
Прямая СД, вдоль которой направлена сила,
называется линией действия силы. Напри-
Например, линия действия силы тяжести есть вер-
вертикаль, проходящая через центр тяжести тела.
Силу, как и всякую векторную величину,
будем обозначать какой-нибудь буквой с чер-
чертой над ней, например F. Модуль данной
силы, как и всякой другой векторной вели-
величины, будем обозначать той же буквой, но
без черты, например F, или символом \F\.
Теперь выясним понятие системы сил.ме-
рис, 1 ханической эквивалентности систем сил, а
также понятие системы взаимно уравновеши-
уравновешивающихся сил.
Совокупность сил, одновременно действующих на данное тело или
систему тел, называется системой сил.
Если одну систему сил, действующих на данное свободное тело,
можно заменить другой системой сил, не изменяя при этом покоя или
его движения, в котором находится тело, то такие две системы сил на-
называются эквивалентными.
Если данная система сил эквивалентна одной силе, то эта сила
называется равнодействующей данной системы сил, а силы, совместное
действие которых может быть заменено равнодействующей, называют-
называются составляющими. Таким образом, равнодействующая — это сила,
которая одна может заменить действие данной системы сил на твер-
твердое тело.
г Нахождение равнодействующей называется сложением сил, а за-
замену одной силы системой сил, производящей на тело то же действие,
что и данная сила, называют разложением сил.
В дальнейшем мы увидим, что не всякая система сил может быть
заменена одной силой, и, следовательно, не всякая система сил имеет
равнодействующую.
* На практике силы давления всегда действуют на некоторой поверхнос-
поверхности, и о точке приложения силы можно говорить лишь условно, т. е. понятие
точки приложения силы в сущности является абстракцией.
** Иногда бывает удобно изобразить силу так, что точкой ее приложения
является конец вектора силы — острие стрелки.
Глава I. Основные понятия и аксиомы статики 23
Если под действием данной системы сил свободное тело не изме-
изменяет своего движения* или, в частности, продолжает оставаться в
покое, то такая система сил называется системой взаимно уравнове-
уравновешивающихся сил, или уравновешенной системой, или системой, экви-
эквивалентной нулю. Иногда говорят, что эта система находится в рав-
равновесии.
Сила, которая, будучи присоединена к некоторой системе сил,
действующих на тело, приводит эту систему к равновесию, называется
уравновешивающей силой данной системы сил. Очевидно, что в уравно-
уравновешенной системе сил каждая из сил является уравновешивающей по
отношению ко всем остальным.
Под равновесием тела понимают состояние покоя этого тела по от-
отношению к другим телам, играющим роль системы отсчета. Если сис-
систему отсчета, по отношению к которой изучается равновесие данного
тела, можно считать неподвижной, то равновесие этого тела условно
называют абсолютным, а в противном случае— относительным.
В действительности все тела на Земле движутся вместе с Землей
вокруг ее оси, вокруг Солнца и вместе с Солнцем в космическом про-
пространстве. Поэтому абсолютного равновесия в природе нет. Однако
часто, как уже говорилось во введении, при решении многих практи-
практических задач движение Земли не учитывают и считают Землю за не-
неподвижную систему отсчета. Вследствие этого всякое тело, не движу-
движущееся относительно Земли, считают находящимся в состоянии абсолют-
абсолютного равновесия. В статике изучают только абсолютное равновесие
тел**. Вопрос об относительном равновесии будет изучен в динамике.
Ясно, что уравновешенность сил, приложенных к свободному телу,
является необходимым, но не достаточным условием равновесия (по-
(покоя) самого тела. В равновесии тело будет находиться лишь в том слу-
случае, если оно было в покое и до приложения к нему уравновешенных
сил.
По известному из курса физики закону инерции следует, что
если на тело не действуют никакие силы или если силы, действующие
на него, взаимно уравновешиваются, то это тело или находится в по-
покое, или движется по инерции***. Поэтому под состоянием равновесия
* Заметим, что выражение «тело не изменяет своего движения» надо пони-
понимать в том смысле, что это тело под действием данной системы сил движется так,
как оно двигалось бы, если бы этой системы сил не было.
** В статике мы всегда будем пользоваться системой отсчета, неизменно
связанной с Землей.
*** При этом не следует думать, что движение тела по инерции может быть
представлено только в виде поступательного, прямолинейного и равномерного
движения В динамике будет показано, что при отсутствии сил (или при их рав-
равновесии) тело может также находиться и в состоянии равномерного вращения.
Движение тела по инерции в общем случае может быть представлено в виде ком-
комбинации двух одновременных движений: прямолинейного равномерного дви-
движения центра тяжести этого тела и равномерного вращения вокруг постоянно
движущейся оси, проходящей через центр тяжести При этом ось вращения может
составлять любой угол с направлением движения центра тяжести этого тела.
24
Раздел I. Статика
тела можно понимать не только состояние покоя, но и движение по
инерции. Однако в статике мы под состоянием равновесия материаль-
материальной точки или тела будем понимать только состояние покоя.
§2. АКСИОМЫ СТАТИКИ И НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ НИХ
Изложение ньютоновских общих аксиом теоретической механики
мы отложим до начала изложения динамики. Теперь же, приступая
к изучению статики абсолютно твердого тела, ограничимся установ-
установлением частных аксиом, которые достаточны, чтобы обосновать на них
статику, но недостаточны для обоснования всей теоретической меха-
механики. При этом в число аксиом статики войдет одна из ньютоновских
общих аксиом, т. е. аксиома равенства действия и противодействия.
С точки зрения логической строгости необходимо, чтобы число аксиом
было минимальным, чтобы они были непротиворечивыми и независи-
независимыми. Таким образом, в основе статики лежит несколько аксиом, или
истин, принимаемых без математических доказательств и подтверждае-
подтверждаемых повседневным опытом. Все же остальные положения статики вы-
выводятся и строго доказываются, исходя из этих аксиом.
Рис 2
Рис. 3
Аксиома I. Свободное абсолютно твердое тело находится в рав-
равновесии под действием, двух сил только в том случае, если эти силы рав-
равны по модулю и направлены в противоположные стороны по
общей линии действия (рис. 2).
Эта аксиома определяет простейшую уравновешенную систему сил.
Опыт показывает, что свободное тело, на которое действует только од-
одна сила, не может находиться в равновесии.
Аксиома II. Действие данной системы сил на абсолютно твердое
тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять систему
сил, эквивалентную нулю.
Из этой аксиомы следует, что две системы сил, отличающиеся на
уравновешенную систему, эквивалентны друг другу.
Глава I. Основные понятия и аксиомы статики 25
Следствие I. Не изменяя действия данной силы на абсолют-
абсолютно твердое тело, точку приложения этой силы можно переносить
вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.
Доказывается это следствие на основании аксиом I и II. А именно,
пусть дана сила F, приложенная в точке А рассматриваемого абсо-
абсолютно твердого тела (рис. 3, а). Согласно аксиоме II можно в произ-
произвольной точке В, взятой в этом же теле на линии действия силы F,
приложить две равные по модулю и противоположно направленные
по одной прямой силы F1 и F2 (рис. 3, б). Подберем при этом силы Ft
и F2 так, чтобы они по модулю были равны заданной силе F. Тогда
согласно аксиоме I силы Fx и F будут взаимно уравновешены. Соглас-
Согласно аксиоме II мы можем силы Fx и F отбросить. В результате остается
одна сила F2, приложенная в точке В (рис. 3, в) и эквивалентная*
прежней силе F, которая была приложена в точке А. Таким образом,
следствие доказано.
Так как точку приложения силы, действующей на твердое тело,
можно помещать на линии действия где угодно, то точка приложения
силы перестает быть характерным элементом силы, и поэтому говорят,
что сила есть вектор скользящий.
Следовательно, сила, действующая на твердое тело, определяется
ее модулем, линией действия и направлением вдоль линии действия.
Свобода переноса точки приложения силы вдоль линии ее действия
является характерным свойством только абсолютно твердого тела. В
деформируемом теле такой перенос силы недопустим. Например, если
вдоль стержня к двум концам его приложить две равные по модулю и
прямо противоположные по направлению силы Рг и F2, направленные
внутрь стержня, то деформируемый стержень будет сжиматься
(рис. 4, а). Если же перенести эти силы вдоль линии их действия
(рис. 4, б) в соответственно противоположные концы стержня, то в
новом своем положении те же силы F/ и F2 будут растягивать стержень.
В этом случае говорят, что сила, приложенная к деформируемому те-
телу, есть вектор приложенный (неподвижный). Этот пример показывает,
что системы сил, эквивалентные в статическом смысле, могут быть не
эквивалентны с точки зрения механики деформируемых тел.
Следствие II. Равнодействующая и уравновешивающая си-
силы равны по модулю и направлены по одной прямой в противополож-
противоположные стороны.
Докажем это следствие. Предположим, что сила R есть равнодей-
равнодействующая данной системы сил Fx, F2, F3,..., Fn, действующих на аб-
абсолютно твердое тело (рис. 5). Приложим к этому телу по линии
действия равнодействующей равную ей по модулю, но направленную
* На рис, 3, в знак оо означает, что сила F2 эквивалентна силе F.
26
Раздел I. Статика
в противоположную сторону силу R'. Силы R и R' взаимно уравнове-
уравновешиваются по аксиоме I.
Не нарушая механического состояния тела, мы можем заменить
равнодействующую эквивалентной ей системой сил Fx, F2, F3,...,Fn.
А так как сила R' уравновешивает равнодействующую R, то она будет
уравновешивающей и для системы сил Flt F2, F3,...,Fn.
Поскольку по условию сила R' равна по модулю и направлена
противоположно силе R, то следствие II доказано.
Из этого следствия вытекает, что нахождение силы, уравновеши-
уравновешивающей данную систему сил, можно свести к нахождению равнодей-
равнодействующей этой системы сил.
Аксиома III. Равнодействующая
двух сил, приложенных к телу в од-
одной точке, приложена в той же точ- VF.
ке, равна по модулю диагонали па-
параллелограмма, построенного на этих
силах, и направлена вдоль этой ди-
диагонали (рис. 6,а).
а)
6)
Рис. 4
Рис. 5
Параллелограмм, построенный на данных силах Fx и F2. называет-
называется параллелограммом сил, а сам способ нахождения равнодействующей
путем построения параллелограмма называется правилом параллело-
Л'...
~±2 ^_ С
г,
б)
Рис. 6
грамма сил. Здесь же необходимо заметить, что при нахождении рав-
равнодействующей двух сил Ft и .Р2 нет надобности строить весь паралле-
Глава I. Основные понятия и аксиомы статики 27
лограмм (рис. 6, а). Достаточно выполнить лишь следующее построе-
построение: из конца вектора первой силы Рг (рис. 6, б) проводим вектор вто-
второй силы F2. Вектор, соединяющий начальную и конечную точки по-
полученной ломаной линии, изобразит, очевидно, по модулю и направ-
направлению равнодействующую R этих сил. Этот способ нахождения рав-
равнодействующей двух сил называется правилом треугольника сил.
Равнодействующая R является геометрической (векторной) суммой
сил ^ и F2. Поэтому на основании аксиомы III имеем
R = Fi + К
где знак «плюс» обозначает операцию геометрического (векторного)
сложения сил Fx и F2. T- е. сложения этих сил по правилу параллело-
параллелограмма (рис. 6, а) или, что то же самое, по правилу треугольника
(рис. 6, б).
Аксиома III позволяет нам рассмотреть два метода для отыскания
равнодействующей двух сил, приложенных в одной точке.
Первый из них, называемый графическим методом сложения сил,
требует только точного и аккуратного выполнения чертежа. Построив
параллелограмм сил (рис. 6, о) или треугольник сил (рис. 6, б) в оп-
определенном масштабе и измерив в этом масштабе длину диагонали па-
параллелограмма или длину замыкающей треугольника, мы найдем
модуль равнодействующей силы. При этом направление этой равнодей-
равнодействующей силы определяется путем измерения углов <хх и а2, которые
она образует с составляющими силами Fx и F2.
Второй метод, называемый геометрическим, основан на примене-
применении правил геометрии и некоторых формул тригонометрии. Пользуясь
этим методом, не следует стремиться точно построить чертеж, так как
теперь он будет служить лишь для иллюстрации решения задачи о
сложении двух сил, приложенных в одной точке. Из треугольника
ABD согласно теореме косинусов найдем модуль равнодействующей
i + F22-2F1F2 cos (* -a) ,
где перед корнем берем знак «плюс», так как модуль вектора всегда
число положительное.
Так как cos(tt—а)=—cos а, то предыдущее равенство будет иметь
вид ___
R = -\^F2l + F22 + 2F1F2COsa, A)
где а — угол между линиями действия сил Ft и F2.
Определим теперь направление равнодействующей. По теореме
синусов из того же треугольника ABC будем иметь
Fi a F* _ R
sin a2 Sinai sin (тс — а)
28
Раздел I. Статика
Но sin (тс—a)=sin a, следовательно,
Sin a2
sin °ч
Sin a
B)
Формула B) позволяет найти синусы углов между равнодействующей
и составляющими силами, а следовательно, и сами эти углы.
Пользуясь I и III аксиомами, докажем теперь следующую теорему
об уравновешивании двух сил, линии действия которых пересекаются
в одной точке третьей силой: если свободное твердое тело находится в
равновесии под действие^, трех непараллельных сил, лежащих в одной
плоскости, то линии действия этих сил обязательно пересекаются в
одной точке.
Рис. 7
Рис. 8
Доказательство. Предположим, что данное абсолютно
твердое тело находится в равновесии под действием системы трех сил
F1 , Fit F3, т. е. эта система сил эквивалентна нулю. Пусть дано, что
линии действия сил Fx и F2 пересекаются в точке О, а линия действия
силы^з неизвестна (рис. 7). Перенесем точки приложения сил Fx и
F2 по линиям действия этих сил в точку О. Построив на этих силах
как на сторонах параллелограмм, заменим эти силы согласно аксиоме
III одной равнодействующей i?=F1+^r2 (рис. 8). В результате получим
систему сил R, F3, эквивалентную прежней системе сил F1, F2, F3 и
находящуюся по условию в равновесии. Но, согласно аксиоме I,
это возможно только в том случае, если силы R и Fs лежат на одной
прямой, чем и доказывается теорема. Эта теорема будет иметь широ-
широкое применение при решении задач. Заметим, что данная теорема да-
дает лишь необходимое условие равновесия, но недостаточное, ибо ясно,
что не всякие три силы, линии действия которых пересекаются и лежат
в одной плоскости, будут находиться в равновесии.
Глава I. Основные понятия и аксиомы статики 29
Аксиома IV. Силы, с которыми действуют друг на друга два тела,
всегда равны по модулю и направлены по одной прямой в противополож-
противоположные стороны.
Эта аксиома называется законом равенства действия и противо-
противодействия. Смысл аксиомы IV состоит в том, что если тело А
действует на тело В с силой FB, то одновременно тело В действует на
тело А с силой FA =—FB (рис. 9). Одна из этих сил, например Fa,
получила название «действие», а другая Fв — «противодействие».
Нужно запомнить, что силы Fл и F в не образуют уравновешенной сис-
системы сил, так как они прило-
приложены не к одному, а к двум —^.
разным телам. .•""' ^.
Из этой аксиомы следует, / ^>.
что в природе не существует ' »
одностороннего действия силы. / ^
Аксиома V. Если деформи- /
руемое тело находится под i
действием некоторой системы I Af \
сил в равновесии, то равновесие \ * ,
не нарушится и в том случае, . '
если это тело отвердеет (ста- \ I
нет абсолютно твердым). \ /
Эту аксиому называют прин- ч /
ципом отвердевания. Из прин- ч^ /
ципа отвердевания ел едут, ^». ^
что условия равновесия, явля-
являющиеся необходимыми и до- ри g
статочными для абсолютно твер-
твердого тела, являются необхо-
необходимыми, но недостаточными для соответствующего деформируемого
тела*. Например, твердый брусок (рис. 10, а, б) находится в равно-
Рис. 10 Рис. 11
весии под действием двух сил, равных по модулю и направленных вдоль
оси бруска друг к другу либо друг от друга, а нить, соответствующая
* Достаточные условия равновесия деформируемых тел устанавливают я
в курсах сопротивления материалов и теории упругости.
30 Раздел I. Статика
этому бруску, находится в равновесии только под действием двух сил,
равных по модулю и направленных вдоль нити друг от друга (рис. 11).
Очевидно, что под действием сил, направленных друг к другу, нить сом-
сомнется.
Принцип отвердевания широко используется в инженерных расче-
расчетах. Он устанавливает связь между статикой абсолютно твердого тела
и статикой деформируемого тела. Этот принцип позволяет результаты,
изложенные в статике абсолютно твердого тела, перенести затем не
только на исследование равновесия деформируемых тел (сопротивле-
(сопротивление материалов) и целых инженерных сооружений (строительная ме-
механика), но и на равновесие жидкости (гидростатика).
§3. ИССЛЕДОВАНИЕ СВЯЗЕЙ И УСТАНОВЛЕНИЕ НАПРАВЛЕНИЯ
ИХ РЕАКЦИЙ
Тело, некоторым перемещениям которого в пространстве препят-
препятствуют какие-нибудь другие, скрепленные или соприкасающиеся с ним
тела, называется несвободным. Всякое тело, ограничивающее свободу
перемещения данного твердого тела, является по отноше-
отношению к нему связью.
В статике абсолютно твердого тела связи, налагаемые
на рассматриваемое тело, чаще всего встречаются в ви-
виде неподвижных поверхностей, линий и точек, а также в
виде гибких нитей.
Таким образом, твердое тело является несвободным,
если на это тело наложены связи. Например, висящее на
гибкой нити тело будет несвободным (рис. 12), так как на
него наложена связь в виде нити и оно не может переме-
перемещаться вертикально вниз по направлению вытянутой нити,
не разорвав ее.
Если на твердое тело не наложены никакие связи, то
такое тело очевидно является свободным.
Если тело не может покинуть связь, то эта
Рис 12 связь называется удерживающей. Примером может
служить случай шарика с отверстием, надетого на
проволоку. Если же тело при некоторых перемещениях
может покинуть связь, то такая связь называется неудерживающей. Та-
Таким, например, случаем является тело, лежащее на столе. В этом случае
тело может перемещаться по столу — связь не нарушается; но можно
поднять тело, сняв его со стола, — при таком перемещении связь на-
нарушается. Следовательно, на тело, лежащее на столе, наложена не-
удерживающая связь. При этом не считается возможным, например,
такое движение, при котором тело пробивает доску стола, осуществля-
осуществляющую связь, так как считается, что связи физически неразрушимые.
Сила, характеризующая действие связи на тело, называется силой
реакции связи. Если считать силу, с которой тело действует на связь,
действием, то сила реакции связи является противодействием и при-
Глава I. Основные понятия и аксиомы статики 31
ложена к телу. Эти силы нельзя считать уравновешенными, хотя они
и равны по модулю и направлены противоположно, так как точки
приложения этих двух сил принадлежат различным телам.
Все силы, действующие на тело, можно разделить на две группы:
силы активные (сила тяжести, сила упругости сжатой или растяну-
растянутой пружины и т. п.) и силы реакций связей. При этом активными сила-
силами следует считать все силы, не являющиеся силами реакций связей.
Характерной особенностью активных сил является то, что модуль и на-
направление каждой активной силы наперед известны и непосредственно
не зависят от действия других, приложенных к данному телу сил, а
также от движения этого тела и от характера наложенных на него
связей. Силы же реакций связей зависят от действия приложенных к
нему активных сил, а также от движения этого тела и от характера
наложенных на него связей.
Силы реакций связей возникают только тогда, когда тело, на ко-
которое наложены связи, под действием активных сил оказывает давле-
давление на эти связи. Как только прекращаются эти давления на связи,
перестают действовать на тело и силы реакций связей. В этом смысле
силы реакций связей называются пассивными силами*.
Для определения силы реакции связи необходимо знать ее модуль,
направление и точку приложения. Модуль каждой силы реакции
связи всегда зависит от действующих на тело активных сил и являет-
является наперед неизвестным. Направление же сил реакций связей извест-
известно лишь для некоторых типов связей. Если данная связь препятствует
перемещению тела только в одном каком-нибудь направлении, то на-
направление ее реакции противоположно этому направлению. Если же
данная связь препятствует перемещениям тела по многим направле-
направлениям, то направление силы реакции связи наперед неизвестно и долж-
должно (так же, как и модуль силы реакции) определяться в результате ре-
решения соответствующей задачи статики. Точка приложения силы реак-
реакции связи, как правило, бывает известна.
Аксиома VI. Всякое несвободное тело можно рассматривать как
свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив их действие
соответствующими силами реакций связей.
Эта аксиома называется аксиомой связей, или принципом освобож-
даемости от связей.
Аксиома связей дает возможность применить к несвободному телу
условия равновесия, справедливые для свободного тела. Для этого
следует мысленно отбросить связи, наложенные на тело, заменив их
действие соответствующими силами реакций связей. Затем нужно рас-
рассмотреть равновесие этого несвободного тела как тела свободного под
действием активных сил и сил реакций связей.
Определение модулей и направлений сил реакций связей имеет пер-
* Пассивные силы не могут сами вызвать движения тела, в отличие от сил
а ктивных.
32
Раздел I. Статика
востепенное практическое значение, так как, зная силы реакций, сог-
согласно аксиоме IV, будем знать и силы давления на связи. А это, в
свою очередь, позволит, пользуясь законами сопротивления материа-
материалов, определить, выдержат ли связи данные давления или нет, т. е.
рассчитать прочность машины, конструкции или сооружения. .
При решении некоторых задач на равновесие тела можно сразу
указать направление сил реакций связей. При этом следует лишь опре-
определить модули сил реакций связей в ходе решения статических задач.
Для правильного направления сил
реакций связей укажем несколько при-
примеров наиболее часто встречающихся
связей и установим возможное направ-
направление их сил реакций.
1. Связь осуществляется посредством
идеально гладкой неподвижной плос-
плоскости или поверхности (рис. 13). Гла-
Гладкой называют такую плоскость или
поверхность, на которой можно прене-
пренебречь трением. Так как такая связь не
препятствует скольжению по ней поверх-
поверхности тела и препятствует только перемещению, направленному по общей
нормали к поверхности тела и к связи, то ее сила реакции Na направле-
направлена по этой нормали* и приложена к телу в точке касания. Поэтому эту
Рис. 13
а)
Рис. 14
Рис. 15
силу реакции называют нормальной силой реакции. Модуль нормаль-
нормальной силы реакции равен давлению, производимому телом на связь, и
зависит от активных сил, приложенных к телу.
Заметим, если на идеально гладкую поверхность, осуществляющую
связь, опирается в некоторой точке шар, то сила реакции связи на-
направлена по общей нормали к поверхности шара и к связи в точке их
касания и проходит через центр шара.
* Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной
плоскости, проведенный через точку касания. При этом под касательной плос-
плоскостью понимают плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, про-
проведенным на поверхности через данную точку.
Глава I. Основные понятия и аксиомы статики
33
Если поверхность данного тела или поверхность тела, осуществляю-
осуществляющего связь, имеет в месте касания заострение, то в этих случаях про-
проведение общей нормали представляет собой операцию неопределенную.
В этом случае сила реакции должна быть направлена по нормали к
той поверхности, для которой ее проведение является операцией опре-
определенной, и приложена к телу в точке касания (рис. 14, а, б; рис. 15)*.
2. Связь осуществляется посредством гибкого тела (нить, канат,
цепь и т. п.). Такая связь называется гибкой. Если на тело наложена
гибкая связь, то сила реакции приложена к тглу в точке прикрепле-
прикрепления гибкой связи. Сила реакции гибкой связи направлена, вообще го-
говоря, по касательной к связи в точке ее прикрепления к телу. В част-
частности, сила реакции гибкой связи Та (см. рис. 12) может иметь линией
действия ось этой связи.
втулка
Болт
Тело
Рис. 16
3. Связь осуществляется посредством неподвижного цилиндри-
цилиндрического шарнира или подшипника (рис. 16). При наложении такой
связи рассматриваемое тело неизменно скрепляется с втулкой, кото-
которая надевается на болт, неподвижно прикрепленный к соответствую-
соответствующей опоре**. Трением между поверхностями втулки и болта во мно-
многих случаях можно пренебречь. Связь, осуществляемая посредством
такого идеального шарнира, не препятствует ни повороту тела вокруг
оси болта, ни его перемещению вдоль этой оси***. Эта связь препят-
препятствует лишь перемещению тела в направлении нормали к поверхности
втулки и болта, и, следовательно, ее реакция может быть направлена
только по этой нормали. Но так как втулка в зависимости от ее распо-
расположения и активных сил, приложенных к неизменно скрепленному с
ней телу, может прижиматься к любой точке болта, то указать зара-
заранее направление реакции даже такого идеального шарнира нельзя.
Можно только утверждать, что сила реакции идеального неподвижного
* Предполагается, что трения между телом и связью нет.
** На рис. 16 показано, что втулка имеет цилиндрическое отверстие, диа-
диаметр которого несколько больше диаметра болта.
*** Ось болта перпендикулярна к плоскости рисунка.
4 Н Ф. Сахарный
34
Раздел I. Статика
цилиндрического шарнира может иметь любое направление в плос-
плоскости, перпендикулярной к оси шарнира, т. е. в плоскости Аху
(рис. 16,6). В этом случае линия действия реакции RA связи всегда
проходит через центр шарнира, но модуль RA и направление (угол а)
этой реакции неизвестны. Поэтому при освобождении тела от шар-
шарнирной связи силу реакции RA раскладывают на две составляющие ХД
и YА . Эти составляющие всегда направляют в сторону положитель-
положительного направления осей координат Ах и А у. Если в результате решения
задачи для Хд и Y А получатся отрицательные значения, то это озна-
означает, что в действительности составляющие Ха и Ya реакции R А
направлены в стороны, противоположные положительному направ-
направлению осей координат. Модуль и направление полной реакции ?> А
цилиндрического шарнира определяется по формулам:
= ^; cos
где i, j — единичные векторы прямоугольной декартовой системы
координат.
Однако в некоторых случаях
можно точно указать направление
реакции неподвижного цилиндричес-
цилиндрического шарнира. Например, пусть балка
AD весом Р, закрепленная на не-
неподвижном цилиндрическом шарнире
А, опирается в точке В на неподвиж-
неподвижную опору, как показано на рис. 17.
Реакция NB неподвижной опоры на-
направлена перпендикулярно к балке
AD. Реакцию неподвижного цилинд-
цилиндрического шарнира А обозначим через
Ra • Так как три силы Р, NB и RA
взаимно уравновешиваются, то линии
действия этих сил должны пересека-
пересекаться в одной точке*, поэтому линия действия реакции RA неподвиж-
неподвижного цилиндрического шарнира А проходит через точку пересечения О
линий действия сил Р и NB ¦ Следовательно, эта реакция RA направ-
направлена по прямой О А, соединяющей точку О с неподвижной точкой А
(с неподвижным болтом шарнира, рассматриваемым как точка).
4. Связь осуществляется посредством сферического шарнира (рис.18).
Сферический шарнир представляет собой шар, который может вра-
вращаться как угодно внутри сферической полости. Направление реак-
* Это следует из доказанной выше теоремы о трех уравновешивающихся
силах.
Рис. 17
Глава I. Основные понятия и аксиомы статики
35
ции в этом случае заранее указать нельзя, даже если трение в шар-
шарнире пренебрежимо мало. Реакция связи, осуществленной в виде
сферического шарнира, может быть направлена по любой наперед неиз-
неизвестной нормали к поверхности этого шарнира. Если на тело, неизмен-
неизменно скрепленное со сферическим шарниром А (рис. 19), действует про-
произвольная пространственная система сил*/7!, F2 ~Fn, то при отыс-
Рис. 18
Рис. 19
кании реакции сферического шарнира Ra эту неизвестную по моду-
модулю и направлению реакцию раскладывают по трем осям координат
на три составляющие Ха ,YauZa. При этом всегда направляют состав-
составляющие реакции Ra в сторону положительного направления осей ко-
координат. Если в результате решения задачи модуль какой-нибудь из
составляющих будет иметь отрицательное значение, то фактически
эта составляющая направлена в сторону, противоположную направ-
направлению соответствующей оси координат.
Модуль и направление полной реакции сферического шарнира на-
находятся по формулам:
(
_Л—\ Z
где i, /, k — единичные векторы прямоугольной декартовой системы
координат.
* Линии действия такой системы расположены произвольным образом в
различных плоскостях.
4*
36
Раздел I. Статика
5. Связь осуществляется посредством подпятника. Подпятник
В (рис. 20 и 21) представляет собой соединение цилиндрического шар-
шарнира с опорной плоскостью, не позволяющей опускаться телу, на ко-
которое эта связь наложена. Реакция подпятника складывается из нор-
нормальной реакции опорной плоскости и реакции цилиндрического
шарнира.
Рис. 20
Рис. 21
Если две какие-нибудь точки данного тела неподвижно закрепим
при помощи подпятника и подшипника, то такое тело может вращать-
вращаться вокруг оси, проходящей через эти две неподвижные точки. Пред-
Предположим, что к телу, ось которого может вращаться в подпятнике В
и в подшипнике А, приложена произвольная пространственная сис-
система сил F\, /\j,..., Fn (рис. 20). Так как подшипник А (цилиндричес-
(цилиндрический шарнир) допускает скольжение тела в вертикальном направле-
направлении, то его полная реакция не будет иметь вертикальной составляющей
и разложится лишь на две составляющие Х^и У а. Реакция же подпят-
подпятника В дает в этом случае три составляющие Хв, У в и Ъв, направлен-
направленные по трем_ координатным осям (Ха, У в— реакции цилиндрического
шарнира, z.rf — нормальная реакция опорной плоскости).
В случае действия на рассматриваемое тело произвольной плос-
плоской системы сил* направление реакции подпятника и подшипника бу-
* Линии действия сил такой системы расположены произвольным образом
в одной плоскости.
Глава I. Основные понятия и аксиомы статики
37
дет несколько иное. Например, пусть на подъемный кран (рис. 21)
действуют активные силы Р, (вес крана) и Р2 (вес груза). В этом слу-
случае полная реакция подпятника В раскладывается только на горизон-
горизонтальную -Хви вертикальную Y в составляющие. Подшипник Л даст при
этом только горизонтальную реакцию Хд, перпендикулярную к оси
вращения подъемного крана.
а)
В)—Г
S
В Щ'
Рис. 22
6. Связь осуществляется посредством невесомого твердого стержня
(рис. 22). Предположим, что невесомый* абсолютно твердый прямоли-
прямолинейный стержень АВ (рис. 22, о) соединен своими концами с данным те-
телом, равновесие которого мы рассматриваем, и с другим каким-ни-
каким-нибудь телом посредством идеальных (лишенных трения) шарниров А
и В. При этом никакие активные силы к этому стержню не приложены.
Шарнирные соединения концов стержня называются узлами. Найдем
направление реакции, например, стержня АВ. Если вся рассматри-
рассматриваемая конструкция (рис. 22, а) находится в равновесии, то, следова-
следовательно, в равновесии находится и сам стержень АВ. Мысленно отде-
отделяем стержень АВ от остальной части конструкции (отбрасываем свя-
связи-шарниры) и, чтобы не нарушилось его равновесие, прикладываем
к обоим концам стержня АВ силы реакции отброшенных шарниров.
Так как выделенный невесомый стержень АВ, рассматриваемый как
свободное тело, находится в равновесии под действием только двух
сил — реакций шарниров Л и В, то по аксиоме I эти реакции 6и
S равны по модулю, направлены в противоположные стороны и дей-
* Под невесомым стержнем понимают такой стержень, весом которого по
сравнению с силами, действующими на всю конструкцию, можно пренебречь.
38
Раздел I. Статика
ствуют по одной прямой, соединяющей центры этих шарниров, т. е. по
продольной центральной оси стержня (рис. 22, б, в). В зависимости от
направления реакции отброшенных шарниров стержень АВлибо рас-
растягивается (рис. 22, б), либо сжимается (рис. 22, в). Заметим, что на ос-
основании аксиомы IV сила реакции 5>3 стержня АВ на шарнир А, при-
приложенная к шарниру А (рис. 22, а), равна по модулю и противополож-
противоположна по направлению силе реакции 5'3шарнира А настержень ЛВ(рис.22,
б, в). Поэтому сила реакции S3 стержня АВ на рассматриваемое тело
также направлена по продольной центральной оси стержня аналогично
Sx и S2 (рис. 22, а). При этом сила реакции направлена или от узла стерж-
стержня, если он воспринимает растягивающее усилие, или к узлу стержня,
если последний подвергается сжатию. Очевидно, подобным же образом
будут направлены и реакции закрепленных стержней (прямых и лома-
ломаных), подпирающих рассматриваемое тело (рис. 22, г).
Во многих задачах нельзя заранее сказать, работает стержень на
сжатие или на растяжение. Поэтому при решении задачи на равновесие
силу реакции стержня направляют от узла к середине стержня,т.е.
предполагают, что стержень работает на растяжение. Результат
решения задачи покажет, будет ли это так. Если значение силы реак-
реакции получится положительным, то стержень действительно работает
на растяжение, а если отрицательным, то стержень фактически сжи-
сжимается.
'///77/////////////////%
Рис. 23
7. Связь осуществляется посредством негладкой неподвижной
поверхности (рис. 23, а, б). До сих пор мы рассматривали связи, ко-
которые осуществлялись посредством абсолютно гладких поверхностей.
В действительности же реальные поверхности бывают негладкими (ше-
(шероховатыми). Негладкая поверхность не только препятствует переме-
перемещению, нарушающему связь, но и оказывает некоторое сопротивление
перемещению по этой поверхности. Это сопротивление тоже представ-
Глава I. Основные понятия и аксиомы статики
39
ляет некоторую реакцию, направленную по касательной плоскости
к поверхности и называемую силой трения скольжения. Сила трения
скольжения направлена в сторону, противоположную той, в которую
двигают или стремятся сдвинуть тело приложенные к нему ак-
активные силы. Как и всякая реакция связи, сила трения определяется
теми активными силами, которые действуют на рассматриваемое тело*.
Следовательно, реакция негладкой неподвижной поверхности имеет
две составляющие: одну — нормальную к поверхности, осуществляю-
осуществляющей негладкую связь, а другую — лежащую к общей касательной
а)
Рис. 24
плоскости к поверхности тела и поверхности, осуществляющей не-
негладкую связь. Первая составляющая — нормальная сила реакции —
на рис. 23, а, б обозначена через Na и Nв, а вторая составляющая —
сила трения скольжения — на тех же рисунках обозначена через FA
и Fв-
Хотя идеально гладких поверхностей, а следовательно, и связей
без трения в действительности не существует, но во многих случаях
практики величина силы трения может быть настолько малой, что ею
можно пренебречь и практически считать связи идеально гладкими.
Примером такой связи является часто применяемая в мостовых и дру-
других конструкциях опора на катках (рис. 24). Подвижность катка на-
настолько велика, и, следовательно, сила трения настолько мала, что
можно считать эту связь препятствующей лишь перемещению, перпен-
перпендикулярному к опорной плоскости. Поэтому эта связь характеризует-
характеризуется только одной нормальной реакцией NA.
В § 24 будет рассмотрен еще один вид связи, осуществляемой по-
посредством заделки (балка-консоль).
* О том, как учитывается сила трения, мы будем говорить дальше (см. § 26).
40 Раздел I. Статика
Глава II
ПРИВЕДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ И ПЛОСКОЙ СИСТЕМ
СХОДЯЩИХСЯ СИЛ К РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ
§4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ
ПРОСТРАНСТВЕННОЙ И ПЛОСКОЙ СИСТЕМ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
Система сил, в которой линии действия всех сил пересекаются в
одной точке, называется системой сходящихся сил. Система сил, ли-
линии действия которых не лежат в одной плоскости, но пересекаются
в одной точке, называется пространственной системой сходящихся
сил. Система же сил, линии действия которых лежат в одной плоскости
и пересекаются в одной точке, называется плоской системой сходящих-
сходящихся сил. Если мы перенесем точки приложения Alt Л2,..., Ап всех сил
Flt F2, ..., Fn данной пространственной или плоской системы сходя-
сходящихся сил в общую точку О
пересечения линий действий
этих сил (рис. 25, а, б), то
согласно первому следствию
из аксиом I и II действие этой
системы сил на абсолютно
твердое тело не изменится.
Таким образом, любую сис-
систему сходящихся сил можно
заменить эквивалентной си-
системой сил, приложенных
в одной точке.
рис_ 25 Всюду в статике, а также и
в динамике мы будем иметь де-
дело со случаями, когда ктелу приложена кг к )я-нибудь система сил. Мы
увидим, что сложную систему сил можно заменить по определенным пра-
правилам простой системой, действие которой на тело будет таким же,
как и действие сложной системы сил. Эта замена сложной системы сил
простой системой называется приведением системы сил к простейшей,
ей эквивалентной. Если система сил приводится только к одной силе,
ей эквивалентной, то эта одна сила называется равнодействующей
системы сил, а приведение системы сил называется в этом случае
сложением сил*. Обратный процесс носит название разложения сил.
* Если какая-либо механическая система элементов одного наименования
может быть заменена одним элементом того же наименования, то такая замена
называется в механике сложением по аналогии с арифметическим сложением,
где сумма имеет одинаковое наименование со слагаемыми При приведении же
механическая система элементов одного наименования заменяется системой,
которая может включить и элементы другого наименования. Поэтому понятие
сложения уже понятия приведения.
Глава П. Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей 41
В этой главе прежде всего рассмотрим пространственную систему
сходящихся сил, действующих на тело, с целью замены этой системы
одной равнодействующей и, в частности, с целью нахождения необхо-
необходимого и достаточного условия равновесия этой системы сил.
Одновременно рассмотрим указанные две основные задачи статики
(приведения и равновесия) и для плоской системы сходящихся сил.
Далее мы рассмотрим более трудные задачи приведения и равнове-
равновесия различных систем сил, требующих более сложных методов и новых
понятий.
Предположим, что к точке А абсолютно твердого тела приложены,
например, четыре силы Fu F%, Fs, Fit линии действия которых не
лежат в одной плоскости (рис. 26, а). Постараемся установить, что эта
пространственная система сходящихся сил приводится только к
равнодействующей. Для этого будем складывать силы Ft, Fz, F3, Ft
последовательно, пользуясь уже установленным нами для сложения
Рис. 26
двух сходящихся сил правилом силового треугольника. Сначала сло-
жим^о этому правилу какие-либо две из данных сил, например силы
Fjji F2, для чего из конца вектора силы Fx (точки В) проведем вектор
ВС, равный силе f2. Равнодействующая R12 сил Fx и F2 изобразится
в выбранном масштабе замыкающей стороной треугольника, т. е.
вектором АС. Сложим по тому же правилу силы R12 и F3, для чего из
точки С проведем вектор CD, равный силе F3, и соединим точки A hD.
Вектор AD представляет в выбранном масштабе равнодействующую
/?133 сил R12 n_F3, т. е. заменяет собой действие сил Flt F2, Fs. Затем
сложим силы R123 и F4. Для этого проводим из точки D вектор DE, рав-
равный силе F4, и соединяем прямой точки А и Е. Вектор АЕ, представ-
представляя в выбранном масштабе равнодействующую R сил Rli3 и FA, будет,
3 Н Ф Сахарный
42 Раздел I. Статика
очевидно, служить и равнодействующей всей данной пространственной
системы сходящихся сил (рис. 26, а).
Процесс определения равнодействующей пространственной систе-
системы сходящихся сил удобнее вести, как это видно из рис._26, а , нес-
несколько иным путем (рис. 26, б). Из конца вектора силы Fx (точки В)
проводим вектор ВС, равный силе 1\. Из конца этого вектора (точки С)
проводим вектор CD, равный силе F3. Из конца этого вектора (точки D)
проводим вектор DE, равный силе Fi. Полученный многоугольник
АВСДЕ называется силовым многоугольником. Стороны этого много-
многоугольника, равные заданным силам и одинаково с ними направленные,
называются составляющими силами. Вектор АЕ, соединяющий нача-
начало А первой силы и конец Е последней силы и направленный навстре-
навстречу составляющим силам, называется замыкающей стороной силового
многоугольника. Поэтому можно сказать, что равнодействующая
пространственной (и, следовательно, плоской) системы сходящихся
сил изображается в выбранном масштабе по модулю и по направле-
направлению замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на
слагаемых силах (правило силового многоугольника).
Если в точке Л тела приложены три силы Fly F2, F3 (рис. 27), ли-
линии действия которых не лежат в одной плоскости, то равнодействую-
равнодействующая R этой пространственной системы сходящихся сил изобразится
по модулю и направлению диагональю параллелепипеда, построенного
на этих силах, и будет приложена в той же точке А (правило парал-
параллелепипеда сил). В самом деле, для трех сил Flt F2, F3 диагональ AD
_______^ соответствующего параллелепи-
Av педа есть замыкающая сторона
\ AD построенного многоуголь-
\ ника этих сил ABCD. Необ-
>\ ходимо иметь в виду, что си-
1
Fz \p / ловои многоугольник, получаю-
получающийся при определении равно-
равнодействующей пространственной
fz системы сходящихся сил (при
рис. 27 любом числе сил), не будет пло-
плоским, так как линии действия
сил этой системы не лежат в одной плоскости.
Полученное правило определения равнодействующей системы схо-
сходящихся сил справедливо при любом числе сил, входящих в состав
данной системы.
Нахождение равнодействующей системы сходящихся сил по пра-
правилу силового многоугольника называется векторным или геометри-
геометрическим, сложением сил. Нужно заметить, что порядок, в котором про-
производится векторное, или геометрическое, сложение сил, безразли-
безразличен: при изменении порядка слагаемых сил замыкающая сторона си-
Глава //. Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей 43
лового многоугольника не изменит ни своего модуля, ни своего на-
направления. Таким образом, мы доказали следующую теорему: про-
пространственная и, следовательно, плоская система сходящихся сил
в общем случае эквивалентна одной силе, являющейся равнодействую-
равнодействующей, которая приложена в точке пересечения линий действия всех
этих сил и равна их векторной (геометрической) сумме:
R=F1+Fa+...+Fn.
Для обозначения векторной (геометрической) суммы сходящихся
сил Flt Fit ..., Fn будем пользоваться обычным знаком S (сигма):
R = tTlt 0)
п
где знак ? обозначает суммирование стоящих справа от него отме-
/=1
ченных индексом i сил по всем последовательным значениям этого
индекса от i—l до i=n.
Эту же теорему, но применительно к плоской системе сходящихся
сил, можно сформулировать аналогичным образом. Однако при этом
нужно указать, что линия действия равнодействующей плоской системы
сходящихся сил лежит в той же плоскости, в которой расположены ли-
линии действия всех сил этой системы.
§5. УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ И ПЛОСКОЙ
СИСТЕМ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ В ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Пусть на свободное тело действует пространственная (или плос-
плоская) система сходящихся сил Fly F2, ¦¦¦, Fn (рис. 28, а).
Сложив по правилу силового многоугольника п—1 из этих сил,
мы приведем данную систему сходящихся сил к системе двух сил Rx
и Fn, эквивалентной данной системе Fv F2, ..., Fn. Но из аксиомы I
известно, что две силы Rt и F'„, приложенные к свободному абсолютно
твердому телу, находятся в равновесии в том и только в том случае,
если эти силы имеют равные модули и направлены по одной прямой в
прямо противоположные стороны (/?t=—Fn), т. е. если их равнодей-
равнодействующая Rx-\-Fn=R равна нулю. Таким образом, необходимым и доста-
достаточным условием равновесия пространственной (и, следовательно, плос-
плоской) системы сходящихся сил является равенство нулю равнодействую-
равнодействующей R этой системы сил, т. е.
R=R~x + 7n = F1 + F2 + F3+ ...+ Fn = О,
44
Раздел I. Статика
ИЛИ
= VF. = 0.
A)
Это векторное равенство называют векторным условием равновесия
пространственной (и, следовательно, плоской) системы сходящихся
сил. Геометрически это условие выражается требованием, чтобы си-
силовой многоугольник, построенный для этой системы сил, замыкался
сам по себе. Заметим, что в замкнутом силовом многоугольнике конец
Рис. 28
вектора последней силы F п совпадает с началом вектора первой силы
Fx, а стрелки векторов всех сил указывают одну и ту же сторону об-
обхода периметра силового многоугольника (рис. 28, б).
Таким образом, мы приходим к следующему геометрическому (или
графическому) условию равновесия: для равновесия пространственной,
а также плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно,
чтобы силовой многоугольник, построенный на векторах слагаемых сил
этой системы, был замкнут.
§6. РАЗЛОЖЕНИЕ СИЛЫ НА СХОДЯЩИЕСЯ СОСТАВЛЯЮЩИЕ
Разложить данную силу на две или несколько сходящихся состав-
составляющих сил значит найти такую систему двух или нескольких сходя-
сходящихся сил, для которой данная сила является равнодействующей.
Разложение силы по двум заданным направлениям. Пусть, напри-
например, требуется разложить на две сходящиеся силы силу F , модуль и
направление которой заданы. Возьмем два произвольных направления
ОМ и ON и построим вектор О А, изображающий в некотором масштабе
данную силу F. Из точки А проведем прямые АВ и АС, соответственно
параллельные прямым ON и ОМ (рис. 29). Получается параллелограмм
ОВАС, для которого сила F является диагональю. Векторы ОВ и
ОС дают в том же масштабе составляющие силы, равнодействующая
которых равна F.
Глава II. Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей 45
Взяв два других произвольных направления ONX и ОМХ и анало-
аналогичным образом построив новый параллелограмм ОВ1АС1, мы полу-
получим другие составляющие силы ОВХ и ОСг, дающие в сумме ту же
самую равнодействующую.
Таким образом, по данной силе F, очевидно, можно построить бес-
бесчисленное множество параллелограммов сил, и, следовательно, за-
задача о разложении данной силы F на две сходящиеся составляющие
силы является в такой постановке неопределенной и имеет однозначное
решение лишь при задании двух дополнительных условий.
с
/
7
А
¦ /в
м
Рис 29
Рис 30
Такими дополнительными условиями могут, например, быть:
1) задание двух направлений, по которым должны действовать состав-
составляющие; 2) задание модулей обеих составляющих сил; 3) задание мо-
модуля одной составляющей силы и направление другой.
Рассмотрим первый случай. Разложим заданную силу F (рис. 29)
на две сходящиеся составляющие силы по направлениям, параллель-
параллельным данным прямым ON и ОМ (линия действия силы и эти прямые ле-
лежат в одной плоскости). Задача сводится к построению такого парал-
параллелограмма, у которого диагональ будет изображать силу F, а сторо-
стороны будут параллельны прямым ON и ОМ. Для решения задачи про-
проводим через начало и конец вектора силы F прямые, параллельные
ON и ОМ. При этом стороны таким образом построенного параллело-
параллелограмма ОВ и ОС, направление которых совпадает с заданными направ-
направлениями искомых составляющих сил, дадут нам эти искомые состав-
составляющие силы в том же масштабе, в каком отложена данная сила F.
46
Раздел I. Статика
Два последних случая предоставляем читателю рассмотреть само-
самостоятельно.
Разложение силы по трем заданным направлениям. Исходя из
правила параллелепипеда сил, можно решить задачу о разложении
данной силы F на три сходящиеся силы по трем заданным направле-
направлениям ON, ОМ и OL, не лежащим в одной плоскости (рис. 30). Для
этого, очевидно, достаточно построить параллелепипед, ребра которого
О А, ОВ и ОС имели бы заданные направления, а диагональю OD яв-
являлась бы заданная сила F. При этом ребра этого параллелепипеда
О А, ОВ и ОС дадут нам модули искомых составляющих данной силы F
в том же масштабе, в каком отложена сила F.
§ 7. ПРОЕКЦИИ СИЛЫ НА ОСЬ И НА ПЛОСКОСТЬ
Проекция силы на ось. Аналитический метод решения задач ста-
статики основан на понятии о проекции силы на ось.
Пусть мы имеем силу F, приложенную в точке А тела, и некоторую
ось х, положительное направление которой будем считать от точки а
х'
а)
Рис. 31
в ту сторону, где стоит буква х. Предположим, что линия действия
силы F и ось улежат в одной плоскости *. Опустим из начала и конца
вектора силы F на ось х перпендикуляры Аа и ВЬ (рис. 31, а). Взятая
с соответствующим знаком длина отрезка ab называется проекцией
силы F на ось х.
Проекция силы имеет знак «плюс», если перемещение от ее начала
к концу происходит в положительном направлении оси (рис. 31, а),
и знак «минус», если в отрицательном (рис. 31, б). Из этого определения
следует, что проекция силы на ось является величиной скалярной.
* Проекция силы на ось, расположенную любым образом, находится ана-
аналогично.
Глава II. Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей 47
Проекцию силы на ось будем обозначать той же буквой, которой обо-
обозначена сила, но со знаком внизу, указывающим наименование оси
проекций (например, F х и Flx, или прописной буквой X и Хг).
Таким образом,
Fx = X = ab; Flx = Xl = — abv
Если провести через начало вектора силы прямую х', параллель-
параллельную оси х, то легко видеть, что
аЬ = АС = F cos a,
Отсюда
abl — АСг = — Ft cos 8 = F1 cos аг.
Fx = X — F cos a; Flx = Xx = Ft cos alt
A)
т. е. проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус
угла между направлением силы и положительным направлением оси
проекций.
Проекция силы на плоскость. Проекцией силы F на плоскость
Оху называется вектор F xy=ab, заключенный между проекциями на-
начала и конца вектора силы F на эту плоскость (рис. 32). Таким обра-
образом, в отличие от проекции си-
силы на ось, проекция силы на
плоскость есть величина вектор-
векторная, так как она характеризует-
характеризуется не только своим численным
значением, но и направлением в
плоскости Оху. Модуль проек-
проекции силы на плоскость опреде-
определяется по формуле
где В — угол между направле-
направлением вектора силы F и ее про-
екци и FXy на плоскость Оху.
Заметим, что для нахожде-
нахождения проекции силы F, напри-
например на ось х, можно сначала
найти ее проекцию на плоскость
Оху, в которой эта ось лежит, а
затем найденную проекцию на
плоскость Fxy спроектировать на данную ось:
Рис. 32
F v = F cos a = F cos a cos 3.
48
Раздел I. Статика
§ 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛЫ ПО ЕЕ ПРОЕКЦИЯМ НА КООРДИНАТНЫЕ ОСИ
Если сила и ось проекций заданы, то проекция силы на ось опреде-
определяется единственным образом. Но задание одной проекции силы еще
не определяет саму силу, так как различные силы могут иметь оди-
одинаковые проекции на одну и ту же ось (рис. 33, а).
Если линия действия силы F расположена в координатной плоскос-
плоскости Оху (рис. 33, б), то для определения этой силы нужно знать ее
b x о
Рис 33
проекции Fх и Fy на две прямоугольные декартовы оси координат Ох
и Оу (аналитический способ задания силы). В этом случае модуль силы
F численно равен диагонали прямоугольника, длины сторон которого
численно равны абсолютным значениям проекций силы на координат-
координатные оси Ох и Оу. Отсюда следует, что модуль силы F равен
A)
где перед корнем всегда надо брать знак «плюс», так как модуль силы
есть число арифметическое.
Направление силы F определяется из равенств:
cos
_Л \
= р , cos\F, j ) = -jr .
B)
Покажем теперь, что сила F будет вполне определена, если будут
известны ее проекции F x, Fy, Fz на три прямоугольные декартовы оси
координат Ох, Оу и Oz (рис. 34). В самом деле, из формулы A, § 7)
следует, что
Fx = Fcos[F, i
= Fcos [F , j ); Fz = Fcos I F , k I. C)
Глава П. Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей 49
Отсюда находим косинусы углов между вектором силы и положитель-
положительными направлениями осей проекций:
D)
cos \F , i =-f-; cos [F , j = ~f ; cos \F , k =
которые называются направляющими косинусами.
Возводя равенства C) почленно в квадрат и складывая их, находим
модуль силы F по формуле
так как
E)
/_л_\ /-Л \ /-Л-Л
cos» [F , i + cos2 [F , j \ + cos2 [F , k U= 1. F)
Рис. 34
a b eg d e
Формулы D) и E) позволяют, зная проекции силы на оси коорди-
координат, найти ее углы с осями и модуль, т. е. определить силу. Заметим,
что в формуле E) перед корнем всегда берется знак «плюс», так как
эта формула определяет модуль силы.
Из формулы F) следует, что из трех направляющих косинусов неза-
независимыми являются только два. Поэтому нельзя задавать произволь-
произвольно три угла -^:F, i, ^:F, j и *^F, k, образуемых силой F с координат-
координатными осями Ох, Оу и Oz.
Докажем теперь следующую теорему о проекции равнодействующей
на ось: проекция равнодействующи системы сходящихся сил (безраз-
(безразлично, пространственной или плоской) на какую-либо ось равна алге-
алгебраической сумме проекций составляющих сил на ту же ось.
50
Раздел I. Статика
В самом деле, положим, что на точку А тела одновременно дей-
действуют сходящиеся силы/7!, F2, F3,..., Fn (рис. 35). Найдем их равнодей-
равнодействующую R по правилу силового многоугольника.
Спроектируем силы Fv F2,..., Fn и их равнодействующую R на
данную ось х:
Rx = ag; Flx = ab; F2x = be; F3x = cd; Fix = de\ Fbx = — eg.
С
x x x x
Сложив последние пять равенств, находим
F5x =
ИЛИ
чем и доказывается теорема.
Данная теорема справедлива при любом числе сил, поэтому анало-
аналогично получим
R F F F
или
G)
; Z
§9. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ
ПРОСТРАНСТВЕННОЙ И ПЛОСКОЙ СИСТЕМ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
Правило силового многоугольника позволяет геометрически (по-
(построением) определить модуль и направление равнодействующей R
данной пространственной (и,
следовательно, плоской) си-
системы сходящихся сил; рав-
равнодействующая при этом
векторно определяется фор-
формулой A, § 4). Аналитичес-
Аналитическое решение этой же задачи
основано на применении ме-
метода проекций и базируется
на теореме о проекции равно-
равнодействующей на ось G, § 8).
Пусть мы имеем прост-
пространственную систему сходя-
сходящихся сил Flt F2, F3, .... Fn,
Рис 36 заданных своими проекция-
проекциями на координатные оси, на-
начало которых взято в точке пересечения линий действия данных сил
(рис. 36). Требуется определить модуль и направление равнодействую-
равнодействующей R данной системы сходящихся сил. Обозначая проекции иско-
искомой равнодействующей R на координатные оси х, у и г через Rx, Ry
Глава II Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей 51
в Rz, а проекции составляющих сил Fl7 F2, Fs, ..., Fnna те же оси за-
заглавными буквами X, Y и Z с соответствующими индексами, на осно-
основании теоремы о проекции равнодействующей силы на ось будем иметь
Отсюда, подставляя эти значения в формулу E, § 8), получим сле-
следующее выражение для модуля равнодействующей пространственной
системы сходящихся сил:
Чтобы определить направление равнодействующей R, нужно най-
найти ее углы ^.R, i, ^R, /и ^ R, k с координатными осями х, у и г.
На основании формулы D, § 8) будем иметь следующие формулы, оп-
определяющие направление равнодействующей R:
Rv
cos I R , i I = пг = ~W ; cos I
/ Л \ ^
cosi/г, л J =-r- =
C)
где модуль R равнодействующей R известен из предыдущего равен-
равенства B).
Формулы B) и C) полностью решают задачу об аналитическом
определении равнодействующей пространственной системы сходящих-
сходящихся сил по заданным проекциям составляющих сил.
После того как найдены величина и направление равнодействующей
пространственной системы сходящихся сил, можно найти и линию дей-
действия этой равнодействующей. Для этого надо составить уравнение
прямой, проходящей через точку Л (хд, i/a,Za) пересечения линий дей-
действия данных сходящихся сил Flt F2, F3 Fn и имеющей направле-
направление равнодействующей R этих сил. По правилам аналитической гео-
геометрии получаем это уравнение в виде*:
х — хл у — уД z — zA
Это следует из уравнения
IX ZY tZ
R R R
52
Раздел I. Статика
где х, у, г — текущие координаты, а ха, у а, *а— координаты точки А
пересечения линий действия данных сил Flt F2, ..., Fn (рис, 37).
Если начало декартовой системы координат взято в точке пере-
пересечения данных сходящихся сил в пространстве, то уравнение D)
примет вид
х у z
z\
fM(x,y,z)
Рис 37
В случае плоской системы
сходящихся сил можно принять
плоскость, в которой располо-
расположены линии действия всех сил
этой системы, за координатную
плоскость хОу, тогда проекция
любой силы на ось z будет ра-
равна нулю, и будем иметь
E)
Модуль равнодействующей
в этом случае будет опреде-
определяться по формуле
2*1+2*4.
;=i
а ее направление — по формулам:
cos!/?, i =x = -R~; cos[R, j J = -R- =-?-.
F)
G)
Чтобы получить линию действия равнодействующей плоской сис-
системы сходящихся сил, нужно найденное направление G) провести
через ту точку, в которой пересекаются линии действия всех заданных
сил.
§ 10. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ И ПЛОСКОЙ
СИСТЕМ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФОРМЕ.
УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
В § 5 мы установили, что для равновесия пространственной сис-
системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействую-
равнодействующая этой системы сил равнялась нулю (R=0).
Глава II Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей 53
Выразим теперь это условие аналитически.
Из предыдущего параграфа известно, что модуль равнодействую-
равнодействующей пространственной системы сходящихся сил определяется по фор-
формуле
Но если R=0, то равно нулю и подкоренное выражение. Посколь-
Поскольку стоящие под корнем слагаемые как квадраты некоторых чисел
(безразлично, положительных или отрицательных) всегда положитель-
положительны, то R может равняться нулю только в том случае, если каждое из
этих слагаемых равно нулю в отдельности. Откуда следует, что долж-
должны соблюдаться следующие три условия:
ЕХ; = 0; ЪУг = 0; SZ, = 0. A)
С другой стороны, очевидна и достаточность этих условий для рав-
равновесия рассматриваемой системы сил, так как из них следует, что
/?=0.
Таким образом, для равновесия пространственной системы схо-
сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю алге-
алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из трех выбранных лю-
любым образом координатных осей.
Таково условие равновесия пространственной системы сходящих-
сходящихся сил в аналитической форме.
Имея плоскую систему сходящихся сил, всегда можно плоскость,
в которой расположены линии действия всех этих сил, принять за
координатную плоскость хОу. Тогда третье условие равновесия будет
выполнено тождественно, и условия равновесия плоской системы схо-
сходящихся сил в аналитической форме сведутся к двум следующим ус-
условиям:
t Xt = 0; S Yt = о. B)
(=1 (=1
Таким образом, для равновесия плоской системы сходящихся сил
необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю алгебраические сум-
суммы проекций всех сил на каждую из двух, выбранных любым образом
координатных осей, лежащих в плоскости, в которой расположены ли-
линии действия всех сил.
Если на свободное тело действует система сходящихся сил (без-
(безразлично, пространственная или плоская), эквивалентная нулю, то
из этого еще не следует, что данное тело будет находиться в покое от-
относительно выбранной системы отсчета, так как при выполнении ус-
условий A) или B) это тело может двигаться по инерции. Необходимыми
и достаточными условиями состояния покоя свободного тела, на ко-
54 Раздел I. Статика
торое действует система сходящихся сил, являются: 1) равнодействую-
равнодействующая этой системы сил должна быть равна нулю (^=0) и 2) начальные
скорости всех точек рассматриваемого тела также должны быть рав-
равны нулю.
Если эти два условия выполняются, то говорят, что данное тело
находится в равновесии*. Однако иногда под равновесием рассматри-
рассматриваемого тела понимают его движение по инерции, а не только состоя-
состояние покоя. В связи с этим в статике решают задачи, относящиеся не
только к телам, находящимся в покое, но и к телам, движущимся по
инерции.
Если же на данное тело наложены связи, то, присоединяя силы
реакций связей к активным силам, приложенным к телу, можно рас-
рассматривать его как свободное (аксиома связей). При этом в большин-
большинстве случаев в задачах статики по некоторым известным активным си-
силам, приложенным к данному несвободному телу, требуется опреде-
определить неизвестные силы реакций связей, предполагая, что тело находит-
находится в покое и что, следовательно, все приложенные к нему активные
силы и силы реакций связей уравновешиваются.
При решении таких задач, когда линии действия всех сил, прило-
приложенных к телу, включая и силы реакций, пересекаются в одной точке,
нужно воспользоваться условиями равновесия системы сходящихся
сил в геометрической или аналитической форме. В первом случае для
системы сходящихся сил мы определяем искомые силы реакций связей
или другие неизвестные в данной задаче величины при помощи по-
построения замкнутого силового многоугольника или чисто графичес-
графически, строя этот силовой многоугольник в строго определенном масшта-
масштабе, или вычисляя его стороны по правилам геометрии и тригономет-
тригонометрии (геометрический метод). Однако геометрический метод решения
задач статики при числе сил больше трех становится неудобным. При
большом числе сил почти всегда выгоднее применять аналитический
метод. При аналитическом методе мы находим искомые величины из
уравнений равновесия A) или B), в левые части которых войдут, кро-
кроме проекций известных активных сил, и проекции неизвестных сил
реакций связей.
Нужно заметить, что те из соотношений A) или B), в которые бу-
будут входить проекции сил реакций связей, называют уравнениями
равновесия, а те из них, в которые проекции сил реакций связей не
будут входить, называют условиями равновесия. Если тело несвобод-
несвободно, то число условий равновесия будет равно числу степеней свободы
тела, т. е. числу независимых перемещений, которые может иметь это
тело.
При решении задач о равновесии несвободного твердого тела силы
реакций наложенных на это тело связей являются величинами, наперед
* Условия равновесия свободного тела в этом случае полностью совпадают
с условиями равновесия свободной материальной точки.
Глава П. Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей 55
неизвестными. Число этих неизвестных зависит от числа и характера
наложенных связей. Определение неизвестных сил реакций по извест-
известным активным силам как раз и составляет содержание большинства
задач статики. Соответствующая задача статики может быть решена
только в том случае, когда для нее число неизвестных сил реакций не
превышает числа уравнений равновесия, содержащих эти силы реак-
реакций. Если число уравнений равновесия равно числу неизвестных сил
реакций, то такая задача о равновесии тела называется статически
определенной. Если же из всех уравнений равновесия все неизвестные
силы реакций определить нельзя, потому что уравнений равновесия
меньше, чем неизвестных сил реакций, то такая задача о равновесии
тела называется статически неопределенной. Для решения статически
неопределенных задач методы статики абсолютно твердого тела ока-
оказываются недостаточными, и поэтому для определения всех неизвест-
неизвестных сил реакций приходится учитывать упругие свойства тела, т. е.
его деформацию. Статически неопределенные задачи решаются в кур-
курсах сопротивления материалов или статики сооружений.
В дальнейшем мы будем рассматривать только статически опреде-
определенные задачи.
При решении задач статики рекомендуется придерживаться сле-
следующего порядка:
1. Выбрать тело (или точку), равновесие которого должно быть
рассмотрено в данной задаче.
2. Освободить выбранное тело от связей и изобразить (расставить)
все действующие на это тело (и только на это тело) активные силы
и силы реакций отброшенных связей. Тело, освобожденное от связей,
с приложенной к нему системой активных сил и сил реакций, следует
изображать отдельно*. При определении направления сил реакций
связей и изображении этих сил на чертеже нужно пользоваться теми
соображениями, о которых говорилось в § 3.
3. Составить уравнения равновесия. Для составления уравнений
равновесия необходимо сначала выбрать оси координат. Этот выбор
можно производить произвольно, но полученные уравнения равновесия
будут решаться проще, если одну из осей направить перпендикулярно
к линии действия какой-либо неизвестной силы реакции. Решение по-
полученных уравнений равновесия следует, как правило, проводить до
конца в общем виде (алгебраически). Тогда для искомых величин бу-
будут получаться формулы, позволяющие проанализировать найденные
результаты; численные значения найденных величин подставляются
только в окончательные формулы.
Уравнения равновесия составляются при аналитическом методе
* Когда будет приобретен достаточный навык, можно выбранное тело, рав-
равновесие которого рассматривается, выделить из конструкции мысленно и изо-
изображать все действующие на него активные силы и силы реакций на общем
рисунке.
56
Раздел I. Статика
решения задач на равновесие системы сходящихся сил*. Однако если
число сходящихся сил, равновесие которых рассматривается, равно
трем, то удобно применить геометрический метод решения этих задач.
Решение в данном случае сводится к тому, что вместо уравнений рав-
равновесия всех действующих сил (активных и реакций связей) строит-
строится силовой треугольник, который на основании геометрического усло-
условия равновесия должен быть замкнут (начинать построение этого
треугольника следует с заданной силы). Решая силовой треугольник,
находим искомые величины.
V в)
а)
Рис. 38
Задача 1. Тяжелый шар весом Р килограммов подвешен на нити
(рис. 38, а) в точке А и удерживается в отклоненном на угол а от вер-
вертикали положении горизонтальной нитью, привязанной в точнее В.
Найти натяжение нитей.
Решение. Выбираем тело, равновесие которого будем рассмат-
рассматривать. Таким телом будетшар. Вес Р шара известен. Будем рассмат-
рассматривать шар как материальную точку О. Эта точка несвободна. Связи,
наложенные на нее, осуществляются нитями ОА и ОВ. Отбрасываем
связи (перережем мысленно нити) и заменяем их действие на точку О
* Об особенностях составления условий равновесия для разных систем сил
будет сказано в соответствующих параграфах раздела «Статика».
Глава П. Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей 57
реакциями. Тогда точку О можно будет рассматривать как свободную
и находящуюся в равновесии под действием плоской системы из трех
сходящихся сил: активной Р и реакций Г, и Т2 нитей (рис. 38, б), ко-
которые направлены вдоль нитей. Реакции 7\ и Т2 по модулю равны
искомым натяжениям нитей. Следовательно, определение натяжений
нитей можно заменить определением их реакций 7, и Тг.
Рассмотрим три метода решения данной задачи.
Графический метод решения. Так как три силы
Р, Тх и Тг находятся в равновесии, то силовой треугольник, состав-
составленный из. этих сил, должен замыкаться. Строим этот силовой тре-
треугольник: для этого в определенном масштабе строим силу Р, которая
нам известна по модулю и направлению, затем через начало и конец
вектора Р проводим прямые, параллельные направлениям сил Тх и
7V Стороны DE и ЕС полученного таким образом замкнутого силового
треугольника CDE (рис. 38, в) дают модули и направления искомых
реакций нитей. Чтобы найти их модули, а следовательно, и натяжения
нитей, остается измерить в принятом масштабе стороны DE и ЕС.
Геометрический метод решения. Искомые сто-
стороны DE и ЕС силового треугольника CDE можно найти не только
путем непосредственного измерения, но и вычислением, применяя пра-
правила геометрии и тригонометрические формулы. Из способа построе-
построения силового треугольника CDE ясно, что ^CD?=90°,
^DCE — a и ^D?C=90°—а (рис. 38, а, Ь)'. Из силового треугольника
CDE видно, что
Нужно иметь в виду, что геометрический метод решения задач
статики при числе сил больше трех становится неудобным.
Аналитический метод решения. Для составле-
составления уравнений равновесия необходимо выбрать оси координат. Выби-
Выбираем систему координат так, чтобы проектирование сил в выбранной
системе координат было наиболее удобным и выражения проекций
были возможно проще. В данной задаче начало координат возьмем
в точке О, равновесие которой мы рассматриваем. Направим ось Ох
горизонтально вправо, а ось Оу — вертикально вверх (рис. 38, б).
/ч_ /ч_
Из сравнения рис.38, аи 38, б видно, что ^{Тх, у)=а и ^(Т2, /) =90°.
Составим теперь уравнения равновесия плоской системы сходящихся
сил
Для этого алгебраически сложим проекции всех сил на каждую
58
Раздел I. Статика
координатную ось и приравняем к нулю полученные алгебраические
суммы:
ЕХ = — 7\ cos (90° — а) + Т, = — 7\ sin а + Г, = 0;
IY = 7\cosoc— Р = 0.
Решая эти уравнения равновесия, находим
Т =
COS a
кГ; Г, = Ptga кГ.
Как мы видим, данную задачу можно решить различными метода-
методами*. Выбор того или иного метода решения задачи зависит от харак-
характера этой задачи и от требований, предъявляемых к точности решения.
Задача 2. Шарик В весом Р (рис. 39) подвешен к неподвижной
точке А посредством нити АВ и лежит на поверхности гладкой сферы
радиуса г; расстояние точки А от центра О сферы равно d. Длина ни-
нити АВ=1. Прямая АО вертикальна. Определить натяжение нити и
давление шарика на сферу.
Решение. Решим эту задачу геометрическим методом. Выби-
Выбираем тело, равновесие которого будем рассматривать. Таким телом
будет шарик В. На шарик действует одна активная сила — его вес Р.
Будем рассматривать шарик как материальную точку. Эта точка не-
несвободна. Связи, наложенные на нее, осуществляются нитью и поверх-
* Кроме разобранных методов, натяжения нитей можно было бы найти путем
разложения силы Р на составляющие по заданным направлениям нитей.
Глава II. Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей 59
ностью сферы. Отбрасываем связи и заменяем их действие на точку В
соответствующими реакциями. Первую связь можно заменить реакцией
Т, направленной по нити АВ, вторую — реакцией N, направленной по
радиусу ОВ. Освободив таким образом точку В от связей и заменив их
действие на точку реакциями, можно рассматривать эту точку как сво-
свободную и находящуюся в равновесии под действием плоской системы
из трех сходящихся сил: активной Р и реакций Т и N (рис. 39, б.)
Так как точка В под действием этой системы сил находится в равнове-
равновесии, то согласно геометрическому условию равновесия силовой тре-
треугольник, построенный на этих трех силах, должен быть замкнут,
что и показано на рис. 39, в. Стороны этого силового треугольника
параллельны соответствующим сторонам треугольника ОАВ (рис. 39,а).
Следовательно, указанные треугольники подобны, их стороны пропор-
пропорциональны, т. е.
Р N т
ОА
ОВ
АВ
Отсюда получаем модули реакций сферы и нити
~ ОА ~^ d '
Т -РАВ -Р 1
1 ~Г 0А~Г d •
Требующиеся в задаче давление шарика на сферу и натяжение ни-
нити будут согласно аксиоме о равенстве действия и противодействия те-
теми же по модулю, что N и Т, но противоположно направленными.
Задача 3. Груз Б весом
Р=2Т поднимается краном
ВАС при помощи цепи
ДАВ, свободно перекину-
перекинутой через неподвижный
блок А. Пренебрегая тре-
трением цепи о блок, опреде-
определить усилие в стержнях АС
и АВ в зависимости от
угла а (рис. 40, а), а затем
определить угол а так, что-
чтобы усилие стержня АВ ра-
равнялось нулю.
Решение. Выбира-
Выбираем тело, равновесие ко-
которого будем рассмат-
рассматривать. Таким телом будет узел, или точка, А оси неподвижного :
ка. Эта точка несвободна. Заменим наложенные на нее связи соот-
соответствующими реакциями. Так как стержни АС и АВ нагружены в
узле Л, а соединения стержней — шарнирные, то стержни могут быть
только или растянуты, или сжаты, и, следовательно, реакции стерж-
стержней будут направлены вдоль их осей. Стержень АВ будет, очевидно,
а)
6)
Рис. 40
60 Раздел I. Статика
растянут, и его реакция Qx будет направлена от Л к В, стержень АС—
сжат, и его реакция Q2 будет направлена от С к А. Так как трением цепи
ДАБ о блок А можно пренебречь, то натяжение цепи ДАБ, свободно
перекинутой через блок, при равновесии будет всюду одинаково;
следовательно, силы реакций Тг и Т2 левой и правой частей этой цепи
по модулю равны весу Р груза Б, т. е. 7i==r2=P.
Освободив таким образом точку А от связей и заменив их действие
на точку реакциями, можно рассматривать эту точку как
свободную и находящуюся в равновесии под действием плоской си-
системы из четырех сходящихся сил: 7\, Т2, Q, и Q2, причем модули
двух последних сил неизвестны и их требуется вычислить.
Удобнее всего эту задачу решить аналитическим методом, так
как при равновесии четырех (и более) сил он проще геометрического.
За начало координат берем точку А, за направление оси х — линию
действия силы Q2, °сь у проводим перпендикулярно к ней (по линии
действия силы QJ, как показано на рис. 40, б.
Составим теперь уравнения равновесия плоской системы сходя-
сходящихся сил:
ЕХ = 0; ЕК = 0.
Для этого алгебраически сложим проекции всех сил на каждую
координатную ось и приравняем к нулю полученные алгебраические
суммы:
EX = Q2 — Т2 cos 30° — Тг cos a = 0;
ЕК = Qj + Tt sin a — Т2 cos 60° = 0.
Решая эти уравнения равновесия, находим
Qt = Р [~ — Sin а ) ; Q2 = Р (^ + cos a
где учтено, что 7\ =Г2 =Р.
Усилие в стержне АВ будет равно нулю в том случае, если
-к sin а = 0, т. е. при а = 30°;
при этом
Q ^(i + 1^) ^/3- = 3,46 т.
Задача 4. Балка АВ поддерживается в горизонтальном положении
стержнем CD. Крепления А, С и D — шарнирные. Определим реак-
реакции опор А и D, если на конец балки действует вертикальная сила
F=5 кГ.
Размеры указаны на рис. 41, а. Весом балки пренебречь.
Глава II. Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей
61
Решение. Выбираем тело, равновесие которого будем рассмат-
рассматривать. Таким телом будет балка АВ. Отбрасываем наложенные на
балку связи (стержень CD и шарнир А) и заменяем их реакциями. Ре-
Реакция стержневой связи Re направлена вдоль стержня от С к D (рис.
4), б). К точке В балки АВ приложена известная по модулю и направ-
направлению активная сила F~. Направление реакции неподвижного шарни-
шарнира Л, вообще говоря, неопределенно. Но так как балка АВ под действи-
действием трех приложенных к ней непараллельных сил находится в равнове-
равновесии, то линии действия этих трех сил должны пересекаться в одной
точке.
i
А
2м
а)
С.
¦
SV5
F
Рис. 41
Продолжаем линию действия вертикальной силы F до ее пересе-
пересечения в точке О с линией действия реакции Ксстержневой связи. Сое-
Соединяя точку О с точкой Л, получаем линию действия реакции /?л шар-
шарнира А. Зная модуль и направление силы F одной из трех сил, сходя-
сходящихся в точке О и находящихся в равновесии, а также зная направле-
62 Раздел I. Статика
ние двух других сил Rc и Ra, можно найти и модуль последних, строя
силовой треугольник.
Решим эту задачу аналитическим методом.
Примем точку О за начало координат хОу и проведем координат-
координатные оси так, как показано на рис. 41, б. Определим угол, который об-
образует реакция Ra с осью л; (ось х параллельна балке АВ); ОВ =
AD О QD
1
Составим теперь уравнения равновесия плоской системы сходя-
сходящихся сил:
Для этого алгебраически сложим проекции всех сил на каждую
координатную ось и приравняем к нулю полученные алгебраические
суммы:
# R
EF = Rcsin 45° — RAsin a — F = 0.
Решая эти уравнения, находим
/?л=7,9т; #с= 10,6 т; RO = RC-
Задача 5. Из трех прикрепленных к вертикальной стене стержней
АО, ВО и СО стержни АО и ВО расположены в горизонтальной плос-
плоскости и образуют со стеной угол а=60°, а стержень СО образует со
стеной угол р=30° (рис. 42, а). Стержни прикреплены к стене шарни-
шарнирами и скреплены шарниром в точке О, к которой прикреплен груз Q
весом Р=300 кГ. Определить усилия, действующие вдоль стержней
АО, ВО и СО.
Решение. Выбираем тело, равновесие которого будем рас-
рассматривать. Таким телом будет узел, или точка, О. Эта точка несво-
несвободна; связями служат стержни АО, ВО и СО. Отбросим эти стержне-
стержневые связи и заменим их действие на точку О силами реакций Sa , Sb
hSc, линии действия которых направлены вдоль стержней АО, ВО
и СО. Кроме этих трех сил, к узлу О приложена еще реакция Т ве-
веревки, на которой подвешен груз Q, равная, очевидно, по модулю
весу Р груза Q. В точке О, таким образом, сходятся четыре силы: Т,
Sa > Sb и Sc ¦
Выберем оси координат, как показано на рис. 42, б, совместив плос-
плоскость yOz с плоскостью, в которой действуют силы Т и Sc ¦ При этом
силы Sa и Sb будут лежать в координатной плоскости хОу.
Глава П. Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей 63
Составим теперь уравнения равновесия пространственной смстемы
сходящихся сил:
ЕХ = 0; ЕК = 0; SZ = 0.
Для этого алгебраически сложим проекции всех сил на каждую
координатную ось и приравняем к нулю полученные алгебраические
суммы:
EX = SBcos 60° — SA cos 60° = 0;
EF = — [SA + SB) cos 30° + Sc cos 60° = 0;
EZ = — T + 5ccos 30° = 0,
T P
откуда
cos 30°
Sccos60°
2 cos 30°
= 346 кГ;
64
Раздел I. Статика
Все три силы: Sc . Sa и Sb—получились со знаком «плюс», следова-
следовательно, сделанное предположение об их направлении правильно.
Выясним вопрос о том, какие стержни сжаты, какие — растянуты.
Так как стержни АО и ВО действуют на точку О силами Sa и Sb,
направленными от О к Л и от О к В, то точка О действует на стержни
АО и ВО силами, обратно направленными и растягивающими эти
стержни. Стержень СО действует на точку О с силой Sc, направленной
от С к О, следовательно, точка О действует на стержень СО силой, об-
обратно направленной и сжимающей этот стержень. Таким образом,
стержни АО и ВО будут работать на растяжение, а стержень СО —
на сжатие.
Если бы сразу не было очевидным, какой из стержней сжат и ка-
какой растянут, то можно было бы предварительно считать все стержни
растянутыми. Отрицательное значение реакций того или иного стерж-
стержня, полученное в результате решения уравнений равновесия, пока-
показало бы, что действительное направление этой реакции противополож-
противоположно принятому.
§11. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ.
ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА О МОМЕНТЕ РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ
1. Момент силы относительно точки. Понятие момента силы воз-
возникло в связи с определением вращательного действия силы, прило-
приложенной к телу, имеющему неподвижную точку или неподвижную ось.
Рис. 43
Представим себе твердое тело, имеющее в точке О сферическую
опору (рис. 43, а, б). Рассмотрим силу F, приложенную в точке А
этого тела. Очевидно, что сила F будет поворачивать тело вокруг не-
неподвижной точки О. Длина перпендикуляра d, опущенного из точки
О на линию действия силы F, называется плечом этой силы относи-
относительно точки О. Так как точку приложения силы можно произволь-
произвольно перемещать вдоль линии действия, то, очевидно, вращательный
эффект силы F будет зависеть: 1) от модуля F силы F и длины плеча d;
Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей 65
2) от положения плоскости поворота ОАВ, проходящей через точку О
и силу F; 3) от направления поворота в этой плоскости.
Ограничимся здесь пока рассмотрением плоской системы сил, т. е.
когда линии действия сил системы расположены в одной плоскости.
В этом случае плоскость поворота для всех сил системы является об-
общей и в дополнительном задании не нуждается, а направление пово-
поворота в этой плоскости можно охарактеризовать соответствующим зна-
знаком, считая поворот вокруг точки О против хода часовой стрелки по-
положительным, а в направлении противоположном — отрицательным.
Тогда для количественного измерения вращательного эффекта
силы F можно ввести следующее понятие о моменте этой силы отно-
относительно некоторой точки О на плоскости: моментом силы от-
относительно некоторой точки О на плоскости называется скалярная
величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению
модуля силы на ее плечо относительно этой точки. При этом будем
считать, что момент силы F относительно точки О имеет знак «плюс»,
если эта сила стремится повернуть тело вокруг точки О против хода
часовой стрелки (рис. 43, а), и знак «минус»,— если по ходу часовой
стрелки (рис. 43, б).
Момент силы F относительно точки О будем обозначать символом
то (F). Следовательно,
mQ{?) = ±Fd. A)
Заметим, что момент силы относительно точки О можно принимать
за скалярную (алгебраическую) величину лишь в тех случаях,
когда имеем дело с плоской системой сил. В случае же пространствен-
пространственной системы сил, т. е. когда линии действия всех сил системы распо-
расположены в различных непараллельных плоскостях, правило знаков
момента силы относительно точки теряет свой смысл*.
Таким образом, мы установили, что моменты относительно точки О
сил плоской системы отличаются друг от друга численным значением
и знаком. При этом численное значение момента силы относительно
точки О равно произведению модуля силы на длину ее плеча относи-
относительно этой точки.
Отметим в заключение, что геометрически численное значение
момента силы F относительно точки О выражается удвоенной пло-
площадью треугольника ОАВ (рис. 44), вершиной которого является
данная точка О, а основанием — данная сила F:
B)
Единица момента силы определяется по формуле A), или mo—Fd.
* В этом случае момент силы относительно точки рассматривается как
вектор, о чем сказано в § 35.
6 Н. Ф. Сахарный
66
Раздел I. Статика
Положив в этой формуле F=l кГ, d=\ м, получим:
1 единица момента силы=1 кГ Л м=\ кГ -м.
Размерность единицы момента силы в системе МКГСС
Если же модуль силы выражен в ньютонах (F=\ н), а длина плеча
в метрах (d=l м), то, очевидно, размерность единицы момента в сис-
системе СИ выразится в виде
Отметим теперь следующие свойства момента силы относительно
точки:
1. Момент силы относительно
точки не изменится при переносе
точки приложения силы вдоль ее
линии действия, так как при этом
не изменяется ни модуль силы, ни
длина ее плеча.
Рис. 44
Рис. 45
2. Момент силы относительно точки равен нулю только тогда, ког-
когда модуль силы равен нулю или когда линия действия силы проходит
через точку, так как в этом последнем случае длина плеча равна нулю.
2. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей. Докажем
теперь следующую теорему Вариньона: момент равнодействующей
плоской системы сходящихся сил относительно некоторой точки, ле-
лежащей в плоскости сил, равен алгебраической сумме моментов слагае-
слагаемых сил относительно той же точки.
Рассмотрим плоскую систему сходящихся сил Fx, F2, ..., Fn, при-
приложенных в точке А твердого тела (рис. 45). Их равнодействующая
_ п _
R= S Ft будет приложена в той же точке. По теореме о проекции
Глава III. Система параллельных сил и теория пар 67
п
равнодействующей на ось получим Rx = ? Fix. Умножая обе части
этого равенства на ОА, получим
"и)- C)
Преобразуем эту формулу, для чего найдем момент относительно
точки О любой из сил системы, например силы Fv Очевидно*,
шо{Т1) =2пл. АОАВ^ОА-Ob = OA-F1x, D)
где Flx=Ob — проекция силыFt на ось Ох, перпендикулярную к ОА.
Согласно формуле D) можно преобразовать формулу C) к виду
то
i=i
Эта формула и дает математическое выражение теоремы Вариньона
о моменте равнодействующей.
Глава III
СИСТЕМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ И ТЕОРИЯ ПАР, КАК УГОДНО
РАСПОЛОЖЕННЫХ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ
§12. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ,
НАПРАВЛЕННЫХ В ОДНУ СТОРОНУ, К РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ
Две параллельные силы можно рассматривать как предельный слу-
случай двух сходящихся сил, когда точка схода удалилась в бесконеч-
бесконечность. Недоступность точки схода не позволяет непосредственно вос-
воспользоваться правилом сложения сходящихся сил. Для того чтобы
найти равнодействующую двух параллельных сил Fx и F~z, приложен-
приложенных в точках А и В твердого тела, применим следующий прием (рис. 46).
Разложим силу Ft на две составляющие. Одну составляющую Рх
направим вдоль линии АВ и зададим ее модуль. Другую составляющую
Qt найдем по модулю и направлению с помощью силового треуголь-
треугольника (рис. 46, а). Точно так же поступим с силой F2, при этом состав-
* Заметим, что в случае, когда сила F\ проходит ниже линии О А, ее момент
относительно точки О получится отрицательным, так как будет отрицательна
проекция Flx.
68
Раздел I. Статика
ляющую Р2 направим навстречу силе Рх и выберем ее равной по
модулю силе Р~х. Составляющую Q2 определим с помощью силового
треугольника (рис. 46, б). Очевидно, что оба построения (рис. 46, а
и рис. 46, б) можно соединить в один чертеж (рис. 46, с).
Таким образом, вместо системы двух сил Fx и F2 имеем эквивалент-
эквивалентную ей систему четырех сил Qx, Q2, Px и Р2. Найдем равнодействующую
этих четырех сил.
Так как силы Рх и Р2 по модулю равны и действуют вдоль одной
линии в противоположных
направлениях, то эти силы
уравновешены, и, следова-
следовательно, их сумма равна
нулю. Остаются силы Qx
и Q2, сходящиеся в точке
О. Геометрическая сумма
этих сил, как это видно
из рис. 46, с, равна сумме
сил Fx и F2, т. е.
С)
Fa.
A)
Рис 46
Итак, равнодействую-
равнодействующая двух действующих на
абсолютно твердое тело
параллельных сил, направленных в одну сторону, равна по модулю
сумме модулей слагаемых сил, им параллельна и направлена в ту же
сторону.
Чтобы найти линию действия равнодействующей, проведем через
точку О прямую, параллельную линиям действия слагаемых сил. Точку
пересечения этой прямой с АВ обозначим через С.
Треугольник АСО подобен силовому треугольнику (рис. 46, а),
так как их стороны параллельны. По этой же причине подобны тре-
треугольник ВСО и силовой треугольник (рис. 46, б).
Из первых двух треугольников следует, что
АС _С0
Pi ~~~Fi '
Из вторых двух треугольников имеем
ВС
С0
F2
Разделив почленно первую пропорцию на вторую, получим
АС _ F8
ВС ~ Fi '
так как Рх=Рг.
Глава 111. Система параллельных сил и теория пар
69
Принимая во внимание свойства пропорций, находим
ВС АС ВС + АС АВ
откуда
~ R '
AB-Fi
C)
D)
Итак, линия действия равнодействующей двух действующих на
абсолютно твердое тело параллельных сил, направленных в одну сто-
сторону, проходит между точками приложения слагаемых сил на рассто-
расстояниях от этих точек, обратно пропорциональных модулям этих сил.
Задача 6. К телу в точках An В
(рис. 47) приложены две параллель-
параллельные и направленные в одну сторо-
сторону силы Fx=6 кГ и /72=3 кГ. Оп-
Определить модуль и линию дейст-
действия равнодействующей, если рас-
расстояние между линиями действия
данных сил 1=6 м.
Решение. Модуль равно-
равнодействующей определим по фор-
формуле A):
/? = Fх + F2 = 6 + 3 = 9 кГ. Рис. 47
Расстояние линии действия равнодействующей R от линии действия
силы Z7! обозначим через х. Тогда по формуле C) имеем
откуда находим
= -тг = -n- = 2. M.
§13. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ДВУХ НЕ РАВНЫХ ПО МОДУЛЮ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ, НАПРАВЛЕННЫХ В ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ
СТОРОНЫ, К РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ
Для отыскания равнодействующей можно применить тот прием,
который уже был применен в предыдущем параграфе. Однако мы вос-
воспользуемся более простым способом. Рассмотрим тело, на которое
действуют две параллельные силы Ft и F2, направленные в противо-
противоположные стороны (рис. 48). Такие силы называются антипараллель-
70
Раздел I. Статика
ными. Пусть /71>F2- Возьмем на продолжении В А точку С и прило-
приложим к ней две уравновешенные силы R и R', параллельные силам F%
и F2. При этом модули сил R и R' и положение точки С выберем так,
чтобы удовлетворялись равенства:
R = F1-F2; A)
F,
АВ
' R
B)
Сложим силы F2 и /?^, тогда по формулам A, 3, § 12), найдем, что их
равнодействующая Q будет по модулю равна F2+R', т. е. равна мо-
модулю Ft силы Fl и приложена в точке А. Так как силы fjnQ экви-
Рис. 49
валентны нулю, то их можно отбросить. В результате заданные силы
Fх и F2 будут заменены одной силой R , которая и является их равно-
равнодействующей. Модуль силы R и точка приложения С этой силы оп-
определяются по формулам A) и B).
Итак, равнодействующая двух антипараллельных сил равна по мо-
модулю разности модулей этих сил, им параллельна и направлена в сто-
сторону большей силы; линия действия равнодействующей проходит вне
отрезка, соединяющего точки приложения слагаемых сил, на
расстояниях от этих точек, обратно пропорциональных модулям
сил.
Заметим, что последовательно применяя правила сложения двух
параллельных сил, а также двух антипараллельных сил, можно най-
найти равнодействующую нескольких параллельных сил, действующих
на тело.
Задача 7. На твердое тело действуют две антипараллельные силы
(рис. 49), причем известна одна из составляющих f2 и их равнодей-
Глава III. Система параллельных сил и теория пар
71
ствующая R. Определить модуль и точку приложения второй состав-
составляющей силы/7!, если F2=l2 кГ; R=A кГ и ВС=6 м.
Решение. Пусть А — точка приложения неизвестной нам
силы Fi, тогда ее модуль и точку приложения найдем из формул A)
и B):
R=F1 — F2, или F, = R + F2 = 16 кГ,
далее,
Fi_ _ R _.. ЛО RBC
ВС
АВ '
ИЛИ ~~
4-6 _ , с
: "Ж "" ' М'
§ 14. ПАРА СИЛ. МОМЕНТ ПАРЫ СИЛ
Мы уже знаем, что система двух сил, как угодно расположенных
водной плоскости, приводится к одной равнодействующей силе; исклю-
исключением является система двух взаимно
уравновешивающихся сил. В этом пара-
параграфе мы установим, что другим исклю-
исключением является система двух равных по
модулю параллельных друг другу и напра-
направленных в разные стороны сил Fx и F2, ли-
линии действия которых не совпадают
(рис. 50). Такая система двух сил образует
так называемую пару сил, или просто
пару, для обозначения которой будем
пользоваться символом (Flt F%)-
Плоскость, в которой расположена
пара сил, называется плоскостью дейст-
действия пары.
Кратчайшее расстояние между линия-
линиями действия сил пары (Flt F2), т. е. длина
перпендикуляра, опущенного из точки при-
приложения А одной из сил пары на линию
действия второй силы, называется плечом
пары d*.
Напомним, что от сложения двух параллельных сил, неравных
по модулю и направленных в противоположные стороны, получается
равнодействующая, модуль и положение линии действия которой оп-
определяются по формулам:
Плоскость действия
пары сил
Рис. 50
* Плечо пары d не следует смешивать с расстоянием / между точками прило-
приложения сил пары. Однако, перемещая точку приложения каждой силы пары вдоль
линии действия силы, всегда можно расположить пару так, что расстояние между
точками приложения сил одновременно будет и плечом.
72 Раздел I. Статика
Предположим теперь, что Fx=—F2, тогда
Я = F± — F2 = 0
Л^ ~ F^F2 ~ ~0 °° '
у. е. равнодействующая пары сил равна нулю, а точка ее приложе-
приложения находится в бесконечности. Этот результат указывает на то, что
парасил не имеет равнодействующей, т.е. ее нельзя заменить однойси-
лой, ей эквивалентной. Вместе с тем силы, составляющие пару сил,
не находятся в равновесии, так как на основании аксиомы I две проти-
противоположные силы уравновешиваются только тогда, когда они дей-
действуют по одной прямой, а в данном случае силы имеют различные ли-
линии действия.
Пара сил не может быть уравновешена одной силой. Это вытекает
из того, что если бы пара уравновешивалась одной силой, то на осно-
основании следствия II (см. § 2) она имела бы равнодействующую, что
невозможно.
Так как силы, составляющие пару, не находятся в равновесии,
не имеют равнодействующей и не могут быть уравновешены одной
силой, то пара сил занимает среди других систем сил особое место. В
механике, наряду с силой, приходится рассматривать пару сил как
самостоятельный, неприводимый элемент.
Непосредственный опыт показывает, что пара сил, приложенная к
твердому телу, способна привести его во вращательное движение, если
только этому не препятствуют наложенные на данное тело связи.
Вращательное действие пары на тело будет тем больше, чем больше
плечо пары и модули сил, образующих эту пару, и измеряется так на-
называемым моментом пары. При этом численное значение момента пары
определяется как произведение модуля одной из сил пары на плечо
этой пары.
Для полной характеристики вращательного действия на тело пары,
лежащей в данной плоскости, нужно, кроме численного значения мо-
момента, знать еще и направление вращения, которое пара стремится
сообщить телу. Будем считать положительным момент такой пары
которая стремится повернуть тело против направления вращения ча-
часовой стрелки, и отрицательным — момент такой пары, которая стре-
стремится повернуть тело по направлению вращения часовой стрелки. Так,
например, пара {Fx, F2), изображенная на рис. 51, имеет положитель-
положительный момент, а пара (Fi, F2), изображенная на рис. 52, имеет отрица-
отрицательный момент.
В данной главе будут рассматриваться свойства пар, расположен-
расположенных в одной плоскости. Для этого случая по аналогии с моментом силы
относительно точки можно ввести следующее определение момента
Глава III. Система параллельных сил и теория пар
73
пары: моментом пары называется скалярная величина, равная взятому
с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на
ее плечо. Будем обозначать момент пары символом т или т (Fv F2).
Тогда
т = ± Fxd = ± F2d.
Очевидно, что момент пары равен моменту одной из ее сил отно-
относительно точки приложения другой (рис. 51, 52)*:
т =
A)
Рис. 51
Рис. 52
Заметим, что момент пары, так же как и момент силы относитель-
относительно точки, можно принимать за скалярную алгебраическую величину
лишь в тех случаях, когда мы имеем дело с плоской системой сил. В
случае же пространственной системы сил правило знаков момента
пары теряет свой смысл**.
Отметим, что геометрически численное значение момента пары выра-
выражается в виде удвоенной площади треугольника, основанием которого
является одна из сил пары, например F2, а высотой — плечо пары d
(рис. 53):
m = F,d = 2 пл. A ABC.
Размерность единицы момента пары такая же, как и размерность
единицы момента силы — кГ-м (в системе МКГСС) и н-м (в системе
СИ).
Докажем теперь следующую теорему: алгебраическая сумма момен-
моментов сил пары относительно любой точки, лежащей в плоскости ее
действия, не зависит от выбора этой точки и равна моменту пары.
* Понятие момента пары не следует смешивать с моментом силы. Понятие
момента силы связано с точкой, относительно которой берется этот момент.
Момент пары ни с какой точкой плоскости не связан.
** Момент пары в этом случае рассматривается как вектор, о чем будет ска-
сказано в § 40.
5 Н. Ф. Сахарный
74
Раздел I. Статика
Пусть на твердое тело действует пара сил (F, F'). Опустим из про-
произвольной точки О перпендикуляр на линии действия сил пары
(рис. 54). Точки пересечения этого перпендикуляра с линиями дей-
действия сил пары обозначим через а и Ъ. Тогда, так как F'=F, mo(F)=
=F-Oan mo{F')=F' -Ов. Складывая эти равенства почленно и замечая,
что Ob—Oa=d, получим
т0
[F)+m0 (F')=Fd = m [F, F'),
где m (F, F')— момент данной пары. Этим и исчерпывается доказатель-
доказательство теоремы.
Рис. 53
Рис. 54
§ 15. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПАР
Докажем следующую теорему: действие пары на тело не изменится,
если эту пару заменить любой другой парой, лежащей в той же плос-
плоскости и имеющей тот же момент.
Пусть в точках iVnAf твердого тела (рис. 55) приложена пара сил
{Flt /Y) с плечом dx. Докажем,что эту пару сил можно заменить любой
другой парой сил, имеющей тот же момент. Для доказательства про-
проведем через какие-нибудь точки D и Е тела две параллельные прямые
на произвольном расстоянии d2 друг от друга и продолжим эти прямые
до пересечения их с линиями действия сил Fх и F\ пары (Fx , F\)
в точках А и В. Перенесем точку приложения силы F1 вдоль ее линии
действия в точку А, а силы F^'— в точку В. Разложим теперь силу Fx
по направлениям В А и AD на силы F2 и F3, а силу F' г—по направле-
направлениям АВ и BE на силы F2' и F3'. Так как силы Fx и /Y по модулю равны
и параллельны друг другу, то очевидно, что F2=—F2' и F3=—F3'.
Но cnnuF3nF3 действуют вдоль одной и той же прямой и, как уравно-
Глава III. Система параллельных сил и теория пар
75
вешенные (аксиома I), могут быть отброшены (аксиома II). Силы же
F2 и F2' можно приложить в точках D и Е, лежащих на их линиях дей-
действия. В результате пара сил (Fly F^) будет заменена парой сил
(F2, F2') с другим плечом и другими силами.
Рис. 55
Докажем в заключение, что моменты этих пар равны. Для этого
проведем линии АК и АС, соединяющие точку А с концами векторов
сил Fi и F2'. Очевидно, что
m{F_x, F[) = 2пл. аАВК;
m (?2> F2) = 2 пл. Л ABC.
Но у треугольников АВК и ABC основание АВ общее, а высоты оди-
одинаковы, так как линия СК параллельна АВ. Следовательно, эти треу-
треугольники равновелики и m (Fv F1')=m(F2, F2'). Таким образом, мы до-
доказали, что пару сил (F^ F^), действующую на твердое тело, можно за-
заменить любой другой парой сил (F2, F2'), имеющей тот же момент.
Из доказанной теоремы вытекают следующие свойства пары сил:
1. Действие пары на тело не изменится, если переместить пару в
другое положение в плоскости ее действия*.
* Заметим, что перенос пары в ее плоскости действия, так же как и перенос
точки приложения силы вдоль линии ее действия, безоговорочно применим толь-
только для абсолютно твердого тела.
5*
76
Раздел I. Статика
2. Действие пары на тело не изменится, если одновременно изме-
изменить модуль сил пары и величину ее плеча, сохраняя при этом числен-
численное значение и знак момента пары.
Из доказанной теоремы и вытекающих из нее свойств пары сил
следует, что две пары, лежащие в одной плоскости и имеющие одина-
одинаковые по численному значению и по знаку моменты, эквивалентны, так
как они могут быть преобразованы одна в другую. Эквивалентные
пары могут различаться своим расположением в плоскости, модулем
и направлением сил, длиной плеч, лишь бы только были одинаковы по
численному значению и по знаку моменты этих пар.
Доказанная теорема позволяет решить задачу о сложении пар,
расположенных в одной плоскости.
§16. СЛОЖЕНИЕ ПАР, РАСПОЛОЖЕННЫХ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ.
УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ ПАР
Пара, действие которой на тело заменяет собой действие на него
данной системы пар, расположенных в одной плоскости, называется
равнодействующей парой, а пары данной системы пар — ее состав-
составляющими. Приведение данной
системы пар, расположенных в
одной плоскости, к одной экви-
эквивалентной паре,т. е. к равнодей-
равнодействующей паре, называется сло-
сложением пар. Так как действие
пары на данное тело определя-
определяется ее моментом, то операция
сложения системы пар, распо-
расположенных в одной плоскости,
должна приводиться к алгебраи-
алгебраическому сложению моментов
всех пар этой системы.
Теорема. Всякую систему пар, расположенных в одной плос-
плоскости, можно заменить одной равнодействующей парой, момент ко-
которой равен алгебраической сумме моментов всех пар этой системы.
Пусть на твердое тело действуют три пары (Т^, /Y)> (F2. F%') и
(F3, F'3), расположенные в одной плоскости и направленные в разные
стороны (рис. 56). Обозначим моменты этих пар через тх, т2и т3. Тогда
будем иметь:
Рис. 56
m(F2, F;)=m2-
tn [Fs, F3) = m3 =
где dy, d2 и d3— плечи данных пар.
+F1 a\;
+F2d2;
— F3 d3,
A)
Глава III. Система параллельных сил и теория пар 77
На основании теоремы об эквивалентности пар заменим данные пары
новыми парами (Р\, Р/), (Р2, Р~2') и (Рз> Рз')> имеющими одно общее
плечо AB=d (рис. 56) и те же самые моменты:
/п^, Р\) - -f P1d = /7?1;
m[Pt, Р'2) = + Р,й = т.2; B)
ОТ (P8, P3) = - Р8Л'= Я73.
Сложив три силы Р1( Р2, и Р3, приложенные к точке А, получим
их равнодействующую R, модуль которой
Я =Р1 + Р2-Р3;
аналогично в точке В
R' =Р; + Ра —Рз,
причем очевидно, что (рис. 56, в)
Следовательно, силы R и /?' образуют пару (./?, /?'). Найдем мо-
момент m этой пары:
Принимая во внимание A) и B), получим
m = m{R, R") =m1 + m2 + m3 = m [F\, F\) + m (Fa, К) +
+ m{Fa,F's),
что и было необходимо доказать.
Если бы заданная система пар состояла из п пар, расположен-
расположенных в одной плоскости, то мы получили бы для них равнодействующую
пару (R , R') с моментом
m{R, R)=tm{Fi,F'i). C)
Выведем теперь условие равновесия системы пар, расположенных
в одной плоскости.
Любая система пар, расположенных в одной плоскости, как только
что было доказано, может быть заменена равнодействующей парой,
78
Раздел I. Статика
момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар C).
Для того чтобы пары системы пар, расположенных в одной плоскости,
уравновешивались, момент равнодействующей пары должен, очевид-
очевидно, равняться нулю. Это условие не только необходимо, но и достаточ-
достаточно. В самом деле, из равенства
m
[R,
D)
следует, что или силы равнодействующей пары равны нулю (R =
=R'= 0), или плечо равнодействующей пары равно нулю (d=0),
т. е. равнодействующая пара образована в этом последнем случае дву-
двумя силами, равными по модулю и действующими по одной прямой в
разные стороны. И в том и в другом случае имеет место равновесие сис-
системы пар, расположенных в одной плоскости.
Итак, из формул C) и D) следует, что для равновесия системы пар,
расположенных в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы
алгебраическая сумма моментов всех данных пар равнялась нулю, т. е.
т
{Ft, F'l)=0.
E)
Задача 8. На невесомую балку АВ длиной /, лежащую на двух
опорах Л и В, действует пара сил с заданным моментом М (рис. 57, а).
Определить опорные реакции RA и RB.
L
Г4-"Д",
В А
а)
Рис. 57
М
6)
Решение. Рассмотрим равновесие балки, заменив действие на-
наложенных на нее связей реакциями связей (рис. 57, б). На балку дей-
действует пара сил с заданным моментом М, стремящаяся повернуть
балку против часовой стрелки. Так как балка находится в равновесии,
а пара может быть уравновешена только парой, то реакции опор 7?А
hRb должны составлять napy(RA, RB), вращающую балку в противо-
противоположную сторону, т. е. по часовой стрелке. Момент этой реактивной
Глава III. Система параллельных сил и теория пар
79
пары m (Ra, Rb) =—RaI- Согласно условию равновесия пар E) имеем
откуда
М
Задача 9. К валу приложена пара (F , F') с моментом, стремящим-
стремящимся повернуть вал по часовой
стрелке, равным 100 кГм
F,
тр
(рис. 58). К тормозному коле-
колесу диаметром 2г=50 см, кото-
которое заклинено на валу, прижа-
прижаты тормозные колодки силами
Q и Q', равными по величине.
Найти величину этих сил,
если известно, что между
колодками и колесом возни-
возникают силы трения Frp=kQ,
где &==0,25 (коэффициент тре-
трения скольжения).
Решение. Рассмотрим равновесие вала. Силы Q и Q' как вза-
взаимно уравновешенные можно отбросить. Тогда на вал будут действо-
действовать две пары (F, F') и (FTp, F~Tp'). Так как вал находится в равновесии,
то пара (F , F') должна быть уравновешена парой (/\р, /\р')> стремящей-
стремящейся повернуть вал против часовой стрелки. Момент этой реактивной
пары m (F4, FTp)=Fw-2r. Согласно условию равновесия пар E)
Рис. 58
m
Tp
Tp
= — 100 + fTD-2r = 0,
тр-
откуда
F _ loo _ mo „
Но по условию FTp=kQ, поэтому
800 кГ•
80
Раздел I. Статика
Глава I V
ПРОИЗВОЛЬНАЯ ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ
§ 17. ТЕОРЕМА О ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ СИЛЫ
Докажем следующую теорему: действие силы на твердое тело не
изменится, если ее перенести параллельно самой себе в любую другую
точку этого тела, приложив при этом пару с моментом, равным мо-
моменту переносимой силы относительно той точки, в которую пере-
переносится сила.
Пусть на твердое тело действует сила F, приложенная в точке А
(рис. 59, а). Действие этой силы на тело не изменится, если в произ-
произвольной точке В тела приложить две уравновешенные силы F' и F"t
такие, что F'—F , F"=—F. Полученная система трех сил F , F',
F" (рис. 59, б) эквивалентна одной заданной силе/7. При этом система
сил F , F', F" представляет собой силу F', равную силе F , но при-
YF'
' б)
Рис. 59
ложенную в точке В, и пару (F , F") с моментом
так как момент пары (F, F") равен моменту одной из ее сил относи-
относительно точки приложения другой.
Таким образом, теорема доказана. Если условиться пару (F, F")
изображать круглой стрелкой, то результат, даваемый этой теоремой,
можно изобразить так, как показано на рис. 59, в.
Доказанная теорема о параллельном переносе силы кладется в
основу при решении задачи о приведении произвольной плоской сис-
системы сил к простейшей ей эквивалентной системе.
Глава IV. Произвольная плоская система сил
81
§18. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ
К ОДНОЙ СИЛЕ И К ОДНОЙ ПАРЕ
Если линии действия сил данной системы расположены в одной
плоскости произвольно, не пересекаются в одной точке и непараллель-
непараллельны между собой*, то такая система сил называется произвольной плос-
плоской системой сил.
Рис. 60
Пусть на твердое тело действует произвольная плоская система
сил Fv F2, ..., Fn, приложенных соответственно в точках Ах, Аг, ..., Ап
этого тела (рис. 60,а). Возьмем в плоскости действия сил этой системы
произвольную точку О, которую назовем центром приведения, и,
пользуясь доказанной в § 17 теоремой, перенесем все заданные силы
параллельно самим себе в точку О. При этом получим, что: 1) сила Flt
* Но некоторые из них могут пересекаться в одной точке и могут быть па-
параллельны между собой.
82 Раздел 1. Статика
приложенная в точке Л!, эквивалентна силе Fx' ( = Ft), приложенной
в точке О, и так называемой присоединенной паре (Flt Fx"——Fx) с
моментом m1=m0(F1), 2) сила F3, приложенная в точке Л2, эквивалент-
эквивалентна силе F2'(=F2), приложенной в точке О, и присоединенной паре
(F2, F2"=—F2) с моментом m2= m0 (F2) и т. д..
Таким образом, в результате приведения имеем систему сил:
A)
приложенных к произвольно выбранному центру приведения О
(рис. 60, б), и систему лежащих в одной плоскости присоединенных пар
(Fx, F\), [Fs, К),--., {Fn, К), B)
моменты которых соответственно будут равны
ту = mo{Fx\ ni2 = mo(F2), . . . ,тп = т0 (Fn). C)
Приведенные к точке О силы/7/, F%, ...,/7/можно сложить по пра-
правилу силового многоугольника (геометрически) и, следовательно,
заменить одной, эквивалентной им, силой R', приложенной к той же
п
точке О и равной их геометрической сумме R'= S F/, или, согласно
4=1
равенствам A),
Все присоединенные пары B) можно сложить по правилу сло-
сложения пар, лежащих в одной плоскости, и, следовательно, заменить
их одной парой, расположенной в той же плоскости. Момент этой
п я
равнодействующей пары Мо = ? m{Fl,F[')= S mlb или, согласно
i=i i=i
равенствам C),
Величина R', равная геометрической сумме всех сил произвольной
плоской системы сил D), называется главным вектором этой системы.
Величина Мо , равная алгебраической сумме моментов всех сил про-
произвольной плоской системы сил относительно центра приведения О
E), называется главным моментом этой системы относительно центра
приведения О.
Глава IV. Произвольная плоская система сил 83
В результате мы доказали следующую теорему: произвольную
плоскую систему сил, действующую на твердое тело, в общем случае
можно заменить одной силой, равной главному вектору R' системы и
приложенной в произвольно выбранном центре приведения О, и одной
парой с моментом, равным главному моменту Мо системы относитель-
относительно центра приведения О (рис. 60, в).
Из этой теоремы видно, что две произвольные плоские системы сил.
для которых главные векторы и главные моменты одинаковы, экви-
эквивалентны. Таким образом, для задания произвольной плоской систе-
системы сил, действующей на твердое тело, достаточно задать ее главный
вектор R' и главный момент Мо относительно данного центра приве-
приведения О.
Модуль и направление главного вектора произвольной плоской
системы сил можно найти или геометрически — построением силового
многоугольника, или аналитически — по формулам для равнодейству-
равнодействующей системы сходящихся сил F и 7, § 9):
= \ (Е XJ + (Е Yf ; F)
^^^. G,
Модуль и направление главного вектора R' не зависят от выбора
центра приведения О, так как все силы переносятся в центр приведе-
приведения О параллельно самим себе, и, следовательно, силовой многоуголь-
многоугольник будет при перемене места центра приведения одним и тем же.
Чтобы подчеркнуть это свойство главного вектора, говорят, что глав-
главный вектор произвольной плоской системы сил инвариантен по от-
отношению к центру приведения (R'=invar).
Величина и знак главного момента Мо произвольной плоской сис-
системы сил определяется по формуле E). При изменении положения цен-
центра приведения величина и знак главного момента произвольной плос-
плоской системы сил изменяются вследствие изменения моментов сил этой
системы относительно центра приведения. Следовательно, в общем
случае главный момент не инвариантен по отношению к центру при-
приведения. Поэтому, когда говорят о главном моменте произвольной
плоской системы сил, то всегда указывают, относительно какого цен-
центра приведения он вычислен.
Заметим, что понятия равнодействующей и главного вектора —
это различные понятия и смешивать их нельзя. Главный вектор не
является равнодействующей данной системы сил, так как он заменяет
эту систему сил не один, а вместе с парой, момент которой равен глав-
главному моменту той же системы сил относительно выбранного центра
приведения. Различие этих понятий заключается также и в том, что
главный вектор может являться свободным вектором (т. е. его начало
84 Раздел I. Статика
может быть выбрано где угодно), в то время как равнодействующая
является скользящим вектором (т. е. имеет определенную линию дей-
действия). Кроме того, если главный вектор существует, то при этом рав-
равнодействующая может и не существовать.
Сходство понятий равнодействующей и главного вектора заключает-
заключается в том, что если равнодействующая существует, то она геометрически
равна главному вектору.
§19. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ
К РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ
Предположим, что произвольная плоская система сил приводится
к одной силе, равной главному вектору Я'фО и приложенной к центру
приведения, и к одной паре с моментом, равным главному моменту
Мо ?=0 (рис. 61, а). Докажем, что рассматриваемая произвольная плос-
плоская система сил приводится в этом общем случае к равнодействующей
силе R=R', линия действия которой проходит через точку А, отстоя-
отстоящую от выбранного центра приведения О на расстоянии OA=d=^-~[ .
Для этого преобразуем пару с моментом М0 так, чтобы силы R и R",
составляющие эту пару, оказались равными по модулю главному век-
вектору R'. При этом нужно подобрать плечо пары так, чтобы ее мо-
момент m (R , R") оставался равнымМо ¦ Для этого плечо пары (R , R")
нужно, очевидно, находить из равенства
Пользуясь тем, что пару всегда можно перемещать в ее плоскости
действия как угодно, переместим пару (R , R") так, чтобы ее сила
R" оказалась приложенной в центре приведения О и противоположно
направленной главному вектору R' (рис. 61, б).
Рассматриваемая произвольная плоская система сил эквивалент-
эквивалентна, таким образом, силе R' и паре (R, R"). Отбрасывая силы R' и
R" как уравновешенные, получим, что вся рассматриваемая система сил
заменяется одной силой R=R', являющейся, следовательно, равно-
равнодействующей. При этом линия действия равнодействующей R будет
проходить через точку А, положение которой относительно выбран-
выбранного центра приведения определяется формулой A).
Если же в результате приведения произвольной плоской системы
сил окажется, что R'=^0, а Мо =0, то в этом частном случае эта систе-
система сил сразу заменяется одной силой, т. е. равнодействующей R=R\
линия действия которой проходит через выбранный центр приведения.
Глава IV. Произвольная плоская система сил
85
Задача 10. К точкам В а С тела'соответственно приложены равные
по модулю и взаимно перпендикулярные силы Ft и F2 (F1=F2=F),
отстоящие от точки О тела на равных расстояниях OB=OC=h. При-
Привести эту систему сил к точке О (рис. 62).
у
а)
б)
R
Рис. 61
Рис. 62
Решение. Перенесем силы Fx и F% параллельно самим себе в
точку О. В результате такого переноса получим (рис. 62) силы Fx'—Fx
и F2'=.F2, приложенные в точке О, и присоединенные пары (Flt Fx")
и (f 2, F2"), лежащие в одной плоскости с моментами /n1=F1 h и /я2=
=F2 А (силы, образующие эти пары, отмечены на рис. 62 черточками).
От геометрического сложения сил Fx' и F2', приложенных в точке О,
получим главный вектор данной системы сил
модуль которого, очевидно, равен
Rr = OD = V7J+~l
0.
От сложения присоединенных пар получим равнодействующую пару,
момент которой равен главному моменту Мо данной системы сил от-
относительно точки О:
Мо = щ + Щ = {Ft + F2) h = 2 F h ф 0.
Следовательно, данная система двух сил Fx и F2 имеет равнодей-
равнодействующую
86 Раздел I. Статика
приложенную в точке А, которая отстоит от точки О на расстоянии
R' F У 2
При этом
R
т. е. равнодействующая R образует с обеими данными силами /\ и
F2 равные углы по 45°.
(, Задача 11. На мостовую ферму
i ч (рис. 63) действуют вертикальные
4 Мм ^ силы f1=20 т и F2=40 т соот-
соответственно на расстоянии 10 м и
_^х40 м от левого конца фермы и
м горизонтальная сила Fs~30 т на
± уровне верхнего пояса фермы, вы-
высота фермы равна 6 м. Привести
1Ом. ] ' систему сил^7, F2 и F3 к простей-
простейшему виду.
рис. 63 Решение. Проводим оси ко-
координат так,как показано на рис.63,
взяв начало координат в точке А. Найдем проекции главного вектора
заданной системы сил на оси выбранной системы координат:
\
\
Rx = Е X,. = F3 = 30 т, Ry = ? Yi = — Fx — F2 = - 60 т,
откуда находим модуль главного вектора R':
R' = /(/?; J + № = 67,08 т ф 0.
Найдем теперь главный момент заданной системы сил относитель-
относительно начала координат Л:
MA = LmA (Ft) = S (л:,. Y, - у: Xt) = 10 (- 20) + 40 (- 40) =
= — 1800 т-л^О.
Следовательно, данная система сил имеет равнодействующую
R~=Rr, модуль которой R=67,08 т.
Глава IV. Произвольная плоская система сил 87
Теперь найдем линию действия равнодействующей. Момент рав-
равнодействующей R относительно начала координат А определится по
формуле
тА (R) =
где х я у — координаты точки, лежащей на линии действия равнодей-
равнодействующей. Так как RX=RX =30 т и /?у=/?у'=_60 т, то
тА (#) = —60jc-30i/.
А
С другой стороны, по теореме Вариньона о моменте равнодействую-
равнодействующей E, § 11) имеем
тА [R] = Emo(fi) = ~1800 т-м.
Следовательно,
— 60х — 30у = — 1800 т-м,
или
2 х + у = 60.
Это и есть уравнение линии действия равнодействующей.
Полагая в этом уравнении г/=0, находим, что точка пересечения
линии действия равнодействующей R с верхним поясом фермы
находится на расстоянии д;=30 м от левого конца фермы. Полагая же
у=—6 м, находим, что точка пересечения линии действия равнодей-
равнодействующей R с нижним поясом фермы находится на расстоянии jc=33 м
от левого конца фермы. Соединяя определенные таким образом точки
пересечения линии действия равнодействующей R с верхним и ниж-
нижним поясами фермы прямой линией, находим линию действия равно-
равнодействующей R.
§ 20. ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА О МОМЕНТЕ РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ
ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ.
УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ РЫЧАГА
Докажем следующую теорему Вариньона о моменте равнодей-
равнодействующей произвольной плоской системы сил: если произвольная
плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент
этой равнодействующей относительно любой точки, лежащей в плос-
плоскости действия данных сил, равен алгебраической сумме моментов всех
составляющих сил относительно той Лее точки.
88 Раздел I. Статика
Доказательство. На рис. 61, б (§ 19) сила R=Rr при-
приложена в точке А. Эта точка отстоит от произвольно выбранного цен-
центра приведения О на расстоянии
\М I
OA = d = L^A. A)
Сила R является равнодействующей произвольной плоской сис-
системы сил. Из рис. 61, б и формулы A) следует, что абсолютная величина
момента равнодействующей R относительно центра приведения О
равна
- \М \
\mo{R)\ = Rd=R^l=\Mol B)
где |Л1о|есть абсолютная величина главного момента рассматриваемой
системы сил относительно выбранного центра приведения О. Знак же
момента равнодействующей R относительно центра приведения О так-
также всегда совпадает со знаком главного момента Мо, т.е. момента
пары {R,R"), как это видно из рис. 61, а, б.
Поэтому вместо B) будем иметь
mo{R)=Mo. C)
Но, согласно E, § 18),
Подставляя это в формулу C), приходим к равенству
чем и доказывается теорема.
Примем центр приведения О за начало координат (рис. 60, а),
и мысленно разложим силу Ft, приложенную к точке Аг (х(, у) тела
на два взаимно перпендикулярных направления — направления осей
координат. Составляющие силы обозначим буквами Xt и Yt. Тогда сог-
согласно теореме Вариньона и рис. 60, а момент рассматриваемой силы Fi
относительно начала координат определяется так:
ш0 {Ft) = m0 [X,) + m0 (F,) = xiYi - у, Х,.
Глава IV. Произвольная плоская система сил 89
Подставляя это равенство в формулу D), получим
У,-&Х/). E)
Таким образом, если начало координат выбрано в центре приведе-
приведения и известны проекции всех сил на оси координат и координаты то-
точек приложения этих сил, то момент равнодействующей можно найти
по формуле E).
Теорема Вариньона о моменте равнодействующей D) дает простой
метод нахождения условия равновесия рычага.
X. I- ,•;,'}
ч^ X
Пусть на рычаг первого рода (рис. 64, а) или второго рода (рис. 64, б)
действует произвольная плоская система сил Fx, F2, •¦•, Fn и
О — точка опоры. Предположим, что эта система сил приводится к
равнодействующей R. Отбросив связь (шарнирную опору), заменим
ее действие на рычаг силой реакции связи No ¦ При этом рычаг можно
рассматривать как свободное тело, к которому приложены только две
силы R и No- Так как сила реакции связи Noприложена к точке О,
то для равновесия сил R и No (а следовательно, и для равновесия ры-
рычага) необходимо, чтобы и равнодействующая сила R тоже проходила
через точку О. Но в этом случае
m
{R) = 0.
Это условие равновесия рычага согласно теореме Вариньона D)
можно записать в виде
т. е. для равновесия рычага необходимо и достаточно, чтобы алгебраи-
алгебраическая сумма моментов всех приложенных к рычагу сил относительно
точки его опоры равнялась нулю.
90 Раздел I. Статика
Задача 12. На концы прямолинейного рычага АВ длиной /, за-
закрепленного на шарнире О, действуют силы Ft и F2, образующие с
рычагом углы ах и а2. Найти расстояние АО при равновесии рычага
(рис. 65).
Рис. 65
Р е ш е н_и e.JTaK как рычаг АВ находится в равновесии под дей-
действием сил F^w F2, то алгебраическая сумма моментов этих сил отно-
относительно опоры О равна нулю, т. е.
Но . mo{Fx)=FvOA1,
mo{Fi)=-Fi-OBl,
где ОАХ—плечо силы Ft относительно точки О, а ОВХ— плечо силы F2
относительно той же точки О. Из треугольников OBBt и ОААХ на-
находим
ОАг = О A sin а.х
и
ОВХ = OB sin а2 = (АВ — О A) sin а2 = (/ — О A) sin а2.
Следовательно,
mo(F2) = ~F2(l-~ 0A)• sin<x2.
Уравнение равновесия рычага примет вид
Глава IV. Произвольная плоская система сил
91
отсюда
0А =
F- / sin а.
сц
F2 sin a2
с
Задача 13. Предохранительный клапан А парового котла соеди-
соединен стержнем АВ с прямым рычагом CD весом 1 кГ и длиной 50 см,
который может вращаться вокруг
неподвижной точки С. Диаметр
клапана d=6 см, длина отрезка
рычага ВС=7 см. Какой груз Q
нужно подвесить к концу D рычага
для того, чтобы клапан сам откры-
открывался при давлении в котле, рав-
равном 11 атм (рис. 66, а).
Решение. Предположим,
что клапан не конический, а ци-
цилиндрический. Так как давление
кГ
в 1 атм равно 1 —-а, находим
силу давления пара на клапан:
= 3,14-9-11 кГ,
Рис. 66
где Pi=ll атм — давление пара в котле. Снаружи давит на клапан
1 атм, поэтому соответствующая сила будет равна
3,14-36
кГ,
где р2=1 агпм — атмосферное давление. Следовательно, на рычаг
CD через стержень АВ передается вверх направленная сила, равная
Т7вр — Р' = C,14-9-11 —3,14.9.1) кГ = 3,14.9-10 кГ.
В середине Е рычага приложен его вес G= 1 кГ, а на расстоянии CD
тоже вниз действует искомая сила Q. Реакция ~RC неподвижной точки
С направлена вертикально вверх.
Напишем уравнение равновесия рычага CD (рис. 66, б):
тс
mc{F)+mc{Q) = 0.
Реакция Rc неподвижной точки С в это уравнение не входит, так
как ее момент относительно точки С равен нулю.
92
Раздел I. Статика
Так как
m
mc{6) = — 1-25;
,,{F) = 3,14-9-10-7;
mc [q) = _ 50 Q,
то уравнение равновесия рычага примет вид
— 1-25 + 7-90-3,14 —50Q= 0,
откуда
Q = 39,6 кГ.
§21. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ
К ОДНОЙ ПАРЕ
В § 18 было доказано, что произвольная плоская система сил эк-
эквивалентна совокупности силы, равной главному вектору R', и пары,
момент которой равен главному мо-
моменту Мо относительно выбранного
центра приведения О. Поэтому если
в результате приведения произволь-
произвольной плоской системы сил окажется,
что главный вектор R' данной систе-
системы сил равен нулю (/?'=0)*, а ее гла-
главный момент Мо отличен от нуля
(Мо фО), то, очевидно, данная сис-
система сил приводится к одной паре с
п
В этом
г,
h
F
¦+>
t
моментом
Рис. 67
1Х
случае главный момент Мо не будет
зависеть от выбора центра приведе-
приведения, так как мы получили бы, что
одна и та же произвольная плоская
система сил заменяется разными, не эквивалентными друг другу па-
парами. А это невозможно.
Задача 14. К точкам А и В тела приложены две равные по модулю
и взаимно перпендикулярные силы Ft и F2(F1=F2=F), а в точке С
приложена сила F3, модуль которой равен Fyi. Сила F3 образует с
* При этом силовой многоугольник, построенный для произвольной плос-
плоской системы сил, окажется замкнутым. Этого условия было бы достаточно для
равновесия системы сходящихся сил. Однако при выполнении только этого ус-
условия произвольная плоская система сил не будет находиться в равновесии
(см. § 22).
Глава IV. Произвольная плоская система сил 93
направлениями сил Fx и F2 равные углы по 135° (рис. 67). Размеры тела
указаны на рис. 67. Привести эту систему сил к точке С.
Решение. Перенесем силы Fx и F2 параллельно самим себе_в
точку С. В результате такого переноса получим силы FX'=FX, F^'—F^
и F3, приложенные к точке С, и лежащие в одной плоскости присоеди-
присоединенные пары(Fi,Fi"). (F2, Pi) с моментами m1~F1h и m2=F2h. По-
Построив на силах/5/, F2'и F3 силовой треугольник, убеждаемся, что он
будет замкнут, а поэтому главный вектор R' рассматриваемой системы
сил равен нулю. Следовательно, эта система сил приводится только к
одной паре сил, момент которой равен главному моменту Мс данной
системы сил относительно точки С:
Мс = ml + m2 = Fxh -f F2h = 2Fh.
§22. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ
СИСТЕМЫ СИЛ
Выше было установлено, что произвольная плоская система сил,
если она не находится в равновесии, приводится или к одной равнодей-
равнодействующей (когда 1^'фО), или к одной паре (когда R'=0).
Однако в результате приведения произвольной плоской системы
сил может оказаться, что одновременно главный вектор /?' этой систе-
системы сил и главный момент ее .Мо относительно центра приведения рав-
равны нулю, т. е.
Д" = 0; Мо = 0,
или
?F, = 0; tm0 {?,)=<), A)
где 0 — любая точка плоскости.
Условия A) являются необходимыми и достаточными условиями
равновесия произвольной плоской системы сил. В самом деле, условия
{1) являются необходимыми, так как если какое-нибудь из них не вы-
выполняется, то рассматриваемая система действующих на тело сил при-
приводится или к равнодействующей (когда К'фО), или к паре (когда
Мо фО), и, следовательно, эта система сил не будет находиться в рав-
равновесии. Одновременно условия A) являются достаточными, потому
что при ^'=0 произвольная плоская система сил может приводиться
только к паре с моментом Мо, а так какМо = 0, то эта система сил
будет находиться в равновесии.
Таким образом, для равновесия произвольной плоской системы сил
необходимо и .достаточно, чтобы одновременно и главный вектор, и
94 Раздел I. Статика
елавный момент этой системы относительно произвольно выбранного
центра приведения равнялись нулю.
Найдем теперь вытекающие из равенств A) аналитические условия
равновесия произвольной плоской системы сил.
В § 18 было установлено, что
R' = V (ZXJ + &УГ ; М0=%т0 {Ft);
отсюда следует, что R' и Мо обращаются в нуль в том и только в том
случае, когда
?х, = 0; ?у* = 0;|>о (Р,) = 0. B)
Эти равенства выражают следующие аналитические условия рав-
равновесия произвольной плоской системы сил: для равновесия произволь-
произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраи-
алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из двух любым образом
выбранных в плоскости действия этой системы сил координатных осей
и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой точки
той же плоскости были равны нулю.
Одновременно равенства B) выражают необходимые и достаточные
условия равновесия свободного твердого тела, находящегося под
действием произвольной плоской системы сил*.
Равенства B) являются основной формой условий равновесия про-
произвольной плоской системы сил. Они могут быть выражены и в дру-
другом виде.
Докажем, например, следующую теорему о трех моментах: для
равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы алгебраические суммы моментов всех сил относительно каж-
каждой из трех любых точек А, В и С, взятых в плоскости действия этой
системы сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю:
?тл(?,) = 0;. i>a(F,)=0; |>С (F,) = 0. C)
i=i <=i ;=i
Необходимость этих условий очевидна, так как при равновесии
произвольной плоской системы сил алгебраическая сумма моментов
всех сил системы относительно любой точки, взятой в плоскости дей-
действия этой системы сил, должна равняться нулю. Докажем, что эти
условия и достаточны.
* Предполагается, что до приложения указанной системы сил рассматри-
рассматриваемое тело находилось в состоянии покоя относительно выбранной системы от-
отсчета.
Глава IV. Произвольная плоская система сил 95
Возьмем за центр приведения точку А. По условию доказываемой
теоремы
,)= О, D)
(=1
поэтому для рассматриваемой системы сил должно быть Ма=0- Если
при этом главный вектор К'фО, то в этом случае данная система сил
приводится только к одной равнодействующей силе R =R'. Соглас-
п
но теореме Вариньона mA{R)= ? rnA(F^ и условию D) будем иметь
mA {R) = О,
что может быть в двух случаях: или когда равнодействующая сила
R—R'—O, или когда ее линия действия проходит через точку Л*.
Предположим, что R=R'=f=O. Взяв последовательно за центры при-
приведения точки В и С и принимая во внимание условия
i>B(F,) = 0; ?mc(F,)=0,
мы также установим, что линия действия равнодействующей R=Rr
пройдет и через точки В и С. А это невозможно, так как точки А, В я
С не лежат на одной прямой. Следовательно, при выполнении условий
C) обязательно должно быть R=R'=0, и, следовательно, произвольная
плоская система сил при выполнении условий C) будет находиться
в равновесии.
Докажем теперь, что условия равновесия произвольной плоской
системы сил можно сформулировать так: для равновесия произвольной
плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические
суммы моментов всех сил относительно каждой из двух любых точек
А и В, взятых в плоскости действия этой системы, и алгебраическая
сумма проекций всех этих сил на любую ось Ох, не перпендикулярную
к прямой, проходящей через точки А и В, были равны нулю:
(F,) = 0; ? тв [Щ = 0; ? Xt = 0. E)
Тогда плечо равнодействующей R=R' будет равно нулю.
96 Раздел I. Статика
Необходимость этих условий вытекает из того, что при равновесии
произвольной плоской системы сил равны нулю как алгебраическая
сумма моментов всех сил относительно любой точки, взятой в плоскос-
плоскости действия этой системы, так и
ц\ алгебраическая сумма проекции
всех сил на любую ось.
Докажем достаточность этих
' условий. Для этого примем после-
последовательно точки Л и В за центры
приведения. Если для рассматривае-
рассматриваемой системы сил выполняются пер-
первые два из условий E), тоМл=0,
Мв=0. При этом данная система
сил, как мы уже знаем из § 19, мо-
v" х жет не находиться в равновесии, а
Рис. 68 иметь равнодействующую R—R',
одновременно проходящую через
точки А и5 (рис. 68). Но согласно
третьему условию должно быть ^г=ЕХг=0. Так как ось Ох есть
произвольная прямая, не перпендикулярная к АВ, то это последнее
условие может быть выполнено, если равнодействующая R=R'
будет равна нулю (R=R'=0), и, следовательно, произвольная плос-
плоская система сил при выполнении условий E) будет находиться в рав-
равновесии .
§23. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
Если линии действия всех сил данной системы расположены в од-
одной плоскости и параллельны между собой, то такая система называет-
называется плоской системой параллельных сил. Плоская система параллель-
параллельных сил является частным случаем произвольной плоской системы
сил. Поэтому к плоской системе параллельных сил можно применить
условия равновесия произвольной плоской системы сил (см. § 22):
A)
Мы можем направить ось Ох перпендикулярно к силам плоской
системы параллельных сил, а ось Оу параллельно им (рис. 69). Тогда
проекция каждой из сил на ось Ох будет равна нулю и первое из
равенств A) обратится в тождество вида 0=0 независимо от того, урав-
уравновешиваются данные силы или нет. В результате для плоской сие-
Глава IV. Произвольная плоская система сил
97
темы параллельных сил останутся только два условия равновесия:
2^ = 0; 1Х(^)=0, B)
или
так как проекция каждой силы на ось Оу равна модулю этой силы,
взятой с соответствующим знаком (Yi=±Fi).
Таким образом, для равновесия
плоской системы параллельных сил
необходимо и достаточно, чтобы
алгебраическая сумма всех этих сил
равнялась нулю и чтобы алге-
алгебраическая сумма их моментов от-
относительно произвольной точки,
взятой в плоскости действия этой
системы, также равнялась нулю.
Другая форма условий равно-
равновесия для плоской параллельной
системы сил, получающаяся из
равенств E, § 22), имеет вид
Рис. 69
X
= 0;
C)
где точки А и В не должны лежать на прямой, параллельной данным
силам.
Следовательно, для равновесия плоской системы параллельных сил
необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы моментов всех
этих сил относительно каждой из двух произвольных точек А и В,
взятых в плоскости действия этой системы, но не лежащих на пря-
прямой, параллельной данным силам, были равны нулю.
При решении задач этой главы следует иметь в виду все те общие
указания, которые были сделаны в § 10.
§ 24. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Еще раз подчеркнем, что приступая к решению задач, относящихся
к равновесию несвободного твердого тела под действием произвольной
плоской системы сил, нужно:
8 Н. Ф. Сахарный
98 Раздел I. Статика
1) выбрать тело, равновесие которого следует рассмотреть в данной
задаче;
2) освободить от связей выбранное тело и заменить их действие си-
силами реакции;
3) изобразить в виде векторов все действующие на выбранное тело
(рассматриваемое как свободное) заданные силы и силы реакций от-
отброшенных связей;
4) выбрать систему осей декартовых координат;
5) составить уравнения равновесия произвольной плоской систе-
системы сил, в которые, кроме активных сил, войдут и реакции связей,
и решить их.
Так как тело, равновесие которого рассматривают в данной за-
задаче, находится в покое, то все приложенные к нему силы, включая и
реакции отброшенных связей, должны удовлетворять условиям рав-
равновесия, полученным в § 22 и 23. При этом нужно применять
ту из форм этих условий, которая приводит к более простой системе
уравнений*.
Для получения более простых уравнений равновесия нужно:
а) составляя уравнения проекций, направлять одну координатную
ось перпендикулярно к линии действия одной, а если возможно, и двух
неизвестных сил; при этом проекция силы на эту ось обратится в
нуль, а на ось, ей параллельную,сила спроектируется в натуральную ве-
величину, что облегчит решение задачи; б) составляя уравнение момен-
моментов, выбрать центр моментов в такой точке (если она есть), через
которую проходят линии действия двух неизвестных сил; тогда в
уравнение моментов всех сил войдет только одна неизвестная сила. При
вычислении момента той или иной силы можно брать момент самой си-
силы или сумму моментов составляющих ее сил** в зависимости от того,
где проще определяются плечи сил.
Если из уравнений равновесия найдены реакции связей, а необ-
необходимо было найти давления, оказываемые телом на те или иные плос-
плоскости (поверхности), то необходимо учесть, что, согласно аксиоме IV,
давления равны реакциям по модулю, но направлены в противополож-
противоположные им стороны.
Решение многих задач статики сводится к определению реакций
опор, с помощью которых закрепляются балки или мостовые фермы.
При этом, кроме балок, имеющих двеопоры***, встречается так назы-
называемая балка-консоль. Балка-консоль имеет один свободный конец,
а другой заделан (защемлен) в стену или в какую-либо массивную часть
* Наиболее простой будет та система уравнений, в каждое из которых вхо-
входит по одному неизвестному.
** Для этого необходимо силу разложить на две составляющие и восполь-
воспользоваться теоремой Вариньона.
*** Имеется в виду подвижная шарнирная опора и неподвижная шарнир-
шарнирная опора, которые уже были рассмотрены в § 3.
Глава IV. Произвольная плоская система сил
99
конструкции, препятствующую повороту и смещению этого конца в
любом направлении (рис. 70, а). В такой неподвижной защемляющей^
опоре, как правило, в результате действия активных сил Flt F2, F3,...,Fn
возникает сила реакции Ra и пара, момент которой Ма называется
реактивным моментом (рис. 70, в).
А
А
а)
А
Рис. 70
В самом деле, на заделанный конец балки-консоли со сторон опор-
опорных плоскостей ab, be и cd (рис. 70, б) действует система распределен-
распределенных сил реакций, которая может быть приведена к одной равнодей-
равнодействующей реакции R, модуль, направление и точка приложения ко-
которой неизвестны. Перенесем эту силу R параллельно самой себе в
точку А пересечения оси балки с плоскостью стены ad. При этом сила
R будет эквивалентна силе RA(=R), приложенной к точке А, и присое-
присоединенной паре с неизвестным реактивным моментом Ма (рис. 70, е).
Силу Ra можно изобразить ее составляющими Ха и Ya. Таким обра-
8*
100 . Раздел I. Статика
зом, для нахождения реакции неподвижной защемляющей опоры надо
определить три неизвестных величины Ха, У а иМд. Найдем теперь эти
величины.
Поскольку на рассматриваемую балку-консоль наряду с произ-
произвольной плоской системой активных сил Flt F2, ..., Fn и сил реакций
Ха и КлДействует лежащая в той же плоскости пара с реактивным мо-
моментом М а, то при составлении уравнений равновесия в уравнения
проекций пара не войдет, так как сумма проекций сил пары на любую
ось, очевидно, равна нулю. В уравнении же моментов к моментам сил
алгебраически прибавится реактивный момент Ма пары, так как сумма
моментов сил пары относительно любого центра равна моменту пары
(§ 14). Таким образом, уравнения равновесия при действии на балку-
консоль указанной системы сил и пары будут
Е Xt + ХА = 0; Е Г. + УА = 0; Е mA (F.) +МД = 0.
Отсюда
Из первых двух формул найдем модуль силы реакции:
RA = VXa+Уа = ]/ (Е Xtf
В частных случаях нагружения консоли в заделке может возник-
возникнуть только сила реакции или пара. Возможен также случай, когда
действующие на консоль активные силы взаимно уравновешиваются,
не вызывая в заделке ни реакции, ни реактивного момента (например,
когда балка-консоль нагружена двумя противоположными парами с
одинаковыми моментами).
Задача 15. Литейный кран ABC имеет вертикальную ось враще-
вращения MN. Расстояние MN=b м, ДС=5 м, вес Рх крана 2 т, центр
тяжести его D находится от оси вращения на расстоянии 2 м, вес Р2
груза, подвешенного в точке С, равен 3 т. Найти реакции подшипни-
подшипника М и подпятника N (рис. 71, а).
Решение. Кран ABC является тем твердым телом, равновесие
которого мы должны рассмотреть. Связями, наложенными на кран,
являются подпятник N и подшипник М. Так как подпятник препят-
препятствует всякому поступательному перемещению крана, то его реакцию
разложим на горизонтальную Xn и вертикальную Уи составляющие.
Подшипник, не препятствующий перемещению крана вдоль его оси,
дает только одну горизонтальную реакцию Хм, перпендикулярную
к оси вращения крана. Так как давление крана на подшипник направ-
направлено, очевидно, вправо, то реакция Хм направлена влево. Отбросим
связи и заменим их действие на кран реакциями XN, Ynk Хм(рис. 71 ,б).
Глава IV. Произвольная плоская система сил
101
Рассмотрим теперь равновесие крана как свободного твердого тела,
на которое действуют активные силы Рх и Р2 и силы реакций Xn>
Yn, Хм- Для составления уравнений равновесия этой произвольной
плоской системы сил выбираем оси координат. Начало координат по-
поместим в точке N. Ось Nx направим по горизонтали вправо, ось Ny —¦
по вертикали вверх. За центр моментов удобно взять точку N, так как
через нее проходят линии действия двух неизвестных сил Xn и Yn,
и, следовательно, их моменты относительно этой точки будут равны
нулю. При таком выборе центра моментов уравнение моментов будет
содержать только одно неизвестное.
5м
У>
А
В
М
/
5 м
1
I
I
! У
с
Рг
Рис. 71
,./V X
6) "
Следует обратить внимание на то, что начало координат и центр
моментов можно поместить в различных точках.
Составим уравнения равновесия произвольной плоской системы
сил в форме
Для этого алгебраически сложим предварительно вычисленные
проекции всех сил на каждую координатную ось, а также моменты
этих сил относительно центра моментов и приравняем к нулю полу-
полученные суммы:
= 0;
A)
B)
C)
102
Раздел I. Статика
Из уравнения B) находим
Из уравнения C) получаем
v 2Pi + 5P2 2-2 + 5-3
= -?=3.8,.
"Л~ 5 5
Наконец, из уравнения A) находим
Xn == -лм == 3,8 т.
Знак «плюс» при Хм, Xn и Yn показывает, что направление этих
сил реакций выбрано правильно. Если бы направили реакцию Хм
подшипника М вправо, то в ответе получили бы для этой реакции от-
отрицательное значение, что указывало бы на необходимость изменения
ее направления на противоположное.
{ШШШШШМ.*'
Задача 16. На балку с защемленным концом действует на участ-
участке CD равномерно распределенная нагрузка интенсивностью «7=0,8—'
Mi
в точке В действует сила F=2 т под углом <х=45° к балке, кроме того,
на балку действует пара сил с моментом /я=1,2 т-м.
Определить реакции заделки. Размеры указаны на рис. 72, а.
Решение. Балка АВ является тем телом, равновесие которого
мы должны рассмотреть. К ней приложена сосредоточенная сила F,
пара сил с моментом m и силы, равномерно распределенные вдоль от-
Глава IV. Произвольная плоская система сил 103
резка CD балки АВ. Эта плоская система равномерно распределенных
сил характеризуется ее интенсивностью q, т. е. величиной силы, при-
приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка. В рассматривае-
рассматриваемом случае интенсивность является величиной постоянной. При ста-
статических расчетах эту систему сил можно заменить равнодействующей
Q, т. е. сосредоточенной силой. По модулю эта равнодействующая равна
Q = q-CD = 0,8-3 = 2,4 т.
При этом сила Q приложена в середине О отрезка CD.
Заметим, что сосредоточенной силой называют такую силу, которая
приложена к телу в какой-нибудь одной его точке. Понятие о сосре-
сосредоточенной силе является условным, так как практически приложить
силу к телу в одной точке нельзя. Силы, которые в теоретической меха-
механике рассматриваются как сосредоточенные, представляют собой по
существу равнодействующие некоторых систем распределенных сил.
В инженерных расчетах часто приходится встречаться с нагрузками,
распределенными вдоль данной поверхности по тому или иному зако-
закону-
Связью, наложенной на балку АВ, является жесткая заделка А.
Применяя принцип освобождаемое™ от связей к балке АВ, заменим
действие этой заделки на балку силами реакций .АГ^ иКл и реактивным
моментом Мл (рис. 72, б). Рассмотрим теперь равновесие балки АВ как
свободного твердого тела, на которое действуют заданные силы F,
Q и пара сил с моментом пг, а также неизвестные силы реакций Ха и
Yа и пара сил в заделке с реактивным моментом МА. Для составле-
составления уравнений равновесия этой произвольной плоской системы сил
выбираем оси координат, как показано на рис. 72, б, и принимаем за
центр моментов точку А.
Составим уравнения равновесия произвольной плоской системы
сил в форме
В рассматриваемом случае будем иметь
LX, = Fcosa — XA = 0; A)
ZYi = YA~ Q — Fsin<x = 0; B)
VmA[Ft) =MA + m~Q-OA~Fsma-AB=0. C)
Из уравнения A) находим
XA = .Fcosa = 2cos450 = 2 • ?~ =/2" = 1,41 т.
104
Раздел I. Статика
Из уравнения B) получаем
YA= Q + .F sin a = 2,4 + 2- *-±. =2,4+ 1,41 =3,81 т.
Наконец, из уравнения C) находим
IX
уг
МА = Q-OA + F sin а- АВ — т = 2,4-2,5+ 2--^- -5— 1,2 =
= 11,87 т-м.
Задача 17. Однородный стержень АВ весом Q=20 кГ в точке Л
закреплен шарнирно, а в точке С свободно опирается на опору С. На
стержень АВ действует пара
сил с моментом т =5 кГм, а
к концу его В привязана
веревка,
блок D,
<¦
т
а)
от
б)
перекинутая через
на конце которой
висит груз весом Р=5"|/ кГ.
Определить реакцию шарни-
шарнира А и опоры С, если АС=
=2 ВС=40 см, а угол <х=45°
(рис. 73, а).
Решение. Телом, рав-
новесие которого в этой за-
даче рассматривается, являет-
является стержень АВ. К нему при-
приложена пара сил с известным
моментом т и две активные
силы: в точке В наклонная
сила Т,равная по модулю ве-
су груза, т. е. Т =Р (непод-
вижный блок D, не изменяя
модуля силы Р, изменяет
только ее направление), и на
середине Е стержня — вертикальная сила Q (его собственный вес).
Связями, наложенными на стержень АВ, являются шарнир А и
опора С. Так как стержень АВ свободно опирается на опору С, то
реакция ^сэтой опоры направлена перпендикулярно к стержню. Неиз-
Неизвестную по направлению и по модулю реакцию RA шарнира А пред-
представляем двумя составляющими Ха и Yа, направленными в положи-
положительные стороны двух координатных осей Ах и Ау. При этом ось Ах
направим вдоль стержня АВ, а ось Ау — перпендикулярно к нему.
Отбросим связи и заменим их действие на стержень АВ реакциями
Re, Ха и Уд (рис. 73, б). Рассмотрим теперь равновесие стержня АВ
как свободного твердого тела, на которое действуют активные силы 1?
0
Рис. 73
Глава IV. Произвольная плоская система сил 105
и Г и силы реакции Rc , Ха и Y'а, а также пара сил с заданным момен-
моментом т. За центр моментов удобно взять точку А, так как через нее
проходят линии действия двух неизвестных сил Хд и У а-
Составим уравнения равновесия произвольной плоской системы
сил в форме
EX, = 0; ?K,. = 0; ЪтА (Ft) = 0.
Для этого алгебраически сложим проекции всех сил на каждую
координатную ось, а также моменты этих сил относительно центра
моментов и приравняем к нулю эти суммы:
ЕХ,- = ХА — Г cos a = 0; A)
ЕК. = УЛ + /?С —Q —Tsina = 0; B)
ZmA(F.) =Rc-AC — T-ABcosoL~Q-AE — m=:Q. C)
Из уравнения A) находим
ХА = Т cosa. == 5уТ cos45° = 5y~- i^- = 5 кГ.
Из уравнения C) получаем _
Р T.ABcosa + Q.AE+m _ бУ^-бО-^+20-30 + 5
Из уравнения B) находим
Kil = Q + 7'sraa —/?с = 20 + 5/Г- ^ 35 = — 10 кГ.
Знак «минус» при YА показывает, что сила реакции Y'А имеет на-
направление, противоположное показанному на чертеже.
Задача 18. Между опорами двухконсольной горизонтальной бал-
балки CD (рис. 74, а) приложена пара (Р, Р'), к левой консоли — равно-
равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, а в точке D правой
консоли — вертикальная нагрузка Q=4,6 т. Определить реакции
опор, если Р=Р'=4 т, q—\ —, a=2,5 м.
Решение. Двухконсольная балка CD является тем телом, рав-
новесие которого мы должны рассмотреть. К ней приложена пара
сил (Р, Р') с моментом т=Ра и две активные силы: в точке D сила
Q и на середине левой консоли сила R = q-CA, являющаяся равнодей-
равнодействующей равномерно распределенной нагрузки (см. задачу 16).
Следовательно, все приложенные к балке CD активные силы являются
7 Н, Ф. Сахарный
106
Раздел I. Статика
вертикальными, так как пару сил (Р, Р'), не изменяя ее действия на
балку, можно повернуть в плоскости рисунка так, чтобы составляю-
составляющие пару (Р, Р') силы Р и Р'=—Р были вертикальны.
Связями, наложенными на балку CD, являются подвижная шар-
шарнирная опора В и неподвижная шарнирная опора А. Отбросим эти
связи и заменим их действие на балку CD силами реакций. Реакция
R в подвижной шарнирной опоры В нормальна к плоскости опоры
\а
Р1=-Р
а. и
. I,!. I, I г а_
Рис. 74
(рис. 74, б). Так как все действующие на балку CD активные силы
вертикальны, то реакция /?л неподвижной шарнирной опоры А также
вертикальна. Рассмотрим теперь равновесие двухкЪнсольной балки CD
как свободного твердого тела, на которое действует указанная плос-
плоская система параллельных сил (рис. 74, б). Для составления урав-
уравнений равновесия этой системы сил в форме
последовательно примем за центр моментов точки А и В. При этом
уравнения моментов будут содержать только одно неизвестное.
Глава IV. Произвольная плоская система сил
107
Итак, в данном случае будем иметь
T,mA{F,)=qa- -f- + m + RB -2a-Q-3a=0;
A)
B)
Решая порознь уравнения A) и B), найдем
RA= 11,5 т; Яв = 2,5т.
§25. РАВНОВЕСИЕ СОЧЛЕНЕННОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ
Рассмотрим теперь задачу на равновесие не одного тела, а системы
тел, свободно опирающихся друг на друга или соединенных между
собой какими-нибудь связями и находящимися под действием произ-
произвольной плоской системы сил или плоской системы параллельных сил.
Такую систему тел называют сочлененной системой.
Рис. 75
Рис. 76
После отбрасывания внешних связей* сочлененная система тел не
остается жесткой.
На основании принципа отвердевания система сил, действующая
на сочлененную систему тел, должна при равновесии удовлетворять
условиям равновесия абсолютно твердого тела. Но эти условия, как
известно, являясь необходимыми, не будут достаточными, поэтому из
них нельзя будет определить всех неизвестных. Для решения задачи
на равновесие сочлененной системы тел необходимо будет дополнитель-
дополнительно рассмотреть равновесие какого-нибудь одного или нескольких тел
этой системы.
Примером сочлененной системы может служить трехшарнирная
арка (рис. 75), состоящая из двух тел (полуарок) с тремя шарнирами
Л, В и С, из которых первые два являются неподвижными опорными
* Связи, скрепляющие сочлененную систему с не входящими в нее телами
(например, с опорами), называются внешними, в отличие от внутренних связей,
соединяющих между собой тела данной сочлененной системы.
7*
108
Раздел I. Статика
шарнирами, а третий соединяет эти два тела (полуарки) между собой*.
Пусть на рассматриваемую трехшарнирную арку действует произ-
произвольная плоская система сил (на рис. 75 изображены только две силы
Fx и F2 этой системы). Предположим, что, кроме реакций шарниров А
и В, требуется найти неизвестные реакции шарнира С.
Применяя принцип освобождаемое™ от связей, отбросим мыслен-
мысленно шарнирные закрепления в точках Л и В и заменим их действие си-
силами реакций. Модули и направления этих реакций неизвестны. Поэ-
Поэтому необходимо неизвестную по направлению реакцию в каждой из
двух шарнирно неподвижных опор Л и В разложить на горизонталь-
горизонтальную и вертикальную составляющие Хл, У а и Хв, У в (рис. 76). Таким
образом, для сочлененной си-
системы тел, состоящей из двух
полуарок (рис. 76), можно сос-
составить три уравнения равнове-
равновесия, в то время как число неиз-
неизвестных сил реакций равно че-
четырем. Однако данная задача
является статически определен-
определенной. Докажем это утверждение.
Для этого рассмотрим равнове-
равновесие какой-либо полуарки (на-
(например, левой, рис. 77, с).
На левую полуарку действу-
действует одна активная сила Fx.
Отбрасывая мысленно шарниры Л и С вместе с правой полуаркой,
заменяем их действие силами реакций. Так как реакция в шарнире С
также неизвестна по модулю и направлению, то ее тоже необходимо
предварительно разложить на горизонтальную и вертикальную сос-
составляющие Хси Ус- Для левой полуарки можно составить три урав-
уравнения равновесия, имея при этом только две новые неизвестные Хс и
Ус (последнее объясняется тем, что реакция в шарнире А должна быть
представлена двумя ранее выбранными составляющими ХА и УА).
Таким образом, рассматривая равновесие всей трехшарнирной арки
в целом и левой полуарки, имеем шесть уравнений равновесия и шесть
неизвестных. Отсюда видно, что рассматриваемая задача является
статически определенной. Эта же задача может быть решена и другим
способом, если рассмотреть равновесие левой полуарки (рис. 77, а)
и отдельно равновесие правой полуарки (рис. 77, б). В этом случае
число уравнений равновесия также равно числу неизвестных, так как
согласно аксиоме IV Хс'=—Хс и Yc'=—Ус-
Рис. 77
* Заметим, что если отбросить опоры А к В (внешние связи), то рассматри-
рассматриваемая трехшарнирная арка не будет жесткой: ее части могут поворачиваться
вокруг шарнира С (внутренняя связь).
Глава IV. Произвольная плоская система сил 109
Все эти приемы всегда одинаково законны. Вопрос о применении
каждого из них решается в зависимости от того, в каком случае урав-
уравнения равновесия получаются более простыми.
Изложенный способ решения задач на равновесие сочлененной си-
системы тел называется методом расчленения.
Для сочлененной системы из л тел, на каждое из которых действует
произвольная плоская система сил, методом расчленения можно со-
составить Зп независимых уравнений равновесия, позволяющих найти
Зл неизвестных. Однако это вовсе не значит, что при составлении урав-
уравнений равновесия для сочлененной системы всегда следует рассмат-
рассматривать равновесие каждого тела в отдельности. Напротив, можно
рассматривать и равновесие всей этой системы в целом как одного сво-
свободного абсолютно твердого тела или какой-нибудь совокупности тел,
входящих в состав сочлененной системы.
Задача 19. На гладкой горизонтальной плоскости стоит перенос-
переносная лестница, состоящая из двух частей АС и ВС длиной 12 м, весом
Р=18 кГ каждая, соединенных шарниром С и веревкой EF. Расстоя-
Расстояние BF=AE=2 м. Центр тяжести каждой из частей АС и ВС нахо-
находится в ее середине. В точке D на расстоянии CD = \ м стоит человек,
весящий Q=72 кГ. Определить реакции пола и шарнира С, а также
напряжение Т веревки EF, если ^ВАС=^АВС—45° (рис. 78, а).
Решение. Расчленяя сочлененную систему на две части, рас-
рассматриваем равновесие левой и правой половин лестницы в отдельнос-
отдельности. Для этого освобождаем каждую часть от внешних и внутренних
связей и намечаем реакции связей.
На левую часть лестницы, если ее рассматривать как свободное
тело (рис. 78, б), действуют активная сила Р, реакции Хсн Ус шарнира
С, реакция Т веревки EF и реакция #А горизонтальной плоскости.
Составим уравнения равновесия для левой половины лестницы:
LmA (F,.) =ХС-АС sin 45° — YC-AC cos 45° — P Щ- cos 45° —
— T-^?sin45° = 0.
На правую часть лестницы, если ее рассматривать как свободное
тело (рис. 78, в), действуют активные силы ?' n~Q, реакции Жс и У'с
шарнира С, реакция 7" веревки EF и реакция RB горизонтальной
плоскости. При этом по аксиоме IV силы Хс' и Yс должны быть нап-
направлены противоположно Хс и Ус; по модулю же X с'=Хс, Ус/=:Ус ¦
По этой же причине сила Т'=—Т.
по
Раздел I. Статика
Составим уравнения равновесия правой половины лестницы:
ЕХ,- = Х'с — Г = 0;
LmB (F,.) = — Х'с • СВ sin 45°— Yc ¦ СВ cos 45° + Q • BD cos 45° +
где
+ P' — cos 45° + T-FB sin 45° = 0,
'=Xr, Y'^Yr, T'=T, P'=P.
X
Рис. 78
Решая систему этих шести уравнений равновесия, найдем
Yc = 33 кГ\ Хс = 50,4 кГ; Т = 50,4 кГ; RA = 51 кГ\
RB = 57 кГ.
Глава IV. Произвольная плоская система сил
111
Из полученных результатов видно, что все реакции имеют направ-
направления, показанные на рис. 78, б, в.
Задача 20. Дана сочлененная с помощью шарнира С система двух
тел (рис. 79). Балка АС, изогнутая под прямым углом, имеет заделку
в точке А. Круговая арка СВ закреплена в точке В с помощью стерж-
стержня, имеющего на концах шарниры. На сочлененную систему действу-
действуют: 1) силы, распределенные вдоль вертикального прямого отрезка АЕ
по линейному закону с максимальной интенсивностью <?тах=4-^; 2) си-
силы, равномерно распределенные по дуге BD окружности с интенсив-
интенсивностью 0=2—, 3) сила/7=15 т, направленная под углом 53° к гори-
м
зонтальному прямому отрезку ЕС; 4) пара сил, обозначенная круго-
круговой стрелкой, с моментом /л=10 т-м. Размеры тел указаны на рис. 79.
Весом тел пренебречь. Определить реакции опор А и В.
Решение. Заменим распределенные силы сосредоточенными
силами. Рассмотрим прежде всего силы, распределенные вдоль пря-
прямого отрезка АЕ по линейному закону. Для этих сил интенсивность
q является величиной переменной, растущей от нуля до максималь-
максимального значения #тах. Равнодействующая R± будет определяться анало-
аналогично равнодействующей сил тяжести, действующих на однородную
треугольную пластину АКЕ. Так как вес однородной пластины про-
пропорционален ее площади, то по модулю равнодействующая /?х будет
равна
44
112
Раздел I. Статика
Приложена сила Rt на расстоянии -^АЕ=-^-3—1 м от стороны КЕ
треугольника АКЕ A; § 54).
Теперь рассмотрим силы, рав-
равномерно распределенные по дуге
BD окружности. Из симметрии
ясно, что проекции распределен-
распределенных по дуге BD радиальных сил
на ось Оу (рис. 80), перпендику-
перпендикулярную к оси симметрии Ох, рав-
равны нулю. Следовательно, их рав-
равнодействующая R направлена
вдоль оси симметрии Ох. По мо-
модулю она будет равна
где qMk — сила давления, дейст-
действующая на элемент дуги длиной
Д/й, Cft— угол, образуемый этой
силой с осью Ох. Но из рис. 80
видно, что Mkcos$k=byk. Отсюда,
вынося общий множитель за знак
суммы, получим
R = Zq\yk = qH Д yk = q ¦ BD,
где BD — длина хорды, стягиваемой дугою BD. Таким образом,
находим (рис. 81)
= 2.4 = 8 т,
так как BD = 2r sin30°=2.4~j = 4 м.
Рассмотрим равновесие всей данной сочлененной системы в целом
как свободного твердого тела. Для этого отбросим все внешние связи
и заменим их действие на сочлененную систему реакциями связей
(рис. 81). На сочлененную систему будут действовать заданные силы
/?!, F, R~^, заданная пара с моментом т и реакции связей: силы реак-
реакции Хди Ya и реактивная пара с моментом Мл заделки Л, а также реак-
реакция Yb опоры В. Всего будет четыре неизвестных Xл, YA, Ma, Yb,
а независимых уравнений равновесия для их определения можно
составить только три. Поэтому данную сочлененную с помощью шар-
шарнира С систему двух тел расчленяем по шарниру С, прикладывая к
каждой из двух частей в точке С внутренние силы реакции, равные по
Глава IV. Произвольная плоская система сил
113
модулю, но противоположные по направлению (рис. 82). Таким обра-
образом, на левую часть в точке С будут действовать силы Хс и Ус> а на
правую часть в точке С будут действовать силы Хс =—Хс и Ус = — Ус.
-»-?
А ла
А
с х„
а)
Рис. 82
114 Раздел I. Статика
Учитывая, что нам необходимо найти только четыре неизвестных
К а, Уа, М а, У в, а независимых уравнений равновесия можно соста-
составить шесть, будем составлять уравнения равновесия так, чтобы по
возможности в каждое из них входило не более одного нового неизвест-
неизвестного. Не обязательно для каждой части составлять все три уравнения
равновесия. Можно поступить и так: составить для правой части
(рис. 82, б) одно уравнение равновесия в форме
?mc (F,) = — m — Я/ cos 30° + YB r =0,
или
_ Ю-8-4 .t*- + yB -4 = 0.
Отсюда
Y = 5+8^3- _
После этого для сочлененной системы (рис. 81) составим уравнения
равновесия в форме
ЕХ, = ХА + Rx — F cos 53° — Я2 cos 30° = 0;
?У, = YA — F sin 53° — tf 2 sin 30° + YB = 0,
откуда
Х„ = 9,9 т; YA = 6,6 т.
Для определения реактивного момента М а заделки А составим для
левой части (рис. 82, а) уравнение равновесия в форме
откуда
МА = 37 т м.
Для контроля за правильностью определения реакций в точках А
и В можно составить контрольное уравнение равновесия для сочле-
сочлененной системы (рис. 81), например в форме Emc(/?/)=0. Подставляя
в это уравнение найденные значения неизвестных Ха, Уа, Ма и Ув,
должны получить тождество.
Если, кроме внешних реакций Х'а, У а, Ма, У в, нужно определить
неизвестные внутренние силы реакций Хс и Ус, то можно составить
уравнения равновесия для правой части (рис. 82, б) в форме
?Х\ = — Хс — Я2 cos 30° = 0;
ЕК; = — Ус — R2 sin 30° + YB = 0.
Глава IV. Произвольная плоская система сил
115
Решая эти уравнения, получим
Хс = —6,9 т;
= 5,4 т.
Задача 21. Дана сочлененная с помощью шарнира Б система двух
тел (рис. 83, а). Балка АВ имеет заделку в точке А, а балка ВС за-
закреплена в точке С с помощью шарнирно-подвижной опоры. На сочле-
сочлененную систему действуют силы, равномерно распределенные вдоль
прямого отрезка СК, постоянной интенсивности q— и пара сил с мо-
Jn
ментом m=qa2. Размеры тел указаны на рис. 83, а. Весом тел прене-
пренебречь. Определить реакции опор Л и С.
Щ
¦1
m-qa6
б!
гп
Рис. 83
Решение. Рассмотрим равновесие всей данной сочлененной
системы в целом как свободного твердого тела.
Для этого заменим распределенные силы сосредоточенными, а
также отбросим все внешние связи и заменим их действие на сочле-
сочлененную систему реакциями связей (рис. 83, б).
Силы, равномерно распределенные вдоль прямолинейных отрез,
ков KB и ВС^ соответственно заменим равнодействующими ^ и R^.
По модулю Rx и R2 равны
116 Раздел I. Статика
а приложены силы /?х и R2 соответственно в середине отрезков KB
и ВС.
Таким образом, на сочлененную систему будут действовать за-
заданные вертикальные силы Rv R2, заданная пара с моментом m и
реакции связей: силы реакции Ха и Ya и реактивная пара с моментом
Ма заделки А, а также вертикальная реакция Yc шарнирно-подвиж-
ной опоры С. __
Всего будет четыре неизвестных Ха, Ya, Ma, Yc, а независимых
уравнений равновесия для их определения можно составить только
три. Поэтому данную сочлененную с помощью шарнира В систему двух
тел расчленим по шарниру В, прикладывая к балке ВС в точке В
внутреннюю вертикальную силу реакции YB (рис. 83, б). Таким обра-
образом, на правую часть будут действовать три вертикальные силы Yв,
Yc и R2, из которых первая сила является новой неизвестной.
Составим уравнения равновесия для всей сочлененной системы в
целом (рис. 83, б) в форме
ЕХ, = ХА = 0;
I.mA[Fl) = —MA + m — R1-l,5a — Rz-2,5a + Yc-3a = Q.
Составим одно уравнение равновесия для балки ВС (рис. 83, в)
в форме
Отсюда
V —1?'
с 2 *
Подставляя Yc во второе и третье уравнения и решая их, находим
Глава V
ТРЕНИЕ СКОЛЬЖЕНИЯ И КАЧЕНИЯ
§26. ТРЕНИЕ СКОЛЬЖЕНИЯ
Тело весом Р положим на неподвижную поверхность, которая слу-
служит связью (рис. 84, а). Это тело будет находиться в состоянии отно-
относительного покоя, так как действующая на него сила тяжести Р урав-
уравновешивается нормальной силой реакции связи N. Приложим к телу
Глава V. Трение скольжения и качения
117
силу Q, лежащую в касательной плоскости, проведенной через точку,
в которой тело соприкасается со связью. Если бы реакция опорной
поверхности, которая служит связью, сводилась только к нормаль-
нормальной силе N, то сила Q, как бы мала она ни была, оставаясь неуравно-
неуравновешенной, заставила бы тело скользить по связи. Но опыт показывает,
Рис. 84
что тело продолжает оставаться в состоянии относительного покоя,
пока модуль силы Q не достигнет некоторого определенного максималь-
максимального значения Qmax. зависящего от природы и состояния соприкасаю-
соприкасающихся поверхностей, а также от данного давления между ними. При
дальнейшем увеличении модуля силы Q тело начнет скользить по свя-
связи. Это свидетельствует о том, что, кроме нормальной реакции N, на
тело действует еще другая реакция связи F, лежащая^ плоскости, ка-
касательной к связи, и противодействующая скольжению тела по этой
связи. Эта сила F называется силой трения скольжения.
До тех пор пока не возникло скольжения тела по связи, будет
иметь место равенство
из которого видим, что с увеличением силы Q увеличивается и сила
трения скольжения F. Значит, сила трения скольжения ^.так же как
и сила Q, может изменяться от нуля до некоторого максимального
значения ^„ax, соответствующего моменту начала относительного
скольжения тела по связи. В этом отношении сила трения скольжения
неопределенна. Поэтому за меру сопротивления скольжению в сос-
состоянии относительного покоя принимают максимальную силу трения
скольжения Fmax.
118 Раздел I. Статика
Сила трения скольжения, возникающая при относительном покое
тела, называется силой трения скольжения в покое.
Возникновение силы трения скольжения обусловлено многими
факторами, среди которых существенную роль играют степень шерохо-
шероховатости поверхностей трущихся тел, силы сцепления, возникающие
между частицами поверхностных слоев трущихся тел, и твердость
трущихся тел. Если соприкасающиеся тела достаточно тверды и хоро-
хорошо отполированы, то сила трения скольжения резко уменьшается.
Но в инженерных расчетах силу трения скольжения всегда приходит-
приходится принимать во внимание. Обычно при этом исходят из установлен-
установленных опытным путем общих законов трения скольжения в покое, ко-
которые формулируются следующим образом:
1. Сила трения скольжения в покое направлена в сторону, проти-
противоположную возможному перемещению одного из трущихся тел от-
относительно другого.
2. Сила трения скольжения в покое не может по модулю превос-
превосходить максимальной силы трения скольжения в покое Fmax.
3. Модуль максимальной силы трения скольжения в покое прямо
пропорционален нормальному давлению одного из трущихся тел на
другое, или, что то же, модулю нормальной силы реакции:
* max == /о "' '
где /0 называется коэффициентом трения скольжения в покое. Из
этого равенства следует, что /0 есть число отвлеченное. Эксперимен-
Экспериментально установлено, что /0 зависит от природы, состояния и степени
обработки трущихся поверхностей. При этом /0 не зависит от силы нор-
нормального давления и площади контакта трущихся поверхностей. Од-
Однако следует иметь в виду, что это может быть лишь до некоторой
величины удельного давления, т. е. давления, приходящегося на еди-
единицу площади контакта трущихся поверхностей.
Для абсолютно гладких тел /0 равен нулю. Для реальных тел он
находится в пределах
Из сказанного следует, что при отсутствии скольжения сила тре-
трения скольжения в покое
^<-Fmax- ИЛИ F</0#,
где знак равенства относится к тому моменту, когда тело будет нахо-
находиться, так сказать, на грани между покоем и скольжением.
Из предыдущего следует, что реакция опорной поверхности, ко-
которая служит реальной (шероховатой) связью, будет слагаться из
двух составляющих: из нормальной реакции N и перпендикулярной
Глава V. Трение скольжения и качения 119
к ней силы трения скольжения в покое/7. Следовательно, полная реак-
реакция опорной поверхности R будет составлять некоторый угол <р с нор-
нормальной реакцией N (рис. 84, а). При изменении силы трения скольже-
скольжения в покое F от нуля до Fmax сила R будет меняться от Л' до /?max, a
ее угол <р с нормальной реакцией N будет расти от нуля до некоторого
максимального значения <р0 (рис. 84, б).
Угол ф0 между направлениями нормальной реакции N и полной
реакции Rmax, соответствующей максимальному значению силы тре-
трения скольжения в покое Fmay^, называется углом трения.
Из рис. 84, б видно, что
Так как Fmax=/0Af, то отсюда находим следующую связь между
углом трения <р0 и коэффициентом трения скольжения в покое /0:
т. е. коэффициент трения скольжения в покое равен тангенсу угла
трения.
Конус с вершиной в точке касания тел, образующая которого со-
составляет угол трения с нормалью к поверхности трущихся тел, назы-
называется конусом трения (рис. 85).
Если коэффициент трения скольжения в покое при скольжении тела
по поверхности, которая служит связью, в различных направлениях
один и тот же, то полная реакция ^шах этой связи отклоняется от нор-
нормальной реакции N во всех направлениях на одинаковый угол трения
<р0, и конус трения будет круглым с углом при вершине, равным 2<р0-
Однако это условие не соблюдается, например, при скольжении по де-
дереву в направлении волокон и в направлении, перпендикулярном
к ним. Конус трения в этом случае будет сплющен в направлении
волокон.
