С. А. Мазаник
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЛЯПУНОВА
ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
СИСТЕМ
МИНСК
БГУ
2008

УДК 517(07)
Мазаник, С. А. Преобразования Ляпунова линейных дифферен
циальных систем / С. А. Мазаник. - Минск : БГУ, 2008. - 175 с.
ISBN 978-985-485-780-0.
Рассматриваются вопросы эквивалентности линейных дифференци&ггъных
систем относительно преобразований Ляпунова, проблемы построения систем-
представителей классов эквивалентных по Ляпунову систем.
Для научных сотрудников, работающих в области дифференциальных
уравнений и их приложений, а также аспирантов и студентов.
Библиогр.: 162 назв.
Рецензенты:
академик НАН Беларуси,
доктор физико-математических наук,
профессор Н. А. Изобов;
кандидат физико-математических наук,
профессор В. И. Мироненко
© Мазаник С. Α., 2008
ISBN 978-985-485-780-0 © БГУ, 2008

ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория обыкновенных дифференциальных уравнений играет важную
роль в современной математике и ее приложениях, поскольку
обыкновенные дифференциальные уравнения служат как средством описания, так и
базой для создания новых теорий, изучающих различного рода
эволюционные процессы. Одним из важнейших разделов этой теории является теория
линейных систем и ее часть — теория характеристических показателей, в
основе которой лежит так называемый первый метод Ляпунова,
предложенный А. М. Ляпуновым в его, давно ставшей классической, работе
"Общая задача об устойчивости движения" [1], для исследования
асимптотических свойств решений, в частности, устойчивости решений систем
дифференциальных уравнений.
Существенное развитие теории линейных дифференциальных систем
связано с работами Л. Я. Адриановой, Е. А. Барабанова, Ю.Н.Бибикова,
И. Н. Блинова, Ю. С. Богданова, Б. Ф. Былова, Р. Э. Винограда, И. В. Гай-
шуна, Д. М. Гробмана, Э.И.Грудо, Б. П.Демидовича, Н.П.Еругина,
Н.А.Изобова, И.Т. Кигурадзе, И. А. Лаппо-Данилевского, Н.Я.Лящен-
ко, Е.К.Макарова, В. М. Миллионщикова (в частности, с
разработанным им так называемым методом поворотов [2 — 4]), В. И.Мироненко,
Ю. А. Митропольского, К. П. Персидского, В.А.Плисса,
Р.А.Прохоровой, М. И.Рахимбердиева, Н.Х.Розова, И.Н.Сергеева,
А.Ф.Филиппова, Н.И.Шкиль, И.З.Штокало, В.А.Якубовича, О.Boruvka, P.Bohl,
R.Conti, W. A.Coppel, J.Kurzweil, S.P. Dilliberto, J.C.Lillo, F. Neuman,
O. Perron, A. Wintner, J. S.W.Wong и многих других отечественных и
зарубежных авторов. Систематическое изложение ляпуновской
теории линейных систем, а также ее распространение на другие виды
систем, можно найти в книгах Л. Я. Адриановой [5], Ю.С.Богданова
[6], Б. Ф. Былова, Р. Э. Винограда, Д. М. Гробмана, В. В. Немыцкого [7],
И.В.Гайшуна [8], Б. П.Демидовича [9], Н.П.Еругина [10], Н.А.Изобова
[11] (см. также обзор [4]).
Характеристические показатели Ляпунова (характеристичные
числа [1, с. 27], взятые с противоположным знаком), т.е. числа вида
λ[/] = lim ί"1 In ||/(£)ll· а также многие другие асимптотические харак-
теристики решений оказываются инвариантами преобразований Ляпунова
Q

[7, с. 245—247], а именно линейных преобразований
x = L(t)y, (1)
у которых матрица преобразования L является матрицей Ляпунова, т. е.
удовлетворяет условию
sup(||L(t)|| + HL-^OII + \\DL(t)\\) < +оо, (2)
t>to
и обобщенных преобразований Ляпунова [4, с. 78], а именно
преобразований (1), у которых матрица преобразования является обобщенной
матрицей Ляпунова, т. е. удовлетворяет условию
max{X[L], λΙΐΓ1], \[DL]} = 0. (3)
Поэтому исследование таких характеристик решений данной системы
Dx = A{t)x, x€Rn, ί>ί0, D = d/dt, (4)
может быть, по крайней мере, в принципе, сведено к исследованию этих
характеристик для решений преобразованной системы
Dy = B{t)y, i/€Rn, t>«o, (5)
полученной из данной с помощью преобразования или обобщенного
преобразования Ляпунова (1).
А. М.Ляпуновым были выделены два важных класса систем:
приводимые и правильные системы (все остальные системы были названы им
неправильными). Линейная система (4) называется приводимой, если
существует преобразование Ляпунова (1), переводящее эту систему в систему
(5) с постоянной матрицей коэффициентов В. Одним из классов
приводимых систем, является класс систем с периодическими коэффициентами
(теорема Флоке [12] — Ляпунова [1, с. 195]). Систематическое
исследование приводимых систем было проведено Н. П. Еругиным в работе [13], где,
в частности, был доказан критерий приводимости и построена полная
система асимптотических инвариантов приводимых систем.
Б. Ф. Быловым в [14] было введено понятие почти приводимости
линейных систем: система (4) почти приводима к системе (5), если для
любого ε > 0 существует преобразование Ляпунова χ = LE(t)z,
переводящее ее в систему Dz = (B(t) + Q{t))z, причем ||Q(*)|| < ε, и
доказан критерий почти приводимости. Свойства рефлексивности и
транзитивности были установлены в работах Б. Ф. Былова [14] и J. С. Lillo [15],
а отсутствие симметричности у отношения почти приводимости в
работе В. М. Миллионщикова [16]. К. П. Персидским было установлено [17],
4

что в случае, когда матрица А системы (4) является матрицей слабой
вариации, система (4) почти приводима к диагональной системе (5), где
B(t) = diag{Xi(i),...,Xn(i)}, λι(ί),... λη(ί) — характеристические числа
матрицы A(i). Для двумерной системы (4) Н. А. Изобовым [18,19] было
доказано следующее более сильное утверждение: для двумерной
линейной системы (4) с кусочно-дифференцируемой матрицей
коэффициентов A(t), такой, что supt>to ||ΖΜ(ί)|| = δ существует
преобразование Ляпунова (1), переводящее (4) в систему (5) с матрицей
коэффициентов В = diag{Xi(i),...,Xn(i)} + Q(t), где \\Q{t)\\ < qb1/s.
Класс правильных систем, включающий в себя приводимые и почти
приводимые системы, играет важную роль в теории устойчивости по
первому приближению. С точки зрения теории преобразований Ляпунова, в
силу критерия Басова — Гробмана — Богданова [4, с. 77], система
является правильной тогда и только тогда, когда она обобщенным
преобразованием Ляпунова приводится к диагональной системе с постоянными
коэффициентами. Основные критерии правильности систем были получены
А.М.Ляпуновым [1, с.39], О. Перроном [20], Р. Э. Виноградом [21].
Задача К. П. Персидского о существовании для правильной системы (4)
аппроксимирующей последовательности (τη), τη t +00 ПРИ п ~* +°°,
такой, что характеристические показатели Х»(Л), г = 1,...,п, этой
системы могут быть вычислены как пределы \i(A) = Ит*_>+оо ^i(Bk)
характеристических показателей \{(Bk) системы Dx = Bk{t)x с
периодической (периода τ* ) матрицей £?*(ί), совпадающей с A(i) на
промежутке [to,to + τ*[, была решена Ю.С.Богдановым [22], который
доказал существование правильных систем, для которых ни одна
неограниченная последовательность не является аппроксимирующей, и для
двумерной правильной системы указал эффективно выполняемое
преобразование поворота, такое, что для преобразованной системы уже
существует аппроксимирующая последовательность (см. также [23]).
Поставленные Н.П.Еругиным задачи о существовании неправильных систем с
почти периодическими и квазипериодическими коэффициентами были
решены В. М. Миллионщиковым [24—26], доказавшим существование таких
систем, а также систем с почти периодическими коэффициентами, но не
почти приводимых. В настоящее время, кроме этих классов приводимых и
правильных линейных систем, выделены и другие классы: Б. Ф. Былов [27],
Б. П. Демидович [28], Н. А. Изобов [29], В. М. Миллионщиков [30—37].
Поскольку преобразования и обобщенные Ляпунова образуют
группу, то они могут быть использованы для классификации линейных
дифференциальных систем и, кроме того, как было отмечено выше, вычисле-
5

ние и исследование асимптотических характеристик для заданной системы
может быть сведено к исследованию соответствующих характеристик для
упрощенной, в том или ином смысле, системы. Систематическое развитие
такого подхода приводит к теории асимптотически эквивалентных
линейных систем. Основная задача этой теории состоит в распределении
систем по классам систем, эквивалентных между собой относительно той или
иной заданной группы допустимых преобразований, в частности,
относительно преобразований и обобщенных преобразований Ляпунова. Следуя
Ю.С.Богданову [38], будем называть системы (4) и (5)
асимптотически эквивалентными (обобщенно асимптотически
эквивалентными), если существует такое преобразование (обобщенное преобразование)
Ляпунова, которое переводит одну из них в другую.
Отметим, что наряду с используемым нами термином
"асимптотическая эквивалентность", в литературе используется также термин
"кинематическое подобие" [39, с. 93]; в то же время используются определения
асимптотической эквивалентности, отличные от приведенного выше (см.,
например, [7, с. 12; 9, с. 159; 40]).
Ю. С. Богдановым в работах [41,42] указана возможность решения
задачи распределения линейных дифференциальных систем по классам
эквивалентности с помощью построения множества систем-представителей,
т. е. систем принципиально простого, в том или ином смысле, вида и в то же
время достаточно разнообразных в совокупности, чтобы для каждой
линейной системы нашлась эквивалентная ей система-представитель. Если
при этом в каждом классе эквивалентности окажется ровно одна система-
представитель, то именно ее коэффициенты и образуют полную систему
инвариантов (см. [43, 44]).
Принципиальным результатом общей теории асимптотической
эквивалентности (по нашей терминологии) линейных систем является следующая
теорема ([45], см. также [7, с. 263]).
Теорема Перрона о триангуляции: для любой линейной системы
(4) с ограниченными коэффициентами существует унитарное (в
вещественном случае — ортогональное) преобразование Ляпунова
(1), переводящее ее в линейную систему (5) с треугольной матрицей
коэффициентов.
Из этой теоремы, в частности, следует, что треугольные системы могут
быть использованы в качестве систем-представителей для всех классов
асимптотически эквивалентных систем. К сожалению, диагональные или
даже треугольные блочно-диагональные системы уже не могут быть
использованы в качестве таких систем-представителей (см. [46—52; 7, §20]).
6

Отметим еще раз в этой связи работы К. П. Персидского и Н. А. Изобова
о возможности почти приводимости линейных систем к диагональным
системам и примыкающие к ним работы других авторов [53, 54; 39, с. 68], а
также следующий результат Н. А. Изобова [55]: существует
обобщенное преобразование Ляпунова, переводящее систему (4) с
непрерывной и ограниченной при t > to матрицей A(t) к линейной
системе, ограниченные и непрерывные коэффициенты которой
являются функциями слабой вариации.
Другим видом систем, которые могут быть использованы в
качестве систем-представителей классов асимптотически эквивалентных систем
являются кусочно-постоянные системы (Д. М. Гробман [56]) и даже
кусочно-постоянные системы, коэффициенты которых принимают только два
значения (Ю. С. Богданов [38]). Целесообразность выбора таких систем в
качестве систем-представителей объясняется возможностью точного
интегрирования их на любом конечном промежутке изменения аргумента,
возможностью построения в явном виде постоянной линейной системы,
к которой приводится данная система в случае периодичности ее
коэффициентов, и некоторыми другими специфичными свойствами кусочно-
постоянных систем. Существенным в данном случае является не
столько разрывность кусочно-постоянных коэффициентов, сколько характер
распределения точек разрыва. Проблеме исследования линейных
дифференциальных систем с кусочно-постоянными коэффициентами
посвящены многие работы, например [57—67]. Наибольший интерес в этой
связи представляют кусочно-постоянные системы, обладающие бесконечно
большой или неограниченной последовательностью длин промежутков
постоянства, поскольку для таких систем наиболее эффективно
исследуются асимптотические характеристики решений. Так, например, в работах
Б. Ф. Былова и Э. А. Тихоновой [60—62] приведен способ вычисления
характеристических, верхнего центрального и верхнего генерального
показателей кусочно-постоянной системы через собственные значения
матрицы коэффициентов в предположении, что длины промежутков постоянства
образуют стремящуюся к бесконечности последовательность.
Одним из важных и интересных как с практической (см., например, [8,
68]), так и теоретической точки зрения, классов линейных систем (4)
является класс систем, у которых матрица коэффициентов А коммутирует со
своим интегралом, т. е. при некоторых s и t выполнено равенство
t t
A(t) i A{u)du = ί A(u)duA(t). (6)
s s
7

Следуя Б. П. Демидовичу [9, с. 117] назовем это условие условием Лаппо-
Данилевского, а системы (4), для которых оно выполнено, — системами
Лаппо-Данилевского. В тех случаях, когда условие (6) выполнено при всех
t > s у фундаментальная нормированная при t = s матрица X8{t)
решений системы (4) может быть представлена в экспоненциальной форме
X9(t)=exp(l(A;s,t)), (7)
t
где I(A;s,t) = J A(u)du. Частным случаем систем Лаппо-Данилевского
8
являются системы с функционально коммутативными матрицами
коэффициентов, т. е. с матрицами А, которые удовлетворяют при всех s и t
условию A(t)A(s) = A(s)A(t). Проблема построения решений
линейных систем в замкнутой форме всегда интересовала математиков.
Существенное продвижение в этом вопросе связано с работами И. А. Лаппо-
Данилевского [69]. Им же впервые было построено в замкнутом виде
решение некоторых систем линейных уравнений и, в частности, системы
Гаусса DX = X(Ui/(t-ai)+U2/(t-a2)) в случае, когда постоянные
матрицы U\ и t/2 коммутируют [69, с. 437].
Исследование структуры функционально коммутативных матриц,
матриц, коммутирующих со своими интегралами или производными,
проводилось в работах Ю.С.Богданова, В.В.Морозова, Г.Н.Чеботарева,
J.F. P.Martin'a [70—73] (см. также В.И.Арнольд [74], Ю.С.Богданов
[75], A.D. Ziebur [76]). В частности, В.В.Морозовым [71] было
дано описание функционально коммутативных матриц второго и
третьего порядков, а также показано, что каждая функционально
коммутативная матрица A(t) может быть представлена в виде
т
ЖО = Σ ψ»(*Μ*ι e&e Фг(*) — линейно независимые функции и Αι —
линейно независимые коммутативные матрицы с постоянными
элементами; обратно, каждая матрица такого вида является
функционально коммутативной.
Функционально коммутативные матрицы четвертого порядка описаны
Г. Н. Чеботаревым в [77], он же в работах [77—79] рассмотрел решение
матричного уравнения ехр А - ехр В = ехр(А + В) (см. также [80]).
Г.Н.Чеботаревым [72] для η = 2 и В.А.Винокуровым [81] в общем
случае было показано, что для представления матрицы Коши K(t, s)
системы (4) в виде K(t} s) = exp(l(A; s, t)) необходимо и
достаточно, чтобы матрица коэффициентов системы (4) являлась
функционально коммутативной.
8

Иначе обстоит дело с необходимостью условия Лаппо-Данилевского
для представления фундаментальной матрицы решений системы (4) в
виде (7). В. Н. Лаптинским в [82] были получены необходимые и достаточные
условия возможности представления фундаментальной матрицы решений
1
системы (4) в виде (7): fμexp(—μI(A;s}t))K^exp(μI(A;s,t))dμ = О
о
V* > s, где К^ = D(Z)Z - ZD(Z), α βχρΖ(ί,λ) - решение
матричного уравнения DX = \A(t)X.
Кроме того, J. F. P. Martin в работе [83] показал, что если матрица (7)
является фундаментальной матрицей решений уравнения (4), то
равенство (6) выполнено для всех t > s, если собственные
значения Xi(t) матрицы I(A;s,t) таковы, что при λ»(ί) φ Xj(t) разности
λί{ί) -Xj(t) не являются решениями уравнения ez-z-l = 0.
Из приведенных результатов следует, что если A(t) — аналитическая
матричная функция на [s, +оо[, то соотношение (6) выполнено для всех t,
t > s. В четвертой главе книги приведен построенный автором пример
системы (4) с неаналитической матрицей коэффициентов, для которой не
выполнено условие Лаппо-Данилевского, однако фундаментальная матрица
решений системы представима в виде (7).
Еще одной отличительной чертой систем с функционально
коммутативными матрицами коэффициентов и систем Лаппо-Данилевского
является возможность эффективного установления асимптотических свойств
их решений, в частности, в терминах матрицы коэффициентов системы.
Исследованию такого рода систем посвящены работы С.М.Артемьевой,
Т.Л.Сурин, А.К.Лопатина, A. Corduneanu, C.D.Johnson, С. Η. Morales,
Gh.Moro^anu, J. Zhu. Так, например, Т.Л.Сурин в [84] был получен
критерий правильности систем Лаппо-Данилевского в терминах собственных
значений интеграла от матрицы коэффициентов. В ее же работе [85]
было показано, что множество неправильности, т. е. множество тех
значений μ, при которых система Dx = μΑ(ί)χ является неправильной для
правильной системы (4), является пустым, если (4) — правильная система
Лаппо-Данилевского, в отличие от правильных систем общего вида,
подробно изученных в работах Н. А. Изобова и Е. К. Макарова [86—88].
В этой связи естественным является вопрос о возможности приведения
любой системы (4) с помощью преобразований Ляпунова (1), (2) или с
помощью обобщенных преобразований Ляпунова (1), (3) к системе с
функционально коммутативной матрицей коэффициентов или к системе Лаппо-
Данилевского.
Рядом авторов основные понятия и методы теории асимптотической
9

эквивалентности линейных систем обобщались на другие виды
дифференциальных систем, в частности, на нелинейные системы (Ю.С.Богданов
[6,89—91], Е.В.Воскресенский [92]), конечно-разностные системы и
системы с сосредоточенными возмущениями (Р.А.Прохорова [93,94]). Еще
одним объектом такого рода распространения понятия асимптотической
эквивалентности служат системы линейных дифференциальных
уравнений, не разрешенных относительно производных, т. е. системы вида
P{t)Dx + Q(t)x = О, хеШп, t>t0, (8)
где матрица Ρ вырождена для всех t > *о, det P(t) = 0.
Исследования таких систем в случае постоянных матриц Ρ и Q
тесно связаны с работами К. Вейерштрасса [95] и Л. Кронекера [96] по
теории матричных пучков. Н.Н.Лузиным в работе [97] было
показано, что размерность пространства решений системы (8) при
постоянных матрицах Ρ и Q совпадает со степенью отличного от
тождественного нуля многочлена det(PX + Q) (см. также [98, гл.12, §7]).
Интенсивное изучение систем (8) в последнее тридцатилетие
связано с применением такого рода систем при моделировании
процессов в экономических системах управления, теории электрических цепей
и т. п. В работах И. К. Асмыковича, Ю. Е. Бояринцева, В.И.Булатова,
В.А.Еременко, В.М.Марченко, Г.П.Размысловича, А.М.Самойленко,
В. П. Яковец, S. L. Campbell, R. Marz, R. L. Petzold и ряда других авторов
изучались вопросы существования и единственности решений систем (8)
на конечном и бесконечном промежутках изменения аргумента,
приведения систем к различного рода каноническим формам, вычислительных
аспектов построения решений (см., например, [99 — 110]).
Основу данной монографии составили результаты, опубликованные в
работах автора [111 — 135], а также в совместных работах [ 136— 143]. В
первой главе книги рассмотрены общие вопросы линейных преобразований,
здесь, в частности, представлены необходимые, достаточные, необходимые
и достаточные условия асимптотической и обобщенной асимптотической
эквивалентности систем.
Вопросы приведения линейных систем к системам с
кусочно-постоянными коэффициентами освящаются во второй главе монографии.
Как правило, примеры систем с заданными асимптотическими
характеристиками решений строятся для случая кусочно-непрерывных
коэффициентов системы. Решение задачи о возможности приведения
линейных систем с помощью преобразований Ляпунова к системам с бесконечно
дифференцируемыми коэффициентами содержится в третьей главе книги.
10

В четвертой главе книги рассматриваются системы Лаппо-Данилев-
ского. В частности, здесь дается отрицательный ответ на вопрос о
возможности их использования в качестве систем-представителей для всех
классов асимптотически и обобщенно асимптотически эквивалентных систем.
Вопросы преобразований систем (8) и их эквивалентности
относительно преобразований Ляпунова системам
P{t)Dy + Q(t)y = О, хеШп, t> t0, (9)
т. е. существования преобразования (1) с матрицей Ляпунова L(t) такой,
что для любого решения x(t) системы (8) функция y(t) = L(t)x(t)
является решением системы (9) и для любого решения y(t) системы (9)
функция x(t) = L~~l(t)y(t) является решением системы (8), а также вопросы
приводимости систем (8) к системам (9) с постоянными матрицами
коэффициентов Ρ и Q рассмотрены в пятой главе книги.
Отметим, что список литературы, приведенный в книге, ни в коей
мере не претендует на полноту, поскольку библиография по асимптотической
теории дифференциальных систем весьма обширна. Мы внесли в этот
список лишь работы, непосредственно примыкающие к затронутым в книге
вопросам, и которые, на наш взгляд, могут помочь читателю составить
общее представление о предмете исследования.
В заключение мне хотелось бы выразить искреннюю благодарность
академику Н.А.Изобову и профессору В.И.Мироненко, чьи полезные
замечания способствовали улучшению рукописи. Я также благодарен
П. А. Мандрику, декану факультета прикладной математики и
информатики БГУ, за поддержку при издании этой книги.

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ
N — множество натуральных чисел;
No — множество целых неотрицательных чисел;
Ζ — множество целых чисел;
К — множество действительных чисел;
Шп — η -мерное векторное пространство;
χ = (χι,Χ2>···>£η)τ —вектор-столбец с координатами χι,£2>· >£п *,
А = (aij) — матрица с элементами а^ ;
Ат — транспонированная матрица;
Sp^4 = ΣΓ=ι α« — след матрицы А = (ау);
/ сг О 0 ... О
,. f . О с2 0 ... О
diag{ci,C2,...,cnj —диагональная матрица
\ о о о ..
Ε = diag{l, 1,..., 1} — единичная матрица;
d
D = — — оператор дифференцирования по переменной t;
at
|| G || — норма матричной, векторной или скалярной функции G;
-Ί1
X[G] = lim i~1ln||G(i)|| —характеристический показатель Ляпунова
t—>>-hoo
матричной, векторной или скалярной функции G;
X[G] = lim *—11η ||<^(ί)|| — нижний показатель Перрона матричной,
£-►+00
векторной или скалярной функции G ;
t
I{G\ s,t) = I G(u)du, где G(u) — матричная, векторная или скалярная
S
интегрируемая функция;
E(G;s,t) = exp/(G;M);
■ —конец доказательства.

ГЛАВА 1
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
1.1. Линейные системы и группы преобразований
Основным объектом исследования в настоящей работе будут являться
линейные дифференциальные системы
Dx = A(t)x, D = d/dt, t 6 J = [ίο,+οο), t0 6 R, xGln, (1.1)
где A(t) — матрица размерности η χ η, элементами которой являются
локально суммируемые и почти всюду конечные на полуоси J функции
^iji *i J = А, ..., ΤΙ.
Обозначим множество систем (1.1) через 21. Системы, у которых
матрицы коэффициентов отличаются лишь на множестве лебеговой меры
нуль, будем отождествлять. Принадлежность системы (1.1) множеству 21
будем обозначать A G 21.
Определение 1.1. Решением системы (1.1) назовем любую
абсолютно непрерывную функцию χ, χ : J -> Мп, которая обращает
(1.1) в тождество почти всюду на промежутке J.
При таком определении решения системы и указанных выше условиях
для матрицы А теорема Каратеодори [144, с. 54] обеспечивает
существование решения любой задачи Коши для системы (1.1). Нетрудно показать,
что это решение будет единственным и продолжимым на весь промежуток
J [144, с. 79; 111]. Так как все множество решений системы (1.1)
полностью определяется ее фундаментальной матрицей решений, то
существенно различных систем, т. е. систем с попарно различными нормированными
в точке ίο фундаментальными матрицами решений, будет столько, сколько
существует различных абсолютно непрерывных η χ n-мерных матричных
функций, нормированных в<0,-значит, континуум.
Наряду с системой (1.1) рассмотрим систему
Dy = B(t)y, iGJ, уеГ\ (1.2)
где В е 21. Будем говорить, что линейное преобразование χ = Ly с
абсолютно непрерывной невырожденной на J матрицей L переводит систему
(1.1) в систему (1.2), если для любого решения у системы (1.2) функция
13

χ = Ly — решение системы (1.1) (для любого решения χ системы (1.1)
функция у = L~lx — решение системы (1.2)), причем почти всюду на J
выполнено равенство
B{t) = L-\t)A(t)L(t) -L-\t)D(L{t)). (1.3)
Выполнение последнего равенства для матрицы L следует из того факта,
что для любой фундаментальной матрицы Υ решений системы (1.2)
матрица X = LY оказывается в силу невырожденности матриц L и Υ
фундаментальной матрицей решений системы (1.1). Заметим, что поскольку
L"1 — абсолютно непрерывная невырожденная на J матрица, a D(L) —
локально суммируемая матрица [145, с. 229], то система (1.2) с матрицей
В вида (1.3) так же, как и система (1.1), принадлежит множеству 21.
Рассмотрим множество β всевозможных линейных преобразований
x = Ly (1.4)
с абсолютно непрерывными невырожденными на J матрицами L.
Поскольку тождественное преобразование переводит систему (1.1) саму в
себя и композиция преобразований из Θ также является
преобразованием из β , то множество β образует группу преобразований
относительно композиции преобразований. Эта группа очевидно является
изоморфной мультипликативной группе абсолютно непрерывных невырожденных
матриц, поэтому в дальнейшем, говоря о группе преобразований, будем
иметь в виду и соответствующую группу матриц β , задающую эту
группу преобразований. Условие принадлежности преобразования (1.4)
группе Θ будем записывать в виде L G β или в виде L G β , а условие
приводимости системы (1.1) к системе (1.2) с помощью линейного
преобразования с матрицей L — в виде В = L(A). Отметим, что
композиция двух преобразований вида (1.4) с матрицами S и L
равносильна преобразованию (1.4) с матрицей LS и S(L(A)) = S~1L(A)S—
-S-lD(S) = S~l{L-lAL - L~lD(L))S - S~lD{S) = S^L^ALS-
-S~lL-lD(L)S - S^L^LDiS) = (LS)-lA(LS) - (LS)-lD(LS).
Пусть Τ — подгруппа Θ , тогда соответствующая Τ группа матриц Т
является подгруппой группы β .
Определение 1.2. Системы (1.1) и (1.2) назовем Ί
-эквивалентными, если существует преобразование χ = Sy, S G T, переводя-
щее(1Л)в(1.2).
Легко видеть, что введенное таким образом на множестве линейных
систем отношение эквивалентности введено корректно.
14

В дальнейшем для установления эквивалентности систем мы будем
часто использовать следующее утверждение.
Лемма 1.1. Для Τ -эквивалентности систем (1.1) и (1.2)
необходимо, чтобы для любого числа s, s e J, существовала
постоянная невырожденная матрица С такая, что для фундаментальных
нормированных в s матриц Х8 и Y8 решений систем (1.1) и (1.2)
соответственно было выполнено включение
XsCY-1 (ΞΤ, (1.5)
и достаточно существования такого числа s e J и постоянной
невырожденной матрицы С такой, что выполнено включение (1.5).
Доказательство. Необходимость. Так как системы (1.1) и (1.2) Τ -
эквивалентны, то существует такая матрица 5 6 Т, что для любого
решения у системы (1.2) функция χ = Sy — решение системы (1.1).
Поэтому для фундаментальной нормированной в произвольной точке s
промежутка J матрицы Y8 решений системы (1.2) матрица X = SY8 (в силу
невырожденности матриц 5 и Y8 ) является фундаментальной матрицей
решений системы (1.1). Поскольку для любой фундаментальной матрицы
решений системы (1.1) существует такая постоянная невырожденная
матрица С, что X = Х8С, где Х8 — фундаментальная нормированная в s
матрица решений системы (1.1), то X8CY~l =5gT, что и требовалось.
Достаточность. По условию для некоторого s e J существует
такая постоянная невырожденная матрица С, что матрица 5 = X8CY~l
принадлежит множеству Т. Пусть X — произвольная
фундаментальная матрица решений системы (1.1). Так как X = X8X(s), то матрица
γ = S~XX = Y8C-xX8xX8X(s) = Y8(C~lX(s)) очевидно является
фундаментальной матрицей решений системы (1.2), так как для этой
невырожденной матрицы почти всюду на J выполнено равенство
D(Y) = D{S~l)X + S~lDX = -S-lD(S)S-lX + S~lAX =
= -S~lD(S)Y + S~lASY = (S~lAS - S~lD(S))Y,
т. е. В = S(A) почти всюду на J.
С другой стороны, для любой фундаментальной матрицы Υ системы
(1.2) матрица X = SY = X8CY-lY8Y{s) = X8(CY(s)) является
фундаментальной матрицей решений системы (1.1).
Таким образом, в силу определения, преобразование χ = Sy
переводит систему (1.1) в систему (1.2), что и означает Τ -эквивалентность этих
систем. ■
15

1.2. Преобразования Ляпунова
Обозначим через X[G] и X[G] — соответственно характеристический
показатель Ляпунова и нижний показатель Перрона матричной, векторной
или скалярной функции G, т. е. (см., например, [4, с. 71, 72])
\[G\= Шх rtnUGWH, (1.6)
£-f+oo
X[G]= Urn i-4n||G(i)||, (1.7)
t-f+oo
где ||<7(ί)|| — зафиксированная норма (любая) функции G . В случае
матричной функции G норму матрицы считаем индуцированной
зафиксированной нормой вектора, например, евклидовой, что не нарушает общности,
так как с точки зрения последующего исследования все нормы
эквивалентны; такая норма матрицы необходимо мультипликативна и согласована с
нормой вектора (||G|| = sup||x||=1 \\Gx\\.)
Выделим в группе θ две основные для нашего исследования
подгруппы: подгруппу матриц Ляпунова £, т. е. абсолютно непрерывных
невырожденных матриц L таких, что
£ = {L е 6 | sup(||L(t)|| + HL^OH + ||М(*)||) < +оо}, (1.8)
teJ
и подгруппу обобщенных матриц Ляпунова £* , т. е. абсолютно
непрерывных невырожденных матриц L таких, что
£* = {L е 6 | max{k[L]}\[L-l],X[DL}} = 0}. (1.9)
Группы линейных преобразований, задаваемые матрицами Ляпунова и
обобщенными матрицами Ляпунова, будем обозначать £ и £* и называть
группами преобразований и обобщенных преобразований Ляпунова
соответственно.
Отметим некоторые свойства матриц и обобщенных матриц Ляпунова:
условие ограниченности (1.8) матриц L и L"1 на полуоси J может быть
заменено условиями ограниченности одной из этих матриц и отделенности
от нуля ее определителя, например,
sup||L(i)|| < +оо, inf |detL(i)| > <х > О, α € R. (1.10)
teJ l^J
Из основных свойств показателей [7, с. 20] и норм [98, с. 410] следует, что
показатель матричной функции не меньше показателей ее столбцов и строк
и совпадает с максимальным из них; показатели векторной и матричной
функции не меньше показателей их элементов и совпадают с
максимальным из них; в частности, из принадлежности матрицы L группе £* сле-
16

дует, что, по крайней мере, один из ее элементов имеет нулевой
характеристический показатель Ляпунова. В силу перечисленных свойств условие
(1.9) может быть заменено более слабым условием
max{X[L], \[L~l], HDL]} < 0. (1.11)
Действительно, поскольку неравенство λ[(/,#)] <λ[/]+λ[(/] справедливо
[7, с. 21]для скалярного произведения (f,g) любых векторных функций /
и д, то из (1.11) следует, что
0 = \[ЬЬ-1) < \[L] + X[L~l] < 0.
Поэтому \[L] = X[L-1] = 0, откуда и следует (1.9). Кроме того, имсе1
место следующая лемма.
Лемма 1.2. Если L — обобщенная матрица Ляпунова, wo
lim t-l\n\\detL(t)\\= lira Γι1η || detL"1^)!! = 0. (1.12)
Доказательство. Поскольку \[L] = X[L_1] = 0, то
X[detL]<0, X[detL~x]<0, (1.13)
откуда
X[det L] < 0, X[det L~l) < 0. (1.14)
Так как из свойств верхнего и нижнего пределов (см., например, (146,
с. 17]) следует, что XfdetL] = -X[detL~!] и X[detL] = -X[detL _1], то из
(1.13) и(1.14)получаем
0 > X[det L] = -X[det ΖΓ1] > 0, 0 > X[det L] = -X[det L {] > 0.
Поэтому X[detL] = X[detL] = 0 и X[detL_1] = XfdetL-1] -· 0, откуда и
следует требуемый результат. ■
Следуя Ю. С. Богданову [38], дадим следующие определения.
Определение 1.3. Системы (1.1) и (1.2) назовем
асимптотически эквивалентными, если они £ -эквивалентны, т.е. если
существует преобразование Ляпунова, переводящее систему (1.1) в
систему'(1.2).
Определение 1.4. Системы (1.1)ι/(1.2) назовем обобщенно асимп-
тотически эквивалентными, если они £* -эквивалентны, т.е.
если существует обобщенное преобразование Ляпунова, переводящее
систему (1.1) в систему (1.2).
Непосредственно из леммы 1.1 получаем следующее утверждение.
Теорема ХЛ.Для асимптотической (обобщенной
асимптотической) эквивалентности систем (1.1) и (1.2) необходимо, чтобы для
17

любого числа s, s e J, существовала постоянная невырожденная
матрица С такая, что для фундаментальных нормированных в s
матриц Х8 и Y8 решений систем {\ А) и {\.2) соответственно
матрица X8CY~l являлась матрицей (обобщенной матрицей)
Ляпунова, и достаточно существования такого числа s e J и
постоянной невырожденной матрицы С такой, что XsCY~l — матрица
(обобщенная матрица) Ляпунова.
В дальнейшем будем рассматривать лишь подмножества 2to и 2li
множества 21, удовлетворяющие следующим условиям: множество 2li —
множество линейных систем (1.1), все решения которых имеют
ограниченные характеристические показатели и λ[Α] < 0; множество 2l0 ~~
множество линейных систем (1.1), матрицы коэффициентов которых равномерно
ограничены на полуоси J. Очевидно, что 2to С 2li С 21.
Поскольку при преобразовании системы (1.1) в систему (1.2) с
помощью преобразования χ = L(t)y матрицы систем связаны соотношением
(1.3), то преобразование Ляпунова переводит системы из 2to в системы из
21о , а обобщенное преобразование Ляпунова переводит системы из 2li в
системы из 2li .
Выбор преобразований Ляпунова в качестве основного объекта
исследования определяется тем, что они (см., например, [7, с. 245]) не меняют
основных асимптотических свойств системы. Однако из асимптотической
эквивалентности систем (1.1) и (1.2) (или из их обобщенной
асимптотической эквивалентности) еще не следует, что любое невырожденное
линейное преобразование, переводящее одну систему в другую, обязательно
является преобразованием Ляпунова (обобщенным преобразованием
Ляпунова). Этот факт следует, в частности, из следующего примера.
Пример 1.1. Рассмотрим систему (1.1) с диагональной матрицей
коэффициентов А = diag{l, 2}. Преобразование (1.4) с матрицей S = (sij)>
где sn{t) = s22{i) = 1, si2(t) = exp(-i), s2\(t) = exp(i),
переводит исходную систему саму в себя, поскольку, как легко проверитьдак как
S(A) = S~XAS - S"1D(S) = А. Очевидно, однако, что матрица 5 не
является ни матрицей Ляпунова, ни обобщенной матрицей Ляпунова.
Следующие утверждения представляют собой "обратные теоремы"
теории преобразований линейных систем, т. е. устанавливают условия, при
которых способность преобразования сохранять те или иные
асимптотические свойства систем позволяет определить принадлежность этого
преобразования к множеству преобразований Ляпунова или обобщенных
преобразований Ляпунова.
18

Теорема 1.2. Преобразование (1.4) является преобразованием
Ляпунова тогда и только тогда, когда оно переводит любую си-
стему (1.1) в асимптотически эквивалентную ей систему (1.2).
Доказательство. Необходимость условия теоремы следует из
определения 1.2.
Достаточность. Пусть L матрица преобразования (1.4),
удовлетворяющего условиям теоремы. Рассмотрим систему (1.1) с нулевой матрицей
О коэффициентов. Рассматриваемое преобразование (1.4) переводит (1.1)
в асимптотически эквивалентную ей систему (1.2), В = L(A), А = О,
которая является приводимой [13, с. 6]. Тогда существует такое линейное
невырожденное преобразование с матрицей S, S G £, что О = S(B).
Поэтому О = S(L(0)) = LS(0) = (LS)-lOLS - (LS)~lD(LS) =
= (LS)~1D(LS) и, следовательно, невырожденная матрица LS
удовлетворяет дифференциальному матричному уравнению D(LS) = О ,
единственными невырожденными решениями которого являются постоянные
невырожденные матрицы С. Таким образом, LS = С, detC φ 0,
откуда L = CS~l ; поскольку 5"1 G £, С е £, то L € £, т. е. матрица L
является матрицей Ляпунова, что и требовалось доказать. ■
Аналогичным образом доказывается и следующая теорема.
Теорема 1.3. Преобразование (1.4) является обобщенным
преобразованием Ляпунова тогда и только тогда, когда оно переводит
любую систему (1.1) в обобщенно асимптотически эквивалентную
ей систему (1.2).
Наряду с системами (1.1) и (1.2) рассмотрим сопряженные им системы
Dx = -AT(t)x, teJ (1.15)
и
Dy = -BT(t)yj teJ. (1.16)
Обозначим A[A], A[B], Λ[—Ατ) и Λ[—Βτ] совокупности
характеристических показателей систем (1.1), (1.2), (1.15) и (1.16)
соответственно. (Под совокупностью характеристических показателей системы
понимаем (см. [7, с. 63]) характеристические показатели решений,
образующих нормальный базис этой системы.) Назовем системы (1.1) и (1.2)
Λ -эквивалентными, если А[А] = А[В] и Л[—АТ] = Л[—Вт]. Легко
проверить, что отношение эквивалентности введено корректно.
Теорема 1.4. Преобразование (1.4) является обобщенным
преобразованием Ляпунова тогда и только тогда, когда оно переводит
любую систему (1.1) в А -эквивалентную ей систему (1.2).
Доказательство. Необходимость. Заметим [7, с.244], что любое
обобщенное преобразование Ляпунова переводит любую систему (1.1) в
19

Л -эквивалентную ей систему (1.2). Действительно, пусть преобразование
(1.4) с обобщенной матрицей Ляпунова L переводит (1.1) в (1.2). Тогда
А[А] = Λ [В]. С другой стороны, В = L(A), поэтому
Вт = (L(A))T = {lrlAL - L~lD{L))T = LTAT(L~l)T^
-(D(L)Y(L->)T = HL-Y)-lAT(L-Y - LT{LT)-'D(LT){L'Y =
= S"1 ATS + S^D(S) = -{S^i-A^S - S-XD(S)) = S(-AT),
где 5 = {L~~l)T , откуда -BT = S(-AT). Очевидно, что 5б£*,
поэтому Λ[—Βτ] = Λ[—Лт], т. е. системы (1.1) и (1.2) — Λ -эквивалентны.
Достаточность. Доказательство утверждения проводится по схеме
доказательства достаточности теоремы 1.2 с использованием того факта,
что Λ -эквивалентные системы являются либо обе правильными, либо обе
неправильными [ 1, с. 38]. Поэтому система (1.1) с нулевой матрицей
коэффициентов будет приводиться к правильной системе с нулевыми
показателями, которая, в свою очередь, с помощью обобщенного преобразования
Ляпунова может быть приведена (критерий Басова — Богданова — Гроб-
мана [4, с. 77]) к системе с нулевой матрицей коэффициентов. ■
Выделим теперь из множества £* обобщенных матриц Ляпунова
подмножество £ι такое, что
£i ={L\Le£T, 0< inf |detL(t)| < sup|detL(t)| <+oo}. (1.17)
*>*o t>t0
Очевидно, что £ι — непустое множество, поскольку £ С £ι . Однако
£ι φ £, так как, например, если L(t) = {hj(t)), i,j = 1,2, /ц(£) =
= h\ {t) = t- t0 + 1, /22 (ί) = 1, W*) = 1 + (« - «0 + I)"1 . то L e £1 ,
но L £ £. Обозначим £о такое подмножество множества £ь что
преобразование (1.4) с матрицей L е £о переводит любую систему (1.1) с
ограниченными коэффициентами в систему (1.2) также с ограниченными
коэффициентами.
Теорема 1.5. Множество £о совпадает с множеством £, те.
обобщенное преобразование Ляпунова (1.4), переводящее любую
систему с ограниченными коэффициентами в систему с
ограниченными коэффициентами, является преобразованием Ляпунова,
если матрица этого преобразования обладает на J ограниченным и
отделенным от нуля определителем.
Доказательство. Пусть L — произвольная матрица из £о .
Рассмотрим систему (1.1) с матрицей А = Е, где Ε — единичная матрица.
Матрица приведенной системы L(E) = Ε — L~lDL ограничена на J,
поэтому ограниченной на этом промежутке является и матрица L~lDL.
20

Рассмотрим теперь систему (1.1) с матрицей A = Eij, где Eij —матрица,
у которой в i-й строке j -м столбце стоит 1, а остальные элементы
матрицы равны 0. Из ограниченности матрицы L(Eij) = L~lEijL — L~1DL
следует ограниченность матрицы L~lEijL. Пусть L = (lij), L~l = (oiij),
i,j = 1,..., п. Тогда ограниченными будут являться и функции (Xkiljm при
любых значениях индексов г, j, А:, т. Поэтому ограничены все
элементы матрицы IjmL"1, а, значит, и ее определитель det(/jmL_1),
поэтому +оо > sxipteJ\det{ljm(t)L-l(t))\ - sup,GJ |/jm(*)|лI det i,"1 (ί)| >
> supteJ |Zjm(i)|nsup~1|detL(i)|, откуда sup|/jm(£)|n < +оо. Следова-
tej teJ
тельно, ограничены все элементы матрицы L, и поэтому из
ограниченности матрицы L~lDL следует ограниченность матрицы DL; кроме того,
из условия (1.17) следует неравенство inf | det L(t)\ > 0, которое, в свою
очередь, влечет ограниченность матрицы L"1. Включение L 6 £ следует
теперь из (1.8). Поскольку L — любая матрица из £ι, то £ι = £. ■
Следующий пример показывает, что условие (1.17) существенно для
выполнения утверждения теоремы.
Пример 1.2. Пусть L = {hj), где lu(t) = l22(t) = t, li2(t) =
= —'2i(0 = —li * > *ο· Очевидно, что L 6 £* , однако detL(i) = ί2 + 1
и условие (1.17) не выполнено на промежутке J = [£0,+оо). Тем не
менее поскольку DL(t) = Ε — единичная матрица и L"1 = (а^), где
оец(0 = <*22(t) = t(l + t2)~l, α12(ί) = -α2ι(<) = (1 + ί2)"1, то
матрица
L-l{t)A(t)L(t) - L~l{t)DL{t) =
/aii(t)t2+a12{t)t+a2i(t)t+a22(t)-t ai2(t)t2-ai1(t)t+a22(t)t-a2i(t)-l\
[ i2 + l t2 + \ I
\a2i(t)t2-au(t)t+a22(t)t-ai2(t) + l a22(t)t2-ai2(t)t+a2i(t)t+an(t)-t I
V i2 + l f2 + l /
оказывается ограниченной на J, если только на J ограничена
матрица A(t). Очевидно, однако, что рассматриваемая матрица L не является
матрицей Ляпунова.
Определение 1.5. Строго возрастающую последовательность
(tn), η € No, назовем подходящей для преобразования Ляпунова,
если из выполнения соотношения
sup maxillLiOIUlL-1^)!!,!^^)!!} < +00 (1.18)
nGNo
следует, что матрица L является матрицей Ляпунова.
21

Определение 1.6. Строго возрастающую последовательность
(tn), η е No , назовем подходящей для обобщенного преобразования
Ляпунова, если из выполнения соотношения
таЛ ш ln"£fa>", ш Ni*-'fa>n, ш *Μ1<ο
^η->+οο £ n-++oo t п-++оо £ J
(1.19)
следует, что матрица L — обобщенная матрица Ляпунова.
Лемма 1.3. Любая строго возрастающая последовательность
(tn), η е No , для которой существует такое положительное число
h > 0, что
tn+i-tn<h, (1.20)
является подходящей для преобразований Ляпунова, действующих
на множестве систем 21о.
Доказательство. Пусть Xt0(t) и Yt0(t) — нормированные при
t = to фундаментальные матрицы решений систем (1.1) и (1.2)
соответственно, a X(t, τ) и Y(t,T) — матрицы Коши этих систем. Из
ограниченности коэффициентов систем (1.1) и (1.2) следует [7, с. 100]
существование таких положительных постоянных а, бис, что для любых
£, τ € J, t > τ, выполнены неравенства
||*(*,т)|| <се««-\ |У(«,т)|| <«»('->, 2
||-Л:-1(*,х)|| < сеа('-т\ ΙΚ-^ί,τ)!! < се6«-т>.
Пусть L матрица преобразования (1.4), переводящего некоторую
систему (1.1) в систему (1.2). Тогда существует такая невырожденная
постоянная матрица С, что L(t) = XtQ(t)CY^l(t). Поэтому для любого
t € [tn,tn+i) имеет место равенство
L(t) = X{t,tn)Xt0{tn)CYt-l{tn)Y-\t,tn) = X{t,tn)L{tn)Y-\t,tn).
(1.22)
Из (1.18) следует существование такого М,что ||L(£n)|| < Μ для
любых η е No . Следовательно, из (1.22) и (1.20) получаем suptGJ ||Ь(£)|| <
< Mc2e(a+b^h. Аналогично доказывается ограниченность на J матрицы
L~l(t). Ограниченность матрицы DL(t) следует теперь из
ограниченности матриц А, В и соотношения (1.3). Таким образом, матрица L
удовлетворяет (1.8), т. е является матрицей Ляпунова. ■
Аналогичным образом доказывается и следующая лемма.
Лемма 1.4. Любая строго возрастающая последовательность
(tn), η е No, для которой
tn+i/tn -► 1 при η -► +°°, (1.23)
22

является подходящей для обобщенных преобразований Ляпунова,
действующих на множестве систем 2to.
Доказательство. Воспользуемся обозначениями предыдущей
леммы. Поскольку А, В € 21о, то существуют такие положительные
постоянные а, Ъ и с, что ||Χ(ί,τ)|| < сеа(<1-^, ||У^—2(t,х)|| < сеь^"х\
для любых (,τ 6 J, £ > τ. Следовательно, для любого £ е [£η,*η+ι) из
(1.22)следует
Г1 In ||L(t)|| < ί"1 On ||Χ(ί, *η)|| + In ||L(*n)|| + In ЦУ"1 (i, tn)\\) <
< tu4<i + b)(tn+i - <n) + «ή1 On ||L(in)|| +21nc).
Полому из условий (1.23) и (1.19) получаем \[L] < 0 . Аналогично
доказывается, что X[L_1] < 0. Остается заметить, что неравенство \[DL] < О
следует теперь из принадлежности систем (1.1) и (1.2) множеству 210 и
равенства (1.3). Итак, условие (1.11) выполнено, а следовательно, матрица L
является обобщенной матрицей Ляпунова. ■
Нетрудно построить примеры, показывающие существенность условий
(1.20) и (1.23) для выполнения утверждений лемм 1.3 и 1.4.
Пример 1.3. Рассмотрим функции b(t) = 0 Vf G J и
α, t e [ίη,*η + 0,5Δ*η),
-α, t G [tn +0,5Δίη,ίη+ι),
где а > 0, Δίη = tn+i - tn, n G No. Матрица (скалярная функция)
линейного преобразования, переводящего систему Dx = α(ί)χ, в
систему Dy = b(t)y имеет вид L(t) = CexpJt a(u)du, где С ^ 0.
Поэтому L(tn) = С Vn G No , т. е. условия (1.18) и (1.19) выполнены.
Однако L(tn + 0,5Δίη) = <7βχρ(0,5αΔίη). Поэтому, если условие (1.20) не
выполнено, т.е. последовательность Δίη не ограничена, то
неограниченной на J будет и функция L(£). Если же не выполнено условие (1.23),
то существует такая подпоследовательность последовательности (fn) (не
нарушая общности, считаем, что это сама последовательность (fn) ), для
которой Atn > etn , где ε > 0. Следовательно,
\[L]= Ш rMnllLCOII^ Π5ί (tn+0,5Atn)-1\\L(tn+0,5Atn)\\ =
f—►-boo η—)>+οο
= Hm (tn + 0,5Δίη)_1 (In \C\ + 0,5αΔί„) > 0,5ο(ε_1 + 0,5)_1 > 0,
т. с L(t) не является обобщенной матрицей Ляпунова.
a(t) = {
23

1.3. Асимптотическая эквивалентность систем
В этом параграфе приведем некоторые необходимые, достаточные,
необходимые и достаточные условия асимптотической эквивалентности
линейных систем, коэффициенты которых здесь и далее, если не оговорено
противное, будем считать ограниченными функциями.
В дальнейшем будем использовать следующие обозначения:
*
ί
J(/;M) = / f(u)du, E(f;s}t) =exp I{f;s,t), SpA= Sp(a0) = ^a^.
{ *=*
Теорема 1.6. Для асимптотической эквивалентности систем
(1.1) и (1.2) необходимо существование такого положительного
числа М, что
|J(Sp(A-B);t0,OI <M<+oo VieJ. (1.24)
Доказательство. Пусть Xto, YtQ — фундаментальные
нормированные в точке ί0 матрицы решений систем (1.1) и (1.2) соответственно. В
силу теоремы Лиувилля — Остроградского (см., например, [144, с. 37])
detXto(t) = #(SpA;t0,f)i и detF*0(i) = E(SpB;t0,t).
Из асимптотической эквивалентности систем (1.1) и (1.2) в силу
теоремы 1.1 следует существование такой невырожденной матрицы С, что
XtoCYt~l G £. Поэтому из (1.10) следует существование таких
постоянных т и М, что
0<m< |det (XtoCYt-l)\ = |detC|£(Sp(A-J5);i0,<) < Μ < +οο,
откуда, в виду невырожденности матрицы С, и следует требуемое
утверждение. ■
Теорема 1.7. Для асимптотической эквивалентности систем
(1.1) и (1.2) необходимо и достаточно, чтобы
irf П^^^ < +00,
detC^O t£j u teJ
(1.25)
где Xto, Yto — фундаментальные нормированные в точке t0
матрицы решений систем (1.1) и (1.2) соответственно.
Доказательство. Необходимость. В силу теоремы 1.1 из
асимптотической эквивалентности систем (1.1) и (1.2) следует существование
такой невырожденной постоянной матрицы С, что Xto(t)CYt~l(t) G £
24

