Author: Уединов А.Б. Чулков П.В. Васюк Н.В. Мартиросян М.А. Слепенкова Е.В.
Tags: математика алгебра дидактические материалы школьное образование издательство москва
ISBN: 978-5-903266-06-7
Year: 2007
Text
Васюк Н.В., Мартиросян М.А., Слепенкова Е.В.,
Уединов А.Б., Чулков П.В.
АЛГЕБРА
дидактические
материалы
класс
Контрольные
и самостоятельные
работы
Краткие решения
Ответы
Москва
Васюк Н.В., Мартиросян М.А., Слепенкова Е.В.,
Уединов А.Б., Чулков П.В.
Алгебра
7 класс
Дидактические материалы
Васюк Н.В., Мартиросян М.А., Слепенкова Е.В.,
У единое А.Б., Чулков П.В.
Алгебра. 7 класс. Дидактические материалы
Пособие содержит тематические зачеты, контрольные и самостоятельные ра-
боты, а также более 150 дополнительных задач по всем разделам курса матема-
тики 7 класса общеобразовательной школы.
ISBN 978-5-903266-06-7
Подписано в печать 20.09.2007 г.
Формат 60x90 1/16 тираж 1000 экз. Заказ № 200
ИП Милосердое И. В. 105523, г. Москва, Щелковское ш., д. 80
Отпечатано с готовых диапозитивов в ООО “Арт-диал”
143980, Московская обл., г. Железнодорожный,
ул. Керамическая, д. 2а
© ИП Милосердое И. В.
_________________П редисловие.________________ИМИИвМ
Дидактические материалы представляют собой сбор-
ник задач по всем разделам курса алгебры 7 класса.
Цель пособия - помочь учителю в организации само-
стоятельной работы учащихся, проведении текущего и
тематического контроля.
В пособие включены тексты тематических зачетов,
контрольных и самостоятельных работ, а также более
200 дополнительных задач.
Тексты тематических зачетов (маркировка - ТЗ), кон-
трольных (КР) и самостоятельных работ (СР) являются
ориентировочными. По мере надобности и в зависимости
от подготовленности класса учитель может вносить в
них необходимые изменения, не нарушая при этом тре-
бований программы.
Каждая контрольная работа включает 6 вариантов,
самостоятельная работа или тематический зачет - 4 ва-
рианта. К большинству задач приведены ответы или
краткие решения.
Распределение материала в каждом разделе соотне-
сено с учебником «Алгебра 7», авт.: Ю.Н. Макарычев,
Н.Г. Миндюк К.И. Пешков, С.Б. Суворова. Под редакци-
ей СА. Теляковского, однако пособие можно использо-
вать и при работе по другим учебникам.
Содержание
Предисловие.......................................3
Тематические зачеты...............................4
Контрольные работы...............................34
Самостоятельные работы...........................73
Дополнительные задачи...........................132
Ответы и решения.................,..............147
3
Тематические зачеты
Данный раздел содержит тематические зачеты по курсу ал-
гебры 7 класса.
Все задания тематических зачетов отвечают требованиям про-
граммы общеобразовательной школы и представлены в четырех
вариантах. Каждый зачет содержит две части: обязательную (до
черты) и дополнительную. Решение всех задач обязательной части
гарантирует получение положительной оценки.
Задания дополнительной части выполняются учащимися
лишь после того, как верно выполнена обязательная часть работы.
При получении неудовлетворительной оценки ученик должен пе-
ресдать зачет во внеурочное время (положительная оценка за чет-
верть не ставится, если не сдан хотя бы один зачет!). При пересдаче
ученик выполняет задания того типа, с которыми он не справился
на зачете. Могут повысить оценку и ученики, получившие во вре-
мя зачета оценки « 3 » или « 4 », решив на пересдаче задачи дополни-
тельной части.
Система тематических зачетов имеет, на наш взгляд, опре-
деленные достоинства:
1. Оценка получается путем «сложения» баллов за верно ре-
шенные задания, а не «вычитанием» баллов за ошибки.
Ученик может выбрать посильные для себя задания, ему по-
нятна система по которой выставляется оценка, и предос-
тавлена возможность исправить любую из них. Это создает
благоприятную психологическую атмосферу на уроке.
2. Каждое из заданий обязательной части невелико по объему,
что позволяет учителю получить более четкое представление
о пробелах в знаниях учащегося.
3. И, наконец, что немаловажно, данная форма контроля больше
соответствует форме проведения экзамена за курс основной
школы, чем система традиционных контрольных работ. (См.
«Алгебра. Сборник заданий для проведения письменного экза-
мена за курс основной школы.», авторы: Л.В. Кузнецова, ЕА.
Бунимович, Б.П. Пигарев, С.Б. Суворова.)
Заметим, что использование зачетов возможно, как одно-
временно с контрольными работами, так и вместо них.
4
В таблице представлено распределение тематических зачетов
по параграфам учебника «Алгебра 7», авт.: Ю.Н. Макарычев,
Н.Г. Миндюк, К.И. Пешков, С.Б. Суворова. Под ред. С А. Теляков-
ского.
№ Тема зачета. §§
1. Выражения. Преобразование выражений. 1-2.
2. Уравнение с одной переменной. 3.
3. Функции и их графики. Линейная функция. 4-5.
4. Степень и ее свойства. Одночлены. Графики функ- ций у=х2 и у=х3. Абсолютная и относительная по- грешности. 6-8.
5. Многочлены. 9-11.
6. Формулы сокращенного умножения. Преобразова- ние целых выражений. 12-14.
7. Линейные уравнения с двумя переменными и их системы. Решение систем линейных уравнений. 15-16.
При проведении тематических зачетов предлагается сле-
дующая система оценок (каждое задание обязательной части
оценивается в 1 балл).
Зачеты № 1-5:
Оценка Обязательная часть Дополнительная часть
3 6 баллов
4 7 баллов 3 балла
5 7 баллов 8 балла
Зачет № 6:
Оценка Обязательная часть Дополнительная часть
3 8 баллов
4 9 баллов 3 балла
5 9 баллов 8 баллов
Зачет № 7:
Оценка Обязательная часть Дополнительная часть
3 3 балла
4 4 балла 3 балла
5 4 балла 8 баллов
5
Выражения. Преобразование выражений.
Найдите значение выражения (задания №№1-2):
1. 6,7 - 3,7а при а = 4.
2. (а 4- 7)& при а = -10; Ь = 6.
3. Было куплено х тетрадей по у рублей каждая и 7 тетрадей
по 1000 рублей каждая. Какова стоимость всей покупки?
4. Мальчик прошел а км пешком, а на автобусе проехал рас-
стояние в 7 раз больше. Какова длина пути, пройденного
мальчиком?
Упростите выражения (задания №№5-8):
5. Юг/ - 5х + Зу + 9у.
6. 4а - (7а - 5).
7. 7а - b + (2Ь - 9а).
8. 13 - 5(р - 4).
9. (3 балла). Упростите выражение: 2,4(3/? - 2) - (2,5/? - 6).
Найдите его значение при /? = 4,5.
10. (3 балла). Вычислите наиболее удобным способом:
5,8 7,9 - 5,8 2,8 + 5,1.
11. (5 баллов). Два тракториста вспахали поле за t часов.
Какова площадь поля, если первый тракторист может
вспахать за час х га , а второй у га пашни.
12. (5 баллов). На сколько процентов увеличится площадь
прямоугольника, если длину прямоугольника увеличить
на 20%, а ширину на 10% ?
6
Выражения. Преобразование выражений.
Найдите значение выражения (задания №№1-2):
1. 0,8у - 5,6 при у = 5.
2. 5а - 7Ь при а = -6; Ь = -5.
3. Одна из сторон прямоугольника 9 см, а другая на х см
больше. Найдите периметр прямоугольника.
4. До обеда в магазин привезли х т картофеля, а после обеда
на 5 т меньше. Сколько всего картофеля привезли в
магазин?
Упростите выражения(задания №№5-8):
5. 7Ь - Зх + Ь + 2х.
6. 15t + (12 - lit).
7. За + 55 - (2а - Ь).
8. 9h + 9(2d - h).
9. (3 балла). Упростите выражение: 2у- (у - (у - (у 4- 7))).
10. (3 балла). Вычислите наиболее удобным способом:
14,7-5,9 + 14,7-1,7 - 7,6-4,7.
11. (5 баллов). Первый фонтан потребляет в час k литров во-
ды, а второй р литров. Сколько воды необходимо для ра-
боты двух фонтанов в течении а часов?
12. (5 баллов). На сколько процентов увеличится объем куба,
если длину каждого ребра увеличить на 20% ?
7
Выражения. П реобразование выражений. 1
Найдите значение выражения (задания №№1-2):
1. 4,5т - 2,6 при т = -3.
2. а(Ь - 4) при а = -5; 6 = 2.
3. Одна из сторон прямоугольника 7 см, а другая на и см
меньше. Чему равна площадь прямоугольника?
4. В одном пакете 30 яблок, а в другом в f раз больше.
Сколько яблок в двух пакетах вместе?
Упростите выражения (задания №№5-8):
5. 96 - 66 + 6 - 46.
6. 4х - (5х - 3).
7. 7а - и + (4а + би).
8. 8 + 5(с - 2).
9. (3 балла). Упростите выражение: 2,5(4а - 2) - (1,4а - 3,5), а
затем найдите его значение при а = -0,5.
10. (3 балла); Вычислите наиболее удобным способом:
5,9-47,7 - 5,9-5,7 + 4,1-42.
11. (5 баллов). Через первую трубу в бассейн поступает а
литров воды в час, а через вторую 6 литров. Если обе тру-
бы открыты, то бассейн наполняется за t часов. Найдите
объем бассейна.
12. (5 баллов). На сколько процентов увеличится площадь
квадрата, если длину каждой стороны увеличить на 20% ?
8
Выражения. Преобразование выражений. ТЗ-1 В-4
Найдите значение выражения (задания №№1-2):
1. 3,4 + 1,6у при у = -2,5.
2. а - 6& при а — -3; b = -4.
3. Турист ехал 3 часа на машине со скоростью а км/ч, а за-
тем еще 1000 км на поезде. Какой путь проехал турист?
4. Ученики купили 50 тетрадей в клетку, а тетрадей в
линейку - на у меньше. Сколько всего было куплено
тетрадей?
Упростите выражения (задания №№5-8):
5. 5Ь - с - 8& + Зс.
6. 9у + (10 - у).
7. 2а + 7k - (k + За).
8. Зр + 7(р - у).
9. (3 балла) Упростите выражение: а + (а - (а - (а - 7))).
10. (3 балла) Вычислите наиболее удобным способом:
6,9-37,9 + 6,9-11,1 - 6,4-49.
11. (5 баллов) В баке было 100 тонн бензина. Через первую
трубу из бака откачивали х тонн бензина в час, а через
вторую - у тонн бензина в час, Сколько бензина осталось
в баке через 5 часов?
12. (5 баллов) Некоторый товар сначала подорожал на 10%, а
потом подешевел на 10%. На сколько процентов измени-
лась цена этого товара?
9
Уравнения.
1. Даны два уравнения: 7х - 40 = 5 и 27 - 6х = -3. Для ка-
кого из уравнений число 5 является корнем?
Решите уравнение (задания №№2-6):
2. 8х =-8,8.
3. 9t - 13 - 4t = 17.
4. 14 + 5х = 0.
5. 5х - Зх = 22 + 14х.
6. 7 - (х + 6) = 4.
7. Андрей задумал число, умножил его на 7, а из результата
вычел 17 и получил 150. Какое число он задумал?
8. Протяженность маршрута группы туристов 1200 км.
Часть маршрута туристы прошли пешком, часть проехали
на поезде, причем пешком они прошли в 7 раз меньшее
расстояние, чем проехали на поезде. Сколько километров
они проехали на поезде и сколько прошли пешком?
9. (3 балла). Решите уравнение:
0,8(х - 5) - 13 = 2х + 5.
10. (3 балла). Найдите корни уравнения: 111 + 6 = 10.
11. (5 баллов). При каком значении а корнем уравнения
-1,3х = За является число 2,6?
12. (5 баллов). Отцу и сыну вместе 30 лет. Сколько лет каж-
дому из них, если отец на 20 лет старше?
У равнения.
1. Даны два уравнения: Зх - 5 = -26 и 5х - 35 = 0. Для ка-
кого из них число -7 является корнем?
Решите уравнение (задания №№2-6):
2. -би = -5,4.
3. 5s — 4 + 6s = 18.
4. 10х + 16 = 0.
5. -4х + 5 = 5х - 26.
6. 14 - (7 - 5х) = 2.
7. Маша задумала число, умножила его на 13, а результат
вычла из 95. Какое число задумала Маша, если в ответе у
нее получилось 112?
8. Для школьной столовой купили 30 кг капусты и моркови.
Моркови купили на 8 кг больше, чем капусты. Сколько
моркови и сколько капусты купили для школьной
столовой?
9. (3 балла). Решите уравнение:
3,7z + 0,9(7 - 3z) = 6z + 5.
10. (3 балла). Найдите корни уравнения: 7 + I d | = 10.
11. (5 баллов). При каком значении k корнем уравнения
kx — -30 является число -0,6?
12. (5 баллов). В двух пакетах лежит поровну конфет. Если
из первого пакета вынуть 25 конфет, а из второго 10, то в
первом пакете останется в два раза меньше, чем во вто-
ром. Сколько конфет в каждом пакете?
11
У равнения.
1. Даны два уравнения: 5р - 32 = 2 и 27 - 4р = 3. Для како-
го из них число 6 является корнем?
Решите уравнение (задания №№2-6): '
2. 8t = -4,8.
3. 5х - 6 - х = 6.
4. 14 + 5d = 0.
5. 7s - 9 = 24 + 18s.
6. 8 - (3z + 2) = 16.
7. Лена задумала число, прибавила его к 75, а полученный
результат разделила на 3. Какое число она задумала, если
в ответе получилось 60?
8. Мама купила 16 кг картофеля и моркови. Сколько купле-
но картофеля и сколько моркови, если картофеля мама
купила в 3 раза больше, чем моркови?
9. (3 балла) Решите уравнение:
1,5(4с - 8) + 7 = 6,2с - 240.
10. (3 балла). Найдите корни уравнения: I т I + 8 = 19.
11. (5 баллов). При каком значении с корнем уравнения
-1,3х = с является число 12?
12. (5 баллов). На первой машине 24 ящика, а на второй 128
ящиков. Сколько ящиков надо переложить со второй ма-
шины на первую, чтобы, на второй машине стало в 3 раза
больше ящиков, чем на первой?
12
У равнения. ТЗ-2 | В-4
1. Даны два уравнения: Зх + 10 =? -2 и 2 - х = -2. Для како-
го из них число -4 является корнем?
Решите уравнение (задания №№2-6):
2. —6х = 2,4.
3. 5р - 6 + Зр = 10.
4. 9 - 2d = 0.'
5. -3k + 8 = 4А - 27.
6. 17 - (6 - 4х) = 3.
7. Вася задумал число, умножил его на 7, к результату при-
бавил 27. Какое число он задумал, если в ответе у него
получилось 92?
8. Отец на 24 года старше сына. Сколько лет отцу и сколько
лет сыну, если вместе им 46 лет?
9. (3 балла) Решите уравнение:
3,5t + 0,5(2 - 8t) = 7,5t - 31.
10. (3 балла) Найдите корни уравнения: 111 : 6 = 4.
11. (5 баллов) При каком значении р уравнение рх = 12 име-
ет корень, равный -24?
12. (5 баллов) В двух коробках одинаковое количество кон-
фет. После того, как из первой коробки взяли 14 конфет,
а в другую добавили 26, в первой коробке стало в 3 раза
меньше конфет, чем во второй. Сколько конфет было в
каждой коробке первоначально?
13
Функции.
Функция задана формулой у = -2х + 3. Ответьте на следую-
щие вопросы (задания №№1-3):
1. Чему равно значение функции при х = -1?
2. При каком значении х значение у равно -7?
3. Принадлежат ли графику функции точ-
ки А(3;9) и В(4;-5)?
4. График какой из данных функций изо-
бражен на рисунке:
а) у = 2х; б) у = 2х + 2; в) у = 2?
5. Постройте график функции у — х + 3.
По графику функции, изображенному на
рисунке, ответьте на вопросы (задания
№№6-7):
6. Чему равно значение у при х = -1?
7. Определите координаты точек, в кото-
рых прямая пересекает оси координат.
8. Вычислите координаты точек, в которых
прямая у — -5х + 5 пересекает оси коор-
динат. Постройте эту прямую.
9. (3 балла). Постройте график функции у = -45х, вы-
брав масштаб: по оси х-в одной клетке - одна единица,
по оси у - в одной клетке - десять единиц.
10. (3 балла). Известно, что график прямой пропорционально-
сти параллелен графику функции у = -4,3х -I- 12. Задайте
формулой эту прямую пропорциональность.
11. (5 баллов). Пересекаются ли прямые:
а) у = 7,9х - 6,3 и у = -6,3х + 7,9;
б) у = 2,6х - 5 и у = 2,6х + 5?
Если прямые пересекаются, то вычислите координаты
точки пересечения.
12. (5 баллов). График функции у = kx + Ь пересекает ось Оу
в точке (0;7) и проходит через точку М(-2;1). Найдите ко-
эффициенты k и Ь.
14
Функции..
Функция задана формулой у = -7х. Ответьте на следующие
вопросы (задания №№1-3):
1. Чему равно значение функции при х = -4?
2. При каком значении х значение у равно 2,8?
рисунке, ответьте на вопросы (задания №№6-7):
6. Чему равно значение х при у = 3?
7. Определите координаты точек, в которых прямая пересе-
кает оси координат.
8. Вычислите координаты точек, в которых прямая i/=-x+5
пересекает оси координат. Постройте эту прямую.