Пусть действующие на тело силы (включая и его вес) приводятся
к одной равнодействующей силе Q, линия действия которой прохо-
проходит через точку А касания тела с поверхностью, служащей связью,
и образует с нормалью к связи в этой точке угол а (рис. 86). Перене-
Перенесем эту силу по линии ее действия в точку А и разложим на две сос-
составляющие, из которых одна Qx лежит в касательной плоскости, про-
проведенной через точку А, а вторая Q2 направлена по нормали в точке А
к поверхности, которая служит связью. Первая составляющая равна
по модулю Qx= Q2 tga и будет стремиться вызвать скольжение тела по
связи; вторая же вызовет равную себе по модулю и противоположно
направленную нормальную силу реакции N. Если /0 есть статический
120
Раздел I. Статика
коэффициент трения скольжения между рассматриваемым телом и
связью, то модуль максимальной силы трения скольжения в покое
будет
где <Ро— угол трения; при этом сила Fmix направлена в сторону, проти-
противоположную силе Qx. Построив на силах N и Fmix как на сторонах
параллелограмм, найдем равнодействующую/?гаах, образующую с нор-
нормальной реакцией N угол трения <р0.
Рис. 85
Рис. 86
Для того чтобы тело оставалось на поверхности, служащей связью,
в состоянии относительного покоя, необходимо, чтобы сила Qi была
по модулю меньше или равна максимальной силе трения скольжения
в покое Fmax, т. е.
QtVQ
или
откуда
а < <р0.
Из этого заключаем, что,до тех пор пока линия действия равнодей-
равнодействующей всех сил, приложенных к телу, каков бы ни был ее модуль,
проходит внутри конуса трения, скольжение тела по связи не возни-
возникает. Этим объясняются известные явления заклинивания, или са-
самоторможения частей машины, когда никакой приложенной внутри
Глава V, Трение скольжения и качения 121
конуса трения силой не удается сдвинуть с места соответствующую
часть машины.
При совпадении линии действия равнодействующей всех сил, при-
приложенных к телу, с образующей конуса трения наступает момент,
когда тело будет находитгся на грани между покоем и скольжением,
и при малейшем отклонении ее за пределы конуса трения начинается
скольжение тела по связи.
Все изложенное выше относилось к силе трения скольжения в
покое.
Сила трения скольжения, возникающая при относительном сколь-
скольжении одного тела по поверхности другого, называется силой трения
скольжения в движении.
Опытным путем установлено, что модуль силы трения скольжения
в движении также пропорционален нормальному давлению, т, е.
F =}N,
где / называется коэффициентом трения скольжения в движении.
При этом сила трения скольжения в движении направлена противо-
противоположно относительной скорости скольжения.
Коэффициент трения скольжения в движении f несколько меньше
коэффициента трения скольжения в покое /0. Он зависит не только
от природы, состояния, степени обработки поверхностей трущихся
тел, но и от относительной скорости этих тел*. В большинстве случаев
с увеличением скорости коэффициент трения скольжения в движении
сначала несколько убывает, а затем сохраняет почти постоянное зна-
значение.
На основании вышеизложенного мы имеем теперь возможность
решать задачи на равновесие тела или системы тел при наличии сил
трения скольжения, если все активные силы, а также нормальные реак-
реакции и силы трения скольжения образуют произвольную плоскую сис-
систему сил.
При решении задач на равновесие с учетом сил трения скольжения
следует иметь в виду все те общие указания, которые были сделаны
в § 10 и 24.
Решая эти задачи, обычно приходится рассматривать тот момент,
когда тело находится на грани между покоем и скольжением, т. е.
когда сила трения скольжения в покое достигает своего максималь-
максимального значения Fmsx=foN. Если задача решается аналитическим ме-
методом, то реакцию шероховатой связи изображают двумя составляю-
составляющими А/ и Fmtx. Затем составляют обычные уравнения равновесия ста-
статики, подставляя в них вместо Fmn величины f0N. Решая полученные
уравнения равновесия, находим искомые данной задачи.
* Величины коэффициентов трения скольжения даются в технических спра-
ик-ят
вочниках.
122
Раздел I. Статика
Когда тело находится в положении критического равновесия, т. е.
на грани между покоем и скольжением, то сила трения скольжения
BnOKoeF=Fmax=/oA'. В остальных положениях равновесия F<Fmax—
=/ojV. Значит, эти положения равновесия можно найти, уменьшая
в равенстве F=f0N статический коэффициент трения скольжения в
покое /0. При /о=0 получим положение равновесия тела в случае,
когда связь является абсолютно гладкой. Огедовательно, если в за-
задаче требуется определить все возможные положения равновесия, то
для ее решения также можно рассмотреть только критическое поло-
положение равновесия. Остальные положения равновесия найдутся, если
в полученном решении уменьшать коэффициент трения скольжения
в покое /0 до нуля.
Рис. 87
Задачи на равновесие тел с учетом сил трения скольжения можно
решать и графическим методом.
При графическом решении реакцию шероховатой связи удобнее
изображать одной силой R, которая в критическом положении равно-
равновесия будет отклонена от нормали к поверхности, служащей связью,
на угол трения <р0. При этом в точках соприкосновения поверхностей
двух трущихся тел строится угол трения <р0, и если линия действия рав-
равнодействующей силы всех внешних сил лежит внутри угла трения ср0,
то рассматриваемое тело будет находиться в равновесии.
Задача 22. Тяжелая пластинка находится в покое на негладкой на-
наклонной плоскости (рис. 87, а). Кроме силы веса Р, на пластинку дей-
р
ствует горизонтальная сила F=-~. Определить угол наклона плос-
плоскости к горизонту, если коэффициент трения скольжения в покое ра-
равен /0.
Глава V. Трение скольжения и качения 123
Решение. Выбираем тело, равновесие которого будем рассмат-
рассматривать. Таким телом будет пластинка. Примем ее за материальную
точку М. Эта точка несвободна. Связь, на нее наложенная, осущест-
осуществляется шероховатой наклонной плоскостью. Отбрасываем связь и
заменяем ее действие на точку М реакциями. Тогда точку М можно
будет рассматривать как свободную и находящуюся в равновесии под
действием плоской системы сходящихся сил: активных сил Р и F,
нормальной реакции наклонной плоскости N и максимальной силы
трения скольжения в покое FmlLX, соответствующей началу скольжения
пластинки по наклонной плоскости. Ось х направим по наклонной
плоскости, ось у — перпендикулярно к ней.
Предположим, что угол а настолько велик, что точка М стремится
двигаться вниз по наклонной плоскости. В этом случае максимальная
сила трения скольжения в покое Fm:ix будет направлена вверх по на-
наклонной плоскости (рис. 87, а). Составим в этом предположении урав-
уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил
ЕХ = 0; ?У = 0.
Для этого алгебраически сложим проекции всех сил на каждую ко-
координатную ось (рис. 87, а) и приравняем к нулю полученные алгебра-
алгебраические суммы:
ЕХ = — Fmax — F cos a + P sin а = 0;
ЕГ = N — F sin а — Р cos а = 0.
Так как
Fшах = /0# и F = -j-'
то эти уравнения примут вид
р
NfQ + -V- cos a — Р sin а = 0;
р
N ¦ х- sin а — Р cos а = 0,
откуда находим
3-/о
соответствующий максимуму угла а, при котором еще возможно
равновесие точки М.
Предположим теперь, что угол а настолько мал, что точка М стре-
стремится двигаться вверх по наклонной плоскости. В этом случае мак-
максимальная сила трения скольжения в покое Fmax переменит свое на-
направление, т. е. будет направлена вниз по наклонной плоскости
124
Раздел I. Статика
(рис. 87, б). В этом предположении уравнения равновесия плоской
системы сходящихся сил, действующих на точку М, примут вид
ZX = Nf0 ^- cos a + P sin а = 0;
LY = N — -Кг sin а — Р cos а = 0,
О
откуда получим
+/о
соответствующий минимуму угла а, при котором будет равновесие
точки М.
Таким образом, точка М будет находиться в равновесии в тех
случаях, если tga содержится в пределах
3-/o ¦
Рис.
Задача 23. Клин с углом заострения 2а нажимают с силой Q и за-
загоняют в дерево (рис. 88, а). Определить силу, с которой дерево сопро-
сопротивляется раскалыванию, а также силу F, необходимую для того,
чтобы вытащить загнанный в дерево клин, если коэффициент трения
между щеками клина и деревом /0=tg<p0. гДе Фо— Угол трения.
Решение. В данной задаче клин является тем телом, равнове-
равновесие которого рассматривается. Стенки дерева, с которыми соприка-
соприкасаются щеки клина, являются связями, наложенными на клин. От-
Отбросим эти связи и заменим их действие на клин реакциями связей.
Глава V. Трение скольжения и качения 125
Предположим, что клин упирается в дерево в точках А к В. Тогда
в точках А я В будут действовать на щеки клина две нормальные силы
реакции Na и N в, а также две параллельные этим щекам силы трения
скольжения Fa и F в, которые при забивании клина действуют вверх
против его движения (рис. 88, а). Таким образом, на клин, рассмат-
рассматриваемый как свободное твердое тело, будет действовать произволь-
произвольная плоская система сил Q, N а, N в, Fa, Fb. Выбирая оси координат
Ох и Оу, как показано на рис. 88, а, составим уравнения равновесия
этой системы сил в форме
SX = NА cos а — NB cos a -f- FB sin а — FA sin а = 0;
?У = NА sin а + NB sin а -f F A cos а -f FB cos а — Q = 0;
Так как ОА=ОВ, то из третьего уравнения находим
NA = NB.
Подставляя это и
во второе уравнение, получим
2 NА (sin a + /о cos a) = Q,
откуда находим силу нормального давления на щеки клина, т. е. ту
силу, с которой дерево сопротивляется раскалыванию:
N =N =. 5 . = 3
Л в 2 (sin а-(-/0 COS a) 2(sin а
или окончательно
, ., Q cos <
'л — nb~
При вытаскивании силой F загнанного в дерево клина будем иметь
расположение сил, приложенных к клину, как показано на рис. 88, б.
В этом случае
?У = F + A^sin a -f- NB sin a — F4 cos а — Fg cos а = 0,
но
поэтому модуль искомой силы F будет
F ~ 2NA{f0cosa — sin а) = 2 NA (tg <p cos а — sin*),
126
Раздел I. Статика
или окончательно
cosepo
Задача 24. Прокатный стан состоит из двух валов диаметром d—
=50 см, вращающихся в противоположные стороны; расстояние меж-
между валами Л=0,5 см (рис. 89). Показать, что для возможности захвата
прокатываемого листа углы АО?)г
и BO2Oi не должны превышать уг-
угла трения между валами и прока-
прокатываемым листом. Какой толщины Ь
листы можно прокатывать на этом
стане, если коэффициент трения
для раскаленного железа и чугун-
чугунных валов /=0,1?
Решение. Рассмотрим силы,
действующие на прокатываемый
лист со стороны валов в начальный
момент соприкосновения его с ва-
валами. При захвате в точках А к В
развиваются направленные по ра-
радиусам валов нормальные реакции
Л'л и Nb и направленные по каса-
касательным в точках А и В силы тре-
трения скольжения Fa и Fb . Для воз-
возможности втягивания листа валами
необходимо, чтобы равнодействую-
равнодействующая этих сил была направлена в
сторону движения листа (вправо).
Иначе говоря, для этого необхо-
необходимо, чтобы алгебраическая сумма
проекций всех сил трения скольжения и нормальных реакций валов на
ось х (рис. 89) была положительным числом, т. е.
Рис. 89
г = FA cos ч-\- FB cos a — NA sin а -
¦ NBs'\n а > 0,
где знак равенства соответствует моменту, когда валы перестают за-
затягивать лист.
В силу симметрии конструкции Na=Nв, а следовательно, Fл=
=FB=/eA?/. Поэтому неравенство A) примет вид
2 /0 NA cos a — 2 NA sin а > 0,
или
Глава V. Трение скольжения и качения 127
Откуда
где %— угол трения.
Найдем теперь необходимую ширину Ъ листа. Из рис. 89 имеем
ОХА = Оф = ~ ; <ЛО2 = d + h = b + d cos a,
откуда
d + h — Ь ,оч
COS a = —¦— . B)
Выразша cos a через tg a:
1
cos a =
и заменим tgaa большей величиной /2, тогда будем иметь
cos a
У
Подставляя в это неравенство значение cosa, определяемое фор-
формулой B), получим
d+h—b ^ 1
Отсюда определяем искомую ширину Ъ листа:
—g°-
У i + од2
—• = 50 + 0,5 50 = 0,75 см ,
т. е.
Ь < 0,75 см.
Задача 25. На неподвижный цилиндр свободно наложены (рис. 90)
два одинаковых однородных стержня АВ и AD длиной 21 и весом Р
каждый. Стержни связаны друг с другом шарниром А. Определить
радиус цилиндра г, если задан угол <х=60° и коэффициент трения /0
между стержнями и поверхностью цилиндра.
Решение. На рассматриваемую сочлененную систему двух
тел (стержни АВ и AD), соединенных между собой шарниром А, на-
наложена внешняя связь, которая осуществляется посредством неглад-
негладкой поверхности неподвижного цилиндра.
128
Раздел I. Статика
Отбросим эту связь и заменим ее действие на стержни АВ и AD
нормальными силами реакций Nx и N\, линии действия которых про-
проходят через центр цилиндра О, и силами трения скольжения Fx и F2,
направленными по касательным в точках L и Е (рис. 90, а). Рассмот-
Рассмотрим теперь критическое состояние равновесия сочлененной системы в
целом как одного абсолютно твердого тела и составим для нее уравне-
уравнение равновесия в форме
\ А
Р г^ -1
1 К
\ /
\ /
Для этого найдем алгебраическую сумму моментов, действующих
на сочлененную систему сил Nlt N2, Flt F2, Plt P2 = P1—P относи-
относительно точки О, и приравняем ее к нулю:
Emo(F,) =P (/cosa
Fj- - P(l - r t
= 0. A)
Расчленим по шарниру А сочлененную систему, соответственно
приложив к каждому из тел в точке А внутренние силы реакций
ХА, ТА иХ'л=-ХЛ, Y'A=—YA (рис. 90, б, в).
Рассмотрев равновесие стержня АВ (рис. 90, б), получим урав-
уравнение
Sm^/^P/cosa-A^rtg—:^, * B)
а рассмотрев1 равновесие стержня AD (рис. 90, в),— уравнение
ЪтА [?,) = N,r tg -?- - PI = 0. C)
ПодстаВляя в уравнения равновесия A), B) и C) значения
Глава V. Трение скольжения и качения
129
получим
уз
PI Nir
2 "~ 3
ут
Из второго и третьего уравнений находим
Подставляя эти значения в первое уравнение, найдем искомый ра-
радиус цилиндра
/~+ 9 /„
г =
I.
§ 27. ТРЕНИЕ КАЧЕНИЯ
Сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверх-
поверхности другого, называется трением качения.
Предположим, что негладкий цилиндр
опирается на негладкую горизонтальную
плоскость. Если этот цилиндр находится
только под действием своего веса Р, то
деформации цилиндра и опорной плоскос-
плоскости, которая служит связью, будут симме-
симметричными относительно линии действия
силы Р (рис. 91). В этом случае реакции
связи, распределенные по площадке кон-
контакта цилиндра с этой связью, приводятся
к одной равнодействующей силе N, рав-
равной по модулю и противополож-
противоположной по направлению силе Р. При этом цилиндр будет находиться
в состоянии относительного покоя, так как сила тяжести Р уравно-
уравновешивается нормальной реакцией N.
Приложим теперь к цилиндру в точке О силу Q под углом к гори-
горизонту (рис. 92, а) и будем постепенно увеличивать ее модуль, начиная
с Q=0. Опыт показывает, что цилиндр сохраняет состояние относи-
относительного покоя до тех пор, пока модуль силы Q не достигнет некото-
некоторого максимального значения Qmax, зависящего от природы и свойств
10 Н. Ф. Сахарный
Рис. 91
130
Раздел I. Статика
данной пары соприкасающихся поверхностей. При дальнейшем уве-
увеличении модуля силы Q начнется качение цилиндра по связи.
При действии на цилиндр силы Q деформации цилиндра и связи
не будут уже симметричны относительно линии действия силы Р.
Иначе говоря, сила Q обусловливает несимметричное распределение
сил реакций связи на площадке контакта ее с цилиндром*. Поэтому
равнодействующая Rb всех этих сил реакций сместится в сторону
* «L
Рис. 92
возможного движения цилиндра (рис. 92, а) и будет приложена в точ-
точке В. Реакция связи Rb при этом уравновешивает две активные силы
Р и Q, и линия ее действия проходит через точку О**.
Разложим реакцию RB на горизонтальную F и вертикальную N
составляющие (рис. 92, б) и составим уравнения равновесия произ-
произвольной плоской системы сил Р, Q, N и F, действующих на цилиндр,
в форме
Ът,
¦ — Qrcosa + Nd = 0,
A)
где r — радиус цилиндра, а d — расстояние, на которое смещается
в сторону возможного движения цилиндра нормальная составляющая
N реакции связи.
* При действии силы Q интенсивность давлений в окрестности точки А убы-
убывает, а в окрестности точки В возрастает.
** Последнее вытекает из теоремы об уравновешивании двух сходящихся
сил третьей силой (см. § 2).
Глава V. Трение скольжения и качения
131
Первое и второе уравнения A) дают модуль силы трения скольже-
скольжения F, препятствующий скольжению цилиндра по связи, и модуль
нормальной реакции N связи. Третье же уравнение, если его записать
в виде
Nd = Q r cos a
или
т — Qr cos а,
выражает собой равенство между так называемым моментом трения
качения т, препятствующим качению цилиндра по связи, и вращающим
моментом.
Рис. 93
Рис. 94
Пользуясь теоремой о параллельном переносе силы (см. § 17),
можно силу N перенести параллельно самой себе в точку А (рис. 93),
приложив при этом к цилиндру пару с моментом, равным моменту
трения качения m=Nd. Тогда результат, полученный на рис. 92, б,
можно условно изобразить в виде рис. 93. Такое изображение удобно
применять при решении задач, так как при этом нет никакой необхо-
необходимости изображать на чертеже деформацию тел в месте их соприкос-
соприкосновения.
Для простоты предположим, что а=0 (рис. 94), тогда
m = Nd = rQ. f==q. n = P.
Как показывает опыт, с увеличением модуля силы Q смещение d
также растет, но оно не может превзойти некоторого максимального
значения 8, вполне определенного для данной пары соприкасающихся
поверхностей и данной величины нормального давления цилиндра на
связь d<5.
При этом, очевидно, будет иметь место неравенство
т
dN < m
otf,
где
10*
8 называется коэффициентом трения качения.
132 Раздел I. Статика
Таким образом, условие отсутствия качения цилиндра по связи
будет иметь вид
откуда
Для случая критического (пускового) момента равновесия ци-
цилиндра
Этой формулой можно пользоваться и для определения модуля го-
горизонтальной силы Q, при которой начнется качение цилиндра по
связи.
Нужно иметь в виду, что, вообще говоря, цилиндр может не только
совершать качение по связи, но и скользить по ней.
Условие отсутствия скольжения цилиндра по связи имеет вид
где /0— коэффициент трения скольжения в покое.
Таким образом, если одновременно выполнены условия
то не произойдет ни скольжения, ни качения цилиндра по связи.
Если
Q>4-W, но Q<f0N,
то цилиндр будет совершать только качение по связи.
Если
Q>/Otf, но Q<-^N,
то цилиндр будет только скользить по связи.
Если
то возможно как качение, так и скольжение цилиндра по связи.
Глава V. Трение скольжения и качения
133
Коэффициент трения качения S определяется опытным путем и за-
зависит от природы и свойств данной пары соприкасающихся поверх-
поверхностей (цилиндра и опорной плоскости, которая служит связью).
Величина коэффициента трения качения 8 будет тем меньше, чем твер-
тверже цилиндр и связь, т. е. чем меньше их деформация. Коэффициент
трения качения S измеряется в единицах длины — в сантиметрах (см)
или миллиметрах (мм).
Сила, требуемая для преодоления трения качения, обычно меньше,
чем для преодоления трения скольжения, что видно из сравнения
равенств
Qmax = UN И Qmax - -f N'
так как отношение - для большинства материалов значительно мень-
меньше статического коэффициента трения /0. Поэтому в современной тех-
технике стремятся заменить скольжение
качением. Примером может служить
замена гладких подшипников ша-
шариковыми или роликовыми и т. п.
Задача 26. Определить наимень-
наименьший угол а наклона плоскости к
горизонту, при котором ролик ра-
радиуса г=5 см начнет скатываться
по плоскости, если коэффициент тре-
трения качения 3=0,05 см. Проверить,
возникает ли при этом сила трения
скольжения, достаточная для осуще-
осуществления качения ролика без сколь-
скольжения, если коэффициент трения
скольжения /о=0,08 (рис. 95).
Решение. По условию за-
задачи нам необходимо рассмотреть
критический (пусковой) момент равновесия ролика, когда момент
трения качения т принимает максимальное значение, т. е. mmax=8jV.
Отбрасывая связь, заменим ее действие на ролик силами реакции.
При этом_на ролик, как на свободное твердое тело, будут действовать вес
ролика Р, нормальная реакция N наклонной плоскости, которая слу-
служит связью, сила трения скольжения F, а также момент трения каче-
качения т. Рассматривая критическое состояние равновесия ролика под
действием этих нагрузок, составим уравнения равновесия произволь-
произвольной плоской системы сил в форме
Рис. 95
134 Раздел I. Статика
В данном случае эти уравнения равновесия будут иметь вид
— F + Р sin а = 0;
ЕУ =>iV —Pcos« = 0;
(Ft\ =» — Pr sin a -f- /remax = 0.
Учитывая, что mmiX=bN, из второго уравнения получим
mmax = c>N = oP cos a.
Тогда третье уравнение примет вид
— Р г sin a -(- 3 Р cos a = 0,
откуда
следовательно,
a = arctgO,Ol = 0°35'.
Из первого уравнения имеем
F = Psina = Ptgacosa => 0,01 Pcosa,
в то время как максимальная сила трения скольжения
Лпах = /„# = fJP cos a = 0,08 Р cos a.
Отсюда видим, что условие F<Fmax соблюдается, а поэтому ролик
начнет катиться по наклонной плоскости без скольжения.
Глава VI
ГРАФИЧЕСКАЯ СТАТИКА И МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПЛОСКИХ
ФЕРМ
§28. ПРЕДМЕТ ГРАФОСТАТИКИ
Отдел статики, в котором излагаются графические методы решения
статических задач, называется графической статикой или графоста-
тикой. Графические методы решения статических задач преимуще-
преимущественно развиты для плоских систем сил. Хотя эти методы являются
Глава VI. Графическая статика и методы расчета плоских ферм 135
менее точными, чем аналитические, однако они позволяют получить
результаты более быстрым и наглядным путем. Точность результата,
полученного при графическом решении статической задачи, зависит от
точности чертежа. При тщательном его выполнении эта точность обыч-
обычно бывает достаточной для многих инженерных расчетов.
§29. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ПРИВЕДЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ
ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ
В этом параграфе рассмотрим следующие три случая приведения
произвольной плоской системы сил к простейшему виду.
1. Случай, когда силовой и веревочный многоугольники являются
разомкнутыми. В § 4 было установлено, что равнодействующая сила
плоской системы сходящихся сил вполне* определяется построением
силового многоугольника.
Если же требуется найти равнодействующую произвольной плос-
плоской системы сил, то построением только силового многоугольника
определяется лишь модуль и направление равнодействующей, но ли-
линия ее действия при этом остается неопределенной. Оказывается, ли-
линию действия равнодействующей в этом случае можно определить
построением так называемого веревочного многоугольника.
Рис. 96
Пусть на твердое тело действует произвольная плоская система трех
сил Flt F%, F3 (рис. 96, а). Построим из этих сил в выбранном мас-
масштабе силовой многоугольник abed (рис. 96, б). При этом силы /v
F, и f, в силовом многоугольнике обозначим цифрами (номерами)
• Равнодействующая только тогда определяется вполне, когда известны
ее модуль, линия действия и направление вдоль линии действия.
136 Раздел I. Статика
1, 2 и 3. Замыкающая сторона ad этого разомкнутого* силового много-
многоугольника определяет модуль и направление равнодействующей силы
R данной системы сил Fly F2, F3. Однако для полного определения
равнодействующей рассматриваемой системы сил необходимо еще знать
и положение какой-нибудь одной из точек, через которую проходит
линия действия этой равнодействующей. Для этой цели построим ве-
веревочный многоугольник.
Выберем в плоскости силового многоугольника (рис. 96, б) произ-
произвольную точку О, которую назовем полюсом**, и соединим ее с вер-
вершинами силового многоугольника лучами Оа, Ob, Ос и Od. При этом
первый и последний лучи обозначим соответственно первой и послед-
последней буквами греческого алфавита а и ш, а промежуточные лучи про-
пронумеруем цифрами 12 и 23***. Проведением лучей Оа, Ob, Ос и Od
мы разложили каждую из сил Fv F2 и F3 на две сходящиеся состав-
составляющие силы:
F1 = a6+Ob; F2 = Ш + Ос; F3 = сд + Od. A)
Теперь возьмем вблизи от линии действия силы Fx произвольную
точку М (рис. 96, а) и проведем из нее прямую, параллельную первому
лучу а, до пересечения ее с линией действия первой силы /^ в точке А.
Из точки А проведем прямую, параллельную лучу 12, до пересечения
ее с линией действия второй силы F2 в точке В и т. д. Построенная
таким путем ломаная MABCN, стороны которой параллельны лучам,
проведенным из полюса О в вершины силового многоугольника, назы-
называется веревочным многоугольником. Это название объясняется тем,
что веревка, закрепленная своими концами в точках М и N и натяну-
натянутая приложенными к ней в точках А, В и С силами Fx, F2 и F3, при
равновесии принимает форму ломаной MABCN. В рассматриваемом
случае веревочный многоугольник оказался разомкнутым****.
Теперь докажем, что данная произвольная плоская система сил
Flt F2, F3 приводится к системе двух сходящихся сил аО и Od, направ-
направленных по крайним сторонам МА и CN веревочного многоугольника.
В самом деле, заменим силы Fl7 F2, Fsсилами аО и Ob, ЬО и Ос, сО и
Od, приложив их соответственно в точках А, В, С (рис. 96, а). При
этом взаимно уравновешенные силы Ob, ЬО и Ос, сО можно отбросить.
В результате данная система сил Flt F2, F3 действительно оказывается
* Силовой многоугольник будет замкнут, если конец последней силы совпа-
совпадает с началом первой.
** При этом полюс не должен находиться на сторонах силового многоуголь-
многоугольника или на их продолжениях.
*** Эти цифры указывают номера сил, сходящихся в вершине, куда првве-
ден соответствующий луч.
**** Если бы веревочный многоугольник оказался замкнутым, то в нем край-
крайние стороны (в нашем случае МА и CN) были бы направлены по одной прямой
Глава VI. Графическая статика и методы расчета плоских ферм 137
эквивалентной системе двух сходящихся сил аО(а) и Od(w), направлен-
направленных по крайним сторонам МА и CN веревочного многоугольника. Сле-
Следовательно, продолжив крайние стороны МЛ и NC веревочного мно-
многоугольника до их пересечения, получим точку К, через_которую
проходит линия действия равнодействующей R сил аО и Od (а зна-
значит, и сил Flt F% и F^). Остается провести через точку К прямую, па-
параллельную замыкающей стороне ad силового многоугольника. Эта
прямая и является линией действия равнодействующей R данной
произвольной плоской системы сил Flt F2, F3.
б)
Рис. 97
Метод графического определения модуля, направления и линии
действия равнодействующей произвольной плоской системы сил, до-
доказанный нами для случая трех сил, применим, очевидно, и к про-
произвольной плоской системе с любым числом сил. Этот метод применим
также и к плоской системе параллельных сил, направленных как в
одну, так и в разные стороны (рис. 97).
Таким образом, в случае когда силовой и веревочный многоуголь-
многоугольники, построенные для произвольной плоской системы сил, являются
разомкнутыми, то эта система сил приводится к равнодействующей.
Модуль и направление этой равнодействующей определяются замыкаю-
замыкающей стороной силового многоугольника, а ее линия действия прохо-
проходит через точку пересечения крайних сторон веревочного многоуголь-
многоугольника и параллельна замыкающей стороне силового многоугольника.
2. Случай, когда силовой многоугольник является замкнутым,
а веревочный разомкнутым. Если силовой многоугольник, построен-
построенный для данной плоской системы сил, замкнут, а веревочный много-
многоугольник разомкнут, то эта система сил приводится к паре сил.
9 Н, Ф, Сахарный
138
Раздел I. Статика
В самом деле, пусть требуется привести к простейшему виду три
силы Flt F2, и F3, изображенные на рис. 98, а.
Рис. 98
Построив для данных сил силовой многоугольник (рис. 98,6),
мы видим, что он является замкнутым. При этом лучи аО (или а)
и Od (или (в) сливаются. Вследствие этого крайние стороны МА и
CN веревочного многоугольника будут параллельны между собой
(рис. 98, а). Эти стороны не располагаются вдоль одной прямой, и
веревочный многоугольник, следовательно, является разомкнутым.
Используя метод, который был уже нами применен в пункте пер-
первом этого параграфа, можно данную систему сил Flt F2) F9привести
к двум силам аО и Оа (так как Od—Oa), равным по модулю и направ-
направленным вдоль параллельных прямых МА и CN в противоположные
стороны (рис. 98, а). Отсюда следует, что заданная система сил Fly
F2, F3 действительно приводится к паре сил (аО , Оа). Момент этой па-
пары равен aOh, где h — плечо пары, представляющее собой крат-
кратчайшее расстояние между крайними сторонами веревочного много-
многоугольника. При этом следует иметь в виду, что модуль аО силы аО
измеряется в масштабе сил, который был выбран при построении сило-
силового многоугольника, а плечо пары измеряется в масштабе длин, ко-
который был выбран при изображении рис. 98, а.
3. Случай, когда силовой и веревочный многоугольники являются
замкнутыми. Пусть силовой и веревочный многоугольники, пост-
построенные для заданных сил Flt F2 и F3, замкнулись (рис. 99, а, б).
В этом случае заданная система сил Fx, F%, Fs, очевидно, приводит-
приводится к двум силам аО и Оа, равным по модулю и направленным вдоль
одной прямой в противоположные стороны (рис. 99, а).
Глава VI. Графическая статика и методы расчета плоских ферм
139
Отсюда следует, что силы аО и Оа, а значит, и силы заданной сис-
системы сил Flt F2, F3 взаимно уравновешиваются.
Рис. 99
D
Таким образом, графические условия равновесия произвольной
плоской системы сил можно сформулировать так: для равновесия
произвольной плоской системы сил, действующих на твердое тело,
необходимо и достаточно, чтобы силовой и веревочный многоугольники,
построенные для этих сил, были замкнутыми.
§30. ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ
Так же как и аналитический метод, графический метод определе-
определения опорных реакций фермы (или балки), имеющей одну подвижную
и одну неподвижную шарнирные
опоры, основан на предположении,
что под действием приложенных к
ферме активных сил и опорных ре-
реакций ферма находится в равнове-
равновесии. При этом графический метод
определения опорных реакций со-
состоит в применении графических
условий равновесия произвольной
плоской системы сил.
Найдем графическим методом
реакции опор I и II фермы, показан-
показанной на рис. 100, а. Сначала, выб-
выбрав соответствующий масштаб длин,
изобразим на чертеже эту ферму и
приложенные к ней активные силы
Fx и F2. Обозначим реакцию опоры
II через Rz, а опоры I — через Rt. Рис. 100
I
о
140
Раздел !. Статика
Теперь, выбрав масштаб для изображения сил, строим из действую-
действующих на ферму сил силовой многоугольник, начиная с сил /, 2 (рис.
100, б). Мы видим, что построение силового многоугольника обрывает-
обрывается изображением направления силы R3, так как модуль R3 силы R3
нам не известен (не известна точка d). Нам известно только, что ко-
конец силы Rt будет в точке а, потому что силовой многоугольник при
равновесии должен быть замкнут.
Для дальнейшего решения задачи, выбрав полюс О, проводим лучи
12, 23, 41. Направление луча 34 нам неизвестно, так как неизвестно
положение вершины d силового многоугольника. Чтобы найти этот
луч, строим веревочный многоугольник (рис. 100, а). Направление
б)
Рис. 101
линии действия силы Rt мы не знаем, но одна точка, принадлежащая
этой линии действия,— точка А — известна. Поэтому построение
веревочного многоугольника нужно начинать с построения стороны
41, проведя ее из точки А до пересечения с линией действия силы Ft.
Далее строим стороны 12 и 23 веревочного многоугольника. Соглас-
Согласно графическим условиям равновесия веревочный многоугольник
должен быть замкнутым. Поэтому для построения его стороны 34
следует, очевидно, соединить точку D с А. Теперь можно найти и
направление луча 34 на фигуре силового многоугольника. Для этого
необходимо из полюса О провести прямую, параллельную стороне
DA веревочного многоугольника, до пересечения в точке d (рис. 100, б)
с прямой, проведенной через точку с параллельно силе 3 (или R3).
В результате вектор Cd будет изображать в выбранном масштабе
искомую силу R3. Так как согласно графическим условиям равновесия
силовой многоугольник также должен быть замкнутым, то, соединив
конец d вектора 3 (или ^3) с началом вектора / (или Fx), получим век-
вектор da, изображающий в выбранном масштабе искомую силу #4. За-
Глава VI. Графическая статика и методы расчета плоских ферм 141
дача решена, так как обе искомые опорные реакции R3 и R4 опреде-
определены.
Пример графического определения опорных реакций в случае
плоской системы параллельных сил показан на рис. 101.
§31. ПОНЯТИЕ О ФЕРМЕ
Фермы применяются при постройке мостов, подъемных кранов,
зданий, мачт, самолетов и других сооружений.
В теоретической механике под фермой понимают жесткую решет-
решетчатую конструкцию, состоящую из прямолинейных невесомых стерж-
стержней, соединенных по концам идеальными (лишенными трения) шарни-
шарнирами. Места соединения стержней фермы называют узлами. Все ак-
активные силы к ферме прикладываются только к узлам. Если оси всех
стержней фермы и линий действия всех приложенных к ее узлам сил
лежат в одной плоскости, то ферма называется плоской. В нашем курсе
будем рассматривать методы расчета только плоских ферм. Так как
все заданные силы приложены в узлах фермы и трения в шарнирах
нет, то каждый прямолинейный невесомый стержень фермы будет на-
находиться под действием только двух сил, приложенных к его концам*.
Но при равновесии стержня под действием только двух сил эти силы
должны быть равны по модулю и направлены вдоль стержня в проти-
противоположные стороны. А это значит, что каждый стержень фермы, бу-
будет испытывать только сжатие или растяжение.
Данное нами определение фермы является идеализированным.
Однако оно позволяет произвести расчет реальных ферм, которые встре-
встречаются на практике, наиболее простым способом и получить резуль-
результаты, достаточно близкие к действительности. В реальной ферме
стержни, конечно, обладают весом и соединяются между собой не
шарнирно, а наглухо, при помощи сварки или заклепок.
Вследствие этого стержни реальной фермы будут еще и изгибаться
под действием собственного веса. Но так как вес каждого стержня
реальной фермы обычно является незначительным по сравнению с
силами, приложенными в ее узлах**, то для простоты расчета им мож-
можно пренебречь. Считая при этом ферму состоящей из прямолинейных
стержней, соединенных между собой при помощи идеальных (лишен-
(лишенных трения) шарниров, мы приходим к заключению, что каждый стер-
стержень будет испытывать сжатие или растяжение и не будет подвергать-
подвергаться изгибу.
Не всякое шарнирное соединение стержней является фермой.
Ферма представляет собой жесткую, или неизменяемую, стержне-
* Все силы, приложенные в каждом из концов стержня, всегда можно за-
заменить одной равнодействующей.
** На практике часто встречаются и силы, распределенные вдоль стержней
(вес снега или давление ветра). Обычно они малы по сравнению с силами, прило-
приложенными в узлах фермы, и ими можно пренебречь.
142
Раздел I. Статика
вую систему: вследствие наличия стержней узлы фермы под действием
приложенных к ним сил не могут изменять своего взаимного поло-
положения. Чтобы получить простейшую ферму, достаточно соединить
Рис. 102
шарнирами три стержня (рис. 102, я). Если соединить шарнирами че-
четыре стержня, то мы получим не ферму, а механизм (рис. 102, б),
в котором под действием приложенных к узлам сил стержни будут
IV
5 N.
\
\
Рис. 103
иметь относительные перемещения. Чтобы сделать это шарнирное сое-
соединение стержней фермой, достаточно перетянуть его по одной диа-
диагонали стержнем (рис. 102, в). На рис. 103 показана плоская ферма,
состоящая из нескольких стержневых тре-
треугольников с шарнирными соединениями в
вершинах.
Если при снятии хотя бы одного стерж-
стержня ферма теряет свойства жесткости, то про
такую ферму говорят, что она не имеет лиш-
лишних стержней. Примером фермы без лишних
стержней является треугольная ферма
(рис. 102, а) или построенная из стержневых
треугольников плоская ферма (рис. 102, в и
103). Если же при снятии одного или
нескольких стержней ферма не теряет свойства жесткости, то про такую
ферму говорят, что она имеет лишние стержни. Простейшим примером
фермы с лишними стержнями является перетянутая двумя диагоналя-
диагоналями четырехугольная ферма (рис. 104). Если от этой фермы отнять
стержень, направленный по диагонали, то она останется жесткой
Рис. 104
Глава VI. Графическая статика и методы расчета плоских ферм 143
(рис. 102, в). Следовательно, второй стержень, направленный по диа-
диагонали, с точки зрения обеспечения жесткости является лишним*.
В плоской ферме без лишних стержней, образованной из стержне-
стержневых треугольников, имеет место следующая зависимость между числом
стержней k и числом узлов п:
k = 2n~3. A)
В самом деле, в треугольной ферме имеем три узла и три стержня
(например, на рис. 103 стержневой треугольник имеет три узла /,
// и /// и три стержня /, 2 и 3). Присоединение каждого следующего
узла потребует два стержня (например, на рис. 103 узел IV присоеди-
присоединен двумя стержнями 4 и 5). Следовательно, для получения всех ос-
остальных (п—3) узлов потребуется 2 (п—3) стержней. В результате
число стержней рассматриваемой фермы k=3-\-2(n—3)=2п—3. Это
равенство как раз и выражает искомую зависимость между числом
стержней и числом узлов плоской фермы без лишних стержней.
Если &<2п—3, то система шарнирно сочлененных концами стерж-
стержней будет изменяемой стержневой системой и, следовательно, не яв-
является фермой (рис. 102, б). В этом случае конструкция получает
подвижность, становится механизмом. Если же &>2га—3, то ферма
имеет лишние стержни (рис. 104), удаление которых не нарушает
жесткости фермы (рис. 102, в). Такие фермы пригодны для сооружений,
так как лишние стержни практически не являются вредными, нао-
наоборот, они улучшают прочность фермы. Однако расчет таких ферм не
может быть выполнен методами статики твердого тела**. Поэтому мы
будем рассматривать плоские фермы без лишних стержней, т. е. те,
которые точно удовлетворяют условию A).
Произвести расчет фермы — это значит определить реакции опор
фермы и усилия в ее стержнях, возникающие под действием приложен-
приложенных к узлам фермы сил***.
Каждый стержень своими концами входит в два узла. Если под
влиянием действия на него со стороны узлов сил Ft и Fxf стержень
растягивается (рис. 105, а), то его реакции на узлы (Slt S\) будут на-
направлены от узлов к середине стержня. Если же под влиянием дей-
действующих на стержень со стороны узлов сил F2 и F2' стержень сжи-
сжимается (рис. 105, б), то его реакции на узлы E2, S%) будут направлены
от середины стержня к узлам. Следовательно, зная направление реак-
реакций стержня, можно определить, будет ли он растянут или сжат. При
• Эта ферма имеет один лишний стержень.
** Фермы, удовлетворяющие условию k>2n—3, являются статически неоп-
неопределимыми. Способы расчета таких ферм рассматриваются в курсах сопротив-
сопротивления материалов и строительной механики.
*** Знание усилий, возникающих в реальных стержнях в результате их
деформаций, необходимо при проектировании фермы для подбора стержней
требуемой прочности.
144
Раздел I. Статика
этом необходимо обратить внимание на то, что реакции каждого стерж-
стержня, приложенные к узлам, которые этот стержень соединяет, равны
между собой по модулю и противоположны по направлению (Sx=—S/,
§7=—s/). Эти реакции по модулю равны, очевидно, искомым усилиям
в стержнях.
Так как ферма представляет собой неизменяемую систему, то число
неизвестных опорных реакций в ней не должно быть более трех*.
Поэтому ферму устанавливают
на две опоры, из которых одна
должна быть неподвижная, а
другая — установлена на кат-
катках. Но, кроме трех неизвест-
неизвестных опорных реакций, требует-
требуется еще определить усилие для
каждого из k стержней фермы.
* Всего, таким образом, мы име-
Fl ем &+3 неизвестных. Посмот-
Посмотрим теперь, сколько же мож-
а)
б)
Рис. 105
но составить независимых
уравнений равновесия для
определения этих неизвест-
неизвестных. Для этого мысленно вырежем какой-нибудь узел фермы, изобра-
изображенной на рис. 106, а, например узел IV, и рассмотрим этот узел в
отдельности (рис. 106, б). К узлу IV приложены данная сила F и реак-
F
*¦ *-х
Рис. 106
ции Si, S3 и 54 стержней 1, 3 и 4, соединяющихся в этом узле. При
этом реакции S1; S3 и Si направлены вдоль перерезанных стержней /,
* В противном случае задача определения опорных реакций для данной
фермы становится статически неопределимой.
Глава VI. Графическая статика и методы расчета плоских ферм
145
3 и 4 и по модулю равны искомым усилиям в этих стержнях. Прило-
Приложенная к узлу IV система сил Sl3 S3, S4, F представляет собой уравно-
уравновешенную плоскую систему сходящихся сил. Поэтому будем иметь
для этого узла два уравнения равновесия (в форме ЕХ=0, ЕК=0).
Точно так же можно поступить и по отношению к каждому из осталь-
остальных узлов фермы. Таким образом, получим для фермы с п узлами 2л
независимых уравнений равновесия.
Для того чтобы рассматриваемая задача была статически опреде-
определимой, число неизвестных должно равняться числу независимых урав-
уравнений равновесия, т. е. k+3=2n, или k=2n—3. Но это равенство,
как мы уже знаем, имеет место для фермы без лишних стержней. От-
Отсюда следует, что ферма без лишних стержней является статически
определимой.
Отметим, что условие статической определимости фермы k=2n—3,
являющееся в то же время и условием жесткости, или неизменяемости,
фермы, должно, конечно, соблю-
соблюдаться как для всей фермы в
целом, так и для отдельных ее
частей. Это условие является
необходимым, но, вообще гово-
говоря, не будет достаточным.
Может случиться, что стержни
будут распределены так, что
некоторые части фермы будут
иметь лишние стержни, а другие
не будут иметь достаточного чис-
числа стержней для сохранения жесткости фермы. Так, например, для фер-
фермы, изображенной на рис. 107, условие статической определимости
будет соблюдено, но, как нетрудно видеть, такое соединение стержней
не будет фермой (средний квадрат).
Для определения усилий в стержнях статически определимых ферм
существует ряд способов (как графических, так и аналитических).
В этой главе мы рассмотрим следующие способы определения усилий
в стержнях статически определимых ферм: способ вырезания узлов,
способ Максвелла — Кремоны и способ разрезов фермы.
§ 32. СПОСОБ ВЫРЕЗАНИЯ УЗЛОВ
Поскольку под действием активных сил и опорных реакций ферма
в целом находится в равновесии*, то в равновесии должен находиться
и каждый мысленно вырезанный ее узел. В число сил, приложенных
к вырезанному узлу, входят реакции перерезанных стержней, равные
по модулю искомым усилиям в этих стержнях, а также заданные силы
Рис. 107
* Ферма при этом принимается на основании принципа отвердевания за
абсолютно твердое тело.
146
Раздел I. Статика
и опорные реакции. Так как силы, приложенные к вырезанному уз-
узлу, уравновешиваются, то построенный из этих сил силовой много-
многоугольник является замкнутым. Построив замкнутые силовые много-
многоугольники для каждого вырезанного узла фермы, можно графически
определить усилия во всех стержнях этой фермы. Эта задача может
решаться и аналитически — путем составления и решения уравнений
равновесия для сил, приложенных к каждому вырезанному узлу фер-
фермы. Обычно при пользовании способом вырезания узлов решают зада-
б)
Рис. 108
чу графически, так как такое решение проще, нагляднее и скорее при-
приводит к цели. При этом первым нужно вырезать тот узел, в котором
соединяются только два стержня*. Обычно такими бывают узлы на
опорах. Затем уже нужно переходить к следующим узлам, следя за
тем, чтобы в очередном узле было не более двух стержней с неизвест-
неизвестными еще реакциями.
В качестве примера используем способ вырезания узлов к ферме,
изображенной на рис. 108, а. Эта ферма имеет одну неподвижную шар-
шарнирную опору / и одну подвижную опору //. К ферме приложена одна
активная вертикальная сила Fl=2F. Требуется графически, способом
вырезания узлов, определить усилия в стержнях этой фермы. В этой
* Иначе, очевидно, не удастся определить неизвестные усилия в перерезан-
перерезанных стержнях фермы.
Глава VI. Графическая статика и методы расчета плоских ферм 147
ферме число узлов п=4, а число стержней k—Ъ. Следовательно, со-
соотношение k=2n—3 выполняется, и ферма является статически опре-
определимой, без лишних стержней.
Прежде чем приступить к определению усилий в стержнях фермы
по способу вырезания узлов, определяют сначала опорные реакции.
Это можно сделать или аналитически из трех уравнений равновесия,
в которые, кроме заданных сил, войдут и опорные реакции, или гра-
графически — построением замкнутых силового и веревочного много-
многоугольников. В данном случае горизонтальная составляющая реакции
в неподвижной опоре равна, понятно, нулю. Что касается вертикаль-
вертикальных реакций этого шарнира и подвижной опоры, то вследствие пол-
полной симметрии эти реакции, очевидно, равны между собой, и, следо-
следовательно, каждая из них равна по модулю -у/^или/. Обозначим эти
реакции через jVx и N% (рис. 108, б).
Определив опорные реакции, переходим к вырезанию узлов. Выре-
Вырежем сначала узел /. К этому узлу приложены три силы: известная
опорная реакция Nx=—F и две реакции Sx и 52 перерезанных стержней
/ и 2. Рассматривая эти силы как находящиеся в равновесии, строим
для них замкнутый силовой треугольник (рис. 108, в). Для этого выби-
выбираем определенный масштаб сил и в этом масштабе из произвольно
выбранной точки проводим вектор, изображающий известную силу
Nx. Из концов этого вектора проводим прямые, параллельные стерж-
стержням 1 и 2, до их пересечения. Точка пересечения этих прямых опреде-
определяет третью вершину силового треугольника, а длины его сторон оп-
определяют модули Sx и S2 реакций Sx и S2 стержней 1 и 2, равные иско-
искомым усилиям в этих стержнях (рис. 108, в). Так как направление си-
силы Л^ нам известно, то, обходя треугольник по периметру в направле-
направлении силы Nx, расставим в нем стрелки и определим тем самым направ-
направление искомых реакций St и S2. Если мысленно перенести векторы Sx
и S2 на стержни 1 я 2, сходящиеся в узле /, то мы заметим, что реакция
Sx направлена по стержню / к этому узлу, следовательно, стержень /
сжат; реакция же52 направлена по стержню 2 от узла, следовательно,
стержень 2 растянут. Обычно принято растягивающим усилиям услов-
условно приписывать знак «плюс», а сжимающим — знак «минус».
После узла / вырежем узел ///*. В этом узле сходятся стержни
3 и 5, реакции в которых еще неизвестны, и стержень 2, реакция кото-
которого уже найдена. Строим для этих трех сходящихся сил замкнутый
силовой треугольник в том же масштабе (рис. 108, г). Построение это-
* В этом примере безразлично, к какому узлу переходить после узла /.
Однако это не всегда так. Последовательность перехода от узла к узлу всегда
выбирается так, чтобы в рассматриваемом узле было не больше двух неизвест-
неизвестных усилий.
148 Раздел I. Статика
то силового треугольника нужно начинать с построения известных
сил. При этом необходимо обратить внимание на то, что реакция S2
стержня 2, приложенная к узлу ///, очевидно, равна по модулю и на-
направлена противоположно реакции S2 этого же стержня, приложен-
приложенной к узлу /, т. e.Sa'=—S2. Чтобы построить теперь силовой треуголь-
треугольник для узла ///, проводим из произвольной точки вектор, изображаю-
изображающий известную силу 52', далее из начала и конца вектора 52'проводим
прямые, параллельные стержням 5 и 3, до их пересечения. Длины
сторон полученного замкнутого силового треугольника, параллельных
стержням 3 и 5, определяют модули искомых усилий S3 и S5 в этих
стержнях. Обходя этот силовой треугольник по его периметру в на-
направлении известной силыЗ/, находим направление сил S3h Sb. Так
как вектор S3, как видим из чертежа, направлен к узлу /// (если мыс-
мысленно перенести этот вектор на стержень 3), то отсюда заключаем,
что стержень 3 сжат. Вектор S&' направлен от узла ///, следовательно^
стержень 5 растянут.
Остается рассмотреть узел //, в котором уравновешиваются из-
известная опорная реакция Л/а=—F, известная реакция S5'=—S5стерж-
S5'=—S5стержня 5 и неизвестная еще реакция 54 стержня 4. Строим для этих трех
сходящихся сил замкнутый силовой треугольник (рис. 108, д) в том
же масштабе и по тем же правилам, что и ранее. Так как вектор 54,
как видим из чертежа, направлен от узла // (если мысленно перенести
этот вектор на стержень 4), то отсюда заключаем, что стержень 4 сжат.
Вектор S'5 =—55 направлен от узла //, следовательно, стержень 5
растянут. Построением этих силовых треугольников заканчивается
определение усилий во всех стержнях данной фермы.
К последнему узлу IV приложена заданная сила Ft и уже найден-
найденные реакции 5Х'=—St, S3 =—S3 и St'=—54 стержней 1,3 и 4. Все же
рекомендуется в целях контроля строить силовой треугольник и для
последнего узла. При правильности произведенных ранее построений
этот силовой треугольник, построенный для известных уже сил, дол-
должен получаться замкнутым.
§ 33. СПОСОБ МАКСВЕЛЛА—КРЕМОНЫ
Примененный нами способ вырезания узлов фермы для графичес-
графического определения усилий в ее стержнях, несмотря на всю его теорети-
теоретическую простоту, обладает и существенными недостатками. Если чис-
число узлов фермы достаточно велико (а оно на практике может быть
порядка десяти-двадцати), то при пользовании этим способом нам при-
приходится строить большое количество замкнутых силовых треуголь-
треугольников (или многоугольников). При этом построение усилий нам прихо-
приходится повторять дважды для каждого стержня, так как все стержни
Глава VI. Графическая статика и методы расчета плоских ферм 149
фермы входят своими концами в два узла. Это обстоятельство способ-
способствует накоплению чертежных ошибок, и, кроме того, по крайней
мере половина проделанной при этом работы будет лишней.
Способ Максвелла—Кремоны сводится к построению единой диа-
диаграммы*, дающей возможность графически определить усилия во всех
стержнях фермы, причем усилие в каждом из них строится только
один раз.
При построении диаграммы Максвелла—Кремоны нужно строго
придерживаться определенных правил. Эти правила рассмотрим на
примере построения диаграммы для симметричной фермы, изображен-
изображенной на рис. 108, а.
Прежде чем приступить к построению диаграммы Максвелла—
Кремоны, определяют сначала опорные реакции графическим или ана-
аналитическим методом. Для рассматриваемой фермы, на которую дей-
действует одна вертикальная сила F1=2F, опорные реакции определяют-
ся устно (N1=N2=-k=F), о чем уже подробно говорилось в § 32.
Условимся изображать действующие на ферму заданные силы и опор-
опорные реакции так, чтобы все они проходили вне контура фермы. Напри-
Например, сила Fx изображена в рассматриваемом примере так, что в узле
IV находится конец вектора Flt а не начало его.
Области, заключенные между линиями действия внешних сил
(т. е. заданных сил и опорных реакций) и внешним контуром фермы,
называют внешними областями. Области же, расположенные внут-
внутри фермы и ограниченные ее стержнями, называют внутренними
областями. Внешние и внутренние области будем обозначать боль-
большими буквами. В рассматриваемом примере имеем три внешние об-
области А, В, С и две внутренние области D, Р (рис. 109, а).
При построении диаграммы Максвелла—Кремоны начало и конец
каждой силы (как активной, так и силы реакции стержня) будем обоз-
обозначать малыми буквами, соответствующими наименованиям областей,
которые при обходе по часовой стрелке** фермы или ее узлов лежат сле-
слева и справа от силы. Так, при принятом на рис. 109, а обозначении об-
областей сила Fx должна иметь на диаграмме Максвелла—Кремоны обо-
обозначение ab (а не Ьа). Точно так же силы Nx и jV2 должны иметь обозна-
обозначения соответственно са и be. Реакции Sr и S2 стержней / и 2, сходя-
сходящихся в узле /, соответственно должны обозначаться ad и dc и т. д.
Определив опорные реакции, необходимо переходить к построению
в выбранном масштабе из действующих на ферму активных сил и
* Эта диаграмма носит название диаграммы Максвелла—Кремоны по имени
английского физика Максвелла A831 —1879) и итальянского геометра Кремоны
A830—1903). Максвелл дал теоретическое обоснование этого способа, а Кремона
этот способ применил на практике к расчету ферм.
** Направление обхода фермы и ее узлов, конечно, условно. Можно было
бы условиться обходить ферму и ее узлы и против часовой стрелки.
150
Раздел I. Статика
опорных реакций силового многоугольника. Этот многоугольник всегда
будет замкнутым, так как все приложенные к ферме силы находятся
в равновесии. Заметим, что построение силового многоугольника ак-
активных сил и опорных реакций можно начинать с любой из этих сил,
но все остальные силы необходимо строить в том порядке, в котором
мы их встречаем, обходя контур фермы по ходу часовой стрелки.
Так как в рассматриваемом примере все силы Fv Nt и
JV параллельны, то на диаграмме Максвелла—Кремоны (рис. 109, б)
отрезки ~ab, са и be, изображающие эти силы, располагаются на одной
прямой.
Построив замкнутый силовой многоугольник активных сил
и реакций опор, переходим к
последовательному построению
на диаграмме Максвелла—Кре-
Максвелла—Кремоны замкнутых силовых мно-
многоугольников для сил, сходя-
сходящихся в каждом узле фермы,
начиная их построение с узла,
где сходятся только два стерж-
стержня. При этом построение каж-
каждого силового многоугольника
следует начинать с известных
сил и наносить все силы (как
активные силы и опорные реак-
реакции, так и реакции стержней) в
том порядке, в каком они встре-
встречаются при обходе данного узла по
ходу часовой стрелки. Для рассматриваемой фермы узлами, в которых
сходятся только два стержня, являются узлы / и //. Рассмотрим узел /.
К этому узлу приложены три силы: известная опорная реакция Nl=
——F и неизвестные реакции Sx и S2 двух сходящихся в этом узле
стержней / и 2. Сила N^ca на диаграмме (рис. 109, б) уже нанесе-
нанесена. Для определения же неизвестных реакций St и S2 стержней 1 и 2
проводим из точки а диаграммы прямую, параллельную стержню 1,
а из точки с диаграммы — прямую, параллельную стержню 2, до пе-
пересечения этих линий в некоторой точке. Эту точку необходимо обо-
обозначить буквой d, как являющейся общей в обозначении искомых реак-
реакций ad и dc стержней 1 и 2. Таким образом, для узла / замкнутый си-
силовой треугольник cade, дающий модуль и направление искомых ре-
реакций стержней 1 и 2, построен. Обходя этот треугольник в направ-
направлении опорной реакции Л^, т. е. в направлении от с к а, видим, что
реакции стержней J и 2 изображаются векторами ad и dc, что соот-
соответствует принятому нами обозначению.
Построив замкнутый силовой многоугольник для одного узла, не-
Рис.
Глава VI. Графическая статика и методы расчета плоских ферм 151
обходимо переходить к следующему узлу и притом опять к такому,
в котором сходятся только два стержня с неизвестными еще реакци-
реакциями. Для рассматриваемой фермы такими узлами являются узлы //
и ///. Рассмотрим узел ///. В этом узле сходятся три стержня 2, 3 и
5, реакции которых должны быть обозначены при обходе данного узла
по часовой стрелке так: cd, dp и рс. При этом реакция стержня 2 на
узел / нами уже определена (она изображается на диаграмме
вектором dc). Реакция этого же стержня на узел /// равна по модулю
его реакции на узел /, но противоположна по направлению. Поэтому
реакцию данного стержня на узел /// следует изобразить на диаграм-
диаграмме вектором cd. Для определения неизвестных реакций dp и рс про-
проводим на диаграмме из точки d прямую, параллельную стержню 3,
а из точки с — прямую, параллельную стержню 5, до пересечения
этих линий в точке, которую нужно обозначить буквой р. Таким об-
образом, для узла /// замкнутый силовой треугольник cdpc, дающий
модуль и направление искомых реакций стержней 3 и 5, построен.
Теперь можно рассмотреть или узел //, или IV. Рассмотрим узел
//. К этому узлу приложены три силы: известная опорная реакция
Nz=bc, известная реакция ср стержня 5 на узел // и неизвестная еще
реакция pb стержня 4 на тот же узел //. Для построения замкнутого
силового треугольника ЬсрЬ и, следовательно, для определения модуля
и направления реакции рЪ остается лишь соединить точки р и Ъ. Ис-
Искомая реакция стержня 4 изобразится на диаграмме вектором pb.
Если построение диаграммы Максвелла—Кремоны выполнено до-
достаточно точно, то прямая pb на этой диаграмме должна оказаться па-
параллельной стержню 4.
Рассмотрим, наконец, последний узел IV. Мы видим, что замкнутый
силовой многоугольник всех сил, приложенных к этому узлу, на диа-
диаграмме уже построен (это будет многоугольник abpda).
Таким образом, диаграмма Максвелла—Кремоны для данной фер-
фермы полностью построена.
Рассмотрим теперь, как по диаграмме Максвелла—Кремоны опре-
определить, какие стержни сжаты и какие растянуты, а также модуль уси-
усилия в каждом из стержней фермы. Пусть, например, требуется опре-
определить модуль и характер усилия в стержне 2. Модуль этого усилия
определяется по диаграмме в принятом масштабе внешних сил отрез-
отрезком, соединяющим точки d и с. Для определения же характера этого
усилия необходимо определить по диаграмме направление реакции
стержня 2 на один из узлов, / или ///, которые он соединяет. Реакция
данного стержня на узел / изображается на диаграмме вектором dc.
Мысленно перенесем этот вектор на стержень 2 (рис. 109, а). Мы видих!,
что вектор dc направлен от узла /. Отсюда на основании сказанного в
§ 32 заключаем, что стержень 2 растянут. Ясно, что мы пришли бы
152
Раздел I. Статика
к тому же заключению, перенеся из диаграммы на стержень 2 направ-
направление его реакции cd на узел ///.
Реакция стержня / на узел / изображается на диаграмме вектором
ad. Этот вектор, если его мысленно перенести на стержень 1, будет на-
направлен к узлу /, и, следовательно, стержень / будет сжат. На диа-
диаграмме Максвелла — Кремоны принято изображать растягивающие
усилия тонкими, а сжимающие усилия, являющиеся для стержня
более опасными,— жирными или двойными линиями.
б]
Рис. ПО
После построения диаграммы усилий Максвелла—Кремоны по-
полезно составить сводную таблицу, отметив в ней величины и знаки
всех усилий, возникших в стержнях фермы (растягивающим усилиям
приписывается знак «плюс», а сжимающим — знак «минус»).
На рис. ПО приведен еще один пример построения диаграммы
усилий Максвелла—Кремоны. Если F1=2F, a F2~F, то опорные реак-
ции Nu и ^?i легко определяются аналитически из следующих уравне-
уравнений равновесия:
F
решая которые, получим
Xt=F; Yt=F; Nn=F.
Отсюда
/?г =
+ y\ =
f:
Глава VI. Графическая статика и методы расчета плоских ферм 153
Из диаграммы Максвелла—Кремоны видно, что усилие в стержне
5 равно нулю (нулевой стержень). Поэтому на этой диа-
диаграмме точки сир совпадают (ср=0). Однако стержень 5 выкинуть
нельзя, так как в данной ферме точно обеспечивается условие k=
=2«—3 и, следовательно, при отсутствии этого стержня ферма пре-
превратилась бы в механизм. Дело в том,_что стержень 5 не работает
лишь при действии на ферму сил Flt F2, R\ и Nu, но в случае действия
на эту ферму другой плоской системы сил он будет работать, т. е.
усилие этого стержня будет отлично от нуля.
§ 34. СПОСОБ РАЗРЕЗОВ ФЕРМЫ
В этом параграфе рассмотрим аналитический способ определения
усилий в стержнях фермы, называемый способом разрезов фермы,
или способом Pummepa.
Рис. 111
Применим этот способ к расчету фермы, изображенной на
рис._Ш, а. К этой ферме приложены две активные силы: вертикаль-
вертикальная Fj и горизонтальная/^. Размеры фермы указаны на рис. 111, б.
Требуется найти усилия в стержнях этой фермы.
Определим сначала опорные реакции. Неподвижная(шарнирная
опора / имеет две составляющие реакции: горизонтальную Хх и вер-
вертикальную^ . Подвижная же опора // имеет только вертикальную
реакцию Yn. Для определения этих опорных реакций составим три
уравнения равновесия всех действующих на ферму сил (активных
сил и опорных реакций) в форме
Е /и, (?,.) = - F1 a + F2.3 a + F2 h = 0;
154 Раздел I. Статика
Из этих уравнений находим
Переходим теперь к определению усилий в стержнях фермы. Для
этого мысленно разрежем ферму на две части, проведя сечение пгп,
например, через стержни 6,7 та 8. После этого удалим мысленно одну
из частей фермы, например левую, и рассмотрим оставшуюся правую
часть. Для того чтобы равновесие оставшейся части фермы не наруши-
нарушилось, необходимо согласно принципу освобождаемости заменить дей-
действие существовавших ранее связей их реакциями, т. е. реакциями
56,S7 и S8 перерезанных стержней б, 7 и 5 на узлы V и VII (рис. 111,6).
Реакция каждого стержня фермы может быть направлена только вдоль
стержня, от узла, если стержень растянут, и к узлу, если он сжат.
Заранее мы не знаем, какие из стержней растягиваются, а какие сжи-
сжимаются. Поэтому будем считать предварительно все стержни растяну-
растянутыми, т. е. будем направлять их реакции от узла, как показано на
рис. 111, б. Знак «минус» перед модулем найденной реакции стержня
будет показывать, что действительное ее направление обратно приня-
принятому, т. е. на то, что стержень сжат.
Таким образом, рассматриваемая часть фермы находится в равно-
равновесии под действием произвольной плоской системы из пяти сил:
F2, K2, S6, S7 и S8. Так как для произвольной плоской системы сил
можно составить только три независимых уравнения равновесия, то
производить сечение фермы нужно таким образом, чтобы при этом пере-
перерезалось не более трех стержней с неизвестными реакциями. Для
определения искомых реакций стержней удобнее всего составлять
уравнения равновесия в форме уравнений моментов, беря последова-
последовательно за центры моментов точки, в которых пересекаются два из
трех перерезанных стержней. При этом в каждое из этих уравнений
равновесия будет входить только одна неизвестная сила реакции пере-
перерезанного стержня. В тех случаях, когда плечи сил относительно цен-
центров моментов вычислить трудно, их можно находить графически,
вычертив схему рассматриваемой части фермы в определенном мас-
масштабе.
Если из трех перерезанных стержней два параллельны и, следова-
следовательно, точка пересечения их лежит в бесконечности, то вместо третье-
третьего уравнения моментов составляют уравнение проекций сил на ось,
перпендикулярную к параллельным стержням.
Пусть по условию задачи требуется определить реакцию перерезан-
перерезанного стержня 8, зная F2 и F2 и не определяя неизвестных реакций S6
и S7 двух других перерезанных стержней 6 и 7. Для этого нужно со-
составить такое уравнение равновесия произвольной плоской системы
сил F2, Y2, S6, S7, S8, в которое неизвестные 56 и 57 не входили бы. Мы
Глава VI. Графическая статика и методы расчета плоских ферм 155
достигнем этой цели, если составим уравнение моментов относитель-
го точки V//, в которой пересекаются линии действия сил S6 и S7,
а именно:
s mvu (Fi) = S*h + Fth+Yt a = 0.
Из этого уравнения равновесия находим
A)
где F2, а и h — положительные числа. Если при этом и Уг будет поло-
положительным числом, то знак «минус», стоящий в правой части соотно-
соотношения A), указывает на то, что на самом деле реакция S8 имеет направ-
направление, обратное показанному на рис. 111, б, т. е. стержень 8 сжат.
Если же нам требуется определить усилие в стержне 6, не зная уси-
усилий в других стержнях G и 8), то нужно составить уравнение момен-
моментов относительно точки IV:
Из этого уравнения равновесия находим
s6 = Ak2.
Если К2>0, то56>0, и, следовательно, стержень 6 будет растянут.
Наконец, если нам при том же сечении фермы потребуется найти
S7, не зная Se и 58, то нельзя использовать уравнение моментов, ибо
силы Se и S8 параллельны (не пересекаются), и, следовательно, нет
той точки, относительно которой их моменты одновременно равнялись
бы нулю. Поэтому мы составляем уравнение проекции на ось, перпен-
перпендикулярную к силам Se и S8, а именно:
? У. = 57 cos а + Уг = 0.
Из этого уравнения равновесия находим
s = Х^_
7 COS a *
Если У2>0, то S7<0, и, следовательно, стержень 7 будет сжи-
сжиматься.
Преимущества изложенного способа перед графическими способа-
способами заключаются в том, что этот способ позволяет определить усилие в
любом стержне фермы независимо от усилий в прочих стержнях. А
применяя графические способы, нам для нахождения усилия в одном
156 Раздел I. Статика
определенном стержне требовалось найти усилия во всех стержнях,
сходящихся в последующих узлах.
Недостатки способа разрезов фермы заключаются в том, что точки
пересечения перерезанных стержней, относительно которых берутся
моменты, могут находиться и вне пределов чертежа. Поэтому нахожде-
нахождение моментов относительно этих точек будет представлять трудности.
На практике способ разрезов фермы применяют обычно в комбинации
со способом Максвелла—Кремоны, для того чтобы в случае отсутствия
узлов, содержащих только два стержня, найти усилие в каком-нибудь
стержне и после этого начинать обычным способом последовательное
построение диаграммы Максвелла—Кремоны. Кроме того, путем при-
применения способа разрезов фермы можно выборочно производить про-
проверку точности графического расчета фермы по способу Максвелла—
Кремоны.
Глава VII
ПРОИЗВОЛЬНАЯ ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ
И ТЕОРИЯ ПАР, КАК УГОДНО РАСПОЛОЖЕННЫХ
В ПРОСТРАНСТВЕ
§35. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ КАК ВЕКТОР
В случае произвольной плоской системы сил мы рассматривали мо-
момент силы относительно точки как алгебраическую величину, равную
произведению модуля силы на ее плечо, взятому со знаком «плюс» или
«минус» в зависимости от того направления, в котором сила стремится
вращать тело.
В случае же произвольной пространственной системы сил указания
только модуля момента силы относительно точки* и его знака для
полной характеристики вращательного действия силы недостаточно.
Взяв произвольную пространственную систему сил и выбрав какую-
нибудь точку в пространстве, можно провести через эту точку и через
линию действия каждой из сил в отдельности плоскость. Эти плоскости
у разных сил будут разными, т. е. они будут расположены под различ-
различными углами друг к другу. В этом случае силы, имеющие одинаковые
модули моментов относительно одной и той же точки, будут произ-
производить различные вращательные действия на тело, если плоскости,
проходящие через линии действия этих сил и выбранную в про-
пространстве общую точку, не будут совпадать. Поэтому при рассмотре-
рассмотрении произвольной пространственной системы сил необходимо так обоб-
обобщить понятие момента силы относительно точки, чтобы в определение
* Модуль момента силы относительно точки равен произведению модуля силы
на ее плечо.
Глава VII. Произвольная пространственная система сил и теория пар 157
этого понятия уже входило задание положения в пространстве плос-
плоскости, проходящей через линию действия силы и выбранную в про-
пространстве точку*. Положение плоскости в пространстве, как известно,
можно задать направлением перпендикуляра к этой плоскости. Таким
образом, в определение момента силы относительно точки должны вхо-
входить как модуль момента, так и указание
направления перпендикуляра к плоскости,
проходящей через линию действия силы и
через выбранную точку. Отсюда вытекает
следующее векторное определение момен-
момента силы F относительно точки О (рис. 112):
моментом, силы F относительно точки О
называется вектор, приложенный в точке
О, равный по модулю произведению модуля
силы на ее плечо и направленный по пер-
перпендикуляру к плоскости ОАВ, проходя-
проходящей через линию действия силыР и точку Рис. 112
О, в ту сторону, откуда вращение тела
силой представляется происходящим против часовой стрелки.
Обозначим момент силы F относительно точки О символом т0 (F).
Модуль этого момента \mo{F)\—Fd, где d — плечо силы, т. е. длина
перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы F.
Выразим теперь момент mo{F) силы F относительно точки О с по-
помощью векторного произведения rXF, где вектор г—О А называется
радиусом-вектором точки А приложения силы F относительно1 точки
О (рис. 112). Модуль этого векторного произведения (рис. 112)
\rXF\=Frsm[r, F) = Fd = 2 пл. А ОАВ. A)
Но модуль \то[р)\ вектора-момента то (?) силы/7 относительно точки
О тоже равен Fd или 2 пл. ДОЛВ, поэтому
\mo{F)\ = \7xF\. B)
Направлен же вектор гxF перпендикулярно к плоскости ОАВ в
ту сторону, откуда кратчайшее совмещение вектора г с вектором
силы F (если их отложить от одной точки) видно происходящим против
хода часовой стрелки. Но точно так же направлен и вектор-момент
* В случае же произвольной плоской системы сил выбранный центр момен-
моментов и линии действия всех сил лежат в одной плоскости. Поэтому необходимость
задавать каждый раз положение плоскости, проходящей через центр моментов
и линию действия силы, отпадает.
158
Раздел I. Статика
mo{F) силы F относительно точки О- Рассматривая модуль вектора-
момента mo(F), определяемый формулой B), и принимая во внимание
его направление, приходим к заключению, что вектор-момент mo(F)
можно выразить с помощью векторного произведения rXF, т. е.
то (?) - 7х F. C)
Таким образом, момент силы относительно точки равен вектор-
векторному произведению радиуса-вектора точки приложения силы на век-
вектор силы.
§36. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ
При изучении произвольной пространственной системы сил, кроме
уже введенного понятия о векторе-моменте силы относительно точки,
необходимо ввести еще понятие о моменте силы относительно оси.
Рис. 113
Рассмотрим тело, которое может вращаться вокруг некоторой
оси 2 (рис. 113)*. Пусть на это тело действует сила F~, приложенная в
точке А тела. Проведем через точку А плоскость ху, перпендикуляр-
перпендикулярную к оси вращения тела г, которая пересекается с плоскостью ху
в точке О.
Разложим данную силу F на две составляющие: ~FZ, параллельную
* Очертание тела, как не имеющее значения для вывода, мы здесь не изо-
изображаем.
Глава VII. Произвольная пространственная система сил и теория пар - 159
оси z, и Fzy, лежащую в плоскости ху и являющуюся одновременно
проекцией силы F на эту плоскость. Составляющая Fz, очевидно, не
может повернуть тело вокруг оси z. Эта составляющая только стре-
стремится сдвинуть тело вдоль оси z. Отсюда следует, что весь вращатель-
вращательный эффект, создаваемый данной силой F, по отношению к оси z,
будет одинаков с вращательным эффектом, создаваемым ее составляю-
составляющей Fxy по отношению к оси 2 или точке О. Момент силы относитель-
относительно оси определяется так:
mt{Fxy)=m0{Fxy) = ±Fxji, A)
где символ tnJJF) обозначает момент данной силы F относительно оси
г; mz(Fxy) — момент составляющей F ху силы F относительно той же
оси z; tno(Fху)— момент составляющей Fху силы F относительно точки
О, в которой ось z пересекается с перпендикулярной к ней плоскостью
ху*.
Таким образом, момент силы относительно оси равен моменту
проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к данной оси,
относительно точки пересечения оси с плоскостью.
Момент силы F относительно оси считают положительным, если с
положительного конца оси поворот, совершаемый составляющей.Fxy
этой силы F, виден происходящим против хода часовой стрелки, и
отрицательным, если по ходу часовой стрелки.
Момент силы относительно оси вполне определяется своей абсолют-
абсолютной величиной и знаком и является, следовательно, алгебраической,
а не векторной величиной**.
Для того чтобы найти момент какой-либо силы F относительно ка-
какой-нибудь оси 2, нужно: 1) провести плоскость ху, перпендикулярную
коси 2; 2) спроектировать силу F на эту плоскость и вычислить модуль
Fху ее составляющей Fху; 3) опустить из точки О пересечения оси г
с плоскостью ху перпендикуляр на линию действия составляющей Fxy
и найти его длину d, т. е. плечо силы Fху относительно точки О; 4) вы-
вычислить произведение Fxyd; 5) определить знак момента силы Fху отно-
относительно точки О.
Из определения момента силы F относительно данной оси z сле-
следует:
* Из рис. 113 видно, что при вычислении момента силы относительно точки
по формуле A) плоскость ху можно проводить через любую точку оси г.
** Рассмотренное в § 11 понятие момента силы относительно точки пред-
представляет собой момент силы, лежащей в плоскости Оху относительно оси Ог.
Поэтому для произвольной плоской системы сил было достаточно принять оп-
определение момента силы относительно точки как алгебраическую величину.
160
Раздел I. Статика
1. Момент силы F относительно данной оси z не изменяется при
переносе точки А приложения этой силы вдоль линии ее действия,
так как при этом не изменяется ни проекция Fxy силы F на плоскость
ху, ни ее плечо d.
2. Момент силы F относительно данной оси z равен нулю в тех слу-
случаях, когда линия действия этой силы и ось z лежат в одной плоскости.
При этом возможны следующие частные случаи: а) сила F параллель-
параллельна оси z (в этом случае Fxy=0); б) линия действия силы F пересекает
ось z (в этом случае d=0).
3. Если сила F перпендикулярна к оси z, то модуль ее момента от-
относительно этой оси равен произведению модуля силы на кратчайшее
расстояние между линией действия силы и осью.
§37. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ МОМЕНТОМ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО
ОСИ И МОМЕНТОМ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ, ЛЕЖАЩЕЙ
НА ЭТОЙ ОСИ
Пусть на тело действует приложенная в точке А сила F (рис. 114).
Момент этой силы относительно точки О определится, как мы знаем,
вектором mo{F), перпендикулярным к плоскости треугольника ОАВ
и по модулю равному удвоен-
удвоенной его площади*, т. е.
\mo{F)\ = 2 пл. АОАВ. A)
Проведя через взятую на оси
z точку О плоскость ху, перпен-
перпендикулярную к этой оси, и про-
проектируя на плоскость ху силу F,
найдем момент силы F относи-
• тельно точки О:
B)
= 2 пл. Л О А'В'.
Рис. 114
кость ху
равна
Но треугольник ОЛ'В'пред-
ставляет собой проекцию тре-
треугольника ОАВ на плос-
По известной из геометрии теореме площадь проекции
площади проектируемой фигуры, умноженной на
* См. формулы A, 2, § 35),
Глава VII. Произвольная пространственная система сил и теория пар 161
косинус угла между плоскостью этой фигуры и плоскостью проекции.
Угол между плоскостями треугольников О А В и О А'В' равен углу
между перпендикулярами к этим плоскостям, т. е. углу т между век-
вектором момента mo(F) и осью г.
Поэтому получим, что
пл. Л О А'В' = пл. А О АВ cos 4.
Подставляя это равенство в формулу B), находим
mz (F) = 2 пл. Л ОЛЯ cos т. C)
Проекция вектора-момента m0 (F) на ось z выразится так:
Подставляя в это равенство формулу A), найдем
прг [т0 (Р)) = 2 пл. Д ОАВ cos 7.
Сравнивая это равенство с формулой C), получим
mz{F) =^г[то{Щ, D)
т. е. момент силы F относительно оса г равен проекции на эту ось
вектора-момента силы F относительно произвольной тонки О, лежащей
на этой оси.
§38. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ МОМЕНТОВ СИЛЫ
ОТНОСИТЕЛЬНО КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ
Момент да иной силы F относительно точки О (рис. 114) определяет-
определяется, как мы уже знаем, по формуле
mo{F)=rxF, A)
где г — радиус-вектор точки А приложения силы F.
Формула разложения вектора mQ(F) по координатным осям х>
у и 2 будет иметь вид
м0 (f) =ПР* К> (Р)]Г + ПР* К {Р)]Т+ пРг [m0 {F)]k, B)
где i, /, k — единичные векторы координатных осей Ох, Оу и Oz.
12 Н„ Ф, Сахарный
62
Раздел I. Статика
Как известно из векторной алгебры, векторное произведение г X F
можно представить символически через определитель:
7 7 *
х у z
X Y Z
где х, у, z — координаты точки А приложения силы F, или проекции
радиус-вектора г точки А на оси координат Ox, Oy, Oz, а X, Y, Z —
проекции силы F на те же оси координат.
Таким образом, получим для вектора-момента силы F относитель-
относительно точки О, принимаемой нами за начало координат, следующее выра-
выражение:
i 1
х
X
у
Y
г
Z
Разлагая детерминант по элементам первой строки, получим раз-
разложение вектора mo(F) покоординатным осям в несколько ином виде:
mo{F) = {yZ-zY)T+ {zX~xZ)J+{xY~yX)k .
Сравнивая это равенство с формулой B), получим проекции векто-
вектора tno(F) на оси координат:
()] =yZ~ zY;
Но согласно формуле D, § 37) можно получить следующее аналити-
аналитическое выражение моментов силы F относительно координатных осей:
mx[F)=yZ-zY\
ту(Р) = zX—xZ-
С помощью этих формул момент силы относительно оси можно вы-
вычислить, зная проекции силы и координаты точки ее приложения.
Глава VII. Произвольная пространственная система сил и теория пар
163
Задача 27. Сила F расположена в плоскости ABCD, параллельной
координатной плоскости Oxz, и наклонена к горизонту под углом а;
при этом СВ=а, ОС^Ь (рис. 115). Определить момент силы F отно-
относительно каждой оси координат.
Решение. Найдем момент
mx(F) силы F относительно оси х.
Для вычисления mx{F) проекти-
проектируем силу F на плоскость Oyz;
получаем
Fyz = Fsma.
Плечо силы Fyz относительно
точки О равно Ь, а поворот ее с
конца оси х виден происходя-
происходящим по ходу часовой стрелки,
следовательно
m.
= — Ь F sin я.
Рис. 115
Момент mx{F) силы F относительно оси х можно вычислить анали-
аналитически по формуле
mx{F)=yZ-zY, D)
где под у и z будем понимать координаты точки В, для которой у—
=_й, 2=0*. _
Проекции силы F на оси г и у будут
Z = Fsina; Y = 0.
Подставляя эти значения в формулу D), получим тот же результат:
mx{F) = ~b Fsma.,
но только при этом знак момента получается в результате приме-
применения формулы D).
Найдем теперь момент my(F) силы F относительно оси у. Так как
сила F лежит в плоскости, перпендикулярной к оси у, то
my{F)=mc{F)=—F-CE,
* Так как х, у, г в формулах C) являются координатами любой точки на
линии действия силы F (точку приложения А силы F можно переносить вдоль
линии действия силы F), то для удобства вычислений следует выбирать точку
(х, у, г) так, чтобы одна или несколько координат ее обращались в нуль.
12*
164 Раздел I. Статика
где C?=fiCsina=asina— плечо силы F. Знак «минус» стоит потому,
что поворот силы F с конца оси у виден происходящим по ходу часо-
часовой стрелки.
Вычислим теперь my(F) аналитически по формуле
ту (?) =zX— xZ, E)
где z и х — координаты точки В, для которой 2=0, х=а.
Проекции силы F на оси х и z будут
Х = —fcosa; Z = Fsma.
Подставляя эти значения в формулу E), получим тот же результат
ту (F) =—a F sin a,
при этом знак момента получается в результате применения формулы E).
Наконец, найдем момент mz(F) силы F относительно оси z. Проек-
Проекция силы F на плоскость ху равна
Fxy — F cos a,
а ее плечо относительно точки О равно Ь. Поворот силы Fху с конца
оси z виден происходящим по ходу часовой стрелки, следовательно:
тг (F) = —bF cos a.
Вычислим теперь tnz(F) аналитически по формуле
mz{F) = xY~yX, F)
где под хну будем понимать координаты точки D, для которой х=0
у=—ь. Проекции силы F на оси Ох и Оу будут
Х = — Fcosa; Y = 0.
Подставляя эти значения в формулу F), получим тот же результат
тг (F) = —b Fcosa,
при этом знак момента также получается в результате применения
формулы F).
Задача 28. В плоскости ABCD, параллельной координатной оси
z, расположена сила F, образующая с вертикалью угол <р (рис. 116).
При этом АЕ=п; DE=m. Определить моменты силы F относительно
координатных осей.
Глава VII. Произвольная пространственная система сил и теория пар
165
Решение. Момент mx{F) силы F относительно оси х равен нулю,
так как линия действия силы F пересекает ось х.
Найдем момент my(F) силы F относительно оси у. Чтобы найти my(F),
необходимо разложить силу F на две составляющие Ft и Fa (рис. 116).
По теореме Вариньона о моменте равнодействующей будем иметь
Если спроектируем на ось
Оу это векторное равенство, то,
принимая во внимание зависи-
зависимость между моментами силы
относительно данной точки и
относительно какой-нибудь оси,
проходящей через эту точку
(§ 37), получим
my{F~)=my{F1)+my[F2).
Момент tny(F^ силы Ft отно-
относительно оси Оу будет'равен ну-
нулю, так как линия действия си-
силы F1 пересекает ось Оу. По
этому будем иметь
Рис. 116
силы F2 относительно оси Оу найдем, спроектиро-
спроектировав силу F на плоскость Охг, перпендикулярную к оси Оу, и умножив
эту проекцию X2=F2sma — F sinp-since на плечо АВ. При этом будем
иметь
тпу{р) =F sin 9 sin я АВ.
Но из треугольников ADE и ABC имеем
m
sin a =
Отсюда следует, что
и АВ = AD ctg 9 =
+ n2 ctg <p.
my[t) = .
¦.ут?-\-пг ctg 9 = F m cos 9.
Этот результат можно было бы получить аналитически по формуле
т„ (f) ~zX— xZ.
166 Раздел I. Статика
Проекция Z силы F на ось z
Z = —Fcos9-
Однако проекцию X силы F на ось Ох определить значительно
труднее, поэтому нужно стремиться к тому, чтобы в формуле A) исчез
член, содержащий X. Для этого выбираем на линии действия силы F
точку С, для которой х=т, 2=0. Тогда
т
(F) = — т{— F cos 9) = F tn cos 9,
т. е. расчет по аналитической формуле A) дает тот же результат.
Найдем теперь момент mz(F) силы F относительно оси Ог. Для
нахождения tnjf) воспользуемся разложением силы F на составляю-
составляющие Ft и F2. При этом
Так как сила Ft параллельна оси Ог, то тг(/71)=0. Сила F2 лежит в
плоскости ADE, перпендикулярной к оси Oz, а потому
mz[F) = тг[Т2) = —Ft-EM.
Непосредственно из рис. 116 следует, что
F2==Fsin9; EM = nsma = — пт
поэтому окончательно имеем
т
(F) = —Fsmf
п т
Y
§39. ТЕОРЕМА О ПЕРЕНОСЕ ПАРЫ В ДРУГУЮ ПЛОСКОСТЬ,
ПАРАЛЛЕЛЬНУЮ ПЛОСКОСТИ ДЕЙСТВИЯ ЭТОЙ ПАРЫ
Докажем теорему: действие пары на твердое тело не изменится,
если ее перенести в любую другую плоскость, связанную с твердым телом
и параллельную плоскости действия этой пары.
Пусть на твердое тело действует пара (Fv Ft') с плечом АВ, лежащая
в плоскости Яг (рис. 117). Проведем плоскость Я2, параллельную
плоскости Пъ и возьмем в ней отрезок CD, равный и параллельный
отрезку АВ. Приложим в точках С и D по две взаимно уравновешиваю-
уравновешивающиеся силы F2, F3' и F\, F3. Эти силы возьмем параллельными силам
данной пары и равными им по модулю, т. e.F2i'=F2=F3'=F3=F1' =
F
Глава VII. Произвольная пространственная система сил и теория пар 167
Очевидно, что
так как
F2, F'2, F3,
со
F\),
F31 F) со 0.
Рис. 117
Равнодействующая R' па-
параллельных, направленных в
одну сторону и равных по моду-
модулю сил F/ и F3' им параллель-
параллельна, направлена в сторону дей-
действия этих сил и проходит через
середину отрезка ВС. При этом
R'=2Fl. Равнодействующая R
параллельных, направленных в
одну сторону и равных по моду-
модулю сил Fx и ^з также им паралле-
параллельна, направлена в сторону дей-
действия этих сил и проходит через
середину отрезка AD. При этом
R=2FV Заметим, что фигура
ABCD является параллелограм-
параллелограммом, диагонали которого ВС и
AD делятся в точке пересечения
О пополам. Таким образом, си.
лы R и R' равны по модулю и
направлены в противоположные стороны. Следовательно, силы R
и R' как взаимно уравновешенные можно отбросить. В результате ле-
лежащая в плоскости П1 пара (Fv Fx') действительно заменяется такой
же парой (F2, Fz'), но лежащей в плоскости Я2. Следовательно, теорема
доказана.
§40. МОМЕНТ ПАРЫ КАК ВЕКТОР
При рассмотрении пар, не лежащих в одной плоскости, для полной
характеристики вращательного действия пары на тело указания толь-
только абсолютной величины момента и его знака недостаточно, так как
вращательное действие пары на тело зависит еще и от направления в
пространстве плоскости действия пары. Поэтому принятое в § 14 оп-
определение момента пары следует дополнить указанием направления
в пространстве плоскости действия пары. Последнее определяется,
очевидно, направлением перпендикуляра к плоскости действия пары.
Следовательно, в случае пар, не лежащих в одной плоскости, для ха-
характеристики вращательного действия на тело каждой из пар необ-
необходимо задать: 1) модуль момента пары; 2) направление перпендику-
168 Раздел I. Статика
ляра к плоскости действия пары и 3) направление вращения пары в
ее плоскости. Это приводит к следующему определению момента
пары: моментом пары называется вектор, модуль которого равен мо-
модулю момента пары, т. е. произведению модуля одной из ее сил
на плечо, и который направлен перпендикулярно к плоскости действия
пары в ту сторону, откуда поворот тела данной парой виден проис-
происходящим против хода часовой стрелки (рис. 118).
Момент пары, или вектор-момент пары, будем обозначать буквой т.
Так как пару можно перемещать как угодно в ее плоскости действия и
переносить из этой плоскости в любую другую плоскость, ей парал-
параллельную, то точка приложения вектора-момента т пары безразлична.
Поэтому вектор-момент т пары представляет собой свободный вектор.
На рис. 119 показано различное положение вектора-момента т пары
<fi, Fx').
Легко видеть, что вращательное действие пары на тело действитель-
действительно определяется ее вектором-моментом т, так как, проведя любую
плоскость, перпендикулярную к т, мы найдем плоскость действия
пары, измерив в принятом масштабе длину вектора т, определим мо-
модуль момента пары, а по направлению т установим направление вра-
вращения тела данной парой.
Докажем, что вектор-момент т пары (Fv F2) no модулю и направ-
направлению равен векторному произведению радиуса-вектора АВ (рис. 120)
на ту из сил F*, этой пары, к началу которой направлен радиус-вектор
АВ, т. е. АВ xF2.
В самом деле,
г| = AB-F2sma = F2d = m,
т. е. модуль векторного произведения АВХ F2 равен модулю вектора-
момента т пары (Flt F2). При этом вектор АВ XFa, так же как и вектор-
момент т пары (Fv F2), направлен по перпендикуляру к плоскости
Глава VII. Произвольная пространственная система сил и теория пар
169
действия пары (Fv F2) в ту сторону, откуда вращение пары (Fl5 F2)
видно совершающимся против хода часовой стрелки. Следовательно,
m = А~В XF2l A)
что и требовалось доказать.
Очевидно, что по модулю вектор-момент пары (Fb F2) равен вектору-
моменту одной из ее сил относительно точки, где приложена другая си-
сила, т. е. m=\mA(F^\=\mB{F^\; по направлению же векторы m, m^(F2)
и mB(Fi) совпадают (рис. 120). Таким образом, имеем
m = mB (Fi) = mA (F2). B)
Рис. 119
Рис. 120
Докажем теперь, что вектор-момент пары равен геометрической
сумме векторов-моментов сил, составляющих эту пару, относительно
произвольной точки О пространства.
Рассмотрим для этого в плоско-
плоскости Я (рис. 121) силь^! и F2=—F1(
образующие пару (Fv F2), и обоз-
обозначим через гх и г2 радиусы-векто-
радиусы-векторы точек А и В приложения этих
сил.
Векторы-моменты сил Ft и F2
пары (Flt F2) относительно любой
точки О пространства можно за-
записать так:
"о \г\) =гх х
m
O\'2J
11 Н. Ф. Сахарный
= r2X
0
Рис. 121
170 Раздел I. Статика
Отсюда геометрическая сумма векторов-моментов сил данной пары
относительно точки О будет
mo
{F2) = — rix
Мы видим, что эта геометрическая сумма векторов-моментов пред-
представляет вектор, не зависящий от выбора точки О.
Так как г2—г1=АВ=г, то эта сумма принимает вид
т0 (Fi) + то {F2) = ^X F2 = ABxF2,
где АВ XF2— вектор-момент т рассматриваемой пары. Это и доказы-
доказывает, что
т = mo{Fi) + mo{F2).
Заметим, что проще всего вычислять вектор-момент пары (Flt F2)
для точки, лежащей на линии действия одной из сил, составляющих
пару. В самом деле, определим вектор-момент т этой пары, например
для точки Л, лежащей на линии действия силы Ft (рис. 121). Тогда
вектор-момент силы Fx относительно точки А будет равен нулю, и
нахождение вектора-момента т пары {Fx, F2) сведется к нахождению^
вектора-момента силы F% относительно точки А. Действительно,
т = тА (Fi) + тА (?2) = тА (F2),
так как mA(Fi)=0. Но mA(F2)=rXF2, поэтому
т = тА [F2) = г х ^2.
т. е. мы непосредственно приходит к формуле A).
§41. УСЛОВИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДВУХ ПАР
Условие эквивалентности двух пар можно теперь выразить в сле-
следующем общем виде: две пары эквивалентны, если их векторы-моменты
тхи т2 геометрически равны.
Действительно, из условия параллельности векторов-моментов тх
и т2 следует, что плоскости действия данных пар параллельны. Обе
эти пары можно считать приведенными к одинаковым параллельным
плечам, а следовательно, и равным по модулю и параллельным силам.
На основании доказанной в § 39 теоремы одна из этих пар может быть
перенесена в плоскость действия второй пары. Кроме того, из условия
равенства модулей векторов-моментов mt и тг следует, что данные пары
имеют численно равные моменты. Так как по условию векторы-моменты
Глава VII. Произвольная пространственная система сил и теория пар 171
тх и т2 направлены в одну сторону, то пары имеют одинаковое на-
направление вращения. Но из § 15 мы знаем, что две пары, лежащие в
одной плоскости действия и имеющие одинаковые по численному
значению и по направлению вращения моменты, эквивалентны. Сле-
Следовательно, и рассматриваемые нами пары тоже эквивалентны.
§42. СЛОЖЕНИЕ ПАР, ЛЕЖАЩИХ В РАЗНЫХ ПЛОСКОСТЯХ.
УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ ПАР
Докажем следующую основную теорему о сложении системы пар,
лежащих в разных плоскостях: система пар, лежащих в разных плос-
плоскостях, эквивалентна одной паре с вектором-моментом, равным гео-
геометрической сумме векторов-моментов слагаемых пар.
Рассмотрим сначала сложение
двух пар, лежащих в пересекаю-
пересекающихся плоскостях П1 и Я2 с
векторами-моментами т± и т2
(рис. 122). Приведем эти пары
к общему плечу. Для этого на
линии пересечения плоскостей
П1 и Я2 выберем произвольный
отрезок АВ и, перемещая каж-
каждую из пар в ее плоскости дейст- Рис-
вия, приведем их к общему плечу
АВ = ry=tjr, TAeFvF1'\i F2, F2'~соответственно силы первой и второй
пары.
Сложив по правилу параллелограмма силыFx и F2', приложенные в
точке А , получим равнодействующую R'. Точно так же, сложив силы
Fx и F2, приложенные в точке В, получим равнодействующую R~.
Силы R' и R равны по модулю, параллельны (вследствие равенства
и параллельности соответствующих сторон параллелограмма сил)
и направлены в противоположные стороны. Таким образом, система
двух данных пар (Fx, Fx) и (F2, F'2) приводится к одной равнодействую-
равнодействующей паре (R, R'), лежащей в некоторой плоскости Я, несовпадающей
ни с одной из плоскостей Пх и Я2. Найдем вектор-момент т пары (R ,
R'). Так как R=F1-\-F2, а вектор-момент всякой пары, в том числе и
пары (R , R'), равен вектору-моменту одной из ее сил относительно
точки приложения другой силы, то
m = TBx R =АВ X (F, + F2) =ABXF1 + A~BXF~2.
Но ABxFx-=m, a ABxF2=m2, поэтому окончательно получим
т = mi + т2, A)
И*
172
Раздел I. Статика
т. е. вектор-момент пг равнодействующей пары по модулю и направле-
направлению изображается диагональю параллелограмма (рис. 122), построен-
построенного из векторов-моментов слагаемых пар. В этом и состоит доказатель-
доказательство теоремы о сложении двух пар, лежащих в пересекающихся плос-
плоскостях.
Если на тело действуют п пар, лежащих в разных плоскостях, то,
складывая эти пары в последовательном порядке и применяя каждый
раз теорему о сложении двух пар A), мы установим, что эта система пар
заменится одной равнодействующей парой с вектором-моментом
т =
B)
i=\
где щ, тг,
, z
тп— векторы-моменты слагаемых пар.
При сложении нескольких
пар, лежащих в разных плос-
плоскостях, строят из слагаемых век-
векторов-моментов тх, тг тп
многоугольник, замыкающая
сторона которого будет изобра-
изображать вектор-момент т равно-
равнодействующей пары (рис. 123).
Если слагаемые пары распо-
расположены в одной плоскости или в
параллельных плоскостях, то в
этом случае векторы-моменты
слагаемых пар будут направлены
по одной прямой, перпендику-
перпендикулярной к этой плоскости, и их
сложение сведется к алгебраичес-
алгебраической операции (см. § 16).
Так как система пар, лежащих в разных плоскостях, заменяется
одной равнодействующей парой с вектором-моментом
Рис. 123
m =
C)
то очевидно, что для равновесия этих пар необходимо и достаточно,
чтобы вектор-момент этой равнодействующей пары был равен нулю,
т. е.
D)
или
E)
Глава VII. Произвольная пространственная система сил и теория пар
173
Таким образом, для равновесия системы пар, лежащих в разных
плоскостях, необходимой достаточно, чтобы равнялась нулю геометри-
геометрическая сумма векторов-моментов составляющих пар, или, иначе, чтобы
многоугольник, построенный из этих векторов-моментов, был замкнут.
Из формулы D) следует, что модуль т вектора-момента т равнодей-
равнодействующей пары должен равняться нулю, т. е. т=0. Последнее сог-
согласно формуле D) будет иметь место только тогда, когда тх=0, ту=0
и mz=0.
Отсюда согласно формуле E) получаем аналитическое условие рав-
равновесия системы пар, лежащих в разных плоскостях, в следующей
форме
ix " * iy * iz * ^ /
§43. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ
СИЛ К ОДНОЙ СИЛЕ И К ОДНОЙ ПАРЕ
Если линии действия сил данной системы расположены в разных
плоскостях, не пересекаются в одной точке и непараллельны между
собой*, то такая система сил называется произвольной простран-
пространственной системой сил.
a
Рис. 12
Задача о приведении произвольной пространственной системы сил
к силе и паре, аналогичная задаче, рассмотренной в § 18, решается с
помощью теоремы о параллельном переносе силы. Предположим, что
к твердому тел_у приложена произвольная пространственная система
сил Flt F2, ..., Fn (рис. 124, а). Выберем произвольную точку О, при-
принадлежащую телу, в_ качестве центра приведения. Приложим к нему
две силы Fl'=F1 и F1"=—^/(рис. 124, б). От приложения таких двух
* Но некоторые из них могут пересекаться в одной точке и могут быть па-
параллельны между собой.
74 Раздел I. Статика
уравновешивающих друг друга сил состояние тела не нарушится.
Систему сил Flt F\hFmomho рассматривать как силу/7^, приложен-
приложенную в центре приведения О, и пару сил {Fv F\). Следовательно, вместо
ранее имевшейся одной силы Flt приложенной в точке Ах, имеем теперь
силу i7/, приложенную в центре приведения О, т. е. как бы силу^х,
но перенесенную параллельно самой себе в центр приведения О, и
присоединенную пару (Fv Fi") с вектором-моментом тх*. При этом
вектор-момент т1 присоединенной пары {Fx, F"^) равен вектору-мо-
вектору-моменту mO(F^j приложенной в точке Лх силы Fx относительно центра
приведения О, т. е. m1=mo(F-s).
Применяя аналогично теорему о параллельном переносе силы ко
всем другим силам, вместо сил Flt F2, .... Fn, приложенных в разных
точках Av А2 Ап тела, получим (рис. 124, а) систему сходящихся
сил:
К =^ь % = F2,..,F'n = Fa., A)
приложенных в центре приведения О, и систему присоединенных пар
[Flt PS), (F2, F2") (Fn, F"n), векторы-моменты которых будут равны
m1=m0(Fi), m2 = mo[F2), ¦¦¦ ,~mn = tn0 (?„). B)
Приложенные к центру приведения О сшы F\, F'2,...t F'n можно
сложить по правилу силового многоугольника и, следовательно, за-
заменить одной эквивалентной им силой R', равной их геометрической
сумме и приложенной в том же центре приведения О. При этом
R' = Е F", ,
или, согласно равенствам A),
Ж = S Ft. C)
Так же как и для произвольной плоской системы, вектор R', рав-
равный геометрической сумме всех сил произвольной пространственной
системы сил, называется главным вектором этой системы. Говоря,
что вектор R' есть главный вектор данной системы сил Fi, F2,..., Fn,
а не равнодействующей силой той же системы сил, мы подчеркиваем,
что главный вектор R' не может заменить действие на тело системы
сил Flt Fj Fn, т. е. он не эквивалентен этой системе сил. Главный
вектор R' является равнодействующей системы сил F\,F\ ~F'n,
а не заданной системы сил Flt F2, ..., Fn.
* Заметим, что рис. 124, б равносилен рис, 124, е.
Глава VII. Произвольная пространственная система сил и теория пар 175
Чтобы сложить все полученные присоединенные пары, надо геомет-
геометрически сложить векторы-моменты этих пар. В результате система пар
заменится одной парой, вектор-момент которой равен геометрической
сумме векторов-моментов присоединенных пар:
Мо = Е Оть
или, согласно равенствам B),
() D)
где hmo(ti) есть геометрическая сумма векторов-моментов сил дан-
данной системы Flt F2, ..., Fn относительно центра приведения О.
Вектор Мо у равный геометричес-
геометрической сумме векторов-моментов всех
сил произвольной пространственной
системы сил относительно центра при-
приведения О, называется главным векто-
вектором-моментом этой системы сил от-
относительно того же центра приведе-
приведения О. Заметим, что так как силы
данной системы Fly F2, ..., Fn распо-
расположены в пространстве совершенно
произвольно, то главный вектор-мо-
вектор-момент Мо по отношению к главному
вектору R' может быть направлен под
каким угодно углом (рис. 125). рис .—
Таким образом, мы доказали сле-
следующую теорему: произвольную про-
пространственную систему сил, действующих на твердое тело, в об-
общем случае можно заменить одной силой, равной главному вектору R'
системы и приложенной в произвольно выбранном центре приведения О,
и одной парой с вектором-моментом, равным главному вектору-моменту
Мо системы относительно центра приведения О (рис. 125).
Из доказанной теоремы следует, что две произвольные простран-
пространственные системы сил, имеющие одинаковые главные векторы и глав-
главные векторы-моменты, эквивалентны. Следовательно, для задания
произвольной пространственной системы сил, действующих на твер-
твердое тело, достаточно задать ее главный вектор R' и главный вектор-
момент Мо относительно данного центра приведения О.
Векторы R' и Мо можно определить и аналитически. Примем за
начало координат центр приведения О (рис. 125). По теореме о проек-
проекциях геометрической суммы векторов на ось будем иметь следующие
выражения для проекций главного вектора R'=I>F[ на оси координат:
176
Раздел I. Статика
Отсюда, согласно формулам D, 5, § 8), находим модуль и направ-
направление главного вектора:
' = ]/ (Е XJ + (Е Yf + (Е ZJ ;
cost/?', k
R'
F)
G)
По той же теореме о проекциях геометрической суммы на ось полу-
получим проекции на оси координат и главного вектора-момента
МОх =
= Е пру [т0
или, согласно равенству D, § 37)
Мо* =
i); МОу = Е /иу (F.); М02 = Е тг (F,). (8)
Отсюда аналогично находим модуль и направление главного
вектора-момента Мо '¦
Мо =
тх
[Е
м
Ox
:(Ft) .
; cos ( Af0, / =
[ЕтЛ?;)]2;
(9)
A0)
§44. ИЗМЕНЕНИЕ ГЛАВНОГО ВЕКТОРА-МОМЕНТА ПРИ ПЕРЕМЕНЕ
ЦЕНТРА ПРИВЕДЕНИЯ
Предположим, что в результате приведения произвольной про-
пространственной системы сил Fv F2, ..., Fn к какому-нибудь центру О
мы получили силу, равную главному вектору R'=I1Fi, приложенному
в центре приведения О, и пару, вектор-момент которой равен главному
вектору-моменту Мо =Smo(/7i) относительно этого центра приве-
Глава VII. Произвольная пространственная система сил и теория пар
177
дения (рис. 126). При переносе центра приведения О в новый центр
приведения О* главный вектор, очевидно, сохраняет свой модуль и
направление. Главный же вектор-момент изменится, так как при пере-
перенесении каждой силы параллельно
самой себе из центра О в новый центр
О* будет прибавляться пара. Найдем
это изменение. Пусть сила Ft данной
системы приложена в точке At. Пусть,
как показано на рис. 126, rt—радиус-
вектор точки Лг приложения силы
Fi относительно центра О, г'{— ради-
радиус-вектор точки Л; относительно но-
ноО*
вого центра
0*0 — радиус-век-
радиус-вектор данного центра О относительно
нового О*. При этом г'\=О*О-\- г\.
По определению вектора-момента
силы относительно точки имеем
Рис.
mO
{F,) = п X Ft = {0*0 + rt) X Ft = O*OX Ft + rt X Fh
или
где
{Ft) = 0*0 X
[Ft),
A)
i);i
Пользуясь этим результатом, можно найти связь между главным век-
вектором-моментом данной системы сил относительно нового центра О*
(обозначим его Мо*) и главным вектором-моментом М о той же системы
сил относительно прежнего центра О- Тогда согласно равенству A)
имеем
Мо. = E
Но ?mo(F~d=Mo,
чательно получаем
,) = L {О*ОХ Fi)
[F,).
Мо» = Мо + 0*0 XR',
или
поэтому окон-
оконB)
где mo*{R')— вектор-момент главного вектора R', приложенного в
прежнем центре приведения О относительно нового центра приведе-
приведения О*.
Равенство B) можно переписать в виде
~Мо =mo*[R'),
178 Раздел I. Статика
т. е. при изменении центра приведения главный вектор-момент сис-
системы сил изменяется на величину, равную вектору-моменту главного
вектора этой системы сил, приложенного в прежнем центре приведе-
приведения, относительно нового центра приведения.
§45. ИНВАРИАНТЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ
СИСТЕМЫ СИЛ
Величины, которые не изменяются при каком-либо преобразова-
преобразовании, называются инвариантными по отношению к этому преобразова-
преобразованию. Мы видим, что модуль и направление главного вектора не зави-
зависят от выбора центра приведения. Поэтому главный вектор является
первым инвариантом произвольной пространственной системы сил,
т. е.
где R*— главный вектор этой системы сил для нового центра приве-
приведения О*.
Что касается главного вектора-момента Мо, то его модуль и на-
направление изменяются с изменением центра приведения. Но скаляр-
скалярное произведение R'-Mo главного вектора R' и главного вектора-мо-
вектора-момента Мо не зависит от выбора центра приведения, т. е. является вто-
вторым инвариантом произвольной пространственной системы сил.
Докажем это (см. рис. 126). Для центра приведения О имеем
Глава VII. Произвольная пространственная система сил и теория пар 179
что и требовалось доказать.
Так как
Mo-R' = M0R'cos\R", Mo)=R' прд,[Mo ); ,
_ _. ,_.Л_
Mo-R =M0.R'ca&[R, Mo>) = Rr npw[
то согласно равенству B)
ПР«' [Мо») = nVw Що) = invar,
т. е. проекция главного вектора-момента Мо* относительно нового
центра приведения О* на направление главного вектора R' равна
проекции главного вектора-момента Моотносительно прежнего центра
приведения на то же направление.
Таким образом, для произвольной пространственной системы сил
мы имеем два инварианта: первым (векторным) инвариантом данной
системы сил является главный вектор этой системы, вторым (скаляр-
(скалярным) инвариантом этой системы является скалярное произведение
главного вектора на главный вектор-момент, или проекция главного
вектора-момента на направление главного вектора.
§46. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ
СИСТЕМЫ СИЛ К ДИНАМИЧЕСКОМУ ВИНТУ
Пусть в результате приведения произвольной пространственной
системы сил к центру О оказалось, что главный вектор R' и главный
вектор-момент Моэтой системы сил отличны от нуля. При этом глав-
главный вектор-момент Мо не перпендикулярен к главному вектору^' ,
т. е. скалярное произведение главного вектора R' на главный вектор-
момент Мо не равно нулю (R'-Мо ФО).
Разложим по правилу параллелограмма главный вектор-момент Мо
(рис. 127) на две составляющие М* и Мх, т. е. по направлению глав-
главного вектора и по направлению, перпендикулярному к главному век-
вектору, так что
м0 = Mi + Ж.
причем
Мх = MQ sin а ; ЛГ = MQ cos a.
180
Раздел I. Статика
Это последнее равенство, определяющее проекцию главного век-
вектора-момента Мо на направление главного вектора R', можно, оче-
очевидно, записать так:
М* = прд,
R'xMQx+R'yMQy+*>Q*
A)
It'
\L
Рис. 127
I/Центральная ось
Рис. 128
Так как проекция пр^?Л!о главного вектора-момента М она направ-
направление главного вектора R' не зависит от выбора центра приведения, то
отсюда следует, что вектор М* инвариантен по отношению к центру
приведения.
Вектор Мг, перпендикулярный к главному вектору R', заменим
парой сил, которую он изображает. При этом плечо этой пары подбе-
подберем так, чтобы силы пары были равны Ra(=R') и—R'. Это плечо, оче-
очевидно, должно быть равным ОА= -s? = —т!т— ¦
к к
Ясно, что силы R' и —R'', приложенные в точке О, эквивалентны
нулю. Следовательно, в результате получаем силу Ra{=R'), прило-
приложенную в точке А, и пару с вектором-моментом М*, параллельным
этой силе.
Так как вектор М* есть вектор свободный, то его можно перенести
на линию действия силы Ra (рис. 128).
Глава VII. Произвольная пространственная система сил и теория пар 181
Совокупность силы Ra, равной главному вектору R', и пары, век-
вектор-момент М* которой параллелен силе R а, называется динамическим,
винтом, или динамой.
Проходящая через точку А прямая LU, по которой направлены си-
сила Ra, равная главному вектору R', и главный вектор-момент М*
динамы, называется центральной винтовой осью данной системы сил,
или осью динамы.
Так как для всех центров приведения, лежащих на центральной
винтовой оси, главный вектор-момент направлен по главному век-
вектору, то, очевидно, модуль главного вектора-момента является наи-
наименьшим по сравнению с модулем главного вектора-момента данной
системы относительно всякого другого центра приведения О, не лежа-
лежащего на центральной оси. Поэтому главный вектор-момент М* дина-
динамы называют наименьшим главным вектором-моментом.
Выведем уравнение центральной винтовой оси данной системы
сил. Для этого примем за начало координат центр приведения О
(рис. 128). Центральная винтовая ось данной системы сил представляет
собой геометрическое место точек А, для которых векторы Rah M*
параллельны друг другу. Напишем условие параллельности этих
векторов
м*
р
где р — постоянная линейная величина, называемая параметром
динамы. Это условие в проекциях запишется так:
_к = ч_ = к_ 2
d' d' d' ' * '
Кх Ну Кг
Очевидно, что (см. рис. 127)
М* = Мо ~ т0 (RA), C)
гдето(/?л) — вектор-момент относительно точки О силы Ra = R', Дей-
Действующей вдоль центральной оси.
Моменты силыRA=R', приложенной к точке А, относительно
координатных осей можно найти по формулам C, § 38):
182 Раздел I. Статика
а поэтому в проекциях равенство C) напишем так:
Mx = Mx—{yR, — zRy)\
Ml=My~[zR'x-xR't);
где х, у, г — текущие координаты точки А на центральной оси. В
результате вместо уравнения B) получим следующие два уравнения,
представляющие собой уравнения прямой линии:
Mx-{yRz-zR'y) _ My-{zRx-xRz) _ Mz-{xRy~yRx)
где R'x, R' , R'z и Mx, My, Mz определяются соответственно по форму-
формулам E, § 43) и (8, § 43).
Так как точка А выбрана на центральной оси совершенно произ-
произвольно, то координаты х, у, z всякой точки, лежащей на этой оси,
удовлетворяют уравнениям D). Следовательно, эти уравнения яв-
являются уравнениями центральной оси. Чтобы найти из уравнений D)
точки пересечения центральной оси с координатными плоскостями,
положим последовательно в этих уравнениях х=0, у=0 и 2=0.
Таким образом, мы доказали следующую теорему: если для данной
произвольной пространственной системы сил выполняется условие
R'-Mo =/=0, т. е. R'^0 и Моф0, и при этом векторы R' и R0 не перпен-
перпендикулярны и не параллельны друг другу, то такая система сил при-
приводится к динаме. Следует при этом иметь в виду, что свободное твер-
твердое тело под действием такой системы сил может одновременно совер-
совершать вращательное и поступательное движения, т. е. винтовое движе-
движение.
Если для данной системы сил R'^O, Моф0 и при этом главный
вектор-момент Мо относительно центра приведения О параллелен
главному вектору R', то такая система сил также приводится к дина-
динаме, но только ось этой динамы будет проходить через центр приве-
приведения О.
§47. СЛУЧАЙ ПРИВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ СИЛ,
НЕ ЛЕЖАЩИХ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ, К РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ.
ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА О МОМЕНТЕ РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ
В результате приведения произвольной пространственной системы
сил может оказаться, что скалярное произведение R'-Mo равно нулю,
а каждый из сомножителей отличен от нуля, т. е. R'-Mo =0, но/
и Мо Ф0.
Глава VII. Произвольная пространственная система сил и теория пар
183
Так как R'Mo=0, то MoJ_R' и, следовательно, сила и пара, к
которым приводится данная система сил, лежат в одной плоскости
(рис. 129, а). Преобразуем эту пару следующим образом. Возьмем
силы R и —R, составляющие пару, равными по модулю R'. При этом
плечо этой пары придется взять равным ОА = ~^~ Расположим пару
так, чтобы одна из сил этой пары (на рис. 129, б она обозначена через
а)
Рис. 129
—R) была бы приложена в точке О и была бы направлена в сторону,
противоположную направлению главного вектора R'. Другая сила
той же пары R равна главному вектору R' (R—R') и приложена в
точке А, лежащей на перпендикуляре к R' и Мо- Силы R' и •—R вза-
взаимно уравновешиваются. Остается одна сила R, приложенная в точ-
точке А. Следовательно, если R'-Mo=0, hoR'^O и Мо фО, то данная
система сил приводится к одной равнодействующей R, равной главному
вектору R' этой системы сил и приложенной в точке А, лежащей на
перпендикуляре к векторам R' и Мо на расстоянии О A =-S~-
Если М о=0, но R^O, то система сил, очевидно, также приводит-
приводится к одной равнодействующей R=R', линия действия которой прохо-
проходит через центр приведения О. Следует при этом иметь в виду, что
свободное тело под действием "такой системы сил может совершать
только поступательное движение *.
Докажем теперь следующую теорему Вариньона о моменте равно-
равнодействующей: если данная система сил, как угодно расположенных
в пространстве, приводится к равнодействующей, то вектор-момент
этой равнодействующей относительно любого центра равен векторной
сумме векторов-моментов всех сил этой системы относительно того же
центра.
* При этом необходимо, чтобы центр приведения совпал с центром тяжести
тела и чтобы в начальный момент скорости всех точек этого тела были векторно
равны.
184
Раздел I. Статика
Пусть вектор R есть равнодействующая данной системы сил,
приложенная в точке А (рис. 130, б). Перенесем равнодействующую R
в произвольную точку О (рис. 130, а). Тогда вследствие перенесения
вектора R в другую точку появится пара (R,—R), вектор-момент Мо
которой будет равен вектору-моменту т0 (^)равнодействующей R ,
приложенной в точке А, относительно точки О, т. е.
A)
С другой стороны, если бы мы взяли за центр приведения сразу
точку О (рис. 130, а), то данная система сил привелась бы к главному
вектору R'=I.Fl и главному вектору-моменту Мо, перпендикуляр-
перпендикуляра)
6)
Рис. 130
ному главному вектору R' и равному векторной сумме векторов-момен-
векторов-моментов всех сил системы относительно центра приведения О, т. е.
M0 = Uot0(Fj). B)
Сравнивая правые части равенств A) и B), получим теорему
Вариньона
mo\R) = Sm0 [Fi) t C)
что и требовалось доказать.
§48. СЛУЧАЙ ПРИВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ СИЛ,
НЕ ЛЕЖАЩИХ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ, К ПАРЕ
Если главный вектор R' системы сил, не лежащих в одной плоскости(
равен нулю, а главный вектор-момент Мо относительно произвольно
выбранного центра приведения О не равен нулю, т. е. R'=0, а Мо Ф0,
Глава VII. Произвольная пространственная система сил и теория пар 185
то заданная система сил приводится к одной паре с вектором-момен-
вектором-моментом Мо (рис. 131). В этом случае главный момент системы не
изменяется с изменением центра приведения, т. е. относительно
любого центра приведения главный момент
будет равен Мо (Mo =invar). км0
Действительно, согласно формуле B, § 44)
и условию R'=0, имеем
м0
М0*=М0 +0*0 X R' = Мо ,
следовательно, Мо = invar.
Следует при этом иметь в виду, что свобод-
свободное твердое тело под действием такой системы
сил может (но не всегда) совершать только вра- Рис- 131
щательное движение.
§49. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ
ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ.
СЛУЧАЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
1. Условия равновесия произвольной проостранственной системы
сил. Остановимся теперь на случае, кргда произвольная пространствен-
пространственная система сил такова, что ее главный вектор R' и главный вектор-
момент Мо относительно произвольного центра приведения О одно-
одновременно равны нулю:
?' = 0; Мо = 0 A)
или
EF, = 0; Ето(Г,) = 0.
Очевидно, что такая система сил эквивалентна нулю, т. е. находит-
находится в равновесии. Наоборот, если данная система сил находится в рав-
равновесии, то должны выполняться условия A). В самом деле, если бы,
например, Я'фО, ноУИо =0, то данная система сил привелась бы к
равнодействующей R=R', приложенной в центре приведения О, и
равновесия не было бы. Если бы/?'=(), но Мо=?0, то данная система
сил привелась бы к одной паре и равновесия также не было бы. Не
будет равновесия и в том случае, когда /?'=?() и Мо =?0,так как сила
и пара не могут уравновесить друг друга. Отсюда следует, что для
равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо
и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный
вектор-момент относительно произвольно выбранного центра при-
приведения одновременно были равны нулю.
186 Раздел I. Статика
Условия A) называются условиями равновесия произвольной про-
пространственной системы сил в векторной форме. Этим условиям рав-
равновесия можно придать более удобную для практических целей анали-
аналитическую форму.
Из формул F, § 43) и (9, § 43) для модулей главного вектора R'
и главного вектора-момента Мо произвольной пространственной сис-
системы сил следует, что./?'и М0одновременно обращаются в нуль при
соблюдении следующих шести условий:
= 0; 2 Y, = 0; ? Zt = 0;
B)
Таким образом, для равновесия произвольной пространственной сис-
системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проек-
проекций всех этих сил на каждую из трех любым образом выбранных ко-
координатных осей равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма их
моментов относительно каждой-из этих осей также равнялась нулю.
Условия B) называются условиями равновесия произвольной про-
пространственной системы сил в аналитической форме.
Заметим, что условия равновесия B) произвольной пространствен-
пространственной системы сил, приложенных к свободному твердому телу, вообще
говоря, не будут условиями равновесия этого тела. Как будет показа-
показано в динамике, свободное твердое тело при выполнении условий рав-
равновесия B) может двигаться поступательно, прямолинейно и равномер-
равномерно вдоль осей координат и одновременно равномерно вращаться вокруг
этих осей.
Для того чтобы условия равновесия B) произвольной простран-
пространственной системы сил были одновременно и условиями равновесия
свободного твердого тела, к которому эта система сил приложена, не-
необходимо потребовать, чтобы до приложения указанной системы сил
тело находилось в покое относительно выбранной системы отсчета.
При этом первые три равенства B) выражают необходимые условия
того, чтобы тело не имело перемещений вдоль координатных осей,
а последние три являются условиями отсутствия вращений вокруг
этих ' осей.
2. Условия равновесия пространственной системы параллельных
сил. Если линии действия всех сил данной системы сил расположены
в разных плоскостях и параллельны между собой, то такая система
сил называется пространственной системой параллельных сил.
Глава VII. Произвольная пространственная система сил и теория пар
187
Пользуясь условиями равновесия B) произвольной пространствен-
пространственной системы сил, можно найти условия равновесия пространствен-
пространственной системы параллельных сил*.
Пусть на твердое тело действу-
действует пространственная система парал-
параллельных сил (рис. 132). Так как
выбор координатных осей произво-
произволен, то можно выбрать координат-
координатные оси так, чтобы ось z была па-
параллельна силам. При таком выбо-
выборе координатных осей проекции
каждой из сил на осих и у и их мо-
моменты относительно оси z будут
равны нулю, и, следовательно, ра-
.венства ЕХ,=0, ?Кг =0 и
Sm2 (Ft)=0 удовлетворяются неза-
независимо от того, находится ли дан-
данная система сил в равновесии или
нет, а поэтому перестают быть ус-
условиями равновесия**. Поэтому
система B) даст только три условия
равновесия:
Рис. 132
^ = 0; IX(/7)=0;
=0.
C)
Следовательно, для равновесия пространственной системы парал-
параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма
проекций всех сил на ось, параллельную этим силам, равнялась нулю
и чтобы алгебраическая сумма их моментов относительно каждой
из двух координатных осей, перпендикулярных к этим силам, также
равнялась нулю.
§50. РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ОДНОЙ И С ДВУМЯ
ЗАКРЕПЛЕННЫМИ ТОЧКАМИ.
УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
1. Равновесие твердого тела с одной закрепленной точкой. Выве-
Выведенные в § 49 условия равновесия, а также установленные нами ранее
условия равновесия для частных случаев расположения сил являются
условиями равновесия свободного твердого тела.
* Выведенные нами ранее условия равновесия для плоской и пространствен-
пространственной систем сходящихся сил, произвольной плоской системы сил и плоской систе-
системы параллельных сил также можно было бы получить, пользуясь условиями
равновесия B) произвольной пространственной системы сил.
** Эти равенства обратятся в тождества вида 0=0,
188
Раздел I. Статика
На практике мы обычно имеем дело с телами несвободными. При-
Примером несвободного тела может служить тело с одной неподвижной
точкой. Неподвижное закрепление точки тела можно осуществить, на-
например, при помощи сферического шарнира, т. е. приспособления,
обеспечивающего неподвижность
точки закрепления тела и допус-
допускающего возможность поворота те-
тела вокруг любой оси, проходящей
через эту точку.
Пусть на твердое тело с одной
закрепленной точкой О (рис. 133)
действует произвольная простран-
пространственная система сил Ft(i=\,2,
*у ...,п). Под действием этой системы
сил возникает сила реакции"^0 не..
подвижно закрепленной точки О,
которая служит связью. Эта реак-
реакция неизвестна ни по модулю, ни
по направлению. Выбирая начало
координат в неподвижной точке, разложим реакцию /?она три сос-
составляющие Rx, Ry и R2, имеющие направление осей координат. Отбра-
Отбрасывая связь и заменяя ее действие на тело реакциями Rx, Ry и Rz,
можно данное несвободное тело рассматривать как свободное и на-
написать для него шесть соотношений равновесия:
Рис. 133
*=i
Моменты силы ^относительно всех трех координатных осей рав-
равны нулю, так как сила Ro пересекает все эти три оси. Поэтому в пос-
последние три соотношения входят только активные camaFl{i=l, 2, ..., п).
Те из соотношений A), в которые не входит реакция связи Ro, назы-
называются условиями равновесия. В последние три соотношения проекции
реакции Ro закрепленной точки не входят. Следовательно, эти три
соотношения являются условиями равновесия, которым должны удов-
удовлетворять активные силы Fl(i=\, 2, ..., п), действующие на тело,
чтобы оно оставалось в равновесии.
Соотношения A), в которые реакция связи Roвходит, называются
уравнениями равновесия. В первые три соотношения проекции реакции
Глава VII. Произвольная пространственная система сил и теория пар
189
Ro закрепленной точки входят, поэтому эти соотношения являются
уравнениями равновесия, из которых можно определить проекции
Rx, Ry и Rz неизвестной реакции Ro и, следовательно, можем найти и
реакцию Ro ¦
2. Равновесие твердого тела с двумя закрепленными точками.
Неподвижное закрепление двух точек А и В тела можно осуществить,
например, при помощи сферических шарниров или подпятников
(рис. 134, а). Ясно, что прямая, проходящая через точки Л и В, так-
также будет неподвижной. Эта прямая называется осью вращения. Тело
в этом случае имеет возможность поворачиваться вокруг оси вращения.
Примем точку А за начало координат и направим ось z по оси вращения
АВ. Расстояние между точками Л и В обозначим через h. Пусть на
это тело действует произвольная пространственная система сил
Ft(i—\, 2, ..., п). Тогда в результате действия на тело сил этой системы
в точках закрепления Л и В возникнут силы реакций RA и Rb ¦ Разло-
Разложим эти неизвестные по модулю и направлению реакций на состав-
составляющие по осям координат. Обозначим эти составляющие соответствен-
соответственно через Rax , Rau, Raz и RBx, Rey, Rbz- Отбрасывая связи и заменяя
их действие на тело реакциями Raw. Rb, можно данное несвободное
тело рассматривать как свободное и написать для него шесть соотно-
соотношений равновесия*:
* Моменты силы RA относительно координатных осей равны нулю, так как
эта сила пересекает все эти три оси.
190
Раздел I. Статика
i+ **,+**,= 0; Е^
= 0;
B)
В последнее из соотношений B) неизвестные силы реакций закреп-
закрепленных точек А и В не входят. Следовательно, это соотношение яв-
является условием равновесия,которому должны удовлетворять задан-
заданные силы Fi(i=\, 2, ..., я), действующие на тело, чтобы оно оставалось
в равновесии.
Первые пять соотношений содержат силы реакций, поэтому они
будут являться уравнениями равновесия. Эти пять уравнений равно-
равновесия служат для определения шести проекций RAx , /?лу, Raz, Rbx,
Rey, Rbz неизвестных реакций Rah Rb • Одна неизвестная является
лишней. Следовательно, задача будет статически неопределимой.
Эта статическая неопределимость устраняется, если предположить,
что в одной из точек закрепления, например в точке В, имеется под-
подшипник (рис. 134, б).
3. Указания к решению задач. Задачи этой главы можно раз-
разбить на два основных типа:
1) задачи, относящиеся к равновесию произвольной пространствен-
пространственной системы сил;
2) задачи, относящиеся к приведению произвольной пространствен-
пространственной системы сил к простейшему виду.
Принцип решения задач первого типа остается тем же, что и для
произвольной плоской системы сил. Установив, равновесие какого тела,
будет рассматриваться, отбрасывают наложенные на тело связи, за-
заменяют их действие на тело соответствующими силами реакций и
составляют уравнения равновесия этого тела, рассматривая его как
свободное. Задачи этого типа решаются при помощи шести уравнений
равновесия (в частном случае, когда все заданные силы и реакции свя-
связей параллельны, имеем три уравнения равновесия). При составлении
уравнений равновесия для определения проекций сил на координат-
координатные оси нужно воспользоваться указаниями, данными в § 24.
Новым элементом при решении задач первого типа в составлении
уравнений равновесия является вычисление моментов сил относитель-
Глава VII. Произвольная пространственная система сил и теория пар 191
но осей координат. Ось моментов рекомендуется выбирать лежащей
в плоскости одной из неизвестных сил. Тогда момент этой силы от-
относительно данной оси будет равен нулю.
Момент силы относительно координатной оси можно вычистить
двумя способами: 1) аналитически, пользуясь формулами C, § 38),
выражающими искомый момент силы через проекции этой силы на
координатные оси и через координаты ее точки приложения;
2) геометрически, проектируя данную силу на координатную плос-
плоскость, перпендикулярную к этой оси, и вычисляя момент этой проек-
проекции относительно начала координат.
В тех случаях, когда при вычислении момента возникают затруд-
затруднения в определении проекции силы на соответствующую плоскость
или плеча этой проекции, рекомендуется разложить силу на две вза-
взаимно перпендикулярные составляющие, из которых одна параллель-
параллельна какой-нибудь координатной оси. Затем нужно воспользоваться
теоремой Вариньона о моменте равнодействующей (см. задачу 28).
При решении задач второго типа рекомендуется придерживаться
следующего порядка:
1. Принимаем выбранный нами центр приведения за начало коор-
координат и направляем координатные оси так, чтобы можно было проще
определять проекции сил на оси и моменты сил относительно этих
осей.
2. Определяем проекции главного вектора R' данной системы и ее
главного вектора-момента М 0 на каждую из трех координатных осей.
3. Устанавливаем, к какому простейшему виду приводится данная
система сил:
A. Если окажется равной нулю каждая проекция R' на коорди-
координатные оси и не равной нулю хотя бы одна проекция Мо на те же оси,
то R'=0, МоФО, и данная система сил приводится к одной паре,
вектор-момент которой равен главному вектору-моменту Мо данной
системы сил относительно выбранного центра приведения О (начала
координат). В этом случае остается найти модуль и направляющие ко-
косинусы главного вектора-момента Мо по формулам (9, 10, § 43).
Б. Если хотя бы одна из проекций R' на координатные оси не рав-
равна нулю, а каждая проекция Мона те же оси равна нулю, то R'=?0,
Мо — 0, и данная система сил приводится к равнодействующей, равной
главному вектору R', линия действия которой проходит через центр
приведения О. В этом случае остается вычислить модуль и направляю-
направляющие косинусы этой равнодействующей по формулам F, 7, § 43).
B. Если хотя бы одна из проекций R' на координатные оси и хотя
бы одна из проекций Мо на те же оси неравны нулю, то R'=f=O, Моф0.
Если при этом окажется, что R'-Mo=0, т. е. главный вектор-момент
окажется перпендикулярным к главному вектору R', то данная
192
Раздел I. Статика
система сил также приводится к равнодействующей, равной главному
вектору R'. При этом модуль и направляющие косинусы равнодей-
равнодействующей определяются по тем же формулам F, 7, § 43). В данном
случае точка А приложения равнодействующей, как известно, не сов-
совпадает с центром приведения- О. Положение точки А приложения рав-
равнодействующей силы может быть определено после определения поло-
положения Мо при помощи формул A0, § 43). Точка А будет лежать на
перпендикуляре к векторам R' и Мо на расстоянии OA = -Jr. При
этом перпендикуляр необходимо восставлять в ту сторону, откуда на-
наблюдателю, расположенному по главному вектору-моменту Мо, по-
поворот пары виден происходящим против хода часовой стрелки.
Г. Если же окажется R'-Мо =?0, т. е. если R'=?0 и Мо =^=0и, кроме
того, Мо не перпендикулярен к R', то данная система сил приводит-
приводится к динаме. В этом случае нужно нацти точку А, че-
через которую проходит центральная ось данной системы сил, а также
~~ Мо-
относительно
этой точки.
М* динамы определяется по фор-
модуль вектора-момента М*
дуль М* вектора-момента
муле A, § 46).
Так как центральная ось данной системы сил параллельна глав-
главному вектору R' этой системы, то направление центральной оси необ-
необходимо определить по формулам G, § 43).
Координаты х и у точки пересече-
пересечения центральной оси с плоскостью хоу
определяются уравнениями централь-
центральной оси D, § 46) после подстановки
в них z=0.
Задача 29. Систему двух сил
.Fx=8 кГ, направленную по оси Oz, и
F2=l2 кГ, направленную параллель-
параллельно оси Оу, как указано на рис. 135,
где ОВ = 1,Зм, требуется привести к
простейшему виду, определив глав-
ный вектор R' и вектор-момент
динамы М*. Найти координаты х и у
точки пересечения центральной оси
с плоскостью Оху.
Р е ш е н и е. За центр приведения возьмем точку О, которую при-
примем за начало координат; координатные оси Ох, Оу, Oz направим так,
как показано на рис. 135.
Чтобы определить для данной системы сил главный вектор R' и
главный вектор-момент Мо относительно точки О, найдем проекции
этих векторов на координатные оси.
Рис. 135
Глава VII. Произвольная пространственная система сил и теория пар 193
Для проекций главного вектора R' на координатные оси имеем
Так как точка приложения силы F% лежит на оси Ох и сила F2 па-
параллельна оси Оу , а точка приложения силы Fx лежит на осях Ох
и Оу и сила Fx направлена вдоль оси Oz, то
mx (F2 ) = my {F2 ) = 0; mz[T2 ) = 12-1,3 = 15,6;
mx (^i ) = my (^i ) = mz [Fi) = 0.
a поэтому для проекций главного вектора-момента Mo на координат-
координатные оси имеем
Мх=Ътх [Ft) = 0; Му = Хту [Ft) = 0; Мг = Е/пг (f,) = 15,6.
По найденным проекциям главного вектора R' определим его мо-
модуль и направляющие косинусы:
R' = VR'x + Ry+ R'* = V22 + 82 = 14,4 кГ;
Далее находим модуль главного вектора-момента Мои его направ-
направляющие косинусы:
= 15,6
Так как главный вектор R' данной системы сил не равен нулю, то
эта система не может быть приведена к одной паре. Поэтому остается
14 Н, Ф, Сахарный
194 Раздел I. Статика
установить, приводится ли система, состоящая из главного вектора R',
приложенного в точке О, и пары с вектором-моментом, равным глав-
главному вектору-моменту Мо> к равнодействующей или к динаме. Для
этого составим выражение для второго инварианта:
R'-~Mo = R'xMx+ RyMy + R',M2 = 8-15,6= 124,8 кГм?фО.
Так как второй инвариант нулю не равен, то главный вектор-момент
Мо не перпендикулярен к главному вектору R', и, следовательно,
данная система из двух сил приводится к динаме (рис. 136, а).
Чтобы найти положение центральной оси, составим уравнения
D, § 46), которые в рассматриваемой задаче примут вид
-8» +
0
¦12г
Зг
л:
8х
'2
— 2
= 0
0 =
,9.
15,
0;
6 —
8
12 х
или
Если положим в этих уравнениях z=0, то найдем координаты точ-
точки А пересечения центральной оси с координатной плоскостью хОу
(рис. 136, б) :
х = 0,9; у = 0 B = 0).
Точку А пересечения центральной оси с плоскостью хОу можно
найти и другим путем. Для этого найдем модуль вектора-момента М
(рис. 136, а): 1
Мх = Мо sin [М*Д'] = Mocos [R', J) = 15,6- ^ = igA кГм.
Представляя вектор-момент Мх в виде пары (Ra ,—R ), которую он
изображает, найдем точку А, принадлежащую центральной оси:
/_
М cos /?',;
ОА^ ° \ > - Ш - О 9 м
ил — R, — R, — 208 — и,у м,
т. е. центральная ось данной системы сил проходит через точку А с
координатами
х = 0,9; у = 0 B = 0).
Теперь найдем модуль М* вектора-момента М* данной системы
сил относительно любой точки, лежащей на центральной оси
(наименьший главный вектор-момент). Разложим по правилу парал-
Глава VII. Произвольная пространственная система сил и теория пар
195
лелограмма главный вектор-момент Мо относителыюточки О на две
составляющие (рис. 136, о): М*, параллельную R', и Mlt перпендику-
перпендикулярную R'. Заметим, что первая составляющая является искомым наи-
наименьшим главным вектором-моментом. Проекция главного вектора,
момента Мо на направления главного вектора R' определяется по фор-
формуле
/-Л_ \ *'¦
М* = Mocos [Мо Я'
Mo'R'I W-Mo
R'
R'
Подставляя сюда найденное значение второго инварианта
и модуля главного вектора, получим
>,65 кГм.
' ~ 14,4 ~v
Так как в данном случае R'-Mq >0, то параллельные векторы
R'—Ra и М* направлены в одну сторону.
Задача 30. На вал АВ ворота намотана веревка, поддерживающая
груз Q. Радиус тягового колеса R, насаженного на вал, в 6 раз больше
радиуса г вала; другие размеры указаны на рис. 137, а. Веревка, на-
намотанная на окружность тягового колеса и натягиваемая грузом Р,
сходит с колеса по касательной, наклоненной к горизонту под углом а.
Определить величину груза Q, при которой ворот остается в равнове-
равновесии, а также реакции подшипников А и В, пренебрегая весом вала и
трением в блоке D.
14*
196
Раздел I. Статика
Решение. За начало координат возьмем точку А, ось Ау на-
направим по оси вала, а ось Az — по вертикали вверх (рис. 137, б).
Считая вращающуюся часть ворота свободным твердым телом, изобра-
изображаем действующие на него силы: натяжение веревки Т, по модулю
Рис. 137
равное силе тяжести Р_груза Р, силу тяжести Q груза Qa реакции
подшипников Xa,Za, Xb, Zb*¦ В данной задаче имеем пять неизвест-
• Каждая из реакций RA и RB подшипников А к В может иметь любое на-
направление в плоскости, перпендикулярной к оси Ау, и изображается поэтому
двумя составляющими.
Глава VII. Произвольная пространственная система сил и теория пар
197
ных, подлежащих определению: Ха, Za> Хв, ZB и Q. Для определения
этих неизвестных имеем пять уравнений равновесия (уравнение про-
проекций на ось Ау отпадает, так как все силы перпендикулярны к этой
оси, и это уравнение превращается в тождество вида 0=0).
Перед тем как составить уравнения равновесия, вычислим проек-
проекции всех сил на координатные оси Ах и Az, их моменты относительно
осей Ах, Ау и Az я внесем результаты этих вычислений в следующую
таблицу:
Ft
Xi'
zt
mx(Fi)
my (Ft)
mz(fD
*A
*A
0
0
0
0
zA
0
zA
0
0
0
*B
*B
0
0
0
-XB (a+b)
ZB
0
zB
ZB (a+b)
0
0
T
P COS a
— P sin a
с P sin a
P6r
с Р COS a
Q
0
-Q
-Qb
-Qr
0
Теперь составляем уравнения равновесия, приравняв к нулю ал-
алгебраические суммы проекций всех сил на оси х и z и алгебраические
суммы их моментов относительно осей х, у и z:
Е Xt = Хд + Хв + Р cos a = 0;
S Zt = ZA + ZB — P sin a — Q == 0;
S rav (?;) = (a + b) ZB+ с Р sin a — bQ = 0;
imy(Fl)=6rP — rQ = 0;
Из четвертого уравнения определим величину груза, необходимую
для равновесия вала Q=6P.
Из остальных уравнений найдем неизвестные силы реакций под-
подшипников А и В:
Ь + с
ЪРЬ
—r~z i—i P sin a.
a + b a + b
1.98
Раздел I. Статика
Задача 31. Подъемный кран (рис. 138, а) установлен на трехколес-.
ной тележке ABC. Известны размеры крана: AD=DB=\ м; CD —
= 15 м; СМ = \ м, KL—4 м. Кран уравновешивается противовесом F.
Вес Р крана с противовесом равен 8 т и приложен к точке G, располо-
расположенной в плоскости LMNF на расстоянии GH=\ м от оси крана MN;
поднимаемый груз Q весит 4 т. Найти давление колес на рельсы для
того положения крана, когда плоскость его LMF параллельна АВ
Рис. 138
Решение. Направим оси координат, как указано на рис. 138, б.
В качестве тела, равновесие которого мы будем рассматривать, берем
трехколесную тележку ABC с укрепленным на ней краном. На тележ-
тележку действуют две вертикальные активные силы: вес Р крана с противо-
противовесом и груз Q. Отбросив связи Л, В и С и заменив их действие на
тележку искомыми реакциями Ra, Rb и Rc, направленными вертика-
вертикально вверх (трением в опорах пренебрегаем), можно считать тележку
свободным твердым телом (рис. 138, б).
В данном случае все силы, приложенные к тележке, параллельны
оси Az, и потому имеем три следующих уравнения равновесия:
дл(
ось Ах.
Ътх (f\) = - 5 Q + 1 Яс + 2 RB = 0;
E/ny(F,) =0,5P + 0,5Q—1.5 Rc = 0,
=0, так как линии действия сил Р и Ra пересекают
Глава VIII. Центр тяжести 199
Подставляя данные из условия задачи в эти урав. ения и решив
их относительно Ra, Rb и Rc, получим
Искомые давления колес тележки на рельсы будут равны по мо-
модулю найденным реакциям и направлены вертикально вниз. Полу-
Полученные результаты показывают, что тележка не оказывает давления на
опору А. Однако изменение какого-нибудь условия задачи приведет
к возникновению этого давления.
Глава VIII
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
§51. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
К РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ.
ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
Если на тело действует пространственная система параллельных
и в разные стороны направленных сил Ft, Fz, ..., Fn (рис. 139), то,
выбрав координатные оси так, чтобы ось z была параллельна заданным
силам, а плоскость хОу к ним перпендикулярна, по формулам E, 8,
§ 43) будем иметь _
' Ц
MOy=Lmy{Ft);
По формулам F, 9, § 43) найдем модуль главного вектора R'=RZ'
и главного вектора-момента Мо =Ум*ох-\-Мгог При этом из формул
G, 10, § 43) следует, что главный вектор R' при выбранном центре
приведения в точке О расположен на оси z, а главный вектор-момент
Мо—в плоскости хОу (рис. 139). Следовательно, главный вектор R'
перпендикулярен к главному вектору-моменту Мо, а поэтому про-
пространственная система параллельных сил никогда не приводится
к, динаме. Она приводится к равнодействующей, если R'^O, или к паре,
если R'=0, или взаимно уравновешивается, если R'~0 и Мо=0.
Рассмотрим теперь пространственную систему параллельных и
одинаково направленных сил У7!, F2 Fn (рис. 140), приложенных
к телу в точках Av At, ..., Ап. Очевидно, что эта система сил приво-
приводится к равнодействующей. Найдем эту равнодействующую..
Рассмотрим сначала силы/7! и F2. В главе III, § 12, было показано,
что равнодействующая R12 сил Ft и F2 по модулю равна Ri2=Fi+F 2,
200
Раздел I. Статика
им параллельна и направлена в ту же сторону. При этом линия дей-
действия равнодействующей R12 проходит через точку С12, которая лежит
на отрезке АХА2, соединяющем точки приложения составляющих сил
Fx и F2, и делит этот отрезок на части, обратно пропорциональные сос-
составляющим силам:
F1'A1Cl2=r2-A2C12. (')
Из этого соотношения следует, что положение точки С12 зависит
только от модулей составляющих сил и расположения их точек прило-
Рис. 139
Рис. 140
жения и не зависит от направления этих сил. Если cnnuF1 и F2 повер-
повернуть около их точек приложения Ах и Л2 на один и тот же угол в одну
и ту же сторону, то точка С12 сохранит свое положение, и равнодей-
равнодействующая R12 повернется вокруг нее на этот же угол.
Рассмотрим теперь силы R12 и F3. Равнодействующая Rm этих сил
по модулю равна Ri23=:Rn+F3=F1+F2+Fs, им параллельна, направ-
направлена в ту же сторону и проходит через точку С123- При этом точка С123
обладает таким же свойством, каким и точка Сп.
Применив это рассуждение для равнодействующей Rns и силы
Fi и т. д., придем к заключению, что равнодействующая R простран-
пространственной системы параллельных сил Fly F%
направленных в
одну сторону, равна по модулю сумме модулей этих сил, им параллель-
параллельна и направлена в ту же сторону. При этом линия действия равнодей-
равнодействующей проходит через одну и ту же точку С, положение которой
по отношению к точкам Av А2, ..., Ап, т. е. к телу, будет неизменным.
Точка С, через которую проходит равнодействующая системы па-
параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек прило-
приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется
центром параллельных сил.
Найдем теперь координаты центра параллельных сил. Положение
точки С по отношению к телу является неизменным и от выбора системы
Глава У 111. Центр тяжести
201
осей координат Oxyz не зависит. Найдем сначала положение центра
двух параллельных сил F1 и F2 (рис. 141).
Пусть радиус-вектор гх определяет положение точки приложения
силы Ръ а радиус-вектор г2— точки приложения силы Fz. Линия дей-
действия равнодействующей /?12 этих сил пересекает отрезок АХА2 в точ-
точке С12. Изменим направление сил F1 и F2, повернув их на некоторый
произвольный угол а. При этом линия действия новой равнодействующей
/?'12 будет пересекать отрезок АХА2 также в точке С12. Следовательно,
по определению, точка С12 представляет собой центр параллельных
сил Ft и F2. Предположим, что радиус-вектор,определяющий положение
точки Схг, есть г12. Очевидно (рис. 141), что
Г\ + AjC12 = г
12
Л
Рис. 141
Так как векторы АХСХ2 и С12А2 (рис. 141) коллинеарны, то соот-
соотношение A) можно записать в виде
AiC12
с,
Рг '
или
F2 ' F,
B)
Разрешая равенство B) относительно г12, получаем
7 -
-t + FT- W
Эта формула определяет положение центра С12 двух параллельных
сил Fi и F2.
13 Н. Ф. Сахарный
202 Раздел I. Статика
Для определения радиуса-вектора г123, определяющего положение
центра трех параллельных сил: Flt F2 и F3, можно воспользоваться
формулой C) и определить по ней положение центра двух параллель-
параллельных сил: Rli=Fl+Fi и F3. Пусть положение точки приложения силы
Fэ определяется радиусом-вектором г3. Тогда положение центра С123
трех параллельных сил: Fx, F% и F3—будет согласно формуле C) опре-
определяться так:
_
Аналогичным приемом мы получим и радиус-вектор Гс, определяю-
определяющий положение центра С системы п параллельных сил:
7 _, 7г- ^ + 7°-F2+-~+'rnFn
m.../. 'с Fx + F2+ . . . + Fn
или
л
У F.F.
или
л
где /?=SFi— модуль равнодействующей R пространственной си-
(— 1
стемы параллельных сил Flt F2, ¦¦¦, Fn, rt—радиус-вектор точки при-
приложения AL силы Ft.
Проектируя векторное равенство F) на оси координат, получим
координаты центра параллельных сил в виде
Заметим, что формулы F) и G) будут справедливы и для параллель-
параллельных сил, направленных в разные стороны, если в них считать Fi ве-
величинами алгебраическими (для одного направления со знаком «плюс»,
для другого—-«минус») и если при этом R
Глава VIII. Центр тяжести 203
Применим теперь формулы F) и G) к определению положения центра
тяжести тел.
§ 52. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
Как известно, на каждую г-ю частицу тела, находящегося вблизи
земной поверхности, действует направленная вертикально вниз сила
р,-, называемая силой тяжести.
Строго говоря, силы тяжести pt (i—l, 2, ..., п), приложенные ко
Беем частицам тела, представляют собой систему сходящихся сил, так
как линии действия этих сил пересекаются в одной точке — прибли-
приблизительно в центре Земли. Однако для тел, размеры которых малы по
сравнению с земным радиусом, силы тяжести pl (t=l, 2, ..., п) всех
частиц тела можно считать параллельными друг другу и сохраняю-
сохраняющими вблизи земной поверхности постоянную величину при любых
поворотах тела. Поле силы тяжести, в котором выполняются эти два
условия, называется однородным полем силы тяжести.
Обозначим через Р равнодействующую параллельных сил тяжести
pt (t = l, 2, ..., п). Модуль этой равнодействующей равен весу тела и
определяется равенством
P = tPi- 0)
Равнодействующая Р параллельных сил тяжести Pt будет при лю-
любых положениях тела проходить через одну и ту же неизменно связан-
связанную с телом точку С, являющуюся центром параллельных сил тяжести
Pi (i—l, 2, ..., п). Эта точка и называется центром тяжести тела.
Таким образом, на основании свойства центра параллельных сил
можно заключить, что центр тяжести твердого тела обладает тем
свойством, что через него проходит линия действия равнодействую-
равнодействующей параллельных сил тяжести отдельных его частиц, независимо от
расположения тела в пространстве*'.
Это свойство позволяет экспериментально определить центр тяже-
тяжести неоднородного тела сложной конфигурации согласно следующему
правилу: достаточно подвесить тело к нити в некоторой точке и по-
построить продолжение нити в теле, затем подвесить тело к нити в неко-
некоторой другой точке и также построить продолжение нити в теле, тогда
пересечение построенных линий определит центр тяжести этого тела.
Установим теперь аналитические формулы для нахождения коор-
координат центра тяжести тела.
* Согласно определению, центр тяжести — это геометрическая точка, ко-
которая в частных случаях (например, для кольца) лежит вне пределов тела.
13*
204 Раздел I. Статика
Согласно § 51 имеем следующие формулы для определения коорди-
координат центра тяжести тела:
? pi*i ? Pi Hi ?
xc = p > Ус ~ p > zc ~
где xt, уi, 2;— координаты точек приложения сил тяжести pt частиц
тела.
Если обозначим массу тела через М, а массы отдельных его частиц —
через mv m2, ..., mn, то будем иметь P=Mg, Pi—т.д (i=\, 2, .... п),
где g — ускорение силы тяжести.
Подставив эти значения в выражения B), получим
1\ П П
? m*i ? Щ1И ?
так как в числителе g как общий множитель выносится за скобку и
сокращается с g в знаменателе.
Точка, координаты которой определяются формулами C), назы-
называется центром масс или центром инерции тела.
Положение центра масс зависит лишь от распределения масс
в теле и является одной из характеристик этого распределения.
В то время как понятие о центре тяжести имеет смысл только для
тела, помещенного в однородное поле силы тяжести, понятие центра
масс не связано с понятием о силовом поле, в которое помещено тело,
и в этом смысле является более общим.
Для тела, находящегося в однородном поле силы тяжести, положе-
положение центра тяжести и центра масс совпадает.
Если тело однородно, то отношение веса i—ой частицы к ее объему
V; постоянно, т. е.
?± = 1 = const,
Vi '
где ¦[¦— вес единицы объема.
Заменяя в равенствах B) веса отдельных частиц тела р, через fy,,
а вес тела Р через ^V, где V — объем всего тела, имеем
п
? v i х-, ?«/«// ? vi
V
(Л\
так как в числителе у как общий множитель выносится за скобку и
сокращается с т в знаменателе.
Глава VIII. Центр тяжести 205
Как видно, центр тяжести однородного тела зависит только от его
геометрической формы, а от величины т не зависит. По этой причине
точку С, координаты которой определяются формулами D), называют
центром тяжести объема V.
п п п
Выражения Hvtxt; S vty{, S vb zt называются статическими мо-
;=1 j=l i=\
ментами объема относительно плоскостей yOz, xOz и хОу.
Если тело представляет собой однородную тонкую пластинку по-
постоянной толщины, имеющую очертание плоской фигуры, то в этом
случае аналогично будем иметь
х _ *=! • „ _ !=1 )
хс — s > Ус — s
где S — площадь всей пластинки, a s2— площади отдельных ее частей
(оси координат хОу расположены в плоскости пластинки).
Точку С, координаты которой определяются формулами E), на-
называют центром тяжести площади S.
Величины ?s;X; и Zstyt называются статическими моментами
плоской фигуры относительно осей у и х. Статический момент плоской
фигуры относительно оси х или у может быть величиной положитель-
положительной, отрицательной и равной нулю, если ось проходит через центр
тяжести плоской фигуры. В самом деле, из равенств E) следует, что
еслихс=0, то и Es^x^O; при г/с=О и Езгг/г=0.
Точно так же получаются формулы для координат центра тяжести
линии (согнутая из проволоки кривая)
где L — длина всей линии, /г— длины отдельных ее частей.
Таким образом, центр тяжести однородного тела определяется как
центр тяжести соответствующего объема, площади или линии.
§53. СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ ЦЕНТРОВ ТЯЖЕСТИ
ТЕЛ
1. Способ симметрии. Докажем, что если однородное тело имеет
плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести этого тела
лежит соответственно или в плоскости, или на оси, или в центре сим-
симметрии.
206
Раздел I. Статика
Допустим, например, что однородное тело имеет плоскость симмет-
симметрии. Проведем в этой плоскости оси Ох и Оу (рис. 142). Вследствие
симметрии всякой частице Л4( тела с координатами {xt, ylt z{) соот-
соответствует частица М{ того же объема vl с координатами (х{, yv —zt).
Поэтому Yiv^—O и, согласно последней из формул D, § 52), zc =0,
т. е. центр тяжести однородного тела лежит в плоскости симметрии
хОу.
Аналогичное доказательство можно применить и в случаях, когда
тело имеет ось или центр симметрии.
к-г.
У
Рис. 142
Следствия. 1. Центр тяжести отрезка материальной пря-
прямой линии лежит в его средине.
2. Центр тяжести круглого кольца, круглой или прямоугольной
пластинки, площади правильного многоугольника и эллипса, объема
прямоугольного параллелепипеда и шара и других тел, имеющих центр
симметрии, лежит в их геометрических центрах (в центрах симмет-
симметрии).
2. Способ разбиения. Этот способ применяется для определения
центра тяжести тел сложной геометрической формы. Общий прием оп-
определения центра тяжести таких тел состоит в том, что данное тело
разбивают на конечное число частей простейшей геометрической формы
(если это, конечно, возможно), для каждой из которых положение цен-
центра тяжести известно или оно сравнительно легко может быть найдено.
Тогда координаты центра тяжести всего тела можно непосредственно
вычислить по формулам D, 5, 6, § 52)*, понимая в этих формулах
под vt, S; и /, объемы, площади и длины частей, на которые разбито
данное тело, фигура или линия, а под xt, yt, zt— координаты центров
тяжести этих частей.
* Рассматриваются однородные тела, фигуры и линии.
Глава VIII. Центр тяжести 207
3. Способ дополнения. Этот способ, являясь частным случаем
способа разбиения, применяется к телам, имеющим вырезы, если центры
тяжести тела без вырезов и вырезанных частей известны.
Пусть, например, требуется найти центр тяжести тела, представ-
представляющего собой плоскую фигуру с п вырезами.
При определении центра тяжести фигуры с вырезами пользуются
теми же формулами E, § 52), считая в них площади вырезанных частей
отрицател ьными.
Обозначив эти площади через—Slt —S2, ...,—Sn, а через xvylt
х%, у%\ ...; хп, уп — координаты их центров тяжести, будем иметь для
определения координат центра тяжести данной плоской фигуры с п
вырезами следующие формулы:
c
c So — Si — S2 — ... — Sn
yo — Sij/i — S2y2 — ... — Snyn
So-Si —Sg- . . .—SK
A)
где50— площадь фигуры без вырезов, а х0, у0— координаты ее центра
тяжести.
4. Способ интегрирования. Если тело нельзя разбить на несколько
конечных частей, положение центров тяжести которых известно или
легко найти, то тело разбивают сначала на произвольные малые
объемы Ди;, для которых формулы D, § 52) примут вид
ЛС~ п • Ус ~~ п ' ^С ~ п
где xt, y-v Zf— координаты некоторой точки, лежащей внутри объема
W-,
Переходя к пределу и предполагая, что число элементарных час-
частиц, из которых состоит тело, неограниченно возрастает, а объем Avt
каждой такой частицы стремится к нулю, будем иметь
B)
(V) (V) (V)
где V=\dv — объем рассматриваемого тела. Здесь интегралы распро-
распространены по объему всего тела.
208 Раздел I. Статика
Подставляя Ast в формулы E, § 52) и переходя к пределу, мы полу-
получим аналогично координаты центра тяжести плоской фигуры
хс = -j- Г xds; ус = -у Г г/ds, (З)
(S) E)
гдеЗ =fds—площадь рассматриваемой фигуры. Здесь интегралы рас-
(S) - д.
пространены по площади всей фигуры.
Подставляя Д/г в формулы F, § 52) и переходя к пределу, получим
совершенно аналогично координаты центра тяжести материальной
линии:
f ^ j
it) (L) A)
где L=idl — длина всей рассматриваемой линии. Здесь интегралы
распространены по длине всей линии.
§54. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ НЕКОТОРЫХ ЛИНИЙ,
ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
1. Центр тяжести площади треугольника. Разобьем площадь тре-
треугольника ABD (рис. 143) прямыми, параллельными стороне AD,
на большое число узких полосок, которые можно рассматривать как
отрезки материальной прямой ли-
линии. Центр тяжести каждой такой
полоски лежит в ее середине, т. е.
на медиане FB треугольника ABD.
Следаватеаьно, и центр тяжести
площади треугольника ABD лежит
на этой медиане.
Разбив площадь треугольника
ABD прямыми, параллельными ка-
Рис 143 кой-нибудь другой стороне, напри-
например BD, и рассуждая аналогичным
образом, придем к тому, что центр
тяжести площади треугольника должен лежать на медиане ЕА. Отсю-
Отсюда заключаем, что центр тяжести площади треугольника лежит в
точке пересечения его медиан.
При этом, как известно из геометрии,
CL = —DL. A)
2. Центр тяжести дуги окружности. Пусть дана дуга АВ окруж-
окружности радиуса R с центральным углом 2 а (рис. 144). Начало коорди-
Глава VIII. Центр тяжести
209
нат возьмем в центре окружности и ось Ох направим перпендикуляр-
перпендикулярно к хорде АВ. Очевидно, ось О* будет осью симметрии для дуги АВ,
и, следовательно, центр тяжести дуги окружности АВ лежит на этой
оси. Найдем координату хс способом интегрирования. Для этого выде-
выделим на дуге АВ элемент dl=Rd<p, положение которого определяется
углом ср- Координата х этого элемента будет x=i?coscp. Подставляя
эти значения в первую из формул D, § 53), находим, что центр тя-
тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии
от центра
R2 i coscpdcp
—a Rsinc
I'1 R I'
B)
(L)
где угол а измеряется в радианах.
В
В частности, для дуги полуокружности
2 R
=-^-) имеем
х -
Xc-
3. Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим кру-
круговой сектор ОАВ радиуса R с центральным углом 2а (рис. 145).
Разобьем мысленно площадь сектора АОВ радиусами, проведенными
из центра О, на элементарные секторы с центральным углом df. Эти
элементарные секторы можно рассматривать как плоские треуголь-
ники, центры тяжести которых лежат на дуге А1В1 радиуса -g- /?.
Следовательно, центр тяжести сектора ОАВ будет совпадать с центром
тяжести дуги АХВЪ положение которого найдется по формуле B).
210
Раздел I. Статика
Окончательно получим, что центр тяжести площади кругового секто-
сектора лежит на его оси симметрии на расстоянии от центра.
2 Rsina
" ~ '
C)
где угол а измеряется в радианах.
В частности, для сектора в виде полукруга
=^-) получим
D)
4. Центр тяжести объема пирамиды. Для нахождения центра
тяжести пирамиды ABDE (рис. 146) разобьем ее высоту на п равных
частей и через точки деления проведем плос-
плоскости, параллельные основанию.
Если п неограниченно увеличивать, то
каждый из полученных слоев можно рассмат-
рассматривать как треугольник. Центры тяжести
площадей этих треугольников лежат на пря-
прямой ЕСЪ соединяющей вершину пирамиды Е
с центром тяжести Сг ее основания. Следова-
Следовательно, на прямой ЕСХ будет лежать и центр
тяжести всей пирамиды.
Точно так же найдем, что центр тяжести
данной пирамиды должен лежать на прямой
ВС2, соединяющей вершину пирамиды В с
центром тяжеси С2 ее грани ADE. Поэтому
искомый центр тяжести пирамиды лежит в точке С, где пересекаются
прямые ЕСх и ВС2.
Определим положение точки С. По свойству медиан треугольников
имеем
= ~KB и КС2 = ~
146
из этих двух равенств следует, что прямые
CiC2 = -^- BE.
и BE параллельны и
Но так как прямые 0^2 и BE параллельны, то треугольники
и ЕС В подобны.
Из подобия треугольников СхССг и ЕСВ следует, что
СЕ
BE
Глава VIII. Центр тяжести
211
Следовательно,
ЗССХ =С? и
откуда находим
= ССХ + С? = 4CClt
E)
Этот результат будет также справедлив для любой однородной мно-
многоугольной пирамиды, а в пределе и для однородного круглого ко-
конуса .
Таким образом, центр тяжести объема однородной треугольной пи-
пирамиды лежит на отрезке, соединяющем вершину пирамиды с центром
тяжести ее основания, на расстоянии одной четверти длины этого
отрезка от центра тяжести основания пирамиды.
Рис. 147
5. Центр тяжести объема полушара. Примем ось симметрии дан-
данного однородного полушара радиуса R за ось z, а начало декартовых
координат (Oxyz) — в геометрическом центре О этого полушара
(рис. 147). Искомый центр тяжести С рассматриваемого полушара ле-
лежит на оси симметрии г, поэтому достаточно найти только расстояние
OC—Zc ¦ При этом для вычисления искомой координаты Zc применим
третью из формул B, § 53):
(V)
(V)
где теперь интегрирование следует распространить по объему V всего
2
полушара. Объем полушара равен -^ тг/?3.
212
Раздел I. Статика
Для вычисления этого тройного интеграла воспользуемся сфери-
сферическими координатами, тогда
х — л sin б cos ф;
у = г sin 6 sin ф;
z = rcos6,
где г, 9 и Q — сферические координаты (см. рис. 147).
Отсюда элемент объема dv=dxdydz=r2 sin б drdh dty. При этом
вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычис-
вычислению трех простых интегралов:
R 2 2n
С С С
zdv= \ \ \ г3 cos б sin б drd
J J J
(V) 0 0 0
dr =
Следовательно,
Z =^ ¦
F)
(V)
Задача 32. Определить положение центра тяжести площади попе-
поперечного сечения неравнобокого угольника, полки которого имеют
ширину ОА=а, ОВ — Ь и толщину AC=BD=d (рис. 148).
Решение. Разобьем данную площадь на два прямоугольника.
Центры тяжести каждого из прямоугольников лежат на пересечении
его диагоналей. Координаты этих центров тяжести, так же как и
площади прямоугольников, легко определяются из рис. 148.
Площади первого и второго прямоугольников
Sx = bd; S2 = (a — d) d.
Глава VIII. Центр тяжести
213
Координаты центра тяжести первого и второго прямоугольников
хх
d Ь __ , a — d
~2~ ' У\ — ~Y • *2 — " т —g—
Рис. 148
Координаты хс и ус центра тяжести площади поперечного сечения
данного неравнобокого'угольника определим по формулам:
Si+S2
ус
Si
d
bd 9 г
b
a2 + bd-
2 (a-f b-
bd ~iy~ -f- (g ~
bd + (r; —
(.-.
-d) '
-d)d-
d)d
-,
d
2"
i)c
a
+ -
I
2 (a
— d
2
+ b
\
I
— d"
-d)
Задача 33. Определить положение центра тяжести площади круг-
круглой пластины радиуса R, с вырезом в виде прямоугольника со сторо-
сторонами а и b (рис. 149).
Решение. Так как пластина с вырезом имеет ось симметрии,
то ее центр тяжести лежит на этой оси. Выбираем начало координат
в точке О (рис. 149) и направляем ось Ох по оси симметрии. Для
нахождения координаты Хс центра тяжести площади пластины с вы-
вырезом дополняем площадь этой пластины до полного круга.
214
Раздел I. Статика
Площадь полного круга So= тг/?2; центр тяжести этого круга сов-
совпадает с началом координат О, следовательно, абсцисса этого центра
*о=0.
Площадь вырезанного прямоугольника S1—ab; абсцисса центра
тяжести площади этого прямоугольника хх=~.
Применяя первую из формул A, § 53), найдем абсциссу центра
тяжести площади данной круглой пластины с вырезом:
у —
So —-Si
— ab
2 (it/?2 — ab)
Рис. 149
Рис. 150
Задача 34. Определить положение центра тяжести площади круго-
кругового сегмента ADB радиуса R, если угол А0В=2а (рис. 150).
Решение. Так как круговой сегмент имеет ось симметрии, то
его центр тяжести лежит на этой оси. Примем эту ось за ось х.
Начало координат возьмем в точке О (рис. 150). Для нахождения
координаты центра тяжести площади кругового сегмента ADB до-
дополним эту площадь до площади кругового сектора OADB.
Площадь треугольника АОВ определим по формуле S=—'-^— =
2
— АЕ-ОЕ = #2sinacosa; абсцисса ее центра тяжести х1=-^ ОЕ =
= -т- RCOS a.
Площадь кругового сектора OADB определим по формуле S0=i?V,
абсцисса ее центра тяжести *0=-^-/?—-.
Глава VIII. Центр тяжести
215
§55. ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ
ПЛОСКИХ ФИГУР
Пусть, например, требуется определить положение центра тяжести
плоской фигуры, показанной на рис. 151. Для этого разбиваем дан-
данную фигуру на части простейшей геометрической формы, положение
центров тяжести которых нам известно (в данном примере на три пря-
прямоугольника). Отмечаем на чертеже положение центров тяжести Сх,
С2 и С3 этих прямоугольников. В случае однородной фигуры прило-
приложенные в этих точках веса прямоугольников пропорциональны их
площадям. Поэтому можно на чертеже изобразить эти веса векторами
F\, F2 и F3. длины которых в произвольно выбранном масштабе про-
пропорциональны площадям Slt S2 и S3 прямоугольников. Построив затем
силовой и веревочный многоугольники, находим линию действия рав-
равнодействующей^ проходящую параллельно данным параллельным
силам Ft, F2 и F3 через точку К пересечения сторон а и о; веревочного
многоугольника.
216 Раздел I. Статика
Так как положение центра параллельных сил, а также центра тя-
тяжести не изменится при повороте всех сил на один и тот же угол, то,
повернув все силы Fu F2 и Fs вокруг точек Сх, С2 и С3, например на
90°, вновь строим веревочный многоугольник. Этот веревочный мно-
многоугольник можно построить сразу (не строя нового силового много-
многоугольника), если проводить его стороны не параллельно, а перпендику-
перпендикулярно к соответствующим лучам ранее построенного силового много-
многоугольника*. Проводя через точку К' пересечения сторон а' и ш'
нового веревочного многоугольника прямую, параллельную силам F\,
Fa' nF3', находим линию действия их равнодействующей. Так как центр
тяжести фигуры есть точка, через которую всегда проходит равнодей-
равнодействующая сил тяжести отдельных ее частей, то он лежит в точке С пере-
пересечения прямых КС и К'С.
§56. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ К РАЗДЕЛУ «СТАТИКА»
1. В чем состоит предмет статики?
2. Что следует отнести к основным понятиям статики? Как опре-
определяются эти понятия?
3. Как формулируются аксиомы статики?
4. Чем отличается несвободное тело от свободного?
5. Что называется силой реакции связи? Почему сила реакции
связи называется пассивной силой?
6. При каком условии можно рассматривать несвободное тело как
свободное?
7. В чем состоят геометрический и аналитический методы опреде-
определения равнодействующей плоской или пространственной системы схо-
сходящихся сил?
8. Чем равнодействующая отличается от уравновешивающей силы?
9. Всякая ли система сил имеет равнодействующую?
10. Как формулируются условия равновесия системы сходящихся
сил в геометрической и аналитической формах?
11. В чем состоит теорема о трех уравновешивающихся непарал-
непараллельных силах?
12. Что называется парой сил?
13. Как направлен и чему равен по модулю вектор-момент пары?
14. При каком условии две пары будут эквивалентными?
15. В чем состоит теорема о сложении системы пар, расположенных
в одной плоскости и в различных плоскостях?
16. В чем состоит условие равновесия системы пар, расположен-
расположенных в одной плоскости и в различных плоскостях?
* Если данная плоская фигура имеет ось симметрии, то надобность в по-
построении второго веревочного многоугольника отпадает, так как заранее из-
известно, что центр тяжести такой фигуры лежит на оси симметрии.
Глава VIII. Центр тяжести 217
17. Как направлен и чему равен по модулю вектор-момент силы
относительно данной точки?
18. В каком случае вектор-момент силы относительно точки равен
нулю?
19. Изменится ли вектор-момент силы относительно данной точки
при переносе точки приложения силы по линии ее действия?
20. Что называется моментом силы относительно данной оси и как
выбирается знак этого момента?
21. В каких случаях момент силы относительно данной оси равен
нулю?
22. Какая существует зависимость между вектором-моментом си-
силы относительно данной точки и моментом той же силы относитель-
относительно оси, проходящей через эту точку?
23. Что называется главным вектором произвольной плоской
(или произвольной пространственной) системы сил? Какая разница
между главным вектором и равнодействующей?
24. Изменится ли главный вектор данной системы сил при пере-
перемене центра приведения?
25. Что называется главным моментом произвольной плоской сис-
системы сил и главным вектором-моментом произвольной пространствен-
пространственной системы сил?
26. Как изменяется главный вектор-момент произвольной про-
пространственной системы сил при перемене центра приведения?
27. При каком условии главный момент произвольной плоской
системы сил и главный вектор-момент произвольной пространствен-
пространственной системы сил не зависят от выбора центра приведения?
28. Какие величины являются инвариантами произвольной про-
пространственной системы сил?
29. В каких случаях произвольная пространственная система сил
приводится к равнодействующей?
30. В чем состоит теорема Вариньона о моменте равнодействую-
равнодействующей произвольной плоской и произвольной пространственной систе-
системы сил?
31. В каком случае произвольная плоская (или произвольная
пространственная) система сил приводится к одной паре?
32. Что называется динамой? В каком случае произвольная про-
пространственная система сил приводится к динаме?
33. Что называется центральной винтовой осью произвольной про-
пространственной системы сил?
34. Как формулируются условия равновесия произвольной плос-
плоской и произвольной пространственной систем сил?
35. Сколько неизвестных величин должно входить в уравнения
равновесия сил, расположенных в одной плоскости, для того чтобы
задача была статически определимой?
36. В чем заключается метод решения задачи о равновесии систе-
системы, состоящей из нескольких твердых тел? Сколько независимых урав-
218 Раздел I. Статика
нений равновесия можно составить в такой задаче, если все силы, дей-
действующие на систему, расположены в одной плоскости?