и Yto{t)C-lXio\t) G £. Поэтому
maX{sup||Xt0(t)Cyt;1(<)ll,sup||Fi0(i)C-1^1(<)||} < +00,
teJ teJ
и, следовательно, условие (1.25) выполнено.
Достаточность. Предположим противное, т.е. пусть системы (1.1)
и (1.2) не являются асимптотически эквивалентными. Тогда из теоремы
1.1 следует, что для любой невырожденной постоянной матрицы С либо
sup\\Xt0(t)CYt-l(t)\\ = +оо, либо snp\\Yto(t)C-lXt-l(t)\\ = +оо. Это
teJ teJ
означает, что maxisupllXtoWCr^^Oll.suplirtoWC-^^^OII} = +<*>>
teJ teJ
а вместе с тем и
irf max{eup||X«0(t)Cy^1(*)ll,eup||y4o(t)C-1^1(OII} = +оо,
detC^O teJ tej
что противоречит условие (1.25). Полученное противоречие и доказывает
требуемое утверждение. ■
Заметим, что если для некоторой невырожденной матрицы С
выполнено условие Xto(t)CYt~l(t) е £ или условие Xto(t)CYt~l(t) & £, то для
любого отличного от нуля действительного числа α также будут
выполнены условие XtoitfCaY^1 (t) e £ или условие Χίο{ήΟαΥ^ι{ί) & £, где
Са = аС. Поэтому infdetc^o в (1.25) можно заменить на infdet(7^o,||C||=i
или на infdetc=i ·
Обозначим через ωο(Α) < Qq(A) генеральные (особые) нижний и
верхний показатели [7, с. 109 — 111 ] системы (1.1). Следующие
утверждения [142] устанавливают достаточные условия асимптотической
эквивалентности систем при экспоненциальных возмущениях.
Теорема 1.8. Если B(t) - A(t) -► 0 при t -» +оо и
\\1(В - Α; ί,+оо)|| < сое-°\ t > *0, (1.26)
при а > Ω0(Α) - ω0(Α), со > 0, то системы (1.1) и (1.2) являются
асимптотически эквивалентными.
Доказательство. Обозначим через X(t) и Y{t)
фундаментальные нормированные в точке ίο матрицы решений систем (1.1) и (1.2)
соответственно, а через X{t,x) и У(£, τ) — матрицы Коши этих систем;
положим Q = В — А. В силу определения верхнего Ωο(Α) = Ω0 и
нижнего ωο(Α) = ωο генеральных показателей линейной системы (1.1) для
любого ε > 0 существуют такие постоянные с\(е) > 0 и ο2(ε) > 0, что
для всех t > τ > t0 будут выполнены неравенства
||Χ(*,τ)|| < Cl(e)e<no+eH*-T>, \\X{i,t)\\ < ο2(ε)β<-ωο+ε>('-τ). (1.27)
25

Так как по условию Q(t) -> 0 при t -> +00, то из следствия 13.2.6
(см. [7, с. 166]) имеем также для любых ε > 0, t > τ > t0 неравенства
11*4*.τ)ΙΙ < ο3(ε)^Ωο+ε^ι-τ\ ||Κ(τ,ί)|| < с4(8)е(-"0+с)^). (1.28)
Выберем ε > 0 удовлетворяющим условию
σ-(Ωο-ωο) > 2ε > 0. (1.29)
По формуле Коши для матрицы Υ(f) справедливо представление
Υ{t) = X(t) (Ε + I(X-lQY; f0,«)) , t> ίο, (1.30)
в котором Ε — единичная матрица. Из условия теоремы следует
сходимость интеграла Q0 = J(Q; ί0? +οο). Положим
Яг(0 = IiX-'PY; ίο, t) Ρ (η) = A(V)I(Q; +00, η) - I(Q; +00, η)Β(η).
Покажем, что
I(X-1QY;t0,t) = Q0 + X-\t)I(Q;+oo,t)Y(t) + Q1(t), t>U>. (1.31)
Действительно, очевидно, что (1.31) выполнено при t = t0. Кроме того,
обе функции, стоящие в левой и правой части требуемого равенства
абсолютно непрерывны и их производные, как легко проверить, совпадают
почти всюду на промежутке J, что и обеспечивает их совпадение [160,
с. 374] на всем J.
На основании оценок (1.26) — (1.28) справедливы неравенства
mm < тх-чтипм) <
< ЩХ-11| [||Л|| + \\В\\] || /«?; +оо, ^Ц ||У||; <0, *) <
< (2а + q)coC2(z)c3(z)I(e^-^-^2^;i0,t),
в которых постоянная q > 0 определяется условием q > \\Q{t)\\ при всех
t > to. Из этих неравенств в силу выбора (1.29) числа ε > 0 следует
сходимость несобственного интеграла Qi(+oo) = Q\ .
Таким образом, из представления (1.30) получаем равенство
Υ(t) = X(t) [Ε + Q0 + Qi + X-1 {t)I{Q; +oo, t) Y(t)+
+I(X-1PY;+oo,t)], t>t0. (1.32)
Введем в рассмотрение матрицу L(t) = Y{t)CoX~y(t) с некоторой
невырожденной матрицей Со . С учетом равенства (1.32) для этой матрицы
получаем представление
L{t) = X{t){E + Q0 + Qi)C0X-1 (t) + I(Q; +oo, t) L(t)+
26

+I(X(t,V)P(tfY(V,t);+oo,t)L(t), t > t0. (1.33)
В силу условия (1.26) теоремы и неравенств (1.27) — (1.29) имеем оценку
\\X-4tWQ; +oo,t)У(*)|| < θοβ2(ε)β3(ε)β(Ωο-ωο-σ+2ε)* -+ О, t -► +оо,
а из сходимости интеграла Qi(+oo) следует, что I(X~1PY; +oo,t) -* 0
при t -+ +оо. Поэтому из равенства (1.32) следует сходимость
X^WYW-tE + Qo + Qi при t-++oo. (1.34)
Из формулы Лиувилля — Остроградского и условия (1.26) теоремы
следует, что при t —> +оо выполнены соотношения
det{X~l(t)Y(t)) = exp(SpI{Q]to,t)) -+ exv{SpQo) φ 0. (1.35)
Из сравнения соотношений (1.34) и (1.35) получаем необходимое
равенство det(E + Qq + Qi) = exp(SpQ0) Φ 0.
Возьмем теперь в представлении (1.33) матрицы L(t) невырожденную
матрицу Со = (Е + Q0 + Qi)'1 .В результате получим тождество
[Е + I(Q;t, +oo) + I(X(t,τ)Ρ(τ)Υ{τ,t);t; +oo)]L(t) = E,t>t0. (1.36)
Покажем, что в этом тождестве квадратная скобка при t -¥ +оо
стремится к единичной матрице Е. Действительно, в силу оценок (1.26) —
(1.28) и условия (1.29) справедливы неравенства
\\Ι(Χ(ί,η)Ρ(η)Υ(η,ί);ί,+<χ>)\\ < с2(е)с3(е)х
х/ (e^-o^^-t) . {2\\Α(η)\\ + ||Qfo)||) · \\I(Q;+οο,η)\\ -,ί,+οο) <
< (2а + 9)сос2(е)сз(е)е-(По-<00+2^/(е^0-'оо-0+2е),';«,+оо) =
= (2а + я)сос2(е)с3(е) _at^Q # _^
σ - (Ω0 - 6>ο + 2ε)
Поэтому и в силу условия (1.26) теоремы квадратная скобка в (1.36)
стремится к матрице Ε при t —► +оо, что устанавливает и стремление
L(t)->E при <->+оо. (1.37)
Это же в силу ее непрерывности означает и ограниченность L(t) на всей
полуоси [to,+oo). С другой стороны, для определителя матрицы L(t)
выполнено
detL(i) = detCodetriOdetX"1^) = detCoe^^05'0·'^ -+
-+ det C0eSpQo ^ О при t -+ +oo, (1.38)
27

что означает также его неравенство нулю при всех t > to . Поэтому и в си-
лу(1.38)на основании непрерывности этого определителя по £, для t > £0,
он отделен от нуля некоторой постоянной при всех t > to . Это же
означает и ограниченность обратной матрицы L~l(t). Из очевидного тождества
D(L(t)) = B(t)L(t) — L(t)A(t) следует также и ограниченность
производной матрицы L(t). Таким образом, матрица L(i) является матрицей
Ляпунова, откуда и вытекает приводимость по Ляпунову системы (1.2) к
системе (1.1) преобразованием у = L{t)x y так как согласно доказанному,
фундаментальная матрица решений Y\{t) = Y(t)Co возмущенной
системы (1.2) связана с фундаментальной матрицей решений X(t) исходной
системы (1.1) равенством Y\(t) = L(t)X(t). ■
Так как для младшего с^о(А) и старшего ίΙο(Α) генеральных
показателей системы (1.1), определяемых по ее матрице Коши Х(£, τ)
равенствами [7, с. 117] ω0(Α) = lim Τ"1 infk>0In\\X{kT,kT + T)\\~l,
Ωο(Α) = lim T~l s\ipk>Q\n\\X(kT + Т}кТ)\\} справедливы оценки
Τ—Ц-оо —
ωο(-4) > -α и Ω0(Α) < α, где α > supe€J ||Α(ί)||, то из утверждения
теоремы 1.8 вытекает следующий результат.
Следствие 1.1. Если условие (1.26) выполнено при о > 2а, то
системы (1.1) и (1.2) асимптотически эквивалентны.
Теорема 1.9. Если матрицы коэффициентов систем (1.1) и (1.2)
удовлетворяют неравенствам supfGJ ||Α(ί)|| < α, supfeJ ||#(ί)|| < α, то при
выполнении условия (1.26) с σ > 2α, со > О, системы (1.1) и (1.2) будут
асимптотически эквивалентны.
Доказательство. Для доказательства этого утверждения
достаточно заменить Ω0 и ц в доказательстве теоремы 1.8 на α и —а
соответственно. При этом матрица Q(t) = B(t) — A(t) будет ограничена
( q = 2α ), а условие ее стремления к нулю на бесконечности будет
излишним, поскольку неравенства
||X(i,x)H < CiMeWW, \\Χ(τ,1)\\ < с2(ф(°+е>«-\
\\Y(t,x)\\ < с3(ф(а+е>«-^, ||Κ(τ,*)|| < С4(ф(в+еК<->,
соответствующие неравенствам (1.27) и (1.28), будут очевидно выполнены
(см., например, [7, с. 100,101]. ■
Установим теперь неулучшаемость во всем множестве линейных
систем (1.1) с матрицами коэффициентов А(£), имеющими норму ||Α(ί)||<
< α при t > ίο? условия σ > 2α сформулированного следствия, а тем
самым и условия σ > Qq(A) — cuo(A) теоремы 1.8 асимптотической
эквивалентности исходной (1.1) и возмущенной (1.2) линейных систем.
28

Теорема 1.10. Для любого числа а > 0 существуют система (1.1)
с матрицей коэффициентов, имеющей норму \\A(t)\\ < а при t > to
и удовлетворяющее условию
Ш)\\<сое~2а\ t>t0, (1.39)
возмущение Q(t) такие, что исходная (1.1) и возмущенная (1.2),
В = А + Q, линейные системы не являются асимптотически
эквивалентными.
Доказательство. Не нарушая общности, будем считать £0 = 0.
В качестве матрицы коэффициентов A(t) исходной двумерной системы
(1.1) возьмем диагональную матрицу A(t) = a\ag{-a(t),a(t)} с функцией
a(t) = (-1)4 t e [ί2*+ή*2*+ί+ι), г = 0,1, (1.40)
при определении которой использована временная последовательность
(tk) t +°° c элементами
f0 = 0, tk+i =tk+eAat\ k>0. (1.41)
Введем обозначение
α(ί,τ) Ξ/(α;τ,ί), t > τ. (1.42)
Тогда матрица Коши и ее норма приобретают представления
Χ(ί,τ) = diag{e-a^x),ea^x)}, ||Χ(ί,τ)|| = е'0^', t > τ.
Легко видеть, что для построенной диагональной системы (1.1) с
коэффициентами (1.40) — (1.41) генеральные показатели определяются
равенствами ωο(Α) = —α, Ωο(Α) = α.
В качестве возмущающей матрицы Q(t) возьмем нижнетреугольную
матрицу второго порядка с элементами
Qij(t) =0, г < i, q2i(t) = q(t) = e"2at, t > 0. (1.43)
Тогда фундаментальная матрица решений Y(t) системы (1.2) имеет вид
Очевидно, система (1.2) преобразованием Ляпунова у = L(t)x
приводится к системе (1.1) тогда и только тогда, когда при некоторой
невырожденной постоянной матрице С = (су), i,j = 1,2, матрица S(t) =
= Y{t)CX~l{t) является матрицей Ляпунова. Ее представление имеет
29

вид
S(t)-( Cl1 c12e-2«M)\
bW - ^o)(c2i +CllJ(i)) c22+c12J(f),) ' (L44)
где J(i)^/(9(x)e-2a^o);0,i).
Исследуем поведение функции α(ί, 0) по последовательностям (f2m)
и (i2m+i) при τη —> оо .Для элементов первой последовательности в силу
соотношений (1.40) — (1.42) при т -> +оо выполнено
т
а(*2т,0) = 5^cx(f2*,f2*_2) = - y^[a(t2fe - t2k-\) - a(t2k-i - t2k-2)] =
Jk=l k=l
m
= -a>^(e4at2k~l -e4a<2*-2) = -a^e4at2fc-2(e4aexp(4at2fc-2)-l) -► -oo,
а для элементов второй — аналогично
т т
a(WbO) = ah + ][>(f2*+b*2*-i) = ah + a^(e4at2fc - e4^"1) =
Jk=l Jk=l
m
= ah +a^e4at2fc-1(e4aexp(4ai2fc-l) - 1) -> +oo при m -+ +oo.
Поэтому для ограниченности на полуоси матрицы S(t), определяемой
равенством (1.44), необходимо выполнение равенства с\2 = О. Из
невырожденности матрицы С необходимо также выполнение неравенства
сцс22 φ 0. Кроме того, для ограниченности на полуоси [0, +оо)
матрицы S необходима ограниченность на ней функции e2a^,0)[c2i +сц J(t)] =
= β2α(*'°)φ(£). Следовательно, в силу установленного стремления
a(£2m+i>0) -► +оо при т -» оо последовательность (cp(i2m+i))
необходимо стремится к 0 при т —>· оо , т. е. имеет место сходимость
J(t2m+i) -> с ξ -c2i/cn = const 6 R при m -> +oo. (1.45)
Покажем, что этого не может быть. Действительно, в силу
положительности подынтегральной функции у интеграла J(t) для его значений
J(t>2m+\), m>2, справедливы неравенства
J(*2m+l) > /(e'2aT-2a(T'0);i2m-bi2m+l) >
>e-2at2m_1-2a(t2m_b0)/(e-2a(T-t2m-1)-2a(Tit2m-1).i2mbi2^ (1.46)
Так как функция a(t) равна -а на промежутке [£2т-ь*2т], то имеет
место равенство a(x,f2m_i) = -α(τ - i2m-i) при τ е [£2т-ь*2т], уста-
30

навливающее равенство единице подынтегральной функции в предыдущем
интеграле. Это позволяет получить из (1.46) неравенства
J(t2m+l) > {t2rn - *2т-1)ехр[-2а<2т-1 - 2a(i2m-l,0)] =
= e4at2m-1 exp
m-1
- ]T M<2*+1 - t2k)
k=0
= exp
m-1
4α]Ρ(ί2* -*2*-ΐ)
k=l
= exp
4a Σ eAai™-'
k=l
-» +00 при m -» +oo.
Таким образом, полученное свойство J(£2m+i) -> +°о при m -+ оо
вступает в противоречие со свойством (1.45) интеграла J(t),
необходимым для существования преобразования Ляпунова, переводящего
систему (1.1) в систему (1.2). Это означает, что система (1.1) с матрицей
коэффициентов, определяемой соотношениями (1.40) и (1.41), не
является асимптотически эквивалентной возмущенной системе (1.2) с матрицей
возмущения (1.43). ■
Замечание 1.1. Для системы (1.1) с коэффициентами (1.40)— (1.41),
для которой существует такая удовлетворяющая условию (1.26) с числом
σ = 2α матрица Q, что системы (1.1) и (1.2) не являются
асимптотически эквивалентными, выполнено равенство Ω0(Α) = —ωο(Α) = α.
Нетрудно привести примеры системы (1.1) с кусочно-непрерывной
матрицей коэффициентов, имеющей норму ||Л(£)|| < α при t > fo, и
генеральными показателями и>о(А) и Ω0(Α)} для которых выполнено неравенство
Ω0(Α) - ω0(Α) < 2α, и не асимптотически эквивалентной ей
возмущенной системы (1.2) с возмущением Q удовлетворяющим условию (1.26) с
числом σ = Ω0(Α) — cuq(A).
Теорема 1.11. Если
I(\\B-A\\;t,+oo)<coe
-at
t>to,
(1.47)
при σ > Clo(A) - ω0(Α), cq > О, то системы (1.1) и (1.2) являются
асимптотически эквивалентными.
Доказательство. Очевидно, что из (1.47) сразу же следует
неравенство (1.26). Кроме того, заметим, что условие B(t) — A(t) —> О при
t -> +оо использовалось в доказательстве теоремы 1.8 лишь для
доказательства неравенств (1.28). Однако эти неравенства остаются
справедливыми как это следует из доказательств теорем 7.1.1 и следствия 13.2.6
[7, с. 101, 167] и при выполнении (1.47). Все остальное доказательство
31

асимптотической эквивалентности систем (1.1) и (1.2) остается
справедливым и для рассматриваемого случая. ■
Следствие 1.2. Для любой системы (1.1) из множества 210
существует асимптотически эквивалентная ей система (1.2), В е 21о, с
кусочно-непрерывными коэффициентами.
Доказательство. Будем считать, что supteJ |И(£)Н < α < +оо.
Рассмотрим последовательность (£*), £* = £0 + к, к G No- Из теоремы
Лузина [145, с. 102] следует, что для каждого из элементов aij матрицы
А = (aij), i,j = 1,-,η, существует такая кусочно-непрерывная функция
bij, что 7(|α^· -6ij|; £*,£*+i) < 2aexp(—3a£*+i). Поэтому существует
такая матрица B(t) = (b{j(t)), t 6 J, с кусочно-непрерывными элементами
&ij> *\i = 1>··>η> что для любого t G [£*,£*+ι) будет выполнено
+оо
I(\\A- B\\;t,+oo) < I(\\A- B\\-tk,+oo) = £ /(||А - B||;*m,*m+i) <
т=к
+оо Ч-оо
= с ^2 exp(-3aim+i) = cexp(-3a£*+i) J^ exp(-3a(£*+m - ί*+ι)) =
m=fc m=l
= cexp(-3atfc+i) ^ exp(-3a(m - 1)) = —— *+1 < coexp(-3a<),
m=l ^ '
где значение констант с и со зависит только от α и размерности п.
Таким образом, для систем (1.1) и (1.2) будут выполнены условия
теоремы 1.11, что и влечет их асимптотическую эквивалентность. ■
Следующая теорема [143] дает общий признак асимптотической
эквивалентности линейных систем в интегральной форме.
Теорема 1.12. Если матрица коэффициентов В системы (1.2)
удовлетворяет условию
# Ш I(\\X(t, τ)(Β(τ) - Α(τ))Χ(τ, ί)||; ί, +οο) < 1, (1.48)
t—►-boo
где X(t,x) — матрица Коши системы (1.1), то системы (1.1) и (1.2)
асимптотически эквивалентны.
Доказательство. Не нарушая общности, считаем £0 = 0. Пусть
Xo(t) — нормированная в нуле (Хо(0) = Ε, Ε — единичная матрица)
фундаментальная матрица решений линейной системы (1.1). Рассмотрим
следующее матричное дифференциальное уравнение:
DU = Xol(t)(B(t) - A(t))X0(t)U = C(t)U (1.49)
с кусочно-непрерывной матрицей коэффициентов C(t). В силу уело-
32

вия (1.48) норма матрицы C(t) суммируема на полуоси [0, +оо). Поэтому
система (1.49) является системой линейного асимптотического
равновесия [ 9, с. 164—165; 39, с. 75] и имеет фундаментальную матрицу решений
U(t) —> Ε при t -+ +оо, для которой справедливо представление
U(t) =E- I(C(t)U(t);*, +oo), t > 0. (1.50)
Рассмотрим фундаментальную матрицу решений Y(t) системы (1.2) с
начальным условием Y(0) = U(0) и представим ее по формуле Коши
Y(t) = Xo(t)(U(0) + Ι(ΧοΧ(Β - A)Y;0,t)).
Очевидно, матрица V(t) = Χ^ι(ί)Υ(ί) в соответствии с предыдущим
равенством имеет интегральное представление V(t) = U(0) + J(CF;0, t)
и тем самым является решением линейного матричного уравнения (1.49).
Так как в начальный момент t = 0 решения V{t) и U{t) совпадают, то
они совпадают и при всех t > О, т.е. V(t) = U(t)j t 6 [0, +оо). Таким
образом, матрица U(t), определяемая равенством (1.50), имеет также
представление U(t) = Xul(t)Y(t) при всех t > 0.
Определим теперь матрицу L(t) = Y(t)XQ1(t) и докажем как ее
ограниченность на полуоси [0, +оо), так и ограниченность обратной к ней
матрице L~~l(t). Из равенства Y(t) = X0(t)U(t) для матрицы L(t) получаем
представление L(t) = X0(t)U(t)XQl(t).
Построим для решения U(t) -+ Ε при t -+ +оо матричного
уравнения (1.49), представимого в интегральной форме (1.50), разложение в виде
равномерно и абсолютно сходящегося на промежутке [ίο,+οο) с
достаточно большим ίο > 0 матричного ряда, получаемого методом
последовательных приближений
Um+i(t) = E- I{CUm;t, +oo), Ui(t) = Я, го > 1.
Полученный этим методом формальный ряд имеет вид
+оо +оо +оо
U(t) = E- ίθ(τι)άτι+ Ι' 0(τι)άτι ί C{x2)dx2 - ... +
t t τι
+oo -hoo Ч-оо +оо
+(-l)k JcMdn JC{x2)dx2... j Cixk-^dxk., J C(xk)dxk + ...
(1.51)
Условие (1.48) предполагает сходимость всех зависящих от параметра
t > 0 содержащихся в нем несобственных интегралов, в частности, и схо-
33

димость интеграла 7(||С||;0, +οο) < +оо. Поэтому выполнено условие
7(||C||;f,+оо) -» 0 при t -» +00, из которого следует существование для
любого числа q\ е (0,1) такого момента t\ > 0, что будет справедливо
неравенство
dt = /(||C||;i,+oo) <qi Vi (Ξ [ίι,+οο). (1.52)
Для формального ряда (1.51) построим на промежутке [ίι,+οο)
числовой абсолютно сходящийся степенной мажорантный ряд следующим
образом:
Ч-оо Ч-оо Ч-оо
\\U(t)\\ < 1 + J «СЫН*! + J ||C(xi)||rfxi J ||С(т2)||Л2 + ...+
t t τι
Ч-оо Ч-оо Ч-оо Ч-оо
+ y"||C7(Ti)|| dnJwCMW dx2.. .J ||C(x*_i)|| dz^J \\C{zk)\\ dxk+...<
t Xl Tfc_2 Xfc-1
(увеличим, начиная со второго, все члены предыдущего ряда, заменив в
каждом внутреннем интеграле от неотрицательной функции, начиная с
последнего, нижний предел τ» не большим числом t)
00 00 ..
S (1.62) й 1-91
Таким образом, равномерная и абсолютная сходимость ряда (1.51) на
промежутке [ίι,+οο] доказана.
Докажем теперь ограниченность введенной выше матрицы L(t) =
= XQ(t)U(t)XQl{t). Умножив каждый член ряда (1.51) слева и справа
соответственно на матрицы Xo(t) и XJ"1^), получим новый ряд для
матрицы L(t). Через £*(£) обозначим к -й член этого ряда. Вводя также
обозначение C(t,\) = X(t,x)(B(x) - Α(τ))Χ(τ,ί) (заметим, что С(0,т) =
= С(т)), к -й член Lk(t) ряда L(t) преобразуем следующим образом:
Ч-оо Ч-оо Ч-оо Ч-оо
Lk(t)=(-i)kic{t,Tl)dT1ic(t,x2)dT2-ic{t,xk-1)dxk-lic(t,T^^
t τι Xfc-2 Xfc-i
Из очевидного неравенства
Ч-оо Ч-оо Ч-оо
НЫ*)Н < / ||C(*,xi)ll *i J ||C(i,T2)||dx2··· f \\C(t,xk)\\dxk,
t τ\ xfc_i
34

заменяя в нем все нижние пределы интегрирования ть... ,τ*_ι не
большим числом f, получаем оценку
ΙΙ^(ί)||<(/(||(7(ί,τ)||;ί + οο))\ t > О, к > 1. (1.53)
По условию (1.48) существуют число q2 G (0,1) и конечный момент t2 > h,
для которых выполнено неравенство 7(||(7(ί,τ)||;ί, +оо) < q2 при t > t2.
Тем самым оценка (1.53) принимает вид
ЦЬ*(*)||<«}, *е[*2,+оо), А;>1,
нсо доказывает абсолютную и равномерную сходимость ряда для L(t) на
[*2,+оо) и позволяет для нормы матрицы L(t) получить окончательную
оценку ||L(f)|| < 1/(1 —q2) для всех t > t2. Из очевидной непрерывности
этой матрицы для всех t > О и следует теперь ограниченность матрицы
L(t) на всей полуоси [0,+оо). Очевидно, матрица L(t) является
неособенной, ее определитель обладает свойством 0 < detL(i) = detU(t) -» 1
при t —>· +оо. Поэтому в силу непрерывности матрицы L(t) на полуоси
[О, +оо) существует такая постоянная d>0, что оказывается
выполненным неравенство det L(t) > d > О, t > 0. Из него и ограниченности L(t)
на полуоси следует также и ограниченность обратной матрицы Ι/-1(ί) на
промежутке [0, +оо). Из ограниченности матриц Aw В и тождества (1.3)
следует теперь и ограниченность производной матрицы L(t) Таким
образом, матрица L является матрицей Ляпунова, что в силу теоремы 1.1 и
означает асимптотическую эквивалентность систем (1.1) и (1.2). ■
Из оценок (1.53) вытекает следующее утверждение.
Следствие 1.3. При выполнении условия
I(\\X(t, τ)(Β(τ) - Α(τ))Χ(τ, ί)||; ί, +οο) -> 0 при t -> +οο
система (1.2) приводима κ системе (1.1) преобразованием
Ляпунова у = L(t)x с матрицей L(t) -> Ε при t -► +оо.
1.4. С — асимптотическая эквивалентность систем
Рассмотрим некоторую невырожденную абсолютно непрерывную на
промежутке J матрицу L. Если при t —► +оо матрица L(t) -> С, где
С — некоторая невырожденная матрица, то легко заметить, что матрица
L будет ограничена на J и \nit^j | detL(f)| > α > 0. Кроме того,
обратная матрица L~~l(t) также является невырожденной абсолютно
непрерывной на J, причем при t —>· +оо матрица L~l(t) —>· С""1. Потребуем
дополнительно, чтобы на промежутке J была бы ограничена и производ-
35

ная DL(t). Множество указанных матриц обозначим £с· Нетрудно
проверить, что это множество является группой и, кроме того, является
подгруппой группы £ матриц Ляпунова. Выделим в группе £с множество
таких матриц L, которые при t —► +00 стремятся к единичной
матрице Е. Очевидно, что множество £# таких матриц является подгруппой
группы £с· Итак,
£яС£сС£с£*. (1.54)
Определение 1.7. Системы (1.1) и (1.2) назовем С
-асимптотически эквивалентными ( Ε -асимптотически эквивалентными),
если они Sic -эквивалентны ( £# -эквивалентны), т. е. если
существует преобразование χ = L(t)y, L е £c ( L е £е ), которое
переводит одну из них в другую.
Из леммы 1.1 получаем следующий результат.
Теорема 1.13. Для С -асимптотической ( Ε -асимптотической)
эквивалентности систем (1.1) и (1.2) необходимо, чтобы для любого
числа s, s e J, существовала постоянная невырожденная
матрица С такая, что для фундаментальных нормированных в s
матриц Х8 и Ys решений систем (1.1) и (1.2) соответственно
матрица XsCY~l принадлежала множеству £с ( Ze) > и достаточно
существования такого числа s e J и постоянной невырожденной
матрицы С такой, что матрица X8CY~l принадлежит
множеству £с (£#).
Из (1.54) и теоремы 1.13 сразу же следует, что Ε -асимптотически
эквивалентные системы являются С -асимптотически эквивалентными,
которые, в свою очередь, являются асимптотически эквивалентными.
Отметим, что выполнение условий следствия 1.3 теоремы 1.12 также
обеспечивает Ε -асимптотическую эквивалентность систем.
Замечание 1.2. При доказательстве теоремы 1.8 было показано
(формула (1.37)), что преобразования системы (1.1) в систему (1.2)
стремится к единичной матрице при t -> +00. Тем самым фактически доказано,
что выполнение условий теоремы 1.8 обеспечивает не только
асимптотическую, но и Ε -асимптотическую (а вместе с тем и С -асимптотическую)
эквивалентность систем. Это же относится и к теореме 1.11 и ее следствию
1.2. Поэтому в дальнейшем, имея дело лишь с подгруппами обобщенных
преобразований Ляпунова ( £#, £с, £, £* ), мы можем ограничиться
рассмотрением лишь линейных систем с кусочно-непрерывными на
промежутке J коэффициентами.

ГЛАВА 2
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С КУСОЧНО-
ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
2.1. D -системы
Основным объектом изучения в этой главе будут являться линейные
дифференциальные системы
Dx = A(t)x, te J = [ίο,+οο), t0eR, хеШп, (2.1)
где A(t) — матрица размерности η χ п, элементами которой
являются кусочно-непрерывные (см. замечание 1.2) и ограниченные
(supiGJ ||Α(ί)|| < α <+оо )на J функции α»j, i, j = 1, ...,n.
Обозначим множество систем (2.1) через 21α . Наряду с системами
(2.1) будем также рассматривать системы
Dy = B{t)y, t€J, уеШп, (2.2)
где элементы матрицы В — кусочно-постоянные на промежутке J
функции bij, i,j = 1,...,п. В настоящей главе будут рассмотрены вопросы
приведения систем (2.1) к системам (2.2) с кусочно-постоянными
коэффициентами.
Д. М. Гробманом [56] и Ю. С. Богдановым [57] было показано, что
любая линейная система асимптотически эквивалентна системе с кусочно-
постоянными коэффициентами. Более того, имеет место следующий
результат Ю. С. Богданова [38].
Теорема Богданова. Любая система (2.1) асимптотически
эквивалентна системе (2.2), кусочно-постоянные коэффициенты кото-
рой принимают не более двух значений а и —а.
Следуя Ю. С. Богданову [42], такого рода кусочно-постоянные
системы будем называть D -системами. Ниже мы уточним теорему Богданова
в том смысле, что последовательность возможных точек разрыва
коэффициентов может быть выбрана заранее.
Обозначим через Τ множество кусочно-непрерывных и ограниченных
на J функций; положим
Та = {а е Τ | suptGJ|a(i)|<a}, τ% = {ЬеТа | 6(i)e{-a,a}Vi G J}.
37

κ = <
Лемма 2.1. Для любых а > О, h > О, / > О, s6 J, / 6 -Fa, ffG^
существуют такие κ е {-α, α} м κι е [-a - h/l,a + Λ//], что, если
|J(/-0;<o,s)| < Λ, апо
|/(/ - 05 *о, s) + /(/;s, s + Ζ) - κί| < тах{Л, α/}, (2.3)
/(/ - я; *о,«) + /(/;«,« + 0 - χι' = ο. (2.4)
До казател ьство.Таккак f€Ta, το |/(/-#;ίο,$)+/(/;s,s+/)| <
< h + al. Полагая
α, если 0 < I(f - g\ f0, s) + I(f; s,s + l) <h + al,
У -α, если —Λ - al < I(f — g;t0,s) + J(/;s, s + I) < 0,
получим требуемое неравенство (2.3). Для доказательства (2.4) положим
xi = {I(f-g;t0,s)+I(f\s,s + l))/l, тогда |κι| < (h + al)/l = a + h/l. Ш
В дальнейшем для упрощения записи будем считать, что to = 0 и
обозначать J0 = [0,+оо). Пусть φ —такая убывающая и исчезающая на
бесконечности неотрицательная функция, φ : J0 —>· Jo, φ(έ) -» 0 при
t —> +oo, что
+oo
Σ cp(fc) < М0ф(ш) V т е No = N U {0}, (2.5)
k=m
где постоянная М0 не зависит от т. Заметим, что условие (2.5) гаран-
тирует сходимость ряда ]Р ф(&)· Множество таких функций обозначим
через #. Обозначим через Τφ множество таких возрастающих
последовательностей (ίη), что ί0 = 0, tn -» +оо при η -» +оо, и О < f*+i ~~ ** <
< cp(m + 2), если tk G [т,т + 1), me No-
Лемма 2.2. Для любых а > 0, f €Ta, (tn) £ 7^> существует
функция Ь 6 Τ®, последовательность точек разрыва которой
является подпоследовательностью последовательности (tn) и для всех
t e Jo при некотором положительном Μ выполнено неравенство
|/(/-Μ,+οο)|<Μφ(ί). (2.6)
Доказательство. Покажем вначале, что существует такая
кусочно-постоянная функция g : Jo —► Μ, g € J7, что
последовательность ее точек разрыва является подпоследовательность
последовательности (ίη) и
|/(/-3;0,ί)|<Μιφ(ί) Vie Jo, (2.7)
для некоторого положительного числа М\.
38

Пусть
О = ί0 < ... < т < tk < tk+i < ... < tk+8 < m + 1 < έ*+5+ι < ..., m e N.
Перенумеруем точки последовательности (tn) следующим образом:
Из свойств последовательности (ίη) следует, что при всех т G No
выполнены неравенства 0<fmi+1— trni < cp(m + 2) при всех г = 0, ...,s(m) — 1
и 0 < *(m+i)o ~~ *me(m) < ф(™ + 2). Будем строить требуемую функцию д
последовательно на промежутках [ί^,ί^+ι), A: е No- Предположим, что
требуемая функция д уже построена на [0, fmo), причем
|/(/-^0ftmo)|<a9(ro + 2). (2.8)
Из леммы 2.1 следует, что функция д может быть так построена на каждом
полуинтервале [imi,fmi+1), г = 0,...,s(m) - 1, что |J(/ -£;0,imi)| <
<acp(m + 2) для всех i = 0, ...,s(m) —1, причем значения д принадлежат
множеству {—а, а}. Поэтому интеграл /(/ — <7;0, t) будет монотонен по t
на каждом промежутке [im<?*m<+i)? и, значит, неравенство
|/(/-»;0ft)l<«P(m + 2) (2.9)
выполняется для любых £ б [tm^tm^), г = 0, ...,s(m) — 1, а,
следовательно, и для ВСеХ t 6 [*moi*m.(m))·
В силу равенства (2.4) леммы 2.1 можно так определить функцию д на
промежутке [tm,(m),t(Tn+l)o), что
/(/ " 9\ 0, t(m+i)o) = 0 < оф(ш + 3). (2.10)
Поскольку функция д постоянна на [imi(m)>£(m+i)0)> то
|J(0;*mi(m),OI = ДЫ;*»»^),*) < ДЫ;*т.(т,,*(т+1)0) =
= |Д9;*т.(т),*(т+1)о)1 = 1/(/-^°^т,(т))+/(/;<т,(т),<(т+1)0)1 <
<2аср(т + 2). (2.11)
Поэтому для всех ie [<m.(m)><(m+i)0) выполнено неравенство
|/(/-p;0,0l = |/(/-»i0,*me(m)) + /(/;*m.(m),0-/(ffi*me(m),*)l<
< 4acp(m + 2).
С учетом (2.9) это гарантирует выполнение для всех t e [<m0»*(m+i)0)
неравенства (2.7) при Μι = 4о ( φ(τη + 2) < φ(ί)). Поскольку
неравенство (2.8) очевидно выполнено при т = 0, и на [0,£(m+i)0) построена
39

такая функция д, что выполнено (2.10), то требуемую функцию д можно
последовательно построить на всем J0.
Построим теперь требуемую функцию Ъ G F® · Положим
Г а, если д(1)>0
v ' \ -а, если g(t) < 0,
Очевидно, что при любом т Ε No и при всех t e [tm0^tms(rn)] имеем
I(g-b]tmo,t) = 0, авсилу(2.11)
\1(д - b;tmo,t)\ < 3acp(m + 2) Vie [tmo,t(m+i)0]iVm € N0. (2.13)
Рассмотрим ряд
+оо
]£/(*-Μ*0ι*(*+ΐ)0)' (2·14)
который в силу (2.13) и условия (2.5) является абсолютно
сходящимся. Из монотонности интеграла I(g - 6;imo,i) на промежутке
[*m0i*(m+i)o) (Функции д и Ъ совпадают на [im0,*ma(m)) и постоянны на
[*me(m),*(m+i)0)) получаем
т-1
min{0,7(g - 6; im,(m); i(m+i)0)} < /(# - Ь; 0, ί) - JZ 7^ ~~Ь; **°»*(*+ι)0) ^
*=0
< тах{0,/(# - Мтв(т),*(т+1)о)} V* G [*mo»*(m+l)o)· (2Л5)
Из (2.13) и свойств функции φ следует, что интеграл I(g — 6;0, t) cxo-
Ч-оо
дится к сумме ряда £ I(g-b;tko,t{k+i)o), причем для t e [fmoit(m+i)o)>
учитывая (2.13) и (2.5), имеем
|/(<7 - М,+оо)| = \1(д - 6; 0,+оо) - 1(д - 6;0,ί)| =
Ч-оо
к=0
Ч-оо
к=т
Ч-оо
<
Ч-оо
< J2\I(g-b;tko,t{k+1)o)\ + \I(g-b;tmo,t)\<
к=т
<^2 3αφ(£ + 2) + Заср(т + 2) < Зо(М0 + 1)<р(т + 2) < За(М0 + 1)φ(ί).
В силу (2.7) /(/ - д; 0, ί) -► О при t -¥ +оо, поэтому
|/(/ ~ Ь; t, +оо)| = |/(/ - #; ί, +оо) + 1{д - 6; ί, +οο)| =
40

= I - /(/ - 05 0,01 + \П9 - Ь-1, +oo)| < Μιφ(ί) + 3α(Μ0 + l)cp(f) = Μφ(ί).
Таким образом, функция (2.12) является искомой. ■
Теорема 2.\. Для любого а > О, для любой функции φ е #,
φ(ί) < cexp(-pi), β > 2α, Ο О, (2.16)
для любой последовательности (tn) 6 7^ среди систем
асимптотически эквивалентных системе (2.1) существует система (2.2),
кусочно-постоянные коэффициенты которой принимают только
два значения а, -а и терпят разрывы разве лишь в точках
последовательности (fn).
Доказательство. Из леммы 2.2 следует, что для каждой
функции aij б #α существует такая кусочно-постоянная функция bij б #£\
что \I{aij — ftijjf, +oo)| < Μφ(ί). Поэтому для некоторого
положительного со и всех £ 6 Jo будет выполнено неравенство ||/(А — #;£, +оо)|| <
< Ο)φ(ί), которое в силу (2.16) и теоремы 1.9 и обеспечивает
асимптотическую эквивалентность систем (2.1) и (2.2). ■
Замечание 2.1. Из рассуждений, приведенных при доказательстве
леммы 2.2, следует способ построения асимптотически эквивалентной
D -системы за конечное число шагов на каждом ограниченном
промежутке из J0. Действительно, поскольку последовательность (tn) такова, что
tn t +оо при η -» +оо, то каждому промежутку [т,т + 1), те No,
принадлежит лишь конечное число точек последовательности (ίη), а
поэтому построение D -системы на таком промежутке происходит за
конечное число шагов.
Замечание 2.2. Легко видеть, что если в качестве функции φ
использовать функцию ехр(—fln(f + 1)), то одна и та же последовательность
из Τφ может быть использована в качестве последовательности
возможных точек разрыва коэффициентов при построении асимптотически
эквивалентных D -систем для всех систем (1.1) G SL Действительно, для
любого β > 0 существует такое ср > О, что φ(ί) < cpexp(-pi) при всех
+оо
ί 6 Jo и ]Г cp(fc) < 2exp(-mln(m + 1)) = 2cp(m) при всех т G No,
что обеспечивает выполнение условий теоремы 2.1.
2.2. De— системы
Длины промежутков постоянства коэффициентов, рассмотренных в
предыдущем параграфе D -систем, вообще говоря, стремились к нулю на
41

бесконечности. В этом параграфе мы рассмотрим специальный класс
систем с кусочно-постоянными коэффициентами, у которых длины
промежутков постоянства отделены от нуля некоторым положительным числом.
Системы (2.1), (2.2) будем называть треугольными, если элементы их
матриц коэффициентов удовлетворяют равенствам α^·(<) = 0, bij(t) = О
при всех t 6 J для всех г > j.
Определение 2.1. Систему (2.2) назовем треугольной Ό
ι-системой, если последовательность (fn) возможных точек разрыва
ее матрицы коэффициентов является арифметической
прогрессией tn = t0 + п£, η e No, с некоторой положительной разностью
прогрессии ί, а коэффициенты 6^, г < j принимают только два
значения.
Обозначим через T®t таких кусочно-постоянных функций из Т%, у
которых возможными точками разрыва являются лишь точки
арифметической прогрессии tn = t0 + nt, η € No, £ > 0; T^t{T) — сужение
функций из T®t на промежуток Τ С J.
Покажем, что любая система (2.1) из множества 21а может быть
приведена к некоторой треугольной Di —системе (2.2). Докажем
предварительно несколько вспомогательных утверждений.
Лемма 2.3. Для любых чисел а > 0, £ е [0, (4а)"1 In 2] имеют
место неравенства
αϊ < 0,5(е2а/ - 1) < 1 - e~2at - 0,25а£ < 2а£. (2.17)
До к а за тел ьс τ в о. Обозначим 4 = (4а)""1 In 2. Последовательно
докажем каждое из неравенств (2.17).
1. Пусть /ι(ί) = 0,5(е2а/ - 1) - αι. Поскольку f[(£) = ae2al - а > 0
при всех ί € [0,4] и /г(0) = 0, то fi(£) > 0 при всех ί G [0,4], что и
требовалось доказать.
2. Пусть f2(£) = 1-β-2α'-0,25α£-0,5(β2α/-1). Поскольку /£'(/) =
= —4а2е~2а/ — 2a2e2al < 0 при всех £ е [0,4], то функция /2 выпукла
на [0,4], и так как /2(0)=0, /2(4) = Ι,δ-^-ίΙβ)-1 In 2 > 0,04 > 0,
то f2{£) > 0 при всех £ е [0,4].
3. Пусть f3(£) = 2а£ - (1 - β~2αί - 0,25α£). Поскольку fi(i) = 2а-
-2ае~2а£ + 0,25а > 0 при всех £ е [0,4] и /3(0) = 0, то fx(£) > 0 при
всех £е [0,4]. ■
Лемма 2.4. Для любых чисел а > 0, £ > 0, β G [0,2α], f* = ίο + k£,
k € N0, любой функции f e Ta существует такая функция g e
G ^"i/([ijk,+oo)), что для любого f > f * выполняются неравенства
(β-2α)*</(/-$;**,*)< β* (2.18)
42

9(t) = {
Доказательство. Требуемую функцию д построим
последовательно на промежутках длины ί. Для t б [έ*,*Α:+ι) положим
а, если (β - a)i < /(/; tk, tk+i) < αί,
( -а, если -αϊ < /(/; tk, tk+1) < (β - α)/.
Очевидно, что для tk+\ неравенства (2.18) будут выполнены. Индукцией
по η покажем, что (2.18) выполнены для любого ί*+η, η 6 No-
Действительно, если на [tk,tk+m) уже построена такая функция д, что (2.18)
выполнены для всех t = έ*+η, η = 0, ...,m, то на [tk+m,tk+m+i)
положим
α,если (β - a)t < I(f - g;tk,tk+m) + /(/;tk+m,**+m+i) <
< (β + a)t,
-α, если (β-3α)^< /(/ - g;tk,tk+m) + 7(/;f*+m,f*+m+i) <
< (β - a)L
9(t) = <
Легко видеть, что неравенства (2.18) будут выполнены для t = f*+m+i,
а, следовательно, и для всех t = f*+n, η 6 No-
Выполнение неравенств (2.18) для любого t € [tk+n,tk+n+i), n 6 No,
следует из монотонности по t на этом промежутке интеграла I(f—g;tkjt),
поскольку подынтегральная функция на каждом таком промежутке
является знакопостоянной. ■
Лемма 2.5. Для любых чисел а > О, ί G (0, (4α)"1 In 2], tn = £0+
+ п£, η е No, r G No, γ, |γ| < 0,5(e2a' - 1), любой функции f е Та
существует такая функция д е .^([έο,ίη)), что неравенство
|γ + e2arlI(f - д; f, tn) \ < e2arl(l - 0,25αί - e~2ai) (2.19)
выполняется для любого t e [to,tn].
Доказательство. При t = tn требуемое неравенство следует
из (2.17), поскольку |γ| < 0,b(e2at - 1). Построение требуемой функции
на всем промежутке [t0,tn) проводится так же, как при доказательстве
предыдущей леммы, но строится она последовательно, начиная с крайнего
правого промежутка [£п-ь*п), полагая (при каждом т = η — Ι,.,.,Ο )для
( α, если 0 < ye~2ari + I(f - g; tm+i, tn) + /(/; im, im+i) < ω,
9(t) = {
[-a, если -ω<γβ 2ari + I{f-g;tm^utn) + I(f]tm,tm^i) <0,
где ω = 1 - e~2al + 0,Ibal.
43

Справедливость (2.19) при t = im, m = η - 1, ...,0, следует из
неравенств (2.17), а выполнение (2.19) при всех t e [to,tn] следует из
монотонности по t на промежутках [im,£m+i) интеграла /(/ — <7;Mm+i)· Ч
Лемма 2.6. Для любых чисел а > 0, £ 6 (0, (4а)"1 In 2], любых
функций д\,д2€ Tat<> f е «^«? а = 0> 5а2^, существует такая
функция д G -Т7^, что функция
F{t) = E(g} - 92'М,1)1{и ^ 9)Е{д2- 9и^и\МЛ) (2.20)
удовлетворяет при всех t e J неравенству
\F(t)\ <Ш. (2.21)
Доказательство. Рассмотрим две произвольные функции
9\,92 € ^S(«J)· Заметим, что на интервалах (tk,tk+i) * h = to + Η,
fc G Ν0, разность gi(t) - g2(t) имеет фиксированный знак.
Промежутки, содержащие только интервалы, на которых gi(t) - g2(t) = —2а или
0ι(ί)~.92(Ο = 0 назовем промежутками первого типа, а содержащие
только интервалы, на которых £ι(£) - g2(t) = 2а — второго. Эти промежутки,
вообще говоря, чередуются.
Рассмотрим интервал (ξ, ту), где ξ 6 J, а ?/ 6 J, 7/ — £ > ^, или ^ —
символ +оо. Будем говорить, что в точке ξ выполнено:
Условие Л, если
/((/ -g)E{g2 -gi\to,u);t0,0 = yE{g2 -tfiifoiO»
где |γ| < 0,5(е2а'- 1);
Условие Б, если
|/((/-^^2-ί7ι;ίο^);ίο,0 + /(/^(92-9ι;<ο^);ξ,7/)| <
<2aI(E(g2-gi;to,u)\&t + t).
Существование требуемой функции д докажем последовательным
построением ее на промежутках первого и второго типов по следующей
схеме:
I. В случае если (£, η) является промежутком первого типа, а
следующий за ним промежуток (?7, С) —промежуток второго типа, то,
предполагая, что в точке ξ выполнено условие А, строим требуемую функцию д на
(ξ, η) так, чтобы в точке η было выполнено условие Б.
И. В случае если (£, η) является промежутком второго типа, а
следующий за ним промежуток (г/, ζ) — промежуток первого типа, то,
предполагая, что в точке ξ выполнено условие Б, строим требуемую функцию д на
(ξ, 7/) так, чтобы в точке η было выполнено условие А.
44

III. Установим, что если точка ίο является началом промежутка
первого типа, то в ней выполнено условие А, а если точка ίο является началом
промежутка второго типа, то в ней выполнено условие Б.
Таким образом, мы последовательно построим требуемую функцию д
на всей полуоси J так, что на левых концах всех промежутков первого
типа будет выполнено условие А, а на левых концах всех промежутков
второго типа — условие Б.
I. Обозначим «S(£, η) = {0,1,..., (η - ξ)/ί - 1}, если ξ и η ( η > ξ ) -
члены последовательности (ί*), ί* = ί0 + kt, к е Ν0, и 5(ξ,τ/) = Ν0,
если η — символ +оо.
Пусть (sq,Si) является промежутком первого типа, где sq = ίο + ηο^,
гсо 6 No , a s\ или число, и тогда s\ = ίο + n\i, п\ G Ν, π\ > по, или
s\ — символ +оо. Так как (so,si) — промежуток первого типа, то на
нем функции gi(t) и g2{t) определены таким образом, что на каждом из
интервалов (s0 + it,s0 + it + t), г е S(s0,si), выполнено неравенство
92{t)-gi(t)>0.
Предположим, что на промежутке [ίο,^ο) уже построена требуемая
функция g{t) £ -^i/CfabSo)), причем так, что в точке s0 выполняется
условие А, т. е.
/((/ - д)Е{д2 - 01; ί0,и); i0, s0) = уЕ(д2 - gi; ί0, s0). (2.22)
Тогда для ί > so имеем
F(t) = уЕ(дг - g2;sQ, t) + Е(дг - g2; s0, i)/((/ - g)E(g2 - gx; s0,u); s0, t).
В силу неотрицательности разности g*2(t) — gi(t) на (sq,si)
положительная функция Е(д2 —gi;so, t) возрастает на этом интервале. Поэтому,
применяя к интегралу во втором слагаемом теорему о среднем [147, с. 132],
получим
F(t) = уЕ{дг - д2, *0, t) + /(/ - д; М), s0<s<t. (2.23)
Рассмотрим два возможных случая: 1) Si = +оо и 2) s\ = ίο + n\t.
1.Если si = +оо , то строим функцию д на [$о,+оо) в соответствии
с леммой 2.4. Поскольку α = 0,5а21 < α, то Та С Та и тогда при всех
t > 5o, s > so, справедлива оценка:
\F(t)\ = \ΎΕ(9ι - g2;s0,t) + I(f - g;s0,t) - I(f - g;sQJ)\ <
< \yE(9l - g2;sQ,t)\ + \I{f - g;s0,t)\ + \I{f - g;s0J)\ <
< |γ| + 2at + 2at < 0,5(e2a/ - 1) + 4at.
Таким образом, учитывая (2.17), получаем \F(t)\ < 6at для всех ί > s0-
45