9. (3 балла). Постройте график функции у=^х - у.
10. (3 балла). Запишите уравнение прямой,
параллельной у = —и, пересекающей
ось Оу в точке (0; -4).
11. (5 баллов). Пересекаются ли прямые:
а) у = 3,5х + 6 и у = 3,5х - 2;
б) у = 7х - 2,3 и у = -7х + 13,1?
Если прямые пересекаются, то вычисли-
те координаты точки пересечения.
12. (5 баллов). Известно, что угловой коэффициент прямой
у = kx + Ь равен -3 и эта прямая проходит через точку
Р(-4; 14). Найдите коэффициенты k и Ь.
15
Функции.
Функция задана формулой у = 3х - 4. Ответьте на следую-
щие вопросы (задания №№1-3):
1. Чему равно значение функции при х = 5?
2.
3.
4.
5.
При каком значении аргумента значение функции равно 14?
Принадлежат ли графику функции точ-
ки А(5; 11) и В(3;-5)?
График какой из данных функций изо-
бражен на рисунке:
а) у = -2х + 2; б) у = 1; в) у = 2х?
Постройте график функции у = -2х + 1.
По графику функции, изображенному на рисунке, ответьте
на вопросы (задания №№6-7):
6. Чему равно значение у при х = 1?
7. Определите координаты точек, в кото-
рых прямая пересекает оси координат.
8. Вычислите координаты точек, в которых
прямая у = 2х + 6 пересекает оси коор-
динат. Постройте эту прямую.
9. (3 балла) Постройте график функции у = -40х, выбрав
масштаб: по оси х-в одной клетке - одна единица, по оси
у - в одной клетке - десять единиц.
10. (3 балла). Известно, что график прямой пропорционально-
сти параллелен графику функции у = -7х + 2. Задайте
формулой эту прямую пропорциональность.
11. (5 баллов) Пересекаются ли прямые:
а) у = 1,7х - 8 и у = 8х - 1,7;
б) у = 2,5х - 4 и у = 2,5х + 7?
Если прямые пересекаются, то вычислите координаты
точки пересечения.
12. (5 баллов) График функции у = kx + b проходит через
точку А(2;5) и пересекает ось Оу в точке (0;-3). Найдите
коэффициенты k и Ъ.
16
Функции.
Функция задана формулой у = 5х. Ответьте на следующие
вопросы (задания №№1-3):
1. Чему равно значение функции при х = -8?
2. При каком значении аргумента значение функции равно
-35? ________
|у| |/| | Г"
3. Принадлежат ли графику функции точ- f
ки А(5;25) и В(6;-30)? ZZZZZJZZZZ
4. График какой из данных функций изо-----------
бражен на рисунке: --2-1-----
а) у = -3; б) у = 2х + 1; в) у = Зх? ZZZ~~lZZZZZ
б. Постройте график функции у = 2х - 4. I. .1.1.1/1.1
По графику функции, изображенному на рисунке, ответьте
на вопросы (задания №№6-7):
6. При каком значении х значение г/равно 1?
7. Определите координаты точек, в кото-
рых прямая пересекает оси координат.
8. Вычислите координаты точек, в кото-
рых прямая у = 2х - 6 пересекает оси
координат. Постройте эту прямую.
9. (3 балла). Постройте график функции у = 2,5х + 0,5.
10. (3 балла). Запишите уравнение прямой, параллельной
прямой у = 8х и пересекающей ось Оу в точке (0;9).
11. (5 баллов). Пересекаются ли прямые:
а) у = 2,7х - 6 и у = 2,7х + 5;
б) у = -6х + 8 и у = 8х - 6?
Если прямые пересекаются, то вычислите координаты
точки пересечения.
12. (5 баллов). Известно, что угловой коэффициент прямой
у = kx + Ъ равен -12 и эта прямая проходит через точку
Е(2; -20). Найдите коэффициенты k и Ь.
17
Степень с натуральным показателем.
1. Вычислите:
а) (-^)2;
б) 3,7 + З3.
Найдите значение выражения (задания №№2-3):
2. х3 - у2 при х = -2, у = -1.
3. (4а)5 при а = 0,25.
4. Выполните действие:
а) Ь2 Ь5; б) х15:х3; в) (z/3)4; г) (Зу)4.
Упростите выражение (задания №№5-7):
5. -За2Ь4(-2аЬ2). 6. 2ху3 Зх. 7. (-ЗаЬ5)4.
8. Используя график функции у = х3, найдите:
а) значение у, при х = 2,1 и х = -1,8;
б) значение х, при котором у = -3.
9. (3 балла) Упростите выражение:
-50а* 7Ьс5(0,2а3Ь3с6)3.
517 • 48 * 10 * * * *
10.(3 балла) Вычислите: ---——.
1016
11.(5 баллов) Сравните значения выражения -р2 и -р3 при:
а)р = 7; б)р = -7.
12.(5 баллов) Упростите выражение:
а) Уа+2 у2а уа~1-, б) (хУ)5:х2У.
18
Степень с натуральным показателем.
1. Вычислите:
а) (“ |)3; б) 103- 52.
Найдите значение выражения (задания №№2-3):
2. (а + р)3 при а=5,3; р=-7,3;
3. 2у3- 10 при у = 4.
4. Выполните действия:
а) а3 а9; б) с24:с6; в) (р3)4; г) (2Ь)6.
Упростите выражение (задания №№5-7):
б. 0,4ау5-7а3. 6. -4Ь5с2-3,5а6с. 7. (-4аЬ2)3.
8. Используя график функции у = х2, найдите:
а) значение у, при х = -2,3 и х = 2,5;
б) значение х, при котором у = 6.
9. (3 балла) Упростите выражение:
(-k3)2k5(-k*)3.
10;(3 балла) Представьте число 2| в виде десятичной дроби и
округлите ее до десятых. Найти абсолютную и относитель-
ную погрешности приближения.
11.(5 баллов) Сравните значения выражения -а2 и -а3 при:
а) а = -5; б) а = 5.
12.(5 баллов) Упростите выражение:
а) ЗР-81; б) 64х:2х.
19
Степень с натуральным показателем.
1. Вычислить:
a) (-I)3;
б) 3 + 3,52.
Найдите значение выражения (задания №№2-3):
2. х* - у3 при х=-3, у=-2;
3. (8а)5 при а=-0,25.
4. Выполните действие:
а) 1512156; б).Ь18:Ь9; в) (96)8; г) (4а/.
Упростите выражение (задания №№5-7):
5. -4xV-0,7y. 6. 5p6k98p3k6. 7. (-За5Ь)4.
8. Используя график функции у = х3, найдите:
а) значение у, при х = 1,8 и х = -1,8;
б) значение х, при котором у = 5.
9. (3 балла) Упростите выражение:
-25c9i/fe7(0,2cy3A2)2.
512 • 43
10.(3 балла) Вычислите: ---——.
Ю10 *
11.(5 баллов) Сравните значения выражения -у2 и -у3 при:
а) у = 9; б) у = -9.
12.(5 баллов) Упростите выражение:
а) ах+б ах а; б) (сУ)6:с2У.
20
Степень с натуральным показателем.
1. Вычислить:
a) (-f)3; б) 12 - 82.
Найти значение выражения (задания №№2-3):
2. (а - Ь)2 при а=-0,64; Ь=1,36;
3. 7 + ЗЬ3 при Ь=-3.
4, Выполните действие:
а) а1 а14; б) а35:а7; в) (с6)9; г) (5Ь)3.,
Упростите выражение (задания №№5-7):
5. 0,8а5с-10с7. 6. -8хъу3-3,5х3у. 7. (-4йр6)3.
8. Используя график функции у = х2, найдите:
а) значение у, при х = -2,3 и х = 2,3;
б) значение х, при котором у = 7.
9. (3 балла) Упростите выражение: х7(-х4)5(-х5)4.
10.(3 балла) Представьте число 21 в виде десятичной дроби и
округлить ее до десятых. Найти абсолютную и относитель-
ную погрешности приближения.
11.(5 баллов) Сравните значения выражения -^t2 и -t3 при:
a) t = -6; б) t = 6.
12.(5 баллов) Упростите выражение:
а) 125-5У; б) 492р-.7Р.
21
Многочлены.
Выполните действия (задания №№ 1-4):
1. 5а3(2а - 7).
2. 9х3 - 4х(2х2 + 1).
3. (k - 8)(2k + 7).
4. (4у + 3х)(3у - 2х).
Решите уравнение (задания №№ 5-6):
5. (7х - 23) - (2х - 8) = 19.
6. 12 - 3(х - 5) = 11 - 6х.
Вынесите общий множитель за скобки (задания №№7-8):
7. 24а5 - 16а3.
8. Зх2у - ху. 9 * 11
9. (3 балла) Решите уравнение:
(8х - 5)(3х + 4) - (6х + 7)(4х - 1) = 0.
10.(3 балла) Разложите на множители:
а2Ь - 6а + а&2 - 6Ь.
11. (5 баллов) Разложите на множители:
х2- Их + 30.
12.(5 баллов) Пешеход шел первую половину пути со скоро-
стью 3 км/ч, а вторую половину - со скоростью 5 км/ч.
Найдите длину пути пешехода, если всего он находился в
пути 8 часов.
22
Многочлены.
Выполните действия (задания №№ 1-4):
1. Зх5(2 - 8х).
2. 7х2 - 2х(4х - 3).
3. (k - 3)(/г + 7).
4. (Зх - у)(2х + Зу).
Решите уравнение (задания №№ 5-6):
б. (Зх - 8) - (7х + 1) = 21.
в. 5 - 7х = Их - 3(х + 5).
Вынесите общий множитель за скобки (задания №№7-8):
7. 60а7 - 15а9.
8. Зху3 - ху2. 9
9. (3 балла) Выполните умножение:
(7х - г/)(3х + 2ху - 4у).
10.(3 балла) Разложите на множители:
4х + х2ув - ху7 - 4у.
11.(5 баллов) Решите уравнение:
7х - 5 2х - 3 5х - 1
10 3 15
12.(5 баллов) Докажите, что выражение 643 - 85 - 47
кратно 13.
23
Многочлены.
Выполните действия (задания №№ 1-4):
1. 51/(2/ - 4).
2. 8х2 - 9х(х + 2).
3. (с - 6)(с + 4).
4. (2х + у)(х - 7у).
Решите уравнение (задания №№ 5-6):
5. (7х + 9) - (10х - 2) = 17.
6. 9 - 4(х - 3,5) = 11 - 8х.
Вынесите общий множитель за скобки (задания №№7-8):
7. 16а2 - 4а.
8. 5xi/ - х2у.
9. (3 балла) Решите уравнение:
(6х - 4)(2х + 5) - (4х - 7)(3х - 1) = 67.
10. (3 балла) Разложите на множители:
За2Ь - ЗаЬ2 - 6а - 6Ь.
11. (5 баллов) Разложите на множители:
х2+ 8х + 15.
12. (5 баллов) На склад привезли 64 мешка картофеля. Третья
часть привезенного картофеля была упакована в мешки по
50 кг в каждом, а остальной картофель - в мешки по
60 кг. Сколько всего картофеля привезли на склад?
24
Многочлены.
Выполните действия (задания №№ 1-4):
1. 7х2(5х + 4).
2. 5а2- 4а(3а- 4).
3. (k + 6)(Л + 5).
4. (Зх - 5у)(х + у).
Решите уравнение (задания №№ 5-6):
5. (Зх - 12) - (7х - 5) = 9.
6. 5х + 20 = Зх - 4(х - 2).
Вынесите за скобки общий множитель (задания №№7-8):
7. 45а5 - 9а2.
!
8. 4x1/ - х2у.
9. (3 балла) Выполните умножение:
(6х - 2у)(4х - 2ху + у).
10.(3 балла) Разложите на множители:
Зу + ху3 * - х2у2 - Зх.
11.(5 баллов) Решите уравнение:
х - 2 2х-5 4х-1 .
-----+ + = 4 - х
5----4------20
12.(5 баллов) Докажите, что выражение 812 - 272 - 92 делится
на 71.
25
Формулы сокращенного умножения. жйтей'Ч з
Выполните действия (задания №№1-3):
1. (2а + I)2. 2. (с - 4р)2. 3. (Ь + 7)(Ь - 7).
Упростите выражение (задания №№4-6):
4. (2х - 1)(2х+1) - 2х(3х - 5).
5. 6у(у + 5) - (2у - З)2.
6. 4(х - 2у)2 + 16xi/.
Разложите на множители (задания №№7-10):
7. Ь2- 16.
8. 25а2- 81у2.
9. х2 - 6х + 9.
10. 4у3 - у.
11. (3 балла) Упростите выражение:
(а - 5b)2(a + 5Ь)2.
12. (3 балла) Найдите значение выражения:
а2 - 12а + 36 при а = 506.
13. (5 баллов) Разложите на множители:
х3 + у2 + х2 - ху + у2.
14. (5 баллов) Найдите значение выражения:
4х2 + 9у2, если 2х + Зг/ = 18; ху = 6.
26
Формулы, сокращенного умножения.
Выполните действия (задания №№1-3):
1. (8 - За)2. 2. (2у + I)2. 3. (х + 2)(х - 2).
Упростите выражение (задания №№4-6):
4. Зх(х - 6) - (2х - 5)(2х+5).
5. (с + 7)2 - 2с(3с - 2).
6. 12аЬ + (2а - ЗЬ)2.
Разложите на множители (задания №№7-10):
7. 25 - у2.
8. 9а2 - 49Ь2.
9. х2 - 4ах + 4а2.
10. с - 36с3.
11.(3 балла) Упростите выражение:
(5х2 - 9)2- (5х2 + 9)2.
12.(3 балла) Не выполняя вычислений, сравните значения
выражений (577 + 282)2 и 5772 + 2822.
13.(5 баллов) Разложите на множители:
/ - 2у6 + у3.
14.(5 баллов) Докажите, что при любых значениях перемен-
ных выражение 4а2 - 28ab + 49b2 принимает неотрица-
тельные значения.
27
Формулы сокращенного умножения.
ТЗ^б /ЪгЗ
Выполните действия (задания №№1-3):
1. (4 + у)2. 2. (4а - Ь)2.
3. (7-10(7 + 1/).
Упростите выражение (задания №№4-6):
4. (у - 5)(у + 5) - 2i/(3 - у).
5. 4а(а-5)-(а + З)2.
6. 7(х - р)2 + 14хр.
Разложите на множители (задания №№7-10):
7. 81 - х2.
8. 49х2- 16j/2.
9. р2 - 2ру + у2.
10. у3 - 64у.
11. (3 балла) Упростите выражение: (5с - Ь)2 (5с + Ь)2.
12. (3 балла) Найдите значение выражения:
а2 - 14а + 49 при а = 407.
13. (5 баллов) Разложите на множители:
х2у + ху2 + х3 + у3.
14. (5 баллов) Найдите значение выражения:
р2 + 4Ь2, если р + 26 = 8; pb = 10.
28
Формулы, сокращенного умножения.
Выполните действия (задания №№1-3):
1. (Ь-9)2. 2. (7 +6а)2. 3. (4с - у)(4с + у).
Упростите выражение (задания №№4-6):
4. Зр(р - 4) - (р - 2)(р + 2).
5. (с - З)2 - 2с(с -2).
6. Юру + 5(р - у)2.
Разложите на множители (задания №№7-10):
7. а2 - 25.
8. 49р2 - 4а2.
9. х2 - 4ах + 4а2.
10. 36с3 - с.
11.(3 балла) Упростите выражение:
(5а3 + 2)2 - (5а3 -2)2.
12.(3 балла) Не выполняя вычислений, сравните значения
выражений 1782 + 1522 и (178 + 152)2.
13.(5 баллов) Разложите на множители: 1 - 2а2 + а4.
14.(5 баллов) Докажите, что при любых значениях перемен-
ных выражение 25 + Юр + р2 принимает неотрицательные
значения.
29
Системы линейных уравнений.
1. Решите систему линейных уравнений:
2х - Зу = 4,
х + 2у = -5.
2. За время экскурсии 15 семиклассников съели 40 булочек,
причем каждая девочка съела 2 булочки, а каждый маль-
4. Не выполняя построения, вычислите координаты точки
пересечения прямых Зх-у = Зи4х + 1/ = 11.
5. (3 балла) Решите систему уравнений:
0,8(2х - 5у) = -20,
0,2(Зх + 2у) = 5,8.
6. (3 балла) Выясните, имеет ли система уравнений реше-
ния:
2у - 5х = 14,
Зх - 4у = 6.
7. (5 баллов) На прямой -5х + 9у = 26 отмечена точка, абс-
цисса которой в два раза меньше ординаты. Найдите ко-
ординаты этой точки.
8. (5 баллов) В трех автобусах «Икарус» и 5 автобусах «Ли-
АЗ» могут уехать 860 человек, а в 4 автобусах «Икарус» и
7 автобусах «ЛиАЗ» - 1180 человек. Сколько человек
вмещает «Икарус»? Сколько человек вмещает «ЛиАЗ»?
30
Системы линейных уравнений.
1. Решите систему уравнений:
Зх -5у = 13,
Зх + у = 1.
2. В доме 36 квартир, часть из них - двухкомнатные, ос-
тальные - трехкомнатные. Общее количество комнат в
4. Не выполняя построения, вычислите координаты точек
пересечения прямых Зх - 5у = 14 и 2х 4- Зу = 3.
5. (3 балла) Решите систему уравнений:
[V - 6у = °’5-
6. (3 балла) Выясните, имеет ли решения система уравне-
ний:
5у + 4х = 7,
10z/ + 8х = 15.
7. (5 баллов) На прямой 5х - 4у = 33 отмечена точка, абс-
цисса которой в 3 раза больше ее ординаты. Найти коор-
динаты этой точки.