37. Что называется углом трения? Какая зависимость существует
между углом трения и коэффициентом трения?
38. При каком условии не произойдет ни скольжения, ни качения
цилиндра по связи?
39. При каком условии возможно как качение, так и скольжение
цилиндра по связи?
40. При каком условии имеет место только качение и при каком
только скольжение?
41. В чем основное отличие коэффициента трения качения от коэф-
коэффициента трения скольжения?
42. Как формулируются условия равновесия произвольной плос-
плоской системы сил в графостатике?
43.. Как определить по диаграмме Максвелла—Кремоны, будет ли
данный стержень фермы сжат или растянут?
44. В какой форме составляются уравнения равновесия в способе
разрезов фермы?
45. Какая ферма называется фермой с лишними стержнями?
46. Какая зависимость существует между числом стержней и чис-
числом узлов фермы, не имеющей лишних стержней?
47. Как формулируются условия равновесия плоской и простран-
пространственной системы параллельных сил?
48. Что называется центром данной системы параллельных сил?
49. Какая точка называется центром тяжести данного тела?
50. Какие существуют способы нахождения центров тяжести тел?
В чем заключаются эти способы?
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
КИНЕМАТИКА
Глава IX
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
§57. ВВЕДЕНИЕ
В кинематике изучается движение точек или тел с чисто геометри-
геометрической стороны, без учета их масс и вне зависимости от действующих
на них сил*.
В процессе исторического развития теоретической механики кине-
кинематические исследования долгое время (до XIX в.) не отделялись от
вопросов динамики. Однако развитие техники машиностроения при-
привело к необходимости выделения кинематики в особый раздел теорети-
теоретической механики, и при этом кинематика стала теоретической основой
теории механизмов и машин.
В теоретической механике изучается только механическое движе-
движение, г. е. происходящее с течением времени изменение положения
одного тела по отношению к другому телу, с которым неизменно свя-
связана какая-нибудь система осей координат, называемая системой
отсчета. Систему отсчета можно связать с любым телом. Эта система
может быть как условно неподвижной, так и движущейся.
Если координаты всех точек тела в выбранной системе отсчета ос-
остаются все время постоянными, то тело по отношению к этой системе
отсчета находится в покое. Если же координаты точек тела с течением
времени изменяются, то тело по отношению к выбранной системе от-
отсчета находится в движении.
По отношению к различным системам отсчета точка или тело мо-
может совершать различные движения или находиться в покое. В этом
* В кинематике мы часто будем употреблять слово «точка» без прибавления
слова «материальная», если только понятие «точка» по смыслу изложения не
будет требовать уточнений. Кроме того, мы будем рассматривать все тела как
абсолютно твердые, но для краткости часто будем называть их твердыми или
просто телами. О понятиях «материальная точка» и «абсолютно твердое тело»
см. введение в настоящий курс теоретической механики.
220 Раздел //. Кинематика
смысле покой и движение точки или тела относительны и зависят от
выбранной системы отсчета.
Для описания движения точки или тела нужно не только выбрать
систему отсчета, но и установить способ определения времени, соот-
соответствующего тому или иному положению движущейся точки или
движущегося тела в выбранной системе отсчета.
Время в теоретической механике считается универсальным (абсо-
(абсолютным), т. е. протекающим одинаково во всех рассматриваемых сис-
системах отсчета и не зависящим от движения одной системы по отноше-
отношению к другой. При этом время рассматривается как непрерывно из-
изменяющаяся скалярная величина t, играющая роль независимой
переменной (аргумента).
Для измерения времени используются периодические процессы,
данные природой (например, вращение Земли вокруг своей оси),.либо
периодические процессы, создаваемые искусственно (например, коле-
колебания маятника в маятниковых часах). За единицу времени обычно
принимается одна секунда A сек).
Первоначально секунда была определена как интервал времени,
равный 2 3600 части средних (за год) солнечных суток.
Однако это определение секунды обладает существенным недостат-
недостатком. Как показали наблюдения, суточное вращение Земли вокруг своей
оси, на котором основано определение средних солнечных суток, под-
подвержено колебаниям, закономерности которых пока еще не установ-
установлены и учету не поддаются. Возникшая в связи с этим неточность с оп-
определением секунды привела к необходимости искать другой эталон
единицы времени, не связанный с суточным вращением Земли.
В международной системе единица времени одна секунда A сек)
определена как интервал времени, равный ,. _ . части
тропического года для 1900 г. Это новое определение секунды устра-
устраняет погрешность прежнего определения. Но для современных научных
и технических целей такое определение секунды все-таки не является
достаточно точным. Поэтому в дальнейшем предполагается провести
работы для создания еще более совершенного эталона времени на базе
использования колебаний атомов и молекул.
Отсчет времени ведется от некоторого начального момента (t=0),
о выборе которого в каждом случае уславливаются. Всякий данный
момент времени t определяется числом секунд, прошедших от началь-
начального до данного момента. При этом момент времени считается поло-
положительным, если он следует за начальным, и отрицательным, если он
предшествует начальному. Число секунд, определяющих два каких-
либо последовательных момента времени tx и t2, называется промежут-
промежутком времена (At=t2—tj.
Всякое твердое тело можно рассматривать как совокупность ма-
материальных точек. Разные точки движущегося тела могут совершать,
Глава IX. Кинематика точка 221
вообще говоря, различные движения относительно выбранной сис-
системы отсчета. Для того чтобы полностью определить движение какого-
либо твердого тела относительно выбранной системы отсчета, нужно
знать движение каждой его точки относительно той же системы от-
отсчета. Поэтому прежде всего необходимо установить основные поло-
положения кинематики точки, а затем перейти к изучению кинематики
твердого тела.
В этой главе будет дано изложение только кинематики точки. В
кинематике точки рассматриваются следующие две основные задачи:
1) установление математических способов задания (описания) движе-
движения точки по отношению к данной системе отсчета; 2) определение
по заданному закону движения точки всех кинематических характе-
характеристик этого движения (траектории, скорости, ускорения и т. п.).
Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка от-
относительно выбранной системы отсчета, называется траекторией
точки. Форма траектории точки зависит от выбора системы отсчета.
Если траектория точки есть прямая линия, то движение точки назы-
называется прямолинейным, если траектория точки — кривая линия,
то — криволинейным.
Изучить кинематически движение точки относительно выбранной
системы отсчета — это значит определить ее траекторию за данный
промежуток времени, а также скорость и ускорение в каждый данный
момент времени.
Движение точки считается заданным,если указан способ, позволяю-
позволяющий определить положение точки в каждый момент времени относи-
относительно выбранной системы отсчета. Существуют три наиболее рас-
распространенных способа задания криволинейного движения точки:
1) векторный, 2) координатный, 3) естественный, или натуральный.
Векторный способ применяется главным образом при исследовании
теоретических вопросов, а координатный и естественный употребляют-
употребляются преимущественно при решении различных практических задач.
Теперь последовательно разберем эти три способа задания движе-
движения точки.
§ 58. ЗАДАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ВЕКТОРНЫМ СПОСОБОМ
1. Закон криволинейного движения точки в векторной форме.
Пусть точка М движется по отношению к прямоугольной системе
осей координат Oxyz (рис. 152). Построим вектор г=ОМ, соединяю-
соединяющий произвольно выбранное условно неподвижное начало координат О
с движущейся точкой М. Этот вектор называется радиусом-вектором
точки М. При движении точки М ее радиус-вектор г будет с течением
времени изменяться по модулю и по направлению, и поэтому он пред-
представляет собой некоторую векторную величину, зависящую от време-
222
Раздел II. Кинематика
ни. Такая векторная величина называется вектором-функцией от вре-
времени и обозначается символом
г=Щ. A)
По самой природе движения вектор-функция f(t) должна быть од-
однозначной, непрерывной и дважды дифференцируемой.
М
Рис. 152
Рис. 153
Задать движение точки М — значит знать ее положение относитель-
относительно данной системы отсчета Oxyz в любой момент времени. Векторное
уравнение A) вполне определяет движение точки, так как оно позволяет
в любой момент времени t построить соответствующий радиус-вектор
г и найти положение движущейся точки М. Поэтому это уравнение
называют уравнением движения или законом криволинейного движения
точки в векторной форме.
Если г изменяется в зависимости от времени t, то точка М будет
двигаться по некоторой траектории. Траектория точки есть геометри-
геометрическое место концов радиуса-вектора г, следящего за движущейся
точкой М. В этом смысле траекторию точки часто называют годогра-
годографом ее радиуса-вектора г*. Если r=const, то точка М находится в по-
покое относительно выбранной системы отсчета.
2. Вектор скорости точки в данный момент времени. Пусть не-
некоторая точка совершает какое-либо движение по криволинейной
траектории АВ (рис. 153). Пусть в момент времени t эта точка занимает
на траектории положение М, определяемое радиусом-вектором г
_ >
• Линия, образованная концом переменного вектора, начало которого на-
находится в определенной точке пространства, называется годографом этого век-
вектора.
Глава IX. Кинематика точки 223
а в момент времени tx=t-\-At— положение Мг, определяемое радиу-
радиусом-вектором гх. Вектор ЛШХ, имеющий начало в начальном положении
движущейся точки, а конец— в конечном, называется вектором пере-
перемещения точки за данный промежуток времени (At==t1—t).
Отношение вектора перемещения точки к тому промежутку вре-
времени, в течение которого это перемещение происходит, называется
вектором средней скорости точки за этот промежуток времени
Так как At — положительная скалярная величина, то вектор
средней скорости уср направлен также, как вектор перемещения ММ1у
т. е. по хорде в сторону движения точки.
Из векторного треугольника OMMt видно, что
rx = г + ММЪ
откуда перемещение точки М будет
= гх — г =з Дг,
где Дг представляет собой векторное приращение радиуса-вектора
движущейся точки*.
Подставляя это значение в выражение B), получим
Таким образом, вектор средней скорости точки за промежуток вре-
времени At равен по модулю и направлению отношению векторного при-
приращения радиуса-вектора точки к этому промежутку времени.
Очевидно, что значение вектора средней скорости точки за проме-
промежуток времени At будет зависеть от величины этого промежутка вре-
времени. Чем меньше промежуток времени At, тем точнее вектор средней
скорости будет характеризовать изменение вектора перемещения за
единицу времени в течение промежутка At.
Предел, к которому стремится вектор средней скорости при стрем-
стремлении промежутка времени At к нулю, называется вектором скорости
точки в данный момент времени и обозначается через v.
Следовательно,
L) = lim—. D)
«-о A t
* В самом общем случае криволинейного движения точки векторное прира-
приращение ее радиуса-вектора определяет изменение этого радиуса-вектора и по мо-
модулю, и по направлению.
224 Раздел II. Кинематика
Предел отношения -гт при Д?->-0 представляет собой первую век-
векторную производную от радиуса-вектора точки по времени t и обоз-
А г *
начается символом-^- или г. Поэтому выражение D) примет вид
Следовательно, вектор скорости точки в данный момент равен
первой производной от радиуса-вектора этой точки пд времени*.
Так как вектор acp=-r^ направлен по хорде ММг в сторону дви-
движения и при At^O точка М1 стремится по кривой к точке М, а хорда
MMt переходит в касательную к траектории, то вектор v= lim-r^ на-
правлен по касательной к траектории в соответствующей (по времени)
точке в сторону движения.
Таким образом, вектор скорости точки в данный момент направ-
направлен по касательной к траектории точки в сторону движения этой
точки.
Следует заметить, что в общем случае модуль вектора скорости**
в данный момент v=-^~ не равняется производной -^ от модуля ра-
радиуса-вектора г точки по времени, т. е. \ъ\ф~.
В самом деле, если, например, точка движется по окружности с
центром в начале координат, то ее радиус-вектор г меняется с течением
времени только по направлению. Отсюда следует, что точка, движу-
щаяся по окружности, имеет скорость v~-ji^0, так как с течением
времени г меняется по направлению, а -Ш=0, так как все время
— , „ r~\\dr, d\r\
|r|=const. Отсюда ясно, что РрЬг^-
Из определения скорости следует, что ее размерность будет
Ы = 1длина1
[время]
* В самом общем случае криволинейного движения точки ее вектор скорости
характеризует изменение с течением времени модуля и направления радиуса-
вектора этой точки.
** Модуль вектора скорости v мы будем обозначать той же буквой, но без
черты над ней, например V, или будем обозначать его символом |о|.
Глава IX. Кинематика точки
225
Каждому выбору единицы длины и единицы времени соответствует
своя единица скорости. Из структуры размерности скорости можно
вывести, как будет изменяться ее численное значение, если изменятся
единицы длины и единицы времени. Например, если мы желаем выра-
выразить в —¦_ скорость и=20 м/сек, то нужно только учесть, что \м=
час
1000
КМ,
1 сек =
1
ч> и с этими символами поступить как с математическими
величинами. Подставив, получим
1
о = 20 — = 20
сек
1000
1
3600
^ = 20-3,6 = 72 — .
1000 час
3. Годограф вектора скорости. Отнесем движение точки М к пря-
прямоугольной системе осей координат Oxyz (рис. 154, а). В са-
самом общем случае криволинейного движения вектор скорости v точки
а)
х
Рис. 154
М изменяется как по модулю, так и по направлению. Пусть при этом
точка М в моменты времени tlt t2,..., tn находится в положениях Ми
М2, ..., Мп и имеет в эти моменты времени соответствующие векторы
скорости vu vit ..., vn.
Чтобы удобнее было следить за изменением модуля и направления
вектора скорости v точки М, возьмем новую прямоугольную систему
осей координат О^^С (рис. 154, б), параллельных и одинаково направ-
16 Н, С Сахарный
226
Раздел II. Кинематика
ленных осям системы координат Охуг, и перенесем в неподвижное на-
начало Ог этой новой системы параллельно самим себе все векторы ско-
скорости^, ~vs, ..., "v~n. Тогда геометрическое место концов Blt В2, ..., Вп
этих векторов скорости представит некоторую кривую, которая назы-
называется годографом вектора скорости v (рис. 154, б).
Таким образом, годограф вектора скорости представляет собой
геометрическое место концов векторов скорости движущейся точки,
отложенных от одной и той же произвольной точки пространства.
Так как согласно построению
радиусы-векторы годографа ско-
скорости суть векторы скорости
движущейся точки М, то непо-
непосредственно на этом годографе
мы можем не только увидеть, но
и измерить изменение направле-
направления и модуля вектора скорости
v точки М.
В § 59 будет показано, каким
образом можно составить урав-
уравнение годографа вектора скорос-
скорости v точки М относительно осей
О1 % 7| 5.
4. Вектор ускорения точки
в данный момент времени. Пусть
в момент времени t движущаяся
точка находится в положении М
и имеет вектор скорости_г>, а в момент tx приходит в положение Мх и
имеет вектор скорости vx (рис. 155). Тогда за промежуток времени
At=tt—t вектор скорости получает векторное приращение Av=Vx— v,
которое определяет изменение вектора скорости и по модулю, и по
направлению.
Если мы отложим мысленно от точки М вектор vt и построим парал-
параллелограмм, в котором диагональю будет вектор vlt а одной из сторон—
вектор v, тогда, очевидно, вторая сторона будет изображать вектор
Av.
Разделив вектор Av на соответствующий промежуток времени
Д*, получим вектор
Рис. 155
До
At
который называется вектором среднего ускорения точки за этот про-
промежуток времени.
Глава IX. Кинематика точки 227
Перейдя к пределу, при Д^О получим вектор
до=Нт —— , или w — —— = v, F)
который называется вектором ускорения точки в данный момент вре-
времени.
Учитывая, что ~v== -? > и подставляя это значение в формулу F),
получим
*=Ж = '" G)
Таким образом, вектор ускорения точки в данный момент равен
первой производной от вектора скорости точки по времени или вто'
рой производной от радиуса-вектора точки по времени*.
Установим направление вектора ускорения. Из рис. 155 следует,
что вектор Д v, а стало быть, и вектор wcp всегда должен быть направ-
направлен в сторону вогнутости траектории; следовательно, и предел вектора
wcp, т. е. вектор w, также направлен в сторону вогнутости траектории.
Найдем, как располагается вектор ускорения w по отношению к
траектории точки. В том случае, когда траектория точки является
плоской кривой, вектор ускорения w, так же как и вектор шср,лежит
в плоскости этой траектории и направлен в сторону ее вогнутости.
Вообще говоря, может оказаться, что траектория точки не является
плоской кривой. Пусть точка совершает движение по некоторой не-
неплоской криволинейной траектории и в момент времени t находится
в точке М на этой траектории (рис. 155). Построим в точке М каса-
касательную к траектории**; единичный вектор этой касательной обозна-
обозначим через 1°. Возьмем на траектории вторую точку Ми близкую к
точке М, и построим единичный вектор касательной i°t. Перенесем
вектор х0! параллельно самому себе в точку М и проведем плоскость
через два пересекающихся вектора т° и х°. Ориентация этой плоскости
в пространстве зависит от вида траектории и определяется заданием
двух касательных в точках М и Мг. Очевидно, что вектор wcp лежит
в этой плоскости. Будем теперь точку УИХ неограниченно приближать
к точке М. Тогда плоскость, определяемая векторами t° и т°1( будет
• В самом общем случае криволинейного движения точки ее вектор ускоре-
ускорения характеризует изменение с течением времени модуля и направления век-
вектора скорости этой точки.
** Предельное положение прямой, проходящей через точку криволинейной
траектории и соседнюю с ней, определяет касательную к этой траектории в дан-
данной точке М.
16*
228 Раздел II. Кинематика
поворачиваться около прямой х°, стремясь к некоторому предельному
положению. Предельное положение плоскости х°Мх°1, когда точка М\
неограниченно приближается к точке М, определяет соприкасающую-
соприкасающуюся плоскость траектории в точке М*. Следовательно, предел вектора
даср> т. е. вектор до, лежит в соприкасающейся плоскости.
Таким образом, мы приходим к заключению: вектор ускорения точ-
точки в данный момент всегда лежит в соприкасающейся плоскости и на-
направлен в сторону вогнутости криволинейной траектории.
Теперь найдем, как располагается
вектор ускорения w по отношению
к годографу вектора скорости v. Пусть
(Г) — годограф вектора скорости v
точки М (рис. 156). Пусть моменту t
соответствует радиус-вектор Оф это-
этого годографа (Г), представляющий
вектор скорости v точки М, а мо-
моменту t1 = t-\-^t соответствует радиус-
вектор 0гВг того же годографа, пред-
представляющий вектор скорости vt =
рис 156 = о+Ду. Ясно, что вектор среднего
ускорения шср = -г-будет представлять
собой среднюю скорость точки В на годографе (Г). Так как Д^ скаляр, а
вектор Av направлен по хорде ВВХ годографа (Г), то вектор т>ср также
направлен по этой же хорде в сторону изменения вектора скорости и
(см. рис. 156). Переходя к пределу, при Д^О мы получим вектор
ускорения w точки М в момент t или скорость точки В на годографе
(Г) в момент t. При этом очевидно, что вектор ускорения w точки М
будет направлен по касательной к годографу (Г), в соответствующей
(по времени) точке.
Следует заметить, что в общем случае модуль вектора ускорения
— dv . d\v\
w= -n не равняется производной -~г от модуля вектора скорости
о точки по времени, т. е. М^тт
Действительно, если, например, точка равномерно движется по
окружности, то ее вектор скорости v меняется с течением времени
* Из всех плоскостей, проходящих через точку М, соприкасающаяся плос-
плоскость теснее других плоскостей прилегает к траектории. Для неплоской криво-
криволинейной траектории в каждой точке траектории будет своя соприкасающаяся
плоскость. Для плоской криволинейной траектории соприкасающаяся плоскость
совпадает с плоскостью, в которой расположена траектория, и является общей
для всех точек этой траектории.
Глава IX. Кинематика точки 229
только по направлению. Отсюда следует, что точка, движущаяся
равномерно по окружности, имеет ускорение w=-г, фи, так как с
течением времени вектор v изменяется по направлению, а , -jf— О,
так как все время |a|=const. Отсюда ясно, что \w\=Ы?=-^г •
Из определения ускорения следует, что его размерность будет
_ [скорость] _ [длина] . , _ _]длина]_
[Wi ~ [время] - [время] ' 1вРемя1 - [время]» '
Каждому выбору единицы длины и единицы времени соответствует
своя единица ускорения. Из структуры размерности ускорения можно
вывести, как будет изменяться его численное значение, если изменят-
изменятся единицы длины и единицы времени. Например, если мы желаем
выразить в —- ускорение да=36 —2, то нужно только учесть, что
1 /см=1000 м, 1 мин=60 сек, и с этими символами поступить как с ма-
математическими величинами. Подставив, получим
ос км ос 1000 п- 1000 1П м
w = 36 -——»- = 3d агл„ = до
мин* 60* 3600 *" сек* '
§59. КООРДИНАТНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ „ТОЧКИ
1. Закон криволинейного движения точки при координатном спо-
способе задания движения. Положение точки по отношению к прямо-
прямоугольной декартовой системе координат Oxyz можно определить ее де-
декартовыми координатами х, у, z (рис. 157).
Если координаты точки в выбранной системе отсчета Oxyz остаются
все время постоянными, то точка по отношению к этой системе отсчета
находится в покое. При движении точки все эти три координаты будут
изменяться с течением времени, следовательно, координаты х, у, Z
движущейся точки суть некоторые функции времени. Определить дви-
движение точки в прямоугольных декартовых координатах — это значит
найти ее координаты х, у, z как функции времени:
По самой природе движения функции f^t), f2(t) и /3@ должны быть
однозначными, непрерывными и дважды дифференцируемыми. Урав-
Уравнения A) вполне определяют движение точки. Действительно, зная
уравнения A), мы можем найти для каждого данного момента времени
соответствующие значения х, у, z и, следовательно, указать положение
точки по отношению к выбранной системе отсчета Oxyz. Поэтому урав-
230
Раздел II. Кинематика
нения A) называются уравнениями движения точки в прямоугольных
декартовых координатах или законом криволинейного движения точки
при координатном способе задания движения.
z
У
х
Рис. 158
Если во все время движения точка остается в одной плоскости, то
можно принять эту плоскость за одну из координатных плоскостей,
например за плоскость Оху. Положение точки М в данной плоскости
можно определить двумя координатами х и у (рис. 158), и, следователь-
следовательно, плоское движение точки определяется двумя уравнениями дви-
движения в прямоугольных декартовых координатах
х = f (t)', и = / (t). B)
2. Определение траектории точки. Рассматривая в уравнениях
движения точки A) или B) время t как параметр, мы замечаем, что
эти уравнения будут являться уравнениями траектории точки в пара-
параметрической форме. Исключая время t из уравнений A) или B), мы
получим уравнение траектории точки в координатной форме, т. е.
в виде зависимости только между координатами точки.
Траекторию движущейся точки М можно найти и графически,
построив по заданным уравнениям движения точки A) или B) ряд ее
последовательных положений по отношению к выбранной системе
отсчета и соединив их плавной кривой.
В большинстве практических задач движение точки определяется
геометрическими условиями, вытекающими из заданной конструкции
механизма. По этим условиям и находятся уравнения движения и
траектория интересующей нас точки.
Движение точки считается известным, если в любой момент вре-
времени можно указать положение точки по отношению к выбранной сис-
системе отсчета, ее скорость и ускорение.
3. Определение скорости точки при координатном способе задания
движения. Координаты х, г/ и z движущейся точки можно рассматривать
Глава IX. Кинематика точки 231
как проекции радиуса-вектора г этой точки на координатные оси Ох,
Оу и Oz. Вводя единичные векторы (орты) i, j, k вдоль осей Ох, Оу,
Oz соответственно, можно радиус-вектор г разложить по этим осям
и представить в виде
T^xT+yJ+zF, C)
где i, j, k постоянны по модулю и направлению, так как система осей
Охуг предполагается неподвижной, а х, у, z изменяются с течением
времени. Зная, что вектор скорости и точки равен -т. , и дифференци-
дифференцируя выражение C) по времени, находим
¦~? м--?7+-?•!¦ М
С другой стороны, вектор скорости v, как и всякий вектор, можно
разложить по координатным осям и представить в виде
~v-vxT+vj + vjk, E)
где vx, vy и vz—проекции вектора скорости v на оси координат Ох,
Оу и Oz.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых единичных векторах в
формулах D) и E), получаем
dx du dz ' /«ч
Таким образом, проекции вектора скорости на неподвижные оси
декартовых координат равны первым производным от соответствую-
соответствующих координат движущейся точки по времени.
Зная проекции вектора скорости v, найдем его модуль по формуле
+ 4 + fi =Ух?+уЛ + г* , G)
где корень следует брать в его арифметическом значении.
Чтобы определить направление вектора скорости v, нужно найти
его направляющие косинусы с осями координат. По определению про-
проекции вектора на ось имеем
(-АЛ (_Л_1 I Л
vx = v cos \v, i) ; vy= v cos \v, j J ; vz = v cos \v, k j,
232
Раздел II. Кинематика
откуда
COS У, I =
cos |^, ; J = —
Л-Л _\
COS У, & = —— = -
(8)
V X* + I/2 + Z2
4. Определение уравнения годографа скорости точки. Для этого
снова обратимся к рис. 154. Так как оси Oxbf, параллельны осям
Oxyz и радиусы-векторы годографа скорости суть векторы скорости
движущейся точки М, то координаты (?, т], С) точек годогрзфа ско-
скорости должны быть соответственно равны проекциям vx=x—fi'{t);
Vy=y—f\(t)\ иг=2=/'я@ вектора скорости v на оси Oxyz
Эти уравнения можно рассматривать как параметрические урав-
уравнения годографа. Чтобы получить уравнение годографа скорости в
координатной форме, достаточно из уравнений (9) исключить время t.
5. Определение ускорения точки при координатном способе зада-
задания движения. Проекции вектора ускорения точки определяются так
же, как и проекции вектора скорости этой точки. Будем исходить из
основного определения вектора ускорения, согласно которому
— dv d^r
dt dt2
Учитывая, что г =xi-\-yJ-\rzk, и выполняя дважды дифференци-
дифференцирование г по времени, получим
— _ d*x — . d2y — d?z -r
dt2 dfi dt^
A0)
так как i, j, k постоянны по модулю и по направлению.
С другой стороны, вектор ускорения w мсжно разложить по
координатным осям и представить его в виде
w
wyj
где wx, шу и 10г -
нат Ох, Оу и Oz.
проекции вектора ускорения w на сси коорди-
Глава IX. Кинематика точки
233
Сравнивая коэффициенты при одинаковых единичных векторах
в формулах A0) и A1), получаем
d2y
= -Ш = У> wz =
= -^ = г.
A2)
Так как vx~x, vy=y, vz=z, то формулы A2) можно еще представить
в следующем виде:
d . ... dvz
dt
wy = 4T
dt
A3)
Таким образом, проекции вектора ускорения на неподвижные оси
декартовых координат равны первым производным от соответствую-
соответствующих проекций вектора скорости на те же оси по времени или вторым
производным от соответствующих координат движущейся точки по
времени.
Модуль вектора ускорения вычисляется по формуле
= \w\ = Vw\ + wl + w\ = Vx* + y*+ z» , A4)
а его направляющие косинусы с осями координат — по формулам:
/ Л \ ... ¦.:
COS\ W, I =
cos
А
1 =
W
/ Л _\
cos до, k I =
W
V л!
+ у2 + г2
A5)
Если во все время движения точка остается в одной и той же плос-
плоскости, например в плоскости Оху, то в этом случае во всех формулах
нужно положить z=z=0. При этом модуль и направление вектора
скорости движущейся в плоскости Оху точки определяются по форму-
формулам:
У =
COS I», i
+ у* ;
CCS
/ =
V;.
A6)
A7)
15 Н. Ф. Сахарный
234
Раздел II. Кинематика
а модуль и направление ее вектора ускорения — по формулам:
W
wl
W
w
A9)
Таким образом, зная закон криволинейного движения точки, вы-
выраженный уравнениями A, 2), можно в каждый момент времени опре-
определить не только положение точки относительно выбранной системы
отсчета, но и основные характеристики ее движения — траекторию,
скорость и ускорение.
6. Прямолинейное движение точки. Если точка М движется по
прямой, то, приняв эту прямую за ось Ох (рис. 159), во все время дви-
движения будем, очевидно, иметь y=z=0.
м
w
х
Рис. 159
Тогда на основании формул A) найдем, что
B0)
Уравнение B0) выражает закон прямолинейного движения точки.
Заметим, что величина х в уравнении B0) определяет положение
движущейся точки М на оси Ох, а не пройденный ею путь. В самом деле,
если точка, двигаясь из начала О, доходит до положения М, а затем,
перемещаясь в обратном направлении, приходит в исходное положение
О, то в этот момент ее координата х=0, а пройденный за время движе-
движения путь будет равен 2 • ОМ, т. е. не равен х. Если же точка М движется
вдоль оси в одну сторону и в начальный момент находится в начале
координат О, то абсолютное значение координаты х будет являться
в то же время и длиной пройденного точкой пути. Таким образом, если
сторона движения точки вдоль оси Ох изменяется, то координата этой
точки будет с течением времени то увеличиваться, то уменьшаться,
тогда как путь, пройденный точкой, может только возрастать.
Глава IX. Кинематика точка 235
На основании формул F, 7 и 8) найдем, что вектор скорости точки
направлен по оси Ох, а его проекция на эту ось равна
P, = i = //(/), B1)
так как y=z=0, причем абсолютное значение этой проекции равно
модулю вектора скорости v точки, т. е.
v = \v\=i = \h'(t)\- B2)
Величина х может иметь знак «плюс» или «минус». Знак х указы-
указывает на то, в какую сторону по оси Ох направлен вектор скорости.
Если л:>0, то движение точки происходит в сторону возрастания х
(вектор скорости v направлен в положительном направлении оси Ох).
Если же х< 0, то движение точки происходит в сторону убыва-
убывания х (вектор скорости и направлен в отрицательном направлении
оси Ох).
На основании формул A3, 14 и 15) находим, что вектор ускорения
точки направлен по оси Ох, а его проекция на эту ось и модуль равны
ю, = * = /Л9; B3)
w = №\ = \x\ = \fl''(t)\, B4)
так как у=г=0. _
Если *>0, т0 вектор ускорения w направлен в положительную сто-
сторону оси Ох; если же #<0, то в отрицательную.
Пусть #>0. Если при этом х >0, то модуль вектора скорости точки
возрастает, и, следовательно, прямолинейное движение точки будет
ускоренным; если же х<0, то модуль вектора скорости точки убывает,
и, следовательно, прямолинейное движение точки будет замедленным.
Очевидно, прямолинейное движение точки будет ускоренным, когда
векторы скорости и ускорения направлены в одну сторону, т. е. когда
х я х имеют одинаковые знаки (рис. 159), и замедленным, когда векто-
векторы скорости и ускорения направлены в разные стороны, т. е. когда
х и х имеют разные знаки (рис. 160).
Если за все время движения точки вдоль прямолинейной траек-
траектории (вдоль оси Ох) модуль ее вектора ускорения остается неизмен-
неизменным, то такое прямолинейное движение точки называют равномерно-
переменным. При этом в зависимости от того, будут ли величины х и
15*
236 Раздел II. Кинематика
х иметь одинаковые или различные знаки, прямолинейное движение
точки будет равномерно-ускоренным или равномерно-замедленным.
Если за все время прямолинейного движения точки модуль ее
вектора скорости остается неизменным, то такое прямолинейное дви-
0
1—
1 "
W
X
м
А
Рис.
V X
160
жение называется равномерным. В этом случае ускорение точки рав-
равно нулю.
Определим закон прямолинейного и равномерного движения точ-
точки. Пусть
dx ,
х dt
или
dx = vdt B5)
и в начальный момент (t = 0) точка М находится от начала от-
отсчета О на расстоянии х=х0 (рис. 159). Тогда, беря от левой и правой
частей равенства B5) интегралы в соответствующих пределах, полу-
получим
'\dx = vj dt,
ИЛИ
X — Xa = Vt,
так как y=const. Окончательно находим закон прямолинейного и
равномерного движения точки в виде
х = х0 + vt. B6)
Начало отсчета расстояния х можно выбрать так, чтобы при ^=0
расстояние было равно нулю. Тогда закон прямолинейного и равно-
равномерного движения будет
х = vt.
Найдем теперь закон прямолинейного и равномерно-переменного
движения точки. Пусть
йгх
Глава IX. Кинематика точки 237
ИЛИ
d(x) = d (—\ = wdt, B7)
и в начальный момент (^=0) х=х0 и x=x0=v0. Так как ay=const,
то, взяв от обеих частей равенства B7) интегралы в соответствующих
пределах, получаем
ИЛИ
х — v0 — wt.
Отсюда находим проекцию вектора скорости v на ось Ох
vx = x = v0 + wt. B8)
Эту формулу можно представить в виде
dx = vodt + wtdt.
Беря от обеих частей последнего равенства интегралы в соответ-
соответствующих пределах, получаем
X t t
J dx = v0 j dt + w J tdt,
*o ¦ 0 0
X Xq = У()Г -J 2~ >
так как t>o=const и i^=const. Окончательно находим закон прямоли-
прямолинейного и равномерно-переменного движения точки в виде
x = xo + vot + ~. B9)
Скорость этого движения определяется формулой B8).
7. Гармоническое движение. Особый практический интерес пред-
представляет прямолинейное движение точки М, при котором ее расстоя-
расстояние х от начала координат О (рис. 161) изменяется со временем по за-
закону
х — asinwt, C0
где а и (в — постоянные величины.
238 Раздел II. Кинематика
Прямолинейное движение точки, совершаемое по закону C0),
называется простым гармоническим движением. Расстояние х дви-
движущейся точки М изменяется в пределах от +а до —а, так как sin <ot
изменяется в пределах от +1 до —1. Поэтому рассматриваемое движе-
движение точки М есть колебательное движение. Наибольшее расстояние,
на которое точка М может удалиться от центра колебаний О, равно а
t x t
в fll* "\^M w х_
~а Л а "Г *""
Рис. 161
и называется амплитудой колебаний; расстояние А В=2а называется
размахом.
При указанном законе движения в начальный момент t=0 точка
М находится в центре колебаний О, так как при t—Q имеем х=0.
Из центра колебаний О точка М начинает свое движение вправо, так
как при небольших значениях / величина sin Ы положительна.
В дальнейшем движении точка М достигает точки А, а затем перей-
перейдет в точку В и снова вернется в исходную точку О.
За это время точка М совершает полное колебание и в дальнейшем
движении такие колебания будет повторять. Промежуток времени Т,
в течение которого точка М совершает одно полное колебание, назы-
называется периодом полного колебания. Период полного колебания на-
находим из уравнения
которое имеет место, если
откуда
C1)
Надо обратить внимание на то, что период полного колебания не
зависит от начального положения движущейся точки. Величина,
обратная периоду, называется частотой колебания
Очевидно, что N равно числу полных колебаний в секунду. Заметим,
что шг называется фазой колебания, <в — круговой частотой колеба-
Глава IX. Кинематика точки 239
ния. Из формулы C1) имеем со =-^ ; отсюда следует, что круговая
частота колебания определяет число полных колебаний, которое со-
совершает точка в течение 2и сек.
Определим теперь скорость и ускорение точки М, совершающей
гармоническое движение.
Так как
их
то
vx = a cocosco^; wx = — а со2 sin а>^. C3)
Следовательно, в этом движении и скорость, и ускорение точки из-
изменяются с течением времени периодически. Когда точка М находится
в центре колебаний О, где х=0 и sin ш^=0, ускорение точки равно
нулю, а скорость по абсолютной величине имеет наибольшее значение
аш (при sin ш/=0 значение cos u>t—±\). В крайних же положениях
А и В, где х=±а и sin u>/=±l, скорость точки М равна нулю (при
sin wt=±\ значение cos ш/=0), а ускорение по абсолютной величине
имеет наибольшее значение аш2.
По знакам vx и wx легко проверить, что, когда точка движется от
центра колебаний, ее движение является замедленным, а когда к цен-
центру колебаний,— ускоренным.
Аналогичные колебания точка совершает и при законе
х — a cos ait,
только движение в этом случае начинается из положения А.
Движение точки по закону
х = a sin (uit -f- a)
или, если заменить я на| + р, по закону
х = acos(u)t + Р)
также ничем существенным не отличается от рассмотренного. По-
Постоянная величина а (или Р) носит название начальной фазы колебания.
240 Раздел II. Кинематика
8. Указания к решению задач. Задачи по кинематике точки,
решаемые методом прямоугольных декартовых координат, можно
разделить на следующие основные типы:
а) составление уравнений движения точки в декартовых координа-
координатах A, 2) исходя из условий данной задачи;
б) определение траектории, скорости и ускорения точки из данных
уравнений движения точки в декартовых координатах A, 2).
При решении задач первого типа следует выбирать систему осей
прямоугольных декартовых координат, не совмещая начало коорди-
координат с движущейся точкой. Кроме этого, необходимо рассматривать
положение движущейся точки в произвольный момент времени t,
а не ее начальное и конечное положение, и выразить ее текущие коор-
координаты как функции времени t. При этом текущие координаты движу-
движущейся точки можно находить сначала как функции геометрических
параметров задачи, зависимость которых от времени определяется
или по известным условиям, или находится дополнительно по каче-
качественным характеристикам движения.
Решение задач второго типа сводится к использованию соответ-
соответствующих формул A—19). Для того чтобы найти уравнение траекто-
траектории точки в заданной системе координат, достаточно из уравнений
движения A, 2) исключить время t. Для определения векторов скорос-
скорости и ускорения точки необходимо путем дифференцирования функций
A, 2) по времени найти проекции этих векторов на соответствующие оси
координат, а затем по формулам G, 16, 8, 17) и A4, 18, 15, 19) опреде-
определить модули направления векторов скорости и ускорения точки.
К задачам второго типа относятся и такие задачи, когда заданы
проекции вектора скорости или вектора ускорения точки и требуется
определить уравнения движения точки в декартовых координатах
A, 2) и уравнение траектории точки. В этом случае на основании фор-
формул F) и A3) необходимо проинтегрировать заданные функции и
определить искомые уравнения движения точки. Для определения
произвольных постоянных интегрирования нужно использовать дан-
данные начальные или конечные условия, приведенные в условии задачи.
В случае прямолинейного движения точки (по оси Ох) задачи по
кинематике точки также могут состоять в определении скорости или
ускорения точки*. Для решения этих задач нужно знать закон пря-
прямолинейного движения точки B0). Если закон прямолинейного движе-
движения точки непосредственно не задан, то решение задачи надо начинать
с нахождения этого закона.
Задача 35. В механизме, изображенном на рис. 162, ползуны А
и В соединены стержнем АВ длиной l=a-\-b, движутся при вращении
кривошипа OD по взаимно перпендикулярным направляющим Ох и
Оу. Кривошип OD длиной ~- прикреплен к середине стержня АВ шар-
В этом случае траектория движущейся точки известна заранее.
Глава IX. Кинематика точки
241
У.
ниром D. Найти скорость и ускорение каждого из ползунов, а также
траекторию, скорость, ускорение и годограф вектора скорости точки
М, находящейся на расстоянии Ъ от конца А стержня АВ, если угол
DOA=cp изменяется пропор-
пропорционально времени, т. е. cp=<nt,
где o)=const и со>0.
Решение. Как было ука-
указано, в тех случаях, когда закон
движения точки непосредственно
не задан, решение задачи надо
начинать с нахождения уравне-
уравнений, определяющих закон дви-
движения точки.
Для определения закона дви-
движения точек А, В и М примем
направляющие Ох и Оу за коор-
координатные оси. Прежде всего
определим закон движения, ско-
скорость и ускорение каждого из
ползунов А и В. Так как OD =
=AD, то ОАВ=<р. Обозначая
координаты точек А я В соответ-
соответственно через ха а ув, получим
xA=lcos<f, r/g=/sincp
или, подставляя <р=Ы, находим
Рис. 162
xA=lcosu>t; yB =lsin u>t.
Эти уравнения и представляют закон движения каждого из ползу-
ползунов. Как видим, ползуны совершают гармонические колебательные
движения.
Дифференцируя ха и ув по времени t, найдем проекции вектора ско-
скорости каждого из ползунов на координатные оси:
"Ах
= х. = — ш/sinwi;
Дифференцируя эти выражения по времени t, найдем проекции
вектора ускорения каждого из ползунов
w
Ах
= х. = — ш2 / cos о) /;
w
By
= УВ — — ч>21 sin
242 Раздел II. Кинематика
Знаки vax,Waxu уву, Шву указывают направление векторов скорости
и ускорения ползунов. Ползун А из рассматриваемого положения дви-
движется ускоренно, а ползун В — замедленно.
Теперь определим уравнения движения, траекторию, скорость
и ускорение точки М. Обозначая координаты точки М через хм и ум<
из треугольников ВМС и АМЕ находим Хм—асощ, ум=Ь$\щ, или,
подставляя у=Ы,
хм = acoswt; ум = b sin <ot.
Эти выражения и определяют уравнения движения точки М стерж-
стержня АВ.
Чтобы получить уравнение траектории точки М, нужно из урав-
уравнений движения этой точки М исключить время t. Для этого разделим
правую и левую части этих уравнений соответственно на коэффициен-
коэффициенты при косинусе и синусе и возведем обе части в квадрат, затем, сло-
сложив их, получим
х2 и2
хм , Ум _ 1
a2 fc2 ~
Таким образом, траектория точки М — эллипс с полуосями а и Ь.
Если в точке М поместить острие карандаша, то оно вычертит в
плоскости эллипс, уравнение которого только что найдено.
Дифференцируя уравнения движения точки М по времени t,
получим проекции вектора скорости им точки М на оси координат
Отсюда находим модуль вектора скорости
Модуль вектора скорости vm оказывается величиной переменной, ме-
меняющейся с течением времени.
Дифференцируя vMx и vMy повремени /, получим проекции вектора
ускорения wm точки М на оси координат
wMx = хм — — аш2 cos (at;
wMy = ум = — аш2 sin cat,
Глава IX. Кинематика точки 243
или
Следовательно, модуль вектора ускорения wM равен
где г=ОМ есть расстояние движущейся точки М от начала коорди-
координат.
Что касается направления вектора ускорения wm, to оно определя-
определяется формулами
»(-;7)-^—ь.
Так как направление отрезка ОМ образует с осями Ох и Оу углы,
косинусы которых равны Н—- и +—, то вектор, направленный от
точки М к точке О, имеет направляющие косинусы, соответственно
равные —— и ——. Отсюда следует, что вектор ускорения ы>м направ-
направлен вдоль МО к центру описываемого ею эллипса.
Чтобы найти уравнение годографа вектора скорости Vm, нужно ис-
исключить время из выражений для иМх и vmj,- Имеем
vMx • ,
= — sin cor;
= cos «of.
Возводя обе части этих уравнений в квадрат и сложив их, получим
искомое уравнение годографа вектора скорости vm в явном виде
2 2
vMx . vMy _ i
22 Ь22 ~~
244 Раздел II. Кинематика
Следовательно, уравнение годографа вектора скорости — эллипс
с полуосями аш и Ь<о.
Задача 36. Определить траекторию, скорость и ускорение конца
А кривошипа ОА и середины М шатуна АВ, а также скорость и уско-
ускорение поршня В кривошипно-шатуиного механизма (рис. 163), если
ОА=АВ=2а, а угол <р при вращении кривошипа растет пропорцио-
пропорционально времени: cp=W, где <o=const и w>0.
У
/
I
I
I
\
\
\
\
Рис. 163
Решение. Начнем с определения уравнений движения конца
А кривошипа ОА. Возьмем систему координатных осей х и у с началом
в точке О. Обозначая координаты точки А через Ха а у а, находим
х. = О A cos ср = 2а cos cp;
уд = ОА sin <р = 2а sin ср.
Заменяя <р его значением, получим уравнения движения точки А
в виде
хА = 2а cos u>t\
уА = 2а sin шЛ
Для определения траектории точки А возведем эти уравнения в
квадрат и сложим. Тогда получим
Глава IX. Кинематика точки 245
Следовательно, траекторией точки А является окружность радиу-
радиуса 2а, центр которой совпадает с началом координат. В начальный
моментпри ^=0 мы имеем хл=2а, ул=0, т. е. движущаяся точка А на-
находится в точке С (рис. 163). При возрастании времени t от 0 до ^-
функция XA~2.ao.osmt убывает, а у а возрастает, будучи положитель-
положительным. Следовательно, движение точки А по окружности происходит,
как видно, против часовой стрелки.
Проекции вектора скорости va точки А на координатные оси полу-
получим, дифференцируя хди у л по времени t
vAx = хд = — 2аа> sin u>t;
vAy ~ У a =2ao)cosu>?.
Отсюда находим модуль вектора скорости va
= Vх
У а = 2аш = const,
т. е. модуль вектора скорости va не меняется с течением времени.
Направление вектора скорости va
/Л Л v ¦
cosl vA, i I = —— = —sin Ы = —sincp;
cos vA, j = —— = cos cu^ = cos cp.
Вектор скорости va перпендикулярен к радиусу-вектору ОА точ-
точки А и направлен в сторону, показанную на рис. 163.
Проекции вектора ускорения wa точки А на координатные оси
получим, дифференцируя vax и vау по времени t,
dv л
f 2
или
dvAu
WAU = УА = ~W~
WAX =
WAy =
246 Раздел II. Кинематика
Отсюда находим модуль вектора ускорения wa
wa ^ I ®А | = V х\ + у\ = 2аш2 = const.
Модуль вектора ускорения хюа также не меняется с течением вре-
времени. Таким образом, несмотря на постоянство модуля вектора ско-
скорости va точки А, вектор ускорения wa этой точки не обращается в
нуль. Это объясняется тем, что движение точки А происходит по кри-
криволинейной траектории и вектор скорости va все время изменяет свое
направление.
Направление вектора ускорения wa
Л-Л \ w.
cos wA, i = —~- = — cos <at = — cos <?;
_ / \ _ \ w л v
cos wA, j = y = — sin co< = — sin i
или
w
Ax
УА
Отсюда нетрудно установить, что при рассматриваемом равномер-
равномерном движении точки А по окружности ее вектор ускорения wa направ-
направлен вдоль АО к центру окружности.
Теперь определим траекторию, скорость и ускорения точки М ша-
шатуна АВ. Начинаем с определения уравнений движения точки М.
Обозначая координаты точки М через хм и ум, находим
хм = 2а cos <р + a cos cp;
ум = a sin ср.
Подставляя в эти уравнения <р=ш/, получим уравнения дви-
движения точки М:
хм = За cos ш/;
ум = asinw/.
Глава IX. Кинематика точки 247
Для определения траектории точки М представим эти уравнения
движения в виде
*м —
За '
— =sino>*.
а
Возводя обе части этих уравнений в квадрат и сложив их, получим
уравнение траектории точки М
1 2
хм , Ум _ ,
I * •
9а2
Следовательно, траектория точки М — эллипс с полуосями За
и а.
Дифференцируя уравнения движения точки М по времени t, по-
получим проекции вектора скорости им этой точки на координатные оси
Отсюда находим модуль вектора скорости
т. е. модуль вектора скорости меняется с течением времени в пределах
от umin=au) до огаах=3аш.
Дифференцируя значения иМхи иму по времени /, определим проек-
проекции вектора ускорения хюм на координатные оси
WMx = ХМ = ~
= Ум = — Qc°2 sln "t = -
Отсюда находим модуль вектора ускорения ~wM
248 Раздел II. Кинематика
где г — модуль радиуса-вектора г точки М, проведенного из начала
координат О до точки М. Итак, модуль вектора ускорения wm точки
М меняется пропорционально ее расстоянию от начала координат О,
т. е. от центра эллипса.
Направление вектора ускорения wM определим, используя равен-
равенства:
Отсюда, так же как и в задаче 35, находим, что вектор ускорения
Wm движущейся точки М направлен вдоль МО к центру эллипса.
Составим теперь уравнение движения поршня В. Обозначая аб-
абсциссу точки В через Хв, находим *B=4acos<p, или, подставляя <р=ш^,
хв = 4а cos со t.
Это уравнение и определяет уравнение движения поршня В.
Найдем теперь скорость и ускорение поршня В. Дифференцируя
уравнение движения поршня по времени, получаем проекцию вектора
скорости ив поршня на ось Ох
vBx = хв = —
Знак «минус» показывает, что вектор скорости ив в данный момент
направлен в сторону, обратную положительному направлению оси
Ох.
Проекцию вектора ускорения wb поршня на ось Ох получим, диф-
дифференцируя Vbx по времени t,
wBx = хв = — 4ао>2 cos wt.
Знаки vbx и Wbx указывают направление векторов скорости vB и
ускорения Wb- Поршень из рассматриваемого положения движется
ускоренно.
Задача 37. Определить траекторию, а также модули и направляю-
направляющие косинусы векторов скорости и ускорения точки, если проекции
ее вектора скорости на координатные оси выражаются уравнениями:
vx = х = — гш sin ш?;
vy = у = гш cos tof;
Глава IX. Кинематика точки
249
в момент ?=
Решение. Найдем сначала уравнение движения точки, для
чего проинтегрируем заданные уравнения проекций вектора скорости
точки
х =а rcoswt + Сх;
у = г sin wt -f- С2.
Постоянные интегрирования Сг и С2 найдутся из начальных усло-
условий. При ^=0, х=хо=г. Тогда, подставляя это в х, получим Сх=0.
Далее, при t=0, y—yo~h. Подставляя это в у, получим С2=/г.
Подставляя вместо Сг и С2 найденные их значения, найдем искомые
уравнения движения точки
х = г cos tat;
у = h-\- rsirKutf.
Чтобы найти траекторию точки, исключим время t из найденных
уравнений движения. Для этого найдем из первого уравнения
а из второго уравнения &\пЫ.
Возводя обе части каждого из
этих равенств в квадрат и сло-
сложив их, получим
(У -
= 1,
или
м
Следовательно, траектория
точки М есть окружность
(см. рис. 164) радиуса г с цент-
центром в точке С @, h).
В начальный момент времени
движущаяся точка М занимает
(см. рис. 164) положение Л (r,h).
При дальнейшем возрастании
t координата х точки убывает,
а координата у возрастает. Сле-
Рис. 164
250 Раздел II. Кинематика
довательно, точка М движется по окружности в направлении, про-
противоположном движению часовой стрелки.
Дифференцируя заданные уравнения проекций вектора скорости
v точки М по времени t, найдем проекции вектора ускорения w этой
точки на оси координат
wx = х = —¦ г со2 coso)^;
wy = у = — гоJ sin Ы.
Найдем теперь модули и направляющие косинусы векторов ско-
скорости v и ускорения w
cos
v = \v\= V x*+ у* =ги>;
[v, ij=^- = ~sinco^ = cos \-^- + lotj = cos [~ + <?J
cos (у, у j = —¦ = cos (ot = cos
г/2 =ro>2;
cos I w, i I = -^- = — cos iot = cos (« + (uf) == cos (u -f- op);
cos I ш, jr I = —— = —sinco^ = sin (it + u>t) = sin (it + <p).
Следовательно, вектор скорости v перпендикулярен радиусу-век-
радиусу-вектору СМ движущейся точки М, а вектор ускорения w направлен про-
противоположно этому радиусу-вектору.
§60. ЕСТЕСТВЕННЫЙ, ИЛИ НАТУРАЛЬНЫЙ, СПОСОБ ЗАДАНИЯ
ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
1. Закон движения точки вдоль заданной траектории. Рассмот-
Рассмотрим естественный способ задания движения точки, применяемый в
случае, когда траектория точки заранее известна. Траектория может
быть как прямая, так и кривая линия. Пусть точка М движется отно-
Глава IX. Кинематика точки
251
сительно системы отсчета Oxyz вдоль заданной (известной) криволиней-
криволинейной траектории L (рис. 165). Выберем на этой траектории какую-нибудь
неподвижную точку А за начало отсчета и, рассматривая траекторию
L как криволинейную координатную ось, сообщим ей ориентацию,
которую будем обозначать стрелкой. При этом мы будем считать, что
обход траектории L в направле-
направлении, указанном стрелкой, явля-
является положительным, в противо-
противоположном направлении — отри-
отрицательным. Тогда положение
точки М на траектории L будет
однозначно определяться криво-
криволинейной координатой s, равной
расстоянию от точки А до дви-
движущейся точки М, измеренному
вдоль дуги траектории L и взя-
взятому с соответствующим знаком.
При движении точки М по траек-
траектории L криволинейная коор- >
дината s будет с течением вре- х
мени изменяться, т. е. будет не- Рис. 165
которой функцией от времени t
s = f(t). A)
По самой природе движения эта функция должна быть однознач-
однозначной, непрерывной и дважды дифференцируемой.
Зная уравнение A), можно определить для любого момента вре-
времени t положение движущейся точки М на траектории L, а следова-
следовательно, и относительно выбранной системы отсчета Oxyz. Для этого
криволинейную координату s вычисляют для рассматриваемого мо-
момента времени из уравнения A) и откладывают ее вдоль траектории L
от начала отсчета А. Поэтому уравнение A) называется уравнением
движения или законом движения точки вдоль заданной траектории.
Таким образом, чтобы задать (изучить) движение точки естествен-
естественным способом, следует знать: а) траекторию точки относительно вы-
выбранной системы отсчета; б) начало отсчета криволинейной коорди-
координаты на траектории с указанием положительного направления от-
отсчета; в) закон движения точки вдоль траектории в виде s=f(t).
2. Связь между координатным и естественным способами задания
движения точки. Если движение точки задано координатным способом
A, § 59), то для перехода к естественному способу необходимо опре-
определить: 1) уравнение траектории точки, 2) положение точки в началь-
начальный момент времени (координаты х0, у0, z0 точки Л) и 3) закон движе-
движения точки по ее траектории. Как определить уравнение траектории
точки по заданным уравнениям A, § 59), нам уже известно. Для
252
Раздел II. Кинематика
определения положения движущейся точки в начальный момент вре-
времени (^=0) необходимо в уравнения A, § 59) подставить /=0. Теперь
определим по уравнениям A, § 59) закон движения точки по траек-
траектории.
Из дифференциальной геометрии известно, что элемент дуги тра-
траектории, или дифференциал криволинейной координаты точки, равен
ds = ±
dy2 + dz2 ,
где знак «плюс» берется в том случае, когда ds соответствует смещению
точки в сторону возрастания s, а знак «минус»,— когда ds соответству-
соответствует смещению точки в сторону убывания s. Интегрируя это уравнение
в пределах от s0 до s и от 0 до t, получим закон движения точки по
траектории
s — s0 = ± j Vdx2 + dy2 + dz2
или
So ± I V.
dt,
B)
где x—fi(t), y=f2'(t) , z~f3'(t)— первые производные от координат
движущейся точки по времени.
Если точка совершает прямолинейное движение, то в этом случае
координатный способ задания движения точки, очевидно, сводится
к естественному.
3. Определение скорости точки при естественном способе задания
движения. Найдем проекцию vx вектора скорости и точки на направ-
направление касательной к заданной траектории. По определению вектора
средней скорости точки за промежуток времени At мы получим
Дг
Д t
Аг
As
где As — длина дуги ММХ (см. рис. 153).
Вектор скорости точки в данный момент времени будет
v = lim
Дг
~дТ
lim
Д/-0
Аг
As
= lim
Д.5-0
Аг
As
•lim -j-f- =
Л» П А'
ds_
dt
dr
ds
Но так как
lim
Аг
As
dr
ds
1,
Глава IX. Кинематика точки 253
а направление Д г =ММ1 в пределе (при As-^O) совпадает с каса-
касательной к траектории в точке М, то т есть единичный вектор т°
касательной (ее орт), направленный в сторону возрастания (положи-
(положительного отсчета) криволинейной координаты s. Отсюда находим фор-
формулу для определения вектора скорости v точки в данный момент
времени в виде
где s—f(t) — закон движения точки вдоль заданной траектории.
Из векторной алгебры известно, что проекция вектора на ось
есть скалярное произведение вектора на единичный вектор данной
оси. Поэтому проекция vz вектора скорости v точки на направление
касательной к заданной траектории равна
0 ds -о -0 ds
Vx=vz =жх -г =ж,
так как t°-i° = 1.
Итак,
ds 1Л.
т. е. проекция вектора скорости точки на направление касательной
к заданной траектории равна первой производной от криволинейной
координаты s точки по времени. Величина -г, = ох имеет знак «плюс»
или «минус» в зависимости от направления движения точки. Если в
некоторый момент времени -г. >0, то в этот момент криволинейная
координата s возрастает, т. е. точка М движется в сторону увеличения
s и направление вектора скорости v совпадает с направлением орта т°.
Если -г. <0, то криволинейная координата s убывает, т. е. точка
М движется в сторону убывания s и направление вектора скорости
v противоположно направлению орта т°.
Из формулы C) видно, что модуль \v\ (или v) вектора скорости
v точки равен абсолютной величине проекции vz вектора скорости v
на направление касательной к траектории, т. е.
ds_
dt
и =
»т| = 1^7- • E)
254
Раздел II. Кинематика
Следовательно, модуль вектора скорости равен абсолютной вели-
величине первой производной от криволинейной координаты точки по вре-
времени.
Если точка движется только в сторону возрастания криволиней-
криволинейной координаты (перемещение от Л к М), то во все время движения
ds
ds
т> 0, т. е. 2 =
—v.
Таким образом, в этом случае модуль вектора скорости определяется
по формуле
v =
dt
и формула C) принимает вид
Если же -п<0 (перемещение от М к А), т. е. -т-.= -
то формулу C) можно представить в виде
dt
= — v,
V = —VIй,
где знак «минус» показывает, что в этом случае вектор скорости v
точки направлен в сторону, обратную направлению орта т°.
4. Определение ускорения точки при естественном способе зада-
задания движения. Прежде всего остановимся на некоторых вопросах диф-
дифференциальной геометрии. Пусть точка движется относительно систе-
системы отсчета Oxyz по некоторой неплос-
неплоской криволинейной траектории. Пред-
Предположим, что эта точка в рассматри-
рассматриваемый момент t находится в точке
М на траектории (см. рис. 166). Про-
Проведем через точку М касательную к
траектории и будем определять поло-
положительное направление этой касатель-
касательной единичным вектором х°, направ-
направленным по касательной в сторону воз-
возрастания дуговой координаты s и рав-
равным по модулю единице. Проведем че-
через точку М плоскость, перпендику-
У лярную к касательной -с0; эта плос-
плоскость называется нормальной плоско-
плоскостью траектории в точке М. Все
Рис. 166 прямые, проходящие через точку М и
Глава IX. Кинематика точка 255
лежащие в нормальной плоскости, называются нормалями, а линия
пересечения плоскостей нормальной и соприкасающейся* называется
главной нормалью траектории в точке М. За положительное направ-
направление главной нормали принимается направление от точки М в сто-
сторону вогнутости траектории. Единичный вектор главной нормали
(ее орт) обозначим через п°.
Прямая, перпендикулярная к касательной -с0 и к главной нормали
п°, называется бинормалью к траектории в точке М. Единичный век-
вектор бинормали обозначим через 6°; положительное направление Ь°
выберем так, чтобы три взаимно перпендикулярные вектора т°, п°,
Ь° образовали правую систему осей. Эта система осей называется
естественными осями, а прямоугольный трехгранник т°, п°, Ь° с
вершиной в точке М — естественным трехгранником. Эта новая сис-
система координатных осей будет двигаться по траектории вместе с точ-
точкой М, следовательно, ориентация осей естественного трехгранника
в пространстве будет изменяться в зависимости от вида траектории и
закона движения точки по этой траектории.
Векторы т° и п° естественного трехгранника определяют положе-
положение соприкасающейся плоскости, векторы п° и Ь°— нормальной плос-
плоскости, а векторы т° и Ь° определяют положение так называемой спрям-
спрямляющей плоскости (см. рис. 166).
Возьмем на траектории точку Mv близкую к точке М, и построим
единичный вектор касательной т1о (см. рис. 167, а). Угол Д 6 между
единичными векторами т° и Xj° касательных к траектории в двух ее
соседних точках М и Мх называется углом смежности. Обозначим дли-
w
ну дуги ММГ через As. Отношение угла смежности Д9 к соответ-
ствующей длине As дуги MMV т. е. отношение -г-, называется сред-
ней кривизной траектории на участке MMt. Предел этого отношения,
lim^ = -f = K, F)
называется кривизной траектории в данной точке М. Кривизна тра-
траектории вообще не постоянна, а меняется от точки к точке.
Величина р, обратная кривизне, называется радиусом кривизны
траектории в данной точке М и равна
„ _ J ds
58,
* О соприкасающейся плоскости траектории в точке М уже говорилось в
256
Раздел II. Кинематика
Отложим на главной нормали от точки М в сторону вогнутости
траектории отрезок МС, равный радиусу кривизны траектории в точ-
точке М (см. рис. 166); точка С называется центром кривизны траекто-
траектории в точке М.
Для прямолинейной траектории ДО =0, поэтому ее кривизна
/с=0, а радиус кривизны равен бесконечности: р=—= со.
Рис. 167
Если траекторией точки является окружность радиуса R
(рис. 167, б), то, обозначая дугу ММХ через ds, а угол МСМХ через сГО,
будем иметь MM1=ds=Rdft, и, следовательно,
dfl rffl l
к =
ds
RdQ
R '
т. е. кривизна окружности есть величина, обратная радиусу R и
постоянная для всех точек.
На этом мы заканчиваем рассмотрение вопросов дифференциаль-
дифференциальной геометрии.
Определим теперь проекции вектора ускорения w на оси естествен-
естественного трехгранника. Для этого воспользуемся формулой C), т. е.
^=ОхТ», (8)
где Vt =-r. . В правой части этого равенства будут изменяться с тече-
течением времени оба множителя. Проекция их вектора скорости v на
Глава IX. Кинематика точки 257
касательную к траектории при неравномерном движении переменна;
вектор х° в случае криволинейного движения изменяет свое направле-
направление с течением времени.
Дифференцируя равенство (8) по времени, получим
— dv dyx —0 , dx° /Л.
Первое слагаемое в равенстве (9) — вектор -^- *° направлен по
касательной z°. Второй член имеет направление вектора -^т-; опре-
определим вектор -^т.
Прежде всего вектор ~^- перпендикулярен к вектору i°. В самом
деле, квадрат вектора х° равен единице, т. е.
Дифференцируя это равенство по времени, находим
~°.dT° -О
w ~dT~u-
Так как скалярное произведение вектора х° на вектор -^- равно
d^° —'
нулю, то вектор -тг перпендикулярен вектору х°. Кроме того,
как видно из рис. 167, а вектор -тг лежит в соприкасающейся плос-
плоскости, и, следовательно, направление этого вектора совпадает с поло-
положительным направлением главной нормали траектории,т.е. с направ-
направлением орта п°. Поэтому
dt
dt
Из рис. 167, а находим для модуля вектора Дх°
Отсюда
.-л, о . де
Дх° = 2sin -я-.
де
At де
18 И, Ф. Сахарный
258
Раздел II. Кинематика
переходя к пределу при Д^-»0, найдем
поэтому
Но
di»
dt
dx°
dt
d6
dt
d8
dt
db
dt
d0
' ds
>
ds
dt
ds
db
причем ^=ft , а х = с = кривизна траектории, следовательно,
d6 __ ст
d* ~ p '
dx»
"~dT
^
Подставляя выражение -^ в равенство (9), получим
или
где v\ заменено на равное ему и2.
Формула A0) дает разложение вектора ускорения w точки по осям
естественного трехгранника. Из этой формулы видно, что вектор w
« м — dvz ~Л
является геометрической суммой двух векторов: вектора о\ =-fT '
направленного по касательной к траектории, и вектора шп= Hljf^—~^°г
направленного по главной нормали траектории в сторону вогнутости
траектории, т. е. к центру кривизны.
Вектор
Глава IX. Кинематика точки
259
называется касательным ускорением точки, а вектор
7] ,
n°
p
A3)
называется нормальным ускорением точки.
Проекция вектора ускорения до точки на направление касатель-
касательной будет
а проекция вектора ускорения до точки на направление главной нор-
нормали будет
V' '^'-f, A5)
где s=f(t) — закон движения точки вдоль заданной траектории.
Проекция же вектора ускорения w точки на направление бинор-
бинормали равняется нулю (wb=0), так как вектор ускорения w всегда
лежит в соприкасающейся плоскости траектории движущейся
точки.
Модуль вектора касательного ускорения находится по формуле
dt
dt2
а модуль вектора нормального ускорения — по формуле
A6)
A7)
Модуль вектора полного ускорения до вычисляется по формуле
ДО = \W\ —
A8)
Отклонение вектора полного ускорения w от главной нормали Мп
характеризуется углом а, определяемым формулой (см. рис. 168,
а, б)
I W. I
tga^-Lj1- A9)
Таким образом, если движение точки задано естественным спосо-
способом, то, зная траекторию (а следовательно, и ее радиус кривизны р
18*
260
Раздел II. Кинематика
в любой точке) и закон движения A) точки вдоль этой траектории,
мы по формулам D—19) можем определить модуль и направление век-
векторов скорости и ускорения точки в любой момент времени.
В заключение отметим, что при задании движения точки в декарто-
декартовых координатах уравнениями A, § 59) можно также вычислить мо-
модуль векторов касательного и нормального ускорений точки. В самом
Рис. 168
деле, замечая, что единичный вектор касательной можно представить
формулой t°= —, получим модуль вектора касательного ускорения
\v-w\
\х х 4- У У + z z\
Vx* + у* + za
B0)
где
у = | ит [ = + V X2 + у* + Z2 .
Модуль же нормального ускорения можно вычислить по формуле
или
х У— yxf+ { yz — zyf+{zx — xzf
B1)
Следовательно, значения выражений B0) и B1) непосредственно
определяются дифференцированием по времени уравнений движения
A, § 59). Поэтому для вычисления нормального ускорения нет не-
необходимости в вычислении радиуса кривизны траектории.
Глава IX. Кинематика точки 261
Определив по формуле B1) wn, можем найти и радиус кривизны
траектории по формуле
Р = — . B2)
5. Некоторые частные случаи движения точки. Отметим здесь
некоторые частные случаи движения точки, вытекающие из формулы
A0).
Первый случай: для любого момента времени wx =0,
wn=0, а значит, и w=0. В этом случае wT =^-=^= ° и wn=
=Zl=0. Отсюда мы получаем, что v=\vx |=-г. = const и р — оо
"'I
г.
Р "'I
(так как при движении vx =/=0). Следовательно, движение точки в этом
случае является прямолинейным и равномерным*.
- dv
Так как w=-n- =0, то y=const, т. е. во все время прямолинейного
и равномерного движения точки Еектор ее скорости остается постоян-
постоянным по модулю и направлению.
Второй случай: для любого момента времени дот Ф0, шя=0.
В этом случае wz ~^f~-j^^ 0 и wn=—=0. Отсюда следует, что
i>=lу-1 = т, ^const и р= со. Следовательно, движение точки в этом
'' at я
случае является прямолинейным и неравномерным. При этом направ-
направление вектора ускорения w или совпадает с направлением движения,
т. е. с направлением вектора скорости v, или противоположно этому
направлению в зависимости от знака производной -^-. Модуль век-
вектора ускорения равен абсолютной величине производной -|р или
d^s dvt d2s
It*' т' е< шВУх ~ ~dt — 21*"
Таким образом, мы видим, что касательное ускорение возникает
за счет изменения модуля вектора скорости, т. е. при неравномерном
движении точки.
Отсюда заключаем, что касательное ускорение характеризует из-
изменение вектора скорости по модулю.
Заметим, что при неравномерном движении касательное ускорение
обращается в нуль, очевидно, в те моменты времени, когда производ-
ds .
ная -j, достигает экстремального значения (максимума или миниму-
* Если при движении точки модуль v вектора скорости v остается неизмен-
неизменным, то такое движение, как уже указывалось в § 59, является равномерным. В
противном случае, т. е. когда t/^const, движение точки является неравномерным.
262 Раздел II. Кинематика
v d*s
ма), так как в эти моменты времени вторая производная ^ равна
нулю.
Третий случай: для любого момента времени wz =0,
wn=/=Q. В этом случае wz =-^г—-7г2 = 0иш, =— =? 0. Отсюда мы
получаем, что v=\vx \= jt ~ const и р=^=оо. Следовательно, дви-
движение точки в этом случае является криволинейным и равномерным.
В этом случае вектор ускорения w точки направлен по главной нор-
мали траектории и по модулю равен w=wn——.
Таким образом, мы видим, что нормальное ускорение возникает за
счет изменения направления вектора скорости, т. е. при криволиней-
криволинейном движении точки.
Отсюда заключаем, что нормальное ускорение характеризует из-
изменение вектора скорости по направлению.
Закон криволинейного и равномерного движения имеет вид*
s = s0 + vot, B3)
где s0— криволинейная координата точки в момент t=0.
Следует иметь в виду, что нормальное ускорение в криволинейном
'движении точки равно нулю в тех точках траектории, где р=оо,
т. е. в точках перегиба траектории. Кроме того, нормальное ускорение
становится равным нулю в те моменты времени, когда скорость точки
равна нулю. Например, скорость тяжелого шарика, качающегося на
нити, в положениях, когда угол отклонения достигает максимума,
обращается в нуль, и, следовательно, в этих крайних точках wn—0.
Легко понять, что в этих точках касательное ускорение не равно нулю.
Четвертый случай: во все время движения точки wz =
d d'ls
Отсюда
p j= оэ и vr = v0 + wz t, B4)
где v0— начальная скорость точки (при /=0). Следовательно, дви-
движение точки в этом случае является криволинейным и равноперемен-
равнопеременным**. Закон этого движения имеет вид •
w t*
s = so + vot + —^- , B5)
где s0— начальная криволинейная координата точки.
* Уравнения B3), B4) и B5) можно получить так же, как это было сделано
для случая прямолинейного движения (см. § 59).
dv-
** Если wT = -тт = const во все время движения точки, то такое (криво-
(криволинейное или прямолинейное) движение точки является равнопеременным.
Глава IX. Кинематика точки 263
Начало отсчета криволинейной координаты s по заданной траекто-
траектории можно выбрать так, чтобы при ?=0 криволинейная координата
была равна нулю. Тогда закон криволинейного и равнопеременного
движения будет
w t*
s = vj + ~~ . B6)
Формулы B3), B4) и B5) отличаются от соответствующих формул
B6, 29 и 28, § 59) для прямолинейного движения тем, что в них вместо
ускорения w стоит касательное ускорение шт, а вместо прямолинейной
координаты х — криволинейная координата s.
Если при криволинейном движении точки модуль вектора скорос-
скорости этой точки возрастает, то движение называется ускоренным, а если
убывает,— замедленным. Так как изменение модуля скорости харак-
характеризуется касательным ускорением, то движение точки по заданной
криволинейной траектории будет ускоренным, если vz и wx имеют оди-
одинаковые знаки (угол между векторами v и w острый, рис. 168, а),
и замедленным, если vx и дот имеют разные знаки (угол между v и w
тупой, рис. 168, б).
6. Указания к решению задач. Задачи по кинематике точки, ре-
решаемые естественным способом, можно разделить на следующие ос-
основные типы:
а) движение точки задано естественным способом (дана траекто-
траектория и закон движения вдоль этой траектории). Требуется определить
все характеристики движения точки (скорость, касательное, нормаль-
нормальное и полное ускорение).
Эта задача решается путем дифференцирования закона движения
точки вдоль заданной траектории согласно формулам D), A4), A5)',
A8) и A9);
б) движение точки задано координатным способом. Требуется
определить траекторию, закон движения точки вдоль этой траек-
траектории, скорость, касательное, нормальное и полное ускорение, а так-
также радиус кривизны траектории.
В этом случае скорость точки и ее полное ускорение определяют-
определяются по формулам G, § 59) и A4, § 59), а затем по формуле A4) — каса-
касательное ускорение. Зная касательное и полное ускорения, можно из
формулы A8) получить нормальное ускорение. Зная же нормальное
ускорение, из формулы B2) определяют радиус кривизны траектории
для любого требуемого момента времени. Закон движения точки вдоль
ее известной траектории определяют по уравнению B).
Задача 38. Точка движется по окружности радиуса R=4 м, при-
причем закон ее движения определяется уравнением s=4,5 tB, где s в
метрах, at—в секундах. Определить модуль полного ускорения и
угол ср его с вектором скорости в тот момент tlt когда модуль последнего
сделается равным 6— (рис.169).
С С/С
264
Раздел П. Кинематика
Решение. Дифференцируя s по времени, найдем модуль век-
вектора скорости точки
dt
v=\v-\
сек2
м
ют
Рис. 169
dt
Подставляя t—tx в это выражение, полу-
получим 6=13,5 t\, откуда находим
*!_ = -я- сек.
13,5 3
Для определения модуля вектора пол-
полного ускорения необходимо вычислить
касательное и нормальное ускорения. Ка-
Касательное ускорение для любого момента
времени равно
а при t=t1=-^ сек
Так как для окружности радиус кривизны p—R, то нормальное ус-
„корение для любого момента времени равно wn—^-, а при
t = tx=\cac (и Я=4 м)
— -51 — м
« 4 ~~ сек2
Модуль вектора полного ускорения точки при t=t1=-i се/с^равен
О
< + К = 9 ]/5"
w
сек*
Угол <р между вектором полного ускорения w и вектором скорости
v определим из формулы (см. рис. 169)
ш„ 9 1
tgcp =
w. 18
Отсюда находим
<Р = arc tg 4- - 26°33'54".
Глава IX. Кинематика точка
265
Задача 39. Точка движется по закону, определяемому уравне-
уравнениями:
х = 4 sin2 -xt;
„
Найти траекторию точки и закон движения точки вдоль траекто-
траектории, приняв за начало отсчета расстояний начальное положение
точки.
Решение. Чтобы найти уравнение траектории, достаточно ис-
исключить из уравнений движения время t; для этого найдем значение
sin2 Tzt из первого уравнения и подста-
вим его во • второе. Тогда будем иметь
искомое уравнение траектории точки
у = 2х.
Таким образом, траектория точки
есть прямая линия, проходящая через
начало координат (рис. 170).
Для нахождения начального положе-
положения точки на ее траектории подставим
в заданные уравнения движения точки
значение /о=0. Тогда мы получим хо=0
и г/о=0; следовательно, в начальный мо-
момент /о=0 движущаяся точка М нахо-
находится в начале координат. В момент
времени t—-^ движущаяся точка М находится на своей траектории в
точке Мг с координатами хг=4, уг=8. Отсюда мы видим, что при
возрастании времени t от 0 до -= возрастают также и координаты х, у
движущейся точки М. Следовательно, точка М начинает движение от
начала координат по направлению к точке Мг. В момент времени t—l
движущаяся точка снова попадает в начало координат (л:0=0, г/о=0).
При дальнейшем возрастании времени t движение точки М будет пе-
периодически повторяться, причем период полного обхода точки М равен
Т-—=2. Отсюда следует, что при изменении времени t от —оо до
+ оо точка М будет совершать колебательное движение только на
отрезке ОМЪ так как величина sin27i/ положительна и она не может
принимать значений, больших единицы.
Дифференцируя заданные уравнения движения по времени t,
получим проекции вектора скорости v точки М на координатные оси
vx = х = 8 л sin (тс/) cos (nt) = 4 тг sin B izt);
led.
Рис. 170
vy = у ~ 16 л sin (-Kt) cos (rcfl = 8 tz sin B nt).
17 H, Ф, Сахарный
266 Раздел II. Кинематика
Отсюда находим модуль вектора скорости v точки М
= V 80*2sin2 B tit) = An Vb | sin
Так как траектория точки — прямая линия, то вектор скорости точки
направлен по этой прямой в ту или в другую сторону в зависимости
от знака sin Bтг/).
Найдем теперь закон движения точки по ее прямолинейной тра-
траектории. Так как -J- определяет алгебраическое значение вектора
скорости v точки М, то
отсюда
ds = 4тг ]/5 sin B nt) dt
и
s = 4 я УЪ J sin B nl) dt = —2 У~5 cos Bre/) -f С
Постоянная интегрирования С определяется из условия, что при
/о=0 имеем so=0; поэтому предыдущее уравнение для начального мо-
момента времени принимает вид
О = — 21/5" + С,
откуда
С =21/5".
Подставляя это значение С, получим искомый закон движения точки
вдоль траектории
s =
[ 1 — cos B Kt)] = 4 У~ sin2 nt.
Задача 40. Точка движется по закону, определяемому уравне-
уравнениями:
х = ant; y = ~Y (eKt + erKt) = a ch (к/).
Найти траекторию точки, закон движения точки вдоль траектории,
приняв за начало отсчета расстояний начальное положение точки, а
также радиус кривизны траектории в зависимости от ординаты у.
Решение. Для определения траектории точки нужно из урав-
уравнений ее движения исключить время /. Из первого уравнения имеем
1 ак '
Глава IX. Кинематика точки
267
подставляя это значение t во второе уравнение, получим искомое
уравнение траектории точки
а \ а ,
Отсюда заключаем, что траектория точки есть цепная линия (рис. 171)*.
Для нахождения начального положения
точки на ее траектории подставим в задан-
ные уравнения движения точки значение
/=0. Тогда мы получим хо—0, уо=а; поэтому
в начальный момент движущаяся точка на-
ходится в точке А.
Из уравнений движения видно, что при
положительных возрастающих значениях t
возрастают также и координаты движущейся
точки. Поэтому движение точки будет проис-
происходить в направлении, показанном стрелкой
(рис. 171).
Дифференцируя заданные уравнения дви-
жения по времени t, получим проекции век-
вектора скорости v точки на координатные оси:
vx = х = ак;
v'y (eKte-K')
Рис- 171
Отсюда находим модуль вектора скорости v точки
v = V'x* + у2 = ак У\ + sh2 (кг) = ак ch (nt) = ~ (eKt + e~Kt).
Так как в рассматриваемом случае
dt = ¦?-
-*) dt = -%.(е*< —
и по условию начало отсчета расстояний s следует взять в начальном
положении А движущейся точки, то С=0. Подставляя это значение С,
получим искомый закон движения точки вдоль траектории
s = -f- (eKt ~e~Kt) = a sh (Kt).
* Форму цепной линии принимает гибкая тяжелая нерастяжимая нить>
подвешенная в двух точках.
17*
268 Раздел //. Кинематика
Отсюда находим касательное ускорение
wx = -т4- — -?- (eKt — e~Kt) = к2а sh (Kt).
Дифференцируя х и у по времени, находим проекции вектора ус-
ускорения w точки на координатные оси
wx = x = 0; wy = y = ^~ {eKt -f- e~Kt) = акг ch (к().
Следовательно, модуль вектора w ускорений точки будет равен
Зная w и шт, находим нормальное ускорение юл
2 (Kt) — sh2 (at) = ак2.
Определив wn, найдем искомый радиус кривизны траектории
ча а
или
р —"
так как
Задача 41. Точка движется по закону, определяемому уравне-
уравнениями:
x = Rcosu>t\ y = Rsma>t; г = ct,
где R, и и с — постоянные величины. Определить траекторию, ско-
скорость и ускорение точки,- а также и радиус кривизны траектории.
Решение. Для определения уравнения траектории исключим
время t из заданных уравнений движения. Возводя первые два урав-
уравнения в квадрат и складывая, получаем траекторию проекции Мх дви-
движущейся точки М на плоскость Оху
х2 + г/2 = Я2.
Глава IX. Кинематика точки
269
Следовательно, во все время движения точка М остается на поверх-
поверхности прямого кругового цилиндра с образующими, параллельными
оси Oz, и направляющим кругом радиуса R с центром в начале коорди-
координат, лежащим в плоскости Оху (рис. 172). Исключая время t из вто-
второго и третьего уравнений движения, находим
у = R sin (— г
Это уравнение представляет цилиндрическую поверхность с образую-
образующими, параллельными оси Ох; сечение этой цилиндрической поверх-
поверхности с плоскостью х=0 представляет собой синусоиду.
Таким образом, траекторией точки М будет линия пересечения
полученных двух поверхностей. Эта кривая линия называется винто-
винтовой линией. Из первых двух уравнений движения видно, что точка Мх
опишет окружность за время Т=~ , а точка М поднимется за это
время на расстояние h=cT= —с. Это расстояние называется шагом
винтовой линии. Очевидно, оно равно расстоя-
расстоянию между точками винтовой линии, лежащими
на одной и той же образующей прямого круго-
кругового цилиндра (рис. 172). В рассматриваемом
случае шаг винтовой линии постоянный.
Для нахождения начального положения точ-
точки М на ее траектории подставим в заданные
уравнения движения значение /о=0. Тогда по-
получим xo=R, yo=0, zo=0; поэтому в началь-
начальный момент времени точка М находится на оси
Ох в положении А.
Из заданных уравнений движения точки М
мы видим, что при возрастании t возрастают так-
также и координаты у и z движущейся точки М, а ее
координата х уменьшается. Поэтому точка М
будет двигаться в направлении, указанном стрел-
стрелкой (см. рис. 172).
Дифференцируя уравнения движения точки М по времени, найдем
проекции вектора скорости v этой точки на оси координат
vx = х = —^?(osin u>t;
vy = у — Rtucoswt;
vz = z = с
Следовательно, модуль вектора скорости v точки М равен
! + у* + г2 = VR2 со2 + с2 .
Рис. 172
270 Раздел //. Кинематика
Так как a=const, то движение точки М по винтовой линии равно-
равномерное.
Направление вектора скорости v точки М определяется формулами:
COS О, I =-
l
cos \v,
cos y, k =
Последнее равенство показывает, что cos(o, A)=const, следовательно,
винтовая линия пересекает все образующие прямого кругового ци-
цилиндра под одним и тем же углом.
Определим теперь модуль и направление вектора ускорения w
точки М. Дифференцируя х, у и г по времени t, получим проекции
вектора ускорения w точки М на координатные оси
хюх = х = —R ciJcoso)f;
Wy = у = — R ш2 sin (at;
wz = х = 0.
Следовательно, модуль вектора ускорения w точки М равен
w =¦
т. е. движение точки М происходит с постоянным по модулю ускоре-
ускорением. Для определения направления вектора ускорения точки М имеем
формулы:
cosloy, i I = —f- = — coso)?== 5-;
cos I w,
Глава IX. Кинематика точки 271
Из последней формулы следует, что вектор ш перпендикулярен оси Oz.
Очевидно, что
cos a = —¦ ;
где аир — углы, образуемые с осями Ох и Оу радиусом R, проведен-
проведенным от оси Oz прямого круглого цилиндра к движущейся точке М.
_Л_ _Л_
Так как cos(w, i) и cos(w,j) отличаются от cos а и cos p только знаками,
то отсюда заключаем, что вектор полного ускорения w точки М все
время направлен по радиусу указанного цилиндра к его оси Oz.
Таким образом, мы видим, что, хотя в данном случае движение
точки М происходит со скоростью, постоянной по модулю, полное
ускорение точки не равно нулю, так как направление вектора скорости
v точки М изменяется. Однако касательное ускорение точки М рав-
равно нулю, т. е.
ш-ч = О,
так как во все время движения точки М модуль вектора ее скорости
v не изменяется. Поэтому нормальное ускорение точки равно
= w = R со2
С другой стороны, нормальное ускорение точки М можно было бы
определить по формуле
но радиус кривизны р неизвестен. Из последних двух равенств нахо-
находим, что
откуда
т. е. радиус кривизны во всех точках винтовой линии имеет одно и
то же значение.
272
Раздел П. Кинематика
§61. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
1. График расстояния. Пусть нам известна функция s=f(t), даю-
дающая закон движения точки по заданной траектории.
Мы можем по уравнению s=f(t) вычислить для каждого момента
времени t соответствующее этому моменту значение расстояния s.
Возьмем две взаимно перпендикулярные оси (рис. 173) и будем в не-
некоторых выбранных масштабах* откладывать на оси абсцисс моменты
времени t, а на оси ординат —
соответствующие им расстояния
s. Соединяя точки, построенные
по координатам t и s, непрерыв-
непрерывной линией, получим кривую
(рис. 173), которая изображает
графически зависимость рассто-
расстояния от времени t. Эта кривая
называется графиком расстоя-
расстояния. График расстояния не сле-
^ дует смешивать с траекторией
"~ точки. Имея график расстояния,
всегда можно найти расстояние
s точки от начала отсчета и
определить ее положение на тра-
траектории. Последняя должна быть, конечно, заданной. Исследование ге-
геометрических свойств построенного графика расстояния дает возмож-
возможность полностью выяснить все кинематические особенности данного
движения точки. Но не это главное. Основное преимущество графи-
графического способа исследования движения точки заключается в том, что
им можно пользоваться и в тех случаях, когда закон движения точки
по заданной траектории в виде уравнения s=/(/) нам неизвестен.
Такие случаи часто встречаются в задачах теории механизмов и ма-
машин, где графики расстояний для некоторых точек вычерчиваются
автоматически с помощью самопишущих приборов, связанных с дви-
движущейся частью механизма.
2. График скорости. Пусть нам дан график расстояния, изобра-
изображаемый некоторой кривой линией (рис. 173), уравнение которой есть
s=f(t). Допустим также, что при построении этого графика были при-
приняты масштабы времени k, — и расстояний ks~. Требуется по
ММ ММ
этому графику найти скорость движения точки в некоторый мо-
момент t. Возьмем на графике расстояния (рис. 173) точку Л, абсцисса
которой имеет заданную величину t, и проведем через эту точку каса-
касательную к графику расстояния. Угол этой касательной с осью времени
(абсцисс) обозначим через а. Из дифференциального исчисления извест-
* Масштабы t и s могут выбираться произвольно и независимо друг от друга.
Глава IX. Кинематика точки
273
но, что производную -п от функции s=f(t) можно определить по
формуле
ds fec , ,,ч
где tg а—тангенс угла а между касательной к графику расстояния
и осью времени.
Формула A) позволяет определить не только модуль \v\=j- | tg a
вектора скорости v точки, но и сторону направления этого вектора.
Вектор скорости v точки будет на-
направлен по касательной к траекто-
траектории в сторону положительного от-
отсчета расстояний (в сторону воз-
возрастающих s) при положительном
значении tg а и в противоположную
сторону при отрицательном tg а.
Проведя касательные к графику
расстояния в различных его точ-
точках, мы по тангенсам соответству-
соответствующих углов можем найти значения
скорости От точки в различные мо-
моменты времени*. Зная для различ-
различных моментов времени t соответст-
соответствующие им значения скорости vz ,
построим по координатам t и vT ряд
точек. Соединяя эти точки непре-
непрерывной линией, получим кривую (рис. 174), являющуюся графиком
скорости v т.
3. График касательного ускорения. Допустим, что при построе-
построении графика скорости были приняты масштабы скорости kv—-—
, сек -, dv-z
и времени kt~. Так как wx = -т—, то, рассуждая так же, как и при гра-
фическом определении скорости vx, мы придем к формуле
t сер
Рис. 174
w- =
dt
-¦г*'-
где tg р— тангенс угла C между касательной к графику скорости v~
и осью времени.
* Значения скорости vx для различных моментов времени могут быть найде-
найдены не только этим графическим способом, но и из аналитической зависимости
vx =f'(t), если она известна.
274 Раздел II. Кинематика
Формула B) определяет вектор касательного ускорения точки не
только по модулю| wz | = -?\tg % но и по направлению. Так, например,
если для рассматриваемого момента времени t угол [3 тупой (рис. 174),
Totg[3<0 и wx <0. Следовательно, в этот момент времени вектор каса-
касательного ускорения wz направлен по касательной к траектории в сто-
сторону, противоположную движению точки.
Построение графика касательного ускорения wz по графику ско-
скорости v-z производится аналогично построению графика скорости v%
по графику расстояния s.
Для построения графиков нормального ускорения wn и полного
ускорения w значения величин wn и w в разные моменты времени t
определяют аналитически по соответствующим формулам A7, 18;
§ 60). При этом величины vz и wx берутся с построенных графиков ско-
скорости vx и касательного ускорения wx , а радиус кривизны р определя-
определяется по заданной траектории точки*.
4. Графический способ определения пути, пройденного точкой, по
заданному графику скорости. Пусть vx=f'{t), где f'(t) — известная
функция времени. Предположим, что за данный промежуток времени
kt = t2— tx точка движется по своей траектории в одном и том же на-
направлении и, следовательно, функция f'(t) сохраняет постоянный знак;
пусть vx =/'@>0. Так как vz =-n, то ds=vzdt, интегрируя это ра-
равенство в соответствующих пределах, получим
s,
[ds=
или
2
s2 — su = ( vz d t.
h
Но разность s2—s^ представляет собой путь s, пройденный точкой за
промежуток времени Д/, следовательно,
s= \vxdt= \f'{t)dt. C)
В том случае, когда vx =/'@<0 в промежутке от tx до tt, при опре-
определении длины пути s нужно брать абсолютную величину скорости
iV\ т. е.
^\f'(t)\dt. D)
* Траектория точки может быть задана различными способами: или аналити-
аналитически, т. е. в виде уравнения кривой, или геометрически.
Глава IX. Кинематика точки
275
промежуток времени
v Разделим весь этот
Формулы C) и D) позволяют вычислить путь s, когда скорость vx
является известной функцией времени.
Однако, зная график скорости vz точки, можно и графически оп-
определить путь s, пройденный точкой за какой-либо промежуток вре-
времени. Пусть, например, требуется определить по графику скорости
v% (рис. 175) путь, пройденный
точкой за
дг=/2— t
промежуток времени на большое
число п малых промежутков Д^.
Вследствие малости промежутка
Д^ скорость У;, которую движу-
движущаяся точка имеет в начале этого
промежутка, успеет измениться
весьма мало, т. е. движение точ-
точки за время Mt можно считать
почти равномерным. Поэтому
путь, пройденный точкой за вре-
время Att, приближенно выразится
так: As ^ vt &t{, т. е. он будет
равен, в некотором масштабе
площади заштрихованного на
рис. 175 прямоугольника. В пре-
пределе, когда каждый промежуток
времени Д/г стремится к нулю, а число п стремится к с», длина всего
пути s, пройденного точкой за время At=t2—tlt будет равна в неко-
некотором масштабе площади криволинейной фигуры ABCD. Пусть, напри-
например, график скорости (рис. 175) строился на миллиметровой бумаге и
площадь криволинейной фигуры ABCD определена в квадратных мил-
миллиметрах. Тогда пройденный точкой путь s за время At=t2—tx вы-
выразится в метрах следующим образом:
Рис. 175
= iui. (ABCD)
м . сек_
сек-мм t мм '
ИЛИ
пл. (ABCD) м,
E)
где пл. (ABCD) выражена в квадратных миллиметрах.
Таким образом, путь, пройденный точкой за данный промежуток
времени, пропорционален площади фигуры, ограниченной осью времени,
графиком скорости и двумя его ординатами, соответствующими на-
началу и концу этого промежутка времени.
Задача 42. Точка совершает прямолинейное равномерно-переменное
движение по закону s = 40 + 2t + 0,5/2 (s—в метрах, t — в секундах).
276
Раздел II. Кинематика
Провести графическое исследование движения точки за промежуток
времени 0<<<10 сек.
Решение. 1) Построение графика расстояния s = f{t) в проме-
промежутке от t = 0до / = 10 сек. Заметим, что, хотя оси для вычерчивания
графика расстояния названы Ots (рис.
176) и на них написано секи м, откла-
откладываться на них фактически будут не
t и s, а их «изображения» ? = т- и
Rt
s' — -^ . Составим теперь таблицу зна-
чений t, ?, s, s', задавшись рядом зна-
значений t; соответствующие значения s
вычислим по заданному закону дви-
движения точки s = 40+2/ + 0,5/2, а ? и
s' при помощи выбранных значений
масштабов времени kt = 0,2 — и
2 3 Ч 5 6 7 в Э
Рис. 176
расстояния ks= 2-
t сек
S м
Г сек
S' мм
0
•40
0
20
1
42,5
5
21,25
2
46
10
23
3
50,5
15
25,25
4
56
20
28
5
62,5
25
31,25
6
70
30
35
7
78,5
35
39,25
8
88
40
44
9
98,5
45
49,25
10
ПО
50
55
При помощи этой таблицы строим график расстояния (рис. 176),
т. е. кривую s = f(t). Эта кривая представляет собой параболу с вер-
вершиной, не находящейся в начале координат.
2) Построение графика скорости в промежутке от t = Odot =10 сек.
Определяем проекцию vz вектора скорости v точки на касательную
к траектории
Так как в рассматриваемом случае аналитическая зависимость
Vr — f'{t) выражается уравнением первой степени, то графиком скорости
Vz будет прямая линия (рис. 177). Для ее построения, очевидно, не-
необходимо знать только две точки, через которые она проходит, напри-
например: при t = 0 Ух = 2— , при t
сек
10 сек ут =2 + 10 = 12
сек
Глава IX. Кинематика точки
277
Здесь также на осях Otvz откладываем не t и vz, а их «изображе-
«изображения» f = -г-н vz — -?-. Принимая масштабы времени kt = 0,2
г
роста &щ=
рек
мм
и ско-
сек ¦ мм
<рис. 177):f' = 0;i>;=^ =
и Г = Q-2 = 50 лш; ут = _ =
= 60 мм. Проведем через точки
А и В прямую, которая и будет
являться графиком скорости
данного равномерно-переменного
движения точки.
Скорость точки в любой мо-
момент времени можно было бы
найти и графически по графику
расстояния (рис. 176). Для того
чтобы найти этим способом ско-
скорость точки при t = 10 сек, про-
проведем касательную к соответст-
соответствующей точке графика расстоя-
расстояния (рис. /76) и найдем тангенс
угла а между этой касательной
, найдем координаты указанных двух точек А и В
и осью времени.
I I 0 123Ч5Б7 8Э10
Рис. 177
11
Так как (см. рис. 176) tg «—-g-, то
2 —
мм
0,2^
' мм
11
9
12
сек
3) Построение графика ускорения в промежутке от t — 0 до
t == 10 сек. Ускорение точки в рассматриваемом случае ее движения
Равн0 dvT
w = дат = -Tj- = 1 ¦
dt
сек11
Однако ускорение точки можно найти и графически по графику
скорости (рис. 177). Так как график скорости есть прямая линия,
то касательная к этому прямолинейному графику скорости в любой
его точке совпадает с данным графиком, и поэтому w = wx — -r2 tgfJ,
t
где р — угол между осью времени и графиком скорости. Из рис. 177
находим tg р = -гк = 1, следовательно, ускорение точки
0,2
сек ¦ мм
0,2
сек
мм
1 = 1
сек*
278
Раздел П. Кинематика
Так как w = wz= f"(t) = const, то график ускорения будет прямая
линия, параллельная оси времени (рис. 178).
4) Определение пройденного точкой пути за 10 сек. Определим этот
путь по графику скорости (рис. 177). Для этого измеряем на графике
скорости площадь ОАВС
пл. (ОАВС) = -^
WT-W=f"lt)
A0 + 60M0 ,_-_ „
= -—J-^-i— = 1750 мм2.
Отсюда находим искомый путь, прой-
пройденный точкой за 10 сек,
/ 2 3 Ч 5 В 7 8 9 10 t(ce*)
Рис. 178
= kvkt пл. (ОАВС) = 0,2
сек ¦ мм
X
Х0,2
сек
•1750 мм* = 70 м.
\
Пройденный точкой путь s можно, конечно, определить и аналити-
аналитически. Для этого достаточно из уравнения движения точки s = f(t) =
= 40 + It + 0,5/2 определить расстояние точки от начала отсчета в на-
начальный момент (t = 0) и при t = 10 сею. При t — 0 s=s0 = 40 м, при
t = 10 сек s10 = 40+2 • 10 + 0,5 • 102 = 110 м. Отсюда находим s = sl0 —
— so= 110 — 40 = 70 м.
§ 62. МЕТОД ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТ
1. Уравнения движения точки в полярных координатах. Когда
точка движется все время в одной и той же плоскости, ее положение
можно определить полярными координатами гиу (рис. 179), где г —
расстояние от движущейся точки
М до полюса О, ср— угол,
образуемый радиусом-вектором
ОМ =г точки М с горизонталь-
горизонтальной прямой Ох—осью полярных
координат. При движении точки
М ее полярные координаты г и <р
с течением времени меняются.
Следовательно, закон движения
точки М в полярных координа-
координатах будет задаваться уравнения-
уравнениями
которые называются уравнениями движения точки в полярных ко-
координатах. Функции fi(t) и /2@ должны быть однозначными, непрерыв-
непрерывными и дифференцируемыми, по крайней мере, дважды. Уравнение
м
Глава IX. Кинематика точки
279
траектории движущейся точки получается исключением времени t
из уравнений A).
Можно установить зависимость между естественным способом
задания движения точки и методом полярных координат. Эту зависи-
зависимость можно получить непосредственно исходя из выражения элемента
дуги ds траектории в полярных координатах. Рассматривая бесконеч-
бесконечно малый криволинейный треугольник (рис. 180) МгМС, мы можем с
М
Рис. 180
точностью до бесконечно малых высшего порядка считать его за пря-
прямоугольный, причем угол МХСМ прямой. Применяя теорему Пифагора,
получим
(ЛШО2 = (СМJ +
но
а поэтому
ММ1 = ds; СМХ = dr; CM = rdf,
Откуда
и, следовательно,
ds = ± У dr2 + r* d 92 ,
= so± Г
B)
C)
Выражение C) дает закон движения точки по траектории в пред-
предположении, что при ^=0 имеем s=sQ.
2. Скорость точки в полярных координатах. Чтобы найти формулу
для определения скорости точки М в полярных координатах, предста-
представим радиус-вектор г, определяющий положение точки М, в виде
r=rr
280
Раздел II. Кинематика
где г = ОМ,г° —единичный вектор радиуса-вектора г (рис. 181). Тог-
Тогда вектор скорости v точки М будет
d г°
dt
D)
Рис. 181
так как при движении точки М ее радиус-вектор г меняется и по моду-
модулю и по направлению, а следовательно, гиг0 суть некоторые функции
времени.
dr® —
Чтобы выяснить сущность вектора -^, вспомним, что \dr°\ = dtp, и
=rff (см" § ^' п' ^' Направление же этого век-
вектора будет перпендикулярно к направлению г°, так как направ-
направление дифференциала единичного вектора перпендикулярно к направ-
направлению этого единичного вектора.
Итак,
следовательно,
dt
dr°
dt
dr°
dt
E)
где через р° обозначаем единичный вектор, перпендикулярный к г°.
Таким образом,
ИЛИ
где
dt
v = vr + vp,
L
dt
dt
F)
G)
(8)
Глава IX. Кинематика точки
281
Из формулы F) или G) видно, что вектор скорости v точки яв-
является векторной суммой двух слагаемых vr и vp.
Первое из этих слагаемых называется радиальной скоростью,
второе — поперечной, или трансверсальной, скоростью.
Рис. 182
Радиальная составляющая вектора скорости v характеризует из-
изменение радиуса-вектора г по модулю, а поперечная составляющая —
по направлению. Если, например, точка М движется по окружности и
начало полярных координат совпадает с центром этой окружности, то
r=const, vr=-jj=O, a vP~r-ji4=§- Если точка М движется вдоль радиу-
радиуса-вектора г, то vp=r-~=0, a vr=-?^=0.
Так как радиальная и поперечная составляющие вектора скорости
и взаимно перпендикулярны (г°_!_р°), то модуль вектора скорости v
точки может быть найден по формуле
(9)
3. Ускорение точки в полярных координатах. Дифференцируя
выражение F) по времени, получим
— dv
w
r
dr
dr°
dp°
A0)
1 dt df
Так как при движении точки М векторы г0 и р° поворачиваются на
282 Раздел П. Кинематика
dr* dv -к
один и тот же угол, то аналогично формуле -т^=-тт р получим
формулу
d p° d 9 —о
т = тгг ¦
Подставляя выражения E) и A1) в формулу A0) и вынося единич-
единичные векторы за скобки, получим, приведя подобные члены,
— _ d v _ \d%r / df \21 —о . Г da9 ¦ п dr_ d^\ ~0
ИЛИ
w = wr + wp, A3)
где
'" \ (И)
Вектор шг называется радиальным ускорением, а вектор wp — транс-
еерсальным ускорением (рис. 182).
Так как векторы wr и wp взаимно перпендикулярны, то модуль век-
вектора ускорения w точки может быть найден по формуле
w == | w I =
или
1х> = ДО =
Задача 43. Движение точки на плоскости задано уравнениями
движения в полярных координатах
(t — в секундах, г — в метрах, ср—в радианах). Найти уравнение
траектории точки, а также скорость и ускорение точки при f=-«- сек.
Решение. Исключим время из заданных уравнений движения.
Из второго уравнения имеем
Глава IX. Кинематика точки
283
Подставляя это значение в первое уравнение, получаем
г =
или
= 8.
Это есть уравнение траектории точки. Кривая, определяемая этим
уравнением, называется гиперболической спиралью (рис. 183, а).
Найдем, далее, проекции вектора скорости v точки на направление
радиуса-вектора тэтой точки (vr) и на направление, перпендикулярное
к нему (vp),
dr
Отсюда
=
2
dt
a
M
сек '
vp
\vp)t._
~'r dt
=
16
t '
M
сек
284 Раздел II. Кинематика
Поэтому модуль вектора скорости v точки равен
сек
Проекции вектора ускорения w точки на те же направления равны
_ 32
dt*
Отсюда
(ov),__i =
dt )
' dt
t3
d 9
dt
t '
16
t* ¦
сек?
= —64
T ceK
Поэтому модуль вектора ускорения w точки равен
сек1'
Теперь определим положение точки при t=-^ctK (рис. 183, б)
(9) , =2 рад^ 114е;
/- 2
(г) ±=4 м.
2
Задача 44. Точка М движется вдоль прямой ОВ, которая вращается
вокруг точки О, причем угол <р изменяется по закону <р = из/. Найти
траекторию точки М, ее скорость и ускорение, если точка М движется
по прямой ОВ со скоростью, пропорциональной расстоянию точки М
отточки О, при этом коэффициент пропорциональности &О(рис. 184).
Решение. Напишем уравнения движения точки М в полярных
координатах (г,<р). По условию задачи скорость движения точки вдоль
прямой ОВ пропорциональна расстоянию г точки М отточки О, поэтому
dr ,
Глава IX. Кинематика точки
285
Отсюда
dr
*=kdt.
Интегрируя это выражение, получим
Inr = ki + In С,
или
Рис. 184
Определяем произвольное постоянное интегрирования С; пусть в
начальный момент, т. е. при ^=0, г=г0. Тогда, подставляя эти началь-
начальные условия в r=Cekt, получим С=л0, и, следовательно, закон измене-
изменения полярного радиуса примет вид
ekt.
Итак, мы имеем следующие уравнения движения точки М в поляр-
полярных' координатах:
Ф === (О t' Т = Г 6 .
Уравнение траектории найдем, исключив время t из этих уравнений
движения,
Это уравнение является уравнением логарифмической спирали
(рис. 184).
286 Раздел П. Кинематика
Из первого уравнения движения точки находим
d о
vP = r-W=rm-
Итак, проекции вектора скорости v точки на направление радиуса-
вектора г точки М и на направление, перпендикулярное к нему, равны
vp=ra>.
Поэтому модуль вектора скорости v точки равен
v =¦ у 4 + v2p = г У & + (о*,
при этом вектор скорости v составляет с прямой ОВ угол \l, равный
(j. = arc tg -^- = arc tg ~.
Проекции вектора ускорения w точки М на те же направления
равны
Так как й<ш, то te»r<0, и, следовательно, радиальное ускорение
wr направлено от точки М к точке О.
Следовательно, модуль вектора ускорения w точки М равен
хю = I/ wr-\-wD = г
при этом вектор w составляет с прямой ОВ угол р, равный
Глава X. Поступательное движение твердого тела 287
Глава X
ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
§63. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
До сих пор мы рассматривали движение одной материальной точки.
Перейдем теперь к рассмотрению движения твердого тела.
В кинематике твердого тела рассматриваются две основные задачи.
Первая задача состоит в установлении математических способов за-
задания, или описания, движения тела по отношению к выбранной си-
системе отсчета.
Вторая задача состоит в том, чтобы, зная уравнения движения дан-
данного тела, определить кинематические характеристики движения этого
тела в целом, а затем и каждой из его точек в отдельности.
Задать движение тела —: это значит указать способ, при помощи
которого для любого момента времени можно найти положение тела от-
относительно выбранной системы отсчета.
Каждое тело состоит из совокупности точек, и определение положе-
положения тела относительно данной системы отсчета сводится к определению
положения каждой точки этого тела относительно той же системы от-
отсчета.
Однако для определения положения тела нет надобности определять
положение каждой точки тела. Вместо этого в кинематике твердого
тела устанавливают способы определения положения всего тела в
целом относительно выбранной системы отсчета. Для этого по анало-
аналогии с понятием координат точки устанавливается понятие обобщенных
координат тела. Независимые между собой параметры, однозначно
определяющие для каждого момента времени положение тела (или точ-
точки) относительно выбранной системы отсчета, называются обобщенными
координатами тела (или точки).
Число обобщенных координат, однозначно определяющих положе-
положение тела (или точки) относительно выбранной системы отсчета, назы-
называется числом степеней свободы тела (или точки).
Так, положение свободной точки, движущейся в пространстве, оп-
определяется по отношению к данной системе отсчета заданием трех обоб-
обобщенных координат (например ее декартовых координат х, у и г). От-
Отсюда следует, что такая точка имеет три степени свободы.
При движении тела все его обобщенные координаты будут с течением
времени изменяться, т. е. будут некоторыми функциями времени. Эти
функции представляют собой уравнения движения тела.
Зная уравнения движения тела, можно определить кинемати-
кинематические характеристики движения всего тела в целом, а затем найти
траекторию, скорость и ускорение каждой точки этого тела.
288
Раздел П. Кинематика
Прежде чем перейти к изучению произвольного или самого общего
случая движения тела, сначала изучают простые, частные случаи дви-
движения тела. Наше исследование мы начнем с рассмотрения двух про-
простейших видов движения твердого тела: поступательного и вращатель-
вращательного вокруг неподвижной оси.
§64. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Движение твердого тела называется поступательным, если всякая
прямая, неизменно связанная с этим телом, во все время движения оста-
остается параллельной своему начальному положению. Простейшим случа-
случаем поступательного движения будет, например, движение кузова желез-
железнодорожного вагона на прямолинейном рельсовом пути. Для определе-
определения положения произвольной точки М поступательно движущегося
2'
¦о'
Рис. 185
тела выберем систему координат Oxyz за неподвижную систему отсчета,
и пусть некоторая точка О' поступательно движущегося тела есть на-
начало координат второй системы O'x'y'z'', неизменно связанной с этим
телом (рис. 185). Тогда положение точки М можно задать относительно
неподвижной системы отсчета радиусом-вектором гм, а относительно
подвижной системы отсчета—радиусом-вектором г'. Положение же под-
подвижного начала О' относительно неподвижной системы отсчета опре-
определяется радиусом-вектором го>. При движении тела радиусы-векторы
гми г о' изменяются стечением времени и по модулю и по направлению.
Что касается радиуса-вектора г', то он не изменяется при движении
тела ни по модулю, ни по направлению (r'=const), что вытекает из
Глава X. Поступательное движение твердого тела 289
определения абсолютно твердого тела и его поступательного движения.
Проекции радиуса-вектора г' на неподвижные оси будут во все время
движения тела некоторыми постоянными числами а, Ь, с. Из рис. 185
имеем
Пусть движение точки О' задано уравнениями:
хо. = Ш; У0.=Ш, zo.=h(t). B)
Проектируя векторное равенство A) на неподвижные оси коорди-
координат, получим
х = хо, + а; У = УО. + Ь; г = г0, + с, C)
где х, у, z — координаты точки М относительно неподвижной системы
отсчета.
Формулы C) показывают, что задания трех функций f^t), f2(t),
fs(t) вполне достаточно для определения положения любой точки по-
поступательно движущегося тела, а следовательно, вполне достаточно и
для определения положения всего тела в целом. Эти функции будем
считать однозначными, непрерывными и дифференцируемыми, по
крайней мере, дважды.
Из этих рассуждений ясно, что поступательно движущееся тело
имеет три обобщенные координаты х0-, Уог и z0', однозначно определя-
определяющие положение этого тела относительно выбранной неподвижной си-
системы отсчета. Следовательно, тело, движущееся поступательно, имеет
три степени свободы.
Уравнения C) называются законом или уравнениями поступатель-
поступательного движения тела. Из равенства A) видно, что если траектория Lo-
точки О' известна, то траектория LM точки М получается из траектории
L0' параллельным смещением всех ее точек на постоянный по модулю и
направлению радиус-вектор г' (рис. 185).
Таким образом, при поступательном движении твердого тела все
его точки описывают одинаковые, при параллельном смещении совпа-
совпадающие, траектории.
Не следует думать, что при поступательном движении тела траек-
траектории его точек должны быть непременно прямыми линиями. При по-
поступательных движениях траектории точек тела могут быть самыми
разнообразными кривыми.
Так, например, педаль АВ велосипеда (рис. 186, а) движется так,
что во всяком положении отрезок АВ остается параллельным самому
себе. Следовательно, педаль движется поступательно, хотя траекто-
траектории ее точек непрямые. Траектория точки С — окружность с центром
20 Н, Ф. Сахарный
290
Раздел II. Кинематика
в точке О; следовательно, траектории и других точек — например
А и В — тоже окружности, но с центром в точках О2 и О2(рис. 186, б).
Радиусы этих окружностей, конечно, равны, ибо траектории должны
быть одинаковыми (при наложении совпадающими).
А С В
Рис. 186
Для нахождения скоростей точек М и О' (рис. 185) продифференци-
продифференцируем обе части равенства A) по времени. Тогда получим
dr
M
dt
dr0.
dt
или
D)
так как при поступательном движении тела радиус-вектор r'=const,
и, следовательно, -^-=0.
at
Из равенства D) следует, что скорости точек М и О' поступательно
движущегося тела в любой момент времени одинаковы и по модулю и
по направлению.
Беря от обеих частей равенства D) производные по времени, найдем
d v
м
d v.
О'
dt
dt
ИЛИ
Wm — Wo' • E)
Следовательно, ускорения точек М яО' поступательно движущегося
тела в любой момент времени тоже одинаковы и по модулю и по направ-
направлению.
Глава X. Вращательное движение твердого тела 291
Так как точки М и О' были выбраны произвольно, то формулы A),
D) и E) показывают, что при поступательном движении тела:
1) траектории различных точек тела суть одинаковые кривые,
которые можно совместить друг с другом параллельным переносом;
2) скорость любой точки тела равна по модулю и направлению ско-
скорости подвижного начала координат, т. е. скорости всех точек тела
геометрически равны между собой для любого момента времени;
3) ускорения всех точек тела также геометрически равны между
собой для любого момента времени.
Из этих свойств поступательного движения следует, что изучение
поступательного движения тела сводится к изучению движения какой-
либо одной из его точек. Поэтому все выводы, полученные нами в
предыдущей главе при исследовании движения одной точки, могут
быть распространены на случай поступательного движения тела.
Следует обратить внимание на то, что векторы v и w, представляю-
представляющие скорость и ускорение некоторой точки поступательно движуще-
движущегося тела, можно переносить в любую точку этого тела. Общую для
всех точек поступательно движущегося тела скорость и общее для всех
этих точек ускорение мы можем назвать скоростью и ускорением тела.
Однако такая терминология допустима лишь в случае поступательно-
поступательного движения тела. Во всех других случаях движения тела, как мы уви-
увидим в дальнейшем, различные точки тела движутся с разными скоростя-
скоростями и ускорениями, а поэтому понятия о скорости и ускорении тела для
этих движений теряют смысл.
§65. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
1. Уравнение, или закон, вращательного движения твердого тела
вокруг неподвижной оси. Если твердое тело движется так, что две
его точки остаются неподвижными, то такое движение твердого тела
называется вращательным движением вокруг неподвижной оси.
Прямая, проходящая через две неподвижные точки твердого тела,
называется неподвижной осью этого тела.
Чтобы осуществить вращательное движение твердого тела вокруг
неподвижной оси, достаточно закрепить две его какие-нибудь точки
при помощи, например, подшипника А и подпятника В (рис. 187).
Тогда прямая, проходящая через эти точки, будет неподвижной осью
вращения тела. Очевидно, что все точки тела, лежащие на этой оси,
будут во все время вращательного движения тела оставаться неподвиж-
неподвижными. При этом траектории точек тела, не лежащих на оси вращения,
являются окружностями, плоскости которых перпендикулярны к оси
вращения. Центры этих окружностей лежат на оси вращения, и, сле-
следовательно, радиус каждой из них равен расстоянию соответствующей
точки вращающегося тела от оси вращения,
20*
292
Раздел П. Кинематика
Пусть ось вращения совпадает с осью г. Чтобы определить положе-
положение вращающегося тела, проведем через ось z две плоскости: подвиж-
подвижную Q, неизменно связанную с вращающимся телом, и неподвижную
Р (рис. 187). Двугранный угол <р между подвижной плоскостью Q и
неподвижной плоскостью Р называет-
называется углом поворота тела. Условимся
считать этот угол положительным
тогда, когда с положительного конца
оси z мы видим его отложенным от
неподвижной плоскости Р в направле-
направлении против движения часовой стрел-
стрелки, и отрицательным— по движению
часовой стрелки.
Заданием величины и знака угла
поворота вполне определяется поло-
положение плоскости Q относительно
неподвижной системы отсчета Oxxyz
(рис. 187), а поскольку плоскость Q
неизменно связана с вращающимся те-
телом, то значением угла поворота будет
вполне определяться и положение это-
этого тела.
Угол поворота тела обычно измеряют в радианах. Иногда в практи-
практических задачах этот угол выражают числом оборотов N тела. Так как
один оборот тела, т. е. его поворот на 360°, соответствует 2 я рад, то
получаем следующую зависимость:
<P = 2ittf. A)
При вращении тела вокруг неподвижной оси z угол поворота этого
тела изменяется с течением времени, следовательно, он является неко-
некоторой функцией времени
в
Рис. 187
9 = f[t).
B)
Функцию f(t) будем считать однозначной, непрерывной и дифферен-
дифференцируемой, по крайней мере, дважды.
Равенство B) называется уравнением или законом вращательного
движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Это уравнение вполне
определяет положение твердого тела в любой момент времени.
Итак, при вращательном движении твердого тела вокруг неподвиж-
неподвижной оси тело имеет одну обобщенную координату и, следовательно, оно
имеет одну степень свободы.
При вращательном движении тела различные его точки движутся,
вообще говоря, по-разному.Однако и для вращательного движения тела
можно отыскать такие кинематические характеристики, которые были
Глава X. Вращательное движение твердого тела 293
бы общими для всех точек тела, т. е. для всего тела в целом. Такими
кинематическими характеристиками будут: угол поворота <р,
угловая скорость <о и угловое ускорение г. Поэтому имеют отчетливый
научный смысл понятия «угловая скорость тела» и «угловое ускорение
тела», но нельзя говорить об угловой скорости точки и угловом уско-
ускорении точки.'
2. Угловая скорость твердого тела, вращающегося вокруг непод-
неподвижной оси. Угловая скорость тела характеризует быстроту изменения
угла поворота тела с течением времени.
Пусть в момент времени t положение вращающегося тела определя-
определяется углом поворота <р, а в момент t1=t-\-At — углом поворота <J>i=<p+
+ Д<р, где Дф— приращение угла поворота за промежуток времени At.
Отношение — называют средней угловой скоростью тела за промежуток
времени At. Предел этого отношения, когда At стремится к нулю, на-
называют угловой скоростью тела в данный момент времени. Обозначая
угловую скорость в данный момент через <в, получаем
Таким образом, угловая скорость тела в данный момент равна пер-
первой производной от угла поворота тела по времени.
Значение угловой скорости ^—-^ Для данного момента времени мо-
может быть положительным или отрицательным в зависимости от того,
возрастает или убывает угол поворота на интервале данных значений
времени.
Когда тело вращается против движения часовой стрелки, если смот-
смотреть с положительного конца оси вращения Oz, то угол поворота <р
возрастает, поэтому ш=^>0. Если тело вращается по движению часо-
часовой стрелки, то угол поворота <р (принимая отрицательные значения)
убывает, поэтому ш=^7<0.
Следовательно, знак угловой скорости указывает, в какую сторону
в данный момент вращается тело вокруг оси.
Исходя из определения угловой скорости можно найти и ее раз-
размерность. Размерность угловой скорости, если за единицу угла при-
принять 1 рад. а за единицу времени — 1 сек, будет
Гол = [rf?1 = 1угол1 _ рад
1 J [dt\ [время] сек '
или
так как радиан — величина безразмерная.
294 Раздел II. Кинематика
3. Угловое ускорение твердого тела, вращающегося вокруг не-
неподвижной оси. Угловое ускорение тела характеризует быстроту изме-
изменения угловой скорости этого тела с течением времени.
Если за промежуток времени Д/=^—t угловая скорость тела из-
изменится на величину Дш, то отношение -г^ называется средним угловым
ускорением тела за промежуток времени М. Предел этого отношения,
когда Д^ стремится к нулю, называют угловым ускорением тела в данный
момент времени. Обозначая угловое ускорение через е, получаем
е = hm ^- = —- = (в, D)
или, принимая во внимание равенство C),
Таким образом, угловое ускорение тела в данный момент равно пер-
первой производной от угловой скорости по времени или второй производной
от угла поворота тела по времени.
Размерность углового ускорения выражается так:
. , [du>\ [угловая скорость]
^ ~ Jdi] = [время] '
ИЛИ
[е] = —^- = сек~г.
сек?
Если со>0, то при s>0 угловая скорость возрастает, т. е. вращение
тела ускоренное; если же е<0, то угловая скорость убывает — вра-
вращение тела замедленное.
Если ш<0, то при е<0 абсолютная величина угловой скорости воз-
возрастает— вращение тела ускоренное; если же е>0, то абсолютная
величина угловой скорости убывает — вращение тела замедленное.
Таким образом, вращение тела будет ускоренным, когда угловая
скорость ев и угловое ускорение е имеют одинаковые знаки, и замедлен-
замедленным, — когда разные.
4. Частные случаи вращательного движения твердого тела вокруг
неподвижной оси.
1) Если угловая скорость тела со остается во все время вращатель-
вращательного движения постоянной (u)=const), то вращение тела называется
равномерным. Найдем закон равномерного вращения тела. Так как
do
0) =
Глава X. Вращательное движение твердого тела 295
ТО
df = iadt,
где io=const. Отсюда при интегрировании получаем
<p = a>t + C,
где С — постоянная интегрирования. Величину С находим из на-
начального условия. Если при ?=0, <р=|Ро> то С=?о-
Отсюда получаем закон равномерного вращения тела в виде
? = То + ш t- F)
Считая, что в начальный момент при /=0 угол <р=<Ро=0, получим
<р = Ы. G)
Из этого равенства следует, что при равномерном вращении тела
« = -*-. (8)
В технике угловую скорость равномерного вращения обычно харак-
характеризуют числом оборотов в минуту и обозначают эту величину через
п —. При одном обороте тело поворачивается на угол 2-и, а при п
мин
оборотах оно поворачивается на угол 2тт; этот поворот тела совершает-
совершается за время t=\ мин=60 сек. Из формулы (8) следует тогда, что
Я П 1 /rv.
Для грубых расчетов можно считать тс^З, и тогда
i A0)
сек
2) Если угловое ускорение тела остается во все время вращатель-
вращательного движения постоянным (e=const), то вращение тела называется
равнопеременным. Найдем закон равнопеременного вращения тела.
Так как
d о>
те
d(o = e d t.
При интегрировании этого равенства получаем
296
Раздел II. Кинематика
где постоянная интегрирования Сх находится из начальных условий.
Если при ^=0, u)=uH, то С1=а>0.
Отсюда следует, что в случае равнопеременного вращательного дви-
движения тела угловая скорость определяется по формуле
Если равенство A1) проинтегрировать, то получим
Если при ?=0, 9=0, то постоянная интегрирования С2=0. Тогда
окончательно закон равнопеременного вращательного движения тела
примет вид
9-%t+i-- A2)
Если угловая скорость ш и угловое ускорение г имеют одинаковые
знаки, то вращение тела будет равноускоренным, а если разные —
равнозамедленным.
Полезно обратить внимание на существующую аналогию между
законами прямолинейного движения точки и вращательного движе-
движения тела. Очевидно, что все формулы, получен-
полученные в §59, п. 6, переходят в формулы настоя-
настоящего параграфа, если в них вместо х, v и до
подставить соответственно <р, ш и е.
5. Скорости и ускорения точек тела, вра-
вращающегося вокруг неподвижной оси. Рассмот-
Рассмотрим какую-нибудь точку М вращающегося
тела, находящуюся на расстоянии h от оси
вращения z (рис. 187, 188). При вращении
тела точка М будет описывать окружность
радиуса h, плоскость которой перпендикуляр-
перпендикулярна к оси вращения, а центр Ох лежит на самой
оси. Так как угловая скорость тела не зависит
от выбора подвижной плоскости Q, то мы всег-
всегда можем выбрать эту плоскость так, чтобы она
проходила через рассматриваемую точку М (рис. 187). Будем опреде-
определять положение точки М на ее траектории дуговой координатой s,
отсчитываемой от взятой на плоскости Р неподвижной точки А, при-
причем за положительное направление отсчета дуги s примем положитель-
положительное направление отсчета угла поворота <р (рис. 187, 188).
Тогда s = hep, а следовательно, скорость точки М будет
ds
Глава X. Вращательное движение твердого тела 297
или
Эту скорость точки М в отличие от угловой скорости тела часто на-
называют линейной скоростью.
Таким образом, линейная скорость какой-либо точки вращающего-
вращающегося твердого тела равняется произведению угловой скорости тела на
расстояние от этой точки до оси вращения. Вектор линейной скорости
v точки М направлен по касательной к окружности, которую описы-
описывает точка М, и, следовательно, перпендикулярен к плоскости, про-
проходящей через ось вращения и точку М.
Модуль v вектора линейной скорости v точки, как известно, равен
где |ш| — абсолютное значение угловой скорости тела.
Так как угловая скорость w является кинематической характери-
характеристикой всего тела в целом, то из формулы A3) следует, что линейные
скорости точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям
этих точек от оси вращения.
По формулам, полученным в § 60, найдем
где |г| — абсолютное значение углового
ускорения. Если тело вращается уско-
ускоренно, то в этом случае вектор касатель-
касательного ускорения но* и вектор скорости
v точки М направлены в одну и ту же
сторону по касательной к описываемой
точкой М окружности (см. рис. 188). Ес-
Если же тело вращается замедленно, то век-
векторы ш,и[1 направлены в противополож-
противоположные стороны (рис. 189).
19 Н. Ф. Сахарный
298 Раздел II. Кинематика
Модуль вектора нормального ускорения wn точки М выражается
по формуле _
\wn\ = wn = hrf. A8)
Что касается направления вектора wn, то он направлен всегда по
радиусу окружности*, описываемой точкой М.
Модуль вектора полного ускорения w точки М равен
w —
Чтобы определить направление вектора w, достаточно вычислить
угол а, образуемый этим вектором с радиусом ОХМ описываемой точ-
точкой окружности. Из рис. 188 или 189 ясно, что
или
tga = ilL. B0)
Так как угловая скорость ш и угловое ускорение е являются ки-
кинематическими характеристиками всего тела в целом, то из формулы
A9) следует, что линейные ускорения всех точек вращающегося тела
пропорциональны расстояниям этих точек от оси вращения. При этом
из формулы B0) следует, что линейные ускорения всех точек вращаю-
вращающегося тела образуют в данный момент времени один и тот же угол
а с радиусами описываемых ими окружностей.
В частном случае, когда тело вращается равномерно (со =const),
угловое ускорение е=0, поэтому а=0 и wz =0, следовательно, полное
ускорение равно по модулю да=шл=ЛаJи направлено к центру окруж-
окружности, описываемой точкой М.
6. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, вращаю-
вращающегося вокруг неподвижной оси, как векторы. Чтобы получить
векторные формулы, определяющие векторы скорости и ускорения то-
точек вращающегося вокруг неподвижной оси твердого тела, условились
изображать угловую скорость этого тела вектором. Модуль вектора со,
изображающего угловую скорость тела, считают равным абсолютной
величине угловой скорости тела, т. е. |<о| = |<р|. При этом вектор ш
откладывают по оси вращения так, чтобы наблюдатель, смотрящий с
конца этого вектора в сторону его начала, видел вращение тела совер-
совершающимся против движения часовой стрелки (правило правого винта).
Что касается начала вектора ш, то оно может быть помещено в любой
Поэтому ускорение wn иногда называют центростремительным ускорением.
Глава X. Вращательное движение твердого тела 299
точке на оси вращения, т. е. вектор угловой скорости определяют как,
вектор скользящий*.
Задав вектор угловой скорости со, можно для каждого момента вре-
времени сразу определить: 1) положение оси вращения тела (прямая-,,
вдоль которой расположен вектор ш); 2) направление вращения тела
вокруг этой оси, определяемое направлением вектора со по правилу
правого винта; 3) абсолютную величину угловой скорости тела, равную
модулю вектора ш.
Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) также
изображают в виде вектора. Производную от вектора угловой скоро-
скорости по времени, т. е.-^-, называют вектором углового ускорения и
обозначают через s. Обозначим через &° единичный вектор вектора
со, тогда
^ = со?°. B1)
Так как ось вращения твердого тела неподвижна, то k° есть вектор
постоянный не только по модулю, но и по направлению, т. е. ?u=const.
Дифференцируя равенство B1) по времени, получим вектор углового
ускорения
_ d9 Г
dt ~ dt dt*
или
ё=е?°. B2)
Из формул B1) и B2) следует, что для тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси, вектор е так же, как и вектор со, направлен вдоль
оси вращения. Если при этом знак е совпадает со знаком
со, т. е. если тело вращается ускоренно, то вектор е направлен в ту
же сторону, что и вектор со ( рис. 187). Если же_тело вращается замед-
замедленно (когда s и со разных знаков), то вектор е направлен в сторону,
противоположную вектору со (рис. 190).
Модуль вектора углового ускорения е равен абсолютной величине
углового ускорения тела, т. е. |е|=|ш|=|<р|.
7. Векторные формулы для определения скоростей и ускорений то-
точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Выве-
Выведем теперь векторную формулу для определения вектора скорости
произвольной точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвиж-
неподвижной оси (рис. 191). Для этой цели в качестве неподвижного полюса
* Право считать угловую скорость векторной величиной подтверждается до-
доказываемой ниже теоремой (см. § 82).
19*
300
Раздел II. Кинематика
примем центр d окружности, описываемой данной точкой М, и со-
составим векторное произведение ш X К в котором через h обозначен
радиус-вектор точки М. Результатом этого векторного произведения
будет вектор, перпендикулярный к ш и h и направленный таким обра-
зом, что если смотреть с конца этого вектора в сторону его начала, то
поворот от со к h на наименьший угол совершится против движения
часовой стрелки. Но это направление будет совпадать с направлением
вектора скорости v точки М (рис. 191). Кроме того, модуль векторного
произведения и>Х^ равен
h |=
sin90° =
где |ш| — абсолютное значение угловой скорости тела. Принимая во
внимание формулу A4), мы заключаем, что модуль и направление век-
вектора шХ h совпадают с модулем и направлением вектора скорости v
точки М; поэтому
v = «вХ h.
B3)
Если на оси вращения тела выбрать произвольный полюс О и по-
построить радиус-вектор г, соединяющий этот полюс с точкой М, то лег-
легко видеть (см. рис. 191), что
г = OOL+ h.
или
= r — OOX.
Глава X. Вращательное движение твердого тела
301
Отсюда следует, что
Ш)х) = со х 7 — со х ООг = со X 7,
так
как векторное произведение коллинеарных векторов со и UUt
тождественно равно нулю (оХООх=0.
Таким образом, получаем искомую векторную формулу
v = ux7, B4)
т.е. вектор скорости любой точки тела,вращающегося вокруг неподвиж-
неподвижной оси, равен векторному произведению вектора угловой скорости тела
на радиус-вектор этой точки, проведенный из произвольно выбранной
точки, взятой на оси вращения тела.
Формула B4) называется формулой Эйлера. Она позволяет при за-
заданном векторе угловой скорости найти модуль и направление скоро-
скоростей точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
Выведем теперь векторную формулу для определения вектора ус-
ускорения произвольной точки М твердого тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси. Для этого продифференцируем равенство B4)
по времени. Тогда получим
— dv d&> — — dr
W == —-;—" = X Г ~\~ @ X —-i— *
Так как
dt
то, внося значения
равенство, получим
dr
~Ш
и -^ в предыдущее
B5)
Докажем, что векторное произведение
еХг представляет собой вектор касательного
ускорения wx точки М, а векторное произве-
произведение юХо представляет собой вектор нор-
нормального ускорения wn точки М. Пусть для
определенности вращение тела ускоренное
(рис. 192). _
В этом случае направление вектора s
совпадает с направлением вектора ю. Тогда
из сравнения векторов еХ^ и v = о) х г
следует, что направление вектора еХг совпа-
совпадает с направлением вектора ' скорости
Рис. 192
302 Раздел //. Кинематика
v=mXr точки М. Отсюда следует, что направление вектора
еХг~ совпадает с направлением вектора касательного ускорения шх
точки М. Модуль вектора еХг будет (рис. 191)
\7х 7\ = 1 ~ё | г sin р = \ "i"l A = \e\fi,
где |е| — абсолютное значение углового ускорения тела, р — угол
между г и осью 2. Принимая во внимание формулу A7), мы заключаем,
что модуль и направление вектора еХг совпадают с модулем и направ-
направлением вектора касательного ускорения точки М; поэтому
Шт = ? X Г. B6)
Направление вектора шХа перпендикулярно к вектору угловой
скорости со тела и вектору скорости v точки М, т. е. идет по радиусу
окружности, описываемой точкой М, к ее центру Оь Модуль вектора
о) X» будет
\ («X tT| с== | а> ] 1171 sin 90° = | to | и =э | о> | о.
Но при движении точки М по окружности радиуса h=OxM имеем
| v | = v = | (о | Л,
поэтому предыдущая формула примет вид
|ш X Ъ\ =шаА.
Принимая во внимание формулу A8), мы заключаем, что модуль и
направление вектора шХс совпадают с модулем и направлением век-
вектора нормального ускорения wn точки М; поэтому
ш„=шхй. B7)
8. Указания к решению задач. Задачи, относящиеся к вращатель-
вращательному движению твердого тела вокруг неподвижной оси, можно разде-
разделить на три основные типа: 1) определение угла поворота, угловой
скорости и углового ускорения тела; 2) определение линейных скоро-
скоростей и ускорений точек вращающегося тела; 3) задачи, относящиеся
к передаче вращательного движения от одного тела к другому (зубча-
(зубчатые и ременные передачи).
С методами решения этих основных задач проще всего ознакомить-
ознакомиться, рассмотрев решения следующих задач.
Задача 45. Турбина реактивного двигателя, делавшая 2700— ,
мин
начала с этого момента вращаться равноускоренно и через 50 сек чис-
об
ло ее оборотов в минуту возросло до 4200—.Определитьугловоеуско-
мин
рение турбины, а также число оборотов, сделанных турбиной за 50 сек.
Глава X. Вращательное движение твердого тела 303
Решение. Эта задача относится к задачам первого типа. Так
как турбина вращается равноускоренно, то для нее
ш = ">0 + s t; (a)
считая фо=0.
В данном случае
*;«„ те-2700
те п л-4200 1iir. 1
= НО те
ш - 30 30 - ™ " сек '
? = 50 сек.
Подставляя эти значения в формулы (а) и (б), определяем угловое
ускорение турбины
га — о>0 140 тс — 90 те 1
и угол ее поворота
9 = 90и-50
Так как <p=2nN, то число сделанных турбиной за 50 сек оборотов
N будет равно
Задача 46. В период разгона маховик вращается вокруг своей
оси по закону <p=8%t3. Определить угловую скорость и угловое уско-
ускорение маховика в тот момент, когда он сделает 4 об.
Решение. Эта задача относится к задачам первого типа. По
заданному закону вращательного движения находим угловую скорость
и угловое ускорение маховика в данный момент
304 Раздел II. Кинематика
Так как маховик сделал 4 об, то угол поворота равен ?=2kN=
=2тг4 = 8-крад. Далее находим, в какой момент времени / угол поворота
маховика будет равен <р=8крад. Для этого подставим это значение уг-
угла поворота в формулу <p=8nts, тогда получим
8 к = 8 ntB, '
отсюда
t = f\ =1 сек.
Угловая скорость и угловое ускорение маховика в этот момент
времени будут равны
ш = 24-1Г-12 = 24тс —;
сек
сек'
Задача 47. Вал, делающий /г=90— , после выключения двигателя
мин
начинает вращаться равнозамедленно и до остановки сделал 30 об.
Определить, сколько времени прошло с момента выключения двигате-
двигателя до остановки вала.
Решение. Эта задача относится к задачам первого типа. Так
как вал вращается равнозамедленно, то для него
(о = о)о + et; (a)
9 = "У + -у-. (б)
считая 9о—0.
Начальной угловой скоростью вала будет та, которую вал имел до
выключения двигателя. Следовательно,
пп п-90 о 1
Шо- 30 - 30 ~6Кс1к-
Так как в момент остановки угловая скорость вала равна нулю,
то ш=0. Подставляя это значение в уравнение (б), получаем
0 = 3 тс + st.
Отсюда
_ __3п
Глава X. Вращательное движение твердого тела 305
Так как вал до остановки сделал N=30 об, то угол поворота вала
равен <p=2nN — 2^-30 = 60тс рад. Подставляя найденные значения е и
9 в уравнение (а), получаем
откуда
60 it = 3 izt —— • -~-
, 120 .n
t = —-7Г- = 40 сек.
Задача 48. Маховик радиуса R=\ м вращается равномерно вокруг
своей оси, делая пять оборотов за 0,5 сек. Определить линейную ско-
скорость и линейное ускорение точки, лежащей на ободе маховика.
Решение. Эта задача относится к задачам второго типа. Так
как маховик вращается равномерно, то для него
9 = Фо + ю/'
или
_9-Уо
t •
В данном случае за время ^=0,5 сек угол поворота маховика <р—сро=
=2тсЛг=2тс-5=101фад, поэтому
Юте оп 1
(в = —-=- = 20 тс ¦— .
0,5 сек
Кроме того, при равномерном вращении маховика cu =const,
и, следовательно, е=0.
Таким образом,
и = Ясо = Ь20тс = 20*^=62,8— ;
сек
wz = Rs = 0;
wn = /?(«2 = 1 -400 л2 = 400 ic» «= 3943,{
ш = w ~t 3943,8 -^-..
306 Раздел II. Кинематика
Итак, искомая скорость о=^62,8 —, а искомое ускорение
-^тИ направлено по радиусу к оси вращения маховика.
сек
Задача 49. В период разгона маховик вращается по закону ср——Р.
Определить линейную скорость и линейное ускорение точки, находя-
находящейся на расстоянии h=\ м от оси вращения, в тот момент, когда ка-
касательное ускорение этой точки станет равно нормальному.
Решение. Эта задача относится к задачам второго типа. Най-
Найдем сначала угловую скорость и угловое ускорение маховика в дан-
данный момент
= тг = t —;
at сек '
Для касательного и нормального ускорений точки имеем формулы:
Wz —h&; wn=ha>2. Определим момент, в который ют =wn. Очевидно,
в этот момент е=и>2,
или
откуда
t — 1 сек.
Подставляя это значение времени t в выражение для w , найдем,
что в момент t—\ сек
m==i-L- 2 = i-L
сек сек*
Отсюда искомая скорость при t=\ сек будет равна
о = Ао> = 1 — .
сек
Так как касательное и нормальное ускорения точки, находящейся
на расстоянии /г=1 м от оси вращения маховика, при t—\ сек равны
ц;х=/гг=1—-а; йУ„=/ги>2=1—j то искомое ускорение при этом будет
равно
W = h У е* -)- <о* =}А2" а ==? 1,41 g.
Глава X. Вращательное движение твердого тела
307
Так как
то вектор искомого ускорения w направлен под углом а=45° к ра-
радиусу h.
Задача 50. Зубчатое колесо / радиусом ^=0,6 м находится во внеш-
внешнем зацеплении с колесом // радиусом га=0,5 м (рис. 193). На вал
шж
Рис. 193
радиусом /=0,3 м колеса / намотана нить, к концу которой подвешен
груз, так что он движется в вертикальном направлении по закону
s=3t2(s— в метрах, t — в секундах). Определить угловую скорость и
угловое ускорение колеса //, а также полное линейное ускорение ка-
какой-либо точки В, лежащей на ободе этого колеса.
Решение. Эта задача относится к задачам третьего типа. Ко-
Колесо / (ведущее) вращается вокруг неподвижной оси Ох в направлении,
противоположном движению часовой стрелки. Скорость точки А за-
зацепления колес будет направлена, как показано на рис. 193, и, следо-
следовательно, колесо // (ведомое) будет вращаться вокруг неподвижной
оси 02 в сторону, противоположную вращению ведущего колеса /.
Для линейной скорости точки А, как принадлежащей одновре-
одновременно и колесу / и колесу //, будем иметь
vA = ш1г1 = ш2г2,
308 Раздел П. Кинематика
где ш1иш2— угловые скорости колес / и //. Отсюда следует, что
т. е. отношение угловой скорости ведущего колеса и угловой скорости
ведомого равно обратному отношению их радиусов.
Линейная скорость поступательно движущегося груза (или ско-
скорость нити) равна
ds c, м
Юс = аТ = Ы—.
Так как вал приводится во вращательное движение сматываемой
с него нитью, то линейная скорость точки С, лежащей на ободе ва-
вала, равна скорости груза (или нити). При этом угловая скорость ва-
вала, а следовательно, и колеса / будет равна
vc Qt J_
<°i = 77 ^ 07з = t сек '
а угловое ускорение колеса / будет равно
Вращение колес I к II равноускоренное, а поэтому для угловых
скоростей этих колес имеем формулы: ш1=е1^ и щ2=е2?, откуда
Отсюда находим угловую скорость и>2 и угловое ускорение ег
колеса //
,b сек
,0,6 „. 1
Линейное ускорение произвольной точки В обода колеса // будет
равно
Глава XI. Составное движение точки
309
Глава XI
СОСТАВНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
§66. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ, ПЕРЕНОСНОЕ И АБСОЛЮТНОЕ
ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
До сих пор мы рассматривали движение точки по отношению к од-
одной заданной системе отсчета, которую считали условно неподвижной.
Однако в ряде случаев при решении задач механики оказывается удоб-
удобным рассматривать движение точки одновременно по отношению к двум
системам отсчета, из которых одна принимается за неподвижную, а
другая определенным образом движется по отношению к первой.
Рис. 194
Представим себе, что мы наблюдаем движение точки М по отношению
к некоторой системе отсчета Oxyz, которая в свою очередь сама как-то
движется по отношению к системе отсчета О-^х^у^, принимаемой за
неподвижную (рис. 194). Каждая из этих систем отсчета неизменно
связана, конечно, с определенным телом. Движение точки М по отно-
отношению к подвижной системе отсчета называется относительным.
Движение подвижной .системы отсчета по отношению к неподвижной
системе отсчета называется переносным. Движение точки М по отно-
отношению к неподвижной системе отсчета называется абсолютным. Аб-
Абсолютное движение точки М можно назвать также составным, посколь-
поскольку оно состоит из относительного и переносного движений. Так, на-
например, если человек идет по движущейся лестнице эскалатора мет-
310 Раздел II. Кинематика
ро, то его движение по отношению к стенам тоннеля (неподвижная
система отсчета) есть составное движение. Это движение состоит из
относительного движения человека по отношению к лестнице (под-
(подвижная система отсчета) и его переносного движения вместе с лестни-
лестницей по отношению к стенам тоннеля. Таким путем составное движение
человека разлагается на два более простые и более легко исследуемые
составляющие движения.
Для того чтобы можно было разложить всякое составное движение
точки на составляющие движения (относительное и переносное), не-
необходимо выбрать подвижную систему отсчета, движение которой
известно, и найти движение точки относительно этой подвижной систе-
системы отсчета. Мы воспользуемся этим приемом разложения составного
движения точки на составляющие движения при дальнейшем изучении
кинематики твердого тела.
§67. АБСОЛЮТНЫЕ, ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ И ПЕРЕНОСНЫЕ
СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ
При изучении составного движения точки устанавливают понятия
абсолютной, относительной и переносной скоростей этой точки, а
также понятия ее абсолютного, относительного и переносного уско-
ускорений.
Абсолютной скоростью va и абсолютным ускорением wa точки М
называются ее скорость и ускорение в абсолютном движении, т. е. в
ее движении по отношению к неподвижной системе отсчета. Абсолют-
Абсолютной траекторией точки М называется ее траектория в абсолютном дви-
движении.
Относительной скоростью vr и относительным ускорением wr точ-
точки М называются ее скорость и ускорение в относительном движении,
т. е. в ее движении по отношению к подвижной системе отсчета. Отно-
Относительной траекторией точки М называется ее траектория в относи-
относительном движении. Понятно, что относительная траектория точки
перемещается вместе с подвижной системой отсчета.
Переносной скоростью ve и переносным ускорением we точки М
называются абсолютная скорость и абсолютное ускорение той неиз-
неизменно связанной с подвижной системой отсчета точки, с которой в
данный момент совпадает точка М.
Так как разные неизменно связанные с подвижной системой отсче-
отсчета точки имеют в общем случае разные траектории, то говорить о пере-
переносной траектории точки М нельзя.
Сделанное нами определение переносной скорости ve и переносного
ускорения we точки М применимо для всякого переносного движения.
В случае поступательного переносного движения скорости и ускорения
всех связанных с подвижной системой отсчета точек одинаковы. По-
Поэтому только в этом случае переносная скорость ve и переносное ус-
Глава XI. Составное движение точки 311
корение we движущейся точки М не будут зависеть от ее положения
по отношению к подвижной системе отсчета. Следовательно, под пере-
переносной скоростью ve и переносным ускорением we точки М в этом слу-
случае можно понимать абсолютную скорость и" абсолютное ускорение
подвижной системы отсчета.
В заключение отметим, что основная задача кинематики в случае
составного движения точки состоит в том, чтобы, зная относительное
движение точки и переносное движение, найти абсолютное движение
точки и, следовательно, определить ее траекторию, скорость и уско-
ускорение в этом движении.
§68. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ И СЛОЖЕНИЯ
УСКОРЕНИЙ В ТОМ СЛУЧАЕ, КОГДА ПЕРЕНОСНОЕ ДВИЖЕНИЕ
ЯВЛЯЕТСЯ ПОСТУПАТЕЛЬНЫМ
Относительная, переносная и абсолютная скорости связаны меж-
между собой. Установим эту связь.
Предположим, что тело А (рис. 194), с которым неизменно связана
выбранная подвижная система осей Oxyz, совершает поступательное
движение относительно неподвижной системы отсчета О^у^.
Допустим, далее, что по желобку, вырезанному в теле А в свою
очередь движется, например, шарик (точка М), который при этом
участвует в двух движениях — относительном по отношению к телу А
(или по отношению к системе осей Oxyz) и в переносном вместе с те-
телом А, т. е. вместе с осями Oxyz. Так как при поступательном дви-
движении тела А все его точки имеют в каждый момент времени одинако-
одинаковые скорости, равные абсолютной скорости v0точки О тела Л, то, сле-
следовательно, переносная скорость ve точки М (шарика) в тот же момент
также будет равна скорости vo , т. е.
U=V 0)
Пусть движение точки М по отношению к поступательно движущей-
движущейся системе отсчета Oxyz определяется уравнениями:
где х, у, z — координаты движущейся точки М в подвижной системе
осей Oxyz. Эти уравнения представляют собой уравнения относитель-
относительного движения точки М. Если исключим из этих уравнений время /,
то получим уравнения траектории L (рис. 194) относительного движе-
движения точки М. Чтобы найти относительную скорость vr точки М, не-
необходимо, поступая так же, как в § 59, продифференцировать уравне-
уравнения относительного движения точки М по времени t. Тогда получим
312 Раздел II. Кинематика
проекции vTX, vry и vrz вектора относительной скорости точки М на
подвижные оси Ох, Оу и Oz
_ dx .
Vrx~dt '
=. ^ •
и'У d< '
_ dz
Угг ~~ dt ' -
Отсюда получаем формулу разложения вектора относительной
скорости vr точки М по подвижным осям
vr = vrx i + vn\ + vrzk= ~i + i^J+ ^k, B)
где i, j, k — единичные векторы подвижных осей.
Положение точки М определяется по отношению к неподвижной
системе отсчета радиусом-вектором г, а по отношению к подвижной
системе отсчета радиусом- вектором R; положение точки О по отноше-
отношению к неподвижной системе отсчета определяется радиусом-вектором
г0 ¦ Из рис. 194 имеем
но так как
R=xi+ yj + zk,
то можно написать
г =ro+ xi + yj + zk.
Дифференцируя это векторное равенство по времени t и принимая
во внимание, что при поступательном движении системы отсчета Охуг
оси Ох, Оу и Oz движутся параллельно самим себе, и, следовательно,
единичные векторы i, j и k этих осей не изменяют своего направления,
получим абсолютную скорость va точки М
Но
dro — -
dT- vo~Ve
Глава XI. Составное движение точки 313
И
dx — . dy ~. dz ~r -
Жl + Ж ] "" Ж *-~v'->
а поэтому окончательно имеем
Таким образом, доказано, что если переносное движение является
поступательным, то абсолютная скорость точки равна геометриче-
геометрической сумме переносной и относительной скоростей этой точки.
Этот векторный способ сложения скоростей часто называют пра-
правилом параллелограмма скоростей, или правилом треугольника скоро-
скоростей. Содержание этого правила заключается в том, что абсолютная
скорость точки равна по модулю и направлению диагонали параллело-
параллелограмма (или замыкающей стороне треугольника), построенного на
относительной и переносной скоростях.
Равенство D), выражающее теорему о сложении скоростей, мы
доказали для того частного случая, когда переносное движение, т. е.
движение подвижной системы отсчета, является поступательным.
Однако это равенство и, следовательно, правило параллелограмма
(или треугольника) скоростей остается справедливым, как это будет
доказано в главе XIV, для любого переносного движения.
Перейдем теперь к доказательству теоремы о сложении ускорений.
Дифференцируя равенство A) и равенство B) по времени t, полу-
получим соответственно переносное и относительное ускорения точ-
точки М
ХЮг~Ж*1~]гЖ*1+Ш'
где w0— абсолютное ускорение точки О.
Дифференцируя далее равенство C) по времени t, получим аб-
абсолютное ускорение о>а точки М
Но
dvn — —
314 Раздел II. Кинематика
а поэтому окончательно имеем
wa = Щ + wr. E)
Таким образом, доказано, что если переносное движение является
поступательным, то абсолютное ускорение точки равно геометри-
геометрической сумме переносного и относительного ускорений этой точки.
Иначе говоря, при поступательном переносном движении абсолют-
абсолютное ускорение точки определяется по правилу параллелограмма (или
треугольника) ускорений.
Равенство E) выражает теорему сложения ускорений при поступа-
поступательном переносном движении. Если переносное движение будет не-
непоступательным, то, как мы увидим в главе XIV, теорема о сложении
ускорений будет выражаться более сложным соотношением. Отсюда
следует, что геометрическое сложение ускорений точки в ее составном
движении подчиняется правилу параллелограмма ускорений только
в том частном случае, когда переносное движение поступательное.
§ 69. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Задачи, относящиеся к этой главе, а также и к главе XIV, можно
разбить на два основных типа:
1) зная относительное и переносное движения точки, найти урав-
уравнения и траекторию абсолютного движения этой точки;
2) зная абсолютное и переносное движения точки, найти урав-
уравнения и траекторию относительного движения этой точки.
При решении этих задач следует прежде всего установить подвиж-
подвижную и неподвижную системы отсчета и выяснить характер перенос-
переносного движения. После этого следует установить, какое движение рас-
рассматриваемой точки является абсолютным движением и какое —
относительным.
Задачи, относящиеся к теореме о сложении скоростей при посту-
поступательном переносном движении, а также и при любом переносном
движении, можно разбить на следующие основные типы:
1) зная модуль и направление переносной и относительной скоро-
скоростей точки, найти модуль и направление ее абсолютной скорости;
2) зная модуль и направление абсолютной скорости точки, а также
направления переносной и относительной скоростей этой точки, найти
модули этих скоростей;
3) зная модули и направления абсолютной и переносной скоростей
точки, найти модуль и направление ее относительной скорости;
4) зная модуль и направление переносной скорости точки, а также
направления ее абсолютной и относительной скоростей, найти модули
этих скоростей.
Задачи всех этих типов удобно решать геометрическим способом,
состоящим в построении параллелограмма скоростей на основании
векторной формулы D, § 68).
Глава XI. Составное движение точки 315
Решение задач первого типа сводится к построению параллелограм-
параллелограмма скоростей по двум смежным его сторонам ve и vr.
Решение задач второго типа сводится к построению параллелограм-
параллелограмма скоростей по данной диагонали va и направлениям двух смежных
его сторон ve и vr.
Решение задач третьего типа сводится к построению параллело-
параллелограмма скоростей по данной диагонали va, одной из его сторон ve и
углу между ними.
Решение задач четвертого типа аналогично решению задач второго
типа.
Задачи, относящиеся к теореме о сложении ускорений при поступа-
поступательном переносном движении, можно разбить на два основных типа:
1. Заданы векторы we и wr (либо эти векторы могут быть непосред-
непосредственно найдены из условий задачи, характеризующих переносное и
относительное движения). Определить вектор wa, т. е. модуль и на-
направление этого вектора.
2. Заданы векторы wa и we (либо эти векторы могут быть непосред-
непосредственно найдены из условий задачи, характеризующих абсолютное и
переносное движения). Определить вектор wr.
Эти задачи могут быть решены двумя способами: геометрическим
или аналитическим.
Геометрический способ решения задачи состоит в построении па-
параллелограмма ускорений на основании векторной формулы E, § 68).
При аналитическом решении задач применяется метод проекций,
т. е. искомое ускорение определяется по его проекциям на выбранные
координатные оси. При этом следует иметь в виду, что проекция аб-
абсолютного ускорения на какую-нибудь ось равна алгебраической
сумме проекций составляющих ускорений на ту же ось.
В качестве примера применения полученных теорем сложения ско-
скоростей и сложения ускорений рассмотрим следующие две задачи.
Задача 51. Кривошип ОМ кривошипно-кулисного механизма
(рис. 195) равномерно вращается вокруг неподвижной оси 0v Конец
М этого кривошипа соединен шарнирно с ползуном, который при вра-
вращении кривошипа скользит вдоль прикрепленной к стержню
ОС вертикальной кулисы АВ и сообщает этой кулисе возвратно-посту-
возвратно-поступательное движение в горизонтальном направлении. Зная, что криво-
кривошип вращается с угловой скоростью ш=10—и что его длина ОМ =
С6К
= 0,4 м, определить скорость и ускорение кулисы в тот момент, когда
кривошип образует с осью кулисы угол <р=30°.
Решение. В данном случае подвижной системой отсчета яв-
является кулиса, а неподвижной — станина механизма. Начало под-
подвижной системы отсчета Оху возьмем в точке О кулисы, а начало не-
неподвижной системы отсчета ОхХъУ\ — в точке Ог станины механизма.
316
Раздел П. Кинематика
Абсолютным движением точки М (центра шарнира, соединяющего
ползун с кривошипом) будет ее круговое перемещение вместе с криво-
кривошипом вокруг неподвижной точки Ох. Это движение точки М можно
считать составным, т. е. получающимся в результате сложения:
1) движения точки М вместе с кулисой в ее возвратно-поступа-
возвратно-поступательном (переносном) перемещении вдоль оси O^;
Рис. 195
2) относительного движения точки М вместе с ползуном, движущим-
движущимся возвратно-поступательно в прорези кулисы.
Так как кулиса движется поступательно, то все ее точки имеют в
каждый данный момент времени одинаковые по модулю и направлению
скорости и ускорения. Эту общую для всех точек кулисы переносную
скорость, а также это общее для всех точек кулисы переносное ускоре-
ускорение и требуется определить.
Найдем переносную скорость ve и переносное ускорение we той точ-
точки кулисы, с которой в момент, когда <р=30°, совпадает конец М кри-
кривошипа.
Абсолютная скорость va точки М, модуль которой легко определяет-
определяется по формуле
^ = 0^-0) =0,4-10 = 4-^-,
направлена перпендикулярно к кривошипу ОгМ. Относительная ско-
скорость vr точки М, равная скорости ползуна в прорези кулисы, направ-
направлена вдоль кулисы. Переносная скорость ve точки М, равная поступа-
Глава XI. Составное движение точки 317
тельной скорости кулисы, направлена горизонтально. На рис. 195
изображен известный по модулю и направлению вектор абсолютной
скорости va точки М и показано его разложение на составляющие
г^и ve.
Из параллелограмма скоростей находим искомую скорость кулисы
Так как кривошип вращается вокруг точки Oi равномерно, то аб-
абсолютное ускорение точки М состоит из одной лишь центростреми-
центростремительной составляющей, т. е. по модулю равно
1^ = 0^.0.» = 0,4.100 = 40^-,
и направлено от точки М к точке Ох.
Имея в виду, что движение кулисы есть движение поступательное,
мы можем воспользоваться теоремой сложения ускорений в том виде,
как она выведена в § 68. Переносное ускорение we точки М, равное
поступательному ускорению кулисы, направлено горизонтально, а
относительное ускорение wT точки М, равное ускорению ползуна в
прорези кулисы, направлено вдоль кулисы. Строим параллелограмм
ускорений (рис. 195), из которого находим искомое ускорение кулисы
we = tiyacos<p = 40 cos 30° = 20/3
сек'
Задача 52. Наклонная плоскость, составляющая с горизонтом угол
<х=45° (рис. 196), движется поступательно по горизонтальной плос-
плоскости с постоянным ускорением 2 —. По этой наклонной плоскости
скользит груз М с постоянным ускорением /2 —. Определить тра-
cctc
екторию груза М, его скорость и ускорение по отношению к неподвиж-
неподвижной системе отсчета, если в начальный момент наклонная плоскость и
груз М были неподвижны и груз М находился в точке О; высота на-
наклонной плоскости h~\ м.
Решение. Движение груза М по отношению к горизонтальной
плоскости (неподвижной системе отсчета Охгу^ есть его абсолютное
движение. Это движение груза М можно рассматривать как составное,
т. е. состоящим из двух движений:
1) относительного, т. е. движения груза М по отношению к движу-
движущейся наклонной плоскости (подвижная система отсчета Оху);
2) переносного, т. е. движения груза М вместе с наклонной пло-
-скостью.
318
Раздел II. Кинематика
Так как переносное ускорение we груза М равно ускорению нак-
наклонной плоскости, то модуль переносного ускорения we равен
we = 2
при этом вектор we параллелен неподвижной оси Oxxt.
Так как груз М перемещается относительно наклонной плоскости
по прямой ОВ, то относительное ускорение wr этого груза направлено
по ОВ; при этом модуль вектора wr равен
. М
* 2 сек*
Рис. 196
Мы знаем, что при поступательном переносном движении абсолют-
абсолютное ускорение точки определяется по правилу параллелограмма
ускорений. Поэтому из параллелограмма ускорений (рис. 196) находим
абсолютное ускорение wa груза по формуле
Wa —
Уг + 2 WeWr cos a. = л/
2 • Ц-
сек2
Определим теперь модуль вектора wa методом проекции, т. е.
по его проекциям на неподвижные оси О^х^. Так как,
Глава XI. Составное движение точки 319
то, проектируя обе части этого векторного равенства на уже названные
оси, получим
«W = wexi + wrXl ;
Так как
weX =2; wey = 0; wrx = a>,cosa=l; wry = — ovsina
TO
Отсюда следует, что
Так как
dvax, o
«4 = -л1 =3;
TO
Подставляя сюда начальные условия задачи при <=0, oOJf =0,
п =0, найдем, что С!=С2=0, и, следовательно, будем иметь
Отсюда находим модуль абсолютной скорости va груза М
Направляющие косинусы вектора иа найдем по формулам
32 0 Раздел П. Кинематика
Найдем теперь координаты хг и г/i груза М в неподвижной системе
отсчета Oxx^yx. Так как
то
xi = " ^2 -f" С3)
l/i= 2" + С4 .
Подставляя сюда начальные условия задачи при tf=0, x^O, yi—h= 1 ж,
найдем, что С3=0, С4=1. Следовательно, будем иметь
Х1 — ~2~ 1 ' "i — х — 2" •
Исключая из этих уравнений абсолютного движения груза М
время t, получим следующее уравнение прямой:
Таким образом, абсолютная траектория груза М есть прямая линия.
Глава XII
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 70. УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
Движение твердого тела называется плоскопараллельным или пло-
плоским, если все точки этого тела движутся в плоскостях, параллельных
некоторой неподвижной плоскости.
Частным случаем такого движения является, очевидно, вращение
твердого тела вокруг неподвижной оси. Качение колеса по прямоли-
прямолинейному рельсу и движение шатуна кривошипно-шатунного механизма
также могут служить примерами плоскопараллельного движения
твердого тела.
В некоторых случаях плоскопараллельное движение твердого тела
может быть одновременно и поступательным. Однако не всякое поступа-
поступательное движение тела есть плоскопараллельное движение. Поэтому
поступательное движение тела нельзя, вообще говоря, рассматривать
как частный случай плоскопараллельного движения.
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела
321
Рассмотрим плоскопараллельное движение некоторого твердого
тела (рис. 197). Если мы пересечем это тело плоскостью 0%i\, парал-
параллельной условно неподвижной плоскости N, то в сечении получится
какая-то плоская фигура S (рис. 197). Из определения плоскопарал-
плоскопараллельного движения твердого тела следует, что плоская фигура S, пе-
перемещаясь с данным телом, остается во все время этого движения в
Рис. 197
плоскости 0|т). Следовательно, любой отрезок АхАг, взятый в теле и
перпендикулярный к плоскости фигуры S или к плоскости N, будет
двигаться параллельно самому себе, т. е. поступательно, причем ско-
скорость и ускорение этого отрезка будут параллельны плоскости N. Но
в таком случае для определения движения всех точек данного тела,
лежащих на отрезке АхА.г, достаточно знать движение одной точки этого
отрезка, а за такую точку можно взять точку А плоской фигуры 5.
Отсюда следует, что для определения плоскопараллельного движения
твердого тела достаточно знать движение какого-либо сечения тела
плоскостью, параллельной условно неподвижной плоскости N, т. е.
достаточно знать движение плоской фигуры 5 в ее плоскости @?г\).
В дальнейшем мы будем плоскость ОЧт\ совмещать с плоскостью чер-
чертежа, а вместо всего тела изображать только плоскую фигуру E)
(рис. 198). Выберем на этой плоской фигуре произвольную точку А
и назовем ее полюсом. Проведем через этот полюс координатные оси
Ах и Ау, т. е. оси, неизменно связанные с плоской фигурой (S) и дви-
движущиеся вместе с ней относительно неподвижных осей координат 0^ч\.
Положение плоской фигуры (S) на неподвижной плоскости О?-/] впол-
вполне определяется заданием положения двух каких-либо точек этой пло-
плоской фигуры, например Л и В (рис. 198), т. е. положением отрезка АВ.
22 Н. Ф. Сахарный
322
Раздел П. Кинематика
Положение этого отрезка вполне определяется тремя параметрами:
координатами одного его конца и углом, образуемым этим отрезком с
неподвижной осью 0\. Иначе говоря, чтобы знать положение плоской
фигуры, или, что то и^е самое, положение подвижных осей Аху отно-
относительно неподвижных осей 0Ь\,
достаточно задать положение по-
люса А, т. е. его координаты za
и f\A и угол ср, который состав-
составляет подвижная ось Ах с непод-
неподвижной 01. При этом условимся
считать угол поворота у поло-
положительным, когда он отложен
от оси 0? в направлении,обрат-
направлении,обратном движению часовой стрелки.
При движении плоской фи-
гуры в плоскости ОЬ\ величины
%а> f\A и ср меняются с течением
времени, а поэтому являются
некоторыми однозначными, не-
непрерывными и дифференцируемыми, по крайней мере, дважды функ-
функциями времени, т. е.
Для каждого момента времени t мы можем из уравнений A) найти
соответствующие значения %а, ч\а и ф и, следовательно, определить по-
положение движущейся плоской фигуры относительно неподвижных осей
координат О|-f). Поэтому уравнения A) определяют закон происходя-
Рис. 198
199
щего в неподвижной плоскости ОЬ\ движения плоской фигуры и назы-
называются уравнениями движения плоской фигуры или уравнениями плос-
плоскопараллельного движения твердого тела.
Рассмотрим произвольную точку М плоской фигуры при плоско-
плоскопараллельном ее движении в неподвижной плоскости ОЪг[ (рис. J99).
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела 323
Положение этой точки относительно неподвижных осей определим ра-
радиусом-вектором г, а относительно подвижных осей — радиусом-
вектором R.
Из векторного треугольника ОАМ имеем, что в любой момент дви-
движения
F^7A + R, B)
где га— радиус-вектор, определяющий положение полюса А относи-
относительно неподвижных осей.
Спроектируем векторное равенство B) на неподвижные оси. Тогда
координаты % и i\ точки М относительно неподвижных осей найдем по
формулам:
% = Ob = Оа + ab = Оа + Ос — be = %А + х cos 9 — у sin 9; )
О)
т] = OCl = Оах + аф! + b^ = f[A + x sin 9 + у cos <p, J
где %а, "Ца, 9—известные по уравнениям A) функции; х, у — координа-
координаты точки М относительно подвижных осей. Координаты х и у от вре-
времени не зависят, т. е. остаются постоянными как расстояния точек
неизменяемой плоской фигуры до проведенных на ней прямых.
Отсюда следует, что положение произвольной точки М плоской фи-
фигуры однозначно определяется тремя величинами: %а, i\a и<р. Таким об-
образом, в общем случае при плоскопараллельном движении твердое те-
тело будет иметь три обобщенные координаты (?л, t\A, 9) и, следовательно,
оно будет иметь и три степени свободы.
Равенства C) представляют уравнения движения произвольной точ-
точки М плоской фигуры, движущейся в своей плоскости, или, что то же
самое, параметрические уравнения ее траектории. Исключая из них вре-
время t, получим уравнение траектории точки М в обычной форме, т. е.
в виде зависимости только между координатами точки М.
Зная уравнения C), мы по формулам A6—19; § 59) можем опреде-
определить модуль и направление скорости и^и ускорения wM точки М в лю-
любой момент времени. В дальнейшем мы узнаем, что скорость и ускоре-
ускорение произвольной точки движущейся в своей плоскости плоской фигу-
фигуры можно определить и другими способами (см. § 72 и § 73).
§71. РАЗЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
НА ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ
Мы уже знаем, что положение неизменяемой плоской фигуры (S)
в ее плоскости вполне определяется положением произвольного от-
отрезка АВ, взятого на этой плоской фигуре (рис. 200). Поэтому переме-
перемещение отрезка АВ будет вполне характеризовать перемещение самой
22*
324 Раздел II. Кинематика
плоской фигуры. Пусть плоская фигура (S) за некоторый промежуток
времени переместилась из положения / в положение // так, что отрезок
АВ занял положение А1В1 (рис. 200). Если за полюс принять точку А,
то это перемещение можно совершить следующим образом: сначала
сообщим плоской фигуре поступательное перемещение, которое пере-
переводит полюс А в положение Аъ при этом отрезок АВ займет положение
АгВг и все точки плоской фигуры получат перемещения, геометрически
равные ААЪ а затем сообщим плоской фигуре вращательное переме-
Рис. 200
щение вокруг точки Ах, которое повернет отрезок АХВ' на угол В' АХВХ
в положение АХВХ-
Легко убедиться в том, что, выбирая различные точки плоской фи-
фигуры за полюсы при перемещении ее из одного положения в другое,
мы изменяем только поступательное перемещение плоской фигуры,
угол же поворота и направление вращательного перемещения плоской
фигуры от выбора полюса не зависят. В самом деле, тот же переход
плоской фигуры (S) из положения / в положение // можно осуществить,
приняв за полюс точку В и сообщив плоской фигуре поступательное
перемещение, которое переводит полюс В в положение Въ при этом
отрезок АВ займет положение А'ВХ и все точки плоской фигуры полу-
получат перемещения, геометрически равные ВВг и отличные от AAV a
затем, повернув плоскую фигуру вокруг точки Вг на ^А/В1А1 в по-
положение AXBV Но по свойству поступательного перемещения отрезок
АхВ' параллелен АВ и точно так же отрезок А'В1 параллелен АВ.
Следовательно, АгВ' и А'В1 параллельны между собой, и ^^В'А1В1=
~^:А/В1А1=ср. Вместе с тем поворот вокруг точек А и В в том и дру-
другом случае происходит в одну и ту же сторону (на рис. 200 против ча-
часовой стрелки).
Таким образом, доказана следующая теорема: всякое непоступатель-
непоступательное перемещение плоской фигуры в ее плоскости из одного положения в
другое можно осуществить поступательным перемещением плоской фи-
фигуры, равным перемещению произвольно выбранного полюса, и вращатель-
вращательным перемещением плоской фигуры вокруг этого полюса.
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела 325
При этом поступательное перемещение зависит от выбора' полюса,
а величина угла поворота и направление поворота от выбора полюса
не зависят.
Теорема доказана для любого конечного перемещения плоской фи-
фигуры.
Следует обратить внимание на то, что подобная замена фактиче-
фактического движения плоской фигуры поступательным и вращательным пе-
перемещением не воспроизводит, вообще говоря, этого движения, т. е.
плоская фигура не будет проходить через все последовательные по-
положения, которые она занимала бы при фактическом движении. При
помощи такой замены мы получаем лишь те же самые начальное и ко-
конечное положения плоской фигуры.
Заменим конечное перемещение плоской фигуры E) из положения /
в положение // достаточно большим числом п элементарных поступа-
поступательных перемещений и элементарных вращательных перемещений
вокруг какой-либо произвольной точки плоской фигуры, причем вна-
вначале и в конце каждого элементарного перемещения положение плос-
плоской фигуры совпадает с истинным ее положением в своем фактическом
движении. Увеличивая число п таких элементарных перемещений до
бесконечности, сделаем каждое элементарное перемещение бесконечно
малым, при этом мы проведем плоскую фигуру через все положения,
которые она занимает при своем фактическом движении.
Таким образом, мы приходим к выводу: движение плоской фигуры
в ее плоскости можно разложить на поступательное движение, при
котором все ее точки движутся так же, как произвольно выбранный
полюс, и на вращательное движение вокруг этого полюса*.
Так, например, качение колеса по прямолинейному рельсу можно
рассматривать как наложение двух движений: поступательного со
скоростью центра колеса и вращательного вокруг оси, проходящей
через его центр.
Движение шатуна АВ кривошипно-шатунного механизма (рис.
201) можно рассматривать как наложение поступательного движения со
скоростью точки А и вращательного вокруг точки А.
Можно, однако, то же самое движение рассматривать и как резуль-
результат наложения поступательного движения со скоростью точки В и
вращательного движения вокруг точки В.
Выбор полюса (А или В) произволен.
Раскладывая движение плоской фигуры в ее плоскости на поступа-
поступательное и вращательное, мы как бы заменяем более сложную форму
движения простейшими.
Поступательная часть движения плоской фигуры в ее плоскости
описывается, очевидно, первыми двумя из уравнений A, § 70), а вра-
* Вращательное движение плоской фигуры происходит вокруг оси, прохо-
проходящей через полюс и перпендикулярной к плоскости этой плоской фигуры.
Однако для краткости мы будем в дальнейшем называть это движение просто
вращением вокруг полюса.
326 Раздел II. Кинематика
щение плоской фигуры вокруг полюса — третьим из этих уравнений.