Следовательно, в этом случае требуемая функция д будет построена
на всем промежутке J.
2. Пусть s\ = ίο + η\ί и (si,s2) является промежутком второго типа,
где s2 или число, и тогда s2 = to + n2£, τι2 > п\, или s2 —символ +оо.
Так как (si,s2) —промежуток второго типа, то на нем разность g2(t) —
—gi(t) = —2α. Обозначим
I°(si, s2) = I((f - g)E(g2 - 0i; i0, ^); <o, $i) + I{fE(g2 - ffi; ίο, u);sus2).
(2.24)
Пусть Im(si) = I(E(g2-gi;t0,u);si+m£,si+m£+£), meS(sus2). Тогда
/m(si) =^(g2 -gi;t0,si)I(E(g2 -0γ,*ι,μ);*ι + m£,$i +m£ + ^) =
= E(g2 -^i;*o,«i)/(e""2e(tt"ei);«i + m*,*i +m^ + £) =
= ^(ft -Pi;*o^i)e-2eml (1 -e"2a/) ,m e S(*b*2). (2.25)
Построим требуемую функцию # на (so,s\) так, чтобы в точке s\ было
выполнено условие Б, т. е.
ΐΛ*ΐι*2)|<2α/ο(*ι). (2.26)
По предположению, для уже построенной на [ίο,^ο) функции д
выполнено условие (2.22), поэтому (как бы ни была определена функция
д 6 Τ^ι на [s0,8i) ) имеем
p(si) = I({f-g)E(g2-gi;to,u)\to,so) + I((f-g)E(g2-gi;tQ,u);s0,si) =
= Е(д2 - дх, ί0, s0) (γ + /((/- g)E{g2 - gi;s0,u);s0,si)).
Применяя теорему о среднем [147, с. 132 ] (функция Е(д2 — gi;so,u)
возрастает на (so,s\) ), получим
p(s1) = E(g2 - gi;t0,s0) (γ + E(g2-g1;s0,s1)I(f-g;i,s1)) , s0<i < sx.
Пусть г — число промежутков длины I из [s0,£i), на которых
разность g2(t) - gi(t) = 2a. Тогда Е(д2 - gi;s0,si) = e2art, r e N0. Из
леммы 2.5 следует, что существует такая функция д е FJ?i{[sq, $ι)), что
\r + E{g2-gi\8o,81)I(f-g;i,81)\ < ^2-fli;50,si)(l-e-2^-0,25a^.
В силу (2.25) имеем
|p(*i)| < E(g2 -gi;to,80)E(g2 -£ι;*ο,*ι)(1 - e~2at -0,25а£) =
= 2α/0(βι) -0,25a£E(g2 - <?ι;ί0,*ι). (2.27)
46

С другой стороны,
q(si,s2) = I{fE(g2 -gi;to,u);si,s2) =
= Е(д2 - gi;t0,si)I{fE{g2 - gi\si,u);si,s2),
и так как / е Та, α = 0,5о2i, то
\я(*и*г)\ < olE{92 -^;<o,si)/(e-2o(u-eibsbS2) <
< 0LE(g2-9l;t0,sl)^ }- < 0,2baiE{g2 - <?i;*o,si)· (2.28)
la
Поскольку J°(so,si) = p(si) + q(s0,si), то из (2.27) и (2.28) следует
неравенство (2.26). Таким образом, на промежутке [so, si) можно
построить такую функцию д € Tj?t, что в точке si будет выполнено условие Б.
Кроме того, для любого t e [so,*i] в силу (2.22) и способа построения
функции д имеем
\F(t)\ = Е(91 - g2;t0,t)\I((f - д)Е(д2 - gi;to,u);t0,t)\ =
= Е{дх - g2;t0,t)\I((f - д)Е(д2 - gi;t0,u);to,s0)+
+ H(f -9)Е(92 - 0ι5 *o,«); «о, 01 = Ei9\ ~ 025<ο,Ο \yE(g2 -gi;t0,s0)+
+E(g2 - gi;t0,s0)I((f - g)E(g2 - gv,so,u);s0,t)\ =
= E(gl-g2;s0,t)\y + E(g2 - gi;s0,t)I(f - g;i,t)\ < \уЕ(дх -g2;s0,t)+
+/(/ - g; t, t)\ = \ΎΕ(91 - g2; s0, t) + {ye~2art + /(/ - g; t, Sl)) -
-(ye-^e + I(f-g;t,Sl))\.
Поэтому из (2.19) и (2.17) следует, что при всех t e [so,si] выполняется
неравенство \F(t)\ < |γ| + 2(1 - 0,25α^ - e~2at) < Ш.
II. Рассмотрим теперь построение требуемой функции д 6 T^t на
промежутке [si,S2)? который является промежутком второго типа. При
этом предполагаем, что в точке s\ выполнено условие Б, т. е. имеет
место неравенство (2.26). Как и ранее считаем, что s2 ~~ или число, и тогда
S2 = ίο + τι2£ > ίο + ri\i = si, щ e No, n2 G N, или s2 = +oo.
Обозначим для m G S(s\, s2)
Im+l{sus2) = Im(sus2) - I(gE(g2-gi;t0,u);8l+miJ8i+me + i)J
где /°(si, s2) определено по формуле (2.24).
Если
|/m(^i^2)|<2a/m(5l) Vm€S(«i,4 (2.29)
47

то функцию д будем строить на промежутках [s\ + т£, s\ + т£ + £),
последовательно для каждого т G S(s\,s2) по формулам
Г а, если 0 < Im(sus2) < 2alrn(sl),
g(t) = \ (2.30)
[ -а, если - 2a/m(si) < Im(si,s2) < 0.
Так как (2.29) по предположению выполнено при т = 0 (условие Б в
точке si), то функция д будет корректно определена на [si,s\ + £). Для
последующего корректного построения функции д, индукцией по т
докажем, что (2.29) выполнено для всех т е S(s\,s2). Действительно, из
(2.30) следует, что
I(gE(g2 - gi;t0,u)',si + m£,si + т£ + £) =
( alm(si), если 0 < Im(sus2) < 2alm(s1),
= < (2.31)
( -alm(si), если -2a/m($i) < Im(sus2) < 0.
Поэтому если (2.29) выполнено для т = то, то
\1то+1(*1,*2)\ = \1то(*1,*2)-
-1{дЕ(д2 -0i;*o,m);si + m0^,si + то£ + £)\ <a/mo(si). (2.32)
В силу (2.25), так как £ < (4a)"1 In2, для всех m0 + 1 € S(si,s2) \ {0}
имеем /mo+i(si) = e~2at ImQ(si) > 0,5Jmo(s), откуда и следует
выполнение (2.29) при т = то + 1. Следовательно, (2.29) выполнено для всех
га е S{si,s2).
Итак, функция д корректно определяется формулами (2.30)
последовательно на всех промежутках [si + т£, si -I- т£ + £), т е S(s\, s2). При
этом для любого т 6 S(s\, S2) и всех t e [s\ + т£, s\ +m£ + £] имеем
φ(ί) = /((/ - g)E(g2 - gi; t0, u); t0, t) =
=!{{f-9)E(92-gi; ίο, w); i0, «i +m£)+I({f-g)E(g2-gi; ί0, u); «i +m£, t)=
= Im(si,s2) - I(fE(g2 -gi,t0,и);t,s2) - I(gE(g2 - gi,t0,u);si + mi, t).
Оценим два последних слагаемых:
\I(f(u)E(g2 -gi;t0,u);t,s2)\ <
<aI(E(g2 -gi;t0,u);t,s2) <<xI(E(g2 - gi;t0,u);si + m£,s2) =
= <*Е(д2 - pi;ίο,«ι + m£)I(E(g2 - gi,si+ m£,u);si -I- m£,s2) =
(l — e-2a(«2-*i-mm a£
= OLE(g2-gi;t0,si+m£) - < —E{g2-gi;t0,sl+m£),
la 4
48

\I(gE(g2 -gi;t0,u);si + m£,t)\ < aI(E(g2 -£ι;ίο,ω);«ι + m£,t) <
< aI(E(g2 - gi;t0,u);si +m£,si + m£ + £) = alm(si)·
Поэтому в силу (2.29), (2.25) и (2.17) получим
|φ(ί)1 <3aIm(Si) +0,25aiE(g2 - gi;t0,si +τηί) <
< (1,5(1 -e~2at) +0,25αή E{g2 - gx-t0,Sl + m£) <
< (1,5 · 2,25a£ + 0,2bat) E(g2-gx; t0,Si +m£) < 4a£E(g2-gi;tQ,si +m£).
Поэтому неравенство
|F(i)| = \E(gi-g2;t0,%(*)| < 4aiE(g1-g2;to,t)E(g2-g1;t0,s1+m£) =
= 4a£E(9l - g2; si + m£, t) < 4a£e2at < 6a£
выполняется для всех t 6 [si + m£, si+mi+£), при любом т € S(si,S2),
и, значит, при всех t e [s\, s2].
Следовательно, если s2 = +оо, то требуемая функция д будет
построена на всем J. Если же s2 = п2£, то, в силу (2.32) и (2.25) при
т = mo = maxS(si,s2) имеем
\I({f - д)Е(д2 - 9l;to,u);t0,s2)\ = \lmo+1(sus2)\ < aImo(Sl) =
= 0,5Ε(92-9ι·,ίο,82-£)(1-β-2αί)=0,5Ε(92-9ι,ίο,82)€2αί(1-ε-2αί).
Таким образом,
*((/(«) ~ 9(и))Е{92 -9i;to,u);to,s2) = yE{g2 - gi;t0,s2),
где |γ| < 0,5(e2ai — 1), т.е. требуемая функция д построена на [si,s2)
так, что в точке s2 выполнено условие А.
III. Осталось проверить выполнение условий А и Б в точке ίο·
Если (to,*?) — промежуток первого типа, то очевидно выполнение
условия А в точке ί0· Если же (ίο, η) ~ промежуток второго типа, то так
как / £ ,Fa, из (2.17) следует
\ΐ°(ί0,η)\ = \I(fE(g2 - gi;to,u);t0^)\ <(*1(Е(д2 - gi;t0,u);t0^) =
= — (l- е-2а^-1°А < — = 0,25α/ < (l - e~2al) =
2α V / - 2α ~ ν ;
= 2aI{E(g2 - gi;t0,и);t0,t0 + £) = 2al0{t0),
т. е. выполнение условия Б в точке ίο·
Таким образом, мы можем последовательно строить на J требуемую
функцию д € T®t поочередно на промежутках первого и второго типов. ■
49

Лемма 2.7. Если Χ, Υ — нормированные в точке to
фундаментальные матрицы треугольных систем (2.1), (2.2)
соответственно, С = diag{ci,... ,с„} — постоянная диагональная
невырожденная матрица, то элементы lij(t), i,j = l,...,n, i < j, матрицы
L(t) = X(t)CY~l(t) удовлетворяют соотношениям
hj(t) = аЕ(ац - Ь«;*ь,*)*«(0. (2-33)
где
Fu(t) = l Vie J, (2.34)
Fu+i(t) = Е(Ьц — bi+u+i;to,t)x
xll (ci+id'1 aii+iE(ai+ii+i - bi+u+i - an + bu',t0,u) - Ьц+ι) χ
xE(bi+u+i -bii;t0,u);t0,tj, (2.35)
Fijit) = Е(Ьц - Ь&и»г)х
x/ ( ( Σ ckCi~laikE{akk - bkk - an + bu;t0,u)Fkj(u)-
\ k=i+l
- Σ hjFiki^-bi^Eibjj-b^to^^toA, j>i + 2. (2.36)
Доказательство. Легко видеть, что
DL(t) = A(t)L(t) - L(t)B(t), L(t0) = C. (2.37)
Поэтому Dlu(t) = (o«(0 - Ьц(г))1ц(г), lu(t0) = q, откуда ln(t) =
= CiE(au(t) — bn(t);to,t). Следовательно, равенства (2.33), (2.34)
выполнены. Далее, DUj{t) = Σ, (aik(t)lkj(t)-hk(t)bkj(t)), hjito) = 0, V; > г.
k=i
Полагая lij(t) = СгЕ(ац — bu;to,t)Fij(t), получим
^»Л<)=^(а£Д«)-Ьй(*))Е(а^-^;<о,<)^(0+с^(а^-^г,<о,0^^(0·
Поэтому
DFij{t) = (Μί)-&ϋ(<))Ή;(0+ Σ а{к(1)Е(акк-Ькк-ац+Ьгг;г0,Ь)х
k=i+i Ci
i-i
xFkj(t)- Σ bkj(t)Fik(t)-bij(t), i^(io)=0, Vj>t.
k-i+l
50

Интегрируя полученную систему, последовательно находим функции
Fji+i, Fa+2, ..·, Fin, которые и удовлетворяют требуемым соотношениям
(2.35), (2.36). ■
Теорема 2.2. Любая линейная система (2.1) с
кусочно-непрерывными ограниченными коэффициентами асимптотически
эквивалентна треугольной Ό ι — системе с некоторым положительным
числом ί.
Доказательство. В силу теоремы Перрона о триангуляции
(см., например, [7, с. 263]) любая линейная система асимптотически
эквивалентна треугольной системе, причем из ограниченности коэффициентов
системы (2.1) следует ограниченность и коэффициентов треугольной
системы. Поэтому будем считать, что система (2.1) треугольная, а ее
коэффициенты принадлежат множеству Та- Рассмотрим треугольную систему
(2.2) и пусть L матрица перехода от (2.1) к (2.2), которую можно
представить в виде L(t) = X(t)CY~l(t), где X и Υ — нормированные в точке
ίο фундаментальные матрицы решений систем (2.1) и (2.2)
соответственно, а С = diag{ci,c2,...,cn} — диагональная постоянная невырожденная
матрица. Тогда элементы матрицы L имеют вид (2.33), указанный в лемме
2.7. Зафиксируем некоторое число £0} 0 < £q < (4α)"1 In2, и положим
£j = μη~40, μ = г"1, г е Ν, г > 50, j = 1, ...,η - 1. Заметим, что
при этом
^„C^..C-С^. (2.38)
Обозначим λ = 0,5a£ie~4ai° и положим с* = Хг_1с, г = 1,...,га. Легко
видеть, что λ < 1 и при любом с φ 0 матрица С будет невырожденной.
В силу леммы 2.4 для любых функций ац е Та, i = Ι,.,η,
существуют такие функции Ьц £ ^/0, что
|/(а« — Ь»;£о,01 < 2а/0 Vi 6 J, Vi = l,...,n, (2.39)
откуда следует
\1ггШ = \СгЕ(агг^Ьгг;10^)\<\с\е2а1° V t € J, Vt = l,...,Tl. (2.40)
Поскольку функции Fij+i в (2.35) имеют вид функций F леммы 2.6, и
в силу (2.40) для всех г — 1,..., η — 1 выполнены неравенства
\ci+icClan+iE{ai+ii+i - &i+n+i - ац + Ъц;г0,и)\ < \аеАа1° = 0,5а2£ь
то из леммы 2.6, с учетом (2.38), следует существование таких функций
6гг+1 ^^, ЧТО
\Fu+i(t)\<6aii Vie J, Vt = l,...,n-1. (2.41)
51

Индукцией по т покажем, что при всех г = 1,..,п — 1, и всех т =
= 1, ...,п - г существуют такие функции Ьц+т 6 T^t , что
\Fii+m(t)\<Qaim Vi6 J. (2.42)
Неравенство (2.42) выполнено для т = 1. Предположим, что уже
существуют такие функции Ьц+т G T®t , что неравенства (2.42) выполнены
для всех г = 1,..., η — 1, m = 1,..., m0, i + m < п. Рассмотрим функции
Fu+mo+i : в силу (2.34) имеем
|t+m0+l
У^ —aikE(akk - &** - о,ц + bii;to,u)Fki+mo+i(u)-
|/«+m0+l(w)| =
*=г+1 г
i+mo
Ci+m0+l Λ j^/
aii+mo + l^Vai+mo + lt+mo + l ""
- 5^ b«+mo + l-F<ik(w)
i+mo
Σ Oh
—a.ikE{a>kk - hk~
k=i+i Ci
t+mo
-a« + bti;*OiW)-F*t+m0 + l(w) - X] b«+m0 + l^iik(w)
Поэтому
|/i<+mo+i(«)| < ^T-ae4a/0 + Σ I ^rroeWo6a^+mo+1_fe+ 6a24-i 1 -
k=i+l \ /
Поскольку λ < 1, то
i+mo
|/ii+mo+1(u)| < λαβ4α/ο + ]Г (Хе4а/о6а2^то+1-Л +6a24-i) ,
fc=i+l
откуда
- t+mo -· mo
|/«+mo+i (u)| < 2α2^ι + Σ 6α2 (4+m0+i-* + 4-i) = -a2^+12a2 52 '*>
mo mo —1 oo η
Так как ίγ < 0,5imo+1 и £ £к = ето £ μ* < *т0 Σ Hfe = T^—tmo+u
k=i fc=o k=o L — μ
το для любого г > 50 и всех и € J выполнено неравенство
|/«+rao+i(и)| < (1/4 + 12/(г - 1)) a2^mo+1 < 0,5o2^mo+i.
52

Тогда из леммы 2.6 и равенств (2.36) следует существование таких функций
&«+mo+i из множества ^ 1? что |F«+mo+i(t)| < 6a£mo+i для всех
t e J. Следовательно, неравенство (2.42) выполнено при всех г = 1,..., п—1
и всех таких т, что г + т < п.
Таким образом, из неравенств (2.40) — (2.42) и соотношения (2.33)
следует ограниченность на промежутке J всех элементов lij(t)
рассматриваемой матрицы L преобразования χ = L(t)y. Кроме того,
поскольку detX(t) = E(SpA;t0,t), detY(t) = E(SpB;to,t), то из
неравенства (2.39) и невырожденности постоянной матрицы С следует, что
inf | det L(t)\ = inf \E (SpA — B; f0, t) det C\ > 0. Поэтому из ограни-
t^.j *£«/
ченности матрицы L следует ограниченности ее обратной матрицы L~l.
Ограниченность производной матрицы L следует из ограниченности
матриц коэффициентов систем (2.1) и (2.2), ограниченности матрицы L и
соотношения (2.37).
Таким образом, матрица L является матрицей Ляпунова, и,
следовательно, системы (2.1) и (2.2) асимптотически эквивалентны.
В силу включений (2.38) можно считать, что все построенные функции
bij, i,j = 1,...,п, г < j, принадлежат классу T^t . Поэтому
построенная система (2.2) является Di системой с I = 1\. ■
2.3. Асимптотические свойства систем с кусочно-
постоянными коэффициентами
Как было отмечено в [42] на асимптотические свойства систем с
кусочно-постоянными коэффициентами существенное влияние оказывают не
столько разрывность коэффициентом сколько распределение точек
разрыва. Следующие результаты показывают связь асимптотических свойств
таких систем с поведением последовательностей длин промежутков
постоянства их коэффициентов.
Рассмотрим треугольную Di -систему (2.43):
Dy = B{t)y, f € J, у G Kn, B(t) = (bijit)), (2.43)
где bij(t) = 0 для г > j, bij(t) е {-α,α} для г < j.
Очевидно, что след матрицы коэффициентов такой системы может
принимать лишь конечное число значений, множество которых обозначим
через {sk \ к = Ι,...,/f, 1 < К < η + 1}, причем будем считать, что
s\ < S2 < ... < sk- Положим Я* = {t G J | SpJ9(f) = s*}, к = Ι,..,/f.
Связные компоненты [148, с. 33] множества #*, занумерованные в есте-
53

ственном порядке (в порядке возрастания их левых концов £*), обозначим
#* и пусть /ι* = mes#*.
Теорема 2.3. Пусть существует такой индекс fc, 1 < к < К, что
множество {#*} — счетно, а соответствующая
последовательность (Л*) — неограничена. Dt-система (2ЛЗ) является
неприводимой, если выполнено, по крайней мере, одно из условий
k-i к
y^mesHi < +00, У^ mes#i < +оо. (2.44)
г=1 ί=Α:+1
Доказательство. Предположим, от противного, что D/ -система
(2.43) является приводимой. Тогда в силу необходимого условия
приводимости [ 13, с. 17] должно быть выполнено условие
/(SpB;t0,*) = <rt + /(*)i аеМ, |/(ί)| < Μ < +оо Vie J. (2.45)
Поэтому, с одной стороны, I(SpB; i0, έ* + h\) - I(SpB; to,t\) = α/ι* +
+/(i?+^)"/(ii), асдругой- I(SpB;to^+hf)^I(SpB;to^) = skh*.
Поэтому
sk=OL + (/(if + Л?) - /(*?))/Л? V · € N. (2.46)
Так как последовательность (/ι*) — неограничена, то из (2.45) и (2.46)
следует, что sk = a.
Если выполнено первое из условий (2.44), то существует такое число
N б N, что SpB(t) φ Sj при всех j = 1,..., fc-1 и всех t > N£.
Обозначим Lr(t) = mes(#r П [JV£, £)). Тогда для любого т> N имеем
I(SpB;N£,m£) = skLk(m£) + sk+lLk+l(m£) + ... + sKLK{m£). (2.47)
Так как sk = α, то из (2.45) следует I(SpB;N£,m£) = sk(m — N)£+
+f(m£) — f(N£), что в силу (2.47) влечет
f(m£) - f(N£) = (sk+1 - sk)Lk+1(m£) + ... + (**- sk)LK{m£). (2.48)
Из счетности {#*} следует, что, по крайней мере, одно из множеств
{#[}, г = fc + 1, ...,#, является бесконечным. Поэтому, так как h\ > £
при всех г и всех г, по крайней мере, одна из функций Lr(m£) в (2.48)
стремится к +оо при т —>· +оо, и, следовательно, правая часть (2.48) в
силу неравенств sr > sk при г > к стремится к +оо при т -» +оо, что
противоречит ограниченности на J функции /. Полученное
противоречие доказывает неприводимость Di -системы (2.43) при выполнении
первого из условий (2.44). Аналогично доказывается неприводимость (2.43) и
в случае выполнения второго из условий (2.44). ■
Непосредственно из равенства (2.46) получаем следующий результат.
54

Теорема 2.4. Если существуют такие различные индексы к\ и
fc2, что множества {Я*1} и {#f2} счетны, а соответствующие
последовательности (/if1) и (/if2) неограничены, то D> -система
(2.43) является неприводимой.
Пусть λβ(£) и μΒ(ί) —соответственно наибольшее и наименьшее
собственные числа матрицы коэффициентов Di -системы (2.43). Обозначим
V- ={t<EJ\ XB(t) = -α}, V+ = {t 6 J | μΒ(ί) = α},
и пусть 1^~, V^4" — занумерованные в естественном порядке связные
компоненты этих множеств, hj = mes V^", hf = mes V+.
Теорема 2.5. Если, по крайней мере, одно из множеств {V~} или
{V*} бесконечно, а соответствующая последовательность (h^)
или (hf) неограничена, то система (2.43) является неприводимой.
Доказательство. Поскольку условие t 6 V" (t 6 V+ )
равносильно условию SpB(t) = —па ( SpB(t) = πα), то, как и при
доказательстве теоремы 2.3, нетрудно показать, что предположение о
приводимости системы (2.43) противоречит ограниченности функции / в
необходимом условии (2.45) приводимости систем. ■
Пусть кусочно-непрерывная функция h такова, что
{а, если t e [<2i,*2t+i),
+°° (2 49)
-а, еСЛИ te [*2i+b*2t+2), U [<2i,*2i+2) = </.
i=0
Положим hf = £2i+i - t2i, ЛГ = *2t-h2 - *2ί+ι· Так как функция /ι
кусочно-постоянна, то точки ее непрерывности не могут являться
точками строгого экстремума функции t~lI(h]tojt). Поэтому нетрудно
проверить, что h = lim t~lI(h;to,t) = аЬУ, h = lim t~lI(h;to,t) = aL7,
где
Lt= m5?oo(S(fci"+ K) + hUij if>+ - hT) + hUi). (2-5°)
Очевидно, что для выполнения равенства h = h достаточно
существования и совпадения пределов L| и L^".
Для коэффициентов системы (2.43) введем в рассмотрение множества
И'+ = {t е J | bkk(t) = а} и W- = {t е J | bfcfc(i) = -α}, fc = l,...,n.
55

Как обычно, через W^, Wj^ обозначим занумерованные в естественном
порядке связные компоненты этих множеств и положим h^{ = mesW^,
^ki = mes^ki- Заметим, что для каждого фиксированного к или оба
множества {И^}, {И^~} конечны, или оба бесконечны.
Не нарушая общности, в дальнейшем считаем, что все функции &**
имеют вид функции h в (2.49).
Теорема 2.6. Если для каждого коэффициента 6**, к = 1,...,п,
Di -системы (2.43)множества W^, Wj^ бесконечны и существуют
конечные пределы
т
htm+l Σ hki
lim 7 ^2 r- = 0, (2.52)
Σ (ЛЬ + ли) Σ (ЛЬ + ли) + л+т+1))
i=0 \t=0 v V
.lim (^ + Ли)"1 (ЛЬ " h~ki) = β,, (2.53)
mo треугольная Di -система (2.43) будет правильной.
Доказательство. Покажем вначале, что из выполнения
(2.53) следует существование для функций bkk конечных пределов вида
(2.51). Действительно, так как система (2.43) является D/ -системой, то
для всех к = 1,...,п и всех г 6 No имеем h^ + h^ > 2£ > 0, откуда
оо
Σ (hki + Ό = +°°· Тогда из теоремы Штольца [149, с. 78] следует су-
ществование требуемого предела
т
Е(лЬ-л«) .+ _..
L- = Нт *=? = lim ^М—^М = β
t=0
С другой стороны, в силу (2.52) имеем
* m-too
т т \
Σ (ЛЬ-л,-) 2Л+га+1) ς л« ^
г=0 . ν ι=0
т т / т \
Σ (ЛЬ + л«) Σ (ЛЬ + л«) Σ (ЛЬ + Лй)+л+т+1)
^=0 i=0 \t=0 V V
m
Σ № - *й) + Λί(™+ι>
56
= lim *ш~. : = **.·
• ■ >

то есть для каждой функции bkk существуют и пределы вида (2.50),
совпадающие с соответствующими пределами (2.51). Поэтому по критерию
правильности треугольной системы [1, с. 39] треугольная Dt -система (2.43)
будет правильной. ■
Следствие 2.1. Если для каждой функции bkk, k = 1,...,га,
множества {Wfo}, {W^} бесконечны и существует конечный или бес-
конечный предел lim -*f = γ., то при выполнении условия (2.52)
i->oo hki
Dt -система (2A3) является правильной.
Доказательство. Если γ^ конечно,то
το есть поскольку ук > 0, будет существовать конечный предел (2.53).
Если же ук = +оо, то
(-.ООЛ++А- <-»»1 + Лй(А+)-'
то есть опять существует конечный предел (2.53). Правильность Dt
-системы (2.43) следует теперь из теоремы 2.6. ■
Из доказанного утверждения, в частности следует, что если для
функций bkk одна из последовательностей (Л^) или (hki) бесконечно
большая, а вторая ограничена, то Dt -система (2.43) будет правильной.
Замечание 2.3. Нетрудно показать, что если для некоторых из функций
bkk Dt -системы (2.43) число связных компонент множеств Wk , W^~
конечно, а для остальных диагональных коэффициентов выполнены
условия теоремы 2.6, то система (2.43) также будет правильной.
Отметим, что в приведенных результатах существенную роль играет
наличие у системы (2.1) неограниченной последовательности длин
промежутков постоянства коэффициентов. Наличие такой последовательности
во многих случаях позволяет эффективно исследовать асимптотические
свойства кусочно-постоянной системы (см., например, [60, 63, 65, 61, 62,
115]). В этой связи возникает вопрос о возможности построения для
любой системы асимптотически эквивалентной кусочно-постоянной системы
с бесконечно большой или, по крайней мере, неограниченной
последовательностью длин промежутков постоянства коэффициентов. Решение этой
задачи и содержится в следующем параграфе.
57

2.4. Аппроксимирующие функции и последовательности
Поскольку все возможные случаи структуры последовательностей
длин промежутков постоянства кусочно-постоянной системы (1.2)
реализуются уже для одномерных систем (п = 1), то будем в дальнейшем
рассматривать линейное уравнение
Dx = a(t)x, xeR, te J, (2.54)
с кусочно-непрерывной и ограниченной на J функцией а(£), такой, что
supfGJ |α(£)| < α и уравнение
Dy = b(t)y, уеШ, teJ, (2.55)
с кусочно-постоянной на J функцией Ь.
Кусочно-постоянную функцию 6, при которой уравнение (2.55)
является асимптотически эквивалентным уравнению (2.54), будем называть
аппроксимирующей функцией уравнения (2.54). Последовательность длин
промежутков постоянства аппроксимирующей функции (в дальнейшем мы
будем считать, что уравнение (2.54) — неприводимо [13, с. 6], что влечет
отличие аппроксимирующей функции от постоянной) будем называть
аппроксимирующей последовательностью.
Связные компоненты множества Ηω = {t G J \ b(t) = ω,ω G Ε},
занумерованные в порядке возрастания их левых концов, обозначим
через #£, и пусть /ι£ — длина Н„ . Из теоремы 2.2 следует, что в
качестве аппроксимирующей функции для уравнения (2.54) можно
использовать кусочно-постоянную функцию, принимающую только два значения.
Принципиально возможны следующие случаи.
I. Существуют уравнения (2.54), для которых аппроксимирующая
функция b может быть выбрана таким образом, что b(t) G {α, β} при всех
t e J (α, β G К), и хотя бы одна из последовательностей (/&*) или (fv^)
является неограниченной.
II. Существуют уравнения (2.54), для которых не существует
аппроксимирующей функции, принимающей только два значения и такой, что
аппроксимирующая последовательность является неограниченной.
Если не требовать, чтобы аппроксимирующая функция принимала
только два значения, то возможен еще и следующий случай.
III. Существуют уравнения (2.54), для которых не существует кусочно-
постоянной аппроксимирующей функции такой, что аппроксимирующая
последовательность является неограниченной.
Реализуемость первого из этих случаев очевидна. Вопрос о связи зна-
58

чений, принимаемых кусочно-постоянной аппроксимирующей функцией,
и видом последовательности длин промежутков ее постоянства подробно
исследован в нашей работе [120], к которой мы и отсылаем читателя.
Следующие утверждения показывают реализуемость и двух других
случаев.
Отметим предварительно тот факт, непосредственно следующий из
теоремы 1.1, что уравнения (2.54) и (2.55) асимптотически эквивалентны
тогда и только тогда, когда
\1(а - 6; ί0, t)\ < Μ < +оо V t e J. (2.56)
Теорема 2.7. Если функция а такова, что
( п~\ если t e [tn,tn+n2) (J [tn +3η2,ίη+ι),
a(t) = < (2.57)
[ -η"1, если t e [tn + n2,£n + 3n2),
где t\ = to, £n+i = tn + An2, η G N, то для уравнения (2.54) не
существует, каковы бы ни были числа α и β, α < β,
аппроксимирующей функции Ь, принимающей только значения α и β и такой,
что хотя бы одна из последовательностей (h„) или (hfy являлась
бы неограниченной.
Доказательство. Обозначим через 9Ла и 9Яр множества таких
значений α и β, α < β, что существует аппроксимирующая функция,
принимающая только два значения α и β (из леммы 2.4 в силу
ограниченности функции а следует, что множества 9Яа и ЯЛр не являются пустыми).
В силу (2.56) множество Ша не содержит положительных, а множество
9Яр — отрицательных чисел. Кроме того, так как для любых α < 0 и β > 0
существует такое Τ € J, что α < a(t) < β при всех t > Τ, то из
леммы 2.4 и условия (2.56) следует, что α G 9Ла, β £ 9Яр. Следовательно,
sup9Jla = 0 = inf 9Яр. Предположим, что существует аппроксимирующая
функция 6, b(t) е {γ,Ο} . Пусть γ < 0. С одной стороны, в силу (2.56)
существует такая постоянная К , что
\I(a-b;tut)\ <Κ Vi>ib (2.58)
а с другой стороны, неравенство \1(а — 6; in, tn + п2)\ > η выполнено при
всех натуральных п. Из полученного противоречия следует, что 0 £ ЯЛр .
Аналогично доказывается, что 0 ^ 9Яа .
Рассмотрим аппроксимирующую функцию 6, принимающую только
а, если te[zk,ok),
два значения a < 0, β > 0 и b(t) = {
59
где
β, если ί6[σ4,τΗΐ),

τι > t\j Ok > τ*, к € N. Предположим, что последовательность (пк)
является неограниченной. Поскольку функция Ь аппроксимирующая для
уравнения (2.54), то существует такое К, что будет выполнено
неравенство (2.58). С другой стороны, существует такое То , что при всех t > Т0
имеет место неравенство a(t) < 0,5β. Так как
1к = |/(α-Μι,τ*+ι)| = |/(α - Мь<**) + Да - β;σ*,τ*+ι)Ι >
> \1(а - β; ак, т4+1)| - К = (β - ak)h\ - К,
причем α*<0,5β при всех достаточно больших к, то /*>0,5β/ι;£—К, что
в силу неограниченности последовательности (Jvk) противоречит (2.58).
Из полученного противоречия следует, что последовательность (hk) не
может быть неограниченной.
Аналогично рассматривается предположение о неограниченности
последовательности {hi). Ш
Заметим, что если разрешить аппроксимирующей функции принимать
более двух значений, то для уравнения (2.54) с коэффициентом вида (2.57)
существует аппроксимирующая функция b, принимающая три значения,
например, -1, 0, 1, причем такая, что последовательность длин связных
компонент множества {t e I \ b(t) = 0} будет неограниченной. В связи с
этим естественным является вопрос о реализации случая 111. Решение этой
задачи содержит следующее утверждение.
Теорема 2.8. Существует такое уравнение (2.54) из множества
21о? для которого не существует кусочно-постоянной
аппроксимирующей функции, имеющей неограниченную последовательность
длин промежутков постоянства.
Доказательству теоремы предпошлем несколько вспомогательных
построений и утверждений.
Разобьем полуось J на промежутки [fn,fn+i), tn+i = tn + 2П_И,
η G No- Каждый из этих промежутков, в свою очередь, разобьем на
промежутки единичной длины [ίη + Mn + fc + l), 0 < к < 2п+1 -1. Положим
для t 6 [ίη_ι + fc, ίη_ι + к + 1), η е Ν, 0 < к < 2η - 1,
η
a{t) = J2*nki, (2.59)
где
.2/ , ,ч ,_2
anfet = <
( In {anki + 1) - In anki, если anki Φ Ο,
0, если anki = 0,
60
(2.60)

причем
anki = <
res(fc; 2i+2) - 2i+1, если res(fc; 2i+2) > 2i+1,
1 < i < η - 1,
2*+i _ l _ res(fc; 2i+2), если res(fc; 2i+2) < 2i+1,
1 <i<n- 1,
к, если г = η
(2.61)
(через res(fc;m) обозначен остаток отделения к на т ). Заметим, что
если число к, участвующее в определении функции а, записать в виде
Ar = £>j2', ε, €{0,1}, εη = 0,
(2.62)
то (2.61) примет вид
anki = <
2<+1-1-χ:ε,·2''=Σ(1-ε,·)2ί!
j=0 j=0
*,
если ε^-μι = 1,
1 <г <п- 1,
если εί+ι=0,
1<г <η- 1,
если i = п.
(2.63)
Лемма 2.8. Функция (2.59) ограничена на промежутке J
Доказательство. Зафиксируем некоторые η и А:. Рассмотрим
представление А: в виде (2.62). Обозначим
hk = {г\ 1 < г < η - 1, ε*+ι =0}, Ixk = {г | 1 < г < η - 1, ε^+ι = 1}.
Оба множества считаем упорядоченными по возрастанию входящих в них
номеров г. (Так как η и к фиксированы, то в дальнейшем будем писать
а; вместо anki ) Сравним числа а*0 и а^ , где г0 и г ι — два соседних
элемента множества I\k . Пусть г ι = г0 + т, т > 1. Тогда
гоЧ-пг to гоЧ-пг
о», - οίο = aio+m -aio= Σ eJ2J - Σεί2* = Σ eJ'2J·
j=0 j=0 j=i0 + l
Так как г0 и ti - соседние элементы множества /ц , то ε^0+ι = 1 и
61

tj = 0 при всех j , г'о + 2 < j < г'о + т. Следовательно,
ah - ai0 = 2i0+1. (2.64)
Аналогично, для двух соседних элементов j0 и ji множества /0* имеем:
ji=jo+m, m>l, ejo+i = eJO+m+i=0, £j = l Vj, j0+2 < j < jo+m.
Поэтому
jo+m jo jo+m
ah - ajo = aio+m - ajo = ]£ (1 - ε,)2' - ]Γ(1 - ε,)2* = ]Γ (1 - Zj2J,
j=0 j=0 j=Jo + l
откуда
αΛ-αΛ=2*+1. (2.65)
Пусть г0 — первый элемент множества I\k . Поскольку ej = 0 при
всех j , 2 < j < г0 , то в силу (2.63) имеем
го + 1
"nkio = Σ *j2j - 2i0"hl = 2ει + ε0
j=o
(при г0 = 1 выполнение этого равенства очевидно). Таким образом,
О < ankio < 3, (2.66)
О < oinkio < 2. (2.67)
Пусть jo ~ первый элемент множества /о* · Поскольку Zj = 1 при
всех j , 2 < j < jo , то в силу (2.63) имеем
jo
<*»**> = J> " ζ№ = 2(1 - ει) + (1 - ε0)
i=o
(при jo = 1 выполнение этого равенства очевидно). Таким образом,
О < ankjo < 3, (2.68)
О < oinkjo < 2. (2.69)
Рассмотрим теперь на выбранном промежутке [in_i + fc,i„_i + к + 1)
функцию (2.59): a(t) = апкп + £ <xnki + Σ anfei.
*€/ofc ie/ifc
Тогда
sp = Σ anfe< ~ Σ (ln2 (anfei + !) ~ 1д2 «nfe») =
62
ieipk <€/;„

= ]Г \п(1 + ап1{)\папкг(1 + апкг), ρ = 0,1,
(здесь суммирование проводится по множествам Цк и Цк , т.е. по
подмножествам множеств 10к и /χ* , для которых соответствующие значения
<*>nki Φ 0, ибо в противном случае апк% =0 в силу (2.60)). Кроме того,
равенство anki = 0 возможно в силу (2.64) и (2.65) лишь в случае, когда г —
первый элемент одного из множеств 10к или Д* . Пусть гт , т > 0 ,
элементы (упорядоченные по возрастанию) множества I\k и *о —его первый
элемент. Обозначим /[£ = {г е 1{к \ г < гт-\} , т > 1. Из(2.64)следует
Si= Σ ln(l + ar;)lnafm(l + afm)< ]Г 2a^ln(l+ aim) =
= Σ 2K> + Σ 2'+1)-4η(1 + αί0+ Σ 2J>1)·
В силу (2.66) и (2.67) имеем
5^ Σ (Σ2i)"4n(4+ Σ2i+1)+<w
»m#»0
Поэтому
Si< Σ (2im-ir1ln2i-1+2 + 2<2+ ^ tm2T^2ln2<
oo .. oo
<2 + 21n2^?+ln2^^<2 + 41n2.
i=l i=l
Аналогично, используя (2.65), (2.68) и (2.69), получим SO < 2 + 41η 2.
Так как αη*η = к, то
anfen = In2 (к + 1) - In2 к = ln(l + к'1) In (fc(fc + 1)) <
< к-1 In (к + Ι)2 = 2ΑΓ1 In (jfe + 1) < 2
при любом А:, к ψ 0. Если же fc = 0, то αη*η = 0.
Таким образом, для любого t (п и к были выбраны произвольно)
выполнено неравенство a(t) < 8 In 2 + 6. ■
Лемма 2.9. Для любых п, к, г таких, что η > 4, 0 < к <
< 2П~2 - 1, 1 < г < η - 3, имеют место следующие равенства
a„fcf=aniM, fci^fc + 2"-1, (2.70)
63

Otnfct = U-nk2ii k2 =2n — 1 — k,
<*nk2i = <*n*3t> k3 = k2 + 2n_ .
(2.71)
(2.72)
Доказательство. 1. Так как k\ = к -f 2n~l, то для 1 < г < η — 3
имеем res(fci;2i+2) = res(fc + 2n_1;2*+2) = res(fc;2i+2), откуда anki =
= o-nkii, и, следовательно, равенство (2.70) выполнено.
п-З
2. Так как 0 < к < 2п~2 — 1, то представив к в виде к = Σ Ej2J,
ε,- G{0,1}, получим Ar2 = 2n-1-l-fc = T£(l-Bj)2-'-f2n-2, ε, 6 {0,1}.
j=0
Тогда при п> 5 и 1 <i <n — 4 имеем
п-З п-З
res(fc2;2i+2) = res(2n-2 + £(1 - ε,·)2^;2<+2) = res(^(l - ε,)2';2ί+2).
Поэтому
O-nkni = \
Σ(1-ε,)2'-2ί+1, если res(fc2;2i+2) > 2i+2,
i=o
2i+1 - 1 - Ε (1 - £j)2·' если res(fc2; 2i+2) < 2i+2
3=0
/ X
— <
Σ (1 - £j)2J, если 1 - ε<+ι = 1, т. е. εί+ι = 0,
i=o
i
Ε ej2j, если 1 - εί+ι = 0, т.е. ε»+ι = 1.
i=o
Непосредственно из (2.63) следует, что а„;.2» = anki, и, следовательно,
равенство (2.71) выполнено. Осталось рассмотреть случай, когда η > 4 и
г = η — 3. В этом случае имеем
res(fc2; 2n_1)= res(2n_1 - 1 - к; 2n_1) =
n-3 n-3
= res(2n~2 + 5^(1 - ε,·)2'; 2"-1) = 2n~2 + ^ί1 " Sj)2'·
j=0
j=0
n-3
Поэтому anfc2(n_3) = Ε (1 — £j)2j · С другой стороны, res(fc; 2n_1) =
n-3 n-3 n-3
= Σ Ч23 , и, следовательно, αη^η_3)=2η_2-1- £ ε7·2' = Σ {\-Zj)2j.
j=0 j=0 j=0
64

Таким образом, для всех η > 4 и 1 < t < η - 3 равенство (2.71)
выполнено.
3. Доказательство равенства (2.72) аналогично доказательству
равенства (2.70). ■
Обозначим
f(t) = I{a;t0,t), teJ. (2.73)
g(t) = I(b;t0,t), teJ. (2.74)
Если Ь — аппроксимирующая функция для уравнения (2.54), то из
леммы 1.1 следует существование такого положительного числа Мь , что
\f(t)-9(t)\<Mb Vie J. (2.75)
Лемма 2.10. Если аппроксимирующая функция b такова, что
b(t) = β для всех t € [Τι,Τ2[, t0 < Τχ < Τ2, β е К, то
f(T2) - /(Γ0 _
Τ2-Γ,
< ^· (2.76)
Доказательство. Из (2.75) следуют неравенства
-Мь < 9(Ά) - /(Τχ) < Mb, -Mb < f(T2) - g^) - β(Γ2 - Τλ) < Mb.
Складывая эти неравенства, получим неравенство
-2Mb < f(T2) - ΗΆ) - β(Τ2 - 7ι) < 2Мь,
из которого и следует требуемое неравенство (2.76). ■
В дополнение к прежним обозначениям положим
Д(ТьТ2,х) = № -Их)- /№) - /(Т^ ~ ^Γΐ)τ, (2.77)
5(ТьТ2,х) = /(Τι + χ) - 9(Ά + χ), (2.78)
гдехе^Тг-Г!].
Лемма 2.11. Если выполнены условия леммы 2.10, то
ограниченность функции δ(Τι,Τ2,χ) равносильна ограниченности функции
Δ(Τι, Τ2, χ), в том смысле, что существуют такие не зависящие от
χ постоянные т\ и т2, что
\А(Т1,Т2,т)\+т1<\Ъ(ТиТ2,х)\<\А(Т1,Т2,х)\+т2 (2.79)
для всех х, хе [0,Т2 -Τι].
Доказательство. Положим κ = (/(Т2) - /(Т!))/(Т2 - Τι).
Тогда
|5(ТьТ2,х)| = |/(Τχ + х) -giT,) - βχ| =
65

= |/(ΤΊ + τ) - g(Ti) - βτ - κτ + κτ + /(ϊ\) - /(7\)| <
< |/№ + τ) - /(7\) - κτ| + |χ - β|τ + |/(Γι) - *(Τι)|.
В силу (2.75), (2.76), (2.77) имеем
|δ(Τ1,Τ2,τ)|<|Δ(Τ1,Τ2,τ)| + -^Γ + Μί>< |Д(ТьТ2,т)|+ЗМь. (2.80)
С другой стороны,
|5(ТьТ2,х)| = |/(2\ +τ) -9(Ά) -βτ| =
= l/m + τ) - /(Γι) - κτ + (κ - β)τ + /(Ά) - 9{ΤΧ)\ >
> |/(Γι + τ) - /№) - κτ| - |κ - β|τ - |/(Τχ) - д{Тг)\.
Вновь используя (2.75), (2.76), получим
|5(ТЬТ2Л)|>|Д(ТЬТ2^ (2.81)
Утверждение леммы следует теперь из (2.80) и (2.81). ■
Поскольку функция а, построенная по формуле (2.59), является
кусочно-постоянной, то для любых m,neN,l<m<2n, выполнено
равенство
тп—1 η
/(t„-i+m)-/(tn_i)= ΣΣα^· (2·82>
fc=0 t=l
Лемма 2.12. Для любого η, η > 4, имеет место соотношение
Δ(ίη_!,ίη,2η-2) = -Δ(ίη_1?ίη,3·2η-2) =
= 0,5(1η2 2η + In2 2n_1) - 1η2(3 · 2η~2). (2.83)
Доказательство. Обозначим d = 2n~2. Из(2.77)следует
A{tn^,tn,d) = /(*n_i +d) - /(*„_!) - /(y~/(<n-l)d
Откуда, учитывая (2.82), получим
d—1 η - 4d—1 η
A(in_bfn,d) = ^^cxnb-^ Σ ^2^nki =
n-3 /d-1 4d-l \ η /d-1 4d-l
= Σ(Σα^-4Σα»*<ι+ Σ (Σα»**-4Σα»**ι·
г=1 \fc=0 k=0 / i=n-2 \k=0 k=0
66

4d-l d-1
В силу леммы 2.9 при всех г, 1 < г < η - 3, имеем ]Г oinki = 4 ]Г an*i,
fc=0 fc=0
поэтому
η /d-1 - 4d-l n \
A(in_bin,d)= ^ Σα^-ιΣΣα^ · (2·84>
4
i=n-2 \*=0 k=0 i=l
Аналогично,
3d-l η « 4d-l η
A(fn_bfn,3d) = ]P J^anikt -^Σ Σαη** =
k=0 i=l k=0 i=l
n-3 /3d-l 4d-l \ η /3d-l 4d-l \
= ΣΙ Σ α^" i Σα»**) + Σ ΙΣα»** " i Σα»**) ·
t=l \k=0 k=0 / i=n-2 \k=0 k=0 /
Вновь в силу леммы 2.9 при всех г, 1 < г < η — 3, имеем
3d-l d-1 4d-l d-1
5^ Oinki = 3 Σ *пк1 И Σ anJki = 4 Σ *пЫ'
Ae=0 Ae=0 Ae=0 Ae=0
поэтому
η /3d-l ~ 4d-l \
A(in_bin,3d) = 5Z ( Σ°^«"4 Σαη«)· (285)
i=n-2 \k=0 k=0 /
При г = п имеем anki = к , поэтому
_ ί In2 (fc + 1) - In2 fc,
если fc ^ 0,
если A; = 0.
Следовательно,
d-1 d-1
Σ a»*» = Σ(1η2 (fc+*) -ln2 fc) = 1r2 d - 1r2 * = ln2 d> (2-86>
]£ an*n = ]£ (In2 (Jfe + 1) - In2 к) = In2 3d - In2 1 = In2 3d, (2.87)
k=0
3d-l
A:=0
4d-l
*=1
3d-l
= Σ
*=1
4d-l
Σ a„b = Σ (In2 (* + 1) - In2 fc) = In2 4d - In2 1 = In2 4d. (2.88)
Jk=0 fc=l
При г = п-1 и 0 <к < 2n-l=4d- 1 имеем res(fc; 2n+1) = fc.
Поскольку к < 2п , то из (2.61) следует, что onfe(n_i) = 2П - 1 - к. Поэтому
67

otn*(n-i) = In2 (2n - k) - ln2(2n - fc - 1) = In2 {Ad - k) - ln2(4d - A: - 1)
и an(4d-i)(n-i) = 0· Итак>
d-\ d-\
Σα»*(η-ΐ) =5Z(ln2(4d-fc)-ln2(4d-fc--l)) = ln24d-ln23d, (2.89)
k=Q
3d-l
*=0
3d-l
Σα»*(η-ΐ) = X;(ln2(4d-fc)-ln2(4d-fc-l)) = ln24d-ln2d, (2.90)
4d-l
*=0
4d-2
Σ an*(n-D = Σ (1r2 (4d -fc) - ln2<4d -fc - *)) =ln2 4d· <2·91)
При i = n-2H0<ik<2n-l=4d-l имеем res(fc; 2n) = fc.
Поэтому из (2.61) следует, что
( 2d - 1 - fc, если 0 < к < 2d - 2,
а>пк(п-2) = \ 0, если fc = 2d - 1, fc = 2d,
[ fc-2d, если 2d+l <fc<4d-l, d = 2n"2.
Следовательно,
rf-l d-1
Σ anfc(n~2) = Σ<1η2 (2d " fc) - ln2(2d -*-!)) = b2 2d - In2 d, (2.92)
3d-l 2d-2
Σ «nfe(n-2) = Σ (ln2 (2d - *) - ln2(2d -fc -!))+
fe=0 fe=0
3d-l
+ J! (ln2(fc + l-2d)-ln2(fc-2d)) =
k=2d+l
= In2 2d - In2 1 + In2 d - In2 1 = In2 2d + In2 d,
(2.93)
4d-l
2d-2
Σ cxnfc(n_2) = ^ (In2 (2d - *) - ln2(2d -k- 1))+
4d-l
+ ]^ (ln2(fc + l-2d)-ln2(fc-2d)) =
fc=2d+l
= In2 2d - In2 1 + In2 2d - In2 1 = 2 In2 2d.
(2.94)
68

Подставляя (2.86), (2.88), (2.89), (2.91), (2.92), (2.94) в (2.84), получим
A(in_b<n,d) = iln24d-ln23d+iln22d. (2.95)
Подставляя (2.87), (2.88), (2.90), (2.91), (2.93), (2.94) в (2.85), получим
A{tn-Utn,3d) = -iln24d + ln23d- iln22d. (2.96)
Сравнивая (2.95) с (2.96) при d = 2П~2 , получаем требуемое
соотношение (2.83). ■
Лемма 2.13. Имеют место следующие соотношения:
lim 5(in_bin,2"-2) = -oo, (2.97)
η—»·+οο
lim 5(<n_bin,3-2n-2) = +oo. (2.98)
η—»·4-οο
Доказательство. Обозначим d = 2η~"2 . В силу леммы 2.12 имеет
место соотношение (2.95), поэтому
Δ(ίη-ι,*п,<*) = ^(Ь2 Ad + In2 2d) - In2 Ы= \{\ъ2 4 + 21n41nd + In2 d+
+ ln2 2+21n21nd+ln2 d)-ln2 3-2 In 3 In d-In2 d = In din ?+^ In2 2-ln2 3.
Так как 8/9 < 1, то lndln(8/9) -> -oo при d -> +00. Значит, формула
(2.97) в силу леммы 2.12 имеет место. Воспользовавшись леммой 2.12 (см.
формулу (2.83)) и леммой 2.12, получаем, что соотношение (2.98) также
выполнено. ■
Замечание 2.4. Δ(ίη_ι,ίη,2П"2) <0 при всех η > 2.
Лемма 2.14. При любых фиксированных n, i,l<i<n-l,u
η
любом k, k = Σ Zj2j, Ej G {0,1}, ε„ = 0, £ £j Φ » + 1 > имеет
j=o j=o
место соотношение
f Onfc» - 1, если εέ+ι=0, /oqq\
( + ) 1 anki + l, если εί+ι = 1.
V
Доказательство. Пусть ε»+ι = 0. Тогда из (2.63) получаем
anki = J2{l-*i)V· (210°)
j=0
69