8. (5 баллов) Если первая труба открыта 5 часов, а вторая 7
часов, то в бассейн поступит 43 тонны воды. Если же пер-
вая труба открыта 6 часов, а вторая 5 часов, то в бассейн
поступит 38 тонн воды. Сколько тонн воды подает в бас-
сейн каждая из труб за час?
31
Системы линейных уравнений.
1. Решите систему уравнений:
х - 2у = 7,
Зх + 2у = -3.
2. Мой сосед купил на базаре 12 раков за 44 рубля. Сколько
маленьких и сколько больших раков он купил, если ма-
4. Не выполняя построения вычислить координаты точки
пересечения прямых 5х - у = -25 и Зх + у = 1.
5. (3 балла) Решите систему уравнений:
0,3(х + 2у) = -2,1,
0,4(х - 2у) = 4,4.
6. (3 балла) Выясните, имеет ли решения система уравне-
ний:
2у - 4х = 7,
4х + у = -16.
7. (5 баллов) На прямой 4х + 5у =3 отмечена точка, абсцис-
са которой на 3 больше ее ординаты. Найдите координаты
этой точки.
8. (5 баллов) В двух мешках находится 105 кг сахара. Если
в первый мешок добавить 5 кг, а из второго отсыпать
20 кг, то в первом мешке окажется в 2 раза больше саха-
ра, чем во втором. Сколько сахара находится в каждом
мешке?
32
Системы линейных уравнений.
1. Решите систему уравнений:
(4х + у = 4,
[бх- Зу = 22.
2. В пассажирском вагоне девять купе, часть из которых
трехместные, а остальные четырехместные. Сколько купе
4. Не выполняя построения, вычислите координаты точки пе-
ресечения прямых Зх - у = 4 и -5х + у = 14.
5. (3 балла) Решите систему уравнений:
кг _ - 5.
4 2 ’
6х + ^ = -15.
6. (3 балла) Выясните, имеет ли решения система уравне-
ний:
2х-3у = 7,
бу - 4х = -14.
7. (5 баллов) На прямой Зх - 5у = -16 отмечена точка, абс-
цисса которой на 4 меньше ее ординаты. Найдите коорди-
наты этой точки.
8. (5 баллов) Одно число больше другого на 16. Найдите эти
числа, если 20% одного равны 25% другого?
2 зак. 200
33
Контрольные работы.
Данный раздел содержит контрольные работы по кур-
су алгебры 7 класса. Все задания отвечают требованиям про-
граммы общеобразовательной школы. Работы даны в шести
вариантах в порядке возрастания трудности, при этом пятый
и шестой варианты сложнее, чем остальные. Все варианты
имеют одинаковую структуру: до черты - обязательные зада-
ния, их выполнение гарантирует оценку «5», после черты -
задания, которые могут быть предложены учащимся, выпол-
нившим обязательную часть, в качестве дополнительных. В
зависимости от подготовленности класса количество обяза-
тельных заданий может варьироваться.
В таблице представлено распределение контрольных
работ по параграфам учебника «Алгебра 7», авторы:
Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова.
Под редакцией СА. Теляковского.
№ Тема контрольной работы. §§
1. Выражения. Преобразование выражений. 1-2.
2. Уравнение с одной переменной. 3
3. Функции и их графики. Линейная функция. 4-5.
4. Степень и ее свойства. Одночлены. 6-7.
5. Графики функций у — х2 и у — х3. Абсолют- ная и относительная погрешности. 7-8.
6. Сумма и разность многочленов. Произведе- ние одночлена и многочлена. 9-10.
7. Произведение многочленов. 11.
8. Квадрат суммы (разности) двух чисел. Раз- ность квадратов. Сумма (разность) кубов. 12-13.
9. Преобразование целых выражений. 14.
10. Линейные уравнения с двумя переменными и их системы. Решение систем линейных уравнений. 15-16.
11. Итоговая контрольная работа.
34
Выражения, преобразования выражений.
1. Выполните действия: (-1А )(-25)0,8 - (-36): j.
2. Сравните значения выражений -а + 36 и 2а - 2Ь при
а = -6 и b = -4.
3. В одном стоге т тонн сена, а во втором на п тонн больше.
Сколько тонн сена в двух стогах вместе? Составьте выра-
жение и найдите его значение при т = 183,7; п = 92,4.
л тт ~ За - 2аЬ + 46 „ , Л -
4. Найдите значение выражения----------- при а=2 и 6=0,5.
> 4а - 66
5. Упростите выражение:
а) 5а - 0,36 - 0,2а + 46; в) -6 - (4а - 3) + (7 - 2а).
б) 5 + 0,75 (3i/ - 1);
6. Докажите, что при х = -0,02 значение выражения
32х - ((8 - 13х) - (9 - 2х)) положительно.
7. Докажите, что сумма трех последовательных четных чи-
сел делится на 6.
Выражения, преобразования выражений. ВЦ
1. Выполните действия: - 5 j (-21) + (-у )-21 -3 j.
2. Сравните значения выражений -2т+3п и 2т-3п при тп=6
и п = 4.
3. В первый день собрали урожай пшеницы с S га, во второй - с
площади на п га большей, чем в первый. С какой площади
собрали урожай пшеницы за два дня? Составьте выражение и
найдите его значение при S = 78,3; п = 26,5.
. т-г „ т — 2тп + п Л Л ~
4. Найдите значение выражения------------- при тп=3 и п=0,5.
т + 2тп - п
5. Упростите выражение:
а) 0,2а + 86 - 7а - 0,76; в) 6 - (-36 - 3) + (7 - 56).
б) 5 (1,2 + 0,75х) + 0,3;
6. Докажите, что при у = -0,48 значение выражения
49у - ((5у - 6) - (11 - 8у)) отрицательно.
7. Докажите, что сумма двух последовательных нечетных
чисел делится на 4.
35
Выражения, преобразования выражений.
1. Выполните действия: (-3 Ц-):(- Ц-) + (-1 ± )• :(0,8).
2. Сравните значения выражений -у+Зх и 2у-х при х=-2 и у—3.
3. Одна бригада засеяла пшеницы т га, а вторая на l,5d га больше.
Сколько гектаров пшеницы засеяли обе бригады вместе? Со-
ставьте выражение и найдите его значение при тп=240; d=ll,3.
2а - ab +1 „
4. Найдите значение выражения ------- при а= j; Ь--2^ .
4а — ЗЬ
5. Упростите выражение:
а) f а - За - 2Ь + у Ь; в) 5п - (3,2п - 3) + (1,2 - Зп).
б)6+| (3,6 - 5у);
6. Верно ли, что при z = -3,41 значение выражения
3,lz - ((3,2z - 2,8) - (2,lz + 4,2)) больше О?
7. Докажите, что сумма трех последовательных нечетных
чисел делится на 3.
Выражения, преобразования выражений.
1. Выполните действия: (-0,25)-7| :(-3^-) + 5-^-+(-1|).
2. Сравните значения выражений 5k-2a и 7a-8k при а=-7 и k=-5.
3. На элеватор в первый день привезлир т пшеницы, во второй - в 1,2
раза больше. Сколько тонн пшеницы привезли на элеватор за два
дня? Составьте выражение и найдите его значение прир=185.
. „ „ 4тп - 2п - 2 { 3
4. Найдите значение выражения--------- при тп=6,5; п—4.
т + п + 1,7
5. Упростите выражение:
а) ^а-^Ъ-^а+^Ь;. в) -За + (5& + 2а) - (2Ь - 4а).
б) 0,8 + у (1,4 - Зу);
6. Верно ли, что при t = 0,67 значение выражения
2,7t - ((2,3t + 0,8) - (2,It - 0,9)) положительно?
7. Докажите, что сумма 'четырех последовательных нату-
ральных чисел не может быть простым числом.
36
Выражения, преобразования выражений. К-1 В-5
1. Выполните действия: :0,8(-1,25):(0,64 + (->)).
2. Сравните значения выражений 2ху-х и Зху-у при х=-2 и у=8.
3. Пассажир ехал 10 часов поездом со скоростью v км/ч и летел
8 часов на самолете со скоростью р км/ч. Сколько всего ки-
лометров пассажир ехал на поезде и летел на самолете? Со-
ставьте выражение и найдите его значение при S=40; р=320.
. тт о 8р — 3.2/? s 1 - 1
4. Найдите значение выражения---— -------прир=-1; я=-11.
6р + 3k - 0,6pk
б. Упростите выражение:
а.) - ^а + Ц-а - I0'*’ » в) -^т-(-Зп-4:,1т)+(2т-5п).
б) 4,1 - >(29,7- 2р);
б, При каком наименьшем натуральном х выражение
0,8х-((4,6х+0,1)-(9,1х-5)) принимает положительное значение?
7. Докажите, что произведение двух последовательных чет-
ных чисел делится на 8.
I Выражения, преобразования выражений.
1. Выполните действия: (-12у) (-^-) + 12,75 + (->)(-3,9).
2, Сравните значения выражений 11у-4ху и 7х-2ух при х=3 и у=5.
3. Пароход шел по течению реки 9 часов со скоростью а
км/ч, а против течения 6 часов со скоростью b км/ч.
Сколько километров прошел пароход? Составьте выраже-
ние и найдите его значение при а = 24; & = 18.
4. Найдите значение выражения — °’^п~1пт лрИ 1 • п=-31.
4тп + 1,5п 3 3
б. Упростите выражение:
а) т - 0,Эти + f п - |п; в) -2,1а + (&- 1,9а)-(-3& + За).
б) f (0,8г/-1,2)+13;
6. При каком наибольшем натуральном т значение выраже-
ния -0,8тп + ((4,7тп 4- 0,1) - (8,2т - 5)) положительно?
7. Может ли сумма пяти последовательных натуральных чи-
сел быть простым числом?
37
У равнения.
1. Решите уравнение:
a) 3,6у = 9;
б) 3,5z -12f=6,85;
в) 0,1а - 0,1 = 0,15а - 5,1;
2х — 3 3 — 2х
5 7~ ’
2. При каком значении а значение выражения За + 4 на 13
больше значения выражения а + 3?
3. В овощехранилище привезли 564 т овощей. Моркови при-
везли в 1,5 раза больше, чем лука, а свеклы на 4 тонны
меньше, чем моркови. Сколько тонн моркови, лука и
свеклы привезли в овощехранилище?
4. Найдите все значения у, при которых верно равенство:
2(у - 5) + Зу = 4(2у 4- 8).
5. Найдите четыре последовательных натуральных числа,
сумма которых равна 50.
6. При каких значениях х верно равенство:
(х - 2)(х - 3|) = 0?
7. Найдите все целые значения а, при которых корень
уравнения ах = 4, является целым числом.
8. Сколько существует таких целых чисел у, для которых
верно неравенство: |i/| < 99? Ответ объясните.
9. Если к задуманному числу прибавить 31, полученную
сумму разделить на 6, а из частного вычесть 17, то в ре-
зультате получится - 11. Какое число задумано?
38
У равнения.
1. Решите уравнение:
a) 2,7z = 48;
б) 22,5 + If х = 39;
в) 1 - 0,04у = 0,5 + 0,06г/;
. 5а - 4 За - 7
г) -----=-------.
5 4
2. При каком значении переменной разность выражений
4fe + 7 и 5 - 10/? равна 16?
3. В трех школах 3080 учащихся. В первой школе учащихся
в два раза меньше, чем во второй, а в третьей на 80 уче-
ников больше, чем в первой. Сколько учеников в каждой
школе?
4. Найдите все значения у, при которых верно равенство:
6(2i/ - 5) + 14 = 8(5 - 2у).
5. Найдите четыре последовательных четных числа, сумма
которых равна 60.
6. При каких значениях х верно равенство:
(х - 4)(х - 2,5) = 0?
7. При каком значении k уравнение kx = 5 не имеет корней?
8. Сколько существует таких целых чисел т, для которых
верно неравенство: |тп| < 76? Ответ объясните.
9. Если от задуманного числа отнять 15, полученную раз-
ность умножить на 6, а из произведения вычесть 23, то в
результате получится 19. Какое число задумано?
39
У равнения.
К-2 В-3
1. Решите уравнение:
а) 1,6а = 40;
б) 7f - 4,2t = 5|;
л о о
в) 0,51/-0,9 = 0,03у + 3,8;
г\ 5 - 2х _ х - 4
~3 2~'
2. При каком значении переменной сумма выражений За +
4 и 8а + 7 на 15 меньше значения выражения 5 - За?
3. Сумма трех чисел равна 1200. Первое число в три раза
больше, чем второе, а третье на 200 меньше второго. Чему
равны эти числа?
4. Найдите все значения х, при которых верно равенство:
5(5х - 1) - 2,5х = | (32,5 - 2,5х).
5. Найдите пять последовательных нечетных чисел, сумма
которых равна 85.
6. При каких значениях х верно равенство:
(2х - 3)(4 + 7х) = 0?
7. При каком значении т уравнение тх = 7 + 2х не имеет
корней?
8. Сколько существует таких целых чисел t, для которых
верно неравенство: 63 < |t| < 76? Ответ объясните.
9. Если задуманное число умножить на 13, из полученного
произведения отнять 14, а разность возвести в квадрат, то
в результате получится 144. Какое число задумано?
40
У равнения. Ш2,
1. Решите уравнение:
a) 9,6b = 84;
б) 2,2z - 5| = 8,55;
в) 1,2а - 5,375 = 1,21а - 5,425;
. 2х - 5 2х + 1
г) -----=-------.
5 7
2. При каком значении переменной разность выражений
15х+1иЗ-хна5 больше значения выражения 2х + 1?
3. За три дня завод изготовил 1275 деталей. Сколько деталей
завод изготовлял каждый день, если известно, что во вто-
рой день завод изготовил деталей в два раза больше, чем в
первый, а в третий на 60 деталей больше, чем во второй.
4. Найдите все значения х, при которых верно равенство:
2(12х - 0,035) = 0,6 - 2(х + 0,075).
5. Найдите пять последовательных чисел, сумма которых
равна 5.
6. При каких значениях х верно равенство:
(5х + 8)(3 - 9х) = 0?
7. При каком значении t корнем уравнения tx = 2х является
любое число?
8. Сколько существует таких целых чисел k, для которых
верно неравенство: 70 < |/?| < 87? Ответ объясните.
9. Если задуманное число разделить на 14, к полученному
частному прибавить 9, а сумму возвести в квадрат, то в
результате получится 121. Какое число задумано?
41
У равнения. К-2 SBM
1. Решите уравнение:
а) 1,4а = 7;
б) 4,5z/+ 1,25 = 37 f;
в) t - 0,3 = ft + 20|;
. - 2х - 5 - Зх +1
г) =---------------.
7 11
2. Найдите значение переменной, при котором значение вы-
ражения 5у + 4 на 18 меньше удвоенного значения выра-
жения 4- у.
3. На склад в течение трех дней привезли 22 т картофеля,
причем во второй день привезли на 2200кг больше, чем в
первый, а в третий столько, сколько было привезено за
первые два дня вместе. Сколько картофеля привозили
каждый день?
4. Найдите все значения х, при которых верно равенство:
3(1,9х + 2,4) = 5(0,42х - 0,96).
5. Найдите семь последовательных четных чисел, сумма ко-
торых равна 0.
6. Решите уравнение: |3х - 1| = 4.
7. При каком значении k уравнение f = 5 не имеет корней?
8. Сколько существует таких целых чисел п, для которых
верно неравенство: -56 < п < 34? Ответ объясните.
9. Если от задуманного числа отнять 18, а разность разде-
лить на 5 и результат возвести в куб, то получится 27.
Какое число задумано?
42
У равнения.
1. Решите уравнение:
а) 5 = 3,2z;
б) 7,бу - 2,4 = If;
в) 5,5 - 5f а = б{ - 2,7а;
. Зх — 3 2х — 3
г) -----=-------.
3 4
2. При каком значение переменной выражение 3(5 - Зх) на
7 больше выражения 4х + 34?
3. В трех цехах было 2400 рабочих. В первом цехе рабочих
было в три раза меньше, чем во втором, а в третьем
столько, сколько в первом и во втором цехах вместе.
Сколько рабочих было в каждом цехе?
4. Найдите все значения х, при которых верно равенство:
5(4,5х - 1) = 5,7 - 0,5(х - 20).
5. Найдите пять последовательных нечетных чисел, сумма
которых равна 5.
6. При каких значениях х верно равенство:
|2х + 3| = 2.
7. При каком значении k уравнение f = k не имеет корней?
8. Сколько существует таких целых чисел z, для которых
верно неравенство: -42 < z < 52? Ответ объясните.
9. Если к задуманному числу прибавить 7, а сумму разде-
лить на 4 и результат возвести в куб, то получится 125.
Какое число задумано?
43
Функции. К-3 В-1
1. Функция задана формулой у = -2х 4- 4. Принадлежит
ли графику функции точка А(0; -2)?
2. Постройте в одной системе координат графики функ-
ций у=3х-2иу = - 2х. В какой точке ойи пересе-
каются?
3. Подберите а, &, с и d так, чтобы графики функций:
а) у = 8х 4- 12 и у = ах - 3 пересекались;
б)у = Зх4-1и1/ = &х-1 были параллельны;
в)1/ = 4х4-1иу = сх-с? совпадали.
4. Постройте график функции у = kx, если известно, что
ему принадлежит точка М(2;-8). Найдите:
а) значение х, при котором у = 8;
б) значение у, при котором х = -3.
5. Задайте формулой функцию, график которой парал-
лелен прямой у = 4х - 1 и проходит через точку А( 2;-
2).
6. В какой точке график функции у = х2 4- Зх - 4 пере-
секает ось ординат?
7. Если натуральное число А разделить на 3 или на 4, то
в остатке получится 1. Какой остаток получится при
делении числа А на 12?