Основными кинематическими характеристиками движения плоской
фигуры в ее плоскости являются скорость и ускорение поступатель-
поступательного движения плоской фигуры, равные скорости va и ускорению wA
полюса А, а также угловая скорость со и угловое ускорение е враща-
вращательного движения плоской фигуры вокруг полюса А. Значение этих
Рис. 201
характеристик в любой момент времени можно определить из уравне-
уравнений плоскопараллельного движения A, § 70). Если вместо точки А
плоской фигуры выбрать в качестве полюса какую-нибудь другую ее
точку В, то характеристики поступательной части движения изменяют-
изменяются, так как в общем случае vA =hvs и wa=?wb (иначе движение плоской
фигуры было бы поступательным). Что же касается характеристик вра-
вращательной части движения, то эти характеристики остаются при этом
неизменными, так как и> и е не зависят от выбора полюса. В самом деле,
выше было показано, что угол поворота 9 плоской фигуры и направле-
направление ее вращения не зависят от выбора полюса. Отсюда следует, что и
угловая скорость » = -? и угловое ускорение е = -?¦ = -^f плоской фигу-
фигуры от выбора полюса не зависят.
§72. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ,
ДВИЖУЩЕЙСЯ В СВОЕЙ ПЛОСКОСТИ
1. Скорость точки плоской фигуры как сумма скорости полюса и
вращательной скорости этой точки вокруг полюса. Пусть плоская
фигура движется по неподвижной плоскости, с которой связана систе-
система координат ОЬ\ (рис. 202). Примем какую-либо произвольную точ-
точку А этой плоской фигуры за полюс *. Представим себе некоторую
другую систему координат Ах1у1, начало которой всегда совпадает с
полюсом Л, а ее оси, параллельные осям неподвижной системы коор-
координат 0%ч\. Такая система координат, очевидно, будет совершать отно-
относительно неподвижной системы координат ОЧч\ поступательное движе-
движение, определяемое движением полюса А. Кроме того, представим себе
подвижную систему координат Аху, неизменно связанную с движущей-
движущейся плоской фигурой, начало которой также всегда совпадает с полю-
* Обычно за полюс принимается та точка плоской фигуры, абсолютная ско-
скорость которой в данный момент нам известна или может быть легко определена.
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела
327
Рис. 202
сом А. Тогда положение движущейся плоской фигуры по отношению к
системе координат Аххуг определяется углом между осями Ахх и Ах,
т. е. углом <р, а движение плоской фигуры по отношению к системе ко-
координат Аххух есть, очевидно, ее вращение вокруг полюса А.
Примем движение плоской фигуры
по отношению к неподвижной системе
координат ОЬ\ за абсолютное дви- кт;
жение, движение той же плоской фи-
фигуры по отношению к подвижной сис-
системе Ахгух — за относительное движе-
движение и, наконец, поступательное дви-
движение самой системы координат Аххух
по отношению к неподвижной системе
ОЪ\—за переносное движение.
Абсолютное движение плоской фи-
фигуры в ее плоскости складывается из
двух движений: переносного — пос- о
тупательного движения со скоростью,
равной скорости выбранного полюса
А, и относительного — вращатель-
вращательного движения вокруг полюса А с угловой скоростью, не
зависящей от выбора этого полюса. Так как переносное движение яв-
является поступательным, то поэтому переносная скорость ve всякой точ-
точки В плоской фигуры равна скорости о^полюса А. Относительная же
скорость vr той же точки В во вращательном (относительном) ее дви-
движении вокруг полюса А направлена перпендикулярно к радиусу АВ
в сторону вращения плоской фигуры и равна по модулю со- А В, где ш—
абсолютное значение угловой скорости плоской фигуры*. Обозначая
vr через vba, будем иметь
увл = ш.ЛБ. A)
Отсюда на основании теоремы о сложении скоростей имеем: абсо-
абсолютная скорость vb любой точки В плоской фигуры в каждый данный
момент равна геометрической сумме двух скоростей: скорости va дру-
другой, произвольно выбранной и принятой за полюс, точки А плоской фи-
фигуры, и скорости vba точки В в ее вращении вместе с плоской фигурой
вокруг этого полюса, т. е.
°в = *л+°вл- B)
Таким образом, определив вращательную скорость vba точки В
вокруг полюса А и зная скорость va этого полюса, мы можем найти
* Для простоты обозначения здесь и в дальнейшем под ш будем понимать
абсолютное значение угловой скорости плоской фигуры, которое мы раньше обо-
обозначали через | ш |.
328
Раздел II. Кинематика
искомую скорость vB точки В как диагональ параллелограмма, по-
построенного на скоростях va и vba (рис. 202).
2. Теорема о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры на
прямую, соединяющую эти точки. Рассмотрим какие-нибудь две
точки А и В движущейся в своей плоскости плоской фигуры. Если из-
известны модуль и направление скорости va точки А, а также известно
направление скорости
Рис. 203
точки В, то модуль скорости Vb можно опре-
определить, воспользовавшись следую-
следующей теоремой: проекции скоростей
двух точек плоской фигуры на пря-
прямую, соединяющую эти точки, рав-
равны между собой.
Докажем эту теорему. Прини-
Принимая точку А за полюс (рис. 203),
получаем по формуле B), что Vb =
=v a+v ел- Отсюда, проектируя
обе части этого векторного равен-
равенства на линию АВ, находим
Учитывая, что вектор vba перпендикулярен к АВ, и, следовательно
пр.лвовл=0, будем иметь
или
uDcos В = и.cos а,
что и доказывает теорему.
3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры. Среди точек
непоступательно движущейся в своей плоскости плоской фигуры в
каждый момент времени имеется одна точка, абсолютная скорость ко-
которой равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей
плоской фигуры. Если в данный момент времени задана скорость
va какой-либо точки А плоской фигуры по модулю и направлению, при-
причем направление вращения и угловая скорость и> плоской фигуры нам
также известны, то положение мгновенного центра скоростей Р опре-
определяется следующим образом:
1) от точки А под углом 90° к вектору va проводим полупрямую
AN (рис. 204); при этом полупрямая AN должна быть отложена от
вектора va в сторону вращения плоской фигуры;
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела
329
2) откладываем вдоль полупрямой AN отрезок АР, равный
D)
Построенная таким путем точка Р и будет мгновенным центром ско-
скоростей плоской фигуры. В самом деле, примем точку А за полюс. Тог-
Тогда абсолютная скорость vP точки Р будет
складываться из скорости va полюса А и
вращательной скорости vpa точки Р вокруг
этого полюса
vp = VA-
РА
Модуль вращательной скорости
=о)-ЛР. Подставляя сюда значение АР из
равенства D), находим
JPA
= CU-AP =<1>— =
Рис.
т. е. модуль вращательной скорости vpa точки Р вокруг полюса А равен
модулю скорости vA этого полюса. Направлен же вектор vPA перпенди-
перпендикулярно к отрезку АР в сторону вращения плоской фигуры, т. е. по
одной прямой с вектором va, но в противоположную сторону (рис. 204).
Отсюда следует, что vPa=— vA, а поэтому геометрическая сумма векто-
векторов va и vPa, а следовательно, и абсолютная скорость vP точки Р
равна нулю, т. е.
vp =
vPA =0.
Таким образом, доказано, что неизменно связанная с движущейся
плоской фигурой точка Р действительно является мгновенным центром
скоростей этой плоской фигуры.
При движении плоской фигуры положение ее мгновенного центра
скоростей непрерывно изменяется. Каждому моменту времени (мгно-
(мгновению) соответствует свое положение мгновенного центра скоростей;
на это обстоятельство и указывает само его название: «мгновенный»
центр скоростей.
Точка А, принятая за полюс, может быть выбрана произвольно,
а по доказанному мгновенный центр скоростей Р обязательно лежит
. на перпендикуляре, восставленном из точки А к направлению ско-
скорости va этой точки.
Отсюда следует, что если известны направления скоростей va и
vB двух каких-либо точек Л и В плоской фигуры, то мгновенный центр
21 Н. Ф. Сахарный
330
Раздел II. Кинематика
скоростей Р этой плоской фигуры находят как точку пересечения пер-
перпендикуляров, восставленных из этих точек к направлениям их
скоростей (рис. 205).
При этом может случиться, что мгновенный центр скоростей лежит
вне контура плоской фигуры. В этом случае можно с данной плоской
фигурой неизменно связать некоторую не-
неограниченную плоскость и считать при этом
размеры плоской фигуры неограниченными.
Тогда мгновенный центр скоростей можно
снова рассматривать как точку плоской
фигуры.
4. Скорости точек плоской фигуры как
скорости во вращательном движении вок-
вокруг мгновенного центра скоростей. Если в
данный момент времени взять мгновенный
центр скоростей Р за полюс, то абсолютная
скорость любой точки В плоской фигуры
будет равна
ш
Рис. 205
так как vp = 0. При этом модуль вектора vB равен
VBP
E)
направлен же вектор vb перпендикулярно к отрезку ВР в сторону вра-
вращения плоской фигуры. Отрезок ВР, соединяющий мгновенный центр
скоростей с данной точкой, называют мгновенным радиусом вращения.
Таким образом, мы видим, что в каждый данный момент скорости
точек плоской фигуры расположены так, как если бы плоская фигура
вращалась вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей
плоской фигуры и перпендикулярной ее плоскости*. При этом ско-
скорости точек плоской фигуры перпендикулярны мгновенным радиу-
радиусам вращения и пропорциональны расстояниям этих точек до мгно-
мгновенного центра скоростей. Картина распределения скоростей пока-
показана на рис. 205.
Зная для данного момента положение мгновенного центра скоро-
скоростей Р и скорость vB какой-либо точки В плоской фигуры не только по
направлению, но и по модулю, можно найти и угловую скорость ш
плоской фигуры, соответствующую этому моменту времени. Действи-
Действительно, из формулы E) следует, что
ВР
F)
• В силу этого обстоятельства такое движение плоской фигуры называют
мгновенно-вращательным.
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела 33!
т. е. угловая скорость плоской фигуры в каждый данный момент равна
отношению модуля скорости какой-либо точки плоской фигуры к рас-
расстоянию этой точки до мгновенного центра скоростей. _ _
Из формул A) и B) следует, что vba — ш-АВ и vba~\vb — va], от-
откуда находим еще одно выражение для определения угловой скорости-
плоской фигуры
vba \vb-va | m
Так как по доказанному в § 71 вращение плоской фигуры вокруг
точки А или Р происходит с одной и той же угловой скоростью, то,
следовательно, равенства F) и G) определяют одну и ту же величину.
Если нам известна по модулю и направлению скорость va одной точ-
точки А плоской фигуры и направление скорости ив какой-нибудь другой
ее точки В, то мы можем определить скорости всех точек плоской фи-
фигуры. Действительно, восставив из точек А и В перпендикуляры к дан-
данным направлениям скоростей vah овэтих точек,мы найдем положение
мгновенного центра Р и по направлению скорости va определим сторону
вращения плоской фигуры (рис. 205). После этого, зная модуль ско-
скорости va и мгновенный радиус вращения АР, получим угловую ско-
скорость плоской фигуры
Далее найдем модуль произвольной точки М плоской фигуры
направлена же скорость vm перпендикулярно к мгновенному радиусу
вращения МР в сторону вращения плоской фигуры.
5. Частные случаи определения положения мгновенного центра
скоростей плоской фигуры. Прежде всего рассмотрим случай, когда
скорости va и vb двух точек А и В параллельны друг другу, и при этом
линия АВ не перпендикулярна к и^и, следовательно, к vB (рис. 206).
При этом из теоремы о проекциях скоростей двух точек плоской фигу-
фигуры на прямую, соединяющую эти точки, следует, что ivjcosa=uBcos р,
но ot=p, поэтому va=vb и, следовательно, va~vb- Таким образом, в
рассматриваемом случае скорости всех точек плоской фигуры в данный
момент времени должны быть равны друг другу и по модулю и по на-
направлению*. Такое состояние движения плоской фигуры называют
мгновенно-поступательным.
* Если же vA \\vB и vA^vB и, кроме того, vA и vB не перпендикулярны
отрезку АВ, то распределение скоростей задано ошибочно, так как проекции
скоростей v А и vB на направление отрезка АВ всегда должны быть равны.
21*
332
Раздел //. Кинематика
Так как перпендикуляры, восставленные из точек Л и Б к скоро-
скоростям этих точек, не пересекаются, то в рассматриваемом случае мгно-
мгновенный центр скоростей находится на бесконечно большом расстоянии,
т. е. АР=ВР=оэ. Угловая скорость со плоской фигуры в этот момент
времени, как видно из формулы F), равна нулю, и вращение плоской
фигуры в этот момент, следовательно, отсутствует.
а)
Рис. 206
Рис. 207
Возможен еще случай, когда скорости vA и ив двух точек А а В
плоской фигуры параллельны друг другу и эти точки лежат на одном
перпендикуляре к данным скоростям (рис. 207, а).
В этом случае перпендикуляры, восставленные из точек Л и В к
направлениям их скоростей vа и vb, сливаются в одну прямую, и, сле-
следовательно, обычный прием не дает возможности найти положение мгно-
мгновенного центра скоростей Р. Однако если va^vb, to можно найти
мгновенный центр скоростей на конечном расстоянии. В самом деле,
при мгновенно-вращательном движении плоской фигуры вокруг
мгновенного центра скоростей Р концы скоростей va и vb точек Л и В,
лежащих на одном радиусе, расположены на прямой, проходящей че-
через мгновенный центр скоростей Р, что следует из пропорции (8). Сле-
Следовательно, проводя через точки С и D прямую до пересечения с пря-
прямой АВ, мы найдем точку Р — мгновенный центр скоростей плоской
фигуры. Очевидно, что в случае, изображенном на рис. 207, б, мгновен-
мгновенный центр скоростей будет находиться в точке Pv
Следует обратить внимание на то, что в практических задачах час-
часто приходится иметь дело со случаем, когда плоская фигура движется
так, что ее контур катится без скольжения по некоторой неподвижной
кривой NN (рис. 208). В этом случае точка касания Р контура плоской
фигуры с кривой NN имеет в данный момент скорость vP, равную нулю,
Глава XII. Плоскбпараллельное движение твердого тела
333
так как точки касания и контура плоской фигуры и кривой NN при
отсутствии скольжения должны иметь одинаковые скорости, а между
тем кривая NN неподвижная.
Отсюда следует, что точка касания Р контура плоской фигуры с
неподвижной кривой NN является мгновенным центром скоростей пло-
плоской фигуры.
м
Рис. 208
6. Указания к решению задач. Среди задач, относящихся к этому
параграфу, следует обратить внимание на такие задачи, в которых
требуется исследовать движения плоских механизмов, состоящих из
нескольких звеньев. Механизм при решении задачи надо изображать
на чертеже в том положении, для которого требуется определить ско-
скорости соответствующих точек. При этом необходимо последовательно
рассмотреть движение отдельных звеньев механизма, начиная с того
звена, движение которого по условию задачи задано, и при переходе
от одного звена к другому определить скорости тех точек, которые
являются общими для этих двух звеньев механизма. Рассматривая
движение отдельного звена механизма, нужно выбрать две точки это-
этого звена, скорости которых известны по направлению, а скорость од-
одной из этих точек известна и по модулю. По этим данным можно
найти положение мгновенного центра скоростей рассматриваемого
звена. Картина распределения скоростей точек этого звена находится
тогда, как при чистом вращении. Следует подчеркнуть, что мгновен-
мгновенный центр скоростей и угловую скорость можно находить только для
каждого звена в отдельности, так как каждое звено имеете каждый
момент свой мгновенный центр скоростей и свою угловую скорость.
В ряде случаев целесообразно определение скоростей точек рассматри-
рассматриваемого звена механизма производить с помощью теоремы о равенст-
равенстве проекций скоростей концов неизменяемого отрезка на его направ-
334
Раздел II. Кинематика
ление. Необходимые дополнительные указания даются в решенных
ниже задачах.
Задача 53. Найти скорость точки М обода колеса, катящегося по
неподвижному прямолинейному рельсу без скольжения (рис. 209),
если скорость центра колеса равна v0, а угол ВРМ—а и радиус OP=R.
Решение. Колесо совершает плоское движение. Так как колесо
катится без скольжения по неподвижному рельсу, то мгновенный центр
скоростей этого колеса находится в точке касания Р колеса с рельсом,
и поэтому скорость vM точки М обода колеса будет перпендикулярной
к мгновенному радиусу вращения МР. А так как прямой угол РМВ
опирается на диаметр, то вектор скорости vM точки М проходит через
точку В. Зная положение мгновенного центра скоростей колеса и
скорость его центра, находим угловую скорость колеса согласно фор-
формуле F)
Направление ш (направление вращения колеса) определяется направ-
направлением v0 и показано стрелкой.
Замечая, что MP=2Rcosa, находим модуль скорости точки М сог-
согласно формуле E)
= 2 vo cos a.
vu =
Рис. 210
Чем точка М дальше от мгно-
мгновенного центра скоростей Р, тем
ее скорость больше; из всех точек
обода колеса наибольшую скорость
vB = 2v0 имеет точка В, являю-
являющаяся верхним концом вертикаль-
вертикального диаметра.
Задача 54. Кривошип ООХ вра-
вращается с угловой скоростью ш вок-
вокруг неподвижной оси О и увлекает
диск радиуса г2, заставляя его ка-
катиться без скольжения по непод-
неподвижному диску радиуса гх (рис.
210). Найти скорости точек А, В
и С диска, лежащих на концах
двух взаимно перпендикулярных
диаметров.
Решение. Диск радиуса г2
совершает плоское движение. Для
решения этой задачи достаточно
найти мгновенный центр скоростей
этого диска и скорость какой-либо
ег0 точки.
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела 335
Очевидно, мгновенный центр скоростей движущегося диска нахо-
находится в точке соприкосновения Р дисков. Так как точка Ог принадле-
принадлежит кривошипу OOi, то ее скорость у0, есть вращательная скорость во-
вокруг оси О и, следовательно,
oOi = OOi ¦ ш = (*-! +г,) <о, (а)
причем вектор vol перпендикулярен к кривошипу ООг. Но так как точ-
точка Ог принадлежит и диску радиуса г2, то ее скорость уо,в то же время
должна быть вращательной скоростью вокруг точки Р, т. е.
где юр — угловая скорость диска.
Из сравнения равенств (а) и (б) следует
— ш.
Направление юР (направление вращения диска) определяется направ-
направлением vOi и показано стрелкой.
Зная шР и мгновенные радиусы вращений РА, РВ и PC, находим
скорости точек А, В и С:
vA=o>p ¦ PA = (l + ^
vB = шр -РВ = <ор -РА ??- = ут(rt + rt) ш;
vc =up.PC = up -PB = vB.
Задача 55. Ползуны Л и В, к которым прикреплена линейка эллип-
эллипсографа, имеющая длину АВ=1, перемещаются по взаимно перпенди-
перпендикулярным направляющим Ох и Оу (рис. 211). При этом конец А линей-
линейки движется в отрицательную сторону оси Ох и в момент, когда угол
ОАВ равен <р, его скорость известна и равна по модулю vа- Требуется
найти в этот момент: 1) модуль скорости другого конца В линейки и
угловую скорость линейки; 2) положение той точки М линейки, ско-
скорость которой направлена вдоль линейки, а также найти модуль этой
скорости.
Решение. Линейка АВ совершает плоское движение. Скорости
точек А я В направлены вдоль осей Ох и Оу. Скорость va точки А нам
известна и по модулю и по направлению. Примем эту точку за полюс.^
Тогда скорость другой точки В линейки будет равна
336
Раздел II. Кинематика
Вращательная скорость vBA точки В вокруг точки А по модулю
будет равна
^ВА АВ "¦" АВ1' \О)
О
А
Рис. 211
где шдв— искомая угловая скорость линейки АВ. Направлена же ско-
скорость ивд перпендикулярно к линейке АВв сторону ее вращения. Так
как точка А движется по оси Ох влево, то угол ер будет при этом движе-
движении увеличиваться, и, следовательно, вращение линейки направлено
по часовой стрелке. Таким образом, направление вектора vBA мы зкаем.
_ Итак, вектор vA известен нам по модулю и направлению, а вектор
овд— по направлению. На этих векторах можно построить только один
параллелограмм скоростей (рис. 211), диагональ которого изображает
вектор искомой скорости vBточки В. Из этого параллелограмма нахо-
находим
ВА sin ф к '
Из сравнения равенств (б) и (в) имеем
и
АВ
А
sin 9
отсюда
АВ /sincp
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела 337
Для определения модуля скорости ив удобнее воспользоваться тео-
теоремой о равенстве проекций скоростей концов отрезка на его направ-
направление.
Проектируя векторное равенство (а) на направление линейки АВ,
будем иметь
ИЛИ
ив sin <р = vA cos<p,
отсюда
Так как скорости va и vb точек А и В направлены вдоль осей Ох и
Оу, то точка пересечения перпендикуляров, восставленных из точек
А и В к направлениям осей Ох и Оу, определяет положение мгновенно-
мгновенного центра скоростей Р линейки АВ. Опуская из точки Р перпендикуляр
на направление линейки АВ, получим ту точку М, скорость которой
направлена вдоль линейки АВ.
По теореме о проекциях скоростей концов отрезка находим для ско-
скоростей точек А и М линейки А В
Те же результаты легко получить и с помощью мгновенного центра
скоростей. В самом деле, так как скорости точек линейки АВ пропор-
пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей этой ли-
линейки, то
"л _ vb _ vm __
РА ~ РВ ~~ РМ шр.
где шр— угловая скорость вращения линейки АВ вокруг ее мгновен-
мгновенного центра скоростей Р.
Отсюда следует, что
vA РВ РМ
щр =Р~А' vb=vapa'' vm = va pa"
Расстояния РА и РВ находим из треугольника АВР
РА = ОВ = I sin 9;
РВ = ОА = /cos cp,
а расстояние РМ — из треугольника BMP
РМ = РВ sin <р = / cos <p sin 9.
338 . Раздел II. Кинематика
Следовательно,
Отсюда видно, что в каждый момент движения угловая скорость
о>р вращения линейки АВ вокруг мгновенного центра скоростей Р и
угловая скоростьшлв вращения линейки АВ вокруг полюса А представ-
представляют одну и ту же величину.
m
Рис. 212
Задача 56. В кривошипно-шатунном механизме (рис. 212), сос-
состоящим из кривошипа О А, ползуна В и шарнирно соединенного с ними
шатуна АВ, кривошип О А длиной г вращается с угловой скоростью со.
Длина шатуна АВ=1. При данном угле <р определить: 1) скорость
ползуна В; 2) скорость средней точки М шатуна АВ; 3) угловую ско-
скорость шатуна АВ. Вычислить, в частности, эти кинематические харак-
характеристики для двух положений механизма, когда ср=О и <р==90°.
Решение. Все звенья кривошипно-шатуиного механизма совер-
совершают плоское движение. Плоское движение кривошипа О А будет яв-
являться вместе с тем и вращательным движением вокруг неподвижной
оси О. Плоское движение ползуна В будет одновременно и поступатель-
поступательным движением вдоль неподвижных направляющих. Плоское же движе-
движение шатуна Л В будет одновременно вращательным и поступательным.
Нам известны направления скоростей двух точек А и В шатуна АВ:
скорость точки А перпендикулярна к кривошипу О А (точка А являет-
является общей для шатуна и кривошипа), а скорость точки Б направлена по
линии движения ОВ ползуна (точка В является общей для шатуна и
ползуна). Восставляя из точек А и В перпендикуляры к направ-
направлениям скоростей точек А я В, находим на пересечении этих перпен-
перпендикуляров положение мгновенного центра скоростей Р для шатуна
(линия АР является продолжением ОА).
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела 339
Так как точка А принадлежит кривошипу О А, то ее скорость va
есть вращательная скорость вокруг оси О, и, следовательно, модуль
этой скорости
Так как точка А принадлежит и шатуну, то ее скорость в то же вре-
время должна быть вращательной скоростью вокруг мгновенного центра
скоростей Р, т. е.
Отсюда находим, что угловая скорость шатуна равна
vA г«
«Mb = «>я = jp- = АР >
а модули скоростей точек В и М шатуна соответственно равны
VB = ШАВ ' ВР = VA %''
Направлены скорости Vb и Vm точек В и М перпендикулярно соот-
соответственно к отрезкам ВР и МР в сторону вращения шатуна.
Следовательно, решение задачи сводится к определению длин от-
отрезков АР, ВР и МР. Опуская из точки А перпендикуляры AD и АС
на прямые ВР и ОВ, имеем
АР AD
cos<p •
где
AD = CB = Y(ABf — (ACf = |/"/2_r2sina9
и, следовательно,
ЛР = -i- I//2—/-2sin29 ¦
cos 9 ' '
Из треугольников ОРВ и МРВ соответственно имеем
ВР = OP sin ср = (ОА + АР) sin 9 = (г + ^— l//2 — r2sin2<p)sin 9
МР = W~(-LJ+(BPj-l-BP sin?,
340
Раздел //. Кинематика
где, очевидно,
I sin 3 = г sin ср.
Заметим, что длины отрезков АР, ВР и МР можно было бы опреде-
определить и графически (строя схему механизма в масштабе, по заданным
размерам его звеньев и углу <р).
Чтобы построить скорости остальных точек Е, К,-- шатуна АВ,
надо провести мгновенные радиусы вращения РЕ, Р/С,... и построить
перпендикуляры к ним в точках Е, К,---', направления перпендикуля-
перпендикуляров совпадают с направлениями скоростей точек Е, К,--- Чтобы найти
модули скоростей, достаточно учесть, что концы векторов скоростей
точек прямолинейного отрезка лежат на одной прямой. Если предва-
предварительно провести прямую тп (рис. 212) через концы векторов иди vB,
то скорости всех точек шатуна АВ определятся однозначно, так как
концы векторов ve, v^,... расположатся на прямой.
ш
Рис. 213
Решим теперь ту же задачу для двух частных случаев, когда ср=О
и <р=90°.
Расположение звеньев механизма и распределение скоростей точек
шатуна АВ при ср=О показано на рис. 213, а. При <р=0 мгновенным
центром скоростей шатуна АВ будет точка В, так как в ней будут пе-
пересекаться перпендикуляры АВ и BN, восставленные из точек Л и В
к скоростям этих точек. Следовательно, скорость vB точки В (скорость
ползуна) будет равна нулю («мертвое» положение механизма). Для
этого положения угловая скорость шАВ шатуна равна
АВ
а скорость vM точки М шатуна
MB
VAAB
— 2
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела 341
Расположение звеньев механизма и распределение скоростей то-
точек шатуна АВ при <р=90° показано на рис. 213, б. При <р=90° ско-
скорости v а и vb параллельны и точки А и В не лежат на одном перпенди-
перпендикуляре к направлениям этих скоростей; при этом перпендикуляры,
восставленные из точек Л и В к скоростям этих точек, пересекаются
в бесконечности. Так как проекции скоростей va и vb на направление
шатуна должны быть одинаковы, то эти скорости геометрически равны,
т. е. va = vb, но при этом vb—va = vba—0, или Vba==^Ab-AB—0. Но так
как А В фО, то при <р=90° должна быть равна нулю угловая скорость
шАв шатуна АВ. Следовательно, движение шатуна АВ является в этом
случае мгновенно-поступательным.
Так как в мгновенно-поступательном движении скорости всех то-
точек геометрически равны, то заключаем, что
Легко видеть, что в этот момент векторы ускорений каких-либо
двух точек шатуна АВ не будут равны между собой. Так, ускорение
точки А при cu=const направлено к центру О, а ускорение точки В на-
направлено по прямой ВО.
Рис. 214
Задача 57. В двухкривошипном механизме (рис. 214) кривошип
О А длиною г вращается с угловой скоростью ш. Длина другого криво-
кривошипа O1C=rv При данных углах а, р, j и о определить: 1) угловую
скорость а)х кривошипа ОХС\ 2) скорость ползуна В.
Решение. Для получения решения этой задачи, очевидно, дос-
достаточно найти скорость vc точки С, принадлежащей кривошипу Ofi
и шатуну АС. Чтобы найти скорость vc точки С, обратимся к скорости
Ул точки Л, принадлежащей кривошипу ОА и шатуну АС. Так как
точка Л принадлежит кривошипу ОА, то ее скорость va есть враща-
вращательная скорость вокруг оси О и, следовательно,
V, = ш-ОЛ = шг;
342 Раздел П. Кинематика
направлена же скорость ьл перпендикулярно кривошипу О А в сторону
вращения.
Так как точка С принадлежит кривошипу Ofi, то ее скорость vc
есть вращательная скорость вокруг оси 0х и, следовательно.
vc = <о1 • Ofi => ых гх,
где <%— искомая угловая скорость кривошипа 0хС. Направлена же
скорость vc перпендикулярно к кривошипу 0tC в сторону вращения.
Таким образом, нам известна по модулю и направлению скорость
va точки А шатуна АС и известно направление скорости vc другой точ-
точки С этого шатуна. Для определения модуля скорости Vc удобнее вос-
воспользоваться теоремой о равенстве проекций скоростей концов отрез-
отрезка на его направление. Принимая точку А, скорость которой известна
по модулю и направлению, за полюс, будем иметь
^с =¦ "а + "са <
причем вращательная скорость vca точки С вокруг полюса А перпен-
перпендикулярна к Л С.
Проектируя это векторное равенство на направление АС, будем
иметь
пР-лс »д = пР-лс »с.
где
пр.дС'»л=г>д sin о = ыг sin 8 и np.ACvc = vc sin -^ ,
и, следовательно,
№ r sin 8 = vc sin "f.
Отсюда
rsinS
== ш
sin i
r sin 6
(В, =
r1sinf
Точка В есть точка шатуна СВ, общая с ползуном В. Но ползун
может двигаться только поступательно вдоль своих направляющих,
и, следовательно, скорость точки В направлена по линии движения 0гВ
ползуна. Точка С есть также точка шатуна СВ,общая с кривошипом 0гС
и шатуном АС. Но скорость точки С уже известна по модулю и по на-
направлению. Таким образом, нам известна по модулю и по направлению
скорость vc точки С шатуна СВ и известно направление скорости
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела
343
Vb другой точки В этого шатуна. Переходя к определению модуля
скорости точки В, будем иметь
пр.,
VB
с
CBVB
cos a
cos a
sine
cos a
И
=
пр
vc
(О
¦cbvc
¦св'с
sin p.
rsinB
sin y
= yc
sin 3
COS a
причем вращательная скорость vbc точки В вокруг полюса С перпен-
перпендикулярна к СВ.
Проектируя это векторное равенство на направление СВ, будем
иметь
где
и, следовательно,
Отсюда
Задача 58. Кривошип О А=2 г, вращающийся вокруг оси О с угловой
скоростью и, несет на себе ось подвижной шестерни /, катящейся без
скольжения по неподвижной шестерне 2. При этом шестерня 1 приво-
приводит в движение шарнирно соеди-
соединенный с ней шатун СВ=1, свя-
связанный с ползуном В. Радиусы
шестерен одинаковы. Определить
угловую скорость шатуна СВ и
скорости точек С и В в момент,
когда радиус АС перпендикуля-
перпендикулярен к кривошипу ОА (рис. 215).
Решение. Так как точка
А шестерни / одновременно при-
принадлежит и кривошипу О А, то
ее скорость va есть вращатель-
вращательная скорость вокруг оси О и,
следовательно,
v = со-ОЛ = 2 го),
причем вектор vA перпендику-
перпендикулярен к кривошипу ОА. Так как
шестерня 1 катится по непод-
Рис. 215
344 Раздел II. Кинематика
вижной шестерне 2 без скольжения, то скорость точки Р± касания
этих шестерен равна нулю; следовательно, эта точка является мгно-
мгновенным центром скоростей для шестерни /. Поэтому угловая скорость
«Р, шестерни / будет
= л/ч =— = 2ш-
Для определения угловой скорости шР шатуна СВ надо знать ско-
скорость какой-нибудь точки этого шатуна и положение его мгновенного.
центра скоростей Р. Найдем скорость vcточки С шатуна СВ, пользуясь
тем, что точка С одновременно принадлежит и шестерне /. Так как точ-
точка С принадлежит шестерне 1, то ее скорость vc должна быть враща-
вращательной скоростью вокруг точки Pv т. е.
vc = toPi -С?! = 2 /2 юг,
причем вектор ус перпендикулярен к CPV
Шатун СВ совершает также плоское движение. Ему принадлежит
точка С, общая с шестерней /, а также и точка В, общая с ползуном.
Следовательно, нам известна скорость vq точки С шатуна СВ по модулю
и по направлению, а также известна скорость vb другой его точки В
по направлению (вектор vB направлен по прямой В А). Восставляя из
точек С и В перпендикуляры к векторам vc и vb, найдем мгновенный
центр скоростей Р шатуна СВ.
Тогда угловая скорость шР шатуна СВ будет равна
v
_
c
СР СР
Но так как
ВР = BPt и СР = РРг- СРХ - (ВРг—г) У2=АВ 1/2*
= У 2 V(CBf - (АС)* = УТ У /2 — г2",
то
Отсюда находим скорость vb точки В
vB=up -ВР = шр .ВР{,
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела 345
но так как
ВРХ = г + АВ = г + V /2—г2,
то
uD = 2шг A
§73. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЙ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ,
ДВИЖУЩЕЙСЯ В СВОЕЙ ПЛОСКОСТИ
1. Ускорение точки плоской фигуры как сумма ускорения полюса
и ускорения этой точки во вращательном движении вокруг полюса.
Как было указано в § 72, абсолютное движение плоской фигуры в ее
плоскости мы можем представить себе состоящим из двух движений:
переносного поступательного, определяемого движением полюса А,
и относительного — вращения плоской фигуры вокруг полюса А.
Так как переносное движение плоской фигуры является поступа-
поступательным, то переносное ускорение какой-нибудь точки В плоской фи-
фигуры будет представляться ускорением wa полюса А. Что касается
относительного ускорения wBa точки В в ее вращении вместе с плоской
фигурой вокруг полюса А, то модуль и направление этого ускорения
определяются формулами A9 и 20, § 65):
WBA=BAV е2 + ш4 ; A)
где со и е — угловая скорость и угловое ускорение плоской фигуры, а
а — угол между вектором wBa и отрезком В А.
Как видно из формул A)и B), модуль и направление вектора wBa
могут быть определены, если известен закон вращательного движения
плоской фигуры <р=/з@> или со и е для каждого момента времени*.
Выражение B) не содержит координат точек плоской фигуры, а
поэтому для данного момента угол а, определяющий направление
вектора wBA, будет одинаков для всех точек плоской фигуры. При этом
в случае ускоренного вращения плоской фигуры (со и е имеют одина-
одинаковые знаки, рис. 216, а) векторы хюВа и vBa лежат по одну сторону от
прямой АВ; в противном случае эти векторы расположены в разные
стороны от этой прямой (рис. 216, б).
* Когда функция <р =f3(t) задана, то угловая скорость ы и угловое уско-
ускорение е плоской фигуры находятся способом дифференцирования этой функ-
функции по времени.
346
Раздел II. Кинематика
Если во все время движения u>=const, то е=-^=0. а следовательно,
и а=0, т. е. вектор wBa совпадает по направлению с вектором ВА.
Если же в данный момент со=0, то а=90° и вектор wBA перпендикуля-
перпендикулярен к вектору В А.
Поскольку переносное движение плоской фигуры является посту-
поступательным, то, следовательно, мы можем применить для каждой
точки плоской фигуры доказанную в § 68 теорему о сложении ускоре-
ускорений. При этом абсолютное ускорение wB точки В будет определяться
формулой
wb = wa
w
ВА
C)
ВА
Рис. 216
Таким образом, абсолютное ускорение wb любой точки В плоской
фигуры в каждый данный момент равно геометрической сумме двух
ускорений: ускорения w а другой, произвольно выбранной и принятой за
полюс, точки А плоской фигуры, и ускорения wBa точки В в ее вращении
вместе с плоской фигурой вокруг этого полюса.
Разложим вектор wba на касательную {wBA) и нормальную {wb"a}
составляющие
где модули векторов wba и w?a находятся по формулам:
WBA =
КА\ = АВ.**.
D)
E)
F)
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела
347
При этом вектор ш>ва направлен перпендикулярно к АВ в сторону
вращения плоской фигуры вокруг полюса А, если оно ускоренное
(рис. 217, а), и против вращения, если оно замедленное (рис. 217, б).
Вектор же wb"a всегда направлен от точки В к полюсу А (рис. 217, а, б).
Таким образом, если в данный момент времени известны ускорение
wa полюса А, а также угловая скорость ш и угловое ускорение е плоской
фигуры, то абсолютное ускорение шв любой ееточки В определяется в
этот момент времени по формуле
»ПВА
G)
Рис. 217
На основании формулы G) ускорение Wb может быть найдено либо
геометрически — построением многоугольника ускорений, — либо
аналитически — методом проекций, для чего нужно векторное равен-
равенство G) спроектировать на выбранные координатные оси.
2. Мгновенный центр ускорений плоской фигуры. Среди точек
не поступательно движущейся в своей плоскости плоской фигуры в
каждый момент времени имеется одна точка, абсолютное ускорение
которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ус-
ускорений плоской фигуры. Если в данный момент времени задано уско-
ускорение ы>а какой-либо точки А плоской фигуры по модулю и направле-
направлению, причем направление вращения, угловая скорость ю и угловое ус-
ускорение е плоской фигуры нам также известны, то положение мгновен-
мгновенного центра ускорений Q определяется следующим образом:
1) проведем из точки А полупрямую AN (рис. 218) под углом а ==
=arctg-^ к вектору wa, отсчитывая этот угол от вектора wa в сторону
348
Раздел II. Кинематика
вращения плоской фигуры, если вращение является ускоренным, и
против вращения, если оно является замедленным;
2) на полученной полупрямой AN отложим отрезок
wA
(8)
Рис. 218
Конец Q этого отрезка и будет мгновен-
мгновенным центром ускорений плоской фигуры.
В самом деле, примем точку А за по-
полюс. Тогда абсолютное ускорение wq
точки Q будет складываться из ускоре-
ускорения wa полюса А и вращательного уско-
ускорения wqa точки Q вокруг этого полюса
= WA+
(9)
Модуль вращательного ускорения ш<эл=BЛ]/е24-ш4. Подставляя
сюда значение QA из равенства (8), находим, что
WQA=WA>
т. е. модуль вращательного ускорения wQA точки Q вокруг полюса А
равен модулю ускорения wa этого полюса. С другой стороны, вектор
должен образовывать с отрезком QA угол а, следовательно, вектор
параллелен вектору wa, но направлен в противоположную сторону,
т. е.
Отсюда на основании формулы (9) заключаем, что
Таким образом, доказано, что неизменно связанная с движущейся
плоской фигурой точка Q действительно является мгновенным центром
ускорений этой плоской фигуры.
При движении плоской фигуры положение ее мгновенного центра
ускорений непрерывно изменяется. Каждому моменту времени соот-
соответствует свое положение мгновенного центра ускорений.
3. Ускорение точек плоской фигуры как ускорение во вращатель-
вращательном движении вокруг мгновенного центра ускорений. Покажем теперь,
как, зная в данный момент положение мгновенного центра ускорений
Q плоской фигуры, найти абсолютные ускорения ее точек. Для этого
примем мгновенный центр ускорений Q за полюс. Тогда для абсолют-
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела
349
ного ускорения до в произвольной точки В плоской фигуры будем иметь
— wn-\-w
BQ
A0)
где wbq обозначает ускорение точки В во вращательном движении пло-
плоской фигуры вокруг мгновенного центра ускорений Q. Но ускорение Wq
точки Q равно нулю, а поэтому
= WBQ=WBQ+WBQ'
т. е. абсолютное ускорение любой точки плоской фигуры определяется
как ускорение этой точки во вращательном ее движении вместе с плос-
плоской фигурой вокруг мгновенного центра ускорений (рис. 219).
Отсюда следует, что ускоре-
ускорение шв складывается из состав-
составляющей Wbq, равной по модулю
\Wbq\==BQ-\s\, и составляющей
равной по модулю \w'Bq\ =
BQ-<d2. При этом вектор
q будет направлен перпенди-
перпендикулярно к отрезку BQ в ту сто-
сторону, куда происходит вращение,
или в противоположную, смотря
по тому, является ли вращение
ускоренным или замедленным, а
вектор w%Q будет всегда нап-
направлен от точки В к точке Q.
В этом случае ускорение wb
Рис. 219
равно по модулю
= WBQ =
со*
A2)
и составляет с отрезком BQ, соединяющим точку В с мгновенным цент-
центром ускорений Q, угол а, определяемый равенством
а = arctg ~.
A3)
Следовательно, абсолютные ускорения точек плоской фигуры по
модулю пропорциональны расстояниям этих точек от мгновенного
центра ускорений и образуют с отрезками, соединяющими эти точки
с мгновенным центром ускорений, один и тот же угол, определяемый
равенством A3).
Как видно из формул A2) и A3), при помощи мгновенного центра
Ускорений Q можно определить модуль и направление абсолютного ус-
350
Раздел II. Кинематика
корения любой точки плоской фигуры в данный момент времени, если
угловая скорость ш и угловое ускорение г плоской фигуры в этот момент
времени известны.
Следует иметь в виду, что составляющие Wbq и Wbq, вообще гово-
говоря, не совпадают с касательным Wb и нормальным ускорением wB
точки В. В самом деле, касательное wb и нормальное w% ускорения
точки В направлены по касательной и главной нормали к траектории
точки В. Направление же касательной к
траектории точки В совпадает с направ-
направлением ее скорости vb , следовательно,
направление главной нормали к траек-
траектории совпадает с направлением отрез-
отрезка ВР, соединяющего точку В с мгновен-
мгновенным центром скоростей Р. Итак, касате-
касательное wxb и нормальное ускорение w%
точки В направлены по перпендикуляру
к отрезку ВР и вдоль этого отрезка, в
то время как составляющие wBq и wBq
направлены перпендикулярно к отрезку
BQu вдоль отрезка BQ, соединяющего
точку В с мгновенным центром ускорения
Q (рис. 220). Модули касательного w'B
и нормального w"b ускорений равны
Рис. 220
dt
= р s
= ОШ
~~ р
где радиус кривизны р направлен по ВР, но не равен ВР. Если точка С
есть центр кривизны траектории точки В, то р=ВС
4. Частные случаи расположения мгновенного центра ускорений.
1) Предположим, что s=0, тогда tga—^ =0 и а=0, следовательно,
wb — wbq, т. е. ускорение Швлюбой точки В плоской фигуры направлено
от точки В к мгновенному центру ускорений Q и по модулю равно wB =
= \wbq]=BQ со2. Поэтому мгновенный центр ускорений Q в этом слу-
случае (рис. 221) можно найти как точку пересечения прямых, по которым
направлены ускорения, двух каких-нибудь точек плоской фигуры.
2) Предположим, что со=0, тогда tga=i^ = оо и а=90°, следователь-
следовательно, Wb—wbq, т. е. ускорение wb любой точки В плоской фигуры пер-
перпендикулярно к отрезку BQ, соединяющему точку В с мгновенным
центром ускорений Q, и по модулю равно wb~\wbq\—BQ\s\. Поэтому
мгновенный центр ускорений Q в этом случае можно найти как точку
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела
351
пересечения перпендикуляров, восставленных из двух каких-ни-
каких-нибудь точек плоской фигуры к ускорениям этих точек (рис. 222).
Сопоставляя плоскопараллельное движение с простейшим видом
движения — вращательным вокруг неподвижной оси, — приходим к
следующим выводам.
Если тело вращается вокруг неподвижкой оси, то мгновенный центр
ускорений и мгновенный центр скоростей находятся на оси вращения,
т. е. совпадают и являются не мгновенными, а постоянными.
Рис. 221
Рис. 222
В общем же случае плоскопараллельного движения твердого тела
мгновенные центры скоростей и ускорений не совпадают и меняют свое
положение. Однако скорости точек тела таковы, как если бы тело вра-
вращалось вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей,
а ускорения таковы, как если бы тело вращалось вокруг оси, проходя-
проходящей через мгновенный центр ускорений. При этом скорость мгновен-
мгновенного центра скоростей равна нулю, но его ускорение нулю не равно.
Наоборот, мгновенный центр ускорений не имеет ускорения, но ско-
скорость его не равна нулю.
Для иллюстрации того, что мгновенный центр скоростей и мгновен-
мгновенный центр ускорений в общем случае плоскопараллельного движения
не совпадают, приведем следующий пример.
Пусть колесо катится без скольжения по прямолинейному рельсу
так, что скорость его центра является постоянной. Мгновенный центр
скоростей в этом случае находится в точке прикосновения колеса с
рельсом, так как вследствие отсутствия скольжения скорость ее будет
равна нулю (но только в тот момент, когда эта точка находится в со-
соприкосновении). Что же касается мгновенного центра ускорений, то
он в каждый момент движения совпадает с центром колеса, так как
вследствие того, что центр колеса движется равномерно и прямолиней-
прямолинейно, его ускорение равно нулю.
5. Указания к решению задач. Задачи на определение ускорений
точек движущейся плоской фигуры можно решать двумя способами:
с помощью формулы G) или A1). Первый способ не предполагает
352
Раздел //. Кинематика
предварительного знания положения мгновенного центра ускорении.
Второй же способ основан на построении мгновенного центра уско-
ускорений.
Решая задачу первым способом, необходимо расчет начинать с оп-
определения по данным задачи скорости и ускорения точки, принимае-
принимаемой за полюс. Обычно за полюс принимается та точка плоской фигуры,
скорость и ускорение которой в данный момент известны или легко
вычисляются.
Решение большинства задач рассматриваемого типа вполне опреде-
определяется знанием ускорения некоторой точки плоской фигуры (ускоре-
(ускорения полюса), а также угловой скорости и углового ускорения плоской
\У
Направление WB в
а)
6)
Рис. 223
фигуры. Способы вычисления угловой скорости плоской фигуры были
показаны ранее. Мы знаем также способ определения углового уско-
ускорения плоской фигуры по заданному закону ее вращательного движе-
движения вокруг полюса, а также в том случае, когда угловая скорость за-
задана как функция времени. Однако важно обратить внимание еще на
один характерный способ определения углового ускорения плоской
фигуры. Очень часто мы сталкиваемся с такими задачами, в которых
для данного момента времени известно ускорение wa некоторой точки А
плоской фигуры и направление ускорения wb другой ее точки В
(рис. 223, а).
В этом случае для определения углового ускорения г плоской фи-
фигуры необходимо поступить следующим образом. Согласно формуле
G) имеем
ВА
a/
BA
где за полюс принята точка А.
Зная направление векторов wa, wb, Wbah wb"a, построим векторный
многоугольник ускорений, сторонами которого являются эти векторы
и в котором вектор wb является замыкающей стороной (рис. 223, б).
Далее через начало вектора Wa проведем ось уу, перпендикулярную к
вектору wb- Пусть а и (J — углы, составляемые соответственно век-
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела
353
торами а»ли w?a с осью уу. Проектируя на ось уу векторы построенного
многоугольника, получим
wA cos a ~ wBA sin p + w%A cos Р = О,
или
a^cos а — е• АВ sin р -+- а>а • АВ cos р = О,
так как
Из полученного уравнения находим угловое ускорение плоской
фигуры
w A cos я + ша • АВ cos p
S ~ АВ sin p '
Выше был указан общий прием
определения положения мгновен-
мгновенного центра ускорений плоской
фигуры, а также были рассмотре-
рассмотрены частные случаи расположения
мгновенного центра ускорений.
Покажем теперь, как построить
мгновенный центр ускорений, имея
в данный момент ускорения wa и
w в двух точек А и В плоской фи-
фигуры (рис. 224).
В этом случае для определения
положения мгновенного центра
ускорений Q необходимо поступить
следующим образом. Примем точку
А за полюс. Тогда заданные ускорения будут связаны между собой век-
векторным равенством
Рис. 224
w
BA.
24 Н, Ф, Сахарный
354
Раздел If. Кинематика
Отсюда находим разность заданных ускорений*.
wBA = шв — wA= wB+ (— ш
A4)
что определяет угол а, отсчитываемый от wba к В А. В этом же направ-
направлении отсчета откладываем угол аотшд ишв и проводим из точек А и
В лучи AN и BL, пересечение которых и определяет положение мгно-
мгновенного центра ускорений Q.
При решении задач, относящихся к этому параграфу, можно вос-
пользоватья и некоторыми указаниями, которые были даны в § 72.
Дополнительные указания будут даны в решенных ниже задачах.
Задача 59. Колесо радиуса г=0,5 м катится по прямолинейному
рельсу без скольжения так, что в данный момент времени скорость и
ускорение центра колеса равны Vc =0,5 м/сек и we =—0,5 м/сек2.
Найти для данного момента времени ускорение точки М — левого
конца горизонтального диаметра — и ускорение точки касания Р
колеса с рельсом (рис.225).
— ¦*-?
б)
Рис. 225
Решение. 1) Решим задачу с помощью формулы G). Так как
скорость vc и ускорение We (замедление) центра С колеса известны, то
мы можем точку С принять за полюс. При этом ускорение wM точки М
определим по формуле
»ic'
(а)
* Из равенства A4) следует, что для нахождения вектора wBA необходимо
в точке В построить вектор (—wA), противоположный заданному вектору wAt
а затем векторы wB и (—даА) сложить геометрически.
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела 355
где
"г| =г|е|:
W
мс
Показав на чертеже точку М отдельно (рис. 225, а), изображаем
(без соблюдения масштаба) векторы we, Wmc и w^c, из которых геомет-
геометрически складывается искомое ускорение wM. При этом необходимо
вектор we перенести (мысленно) из точки С в точку М и направить век-
вектор wMc против вращения, так как вращение замедленное. Что касается
вектора Wmc, то он всегда направлен из точки М к полюсу С.
Так как мгновенный центр скоростей колеса совпадает с точкой ка-
касания Р колеса с рельсом, то угловую скорость колеса для любого мо-
момента времени получим из равенства
c c
mp = pc=—' (б)
Подставляя в эту формулу vc =0,5 м/сек и г=0,5 м, получим угло-
угловую скорость для данного момента времени
1
Направление угловой скорости шр определяется направлением век-
вектора vc и показано на чертеже стрелкой.
Не следует думать, что если по условиям задачи vc =0,5—' то Vc =
1 СвК
=const. Значение модуля vc скорости vc точки С в задаче указано в
данный момент времени; с течением времени модуль vc скорости Vc
меняется, так как wc ^=0. Так как величина PC—r остается постоянной
во все время движения колеса, то, дифференцируя равенство (б) по вре-
времени, получим угловое ускорение (замедление) sp (или е) колеса для
любого момента времени
dwp dvc wc
Подставляя в эту формулу шс=—0,5^ и г=0,5 м, получим угло-
угловое ускорение для данного момента времени
. м
р сек '
24*
356
Раздел II. Кинематика
Знаки шри ер разные, так как вращение колеса в данный момент
является замедленным; различные направления соР и еР показаны на
чертеже стрелками.
Проводя оси Мх и My (рис. 225, а) и проектируя векторное равен-
равенство (а) на эти оси, получим
x = \W
MC
w,
= rcop —
wA = 0;
Из этих уравнений находим модуль ускорения хшц точки М
направление Wm показано на рис. 225, б. .
Аналогично находится и ускорение wP мгновенного центра ско-
скоростей Р. Ускорение Wp найдем по формуле
шр=шс+шРС + шрс, (в)
где
w
PC
= PC- cup= гш2р.
Проектируя векторное равенство (в) на оси PZ, и Рч\ (рис. 225, б),
получим
= — \w
+
~»Прс
сек'
Из этих уравнений находим модуль ускорений wP точки Р
направлено ускорение шР вертикально к центру С колеса. Отсюда видно,
что ускорение wP точки Р не равно нулю, в то время как скорость этой
точки в данный момент равна нулю.
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела
357
2) Решим теперь эту задачу при помощи мгновенного центра уско-
ускорений, т. е. с помощью формулы A2). Зная модуль и направление уско-
ускорения we точки С, а также угловую скорость шр и угловое ускорение еР
колеса, определим положение мгновенного центра ускорений Q
(рис. 226)
CQ =
0,5
У
м.
Угол наклона отрезка CQ к векто-
вектору wc равен
= 1,
следовательно,
а = 45°
и откладывается от вектора wc в сто-
сторону углового ускорения еР.
Прямоугольный треугольник CQP
равнобедренный, с углом 45° при ос-
основании, поэтому
PQ = CQ=^~ м
Модуль ускорения wP точки Р равен
Р
Рис. 226
W» =
o,5^s
при этом ускорение wP направлено вдоль PC.
Так как MQ=PQ, то модуль ускорения точки М равен
при этом векторы ш^ и Шр параллельны и направлены в противополож-
противоположные стороны.
Задача 60. Кривошип ОА длиною 5 см вращается равномерно с уг-
угловой скоростью соо=10—и приводит в движение шатун АВ длиной
50 см; ползун В движется вдоль горизонтальных направляющих. Най-
358
Раздел II. Кинематика
ти угловую скорость и угловое ускорение шатуна, а также ускорение
Wb ползуна В в момент, когда кривошип и шатун взаимно перпендику-
перпендикулярны и образуют с горизонтальной осью углы 45° (рис. 227, а, б).
б)
W.
Рис. 227
Решение. Определим угловую скорость а>Р, или шАВ, шатуна АВ.
Для этого найдем положение мгновенного центра скоростей шатуна АВ.
Мгновенный центр скоростей шатуна АВ лежит в точке пересечения пер-
перпендикуляров, восставленных из точек Л и В к скоростям tij и ов
этих точек. Но вектор скорости va перпендикулярен радиусу вращения
О А, а вектор скорости v в направлен вдоль горизонтальных направляю-
направляющих. Следовательно, мгновенный центр скоростей Р шатуна есть точка
пересечения прямых АР и ВР. По условию задачи кривошип О А и ша-
шатун АВ взаимно перпендикулярны и образуют с горизонтальной осью
углы 45°, поэтому прямоугольный треугольник ВРА равнобедренный,
с углом 45° при основании, следовательно, АВ=РА.
Для заданного положения кривошипа
или
v. = ОЛ-шо,
= АВ-
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела 359
откуда
и, следовательно, угловая скорость шатуна
ОА , 1
Направление поворота показано на чертеже.
Точку А выбираем за полюс. Найдем ее ускорение"
а»д = 0^.0,2 = 5.10»=, 500^,
при этом вектор wa направлен вдоль АО от Л к О.
Определим теперь угловое_ускорение ер, или гАВ, шатуна АВ. Для
этого представим ускорение Wb точки В в виде
WB=~wA + wxBA+wnBA, ' (a)
где вектор Wba перпендикулярен к АВ, а векторы wB и шдд соответ-
соответственно направлены горизонтально и вдоль В Л (от В к А). При этом мо-
модуль вектора w?a равен
Построим теперь векторный многоугольник ускорений (рис. 227,6),
сторонами которого являются векторы Wb, wa, w?a и WbA и в котором
Wb является замыкающей стороной. Проектируя векторное равенство
(а) на направление вектора wB и на перпендикулярное к нему направ-
направление, получим уравнения
wb ~ WACOS^° + wBAcosA5° — \w*BA\ cos 45°;
0 = — шлсоз45° + ^дЛ cos 45°+|ш^ ^| cos 45°,
или
ВА
wnBA
360
Раздел II. Кинематика
Из второго уравнения находим, что в данный момент времени
VBA\
I SAB) — \ep\~'AB
АВ
= 9
сек"
при этом евл=ер=—9—j, так как направление вектора
противоположно направлению вектора vBa—Vb—va (рис. 227, а).
Далее из первого полученного уравнения находим ускорение Wb
ползуна
w =
сек2
Задача 61. Кривошип О А длиной 30 см кривошипно-шатунного ме-
механизма вращается равномерно вокруг оси О с угловой скоростью ш=
=4 — и приводит в движение шатун
С 6 К
длиной 50 см (рис. 228). Ползун В дви-
движется прямолинейно в горизонталь-
горизонтальных направляющих, как указано на
чертеже. Найти ускорения ползуна В
и точки С — середины шатуна АВ, а
также угловое ускорение гАВ шатуна
АВ в момент, когда ^ВОЛ=90°.
Решение. Так как скорости
ил и vb точек А я В шатуна АВ,
очевидно, параллельны, то точка пе-
пересечения перпендикуляров, восставленных из точек Л и В к скорос-
скоростям va и vb , находится в бесконечности, т. е. мгновенный центр ско-
скоростей Р шатуна АВ является бесконечно удаленной точкой. Отсюда
следует, что угловая скорость и>Ав шатуна АВ в рассматриваемый мо-
момент времени равна нулю и скорости всех точек шатуна АВ равны
va- При этомелв=?0, так как в противном случае по формуле A2)
ускорения всех точек шатуна АВ должны были бы равняться нулю,
а между тем дод^О. Модуль ускорения wa точки А равен
Рис. 228
w,
»= 480^,
так как кривошип ОА вращается равномерно (е=зг =0); при этом
вектор wa направлен вдоль АО.
Отсюда следует, что
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела 361
и, следовательно, а—90°, т. е. ускорение любой точки М шатуна
АВ направлено под углом а=90° к линии MQ, соединяющей эту
точку с мгновенным центром ускорений Q шатуна. Поэтому мгновенный
центр ускорений шатуна лежит в точке пересечения перпендикуляров,
восставленных из точек А и В к ускорениям wah wb этих точек. Но
ускорение wa направлено вдоль АО, т.е. к центру вращения О, так как
кривошип вращается равномерно, а ускорение а>в направлено по пря-
прямой OS, поскольку точка В движется вдоль горизонтальных направляю-
направляющих. Следовательно, мгновенный центр ускорений Q шатуна АВ есть
точка пересечения прямых AQ и BQ.
Угловое ускорение еАВ шатуна А В найдем из равенства
wA = QA-eAB,
которое получается из формулы A2) при u>/iB=0. Следовательно,
^А_
гАв = QA '
Так как
QA = OB = УАВ* — О А2 = Y 502 — 302 = 40 см,
то
"АВ 40 сек2"
Ускорения шв и we ползуна В и точки С— середины шатуна АВ —
найдем из равенств
которые также получаются из формулы A2) при «мв=0.
Так как
QB = ОА = 30 см;
то
см.
wD =30-12 = 360
в Сек% '
wn =25-12=300 см
"с — "" 1Х- """ сек*
при этом вектор шс перпендикулярен CQ.
23 Н. Ф, Сахарный
362
Раздел II. Кинематика
Задача 62. Равносторонний треугольник ABC со стороной 10 см
совершает плоское движение. В данный момент модули ускорений его
вершин А и В равны ам=а>в—20^ и направлены по сторонам этого
треугольника (рис. 229). Найти угловую скорость ш и угловое ускоре-
4 ние е треугольника, а также модуль
we ускорения третьей вершины С это-
этого треугольника.
Решение. Так как ускорение
wa точки Л известно как по модулю,
так и по направлению, то выберем
точку А за полюс. Тогда согласно
формуле G) будем иметь
WBA
ДО в = W , + W
В А,
Рис. 229
откуда находим, что
WBA =
где вектор w?a направлен перпендикулярно к АВ, а вектор
правлен по В А; кроме того,
= BA-s;
(а)
на-
на(б)
Чтобы найти Wba и wb\, спроектируем векторное равенство (а) на
направление В А и на направление, перпендикулярное к В А,
wba =
,cos 60°== 20+ 20-4-= 30 см
секг
w =wA cos30° = 20 21-= 10/3 см
НА л А '
ВА
сек" '
Применяя равенства (б), определим угловую скорость и угловое
ускорение треугольника
„2 = *>ВЛ
ZSA.
АВ
30
10
3;
сек '
WBA
АВ
10
>ут
сек*
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела 363
Тогда
откуда
a = 30°.
Откладывая от векторов Wb и wa в направлении против часовой
стрелки лучи под углом a = 30°, получим в пересечении их мгновенный
центр ускорений Q треугольника. Соединив Q с точкой С и отложив от
Q С в направлении по часовой стрелке угол a=30°, получим направле-
направление ускорения We точки С (оно направлено по СВ от С к В). Модуль
этого ускорения равен
10
Задача 63. В шарнирном четырехзвеннике О ABC ведущий кривошип
О А = ШуТГ см равномерно вращается вокруг оси О с угловой ско-
ростью <оОА = -^-й и при помощи шатуна АВ=20 еж приводит во
вращательное движение кривошип СВ вокруг оси С (рис. 230). Опре-
Определить скорость, ускорение точки В шатуна АВ, угловую скорость и
угловое ускорение шатуна АВ, а также угловую скорость и угловое ус-
ускорение кривошипа СВ в момент, когда ^ А ОС=^l О АВ=90° и ^АВС~
= 60°.
Решение. Так как движение кривошипа О А задано, то мы можем
найти скорость va и ускорение wa точки А. Скорость va точки А кри-
кривошипа ОА по модулю равна
и направлена перпендикулярно кОА. Так как кривошип ОА вращается
равномерно, то ускорение wa его точки А по модулю равно
_ 15/3 см.
и направлено вдоль О А от Л к О.
Поскольку точка В принадлежит кривошипу СВ, вращающемуся
вокруг оси С, то скорость vB этой точки перпендикулярна к СВ и, сле-
следовательно, образует с направлением В А угол в 30°. Ускорение точки В
23*
364
Раздел II. Кинематика
кривошипа СВ слагается из нормального ускорения хо%, направлен-
направленного по кривошипу от В к С, и касательного ускорения Wb, перпен-
перпендикулярного к СВ, т. е.
Рис. 230
С другой стороны, поскольку точки А и В принадлежат и шатуну
АВ, имеем
Ка+Ка>
F)
где точка А принята за полюс. При этом нормальное ускорение ba
точки В во вращательном движении вокруг полюса А направлено по
В А, а касательное ускорение WbA точки В в том же движении направ-
направлено перпендикулярно к АВ. Сравнивая равенства (а) и (б), получим
w,
JBA~
(в)
Определим теперь модуль вектора w?a- Для этого найдем угловую
скорость шав шатуна АВ. Зная направления vA и vB, строим мгновен-
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела 365
ный
20-3
центр
60
скоростей
см. Тогда
^ р
Р
шатуна АВ.
VA
АВ АР
Легко
15^3
60
видеть,
Уз
4
ЧТО
1
сек
АР-
•
АВ
tg30»
Направление поворота показано на чертеже.
Зная <з)АВ, по формуле F) находим.
Теперь определим модуль нормального ускорения а/»в точки В
кривошипа СВ. Для этого найдем сначала по теореме проекций (или
с помощью мгновенного центра скоростей Р) модуль скорости vb точки
В, считая эту точку принадлежащей шатуну АВ. Получим
vB cos 30° = vA ,
откуда
Л lO" -^ im f о СМ
Тогда
v% 300
при этом длину ВС находим из треугольника СВК'.
RC СК 0А 10-У"г-2 9
Следовательно,
п 300 ,г см
""в — 20 ~" 1С
Выразим векторное равенство (б) графически. Для этого покажем
на чертеже точку В отдельно (рис. 230, б). Отточки В в выбранном мас-
масштабе откладываем вектор Ва^иид; затем от точки аг откладываем век-
вектор a1K=wnBA(wlBA 11В А) и отточки к проводим прямую к blt перпенди-
перпендикулярную к агк. Эта прямая дает направление шт , и где-то на ней
должен лежать конец искомого вектора wB-
Теперь от точки В откладываем вектор Bc^Wb (w%\\BC) и про-
проводим перпендикулярную к нему прямую cxbx, дающую направление
366 Раздел II. Кинематика
wx . Конец искомого вектора wB должен лежать и на этой прямой. Сле-
в
довательно, точка Ьг пересечения линий к^ис^ и дает конец вектора
wb ¦ Измерив длины ВЪХ, кЬ-^ и clb1 и учитывая масштаб, мы этим гра-
графическим способом найдем, что wB —Bbi, wBA=Kb^, wB — сфх. А
зная wx и ш1, можно определить
ва в
АВ
1 ас I — вс
Однако мы осуществим этот расчет аналитически. Для этого про-
проводим перпендикулярно к неизвестному вектору дох координатную ось
Вх и проектируем обе части векторного равенства (в) на эту ось. Тог-
Тогда получаем
+wnBA = + дав cos 60°— |шв|созЗО°.
Отсюда находим
wnBcos60°-wBA 5 уг см
\wB
cos 30° 2 сек*
Из чертежа видно, что вектор vB направлен противоположно wB ;
следовательно, вращение кривошипа СВ является замедленным.
Теперь найдем модуль искомого вектора wB .
1 А/-..Т \9 | / _..п \ 9 ^ т Аоо С-^
Направлание вектора wB показано на рис. 230, б.
Проектируя обе части равенства (в) на ось Bcv перпендикуляр-
перпендикулярную wzB, находим
wA cos 30° + w"BA cos 60° + | wBA\ cos 30° = wnB •
Отсюда находим, что
w% — wA cos 30° — wBA cos 60° i
в a | cos 30° i
Из чертежа видно, что вектор vBa=vb—ил будет направлен проти-
противоположно wBA\ следовательно, вращение шатуна АВ является замед-
замедленным.
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела 367
При этом угловое ускорение шатуна АВ равно
Зная модули векторов vb и wxb , определим угловую скорость и
угловое ускорение кривошипа СВ
§ 74. ЦЕТРОИДЫ
1. Теорема о центре поворота для конечного перемещения плос-
плоской фигуры. В § 71 мы убедились в том, что всякое перемещение плос-
плоской фигуры в своей плоскости можно себе представить как совокуп-
совокупность поступательного перемещения плоской фигуры, равного переме-
перемещению произвольно выбранной ее точки (полюса), и вращательного
перемещения плоской фигуры вокруг этого полюса. Возникает вопрос,
нельзя ли, используя произвольность в выборе полюса, осуществить
псльзн ли, иишлвз^и njjuncSBUJionuv-i
заданное перемещение плоской
фигуры только одним поворотом,
без поступательного перемещения.
На этот вопрос дает ответ сле-
следующая теорема о центре поворота
для конечного перемещения плос-
плоской фигуры: всякое непоступатель-
ное перемещение плоской фигуры в
ее плоскости можно осуществить
одним поворотом около некоторой
точки, называемой центром конеч-
конечного вращения.
Для доказательства этой теоремы (называемой теоремой ьернулли-
Шаля) рассмотрим плоскую фигуру, положение которой вполне опре-
определяется положением отрезка АВ (рис. 231).
Пусть плоская фигура переместилась из положения /, занимаемого
ею в момент t, в положение //, соответствующее моменту t+bt (рис. 231),
тогда отрезок АВ, принадлежащий этой плоской фигуре, пере-
переместится за конечный промежуток времени At в положение Афг. Если
это перемещение можно осуществить одним поворотом, то точки А я В
описывают дуги окружности с одним и тем же центром, причем переме-
перемещения ААг и BBi точек А и В являются хордами этих дуг.
Так как центр окружности лежит всегда на перпендикуляре к се-
середине хорды, то для отыскания его надо провести через середины М
368
Раздел II. Кинематика
и N перемещений АА1 и ВВ1 два перпендикуляра до их пересечения
в точке С, которая и представит центр конечного вращения.
Докажем, что плоская фигура одним поворотом вокруг точки
С на угол АСАХ, может быть переведена из положения /, занимаемого
ею в момент t, в положение //, соответствующее конечному моменту
t+At. В самом деле, треугольники АСВ и АХСВХ, равные друг другу,
так как АС=АХС и ВС=ВХС по построению, а АВ=АХВХ— в силу
неизменяемости плоской фигуры. Из равенства этих треугольников
(заштрихованных на рис. 231) следует, что
: АСВ =
или
откуда
АСВ
АСАХ =
ВСАХ = ^ А1СВ1
Повернем теперь треугольник АСВ (а вместе с ним и плоскую фигу-
фигуру) вокруг точки С на угол ср=^:АСАх так, чтобы линия Л С совпала с
линией АХС. Тогда линия ВС совпадет с линией ВХС, а отрезок АВ
совпадет с отрезком АХВХ, и, следовательно, данная плоская фигура
займет при этом положение //, что и доказывает теорему.
Рис. 232
Рассмотрим теперь некоторые частные случаи.
Если отрезок АВ параллелен АХВХ (рис. 232, а, б), то перпендику-
перпендикуляры к перемещениям ААХ и ВВХ или сольются (рис. 232, а), или будут
параллельны между собой (рис. 232, б). Очевидно, что в обоих этих
случаях центр конечного вращения С будет находиться в бесконечно-
бесконечности и перемещение плоской фигуры из положения / в положение //
сводится к прямолинейному поступательному перемещению.
В случае, представленном на рис. 233, перпендикуляры, восста-
восставленные из середин перемещений ААХ и ВВХ, также сливаются в одну
линию, но в этом случае центр конечного вращения С лежит на пересе-
пересечении продолжений отрезков АВ и AXBV
2. Теорема о качении подвижной центроиды по неподвижной (тео-
(теорема Пуансо). При выполнении поворота плоской фигуры вокруг
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела
369
Рис. 233
центра конечного вращения С на угол АСАХ (см. рис. 231) эта плоская
фигура не будет проходить через все последовательные положения,
которые она занимала бы при фактическом движении. При помощи
такого поворота мы получаем лишь тот же самый конечный результат—
то же самое конечное положение плоской фигуры. Конечное положение
плоской фигуры, занимаемое ею в конечный момент времени t-\-Lt,
зависит от промежутка времени Ы:, а следовательно, от него зависит и
положение центра конечного вращения С. В пределе, когда величина
этого промежутка времени будет стремиться к нулю, центр конечного
вращения С будет стремиться к свое-
своему предельному положению, называ-
называемому мгновенным центром вращения.
Точка плоской фигуры, которая в
данный момент времени совпадает с
мгновенным центром вращения и име-
имеет скорость, равную нулю, является
мгновенным центром скоростей этой
плоской фигуры. Хотя в каждый мо-
момент мгновенный центр скоростей сов-
совпадает с мгновенным центром враще-
вращения плоской фигуры, однако необхо-
необходимо иметь в виду, что мгновенный
центр вращения принадлежит непод-
неподвижной плоскости, по которой перемещается плоская фигура, а мгно-
мгновенный центр скоростей принадлежит плоскости самой движущейся
плоской фигуры. При этом положение мгновенного центра вращения
на неподвижной плоскости, по которой перемещается плоская фигу-
фигура, с течением времени изменяется. Точно так же изменяется и поло-
положение мгновенного центра скоростей на плоскости самой движущейся
плоской фигуры.
Геометрическое место мгновенных центров вращения на неподвиж-
неподвижной плоскости, по которой перемещается "плоская фигура, представляет
собой некоторую кривую, называемую неподвижной центроидой.
Геометрическое место мгновенных центров скоростей на плоскости
самой движущейся плоской фигуры представляет собой также неко-
некоторую кривую, называемую подвижной центроидой.
Переходя от движения плоской фигуры в ее плоскости к соответ-
соответствующему плоскопараллельному движению твердого тела, мы, оче-
очевидно, вместо центров мгновенного вращения должны брать так назы-
называемые мгновенные оси вращения, перпендикулярные к плоскости
плоской фигуры и проходящие через мгновенные центры вращения.
Это следует из того, что при плоскопараллельном движении тела все
точки его, лежащие на одном перпендикуляре к неподвижной плос-
плоскости, в которой перемещается плоская фигура, движутся одинаково.
Поэтому все точки тела, лежащие на мгновенной оси вращения, будут
в данный момент иметь скорость, равную нулю, а все точки тела, не
370
Раздел II. Кинематика
положения I в положение II,
О
cft)
лежащие на мгновенной оси вращения, будут вращаться вокруг мгно-
мгновенной оси так же, как и соответствующие им точки плоской фигуры
вокруг мгновенного центра вращения. При этом мы получим подвиж-
подвижную и неподвижную цилиндрические поверхности, которые называются
подвижной и неподвижной аксоидами.
Покажем теперь, что при движении плоской фигуры в ее плоскости
подвижная центроида, неизменно связанная с движущейся плоской
фигурой, катится без скольжения по неподвижной центроиде*.
Для этого предположим, что плоская фигура переместилась из
двигаясь как угодно в своей плоскости
в течение промежутка времени Д^. Ра-
Разобьем весь этот промежуток времени
на весьма большое число п весьма
малых промежутков At{ (i = 1,
2 п).
В начале промежутка Д^ плоская
фигура занимает положение I, а в
конце его она займет близкое поло-
положение; в течение следующего проме-
промежутка времени At2 плоская фигура
переместится в новое близкое положе-
положение и т. д. К каждому из этих эле-
элементарных перемещений мы можем
применить теорему Бернулли — Шаля,
а поэтому каждому из них будет соот-
соответствовать свой определенный центр вращения и определенный
элементарный угол поворота вокруг этого центра вращения. Сле-
Следовательно, данное перемещение плоской фигуры в ее плоскости
можно заменить рядом последовательных поворотов на элементарные
углы вокруг соответствующих центров вращения, которые в пределе
при п -> со и Дг"; -> 0 превращаются в мгновенные центры вращения
плоской фигуры.
Отметим положения п центров вращения Сг, С2, С3, ... на неподвиж-
неподвижной плоскости ОЪ*(\, по которой перемещается плоская фигура (S). Пусть
эти центры вращения будут вершинами ломаной СХС^С3 Ct... (рис.234).
На подвижной плоскости Аху, которая связана с плоской фигурой
(S) и перемещается вместе с нею, отметим точки С[, С'2, С'3, ..., после-
последовательно совпадающие при движении плоской фигуры (S) с точка-
точками Clt C2, С3, ••- неподвижной плоскости О\ч\ (на рис. 234 точки Сг и
С\ сливаются). Пусть точки С\, С'2, С3 ... подвижной плоскости
Аху будут вершинами ломаной С[ С2 С'3 С[ ...
Рис. 234
* При этом будет, следовательно, показано, что при плоскопараллельном
движении тела подвижная цилиндрическая аксоида, неизменно связанная с
движущимся твердым телом, катится без скольжения по неподвижному цилин-
цилиндрическому аксоиду.
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела
371
Из построения точек С\, С\, С'3... очевидно, что стороны С\, С,
C'2CS, С\С\, ... и С\С2, С2С3, CsCit ...ломаных линий С\С\С\С\...
и CiC2CsCi ... соответственно равны друг другу. При этом при после-
последовательных поворотах плоской фигуры вокруг центров Q, С2, С3, ...
соответственно на углы A<j>i, Д92. д?з- ••• ломаная линия С\С'2С3С4 ...
перекатывается по неподвижной ломаной С^СъС^Сц ... так, что соот-
соответственно равные стороны этих ломаных линий налагаются одна на
другую, последовательно совпадая своими вершинами.
В пределе при п -> со и Mt -> 0 ломаные линии CjC2C3C4... и
С\С'%С'3С\... переходят в соответствующие непрерывные кривые — не-
неподвижную центроиду и подвижную центроиду (рис. 235).
Поддимная центроида
Неподвижная центроида. \
¦*-?
Рис. 235
Подвижная и неподвижная центроиды имеют в каждый данный мо-
момент времени общую точку Р, которая является мгновенным центром
скоростей плоской фигуры (S) и, следовательно, мгновенным центром
вращения этой плоской фигуры.
Покажем, что в точке Р подвижная и неподвижная центроиды име-
имеют общую касательную. В самом деле, точка Р является предельным
положением точки Съ а касательные к неподвижной и подвижной цент-
центроидам в точке Р являются предельными положениями прямых C-fi^
и С\С'г. Так как при Att-> 0 угол A<px между прямыми С^С^пС'уС'^
стремится к нулю, то касательные обеих центроид в точке Р совпадают.
Наконец, поскольку скорость точки касания обеих центроид рав-
равна нулю, так как эта точка является мгновенным центром скоростей,
то качение подвижной центроиды по неподвижной происходит без
скольжения.
Итак, движение плоской фигуры в ее плоскости действительно со-
сопровождается качением без скольжения подвижной центроиды, неиз-
неизменно связанной с плоской фигурой, по неподвижной центроиде.
372 Раздел II. Кинематика
Отсюда следует, что всякое движение плоской фигуры в ее плоскости
можно осуществить, построив для данного движения подвижную и не-
неподвижную центроиды и заставив подвижную центроиду катиться
без скольжения по неподвижной с угловой скоростью, соответствую-
соответствующей в каждый момент времени угловой скорости данного движения
плоской фигуры. В этом и состоит теорема Пуансо.
Эта теорема не дает результата только в случае поступательного
движения плоской фигуры, при котором обе центроиды обращаются в
бесконечно удаленные точки.
Простейшим примером изложенного может служить случай каче-
качения без скольжения колеса по неподвижному прямолинейному рельсу
(рис. 236). В этом случае скорость точки
колеса, в которой оно касается рельса, рав-
равна нулю. Эта точка Р колеса, следователь-
следовательно, будет в данный момент его центром
скоростей, а соответствующая ей точка Р
рельса — мгновенным центром вращения.
При этом обод колеса представляет собой
подвижную центроиду, а неподвижный
7ШШ/////////Ш/////Ш//////Ш рельс _ неподвижную центроиду.
Рис 236 Центроиды имеют применение в теории
механизмов и машин. Найти центроиды
для плоской фигуры можно как геометри-
геометрическим, так и аналитическим способами. Для иллюстрации геометри-
геометрического и аналитического способов нахождения центроид рассмотрим
следующую задачу.
Задача 64. Стержень АВ=21 скользит своими концами по сторонам
прямого угла Юч\ (карданово движение). Найти подвижную и неподвиж-
неподвижную центроиды (рис. 237).
Решение. Решим эту задачу геометрическим способом. Так как
скорости точек А и В направлены по сторонам прямого угла Юу\, то
мгновенный центр вращения Р (и, следовательно, мгновенный центр
скоростей) стержня АВ находим как точку пересечения перпендику-
перпендикуляров, восставленных из точек Л я В к направлениям скоростей этих
точек.
Полученная фигура ОАРВ представляет собой прямоугольник, в
котором диагональ ОР=АВ=21. Это показывает, что расстояние мгно-
мгновенного центра Р от начала координат О неподвижной системы осей
0?т) есть величина постоянная.
Таким образом, по отношению к неподвижной системе отсчета О?т(
мгновенный центр Р будет перемещаться по окружности, описанной из
точки О радиусом ОР=АВ=21, т. е. неподвижная центроида есть ок-
окружность радиуса АВ с центром в точке О.
Так как диагонали прямоугольника пересекаются пополам, то
точка С есть середина АВ и ОР. Это показывает, что мгновенный центр
Глава XII. Плоскопараллельное движение твердого тела
373
Р во все время движения находится на одинаковом расстоянии -к-=1
от середины С движущегося стержня АВ, с которым неизменно связа-
связана и движется вместе с ним система отсчета Аху. Поэтому подвижная
i ДО
центроида является окружностью радиуса -^- = / с центром в точке С.
Рис. 237
"Таким образом, мы видим, что карданово движение можно осуще-
осуществить качением без скольжения окружности диаметра, равного дви-
движущемуся стержню, по внутренней стороне окружности диаметра, рав-
равного удвоенной длине стержня*.
Если подвижную окружность сделать неподвижной и катить по ней
без скольжения неподвижную окружность, то воспроизводимое дви-
движение называется обращенным движением Кардана.
Решим теперь эту же задачу аналитическим способом. Для этого
определим координаты мгновенного центра Р как в неподвижной
системе отсчета Otrt, так и в подвижной системе отсчета Сху.
Обозначим переменный угол ОАВ через <р. Чтобы выразить коорди-
координаты \р и ч[р точки Р в неподвижной системе отсчета через этот угол,
рассмотрим треугольник ОАВ, из которого имеем
* Это движение носит название «карданово движение», по имени исследо-
исследовавшего его итальянского ученого XVI в. Кардана.
374 Раздел II. Кинематика
1р = ОА = ВР = АВ cos f = 21 cosy;
Yjp = 05 = AP = AB sin cp = 2 / sin 9,
где угол 9 будет меняться при движении стержня АВ; этот угол взят
нами за параметр.
Чтобы найти геометрическое место точек Р на неподвижной пло-
плоскости Ост], в которой перемещается отрезок АВ, т. е. получить уравне-
уравнение неподвижной центроиды, нужно из этих двух уравнений исключить
параметр ср- Для этого достаточно возвести каждое из этих уравнений
в квадрат и затем их сложить. Тогда получим
и _L Yi2 =4 I2
отсюда видим, что неподвижная центроида есть окружность радиуса
2/ с центром в начале координат О.
Чтобы выразить теперь через угол <р координаты хр и у„ точки Р в
подвижной системе отсчета, рассмотрим треугольники AMP и АРК,
из которых имеем
Хр = АК = МР = АР cos 9;
ур =АМ = КР = АР sin 9,
но так как
АР = АВ sin 9 = 2 / sin 9,
то
*р = 2 / sin 9 cos 9;
yp=2l sin2 9.
Чтобы найти геометрическое место точек Р на подвижной плоскости
Аху, неизменно связанной со стержнем АВ и движущейся вместе с
ним, т. е. найти уравнение подвижной центроиды, нужно из этих двух
уравнений исключить параметр 9. Для этого возведем в квадрат первое
уравнение
х2р = 4 I2 sin2 9cos2 9 = 4 I2 sin2 9A— sin2 9),
а из второго уравнения находим
• о Ур
sm29 =
и, подставив это в первое равенство, получим
я*р + ур-21ур =0. (а)
Глава XIII. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку 375
Перенося начало координат по оси у на величину /, будем иметь
у'р =уР— I; уР =у'р + 1-
Подставляя это значение ур в уравнение (а), получим
или
или
У'Р2
отсюда видим, что подвижная центроида есть окружность радиуса / с
центром в точке С @, /).
Глава XIII
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ИМЕЮЩЕГО ОДНУ
НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ, И ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ
СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
§75. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ИМЕЮЩЕГО ОДНУ
НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ
1. Уравнения движения твердого тела, имеющего одну неподвиж-
неподвижную точку. Если твердое тело движется таким образом, что какая-
нибудь одна его точка остается неподвижной, то такое движение на-
называется движением твердого тела вокруг неподвижной точки или сфе-
сферическим движением. При этом неподвижная точка может или при-
принадлежать телу, или находиться вне тела, но тогда следует представ-
представлять себе, что она каким-нибудь образом неизменно связана с телом,
например при помощи стержня. Примером твердого тела, имеющего од-
одну неподвижную точку, может служить волчок, заостренный конец
ножки которого упирается в гнездо, сделанное в подставке, так что
этот конец ножки при вращении волчка остается неподвижным.
Предположим, что рассматриваемое твердое тело имеет одну не-
неподвижную точку О (рис. 238) и может как угодно вращаться вокруг
этой точки.
Выберем неподвижную прямоугольную систему координат 0Ъ(.,
начало которой находится в неподвижной точке О этого тела. Постро-
Построим теперь подвижную прямоугольную систему координат Oxyz, неиз-
неизменно связанную с телом и имеющую начало в той же точке О. Для оп-
376
Раздел II. Кинематика
ределения положения тела, имеющего одну неподвижную точку О,
относительно неподвижной системы координаторе достаточно опреде-
определить положение подвижной системы координат Oxyz относительно
неподвижной О?т]С. Наиболее удобным способом определения положе-
положения подвижной системы координат относительно неподвижной являет-
является способ, предложенный Эйлером и основанный на задании так назы-
называемых трех углов Эйлера.
Установим предварительно понятие углов Эйлера. Линия пересе-
пересечения ON неподвижной плоскости ОЕт) с подвижной плоскостью Оху
называется линией узлов. Проведем плоскость через оси ОС и Oz; эта
z\
плоскость перпендикулярна к линии узлов ON, так как последняя Долж-
Должна быть перпендикулярна одновременно к оси ОС и коси Oz. Угол меж-
между неподвижной осью ОХ и линией узлов ON обозначают через ф и на-
называют углом, прецессии. Угол между линией узлов ON и подвижной
осью Ох обозначают через у и называют углом собственного вращения.
Угол между плоскостями Oli\ и Оху, или, что то же, угол между непод-
неподвижной осью ОС и подвижной осью Oz, обозначают через 8 и называют
углом нутации.
Углы <i/, Й и 9 называются углами Эйлера. Эти углы условились счи-
считать положительными в том случае, если для наблюдателей, смотря-
смотрящих соответственно с положительных концов осей 01, ON и Oz, эти уг-
углы представляются отложенными от осей 01, ОС и ON в сторону, про-
противоположную вращению часовой стрелки.
Поясним теперь, как можно найти положение подвижной системы
координат относительно неподвижной, если заданы все углы Эйлера.
Глава Х1П. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку 377
Посредством трех последовательных независимых поворотов тела:
на угол ф вокруг оси ОС, затем на угол б вокруг оси ON и, наконец,
на угол <р вокруг оси Oz— можно подвижную систему координат Oxyz,
совмещенную первоначально с неподвижной OiiqC, перевести в положе-
положение, указанное на рис. 238. В самом деле, совершим поворот прямо-
прямоугольной системы Oltf, вокруг оси ОС на угол ф, тогда получим систему
OiV%C (рис.239) .Далее, совершая поворот прямоугольной системы ОЛ^С
вокруг оси ON на угол G, получим систему ONf\2z. Наконец, поворачи-
поворачивая прямоугольную систему ONt\2z вокруг оси Oz на угол <р, получим
подвижную систему координат Oxyz.
1/1/
Рис. 239
Таким образом, действительно, с помощью трех независимых друг
от друга углов Эйлера положение подвижной системы координат отно-
относительно неподвижной, а следовательно, и положение твердого тела,
с которым подвижная система неизменно связана, определяется пол-
полностью. Отсюда мы видим, что твердое тело, совершающее сферическое
движение, имеет три обобщенные координаты (ф, 6 и <р) и, следователь-
следовательно, оно имеет три степени свободы.
Если твердое тело совершает движение вокруг неподвижной точки,
то углы Эйлера ф, б и 9 непрерывно изменяются, т. е. являются неко-
некоторыми функциями времени t
= Л @;
= hit).
A)
При этом функции Д@> /г@ и /з@ Должны быть однозначными, непре-
непрерывными и дифференцируемы, по крайней мере, дважды. Если эти
функции известны, то положение твердого тела, имеющего одну не-
неподвижную точку, будет известно для любого момента времени. Поэ-
Поэтому уравнения A) вполне определяют движение тела вокруг непод-
378 Раздел II. Кинематика
вижной точки и называются уравнениями движения твердого тела
вокруг неподвижной точки или уравнениями сферического движения
твердого тела.
Пусть в момент времени t тело занимает положение, определяемое
углами Эйлера f 6 и ?, а в момент t+At приходит в положение, оп-
определяемое углами ф+Д<]>, 9+Д6 и <р+Д<р- Следовательно, за промежу-
промежуток времени Д^ тело повернулось вокруг оси ОС на угол Дф, вокруг оси
ON — на угол Дб и вокруг оси Oz — на угол Д<р. Тогда отношения
Дф Д6 Дф
д/• дТ и At ДаДУт значения средних угловых скоростей поворотов
вокруг соответствующих осей. Переходя к пределу при М-^0, получаем
lim 41 = 4f = *:
д^о д< dt
Ai 4V в;
lim
^4f p.
д,_>0 м dt т.
где ф, б и <р имеют следующие наименования: Ф — угловая скорость
прецессии, 6 — угловая скорость нутации и ср — угловая скорость
собственного вращения в данный момент времени t. Эти угловые ско-
скорости могут быть изображены в виде векторов i, 6 и <р, направленных
по соответствующим осям поворота ОС, ON и Oz (см. рис. 238).
Таким образом, мы видим, что элементарное перемещение тела,
имеющего одну неподвижную точку, слагается из элементарных по-
поворотов вокруг осей ОС, ON и Oz с угловыми скоростями ф, 6 и <р-
2. Теорема Эйлера — Даламбера. Выше было установлено, что пере-
перемещение тела, имеющего одну неподвижную точку, из одного положе-
положения в другое осуществляется путем трех последовательных независи-
независимых поворотов вокруг соответствующих осей. Однако можно доказать,
что такое перемещение можно осуществить не тремя поворотами, а
одним поворотом вокруг оси, выбранной надлежащим образом. Чтобы
это представить себе, докажем следующую теорему Эйлера — Да-
Даламбера: всякое перемещение твердого тела, имеющего одну неподвиж-
неподвижную точку О, из одного положения в другое можно осуществить одним
поворотом этого тела вокруг оси, проходящей через точку О.
Опишем вокруг точки О сферу (а) таким радиусом, чтобы эта сфера
пересекла тело. Тогда сечение тела сферой будет некоторой сфери-
сферической фигурой (S), расположенной на поверхности сферы и ограни-
ограниченной некоторым контуром (рис. 240). Проведем диаметральную пло-
плоскость сферы, тогда след этой плоскости на сферической фигуре (S)
будет дугой большого круга. Выберем на этой дуге две точки А и В.
Глава XIII. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку 379
Рис. 240
Задание положения этих точек на сфере, или, что то же, задание ду-
дуги АВ, вполне определяет положение сферической фигуры (S), а сле-
следовательно, и положение тела относительно неподвижной системы
координат Olrf,. Каждому положению дуги АВ на неподвижной сфере
(а) будет соответствовать единственное и вполне определенное поло-
положение сферической фигуры
E), а следовательно, и поло- z-\
жение тела. Таким образом,
мы привели изучение движе-
движения твердого тела вокруг не-
неподвижной точки О к изуче-
изучению движения дуги АВ по
поверхности неподвижной
сферы (а). Отсюда следует, что
мы пришли к задаче, вполне
аналогичной той задаче, к
которой сводилось изучение
плоскопараллельного движе-
движения твердого тела, с той толь-
только разницей, что вместо рас-
рассмотрения движения прямоли-
прямолинейного отрезка на неподвиж-
неподвижной плоскости мы в настоящем случае должны рассматривать движе-
движение дуги большого круга по неподвижной сфере. Поэтому теорема Эй-
Эйлера — Даламбера для сферического движения доказывается так же,
как и теорема Бернулли—Шаля для плоскопараллельного движения.
Пусть в данный момент времени t положение сферической фи-
фигуры (S), а следовательно, и тела, имеющего одну неподвижную точ-
точку О, определяется дугой большого круга АВ (рис. 241), а по истечении
— дугой АХВХ.
Если мы покажем, что дугу
АВ можно совместить с дугой
АХВХ одним поворотом вокруг
некоторой оси, проходящей че-
через неподвижную точку О, то
теорема Эйлера — Даламбера
будет доказана.
Соединим точку Л с ее конеч-
конечным положением Ахи точку В
соответственно с точкой Вх ду-
дугами больших кругов АА1кВВх.
Из середин М и N этих дуг
Рис. 241 восставим перпендикулярные к
промежутка времени
380 Раздел II. Кинематика
ним дуги больших кругов до пересечения в точке С.
Соединим точку С дугами больших кругов с точками Л и В, а так-
также с точками Аг и Blt т. е. образуем два сферических треугольника
ABC и АуВуС с общей вершиной С. Легко видеть, что полученные
треугольники ABC и АуВуС, лежащие на сфере, равны в силу ра-
равенства соответственных сторон. В самом деле, АВ=А1В1 в силу
неизменяемости сферической фигуры E), АС=АХС , а также ВС=
= Bfi по построению точки С, лежащей на высотах, восставленных
соответственно из середин оснований ААг и ВВу сферических треу-
треугольников ААХС и ВВуС. Из равенства треугольников ABC и АлВуС
следует, что у них углы при вершине С равны^ЛС5 = ^:Л1СВ1, или
АААССА поэтому
у = ^ ВСВХ = Да.
Если повернуть дугу АВ (а вместе с нею и тело) вокруг оси ОС
на угол АСА-у, то дуга АВ совместится с дугой А фу, т. е. тело перей-
перейдет из первого положения во второе, что и доказывает теорему Эйле-
Эйлера — Даламбера.
Ось ОС, вокруг которой поворачивают тело на угол АСАХ, чтобы
перевести его из первого положения во второе, называют осью конеч-
конечного вращения, так как поворот тела происходит на конечный угол.
3. Мгновенная ось вращения и мгновенная угловая скорость. Оче-
Очевидно, что перевод твердого тела, имеющего одну неподвижную точку,
из одного положения, соответствующего моменту ;*, в другое положение,
соответствующее моменту t+M, одним поворотом вокруг оси конечно-
конечного вращения на угол Да, вообще не представляет действительного пе-
перемещения этого тела. Однако чем меньше будет промежуток времени
М, тем, перемещение, совершаемое поворотом вокруг оси на угол Да,
будет ближе к действительному перемещению тела.
При приближении At к нулю второе положение твердого тела при-
приближается к первому, а вместе с тем ось конечного вращения ОС при-
приближается к некоторому предельному положению ОР, которое назы-
называется мгновенной осью вращения тела.
Мгновенная ось вращения представляет собой геометрическое
место точек тела, скорости которых в данный момент равны нулю.
Таким образом, при движении тела, имеющего одну неподвижную
точку, в каждый данный момент существует мгновенная ось вращения,
проходящая через эту неподвижную точку. Поворотом вокруг этой
оси на бесконечно малый угол тело перемещается из данного положе-
положения в положение соседнее, бесконечно близкое к данному. Угловая
скорость ш = Ит ? B)
Глава XIII. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку 381
с которой совершается этот поворот, представляет собой мгновен-
мгновенную угловую скорость тела, имеющего одну неподвижную точку.
При этом следует иметь в виду, что количество Пгпт-^ не равно
производной от угла а по времени /, так как при движении твердого
тела вокруг неподвижной точки такого угла не существует. Следова-
Следовательно, угловую скорость тела, имеющего одну неподвижную точку,
уже нельзя, как раньше, определять производной от некоторого угла
по времени. Поэтому мгновенная угловая скорость ш должна быть
задана в функции времени непосредственно. Эту угловую скорость
можно изобразить в виде соответствующего вектора ш, направленного
вдоль мгновенной оси вращения ОР так, чтобы наблюдатель, смотря-
смотрящий с конца вектора ш, видел вращение тела происходящим против
движения часовой стрелки.
4. Подвижные и неподвижные аксоиды. Положение мгновенной
оси вращения не остается неизменным: в различные моменты времени
эта ось занимает различные положения как в неподвижной системе
отсчета О|т)С, так и в подвижной системе отсчета Oxyz, неизменно свя-
связанной с телом, движущимся вокруг неподвижной точки. Геометри-
Геометрическое место положений мгновенных осей вращения относительно
неподвижной системы отсчета представляет собой коническую поверх-
поверхность с вершиной в неподвижной точке. Геометрическое место поло-
положений мгновенных осей вращения относительно подвижной системы
отсчета, неизменно связанной с движущимся телом, также представля-
представляет собой коническую поверхность с вершиной в неподвижной точке.
Эти поверхности носят название аксоидов соответственно неподвиж-
неподвижного и подвижного.
Подвижный и неподвижный аксоиды образованы перемещением
одной и той же прямой — мгновенной оси вращения ОР, — значит,
в каждый момент времени они
касаются друг друга вдоль этой подвижный
общей образующей ОР (рис. 242). . \ксоиа
Так как скорости точек тела,
лежащих на мгновенной оси вра-
вращения ОР, в данный момент
равны нулю, то подвижный
аксоид при движении тела вок-
вокруг неподвижной точки катится °с
без скольжения по неподвижно- \неподйишный аксоид
му аксоиду.
Принципиальное значение
этих выводов заключается в том,
что любое движение тела вокруг неподвижной точки можно осущест-
осуществить, если катить без скольжения подвижный аксоид, неизменно свя-
связанный с движущимся телом, по неподвижному так, чтобы в каждый
момент была осуществлена такая угловая скорость этого качения,
382
Раздел II. Кинематика
которая воспроизводит угловую скорость действительного движения
тела. Если оба аксоида суть прямые круглые конусы, то в этом случае
движение твердого тела вокруг неподвижной точки называется пре-
прецессионным, или прецессией. Прецессионное движение есть частный слу-
случай движения твердого тела вокруг неподвижной точки.
5. Скорости точек твердого тела, имеющего одну неподвижную
точку. Если мгновенная угловая скрость ш задана в функции време-
времени, то легко определить скорость какой-либо точки М тела, вращаю-
вращающегося вокруг неподвижной
с точки, по формуле B4, § 65)
v = со X г, C)
где г — радиус-вектор точ-
точки М.
Здесь можно обосновать
справедливость формулы C)
для случая движения твердо-
твердого тела вокруг неподвижной
точки.
Рассмотрим перемещение
этого тела вокруг неподвиж-
неподвижной точки О за промежуток
времени Д^ (рис. 243).
Пусть точка М тела
(на рис. 243 тело не показа-
показано) за этот промежуток вре-
времени переместилась в положение Мх, определяемое радиусом-век-
радиусом-вектором гг. Пользуясь теоремой Эйлера — Даламбера, построим ось
конечного вращения ОС, направление которой задано единичным век-
вектором /.° При этом перемещение тела из первого заданного положения
во второе можно осуществить одним поворотом на угол Да вокруг оси ОС.
Проведем плоскость, перпендикулярную оси ОС и проходящую че-
через вектор Дг=Г!—г. Тогда положение точек М и Мг можно опреде-
определить с помощью векторов р и plt модули которых равны между собой.
Из рис. 243 видно, что вектор рх может быть представлен в виде
геометрической суммы двух векторов а и Ъ, т. е. рг = а + Ь, из ко-
которых первый направлен по вектору р, а второй перпендикулярен
вектору р. Эти векторы (а и Ь) можно выразить через вектор р и
угол поворота Да:
а = р cos Да;
Ь = l°X p sinДа.
Рис. 243
Глава XIII. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку 383
Первая из этих формул не требует пояснений, а вторая может быть
проверена. Вектор b перпендикулярен к векторам 1° и р, а поэтому мо-
может быть представлен в виде их векторного произведения. Но модуль
этого вектора равен psinAa, где учтено, что pi==p. Этим и объясняется
присутствие множителя sinAa при векторном произведении /° Хр.
Таким образом, имеем
р! = р cos A a -\- 1° X р sin A a.
Замечая, что рх=р+Др и Др=Дг , найдем
Дг с= ( cos Да— 1 ) р + / °Xpsin Да,
или
.— г,— . „ Да . - -г° — . Да Да
А/- =—2рsin2-к-+ 2 / xpsincos
Чтобы определить скорость точки М, надо умножить и поделить
второе слагаемое правой части этого равенства на Да, а затем поделить
обе части этого равенства на М и перейти к пределу при Д<^-0, т. е.
Да Да
— ДУ — S*nS ~T S'n ~2~ /Да— ° —\ Да
u=lim -т-т"=—2р lim —д-т— +Мт Да lim I ^у / х р |lim cos -g-.
Но
Да
sin
lim -т-j- = <в; hm т = 1; lim/ =
lim
sin
Да_
2 „ ,. Да
Отсюда очевидно, что
v = ^-=шХр'=шх"г • D)
Заметим, что формула D), определяющая скорость произвольной
точки тела в данный момент была нами получена при условии \r\ ~
=const, а поэтому она дает выражение производной от любого
вектора г, модуль которого постоянен.
Вектор скорости v точки М можно проектировать как на непод-
неподвижные, так и на подвижные координатные оси. Представляя правую
часть формулы D) в виде определителя, получим
i } k
v =
384 Раздел П. Кинематика
ь (о,| и о>с — проекции вектора угловой скорости тела на непод-
неподвижные оси O?vjC, a E, т) и С— проекции на те же оси радиуса-вектора
г точки УИ, т. е. координаты точки М. Раскрывая определитель, полу-
получим проекции вектора скорости v точки М на неподвижные оси 01,
О-ц и ОС
С;
E)
Если угловая скорость ш известна как функция времени, то ш^, ш,,
и (ос также известны для любого момента времени. Тогда по формулам
E) мы можем определить проекции vt. , v^u vt; скорости у любой точки
тела на неподвижные координатные оси, а затем определить модуль и
направление этой скорости.
Если проекции вектора ш на подвижные координатные оси обозна-
обозначить через <ох, шу и шг, а проекции радиуса-вектора г на те же оси — че-
через х, у, z, то мы получим подобно предыдущему проекции скорости
любой точки тела на подвижные координатные оси
vx = (oyz~ыгу; |
оу = югх — (о^г; F)
vz = <лх у — (ву х, J
где х, у и 2 — величины постоянные, так как положение точки М от-
относительно осей Охг/2, неизменно связанных с движущимся телом,
с течением времени не изменяется.
Формулы E) и F) называются формулами Эйлера.
Если мы возьмем какую-либо точку тела, лежащую в данный мо-
момент на мгновенной оси вращения, то радиус-вектор г этой точки и век-
вектор угловой скорости о> тела будут направлены по одной прямой,
а поэтому векторное произведение этих векторов равно нулю, т. е.
ы X 7 => 0.] G)
Так оно и должно быть, поскольку скорости всех точек тела, лежа-
лежащих на мгновенной оси вращения, в данный момент равны нулю.
Уравнение G), следовательно, представляет собой уравнение мгно-
мгновенной оси вращения.
Проектируя векторное уравнение G) на неподвижные координат-
координатные оси, получим уравнения мгновенной оси вращения в неподвижной
системе отсчета
J-=-^ = -L.. (8)
Глава XIII. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку 385
Аналогично уравнениям (8) мы получаем и уравнения мгновенной
оси вращения в подвижной системе отсчета
JL = JL = _?_ . (9)
Юх СОу СО, '
Мгновенное угловое ускорение тела. При сферическом движении
тела положение мгновенной оси вращения со временем изменяется,
а следовательно, изменяется не только модуль, но и направление
вектора угловой скорости тела. При этом производная от вектора мгно-
мгновенной угловой скорости по времени равна вектору мгновенного уг-
углового ускорения тела, т. е.
— 1. Д со d со /in\
е = lim - = . (Ю)
д^о At dt
Так как при вращении твердого тела вокруг неподвижной точки
вектор со изменяется с течением времени не только по модулю, но и
по направлению, то направление вектора (
е не совпадает с направлением вектора со.
Направление вектора мгновенного уг-
углового ускорения е надо выяснять в каж- L-_~— ¦¦» :~f'f
дом конкретном случае, построив годограф
вектора со, т. е. траекторию, описываемую
концом вектора со. По смыслу векторной
Годограф со
производной вектор s-=—n направлен по
касательной к годографу вектора со в соот-
соответствующей точке (рис. 244)*.
Вектор е можно проектировать как на
неподвижные, так и на подвижные коор-
координатные оси.
Из равенства A0) .следует, что проекции Рис. 244
вектора мгновенного углового ускорения
s на неподвижные оси равны производным по времени от соответст-
соответствующих проекций вектора мгновенной угловой скорости со на те же
оси, т. е.
/ dсо \ _ • _(а* ) _<;, . Р —(j*]l.) nn
h - \-dTh ~ ^ п ~ \ dTh ч ' ес ~ \dTk • U }
Что касается проекций вектора е на подвижные координатные оси,
неизменно связанные с движущимся вокруг неподвижной точки телом,
то будут иметь место аналогичные формулы:
Ег = Ш2. A2)
еу = "У-
* По модулю и по направлению вектор е, очевидно, совпадает с линейной
скоростью конца вектора ш по его годографу. Вектор г мы будем откладывать
от неподвижкой точки О тела (рис 244).
26 Н. Ф. Сахарный
386
Раздел II. Кинематика
Однако справедливость этих формул необходимо обосновать. Для
этого прежде всего найдем производные по времени от единичных век-
векторов i, j, k подвижных координатных осей, равные скоростям концов
этих векторов. По формуле D) можем написать
di — т- d i ¦— -г dk
A3)
Учитывая эти формулы, будем иметь
do,
dt
— di
dt
dt
1 d* (
таккак u)-(coX0=0. и аналогично для других проекций, что и доказы-
доказывает справедливость формул A2).
Покажем теперь способ
определения вектора s для
того случая, когда вектор ш
изменяется только по направ-
направлению. Годографом вектора
и> в этом случае является ок-
окружность, а следовательно,
аксоидами будут прямые круг-
круглые конусы (рис. 245).
Обозначим через ш1 угло-
угловую скорость, с которой при
движении тела подвижный
аксоид вращается вокруг оси
О А неподвижного аксоида.
Для определения вектора
мгновенного углового уско-
ускорения евоспользуемся опре-
определением s как линейной скорости движения конца вектора мгновенной
угловой скорости № по его годографу. В данном случае вследствие
постоянства модуля вектора ш искомая скорость конца вектора и> оп-
определится как скорость точки с радиусом-вектором о> тела, вращаю-
вращающегося с угловой скоростью шъ т. е.
Рис. 245
? =z=
dt
= ш, X ш.
A4)
Глава XIII. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку 387
7. Ускорения точек твердого тела, имеющего одну неподвижную
точку. Ускорение точки М тела, имеющего одну неподвижную точку,
легко найти, продифференцировав равенство D) по времени,
или
dv
dT
w =
— — dr
dv
dt
A5)
Таким образом, мы видим, что для тела, имеющего одну неподвиж-
неподвижную точку, ускорение его любой точки в данный момент слагается
из двух составляющих: eXr=tti1 и ш X v = w2.
Первое слагаемое
щ = Тх7 A6)
называется вращательным ускорением точки М и направлено перпен-
перпендикулярно к плоскости, проходящей через мгновенное угловое ускоре-
ускорение s тела и радиус-вектор г
точки М так, что с конца век-
вектора wx кратчайший поворот от
е к г виден совершающимся
против движения часовой стрел-
стрелки (рис. 246). В отличие от слу-
случая вращения тела вокруг непо-
неподвижной оси вектор s не лежит
на той же прямой, что и вектор
со, а направлен по касательной
к годографу вектора ш в соот-
соответствующей точке. Поэтому
здесь вектор хюх перпендикуля-
перпендикулярен не радиусу вращения hm,
представляющему собой крат-
кратчайшее расстояние точки М от
мгновенной оси вращения, а от-
отрезку /ге , представляющему со-
собой кратчайшее расстояние точки М от той прямой, вдоль которой от
точки О отложен вектор е. По модулю вращательное ускорение wt
равно
Wi^zh,, A7)
где
\\\\\\\*\у\
Рис. 246
ht = r sin ^ (см. рис. 246).
26*
388 Раздел II. Кинематика
Второе слагаемое
w^uxv A8)
называется осестремительным ускорением точки М и направлено к
оси мгновенного вращения. Оно направлено перпендикулярно к плос-
плоскости, проходящей через о и v, так, что с конца вектора w2 кратчай-
кратчайший поворот от о) к обиден совершающимся против движения часовой
стрелки. По модулю осестремительное ускорение щ равно
йу2 = со v sin 90° => со v => со2 ha , A9)
так как модуль скорости v точки М равен (см. рис. 246)
v — со г sin 7 = со ha . B0)
Модуль вектора ускорения w точки М как диагонали параллело-
параллелограмма ускорений можно определить по формуле
w=V w\ + w\-\- 2ш1ш2соэ \wlt wj ,
У h%2 + h\ш4 + 2he Ншecu2 cos [щ, w2) .
или
a) =
Вектор ускорения w любой точки М тела, имеющего одну непод-
неподвижную точку, можно проектировать как на неподвижные, так и на
подвижные координатные оси.
Проекция вектора ускорения w на подвижную координатную ось
Ох
" _ dx dvx _ d , .
^му . dz d<az dy .
Подставляя вместо vz и vy значения из равенств F) и прибавляя
к правой части {+шхх) и (—ш2хх), получим окончательное значение
wx по формуле
Iff = х = е,,2 — е,11 4~ ш г (*со„ 4- Wcou 4" 2ш.) — JCOJ,
при выводе которой было учтено, что <% 4- coy 4- = oj2.
Глава XIII. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку 389
Путем круговой перестановки букв получим аналогичные формулы
и для двух других проекций (wy и wz). Таким образом, находим следую-
следующие формулы:
= x = syz~ егу
= у = s:x
Wz = Z = еху —- еуХ
(хшх
ушу -f
2ш2.
B1)
По этим формулам нетрудно вычислить проекции ускорения w на под-
подвижные координатные оси и затем определить модуль и направление
этого ускорения.
Аналогичным путем можно вывести формулы и для проекций уско-
ускорения w на неподвижные координатные оси:
= С = г? 7) —
B2)
8. Связь вектора мгновенной угловой скорости с эйлеровыми уг-
углами. Покажем, как вычисляется вектор мгновенной угловой скорости
ш по заданным уравнениям движения тела A).
Выше нами было установлено, что движение твердого тела вокруг
неподвижной точки можно рассматривать в каждый момент времени
как простое вращение вокруг мгновенной оси вращения, проходящей
через эту точку, с мгновенной угловой скоростью ш.
С другой стороны, это движение
твердого тела можно рассматри-
рассматривать как составное движение, сос-
состоящее из трех вращательных дви-
движений вокруг трех осей: 1) непод-
неподвижной оси ОС, называемой осью
прецессии, с угловой скоростью ф,
2) линии узлов ON с угловой ско-
скоростью 6 и 3) подвижной оси Oz, на-
называемой осью собственного вра-
вращения, с угловой скоростью 9
(рис. 247).
Относительное движение пред-
представляет собой вращение вокруг оси
Т^к
Рис. 247
390
Раздел II. Кинематика
Oz с угловой скоростью ср, первое переносное — вращение вокруг оси
ON с угловой скоростью 0, второе переносное — вращение вокруг оси
ОС с угловой скоростью ф •
Возьмем в движущемся теле какую-нибудь точку М (на рис. 247
тело и его точка М не показаны) и, используя формулу D), найдем
ее абсолютную скорость
Va=~^X~OM- B3)
Так как движение точки М также можно рассматривать как со-
ставное движение, то, используя формулу D), по теореме сложения
линейных скоростей получаем
X ОМ + <|> X ОМ,
или
+<?)Х0М.
Из формул B3) и B4) следует, что
B4)
B5)
Найдем теперь проекции мгновенной угловой скорости и> на подвиж-
подвижные координатные оси Oxyz.
Проектируя векторное равенство B5) на подвижные координатные
оси, находим
= (Ф), + (в), + (?),;
B6)
Для нахождения проекций вектора ф проведем в плоскости Оху
ось OL, перпендикулярную линии узлов ON (рис. 247). Очевидно, что
~^LOy=f и при этом оси Oz, ОС и OL лежат в одной плоскости.
Из рассмотрения рис. 247 следует, что
D»)ж = 4» sin б sin ср; (ф)у = ф sin 0 cos ср; (ф)^. = ф cos 6;
F), = 6 cos с?; @)у = - 8 sin ср; F)г = 0;
B7)
Глава XIII. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку 391
Из формул B6) и B7) непосредственно находим проекции вектора
ш на подвижные координатные оси
= <]> sin 6 sin cp + б cos cp;
= ф sin 6 cos cp — б sin cp;
= cp 4- ф cos 6.
B8)
Уравнения B8) называются кинематическими уравнениями Эйлера.
Проектируя равенство B5) на неподвижные оси координат Oirf,,
мы точно так же найдем проекции вектора ш на эти оси
ш? = cp sin 6 sin <]> + 6 соз ф;
co,j = — cp sin 0 cos <]> + 6 sin ([>;
со = cp COS 6 -\- ф.
B9)
Полученные формулы B8) и B9) позволяют определять модуль и
направление вектора мгновенной угловой скорости о>. Модуль вектора
ш будет равен
СО =
= У
4- 2 4- 2 —
б2 + 2ф <р cos 0
C0)
Направление вектора ш получим, вычислив его направляющие ко-
косинусы с осями координат. Так как
то, дифференцируя формулы B8) по времени, можно вычислить проек-
проекции вектора мгновенного углового ускорения е через углы Эйлера.
Модуль вектора е будет равен
C1)
Направление вектора е также определяется через его направляю-
направляющие косинусы с осями координат.
Таким образом, мы видим, что при помощи углов Эйлера можно
для любого момента времени определить угловую скорость и угловое
392
Раздел II. Кинематика
ускорение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, а также
скорость и ускорение любой его точки.
Задача 65. Круглый конус с образующей, равной 40 см, катится без
скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости; при этом
вершина О конуса остается неподвижной, а центр его основания опи-
описывает окружность, расположенную в горизонтальной плоскости, в
течение 4 сек (рис. 248). Определить векторы to и е, а также скорости
и ускорения точек А и В основания конуса, если угол при вершине
равен 60°.
Решение. Решим эту задачу, пользуясь формулами, определяю-
определяющими движение твердого тела с одной неподвижной точкой.
Рис. 248
В данном случае неподвижной точкой будет точка О, т. е. вершина
конуса.
Прежде всего определим положение мгновенной оси вращения и
мгновенную угловую скорость. Точки конуса, лежащие на линии ОА,
должны иметь такие же скорости, как и точки неподвижной горизон-
горизонтальной плоскости, так как по ней конус катится без скольжения.
Следовательно, скорости этих точек равны нулю и линия ОА являет-
является мгновенной осью вращения конуса. Вектор мгновенной угловой
скорости («направлен по линии ОА.
Так как мгновенная ось вращения ОР во все время движения ос-
остается в горизонтальной плоскости, то неподвижным аксоидом яв-
является эта плоскость; подвижным же аксоидом является боковая по-
поверхность рассматриваемого конуса.
Если из точки С опустить перпендикуляр ССг на мгновенную ось
вращения, то ССг есть мгновенный радиус вращения точки С, а по-
поэтому имеем
vc = u>«CClF
(а)
Глава XIII. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку 393
ССХ = ОС sin 30° = 4" ОС = 4- ОЛ cos 30° =
где
rr - пг в;„ чп° - __ ^ _ _
= 10
При движении центра основания конуса С по окружности радиуса
СО1 = ОС2 = ОС cos 30° = О A cos2 30° = 40 ~ = 30 см
скорость его
ос = С01-о»1 = 30-0,5 w = 15ic-^-f (б)
где учтено, что ш1 = -^- = 0,5те есть угловая скорость, с кото-
рой вектор со вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через
точку О.
Из формул (а) и (б) следует, что
= 15я,
откуда модуль вектора ш будет равен
Уз 1
Так как w=const, то годограф вектора м есть окружность, описан-
описанная в указанной выше горизонтальной плоскости из центра О радиу-
радиусом, равным си. Поэтому вектор е имеет направление касательной к
этой окружности, а следовательно, этот вектор перпендикулярен
к вектору <в; направление е показано на рис. 248.
Рассматривая вектор е как скорость конца вектора ш и зная,
что вектор <о вращается с угловой скоростью ш1 вокруг вертикальной
оси, проходящей через точку О, найдем модуль вектора s
|7| = |^1х"ш| = (о1ш= 0,5и-0,5|/"те = 0,
Так как точка А лежит на мгновенной оси вращения, то ее скорость
va равна нулю, т. е. va =0. Если из точки В опустим перпендику-
перпендикуляр BBX на мгновенную ось вращения, то ВВХ есть мгновенный радиус
вращения точки В, а поэтому модуль vb скорости vb точки В равен
vR =BB1-© 2CC1 20Vrj30ic
в х х ' 2 сек
25 Н, Ф, Сахарный
394 Раздел II. Кинематика
Определив мгновенную угловую скорость ш и мгновенное угловое
ускорение е конуса, найдем теперь искомые ускорения точек А и В.
Так как точка А лежит на мгновенной оси вращения, то ее осестреми-
тельное ускорение равно нулю, т. е. аУ2л=0, а вращательное ускорение
следовательно, полное ускорение точки А
wA = wlA = s X ОА.
При этом вектор wa направлен перпендикулярно к горизонтальной
плоскости, как показано на рис. 248, а модуль этого вектора равен
w. =е-ОЛ = 0,25УЗ u2-40 = 101/3 тс2 т .
л ' сек*
Найдем теперь ускорение точки В. Осестремительное ускорение
точки В направлено по мгновенному радиусу вращения этой точки;
модуль этого ускорения равен
2в 1 ! '4 ' сек2
Вращательное ускорение точки В лежит в плоскости ОВВХ и пер-
перпендикулярно к образующей ОВ, как показано на рис. 248; модуль
этого ускорения равен
w
= 05-е =40-0,251/3 *2= ЮТ/3 и2- см
Полное ускорение хюв точки В изобразится диагональю параллело-
параллелограмма, построенного на векторах w/в и w2b- Так как угол между век-
векторами Wib и w2b равен 180°— 60°, то по теореме косинусов находим мо-
модуль полного ускорения точки В
*b + wIb - 2www2B c°s60° = 5
§76. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
1. Уравнения движения свободного твердого тела в общем случае
его движения. Рассмотрев частные случаи движения твердого тела,
перейдем к изучению самого общего случая движения свободного твер-
твердого тела, т. е. такого тела, которое может совершать любое переме-
перемещение в пространстве. Пусть данное свободное твердое тело каким-то
Глава XIII. Общий случай движения свободного, твердого тела
395
имеющую начало в том же
t
образом перемещается относительно неподвижной системы координат
Oxxyz (рис. 249).
Возьмем какую-нибудь точку О рассматриваемого твердого тела и
назовем ее полюсом. Построим теперь неизменно связанную с этим
телом прямоугольную систему координат Ox'y'z', имеющую начало
в полюсе О. Кроме того, построим не связанную неизменно с телом
прямоугольную систему координат
полюсе О и перемещающуюся
поступательно вместе с полю-
полюсом О. Очевидно, что задание
положения системы коорди-
координат Ox'y'z' относительно не-
неподвижной системы отсчета
Oxxyz эквивалентно заданию
положения рассматриваемого
тела относительно той же си-
системы отсчета. Но положение
системы координат Ox'y'z' от-
относительно неподвижной сис-
системы отсчета Oxxyz можно
задать, указав положение
подвижного начала О, т. е.
координаты х0, у о и z0 полю-
полюса О и положение системы
координат Ox'y'z' относитель-
относительно системы координат О^С,
оси которой 01, От\ и ОС параллельны неподвижным осям 0хх и Оху и
Oxz. Как было установлено в § 75, положение системы координат
Ox'y'z' относительно системы О?т(С может быть определено тремя угла-
углами Эйлера: ф, 6 и 9- Отсюда следует, что положение свободного твер-
твердого тела относительно неподвижной системы отсчета Oxxyz определя-
определяется шестью обобщенными координатами: х0, уо , Zo, ф, 6 и «р. Поэтому
свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы.
При движении тела все эти обобщенные координаты, изменяясь
с течением времени, являются однозначными, непрерывными и, по
крайней мере, дважды дифференцируемыми функциями времени t,
т. е.
Рис. 249
A)
Уравнения A), однозначно определяющие положение данного твер-
твердого тела относительно неподвижной системы отсчета для любого мо-
момента времени, называются уравнениями движения свободного твердо'
го тела в общем случае его движения.
25*
396 Раздел II. Кинематика
Первые три из уравнений A) определяют поступательное движение
системы координат Olrf, вместе с полюсом О (переносное движение тела).
Это движение характеризуется векторами скорости v0 и ускорения wo
полюса О. Если эти уравнения движения заданы, то модуль и на-
направление вектора vo, а также и вектора wo, могут быть определены
по формулам, выведенным в § 59.
Последние три из уравнений A) определяют движение тела отно-
относительно системы координат O^tf (относительное движение тела),
т. е. движение тела вокруг полюса О, который занимает в этой под-
подвижной системе координат неизменное положение. Это относительное
сферическое движение таково, что в каждый данный момент существу-
существует проходящая через полюс О мгновенная ось вращения ОР, вокруг
которой тело вращается с некоторой мгновенной угловой скоростью ш
и с мгновенным угловым ускорением е. Если последние три из урав-
уравнений A) заданы, то модуль и направление вектора ш, а также и век-
вектора е могут быть определены по формулам, выведенным в § 75.
Отсюда мы приходим к следующему заключению: в общем случае
движения при одновременном изменении всех шести обобщенных коор-
координат хо, у о, z о, ф, S и (р движение свободного твердого тела слагается
из поступательного движения, определяемого движением полюса О, и
движения вокруг этого полюса О.
Такой вывод можно получить и из чисто геометрических сообра-
соображений. Для этого докажем следующую теорему: всякое перемещение
свободного твердого тела из одного положения в другое можно осуще-
осуществить поступательным перемещением, равным перемещению полюса
О, и одним поворотом тела вокруг некоторой оси, проходящей через
этот полюс. Доказательство этой теоремы легко получить из рассмот-
рассмотрения рис. 249.
Предположим, что оси Ох', Оу' и Oz', неизменно связанные с телом,
совпадали сначала с осями Оххуг. Прежде всего переместим эти оси,
не меняя их направления, так, чтобы начало совпало с полюсом О,
а затем повернем вокруг некоторой оси, проходящей через этот полюс
(по теореме Эйлера—Даламбера это всегда возможно), до совпаде-
совпадения с тем положением, которое изображено на рис. 249. Вместе с ося-
осями и тело совершит поступательное перемещение и поворот.
Доказанная теорема справедлива и для конечных и для бесконеч-
бесконечно малых перемещений. Отсюда вытекает сделанный ранее вывод о
разложении движения свободного твердого тела в общем случае на
переносное поступательное движение вместе с полюсом О и относитель-
относительное сферическое движение вокруг мгновенной оси вращения ОР,
проходящей через этот полюс*.
* С таким общим случаем движения твердого тела мы встречаемся, напри-
например, при изучении движения самолета, проделывающего фигуры высшего пило-
пилотажа, при полете артиллерийского снаряда и т. д.
Глава XIII. Общий случай движения свободного твердого тела
397'
Мгновенная ось вращения ОР изменяет свое положение при дви-
движении тела, оставляя след в виде конуса, и в движущемся теле и в
поступательно движущейся системе отсчета ОЁ^С.Эти два конуса имеют
общую вершину О и в каждый данный момент касаются вдоль общей
образующей, по которой на-
направлен вектор мгновенной
угловой скорости ш.
Отсюда можно сделать
вывод, что движение свобод-
свободного твердого тела в общем
случае можно представить
как качение без скольжения
одного конуса, неизменно свя-
связанного с этим телом, по
другому, который движется
поступательно.
2. Скорости точек свобод-
свободного твердого тела в общем
случае его движения. Напом-
Напомним, что радиус-вектор гм,
определяющий положение ка- р „50
кой-либо точки М тела по
отношению к неподвижной
системе отсчета Oxxyz, можно представить в виде векторной суммы
двух радиусов-векторов (рис. 250)
гм^
B)
Радиус-вектор г0 определяет положение полюса О по отношению к
неподвижной системе отсчета Oxxyz, а радиус-вектор рм определяет по-
положение точки М по отношению к подвижной системе осей Ox'y'z''. Так
как расстояния между точками твердого тела не меняются, то радиус-
вектор рм сохраняет свой модуль и изменяется только по направлению.
Припоминая, что скорость точки М всегда равна производной от
радиуса-вектора гм этой точки по времени, и используя векторное ра-
равенство B), получим после его дифференцирования по времени t
C)
Здесь
ГМ = VM'
398 Раздел II. Кинематика
а производная рм может быть определена по формуле D, § 75)
так как радиус-вектор рм изменяется только по направлению.
Подставляя значения производных г0 и рм в векторное равенство
C), получим окончательно
или
где »«о = шХРм-
Таким образом, скорость какой-либо точки М свободного твердого
тела в общем случае равна векторной сумме двух скоростей: поступа-
поступательной скорости, равной скорости v0 полюса О тела, и вращательной
скорости vMo точки М, получаемой от вращательного движения тела
вокруг полюса О, т. е. вокруг мгновенной оси вращгния, проходящей
через этот полюс.
Докажем следующую теорему: при любом движении свободного твер-
твердого тела проекции скоростей каких-либо двух его точек на направле-
направление прямой, соединяющей эти точки, алгебраически равны между собой
(см. рис. 250).
Действительно, проектируя векторное равенство D') на направле-
направление радиуса-вектора рм, получим
пР-ом К) = пР-ом ("о + ^мо) = пР-<ш &о) + и?-ом Ко)-
Но вектор vMo перпендикулярен к радиусу-вектору рМ; поэтому его
проекция на направление радиуса-вектора рм равна нулю. Окончатель-
Окончательно получаем, что
т. е. проекции векторов %и v0 на направление прямой ОМ равны
между собой.
3. Независимость вектора мгновенной угловой скорости тела от выбо-
выбора полюса. Используя формулу D), докажем, что ни моду ль,ни направле-
направление вектора мгновенной угловой скорости ш относительного сферического
Глава XIII. Общий случай движения свободного твердого тела
399
движения тела вокруг мгновенной оси вращгния, проходящей через по-
полюс, не зависят от выбора этого полюса.
Выберем в теле два полюса О и О', и соответствующие им мгновен
ные угловые скорости обозначим через ш и ш1 (рис. 251).
Рис. 251
Пусть точка М является произвольной точкой тела. Тогда, поль-
пользуясь формулой D), можно записать
им = vo
х
Сравнивая первое равенство со вторым и подставляя в полученный
результат равенство третье, получим
V + ">i X О'О + ш X ОУИ = v0, + ш1 х О'М.
i
Отбрасывая одинаковые слагаемые в обеих частях этого равенства,
получим
т1 х О'О + «> X ОМ = («! X О'УИ,
или
ш X ОМ = с»! X О'М — свх X О'О.
400 Раздел II. Кинематика
Так как О'О = — 00', то
со х ОМ = шх X 00' + coj х О'М = шх X @0' + О'М) = Ш1х ОМ,
или (со — cox) х ОМ = 0.
Это равенство справедливо при любом значении ОМ, а поэтому
ш—и>х=0, или
что и требовалось доказать.
Следовательно, мы можем представить скорость любой точки тела
с одинаковым правом следующим образом:
VM = VO + Ш Х 0М>
Vu = Vn, + "> X О'М,
где уо и vo-, а также ОМ и О'М, конечно, различны.
Дифференцируя по времени равенство шх= со, получаем
dt dt
или sx = е,
т. е. вектор мгновенного углового ускорения твердого тела также
не зависит от выбора полюса.
4. Мгновенная винтовая ось и мгновенное винтовое движение.
Основными кинематическими характеристиками произвольного дви-
движения свободного твердого тела, как мы знаем, являются его посту-
поступательная скорость v0, равная скорости произвольно выбранного по-
полюса О, мгновенная угловая скорость ш и мгновенное угловое ускоре-
ускорение S.
Поставим себе целью отыскать такой полюс А, чтобы скорость его
va и мгновенная угловая скорость ш тела были параллельны. Для этого
проведем через полюс.О плоскость П1г перпендикулярную к вектору
со, и разложим вектор v0 на две составляющие, из которых одна (v^
совпадает с направлением вектора со, а другая (v2) перпендикулярна к
нему (рис. 252). При этом вектор v2 расположен в пересечении плос-
плоскости Ях с плоскостью Я2, проходящей через векторы оо и ш.
Восставим из точки О или из какой-нибудь другой точки, лежащей
на мгновенной оси вращения ОР, перпендикуляр к плоскости П%
и отложим на этом перпендикуляре от точки О отрезок О А, равный
Глава XIII. Общий случай движения свободного твердого тела
401
Тогда скорость точки А вследствие поступательного движения тела со
скоростью о2 и вращательного вокруг мгновенной оси вращения ОР
с мгновенной угловой скоростью ш будет равна
v* = v2 + со X О А = v2 + v
АО •
Легко видеть, что скорости v% и vao направлены по одной прямой в
противоположные стороны, причем
"АО
= ОА-ш = ^- со = Vi,
Рис. 252
а поэтому скорость va * точки А от указанных двух движений тела рав-
равна нулю и, следовательно, точка А будет обладать лишь скоростью
va — Щ, направленной вдоль оси L, параллельной в данный момент
мгновенной оси вращения ОР или вектору ш. Очевидно, что все точки
оси L будут обладать тем же свойством, что и точка А.
Отсюда следует, что данное кинематическое состояние тела может
быть представлено или совокупностью мгновенных векторов v0 и си,
образующих между собой некоторый угол а=^=90°, или совокупностью
коллинеарных мгновенных векторов va и ш. Мы можем поэтому произ-
произвольное движение свободного твердого тела в каждый момент времени
представить разложенным на поступательное движение со скоростью
va , направленной вдоль некоторой оси L, и на вращательное движе-
движение вокруг этой оси с угловой скоростью со. Эта совокупность поступа-
поступательного движения и вращательного вокруг оси L, параллельной на-
402 Раздел П. Кинематика
правлению поступательного движения, называется мгновенным вин-
винтовым движением. При этом ось L, вокруг которой тело в данный мо-
момент времени поворачивается и параллельно которой оно перемещает-
перемещается поступательно, называется мгновенной осью вращения-скольже-
вращения-скольжения, или мгновенной винтовой осью.
Таким образом, произвольное движение свободного твердого тела
можно рассматривать как мгновенное винтовое движение около мгно-
мгновенной винтовой оси.
При движении свободного твердого тела мгновенная винтовая ось
меняет свое положение и в неподвижной системе отсчета и относитель-
относительно этого тела. Вследствие непрерывности движения геометрическое
место мгновенных винтовых осей, отнесенное как к неподвижной систе-
системе отсчета, так и к движущемуся телу, будет представлять собой ли-
линейчатую поверхность.
Геометрическое место мгновенных винтовых осей, отнесенное к
движущемуся телу, будет подвижным аксоидом. Геометрическое место
этих же осей, отнесенное к неподвижной системе отсчета, будет пред-
представлять собой неподвижный аксоид. Эти аксоиды в каждый момент
движения тела будут касаться друг друга по общей образующей, яв-
являющейся для данного момента мгновенной винтовой осью.
Таким образом, в самом общем случае движение свободного твер-
твердого тела можно осуществить посредством качения со скольжением
Вдоль мгновенной винтовой оси подвижного аксоида, неизменно свя-
связанного с движущимся телом, по неподвижному аксоиду.
5. Ускорение точек свободного твердого тела в общем случае его
движения. Для определения ускорений точек свободного твердого
тела в общем случае его движения продифференцируем векторное ра-
равенство D) по времени. Тогда получим
Так как
и
= имо
то после подстановки этих значений в равенство F'), получим
Сравнивая полученное выражение с равенством A5, § 75), мы при-
приходим к заключению, что сумма ?Хрм-{-шХимо представляет собой ту
Глава XIV. Составное движение точки в общем случае
403
часть полного ускорения wM, которая обусловлена вращательным
движением свободного твердого тела вокруг полюса О. Будем поэтому
сумму
G)
"мо
называть вращательным ускорением.
Формулу F) теперь можно сокращенно представить в виде
"мо ¦
(8)
Таким образом, ускорение какой-либо точки М свободного твердого
тела в общем случае равно векторной сумме двух ускорений: ускорения
поступательного, равного ускорению w0 полюса О тела, и вращатель-
вращательного ускорения wM0 точки М, получаемого от вращательного дви-
движения тела вокруг полюса О, т. е. вокруг мгновенной оси вращения, про-
проходящей через этот полюс.
Глава XIV
СОСТАВНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
§ 77. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ В СЛУЧАЕ,
КОГДА ПЕРЕНОСНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЯВЛЯЕТСЯ ПРОИЗВОЛЬНЫМ
В главе XI уже было рассмотрено составное движение точки и
доказаны теоремы сложения скоростей и сложения ускорений для того
частного случая, когда переносное движение, т. е. движение подвижной
системы отсчета, является посту-
поступательным. Сохраняя обозначения
и терминологию главы XI и поль-
пользуясь изложенной в главе XIII ки-
кинематикой твердого тела, докажем
теперь теоремы сложения скоростей
и сложения ускорения для случая,
когда переносное движение являет-
является произвольным.
Пусть некоторая точка М со-
совершает движение по отношению
к системе отсчета Oxyz, которая са-
сама движется произвольным образом
по отношению к неподвижной систе-
системе отсчета O^tjC (рис. 253). Поло-
Положение подвижной системы отсчета
может быть определено, если
Рис.
404 Раздел //. Кинематика
задать положение точки О радиусом-вектором г0, проведенным из на-
начала неподвижной системы отсчета, и направления единичных векто-
векторов i, у, k подвижных осей Ох, Оу и Oz. Произвольное переносное
движение подвижной системы отсчета слагается из поступательного
движения со скоростью Vo точки О и движения вокруг мгновенной оси
вращения ОР, проходящей через точку О, с мгновенной угловой ско-
скоростью (V Вследствие переносного движения подвижной системы от-
отсчета радиус-вектор г0 и направления единичных векторов i, у, k из-
изменяются. Если векторы го , i, у, k заданы в функции времени, то пере-
переносное движение подвижной системы отсчета вполне определено.
Положение точки М по отношению к подвижной системе отсчета
можно определить радиусом-вектором рм
где координаты х, у, z точки М изменяются с течением времени вслед-
вследствие движения точки М относительно подвижной системы отсчета.
Если радиус-вектор рм задан в функции времени, то и относительное
движение точки М, т. е. движение этой точки относительно подвижной
системы отсчета, задано.
Положение точки М относительно неподвижной системы отсчета
O^rf, может быть определено радиусом-вектором гм. Из рис. 253 видно,
что
гм =~го^ГРм = го + х1 + У~} + гЬ- (!)
Если относительные координаты х, у, z точки М и векторы r0 , iy
у, k определены в функции времени, то слагающееся из относительного
и переносного движений составное движение точки М, т. е. движение
этой точки по "отношению к неподвижной системе отсчета, также надо
считать заданным. 4
Скорость составного движения точки М, или абсолютная скорость
этой точки, равна, очевидно, производной от радиуса-вектора Гм точ-
точки М по времени t
dt
Поэтому, дифференцируя равенство A) по времени U получим
at at dt dt
B)
Разобьем слагаемые в правой части этого равенства на две группы
по следующему признаку.
Глава XIV. Составное движение точки в общем случае 405
К первой группе отнесем те слагаемые, которые содержат произ-
производные только от относительных координат х, у и z, а ко второй — те
слагаемые, которые содержат производные от векторов r0, i, j, k,
т. е. от величин, изменяющихся только вследствие переносного движе-
движения подвижной системы отсчета
^ = xl+ у] + гЪ; C)
AL + uAL лzAL D)
X
x
L + uAL л-zAL
dt ^ У dt + dt
Каждая из групп слагаемых, обозначенных через vr и ve, представ-
представляет собой, по крайней мере, по размерности некоторую скорость. Вы-
Выясним физический смысл скоростей vr и ve.
Скорость vr, как это следует из равенства C), вычисляется в пред-
предположении, что изменяются только относительные координаты х, у,
2точки М, но векторы ro,i, j, k остаются постоянными, т. е. подвижная
система отсчета Oxyz как бы условно считается неподвижной. Поэтому
скорость vr представляет собой относительную скорость точки М.
Скорость ve вычисляется так, как будто бы точка М не двигалась
относительно подвижной системы отсчета, так как производные х,
у, z в равенство D) не входят. Поэтому скорость ve представляет собой
переносную скорость точки М.
Итак,
Это. равенство выражает теорему сложения скоростей в случае,
¦когда переносное движение является произвольным: абсолютная ско-
скорость точки М равна геометрической сумме переносной и относитель-
относительной скоростей этой точки.
Отсюда мы видим, что абсолютная скорость точки М в случае,
когда переносное движение является произвольным, определяется так
же, как и при поступательном переносном движении (см. гл. XI).
§78. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ УСКОРЕНИЙ В СЛУЧАЕ,
КОГДА ПЕРЕНОСНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЯВЛЯЕТСЯ ПРОИЗВОЛЬНЫМ
Ускорение составного движения точки М, или абсолютное уско-
ускорение этой точки, равно, очевидно, производной от абсолютной скорости
точки М по времени t
' -.-¦§¦•
406 Раздел II. Кинематика
Поэтому, дифференцируя равенство B, § 77) по времени, получим
A)
Разделим слагаемые правой части этого равенства на три группы.
К первой группе отнесем слагаемые, содержащие только производ-
производные от относительных координат х, у и г, но не содержащие производ-
производных от векторов r0 , i, j, k, т. е.
wr = xl+ y]+z~k. B)
Ко второй группе отнесем слагаемые, которые содержат только
производные от векторов r0 , i, j, k, но не содержащие производных
от относительных координат х, у, z, т. е.
Осталась еще одна группа слагаемых, которые не могли быть от-
отнесены ни к первой, ни ко второй группе, так как они содержат произ-
производные от всех переменных х, у, z, i, j, k. Обозначим эту группу сла-
слагаемых через wK :
dt ' * dt ' dt
Каждая из выделенных групп представляет собой, по крайней ме-
мере по размерности, некоторое ускорение. Выясним физический смысл
всех трех ускорений: wr , we , wK .
Ускорение wr , как это видно из равенства B), вычисляется так,
как если бы относительные координаты х, у, z изменялись с течением
времени, а векторы r0 , i, j, k оставались неизменными, т. е. подвижная
система отсчета Oxyz как бы покоилась, а точка М двигалась. Поэтому
ускорение wT представляет собой относительное ускорение точки М.
Так как ускорение (и скорость) относительного движения вычисляется
в предположении, что подвижная система отсчета находится в покое,
то для определения относительного ускорения (и скорости) можно
пользоваться всеми правилами, изложенными ранее в кинематике
точки.
Ускорение we , как это видно из равенства C), вычисляется в пред-
предположении, что сама точка М покоится по отношению к подвижной
системе отсчета Oxyz (x=const, i/=const, z=const) и перемещается
Глава XIV. Составное движение точки в общем случае 407
вместе с этой системой отсчета по отношению к неподвижной системе
отсчета O^rf,. Поэтому ускорение we представляет собой переносное
ускорение точки М. Так как подвижная система отсчета движется в об-
общем случае как свободное твердое тело, то ускорение (и скорость) пе-
переносного движения вычисляется по правилам, изложенным в кинема-
кинематике свободного твердого тела (см. гл. XIII).
Третья группа слагаемых определяет ускорение wK, которое не
может быть отнесено ни к относительному ускорению wr, так как со-
содержит в своем выражении производные-^, ^ , -^ , ни к переносному
ускорению we, так как содержит в своем выражении производные
х, у, z.
Преобразуем правую часть равенства D), припомнив, что
di — .,— dj -— .— йЪ '—.. т~
dt --e"*> dt
Подставляя эти значения производных в равенство D), получим
wK = 2 К X хТ+ ueXyj +~пе X г k),
или
wK = 2(oex (xi + yj + zk).
Здесь вектор xi-\-yj-\-zk есть относительная скорость vr точки М,
поэтому
wK = 2^eX~vr. E)
Ускорение wK называют ускорением Кориолиса*. Ввиду того что
ускорение Кориолиса появляется в случае вращения подвижной си-
системы отсчета, его называют еще поворотным ускорением.
С физической точки зрения появление поворотного ускорения точ-
точки объясняется взаимным влиянием переносного и относительного
движений.
Итак, поворотное ускорение точки равно по модулю и направлению
удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного дви-
движения на относительную скорость точки.
Равенство A), которое теперь можно сокращенно записать в виде
* Густав Кориолис — французский ученый, живший в первой половине
XIX в. A792—1843).
408 Раздел II. Кинематика
представляет теорему сложения ускорений в случае, когда переносное
движение является произвольным: абсолютное ускорение точки равно
векторной сумме переносного, относительного и поворотного ускоре-
ускорений. Эту теорему часто называют теоремой Кориолиса.
Из формулы E) следует, что модуль поворотного ускорения будет
WK — 2 (o^sina, G)
где a — угол между вектором <ае и вектором vr. Чтобы определить
направление поворотного ускорения дак, нужно мысленно перенести
вектор ше в точку М и руководствоваться правилом векторной алгебры.
Согласно этому правилу, вектор wK нужно направлять перпендикуляр-
перпендикулярно к плоскости, определяемой векторами ше и vr, и так, чтобы, смотря
с конца вектора wK, наблюдатель мог видеть
кратчайший поворот от ше к vr происходящим
против движения часовой стрелки (рис. 254).
Для определения направления wK можно так-
также пользоваться следующим правилом Н. Е. Жу-
Жуковского: чтобы получить направление поворот-
поворотного ускорения wK, достаточно составляющую v±
относительной скорости vr точки М, перпенди-
перпендикулярную к вектору &е, повернуть (в плоскости,
перпендикулярной к вектору юе) на прямой угол
вокруг точки М в направлении переносного вра-
Рис 254 щения (рис- 254)-
Если переносное движение подвижной систе-
системы отсчета есть поступательное движение, то
<ие=0 и поэтому поворотное ускорение wK точки также равно нулю.
Поворотное ускорение равно, очевидно, нулю и в том случае, когда
сое в данный момент времени обращается в нуль.
Кроме того, поворотное ускорение точки может, очевидно, обращать-
обращаться в нуль, если:
а) вектор относительной скорости vT точки параллелен вектору уг-
угловой скорости we переносного вращения, т. е относительное движение
точки происходит по направлению, параллельному оси переносного
вращения;
б) точка не имеет движения относительно подвижной системы от-
отсчета или относительная скорость vr точки в данный момент времени
равна нулю (vr=0).
Глава XIV. Составное движение точки в общем случае 409
§79. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Чаще всего в задачах на определение абсолютного ускорения точки
М в ее составном движении встречается случай, когда переносное дви-
движение является вращением вокруг некоторой неподвижной оси. Ре-
Решение этих задач сводится к определению векторов wr, we, wK и нахож-
нахождению их векторной суммы. Для определения ускорений wr, we и wK
необходимо знать положение движущейся точки М на ее относительной
траектории и относительную скорость vr этой точки, а также угловую
скорость шг и угловое ускорение ве переносного вращения. Если век-
векторы vr, ше и ве не заданы, то их нужно предварительно определить из
условий решаемой задачи.
Затем следует изобразить положение движущейся точки М в рассмат-
рассматриваемый момент времени и построить векторы vr и ше.
Для определения относительного ускорения wr точки М следует
мысленно остановить вращение подвижной системы отсчета и подсчи-
подсчитать ускорение точки в ее относительном движении, пользуясь форму-
формулами главы XIII. Если относительное движение точки М задано коор-
кнатным способом, то vr и wr вычисляются по формулам § 59. Если же
нам известна траектория криволинейного относительного движения
точки М, то wr будет определяться как векторная сумма касательной и
нормальной составляющих ш,т и wTn, которые вычисляются по фор-
формулам § 60, т. е.
где ог — радиус кривизны относительной траектории точки М.
Для определения переносного ускорения we точки М надо вычис-
вычислить абсолютное ускорение той неизменно связанной с подвижной си-
системой отсчета точки, с которой в данный момент совпадает движущая-
движущаяся точка М. При этом we будет определяться как векторная сумма ка-
касательной и нормальной составляющих weT и we", которые вычисляют-
вычисляются по формулам § 65, т. е.
w'e=hse; и)« = /гоJ.,
где h — расстояние точки М от оси вращения в рассматриваемый мо-
момент времени.
Поворотное ускорение wK точки М определяется по формулам E
и 7, § 78).
После вычисления векторов wr, we и wK их надо изобразить на чер-
чертеже.
410 Раздел II. Кинематика
Абсолютное ускорение wa точки М определяется по формуле F,
§ 78), которая, очевидно, примет теперь следующий вид:
wa = w\ + wne + wTr + wnr + wK. A)
В общем случае, когда векторы we—wex +wen,wr=--wrx -\-wrn и wK
не взаимно перпендикулярны и не направлены по одной прямой и,
следовательно, сумму входящих в правую часть равенства A) векторов
трудно найти геометрически, следует для определения ускорения wa
применить метод проекций. Для этого необходимо построить прямоу-
прямоугольную систему осей Mxyz с началом в точке М и вычислить проек-
проекции всех слагаемых векторов we, wr и wK на эти оси. Тогда
B)
Зная wax, way и waz, находим модуль абсолютного ускорения wa
точки М
wax =
way —
waz =
WeX-\
T
Wey '
-Ufex-
|_ П
4- a^rtf ¦
- avz-f
f wKX;
+ wKy;
wa = Vwix+wly+wiz C)
и направляющие косинусы вектора wa с выбранными осями коор-
координат
<-лА Wax
cos \wa, i\= -?- ¦
1 Л N
cos wa, i =
Задача 66. Ползун М движется вдоль прямолинейной кулисы О А
от О к Л с постоянной скоростью vr=u, а сама кулиса равномерно вра-
вращается вокруг оси О против движения часовой стрелки с угловой
скоростью со (рис. 255). Определить абсолютную скорость и абсолют-
абсолютное ускорение ползуна М в тот момент, когда 0М=1.
Решение. Движение ползуна М будем рассматривать как со-
составное, в котором движение ползуна вдоль кулисы является относи-
Глава XIV. Составное движение точки в общем случае 411
тельным движением, а вращательное движение кулисы — переносным.
Поэтому относительная скорость vr ползуна равна заданной величине
и, т. е.
Переносная скорость ve ползуна М равна той точке кулисы, с ко-
которой в данный момент совпадает ползун М, т. е.
при этом вектор ve направлен перпендикулярно к кулисе О А.
Складывая геометрически скорости vr и ve, найдем абсолютную
скорость va ползуна М
Так как вектор va есть диагональ прямоугольника, построенного
на векторах vr и ve, то модуль искомой абсолютной скорости va ползу-
ползуна будет равен
Относительное ускорение wr ползуна М в данном случае равно
нулю (шг=0), так как ползун М движется вдоль кулисы равномерно
и прямолинейно.
Так как переносное движение есть равномерное вращение, то пере-
переносное ускорение we ползуна М, равное ускорению той точки кулисы,
412 Раздел II. Кинематика
с которой в данный момент совпадает ползун М, равно центростреми-
центростремительному ускорению и направлено к точке О, т. е.
we = ^:OM = co2/.
Поворотное ускорение wK ползуна легко найти по формуле
wK = 2 ш х и;
при этом вектор wK перпендикулярен одновременно и к угловой ско-
скорости со и к относительной скорости и и ориентирован так, как показа-
показано на рис. 255. Замечая, что вектор ш перпендикулярен к вектору и,
получим для модуля вектора wK следующее значение:
wK = 2 ю и.
Окончательно для абсолютного ускорения wa ползуна М будем
иметь
wa = — со2 ~ОМ + 2^> X п~-
Так как вектор wa есть диагональ прямоугольника, построенного
на векторах we и wK, то модуль искомого абсолютного ускорения wa
ползуна будет равен
Полагая, что l=ut, найдем
va = и ]Л
Задача 67. Тело движется вдоль меридиана с юга на север посту-
поступательно с постоянной по модулю скоростью vr=u (рис. 256). Опреде-
Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение тела, когда оно
находится в северном полушарии на широте <р, предполагая, что уг-
угловая скорость Земли постоянна и равна ш. Радиус Земли равен R.
Решение. Пренебрегая размерами тела, рассматриваем его как
точку М.
Так как Земля вращается с запада на восток, то вектор угловой
скорости со Земли будет направлен по оси Земли с юга на север.
Глава XIV. Составное движение точки в общем случае
413
Движение точки М будем рассматривать как составное, в котором
движение точки по поверхности Земли является относительным дви-
движением, а вращательное движение Земли — переносным движением.
Поэтому относительная скорость vr точки М равна заданной величине
и, т. е.
vr = и; vr = и.
z(t)
Рис. 256
Переносная скорость ve точки М равна скорости той точки поверхно-
поверхности Земли, с которой в данный момент совпадает точка М, т. е.
~ve = ш' X ОМ,
при этом модуль вектора ve равен
ve = MOj • со = R ш cos <э,
где M0t — радиус параллели.
Для определения абсолютной скорости va точки построим векторы
vr и ve (рис. 256, а) и сложим их геометрически. Тогда
va = и + из х ОМ.
Следовательно, модуль абсолютной скорости точки М может быть
определен из следующего равенства:
va = У и2 + со2 Rz cos2 ср.
Относительное ускорение wr точки М направлено к центру Земли,
так как точка М движется по меридиану равномерно; оно по модулю
равно
r
wr = =
R
R
414 Раздел //. Кинематика
Переносное ускорение we точки М направлено по радиусу парал-
параллели к оси вращения Земли; оно может быть определено по формуле
e ^ ¦ си2 = Е> си2 cos ср.
Направление поворотного ускорения wK точки М находим по пра-
правилу векторного произведения. Так как
wK = 2 <u X vr = 2 ш X и,
то поворотное ускорение wK перпендикулярно к плоскости, проходя-
проходящей через векторы ш и vr. Следовательно, вектор wK направлен по ка-
касательной к параллели на запад.
Модуль поворотного ускорения легко вычислить, имея в виду, что
угол между векторами ш и vr равен <р. Следовательно,
wK = 2 со и sin cp.
Для определения абсолютного ускорения wa точки М построим
пучок векторов we, wr и wK (рис. 256, б) и сложим их геометрически.
Тогда
wa — we + wr + ^к-
Проектируя это векторное равенство на оси Ох, Оу и Oz, направлен-
направленные как указано на рис. 256, б, получим проекции вектора wa на эти
оси:
wlcx = 0 + 0 + 2vr (о sin cp = 2иш sin cp;
-^-) COS cp;
о
waz = wez + wrz + wKZ = 0 — -— sin cp -f- 0 = sin cp.
Таким образом, зная wax, way и waz, получим модуль искомого аб-
абсолютного ускорения хюа точки М
Wa = YKx + <У + Кг =
= ]/ Dи2ш2+ |i) sin2 c
Глава XIV. Составное движение точки в общем случае
415
По найденным трем проекциям абсолютного ускорения wa нетрудно
определить и направление вектора wa.
Задача 68. Полое кольцо радиуса г жестко соединено с валом АВ
и вращается вокруг оси этого вала, расположенной в плоскости коль-
кольца и отстоящей от центра кольца на расстоянии 2г. Внутри кольца
движется жидкость в на-
направлении, указанном на
рис. 257 стрелкой, с посто-
постоянной по модулю скоростью
vr=u. Вал вращается по
направлению движения ча- ш
совой стрелки, если смо-
смотреть по оси вала от Л к В.
Определить модули абсо-
абсолютных ускорений частиц
жидкости, расположенных
в точках /, 2, 3 я 4, если
угловая скорость вращения
вала постоянная и равна со.
Решение. По усло-
условию задачи каждая частица
жидкости совершает состав-
составное движение, складываю-
складывающееся из переносного вра-
вращательного движения коль-
кольца вокруг оси вала АВ и относительного движения частицы жидкости
по отношению к кольцу.
Так как переносное движение является вращательным, то возника-
возникает поворотное ускорение wK и абсолютное ускорение частицы должно
находиться из равенства
wa = we + wr + wK.
Определим каждое слагаемое правой части этого векторного равен-
равенства в отдельности.
В рассматриваемом случае переносное движение представляет со-
собой равномерное вращение (w=const) вокруг неподвижной оси вала
АВ. Поэтому переносное ускорение we каждой частицы жидкости
будет равно только нормальному ускорению
^ Ш/УМ
Рис. 257
и, следовательно, будет направлено по радиусу вращения частицы
вокруг оси вала АВ. Модуль переносного ускорения we каждой части-
частицы жидкости зависит от ее кратчайшего расстояния до оси вала АВ.
416
Раздел II. Кинематика
Так как относительная скорость vr=u постоянна по модулю, то
относительное ускорение wr каждой частицы жидкости будет равно
только нормальному ускорению
и, следовательно, будет направлено к центру кольца. При этом модуль
относительного ускорения wr каждой частицы жидкости будет равен
Поворотное ускорение wK будет определяться по формуле
wK = 2 со X vr = 2 со X и.
При этом вектор шк перпендикулярен к плоскости кольца, а его модуль
зависит от выбора частицы жидкости.
Рассмотрим различные точки кольца.
Для точки 1. В этом случае будем иметь
хюе = w" = со2 г;
Я U2
Wr = Wr = — .
При этом поворотное ускорение wK равно нулю, так как в точке пер-
первой относительная скорость vr частицы жидкости параллельна угловой
скорости со переносного вращения. Поэтому для определения абсолют-
абсолютного ускорения wa этой частицы получаем формулу
Так как векторы we и wr направлены по одной прямой в противополож-
противоположные стороны, то модуль вектора wa будет равен
we
wr
we — wr
и*
г
Для точек 2 и 4. В этом случае
w = W" = 2г со2;
wr = wr = —
Глава XV. Составное движение твердого тела 417
Поворотное ускорение по модулю и по направлению равно
wK = 2w X и,
но так как во второй и в четвертой точках относительная скорость vr=
=и частиц жидкости перпендикулярна угловой скорости ш переносного
вращения, то модуль вектора хюк будет равен
wK = 2 ш«.
K
При этом вектор wK во второй точке перпендикулярен к плоскости коль-
кольца и направлен из-за чертежа, а в четвертой точке этот вектор также
перпендикулярен к плоскости кольца, но направлен на чертеж.
Так как ускорения we, wr и wK взаимно перпендикулярны, то во
второй и четвертой точках модуль абсолютного ускорения wa частицы
жидкости равен
2 + W2 -f- W2_ =
Для точки 3. Аналогично первой точке для третьей точки имеем
we = 3 cu2 г; wr = ¦—¦; wK = 0,
а также
wa = We + wr
Но так как векторы we и wr направлены по одной прямой в одну сто-
сторону, то модуль вектора wa будет равен
Глава XV
СОСТАВНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§80. ПОНЯТИЕ СОСТАВНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
В ряде случаев движение твердого тела относительно системы от-
отсчета, условно принимаемой за неподвижную, удобно рассматривать
как движение составное, слагающееся из двух движений: относитель-
относительного, т. е. движения тела по отношению к некоторой подвижной
системе отсчета, и переносного — движения тела вместе с подвижной
системой отсчета по отношению к неподвижной.
28 Н. Ф. Сахарный
418
Раздел II. Кинематика
В настоящей главе рассматривается задача, аналогичная той, ко-
которая была рассмотрена в предыдущей главе, а именно: зная относи-
относительное и переносное движения твердого тела, найти его составное дви-
движение. При этом нужно иметь в виду, что содержание этой главы имеет
целью найти для данного момента распределение скоростей точек тела,
соответствующее составному движению при различных частных пред-
предположениях о характере переносного и относительного движений в тот
же момент.
В зависимости от характера переносного и относительного движений
твердого тела задача определения мгновенного распределения скоростей
точек тела, т. е. определения мгновенного составного движения этого
тела, сводится к задаче сложения или поступательных движений, или
вращательных движений, или вращательного и поступательного дви-
движений.
Рассмотрим сначала сложение поступательных движений твер-
твердого тела.
§81. ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
Пусть твердое тело движется поступательно со скоростью v1 по
отношению к системе отсчета Oxyz, которая в свою очередь движется
поступательно со скоростью v% по отношению к неподвижной системе
отсчета O^rf, (рис. 258). Требуется
определить абсолютное, или состав-
составное, движение тела, т. е. движение
этого тела по отношению к системе
отсчета O^rf,.
Так как относительное движе-
движение тела — поступательное, то отно-
относительные скорости vT всех точек
тела одинаковы и равны vlt т. е.
~vT=~v1.
Рис. 258
Переносные скорости ve всех то-
точек тела также равны между собой,
так как переносное движение —
поступательное и, следовательно,
Но абсолютная скорость va какой-нибудь точки М тела по теореме
сложения скоростей определяется" равенством
= Ve
Глава XV. Составное движение твердого тела
419
Отсюда следует, что
va = vi
A)
т. е. абсолютные скорости всех точек тела равны между собой.
Таким образом, мы приходим к следующей теореме: если относитель-
относительное и переносное движения являются поступательными, то составное
движение тела есть также поступательное, причем скорость этого
составного поступательного движения равна геометрической сумме
скоростей относительного и переносного движений.
Если тело одновременно имеет п поступательных движений со
скоростями vlt v2 vn, то, складывая сначала две скорости, потом
полученную скорость с третьей и т. д., можно показать, что составное
движение будет также поступательным, а скорость любой точки тела
будет равна:
п
(=1
B)
§ 82. ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ВОКРУГ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ОСЕЙ
Пусть какое-либо твердое тело вращается в данный момент вокруг
некоторой оси Oz с угловой скоростью шх ( рис. 259), а ось Oz в свою
очередь вращается вместе с телом вокруг пересекающейся с ней в точ-
точке О неподвижной оси ОС с угловой скоростью со2-
Вращательное движение тела вокруг подвижной оси Oz будет
относительным движением, а вращательное движение самой оси Ог
вместе с телом вокруг неподвижной оси ОС—
переносным движением*. В результате этих
двух вращательных движений тело получа-
получает относительно неподвижной системы от-
отсчета О?т|С какое-то мгновенное составное
движение, которое и требуется определить.
Точка О, в которой пересекаются оси
Oz и ОС, остается при движении тела не-
неподвижной. Следовательно, с кинематичес-
кинематической точки зрения задача о движении твер-
твердого тела вокруг пересекающихся осей
эквивалентна задаче о движении твердого
тела вокруг неподвижной точки О. Рис. 259
* Предположим, что относительное и переносное вращения тела проис-
происходят в данный момент против движения часовой стрелки; доказываемая теорема
будет справедлива при любом направлении каждого из данных вращений,
28*
420 Раздел II. Кинематика
Покажем, что скорость точки А тела, совпадающей с вершиной па-
параллелограмма ОАВС, построенного на векторах u>t и ш2, в данный
момент времени равна нулю.
Скорость точки А по теореме о сложении скоростей может быть
определена из следующего равенства:
~vA = п>х X ОЛ~+ ш X ОА~,
так как точка А получает от вращения с угловой скоростью относитель-
относительную скорость vr=wtx0A, а от вращения с угловой скоростью <о2—
переносную скорость ve=to2XOA.
Модули скоростей ve и vr одинаковы, так как они равны, очевидно,
удвоенным площадям равных треугольников, на которые параллело-
параллелограмм ОВАС разделяется диагональю. Как легко видеть, по направле-
направлению оба эти слагаемые прямо противоположны, т. е. vr=—ve. Поэтому
скорость точки А, так же как и скорость точки О, в данный момент вре-
времени равна нулю, а следовательно, прямая ОА в этот момент времени
является мгновенной осью вращения ОР тела в его составном дви-
движении. Таким образом, составное движение тела есть мгновенное вра-
вращение вокруг мгновенной оси ОР, проходящей через точку О.
Определив направление мгновенной оси вращения ОР, найдем
теперь мгновенную угловую скорость составного вращения. С этой
целью рассмотрим относительную и переносную скорости произволь-
произвольной точки М тела; из рис. 259 находим
vr = с»! X г; v.e = и, х г,
Отсюда по теореме о сложении скоростей следует, что абсолютная ско-
скорость va точки М определится из равенства
va = vr + ve = К + о>2) X г. A)
Если обозначить через и> мгновенную угловую скорость тела в
его составном движении, т. е. абсолютную угловую скорость этого
тела, то абсолютная скорость той же точки М может быть определена
из равенства
Сравнивая соотношения A) и B), получим
или
(с» — ш,, — ш2) х г — 0.
Глава XV. Составное движение твердого тела
421
Отсюда в силу произвольности радиуса-вектора г следует, что
Ш COj (О2 = О,
или
ш=ш, + ^2. C)
Таким образом, мы приходим к следующей теореме: если твердое
тело одновременно участвует в двух вращательных движениях вокруг
осей, пересекающихся в одной точке О. то составное движение тела бу-
будет мгновенным вращением вокруг мгновенной оси, проходящей через
точку О, причем мгновенная угловая скорость этого вращения равна
геометрической сумме составляющих угловых скоростей. Совершенно
ясно, что если твердое тело одновременно участвует в любом конечном
числе вращений вокруг мгновенных осей, пересекающихся в данной
точке О, с угловыми скоростями wlt u>2, ..., шп, то составное движение
будет в данный момент также вращением вокруг мгновенной оси, про-
проходящей через точку О, с мгновенной угловой скоростью
Ш = (Dj -f-
D)
Сложение вращений вокруг пересекающихся осей можно осущест-
осуществить, например, на приборе, изображенном на рис. 260. Вообразим
диск радиуса R, вращающийся с угловой скоростью toj вокруг гори-
горизонтальной оси О}О2, которая в свою очередь вращается с угловой
скоростью ш2 вокруг вертикальной оси. Тогда точка М диска получит
согласно вышеизложенному скорость vM=u>xR, как бы происходя-
происходящую от вращения точки М вок-
вокруг мгновенной оси ОР с угло-
угловой скоростью u)=u)j4-uJ.
Из доказанной теоремы, как
мы теперь видим, следует, что
угловые скорости подчиняются-
основному требованию, которо-
которому должна удовлетворять вся-
всякая векторная величина, а имен-
именно: эти скорости складываются
по правилу геометрического сло-
сложения. Поэтому угловая ско-
скорость тела есть действительно
векторная величина. Как было Рис. 260
422
Раздел П. Кинематика
указано в § 64, вектор скорости поступательного движения тела мож-
можно переносить в любую точку этого тела, т. е. скорость поступатель-
поступательного движения есть вектор свободный, вектор же угловой скорости
связан с осью вращения и является вектором скользящим*.
Задача 69. Коническое колесо радиуса г обегает пять раз в минуту
окружность радиуса R—2 г с центром в точке О, причем ось этого ко-
колеса проходит через центр окружности (рис. 261). Вычислить угловую
скорость шг вращения колеса вокруг его оси и угловую скорость вра-
вращения вокруг мгновенной оси.
Рис. 261
Решение. Предположим для определенности, что колесо обе-
обегает окружность радиуса R против движения часовой стрелки, если
смотреть с положительного конца вертикальной оси ОС.
Движение колеса можно рассматривать как составное, слагающее-
слагающееся из относительного вращения вокруг подвижной оси Ог с угловой
скоростью u)r и переносного вращения колеса (вместе с его подвиж-
подвижной осью Ог) вокруг неподвижной вертикальной оси ОС с угловой
скоростью ше. Данные два вращения колеса вокруг осей Ог и ОС, пе-
пересекающихся в точке О, можно заменить одним вращением вокруг
некоторой мгновенной оси с мгновенной угловой скоростью и>, опреде-
определяемой равенством C):
Вследствие отсутствия скольжения точка А колеса, так же как и
точка О, будет в данный момент неподвижной по отношению к непод-
неподвижной плоскости, на которой происходит качение колеса, и, следо-
* За точку приложения вектора угловой скорости можно брать любую
точку на оси вращения тела»
Глава XV. Составное движение твердого тела 423
вательно, в этот момент образующая О А есть мгновенная ось вращения
ОР колеса.
Из условия задачи находим модуль переносной угловой скорости
71 Пе те-5 те 1
Изобразим эту угловую скорость вектором ше, направленным вдоль
оси вращения ОС и притом так, чтобы, смотря с конца этого вектора,
мы видели переносное вращение совершающимся против движения ча-
часовой стрелки. Так как с положительного конца оси ОС мы видим это
вращение направленным против движения часовой стрелки, то вектор
ше нужно отложить по оси ОС в положительную сторону.
Нетрудно видеть, что при вращении оси Oz вокруг оси ОС против
часовой стрелки (если смотреть с положительного конца оси) колесо бу-
будет иметь относительное вращение вокруг своей оси Oz по часовой стрел-
стрелке (если смотреть с положительного конца оси Oz). Следовательно,
вектор относительной угловой скорости ш, (модуль которого нам еще
не известен) будет направлен по оси Oz в отрицательную сторону.
Вектор абсолютной угловой скорости ш (модуль которого нам также
неизвестен) должен быть направлен по мгновенной оси вращения ОР
и являться диагональю параллелограмма, построенного на векторах
ше и шг. По известным модулю и направлению вектора ше и известным
направлениям векторов шг и ш можно построить только один парал-
параллелограмм. Построив этот параллелограмм, из рис. 261 находим
ш = и ctg а = со
У #2_Г2
е Г
2 | 2
ш 1 ш^ ¦
те
3
те 1/3
6
1
сек
1
се/с
§ 83. ТЕОРЕМЫ О СЛОЖЕНИИ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ВОКРУГ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ
Пусть твердое тело D вращается с угловой скоростью п^ вокруг не-
некоторой оси z (рис. 262, а), которая в свою очередь вместе с телом
вращается с угловой скоростью и>2 вокруг другой неподвижной оси С,
параллельной оси г*.
Движение тела D можно рассматривать относительно неподвиж-
неподвижной системы отсчета OZrf, как составное, в котором вращение тела D
вокруг подвижной оси 2 является относительным движением, а вра-
* При этом первое и второе вращательное движения тела могут происходить
в одну сторону и в противоположные стороны (на рис. 262, а вращения проис-
происходят в одну сторону).
424
Раздел II. Кинематика
щение самой оси г вместе с телом D вокруг неподвижной оси С ¦—
переносным движением.
Очевидно, что при этом все точки тела как в относительном, так
и в переносном движении остаются в плоскостях, перпендикулярных к
осям г и С, т. е. в параллельных между собой плоскостях. Поэтому рас-
рассматриваемое составное движение тела D является частным случаем
плоскопараллельного движения тела и для его определения доста-
достаточно рассмотреть движение плоской фигуры (S) (рис. 262, б), являю-
являющейся сечением тела плоскостью /7, перпендикулярной к осям г и С.
\Z
Рис. 262
Составное движение плоской фигуры E) по отношению к неподвиж-
неподвижной плоскости /7 можно, как известно, рассматривать в каждый мо-
момент времени как вращательное движение этой плоской фигуры
вокруг ее мгновенного центра вращения. При определении положения
мгновенного центра вращения плоской фигуры и ее мгновенной угловой
скорости могут быть три случая. Разберем последовательно эти три
различных случая.
1. Случай, когда составляющие вращения происходят в одну сто-
сторону. Пусть точки А и В—точки пересечения осей Сиге плоскостью/7.
Покажем, что на отрезке А В (рис. 262, б) существует точка С, аб-
абсолютная скорость которой в данный момент равна нулю. В самом де-
деле, скорости vrcn vec точки С, происходящие от вращений ш1и и>2. бу-
Глава XV. Составное движение твердого тела 425
дут, очевидно, прямо противоположны по направлению. По модулю
же эти скорости равны
vrc =
vec =
Потребуем, чтобы v^ =veC, т. е.
или
оI _ АС
<о, ВС •
A)
При этом условии абсолютная скорость точки С в данный момент
равна нулю. То же самое имеет место и для всех точек, лежащих на
прямой СР, проходящей через точку С параллельно осям; эта прямая
является поэтому мгновенной осью вращения в составном движении.
Для определения мгновенной угловой скорости со составного дви-
движения удобно рассмотреть абсолютную скорость ив точки В. Скорость
Удможно найти двумя способами: один раз от двух составляющих вра-
вращений coj и со2и второй раз от мгновенного составного вращения с мгно-
мгновенной угловой скоростью со. С одной стороны, будем иметь
vB = ш1 ¦ 0 + ш2 • АВ = со2 • АВ.
А с другой стороны:
vB
Отсюда
АВ АС+СВ „(АС . Л
(О = Ш2 = AJ ! = ОJ [- 1 1
2 С В 2 С В {ВС }'
или на основании пропорции A)
Таким образом, мы приходим к следующей теореме: если /пело уча-
участвует одновременно в двух направленных в одну сторону вращениях
27 Н, Ф, Сахарный
426
Раздел If. Кинематика
вокруг параллельных осей, то его составное движение будет мгновенным
вращением с угловой скоростью ш=иI+аJ, происходящим в ту же сто-
сторону вокруг мгновенной оси, параллельной данным, и положение кото-
которой определяется пропорцией A).
2. Случай, когда составляющие вращения происходят в разные сто-
стороны, а их угловые скорости различны по модулю. Так же, как в пре-
предыдущем случае, построим плос-
плоскость П, перпендикулярную к
данным параллельным осям г и
С, и движущуюся в ней плоскую
tpHrypy(S),являющуюся сечением
тела этой плоскостью (рис. 263).
Допустим для определенности,
что оI>ш2. Тогда, рассуждая,
как и в предыдущем случае,
найдем, что для точки С, лежа-
лежащей на продолжении отрезка
АВ за большей угловой скоро-
скоростью шъ скорости vrc и vec, про-
Рис 2бз исходящие соответственно от
вращений о)х и о>2, прямо проти-
противоположны по направлению. По модулю же эти скорости равны
Потребуем, чтобы vrC—vec, или
или
АС
ВС
C)
т. е. абсолютная скорость точки С, для которой выполняется равен-
равенство C), равна в данный момент нулю. Прямая СР, параллельная шх
и (в2 и проходящая через точку С, есть мгновенная ось вращения в
составном движении. Чтобы определить мгновенную угловую ско-
скорость со составного вращательного движения вокруг мгновенной оси
СР, найдем абсолютную скорость vb точки В. Будем иметь
= со.БС, D)
откуда
АВ
: (О,
АС— ВС
ВС
АС_
ВС
Глава XV. Составное движение твердого тела
427
АС
Заменяя отношение -57; равным ему отношением — по формуле C),
получим
~" l)^^! —ша.
E)
Таким образом, мы приходим к следующей теореме: если тело уча-
участвует одновременно в двух вращательных движениях вокруг параллель-
параллельных осей с угловыми скоростями, не равными по модулю и направленными
в разные стороны, то его составное движение будет мгновенным враще-
вращением с угловой скоростью ш— ш± — ш2, происходящим в сторону вра-
вращения с большей угловой скоростью вокруг мгновенной оси, параллельной
данным, и положение которой определяется пропорцией C).