Так как £ ζά φ г + 1, то res(fc + 1; 2i+2) = res(fc; 2i+2) + 1 < 2ί+1, и
поэтому an{k+1)i = 2*1 - 1 - ( £, 42J + 1 J = Σ (1 " ej)2J " *· СРав~
\i=o / j=o
нивая полученный результат с (2.100), убеждаемся, что (2.99) выполнено
при εί+ι = 0.
Аналогично, если ε»+ι = 1, то в силу (2.63) будет выполнено равенство
г
dnki = Σ ej2i- С другой стороны, res(fc+l; 2i4-2) = res(fc; 2i+2)+l>2i+1.
j=o
Поэтому из (2.63) следует, что α^+χ)* = res(fc; 2i"h2) + l-2i"hl = αη*ί + 1.
Следовательно, соотношение (2.99) выполнено и в случае ει+ι = 1. ■
Замечание 2.5. В силу (2.61) при всех к , 0 < к < 2п - 1, выполнено
равенство an(/k+1)n = апкп + 1.
Лемма 2.15. Для любых фиксированных η и s, 2 < s < η, любом
г, 0 < г < 2п~8 - 1, любом к, т28 < к < (г + 1)2* - 2, соотношение
(2.99) выполнено при любых г, s - 1 <i <п- I.
Доказательство. Поскольку г28 < к < (г + 1)2* - 2, то 0 <
< res(fc; 2s) < 2s - 2 , поэтому из представления к в виде (2.62) следует,
s-l
что ^6j φ s. Значит, при всех t, β - 1 < i < η - 1, будет также
г
выполнено Σ sj Φ г + 1 · Последнее же соотношение в силу леммы 2.14
гарантирует выполнение (2.99). ■
Обозначим
r2e+m-l (г+1)2а-1
&nrsi{m) = 51 α"**~2* ΣΙ αη**' (2.101)
k=r2* k-r2a
где 2 < s < п, 0 < г < 2п~8 - 1, 1 < τη < 2s.
Лемма 2.16. При любых фиксированных n,s,r,2<s<n-l,
0 < г < 2п~8 - 1, г28 = ]£ ε, 2', ε7 G {0,1}, εη = 0, любом т,
j=0
1 < τη < 2*, ί/ любом г, таком, что s < i <n — 1 и an*i 7^ 0 яри всех
fc, r2s < k < (r + 1)2* - 1, имеют место неравенства
ΔηΓ8ί(τη) > 0, если ε;+ι = 1, (2.102)
&nrsi(m) < 0, если ε^+χ = 0. (2.103)
Доказательство. Фиксируем η, г , s . Обозначим fc0 = г28. (В
70

дальнейшем вместо Anr8i(m) будем писать Δ8ί(πι).) Очевидно, что при
т = 28 неравенства (2.102) и (2.103) выполнены. Поэтому в дальнейшем
считаем 1 < т < 2s - 1. Из условия и (2.101) следует, что
*о+т-1 к0+2л-1
Asi(m)= Σ (^2(anki+l)-\n2anki)-^ ]Г (^2(anki+l)-\n2 anki).
к=ко к=ко
(2.104)
Так как индекс суммирования к изменяется от г28 до (г + 1)2* — 1, то,
η
записав число к в виде к = ]Г Zjk2*, ε^/ь G {0,1}, εη* = 0, убеждаемся,
j=Q
что для всех г, s — 1 < г < η — 1, имеет место равенство
ε<+ι =ε(ί+1)*, (2.105)
причем для любого к такого, что r2s < к < (г + 1)2* - 2, выполняется
s-l г
Σ Sjk φ s, а поэтому Σ ejk Φ i + 1 ПРИ всех s < i < η — 1. Таким
j=0 j=0
образом, в силу леммы 2.15 получаем αη(^4.1)ί = апк{ — 1 при Z(i+\)k =0,
откуда (см. (2.105))
an(*o+m)t = апк0г ~ ™, если Si+1 = 0. (2.106)
Аналогично, αη(Λ+1)ί = anJki + 1 при ε^+ΐ)* = 1, откуда (см. (2.105))
an(/fc0+m)i = α»*ο* + m, если ε;+ι = 1. (2.107)
Из (2.104) и (2.106) получаем
Asi(m) = ln2(an*oi + 1) - \n2(ankoi -m + 1)-
-2-sm(\n2(ankoi + 1) - ln2(an*oi - 2s + 1)). (2.108)
Аналогично, из (2.104) и (2.107) получаем
Asi{m)=\n2(ankoi+m)-\n2 ankoi-^(\n2(ankoi+2^-\n2 ankoi). (2.109)
Рассмотрим функцию φ(χ) = 1η2(αη*0ί+:τ) .Если г таково, что εί+ι=1
г
и ankoi φ 0, то ankoi = 53 £j2J' > 2* > 4, поэтому при всех χ, 0<χ<25 ,
j=s
a7ik0i +x > е. Поскольку φ"(χ) = 2(1 - \n(ankoi + x))/(ankoi + χ)2 < 0
при всех х , 0 < χ < 2s , то функция φ выпукла вверх на отрезке [0,2s].
Следовательно, при всех т у 1 < т < 2s — 1, выполнено неравенство
ф(т) > φ(0) + 2-sm{y{2s) - φ(0)), откуда \n2(ankoi + т) > In2 ankoi+
+2-sm(\n2(ankoi + 2s) -ln2ankoi), поэтому из (2.109) следует (2.102).
Аналогично, если г таково, что ε*+ι = 0 и ап^ко+2а-\)г Φ 0, т.е.
71

an(feo+2a-i)i = ankoi - 2s + 1 > 0, то из (2.63) следует
г
ankoi - 2s + 1 = ]Г(1 - Zj)V - 2s + 1 =
3=0
= Σ2J' +Σ> - ei)2i - r +г = ί> - ε№ > °·
Поэтому onfc0j — 2* + 1 > 2s > 4 и тогда для всех χ, 0 < χ < 2s , имеем
«nfco» + 1 — ж > e. Поскольку для функции ф(х) = — 1η2(α„*0, + 1 — χ)
для всех χ , 0 < χ < 2" , выполнено неравенство
ф"(х) = 2(ln(onfeoi + 1 - χ) - l)/(ankoi + 1 - χ)2 > 0,
то на промежутке [0,2s] функция φ выпукла вниз. Следовательно, при
всех т, 1 < т < 2s — 1, выполнено неравенство ф(т) < ф(0)+
+2-8т{ф{28) - ^(0)), откуда -ln2(anfeoi + l - т) < -ln2(anfeoi + 1)+
+2~sm(- 1η2(οηΛοί + 1 - 2s) + ln2(onfcoi + 1)), поэтому из (2.108) следует
неравенство (2.103). ■
Замечание 2.6. Если г = п, 1 < г < 2n~s -1, то очевидно (см. (2.61)),
что оп(Ло+т)п = апкоП + т . Поэтому значение Anrsn(m) будет
вычисляться по формуле (2.109), т. е. Дпгвп(га) > 0 при всех т, 1 < т < 2s .
Рассмотрим функцию
о(х,у) = 41п2(х + у)-3\п2х-\п2{х + 4у), х>8у>0. (2.110)
Преобразуем ее:
<о(ж,у) = 41п2(ж(1+у/ж))-31п2я-1п2(ж(1+4у/а;)) =
= 4(1η2 χ + 2 \пх 1п(1 + у/х) + 1п2(1 + у/х)) - 31п2 х-
-(1η2 χ + 21nxln(l + 4у/х) + 1п2(1 + 4у/х)) =
= 21пж(41п(1 + у/х) - 1п(1 + 4у/х)) + 41п2(1 + у/х) - 1п2(1 + 4у/х).
На основании формулы Тейлора для функции 1η(1 + τ), |τ| < 1, получаем
,,(>* *,\-<>\Пг{л{У У2 , У3 R4 /4ί/ 8у2 64у3
ф,у) - 21η*(4(- -_ + _-δ1)-(Τ--ΪΓ + -3ϊΓ- δ2))+
+41η2(1 + у/ж) - 1η2(1 + 4у/х), (2.111)
72

где δι = £ i—'-JL, 52 = V i—} y . Поэтому (см. [147, с 332])
n=4 ПХП η=4 ΠΙ"
0<δι<:ΓΤ> 0<δ2<^τ-. (2.112)
- - 4x4 χ4
Лемма 2.17. При всех х, χ > 8у > e17, имеют место неравенства
2 2
4^г1пх<<о(х,у) < 12^rlnx. (2.113)
Χ2 Χ2
Доказательство. Оценим разность
h(x,y) = 41п2(1 + у/х) - 1п2(1 + 4у/х).
Так как χ > 8у, то у2/х2 < 2у/х, поэтому
/ι(χ,у) = 1п2(1 + 2у/х + у2/х2) - 1п2(1 + 2у/х + 2у/х) < 0.
Следовательно, из (2.111) получаем
со(х,у) < 21па:(б4 - 20^ - ^i + fc) < 12^ Ьх(1 - ^ + ^£).
х2 х-* ж2 За: Зх2
π 10у 32у2 у , 32 ч Юг/ 32у2
Поскольку 1>^1-1|->Х(10--)>0,то 0< 1- з| + ^ < 1.
и, следовательно, ω(χ,ί/) < 12у2х 2\пх.
С другой стороны, из (2.111) получим
2 3
<*(х,у) > 21пх(6^г - 2θ\ - 4δ! + δ2) - 1η2(1 + 4у/х) >
χΔ χό
2 3
> 21ηχ(6^ - 20^з " 4δι + δ2) - (4у/х - δ3)2, (2.114)
JO JO
где (см. [147, с. 3321) δ3 = £ -—— , 0 < δ3 < Ατ· Учитывая
„=2 ηχη χ2
(2.112), получим 6у2х"2 - 20у3х~3 - 4δι + δ2 > у2х~2(6 - 2Ъух~1-
-у2х~2) > у2х-2(6 - 20/8 - 1/64) > 5/2. Поэтому из (2.114) следует
<«>(х,у) > 5у2х_21пх - 16у2х~2 — δ3 > 4у2х~21пх + у2х_2(1пх - 16-
—64у2х-2) > 4у2х-2lnx + у2х-2(1пх — 17), что в силу условия χ > е17
влечет требуемое неравенство ω(χ, у) > 4у2х~21η χ. Ш
Лемма 2.18. При всех χ, χ > 8у > е17, имеют место неравенства
4, если ζ > Зх,
ω(χ,ν) >^ ?д ecj]H ζ>2χ (2.115)
1, если ζ > χ.
73
co(x + z,y)

Доказательство. Рассмотрим функцию ψ(χ) = ж-0,2 In x. Так как
ψ'(χ) = х~1,2(1 - 0,21ηχ) < О, при всех χ > е17, то ф(х) убывает на
[е17,+оо). Поэтому х~°'21пж> (χ + ζ)~°'2\η(χ+ζ) для всех z>x>e17.
Следовательно, в силу (2.113) имеем
ω(χ,ρ) 4y2(x + z)2\nx _ 1 /x + z\1,8 х-0'2 In ж
In ж _ 1 / χ + z\
ΤΊ) ~ з \ χ )
ω(χ + z,y) ~ 12y2x2 \n(x + z) 3 \ χ J {x + z)~°>2 ln(x + z)
3\ χ )
1,8
> <
Г 41,8/3, если ζ > Зх,
31,8/3, если ζ > 2χ, > {
[ 21,8/3, если ζ > ж,
4, если ζ > Зх,
7/3, если ζ > 2х,
1, если ζ > χ,
что и требовалось. ■
Пусть, как и раньше,
η
k0 = r2s = Y^Sj2j, Sj (Ξ {0,1}, εη = 0, (2.116)
где 2 < s < η, 0 < г < 2n~s — 1. Будем называть строкой с номером г
совокупность элементов {αη*ί}*^ _1 .
Лемма 2.19. Среди строк с номером г, 2 < s < г < η, k0 = г25,
0 < г < 2n~s - 1 существует только одна, содержащая нулевой
элемент anki = 0.
Доказательство. Рассмотрим соотношение (2.116). Возможны
два случая: ε8 = 0 и ε8 = 1. Обозначим
1\ = {г | s < г < η — Ι,ε^ι = 1} U {n}, Iq = {i\s <i <п- 1,ε»+ι = 0},
считая, как обычно, что оба множества упорядочены по возрастанию
входящих в них элементов г.
1. Пусть ε8 = 0. Так как ε^ = 0 при всех 0 < j < s — 1, то из (2.63)
s-l
следует anM5_1} = £ (1 - ε,)2' = 2s - 1.
j=0
Если г0 — первый элемент 7Ί , то ε» = 0 при всех 0 < г < г'о, и
εΐ0+ι = 1. Поэтому
го + 1
"nkoio = Σ Ъ*- 2i° + l = °- <2Л17>
Для всех остальных строк с номерами гт, гт > г'о, гт € Λ,
начальными элементами, как было показано при доказательстве леммы 2.8, будут
74

являться числа
т— 1
(включая и случай гш = η ). Поэтому в силу (2.107) эти строки не
содержат нулевых элементов.
Если jo ~~ первый элемент множества /<> , то Zj = 0 для 0 < j < s и
Zj = 1 для 8 + 1 < j < jo, ε7ο+ι = 0. Поэтому из (2.63) получаем
α»*ο* = Σ(1 " ε,)2' = £ V'= 2S+1 - 1.
Следовательно, ankj0 Φ 0 при всех к, ко < к < 2s — 1 + ко, и так как
из доказательства леммы 2.8 следует, что ank0% > Q>nk0jo ПРИ г > Jo , г £ /<ь
то все строки с номерами г, iG/o, не содержат нулевых элементов.
2. Пусть es = 1. Так как Sj = 0 при всех 0 < j < s — 1, то из (2.63)
s-l
следует anko(s__i) = ]Г tj2j = 0. Если г0 — первый элемент /0 ,то ej = 1
j=0
при всех s < j < г0 и εΐ0+ι = 0. Поэтому
го 8—1
j=0 jf=0
Тогда из (2.106) получаем αη(^ο4.2-_ΐ)ί0 = 0. Для всех остальных строк
с номерами гт, гт > г"о, гт € /о, начальными элементами, как было
показано при доказательстве леммы 2.8, будут являться числа
т— 1
*nk0i„ = Σ^+'+ν-Ι. (2.120)
j=o
Следовательно, в силу (2.106) эти строки не содержат нулевых элементов.
Если jo "~ первый элемент множества Д , то
Г 0, если 1 < j < s - 1, s + 1 < j < jo,
ε* = <
1, если j = s, j = jo + 1.
ν
Как было показано при доказательстве леммы 2.8, αη*070 > αη*0(5_ΐ) +
+25 = 2s > 0 и, поскольку an*J0 > anfcOJO при всех к > ко (см. (2.107)),
то строка с номером jo не содержит нуля, а, значит, и все остальные
строки с номерами из 1\ не содержат нулей. ■
Таким образом, в силу леммы 2.16, замечания к ней, формул (2.102),
75

(2.103) для всех inm,s<i<n, 1 < m < 2е , выполняются
соотношения: при es = 0
Anrsi(m) > 0, если г eh, г φ г0 € /ь
Anrsj(m) < 0, если ie/o;
при ts = 1
A„rsi(m) > 0, если г 6 /ь
ΔηΓβί(τη) < 0, если г е Ιο, г ^ г0 G /о-
Из (2.77), (2.82), (2.101) следует, что
П
Δ(ίη_! + fco, ίη-ι + *ο + 2*, 2*~2) = ]Г ΔηΓβ1·(25"2) =
= £Anrei(2*-2) + Anrsi0(2s-2)+ Σ An-i(2s-2)·
Из (2.121) и (2.122) следует, что если es = 0 и to G Ι\ , то
ΔηΓβί(2*~2) < 0 для всех г, г £ Д. Поэтому
Δ(ίη_ι + fc0, ίη-ι + fco + 2е, 28"2) <
< ^Anrei(28-2) + ΔηΓβίο(2β-2) + £ Anrsi(2'-2). (2.123)
Еслижеев = 1 и го G /о , то из (2.121) и (2.122) следует, что
неравенство ΔηΓ^(3·25~2) >0 выполнено для всех г, г £/о· Поэтому из (2.77),
(2.82), (2.101) получаем
Δ(ίη_ι + fc0, *η-ι + ко + 2*, 3 · 2е"2) >
> £ Anrsi(3 · 2s"2) + ΔηΓβ<0(3 · 2е-2) + Σ Δ»«<(3 * 2*"2)· (2124>
Лемма 2.20. При любых η, s, г таких, что 2 < s < η, О < г <
η
< 2П~5 - 1, г25 = 5Ζ ej2J\ ε^ 6 {0,1}, выполнено равенство
Δ(ί5_!, f., γ2*"2) = ^ ΔηΓ^(γ2*-2) + Anrsio (γ2*"2), (2.125)
t=l
76

где, если ε8 = 0, то γ = 1 и г0 — первый элемент множества
I\={i\s<i<n — Ι,ε^+ι = 1} U {η};
если же ε8 = 1, апо γ = 3 w io " первый элемент множества
Io = {i\s<i<n- 1,εί-μι = 0}.
Доказательство. Для η = s утверждение очевидно. Пусть η > s.
Обозначим ко = r2s . Так как res(fc0 + /; 2*+2) = res(/; 2*+2) при всех г,
/, 1 < г < s - 2, 0 < Ζ < 2* - 1, то из (2.61) следует, что ап(*0+|)* = а8ц ,
откуда
<М*о+0* = «·!<» 1 < г < s - 2. (2.126)
Так как res(/, 2*+*) = / < 28 , то при всех /, 0 < ί < 2* — 1, выполнено
равенство
αβί(β-ΐ)=2β-1-Ζ, (2.127)
а также (см. (2.61)) равенство
a8ls=l. (2.128)
С другой стороны, при всех I, 0 < I < 2s — 1, res(fco + /; 2S+1) =
= ε828 + /. Поэтому из (2.61) следует
Г 2* — 1 — /, если ε5 = 0,
α»(*ο+0(.-ΐ) = ( /? если Zg = h (2.129)
__ / «nikoto + Ί
αη(*0+/)ίο "Μ „ ь . _ ι
Из леммы 2.14 и замечания к ней следует
если г0 € /ι,
если го € /о·
Поэтому, учитывая (2.117) и (2.119), получим
{/, если es = 0, г'о G 1\,
28 — 1 — /
(2.130)
— 1 — ί, если ε8 = 1, г'о 6 /о·
Таким образом, из (2.127) —(2.130) находим
αη(*ο+/)(*-1) + ап(*о+0*о = α*/(*-1) +α^«· (2.131)
Следовательно, в силу (2.77), (2.82), (2.126), (2.131) имеем
s /γ2β"2-1 2*-1 \
Δ(ί^ι,ί„γ25-2) = J] I ]Г ое,и - | Σ α^ =
77

s-l /γ2*-2-1 2*-l \ y2*-2-1
= ΣΙ Σ a«(*o+i)i - τ Σ °4*o+<)i I + Σ α»(*ο+ο»ο -
t=l \ i=0 1=0 J 1=0
2*-l s-l /*0+r2*-2-l feo+2*-l \
~4 Σ a"(feo+/)»o = Σ Ι Σ anfei ~ 4 Σ αηΛί +
ί=0 i=l \ fc=*0 *=*o /
feo+r2*"2-l *o+2»-l
+ Σ an**° ~ 7 Σ anfe*o·
Требуемый результат теперь следует из (2.101). ■
Лемма 2.21. При любых п, s, г таких, что 24 < s < п, 0 < г <
η
< 2η-β - l, r2* = 53 £j2·', ε_, € {0,1}, выполнены неравенства
j=o
Δ(*η_! +r2',tB.1 +г2* + 2',2-2) < Δ(<*-1^,2'"'), ε, = 0, (2.132)
Δ(ίη_, + r2*,fn_1 +г2* +2·,3·2-2) > Д(^-ь^3-^-2)^ ^ = ^
(2.133)
Доказательство. Пусть, как и ранее, ко = т28.
1. Рассмотрим случай zs = 0. В силу (2.118) имеем
Onifcotm + l > 2anfc0tm (2.134)
для всех гт, гт+1 е Д (определение множества 1\ см. в лемме 2.20).
Кроме того, для всех таких гт € Д , гт > ii выполнено неравенство
ankoim > «nfcoix = 2i0+1 > 2β+1 = 8 · 2s-2. (2.135)
Из (2.109), (2. ПО) получаем для гт е h
Anrsim (2s-2) = ln2(anfeoim + 2е-2) - In2 ankoim -
--(\n2(ankoim+2s)-\n2ankoim) = ^(ankoim,2s-2).
Так как s > 24, το в силу (2.135) и леммы 2.18 (см. (2.115), 2S+1 =
= 8 · 2*~2 =8у> е17 ) получим
Awrsim(2*-2) ω(αηΜτη,2*~2) >4
дпг«т+2(2*-2) <o(anfeoim +(anfcoim+2 -anifcoim),2s-2) ~
поскольку из (2.134) следует ankoim+2 > 2ankoim+1 > 4ankoim ,т.е.
anfcotm+2 — ankoim — ^ankoim ·
78

Таким образом,
Anrsi2I+1(2*-2) < 4-lAnrsil(2s'2), VijM+i eh,
AnrSi2/+2(2s-2)<4-'Anrei2(2e-2), Vi2/+2e/i. {- '
Так как ankoil = 2io+\ a ankoi2 = 2io+1 +2<1+l, то
апког2 ~ «n*oii = 2il+1 > 2 · 2io+1 = 2anfeoil.
Поэтому из (2.115) следует, что
ΔηΓ5ί2(2'-2) < 3Anrsil(2'-2)/7. (2.137)
Пусть г'о > s, тогда
4-1ω(2'+1,2^-2) _ ω(2*+1,2'-2) _ ω(28+1,28-2) _
A„rsfl(2*-2) ~ ω(αηΛοίι,2-2) " ω(2ίο+ι,2*-2) ~
ω(2*+*,2*-2)
~ ω{28+1 + 2β+ί(2ί<>-* - 1),2β~2)"
В силу леммы 2.18 (третья строка формулы (2.115)) получаем
0,25ω(28+1,2β-2) > Anrsil(28-2). (2.138)
Если же г'о = s, то в силу (2.109) и (2.110) имеем
Anr8il(2s-2) = 0,25ω(2β+1,2*-2). (2.139)
Из (2.83) имеем Δ(^_!, t8,2е"2) = 0,5(ln2 2s + In2 2е"1) - In2 3 · 2s"2,
поэтому, полагая у = 2S~2 , из (2.138) и (2.139) получаем
\A(ts-Uts,28-2)\ |А(г,-ьг„2*-2)| = 21n23y-ln22y-ln24y =
Anrsil(28-2) ~ 4~*ω(2'+ι,2*-η 41n29y - 31η2 8у - In2 12y
lnyln(34-2-6) + 21n23-51n22
In у ln(314 · 2~22) + 161η2 3 - 271η2 2 - In2 12*
Поскольку у > е17 и 3~10 · 216 > 1,1, то разность
(In у 1п(34 · 2"6) + 2 In2 3 - 5 In2 2) - (Inу ln(314 · 2~22) + 16In2 3-
-271η2 2 - In2 12) = lny In ?, ' * 00 - 141n2 3 + 22In2 2 + In2 12
314 · 2~li
является положительным числом. Следовательно,
\A(ts-Ut„2s-2)\ > 2Anrsii(28-2). (2.140)
79

Из соотношений (2.136), (2.137), (2.140) получаем
S, =A(ts_l,ts,2-2)+ Σ Δ«™(2β_2) <A(is_bis,2s-2)+
oo oo
+Anr8il (2s"2) ]T 4-' + ΔηΓβί2(2-2) Σ 4~' < Δ(^-ι. *·. 2S_2)+
+ ί(1 + *)Anrsil(2s-2) < A(t8.uts,2*-2) + ^\A(ts-Uts,2°-2)\.
Так как при 2*4"1 > e17 выполнено неравенство Δ(ίβ_ι,ί5,2*~2) < 0,
то из соотношений (2.123), (2.125) получим
Δ(ίη_ι + fc0, tn-ι + k0 + 2s,2s"2) < 5i < Δ(ίβ_!,ίβ,2*"2)/21.
2. Случай es = 1 рассматривается аналогично. В силу (2.108), (2.110)
для гт е /0 получаем
Anrsim(3 · 2s-2) = ln2(anfcoim + 1) - ln2(anfeofm + 1 - 3 · 2s"2)-
-^(ln2(anfeoim + 1) - ln2(an*oim + 1 - 2s) =
= 1 ln2(6m + 2«) - ln2(6m + 2e"2) = | In2 bm = -io(6m, 2s-2),
где bm = ankoim + 1 - 2е . При этом (см. (2.119), (2.120)) выполнено
неравенство bm>bi= 2io+1 -2β-1 + 2β + 1 = 2<0+1 > 8 · 2*-2. Посколь-
τη—1
ку Ьш = Σ 2*i+1, то для 6m выполняются все соотношения,
аналогично
ные соотношениям для ank0im при im € h · Поэтому имеем совокупность
неравенств:
|ΔηΓβί2Ι+1 (3 · 2β"2)| < 4-'|ΔηΓ8έι (3 · 2β-2)| Vi2/+1 e /0,
|Δ„™2/+2(3 · 2β"2)| < 4-'|ΔηΓ«2(3 · 2β"2)| Vi2/+2 e /0,
|ΔηΓ5ί2(3·2β-2)|<?|ΔηΓβίι(3·2β-2)|.
В силу леммы 2.12 получаем Δ(ίβ_ι,ίβ,3 · 2s-2) = — A(t8-i,ts,2s~2),
откуда 2|ΔηΓβί2(3·2β-2)| < \A{ts-Ut8,Z-2s-2)\. Поскольку Δ(ίβ_ι,*„3·
2*~2) > 0 при всех s, 2S+1 > e17 ,а ΔηΓβίηι(3·2β-2) < 0 при гт € /0 ,το
S2 = A(ts-1,ts,3-2-2) + ^ ΔηΓ8ί(3·2β-2)>Δ(ί,_1,ί5,3·2δ-2)-
*€/о,*^»о
80

oo oo
-Anrsh (3 · 2β"2) Σ4_/ " Anrsi2(3 · 2'"2) 534"' > Δ(<β_χ, ίβ, 3 · 2β"2)+
+ |(1 + ^Δ(ίβ_1,ίβ,3·2-2) = ^-Δ(ίβ_1,ίβ,3.2-2).
Окончательно из (2.124) и (2.125) получаем
Δ(ίη_ι + ко, tn-i + ко + 2\ 3 · 2*~2) > 52 > ^;Δ(**-ι, t8,3 - 2е"2).
Неравенства (2.132) и (2.133) доказаны. ■
Перейдем теперь к доказательству теоремы 2.8.
Доказательство. Предположим, что для построенной в (2.59)
ограниченной в силу леммы 2.8 функции а существует
кусочно-постоянная аппроксимирующая функция Ь, для которой последовательность
длин промежутков постоянства является неограниченной сверху.
Выделим из этой последовательности подпоследовательность 1к такую, что
/*+1 > 2/*, /ι > 4. Обозначим τ* — последовательность точек
разрыва функции Ь, соответствующую последовательности 1к . Так как
неравенство 1к > 2*4"1 будет выполнено при всех к 6 Ν , то для любого к
найдутся такие пк, пк > к + 1, и г*, 0 < гк < 2Пк~к - 1, что
имеет место включение [tnie-i + r*2*,*nfc_i + (rk + 1)2*) С [τ*,τ* + lk).
Поскольку b — аппроксимирующая функция, то для всех t таких, что
t e [infc-i + rk2k,tnk-i + {rk + 1)2*), и при всех к величина (см. (2.78))
4tnk-i + r*2*,fflfc_1 + (rk + 1)2*, t - (infc_x +rk2k)) (2.141)
ограничена.
С другой стороны, из лемм 2.11, 2.13 и неравенств (2.132), (2.133)
следует неограниченность величин
A(fnfc_i + Γ*2*,ίη,_! + (rk + 1)2*, 2*"2),
A(fnfc_i + r*2*, fnfc_! + (r* + 1)2*, 3 · 2*~2),
что противоречит, в силу леммы 2.11, ограниченности (2.141).
Полученное противоречие и доказывает ограниченность сверху
последовательности длин промежутков постоянства для любой
кусочно-постоянной аппроксимирующей функции системы (2.54), где функция α имеет
вид (2.59). ■
81

2.5. Обобщенная асимптотическая эквивалентность
В предыдущем параграфе было доказано существование линейных
систем, для которых не существует кусочно-постоянной асимптотически
эквивалентной системы с неограниченной последовательностью длин
промежутков постоянства коэффициентов. Расширим группу допустимых
преобразований и рассмотрим эквивалентность линейных систем
относительно обобщенного преобразования Ляпунова. Это преобразование также не
меняет многих асимптотических характеристик систем, в частности,
сохраняет правильность систем и их характеристические показатели.
Покажем, что в этом случае удается построить кусочно-постоянные системы-
представители для классов обобщенно асимптотически эквивалентных
систем, причем такие, для которых последовательности длин промежутков
постоянства их коэффициентов являются бесконечно большими и
принадлежат установленному в лемме 1.4 классу последовательностей,
подходящих для группы обобщенных преобразований Ляпунова.
Обозначим через Т* множество кусочно-непрерывных функций /(f),
определенных на промежутке J = [ίο, +οο) (не нарушая общности,
считаем ί0 > 0 ), характеристический показатель которых (см. (1.6))
неположителен. Пусть, как и ранее (см. параграф 2.1), Та — подмножество таких
функций / 6 .F*, что
sup |/(ί)| <α. (2.142)
tei
Обозначим также через В множество кусочно-постоянных функций,
которые терпят разрывы разве лишь в точках последовательности (ίη),
обладающей следующими свойствами:
1) ίη+ι = tn + /n+1, n G Ν; 2) /η+ι > /η, η 6 Ν;
/η+ι (2.143)
3) lim ln = +οο; 4) lim = 0.
η—►Ч-оо η—»+οο ίη
Подмножество функций из В, принимающих только два значения а
и -α , обозначим Ва .
Лемма 2.22. Для любой функции ρ из множества Та
существует такая кусочно-постоянная функция ς, qEBai что неравенство
\I{p-q\to,t)\<aln+i (2.144)
выполнено для всех t, t е [ίη, tn+i) > и всех η, η е No , и кроме того,
lim r1I(p-q;to,t)=0. (2.145)
t—»+οο
82

Доказательство. Рассмотрим разбиение промежутка J
точками произвольной последовательности (ίη), удовлетворяющей условиям
(2.143). Требуемую функцию q будем строить последовательно на каждом
из промежутков [tn-i,tn), η € N. Рассмотрим промежуток [to,t\). В
силу (2.142) будет выполнено неравенство \I{p;to,t\)\ <al\ , поэтому для
t e [£ο,*ι) положим
ί α, если 0 < I(p;to,ti) < al\,
У -α, если — al\ < I{p;to,t\) < 0.
Очевидно, что
|/(ρ-«ϊ*ο,*ι)|<αίι. (2.146)
Поскольку функция ρ — q не меняет знак на промежутке [έο,έι), то
интеграл I(p — qu,to,t) будет на этом промежутке монотонной
(непрерывной) функцией и поэтому из неравенства (2.146) следует выполнение
неравенства (2.144) для всех t G [έο,έι]· Предположим, что требуемая
функция q уже построена на промежутке [to,tn), η € N. Тогда на
промежутке [fn,fn+i) определим функцию q следующим образом:
«(*) = {
а, если 0 < I{p-q;t0,tn) + I{p\tn,tn+X) < α{Ιη+ι + /n),
-а, если -a(ln+i + ln) < I(p - q;t0, tn) + I(p; f n, fn+i) < 0.
(2.147)
Отметим, что указанное построение всегда возможно, так как в силу
(2.142) и сделанного предположения о существовании функции q на
промежутке [ίο,*п), для промежутка [έη,£η+ι) выполнены неравенства
-α/η+ι < I(p;tn,tn+i) < α/η+ι и - aln < 1{р- q;t0,tn) < α/η.
Простая подстановка показывает, что при таком построении, с учетом
свойства 2 последовательности (2.143), неравенство (2.144) будет
выполнено при t = tn+\ . Кроме того, в силу монотонности интеграла
I(p — q;to,t) на каждом из промежутков [έη,έη+ι) из выполнения
неравенства (2.144) при t = tn и t = fn+i следует его выполнение и при
всех t из промежутка [έη,έη+ι) · Поскольку, как было показано выше,
неравенство (2.144) выполнено при t = fi, то функцию q можно
построить по правилу (2.147) последовательно на всем промежутке J, при этом
неравенство (2.144) будет выполнено при всех t 6 [fn,fn+i) и всех
целых неотрицательных η . Кроме того, для t 6 [έη,£η+ι) будет выполнено
неравенство t~l\I(p — q;to,t)\ <aln+\t~l, из которого в силу свойства 4
последовательности (2.143) и следует равенство (2.145). ■
83

Лемма 2.23. Для любых функций р, дь q2 таких, что ρ е Τ*,
Я\ € Ва , q2 € Ва > функция q принадлежит множеству В f\ J7*, если
для всех t 6 [tn-iitn), η 6 Ν, выполнено равенство
q(t) = I(pE{q2 - qi\tn-Uu);tn-Utn)/I(E(q2 - qi;tn-i,u);tn-i,tn).
(2.148)
Доказательство. Выполнение включения q € В непосредственно
следует из определения функции q. Обозначим значения функции q на
промежутках [tn-i,tn), η е Ν, через qn. Из(2.148) имеем
\Qn\< sup \p(t)\. (2.149)
te[tn-utn)
Так как из определения супремума следует, что для любого
положительного ε на промежутке [ίη-ι?ίη) существует такая точка τη , что
sup |ρ(ί)|<|ρ(τη)|+ε, (2.150)
te[tn-utn)
то из (2.149) получаем \qn\ < |ρ(τη)| + ε. Поэтому для всех t e [tn-i,tn),
η > 2, имеем
In !<?(*)! < ln|gn| < 1η(1ρ(τη)1+ε) < 1п(2тах{|р(тп)|,£})
В силу включения ρ б Т* и свойств последовательности (2.143) получаем
неравенство для характеристического показателя функции q
Х,,]= !Е UJSW1< Щ5 1°(2шах{|Р(т„)|,е})
*->+оо ί η—►Ч-оо ίη —1
г 1η2 + 1η|ρ(τη)| τη 1η2ε\^ ηΓ ι π1 π
< max< hm ! — · , hm >< тах{лЫ,0} = 0.
Ι η->+οο τη ίη_ι η->+οο ίη_χ J
Следовательно, q € Τ* , откуда и следует требуемое включение. ■
Теорема 2.9. Для любых функций р, qi, q2 таких, что ρ е J7*,
Ч\ € Ва , q2 € Ва , существует такая кусочно-постоянная функция
q, q € Τ* f]B, что функция
P(0 = ^(gi-g2;io,0^((p-9)^(92-gi;io^);io,0 (2.151)
принадлежит множеству Т*.
Доказательство. Разобьем промежуток J точками
некоторой последовательности, удовлетворяющей (2.143). Кусочно-постоянную
функцию q будем последовательно строить на промежутках [fn_i,fn),
используя формулу (2.148). Поскольку при всех f, t G [tn-i,tn), η G Ν,
84

имеем
P(t) = E(qi -q2;t0,tn-i)E(qi - q2;tn-Ut)x
x(l((j>-q)E(q2-qi;to,u);to,tn-i) + I((p-q)E(q2-qi;to,u);tn^ut)) =
= E(qi -q2\tn-l,t) χ (P(in-i) + /((p - q)E(q2 - qi;tn-Uu);tn-Ut)
и Ρ(ίο) = 0, то в силу (2.148) равенство P{tn) = 0 будет выполнено при
всех натуральных η.
Таким образом, для всех t , t G [in—lj^n)» имеем
|P(i)|<e2a/-/(|p-g|£;(|g2-gi|;in^bix);in_bi)<
< e4al-J(|p-9|;fn-bf) < 2β4β|»(|ρ(τη)| + ε)/η,
где ε — любое положительное число, а точка τη выбрана таким
образом, что выполнено неравенство (2.150). Следовательно, для всех f,
t G [tn-i,tn), η > 2, выполнено неравенство
Г1 In \P(t)\ < ί-11(4α/η + 1π2/η + 1η(|ρ(τη)| + ε)) <
< ί"1ι(4α'η + 1η2Ζη) + i-i1(ln(2max{|p(xn)|,e)}).
Из свойства 4 последовательности (2.143) следует, что при η —>· +оо
первое из слагаемых в правой части последнего неравенства стремится к
нулю, поэтому, так же как и при доказательстве леммы 2.23, получаем
Х[Р]= Щ5 1ЛША< E M2max{|Pfa)|,e}) <
t—»+οο t n—►Ч-оо tn—ι
( — 1η2 + 1η|ρ(τη)| τ» 1η2ε\/ nr ί πι π
< max< hm ——— · , hm >< тах{л[р],0} = 0.
Ι n-Ц-оо τη tn-\ η-»+οο tn-\ J
Итак, Ρ G Τ* . В силу леммы 2.23 построенная функция q
принадлежит множеству В |°| Т*. ■
Рассмотрим теперь пару линейных систем (2.1) и (2.2), предполагая,
что обе они являются верхнетреугольными, т. е. их матрицы
коэффициентов A(t) = (dij(t)) и B(t) = (bij(t)), i,j = 1,2,...,η удовлетворяют
условиям a,ij(t) = b{j(t) = 0 Vf G J, Vi,j, i > j. Обозначим через 5
матрицу перехода от системы (2.1) к системе (2.2), которую можно
представить в виде S(t) = Xto{t)Yt~l{t), где Xto = {χίά) и Yto = (ρίά) -
нормированные при t = to фундаментальные матрицы решений систем
(2.1) и (2.2) соответственно. Из леммы 2.7 следует, что элементы матрицы
S = (5jj), i,j = 1,2,..., η, удовлетворяют следующим соотношениям:
su(t) = Ц^ Vi = l,2,...,n; (2.152)
85

Sij(t) = ^Ш ( £ aikskj - ^6fejSifc)|i;io,i (2.153)
V г = 1,..., η, г + 1 < j < η,
где Χϋ(ί) = E(au]to,t), yu(t) = E(ba;to,t). В силу леммы 2.22, если
только для диагональных коэффициентов системы (2.1) выполнены
включения ац 6 -Т7* , то коэффициенты Ьц системы (2.2) можно построить
таким образом, что, во-первых, Ьц € Ва и, во-вторых, в силу неравенств
(2.144), (2.145) и свойства 4 последовательности (2.143) будут выполнены
включения
sue?*, det^Sef*. (2.154)
Перепишем соотношения для sij в следующем виде
Sij(t) = sii(t)^^xl[( iTaikskjs^- Y^bbjSiMS^ -Ъь)Щи>,1
Вначале построим функции &i(i+i) Для i = l,...,n —1 · Поскольку sa £ .F*
и в силу леммы 2.22 имеют место включения s^1 e Τ*, то все
функции ai(i4.1)5(i4.1)(i4.1)S^1 принадлежат множеству Τ*, если только α^+ΐ)
принадлежит Т*. Поэтому в силу теоремы 2.9 существуют такие функции
&t(i+i) £#? что все функции Si(t+i) будут принадлежать множеству J"*.
Если все коэффициенты системы (2.1) принадлежат Τ*, то последовательно
строим функции &t(i+2) для г = 1,...,п—2, &г(г+з) для г = 1,...,п-3, итак
далее, пока, наконец, не будет построена функция Ь\п . В силу теоремы 2.9
возможно такое построение этих функций, что все они будут принадлежать
множеству J7*, так как, если уже построены функции Цг+т) £ F* такие,
m+l τη
ЧТО S<(i+m) G ^*,ТО 2 αίΑ^τη+Ι)**1 - Σ ^(m+i)^*^1 € -F* И
в силу указанной теоремы существуют функции Ьцг+т) G В такие, что
5i(*+m) € -Т7*. Из (2.154) следует, что и все элементы матрицы S-1
принадлежат множеству JF*. Кроме того, матрица 5, как это следует из (1.3),
удовлетворяет уравнению DS(t) = A(t)S(t) - S(t)B(t), поэтому и
элементы матрицы DS(t) принадлежат множеству Т* . Следовательно,
матрица S удовлетворяет (1.11), т.е. является обобщенной матрицей
Ляпунова. Таким образом, имеет место следующее утверждение.
Теорема 2.10. Для любой треугольной системы (2.1) с кусочно-
непрерывными на промежутке J коэффициентами, у которой вне-
диагональные коэффициенты имеют неположительные показате-
86

ли, а диагональные ограничены, существует обобщенное
преобразование Ляпунова, переводящее систему (2.1) в треугольную
систему (2.2), коэффициентами которой являются кусочно-постоянные
функции с неограниченно возрастающими длинами промежутков
постоянства. Более того, коэффициенты системы (2.2) можно
выбрать таким образом, чтобы они имели разрывы разве лишь в
точках заранее заданной последовательности, удовлетворяющей
условиям (2.143).
Следствие 2.2. Для любой системы с ограниченными кусочно-
непрерывными интегрируемыми на промежутке J
коэффициентами существует обобщенное преобразование Ляпунова,
переводящее исходную систему в систему с кусочно-постоянными
коэффициентами, имеющими разрывы разве лишь в точках
последовательности вида (2.143).
Доказательство этого утверждения следует из теоремы Перрона
о триангуляции [45] и теоремы 2.10. ■
Таким образом, из приведенных результатов следует, что для
линейных систем с ограниченными коэффициентами кусочно-постоянные
системы с неограниченными последовательностями длин промежутков
постоянства коэффициентов могут быть использованы в качестве систем-
представителей классов обобщенно асимптотически эквивалентных
систем, однако не могут являться (теорема 2.8) системами-представителями
всех классов асимптотически эквивалентных систем.
Замечание 2.7. Из теоремы 2.2, в частности, следует, что треугольную
систему, асимптотически эквивалентную системе (2.1), можно
последовательно строить на промежутках [to + ki,t0 + ki + ί), k e No, где ί —
некоторое положительное число, в явном виде, а поэтому и указанную в
следствии 2.2 кусочно-постоянную систему, как это следует из
приведенных выше доказательств, можно строить в явном виде последовательно на
промежутках [tn-\,tn), n е N.
2.6. Линейные уравнения
Рассмотрим пару линейных дифференциальных уравнений
Dnt + an-i(t)Dn-1t+ ... +αο(ί)£ = 0, t e J, (2.155)
Οηη + bn.x{t)Dn-^ + ... + b0(t)v = 0, teJ, (2.156)
с кусочно-непрерывными и ограниченными на J коэффициентами a*, bj,
г = 0, ..., η - 1, Dn+l = D{Dn), n G N.
87

Наряду с уравнениями (2.155) и (2.156) рассмотрим соответствующие
им системы линейных дифференциальных уравнений
Dx = A(t)x, teJ, (2.157)
Dy = B(t)y, teJ, (2.158)
где, как обычно,
χ = (ξ, Όξ,..., Dn~lOT, У = (η, Όη,..., Dn~lVf',
A(t) = K(f)), B(t) = (bij(t)), ij = l,...,n,
причем
a<nj(t) = -aj_i(i), bnj{t) = -6j_i(i), j = Ι,.,.,η,
βΐ(ί+ΐ)(0 =bi(i+i)(t) = 1, t = l,...,n-l, (2.159)
α^(ί) = 6tj(i) = 0 для всех остальных пар индексов (г, j). (2.160)
Определение 2.2. Уравнения (2.155) и (2.156) назовем
асимптотически эквивалентными, если асимптотически эквивалентны
соответствующие им системы (2.157) и (2.158).
Далее будем использовать обозначения параграфа 2.1 (с. 38).
Поскольку коэффициенты уравнения (2.155) ограничены, то ограниченной
будет и матрица системы (2.157), т. е. существует такое a > 0, что
sup|A(t)| <a. (2.161)
teJ
Теорема 2.11. Для любой функции φ е $
φ(ί) <cexp(-pf), β > 2a, О 0, (2.162)
для любой последовательности (tn) e Τφ среди уравнений
асимптотически эквивалентных уравнению (2.155) существует уравнение
(2.156), кусочно-постоянные коэффициенты которого принимают
только два значения и имеют разрывы разве лишь в точках
последовательности (tn).
Доказательство. Из леммы 2.2 и условия (2.161) следует,
что для каждой функции aj-\(t) = —anj(t) существует такая кусочно-
постоянная функция bj-i(t) = -bnj(t), bnj : J -» {-a,a}, j = Ι,.,.,η,
что \I(anj - bny,t, +oo)| < Μφ(ί) для всех j = l,..,n. Но тогда в силу
(2.159) и (2.160) неравенство \I{aij -6^;ί,+οο)| < Μφ(ί) будет
выполнено для всех г, j = 1,...,п. Поэтому для некоторого положительного cq
и всех t e J будет выполнено неравенство \\I(A - B;t, +oo)|| < соф(<),
88

которое в силу (2.162) и теоремы 1.9 и обеспечивает асимптотическую
эквивалентность систем (2.157) и (2.158), а вместе с тем и асимптотическую
эквивалентность уравнений (2.155) и (2.156). ■
Покажем, что, как и для систем дифференциальных уравнений
(теорема 2.2), для уравнений второго порядка можно добиться отделенности от
нуля длин промежутков постоянства коэффициентов кусочно-постоянного
уравнения (2.156), асимптотически эквивалентного (2.155). Прежде чем
сформулировать и доказать основной результат, выполним некоторые
вспомогательные построения.
Обозначим
P«(a,b)=((-J),a (_J)ie). (2-163)
Тогда
<г> ( ии\ ( eat bteat \ (t> ( и\*\ ( e~ai bte~at \
exp(Poo(a,6)i)= I Q &αί J, ехр(Рц(о,6)«) = I Q e_ai I,
/г» (u\*\ ( e~at ba^shat \ , , .... / eat ba^shat λ
exp(P10 (b)t)=\ 0 eat J,exp(Poi(a,6)i)=l Q e_at 1.
Поэтому для матрицы exp(Poo(a,b)i)(exp(Poo(o,6)i))T
характеристическое уравнение будет иметь вид
и2 - (2 + b2t2)e2atu + еш = О, (2.164)
для матрицы ехр(Рц(а,6)<)(ехр(Рц(а,6)*))т —
ν2 - (2 + b2t2)e~2atv + е~ш = О, (2.165)
для ехр (Р01 (а, 6)<)(ехр (P0i(a,b)t))T, exp {Рю(а,b)t)(exp (Рю(а,b)t))T -
ν2 - (2ch2ai + b2a~2sh2at)u + 1 = 0. (2.166)
Положим
«/M-(iS)'vfe->-(2:0·
/О d\ (2.167)
S(<o,d) = I _ω^ 0 1, d # 0.
Тогда
exp(K(c,d)*) = f 2 'c{eCt~l) Υ c#0, exp(V(0,d)t)- (J f ),
89

(cos ωί — sin ωί \ / Cos dt sin dt \
Для exp(V(-c,d)t)exp(V(c,d)t){exp(V(c,d)t))T(exp{V(-c,d)t))T и
rp
exp (2V(c, d)t) (exp (2V(c, d)t)) характеристические уравнения будут
иметь соответственно вид
и2 - (2 + 4d2c~2(ect - \)2)u + 1=0, (2.168)
и2 - (1 + еш + d2c-2(e2ct - \)2)v + e4ct = 0. (2.169)
Теорема 2.12. Для любого уравнения (2.155) второго
порядка с ограниченными коэффициентами существует
асимптотически эквивалентное уравнение (2.156) второго порядка с кусочно-
постоянными коэффициентами, принимающими лишь конечное
число значений, причем длины промежутков постоянства
коэффициентов ограничены снизу некоторым положительным числом.
Доказательство. Пусть η = 2 и коэффициенты
уравнения (2.155) ограничены. Тогда ограниченной будет и матрица системы
(2.157), т.е. существует такое α > 0 (не нарушая общности, считаем
α > 1), что выполнено (2.161). В теореме 2.2 показано, что
асимптотически эквивалентная системе (2.157) система (2.158) в этом случае
может быть построена таким образом, что при некотором фиксированном /,
0 < / < 0,25а"1 In 2 , матрица B(t) будет постоянной на каждом из
промежутков Ат = [to + ml,to + ml + l), т € No, т.е. B(t) = Вт Vf G Am,
причем матрицы Вт могут иметь лишь один из следующих видов:
(("о'в i:i£ )·«·'■··· е<°·* <2|70>
Обозначим через β положительное число (такое число всегда
существует), удовлетворяющее соотношению
2ch2ai + 16n2a~2r2sh2al = 2 + β2/2. (2.171)
Применив к системе (2.158) с матрицей коэффициентов указанного в
(2.170) вида β-преобразование (см. [7, с.248]) у = cliagjl^a"1}^,
получим асимптотически эквивалентную (2.158) систему
Dz = P(t)z, (2.172)
где P(t) = Рт для t е Ат, причем матрицы Рт могут иметь лишь вид
(2.163) с 6=(-1)Γβ.
90

Положим
δ = //6, <ί = 2πδ"1. (2.173)
Построим асимптотически эквивалентную (2.172) систему
Dw = Q(t)w (2.174)
с кусочно-постоянной матрицей коэффициентов Q, Q(t) = Qm{t) для
t G Am , и матрицы Qm принимают на промежутках Дт лишь значения
матриц вида (2.167). Обозначим Z, W фундаментальные нормированные
при t = to матрицы решений систем (2.172), (2.174) соответственно.
Кроме того, положим Zm = Z(t0 + /), Wm = W(t0 + /), если P(t) = Pm ,
Q(t) = Qm{t),jwn te [t0,t0 + l). ТогДа
Z(to + nl) = Zn-iZn-2:~-Z0i W(to+nl) = Wn-iWn-2:..-Wo. (2.175)
Рассмотрим два возможных случая.
Случай 1° . Пусть для некоторого m, m G No, выполнено равенство
P(t) =Pm = Pii(a, Ь) , г = О,1. Из [98, с. 258, 260] следует, что
Zm = TmDmRm, (2.176)
где Tm, Rm — ортогональные матрицы, причем detTm = deti?m = 1,
a Dm - диагональная матрица, Dm = diag{N/£w, y/ϊ^}, vXrn , v2m ~
собственные числа матрицы ехр (Pm/)(exp (Pml))T.
Так как при с — 6α и b2 = β2, причем β удовлетворяет (2.171),
совпадают характеристические уравнения (2.164), (2.165), (2.169) для
матриц exp(Pm/)(exp(Pm/))T, exp(2V ((-!)% d)b)(exp(2V ((-!)% d)b))T}
то эти матрицы имеют при с = 6а и указанном Ь одинаковые собственные
числа. Таким образом, из [98, с.258, 260] получаем (опуская индекс г)
exp(2V((-lY6a}d)b) = MmDmNm, (2.177)
где Мт , Nm — ортогональные матрицы, причем detMm = detiVm = 1.
Определим теперь на промежутке Дт матрицу Qm(t) следующим
образом:
t e[to + ml, to + ml + 5im),
t e [t0 + ml + him,t0 +ml + 25),
t e [to+ml + 25,t0+ml + 45),
t e [to + ml + 45, to + ml+ 1 — 52m),
t e [to + ml+ 1 — 52m, to + ml + I).
(2.178)
91
Qm(t) = <
U(d), если
S(<Oim,d), если
ν((-1)*6α,ά), если
S(u>2mid), если
U(d), если