’57
Функции. К-3 В-2
1. Функция задана формулой у = -х - 3. Принадлежит
ли графику функции точка А(-1;-4)?
2. Постройте в одной системе координат графики функ-
ций у = -2х + 4иу = 3х-6. В какой точке они пе-
ресекаются?
3. Подберите а, Ь, с и d так, что графики функций:
а) у = ах -5 и у = 5х 4- 6 пересекались;
б) у = 13х -t 21 и у = 13х - Ъ были параллельны;
B)i/=7x + 9Hi/ = cxtd совпадали.
4. Постройте график функции у = Лх, если известно,
что ему принадлежит точка М(-3;18). Найдите:
а) значение х, при котором у = 6;
б) значение у, при котором х = -5. 5 6 7
5. Задайте формулой функцию, график которой парал-
лелен прямой у = -2х и проходит через точку А(-3;-4).
6. В какой точке график функции у = -х2 + 7х - 2 пере-
секает ось ординат?
7. Если к натуральному числу В прибавить 3, то полу-
чится число кратное 3, если же прибавить 4, то крат-
ное 4. Какой остаток получится при делении числа В
на 12?
58
Функции. К-3 В-3
1. Функция задана формулой у = 2х - 3. Принадлежит
ли графику функции точка А(0;0)?
2. Постройте в одной системе координат графики функ-
ций у = Чх - 0,5 и у = Зх - 2,5. В какой точке они
пересекаются?
3. Подберите а, &, с и d так, что графики функций:
а) у = -4х -1 и у = ах пересекались;
б) у = 45х - 9 и у = Ьх - 10 были параллельны;
в) у = -Зх - 4 и у = -сх + d совпадали.
4. Постройте график функции у = Лх, если известно,
что ему принадлежит точка М(-16;32). Найдите:
а) значение х, при котором у = 10;
б) значение у, при котором х = -5.
5. Задайте формулой функцию, график которой паралле-
лен прямой у = -2х - 3 и проходит через точку
А(0;0).
1 — х
6. В какой точке график функции у= ------ пересекает
х
ось абсцисс?
7. Если натуральное число С разделить на 3 или на 5,
то в остатке получится 2. Какой остаток получится
при делении числа С на 15?
59
Функции. | К-3 : В-4'
1. Функция задана формулой у = -2х - 3. Принадлежит
ли графику функции точка А(-1;-1)?
2. Постройте в одной системе координат графики функ-
ций у = -2х + 3 и у = Зх + 4. В какой точке они пере-
секаются?
3. Подберите а, Ь, с и d так, что графики функций:
а)г/=7х+5и1/ = ах + 5 пересекались;
б)у = &х-1и1/ = 3-4х были параллельны;
в) у = -х 4 2 и у = сх + d совпадали.
4. Постройте график функции у = kx, если известно,
что ему принадлежит точка М(-4;-8). Найдите:
а) значение х, при котором у = 12;
б) значение у, при котором х = -3.
5. Задайте формулой функцию, график которой паралле-
лен прямой у = Зх - 3 и проходит через точку А (-3;0).
1 — 2х
6. В какой точке график функции у= —-— пересекает
лх
ось абсцисс?
7. Если к натуральному числу D прибавить 2, то полу-
чится число кратное 2, если же прибавить 5, то
кратное 5. Какой остаток получится при делении
числа D на 10?
60
б) 7,6у-2,4 = 1|;
ч Зх-З 2х-3
г) ---- = ----•
| Уравнения. | К-2 | В-6 |
1. Решите уравнение:
а) 5 = 3,2z;
в) 5,5 - 5|а = 6| - 2,7а;
2. При каком значение переменной выражение 3 (5 - Зх)
на 7 больше выражения 4х + 34?
3. В трех цехах было 2400 рабочих. В первом цехе
рабочих было в три раза меньше, чем во второй, а в
третьем столько, сколько в первом и во втором цехах
вместе. Сколько рабочих было в каждом цехе?
4. Найдите все значения х, при которых верно
равенство:
5(4,5х - 1) = 5,7 - 0,5(х - 20).
5. Найдите пять последовательных нечетных чисел,
сумма которых равна 5.
6. При каких значениях х верно равенство:
|2х + 3| = 2.
7. При каком значении k уравнение k не имеет
корней?
8. Сколько существует таких целых чисел г, для
которых верно неравенство: -42 < г < 52? Ответ
объясните.
56
Функции. К-3 В-5
1. Функция задана формулой у = -2х - 5. Принадлежит
ли графику функции точка А(-|;-3|)?
2. Постройте в одной системе координат графики функ-
ций у = 2х + 5и1/ = -Зх - 1. В какой точке они пере-
секаются?
3. Подберите а, Ь, с и d так, что бы графики функций:
а) у = -2х + 3и1/ = ах + 6 пересекались;
б) у = 2Ъх + 3 и у = 9 - Зх были параллельны;
в) у = 4х+1иу = сх + d совпадали.
4. Постройте график функции у = kx, если известно,
что ему принадлежит точка К(2;-8). Найдите:
а) значение х9 при котором у = 12;
б) значение у, при котором х = -3.
5. Задайте формулой функцию, график которой паралле-
лен прямой у = 6х -1 и проходит через точку С(3;1).
6. В какой точке график функции у = —-— пересекает
2х 1
ось абсцисс?
7. Докажите, что не существует нечетного числа, кото-
рое при делении на 4 дает в остатке 2.
61
Функции. К-3 В-6
1. Функция задана формулой у = -Зх + 6. Принадлежит
ли графику функции точка ЛГ(-2;1О) ?
2. Постройте в одной системе координат графики функ-
ций у = 4х + 2иу=7х-3. В какой точке они пере-
секаются?
3. Подберите а, &, с и d так, что бы графики функций:
а) у = -2х + 5иу= ах - 5 пересекались;
б) у = -Ьх -1иг/=3-7х были параллельны;
в) у = -6х + 2и1/ = сг4-(/ совпадали.
4. Постройте график функции у = kx, если известно,
что ему принадлежит точка М(13;-39). Найдите:
а) значение х, при котором у = 6;
б) значение у, при котором х = -7.
5. Задайте формулой функцию, график которой паралле-
лен прямой у = -х - 3, и проходит через точку А(-2;3)
6. В какой точке график функции у= —- пересека-
ет ось ординат?
7. Докажите, что не существует такого четного числа,
которое при делении на 8 дает в остатке 3.
62
Степень с натуральным показателем. К-4 В-1
1. Дана функция у = 2х + х2. Заполните таблицу:
X -4 -2 -1 -0,5 0 0,3 1 3
2. Выполните действия:
а) а3а13; б) (&7)4;
в) аб. 7:а4; Г) (3&)4;
д) (f)3; а2 е) “Г- а
8. Преобразуйте в одночлен стандартного вида:
а) 4х8г/х2хг/2(-3); б) (-f ab2c2)(-4a8bc2);
в) IQa^^Sab8);
4. Сократите дробь:
г) (-1,5х2р3)3.
а)^;
' 210
„32 „45
X * X
б. Решите уравнение: -----—= 5.
б. Что больше З20 или 230 ?
2П • 32 о3
7. При каком значении п верно равенство: —— = 2 ?
63
zQ\3 2
а) а3 а13; б) (&7)4; в) а7:а4; г) (ЗЬ)4; д) ± е)^-.
\ъ) а5
3. Преобразуйте в одночлен стандартного вида:
а) 4х3ух2ху2(-3); в) 16a3b5:(-8ab3);
б) (-0,5аЬ2с2)(-4а3Ьс2); г) (~1,5х2у3)3.
4. Сократите дробь: а) 64 2 ; б) —-----.
qIO п7 об
х32 х45
5. Решите уравнение: ----——= 5.
_________________________х*6______
6. Что больше З20 или 230 ?
7.
При каком значении п верно равенство:
2^32 =23?
2е
Степень с натуральным показателем.
1.
2.
Дана функция у = -2х + х2. Заполните таблицу:
X -4 -3 -1 -0,5 0 0,5 1 2
У
Выполните действия:
а) а4 а17; б) Ь9:&5; в) (с5)9; г) (4t)3;
. т3
е)
771
3.
4.
Преобразуйте в одночлен стандартного вида:
в) 16аб 7Ь3с2:(-7а3Ьс);
г) (-l|xV)2.
З6 216
245
а) -5а3Ь2а4Ь4 (-^-);
б) (2,5ху3) (-2х2у5);
5.
255 .
5е 125 ’
х15 х39
Решите уравнение: ----—— =6.
_______х53______
6. Что больше 530 или З50 ?
Сократите дробь: а)
б)
7. При каком значении т верно равенство: 1 = З2 ?
49
Степень с натуральным показателем.
1.
2.
Дана функция у = 8 + х3. Заполните таблицу:
X -4 -2 -1 | -0,5 0 0,2 1 2
У
з
Выполните действия:
а) х19х3; б) у13:у; в) (z12)3; г) (2t)5;
3. Преобразуйте в одночлен стандартного вида:
а) 6а3Ь6аЬ5 (-|а); в) -25x3y4z2:(--^x2y3z);
б) (За&2с3)(-| а4Ь4с7); г) (-| х6у7)3.
о 5 к 5 п7
4. Сократите дробь: а) ------; б) -—— .
26 • 32 10е
(х3)2 х50
5. Решите уравнение: 1—------— =7.
________________________X36 х19________________________
6. Что больше 460 или 640 ?
1 пе
7. При каком значении t верно равенство: --------= 53 ?
Степень с натуральным показателем.
1. Дана функция у = 7 - х3. Заполните таблицу:
-3 -2 -1 -0,5 0 0,2 1 2
У
2. Выполните действия:
а) а22 а9; б) тп19:тп; в) (у8)4; г) (5ху)4; д) И е)
\h) t6
3. Преобразуйте в одночлен стандартного вида:
a) 3x7y2zyx5z2(-|); в) 18а9&7с5:(-9а6Ь2с4);
б) (ЗаЬс3)(-±а7Ь7с)-, г) (-|x3y7z14)3.
625 53
4. Сократите дробь: а) --:—
5е
б)
273
9 • З8 *
5.
/т4\7 22
Решите уравнение: 1—2—-— =9.
_____________________х9 (х5)8
6. Что больше З40 или 430 ?
/ j 2 \ х
7. При каком значении х верно равенство: 1 = 45?
50
Степень с натуральным показателем. к-4
1. Дана функция у = -х3 + х2. Заполните таблицу:
X -3 -2 -1 -0,5 0 0,2 1 5
У
2. Выполните действия:
a) m13m8m; б)п* 6:п3; в) (р4)7; г) (5х)3; д) f—'l е) —.
\ 0,2 ) q4
В. Преобразуйте в одночлен стандартного вида:
a) -2х5у7гху5г3(-±); в) 4а5&2с6:|а4&с6;
б) (-3xyz)(-| )2xy2z; г) (-| x7y7z)3.
Д. Сократите дробь: а) 81'3 ; б) ------
92 25 63
11 9
5. Решите уравнение: ------:———^—=11.
х27 х4_______________________
б. Что больше 540 или 7ай ?
7ft • 49
7. При каком значении k верно равенство: --------= 7 ?
75
Степень с натуральным показателем.
1. Дана функция у = -4х + х3. Заполните таблицу:
X -4 -2 -1 -0,5 0 0,2 1 2
У
2. Выполните действия:
а) 7п-7П4-тп10; б) п8:п2; в) (А7)4; г) (-2£)3; д) ; е) —.
10.01J х5
3. Преобразуйте в одночлен стандартного вида:
а) 45апЬ7с37п (-Дг)а&3с3; в) 24а8&с9:(-12а6Ьс8);
б) (2а2Ъс3)(-1 а10Ъ21с); г) (-1 x3y7z)3.
4. Сократите дробь: а) -4 -2 ; б) 14 .
42 26 74
5. Решите уравнение: ) ’ <* > =27.
____________ х33(х5)2________________________________
6. Что больше 6SU или 8е0 ?
(2п
7. При каком значении п верно равенство: -—— = 24 ?
256
51
Функции у=х* и у=х3 и их графики.
1. Принадлежат ли графику у = х точки:
а)А(-2;4); б) В(1,5; 2,25)?
2. Постройте график функции у = х2. С помощью графика
функции найдите:
а) значения х при которых у = 4;
б) какие значения принимает у при х > 2.
3. Округлите число 3,19 до десятых. Найдите абсолютную и
относительную погрешности приближения.
4. Упростите выражение: 4|a9d7(-l|a2d)2.
5. Найдите координаты точек пересечения графиков функ-
w _________ 2 __
ции у = X и у = X.
6. Сравните значения выражений:
а) 107 и 28-57; б) 2525 и 250 -З50.
7. Постройте график функции у = х + | х |.
8. Докажите, что уравнение х4 + Зх3 + 2х2 + х + 6 = 0 не
имеет положительных корней.
Функции у=х2 и у=х3 и их графики.
1. Принадлежат ли графику у=х2 точки:
а) М(-1,2;1,44); б) W(l,l; -2,21)?
2. Постройте график функции у = х3. С помощью графика
функции найдите:
а) значения х при которых у = 2 и у = -2;
б) какие значения принимает у при х > -2.
3. Округлите число 1,99 до десятых. Найдите абсолютную и
относительную погрешности приближения.
4. Упростите выражение: (-6 j)-?n6n5 (j тп)3.
5. Найдите координаты точек пересечения графиков функ-
ций у = х2 и у = 2х.
6. Сравните значения выражений:
а) 1427 и 226-728; б) 4530 и З6°-53°.
7. Постройте график функции у = х- |х|.
8. Имеет ли уравнение х6-х5+х4-х3+х2-х+1=О отрицательные корни?
52
Функции у=х2 и у=хл и их графики. .
1. Принадлежат ли графику у = х3 точки:
а) Р(-2;8); б) Q(-0,5;-0,125)?
2. Постройте график функции у = х2 С помощью графика
функции найдите:
а) значения х при которых у = -4;
б) какие значения принимает у при х > 1.
3. Округлите число 5,19 до десятых. Найдите абсолютную и
относительную погрешности приближения.
4. Упростите выражение: (2|-а)2-~(ab2)3- За.
5. Найдите координаты точек пересечения графиков функ-
ций у = х2 и у = х3.
6. Сравните значения выражений:
а) 612 и 213-Зп; б) 6330 и 360-730.
|х|
7. Постройте график функции у = х+ J-L.
х
8. Докажите, что уравнение 2х5 б 7 8+Зх4+х2+1=0 не имеет корней.
Функции у=х2 и у=х3 и их графики.
1. Принадлежат ли графику у = х3 точки:
а) Н(-3;-27); б) ЛГ(1О; 1000)?
2. Постройте график функции у = х3. С помощью графика
функции найдите:
а) значения х при которых у = 1;
б) какие значения принимает у при х > -1.
3. Округлите число 0,46 до десятых. Найдите абсолютную и
относительную погрешности приближения.
4. Упростите выражение: (З-j- а2Ь)2О,ОЗаЬ3.
5. Найдите координаты точек пересечения графиков функ-
w ________ __ 3
ции у = X и у = X .
6. Сравните значения выражений:
а) 256 и 212-312; б) 915 и 310-320.
7. Постройте график функции у = х - И.
X
8. При каких значениях х имеет место равенство: |х|2-1-|х|3=х2+х3?
53
Функции у=х2 и у=х^ и их графики.
1. Принадлежат ли графику у = -х3 точки:
a) S(-3; 27); б) У(-6; 216)?
2. Постройте график функции у = х2. С помощью графика
функции найдите:
а) значения х при которых у = -9;
б) какие значения принимает у при 0 < х < 4.
3. Округлите число 1,05 до десятых. Найдите абсолютную и
относительную погрешности приближения.
4. Упростите выражение: (-7у тпп)2(1,4?пп2)2.
5. Найдите координаты точек пересечения графиков функ-
ций у = 4х и у = х3.
6. Сравните значения выражений:
а) 1816 и 217 915; б) 240 1540 и 541-639.
|х5|
7. Постройте график функции: у = 1—L
х2
8. Расположите в порядке возрастания числа а, а2 тл а3, если -1<а<0.
Функции у=х2 и у=х3 и их графики.
1. Принадлежат ли графику у = -х3 точки:
a) G(-0,3; 0,27); б) L(4; -64)?
2. Постройте график функции у = х3. С помощью графика
функции найдите:
а) значения х при которых у = -8;
б) какие значения принимает у при -2 < х < 1.
3. Округлите число 7,35 до десятых. Найдите абсолютную и
относительную погрешности приближения.
4. Упростите выражение: 21 а2Ь8 (-1 ± ab3)4.
5. Найдите координаты точек пересечения графиков функ-
ций у = -4х и у = х3.
6. Сравните значения выражений:
а) 1816 и 217-915; б) 620-920 и 220-Зв0.
_ „в
7. Постройте график функции: у = —_
|х3|
8. Расположите в порядке возрастания числа а, а2 и а3, если 0<а<1.
54
Многочлены. К-6
1. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
а) За2 + 2с - 5ас - Зс - 42а2 + 5ас;
б) (2аЬ)(~ а2Ъ2) - (За2&) (|&) + |а3Ь3.
2. Выполните действия: (Зх2у)2 + Зу2(х2 - Зх4).
3. Вынесите общий множитель за скобки:
а) 4с4 + 12с5 - 8с2; б) 15х3у2 - 18х2у + 27ху2.
л „ 11 2-х
4. Решите уравнение: — = —-—.
5. Если автомобиль увеличит скорость с 50 км/ч до
60 км/ч, то приедет в пункт назначения на 2 часа раньше.
Какое расстояние необходимо проехать автомобилю?
6. Решите уравнение: 4у2 - 0,08у = 0.
7. Упростите выражение: ab2(4b4 - |а2) - 0,1а3&2.