3. Случай, когда составляющие вращения происходят в разные
стороны, а их угловые скорости равны по модулю (пара вращений).
Пусть твердое тело участвует одновременно в двух вращательных дви-
движениях вокруг параллельных осей с угловыми скоростями шх и и>2,
равными по модулю и противоположными по направлению. Такие два
направленные в противоположные стороны вращения вокруг парал-
параллельных осей с равными по модулю угловыми скоростями называются
парой вращений.
На основании формул D) и E), делая переход к пределу (при
ш2-^шг), мы заключаем, что мгновенная угловая скорость составного
движения должна в этом случае равняться нулю, а мгновенная ось
вращения составного движения — удаляться в бесконечность.
Ранее (см. § 72, рис. 206) было установлено, что в этом случае пло-
плоскопараллельное движение твердого тела является поступательным и,
следовательно, скорости всех точек этого тела в данный момент гео-
геометрически равны между собой.
Этот вывод можно обосновать и более строгим способом. Пусть рас-
расстояние какой-либо точки М (рис. 264) плоской фигуры (S) (или тела)
С ,
с
J
/ ^777777n^l
z
IT /
^ /
Г5Л /
^ /
Рис. 264
27*
428 Раздел II. Кинематика
от начала вектора o)t будет rv а от начала вектора а>2 будет г2. Тогда
абсолютная скорость этой точки будет равна
Но так как шг——(% и гх—г2=АВ, то
~vM = :u = u1X (?!—r^) = с^х A~B,
т. е. абсолютная скорость точки М не зависит от положения этой
точки, и, следовательно, скорости всех точек тела в данный момент
геометрически равны между собой. Отсюда следует, что в рассматри-
рассматриваемом случае составное движение тела действительно является по-
поступательным.
Очевидно, что абсолютная скорость v произвольной точки тела, или
скорость составного поступательного движения этого тела, перпенди-
перпендикулярна к плоскости, определяемой векторами и^ и <о2, так, что наблю-
наблюдатель, стоящий вдоль вектора у, видит векторы 1% и ш2 направлен-
направленными против движения часовой стрелки. Модуль этого вектора равен
v = со, • АВ = i
где h — кратчайшее расстояние между векторами; это расстояние
часто называют плечом пары вращений.
Вектор v называется моментом пары вращений; это есть вектор
свободный.
Таким образом, мы приходим к следующей теореме: пара вращений
эквивалентна поступательному движению тела со скоростью, равной
моменту этой пары.
Если, обратно, дана поступательная скорость v, то она может быть
заменена парой вращений, плоскость которой перпендикулярна к век-
вектору v , а плечо h и модули угловых ско-
скоростей пары удовлетворяют условию
и=ш1п=ш2п.
Примером пары вращений может слу-
жить движение велосипедной педали DE
относительно рамы велосипеда (рис. 265).
Педаль велосипеда DE за полный оборот
кривошипа А В вокруг оси А совершает
вокруг своей оси В тоже полный оборот,
но в противоположную сторону. При этом
в любой момент времени угол поворота <рх
педали относительно кривошипа АВ равен
¦ углу поворота <р2 кривошипа АВ и, сле-
Рис. 265 довательно, и>1=—ш2. В результате этих
Глава XV. Составное движение твердого тела
429
двух вращений, происходящих вокруг параллельных осей А иВв раз-
разные стороны с равными по модулю угловыми скоростями, сама педаль
велосипеда совершает поступательное движение со скоростью
v=AB-u>2, равной моменту соответствующей пары вращений.
Объединяя все эти три случая с тем, который мы имели в предыдущем
параграфе при сложении вращений вокруг пересекающихся осей, мы
видим, что угловые скорости складываются так же, как и параллель-
параллельные или сходящиеся силы. Аналогия здесь не случайная: сила и угло-
угловая скорость представляются векторами различной физической, но
одинаковой математической природы, так как оба эти вектора —
скользящие. При доказательстве теорем, относящихся к этому и пре-
предыдущему параграфам, было использовано только это одно свойство
угловой скорости, поэтому и результаты получены сходные с найден-
найденными ранее в статике.
Задача 70. Кривошип /// соединяет оси А и В двух зубчатых колес
/ и //, причем зацепление может быть или внешнее, или внутреннее,
как показано на рис. 266 и 267. Колесо 11 остается неподвижным,
Рис. 266
Рис. 267
а кривошип /// вращается вместе с шестерней / вокруг оси А с угловой
скоростью <о2. Зная радиусы колес гх и г2, вычислить для колеса/аб-
колеса/абсолютную угловую скорость ш и его относительную скорость (% по от-
отношению к кривошипу ///.
Решение. 1. Случай, когда зацепление между неподвижной и
подвижной шестернями является внешним. Движение подвижной ше-
шестерни / относительно неподвижной шестерни // (относительно непод-
430 Раздел II. Кинематика
вижной системы отсчета) можно рассматривать как составное, в ко-
котором вращение кривошипа /// вместе с шестерней / вокруг неподвиж-
неподвижной оси А является для шестерни / переносным движением, а враще-
вращение шестерни / вокруг своей оси В — относительным движением. Так
как при составном движении шестерни / происходит качение без сколь-
скольжения этой шестерни по неподвижной шестерне //, то абсолютная ско-
скорость точки Р касания подвижной шестерни / с неподвижной // будет
равна нулю. Поэтому ось, проходящая через эту точку и параллельная
осям составляющих вращений, будет мгновенной осью вращения состав-
составного движения шестерни /. При внешнем зацеплении направление
вращения шестерни / вокруг своей оси В совпадает с направлением
вращения кривошипа /// вместе с шестерней / вокруг неподвижной
оси А. При этом составное вращение шестерни вокруг мгновенной оси Р
будет направлено в ту же сторону. Следовательно, мы имеем здесь де-
дело с первым случаем сложения вращений вокруг параллельных осей.
Поэтому по формулам A) и B) получим
0) 1= (Dj -\- йJ.
Решая эти уравнения, находим
==Щ~\
> ы,
2. Случай, когда зацепление между неподвижной и подвижной
шестернями является внутренним. В этом случае направление вра-
вращения шестерни / вокруг своей оси В противоположно направлению
вращения кривошипа /// вместе с шестерней / вокруг неподвижной
оси А и мгновенная ось составного вращения шестерни / проходит
через точку касания Р подвижной шестерни / с неподвижной //. При
этом угловые скорости составляющих вращений вокруг параллель-
параллельных осей А и В различны. Следовательно, мы имеем дело со вторым
случаем сложения вращений вокруг параллельных осей. Поэтому
модули векторов ш и о^ найдутся по формулам C) и E):
"х „ АР г,.
<»а ВР г1 '
Щи!»! — 0J,
Глава XV. Составное движение твердого тела
431
откуда
1-1
О) = СОо
г, — г,
Задача 71. Вокруг центра 02 может вращаться кривошип 0г0Л,
на котором закреплены оси трех сцепленных зубчатых колес: /, // и
/// с радиусами rv r2, ra=rv Колесо / неподвижно. Найти абсолютную
угловую скорость колеса ///, если кривошип Ofts вращается вокруг
оси Ох с угловой скоростью <»! (рис. 268).
Рис. 268
Решение. Между неподвижным колесом / и подвижным //
существует внешнее зацепление. Поэтому рассуждая так же, как и
при решении задачи 70, находим угловую скорость шестерни // по
отношению к кривошипу ОгО3 по формуле A)
РО„
откуда
-^,л Jjl
со, = со
Относительная скорость точки сцепления А колеса /// с колесом
// одна и та же (по модулю и направлению), независимо от того,
принадлежит ли эта точка колесу // или колесу ///, т. е.
или
v11 = V =^ V
Л А А
u>2 = r3 co3.
432
Раздел II. Кинематика
Отсюда находим угловую скорость колеса /// по отношению к криво-
кривошипу ОХО3
= m. 1Л. =
СОо = СО
Движение колеса /// относительно неподвижного колеса / можно
рассматривать как составное, в котором вращение колеса /// вокруг
своей оси 03 является относительным движением колеса ///, а враще-
вращение кривошипа О^з вместе с колесом /// вокруг неподвижной оси 0а
является для колеса /// переносным движением. Так как относитель-
относительное вращение колеса /// происходит в сторону, противоположную сто-
стороне его переносного вращения, а угловые скорости этих вращений
параллельны и по модулю равны, то относительная и переносная уг-
угловые скорости образуют пару вращений. Отсюда следует, что мы имеем
дело с третьим случаем сложения двух вращений вокруг параллельных
осей. Поэтому абсолютная угловая скорость колеса /// равна нулю,
т. е.
со = ш1 — ы3 = сох — о»! =0,
а следовательно, составное движение колеса /// является поступа-
поступательным со скоростью
V =
= сох (/i + 2г2 + г3) = 2 «! (гх + г2).
§84. ТЕОРЕМЫ О СЛОЖЕНИИ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО
И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Разберем последовательно три различных случая.
1. Случай, когда скорость поступательного движения перпендику-
перпендикулярна к оси вращения. Пусть твердое тело одновременно участвует
в поступательном движении со скоростью v и вращательном с угловой
скоростью ш при условии, что
р* скорость v перпендикулярна
к угловой скорости со
(рис.269). Здесь относительное
движение представляет собой
вращение вокруг оси с угло-
вой скоростью со, а перенос-
*"* ное — поступательное со ско-
скоростью и, перпендикулярной
к угловой скорости со. Для
определения составного дви-
движения тела вектор поступа-
поступательной скорости v заменим
•w.
Рис. 269
Глава XV. Составное движение твердого тела
433
парой вращений (co1;—со^, расположенной в плоскости, перпенди-
перпендикулярной к вектору, v причем ш1 равна угловой скорости со. Из
формулы v=u1h вытекает, что при этом плечо /г пары ("h,—сох) дол-
должно быть равно- . Вращения (ш, —щ) как имеющие общую ось вза-
взаимно уничтожаются. Следовательно, составное движение тела есть
вращение с угловой скоростью ш1=ш, причем, очевидно, направление
вращения шх совпадает с направлением данного вращения со.
Таким образом, мы приходим к следующей теореме: если тело од-
одновременно участвует в поступательном движении со скоростью v
и во вращательном с угловой скоростью ш, перпендикулярной к v, то
составное движение тела будет вращением вокруг мгновенной оси
АР, параллельной оси Огданного вращения и отстоящей от нее на рас-
расстоянии, равном - , причем мгновенная абсолютная угловая скорость
сох тела равна по модулю и направлению данной угловой скорости со.
Этот результат был нами
получен в § 72 другим путем.
В самом деле, от двух скорос-
скоростей у и со движение тела будет
плоскопараллельным, а мы
знаем, что плоскопараллель-
плоскопараллельное движение во всякий мо-
момент может быть представлено
как вращение вокруг мгно-
мгновенной оси вращения с угло-
угловой скоростью со. Мы здесь
еще раз убеждаемся в том,
что поворот тела вокруг осей
Oz и АР происходит с одной и
той же угловой скоростью
со, т. е. что угловая скорость
не зависит от выбора полюса.
Рассматриваемый случай
движения можно проиллюст-
проиллюстрировать с помощью установ-
установки, показанной на рис. 270.
Вообразим тележку, которая перемещается поступательно по рель-
рельсам со скоростью v. На этой тележкеукреплен диск S, вращающийся
вокруг своей оси Oz с угловой скоростью ш, перпендикулярной к Ъ.
Если мы будем вращать диск S вокруг оси Oz с угловой скоростью пГи
одновременно сообщим тележке поступательное движение со скоростью
v, то в данный момент скорость точки М диска S будет такой, как ее-
Рис. 270
434
Раздел II. Кинематика
ли бы диск вращался с угловой скоростью ш1=ш вокруг мгновенной
оси АР, параллельной оси Oz, при этом ОА=— и ОА±_хГ.
2. Случай, когда скорость поступательного движения параллельна
оси вращения (винтовое движение тела). Если твердое тело вращает-
вращается вокруг неподвижной оси Oz с постоянной угловой скоростью ш
(относительное движение) и одновременно перемещается поступатель-
поступательно с постоянной скоростью v, направленной вдоль этой оси (перенос-
(переносное движение), то составное движение тела в этом случае называется
Рис. 271
Рис. 272
винтовым движением (рис. 271). При этом ось вращения Oz тела на-
называют винтовой осью.
Если векторы v и со направлены в одну сторону, то винт называется
правым (рис. 271), если же направления сим прямо противоположны,
то винт называют левым.
Траектория какой-либо точки М тела расположена на поверхности
круглого цилиндра и называется винтовой линией (рис. 272).
Из рис. 271 видно, что координаты точки М тела можно выразить
в виде
x = r cos (ot; у — г sin со t; z = vt, A)
где г — расстояние точки М от оси винта Oz. Уравнения A) пред-
представляют собой параметрически? уравнения винтовой линии.
В то время как тело переместится поступательно вдоль оси на рас-
расстояние vt, оно повернется на угол ш/; отношение перемещения vt
к углу Ы называется параметром винта р, т. е.
а
B)
Глава XV. Составное движение твердого тела
435
Мы видим, что параметр винта не зависит от расстояния точки М
тела от винтовой оси Oz, т. е. для всех точек винтовых линий, описы-
описываемых различными точками тела, параметр р один и тот же.
Расстояние h, на которое перемещается тело вдоль оси винта за
время Т одного полного оборота тела вокруг этой оси, называется
шагом винта. По определению имеем h=vT, но Т= —, а поэтому
1 2 7Е л /о\
Абсолютная скорость точки М тела (рис. 272) геометрически скла-
складывается из ее вращательной скорости иг вокруг оси винта, модуль
которой 1»1=го), и скорости v в поступательном движении тела
Модуль этой скорости вследствие перпендикулярности векторов
Vy и v равен
vM
= со
r2.
D)
Направлен же вектор и^по касательной к соответствующей точке
винтовой линии и образует с осью Oz, или, что то же, с образующей
цилиндра, угол а, причем
tg а = -J- = — = —.
V V р
E)
Так как p=const, то траектория точки
М пересекает все образующие цилиндра под
одним и тем же углом наклона а. Следова-
Следовательно, если мы развернем на плоскость
боковую поверхность цилиндра, по которой
движется точка М, то траектория точки М
изобразится на этой плоскости прямой ли-
линией, наклоненной к основанию под углом а.
3. Случай, когда скорость поступатель-
поступательного движения не перпендикулярна к мгно-
мгновенной оси вращения (мгновенное винтовое
движение). Рассмотрим теперь случай дви-
движения твердого тела, имеющего поступатель-
поступательную скорость v и мгновенную угловую ско-
скорость ш (рис. 273), направленную не пер-
перпендикулярно к v. Составное движение,
Рис. 273
436 Раздел //. Кинематика
совершаемое телом в этом случае, представляет собой движение, рас-
рассмотренное в § 76. _
Для нахождения составного движения тела разложим вектор v_b
плоскости, определяемой векторами со и и, на составляющие v± и v2,
направленные соответственно по мгновенной угловой скорости и по
перпендикуляру к ней. Очевидно, что
Vx = и cos a;
t»2 = v sin а.
Согласно первому случаю, изложенному в настоящем параграфе,
совокупность скоростей v2u ш приводится к одной мгновенной угловой
скорости ^=@, проходящей через точку А так, что расстояние меж-
между ш и Wj равно —, т. е. О А =^=— sin а, причем должно быть О A ±_vz.
Так как вектор vx поступательной скорости есть свободный вектор,
то его можно перенести параллельно самому себе в точку А и, таким
образом, мы получаем в точке А мгновенную угловую скорость u>t = ш
и поступательную скорость vv направленную вдоль вектора wv Здесь
мы еще раз убеждаемся в том, что и в общем случае движения угловая
скорость тела при перемене полюса О на полюс А не изменяется
(uI=o)), а меняется только поступательная скорость тела (v^v).
Полученная совокупность мгновенной угловой скорости ш и парал-
параллельной ей поступательной скорости v1 дает мгновенное винтовое дви-
движение с параметром
V, V
п = —i- = — cos a.
г О) О)
Таким образом, мы приходим к следующей теореме: совокупность
движений тела, определяемых мгновенной угловой скоростью ш и посту-
поступательной скоростью и, направленной не перпендикулярно к ш, сво-
сводится к мгновенному винтовому движению около мгновенной винтовой
оси. Винтовое движение более не упрощается, а поэтому оно является
самым общим видом движения твердого тела (см. п. 4, § 76).
§85. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ К РАЗДЕЛУ «КИНЕМАТИКА»
1. Какие способы задания движения точки применяются в кине-
кинематике и в чем они состоят?
2. Какая зависимость существует между радиусом-вектором дви-
движущейся точки и вектором скорости этой точки?
3. Как направлен вектор скорости криволинейного движения точ-
точки по отношению к траектории?
4. Чему равны проекции вектора скорости точки на оси декарто-
декартовых координат?
Глава XV. Составное движение твердого тела 437
5. Какая зависимость существует между радиусом-вектором дви-
движущейся точки и вектором ускорения точки?
6. Как направлен вектор ускорения криволинейного движения точ-
точки по отношению к траектории, к годографу скорости?
7. Чему равны проекции вектора ускорения точки на оси декарто-
декартовых координат?
8. Какие оси называются естественными осями?
9. Чему равны проекции вектора скорости точки на естественные
оси?
10. Чему равны проекции вектора ускорения точки на естествен-
естественные оси?
11. В каких движениях касательное ускорение точки равно нулю?
В каких движениях равно нулю нормальное ускорение?
12. Какое движение твердого тела называется поступательным?
13. В чем состоит теорема о движении точек твердого тела, дви-
движущегося поступательно?
14. Какое движение твердого тела называется движением вокруг
неподвижной оси?
15. Что называется угловой скоростью и угловым ускорением тела?
16. Какое вращение твердого тела называется равномерным,
какое равномерно-переменным?
17. Какая зависимость существует между угловой скоростью вра-
вращающегося тела и числом его оборотов в минуту?
18. Как изображается угловая скорость тела в виде вектора?
19. Как выражается зависимость между угловой скоростью вращаю-
вращающегося тела и линейной скоростью какой-нибудь точки этого тела?
20. Как выражаются касательное и нормальное ускорения точки
твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?
21. Какое движение твердого тела называется плоским, или плоско-
плоскопараллельным?
22. На какие два движения можно разложить плоскопараллельное
движение твердого тела?
23. Что называется мгновенным центром скоростей плоской фигу-
фигуры, движущейся в своей плоскости?
24. Как можно найти положение мгновенного центра скоростей
плоской фигуры, движущейся в своей плоскости?
25. Суммой каких двух составляющих скоростей является абсо-
абсолютная скорость произвольно выбранной точки плоской фигуры, дви-
движущейся в своей плоскости?
26. Каковы будут скорости точек плоской фигуры в том случае,
когда мгновенный центр скоростей этой фигуры окажется в бесконеч-
бесконечности?
27. Что называется мгновенным центром ускорений плоской фи-
фигуры, движущейся в своей плоскости?
28. Как можно найти положение мгновенного центра ускорений
плоской фигуры, движущейся в своей плоскости?
438 Раздел II. Кинематика
29. Суммой каких двух или трех составляющих ускорений являет-
является абсолютное ускорение произвольно выбранной точки плоской фи-
фигуры, движущейся в своей плоскости?
30. Какое движение твердого тела называется сферическим движе-
движением?
31. В чем состоит теорема о перемещении твердого тела, имею-
имеющего одну неподвижную точку?
32. Что называется мгновенной осью вращения твердого тела,
имеющего одну неподвижную точку?
33. Как направлен вектор углового ускорения тела, имеющего
одну неподвижную точку?
34. Как направлен и как выражается вектор углового ускорения
тела в том случае, когда это тело движется вокруг неподвижной точки
с постоянной по модулю угловой скоростью?
35. Как выражаются проекции на координатные оси скорости ка-
какой-нибудь точки твердого тела, имеющего одну неподвижную точку?
36. Сумме каких двух составляющих скоростей равна абсолютная
скорость какой-нибудь точки свободного твердого тела в общем случае?
37. Какое движение точки называется относительным? Какое —
переносным?
38. Какое движение точки называется абсолютным, или составным?
39. Какая скорость точки называется относительной? Какая *—
переносной?
40. В чем состоит теорема о сложении скоростей?
41. Какое ускорение точки называется относительным? Каково-
переносным?
42. В чем состоит теорема о сложении ускорений точки в том
случае, когда переносное движение является произвольным?
43. В каких случаях поворотное, или кориолисово, ускорение
точки равно нулю?
44. Какое движение твердого тела называется винтовым?
45. В чем состоят теоремы о сложении параллельных и пересекаю-
пересекающихся угловых скоростей?
46. Какому движению эквивалентна пара вращений? Чему равна
скорость этого движения?
47. Решению какой задачи статики аналогично решение задачи
о сложении угловых скоростей?
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ
ДИНАМИКА
А. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Глава XVI
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ
§86. ПРЕДМЕТ ДИНАМИКИ
Основным разделом теоретической механики является динамика.
В динамике изучаются движения механических систем под действием
приложенных к ним сил.
Движение механической системы определяется движением всех
ее материальных точек. Поэтому естественно начать изучение динами-
динамики с изучения движения отдельной материальной точки. Исходя из
этого, динамику принято делить на две части: динамику матери-
материальной точки и динамику механической системы материальных точек.
В динамике механической системы изучается, в частности,, и движение
абсолютно твердого тела.
В динамике точки и механической системы рассматриваются сле-
следующие две основные задачи:
1) зная движение данной материальной точки или данной меха-
механической системы, определить, под действием каких сил такое движе-
движение происходит;
2) зная силы, действующие на данную материальную точку или
на данную механическую систему, определить движение этой мате-
материальной точки или этой механической системы.
Для решения этих задач в динамике пользуются как установлен-
установленными в статике методами сложения сил и приведения различных их
систем к простейшему виду, так и методами кинематики в части,
касающейся установления способов задания движения тел и определе-
определения основных кинематических характеристик движения. При этом в
динамике вводится ряд весьма важных новых понятий (масса, коли-
количество движения и т. д.).
Сущность этих понятий, а также введенного в статике понятия силы
и их взаимосвязь раскрывается в основных законах динамики, с рас-
рассмотрения которых мы и начнем изложение динамики материальной
точки.
440 Раздел III. Динамика
§87. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ
В основе динамики лежат законы, впервые точно сформулирован-
сформулированные и систематически изложенные Ньютоном в его классическом сочи-
сочинении «Математические начала натуральной философии», изданном в
1687 г. Эти законы основаны на опытных данных и являются резуль-
результатом гениального обобщения тех сведений в области механики, кото-
которые были получены до Ньютона и самим Ньютоном.
Отметим прежде всего, что Ньютон сформулировал основные зако-
законы динамики для тел, подразумевая под телом то, что в настоящее
время называют материальной точкой. Поэтому для внесения полной
точности в формулировку этих законов мы вместо слова «тело» будем
употреблять современный термин «материальная точка»*.
Первый закон (закон инерции). Этот закон был открыт Галилеем
в 1638 г. и в современных терминах может быть сформулирован
следующим образом: всякая материальная точка сохраняет свое
состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и
поскольку приложенные к ней силы не заставят ее изменить это сос-
состояние.
Сохранение материальной точкой состояния своего равномерного и
прямолинейного движения (модуля и направления своей скорости) и,
в частности, состояния покоя при отсутствии действия на нее сил (или
при их равновесии) называется инертностью, или инерцией, материа-
материальной точки. Отсюда и первый закон динамики, устанавливающий это
свойство инерции всякой материальной точки, получил название
закона инерции.
Равномерное и прямолинейное движение, о котором говорит закон
инерции, называется движением по инерции, или инерциальным дви-
движением .
Из кинематики мы знаем, что не имеет никакого смысла говорить о
том, что движение данной точки является равномерным и прямоли-
прямолинейным, если не указано, по отношению к какой системе отсчета это
движение и, в частности, покой изучаются. Поэтому возникает вопрос:
в какой системе отсчета применим закон инерции?
Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон
инерции, называется инерциальной системой отсчета. Опыт и наблю-
наблюдения показывают, что для нашей солнечной системы инерциальной
является гелиоцентрическая система отсчета с началом в центре Солн-
Солнца и осями, проходящими через три так называемые неподвижные
звезды.
Однако при решении большинства технических задач инерциальной
можно считать систему отсчета, неизменно связанную с Землей.
В этом случае мы, очевидно, пренебрегаем суточным вращением
* Вместо того чтобы говорить о теле, движущемся поступательно под
действием некоторой силы, мы будем говорить о движении материальной точки,
к которой приложена та же сила.
Глава XVI. Основные законы динамики 441
Земли и ее годовым движением по криволинейной орбите вокруг
Солнца.
В главе XIX будет показано, что всякая система отсчета, движущая-
движущаяся по отношению к инерциальной системе отсчета поступательно, рав-
равномерно и прямолинейно, также является инерциальной.
Таким образом, оказывается, что если на материальную точку не
действуют никакие силы, или силы, действующие на нее, взаимно урав-
уравновешиваются, то эта точка по отношению к инерциальной системе
отсчета движется равномерно и прямолинейно или находится в состоя-
состоянии покоя.
Система отсчета относительно которой не выполняется закон инер-
инерции, называется неинерциальной.
Много различных задач механики приводят к изучению движения
в неинерциальных системах. Исследование общих закономерностей дви-
движения точки относительно неинерциальной системы отсчета будет дано
в главе XIX.
Система отсчета, неизменно связанная с Землей, строго говоря,
не является инерциальной системой отсчета. Неинерциальность этой
системы отсчета зависит главным образом от суточного вращения Зем-
Земли и в значительно меньшей степени от ее годового движения по орбите
вокруг Солнца. Так как обычно рассматриваемые в динамических за-
задачах, относящихся к технической практике, промежутки времени
много меньше года, то движение Земли по ее орбите вокруг Солнца за
эти промежутки можно практически считать равномерным и прямо-
прямолинейным. Следовательно, принимая систему отсчета, неизменно свя-
связанную с Землей, за инерциальную, мы в первую очередь пренебрега-
пренебрегаем суточным вращением Земли.
В дальнейшем, говоря об инерциальной системе отсчета, мы почти
везде будем иметь в виду систему координат, неизменно связанную с
Землей.
В тех случаях когда при решении задач динамики приходится учи-
учитывать суточное вращение Земли (задачи артиллерии и ракет дальнего
действия, гироскопические проблемы и т. д.), система отсчета, неизмен-
неизменно связанная с Землей, уже не может считаться инерциальной систе-
системой отсчета. В таких случаях за инерциальную систему отсчета при-
принимают геоцентрическую систему отсчета с началом в центре Земли и
осями, проходящими через три выбранные «неподвижные» звезды (см.
главу XIX, § 94).
Второй закон (основной закон динамики). По закону инерции
ускорение материальной точки, свободной от действия сил, равно
нулю. Если же к материальной точке будет приложена некото-
некоторая сила, то эта точка отклоняется от состояния инерциального
движения, приобретая некоторое ускорение.
Опытным путем установлено, что одна и та же сила сообщает двум
различным и свободным от других воздействий покоящимся материаль-
материальным точкам неодинаковые ускорения. Если, например, при действии
442 Раздел III. Динамика
одинаковых сил модуль ускорения одной материальной точки оказался
меньшим, чем модуль ускорения другой точки, то говорят, что первая
точка является более инертной, и наоборот. Отсюда следует, что
инертность выражает свойство материальной точки под действием
силы приобретать то или иное ускорение в своем движении, т. е. изме-
изменять свою скорость как по модулю, так и по направлению непрерывно
во времени. Таким образом, ускорения, приобретаемые двумя различ-
различными материальными точками, зависят не только от действующих на
них сил, но и от инертности этих точек.
Величина, определяющая меру инертности данной материальной
точки, называется массой точки. Масса является величиной скалярной,
положительной, и при этом в классической механике она рассматри-
рассматривается как величина постоянная для каждой данной материальной
точки*. Она является единственной характеристикой материальной
точки. Отличие материальных точек друг от друга сводится к разли-
различию в массах.
Связь между массой материальной точки, силой, приложенной к
этой точке, и сообщаемым ею ускорением устанавливается вторым за-
законом динамики. Приведем этот закон в следующей формулировке:
произведение массы точки на ускорение, которое она получает под дей-
действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление уско-
ускорения совпадает с направлением силы.
Обозначив массу точки через т, вектор ее ускорения через w и
вектор действующей на точку силы через F, мы получим следующее
аналитическое выражение второго закона динамики:
mw = F. A)
Это есть так называемое основное векторное уравнение динамики.
Отметим, что второй закон динамики, как и закон инерции, спра-
справедлив для движения материальной точки по отношению к инерциаль-
ной системе отсчета.
Второй закон динамики не является новым, «динамическим» опре-
определением силы, в него входитта же сила, которой мы дали определение
в статике; здесь обнаруживаются лишь новые, динамические свойства
этой силы. Следовательно, произведение массы материальной точки
на ее ускорение не есть определение силы, но оно равно силе по второму
закону динамики.
Между массой, модулями ускорения и силы основное уравнение ди-
динамики A) дает зависимость
mw = F. B)
* Однако и в классической механике бывают случаи, когда приходится
рассматривать переменные массы, например при изучении реактивного дви-
движения. Такие случаи будут в курсе отмечены, и им будет посвящен специальный
раздел.
Глава XVI. Основные законы динамики 443
Если одну и ту же силу F приложить к различным материальным
точкам с массами mt и т2, то согласно второму закону A) сила F
сообщит этим точкам различные ускорения wl и w2, причем
т1 wx = m2w2 = F.
Отсюда следует, что
m1
C)
v '
Таким образом, под действием одной и той же силы различные ма-
материальные точки приобретают ускорения, обратно пропорциональные
массам этих точек. Следовательно, материальная точка с большей мас-
массой при воздействии одной и той же силы приобретает меньшее уско-
ускорение и поэтому меньше отклоняется от своего состояния инерции.
Таким образом, из второго закона динамики A) непосредственно вид-
видно, что масса является мерой инертности материальной точки.
Из скалярного равенства B) следует
т=~. D)
т. е. масса материальной точки равна отношению модуля силы к мо-
модулю ускорения, которое эта сила сообщает данной материальной
точке. Таким образом найденная масса материальной точки назы-
называется инертной массой точки.
Опытным путем было строго установлено, что отношение модуля
силы к модулю сообщаемого силой ускорения для данной материальной
точки является постоянным, не зависящим ни от рода действующей
силы, ни от состояния движения этой точки. В частности, для силы
тяжести оно такое же, как и для всякой другой силы, т. е. если на точ-
точку действует только ее сила тяжести, то
где Р — сила тяжести, или вес точки, a g — ускорение силы тяжести,
или ускорение свободного падения в данном пункте Земли*.
Следует не упускать из виду, что величина ускорения силы тяжести
для разных мест земной поверхности различна и зависит в первую оче-
очередь от географической широты и высоты поднятия над уровнем моря,
слегка возрастая при перемещении от экватора к полюсам и убывая о
возрастанием высоты. При этом величина силы тяжести материальной
точки находится в той же зависимости от места наблюдения и высоты
* Под свободным падением тела на Землю (имеется в виду, что падающее
тело движется поступательно) здесь подразумевается такое его движение,
при котором на тело не действуют никакие силы, кроме силы тяжести,
444 Раздел III. Динамика
поднятия над уровнем моря, что и ускорение силы тяжести, так что
отношение веса материальной точки к ускорению ее свободного паде-
падения, т. е. масса материальной точки, есть величина постоянная. Не-
Независимость массы материальной точки от места ее измерения свиде-
свидетельствует о том, что в отличие от веса масса является свойством самой
материальной точки.
Найденная по формуле E) масса материальной точки называется
тяготеющей массой точки.
Так как тяготеющая масса материальной точки равна ее инертной
массе*, то эпитеты «тяготеющая» и «инертная»становятся излишними,
и поэтому в дальнейшем мы ими пользоваться не будем.
Третий закон (закон равенства действия и противодействия).
Об этом законе мы говорили уже в статике (§ 2). Для двух мате-
материальных точек он гласит: две материальные точки действуют
друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль
прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.
Заметим, что силы механического взаимодействия между материаль-
материальными точками, о которых говорится в третьем законе, приложены к
разным материальным точкам, а поэтому эти силы не представляют
уравновешенной системы сил и могут приводить эти материальные
точки в состояние ускоренного движения.
Если первая материальная точка действует на вторую материаль-
материальную точку с силой f2, то согласно третьему закону вторая точка дей-
действует на первую точку с силой F1 =—Fi. При этом, как следует из вто-
второго закона A), ускорения, которые сообщают друг другу две мате-
материальные точки, будут по модулю обратно пропорциональны массам
этих точек, так как действующие силы Fl и /\, равны по модулю.
В то время как первый и второй законы динамики относятся к од-
одной материальной точке, третий закон рассматривает взаимодействие
двух материальных точек и поэтому делает возможным переход от
динамики отдельной материальной точки к динамике сложных меха-
механических систем материальных точек.
Четвертый закон (закон независимости действия си ). Если на
материальную точку действуют одновременно несколько сил, то она
получает ускорение, равное геометрической сумме тех ускорений, ко-
которые каждая сила сообщила бы, действуя отдельно.
Обозначив через w ускорение материальной точки, которое она по-
получает при одновременном действии на нее сил Flt F2, ..., Fn, а через
wlt w%, ..., wn — ускорения, которые получила бы эта точка при раз-
раздельном действии на нее каждой из данных сил, получим следующее
аналитическое выражение закона независимости действия сил:
W = Wx+ W2+...+ Wn. F)
* В рамках классической механики равенство инертной и тяготеющей масс
не объясняется, но принимается как результат точных экспериментов.
Глава XVI. Основные законы динамики 445
Следствие. Умножив обе части векторного равенства F) на
массу т точки, получим
mw=mwl-\- mw2 + •. . -\-mwn. G)
Согласно второму закону A) имеем
Отсюда равенство G) можно представить в виде
mw = F1+F2+ ...+Fn=
Это векторное равенство является основным уравнением динамики
для точки, на которую одновременно действует несколько сил. Равен-
Равенство (8) можно представить в виде равенства A), если заменить систему
одновременно действующих на точку сил Flt F2, ..., Fn их равнодей-
_ п _
ствующей F, равной геометрической сумме LFt сил этой системы.
Системы единиц. Рассмотрим построение систем единиц измере-
измерения механических величин. Измерить какую-нибудь механическую
величину — это значит сравнить ее с другой однородной с ней механи-
механической величиной, которая принята за единицу.
Для измерения всех механических величин необходимо выбрать
единицы измерения длины, времени и массы или силы. Произвольно
единицы измерения массы и силы выбираться не могут, так как они
должны быть связаны равенством B). Отсюда вытекает возможность
установления в механике трех следующих систем единиц: абсолютная
(физическая) система единиц (СГС), техническая система единиц
(МКГСС) и Международная система единиц, которой присвоено сокра-
сокращенное обозначение СИ*. Принципиальное различие между двумя по-
последними системами единиц состоит в том, что в одной из них (МКГСС)
за основную механическую единицу принимается единица силы, а
в другой (СИ) — единица массы.
Теперь разберем эти три системы единиц измерения.
Система МКГСС. Основными единицами этой системы единиц изме-
измерения являются: метр (м) — единица длины, килограмм-сила (кГ) —
единица силы и секунда (сек) — единица времени.
Килограмм-сила — это сила, которая материальной точке с мас-
массой в 1 кг сообщает ускорение, равное ускорению свободного падения,
т. е. ускорение 9,81 м/сек\
* Система единиц СИ введена в Советском Союзе с 1 января 1963 г. Одно-
Одновременно допускается для измерения механических величин применение аб-
абсолютной и технической систем.
446 Раздел III. Динамика
Единицу массы в системе МКГСС можно получить из второго за-
м
кона динамики D). Положив в формуле D) F=l кГ, w=\-^^, получим:
, 1 кГ . кГ-сек*
1 единица массы = = 1 .
1
сек'
Эта единица массы называется технической единицей массы (т.ем.).
Техническая единица массы (т. е.м.) — это масса такой материаль-
материальной точки, которой сила в 1 кГ сообщает ускорение в 1 м\секг.
Размерность технической единицы массы(т.е.Л1.) выражается в сле-
следующем виде:
[т] = Щ = мкГ-сек.
1 J [w]
Система СИ. Основными единицами этой системы единиц измере-
измерения являются: метр (м) — единица длины, килограмм (кг) — единица
массы и секунда (сек) — единица времени.
Единицу силы в системе СИ получим из второго закона динамики
B). Положив в этой формуле т=1 кг, до=1—-, получим:
1 единица силы =1 кг Л —^- =1 кг м
сек* сек'
Эта единица силы называется ньютоном.
Ньютон (н) — это сила, которая материальной точке с массой »
1 кг сообщает ускорение, равное 1—-2.
Размерность единицы силы (н) выражается в следующем виде:
[F] = [т][ш] == кг -м* сект2 = м-кг-сек'2.
Если в качестве основных единиц выбрать: сантиметр (см) — еди-
единица длины, грамм (г) — единица массы и секунда (сек) — единица
времени, то получим другую аналогичную систему единиц из-
измерения (СГС). Единицу силы в этой системе получают из второго
закона динамики B). Положив в формуле B) т=\ г, и>=1-^-а, полу-
получим:
1 единица силы = 1 г-1 сж = 1
сек' сек2
Эта единица силы называется диной.
Дина (дин) — это сила, которая материальной точке с массой в
1 г сообщает ускорение, равное 1
см
сёк?'
Глава XVI. Основные законы динамики 447
Размерность единицы силы (дины) выражается в следующем виде:
[F] = [т] [w] = г-см- сект2 = см-г- сек'2.
Рассмотрим теперь, каким образом можно получить соотношения
между единицами однородных механических величин в разных систе-
системах единиц измерения.
1. Соотношение между ньютоном (н) и диной (дин). Запишем раз-
размерность ньютона (н):
кг-ж 1 кг Л м
1 н== 1
сек2 1 сек2
Далее, выразим метр (м) и килограмм (кг), входящие в размерность
ньютона, соответственно через сантиметр (см) и грамм (г):
. 1 кг-\ м 103 г -100 с.и_1п5 г-см
I Н : а— : ~ =^ 1 U ' л— •
1 сек2 1 сек2 секг
Но ^—^ есть размерность дины. Следовательно,
1 н = 105 дин,
а
1 дин = 10~5 н.
2. Соотношение между килограммом (кГ) и ньютоном (н). Изве-
Известно, что:
а) материальная точка с массой в 1 кг получает под действием
силы в 1 м ускорение, равное 1-~;
б) эта же материальная точка при свободном падении получает
ускорение, равное 9,81 —-г.
Эти два положения можно сформулировать так: а) 1 к, действуя на
материальную точку с массой 1 кг, сообщает этой точке ускорение,
равное 1 м/сек2; б) 1 кГ, действуя на материальную точку с массой 1 кг,
сообщает этой точке ускорение, равное 9,81 м/сек2.
Таким образом, ускорение, сообщаемое силой в 1 кГ, в 9,81 раза
больше ускорения, сообщаемого той же материальной точке силой в
1 н. Отсюда следует, что 1 кГ в 9,81 раза больше 1 «, т. е.
1 кГ = 9,81 н,
а 1 н = 0,102 кГ.
3. Соотношение между т.е.м. и килограммом (кг). Из приведенных
рассуждений и соотношения 1 /сГ=9,81 н вытекают следующие выводы:
448 Раздел III. Динамика
а) чтобы сообщить материальной точке с массой в 1 кг ускорение, рав-
равное 1 м/сек2, необходима сила 1 н; б) чтобы сообщить материальной точ-
точке с массой 1 т.е.м. такое же ускорение, необходима сила 1 кГ=9,81 н.
Отсюда следует, что для сообщения материальной точке с массой в
1 т.е. м. некоторого ускорения требуется сила, в 9,81 раза большая,
чем для сообщения того же ускорения материальной точке с массой
в 1 кг. Следовательно, 1 т.е.м. больше 1 кг в 9,81 раза, т. е.
1 т. е. м. = 9,81 кг,
а
1 кг = 0,102 т. е. м.
Глава XVII
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
СВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
К РЕШЕНИЮ ДВУХ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
§88. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
СВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Материальная точка называется свободной, если она под действием
приложенных к ней сил может иметь движение в любом направлении
в соответствии с основными законами динамики.
Если на свободную материальную точку М массы т действует одно-
одновременно несколько сил F{, F2- • ••> Fn< T0 уравнение, выражающее ос-
основной закон динамики, примет в этом случае, как известно, следую-
следующий вид:
mw = 'Z~Fl, A)
или
mw = F, B)
где F— равнодействующая приложенных к точке сил, a w—уско-
w—ускорение точки, направленное по линии действия равнодействующей силы
F (рис. 274). Так как вектор ускорения до точки равен первой производ-
производной от вектора скорости v или второй производной от радиуса-вектора
г точки по времени, т. е. до=о=г, то уравнение B) может быть записано
в форме
mv = 1, C)
или
тТ = F . D)
Глава XVII. Дифференциальные уравнения движения свободной точки 449
Уравнение D) называется дифференциальным уравнением движения
свободной материальной точки в векторной форме.
Проектируя обе части векторного уравнения D) на оси той или иной
системы координат, можно получить дифференциальные уравнения
движения свободной точки в этой системе. Чаще всего пользуются ося-
осями прямоугольной декартовой системы
координат или осями естественного трех-
трехгранника.
Если прямоугольная система декар-
декартовых координат Oxyz (рис. 274) непод-
неподвижна*, то путем проектирования обеих
частей векторного уравнения D) на оси
этой системы получим
mz = Fz,
E)
где х, у, 2 — координаты движущейся
точки, a Fx, Fy, Fz— проекции действую-
действующей силы (равнодействующей) на соот-
соответствующие оси.
С помощью этой системы дифференци- рис. 274
альных уравнений мы сможем изучить
криволинейное движение свободной точки в пространстве, т. е. по
отношению к инерциальной системе отсчета Oxyz.
Уравнения E) называются дифференциальными уравнениями криво-
криволинейного движения свободной материальной точки в проекциях на оси
декартовой системы координат.
На движущуюся материальную точку наряду с постоянными по мо-
модулю и направлению силами** (постоянной, например, можно считать
силу тяжести при движении точки вблизи поверхности Земли) могут
действовать силы переменные, модули и направления которых при
движении точки изменяются.
Как показывает опыт, действующие на точку переменные силы мо-
могут определенным образом зависеть: а) только от времени (например,
сила тяги электровоза при постепенном включении или выключении
реостата); б) только от положения движущейся точки, определяемого
ее координатами (например, сила тяжести при движении точки на
значительном расстоянии от поверхности Земли или сила упругости
пружины); в) только от скорости движущейся точки (например, сила
* Согласно сказанному в § 87 под неподвижной прямоугольной системой
декартовых координат здесь и в дальнейшем понимается инерциальная система
отсчета, т. е. такая система, в которой применимы основные законы динамики
(законы Ньютона).
** В статике мы, по существу, считали все силы постоянными по модулю
и по направлению.
30 Н„ Ф„ Сахарный
450 Раздел III. Динамика
сопротивления окружающей среды, в частности воды или воздуха, в
которой движется точка).
Может случиться, что действующая на точку переменная сила, или,
точнее, равнодействующая нескольких сил, приложенных к точке,
зависит одновременно от времени t, радиуса-вектора г точки и ее ско-
скорости v, т. е. F=F(t, r, v).
Можно было бы представить себе силы, следующие законам еще
более общего характера, например зависящие от ускорения, а также
от последовательных векторных производных от ускорения. Но в тео-
теоретической механике обыкновенно ограничиваются рассмотрением сил
типа F=F(t, r, о), так как таковыми в подавляющем большинстве слу-
случаев являются силы, с которыми нам приходится встречаться в приро-
природе. Заметим, что законы приведения переменных сил остаются теми
же, что и для сил постоянных.
Таким образом, в наиболее общем случае, который нам встретится,
в правую часть каждого из уравнений E) могут входить время t, ко-
координаты движущейся точки х, у, z и проекции ее скорости х, у, г,
т. е. система уравнений E) будет совместной и примет следующий вид.
mx = Fx(t; х, у, г; х, у г);
"Ч/ = Fy(t; х, у, z; х, у , z);
mz = Fz(t; х, у, z; x у, z).
F)
Если материальная точка движется, оставаясь все время в плос-
плоскости Оху, и приложенные к ней силы также лежат в этой плоскости,
то для изучения такого плоского криволинейного движения точки до-
достаточно взять лишь первые два из уравнений E), т. е.
= Fy. G)
В общем случае эти уравнения примут, очевидно, следующий вид:
mx = Fx(t; х, у; х, у); my = Fy{t; x, у; х, у). (8)
Из кинематики известно, что при прямолинейном движении ско-
скорость и ускорение точки все время направлены вдоль одной и той же
прямой (траектории точки). Так как направление ускорения совпадает
с направлением равнодействующей приложенных к точке сил, то от-
отсюда следует, что свободная материальная точка будет двигаться пря-
прямолинейно тогда, когда равнодействующая приложенных к ней сил
направлена вдоль траектории этой точки, а скорость точки в начальный
момент равна нулю или направлена вдоль равнодействующей силы.
При изучении прямолинейного движения точки можно, совместив ось
Глава XVII. Дифференциальные уравнения движения свободной точки 451
Ох с траекторией точки, обойтись одним лишь первым уравнением из
системы E)
mx = Fx. (9)
Уравнение (9) называется дифференциальным уравнением прямоли-
прямолинейного движения точки. Часто уравнение (9) бывает удобно заменить
двумя дифференциальными уравнениями, содержащими первые произ-
производные:
d v.
тчг^
dx
"dt
= vr
A0)
A0')
При прямолинейном движении точки проекция Fx—I>Fix равнодей-
равнодействующей силы F в уравнении (9) может в общем случае зависеть от
времени t, от координаты движущейся точки х и от ее скорости, т. е.
vx~x. Следовательно, в общем случае уравнение (9) может иметь вид
тх = Fx(t, х, х).
(И)
Найдем теперь дифференциальные урав-
уравнения движения точки в проекциях на оси
естественного трехгранника, т. е. на направ-
направление касательной (т), главной нормали (п) и
бинормали (Ь) к траектории в текущем по-
положении движущейся точки (рис. 275). Спро-
Спроектировав обе части векторного уравнения B)
на эти оси, получим
Но из кинематики известно, что
= s, wn =
Таким образом, окончательно найдем
= Fb,
A2)
где по-прежнему скорость и ускорение точки отнесены к инерциальной
системе отсчета. Из последнего уравнения следует, что сила, так же
30*
452 Раздел III. Динамика
как и ускорение, лежит в соприкасающейся плоскости траектории точ-
точки (рис. 275).
Уравнения A2) называются дифференциальными уравнениями кри-
криволинейного движения свободной материальной точки в проекциях на
оси естественного трехгранника. Эти уравнения были впервые полу-
получены Л. Эйлером. Заметим, что уравнения A2) применяют в том слу-
случае, когда траектория материальной точки известна, т. е. известны для
каждой точки траектории направления осей естественного трехгран-
трехгранника и радиус кривизны.
Рассмотрение дифференциальных уравнений движения свободной
материальной точки показывает, что мы можем поставить и решить
следующие две основные задачи динамики точки: 1) зная массу точки и
закон движения точки, т. е. координаты движущейся точки как функ-
функции от времени, определить, под действием какой силы такое движение
происходит; 2) зная массу материальной точки, действующие на нее
силы и начальные условия движения точки, т. е. ее начальное положе-
положение и начальную скорость, определить закон движения этой точки.
§89. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
К РЕШЕНИЮ ПЕРВОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
Пусть закон движения точки массы т задан в декартовых коорди-
координатах:
* = Л(9. y = hV). * = /»(*)• (l)
Продифференцировав эти функции дважды по времени, мы найдем
проекции ускорения точки:
x=f\(t), у =Ы0. г = flit). B)
Вставляя выражения B) в левые части уравнений E, § 88), мы получим
проекции Fx, Fy, Fz той силы F, которая производит заданное дви-
движение точки, в виде
Fx=mf\{t), Fy = mf2(t), F, = mfl(f), B')
откуда найдем модуль и направляющие косинусы искомой силы F:
F~y.Fl +F2y +F22 ; C)
,J)=!*-, cos(F ,7) = -?»., cos(f, *) = ?¦ D)
Иногда приходится иметь дело с задачей такого рода. На материаль-
материальную точку с массой т действует сила F' с проекциями Fх', Fy', Fz'\
Глава XVII. Дифференциальные уравнения движения свободной точки 453
найти, какую силу F" следует присоединить к силе F', чтобы мате-
материальная точка получила заданное движение
* = Л(9. y = N(t), z = /,(/)¦
Согласно уравнениям E, § 88) должно быть:
= Fx+Fx, m у =F'y +F'y , m z= '[
где Fx", F ", F " — проекции искомой силы F" на три координатные
оси. Отсюда получаем
Fx=mfi(t)—Fx, F"y=mf2(t) — Fy, F'z= mf\(t) — F'z,
а следовательно, найдем и искомую силу F", которая совместно с си-
силой F' производит заданное движение точки.
Как видим, решение первой задачи динамики точки сводится к диф-
дифференцированию заданных функций времени A) и, следовательно, осу-
осуществляется сравнительно легко.
Задача 72. Тело весом Р=\ Г (рис. 276) падает под действием силы
тяжести и испытывает при этом сопротивление воздуха, так что закон
поступательного движения этого тела выражается уравнением
x = 490t — 245A— е'**),'
где х — в см, t — в сек; ось Ох направлена по вертикали вниз. Опре-
Определить в динах силу R сопротивления воздуха, испытываемую телом,
в зависимости от его скорости v, приняв g=980 -^-2.
Решение. Так как тело движется поступательно, то мы рас-
рассматриваем его как материальную точку М с массой, равной массе
тела. На эту точку действуют сила тяжести Р и искомая сила сопро-
сопротивления воздуха R (направления их указаны на рисунке).
Составим дифференциальное уравнение движения „а
точки М в проекции на вертикальную ось Ох:
отсюда м
тх. \р
Пользуясь физической системой единиц, имеем:
Р = 1 -980=980 дин, т— \г (масса точки М). Далее
находим проекцию скорости и проекцию ускорения
точки М на ось Ох: \
U
л: = 490A— е0, Рис, 276
454 Раздел III. Динамика
Таким образом, подставляя значения массы точки М и найденную
проекцию ее ускорения в составленное дифференциальное уравнение
движения этой точки, находим
i? = 980A —е-20-
Учитывая, что у=л:=490 A—e~2t), имеем
R = 2v дин.
Задача 73. Уравнения поступательно движущегося тела весом Р=
=4,9 кГ имеют вид
где х, у, z — в м, t — в сек. Определить модуль и направление дей-
действующей на тело силы F, приняв gxz^
Решение. Так как тело движется поступательно, то мы рассмат-
Р 4,9 п гкГ-сек-
риваем его как материальную точку с массой т=—=^ъ=0,о .
Дважды продифференцировав координаты движущейся точки по
времени, находим проекции скорости и ускорения этой точки на оси
координат:
= 2t,
2=6
сек- сек-
Подставляя значения массы точки и проекций ее ускорения в диф-
дифференциальные уравнения движения точки E, § 88), находим проекции
на соответствующие оси искомой силы, действующей на точку:
F к = т х = 2 кГ, Fy = in у = 1 кГ, F~ = m z = 3 кГ.
Зная проекции силы на три взаимно перпендикулярные оси, по
формулам C) и D) находим ее модуль и направляющие косинусы:
F=V F\- + F\, 4- Fl = У 22 -f I2 + 32 ^ 3,74 кГ;
cos (Т?,Г) = 4l-= ^ =0,334;cos (?,АГ) = 4-= 3^=0,267;
(A F 3
cos If, k ) =¦?*- = x=- = 0,804,
Глава XVII. Дифференциальные уравнения движения свободной точки 455
откуда
^ (?, 7) = 57°4Г, -^ [7, J) = 54°30\ ^ [7, ife) = 36°42'.
Задача 74. Материальная точка весом 10 кГ движется по окружности
радиуса /?=100 м в горизонтальной плоскости под действием перемен-
переменной силы. В период разгона точка движется согласно закону s=0,l t3
(t — в сек, s — в м).
Определить модуль действующей силы в момент, когда скорость
точки равна 30 —, приняв g~10 —-2.
Решение. Закон движения точки вдоль заданной траектории
(рис. 277) задан и имеет вид
s = 0,H3.
Продифференцировав криволи-
криволинейную координату s точки по вре-
времени, получим проекцию вектора
скорости v точки на направление
касательной
s = ot=0,3^.
Определим время, в течение
которого точка достигнет скоро-
скорости vz = 30-^. Подставив это зна-
чение скорости в только что полу-
полученное выражение для v- , полу-
получим
30
отсюда
0,3 г?,
Рис. 277
tx — 10 сек.
Дважды продифференцировав криволинейную координату s точки
по времени, получим проекцию вектора полного ускорения w точки на
направление касательной
s = ал. = 0,61.
Проекция же вектора полного ускорения w точки на направление
главной нормали, очевидно, будет
iC 0,09^
rm = =
456 Раздел III. Динамика
Определим теперь wx и wn при ?=^=10 сек:
м 900 „ м
; а; 9
сек* • """ 100 " сек* *
п с 1 п
z =0,6-10 =
Подставляя значение массы точки т=—ж 1 —-—, а также
до, =6 —g и tt'n==9 —j в дифференциальные уравнения движения
точки A2, § 88), находим проекции искомой силы, действующей на точ-
точку, на направления касательной и главной нормали:
FT = тил, = 1 -6 = 6 кГ; Fn = mwn= 1-9 = 9 кГ.
Отсюда находим модуль искомой силы
F = У Fl + Fl = 1^36 + 81 » 10,8 /сГ.
§90. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
К РЕШЕНИЮ ВТОРОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
1. Решение второй задачи динамики для криволинейного дви-
движения свободной точки. Изложение методов решения второй задачи
динамики составляет, по существу, основное содержание всех разделов
динамики точки и динамики механической системы, в частности, твер-
твердого тела. Для материальной точки, как уже было сказано, эта задача
состоит в том, чтобы по заданным силам, действующим на точку, массе
точки и начальным условиям движения точки (начальному ее положе-
положению и начальной скорости) определить закон движения этой точки.
Решается эта задача с помощью дифференциальных уравнений дви-
движения точки в форме E, § 88) или A2, § 88). В случае свободной мате-
материальной точки чаще пользуются дифференциальными уравнениями
движения в декартовых координатах E, § 88). В самом общем случае,
который нам встретится, в правой части каждого из уравнений E, § 88)
будут, как указывалось, стоять заданные функции семи переменных
t, х, у, z, х, у, z. При этом решение второй задачи динамики приводится
математически к задаче интегрирования трех совместных дифферен-
дифференциальных уравнений F, § 88) второго порядка относительно трех неиз-
неизвестных функций х, у, z, где независимым аргументом является время t.
Общие методы интегрирования этих уравнений пока не разработаны.
Однако некоторые приемы построения решений системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений F, § 88) можно указать.
Не входя в подробности, которые уместны в курсах анализа, допус-
допустим, что в результате преобразования системы уравнений F, § 88)
Глава XVII. Дифференциальные уравнения движения свободной точки 457
нам удалось привести эти уравнения к следующей равносильной систе-
системе уравнений в полных производных:
-jT^i{t\ х, у, г; х, у, г) = 0 (t = 1,2,3).
Тогда, интегрируя эти дифференциальные уравнения, получим
<Pt(t; х, у, г; х, у, z)=Ci (i= I, 2, 3), A)
где C;(i=l, 2, 3) — произвольные постоянные интегрирования.
Соотношения A), связывающие время t, координаты точки х, у, г,
проекции скорости точки х, у, г и произвольную постоянную интегри-
интегрирования, называются первыми интегралами дифференциальных урав-
уравнений криволинейного движения свободной точки F, § 88).
Предположим, далее, что мы смогли свести систему уравнений A),
рассматриваемую как систему дифференциальных уравнений первого
порядка, к равносильной системе уравнений вида
~- Ф((и х, у, г, d, C2, С3) = О (/=1,2, 3), B)
тогда, интегрируя дифференциальные уравнения B), получим
Ф1((, х, у, z, Clt C2> С3) = С4, 1
02(t, х, у, z, Си С8, С3) = С5; C)
03(t, х, у, z, С1г С2, С3) = Св; )
где С4, С6> Св — произвольные постоянные интегрирования. Соотно-
Соотношения B), связывающие время t, координаты точки х, у, z и шесть
произвольных постоянных интегрирования, называются вторыми
интегралами дифференциальных уравнений криволинейного движения
свободной точки F, § 88).
Решая алгебраическим путем систему уравнений C) относительно
координат движущейся точки, получим систему искомых функций:
¦*- == /1 U> W, ^2> ^3> ^-> ^5' ^в)>
у = ft{t, Clt Са, С3, С4, С8, С,);
z~fz{t, Съ С2, С3, Ct, С5, Св).
Эти функции, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям дви-
движения точки и содержащие шесть произвольных постоянных интегри-
интегрирования*, называются общим решением дифференциальных уравнений
криволинейного движения свободной точки F, § 88).
D)
* Заметим, что для общего решения дифференциальных уравнений движе-
движения точки по плоской траектории (8, § 88) характерно наличие только четырех
произвольных постоянных интегрирования.
29 Н, Ф, Сахарный
458 Раздел III. Динамика
Давая в выражениях D) различные значения произвольным пос-
постоянным, можно сделать несколько неожиданный на первый взгляд вы-
вывод: одна и та же сила может сообщить материальной точке не строго
определенное движение, а целый класс разнообразных движений. По-
видимому, присутствие шести произвольных постоянных интегриро-
интегрирования в общем решении D) объясняется тем, что, зная массу движущей-
движущейся точки и действующую на эту точку силу F, мы не указали, из какого
положения началось движение точки и какова была ее скорость в на-
начальном положении, или, как говорят, в начальный момент вре-
времени t0. Таким образом, чтобы с помощью уравнений F, § 88) полу-
получить конкретное решение второй задачи динамики точки, надо, кроме
массы точки и действующей на эту точку силы, знать еще, в каком по-
положении находится точка в начальный момент t0 (начальное положение)
и какую она в этот момент имеет скорость v0 (начальная скорость).
Величины, определяющие значения начального момента t0, радиуса-
вектора г0 начального положения точки и начальной скорости v0,
называются начальными условиями движения точки. В декартовых осях
координат начальные условия в случае криволинейного движения точ-
точки задаются в виде
х — х0, у = у0, z = z0; | /J-.
X = X U = U Z = Z . I
Подчинив найденные первые и вторые интегралы заданным началь-
начальным условиям E), можно определить все шесть постоянных интегри-
интегрирования Clt C2, ..., Св по этим начальным условиям*.
Подставляя начальные условия E) в первые интегралы A), найдем
значения постоянных интегрирования Си С2, С3 по формулам:
У a' zo> хо< Уоу 2о) (г"=
Подставляя начальные условия E) и найденные значения Сг°
(?=1, 2, 3) во вторые интегралы C), найдем значения постоянных ин-
интегрирования С4, С5, С6 по формулам:
СЧ = ФЛ*о> *о. 0о. zo' С?, С°2, С§);
Cg = <M*o. х0, у0, г0, С°и & Cl).
Подставляя все найденные значения произвольных постоянных в
общее" решение D), получим искомый закон движения точки, т. е.
частное решение, отвечающее начальным условиям E), в виде
* Во всякой правильно поставленной и правильно решенной механической
задаче возможность, хотя бы теоретическая, определения этих шести произ-
произвольных постоянных из шести уравнений A) и B) будет обеспечена.
Глава XVII. Дифференциальные уравнения движения свободной точки 459
=/i \t, С\, С2, Сз, С4, С5, Се);
°
z=/8(*. С?, Cg, Ci СЧ, Cg, Cg).
F)
Заметим, что при интегрировании уравнений F, §89) большей частью
бывает удобнее выражать через начальные условия E) постоянные ин-
интегрирования сразу же по их появлении и, таким образом, в дальней-
дальнейшем приходить к закону движения точки F), минуя общее решение D).
2. Решение второй задачи динамики для прямолинейного движения
свободной точки. Вторая задача динамики для прямолинейного дви-
движения свободной точки в общем случае решается с помощью уравнения
(9, § 88). В отношении математической стороны эта задача может быть
сведена к следующим операциям: 1) к интегрированию с помощью тех
или иных математических приемов этого уравнения, т. е. к нахождению
его общего решения; 2) к нахождению закона движения точки, т. е. к
нахождению частного решения, удовлетворяющего начальным усло-
условиям, которые в декартовых осях координат в случае прямолинейного
движения (по оси Ох) задаются в виде
х = х0.
При решении подобных задач в тех простейших случаях, когда
действующие на точку силы зависят только от времени t, только от
координаты точки х или только от скорости точки, т. е. от vx=x, мож-
можно пользоваться следующими общими указаниями:
1. Составление дифференциального уравнения движения. Для со-
составления дифференциального уравнения прямолинейного движения
точки необходимо: 4
а) Выбрать начало отсчета и провести координатную ось вдоль ли-
линии движения, направляя ее, как правило, в сторону движения точки.
Обычно начало отсчета совмещают с начальным положением дви-
движущейся точки. Если же под действием приложенных к точке сил эта
точка может находиться в каком-нибудь положении в равновесии, то
начало отсчета удобно помещать в этом положении равновесия.
б) Изобразить на чертеже движущуюся точку в произвольном по-
положении (а не в начальном и, вообще, не в каком-либо особенном) и
установить, какие силы действуют на эту точку.
в) Подсчитать сумму проекций всех этих сил на координатную ось
и подставить эту сумму в правую часть дифференциального уравнения
прямолинейного движения точки (9, § 88), а в левую — заданную мас-
массу точки.
2. Интегрирование составленного дифференциального уравнения
движения. Интегрирование составленного дифференциального уравне-
29*
460 Раздел III. Динамика
ния прямолинейного движения точки производится методами, извест-
известными из курса анализа и зависящими от вида правой части этого урав-
уравнения. _
Если действующая на точку сила F зависит только от времени, т. е.
m'x = Fx(t), (8)
то для понижения порядка дифференциального уравнения движения
точки (8) следует воспользоваться выражением проекции ускорения
точки
В этом случае первое и второе интегрирования уравнения (8) осуще-
осуществляются методом разделения переменных*, при этом, осуществляя
второе интегрирование уравнения (8), мы должны воспользоваться под-
подстановкой
vx=~- (Ю)
Если же сила F, действующая на точку, зависит только от коорди-
координаты точки, т. е.
= Fx(x), A1)
то для понижения порядка уравнения A1) следует воспользоваться
выражением
dvx dx dvx ,,n,
х = -т~ -г— = Vx~-. A2)
dt dx x dx v '
В этом случае первое и второе интегрирования осуществляются также
методом разделения переменных; при этом, осуществляя второе интег-
интегрирование уравнения A1), мы должны воспользоваться подстановкой
(Ю).
В случае силы F, зависящей только от скорости точки , т. е.
x = Fx('x), A3)
можно для понижения порядка уравнения A3) и последующего дву-
двукратного его интегрирования методом разделения переменных восполь-
воспользоваться выражениями (9) и A2) в зависимости то того, нужно ли вы-
выразить vx как функцию от t или как функцию от х.
* Под этим, как известно из курса высшей математики, понимается приведе-
приведение дифференциального уравнения к виду, при котором левая и правая его
части содержат только по одной переменной.
Глава XVII. Дифференциальные уравнения движения свободной точки 461
Таким образом, в тех случаях, когда на точку, кроме постоянных
сил, действует переменная сила, зависящая или только от t, или толь-
только от х, или только от х, составленное дифференциальное уравнение
прямолинейного движения точки можно всегда проинтегрировать ме-
методом разделения переменных. В результате первого интегрирования
проекция скорости vx точки выразится через время t или координа-
координату х, а также через постоянную интегрирования Сх:
f, = <Pi(', Q A4)
или
0, = Ф.(*,С1). A5)
В результате же второго интегрирования координата х движущейся
точки выразится через время t и две произвольные постоянные интег-
интегрирования С\ и С2:
x = f{t, С\, C2). A6)
Эта функция является общим решением составленного дифферен-
дифференциального уравнения прямолинейного движения точки.
3. Определение произвольных постоянных интегрирования по началь-
начальным условиям. Чтобы найти искомый закон движения точки, т. е.
частное решение, отвечающее начальным условиям G), нужно найти
постоянные интегрирования Сх и С2 по этим начальным условиям. Это
осуществляется при помощи уравнений A4) или A5), а также урав-
уравнения A6) и начальных условий G). При этом искомый закон движения
точки будет иметь вид
* = /(*, С?, Cl), A7)
где СУ и С2°— постоянные интегрирования, определенные по началь-
начальным условиям G).
4. Исследование движения точки. Заметим, что при интегрировании
составленного для данной точки дифференциального уравнения дви-
движения полезно выражать первую постоянную интегрирования Сх
через начальные условия немедленно, т. е. как только это произволь-
произвольное постоянное появилось при первом интегрировании. Получающееся
выражение проекции скорости через время или координату точки и че-
через начальные условия называется законом скорости. Исследование
движения точки как раз и состоит в определении при помощи закона
скоростей и закона движения A7) различных особенностей изучаемого
движения.
Для пояснения сказанного в этом параграфе рассмотрим конкретные
задачи, когда действующая на точку сила постоянна по модулю и на-
направлению, а также когда она соответственно зависит: 1) от времени,
2) от координат движущейся точки и 3) от скорости точки.
Задача 75. Материальная точка массы т брошена с поверхности
Земли вертикально вверх с начальной скоростью v0. Принимая во вни-
462
Раздел III. Динамика
мание, что сила тяжести точки постоянна, и пренебрегая сопротивле-
сопротивлением воздуха, найти закон движения точки.
Решение. Выберем начало отсчета О в начальном положении
материальной точки и направим ось Ох по траектории точки в сторону
движения этой точки (рис. 278). Тогда начальные
условия будут: при t=0 х=хо=О, х=х0 = v0. Изобра-
Изображаем в произвольном положении движущуюся точку и
действующие на нее силы. В рассматриваемом случае на
движущуюся точку действует единственная сила — по-
постоянная сила тяжести P=mg, направленная по верти-
вертикали вниз. Проекция этой силы на выбранную ось будет
Рх=—tng, а поэтому дифференциальное уравнение дви-
движения точки (9, § 88) примет вид
м
Рис. 278
или
так как х=-
тх = —mg,
dvr
dt ¦
Отметим особо, что составленное нами уравнение движения точки
не меняет своего вида в зависимости от того, откуда началось движение
точки, была ли она брошена вверх или вниз или опущена свободно с
некоторой высоты. Дифференциальное уравнение движения не содер-
содержит также никаких следов того толчка, который был сообщен мате-
материальной точке, как бы великой ни был, потому что это уравнение от-
относится к промежутку времени, следующему за толчком, когда его
действие уже прекратилось. Что же касается последствий толчка, со-
сообщившего начальную скорость v0, то они будут учтены при определе-
определении произвольных постоянных по начальным условиям движения
ТОЧКИ.
Умножая обе части дифференциального уравнения движения точки
на dt, разделяя переменные и интегрируя, получим
Подставляя сюда заданные начальные условия, определяем, что С2=
— v0. Тогда, заменяя в полученном результате ох на х, найдем закон
скорости в виде
x = v0 — gt. (a)
Умножая обе части этого равенства на dt и еще раз разделяя пере-
переменные и интегрируя, найдем
Глава XVII. Дифференциальные уравнения движения свободной точки 463
Подставляя заданные начальные условия в это уравнение, находим
С2=0. Отсюда получаем искомый закон движения точки в виде
x = vot-?-. (б)
Используя найденные закон скоростей (а) и закон движения точки
(б), можем определить наибольшую высоту, на которую поднимается
брошенная материальная точка.
Так как при достижении наибольшей высоты хтах=Л скорость точки
обращается в нуль, то из уравнения (а) получим
0О — eh = О,
т. е.
Подставляя это значение t=t1 в уравнение (б), найдем
х -h-±
Лтах "¦ 2 а '
Задача 76. Материальная точка массы т=10 начинает дви-
двигаться из состояния покоя вдоль некоторой прямой под действием си-
силы F, модуль которой растет пропорционально времени, причем коэф-
коэффициент пропорциональности равен л=6 —. Требуется найти закон
с вк
движения точки.
Решение. Поместим начало отсчета О в начальном положении
точки и направим ось Ох по ее траектории в сторону действия силы,
т. е. в сторону движения точки
(рис. 279). Тогда начальные уело- 2 ^ / ——j
вия будут: при г"=0, х=хо=0, \ < х Jf
лг=дго=О. Изображаем в произволь- р 279
ном положении М движущуюся
точку и действующие на нее силы._
В данном случае проекция силы F, действующей на точку, на выбран-
выбранную ось будет Fx=6 t, и дифференциальное уравнение движения точки
(8) примет вид
10л; = 61,
или
"х = 0,6 L
Так как сила зависит только от времени, то снизим порядок этого урав-
уравнения при помощи подстановки х =-jf\ в результате получим
^-06/
464
Раздел III. Динамика
или, после разделения переменных,
dvx = 0,6 tdt.
Интегрируя это уравнение, получим
х =°?р + С =0,3^ + ^.
Подставляя сюда заданные начальные условия, найдем, что (^=0;
следовательно, закон скорости будет
о, = 0,3 Л
Так как vx=x, то из закона скорости разделением переменных мы
находим
dx = 0,312 dt.
Интегрируя это уравнение, получим
Приняв во внимание заданные начальные условия, находим С2
и искомый закон движения точки примет вид
х = 0,113.
0,
Задача 77. Материальная точка массы т брошена с поверхности
Земли вертикально вверх с начальной скоростью v0. Пренебрегая со-
сопротивлением воздуха и принимая во внимание, что сила притяжения
точки к Земле изменяется по закону всемирного тяготения Ньютона
обратно пропорционально квадрату расстояния точки от центра Земли
и прямо пропорционально массам точки и Земли,
найти скорость точки как функцию этого рассто-
расстояния.
Решение. Поместим начало отсчета О в цен-
центре Земли и направим ось Ох по траектории точки
в сторону движения этой точки (рис. 280). Тогда
начальные условия будут: при t=Q x=xo=R,
x=xo=vo. Изобразим в произвольном положении
М движущуюся точку и действующие на нее силы.
На эту точку будет действовать одна сила — си-
сила притяжения точки к Земле F, направленная
по вертикали вниз. По условию задачи модуль си-
силы /•'определяется согласно закону всемирного тя-
тяготения
Р , тМ
Рис. 280 *а
Глава XVII. Дифференциальные уравнения движения свободной точки 465
гдет — масса точки, М — масса Земли, k — гравитационная постоян-
постоянная, х — расстояние материальной точки от центра Земли. Проекция
силы F на ось Ох будет Fx =—k—2 .поэтому дифференциальное урав-
ние движения точки A1) примет вид
, пгМ
m х = — k —,г ,
или
х - — R х2 .
На поверхности Земли, при x=R (где R — радиус Земли), сила тя-
тяжести Р = mg удовлетворяет условию*
г, , тМ
F = mg = k -^-,
т. е.
Ш = gR\
где g — ускорение силы тяжести на поверхности Земли.
Подставляя это выражение в уравнение движения, получаем
В данном случае сила, действующая на точку, зависит только от
координаты этой точки, поэтому мы снизим порядок составленного
дифференциального уравнения при помощи формулы A2), т. е.
При этом получим
dvx
x dx
или, по разделении переменных,
Проинтегрировав это уравнение, найдем
2 -~T + Ll-
* Сила тяжести (вес) точки представляет собой частный случай сил всемир-
всемирного тяготения.
466 Раздел III. Динамика
Так как при t=0 x=R, vx=v0, то
2
Отсюда найдем
w ~" 2 R '
Подставив это значение С1 в формулу (а), получим
2 х R ' 2 "
Решив это уравнение относительно о,., найдем искомый закон ско-
скорости
vx=±
Используя этот закон скорости, можем найти наибольшую высо-
высоту, на которую поднимается брошенная материальная точка.
В тот момент, когда материальная точка достигает наибольшей вы-
высоты (хшах=/г), ее скорость будет равна нулю, т. е.
0=
Решая это уравнение относительно h, найдем
h у.
2Rg-v20
Отсюда видно, что при vo2<i2Rgточкой будет достигнута некоторая
наибольшая высота h, после чего эта точка начнет падать обратно на
Землю, а при vo2=2Rg движущаяся точка будет все время удаляться
от Земли.
Задача 78. Тело массы т падает в воздухе с небольшой (по сравне-
сравнению с земным радиусом) высоты с начальной скоростью, равной нулю,
и испытывает сопротивление воздуха. Найти закон поступательного
движения тела, скорость тела в зависимости от времени и от пройден-
пройденного этим телом пути и предельное значение скорости тела при неог-
неограниченно продолжающемся падении, считая силу сопротивления воз-
воздуха пропорциональной второй степени скорости: R=\i.v2, где [л —
коэффициент сопротивления.
Решение. Так как тело движется поступательно, то мы можем
рассматривать его как материальную точку с массой т. Поместим на-
начало отсчета О в начальном положении движущейся точки и направим
ось по вертикали вниз (рис. 281). Тогда начальные условия будут: при
^=0 х=хо=0, х=хо=0. Изображаем в произвольном положении М
Глава XVII. Дифференциальные уравнения движения свободной точки 467
движущуюся точку и действующие на нее силы. Так как материаль-
материальная точка движется вблизи поверхности Земли, то силу тяжести точки
можно считать постоянной. При этом коэффициент сопротивления (л,
зависящий от плотности воздуха, формы тела и площади проекции тела
на плоскость, перпендикулярную к вектору скорости тела v, также мож-
можно принять за постоянную величину. Таким образом,
на движущуюся точку будут действовать две силы:
постоянная сила тяжести Р = mg, направленная по
вертикали вниз, и сила сопротивления воздуха R=\iv2,
направленная по вертикали вверх. В данном случае
Fx=I,Fix=P— Я, и дифференциальное уравнение дви-
движения точки A3) примет вид
m х = mg — \w% — mg A j?-1>2
M
или, после сокращения на m,
.<*)
У/////У//У//л
I
I
Рис. 281
Если обозначить через с скорость точки, при которой сила сопро-
сопротивления воздуха равна весу точки (что имеет место при равномерном
падении точки), то Р=\1Сг, откуда тг=-§- Поэтому предыдущее урав-
уравнение принимает вид
или
dt
п% 7,2
(б)
так как *¦ = ——¦ и в нашей задаче всегда vx=v. Это — уравнение пер-
первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяя перемен-
переменные, получим
dv
С2 _ {,2
= 4rdt.
Отсюда, интегрируя это дифференциальное уравнение, находим:
С
С—V с* '
Подставляя сюда начальные условия, найдем, что ^=0, и преды-
предыдущее уравнение примет вид
_Lin c + v
2 с с — v
с2
468 Раздел III. Динамика
Из этого уравнения находим скорость тела в зависимости от вре-
времени (закон скорости):
ее -1
V = С-
2gt
Умножив числитель и знаменатель дроби, стоящей в правой части
этого равенства, на е с, получим
gt gt
с с
е -\- е
Умножив числитель и знаменатель дроби, стоящей в правой части
равенства (в), на е с , найдем
2<
1-е
V = С
.Ж
Мы видим, что с возрастанием t величина е с убывает, стремясь
при /-»-оо к нулю. Отсюда следует, что скорость падения тела v с воз-
возрастанием / возрастает, стремясь в пределе к постоянной величине с.
Эта величина называется предельной скоростью падения ушах= с =
=~|/ —. Эта скорость возрастает с увеличением веса тела (или точки)
и с уменьшением коэффициента сопротивления.
Таким образом, при vo=0 падающее в воздухе тело не может полу-
получить скорости, большей, чем с. Оно сперва быстро набирает скорость,
но с течением времени его падение все более приближается к равно-
равномерному падению со скоростью с.
Чтобы найти скорость тела в зависимости от пройденного им пути,
исключим из дифференциального уравнения (б) переменное t, для чего
dv
производную -г, представим в виде
dv dv dx dv
Ж ~~ ~dx" dT = Vdx'
Тогда получим следующее дифференциальное уравнение с разделяю-
разделяющимися переменными:
Глава XVII. Дифференциальные уравнения движения свободной точки 469
разделив здесь переменные, получим
vdv g ,
= 4- dx.
С2 — V2
Интегрирование этого дифференциального уравнения дает
По начальным условиям при х=0 скорость v =0, следовательно,
С2 = — 2^п°2' Подставляя это значение С2, получим
1 ГЪ r,2 ff
-\\п c2v = -%-х,
или
с2 — г)г С
Отсюда окончательно находим скорость тела в зависимости от прой-
пройденного им пути:
Перейдем теперь к определению закона движения. Для этого обра-
обратимся к закону скорости (в). Подстановкой v=-^ получим
dx
dt
gt
с
е
gt
. с
е
—
+
е
е
gt
с
gt'
с
или, по разделении переменных,
iL -.it
с с
, е — е ,,
dx==clL—Zedt'
с с
е -f- e
откуда
iL -it
+ е
dx = —.
8 iL _iL
с , с
+ е
Интегрированием этого уравнения найдем
/ iL !
С)+С3.
470 Раздел III. Динамика
«2
По начальным условиям при /=0 л:=0, откуда С3= 1п2, и, следо-
следовательно, закон движения тела будет такой:
с
Х1П.
-- 1
При больших t слагаемое е с ~-rt будет много меньше слагаемого
Г
е
с
е° и поэтому слагаемым е с практически можно пренебречь.
Тогда будем иметь
т. е. движение по истечении некоторого промежутка времени прак-
практически становится равномерным.
Задача 79. Материальная точка* массы т брошена с поверхности
Земли с начальной скоростью v0, образующей угол а с горизонтом.
Принимая во внимание, что сила тяжести точки постоянна, и пре-
пренебрегая сопротивлением воздуха, определить: 1) закон движения
точки; 2) траекторию точки; 3) высоту полета точки при данном угле а;
4) угол а, при котором высота полета точки будет максимальной;
5) дальность полета точки при данном угле а и 6) угол а, при котором
дальность полета точки будет максимальной.
Решение. Поместим начало отсчета О в начальном положении
движущейся точки и направим ось Oz по вертикали вверх, а ось Оу
выберем так, чтобы вектор начальной скорости точки vQ лежал в плос-
плоскости Oyz (рис. 282). В этой системе отсчета начальные условия будут
следующими:
* = х0 = 0, у = у0 = 0, z = zQ = 0,
t = 0 " ' г> ' ' ¦
х = х0 == 0, у = у0 = c0cosa, z = z0 =v osin a.
Изображаем в произвольном положении М движущуюся точку и
действующие на нее силы. Единственной силой, действующей на точку,
является постоянная сила тяжести P=mg, направленная по вертикали
вниз; проекции этой силы на оси координат равны: '
Рх = 0, Р, = 0, Pz = -P^
* За такую точку можно принять, например, артиллерийский снаряд, если
рассматривать только его поступательное движение.
Глава XVII. Дифференциальные уравнения движения свободной точки 471
Подставляя эти величины в дифференциальные уравнения движения
точки E, § 88), получим
= 0, mz--=~mg,
или, после сокращений на т,
х = О, у = 0, z = — g.
Рис. 282
Проинтегрировав один раз каждое из составленных дифференциаль-
дифференциальных уравнений движения, найдем
Удовлетворяя начальным условиям, будем иметь
Сх = О, С2 = v0 cos а, С3 = v0 sin а.
Подставляя эти значения С1; С2, С3 в найденные выше решения, при-
придем к уравнениям:
х = 0, У — vQ cos a, z = — g/ + f0 sin a.
Интегрируя каждое из этих уравнений, получим
х = С4, г/ = V cos а + С5,- г = — ^- + V sin а + С6.
Подстановка начальных условий дает С4=С5=С6=0, и мы окончатель-
окончательно находим закон движения точки в виде:
х = 0, у = иог cos а, г = — ^- +
472 Раздел III. Динамика
Исключая из этих уравнений время t, получим уравнение траек-
траектории точки в форме, содержащей только координаты точки:
х = 0, z = yiga. 2gyig .
Данное уравнение есть уравнение параболы, ось симметрии которой
параллельна оси Oz.
Для нахождения высоты полета Н точки найдем максимум функ-
ции 2=— ^2+vot sina:
z = — gt + v0 sin a = 0;
, tH sin a
cipSin2» t)Qsin2a
fflax 2 g2 ' g 2g
Таким образом,
Из этой формулы следует, что высота полета будет максимальной
при «=90° и
Яшах = —.
Чтобы найти дальность полета L движущейся точки, вставим в урав-
уравнение траектории этой точки координаты точки A (y=L, г=0), в ко-
которой траектория пересекает ось Оу. Тогда получим
0 = —- Ь Ltg a.
2 v\ cos2 a
Отсюда найдем
v\ sin 2a
L = .
Из этой формулы следует, что
4
и максимальная дальность полета будет при <х=45°.
Задача 80. Материальная точка веса Р, брошенная с начальной
скоростью v0 под углом а к горизонту, движется под влиянием по-
постоянной силы тяжести Р и силы сопротивления воздуха R. Опре-
Глава XVII. Дифференциальные уравнения движения свободной точки 473
делить закон движения точки и наибольшую высоту Н этой точки над
уровнем начального положения, считая силу сопротивлений воздуха
пропорциональной первой степени скорости: R = kPv дин, где k —
коэффициент пропорциональности (k =const).
Решение. Поместим начало (м
отсчета О в начальном положении
движущейся точки. Направим ось
Оу вертикально вверх; горизон-
горизонтальную ось Ох расположим в пло-
плоскости, проходящей через ось Оу и
вектор начальной скорости точки
v0 (рис. 283). Тогда угол между
вектором v0 и осью Ох будет а. В
этой системе отсчета начальные ус-
условия будут следующими:
х = х? = 0, у = у0 = 0,
X = X0 = v0 cos а, у = yo = VQ sin а.
Изобразим в произвольном положении М движущуюся точку и
действующие на нее силы. На точку действуют две силы: сила тяжести
Р, направленная вертикально вниз, и сила сопротивления воздуха R =
=¦—kPv, направленная противоположно скорости точки v.
Составим дифференциальное уравнение точки в векторной форме
J-w = P~ — ~v.
g g
Проектируя обе части этого векторного уравнения на ось Ох и
ось Оу, получим
Р ¦¦ _ _йР_ ¦
о" О"
Рис. 283
Р • n kP ¦
— у = —Р у ,
или, после сокращений,
х +kx = О,
y+ky =—g.
Для решения этих независимых друг от друга линейных дифферен-
дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
мы можем воспользоваться теорией интегрирования таких уравнений,
известной из курса высшей математики.
474 Раздел III. Динамика
Первое дифференциальное уравнение является однородным. Со-
Составим для него характеристическое уравнение
отсюда
Х1 = 0; Х2 = — k.
Стедовательно, общее решение данного дифференциального уравнения
выразится так:
x = C1 + C2e~"i. . (a)
Второе дифференциальное уравнение является неоднородным.
Представим общее решение этого уравнения как сумму общего решения
соответствующего однородного уравнения и частного решения
и 8L
Уз ~ k
неоднородного уравнения. Следовательно, общее решение второго
дифференциального уравнения выразится так:
(б)
х = - C2ke~kt; у =—Ctk е~Ы— -f ¦ (в)
Дифференцируя выражения (а) и (б) по времени, найдем
-kt
¦ 11 — I • Ь о
к
Подставляя начальные условия в выражения (а), (б) и (в), полу-
получим следующие уравнения для определения произвольных постоян-
постоянных Cj, C2, С3 и С4:
и =^ С^ ~р С*2,
v0 sin a == — C4 k —¦ ,
откуда следует
— Са =y cos a,
С я —
Таким образом, согласно выражениям (а) и (б) имеем закон дви-
движения точки в виде
Глава XVII. Дифференциальные уравнения движения свободной точки 475
-kt\
¦ = ^-\l—e cos a,
-ft/
при этом закон скорости будет иметь вид
/ ч ~Ы
х = (v0 cos я) е ,
В положении максимального подъема точки
откуда
—Ы ? 1
Сяедовательно, высота подъема точки будет
Задача 81. Определить закон движения и траекторию материальной
точки массы т граммов, притягиваемой к неподвижному центру О
силой, прямо пропорциональной расстоянию точки от этого центра.
Движение происходит в пустоте; сила притяжения на единицу рас-
расстояния равна k2m дин; сила тяжести точки постоянна; в момент ?=
=0 х=а, у—О, х=0, г/=0, причем ось Оу направлена по вертикали
вниз.
Решение. Поместим начало
отсчета в неподвижном центре О
и горизонтальную ось Ох распо-~
ложим в плоскости, проходящей
через ось Оу и вектор силы притя-
притяжения (рис. 284). Изобразим в
произвольном положении М дви-
движущуюся точку и действующие на
нее силы. На точку М действуют
две силы: сила тяжести P=mg, на-
направленная вертикально вниз, и
476 Раздел III. Динамика
сила притяжения F, направленная к неподвижному центру О.
По условию задачи F=n-OM, где п — коэффициент пропорцио-
пропорциональности. При OM = l F=k2m, поэтому n — k2m и, следовательно,
F=k2mr, где ОМ=г есть модуль радиуса-вектора г движущейся точки.
Составим дифференциальное уравнение точки в векторной форме
mw — mg— k2mr.
Проектируя обе части этого векторного уравнения на ось Ох и
ось Оу и сокращая на т, получим
х + k2x = О,
Общее решение первого дифференциального уравнения (однород-
(однородного) имеет вид
х = Сх cos kt + C2 sin kt. (a)
Общее решение второго дифференциального уравнения (неоднород-
(неоднородного) представим как сумму общего решения
Ух = С3 cos kt + Ci sin kt
соответствующего однородного уравнения и частного решения
неоднородного уравнения. Следовательно, общее решение второго диф-
дифференциального уравнения выразится в виде
у = С3 cos kt + C4 sin kt+ -Jr . (б)
Дифференцируя выражения (а) и (б) по времени, найдем
х — —Cx&sin kt + C2kcoskt,
у = — C3 k sin kt + C4 k cos kt.
Используя начальные условия и выражения (а), (б) и (в), получим
уравнения для определения произвольных постоянных Сг, С2> С3 и С4:
a = Clt 0 = С3 + ¦? , 0 = С2^, 0 = С4А,
откуда
Q = а, С2 = О, С3 = — J- , С4 = 0.
Глава XVIII. Дифференциальные уравнения движения несвободной точки 477
Следовательно, согласно выражениям (а) и (б) имеем закон движе-
движения точки в виде
х = acoskt,
У = -^-0—cos&).
i
Исключая из этих уравнений время t, получаем, что траекторией
точки является отрезок (АВ) прямой
для которого, как это видно из закона движения точки, х может ме-
меняться от—а до а (см. рис. 284).
Глава XVIII
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПРИНЦИП
ДАЛАМБЕРА ДЛЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§91. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
К РЕШЕНИЮ ДВУХ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
1. Основное уравнение динамики несвободной материальной точки.
Основные законы динамики были сформулированы нами для случая
свободной точки, на которую не наложены никакие связи и движение
которой зависит только от начальных условий и действующих
на нее сил.
Несвободной называется такая материальная точка, на движение
которой наложены некоторые ограничения. Эти ограничения, не зави-
зависящие от начальных условий движения и системы приложенных актив-
активных сил, называются связями.
В этой главе мы будем изучать движения несвободной точки, ко-
которая под действием приложенных к ней активных сил не может, благо-
благодаря наложенным на нее связям, занимать произвольное положение в
пространстве или иметь произвольную скорость. Такой несвободной
точкой является, например, материальная точка, движущаяся под
действием активных сил по некоторой неподвижной поверхности или
по некоторой неподвижной кривой, осуществляющих в этом случае
связь. Уравнение этой поверхности или этой кривой называется урав-
уравнением связи. Во все время движения, пока точка остается на поверх-
поверхности или на кривой, ее координаты должны удовлетворять этому урав-
уравнению связи.
478 Раздел III. Динамика
Предположим, что поверхность или кривая, на которых вынужде-
вынуждена оставаться движущаяся точка, являются идеально гладкими, т. е.
осуществляемая ими связь является идеальной, или связью без тре-
трения. Тогда сила реакции этой связи будет направлена по нормали к
этой поверхности или к этой кривой, служащей связью, и будет назы-
называться в этом случае нормальной силой реакции связи N. Предположим
теперь, что поверхность или кривая, на которых вынуждена оставаться
движущаяся точка, являются шероховатыми, т. е. осуществляемая
ими связь является реальной связью. Тогда сила реакции этой связи
будет направлена под некоторым углом к нормали к этой поверхности
или к этой кривой и будет называться в этом случае полной силой реак-
реакции R. При этом
W= N + Fmp,
где Fmp— динамическая сила трения, направленная в сторону, проти-
противоположную вектору скорости v точки. Согласно закону Кулона
где х° — единичный вектор касательной к траектории точки, за поло-
положительное направление которого мы принимаем направление движения
этой точки, [л — коэффициент трения при движении* и N — модуль
нормальной силы реакции связи.
Исследование движения несвободной материальной точки основы-
основывается на аксиоме связей, которая имела применение в статике. На
основании этой аксиомы, отбрасывая мысленно связи, наложенные на
материальную точку, заменяют их действие силами реакций. При этом
несвободная материальная точка рассматривается как точка свобод-
свободная, движущаяся под действием активных сил и сил реакций связей.
Пусть материальная точка массы т движется по заданной шерохо-
шероховатой неподвижной поверхности или кривой. Обозначим равнодей-
равнодействующую всех приложенных к этой несвободной точке активных сил
через Fa. Если действие связи заменить силой реакции R, то данную
точку можно рассматривать как свободную, движущуюся под дейст-
действием сил Fa и R. Заменив при этом в основном уравнении динамики
B, § 88) равнодействующую F всех сил векторной суммой Fa-\-R,
получим
mw = TaJr~R, 0)
или _
mw = Ta + 7J + Fmp. B)
Это уравнение выражает основной закон динамики несвободной точки
в векторной форме.
Если поверхность или кривая, по'которым вынуждена двигаться
* В данной главе ввиду «близкого соседства» обозначений функции f(x,y,z)
и коэффициента трения при движении для ясности будем этот коэффициент
обозначать буквой р.
Глава XVIII. Дифференциальные уравнения движения несвободной тонки 479
материальная точка, являются идеально гладкими, то сила трения Fmp
отсутствует, и, следовательно, уравнение B) примет вид
TaJrN. C)
Полученные уравнения B) и C) позволяют решить следующую ос-
основную задачу динамики несвободной материальной точки: зная массу
материальной точки, действующие на.точку активные силы и уравнение
той поверхности или той кривой, по которым вынуждена двигаться
точка, определить: а) закон движения точки по заданной поверхности
или по заданной кривой и б) динамическую реакцию наложенной связи,
т. е. реакцию, возникающую при движении точки. Следовательно, эта
задача по существу разбивается на две. В зависимости от характера
наложенной связи и выбранного метода решения эти две задачи реша-
решаются или совместно, или раздельно.
2. Исследование движения несвободной материальной точки в де-
декартовых координатах. Если налагаемая на материальную точку связь
ограничивает только свободу ее перемещения в пространстве, не нала-
налагая ограничений на модуль ее скорости, то такая связь называется
голономной, или геометрической. Пусть, например, точка вынуждена
двигаться по некоторой неподвижной поверхности, уравнение которой
в декартовых координатах будет
/(*, у, г) = 0. D)
Это уравнение представляет собой уравнение голономной связи. Ясно,
что координаты движущейся точки не могут принимать произвольных
значений, а должны во все время движения, пока точка остается на
поверхности, удовлетворять этому уравнению. Кроме того, голоном-
ная связь вида D) налагает ограничение на направление скорости дви-
движущейся точки. Это ограничение состоит в том, что вектор скорости
точки должен лежать всегда в касательной плоскости к поверхности,
осуществляющей голономную связь D).
Если налагаемая на материальную точку голономная связь такова,
что точка во все время движения должна подчиняться этой связи, ос-
оставаясь на некоторой поверхности, то эта связь называется удержи-
удерживающей, или неосвобождающей. Математически уравнение такой связи
выражается в форме равенства вида D).
Если уравнение налагаемой на материальную точку голономной
связи не содержит явно времени, т. е. выражается в форме равенства
вида D), то это значит, что поверхность, по которой перемещается ма-
материальная точка, неподвижна и не деформируется. Такая голономная
связь называется стационарной, или склерономной*.
Пусть нам дана абсолютно гладкая поверхность, уравнение кото-
которой в декартовых координатах выражается в форме равенства вида D).
Рассмотрим движение точки М массы т по этой поверхности,
Подробная классификация связей будет дана в главе XXV.
480
Раздел III. Динамика
предполагая, что равнодействующая действующих на точку активных
сил известна и равна Fa (рис. 285).
Допустим, кроме того, что во все время движения точка должна
оставаться на поверхности D). Таким образом, наложенная на рассмат-
рассматриваемую точку связь D) яв-
является стационарной, удержи-
удерживающей и голономной. Эта связь
является, кроме того, идеальной
(без трения). Поэтому мы можем
написать для данной несвобод-
несвободной точки дифференциальное
уравнение движения в вектор-
векторной форме в следующем виде:
где реакция связи N, как уже
говорилось, будет направлена по
нормали к идеально гладкой по-
Рис- 285 верхности f{x, у, г)=0, служа-
служащей связью.
Из курса дифференциальной геометрии известно, что направление
так называемой внешней нормали к поверхности f(x, у, г)=0 совпа-
совпадает с направлением вектора
который называется градиентом скалярной функции f(x, у, z). Так
как реакция TV рассматриваемой поверхности нормальна к поверхности
f(x, у, г)=0, то она коллинеарна с градиентом функции f(x, у, z), т. е.
N^lgradf,
где X— множитель пропорциональности, в общем случае зависящий
от х, у, г. На этом основании уравнение E) можно представить в виде
mr =
Xgrad/.
F)
Спроектировав обе части этого векторного уравнения на неподвиж-
неподвижные оси декартовых координат, получим дифференциальные уравнения
движения материальной точки по идеально гладкой поверхности D)
в следующем виде:
G)
Глава XVIII. Дифференциальные уравнения движения несвободной точки 481
Уравнения G) называются дифференциальными уравнениями криво-
криволинейного движения несвободной материальной точки в проекциях на
оси декартовой системы координат, или уравнениями Лагранжа пер-
первого рода. Эти уравнения и уравнение связи D) представляют собой
систему четырех уравнений, из которых могут быть определены че-
четыре неизвестных функций времени х, у, z, X. В результате найдем
закон движения точки, а по формуле
определим модуль нормальной силы реакции N. Как следует из вида
уравнений G), решение этих двух задач проводится совместно.
Если на материальную точку наложена стационарная, удерживаю-
удерживающая, голономная и реальная связь, уравнение которой имеет тот же
вид D), то, проектируя обе части векторного уравнения B) на непод-
неподвижные оси декартовых координат, получим
(8)
где F™p, F™p, F™p— проекции силы трения Fmp на координатные оси.
Эти проекции можно представить в следующем виде:
_Л
( . i _
Поставив эти значения в уравнения (8), получим дифференциальные
уравнения движения материальной точки по поверхности D) с учетом
трения в следующем виде:
32 Н. Ф. Сахарный
482
Раздел III. Динамика
Эти уравнения, а также уравнения D) и Fmp = [xN определяют собой
систему пяти уравнений, из которых могут быть определены неизвест-
неизвестные величины х, у, г, N и Fmp.
Заметим, что дифференциальные уравнения движения точки по
заданной идеально гладкой или шероховатой кривой, рассматривае-
рассматриваемой как пересечение двух поверхностей
М*. у, z) = 0, ft{x, у, 2) = О,
пишутся аналогично уравнениям G) или (9).
Таким образом, оказывается, что движение несвободной материаль-
материальной точки зависит не только от приложенных к точке сил и начальных
условий, а также от наложенных
на эту точку связей. При этом зна-
значения начальных условий не могут
быть независимыми друг от друга,
а должны удовлетворять уравне-
уравнениям связей.
3. Исследование движения не-
несвободной материальной точки в
, осях естественного трехгранника.
Пусть материальная точка массы
т под действием активных сил дви-
движется по заданной неподвижной
идеально гладкой кривой (рис. 286).
Примером такого движения может
служить движение шарика в кри-
криволинейной трубке. Тогда уравне-
Рис- 286 ние этой несвободной точки в век-
векторной форме будет иметь вид C).
Спроектировав обе части этого уравнения на оси естественного трех-
трехгранника: касательную (т), главную нормаль (л) и бинормаль F) к
кривой, получим*
ms=Fa_,
V,
т —- =
A0)
* В данном случае сила реакции связи N перпендикулярна к заданной кри-
кривой, т. е. расположена в плоскости МЬп, а поэтому N.=0.
Глава XVI/I. Дифференциальные уравнения движения несвободной точки 483
Уравнения A0) называются дифференциальными уравнениями криво-
криволинейного движения несвободной материальной точки в проекциях на
оси естественного трехгранника, или уравнениями в форме Эйлера.
Второе из этих уравнений показывает, что реакция связи при дви-
движении, или так называемая динамическая реакция, зависит не только
от вида связи и приложенных к точке активных сил, как в статике, но
и от характера движения точки, т. е. от скорости этого движения.
Уравнения A0) удобнее уравнений движения в декартовых коорди-
координатах, потому что они позволяют решить задачи об определении зако-
закона движения точки и реакции связи независимо друг от друга. В самом
деле, первое из уравнений A0) не содержит неизвестной реакции и
позволяет определить путем интегрирования скорость точки и закон
движения этой точки вдоль заданной кривой, т. е. s как функцию от t,
а два другие служат для определения составляющих Nn и Nb неизвест-
неизвестной реакции связи и, следовательно, самой реакции связи. Однако
уравнения в декартовых координатах могут быть получены и без пред-
предположения о стационарности связи, а поэтому они являются более
общими.
Рассмотрим теперь движение материальной точки по заданной иде-
идеально гладкой плоской неподвижной кривой. Пусть на движущуюся
точку действует активная сила Fa, лежащая с этой линией в одной пло-
плоскости. Тогда, кроме силы Fa, к точке будет приложена еще реакция
связи N, направленная по нормали к данной линии и лежащая с ней в
одной плоскости. В этом случае уравнения A0) примут следующий вид:
ms = Fa_ ;
(И)
Уравнениями в форме Эйлера A0) или A1) можно пользоваться и в
случае, когда материальная точка под действием активных сил движет-
движется по заданной неподвижной шерохо-
шероховатой кривой; при этом в первом из
уравнений A0) или A1) к проекции
равнодействующей активных сил (F")
должна быть присоединена проек-
проекция силы трения (F"?p=—\kN).
Задача 82. Материальная точка
веса Р =mg, подвешенная на невесо-
невесомой нерастяжимой нити длины / к не-
неподвижной точке О, совершает под
действием собственного веса некото-
некоторое движение по вертикальной ок-
окружности около положения равно-
32*
Рис. 287
484 Раздел III. Динамика
весия (плоский математический маятник). Определить закон дви-
движения для случая малых отклонений точки от положения равновесия
и натяжение нити (N) как функцию угла со, образованного нитью с
вертикалью (рис. 287).
Решение. Изобразим в произвольном положении М, определяе-
определяемом углом 9. движущуюся точку и действующие на нее силы. На
точку М действуют две силы: P~mg (сила тяжести точки М) и N (на-
(натяжение нити или реакция окружности, по которой движется точка М).
Направим вектор т° по касательной к окружности в точке М в
сторону возрастания угла 9. а вектор п° — к центру О окружности;
тогда (рис. 287)
F" = — mg sin 9. Fn = — mg cos 9,
и, применяя уравнения A1), получим
dv.
т -jt- = — mg sin cc,
m —j- = — mg cos cp -\- N,
так как р=/.
Имея в виду, что ит =/9, перепишем эти уравнения в виде
9 + -|- sincp = О,
N = т ~ -\- mg cos 9.
(а)
Интегрируя первое уравнение, можно найти угол 9 как функцию
от времени t, т. е. закон движения точки; второе уравнение дает
нам возможность, зная закон движения точки, определить натяжение
нити.
Займемся интегрированием первого уравнения (а), т. е. уравнения
сделаем подстановку 9=ш> тогда
dui cfo> dtp dd>
CD = = • —- = О)
r dt dtp dt d<? '
Уравнение (б) перепишется в виде
шиш = j- sin
Глава XVII/. Дифференциальные уравнения движения несвободной точки 485
бткуда
_«_ Cos ? + С,
где С — постоянная интегрирования.
Предположим, что маятник отвели от вертикали на угол ср0 от по-
положения равновесия и сообщили ему начальную скорость v0, направ-
направленную перпендикулярно к нити вверх, т. е. при ^=0 9=?о- 9==(Ро=
= j-, тогда постоянная интегрирования С равна
и, следовательно,
2
и2 = ~~ + 2 JL (cos ? — cos*p0). (в)
Умножим обе части этого выражения на /2, получим
v\ = v\ + 2 gl (cos 9 — cos 90).
Вставляя это выражение для v\ в уравнение
mvz
N = —г1 + tng cos ®,
найдем натяжение нити Л^ в произвольном положении движущейся
точки
W=pCcoscp_2cos9o + ^-j.
где P=mg.
Из полученной формулы можно сделать следующие выводы: 1) если
9о=0 (маятнику сообщается начальная скорость v0 в положении равно-
равновесия точки М), то натяжение нити при движении точки М будет
«Г
—2
причем в самом нижнем положении точки (при 9=0) натяжение нити
будет N—mg+^Y-; 2) если маятник отвести от вертикали на угол ср0 и
затем отпустить его без начальной скорости (v0—0), то натяжение ни-
нити при движении точки М будет
N = Р C cos <р — 2 cos 9o).
при этом мы видим, что если 9о==90°, то в самом нижнем положении
точки М (при 9=0) натяжение нити N будет в три раза больше веса
Р точки М.
486 Раздел III. Динамика
Вернемся к дальнейшему интегрированию уравнения (в). Решение
этого уравнения не может быть выражено через элементарные функ-
функции. Поэтому найдем приближенное решение задачи*. Для этого будем
рассматривать малые отклонения точки от положения равновесия, т. е.
примем
sin ф ~ ср>
тогда уравнение (б) будет иметь вид
94--f 9 = 0,
или
9 + k4 = 0, (г)
где k*=&.
Общее решение этого линейного дифференциального уравнения с
постоянными коэффициентами можно, как известно, представить в сле-
следующем виде:
ъ = Сг cos kt + С2 sin kt, (д)
где Сг и С2 — произвольные постоянные интегрирования, определяе-
определяемые из начальных условий движения.
Не определяя пока постоянных Сх и С2, можем сделать некоторые
важные выводы из равенства (д). Прежде всего находим, что движение
точки является гармоническим колебательным движением (см. § 59,
п. 7). По прошествии промежутка времени Т, т. е.
обе функции sin kt и cos kt принимают первоначальное значение, так
как аргумент kt увеличивается на 2тг, и, следовательно, движущаяся
2г.
точка за время Т= ~ совершает полное колебание, и поэтому этот
промежуток времени представляет собой период колебания точки М
(см. § 59, п. 7).
Подставляя в равенство (е) значение &=т/Л, найдем оконча-
окончательную формулу для определения периода малых колебаний плос-
плоского математического маятника
/Х, (ж)
8
* Точное решение задачи о плоском математическом маятнике можно найти
в «Основном курсе теоретической механики» Н. Н. Бухгольца, часть I, ОГИЗ,
1945, стр. 328.
Глава XVIII. Дифференциальные уравнения движения несвободной точки 487
из которой следует независимость периода малых колебаний от угла
начального отклонения и от массы материальной точки. Этот факт был
известен уже Галилею, хотя формулы, определяющей период малых
колебаний маятника, Галилей не дал.
Предположим, что при ?=0 <р=<ро=0, <р=ф0=т- Определим по этим
начальным условиям движения точки М произвольные постоянные
интегрирования Сх и С2. Для этого подставим в правую часть уравнения
(д) t=0, а в левую — <р = ?о=0, тогда найдем
Чтобы использовать второе начальное условие движения точки М,
вычислим <р
о = — Ctk sin kt + Сгк cos kt
и, подставляя сюда ^=0, 9=®о=-т , находим
т. е.
v»
После подстановки найденных значений постоянных С1 и С2 в урав-
уравнение (д) найдем частное решение дифференциального уравнения (г),
или закон движения плоского математического маятника для случая
малых его отклонений от положения равновесия в виде
f-г* .. .-, " ctn l?i {"х\
-"* ' , . " 0111 /V (¦ • \/
Как известно из кинематики (см. § 59, п. 7), движение точки (или
маятника), происходящее согласно закону (з), называется гармони-
гармоническим колебательным движением.
Очевидно, что амплитуда колебаний
маятника равна а = ~.
Задача 83. Материальная точка
веса P=mg, подвешенная на невесо-i/
мой нерастяжимой нити длины / к не-
неподвижной точке О (рис. 288), совер-
совершает под действием собственного веса
некоторое движение по сфере около
положения равновесия (сферический
математический маятник). Определить
закон движения для случая малых
488 Раздел III. Динамика
отклонений точки от положения равновесия, а также скорость точки
(v) и натяжение нити (N), если угол, образованный нитью с верти-
вертикалью, задан и равен а.
Решение. Выбрав координатные оси, как указано на рис.
288, находим проекции силы Р (веса точки) на неподвижные оси ко-
координат
Связью для точки является нить ОМ, допускающая движение точ-
точки по поверхности сферы радиуса I. Отсюда, обозначив координаты
движущейся точки М через х, у и z, найдем уравнение связи
откуда
дх ' ду "' дг '
и, следовательно, уравнения Лагранжа первого рода G) принимают
вид
тх = к-2х;
ту = ~>--2у;
mz — к-2г + mg.
Прежде всего найдем скорость точки и натяжение нити (или реак-
реакцию сферы, по которой движется эта точка).
Очевидно, что
_ N _ ¦ N _ N
lgrad/| ft^Y i lf1S9 'я"°
У [дх) "Г ^i/
где перед Л/' взят знак «плюс» потому, что мы предполагаем, что вектор
vV направлен в сторону внешней нормали к поверхности f(x, у, z)=0.
Подставляя значения z=0, z=/cosa и ^=27 B последнее дифферен-
дифференциальное уравнение, определим из него натяжение нити TV
м __ _ тё
COS Т.
Так как мы направили вектор N в сторону внешней нормали к по-
поверхности f(x, у, z)=0, то знак «минус» указывает на то, что вектор N
в действительности будет направлен в сторону внутренней нормали к
поверхности f(x, у, г)=0 (т. е. к точке О закрепления нити).
Глава XVIII. Дифференциальные уравнения движения несвободной точки 489
Теперь найдем скорость точки. Для этого продифференцируем два
раза уравнение ее связи по времени, тогда получим
х*+х'х+у* + уу = 0, (а)
где л:2+г/2=и2, z=2=0, а значения х и у найдем из первого и второго
дифференциальных уравнений движения после подстановки в них
значения \=— = — mg
2/ 2/cosa
х——х j—-—, у = —У-r^-—¦
/ COS a " J /COS a
После подстановки этих значений в уравнение (а) получим
I COS a v ' J '
где л;2+г/2=/2—22=/2sin2a, откуда находим скорость точки
v = I/ = Sin a у g / tg a .
Г COS a r б
Перейдем теперь к определению закона движения точки. Пользуясь
уравнением связи, найдем зависимость z от х и у
z = ± "J//2 — (х2 + у2).
Подставляя это выражение для z в третье уравнение движения, мы
могли бы определить X как функцию х, г/ и их производных. Внося най-
найденное X в первые два уравнения движения, мы получили бы систему
двух дифференциальных уравнений для определения х и у.
Решение этой системы не может быть выражено через элементар-
элементарные функции. Поэтому найдем приближенное решение задачи. Будем
рассматривать малые отклонения точки М от положения равновесия,
т. е. примем
z =
После чего третье уравнение движения дает \=—Щ или N=—mg,
и, следовательно, первые два уравнения движения перепишутся так:
'у+-^у = о.
31 Н. Ф. Сахарный
490 Раздел III. Динамика
Общее решение этих дифференциальных уравнений, как известно,
можно записать в виде
х = Сх cos y-j-t + С2 sin y-j- t = ax sin ( \-\ t+aX F)
где Clt C2, C3> C4 (или a^ alt a2, a2) — постоянные интегрирования;
причем
Возьмем такие начальные условия движения точки: при t=0, x=x0
и у=уо=0, т. е. маятник находится в плоскости xz. Дадим начальную
скорость перпендикулярно к оси х, т. е. при ?=0 x=xo=0,y=yo=vo.
Тогда, дифференцируя уравнения (б) и (в) по времени и подставляя в
уравнения (б) и (в) и в полученные производные эти значения, полу-
получим
х0 — ах sin aj, 0 = аг 1/ ~ cos а1г
откуда
те
<х2 = -g-
= a2sinaa, ио =о2 |/ -у cosa2>
далее,
отсюда
Вставляя найденные значения постоянных интегрирования в урав-
уравнения (б) и (в), получим искомый закон движения сферического маят-
маятника
x = ;c0cos v -%-t,
/. (д)
Таким образом, координаты х и у точки М изменяются по закону
гармонических колебаний (см. § 59, п. 7) с одним и тем же периодом
Глава XVIII. Дифференциальные уравнения движения несвободной точки 491
Исключая из уравнений (г) и (д) t, найдем, что проекция М' точки М
на плоскость Оху описывает эллипс с центром, расположенным на оси
Oz.
Задача 84. Материальная точка веса P=mg совершает прямолиней-
прямолинейное движение по шероховатой плоскости, наклоненной под углом а к
горизонту (рис. 289). Определить
закон движения точки, если в на-
начальный момент ее скорость на-
направлена по наклонной плоскости
вниз и по модулю равна v0.
Решение. Выберем коорди-'
натные оси, неизменно связанные
с наклонной плоскостью, так, как
указано на рис. 289 (начало от-
отсчета поместим в начальном поло-
положении точки и ось Ох направим по
траектории точки в сторону дви-
движения). Тогда начальные условия
будут: при t=0 x=xo=0,x=xo=vo. Рис. 289
Так как точка движется по оси х, то уравнение наложенной на нее
связи имеет вид у=0.
Изобразим в произвольном положении М движущуюся точку и
действующие на нее силы. Материальная точка М движется по шерохо-
шероховатой наклонной плоскости под действием собственного веса Р, нормаль-
нормальной реакции ./V наклонной плоскости и силы трения Fmp, направленной
по наклонной плоскости вверх, противоположно движению точки. При
этом будем считать, что сила трения пропорциональна давлению, т.е.
FmP=|J,//> где [а — коэффициент трения.
Согласно уравнению B) будем иметь
m w = Р + N + Fmp,
или
{~|*JV i),
где i — единичный вектор оси Ох.
Спроектировав обе части этого векторного уравнения на выбран-
выбранные неподвижные оси координат, получим дифференциальные уравне-
уравнения движения точки по шероховатой наклонной плоскости
31"
тх — tngsin а — (j,N;
ту = — mg cos a -j- N.
492 Раздел III. Динамика
Так как у=0, то у=0, а поэтому из второго дифференциального
уравнения находим
N —. mg cos а.
Подставляя это значение нормальной реакции в первое дифферен-
дифференциальное уравнение и сокращая это уравнение на т, получим
х = g (sin a — [1 cos а) = const.
Следовательно, точка совершает равномерно-ускоренное движение.
Интегрируя это уравнение, находим
jt = g-(sina — jxcosa) t + CL. (а)
Подставляя в правую часть уравнения (а) t=0, a в левую — х=х0—
= v0, найдем, что Ci=y0 и, следовательно,
х = v0 + g (sin a — ft cos a) t.
Интегрируя это уравнение, получим
—[xcosa)-^-+C2. (б)
Подставляя в правую часть уравнения (б) t=0, а в левую — х=
=хо=0, найдем, что С2=0, следовательно,
х = vot +g (sin a—ft cos a) -^-.
Это и есть искомый закон движения материальной точки по шеро-
шероховатой наклонной плоскости.
§92. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА ДЛЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Пусть на несвободную материальную точку М массы т действует
активная сила F" (рис. 290). Если, отбросив мысленно связь, заменить
ее действие силой реакции iV , то основной закон динамики примет для
этой точки вид
Ta+N, A)
где w— ускорение точки М.
Перепишем уравнение A) в виде
Fa+N + {-mw)=0, . B)
обозначая _ _
—т хю = Ф, C)
Глава XVIII. Принцип Даламбера для точки 493
будем иметь
Fa+N + Ф = 0. D)
Сила Ф, равная по модулю произведению массы точки на ее уско-
ускорение и направленная в сторону,противоположную ускорению, на-
называется силой инерции точки М.
Уравнение D) выражает собой принцип Даламбера для несвобод-
несвободной материальной точки, который можно сформулировать следующим
образом: во всякий момент движения мате-
материальной точки приложенные к ней актив-
ная сила и сила реакции связи как бы
уравновешиваются условно приложенной к
этой точке ее силой инерции.
Конечно, на самом деле никакого р „„„
уравновешивания сил Fa, N и Ф не будет,
так как на точку М действуют только активная сила Fa и сила реакции
N. Сила инерции Ф к материальной точке М не приложена, она лишь
условно прилагается к этой точке, поэтому получающееся при этом
равновесие является воображаемым*.
О силе инерции Ф=—(Fa+jV)=—R, на основании закона равен-
равенства действия и противодействия, можно сказать, что она равна силе,
с которой движущаяся точка М действует на взаимодействующую с
ней конфигурацию тел. Иначе говоря, сила инерции Ф действует на
тело, от взаимодействия с которым получается приложенная к точке М
активная сила Fa, и на тело, осуществляющее связь, действие которой
на точку М характеризуется ее силой реакции N.
Принцип Даламбера является весьма удобным приемом для реше-
решения первой задачи динамики, т. е. задачи определения действующих
на точку сил по заданному закону ее движения. При решении второй
задачи динамики принцип Даламбера позволяет упростить составление
уравнений движения точки.
Из принципа Даламбера вытекает, что, для того чтобы при решении
динамических задач составить уравнения движения точки в форме
уравнений равновесия, нужно к активной силе и силе реакции связи,
фактически действующим на точку, присовокупить силу инерции этой
точки. Из того что мы с помощью принципа Даламбера уравнениям ди-
динамики можем придать форму уравнений статики**, вовсе не следует,
что мы этим самым сводим динамическое явление к статическому. По-
Последнее невозможно осуществить никакими приемами или методами,
* В самом деле, если бы сила инерции была реально приложена к точке М,
то при наличии равенства B) точка М могла бы быть по закону инерции или в
абсолютном покое, или в равномерном и прямолинейном движении, тогда как
на самом деле при наличии равенства B) точка М может находиться в любом не-
неравномерном криволинейном движении, определяемом силами F" и ЛГ.
** См. условия равновесия системы сходящихся сил, § 5 и 10.
494
Раздел III. Динамика
так как динамические явления принципиально отличаются от стати-
статических.
При решении задач с помощью принципа Даламбера для изображе-
изображения силы инерции Ф точки необходимо знать направление ускорения
этой точки до.
Если точка совершает прямолинейное движение, то направление
ускорения до известно. При этом Ф=—mw, а по модулю Ф=тхю.
Ясно, что при равномерном прямолинейном движении точки (т. е. при
движении точки по инерции) ее сила инерции обращается в нуль.
Если точка движется по криволинейной траектории, то силу инер-
инерции этой точки удобно разлагать на две составляющие: касательную
силу инерции Фх =—tnwx , направленную противоположно касательно-
касательному ускорению &ух точки, и нормальную {или центробежную) силу инер-
инерции Фп~—tnwn, направленную противоположно нормальному уско-
ускорению доп точки (рис. 291). Так как нормальное ускорение точки на-
направлено по главной нормали к тра-
траектории в сторону ее вогнутости, т. е.
по главной нормали к центру кривиз-
кривизны С, то нормальная (или центробеж-
центробежная) сила инерции направлена по
главной нормали в сторону выпукло-
выпуклости траектории, т. е. по главной нор-
нормали от центра кривизны С.
Проектируя обе части векторного
равенства C) на оси естественного
трехгранника, получим проекцию си-
силы инерции точки М на касательную,
главную нормаль и бинормаль кри-
Рис. 291
волинейной траектории:
= —/пдот = —
тсс
=— ms,
Фь = —
= 0.
E)
Отсюда получаем следующие выражения для модулей касательной
и нормальной (или центробежной) сил инерции:
dt
= т
Аналогично, проектируя обе части равенства Ф=—mw на три ко-
координатные оси, получим проекции силы инерции точки на эти оси:
Ф = — mwx = — тх,
Фу = —
= —ту,
Фг = — т до2 =
тг.
Глава XVIII. Принцип Даламбера для точки
495
У
Ф
Сила инерции Ф точки М, движущейся под действием сил F и Л^,
реально существует, но она, как было выяснено выше, приложе-
приложена не к точке М, а к телам, механически взаимодействующим с
точкой М, и к связям, наложенным на эту точку.
Заметим, что решение задач динамики с помощью принципа Да-
Даламбера рассматривается иногда как самостоятельный раздел тео-
теоретической механики, называемый кинетостатикой.
Теперь, пользуясь принципом Даламбера D), ре-
решим некоторые задачи динамики точки.
Задача 85. Горизонтальная платформа, на которой
лежит груз весом Р кГ, движется с ускорением w —^
(рис. 292). Найти давление, производимое грузом
на платформу, при условии: 1) ускорение платфор-
платформы направлено вертикально вниз, 2) ускорение плат-
платформы направлено вертикально вверх.
Решение. Принимаем груз, лежащий на плат-
платформе, за материальную точку М.
Если платформа опускается с ускорением w, то
сила инерции Ф точки М (груза) будет направлена рис 292
вертикально вверх (рис. 292), при этом по модулю
р —
имеем Ф=тха= —w. На точку М действует сила тяжести P—mg и
б
сила реакции N платформы. Если условно приложим к точке М ее
силу инерции, то согласно принципу Даламбера D) получим как бы
уравновешенную систему сил Р, N и Ф.
Направим координатную ось у так, как показано на рисунке, и
напишем одно уравнение равновесия. Приравнивая нулю сумму проек-
проекций всех указанных сил на ось у, получим
= N + Ф — Р = 0,
откуда
Давление, оказываемое грузом на платформу, на основании третье-
третьего закона динамики, равно по модулю силе реакции на груз со стороны
платформы, но направлено в противоположную сторону. Поэтому,
определив силу реакции платформы, мы тем самым определим силу дав-
давления груза на платформу. Как видим, сила давления оказывается
меньше веса груза, причем как раз на величину, равную модулю силы
инерции груза. В частности, если w=g, то сила давления груза на плат-
платформу равна нулю.
496 Раздел III. Динамика
Если платформа поднимается с ускорением w, то сила инерции Ф
будет направлена вертикально вниз, и тогда найдем
ff-J>(l+ -=•).
т. е. сила давления груза на платформу с увеличением ускорения w
возрастает.
Задача 86. Самолет выходит из пикирующего полета на горизонталь-
горизонтальный по окружности радиуса г (рис. 293). Скорость самолета в момент
выхода на горизонтальный полет
равна v. Определить, какой дол-
должен быть радиус г, чтобы сила ре-
реакции N, действующая на летчи-
летчика, равнялась бы по модулю пР,
где Р — вес летчика.
Решение. Примем летчика,
находящегося в самолете, за ма-
материальную точку и изобразим
эту точку в том положении М,
для которого надо найти радиус г
(рис. 293). На точку М действует ее
вес Р и сила реакции N. Нормаль-
Нормальное ускорение wn точки М по моду-
модулю равно — и направлено к центру (С) окружности. Нормальная_си-
ла инерции Фп точки М, равная по модулю — ¦ — направлена по ради-
радиусу окружности в сторону, противоположную нормальному уско-
ускорению wn. Присоединяем (условно) ксиламРиМ нормальную силу
инерции Фп. Полученная система сил Р, N и Ф согласно принципу
Даламбера D) будет как бы находиться в равновесии. Направим
координатную ось у так, как показано на рисунке, и напишем одно
уравнение равновесия. Приравнивая нулю сумму проекций всех ука-
указанных сил на ось у, получим
Глава XVIII. Принцип. Даламбера для точки
497
Задача 87. Материальная точка весом Р, подвешенная на невесо-
невесомой нерастяжимой нити длинны / к неподвижной точке О, описывает
окружность в горизонтальной плоскости, причем нить составляет с
вертикалью угол а (рис. 294). Определить скорость v точки и натя-
натяжение N нити.
Решение. Изобразим материальную точку в том положении М,
для которого надо найти скорость точки и натяжение нити. На точку
М действует сила тяжести Р и
натяжение нити N. Присоеди-
Присоединяем (условно) к этим силам
нормальную и касательную силы
инерции Фп иФ,. Полученная
система сил согласно принципу
Даламбера D) будет находиться
как бы в равновесии. Направим
оси координат так, как показано
на рисунке, и напишем три урав-
уравнения равновесия. Приравнивая
нулю сумму проекций всех ука-
указанных сил на соответствующие
координатные оси, получим
Е X = — Фт = 0;
?Z = —
Ncosa =0.
(а)
Из первого уравнения находим
Фг =0,
т. е. материальная точка М движется по окружности радиуса p=/sina
равномерно. Поэтому полная сила инерции Ф точки М состоит лишь
из одной нормальной составляющей, т. е.
Ф = Ф„ =
р
I sin a'
Из третьего уравнения (а) находим
р
N =
(б)
(в)
Подставляя равенство (в) во второе уравнение (а), находим
Ф„ = N sin a = Ptga.
498
Раздел III. Динамика
Подставляя сюда равенство (б), получим
Р
g
I sin a
= Ptga,
откуда
V = У g I tg asin a
Задача 88. На арочный мост АВ, имеющий в точках А и В непод-
неподвижные опоры, расположенные на одной горизонтали, въезжает авто-
км
мобиль весом Р кГ с постоянной скоростью v—• Проезжая часть мос-
г час г
та описана по дуге окружности радиуса г м. Определить наибольшее
давление автомобиля на мост в двух случаях, когда проезжая часть
Рис. 295
моста направлена соответственно выпуклостью кверху и книзу (рис.
295). При какой скорости автомобиля возможно его отделение от проез-
проезжей части моста?
Решение. Примем автомобиль за материальную точку и изоб-
изобразим эту точку в том положении, для которого надо найти наиболь-
наибольшее давление автомобиля на мост. Рассмотрим прежде всего случай,
когда проезжая часть моста направлена выпуклостью вверх. В этом
случае наибольшее давление автомобиля на мост будет тогда, когда
автомобиль находится в наивысшей точке проезжей части моста (в
точке М), так как здесь все силы, приложенные к автомобилю,
направлены по одной прямой. На автомобиль (наточку М) действует
сила тяжести Р и сила реакции N моста. Присоединяем (условно) к
этим силам нормальную силу инерции Фп автомобиля, направленную
Глава XVIII. Принцип Даламбера для точки 499
в сторону, обратную нормальному ускорению wn автомобиля (точки М)
р р р2
и по модулю равную Фп = - wn— ——. Полученная система сил Р,
о о
N и Фп согласно принципу Даламбера D) будет как бы находиться в
равновесии. Направим координатную ось у так, как показано на ри-
рисунке, и напишем одно уравнение равновесия. Приравнивая нулю сум-
сумму проекций всех указанных сил на ось у, получим
S Y = Фп + N-P = -?- • ~ + N ~Р = О,
откуда
^4(^) W
Сила давления автомобиля на мост по модулю равна реакции jV,
но направлена в противоположную сторону. Как видим, в этом случае
сила давления оказывается меньше веса автомобиля, причем как раз
на величину, равную модулю силы инерции автомобиля.
Полагая N=0, найдем наибольшую скорость итах, при которой воз-
возможно отделение автомобиля от проезжей части моста:
р__Р_ "шах =()
g ' г
откуда
Если выпуклость моста направлена книзу, то наибольшее давление
автомобиля на мост будет тогда, когда автомобиль находится в наиниз-
наинизшей точке проезжей части моста (в точке М'), так как при этом все
силы, приложенные к автомобилю, также направлены по одной прямой.
В этом случае сила инерции Ф=Фп автомобиля направлена вниз, так
как нормальное ускорение wn автомобиля направлено вверх; при этом
будем иметь
Следовательно, в этом случае сила давления автомобиля на мост
больше веса груза на величину, равную модулю силы инерции автомо-
автомобиля. Сравнивая формулы (а) и (б), заключаем, что в случае, когда
проезжая часть моста направлена выпуклостью книзу, давление ав-
автомобиля на мост значительно больше, чем в случае, когда выпуклость
моста направлена кверху.
500
Раздел III. Динамика
Глава XIX
ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ
ТОЧКИ
§93. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Предыдущие главы динамики точки были посвящены изучению
движения материальной точки по отношению к инерциальной (условно
«неподвижной») системе отсчета, т. е. такой системе, для которой при-
применимы основные законы динамики (законы Ньютона). Движение точ-
точки по отношению к такой инер-
инерциальной системе отсчета называ-
называют абсолютным.
В этой главе мы будем изучать
движение материальной точки М
массы т по отношению к неинер-
циальной системе отсчета Oxyz, т. е.
такой системе, которая произволь-
произвольным образом (с ускорением) дви-
движется по отношению к инерциаль-
инерциальной системе отсчета Olxlylzl (рис.
296). Движение точки М по отно-
отношению к такой неинерциальной си-
системе отсчета называют относи-
относительным .
Основная задача динамики от-
относительного движения точки, рас-
о,
Рис. 296
сматриваемая в этой главе, состоит в следующем: пусть система отсче-
отсчета Oxyz имеет известное нам движение относительно системы отсчета
Oxxxyxzx, т. е. для любого момента времени нам известно абсолютное
ускорение w0 точки О, а также переносная угловая скорость ше и пере-
переносное угловое ускорение ее системы отсчета Oxyz относительно
системы отсчета О^у^. Зная силы, действующие на точку М, а так-
также начальные условия движения как в отношении точки М, так и в
отношении системы отсчета Oxyz, требуется найти закон относитель-
относительного движения точки М. Для решения этой задачи нужно сначала со-
составить дифференциальные уравнения относительного движения точки
М, а затем, проинтегрировав эти уравнения, найти искомый закон от-
относительного движения этой точки М.
По основному закону динамики материальной точки, справедливо-
справедливому для инерциальной системы отсчета, получаем
a = F -\- N,
Глава XIX. Динамика относительного движения материальной точки 501
где wa — абсолютное ускорение точки М, F — равнодействующая ак-
активных сил, действующих на точку, N — реакция связей. Но из кине-
кинематики известно, что
Wa = Wr + We + WK, . B)
где wr, we, wK — относительное, переносное и кориолисово (или пово-
поворотное) ускорения точки М.
Подставим в уравнение A) значение wa из равенства B) и одновре-
одновременно перенесем члены с we и wK в правую часть уравнения. В резуль-
результате получим
m wr = F + N + (— m we) + (— m wK). C)
Следует обратить внимание на то, что векторы —mwe и —mwK
мы можем назвать силами благодаря физической размерности этих ве-
величин и непосредственной возможности измерять их динамометром.
Сила, равная произведению массы движущейся материальной точ-
точки на ее переносное ускорение и направленная противоположно этому
ускорению, называется переносной силой инерции Фе
Фе = -тте. D)
Сила, равная произведению массы движущейся материальной точ-
точки на ее кориолисово ускорение и направленная противоположно это-
этому ускорению, называется кориолисовой или поворотной силой инерции
Ф
Фк = —т wK. E)
На основании сказанного уравнение C) примет следующий вид:
т wr = F + N + Фе+ Фк. F)
Это уравнение представляет собой основной закон динамики в век-
векторной форме для относительного движения несвободной материаль-
материальной точки.
При составлении уравнения F) в случае, когда wK=?Q и we=J=Q,
надо иметь в виду, что
wK = 2 (ш-Х vr) G\
а также, что (см. § 77 и § 76)
we = wo+(oex (weXp) +sex р, (8)
где р — радиус-вектор, определяющий положение точки М относитель-
относительно начала О подвижной системы отсчета Oxyz.
502 Раздел III. Динамика
Сравнив уравнение F) с уравнением A), мы приходим к следующе-
следующему выводу: основное уравнение динамики относительного движения
точки F) можно составить так же, как и основное уравнение динамики
абсолютного движения точки A), если только к действующим на точку
силам (F и N) присовокупить переносную и кориолисову силы инерции
(Фе и Фк).
Проектируя обе части векторного уравнения F) на оси подвижной
системы отсчета Oxyz и принимая во внимание, что
wrx = х, wry = у, wrz = z,
получим дифференциальные уравнения относительного движения точ-
точки в осях декартовых координат:
ту = Fy + Ny + 0ey + Ф
ку;
(9)
Аналогично выводятся дифференциальные уравнения относитель-
относительного движения точки в осях естественного трехгранника.
Мы видим, что изменение относительного движения точки М мо-
может происходить по двум причинам: во-первых, в результате механи-
механического взаимодействия этой точки с другими материальными объек-
объектами и, во-вторых, вследствие произвольного (ускоренного) движения
системы отсчета Oxyz по отношению к системе отсчета Oxxxyxzx. При
этом мерой изменения относительного движения точки М, которое
произошло в результате механического взаимодействия этой точки с
другими материальными объектами, являются активная сила F и
реакция связей N*. Мерой же того изменения относительного движения
точки, которое обусловлено неинерциальностью подвижной системы
отсчета Oxyz, являются переносная и кориолисова силы инерции
(Фе и Фк). _ _
Заметим, что силы инерции Фе и Фк по своему определению (см.
формулы 4 и 5) не являются результатом механического взаимодей-
взаимодействия точки М с другими материальными объектами внешнего мира.
Появление этих сил целиком обусловлено движением неинерциальной
системы отсчета Oxyz по отношению к инерциальной системе 01%у1г1
и движением точки М относительно неинерциальной системы отсчета
Oxyz; при этом силы инерции Фе и Фк являются как бы поправками на
* Здесь под материальными объектами мы понимаем тела, от механического
взаимодействия с которыми получается приложенная к точке М активная сила
F, и тела, осуществляющие связи, действие которых на точку М характеризует-
характеризуется реакцией N.
Глава XIX. Динамика относительного движения материальной точки 503
неинерциальность подвижной системы отсчета Oxyz. Несмотря на оди-
одинаковость терминов природа сил инерции Фе и Фк иная, чем тех «сил
инерции», которые фигурируют в принципе Даламбера, так как появ-
появление «даламберовых сил инерции» никак не связано с относительным
движением точки М (см. § 92).
Рассмотрим теперь некоторые частные случаи относительного дви-
движения точки.
1. Если подвижная система отсчета совершает по отношению к
инерциальной (неподвижной) системе отсчета поступательное движе-
движение, то ш=0. Но тогда, как видно из равенств G) и E), получим Фк=0.
В результате уравнение F) примет вид
2. Если материальная точка М по отношению к подвижной систе-
системе отсчета находится в покое, то для этой точки wr=0 и vr=0. Далее,
из равенств G) и E) следует, что и Фк—0. Подставив все эти значения
в уравнение F), мы получим
Уравнение A1) представляет собой уравнение относительного рав-
равновесия (покоя) точки. Из него следует, что в случае относительного
равновесия (покоя) материальной точки активная сила, реакция свя-
связей и переносная сила инерции взаимно уравновешиваются.
3. Если подвижная система отсчета Oxyz совершает по отношению
к инерциальной (неподвижной) системе отсчета O^x^Zi поступатель-
поступательное, равномерное и прямолинейное движение, то u0=const (и потому
wo—Q), we=0 и ее=0. Но тогда, как видно из равенств G) и (8), мы
получим wK =0и we=0, а следовательно, Фк=0 и Фг=0. В результате
. основной закон динамики относительного движения точки B) примет
вид
т. е. такой же, как если бы движение материальной точки М рассмат-
рассматривалось по отношению к инерциальной системе отсчета OYxxyxz^
(см. уравнение 1). Отсюда следует, что точка М движется совершенно
одинаково (с одинаковыми ускорениями в каждый момент времени)
относительно систем отсчета О^у^ и Oxyz, поэтому система отсчета
Oxyz также является инерциальной.
Таким образом, постулируя, что, если есть хоть одна инерциаль-
ная система отсчета, мы получим бесконечное множество таких сис-
систем отсчета, потому что всякая другая система отсчета, находящаяся в
состоянии поступательного, равномерного и прямолинейного движения
относительно постулируемой инерциальной системы отсчета, будет так-
504
Раздел III. Динамика
же инерциальной системой. Так как законы динамики одинаковы во
всех инерциальных системах отсчета, то во всех этих системах ме-
механические явления протекают совершенно одинаково. Поэтому ника-
никакими механическими опытами, произведенными внутри инерциальной
системы отсчета, нельзя обнаружить, находится ли эта система отсчета
в состоянии покоя или она движется поступательно, равномерно и пря-
прямолинейно. С механической точки зрения все инерциальные системы от-
отсчета эквивалентны («равноправны»), и потому не существует инер-
инерциальной системы отсчета, которую можно было бы предпочесть дру-
другим инерциальным системам. Любую из инерциальных систем отсчета
можно положить покоящейся, а скорости всех остальных инерциальных
систем определять относительно нее.
Координаты г и р одной и той же точки в двух различных инерциаль-
инерциальных системах О1л:1г/1г1 и Oxyz, из которых вторая движется поступатель-
поступательно и прямолинейно относительно первой с постоянной скоростью v0,
связаны друг с другом соотношением
7 = p + Zot. A3)
При этом подразумевается, что ход времени одинаков в обеих си-
системах отсчета
к = t. A4)
Предположение об абсолютности времени лежит в самой основе пред-
представлений классической механики. Формулы A3) и A4) называют пре-
преобразованием Галилея. Законы динамики инвариантны по отношению к
этому преобразованию, т. е. по отношению к переходу от одной инер-
инерциальной системы отсчета к дру-
другой. В этом и состоит принцип от-
относительности классической меха-
механики (принцип относительности
Галилея — Ньютона).
Задача 89. Полая трубка АВ
(рис. 297) вращается с постоянной
угловой скоростью со вокруг верти-
вертикальной оси CD, составляя с ней
неизменный угол 45°. В трубке на-
находится шарик весом Р кГ.
Определить закон движения это-
этого шарика по отношению к трубке,
если начальная относительная ско-
скорость его равна нулю и начальное
расстояние от точки О равно /.
Трением шарика о стенки трубки
пренебрегаем.
Решение. Изобразим ша-
Рис. 297 рик, принимаемый за материальную
Глава XIX. Динамика относительного движения материальной точки 505
точку, в произвольном положении М. Выберем начало подвижной
системы отсчета, связанной с трубкой АВ, в точке О и ось Ох направим
вдоль трубки от точки О к точке В (рис. 297). На материальную точку
М будут действовать сила тяжести Р и сила реакции трубки N, пер-
перпендикулярная к оси Ох. К этим силам следует добавить переносную
и кориолисову силы инерции Фе и Фк . Из равенств E) и G) следует,
что сила инерции Фк направлена перпендикулярно к плоскости рисунка
от читателя (на рис. 297 сила Фк не показана). Сила инерции Фе на-
направлена перпендикулярно к оси переносного вращения CD (вправо),
так как u>=const, и по модулю равна
Ф = Ф" = JL <*Ч -Of
ч^е ч*е — w х 2 .
Составим теперь дифференциальное уравнение относительного дви-
движения точки М^в проекциях на ось Ох (первое из уравнений системы 9)
Р ••
так как проекции кориолисовой силы инерции Фк и силы реакции
трубки N на ось Ох равны нулю.
Полученное уравнение можно переписать в виде
1 \^~2
х 2-и2х= — g—^T- (a)
Общее решение этого дифференциального уравнения будет
/Т УТ
ы —2~ t —ш—2~
х = Схе +С2е + -? ут, (б)
где Сх и С2 — произвольные постоянные интегрирования.
Определим Сх и С2 по начальным условиям движения. По условию
задачи при ?=0, *=/, д;=0.
Подставляя в правую часть уравнения (б) ?=0, а в левую х=1,
найдем
/ = Cl + Ca + J*-l/~2- (в)
Вычислив х, т. е.
-
X
и подставив
-Г,
сюда
у
L Ы с
t=0,
0
и
еш
х=0
¦ Г, с,
¦7J- ^ /о
2 — С2С
, находим
. У2 С
2 2
со -
~2
)— е
/ 2
2 '
V
- @
2
2
506
Раздел III. Динамика
ИЛИ
Учитывая это, из равенства (в) получим
Подставляя Сх и С2 в уравнение (б), найдем искомый закон отно-
относительного движения точки М (шарика)
V 2
I 2
,_.>-('-
»?
Задача 90. Шарик, помещенный внутри кабины, движущейся с
постоянным ускорением w по вертикали вверх, скатывается с гори-
зонтальной полки с начальной от-
относительной скоростью v0 (рис.
298). Определить траекторию этого
шарика в относительном движении,
если вес шарика равен Р.
В этой же кабине подвешен на
невесомой нерастяжимой нити дли-
длины / плоский математический маят-
маятник веса Р. Требуется составить
уравнение относительного движе-
движения этого маятника и определить
период его малых колебаний.
Решение. 1. Прежде всего
рассмотрим относительное движе-
движение шарика, который мы примем
за материальную точку. Выберем
систему подвижных осей Oxyz, свя-
связанных с кабиной так, как показа-
показано на рис. 298 (ось у направлена
вертикально вниз и проходит че-
через начальное положение шарика,
ось х направлена горизонтально
вдоль вектора начальной относительной скорости v0, а ось z направ-
направлена перпендикулярно к плоскости чертежа). Изобразим движущуюся
точку (шарик) в произвольном положении М. Переносная сила инер-
ции Фе равна по модулю — w и направлена вертикально вниз. Так
как переносное движение является поступательным, то кориолисова
сила инерции Фк равна нулю, кроме того, так как точка М совер-
Рис. 298
Глава XIX. Динамика относительного движения материальной точки 507
шает свободное движение (точка является свободной материальной
точкой), то реакция связей N также равна нулю. Дифференциальные
уравнения относительного движения точки М будут поэтому иметь
следующий вид:
р • • р * * р р ¦ ¦
_д; = 0, J-~y = P + — W, —2=0,
g g В g
или
х = 0, у = g-1- w, г = 0.
Интегрируя эти уравнения, получим
x = Cv y = (g + w)t + Ca, г = С3.
Так как в начальный, момент, т. е. при t—О, проекции относитель-
относительной скорости vo точки М на подвижные оси равны xo=vo, yo=0, zo=
=0, то
d = v0, C2 = 0, С3 = 0.
Следовательно,
Интегрируя эти уравнения, получим
Принимая во внимание, что при ?=0 хо—0, уо=0, zo=0, находим
С4 = 0, С5 = 0, С6 = 0.
Таким образом, имеем
x = vot, у= -L(g + W)t*, 2 = 0.
Из третьего уравнения следует, что относительная траектория точки
лежит в вертикальной плоскости Оху. Исключая t из первого и третьего
уравнений, получаем уравнение относительной траектории
Это есть уравнение параболы. Если бы кабина двигалась равномер-
равномерно, то w=0 и относительная траектория точки была бы также парабо-
параболой, но ее параметр был бы иным.
2. Рассмотрим теперь относительное движение математического
508 Раздел III. Динамика
маятника. Уравнение относительного движения этого маятника можно
составить так же, как и раньше: надо считать кабину неподвижной,
но к силе тяжести Р маятника и реакции нити N, приложенным к маят-
р
нику, следует присовокупить переносную силу инерции Фе= w.
Приравнивая произведение массы маятника — на его относительное
касательное ускорение s сумме проекций всех указанных сил на на-
направление касательной, получим
р " Р
— s = — Р sin о w sin ср.
е ' 8
о &
Полагая здесь s=l<p и sin<p~?, придем к уравнению
9+&2г-? = 0,
где
I
Припоминая, что период малых колебаний математического маят-
маятника определяется из равенства (см. задачу 82)
мы можем сделать заключение, что наблюдатель внутри кабины имеет
возможность измерять ускорение w из наблюдений над качанием маят-
маятника, если в его распоряжении имеются часы, на ход которых не вли-
влияет движение кабины. Если же w=0, то период малых колебаний маят-
маятника остается одним и тем же при любом равномерном движении каби-
кабины вверх или вниз; никакими механическими опытами нельзя обнару-
обнаружить, находясь внутри закрытой со всех сторон кабины, движется ли
она относительно Земли или нет.
§94. ОТКЛОНЕНИЕ СВОБОДНО ПАДАЮЩЕЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
ОТ ВЕРТИКАЛИ К ВОСТОКУ ВСЛЕДСТВИЕ СУТОЧНОГО
ВРАЩЕНИЯ ЗЕМЛИ
В главе XVI при формулировке закона инерции было указано, что
при решении большинства задач динамики, относящихся к технической
практике, за инерциальную систему отсчета можно принять систему
координат, неизменно связанную с Землей. Там же было отмечено,
что, принимая такую систему координат за инерциальную систему от-
отсчета, мы при этом в первую очередь пренебрегаем суточным враще-
вращением Земли вокруг своей оси. Исследуем теперь, как сказывается это
вращение на равновесии и движении относительно Земли тел, находя-
находящихся вблизи земной поверхности.
Глава XIX. Динамика относительного движения материальной точки 509
В тех случаях, когда при решении задач динамики приходится учи-
учитывать суточное вращение Земли, система координат, неизменно свя-
связанная с Землей, уже не может считаться инерциальной системой от-
отсчета. В таких случаях, как уже указывалось, за инерциальную систе-
систему отсчета можно принимать систему координат О-уХ^у^, начало кото-
которой находится в центре Земли, а оси направлены к трем выбранным
«неподвижным» звездам (рис. 299). По отношению к этой системе ко-
Рис. 300
Рис. 301
ординат Земля совершает свое суточное вращение, делая один оборот
за 23 часа 56 минут 4 секунды, т. е. с угловой скоростью
со =
24-3600
0,0000729
сек
1. Относительный покой материальной точки на поверхности
Земли. Рассмотрим сначала относительное равновесие (покой) мате-
материальной точки М массы /л, подвешенной на нити вблизи земной по-
поверхности (рис. 300). На эту точку действует сила всемирного тяготе-
тяготения F , направленная к центру Земли, и сила реакции нити N. Соглас-
Согласно § 93 для получения уравнений относительного равновесия точки М
к силам F и N необходимо еще присовокупить переносную силу инер-
инерции Фе. Так как угловая скорость суточного вращения Земли w=const,
то сила Фе имеет только нормальную составляющую Ф{еп) (центробеж-
(центробежная сила инерции), направленную перпендикулярно к оси вращения,
причем по модулю Ф1'?'1=mwPRx, где^х— расстояние точки М от земной
оси. Уравнение равновесия точки М по отношению к земной поверх-
поверхности в векторной форме будет иметь следующий вид:
=0.
A)
510 Раздел III. Динамика
Мы можем измерять силу реакции нити N, если заменим нить дина-
динамометром; динамометр покажет силу тяжести (вес) материальной точ-
точки М, т. е. P=mg=—N. Учитывая это обстоятельство, мы из форму-
формулы A) получим _
т.е. наблюдаемый на поверхности Земли вес материальной точки есть
равнодействующая силы всемирного тяготения материальной точки к
Земле и центробежной силы инерции этой точки. Следовательно, учи-
учитывая силу тяжести Р при составлении уравнения относительного рав-
равновесия A), мы тем самым автоматически учитываем и переносную силу
инерции Фе~Ф(еп).
Линия действия силы тяжести Р точки М называется верти-
вертикалью в данном пункте земной поверхности, а плоскость, перпенди-
перпендикулярная к вертикали, называется горизонтальной плоскостью. Угол
ер, составленный вертикалью (а не радиусом Земли) с плоскостью эква-
экватора, называется географической широтой в данном пункте земной по-
поверхности*.
Из изложенного ясно, что сила тяжести Р (следовательно, и уско-
р
рение силы тяжестиg——) зависит от географической широты в данном
пункте земной поверхности. При этом Р (следовательно, и g) зависит
также и от высоты этого пункта над уровнем моря.
2. Отклонение свободно падающей материальной точки от верти-
вертикали к востоку вследствие суточного вращения Земли. Принимая во
внимание полученные результаты, рассмотрим материальную точку М
с массой т, падающую без начальной скорости на поверхность Земли
с настолько малой (по сравнению с радиусом Земли) высоты Я (рис. 301),
что ускорение силы тяжести g за время падения можно считать посто-
постоянным. Сопротивлением воздуха будем пренебрегать.
В качестве системы отсчета, неизменно связанной с вращающимся
земным шаром, возьмем следующую систему координат Oxyz. По-
Поместим начало этой системы координат на поверхности Земли в точке
О, географическая широта которой задана углом ф**, ось Oz направим
по вертикали вверх, а ось Оу — по касательной к параллели на восток,
тогда ось Ох будет направлена на юг (рис. 299 и 301). Выбранная
нами система отсчета не будет инерциальной вследствие суточного
вращения Земли. Чтобы учесть суточное вращение Земли, к точке М,
* Заметим, что модуль силы Ф^ является величиной малой по сравнению
с модулем силы F, так как величина «2 очень мала, и потому направление силы
Я мало отличается от направления силы F.
** Начало системы координат Oxyz лежит на одной вертикали с начальным
положением падающей материальной точки Мо (рис. 301).
Глава XIX. Динамика относительного движения материальной точки 511
кроме силы тяжести P = mg, в которую уже включена переносная сила
инерции Фе=Фе(п\ надо приложить кориолисову силу инерции Фк=
= —2т (соХиг), направленную на восток* (рис. 301). При этом мы
можем написать уравнение относительного движения точки в вектор-
векторной форме в следующем виде:
или
mwr = m g—-2m (coX vr
r= g —2(coX vr).
B)
Это уравнение иногда называют уравнением свободно падающей
материальной точки, или уравнением баллистики в пустоте с учетом
неинерциальности системы отсчета. Вектор угловой скорости Земли ш
направлен по оси вращения Земли с юга на север.
Очевидно, что
2 (сох vr) = 2
- со cos 9
х
1
0
У
k
to sin 9
z
Принимая это во внимание, спроектируем обе части векторного
уравнения B) на подвижные оси координат Oxyz:
х = 2 у со sin се;
у=—2 \ л: to sin ср -)- г со cos сэ);
z = — g + 2 у со cos cp.
Рассмотрим теперь движение точки с начальными условиями:
= 0, у = 0, г = Н
C)
D)
Интегрирование системы дифференциальных уравнений C) прове-
проведем методом последовательных приближений.
Если пренебречь кориолисовым ускорением, то решение системы
дифференциальных уравнений C) при начальных условиях D) будет
= 0, z = H —
E)
* Кориолисово ускорение точки wK=2(u>xvr) направлено перпендикуляр-
перпендикулярно к плоскости меридиана, содержащей векторы « (или и>е) и 1ГГ, на запад.
Кориолисова сила инерции Фк направлена противоположно ускорению wK,
следовательно, она направлена на восток, т. е. в сторону положительного на-
направления оси Оу.
512 Раздел III. Динамика
Примем это решение за первое приближение. Подставляя выраже-
выражения E) ^уравнения C), получим дифференциальные уравнения второго
приближения:
' х = 0;
у = 2 gt w cos <в; *¦ '
Интегрируя систему дифференциальных уравнений F) и исполь-
используя начальные условия D), получим искомый закон движения точки с
учетом суточного вращения Земли:
х = 0;
у = -g- W gt3 cos о;
&.
G)
Исключив из уравнений G) время t, найдем уравнение траекто-
траектории точки
У2= -|- -^-(// —2Kcos^cp. (8)
Мы видим, что для рассматриваемого приближения траектория точ-
точки — полукубическая парабола.
Из формул G) видно, что вследствие суточного вращения Земли
падающая без начальной скорости на поверхность Земли материаль-
материальная точка отклоняется от вертикали к востоку по закону*
1 ,,
у = -s- ш grcos о.
Это отклонение (рис. 301) Д точки в момент ее падения на поверх-
поверхность Земли найдется, если в уравнении (8) положить 2=0
Д = -L- (о a COS Ф Uiil " (<П
Результаты вычислений по формуле (9) неоднократно проверялись
на опыте. Вычисленные значения восточного отклонения Д по формуле
(9) оказались достаточно близкими к опытным.
Если в рассматриваемой задаче найти третье приближение, то ока-
окажется, что, падая, точка одновременно будет отклоняться от вертикали
и к востоку, и к югу, но отклонение к югу будет очень мало, так как
в выражение х войдет очень малая величина «А
* Если бы мы не учитывали суточного вращения Земли (ы=0), то падение
должно было бы происходить по вертикали.
Глава XX. Прямолинейное колебательное движение материальной точки 513
В заключение рассмотрим, в чем качественно сказывается влияние
кориолисовой силы инерции на движение материальной точки по (или
вблизи) поверхности Земли. Рассмотрим материальную точку М с мас-
массой пг, начинающую двигаться в северном полушарии по меридиану с
юга на север со скоростью vr (рис. 302). Кориолисово ускорение wK=
=2(шхо,) этой точки, очевидно, будет направлено на запад, а корио-
лисова сила инерции Фк=—2пг(шХ vr) — на восток. Под действием
этой силы инерции точка М будет откло-
отклоняться вправо от направления своего
движения. Если же материальная точ-
точка М будет двигаться в северном полу-
полушарии по меридиану с севера на юг, то
на нее также будет действовать корио-
лисова сила инерции, но уже направлен-
направленная на запад, и потому точка М будет
опять отклоняться вправо от направле-
направления своего движения. Ясно, что этот
же эффект будет иметь место и при дви-
движении точки М в северном полушарии
по любому направлению.
По этой причине мы наблюдаем сле-
следующие весьма интересные явления:
1) у всех двухколейных железных дорог
сильнее изнашивается правый рельс каждой колеи, так как горизон-
горизонтальная составляющая кориолисовой силы инерции прижимает ко-
колеса поезда к правому рельсу (по движению поезда), вызывая тем-
самым дополнительное давление на правый рельс; 2) у рек в северном
полушарии правый берег бывает обычно крутым, так как кориолисо-
ва сила инерции прижимает воду к правому берегу и вода подмывает
этот берег (закон Бэра); 3) ветры постоянного направления (пассаты),
дующие в некоторых частях северного полушария, также отклоняют-
отклоняются вправо, если смотреть по направлению ветра.
По той же причине оперенные ракеты дальнего действия будут зна-
значительно отклоняться вправо от плоскости стрельбы.
Глава XX
ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§95. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Изучение свойств колебательных движений совершенно необходимо
для решения ряда конкретных задач механики, физики и техники. В
этой главе будут рассмотрены различные случаи прямолинейного коле-
34 Н. Ф. Сахарный
514 Раздел III. Динамика
батального движения материальной точки около ее положения равно-
равновесия. Теория прямолинейного колебательного движения материаль-
материальной точки, помимо непосредственного значения в инженерном деле,
важна еще и потому, что она позволяет выявить с качественной сто-
стороны все особенности колебательного движения различных механиче-
механических систем. Колебательное же движение механических систем играет
весьма большую роль в технике. Так, например, элементы машин и
различных сооружений, будучи упругими, под действием приложен-
приложенных сил способны вибрировать. Возрастание интенсивности вибра-
вибраций (колебаний) выше допустимой
О F м нормы может привести к катастро-
9 * 9 *~? фе. Поэтому в задачи теории колеба-
I— х ¦ - 1 ний и ее разнообразных приложе-
рис зоз ни** в технических науках входит
указание причин этих опасных яв-
явлений, например резонанса, и мер борьбы с ними. Часто, однако, ко-
колебания с успехом используются и как полезный процесс (например,
во многих задачах радиотехники) и, следовательно, тогда приходится
заботиться об их интенсификации.
Начнем с изучения гармонических колебаний материальной точки.
Их значение состоит в том, что очень часто более сложные колебания
могут рассматриваться как гармонические в качестве первого прибли-
приближения или же как системы гармонических колебаний. Гармонические
колебания материальной точки происходят только при условии, если
на эту точку, отклоненную вдоль некоторой прямой от положения
покоя, действует сила, стремящаяся вернуть точку в это положение.
Такая сила называется восстанавливающей силой. Предположим, что
материальная точка М с массой т движется прямолинейно под дей-
действием восстанавливающей силы F , обладающей следующими свой-
свойствами: в каждый момент времени линия действия силы проходит че-
через один и тот же неподвижный центр О (положение покоя точки М),
сила направлена к центру О, модуль силы пропорционален расстоя-
расстоянию (отклонению) точки М от центра О*. Требуется найти закон дви-
движения точки М.
Совместив начало координат с неподвижным центром О и направив
ось Ох по прямолинейной траектории точки М (рис. 303), получим
для проекции восстанавливающей силы F выражение
Fx = -cx. A)
Примером такой линейной восстанавливающей силы является си-
сила упругости при небольших деформациях, и тогда коэффициент про-
пропорциональности носит название коэффициента упругости, или коэф-
* Неподвижный центр О, совпадающий с положением равновесия точки М,
называют центром колебаний точки М.
Глава XX. Прямолинейное колебательное движение материальной точки 515
фициента жесткости. Сила, имеющая иную природу, чем сила
упругости, но также удовлетворяющая условию A), называется квази-
квазиупругой; при этом коэффициент пропорциональности с называют
квазиупругим коэффициентом. В обоих случаях коэффициент пропор-
/ ед. силы ч
циональности с, очевидно, имеет размерность ( ).
Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки
(9, § 88)
т х — Fx,
при действии на точку восстанавливающей силы A) принимает вид
тх = —с х,
или
Обозначая через &2=—, будем иметь
0. B)
Это — линейное однородное дифференциальное уравнение второго
порядка с постоянными коэффициентами и без свободного члена. Как
известно из теории линейных дифференциальных уравнений, общее
решение этого уравнения может быть записано в виде
jc = C1cos^ + C2sinA/, C)
где постоянные интегрирования Ct и С2 определяются по начальным
условиям движения. В качестве начальных условий можно задать
начальное отклонение точки М от неподвижного центра О и проекцию
ее начальной скорости, т.е. при t=0 х=х0, х=х0.
Найдем выражение для проекции скорости точки М
vx— х — —C1ksmkt-\-Cik cos kt. D)
Подстановка начальных условий в равенства C) и D) дает
х0 = С1; xQ = С2 «1
откуда
w = хо> С2 = —?-. E)
34*
516 Раздел III. Динамика
На этом основании имеем
х = хв cos kt + -у- sin kt. F)
Это — искомый закон движения точки М.
Если хо~О, то закон движения F) примет вид
х — хь cos kt. G)
Выражению C) можно придать более компактный вид, если поло-
положить
С2 = acosa;
при этом получим
х = a (sin a cos kt + cos a sin kt),
или*
x = asin(kt + <x), (8)
где новые постоянные интегрирования а и я определяются из формул
? + cS, tga = ?t. (9)
Выражение для проекции скорости точки М будет при этом иметь
вид
vx= х =akcos(kt + a). A0)
Определим значения а и а по заданным начальным условиям. Для
этого воспользуемся формулами E) и (9). Тогда найдем
|
Если хо=0, то a=xt и я=|-и закон движения точки (8) примет вид
а- = x0coskt,
т. е. мы придем к ранее полученному закону движения G).
Как известно из кинематики (§ 59, п. 7), движение точки, происхо-
происходящее согласно закону (8), называется гармоническим колебательным
движением. Колебания материальной точки под влиянием одной толь-
только восстанавливающей силы называются свободными колебаниями
* В том, что выражение (8) представляет собой решение уравнения B),
можно убедиться и непосредственной родстановкой; при этой подстановке урав-
уравнение B) обращается в тождество, и потому выражение (8) есть действительно
решение уравнения B).
Глава XX, Прямолинейное колебательное движение материальной точки 517
материальной точки. Таким образом, мы нашли, что если материаль-
материальная точка находится только под действием восстанавливающей силы,
то она совершает свободные гармонические колебания.
Величина а, равная наибольшему отклонению точки М от центра
колебаний О, называется амплитудой колебаний, аргумент синуса
(kt-\-a), определяющий положение точки М в данный момент и направ-
направление ее последующего движения, называется фазой колебаний, а зна-
значение а, которое принимает фаза в начальный момент, т. е. при ^=0,
называется начальной фазой колебаний.
Промежуток времени Т, в течение которого точка М совершает од-
одно полное колебание, т. е. приходит в ту же фазу, называется перио-
периодом колебаний. Так как период синуса (и косинуса) равен 2тс, то по
истечении периода фаза рассматриваемых периодических колебаний
изменится на 2-к, т. е.
откуда находим период колебаний
T = ^f, A2)
или, подставляя вместо k его значение,
- A3)
Величина v, обратная периоду и определяющая число полных ко-
колебаний, совершаемых точкой за одну секунду, называется частотой
колебаний
Отсюда видно, что величина
2л
A5)
определяет число полных колебаний, совершаемых точкой в течение
2гс секунд. Эта величина называется угловой, или круговой, частотой
колебаний*.
Из формул A1), A2) и A5) видно, что свободные гармонические
колебания обладают следующими свойствами: 1) амплитуда и началь-
начальная фаза колебаний зависят как от массы точки и упругого (или ква-
квазиупругого) коэффициента, так и от начальных условий; 2) период
и частота колебаний зависят лишь от массы точки и упругого (или ква-
квазиупругого) коэффициента, но от начальных условий не зависят**.
* Иногда ее называют циклической частотой колебаний.
** Это свойство свободных гармонических колебаний, а именно независи-
независимость частоты и периода колебаний от начальных условий, называется изо-
изохронностью.
518
Раздел III. Динамика
Графически свободные гармонические колебания иллюстрируются
синусоидой (рис. 304). _
Выясним теперь, как влияет постоянная сила G на свободные гар-
гармонические колебания точки. Если, кроме восстанавливающей силы F
(рис. 305), на движущуюся точку М вдоль оси Ох действует постоян-
asina
\F
Рис. 304
F M
Рис. 305
ная сила G (например, вес материальной точки), то вместо дифферен-
дифференциального уравнения B), получим
или
где
т х = — сх + Gx,
= Р,
= -^- Р = —
т ' т
A6)
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения A6),
(Р\
как известно, можно получить в виде суммы частного решения 1-^
этого уравнения и общего решения asin(W-j-a) соответствующего од-
однородного уравнения (x+k\x=0), т. е. в виде
х = a sin (kt + a) -f -p-.
A7)
Из формулы A7) видно, что постоянная сила G, не повлияв на пе-
период колебаний, сместила центр О этих свободных гармонических ко-
колебаний в направлении своего действия в точку О* на расстояние
(рис. 305)
*=-? = ? A3)
Глава XX. Прямолинейное колебательное движение материальной точки 519
Задача 91. Груз весом Р подвешивают на пружине, имеющей в есте-
естественном состоянии длину /0, и отпускают без начальной скорости.
Определить закон колебаний груза, период колебаний груза и наиболь-
наибольшую силу упругости (реакции) пружины, если в положении равнове-
равновесия груз растягивает пружину на величину 1сгп (статическое удлинение
пружины).
пружины;.
Решение. Начало координат О выберем в по-
положении статического равновесия, для которого вес
груза и сила упругости (реакция) пружины уравнове-
уравновешиваются:
т. е. на расстоянии \т=— от конца нерастянутой
пружины; при этом ось Ох направим по вертикали
вниз (рис. 306). Изобразим груз, принимаемый нами
за материальную точку, в произвольном положении
М, определяемом координатой х. Намечаем силы,
действующие на груз в этом положении: Р —вес гру-
груза, F — сила упругости пружины. Согласно закону
Гука сила упругости пружины пропорциональна ее
удлинению, т. е. F—ck, где с — коэффициент жест-
жесткости пружины, a ~k—l — 10=\т-\-х— удлинение пру-
пружины, соответствующее положению М груза. Следо-
Следовательно,
520 Раздел 111. Динамика
вершать гармонические колебания около положения равновесия О.
Отсюда сразу находим период колебаний груза по формуле A2)
gc
так как с—^—.
Общим решением полученного дифференциального уравнения бу-
будет
х = СХ cos kt + C2 sin kt,
отсюда
x = — kC1smkt + Cik coskt.
По условию задачи при ?=0 хо=—ХСш, хо=0. Подставляя эти началь-
начальные условия движения груза в выражения для х и х, найдем Сх=
= —Хсот, С2=0. Следовательно, искомый закон движения груза примет
вид
х = — Xcm cos k t.
Из этой формулы видно, что амплитуда колебаний груза равна ста-
статическому удлинению пружины а=\т, наибольшее удлинение пружи-
пружины при колебаниях груза будет вдвое больше статического удлинения:
Хшах=Хст+ а = 2Хст, а наибольшая сила упругости (реакции) пружины
будет вдвое больше веса груза: F ax=c^max=2cXcm= 2P.
В заключение отметим, что постоянная сила веса груза Р не изме-
изменяет характера колебаний этого груза, происходящих под действием
силы упругости пружины F, а только смещает центр этих колебаний
(относительно положения Мо, отвечающего длине пружины в ее есте-
— Р
ственном состоянии) в сторону действия силы Р на расстояние Хст=—.
С
Это, как видим, подтверждает формулу A8).
Задача 92. Груз весом РГ подвешен на упругой нити к неподвиж-
неподвижной точке. Выведенный из положения равновесия груз начинает со-
совершать колебания. Выразить длину нити х в функции времени и найти,
какому условию должна удовлетворять начальная длина ее х0, чтобы
во время движения груза нить оставалась натянутой. Натяжение ни-
нити пропорционально удлинению; длина ее в нерастянутом состоянии
равна / см; от действия статической нагрузки, равной сГ, нить удли-
удлиняется на 1 см; начальная скорость груза равна нулю.
Решение. Выберем начало координат О в неподвижной точке,
к которой прикреплена нить, и направим ось Ох по вертикали вниз
(рис. 307). Изобразим груз, принимаемый нами за материальную точ-
Глава XX. Прямолинейное колебательное движение материальной точки 521
ку, в произвольном положении М. Намечаем силы,
действующие на груз в этом положении: Р — вес гру-
груза, F — сила упругости нити. Согласно условию за-
задачи сила упругости нити пропорциональна удли-
удлинению, т. е. Р=с(х—/). Следовательно,
Составляя дифференциальное уравнение движения
груза, получим
JL'x=p —c(x — l),
У1////У''//////,
или
i
MZl
F
3—J
p
z
L
X-L
i
(а)
Рис. 307
Общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения
можно получить в виде суммы частного решения xa=/4=const этого
уравнения и общего решения x1=Clcos у cJLt + C2 sinl/ ?? t
соответствующего однородного уравнения (*+^|x=0), т. е.
Ус§
х = dcos Ус-§- t + C2 sin УЦ t + А.
(б)
Для нахождения А подставим х2=А в уравнение (а), получим
'-§¦ А = g + е-±1.
откуда
Подставляя найденное значение А в выражение (б), получим
л: = Сх cos ]/^/+С3 sin )Л|/ + /+-?-
и
* = - Q }^Ж Sin УМ t + C2 /fcos
t.
(в)
(г)
Произвольные постоянные интегрирования Сх и С2 определим по
начальным условиям движения. Начальные условия будут еледующи-
33 Н, Ф, Сахарный
522 Раздел 111. Динамика
ми: при t=0 х=х0, хо=0. Подставляя эти условия в выражения (в)
и (г), получим
— г 4- /4- —
откуда
с
Таким образом, искомая длина нити в функции времени равна
t. (д)
Нить во время движения груза будет натянутой, если для любого
момента t выполняется неравенство л:>/, которое, очевидно, будет
иметь место для наименьшего и наибольшего значений cosl/ €?. t. Поэ-
Поэтому, подставляя в выражение (д) значения cosl/?? t=—1 и
cos 1/I-- t—Jrl, получим
+ {xl^)(\)>t
+ с
, Р
откуда
Это и есть искомое условие для начальной длины нити х0, при котором
нить во время движения груза будет натянутой.
§96. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Рассмотренная нами теория свободных гармонических колебаний
материальной точки совершенно не учитывает сил сопротивления сре-
среды, возникающих при движении точки. Между тем эти силы сопротив-
сопротивления оказывают значительное влияние на характер колебательного
движения точки, способствуя иногда быстрому его затуханию. Так,
например, если груз, прикрепленный к свободному концу пружины,
закрепленной другим концом, вытянуть и отпустить, то он, совершив
некоторое число колебаний, под влиянием сил сопротивления воздуха
остановится.
Глава XX. Прямолинейное колебательное движение материальной точки 523
Рассмотрим, как влияет на колебания материальной точки сила
сопротивления среды. Если материальная точка М массы m движется
по оси Ох под действием восстанавливающей силы F, притягивающей
эту точку к неподвижному центру О в сопротивляющейся среде, то
на эту точку, кроме силы F, действует еще сила сопротивления R,
всегда направленная в сторону, противоположную скорости v точки
(рис. 308). При малых скоростях точки М сила сопротивления R мо-
может быть принята пропорцио-
пропорциональной первой степени скоро- ° ^ ^ м ^
сти этой точки, т. е.
?>__ ~ Рис. 308
где [л — постоянный коэффициент сопротивления среды. Проекция этой
силы на ось Ох будет равна Rx=—у.х. Проекция силы F на ось Ох,
как мы видели в предыдущем параграфе, равна Fx~—ex. Поэтому диф-
дифференциальное уравнение движения точки М будет иметь следующий
вид:
тх ~ — сх— рх.
Перенося все члены в левую часть и деля их на т, получим
где обозначено
— = &2, — = 2 п. B)
mm v '
Общее решение уравнения A), как известно, имеет вид
где Сх и С2—постоянные интегрирования, а Хх и Х2 — корни характе-
характеристического уравнения
а именно
h,2 = — п±Уп? — №. D)
При составлении общего решения уравнения A) следует различать
случаи, когда л<& (случай малого сопротивления), п>& (случай
большого сопротивления) и n—k (предельный случай).
33*
524 Раздел III. Динамика
1. Случай малого сопротивления*, я<&. В этом случае корни
характеристического уравнения мнимые:
или
>Ч,2 = — П ±
где k^—'Yk^—л2 и t=ynT. При этом, как известно, общее решение
C) уравнения A) примет вид
x=e~nt (A cos &! t + В sin kx t), E)
где А и В — постоянные интегрирования.
Проекция скорости точки в рассматриваемом случае движения рав-
равна
х =-- — п е~п (A cos ki t + В sin kx t)-\- e~" kx (B cos kx t — A sin kt t). F)
Постоянные интегрирования А и В определяются по начальным ус-
условиям. Считая при ^=0 х=х0 и x=v0, получим из формул E) и F)
+ G)
Заменим постоянные интегрирования А и В через новые постоян-
постоянные интегрирования а и а по формулам
A — a sin a, B = acos<x, (8)
после чего получим общее решение
x = ae-"tsm(k1t + a.). (9)
Уравнение (9) отличается от уравнения гармонического колебания
(8, § 95) множителем e~nt, который быстро уменьшается с течением вре-
времени, т. е. при t^co e~nt^-0 (следовательно, и д:-^0). Поэтому колеба-
колебания точки, происходящие по закону (9), называются затухающими.
Их частота kx зависит от природы самой колеблющейся системы (от
массы т точки и упругого или квазиупругого коэффициента с) и от
коэффициента сопротивления среды [а.
Постоянные интегрирования а и а определим по начальным усло-
условиям движения. Для этого воспользуемся формулами G) и (8)
Vn -4- П Ха
a sin а = х0 и a cos а = —-г ,
отсюда находим
V ^ A0)
* Величины п и kt очевидно, имеют одинаковые размерности (гпг)» а эт0
сел,
позволяет сравнивать их друг с другом.
Глава XX. Прямолинейное колебательное движение материальной точки 525
Графически затухающие колебания можно иллюстрировать затухаю-
затухающей синусоидой, попеременно касающейся кривых ae~nt и—ae~nt (рис.
309). Из этого графика видно, что колебания точки М не являются пе-
периодическими. Однако условно принято говорить о «периоде затухаю-
затухающих колебаний», понимая под этим период Тг тригонометрического
множителя функции, задаваемой формулой (9). Очевидно, что
Так как k^k, то ^> р т. е. период затухающих колебаний несколь-
несколько больше, чем период гармонического колебания, совершаемого
точкой под действием той же восстанавливающей силы F при от-
отсутствии сопротивления среды. Однако, когда сопротивление мало,
то величиной п2 по сравнению с k2 можно пренебречь и считать
k~~-?- Следовательно, малое сопротивление почти не влияет на
период колебаний.