При указанном выборе матрицы Qm значение Wm будет равно
W =e^(rf)B2meS(W2m,d)(25-52m)e2V((-l)i6a,d)5eS(Wlm,d)(25-5lm)e^(ii)5lm
откуда, в силу (2.177), получим
ЦТ = ei/(d)52me5(W2m,(i)(25-52m)^ D N eS(c*im,d)(28-8im)eC/(d)8ime
(2.179)
Величины параметров 5im, 62™, <*>im, a>2m выберем так, чтобы
Ят = 7Vm exp (S(<olm, d)(25 - 51т)) exp (t/(d)5lm), (2.180)
Гт = exp(i/(d)52m)exp(5(o2m,d)(25 - 52т))Мт. (2.181)
Такой выбор параметров всегда возможен, поскольку матрицы TV"1 Rm и
ТтМ^ являются ортогональными матрицами первого рода [98, с. 255] и,
следовательно, представимы в виде
ЛГ-1^ = ( COSai- Sinai- V 0 < alm < 2π,
m ™ \ -sinaim cosaim / ' -
^М-1 = ( COSa2- Sina2~ V 0 < a2m < 2π.
m ^ -sina2m cosa2m /'
Поэтому можно положить
>*m
( afem + 2π afem 5
a*m δ afcm
если 2<^"^δ'
к = 1,2.
2тг , , „ π
Кроме того, положим <о*т = ——-—, к = 1,2. При таком выборе па-
2δ — Okm
раметров получим
2 < Sim, 25 - 5im, 52m, 25 - 52m < —, (2.182)
причем будут выполнены равенства
N-lRm = exp(t/(d)5im), TmM~l = exp(C/(d)52m),
exp (S((uim, d)(2b - 5im)) = exp (5(o2m, d)(25 - 52m)) = E,
где Ε — единичная матрица.
Окончательно, из соотношений (2.176) — (2.181), получаем
Zm = Wm. (2.183)
92

Случай 2°. Пусть теперь для некоторого га, те No, на промежутке
Дш матрица P(t) имеет вид P(t) = Рт = Ρ<(ΐ_*)(α,6) , г = 0,1.
Рассмотрим функцию /(с) = 2 + 16π2δ~2<Τ2(βοδ - I)2 , где δ
выбрано, как и в предыдущем случае, т.е. удовлетворяет соотношению (2.173).
Легко видеть, что при всех положительных с выполнено неравенство
/(с) > 2 + 16π2 и, кроме того, /(с) -^ 2 + 16π2 при с -> +0, а
также /(с) ->> +оо при с -» +оо. Поскольку Ь2 = β2, а β удовлетворяет
(2.171), то
2ch2o/ + -xsh2o/ = 2ch2a/ + -^r(ch2a/ - l)sh2a/ + -rr^sh4a/ >
a"
>
a2/2
2ch 2al > 2
2a_2r2(ch2a/ - l)sh2a/ > 0,
sh4a/ > a4/4
a4/4
>2 + 16π2,
и, следовательно, существует такое c\, что f{c\) = 2ch2a/ + b2a~2sh2al.
Поэтому при d, удовлетворяющем (2.173), характеристическое
уравнение (2.166) матрицы ехр (Рт1) (ехр {Рт1))Т совпадает с
характеристическим уравнением (2.168) матрицы
ехр (V(-ci, d)b) ехр {V{cx, d)b) (ехр (V(a, d)b)f (ехр (V(-ci, d)5))T.
Таким образом, из [98, с. 258, 260] следуют соотношения аналогичные
(2.176), (2.177):
Zm = ехр (Pml) = fmDmRm,
exp(V(-cbd)6)exp(V(ci,d)6) = Mmi)mJVm.
Определим на промежутке Am матрицу Qm(t) следующим образом:
U(d), если ί G [ί0 +ml,t0 + ml + 5\m),
5(oim,d), если t e[t0+ml+ bim,t0+ml+ 2Ъ),
V{ci, d), если t e [t0 + ml + 25, t0 + ml + 36),
V(-ci,d), если t e [t0 +ml + 3δ,ί0 + ml + 45),
5(ώ2Γη,d), если ί e [ίο + "г/ + 4δ,to+ml + l — 52m),
£/(d), если t e [to+ml + l - b2m, to + ml + l),
(2.184)
где параметры 5im, 82m, a>im, ci>2m, выбраны тем же способом, что
и в предыдущем случае, т. е. если ортогональные матрицы первого рода
Qm{t) = <
93

N^lRm и ТгпМ^1 имеют вид
rm ±ν™> ΓΙ лт1¥Лгп
ТО
N^Rm={ C°Sal-
m ^" \ -sinaim
TmM-l={ C°Sa2m
m \ -sina2m
8ίηδ"" V 0 < а1и < 2π,
cosaim у
8ίηά2·" V 0<ά2„<2π,
cosa2m )'
f afcm + 2π afcm 5
___, если о<-5-<5,
Ькт = < к = 1,2,
б «fern . R
если - < —— < о,
d ' 2d
и Ojkm = χ—, к = 1,2. Откуда
2δ-δ*
т
Q /ч /ч /ν /ν 3δ
2 < δι™, 2δ - 6Jm, 62m, 2δ - δ2τη < γ· (2.185)
При таком построении
W = et/(d^2'»eS(U2TO,d)(28-^2m)evr(_Cl,d)5x
xeV(c,,d)8eS(a>,m,d)(25-8lm)et/(d)6im _
_ eU{d)b2meS(C>2m,d)(2b-b2m)Μ f) jY eS(<o,m,d)(26-5lm)el/(<i)6lm _
f _ et/(d)62m е5(ы2т ,d)(25-52m ) Д/
τη ° ° lv±m
fl _ дг e^(<bimid)(25-5lm)ef/(d)5lm
— J-т^тп^тп — ^m·
Следовательно, соотношение (2.183) выполнено и в этом случае, поэтому
в силу (2.175) для любого натурального η имеет место равенство
Ζ (to + nl) = W(t0 + nl). (2.186)
Покажем теперь, что система (2.172) асимптотически эквивалентна
системе (2.174) с матрицей Q, построенной по формулам (2.178),(2.184).
Для этого рассмотрим матрицу L(t) = Z(t)W~l(t). Из соотношения
(2.186) следует, что при всех натуральных η матрицы L(to + nl) и
L~l{to + nl) являются единичными. Кроме того, поскольку существует
лишь конечное число различных матриц Рт вида (2.163), то конечным
будет и число различных матриц Qm. Поэтому матрица Q(t) будет
ограниченной на J вместе с матрицей P(t) и, следовательно, будут ограничены
и все матрицы DL(t0 + nl), так как DL(t) = P(t)L(t) - L(t)Q(t) при всех
94

t, t e J. В силу леммы 1.3 последовательность (ί0 + η/) является
подходящей для преобразования Ляпунова, поэтому рассматриваемая матрица
L является матрицей Ляпунова, откуда и следует асимптотическая
эквивалентность систем (2.172) и (2.174).
В силу транзитивности отношения асимптотической эквивалентности
асимптотически эквивалентны будут и системы (2.174), (2.157). Из (2.167),
(2.178) и (2.184) следует, что элементы qn(t), quit) первой строки
матрицы Q(t) будут при всех £, t 6 J, иметь вид q\\{t) = О, q\2(t) = d.
Воспользуемся еще раз β-преобразованием w = diag{l,d_1}u,
применив его к системе (2.174). При этом полученная система
Du = F(t)u (2.187)
будет асимптотически эквивалентна системе (2.174), а, следовательно, и
системе (2.157), которая соответствует исходному уравнению (2.155).
Кроме того, кусочно-постоянные коэффициенты системы (2.187) принимают
лишь конечное число значений, а длины их промежутков постоянства в
силу (2.182) и (2.185) ограничены снизу положительным числом δ/2,
причем структура матрицы F такова, что элементы /η(έ)> /ΐ2(ί) ее первой
строки будут при всех £, t G J, иметь вид /ц(£) = 0, /i2(<) = 1, и,
следовательно, существует такое линейное уравнение второго порядка,
которому соответствует система (2.187), причем коэффициенты этого
уравнения — кусочно-постоянные на J функции — принимают лишь конечное
число значений, а последовательности длин их промежутков постоянства
отделены от нуля числом 5/2. ■
Замечание 2.8. Доказанная приводимость линейных
дифференциальных уравнений к уравнениям с кусочно-постоянными коэффициентами
позволяет, в принципе, свести исследование асимптотических свойств
решений линейных уравнений к исследованию таковых для уравнений более
простой структуры, для которых, в частности, асимптотические
инварианты определяются счетным множеством значений аргумента и конечным
множеством состояний уравнения.
Замечание 2.9. Остается открытым вопрос о возможности
использования линейных уравнений, кусочно-постоянные коэффициенты
которых принимают лишь конечное число значений, а длины промежутков
постоянства отделены от нуля, в качестве уравнений-представителей для
всех классов асимптотически эквивалентных уравнений в случае
уравнений произвольного порядка.

ГЛАВА 3
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНО
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
3.1. Приводимость линейных систем к системам
с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами
Как правило, для построения коэффициентов систем с заданными
асимптотическими характеристиками используются
кусочно-непрерывные функции (см., например, [150—152]), однако в ряде случаев [153—155]
удается построить соответствующие системы и с бесконечно
дифференцируемыми коэффициентами. В связи с этим возникает вопрос о
зависимости асимптотических свойств решений дифференциальных систем от
гладкости их коэффициентов. В этом параграфе мы покажем, что для
любой линейной системы с ограниченными кусочно-непрерывными (а в силу
следствия 1.2 и с локально интегрируемыми) коэффициентами существует
эквивалентная ей в смысле преобразования Ляпунова линейная система с
бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, имеющими
ограниченные на полуоси R+ = [0, +оо) производные любого порядка.
Доказательству основного результата предпошлем несколько
вспомогательных утверждений.
Лемма 3.1. Для любых действительных чисел I е [0, (16а)"1 In 2],
а > 0, справедливы следующие неравенства:
2а/ ехр(8а//3) < 1 - ехр(-8а//3) < За/, (3.1)
а! < 1-ехр(-2а/). (3.2)
Доказательство требуемых неравенств непосредственно
следует из свойств показательной и линейной функций, рассматриваемых как
функции аргумента / на отрезке [0, (16a)-1 In 2] при каждом
фиксированном значении α (ср. с доказательством леммы 2.3).
Через ^(М^) обозначим совокупность кусочно-непрерывных на R+
функций / таких, что
sup |/(t)| <<*, (3.3)
96

а через С^(Ш) — множество бесконечно дифференцируемых на R
функций q таких, что
VnGNo = NU{0} 3Mn{q)<+oo: sup|^n)(i)| < Mn(q). (3.4)
Сужение функций из См(Ж) на R+ обозначим через Сд^(К+)·
Рассмотрим бесконечно дифференцируемую функцию G(f; О, Δ),
равную нулю и единице соответственно на интервалах (—оо,0) и (Δ, +оо) и
строго возрастающую на отрезке [О, Δ], Δ > 0. Легко видеть, что
определенная на R таким образом функция G ограничена вместе со своими
производными всех порядков, т. е.
GgC£?(R). (3.5)
Отметим, что в качестве функции G можно взять функцию (см., например,
[156, с. 54])
{0, при t G (-оо,0],
θχρ(-ί-2θχρ(-(ί-Δ)-2)), при te (О, Δ),
О, при ί€[Δ,+οο).
Далее определим функцию G(£;a, Δ), полагая
G(i; σ, Δ) = G(t - σ; Ο, Δ), f, σ, Δ G R, Δ > 0.
Положим для £, σ, Δ G R, Δ > О
H(t; σ, Δ) = G(t; σ, Δ) - G(i; σ + 3Δ, Δ). (3.6)
Лемма 3.2. Для любых σ G R, Δ > 0 справедливо равенство
/(G(ti; σ, Δ); σ, σ + Δ) = J(G(ti; Ο, Δ); Ο, Δ). (3.7)
Доказательство непосредственно следует из определения
функции G(i; σ, σ + Δ):
σ+Δ Δ Δ
/ σ(τ;σ,σ + Δ)Λ = ί G(x - σ;0,Δ) ά(τ - σ) = /g(60,A) άξ. Ш
σο ο
Обозначим <S(f,77,/) = {О,..., (η — ξ)/Ι — 1}, если ξ и η —числа,
кратные /, и S = No, если η —символ +оо. Положим
I+(f,g;8,t,d) = I(f - g;s,t) + I(f;t,t + d),
/~ (/ι 9\ «i t, d) = /(/ - g; s, t) + /(/; s - d, s),
где *,t,d € R, d> 0.
97

Лемма 3.3. Для любых действительных положительных а, /,
любого к е No и любой функции ρ е JFa(]R+) существует такая
функция q e См(Щ, что неравенство
\I(p-q;kl,t)\<4ad (3.8)
выполняется для всех t e [A:Z,ry), где η = nl, n e N, п > к, либо η —
символ +оо.
Доказательство. Для ί е 1\ (Μ,η) в качестве функции
q можно взять любую функцию из Cj^(lR), для которой q^m^(kl) = О
(и q(m>>(nl) = 0 при η = nl )для всех т 6 No- Далее требуемую
функцию q построим последовательно на промежутках длины Z, начиная с
[kl,kl + l], следующим образом: для t e [kl + sl,kl + sl + l], s e 5(fc/,7/,/),
положим
{4aH(t;kl + sl,A)/3, если 0 < /+(р,д; М) < 2αΖ,
(3.9)
-4a#(i;fc/ + sZ,A)/3, если - 2αΖ < I+(p,q;k,l) < О,
где Δ = Z/4, /+(p,g;fc,Z) = I+(p,q;kl,kl + slj). В силу (3.5) и (3.6)
функция q и ее производные будут ограничены на [fcZ,r/), т.е. q 6 См(М).
Заметим, что при таком построении функции q будет справедливо
равенство
\I(q; (к + s)Z, (к + s + 1)Z)| = oil Vs e S(kl,^l). (3.10)
Действительно, для t € [ν,ν + I] = [kl + ^/, A:/ + si + l] из определения
функций G, Я и леммы 3.2 следует равенство
\I(q; v,v + 4Δ)| = 4а(/(Я(гх; ν, Δ); ν, ν + Δ) + /(Я; ν + Δ, ν + 3Δ) +
+I(H;v + 3A,v + 1))/3 = 4ol{I(G{u;v,A);v,v + A) + I(1;v + A;v + 3A)+
+/(G(u; ν, Δ) -G(u; ν+3Α, A);v+SA,v+l))/S = 4a(J(G(iz;Ο, Δ);Ο, Δ) +
+2Δ + /(1; ν + 3Δ, ν + Ζ) - 7(G(iz; Ο, Δ); Ο, Δ))/3 = 4αΔ = αΖ.
Поскольку очевидно, что неравенство
\I(p-q;kl,kl + sl)\ < αΖ (3.11)
выполнено для s = 0, то из его выполнения при s = m из (3.3)
следует неравенство |/+(р,д; fc,Z)| < 2αΖ, откуда в силу (3.9) и (3.10) получаем
|/(р - q;kl,kl + (т + 1)Ζ)| < αΖ. Следовательно, по индукции
неравенство (3.11) выполнено для всех s G S(kl^,l). Это означает, что
определение функции q корректно и при этом для любого t G [kl + si, kl + sl + Ζ],
98

s G «S(fc/,77,/), будет выполнено неравенство
\I(p-q,kl,t)\ < \I(p-q,kl,kl + sl)\ + \I(p,kl + sl,t)\ + \I(-q,kl + sl,t)\ <
< α/ + α/ + 4α//3 < 4α/,
что и доказывает требуемое утверждение. ■
Лемма 3.4. Для любых действительных I G [0, (16а)"1 In 2], а > О,
L > 1, Υ, |γ| < а/ехр(8а//3), любых к G No, η 6 Ν, fc < η, и любой
функции ρ G ^(М^.), О < а < а/12, существует такая функция
q G Сд^(Е), что для всех t G [kl,nl] выполняется неравенство
|γ + LI{p - q; t,nl)\ < L(0,75 - 0,75ехр(-8а//3) - а//4). (3.12)
Доказательство. Для t G R\ (fc/, nl) в качестве функции q
можно взять любую функцию из Сд£(К), для которой <jf(m)(fc/) = q(m\nl) = 0
при всех т G No- Положим Μ = 0,75(1 — ехр(—8α//3)) — 0,5α/.
Требуемую функцию q построим последовательно на промежутках длины /,
начиная с [nl — /,п/], следующим образом: для t G [nl - si — /,η/ — si],
s G S(kl,nl,l), положим
Г 4α#(ί; (n-s- 1)/, Δ)/3, если 0 < I~8{p, q;nj) < Μ + αϊ,
q(t) = <
' | -4α#(ί; (n-s - 1)/, Δ)/3, если -Μ - а/ < I~8(p, q; n, /) < 0,
(3.13)
где Δ = //4, Iy8{p,q\n,l) = yL λ + I (p,q;nl - s/,n/,/). В силу (3.5)
и (3.6) функция qf и ее производные будут ограничены на [fc/,η/], т.е. q G
6 Сд^(М). Кроме того, как показано в лемме 3.3, будет выполнено
равенство
\I(q;Ы + si,kl + (s + l)l)\ = oil Vs G S{kl,n/,/). (3.14)
Из неравенств (3.1) следует, что
|γ| - Μ < а/ехр(8а//3) - 0,75(1 - ехр(-8а//3)) + 0,5а/ <
< 1,5а/ехр(8а//3) - 0,75(1 - ехр(-8а//3)) <
< 0,75(2а/ехр(8а//3) - (1 - ехр(-8а//3))) < 0.
Поэтому неравенство
ΙγΖΓ1 + 1{р - q;nl - sl,nl)\ < Μ (3.15)
выполнено для s = 0. Из его выполнения при s = m, 0 < m < η — к — 2,
и (3.3) следует, что \I~m(p,q;n,l)\ < Μ + α/, откуда в силу (3.13) и (3.14)
получаем \yL~l + I(p - q;(n - т - l)/,n/)| < max{a/,M}. Так как из
99

неравенств (3.1) и α < α следует, что max{a/,M} = Μ, то по индукции
неравенство (3.15) выполнено для всех s 6 S(kl,nl,l). Это означает, что
определение функции q корректно, и так как a < a/12, то при этом для
любого t 6 [nl — si — /, nl — si] будет выполнено неравенство
|γ + LI(p - q, i,nl)\ < |γ + L/(p - qynl - si,nl)\ + L|/(p, f,nZ - s/)| +
+L|J(-g,t,nZ-*Z)| < L(M + a/ + 4a//3) < L(M + 3aZ) < L(M + 0,25aZ),
что и доказывает требуемое утверждение. ■
Лемма 3.5. Для любого натурального N, любых действительных
а > 0, 0 < /0 < (1η2)/(16α), и любых функций рь р2 € J"a(IR+)'
ρ 6 .Fa(R+)> 0 < а < a2/0/(4iV), существуют такие функции qu q2,
q 6 Cj^(IR), что для всех £ е 1R+ функция
F(t) = Я(91 - g2;0,ί)/((ρ - <?)Я(<?2 -9ι;0,ιχ);0,ί)
удовлетворяет неравенству
\F(t)\ <6al0/N. (3.16)
Доказательство. Воспользуемся схемой доказательства
леммы 2.6. Обозначим I = lo/N. Рассмотрим две произвольные функции рь
Р2 € Jra(R+), для которых на промежутках [klo.klo + /о), k e N0, в
соответствии с леммой 3.3 построим бесконечно дифференцируемые
ограниченные функции q\,q2 € См (Ж). Заметим, что при таком построении
функций (/χ и q2 на интервалах (klo.klo + /о), к 6 No, разность q\ - q2
имеет фиксированный знак. Промежутки, содержащие только интервалы,
на которых <7i(f) — q2(t) < 0, назовем промежутками первого типа, а
содержащие только интервалы, на которых qi(t) — q2(t) > 0, — второго. Эти
промежутки, вообще говоря, чередуются. Рассмотрим интервал (£, г/), где
ξ е R+, а η е К+ или η — символ +оо, η — ξ > I. Будем говорить, что
в точке £ выполнено:
Условие А, если
I((p-q)E(q2 - gi;0,ti);0,0 = γ£($2 -Λ',Ο,Ο, Μ < a/exp(8a//3);
Условие б, если
|/((ρ-9)^2~ρι;0,ιχ);0,0 + /(ρ^(92-9ι;0,ιχ);ξ,7/)| <
<2a/(E(92~gi;0,u);C,e + 0.
Существование требуемой функции q докажем последовательным
построением ее на промежутках первого и второго типов по следующей
схеме.
100

I. В случае если (£, η) является промежутком первого типа, а
следующий за ним промежуток (г/, ζ) — промежутком второго типа, то,
предполагая, что в точке ξ выполнено условие А, строим требуемую функцию q
на (ξ, η) так, чтобы в точке η было выполнено условие Б.
II. В случае если (£, η) является промежутком второго типа, а
следующий за ним промежуток (ту, ζ) — промежутком первого типа, то,
предполагая, что в точке ξ выполнено условие Б, строим требуемую функцию q
на (С*7?) так, чтобы в точке η было выполнено условие А.
III. Установим, что если нуль — начало промежутка первого типа, то в
нуле выполнено условие А, а если нуль — начало промежутка второго типа,
то в нуле выполнено условие Б.
Таким образом, мы последовательно построим требуемую функцию q
на всем множестве М+ так, что на левых концах всех промежутков
первого типа будет выполнено условие А, а на левых концах всех промежутков
второго типа — условие Б. Для t 6 (—οο,Ο] положим q(t) = 0.
I. Пусть (ίο,ίι) является промежутком первого типа, где to = kl =
= tiqIq, к = Ntiq, no G No, a t\ — или число (и тогда t\ = nl = ni/o,
η = Nn\, τΐχ G Ν, π\ > по ), или символ +оо. Так как (ίο,ίι) ~~
промежуток первого типа, то на нем функции qi(t) и ф(0 определены таким
образом, что на каждом из интервалов (ί0 + И, ίο + И + 0> г е £(*<ь hJ),
выполнено неравенство <й(0 — 9ι(ί) > 0. Предположим, что на отрезке
[0, ίο] уже построена требуемая функция q(t) G С^(Щ, q^m\to) = 0 при
всех т е No, причем так, что в точке ίο выполняется условие А, т. е.
/((p-g)fi(ft-gi;0,u);Oltb) = Y^(ft-gi;Oltb). (3.17)
Тогда для ί > ίο имеем
F(t) = yE(qi -g2;io,i) + £(gi -q2;t0,t)I((p-q)E(q2 - qi;t0,u);t0,t).
В силу неотрицательности разности q2(t) — qi(t) на (ίο,ίι)
положительная функция E(q2 — q\; ίο, ί) возрастает на этом интервале. Поэтому,
применяя к интегралу во втором слагаемом теорему о среднем [147, с. 132],
получаем
F(t) = yE(qi - ς2;ίο,ί) + Ι(Ρ - <ζ;Μ), ίο < ί < ί- (3.18)
Рассмотрим два возможных случая: 1) t\ = +оо и 2) t\ = nl.
1. Если t\ = +оо, то строим функцию q на [ίο,+οο) в соответствии с
леммой 3.3. Тогда справедлива оценка
\F(t)\ = \yE(ql-q2;toJt) + I(p-q;toJt)-I(p-q;toM < |γ| + 4α/ + 4α/ <
< α/βχρ(8α//3) + 8α/.
101

Поскольку очевидно, что α < α/4 и в силу (3.1) ехр(8а//3) < 1,5, то
получаем \F(t)\ < 3.5a/ < 6a/ для всех t > ίο· Следовательно, в этом
случае требуемая функция о будет построена на всем R+.
2. Пусть t\ = nl = п\1о и (*ι, *2) ~~ промежуток второго типа, где
ί2 — или число (и тогда ί2 = rl = TI2I0, г = Nn2 € Ν, r > η), или
символ +оо. Так как (ίι, *г) — промежуток второго типа, то на нем функции
<7ι(ί) и «2(0 построены в соответствии с леммой 3.3 так, что
0ι(*) = |α Σ hUu+Uo.j) <1<i, q2(t) =-Ql(t). (3.19)
ieS(ti,t2,lo)
Обозначим
Ia(ti) = I(E{q2-q1;0,u);t1+8l,tl+8l + l), s£S(tut2,l), (3.20)
/°(i1,<2) = /((p-o)^(g2-fli;0,M);0,ii) + /(pE(92-ai;0,u);ib<2).
(3.21)
Построим требуемую функцию q на промежутке (ίο,ίι) так, чтобы в
точке ίι было выполнено условие Б, т. е.
|/°(ί1,ί2)|<2α/0(ίι). (3.22)
Так как
I8(ti) = E(q2 - qi;0,ti)E(q2 -gr,ii,ii + sl)x
xI(E(q2 - qi;ti + s/,u);ii + s/,ii +sl + l),
то в силу (3.19) имеем оценку
h(ti) >I(exp(-8a(u-ti -sl)/3);ti +sl,ti +sl + l)E(q2 -σι;0,ίι)χ
xE(q2-q1;ti,ti + si) = E(q2 - gi;0,ii)£(g2 -gi;ii,ii + sl)x
χ ·3(1-βχρ(-8α//3))/(8α), s в S(tut2,l). (3.23)
Для доказательства неравенства (3.22) достаточно показать, что
\f(ti)\ = \I{ip-q)E(q2-qi;01u);01ti)\<2aIo(ti)-alE(q2-qi;0ttl)/41
(3.24)
\g(t2)\ = \I{pE{q2-qi;0,uy,tut2)\ < alE(q2 - fli;0,ti)/4. (3.25)
По предположению для уже построенной на отрезке [0, ίο] функции q
выполнено условие (3.17), поэтому (как бы ни была определена функция
q е С$(Ш) на [ί0, ίι]) имеем
f(ti) = I({p-q)E(q2-qi;0^0,to)+I((p-q)E(q2-qi;0,u)ito,tl) =
102

= E(q2 - qi; 0, t0)(y + I((p - q)E(q2 - qi; i0,u); *o, h)).
Применяя теорему о среднем [147, с. 132] (функция E(q2 — 4i;to>0 в°з~
растает), получаем, что
f(ti) = E(q2-ql;0,to)(y + E(q2-qi;to,tl)I(p-q;it1)),
где t0 < i < t\.
Поскольку легко видеть, что α < α/12 и E(q2-q\;to,ti) > 1, то
строим теперь требуемую функцию q на промежутке (ίο, *ι) в соответствии с
леммой 3.4, тогда в силу (3.12) для любого to < i < t\ будет выполнено
неравенство
|γ Ч--£7(^2 - 91;ίο,«ι)/(ρ- 9;ί,«ι)| < E(q2-qut0,ti)(3-Ze-Sal/3 -al)/4.
(3.26)
Поэтому |/(ίι)| < E(q2 - gi;0,fi)(3 - 3e~8a'/3 -a/)/4. Используя
неравенство (3.23) при s = 0, получаем требуемое неравенство (3.24).
Оценим величину g(t2), учитывая равенства (3.10), (3.19):
I(E(q2 -gi;0,u);ibi2) =
= Σ E(q2-qi]0,ti+slQ)I(E(q2-qi;ti+slQ,u);ti+sl0,ti+slo+lo) <
*€S(*i,*2,/o)
< Efa-quOM Σ e-2alo8I(E(q2-q1;t1+slo,u);tl+slo,tl+sl0 + lo) <
seN0
<Z0(l-exp(-2aZ0))"1^(g2-gi;0,ii).
Из неравенства 1 - exp(-2a/o) > a/o (см. (3.2)) получаем
I(E(q2^q1;0,u);tut2)<a-1E(q2^ql;0,t1). (3.27)
Теперь из условия a < a2lo/(4N) = a2l/4 следует требуемое
неравенство (3.25)
\g{t2)\ = \I(pE(q2-qi;0,u);tut2)\ < <xI(E(q2 - qi;0,u);tut2) <
< OLa~1E(q2-q1;0,t1) < alE(q2 - gi;0,ii)/4.
Таким образом, на отрезке [ίο, ίι] построена функция q 6 С^{Ш)
такая, что в точке t\ выполнено условие Б и при этом в силу (3.1), (3.18)
и (3.26) для всех t G [ίο, *ι], i € [to,t] будет выполнено
неравенство (3.16):
\F(t)\ < |γ| + \I(p-q;it)\ = |γ| + \yE(qi - 92;ί0,ίι) + J(p- <?;Μι)-
~{yE{qi -g2;*o,ii) + J(p-9;Mi))| <\r\ + WE(qi-q2;t(htl)+
103

+I(p-q;i,t1)\ + \yE(ql -g2;i(Mi) + /(ρ-«;Μι)Ι <
< alexp(8al/3) + 2(0,75 - 0,75exp(-8a//3) - al/4) < 1,5a/ + Aal < 6a/.
II. Рассмотрим теперь построение требуемой функции q e С^(Ш) на
промежутке (ίι, <г), который является промежутком второго типа. При
этом предполагаем, что в точке t\ выполнено условие Б, т. е. имеет
место неравенство (3.22). Как и ранее считаем, что t2 — или число (и тогда
t2 = rl = T12Iq > Πι/ο = nl = t\, Πι,Π2 € No ), ИЛИ СИМВОЛ +00.
Обозначим для s 6 S(ti,t2,l)
/β+1(*ι,ί2) = I'{tut2) ~ I(qE(q2 - ftjO.ti),·*! + sMi + si + I), (3.28)
где I°(t\, t2) определено формулой (3.21).
Если
|/β(ίι,<2)|<2α/β(ί1) VseS(tx,t2,l), (3.29)
то требуемую функцию q будем строить последовательно на отрезках
[t\ + sl,t\ + si + /], s G S{h,t2,l), по формулам
(αΓ,(Μι), если 0 < I8(tut2) < 2а1а{и),
(3.30)
[-αΓβ(Μι), если - 2o/s(ii) < I*(tut2) < 0,
Q(t) = {
где
r ( )= H{t;h + si,l/4)I{E{q2 -qi;h + si,u);ti + si,tx + si + /)
Л ' 1} I{H(u;t1+sl,l/4)E(q2-q1;ti+sl,u);t1 + s/,ii + sZ +/)"
Так как неравенство (3.29) по предположению выполнено при s = 0
(условие Б в точке t\ ), то функция q будет корректно определена на
[t\,t\ + I]. Для последующего корректного построения функции q
индукцией по s докажем, что неравенство (3.29) выполнено для всех s €
€ S(t\,t2,l). Действительно, из(3.30)следует, что
I(qE{q2 -ρι;0,Μ);ίι + sl,h +*/ + /) =
= <
α/β(ίι), если 0 < I8(h,t2) < 2al8{h),
-al8{ti), если -2α/β(*ι) < I°(ti,t2) < 0.
(3.31)
Поэтому если неравенство (3.29) выполнено для s = т, то
|/т+1(*ь*2)| = \Im{ti,t2)-I{qE{q2-qx;Q,u);tx+ml,tl+ml + l)\ <
<o/TO(ti). (3.32)
104

Поскольку q2(t) - qi(t) < 0 для t e (t\ + ml,t\ + ml + l) при всех
m G S(ti,t2,l), то
Im(h) = E(q2 - qi;0,ti)I(E(q2 - qi;ti,u);ti + ml,ti +ml + l) <
<E{q2-q1;0,ti+ml)l. (3.33)
С другой стороны, в силу (3.19) и (3.23) для всех m + 1 G S(ti,t2,l) \ {0}
имеем
Im+i{ti) > E(q2 - qi,0,ti +ml)E(q2 - q\;h + ml,ti +ml + l)x
x3(l - e"8ai/3)/(8a) > E(q2 - gr.O.ti + т/)е"80'/3 · 3(1 - e"8e//3)/(8a).
Из неравенства (3.1) следует, что /m+i (ίι) > 0,75E(q2-q\; 0, t\ + ml)l,
откуда, учитывая оценку (3.33), получаем /m(ii) <4Jm+i(ii)/3<2Jm+i(ii),
что и дает в силу (3.32) требуемое неравенство (3.29) при s = πι + 1. Тем
самым (3.29) выполнено для всех s G S(ti,t2,l) и, кроме того, (3.32)
выполнено для всех m G S(t\ ,t2,l).
Итак, функция q корректно определяется формулами (3.30)
последовательно на всех промежутках [ίι + sl,t\ + si + I], s G S(ti,t2,l). При
этом для любого s G S(t\ ,t2,l) и всех ί G [ίι + si, ti + si +1] имеем
φ(ί) = I((p - q)E(q2 - qi;0,u);0,t) =
= I{{p-q)E{q2-q1;0,u);0,t1+sl) + I{(p-q)E{q2-qi;0,u);ti + sl,t) =
= Is{h,t2) -I(pE(q2 - qi;0,u);t,t2) - 1(яЩ<12 -<7i;0,u);ii + sl,t).
Оценим интефал I(pE(q2 — qi;0,u);t,t2). Пусть s таково, что sl G
G [κ/ο, κ/ο + lo), тогда, используя оценку (3.27), заменяя t\ на ίι + κ/ο,
получаем I(E(q2 - qi;0,u);t,t2) < I(E(q2 - qi;0,u);ti + xl0,t2) <
< a~1E(q2 - qi;Q,ti + κ/0)· Поэтому, так как a < a?lo/(4N) = a2l/4,
имеем
\I{pE(q2-qi;0,uy,t,t2)\<OLl(E(q2-qi;0,u);t,t2) <
< alE(q2 - qi;Q,ti + κ/0)/4.
Кроме того, в силу (3.29) и (3.31) имеем |/8(ίι,ί2)| < 2a/s(ii) и
\I(qE{q2-qi;0,uyitl+8l,t)\ < I(\q\E(q2 - qi;0,u);h + sl,t) <
< I(\q\E(q2 - qx;0, u);h + sl,h + sl + I) = als(ti).
Таким образом,
|φ(ί)| < 3ο/β(ίι) + alE(q2 - qi,0,h + κ/ο)/4 <
105

< E{q2 -gi;0,ii + sl)(3aI(E(q2 - q\]h + sl,u),tx + sl,tx + sl + l)+
+alE(q1 -q2;h+ κ/0,h + si)/4) < E(q2 - qi;0, ii + s/)(3a/ + a/e8a/o/3/4).
Поскольку exp(8a/0/3) < 1,5 (см.(3.1)),το |φ(ί)| <4alE(q2-qi]Q,ti+sl).
Тогда для модуля функции F(t) справедлива оценка
|F(i)| = \y(t)E(qi -g2; 0, ί)| = \y(t)\E(qi -g2; 0, fi +s/)£fai -g2; tx +sl, t) <
< \y(t)\E(qi -g2;0,ii + si)exp(8a//3) < 4a/exp(8a//3).
Используя неравенство (3.1), окончательно получаем, что неравенство
\F(t)\ < 6a/ выполняется для всех t 6 [ίι,ί2].
Следовательно, если t2 = +оо, то требуемая функция q будет
построена на всем R+. Если же t2 = ri, то в силу (3.32)при m = max5(ti,t2,Z)
имеем
|/((ρ-9)^(92-9ι;0,ιχ);0,ί2)| < α/(Ε(92 - 9l;0,u);i2 - Z,<2) =
= aE(q2 -q1;0,t2)E(q1 - q2\t2 - l,t2)I(E(q2 - qi;t2 -l,u),t2 -l,t2) <
< aE(q2 — ςτι; 0, ί2) exp(8aZ/3)Z.
Итак, I((p - g)£(g2 - 9i;0,u);0,i2) = y£(g2 - gr,0,f2), где |γ| <
< aZexp(8aZ/3), т.е. требуемая функция q построена на отрезке [ίι,ί2]
так, что в точке t2 выполнено условие А.
III. Осталось проверить выполнение условий А и Б в нуле. Если
(0,77) — промежуток первого типа, то очевидно выполнение условия А в
нуле. Если же (Ο,η) — промежуток второго типа, то из (3.23) и (3.25) при
t\ = 0 следует, что
\I(pE(q2-qi;0,u)-0,V)\ = \Ι°(0,η)\ < 2αΙο(0) = 2aI(E(q2 -qi;0,u);0,l),
т. е. условие Б выполнено в нуле.
Таким образом, мы можем, положив q(t) = 0 для t G (-οο,Ο], далее
последовательно строить на Ж+ требуемую функцию q^C^(R)
поочередно на промежутках первого и второго типа. ■
Рассмотрим две системы линейных уравнений
Dx = A(t)x, хбГ, teR+, (3.34)
Dy = B{t)y, уеГ, *€R+, (3.35)
где элементы матриц А = (а^) и В = (Ьу) — локально интегрируемые
ограниченные на К+ функции.
106

Теорема 3.1. Для любой треугольной системы (3.34) с
локально интегрируемыми ограниченными на R+ коэффициентами
существует асимптотически эквивалентная система (3.35) с
бесконечно дифференцируемыми ограниченными на R+
коэффициентами, производные которых также ограничены (каждая своим
числом) на R+.
Доказательство. В силу следствия 1.2 для
системы (3.34) существует асимптотически эквивалентная система с кусочно-
непрерывными и ограниченными коэффициентами. Поэтому, не нарушая
общности, считаем, что сами коэффициенты системы (3.34) — кусочно-
непрерывные функции a{j 6^(R-i-). Обозначим N = [256nexp(8a/o)] + l
([a] - целая часть α) и пусть U = ЛГ*~п/0, г = 1,...,п - 1, λ =
= aexp(-8aZ0)/o/(8iVn~1) < 1, Cj = Xj~~lci, j = 2,...,η, где с\
и /о — некоторые положительные действительные числа, причем /0 <
< (1η2)/(16α). Пусть Χ, Υ — фундаментальные нормированные в
нуле матрицы решений систем (3.34) и (3.35) соответственно, а
постоянная невырожденная матрица С = diag{ci,... ,сп}. Матрицу перехода
от (3.34) к (3.35) запишем в виде S(t) = X(t)CY~l(t)\ она будет
треугольной и ее ненулевые элементы 5^, г < j, могут быть представлены в
виде (см. лемму 2.7, с. 50)
Su(t) = аЕ(ац - 6«;0,*), S^t) = аЕ(ац - Ь«;0,*)Я,(*), (3.36)
где функции Fij заданы формулами (2.35) и (2.36) при £0 = 0. В силу
леммы 3.3 для каждой функции ац G TaQ&+) существует такая функция
из Сд^(Е), что для ее сужения Ьц на К+ выполняется неравенство
|/(α«-δ«;0,ί)|<4α/Οι (3.37)
откуда
Suit) < aехр(4а/0) Vi 6 R+. (3.38)
Так как функция Fa+\ имеет вид функции F в лемме 3.5 и
\ci+icJ'1aii+iE(ai+ii+i - bi+u+i + Ьц - ац;0,и)\ < Хаехр(8а/0) =
= a2lo/(8Nn-1) = а2*0/(4 · 2JV"-1),
то для каждого г = 1,..., η — 1 из леммы 3.5 следует существование такой
функции из Сд^(Е), что для ее сужения Ьц+\ на R+ выполнено
неравенство \Fu+i{t)\ < 6α10/(2Νη~1) < 6al0/(Nn-1) = 6alu откуда в
силу (3.36) и (3.37)
\Su+i(t)\ < 6a/lCiexp(4a/0) V* e ILh. (3.39)
107

Заметим, что из доказательства леммы 3.5 следует выполнение
неравенств sup |&ϋ+ι(£)| < 8α/3 для всех г = 1,...,п - 1. Предположим
теперь, что для всех г, j, таких, что j — г = 1,2,..., m — 1 < η — 1, уже
построены функции bij G Сд£ (R+) так, что sup |&ij(<)| < 8α/3 и выпол-
нены неравенства
\Fij(t)\ <6alj-i, j -i = l,2,...,m— Κ η - 1. (3.40)
Опять-таки, поскольку функции Fjj имеют вид функции F в лемме 3.5 и
Σ
fe=t+l
J^ ( -±aikE(akk - bkk + Ьц - сщ; 0, ί)^,· - bkjFik J +
c· ■ i_1
+—a,ijE(ajj — bjj + Ьц — an; 0, f)
< Σ (6а2е8а1°\к-%-к + 16a2/fe_i)+
i-i
+XJ-iae8e/o < 16a2e8a/° ^ (/.,_* + /*_ί) + Xae8al° < Z2a2e8al°nlj-i-1 +
k=i+l
32e8Qf°n a2lQ a2l0
+a%,(W^) = ™„ - „υ, + ^ <
a2fo a2/0 a2/c
~~ 8Νη-3+* 8ΛΓη-·ί+* 4А/гп-Я-г'
то в силу леммы 3.5 для всех г, j (j — г = т ) существуют такие
функции из Cj^(R), что для их сужений Ь^ на R+ выполнены неравенства
sup \bij{t)\ < 8a/3 и
\Fij(t)\ < 6al0/Nn-j+i = ба/j-i, j - t = m, (3.41)
откуда в силу (3.36) и (3.38)
|Sy(f)| < 6a/i-iciexp(4a/0) Vi € R+, (3.42)
для всех г, j, таких, что j — г = т. Таким образом, индукцией по j — г
показано, что (3.41), а следовательно, и (3.42) выполнены для всех г, j.
Из (3.38) — (3.42) следует, что все элементы матрицы S ограничены на
R+. Ограниченность матрицы 5"1 на R+ следует теперь из отдел енности
от нуля в силу (3.37) определителя
detS(i) = £(Sp(A - B);0,f)detC > exp(-4a/0n)detC Vi G R+.
108

Ограниченность же производной DS(t) следует из очевидного тождества
DS(t) = A(t)S(t) - S(t)B(t).
Таким образом, матрица S является матрицей Ляпунова и,
следовательно, система (3.34) асимптотически эквивалентна системе (3.35) с
бесконечно дифференцируемыми коэффициентами. ■
Теорема 3.2. Для любой линейной системы (3.34) с локально
интегрируемыми ограниченными на К+ коэффициентами
существует асимптотически эквивалентная ей система (3.35) с бесконечно
дифференцируемыми ограниченными вместе со своими
производными коэффициентами из множества См(Ж+).
Доказательство теоремы следует из теоремы Перрона о
триангуляции (см., например, [7, с. 263]) и теоремы 3.1.
Замечание 3.1. Основное отличие полученного результата от теоремы
29.2.1 [7, с. 400] состоит в принадлежности коэффициентов системы (3.35)
множеству См(Ж+), т. е. в ограниченности не только самих
коэффициентов, но и всех их производных.
3.2. С—и Е—асимптотическая эквивалентность
В настоящем параграфе мы рассмотрим вопросы о существовании
для данной линейной системы С - и Ε -асимптотически эквивалентных
(см. параграф 1.4, с. 35) ей систем с ограниченными бесконечно
дифференцируемыми коэффициентами.
Теорема 3.3. Для любой системы (3.34) с кусочно-непрерывными
на промежутке R+ коэффициентами aij 6 .Fa(R+) существует
Ε -асимптотически эквивалентная ей система (3.35) с
ограниченными бесконечно дифференцируемыми на К+ коэффициентами.
Доказательство. Построим такую неограниченно возрастающую
последовательность точек (£*), что to = 0 и для ί* б [т,т + 1), т е
е No = N U {0}, выполнено
tk+l =tk + Δ(πι), 0 < Д(ш) < e-(c+i)(m+i) < ^ с> 2а (3#43)
Из теоремы 2.1 следует, что для каждой из функций а^ существует такая
принимающая только два значения α и —а кусочно-постоянная функция
aij, что supteR+ \ectI(aij — α^;£, +οο)| < +оо, причем множество {tlk}
точек разрыва функции а^ является подпоследовательностью (или
конечным подмножеством) построенной последовательности (£*). Поэтому
система (3.34) Ε -асимптотически эквивалентна системе
Dz = A(t)z, zeRn, *6R+, А=(йц), iJ = T~n. (3.44)
109

Пусть (tlj!) — подпоследовательность последовательности (f*).
Рассмотрим функцию e(i, <i, *2) равную 0 при t G (—οο,ίι], равную
ехр(-(< - fi)2exp(-(f - t2)2)) при t e (ti,t2), h < t2 , и равную 1
при t G [<2,+сю), которая является бесконечно дифференцируемой на
Ε функцией [156, с. 54]. Пусть функции mij : No -)· No таковы, что
mij(k) = m, если ij^' 6 [т,т + 1). Коэффициенты искомой бесконечно
дифференцируемой системы (3.35) определим на R+ следующим образом
bii(«) = Га ί 1 + 2^(-1)*е(*,*?\*« + 0,5Д2(т«(*))) J , (3-45)
где γ = sig^uefo^fltjM, t,j = I7n. Действительно, в силу
такого определения при любом t e R+ в состав бесконечной суммы
входит не более двух ненулевых слагаемых. Поэтому коэффициенты bij(t),
t, j = 1, η, принадлежат классу С°°(К+) бесконечно дифференцируемых
на К+ функций как сумма конечного числа функций из того же класса.
Кроме того, в силу леммы работы [157] при всех ί6Κ+ выполнены
неравенства —а < bij(t) < а. Следовательно, функции bij(t), i,j = Ι,η,
ограничены на R+.
Докажем, что построенная система (3.35) Ε -асимптотически
эквивалентна системе (3.44). В силу (3.43) и (3.45) для любого t e R+ имеем
оо
/(|ау - bij\ecu;t,+oo) < ^аА2(т*Цк))ес<<т{^к)+2>> <
k=l
оо оо
< аес~1 ]TVS Σ Δ(™°(*0) < 2аеС~1 Σβ~* < +00'
что гарантирует в силу замечания 1.2 Ε -асимптотическую
эквивалентность систем (3.35) и (3.44). В силу транзитивности отношения Ε
-асимптотической эквивалентности системы (3.34) и (3.35) также Ε
-асимптотически эквивалентны. Случай, когда множество {£^} является конечным,
рассматривается аналогично. ■
Замечание 3.2. В силу стремления промежутков сглаживания Д(т)/2
к 0 при т —>· +оо производные коэффициентов b{j(t) построенной при
доказательстве теоремы системы неограничены на R+·
В силу теоремы 3.2 любая система (3.34) асимптотически
эквивалентна системе с бесконечно дифференцируемыми и ограниченными вместе
со всеми своими производными коэффициентами. Подобное утверждение
уже не имеет места для С -асимптотической эквивалентности.
ПО

А именно имеет место следующее утверждение.
Теорема 3.4. Существуют такие линейные системы (3.34), что
среди С -асимптотически эквивалентных им систем с непрерывно
дифференцируемыми коэффициентами нет систем, коэффициенты
которых обладают ограниченными на К+ производными.
Доказательство. Пусть (£*) — такая неограничено возрастающая
последовательность, что ίο = 0, f*+i — f* > Δ > 0 для всех k G No-
Рассмотрим систему
χ = p{t)x, xeR, t е R+, (3.46)
ГДе p(t) = а При t e [t2m,t2m+l) , И p(t) = -α При t G [*2гп+Ь*2т+2) ,
т е No , α > 0 .
Предположим, что этой системе С -асимптотически эквивалентна
система
У = q(t)y, у 6 R, t <Ξ R+, (3.47)
с непрерывно дифференцируемой на К+ функцией q(t). Тогда из
определения С -асимптотической эквивалентности следует, что 1{р — g;0, f) —>·
-^ с/0 при t -» +оо. В силу признака Больцано — Коши [149, с. 152]
имеем
νε>0 3Γ(ε)>0 Утьт2>Г(е) |J(p- ?;тьт2)| < ε. (3.48)
Из (3.48) при ε = ε0 = 0,5αΔ следует существование такого fc0, что при
всех к > к0 выполнено неравенство \1{р — <?;£*, έ*+ι)| < εο· Поэтому
для всех четных к = 2т > к0 существует такое τ2τη G [i2m?*2m+i]? ЧТ0
-ε0 < (α - g(T2m))(i2m+i ~~ *2т) < εο· Следовательно,
0.5а<?(т2т) < 1,5а. (3.49)
Аналогично для всех нечетных к = 2т+ 1 > ко существует такое т2т+1 €
€ [<2m+b*2m+2]i ЧТО
-1.5а < qfam+i) < -О,5а. (3.50)
Рассмотрим множество Х+ = {t \ t e [x2m,^2m+i], q(t) > 0,5α}. Β
силу (3.49)точка τ2ηι 6 Х+, т. е. множество Х+ ^ 0 и, так как оно
ограничено сверху, существует σ+ = supX+ (см., например, [149, с. 31]). Из
определения супремума и непрерывности функции q следует, что σ+ <
< T2m+1 И q(°m) = °'5α·
Аналогично, из (3.50) для множества
*т = {* I * € [o+,T2m+i], q(t) < -0,5α}
111

существует такое σ^ = inf Х^, что σ+ < σ^ и α(σ~) = -0,5α.
Заметим, что при этом |g(i)| < 0,5α для всех t 6 [σ^,σ^].
Если σ~ > σ+ > i2m+i, то q(t) > -0,5α > -α = p(t) для всех t e
€[°т,°т]· Поэтому |/(ρ-σ;σ+,σ~)| = I(q-p;σ+,σ") и,следовательно,
|/(ρ-α;σ+,σ-)|>0,5α(σ--σ+). (3.51)
Такое же неравенство получаем и в случае когда σ+ < σ^ < i2m+i-
Если же σ+ < i2m+i < am> T0 аналогично получаем
\1{р - q; σ+, i2m+i)| + \1{р - 95 *2т+ъ σ~ )| > 0,5α(σ" - σ+). (3.52)
Для т таких, что 2т > ко рассмотрим последовательность (5W),
5m = σ^ _ σ+. Покажем, что 5m -» 0 при т -+ +оо. Предположим,
от противного, что существует такое ει > 0, что для любого ν > 0
существует такое mv > ι/, что 5т„ > ει. Положим в (3.48) ε = ε2 = 0,2αζ\ и
выберем ν настолько большим, чтобы σ+„ > ^fe)· Тогда в зависимости
от расположения о^ и а~^ относительно £2m„+i получим
противоречие либо из (3.48) и (3.51):
0,2αει = ε2 > |/(р- ί;σ+^,σ^)| >0,5a5m„ >0,5αει,
либо из (3.48) и (3.52):
0,4αει = 2ε2 > \1{р - q;o^,t2mu+i)\ + \Ι(ρ - q]t2rnl/^uo^li/)\ >
> 0,5a5m„ > 0,5αει.
Таким образом, действительно, Ът -> 0 при т -» +оо.
В силу теоремы Лагранжа [ 149, с. 253] для всех достаточно больших т
существует такая точка от е [<*m>aml> что
q'iom^m = g(a") - 9(σ+) = -a.
Следовательно, <7;(am) = — αδ^1 и |<7;(am)| -> +°° при m -» +оо,
т. е. производная функции q не является ограниченной на К+ функцией,
что и доказывает требуемое утверждение. ■
Доказанное утверждение означает, что системы с непрерывно
дифференцируемыми ограниченными вместе со своими производными не
могут быть использованы в качестве систем представителей для классов
С -асимптотически эквивалентных линейных систем.