L Многочлены. К-6 . В-2 :
1. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
а) 1,4у - 5у2 -2,3у - 0,2у2 - 0,3г/;
б) (3a) (f аЪ2) - (4Ь2) (|а2Ь) - |а2&3.
2. Выполните действия: Зх3(4у6 + Зу2) - (2у2х)3.
3. Вынесите общий множитель за скобки:
а) 3d5 - 45d3 + 12d7; б) 32а4&5 - 16а3&2 + За2Ь2.
3 х 6 “I* х
4. Решите уравнение: — =-------.
5 3
5. Поезд проходит расстояние между городами за 10 часов.
Если бы он проходил в час на 10 км больше, то ехал бы
8 часов. Найдите скорость поезда и расстояние между го-
родами.
!6. Решите уравнение: 0,01у2+ 2у = 0.
7. Упростите выражение: -2у2(|х3+ ху) + 0,5х3у2.
55
Многочлены.
1. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
а) 2а2 - 1,5а + а2 - 2,3а + 3,8а;
б) (8Ь4)(|аЬ3) + 2b1а + (6а2)( f Ь4а).
2. Выполните действия: (5аЬ4)2 - 4аЬ(6аЬ7 - 2аЬ).
3. Вынесите общий множитель за скобки:
a) 121z3 + 33z5 - 55z7; б) 18й3? - 54fc2t6 + 36fe2t5.
л т> 5 - у у 2
4. Решите уравнение: ------- = — А— .
3 6 3
5. В трех поселках 6000 жителей. Во втором поселке вдвое
больше жителей, чем в первом, а в третьем на 400 жите-
лей меньше, чем во втором. Сколько жителей в каждом
поселке?
6. Решите уравнение: Зу2 - 0,27у = 0.
7. Упростите выражение: 1^ху4( ху - 15х2) -I- 18x3y4.
Многочлены.
1. Преобразуйте в многочлен стандартного вида выражение:
a) 8b - 5,2b2 - 4,5b - 0,8b2;
б) Зу4х + (2y2x) (jx) - (2jy2x) (6y2).
2. Выполните действия: (6cd2)2 - 12cd(cd3 + d4).
3. Вынесите общий множитель за скобки:
а) 36а5 - 48а4 + 60а2; б) 56t4a2 + 28t5a3 - 70t7a2.
4. Решите уравнение: %х ~ & _ £ _ .
7 7 14
5. Обычно пешеход проходит расстояние от железнодорож-
ной станции до Дачи за 4,5 часа. Однажды, он шел на
2 км/ч быстрее обычного, и поэтому пришел на 1,5 часа
раньше. С какой скоростью шел пешеход?
6. Решите уравнение: 21А - 0,7k2 = 0.
7. Упростите выражение: 14ksa - 41 k(3k4a + | а3).
56
Многочлены. К-6 В-5
1. Преобразуйте в многочлен стандартного вида выражение:
а) ~%ХУ + Iх3у + ab - |x8i/ - ab;
б) (-l|xi/3)(-f ух2)2 + 2х6у5 + Зху.
2. Выполните действия: 2а\Ь2-Ь) - 10ab(0,2ab + 0,5а).
3. Вынесите общий множитель за скобки:
a) 0,4fe - 0,2А2 + | Л(1 - fe); б) 54а8&5 - 42а5&3 - 24а4Ь7.
. „ 6х+7 „ 5х-3
4. Решите уравнение: —-----2 = —.
5. Знаменатель дроби на 4 больше ее числителя. Если уве-
личить числитель на 2, а знаменатель на 3, то получится
дробь равная | • Найдите исходную дробь.
6. Решите уравнение: 2х + х3 + х5 = 0.
7. Упростите выражение: 6znn2(^-zn3-| znn)+0,5n2(4m2n-7n4).
Многочлены. К-6.. Вт-61
1. Преобразуйте в многочлен стандартного вида выражение:
а) — ±тп + ^тп п — п — ±тп ;
б) (2|x3i/)(|xi/2)2 - 2х5у5 + Зху.
2. Выполните действия: 2х2(3х - у) + 2х(2ху - Зх2).
3. Вынесите общий множитель за скобки:
a) f t2 - 5t - 0,3(t2 - 50*); б) 12c463 + 8c3b2 - 20c2b2.
x — 4 fix + 4
4. Решите уравнение: -----+1 =-----.
5 9
5. Числитель дроби на два меньше знаменателя. Если чис-
литель дроби уменьшить в 3 раза, а к знаменателю приба-
вить 3, то полученная дробь будет равна £. Найти исход-
ную дробь.
6. Решите уравнение: 4i/ + Зу5 + 2у2 — 0.
7. Упростите выражение: ^ab(4b — ^ab) + 0,862(^- а2 - 5а).
57
Умножение многочленов. К-7 В-1
1. Выполните действия:
а) (тп + 1)(3 - тп); в) (х2 - 2у)(3х2 + у) + 2у2 - Зх4.
б) (5а - 7&)(6& - а);
2. Разложите на множители:
a) 4t(t - 3) - t + 3; в) 2х2у + 4xi/ - 6 - Зх.
б) тп - т + k - kn;
3. При испытании двух двигателей разной мощности первый
израсходовал за 6 часов работы на 24 кг больше горючего,
чем второй двигатель за 4 часа. Сколько горючего расхо-
дует первый двигатель в час, если он расходует в час на 2
кг больше, чем второй?
4. Решите уравнение: (у - 2)(у + 3) - у2 = 5.
5. Докажите, что число 250 + 251 + 252 делится на 7.
6. Упростите выражение: &c(llc-7&)-((b-2c)(b2-5bc-l-c2)+c3) и
найдите его значение при Ь = -0,5; с = 1,5.
Умножение многочленов.
1. Выполните действия:
a) (k + 5)(3 - Л); в) (a2d - l)(ad + 1) - a3d2 - a2d + 1.
б) (Зх - 4i/)(2i/- 5x);
2. Разложите на множители:
а) 1 - t - (t - 1)£; в) 5х2у - Зху + 10х2 - 6х.
б) а3 +' 2а2 - 2а - 4;
3. Если поезд идет точно по расписанию, то расстояние от станции
Простоквашино до города N он проходит за 2 часа. Однажды
поезд вышел со станции на 15 минут позже, поэтому, чтобы
прибыть вовремя скорость поезда была увеличена на 10 км/ч.
Чему равно расстояние от города N до Простоквашино?
4. Решите уравнение: 2у2 - (2у - 5)(у - 1) = 9.
5. Докажите, что число З17 + З18 + З19 делится на 13.
6. Упростите выражение:
(р - 5т)(3р2 + 2рт - 7 т2) - (13тп(3тп2 - р2) - 17рт2)
и вычислите его значение при р = -3; т — -2
58
У множение многочленов. К-7 В-3
1. Выполните действия:
а) (7 - х)(х - 6); в) (x-y)(2xl-3y-l)-2x3-3if + 3xy-y.
б) (4k - 2z)(3z - fe);
2. Разложите на множители:
а) -3 - п - 5п(п + 3); в) 2у - ху2 + бху - Зх2у2.
б) ab - ас + cd - bd;
3. Лодка, собственная скорость которой равна 10 км/ч, шла
2 часа по течению реки и 3 часа по озеру. Какова ско-
рость течения, если лодка прошла всего 54 км?
4. Решите уравнение: 4х(х -I- 3) - (2х -I- 5)(2х - 5) = 49.
5. Докажите, что 545 + 544 - 543 делится на 29.
6. Упростите выражение: (a-4b)(3a2+2ab~5b2)-(12ab2-10b(a2-2b2))
и вычислите его значение при а = 2; Ъ = -0,6.
Умножение многочленов. К-7 В-4
1. Выполните действия:
а) (2 —1)(3 + t); в) (1-Зх2 + 2у)(х + у)-2у2 + Зх2(х + у)-х.
б) (5а - 3&)(2& - 7а);
2. Разложите на множители:
а) 6х - 7 + 6х(6х - 7); в) 16а4 5 + 12а2 - 20а8 - 15а6 *.
б) х3 + x2z - 2xz2 - 2z3;
3. Катер за 2 часа проходит по течению реки расстояние на
5 км меньшее, чем за 3 часа против течения. Найдите
скорость течения, если собственная скорость катера
25 км/ч.
4. Решите уравнение: (х -I- 3)(х + 7) - х(х + 8) = 16.
5. Докажите, что 9" + 9100 + 9101 делится на 91.
6. Упростите выражение:
(Зх - 2у)(3у2 + 2ху + 7х2) - х(5(у2 + 4х2) + х2)
и вычислите его значение при х = -2,5; у = -2.
59
У множение многочленов. ЖЙ1
1. Упростите выражение:
а) (т -4)(3 -т); в) (а4 5 + а2-а)(а3-За2)-а7 + 3а6 + 4а4.
б) (4х - у)(3х - у);
2. Разложите на множители:
а) х7(а2 - с) + z3(a2 - с); в) За + Зау + ба2 + 2 + 2у + 4а.
б) -4тп + 8п + т2 - 2тп;
3. Длина прямоугольника в два раза больше его ширины. Если
ширину прямоугольника увеличить на 8 см, а длину прямо-
угольника уменьшить на 10 см, то площадь прямоугольника
увеличится на 220 см2. Найдите площадь прямоугольника.
4. Решите уравнение: 49х - ((5х - 6) - (11 - 8х)) = 32.
5. Докажите, что 235 + 237 - 233 делится на 19.
6. Упростите выражение: (5тп2+47Пп-Зп2Х27п-п}-/п(7пп+1О(7п2-п2))
и вычислите его значение при т = - ; п = 3.
У множение многочленов. К-7 В-6
1. Упростите выражение:
а) (х + 7)(х + 3); в) (За2 + 4&)(4 - 3&) - 12а2 + 9а2& + 12&2.
б) (-Зх3 + у)(2 - ху);
2. Разложите на множители:
а) Зу(4а - 3) + у2(3 - 4а); в) ах3 + ах2 + ах + х2 + х + 1.
б) 5Ь2с3 - 2Ьс2 - 5Ьс + 2;
3. Периметр прямоугольника равен 60 см. Если длину пря-
моугольника увеличить на 10 см, а ширину уменьшить на
6 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 32 см2.
Найдите площадь прямоугольника.
4. Решите уравнение: 8х - ((4,6х + 1) - (9,1х - 5)) = 44.
5. Докажите, что 356+ З57- З55 делится на 11.
6. Упростите выражение: (c2-3cd+4d2)(2c-3d)-(6d2(3c-2d)-cd2)
и вычислите его значение при с = - ; d =
60
Формулы сокращенного умножения.
1. Представьте в виде многочлена стандартного вида:
а) (Зтп - 4fe)2; в) (4d - 13b)(4d + 136);
б) (| х2 + х4)2; г) 16ху( | у2 - ху)(ху + | у2).
2. Разложите на множители:
а) 4х2 - 9у2; б) 27 - 8т3; в) -Зр2 - 6р - 3.
3. Решите уравнение: (2х + З)2 - (2х + 5)(2х - 5) = 38.
4. Представьте в виде произведения многочленов:
а) 49(5а - I)2- 36а2; б) (х + у)3 + (х - у)3.
5.
Вычислите:
1,2 0,6 -1,2
1 - 0,22
6. Докажите, что значение выражения:
(а - 7)2 + 2(а - 7)(3 - а) + (3 - а)2
при любом значении а больше 15,99.
7. Разложите на множители: a2k+1 + 2ak+1 + а.
Формулы сокращенного умножения. ЖЖ.'
1. Представьте в виде многочлена стандартного вида:
a) (5k - Зу)2; в) (5а - 12с)(5а + 12с);
б) (5k + f А;5)2; г) 25az( jz3- a2)(a2 + f z3).
2. Разложите на множители:
a) a2 - 64b2; 6) 125a3 - 1; в) 32t3 - 48t2 + 18t.
3. Решите уравнение: (Зу + l)(3i/ - 1) - (Зу - 4)2 = 7.
4. Представьте в виде произведения многочленов:
а) 169/ - 9(3i/ + I)2; б) (а + Ь)3 - (а - Ь)3.
- n 1 - 0,42
5. Вычислите: -------------.
2,8 • 0,4 - 2,8
6. Докажите, что значение выражения:
(т - 4)2 - 2(4 - тп)(1 - т) + (1 - т)2
при любом значении т меньше 9,01.
7. Разложите на множители: Ь - 2Ът+г + b2ffl+1.
61
Формулы сокращенного умножения. К-8 В-3
1. Представьте в виде многочлена стандартного вида:
а) (За2 - 4х)2; в) (7х + 14i/)(14i/ - 7х);
б) (| z + 5z2)2; г) 49ху(ху2 + f х)( f х - ху2).
2. Разложите на множители:
а) 0,25 - х2у2; б) т3 - п6 7; в) -4х2а + 4ха - а.
3. Решите уравнение: (Зх + I)2- (Зх + 2)(3х - 2) = 17.
4. Представьте в виде произведения многочленов:
а) 9(5а - 4Ь)2 - 64а2; б) (1 + 2х)3 - 27х3.
5. Вычислите:
0,12 - 0,52
0,4 0,12+ 0,88 0,4*
6. Докажите, что значение выражения: (Зп2 + 10)2 - (За2 - 10)2
неотрицательно при любом значении п.
7. Разложите на множители: c2fe+1 + 4cft+1 + 4с.
Формулы сокращенного умножения.
1. Представьте в виде многочлена стандартного вида:
а) (6п + тп)2; в) (llz - 3t)(3t + llz);
б) (3k - | А2)2; г) 64mt( f т2 - 2t)(2t + f тп2).
2. Разложите на множители:
а) 0,64 - 4а2; б) х3у3 - 1; в) 36т/2тп + бОут + 25т.
3. Решите уравнение: (х + З)2 - (х + 5)(х - 5) = 46.
4. Представьте в виде произведения многочленов:
а) 121у2 -(у + 9)2; б) 64а3 + (2 - а)3.
5.
Вычислите:
0,16 0,8 + 0,84 0,8
0,32 - 0,52
6. Докажите, что значение выражения: (2t2+ll)2- (2t2 - ll)2
положительно при любом значении t не равном 0.
7. Разложите на множители:
4d2fe+1 + 4d*+1 + d.
62
Формулы сокращенного умножения. К-8 В-5
1. Представьте в виде многочлена стандартного вида:
а) (1 + аЬс)2; в) (62 + 2)(Ь2 - 2);
б) -(2а - 1,56)2; г) 20ху( jx2 - у) (jx2 + у).
2. Разложите на множители:
а) а2 + 2аЬ + Ь2 - 4; б) 27 р3 - 0,125g3 ; в) - 18х21/ - 12ху - 2у.
3. Решите уравнение: (х + I)3 - х2(х + 3) = -5.
4. Представьте в виде произведения многочленов:
a) 0,64t2 - (t + I)2; б) (х + 2а)3 + (х - 2а)3.
к „ 0,22 - 2 • 0,2 • 0,3 + 0,09
5. Вычислите: —----------------------
0,5 • 0,9 - 0,5
6. Докажите, что при всех значениях переменных значение
выражения: 4х(у + 3) - 4х2 - (у + З)2 неположительно.
7. Разложите на множители :7х2от+2 - 14х'п+2 + 7х2.
Формулы сокращенного умножения.
1. Представьте в виде многочлена стандартного вида:
а) (ЗаЬ2 - 5)2; в) (4 + z3)(z3 - 4);
б) (| у + 4i/3)2; г) (1 - 3а)2(3а + I)2.
2. Разложите на множители:
a) a2+b2-c2+ 2аЬ‘, б) 0,008Л6 7 - 1; в) 24g2 - 12g3 - 12g.
3. Решите уравнение: (х - I)3 + х2(3 - х) = 8.
4. Представьте в виде произведения многочленов:
a) 36(b - I)2 - 25&2; б) -(х - ЗЬ)3 - (х + ЗЬ)3.
с Г> 0,52 - 0,5
5. Вычислите: ----------------------.
0,42 + 2 • 0,4 • 0,1 + 0,12
6. Докажите, что при всех значениях переменной значение
выражения: а2 + (х + 2)2 - 2а(х + 2) неотрицательно.
7. Разложите на множители: 5у2п+3 - 10уп+3 + 5а3.
63
Преобразование выражений.
|К-9|В-1
1. Упростите выражение:
a) 4t(t + 3) - 2t(2t + 1); в) 25(х - у)(х + у) + (Зх - 5i/)2;
б) (4b + 1)(16&2 - 4b + 1); г) (тп+1)3 - т3 - Зтп2.
2. Разложите на множители:
а) 25п2 - 100n4; 6)t2-t + t3-l; в) т2 + Зтп - 4.
3. Докажите, что разность квадратов двух последовательных
натуральных чисел есть число нечетное.
4. Найдите числовое значение выражения при х = |, пред-
варительно упростив его: 2х3 + 9 - (х + 1)(х2 - х -I- 1).
6. Решите уравнение: -7z2 + (3z - 4)2 - 2(4 -I- z)(z - 4) = 0.
7. Разложите на множители:
a) l-4m+4m2-p2-2pq-q2; б) a+b+by+bx+ay+ax.
Преобразование выражений.
1. Упростите выражение:
а) А(5 - Зй) + ЗЛг(Лг - 1); в) (7х + Зу)2 - Зу(14х + Зу);
б) (2 - 5d2)(25d4 + 10d2 + 4); г) (t - 2)3 + 6t2 + 8.
2. Разложите на множители:
a) 3k - 12k3; б) За - ха + xb - ЗЪ; в) 2d2 - d - 1.
3. Докажите, что если к произведению двух последователь-
ных целых чисел прибавить большее.из них, то получится
квадрат большего числа.
4. Найдите значение числового выражения при т = ±,
предварительно упростив его:
т(т+2)(т-2)-(т-3)(т2+Зт+9).
- в 482 -122
5. Вычислите: ------------------.