Найдем моменты времени, в которые точка М получает максималь-
максимальные отклонения от положения равновесия О. Для этого достаточно най-
найти экстремумы функции (9). С этой целью образуем производную х
и приравняем ее нулю:
х = а е " [kj, cos (kxt + а) — п sin (kjt + а)] = 0,
откуда
tg(V + a) = -7f- A2)
526 Раздел III. Динамика
Обозначая через xv х2 ..., ^....максимальные отклонения точки
М от положения равновесия О, а через tx, tz, •-., t^ ,... соответствующие
им моменты времени, из уравнения A2) находим
Таким образом, мы видим, что моменты времени, в которые точка
получает максимальные отклонения от положения равновесия О, обра-
образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной полупериоду
г- , или к-. При этом
xN = a e~ntNs\n (kt tN + а),
+ —
xN+l = а е v N 2 ;sin {kx tN + тс -\- а),
т. е. максимальные отклонения точки М от положения равновесия
О образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем
г,
D = —0- =e , A3)
называемым декрементом затухающих колебаний. Натуральный ло-
логарифм декремента затухающих колебаний, т. е. величина
lnD = ^i, A4)
называется логарифмическим декрементом.
Проведенное нами исследование позволяет сделать вывод о том,
что малое сопротивление мало влияет на период колебаний, но вызы-
вызывает постепенное их затухание вследствие убывания максимальных
отклонений точки от положения равновесия по закону геометрической
прогрессии.
2. Случай большого сопротивления, п >?. В этом случае корни
Х1>2=—п±Уп2—/г2 характеристического уравнения являются дей-
действительными и различными. Общее решение C) уравнения A) можно
при этом записать в виде
* = g-«<(y4chv/-{-Bchv*)( • A5)
или, если ввести обозначения y4=asha и B=acha,
х = ae~"'sh(v* + a), A6)
Глава XX. Прямолинейное колебательное движение материальной точки 527
где
а А я В (либо а и а) — постоянные интегрирования.
Мы видим, что в случае большого сопротивления общее решение
A5) или A6) уравнения A) не содержит тригонометрических функций.
В этом случае движение точки М является апериодическим, т. е. оно
не имеет уже характера колебательного (периодического) движения, и
притом затухающим. В самом деле, учитывая, что
где Сх и С2— новые постоянные интегрирования. Но, как видно из
выражения A7), v<n, а потому при t^co х^О, т. е., начиная с не-
некоторого момента, точка М под
действием восстанавливающей силы
асимптотически приближается к по-
положению равновесия О без колебаний.
Вид графика этого движения точ-
точки М зависит от модуля и направле-
направления начальной скорости v0. На рис.310
представлены графики возможных
случаев такого движения точки
М при л:0<0. Здесь кривая / соот-
соответствует «толчку вперед» (ио>0),
кривая II — «слабому толчку назад»
(ио<0), кривая /// — «сильному толчку назад» (уо<0). В по-
последнем случае модуль начальной скорости v0 предполагается настоль-
настолько большим, что точка М переходит положение равновесия и затем
асимптотически приближается к нему со стороны отрицательных зна-
значений х.
3. Предельный случай, n=k. В этом случае корни Х1|2=—п харак-
характеристического уравнения являются действительными и равными. Об-
Общее решение уравнения A) можно при этом написать в виде
х = <r"<(Ci + Cj), A8)
где Сх и С2— постоянные интегрирования. График этой функции с ка-
качественной стороны не отличается от графика для случая большого
сопротивления (см. рис. 310). Таким образом, в этом случае движение
528
Раздел III. Динамика
точки не может являться колебательным (периодическим) и, следова-
следовательно, оно является также апериодическим затухающим.
Задача 93. Пластинка веса Р = 100 Г, подвешенная на вертикальной
пружине в неподвижной точке, движется между полюсами N и S
магнита (рис. 311). Вследствие вихревых токов движение тормозится
силой, пропорциональной первой степени скорости. Сила сопротивле-
сопротивления движению равна R=f<P2v дин, где/=10~4, v —
скорость в см/сек, а Ф — магнитный поток между по-
полюсами N и S. В начальный момент скорость пла-
пластинки равна нулю и пружина не растянута; жест-
о-
окость пружины равна с=20 —. Определить закон
СМ
Рис. 311
движения пластинки, если Ф=1000 У5 максвеллов.
Решение. Возьмем начало координат в на-
начальном положении пластинки и направим ось х
вертикально вниз. Во время колебания пластинки,
принимаемой нами за материальную точку, на нее
действуют следующие силы: Р — вес пластинки, F—
сила упругости пружины и R — сила сопротивления
движению. При этом проекции этих сил на ось х
равны РХ=Р, Fх=—сх и Rx—— -— х, и, следова-
следовательно, дифференциальное уравнение движения пла-
пластинки будет иметь вид
g
или
х + 2я х + k2 х =
¦х=Р —сх— Щ-
где
_/Ф2 _
- 2Р =
20-980
100
10-«-5-10"
2-100
= 196
= 2,5
1
сек'
g = 980
сек*
Так как л<&, то общее решение такого неоднородного линейного
дифференциального уравнения будет
— n2
-§г- (а)
Скорость движения пластинки
х = — ne-nt [A cos У& — п2 t + В sinVk2 — n2 t
— п?~[в cos У& — п% t — A sin У&2 — га2 t ). (б)
Глава XX. Прямолинейное колебательное движение материальной точки 529
Для определения постоянных интегрирования Л и В воспользуем-
воспользуемся начальными условиями: при t=0 х~0, х=0.
Подстановка этих значений в равенства (а) и (б) дает
А 1_______5
п ~~ № ~~ 196 ~ °'
R - Ап - 5-2,5 _ 5-2,5 _ „ _-_
У"/г2—/га /169—6,25 ы>/в
Подставляя найденные численные значения А и В в формулу (а),
получим искомый закон движения пластинки
х = 5 — <Г2.6' E cos 13,781 + 0,907 sin 13,781).
§97. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
ПРИ ОТСУТСТВИИ СОПРОТИВЛЕНИЯ
Пусть на материальную точку М массы пг, движущуюся по оси Ох
(рис. 312), кроме восстанавливающей силы F, проекция которой на
ось Ох равна
F= — cx,
х
действует еще периодически из- « F M Q
меняющаяся со временем сила <? ^—.щ ,>____>
Q, проекция которой на ось х |— =
равна
Qx = H sin pt. A) Рис.312.
Эта периодически изменяющаяся сила называется возмущающей си-
силой, или гармонической возмущающей силой. Здесь коэффициент Н,
равный наибольшему значению модуля силы Q, называется амплиту-
амплитудой возмущающей силы, а множитель р называется угловой частотой
возмущающей силы*.
Дифференциальное уравнение движения точки М имеет в этом слу-
случае следующий вид:
тх — — сх + Я sinpt,
или
х-\- k?x = h sin pt, B)
где
т т
* Иногда гармоническая возмущающая сила задается с отличной от нуля на-
начальной фазой Qx=Hs\n (pi-f-j)- Переносом начала отсчета времени по формуле
t=t'—-этот случай сводится к предыдущему ,т. е. определяемому равенством A).
530 Раздел III. Динамика
Если бы возмущающей силы не было, то точка М совершала бы гар-
гармонические колебания с угловой частотой k. Поэтому коэффициент k
называется угловой частотой собственных колебаний (в том смысле,
что они зависят от природы самой колеблющейся системы, например,
от массы и упругого или квазиупругого коэффициента).
Уравнение A) есть неоднородное линейное дифференциальное урав-
уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и с правой
частью, отличной от нуля. При интегрировании этого уравнения при-
придется отдельно рассматривать случаи, когда p=f=k и когда p—k.
1. Случай, когда частота возмущающей силы не совпадает с часто-
частотой собственных колебаний, т. е. p=f=k. Общее решение уравнения B)
согласно теории линейных дифференциальных уравнений находится как
сумма общего решения уравнения x+k2x=0 и частного решения урав-
уравнения B).
Общее решение уравнения x+k*x=0, как известно (см. § 95),
будет
хх = asm (kt + a), C)
или
xt = Ct cos kt + С2 sin kt. D)
Частное решение уравнения B) будем искать в виде
,v2 = A sin pt -\- В cos pt,
где А и В — постоянные величины, которые надо подобрать так, что-
чтобы уравнение B) обратилось в тождество. Подставляя значения х^ и
х2 в уравнение B), будем иметь тождество
— В рг cos pt — Api sin pt + k2 (В cos pt + A sin pt) = h sin pt.
Так как это равенство тождественно удовлетворяется (при всяком
значении t), то коэффициенты при s'mpt и cosp^ в левой и в правой
частях должны быть равны
откуда
Таким образом, искомое частное решение имеет вид
*2= fc2_p2 sin p/. E)
Так как x=x1+xi, то общее решение уравнения B) имеет окон-
окончательно вид
х = a sin (kt + a) -f -ki^_ 2 sin pt, F)
Глава XX. Прямолинейное колебательное движение материальной точки 531
ИЛИ
х = Сх cos kt
Сг sin kt ¦
G)
где Сх и С2 (либо а и а) — постоянные интегрирования.
Мы видим, что движение точки складывается из двух гармониче-
гармонических колебаний с конечными амплитудами: 1) колебаний с амплиту-
амплитудой а (зависящей от начальных условий) и частотой k, которые назы-
называются собственными колебаниями, 2) колебаний с амплитудой А (не
зависящей от начальных условий) и частотой р, которые называются
вынужденными колебаниями.
Отметим, что при р<& вынужденные колебания точки имеют ту
же фазу, что и возмущающая сила. Если же р>&, то, внося минус под
знак синуса, мы можем представить частное решение E) уравнения B)
в виде
*2= p2^fe2 sm (pt — it),
откуда видно, что если частота р возмущающей силы больше частоты
собственных колебаний, то вынужденные колебания сдвинуты по фазе
относительно возмущающей силы на тс. Амплитуда вынужденных коле-
колебаний является постоянной величиной.
Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний от от-
отношения-^-. Амплитуда вынужденных колебаний равна
А =
1 —
(8)
н
где 8 = -гг =— = статическое отклонение точки, вызванное по-
стоянной силой Н.
На рис. 313 дан график из-
изменения А в зависимости от от-
р3
ношения—.
При р, близком к k, ампли-
амплитуда вынужденных колебаний
достигает очень большой вели-
величины (случай p=k мы пока вы-
выпустили из рассмотрения).
Найдем теперь закон движе-
движения точки, соответствующий на-
начальным условиям: при t = О
х=х0, х=ха. Для этого опреде-
А
6
1
J
у
II
V
Рис. 313
532 Раздел III. Динамика
лим постоянные интегрирования CL и С2 (либо а и а) по этим на-
начальным условиям.
Полагая в уравнении G) t=0, x—x0, получим
х0 = Cv или Сг = х0.
Составляя выражение для х, т. е.
x = —Clk sin kt + C2k cos kt + Ap cos pt,
к р
и полагая в нем t=0, x=x0, найдем
¦^0 == ^2^ ~Г t.9. п?~ > ИЛИ С 2= ~т— ^о , 2 —;
Таким образом, искомый закон движения точки примет вид
х = xQ cos kt+-\- (x0 J^na ) sin Af + ,2^_n2 sin pf. (9)
Такая запись закона движения точки позволяет выяснить весьма
важное принципиальное обстоятельство, а именно, даже при нулевых
начальных условиях (хо=0, хо=0), движение точки будет слагаться из
собственных колебаний, определяемых членом , , o>sin kt, и вы-
&\*' Р )
нужденных колебаний, определяемых членом ¦ а sin pt.
2. Случай, когда частота возмущающей силы совпадает с частотой
собственных колебаний, т. е. p=k. Будем в этом случае искать частное
решение уравнения B) в виде
хг = At sin kt + Bt cos kt.
Подставив значение хг и х2 в уравнение B) и положив в этом уравне-
уравнении p=k, мы получим следующее тождество:
— 2Bksinkt + 2Akcoskt = h sin kt.
Приравняв здесь отдельно коэффициенты при косинусах и синусах в
левой и правой частях, мы получим уравнения для определения по-
постоянных величин А и В:
откуда
Глава XX. Прямолинейное колебательное движение материальной точки 533
и, следовательно, искомое частное решение примет вид
х
A0)
Прибавив это частное решение к общему решению C) или D) урав-
уравнения х +&2х=0, мы найдем общее решение уравнения B) при p=k
x = asin(kt + o.) — -^coskt, . A1)
или
х = ^coskt + C2sin kt— g-r-cos^, A2)
где Cj и С2 (либо а и а) — постоянные интегрирования.
Формула A2) показывает, что изучаемые нами колебания точки
представляют собой наложенные друг на друга два колебательных
движения.
Первые два слагаемых правой части формулы A2) выражают соб-
собственные (гармонические) колебания с постоянной амплитудой; ха-
характер их остается таким же, как и в случае, когда рфк.
Второе слагаемое формулы A2) выражает вынужденные колебания.
Они сдвинуты по фазе на -^япо отношению к возмущающей силе, что
непосредственно видно из формулы
м ,, и . /,, , з
Вынужденные колебания точки представляют собой гармонические
колебания с неограниченно возрастающей амплитудой щ, т. е. при
p=k мы имеем явление неограниченного возрастания отклонения точки
М от положения равновесия О при /->-оо. Это явление носит название
резонанса и играет большую роль в акустике, радиотехнике и при ди-
динамическом расчете сооружений.
Графически вынужденные колебания при резонансе можно иллюст-
иллюстрировать возрастающей синусоидой, попеременно касающейся прямых
| и -| (см. рис. 314).
Произвольные постоянные Ct и С2 (либо а и а) определяются по
начальным условиям: при ^=0 х=х0, х=х0.
Полагая в уравнении A2) t=0, x=x0, получим
х0 = С1? или Сх = х0.
Составляя выражение для х, т. е.
х = —
534
Раздел 111. Динамика
и полагая в нем t=0, х—х0, получим
XQ = C2k— ;
Следовательно, если p=k, то искомый закон движения точки,
соответствующий начальным условиям, примет вид*
-^Asinkt Jr-coskt.
2k
Задача 94. Груз М веса Р=400 Г прик-
прикреплен к нижнему концу вертикально распо-
расположенной пружины, жесткость которой равна
с =40 —. Верхний конец В пружины соверша-
СМ
2k
A3)
Рис. 314
ет вертикальные гармонические колебания по закону OA—2sm7t от-
относительно некоторой неподвижной точки О (рис. 315). Найти закон
вынужденных движений груза М.
Решение. Примем неподвижную точку 0 за начало координат
и направим ось Ох по вертикали вниз.
Если обозначим естественную длину пружины через 10, то, как
видно из рис. 314, удлинение к пружины будет равно
Х = х— ОА — 1й = х—
* Решение A3) можно получить из решения (9), раскрывая по правилу Ло-
питаля неопределенность, которая там получается, если p=k.
Глава XX. Прямолинейное колебательное движение материальной точки 535
и, следовательно, проекция силы реакции F пружины на ось Ох будет
равна
Fx = — ck = — с(х— 2 sin 71 —10).
Кроме силы F, на груз М действует еще и сила тяжести Р этого груза.
Поэтому дифференциальное уравнение движения груза будет иметь вид
— х = Р — с (х— 2 sin 71 — /0),
или
где
я - -р, п- -р-.
Для упрощения этого уравнения сделаем замену переменного,
полагая
где z — новая переменная, а р — некоторая постоянная величина.
Тогда
X = 2 , X = Z
и вместо предыдущего получаем следующее дифференциальное урав-
уравнение:
'z + k2z = hsm7t—k*$ + g+^?-. (a)
Выберем (J так, чтобы постоянные члены в правой части этого урав-
уравнения исчезли, т. е. положим
отсюда
так как ^=- и -=XfOT, где Хс/П—статическое удлинение пру-
пружины.
Отсюда мы видим, что введение переменной z равносильно переносу
начала координат из точки О в положение Оъ которое занимает груз
при равновесии. Следовательно, после такой замены переменного
дифференциальное уравнение (а) не будет содержать постоянных
членов и уравнение движения груза М примет вид
"z + k2z = h sin 71.
536 . Раздел III. Динамика
Мы получили дифференциальное уравнение B), в котором
= 196, р = 7 [g = 980
см
Так как частота собственных колебаний &=9,9— и частота вынуж-
свк
денных колебаний р—7 — не совпадают, то резонанс отсутствует,
поэтому закон вынужденных колебаний определяется формулой
которая в рассматриваемом случае примет вид
z = 4 sin 7^,
ft 196 . ,
как ^i—i=^-^= 4 см и р-7.
§ 98. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
ПРИ НАЛИЧИИ СОПРОТИВЛЕНИЯ
В заключение рассмотрим затухающие колебания точки при нали-
наличии сопротивления, предельными случаями которых, по существу, яв-
являются все разобранные выше типы колебаний.
Предположим, что на матери.
0 F^ я^ м J? ^_^ альную точку М массы т., движу.
с *¦ т •* ' ^^щуюся по оси Ох (рис. 316), дей.
"^ ствуют восстанавливающая сила/7,
Рис- 316 сила сопротивления R, пропорцио-
пропорциональная скорости v и гармониче-
гармоническая возмущающая сила Q, соответственно выражаемые формулами
Fx = —ex, Rx = —[J-x, Qx = H sin pt.
Дифференциальное уравнение движения точки М имеет в этом случае
следующий вид:
тх = —сх—\xx + Hsinpt. A)
Деля обе части этого уравнения наши сохраняя обозначения пре-
предыдущих параграфов, получим уравнение A) в виде
"х + 2 п'х + k*x = h sin pt. B)
На основании теоремы, известной из теории линейных дифферен-
дифференциальных уравнений, общее решение этого уравнения состоит из суммы
общего решения
Глава XX. Прямолинейное колебательное движение материальной точки 537
—n* t),
или
xx = ae~nt sin (Yk2 — n2 t+a),
уравнения x-\-2nxJrk2x=0 (рассматривается случай малого сопротив-
сопротивления) и частного решения х2 уравнения B). Это частное решение мы
будем искать в виде
х2 — D cos pt + E sin pt, C)
где D и Е — постоянные величины, которые необходимо подобрать
так, чтобы значение х2 тождественно удовлетворяло "уравнению B).
Из равенства B) находим
х2 = р{Е cos pt—D sin pt); D)
x2 = — p2(E sin pt + D cos pt). E)
Подставляя из равенства C), D) и E) значения хг, х2 и х2 в урав-
уравнение B), получим следующее тождество:
[(k2 — p2]D + 2np E] cos pt + l(k2 — p2)E—2np D] sin pt = h sin pt.
Приравняв здесь отдельно коэффициенты при косинусах и синусах
в левой и в правой частях, мы получим систему двух уравнений с дву-
двумя неизвестными D и Е
2прЕ + (k2 — p2)D = 0.
Решая совместно полученные уравнения, получим
2hnp
п
(б2 — р2J+4л2р2 (ft2 — р2J + 4 я V
Подставив значения D и Е в равенство C), найдем искомое частное
решение в виде
2 — р2) sin р? —2 лр cos р^ . F)
*» = (fe2 - р2^2 +4 /г2р2
Введем обозначения
k% — о2 2 яр
^ = cos 7j; И = sin 7j;
У 2 4 V
j
(й2 — р2J + 4 л2р2 У (й2 — р2J + 4 /г V
538 Раздел III. Динамика
— n* t+ В sin У& — n*t)
х = ae-ntsm (V& —n2t + а) + bsin (pt
тогда частное решение F) примет вид
х2 = 6 sin (p/ -f- irj), G)
где
6- h nta-n = -1^-r. (8)
Y(k* — p2J + 4 n V P
Таким образом, общее решение уравнения B) может быть представ-
представлено в виде
или
где а и а (либо А и В) — постоянные интегрирования, определяемые по
начальным условиям движения, а значения b и f\ даются формулами (8)
и от начальных условий не зависят.
Полученные колебания складываются из собственных (первое сла-
слагаемое правой части равенства 10) и вынужденных (второе слагаемое
правой части равенства 10).
Наличие множителя ernt обусловливает быстрое затухание собствен-
собственных колебаний. Поэтому при многих расчетах приходится считаться
главным образом с вынужденными колебаниями.
Вынужденные колебания обусловлены действием на точку возму-
возмущающей силы и при наличии сопротивления не затухают. Эти колеба-
колебания являются гармоническими с угловой частотой р, равной частоте
возмущающей силы, амплитудой Ь и начальной фазой ч\.
Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний от
частоты возмущающей силы.
Разделив в формуле (8) для амплитуды b вынужденных колебаний
числитель и знаменатель на k2, перепишем ее в следующем виде:
JL
или
где
Глава XX. Прямолинейное колебательное движение материальной точки 539
Здесь z — отношение частот (коэффициент расстройки), р — величина,
характеризующая сопротивление среды (коэффициент затухания),
Н
s h m H
о=тг=—= величина статического отклонения точки под деи-
нес
m
ствием силы Н, равной максимальному значению возмущающей
силы Q.
Из формулы A1) следует, что при заданном коэффициенте затуха-
затухания р амплитуда Ь является функцией переменного г. На рис. 317 изоб-
изображены кривые, показывающие, как из- .
меняется амплитуда Ь в зависимости от
z при различных значениях р. Очевид-
Очевидно, что
(b)z=0 = 8; F)г=1 =
а также
limb = О,
A3)
A4)
\z--0
Рис. 317
т. е. ось Oz служит асимптотой кри-
кривых, изображенных на рис. 317.
Найдем, при каких значениях z ам-
амплитуда b достигает максимального зна-
значения. Обозначим подкоренное выражение через f(z), т. е.
/(г) = A — 22J+ 4 p2z2.
A5)
Минимальному значению /(г), очевидно, соответствует максималь-
максимальное значение Ь.
Находим первую и вторую производные от f(z) по г:
= — 4+
и, приравнивая первую производную нулю, получим значение г, при
котором Ь имеет экстремальное значение
г = У~\ — 2 В2.
Если p<-T=,TO2max=Vl—2р2<1 действительное число, и при
этом для zmax вторая производная от f(z) по г будет равна
540 Раздел III. Динамика
т. е. значению гтах=уг1—2|32 соответствует минимальное значение
f(z) и, следовательно, максимальное значение Ь*.
Это максимальное значение амплитуды вынужденных колеба-
колебаний равно
&™а*= ^ A6)
Отметим, что
Таким образом, если коэффициент затухания р удовлетворяет не-
неравенству |3<—=, то при г=гтах=1/1—2 [З2 наступает резонанс, т. е.
у 2
резонанс возникает при отношении частот 2=-? несколько меньше
единицы, а амплитуда 6 вынужденных колебаний остается при резо-
резонансе конечной (см. формулу 16).
Если коэффициент затухания достаточно мал, то в формуле г=
=гтах=V1 —2J32 величиной (З2 можно пренебречь в сравнении с единицей
и принять, что 2=zmax=l, или, что то же, р=/г. Следовательно, сдоста-
точной точностью можно утверждать, что в этом случае максимально-
максимального значения амплитуда вынужденных колебаний достигает тогда, когда
частота вынужденных колебаний равна частоте собственных колеба-
колебаний точки, совершаемых ею под действием только восстанавливающей
силы (в среде без сопротивления).
Следуя установившейся традиции, этот случай совпадения частот
вынужденных и собственных колебаний также называют резонансом.
На практике в случае вибрации фундаментов под машинами, мостов,
крыльев самолета, сооружений и т. п. резонанс приводит к образованию
колебаний с большими амплитудами, при которых возникают напряже-
напряжения, превышающие допустимые сточки зрения прочности, что, конечно,
является не только нежелательным, но часто и опасным. Поэтому зада-
задача инженеров и конструкторов заключается в этом случае в устранении
причин резонанса.
Задача 95. К концу вертикальной пружины, верхний конец которой
закреплен, подвешен груз весом Р=2 кГ. В равновесном положении
вес этого груза растягивает пружину на величину Кт—% см (статиче-
(статическое удлинение пружины). На груз действует возмущающая сила
Q—Hs\n(pt+b) (положительные значения соответствуют направлению
вниз, отрицательные— вверх), причем #=3 кГ, Р=30— и Ъ=^рад.
Сила сопротивления движению пропорциональна первой степе-
степени скорости груза, причем коэффициент пропорциональности
1
* Неравенство р^-^имеет место в том случае, когда сопротивление среды,
в которой движется материальная точка, невелико,
Глава XX. Прямолинейное колебательное движение материальной точки 541
равен [л=0,04
кГ-сек
см
Ускорение силы тяжести g=980 —5. Найти
см ' г ° . . сек2 '
закон движения груза, если при t=0 x=xo—2 см, х= хо=0, где ось
х направлена по вертикали вниз из равновесного положения груза,
определяемого его весом и силой упругости пружины.
Решение. Помещаем начало координат О
в положение статического равновесия груза и на- У//////////////////Ш
правляем ось Ох по вертикали вниз (рис. 318).
Изобразим груз, принимаемый за материальную
точку, в произвольном положении М, опреде-
определяемом координатой х. Намечаем силы, действую-
действующие на груз в этом положении: Р — вес груза,
F—сила упругости пружины, R — сопротивление
движению груза и Q — возмущающая сила. Соглас-
Согласно закону Гука F=cX, где с — коэффициент жест-
жесткости пружины, а "К=1 — /0 = \ст + х— удлинение
пружины, соответствующее положению М груза,
/0—длина недеформированной пружины. Следо-
Следовательно, проекция силы на ось Ох будет равна
причем в положении статического равновесия
X.
Рис. 318
Проекции же сил Р, R и Q на ось Ох будут соответственно равны
РХ = Р, Rx = — \xx и QX = H sin (pt + S).
Дифференциальное уравнение движения груза в данном случае
будет иметь следующий вид:
или
тх = Р—с (Хст + х) — (л х + И sin {pt + 5),
тх + [а х + сх — Hs'm(pt + о),
так как с~кст=Р. Разделив обе части этого уравнения на массу т груза,
получим
В результате, введя обозначения
= . . и
т
т
сек*
542 Раздел III. Динамика
приведем уравнение движения груза к виду
'х+2п'х + k2x = hsm(pt + b). (a)
Его общим решением, как известно, будет
X = Xi -\- Х2,
где хх— общее решение уравнения без правой части, т. е. решение од-
однородного уравнения x+2nx+k2x=0, а х2— частное решение неод-
неоднородного уравнения (а). Для нахождения хх осуществим следующие
расчеты:
» = ?-й=^= 9.8;L, „ = 96,04;
Отсюда следует, что n<k (случай малого сопротивления), поэтому
общее решение однородного уравнения примет вид
х = e'nt (A cos kyt + В sin kxt),
или
х= е-9.8^(^ cos 19,85^ + 5 sin 19,85 <), (б)
так как A1=y^Z~^2==|/90—96,04 = 19,85.
Найдем теперь частное решение х2 неоднородного уравнения (а).
Будем его искать в виде
жа = b sin (pt + -ц).
Из этого равенства находим
х2 = pb cos (pt -f Tj),
х2 — — p2b sin (pt + rj).
Подставляя из этих трех равенств значения хг, х2 и х2 в уравнение (а),
получим следующее тождество:
— Ьрг sin (pt + Yj) -+¦ 2 пр b cos (pt + tj) +
+ fta b sin (pt + i]) = h sin (pt + tj) cos (8 — tj) +
-f h cos (p/ + 7j) sin (S — tj),
Глава XX. Прямолинейное колебательное движение материальной точки 543
так как
h sin (pt + 8) == h sin [{pt + tj) + E — tj)] = h sin (/?/ + tj) cos (8 — yj) +
+ h cos (p/ + vj) sin (8—7]).
Приравняв здесь отдельно коэффициенты при косинусах и синусах
в левой и правой частях, получим уравнения для определения Ь и ч\
b(k*—p*) = Л cos (8— ij);
2 при = /г sin (8 — т]).
Из полученных уравнений, возводя их сначала почленно в квадрат
и складывая, а затем деля почленно друг на друга, находим
В рассматриваемом случае имеем
к _ _ 1470 1470
«+4-96,04-900
. 2-9,8-30
= 2,05 сл; .
Таким образом, tg(8—^)<0, a sin (8—¦*))>0, поэтому угол (8—rft
необходимо брать во второй четверти, а следовательно, tg[rc—(8—-»])]=
= 1,434, откуда п—(8—yj)=55°6'30"; учитывая, что 8=?-. получим
О
тс— -|-^== 0,306-— 0,667тг= — 0,36« =
= —1,134 рад.
Таким образом, общее решение уравнения (а) будет иметь вид
х = хх + хг = е"9-8'(Л cos 19,85/ + ? sin 19,85/) +
+ 2,05 sin C0/—0,36 т:).
Постоянные интегрирования А и В определим по начальным уело-
544 Раздел 111. Динамика
виям движения груза: при t=0 х=хо=2, х=х0 = 0. Для этого най-
найдем х:
х = ¦ — 9,8 е-9-8'(Л cos 19,851 + В sin 19,851) +
+ 61,5 cos C01 — 0,36 к) + e~9-st [— 19,85 A sin A9,85) t +
+ 19,85ficosA9,85)*].
При t=0, x=xo=2:
2 = A + 2,05 sin (—0,36 it),
или
Л = 2 + 2,05 sin @,36 к) = 2 + 2,05 sin 64°48' =
= 2 + 2,05-0,905 = 3,86.
При /=0 л:=л;о=0 и, следовательно,
0 = —9,8Л+ 19,85В + 61,5 sin (— 0,36 я),
откуда
В = 9'8^~526'2 = 0,585, где cos(—0,36 я) = 0,426.
При этом
а = У А* + В2 = V C,86J + @,585J =3,91;
А 3 86
tga= -5=7гкин=6,6; sina>0, так как Л>0, и, следовательно, угол «
нужно брать в первой четверти, а поэтому
<х=81о23'=0,452тг=1,42 рад.
Итак, искомый закон движения груза будет иметь следующий вид:
х = 3,91 е"9-8' sin A9,85 * + 0,452 я) + 2,05 sin C01 — 0,36 я),
где первое слагаемое правой части выражает собственные затухающие
колебания с периодом
т — — = 2тс D 6'28 сэ о 317 сек
~ *i /fe2Z^2 19,85 c=JU>t31/ ceK>
а второе слагаемое — вынужденные колебания с частотой, равной час-
частоте возмущающей силы.
Глава XXI. Введение в динамику системы и твердого тела 545
Б. ДИНАМИКА МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
И ТВЕРДОГО ТЕЛА
Глава XXI
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ СИСТЕМЫ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
§99. МЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА. КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ,
ДЕЙСТВУЮЩИХ НА МЕХАНИЧЕСКУЮ СИСТЕМУ
Здесь и в дальнейшем мы будем рассматривать главным образом
движение только механической системы, подразумевая под этой сис-
системой совокупность взаимодействующих между собой материальных
точек (или тел). Благодаря наличию сил взаимодействия между от-
отдельными точками механической
системы положение и движение
каждой ее точки зависит от поло-
положения и движения всех остальных
точек этой системы.
Выбор механической системы
точек (или тел) зависит от нашего
произвола; так, рассматривая дви- Рис- 319
жение Солнца, Земли и Луны,, мы
по нашему желанию можем изучать движение или всех трех тел (тог-
(тогда это будет одна система), или только двух, например Земли и Луны
(тогда это будет другая система). Изучая движение кривошипно-шатун-
ного механизма (рис. 319), мы можем в зависимости от характера по-
поставленной задачи принять за механическую систему как совокупность
всех связанных между собой его звеньев, так и любую часть механиз-
механизма и, в частности, отдельно звено механизма*.
Если мы рассмотрим некоторую механическую систему из п мате-
материальных точек, то для изучения движения как всей системы, так и
отдельных ее точек целесообразно силы, действующие на любую точ-
точку системы, разделить на внутренние и внешние. Силы, с которыми дей-
действуют друг на друга точки или тела данной механической системы, мы
будем называть внутренними силами. Например, силы взаимного тя-
тяготения планет солнечной системы будут для этой системы внутренни-
внутренними. Силы, с которыми-действуют на точки или тела данной механиче-
механической системы точки или тела, не входящие в состав этой системы,
мы будем называть внешними силами. Так, если мы изучаем движение
какой-либо планеты солнечной системы, то действующие на эту плане-
планету силы, обусловленные притяжением звезд и звездных скоплений,
будут силами внешними.
* О механической системе смотри введение в настоящий курс теоретичес-
теоретической механики (§ 1).
36 Н. Ф, Сахарный
546 Раздел III. Динамика
Если из рассматриваемой механической системы выделить какую-
либо часть, то эта часть, как уже говорилось, также представляет
собой механическую систему, но внутренние силы рассматриваемой
механической системы, действующие на точки выделенной части, бу-
будут уже внешними по отношению к этой выделенной части. Например,
если рассматривать движение всей солнечной системы в целом, то сила
притяжения Земли к Солнцу будет внутренней; при изучении же дви-
движения Земли по ее орбите вокруг Солнца та же сила будет рассмат-
рассматриваться как внешняя.
Следовательно, разделение сил на внешние и внутренние яв-
является условным и зависит от того, движение какой механической
системы мы рассматриваем.
Рассмотрим механическую систему, состоящую из п взаимодей-
взаимодействующих между собой материальных точек и выделим какую-нибудь
k-ю точку этой системы. Обозначим равнодействующую всех приложен-
приложенных к этой точке внешних сил через У7*0, а равнодействующую всех
внутренних сил, приложенных к той же точке, — через F(j\
Отметим некоторые свойства внутренних сил механической системы.
1. Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил
механической системы равняется нулю, т. е.
= о.
В самом деле, между двумя любыми точками механической системы
действуют силы взаимодействия; согласно третьему закону динамики
эти силы равны по модулю между собой и имеют противоположные на-
" — (о
правления. Входя в геометрическую сумму S Fk , эти силы, попарно
складываясь, обращают эту сумму в нуль.
2. Геометрическая сумма моментов (главный момент) всех внутрен-
внутренних сил механической системы относительно некоторого неподвиж-
неподвижного центра О равняется нулю, т. е.
Действительно, рассмотрим две какие-нибудь точки Аг и Л2 данной
механической системы (рис. 320). Обозначим через Fj2 силу, действую-
действующую на точку Ai со стороны точки Л2, а через Fi'i— силу, действую-
действующую наточку Л 2 со стороны точки At. На основании третьего закона ди-
динамики имеем F'p=— F^. При этом геометрическая сумма моментов
Глава XXI. Введение в динамику системы и твердого тела 547
этих сил относительно какого-либо неподвижного центра О будет рав-
равна нулю, т. е.
= /-! X ЯО _г2 X Л/2> = (Г1-г2) X Л/2» = AAxF</2> « О,
так как векторы Лх^а и /-"'/г коллинеарны. Аналогичный результат
имеет место для любой пары точек механической системы, а поэтому
Нужно помнить, что из доказанных свойств внутренних сил механи-
механической системы вовсе не следует, что внутренние силы взаимно уравно-
уравновешиваются и не влияют на движение ме-.
ханической системы, так как эти силы
приложены к различным точкам механи-
механической системы и могут вызвать взаимное
перемещение этих точек. Внутренние силы
будут взаимно уравновешенными только
тогда, когда рассматриваемая механическая
система будет представлять собой абсо-
лютно твердое тело.
Силы, действующие на .материальные
точки механической системы, можно еще
классифицировать на активные силы и си-
силы реакций связей*. При этом следует Рис. 320
иметь в виду, что к активным относятся
силы, не являющиеся силами реакций связей.
В задачах динамики несвободной механической системы пользу-
пользуются аксиомой связей, которая имела применение в статике и в ди-
динамике несвободной материальной точки. Отбрасывая мысленно связи,
наложенные на механическую систему, заменяют их действие на сис-
систему силами реакций связей. При этом несвободная механическая
система рассматривается как система свободная, которая движется
под действием активных сил и сил реакций связей.
§ 100. МАССА СИСТЕМЫ. ЦЕНТР МАСС СИСТЕМЫ
Движение механической системы, кроме действующих сил, зависит
также от ее массы и распределения масс в этой системе. Масса механи-
механической системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел,
п
входящих в состав этой системы, т. е. М = Ъть.
* В статике твердого тела и в динамике несвободной материальной точки
также применялась классификация сил на активные силы и силы реакций свя-
связей.
36*
548
Раздел III. Динамика
Распределение масс в первую очередь характеризуется положе-
положением так называемого центра масс, или центра инерции механической
системы. Центром масс, или центром инерции механической системы,
состоящей из п материальных точек, называют геометрическую точку
С (рис. 321), положение которой относительно выбранной системы от-
отсчета определяется следующим радиусом-вектором:
mkrk
Рис. 321
гс =
М
A)
где mk(k=\, 2 п) — массы
материальных точек, образующих
механическую систему; rk(k=\,
2, ..., п) — радиусы-векторы этих
п _
точек; Zmkrk — сумма статических
моментов масс точек системы отно-
относительно центра О, служащего на-
л
чалом для rk (рис. 321); M = Smft—
масса системы.
Из-структуры формулы A) вид-
видно, что положение центра масс дан-
данной механической системы зависит
только от распределения масс то-
точек, составляющих эту систему, и
находится данная механическая система
совсем не зависит от того,
под действием каких-нибудь сил или нет.
Кроме того, положение центра масс механической системы не за-
зависит от выбора системы отсчета. В самом деле, во второй системе
отсчета O'x'y'z' (рис. 322), начало которой смещено от начала О ис-
исходной системы отсчета Oxyz на ОО'=Го, радиус-вектор &-й точки rk,
очевидно, равен
777 B>
Пользуясь формулой A), т. е.
rc ~
k=i
и учитывая равенство B), получим для г с — радиуса-вектора центра
мах С в системе отсчета O'x'y'z' — выражение
•о-
Глава XXI. Введение в динамику системы и твердого тела
549
Равенство гс=г0 +гс показывает, что концы векторов гсш т'с совпали'.
т. е. они определяют одну и ту же точку С — центр масс, что »
требовалось доказать.
Формуле A) можно придать и другой вид, если умножить числи-
числитель и знаменатель ее правой части на ускорение g силы тяжести
В этом случае будем иметь
гс ~~
Mg
или
C)
от.
ой.
где pk=mkg (k=\, 2, ..., л) — веса
материальных точек, образующих ме-
механическую систему, a P=Mg—вес
всей механической системы.
Формулой же C) определяется,
как известно из статики B, § 52),
радиус-вектор центра тяжести си-
системы в предположении, что она
отвердела и находится в поле силы
тяжести.
Отсюда следует, что центр тяже-
тяжести отвердевшей системы, или неиз-
неизменяемой механической системы сов-
совпадает с центром масс.
Однако понятия о центре тяжести и центре масс не являются тож-
тождественными.
Центр тяжести неизменяемой механической системы есть точка,
через которую проходит линия действия равнодействующей сил тя-
тяжести материальных точек этой системы. Понятие центра тяжести при-
применимо поэтому только к неизменяемым механическим системам (в част-
частности, к твердым телам), которые находятся под действием силы тяже-
тяжести. Понятие же о центре масс как а характеристике распределения
масс в механической системе сохраняет свой смысл для любой механи-
механической системы, причем независимо от того, какие силы действуют на
нее.
Рис. 322
§ 101. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
1. Общие формулы для моментов инерции. Положение центра масс
характеризует распределение масс системы не полностью. Поэтому при
изучении динамики механических систем точек и особенно при изу-
Раздел III. Динамика
чении динамики твердого тела, вводится еще одна характеристика
распределения масс — так называемый момент инерции системы.
Моментом инерции механической системы материальных точек отно-
относительно данной точки О, оси L или плоскости Я называется скалярная
величина, равная сумме произведений масс всех точек системы на квад-
квадраты их расстояний до данной точки О, оси L или плоскости Я соответ-
соответственно.
Поэтому, обозначая моменты инерции системы относительно дан-
данной точки О, оси L и плоскости Я соответственно через Jo , Jl и Jл,
имеем:
Jo = ? mkr\ ; JL = ? mfe/j2 ;
0)
где mk — масса k-и точки системы, a rk, hk и dk— соответствующие ее
расстояния от данной точки О, оси L и плоскости Я.
Из определения моментов инерции следует, что единицу измерения
момента инерции нужно находить по формуле
J =тг2,
где т — масса материальной точки, а г — расстояние этой точки до
центра О.
кР • свк^
Положив в этой формуле т=\ т. е. м. =1 , г = 1 и, по-
лучим единицу момента инерции в системе МКГСС:
1 единица момента инерции = 1 м-кГ-сек?.
Размерность единицы момента инерции в системе МКГСС выра-
выражается в виде
[J] = м-кГ-сек*.
Размерность же единицы момента инерции в системе СИ, очевидно,
будет
[J] — K2-m2 = мг-кг.
Если механическая система образует сплошное твердое тело, то
для нахождения момента инерции этого тела необходимо разбить все
тело на конечное число элементарных частей и определить приближен-
приближенный момент инерции по формулам A). Затем вычислить предел найден-
найденного приближенного момента инерции, предполагая, что число частей п,
на которое разбито тело, стремится к бесконечности, а масса mk каждой
Глава XXI. Введение в динамику системы и твердого тела
551
части стремится к нулю. Так, например, момент инерции сплошного
тела относительно оси L будет определяться по формуле
JL = lim Yt mkh\ — \ h2dm,
B)
где интеграл распространяется на весь объем V тела*.
Рассмотрим некоторую систему точек, которая может быть, в част-
частности, и твердым телом. Возьмем декартову систему координат Oxyz
(рис. 323). Если расстояние й-й точ-
точки этой системы от оси z обозначим
через hk, а ее массу обозначим через
mk, то по определению момент инер-
инерции системы относительно оси z выра-
выразится так:
4=1
но, как видно из рисунка 323,
hi = 4 + &,
поэтому
Рис. 323
По аналогичным формулам, очевидно, будут вычисляться и моменты
инерции относительно осей х а у. Таким образом, получаем следующие
формулы для моментов инерции системы относительно координатных
осей х, у и г:
C)
* Под сплошным твердым телом понимают неизменяемую механическую
систему материальных точек, сплошным образом заполняющих некоторый объем
(непрерывное распределение масс в этом объеме).
552 Раздел III. Динамика
Полярный момент инерции системы относительно начала коорди-
координат О можно записать в виде
Jo = ? Щ r\ = t Щ ( х\ + у\ + г\ ), D)
4=1 k=l
где r2k=x2k-\-y2k-{-z2k — расстояние k-й точки с массой mk от данной
точки О. Очевидно, что суммы, входящие в правую часть этого равен-
равенства, выражают соответственно моменты инерции системы относитель-
относительно координатных плоскостей yOz, zOx и хОу, т. е.
п п п
JyOz = ? mkxl; JzOx = Ц mky\ ; JxOy = ? /и*4 • E)
*=i k=i k=\
Из формул (З), D) и E) можно получить следующие зависимости:
а) УЛ + /у + У, = 2Уо. F)
т. е. сумма трех моментов инерции системы относительно трех коор-
координатных осей равна удвоенному полярному моменту инерции этой
системы относительно начала координат;
б) Jyoz + JzOx + JxOy = Jo, G)
т. е. сумма трех моментов инерции системы относительно трех коорди-
координатных плоскостей равна полярному моменту инерции этой системы
относительно начала координат;
В) J х — Jх0г + JxOy\ J у = JyOx + J yOz, Jz = JzOx + J zOy, (8)
т. е. момент инерции системы относительно какой-нибудь оси равен
сумме моментов инерции этой системы относительно двух взаимно пер-
перпендикулярных плоскостей, пересекающихся на той же оси.
Введенные нами в рассмотрение моменты инерции системы для
сплошного твердого тела будут определяться по следующим формулам:
= j x2dm\ JzOx = \ y2dm; JxOy = J z4m;
v v v
Jo = j (x2 + y2 + z2) dm,
v
где интегралы распространяются на весь объем тела.
Обычно моменты инерции для сплошных твердых тел вычисляются
методом интегрального исчисления сравнительно легко только в том
Глава XXI. Введение в динамику системы и твердого тела . 553
случае, когда эти тела однородные и имеют правильную геометриче-
геометрическую форму. В случае же неоднородных тел и тел, имеющих сложные
геометрические очертания, моменты инерции надежнее и проще опре-
определять экспериментально с помощью соответствующих приборов.
Один из таких методов рассмотрен в § 111.
Момент инерции твердого тела относительно какой-либо оси иног-
иногда выражают через так называемый радиус инерции. Понятие радиуса
инерции устанавливается согласно следующему определению: радиу-
сом инерции тела относительно данной оси z называется линейная
величина рц, определяемая равенством
Уг = Мр2, (9)
где М — масса всего тела. Таким образом, если момент инерции тела
относительно оси известен из вычислений или из опыта, то радиус инер-
инерции тела относительно этой оси легко определяется по формуле
A0)
Из равенства (9) следует, что радиус инерции геометрически равен
расстоянию от оси z той точки, в которой надо сосредоточить массу
всего тела, чтобы момент инерции од-
одной этой точки был равен моменту
инерции всего тела относительно х dx
оси z.
2. Примеры вычисления моментов 0
инерции некоторых однородных тел. г-
Вычислим моменты инерции некото- Рис. 324
рых однородных тел простейшей гео-
геометрической формы.
а) Момент инерции прямолинейного тон-
тонкого однородного стержня постоянного се-
сечения длины / и массы М относительно оси Oz,
перпендикулярной к стержню и проходящей
через один из его концов (рис. 324). Выделим элементар-
элементарный отрезок длины dx. Для этого отрезка h=x, а масса dm=~{dx,
где 7 = -г — масса, приходящаяся на единицу длины стержня. В ре-
результате формула B) дает
J_
Jz = Г h4m = у Г хЧх = ^~
или
;.= нг. ' по
где М~-[1 — масса всего стержня.
35 Н. Ф, Сахарный
554
Раздел III. Динамика
Если ось г провести через середину стержня (через центр масс),
то получим
;,-т */, = -?,
или
/ __
12 •
A2)
б) Момент инерции однородного кольца или
обруча радиуса R и массы УИ относительно
оси Cz, перпендикулярной к плоскости коль-
кольца и проходящей через его центр масс (рис.
325). Выделим элементарную дугу длиной ds и массой dm. Все эти
Рис. 325
Рис. 326
элементарные дуги находятся от точки С на одном и том же расстоянии
h=R. Поэтому искомый момент инерции равен
Jz = j h4m = R* j dm,
или
Jz =
A3)
где M=§dm — масса всего кольца.
Очевидно, что по этой же формуле можно рассчитать и момент
инерции тонкой однородной цилиндрической оболочки радиуса R
и массы М относительно оси цилиндра.
в) Момент инерции круглого тонкого од-
однородного диска радиуса R и массы М отно-
относительно оси Cz, перпендикулярной к плоско-
плоскости диска и проходящей через его центр
масс (рис. 326). Выделим элементарное кольцо радиуса г и ширины
Глава XXI. Введение в динамику системы и твердого тела.
555
м
dr. Площадь этого кольца равна 2r,rdr, а масса dm=^2^rdry где 7=^2—
масса, приходящаяся на единицу площади диска. Тогда по формуле
A3) для выделенного элементарного кольца момент инерции будет
dJz = r2dm = 2 тс 7 r3dr,
а момент инерции для всего диска
R
* D4
r3dr = 2ит-^- ,
или
MR*
A4)
где M = ikR2 — масса всего диска.
г) Момент инерции круглого однородного
цилиндра радиуса/^, массы М и высоты Н отно-
относительно коорди.натных осей, проходящих
через центр масс цилиндра. Прежде всего определим
момент инерции цилиндра относительно его оси вращения z (рис. 327).
Рис. 327
Рис. 328
Выделим элементарный объем цилиндрического слоя радиуса h=r
и толщины dr. Объем этого слоя 2^rdrH, а масса dm=2itrdrHf,
М Л
где 7~ вш масса, приходящаяся на единицу объема цилиндра.
В результате из формулы B) получим
Jz=
J
о
35*
556
Раздел Illf Динамика
ИЛИ
MR*
A5)
где M=t:R2H~(— масса всего цилиндра.
Теперь определим момент инерции цилиндра относительно коор-
координатных осей, проходящих через центр масс цилиндра. Для этого
вычислим моменты инерции цилиндра Jxcy относительно координатной
плоскости хСу. Выделим элементарный объем в виде диска высоты dz
(рис. 328). Его масса равна dm—r.R'^dz^, и, следовательно, получим
н
Н
2
ИЛИ
1 хСу
я
Т
MW
. 12
12
A6)
Из соображений симметрии цилиндра относительно координатных
плоскостей xCz и yCz моменты инерции его относительно этих плос-
плоскостей, очевидно, равны между собой, т. е. Jxcz=Jусг- Поэтому из
формулы (8) имеем '
J г = J хСг + J yCz =2JxCz= 2JyCz>
отсюда
JxCz = JyCz = -4- MR2.
В результате формулы (8), A6) и A7) дают
Jх = JxCz Ч" "^дгСр = ~7" I
A7)
Таким образом, искомые осевые моменты инерции цилиндра выра-
выразятся следующими формулами:
м
4
М.
4
М_
2
Я
= i!L ян- —я
A8)
; д) Момент инерции однородного шара ра-
радиуса R и массы М относительно его центра
Глава XXI. Введение в динамику системы и твердого тела
557
масс и оси, проходящей через центр масс.
Определим прежде всего момент инерции шара относительно его
центра масс. Для этого выделим элементарный объем в виде
шарового слоя толщины dr и радиуса г. Объем этого слоя 4w2dr,
а масса dm =4r,r2dr^, где у — масса, приходящаяся на единицу объема
шара. Так как Ч=у, где V = -^-nR3— объем шара, то у = ~J^rs-
Представляя момент инерции шара относительно его центра масс
в виде интеграла, получим
R
4 г.*
Jo = \
v
r2dm = 4 я у
r*dr
или
A9)
так как масса всего шара М = -s-i
Теперь определим моменты инерции шара относительно оси, про-
проходящей через центр масс шара. Из соображения симметрии все момен-
моменты инерции шара относительно координатных осей, проходящих через
центр масс шара, очевидно, равны между собой, т. е. Jx=Jy=Jг. По-
Поэтому из формулы F) имеем
2
2>Jx = 2Jq, или Jx — -^Jo- B0)
Воспользовавшись формулой A9), находим
3. Зависимость между момен-
моментами инерции тела относительно
параллельных осей (теорема Гюй-
Гюйгенса). Пусть нам известен момент
инерции тела относительно оси г,
проходящей через центр масс С те-
тела, требуется определить момент
инерции этого тела относительно
оси г,, параллельной оси z и от-
отстоящей от нее на расстоянии d
(рис. 329). Выберем начало декар-
декартовой системы осей координат Cxyz
в центре масс С тела и проведем
ось у так, чтобы она пересекла
ось ?! в некоторой точке А.
B1)
Рис. 329
558 Раздел 111. Динамика
Возьмем теперь произвольную точку В тела массы mk с координа-
координатами xk, yk и zk. Расстояние точки В от оси г обозначим через hk, а рас-
расстояние от оси 2Х— через hk'. Тогда согласно определению моменты
инерции тела относительно оси г и относительно оси zx будут равны *
п п
h= ИтЛ и JZt = SmfeV2 •
При этом из дЛВ'С следует, что
h'l= hi + d2 — 2hkd cos a,
или
так как из ДВ'МС следует, что yk=hkcos a.
Подставляя это значение hk' в выражение для JZt и вынося общие
множители d2 и 2d за знаки сумм, будем иметь
или
.4=1
n
где M = Sms —масса всего тела.
За начало декартовой системы осей координат Cxijz нами был взят
центр масс С тела, а поэтому в этой системе осей координат должен
равняться нулю радиус-вектор центра масс Стела (гс =0),определяе-
=0),определяемый формулой A, § 100), в частности, ус = —W^- =0 и, следовательно,
Yitnkyk=Myc =0. Таким образом, предыдущему равенству можно
окончательно придать следующий вид:
Л, = J.z + McP. B2)
Формула B2) выражает собой следующую теорему Гюйгенса:
момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту
* Мы здесь при рассмотрении твердого тела требование сплошности опус-
опускаем и твердое тело рассматриваем лишь как неизменяемую систему весьма
большого, но конечного числа п материальных точек. Для краткости опустили
и знак интеграла, но его всегда нужно подразумевать, если неизменяемая меха-
механическая система образует сплошное твердое тело.
Глава XXI. Введение в динамику системы и твердого тела
559
инерции того же тела относительно оси, параллельной данной и про-
проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы
тела на квадрат расстояния между осями.
Из формулы B2) следует, что
т. е. среди всех моментов инерции относительно пучка параллельных
осей наименьшим будет момент инерции относительно оси, проходя-
проходящей через центр масс тела.
4. Общая формула для момента инерции твердого тела относитель-
относительно произвольной оси. Найдем момент инерции твердого тела относи-
относительно произвольно выбранной оси L, проходящей через заданную
точку О. Направление этой оси определим тремя направляющими ко-
косинусами этой оси в произвольно заданной декартовой системе осей
координат Oxyz, начало которой совпадает с точкой О (рис. 330).
Рис. 330
Пусть rk есть радиус-вектор произвольной точки тела с массой mk
относительно точки О. Обозначим через Ьк длину перпендикуляра,
опущенного из точки mk на ось L, а через Lk — длину отрезка оси L
от точки О до основания перпендикуляра 8Й.
Согласно определению осевой момент инерции тела относительно
оси L равен
п
Jl= Ц ткЪ\. B3)
Из рис. 330 ясно, что
^2 2
о* = гk —
560 Раздел III. Динамика
Но rk2=x/t2+yki+zk2, где xk,ykn zk— координаты точки mk. Величина
же Z.j представляет собой проекцию радиуса-вектора rk на ось L и,
следовательно,
Lk = rk cos <рй = rkL° — xk cos a + yk cos p + zk cos y,
где L° — орт оси L. a cosa, cosp и cosy — ее направляющие коси-
косинусы.
Учитывая все это, получим
Ч = х\ + У\ + 4 ~ (xk cos a + Уи cos Р + Ч cos тJ =
= 4A— cos2 а) + г/2 A — cos2 р) + z* A — cos2 T) —
— 2хАг/А cos а cos р — 2г/А2й cos p cos у — 2гйл-А cos у cos а.
Но направляющие косинусы любого вектора в случае прямоуголь-
прямоугольной декартовой системы осей координат связаны соотношением
cos2 a + cos2 р + cos2 7=1.
Поэтому можно написать:
1 — cos2 a = cos2 р + cos2 у; 1 — cos2 р = cos2 у + cos2 а;
1 — cos2 у = cos2 а -+- cos2 p.
Тогда, раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, найдем после
несложных выкладок
Ч = (Ук + Zl ) COs2a + (** + 2^) COS2p + (Х\ + Г/2) C0S2y —
— 2xkyk cos a cos p — 2ykzk cos p cos у — 2zkxk cos у cos a.
Подставив в равенство B3) выражение оА2 из предыдущей формулы,
получим
п
JL = cos2 a 2 mft ( у* + zl) + cos2 p ^ mft ( z\ + x\ ) +
n n
+ cos2 у ? mA ( x\ + y\ ) — 2 cos a cos p ?
2 COS p COSy J] ткУкгк — 2 COS у COS a Yi mkZkXk-
k=l fc=l
Глава XXI. Введение в динамику системы и твердого тела 561
Первые три суммы, стоящие в правой части этого равенства, соглас-
согласно формулам C) представляют собой моменты инерции данного тела
J x, J y и J z относительно координатных осей х, у и г; величины же
— ^ух ~ S mk xkl'k> J'уг — Jгу ~ 2j mkUkzk>
ху — ^ух S mk xkl'k> Jуг — Jгу
4=1
п
mkZkxk
B4)
называются центробежными моментами инерции тела*.
Таким образом, момент инерции тела относительно оси L можно
записать в виде
JL = Jx cos2 а + Jy cos2 p + Jz cos2 7 — 2Jxy cos a cos f5 —
— 2Jyz cos p cosy — 27гх cosy cos a. B5)
Из формулы B5) видно, что для вычисления момента инерции тела
относительно произвольной оси L, проходящей через начало коорди-
координат— точку О тела, достаточно знать направляющие косинусы оси
L и вычислить шесть величин — осевые моменты инерции тела относи-
относительно координатных осей и соответствующие этим осям его центро-
центробежные моменты инерции. Заметим, что для данного твердого тела и
заданной системы осей координат Oxyz, не меняющей своей ориента-
ориентации относительно тела, величины Jx, Jy, Jz, Jxy, Jyz и Jzx • будут
постоянными.
Совокупность девяти величин Jx, Jy, Jz, Jxy =Jyx, Jyz =Jzy и JZX=JXZ,
из которых являются независимыми лишь шесть ( Jxy — Jyx, Jyz=
—Jzy, Jzx—Jxz), характеризует инертные свойства твердого тела,
проявляющиеся при вращении его, почему и называется тензором
инерции тела.
Подобно тому как скалярная величина может быть задана одним
числом, а векторная величина — тройкой чисел, тензор инерции тела
определяется девятью величинами — компонентами тензора Jx, Jy,
Jz> Jxy = Jyx, JxZ=Jzx, JyZ=Jzy, из которых три попарно равны.
Можно было бы сказать, что скаляр представляет собой тензор
нулевого ранга, вектор—тензор первого ранга, а инертные свойства
твердого тела характеризуются симметричным тензором второго
ранга.
5. Эллипсоид инерции. Главные оси инерции. Для того чтобы
представить в наглядной форме изменение моментов инерции отно-
* Центробежные моменты инерции Jxy, Jyz и Jzx могут быть вычислены при
помощи определенных интегралов аналогично тому, как мы вычисляли осевые
моменты инерции Jx, Jy и Jz.
562
Раздел III. Динамика
сительно осей различных направлений, проходящих через точку О,
отложим на оси L вектор г, модуль которого
1
B6)
и найдем уравнение геометрического места точек концов /С векторов
г при изменении cos <х, cos [3 и cos 7.
Из рис. 331 видно, что координаты конца К вектора г равны
х = г cos a, y =
cos а =
у
= г cos 7,
z
отсюда
cosa = -^ , .... r , ... , r
Подставив эти выражения в формулу B5), получим
1 — 1 *г л. г у2 _1 г г*
/ xy гг
о/ -Ml. 9/
zx rz
Умножив обе части этого равенства на г2=-г—, получим соотно-
J l
шение, не содержащее направляющих косинусов:
Jxx* + Jyy* + Jzz* - 2Jyzyz - 2Jzxzx ~ 2Jxyxy = 1. B7)
Определяемое этим уравнением геометрическое место точек К
представляет собой центральную поверхность второго порядка. Так
как по определению JL — величина существенно положительная, не
равная нулю, кроме только одного исключительного случая, когда все
точки тела лежат на самой оси L,
то поверхность, представляемая
уравнением B7), не содержит
бесконечно удаленных точек.
Поэтому можно утверждать, что
рассматриваемая нами поверх-
поверхность есть эллипсоид. Этот эл-
эллипсоид носит название эллип-
эллипсоида инерции тела для данной
точки О (рис. 331) и характери-
характеризует распределение моментов
инерции тела относительно пуч-
пучка осей, проходящих через точ-
точку О.
Для каждой точки тела мож-
но построить свой эллипсоид
инерции, причем в общем случае
6,\
Глава XXI. Введение в динамику системы и твердого тела 563
, различные эллипсоиды будут иметь различные по величине полуоси
и будут по-разному ориентированы относительно тела.
Из аналитической геометрии известно, что каждый эллипсоид имеет
три взаимно перпендикулярные главные оси и что, взяв их за новые
оси координат, мы получим уравнение того же самого эллипсоида
уже не в форме B7), а в виде
Jxlx\ + Jyiyil+Jtlz\=l, B8)
где xv t/i, z1— координаты точек поверхности эллипсоида в новой
системе координат Охгухгх (рис. 331), JXl, JУ1, JZl— моменты инерции
тела относительно новых координатных осей Охх, Оух, Ozx.
Уравнение B8) характерно тем, что в нем отсутствуют члены, со-
содержащие попарные произведения координат точек эллипсоида. Ины-
Иными словами, центробежные моменты инерции JXlVl, J'УЛ, Jг,*1 в но-
новой системе координат Oxxyxzt равны нулю. Такие три взаимно перпен-
перпендикулярные оси Охх, Оух, Ozx, проходящие через данную точку О,
относительно которых центробежные моменты инерции равны нулю,
называются главными осями инерции тела относительно этой точки.
Величины JXl, Jyi, JZl , представляющие собой моменты инерции тела
относительно главных осей инерции, называются главными момента-
моментами инерции тела.
Очевидно, что если мы проведем через какую-нибудь точку О ось
L, образующую углы а, р и f с главными осями инерции О*!, Оух,
Ozx в этой точке, то момент инерции Jl относительно этой оси на осно-
основании формулы B5) будет равен
^L = ^lcos2a + ^,cos^ + yZicos2T. B9)
В частных случаях, когда два из главных моментов инерции для
какой-либо точки тела равны друг другу, эллипсоид инерции B8)
для этой точки превращается в эллипсоид вращения. Если же равны
между собой все три главных момента инерции, то эллипсоид инерции
B8) для соответствующей точки тела вырождается в сферу.
Следует иметь в виду, что в каждой точке тела можно провести по
крайней мере три главные оси инерции, но может случиться, что для
данной точки возможно указать бесконечное множество осей, каждая
из которых может быть выбрана за главную ось (например, в том слу-
случае, когда эллипсоид инерции принимает вид сферы или эллипсоида
вращения).
Докажем, что если какая-либо из осей, проведенных через данную
точку тела, является главной осью инерции, то будут равны нулю те
центробежные моменты инерции, в которые входит соответствующая
этой оси координата.
Пусть система координат Oxxyxzx с началом в точке О представляет
собой систему главных осей для этой точки тела (рис. 332). Тогда
564
Раздел 111. Динамика
уравнение эллипсоида инерции для точки О в этой системе координат
будет представлено в форме B8).
Повернем теперь систему координат OxAyxzx вокруг оси z1 на угол
<р и обозначим новые оси через х, у и zx. Ясно, что ось zx по-прежнему
остается главной осью инерции,
оси же х и у могут и не быть
главными осями инерции. Вос-
Воспользуемся известными из ана-
аналитической геометрии форму-
___-'7</ лами преобразования координат:
Рис- 332
хг = х cos ср — у sin ср,
уг = *sincp -f- У cos ср.
Подставляя эти выражения
в уравнение эллипсоида B8),
получим следующее уравнение
эллипсоида инерции в новой системе координат Oxyz{.
(JXl cos2 ср + /„, sin2 ср) х2 + (/,, sin2 <p + У,, cos2 <p) у2 +
-+- JZi z2 — 2 (JXl — Jyt) sin cp cos ср • ху = 1.
Коэффициенты, стоящие при квадратах координат, представляют
собой осевые моменты инерции относительно новых осей х, у и zv
а коэффициент при члене с произведениями координат ху представляет
собой центробежный момент инерции Jху. Два остальных центробеж-
центробежных момента инерции Jyz и Jzy отсутствуют. Это и доказывает выска-
высказанное выше положение.
Эллипсоид инерции, построенный для центра масс тела, называется
центральным эллипсоидом инерции, а его оси носят название глав-
главных центральных осей инерции тела.
Докажем теперь, что для вычисления момента инерции тела отно-
относительно какой угодно оси достаточно знать направление трех глав-
главных центральных осей инерции тела ?, ч\ и С и моменты инерции /^ ,
Jt, и Ус относительно этих осей.
Пусть нам требуется вычислить момент инерции J\ относительно
произвольно выбранной оси I, направление которой образует с глав-
главными центральными осями инерции углы а, р и т (рис. 333). Проведем
через центр масс тела ось L, параллельную оси /. Обозначим расстоя-
расстояние между осями / и L через d. Тогда по теореме Гюйгенса будем иметь
McP,
C0)
где Jl— момент инерции тела относительно оси L. Но по фор-
формуле B9)
Глава XXI. Введение в динамику системы и твердого тела
565
JL = h cos2 а + A cos2 Р + Л cos2
и, следовательно, равенство C0) примет вид
У, = Д cos2 а + У,, cos2 р + Ус cos2 у +
C1)
Это и доказывает высказанное выше положение.
Докажем теперь, что все точки, лежащие на любой центральной
оси инерции, обладают тем свойством, что их главные оси всегда парал-
параллельны главным центральным осям.
Рис. 333
Рис. 334
Пусть оси х, у, z являются главными центральными осями инер-
инерции тела (рис. 334). Возьмем на оси z точку О, лежащую на расстоя-
расстоянии h от центра масс С тела. Так как оси х, у, z являются главными
осями инерции тела, то все центробежные моменты инерции равны
нулю, т. е.
п п
= 0; S mkykzk = 0; ? mkzkxk = 0.
C2)
Так как начало координат С совпадает с центром масс тела, то
радиус-вектор центра масс гс =0 и, следовательно, хс=Ус =Zc =0.
Поэтому для системы координат с началом в центре масс все стати-
статические моменты равны нулю, т. е.
= Мхс =
= Мус = 0;
=0.
C3)
566 Раздел III. Динамика
Примем точку О за начало новой системы координат Ox'y'z'', оси
которой параллельны осям х, у, г. Так как
х = х', у = у', z = z' + h, C4)
то, подставляя эти выражения в равенства C2), получим
п п
? ЩУк (**' + Щ = 0; ? mkxk (V + h) = 0,
*=1 *=1
или
? ткук'гк' + ht "W = 0; V m^'*/ + Л ? тЛ' = 0. C5)
*=i k=i *=i *:=i
Но на основании выражений C3) и C4) будем иметь
п п п п
И "W = I] ЩУк = 0; V mftV = S ткхк = 0
и, следовательно, из выражений C5) находим
/ , __ г , , / , , _ п
J х у' —•> у г —" г х —и-
Отсюда следует, что оси х', у' и г', параллельные осям х, у и г,
являются главными осями инерции в произвольной точке О, лежащей
на центральной оси г, чем и доказывается высказанное выше поло-
положение. Следствием отсюда является то, что всякая центральная ось
инерции является главной осью инерции для любой своей точки.
В общем случае определение направления главных центральных
осей инерции тела представляет собой весьма сложную задачу. Одна-
Однако очень часто можно установить направление главных центральных
осей инерции, исходя из соображений симметрии. При этом поль-
пользуются следующими свойствами главных осей инерции при наличии сим-
симметричной формы тела:
а) Если однородное твердое тело имеет ось материальной симмет-
симметрии, то эта ось является главной центральной осью.
Осью материальной симметрии тела называется такая ось, отно-
относительно которой масса тела расположена симметрично. Это означает,
что если выбрать эту ось в качестве оси Oz, то каждой элементарной
частице тела с массой mk и координатами хк, yk, zk будет соответство-
соответствовать симметричная относительно оси Oz частица с такой же массой
mk'~mk и с координатами —xk,—yk, zk. Для доказательства опреде-
определим центробежные моменты инерции (/гг, Jуг) и координаты центра
масс (хс, ус) тела. Очевидно, что
Глава XXI. Введение в динамику системы и твердого тела
567
ft=l
— 2 ms'//ftz# = 0;
ft=i
_ft=l A=l
n
E (fz& ~\~ tftfr)
A=l
= 0;
E
E nik Ук
4=1
= 0,
E (mk + m//)
т. е. ось Oz является главной осью инерции в произвольной точке О
и проходит через центр масс С тела, а поэтому эта ось является глав-
главной центральной осью инерции.
б) Если однородное твердое тело имеет плоскость материальной
симметрии, то всякая ось, перпендикулярная к этой плоскости, являет-
является главной относительно точки
пересечения оси с плоскостью.
Для доказательства примем
плоскость материальной симметрии
за координатную плоскость Оху.
Тогда каждой элементарной части-
частице тела с массой mk и с координа-
координатами хи, yk, zk, лежащей по одну
сторону от плоскости материаль-
материальной симметрии, будет соответст-
соответствовать частица с той же массой
m'k=mk и с координатами xk,
yk, —zk, лежащая по другую сто-
сторону этой плоскости (рис. 335).
Следовательно, центробежные мо-
менты инерции {Jхг, Jуг) тела бу-
будут равны:
Рис 335
А=1
A=l
n
¦ s.
A=I
= 0;
== о.
568 Раздел III. Динамика
Отсюда следует, что ось г, перпендикулярная к плоскости материаль-
материальной симметрии, является главной осью инерции для точки О.
Из статики известно, что если однородное твердое тело имеет
плоскость материальной симметрии, то центр масс (центр тяжести)
этого тела лежит в этой плоскости. Следовательно, если мы возьмем
начало координат О в центре масс тела, то ось z, перпендикулярная
к плоскости материальной симметрии, будет представлять собой глав-
главную центральную ось инерции тела. Таким образом, мы приходим
к следующему выводу: если однородное твердое тело имеет плоскость
материальной симметрии, то одна из главных его центральных осей
инерции перпендикулярна к этой плоскости.
Глава XXII
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
§102. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Пусть мы имеем механическую систему," состоящую из п материаль-
материальных точек с массами тъ т2, ... , тп, положения которых относитель-
относительно некоторой неподвижной системы координат Oxyz определяются
в момент времени t радиусами-векторами гг, г2, ... , гп (рис. 321).
Рассмотрим k-ю точку этой механической системы. В общем случае
на эту точку действуют внешние и внутренние силы, которые в свою
очередь могут быть как активными, так и пассивными. Обозначим
равнодействующую всех внешних сил, действующих на k-ю точку,
через F(i\ а равнодействующую всех внутренних сил, действующих
на ту же точку,— через F^K
На основании принципа освобождаемое™ мы можем считать эту
точку свободной, так как к ней приложены, кроме действующих на
нее активных сил, и пассивные силы (реакции связей); поэтому диф-
дифференциальное уравнение движения этой точки напишется так:
mtrk=W+W. A)
где mk— масса k-и точки, a rk— ее ускорение.
Очевидно, что уравнение A) можно написать для каждой точки рас-
рассматриваемой механической системы, следовательно, для всех точек
этой системы будем иметь
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 569
B)
или в более короткой записи
(k=l, 2,..., п).
C)
Проектируя правую и левую части уравнений C) на неподвижные
оси декартовой системы координат Oxyz, получим
- /t>
FU)
U)
кг,
= 1, 2,..., п)
D)
где xk, yk, zk— проекции вектора ускорения wk=rk k-n точки нз
оси декартовой системы координат, F^l, /If], /*2 — проекции равно-
равнодействующей F$ всех действующих на k-ю точку внешних сил, а
FkL F{l)y, F^l — проекции равнодействующей F^ всех действующих
на ту же точку внутренних сил на те же оси координат.
Заметим, что проекции сил, входящих в уравнения D), будут в
общем случае зависеть от времени, координат точек механической
системы и скоростей этих точек. Следовательно, уравнения D) пред-
представляют собой систему совокупных дифференциальных уравнений
второго порядка относительно координату, yk, zk (k=\,2,... ,n) то-
точек механической системы. Если число точек механической системы
равно п, то тогда число уравнений D) будет Зп.
Уравнения D) называются дифференциальными уравнениями дви-
движения механической системы.
Вторая задача динамики механической системы состоит в том, что-
чтобы, зная массы точек системы и действующие на эти точки силы, опре-
определить законы движения каждой из точек механической системы в от-
отдельности, т. е. найти координаты xk, yk, zK (&=1, 2, ... , п) как функ-
функции времени. Для получения полного решения этой задачи необходи-
необходимо составить и проинтегрировать систему уравнений D). При интегри-
интегрировании этой системы уравнений получается 6 п произвольных постоян-
постоянных интегрирования, которые находятся по начальным условиям. На-
Начальными условиями для механической системы будут значения коор-
570 Раздел III. Динамика
динат и проекций скоростей ее точек в какой-либо определенный
момент времени.
Следует, однако, отметить, что этот порядок решения второй за-
задачи динамики механической системы обычно не применяется, так
как он слишком сложен и почти всегда связан с непреодолимыми ма-
математическими трудностями. Кроме того, в большинстве случаев при
решении динамических задач бывает достаточно знать некоторые сум-
суммарные характеристики движения механической системы в целом,
а не движение каждой из ее точек в отдельности. Эти суммарные ха-
характеристики движения механической системы определяются с по-
помощью общих теорем динамики механической системы, являющихся
следствиями уравнений D). К числу этих теорем относятся: теорема
об изменении количества движения, теорема об изменении кинети-
кинетического момента и теорема об изменении кинетической энергии.
При рассмотрении конкретных задач механики часто приходится
применять не одну, а сразу несколько общих теорем динамики. Осо-
Особенно важное значение имеют следствия из общих теорем, получае-
получаемые при некоторых предположениях о действующих силах и
называемые законами сохранения количества движения, кинетиче-
кинетического момента и механической энергии.
Начнем с изложения теоремы об изменении количества движения
механической системы.
§ 103. ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
1. Теорема об изменении количества движения точки. Общие тео-
теоремы динамики мы будем доказывать сначала для материальной точ-
точки, а затем для механической системы материальных точек*. Для
вывода теоремы об изменении количества движения точки мы будем
исходить из второго закона динамики точки
mw^T. A)
При этом, если на точку действует несколько сил, то под F мы
по-прежнему будем понимать равнодействующую этих сил.
Так как w=v, а масса т материальной точки как величина постоян-
постоянная может быть внесена под знак производной, то равенству A) мож-
можно придать вид
d(mv) _-~- /0.
* Для твердых тел эти теоремы можно вывести из теорем, установленных для
механических систем путем предельного перехода.
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 571
Вектор q= tnv, равный по модулю произведению массы материаль-
материальной точки на модуль скорости и имеющий направление скорости этой
материальной точки, называется вектором количества движения, или
количеством движения материальной точки. Вектор количества дви-
движения материальной точки служит векторной мерой механического
движения этой точки.
Единицу измерения количества движения (q) найдем по формуле
q = mv.
Положив в этой формуле т=\, т. е. м. — \ —м к , v — 1 — ,
получим единицу количества движения в системе МКГСС:
1 единица количества движения = 1 кГ-сек.
Размерность единицы количества движения в системе МКГСС вы-
выражается в виде
[q] = [m][v] = кГ-сек.
Размерность же единицы количества движения в системе СИ,
очевидно, будет
[q] == кг ¦ м • сек'1 = м-кг-сек'1.
Векторное равенство B), являющееся лишь другой формой основ-
основного уравнения динамики A), выражает собой теорему об изменении
количества движения материальной точки в дифференциальной форме:
производная по времени от количества движения материальной точки
равна действующей на эту точку силе.
Умножив обе части равенства B) на элементарный промежуток
времени dt, получим
d(mv) = ?dt. C)
Произведение действующей на точку силы на элементарный про-
промежуток времени ее действия, т. е. Fdt, называется элементарным
импульсом действующей на точку силы за элементарный промежуток
времени dt.
Заметим, что единица измерения импульса силы имеет размер-
размерность, очевидно, такую же, как и размерность единицы количества
движения*.
Полученное нами равенство C) выражает собой теорему об изме-
изменении количества движения материальной точки в другой, тоже диф-
дифференциальной форме: дифференциал количества движения материаль-
См. формулу C).
572
Раздел III. Динамика
ной точки равен элементарному импульсу действующей на эту точку
силы.
Пусть движущаяся точка находится в момент t0 в положении Мо
и имеет скорость v0, а в момент t приходит в положение М и имеет
скорость v (рис. 336). Взяв от обеих частей равенства C) определен-
определенные интегралы в пределах, соответствующих перемещению точки из
положения Мо в положение М, получим
mv
~тщ = Г
Fdt.
D)
t
Интеграл ]Fdt называется полным импульсом действующей наточ-
наточку силы за конечный промежуток времени t—10.
Равенство D) выражает со-
собой теорему об изменении ко-
t личества движения материаль-
JFdt
/77
д р
ной точки в конечной (интег-
(интегральной) форме*: изменение
д
Рис. 336
) фр
количества движения материаль-
материальной точки за конечный проме-
промежуток времени равно полному
импульсу действующей на эту
точку силы за тот же проме-
промежуток времени.
Проектируя правую и левую
части равенства D) на непод-
неподвижные оси декартовой систе-
системы координат, получим
тх — тх0 = f Fxdt\
to
t
my — my0 = j Fydt;
to
t
mz— mz0 — f Fzdt.
E)
Таким образом, изменение проекции количества движения точки на
неподвижную координатную ось за конечный промежуток времени
* Эту теорему часто называют теоремой импульсов.
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 573
равно проекции полного импульса действующей на эту точку силы на
ту же ось и за тот же промежуток времени.
Если точка совершает прямолинейное движение и ее траектория
параллельна оси х, то будем иметь
t
тх—тх0 = (' Fxdt. F)
и
Из полученных результатов следует, что если известны количества
движения точки mv0 и ти в моменты t0 и t, то мы можем построить
вектор полного импульса действующей на точку силы за конечный
промежуток времени t—t0 так, как это показано на рис. 336. Наобо-
t
рот, если известны полный импульс \F dt и начальная скорость v0
и
точки, то из равенства D) можно определить скорость v точки в мо-
момент t
f = V + ±f"
0 in
U
Если на материальную точку не действуют никакие силы (или дей-
действующие силы эквивалентны нулю), то, как видно из уравнения B),
получим
/ \ (\
и, следовательно,
mv = С — const, G)
или, согласно равенству D),
mv— mv0. (8)
Равенство G) или (8) определяет первый векторный интеграл диф-
дифференциального уравнения движения точки A) и носит название
закона сохранения количества движения точки.
Из равенства G) ввиду постоянства массы точки вытекает, что
в рассматриваемом случае мы получаем y=const, т. е. точка движет-
движется прямолинейно и равномерно. Этот факт, как известно, выражает собой
закон инерции.
Из вида уравнений D) и E) следует, что теорема об изменении ко-
количества движения точки может быть непосредственно применена к
решению задач динамики точки в случае, когда действующая на точ-
точку сила (или равнодействующая всех действующих сил) постоянна
или есть функция только от времени.
574 Раздел III. Динамика
2. Теорема об изменении количества движения системы. Рас-
Рассмотрим механическую систему, состоящую из п материальных точек.
Дифференциальное уравнение &-й точки этой системы, как мы уже
знаем, можно записать в виде
Так как rk= -^p-, где vk— скорость k-й точки, то последнее урав-
уравнение можно переписать так:
dvk -p(e) . ~В{1)
или по аналогии с уравнением B)
^.(mkvk)=ne)+'F^. (9)
Таких дифференциальных уравнений мы можем написать п, соот-
соответственно числу точек механической системы. Сложив почленно все
п уравнений вида (9), получим
или
= У, Fk'
Но по свойству внутренних сил A, § 99) механической системы
й=0, поэтому равенство A0) примет вид
=Efft—главный вектор всех внешних сил, действующих на
ft/
ft/
точки механической системы.
Вектор
Q = 2 ад. A2)
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 575
равный геометрической сумме (главному вектору) количеств движе-
движения всех материальных точек рассматриваемой механической систе-
системы, называется вектором количества движения, или количеством дви-
движения механической системы. Вектор количества движения механи-
механической системы является векторной мерой механического движения
этой системы как целого. Следует здесь же подчеркнуть, что при вы-
вычислении вектора количества движения системы по формуле A2)
необходимо учитывать абсолютные скорости движения ее точек.
Таким образом, выражение A1) будет иметь вид
п
dQ~
dt ~
4=1
Равенство A3) представляет собой теорему об изменении количества
движения механической системы и формулируется следующим об-
образом: производная по времени от вектора количества движения механи-
механической системы равна главному вектору всех внешних сил, действую-
действующих на механическую систему.
Так как в уравнение A3) не входят внутренние силы, то они не
влияют на изменение количества движения механической системы,
хотя внутренние силы и изменяют количества движения отдельных
точек механической системы. В большом числе задач, выдвигаемых
развивающейся техникой, очень часто мы не знаем внутренних сил,
действующих на отдельные точки механической системы. Практиче-
Практическая ценность теоремы об изменении количества движения механиче-
механической системы и состоит в том, что ее применение позволяет полностью
исключить из рассмотрения все неизвестные нам внутренние силы.
Поэтому рассматриваемую механическую систему надо стараться вы-
выбирать так, чтобы все (или часть) заранее неизвестные силы сделать
внутренними.
Теоремой об изменении количества движения обычно пользуются
для изучения динамики сплошных сред (жидкость, газ). Эта теорема
находит также весьма важные применения к решению задач теории
удара (глава XXVI) и при изучении динамики тел переменной массы
(§ Ю5).
Из формулировки теоремы об изменении количества движения
механической системы следует, что только внешние активные силы
или реакции внешних связей влияют на изменение вектора Q.
Если внешние силы отсутствуют или главный вектор внешних
сил, действующих на механическую систему, равен нулю (Re=0), то
dQ _n
dt u>
откуда _
Q = const. A4)
576
Раздел 11I. Динамика
Векторная постоянная интегрирования const определяется из на-
начальных условий. Если в момент ?=0 скорости точек механической
системы были равны соответственно {v^H, (v2H (vnH, то
const = тх (v^o + m2 (o2H + ... + mn(vnH = Qo
и, следовательно, выражение A4) примет вид
A5)
где Qo— начальное количество движения системы.
Равенство A4), или A5) выражает в аналитической форме закон
сохранения количества движения механической системы и представляет
собой первый векторный интеграл дифференциальных уравнений дви-
движения C, § 102) для того случая, когда главный вектор внешних сил
равен нулю.
Мы можем сформулировать закон сохранения количества движе-
движения следующим образом: если внешние силы отсутствуют или глав-
главный вектор внешних сил, действующих на механическую систему, равен
нулю, то вектор количества движения механической системы остается
постоянным по модулю и направлению и равным своему начальному
значению.
Если в начальный момент (?=0) Qo=0, то, очевидно, Q=0 в лю-
любой момент движения. Из закона сохранения количества движения
мы видим, что внутренние силы не могут изменить суммарное коли-
количество движения системы.
Проектируя правую и левую части уравнения A3) на неподвижные
оси декартовой системы координат, мы получим теорему об измене-
изменении количества движения механической системы в координатной
форме
dQx ^_
dt
dQy
dt
эМ
A6)
Таким образом, производная по времени от проекции количества
движения механической системы на какую-либо неподвижную ось равна
проекции на ту же ось главного вектора всех действующих на эту ме-
механическую систему внешних сил.
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 577
Умножая правую и левую части уравнения A3) на dt и интегрируя
в промежутке времени от t0 до t, получим
Q-Qo=
4=1 to
A7)
Уравнение A7) выражает теорему об изменении количества дви-
движения механической системы в конечной (в интегральной) форме:
изменение количества движения механической системы за конечный
промежуток времени равно полному импульсу главного вектора всех
действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.
Проектируя правую и левую части равенства A7) на неподвижные
оси декартовой системы координат, получим
lie)dt.
A8)
Таким образом, изменение проекции вектора количества движения
механической системы, на какую-либо неподвижную ось за конечный про-
промежуток времени равно проекции полного импульса главного вектора
всех действующих на механическую систему внешних сил на ту же ось
и за тот же промежуток времени.
Если проекция главного вектора внешних сил на какую-нибудь
неподвижную ось, например ось Ох, равна нулю, то первое из урав-
уравнений A8) дает
откуда получаем соотношение
Qx = const = QOx,
A9)
которое также выражает в аналитической форме закон сохранения
количества движения системы в заданном направлении.
Таким образом, если проекция главного вектора всех действующих
на механическую систему внешних сил на какую-либо неподвижную ось
равна нулю, то проекция вектора количества движения механической
38 Н, Ф, Сахарный
578 Раздел III. Динамика
системы на эту ось будет величиной постоянной и равной проекции
вектора количества движения на ту же ось в начальный момент t=0.
В частности, если в начальный момент QOx=0, то, очевидно, Qx=0
в любой момент движения.
Поясним закон сохранения количества движения примером отдачи
орудия при выстреле. Представим себе, что из орудия весом Рор, рас-
расположенного на гладкой горизонтальной платформе, вылетает в го-
горизонтальном направлении (по оси Ох) снаряд весом Рсн со скоро-
скоростью усн (абсолютная скорость). При этом откат орудия происходит
также в горизонтальном направлении. Требуется определить абсо-
абсолютную скорость свободного отката орудия.
Если рассматривать снаряд и орудие как одну механическую си-
систему, то неизвестные нам силы давления пороховых газов при выст-
выстреле будут силами внутренними. Внешними силами, действующими на
систему (орудие и снаряд), являются при этом только силы тяжести
орудия и снаряда и нормальная реакция платформы. Эти внешние силы
вертикальны, и потому сумма их проекций на горизонтальную ось
Ох равна нулю. В этом случае согласно уравнению A9)
п
И ЩЧ = const = ? mkxok.
До выстрела рассматриваемая система была неподвижна, и по-
поэтому в начальный момент выстрела QOx= S mkxok =0. Остюда следу-
ft=i
ет.что и после выстрела (во время движения снаряда в дуле орудия)
проекция на горизонтальную ось Ох количества движения системы
ft
Qx — 1л mkxk —
остается равной нулю, т. е.
Оси = 0.
g "v
Из последнего равенства находим искомую скорость отката орудия
^ор== ~р ^сн>
где знак «минус» указывает на то, что скорость иор орудия направ-
направлена противоположно скорости vCH снаряда.
Таким образом, скорость отката тем меньше, чем больше вес ору-
дия, и тем больше, чем больше начальная скорость снаряда и его вес.
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 579
$ 104.ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
1. Выражение количества движения системы через массу системы
и скорость ее центра масс. Если число точек механической системы
очень велико, тогда практическое определение вектора количества
движения этой системы по формуле
становится весьма затруднительным или даже невозможным.
Найдем формулу, с помощью которой значительно легче вычислять
вектор Q. Из равенства A, § 100) следует, что
Продифференцировав обе части этого выражения по времени, по-
получим
n _ —
2j ть ~dT~ = ~aT
4=1
ИЛИ
п
2 mkVk = M'vc,
k=i
где vc— вектор скорости центра масс С системы.
Так как левая часть полученного выражения является количе-
количеством движения системы, то можем записать
п
Q= Sffl^ = MtTc, ' A)
т. е. количество движения механической системы равно произведению
массы этой системы на вектор скорости ее центра масс.
Если начало координат взять в центре масс механической системы
то вектор количества движения этой системы Q', подсчитанный отно-
относительно центра масс, будет равен нулю. Действительно, формула,
A, § 100), а следовательно, и формула A) справедливы по отношению
к любой системе отсчета, поэтому
Q' = АЛ?С = 0,
так как вектор скорости относительно центра .масс равен нулю (v'c=0).
38*
580 Раздел III. Динамика
Формулой A) особенно удобно пользоваться при вычислении коли-
количества движения твердых тел. Так, например, для вращающегося
твердого тела вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр
масс, вектор количества движения этого тела равен нулю, т. е.
так как центр масс тела лежит на оси вращения и вектор его скорости
Vc=0. Однако для катящегося колеса
так как независимо от вращательного движения колеса вокруг его
центра масс t>c ?=0- Из приведенных примеров видно, что вектор ко-
количества движения характеризует только поступательное движение
тела (и, конечно, всякой другой механической системы).
2. Теорема о движении центра масс системы. Вставляя выраже-
выражение A) в уравнение A3, § 103), будем иметь
. B)
или
t ie){'\ C)
йчс
где We = -^г ускорение центра масс механической системы.
Уравнение B) или C) представляет собой так называемую теорему
о движении центра масс механической системы. Очевидно, что теорема
о движении центра масс и теорема об изменений количества движения
системы представляют собой, по существу, две разные формы одной
и той же теоремы. Теорема о движении центра масс может быть сфор-
сформулирована следующим образом: центр масс механической системы
движется так, как двигалась бы материальная точка, масса которой
равнялась бы массе всей системы и к которой был бы приложен глав-
главный вектор всех внешних сил.
В уравнение B) или C) внутренние силы не входят. Отсюда сле-
следует, что внутренние силы механической системы не оказывают ни-
никакого влияния на движение ее центра масс. В частности, если глав-
главный вектор всех действующих на механическую систему внешних сил
равен нулю, то из уравнения B) имеем
dt
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной тонки и системы 581
откуда
vc — const,
т. е. если внешние силы отсутствуют или главный вектор всех действу-
действующих на механическую систему внешних сил равен нулю, то центр
масс этой системы находится в покое или движется равномерно и
прямолинейно. Если вектор скорости центра масс в начальный момент
был равен vc, то он и будет сохраняться по модулю и направлению
в любой последующий момент движения. В частности, если вектор
скорости центра масс в начальный момент равнялся нулю (vc =0),
то центр масс остается неподвижным и в дальнейшем (rc=const).
Действие внутренних сил, как мы видим, движение центра масс систе-
системы изменить не может.
Этот результат выражает собою закон сохранения движения центра
масс системы.
Проектируя обе части уравнения C) на неподвижные оси декарто-
декартовой системы координат, получим
лц.= 2-
Мус = S
УИ2С — 2цг кг —
D)
Уравнения D) называются дифференциальными уравнениями дви-
движения центра масс системы в проекциях на неподвижные декартовы
ecu координат.
Если главный вектор всех внешних сил, действующих на механи-
механическую систему, не равен нулю, но эти внешние силы таковы, что про-
проекция главного вектора этих сил на какую-нибудь неподвижную ось
(например, ось Ох) равна нулю, т. е.
4 = 1
то первое из уравнений D) дает
= 0,
582 Раздел III. Динамика
откуда получаем закон сохранения движения центра масс в следую*
щем виде:
vcx = xc = const-
Таким образом, если проекция главного вектора всех действующих
на механическую систему внешних сил на какую-либо неподвижную
ось равна нулю, то проекция вектора скорости центра масс на ту же
ось есть величина постоянная. Если в начальный момент vCx~Q, то
и в любой последующий момент t>c*=0 и, следовательно, хс =const,
т. е. центр масс системы в этом случае вдоль оси Ох перемещаться не
будет (закон сохранения координаты центра масс).
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие закон сохранения движе-
движения центра масс.
1. Если пренебречь притяжением звезд, то на тела, составляющие
солнечную планетную систему, не будут действовать внешние силы.
Поэтому центр масс солнечной системы должен двигаться с постоян-
постоянной по модулю и направлению скоростью, т. е. прямолинейно и равно-
равномерно относительно системы неподвижных звезд. Если принять центр
масс солнечной системы за начало системы осей координат, направ-
направленных к неподвижным звездам, то получим инерциальную, гали-
лееву систему отсчета, для которой справедливы основные законы
динамики.
2. Представим себе автомашину на гладкой горизонтальной плос-
плоскости (на льду). Внешними силами для системы, которую представ-
представляет собой автомашина, будут вес автомашины и нормальные реак-
реакции гладкой горизонтальной плоскости. Все эти силы вертикальны,
и потому сумма их проекций на любую горизонтальную ось равна
нулю. Следовательно, проекция вектора скорости центра масс (центра
тяжести) автомашины на эту ось должна быть постоянной величиной.
Если автомашина вначале стояла неподвижно, то за отсутствием
горизонтальных внешних сил эта горизонтальная скорость центра
масс будет оставаться равной нулю и в дальнейшем.
Сила давления газа на поршень двигателя есть по отношению к
автомашине сила внутренняя и сама по себе не может переместить
Центр масс автомашины. Поэтому как бы интенсивно ни работал дви-
двигатель, центр масс автомашины останется на месте. Чтобы автомашина
могла передвигаться, необходимо сцепление колес с полотном дороги,
т. е. необходимы горизонтальные внешние силы — реакции внешних
связей. В самом деле, движение автомашины происходит потому,
что двигатель передает ведущим колесам автомашины вращающий мо-
момент Мвр (рис. 337). При этом точка касания А ведущего колеса с по-
полотном дороги стремится скользить влево. Тогда со стороны полотна
дороги на ведущее колесо будет действовать сила трения Rmp, направ-
направленная вправо, т. е. в сторону движения автомашины. Эта внешняя
сила и является той необходимой горизонтальной внешней силой,
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 583
Рис. 337
которая вызывает перемещение центра тяжести автомашины вправо.
Если эта сила отсутствует или если она недостаточна для преодоления
сопротивления, испытываемого ведомыми колесами автомашины, то
автомашина двигаться вправо не будет; ее ведущие колеса будут при
этом буксовать (вращаться на месте). Из рассмотренного примера
видим, что сила трения, развивающаяся в местах соприкосновения
ведущих колес автомашины, создает возможность движения, тогда
как обычно в задачах механики сила трения препятствует движению.
Пользуясь дифференциальными
уравнениями движения центра масс
D), можно, зная главный вектор дей-
действующих на механическую систему
внешних сил и массу этой системы,
найти закон движения центра масс
и, наоборот, зная движение центра
масс и массу системы, определить
главный вектор действующих на си-
систему внешних сил.
При поступательном движении
механической системы ее центр масс
движется так же, как и все остальные
точки этой системы. Определив дви-
движение центра масс такой системы путем интегрирования диф-
дифференциальных уравнений движения центра масс D), мы тем самым
определим, следовательно, и движение любой точки этой системы.
Если же механическая система движется не поступательно, то мы
можем разложить это сложное движение на поступательное движение
вместе с центром масс и на движение около центра масс. При этом
поступательное движение будет полностью характеризоваться урав-
уравнениями A6, § 103) или уравнениями D). Что же касается движения
механической системы около центра масс, то оно не может быть опре-
определено при помощи этих уравнений, так как количество движения
всякой механической системы относительно центра масс, как уже
говорилось, всегда равно нулю.
Теоремой о движении центра масс системы и теоремой об измене-
изменении количества движения системы можно в равной мере пользоваться
в тех случаях, когда изучается движение твердого тела (или системы
твердых тел). При этом теоремой о движении центра масс обычно поль-
пользоваться удобнее.
3. Основное уравнение динамики поступательного движения твер-
твердого тела. Как известно из кинематики, поступательное движение твер-
твердого тела характеризуется тем, что в каждый момент времени векторы
скоростей всех точек тела равны между собой и векторы ускорений
этих точек также равны друг другу. При этом все точки тела движут-
движутся по одинаковым траекториям. Следовательно, при поступательном
движении положение твердого тела определяется положением какой-
584 Раздел III. Динамика
нибудь только одной его точки. За такую точку целесообразнее всего
принять центр масс тела.
Таким образом, при исследовании поступательного движения твер-
твердого тела это тело можно рассматривать как материальную точку,
сосредоточив всю массу тела в его центре масс и перенеся в эту точку
все действующие на тело внешние силы. При этом на основании тео-
теоремы о движении центра масс основным уравнением динамики посту-
поступательного движения твердого тела будет
Mwr = #<«>
где М — масса всего тела, we — ускорение центра масс тела (или лю-
любой его точки) относительно выбранной неподвижной системы коорди-
координат Oxyz, Re—главный вектор всех действующих на тело внешних
сил.
Теперь, пользуясь теоремой об изменении количества движения си-
системы и теоремой о движении центра масс системы, решим некоторые
задачи.
Задача 96. На конце (А) вагонетки, стоящей на горизонтальных
рельсах, стоит человек, который в некоторый момент начинает идти
X
Рис. 338
вдоль вагонетки (от Л к В) с постоянной относительной скоростью и0.
Найти абсолютную скорость vx и перемещение х1 человека, а также
абсолютную скорость и2 и перемещение х2 вагонетки за время t, если
масса ее равна т2, а масса человека равна /лх (рис. 338).
Решение. В качестве механической системы рассмотрим со-
совокупность тел: вагонетка, человек. Внутренними силами являются
силы взаимодействия между человеком и вагонеткой; эти силы не мо-
могут изменить суммарное количество движения рассматриваемой си-
системы. Внешними же силами, действующим^ на механическую систе-
систему, являются: Р-^т^—вес человека, P2—m^g—вес вагонетки,
#! и Ni— реакции опоры (рельс). Мы предполагаем, что рельсы яв-
являются достаточно гладкими, поэтому силы трения незначительны
и можно считать опорные реакции Nt и N2 направленными перпенди-
перпендикулярно к опоре.
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы. 585
Проекции всех внешних сил на ось Ох равны нулю, а следователь-
следовательно, проекция количества движения рассматриваемой системы, равная
в начальный момент нулю, останется равной нулю и при движении
человека и вагонетки, т. е. : ;
Qx = mxVx + m2v2 — 0.
На основании теоремы о сложении скоростей можем записать
i\ = v2 + «о.
тогда
Q, = mxvx + тг (vL — и0) = 0,
откуда*
т2
Записывая выражение для Qv в виде
Qx = тг (и2 + но) + т2у2 = О,
получим
_ ОТ1 -..„!_ т1
Задача 97. Снаряд, вылетевший из орудия с начальной скоростью
vn, направленной под углом а к горизонту, сконструирован таким
образом, что при достижении наибольшей высоты происходит частич-
частичный взрыв снаряда, причем отделяющаяся часть имеет относительную
начальную скорость и0, направленную горизонтально в сторону, про-
противоположную движению снаряда. Пренебрегая сопротивлением воз-
воздуха, определить, на сколько увеличится благодаря этому дальность
полета снаряда, если вес снаряда G, а вес отделившейся части Р.
Решение. Прежде всего определим время подъема снаряда до
наивысшего положения.
. Сопротивлением воздуха мы пренебрегаем, и поэтому можно счи-
считать, что к снаряду приложена только постоянная (для данного места)
сила тяжести G—mg, направленная вертикально вниз (рис. 339).
Проведем неподвижные оси координат Оху так, как показано на
рис. 339, и применим теорему об изменении количества движения точ-
точки** в проекциях на ось Оу E, § 103)
my
t
—my0 = j Fvdt. (a)
C0
* За неподвижное начало координат О возьмем первоначальное положение
точки А.
** Имеется в виду, что снаряд движется поступательно, и потому его можно
принять за материальную точку.
37 Н. Ф. Сахарный
586
Раздел III. Динамика
При выбранном направлении оси проекций имеем i/o=uosina,
г/=0 (так как в наивысшем положении снаряда скорость его направле-
направлена горизонтально); Fy= — G= — mg.
Подставляя эти значения в уравнение (а), получим
— mv0 sin а = —¦ mgt,
у.
-Л
\L M
f\a IS
хтах
N
max
-. ^ ^
или
Рис. 339
sin а = gt,
отсюда находим искомое время подъема снаряда на наибольшую вы-
высоту
t
Х>о Sin a
Уравнения движения снаряда до момента достижения им наиболь-
наибольшей высоты будут (см. § 90, задача 79)
х = yot cos a,
у = vot sin a =?- .
Если теперь взять новую систему координат с началом в точке А
(в точке наибольшего подъема снаряда) и осями Ахх и Ауъ параллель-
параллельными соответственно осям Ох и Оу, то уравнения движения снаряда
будут иметь вид
хх = vxt,
Ух = 2~ '
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной тонки и системы 587
где vx—абсолютная скорость снаряда в точке А. Если бы в точке А
от снаряда не отделилась его часть, то
vr = i'0cosa
и максимальная дальность полета снаряда от точки А была бы
d? sin <* cos а
,-тах __
1
Определим теперь скорость оставшейся после взрыва части снаряда.
Будем рассматривать оставшуюся после взрыва часть снаряда и отде-
отделившуюся часть снаряда как одну механическую систему. Так как
силы, появляющиеся при взрыве снаряда, будут внутренними, а силы
веса G и Р обеих частей (внешние силы) имеют вертикальное направле-
направление, то проекция количества движения рассматриваемой системы на
ось х будет постоянной величиной, т. е.
Qx = const = QOJC.
Таким образом, если составим количество движения системы до
отделения от снаряда его части, когда снаряд имел скорость vx =
= u0cosa, а также составим количество движения системы после отде-
отделения от снаряда его части, то мы обязаны будем приравнять друг
другу эти величины.
Очевидно, что до отделения (в начальный момент) количество дви-
движения системы было равно
Qox = -j vo cos a.
Количество движения системы после отделения от снаряда его
части будет равно
Qx = ^y~ К + -у К cos a — «о),
где vx*— новая скорость снаряда, полученная им в момент отделения,
т. е. абсолютная скорость оставшейся части снаряда, а v0 cos a— и0
есть абсолютная скорость отделившейся части снаряда в момент от-
отделения и после. Знак «минус» показывает направление движения от-
отделившейся части снаряда. В точке А в момент, наступающий сразу
после взрыва, будет иметь место равенство
G—P » . Р , . G
—— vx + — (v0 cos a — «0) = —- d0cos а.
37*
588
Раздел III. Динамика
Отсюда находим у*
и* = v0 cos a
^p- «о-
Максимальная дальность полета оставшейся части снаряда в этом
случае будет
ct COS a
ад, sin a.
Отсюда видно, что дальность увеличилась на величину
р
углах — /, 7, с in n
х{ — g(G_p<) uovosma..
Задача 98. На одном конце лодки, находящейся в покое,
стоит человек; он переходит затем на другой ее конец, в точку В.
Определить, пренебрегая сопротивлением воды, на какое расстояние
Рис 340
(s) передвинется при этом лодка и скорость лодки в тот момент, когда
человек остановится, если вес лодки G, вес человека Р, а длина лодки
АВ=1 (рис. 340).
Решение. Чтобы исключить из рассмотрения неизвестные нам
силы трения подошв ног человека о дно лодки и мускульные усилия
человека, будем рассматривать лодку и человека как одну систему.
При этом названные силы станут внутренними. На рассматриваемую
систему (лодка и человек) действуют следующие вертикальные внеш-
внешние силы: G — сила веса лодки, Р — сила веса человека я N — вы-
выталкивающая сила воды (сила реакции воды), направленная вверх.
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 589
Сумма проекций этих сил на горизонтальную ось Ох равна нулю*.
Следовательно, на основании закона о сохранении движения центра
масс системы горизонтальная скорость центра масс данной системы
должна быть постоянной (vCx=const). Так как вначале система была
неподвижна (^Сх=0), то центр масс ее должен остаться неподвижным
и при перемещении человека (A:c=const).
Вычислим абсциссу центра масс системы. На основании A, § 100)
имеем
_ ffii*i+m2*2 __ Pxi+Gx% _ ,
хс ~ m+mT P+G ~
Из этой формулы мы видим, что если человек переходит из одного
конца лодки А в другой конец В, то абсцисса хх точки приложения
силы веса человека Р возрастает, а поэтому абсцисса х2 точки при-
приложения силы веса лодки G должна убывать, что возможно, если лод-
лодка будет перемещаться влево.
Абсцисса центра масс системы в первоначальном положении си-
системы равна
. «4
Х
так как в этом положении хх=0, а х2 — -g.
Допустим, что при перемещении человека из А в В лодка переме-
перемещается влево на расстояние s, тогда хг=1 — s, а хг= — (s—-j], w
Тогда абсцисса центра масс системы в новом ее положении (при том
же начале координат) будет равна
•*с= P~+G •
Так как центр масс системы остается неподвижным, то хс'—хс".
Отсюда находим, что
Решая это уравнение относительно s, находим
т. е. величина перемещения лодки не превосходит ее длины, и тем
больше, чем больше вес человека.
* За неподвижное начало координат возьмем первоначальное положение
точки А. '.
590
Раздел III. Динамика
Найдем теперь скорость лодки при остановке человека.
Так как проекция всех внешних сил, действующих на рассматри-
рассматриваемую систему, на ось Ох равна нулю и в начальный момент коли-
количество движения этой системы равно нулю, то по закону сохранения
количества движения системы относительно оси Ох получим
При остановке человека vix = V2X , т. е. скорость v\x человека будет
совпадать со скоростью V2x лодки, а поэтому будем иметь
{тх -f- Щ)Уг? ~ 0.
но тх-{-тгф0, следовательно, скорость лодки V2X =0.
Задача 99. Электрический мотор весом Рх с горизонтальным
валом без всяких креплений установлен на совершенно гладком го-
горизонтальном фундаменте; на валу электромотора под прямым углом
закреплен одним концом однородный стержень длиной 2/ и весом Р2.
на другой конец стержня насажен точечный груз весом Р3; угловая
скорость вала равна ш.
Определить: 1) горизонтальное движение электромотора; 2) ту угло-
угловую скорость вала электромотора, при которой электромотор будет
подпрыгивать над фундаментом; 3) наибольшее горизонтальное уси-
усилие /?шах, действующее на болты, если ими будет закреплен кожух
электромотора на фундаменте (рис. 341).
Решение. Будем рассматривать электромотор, стержень и
груз как одну механическую систему. Внешними силами, действую-
действующими на эту систему, являются вес электромотора Pv вес стержня Р3,
вес груза Р3, а также реакции фундамента Л^ и jV2. Все эти силы будут
вертикальными (рис. 341).
Возьмем начало неподвижной системы координат в точке О, соот-
соответствующей положению центра вала электромотора при вертикаль-
вертикально вверх направленном стержне. При этом ось Ох направим горизон-
горизонтально, а ось Оу — вертикально вверх.
Так как проекция главного
вектора действующих на рас-
рассматриваемую систему внешних
сил на ось Ох равна нулю, то
дифференциальное уравнение
движения, центра масс этой си-
системы вдоль оси Ох на основа-
основании уравнений (8, § 104) будет
-хг = 0,
¦V//////7//////////////////////////A
Рис. 341
8
откуда хс = const. Предпола-
Предполагая, что в начальный момент
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 591
скорость центра масс системы равнялась нулю, т. е. при пуске
электромотора он был неподвижен, мы получим хс =0. Следова-
Следовательно, хс =const, т. е. центр масс системы не перемещается вдоль
оси Ох. Но так как в начальный момент времени центр масс систе-
системы находится на оси Оу, т. е. хс =0, то поэтому Хс =0 в каждый
момент времени.
Для некоторого момента времени будем иметь (рис. 341)
Pf»:t + Р2х2
х
где Х]_— перемещение вдоль оси Ох центра электромотора, а х%=
=#!+/ sin u>t и xs=x1-\-2l sin Ы — соответственно координаты центра
стержня и груза. Из формулы (а) получим
Р& + Р% (Xi + I sin cot) + Рз (xt + 2 I sip <ot) = 0
и, следовательно,
Таким образом, центр электромотора совершает гармоническое
/(Р2+2Р3) „ 2я
движение с амплитудой, равной р , р .4 , и периодом Т=—.
Дифференциальное уравнение движения центра масс рассматрива-
рассматриваемой системы вдоль оси Оу будет
ИЛИ
= Ы-Р,-Р^-РЛ, (б)
где N^
— суммарная сила реакции фундамента, М~ *' г~*~ *
— масса всей системы.
Значение ус найдем по формуле
+ РгУг + РзУз _ Р4 cos (о t + Р3 2 ^ cos м ^
УС - рх + р2 + Рз Рх +Р2 + Рз
так как ^=0, y2=l cosu>/ и f/3=2Z cos»^. Беря от обеих частей этого
равенства вторую производную по времени, найдем
592
Раздел III. Динамика
Из равенств (б) и (в) следует, что
и, следовательно,
N = Рх
Р3—
A»2cosЫ.
Минимальное значение силы реакции фундамента определится по
следующей формуле:
(Р2 + 2 Р3)
/ш2.
Если Nmin=0, то это означает, что электромотор не прижимается
к фундаменту. Следовательно, искомое значение угловой скорости ш,
при которой электромотор начинает подпрыгивать над фундаментом,
найдем из условия
Pi
CO2
это дает
(Pi + Р2 + Ps) g
Рис. 342
о,
Ответим теперь на послед-
последний вопрос решаемой задачи.
Пусть кожух электромотора
будет закреплен на фундаменте
болтами. Выберем систему ко-
координат, как показано на рис.
342. В этом случае на рассмат-
рассматриваемую систему, кроме ука-
указанных раньше внешних сил,
действуют еще горизонтальные
реакции болтов Fx и F2.
Дифференциальное уравне-
уравнение движения центра масс си-
системы вдоль оси Ох будет
Л±р*±Ь_хс = х, (г)
где /?=/г1Ч-/г2— суммарная горизонтальная реакция болтов.
Значение хс найдем по формуле
*с =
Pi
-f- Р3*з _'Ръ /sin
s-2l sin
+ Ps
Pi
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 593
ИЛИ
с
откуда
При этом уравнение (г) примет вид
g "l ~Г -Г2 "Г
и, следовательно,
Таким образом, наибольшее горизонтальное усилие, действующее на
болты, будет*
§ 105. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
1. Понятие о точке переменной массы. Обычно в теоретической
механике масса движущегося тела рассматривается как величина
постоянная. Между тем можно указать много примеров движения тел,
когда масса их изменяется с течением времени. При этом изменение
массы может происходить путем отделения от тела его частиц или
присоединения к нему частиц извне. Примерами подобного изменения
массы движущегося тела являются: в первом случае — ракеты разных
классов, реактивные снаряды, ракетные мины и торпеды, во втором—
движение какой-нибудь планеты, масса которой возрастает от падаю-
падающих на нее метеоритов. Обе причины переменности массы одновремен-
одновременно действуют, например, в реактивном самолете с прямоточным воз-
воздушно-реактивным двигателем, когда частицы воздуха засасываются
в двигатель из атмосферы и затем выбрасываются из него вместе с про-
продуктами горения топлива. Мы будем рассматривать только тот случай,
когда процесс отделения от тела или присоединения к нему частиц
происходит непрерывно. Тело, масса которого непрерывно изменяется
с течением времени вследствие присоединения к нему или отделения
от него материальных частиц, называют шелом переменной массы.
Если при движении тела переменной массы его размерами по сравне-
* Следует иметь в виду, что горизонтальные реакции болтов численно равны
горизонтальным усилиям, которые испытывают болты.
594
Раздел III. Динамика
нию с проходимыми им расстояниями можно пренебречь, то это тело
можно рассматривать как материальную точку переменной массы.
При этом принимается, что масса М точки переменной массы представ-
представляет собой непрерывную, дифференцируемую функцию времени..
2. Дифференциальное уравнение движения точки переменной мас-
массы, или уравнение Мещерского*. Найдем уравнение движения ракеты,
масса которой непрерывно убы-
убывает вследствие расхода горюче-
горючего, рассматривая ее как точку пе-
переменной массы. Будем изучать
движение этой ракеты относитель-
относительно некоторой неподвижной систе-
системы осей координат Oxyz (рис. 343).
Чтобы исключить силы давления,
'Увыталкивающие из ракеты продук-
продукты горения, сделав их внутренни-
внутренними, рассмотрим в некоторый мо-
момент времени t ракету и отделяю-
отделяющуюся от нее в течение промежут-
промежутка времени dt частицу как одну
механическую систему**.
Предположим, что в момент времени t масса ракеты равна М =
=М @-_Пусть абсолютная скорость этой ракеты в момент времени
t будет v, последовательно, количество ее движения в этот момент
времени
Q0 = Mv. A)
Пусть за промежуток времени dt ракета отбросила от себя некоторую
частицу и пусть абсолютная скорость этой частицы будет и. Масса
отбрасываемой частицы численно равна величине dM, на которую
за промежуток времени dt изменится масса ракеты. Так какУИ — функ-
функция убывающая, то сШ<0 и, следовательно, \dM\ = — dM. Коли-
Количество движения рассматриваемой системы (ракета и отброшенная
частица) в момент времени t+dt будет
B)
где dvt— приращение скорости v ракеты, вызванное отбрасыванием от
нее частицы массы (—dM).
Если на рассматриваемую систему не будут действовать внешние
силы, то тогда, как известно, будет иметь место закон сохранения ко-
количества движения этой системы:
* И. В. Мещер ский. Динамика точки переменной массы, 1897 г.
** Отсюда мы видим, что изучение движения точки переменной массы, по
существу, приводится к изучению движения механической системы.
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 595
Q = const = Qo,
и на основании формул A) и B) будем иметь
(М + dM^v+Sj) — dM "и = Mv,
или, пренебрегая членом dMdvx второго порядка малости
Mdvt — dM (п—v) = 0.
Отсюда находим
&?=^(п-й), C)
где и — v—vr есть относительная скорость (скорость по отношению
к корпусу ракеты) отбрасываемой частицы.
Приращение dv% скорости v ракеты, обусловленное действием на
эту ракету внешней силы F, на основании второго закона динамики
можно с той же точностью определить по формуле
d^ = Fwdt. D)
На основании закона о независимости действия сил суммарное при-
приращение скорости v ракеты будет
.-.— ,.- dM(— -
dv dv + d [
Умножив на М и разделив на dt обе части полученного равенства,
получим
ж, dv тг , d
mw==f + 'o
или
..dv 7?"
M F
где -^— секундный расход массы газов, проходящих через выхлоп-
выхлопное отверстие сопла ракеты.
Уравнение E) или F) представляет собой в векторной форме диффе-
дифференциальное уравнение движения точки переменной массы, или уравне-
уравнение Мещерского.
Вектор
dM dM
596 Раздел III. Динамика
по размерности также является силой, которую можно измерить при
помощи динамометра. Силу Фг, обусловленную отделением от ракеты
частиц, называют реактивной силой.
Учитывая соотношение G), уравнение E) или F) можем предста-
представить в виде
L
(8)
и сформулировать следующий закон движения точки переменной
массы: для каждого момента времени произведение массы точки на ее
ускорение равно геометрической сумме действующих на точку внешней
и реактивной сил.
В случае, когда абсолютная скорость отделяющейся частицы рав-
равняется нулю, т. е. ы=0, уравнение E) примет вид
..dv _ тг_ dM—
или
~(Mv) = F~, ' (9)
т.е. если абсолютная скорость отделяющейся частицы равняется нулю,
то производная по времени от количества движения точки переменной
массы равна действующей на нее внешней силе.
В том же случае, когда относительная скорость отделяющейся час-
частицы обращается в нуль, т. е. vr=u— и=0, из уравнения E) полу-
получаем
т. е. если относительная скорость отбрасываемой частицы равна нулю,
то уравнение движения точки переменной массы приводится к виду
уравнения движения точки постоянной массы. Следует, однако, иметь
в виду, что в уравнении A0) масса М есть функция времени t.
3. Формула Циолковского*. В качестве иллюстрации применения
уравнения Мещерского рассмотрим поступательное движение ракеты
под действием одной лишь реактивной силы, предполагая, что ракета
движется вне поля тяготения и не встречает сопротивления среды.
Пусть относительная скорость vr истечения частиц будет постоянна
по модулю и направлена коллинеарно вектору скорости v ракеты в
сторону, противоположную движению ракеты. Определим скорость,
достигаемую ракетой по окончании процесса сгорания горючего.
* К- Э. Циолковский. Исследование мировых пространств реактив-
реактивными приборами. «Научное обозрение», 1903, № 3, стр. 45.
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и.системы 597
Составим уравнение движения ракеты, используя уравнение (8),
которое в рассматриваемом случае примет вид
Mdv r+. dM —
_ ^ _ __ U;.,
Проектируя правую и левую части этого уравнения на направление
вектора скорости v, получим
ИЛИ
, dM
Интегрируя это уравнение, получим
у = — vr\nM + C, A1)
где С—постоянная интегрирования. Пусть в начальный момент
(^=0) масса М—Мо, а скорость v=v0, тогда при /=0 находим
va = — vr\nM0+ С,
отсюда
С = v0 + vr In Mo.
Подставляя это значение в выражение A1), получим
v = vo+vr\n^. A2)
Обозначим через Мк постоянную массу корпуса ракеты со всем
оборудованием, а через Мт—всю переменную массу горючего. Тогда,
очевидно, МО=МК+МТ, а масса ракеты, когда все горючее будет
израсходовано, будет равна Мк. Подставляя эти значения в формулу
A2), получим
(^) ^ A3)
Это — так называемая формула Циолковского. Она определяет скорость
ракеты, когда все ее горючее израсходовано, т. е. скорость в конце
так называемого активного участка.
Из формулы Циолковского следует, что скорость ракеты в конце
активного участка зависит; 1) от начальной скорости ракеты va; 2) от
598
Раздел III. Динамика
относительной скорости отбрасывания от ракеты частиц vr; 3) от от-
относительного запаса горючего ^ (от числа Циолковского). При этом
скорость ракеты в конце активного участка не зависит от закона рас-
расхода ракетой массы, т. е. от того, насколько быстро или медленно сжи-
сжигается все горючее ракеты. Из формулы A3) видно также, что для по-
получения больших скоростей ракеты, необходимых для космических
Мг
полетов, нужно увеличивать v0, vr и т~-, причем увеличение v0 и vr
чем увеличение '-tj-. При запуске советских искус-
гораздо выгоднее
ственных спутников для увеличения v0 применялась составная (много-
(многоступенчатая) ракета, части (ступени) которой по мере израсходования
содержащегося в них горючего автоматически отделялись от последней
ступени, получавшей в результате дополнительную (начальную) ско-
скорость. Что же касается увеличения v и -~, то оно связано с видом
мк
горючего и конструкцией ракеты.
§106. ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
1. Теорема об изменении кинетического момента точки. Рассмот-
Рассмотрим материальную точку массы т, движущуюся под действием силы F.
Напишем для этой точки дифференциальное уравнение движения
m dt ~t-
A)
Пусть радиус-вектор, определяющий положение (относительно не-
неподвижного центра О) движущейся материальной точки М в момент
времени t, равен г (рис. 344). Умножим векторно обе части уравнения
A) на г, тогда получим
mv
rxm
dt
= rX F,
B)
где вектор mo{F)=rXF есть мо-
момент силы F относительно не-
неподвижного центра О.
Левую часть уравнения B)
можно преобразовать следую-
следующим образом:
Рис. 344
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 599
д.7 - - -
так как-^-=и и векторное произведение vxmu коллинеарных век-
векторов v и mv равно нулю.
Таким образом, уравнение B) примет следующий вид:
C)
Вектор
o(mv\ = rXmv D)
m
называется моментом количества движения, или кинетическим момен-
моментом материальной точки относительно неподвижного центра О.
Вычисляется вектор ко так же, как и вектор mo(F)- По модулю |/Со|=
—tnvr sin a=mvd.
Единицу измерения кинетического момента найдем по формуле
к0 = mvd.
к.Г* • свк.^ " м
Положив в этой формуле т=\ т. е. м. = \ ¦, v = I — ,
м сек
d—l м, получим единицу кинетического момента в системе МКГСС:
1 единица кинетического момента = 1 м-кГ-сек.
Размерность единицы кинетического момента в системе МКГСС
выражается в виде
Размерность же единицы кинетического момента в системе единиц
СИ, очевидно, будет
[к0] =м2-кг-сек~1.
Пользуясь введенными обозначениями, перепишем уравнение C)
следующим образом:
^{)() E)
или
. X'=mo{F). F)
Уравнение F) выражает собой теорему об изменении кинетического
момента точки в дифференциальной форме. Эта теорема гласит: про-
производная по времени от кинетического момента материальной точки
относительно какого-нибудь неподвижного центра равна моменту
действующей на эту точку силы относительно того же центра.
600
Раздел III. Динамика
Спроектировав обе части равенств F) и E) на оси декартовых ко-
координат, получим
кх = m.AF); КУ =
)\ кг = mz(F),
или
J
F);
-г- mx(mv) = тх( F); ж т (mv) = ту (F);
V
F); i
dt
-n-mz(mv) =
G)
(8)
dt
Эти уравнения выражают собой теорему об изменении кинетиче-
ского момента точки в координатной форме. Ее можно сформулиро-
сформулировать следующим образом: производная по времени от кинетического
момента материальной точки относительно какой-нибудь неподвиж-
неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно
той же оси.
Так как
х
I
у
k
z
то
тх ту т z
кх = тх(mv) —у mz — zmу,
ку = my(mv) = zmx — хт г ,
кг = mz(mv) —хт у — ут х,
где х, у, z— координаты движущейся точки*.
Рассмотрим теперь некоторые частные случаи:
а) Случай центральной силы. Пусть линия дейст-
действия силы F во все время движения проходит через один и тот же не-
неподвижный центр О. В этом случае сила F называется центральной
силой, а точка О называется центром этой силы. Тогда mo(F)=0 и,
следовательно, из уравнения E) или F) получаем
~то(та) = ко =
а поэтому
к0 = то{т v) = const,
A0)
* Аналогичные формулы для моментов силы относительно осей декартовых
координат были нами получены в статике (см. § 38), поэтому здесь мы их выво-
выводить не будем.
/
йб
а.
Г
N
.—^
Рис. 345
Глава XXII, Общие теоремы динамики материальной точки и системы 601
т. е. в случае центральной силы кинетический момент материальной
точки относительно центра этой силы остается постоянным по мо-
модулю и направлению. Таким образом, при действии на точку централь-
центральной силы векторы г и v все время остаются в одной и той же
неподвижной плоскости перпендикулярной к к0 . Следовательно,
траектория движущейся точки представляет собой плоскую кривую,
плоскость которой проходит через центр этой силы.
Выражаемая равенством A0) теорема носит название закона сохра-
сохранения кинетического момента точки относительно данного центра.
Теореме об изменении кине-
кинетического момента точки мож- .V
но дать наглядную геометри-
геометрическую интерпретацию. Для
этого введем в рассмотрение ки-
кинематическое понятие о так на-
называемой секториальной скоро-
скорости. Пусть радиус-вектор, опре-
определяющий положение движу- v* --^"
щейся точки М в момент време-
времени t, равен г, а в момент t+At
радиус-вектор равен rt=r + А г
(рис. 345). Элементарное приращение радиуса-вектора за промежу-
промежуток времени Д^ будет Д7, а элементарное приращение площади а, опи-
описываемой радиусом-вектором при движении точки М, равно Да. G
точностью до бесконечно малых высшего порядка элементарное при-
приращение площади можно представить в виде
Да = -~- Г Arsina.
Условились приращение площади обозначать вектором Да, направ-
направленным перпендикулярно к плоскости, проходящей через векторы г
и Дг, по правилу правого винта. При этом
Д а = -^~GхД/-).
Предел отношения приращения площади Да, описываемой радиу-
радиусом-вектором г движущейся точки М, к промежутку времени А/,
в течение которого это приращение произошло, при стремлении Af
к нулю называется секториальной скоростью точки М.
Таким образом, обозначая секториальную скорость через vo ,
будем иметь
602 Раздел III. Динамика
Из этого равенства видно, что секториальная скорость зависит от
центра, относительно которого она определяется. Поэтому, задавая
секториальную скорость, необходимо указывать центр, относительно
которого она берется.
Таким образом, из уравнения A1) следует, что вектор секториаль-
секториальной скорости точки относительно некоторого центра равен по модулю
и направлению половине вектора-момента линейной скорости этой точ-
точки относительно того же центра. Заметим, что секториальная ско-
скорость определяет, очевидно, скорость, с которой растет площадь, опи-
описываемая радиусом-вектором г точки М при движении этой точки.
В случае, когда траектория точки М есть плоская кривая, век-
вектор секториальной скорости va будет иметь постоянное направление,
совпадающее с перпендикуляром к плоскости хОу (рис. 345). Поэтому
для изучения движения точки М можно воспользоваться полярными
координатами г—ОМ и <р, приняв ось Ох за полярную ось. При этом
выражение численной величины секториальной скорости в поляр-
полярных координатах будет
~А-
где vp=v sin (r, v)=r<? есть поперечная составляющая вектора ско-
скорости v точки М (см. § 62).
Вернемся теперь к выражению D) и сравним его с формулой A1).
В результате будем иметь
ко=то(ти) = 2тЪа,
т. е. кинетический момент материальной точки относительно непод-
неподвижного центра О равен удвоенному произведению массы точки на ее
секториальную скорость. _
Подставив в левую часть равенства F) выражение к0 =2mva , по-
получим
2mt,=mo(F), A2)
где va — секториальное ускорение. Эту форму теоремы об изменении
кинетического момента точки называют теоремой площадей. Если
материальная точка движется под действием центральной силы, то
mo(F)=0 и, следовательно,
2/по" =0,
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 603
а поэтому
2т о — 2т -?¦ = const, A3)
т. е. в случае центральной силы удвоенное произведение массы точки на
ее секториальную скорость, вычисленную относительно центра этой
силы, будет величиной постоянной.
Из формулы A3) следует, что
и, следовательно,
2 р. <» 2 -^ - С = const, A4)
где С — называется постоянной площадей.
Отсюда путем интегрирования получаем, что
т. е. если материальная точка движется под действием центральной
силы, то площадь, описываемая радиусом-вектором этой точки, изме-
изменяется пропорционально времени (закон площадей).
Подставляя значение ?—^ г* 9 в Уравнение A4), получаем вы-
выражение постоянной площадей в полярных координатах
С=г29. A5)
Примером рассмотренного нами движения является движение пла-
планеты вокруг Солнца под действием силы тяготения. Согласно закону
Кеплера каждая из планет движется вокруг Солнца по эллипсу, водном
из фокусов О которого находится Солнце
(рис. 346). Согласно равенству A4) это дви-
движение должно происходить с постоянной сек-
ториальной скоростью относительно Солнца.
Постоянство же секториальной скорости вле-
влечет за собой то, что в точке П, называемой
перигелием, планета будет иметь наибольшую Рис. 346
604 Раздел III. Динамика
скорость, а в точке А, называемой афелием,—наименьшую*. Этот ре-
результат имеет место потому, что площади секторов ОП и О А, опи-
описываемых за одинаковые промежутки времени, должны быть равны,
б) Случай, когда момент силы относитель-
относительно некоторой оси равен нулю. Пусть mz (f)=0, что
имеет место или когда сила равна нулю, или когда она все время ле-
лежит в одной плоскости с осью Oz, т. е. пересекает эту ось, или ей па-
параллельна. При этом, как видно из третьего из уравнений G) или (8),
будем иметь
4t > = 0;
интегрируя, найдем
kz = mz(mv) — const, A6)
т. е. если момент действующей на материальную точку силы относи-
относительно какой-нибудь неподвижной оси все время равен нулю, то кине-
кинетический момент точки относительно этой оси остается постоянным.
Этот факт называется законом сохранения кинетического момента
точки относительно данной оси.
2. Теорема об изменении кинетического момента системы. Рас-
Рассмотрим механическую систему, состоящую из п материальных точек.
Теорема об изменении кинетического момента E), доказанная нами
для одной материальной точки, будет справедлива и для каждой из
точек рассматриваемой системы. Следовательно, если мы выделим
какую-нибудь точку системы с массой mk, имеющую скорость vk, то
для нее будет иметь место равенство
где г)г иг* —равнодействующие всех внешних и внутренних сил
действующих на данную точку.
Составляя такие уравнения для всех точек системы и складывая их
почленно, получим
dt
4=1
* Перигелием и афелием соответственно называются ближайшая к наиболее
удаленная от Солнца точки орбиты.
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 605
Вектор
равный геометрической сумме кинетических моментов (моментов коли-
количеств движения) всех точек системы относительно какого-либо непод-
неподвижного центра О, называется кинетическим моментом системы ма~
териальных точек относительно того же центра О,
Геометрическая сумма моментов всех внешних сил, действующих на
систему, относительно какого-либо неподвижного центра О, т. е.
называется главным моментом всех внешних сил, действующих на си-
систему, относительно того же центра О.
Главный момент всех внутренних сил, действующих на точки си-
системы, относительно какого-либо неподвижного центра О по свойству
внутренних сил системы B, § 99) равен нулю, т. е.
fe=l
Таким образом, учитывая равенство A8) и A9), найдем, что выра-
выражение A7) принимает вид
B0)
Полученное уравнение выражает собой следующую теорему об
изменении кинетического момента механической системы: производ-
производная по времени от кинетического момента системы относительно
какого-нибудь неподвижного центра равна главному моменту всех
внешних сил, действующих на эту систему, относительно того же
центра.
Проектируя обе части равенства B0) на неподвижные оси декарто-
декартовой системы координат Oxyz, получим
606 Раздел III. Динамика
где Кх, Ку и Kz — кинетические моменты системы относительно коор-
координатных осей Ох, Оу и Oz, а суммы, стоящие в правых частях урав-
уравнений B1), представляют собой главные моменты всех внешних
сил, действующих на систему, относительно тех же осей.
Уравнения B1) выражают собой теорему об изменении кинетиче-
кинетического момента системы в координатной форме: производная по времени
от кинетического момента системы относительно какой-нибудь не-
неподвижной оси равна главному моменту всех внешних сил, действующих
на эту систему, относительно той же оси.
Отметим теперь некоторые следствия, вытекающие из теоремы об
изменении кинетического момента системы.
а) Если главный момент всех внешних сил, действующих на си-
систему, относительно данного неподвижного центра О равен нулю
(Мо)==0), то тогда
откуда следует, что
Ко = const. B2)
Таким образом, если главный момент всех внешних сил, действую-
действующих на систему, относительно данного неподвижного центра все время
равен нулю, то кинетический момент системы относительно того же
центра остается постоянным по модулю и направлению. Из соотно-
соотношения B2) видно, что когда в начальный момент времени движения
все точки системы находятся в состоянии покоя, то кинетический мо-
момент системы, вычисленный относительно какого-нибудь неподвиж-
неподвижного центра О, в начальный момент времени равен нулю и, следова-
следовательно, вектор Ко остается равным нулю во все время движения.
Уравнение B2) выражает собой закон сохранения кинетического
момента системы, относительно данного центра. Ему можно дать
геометрическое толкование. В самом деле,
где -4г— секториальная скорость й-й точки системы, а поэтому
dt
/Со - 5>*(rftx vk) =2 t ™*Чг- B3)
4=1 ft=l
Подставляя в левую часть равенства B2) выражение Ко из фор-
формулы B3), получим
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 607
dT
•¦ const,
B4)
т. е. если главный момент всех внешних сил, действующих на систему,
относительно данного центра все время равен нулю, то удвоенная
сумма произведений масс всех точек системы на их секториальные ско-
скорости, вычисленные относительно того же центра, будет величиной
постоянной.
б) Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что
главный момент этих сил относительно некоторой неподвижной оси
Ог равен нулю, т. е.
тогда
и, следовательно,
t
4=1
= 0;
dt
= 0
f«= ? mz [Щ Oft) =
*=1
B5)
Таким образом, если главный момент всех внешних сил, действую-
действующих на систему, относительно данной неподвижной оси все время
равен нулю, то кинетический момент системы относительно той же
оси остается постоянным. Этот результат выражает собой закон
сохранения кинетического момента системы относительно данной оси.
3. Теорема об изменении кинети-
кинетического момента системы в относи-
относительном движении (в движении по
отношению к центру масс системы).
Выше была доказана теорема об из-
изменении кинетического момента си-
системы по отношению к неподвиж-
неподвижным осям координат (см. формулу
20). Покажем теперь, что эта теорема
остается справедливой и по отноше-
отношению к подвижным осям координат
Сх'у'г', имеющим свое начало в цент-
центре масс С системы и движущимся по-
поступательно вместе с центром масс по
отношению к неподвижным осям ко-у
ординат Oxyz (рис. 347). Рис. 347
608 Раздел III. Динамика
При вычислении кинетического момента системы относительно
данного неподвижного центра О удобно разделить сложное движение
системы на поступательное движение со скоростью центра масс систе-
системы и на движение около центра масс как неподвижной точки. Пусть
rk— радиус-вектор k-й точки системы, определяющий ее положение
относительно неподвижных осей координат, гс—радиус-вектор центра
масс системы, определяющий положение центра масс относительно
этих же осей координат и rk'— радиус-вектор k-й точки, определяю-
определяющий ее положение относительно подвижных осей координат Cx'y'z'.
Тогда в любой момент движения
^ = ?с + 7*- B6)
Взяв от обеих частей этого равенства производную по времени,
получим
о*= »с + »* • B7)
где vk—абсолютная скорость k-u точки системы, vc—абсолютная
скорость центра масс системы, vk'— скорость k-й точки системы в ее
относительном движении по отношению к центру масс.
Подставляя формулы B6) и B7) в выражение для кинетического мо-
момента системы A8), получим
п
=2 {(~гс + г~1) X
k=l
или
так как гс и vc не зависят от знака суммирования и их можно вынести
за знак суммы.
Покажем, что второй и третий члены полученного выражения равны
нулю.
В самом деле, на основании формулы A, § 100) имеем
п
Yi mk7k =M~r'c=0,
4=1
так как начало подвижных осей координат Cx'y'z' выбрано нами в
центре масс системы, и, следовательно, г'с =0,
Глава XXII. Общие теоремы динамика материальной точки и системы 609
Дифференцируя это выражение по времени, получим*
п
%mkv'k = Mvc = 0. B8)
Таким образом, будем иметь
или
Ко = ~гс X МЪС + Кс, B9)
л п _
где М— ? /rafe— масса системы, а Дс = ? r'kxmkv'k— кинетический
момент системы (взятый относительно центра масс) в ее относитель-
относительном движении по отношению к центру масс.
Из формулы B9) следует, что кинетический момент системы отно-
относительно какого-нибудь неподвижного центра равен геометрической
сумме кинетического момента центра масс системы относительно
того же центра в предположении, что в нем сосредоточена масса всей
системы, и кинетического момента системы (взятого относительно
центра масс) в ее движении относительно подвижных осей координат,
имеющих свое начало в центре масс системы и движущихся поступа-
поступательно вместе с центром, масс по отношению к неподвижным осям
координат.
Преобразуем теперь выражение для главного момента всех дей-
действующих на систему внешних сил A9). Используя выражение B6),
получим
k=\ 4=1
ИЛИ
= rc X R{e)+ Жё\ C0)
— n _
где /?<<">=? F^—главный вектор всех внешних сил, действующих на
. п .
систему, М?— ^r'kxFk—главный момент всех внешних сил, дейст-
действующих на систему, относительно центра масс системы.
Используя формулы B9) и C0), на основании равенства B0) будем
иметь
± GcxMvc)
* Этот результат был уже нами получен в § 103.
40 Н. Ф,; Сахарный
610 Раздел III. Динамика
drc —
или, имея в виду, что ^ = ^с н vcxMvc =0, получим
7С ХУИШС + ^- = 7С X ?(е) + М(се), C1)
— dvr
где шс =тг — ускорение центра масс системы.
На основании теоремы о движении центра масс системы имеем
M~wc — я(е\
Умножая обе части этого равенства векторно слева на Гс, получим
7С xMwc = ~rcxR{e\
а следовательно, из равенства C1) имеем
^- = Щ\ C2)
Эта формула выражает собой следующее положение: производная
по времени от кинетического момента, вычисленного относительно
центра масс, равна главному моменту всех внешних сил, действующих
на систему, относительно центра масс. Таким образом, при движении
системы относительно подвижных осей координат, имеющих свое на-
начало в центре масс системы и движущихся поступательно вместе с цент-
центром масс по отношению к неподвижным осям координат, теорема об
изменении кинетического момента формулируется совершенно так же,
как и для неподвижных осей координат.
Пусть
Ж? = о,
тогда
dKc
dt
и, следовательно,
= 0
Кс = const, C3)
т. е. если главный момент всех действующих на систему внешних сил
относительно центра масс равен нулю, то кинетический момент си-
системы относительно центра масс остается постоянным по модулю
и направлению. При этом если в начальный момент движения все точ-
точки системы находятся в состоянии покоя, то кинетический момент си-
системы, вычисленный относительно центра масс, в начальный момент
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 611
равен нулю, следовательно, вектор Кс остается равным нулю и во все
время движения.
Из уравнений B0) и C2) видно, что на изменение кинетического мо-
момента системы внутренние силы не влияют. Полное исключение внут-
внутренних сил, которые в большинстве встречающихся случаев нам не-
неизвестны, является значительным упрощением при решении задач
динамики.
4. Случай вращающейся механической системы. Пусть рассмат-
рассматриваемая механическая система изменяема (например, деформируемое-
тело) и вращается с угловой скоростью ш
вокруг неподвижной (или проходящей через
центр масс) оси г (рис. 348). Найдем кинети-
кинетический момент этой системы относительно
оси г. Для этого выделим k-ю точку этой
системы. Обозначим расстояние этой точки с
массой mk и имеющей скорость vk от оси z че-
через hk. Очевидно, что кинетический момент
рассматриваемой точки системы относитель-
относительно оси г будет mz(mkvk)=hkmkvk, а кине-
кинетический момент всей системы точек отно-
относительно той же оси будет равен
,= Yiht
mhv
hvk.
Рис. 348
Но так как при вращении системы вокруг оси скорость k-й точки
vk=whk, то
К) = О) 2 tnk hk\
k=\
где по определению ? mkhk2=Jz есть момент инерции системы отно-
относительно оси z. Следовательно, окончательно будем иметь
Кг = ^, C4)
т. е. кинетический момент системы относительно оси вращения равен
моменту инерции системы относительно этой оси, умноженному на
угловую скорость системы.
Пусть внешние силы F{i){k=\, 2, ..., п), действующие на рас-
рассматриваемую систему, таковы, что T,mz(Fk)=Mze)= 0. Тогда на осно-
40*
612 Раздел III. Динамика
вании теоремы об изменении кинетического момента системы относи-
относительно оси z будем иметь*
откуда
Кг = const - (КгH- C5)
Если в начальный момент движения системы угловая скорость ее
была равна о>0, а момент инерции системы относительно оси г был ра-
равен Jo, то очевидно, что {KzH=Jo%- Подставляя это значение (К2H
в формулу C5), получим
К г = COnst =
J г<л = const = Jo соо. C6)
Отсюда мы приходим к следующему выводу.
Если механическая система изменяема, то благодаря действию
внутренних сил некоторые точки этой системы могут удаляться от оси
вращения, что обусловливает увеличение момента инерции Jz системы,
или эти точки могут приближаться к оси вращения, что вызывает
уменьшение момента инерции Jг системы. Так как при этом должно
иметь место равенство C6), то мы можем сказать, что если момент
инерции Jг системы возрастает, то угловая скорость ш системы убы-
убывает, и наоборот.
Закон сохранения кинетического момента системы C6) может быть
продемонстрирован с помощью человека, стоящего на так называемой
платформе Н. Е. Жуковского, могущей с малым трением вращаться
вокруг вертикальной оси г. Предположим, что человек встал на плат-
платформу Жуковского и поднял руки в вертикальной плоскости до го-
горизонтального положения, после чего наблюдатель, стоящий около
этой платформы, придал человеку вместе с платформой вращение
вокруг оси z. Тогда вся механическая система — человек и платфор-
платформа — получит относительно оси z кинетический момент /Cz=/Zu),
который в дальнейшем изменяться не может (/2w=const), так как
после того как наблюдатель перестал вращать человека вместе с плат-
платформой, никакие внешние силы на механическую систему действовать
не будут, кроме сил тяжести и нормальных реакций, моменты кото-
которых относительно оси г равны нулю**. Если затем человек опустит
* Так как моменты реакций RA и RB подпятника А и подшипника В относи-
относительно оси г также равны нулю.
** Моментами сил трения вследствие их незначительности в первом прибли-
приближении, можно пренебречь.
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 613
руки в вертикальной плоскости, прижав их к туловищу, то вследствие
уменьшения момента инерции Jг угловая скорость ш вращения чело-
человека вместе с платформой увеличится.
Закон сохранения кинетического момента системы C6) можно про-
продемонстрировать также, дав в руки человека, стоящего на платформе
Жуковского, колесо с массивным ободом. Если человек с платформой
сперва покоился, а затем, держа в одной руке ось колеса вертикально,
привел другой рукой колесо во вращение, то сам он вместе с плат-
платформой начнет вращаться в противоположную сторону. Это произойдет
от того, что силы, которые человек прикладывает к колесу, являются
внутренними, а поэтому общий кинетический момент, сперва равный
нулю, таким и останется во все время движения, т. е.
J1(alz
= О,
где J1— момент инерции колеса относительно оси г, J%— момент
инерции человека вместе с платформой относительно той же оси,
а со1г и ш2г— их угловые скорости вращения. Как видно,
ю9, = — со,
Этот опыт аналогичен опыту с человеком, идущим по вагонетке (за-
(задача 95), который демонстрирует закон сохранения количества дви-
движения системы.
Теперь становится понятным, что, подобно тому, как количество
движения системы является характеристикой ее поступательного дви-
движения, кинетический момент системы является характеристикой вра-
вращательного движения системы.
В заключение настоящего параграфа решим некоторые задачи с
помощью теоремы об изменении кинетического момента системы.
Задача 100. Круглая горизонтальная плат-
платформа может вращаться без трения вокруг вер-
вертикальной оси Oz, проходящей через ее центр О;
по платформе на неизменном расстоянии от оси
Oz, равном г, идет с постоянной относительной
по отношению к платформе скоростью и чело-
человек, вес которого равен Р. С какой угловой ско-
скоростью будет при этом вращаться платформа
вокруг оси Oz, если вес ее можно считать рав-
равномерно распределенным по площади круга ра-
радиусом R, а в начальный момент платформа и
человек имели скорость, равную нулю (рис. 349)?
Решение. Чтобы исключить неизвест-
неизвестные нам силы трения между подошвами ног
человека и платформой, будем рассматривать рИс. 349
614 Раздел III. Динамика
человека и платформу как одну механическую систему. Действующие
на эту систему внешние силы (вес платформы G, вес человека Р, реак-
реакции подпятника Ra и подшипника Rb) либо параллельны оси Oz,
либо пересекают эту ось, а поэтому Ё/ЯЛ/*!8')=0. Следовательно,
в данной задаче теорема об изменении кинетического момента отно-
относительно оси Oz примет вид
*? = S «ЛВД = о,
6=1
откуда
п
Kz— S mz (mk vk) = С = const. (a)
k=\
Так как в начальный момент ни человек, ни платформа не двига-
двигались, то кинетический момент рассматриваемой системы Kz, вычис-
вычисленный относительно оси Oz, в начальный момент равен нулю, следо-
следовательно, /Сг будет равен нулю и во все время движения. Иначе го-
говоря, постоянное интегрирование С будет равно нулю (С=0), и мы
вместо равенства (а) будем иметь
Кг=? mz{mkvk) =0. (б)
fe=i
Составим теперь левую часть равенства (б) для какого-то момента
времени, когда рассматриваемая система пришла в движение. Кине-
Кинетический момент этой системы Kz слагается из кинетического момента
человека Ki и кинетического момента платформы /С2, т. е.
При движении человека по платформе против часовой стрелки
(по отношению к оси Oz) платформа начнет вращаться по часовой стрел-
стрелке. Поэтому абсолютная скорость va человека равна разности и—ve,
где ие=шг— переносная скорость, т. е. окружная скорость точки М
платформы. Кинетический момент человека относительно оси Oz будет
Кх= -YVar = ~ (U-Ve)r= -? (И-ГО.) Г.
Кинетический момент платформы относительно оси Oz будет
где J1— момент инерции платформы относительно оси Oz.
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 615
Рассматривая платформу как однородный круглый цилиндр, по-
получим A5, § 101)
G R2
g 2 '
поэтому
r GR2
Таким образом,
Подставляя это значение /Сг в равенство (б), получим
отсюда находим значение искомой угловой скорости
2Рг
-- G^ + 2Pr2 -
Задача 101. Через блок, массой которого пренебрегаем, переки-
перекинута веревка; в точках А к В находятся два человека одинакового
веса (Рг и Р2=Р1). Что произойдет с человеком В, если человек А
станет подниматься с относительной по отношению к веревке скоро-
скоростью ы?
Решение. Рассмотрим механиче-
механическую систему, состоящую из человека А
и человека В.
Внешними силами являются: вес каждо-
каждого человека Р1 и Р2, а также еще реакция
Ro оси, на которую насажен блок.
Из расположения сил (рис. 350) видно,
что сумма их моментов относительно точки
О или относительно оси х, перпендику-
перпендикулярной к плоскости блока, равна нулю.
В самом деле, момент силы реакции Ro
относительно оси х равен нулю, так как
эта реакция проходит через ось х. Момент
силы Рг относительно оси х равен Рх г,
где г — плечо силы относительно точки О.
Момент же силы Р2 относительно той же
В
2
оси равен —f2r; поэтому
Рис. 350
616 Раздел III. Динамика
так как по условию задачи РХ=Р2.
По теореме об изменении кинетического момента относительно
оси х можно записать
fa ^J '"-х И я
А=1
я _
В данной задаче S mJl.(Fft<e>)=0, поэтому
= 0,
dt
откуда
n
^C*— 2 тлг (ш* ^a ) = С = const.
В силу того, что в начальный момент скорости человека А и чело-
человека В были равны нулям, постоянное С тоже будет равно нулю
(С=0) и, следовательно, будем иметь
Кх = 0. (а)
Составим теперь левую часть уравнения (а) для какого-то момен-
момента, когда рассматриваемая система пришла в движение.
Абсолютную скорость человека А обозначим через иг. Очевидно,
что vt=u—• i>2, где о2 будет переносной скоростью, т. е. скоростью
веревки, которую взбирающийся человек А будет подбирать под
себя.
Количество движения человека А равно
и будет изображаться вектором, направленным вверх по оси z. Кине-
Кинетический момент К.а человека А относительно оси будет равен
К a = — m^{u—v^r.
Абсолютная скорость человека В будет та, которую будет иметь
веревка, т. е. у2> так как относительно веревки этот человек остается
неподвижным и движется только вместе с веревкой.
Количество движения человека В равно
т2и2, или mxv2,
так как т1=т2, и изображается вектором, направленным вверх по
оси 2, но справа от блока. Следовательно, кинетический момент
человека В относительно оси х будет равен
К в = Щ v% r.
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 617
Таким образом, уравнение (а) принимает следующий вид:
Кх = К а + Кв = — mi (и— v2) r ~\- mxvtf = 0.
Отсюда после сокращений находим искомый ответ:
v, =
2 •
Задача 102. Для определения момента инерции / махового колеса
(рис. 351) радиуса /-=50 см относительно оси вращения г, прохо-
проходящей через центр тяжести, колесо обмотали
тонкой проволокой, к которой привязали ги-
гирю весом Р1 = 8 кГ, и наблюдали продол-
продолжительность rt = 16 сек опускания гири с вы-
высоты Л=2 м.
Для исключения трения в подшипниках
проделали второй опыт с гирей весом Р2=4 кГ,
причем продолжительность опускания оказа-
оказалась равной 7\=25 сек при прежней высоте.
Предполагая момент силы трения постоянным
и не зависящим от веса гири, вычислить мо-
момент инерции J махового колеса.
Решение. Рассмотрим механическую си-
систему, состоящую из гири и махового колеса.
Внешними силами являются: вес гири Pv (и,
следовательно, Р2), сила трения в подшипни-
подшипниках (на рис. 351 не показана), вес махового
колеса G и реакция оси R.
Из расположения этих сил видно, что
Ш////////Ж
Ркс. 351
где Мтр—¦ момент силы трения. При этом только моменты сил
относительно оси z равны нулю, так как эти силы проходят через ось z.
Кинетический момент рассматриваемой системы относительно оси
вращения z в первом опыте будет
где ш— угловая скорость махового колеса в данный момент времени.
На основании третьего из уравнений B1) имеем
dt
39 Н. Ф, Сахарный
618 Раздел III. Динамика
Проинтегрировав, получим
гак как при *=0 w=0.
Так как <*>=^ • гДе 9 — Угол поворота махового колеса, то,
интегрируя еще раз, будем иметь
где предполагается, что при t=0 <p=0.
При t=Tl <p =— и, следовательно,
Для второго опыта, очевидно, получим аналогичный результат,
а именно:
2
Исключая из двух последних уравнений Мтр и решая полученное
при этом уравнение относительно Jг, найдем
-Lip _P)_-L(J±-
Т = rS 2Л* 1 i
[ § 107. ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
1. Теорема об изменении кинетической энергии точки. Пусть
материальная точка массы m под действием переменной по модулю
и направлению силы F движется по некоторой криволинейной траек-
траектории (рис. 352). Согласно второму закону динамики получаем
mw — F.
__ Умножим обе части этого равенства скалярно на дифференциал
dr=vdt радиуса-вектора г точки приложения силы F
mw- dr = ~F-dr. A)
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 619
Замечая, что w=j, и dr—vdt, где v — скорость рассматриваемой
точки относительно неподвижных осей координат, перепишем левую
часть равенства A) в виде
mw-dr = m
at
¦ vdt = mv-dv.
Далее, так как
и, дифференцируя, получим
vdv= —
отсюда находим, что
mw-dr = mv-dv~
В результате равенство A) принимает вид
d(S?)=F.d7.
B)
Выражение, стоящее в левой части этого равенства в скобках, изме-
измеряет скалярную величину, которая называется кинетической энергией
материальной точки и обыкновенно обозначается через Т, так что
будет
rp m а2
1 ~ 2 •
Следовательно, кинетическая энергия материальной точки изме-
измеряется половиной произведения массы точки на квадрат ее скорости.
Подобно количеству движения
— то"
т v кинетическая энергия —g-
является мерой механического
движения точки.
Таким образом, мы видим, что
механическое движение обладает
двоякой мерой — количеством дви-
движения и кинетической энергией.
При этом количество движения
материальной точки является лишь
мерой переданного одной точкой
другой механического движения.
Кинетическая же энергия матери-
39*
Рис. 352
620 Раздел III. Динамика
альной точки является более универсальной мерой механического
движения точки, характеризующей его способность превращаться в
эквивалентное количество другой формы движения.
Выражение
bA=T-dr, C)
стоящее в правой части равенства B), называется элементарной рабо-
работой силы, приложенной к материальной точке. Следовательно, эле-
элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на диф-
дифференциал радиуса-вектора точки приложения этой силы.
Равенство B) выражает собой теорему об изменении кинетической
энергии точки в дифференциальной форме. Пользуясь установленной
терминологией, можно выразить смысл этой теоремы следующими
словами: дифференциал кинетической энергии материальной точки
равен элементарной работе силы, действующей на эту точку.-
Таким образом, мы видим, что теорема об изменении кинетической
энергии устанавливает связь между кинетической энергией точки,
являющейся скалярной мерой механического движения, и работой
силы, действующей на точку, являющейся мерой действия силы.
Разделив обе части равенства B) на dt, получим
- dr
dt
или
d
Величина
N = ^- = F-v, E)
равная скалярному произведению силы на скорость движения точки
приложения этой силы, называется мощностью силы.
Равенство D) есть вторая, тоже дифференциальная форма теоремы
об изменении кинетической энергии точки: производная по времени от
кинетической энергии материальной точки равна мощности силы,
действующей на эту точку.
Пусть движущаяся точка, перемещаясь под действием приложен-
приложенной к ней силы F по некоторой криволинейной траектории, имеет
в положении Мо скорость оо, а в положении М1 — скорость vt
(рис. 352). Возьмем от обеих частей равенства B) интегралы вдоль
дуги траектории от точки Мо до точки Mv тогда получим
m«L_m|i= J'?.d- F)
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 621
где правая часть этого равенства представляет собой работу силы на
конечном участке криволинейной траектории.
Равенство F) выражает теорему об изменении кинетической энер-
энергии в конечной (интегральной) форме: изменение кинетической энер-
энергии материальной точки на некотором конечном участке траектории
равно работе силы, действующей на эту точку, на том же участке
траектории.
Единицу измерения работы можно определить по формуле
ЬА = F-dr = Fdrcos
(FAd7}.
_л _
Положив в этой формуле F=l кГ, dr=\ м, ^.F, dr=0°, получим
единицу работы в системе МКГСС:
1 единица работы = 1 кГ-м.
Эта единица работы называется килограмм-сила-метр.
Килограмм-сила-метр (кГ-м) — это работа, совершаемая на пере-
перемещении в 1 м постоянной силой в 1 кГ, действующей на материальную
точку в направлении перемещения.
Таким образом, размерность единицы работы в системе МКГСС
будет
_л _
Если F=l н, dr=\ м, ^.F, dr=0°, то получим единицу работы в
системе СИ:
1 единица работы = 1 н-м.
Эта единица работы называется джоулем.
Джоуль (дж) — это работа, совершаемая на перемещении в 1 м
постоянной силой в 1 н, действующей на материальную точку в направ-
направлении перемещения.
Таким образом, размерность единицы работы в системе СИ будет
[bA] = [F][dr] = н-м = м2-кг-сек-*.
Из формулы F) следует, что такую же размерность имеет и еди-
единица измерения кинетической энергии.
_л
Если F=\ дин, dr=\ cm, ^.F, dr=0°, то получим единицу работы
в системе СГС:
1 единица работы = 1 дин-см.
Эта единица работы называется эргом.
Эрг (эрг) — это работа, совершаемая на перемещении в 1 см по-
постоянной силой в 1 дину, действующей на материальную точку в на-
направлении перемещения.
622 Раздел III. Динамика
Таким образом, размерность единицы работы в системе СГС будет
[о А] = [F][dr] = смг-г-сек~*.
Установим теперь соотношения между единицами работы разных
систем.
Так как 1 кГ = 9,81 н, то
1 кГ-м = 9,81 н-м,
или
1 кГ-м = 9,81 дж.
Далее, так как 1 н = 10Б дин, то
1 н-м= 105 дин-100 см= 107 эрг,
или
1 дж = 107 эрг.
Отсюда следует, что
1 кГ-Л1 = 9,8Ы07 эрг.
Единицу мощности определим по формуле E). Положив в этой
формуле ЬА= 1 кГ-м, dt=\ сек, получим единицу мощности в системе
МКГСС:
1 единица мощности = 1 м .
Размерность единицы мощности в системе МКГСС:
[N] == , ¦ = кГ'М-сек'1 = м-кГ'Сек'1.
В технике за единицу мощности часто принимается одна лошади-
К Г AL
ная сила (л. с), равная 75 —.
Положив в формуле E) 5Л = 1 дж, dt=\ сек, получим единицу мощ-
мощности *в системе СИ:
1 единица мощности = 1
сек
Эта единица мощности носит название ватт.
Ватт (вт) — это мощность, при которой за 1 сек совершается
работа, _равная_ 1 дж.
Размерность единицы мощности в системе СИ:
=Mt
Mt. кг .сект
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 623
Положив в формуле E) 5Л = 1 эрг, dt=\ сек, получим единицу мощ-
мощности в системе СГС:
1 единица мощности = 1 ^
С€К
Размерность единицы мощности в системе СГС:
[Щ = ^- = см*-г-сек~3.
Полезно здесь же привести следующие соотношения:
1 ватт (em) = 107 -^- = 1 -^- = 0,102 -^
v ' сек сек сек
1 киловатт (кет) = 10s em = 1010
102
сек сек
1 J1LJL = 9,807 em;
сек
1 л. с. = 75 ^-^- = 736 em = 0,736 кет;
1 кет = 1,36 л. с.
Единицы мощности ватт, киловатт и т. п. не следует путать с часто
употребляемыми единицами работы ватт-час, киловатт-час и т. д.
Ватт-час — это работа, совершаемая в течение часа силой, имеющей
мощность в один ватт (например, 1 ватт-час = 1 —3600 сек =
=3600 дж).
2. Вычисление работы и мощности силы, приложенной к мате-
материальной точке. Из кинематики известно, что
- = _d_F
С другой стороны, в предположении, что дуга траектории отсчиты-
вается в сторону движения,
- = ds_~o
откуда
поэтому
\dr\ = ds.
624 Раздел III. Динамика
Отсюда мы видим, что дифференциал dr=vdt радиуса-вектора г
точки приложения силы F имеет направление касательной к траекто-
траектории этой точки, а модуль \dr\ его равен элементу пути ds.
Поэтому элементарная работа силы F на элементарном перемеще-
перемещении точки приложения этой силы может быть выражена так:
- - (-Л
ЬА= F-d'r = Fdscos \F, dr). G)
_л _ _
Так как количество F cos (F, dr)=Fx есть проекция силы/7 на на-
направление элементарного перемещения dr (т. е. на направление ско-
скорости v точки приложения силы F), то для значения элементарной ра-
работы этой силы мы находим
8 А = Fx d s. (8)
Таким образом, элементарная работа силы равна произведению мо-
модуля элементарного перемещения на проекцию силы на направление
этого перемещения. Исходя из этого определения элементарной работы
можно утверждать, что работа силы характеризует то действие
силы, которым определяется изменение модуля скорости точки при-
приложения этой силы. В самом деле, если разложить силу F на состав-
составляющие Fx и Fn, то изменять модуль скорости точки приложения силы
F будет только касательная составляющая FT , сообщающая этой точке
касательное ускорение. Нормальная же составляющая Fn или изме-
изменяет направление вектора скорости (сообщает точке приложения силы
F нормальное ускорение), или, если сила Р действует на несвободную
материальную точку, изменяет давление этой точки на связь. На
модуль вектора скорости точки приложения силы F составляющая Fп
не влияет, т. е. сила Fn не будет совершать работу.
Элементарная работа силы F равна нулю только в том случае,
если вектор силы F и вектор элементарного перемещения точки при-
приложения этой'силы dr—vdt взаимно перпендикулярны; если вектор
F и вектор dr=vdt составляют острый угол, то элементарная работа
положительна, если же тупой, то отрицательна. При этом знак ра-
работы имеет следующий смысл: работа положительна, когда касатель-
касательная составляющая FT силы F направлена в сторону движения, т. е.
когда сила F ускоряет движение; работа отрицательна, когда каса-
касательная составляющая Fx силы F направлена в сторону противопо-
противоположную движению, т. е. когда сила F замедляет движение.
Если разложим векторы F и г по координатным осям, то получим
F = Fxi + F j + Fzk и г = xi + yj + zk,
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 625
где F x, Fy, Fz— проекции силы F на эти оси, а х, у, z — координаты
точки приложения силы F. Из второго равенства следует, что
d r = dx i + dy j -\- dz k,
где dx, dy, dz — дифференциалы координат точки приложения силы F.
Подставляя полученные значения F и dr в равенство C) и прини-
принимая во внимание, что
i-i = j.j = k-k = 1 и i-j = j-k = k-i = 0,
получим следующее аналитическое выражение элементарной работы
силы:
bA=T-dr = Fxdx + Fydy + Fzdz. (9)
Из этой формулы найдем выражение мощности силы, действующей
на материальную точку:
N = ^ = Fxx + Fyy + Fzz. A0
При решении задач на вычисление работы или мощности часто при-
приходится сталкиваться с понятием коэффициента полезного действия.
Коэффициентом полезного действия ч\ называется отношение полез-
полезной работы или мощности к работе или мощности движущих сил
лд "д
Так как вследствие вредных сопротивлений Ап<^Ая, то тг)<1.
Пользуясь свойствами скалярного произведения векторов, дока-
докажем теорему о работе равнодействующей сил, приложенных к одной
материальной точке. Пусть к материальной точке М, перемещаю-
перемещающейся по любой криволинейной траектории, приложено п сил: Flt
F2 Fn (рис. 353). Обозначим равнодействующую этих сил через
F, а элементарную работу сил F, Flt F2, ... , Fn на элементарном пере-
перемещении dr=vdt обозначим через 8Л, 6ЛЬ 6Л2, ... , ЬАп. Так как
то, умножая обе части этого равенства скалярно на вектор dr, найдем
F.d7=~F1-d7+ F2-dF+ ... + FB-dr,
ИЛИ I
626
Раздел ///. Динамика
М
Таким образом, мы доказали следующую теорему: элементарная
работа равнодействующей нескольких сил, приложенных к материаль-
материальной точке, на некотором элемен-
элементарном участке траектории рав-
равна алгебраической сумме элементар-
элементарных работ составляющих сил на
том же участке траектории.
Соответственно выражениям C),
G) и (9) работа приложенной к
точке силы F (или равнодействую-
равнодействующей нескольких сил) на конечном
участке траектории будет равна
криволинейному интегралу от эле-
элементарной работы этой силы, взя-
F
Рис. 353
тому вдоль дуги М0М1траектории
от точки Мо до точки Mt (рис. 353):
J Fcos
(Af0)
[F, d
(Mo)
= С (Fxdx + Fydy + Fzdz).
(Mo)
A2)
Укажем путь вычисления интеграла A2).
_ л _
а) Если произведение F cos (F, dr) является известной функцией
дуговой координаты s точки приложения силы, то переменной инте-
интеграции является эта величина и формула для вычисления работы при-
принимает вид
= j Fcos
F, dr
ds
- j FJs,
So
A3)
где s0 и s — значения дуговой координаты, соответствующие положе-
положениям Мо и Mi точки приложения силы F.
Рассмотрим частный случай, когда сила F постоянна по модулю и
направлению, а точка, к которой приложена эта сила, движется пря-
_л _
молинейно (рис. 354). В этом случае FT =F cos (F, dr)=const и работа
силы F на прямолинейном перемещении М0М1=г определится из
формулы A3) как произведение модуля F силы F на величину s пере-
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 627
иещения и на косинус угла F, г=а между ними, т. е.
При этом /
Ам„м1 = Fs, если а = 0;
AMtMi =~Fs, если а = 180°;
Am.Mi=0, если а = 90°.
б) Вспоминая, что сила F в общем случае является функцией
радиуса-вектора г точки приложения этой силы, скорости v=r этой
точки и времени t, мы можем формулу для вычисления работы пере-
переписать в виде
(М,) (Мо)
Для того чтобы вычислить этот кри-
криволинейный интеграл (т. е. свести его
к простому определенному интегралу), нужно знать закон движения
точки, на которую действует сила F, т. е. знать зависимость ра-
радиуса-вектора этой точки от времени:
7=7@-
Находя отсюда r=/' (t), а также dr=f (t) dt, будем иметь
(Mi) _ (Mi)
AmoMi= j F[f(t), nt),t\f'{t)dt= j <t>(t)dt, A4)
(Af0) (M,)
где Ф (t)— известная функция времени, равная подинтегральному
выражению, а t0 и t — моменты, соответствующие прохождению
движущейся точки положений Мо и Мх. Задача свелась, таким
образом, к вычислению определенного интеграла A4) по аргументу t.
Отсюда непосредственно следует, что, не зная закона движения
точки приложения силы F (r, r, t), т. е. не решив предварительно
вторую задачу динамики для точки, на которую действует эта сила,
работу силы F (r, r, t) на конечном перемещении определить нельзя.
Весьма важно поэтому выделить те силы, работу которых можно
вычислить непосредственно по заданным силам и по перемещениям
628
Раздел 111. Динамика
точек их приложения, не зная закона движения точки, на которую
действуют эти силы. Из формулы A2) видно, что такими могут быть
только постоянные по модулю и направлению силы или силы, зави-
зависящие только от положения точки приложения этих сил, т. е. от их
координат (см. § 108). _
В качестве примера определим работу силы тяжести Р материаль-
материальной точки М при перемещении ее по некоторой криволинейной траек-
траектории из положения Л40 в положение Мх (рис. 355). Для этого напра-
Рис. 355
вим ось Oz системы координат Oxyz по вертикали вверх. Тогда, про-
проектируя силу на координатные оси, получим
Следовательно, элементарная работа силы Р будет равна
S А = Fxdx + Fydy + Fzdz = — Pdz,
а работа на конечном участке траектории (от точки Мо до точки М^
равна
(Л*,)
(,
г = ~ j
(Af)
или'
A5)
* Мы рассматриваем здесь ту часть пространства, в которой вес Р точки М
можно считать постоянным.
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 629
Обозначим абсолютное значение разности гх—z0 высот конечного
и начального положений точки приложения силы Р через h. В зави-
зависимости от того, какое из этих положений выше над произвольно выб-
выбранной горизонтальной плоскостью Оху, разность h может быть или
положительной, или отрицательной. Следовательно,
А = ± Ph;
A6)
при этом работа силы тяжести положительна, если начальная точка
Мо выше конечной точки Ми и отрицательна, если начальная точка Мо
ниже конечной точки М1. Работа силы тяжести на замкнутом пути
будет, очевидно, равна нулю.
Из полученного результата следует, что работа силы тяжести,
действующей на материальную точку, не зависит ни от длины пути,
ни от формы траектории этой точки.
Рис. 356
В заключение покажем способ определения работы силы упругости,
действующей на точку. Пусть точка М под действием силы упругости
F совершает прямолинейное движение. Примем прямолинейную траек-
траекторию точки М за ось Ох. При этом за начало координат возьмем точку
О, соответствующую положению точки М при недеформированном
состоянии пружины (рис. 356).
Вспоминая, что при удлинении пружины на х проекция направлен-
направленной против оси Ох силы упругости F на эту ось равна (—сх), получим
F =
1 х
СХ,
где с — коэффициент жесткости пружины.
По формуле (9) элементарная работа силы упругости пружины F
будет равна
о А = Fxdx = — cxdx
и, следовательно, работа этой силы на конечном перемещении МОМХ
ее точки приложения М , т. е. при переходе точки М из положения
Мо с абсциссой х0 в положение Мх с абсциссой хх, будет равна
{Mi)
А =
(Mo)
~с j xdx
x0
— x\
x\).
A7)
63в Раздел III. Динамика
Заметим, что в случае силы упругости, осуществляемой пружиной,
х0 представляет собой начальное удлинение пружины, а хг— конеч-
конечное ее удлинение.
Работа силы упругости пружины при переходе конца ее из поло-
положения хо=0, соответствующего положению точки Мо при недеформиро-
ванном состоянии пружины, до некоторого удлинения X будет равна
Л = -4~- A8)
Можно показать, что формула A7) остается справедливой и в
случае, когда перемещение точки М не является прямолинейным.
Таким образом, как и в случае силы тяжести, работа силы упругости
не зависит от формы траектории точки М, а только зависит от началь-
начального и конечного положений этой точки.
3. Теорема об изменении кинетической энергии несвободной точки.
Пусть материальная точка М движется по неподвижной гладкой по-
поверхности (или кривой) под действием активной силы Fa. Так как
в этом случае нормальная реакция iV поверхности образует, очевидно,
с направлением вектора абсолютной скорости v точки М (лежащим
в касательной плоскости) прямой угол, то ее работа равна нулю*.
Поэтому равенство F) для рассматриваемой несвободной точки М
имеет вид
mv*
J Fa-dr. A9)
Таким образом, теорема об изменении кинетической энергии для
несвободной точки в случае идеальной связи имеет ту же формули-
формулировку, что и для свободной точки: изменение кинетической энергии
материальной точки, на которую наложена идеальная связь, на неко-
некотором конечном участке траектории, расположенной на этой связи,
равно работе активной силы, действующей на эту точку, на том же
участке траектории.
Если неподвижная поверхность (или кривая), по которой дви-
движется точка М, не является гладкой, то теорема об изменении кине-
кинетической энергии несвободной материальной точки М примет следую-
следующий вид:
2 (Л*,) Шг)
j J
(,) Шг)
j FUs- J F?ds, B0)
(M) (M)
J
(Mo)
• Если же поверхность (или кривая) движется, то абсолютное перемеще-
перемещение dr=vdt точки М может не быть перпендикулярно к нормальной реакции N
и тогда работа реакции N в абсолютном движении точки М не будет равна нулю
(например, работа реакции платформы лифта).
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 631
так как сила трения Fшр направлена в сторону, противоположную век-
вектору абсолютной скорости v точки М (рис. 357). Модуль силы трения
определяется, как известно, из равенства Fmp=fN, где / — коэффи-
коэффициент трения, a N — модуль нормальной реакции поверхности (или
кривой).
Если модуль силы трения является величиной постоянной, то
(Л*,)
Ш.)
B1)
отсюда следует, что работа силы трения зависит от длины s дуги M0Mlt
по которой перемещается точка М.
Рие, 357
Рис. 358
Задача 103. По наклонной плоскости, составляющей с горизонтом
угол <х=30°, спускается без начальной скорости (ио=0) тело. Опреде-
Определить скорость тела в конце пути, длина которого равна s—2 м, если
коэффициент трения тела о наклонную плоскость равен /=0,1.
Решение. Тело рассматриваем как материальную точку. Изо-
Изобразим в произвольном положении эту движущуюся точку и прило-
приложенные к ней силы. На рассматриваемую точку действуют: P=mg —
сила тяжести тела, N — нормальная реакция наклонной плоскости
и ^шР—сила трения тела о наклонную плоскость (рис. 358). Заметим,
что все эти силы постоянны по модулю и направлению.
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой об изменении
кинетической энергии несвободной точки в конечной форме B0), ко-
которая в данном случае примет вид
mvr
mvX
mgh — Fms,
A)
632 Раздел III. Динамика
где ft=ssina, Fmp=fN—fmg cos a, uo=0; поэтому равенство A) мож-
можно записать в виде
mv = trigs sin a—/mgs cos a,
или
v2 = 2gs (sin a — / cos a),
откуда
V = ]/2gS (sin a — / cos a) =
= уНГ9,81 • 2 (sin 30° — 0,1 cos 30°) = 4,02 — .
Задача 104. Вагон весом 16 т наталкивается со скоростью 1 -1—
на два упорных буфера. Определить наибольшее сжатие буферов при
ударе вагона, если известно, что пружина буфера сжимается на 1 см
под действием силы в 5 т.