ГЛАВА 4
СИСТЕМЫ ЛАППО-ДАНИЛЕВСКОГО
4.1. Классификация систем Лаппо-Данилевского
Основным объектом изучения в этой главе будут системы
дифференциальных уравнений
Dx = A(t)x, хбГ, n>2, t 6 Jo = [0,+oo), (4.1)
где матричная функция А непрерывна и ограничена на полуоси J0.
Следуя [9, с. 117], назовем матрицей Лаппо-Данилевского матричную
функцию А , коммутирующую со своим интегралом, т. е. такую матрицу А,
для которой при некоторых s € Jo и t G Jo выполнено соотношение
t t
A(t) f A(u)du = J A{u)du A(t). (4.2)
8 8
Проведем следующую классификацию матриц Лаппо-Данилевского.
Определение 4.1. Назовем матричную функцию А:
а) правосторонней матрицей Лаппо-Данилевского, если
существует такое неотрицательное s, что равенство (4.2) выполнено
для всех значений t е [s, +оо) = Jr(s);
б) левосторонней матрицей Лаппо-Данилевского, если
существует такое положительное s, что равенство (4.2) выполнено
для всех значений t e [0, s] = Ji(s);
в) двусторонней матрицей Лаппо-Данилевского, если
существует такое неотрицательное s, что равенство (4.2) выполнено для
всех значений t е [О, +оо) = Jb(s).
Множество всех правосторонних матриц Лаппо-Данилевского, для
которых существует одно и то же значение s, обозначим через £2)r(s),
соответственно множество левосторонних матриц Лаппо-Данилевского
обозначим через £5)j(s), а множество двусторонних матриц Лаппо-
Данилевского — £Я)ь(з) · Обозначим также
£Σ)Γ = U £Σ)Λ*)' £Σ)< = U £35<(5)> £2)* = U £Σ)*(*)·
«>0 в>0 в>0
113

В дальнейшем любую матрицу А} принадлежащую множеству £Σ) =
= ££>г (J £!D/ \J£%)bi будем называть матрицей Лаппо-Данилевского, а
соответствующую дифференциальную систему (4.1) — системой Лаппо-
Данилевского.
Заметим, что для матрицы A(t) = (α^(ί)), г, j = 1, ...,га , выполнение
равенства (4.2) равносильно выполнению равенств
η
^2(aik(t)I(akj;s,t) - I{aik;s,t) akj(t)) = О (4.3)
k=l
для всех г, j = l,...,n.
Обозначим через X8(t) нормированную при t = s фундаментальную
матрицу решений системы (4.1). Тогда нетрудно проверить (см., например,
[158, с. 148]), что при А 6 £5)а(«), а е {Μι г}, имеет место
представление
X8(t) = exp I(A;s,t), te Ms). (4.4)
Частным случаем систем Лаппо-Данилевского являются системы с
функционально коммутативными матрицами коэффициентов.
Определение 4.2. Систему (4.1) назовем системой с
функционально коммутативной матрицей коэффициентов, если равенство
A(t)A{s) = A(s)A(t) (4.5)
выполнено при всех f G Jo, s e Jo -
Матричную функцию, удовлетворяющую (4.5), будем называть
функционально коммутативной матрицей. Легко проверить, что
функционально коммутативная матрица является двусторонней матрицей Лаппо-
Данилевского. Частными случаями систем с функционально
коммутативными матрицами, очевидно, являются системы с постоянными
коэффициентами, диагональные системы и системы, матрица коэффициентов
которых имеет вид нормальной жордановой формы.
Распределение систем Лаппо-Данилевского во множестве линейных
систем исследовано в наших работах [132,133,139], где, в частности,
установлены незамкнутость во множестве линейных систем множеств
левосторонних и правосторонних систем Лаппо-Данилевского, а также
замкнутость множества двумерных двусторонних и незамкнутость множества
двусторонних размерности больше двух систем Лаппо-Данилевского.
114

4.2. Экспоненциальное представление решений
Рассмотрим линейное матричное дифференциальное уравнение
DX = A(t)X, iGJo, (4.6)
где элементы η χ η матрицы А являются интегрируемыми и
ограниченными на Jo комплекснозначными функциями. Пусть η χ η матрица Χ,
являющаяся решением (4.6), удовлетворяет начальному условию
Х(0) = ехр С, (4.7)
где С — некоторая постоянная матрица.
Пусть для всех t > 0 выполнено равенство
A{t){C + 1(А; 0, t)) = (C + /(А; 0, t))A(t), (4.8)
тогда, как легко проверить, решение матричного уравнения (4.6),
удовлетворяющее начальному условию (4.7), представимо в виде
X(t) = ехр(С + 1(А; О, *))· (4.9)
Решение обратной задачи, т. е. при каких условиях из выполнения
соотношения (4.9) следует равенство (4.8), почти полностью содержится в работе
[83], в которой доказано следующее утверждение: если матрица (4.9)
является решением уравнения (4.6) с начальным условием (4.7), то:
a) равенство (4.8) выполнено для всех неотрицательных t, если
собственные значения Xj(f) матрицы С + /(Л;0, t) таковы, что при Xj(f) Φ
Φ \j(t) разности \i(t) — Xj(i) не являются решениями уравнения
е*-*-1 = 0; (4.10)
b) если матрица A(t) непрерывна на /, то соотношение(4.8)
выполнено на / за исключением, быть может, интервалов (fi,f2), на которых
при некоторых Xj(f), Xj(f) разность λ»(ί) — λ^(ί) удовлетворяет
уравнению (4.10), однако \i(t) φ λ^(ί);
c) если A(t) аналитическая матричная функция на / , то соотношение
(4.8) выполнено для всех t 6 / , если существует интервал (fb f2), на
котором разность \i(t) - Xj(t) является корнем уравнения (4.9) только при
λ<(ί)=λί(0·
Пусть матрица (4.9) является решением задачи (4.6), (4.7) с нулевой
матрицей С . Поскольку нуль является изолированным корнем уравнения
(4.10) и собственные значения матрицы непрерывно зависят от ее
коэффициентов (см., например, [ 159, с. 71 ]), то существует такая окрестность нуля,
на которой условие (4.8) выполнено (см. также [82]), что в случае аналити-
115

ческой матрицы А гарантирует выполнение (4.8) на всем промежутке J0.
Настоящий параграф посвящен задаче о построении неаналитической
матричной функции А, для которой из экспоненциального представления
решения в виде (4.9) не следует выполнения соотношения (4.8).
Требуемое построение стало возможным благодаря наличию отличного
отданного в [83] доказательства приведенного выше утверждения, так как
приводимые ниже рассуждения позволяют не только доказать соответствующее
утверждение, но и выявить структуру коммутирующих блоков матриц А и
C + I(A;0,t).
Обозначим
K{t) = C + I{A;0,t) (4.11)
и в дальнейшем будем предполагать, что собственные числа λ*, \j
матрицы К таковы, что их разности λ» — λ^ могут удовлетворять уравнению
(4.10) только лишь при λ* = λ^. Кроме того, считаем, что матричная
функция (4.9) является решением уравнения (4.6), удовлетворяющим
начальному условию (4.7).
Лемма 4.1. Для всех t > 0, для которых выполнено соотношение
I{e-K^uF{t)eK^u^\) = e-K^F{t)eK{t\ (4.12)
имеет место равенство
K{t)F{t) = F{t)K{t). (4.13)
Доказательство. Пусть соотношение (4.12) выполнено при
некотором t = s. Обозначим через J(s) нормальную жорданову форму
матрицы K(s). Тогда существует невырожденная постоянная матрица S
такая, что К = SJS~l и поэтому условие (4.12) может быть переписано
в виде SI(e-J^uS-1F(s)SeJ^u;0,l)S-1 = Se-J^S-1F(s)SeJ^S-\
откуда, обозначая Ф(з) = S~lF(s)S, получим
I(e-J(s^{s)eJ(*)u;Q^) = e-J{8^{s)eJ(8l (4.14)
Если из выполнения (4.14) будет следовать
J(s)Φ(s) = Φ(s)J(s), (4.15)
то
K(s)F{s) = SJ{s)S-lS${s)S-1 = SJ(s№(s)S~l =
= S*{s)J{s)S-1 = 5Ф(5)5^157(5)5"1 = F(s)K(s),
т. е. будет выполнено равенство (4.13) при t = s. Таким образом, для
доказательства леммы достаточно доказать, что из условия (4.14) следует
равенство (4.15).
116

Пусть (в дальнейшем для сокращения записи аргумент s опускаем)
J = diag{Λ(λι), J2(X2),, Jm(Xm)},
где Ji(ki) — жордановы клетки размерности kiy к\ +k2 + ... + fcm = п.
Разобьем матрицу Φ на блоки Ф^ размерности кг x kj. Обозначим
Hi(u) = eJi^^u . Тогда в силу (4.14) для всех i,j = l,...,m имеем
/(ЯГ1Ф«Я^0,1) = Яг1(1)ФуЯ,-(1). (4.16)
Покажем, что если λ* — Xj не является ненулевым корнем уравнения (4.10),
то матрицы Ф^· должны иметь специальный вид, гарантирующий
коммутируемость матриц Φ и J (см. [98, с. 204]). Обозначим элементы матрицы
Фг7 через fir , I = l,...,fc$, r = l,...,fcj. Рассмотрим следующие случаи.
1. Пусть Xi = Xj (не исключая случай г = j ).
Предположим, что кг = kj = Μ. В этом случае мы должны доказать,
что элементы Д, удовлетворяют соотношениям
//Г = 0 для I > г, г = 1,...,М-1, / = 2,...,М, (4.17)
1щ+к)=<*к для fc = 0,...,M-1, / = l,...,Af - fc, (4.18)
где α* —любыечисла.
Доказательство соотношений (4.17) и (4.18) проведем индукцией по
размерности Μ . В случае Μ = 1 выполнение соотношения (4.18)
очевидно. Предположим, что соотношения (4.17) и (4.18) следуют из (4.16)
при кг = к3; = Μ — 1. Матрицу Ф^ размерности Μ χ Μ
представим в виде Ф^ = [ П 12 ) , где FX2 = (/12,/13, -,/im), F2\ =
у Г21 ^22 J
= (/2ь/з1,...,/а#1)т, ^22 = (//г), /,г = 2,...,М. Соответственно мат-
(1 т(и) \ ι
рицу Hi(u) представим в виде НЛи) = I жг/ ч еЛ,и, где 02ι -
\02i N(u)J
нулевая (М - 1) χ 1 матрица, Т(и) = (ц,—,,„, /д^ _ χΛ;^ ^^ =
= ejM
(М-1)!
l(0)u, Jm-i(0) -жорданова клетка размерности (М-1) χ (Μ-1)
с нулями на диагонали. Так как λ* = \j , то
H-\u) = Hr1(u) =
(-ΐ)^-^^-1
где Д(п)=(-Ц,-,..., ).
(М-1)!
117

Равенство (4.16), учитывая блочную структуру входящих в него матриц,
запишем в виде
/(/„ + R(u)F2i;0,l) = /„ +R(l)F2i, (4.19)
/(/„Г + RF2iT + F12N + RF22N; О,1) =
= /ηΓ(1) + R(1)F21T(1) + F12N(1) + R(1)F22N(1), (4.20)
/(JV-1F21;0,l) = iV-1(l)F21, (4.21)
I{N-1F21T+N-1F22N;0,1) = N-1(1)F21T(1)+N-1(1)F22N(1). (4.22)
Равенство (4.21) в координатной форме имеет вид
}"z}(-iy-i ^ (-i)i-* .
о i=» '" i=« '"
или, в силу равенства 7(/(J+i)i ;0,1) = /(j+i)i ,
J. M-l /147-i Af-1 /_,w-i
/ Σ Ъ+Щ^и+т* = Σ |jri)r'u+i)i. < = ». ·■·.м - 2·
что после интегрирования дает
Из (4.19), с учетом равенства /(/н;0,1) =/и, получим
£ί (J^)!/u+1)1" Ji "W~/(j+1)"
Объединяя полученное равенство с равенствами (4.23), получаем систему
2- u-i + i)!/o+1)1 Σ ТТТлГ^+Ч1· « = 0,...,А/-2,
которую перепишем в виде
Σ О-г + l)! /04-1)1=0, г = 0,...,М-2.
Полученная система является треугольной, причем ее диагональные
элементы все равны 1/2, т. е. ее определитель отличен от нуля и, следователь-
118
o-hVo+w = Σ jfhii'u+'>·· * = 1·····Μ-2· <4·23>

но, единственным ее решением является нулевое. Таким образом, F2\ —
нулевой столбец. Поэтому равенство (4.22) принимает вид
I(N-lF22N;0,l) = N-l(l)F22N(l).
По предположению индукции элементы //r, l,r = 2,...,М, матрицы F22
удовлетворяют соотношениям
flr = 0 для I > г, г = 2,..., Μ - 1, Ζ = 3,..., Μ, (4.24)
//(/+*) = α* для к = 0,..., Μ - 2, Ζ = 2,..., Μ - к, (4.25)
где α* — любые числа.
Рассмотрим теперь систему (4.20) относительно элементов /Хг , г =
= 1,...,М. Эта система в координатной форме с учетом (4.24) и (4.25)
имеет вид
/· /1±1 ·,<-*+! _L JL (-i)*u*
л
о
г+1
^l; Wi_fc+I · ' (-ην иг~г \
zZhbT- и , 1Μ + ΣΣ м аг-кт: u)du =
^ (г-Л+1)! ^ί^ *! (г-г)!/
= Σ/»(ΪΓΪΤΊ)!+ΣΣϊ^ί-*. ί = 1.-^-1· (4-26)
Преобразуем полученное выражение:
έίέί kl r~k(i-r)l-\. I'hL· (r - m)!« - г)! "
= Vamt1<-"1 ]Г . ("1.),Г"т = ffc = r-mU
i_1 i_m (-1)* _ V^ ате«*-т ψϊ (-!)*(»-m)!
amU Z* k\(i - m - k)l ^(i-m)\2^k\(i-m-k)\
m=0 fc=l v ' m=0 v ' fc=l v '
m=0 v ' fc = l m=0v ' fc=0
г —т
= [£с«*_т(-1)* = (i - i)i_m = o, c?-m(-i)° = i] =
fc=0
i5__5T = [_* = TO + ij=_^
m=0 v ' k=l x '
119

Подставляя полученное равенство в (4.26), получим
/л(«)*+/Е(л»-<*-Оргщ!* =
о о к—1
' I
= /i«+D + Σ>* - a*-i)(i_fc+i)r
откуда, после интегрирования, находим
* 1
Г\Л,. -ГУ,. ,ϊ —
1)'
или
;(/■*-■»-')«'_ *+2)ΐ=о> i=1- ·Μ
Полученная система равенств является треугольной с ненулевыми
диагональными элементами, поэтому /i* = a/k_i , г = 1, ...,М. Таким образом,
элементы матрицы Фу удовлетворяют (4.17), т. е. матрица Фу имеет по
терминологии [98, с. 201 ] правильную верхнюю треугольную форму.
Рассмотрим теперь случай Μ = к{ > kj = N. Дополним матрицу Фу
слева нулевой Μ χ (Μ - Ν) матрицей Ομχ(μ-ν) и вновь полученную
матрицу обозначим Vy, Vij = (Omx(m-n)^ij). Из выполнения условия
(4.14) следует выполнения равенства
/(Яг1^Я*;0,1) = ЯГ1(1)^Я<(1)| (4.27)
где размерности матриц Hi и Vy уже совпадают. По ранее доказанному
из (4.27) следует, что матрица Vy имеет правильную верхнюю
треугольную форму, но тогда и матрица Фу также будет иметь правильную
верхнюю треугольную форму.
Аналогично рассматривается и случай N = ki < kj = Μ, при этом
матрицу Ф^ дополним снизу нулевой (Μ — Ν)χΜ матрицей и вновь
полученную матрицу обозначим Wy. Из выполнения условия (4.14)
следует выполнение равенства I(Hj~lWijHj;0,l) = HJl(\)WijHj(\), причем
размерности матриц Hj и W^ совпадают. По ранее доказанному матрица
W^ имеет правильную верхнюю треугольную форму, но тогда и матрица
Ф^ также будет иметь правильную верхнюю треугольную форму.
2. Пусть λι φ \j. В этом случае требуется доказать, что матрица
Фу — нулевая матрица. Обозначим элементы матрицы Я^1(и)ФуЯ^(и)
через gqp(u), q = l,...,fcj, p = l,...,fcj . Тогда для всех q = I,...,/:;,
120

ρ = 1,..., kj имеем
l=q v ' τ—\ ν '
Поэтому при ρ = 1 получаем
Μ") = Σ ("У_д?1 "g/iiefii"Xi)tt, 9=1,-Л, (4.29)
откуда gkii(u) = Λ,ιβ^ _λί)" . Из соотношения (4.16)следует, что
I(fki ι exp (Xj - \i)u; О,1) = Да ехр (λ, - λ{).
Интегрируя, получаем /*;i(Xj - Х^)_1(е(х>_х,) - ΐ) = /ме*Х'-Х'*· Так
как по условию λ* — Xj не является ненулевым корнем уравнения (4.10),
то fkii = О. Подставляя найденное значение fkii в (4.29), получаем
откуда находим <7(*._i)i(i0 = /(*<-ΐ)ΐ exp((Xj — Х*)м). Аналогично
предыдущему доказываем, что /(*._ΐ)ΐ = 0 . Продолжая этот процесс
последовательно для всех q, q = ki - 2, кг - 3,..., 1, убеждаемся, что fq\ = О
при всех q, q = l,...,fcj. Подставляя найденные значения fqX в (4.28),
получаем для всех q и ρ, q = 1,..., fc», p = 2,..., fcj,
*><«> = Σ н^*>5^'
откуда при ρ = 2 имеем
Μ") = Σ /ι, ?ι /йв(Х^Х<)", 9 = 1,-Л-
Так как полученные соотношения для дЯ2{и) аналогичны соотношениям
для (4.29), то, применяя тот же подход, показываем, что fq2 = 0 при всех
q4 q = l,...,fci. Последовательно повторяя эту процедуру, находим, что
fqp - 0 при всех 9,д = 1,..., fc», и ρ, ρ = 1,..., fcj.
Таким образом, все блоки Ф^ имеют структуру, гарантирующую
коммутируемость матриц J и Φ , а следовательно, как было отмечено выше,
коммутируемость матриц К и F. ■
121

Лемма 4.2. Равенство
A(t)K(t) - K(t)A(t) = A(t) - X{t)A{t)X~l (0 (4.30)
выполнено для почти всех t, t e Jo-
Доказательство. Рассмотрим пару функций
Ui (t) = Ι (ΑΧ; 0, t) - K(t)X(t) + Ι (Κ AX; 0,t) + C exp C,
U2{t) = I(XA;0,t) - X(t)K(t) + I(AXK;0,t) + СexpC.
Так как для почти всех t € Jo выполнены равенства DX(t) = A(t)X(t) и
DK{t) = A{t), то
DUi{t) = A(t)X(t) - DK(t)X(t) - K(t)DX(t) + K(t)A(t)X(t) =
= A(t)X(t) - A(t)X(t) - K(t)A(t)X(t) + K(t)A(t)X(t) = O,
DU2{t) = X(t)A(t) - DX(t)K{t) - X(t)DK{t) + A(t)X{t)K{t) =
= X(t)A(t) - A(t)X(t)K(t) - X(t)A(t) + A(t)X(t)K{t) = O,
где О — нулевая η χ η матрица. Поскольку функции Ui и С/2
непрерывны на J0 ι причем в силу (4.7) U\(0) = и2(0) = О, то (см. [160,
с. 374]) U\(t) = U2{t) = О. Матрицы X и К очевидно коммутируют
на J0, поэтому О = Ux{t) - U2{t) = 1(АХ -ХА + {ΚΑ - AK)X;0,t).
Дифференцируя последнее тождество, получим (см. [160, с. 370])
A(t)X{t) - X(t)A(t) = -((K(t)A(t) - A(t)K(t))X(t)
для почти всех t, t 6 Jo , откуда и следует утверждение леммы. ■
Лемма 4.3. Матрица
G(t) = I(exp(-K(t)u)A(t)exp(K{t)u);0,l) - χ-^ΑφΧψ)
коммутирует с K(t) почти всюду на Jo .
Доказательство. Обозначим
U(t) = /(exp {-K{t)u)A{t) exp (K(t)u); 0,1).
Интегрируя по частям, находим
U(t)K{t) = I(exp(-K(t)u)A(t)exp(K(t)u)K{t);0,l) =
= exp (-K(t))A(t) exp K(t) + K(t)U(t) - A(t).
Поэтому из формулы (4.30) леммы 4.2 и равенства (4.9) для почти всех t,
t e Jo, получим
G(t)K{t) - K{t)G(t) =
= (U(t) - X-^QAWXifyKit) - K(t)(U(t) - Х'^^А^ХЦ)) =
122

- X'l(t)A(t)X(t) - A(t) - X-l(t)(A(t)K{t) - K(t)A(t))X(t) = 0?
где О — нулевая η χ η матрица. Полученное равенство и доказывает
утверждение. ■
Лемма 4.4. Для всех целых чисел I и т, I > О, т>1, равенство
Kl(t)A(t)Km-l(t) + Km-l(t)A(t)Kl(t) = A(t)Km(t) + Km{t)A(t) (4.31)
выполнено почти всюду на Jo.
Доказательство. В силу леммы 4.3 матрица G(t) коммутирует
с матрицей K(t), а следовательно, и с любой ее неотрицательной целой
степенью, почти всюду на J0 . Поэтому если О — нулевая матрица, то
0 = G{t)Km-l-Km-lG(t) = I(exp(-K(t)u)(A(t)K^
χ exp (K(t)u); 0,1) - X~\t){A{t)Km-l{t) - Km~l(t)A(t))X(t).
Применяя лемму 4.1 к функции F(t) = A(t)Km"l(t) - Km-l(t)A(t),
получаем, что почти всюду на Jo матрица F(t) коммутируете K(t), а
следовательно, и с любой ее неотрицательной целой степенью, т. е. равенство
Kl(t)({A{t)Km-l(t)-Km-i(t)A(t)) = ((A№
верно почти всюду на J0 для всех т > I > 0, откуда и следует (4.31). ■
Лемма 4.5. Для почти всех t, t e Jo, выполнено равенство
A(t)X(t) = X(t)A(t). (4.32)
Доказательство. Покажем, что при всех натуральных т
почти всюду на J0 выполнено равенство
DKm(t) = ■^{A{t)Krn-l{t) + Krn-\t)A{t)). (4.33)
Для этого рассмотрим два возможных случая.
1. Пусть m = 2/ + 1, I е N0 . Тогда
2/
DK2l+\t) = Y^Kk{t)A(t)K2l~k{t) = Kl{t)A(t)Kl(t)+
k=0
/-1
+ ^(Kk(t)A(t)K2l-k(t) + K2l^k(t)A(t)Kk(t)),
поэтому из леммы 4.4 получим
DK2l+l(t) = \(A(t)K2l(t) + K2l(t)A(t)) + l(A(t)K2l(t) + K2l(t)A(t)),
откуда и следует (4.33).
123

2. Пусть т = 21, / е N. Аналогично предыдущему случаю
DK2l{t) = Σ Kk(t)A{t)K2l-l-k{t) = J2(Kk(t)A(t)K2l-l-k(t)+
fc=0 k=0
+K2l~1-k(t)A(t)Kk(t)) = l(A(t)K2l(t)+K2l(t)A(t)),
откуда опять следует (4.33).
Таким образом, соотношение (4.33) выполнено почти всюду на Jo для
всех натуральных т . Следовательно,
m=0 m
с»
_, (m _ i). 2 £- (m - 1)!
m=0 m=0
Требуемое утверждение следует теперь из того факта, что X(t) является
решением матричного уравнения (4.6), т. е. DX(t) = A(t)X(t). ■
Справедливость приведенных в начале параграфа утверждений
следует непосредственно из лемм 4.2 и 4.5, а также из аналитических свойств
матрицы А . Перейдем теперь к решению задачи о существовании
неаналитической матрицы А коэффициентов уравнения (4.6), которая не
является матрицей Лаппо-Данилевского, однако решение (4.6) представимо в
виде экспоненты интеграла матрицы А .
Теорема 4.1. Для любого η, η > 3, любой постоянной
действительной матрицы С существует матричное
дифференциальное уравнение (4.6) с неаналитической действительной
матрицей коэффициентов А, для которой не выполнено условие Лаппо-
Данилевского (4.8), хотя решение уравнения (4.6), удовлетворяющее
начальному условию (4.7), представимо в виде (4.9).
Доказательство. Для простоты изложения рассмотрим случай
нулевой матрицы С и η = 3. В уравнении (4.6) в качестве матрицы А
возьмем матрицу
(-μα(ί) 0 -va{t) \
c(t) 0 0 , (4.34)
va(t) 0 -μα(ί) /
где μ + iv —любой (отличный от нуля) корень уравнения (4.10), а а и с —
некоторые интегрируемые ограниченные неаналитические функции, обла-
124

дающие следующими свойствами:
a(t) = О Vt > t0 > О, 1{а; О, t) > О V t G (О, ί0], 1{а; Ο, ίο) = 1; (4.35)
Г О, для <€[0,<о],
с(0=< cfe(<)^0, для ie (t2*,t2fc+i), (4.36)
[ О, для ί € [*2*+ь*2*+2], fcG А:;
{<fc} — любое множество положительных чисел, tk+i > tk, причем в
случае конечного множества, К = {О,1, ...,ко}, имеем ί*0 = +оо, в случае
же бесконечного множества /С = No и £* —У +оо при к -> +оо.
Обозначим
b{t) = /(α; 0, i), d{t) = I{c; О, ί). (4.37)
Построим экспоненту матрицы K(t) = I(A;0,t). Зафиксируем некоторое
значение τ > 0. Непосредственное вычисление показывает, что
/ e-»bMcosvb(x) О -e-^xUinub(x) \
d(x)F(x) , d(T)G(x)
,Κ(τ) _
1
6(τ)(μ2+ι/2) * 6(τ)(μ2+ι/2)
У e-^T)sini/6(x) 0 e-^T)cosi/6(x) ^
где
е*(х) =
F(x) = μ - με-μ^τ) cos иЬ(т) + ι/β"μ6(χ) sin ι/6(τ),
G(x) = -ι/ - ι/β"μ6(τ) οοβι/6(τ) + με-μ6(τ) sini/6(x).
Таким образом, с учетом свойств функций α и с (см. (4.35), (4.36)), имеем
для τ € [0, ίο]
e-^T)cosi/b(x) 0 -β-μ6<τ>8ίηι/6(τ) \
О 1 О
e-^T)sini/6(x) 0 е-^х>совг/6(т) /
Для τ € [ίο>+οο) выполнено равенство 6(τ) = 1, кроме того,
2F(x) = (μ + iV) + (μ - iV) - μ(β-μ+<*' -f β~μ~^) - iv(e^+iv - e^"'") =
= (μ + ti/) + (μ - iv) - (μ + ίι/)β-μ+<" - (μ - 2ί/)β"μ-^ =
= (μ + iv)e-»+iv{e»-iv - 1) + (μ - ы)е~*-* {e*+iv - 1).
Поскольку μ + iv корень уравнения (4.10), то βμ_Μ/ — 1 = μ — iv и
€μ+ιν — Ι —μ + %μ} ПОЭТОМУ
2F(x) = (μ + ti/)(μ - iv)e~*+iv + (μ - ύ/)(μ + i^e"^" =
125

= (μ2 + ι/2)(β-μ+" + e-*-iv) = 2(μ2 + ι/2)β"μ cos ι/.
Аналогично, 6?(τ) = — (μ2 + ί/2)β~μ8ΐηι/. Следовательно, для τ 6 [to,+oo)
имеем
Ie~^cosv О —e^sini/ \
ά(τ)ε~ν cos ι/ 1 -6ί(τ)β"μ sin ν
β~μ8Ϊηι/ 0 e_licosi/ )
Легко проверить, что почти всюду на Jo выполнено равенство
DeK{t) = A(t)eK(l\ и так как е*^0) = Ε, то, следовательно, матричная
функция ек№ действительно является решением уравнения (4.6),
удовлетворяющим начальному условию (4.7) с нулевой матрицей С .
Сравним теперь матрицы A(t)K(t) и K(t)A(t) .Легко видеть, что
элементы первых и третьих строк этих матриц совпадают, а вторые их строки
имеют соответственно вид
( -μφ)δ(ί) 0 -i/c(t)b{t) ) , ( -\*a(t)d(t) О -va(t)d(t) ) .
Поэтому в силу (4.35) —(4.37) для t e \J [£2fc+b*2/fc+2](J[0>*o] выполнено
kefc
равенство A(t)K(t) = K(t)A(t). Однако, поскольку уравнение (4.10) не
имеет действительных и чисто мнимых корней, то μι/ φ 0, и,
следовательно, A(t)K(t) φ K(t)A(t) для всех t e [j fakMk+i), за исключением
keic
нулей функций с*.
Таким образом, выбирая удовлетворяющие условиям (4.35) и (4.36)
неаналитические функции α и с с любой наперед заданной гладкостью,
получим матричное уравнение, для которого матрица коэффициентов не
является матрицей Лаппо-Данилевского, однако решение этого уравнения
представимо в экспоненциальной форме.
В частности, если
ί ехр (-(* - ίο)-2) (/(ехр (-(и - ί0)"2); 0, ί0)) , при t G [0, ί0],
a(t) = <
0, при t e (t0,+oo),
ck(t) = ехр (-(* - *2*Г2(*2*+1 - ί)"2), * € /С,
то матрица А будет бесконечно дифференцируемой и ограниченной на J0 ,
при этом условие Лаппо-Данилевского (4.8) не выполняется для всех t,
* е U (*2*,<2*+ι)> хотя матрица (4.9) и является решением уравнения
ке/с
(4.6), удовлетворяющим начальному условию (4.7) с нулевой матрицей С .
126

В случае произвольного η > 3 выбор матрицы А очевиден, для
этого достаточно в качестве такой матрицы использовать блочно-диагональ-
ную матрицу A(t) = diag{Ai(f), A2(t)} , где 3x3 матрица А\ имеет вид
(4.34), а (п - 3) х (п - 3) матрица А2 —любая функционально
коммутативная, в частности, постоянная матрица. ■
Замечание 4.1. В случае действительнозначных функций значение
η = 3 является минимально возможным значением размерности
матрицы коэффициентов, при котором существует матричное уравнение (4.6) с
указанным в теореме 4.1 свойством, поскольку для любых
действительнозначных 2x2 матриц A(t) и С матрица K(t) будет иметь
действительные либо комплексно сопряженные собственные значения, а поэтому
их разность не может являться ненулевым корнем уравнения (4.10),
которое, как было отмечено выше, не имеет ни действительных, ни чисто
мнимых корней. Таким образом, условие Лаппо-Данилевского (4.8) в
двумерном случае является необходимым и достаточным для представления
решения матричного уравнения (4.6) в экспоненциальной форме (4.9).
Описание других случаев необходимости условия Лаппо-Данилевского
имеется в [83].
Если же элементы матрицы А — комплекснозначные функции, то в
качестве матрицы А можно взять матрицу
A(t) = ( -т«(*)/2 о
U ^ c(t) γα(*)/2
где γ — любой отличный от нуля корень уравнения (4.10), а функции а и
с удовлетворяют условиям (4.35) и (4.36). И в этом случае (обозначения те
же , что и ранее) матричная функция
е-Щь) 0
eK(t) = <
0 eW
при ге[о,г0],
. Υ
е-2 0 \ / в"* 0
как не трудно проверить, является решением уравнения (4.6),
удовлетворяющим начальному условию (4.7) с нулевой матрицей С , однако условие
Лаппо-Данилевского (4.8) выполняется для t G (J fck+i, <2*+2] (J[0> *o]
кек
и не выполняется для t € U (t2k,t2k+i) -
кек:
127

4.3. Неприводимость линейных систем к системам
Лаппо-Данилевского преобразованиями Ляпунова
Как было отмечено выше, задача классификации линейных
дифференциальных систем относительно преобразования Ляпунова тесно связана
[42] с задачей построения систем-представителей классов
эквивалентности. Было бы удобным использовать в качестве систем-представителей
системы Лаппо-Данилевского или же системы с функционально
коммутативными матрицами коэффициентов, поскольку для таких систем
фундаментальные матрицы решений строятся как экспоненты интегралов от
матриц коэффициентов и для таких систем эффективно исследуются их
асимптотические характеристики. Исследование данного вопроса и
составляет предмет этого параграфа.
Отметим, что вопрос о приводимости линейных систем к
левосторонним системам Лаппо-Данилевского не представляет интереса, так как в
этом случае условие (4.2) характеризует поведение матрицы лишь на
конечном промежутке (см. с. 113), в то время как отношение
асимптотической эквивалентности двух систем определяется их поведением на
бесконечном промежутке изменения аргумента. Поэтому очевидно, что любая
линейная система асимптотически эквивалентна некоторой
левосторонней системе Лаппо-Данилевского. Поэтому в дальнейшем под системой
Лаппо-Данилевского будем понимать двустороннюю или же
правостороннюю систему Лаппо-Данилевского.
Известно (см., например, [7, с. 274,]), что любая линейная система
почти приводима с помощью преобразования Ляпунова к диагональной
системе с действительными диагональными элементами. Поскольку
диагональная система заведомо является системой с функционально
коммутативной матрицей коэффициентов, то, следовательно, любая линейная
система почти приводима к системе с функционально коммутативной
матрицей коэффициентов. С другой стороны, в наших работах [127,137] были
построены системы, которые не могут быть приведены преобразованием
Ляпунова к системам с функционально коммутативными матрицами
коэффициентов. Однако эти системы являлись правильными системами,
которые в силу критерия Басова — Богданова — Гробмана (см., например,
[4, с. 77]) приводимы с помощью обобщенного преобразования Ляпунова
к диагональным системам, заведомо являющимся системами с
функционально коммутативными матрицами коэффициентов. В этом параграфе мы
докажем существование линейных систем, которые не могут быть
приведены ни к системам с функционально коммутативными матрицами коэф-
128

фициентов, ни к системам Лаппо-Данилевского даже в том случае, если
расширить множество допустимых преобразований до обобщенных
преобразований Ляпунова (естественно, что такие системы не могут быть
приведены к системам Лаппо-Данилевского и с помощью преобразований
Ляпунова).
Как и ранее, будем рассматривать пару линейных систем вида (1.1):
Dx = A{t)x, хеШп, п>2 te J = [ίο, +οο), (4.38)
Dy = B(t)y, у 6 Rn, η > 2 teJ, (4.39)
где А и В — матрицы с ограниченными и непрерывными на промежутке
J элементами. Доказательствам основных результатов предпошлем
доказательства некоторых вспомогательных утверждений.
Лемма 4.6. Если скалярные функции fug непрерывны на про-
межутке [а,с), а < с < +оо, причем для некоторого 6, а < Ь < с,
при всех t G (6, с) выполнено неравенство I(g; α, t) φ О и
f(t)I(g;α,t) = g(t)I(f;a,t) Vie [a,c), (4.40)
то существует такое постоянное число δ, что при всех t e [6, с)
выполнены равенства
№=bg(t), I{f;a,t) = bl(g;a,t). (4.41)
Доказательство. Из равенства (4.40) следует, что производная
D(I(f;a,t)/I(g;a,t)) = 0 для всех t G (&,с). Поэтому существует
такое постоянное число 8, что 7(/;a, t) = 8/(<7;a,f) при всех t G (b,c) и,
следовательно, I{f{u) -bg(u);a,t) = 0 при всех t G (6,с).
Дифференцируя последнее тождество по ί, получаем /(£) = bg(t) при всех t G (Ь, с).
Соотношения (4.41) следуют теперь из непрерывности функций / и д. Ш
Пусть, как и прежде, \[д] — нижний показатель Перрона (см. (1.7),
с. 16) скалярной функции д.
Лемма 4.7. Пусть непрерывная скалярная функция f такова,
что
f(t) = 2 + 8ίη(μ1ηί) + μα>8(μ1ηί), (4.42)
где μ — некоторое положительное число. Тогда для нижнего
показателя функции I(E(f; s, τ); s, f), t > s > 1, имеет место неравенство
\[l(E(f;s,T);s,t)]>3e-2^. (4.43)
Доказательство. Рассмотрим последовательность (τ*), где
Tfc = β*/(2μ)+2*π/μ) k £ Ν. (4.44)
129

Очевидно, что 8ίη(μ1ητ*) = 1 для всех натуральных к. Кроме того, при
к -» +оо имеем
Тк+1 -Тк= βν(2μ)-Η2Λπ/μ(β2π/μ _ !) ^ +ос. (4.45)
Пусть последовательность (ίη), η е Ν, такова, что
\[l(E{f;s,x);s,t)]= lim t;l\n\l(E(f;s,T);s,tn)\. (4.46)
Из последовательности (tn) выделим такую подпоследовательность (tnk ),
что iMfc. G [τ^, Tfcj4_i), j e N. Используя соотношения (4.44), (4.45),
оценим функцию I(E(f; s, τ); s, tnk.):
/(£?(/; 8, τ); β, infc.) - /(#(/; β, τ); *, τ*,.) + I(E(f; 8, τ); Tfcj., tUh.) >
> /(£(/; θ, τ); β, τ*,) > /(#(/;*, τ); ^ - Ι,τ*,).
Из (4.42) следует, что функция / положительна на промежутке
[τ^. — Ι,τ/fcJ при достаточно больших fcj, поэтому функция J(/;,s,t)
возрастает по τ на промежутке [τ^ — 1>τ*,] при достаточно больших fcj, и,
следовательно,
/(£(/;*,τ);τ*, - Ι,τ*,) > /(£(/;*, τ*, - l);xfcj - Ι,τ*,.) >
> (24-8ίη(μ1η(τΛ>-1)))(τ^-1)4-ω(β)__ (24-8ΐη(μ In xfc>+μ1η(1-τ^.1)))(τλ>-1)4-ω(«) _
__ (24-€θ8μ1η(1~τ^1))(τιΒί.-1)4-ω(5)
где ω($) = -(2 + sin^lns))s. Поэтому
InI(E(f;*,τ);*,tnk.) (2 + <χ»μ1η(1 - т^1)){тк. - 1) + ω(*)
(2 + €θ8μ1η(1-τ-.1))(τ^. -l)+co(s) ^
= ^ί£λ + (2 + «»μ1η(1 - τ£))(β-2*'* - β-/(2μ)-2(^ΐ),/μ^
Оценка (4.43) теперь следует из равенства (4.46). ■
Перейдем теперь к доказательству основных результатов.
Теорема 4.2. Существует линейная система (4.38) размерности
η = 2, которая не приводима обобщенным преобразованием
Ляпунова ни к одной треугольной системе Л anno-Данилевского.
130

Доказательство. Рассмотрим двумерную треугольную систему
Dx=(ao L)x· ί-ί°-1· (4·47)
где
awit) -au(t) = 2 + sin^lni) + μ cos (μ In t), (4.48)
μ — такое положительное число, что
γ = 3βχρ(-2π/μ) > 2. (4.49)
Предположим, что существует такая треугольная система Лаппо-
Данилевского (4.39) с матрицей коэффициентов В = (6^), i,j = 1,2,
В е ££)r(s)U£3)b(s), 62i =0, к которой система (4.47) приводится
некоторым обобщенным преобразованием Ляпунова χ = L(t)y. Тогда матрица
L этого преобразования будет иметь вид
L(t) = X{t)CY-1(t), (4.50)
где С = (cij), i,j = 1,2, — некоторая постоянная невырожденная
матрица, X(t) и Y(t) — фундаментальные нормированные при t = s > ί0
матрицы решений систем (4.47) и (4.39) соответственно.
Поскольку X(t) = (xij(t)), Y(t) = (yij(t)), i,j = 1,2, где
xn(i) = E(an;s,t), xi2(t) = E(an]s,t)I(E(a22 - an;s,x);s,t),
X2l(t) = 0, X22(t) = E(a22]S,t),
yu(t) = E(bn;s,t), y12(t) = E(bu;s,t)I(bl2E{b22 - bn;s,x)]s,t),
</2ΐ(ί)=0, y22(t) = E{b22-,S,t),
то элементы матрицы L = (hj), i,j = 1,2, в силу (4.50) имеют вид
ln(t) = Е(аи -bu;s,t)(cn +c2ia(i)),
l12(t) = E(an -622;s,i)(ci2 +c220i(t) - (си +c2ia(i))P(i)), (4.51)
l2i(t) = Е(а22 -6n;e,t)c2i, /22(0 = E(a22 -h2;s.,t)(c22 -c2ip(i)),
где a(<) =I(E(a22 - an;s,x);s,<), β(ί) = I(bi2E(b22 - bn;s,x);s,t).
Поскольку L —обобщенная матрица Ляпунова, то из (1.11)(см. с. 17,
λ — характеристический показатель Ляпунова) следует
λ[/ιι]<0, λ[/12] < 0, λ[/2ι]<0, λ[/22] < 0. (4.52)
131

Рассмотрим поведение функций (4.51) в зависимости от значений,
которые могут принимать элементы постоянной матрицы С.
I. Предположим, что с^\ φ 0. Из (4.48), (4.49) и неравенства (4.43)
леммы 4.7 следует, что для любого ε > 0 существует Т\ > s такое, что
для любого t>T\ выполнено 1η |α(£)| > (γ — ε)£. Поэтому
\[a(t)E(au -Ьц;М)1 = Hm Γι(ΐ(αη - Ьц;М) + In |α(ί)|) >
>\[E(aii-bii;8,t)] + γ - ε > λ[Ε(αη - Ьц;М)]· (4.53)
Таким образом, при c2i 7^ 0 имеем (см., например, [7, с. 27])
λ[ίπ] =Х[сц£?(ац -bn;«,0 + c2iot(0-K(aii -Ьц;М)] =
= λ[α(0#(αη -6n;s,i)],
поэтому из (4.52) и (4.53) вытекает соотношение
lim ί_1/(αιι — 6ц; s, t) < —γ + ε,
t—>+οο
откуда для любого ε > 0 существует Г2 > s такое, что для любого t > Т2
имеем 7(ац — &n;s, f) < (—γ + 2ε)£. Так как из леммы 1.2 (см. с. 17)
следует, что для любого ε > 0 существует Т3 > s такое, что для любого
t > Т3 выполнено 7(а22 + ан - &н - 622; s, t) > -εί, то для любого ε > 0
существует Т4 > s такое, что для любого t > Г4 имеем
Да22-&22;М) = /(β22 + αιι-διι-^2;Μ)-*(αη-6ιι;Μ) > (γ-3ε)ί.
(4.54)
Поскольку λ[/2ι] < 0, то для любого ε > 0 существует Тъ > s такое,
что для любого t > Тъ выполнено /(022·— 6ιι;«,ί) < εί. Таким образом,
для любого ε > 0 существует Т6 > тах{Т1,Т2,Тз,Г4,Т5} такое, что для
любого t > Те имеет место неравенство
/(&22 -Ьц;М) = /(α22 - 6ц;«, ί) - 7(α22 -*>22;М) < (-γ + 4ε)ί.
Из полученного неравенства следует существование такого Г, что для
всех £, t > Τ, будет выполнено 7(&22 - διιί^,ί) Φ 0. Так как матрица
В б £©r(s) U £5)&(s), то в силу леммы 4.6 существует такое постоянное
число δ, что
bi2(t)=b(b22(t)-bn(t)) V*>T. (4.55)
Рассмотрим функцию /22 ; из (4.55) следует равенство
β(ί) = /(&12£(&22-διι;*,^
+1(Ь12Е(Ъ22 -Ьц; θ, τ); Γ, ί) = β(Γ) + /(δ(&22 -Ьп)Е(Ь22-Ьп;8,т);Т,г) =
132

= β(Γ) + bEfa - bn;a,t) - ЪЕ(Ь22 - bn;s,T).
В силу (4.51)получаем
l22(t) = Е(а22 - b22;s,t)(c22 - с2ф(Т) + δο21£(622 - bn,s,T)-
-bc2lE(b22 - bn;s,t)j = -bc2iE(a22 - bu;s,t) + D0E(a22 -b22;s,t) =
= ~bl21(t) + A,£(a22 - 622;s,i), (4.56)
где D0 = c22 - с2ф(Т) + 5θ2ΐΕ(622 - bn,s,T). Если D0 φ О, то из
(4.54) следует неравенство \[D0E(a22 - bn;s, t)] > 0, а так как из (4.52)
имеем λ[δ/2ι] < 0 при любых значениях δ, то из (4.56) получаем λ[/22] =
= X[D0E(a22 - bu,s,tj] > 0, что противоречит(4.52). Поэтому Do = 0.
Рассмотрим теперь функцию 1\2 :
ci2 + c22a(<) - c,iP(t) - C2ia(t)P(t) = c12 + c22a(i) - cn (β(Γ)+
+bE(b22-bn;s,t)-bE{b22-bn,s,T))-c210L(t)(p(T)+bE(b22-bn;s,t)-
-ЬЕ{Ь22 - δπ; в, Г)) = D0<x(t) + Όλ - ЬЕ(Ь22 - Ьц;М)(сп + c21a(i)),
где Dx = c12 - сцР(Г) + ЬспЕ{Ь22 - bn;s,T).
В силу (4.51)находим
l12{t) = DiE{an -b22;s,t) -ЪЕ(ап -bn;s,t)(cn + c21a{t)) =
= Di£(an - 622;M) - bln(t). (4.57)
Рассмотрим функцию F(t) = <x(t)E(a,u —a22;s,t). Пусть
ση = 63π/(2μ)+2η*/μ^ (4 58)
тогда
In F(on) = -(2 + 8ίημ1ηση)ση - ω(β) +1ηα(ση) = 1ηα(ση) - ση -ω(δ).
Отсюда в силу леммы 4.7 имеем для всех достаточно больших η
In F{an) > (γ - 1 - ε)ση - ω(«). (4.59)
Поэтому из (4.52) следует, что
0>λ[/ιι] = λ[α(ί)£(αη-&ιι;Μ)] =
= \[cx(t)E(a22 - bn;s,t)E(an - a22;s,t)] = \[F(t)E{a22 - bU]s,t)].
Таким образом, для любого ε > 0 существует Τη > s такое, что для
любого t>Ty имеем
\n\F(t)\ + I(a22-bn;s,t)<et => In \F(an)\ + 1{а22 - bn;s,an) < εσ„
133

=>· In α(ση) - σ„ - ω(β) + Ι(α22 - *>ιι; s, ση) < εση
=» Ι(α22 - &ιι; s, ση) < (1 + ε)ση - 1η α(ση) + ω(β).
Поэтому с учетом (4.43) и соотношения (1.12) (см. лемму 1.2, с. 17) для
достаточно больших η получаем
I(an -b22;s,on) = 1(а22 + аи -Ьц -b22;s,an) - I(a22 -bw,s,on) >
> -εση - (1 + ε)ση + 1ηα(σ„) - ω(β) > (γ - 1 - 3ε)ση - ω(«).
Если D\ φ 0, το
X[Z?i£7(on -b22;s,t)] = λ[#(αη - b22;s,t)] =
= lim i-1/(on — b22;s,t) > lim оп_1Доц — b22;s,an) >
t—f+oo r»—^+oo
> fim σ"1 ((γ - 1 - 3ε)ση - ω($)) = γ - 1 - 3ε > 0,
П->-г-00
а так как из (4.52) имеем Х[5/ц] < 0 при любых значениях δ, то из (4.57)
следует [7, с.27] λ[/ι2] = λ[ϋιΕ(αη - &22;М)] > 0, что противоречит
(4.52). Значит, Dx = 0.
Итак,
Do = C22 - с21(р(Г) - ЬЕ(Ъ22 - Ьи;8,Т)) = 0,
1>ι =С12-сн(р(Г)-5Е(Ь22-Ьц;в,Г)) =0,
откуда следует, что detC = С11С22 — ci2C2i = 0, что противоречит
невырожденности матрицы С. Из полученного противоречия вытекает
равенство С21 = 0.
2. Рассмотрим случай c<i\ = 0. Соотношения (4.51) принимают в этом
случае вид
ln(t) = Е(ап -bii;M)cib Ζ22(ί) = Е(а22 - b22\s,t)c22,
/12(f) = Е(ап - b22;s,t)(c12 + c22oi(t) - cnp(i)), /2ι(ί) = 0,
где функции аир — те же, что и в (4.51).
Из невырожденности матрицы С следуют неравенства сц ^0, с22 ^0.
Поэтому из неравенств Х[/ц] < 0 и λ[122] < 0 вытекает, что для любого
ε > 0 существует Tg > s такое, что для любого t > Tg будут выполнены
неравенства 1(ац — &n;s,i) < εί, Ι(α22 —b22;s,t) < εί. Кроме того,
из (1.12) (см. лемму 1.2, с. 17) следует, что для любого ε > 0 существует
Тд > s такое, что для любого t > Т9 выполнено
-εί < /(оц + а22 - Ьц - 622; s, t) < εί.
134

Поэтому для любого ε > 0 существует Гю > s такое, что для любого
t > Γι о имеем
I(an -bu;s,t) = 1(ап + а22 - 6ц -&225М) - I(a22 -b22;s,t) > -2εί.
Аналогично получаем, что для любого ε > 0 существует Гц > s такое,
что для любого t > Гц выполнено
1{а22 - 622; s, t) > -2εί. (4.60)
Таким образом, для любого ε > 0 существует Т\2 > тах{Г9,Гю,Гц}
такое, что для любого t > Т\2 имеем
1{Ь22 -Ьц;в,<) = /(оц -6π;Μ) + /(α22-αιι;Μ) -/(«22 -feM) >
> -2et + (2 + sin (μ1ηί))ί + ω(β) — ε* > (1 — 3ε)ί + ω(β).
Из полученного неравенства следует существование такого Г*, что для
всех t, t > Г* будет выполнено /(622 — bn;s,t) φ 0. В силу леммы 4.6
существует такое постоянное число δ*, что Ь\2{С) = b*(b22(t)—&ii(£)) при
всех t > Τ*.
Рассмотрим функцию li2 :
ll2{t) = Е{ап -b22;s,t)(ci2+C22ai{t) -cnp{t)) = E(au -b22;s,t)(a2+
+c22oi(t) -сцР(Г) -b*cnE(b22 -bu;s,t) + b*cuE(b22 -bn;s,T)) =
= E(an - b22;s,t)(c12 - οηβ(Γ) + б'сцЯ^г - bn;s,T)) +
+c220L{t)E(au - b22;s,t) - b*lu{t) =
= D^E{an - b22;s,t) + c22a(t)E(an - 622;s, t) - b*lu{t),
где Dq = C12 - сцр(Г) + Ь*сцЕ(Ь22 - bu;s,T). Из (4.60) получаем, что
для любого ε > 0 существует Г13 > s такое, что для любого t > Г13
выполнено
/(оц - 622;«, t) = I(au - 022; s, t) - I(a22 - b22; s, t) <
< -(2 + 8ίη(μ1ηί))ί-ω(δ)+2εί < (-1 + 2ε)ί - ω(β).
Следовательно,
\[D*0E{au -b22;s,t)] <(-1 + 2ε)<0. (4.61)
При С22 φ 0 имеем
Х[с22Е(ап - b22;s,t)ci(tj] = λ[Ε(α22 - b22;s,t)E(an - a22;s,t)a(t)] =
= λ [£(α22-&22 ;s,t)F(t)].
135