892 +2•31•89 + 312
6. Решите уравнение: (3+х)2+(5-2х)(5+2х)-3(5-х2)=1.
7. Разложите на множители:
a) x2+4xy+4y2-4z2+4zt-t2; б) kx3+px3+k+kx2+px2+p.
64
Преобразование выражений.
К-9
В^З'. ’
1. Упростите выражение:
a) z(2z - 3) - 2(z2 -5z);
в) 5а(4 - 5а)+(2 - 5а)2;
б) (пг + О,5)(тп* 2 - 0,5тп + 0,25); г) (2k - I)3 - 4Л2(2Л - 3).
2. Разложите на множители:
a) 32g4-2g2; б) а3 - 2а2 - 4а + 8; в) Зп2 + 2п - 5.
3. Докажите, что разность квадратов двух последовательных
нечетных натуральных чисел равна удвоенной сумме этих
чисел.
4. Найдите значение числового выражения при у — 3,75,
предварительно упростив его: (i/2+i/)(i/-1)-(i/-2)(i/2+2i/+4).
е 0,25 -1,52
5. Вычислите: —-----------------------.
1,82 + 2 0,2 • 1,8 + 0,04
6. Решите уравнение: -6(2+а)(2-а)+(5-а)2-а(7а-1)=0.
7. Разложите на множители:
а) х2 - t2 + у2 + 2ху; б) ас + bd + ad + af + be + bf.
Преобразование выражений.
1. Упростите выражение:
а) Зу(у - 2х) + 6у(х - у); в) (3t'+ 2)(3t - 3)-(3t - I)2;
б) (За + 4)(9а2 - 12а + 16); г) (2 - b)3 + b3 + 12b.
2. Разложите на множители:
а) 1 - 49c2d2; б) а,2 - Ь2 - а + Ь; в) d2 - 3d + 2.
3. Докажите, что квадрат нечетного числа, уменьшенный на
1, делится на 8.
4. Найдите числовое значение выражения при т = 2,5;
п = 0,5 предварительно упростив его:
т(т + п)2 - п(тп - п)2 + 2п(т2 + п2).
6. Решите уравнение: -(Зх - I)2 + 2(5 + х)(х - 5) + 7х2 = 3.
7. Разложите на множители:
a) l-b2+2bc-c2-2k+k2; б) х5-х4-2х3+2х2+х-1.
3 зак. 200
1.
2.
3.
4.
Преобразование выражений.
Упростите выражение:
а) 2х(2х - у) - 4х(х - у); в) (2с + d)2 - 4с(с + d);
б) (| с - 2d)( 7 с2 + cd + 4d2); г) (т - 2)3 - т3 + 3(2тп2 - 4тп).
Разложите на множители:
а) 21 - 4х2; б) 4х2 -у2 + 2х + у; в) -а2 - 4а + 5.
Докажите, что если к произведению трех последователь-
ных целых чисел прибавить среднее число, то получится
куб среднего числа.
Найдите числовое значение выражения при тп=-1,5; п—0,25,
предварительно упростив его: 2т(т2+п2)-т(т-п)2+т(п+т)2-2т3.
£ 532 +222 - 472 -162
5. Вычислите: —----------------— .
652 -2 65 59 + 592
К-9
В-5
6. Решите уравнение: (а+1)(а2-а+1)-а(а+3)(а-3)=10.
7. Разложите на множители:
a) p3-q3+p2-2pq+q2; б) x2k+yn+x2m+yk+ym+x2n.
Преобразование выражений.
2.
в) 2(1 - За)2 - 2(3а - 1)(3а + 2);
г) (р + 4)3-р3- 12р2- 14.
3.
4.
5.
Упростите выражение:
а) За(2а - &) + 2а(Ь - За);
б) (1 + тп2)(1 - пг2 + тп4);
Разложите на множители:
а) - 9у2; б) х2у + ху + 1 - х2; в) -2z2 + 3z - 1.
Произведение двух последовательных натуральных чисел
на 38 меньше произведения следующих двух последова-
тельных натуральных чисел. Найдите эти числа.
Найдите значение числового выражения при х = - 0,2 и
у = -1, предварительно упростив его:
3(4х - у)2-2(х - у)(х + у) + 4(х + Зу)2.
Вычислите: ™92 ~ 2 ™9 61 + 612
792 + 732 - 492 - 552
6. Решите уравнение: b(5+&)(b-5)-(b-3)(&2+3b+9)=-23.
7. Разложите на множители:
а) 4х2+4х+1+8х3+1; б) y2k+k2-kn-y2m-y2n-km.
66
Системы линейных уравнений.
1. Сколько решений имеет система уравнений:
2х + Зу = 5,
6х + 9у = 7.
2.
3.
4.
5.
J а - Ъ = 2,
[За - 2Ь = 9:
Девять лет назад брат был вдвое старше сестры. Сколько лет бра-
ту и сколько сестре, если сейчас брат старше сестры на 4 года?
Составьте уравнение прямой АВ, если А(1;-2) и В(2;1).
„ „ [б(р + k) = 8 + р - 5k,
Решите систему уравнении: <
|4(р - 2k) -50 = 3k.
„ f х + Зу = 7,
При каких значениях а система: имеет бес-
[2х + ау = 14.
конечное множество решений?
б)
6. Решите систему уравнений
i = 3
у
I* у
7. Решите уравнение: (х - 2у)2 + (х - I)2 = 0.
Системы линейных уравнений.
в) =
|х = 5 - у.
2.
3.
4.
1. Сколько решений имеет система уравнений:
\d - 2у = 3,
а
[5d + y = 4;
По двору бродят куры и овцы. Сколько кур и сколько овец
бродят по двору, если у них вместе 17 голов и 54 ноги?
Составьте уравнение прямой, проходящей через точку
А(2;-1) параллельно прямой у = 2х.
3(3т - 2га) - 2(га - т) = 1 + т,
2(га - тп) + 5тга = 4га -1.
2х - 5у - 8, „ „
не имеет решении?
бх + пу = 10,
Решите систему уравнений
5.
При каком п система
* + 1 = 3,
X у ’
± + ± = 2.
.х у
7. Решите уравнение: (Зх - 2у)2 + (у - З)2 = 0.
6. Решите систему уравнений
67
Системы линейных уравнений.
2.
3.
4.
1. Сколько решений имеет система уравнений:
[u + 2v = ll, [ 2х + и = 23,
б)
|_5и - Зи = 3; [- 2х = -23 + у.
Два рабочих за 5 часов могут сделать 115 деталей. Если первый ра-
бочий будет работать 3 часа, а второй 4 часа, то они сделают вместе
81 деталь. Сколько деталей делает каждый из них за час?
Составьте уравнение прямой MN, если М(-1;-2) и
Л (- 2(2х + 3) + 2,5 = 3(у - 2х) - 9,
Решите систему: (
[4,5 - 4(1 - х) = 2у - (5 - х).
тт [ 2х + у = t, s
При каком t система ( имеет бесконечное мно-
[- 4х = 2у + 2,
5.
жество решений?
6. Решите систему уравнений:
U + 2 = _5
X у ’
х + х = -2.
I* У
7. Решите уравнение: (х + 2у - З)2 + |х - 1| = 0.
Системы линейных уравнений.
1. Сколько решений имеет система уравнений:
а) Г Ъ - За = -5, б) Г х + Зу - 1,
[5а + 2Ь = 23; [2х + бу - 3.
2. На двух полках вместе - 68 книг. Если с первой полки переста-
вить на вторую 18 книг, то на второй полке будет на 4 книги
больше, чем на первой. Сколько книг на каждой полке?
3. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку
А(-2;3) параллельно прямой у = -2х.
4. Решите систему уравнений: |6 *^х +у) + У - 8 + 2(х - У)>
[5(у -х-1) + у -3(х + у).
5. При каком п система | ПХ + У не имеет решений?
[4х + 2у = 7,
6.
7.
Решите систему уравнений:
-Х + Х- = Х,
2х 2у 2 ’
5. _ 4. _ I
<х У
Решите уравнение: |3х + 2у| + (х - 2)2 = 0.
68
Системы линейных уравнений. к-го В-5
1 ~ \ fs + 5i = 7, [3x + 2i/ = -4,
I. Сколько решении имеет система: a) J ’б) J *
[s-i = -l; [2х + ^ = 6.
2. Если к числителю дроби прибавить 8, а от знаменателя отнять 7, то
получится дробь численно равная Ц- , а если от числителя отнять 2,
а к знаменателю прибавить 3, то получится дробь, численно равная
. Найдите исходную дробь.
3. При каких а и & прямые у = ах+ Ьиу = Ъх + 3 пересекают-
ся в точке
4. Решите систему: 3^х “ 2^ ” 4(j/ - х) - 2х - j/ - 2,
( 3(2х - у) + 2(х - у) - 1 = Зх - 2у.
5. При каком значении b система: J х~2/-&, имеет бесконечно
[х - 5у = 3,
много решений?
6. Решите систему уравнений:
1 1 = 5,
X у ’
-2-+-2-= 5.
X у
7. Решите уравнение: 4х2 + 4х + 1 + |2х - у| = 0.
Системы линейных уравнений. К-10
1. Сколько решений имеет система: а) !2а + Ь 11; б) J 0,5^х 2^ 8’
[ За - Ъ = 9; [- 4х + Зу = -64.
2. Даны два числа. Если к первому числу прибавить половину второ-
го, то получится 65, а если из второго числа вычесть третью часть
первого, то получится первое число. Найдите эти числа.
3. При каком значении а прямые у = 2х - 5, у = х + 2 и
у = ах - 12 пересекаются в одной точке?
4. Решите систему уравнений: 3^х “ 2^ + 2^х “ = ~2у + х ~ 2’
[ Зх - у - 3 = 5(у - х) + 2х + 2у.
5. При каком значении & и с система Jх + 2у “ не имеет решений?
[х + Ьу = 3,
6.
7.
Решите систему уравнений:
5 + 1 = -6,
X у
Х + А = -6.
X у
Решите уравнение: у2 + бу + 9 + |3х - у\ = 0.
69
Итоговая контрольная работа. :К-711 - В-1
1. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
(2а - З)2 + (а - 4)(4 + а).
2. Решите уравнение:
2т 2т + 11 , п
--------------------------------+ 1 = 0
3. Найдите значение выражения: ——----.
51 25
4. Постройте график функции у = 2х + 4. Проходит ли гра-
фик функции через точку М(-15;-25)?
5. Сумма двух чисел равна 14, а разность этих чисел на 12
меньше их утроенной суммы. Найдите эти числа.
Итоговая контрольная работа.
1. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
(а + 2)2 + (За - 4)(4 + За).
2. Решите уравнение:
За 2п - 3 о _ л
2 4
3. Найдите значение выражения: (6)36<
611
4. Постройте график функции у = -2х - 4. Выясните, прохо-
дит ли график функции через точку М(15;-34). 5
5. Разность двух чисел равна 15, а удвоенная сумма на 7
меньше их разности. Найдите эти числа.
70
Итоговая контрольная работа.
1. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
(т - п)1 2 + (3m - п)(п + Зтп).
2. Решите уравнение:
5р + 8 р - 6 2
7 2
(75)3 4 5
3. Найдите значение выражения: ——--------
49 • 714
4. Постройте график функции у = Зх - 6. Выясните, прохо-
дит ли график функции через точку М(-15;51).
5. Сумма двух чисел равна 77. Найдите эти числа, если f
одного числа равны у другого.
Итоговая контрольная работа.
1. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
(За + &)2 + (а - &)(& + а).
2. Решите уравнение:
3fe + 5 fe - 7
5 " 4
3. Найдите значение выражения: -—----
4. Постройте график функции у = -Зх + 6. Выясните, про-
ходит ли график функции через точку М(-20;66).
5. Разность двух чисел равна 12. Найдите эти числа, если %
одного числа составляют у другого?
71
Итоговая контрольная работа.
1. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
(тп - 2п)2 - (тп + п)(т - 2п).
2. Решите уравнение:
5х -10 Зх -1
14 8
3. Найдите значение выражения: ———.
44 92
4. Постройте график функции у = -2х - 3. Выясните, прохо-
дит ли график функции через точку Р(-11;19).
5. Сумма двух чисел равна 83,4, а разность их 15,8. Найдите
эти числа.
Итоговая контрольная работа.
1. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
(За - 2р)2 - (г - Зр)(2а + 4р).
2. Решите уравнением
Зх - 4 5 - 2х
3’2
о тт о 147
3. Найдите значение выражения: -
75 6 • 83
4. Постройте график функции: у = -0,5х + 3,5. Выясните,
проходит ли график функции через точку ЛГ(-19;13).
5. Две автомашины перевезли 97,7 тонн груза. Вторая авто-
машина перевезла на 4,5 тонн меньше чем первая. Сколь-
ко груза перевезла каждая автомашина?
72
Самостоятельные работы. l |
В разделе представлена 51 самостоятельная работа (в че-
тырех вариантах) ко всем разделам действующей программы 7
класса по алгебре.
Все задания соответствует уровню требований программы
общеобразовательной школы, при этом третий и четвертый ва-
рианты несколько сложнее первых двух.
Самостоятельные работы (в отличие от контрольных) но-
сят обучающий характер и не предназначены для оценки зна-
ний учащихся. При их проведении учитель может отвечать на
вопросы и оказывать помощь отдельным учащимся.
Кроме того, по усмотрению учителя, они могут быть ис-
пользованы как задания для домашней работы или как инди-
видуальные дополнительные задания.
В таблице представлено распределение самостоятельных
работ по параграфам учебника «Алгебра 7», авторы: Ю.Н. Ма-
карычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Пешков, С.В. Суворова. Под ре-
дакцией СЛ. Теляковского.
№ Тема самостоятельной работы. §§
1-4 Выражения. 1.
5-6 Преобразование выражений. 2.
7-11 Уравнение с одной переменной. 3.
12-14 Функции и их графики. 4.
15-20 Линейная функция. 5.
21-24 Степень и ее свойства. 6.
25-27 Одночлены. 7.
28-29 Абсолютная и относительная погрешности. 8.
30-31 Сумма и разность многочленов. 9.
32-34 Произведение одночлена и многочлена. 10.
35-37 Произведение многочленов. 11.
38-39 Квадрат суммы (разности) двух чисел. 12.
40-42 Разность квадратов. Сумма (разность) кубов. 13.
43-45 Преобразование целых выражений. 14.
46-48 Линейные уравнения с двумя переменными и их системы. 15.
49-51 Решение систем линейных уравнений. 16.
73
Числовые выражения. Ж81В1 IBiii
1. Вычислите:
a) i t t f i l l; б) (1,09+ 2)-15,7-2,91.
2. Первое число равно 10, а второе 15. Сколько процентов
составляет первое число от суммы этих чисел?
Числовые выражения. СЯР-1 . В-2
1. Вычислите:
а) П it’Гн 7 Т’Г б) (9,9-2,16:0,2)-2,5+1,5.
2. Первое число равно 20, а второе 15. Сколько процентов
составляет первое число от разности этих чисел?
Числовые выражения.
1. Вычислите:
а) ttf 7 -и f -а? б) 0,2 + 4,8(1,22:0,4-3).
2. Первое число равно 6, а второе 4. Сколько процентов со-
ставляет первое число от удвоенной суммы этих чисел?
Числовые выражения.
1. Вычислите:
«) + 7 • Т f t Й • it: 6) (0,1 - 0,32-1,25):!,5 - 1,5.
2. Первое число равно 5, а второе 3. Сколько процентов со-
ставляет первое число от удвоенной разности этих чисел?
74
Числовые выражения. 1
1. Вычислите: а) 19,7+183,4+0,3+16,6; б) (-24,6+13,8):2,7.
2. Найдите значение выражения (-m-ri)+p-k при тн=-7 у;
п=-6|; р=-5,1; /г=-16|.
3. Заполните таблицу:
X -5 -3 -1 0 1 5 7
S 1 сч н
Числовые выражения.
1. Вычислите: а) 11,4+111,9+68,1+8,6; б) 643,2:(-87,3+85,7).
2. Найдите значение выражения (-& - с) + d - а при а = -8 у;
Ь = -7,3; с=-б£; d = 17,1.
о
3. Заполните таблицу:
X -7 -3 -1 0 1 3 5
1(х2 +3)
Выражения с переменными.
1. Вычислите: а) 114-111,9+1,9+97; б) (-0,8 1,2+1,06):(-0,5).
2. Найдите значение выражения -d - (s + f - k) при d=-3,5;
s=-2,3; /=-9,8; A=-2,4.
3. Заполните таблицу:
X -5 -3 -2 0 3 5 10
1(4-х2)
Выражения с переменными.
1. Вычислите: а) 138,6-1,9+211,4+51,9; б) -0,81,6-14,911:3,7.
2. Найдите значение выражения -п - (р - q) - t при п =
-8,1; р = -7,6; q = 5,8; t = -7,9.
3. Заполните таблицу:
X -5 -2 -1 0 1 5 10
1(х2 -9)
75
Выражения с переменными. ср-з В-1
1. Вычислите: (-30,15:15 + 0,91)(-2,4).
2. Запишите формулой частное от деления утроенной суммы
чисел k и р на разность чисел а и Ь.
3. При каких значениях переменной выражение имеет
\ . к х ч 5а + 6 „
смысл: а) ху+5; б) ---------; в) -----?
х - 5 8а - 3
Выражения с переменными.
1. Вычислите: -9,396:2,7 -0,21,7.
2. Запишите формулой частное от деления суммы чисел т и
п на утроенное произведение чисел р и t.
3. При каких значениях переменной выражение имеет
смысл: а) х1 2 3 + 25; б) —-— ; в) + 6
8-у 2&-7
Выражения с переменными.
1. Вычислите: -16,3 (-8,3 + 212,8:7,6).