Решение. Поместим начало
координат в точке О, соответству-
соответствующей тому положению буферов,
F
р , когда они еще не находились в
~Г~5 (\ О I *~х сжатом состоянии, и направим ось
//////////у////. /////////// ®х в сторону движения вагона (рис.
359). Очевидно, что в момент со-
Рис. 359 прикосновения вагона и буферов
на вагон (кроме силы тяжести ва-
вагона и реакций рельсов) начинают действовать две силы (два буфера),
каждая из которых по модулю пропорциональна сжатию буфера, а
направлена против движения вагона.
Модуль каждой этой силы F=cx, а проекция на ось Ох равна
г х = СХ,
х
Принимая вагон за материальную точку, применим к решению
этой задачи теорему об изменении кинетической энергии в дифферен-
дифференциальной форме B), которая в данном случае примет вид*
= F rdx — — 2-Ъхйх — — lOxdx.
* Вес вагона и нормальные реакции рельсов мы не учитываем, так как ра-
работа этих сил будет равна нулю.
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 633
Интегрируем слева по v от у0=100— до нуля, а справа по х
от нуля до
откуда
подставляя
какого-то предельного
0
J
100
16
сюда /п=—=
&
\
_ 16
~980
16-
2 )
1002
2
сжатия X:
ID Г хНг
0
10X2
2 '
, получим
10 000
2-980
или
8-10000
и, следовательно,
X = 4 см.
Задача 105. Телу весом Р, лежащему на горизонтальной плоскости,
сообщают (толчком) начальную горизонтальную скорость v0. Тре-
Требуется определить, через сколько времени тело остановится и какой
путь оно пройдет до остановки, если коэффициент трения тела о плос-
плоскость равен /.
Решение. Тело рассматриваем как материальную точку и
изображаем его в произвольном положении (рис. 360). На тело
действуют силы: Р — сила тяжести тела, Af — нормальная реакция
плоскости и FTp—сила трения тела о плоскость, направленная про-
против движения тела.
При решении этой задачи бу-
будем комбинировать теорему об из-
изменении кинетической энергии точ- .
ки с теоремой об изменении коли-
количества движения точки.
Направим ось Ох в сторону
движения тела. При этом теорема
об изменении количества движе-
движения точки в конечной форме примет, очевидно, вид
тх — тх0 = — FTpt,
или
— mvn = ~ FTJ,
634
Раздел III. Динамика
так как x=v=O, a xo=vo. Отсюда находим искомое время
t = lg'
р
так как т~— и FTp = fN, причем в данном случае N=P.
Далее, применяя теорему об изменении кинетической энергии точ-
точки в конечной форме, получим*
mv*
тр'
ИЛИ
~^-F s
так как пг=— и и=0. Отсюда находим искомый путь s, пройденный
.точкой до остановки: '
s =
2/g
Задача 106. Камень М, находящийся на вершине Мо гладкого по-
полусферического купола радиуса г, получает начальную горизонталь-
горизонтальную скорость v0. В каком месте ка-
камень покинет купол? При каких зна-
значениях v0 камень сойдет с купола в
начальный момент?
Решение. При движении кам-
камня, принимаемого за материальную
точку, по куполу на этот камень бу-
будут действовать следующие силы: его
собственный вес Р и сила реакции JV
купола, направленная по нормали к
куполу (рис. 361).
Второе уравнение системы уравнений A0, § 91) в данном случае
будет иметь вид
V77/7///////////////////////
Рис. 361
т-
= mgcoscp — N,
и, следовательно,
N = mg cos ср — т ¦
* Здесь также вес Р тела и нормальная реакция N горизонтальной плоскос-
плоскости не учитываются, так как работа этих сил равна нулю.
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 635
Применяя теорему об изменении кинетической энергии точки в ко-
конечной форме, находим
mv:
откуда
и, следовательно,
2- = mg(r —rcoscp),
— COS cp)
N = mg\ 3coscp —2 u— j .
В момент схода камня с купола сила реакции N=0, т. е.
откуда
COS ср =
3gr ¦
Положив <р=0, найдем значение начальной скорости v0, необхо-
необходимое для того, чтобы камень покинул купол в начальный момент,
Задача 107. Тело брошено с поверхности Земли вверх по верти-
вертикальной линии с начальной скоростью v0. Определить высоту Н под-
поднятия тела, принимая во внимание, что сила тяжести изменяется об-
обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли;
сопротивлением воздуха пренебрегаем.
Решение. Рассматриваем тело как мате-
материальную точку М. Поместим начало координат
в центре Земли и направим ось Ог в сторону дви-
движения (рис. 362). Изобразим в произвольном
положении точку М и приложенные к ней силы.
На эту точку действует только одна сила F, мо-
модуль которой по условию задачи равен
где z — расстояние точки М от центра Земли. На
поверхности Земли сила веса точки М равна tng,
где g — ускорение силы тяжести на поверхности
Земли, а пг — масса этой точки. Откуда
k
г>2
Рис. 362
и k=
636
Раздел III. Динамика
где R ps 6370 км — радиус Земли. Следовательно,
Z*
при этом
Гг — г„ — и, a rz — —
Применяя теорему об изменении кинетической энергии для точки
в конечной форме, получим
(Af,) R+H
mvl
ИЛИ
J
(Afo)
так как в момент, когда точка М доходит до наивысшего положения,
v—0. Отсюда
Этот результат позволяет, например, найти ту начальную скорость,
при которой брошенное с поверхности Земли тело может уйти в бес-
бесконечность, т. е. навсегда покинуть поле земного тяготения. В самом
деле, из последней формулы имеем
и, следовательно, если Я=со, то
сек
4. Теорема об изменении кинетической энергии точки в относи-
относительном движении. Для вывода этой теоремы будем исходить из урав-
уравнения относительного движения точки F, § 93)
mwr = F + N + Фе + Фк.
Умножая обе части этого уравнения скалярно на вектор элемен-
элементарного относительного перемещения dr—vrdt и проделывая те же
математические выкладки, что и при выводе равенства B), получим
B2)
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 637
где Фк-Лг=О, так как кориолисова сила инерции Фк всегда направле-
направлена перпендикулярно к вектору относительной скорости vr, а следова-
следовательно, и к вектору элементарного относительного перемещения dr=
= vrdt.
Равенство B2) выражает собой теорему об изменении кинетической
энергии точки в относительном движении: дифференциал кинетичес-
кинетической энергии материальной точки в ее относительном движении равен
сумме элементарных работ активной силы, силы реакции и переносной
силы инерции.
Если на материальную точку не наложена связь или связь идеаль-
идеальная, то равенство B2) принимает вид
d[^)=J.dT+0^d7. B3)
сек
W
S-*
Задача 108. Кольцо движется по гладкому стержню, который рав-
равномерно вращается в горизонтальной плоскости около одного из сво-
своих концов с угловой скоростью, равной <D=2—. Длина стержня / =
=5 см. В момент t=0 кольцо
имело скорость, равную нулю,
и находилось на расстоянии
а=\ см от конца стержня, около
которого происходит вращение.
Найти абсолютную скорость
кольца в момент схода со стер-
стержня (рис. 363).
Решение. Для опреде-
определения относительной скорости рис 363
vr воспользуемся теоремой об
изменении кинетической энергии
точки в относительном движении B2). Чтобы составить уравнение B2),
вычислим работу следующих сил: Р — силы тяжести кольца, N —ре-
—реакции стержня и переносной силы инерции Фе, модуль которой равен
Фе=Феп=тш2х, где х = ОМ, а> = ш2.
Работа сил Р и N равна, очевидно, нулю, а работа силы Фе равна
AMoMl = J Фейх = m <о» J xdjc = ^- (/2 — а2).
Ши) а
Подставляя эти значения в уравнение B2) и учитывая, что началь-
начальная относительная скорость кольца равна нулю, получим
л»1
638 Раздел III. Динамика
откуда
vr = со У Р — а* .
Переносная скорость в этот момент равна
Следовательно, искомая абсолютная скорость кольца в момент
схода со стержня будет
= 21/2-25-1 = 14-^-.
5. Теорема об изменении кинетической энергии системы. Теоре-
Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки B) легко
обобщается на случай механической системы материальных точек.
Для этого предположим, что уравнение B) составлено для ?-й точки
механической системы
^)-FV'd?h+TV-dFkt B4)
где Fjjf' • dr&— элементарная работа равнодействующей всех внешних
приложенных к k-й точке сил; F^kdrk— элементарная работа равно-
равнодействующей всех внутренних приложенных к й-й точке сил.
Уравнения вида B4) мы можем написать для каждой точки систе-
системы. Складывая эти уравнения почленно, получаем
d 2 ^ = 2 ?i?>-^+ 2 ^-^- <25>
Арифметическая сумма кинетических энергий всех материальных
точек механической системы, т. е.
называется кинетической энергией механической системы.
Суммы
k=i
являются соответственно суммой элементарных работ всех внешних
сил, действующих на систему, и суммой элементарных работ всех
внутренних сил, действующих на систему.
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 639
Запишем уравнение B5) в виде
dT = 8 Л<е> + 8 Л«'> . B7)
Это соотношение представляет теорему об изменении кинетической
энергии механической системы в дифференциальной форме: дифферен-
дифференциал кинетической энергии механической системы равен сумме элемен-
элементарных работ всех внешних и всех внутренних сил, действующих на
систему.
Разделив обе части равенства B7) на dt, получим вторую, тоже
дифференциальную, форму теоремы об изменении кинетической энер-
энергии системы
dT
I "¦"
dt dt "i" dt '
ИЛИ
J^-MO + M*. B8)
т. е. производная по времени от кинетической энергии системы равна
сумме мощностей всех внешних и внутренних сил, действующих на
эту систему.
Обозначая начальное положение системы цифрой 1 и конечное
цифрой 2, после интегрирования выражения B7) получим
B) B)
(О
предполагая, что интегралы могут быть вычислены, можем написать
Т2 — Тх = AM + А« , B9)
где 7\ и Т2— значения кинетической энергии системы соответственно
в положении 1 и положении 2.
Формула B9) выражает теорему об изменении кинетической энер-
энергии механической системы в конечной форме: изменение кинетической
энергии механической системы при конеч-
конечном перемещении ее из одного положения в
другое равно сумме работ на этом переме-
перемещении всех внешних и внутренних сил, дей-
действующих на эту систему.
Очень важно иметь в виду, что для
изменяемой механической системы сумма
элементарных работ всех внутренних сил
не будет равна нулю. В самом деле, пусть
Л и В являются материальными точками
изменяемой механической системы, поло-
положение которых относительно неподвижной
640 Раздел III. Динамика
точки О определяется радиусами-векторами г а и Гв , и пусть будут
ри) и —fw силы взаимодействия между этими точками, т. е. внут-
внутренние силы (рис. 364). Тогда сумма элементарных работ этих двух
внутренних сил будет равна
F~w.d7A-Fw-d7B,
или
F>. (d7A-d7B) = Fw-d{FA-7B) =7{i)-djBA). C0)
Отсюда видно, что если расстояние АВ между материальными точками
А и В может изменяться, например уменьшаться, то эта элементарная
работа не будет равна нулю, а также и сумма таких элементарных ра-
работ будет отлична от нуля.
Таким образом, в отличие от предыдущих общих теорем динамики
системы в уравнения B7) и B9), вообще говоря, входят внутренние
силы в виде работы их, т. е. внутренние силы в уравнениях B7) и
B9) не исключаются.
В уравнениях B7) и B9) в число внешних и внутренних сил входят
и активные силы и силы реакции связей. Но в случае стационарных
связей без трения реакции таких связей не производят работы при
любом перемещении системы. Поэтому в этом случае неизвестные реак-
реакции связей не входят ни в одно из уравнений B7) и B9).
Теорема об изменении кинетической энергии системы в дифферен-
дифференциальной и конечной формах дает решение задач, относящихся к ди-
динамике системы, только тогда, когда внутренние силы наперед из-
известны. Если же внутренние силы не известны, то получить решение
с помощью одной только этой теоремы нельзя.
В случае неизменяемой механической системы (например, абсо-
абсолютно твердого тела) расстояния между точками приложения внутрен-
внутренних сил при движении системы не изменяются, и, следовательно,
согласно равенству C0) сумма элементарных работ всех внутренних
сил на любом перемещении этой системы должна всегда быть равна
нулю, т. е. Л(/) =0.
Отсюда заключаем, что теорема об изменении кинетической энер-
энергии B9) для неизменяемой системы принимает вид
C1)
Поэтому только в случае неизменяемой системы теорема об изме-
изменении кинетической энергии C1) позволяет исключить из рассмотре-
рассмотрения все неизвестные внутренние силы, а при наличии только стацио-
стационарных связей без трения и наперед неизвестные силы реакции внеш-
внешних связей.
Чтобы успешно применять уравнения B7), B8), B9) и C1), необ-
необходимо иметь простые формулы для вычисления кинетической энер-
энергии произвольной механической системы и твердого тела.
Глава XXII. Общие теоремы, динамики материальной точки и системы 641
6. Формулы для вычисления кинетической энергии механической
системы и твердого тела. При вычислении кинетической энергии по
формуле
4=1
важно помнить, что в эту формулу входят абсолютные скорости точек
системы.
Предположим, что механическая система движется относительно
осей координат Сх'у'г', которые имеют начало в центре масс системы
и в свою очередь движутся поступательно относительно неподвижных
осей координат Охуг (рис 347). Тогда на основании теоремы о сложе-
сложении скоростей абсолютная скорость какой-либо k-n точки системы
выразится так:
77 _7j 4-17'
«- Ci **
где Vc— скорость центра масс системы, a vk'— скорость k-я точки си-
системы по отношению к подвижным осям координат Сх'у'г' (относи-
(относительная скорость).
Подставляя это выражение в формулу C2) и имея при этом в виду,
что vk*=vk2, получаем
а
~ ~2~ 2j k k ~~ ~2~
п п
1 "'+»с S «*«*'+4-
где М= ? mk— масса всей системы.
Но JL „ ж
— ,_ a \i т — , _ q
так как сумма статических моментов относительно центра масс, т. е.
п
? mkrk'', равна нулю.
1 "
Выражение Т'=-^ ? tnkvk'2 есть кинетическая энергия системы в
ее движении относительно центра масс, т. е. осей координат Сх'у'г'.
42 Н. Ф, Сахарный
642 Раздел III. Динамика
Таким образом, формулу для вычисления кинетической энергии
системы в ее абсолютном движении можно записать в виде
Т = -L Mv% + Г, C3)
т. е. кинетическая энергия механической системы при произвольном дви-
движении равна сумме кинетической энергии центра масс в предположе-
предположении, что в нем сосредоточена масса всей системы, и кинетической энер-
энергии системы в ее движении по отношению к центру масс (теорема
Кёнига).
Найдем формулы для вычисления кинетической энергии твердого
тела в разных случаях движения.
В случае поступательного движения твердого тела все точки этого
тела движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости движе-
движения центра масс. Следовательно, для любой точки vk = vc, а поэтому
согласно формуле C2)
п
%± C4)
n
где М = S mk— масса всего тела.
*=i
Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при поступа-
поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат
скорости центра масс.
В случае вращения твердого тела вокруг неподвижной оси Ог
(рис. 348) скорость любой его точки
где <в— угловая скорость тела, a hk— расстояние точки от оси враще-
вращения Ог. Следовательно, формула C2) дает
п
где Ул= Е tnkh^— момент инерции тела относительно оси вращения Ог.
Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при вращатель-
вращательном движении вокруг неподвижной оси равна половине произведения
момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его
угловой скорости.
В случае плоскопараллельного движения твердого тела скорости
всех точек этого тела в каждый момент времени распределены так,
как если бы тело вращалось вокруг оси, перпендикулярной к плос-
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 648
кости движения и проходящей через мгновенный центр скоростей Р
(рис. 365). Поэтому мы можем применить для вычисления кинетиче-
кинетической энергии тела при плоскопараллельном движении только что по-
полученную формулу C5):
Т = -к- Jр «>2, C6)
где JP—момент инерции тела относительно мгновенной оси, перпен-
перпендикулярной к неподвижной плоскости движения Оху н проходящей
через мгновенный центр скоро-
скоростей, ш — угловая скорость те- у,
ла. Но по теореме о зависимо-
зависимости между моментами инерции
относительно параллельных осей
(§ 101) имеем
-х'
где Jc — момент инерции тела
относительно оси, проходящей
через центр масс С тела и пер-
перпендикулярной к неподвижной р 365
плоскости движения Оху, М —
масса всего тела, СР— рас-
расстояние между центром скоростей и центром масс. Подставляя это
выражение в формулу C6), получим
или
C7)
где vc =шСР — скорость центра масс тела.
Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при плоско'
параллельном движении равна сумме кинетической энергии центра масс
в предположении, что в нем сосредоточена масса всего тела, и кинети-
кинетической энергии тела в его вращательном движении вокруг оси, проходя"
щей через центр масс и перпендикулярной к данной неподвижной плос-
плоскости движения.
Можно было бы аналогичным способом доказать, что формула C7)
остается справедливой и в случае произвольного движения твердого
тела.
Отсюда становится очевидным, что кинетическая энергия является
характеристикой и поступательного и вращательного движения твер-
твердого тела.
42*
644 Раздел III. Динамика
7. Вычисление работы и мощности произвольной системы сил,
приложенных к твердому телу. Пусть к свободному твердому телу
приложена произвольная система сил Flt F2 Fn. Выберем в
теле произвольную точку О за полюс. Тогда по формуле, установ-
установленной в кинематике D, § 76), абсолютная скорость k-й точки те-
тела в общем случае его движения будет равна
о*="оо+шхр*. C8)
где ш — угловая скорость вращения тела вокруг мгновенной оси L,
проходящей через полюс О.
Сначала найдем мощность силы Fk
Из этой формулы и формулы C8) получаем
Второе слагаемое по свойству скалярно-векторного произведения
может быть записано в виде
JY("»X fk) = (шх pk)- Fk=w- [pkxFk) =ш -nio[Fk).
Подставляя это равенство в предыдущую формулу, получим
#*= ?*-»0+ш. то[7к).
Из статики известно (§ 37), что момент силы относительно оси ра-
равен проекции на эту ось вектора-момента силы относительно произ-
произвольной точки, лежащей на этой оси. Поэтому второе слагаемое пре-
предыдущего выражения может быть записано в виде
со- т0 {Fk) = wno(Fft) cos (со, mo]=comL(Fft),
а следовательно, само это выражение можно записать так:
Nk=~Fk-~vo+ a>mL[Fk),
где L — названная выше ось.
Отсюда находим
S Ak = Nu dt = Fk ~vodt + со d t tnL {Fk),
или
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 645
где dcp=u)G^ — элементарный угол поворота тела вокруг оси L.
Элементарная же работа всех сил, действующих на твердое тело,
будет
или
ЬА = R-dT0 +MLd<?, C9)
п _
где R= ? Fk— главный вектор приложенной к телу системы сил, а
4=1
п __
Ml — ? rnL /Fft) — главный момент этой системы сил относительно
оси L.
Из формулы C9) найдем выражение мощности всех сил, действую-
действующих на твердое тело:
А 7 D я / Л Г\\
Отметим особо следующие частные случаи.
а) Работа и мощность сил, приложенных к
твердому телу, движущемуся поступательно.
В этом случае df=wdt=0 и, следовательно,
ZA = 'R-dr = RJcdx + Rydy + Rzdz, D1)
где dT— элементарное перемещение, одинаковое для всех точек тела.
Мощность в рассматриваемом случае, очевидно, будет равна
N ^-R.v = Rxx + Ryy + Rzz. D2)
б) Работа и мощность сил, приложенных к
твердому телу, вращающемуся вокруг непод-
неподвижной оси. Выбирая за полюс точку, лежащую на неподвиж-
неподвижной оси вращения Oz, получим drQ=0, а поэтому
8Л = /Игй?, D3)
п
где величину Мг— ? mz(Fk) будем называть вращающим моментом.
Таким образом, в рассматриваемом случае элементарная работа
равна произведению вращающего момента на элементарный угол пово-
поворота тела.
646 Раздел III. Динамика
Работа сил на некотором конечном угле поворота фх тела будет
А = j Мг d <p. D4)
о
В том случае, когда силы действуют на тело так, что их вращаю-
вращающий момент остается постоянным, получим
А = Мг ?1 D5)
(при Mz=const).
Из формулы D3) найдем выражение мощности
N = 4t =Mz9 = Mz«> = ~^-> D6)
т. е. мощность равна произведению вращающего момента на угловую
скорость тела.
в) Работа и мощность сил, приложенных к
твердому телу, движущемуся плоскопарал-
плоскопараллельно. В этом случае имеем:
bA=~R-dro + Mtdr, D7)
N = R -ио + Мгш, D8)
п _
где Mz— E mz(Fk) — главный момент системы сил относительно оси
Ог, проходящей через полюс и перпендикулярной к плоскости дви-
движения.
Что касается вычисления работы, входящей в правые части урав-
уравнений B7) и B9), то здесь работа каждой из сил (как внешних, так
и внутренних) при любом перемещении точек приложения этих сил
вычисляется по отдельности точно теми же способами, которые при-
применялись при решении задач динамики точки, после чего полученные
работы всех сил суммируются алгебраически. Пусть, например, нам
требуется определить работу сил тяжести механической системы ма-
материальных точек. Эту работу мы должны определить как сумму работ
сил тяжести отдельных точек, составляющих механическую систему,
т. е.*
A = t^k (z*e-2»)= t pk Чъ -tPk Чг. D9)
См. формулу A5).
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 647
где zk0 и zkl — аппликаты, определяющие начальное и конечное поло-
положения /г-й точки системы.
По формулам для координат центра масс системы, установленным
раньше, получаем
tpk^ko=zC0P и ?Pfezftl = zclP, E0)
*=i fe=i
где Zc0 и Zci— аппликаты, определяющие начальное и конечное поло-
положения центра масс системы, а Р — полный вес системы.
Из формул D9) и E0) получаем
причем в формуле E1) следует взять знак «плюс», если центр масс опус-
опускается, и взять знак «минус», если центр масс поднимается; he—верти-
he—вертикальное перемещение центра масс системы.
Следовательно, работа сил тяжести, действующих на систему,
при любом движении этой системы равна произведению веса системы
на разность высот начального и конечного положений центра масс
системы.
8. Теорема об изменении кинетической энергии системы в отно-
относительном движении (в движении по отношению к центру масс системы).
Раньше уже была установлена формула, связывающая кинетическую
энергию в абсолютном и относительном движениях, в силу которой
Пользуясь этой формулой, мы можем теорему об изменении кинети-
кинетической энергии B7) записать в следующем виде:
d (±- Mvc\ + dV = ? Fie)-d7k+ ? П'-dF,. E2)
; *=i k=i
Из рис. 347 видно, что rk=rc+r'k, а поэтому drk=d7c +d?k. Учиты-
Учитывая это, формулу E2) можно переписать в виде
d (± Mvc} + dV = d?c-
k=\
k=i
648
Раздел III. Динамика
или
-±-Mvr) + dT' = R(e)-
[e)
F[e) -d r. +
k=\
E3)
где ^<e)=SF1,—главный вектор всех внешних сил, действующих на
га _
_
систему, a S /™>=0 (по свойству внутренних сил).
а=1
Так как центр масс системы движется как точка, к которой при-
приложены все внешние силы и в которой сосредоточена вся масса систе-
системы, то для него, как и для всякой материальной точки, имеет место
теорема об изменении кинетической энергии B), т. е.
Таким образом, равенство E3) можно записать в виде
E4)
k=\
Соотношение E4) дает теорему об изменении кинетической энергии
системы в дифференциальной форме для движения системы относи-
относительно центра масс: дифференциал кинетической энергии механиче-
механической системы в ее движении относительно системы координат с нача-
началом в центре масс и перемещающейся поступательно равен сумме эле-
элементарных работ внешних и внутренних сил на перемещениях отно-
относительно центра масс.
Интегрируя выражение E4) между пределами, соответствующими
двум положениям системы — начальному 1 и конечному 2, получим
теорему об изменении кинетической энергии системы в конечной форме
для движения системы относительно центра масс
п B)
B)
j
*=i (i)
к
E5)
*=i (О
Таким образом, мы приходим к выводу, что теорема об изменении
кинетической энергии механической системы формулируется в диффе-
дифференциальной и конечной формах для относительного движения так же,
как и для движения абсолютного, если только подвижная система
координат имеет начало в центре масс и движется поступательно от-
относительно неподвижной системы координат.
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 649
Задача 109. Большой шкив цепной передачи вращается с угловой
скоростью шъ радиус шкива R и момент инерции относительно оси вра-
вращения Ух. Малый шкив имеет радиус г и момент инерции относитель-
относительно своей оси вращения /2. Вес натянутой на шкивы цепи равен Р.
Вычислить кинетическую энергию системы (рис. 366).
Решение. Так как
данная система состоит из
трех тел, то ее' кинетическая
энергия согласно формуле
C2) равна
Т =
Т2 + Т3,
где 7\ — кинетическая энер-
энергия большого шкива, Т2 — Рис- 366
кинетическая энергия малого
шкива, а Т3— кинетическая энергия натянутой на эти шкивы цепи,
перемещающейся поступательно.
Кинетическую энергию большого шкива и малого шкива находим
по формуле C5)
и, следовательно, ш2=— ш1? то
Так как ш^=
Обозначая через \Pk вес элементарного участка цепи, замечаем,
что скорости всех элементарных участков цепи равны по модулю
между собой и равны Rwv поэтому по формуле C4) находим
Таким образом, кинетическая энергия системы будет
Задача ПО. Тяжелый однородный стержень О А длиной /=3,27 м,
надетый своим концом О на ось, вокруг которой он может вращаться
в вертикальной плоскости, находится в положении устойчивого равно-
41 Н, Ф, Сахарный
650
Раздел III. Динамика
весия. Какую скорость надо сообщить другому концу А стержня
для того, чтобы он сделал четверть оборота (рис. 367)?
Решение. Механической системой здесь будет стержень О А.
Пусть положение О А есть промежуточное положение этого стержня.
Внешними силами, действующими на стержень, будут: сила веса Р
и реакция N со стороны шарнира в точке О.
В начальном положении ОАг стержню
СОобщИЛИ КакуЮ-ТО уГЛОВуЮ СКОрОСТЬ COj,
которая равна искомой линейной скорости
конца стержня vlt деленной на длину стер-
стержня:
-А,
Рис. 367
°>1 = -р
В конечном положении 0А2, т. е. гори-
горизонтальном, угловая скорость стержня рав-
равна нулю (со2=0).
Для решения этой задачи удобнее всего
воспользоваться теоремой об изменении
кинетической энергии в конечной форме
C1) для случая движения абсолютно
твердого тела
(а)
По формуле C5) находим
вен
Момент инерции J0 стержня относительно оси О, как известно, ра-
раи, следовательно,
г,=4- —
* 6 В
е g
где v\ =/2u)i .
Так как в конечном положении угловая скорость ша стержня равна
нулю, то Т2=0.
Из внешних сил работу совершает только сила веса Р. Работа же
реакции N будет равна нулю в силу неподвижности точки О, в кото-
которой приложена реакция. Следовательно,
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 651
где he =~2 есть высота подъема точки С — середины стержня; знак же
«минус» показывает, что перемещение точки С было направлено в сто-
сторону, противоположную направлению силы веса, приложенной к этой
точке.
Подставляя все эти значения в уравнение (а), найдем
Л «г =, _ р _L
откуда
сек
N
Задача 111. Груз весом Р подвешен на тросе длины /, навитом на
цилиндрический барабан с горизонтальной осью вращения (рис. 368).
Вес барабана G, радиус барабана R, вес
единицы длины каната у. Определить
скорость груза в момент, когда длина
свисающей части каната равна х, если в
начальный момент скорость груза уо=0,
а длина свисающей части каната была рав-
равна х0; трением в подшипниках оси бара-
барабана, толщиной троса и массой вала пре-
пренебречь.
Решение. Изучаемая система здесь
состоит из барабана, груза и каната.
Внешними силами, действующими на си-
систему, будут: вес груза Р, вес барабана G,
реакция N со стороны подшипников оси
и вес свисающей части троса -\х. Восполь-
Воспользуемся теоремой об изменении кинетиче-
кинетической энергии в конечной форме C1):
(а)
Рис. 368
В начальный момент система находилась в покое, а поэтому ее на-
начальная кинетическая энергия 7\ равна нулю (^=0).
Когда груз опускается на высоту h=x—x0, его кинетическая энер-
энергия будет равна
гр
где v — искомая скорость груза.
При этом:
а) кинетическая энергия троса
Т — 1 т' „2.
41*
652 Раздел Ш. Динамика
б) кинетическая энергия барабана
4
где J — момент инерции барабана относительно оси вращения, а ш —
угловая скорость барабана при опускании груза на высоту h.
Считая барабан однородным круглым сплошным цилиндром, опре-
определим момент инерции барабана по формуле
Так как при нерастяжимом тросе скорость груза связана с угловой
скоростью барабана зависимостью ш—р > то формула для определения
кинетической энергии барабана примет вид
т =_LJLJ?lJ!!.==_LJLr/»
0 2 g 2 R* 4 g
Таким образом, кинетическая энергия всей системы будет равна
Тг = Тгр + То + Ттр = -^ B Р + G + 2 т I).
При отсутствии силы трения в подшипниках оси барабана работу
будет производить сила веса опускающегося на высоту h груза
Arp = Ph=P(x-x0),
а также сила веса свисающей части троса
X
= j 7 (х — х0) dx=^~{x — x0J.
Что же касается работы сил N и G, то работа этих сил будет равна
нулю в силу неподвижности точки, в которой приложены силы N н G.
Таким образом,
/1 — /1гр -р /1тр — 2 V*-
Подставляя значения Т1; Г2 иЛ'() в уравнение (а), получим
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 653
откуда
и, следовательно,
ь* =
2 Р + G + 2 1
что и требовалось найти.
Очевидно, что при наличии невесомого троса (т=0) мы имели бы
0 = 2
gh
2P+G
Рис. 369
Задача 112. По наклонной плоскости спускаются без начальной
скорости два совершенно одинаковых круглых цилиндра. Один, опи-
опирающийся на плоскость боковой
поверхностью, катится по ней без
скольжения, другой же, опира-
опирающийся на плоскость основанием,
скользит по ней без трения (рис.
369).
Определить отношение высот
hx и /г2, на которые опустятся цен-
центры тяжести первого и второго
цилиндров в течение одного и того
же промежутка времени.
Решение. Изучаемой систе-
системой здесь будет каждый из цилинд-
цилиндров. На первый цилиндр, входящий в состав первой системы, действуют
внешние силы — вес цилиндра Р и сила трения Fmp; на второй ци-
цилиндр, входящий в состав второй системы, действует только одна внеш-
внешняя сила — вес цилиндра Р.
По теореме об изменении кинетической энергии C1) можно запи-
записать
i2 — ix — л . (а)
Так как первый цилиндр вначале находился в покое, то его началь-
начальная кинетическая энергия 7\ равна нулю (начальная кинетическая
энергия второго цилиндра также равна нулю). По формуле C7) для
первого цилиндра находим
Т — Т = _1_ М г.2 _|_ _i_ J (Ц2 (fi\
1 — 1 2 ^- IVl V± -j- -у J «» , \y)
где J — момент инерции цилиндра относительно его оси, М — масса
654 Раздел III. Динамика
цилиндра, (о.— угловая скорость цилиндра, a v1—скорость центра
тяжести С цилиндра.
Считая цилиндр сплошным однородным цилиндром, будем иметь
где R — радиус этого цилиндра. G другой стороны, так как точка В
является для первого цилиндра мгновенным центром скоростей, то
с1=ш?С=и>Я, откуда Ш~Ч •
Подставляя все эти значения в формулу (б), найдем для первого
цилиндра:
Работа силы трения Fmp равна нулю, так как сила Fmp всегда при-
приложена к точке В цилиндра, скорость которой в данный момент равна
нулю (рис. 369). Следовательно, работу будет совершать только сила
веса Р
Подставляя значения 7\, Г2 и Л<в) в уравнение (а), получим для
первого цилиндра
Теорема об изменении кинетической энергии (а) для второго ци-
цилиндра, очевидно, дает
1
2
3
Т
4
-РА
Ai
и, следовательно,
2
О П. I.
(г)
где о2— скорость центра тяжести второго цилиндра.
На основании теоремы о движении центра масс для первого ци-
цилиндра можно записать
-^«(Psina-F^)/. (д)
Теорема об изменении кинетического момента, взятого относительно
оси цилиндра, дает
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной тдчки и системы 655
откуда
р Ум __ 1 Р
Таким образом, равенство (д) примет следующий вид:
На основании теоремы о движении центра масс для второго ци-
цилиндра имеем
— уа = Р t sin я.
Из последних двух равенств находим отношение скоростей центров
тяжести цилиндров
v1 2
и, следовательно, подставляя это отношение в равенство (г),
найдем
1ц ^ ~3~-
Задача 113. Какую начальную скорость v0, параллельную линии
наибольшего ската наклонной плоскости, надо сообщить оси колеса
радиуса R, для того чтобы оно, катясь без скольжения, поднялось на
высоту h по наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтом?
Колесо считать однородным сплошным диском. Коэффициент трения
качения колеса о наклонную плоскость равен 8.
Решение. Изучаемой системой здесь будет колесо. Отметим,
что^и Л2—начальное и конечное положения колеса (рис. 370). Пусть
положение А есть промежуточное положение колеса. Внешние силы,
действующие на колесо, будут: вес Р колеса, сила трения скольжения
Fmp, нормальная реакция N плоскости и момент пары трения каче-
качения L.
Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии си-
системы в конечной форме C1)
Тя—Т!=Л(е). (а)
В положении Л2 кинетическая энергия колеса равна нулю (Т2=0 )
в положении же Аг кинетическая энергия колеса будет равна
Т = "Т Mvc1 + ~г~ Jc Ш1 '
где Ус, — скорость оси колеса в положении Ах.
656
Раздел III. Динамика
Так как колесо катится без скольжения, то скорость точки касания
его с неподвижной наклонной плоскостью равна нулю, т. е. эта точ-
точка является мгновенным центром скоростей, поэтому vct= #<»!. С дру-
другой стороны, считая колесо сплошным однородным диском, будем
иметь
/ = -L JL /?2
с 2 g А '
Отсюда
, j=_l__P_ 2 j- — — v2 =— — v2
1 2 g ^-i 4 g *-! 4 g С, '
Рис. 370
Перейдем теперь к вычислению суммы работ всех сил, приложен-
приложенных к колесу при перемещении его из положения Ах в положение А2.
Работа силы Р, очевидно, равна
АР = — Ph.
Так как сила N перпендикулярна к скорости ее точки приложения, то
работа этой силы равна нулю. Момент пары трения качения равен
Z,=8yv=8P cos a, a работа этой пары согласно формуле D3) будет
равна произведению момента пары на угол <р поворота колеса, взято-
взятому со знаком «минус», так как направление момента пары трения каче-
качения противоположно направлению вращения колеса, следовательно,
At -= — ЬР cos я ¦ ср.
Так как колесо катится без скольжения, то
s
h
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 657
и, следовательно,
AL=-
ЬР cos a-h
Rs'ma
Что касается силы трения скольжения Fmp, то поскольку колесо
катится без скольжения, работа этой силы будет равна нулю, так как
равна нулю скорость точки приложения этой силы.
Таким образом,
А{е) = Ar
Подставляя значения 7\, Т2 и
3_ Р_ г _^
откуда
2 _jl_
и, следовательно,
bPh
Ctga.
в уравнение (а), получим
ctga)
Задача 114. Два груза весом Р1 и
Р2 подвешены на двух гибких, нера-
нерастяжимых канатах, которые навер-
навернуты на ступенчатый шкив, радиу-
радиусами гх и г2 и моментом инерции J0
относительно неподвижной оси вра-
вращения О. Предполагая, что грузы
движутся под влиянием только силы
тяжести, и пренебрегая трением и
массами канатов, определить ускоре-
ускорения грузов и реакцию в точке О
(рис. 371).
Решение. Изучаемая система
здесь состоит из двух грузов и шки-
шкива. Для определения ускорения гру-
грузов воспользуемся теоремой об изме-
изменении кинетической энергии в диффе-
дифференциальной форме B8):
так как в данном случае мощность
#<«) внутренних сил равна нулю
(Л?0)
Рис. 371
658 Раздел III. Динамика
Так как грузы движутся поступательно, то согласно формуле C4)
кинетическая энергия грузов равна:
1ГР 2 g 1 ^ 2 g 2'
где i»! и v2— скорости грузов.
Кинетическая же энергия шкива, вращающегося вокруг неподвиж-
неподвижной оси О, согласно формуле C5) равна
где о — угловая скорость шкива.
Таким образом, кинетическая энергия всей системы равна
Т = Тгр + 7ШК = \ Ц- v] + 4- -^ «' + 4 ¦'о'-
Но
1)г = Т^Ш И D2 = Г2«,
поэтому
Т = "Г Т Г' + " ~t Г2 Ш + Т Jo ш2 =»
Дифференцируя это равенство по времени, получим
dm
где s~-7i угловое ускорение шкива.
Очевидно, что мощность действующих на систему внешних сил
равна:
AT
Подставляя значения -^- и NW в уравнение (а), получим
• ¦ Y (Ргг\ + Ргг\ + Jog) = (PiГ!— P2r2)u),
откуда
в _ г (^i ri — Ръ Г2)
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 659
и, следовательно, искомые ускорения грузов равны:
и шг = г, е = -
Так как в данной задаче требуется определить реакции Хо и Y 0
в точке О, то для нахождения этих реакций нам приходится применять
и теорему об изменении количества движения Q системы A3, § 103):
ЛЯ _ V Fie)-Rie)
dt Zj r —
Проектируя обе части этого уравнения на выбранные неподвижные
координатные оси х и у, которые показаны на рис. 371, получим
Но
где учтено, что количество движения шкива равно нулю, так как его
центр тяжести лежит на оси вращения. Дифференцируя эти равенства
по времени, находим
dt U' ЧГ g dt ^ g dt ~ g Щ^ g 2'
Принимая это во внимание, по формулам (б) находим искомую
реакцию в точке О:
Хо = 0; Yo - Р, + Р2 + Р3 - Ц- Wl+ А ш2 = Рх + Р2 + Р3- '
§ 108. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ СИЛОВОЕ ПОЛЕ
Среди сил природы, которые могут действовать на материальную
точку при ее механическом взаимодействии с другими материальными
объектами, встречаются силы, зависящие только от положения этой
точки, т. е. от ее координат х, у, z. В этом параграфе мы будем рас-
рассматривать только такого рода силы. Введем для таких сил понятие
о так называемом силовом поле. Силовым полем называется ограничен-
660 Раздел III. Динамика
ная или неограниченная часть пространства, в каждой точке которого
на находящуюся там материальную точку действует определенная по
модулю и направлению сила, зависящая только от положения этой
точки. Следовательно, если материальная точка движется в рассмат-
рассматриваемом силовом поле, то действующая на нее сила F, а стало быть
и ее проекции на оси координат являются некоторыми функциями
координат х, у, г движущейся точки, т. е.
Fr = Fx{x, у, z), Fy = Fy{x, у, г), F2= Fz(x, у, z).
Предположим, что существует такая функция координат U (х, у, z),
частные производные которой по координатам равны проекции силы
силового поля на соответствующие координатные оси, т. е.
r dU p dU п dU п.
Fr=-5—, F — -=— и F, =-з— • A)
х дх * ду z дг ч/
Такая функция U (х, у, г,) называется силовой функцией данного
силового поля, а само силовое поле при этом называется потенциаль-
потенциальным, или консервативным; сила же потенциального силового поля на-
называется потенциальной, или консервативной силой. Хотя консерва-
консервативные силы и составляют совершенно частный вид сил, тем не менее
они имеют важное значение, так как многие силы природы суть кон-
консервативные силы. Примерами консервативных сил являются сила
тяжести, сила упругости, сила ньютоновского тяготения.
При наличии силовой функции выражение для элементарной рабо-
работы силы потенциального силового поля будет иметь следующий вид:
§ А = Fxdx + F/y + FJz = 4j dx + ^L dy + ^-dz = dU, B)
т. е. элементарная работа консервативной силы равна полному диффе-
дифференциалу силсвой функции.
Заметим, что соотношение B) может быть использовано для нахож-
нахождения силовой функции по заданной консервативной силе F=F (r),
т. е. силовую функцию U (х, у, г) можно определить с точностью до
произвольного постоянного, интегрируя равенство
dU = Ft(x, у, z)dx + Fy(x, у, z)dy ~\- F,(x, у, z)dz. C)
Для консервативной силы работа АМоМ на конечном участке тра-
траектории, когда точка приложения этой силы перемещается из поло-
положения М0(х0, у0, z0) в положение М (х, у, z), выразится так:
(Л1) (М)
Амом = j ^xdx + F/y + Fz dz) = j dU = U (x, у, г,) —
{M) (M)
— U(x0, yot z0),
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 661
или
A = U-U0, D)
где U — значение силовой функции в точке М, a Uo— значение этой
функции в точке Мо.
Таким образом, работа консервативной силы равна разности зна-
значений силовой функции в конечной и начальной точках пути и, следо-
следовательно, не зависит ни от формы, ни от длины траектории, по ко-
которой перемещается точка приложения этой силы.
Мы в дальнейшем будем рассматривать только такое потенциальное
силовое поле, для которого силовая функция однозначна, конечна,
непрерывна и допускает во всем силовом поле производные, по край-
крайней мере, до второго порядка включительно. Из формулы B) видно, что
в случае однозначной силовой функции работа консервативной силы
на всякой замкнутой траектории равна нулю, так как в этом случае
конечное положение точки приложения этой силы совпадает с ее на-
начальным положением и, следовательно, U=U0.
Назовем поверхностью уровня, или эквипотенциальной поверхно-
поверхностью геометрическое место точек потенциального силового поля, зна-
значение силовой функции в которых одинаково. Следовательно, уравне-
уравнение поверхности уровня можно записать в виде
U(x, у, г) = С. E)
Давая постоянной С различные значения, получим семейство по-
поверхностей уровня (рис. 372). При этом поверхности уровня этого
семейства не пересекаются, что вытекает из однозначности силовой
функции U (х, у, z).
Если точка приложения консервативной силы получает элементар-
элементарное перемещение dr по поверхности уровня U (x,y, z)—C, проходящей
через ее первоначальное положение, то должно быть dU=0 и, следо-
следовательно,
ЬА = F-dr = 0,
т. е. при любом (элементарном или конечном) перемещении материаль-
материальной точки вдоль поверхности уровня работа приложенной к ней кон-
консервативной силы равна нулю. Отсюда мы заключаем, что консерва-
консервативная сила всегда направлена по нормали к поверхности уровня, про-
проходящей через точку приложения этой силы.
Если же точка перемещается с поверхности уровня U (х, у, z)=C1
на другую поверхность уровня U (х, у, г)=С2 (рис. 372), то работа
консервативной силы F, действующей на эту точку, уже не равна ну-
нулю. В этом случае работа силы F согласно формуле D) равна раз-
разности AMlMt=C^—Сх, независимо от того, как перемещалась точка с
одной поверхности уровня на другую. При этом легко убедиться
662
Раздел III. Динамика
в том, что консервативная сила всегда направлена в сторону возрастания
силовой функции. В самом деле, допустим, что C2>Clt тогда работа
силы F, равная С2—Сх, будет положительной и, следовательно, при-
приложенная к точке сила F должна быть направлена в сторону переме-
перемещения, т. е. в сторону возрастания силовой функции U.
Таким образом, построив семей-
семейство поверхностей уровня для раз-
различных значений постоянной С,
мы получаем геометрическую кар-
картину потенциального силового поля
столь же полную, как если бы в
каждой точке этого поля изобра-
изобразили вектором соответствующую
консервативную силу.
Введем в рассмотрение понятие
о так называемой потенциальной
энергии материальной точки, на-
находящейся в данном пункте по-
потенциального силового поля. Для
этого вычислим работу, которую
совершает консервативная сила при перемещении точки ее приложения
из любого положения М (х, у, z) потенциального силового поля в не-
некоторое фиксированное М0(а, Ь, с) положение этого же силового поля.
Согласно формуле D) получаем
Рис. 372
= U(a, b, c) —
, у, z).
Так как силовая функция определяется равенством C) с точностью
до произвольной постоянной, то мы можем за счет выбора этой про-
произвольной постоянной всегда достигнуть того, чтобы в точке
М0(а, Ь, с) силовая функция обратилась в нуль, т. е. U (Мо) =
¦=?/ (а, Ь, с)=0, тогда получим
у, г).
F)
Таким образом, силовую функцию в заданном положении, взятую
с обратным знаком, можно определить как работу, которую могла бы
выполнить консервативная сила при перемещении точки ее приложе-
приложения из заданного положения в положение, где значение силовой функ-
функции равно нулю. С другой стороны, по теореме об изменении кинети-
кинетической энергии F, § 107) следует, что работа силы равна изменению
кинетической энергии точки и, следовательно, величина F) харак-
характеризует запас энергии материальной точки в заданном пункте потен-
потенциального силового поля.
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 663
Вследствие этого функцию П=П (х, у, z), отличающуюся от сило-
силовой функции U знаком, т. е.
П = — и(х, у, г), G)
называют потенциальной энергией материальной точки.
Из этого определения потенциальной энергии точки видно, что по-
потенциальная энергия зависит только от положения этой точки, т. е.
от ее координат х, у, г.
В каждый момент времени материальная точка, находящаяся в по-
потенциальном силовом поле, имеет некоторую кинетическую энергию
Т= —?- и потенциальную энергию П——U: Сумма этих энергий,
т. е. выражение Е = Т + П, называется полной механической энер-
энергией материальной точки.
Рассмотрим некоторые примеры потенциальных силовых полей.
а) Поле силы тяжести. Если сила силового поля остается постоян-
постоянной (по модулю и направлению), то такое силовое поле называется
однородным. Так, например, небольшое по размерам, сравнительно
с радиусом Земли, поле силы тяжести может считаться однородным.
Направив ось Ог прямоугольной системы координат Oxyz, выбран-
выбранной в однородном поле силы тяжести вертикально вверх, и поместив
начало этой системы координат на поверхности Земли, получим
Следовательно,
dU = Fxdx + Fydy + Fzdz =
Откуда, интегрируя, находим
U = — mgz + C, (8)
где С — произвольная постоянная интегрирования. Аналогично на-
находим, что
n = mgz + C. (9)
Поверхностями уровня согласно формулам E) и (8) являются по-
поверхности С—mgz=Clt где C-JJ— постоянная, или
2 = С2,
где С2— новая постоянная. Следовательно, поверхности уровня будут
плоскости, параллельные плоскости Оху, т. е. горизонтальные плос-
плоскости. Сила Р направлена вертикально вниз. Тем самым подтверждает-
подтверждается то обстоятельство, что консервативная сила направлена по нормали
к поверхности уровня в сторону возрастания силовой функции U
(или в сторону убывания потенциальной энергии).
€64
Раздел III. Динамика
б) Поле центральной силы. При рассмотрении ряда задач по дина-
динамике материальной точки оказывается, что тело, действующее на ма-
материальную точку, создает поле сил, обладающих тем свойством, что
в каждый момент времени их линия действия проходит через одну
и ту же неподвижную точку О, на-
находящуюся в действующем теле (рис.
373). Если, кроме того, модуль дей-
действующих на материальную точку
сил является функцией только рас-
расстояния этой материальной точки от
точки О, то силовое поле называет-
называется центральным, а силы этого сило-
силового поля называются центральны-
центральными. При этом точку О называют
центром поля сил.
Примем положение центра поля
сил О за начало прямоугольной си-
системы осей координат Oxyz.
Рассмотрим конкретный пример
поля центральной силы — поле
силы упругости. В этом случае сила F, действующая на материальную
точку М (рис. 373), пропорциональна расстоянию точки М от центра
поля сил О. Таким образом, принимая во внимание, что сила F направ-
направлена противоположно радиусу-вектору точки М, можно написать:
Рис. 373
F=—kOM=—kr,
где k — коэффициент пропорциональности.
Отсюда следует, что проекции силы F на координатные оси выра-
выразятся так:
Fx = — kx, Fy = — ky, F,= — kz,
где х, у, z — координаты точки М. Следовательно,
dU=-Fxdx + Fydy + Fzdz= — k{xdx + ydy + zdz).
Дифференцируя равенство r2=x%+y2Jrz2, получаем
rdr = -yd(r2) = xdx + ydy -\- zdz,
следовательно,
Отсюда получаем
U =¦
С;
A0)
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы. 665
аналогично находим, что
Полагая в равенстве A0) и=Съ где Cj_— постоянная, получаем
r2=x2+y2+z2=C2, где С2— новая постоянная. Следовательно, по-
поверхности уровня представляют собой в данном случае сферы с цент-
центром в начале координат.
в) Поле силы ньютонианского тяготения. Рассмотрим материаль-
материальную точку М массы т в поле тяготения Земли (рис. 373). Пусть на эту
точку действует сила тяготения F, являющаяся центральной силой, на-
направленной к центру Земли- Примем центр Земли за начало прямо-
прямоугольной системы осей координат Oxyz. Модуль F силы тяготения F,
как известно, равен
г. , т М
г — k —j-,
где г — расстояние материальной точки от центра Земли, k — гра-
гравитационная постоянная, М — масса Земли.
Принимая во внимание, что сила F направлена противоположно
радиусу-вектору г рассматриваемой материальной точки, напишем
-р. у т М —
Проекции силы F на координатные оси, очевидно, будут равны:
Отсюда имеем
тМ
г*
X
г '
7 d
р
У
,тМ
kmM-
У v
Г ' 1 *
г
,тМ
Л г2
г
z
г
dz
так как xdx-\-ydy-\-zdz=rdr.
Отсюда, интегрируя, находим
(j = k~ + C; A2)
аналогично получаем
П^-k^+C. A3)
В данном случае поверхности уровня, очевидно, также представляют
собой сферы с центром в начале координат.
666 Раздел III. Динамика
§109. закон сохранения механической энергии
материальной точки и механической системы
при движении в потенциальном силовом поле
Вернемся теперь к теореме об изменении кинетической энергии
точки. Для консервативных сил уравнение F, § 107) на основании ра-
равенства D, § 108) может быть записано в виде:
mfB ttl Vn
~2 2~ ~U —Uo, A)
ИЛИ
где
*?-U = h,
mvn
~ 2 °"
Выражение B) называется первым интегралом дифференциальных
уравнений движения точки E, § 88).
Переходя к выражению G, § 108), уравнение A) можно записать
так:
mv2 mv\
2 2~~ "" °
ИЛИ
Ч^+П-^ + П.-Ь C)
Т + П = !г, D)
где h — полная начальная механическая энергия точки.
Уравнение D) выражает закон сохранения механической энергии
для материальной точки: если сила, действующая на материальную
точку, консервативна, то полная механическая энергия этой точки
остается во все время движения в потенциальном силовом поле по-
постоянной.
Полученный нами закон сохранения механической энергии является
частным случаем более общего физического закона сохранения энер-
энергии.
Если наполнить потенциальное силовое поле некоторой средой, ко-
которая оказывает сопротивление движению материальной точки, про-
пропорциональное скорости движения, то теорема об изменении кинети-
кинетической энергии в дифференциальной форме B, § 107) примет следую-
следующий вид:
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 667
или
= dU— kv-dr, E)
где kv-dr — элементарная работа силы R= —kv сопротивления сре-
среды*. Так как
kv-dr = kv ¦ vdt = kv2dt,
то уравнение E) перепишется в виде
или
d(T + n)= — Ddt, F)
где D = kv2 и правая часть равенства F) есть величина существенно
отрицательная. Отсюда непосредственно следует, что в рассматривае-
рассматриваемом случае изменение полной механической энергии точки есть вели-
величина отрицательная и, следовательно, энергия точки убывает, но
с точки зрения общего физического закона сохранения энергии она
не исчезает, а переходит в другие формы энергии, например
в тепловую.
Заметим, что в рассматриваемом случае функция D=kv2 называет-
называется функцией рассеивания, или диссипашивной функцией.
Сказанное в § 108 по отношению к отдельной материальной точке
можно обобщить и на механическую систему материальных точек.
Поэтому мы можем аналогичным образом сформулировать и доказать
теорему о законе сохранения механической энергии для механической
системы. Для вывода этой теоремы напомним, что теорема об измене-
изменении кинетической энергии механической системы записывается так
B9, § 107):
Тз—Т1 = АЮ + А1'>. G)
Если внутренние силы консервативны, то (§ 108)
где Я<')=Я(/)(х1, уг, z-l хп, уп, zn) есть функция координат точек
системы, называемая потенциальной энергией поля внутренних сил.
При этом работа внутренних сил будет равна
B) B) п
A) A) ft=l
* Силы, работа которых зависит от формы траектории или от скорости дви-
движения точки приложения силы, называются непотенциальными, или неконсер-
неконсервативными. К таким силам относятся силы трения и сопротивления среды.
668 Раздел III. Динамика
B) п
to *=i
или
= — /, Ь <*** + "я йУк+ • , d2ft ,
(i)
где П[1) и Яг'1—значение потенциальной энергии поля внутренних сил
соответственно в начальном и конечном положениях системы.
Если и внешние силы будут консервативны, то
где Я<е'=Я{е>(д;1, г/ъ Zj, ... , хл> г/„, гя) — потенциальная энергия поля
внешних сил. При этом работа внешних сил будет равна
(?) B) п
А =
j
(i)
B) n
f
или
где П\е) я П^—значение потенциальной энергии поля внешних сил
соответственно в начальном и конечном положениях системы.
Формула G) может быть в этом случае записана в виде
ИЛИ
71 а_ Г7'е' _1_ Г7*') Т _1_ /7^' _1_ П''' fft\
i j Т + ¦'¦'2 = J 1 ~Г '' 1 "Г U\ • \O)
Уравнение (8) выражает закон сохранения механической энергии
для механической системы: если внешние и внутренние силы, действую-
действующие на механическую систему, консервативны, то полная механическая
энергия системы остается во все время движения постоянной. Проис-
Происходит лишь превращение одного вида энергии в другой — потен-
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 669
циальной в кинетическую и обратно, но полная механическая энергия
системы остается постоянной.
Механические системы, для которых справедлив закон сохране-
сохранения механической энергии, называются консервативными.
§110. ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В ПОЛЕ
ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
1. Формула Бинэ. Пусть на материальную точку М массы т дей-
действует центральная сила F. Согласно второму закону динамики можно
записать, что
tnw = F. A)
При рассмотрении движения материальной точки под действием
центральной силы удобнее пользоваться полярными координатами.
Проектируя обе части равенства A) на направление радиуса-вектора
г=ОМ точки М (рис. 374, а, б) и используя формулу для радиального
Рис. 374
ускорения этой точки в полярных координатах (см. § 62):
получим
— r'<f*)=±F,
B)
где знак «+» (плюс) соответствует отталкивающей центральной силе
(рис. 374, а) а знак «—» (минус) соответствует притягивающей цент-
центральной силе (рис. 374, б).
Так как движение точки М происходит под действием центральной
силы F, то должно иметь место равенство (см. формулу 15, § 106)
откуда
C)
670
Раздел Ш. Динамика
Очевидно, что
a a
Введем новую величину
D)
тогда
Подставляя в формулу B) формулы C), D) и F), получим формулу,
выражающую зависимость между модулем центральной силы и рас-
расстоянием движущейся точки М от центра притяжения или отталки-
отталкивания:
( ) ±F. G)
Формула G) называется формулой Бинэ. Эта формула дает нам воз-
возможность определить центральную силу, под действием которой точка
опишет данную траекторию, и, наоборот,— траекторию, которую опи-
опишет точка под действием заданной центральной силы. Формула Бинэ
имеет большое применение в небесной механике.
Задача 115. Найти траекторию движения точки массы т=2 г,
находящейся под действием притяжения некоторым неподвижным
центром О, если известно, что сила при-
тяжения изменяется прямо пропорциональ-
но расстоянию от движущейся точки до
центра притяжения и на расстоянии од-
одного сантиметра эта сила равна 1 дине.
Кроме того, известно, что в начальный
момент точка находилась на расстоянии
2 см от центра притяжения О, модуль у0
Рис. 375
начальной скорости vn равен 0,5
свк
направление начальной скорости v0 пер-
перпендикулярно направлению начального полярного радиуса-вектора
rQ=OM0 точки (считая полюс в центре притяжения) (рис. 375).
Решение. Пишем формулу Бинэ:
(а)
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 671
где « = -L; С=(г^о=2(^\=о=т0 (Ъо)^2 --
Далее, F=k2r при г=1 с-и, f=l дине; следовательно, ^=1. При этом
уравнение (а) принимает вид
г = 2и2[ы+-
или
и
Отсюда
— *=2u2 u +
-S-=i-«- F)
Умножая равенство (б) на 2 -р- и интегрируя по ф, получим
\d<(
(в)
Определим произвольную постоянную интегрирования Сх. При /=0
г9=2, ио=4"- Кроме того,
du _ _d_ /_1_\ 1_ _dr_ \_ _dr_ _dt_
d<( ~~~ df \ r ) л2 df r2 dt dtp
но
\ dt jt=o \ r)t=o
так как радиальная скорость vr точки в начальный момент времени
равна нулю (начальная скорость v0 точки перпендикулярна к началь-
начальному полярному радиусу-вектору г0). Следовательно,
du Х = 0.
/7=0
Отсюда
Из уравнения (в) получаем
, ±udu
-^~-\!Г-и2) j
(д)
672 Раздел III. Динамика
Далее введем обозначения:
г2
"* = 2; ~Т
У 1_ _ _7_
34 2 ~ 8 '
Беря в уравнении (д) знак минус, перепишем это уравнение в сле-
следующем виде, подставляя г и А:
г2
После интеграции этого уравнения получим
arccos-^- = 2(<p + C8). (e)
Найдем произвольную постоянную интегрирования С2. При ^=0
_п _ 9 1 _ 7
?о—и> 2о g Г ~ Т'
Отсюда имеем
arc cos I = 2С2; С2 = 0,
а поэтому уравнение (е) примет следующий вид:
arc cos -^- = 2?,
откуда
г == A cos 2 ср.
Возвращаясь к переменной л=0М, можно записать искомое по-
полярное уравнение траектории точки в виде
1 - Ci-2
Подставляя в это уравнение найденные нами значения С1=-т- и А =
= -g-, получим
9 — 7cos2<p '
ИЛИ
9—7(cos2cp — sin2cp)
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 673
Подставляя в это уравнение формулы:
cos ср = — , sin ср = -У- и г2 = х2 + У2,
получим искомое уравнение траектории точки в форме:
Таким образом, мы получили уравнение эллипса с центром в на-
начале координат и с полуосями а2=4, Ь2—-^-. Так что го=а=2, т. е.
в начальный момент точка находилась на конце большой оси, что и
понятно, так как вектор v0 перпендикулярен к радиусу-вектору г0.
Отметим случай, когда формула Бинэ не применима при решении
этой задачи. Это будет тогда, когда начальная скорость v0 точки про-
проходит через центр притяжения О, так как в этом случае постоянная
площадей С=0.
2. Движение материальной точки в ньютонианском поле тяго-
тяготения Земли. Понятие о траекториях искусственных спутников Земли.
В § 90 нами уже была рассмотрена задача (см. задачу 79) о движении
материальной точки в поле тяготения Земли для случая, когда даль-
дальность и высота полета траектории материальной точки были достаточ-
достаточно малы по сравнению с радиусом
Земли. Здесь же мы рассмотрим за-
задачу о движении материальной точки
в поле тяготения Земли для случая,
когда дальность и высота полета тра-
траектории этой точки сравнимы с ради-
радиусом Земли; в этом случае необходи-
необходимо (в отличие от задачи 79) учиты-
учитывать изменение силы тяготения с
расстоянием. Исследование этой зада-
задачи сыграло большую роль при изу-
изучении движения ракет дальнего дей- Рис. 376
ствия и искусственных спутников
Земли, а также при рассмотрении проблем межпланетных сообще-
сообщений. Рассматривая эту задачу, мы, как и. при решении задачи 79, не
будем учитывать сопротивление воздуха и будем считать Землю
неподвижной.
Предположим, что из некоторой точки Во поверхности Земли на-
начинает перемещаться материальная точка В массы m с начальной ско-
скоростью v0 под углом а к горизонту (см. рис. 376). На рассматривае-
рассматриваемую точку действует только сила тяготения ~F, являющаяся централь-
центральной силой, направленной к центру Земли. Модуль этой силы опре-
определяется по закону всемирного тяготения:
F = k —pr-, (8)
44 Н. Ф. Сахарный
674 Раздел HI. Динамика
где k — гравитационная постоянная, М — масса Земли, а г=ОВ—
расстояние точки В от центра Земли.
Для определения гравитационной постоянной k заметим, что когда
точка В находится на поверхности Земли (r=R, где R— радиус
Земли), сила тяготения F равна mg, где g— ускорение силы тяжести
на поверхности Земли. Отсюда
, тМ
т§ к
и, следовательно,
Подставляя это значение k в формулу (8), получим
R2
Так как материальная точка В перемещается под действием цент-
центральной силы F, то ее траектория будет плоской кривой. Поэтому для
изучения движения точки В можно определять ее положение поляр-
полярными координатами г=ОВ и <р, совместив начало О координат с цент-
центром Земли и направив полярную ось Ох через начальное положение
В В
Во точки В.
Чтобы выяснить тип траектории точки В (эллипс, гипербола или
парабола), воспользуемся формулой Бинэ, полагая
В результате получаем уравнение
Y + ы) — mgR2^,
или, сокращая на ти2 и деля на С2:
#+ «-:¦?• »
Мы знаем, что если на точку действует только центральная сила,
то
при этом значение постоянной площадей С можно определить по на-
начальным условиям. Так как при ^=0 имеем
r = R, vp = r<? — v0cosa,
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 675
ТО
A0)
Подставляя это значение С в уравнение (9), получим следующее
дифференциальное уравнение траектории точки:
и =
Введем обозначение
s
тогда предыдущее уравнение примет вид
Это уравнение представляет собой линейное неоднородное диффе-
дифференциальное уравнение второго порядка относительно и с постоянны-
постоянными коэффициентами. Общее решение его складывается из общего ре-
решения уравнения без свободного члена и частного решения полного
уравнения и имеет вид
и = —г =э d cos tp -f- C2 sin <p -| . A3)
Полагая
Cj — Acos$, C3 — As'mfi,
получим
u = — ~ Acos(f — В) Н . A4)
/¦ ' p *
Введем новое обозначение:
Лр = в, A5)
тогда получим конечное уравнение траектории в виде
Г=3 1+есоГ(У-Р) • A6>
Это уравнение представляет собой уравнение конического сечения
(эллипса, параболы или гиперболы) с фокальным параметром р, экс-
эксцентриситетом е и фокальной осью, отклоненной от радиуса-вектора
точки бросания В9 на угол fi, выраженное в полярных координатах,
44»
676 Раздел Ш. Динамика
для которых полюс О находится в одном из фокусов, совпадающем
с центром Земли, а полярная ось Ох направлена через точку Во. Фо-
Фокальная ось является осью симметрии конического сечения (траектории
точки В).
Выразим теперь постоянные интегрирования е и р через начальные
условия. Для этого продифференцируем выражение A4) по <р:
-!*.,-!^^^ A7)
Вставив начальные условия:
= 0
du 1 dr
dy r rd<f r Vp R
(см. рис. 376) в уравнения A4) и A7), получим
~R ~ ~р~
Отсюда найдем
{R~P) , esinp = --J-tga A8)
и, следовательно,
е =
или, если заменить р его выражением A1),
/¦
A9)
Из уравнения A6) следует, что величины р и е служат основными
параметрами, определяющими форму конического сечения. При этом
из выражения A9) видно, что: а) если квадрат начальной скорости
v\ точки меньше 2Rg, то е<1 и траекторией точки будет служить
$ллипс; б) если fjj = 2Rg, то е=1 и точка полетит по параболе; в) если
v\ >2Rg, то «>1 и траекторией точки будет служить гипербола.
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 677
Скорость vo=Y%gR называют параболической, или второй косми-
космической скоростью.
Если эллиптическая траектория точки В, брошенной с поверхности
Земли, охватывает поверхность Земли, то точка В превратится в ис-
искусственный спутник Земли. Таким образом, для того чтобы точка
стала спутником Земли, необходимо выполнение условий:
/¦„,„>/?, vl<2gR, B1)
где /? — радиус земного экватора (наибольшее значение радиуса
Земли).
Если эллиптическая траектория точки В, брошенной с поверхности
Земли, пересекает поверхность Земли, то точка В в некоторый мо-
момент упадет на Землю. При выполнении условия uo>"|/2g7? точка В,
брошенная с поверхности Земли под любым углом а к горизонту,
будет двигаться по параболе или гиперболе (при а=90°— по прямой)
и, следовательно, точка В будет уходить из поля тяготения Земли.
Найдем теперь, при каких значениях угла а точка В при движении
по эллиптической траектории становится спутником Земли.
Так как в рассматриваемом случае центральная сила F зависит
только от расстояния движущейся точки В от центра О силы F, то
имеет место закон сохранения механической энергии:
Т + П = Е0 = const. B2)
В полярных координатах для кинетической энергии точки В полу-
получаем выражение:
Г = —2~ = -у (г2+ г2 <р2).
Потенциальная энергия точки В определяется формулой*
п =
Поэтому уравнение B2) можно записать в виде
B3)
где Ео— полная начальная механическая энергия точки В.
Подставляя в уравнение B3) формулы C) и E), получим
[(?)•+«¦].. *+,«**
* См. формулу A3, § 108), в которой учтено, что *=
678 Раздел III. Динамика
отсюда находим
J±Y = IEsl 4- -Ml и - «2. B4)
dtp ) mC* С*
Если величина ц является экстремальной (максимальной или
минимальной), то -т-=0. При этом экстремальные значения и удовлет-
удовлетворяют условию:
= 0. B5)
Из этого уравнения для экстремальных значений величины и на-
.ходим
~ С2 К \ С2 / ' тС* ~~ С2 \®
Отсюда находим экстремальные значения величины г=—:
1 С2
• mm
т
1 С2
Пусть точка fi является спутником Земли, т. е. выполняются
условия B1). Из первого условия следует, что
или
или, возводя в квадрат обе части этого неравенства,
С4 ^
или
>Я2-^. B6)
Глава XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и системы 679
Полная механическая энергия Ео, очевидно, определяется по
формуле
= ¦?(<«-2**).
B7)
Подставляя в неравенство B6) выражения для С и ?0 из формул
A0) и B7), получим
или
или
Отсюда следует, что
t>2cos2a — 2gR3:
^2u2cos2a;
cos2 a > 1.
I cos a I > 1
— 2gR*,
и, следовательно, <х=0. Таким образом, при vo<Y2gR и угле броса-
бросания а=0 точка В является спутником Земли. Заметим, что если угол
бросания а равен нулю (или тс), то формула B0) дает р=0. Следова-
Следовательно, в данном случае диаметр Земли, проходящий через начальное
положение Во движущейся точки 6, служит осью симметрии ее траек-
траектории (рис. 377). Из формул A8) видно, что р=0 только при <х=0
гиперболо
(или <х=тс) и Og ^>gR, так как эксцентриситет е траектории точки В
не может быть отрицательным. Таким образом, чтобы точка В, бро-
брошенная с поверхности Земли, превратилась в спутник Земли, необ-
необходимо выполнение условий:
О, V2gR >vo> VgR ¦
B8)
При выполнении условий a—О и f3=0 эксцентриситет траектории
спутника Земли будет (см. первую из формул 18)
е = "° 1 B91
680 Раздел III. Динамика
Если vo=Y gR , то е=0 и уравнение A6) принимает вид r—R,
т. е. спутник Земли движется по круговой траектории. При этом ско-
скорость уо=Y~gR называют круговой, или первой космической скоростью.
Если v0 > V gR, то траекторией спутника Земли является эллипс
(рис. 377), эксцентриситет которого тем больше, чем больше v0.
Чтобы создать искусственный спутник Земли, можно восполь-
воспользоваться управляемой ракетой, которая с помощью соответствую-
соответствующих приборов может поднять спутник на заданную высоту и сообщить
ему в точке Во поля тяготения необходимую начальную скорость v0
под углом а^О к горизонту. Таким способом и были запущены совет-
советские искусственные спутники Земли.
Искусственный спутник Земли впервые в мире был запущен в Со-
Советском Союзе. Этот спутник был выведен на орбиту, отдаленную от
поверхности Земли на несколько сот километров. При разгоне его по
орбите параллельно поверхности Земли (ос^О) он получил начальную
скорость, которая превышала круговую скорость.
В заключение отметим, что при а>0 и vQ<yr2gR материальная
точка, брошенная с поверхности Земли, описав дугу эллипса, упадет
обратно на Землю. Подобные эллиптические траектории описывают
ракеты дальнего действия, в частности межконтинентальные.
Все эти расчеты, как уже говорилось, относятся к движению ма-
материальной точки в безвоздушном пространстве и не учитывают влия-
влияния вращения Земли.
Глава XXIII
ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
§111. ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
Одним из наиболее эффективных методов изучения движения твер-
твердого тела под действием приложенных к нему сил является метод,
основанный на применении общих теорем динамики системы. При
изучении вращения твердого тела вокруг неподвижной оси наиболее
рационально воспользоваться теоремой об изменении кинетического
момента.
1. Дифференциальное уравнение вращательного движения твер-
твердого тела вокруг неподвижной оси. Пусть на твердое тело, имеющее
неподвижную ось вращения г (рис. 378), действует система заданных
внешних сил Fie)(k=\, 2, ... , п), под влиянием которых угловая ско-
скорость ш тела изменяется. Одновременно на это тело действуют реак-
реакции RA и RB двух закреплгнных точек Л и В, определяющих ось г.
Практически крепление оси вращения осуществляется при помощи
подпятника (Л) и подшипника (В). Чтобы получить дифференциальное
Глава XXIII. Динамика абсолютно твердого тела
681
уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвиж-
неподвижной оси z, будем исходить из теоремы об изменении кинетического
момента в проекции на неподвижную ось г. При этом имеем
dt
Кг=
Так как реакции RA и RB пересекают ось г,
ТО
и, следовательно,
dt
= ? mz
Подставляя в уравнение A) значение
f(z—Jz(o (см. формулу 34, § 106) , получим
1 _ — М{е)
B)
или
C)
п
где величину М1')=Лтг {Рке)) в дальнейшем мы будем называть вра-
вращающим моментом.
Уравнение B), или C) представляет собою дифференциальное урав-
уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.
Оно позволяет решить следующие две задачи: 1) зная момент инерции
Jz тела относительно оси вращения z и вращающий момент М[е), найти
9=/ (/), т. е. закон вращения тела или его угловую скорость со; 2) зная
момент инерции Jz относительно оси вращения z и зная закон враще-
вращения, т. е. <р=/ @> найти вращающий момент Mie\ Решение первой за-
задачи сводится к интегрированию дифференциального уравнения C);
решение же второй задачи сводится к простому дифференцированию
функции ср=/ @ по времени*.
* В практике обычно задаются активные силы F^ (k=l,2..., п) и закон вра-
вращения <р=/@ тела, а неизвестными величинами являются реакции RA и Явсвя-
зей А к В (см. главу XXIV).
43 Н. Ф. Сахарны*
682
Раздел III. Динамика
При решении первой задачи следует иметь в виду, что в общем слу-
случае вращающий момент М^ может быть переменной величиной и зави-
зависеть от t, <р и ш=<р.
Рассмотрим следующие частные случаи: 1) если внешние силы от-
отсутствуют или направление их проходит через ось г, то Mie)—0\i
будем иметь w=const, т. е. тело будет вращаться равномерно; 2) если
М{ге) =const, то ~ = s=const, т. е. тело будет вращаться равнопеременно.
При этом вращение будет ускоренным, если направление вращающего
момента совпадает с направлением вращения тела, и замедленным —
в противном случае.
Заметим, что так как уравнение C) по своему виду аналогично
дифференциальному уравнению прямолинейного движения точки
(9, § 88), то и методы интегрирования этих уравнений также анало-
аналогичны.
Уравнение C) можно записать так:
или
D)
E)
Формула E) показывает, что при данном вращающем моменте М^
чем больше момент инерции Jz тела относительно оси вращения г,
тем меньше угловое ускорение е тела, и наоборот. Следовательно,
мы можем рассматривать момент инерции Jz как меру инертности
твердого тела при его вращательном движении вокруг данной оси г.
2. Физический маятник. Тяжелое твердое тело произвольной фор-
формы, вращающееся только под влиянием силы тяжести Р вокруг не-
неподвижной горизонтальной оси,
не проходящей через центр масс
тела, называется физическим маят-
маятником. Примем за ось г неподвиж-
неподвижной системы координат горизон-
горизонтальную ось подвеса маятника, а
за начало координат возьмем точку
О пересечения этой оси с плоско-
плоскостью, перпендикулярной оси под-
подвеса и проходящей через центр
масс С тела (рис. 379). При этом
точку О назовем точкой подвеса
физического маятника. Обозначим
расстояние ОС от центра тяжести
до точки подвеса через а. Поло-
Положение маятника будем опре-
Рис. 379
Глава ХХ/П. Динамика абсолютно твердого тела 683
делять углом отклонения <р линии ОС от вертикали.
На физический маятник действуют две силы: сила тяжести Р, при-
приложенная в центре тяжести С, и реакция оси подвеса N, которую мы
считаем направленной перпендикулярно к оси подвеса 2, так как силы
трения в оси подвеса не учитываем.
Чтобы составить дифференциальное уравнение движения маятника»
можно воспользоваться уравнением C), где следует положить
п
2 mzW{ke)) = /я, (Я) + тя (N) = ~Pa sin <p,
так как mz(N)=0 (знак минус взят потому, что направление вращаю-
вращающего момента противоположно положительному направлению отсче-
отсчета угла f). Поскольку других сил нет, то уравнение C) примет вид.
или
-Jf + *»sin<p = O, F)
где &а= -г-. Ограничиваясь изучением малых колебаний, можно
положить sin <р^9 и заменить уравнение F) линейным уравнением
-?г- + А«Т = О. G)
Отсюда видим, что малые колебания физического маятника так же,
как и математического, являются гармоническими. Период малых
колебаний физического маятника определяется из равенства
где М — масса физического маятника.
Вспомним формулу для определения периода малых колебаний
математического маятника (см. задачу 82, формулу «ж»):
. (9)
Сравнивая формулу (8) с формулой (9), найдем, что при длине
/ — iii. — Jz
Pa ~ Ж
43*
€84 Раздел III. Динамика
период малых колебаний математического маятника совпадает с пе-
периодом малых колебаний соответствующего физического маятника.
Длина L такого математического маятника, период малых колеба-
колебаний которого равен периоду малых колебаний данного физического
маятника, называется приведенной длиной физического маятника.
Точка 0ь отстоящая от точки подвеса О на расстоянии OOi=L, назы-
называется центром качаний физического маятника (рис. 379).
Согласно теореме Гюйгенса (см. § 101), имеем
где Jc—момент инерции тела относительно оси, проходящей через
центр тяжести С тела и параллельной оси г. Следовательно, приве-
приведенная длина физического маятника будет
Отсюда следует, что приведенная длина L=OOi физического маят-
маятника всегда больше расстояния а=ОС, т. е. центр качаний физического
маятника всегда расположен ниже его центра тяжести.
Вычислим приведенную длину физического маятника L\ в том слу-
случае, когда ось подвеса проходит через центр качаний Ох. Так как мо-
момент инерции тела относительно оси Z\, проходящей параллельно
оси z через точку Oi будет
то
J
1 M(OiC) ~
c
M(OiC) M(OiC)
Но из формулы A1) следует, что
поэтому
Jc
Jc
т. е. приведенная длина физического маятника в этом случае будет
той же, что и прежде. Следовательно, и период колебаний остается
тем же.
Таким образом, колебания физического маятника остаются совер-
совершенно одинаковы, если точку подвеса перенести из точки О в точку
Oi, и наоборот, причем расстояние между этими точками равно при-
приведенной длине физического маятника.
Глава XXIII. Динамика абсолютно твердого тела
685
У/У////:
Это положение составляет содержание теоремы Гюйгенса о свойт
стве взаимности точки подвеса и центра качаний физического маят-
маятника.
3. Опытное определение момента инерции (метод маятниковых
колебаний). Как видно из § 101, вычисление моментов инерции неод-
неоднородных тел, а также однородных тел сложной геометрической формы
практически невозможно. Однако
знание этих моментов оказывается
необходимым во всех случаях,
когда приходится исследовать вра-
вращательное или плоское движение
деталей механизмов и машин.
Рассмотрим здесь пример опыт-
опытного определения момента инерции
шатуна относительно оси, парал-
параллельной оси подвеса z и проходя-
проходящей через центр тяжести С шатуна
(рис. 380, а). Приведем данный
шатун, вес которого Р известен, в
состояние малых колебаний во-
вокруг оси подвеса z. Измерив с
помощью секундомера период ко-
колебаний Т, найдем момент инер-
инерции шатуна относительно оси г,
пользуясь формулой (8), а именно:
, _ РаТ2
Входящую в эту формулу ве-
величину а можно определить при
помощи следующего дополнитель-
дополнительного опыта. Для этого подвеши-
подвешивают шатун так, как показано на
рис. 380, б, и, оперев его на штырь
динамоментра D, замеряют показа-
показания динамометра Q. Приравнивая
затем нулю сумму моментов всех сил относительно точки О, получим
откуда находим
б)
Рис 380
По теореме Гюйгенса (см. § 101) имеем
686
Раздел III. Динамика
отсюда находим искомый момент инерции шатуна
Задача 116. Маятник состоит из стержня АВ с прикрепленным
к нему шаром массой М и радиусом R, центр которого С находится
на продолжении стержня. Определить, пренебрегая массой стержня,
в какой точке О стержня надо поместить ось подвеса
для того, чтобы продолжительность одного размаха при
малых колебаниях имела данную величину Т.
Решение. В данной задаче имеем физический
маятник.
Продолжительность одного размаха этого маятника
равна
г =
Mgx
(а)
где х=ОС — искомое расстояние от центра тяжести
шара до оси подвеса О, а /0— момент инерции маят-
маятника относительно оси подвеса О (рис. 381).
По теореме Гюйгенса получаем
Рис. 381 Jo = Jc + Mx*.
Но момент инерции однородного шара радиуса R и
массы М относительно оси, проходящей через его центр тяжести,
равен (см. § 101)
«, следовательно,
./о = -|" MR* + Мхг.
Подставляя это значение Jo в формулу (а), получим
_2_ J^_
(б)
Найдем экстремальное значение продолжительности размаха Т
при изменении расстояния х. Для этого формулу (б) запишем в виде:
Глава XXIII. Динамика абсолютно твердого тела 687
где
i к ' 5 gx ' g
Отсюда видно, что Г и / (х) имеют экстремум одного и того же
смысла при одном и том же значении х.
Найдем первую и вторую производные по х от / (х):
4 R*
Приравнивая /' (х) нулю, получим
2 R* 1
5 gx* "Г g -u-
откуда находим критическое значение переменного х:
Но так как f (х) > 0 при х > 0, то при л: = /? |/ -g-, / (х) и, следо-
следовательно, Г имеет минимум. Другого экстремума Т не имеет и, следо-
следовательно, Т возрастает при уменьшении и увеличении расстояния х
от значения x—R у -?- < R. Так как ось подвеса по условию задачи
пересекает стержень, то в условиях данной задачи минимальное
значение Т будет при *=/?:
и, следовательно, данное нам Т удовлетворяет условию:
Г»>1,4-^-#. (в)
Определим из уравнения (б) расстояние х; квадратное уравнение
для х имеет следующий вид:
Sftf2 = O, (г)
688 Раздел III. Динамика
откуда
l
Возьмем решение со знаком минус перед корнем, получаем
1
* = _±_(аГ2-1/,?2Т*-1,б7г
Умножив и разделив правую часть этой формулы на (gT2+
Vg^T*—\,6k2R2), находим
1 1,6я4#*
и, следовательно, при Т2 > 1,4—i? будем иметь
о
т. е. решение (д) не соответствует условию задачи.
Для решения со знаком плюс перед корнем имеем
) (e)
Отсюда, учитывая условие (в), получаем
x>R,
т. е. решение (е) соответствует условию задачи и, следовательно, это
решение определяет искомое расстояние х.
Задача 117. Для нахождения момента сил трения в подшипниках
на вал насажен маховик весом Р =0,5 Т и ему сообщена угловая
скорость, соответствующая п=240 об/мин. Предоставленный самому
себе маховик останавливается через h—20 сек. Радиус инерции махо-
маховика рв=1,5 м. Определить момент сил трения, считая его постоян-
постоянным.
Решение. На основании уравнения B) получим
Момент инерции маховика находим по формуле (9, § 101)
Глава XXIII. Динамика абсолютно твердого тела 689
и, следовательно,
Л. pz _ = Д4Т
Отсюда, интегрируя, находим
-Lp2aW=-MT?t + c1.
Р 2
При t=0 а) = иои, следовательно, Ci =—рц«о, а поэтому
В момент остановки, когда t=h, угловая скорость маховика ы=0.
Подставляя эти значения в равенство (а) и учитывая при этом, что на-
чальная угловая скорость маховика и>0 = -go", получим
Следовательно, искомый момент трения будет равен
_ Ppjm 500-(l,S)»-3,14-240 _ М/1 ,^г<<
Мтр ~ зо gt, = зотэж^ 144 к м-
§ 112. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Предположим, что под действием системы внешних сил^е), Fte), ...
..., fne) данное твердое тело совершает плоскопараллельное движение,
т. е. все точки этого тела движутся в плоскостях, параллельных не-
некоторой неподвижной плоскости, которую примем за координатную
плоскость хОу (рис. 382).
Из кинематики известно, что для определения положения твердого
тела, совершающего плоскопараллельное движение, достаточно задать
положение какой-нибудь его точки, принятой за полюс, и угол пово-
поворота тела вокруг оси, проходящей через этот полюс и перпендикуляр-
перпендикулярной к неподвижной плоскости, параллельно которой происходит
движение всех точек тела. Задачи динамики решаются проще'всего,
если за полюс взять центр масс С тела и определять положение тела
координатами (хс, ус) центра масс С и углом поворота (ф) тела вокруг
оси г'', проходящей через центр масс С и перпендикулярной к плос-
плоскости движения хОу (рис. 382 или рис. 383).
690
Раздел III. Динамика
Таким образом, для изучения плоскопараллельного движения
твердого тела достаточно составить три дифференциальных уравнения,
связывающих величины хс, ус и <р с действующими на тело внешними
силами.
Для определения движения полюса применяем теорему 6 движе-
движении центра масс системы (§ 104):
М wc =
где М—масса тела, a R{e)—главный вектор всех внешних сил, дей-
действующих на тело.
—х1
Рис. 382
Рис. 383
Проектируя обе части этого векторного уравнения на неподвиж-
неподвижные оси координат Оху (рис. 383), получаем
A)
k=l
Уравнение, определяющее вращательное движение тела, получим,
используя теорему об изменении кинетического момента системы C2,
§ 106) относительно оси С, перпендикулярной к плоскости движения
хОу тела и проходящей через его центр масс С (рис. 382), а именно:
dKc
B)
Глава XXIII. Динамика абсолютно твердого тела
691
где М^— главный момент всех внешних сил, действующих на тело,
относительно оси С.
Как известно, /Сс=/С<р, где Jc—момент инерции тела относитель-
относительно оси С, перпендикулярной к плоскости движения хОу тела и про-
проходящей через его центр масс С, <р — угловая скорость тела. Таким
образом, объединяя уравнения A) и B), получим следующие диффе-
дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения тела:
М х
m x
F{e)-
tkx~
?:
k=\
k=l
C)
I ff) ——;
4=1
С помощью этих уравнений можно по заданным внешним силам оп-
определить закон плоскопараллельного движения тела (т. е. хс, ус и <р
в функции времени) или, зная закон плоскопараллельного движения
тела, найти главный вектор (R(e)) и главный момент (М^) действую-
действующих на тело внешних сил.
Если траектория движения центра масс задана, то удобно поль-
пользоваться дифференциальными уравнениями движения центра масс
в проекциях на касательную и главную нормаль к этой траектории.
В этом случае дифференциальные уравнения плоскопараллель-
плоскопараллельного движения твердого тела будут иметь следующий вид:
М
dvc
~df
*=1
*=1
D)
692
Раздел III. Динамика
Решим теперь несколько задач, относящихся к случаю плоско-
плоскопараллельного движения твердого тела.
Задача 118. Однородный круглый цилиндр радиуса г и веса Р
скатывается без скольжения под действием собственного веса по
негладкой плоскости, наклоненной к горизонту под углом а (рис.
384). Найти ускорение центра тяжести цилиндра, а также наимень-
наименьшую силу трения, при которой возможно качение без скольжения.
Сопротивлением качению пренебречь.
Решение. Цилиндр совер-
совершает плоскопараллельное движе-
движение. Возьмем начало координат в
точке О касания цилиндра и нак-
наклонной плоскости, соответствующее
начальному положению цилиндра.
Ось Ох направим по наклонной
плоскости, а ось Оу—перпенди-
Оу—перпендикулярно к ней. Берем положение
цилиндра в какой-либо момент вре-
времени и намечаем силы, действую-
действующие на него. Внешние силы, дей-
ис' ствующие на цилиндр, будут сле-
следующие: Р — вес цилиндра, N—нормальная реакция наклонной
плоскости, линия действия которой проходит через центр тяжести С
цилиндра, F— сила трения скольжения, направленная вдоль на-
наклонной плоскости в сторону, противоположную движению.
Пренебрегая сопротивлением качению и считая положительным
направлением момента силы направление вращения цилиндра, со-
составим дифференциальные уравнения плоскопараллельного движе-
движения рассматриваемого цилиндра:
где Jc—момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей
через его центр тяжести С и перпендикулярной к плоскости хОу.
В этих трех дифференциальных уравнениях пять неизвестных ве-
величин хс, ус, 9, N, F. Поэтому необходимо иметь два дополнительных
уравнения.
Так как цилиндр катится без скольжения, то
ис =
Глава XXIII. Динамика абсолютно твердого тела 693
откуда
хс = г9, (б)
так как при ^=0 хс~0, 9=0.
Кроме условия (б), еще одно добавочное условие получаем непо-
непосредственно из рис. 384:
Так как ус=г и, следовательно, г/с=0, то второе из уравнений (а)
примет вид:
— Pcosa + N = 0,
отсюда определяется реакция:
N = Р cos а. (в)
Далее, так как при чистом качении хс=гср и, следовательно, *с =
=пр, то третье из уравнений (а), если учесть, что для сплошного ци-
линдра Jc = ~ —- г2, примет вид
Подставляя это значение F в первое из уравнений (а), получим
искомое ускорение центра тяжести цилиндра
2
хс = wc~ ~з" ^sina-
Подставив это значение хс в формулу (г), находим силу трения
скольжения:
/r = -g-Psina, (д)
которая должна действовать на катящийся цилиндр, чтобы он катил-
катился без скольжения.
Мы не можем считать, что F = fN, так как это равенство имеет
место, когда точка касания цилиндра скользит вдоль наклонной
плоскости. При качении цилиндра без скольжения сила трения F
должна удовлетворять следующему условию:
F<fN,
где / — коэффициент трения. Подставляя в это неравенство значения
F и N из формул (в) и (д), находим, что чистое качение будет про-
происходить, когда
-w- Р sin a <; / Р cos a,
694
Раздел III. Динамика
или, что то же,
/> 4-
Задача 119. Однородный полукруглый диск радиуса R поставлен
•на неподвижную горизонтальную шероховатую плоскость и выведен
из состояния равновесия, после чего предоставлен самому себе. Опре-
Определить период малых колебаний, которые будет совершать диск, если
Рис. 385
известно, что проскальзывать по плоскости он не может. Трение каче-
качения отсутствует (рис. 385).
Решение. Полукруглый диск совершает плоскопараллельное
движение. Возьмем начало координат в точке О касания диска и плос-
плоскости в тот момент, когда диск находится в равновесном состоянии
(положение АОВ), и направим оси координат, как показано на рис. 385.
Берем положение диска в какой-либо момент времени (положение
А О'В') и намечаем силы, действующие на него. Внешние силы, дей-
действующие на диск, будут следующие: вес диска Р, сила трения сколь-
скольжения F и нормальная реакция N плоскости в точке касания О'.
Составим дифференциальные уравнения плоскопараллельного дви-
движения рассматриваемого диска:
Мхс =-F;
Jcy — F (/?— acoscp) — iVasincp,
где Jc— момент инерции полукруглого диска относительно оси, про-
проходящей через центр тяжести С перпендикулярно к плоскости этого
диска, а — расстояние D'C (или DC) центра тяжести С от середины
?>' диаметра А'В' (здесь А'О'В'—соседнее положение диска), 9 —
Глава XXIII. Динамика абсолютно твердого тела 695
угол C'D'O', на который повернулся диск около своего положения
равновесия АОВ. Исключая F и N из третьего уравнения, при помощи
первого и второго уравнений получим
Jс<р = —(R— a cos ер) Мхс — a sin ср (М ус + Mg). (a)
Но так как диск перекатывается без скольжения, то
DD' = R<p, xc = R(p—a sin 9, yc = R — a cos 9.
В силу малости колебаний мы можем взять значения хс и ус, соответ-
соответствующие значениям sin ер ^ ер и cos 9 ~ 1, т. е.
отсюда
Вставляя последние значения в уравнение (а), в котором также по-
полагаем cos9~l и sin9~9> получим
J с 9 = — М (R — аJ 9— Magy,
или
и, следовательно, период малых колебаний диска будет:
Mag
Как известно из статики, положение центра тяжести полукруглого
диска определяется по формуле D, § 54):
а = ЕУС'=~-^. (в)
Вычислим теперь величину Jс. Для этого определим момент инер-
инерции JD полукруглого диска относительно оси, проходящей через точ-
точку D. Как следует из определения понятия момента инерции отно-
относительно оси, он равен половине момента инерции круглого диска с мас-
массой 2М относительно той же оси. Так как последний равен -^М/?2,
то /D= ~2~MR2. Воспользовавшись затем теоремой Гюйгенса, получим
696 Раздел III. Динамика
и, следовательно,
= JD— Ma? = -i- MR* — Ma*. (г)
Подставляя значения аи Jc из формул (в) и (г) в формулу (б),
получим окончательное выражение периода малых колебаний полу-
полукруглого диска:
§ 113. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ИМЕЮЩЕГО ОДНУ
НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ
Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки из-
издавна привлекала к себе внимание крупнейших механиков и мате-
математиков. Трудами Эйлера, Лангранжа, С. В. Ковалевской и ряда
других ученых были разрешены некоторые важнейшие задачи о дви-
движении твердого тела вокруг неподвижной точки и, в частности, зада-
задача о движении гироскопа. Теория гироскопа является одним из инте-
интереснейших разделов динамики твердого тела как по обилию неожи-
неожиданных результатов, так и по разнообразию тех приложений, которые
гироскоп нашел в современной технике. Технические приложения гиро-
гироскопов в настоящее время столь многочисленны и разнообразны, что
привело к необходимости выделить учение об этих приложениях из
общей теории гироскопов в виде особой дисциплины, которой при-
присвоено наименование прикладной теории гироскопов.
Решение задачи о движении твердого тела вокруг неподвижной
точки позволяет изучить также и общий случай движения свободного
твердого тела, так как это движение слагается из поступательного дви-
движения, определяемого движением центра масс тела, и вращательного
движения вокруг центра масс как неподвижной точки.
В этом параграфе мы ограничимся получением дифференциаль-
дифференциальных уравнений движения твердого тела, имеющего одну неподвижную
точку, и рассмотрением простейших частных примеров.
1. Выражение основных динамических характеристик для твер-
твердого тела, имеющего одну неподвижную точку
а) Кинетический момент. Как известно, кинетиче-
кинетический момент механической системы относительно неподвижной точ-
точки О определяется формулой
k=i
Глава XXIII. Динамика абсолютно твердого тела 697
Твердое тело, имеющее одну неподвижную точку О, в каждый дан-
данный момент времени вращается вокруг мгновенной оси, проходящей
через эту неподвижную точку. Скорость k-н точки этого тела может
быть найдена по формуле
щ = ш X rk, B)
где со—мгновенная угловая скорость тела, a rk—радиус-вектор k-я
точки тела, проведенный из неподвижной точки О этого тела.
Подставляя значение vk из формулы B) в формулу A), получим
кинетический момент твердого тела, имеющего одну неподвижную
точку О, относительно этой точки:
0xmk(UXrk). C)
Вспомнив формулу двойного векторного произведения
rk X (ш X Fk) = шг\ — 7k (ш• ~rk),
преобразуем формулу C) к виду:
mkr\ — Ц mkrk («
Считая, что подвижная система координат Охуг неизменно свя-
связана с телом и имеет начало в неподвижной точке Отела, найдем проек-
проекцию вектора кинетического момента Ко этого тела на неподвижную-
ось Ох
или
л n n
Вспомнив, что Jx = 2 mk(zl + y\ ) есть момент инерции тела отно-
п п
сительно оси Ox, a Jху = 2 m* ^ Уй и JXz — S mkxkzk — центробеж-
698 Раздел III. Динамика
ные моменты инерции, и проделав аналогичные выкладки для про-
проекций вектора Ко на подвижные оси Оу и Ог, окончательно получим
Ку= —
E)
Если за подвижные оси выбрать главные оси инерции тела в точке О,
то, как известно, центробежные моменты инерции обратятся в нули
и, следовательно, кинетические моменты относительно главных осей
инерции определятся по формулам:
KX = JX^X\ Ky=Jyu>y; K, = Jz<oz. F)
Рассматривая формулы для проекций кинетического момента твер-
твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, замечаем, что в общем
случае направление векторов кинетического момента Ко и мгновен-
мгновенной угловой скорости со между собой не совпадают.
В частных случаях, когда эллипсоид инерции тела для точки О
будет приводиться к шару (Jх = Jy =JZ) или когда вращение тела про-
происходит вокруг одной из главных осей инерции, например оси z
(ых = юу = 0), направление векторов кинетического момента Ко и мгно-
мгновенной угловой скорости со между собой совпадают, т. е.
К 0 =Jz^~k =Угш.
б) Кинетическая энергия. Согласно определению ки-
кинетической энергии имеем
=4-2 тЛ = 4-2 mhvk-vk.
Вспомнив, что скорость /г-й точки твердого тела, имеющего одну
неподвижную точку, выражается формулой B), получаем
л
T = ~Zi mkvk-(a»Lrk),
но так как vK-JwxrK) — <* • (rx x vl{), то
?=1 /!=1
Глава XXIII. Динамика абсолютно твердого тела 699
или
п
где Ко =S rkxmkvk —кинетический момент рассматриваемого
твердого тела.
Так как Т величина существенно положительная, то отсюда сле-
следует, что угол между векторами Ко и ш будет всегда острым.
Выражая скалярное произведение G) в проекциях на оси и заме-
заменяя проекции вектора Ко их выражениями E), получим
-2Jxyi»x*y). (8)
Если за подвижные оси выбрать главные оси инерции в точке О,
то
ибо центробежные моменты инерции в этом случае равны нулю.
2. Дифференциальные уравнения движения твердого тела,
имеющего одну неподвижную точку (динамические уравнения Эйлера).
Эти дифференциальные уравнения мы получим, используя теорему
об изменении кинетического момента, согласно которой
A0)
Это векторное уравнение описывает движение тела по отношению
к неподвижной (инерциальной) системе координат Ox\y\Z\. Пусть,
как и раньше, неподвижная система координат Ox^yiZi имеет начало
в неподвижной точке твердого тела, а подвижная система координат
Охуг, имеющая начало в той же точке твердого тела, неизменно свя-
связана с телом.
Теореме об изменении кинетического момента, выражаемой равен-
равенством A0), можно дать следующую кинематическую интерпретацию.
Будем рассматривать вектор Ко, отложенный в некотором масштабе
от неподвижного центра О, как радиус-вектор точки А — конца этого
вектора. Тогда производная 9. будет определять вектор абсолют-
_ dt _
ной скорости vA точки А при движении ее по годографу вектора /Со
(рис. 386), т. е.
700
Раздел III. Динамика
dt ~~VA ,
и, следовательно, уравнение A0) примет вид
A1)
Таким образом, мы приходим к следующей видоизмененной фор-
формулировке теоремы об изменении кинетического момента: абсолютная
скорость конца вектора кинетического момента тела, взятого отно-
относительно неподвижной точки, геометрически равна главному моменту
всех действующих на тело внешних сил, взятому относительно той же
точки. Иногда этот результат называют теоремой Резаля.
«*—*-„
Рис. 386
Рис. 387
Используя известную из кинематики теорему о сложении скоро-
скоростей, получим
VA = VA
A2)
где vA— скорость конца вектора кинетического момента относитель-
относительно подвижной системы координат Oxyz, ы — мгновенная угловая ско-
скорость тела.
Формулу A2) можно переписать и так:
A3)
Эта формула устанавливает связь между абсолютной (по отношению
к OxiyiZi) и локальной (по отношению Oxyz) производной.
Глава XXIII. Динамика абсолютно твердого тела
701
В результате уравнение A1) примет вид
dK
dt
A4)
Для того чтобы получить скалярные дифференциальные уравне-
уравнения движения тела, имеющего одну неподвижную точку О, в наибо-
наиболее простом виде, Эйлер предложил проектировать уравнение A4)
на подвижные оси Oxyz, неизменно связанные с движущимся телом и
направленные по главным осям инерции тела в точке О (рис. 387).
Этим достигаются два существенных упрощения: проекции вектора
кинетического момента на главные оси инерции тела в точке О опре-
определяются весьма простыми формулами F), а входящие в эти формулы
осевые моменты инерции Jx, Jy, J2 остаются при движении тела ве-
величинами постоянными.
Так как локальная производная ^_о_ рассматривается по отноше-
dt
нию к подвижной системе Oxyz, то при проектировании уравнения
A4) на оси подвижной системы можно знак локальной производной
опустить.
Поэтому в результате проектирования получим
dt
A5)
Так как проекции кинетического момента на главные оси инерции
тела в точке О определяются по формулам F), то
I ] k
шх шу шг
tf If If
Ar Av Аг
= (Jz — J ) оуо i + (Jx — Jz) шхо>г j
y— Jx)
где i, /, Ъ — единичные векторы подвижных осей Oxyz.
Отсюда следует, что
K0)z = (Jy~Jx)<
702
Раздел III. Динамика
и, следовательно, уравнения A5) могут быть переписаны в виде:
— J\=M
A6)
Уравнения A6) были получены Эйлером и поэтому называются
динамическими уравнениями Эйлера. Подчеркнем еще раз, что здесь
оси х, у, г— главные оси инерции тела, Jx, Jy, Jz— главные осевые
моменты инерции тела.
В дальнейшем будем пользоваться обозначениями:
Для составления дифференциальных уравнений движения твер-
твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, связывающих углы
Эйлера ф, 8, 9 с силами, действующими на это тело, достаточно к
уравнениям A6) присоединить кинематические уравнения Эйлера
B8, § 75). Таким образом, движение твердого тела, имеющего одну
неподвижную точку, вокруг этой точки описывается следующими
шестью нелинейными дифференциальными уравнениями первого по-
порядка относительно неизвестных функций <р, ф и 6:
%
A7)
р = ф sin 6 sin ср -|г б cos 9;
q = ф sin 9 cos <p — G sin 9;
Г = ф COS 6 -f- 9.
A8)
Заметим, что М^,М^е\ М{^ в общем случае являются функциями от
p,q,r, «p, ф, 6 и t, поэтому эта система дифференциальных уравнений
будет в общем случае совместной.
Глава XXIII. Динамика абсолютно твердого тела
703
Задачи динамики для твердого тела, имеющего одну неподвижную
точку, формулируются в переменных Эйлера следующим образом:
а) зная закон движения тела, определяемый уравнениями:
найти моменты действующих на тело сил и б) зная моменты действую-
действующих на тело сил, найти закон движения тела в виде A9). Решение
первой задачи динамики сводится к отысканию производных по вре-
времени от заданных функций /i@. /г@. /з@. а решение второй задачи
динамики сводится к интегрированию системы дифференциальных
уравнений вращения тела вокруг неподвижной точки A7) и A8).
Интегрирование этой системы уравнений
представляет значительные математические
трудности.
Найти точное решение задачи удается
лишь в отдельных частных случаях, накла-
накладывая ограничения на моменты действующих
на тело сил и на форму этого тела (т. е. на
величины А, В, С), а также на начальные ус-
условия (частные решения).
Если не накладывать ограничения на на-
начальные условия, то точное решение задачи
можно получить только в трех частных случа-
случаях — случаях Эйлера, Лагранжа и С. В. Ко-
Ковалевской.
Мы рассмотрим лишь наиболее простые случаи интегрирования
дифференциальных уравнений движения твердого тела вокруг не-
неподвижной точки, а именно: случай Эйлера и случай Лагранжа.
3. Случай Эйлера. Это случай движения тела произвольной фор-
формы, когда сумма моментов всех сил относительно неподвижной точки
этого тела равна нулю (Мо] = 0). В частности, такое движение будет
совершать тело, у которого неподвижная точка совпадает с центром
тяжести и на которое не действуют никакие активные силы, кроме
силы тяжести, а последняя уравновешивается реакцией опоры О
(рис. 388).
Для данного случая динамические уравнения Эйлера A7) имеют
вид:
Рис. 388
% + (А- С)гр = 0;
B0)
так как главный момент внешних сил относительно неподвижной
точки в этом случае равен нулю, т. е. М^)=0, и, следовательно, М^=
704 Раздел III. Динамика
Умножив уравнения B0) соответственно на р, q и г и затем сложив
их между собой, получим
*>? + *,? + Сг*_о.
или
4
4- — (Лр+Д^ЧСг) = 0,
откуда получаем первый интеграл движения
Лр2 + Bq* + Сг2 = 2 Т = Q = const. B1)
Умножив уравнения B0) соответственно на Ар, Bq и Сг и затем
сложив их между собой, получим
или
откуда получим второй интеграл движения
Л2/?2 + ?V + CV2 = /С^ = С2 = const. B2)
Так как ^^=0, то из уравнения A0), кроме того, следует, что
откуда
Ко= const,
т. е. в рассматриваемом случае вектор кинетического момента тела,
имеющего одну неподвижную точку, относительно этой точки будет
постоянным как по модулю, так и по направлению.
Рассмотрим теперь движение твердого тела, имеющего одну не-
неподвижную точку, форма которого такова, что А=ВфС, т. е. эллип-
эллипсоид инерции этого тела для неподвижной точки является эллипсои-
эллипсоидом вращения.
В этом случае динамические уравнения Эйлера B0) примут вид
B3)
Глава XXIII. Динамика абсолютно твердого тела
705
Интегралы B1) и B2) в этом случае будут иметь вид
А (рз + ?2) + Сг* = 2 Т = С,-
Интегрируя третье из уравнений B3), получим
г = r0 = const.
B4)
B5)
B6)
Так как кинетический момент /Со имеет постоянное направление,
то мы можем направить неподвижную ось Ozi по этому направлению
(рис. 389).
Проектируя вектор Ко на оси подвижной системы координат
Oxyz, получим
/СЛ == /Со sinGsinср; Ку =/С0 sin6cos?; /C3 = KocosG, B7)
с другой стороны,
B8)
Сравнивая между собой значения /Сг, даваемые соответственно
формулами B7) и B8), имеем
откуда
46 И. Ф. Сахарный
Ko cos 6 = Cr0,
cos 0 = -г— — cos 0o = const
^ 0
706 Раздел III. Динамика
и, следовательно, угол нутации 0 будет постоянной величиной, т. е.
8 = 80. B9)
Так как при этом в = 0, то кинематические уравнения Эйлера A8)
будут иметь вид:
р — <j» sin б0 sin 9, д = 4* sin ^о cos 9, r0=^cos 0o-f- 9 . C0)
Сравнивая между собой значения Кх, даваемые соответственно фор-
формулами B7) и B8), получаем
К0 sin б sin 9 = Ар.
Подставляя сюда значения 0 и р, даваемые формулами B9) и C0),
находим
Ко sin 60 sin 9 = А 4» sin 90 sin 9.
Следовательно,
К 0 = А ф,
или
После интегрирования получаем
где <jH — значение Ф в начальный момент.
Из третьей формулы C0) находим
9 = г0 — ф cos в0 = <р0 = const
и после интегрирования имеем
9 = <Ро +<Ро*'
где 9о — значение 9 в начальный момент.
Таким образом, закон движения тела по инерции вокруг непод-
неподвижной точки будет
е = е0.
Глава XXIII. Динамика абсолютно твердого тела
707
Следовательно, в случае когда все силы сводятся к равнодействующ
щей, проходящей через неподвижную точку тела, форма которого
такова, что А=ВфС, то это тело вращается с постоянной угловой
скоростью фо вокруг оси Oz, связанной с телом, а эта ось в свою оче-
очередь вращается с постоянной угловой скоростью <]>0 вокруг неподвиж-
неподвижной оси Огъ описывая коническую поверхность с постоянным углом
раствора 26О (рис.390). Такое дви-
движение называется регулярной пре-
прецессией.
Мы установили, что тело с од-
одной неподвижной точкой, эллипсо-
эллипсоид инерции которого для этой
точки есть эллипсоид вращения,
будет совершать регулярную пре-
прецессию в том случае, когда главный
момент всех действующих на это
тело внешних сил относительно
неподвижной точки тела равен ну-
нулю. Найдем теперь, не может ли
такое тело совершать регулярную
прецессию в случаях, когда глав-
главный момент всех действующих на
данное тело внешних сил относи-
относительно неподвижной точки тела не равен нулю и при каких значе-
значениях главного момента это возможно.
Пусть рассматриваемое твердое тело совершает регулярную пре-
прецессию, т. е. движется так, что при этом величины угла 6 и угловых
скоростей <р и <lf остаются постоянными, равными своим начальным
значениям:
¦у
9 =<Ро
6 =
'о-
C1).
Найдем, при действии какого момента м(е) может происходить
такое движение. Для этого подставим значения 9, \ и в из равенств
C1) в систему уравнений A7) и A8). Подстановка в уравнения A8)
дает:
р = % sin 60 sin?;
q = 4>osin0ocos<p;
C2)
46*
708
Раздел III. Динамика
и, следовательно,
Ж = Фо?оsin eo cos ?, Ж = —Фо?о sin 0O sin?; ^ = 0. C3)
Подставляя значения р, <7, г, -~ и -^ из равенств C2) и C3)
в уравнения A7) и замечая, что А=В, получим
C4)
= [с %Ь + (С-Л) f о cos 60 ] sin Go cos 9;
МТ = - [С Vo% + (С-A) f 0 cos 90 ]sin90 sin 9;
Mf = 0.
Отсюда следует, что
cos0o sin 9O
C5)
cos
.i I — ± cosф; cos
± sin<p;
Л
=0.
C6)
Из этих равенств видно, что вектор ум^направлен по линии узлов
ON (рис. 390).
Таким образом, тело, имеющее одну неподвижную точку, форма
которого такова, что А=В=?С, может совершать регулярную прецес-
прецессию не только в случае, когда AJ(e)==O> но и в случае, когда на него
действует постоянный по модулю момент, определяемый равенст-
равенством C5).
В случае когда С<р0 по модулю много больше, чем (С—А)% (мед-
(медленная прецессия быстро вращающегося рассматриваемого тела),
вторым слагаемым в равенстве C5) можно пренебречь. При этом мы
получим для модуля момента /й1е) приближенное выражение.
sin
C7)
Глава XXIII. Динамика абсолютно твердого тела 709
4. Случай Лагранжа — Пуассона. В этом случае тело, имеющее одну
неподвижную точку О, находится под действием только силы тяжести
и форма этого тела такова, что для него А=В=?С, т. е. эллипсоид
инерции для неподвижной точки О тела есть эллипсоид вращения,
и центр тяжести тела лежит на подвижной оси Ог на некотором рас-
расстоянии от неподвижной точки О. При этом ось Oz является осью
симметрии эллипсоида инерции и назы-
называется осью динамической симметрии
тела*. Такое тело, имеющее одну не-
неподвижную точку, часто называют сим-
симметричным гироскопом (рис. 391). Его
положение определяется тремя Эйлеро-
Эйлеровыми углами ср> ф и 6.
Лагранж и Пуассон показали, что
зависимость углов Эйлера <р, <]> и 6 от
времени в этом случае получается с по-
помощью так называемых эллиптических
функций и оказывается довольно слож-
сложной.
Здесь мы не будем находить выраже-
выражения для <р, ф и б как функции времени,
а постараемся лишь выяснить, при ка-
каких условиях симметричный гироскоп,
закрепленный в точке О, не совпадающей
с центром тяжести (рис. 391,) будет
прецессировать вокруг заданной непод-
неподвижной вертикальной оси Oz1. Пусть
вес этого гироскопа равен Р, а расстояние ОС=а. Тогда на рас-
рассматриваемый гироскоп будет действовать момент силы тяжести, мо-
модуль которого равен
М{ое) = Pa smb. C8)
Этот момент будет влиять на движение данного гироскопа, который
в этом случае называется тяжелым симметричным гироскопом. Вели-
Величина М^о будет постоянна, если тяжелый гироскоп совершает регуляр-
регулярную прецессию вокруг вертикальной оси Огг. Подставляя значение /И*?'
определяемое формулой C8), в формулу C5), получим следующее
условие, которому должны удовлетворять начальные угловые ско-
скорости <ро и <!>о и начальный угол 60, чтобы осуществлялось регулярно
прецессионное движение тяжелого гироскопа:
(C-^20cose0 +Ofv|>0 —Pa = 0. C9)
* Заметим, что если однородное твердое тело имеет ось геометрической сим-
симметрии, то эта ось будет также и осью динамической (материальной) симметрии,
но не наоборот.
710 Раздел III. Динамика
Это условие является необходимым и достаточным, чтобы движение
тяжелого гироскопа было регулярной прецессией.
Таким образом, если тяжелому гироскопу сообщить данную угло-
угловую скорость собственного вращения ф0 и поставить этот гироскоп под
углом V к вертикальной оси Огъ то он будет совершать регулярную
прецессию вокруг вертикальной оси Огх только в том случае, если в на-
начальный момент ему будет одновременно сообщена угловая скорость
%, равная по величине одному из двух корней квадратного уравне-
уравнения C9).
В случае, когда член (С—A)ty0 весьма мал сравнительно с членом
С<р (медленная прецессия быстро вращающегося тяжелого гироскопа),
первым членом в уравнении C9) можно пренебречь. Тогда получим
следующее приближенное значение угловой скорости прецессии тяже-
тяжелого гироскопа:
^. D0)
Таким образом, задавая начальную угловую скорость <р0 относи-
относительно оси симметрии Oz тяжелого гироскопа, получим при большой
величине ф0 медленную прецессию этого гироскопа вокруг вертикаль-
вертикальной оси Ozy с угловой скоростью ф0,определяемой формулой D0), и
при любом значении угла нутации 0 (за исключением 8=0)*. Строго
говоря, прецессия в этом случае будет отличаться от регулярной
прецессии тем, что угловая скорость ее только в среднем равна вели-
величине, определяемой формулой D0). Кроме того, ось гироскопа в этом
случае будет совершать дополнительные нутационные колебания с ма-
малой амплитудой, то приближаясь к вертикальной оси 02!, то удаляясь
от нее. Такое движение тяжелого гироскопа называют псевдорегуляр-
псевдорегулярной прецессией,
. 5. Случай С. В. Ковалевской. В этом случае тело, имеющее одну
неподвижную точку, находится под действием только силы тяжести
и форма этого тела такова, что для нгго А~В=2С, т. е. эллипсоид инер-
инерции для неподвижной точки тела есть вытянутый эллипсоид вращения
около оси Oz. При этом неподвижная точка тела лежит на оси Oz,
а центр тяжести тела — где угодно в экваториальной плоскости эл-
эллипсоида инерции.
. Пользуясь методом, основанным на применении аппарата теории
функций комплексного переменного, С. В. Ковалевская нашла в этом
случае общий интеграл дифференциальных уравнений движения A7)
* Значение 0 =0* исключено из рассмотрения, так как при нем имело бы
место равенство '
Глава XXIII. Динамика абсолютно твердого тела
711
и A8), выразив углы Эйлера ?, f и 8 при помощи квадратур через
время и шесть произвольных постоянных.
Случай Эйлера и случай Лагранжа — Пуассона можно демонстри-
демонстрировать на гироскопе колоколообразной формы, вдоль оси динамиче-
динамической симметрии которого передвигается винт, чем можно по произволу
привести точку опоры О (острие винта) в совпадение с центром тяжести
С или же поместить центр тяжести С выше точки опоры О на оси винта
(рис. 392).
Счучай же СВ. Ковалевской можно проиллюстрировать на мо-
модели, представляющей собой открытую коробочку в форме прямо-
прямоугольного параллелепипеда с соответственно подобранными разме-
размерами (рис. 393).
Рис. 392
Рис. 393
Открытие С. В. Ковалевской случая, названного ее именем, по-
повлекло за собой ряд исследований, посвященных движению твердого
тела, имеющего одну неподвижную точку. Хотя эти исследования и
содержат отдельные решения и разъясняют задачу о движении твер-
твердого тела вокруг неподвижной точки, но все эти решения носят част-
частный характер и не являются общими решениями, так как они пред-
предполагают наличие разных ограничений, которым подчинены началь-
начальные условия. В этой области у нас работали Д. К- Бобылев, Д. Н. Го-
Горячев, Н. Е. Жуковский, В. А. Стеклов, С. А. Чаплыгин и др.
§114. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ
Гироскопом называется твердое тело, имеющее ось динамической
симметрии и закрепленное в какой-нибудь точке этой оси. Такое
закрепление можно, например, осуществить, придав телу колоколо-
образную форму, показанную на рис. 392. В различного рода гироско-
гироскопических приборах закрепление гироскопа осуществляется обычно
с помощью карданова подвеса (рис. 394). Карданов подвес состоит из
внешнего круглого кольца /, могущего вращаться вокруг неподвиж-
неподвижной оси Огг, и из внутреннего круглого кольца 2, могущего вращаться
вокруг оси Ох, прикрепленной к внешнему кольцу / и перпендику-
712
Раздел III. Динамика
г
лярной к оси Ozx. Вращающийся гироскоп 3 насажен на ось Oz,
перпендикулярную к оси Ох. Очевидно, что благодаря такой системе
закрепления гироскопа его ось Oz может принимать любое направле-
направление в пространстве, причем точка О пересечения осей Ox, Oz и Ozx
при всех поворотах в пространстве оси Oz сохраняет одно и то же
положение и, следовательно,
является неподвижной точкой
гироскопа. В частном случае,
кольца можно расположить
так, что точка О совпадает с
центром тяжести гироскопа.
Положение гироскопа в кар-
дановом подвесе (рис. 394)
определяется тремя углами
Эйлера <р, <|> и 6. Из этого
следует, что такой гироскоп
имеет три степени свободы.
Гироскоп может быть вы-
выполнен в виде маховичка, ко-
локолообразного тела и т. д.,
лишь бы его эллипсоид инер-
инерции относительно точки опо-
Рис. 394 ры был эллипсоидом враще-
вращения, т. е. два из трех главных
моментов инерции его были бы равны между собой.
Кроме собственного вращения вокруг своей оси симметрии Oz с
угловой скоростью 9=(И1> гироскоп может, как было указано, иметь
прецессионное движение вокруг неподвижной вертикальной оси 0zx
с угловой скоростью ф=ы2 и нутационное колебание с угловой скоро-
скоростью 6 = со3. (рис. 391).
Из формул F, § 113) следует, что для гироскопа
и, следовательно,
Ко = Apt + Aqj + Crk.
B)
При этом направление вектора кинетического момента гироскопа
относительно его точки опоры не совпадает с осью симметрии гиро-
гироскопа.
В элементарной теории гироскопических явлений рассматриваются
лишь те движения гироскопа, для которых угловая скорость собствен-
Глава XXIII. Динамика абсолютно твердого тела
713
ного вращения <р=(Ох будет много больше, чем угловая скорость пре-
прецессии ф=ш2 и угловая скорость нутации 9 =ю3. При этом величина г,
как это видно из уравнений A8, § 113), будет очень велика по срав-
сравнению с р и ц, причем приближенно можно принять г=ф=иI и, сле-
следовательно, с той же степенью приближения, как это видно из формул
A) и B), можно считать
= Ку = 0, Kz = Cr
или
где /г=С — момент инерции гироскопа относительно его оси сим-
симметрии.
Таким образом, в силу этих соображений в элементарной теории
гироскопических явлений исходят из следующих допущений: а) ки-
кинетический момент /Со гироскопа относительно его точки опоры О
направлен по оси симметрии гироскопа Ог, б) модуль кинетического
момента равен произведению момента инерции гироскопа относитель-
относительно его оси симметрии на угловую скорость собственного вращения
гироскопа.
1. Уравновешенный, или свободный, гироскоп. Гироскоп, на ко-
который или не действуют внешние силы, или эти силы уравновешены,
называется уравновешенным, или свободным, гироскопом.
К уравновешенному, или свободному, гироскопу относится гирос-
гироскоп в кардановом подвесе (рис. 394), а также гироскоп, закреп-
закрепленный в центре тяжести и вращающийся вокруг своей оси дина-
динамической симметрии (рис. 388).
Рассмотрим свободный гироскоп 7
с вертикальной осью вращения Ог,
у которого неподвижная точка О не
совпадает с его центром тяжести С
(рис. 395). Так как ось Ог матери-
материальной симметрии гироскопа являет-
является главной осью инерции относитель-
относительно его точки опоры О и угловая ско-
скорость (Ох направлена по этой оси,
то кинетический момент гироскопа
находится по формуле C):
В этом случае (см. рис. 395)
45 Н. Ф. Сахарный
Рис. 395
714 Раздел III. Динамика
*!L = Л#> = т0 [Р) + т0 (n) = 0 D)
Ко =J2m1 = const, E)
т. е. модуль и направление кинетического момента Ко свободного гиро-
гироскопа относительно точки опоры постоянны и, следовательно, век-
вектор Ко направлен все время по оси гироскопа. Отсюда следует, что
ось свободного гироскопа сохраняет неизменное направление в простран-
пространстве по отношению к инерциальной (звездной) системе отсчета.
Из равенства E), в частности, следует, что свободный гироскоп
вращается с постоянной угловой скоростью uI==const. В действитель-
действительности угловая скорость щ убывает, так как в уравнении D) не учте-
учтены сопротивление воздуха и силы трения в точке опоры гироскопа.
Найдем, куда будет отклоняться ось быстро вращающегося гиро-
гироскопа (рис. 395), если к ней приложить параллельно оси Оу силу F,
момент которой относительно точки опоры О равен по модулю Mq'=
=Fa (рис. 395). Согласно теореме Резаля A1, § 113) имеем
m0{F). F)
Отсюда видно, что конец А вектора кинетического момента гироскопа
относительно точки опоры О будет перемещаться со скоростью
ид, определяемой формулой F), по направлению вектора-момента
Д1(е) действующей на ось гироскопа силы F относительно той же
точки опоры.
Таким образом, если на ось быстро вращающегося гироскопа по-
подействует сила, то эта ось будет отклоняться не по направлению
действия силы, а по направлению, которое имеет вектор-момент этой
силы относительно точки опоры гироскопа, т. е. перпендикулярно
к линии действия силы.
Отметим еще один важный результат. Если действие силы F на
гироскоп прекратится, то M(e)=m0(.F) обратится в нуль, а следователь-
следовательно, по уравнению F) и va обращается в нуль, т. е. прекращается дви-
движение оси гироскопа. Таким образом, ось гироскопа не сохраняет дви-
движения, сообщенного ей силой F. В этом смысле можно сказать, что
движение оси гироскопа безинерционно. Отсюда мы видим, что дви-
движение точки А — конца вектора Ко—принципиально отличается от
движения материальной точки, которая с прекращением действия
на нее силы будет продолжать движение по инерции с приобретенной
скоростью.
Глава ХХШ. Динамика абсолютно твердого тела
715
Если подействуем на ось быстро вращающегося гироскопа
(рис. 395) мгновенной силой (т. е. сообщим ей удар), то точка А смес-
сместится за весьма малый промежуток времени Д^ действия этой силы
на очень малую величину VA^t и ось гироскопа практически почти не
изменит своего начального направления, т. е. по отношению к ударам
ось гироскопа нечувствительна. В этом проявляется свойство устой-
устойчивости оси быстро вращающегося гироскопа.
Описанными выше свойствами обладает и ось Oz гироскопа, вра-
вращающегося на кардановом подвесе (рис. 394). С помощью такого ги-
гироскопа можно убедиться во вращении Земли вокруг своей оси, как
на это указал Фуко A852). В самом деле если в начальный момент
вращения рассматриваемого ги-
гироскопа его ось Oz вращения
была направлена на какую-ни-
какую-нибудь звезду, то мы увидим, что
ось Oz будет все время следить
за этой звездой, т. е. переме-
перемещаться относительно земных
предметов. Но из изложенного
мы знаем, что на самом деле
ось данного свободного гироско-
гироскопа не будет менять своего поло-
положения относительно выбранной
звезды. Следовательно, переме-
перемещаться должны окружающие
Рис. 396
гироскоп предметы, что и доказывает вращение Земли, которая увле-
увлекает в своем движении все окружающие этот гироскоп предметы.
2. Регулярная прецессия тяжелого гироскопа. Рассмотрим быстро
вращающийся гироскоп, у которого ось Oz динамической симметрии
не вертикальна, т. е. эта ось в начальный момент образует угол б=60
с вертикальной осью Ozx, причем неподвижная точка О этого гироско-
гироскопа не совпадает с его центром тяжести С (рис. 396). Этот гироскоп на-
находится под действием силы тяжести Р и реакции N опоры. Главный
момент этих внешних сил, взятый относительно точки опоры О, бу-
будет М^ = mo(P)+ino(N)=mo (Р)=ОСхР~=аХР и перпендикулярен
к плоскости Ozzx, проходящей через силу Р и точку опоры О. Состав-
Составляющая силы тяжести Р, перпендикулярная к оси Oz гироскопа, по
доказанному выше, создает движение оси Oz не в сторону увеличения
угла б, а в направлении, перпендикулярном к этой составляющей.
Следовательно, ось Oz гироскопа вращается вокруг вертикальной
оси 0zlt т. е. совершает регулярную процессию.
Найдем угловую скорость прецессии о>2. С этой целью используем
уравнение F), согласно которому должно быть
G)
45*
716 Раздел III. Динамика
или (по модулю)
vA =
С другой стороны, так как ось Oz гироскопа перемещается с угловой
скоростью_со2 вокруг вертикальной оси Ozu то скорость va конца А
вектора Ко найдется по формуле
иЛ = ш2х ОЛ=ш2х^о, (9)
где ОА=Ко- Но по элементарной теории гироскопических явлений
Ко=J г®1, следовательно, можно формулу (9) записать в виде
^ = Уг(ш2хш1) (Ю)
или (по модулю)
vA = Jz (!>! о)а sin 6. <11)
Сравнивая формулу A1) с формулой (8), получим
Jг шх ш2 sin 0 = Р a sin 6,
откуда находим искомую угловую скорость прецессии тяжелого гиро-
гироскопа
Из этой формулы следует, что чем быстрее вращается гироскоп,
тем медленнее он прецессирует, и наоборот, чем медленнее вращается
гироскоп, тем быстрее он прецессирует.
3. Гироскопический эффект. Рассмотрим гироскоп, вращающийся
с угловой скоростью ш1 вокруг горизонтальной оси Oz, укрепленной с
помощью подшипников Вг и В2 в раме, которая в свою очередь вра-
вращается с угловой скоростью со2 вокруг вертикальной оси Ozx (рис. 397).
Пусть и>! много больше ш2. Тогда для изучения этого движения гиро-
гироскопа можно применить элементарную теорию гироскопических явле-
явлений. Так как ось гироскопа совершает прецессию, то конец А вектора
Ко, направленного вдоль оси Oz и равного Jгшъ как и в предыдущем
случае, будет иметь скорость vA, определяемую равенством F), т. е.
на ось гироскопа при этом движении будет действовать момент М^ = ал.
Так как ол=">гХОЛ=ш.2ХКо=/2((и2Х(й1). то
уД^хш,). A3)
Глава XXIII. Динамика абсолютно твердого тела
717
Этот момент создают, очевидно, силы Rlt R2, с которыми подшип-
подшипники Вх и Bt давят на ось гироскопа. Так как в данном случае центр
масс гироскопа неподвижен, то силы Rt и /?а образуют пару, момент
которойМ{? направлен так же, как и скорость иЛ, т. е. к читателю.
В свою очередь ось гироскопа будет давить на подшипники Вг и Bt
с силами NxnN2, равными по модулю и противоположными по направ-
направлению силам Ri и /?2- Пара сил (Nlt N2) называется гироскопической
парой, а ее момент M(JHP>, равный по модулю М^\ но направленный в
противоположную сторону, называется гироскопическим моментом.
При этом эффект действия гироскопической пары (Ni, N2) яа. подшип-
подшипники, в которых закреплена ось гироскопа, называется гироскопиче-
гироскопическим эффектом. Так как Л1 (™р)=—М%\ то из формулы A3) следует, что
A4)
или (по модулю)
Чгир) =
где б— угол между «>i и ш2. В рассматриваемом случае 6 = 90°, поэтому
У,ш1Ш2. A5)
718
Раздел HI. Динамика
Гироскопический момент при этом расположен в горизонтальной плос-
плоскости и направлен перпендикулярно к плоскости чертежа от читателя.
Таким образом, можно сформулировать следующее правило
Н. Е. Жуковского: если ось быстро вращающегося гироскопа насильно
заставить вращаться (прецессировать) вокруг какого-либо направле-
направления, то на подшипники, в которых закреплена ось гироскопа, подей-
подействует гироскопическая пара силе моментом M.QVlx">=Jz(^1'K^i)!
стремящаяся кратчайшим путем установить ось собственного враще-
вращения параллельно оси принудительной прецессии так, чтобы направ-
направления векторов щ и ю2 совпали.
Заметим, что гироскопическая пара, кроме давления на подшип-
подшипники, в которых вращается ось гироскопа, может вызвать движение
того тела, с которым скреплены эти
подшипники, если только это движение
допускается наложенными связями. На-
Например, трех-четырехлопасные винты
самолета можно рассматривать как
гироскопы, оживленные быстрым вра-
щением. При виражах самолета появ-
появляется гироскопическая пара, действую-
действующая на подшипники, в которых за-
закреплена ось винта. Так как подшип-
подшипники связаны с корпусом самолета, то
эта пара отражается и на поведении са-
самолета. В самом деле, пусть винт вра-
вращается, если смотреть от летчика, по
часовой стрелке (рис. 398) и пусть те-
теперь самолет начинает делать правый
вираж. На основании правила Н.Е. Жу-
Жуковского в этом случае на подшипники,
в которых закреплена ось винта, будет действовать гироскопическая
пара с моментом М^ир), направленным- по поперечной оси (см. рис.
398), стремящаяся установить ось вращения винта параллельно вер-
вертикальной оси прецессии, т. е. самолет начнет пикировать.
Аналогичный гироскопический эффект имеет место и в наземных
экипажах (автомобиль, танк), так как в корпусе каждого экипажа
находится быстро вращающийся маховик, играющий роль гироскопа,
реагирующего на повороты экипажа около вертикальной оси или
около поперечной горизонтальной оси.
Определим теперь давление на подшипники, в которых закреплена
ось гироскопа (рис. 397).
Если сообщить оси гироскопа, вращающегося вокруг этой оси
с угловой скоростью (о1( прецессию вокруг вертикальной оси с угловой
скоростью со2, то на подшипники Вг и Вг будут действовать гироско-
Рис. 398
Глава XXIII. Динамика абсолютно твердого тела 719
пические давления Nt и N2 (рис. 397). Если при этом момент инерции
гироскопа относительно оси симметрии Oz равен Jг, то по формуле
A5) находим
M{™p)=Jzohco2. A6)
С другой стороны, момент гироскопической пары (Nlt N2) численно
равен произведению одной из сил этой пары на плечо; плечом же в
данном случае является расстояние / между подшипниками Вх и В2.
Отсюда находим
M^Kf) = N1l = N,l. A7)
Из формул A6) и A7) следует, что
Jz шх со2 = Ntl — Nzl,
т. е.
Ni = N2=AJ^. A8)
Если поворот оси происходит очень резко (<о2 большое), то гиро-
гироскопические давления могут иметь большую величину и разрушить
подшипники. Поэтому величины этих давлений должны учитываться
при соответствующих расчетах подшипников.
Кроме гироскопических (динамических) давлений на^годшипники Вг
и 52 будут действовать статические давления Л^ст)и Л^ст). Очевидно,
что статические давления на подшипники направлены вертикально
вниз (рис. 399) и равны половине веса Р гироскопа, т. е.
t
t
Рис. 399 Рис. 400
Давления на подшипники, таким образом, будут складываться
из статического и гироскопического. Определив направления и чис-
численные значения статических и гироскопических давлений с помощью
соотношений A8) и A9), мы легко найдем направления (рис. 400) и
720 Раздел III. Динамика
численные значения полных давлений NBl и NB, на подшипники Вг и В2:
B0)
В заключение отметим, что благодаря рассмотренным в этом па-
параграфе свойствам гироскопа, он нашел широкое применение в тех-
технике. Укажем, например, на гироскопические компасы, гироскопи-
гироскопические горизонты и другие гироскопические навигационные приборы,
устройство которых основано на устойчивости оси гироскопа.
Гироскоп как чувствительный элемент применяется в конструк-
конструкции автопилота.
В торпеде гироскоп употребляется для обеспечения устойчивости
ее движения по заданному направлению.
Наконец, гироскопы с большим успехом используются как успо-
успокоители качки корабля и как стабилизаторы в однорельсовых гироско-
гироскопических вагонах.
Задача 120. Ротор турбины, находящейся на корабле, делает
1800 об/мин, вращаясь около оси, параллельной продольной геомет-
геометрической оси корабля; вес ротора равен 200 кГ, а радиус инерции
Рис. 401
его около оси вращения равен 0,8 м. Корабль при этом подвергается
гармонической килевой качке с амплитудой в 9° и периодом 15 сек.
Вычислить максимальные гироскопические давления на подшипники
турбин*ы, если расстояние между подшипниками равно 1 м.
Решение. Обозначим ось вращения ротора турбины через г;
угловую скорость собственного вращения ротора обозначим вектором
щ, направленным по оси z (рис. 401). При килевой качке корабля его
продольная ось выходит из горизонтального положения на угол ф,
изменяющийся по условию задачи от —9° до +9° (где 9°— амплитуда
колебаний). Можно сказать, что при килевой качке корабля ось вра-
вращения z ротора поворачивается вместе с кораблем около другой оси z1(
Глава XXIII. Динамика абсолютно твердого тела 721
направленной перпендикулярно к продольной оси корабля (zj—
поперечная ось корабля).
Рассматривая ротор турбины как гироскоп, мы можем в данном
случае применить правило Н. Е. Жуковского, согласно которому
при повороте оси z данного быстро вращающегося ротора турбины
вокруг оси Zx на подшипники подействует гироскопическая пара
(А^, jV2), которая стремится повернуть ось z параллельно оси гг.
Момент этой пары определяется формулой
где оJ— угловая скорость вращения оси z ротора вокруг поперечной
оси гх корабля, a J' г— момент инерции ротора относительно оси соб-
собственного вращения z.
Величина же момента М^ИР), выражающего гироскопический
эффект, вычисляется по формуле
где 6 — угол между векторами щ и <о2. Угол 9 = -^-. Момент инерции
Jг вычисляется по формуле
200
где р„=0,8 (радиус инерции), М=— , т. е. Уг= 13,06 кГмсек*.
В данной задаче угол поворота оси z около оси zt изменяется в за-
зависимости от времени по закону гармонических колебаний, т. е.
• 2тг .
il> = a sin ~y t,
где а — амплитуда колебаний, т. е. наибольшее отклонение от гори-
горизонтального положения, и, следовательно, по условию задачи а=9°,
или, переводя в радианы, а=^-; Т есть период колебаний, т. е. по
условию задачи 7=15 сек.
Угловая скорость щ вычисляется по формуле
ю» =
±. - rn-.
Подставляя Jz, 6 и ы2 в формулу, выражающую А1?ир>> получим
¦ *(**ир) 2, tz о, 2 тс f . %
=13,06 ~y~ cos — uh Sln
722 Раздел III. Динамика
или
Мо = 13,06 -^- cos
Для максимума Мо"р) заменим косинус единицей и затем при-
приближенно положим, что
Величина щ выразится в радианах в секунду так:
2 те я 2 я-1800 сг>„
°>i = -6o- =—6О~ =600^-
Подставляя, получим
МдИр)= 13,06-у- <% = 13,06-40 = 1610 кГм.
Мы получили величину момента гироскопической пары. Силы Nt
и jV2, образующие эту пару, приложены к подшипникам. С другой сто-
стороны, момент гироскопической пары равен:
м(огир> = лу = лу,
где /=1 м есть плечо этой пары (расстояние между подшипниками).
Отсюда следует, что
„ Л, Чгир) 1610 ,.1П г
Nx = N2= ¦—j— = —р = 1610 кГ.
Гироскопические силы давления на каждый подшипник будут
направлены попеременно то влево, то вправо.
Из рассмотренной задачи видно, что максимальная сила, с которой
взаимодействуют друг с другом ось ротора и подшипники, равна срав-
сравнительно большой величине, т. е. 1610 кГ. Благодаря этой силе ось
ротора, а следовательно, и сам корабль поворачивается влево и вправо
при каждом опускании и поднятии корабля.
Задача 121. Волчок вращается по часовой стрелке вокруг оси сим-
симметрии Oz с постоянной угловой скоростью (% = 600—, ось Oz на-
клонена к вертикали Ozx, нижний конец О оси Oz остается неподвиж-
неподвижным, центр тяжести С волчка находится на оси Oz на расстоянии
ОС==30 см от точки О, радиус инерции рн волчка относительно оси
Oz равен 10 еж. Определить угловую скорость регулярной прецессии
волчка, допуская, что при заданной весьма большой угловой скорости
Глава XXIII. Динамика абсолютно твердого тела
723
¦ Z
«>i кинетический момент волчка направлен по оси Oz и равен J ,щ, где
Jz— момент инерции волчка относительно оси Oz.
Решение. Мы знаем, что прецессия волчка возникает вследст-
вследствие опрокидывающего момента М^ силы тяжести Р волчка и удержи-
удерживает волчок от падения; из опыта известно, что если прецессию оста-
остановить, то волчок упадет, несмотря на свое собственное вращение.
Следовательно, благодаря прецессии
появляется гироскопический момент
Л4^ир)' противодействующий опрокиды-
опрокидывающему моменту силы тяжести М(? и
его парализующий, т. е. гироскопиче-
гироскопический момент М(™р) должен быть равен по
модулю М(о и противоположен ему по на-
направлению: ЛЛ-'Г М"
Приближенная формула для опре-
определения УИ™Р, как известно, имеет вид
= Jz(u>1xu>2), (a)
Рис. 402
где w2— искомая угловая скорость прецессии.
На рис. 402 опрокидывающий момент М^, равный по модулю
М^= Pas'mb, направлен от читателя за плоскость чертежа, а гиро-
гироскопический (восстанавливающий) момент М?ир), равный по модулю
) = Jzu>iu>2 sin 6, направлен от плоскости чертежа на читателя.
Так как М^—М(™р), то
Откуда
PasinS = ./гО^
Pa
, sin 6.
Далее, так как P~mg и Jz=mpu , то
ва 980-30
100-600
= 0,49-
Полученное направление М{™р) и формула (а) показывают, что
вектор со2 в данном случае направлен в сторону, противоположную
724 Раздел III. Динамика
положительному направлению вертикальной оси Огх. Следовательно,
ось Ог волчка прецессирует вокруг оси Ozx с угловой скоростью ш2=
=0,49 ¦— в сторону движения часовой стрелки, если смотреть с по-
положительного направления оси Огг.
Глава XXIV
ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА ДЛЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ В ТОЧКАХ
ЗАКРЕПЛЕНИЯ ОСИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА
§115. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА ДЛЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Принцип Даламбера для одной материальной точки был изложен
в § 92. Смысл его заключается в том, что он позволяет при решении
динамических задач пользоваться для составления дифференциальных
уравнений движения точки методами статики. Распространим теперь
этот принцип на произвольную механическую систему, состоящую из
п материальных точек с массами тх, т2, ... , тп. Выделим какую-ни-
какую-нибудь из точек этой системы с массой mk и обозначим равнодействующую
всех приложенных к ней внешних сил (и активных, и сил реакций)
через F^\ а равнодействующую всех внутренних сил, приложенных
к той же точке,—через F^\ Тогда, если условно приложить к этой
точке ее силу инерции Фк, равную по модулю произведению массы т^
точки на модуль ее ускорения и направленную противоположно уско-
ускорению wk, т. е. Фк= — mkwk, то согласно принципу Даламбера,
формулированному для одной материальной точки, силы F%\ F[l) и
Фк как бы взаимно уравновешиваются. То же самое будет иметь место
и для всех остальных точек рассматриваемой механической системы,
т. е. будем иметь
РР+РР+Фк = 0 (*«1, 2,..., п). A)
Отсюда приходим к следующему заключению: если в любой момент
времени к каждой из точек данной несвободной механической системы,
кроме фактически действующих на нее внешних и внутренних сил,
условно приложить соответствующие силы инерции, то полученная
систем сил будет находиться как бы в равновесии. В этом и состо-
состоит принцип Даламбера для механической системы материальных
точек.
Глава XXIV. Принцип Даламбера для механической системы 725
Заметим, что из равенств A), выражающих аналитически принцип
Даламбера для механической системы, не следует, конечно, что дан-
данная система находится в равновесии, так как силы инерции ее точек
в действительности приложены не к этим точкам, а к телам, приводя-
приводящим эти точки в ускоренное движение, в том числе и к телам, осуще-
осуществляющим связи. .
Из системы равенств A) можно получить уравнения, не содержащие
наперед неизвестных внутренних сил. В самом деле, складывая по-
почленно равенства A), с учетом того, что геометрическая сумма всех
внутренних сил системы в целом равна нулю (см. § 99), получаем
Первое слагаемое этого равенства представляет собой главный вектор
п
Д(«)~ 2 /Ч«> всех внешних сил (активных и сил реакций), а второе —¦
А=1 *
п
главный вектор ^<И)=?ФЛ. всех сил инерции. Поэтому окончательно
получаем
Далее, выберем какой-нибудь полюс О и умножим обе части &-го
равенства из равенств A) векторно на радиус-вектор rh, определяю-
определяющий положение fe-й точки относительно этого полюса:
(?.= 1, 2,..., л).
Суммируя эти равенства по всем точкам механической системы,
находим
п
так как по доказанному ранее (см. § 99) 2 /ио(М'>)=0. Первое слагае-
мое равенства C) представляет собой главный момент Mo = %tno(Fie))=
4=1
п _
= S rfe X Z7^' всех внешних сил (активных и сил реакций) относи-
4=1
.. я
тельно центра О, а второе — главный момент Mo> = Lmo@k)= ? rftx
ХФЙ всех сил инерции относительно того же центра О. Поэтому
окончательно получаем
~"" = О. D)
726
Раздел III. Динамика
По существу уравнения B) и D) эквивалентны уравнениям:
dt
k=\
dt
E)
выражающим теоремы об изменении количества движения и кинети-
кинетического момента системы, и отличаются от них только по форме. В са-
самом деле, сравнение выражений E) с равенствами B) и D) показывает,
что
d'Q -,,в, dK0
) „
=—w и
т. е. главный вектор сил инерции всех точек механической системы
равен по модулю и противоположно направлен производной по вре-
времени от количества движения механической системы, а главный мо-
момент сил инерции всех точек механической системы относительно неко-
некоторого полюса равен по модулю и противоположно направлен произ-
производной по времени от кинетического момента механической системы,
взятого относительно того же полюса.
Проектируя обе части равенств B) и D) на прямоугольные декар-
декартовы оси координат и учитывая, что вектор-момент силы относительно
начала координат, спроектированный на координатную ось, равен
моменту силы относительно этой оси, находим
= 0;
= 0;
4=1
п
4=1
G)
Глава XXIV. Принцип Даламбера для механической системы 727
Уравнения G), вытекающие из принципа Даламбера A), аналогич-
аналогичны уравнениям статики, выражающим необходимые и достаточные
условия равновесия абсолютно твердого тела, находящегося под дей-
действием сил, как угодно расположенных в пространстве.
Если все силы расположены в одной плоскости, параллельны или
сходятся в одной точке, то число уравнений G) соответственно
уменьшится.
Заметим, что для полного изучения движения любой изменяемой
механической системы уравнения G) являются только необходимыми,
но недостаточными. Однако для абсолютно твердого тела уравнения G)
будут также и достаточны и, следовательно, они вполне определяют
движение тела (конечно, при заданных начальных условиях), и вто-
вторая задача динамики при этом сводится только к интегрированию
этих уравнений движения.
Принцип Даламбера дает общий метод составления уравнений дви-
движения любой несвободной механической системы, причем эти уравне-
уравнения имеют ту же форму, что и уравнения статики. Этот метод оказы-
оказывается особенно полезным при решении тех задач динамики, где тре-
требуется найти динамические реакции связей, т. е. реакции, возникаю-
возникающие при движении системы. При этом, если пользоваться уравнения-
уравнениями G), то из рассмотрения будут исключены все наперед неизвестные
внутренние силы. В случаях, когда требуется определить реакции внут-
внутренних связей, необходимо данную механическую систему расчленить
на части так, чтобы по отношению к этим частям искомые силы стали
внешними. С помощью принципа Даламбера решаются также многие
задачи, в которых требуется определить ускорения тел, входящих
в состав данной механической системы.
Для практического использования уравнений B) и D) или урав-
уравнений G) надо заранее найти формулы для вычисления главного век-
вектора Я(и)и главного момента М^ сил инерции хотя бы в простейших
случаях.
Приведение системы сил инерции твердого тела, совершающего лю-
любое движение, к главному вектору #(«) и к главному моменту ТА^ осу-
осуществляется теми же приемами, которые изучались в статике, т. е.
выбирают в этом теле произвольный центр приведения и мысленно
переносят в этот центр все силы инерции параллельно самим себе, до-
добавляя при этом каждый раз присоединенную пару.
Суммируя все силы инерции, находят главный вектор сил инерции
тела, приложенный в выбранном центре приведения; суммируя при-
присоединенные пары, находят главный момент сил инерции тела относи-
относительно выбранного центра приведения. Главный вектор сил инерции
не меняется с изменением центра приведения (первый инвариант),
а главный момент сил инерции зависит от выбора центра приве-
приведения.
728 Раздел III. Динамика
Найдем сначала главный вектор сил инерции тела, совершающего
п п
любое движение Я{=У,Фк = — ^tnKwK.
4=1 4=1
Зная, что wk — *-, получим после подстановки
Принимая во внимание определение центра масс системы, будем иметь
ИЛИ
#<"> = — M~wc, (8)
где М — масса тела, a wc— ускорение центра масс тела.
Таким образом, главный вектор сил инерции тела, совершающего
любое движение, равен произведению массы тела на ускорение его цент-
центра масс и направлен в сторону, противоположную этому ускорению.
Он приложен в выбранном центре приведения, которым может оказать-
оказаться и центр масс тела.
Вычисление главного момента сил инерции значительно сложнее,
поэтому ограничимся вычислением его для простейших случаев дви-
движения твердого тела.
Прежде всего найдем главный момент сил инерции для случая пло-
плоскопараллельного движения твердого тела. При этом рассмотрим ре-
решение этой задачи лишь для частного случая, а именно для твердого
тела, имеющего плоскость симметрии, параллельную основной плос-
плоскости, т. е. той неподвижной плоскости, параллельно которой совер-
совершается движение тела.
Примем за центр приведения (и за полюс) произвольную точку О
тела в его плоскости симметрии. Мы знаем, что главный момент сил
инерции относительно центра О равен
rk х Фк=- 2 rk
k=l 4=1 4=1
rk х Фк=- 2 rk Xmkwk , (9)
4=1
где rk— радиус-вектор частицы тела относительно полюса О, а от
Глава XXIV. Принцип Даламбера для механической системы 729
и wk— масса и ускорение этой частицы. Из кинематики известно, что
поэтому
™о (**)=-'* Х тЛ = - ~rk X mk&o + ^х '*- ШЧ) =
=^0У* m~rk — Zmkr\ (ft= I, 2,...,n), A0)
так как
rkX?k = 0; гА X ( sX rft) = е r\— rk ¦ [rk ¦ г) = г г|,
причем последнее соотношение имеет место потому, что rK ± s (при
этом rft-s = 0). После почленного сложения равенств A0) в соот-
соответствии с формулой (9) получим
^= w0X t m-rk-lt mkr\.
Далее, вспоминая определение центра масс и осевого момента инер-
инерции, находим
где г с—радиус-вектор центра масс тела относительно полюса О, а
Jz—момент инерции тела относительно оси г, перпендикулярной к
плоскости движения и проходящей через полюс О.
Если за полюс О принять центр масс С тела, то г с =0 и, следова-
следовательно, согласно формуле A1) будем иметь
Mf=-h*, A2)
где знак минус показывает, что направление момента М^противопо-
М^противоположно направлению вектора углового ускорения е тела.
Таким образом, в рассматриваемом случае система сил инерции
приводится к главному вектору /?(">= — Mwc, приложенному к
центру масс тела, и к паре, лежащей в плоскости симметрии тела,
момент которой равен М{?)= — Jze (рис. 403).
В частном случае твердого тела, вращающегося вокруг неподвиж-
неподвижной оси г, перпендикулярной к плоскости симметрии тела и проходя-
730
Раздел III. Динамика
щей через центр масс тела, будем иметь, что хюс = 0 и, следователь-
следовательно, Я<а>=0, а "_
Mf = ~]zz. A3)
Таким образом, в рассматриваемом случае система сил инерции
приводится к одной паре, лежащей в плоскости симметрии тела и
имеющей момент М^, равный по модулю Jze и направленный в сторону,
противоположную вектору углового ускорения е тела.
Рис. 403
Задача 122. На барабан с неподвижной осью вращения О, представ-
представляющий собой однородный сплошной цилиндр радиусом г и весом Р,
намотана нить, к концу которой подвешен груз А весом Р1 (рис. 404).
Найти угловое ускорение барабана и натяжение нити, если груз будет
предоставлен самому себе. Силой трения в оси барабана и массой нити
пренебречь.
Решение. Заданная нам механическая система состоит из гру-
груза А, движущегося поступательно, и барабана, вращающегося вокруг
неподвижной оси О.
На тела этой системы действуют две активные силы Р и Ру.
Освободим барабан от связи (подшипник О), заменив ее действие
на барабан вертикальной и горизонтальной составляющими (/?х и R2)
полной реакции Л?о = ^-Н./^.
Решая эту задачу по принципу Даламбера приложим (условно)
к телам рассматриваемой системы силы инерции (рис. 404, а). Так
как груз движется поступательно, то равнодействующая i?(u> сил инер-
инерции точек этого груза должна быть приложена в его центре тяжести С.
При этом сила i?(M) направлена противоположно ускорению we центра
р
тяжести С груза Л и по модулю равна ./?<«>= —±-wc . Но так как нить
нерастяжима и не скользит по барабану, то модуль касательного уско-
Глава XXIV. Принцип Даламбера для механической системы
731
рения W1 = г& точки на ободе будет равен модулю we ускорения груза
А (нити) и, следовательно, #<«>= ^-rs. Кроме того, нужно приложить
силу инерции к каждой материальной частице барабана. Так как
ускорение такой частицы складывается из касательного ускорения Wk
и нормального ускорения wl, то сила инерции этой материальной
'////////////////////////Л
&
Рис. 404
частицы является равнодействующей двух сил: касательной силы
инерции Ф\, направленной противоположно ускорению w\ , и нормаль-
нормальной силы инерции (центробежной силы) Ф'1, направленной противо-
противоположно ускорению w\. Если массу материальной частицы обозначим
через mk, а ее расстояние от оси вращения через rk, то Ф\ и Ф% опре-
определим по модулю так:
Ф\ = mkw\ = mkrkz, Ф% = mkWk = tnkrki^,
где зиш — угловое ускорение и угловая скорость барабана.
На основании принципа Даламбера система сил, изображенных
на рис. 404, эквивалентна нулю. Поэтому Для указанной системы внеш-
внешних сил (активных и сил реакций связей) и сил инерции барабана
можно написать любое уравнение равновесия, в том числе и уравне-
уравнение моментов, т. е. 2 [mo{Fk) +пго{Фк)] = 0. Следовательно, прини-
принимая во внимание, что моменты относительно точки О силы Р, сил ре-
реакции Rx и R2 и нормальных сил инерции барабана равны нулю,
получим следующее уравнение:
732 Раздел III. Динамика
или
л
Сила натяжения нити в это уравнение не входит, так как для данной
системы эта сила является внутренней.
п
Так как ^ткгк = J0 есть момент инерции барабана относительно
оси О, причем для однородного сплошного цилиндра Jo— —*—, т0
уравнение (а) примет следующий вид*:
Отсюда находим
(P1+Q,5P)r
Для определения натяжения нити расчленим систему и рассмот-
рассмотрим в отдельности груз А, к которому приложены его сила тяжести
Р1 и сила инерции R(u\ а также реакция нити Т (рис. 404, б)
На основании принципа Даламбера система сил Рь T и /?(и> экви-
эквивалентна нулю. Поэтому для этой системы сил можно составить любое
уравнение равновесия, в том числе и следующее:
откуда находим искомое натяжение нити:
* * ч l g ' Л + 0.5/>
Задача 123. Стержень CD длиной 21, несущий на каждом из своих
концов груз весом Р, жестко скреплен с горизонтальным валом АВ
длиной 3/, опирающимся на подшипники А и В и вращающимся с по-
постоянной угловой скоростью со (рис. 405). Угол между осью вала и
стержнем равен а, место закрепления стержня с валом показано на
рис. 405. Найти реакции Ra и Rb подшипников А и В, пренебрегая
весом вала и стержня.
* Конечно, на основании формулы A3) мы могли бы сразу учесть, что силы
инерции барабана приводятся к паре с моментом М^ , равным по модулю
Р
Глава XXIV. Принцип Даламбера для механической системы
733
Решение. Когда вал АВ не вращается, то возникают статиче-
статические опорные реакции, которые уравновешивают активные внешние
силы, действующие на вал. При вращении вала возникают силы инер-
инерции грузов, которые действуют на подшипники А и В. Со стороны этих
подшипников возникают дополнительные опорные реакции /?д и /?в,
действующие на вал АВ.
Ф.
Рис. 405
Для нахождения реакций Ra и Rb применим принцип Даламбера,
для чего к каждому из грузов С и D приложим (условно) нормальные
силы инерции Фх и Ф2 этих грузов, направленные по радиусам вра-
вращения грузов от оси вращения* и равные по модулю Фх—Ф^—Ф =
Р Р
— — га>2= — /co2sina, где г—радиус вращения грузов.
_Приложив (условно) к грузам их нормальные силы инерции Ф^
и Ф2, составим следующие уравнения равновесия сил:
EkJ^ ^J] l-l cos a) +
2 \тв
в (ФА)] = (Ф -Р) B /- Jcosa)-
— (Р + Ф) B I + /cos а) + 3#л / = о,
* Заметим, что касательные ускорения грузов С и D, принимаемых нами за
материальные точки, а следовательно, и их касательные силы инерции равны
нулю, так как грузы С и D вращаются равномерно.
734
Раздел III. Динамика
которым согласно принципу Даламбера должны удовлетворять силы
тяжести грузов, реакции подшипников и нормальные силы инерции
грузов.
Решая эти два уравнения, находим
--tl^-*.2
-2).
В
Задача 124. Тонкий однородный стержень О А веса Р и длины I
вращается с постоянной угловой скоростью «> вокруг оси О, перпенди-
перпендикулярной к стержню (рис.406, а).
Найти возникающую вследствие
вращения силу растяжения Т в точ-
точке В стержня, отстоящей на рассто-
расстоянии х от оси вращения О.
Решение. Искомая сила Т
является внутренней. Для опреде-
определения этой силы разрежем стер-
стержень ОА на две части и рассмот-
рассмотрим движение части ВА длины
/ — х (рис. 406, б). Действие отбро-
отброшенной части ОВ заменится прило-
приложенной в точке В искомой силой
растяжения Т. Сила Т должна по
принципу Даламбера уравновесить
главный вектор /?<"> сил инерции
точек на участке В А, т. е. /?(">—Т=0,
или T = i?<").
Так как стержень О А вращается
равномерно, то касательные уско-
ускорения точек на участке В А, а следовательно, их касательные силы
инерции равны нулю, а нормальные силы инерции будут
Рис. 406
= — т
»2^.
где -f — плотность на единицу длины стержня. Очевидно, что модуль
главного вектора сил инерции будет
и, следовательно,
Глава XXIV. Принцип Даламбера для механической системы
735
Максимальная растягивающая сила имеет место при х=0, т. е.
в месте прикрепления стержня к оси вращения, причем эта сила будет:
¦* max г» _ 1 •
§116. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕАКЦИИ В ТОЧКАХ
ЗАКРЕПЛЕНИЯ ОСИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА
Вернемся к задаче о вращательном движении твердого тела вокруг
неподвижной оси, которая была уже рассмотрена раньше (§ 111),
но не будем ограничиваться теперь только выводом уравнения движе-
движения тела, а найдем еще и реакции в точках закрепления оси вращаю-
вращающегося тела, осуществив закрепление этой оси при помощи подпят-
подпятника и подшипника.
Рассмотрим какое-нибудь твердое тело, вращающееся под дейст-
действием заданных активных внешних сил* F[e), Fp,..., F^ с переменной по
модулю угловой скоростью w вокруг оси, закрепленной в подпятнике
Лив подшипнике В (рис.407). В этом
случае модуль и направление сил ре-
реакций NA и Nb подпятника А и под-
подшипника В будут зависеть от задан-
заданных внешних сил F\e), F^K •••.^<f> и
состояния движения тела.
Возьмем начало координат в цент-
центре подпятника А, ось z направим по
оси вращения тела, а оси х я у напра-
направим произвольно, причем будем пред-
предполагать, что эти оси связаны с рас-
рассматриваемым телом и, следовательно,
вращаются вместе с ним. Расстояние
между центрами подпятника А и под-
подшипника В обозначим через h. Реак-
Реакции NA и NB разложим по осям ко-
координат и обозначим их составляю-
составляющие через Ха, Ya, Za и Хв, Ув-
Для определения реакций Ха, Ya,~Za, XbkY~b воспользуемся прин-
принципом Даламбера. Предварительно найдем выражения главного век-
вектора и главного момента всех сил инерции.
Главный вектор сил инерции согласно формуле (8, § 115) равен
F,
Рис. 407
"С-
A)
: На рис. 407 эти силы обозначены без верхнего индекса «е».
736
Раздел III. Динамика
Используя полученную в кинематике формулу B5, § 65), можно
записать
йус= s X rc+ (ox vc= е xrc+(i)X («X rc),
где s— вектор углового ускорения тела, a vc= шхгс — скорость цент-
центра масс С тела, гс— его радиус-вектор (рис. 407).
Очевидно, что
i i k
0 0 о)
xc
I / Я
О 0 (о
-шус wxc О
i
0
хс
i
0
Ус,
я
?
гс
+ 0) & X
где «о = u> &, а со — проекция вектора и на ось г.
Отсюда, в соответствии с формулой A), находим
(U) = + M(SJ
t— /И (е Хс —
B)
Проектируя обе части этого равенства на оси координат Axyz по-
получаем
T = о.
C)
Главный момент сил инерции относительно полюса А (центр под-
подпятника А) определяется по формуле
, = v гь х ф„ = - S
X
D)
4=1
k=l
t=l
где mk—масса элементарной частицы тела,_уу— ее радиус-вектор,
проведенный из полюса, a wk — sXrk + шх (u>Xrft)=—(sj/ft+(»2JCA) t+
+ (e#A — ®2Ук)} — ускорение этой частицы (рис. 407).
Учитывая это значение wk, мы можем представить выражение
7kx wk в виде
Глава XXIV. Принцип Даламбера для механической системы
737
Гь X wb =
1
4k
0
= (— e XkZk + w2 ykzk)T— (e ykzk + ш2 x^J+ e (*"? +
и, следовательно, при этом формула D) примет вид
4=1
Мл = I
I
n
Выражения ^rnkzkyk и
4=1
4 = 1
7— e [ 2
^ikkk 24гЛ представляют собой, как извест-
4=1 4=1
но, центробежные моменты инерции Jyz и Jzx данного тела, а сумма
п
х\ +f/| )есть момент инерции /гтела относительно оси г, поэтому
4=1
= (sy«-a.Vy2) i + (е
j — eJ,k.
E)
Проектируя обе части этого равенства на оси координат Ахуг,
получим
F)
Если обозначим главный вектор заданных активных внешних
сил F\e\ F<?,... , F^ и главный момент этих сил относительно полю-
п п
са А через /?<е'=2^4 и Ма = 2тл^*>>• т0 согласно принципу Да-
k=\ 4=1
ламбера будем иметь
mA (NA ) + mA(NB) + MAU) = 0.
48 H. Ф, Сахарный
738
Раздел III. Динамика
Проектируя векторы этих равенств на оси координат Ахуг, по-
получим
2 = 0;
m
4- YB + Mur со2 — Мх„ s = 0;
= 0;
- nXB -j- </хг со2 -|- J s = 0;
G)
Так как эти уравнения составлены по отношению к подвижным
осям, связанным с телом, то входящие в эти уравнения величины Jхг,
Jyz, xQ и ус являются постоянными.
Если геометрия тела, распределение масс и активные внешние силы
известны, то тогда порядок решения задачи об определении реакций
ХД, Y'А, Za, Хв и Yв можно рекомендовать следующий. Определив
хс, у?, М, Jxz, Jyz, 2F[e)x, %Р{% 2^, 1>тхПе)),%ту(Пе))и
JmJF1*1), находим из шестого уравнения системы G) сначала угловое
ускорение е, а затем интегрированием определяем угловую ско-
скорость ш. Если найденные в и ш подставить в первые пять уравнений
системы G), то эти пять уравнений позволяют найти реакции
Ха, Yа, 2а подпятника А и реакции Хв, YB подшипника В.
Эти реакции называются динамическими реакциями в отличие от
статических, которые возникли бы, если бы тело оставалось под
действием задаваемых активных внешних сил в покое. Статические
реакции Х^т), Y{"\ Z^T>, X^ и УдТ), как известно из курса статики,
определяются из уравнений:
Глава XXIV. Принцип Даламбера для механической системы 739
k=i
Сравнивая эти выражения с формулами G), замечаем, что динами-
динамические реакции включают в себя статические, но содержат, кроме
того, еще дополнительные слагаемые, называемые дополнительными
динамическими реакциями Х^0П), Y^oa\ Z^on), Х(вдоп), Ygoa\ возникаю-
возникающими только вследствие вращения тела.
Поэтому, представив динамические реакции в виде
Ал , УА — YА
V(CT) i
й »
получим из уравнений G) следующие уравнения для определения до-
дополнительных динамических реакций:
С s = 0;
2 — /Иагс е = 0;
Z<«?n» = 0;
(8)
Возникает вопрос, весьма важный в технике, об условиях, при ко-
которых вращение не вызывает дополнительных динамических реакций,
т. е. об условиях, при которых динамические реакции делаются рав-
равными статическим при действии тех же активных внешних сил.
Из уравнений G) и (8) видно, что для того чтобы динамические ре-
V, 48*
740 Раздел III. Динамика
акции были равны статическим, необходимо и достаточно, чтобы
при со =/= 0 и г т^= 0 выполнялись следующие условия:
хс и>2 + ус s = 0; — Jy2co2 + ^? = 0;
Так как определитель этих двух систем однородных уравнений с неиз-
неизвестными хс, ус, Jхг и Jуг равен ш4+$2 и всегда больше нуля, то этим
уравнениям удовлетворяют только следующие значения неизвестных:
хс = 0, ус = 0; (9)
Jxt = 0, Ууг = 0. A0)
Равенства (9) показывают, что ось вращения г должна проходить
через центр масс С тела, а равенства A0) показывают, что ось враще-
вращения z должна совпадать с одной из главных осей инерции тела в точ-
точке Л. Но если эти условия выполнены, то, как известно, ось вращения
г будет являться одной из главньи центральных осей инерции тела.
Таким образом, если ось вращения является одной из главных цент-
центральных осей инерции тела, то реакции в закрепленных точках оси
при вращении тела, т. е. динамические реакции, не отличаются от
статических реакций, возникающих в этих точках при равновесии те-
тела под действием тех же активных внешних сил. В этом случае гово-
говорят, что вращающееся тело динамически уравновешено на оси вра-
вращения, а ось вращения называют свободной осью.
Задача динамического уравновешивания вращающихся тел играет
очень большую роль в машиностроении, так как угловые скорости
современных машин достигают весьма больших значений. Неболь-
Небольшие отклонения в установке оси вращения вызывают при больших
угловых скоростях резкое увеличение динамических реакций, что
является, конечно, нежелательным.
Предположим, что тело динамически не уравновешено, тогда пред-
представляется возможным рассмотреть следующие два частных случая:
1. Центр масс лежит на оси вращения, но ось вращения не является
главной. В этом случае хс = ус = 0 и из уравнения (8) следует, что
т. е. дополнительные динамические реакции образуют пару сил, мо-
момент которой определяется по формуле
М = hNTn) = hNTa) = A V{X{gon)J + (
+ u>4 . A1)
Глава XXIV. Принцип Даламбера для механической системы
741
2. Тело имеет плоскость (а) материальной симметрии (рис. 408),
перпендикулярную оси вращения, и центр масс С не лежит на оси
вращения.
Выберем точку О пересечения оси вращения с плоскостью матери-
материальной симметрии (з) за начало системы осей Oxyz. В этом случае
плоскость Оху совпадает с плоскостью
материальной симметрии (а), в которой
находится центр, масс С тела. При этом
ось вращения Oz, как известно, являет-
является главной осью относительно точки О,
т. е. J хг = Jyz = 0. Подставляя эти
значения в формулы F), находим
\7,
УИ^и)= Л1уи)=0. Воспользовавшись этими
значениями и двумя последними урав-
уравнениями моментов системы (8), полу-
получаем
т. е.
Рис. 408
где d=OA, b—OB (см. рис. 408). Отсюда следует, что дополнительные
динамические реакции N(*on) и 7V^on) параллельны и уравновешивают-
уравновешиваются главным вектором сил инерции #<")=—Mwc, который в этом
случае можно считать приложенным в центре масс С тела.
В заключение отметим, что в общем случае дополнительные дина-
динамические реакции jV^on) и Nl?m) приводятся к силе и к паре, которые
уравновешивают главный вектор и главный момент сил инерции. При
этом силы Л'^оп)и N(*on) должны быть определены из уравнений (8).
Однако для определения дополнительных динамических реакций (дав-
(давлений на ось) в точках закрепления оси вращения тела в отдельных
конкретных задачах обычно не пользуются готовыми уравнениями (8),
а каждый раз непосредственно применяют принцип Даламбера. При
этом одновременно учитывают все действующие на тело активные внеш-
внешние силы и определяют Динамические реакции в точках закрепления
оси вращения, которые складываются из статических и дополнитель-
дополнительных динамических.
Задача 125. На горизонтальный вал насажены два одинаковых
диска, которые имеют равные неуравновешенные грузы Рг и Р2, лежа-
лежащие в одной плоскости, проходящей через ось вращения, и отстоя-
отстоящие от оси вращения на расстоянии а (рис. 409). При этом ОхОг~1
и AB=h. Найти дополнительные динамические реакции подшипни-
47 Н. Ф. Сахарный
742
Раздел III. Динамика
ков Л и В, если вал вращается с постоянной угловой скоростью со
Решение. Чтобы определить дополнительные динамические
реакции подшипников, возникающие только вследствие вращения не-
неуравновешенных грузов Pt и Р2, определим силы инерции этих грузов.
Вал вращается равномерно,
а поэтому мы должны учесть
только нормальные силы инер-
инерции: Ф[п\ приложенную в точке
С\ и Фг"'. приложенную в точ-
точке С2.
Силы Ф\п) и Ф2п) параллель-
параллельны, направлены в разные сто-
стороны (рис. 409) и равны по мо-
модулю:
Рис. 409
g
Так как Pi—Pi=P, то модули нормальных сил инерции равны:
Следовательно, силы ф\п) и Ф2П> образуют пару сил, которая, оче-
очевидно, уравновешивается парой сил (N(*°n\ 7v<fп)). Моменты этих
пар по модулю равны друг дру-
другу. Следовательно,
откуда
-~
рис. 410
Пара G7^on), W%on)) все время
расположена в плоскости Ayz, вра-
вращающейся вместе с валом.
Задача 126. Прямой однород-
однородный круглый цилиндр весом Р, дли-
длины 2/ и радиуса г вращается с
постоянной угловой скоростью о>
вокруг вертикальной оси г, про-
проходящей через центр тяжести С
цилиндра; угол между осью цилин-
цилиндра 2j и осью г сохраняет при этом
Глава XXIV. Принцип Даламбера для механической системы
743
постоянную величину а (рис. 410). Расстояние между подпятником
А и подшипником В равно 2й, центр масс цилиндра делит это рас-
расстояние пополам. Определить реакции подшипника и подпятника
для того положения цилиндра, при котором его ось лежит в плоско-
плоскости чертежа.
Решение. Возьмем две системы координат: неподвижную
Cxyz и подвижную Схгухгх, связанную с цилиндром. Обе системы имеют
общее начало — центр масс С цилиндра. Очевидно, что в рассматри-
рассматриваемом положении оси х и хх совпадают. Единственной внешней актив-
активной силой является сила веса Р, приложенная в центре масс С и, сле-
следовательно, не дающая моментов относительно осей. Для решения
задачи воспользуемся готовыми уравнениями G):
Мхс
2) 2 F% + УА + Ув + Мус ш«- Мхс s = 0;
3)
*=i
4)
k=i
п
5) 2 my
my(RA)
== 0.
Так как в данном случае е = 0 и Хс = ус = 0, то эти уравнения
примут вид:
1) ХА + Хв = 0;
2) YA + YB = 0;
3) ZA = Р;
4) YAh~ YBh — i»4yz^0;
(а)
Из этих уравнений видно, что для нахождения реакций подпятни-
подпятника Л и подшипника В необходимо знать выражения для центробежных
моментов инерции J^z и Jхг. Для определения Jyz и Jхг воспользуемся
тем, что оси Cxv Cyx и Сгх являются для однородного цилиндра
47*
744 Раздел III. Динамика
главными центральными осями. Следовательно, уравнение эллипсои-
эллипсоида инерции для точки С в этих осях будет (см. 28, § 101):
Значения осевых моментов JXx, Jyi и J4 определятся по формулам
A8, § 101), а именно:
где М, г и 2/— масса, радиус и высота цилиндра. Перейдем теперь
к системе координат Cxyz, которую можно рассматривать в данный
момент как результат поворота системы Сххухгх вокруг оси Схх на
угол а. Формулы перехода будут
хх = х, yx = ycosa— 2sin a, zx = у sin а -f- 2 cos а,
и, следовательно, уравнение эллипсоида инерции примет вид
JXy X2 + Jyi {у cos,a.~z sin aJ -}- JZl (у sin a -j- 2 cos аJ = 1,
или
JXl хг + (/У1 cos2 а + /Zi sin2 a) i/2 + (^y, sin2 а + J2i cos2 a) z2 —
— 2 (/y, — JZl) sin a cosa-yz — I.
Сравнивая это уравнение с уравнением эллипсоида в общей форме
<см. 27, § 101)
Jxx* f Jyy* + Jzz* — 2Jyzyz~ 2Jzxzx~2Jxyxy = 1,
мы видим, что
где Л4 = —.
Подставляя эти значения в уравнения (а), получим
4
3 4 /
Глава XXV. Элементы аналитической механики 745
Глава XXV
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
§117. КЛАССИФИКАЦИЯ СВЯЗЕЙ
В главе XVIII были даны необходимые понятия свободной и не-
несвободной точки и понятия связей, наложенных на материальную
точку.