Пусть последовательность (ση) — та же, что и в предыдущем
случае, т.е. удовлетворяет равенству (4.58), тогда, используя оценки (4.59) и
(4.60), получаем
\[E(a22-b22;s,t)F(t)] = Ш t-1(I(a22-b22;s,t) +InF(t))>
L J t—*+oo
> Km a~1(I{a22 - b22;s,an) + \nF(an)) >
> lim σ"1(—2εση + (γ - 1 — ε)ση — ω($)) = γ — 1 - 3ε > 0.
η->+οο
Поэтому при с22 ф 0 из неравенств (4.52), (4.61) получаем [7, с. 27]
неравенство λ[/ι2] = \[с22Е(а22 - b22;s,t)F(t)] > 0, которое противоречит
определению обобщенной матрицы Ляпунова, следовательно, с22 = 0,
что, в свою очередь, противоречит невырожденности матрицы С.
Таким образом, не существует треугольной системы Лаппо-Данилев-
ского, к которой бы приводилась рассмотренная система (4.47) с помощью
обобщенного преобразования Ляпунова. ■
Рассмотрим теперь частный случай системы Лаппо-Данилевского:
систему (4.39) с функционально коммутативной матрицей В. В работе [71]
В.В.Морозовым установлена структура функционально коммутативных
матриц, в частности, для матриц размерности 2 χ 2 . В дальнейшем нам
понадобится обобщение этого результата В. В. Морозова, установленного им
для комплекснозначных матриц, на случай действительнозначных
функционально коммутативных матриц.
Обозначим через V кососимметрическую матрицу
Лемма 4.8. Любая действительнозначная функционально ком-
мутативная матрица В, В : J -> К2х2 может быть представлена
в виде
B(t) = *(t)B0+P(t)E, (4.62)
где В0 — постоянная действительная 2x2 матрица, Ε —
единичная 2x2 матрица, а и β — скалярные действительнозначные
функции, определенные на J.
Доказательство. Из теоремы, доказанной в [71 ], следует, что
любая функционально коммутативная матрица В может быть представлена
в виде
т
В(0 = £/<(*)*«. (4.63)
t=l
-!ί ■
136

где fi — линейно независимые на J непрерывные действительнозначные
функции, В{ постоянные действительные матрицы, образующие
коммутативное семейство [161, с. 68].
Предположим, что множество {Bi} содержит матрицу В, имеющую
два действительных различных собственных значения λι и λ2, λ\ φ \2.
Тогда нормальная жорданова форма J{B) матрицы В имеет вид J(B) =
= diag{Xi,X2}. Пусть В = SJ(B)S~l . Если С — матрица,
коммутирующая с В, то матрица С = 5-1С5 коммутирует с J (В). Любая же
матрица С, коммутирующая с J(B) имеет [98, с. 204] вид С = diag{a, Ь},
а е R, Ъ € R. Обозначим через схо, β0 такие действительные числа, что
ί cxoXj + β0 = a,
< Такие значения схо и β0 существуют для любых α и о,
[ αολ2 + β0 = о.
поскольку определитель выписанной системы в силу неравенства λι φ \2
отличен от нуля. Поэтому С = qlqJ{B) + β0Ε, откуда
С = SCS~l = S(oloJ(B) + β0£) = (XoSJ(B)S-1 + β0# = α0Β + β0#.
Таким образом, для каждой матрицы Bi существуют действительные
постоянные а* и βά такие, что В» = а»В + р^£?. Поэтому из (4.63) и следует
требуемый результат:
т mm
г=1 г=1 t=l
Рассмотрим теперь случай, когда во множестве {Bi} содержится
матрица В, имеющая два комплексно сопряженных собственных значения
λ ± ш, μ Φ 0. Вещественная нормальная жорданова форма J(B) мат-
рицы β имеет [161, с. 184] вид J (В) = \Е + μΚ Любая же матрица
С, коммутирующая с «/(#), имеет [98, с.204] вид С = аЕ + bV.
Положим схо = 6/μ, β0 = α - 6λ/μ. Тогда С = aoJ(B) + β0£. Если В =
= SJ(B)S~~l , где S — постоянная невырожденная действительная
матрица, то любая матрица С, коммутирующая с В , будет иметь вид
С = SOS'1 = (XoSJ(B)S-1 + β0£ = oloB + β0£.
Следовательно, для каждой матрицы Bi существуют действительные
постоянные а* и βέ такие, что Bi = oiiB + β^, поэтому, как и ранее,
B(t) =a(t)B + $(t)E.
Предположим теперь, что множество {Bi} содержит лишь матрицы,
у каждой из которых собственные значения совпадают. Пусть среди этих
матриц имеется такая матрица В, для которой нормальная жорданова
137

форма имеет вид J(B) = ( 1 . Любая матрица С,
коммутирующая с J(B), имеет [98, с. 204] вид С = [ 1 . Положим а0 = 6,
β0 = а - Ъ\. Тогда С = ol0J(B) + β0£. Если В = SJ(B)S~1 , то лю-
бая матрица С, коммутирующая с В, будет иметь вид С = SCS"1 =
ao5J(J9)5_1 + β0£ = oloB + β0Ε. Следовательно, для каждой
матрицы Вг существуют действительные постоянные а* и pf такие, что В{ =
= VLiB + β{Ε, поэтому, как и ранее, B(t) = a(t)B + fi(t)E.
Осталось рассмотреть последний случай, когда все матрицы из
множества {Вг} имеют совпадающие собственные значения, причем
для каждой из матриц Bi нормальная жорданова форма J{Bi)
имеет вид J(Bi) = diag{Xi,Xt} · Очевидно, что в этом случае Вг =
т
= d\ag{ki,\i}=\iE, откуда сразу следует, что B(t)=^2\ifi(t)E = a(t)E.
Поскольку рассмотренные случаи полностью исчерпывают все
возможные распределения собственных чисел для 2x2 матриц, то,
следовательно, представление (4.62) имеет место для любой 2x2 функционально
коммутативной матрицы. ■
Лемма 4.9. Любая двумерная система с функционально
коммутативной матрицей коэффициентов асимптотически
эквивалентна треугольной двумерной системе с функционально
коммутативной матрицей коэффициентов.
Доказательство. Из леммы 4.8 следует, что любая
функционально коммутативная 2x2 матрица имеет вид B(t) = ai(t)Bo+fi(t)E, где
Во — постоянная, а Е — единичная матрицы, α и β — скалярные
действительные функции. (Заметим, что матрицы такого вида рассматривал
Лаппо-Данилевский в [162, с. 82].) Очевидно, что если B(t)
—функционально коммутативная матрица, то для любой невырожденной постоянной
матрицы S матрица S~lB(t)S — также будет функционально
коммутативной матрицей.
Если собственные числа матрицы £?0 действительны, то существу-
ет невырожденная действительная матрица S такая, что S~~lB0S = В,
где В — треугольная действительная матрица. Следовательно,
система (4.39) с функционально коммутативной матрицей коэффициентов В
с помощью преобразования Ляпунова у = S£ приводится к системе
Βξ = (a(t)B+fi(t)E)£} t G [έο>+οο), с треугольной действительной
функционально коммутативной матрицей коэффициентов, что и требовалось.
138

Если же матрица Во имеет комплексные собственные числа, то (см.,
например, [98, с. 257]) существует такая невырожденная постоянная
матрица S, что S~xBqS = В = μΕ + vV, где μ, ν е К, ν φ 0. Поэтому
система (4.39) с помощью преобразования Ляпунова у = S£ приводится
к системе ϋξ = (oi(t)B + β(£)£)£, которую перепишем в виде
Di = (ua(t)V + (μα(ί) + β(ί))£)ξ. (4.64)
Поскольку матричные функции (μα(ί) + fi(t))E и i/oi(t)V коммутируют
при всех t, t > to , то фундаментальная нормированная при t — to
матрица решений системы (4.64) имеет вид
Ξ(ί) =exp(VI(v<x;to,t)) · ехр (ΕΙ(μ<χ + β;ί0,*))·
Непосредственное вычисление показывает, что
ехр (yi(vvL\ to, t)) = cos /(ι/α; ί0, t)E + sin I{yu.\ f0> t)V. (4.65)
Обозначим L(£) = ехр (VI(vaL;to,t)) , тогда фундаментальная матрица
решений системы (4.64) может быть представлена в виде
Ξ(ί) = L(t)H(t)} (4.66)
где H(t) = ехр (ΕΙ(μα + β;ίο,*)) можно трактовать как
фундаментальную нормированную при t = to матрицу решений системы
£>77 = (μα(ί)+β(ί))^. (4.67)
Из (4.65) следует, что L(t) — ортогональная матрица с ограниченной на
[ίο, +οο) производной, поэтому в силу (4.66) система (4.64)
асимптотически эквивалентна диагональной системе (4.67) с функционально
коммутативной матрицей коэффициентов. ■
Теорема 4.3. Существует линейная система (4.38) размерности
η = 2, которая не приводима обобщенным преобразованием
Ляпунова ни к одной системе (4.39) с функционально коммутативной
матрицей коэффициентов.
Доказательство. Предположим, что существует система
(4.39) с функционально коммутативной матрицей коэффициентов, к
которой некоторым обобщенным преобразованием Ляпунова приводится
система (4.47). Поскольку композиция обобщенного преобразования и
преобразования Ляпунова является обобщенным преобразованием
Ляпунова, то в силу леммы 4.9 система (4.47) приводится обобщенным
преобразованием Ляпунова и к треугольной системе с функционально
коммутативной матрицей коэффициентов, которая, очевидно, является
треугольной системой Лаппо-Данилевского, что, однако, невозможно, как это было
139

показано в теореме 4.2. Полученное противоречие и доказывает требуемое
утверждение. ■
Следствие 4.1. Существует линейная система (4.38)
размерности η = 2, которая не приводима обобщенным преобразованием
Ляпунова ни к одной системе (4.39), у которой матрица Коши
может быть представлена в виде экспоненты
Κ(ί,τ) =θχρ(/(β;τ,ί)). (4.68)
Доказательство. Из результатов работ [72,81 ] следует, что
условие функциональной коммутативности матрицы коэффициентов В
является необходимым и достаточным для представления матрицы Коши
линейной системы (4.39) в виде (4.68). Таким образом, требуемое
утверждение следует из теоремы 4.3. ■
Рассмотрим теперь вопрос об обобщенной асимптотической
эквивалентности линейных систем системам Лаппо-Данилевского общего вида.
Лемма 4.10. Пусть непрерывные на промежутке [а, +оо) ска-
лярные функции и и ν таковы, что
u(t)I(v\a,t)=v(t)I(u\a,t) Vi>a. (4.69)
Пусть <У1* = {а > а 11(щ а, а) = 0}, и <ПР = {β > α | Ι(ν, α, β) = 0}.
Если
sup9la = supWp = +oo, (4.70)
то sup {9ta Π9tp} = +οο .
Доказательство. Заметим, a e 91α Π ^β Φ 0· Предположим
от противного, что sup{91a Π^β} = Μ < +οο. Из (4.70) следует, что
существуют такие числа oto и β0 , что а0 е91а , β0 € Wp и Μ < β0 < а0 .
Обозначим β* = supA, где Δ = {9tp f] [β0,αο]} (конечный супремум
существует, так как Δ — непустое множество, ограниченное сверху, см.,
например, [149, с. 31]).
Заметим, что, если Δ — конечное множество, то, очевидно, β* е 9ΐρ ,
если же Δ — бесконечное множество, то включение β* е 9tp следует из
непрерывности интеграла I(v; a, t). Поскольку oto G 9ta , но по
построению схо £ Wotf!^ то β* Φ αο, т.е. β* < oto- Тогда из определения Δ
получаем
Ι(ν;α,ί)φ0 νί<Ξ(β*,α0], (4.71)
а из включения β* е 9lp —
/(ν; α, β*) =0. (4.72)
140

Из (4.69), (4.71) и леммы 4.6 следует существование такого δ, что
u(t) — bv(t) при всех t G [β*,αο], поэтому из (4.69) имеем
Mt){I{v;a<p) + I{v#\t))=v{tW^ У*еЦГ,ао],
что приводит, с учетом (4.72), к равенству
?;(*)/(и;а,р*) = 0 ViG[p*,oo]. (4.73)
Из определения числа β* получаем β* £ У1а , т. е. 1(и; α,β*) φ 0 .
Поэтому (4.73) влечет v(t) = 0 при всех t 6 [β*, ао], но тогда
7(ν;α,β*) + /(ν;β*,αο) = /(ν;α,αο) = О,
т. е. ао g ^Пр , что противоречит выбору αο· Из полученного противоречия
и следует требуемый результат. ■
Лемма 4.11. Пусть непрерывные на промежутке [а, +оо)
скалярные функции гх, v, w таковы, что
u(t)I(v; α, t) = v(t)I(u; α, t) V t > а, (4.74)
u(f)I(w; α, ί) = w(i)/(u; α, ί) V £ > α, (4.75)
v(0/(w, α, t) = w(t)I(v; α, ί) V t > α. (4.76)
//ί/гшь <Яа = {а > а|/(и;а,а) = 0}, <Κβ = {β > α|/(ν;α,β) = 0},
9ΐγ = {γ > α | Ι(ιυ; α, γ) = 0}. Если
sup9la = sup9tp = supply = +oo, (4.77)
mo sup{^naf|^n^Y} = +°°-
Доказательство. Предположим от противного, что
sup^apl^lppl^} = M < +оо. (4.78)
Из (4.76), (4.77) и леммы 4.10 следует, что 8ΐιρ{*ΠβΠ^γ} = +°°·
Поэтому существуют такие числа σ е У^О^п αι е ^а» что Μ < о < αϊ,
причем в силу условия (4.78) о конечности Μ имеем αϊ ^ ^βΠ^γ·
Предположим, что ai ^ 9tp (случай αϊ £ *Πγ рассматривается
аналогично). Пусть OL2 = sup{9lp Π[σ'αι]}· Легко видеть (доказательство
такое же, как и в лемме 4.10), что ol^ 6 9tp, а следовательно, &2 Φ αϊ,
т.е. а2 < αι. Поэтому для всех t G (α2,αι] имеет место t $ 91р,
откуда I(v;a,t) φ 0 при всех t G (α2,αι]. Из полученного неравенства,
равенства (4.74) и леммы 4.6 следует существование δι такого, что u(t) =
Oit;(i) при всех t G [α2,αι]. Подставляя последнее равенство в (4.74),
имеем hxv(t)(l(v]a,oi2) + I{v;oi2,t)) = v(t)(l(u]a,a2) + bil(v\a2,t)), для
141

всех ί, t e [α2,αι], что приводит, с учетом включения а2 6 9tp, к
равенству v(t)I{u;a,a2) = 0 при всех t 6 [α2> αϊ]. Если бы α2 i Wa, т.е.
7(ϊχ;α,α2) ^ 0, то из полученного равенства следовало бы v(t) = 0 при
всех t е [α2>αι], но тогда /(υ;α,α2) + /(ν;a2,oti) = /(υ;α,αϊ) = 0, т.е.
αϊ e 9tp, что противоречит выбору αϊ- Таким образом, a2 G 9ta, а
следовательно, a2 G ^ΠαΠ^β· Поскольку а2 > σ > М, то а2 ^ 9tY, т.е.
а2 £ ^βΠ^Ύ' а> значит, α2 > σ. Рассмотрим a3 = supl^ Π[σ>α2]}·
Аналогично предыдущему, используя лемму 4.6 и равенство (4.75),
убеждаемся, что а3 е 9ta Π 91γ, α3 > σ. Продолжая этот процесс, строим
последовательность (αη), η £ Ν, где для всех fc Ε N имеем α2* =
= sup{9tp Γ|[σ,α2*_ι]}, α2*+ι = sup^ f|fa>a2*]}· Поскольку
построенная таким образом последовательность, как было показано,
оказывается монотонной и ограниченной снизу числом σ, то ее предел α* > σ > Л/,
т.е. а* ^ ^ΠαΠ^βΠ^Ύ- Однако, с другой стороны, a* e WaH^P (B
силу включений а2* G 91аП^р)и а* е ^«Π^ύ (в силу включений
а2лч-1 € Wafl^Y )· Следовательно, a* 6 9la f| % f| <Πγ. Полученное
противоречие и доказывает требуемое утверждение. ■
Теорема 4.4. Существует линейная система (4.38) размерности
η = 2, которая не приводима обобщенным преобразованием
Ляпунова ни к одной системе Л anno-Данилевского (4.39).
Доказательство. Рассмотрим двумерную треугольную
систему (4.47). Предположим, что существует система Лаппо-Данилевского
(4.39), В € £!Dr(s) U ££)&($), s > ίο, к которой система (4.47)
приводится некоторым обобщенным преобразованием Ляпунова. В силу (4.3) (см.
с. 114) элементы матрицы коэффициентов В = (6^), i,j = 1,2, системы
(4.39) будут удовлетворять равенствам
bu(t)I(b21;s,t) = b21(t)I(b12;s,t)) Vf > s, (4.79)
bi2(t)I(b22 - Ьн;М) = (Μ*) - bu(t))I(bi2\8,t) Vf > *, (4.80)
b2i{t)I(b22 -bn;8,t) = (b22(t)-bu(t))I(b21;s,t) V* > 5. (4.81)
Предположим, что существует последовательность (fn), η G Ν,
такая, что tn возрастая стремится к +оо при η -» +оо и
/(&22 - Ьц;М) = J(bi2;Mn) = I(b2l;s,tn) = 0. (4.82)
Тогда I{B\s,tn) = J(6ii;s,in)J5, где J5 — единичная матрица,
поэтому фундаментальная нормированная при t = s матрица Ys системы
(4.39) при t = tn принимает вид Ys(tn) = exp(/(&n;s,fn))£.
Матрица L = (lij), i,j = 1,2, преобразования χ = Ly, которое переводит
142

систему (4.47) в систему (4.39), имеет вид L(t) = Xa(t)CY~l(t), где Х8
и Y8 — фундаментальные нормированные при t = s матрицы решений
систем (4.47) и (4.39) соответственно, а С —постоянная невырожденная
матрица. Поэтому из (4.82) получаем, что
hi (in) = /(on - &п; Μη) (сц +c2iI(E(a22 - αιι;β,τ);β,ί„)),
^12(in) = /(оц - bn;s,tn)(ci2 +c22l(E(a22 - an; β, τ); Μη)) >
hi(tn) =c2i/(a22 -bn;s,tn), i22(tn) = сггДагг -&n; Μη)·
Предположим, что c2i / 0. Тогда из леммы 4.7 вытекает, что для
любого ε > 0 существует та кое Νι > 0, что для всех η, η > Νχ, выполнено
In |сц + c2i/(on - a22; s, £n)| > (γ - ε)ί„, где γ = 3β~2π/μ. Так как L -
обобщенная матрица Ляпунова, то из (1.9) следует Х[/ц] < 0. Поэтому
0> Ππϊ ί_11η|Ζιι(<)|> Шп i-Mnl/n^)! =
£—►+00 П—* + 00
= lim «"^/(оп-6n;s,in) + ln|cn+c2i/(an-a22;s,i„)|) >
n—»-f-oo
> Πϊη t~lI{an-bn',s,tn) + (y-e).
η—»+οο
Из полученного неравенства находим, что для любого ε > 0 существует
такое Ν2 > 0, что для всех n, n> 7V2, выполняется
/(an -Ьц;Мп) < (-γ + 2ε)ίη. (4.83)
Из леммы 1.2 (см. с. 17) следует, что для любого ε > 0 существует
такое 7V3 > 0, что для всех η , η > Ν^, имеет место неравенство
1(аи + а22 ~~ hi - Ъ22\ s, tn) > -είη.
Поэтому из (4.83) с учетом равенства I(bn;s,tn) = I{h22\s,tn) получаем,
что для любого ε > 0 существует такое N > 0, что для всех η, η > Ν,
справедливо неравенство
7(α22-6ιι;5,ίη) = /(αιι+α22-6ιι-&22;5,<η)-/(αιι-622;5,<η)>(γ-3ε)ίη.
Откуда λ[/2ι]= fim Г"1 In |/2ι(ί)| > Κ™ ί"1 (in |c2i|+/(a22—&n;«, *n)) >
> (γ — 3ε) > 0, что противоречит определению обобщенной матрицы
Ляпунова. Следовательно, с2\ = 0.
Аналогично показывается, что неравенство с22 φ 0 также не может
иметь места. Поэтому с2\ = с22 = 0. Однако эти равенства
противоречат невырожденности матрицы С. Полученное противоречие доказывает,
что не существует такой последовательности (fn), для которой были бы
143

выполнены равенства (4.82). Поэтому из леммы 4.11 (ср. (4.74) — (4.76) с
(4.79) — (4.81)) следует существование такого si, s\ > s, для которого
выполнено, по крайней мере, одно из следующих неравенств:
/(612;М)^0 Vf >sb (4.84)
I(b2i;8,t)?0 Vt>au (4.85)
/(622-611;Μ) 7*0 Vi>sb (4.86)
Предположим, что выполнено неравенство (4.84). Тогда в силу леммы 4.6
существуют такие δι и бг, что равенства 5ι6ΐ2(έ) = &2ΐ(ί) и δ2&ΐ2(£) =
= b22(t)-bn(t) выполняются для всех t>s\. Но тогда для всех t > s\
Легко видеть, что для такого вида матрицы В выполнено условие (4.5),
т.е. матрица В является функционально коммутативной на [si,+oo).
Поэтому в силу следствия 1.3 система (4.39) асимптотически эквивалентна
системе, функционально коммутативная матрица коэффициентов которой
имеет вид (4.87) на всем промежутке J0.
Аналогично доказывается, что выполнение неравенств (4.85) или (4.86)
также влечет за асимптотическую эквивалентность системы (4.39) системе
с функционально коммутативной матрицей коэффициентов.
С другой стороны, в теореме 4.3 установлено, что система (4.47) не
может быть приведена никаким обобщенным преобразованием Ляпунова ни
к одной системе с функционально коммутативной матрицей
коэффициентов. Указанное противоречие и доказывает утверждение теоремы. ■
Следствие 4.2. Существует линейная система (4.38)
размерности η = 2, которая не приводима обобщенным преобразованием
Ляпунова ни к одной системе (4.39), у которой фундаментальная
нормированная в точке t = s матрица решений Y8{t) представила
в экспоненциальной форме Y8(t) = exp(J(B; s, t)).
Доказательство. В замечании 4.1 (см. с. 127) было указано, что
для двумерных систем условие Лаппо-Данилевского оказывается
необходимым и достаточным для представления фундаментальной матрицы
решений в экспоненциальной форме. Поэтому требуемый результат следует
из теоремы 4.4. ■
Следующие два утверждения дают критерии приводимости линейных
систем с помощью преобразований Ляпунова к правосторонним, двусто-
144

ронним системам Лаппо-Данилевского и к системам с функционально
коммутативными матрицами коэффициентов.
Теорема 4.5. Для асимптотической эквивалентности системы
(4.38) некоторой правосторонней {двусторонней) системе Л anno-
Данилевского необходимо и достаточно, чтобы существовала
фундаментальная матрица X системы (4.38) представимая в виде
X(t) = L(t)expI(B;s,t) Vi > s (V* > ί0), где L(t) - матрица Ля-
пунова и В е £Dr(s) (В е £5)b(s)).
Доказательство теоремы непосредственно следует из леммы 1.1 и
возможности представления фундаментальной нормированной при t = s
матрицы решений правосторонней (двусторонней) системы
Лаппо-Данилевского (4.39) в виде exp I(B; s, t), если Be£J)r(s) (Befits)). ■
Теорема 4.6. Для асимптотической эквивалентности системы
(4.38) некоторой системе с функционально коммутативной мат-
рицей коэффициентов необходимо и достаточно, чтобы матрица
Коши ΚαΨ, s) системы (4.38) была представима в виде
KA(t,s) = L(i)exp/(Я;*,^-1^) Vi,s > *о, (4.88)
где L(t) — матрица Ляпунова.
Доказательство. Необходимость. Пусть система (4.38)
асимптотически эквивалентна системе (4.39), матрица коэффицентов которой
является функционально коммутативной. В силу леммы 1.1 (при Τ = £)
существует такое sq > to и постоянная невырожденная матрица С , что
Xs0(t)CY-1(t)=L(t)} (4.89)
где L(t) — матрица Ляпунова, Х8о и Y80 — фундаментальные
нормированные при t = so матрицы решений систем (4.38) и (4.39) соответственно.
Кроме того, из функциональной коммутативности матрицы В следует, что
KB{t,s) =expI(B;s,t), (4.90)
где Ke{t, s) - матрица Коши системы (4.39). Из (4.89) имеем
KA(tJs)=X80(t)X-1(s) =
= L^Ys^CC-'Y-'is^Hs) = L{t)KB{t,s)L-\s),
откуда в силу (4.90) получаем требуемое соотношение (4.88).
Достаточность. Линейное преобразование χ = L(t)y с матрицей
Ляпунова L(t) из соотношения (4.88) переводит систему (4.38) в некоторую
линейную систему Dy = P(t)y с матрицей коэффициентов Р, которая
145

удовлетворяет (см. (1.3), с. 14) равенству
P(t) = L-l(t)A(t)L(t) - L-l{t)DL{t).
Так как L(t) — KA(t, s)L(s)E(-B; s, ί), то
DL(t) = A(t)KA{t,s)L(s)E(-B;s,t) - KA{t,s)L(s)E{-B;s,t)x
xD(E(B;s,t))E(-B;s,t) = A(t)L(t) - L{t)D(E(B;s,t))E(-B;s,t).
Поэтому P(t) = D(E(B;s,t))E(-B;s,t), откуда
P(t)E(B;s,t) = D(E{B;s,t))
при всех t,s > to. Следовательно,
p«(£+ Σ ^(Р;М)П=о(£+ Σ ^(КВ-в,1)Г) =
ill· lit·
m=l m=l
oo - m—1
= β(<) + Σ — Σ (7(β5 *,о)*в(о(/(в; в,о)га~1_* νί,«> ίο.
_ lib·
Подставляя в полученное соотношение s = ί, получим Р(£) = 2?(£) при
всех t > ίο· Таким образом, рассматриваемое преобразование переводит
систему (4.38) в систему (4.39). Покажем, что матрица В этой системы
является функционально коммутативной.
Рассмотрим фундаментальную матрицу решений X системы (4.38) и
матрицу Ляпунова L(t), заданные соотношением (4.88). Матрица Y(t) =
L~~1(t)X(t) — некоторая фундаментальная матрица решений системы
(4.39), поэтому
KB(t,s) = Y(t)Y"x(8) = L-lX(t)X-l(8)L(8) =
= L~l (t)KA(t, s)L(s) = E(B; s, t)
при всех t,s > ί0· В силу теоремы В. А. Винокурова [81] матрица В
является функционально коммутативной, что и требовалось доказать. ■
Отметим, что критерии приводимости линейных систем обобщенным
преобразованием Ляпунова к системам Лаппо-Данилевского и к
системам с функционально коммутативными матрицами коэффициентов
формулируются и доказываются точно так же, как и соответствующие критерии
приводимости с помощью преобразования Ляпунова. Для этого
достаточно всюду заменить матрицу Ляпунова на обобщенную матрицу Ляпунова.

ГЛАВА 5
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ, НЕ РАЗРЕШЕННЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО
ПРОИЗВОДНЫХ
5.1. Преобразования систем линейных уравнений,
не разрешенных относительно производных
Основным объектом исследования в этой главе будут являться
линейные системы дифференциальных уравнений, не разрешенных
относительно производных
A(t)Dx + B{t)x = О, хе Kn, t 6 Jo = [0,+оо), (5.1)
где А и В — абсолютно непрерывные η χ η матричные функции,
ограниченные на промежутке J0, причем det A(t) = О при всех t 6 Jo-
Определение 5.1. Решением системы (5.1) назовем любую
абсолютно непрерывную функцию χ, χ : Jo -» Kn, которая обращает
(5.1) в тождество почти всюду на промежутке Jo .
Определение 5.2. Абсолютно непрерывную матричную функцию
X размерности η χ к назовем фундаментальной матрицей
решений системы (5.1), если для любого постоянного вектора с
размерности к функция x(t) = X(t)c является решением системы (5.1), и
для любого решения x(t) системы (5.1) существует единственный
постоянный вектор с такой, что x(t) = X(t)c.
В дальнейшем рассматриваем только такие системы, для которых
существуют фундаментальные матрицы решений. Заметим, что из
приведенного определения следует, что таким образом введенные фундаментальные
матрицы сохраняют основные свойства фундаментальных матриц решений
обычных линейных дифференциальных систем (1.1). В частности, имеют
место следующие утверждения:
1. Столбцы χι, Χ2, ..., Хк фундаментальной матрицы X
решений системы (5.1) являются линейно независимыми решениями
системы (5.1).
147

Действительно, обозначим через е*, г = l,...,fc, постоянные
единичные вектор-столбцы размерности А:, у которых г -я координата равна
единице, а остальные координаты — нули. Тогда из определения
фундаментальной матрицы следует, что Xi(t) = Χ{ί)βι - решение (5.1). Кроме того,
если бы столбцы χχ, χ2, ..., Хк были линейно зависимыми, то
существовал бы такой набор чисел αϊ, α2, ..., α* , |αι| + |α2| + ... + |α*| φ О, что
x0(t) = aixi(t) + α2χ2(£) + ... + akxk(t) =0 Vie J0,
но тогда решение xo(t) = 0 системы (5.1) имело бы два различных
представления: x0{t) = Х(£)(0,0, ...,0)т, x0(t) = Χ(<)(αι,α2,...,α*)τ, что
противоречит определению, так как (αι,α2, ...,α*) φ (0,0, ...,0).
2. Фундаментальная матрица X(t) решений системы (5.1)
обращает матричное уравнение A(t)DX + B(t)X = 0 в тождество
почти всюду на J0 .
Доказательство сразу же следует из предыдущего утверждения.
3. Для любой невырожденной кхк матрицы С матрица X(t)C
является фундаментальной матрицей решений системы (5.1), если
только X — фундаментальная матрица этой системы.
Легко видеть, что для любого постоянного вектора α функция x(t) =
= Xi(t)a , где X\{t) = X(t)C, — решение системы (5.1). С другой
стороны, для любого решения x(t) системы (5.1) существует единственный
постоянный вектор Ъ такой, что x(t) = X(t)b, а следовательно, существует
постоянный вектор а, а = С~16, такой, что
x(t) = X(t)b = X{t)CC~lb = Xx{t)C-lb = Xi{t)a.
Кроме того, если x(t) = Xi(t)a и x(i) = X\{t)c, то
0 = x{t) - x{t) = Xi{t){a - c) = X(t)C(a - c),
откуда в силу определения фундаментальной матрицы следует равенство
С (а - с) = 0, которое в силу невырожденности матрицы С влечет
равенство векторов awe. Таким образом, матрица Х\ удовлетворяет
определению фундаментальной матрицы.
4. Для любых двух фундаментальных матриц Хо и Х\ решений
системы (5.1) существует единственная невырожденная матрица
С такая, что Х\ = XqC.
Действительно, так как столбцы х\ , ..., Хк матрицы ΛΊ
являются решениями системы (5.1), то по определению существует
единственный набор постоянных векторов сЛ , ..., с* такой, что Xi{t) = X0(t)cj,
г = l,...,fc. Поэтому существует единственная матрица С такая, что
148

X\(t) = X0(t)C, где столбцами матрицы С являются векторы ci, ...,с*.
Невырожденность же матрицы С следует из единственности
представления тривиального решения x0(t) = О системы (5.1) в виде x0(t) =
= ΑΊ(ί)(0, ..,0)Т, ибо предположив противное, т. е. detC = 0, мы
получим, что существует ненулевой вектор а, для которого, во-первых, Са = О
и, во-вторых, xo(t) = Xo(t)Ca = X\(t)a. Последнее равенство
противоречит определению фундаментальности матрицы Хи поскольку а ф 0.
Наряду с системой (5.1) рассмотрим систему такого же вида
P{t)Dy + Q(t)y = 0, у е Mn, t (Ξ Jo, (5.2)
где Ρ и Q — абсолютно непрерывные η χ η матричные функции,
ограниченные на промежутке J0, причем det P(t) = 0 при всех t G Jo-
Определение 5.3. Системы (5.1) и (5.2) назовем асимптотически
эквивалентными, если существует такая матрица Ляпунова L,
что для любого решения у системы (5.2) функция χ = Ly —
решение системы (5.1), и для любого решения χ системы (5.1) функция
у = L~~lx — решение системы (5.2).
Имеет место следующий критерий асимптотической эквивалентности
систем, аналогичный критерию, сформулированному в лемме 1.1.
Теорема 5.1. Системы (5.1) и (5.2) асимптотически
эквивалентны тогда и только тогда, когда существует такая матрица
Ляпунова L, что для любой фундаментальной матрицы Υ решений
системы (5.2) существует фундаментальная матрица X решений
системы (5.1), для которой имеет место представление X = LY.
Доказательство. Необходимость. Пусть Υ = (у\,..., у*), 1 < к <
< п, — фундаментальная матрица решений системы (5.2). Из
асимптотической эквивалентности систем (5.1) и (5.2) следует существование
матрицы Ляпунова L такой, что, в частности, функции Xi(t) = L(t)yi(t),
г = l,...,fc, являются решениями системы (5.1). Покажем, что
матрица X , столбцами которой являются функции х\, ...,χ*, является
фундаментальной матрицей решений системы (5.1). Действительно, из
асимптотической эквивалентности систем (5.1) и (5.2) следует, что для любого
постоянного вектора с функция x(t) = X(t)c = L(t)Y(t)c является
решением системы (5.1), поскольку в силу фундаментальности матрицы Υ
функция y(t) = Y(t)c является решением системы (5.2). С другой
стороны, для любого решения χ системы (5.1) из асимптотической
эквивалентности систем (5.1) и (5.2) следует, что функция y(t) = L~l(t)x(t) —
решение системы (5.2) и поэтому существует такой постоянный вектор с, что
L-l(t)x(t) = y(t) = Υ(i)c, откуда x(t) = L(t)Y(t)c = X{t)c. Единствен-
149

ность же представления любого решения x(t) в виде x(t) = X(t)c
следует из того факта, что из равенств x(t) = X(t)c\, x(t) = X{t)c2 следует
равенство 0 = X(t)(ci-c2) = L(t)Y(t)(ci-c2), откуда 0 = Y(t)(ci -c2) .
Последнее же влечет в силу фундаментальности матрицы Υ(t) равенство
с\ = с2.
Достаточность. Пусть у — произвольное решение и Y(t) —
произвольная фундаментальная матрица решений системы (5.2). Тогда
существует такой постоянный вектор с, что y(t) = Y(t)c. Поэтому функция
x(t) = L(t)y(t) = L(t)Y(t)c = X(t)c — решение системы (5.1) в силу
фундаментальности матрицы X. Если χ — произвольное решение системы
(5.1), то существует такой постоянный вектор α , что x(t) = X(t)a, откуда
функция y(t) = L"1(t)x(t) = L~l(t)X(t)a = Y(t)a - решение
системы (5.2) в силу фундаментальности матрицы Υ . Асимптотическая
эквивалентность систем (5.1) и (5.2) следует теперь из определения. ■
В дальнейшем для сокращения записи будем использовать
обозначение (F G)A = ( г 1 , где F и G —некоторые матрицы.
Лемма 5.1. Пусть А и В — абсолютно непрерывные матричные
функции, ограниченные вместе со своими первыми производными на
промежутке J0 . Если существует такое к, 1 < к < η, что
rankA(t) = k Vie J0, (5.3)
существует такая kxk подматрица Ao(t) матрицы A(t), для
которой
inf \detA0(t)\ >0, (5.4)
t£ Jq
U
inf
teJ0
2-j;aet(A(t)\ + B(t))
> 0, (5.5)
то система (5.1) асимптотически эквивалентна системе (5.2), где
матрицы P(t) и Q(t) имеют вид
™ ■ (о, 2) ■«■ (S ?.«.) · -
01, 02, Оз —нулевые (n-fc)x(n-fc), (n-k)xk, kx(n—k) матрицы,
Ει, Εο — единичные (η - k) χ (n-k), kxk матрицы, Qo(t) — kxk
матричная функция локально суммируемая и ограниченная на J0 .
Доказательство. Не нарушая общности, считаем, что указанная
в условии подматрица Aq находится в правом нижнем углу матрицы А .
150

Представим матрицу А в блочном виде A(t) = \ J , где
АзЦ) A0(t)
матрицы Αχ , А2 , А3 имеют размеры (п — к) х(п — к), (п - к) χ к,
к χ (п — к) соответственно.
Тогда из условий (5.3) и (5.4) следует, что существуют такие (п - к) χ к
и к χ (п — к) абсолютно непрерывные и ограниченные вместе со своими
первыми производными на промежутке Jo матричные функции C\(t) =
= A2(t)AQ1(t) и C3(t) = AQl(t)As(t) соответственно, что матрица А мо-
лт ( Ci(t)A0(t)C3(t) d(t)Ao(t)
жет быть представлена в виде Ait) = I А , ч л , ч . . ч
У) \ A0(t)C3(t) A0(t)
( Ех -Ci(t) \ ( Ex 02
Обозначим nt) = ( 0з л.1ад j , 5(() = ^ _Сз(<) ^
Очевидно, что обе матрицы Т и S являются невырожденными. Умножив
систему (5.1) на матрицу Τ слева и сделав замену переменных χ = S{t)z ,
получим систему
P(t)Dz + F(t)z = 0, (5.7)
где матрица Ρ имеет вид, указанный в (5.6), и
F(t) = T(t)(A(t)DS(t) + B(t)S(t)). (5.8)
Из свойств матрицы С3 следует, что матрица S является матрицей
Ляпунова и, следовательно, система (5.7) асимптотически эквивалентна
системе (5.1). Запишем матрицу F в блочном виде
™-(« 55) ■
где матрицы F\ , F2 , F3 , F0 имеют размеры (n-fc) x(n-fc), (η — fc)xfc,
к χ (η — к), к χ к соответственно, и обозначим ζ = (ζ\ ζ2)Α , где ζ\ и
ζ2 — векторы размерности (n-fc) и к соответственно. Тогда систему (5.7)
можно представить как две системы: одну алгебраическую
Fi(t)zl+F2{t)z2=0, (5.10)
а вторую дифференциальную
Dz2 + F3(t)zi + F0(t)z2 = 0. (5.11)
Из (5.8) следует, что
F(t)=G(t)+T(t)B(t)S(t), (5.12)
151

где
CW = PWS-ЧТО) = ( _^(<) °l), (6.13,
Ο0 -нулевая кхк матрица. Из соотношений (5.8), (5.9) и (5.12) получаем
det(A(t)\ + B(t)) = det Г""1 (t) det(PX + F(t) - G(i)) det S~l(t) =
= det Α,(ί) det(PX + F(i) - G(t)). (5.14)
Используя разложение Лапласа для вычисления определителя, из формул
(5.6), (5.9), (5.13) получаем
к-1
det(PX + F(t) - G(t)) = λ* det Fi(i) + ]Γ Λ(ί)λ?, (5.15)
t=0
где /г, г = 0,1,...,/: — 1, — некоторые функции. Поэтому в силу
ограниченности матрицы А и условий (5.4), (5.14), (5.15) будет выполнено
неравенство inf | det Fi(t)\ > 0, которое влечет, с учетом (5.10) и (5.11),
££ Jo
равенства
Zl(t) = -F-l(t)F2(t)z2(t), (5.16)
Dz2 = (F3(t)F1-1(t)F2(t) - F0(t))z2. (5.17)
Пусть Z2(t) — фундаментальная матрица решений системы (5.17).
Тогда матрица
Z(t) = (Zl(t) Z2(t))A = (-Frl(t)F2(t)Z2(t) Z2(t))A (5.18)
в силу (5.16) и определения 5.2 является фундаментальной матрицей
системы (5.7).
Рассмотрим систему (5.2), где матрицы Ρ и Q определены формулами
(5.6) с локально суммируемой и ограниченной на промежутке J0 матрицей
Q0(t) = F0(t) - F3(i)F1"1(i)F2(i). Если Υ — фундаментальная матрица
системы (5.2), то существует такая постоянная к χ к матрица Со , что
Из (5.8), (5.9), (5.12) и (5.13) следует, что матричные функции Fx l и F2
являются абсолютно непрерывными и ограниченными вместе со своими
первыми производными на промежутке Jo . Поэтому матрица L
является матрицей Ляпунова. В силу теоремы 5.1 система (5.2) асимптотически
эквивалентна системе (5.7), а следовательно, и системе (5.1). ■
152

Заметим, что условия, приведенные в лемме 5.1, гарантируют, что
система (5.7) обладает равномерным индексом единица [105, с. 48] и
представляют собой условия типа "критерий ранг —степень", используемые в
[103] для доказательства существования и единственности решений.
Следующий пример показывает существенность этих условий в том
смысле, что при их отсутствии существуют системы, обладающие лишь
тривиальными абсолютно непрерывными решениями, продолжимыми на
весь промежуток задания системы.
Пример 5.1. Нетрудно проверить, что все приведенные ниже системы
имеют лишь тривиальные абсолютно непрерывные на Jo решения:
, , sini 0 \ / cosi —1 ,
1 о ι )Dx+[ о -ι ,х = 0' i(EJo'
2 ( . . 2. . - ]Dx+ [ „ ч |х = о, te J0.
Так как rank A(t) = 1, при t = кп, к е No и rank A(t) = 2, при всех
остальных t, то условие (5.3) теоремы 5.1 не выполнено.
sint cost \ I cost —sini
9 ] Dx+ I
2sin2f sin2i J у 0 1
В данном случае rank A(t) = 1 при всех t > 0, однако не существует
одномерной подматрицы Д>(£), для которой было бы выполнено условие
(5.4).
3· ( О U{t))Dx+{ -U(t) О )Х = °' * € Jo, где О и Ε
О О ΓΓΛΑ ( C0Si Silli ^
нулевая и единичная 2x2 матрицы, а и [г) = I _ . 1 .
В данном случае rank A(t) = 2 при всех t G Jo, и существует 2x2
подматрица A0(t) = U(t), det A0(t) = 1 Vf 6 Jo, однако условие (5.5)
не выполнено так как | det(A(t)\ + B(t))\ = 1.
Заметим, что, несмотря на приведенные примеры, лемма 5.1 дает
лишь достаточные, но не необходимые условия. Соответствующие
примеры можно найти в нашей работе [122], где, в частности, показано
(пример 3), что условие degdet (Ak+B) = const, которое в случае постоянных
матриц А и В является, как было доказано в работе Н. Н.Лузина [97],
необходимым и достаточным для постоянства размерности пространства
решений, в случае переменных коэффициентов (аналогом этого условия
является условие (5.5)) уже не является необходимым. Кроме того,
пример 2 упомянутой работы, показывает также отличие введенного нами
понятия асимптотической эквивалентности от понятия строгой
эквивалентности регулярных пучков матриц (см. [98, с. 331]).
В заключение приведем теорему, которая является аналогом утвержде-
153

ния о приведении линейных систем к системам с кусочно-постоянными
коэффициентами (теорема 2.2).
Теорема 5.2. Если матрицы А и В коэффициентов системы (5.1)
удовлетворяют условиям леммы 5.1, то система (5.1)
асимптотически эквивалентна системе (5.2), где матрицы Р, Q имеют вид
(5.6), а матрица Q0 — треугольная кусочно-постоянная
матрица, ненулевые элементы которой принимают только два значения,
причем точками разрыва коэффициентов могут быть лишь точки
последовательности (fn), tn = ηί, η e Ν, I — некоторое
положительное число.
Доказательство. Из леммы 5.1 следует, что система (5.1)
асимптотически эквивалентна системе
d\ag{OuEo}Dz + diag{EuRa(t)}z = 0. (5.19)
где Е\ , Е0 — единичные (п - к) χ (η - к), к χ к матрицы, 0\ - нулевая
(п - к) χ (п — к) матрица, Ro(t) — к χ к матричная функция, локально
суммируемая и ограниченная на J0 . Из теоремы 2.2 следует, что система
Dz0 = -Ro(t)z0 (5.20)
асимптотически эквивалентна треугольной кусочно-постоянной системе
Dy0 = -QoWtth (5.21)
причем ненулевые элементы матрицы Q0 принимают только два
значения г и —г, где supteJo ||До(£)|| < г, а точки разрыва могут быть
лишь в точках последовательности tn , tn = η£, η 6 Ν, ί —
некоторое положительное число. Поэтому существует матрица Ляпунова L0
такая, что для любой фундаментальной матрицы Y0 системы (5.21)
матрица Zq , Zo(t) = Lo(t)Yo(t) — фундаментальная матрица решений системы
(5.20). Очевидно, что матрица Z(t) = ( О2 Z0(t) ) , где 02 —
нулевая (η — к) χ к матрица, является фундаментальной матрицей решений
системы (5.19). В силу теоремы 5.1 существует матрица Ляпунова L
такая, что матрица X(t) = L{t)Z{t) — фундаментальная матрица решений
исходной системы (5.1). Таким образом, мы можем представить матрицу
X в виде X(t) = L(t)d\ag{EuL0(t)}(O2 Y0(t))A = Lx{t)(02 >ο(*))Λ,
что, поскольку матрица L\, очевидно, является матрицей Ляпунова, в
силу теоремы 5.1 влечет асимптотическую эквивалентность системы (5.1) и
системы d\ag{Oi,E0}Dy + d\ag{EuQ0(t)}y = 0, где матрица Q0 имеет
требуемый вид. ■
154

5.2. Приводимость систем линейных уравнений,
не разрешенных относительно производных
Аналогично тому, как это сделано для систем обыкновенных
дифференциальных уравнений (см., например, [13]), введем понятие
приводимости для систем дифференциальных уравнений, не разрешенных
относительно производных.
Определение 5.4. Систему (5.1) назовем приводимой, если она
асимптотически эквивалентна системе (5.2) с постоянными
матрицами коэффициентов Ρ и Q.
Имеет место следующее утверждение, аналогичное критерию Еругина
приводимости обыкновенных дифференциальных уравнений.
Теорема 5.3. Для приводимости системы (5.1) к системе
( Οχ 02\ ( Ει 02\
U Ч°*+{ог Q0)» = 0' (5·22>
где Οχ , Οι, 0$ — нулевые (η - k) χ (η - k), (η - k) χ k, k χ (η - k)
матрицы, Ει, Eq— единичные (η — k) χ (η — λ;), Α: χ А: матрицы,
Qo — kxk постоянная матрица, необходимо и достаточно, чтобы
существовали матрица Ляпунова L и фундаментальная матрица
X решений системы (5.1) такие, что имеет место равенство
X{t) = L(t) ( 02 exp(Qt) )Л , (5.23)
причем постоянная матрица Q такова, что системы
обыкновенных дифференциальных уравнений
Du = -Qou, (5.24)
Dv = Qv (5.25)
асимптотически эквивалентны.
Доказательство. Необходимость. Системы (5.1) и (5.22)
асимптотически эквивалентны, поэтому в силу теоремы 5.1 существует такая пхп
матрица Ляпунова Л, что для любой фундаментальной пхк матрицы Υ
решений системы (5.22) существует фундаментальная матрица Χι
решении системы (5.1), которая представима в виде
Xi(t) =R(t)Y{t). (5.26)
В качестве фундаментальной матрицы Υ возьмем матрицу вида
Y{t) = ( 02 U(t) )Λ, (5.27)
155

где U(t) - фундаментальная матрица решений системы (5.24).
Поскольку системы (5.24) и (5.25) асимптотически эквивалентны и exp(Qt) —
фундаментальная матрица решений системы (5.25), то в силу леммы 1.1
существуют кхк матрица Ляпунова Τ и постоянная к χ к матрица С
такие, что
U(t)=T{t)exp(Qt)C. (5.28)
Обозначим
T1(t) = d\ag{EuT(t)}. (5.29)
Очевидно, что матрица Т\ — матрица Ляпунова. Поэтому из равенств
(5.26)-(5.29) следует
Xx(t) = R(t)Y(t) = R(t) ( 02 T{t)exp{Qt)C )Λ =
= Λ(ί)Γι(ί) ( 02 exp(Qi) )Λ С (5.30)
Обозначая X(t) = Xi(t)C~l и L(t) = R(t)Ti(t), получаем требуемое
соотношение (5.23), так как матрица X(t) в силу свойства 3
фундаментальных матриц (см. с. 148) является фундаментальной матрицей решений
(5.1), а матрица L(t), как произведение матриц Ляпунова, — матрицей
Ляпунова.
Достаточность. Из асимптотической эквивалентности систем (5.24) и
(5.25) следует существование кхк матрицы Ляпунова L\ и кхк
постоянной невырожденной матрицы С таких, что для фундаментальных
матриц exp(-Qot) и exp(Qt) этих систем имеет место соотношение
exp(Qi) = Li(t)exp(-Q0t)C. (5.31)
Из (5.23) и свойства 4 фундаментальных матриц (см. с. 148) следует, что
любая фундаментальная матрица Х\ решений системы (5.1) имеет вид
X\(t) = L(t) ( О2 exp(Qf) ) Ci, где С\ — постоянная
невырожденная кхк матрица. Поэтому из (5.31) получаем
(«Д,о) = (£ ш) '^ω^г'с-= loWw0-
Легко видеть, что матрица Y(t) = ( О2 exp(-Qoi) ) Co является
фундаментальной матрицей решений системы (5.22), а матрица L0 —
матрица Ляпунова. Следовательно, в силу теоремы 5.1 системы (5.22) и (5.1)
асимптотически эквивалентны. ■
Для постоянных матриц Ρ и Q обозначим ρ(λ) = det (Ρλ+Q).
Предположим, что матрицы Р, Q таковы, что ρ(λ) ^ 0. Пусть к = degp(X).
156

Известно (см., например, [98, с. 334]), что в этом случае существуют такие
невырожденные постоянные га χ η матрицы R и S, для которых
ЩРХ + Q)S = diag{AT(X), £ολ + J}, (5.32)
где Eq — единичная к χ к матрица, J — постоянная к χ к матрица,
имеющая нормальную жорданову форму, а блочно-диагональная матрица Ν(λ)
имеет вид N(k) = diag{ATiiJiVi2,...,iV<m}, причем г8 χ г8 матрицы ΛΓίβ ,
s = 1,2, ...,m, имеют специальный вид
/1 λ 0 ... О 0\
О 1 λ
о
о
о
о
о о
1
о
λ
V
у] г8 = η — к.
8=1
Ρ и Q
(5.33)
Теорема 5.4. Система (5.2) с постоянными матрицами
асимптотически эквивалентна системе
diag{Oi, EQ}Dz + d\ag{Ei, Κ}ζ = 0,
где Οχ и Е\ — нулевая и единичная соответственно (n-k)x(n-k)
матрицы, Е0 — единичная k x k матрица, K = ReJ,J —
постоянная матрица, удовлетворяющая (5.32).
Доказательство. Очевидно, что система (5.2) с постоянными
матрицами Ρ и Q в силу (5.32) асимптотически эквивалентна системе
diag{N(D), E0D + J}u = 0, (5.34)
поскольку в качестве преобразующей матрицы Ляпунова достаточно взять
невырожденную матрицу S. Поэтому для доказательства теоремы
достаточно доказать асимптотическую эквивалентность систем (5.34) и (5.33).
Рассмотрим две линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений
Dz0 = -Kzo, (5.35)
Duo = — Juo. (5.36)
В силу теоремы Н.П.Еругина (см. [13, с. 9]) эти системы
асимптотически эквивалентны. Следовательно, существуют к χ к матрица Ляпунова
L0 и невырожденная постоянная к χ к матрица Со такие, что Uo(t) =
= Lo(t)Zo(t)Co, где Z0 и Щ — фундаментальные матрицы решений
систем (5.35) и (5.36) соответственно. Положим L(t) = d\ag{Ei, L0(t)}.
Нетрудно видеть, что L —матрица Ляпунова. Непосредственная проверка
показывает, что η χ к матрица Z(t) = ( 02 Zo(t) ) , где 02 — нуле-
157