2. Запишите формулой частное от деления разности квадра-
тов двух чисел на утроенную сумму этих чисел.
3. При каких значениях переменной выражение имеет
смысл: а) у2 + 5у; б) ------------; в) ----—-----.
5(3 - z) 2(3d - 7)2
Выражения с переменными.
1. Вычислите: -3,6 (-7,2 + 313,2:8,7).
2. Запишите формулой частное от деления утроенной разно-
сти двух чисел на квадрат из разности этих чисел.
3. При каких значениях переменной выражение имеет
\ 2 t 7 . 3,4с
смысл: а) х - 4х; б) ----------; в) --------.
5(4 -у) 3(7с-2)2
76
Сравнение значений выражений.
1. Сравните значения выражений За+2Ь и а+10Ь при а=0,3; &=0,2.
2. Не выполняя вычислений полностью, сравните:
а) 3,5 0,24 и 3,5; б) - 0,57:( -1) и 0,57;
в) 0,31 2 и 0,33; г) и
3. Укажите все целые решения неравенства -3,3 < а < 5.
Сравнение значений выражений. V:cp^4'
1. Сравните значения выражений 6а - 26 и 5а + & при
а = 0,3; Ь =
2. Не выполняя вычислений полностью, сравните:
а)-2,70,21 и-2,7; б) 0,71 | и 0,71:|;
в) 1,32 и 1,33; г)-^-и-77.
3. Укажите все целые решения неравенства -5 < Ь <1,2.
Сравнение значений выражений.
1. Сравните значения выражений 2а+3& и 4а + 6 при
а = -0,3; Ъ = -0,2.
2. Не выполняя вычислений полностью, сравните:
а) -0,51:0,65 и -0,51; б) -0,31:0,51 и -0,310,51;
в) (-2,4)2 и 2,43 ; г) и .
Z X у Z * * '41 40
3. Укажите все целые решения неравенства -2 > Ь > -6,4.
Сравнение значений выражений. СР-4|В-4
1. Сравните значения выражений Зтп - 2п и 2т - Зп при
тп = -0,4; п = 0,25.
2. Не выполняя вычислений полностью, сравните:
а) -0,37:(-1,81) и -0,37; б) -| :0,46 и 0,46;
в)(-1,4)2и (|)3; г)_1| и_11.
3. Укажите все целые решения неравенства -0,2 > Ъ > -3,49.
77
Свойства действий над числами. СР-5
1. Вычислите наиболее рациональным способом:
а) 3{-2|-2{ + 3|;
б) 8,4-5,6 + 8,4-4,4.
2. Докажите, что сумма 3911 + 21-11 делится на 6.
Свойства действий над числами. ЮШЖ
1. Вычислите наиболее рациональным способом:
а) 7|-8f + 2}-1|;
б) 3,7-6,5 + 3,7-3,5.
2. Докажите, что разность 51-12 - 37-12 делится на 7.
Свойства действий над числами. вдави 10111
1. Вычислите наиболее рациональным способом:
а) 5|-3|-2| + If;
б) 0,125-3,7-8 - 5-0,25 + 5 0,75.
2. Докажите, что сумма 154-121 + 815-121 делится на 3.
Свойства действий над числами. "дави в-4
1. Вычислите наиболее рациональным способом:
a) 6f-51 + 51-8i;
б) 1,37-5,35-0,25-1,67-8 - 1,37 6,35.
2. Докажите, что сумма 186-315 + 186-189 делится на 9.
78
Тождественные преобразования.
1. Упростите выражение, выполнив тождественные преобра-
зования:
а) 8(х + 7) - 6(х + 5);
б) | (2,7с - 21 d) - 4,2( | с - 0,5d).
2. Найдите значение выражения
t(|х - 4) - 8(2|х + f) при х = -5.
Тождественные преобразования.
1. Упростите выражение, выполнив тождественные преобра-
зования:
а) 3(i/+ 6) - 5(i/- 1);
б) f(l,4t-3f&)- l,2(|t-0,5&).
2. Найдите значение выражения
1(0,Зи - 0,6) - {(0,4о -0,8) при v = -2.
Тождественные преобразования.
1. Упростите выражение, выполнив тождественные преобра-
зования:
a) 3(2fe - 1) - 4(k - 2);
б) 1,8(1 г - 0,8z/) - 0,9(|2-0,51/).
2. Найдите значение выражения
1(1,6тп-5,4)-у (2,1тп-4,2) при т = -10.
Тождественные преобразования. Ж^6> tW-r
1. Упростите выражение, выполнив тождественные преобра-
зования:
а) 18(п - 5) - 5(3п + 4);
б) ^(lft-4,5fe)-l,2(|t-0,5fc).
2. Найдите значение выражения
1(1,2?п-6,6)-у (2,1тп-3,5) при т = -8.
79
Уравнение и его корни. иСЕ~7,- В-1
1. Проверьте, является ли число -3 корнем уравнений:
а) 7(х+3)-4(2х-6)=-28; в) 4(Зх+9)+3^(х+3)=0;
б) (х - 3) (х + 3) = 0; г) |х| = 3.
2. Имеет ли корни уравнение:
а) 2х - 5 = 2х - 10; б) х1 2 3 + 1 = 0?
3. Упростите выражение: -6(3,3 - 8с ) - 4(1,2 +12с).
Уравнение и его корни.
1. Проверьте, является ли число -5 корнем уравнения:
а) 3 (х+5)-4 (2х-10)=-30; в) 5 (6х+30)+21 (10+2х)=0;
б) (х+5) (х-8)=0; г) |х-1|=6.
2. Имеет ли корни уравнение:
а) 8 - Зх = 8 - 2х; б) у2 + 4 = 0 ?
3. Упростите выражение: 4( 3,3 - 9d ) - 6(2,2 - 12d).
Уравнение и его корни.
1. Проверьте, является ли число -2 корнем уравнения
а) 2(2х+1)-3(Зх+4)=0; в) 5(7х+30)+2|(10-2х)=1;
б) 2(4х+3)+10( j х+2)=0; г) |х+2|+6=6.
2. Имеет ли корни уравнение:
а) 0,2х - 5 = |х - 5; б)|х|+6 = 0?
3. Упростите выражение: -4( 5 - 6,5d ) + 20(2,2 - 1,3d).
Уравнение и его корни.
1. Является ли число -5 корнем уравнения
а) 5(х+5)-3(2х+15)=-15; в) 2(Зх-15)+2,5(2х+5) = 0;
б) 5(х+10)-(х-20)=0; г) |х-5|+3=3.
2. Имеют ли корни уравнения:
а) 2х - 5 = х - 5; б) х2 + |х| = 0 ?
3. Упростите выражение: 6(2 - 4а) + 4(2,2 - 5,8а).
80
Линейные уравнения.
1. Решите уравнения:
а) 0,5х + 17 = 0; в) (13х - 14 ) - 2(9 + 6х) = -Зх.
б) 4х:(2| - 1|) = 3;
2. При каком х значение выражения 2х + 5 меньше
значения выражения 4х + 8 на 12?
3. Равносильны ли уравнения: 4х-8=0 и 5(х-1)+3(х-2)=5?
Линейные уравнения.
1. Решите уравнение:
а) 1,2х + 15 = 0; в) 2 (2х - 5) = 3(х - 1,2).
б) 2х:(4{ -3|) = 15;
2. При каком у значение выражения Чу - 3 больше значения
выражения 2у + 10 на 8?
3. Равносильны ли уравнения: Зх+6=0 и 6(х+1)+3(х+2)=-5?
Линейные уравнения.
1. Решите уравнение:
а) -0,4х-10,16=0;
б) 2x:(3f - If) = 5;
в) 3(7,1х-3)-2(7+0,15х)=х.
2. При каком а значение выражения 2(2а + 3) меньше
значения выражения 20а - 20 на 4?
3. Равносильны ли уравнения: -х+4=0 и 3(х-3)+2(х-4)=3?
Линейные уравнения.
1. Решите уравнение:
а) 0,04х + 20,2 = 0; в) 4,5(х - 2) - 3(8 + 2х) = 4х.
б)(2х + 1)(1| +3>) = 5;
2. При каком t значение выражения 5(2t+3) меньше
значения выражения 4t-5 на 4?
3. Равносильны ли уравнения: -Зх+3=0 и 6(х-1)+3(х+3)=9?
81
Решение задач — I. шшш В-1
1. Решите уравнение: 5(0,5р + 0,72) = 1,5(р + 4).
2. Сумма трех чисел равна 5600. Найдите эти числа, если
первое число в два раза больше, чем второе, а третье на
240 меньше, чем первое.
Решение задач — I. СР-9 В-2
1. Решите уравнение: 6(2,7 - 0,6а) = 1,5(4а - 18).
2. Три бригады слесарей изготовили 1085 деталей. Сколько
деталей изготовила каждая бригада, если вторая
изготовила деталей в два раза больше, чем первая, а
третья на 70 деталей меньше чем вторая?
Решение задач — I. СР-9 В-3
1. Решите уравнение: 3(х + 1,6) = 4(х - 0,175).
2. Площадь трех участков 245 гектаров. Какова площадь
каждого участка, если площадь второго участка в три
раза больше площади первого, а площадь третьего на 14
гектаров больше площади второго?
Решение задач - I. СР-9 В-4
1. Решите уравнение: 7(с - 0,5) = 3( 2с - 1,2).
2. В трех ящиках 554 кг гвоздей. Сколько гвоздей в первом
и втором ящиках, если в третьем гвоздей в три раза
больше, чем в первом и на 76 кг больше, чем во втором?
82
Решение задач - II,
СР-10 В-1
1. Решите уравнение: 0,8(5 - 2х) = 0,4х + 1.
2. В корзине было в два раза меньше груш, чем в ящике.
После того как в корзину добавили 2,5 кг груш в ней
стало на 0,5 кг груш больше. Сколько груш было в
корзине и в ящике первоначально?
Решение задач — II.
СР-10 В-2
1. Решите уравнение: -0,7(5х + 2) = -0,5х + 1.
2. На доске написано число. Один ученик увеличил это
число на 13, а другой увеличил его в 4 раза. Результат
первого оказался на 2 меньше результата второго
ученика. Найдите это число.
Решение задач — II.
СР-10 В-3
1. Решите уравнение: 2,2(5х - 4) = х + 8,2.
2. В первом вагоне в 1,5 раза больше груза, чем во втором.
После того, как из первого вагона выгрузили 5,8 т, то в
нем стало на 14,2 т больше, чем во втором. Сколько тонн
груза было в каждом вагоне первоначально?
Решение задач — II.
Ср-16' ;B?4t
1. Решите уравнение: 1,2(5х - 4) = х + 7,6.
2. Первое число в 11 раз меньше, чем второе. Если к
первому числу прибавить 2,8, а от второго отнять 6, то
первое число будет меньше второго на 7. Найдите первое
число.
83
Решение задач — III.
1. На одной чашке весов лежит четверть рыбы и гиря в
0,5 кг, а на другой половина той же рыбы. Каков общий
вес рыбы?
2. Расстояние между пунктами А и В по течению реки катер
прошел за 7 часов, а против течения за 8 часов. Найдите
скорость течения реки, если собственная скорость катера
21 км/ч.
Решение задач, — III.
1. Кирпич весит 1 кг и еще полкирпича. Сколько весит
5 кирпичей?
2. Половину пути мотоциклист ехал со скоростью 45 км/ч,
затем сделал остановку на 10 минут, и чтобы наверстать
потерянное на остановку время, увеличил скорость на
15 км/ч. Какое расстояние проехал мотоциклист?
Решение задач — III.
1. На одной чашке весов лежит пирог, а на другой гиря в
| кг и | такого же пирога. Весы в равновесии. Сколько
весит пирог?
2. Расстояние между пунктами А и В по течению реки лодка
проплыла за 8 часов, а против течения за 9 часов.
Найдите собственную скорость катера, если скорость
течения реки 2 км/ч.
Решение задач — III.
1. Кирпич весит 2 кг и еще полкирпича. Сколько весит
4 кирпича?
2. Автобус проехав половину пути, со скорость 50 км/ч,
задержался на железнодорожном переезде на 12 минут, а
затем, чтобы приехать вовремя увеличил скорость на
10 км/ч. Какова длина маршрута автобуса?
84
Определение функции.
1. Скорость автомобиля - 80 км/ч. Задайте формулой зави-
симость пути s от времени t. Найдите значения функции,
при аргументе равном 4,3 и 5,6.
2. На рисунке показан
график изменения
температуры жидко-
сти (Т°С - темпера-
тура; t время в ча-
сах).
Найдите по графику: а) температуру жидкости через
10 мин; через 26 мин; б) время, когда температура была
20°С; 40°С; в) промежуток времени, когда температура
повышалась от 10°С до 25°С.
Определение функции.
1. Длина прямоугольника равна 25 см. Задайте формулой за-
висимость площади прямоугольника S от его ширины Ь.
Найдите значения функции, при аргументе, равному 5 и 10.
2. На чертеже изображен
график изменения рас-
стояния между рыболо-
вецкими судами (S - рас-
стояние, выраженное в
морских милях, t - вре-
мя в часах).
Найдите по графику:
а) расстояние между судами в через 3 часа; через 8 часов;
б) время, когда расстояние между судами составляло
20 морских миль; 55 морских миль; в) момент времени,
когда расстояние между судами было наименьшим.
85
Определение функции.
|СР-12 В-^
1. Расстояние между городами равно 320 км. Поезд, движу-
щийся со скоростью v км/ч, проходит это расстояние за t
часов. Задайте формулой зависимость t от v. Найдите зна-
чение функции, при аргументе, равном 60; 80.
а) температуру жидкости через 40 минут; через 90 минут;
б) время, когда температура была 20°С; -5°С; в) промежу-
ток времени, когда температура понижалась от 40°С до
15°С.
Определение функции.
СР-12 В-4
1. Сторона квадрата равна а. Задайте формулой зависимость
периметра квадрата Р от а. Найдите значение функции,
соответствующие значению аргумента, равному 3,7; 11,2.
2. На чертеже изображен
график зависимости уда-
ленности туристической
группы от лагеря (S - рас-
стояние в километрах,
t - время в часах).
Найдите по графику:
а) расстояние, на котором
находилась группа через 2ч; 7ч; б) время, когда расстояние
составляло 6км; в) продолжительность привала.
86
Вычисление значений функции. СР-13
1. Функция задана формулой у=3х2-2х. Найдите значение функ-
ции, соответствующее значению аргумента, равному 1; -3; 5.
Функция задана формулой у = 0,8х. Заполните таблицу:
X -0,25 | 0 2,5
У 1 10 12
Найдите область определения функции: а) у=Зх-7; б) у =-
х - 4
Вычисление значений функции. И
1. Функция задана формулой у=4х-х2. Найдите значение функ-
ции, соответствующее значению аргумента, равному 2; -4; 7.
2. Функция задана формулой у = | х. Заполните таблицу:
X -9 0 3,6
У -6 12
3. Найдите область определения функции: а) у=6-5х; б) у =-
Вычисление значений функции. ев-13 в-з
1. Функция задана формулой у=1-5х2. Найдите значение функ-
ции, соответствующее значению аргумента, равному-3; 0; 4.
2. Функция задана формулой у = 7х + 3. Заполните табли-
цу: __________________________________.._________
X -0,7 0 4
У -4 0
3. Найдите область определения функции: а) г/=6х-51; б) у = -——
Вычисление значений функции.
1. Функция задана формулой у=2х2+х. Найдите значение функ- ции, соответствующее значению аргумента, равному -2; 0; 3. 2. Функция задана формулой у = 1 - 6х. Заполните таблицу:
X -0,5 0 8
У -5 0
3. Найдитеобластьопределенияфункции:а)у=-3х-14;б) у =---.
-х+4
87
График функции.
1. Постройте график функ-
ции, заданной формулой
у - х2 - 6, где -4 < х < 4,
составив предварительно
таблицу значений функ-
ции с шагом 0,5.
2. На рисунке изображен
график функции. Найди-
те по графику значения
функции, соответствую-
щие значению аргумента
-4; -2; 2.
График функции.
1. Постройте график функ-
ции, заданной формулой
у = х2 - 4, где -4 < х < 4,
составив предварительно
таблицу значений функ-
ции с шагом 0,5.
2. На рисунке изображен
график функции. Найди-
те по графику значения
функции, соответствую-
щие значению аргумента
-2; 0; 3.
88
График функции.
cpt-uIb-^
1. Постройте график функ-
ции, заданной формулой
у = - х2 + 5, где
— 4 < х < 4 , составив
предварительно таблицу
значений функции с ша-
гом 0,5.
2. На рисунке изображен
график функции. Найди-
те по графику значения
функции, соответствую-
щие значению аргумента
-4; -2; 2.
График функции.
Постройте график функ-
ции, заданной формулой
У = - х2 + 4, где
- 4 < х < 4, составив
предварительно таблицу
значений функции с ша-
гом 0,5.
На рисунке изображен
график функции. Найди-
те по графику значения
функции, соответствую-
щие значению аргумента
-3; 0; 4.
89
Линейная функция и ее график —I. СР-15йШТ
1. Являются ли линейными функции заданные формулами:
а) у = 7 + Зх; в) у = 1 - х2 3;
б) у = — 1; X г) у = 5х.
2. Линейная функция задана формулой z/=2x+O,5. Найдите:
а) значение у, если х = -1,5; 3; 4,5;
б) значение х, при котором у = -4,5; 0; 3,5.
3. Постройте графики функций:
а) у = 2х + 1; б) у = -4.
Линейная функция и ее график —I.
| СР-15 -J В^2~
1. Являются ли линейными функции заданные формулами:.
а) у = 5х - 3; Зх 1
в) у = Зх2 - 2; . 5 „ г) У = - + 1. X
2. Линейная функция задана формулой у = -Зх + 0,4.