Материальная точка называется свободной, или без связей, если ее
движение определяется только приложенными активными силами и
начальными условиями. Под активными силами будем понимать все
силы, кроме реакций связей, а под начальными условиями — задан-
заданные начальное положение и начальную скорость точки.
Механическая система, состоящая из свободных материальных то-
точек, называется свободной.
Солнечная система — свободная механическая система, так как
движение всех планет определяется только силами всемирного тяго-
тяготения.
Материальная точка называется несвободной, или со связями, если
ее движение подчинено некоторым ограничениям, не зависящим от
приложенных активных сил и начальных условий.
Механическая система, состоящая из несвободных материальных
точек, называется несвободной.
Всякий механизм является примером несвободной механической
системы.
Ограничения движений (координат и скоростей) точек механиче-
механической системы, не зависящие от приложенных активных сил и началь-
начальных условий, называются связями.
Как уже отмечалось, всякая связь представляет собой практически
некоторое тело, с которым соприкасается данная механическая систе-
система при своем движении. Отвлекаясь от конструктивного оформления
связей, которое может быть весьма разнообразным (шарниры, под-
подшипники, нити, стержни, рельсы, площадки и т. д.), мы будем пред-
представлять их себе схематически в виде геометрических линий, точек,
поверхностей. При этом связи могут быть выражены математически
в виде уравнений, которые называются уравнениями связей. Эти урав-
уравнения могут содержать координаты точек механической системы, вре-
время, а также, вообще говоря, и скорости точек этой системы.
1. Стационарные и нестационарные связи. Связи, которые не ме-
меняются с течением времени, называются стационарными связями. Урав-
Уравнения этих связей не зависят явным образом от времени. Так, напри-
например, если определить произвольное положение кривошипно-шатун-
ного механизма положением трех его точек О, А и В (рис. 411), то нуж-
746
Раздел III. Динамика
но будет написать для данной системы следующие пять уравнений
связей:
xi — Ух — Уз — 0;
О)
Рис. 411
Эти уравнения связей выражают неподвижность точки О, сколь-
скольжение точки В по оси х, неизменяемость расстояний О А и А В и дают
такую зависимость между координатами этих трех точек, которая вы-
выполняется при всяком движении механизма.
В уравнения A) время t явно
не входит (хотя хг, уъ и х3 являют-
являются, вообще говоря, функциями
от t). Поэтому такие связи являют-
являются стационарными.
Связи, которые меняются с те-
течением времени, называются неста-
нестационарными связями. Уравнения
этих связей явно зависят от време-
времени t. Допустим, что ползун В кри-
вошипно - шатунного механизма
скользит по поверхности стола, который совершает заданные гармони-
гармонические колебания в вертикальном направлении (рис. 412): у=а sin Kt.
Тогда уравнения связей данной системы будут
Уз)
Рис. 412
г/3 — a sin Kt =a 0;
B)
Глава XXV. Элементы аналитической механики
747
Полученное уравнение связи
у3 — asintct = 0
явно зависит от времени. Поэтому эта связь является нестационар-
нестационарной.
2. Удерживающие и неудерживающие связи. Удерживающими
связями называются связи, которые сохраняют свое действие во все
время движения точек системы. Неудерживающими связями назы-
называются связи, которые могут в некоторые промежутки времени пре-
прекращать и возобновлять свое действие. Чаще всего такого рода связи
прекращают свое действие в определенном направлении и сохраняют
свое действие в противоположном направлении. Уравнения удержи-
удерживающих связей задаются равенствами, а
уравнения неудерживающих связей за-
задаются неравенствами.
Рассмотрим пример неудерживающей
связи. Возьмем систему из двух мате-
материальных точек А и В, скрепленных
жестким стержнем длиной /, которые
скользят по окружности, расположенной
в вертикальной плоскости (рис. 413).
При этом предполагается, что эта систе-
система свободно опирается на окружность
и может отходить от нее внутрь. Ясно,
что при некоторых начальных условиях
и силах рассматриваемая система про- Рис. 413
бежит вдоль всей окружности, не отры-
отрываясь от нее. При других же условиях она упадет, отделившись от
связи, причем расстояния точек А и В от центра О станут меньше г.
Объединяя оба эти случая и задавая положение системы координатами
xi> Ух> Х2 и уг, получаем
у% _|_ „2 Г2 ^ П- 1
C)
Связи, выраженные неравенствами C), являются неудерживаю-
неудерживающими. Все же рассмотренные выше связи являются удерживающими.
Следует отметить, что наиболее часто и в наиболее важных практичес-
практических случаях встречаются удерживающие связи (например, в машино-
машиностроении).
3. Голономные и неголономные связи. Связи делятся также на
голономные (геометрические) и неголономные (кинематические). Голо-
номными называются связи, которые накладывают ограничения толь-
только на положение точек механической системы. В уравнения голоном-
748
Раздел III. Динамика
У
ных связей входят координаты точек системы и не входят производ-
производные от этих координат по времени (проекции скоростей точек).
Неголономными называются связи, которые накладывают ограни-
ограничения на скорости точек механической системы. В уравнения неголо-
номных связей входят координаты
точек системы и производные от
этих координат по времени. Эти
уравнения представляют собой не-
интегрируемые дифференциальные
уравнения.
Рассмотренные ранее связи пред-
представляют собой примеры голоном-
ных связей.
В качестве еще одного приме-
примера голономных связей рассмотрим
колесо, катящееся по рельсу без
скольжения (рис. 414).
Так как колесо не отрывается от рельса и перекатывание проис-
происходит без скольжения, то ограничения, наложенные на движение ко-
колеса, можно записать в виде
Рис. 414
v. = vc + ш х С А = О,
D)
где vc—скорость центра С колеса, а ш — его мгновенная угловая
СКОРОСТЬ (ш = ф).
Проектируя равенство D) на ось Ох и используя формулу
получаем
хс~>
E)
Это дифференциальное уравнение является интегрируемым, и при
интегрировании его получаем, что
хс =
при следующих начальных условиях:
= 0.
Глава XXV. Элементы, аналитической механики
749
Таким образом, уравнения
F)
не содержат производных от координат по времени. Поэтому связи
F) являются голономными.
Из этого примера видно, что если при составлении уравнений свя-
связей получаются интегрируемые дифференциальные уравнения, то эти
связи являются голономными (интегрируемыми).
Рис. 415
Таким образом, уравнение голономной (удерживающей, стационар-
стационарной) связи, наложенной на механическую систему, состоящую из п
материальных точек, имеет вид
/(*!, ylt zx,..., ха, уя, zn) = 0.
Примером неголономной (неинтегрируемой) связи является каче-
качение шара без скольжения по горизонтальной плоскости (рис. 415).
Здесь также на движение шара наложены ограничения:
zr = R,
v = vr + (о X С А = О,
G)
где vc—скорость центра С шара, а ш —его мгновенная угловая
скорость.
Очевидно, что
VCx =
'Cz
750 Раздел III. Динамика
y = 0; (CA)z = -R.
Учитывая эти равенства и вспоминая кинематические уравнения
Эйлера B9, § 75), т. е. уравнения:
шг = ср sin б sin d> + 6 cos ф;
шу = —ср sin 6 cos ф + 6 sin i/,
шг = ф + ? cos 9,
можно уравнение G) представить в следующем виде:
i j k
cpsinOsintli+Gcos^, —cp sin 6 cos ф + 0sin i|>, cpcos6+ d/
0 0 ~R
= 0.
Отсюда получаем выражения, являющиеся множителями при ор-
ортах i и /:
xc + R(c? sin 9 cos d> — 6 sin ']>) = 0, ]
(8)
yc + R (© sin 6 sin <!> + 6 cos ф) = 0. J
Уравнения (8) представляют собой неинтегрируемые дифферен-
дифференциальные уравнения. Следовательно, в отличие от предыдущего при-
примера здесь условие G) дает дифференциальные неинтегрируемые урав-
уравнения связи (8). Откуда следует, что в рассматриваемом случае связи
являются неголономными (неинтегрируемыми).
В дальнейшем мы будем рассматривать только голономные удержи-
удерживающие связи.
Механические системы, обладающие только голономными свя-
связями, называются волономными. Если же среди связей имеются него-
лономные, то механическая система называется неголономной.
§118. ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ И ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ
СВОБОДЫ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Здесь и в дальнейшем изложении будут рассмотрены только голо-
голономные механические системы.
Пусть на механическую систему, состоящую из п материальных
Глава XXV. Элементы аналитической механики 751
точек с Зп координатами, наложено s голономных (стационарных,
удерживающих) связей:
M*i. #i> *i> ..., хп, уп, г„) = 0, A)
где i=l, 2, ... , s.
Если s=3n, то из 3/г уравнений вида A) определяются все Зп
координат точек механической системы и, следовательно, эти коорди-
координаты будут иметь некоторые постоянные значения, а потому механи-
механическая система двигаться не будет. Для того чтобы эта система могла
двигаться, необходимо, чтобы s было меньше 3/г. В этом случае не все
Зп координат точек голономной системы являются независимыми друг
от друга, так как из s уравнений связей A), можно s каких-нибудь
координат выразить через остальные Зп—s координат. Следовательно,
только Зп—s координат можно рассматривать как независимые пере-
переменные, которые могут принимать произвольные значения, все же
остальные s координаты найдутся из уравнений связей A) как функции
этих независимых координат. Так что для определения положения
рассматриваемой голономной механической системы относительно ка-
какой-либо системы отсчета достаточно задать из Зп координат этой си-
системы только лишь Зп—s координат.
Поясним это на примере кривошипно-шатунного механизма
(рис. 411). Если обратимся к тем координатам, которые были вы-
выбраны в этом примере для определения произвольного положения ме-
механизма, то увидим, что не все эти координаты можно задавать неза-
независимо друг от друга. Так, шесть координат точек О, А и В связаны
друг с другом пятью уравнениями связи A). Следовательно, для
точного определения положения системы в данном случае достаточ-
достаточно задать только лишь одну из переменных координат (х2, у2 или х3),
все остальные найдутся из уравнений связи A).
В качестве независимых координат, определяющих положение го-
голономной системы, не обязательно должны выбираться какие-нибудь
из декартовых координат точек этой системы; ими могут быть любые
(по геометрическому смыслу и размерности) параметры.
Если связи, наложенные на механическую систему, являются го-
лономными удерживающими, то число независимых параметров, одно-
однозначно определяющих положение точек системы, называется числом
степеней свободы этой системы.
Например, для кривошипно-шатунного механизма (рис. 411),
как мы уже установили, независимой координатой, однозначно опре-
определяющей положение механизма, будет координата х2 или хя, или уг.
Независимую координату, однозначно определяющую положение
механизма, вовсе не обязательно брать из числа указанных выше коор-
координат (х2, у2 или х3), можно взять любой другой параметр, определяю-
определяющий положение этого механизма, например угол поворота <р криво-
кривошипа О А. Следовательно, рассматриваемый механизм имеет одну сте-
степень свободы.
752 Раздел III. Динамика
В результате мы приходим к следующему определению: независи-
независимые друг от друга параметры, число которых равно числу степеней
свободы системы и при помощи которых можно в любой момент одно-
однозначно определить положение этой системы и, следовательно, выразить
декартовы координаты всех ее точек через эти параметры, называются
обобщенными координатами голономной системы.
Так, твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет
одну степень свободы, так как его положение вполне определяется
одной обобщенной координатой, т. е. углом поворота вокруг оси вра-
вращения.
Твердое тело, совершающее плоскопараллельное движение, имеет
три степени свободы, так как его положение вполне определяется тре-
тремя обобщенными координатами: двумя координатами центра тяжести
хс и ус любого сечения, проведенного параллельно неподвижной плос-
плоскости, и углом поворота <р вокруг оси, которая перпендикулярна к
сечению и проходит через его центр тяжести. Твердое тело, вращающе-
вращающееся вокруг неподвижной точки, имеет три степени свободы, так как
его положение определяется тремя обобщенными координатами:
тремя углами Эйлера ер, ф и 8.
Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы, так как
его положение определяется шестью обобщенными координатами:
тремя координатами центра тяжести хс, ус, ^с и тремя углами Эйлера
ер, ф И 6.
Подавляющее большинство механизмов являются механическими
системами с одной степенью свободы.
Значительно реже встречаются механизмы с двумя степенями сво-
свободы и очень редко — с тремя степенями свободы.
Предположим, что механическая система, состоящая из п точек,
имеет р степеней свободы и на нее наложены голономные стационар-
стационарные связи. Обозначим обобщенные координаты этой голономной
системы через qlt q2, ... , qp.
Тогда декартовы координаты каждой точки рассматриваемой си-
системы могут быть выражены через обобщенные координаты и мы будем
<7а. •••- ЯР)\
Яг, — , Яр)>
zk =z*(?i> <Ь ••¦ > Яр)
(k=l, 2,..., п).
C)
Например, в случае кривошипно-шатунного механизма (рис. 411),
имеющего одну обобщенную координату g=tp и, следовательно, одну
* Если связи нестационарные, то в этих выражениях также будет фигури-
фигурировать в явном виде время t.
D)
Глава XXV. Элементы аналитической механики 753
степень свободы, уравнения для координат точек А и В примут вид:
x2 = rcos<p;
г/2 = rsin cp;
х3 = г cos cp -f- ~[//2 — r2 sin2 cp ;
Уг = О-
Заметим, что если мы исключим из 3/г уравнений C) р обобщенных
координат qlt q%, ... , qp, то получим 2>п—p=s уравнений между коор-
координатами xk, уk, Zk (k—l, 2, ... , п), т. е. найдем уравнения стационар-
стационарных голономных связей A).
Уравнения движения голономной механической системы всегда
можно представить через обобщенные координаты в виде
<h = ft(9. а2 = <7.(9- ¦¦• • ЯР = ЯР({),
причем производные от обобщенных координат по времени
dqi ¦• d2o/
называются соответственно обобщенными скоростями и обобщнными
ускорениями.
§119. ВОЗМОЖНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Если на данную механическую систему наложены связи, то эта
система не в состоянии совершать любые перемещения, так как связи,
наложенные на систему, допускают лишь некоторые перемещения
точек этой системы.
Для несвободной механической системы может быть введено поня-
понятие о возможном, или виртуальном перемещении, весьма существенно
отличающимся от действительного перемещения системы, с которым
мы имели дело в предыдущих главах.
Возможным перемещением механической системы называется всякое
воображаемое бесконечно малое перемещение ее точек, допускаемое в
данный момент наложенными на систему связями, или, иными сло-
словами, всякое воображаемое бесконечно малое перемещение точек
системы, которое могли бы совершить эти точки в данный мо-
момент из данного их положения, не нарушая связей.
Аналогично вводится понятие о возможном перемещении и для
одной несвободной материальной точки.
Понятие возможного перемещения точки или механической систе-
системы точек есть, следовательно, понятие чисто геометрическое. Возмож-
Возможное перемещение точки или системы не зависит от действующих на
точку или систему сил, а зависит только от характера наложенных
754 Раздел 111. Динамика
на точку или систему связей. При возможном перемещении точки или
системы наложенные связи сохраняются и не препятствуют этому чисто
геометрическому смещению точки или системы. Перемещение, при ко-
котором данная точка или система покидает наложенные связи, не яв-
л яется «возможным».
Рассмотрим, например, материальную точку М, которая принужде-
принуждена оставаться на данной неподвижной поверхности (рис. 416), задан-
заданной уравнением
f(x,y,z) = 0, A)
представляющим собой уравнение удерживающей стационарной голо-
номной связи. Из уравнения связи A) следует, что две из трех коор-
координат точки М можно рассмат-
рассматривать как независимые пере-
переменные, которые могут прини-
принимать произвольные значения, а
третья координата определится
из этого уравнения связи как
функция первых двух независи-
независимых координат. Поэтому рас-
рассматриваемая точка имеет две
степени свободы. Возьмем ка-
Рис. 416 кое-нибудь одно положение точ-
точки М в произвольный момент
времени t (рис. 416) и представим себе мысленно, что течение времени
остановилось и вместе с ним застыла и точка в этом положении. Со-
Совершенно отвлекаясь от действительного движения точки и забыв
при этом о действующих на точку силах и об ее траектории, посмот-
посмотрим, по каким направлениям ей дозволяет перемещаться наложен-
наложенная на нее связь из данного ее положения.
Так как в рассматриваемом примере связью является поверхность,
то она дозволяет перемещаться точке в любом направлении вдоль этой
поверхности. Вектор такого бесконечно малого перемещения точки
М, при котором эта точка не сходит с данной поверхности, является
вектором возможного перемещения точки М, направленным по каса-
касательной к этой поверхности в точке М в любую сторону, т. е. вектор
возможного перемещения точки М лежит в касательной плоскости
к данной поверхности. На рис. 416 этот вектор обозначен через or,
где г есть радиус-вектор точки М, проведенный из начала координат.
Не следует смешивать возможное перемещение точки М с ее дей-
действительным перемещением. При движении точки М из всех ее возмож-
возможных перемещений (их может быть много) имеется одно действительное
перемещение dr, обусловленное не только характером наложенной
на точку М связи, но и действующими на эту точку силами, а также
и начальными условиями.
Глава XXV. Элементы аналитической механики
755
Так как в рассматриваемом примере (рис. 416) поверхность непод-
неподвижна (стационарная связь), то траектория действительного движения
точки лежит на этой поверхности. В этом случае вектор действитель-
действительного перемещения dr направлен в сторону движения точки по каса-
касательной к траектории, а следовательно, и к поверхности, а поэтому
направление вектора dr совпадает с одним из направлений возможных
перемещений or.
Если же поверхность сама движется с течением времени по опре-
определенному закону [нестационарная связь, / (х, у, г, 0=0], то траекто-
траектория действительного движения точки уже не будет лежать на этой
поверхности. Вектор dr, касательный к траектории, в этом случае
не будет лежать в касательной плоскости к поверхности. Что же ка-
касается возможных перемещений or, то они определяются при оста-
У
А(Х,.У,)
Рис. 417
новленном времени, а следовательно, и при остановленных связях.
Поэтому векторы Ьг останутся по-прежнему в касательной плоскости
к поверхности, и направление вектора dr в этом случае не совпадает
ни с одним из направлений 8г.
Аналогично на схеме а (рис. 417) для точки В возможные переме-
перемещения Ьг будут направлены по оси х вправо и влево, а действительное
перемещение dr тоже направлено по оси х, но в данном примере только
влево. На схеме б (рис. 417) возможные перемещения Ьг остаются па-
756 Раздел III. Динамика
раллельными оси х, в то время как действительное перемещение dr
направлено под некоторым углом к оси х за счет перемещения стола D
в вертикальном направлении. Следовательно, в этом примере под воз-
возможным перемещением точки В нужно понимать ее горизонтальное
относительное перемещение по отношению к перемещающемуся столу
D, но не абсолютное перемещение, складывающееся из этого относи-
относительного перемещения и переносного перемещения в вертикальном
направлении вместе со столом D.
Таким образом, из рассмотренных примеров можно сделать следую-
следующие выводы: 1) в случае стационарных голономных связей направление
действительного перемещения dr точки совпадает с одним из ее воз-
возможных перемещений Ъг, и если изменить закон движения точки при
сохранении той же связи, то направление dr совпадает с некоторым
другим из той же совокупности возможных перемещений Ъг; 2) в слу-
случае же нестационарных голономных связей действительное перемеще-
перемещение dr точки, вообще говоря, не совпадает ни с одним из возможных
перемещений 8г.
Если действительное перемещение dr точки есть дифференциал
функции г=г (/), определяющей закон движения этой точки, то воз-
возможное перемещение Ъг той же точки является по своему смыслу ва-
вариацией функции г—г (t), ибо вариацией функции, как это известно
из вариационного исчисления, называется элементарное изменение
ее значения за счет изменения вида самой функции при неизменном
значении аргумента (t). В самом деле, возможное перемещение точки
мы искали именно при остановленном времени t, а изменение вида
функции r=r (t) у нас заключалось в том, что мы допускали любые
законы воображаемого бесконечно малого перемещения точки, совмес-
совместимое с наложенными на нее в данный момент t связями.
Аналогично известной нам формуле
dr = dxi -\-dy} + dzk,
для вектора Ъг имеем
Ъг = Ъх1 4- tyj + <>2&,
где величины Ъх, Ъу, Ъг (проекции вектора Ъг на координатные оси)
называются вариациями координат х, у, z точки. Вообще варьирова-
варьирование (т. е. взятие вариации) функции выполняется формально по тем же
правилам, что и дифференцирование, если считать аргумент t за по-
постоянную. Путем такого варьирования уравнений связи можно найти
зависимость между вариациями координат точки, на которую эта связь
наложена.
Предположим, что на материальную точку М с координатами х, у,
z наложена стационарная голономная свзяь A) и что эта точка полу-
Глава XXV, Элементы аналитической механики 757
чила возможное перемещение, при котором ее координаты изменились
в x-j-Ьх, у+Ьу, z+bz. Так как новые координаты должны удовлетво-
удовлетворять уравнению связи A), то будем иметь равенство f (х-\-Ъх, у-\-Ьу,
z+Sz)=O. Разлагая левую часть этого равенства в ряд Тейлора, удер-
удерживая лишь члены первого порядка малости, получим
Но согласно равенству A) / (х, г/, г)=0, и, следовательно, будем иметь
уравнение:
левая часть которого представляет собой не что иное, как полный диф-
дифференциал функции / (х, у, г). Таким образом, при наличии стацио-
стационарной связи / (х, у, г)=0 вариации Ьх, by, ог координат х, у, z точки
должны удовлетворять соотношению B). Согласно данному в § 91
определению градиента от скалярной функции / (х, у, z) как вектора
grad / с проекциями ~, ~, — , можно переписать равенство B)
в форме:
grad/-S7=0.
Вспоминая что grad / представляет вектор, направленный по внеш-
внешней нормали к поверхности / (х, у, z)=0, перепишем равенство C)
в виде
п-ъ7=о,
где п—орт внешней нормали к поверхности / (х, у, z)=0. Но равен-
равенство нулю скалярного произведения векторов п и Ьг выражает, как
известно, условие перпендикулярности этих векторов. Поэтому из
равенства B) следует, что вектор 8 г возможного перемещения точки М
перпендикулярен к вектору п, т. е. лежит, как уже указывалось, в
касательной плоскости к поверхности / (х, у, z)=0.
Рассматривая теперь действительное перемещение точки М, при
котором ее координаты х, у, z обратятся в x-\-dx, y+dy, z+dz, мы
точно так же получим уравнение
V-dx + p-dy + ^-dz^O.
дх ду а дг
Сравнивая это равенство с равенством B), убеждаемся в том, что в
случае стационарных связей проекции действительного перемещения
удовлетворяют тому же уравнению, что и возможного, или, что то же,
758 Раздел III. Динамика
действительное перемещение точки есть, как уже ранее отмечалось,
одно из ее возможных перемещений.
Предположим теперь, что на материальную точку М наложена не-
нестационарная голономная связь, выражаемая уравнением/ (х, у, z,t)~O,
и что после возможного перемещения точки ее координаты
х, у, z изменились в х+Ьх, у+Ьу, z+bz. Так как эти координаты точки
по определению возможного перемещения должны удовлетворять
уравнению связи / (х, у, z, t)=0, то / (х+Ьх, у+Ъу, z+bz, 0=0.
Разлагая левую часть этого равенства в ряд Тейлора, удерживая
лишь члены первого порядка малости и обращая внимание на уравне-
уравнение / (х, у, г, 0=0, получим
Отсюда видно, что на вариации 8*, Ьу, Ьг координат х, у, z точки неста-
нестационарность связей никакого влияния не оказывает, потому что время
не варьируется (8^=0). Как в случае стационарной связи, так и в
нестационарной три вариации координат точки оказываются связан-
связанными одним и тем же уравнением B) или D). При этом в обоих слу-
случаях независимых вариаций будет, следовательно, две, а третья вариа-
вариация определяется из уравнения B).
Теперь при наличии нестационарной связи / (х, у, z, 0=0 рассмот-
рассмотрим действительное перемещение точки, при котором ее координаты
х, у, z обратятся в x+dx, y+dy, z+dz. При этом необходимо учесть,
что за время, в течение которого происходит действительное пере-
перемещение точки, меняется и связь, так что будет иметь место равенство:
/ (x+dx, y+dy, z+dz, t+dt)=O. Разлагая левую часть этого ра-
равенства в ряд Тейлора, удерживая лишь члены первого порядка ма-
малости и обращая внимание на уравнение / (х, у, г, 0=0, получим
lL^^L^Ldt = O. E)
С другой стороны, из этого уравнения имеем
4*-dx+ 4L<iy+ 41- dz=--!f л ф о,
дх ду v ' dz dt '
ИЛИ
т. е. действительное перемещение dr точки не перпендикулярно к нор-
нормали поверхности / (х, у, 2, 0=0 в этой точке (не лежит в касатель-
касательной плоскости). Таким образом, если наточку наложена нестационар-
нестационарная связь / (х, у, г, 0=0, то проекции dx, dy, dz действительного пе-
перемещения dr точки удовлетворяют уже другому уравнению, чем
Глава XXV. Элементы аналитической механики 759
проекции Ьх, Ьу, Ъг возможного перемещения Ьг точки. Это значит,
что действительное перемещение dr точки в случае нестационарной
связи не принадлежит, как уже ранее указывалось, к числу возмож-
возможных Ьг. Теперь ясно видно, что действительное перемещение точки при-
принадлежит к классу возможных только в том случае, если связь, нало-
наложенная на эту точку, стационарна; тогда -gj=O и уравнение E)
совпадает с уравнением B).
В заключение рассмотрим механическую систему, состоящую из п
материальных точек с Зл координатами. Пусть на эту систему нало-
наложены s удерживающих стационарных голономных связей вида
№- </i- zi хп' Уп> zn) = 0 F)
(t= I, 2,... , s),
Дадим механической системе некоторое перемещение, вследствие
которого координатьиточек системы получат приращения, равные так
называемым вариациям этих координат Ьхк, Ьук, ozK (k=\, 2, ... , п).
Эти вариации, число которых равно Зп, не будут независимыми, так
как вследствие голономных связей F) они должны удовлетворять
s условиям вида
dfi
dzk
(i= 1, 2,..., s).
К) = О G)
которые мы получим, варьируя уравнения связей F).
Всякое возможное перемещение данной системы аналитически опре-
определяется значениями вариаций bxky Ъук, bzk (k=l, 2, ... , п) точек
системы, удовлетворяющими уравнениям G). Никакие другие условия
на вариации точек системы не налагаются, а так как s<3n — числа
вариаций, то из s уравнений G) можно s каких-нибудь вариаций вы-
выразить через остальные Зп—s вариаций. Поэтому только Зп—s вариа-
вариаций являются независимыми, которые могут получать произвольные
значения, а остальные s вариаций определяются из уравнений G).
Разность между числом координат системы Зя и числом наложен-
наложенных на нее голономных связей, как уже указывалось в § 118, равна
числу степеней свободы р этой системы: Зп—s=p. Следовательно, число
степеней свободы голономной системы равно числу независимых вариа-
вариаций, т. е. числу независимых возможных перемещений, которые может
иметь данная система*. В пояснение только что сказанного рассмот-
* Заметим, что так как все выше изложенные соображения о возможных
перемещениях одной точки распространяются и на механическую систему, то
дальнейшее аналитическое освещение понятия возможного перемещения системы
в случае стационарных и нестационарных связей мы здесь опускаем.
7?0 Раздел III. Динамика
рим следующий пример: для кривошипно-шатунного механизма ва-
вариации шести координат точек О, А и В (рис. 411), как вытекает из
уравнений A, 2, § 117), будут связаны пятью следующими условиями:
2*2 8x2+ 2f/s 8 0„ = О;
2 (х2 — х3) (о х2 — 8 лг3) + 2 (уг — у3) о t/2 = 0.
Независимой вариацией будет одна (Ьх2 или Ьуг, или Ьх3)- Следова-
Следовательно, этот механизм имеет одну степень свободы.
Это же понятие числа степеней свободы применяется и к одной ма-
материальной точке. Так, точка на поверхности или на плоскости имеет
две степени свободы; свободная точка в пространстве — три; а точка,
связанная с определенной линией (например, точки В и А в механиз-
механизмах рис. 417) — одну степень свободы.
§120. ПОНЯТИЕ РАБОТЫ СИЛ НА ВОЗМОЖНОМ ПЕРЕМЕЩЕНИИ.
ОБОБЩЕННАЯ СИЛА. ИДЕАЛЬНЫЕ СВЯЗИ
Вычислим работу всех сил, действующих на голономную систему,
на возможном перемещении этой системы. Обозначим ее через ЬА.
Пусть на произвольную k-ю точку системы действует сила Fk, равная
сумме всех действующих на эту точку сил. Работу этой силы на воз-
возможном перемещении k-n точки 8/>, по аналогии с элементарной ра-
работой силы на действительном перемещении точки, будем вычислять
по формуле
bAk=Fk-brk=Fkbsk cos [Fk,brh), A)
где учтено, что по модулю вектор 8/> равен элементу дуги
bsk траектории, которую может описывать k-я точка при своем
возможном перемещении, т.е. \brk |=Ss*. Эту формулу в проекциях
можно записать в виде:
ЪАк = ХкЪхк + УкЪук+гкггь. B)
Повторяя такие же рассуждения по отношению к каждой из точек
системы, мы будем иметь равенства вида B) для всех точек системы.
Складывая их почленно, получим для всей системы следующее равен-
равенство:
8А = 2 ЬА" = S Рк-Ьгк = ? Fk 8 sk cos (?*, 8?ft) =
(З)
Глава XXV. Элементы аналитической механики 761
В последующем работу всех сил, действующих на систему, на воз-
возможном перемещении этой системы будем иногда для краткости назы-
называть возможной работой. Выразим возможную работу ЬА через обоб-
обобщенные координаты голономной системы. Пусть эта система, состоя-
состоящая из п точек, имеет р степеней свободы, тогда декартовы коорди-
координаты xk, ijk, Zk любой k-й точки системы могут быть согласно уравне-
уравнениям C, § 118) выражены через обобщенные координаты <7у(/=1, 2,...,
..., р), а следовательно, через эти обобщенные координаты может быть
выражен и ее радиус-вектор rk=Xki +#*/ -\-Zkk. В результате для каж-
каждого из радиус-векторов точек системы получаем*
Гк = г* (qlt </а,. . ., qp) D)
(?= 1, 2.....Л).
Применяя разложение функций в ряд Тейлора и удерживая лишь
члены первого порядка малости, можно представить выражение воз.
можного перемещения &/¦*(&= 1, 2, ... , п) любой точки системы через
независимые друг от друга вариации §<7у(/=1, 2, ... , р) обобщенных
координат <7/(/=1. 2, ... , р) в виде
Подставляя эти значения or*, в равенство C) и вынося общие мно-
множители bqj (j—1, 2, ... , р) за скобки, получаем
k=\ \k=l
Введем обозначения:
G)
(/=1, 2,..., p).
Тогда выражение возможной работы ЬА в обобщенных координатах
примет окончательно вид:
&A = Q1bq1 + Qi8qi + ... + QJqp. (8)
* Если связи нестационарные, то в этих выражениях также будет фигури-
фигурировать в явном виде время t.
50 Н, Ф. Сахарный
762 Раздел III. Динамика
Эта формула напоминает по своей структуре формулу B). В фор-
формуле B) коэффициентами при вариациях координат точки служат про-
проекции силы на соответствующие координатные оси. Исходя из этой
аналогии и коэффициенты Qly Q2, ... , Qp, стоящие в формуле (8) при
вариациях обобщенных координат, называются обобщенными силами.
Дадим системе такое возможное перемещение, при котором изме-
изменяется только одна какая-нибудь обобщенная координата, напри-
например qlt а все остальные координаты остаются неизменными, т. е.
Обозначим сумму возможных работ сил Fk на этом перемещении через
ЬА'. Тогда на основании равенства (8) получим
^A'=Qxbqx,
откуда находим
Qi = ^-. (9)
Рассмотрим теперь случай, когда все действующие на систему силы
(внешние и внутренние) являются консервативными. Тогда для си-
системы, как известно, существует такая силовая функция U =
=U(x1,t/1, z1,..., xn, уп, zn) от координат точек системы, дифференциал
которой равен работе ЬА, т. е.
*A_ = &U fo, ух, гх,..., хп, уп, zn). A0)
Пользуясь уравнениями C, § 118), можно выразить силовую функ-
функцию U через обобщенные координаты в виде
</„..., qp).
Тогда уравнение A0) можно представить в виде
iA = W-=1^iql+-^-bqi+...+ -s^bqp.
Сравнивая это выражение с равенством (8), приходим к следую-
следующим формулам для обобщенных консервативных сил:
т. е. если все действующие на систему силы консервативны, то обоб-
обобщенные силы равны частным производным от силовой функции по со-'
ответствующим обобщенным координатам.
Так как потенциальная энергия П консервативной системы связана,
как было ранее указано, с силовой функцией равенством
П = — U + C
Глава XXV. Элементы аналитической механики 763
(С — произвольная постоянная), то формулы A1) можно записать
еше в виде
^ <* 1 2 Р)
Число обобщенных сил равно числу обобщенных координат, кото-
которое в свою очередь равно числу степеней свободы голономной системы.
Из формулы (9) следует, что размерность обобщенной силы выра-
выражается следующим образом:
л _ [работа!
т. е. размерность обобщенной силы зависит от соответствующей обоб-
обобщенной координаты.
Если обобщенная координата имеет размерность длины (м), то
обобщенная сила имеет размерность обычной силы (кГ или н). Если
за обобщенную координату принять угол в радианах, то обобщенная
сила имеет размерность кГ-м или н-м, т. е. размерность момента.
Величины обобщенных сил вычисляются либо по формулам G),
либо по формулам A1) или A2) (для консервативных сил), либо, на-
наконец, находятся непосредственно из самого выражения возможной
работы в обобщенных координатах (8) или по формуле (9).
В качестве примера возьмем кривошипно-шатунный механизм
(рис. 418). Пусть на ползун В действует сила Р, а к кривошипу О А
приложен некоторый момент полезного сопротивления М. Трением в
шарнирах и ползуне пренебрегаем. Требуется вычислить обобщенную
силу (она будет одна, так как данный механизм имеет одну степень
свободы).
Сообщив системе возможное перемещение, напишем возможную ра-
работу всех сил:
8Л = — Р8х3 — МЬср.
Но Ьхъ не является независимой вариацией; ее надо выразить через
вариацию §<? обобщенной координаты ср. Для этого вспомним формулы
D, § 118). Тогда вариации координату, уг, хэ точек Л и В в выраже-
выражении через обобщенную координату 9 будут
8 х2 = — г sin f 8 9;
^ У% = г cos <p Ь <р;
( ;
Пользуясь последним из этих равенств, получаем
sin2 9
50*
764
Раздел III. Динамика
Из сравнения этой формулы с формулой (8) вытекает, что искомая
обобщенная сила Qv соответствующая обобщенной координате qx = <?,
будет
A3)
2 У I2—
Рис. 418
Мы уже знаем, что связи, ограничивая свободу перемещений си-
системы, изменяют характер ее движения. При этом точки системы при
наличии связей получают в результате действующих на них сил уско-
ускорения, отличные от тех, какие они получили бы при действии тех же
сил, будучи свободными. Отсюда следует, что эффект действия связей
проявляется в форме изменения ускорения и, следовательно, это из-
изменение равносильно действию некоторых сил, которые, как известно,
называются реакциями связей и не могут быть определены до тех пор,
пока не исследовано движение.
Таким образом, силы, действующие на точки системы, могут быть
разделены, как уже ранее указывалось, на силы активные и реакции
связей. При этом сами связи делятся на связи идеальные (совершенные)
и неидеальные.
Теперь мы можем определить понятие идеальных связей. Идеаль-
Идеальными связями называются такие связи, для которых сумма элементар-
элементарных работ всех сил реакций связей на всяком возможном перемещении
системы равна нулю, т. е.
п
E~Wft'SrA = 0, A4)
где iVft— реакция связи, действующая на k-ю точку системы, п— чис-
число материальных точек в данной системе.
Примерами идеальных связей являются:
1) абсолютно гладкие поверхности и линии (направляющие),
Глава XXV. Элементы аналитической механики 765
2) абсолютно твердая шероховатая поверхность при перекатыва-
перекатывании по ней абсолютно твердого тела без скольжения,
3) идеальные шарниры и подшипники.
В первом случае реакция связи направлена по нормали к поверх-
поверхности (линии), т. е. нормальна к направлению всякого возможного
перемещения точки, и, следовательно, при любом перемещении этой
точки элементарная работа силы реакции будет равна нулю, что и
обеспечивает соблюдение условия идеальности связей A4).
Во втором случае предполагается, что трение качения отсутствует,
а трение скольжения F7p имеется. Несмотря на наличие силы трения,
ее возможная работа будет равна нулю, так как точка тела, к которой
приложена эта сила, имеет скорость, равную нулю (мгновенный центр
скоростей). По той же причине в этом случае равна нулю и возмож-
возможная работа нормальной реакции N. Следовательно, сумма возможных
работ сил реакций FTp и N при всяком возможном перемещении катя-
катящегося тела тоже будет равна нулю. Таким образом, в этом случае
условие идеальности связей A4) будет соблюдено.
Третий случай можно свести к первому (гладкие подшипники) или
ко второму (шарико- и роликоподшипники).
В заключение в качестве примера возьмем кривошипно-шатунный
механизм (рис. 418), пренебрегая трением в осях и вдоль направляю-
направляющей D. У этого механизма работа реакции Nb будет равна нулю, так
как сила NB перпендикулярна возможному перемещению точки В.
Работа реакции No равна нулю, так как точка О не перемещается.
Работа каждой из реакций Na и Na (Na — давление шатуна на криво-
кривошип, N а — давление кривошипа на шатун) не равна нулю, но сумма
работ этих сил равна нулю, так как Na = — Na. Следовательно, сумма
возможных работ всех сил реакций связей, наложенных на данный
механизм, равна нулю, т. е. условие идеальности связей A4) соблю-
соблюдается.
Совершенно очевидно, что идеальных связей в чистом виде в при-
природе не существует. В'действительности реакция^ всякой поверхности
или линии имеет всегда две составляющие: нормальную N и силу тре-
трения FTp, которая направлена противоположно направлению возмож-
возможного перемещения 8л Поэтому для такой негладкой поверхности или
линии имеем
ЬА = Л^-8/г+ FTp-8r = — FTp|SF|<0,
т. е. условие идеальности связи A4) не соблюдается.
Однако при решении многих динамических задач возможная рабо-
работа сил трения не имеет существенного значения. Тогда вводятся в рас-
766 Раздел III. Динамика
смотрение идеальные связи как достаточно хорошее приближение к
действительности. Заметим, что в дальнейшем изложении понятие
идеальных связей будет играть очень большую роль.
§121. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Геометрическая статика, рассмотренная в первом разделе курса
теоретической механики, позволила нам установить необходимые и
достаточные условия равновесия абсолютно твердого тела. Применение
геометрической статики к определению условий равновесия системы
тел требует, как ранее указывалось, расчленения системы на отдель-
отдельные тела и составления уравнений равновесия для каждого из тел, рас-
рассматривая его как свободное. С увеличением числа тел в системе реше-
решение такой задачи методом расчленения значительно усложняется.
Однако более простой и более общий метод решения подобных
(а также и многих других) задач дает так называемая аналитическая
статика.
Аналитическая статика дает метод решения задач о равно-
равновесии системы многих абсолютно твердых тел (механизмы и
машины) и упругой стержневой системы (строительная механика),
основываясь на принципе возможных перемещений.
Принцип возможных перемещений выражает собой необходимое
и достаточное условие равновесия для всякой механической системы.
Первое доказательство этого принципа было дано Лагранжем, исполь-
использовавшим этот принцип при построении своей аналитической механи-
механики. Надо отметить, что различные частные выражения этого принципа
применялись еще и до Лагранжа. Знаменитому русскому механику
и математику М. В. Остроградскому удалось значительно обобщить
этот принцип (в том числе и на неудерживающие связи), так что ре-
результаты Лагранжа вытекали из результатов Остроградского как част-
частный случай.
Принцип возможных перемещений может быть сформулирован
следующим образом: для равновесия механической системы с удержива-
удерживающими идеальными стационарными связями необходимо и достаточно,
чтобы сумма элементарных работ всех активных сил, приложенных
к системе, на всяком возможном перемещении системы равнялась нулю.
Математически принцип возможных перемещений выражается усло-
условием
M = t?ie).87* = 0, A)
где Fia)—равнодействующая всех приложенных к k-й точке этой
системы активных сил (внешних и внутренних).
Докажем сначала, что сформулированное условие является необ-
Глава XXV. Элементы аналитической механики 767
ходимым, т. е. если система находится в равновесии, то условие A)
выполняется.
В самом деле, пусть механическая система с удерживающими иде-
идеальными стационарными связями находится в равновесии. Это озна-
означает, что каждая точка этой системы находится в равновесии. Соглас-
Согласно принципу освобождаемое™, возьмем произвольную k-ю точку си-
системы как свободную с действующими на нее равнодействующей актив-
активных сил F^ и равнодействующей сил реакций Nk- На основании из-
известного из курса геометрической статики условия равновесия систе-
системы сил, приложенных к точке, имеем
_ Умножив скалярно это равенство на любое возможное перемещение
8г* этой точки и просуммировав по всем точкам системы, найдем
*=i V /
Отсюда, применяя условие идеальности связей A4, § 120), полу-
получим
f]Ff>.s7A=o,
чем и доказывается необходимость условия A).
Докажем теперь, что это условие достаточно, т. е. что если усло-
условие A) выполняется, то система находится в равновесии.
Для доказательства применим рассуждение от обратного. Допус-
Допустим, что условие A) выполняется, но при этом система в рассматрива-
рассматриваемом положении не остается в равновесии и хотя бы одна из точек
этой системы, например первая, приходит в движение из состояния
покоя. Тогда сила/7'^, приложенная к первой точке системы, и реакция
наложенных на нее связей Nt не будут находиться в равновесии и при
сложении дадут равнодействующую R± = F[a~> -{- Ni, отличную от нуля.
Под действием силы Rx первая точка, находящаяся в покое, полу-
получит некоторое действительное перемещение, которое направлено по
линии действия силы #х. В данном случае это перемещение совпадает
с возможным перемещением Ъгг первой точки и поэтому получаем
или (JF(la).Sr1+7V1.S71 ) > 0. B)
Считая, что остальные точки системы при этом останутся в покое,
получаем для них
FP.&i+N,-*?, = 0 C)
(i = 2, 3,.. . , п).
768 Раздел III. Динамика
Складывая теперь почленно выражения B) и C), находим
D)
так как если к ряду слагаемых, равных нулю, прибавить хотя бы одну,
положительную величину, то полученная сумма будет величиной по-
положительной.
К неравенству D) мы, очевидно, также придем, допуская, что из по-
положения равновесия выходит не одна, а несколько точек системы. Но
по условию идеальности связей A4, § 120)
?#*.?*=о,
а поэтому приходим к неравенству
которое противоречит заданному условию A). Следовательно, при
выполнении условия A) система не сможет прийти в движение, что
и доказывает достаточность условия A).
Раскрывая скалярные произведения, стоящие в левой части, мож-
можно представить условие A) в виде
п Д_
^FW&Sb cos {Flka\ 8r*)=0, B)
k=i
или
8 xkj+ F$ 8 yk +/?> 8 г„) = 0. C)
При решении задач можно пользоваться любым из этих выражений
условия равновесия.
Заметим, что из общего выражения условия равновесия A) легко
могут быть получены все виды уравнений равновесия для различных
систем сил, которые мы рассматривали в геометрической статике.
Принцип возможных перемещений дает единый метод решения
задач статики для любой механической системы и для любой совокуп-
совокупности сил, действующих на эту систему. При этом применение прин-
принципа требует учета одних только активных сил и позволяет исключить
из рассмотрения все наперед неизвестные реакции связей.
Следует иметь в виду, что принцип возможных перемещений может
применяться не только в случае идеальных связей. Как видно из при-
Глава XXV. Элементы аналитической механики
769
f
веденного выше доказательства этого принципа, в равенство A) не
входят те силы, работа которых при всяком возможном перемещении
заведомо равна нулю, и, следовательно, в него входят лишь силы,
которые, вообще говоря, могут совершать работу на возможном пере-
перемещении. Следовательно, например, при наличии неидеальных связей
с трением может применяться преж- т
няя формулировка принципа, если к
словам «всех активных сил» добавить-
«и всех сил трения», т. е. в этом
случае силы трения следует вклю-
включить в число активных сил*.
Точно также принцип возмож-
возможных перемещений можно использо-
использовать для определения реакций, на-
наложенных на систему связей. Для
этого следует мысленно отбросить
соответствующие связи и заменить их
силами реакций, включая последние
в число активных сил.
Применение принципа возможных
перемещений выясним на отдельных
задачах.
Задача 127. Какой вращающий момент М надо приложить к кри-
кривошипу СА кулисного механизма (рис. 419), чтобы уравновесить задан-
заданную силу Р, приложенную в точке D ползуна, могущего двигаться
прямолинейно в горизонтальном направлении. Размеры ОС = а,
CA=r, 0B—1 и <р заданы. Все связи идеальные (трениемпренебрегаем).
Решение. Данная система имеет одну степень свободы. Поло-
Положение ее определяется углом а. Изображаем активную силу Р и мо-
момент М. Дадим системе возможное перемещение, при котором угол <р из-
изменяется на 8<р. Учитывая, что при этом перемещение точкиД.в ко-
которой приложена сила Р, равно перемещению Ьгв точки В, можно
уравнение A), выражающее условие равновесия системы, записать
для данного случая в виде
Рис. 419
МВср~Р8х = 0,
(а)
где Ьхв = \brB \.
Найдем теперь зависимость между оср и Ьхв . Из подобия треугольни-
треугольников ОЕА и OLB имеем
LB
ЕА
ОВ
О А •
* При этом следует иметь в виду, что сила трения скольжения при чистом
качении не должна учитываться, так как работа этой силы, как ивестно, равна
нулю.
49 Н. Ф, Сахарный
770
Раздел III. Динамика
Откуда находим
или
V
в
t r sin <р
]/"а2 + г2 + 2 а г cos 9
Возьмем вариации от обеих частей этого выражения, пользуясь теми
же правилами, которые существуют для дифференцирования. В ре-
результате получаем
8д; -rl
J3
a cosy) g
3 • *
+ 2 аг cos <p) 2
Подставляя это значение в равенство (а), находим
\ М — Prl (Q
¦j-2 ar cos 9)
Так как Ъ<?фО, то выражение в квадратных скобках равно нулю.
Отсюда следует, что
_ р г
(а +r cos ф) (г + а cos
(а2+г2+2 аг cos <р)
Задача 128. На балку АВ, ле-
лежащую на двух опорах А и В, дей-
действует система вертикальных сил:
Plt Р2 и Р3 (рис. 420, а). Опреде-
Определить реакцию связи в шарнире В.
Все размеры показаны на чертеже.
Решение. Для решения за-
задачи мысленно отбрасываем опору
В, заменив ее действие искомой ре-
реакцией Nb (рис. 420, б) и включив
эту последнюю в число активных
сил. Полученная система имеет од-
одну степень свободы. Дадим системе
возможное перемещение в положе-
положение, обозначенное на рис. 420, б
пунктиром, для чего повернем бал-
балку АВ вокруг шарнира А на угол
_ _ §<р. Тогда, если обозначим через 8г1?
Ъг2, 8г3 и 5гв перемещения точек приложения сил Pv P2, Р3 и Nb,
получим
- —Т 3
1
к
8 г,
Рис. 420
Глава XXV. Элементы аналитической механики
771
Зг2 = 2а8<р; §гв = Bа + 6)8?; 8л, = 2(а +
Согласно принципу возможных перемещений A) запишем
или
[— Рх а — 2 Р2 а + NB B а + 6) — 2 Р3 (а + Ь)] 8 <р = 0.
Так как 8<р Ф 0, то выражение в квадратных скобках равно нулю. От-
Отсюда находим модуль искомой реакции
N в = 1 _ i .
Задача 129. Два одинаковых
стержня АВ v. ВС весом Q каж-
каждый (рис.421) соединены шарни-
шарниром В. Конец С укреплен в стене
с помощью шарнира, а конец Л
опирается на гладкий горизон-
горизонтальный пол. Определить, ка-
какую горизонтальную силу Р
надо приложить в точке Л, что-
чтобы удержать бруски в равнове-
равновесии при данных углах а и р.
Решение. Изображаем
активные силы Q± и Q2 (Qi =
= Q2= Q) и выбираем оси координат так, как показано на чертеже.
Составим условие равновесия A) в векторном виде через соответ-
соответствующие скалярные произведения:
О'/7
Пишем теперь все скалярные произведения в координатной форме:
QlxbXl + Qly8y{+ Q2v8x2 + Q2yby% + Px8x3 + Py8 y3 = 0. (a)
Вычисляем проекции сил Qv Q2 и Р на координатные оси:
= 0;
(б)
Р =0
Обозначая длину каждого из стержней через а, вычисляем коорди-
координаты точек приложения активных сил, выражая,их через углыа и р:
ух = a sin а + -^-asinp, #2=-|-sina,
49*
77? Раздел III. Динамика
x1 = -2-cosp, x3 — a cos a -f- a cos p
(если проекция силы на ось обращается в нуль, то соответствующую
координату можно не находить).
Подставляя значения (б) в условие равновесия (а), получим
= 0. (в)
Находим вариации координат точек приложения сил Qlt Q2 и Р:
&у1 = a(cosaSa+ -|-cosp8p); & у2= -|-cosa8a;
8 х3 = — a (sin a8 a + sin Р 8 Р).
Подставляя эти значения в условие равновесия (в), получим
Q(cosa8a+ -^-cospsp) +Q -S^i-Soc— PsinpSp— Psina8a=.O (г)
(а сокращается).
Пользуясь тем, что высота СО постоянна,
a (sin р + sin a) = СО = const,
можем написать такое условие между 8§ и 8а:
или
COS a
8В =
r cosp
Подставляя это значение в условие равновесия (г), получим
Q(cosa-8a i-cosa-Sa+ -^-cos ст.-8 <х) + Р sin p -^-8a —
\ ^ л / COS р
— Psina-8a = 0,
или
[Q cos a cos р + Р (sin p cos а — sin a cos ^)] 8 а = О,
а так как 8а Ф 0, то
Q cos a cos ^ + P (sin ^cos'a— sin a cos'P) = 0.
Отсюда находим искомое:
р ^ cos я cos f}
У .„Sin (a — P) •
Глава XXV. Элементы аналитической механики 773
§122. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЕННЫХ
КООРДИНАТАХ. СЛУЧАЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ СИЛОВОЙ ФУНКЦИИ
Запишем теперь принцип возможных перемещений в выражении
через обобщенные силы. Рассмотрим голономную систему, имеющую
р степеней свободы. Пусть ее положение определяется обобщенными
координатами <7,(/=1, 2, ... , р). Тогда элементарная работа действу-
действующих на систему сил будет выражаться равенством (8, § 120). Под-
Подставив это выражение элементарной работы в условие A, § 121),
получим, что при равновесии
Q18<71 + Qa8fc+...+QpS<7P = O. A)
Все вариации bqj (j — 1, 2, ... , р) обобщенных координат независимы
друг от друга. Поэтому левая часть тождественно равна нулю только
тогда, когда одновременно все коэффициенты Q,- при S^ равны нулю.
Отсюда мы получаем принцип возможных перемещений в обобщенных
координатах в виде
Q, = 0, Q2 = 0,. . ., Qp = 0. B)
Таким образом, для равновесия механической системы с удержи-
удерживающими идеальными стационарными связями необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы все обобщенные силы, соответствующие выбранным для си-
системы обобщенным координатам, равнялись нулю.
Так как число обобщенных сил равно числу обобщенных координат
системы, то, следовательно, число условий равновесия системы в обоб-
обобщенных координатах B) равно числу ее степеней свободы.
Так, в примере с кривошипно-шутунным механизмом (рис. 418,
одна степень свободы) условие равновесия согласно равенству A3,
§ 120) и условиям равновесия B) будет иметь вид
+ rcos<?
+
V P—r2 sin2 9
Для консервативной системы согласно равенствам A1, § 120) или
A2, § 120) условия равновесия B) принимают вид
^7=° (/=1.2,...,р), C)
ИЛИ
=0 (/ = !, 2,...,р). D)
Равенства D) являются необходимым (но не достаточным) условием
экстремума (максимума или минимума) функции Я. Отсюда мы .при-
.приходим к следующему заключению: если в данном положении консерва-
консервативной системы ее потенциальная энергия достигает экстремального
774
Раздел III. Динамика
значения, то это положение является положением равновесия системы.
Система будет находиться в равновесии также и в том случае, если ее
потенциальная энергия постоянна.
Задача 130. Найти условия равновесия системы (рис. 422), состоя-
состоящей из маятника ВС весом Р2 кГ, центр тяжести С которого лежит
на расстоянии а ж от
точки подвеса В, и ползу-
ползуна В весом Рг кГ, скользя-
скользящего с трением по наклон-
наклонной плоскости, составля-
составляющей с горизонтом угол а.
Решение. Изобра-
Изобразим активные силы Рг,
?а и Fmp (Fmp — сила тре-
трения, которую мы включаем
в число активных сил) и
выбираем оси координат
так, как показано на чер-
чертеже. Положение данной
механической системы оп-
определяется двумя обобщен-
обобщенными координатами: коор-
Рис. 422 динатой х точки В и углом
Ф поворота маятника, т. е.
<7i = х, <7г = 9 (р = 2).
Следовательно, рассматриваемая система имеет две степени сво-
свободы.
Возможное перемещение системы зададим вариациями Ьх и дер,
которые соответствуют малому смещению ползуна по наклонной плос-
плоскости (Ьх) и одновременному малому повороту маятника (Scp).
Возможная работа силы Рх будет
8 Ах = Pj^xsina.
Для вычисления возможной работы силы Р2 введем подвижную
систему отсчета В Ъ\ (рис. 422). Тогда при перемещении точки прило-
приложения силы Р2 вместе с ползуном сила Р2 совершит работу Р2о;с sin a,
а при ее перемещении, кроме того, вместе с поворотом маятника, сила
Р2 проделает работу Р2Ь?С, где \с = a cos ср. Следовательно,
Возможная работа силы трения jFmp запишется в виде
Глава XXV. Элементы аналитической механики 775
Заметим, что возможная работа нормальной реакции N, очевидно,
будет равна нулю.
Работа всех внутренних сил также равна нулю, так как данная
система составлена из абсолютно твердых тел, соединенных идеальным
шарниром В.
Таким образом, работа ЬА всех сил на возможном перемещении
системы будет
§Л = ЬА1 + ЬА2 + ЪА3 = [{Р1 + P^sina — Fmp]8x — P2asin<p8<p.
Из сравнения этого равенства с формулой (8, § 120) следует, что
обобщенные силы Qx и Q2> соответствующие обобщенным координатам
qt = x и 92 = ?. будут
Q1 [(i + 2)-JFmpl кГ,
Q2 = — Р^аsin9 кГм.
Используя выражение принципа возможных перемещений через обоб-
обобщенные силы в виде B), т. е. Qt = 0 и Q2 = 0, получаем искомое:
sin <р = 0,
где, очевидно, второе условие равновесия рассматриваемой системы
принимает вид:
9 = VTr (v = 0, ± 1,±2, .-.)•
Задача 131. Груз весом Р3 подвешен к оси подвижного блока В
(рис. 423), через который перекинут канат, идущий одним концом через
блок С к грузу Аг, а другим концом — через блок D, сидящий свобод-
свободно на оси блока С — к грузу Л2. Найти веса Р± и Р2 грузов Аг и Аг,
пренебрегая трением, если они удерживают заданный груз Р3 в рав-
равновесии. Углы а и р обеих наклонных плоскостей заданы.
Решение. Изобразим активные силы Рг, Рг и Р3, действую-
действующие на данную систему. Положение этой механической системы опре-
определяется двумя обобщенными координатами: координатами xt и хг:
грузов Аг и Л2 (рис. 423), т. е.
<7i = *i. Ян = х2 (р = 2).
Следовательно, данная система имеет две степени свободы. Задав воз-
возможные перемещения этой системы двумя величинами Ьхг и Ъх% (от-
(отсчитываемыми вдоль наклонной плоскости вниз), получим перемещение
груза Р3 вверх на величину ол:3= °Xl 7" °Х* .
776
Раздел III. Динамика
Возможная работа всех сил, действующих на систему, будет
8 А = Рх 8 хг cos (90° — а) + Р2 8 х2 cos (90° — 0) — Р3 — т
или
8 А = (Рх sin а - i Р,) 8^+ (Р, sin p 1- Р3) 8*2.
Рис. 423
Из сравнения этого равенства с формулой (8, § 120) следует, что
обобщенные силы Qx и Q2, соответствующие обобщенным координатам
q1 = x1 и <72 = *2, будут
1 = P1sina—-i-
Q2 =P2sin p-'-i-
Используя условия равновесия системы в обобщенных координатах
в виде B), т. е. Qx = 0 и Q2 = 0, получаем искомое:
Р —
1
2sina'
р _
2~
Задача 132. Стержень ОА (рис. 424), один конец которого связан
с неподвижным шарниром О, а к другому прикреплена пружина АВ,
подвешенная к точке В, имеет вес Р. Длина нерастянутой пружины
1 — а (равна длине стержня); коэффициент жесткости пружины ра-
равен с. Найти условие равновесия стержня с пружиной.
Решение. Положение этой системы определяется одной обоб-
обобщенной координатой, за которую примем угол поворота ср стержня,
т. е. <7, = «. Следовательно, данная система имеет одну степень свобо-
Глава XXV. Элементы аналитической механики
777
ды. Изобразим активные силы Р и F (сила упругости пружины). Обе
эти силы являются консервативными. Потенциальная энергия для них
будет
" — - «-с ' 2 '
где X. — величина удлинения пружины, т. е.
Х = Л 5 — /0 = 2asin-|- — а.
При этом координата центра тяжести С
стержня определяется по формуле
2С = -у COS 9.
Следовательно,
Я = -i- [Р a cos 9 + с а2 ( 2 sin -|- — 1 J j.
Согласно формуле A2, § 120) обобщен-
обобщенная сила, соответствующая обобщенной
координате q1 = <p будет
Qd П 1г» - *>/г»-Ф
== =г- =-7r"asin© — са2 2 sin -J-
dq> 2 ' \ 2
= I (Р — 2 са) sin -у- + са] а cos -у.
Используя условия равновесия системы в обобщенных координатах
в виде B) или D), т. е.
дп
= 0,
получим искомое:
Задача 133. Плоская трехшарнирная арка нагружена силами Р%
и Р2 (рис. 425, а). Определить реакции опоры А. Размеры арки и рас-
расположение опор показаны на чертеже.
Решение. Для определения реакции опоры А мысленно унич-
уничтожаем опору А и заменяем ее действие силами реакций Ха и Ya. Та-
Таким путем искомые силы реакций Ха и Ya переводим в разряд сил
активных. Изображаем силы Pv Рг, ХА и YА. При этом положение
778
Раздел III. Динамика
рассматриваемой системы (рис. 425, в) определяется двумя обобщен-
обобщенными координатами: углом поворота а вокруг шарнира С и углом
поворота р вокруг шарнира В, т. е.
qx = а,
(Р = 2).
Следовательно, система, получившаяся после мысленного уничтоже-
уничтожения опоры А (рис. 425, б), имеет две степени свободы.
Рис. 425
Сообщим этой системе возможное перемещение, на котором изме-
изменяется только угол поворота а ({3 = const) на величину 8а. Тогда воз-
возможная работа сил будет равна
8Л1 = BаУд— hXA — аРх)Ьп.
Далее, сообщаем системе возможное перемещение, при котором из-
изменяется только угол поворота [i (a = const) на величину 8р. Тогда
возможная работа сил будет равна
S Л2 = D a YA— 3 а Р1 — аР2) 8р.
Таким образом,
8Л = 5ДХ + 8Л2 = B a YA— h XA— aPt) 5a +
Из сравнения полученного с формулой (8, § 120) следует, что обоб-
обобщенные силы Qx и Q2> соответствующие обобщенным координатам
4х = а и </2 = ср, будут:
Ql = 2aYA—hXA-aP1,
Глава XXV. Элементы аналитической механики 779
Используя условия равновесия системы в обобщенных координатах
в виде B), получаем
2aYA—hXA—aPl = 0,
4aYA
Отсюда находим
Х (Р +
Следовательно, применение условий равновесия системы в обоб-
обобщенных координатах B) позволяет получить сразу два уравнения, из
которых определяются две искомые реакции Ха и У а ¦ Методы же гео-
геометрической статики потребовали бы для решения этой задачи расчле-
расчленения системы и составления уравнений равновесия для каждого из
тел системы в отдельности. При этом, очевидно, число совместных урав-
уравнений и, следовательно, число неизвестных увеличилось бы.
§ 123. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
Теперь обратимся к другому способу решения динамических задач
по принципу Даламбера, привлекая для этого принцип возможных
перемещений.
Рассмотрим произвольным образом движущуюся механическую си-
систему из л материальных точек, на которую наложены идеальные голо-
номные удерживающие связи. Выделим какую-нибудь k-ю точку этой
системы и обозначим ее массу через mk, а ускорение — через wk.
Пусть равнодействующая всех приложенных к этой точке активных
сил равна F<?\ а равнодействующая всех сил реакций связей — Nk.
Если к этой точке условно приложить ее силу инерции Фк = — trikwk>
то согласно принципу Даламбера система сил F^\Nkn Фк будет экви-
эквивалентна нулю и мы будем иметь
T[a)+Nk + 0k = O. A)
Сообщим теперь рассматриваемой механической системе возможное
перемещение. Тогда, умножая скалярно обе части равенства A) на
возможное перемещение brk k-й точки, получаем
Аналогичные равенства получим для всех точек системы. Склады-
Складывая затем все эти равенства, находим
А=1
780 Раздел III. Динамика
или
4=1 4=1
В силу идеальности связей сумма элементарных работ их реакций
на возможном перемещении обращается в нуль:
4=1
Следовательно, окончательно находим
?1в)+Ф*)-Згй-0. B)
4=1
Если раскрыть стоящие под знаком суммы скалярные произведе-
произведения, то это равенство можно представить в следующей аналитической
форме:
п
2 [те+**>*+те+ф*у) *&+№+**) «г* i=о- ^
6=1
Равенство B) или C) и представляет собой общее уравнение дина-
динамики. Оно получено путем соединения двух общих принципов меха-
механики: принципа Даламбера с принципом возможных перемещений,
связанным с именем Лагранжа. Поэтому общее уравнение динамики
иногда называется уравнением Лагранжа — Даламбера. Из него
следует, что при любом движении механической системы с идеальны-
идеальными удерживающими связями в каждый данный момент сумма элемен-
элементарных работ всех активных сил и всех условно приложенных сил
инерции на всяком возможном перемещении системы равна нулю.
При этом возможные перемещения нужно брать для фиксированного
положения системы, соответствующего рассматриваемому моменту.
Так как Фк= — ткЩ> т0 общее уравнение динамики B) можно
представить в виде
4=1
ИЛИ
л^*)-8»*= 0, D)
S [(С- mk*k К + (<- тУ*)*Ук + (Р[1 - mkzk)bzk] = 0. E)
*=i
Глава XXV. Элементы аналитической механики 781
Если имеются неидеальные связи с трением, то общее уравнение
динамики можно применять в том же виде, включив все силы трения
в число активных сил, как это уже делалось в принципе возможных
перемещений для случая равновесия системы (§ 121).
Преимущество общего уравнения динамики оказывается особенно
значительным в тех случаях, когда имеем дело с системой тел, кото-
которые можно рассматривать как материальные точки, в частности, когда
все тела системы движутся поступательно. Для систем с непоступатель-
непоступательно движущимися телами целесообразнее пользоваться дифференциаль-
дифференциальными уравнениями движения системы в обобщенных координатах,
которые мы получим в § 124.
Из общего уравнения динамики можно получить, как следствие,
общие теоремы динамики и дифференциальные уравнения движения
механической системы; оно, можно сказать, как бы включает в себя
всю механику.
Задача 134. К системе блоков, изображенной на рис. 426, подве-
подвешены грузы А и В, веса которых соответственно равны Рд = 100 кГ
и Рв =80 кГ. Определить ускорения грузов Л и Б и натяжение каната
в системе этих блоков, пренебрегая массами блоков и считая канат
абсолютно гибким и нерастяжимым.
Решение. Так как грузы А и В движутся поступательно, то
их можно принять за материальные точки. Следовательно, данная
система состоит из двух материальных точек А и В, связи которых
голономные и идеальные. К точкам А и В приложим их силы инерции
Фа и Фв ¦ Силы ФА и Фв направлены противоположно ускорениям wA
и Wb точек А и В. Модули сил Фд и Фв определяются, как известно,
по следующим формулам:
782
Раздел III. Динамика
Так как нить нерастяжима и не скользит по блокам, то из схемы
(рис. 426) очевидно, что
и, следовательно,
Рис. 426
(в)
т. е. груз А будет двигаться вдвое мед-
леннее, чем груз В.
На основании соотношений (в) и (г)
уравнение (б) может быть представле-
представлено в следующем виде:
¦w,
-w,
8 _
Так как Ьга Ф О, то выра-
выражение в квадратных скобках
равно нулю. Отсюда находим
искомое ускорение точки
2РП — Рл м
сек*
и, следовательно,
wB^2wA = 2,8
Рис. 427 где g=9,8-
сек2
Переходим теперь к определению натяжения нити. Для этого мыс-
мысленно перережем нить на крайнем правом ее участке и будем рассмат-
рассматривать движение груза В.
На основании принципа Даламбера система сил (рис. 427), состоя-
состоящая из веса Рв груза В, натяжения нити Т и силы инерции Фв груза В„
эквивалентна нулю.
Поэтому можно написать следующее уравнение:
или
Глава XXV. Элементы аналитической механики
783
Спроектировав это векторное уравнение на направление нити (на
ось у), получим
откуда находим искомое:
=57,2 кГ.
Так как массами блоков можно пренебречь, то очевидно, что натя-
натяжение на всех участках нити будет одинаковым и равным 57,2 кГ.
Задача 135. Определить угловую скорость а> равномерного вращения
вала, если стержень BL регулятора образует с осью вала угол а.
Заданы все размеры, показанные на чертеже (рис. 428), вес каждого
из шаров А я В равен РХ~Р%=Р, вес муфты Р3 и коэффициент жест-
жесткости пружины с. Массой стержней, пружины и трением пренебречь.
Длина ненапряженной пружины равна 2а.
Решение. Данная система состоит из двух шаров Л и В и муф-
муфты D. Эта система, очевидно, голономная и обладает идеальными свя-
связями (так как трением пренебрегаем). Активными силами являются
веса Pv P2, Р3 и силы упругости Flt F2 (F1=F2=F) со стороны пру-
пружины.
784 Раздел III. Динамика
Приложим ко всем трем материальным точкам А, В, D системы
силы инерции <Pk=—mkwk. Точки А а В движутся равномерно по окруж-
окружности вокруг оси OD. Поэтому ускорения их wa и wb будут нормаль-
нормальными и силы инерции Фа и Фв—нормальными (центробежными).
Ускорение точки D будет Wo—О и, следовательно, сила инерции Фь>=0.
При этом для модулей сил инерции имеем выражения:
Р Pi
ФА = Фв = тА хюА = — «>г х = — ш2 (а + /sinа).
Модуль силы упругости будет
F =c(KL — 2a)=-|-c/sina,
так как пружина растянута на величину
Дадим системе возможное перемещение, определяемое вариацией
угла а. Координаты точек А, В, D, К и L (см. рис. 428) суть:
хА = — хв = — (а + / sin a);
УА— Ув = I cos a;
yD = -g- / cos a -f у Р i- /2 sin2 a;
x„=— x. =— a +-5-/sina I.
K L \ 3 /
Вариации этих координат, определяющие возможные перемещения
каждой из пяти точек, будут:
8л:. = —8л; = — /cos a-8a;
ЬуА = Ьув = — / sin a • 8а;
, 2 cos а
. = — 8xL =— -g-/cosa-8a.
Применяя общее уравнение динамики C), получим (см. рис. 428)
K- FbxL - ФА ЪхА + Фв Ьхв + РхЬуА + РгЬув + PzbyD = 0.
Глава XXV. Элементы аналитической механики
785
Подставив в это уравнение значения сил и вариаций координат
точек приложения этих сил, найденные выше, будем иметь
[-
I— 16c/cosa-tga H
— 6P36tgalSa =
где через Ь обозначено выражение
— ш2 (а + t sin v.) — 18Ptga —
6=1
2 cos a
9 —4 sin2 a
Так как 8а Ф 0, то выражение в квадратных скобках равно нулю.
Отсюда находим искомое:
18 (a+ /sin a)
Задача 136. Призма А весом Q
(рис. 429)скользит по гладкой бо-
боковой грани призмы В весом Р, об-
образующей угол а с горизонтом.
Определить ускорение призмы В,
если в начальный момент система
находится в покое. Трением между
призмой В и горизонтальной пло-
плоскостью пренебречь.
Решение. Данная система
состоит из призмы Л, принимаемой
нами за материальную точку, и
призмы В, движущейся поступательно.
Призма А совершает составное движение, в котором ее движение
вместе с призмой В является переносным, а движение по боковой гра-
грани призмы — относительным. При этом абсолютное ускорение wA
призмы А складывается из относительного щ, направленного вниз па-
параллельно наклонной плоскости, и переносного ш, равного ускорению
призмы В, т. е.
Wa = Щ + w.
Следовательно, сила инерции Фа призмы А состоит из двух компонен-
компонентов: Фх и Фа, направленных в противоположную сторону ускорениям
wx и w. Сила инерции Фв призмы В приложена в ее центре тяжести и
направлена в противоположную сторону ускорению w. При этом
О (-.
W)
w
786 Раздел III. Динамика
На призмы действуют активные силы Q, Р и реакция опоры N.
Присоединим (условно) к этим силам силы инерции Фа и Фв призм
А и В. _____
На основании принципа Даламбера система сил Q, P, N, Фа
и Фв эквивалентна нулю. Поэтому для этой системы сил справедливо
любое уравнение равновесия, в том числе и уравнение
8Л = ? 8 Ak = 0, (а)
выражающее принцип возможных перемещений, соединенный с прин-
принципом Даламбера. Так как в рассматриваемой задаче мы имеем дело
с идеальными связями, то при составлении уравнения (а) должны быть
учтены элементарные возможные работы одних только активных сил.
Дадим точкам призмы В возможное перемещение Ьг, а точке А—
S/-J (относительное возможное перемещение). При этом точка А будет
иметь следующее абсолютное возможное перемещение:
8 га = 8 гх + 8 г.
Составляя общее уравнение динамики B), получим
или
— — cySr + Q-sinaSri —-^-(ш + шх)(8г1+ 87)=0,
так как скалярные произведения
P-8F = Q-8r = 0.
Раскрывая скалярное произведение, входящее в это уравнение,
находим v
+ I Q sin a -1—— cos a • w —wx 18^ = 0.
V *• " I
Считая в этом уравнении поочередно
йг, = О; 8г^=0;
8г = 0, 8г17^0,
Глава XXV. Элементы аналитической механики
787
получим
Q sin a -f- — cos a ¦ w — wx = 0.
F)
(в)
(Q + Р) w
Qcosa
Из уравнения (б) находим, что w\ =
Подставляя это значение в уравнение (в), находим искомое:
Q sin 2а
n
А
nip
N
W =
Задача 137. Система, состоящая из двух грузов А и В веса Рх и Р2>
связанных нерастяжимой абсолютно гибкой нитью, и однородного
диска С веса Р3 и радиуса R (рис. 430), находится в движении (груз
В движется вниз). Требуется
найти величину тормозящего
момента Мтр, приложенного к
диску, необходимого для того,
чтобы остановить систему в те-
течение заданного времени tv если
в момент начала торможения
(при ?=0) скорость груза В бы-
была vo- В решении задачи учесть
силу трения Fmp между грузом
А и столом, если коэффициент
трения равен /. Трением в оси
блока пренебречь; считать, что
нить по блоку не проскальзы-
проскальзывает.
Решение. Наложенная
на точку А связь не идеаль-
идеальная, но общим уравнением ди-
динамики пользоваться можно,
если включить силу трения
Fmp=f N—fPx в число активных сил. Точки. Л и В и диск
С совершают равномерно замедленное движение с заданным ускоре-
ускорением
Рис. 430
= w2 =
Rh ¦
Изображаем действующие_на систему активные силы Рг, Р2и Fmp ,
а также силы инерции^ и Ф2 точек А и В и момент сил инерцииМс}
диска С. В рассматриваемом случае
788 Раздел 111. Динамика
а момент сил инерции М{с) диска С согласно формуле A3, § 115) будет
тс —Jcs-
где Jc = -y-jtR*— момент инерции диска С.
Данная система имеет одну степень свободы, так как ее положение
определяется одним параметром — углом поворота диска С. Этот угол
и примем за обобщенную координату, т. е. положим q—<р. Тогда воз-
возможное перемещение системы определяется вариациями:
8ср, 8Sl = Ss2 = R 8ср,
где sx и s2 отсчитываются вдоль траекторий движения точек Л и В.
Составляя общее уравнение динамики C), получим
(- Fmp +ФХ) 8Sl + (Р, +Ф2) 882+(~Мшр+М<;и)) 89 = 0.
Подставляя в это уравнение значения bsv 8s2, Fmp, Ф±, Ф2 и М(с\
имеем
Так как 8^ ф 0, то выражение в квадратных скобках равно нулю.
Отсюда находим искомое
Мтр = R (Рг-fPj + ^ (X + Р,+^
§124. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
СИСТЕМЫ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ
Из общего уравнения динамики B, § 123) можно вывести так на-
называемые дифференциальные уравнения движения системы в обобщен-
обобщенных координатах, подобно тому, как из общего уравнения статики
A, § 121) были выведены условия равновесия системы в обобщенных
координатах B, § 122).
Рассмотрим механическую систему из п точек, на которую нало-
наложены идеальные голономные удерживающие связи и которая имеет
р степеней свободы. Если положение данной системы относительно
инерциальных осей координат будем определять обобщенными коорди-
координатами <7, (/=1, 2, ... , р), то, как было показано в § 120 [см. форму-
формулу DI. радиусы-векторы rk (&=1, 2, ... , п) точек системы можно
Глава XXV. Элементы аналитической механики 789
представить как функции этих обобщенных координат (что всегда
может быть осуществлено при стационарных связях), т. е.
rk = rlc{q1, q2, .... qp) A)
(?= 1, 2, .... п).
Откуда согласно формуле E, § 120) имеем
Щч B)
(&= 1,2, ..., п).
Применяя теперь к рассматриваемой механической системе, на
точки которой действуют активные силы fia)(?=l, 2, ... , п), принцип
Даламбера и принцип возможных перемещений, мы приходим, как
было сказано в § 123, к общему уравнению динамики B, § 123)
^Г+^-^-о. C)
Подставляя значения &rk из формул B) в это уравнение и меняя
порядок суммирования, получаем
Так как все bq} (/=1, 2, ... , р) между собой независимы и произволь-
произвольны, то равенство D) может выполняться только тогда, когда каждый
из коэффициентов при 8^- в отдельности равен нулю, поэтому нахо-
находим
??Г+Ф,)-^ = 0. E)
(/=1, 2, ..., р).
Эту систему р уравнений запишем в виде
V ф ?JJl = _V F 1±-
1а Ь' dqj Zj l k dq}
(/=1, 2, .... p),
790 Раздел III. Динамика
ИЛИ
ф d7k
qJ
(/=1. 2 р), F)
где согласно формуле G, § 120)
^-% C/=i. 2 р)
представляют собой обобщенные активные силы. Слагаемые, стоящие
в левой части равенств F), т. е.
(/=1, 2, .... р),
называют по аналогии обобщенными силами инерции. Учитывая это
обстоятельство, представим уравнения F) в виде
q(hh)=_q. (/=1,2, р). (8)
Займемся теперь преобразованием выражений G). Прежде всего
заметим, что
~ д fk ~ д г/г d I — дг^ j — d I d г/г
* dqj & dqj dt \ * dqj J * dt \ dqj
в чем легко убедиться непосредственным дифференцированием.
Докажем, что выполняются следующие соотношения:
ё = ^; (i°)
d iu i ь \ v i"' * i «'* (\\\
dt \ dqj j dqj \ dt
Действител ьно,
гк = гЛяп я2. •••. Яр);
Глава XXV. Элементы аналитической механики 791
Так как множители /* (/=1, 2, ..., р) зависят только от обобщен-
oqj
ных координат (и не зависят от обобщенных скоростей), то из равенства
A2) заключаем, что
dqj дЧ>
и, следовательно, равенство A0) доказано.
Так как выражение -^-зависит только от обобщенных координат,
то находим
d (dr~k\y д (дТЛ
С Другой стороны,
(=1
и, следовательно,
Из тождественности правых частей формул A3) и A5) следует спра-
справедливость равенства A1).
Возвращаясь к формуле (9) и подставляя в нее равенства A0)
и A1), получаем
— дг% ^ I ~ д rk | "~ 3 г/1
ИЛИ
где Tk=vk.
Подставляя равенство A6) в равенства G) и замечая, что сумма
производных равна производной от суммы, получаем
Л(ин) d Г д
Qi = *ы[±п
О'=1. 2, ..., р),
792 Раздел III. Динамика
или
где
W \J^J+~dj~ 0 = 1.2,..., p), A7)
есть, как известно, кинетическая энергия системы.
Подставляя найденные значения Qj.HH> в уравнения (8), получим
Уравнения A9) представляют собой дифференциальные уравнения
механической системы в обобщенных координатах. Эти уравнения часто
называют уравнениями Лагранжа второго рода.
При наличии голономных связей, наложенных на систему, число
уравнений Лагранжа второго рода равно числу независимых обобщен-
обобщенных координат, т. е. числу степеней свободы этой голономной системы.
Кинетическая энергия системы при подстановке в эти уравнения
должна быть предварительно выражена как функция обобщенных
скоростей qj и координат qj. Согласно формулам A4) и A8) это будет
квадратичная функция обобщенных скоростей qf, в коэффициенты
которой могут входить обобщенные координаты <7Дв ряде частных задач
Т будет квадратичной функцией скоростей с постоянными коэффициен-
коэффициентами). Обобщенные силы футоже могут быть в общем случае функция-
функциями обобщенных координат q, и скоростей q,-. Таким образом, в выра-
жения^г- -з—и Q,- могут входить обобщенные координаты qf и их
dqj ' j '
производные q,-. Поэтому в выражение -тг[—г-\ войдут уже вторые
.. dt \dqj I
производные q}. Следовательно, уравнения Лагранжа второго рода
A9) представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения
второго порядка относительно неизвестных обобщенных координат
q} (/=1, 2, ... , р). Число этих уравнений равно числу степеней свободы
системы р.
Основные преимущества уравнений Лагранжа второго рода A9)
состоят в следующем. Во-первых, они дают единый и притом достаточ-
достаточно простой метод решения задач динамики для любых голономных
систем точек или тел, как угодно движущихся. Во-вторых, число
уравнений A9) не зависит от числа входящих в систему точек или тел
и равно числу степеней свободы системы (в машинах, механизмах
и приборах обычно одна, две и редко больше двух степеней свободы).
Глава XXV. Элементы аналитической механики 793
В-третьих, силы, действующие на систему, представлены здесь в виде
обобщенных сил, куда входят только активные силы, а все реакции
идеальных связей автоматически исключаются из уравнений. Этими
преимуществами и объясняется широкое применение уравнений Ла-
гранжа второго рода во всех технических науках и в ряде разделов
физики.
Уравнениями- Лагранжа второго рода можно пользоваться и в
случаях, когда на систему наложены связи с трением, включая силы
трения в число активных сил.
Запишем теперь уравнения A9) для консервативных голономных
механических систем. В этом случае обобщенные силы Qj могут быть
выражены через потенциальную энергию системы с помощью формул
A2, § 120), т. е.
и, следовательно, уравнения A9) приведутся к виду
dt у dg.j dqj dqj V ,И) ¦ )
Принимая во внимание, что потенциальная энергия системы
П=П (qv q2, ¦¦¦ , <7р) не зависит от обобщенных скоростей <7у(/=1,
2, ... , р), можно еще более упростить вид уравнения B0)
d га (г-л) э(г-/7)-| (/-12 о) BП
dt [ дд. Щ J-0 (/-1-2>...,р). B1)
Введем понятие кинетического потенциала (иначе называемого функ-
функцией <Лагранжа)
L^T—П,
тогда уравнения B1) можно написать в окончательной форме
^ = ° (/=1.2 Р). B2)
Уравнения B2) представляют собой уравнения Лагранжа второго
рода для консервативных голономных систем.
Решение задач динамики с помощью уравнений Лагранжа второго
рода полезно разбить на следующие этапы:
1. Определить число степеней свободы системы и выбрать обобщен-
обобщенные координаты, число которых равно числу степеней свободы.
2. Изобразить действующие на систему активные силы (и силы
трения), составить выражение для работы этих сил на возможном пере-
1/4 51 Н. Ф. Сахарный
794 Раздел III. Динамика
мещении и из него определить обобщенные силы, соответствующие из-
избранным обобщенным координатам.
3. Вычислить кинетическую энергию рассматриваемой системы
в ее абсолютном движении, выразив эту энергию через обобщенные
координаты qj и обобщенные скорости qj.
4. Вычислить частные производные от кинетической энергии по
обобщенным скоростям qj{j=l, 2, ... , р):—:—(/=1, 2, ... , р), за-
затем найти производные от полученных результатов по времени, т. е.
dt dqj
5. Вычислить частное производное от кинетической энергии по
обобщенным координатам q, (/=1, 2, ... , р): ^— (/=1, 2, ... , р).
6. Составить уравнения Лагранжа второго рода. Для этого полу-
полученные в пунктах 4 и 5 результаты следует подставить в биномы
~Мг С/=1.2 р)
и приравнять каждый из них соответствующей обобщенной силе Q-
(/=1,2 р).
7. Указать начальные условия (начальные значения обобщенных
координат и начальные значения обобщенных скоростей), при которых
начинается движение точек системы.
8. Проинтегрировать составленные уравнения Лагранжа второго
рода, удовлетворив начальным условиям.
Решим теперь несколько задач.
Задача 138. Найти закон движения системы, состоящей из однород-
однородного цилиндра А радиуса г и веса Pv катящегося без скольжения по
неподвижной горизонтальной плоскости, и груза В веса Р2> подвешен-
подвешенного на нерастяжимой и невесомой нити, проходящей через невесомый
блок D и привязанной к оси цилиндра А (рис. 431).
Решение. В этой задаче имеем систему с одной степенью сво-
свободы, так как ее положение определяется одним параметром — коор-
координатой х центра тяжести С цилиндра (или углом 9 поворота цилинд-
цилиндра). Эту координату и примем за обобщенную координату данной си-
системы, т. е. положим qi=x. Возможное перемещение системы опре-
определяется вариацией 8х. Так как по условию цилиндр катится без
скольжения, то, как известно, x=rf и, следовательно, х=г<р.
Так как рассматриваемая система имеет одну степень свободы, то
мы будем иметь для нее одно уравнение Лагранжа второго рода. По-
Последнее принимает здесь следующий вид:
Глава XXV. Элементы аналитической механики
795
Прежде чем составить это уравнение, нужно вычислить обобщен-
обобщенную силу Qi и кинетическую энергию системы Т=Тг+Т2, где 7\
есть кинетическая энергия цилиндра, а Т%— кинетическая энергия
груза В (из условия следует, что кинетическая энергия нити и блока
равна нулю).
Рис. 431
Цилиндр движется плоскопараллельно, поэтому
Т — ^ л. 1^-
1 ~ 2 g "•" 2 '
где х — скорость центра тяжести С цилиндра, 9— угловая скорость
цилиндра, / — момент инерции цилиндра.
Груз В находится в поступательном движении, скорость которого х.
Следовательно,
27-
Так как / = —!—
1Г~И<Р = ~
то
Отсюда находим
дТ
дх
= 0;
дх
Перейдем теперь к вычислению обобщенной силы Qv отнесенной
к обобщенной координате qx=x. Для этого рассмотрим возможное
51 Н. Ф, Сахарны*
796
Раздел III. Динамика
перемещение системы, соответствующее изменению координаты л:
на весьма малую величину Ьх. Сумма элементарных работ всех актив-
активных сил, приложенных к системе, при этом перемещении будет равна
8 Л = Р?х,
так как сила Рх на возможном перемещении Ьх работы не совершает.
С другой стороны, та же сумма элементарных работ равна
ЬА = Qxbqx =
Следовательно,
откуда
Qi = Ра.
Подставляя эти значения в уравнение (а), получим
или
_
2Р2
const.
Интегрируя это уравнение, получим
Постоянные Сг и С2 находим из начальных условий: при t=0 x=0,
х—0. Очевидно, что Су=С2=0. Следовательно,
3Pi+2P2
Y/V-W///////////
Рис. 432
Задача 139. К кривошипу О А
эпициклического механизма прило-
приложен постоянный вращающий мо-
момент М (рис. 432). Определить уг-
угловое ускорение кривошипа и ок-
окружное усилие S в точке сопри-
соприкасания колес, если расстояние
между осями колес равно /, радиус
наружного колеса, вес кривошипа
и наружного колеса соответст-
соответственно равны г, Рх и Р2; механизм
расположен в вертикальной плос-
плоскости.
Глава XXV. Элементы аналитической механики 797
Решение. Данная система имеет одну степень свободы,
так как положение этой системы определяется углом поворота 9 кри-
кривошипа О А. Этот угол и примем за обобщенную координату, т. е.
<7i = 9- Тогда
где со есть угловая скорость кривошипа. Искомое ускорение криво-
кривошипа равно
5 =<?!=?•
Так как данная система имеет одну степень свободы, то для этой
'системы необходимо составить только одно уравнение Лагранжа вто-
второго рода
3<р
Вычислим кинетическую энергию системы
Т = Тх + Т2, (б)
где Тг есть кинетическая энергия кривошипа, а Т2—кинетическая
энергия наружного колеса.
Так как кривошип совершает вращательное движение, а наружное
колесо — плоскопараллельное, то
1 1 D 1
Тч х 7 ..9. Т> L *Ъ _.О I Л f ...О /_\
тле Jo—момент инерции кривошипа относительно его оси вращения О;
Jа— момент инерции наружного колеса относительно его оси Л;
(Oj-^ угловая скорость вращения наружного колеса вокруг его
оси А;
va— скорость центра А этого колеса.
Кривошип можно рассматривать как тонкий однородный стержень,
а наружное колесо — как сплошной однородный диск. Поэтому
/ ' Pi /2- /. * ^2 -2
Выразим теперь все скорости через обобщенную скорость <р=а>.
Так как наружное колесо катится по неподвижному колесу без сколь-
скольжения (мгновенный центр скоростей наружного колеса находится
в точке касания В), то
vA = Ы = /¦ %
и, следовательно,
• vA i •
vA = l<?, <¦* = — = —ер.
51*
798 Раздел III. Динамика
Подставив все найденные значения сначала в равенства (в), а за-
затем в равенство (б), находим окончательно
Т = -щ BРХ + 9Рг) ?».
Отсюда находим
Перейдем теперь к вычислению обобщенной силы Qr Для этого
дадим кривошипу ОА возможное угловое перемещение 8<р, направ-
направленное против хода часовой стрелки. На данную систему действу-
действуют силы: Рг — вес кривошипа, Р2 — вес наружного колеса и пара
с моментом /И. Поэтому сумма работ этих сил и пары на возмож-
возможном перемещении Scp равна*
5 Л = М § ф —Pi "о" cos ? ^ — ^V cos 9 89.
С другой стороны, ту же элементарную работу можно определить так:
Следовательно,
откуда
После подстановки в уравнение (а) всех значений, получаем
¦?- BPj + 9Р2) ч> = -У 2 М — {Р1 + 2 Р2) I cos 91,
откуда
р BPi + 9Р2)
Окружное усилие S приложено к наружному колесу в точке В ка-
касания с неподвижным колесом. Это усилие вызывает по отношению
к кривошипу вращательное движение наружного колеса. Найдем S
с помощью теоремы об изменении кинетического момента в относитель-
относительном движении наружного колеса по отношению к оси А
JA ?1 = mA (S)'
ИЛИ
* Все связи, наложенные на рассматриваемую систему, являются идеальными.
Глава XXV. Элементы аналитической механики
799
Приняв во внимание, что угловое ускорение sx наружного колеса
выражается через ускорение кривошипа е=ы=<р зависимостью
— _L "
Y
находим
3 P?\2M—(Pl+2P2)lcos<f)
2
е Р*1 "
Задача 140. Сплошной круглый барабан весом Рх и радиусом /? мо-
может свободно вращаться вокруг оси О (рис. 433). На этот барабан на-
намотана тонкая невесомая нить, к концу А
которой прикреплен груз весом Р2. Если груз
опустить, то барабан начнет вращаться. Пре-
Пренебрегая трением, определить ускорение
груза.
Решение. Система является консерва-
консервативной и при вертикальном движении груза
имеет одну степень свободы. Выберем за обоб-
обобщенную координату расстояние у груза от го-
горизонтальной плоскости, проходящей через
ось О барабана. Так как действующие на си-
систему силы Р1 и Р2 консервативны, то вос-
воспользуемся уравнениями Лагранжа второго
рода в виде B2), а именно:
dt
ду
(а)
Рис. 433
Для составления выражения кинетического потенциала системы
L=T — П надо найти кинетическую Т и потенциальную энергию П
системы, выразив их через обобщенную координату у.
Потенциальная энергия системы
Я = - Р2у.
(б)
Кинетическая энергия Т системы равна сумме кинетических энергий
груза Т1 и барабана Г2, т. е.
где
Выразим скорость v груза и угловую скорость ш барабана через
обобщенную скорость у
у, со = ¦
R
800
Раздел III. Динамика
Принимая все это во внимание, находим кинетическую энергию
системы
Т =
1 Р о
-
2 g
На основании этого уравнения и уравнения (б) кинетический по-
потенциал системы определяется следующим образом:
= Г-Л = -i- (Рх + 2Р2)у* + Р2у,
причем
дь
У-
Подставляя эти значения в уравнение (а), получаем дифференциаль-
дифференциальное уравнение движения системы
Отсюда находим искомое ускорение груза
У =
(Pi +
= const.
Задача 141. Определить движение системы, состоящей из маховика
/, несущего ось шестерни //, которая находится в сцеплении с шес-
шестерней ///, свободно сидящей на валу маховика (рис. 434). К махо-
маховику / приложен постоянный вращающий момент М. Шестерня ///
соединена с неподвижной частью механизма при помощи спиральной
пружины, действие которой на шестерню выражается парой с момен-
моментом L= — с'if, пропорциональным углу поворота ф этой шестерни;
коэффициент пропорциональности ра-
равен с (кГм). Все связи идеальные.
Шестерни // и /// считать одинако-
одинаковыми однородными дисками массы
m и радиуса R. Момент инерции ма-
маховика равен 20 mR2.
Решение. В этой задаче мы
имеем голономную систему с двумя
степенями свободы, так как положе-
положение данного механизма определяется
двумя параметрами — углом поворо-
поворота <р маховика и углом <lf поворота
шестерни ///. Эти углы и примем за
Рис. 434 обобщенные координаты q1 и q% дан-
Глава XXV. Элементы аналитической механики 801
ной системы, т. е.
<7i = ?, Яг = t-
Тогда
= ? = Ш1. Яг = k =
где сог и оK есть угловые скорости маховика / и шестерни ///.
Так как рассматриваемая система имеет две степени свободы, то
будем иметь для нее два уравнения Лагранжа второго рода, а именно
А (ИЛ _ JLL — О
Прежде чем составить эти уравнения, нужно вычислить обобщенные
силы Qj и Q2 и кинетическую энергию системы Т=Т1+712+Т'з. гДе
7\ есть кинетическая энергия маховика, Т2 — кинетическая энергия
шестерни //, а Т3 — кинетическая энергия шестерни ///.
Так как маховик и шестерня /// совершают вращательное движе-
движение, а шестерня // — плоскопараллельное, то
где
Пользуясь методом мгновенной остановки, найдем угловую ско-
скорость щ шестерни //. Для этого сообщим всей системе мысленно вра-
вращение с угловой скоростью —<%= —ф, в результате чего получим
<j> —<р = —(со2—ср).
Отсюда находим
ш2 = 2 <р — ф.
Подставив все найденные значения сначала в равенства (б), а за-
затем в равенство Т = 7'1+7'2+7'з, получим окончательно
Т = 13т/?2 ср'2 — ttiR* <р <Ь + ~ R? ф2.
802 Раздел III. Динамика
Отсюда находим
— = О, -Ц- = 26т/?2 ? — ф
— = 0, — = — tnR* ? + «Я2 Ф.
Перейдем теперь к вычислению обобщенных сил Qx и Q2- Для этого
рассмотрим возможное перемещение системы, соответствующее из-
изменению обобщенных координат qi=<p и <7г=ф на весьма малые вели-
величины 8<р и 8(]j. Сумма элементарных работ пар сил с моментами М и
L = —сф при этом перемещении будет равна
§Л = УИ§ср — с ф 5 -J».
С другой стороны, ту же сумму элементарных работ можно определить
так:
ЬА = Q18T + Q28l}).
Следовательно,
Qi 8 <р + Q2 Н = М 8 <р — с ф б-}),
откуда
Qi = M, QB = — с ф.
После подстановки в уравнения (а) всех значений, получаем
26/п#2'ш — mR2'i) = М, (в)
— т/?2 ср + m/?2 i' = — с <1>.
Исключив отсюда 9. получим
где
k* 26c
Общее решение этого линейного дифференциального уравнения будет
Произвольные постоянные Сх и С2 найдем из начальных условий
при *=0 фо=0 и фо=О- При таких начальных условиях имеем
Глава XXVI. Теория удара 803
и, следовательно,
Глава XXVI
ТЕОРИЯ УДАРА
§ 125. ЯВЛЕНИЕ УДАРА.
УДАРНАЯ СИЛА И УДАРНЫЙ ИМПУЛЬС
До сих пор мы изучали движение материальных точек или механи-
механических систем и, в частности, твердых тел под действием обычных сил,
таких, например, как сила тяжести, сила тяготения, сила сопротив-
сопротивления среды и т. п., которые, непрерывно действуя на эти точки или
на эти системы, имеют конечную величину. Изменение скорости точки
или скоростей точек системы происходило при этом непрерывно,
т. е. каждому элементарному промежутку времени соответствовало
элементарное приращение скорости точки или скоростей точек систе-
804 Раздел HI. Динамика
мы. Например, если на падающую материальную точку действует
только ее вес, то за каждый элементарный промежуток времени dt
скорость точки возрастает также на элементарную величину gdt, где
g—ускорение силы тяжести.
В настоящей главе будем рассматривать движения под действием
таких сил, которые действуют на материальный объект в течение весь-
весьма малого промежутка времени т, достигая очень большой величины
(порядка-—). При этом скорости точек материального объекта резко
изменяются за этот весьма малый промежуток времени, достигая ко-
конечной, а не исчезающе малой величины. Так, например, при падении
тела на неподвижную плиту, как показывает опыт, за весьма малый
промежуток времени, в течение которого тело соприкасается с плитой,
его скорость изменяется на конечную величину.
В таких случаях мы будем говорить, что произошло явление удара.
С механической точки зрения явление удара характеризуется тем,
что скорости точек механической системы, а следовательно, и коли-
количество движения этой системы за весьма малый промежуток времени,
измеряемый в тысячных и меньших долях секунды, в течение которого
происходит удар, изменяются на конечную величину.
Кроме приведенного выше примера, явление удара имеет место,
если движущееся тело сталкивается с другим движущимся или покоя-
покоящимся телом, а также если при движении тела внезапно появляется
новая связь или исчезает одна из старых. Иногда, впрочем, процесс
внезапного уничтожения существующей связи называют взрывом.
Явление удара также имеет место при стрельбе из орудий и при взры-
взрыве снарядов. Оно является весьма распространенным в технике, и по-
поэтому изучение и исследование вопросов, относящихся к явлению
удара, приобретает особую актуальность.
Так как при ударе конечное изменение скоростей происходит за
весьма малый промежуток времени, то при этом ускорение (или за-
замедление) получается очень большим, а следовательно, при ударе
возникают и очень большие силы. Хотя эти силы действуют на соуда-
соударяющиеся тела в течение весьма малого промежутка времени, но их
импульсы за этот промежуток времени являются конечными величи-
величинами.
Силы, возникающие при ударе и действующие на соударяющие-
соударяющиеся материальные объекты в течение весьма малого промежутка вре-
времени, но достигающие при этом весьма большой величины, так что их
импульсы за этот промежуток времени являются конечными величи-
величинами, называются ударными силами. Главной особенностью ударных
сил является кратковременность их действия. При этом промежуток
времени, в течение которого они действуют, настолько мал, что это
действие оканчивается прежде, чем подверженное ему тело изменит
сколько-нибудь заметно свое первоначальное положение. С другой
стороны, действующие при ударе силы так велики, что за этот корот-
Глава XXVI. Теория удара 805
кий промежуток времени действием обычных (неударных) сил можно
совершенно пренебречь.
Весьма малый промежуток времени, в течение которого длится
удар, называется временем удара.
Импульсы ударных сил за время удара называются ударными
импульсами.
Так как ударные силы очень велики и за время удара изменяются
от нуля до весьма большого значения и снова падают до нуля,
то в теории удара за меру механического взаимодействия соударяю-
соударяющихся тел принимают не сами ударные силы, а их ударные импульсы,
являющиеся величинами конечными.
Ударные импульсы, появляющиеся при соударении тел и прило-
приложенные к этим телам, зависят не только от масс соударяющихся тел
и их скоростей до удара, но и от упругих свойств этих тел, так что
выяснить все явление удара можно лишь применяя теорию упругости.
Однако задача теории удара в теоретической механике облегчается
тем, что здесь не исследуется характер деформаций, которые имеют
место при ударе тел, а требуется лишь определить изменение скоростей
точек системы, вызванное уже совершившимся ударом.
Тем не менее все получающиеся при этом соотношения между удар-
ударными импульсами и изменением динамических характеристик системы
(количества движения, кинетического момента) используются и при
изучении явления удара в конкретных задачах, так как эти соотно-
соотношения остаются верными независимо от источника возникновения
ударных импульсов.
§126. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ УДАРА
Пусть данная материальная точка массы т движется под действием
обычной (неударной) силы Р. Допустим теперь, что в момент tlt когда
рассматриваемая точка имеет скорость vlt на эту точку начинает дей-
действовать ударная сила F, действие которой прекращается в момент
t2. Определим движение данной точки под действием сил Р и F за
весьма короткий промежуток времени t=t%—tlt в течение которого
длится удар.
Применяя теорему об изменении количества движения точки
(§ 103), получим
mv2~mvx= \ Pdt+[Fdt,
где d2— скорость точки в момент t2.
Рассмотрим отдельно каждый член правой части этого равенства.
По теореме о среднем значении определенного интеграла можно
написать
806 Раздел III. Динамика
SyA = S= J* Fdt = Fcp-t; SHeya = j'ftft = Pcp.x,
где Fcp и Pcp есть значения сил F и Р в некоторый определенный мо-
момент ? внутри участка интеграции. При этом Рср является конечной
величиной; ударная же сила F за время удара x—t2—tt достигает
весьма большой величины Fcp (порядка -). Поэтому произведение Рсрг
будет пренебрежимо мало по сравнению с произведением Fcpx, являю-
являющимся величиной конечной. Из этих рассуждений следует, что импульс
5неуд обычной (неударной) силы Р за время удара х будет по сравнению
с импульсом 5 ударной силы F очень мал и им можно пренебречь.
В результате окончательно находим
mv2 — m»! = S. О )
Будем в дальнейшем обозначать скорость точки в начале удара
через v, а скорость этой же точки в конце удара — через и. Тогда
уравнение A) можно записать в виде
ти— mv=S. B)
Это уравнение представляет выражение теоремы об изменении
количества движения точки при ударе и может быть сформулировано
так: изменение количества движения материальной точки за время
удара равно действующему на эту точку ударному импульсу.
Если на точку одновременно действуют несколько ударных им-
импульсов, то изменение количества движения точки равно геометри-
геометрической сумме этих ударных импульсов.
Проектируя векторное равенство B) на координатные оси, полу-
получим три следующих равносильных ему скалярных уравнения:
mUy — mvy = Sy,
muz — mvz = Sz.
C)
Таким образом, изменение проекции количества движения матери-
материальной точки на какую-нибудь неподвижную ось за время удара равно
проекции на ту же ось действующего на эту точку ударного импульса.
Уравнение B) является основным уравнением теории ударам игра-
играет такую же роль, как второй закон динамики при изучении движений
под действием обычных сил.
Глава XXVI. Теория удара 807
Выясним теперь, как перемещается материальная точка за время
удара.
Так как и = -Jr, где г — радиус-вектор, определяющий положе-
положение данной точки относительно некоторой системы отсчета, то урав-
уравнение B) можно записать следующим образом:
d7=~vdt + -^- ~Sdt.
Проинтегрировав это равенство в пределах от tx до t2, найдем
где Scp есть среднее значение ударного импульса за время удара
•с = tt—tx. Учитывая при этом, что v и Scp суть величины конечные,
а -с— весьма мало, приходим к выводу, что (v -\ Scp)x будет близко
к нулю и, следовательно, за время удара перемещение точки Дг= г2 —гх
практически равно нулю.
Таким образом, перемещением материальной точки за время удара
можно пренебречь, считая, что за время удара эта точка практически
остается неподвижной, т. е. не успевает переместиться.
В заключение отметим, что основное уравнение удара B) является
не дифференциальным уравнением, а уравнением с конечными вели-
величинами, из которого можно определить изменение скорости точки за
время удара, если задан ударный импульс, или определить ударный
импульс, если заданы скорости в конце удара и в начале удара.
Подобно этому, все другие уравнения теории удара, с которыми мы
встретимся ниже, будут алгебраическими (конечными), а не диффе-
дифференциальными уравнениями.
§127. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
СИСТЕМЫ ПРИ УДАРЕ
Рассмотрим механическую систему, состоящую из п материальных
точек и выделим какую-нибудь k-ю точку этой системы с массой mk.
Так как за время удара действием обычных сил можно пренебречь,
то, рассматривая действие удара на данную систему, необходимо
принимать во внимание только ударные импульсы. Так же как при
доказательстве общих теорем динамики системы (глава XXII), разде-
разделим все ударные импульсы, действующие на точки данной системы,
на внешние и внутренние. Тогда основное уравнение теории удара B)
для /г-й точки рассматриваемой системы примет вид
k > A)
808
Раздел III. Динамика
где Uk и Vk — скорости k-й точки соответственно в конце удара и в
начале удара, 5ie) — равнодействующая всех внешних ударных импуль-
импульсов, приложенных к &-й точке, a Sil) — равнодействующая всех вну-
внутренних ударных импульсов, приложенных к той же точке.
Составив такие уравнения для всех точек рассматриваемой систе-
системы и сложив их почленно, получим
ЕВДь-Е mkvk = t Sif'+SSi0- B)
4 = 1 k=l k=l k = l
Суммы, стоящие в этом равенстве слева, представляют собою ко-
количества движения данной системы в конце и в начале удара, которые
обозначим через Q и Qo- Далее, так как внутренние ударные импуль-
импульсы на основании закона равенства действия и противодействия попарно
равны по модулю и противоположны по направлению, то их геомет-
геометрические суммы всегда равны нулю. Поэтому стоящая в равенстве B)
справа сумма внутренних ударных импульсов равна нулю.
Таким образом, окончательно находим
Q-Q0=tsie). C)
4 = 1
Это уравнение представляет выражение теоремы об изменении ко-
количества движения системы при ударе и может быть сформулировано
так: изменение количества движения механической системы за время
удара равно геометрической сумме всех внешних ударных импульсов,
действующих на эту систему.
Если
i; s?e)= о,
то, как видно из равенства C),
Отсюда следует, что внутренние ударные импульсы не могут из-
изменить количества движения всей системы.
Проектируя векторы обеих частей равенства C) на координатные
оси, получаем
п
Qx — Qox — 2j
Qy-Qoy=
О
У Sie)
k—l
D)
Глава XXVI. Теория удара 809
Таким образом, изменение за время удара проекции на какую-ни-
какую-нибудь ось количества движения системы равно сумме проекций на ту же
ось всех внешних ударных импульсов, действующих на эту систему.
Если сумма проекций всех внешних ударных импульсов на ка-
какую-нибудь координатную ось равна нулю, то, как следует из урав-
уравнений D), проекция количества движения системы на эту ось за время
удара не изменяется.
Припоминая, что количество движения системы равно произведе-
произведению массы системы на скорость центра масс системы, можно придать
уравнению C) иную форму
E)
где М — масса всей системы, a vc и ис— скорости центра масс систе-
системы в начале и в конце удара.
Уравнение E) представляет выражение теоремы об изменении ко-
количества движения центра масс системы и может быть сформулиро-
сформулировано так: изменение за время удара количества движения центра масс
системы, в котором сосредоточена вся ее масса, равно геометрической
сумме всех внешних ударных импульсов, действующих на эту систему.
Из уравнения E) видно, что внутренние ударные импульсы, воз-
возникающие, например, при столкновении тел, входящих в состав дан-
данной системы, не изменяют скорости центра масс этой системы.
Проектируя векторы обеих частей равенства E) на координатные
оси, получим
MuCx-MvCx= ?siS;
Су
MuCz-MvCz =
F)
Таким образом, изменение за время удара проекции на какую-нибудь
ось количества движения центра масс системы, в котором сосредоточена
вся ее масса, равна сумме проекций на ту же ось всех внешних ударных
импульсов, действующих на эту систему.
810 Раздел III. Динамика
§128. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
СИСТЕМЫ ПРИ УДАРЕ
Сохраняя обозначения предыдущего параграфа, вернемся снова
к основному уравнению теории удара для k-й точки системы A, § 127):
mkuk — trikvk ~ Sk + Sk • О
Обозначим радиус-вектор k-й точки системы относительно начала
О неподвижной (инерциальной) системы отсчета через rk . Согласно
сказанному в § 126 положение k-й точки системы за время удара не
изменится, следовательно, за это время не изменится и ее радиус-
вектор />.
Умножив обе части равенства A) векторно слева на радиус-вектор
rk и просуммировав это равенство по индексу k для всех точек систе-
системы, получим
п. ¦ п
4=1 fc=l
(rk XS?;)). B)
Так как внутренние ударные импульсы равны по модулю и прямо
противоположны по направлению, то геометрическая сумма их момен-
моментов относительно любого центра равна нулю. Поэтому стоящая справа
сумма моментов внутренних ударных импульсов равна нулю и, следо-
следовательно, уравнение B) принимает вид
t Gk X mkHk) - t fo X ВД) = t (Fk X~Si%
k=\ k=i k=\
Если обозначим кинетический момент системы относительно центра О
в начале удара через К^ , а в конце удара — через К0, то будем иметь
или
Ко-Ж(о0)= t mo(Sie)). C)
A=l
Уравнение C) представляет выражение теоремы об изменении ки-
кинетического момента при ударе и может быть сформулировано так:
Глава XXVI. Теория удара 811
изменение за время удара кинетического момента системы, относитель-
относительно какого-нибудь неподвижного центра равно геометрической сумме
моментов всех внешних ударных импульсов, действующих на эту систе-
систему, относительно того же центра.
Если
S mo(Sle))=0,
то
Отсюда следует, что внутренние ударные импульсы не могут из-
изменить кинетического момента всей системы.
Проектируя векторы обеих частей уравнения C) на координатные
оси, получим
k=l
4=1
D)
Таким образом, изменение за время удара кинетического момента
системы относительно какой-нибудь неподвижной оси равно сумме
моментов всех внешних ударных импульсов, действующих на эту систе-
систему, относительно той же оси.
§129. ИЗМЕНЕНИЕ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА,
ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ, ПРИ УДАРЕ
Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси
(рис. 435). Допустим, что в момент, когда это тело имеет угловую
скорость соо, на него подействовал ударный импульс S. Под влиянием
этого ударного импульса в точках Л и В закрепления оси г возникнут
ударные реакции, ударные импульсы которых обозначим через SA
и SB. Будем в дальнейшем SA и Sв называть реактивными ударными
импульсами.
Найдем угловую скорость и>, которую будет иметь тело в конце
удара. Применяя доказанную в предыдущем параграфе теорему об
812 Раздел III. Динамика
изменении при ударе кинетического момента системы относительно
данной оси, получим
Таким образом, угловая скорость твердого тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси, изменится за время удара на величину, равную
моменту ударного импульса относительно оси вращения, разделенному
на момент инерции тела относительно той же оси.
Задача 142. Два шкива с радиусами гх и г2 (рис. 436) вращаются в
одной плоскости вокруг параллельных осей 0хи О2с угловыми скоро-
скоростями о>ш и «20, направленными в одну сторону. Определить угловые
скорости <»! и <о2 после того, как на шкивы будет накинут ремень, если
ремень не снимается. Моменты инерции шкивов равны соответственно
Jx и Л- Скольжением ремня пренебрегаем.
Решение. Здесь мы имеем случай, когда движущееся тело
испытывает удар благодаря тому, что на него внезапно накладывается
связь (ремень). Внешним ударным импульсом S, приложенным к каж-
каждому из шкивов, является в данном случае импульс ударной силы на-
Глава XXVI. Теория удара 813
тлжения ремня. Под влиянием этого ударного импульса на каждый
из шкивов будет действовать реактивный ударный импульс.
Искомые угловые скорости и^и g>2 найдем по формуле A), применив
ее сперва для первого шкива, а затем для второго шкива*:
Л К — со1о) = mOl (S) = Srt;
J2 (ш2 — uJ0) = тОй (S) = Sr2.
Имея в виду, что после наложения связи шкивы будут вращаться
совместно, соединенные ремнем, и что скольжение ремня отсутствует,
зависимость между угловыми скоростями шкивов будет определяться
следующим равенством:
шх гу = ш2 г2,
откуда
Ш2 = -1- (Оу. (б)
Подставляя это выражение для ю2 во вторую из формул (а),
найдем для о^ следующее значение:
Подставляя это выражение для шх в формулу (б), получим
ш = Г1^1Г2Ш\0 +J2rX °>2o)
§130. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКТИВНЫХ УДАРНЫХ ИМПУЛЬСОВ
В ТОЧКАХ ЗАКРЕПЛЕНИЯ ОСИ
Рассмотрим тело, закрепленное в точке А подпятником, а в точке
В — подшипником (рис. 437). Пусть при этом АВ=1. Возьмем систему
координат с началом в точке А и осью г, направленной по оси враще-
вращения АВ, а плоскость yz проведем через центр масс С тела. Если на
это тело подействовал ударный импульс S, то он вызовет реактивные
ударные импульсы Sa и Sb. При этом реактивный ударный импульс
в точке А может быть представлен тремя составляющими Sax, 5^y
и Sa2, а в точке В — двумя SBx и 5Ву.
Для определения этих пяти неизвестных воспользуемся теоремами
об изменении количества движения центра масс системы при ударе
и кинетического момента при ударе в проекциях на оси координат
(см. уравнения 6, § 127 и 4, § 128).
* Реактивные ударные импульсы в уравнения (а) не входят, так как момент
каждого из них относительно оси шкива равен нулю.
53 Н. Ф. Сахарный
814
Раздел III. Динамика
Для этого выпишем проекции на выбранные оси координат сначала
векторов Q и Qo, а затем векторов К а и К л*.
Так как тело за время удара не перемещается, то векторы vc
и ис будут параллельны оси Ах и, следовательно,
Рис. 437
Qx = MuCx = — My с си,
Qy = Q, = О,
где ус— расстояние центра масс
тела от оси вращения z, M — мас-
масса тела.
Учитывая, что в данном случае
(о^=а)у=0, a wz=u>, мы из формул
E, § 113), получим
Подставим все эти значения в
уравнения F, § 127) ив первые
два из уравнений D, § 128). В
результате получим
Мус (ш — ш0) = Sx + SAx + SBx;
О = Sy + SAy
By;
0 = Sz
Az;
vz \ 0/ — ^ v \ / 1" йл ^ 1
где разность ш — ш0 находится из формулы A, § 129). Следовательно,
если известен ударный импульсS, то мы из формул A) можем опре-
определить реактивные ударные импульсы SA и SB .
§131. УСЛОВИЯ, ПРИ КОТОРЫХ УДАР НЕ ПЕРЕДАЕТСЯ
НА ТОЧКИ ЗАКРЕПЛЕНИЯ ОСИ. ЦЕНТР УДАРА
Найдем, при каких условиях все реактивные ударные импульсы
равны нулю, т. е. удар не передается на точки закрепления оси.
Глава XXVI. Теория удара
815
Если точки закрепления оси не испытывают удара, то
При этом уравнения A, § 130) примут вид:
A)
— Jxzh — <°о) = rnx(S);
— Jyzi^ — ^o) = tny(S).
Из второго и_ третьего из уравнений A) следует, что для удовлетво-
удовлетворения условий Sa=Sb—0 необходимо, чтобы приложенный ударный
импульс был направлен парал-
параллельно оси х, т. е. перпенди-
перпендикулярно плоскости уг, которая
проходит через ось вращения и
центр масс тела.
Так как систему координат
мы можем выбрать произволь-
произвольно, то выберем ее такой, чтобы
ударный импульс S (рис. 438)
лежал в координатной плоско-
плоскости хОу (точка О расположена
на оси вращения z). Тогда, на-
направив S согласно условиям
Sji=Sz=0 параллельно оси Ох,
получим
Рис. 438
В результате первое, четвертое и пятое из уравнений A) примут
следующий вид:
Myc(u — u0) = S; B)
Jxz = Jyz = 0. C)
Из условий C) видно, что ось вращения г должна быть для точки
О главной осью инерции. Следовательно, для выполнения условий C)
необходимо расположить ударный импульс S в плоскости хОу, про-
проходящей через точку О, для которой ось z является главной
осью инерции.
Из формулы A, § 129) следует, что
СО Шп =
DУ
53*
816 Раздел III. Динамика
так как в рассматриваемом случае тг (S)=SyK, где ук— расстояние
линии действия ударного импульса 5 от оси вращения г.
Из уравнений B) и D) найдем после исключения разности ш—ш0
следующее соотношение:
ук=
Пусть момент инерции тела Jz представлен как произведение массы
тела на квадрат радиуса инерции р2и тела относительно оси вращения
г, т. е. Jz = Mfu .
Подставляя это значение Jz в равенство E), найдем после сокра-
сокращения
Таким образом, уравнение B) будет иметь место при любой числен-
численной величине ударного импульса 6>\ если линия действия этого импуль-
импульса будет проходить через точку К, которая отстоит от оси вращения z
на расстоянии г/д, определяемом формулой E) или F).
Теперь мы можем дать ответ на вопрос, при каких условиях удар-
, ный импульс S, приложенный к вращающемуся вокруг неподвижной
оси телу, не вызывает реактивных ударных импульсов в точках закреп-
закрепления оси. Во-первых ударный импульс . должен быть расположен
в плоскости хОу, перпендикулярной оси z и проходящей через точ-
точку О тела, для которой ось z является главной осью инерции, во-
вторых ударный импульс должен быть перпендикулярен плоскости,
проходящей черезь ось вращения z и центр масс С тела, и, нако-
наконец, в-третьих, точка приложения К ударного импульса должна
находиться от оси z на расстоянии, определяемом формулой E)
или F).
Точку К, через которую при этом проходит линия действия
ударного импульса, не вызывающего ударных реакций в точках зак-
закрепления оси, называют центром удара.
Формула E) имеет такой же вид, как и формула для приведенной
длины физического маятника, который получится, если ось вращения
сделать горизонтальной. Следовательно, как было показано в § 111,
у > ус, т. е. центр удара отстоит от оси вращения всегда дальше, чем
центр масс тела.
В частном случае, если центр масс находится на оси вращения,
т. е. л:с = г/с=О, то формула E) дает ук=<х>- Это означает, что центра
удара не существует на конечном расстоянии от оси вращения, а
потому любые удары, действующие на тело, будут передаваться на
точки закрепления оси.
Глава XXVI. Теория удара
817
Заметим, что в случае, если тело имеет плоскость материальной
симметрии, перпендикулярную оси вращения z (например, плоскость
хОу), то точкой О будет точка пересечения оси z с этой плоскостью;
при этом точки /Си С также лежат в этой же плоскости. Например, маят-
маятниковый копёр Шарпи для испытания на прочность материалов уда-
ударом (рис. 439) имеет плоскость материальной симметрии (хОу). В та-
таком случае центр удара К, и центр масс С лежат на осевой линии маят-
маятника (ось Оу). Вращаясь вокруг
оси Oz, перпендикулярной плоско-
плоскости чертежа, маятник ударяет ис-
испытываемый стержень, помещен-
помещенный в точке К-
Чтобы ось вращения маятника
не испытывала ударов, расстояния
Ус и у к. должны быть подобраны
надлежащим образом, т. е. должны
удовлетворять соотношению F),
которое можно представить в виде
.$
Рис. 440
Ус У к
G)
где р2 — квадрат радиуса инерции маятника относительно оси враще-
вращения Oz.
При ударе молота точка О его рукоятки удерживается неподвиж-
неподвижно, т. е. молот вращается вокруг оси Oz, перпендикулярной к плос-
плоскости чертежа (рис. 440). Чтобы удар не передавался на руки, необ-
необходимо держать рукоятку молота в такой точке О, для которой удо-
удовлетворялось бы соотношение G). Иначе говоря, линия действия
ударного импульса S должна проходить через центр удара К.
8 18
Раздел III. Динамика
Задача 143. Баллистический маятник, применяющийся для опре-
определения скорости движения снаряда (или пули), состоит из чугун-
чугунного цилиндра, наполненного песком и открытого с одного конца
(рис. 441). Снаряд, попавший в точку В, вращает его вокруг оси А.
По величине отклонения маятника от
положения равновесия определяют ско-
скорость снаряда.
Зная Рх— вес маятника, Р2— вес сна-
снаряда, р— радиус инерции цилиндра отно-
4>pj о сительно оси A, h—-расстояние центра
¦' ' ' масс маятника от оси А, а — расстояние
от оси вращения до точки В и угол откло-
отклонения маятника а, определить скорость
снаряда v, предполагая, что ось вращения
А не испытывает удара. Трением в оси
р 44, подвеса маятника пренебречь.
Решение. На маятник во время
удара будет действовать ударный им-
импульс S", равный изменению количества движения снаряда:
где ы=0 —• конечная скорость снаряда; v — начальная скорость
(искомая); т2= — — масса снаряда. При этом момент ударного
импульса S= — m2v относительно оси А вызовет изменение кинети-
кинетического момента системы (маятника — снаряда) относительно той же
оси, т. е.
JA ш = /п2ш, (а)
где ш— угловая скорость маятника, полученная в момент попадания
снаряда. В формуле (a) JА есть момент инерции маятника вместе со
снарядом относительно оси вращения А, т. е.
J А = тх р2 +
(б)
.Pi
где т1=— — масса маятника.
Реактивные ударные импульсы в оси Л не возникнут, если точка В
будет для этой оси центром удара, т. е., как видно из формулыF),
при
Р2 = bh.
Внося это значение р2 в формулу (б), находим
Ja = tnxah + т-ьО? = а (тх/г + т^а).
Глава XXVI. Теория удара 819
Подставляя J а в формулу (а), получим
ш a (mji + т^а) = т2да,
откуда
Для определения ш воспользуемся теоремой об изменении кинети-
кинетической энергии
Tt-T1=t Ak, (г)
которую применим к перемещению системы пуля — маятник после
удара.
Работа активных сил Рг и Р2 на рассматриваемом перемещении
равна
Ак=> —Рф.{\ —cosа) — РгаA —cosa)
k=\
= _ (РХА -f Р2а) A — cos а) = — (Pxh + Р»а) 2 sin2 -j .
Кинетическая энергия системы в начале этого перемещения
Тх = ~y JA «2= 4" а (mih + m2a) ш2>
а в конце того же перемещения, когда маятник отклонится на угол
а, Т2=0, так как конечная угловая скорость равна нулю.
Подставив все найденные результаты в формулу (г), получим
-~ a {Pxh + Р2а) ш2 = {PJi + Р2а) 2 sin2 ~,
откуда
ig . 2 a
= ~a~~Sm ~T '
ИЛИ
a
"' j-i m/ 0111 о*
Подставив значение ш в формулу (в), получим значение искомой
скорости v полета снаряда
820 Раздел III. Динамика
§ 132. ПРЯМОЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УДАР ТЕЛА О НЕПОДВИЖНУЮ
ПРЕГРАДУ
Прямым ударом тела о неподвижную преграду называют такой
удар, когда скорость центра масс тела в начале удара направлена по
нормали к поверхности тела в точке его соприкосновения с преградой.
В противном случае удар будет косым.
Центральным ударом тела о неподвижную преграду называют та-
такой удар, когда нормаль к поверхности тела в точке его соприкосно-
соприкосновения с преградой проходит через центр масс
тела. В противном случае удар будет нецентраль-
нецентральным.
В дальнейшем точку соприкосновения двух
у соударяющихся тел будем называть ударной точ-
точкой. Конечно, в общем случае два тела соприка-
q(~{ ~\ саются не в одной точке, а в ряде точек, распо-
~~ " ложенных по некоторой поверхности. Однако вво-
вводимая нами абстракция полезна в такой же
степени, как известная нам абстракция «точка при-
приложения сил», и введение ее оправдывается теми
Рис. 442 же причинами.
Из приведенной терминологии следует, что
удар шара о неподвижную поверхность всегда будет центральным,
но при этом он может быть прямым или косым.
а) Случай грямэго удара шара о неподвижную грзграяу. Рас-
Рассмотрим прямой центральный удар свободно падающего шара о rie-
подвижную горизонтальную плоскость или о поверхность, нормаль
которой в ударной точке вертикальна (рис. 442). При таком ударе ско-
скорость центра масс v шара в начале удара, а следовательно, и его ско-
скорость и в конце удара направлены по нормали к поверхности шара
в ударной точке. Единственной ударной силой, действующей при этом
на шар за время удара, будет ударная реакция N неподвижной поверх-
поверхности, направленная в случае гладкой поверхности по нормали On
к поверхности шара в ударной точке. Обозначим импульс этой удар-
ударной силы через 5. Действием же при ударе неударной силы — силы
тяжести, как было сказано, пренебрегаем. Тогда из теоремы об изме-
изменении количества движения центра масс системы E, § 127) получим
М(п— v) = 'S, A)
где М — масса шара,
Проектируя обе части этого равенства на внешнюю нормаль On
в точке удара, получим
M(un-vn) = Sn.
Но при прямом ударе шара ип=и, vn= —v, Sn=S, поэтому
+ v) = S. B)
Глава XXVI. Теория удара
Если скорость центра масс в начале удара v известна, то в урав-
уравнении B) будут две неизвестные величины и и 5. Очевидно, что для
решения задачи необходимо получить дополнительную зависимость
между входящими в уравнение B) величинами.
Прежде чем получить эту зависимость, надо составить себе ясное
представление о физическом процессе явления удара.
Характер явления удара заставляет теоретическую механику от-
отступить от гипотезы абсолютно твердого тела и рассматривать соу-
соударяющиеся тела как тела деформирующиеся.
Из опыта известно, что все тела во время удара деформируются,
а после удара в той или иной степени восстанавливают свою первона-
первоначальную форму.
Для упрощения будем считать, что в рассматриваемом случае де-
деформируется только падающий шар. При этом будем различать две
фазы удара. В течение первой фазы удара шар деформируется (сжи-
(сжимается) до тех пор, пока его скорость v не станет равной нулю; при
этом происходит переход кинетической энергии во внутреннюю по-
потенциальную энергию деформированного шара. В течение второй
фазы удара форма шара под действием внутренних сил упругости
восстанавливается, хотя и не вполне. За эту вторую фазу удара ско-
скорость шара возрастает от нуля до и. Одновременно происходит пере-
переход внутренней потенциальной энергии шара в кинетическую энер-
энергию шара. В тот момент, когда шар отделится от поверхности, явление
удара заканчивается. Во второй фазе удара восстанавливается только
часть первоначальной кинетической энергии, а другая часть уходит
на создание остаточной деформации шара и его нагревание.
Из сказанного следует, что скорость шара в конце удара будет
составлять какую-то часть его скорости в начале удара и может быть
определена равенством
и = ко. C)
Величина
* D)
v
равная при прямом ударе шара о неподвижную поверхность отноше-
отношению модуля скорости шара в конце удара к модулю скорости его в на-
начале удара, называется коэффициентом восстановления при ударе.
Значение k для разных тел определяется опытным путем. Опыты пока-
показывают, что для различных тел k различно и изменяется от нуля до
единицы @<&< 1). При этом по данным опыта при изменении скоростей
не в очень больших пределах величина k зависит лишь от упругих
свойств соударяющихся тел.
Равенство C) и дает в общем случае ту дополнительную зависимость
между и и v, которая необходима для решения задачи о прямом цент-
центральном ударе тела о неподвижную преграду. Удар, при котором имеет
место эта зависимость, называют не вполне упругим ударом.
52 Н. Ф. Сахарный
822
Раздел III. Динамика
Из уравнений B) и C), зная М, и и k, найдем неизвестные вели-
величины и и S. При этом
S = Mv(l + k). E)
Определив опытным путем время удара т, можно из равенства
найти среднее значение ударной нормальной реакции поверхности
СР
F)
Если k=0, то такой удар называют абсолютно неупругим, и в
этом случае явление удара заканчивается одной первой фазой. Так
как в этом случае
ы = 0, G)
то при абсолютно неупругом ударе шар, ударившись о неподвижную
поверхность, остается неподвижным. При этом
= Mv.
(8)
Если же k=l, то такой удар называют абсолютно упругим. В этом
случае
u = v, (9)
т. е. скорость шара в конце удара равна по модулю его скорости в
начале удара. При этом
S = 2Mv. A0)
Как видим при абсолютно упругом ударе ударный импульс вдвое
больше, чем при абсолютно неупругом.
б) Случай косого удара шара о непод-
неподвижную преграду. Рассмотрим теперь ко-
косой удар шара об абсолютно гладкую не-
неподвижную поверхность (рис. 443), т. е.
такой удар, когда скорость центра масс v
шара в начале удара образует с нормалью
On к поверхности шара в точке удара
угол а (угол падения), а скорость и в конце
удара направлена к этой нормали под не-
некоторым угломр (угол отражения).
В рассматриваемом случае действую-
действующей на шар ударной силой, как и в случае
прямого удара, будет нормальная реакция
поверхности. Обозначим импульс этой
Рис. 443 ударной силы через S.
Глава XXVI. Теория удара 823
Обратимся опять к уравнению A). Проектируя обе части этого
уравнения на нормаль к поверхности шара в точке удара и касатель-
касательную, проведенную в плоскости векторов v и и, получим
M(uz—vz) = 0.
Последнее равенство дает
«т = ит , A2)
т. е. касательная составляющая скорости центра масс шара при ударе
об идеальную гладкую поверхность не изменяется.
Так как влиянием трения мы пренебрегаем и, следовательно, удар
происходит только по направлению нормали к поверхности шара в
точке удара, то для нормальных составляющих в соответствии с равен-
равенством C) находим
\ua\ = k\va\, A3)
или с учетом знаков проекций
«„ = -&»„• 04)
В результате получаем
ut=v*. un = — kvn, S=^M\vn\(\ + k). A5
Таким образом, из уравнений A5) можно найти модуль и направле-
направление скорости шара в конце удара и ударный импульс, если М, v, ос
и k известны. Заметим, наконец, что
tga tg
tga \vn\ ' TgP \un\ IM '
откуда, поделив эти соотношения почленно, находим
_^ ^ \ип\ ^
tgp
*, A6)
т. е. в случае косого удара коэффициент восстановления есть отноше-
отношение тангенса угла падения к тангенсу угла отражения. При не вполне
упругом ударе k<\ и, следовательно, а<р, т. е. угол падения меньше
угла отражения.
В частном случае абсолютно упругого удара (k = 1) будем иметь
а=р, т. е. угол падения равен углу отражения, а при абсолютно не-
неупругом ударе (&=0)Р= ~.
52*
824 Раздел III. Динамика
§133. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА
ВОССТАНОВЛЕНИЯ
Коэффициент восстановления k легко определить из следующего
простого опыта. Шар из испытываемого материала заставим свободно
падать без начальной скорости с предварительно измеренной высоты
fti на неподвижную горизонтальную плиту (рис. 444), изготовленную
из того или иного материала. Поместив рядом с шаром вертикальную
рейку с делениями, найдем высоту h2, на
которую поднимается шар после удара.
Y - Тогда по известной из кинематики фор-
формуле Галилея будем иметь скорость шара
в начале удара v— У 2 ghx и скорость шара
в конце удара u = Y2ghi. Отсюда нахо-
находим коэффициент восстановления для испы-
испытываемых материалов (шара и плиты)
Рис. 444 к = —- =
Из таких опытов были найдены коэффициенты восстановления для
различных тел. Например, при соударении стекла о стекло k — 1Б/1в,
при соударении стали о сталь k — Б/9, при соударении слоновой кости
о слоновую кость&=8/о,а при соударении дерева о дерево ? = —.
Задача 144. Стальной шар весом Р = 100 г, падая с высоты hx =
=4 м, ударяется о стальную плиту. Определить среднее значение удар-
ударной реакции, если время удара т = 0,0002 сек и коэффициент восстанов-
восстановления k = Б/».
Решение. В этом случае в начале удара v = У 2 ghlt а в конце
удара и = kv = б/в v. Тогда
и, следовательно,
S
§134. ПРЯМОЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УДАР ДВУХ ТЕЛ
Удар двух тел, при котором общая нормаль к поверхностям тел
в точке их соприкосновения проходит через их центры масс и скорости
.центров масс тел в начале удара направлены по этой общей нормали,
называется прямым центральным ударом.
Рассмотрим прямой центральный удар двух поступательно движу-
движущихся тел с массами тх и та (рис. 445). Обозначим скорости центров
Глава XXVI. Теория удара
825
масс этих соударяющихся_тел в начале удара через Vi и v2 (рис. 445, а),
а в конце удара — через иг и «2 (рис. 445, б).
Если второе тело находится впереди первого и vt>v2, то первое
тело нагонит второе тело и произойдет явление рассматриваемого
удара.
Задача о прямом центральном ударе двух тел состоит в том, чтобы,
зная массы тел, скорости центров масс этих тел в начале удара и коэф-
коэффициент восстановления, опреде-
определить, во-первых, скорости цент-
центров масс тел в конце удара и, во-
вторых, ударный импульс. Для
решения этой задачи применим
теорему об изменении количества
движения системы C, § 127) к си-
системе двух соударяющихся тел.
Действующими на эту систему удар-
ударными силами будут реакции в точ-
точке удара, являющиеся силами внут-
внутренними. Внешних ударных сил
нет, поэтому сумма внешних удар-
ударных импульсов в данном случае
равна нулю и уравнение C, § 127)
дает Рис. 445
т1
/л2 и2 = т1 vx + т2 v2,
т. е. количество движения системы в начале удара и в конце удара
одно и то же.
Проектируя обе части этого векторного равенства на ось СхХ,
положительное направление на которой будем считать от Ci к Са,
получим
Щ ulx + т2 и2х = т1 vlx + m2tv. A)
В этом уравнении два неизвестных и1х и игх. Следовательно, что-
чтобы определить эти неизвестные, надо найти второе уравнение, ко-
которое получим, если задаться дополнительно коэффициентом восста-
восстановления к. Так как после удара второе тело получает перевес в скорости
над первым телом (ulx^.uix), то коэффициент восстановления при пря-
прямом ударе двух тел будет определяться как частное от деления моду-
модулей относительных скоростей тел в конце и в начале удара, т. е.
где vlx > v%x. Отсюда находим
— V2X).
B)
B')
826 Раздел III. Динамика
Решая систему двух уравнений A) и B'), получаем
и,r = V-,у-— A 4- k) ~ (у,у — v2r),
C)
J
Для определения ударных импульсов Sx и S2 EХ =—52), действую-
действующих на соударяющиеся тела при ударе, применим теорему об измене-
изменении количества движения системы C, § 127) только к одному из тел,
например к первому телу. Тогда внутренний ударный импульс в си-
системе станет внешним ударным импульсом по отношению к первому
телу и мы получим
Slx = тх (и1х — vlx); S2x = — Slx, D)
откуда на основании равенств C) находим
Slx = -Six = -{l + k) -^f^ (vlx-v2x). E)
Заметим, что все эти уравнения мы получили в предположении,
что поступательное движение тел до удара происходит в одном направ-
направлении. Нетрудно, однако, убедиться в том, что эти уравнения спра-
справедливы и для поступательного движения тел навстречу друг другу.
Если второе тело до удара было неподвижно, то в формулах C)
и E) следует положить v2x = 0, соответственно чему получим
mi
U2x = A + fy ~ Vlx,
ix x ' ' m1 + m2 xx'
Slx =-S2x=— A -f k) "Y vlx
i.X IX \ 1 / щ _f_ щ 1-Х
F)
Наконец, если первое тело ударяется о неподвижную преграду
(например, о стену), то следует принять в формулах C) и E) v2x = О
и т2= оо. При этом мы получим все те формулы, к которым пришли
в § 132. В самом деле, деля числитель и знаменатель на т2 и переходя
к пределу, когда т2-> оо, найдем
ulx^= — k vlx, u2x==0; Slx = —S2x = —(l + k) ml vlx. G)
Рассмотрим теперь частные случаи:
1) Абсолютно неупругий удар (& = 0). В этом случае из формул
C) получаем
„ _ „ ml vlx +
Глава XXVI. Теория удара 827
т. е. после абсолютно неупругого удара оба тела начинают двигаться
вместе, как одно целое, с одинаковой общей скоростью. Смысл этого
понятен. Так как при абсолютно неупругом ударе восстановления формы
соударяющихся тел не происходит, то они в конце удара дви-
движутся в прежнем направлении с одинаковыми скоростями, не разъе-
разъединяясь.
Ударные импульсы, действующие в этом случае на соударяющиеся
тела, равны
(vlx-v2x). (9)
Посмотрим теперь, чему будет,равна скорость тел в конце удара
в ряде частных случаев абсолютно неупругого удара:
а) Если одно тело до удара было неподвижно (vix=fy,m в конце
удара устанавливается скорость
б) Если массы обоих тел одинаковы (тг = тг = т), то из формулы
(8) находим
= = Vlx + v*x
1х 2х 2 '
т. е. тела движутся вместе со скоростью, равной полусумме скоростей,
которые тела имели в начале удара.
в) Если тела равной массы (т, = т2 = т) движутся навстречу друг
другу с равными скоростями [vlx=— vix), то из формулы A1) полу-
получаем
т. е. оба тела остаются неподвижными.
г) Если тело ударилось о неподвижное тело Vax= О той же массы
(mi = т2 = т), то из формулы A1) находим
vlx
т. е. оба тела движутся со скоростью, равной половине скорости пер-
первого тела в начале удара.
д) Если первое тело массы тх ударится о неподвижную преграду
(тг = со и vix— 0), то в пределе из формулы (8) получаем
и1х = и2х = 0,
т. е. первое тело останавливается.
828 Раздел III. Динамика
2) Абсолютно упругий удар (k= 1). В этом случае из формул C)
и E) получаем
i +»^ (vlx
—v2x),
A2)
(V1X^° V2X). A3)
Из сравнений формул (9) и A3) видно, что при абсолютно упругом
ударе двух тел ударный импульс вдвое больше, чем при абсолютно
неупругом*.
В частном случае, когда массы тел равны (т1 = /пг), из формул A2)
находим
т. е. тела при абсолютно упругом ударе как бы обмениваются скоро-
скоростями, следовательно, количествами движения. Если второе тело
было неподвижно (vZx= 0), а первое о него ударилось, то
т. е. второе тело придет в то движение, которое было у первого тела,
а первое тело останется на его месте неподвижным.
Задача 145. Шар весом Pi—ЪкГ движется со скоростью ох =
= 15 м/сек, впереди него движется в том же направлении со скоростью
о2 = 2 м/сек шар веса Р2= 8 кГ. Определить скорости шаров в конце уда-
удара, если коэффициент восстановления k = -s- •
Решение. В данном случае происходит не вполне упругий
удар шаров, поэтому, применяя формулы C), получаем
ы1 = у1 —A + k) рф^ (v± —1-2) = 15 —
v, + A + *) -р^пг fa - оя) = 2 + A + 0,5)-g^g A5-2) =
=9,5-
м
сек
Отсюда следует, что скорость первого шара уменьшилась, а второго
увеличилась. При этом шары продолжают двигаться в прежнем на-
направлении.
* Напомним, что точно такой же вывод мы получили в § 132.
Глава XXVI. Теория удара 829
Задача 146. Два абсолютно неупругих шара с массами тх и т2
движутся навстречу друг другу. При этом первый шар имеет скорость
Vi, а второй — скорость v2 = —Зих. Определить отношение масс ша-
шаров, если в конце удара шары движутся со скоростью
Решение. Пользуясь формулой (8) и учитывая при этом, что
vlx= Vi, a v%x— — 3vlt получим
-lt5pl=miPl-m»-3Pl
откуда
Ш = 0,6.
§ 135. ПОТЕРЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ПРИ ПРЯМОМ
ЦЕНТРАЛЬНОМ УДАРЕ ДВУХ ТЕЛ. ТЕОРЕМА КАРНО
Если удар не вполне упругий, то соударяющиеся тела не восста-
восстанавливают полностью своей формы в конце удара. Следовательно,
часть кинетической энергии, которой обладали эти тела в начале удара,
тратится на остающуюся деформацию их, а также на нагревание этих
тел. Подсчитаем величину кинетической энергии, теряемой при пря-
прямом центральном ударе двух тел, полагая, что этот удар является
не вполне упругим.
Предполагая, что соударяющиеся тела движутся поступательно,
найдем кинетическую энергию системы в начале и в конце рассматри-
рассматриваемого удара
То = 4 [ЩгЪ + Щ^х); Т = \ [тхи\х + т,и\х).
Счедовательно, потеря кинетической энергии при ударе равна
То~Т = ~ \Щ (vl-ul) + m2{vl-ul)}. A)
Из уравнения A, § 134) видно, что
mi ( vix- uxx) = — m*{v2x- и2х). B)
Подставляя это значение в равенство A), получаем
Т0 — Т = -^-т1( vlx— ulx) [(vlx+ щх) — {v2X + и2х)], C)
Но из равенства B', § 134) следует, что
L __ <*2Х -У
830 Раздел Ш. Динамика
при этом, очевидно, имеет место равенство
1 — k = (vix — v2x) — (и2х —
1 + k (vlx — v2x) + (игх — ulx) '
из которого находим
(Vlx + Ulx) — (Vix + Щх) = -^j [(Vlx — Ulx) — (V2x — U2X)].
Подставляя это значение в равенство C), получаем
То — Т = у=? ¦— ш1 (vlx — ulx) [{vlx — и1х) — (v2x — u2x)]. D)
Далее, принимая во внимание равенство B), мы формулу D) мо-
можем представить в виде
^ Щ(vlx-ulxf +~m2(v2x-u2x)% E)
где разности (vlx—ulx) и (v2x—u2x) показывают, насколько умень-
уменьшилась при ударе скорость каждого из соударяющихся тел, а поэтому
их называют потерянными при ударе скоростями.
Таким образом, из равенства E) вытекает следующая теорема
Карно: кинетическая энергия, потерянная системой при прямом цент-
центральном и не вполне упругом ударе двух тел, равна ~ , -той доле
1 -f- я
той кинетической энергии, которую имела бы система, если бы ее тела
двигались с потерянными скоростями.
Равенству E) можно придать несколько другой вид. В самом деле,
из формул C, § 134) имеем
Отсюда легко найдем
Щ (uix — vuy m2
ИЛИ
. 2 __ 1 Г wi (uu — vixJ ,
~ Ъх) ~ TTT L ~~2 '
Глава XXVI. Теория удара 831
и, следовательно, будем иметь
^ [ m (^ ^J+ 4 т(и v
1 - fe2 mi тг , _ ,8
- ~^Г пц + т2 loi* V**>
Отсюда, обращаясь к формуле E), получаем
В частном случае, когда одно из тел (например, второе) до удара
неподвижно (v2x= 0), будем иметь
G)
-Lm v2- T- mi + кгщ Т
Если удар является абсолютно упругим, то k = 1 и, как это видно
из формулы E) или F), потеря кинетической энергии при таком ударе
равна нулю, т. е. Т=Т0- Таким образом, при абсолютно упругом ударе
кинетическая энергия не теряется: кинетическая энергия, потерян-
потерянная за первую фазу удара, когда тела деформируются, полностью
восстанавливается за вторую фазу удара, когда тела возвращаются к
своей первоначальной форме.
Из равенства E) следует, что наибольшая потеря кинетической
энергии будет при абсолютно неупругом ударе (k = 0), когда тела
в конце удара не восстанавливают вовсе своей первоначальной формы.
В этом случае и1х = и2х = их, поэтому равенство E), выражающее
теорему Карно, примет следующий вид:
Т*-Т = ±- mi(vlx - uxf +~m2 (v2x - ux)\ (8)
т. е. кинетическая энергия, потерянная системой при прямом цент-
центральном и абсолютно неупругом ударе, равна той кинетической энер-
энергии, которую имела бы система, если бы ее тела двигались с потерян-
потерянными скоростями.
Полагая k=0, из равенства F) получим выражение для потерян-
потерянной кинетической энергии при абсолютно неупругом ударе в ином
виде, а именно:
Т Т — mim2 tv v \2 (Q\
1 » ~ 2 (яц + щ) (Vl* V**> • (У>
832 Раздел III. Динамика
Рассмотрим теперь частный случай абсолютно неупругого удара,
когда одно из соударяющихся тел до удара было неподвижным.
Пусть этим телом будет второе тело, тогда его скорость до уда-
удара ViX = 0.
В этом случае кинетическая энергия системы в начале и в конце
удара будет соответственно равна
так как при абсолютно неупругом ударе ulx= игх. При этом будет
иметь место формула A0, § 134), т. е.
_ пц + т2
IX тх IX
Подставляя это значение vlx в формулу (9) и учитывая вторую
из формул A0), получаем
Предположим, что масса т2 ударяемого тела во много раз превос-
превосходит массу шх ударяющего тела, тогда дробь ^- будет велика в срав-
сравнении с единицей и будет почти равно нулю. При этом форму-
ла A1) дает Г^О, т. е. почти вся кинетическая энергия при ударе те-
теряется, и тела после удара остаются почти неподвижными. Следовав
тельно, в рассматриваемом случае при ударе почти вся кинетическая
энергия расходуется на деформацию соударяющихся тел. Практически
такой результат, очевидно, необходим при ковке металла, клепке и т. п.
Поэтому при ковке металлов масса пг2 неподвижного тела (нако-
(наковальня вместе с отковываемой деталью) должна быть возможно большей
по сравнению с массой тх ударяющего тела (молота). В этом случае
полезной является потерянная кинетическая энергия То—7\ затра-
затрачиваемая на деформацию отковываемого куска. Энергия же Т, сохра-
сохраняющаяся после удара и определяемая скоростями, которые будут
иметь после удара молот и наковальня, является бесполезной. Коэф-
Коэффициент полезного использования энергии, т. е. коэффициент полез-
полезного действия (?]) молота поэтому равен (см.первуюивторуюизформул7)
Г„-Г _ тг{\-Ь?)
Отсюда видно, что для получения высокого коэффициента полезного
действия масса молота тх должна быть малой величиной по сравнению
с массой т2 поковки и наковальни.
Глава XXVI. Теория удара 833
Допустим теперь, что масса т% ударяющего тела значительно боль-
больше массы тг ударяемого тела, тогда дробь тпч.1тх мала в сравнении
с единицей и Т будет почти равно То, т. е. Т ^ 7V Таким образом, хотя
удар и является абсолютно неупругим, тем не менее после удара почти
вся кинетическая энергия сохраняется, т. е. по окончании удара си-
система начинает двигаться почти с той же кинетической энергией, кото-
которая у нее была до начала удара. Следовательно, не происходит и дефор-
деформации соударяющихся тел. На практике такой результат, очевидно,
необходим при забивке свай, гвоздей и т. п. Вот почему при забивке
свай или гвоздей масса тх ударяющего тела (бойка или молота) долж-
должна быть большей по сравнению d массой /я2 сваи или гвоздя. В этом
случае полезным является запас кинетической энергии, который оста-
остается в системе, не переходя в другие формы энергии. Этот запас полез-
полезно расходуется на перемещение тел после удара и на преодоление при
этом сопротивлений. При этом потерянная кинетическая энергия То—Т,
идущая преимущественно на деформацию сваи, является бес-
бесполезной работой. Поэтому в рассматриваемом случае коэффициент
полезного действия (%) будет (см. третью из формул 7)
Т mi + ЬР-тг
Задача 147. Падающий молот весом Рх = 12 Г имеет в момент удара
по поковке скорость vx = 5 м/сек. Вес поковки и наковальни Ръ = 250 Т.
Найти: а) полезную работу молота, работу, теряемую на сотрясе-
сотрясение фундамента, и коэффициент полезного действия молота, считая
удар по раскаленному металлу абсолютно неупругим; б) коэффициент
полезного действия молота, если подвергающийся ковке металл не
вполне пластичен и коэффициент восстановления k = 0,6.
Решение, а) Кинетическая энергия молота в начале удара
равна
-Г _ "П"!* _ iW _ 12000-5* _ ir cjnr, кГм
°~ 2 ~ "гУ" ~ ~2^978Г~
Потерянная при абсолютно неупругом ударе кинетическая энергия,
идущая на деформацию поковки, представляет собой полезную работу
и определяется по формуле (9), в которой полагаем, что vix = 0 и
tfi, = vi, т. е.
Т —Т — тщ г> — щ Т — р* Т — 250
1а 1 - 2 (mi + т) Vl - m + m J°~ P + P i °~
2 (mi + т.) Vl - mi + m% J°~ Pi + P2 i °~ 12 + 250
= 14600 кГ-м.
Работа, потерянная на сотрясение фундамента (следовательно,
затрачиваемая бесполезно для деформации поковки), равна
Т = Г, —(То —7) = 15300—14 600 = 700 кГм.
834 Раздел III. Динамика
Коэффициент полезного действия молота равен
б) Так как подвергающийся ковке металл не вполне пластичен,
то коэффициент полезного действия молота необходимо определять
по формуле A2).
Следовательно, в данном случае коэффициент полезного действия
молота равен
¦л = Т°~Т "»,(!-*») _ /Ml-*!2) _ 250A-0,6»)
1 To /П1 + /я Pi + Рз
+ а Pi + Рз 12 + 250
Задача 148. Боек копра весом Рг = 1000 кГ свободно падает с вы-
высоты Н = 3 м на сваю весом Р2 = 200 кГ. Считая удар абсолютно не-
неупругим, определить полезную работу копра и его коэффициент по-
полезного действия. Определить также сопротивление грунта, если
при каждом ударе свая погружается в грунт на глубину h = 0,02 м.
Решение. Кинетическая энергия бойка копра в момент начала
удара равна
То = Р1.Н= 1000-3 = 3000 кГм.
Потерянную при ударе кинетическую энергию, идущую на дефор-
деформацию сваи, т. е. затрачиваемую бесполезно для погружения сваи в
2
грунт, определяем по формуле (9), полагая в ней V2X = 0 и т]0|д: = То:
^ То= р P2D То = 500 кГм.
2 ° Pi + P2 °
Оставшаяся после удара кинетическая энергия совместно движу-
движущихся бойка копра и сваи идет на погружение сваи в грунт, и, сле-
следовательно, полезная работа копра равна
Т = 70 — (Го — Т) = 3000 — 500 = 2500 кГм.
Поэтому коэффициент полезного действия копра будет
_ Т _ 2500 _ _5_
^ ~ ^ ~ 3000 "~ ~б"'
Работа внешних сил тяжести Pi и Р2 и искомого среднего сопро-
сопротивления грунта R на пути h равна
Глава XXVI. Теория удара 835
На основании теоремы об изменении кинетической энергии и в силу
того, что кинетическая энергия в конце движения сваи равна нулю,
а в начале ее движения она равна Т, напишем
откуда находим
§ 136. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ К РАЗДЕЛУ «ДИНАМИКА»
1. Как формулируются основные законы динамики?
2. Какой вид имеют дифференциальные уравнения движения сво-
свободной материальной точки?
3. В чем состоят первая и вторая задачи динамики материальной
точки?
4. Как определяются значения произвольных постоянных, появ-
появляющихся при интегрировании дифференциальных уравнений движе-
движения материальной точки?
5. Какой вид имеют дифференциальные уравнения движения не-
несвободной материальной точки?
6. Что такое сила инерции материальной точки? К чему прило-
приложена, как направлена и чему равна по модулю сила инерции мате-
материальной точки?
7. В чем состоит принцип Даламбера для материальной точки?
8. Какой вид имеет векторное дифференциальное уравнение отно-
относительного движения точки?
9. Какие системы отсчета называются инерциальными?
10. В чем состоит принцип относительности классической меха-
механики?
11. Чем объясняется тот факт, что у рек, текущих с севера на юг
в северном полушарии, западный берег всегда выше восточного?
12. Как выражается закон гармонического колебания материаль-
материальной точки?
13. Зависит ли период гармонического колебания от начальных
условий движения материальной точки?
14. В каком случае при вынужденных колебаниях материальной
точки наступит явление резонанса? Чем характерно это явление?
15. Что называется механической системой материальных точек?
16. Какая классификация сил, действующих на систему, приме-
применяется в динамике системы?
17. Почему главный вектор и главный момент внутренних сил
всегда равны нулю?
18. Что называется количеством движения материальной точки?
19. Что называется количеством движения системы?
836 Раздел III. Динамика
20. В чем состоит теорема об изменении количества движения
точки?
21. В чем состоит теорема об изменении количества движения си-
системы?
22. В каком случае количество движения системы остается постоян-
постоянным?
23. Какая точка называется центром масс (центром инерции) си-
системы?
24. Как выражается количество движения системы через количе-
количество движения ее центра масс?
25. В чем состоит теорема о движении центра масс системы?
26. Какие силы, действующие на систему, не влияют на движение
ее центра масс?
27. Какой вид имеет дифференциальное уравнение движения точки
переменной массы (уравнение Мещерского)?
28. Какой вид имеет формула Циолковского?
29. Что называется вектор-моментом количества движения мате-
материальной точки относительно данной точки? Как направлен этот век-
вектор-момент?
30. Что называется кинетическим моментом системы относительно
данной точки, данной оси?
31. Как выражается теорема об изменении момента количества
движения точки в векторной и координатной формах?
32. Как выражается теорема об изменении кинетического момента
системы в векторной и координатной формах?
33. В каком случае кинетический момент системы относительно
данной точки и данной оси остается постоянным?
34. Как выражается кинетический момент вращающегося твердого
тела относительно оси вращения?
35. Что называется моментом инерции твердого тела относительно
данной оси и данной точки?
36. Какое физическое значение момента инерции тела относитель-
относительно данной оси?
37. Что называется радиусом инерции тела относительно оси?
38. Какая зависимость существует между моментами инерции от-
относительно трех координатных осей и относительно начала координат?
39. В чем состоит теорема о зависимости между моментами инер-
инерции тела относительно двух параллельных осей?
40. Что называется центробежным моментом инерции твердого
тела?
41. Какие оси называются главными осями инерции тела в дан-
данной точке?
42. При каких условиях координатная ось Ог является одной из
главных осей инерции тела в начале координат О?
43. Какой эллипсоид инерции называется центральным?
44. При каком условии центральный эллипсоид инерции является
Глава XXVI. Теория удара 837
эллипсоидом вращения вокруг одной из главных центральных осей
инерции?
45. Как выражается величина элементарной работы силы?
46. Как выражается работа силы на конечном пути?
47. В чем состоит теорема о работе равнодействующей?
48. Как выражается элементарная работа силы, приложенной к
твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, через момент
этой силы относительно оси вращения?
49. Что называется кинетической энергией материальной точки?
50. Что называется кинетической энергией системы?
51. Как выражается кинетическая энергия твердого тела при по-
поступательном, вращательном и плоскопараллельном движении этого
тела?
52. В чем состоит теорема об изменении кинетической энергии
точки?
53. В чем состоит теорема об изменении кинетической энергии
системы?
54. Входят ли в уравнение, выражающее теорему об изменении
кинетической энергии системы, внутренние силы этой системы?
55. В каком случае в уравнение, выражающее теорему об измене-
изменении кинетической энергии системы, не входят внутренние силы этой
системы?
. 56. Если данная система изолирована от действия всяких внешних
сил, так что на ее точки действуют только внутренние силы, то будут
ли изменяться количество движения и кинетическая энергия этой си-
системы? Что можно сказать о движении центра масс такой скстемы?
57. Какое силовое поле называется потенциальным (консерватив-
(консервативным)?
58. Какая функция называется силовой?
59. В чем состоит закон сохранения механической энергии?
60. Какой вид имеют дифференциальные уравнения поступатель-
поступательного движения твердого тела?
61. Какой вид имеет дифференциальное уравнение вращательного
движения твердого тела вокруг неподвижной оси? Какая общая тео-
теорема динамики системы применяется для составления этого уравнения?
62. Что называется физическим маятником?
63. По какой формуле определяется период малых колебаний фи-
физического маятника?
64. Что называется привиденной длиной физического маятника?
65. Какой вид имеют дифференциальные уравнения плоскопарал-
плоскопараллельного движения твердого тела? Какие общие теоремы динамики
системы применяются для составления этих уравнений?
66. В чем состоит принцип Даламбера для системы?
67. При каких условиях динамические реакции подшипника и
подпятника вращающегося твердого тела не зависят ни от угловой
скорости, ни от углового ускорения тела?
838 Раздел III. Динамика
68. Какие предположения кладутся в основу элементарной теории
гироскопических явлений?
69. Как выражается гироскопический момент? В чем состоит так
называемый «гироскопический эффект»?
70. Как формулируется правило Н. Е. Жуковского?
71. Что называется регулярной прецессией гироскопа?
72. Как математически выражаются связи, наложенные на систему?
73. Какие связи называются голономными?
74. Какие связи называются удерживающими?
75. Какие связи называются стационарными, нестационарными?
76. Как формулируется определение обобщенных координат си-
системы?
77. Что называется числом степеней свободы голономной механи-
механической системы точек?
78. Что называется возможными перемещениями точки и механи-
механической системы точек?
79. В чем состоит разница между возможным перемещением точки
и действительным?
80. При каких связях всякое действительное перемещение точки
совпадает с одним из возможных?
81. Что называется возможной работой силы?
82. Какие связи называются идеальными?
83. Как читается принцип возможных перемещений для системы?
84. Что называется обобщенной силой?
85. Каково аналитическое выражение обобщенной силы?
86. Если система находится в потенциальном силовом поле, то
как выражаются обобщенные силы через потенциальную энергию?
87. Как пишутся условия равновесия системы в обобщенных коор-
координатах?
88. Как пишется общее уравнение динамики системы?
89. Как пишутся в общем виде дифференциальные уравнения дви-
движения системы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа вто-
второго рода)?
90. В чем состоит характерная особенность явления удара?
91. Почему вместо ударных сил в теории удара фигурируют
ударные импульсы?
92. Какая формула играет в теории удара роль второго закона
динамики точки?
93. Каково перемещение материальной точки за время действия
на нее ударного импульса?
94. В чем состоит теорема об изменении количества движения
системы при ударе?
95. В чем состоит теорема об изменении кинетического момента си-
системы при ударе?
96. Чему равно изменение угловой скорости твердого тела, вращаю-
Глава XXVI. Теория удара 839
щегося вокруг неподвижной оси, при действии на это тело ударного
импульса?
97. При каких условиях удар не передается на точки закрепления
оси?
98. Что называется коэффициентом восстановления?
99. В каком случае при прямом ударе двух шаров эти шары после
удара остановятся и в каком случае они обменяются скоростями?
100. Что называется потерянными при ударе скоростями?
101. Что называется потерянной при ударе кинетической энергией?
102. Как читается теорема Карно?
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие 3
Введение 5
§ 1. Предмет, метод, место среди естественных наук и границы
применимости теоретической механики 5
§ 2. Основные исторические этапы развития теоретической ме-
механики . . . , 12
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
СТАТИКА
Г Л А В А I. Основные понятия и аксиомы статики 20
§ 1. Сила, система сил, эквивалентная система сил и уравнове-
уравновешенная система сил 20
§ 2. Аксиомы статики и некоторые следствия из них 24
§ 3. Исследование связей и установление направления их реакций 30
Г Л А В А II. Приведение пространственной и плоской систем сходящих-
сходящихся сил к равнодействующей 40
§ 4. Геометрический метод определения равнодействующей про-
пространственной и плоской систем сходящихся сил .... 40
§ 5. Условие равновесия пространственной и плоской систем
сходящихся сил в геометрической форме 43
§ 6. Разложение силы на сходящиеся составляющие .... 44
§ 7. Проекции силы на ось и на плоскость 46
§ 8. Определение силы по ее проекциям на координатные оси . . 48
§ 9. Аналитический метод определения равнодействующей про-
пространственной и плоской систем сходящихся сил ... . 50
§ 10.. Условия равновесия пространственной и, плоской систем
сходящихся сил в аналитической форме. Указания к решению
задач 52
§11. Момент силы относительно точки. Теорема Вариньона о
моменте равнодействующей 64
Г Л А В А III. Система параллельных сил и теория пар, как
угодно расположенных в одной плоскости 67
§ 12. Приведение системы двух параллельных сил, направленных
в одну сторону, к равнодействующей 67
§ 13. Приведение системы двух не равных по модулю параллельных
сил, направленных в противоположные стороны, к равно-
равнодействующей 69
§ 14. Пара сил. Момент пары сил 71
§ 15. Эквивалентность пар 74
§ 16. Сложение пар, расположенных в одной плоскости. .Условие
равновесия пар 76
Оглавление 841
Стр.
ГЛАВА IV. Произвольная плоская система сил 80
§ 17. Теорема о параллельном переносе силы 80
§ 18. Приведение произвольной плоской системы сил к одной силе
и к одной паре 81
§ 19. Приведение произвольной плоской системы сил к равнодей-
равнодействующей 84
§ 20. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей произ-
произвольной плоской системы сил. Условия равновесия рычага . 87
§ 21. Приведение произвольной плоской системы сил к одной паре 92
§ 22. Условия равновесия произвольной плоской системы сил . 93
§ 23. Условия равновесия плоской системы параллельных сил. . 96
§ 24. Указания к решению задач 97
§ 25. Равновесие сочлененной системы тел 107
Г Л А В А V. Трение скольжения и качения 116
§26. Трение скольжения 116
§ 27. Трение качения 129
ГЛАВА VI. Графическая статика и методы расчета плоских ферм 134
§ 28. Предмет графостатики 134
§ 29. Графический метод приведения произвольной плоской си-
системы сил к простейшему виду 135
§ 30. Графическое определение опорных реакций 139
§31. Понятие о ферме 141
§ 32. Способ вырезания узлов 145
§ 33. Способ Максвелла—Кремоны 148
§ 34. Способ разрезов фермы , 153
ГЛАВ А VII. Произвольная пространственная система сил и теория
пар, как угодно расположенных в пространстве 156
§ 35. Момент силы относительно точки как вектор 156
§ 36. Момент силы относительно оси 158
§ 37. Зависимость между моментом силы относительно оси и мо-
моментом силы относительно точки, лежащей на этой оси . . 160
§ 38. Аналитическое выражение моментов силы относительно ко-
координатных осей 161
§ 39. Теорема о переносе пары в другую плоскость, параллельную
плоскости действия этой пары 166
$ 40. Момент пары как вектор 167
§ 41. Условие эквивалентности двух пар 170
§ 42. Сложение пар, лежащих в разных плоскостях. Условие рав-
равновесия пар 171
§ 43. Приведение произвольной пространственной системы сил
к одной силе и к одной паре 173
§ 44. Изменение главного вектора-момента при перемене центра
приведения 176
§ 45. Инварианты произвольной пространственной системы сил • 178
§ 46. Приведение произвольной пространственной системы сил
к динамическому винту 179
§ 47. Случай приведения системы сил, не лежащих в одной пло-
плоскости, к равнодействующей. Теорема Вариньона о моменте
равнодействующей 182
§ 48. Случай приведения системы сил, не лежащих в одной пло-
плоскости, к паре 184
§ 49. Условия равновесия произвольной пространственной системы
сил. Случай пространственной системы параллельных сил 185
§ 50. Равновесие твердого тела с одной и с двумя закрепленными
точками. Указания к решению задач '87
842 Оглавление
Стр.
Г ЛАВ А VIII. Центр тяжести 199
§51. Приведение системы параллельных сил к равнодействующей.
Центр параллельных сил 199
§ 52. Центр тяжести 203
§ 53. Способы определения координат центров тяжести тел . . 205
§ 54. Центр тяжести некоторых линий, площадей и объемов . . 208
§ 55. Графическое определение положения центра тяжести пло-
плоских фигур 215
§ 56. Вопросы для самопроверки к разделу «Статика» .... 216
Раздел второй
КИНЕМАТИКА
Г Л А В А IX. Кинематика точки 219
§ 57. Введение 219
§ 58. Задание движения точки векторным способом 221
§ 59. Координатный способ задания движения точки .... 229
§ 60. Естественный, или натуральный, способ задания движения
точки 250
§61. Графический способ исследования движения точки . . . 272
§ 62. Метод полярных координат 278
ГЛАВА X. Поступательное движение твердого тела и вращательное
движение твердого тела вокруг неподвижной оси 287
§ 63. Основные задачи кинематики твердого тела 287
§ 64. Поступательное движение твердого тела 288
§ 65. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной
оси 4 291
ГЛАВА XI. Составное движение точки 309
§ 66. Относительное, переносное и абсолютное движения точки . 309
§ 67. Абсолютные, относительные и переносные скорости и уско-
ускорения точки 310
§ 68. Теоремы сложения скоростей и сложения ускорений в том
случае, когда переносное движение является поступательным 311
§ 69. Указания к решению задач 314
Г Л А В А XII. Плоскопараллельное движение твердого тела .... 32«
§ 70. Уравнения плоскопараллельного движения твердого тела . 32о
§71. Разложение движения плоской фигуры на поступательное
и вращательное 323
§ 72. Определение скоростей точек плоской фигуры, движущейся
в своей плоскости 326
§ 73. Определение ускорений точек плоской фигуры, движущейся
в своей плоскости 345
§ 74. Центроиды 367
Г Л А В А XIII. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную
точку, и общий случай движения свободного твердого тела . . . 375
§ 75. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку 375
§ 76. Общий случай движения свободного твердого тела . . . 394
ГЛАВА XIV. Составное движение точки в общем случае . . . 403
§ 77. Теорема сложения скоростей в случае, когда переносное
движение является произвольным 403
§ 78. Теорема сложения ускорений в случае, когда переносное
движение является произвольным 405
§ 79. Указания к решению задач 409
ГЛАВА XV. Составное движение твердого тела 417
§ 80. Понятие составного движения твердого тела 417
§ 81. Теорема о сложении поступательных движений твердого тела 418
Оглавление
Стр.
§ 82. Теорема о сложении вращений твердого тела вокруг пере-
пересекающихся осей 419
§ 83. Теоремы о сложении вращений твердого тела вокруг парал-
параллельных осей 423
§ 84. Теоремы о сложении поступательного и вращательного дви-
движений твердого тела 432
§ 85. Вопросы для самопроверки к разделу «Кинематика» . . . 436
Разделтретий
ДИНАМИКА
А. Динамика материальной точки
ГЛАВА XVI. Основные законы динамики 439
§ 86. Предмет динамики 439
§ 87. Основные законы динамики '. 440
ГЛАВА XVII. Дифференциальные уравнения движения свободной
материальной точки и их применение к решению двух основных
задач динамики точки 448
§ 88. Дифференциальные уравнения движения свободной мате-
материальной точки . 448
§ 89. Применение дифференциальных уравнений движения сво-
свободной материальной точки к решению первой задачи дина-
динамики точки 452
§ 90. Применение дифференциальных уравнений движения сво-
свободной материальной точки к решению второй задачи дина-
динамики точки 456
ГЛАВА XVIII. Дифференциальные уравнения движения несвободной
материальной точки и принцип Даламбера для материальной точки 477
§91. Дифференциальные уравнения движения несвободной ма-
материальной точки и их применение к решению двух основных
задач динамики точки 477
§ 92. Принцип Даламбера для материальной точки 492
ГЛАВА XIX. Динамика относительного движения материальной
точки 500
§ 93. Дифференциальные уравнения относительного движения ма-
материальной точки 500
§ 94. Отклонение свободно падающей материальной точки от вер-
вертикали к востоку вследствие суточного вращения Земли . 508
Г, Л А В А XX. Прямолинейное колебательное движение материальной
точки 513
§ 95. Гармонические колебания материальной точки ....". 513
§ 96. Затухающие колебания материальной точки 522
§ 97. Вынужденные колебания материальной точки при отсутствии
сопротивления 529
§ 98. Вынужденные колебания материальной точки при наличии
сопротивления 536
Б. Динамика механической системы
и твердого тела
ГЛА В А XXI. Введение в динамику системы и твердого тела . . . 545
§ 99. Механическая система. Классификация сил, действующих
на механическую систему 545
§ 100. Масса системы. Центр масс системы 547
§ 101. Моменты инерции 549
ГЛА В А XXII. Общие теоремы динамики материальной точки и ме-
механической системы . 568
§ 102. Дифференциальные уравнения движения механической
системы 568
-844 Оглавление
Стр.
§ ЮЗ. Теоремы об изменении количества движения материальной
точки и механической системы 570
§ 104. Теорема о движении центра масс механической системы . 579
§ 105. Основы динамики материальной точки переменной массы . 593
§ 106. Теоремы об изменении кинетического момента материальной
точки и механической системы 598
§ 107. Теоремы об изменении кинетической энергии материальной
точки и механической системы 618
§ 108. Потенциальное силовое поле 659
§ 109. Закон сохранения механической энергии материальной
точки и механической системы при движении в потенциаль-
потенциальном силовом поле 666
§ ПО. Движение материальной точки в поле центральной силы . 669
ГЛАВА XXIII. Динамика абсолютно твердого тела 680
§ 111. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси . . . 680
§ 112. Плоскопараллельное движение твердого тела 689
§113. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную
точку 696
§ 114. Элементарная теория гироскопических явлений . . . .711
ГЛАВА XXIV. Принцип Даламбера для механической системы.
Определение динамических реакций в точках закрепления оси вращаю-
вращающегося тела 724
§ 115. Принцип Даламбера для механической системы .... 724
§116. Определение динамических реакций в точках закрепления
оси вращающегося тела 735
ГЛАВА XXV. Элементы аналитической механики 745
§ 117. Классификация связей 745
§118. Обобщенные координаты и число степеней свободы меха-
механической системы . ¦ 750
§119. Возможные перемещения механической системы .... 753
§ 120. Понятия работы сил на возможном перемещении. Обобщен-
Обобщенная сила. Идеальные связи 760
§ 121. Принцип возможных перемещений 766
§ 122. Условия равновесия системы в обобщенных координатах.
Случай существования силовой функции 773
§ 123. Общее уравнение динамики 779
§ 124. Дифференциальные уравнения движения системы в обоб-
обобщенных координатах 788
ГЛАВА XXVI. Теория удара 803
§ 125. Явление удара. Ударная сила и ударный импульс . . . 803
§ 126. Основное уравнение теории удара 805
§ 127. Теорема об изменении количества движения системы при
ударе 807
§ 128. Теорема об изменении кинетического момента системы при
ударе 810
§ 129. Изменение угловой скорости твердого тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси, при ударе 811
§ 130. Определение реактивных ударных импульсов в точках за-
закрепления оси 813
§ 131. Условия, при которых удар не передается на точки закреп-
закрепления оси. Центр удара к • 814
§ 132. Прямой центральный удар тела о неподвижную преграду . 820
§ 133. Экспериментальное определение коэффициента восстанов-
восстановления 824
§ 134. Прямой центральный удар двух тел 824
§ 135. Потеря кинетической энергии при прямом центральном уда-
ударе двух тел. Теорема Карно 829
§ 136. Вопросы для самопроверки к разделу «Динамика». . . . 835