вая (η — к) χ к матрица, является фундаментальной матрицей системы
(5.33), поэтому любая другая фундаментальная матрица Ζ\ решений этой
системы имеет вид Z\(t) = Z(t)Ci, где С\ —постоянная А: х А: матрица.
Поэтому матрица
L(t)Zi(t) = d\ag{EuLo(t)}(02 Z0(t) )АСг = (02 L0(t)Z0(t) )AC, =
= {02 U0(t)Ce1)AC1 = (O2 U0{t))AC^Cx
является фундаментальной матрицей решений системы (5.34), что следует
из свойства 3 фундаментальных матриц, поскольку фундаментальной
матрицей решений этой системы является матрица ( 02 Uo(t) ) . Таким
образом, из теоремы 5.1 следует асимптотическая эквивалентность систем
(5.34) и (5.33), а следовательно, и систем (5.22) и (5.33). ■
Наряду с системой (5.2) с постоянными матрицами Ρ и Q рассмотрим
систему
PDv + Qv = 0 (5.37)
также с постоянными матрицами Ρ и Q . Как и ранее, предполагаем, что
р(\) = det(PX + Q) ^ 0 и к = degp(X). Тогда существуют постоянные
невырожденные η χ η матрицы R, S такие, что
R{P\ + Q)S = diag{iV(X), Ε0λ + J},
где Ёо — единичная к χ к матрица, J - постоянная к χ к матрица,
имеющая нормальную жорданову форму, а блочно-диагональная матрица
Ν(λ) имеет вид аналогичный виду матрицы N . В силу предыдущей
теоремы система (5.37) асимптотически эквивалентна системе вида
diag{Ob£b}i?ti7 + diag{Eu K}w = 0, (5.38)
где Οχ и Е\ — соответственно нулевая и единичная (п — к) χ (η — к)
матрицы, К = Re J.
Теорема 5.5. Если системы (5.2) и (5.37) с постоянными
коэффициентами асимптотически эквивалентны, то матрицы К и К
совпадают
Доказательство. Так как системы (5.2) и (5.37) асимптотически
эквивалентны, то асимптотически эквивалентны системы (5.33) и (5.38).
Следовательно, размерности их пространств решений совпадают, т. е.
к = к, и существует невырожденная матрица С такая, что
W(t)C = L(t)Z(t), (5.39)
где L — матрица Ляпунова, Ζ и W — фундаментальные матрицы реше-
158

ний системы (5.33) и (5.38) соответственно, причем матрицы Ζ и W
можно взять в виде
Z(t) = (02 exp(-Kt) )\ W(t) = (02 exp(-Kt) )\ (5.40)
Представим матрицу L в блочном виде
/ Li(i) L2(<) \
L(t)= , (5.41)
V Μ*) JoW У
где матрицы L0 , Li , L2, L3 имеют соответственно размерности к χ fc,
(n-fc)x(n-fc), (n-fc)xfc, fcx(n-fc). В силу(5.39),(5.40)получаем 02 =
= £2(£) ехР (~^)> откуда следует, что L2(t) = 02. Тогда (см. [98, с. 57])
det L(t) = det Li(f)det L0(t), и так как det L(t) φ 0, то и det L0(t) φ 0,
det L\(t) φ 0, поэтому (см. [98, с. 60]) обратная матрица 1/_1(£) имеет вид
L-40=f tr'(')
Поскольку L(f) - матрица Ляпунова, то матрицы L0(i) и DLo(t)
ограничены, с другой стороны, L~l(t)— тоже матрица Ляпунова, а
поэтому ограничена матрица Lol(t). Следовательно, Lo(t) — матрица
Ляпунова. Из (5.39), (5.40) и (5.41) следует равенство exp(-Kt)C =
— L0(t)exp(-Kt), поэтому в силу специального вида матриц К и К из
теоремы Н. П. Еругина(см. [13, с. 10]) получаем К = К.Ш
Из доказанной теоремы следует, что как и в случае приводимых
линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, матрицы К
образуют полную совокупность инвариантов [43] для приводимых
линейных систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно
производных.
Замечание 5.1. Если к = п, то рассматриваемые системы могут быть
разрешены относительно производных, и в этом случае доказанные
теоремы 5.3 — 5.5 совпадают с соответствующими теоремами Н. П. Еругина.
Если же к = 0, то системы с постоянными коэффициентами имеют лишь
тривиальные решения.
Следующий результат является аналогом теоремы Флоке — Ляпунова
[1, с. 194] о приводимости линейных дифференциальных систем к системам
с постоянными матрицами.
Определение 5.5. Матричную функцию A(t) : Jo -> Rnxn
назовем матричной функцией со стабильным рангом, если
rank A{t) = k, 1 < k < η, V* G J0, (5.42)
159

и существует к χ к подматрица Ao(t) матрицы A(t) такая, что
det Ao(i)^0 Vie J0. (5.43)
Как и ранее, функцию ρ(λ) = det (A(t)\ + B(t)) будем рассматривать
как многочлен от λ с переменными коэффициентами, причем будем
предполагать, что ρ(λ) ^ 0 .
Теорема 5.6. Пусть матрицы А и В коэффициентов системы
(5.1) являются абсолютно непрерывными матричными функциями,
производные которых ограничены на J, J = R. Если А и В —
периодические матричные функции с соизмеримыми периодами, и
матричная функция А обладает стабильностью ранга, причем
rank A(t) = degp(X) > 1 Vi e К, (5.44)
то система (5.1) является приводимой.
Доказательство. Пусть rank A(t) = k > 1. В силу соизмеримости
периодов матричных функций А и В существует их общий период,
который обозначим ω. Из непрерывности функций А и В следует
существование МЛ = maxfG[0,w] \\A(t)\\ и ΜΒ = maxteM \\B(t)\\. Поэтому
матричные функции А и В в силу их периодичности оказываются
ограниченными на J. Кроме того, из условия стабильности ранга матрицы А
следует, что существует тд = minfG[0,w] I det Ao(t)\, причем из (5.42)
следует, что тпа > 0 . Следовательно, для подматрицы А0 выполнено условие
(5.4). Коэффициент α*(ί) при старшей степени λ многочлена ρ(λ) в силу
периодичности коэффициентов исходной системы является периодической
функцией, поэтому условие (5.44) влечет выполнение неравенства
inf
,к
(Α(ί)λ + B(t))\ = inf \ak(t)\ = min \ak(t)\ > 0.
Таким образом, коэффициенты рассматриваемой системы удовлетворяют
условиям леммы 5.1, и, следовательно, система (5.1) асимптотически
эквивалентна системе(5.2) с коэффициентами канонического вида (5.6).
Покажем, что преобразование системы (5.1) можно выполнить таким образом,
чтобы матрица Qo(t) в приведенном уравнении (5.2) оказалась
периодической на К.
Стандартным приемом, умножением матрицы А слева и справа на
невырожденные постоянные матрицы R и S соответственно,
преобразуем матрицу А таким образом, чтобы подматрица А0 располагалась в
правом нижнем углу матрицы Л, A(t) = RA(t)S. Из (5.42) следует, что
строки и столбцы матрицы А , не содержащие подматрицу Aq , представ-
160

ляют собой линейные комбинации соответственно строк и столбцов
матрицы А , содержащих подматрицу А0 .
Запишем матрицу А в блочной форме A(t) = [ \ * I , где
\ A3(t) Ao(t) J
А[ , А2 , Α3 — матрицы размерностей (η - к) χ (η - к), (η - к) х к ,
Α: χ (η — А;) соответственно. Тогда
{Аг(г) A2(t))=Ro(t)(A3(t) Mt)) = {Ro{t)Mt) Ro(t)Mt))>
(Ai(t) A3(t))A=(A2(t) A0(t))ASo(t)={A2(t)S0(t) Mt)S0(t))A, (5.45)
где в силу свойств матриц А0, А2, и А3 матрицы 50(<) = Лд1^)^^)»
Ro(t) = -4·2(ί)^ο"1(*) - абсолютно непрерывные и ограниченные вместе со
своими производными на / . Положим
где, как обычно, £Ί , i£0 -единичные (n-A;)x(n-A;), fcxA: матрицы, Ог ,
03 -нулевые (n-fc)xfc, fcx(n—к) матрицы. Умножим исходную систему
слева на невырожденную матрицу R(t)R и в полученной системе сделаем
замену χ = SS(t)y . При таком преобразовании система (5.1) перейдет в
систему вида
R(t)RA{t)SS(t)Dy+(R(t)RA(t)SDS(t) + R{t)RB{t)S = 0. (5.46)
Простое вычисление показывает, что в силу (5.45) выполнено
равенство Ρ = R(t)RA(t)SS(t), где матрица Ρ имеет вид (5.6), кроме того,
матрица B(t) = R(t)RA(t)SDS(t) + R(t)RB{t)SS(t) будет
периодической и ограниченной, так как все матрицы, входящие в это соотношение,
либо постоянные, либо периодические ограниченные. Представим матрицу
/ Bx(t) B2(t)
R(t)RB(t)SS(t) в блочном виде R(t)RB(t)SS(t) =
\ B3(t) B0{t)
где В\ , В2 , В3 , В0 — матрицы размерности (n-fc)x(n-fc), (η—k)xk,
к χ (η — к), к х к соответственно. Как и при доказательстве леммы 5.1
можно показать, что условие (5.44) влечет для матрицы В\ (t) следующее
неравенство
inf |det£i(0l >0. (5.47)
teR
161

Наряду с системой (5.46), которая, как нетрудно проверить, имеет вид
Oi (h\ ( BUt) Ba(t)
03 Е0 ) У \ B3(t) - DS0(t) B4(t)
рассмотрим систему
diag{Oi, E0}Dz + diag{Oi, Q(t)}z = 0, (5.49)
где Q(t) = BA{t) - (B3(t) - DS0(t))B-1(t)B2(t).
Пусть кхк матрица Zq является фундаментальной матрицей решений
линейной системы
Dz0 = -Q(t)z0. (5.50)
Тогда матрица Z(t) = ( 02 Z0(t) ) является фундаментальной
матрицей системы (5.49). Рассмотрим матрицу
С одной стороны, легко видеть, что Υ является фундаментальной
матрицей решений системы (5.48), с другой стороны, матрица L
является матрицей Ляпунова, поскольку в силу неравенства (5.47) матрица
—B{1(t)B2(t) абсолютно непрерывна и ограничена вместе со своей
производной на J. Таким образом, из леммы 5.1 следует асимптотическая
эквивалентность систем (5.48) и (5.49). Как уже отмечалось выше,
исходная система (5.1) асимптотически эквивалентна системе(5.48), а
следовательно, и системе (5.49), причем, как это следует из определения матрицы
Q, она является периодической, поскольку периодическими являются все
матрицы jBf1 , В2, #з> ВА w DS0 .
Из теоремы Флоке — Ляпунова следует, что система (5.50) с
периодической матрицей коэффициентов — Q является приводимой, поэтому из
теоремы Еругина [13, с. 9] следует, что фундаментальная матрица Z0
решений системы (5.50) представима в виде Z0(t) = exp(Q0t)C, где Q0 —
некоторая постоянная, а С — постоянная невырожденная матрица
размерности к χ к. Следовательно, существует фундаментальная матрица
X(t) = X(t)C~l исходной системы (5.1), которая представима в виде
X(t) = SS{t)L{t)(02 exp(Qoi)) . Так
как S — постоянная
матрица, то из представления матрицы S следует, что SS(t) — матрица
Ляпунова, а поскольку, как было отмечено выше, матрица L — тоже матрица
Ляпунова, то из теоремы 5.3 следует, что система (5.1) с периодическими
коэффициентами является приводимой. ■
У = 0,
(5.48)
162

Замечание 5.2. Для бесконечно дифференцируемых периодических
матриц А и В с постоянной характеристикой Сегре нулевых
собственных значений матрицы А, т.е. с постоянной структурой
соответствующих нулевым собственным значениям блоков матрицы Жордана, в работе
[104] рассмотрена приводимость системы (5.1) к системе (5.2) с
постоянной матрицей Ρ и периодической матрицей Q.
В заключение отметим, что аналогично понятию асимптотической
эквивалентности систем (5.1) и (5.2) можно ввести понятие их
обобщенной асимптотической эквивалентности:
Определение 5.6. Системы (5.1) и (5.2) назовем обобщенно
асимптотически эквивалентными, если существует такая обобщенная
матрица Ляпунова L, что для любого решения у системы (5.2)
функция χ = Ly — решение системы (5.1) и для любого решения χ
системы (5.1) функция у = L~~xx — решение системы (5.2).
Тогда имеет место следующее утверждение.
Теорема 5.7. Если матрицы А и В коэффициентов системы (5.1)
удовлетворяют условиям леммы 5.1, то система (5.1) обобщенно
асимптотически эквивалентна системе (5.2), где матрицы Р, Q
имеют вид (5.6), а матрица Q0 — треугольная кусочно-постоянная
матрица, причем последовательность ее точек разрыва является
подпоследовательностью последовательности, удовлетворяющей
условию (2.143).
Доказательство этого утверждения проводится полностью по
схеме доказательства теоремы 5.2 с использованием теоремы 2.10 и ее
следствия 2.2.
Кроме того, введение понятия обобщенной асимптотической
эквивалентности позволяет определить еще один класс систем:
Определение 5.7. Систему (5.1) назовем правильной, если она
обобщенно асимптотически эквивалентна системе (5.2), где
матрицы Р, Q имеют вид (5.6), а матрица Qq такова, что система
обыкновенных дифференциальных уравнений Ό ζ + Qo(t)z = 0
является правильной.
Очевидно, что для таким образом введенных правильных систем будет
иметь место аналог критерия Гробмана — Басова — Богданова [4, с. 77]:
для правильности системы (5.1) необходима и достаточна ее
обобщенная асимптотическая эквивалентность системе (5.2), где
матрицы Р, Q имеют вид (5.6), а матрица Q0 — постоянная
диагональная матрица.

ЛИТЕРАТУРА
1. Ляпунов, Л. М. Общая задача об устойчивости движения /А. М. Ляпунов //
Собр. соч.: в 6 т. - М.; Л.: АН СССР, 1956. - Т. 2. - С. 7-263.
2. Миллионщиков, В.М. О неустойчивости характеристических
показателей статистически правильных систем /В.М. Миллионщиков // Мат. заметки. -
1967. - Т. 2, №3.- С. 315-318.
3. Миллионщиков, В. М. Доказательство достижимости центральных
показателей линейных систем /В. М. Миллионщиков // Сиб. мат. журн.— 1969.- Т. 10,
№1 .-с. 99-104.
4. И зобов, Н.А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений /Н.А. Изобов // Итоги науки и техники. Математический анализ.
ВИНИТИ АН СССР. - М.: ВИНИТИ, 1974. - Т. 12. - С. 71-146.
5. Адрианова, Л. Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных
уравнений /Л. Я. Адрианова — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1992. - 240 с.
6. Богданов, Ю. С. Исследование дифференциальных систем с помощью
обобщенных характеристичных чисел / Ю.С.Богданов. -Минск: БГУ, 2001. -
155 с.
7. Былое, Б. Ф. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам
устойчивости /Б. Ф. Былов, Р. Э. Виноград, Д. М. Гробман, В. В. Немыцкий. — М.:
Наука, 1966.-576 с.
8. Гайшун, И. В. Введение в теорию линейных нестационарных систем
/И. В. Гайшун — Минск: Ин-т математики НАН Беларуси. — 1999. — 409 с.
9. Демидович, Б. П. Лекции по математической теории устойчивости
/Б. П. Демидович. — М.: Наука, 1967. — 472 с.
10. Еругин, Н. /У. Линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами/Н. П. Еругин. -
Минск: АН БССР, 1963. - 272 с.
11. Изобов, Н. Л.Введение в теорию показателей Ляпунова /Н. А. Изобов. -
Минск: Изд-во БГУ, 2006. - 319 с.
12. Floquet, G. Sur les equation differentielles lineaires a coefficients periodiques
/G. Floguet // Ann. Sci. de l'Ecole Norm. Sup. - 1883. - T. 12. - P. 47-89.
13. Еругин, Η. /У. Приводимые системы / Η. П. Еругин // Тр. Математического
ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. - 1946. - Т. 13. - С. 1-93.
14. Былов, Б. Ф. Об устойчивости характеристичных показателей систем
линейных дифференциальных уравнений: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук
/Б. Ф. Былов; Моск. гос. ун-т. — М., 1954.
15. Lillo, J. С. Approximate similarity and almost periodic matrices /J. C. Lillo //
Proc. Amer. Soc. - 1961. - Vol. 12, №3. - P. 400-407.
164

16. Миллионщиков, В. Μ. О неустойчивости особых показателей и о
несимметричности отношения почти приводимости линейных систем
дифференциальных уравнений /В. М. Миллионщиков //Дифференц. уравнения. - 1969. — Т. 5,
№4. - С. 749-750.
17. Персидский, /С. /7. О характеристичных числах дифференциальных
уравнений /К. П. Персидский // Изв. АН КазССР. Сер. мат. и мех. - 1947. — Т. I. —
С. 5-47.
18. И зобов, Н. А. О канонической форме линейной двумерной системы с
переменными коэффициентами/Н. А. Изобов//Дифференц. уравнения. — 1971. — Т. 7,
№12.-С.2136-2142.
19. Изобов, Н. А. Случаи уточнения и достижимость оценки старшего
показателя в методе замораживания /Н. А. Изобов //Дифференц. уравнения. — 1971. -
Т.7, №7. -С. 1179-1191.
20. Perron, О. Die Ordnungszahlen der Differentialgleichungssysteme/ О. Perron
// Math. Zeitschrift. - 1929. - Bd. 31. - S. 748-766.
21. Виноград, Р.Э. Новое доказательство теоремы Перрона и некоторые
свойства правильных систем /Р. Э. Виноград // Успехи мат. наук. — 1954. — Т. 9,
№2.-С. 129-136.
22. Богданов, Ю.С. О существовании аппроксимирующей
последовательности для правильной линейной дифференциальной системы /Ю. С. Богданов //
Успехи мат. наук. - I960. - Т. 15, № 1. - С. 177 - 179.
23. Виноград, Р.Э. Об одном утверждении КП.Персидского в
диссертации "О характеристических числах дифференциальных уравнений" /Р. Э. Виноград
// Успехи мат. наук. - 1954. - Т. 9, №2. - С. 125 - 128.
24. Миллионщиков, В. М. Доказательство существования неправильных
систем линейных дифференциальных уравнений с почти-периодическими
коэффициентами /В. М. Миллионщиков //Дифференц. уравнения. - 1968. - Т. 4, №3. -
С. 391-396.
25. Миллионщиков, В. М. Доказательство существования неправильных
систем линейных дифференциальных уравнений с квазипериодическими
коэффициентами /В. М. Миллионщиков // Дифференц. уравнения. — 1969. — Т. 5, № 11. —
С. 1979-1983.
26. Миллионщиков, В. М. Письмо в редакцию /В. М. Миллионщиков
//Дифференц. уравнения. — 1974. — Т. 10, №3. — С. 569.
27. Былое, Б. Ф. Обобщенно правильные системы /Б. Ф. Былов// Дифференц.
уравнения. - 1971. - Т. 7, № 4. - С. 575-591.
28. Демидович, Б. П. Об одном обобщении критерия устойчивости
Ляпунова для правильных систем /Б. П. Демидович // Мат. сб. — 1965. — Т. 66 (108),
вып. 3. — С. 344—353.
29. Изобов, Н. А. О слабо неправильных системах /Н. А. Изобов //
Дифференц. уравнения. — 1967. — Т. 3, № 5. — С. 787—795.
165

30. Миллионщиков, В. Μ. Критерий устойчивости вероятного спектра
линейных систем дифференциальных уравнений с рекуррентными коэффициентами и
критерий почти приводимости систем с почти-периодическими коэффициентами
/В. М. Миллионщиков //Докл. АН СССР. - 1968. - Т. 179, №3. - С. 538-541.
31. Миллионщиков, В.М. Статистически правильные системы /В. М.
Миллионщиков//Мат. сб. - 1968. - Т. 75(117), вып. 1 - С. 140-151.
32. Миллионщиков, В. М. Экспоненциально-инвариантные системы
/В.М.Миллионщиков // Дифференц. уравнения. — 1993. — Т.29, №11. —
С. 2014.
33. Миллионщиков, В. М. Об одном свойстве устойчивости по первому
приближению/В. М.Миллионщиков//Дифференц. уравнения. — 1993. — Т.29, №11.
-С. 2018.
34. Миллионщиков, В.М. Линейные системы, обобщенно приводимые к
упорядоченно-диагональному виду /В. М. Миллионщиков // Дифференц.
уравнения. - 1993. - Т. 29, № 11. - С. 2020.
35. Миллионщиков, В. М. Нерешенная задача о классах линейных систем
/В.М.Миллионщиков//Дифференц.уравнения. — 1995. — Т.31, № 11. — С. 1935.
36. Миллионщиков, В. М. О вспомогательных показателях и об одном классе
линейных систем/В. М. Миллионщиков//Дифференц. уравнения. — 1995. — Т. 31,
№11.-С. 1936.
37. Миллионщиков, В.М. О системах Ляпунова — Перрона и степенных
вспомогательных показателях /В. М. Миллионщиков //Дифференц. уравнения. —
1998.-Т.34,№6.-С.856.
38. Богданов, Ю. С. Об асимптотически эквивалентных линейных
дифференциальных системах / Ю. С. Богданов // Дифференц. уравнения. — 1965. — Т. 1,
№6.-С.707-716.
39. Чезари, Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений
обыкновенных дифференциальных уравнений. /Л. Чезари — М.: Мир, 1964. — 478 с.
40. Conti, R. Stricly stable linear ordinary differential equations and similarity
/Roberto Conti// Riv. mat. Univ. Parma. - 1991. - Vol. 17, №4. - P. 217-220.
41. Богданов, Ю.С. Асимптотические характеристики решений линейных
дифференциальных систем /Ю. С. Богданов // Тр. 4-го Всесоюз. мат. съезда,
1961. -Л.: Наука, 1964. - Т. 2. - С. 424-432.
42. Богданов, Ю. С. Метод инвариантов в асимптотической теории
дифференциальных уравнений /Ю. С. Богданов // Вестн. Белорус, гос. ун-та. Сер. 1. Мат.,
физ., мех. - 1969. - № 1. - С. 10-14.
43. Богданов, Ю. С. Преобразования Ляпунова линейных
дифференциальных систем /Ю. С. Богданов, С. А. Мазаник // Вопросы качественной теории
дифференциальных уравнений: сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отд.. Иркутский выч.
центр. - Новосибирск: Наука, 1988.-С.9-13.
44. Мазаник, С. А. О некоторых инвариантах линейных дифференциальных
166

систем /С. А.Мазаник // Вести. Белорус, гос. ун-та. Сер. 1. Физ., мат. и мех. -
1984. -№1.- С. 55-57.
45. Perron, О. Uber eine Matrixtransformation /О. Perron // Math. Zeit-
schriit. - 1930. - Bd. 32. - S. 465-473.
46. Былое, Б. Ф. О приведении системы линейных уравнений к диагональному
виду /Б. Ф. Былов // Мат. сб. - 1965. - Т. 67, № 3. - С. 338-344.
47. Былов, Б. Ф. Обобщение теоремы Перрона /Б. Ф. Былов // Дифференц.
уравнения. - 1965. - Т. 1, № 12. - С. 1597-1600.
48. Былов, 5. Ф. Приведение к блочно-треугольному виду и необходимые и
достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейной
системы дифференциальных уравнений /Б. Ф. Былов // Дифференц. уравнения. —
1970. - Т. 6, № 2. - С. 243-252.
49. Лопатин, Л. К. Новый критерий декомпозируемости дифференциальной
системы к квазитреугольному виду/А. К. Лопатин, С. Р. Белкина //Докл.
Российской АН. - 1995. - Т. 340, №3. - С. 311-313.
50. Deng, F. Characteristic matrices and similarity of time-varying linear
differential systems /F. Deng, Y. Liu, Z. Feng // Ann. of Diff. Equat. - 1996. - Vol. 13,
№1.-P. 10-15.
51. Sibuya, Yasutaka. A block diagonalization theorem for systems of linear
ordinary differential equations and their applications /Yasutaka Sibuya // SIAM J.
Appl. Math. - 1966. - Vol. 14, №3. - P. 468-475.
52. Tsukumoto, Inhiro. Perturbation method for linear almost periodic systems
with full spectrum /inhiro Tsukumoto // Funkc. ekvacioj. - 1990. - Vol.33, №2. -
P. 245-267.
53. Рапопорт, И. М. О некоторых асимптотических методах в теории
дифференциальных уравнений/И. М. Рапопорт — Киев: Изд-во АН УССР, 1954. — 290 с.
54. Шкиль, Н. И. Приведение систем линейных дифференциальных
уравнений к обобщенному L -диагональному виду/Н. И. Шкиль //Дифференц.
уравнения. - 1966. - Т. 2, № 11. - С. 1436-1443.
55. Изобов, Н. А. О линейных системах с коэффициентами слабой вариации
/Н.А. Изобов // Тр. II Респ. конф. математиков Беларуси. - Минск, 1969. -
С. 182-185.
56. Гробман, Д. М. Характеристические показатели систем, близких к
линейным /Д. М. Гробман // Мат. сб. - 1952. - Т. 30, № 1. - С. 121-166.
57. Богданов, Ю. С. К теории систем линейных дифференциальных уравнений
/Ю. С. Богданов//Докл. АН СССР. - 1955. - Т. 104, №6. - С.813-814.
58. Блинов, И. Н. Линейные дифференциальные системы с
кусочно-постоянными коэффициентами /И.Н.Блинов // Автомат, и телемех. — 1965. — Т.26,
№1.-С. 180-183.
59. Былов, Б.Ф. Об оценке роста решений кусочно-постоянной системы
/Б. Ф. Былов, Э.А.Тихонова //Дифференц. уравнения. — 1983. — Т. 19, №8. —
С. 1310-1316.
167

60. Былое, Б. Φ. Об устойчивости центральных и генеральных показателей
кусочно-постоянной системы /Б. Ф. Былов, Э. А. Тихонова // Дифференц.
уравнения. - 1981. - Т. 17, № 12. - С.2115—2121.
61. Былое, Б.Ф. О показателях некоторых линейных
дифференциальных уравнений с кусочно-постоянной матрицей второго порядка /Б. Ф. Былов,
Э. А. Тихонова//Дифференц. уравнения. - 1986. - Т. 22, №3.-С. 378-389.
62. Былов, Б.Ф. О стабилизации некоторых линейных
дифференциальных уравнений с кусочно-постоянной матрицей второго порядка /Б. Ф. Былов,
Э. А. Тихонова //Дифференц. уравнения. - 1986. - Т. 22, №4. - С. 581-592.
63. Мартынов, И. И. Достаточные условия неправильности и неприводимости
систем с кусочно-постоянными коэффициентами /И.И.Мартынов // Докл. АН
БССР. - 1967. - Т. 11, №9. - С. 770-771.
64. Мартынов, И. И. Достаточные условия правильности и приводимости
систем, близких к периодическим /И.И.Мартынов // Дифференц. уравнения. —
1968. - Т. 4, № 2. - С. 370-374.
65. Мартынов, И. И. О системах с кусочно-постоянной матрицей
коэффициентов /И.И.Мартынов // Дифференц. уравнения. — 1977. — Т. 13, №6. —
С. 1135-1137.
66. Розенвассер, Ε. Η. К теории кусочно-линейных систем с периодически
изменяющимися параметрами /Е. Н. Розенвассер // Автомат, и телемех. — 1962. —
Т.23,№1.-С. 122-126.
67. Gao, Feng-xin. The exponent of third order differential equations with
unbounded piecewise-constant matrix and its perturbation equations /Feng-xin Gao,
Zhen-guo Zhang, Zhan-yuan Hou // Acta math. appl. sin. - 1988. - Vol. 11, №3. -
P. 340-357.
68. Морозов, В. М. Оценивание и управление в нестационарных линейных
системах /В. М. Морозов, В. И. Каленова. — М.: Изд-во Моск. ун-та. — 1988. — 144 с.
69. Л anno-Данилевский, И. А. Применение функций от матриц к теории
линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений /И. А. Лаппо-Дани-
левский - М.: ГИТТЛ, 1957. - 456 с.
70. Богданов, Ю.С. О матрицах, коммутирующих со своей производной
/Ю.С.Богданов, Г.Н.Чеботарев // Изв. вузов. Математика. — 1959. — №4. —
С. 27-37.
71. Морозов, В. В. О коммутативных матрицах /В. В. Морозов // Уч. зап.
Казанского гос. ун-та. Мат. и мех. - 1952. - Т. 112, кн. 9. - С. 17-20.
72. Чеботарев, Г. //. О решении в замкнутой форме системы двух
обыкновенных линейных дифференциальных уравнений /Г. Н. Чеботарев // Тр. Казанского
авиац. ин-та. - 1956. - Т.31. - С. 107-111.
73. Martin, У. F. P. Some results on matrices that commute with their derivatives
/J. F. P. Martin // SI AM J. Appl. Math. - 1967. - Vol. 15, №5 - P. 1171-1183.
74. Арнольд, В. И. О матрицах, зависящих от параметров /В. И. Арнольд //
Успехи мат. наук. - 1971. - Т. 26, №2. - С. 101-114.
168

75. Богданов, Ю. С. О преобразовании переменной матрицы к каноническому
виду/Ю. С. Богданов //Докл. АН БССР. - 1963. - Т. 7, №3. - С. 152 - 154.
76. Ziebur, A. D. The chain rule for functions with a matrix argument /Allen
D. Ziebur// Lin. Alg. and Appl. - 1993. - Vol. 194. - P. 125-133.
77. Чеботарев, Г. Η. К решению в замкнутой форме краевой задачи Рима-
на для системы η пар функций /Г. Н. Чеботарев // Учен. зап. Казанского гос.
ун-та. - 1956. - Т. 116, кн. 4. - С. 107-111.
78. Чеботарев, Г. Н. О решении матричного уравнения ев · ес = ев+с
/Г. Н. Чеботарев //Докл. АН СССР. - 1954. - Т. 96, №. 6. - С. 1109-1112.
79. Чеботарев, Г. Н. О матричном уравнения eAeD = еА*в /Г. Н. Чеботарев
// Тр. Казанского авиац. ин-та. - 1956. - Т. 38. - С. 93-101.
80. Петровский, Г. Н. Об одном свойстве матричной экспоненты /Г. Н.
Петровский //Дифференц. уравнения. - 1977. - Т. 13, №. 5. - С. 954-955.
81. Винокуров, В. А. Явное решение линейного обыкновенного
дифференциального уравнения и основное свойство экспоненты /В. А. Винокуров //
Дифференц. уравнения. - 1997. - Т. 33, №3. - С. 302-308.
82. Лаптинский, В. Н. О линейных дифференциальных системах /В. Н. Лап-
тинский//Дифференц. уравнения. — 1972. — Т.8, №2. — С. 249—253.
83. Martin, J.F.P. On the exponential reprezentation of solutions of linear
differential equations /J. F. P. Martin // Journal of Differential Equations. — 1968. —
№4.-P. 257-279.
84. Сурин, T.JI. О показателях правильных систем Л anno-Данилевского
/Т. Л. Сурин // Дифференц. уравнения. - 1989. - Т. 25, № 3. - С. 543-545.
85. Сурин, Т. Л. О правильных системах Л аппо-Данилевского /Т. Л. Сурин//
Редкол. журн. "Извест. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук". - Минск, 1984. - 13 с. -
Деп. в ВИНИТИ 11.10.84, №6625-84Деп // РЖ: 13. Математика. 13Б
Математический анализ. — 1985. — № 1. — 1Б317Деп. — С. 47.
86. И зобов, Н. А. О неправильных по Ляпунову линейных системах с
параметром при производной /Н. А. Изобов, Е. К. Макаров // Дифференц. уравнения. —
1988. - Т. 24, № 11. - С. 1870-1879.
87. Макаров, £. /С. О множествах неправильности линейных систем с
параметром при производных /Е. К. Макаров // Дифференц. уравнения. — 1988. — Т. 24,
№12.-С.2091-2098.
88. Макаров, Е.К. О линейных системах с множествами неправильности
полной меры /Е.К.Макаров // Дифференц. уравнения. — 1989. — Т.25, №2. —
С. 209-212.
89. Богданов, Ю. С. Применение обобщенных характеристических чисел для
исследования устойчивости точки покоя /Ю. С. Богданов // Докл. АН СССР. —
1964.-Т. 158,№1.-С.9-12.
90. Богданов, Ю. С. Асимптотические характеристики нелинейных
дифференциальных систем /Ю.С.Богданов // Дифференц. уравнения. — 1965. — Т. 1,
№1.-С.41-52.
169

91. Богданов, Ю. С. Оценка обобщенных характеристических чисел
дифференциальных систем /Ю.С.Богданов // Дифференц. уравнения. — 1966. - Т.2,
№7.-С.927-933.
92. Воскресенский, Е.В. Группы преобразований Ляпунова
/Е.В.Воскресенский // Укр. мат. журнал. - 1993. - Т. 45, № 12. - С. 1595-1600.
93. Прохорова, Р. А. Линейные системы с сосредоточенными возмущениями
/Р. А. Прохорова // Вестн. Белорус, гос. ун-та. Сер. 1.— 1979. - № 1 . - С. 37-42.
94. Прохорова, Р. А. О сведении линейных конечно-разностных уравнений к
дифференциальным /Р.А.Прохорова //Дифференц. уравнения. - 1989. - Т. 25,
№5. -С.780-785.
95. Weierstrass, /(. Zur Theorie der bilinearen und quadratischen Formen
/K. Weierstrass // Monatsh. Akad. Wissenschaft, Berlin. - 1867. - S. 310 - 338.
96. Kronecker, L Algebraische Reduktion der Scharen bilinearer Formen
/L. Kronecker// Sitzungsber. Akad. Berlin . - 1890. - S. 763-776.
97. Лузин, Η. Η. К изучению матричной теории дифференциальных уравнений
/Η. Η. Лузин // Автомат, и телемех. — 1940. — № 5. — С. 3—66.
98. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц/Ф. Р. Гантмахер. — М.: Наука, 1967. —
576 с.
99. Бояринцев, Ю. Е. Регулярные и сингулярные системы обыкновенных
дифференциальных уравнений /Ю. Е. Бояринцев. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд.,
1980.-222 с.
100. Бояринцев, Ю.Е. Численные методы решения сингулярных систем
/Ю. Е. Бояринцев, В.А.Данилов, А.Л.Логинов, В.Ф.Чистяков. — Новосибирск:
Наука. Сиб. отд., 1989. - 223 с.
101. Габасов, Р. Дескрипторные системы управления /РГабасов,
Ф. М. Кириллова, И. К. Асмыкович // Библиогр. указатель. — Минск: Ин-т
мат. АН БССР, 1988. -34 с.
102. Самойленко, A.M. О приводимости вырожденной линейной системы к
центральной канонической форме /А. М. Самойленко, В. П. Яковец // Допов. АН
Украши. - 1993. - № 4. - С. 10-15.
103. Чистяков, В.Ф. О сингулярных системах обыкновенных
дифференциальных уравнений и их интегральных аналогах /В. Ф. Чистяков // Функции
Ляпунова и их применение. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд., 1986. - С. 231-240.
104. Шлапак, Ю.Д. О приводимости линейной системы дифференциальных
уравнений с вырожденной матрицей при производных/Ю.Д. Шлапак // Мат.
физика. - 1977. - Вып. 21. - С. 60-64.
105. Brenan, K.E. Numerical solution of initial-value problems in differential-
algebraic equations /K.E.Brenan, S.L.Campbell, L.R.Petzold. - Philadelphia:
SIAM, 1996.-256 p.
106. Campbell, S. L. Singular system of differential equations /S. L. Campbell. —
London: Pitman, 1980. - 176 p.
170

107. Campbell, S.L. Singular system of differential equations. II
/S.L.Campbell. - London: Pitman, 1982. - 234 p.
108. Campbell, S. L. Canonical forms and solvable singular systems of differential
equations /S.L.Campbell, L.R.Petzold // SIAM J. Alg. Discrete Methods. -
1983. - Vol.4, №4. - P.517-521.
109. Campbell, S.L A general form and solvable linear time varying singular
systems of differential equations /S.L.Campbell // SIAM J. Math. Anal. -
1987. - Vol. 18, №4. - P. 1101-1115.
110. Griepentrog, E. Differential-algebraic equations and their numerical
treatment / E. Griepentrog, R. Marz. - Leipzig: Teubner, 1986. - 220 s.
111. Мазаник, С.А. О достаточных условиях асимптотической
эквивалентности линейных дифференциальных системах /С. А. Мазаник // Редкол. журн.
"Вестн. Белорус, гос. ун-та. Сер. I. Физ., мат. и мех.и — Минск, 1980. — 12 с —
Деп. в ВИНИТИ 13.01.81, № 152-81 // РЖ: 13. Математика. 13Б
Математический анализ. - 1981. - №4. - 4Б251. - С.41.
112. Мазаник, С. А. Об асимптотически эквивалентных двухмерных
линейных дифференциальных системах /С. А. Мазаник // Дифференц. уравнения. —
1981. - Т. 17, №2. - С. 220-226.
113. Мазаник, С. А. Об асимптотически эквивалентных линейных
дифференциальных системах/С. А. Мазаник//Дифференц. уравнения. - 1981. — Т. 17, № 5.
- С. 923-926.
114. Мазаник, С. А. О построении асимптотически эквивалентных
дифференциальных систем с кусочно-постоянными матрицами /С. А. Мазаник //Докл. АН
БССР. - 1981. - Т.25, №5. - С.399-401.
115. Мазаник, С. А. Некоторые свойства Ε-систем /С. А. Мазаник // Вестн.
Белорус, гос. ун-та. Сер. 1. Физ., мат. и мех. — 1983. — №2. — С. 65—67.
116. Мазаник, С. А. Об аппроксимирующей последовательности /С. А.
Мазаник// Дифференц. уравнения. - 1985. - Т. 21, №6. - С. 1089-1091.
117. Мазаник, С. А. О линейных системах дифференциальных уравнений, не
разрешенных относительно производных /С. А. Мазаник // Докл. АН БССР -
1985. - Т. 29, №9. - С. 784-787.
118. Мазаник, С. А. Об аппроксимирующей последовательности /С. А.
Мазаник // Редкол. Всесоюзн. журн. "Дифференц. уравнения". — Минск, 1984. —
32 с. -Деп. в ВИНИТИ 12.11.84, №7239-84. // РЖ: 13. Математика. 13Б
Математический анализ. — 1985. — №2. — 2Б252Деп. — С. 35.
119. Мазаник, С. А. О линейных дифференциальных системах, эквивалентных
относительно обобщенного преобразования Ляпунова /С. А. Мазаник //
Дифференц. уравнения. - 1986. - Т. 22, №9. - С. 1619-1622.
120. Мазаник, С. Л. О структуре аппроксимирующей функции линейного
дифференциального уравнения /С. А. Мазаник //Дифференц. уравнения. — 1986. —
Т. 22, №3.-С. 542-545.
171

121. Мазаник, С. А. Приводимость систем линейных дифференциальных
уравнений, неразрешенных относительно производных /С. А. Мазаник //
Актуальные вопросы краевых задач. Теория и приложения: сб. науч. тр.
(межвузовский); отв. ред. Ю.А.Клоков. - Рига: ЛГУ им. П.Стучки, 1988. - С. 91-98.
122. Mazanik, S.A. On Liapunov transformations of linear systems of implicit
differential equations /S.A.Mazanik // Archivum mathematicum. - 1991. -
T.27b.-P. 167-173.
123. Мазаник, С. А. Об экспоненциальном представлении решений линейного
матричного дифференциального уравнения /С. А. Мазаник //Дифференц.
уравнения. - 1991. - Т. 27, № 2. - С. 193-200.
124. Мазаник, С. А. Об асимптотической эквивалентности при
возмущениях диагональных систем /С. А. Мазаник //Дифференц. уравнения 1994. — Т. 30,
№4.-С.728.
125. Мазаник, С. А. Об асимптотической эквивалентности при
возмущениях диагональных систем /С. А. Мазаник // Редкол. Всесоюзн. журн. "Дифференц.
уравнения". - Минск, 1993.-11 с.-Деп. в ВИНИТИ 04.10.93, №2505-В93.//
РЖ: 13. Математика. 13Б Математический анализ. — 1994. — №3. — ЗБ180Деп. —
С. 29.
126. Мазаник, С. А. Построение асимптотически эквивалентных
линейных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами
/С. А. Мазаник //Докл. АН Беларуси. - 1994. - Т. 38, № 5. - С. 28-32.
127. Мазаник, С. А. О неприводимости линейных дифференциальных
систем к системам Лаппо-Данилевского /С. А. Мазаник // Докл. АН Беларуси. —
1997. - Т.41, №6. - С.30-33.
128. Мазаник, С. А. О неприводимости линейных систем обобщенным
преобразованием Ляпунова к системам с функционально коммутативными
матрицами коэффициентов /С. А. Мазаник // Дифференц. уравнения. — 1998. — Т. 34,
№6.-С.758-764.
129. Мазаник, С. А. О неприводимости линейных систем обобщенным
преобразованием Ляпунова к системам Лаппо-Данилевского /С. А. Мазаник //
Дифференц. уравнения 1998. - Т. 34, №8. - С. 1078-1081.
130. Мазаник, С. А. Некоторые свойства преобразований Ляпунова/С.А.
Мазаник // Вестн. Белорус, гос. ун-та. Сер. 1, Физ., мат., информ. — 1998. — №3. —
С. 63-65.
131. Mazanik, S. A. Lappo-Danilevski systems under Lyapunov transformations
/S.A.Mazanik // Memoirs on differential equations and mathematical physics. —
1998.-Vol. 15.-P. 150-152.
132. Mazanik, S.A. Lappo-Danilevskii systems and their place among linear
systems /S.A.Mazanik // Memoirs on differential equations and mathematical
physics. - 1998. - Vol. 15. - P. 157-159.
133. Мазаник, С. А. Системы Лаппо-Данилевского во множестве линейных
систем /С. А. Мазаник //Дифференц. уравнения 1999. - Т. 35, № 1. — С. 90—96.
172

134. Мазаник, С. А. Кусочно-постоянные системы-представители классов
эквивалентных по Ляпунову систем /С. А. Мазаник// Тр. Ин-та мат. Η АН Беларуси.
2000.-Т.4.-С.96- 101.
135. Mazanik, S. A. Linear differential Lappo-Danilevskii systems/S. A. Mazanik
// Mathematica Bohemica. 2002. - Vol. 127. № 2. - С 275-282.
136. Мазаник, С. А. Об экспоненциальном представлении решений
систем стационарных линейных дифференциальных уравнений /С. А. Мазаник,
И.Ю. Сыроид // Вестн. Белорус, гос. ун-та. Сер. 1. Физ., мат., мех. — 1992. —
№1.-С.41-44.
137. Мазаник, Л. А. О неприводимости линейных дифференциальных
систем к системам с функционально коммутативными матрицами коэффициентов
/Л. А. Мазаник, С. А. Мазаник // Вестн. Белорус, гос. ун-та. Сер. 1. Физ., мат.,
информ. - 1997. - №3. - С. 42-46.
138. Леваков, А. А. Асимптотические характеристики решений динамических
систем /А. А. Леваков, С. А. Мазаник, Г. П. Размыслович // Выбр. навук. працы
БДУ. Матэматыка. - 2001. - С. 323-355.
139. Мазаник, С. А. Последовательности двусторонних матриц Лаппо-
Данилевского /С. А. Мазаник, А. В. Уснич // IX Белорус, гос. мат. конф.: тез. докл.,
3-6 нояб. 2004 г., г. Гродно: в 3 ч. Ч. 1. - Гродно: ГрГУ, 2004. - С. 146-147.
140. Мазаник, С. А. Ε-асимптотическая эквивалентность линейных
дифференциальных систем системам с бесконечно дифференцируемыми
коэффициентами /С. А. Мазаник, Т. Г. Красовская // Вестн. Белорус, ун-та. Сер. 1. Физ., мат.,
информ. - 2005. - №2. - С. 108-111.
141. Красовская, Т. Г. Асимптотическая эквивалентность линейных
дифференциальных систем системам с бесконечно дифференцируемыми
коэффициентами /Т. Г. Красовская, С. А. Мазаник //Дифференц. уравнения 2005. — Т. 41, № 2. —
С. 193-201.
142. Изобов, Н. А. Об асимптотической эквивалентности линейных систем при
экспоненциально убывающих возмущениях /Н. А. Изобов, С. А. Мазаник
//Дифференц. уравнения 2006.-Т. 42, №2.-С. 168-173.
143. Изобов, //. А. Общий признак приводимости линейных
дифференциальных систем и свойства коэффициента приводимости /Н. А. Изобов, С. А. Мазаник
// Дифференц. уравнения 2007. - Т. 43, № 2. - С. 191 - 202.
144. Коддингтон, Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений
/Э. А. Коддингтон, Н. Левинсон. — М.: ИЛ, 1958.—476 с.
145. Натансон, И. /7. Теория функций вещественной переменной /И. П.
Натансон. — М.: Наука, 1974. — 480 с.
146. /Z/.Ж. де ла Валле-Пуссен. Курс анализа бесконечно малых: в 2 т. /
Ш.Ж. де ла Валле-Пуссен.-М.; Л.: ГТТИ, 1933.-Т. 1.-464 с.
147. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления: в 3 т. /Г. М. Фихтенгольц. — М.: ФИЗМАТЛИТ, Лаборатория Знаний,
2003. - Т. 2. - 864 с.
173

148. Шварц, Л. Анализ: в 2 т. /Л. Шварц. - М.: Мир, 1972. - Т. 1. - 824 с.
149. Фихтенгольц, Г. Λί. Курс дифференциального и интегрального
исчисления: в 3 т. /Г. М. Фихтенгольц - М.: ФИЗМАТЛИТ, Лаборатория Знаний,
2003.-Т. 1.-680с.
150. Изобов, Н.А. О множестве нижних показателей положительной меры
/Н. А. Изобов//Дифференц. уравнения. - 1968. - Т. 4, № 6. - С. 1147-1149.
151. Барабанов, Е. А. Структура множества нижних показателей Перрона
линейной дифференциальной системы /Е. А. Барабанов //Дифференц. уравнения. —
1986. - Т. 22, № 11. - С. 1843-1853.
152. Конюх, А. В. Равномерные нижние показатели решений диагональных
дифференциальных систем /А. В. Конюх // Вестн. Белорус, гос. ун-та. Сер. 1.
Физ., мат., мех. - 1992. - № 1. - С. 44-48.
153. Красовская, Т. Г. О бесконечно дифференцируемых линейных системах с
множеством нижних показателей Перрона положительной меры /Т. Г. Красовская,
О. В. Храмцов //Докл. НАН Беларуси. - 2001. - Т. 45. № 2. - С. 31-34.
154. Красовская, Т. Г. Структура множества нижних показателей Перрона
бесконечно дифференцируемой линейной системы /Т. Г. Красовская // Becui НАН
Беларусь Сер. ф1з.-мат. навук. - 2003. - № 1. - С. 45-49.
155. Красовская, Т. Г. О числе различных значений функций Боля
бесконечно дифференцируемых линейных диагональных систем /Т. Г. Красовская // Вестн.
Белорус, гос. ун-та. Сер. 1. Физ., мат., информ. - 2003. - № 3. - С. 88-90.
156. Гелбаум, Б. Контрпримеры в анализе / Б. Гелбаум, Дж. Олмстед. — М.:
Мир, 1967.-252 с.
157. Изобов, Н.А. О существовании линейной сингулярной системы с
неограниченным по мере экспоненциальным характеристическим множеством
/Н.А.Изобов, С.Г.Красовский // Дифференц. уравнения. — 1998. — Т. 34,
№8.-С. 1049-1055.
158. Богданов, Ю.С. Дифференциальные уравнения /Ю.С.Богданов,
Ю. Б. Сыроид. — Минск: Вышэйшая школа, 1983. — 239 с.
159. Уилкинсон, Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений
/Дж. X. Уилкинсон. - М.: Наука, 1970. - 564 с.
160. Титчмарш, Е. Теория функций/Е. Титчмарш. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
161. Хорн, Р. Матричный анализ /Р. Хорн, Ч.Джонсон. — М.: Мир, 1989. —
655 с.
162. Л anno-Данилевский, И. А. Теория функций от матриц и системы
линейных дифференциальных уравнений /И. А. Лаппо-Данилевский. — М.; Л.: ГТТИ,
1934.-144 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 3
ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 12
Глава 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 13
1.1. Линейные системы и группы преобразований 13
1.2. Преобразования Ляпунова 16
1.3. Асимптотическая эквивалентность систем 24
1.4. С -асимптотическая эквивалентность систем 35
Глава 2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 37
2.1. D-системы 37
2.2. Dt -системы 41
2.3. Асимптотические свойства систем с кусочно-постоянными
коэффициентами 53
2.4. Аппроксимирующие функции и последовательности 58
2.5. Обобщенная асимптотическая эквивалентность 82
2.6. Линейные уравнения 87
Глава 3. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНО
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 96
3.1. Приводимость линейных систем к системам
с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами 96
3.2. С -и Ε -асимптотическая эквивалентность 109
Глава 4. СИСТЕМЫ ЛАППО-ДАНИЛЕВСКОГО 113
4.1. Классификация систем Лаппо-Данилевского 113
4.2. Экспоненциальное представление решений 115
4.3. Неприводимость линейных систем к системам
Лаппо-Данилевского преобразованиями Ляпунова 128
Глава 5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ, НЕ РАЗРЕШЕННЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО
ПРОИЗВОДНЫХ 147
5.1. Преобразования систем линейных уравнений, не разрешенных
относительно производных 147
5.2. Приводимость систем линейных уравнений, не разрешенных
относительно производных 155
ЛИТЕРАТУРА 164

Научное издание
Мазаник Сергей Алексеевич
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЯПУНОВА ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
В авторской редакции
Технический редактор Г. М. Романчук
Корректор Н. П. Ракицкая
Ответственный за выпуск Т. М. Турчиняк
Подписано в печать 19.04.2007. Формат 60x84/16. Бумага офсетная.
Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 10,23. Уч.-изд. л. 8,33. Тираж 100 экз. Зак
Белорусский государственный университет.
ЛИ № 02330/0056804 στ 02.03.2004.
220030, Минск, проспект Независимости, 4.
Отпечатано с оригинала-макета заказчика.
Республиканское унитарное предприятие
«Издательский центр Белорусского государственного университета».
ЛП № 02330/0056850 от 30.04.2004.
220030, Минск, ул. Красноармейская, 6.

С. А. Мазаник
Η
до