Найдите:
а) значение у, если х = -0,4; 1; 5,3;
б) значение х, при котором у = -0,8; 0; 3,7.
3. Постройте графики функций:
а) у = -2х - 5; б) у = -3.
90
Линейная функция и ее график —I. СР-15 ЕК
1. Являются ли линейными функции заданные формулами:
а) у = Зх - 2; в) у = 1 - х2 3;
4х „ . 6
б) у = — + 9; г) у= — + х.
7 х
2. Линейная функция задана формулой у = 2 - 5х. Найдите:
а) значение у, если х = -0,3; 0; 6,1;
б) значение х, при котором у = -8; 0; 6,5.
3. Постройте графики функций:
а) у— -3-х; б) у = 4.
Линейная функция и ее график —I. СР-15 В-4
1. Являются ли линейными функции заданные формулами:
а) у = 6х - 1; ч а 4х В) У = 6 - — ;
б) у = + 3; 7-х г) у = х2 + 7.
2. Линейная функция задана формулой у = 3 - 2х. Найдите:
а) значение у, если х = -0,7; 0; 4,3;
б) значение х, при котором у = -7; 0; 8,3.
3. Постройте графики функций:
а) у = 4 + х; б) у = -5.
91
Линейная функция и ее график —II. 6Р-16 В-1
Задана функция у = 2х - 8.
1. Принадлежит ли графику функции точка А(-20;-48)?
2. Постройте график функции.
3. С помощью графика ответьте на вопросы:
а) какое значение у соответствует х = -2; 3,5;
б) какому значению х соответствует у = 13;
в) при каких х, значения функции положительны?
Линейная функция и ее график —II. СР-16 В-2
Задана функция у = -Зх + 5.
1. Принадлежит ли графику функции точка А(-25;80)?
2. Постройте график функции.
3. С помощью графика ответьте на вопросы:
а) какое значение у соответствует х = -3; 5,6;
б) какому значению х соответствует у = 19;
в) при каких х, значения функции отрицательны?
Линейная функция и ее график —II.' СРт-16 - 'В—3\
Задана функция у = 5х - 1.
1. Принадлежит ли графику функции точка А(24;121)?
2. Постройте график функции.
3. С помощью графика ответьте на вопросы:
а) какое значение у соответствует х = -4; 7,1;
б) какому значению х соответствует у = 21;
в) при каких х, значения функции неотрицательны?
Линейная функция и ее график — II. ср-16 В-4
Задана функция у = -2х + 5.
1. Принадлежит ли графику функции точка А(-67;-129)?
2. Постройте график функции.
3. С помощью графика ответьте на вопросы:
а) какое значение у соответствует х = -8; 0;
б) какому значению х соответствует у = 17;
в) при каких х, значения функции неположительны?
92
Линейная функция и ее график —III.
1. Не выполняя построений, определите точки пересечения
графика линейной функции с осями координат:
а) у = 3,2х - 9,6; б) у = -2х + 4,8.
2. Постройте в одной системе координат графики функций:
а) у = —х + 2; б) у = 3.
Линейная функция и ее график — III.
1. Не выполняя построений, определите точки пересечения
графика линейной функции с осями координат:
а) у = 2,4х + 1,8; б) у = -Зх + 5,4.
2. Постройте в одной системе координат графики функций:
а) у = 4х - 3; б) у = 2.
Линейная функция и ее график — III.
1. Не выполняя построений, определите точки пересечения
графика линейной функции с осями координат:
а) у = -3,6х + 0,9; б) у = Зх-2.
2. Постройте в одной системе координат графики функций:
а) у = 2х + 5; б) у = -2.
Линейная функция и ее график — III.
1. Не выполняя построений, определите точки пересечения
графика линейной функции с осями координат:
а) у = 1 - 5,5х; б) у= -Зх + 2.
2. Постройте в одной системе координат графики функций:
а) у = -4х + 3; б) у = 4.
93
Прямая пропорциональность. ^СР^18 ;в-1;
1. Является ли прямой пропорциональностью функция, за-
данная формулой:
3
а) у = 1,5х; б) у = — ; в) у = 1,5х + 1.
2х
2. Прямая пропорциональность задана формулой у = — |х.
Найдите:
X ЛА 1
а) значение у, соответствующее х равному -14; 2 !
б) значение х, которому соответствует у равное -6; 0; 12.
3. Постройте в одной системе координат графики функций
у = Зх и у = -2,5х. Принадлежит ли точка В(-2;5) графи-
кам этих функций?
Прямая пропорциональность.
1. Является ли прямой пропорциональностью функция, за-
данна^ формулой:
а) у = -3,4х; б) у = — ; в) у = 6,1х - 2.
4
2. Прямая пропорциональность задана формулой у=|х.
Найдите:
а) значение у, соответствующее х равному -1; ;
б) значение х, которому соответствует у равное -4,2; 0; 3.
3. Постройте в одной системе координат графики функций
у = 5х и у = -3,5х. Принадлежит ли точка В(-1;-5) гра-
фикам этих функций?
94
Прямая пропорциональность. СР-18 В-3
1. Является ли прямой пропорциональностью функция, за-
данная формулой:
а) у = 2,8х; б) у = — ; в) у = -2,3х - 8.
3
2. Прямая пропорциональность задана формулой у = — jx.
Найдите:
а) значение у, соответствующее х равному -18; ;
б) значение х, которому соответствует у равное -2; 0; 3.
3. Постройте в одной системе координат графики функций
у = -4х и у = 1,5х. Принадлежит ли точка В(2;3) графи-
кам этих функций?
Прямая пропорциональность. СР-18 -В-Г.
1. Является ли прямой пропорциональностью функция, за-
данная формулой:
а) у = 1,3х; б) у = ; в) у = -8,4х + 3.
5х
2. Прямая пропорциональность задана формулой у=±х.
Найдите:
а) значение у, соответствующее х равному -25; ;
б) значение х, которому соответствует у равное -5; 0; 8.
3. Постройте в одной системе координат Графики функций
у = -3,5х и у = 2х. Принадлежит ли точка В(2;-4) графи-
кам этих функций?
95
Взаимное расположение графиков —I. tCM9rk;B41'
1. Каково взаимное расположение графиков линейных
функций у = 2х - 3 и у = 7х - 10,5? Ответ обоснуйте.
2. Найдите координаты точки пересечения графиков функ-
ций у= -0,5х + 2 и у = 2,5х - 10, если они существуют.
Взаимное расположение графиков — I.
|СР~19 | В-2^
1. Каково взаимное расположение графиков линейных
функций у = 2х - 3 и i/ = 7x-3? Ответ обоснуйте.
2. Найдите координаты точки пересечения графиков функ-
ций 1/ = Зх-4и1/ = х-1, если они существуют.
Взаимное расположение графиков —I.
1. Каково взаимное расположение графиков линейных
функций у = -5х + 4 и у = 4 - 5х? Ответ обоснуйте.
2. Найдите координаты точки пересечения графиков функ-
ций у = 18х - 4 и у = -2х + 16, если они существуют.
Взаимное расположение графиков — I.
1. Каково взаимное расположение графиков линейных
функций у= -5х + 1 и у — 6 - 5х? Ответ обоснуйте.
2. Найдите координаты точки пересечения графиков функ-
ций у = —х + 9 и у = -Зх + 25, если они существуют.
96
Взаимное расположение графиков — II.
1. Задайте формулой две ли-
нейные функции, графики
которых:
а) параллельные прямые;
б) пересекающиеся
прямые.
2. Задайте формулами ли-
нейные функции, графи-
ками которых являются
прямые а, Ъ и с на рисун-
ке.
Взаимное расположение графиков —II.
1. Задайте формулой две
линейные функции, гра-
фики которых:
а) пересекающиеся
прямые;
б) совпадающие прямые.
2. Задайте формулами ли-
нейные функции, графи-
ками которых являются
прямые а, Ъ и с на рисун-
ке.
4 зак. 200
97
Взаимное расположение графиков — II.
1. Задайте формулой две
линейные функции, гра-
фики которых:
а) совпадающие прямые;
б) параллельные прямые.
2. Задайте формулами ли-
нейные функции, графи-
ками которых являются
прямые а, b и с на рисун-
ке.
Взаимное расположение графиков —II.
1. Задайте формулой две
линейные функции, гра-
фики которых:
а) пересекающиеся
прямые;
б) параллельные прямые.
2. Задайте формулами
линейные функции,
графиками которых яв-
ляются прямые а, Ъ и с
на рисунке.
98
Определение степени — I.
1. Найдите значение выражения:
а) 5‘; б) (- i)3 *;
в) (-31)=
2. Представьте число в виде квадрата или куба:
а) 0,0009; в) Щ ;
б) -125; г) 0,064.
3. Сравните:
а) (-4,5)3 и (-4,5)5 б) *; в) (-1,3)“ и 0;
б)6,72и6,73; г) 0 и (-3,7)8.
4. Представьте 6-7-8-9-10 в виде произведения степеней про-
стых чисел.
Определение степени —I.
&
1. Найдите значение выражения:
a) 5s; б) (-
=) W
2. Представьте число в виде квадрата или куба:
а) 0,008;
б) 625;
3. Сравните:
а) 2,43 и 2,42;
б) (-7,3)2 и (-7,3)5;
144
в) 225;
г) -0, 027.
в) -2,43 и -2,42;
г) 0 и (-4,8)8.
4. Представьте выражение 14-15-16 в виде произведения сте-
пеней простых чисел.
99
Определение степени —I.
1. Найдите значение выражения:
а) З5; 6)й3; в)(-2|)2
2. Представьте число в виде квадрата или куба:
а) 0,0625; в) пнГ»
б) 216; 3. Сравните: г) 0,000064.
а) 5,13 и (-5,1)2; б) (-8,4)8 и (~8,4)9; в) -5,13 и -5,12; г) 0 и 9,48.
4. Представьте выражение 18-20-22 в виде произведения сте-
пеней простых чисел.
__________Определение степени —I._________ММИВМИИИИ1
1. Найдите значение выражения:
а) 2’; б)({)’ в)(-4|)2
2. Представьте число в виде квадрата или куба:
а) 1,96; б) -0,001;
в)-25-- 441 » г) 216.
3. Сравните:
а) (-7,3)3 и (-6,2)2; в) -7,33 и -6,22; б) (-9,9)9 и (-9,9)10; г) 0 и 10,54.
4. Представьте выражение 4-6-8-10 в виде произведения сте-
пеней простых чисел.
100
Определение степени —II. СР-22 В4
1. Выполните действия: 1,21 2 + 34 + (-0,2)2.
2. Найдите значение выражения 2 -у3, при у = -0,3; 4; 3.
3. Запишите в виде выражения квадрат суммы числа х и
удвоенного у.
Определение степени —II. СР-22
1. Выполните действия: -2,12 + 24+ 3*+ (-0,1)2.
2. Найдите значение выражения 2а3- 5, при у = - 0,2; 1; 4.
3. Запишите в виде выражения квадрат разности утроенно-
го числа с и числа d.
Определение степени —II. 0Р-&2 &43
1. Выполните действия: (-0,1)3+ (-2)4+ 0.0011.
2. Найдите значение выражения 1 - ЗЬ3, при b = -0,3; 0; 4.
3. Запишите в виде выражения разность квадратов числа k
и удвоенного t.
Определение степени —II.
1. Выполните действия: 0,Т2+ 0,53+ (-0,6)2.
2. Найдите значение выражения п2- 2п3 при п = -0,1; 0; 4.
3. Запишите в виде выражения удвоенный куб разности чи-
сел d и т.
101
Свойства степени —I.
1. Найдите значение выражения:
а) 125:123; б) в) <^3 о<
З10 0,49 • 0,75
2. Представьте в виде степени:
а) аб:а4; б) Ь5Ь6; в) хп+2хп-1; г) ckc3~kc°.
3. Найдите значение выражения 24а4Ь° при а =0,5 и & = 5.
Свойства степени — I. СР~23 В-М2 ‘
1. Найдите значение выражения:
а) 13в:134; б) <~2 3>5 <-2>'; в) °'4* °'4* .
210 0,064 0,46
2. Представьте в виде степени:
а) х5:х3; б) /у10; в) fen-3fen+6; г) bmb°b5.
3. Найдите значение выражения 81х5с° при х = |, с = 7.
Свойства степени — I. СРW|B-3
1. Найдите значение выражения:
а) 9П:99; б) 4? ' 4“ ; в)
(-4)16 0,64 • 0.811
2. Представьте в виде степени:
а) х13:х10; б) с5с12с2;
в) у2п~3:уп+5; г) d2ffld°d5m’1.
3. Найдите значение выражения 9Л3<° при h = 1 f , t = 7.
Свойства степени —I. 5GP^23 • .-В-4.’
1. Найдите значение выражения:
а) 1415:1414; б) в)
(-8)15 0,125 • 0,5й
2. Представьте в виде степени:
а) а16:а10; б) cW;
в) hn^:h2n~10; г) qmq6q2~m.
3. Найдите значение выражения 216t°p3 при t = 7, р = 1|.
102
* Свойства степени —II.
1. Выполните возведение в степень: а) (2а2Ь)3; б) (-0,75хтип5)3.
2. Представьте выражение в виде степени:
а) (аа4а7)5; б) ((х6)5)2; в) (fe4)5(fe2)3; г) (х4)"1; д) 125^3; е) 64.
О Т, (42)3-35
3. Вычислите: 2—--------
12®
4. Верно ли равенство: 16100= 15100+ 826? Ответ объясните.
Свойства степени —II. «же
1. Выполните возведение в степень: a) (3x5i/7)6; б) (-0,2ac6d)4.
2. Представьте выражение в виде степени:
a) (yyW; б) ((d3)4)6; в) (A3)5 (fe5)°; г) (fe")e; д) 216t3; е) 128.
357
3. Вычислите: ----------.
(б2) -77
4. Верно ли равенство: 15200+11200= 20198? Ответ объясните.
Свойства степени— II.
1. Выполните возведение в степень: а) ( 2x4i/8)5 ; б) (-| ad7fe3)4.
2. Представьте выражение в виде степени:
a) (Л¥)5; б) ((х2)6)6; в) (р3)°(р7)8; г) (Лп+3)6; д) 625g8; е) 81.
429
3. Вычислите: ------------.
(б2) 79 * *
4. Верно ли равенство: 18100= 15100+ 1228? Ответ объясните.
_____________Свойства степени -II._______________
1. Выполните возведение в степень: а) (5а6Ь7)3; б) (-| x4d5/?8)3.
2. Представьте выражение в виде степени:
a) (feW)3; б) ((t2)0)7; в) (р5)4:(р4)3;
г) (79-п)5; д) 81с12; е) 216.
503
3. Вычислите: -------;-----.
(22) -5’
4. Верно ли равенство: 21175+11200=26178? Ответ объясните.
103
Одночлен и его стандартный вид.
1. Из данных выражений выберите те, что являются одно-
членами и определите их степени:
а) 45а; в) 5х -5у; д) 567;
б) -2аЪа; г) ^2.; е) с43с4.
2. Преобразуйте в одночлен стандартного вида:
а) 8х3у2х5; в) 7т(пр)2.
б) (-2)а3&2(-0,5)Ь4;
3. Найдите значение одночлена -О,1а2Ь3 при
а) а = 2, & = -|; б) а =-10, & =-4.
Л „ (54)4 (56)2
4. Вычислите: -----.
(56)5
Одночлен и его стандартный вид.
1. Из данных выражений выберите те, что являются одно-
членами и определите их степени:
а)-9,1ххх; в) 5х-5у; д) 5Ь-7;
б) 15c16d; r)i^-; e)d4c4.
2. Преобразуйте в одночлен стандартного вида:
а) -2х2у4х3; в) -Зт(пр2)2.
б) За3&3(-| )Ь3;
3. Найдите значение одночлена а3Ъ2 при
а) а = 4, Ъ = -2; б) а = 10, b = 0,1.
4. Вычислите: (З5)7 <32)5 .
(з,2)‘
104
Одночлен и его стандартный вид.
1. Из данных выражений выберите те, которые являются
одночленами и определите их степени:
а) 46а3; в) 45 + х; д) 673;
б) -2(dt + и)2; г) | а&3; ё) 8а8.
2. Преобразуйте в одночлен стандартного вида:
a) 4х2у2у2х; в) 4(а2&)3.
б) За3Ь3(-| )а&;
3. Найдите значение одночлена 4аЬ3 при
а) а = 0,1, Ъ = -10; б) а = £ ,& = 2.
4.
Вычислите:
Одночлен и его стандартный вид.
1. Из данных выражений выберите те, которые являются
одночленами и определите их степени:
a) 87xzd; в) 9g -у; д) 5а8-5;
б) tu; г)—; е)Л43+ 34.
451
2. Преобразуйте в одночлен стандартного вида:
а) 2х3у2ух2; в) -x2(yz)3.
б) -ЗаЬ3(-| )а4Ь5;
3. Найдите значение одночлена -4а3Ь при
а) а = -10, Ь = 0,1; б) а = 2, Ь = .
(72)7(79)4
4. Вычислите: -—-—\
105
Возведение одночлена в степень,
1. Выполните действия: a) (-2xyz)3; б) (-За2Ьс2)3.
2. Представьте выражение в виде квадрата одночлена:
а) 64а8Ь4; б) 0,01у12х6; в) £ А18. ‘
3. Представьте одночлен 25х8у10 в виде произведения трех
одночленов степени 6 двумя способами.
Возведение одночлена в степень.
1. Выполните действия: а) (2а3Ь)4; б) (-0,5 abc3)3.
2. Представьте выражение в виде куба одночлена:
а) -27х9; б) 0,001 у15хв, в)А3.
3. Представьте одночлен -18х20у12 в виде произведения четы-
рех одночленов степени 8 двумя способами.
Возведение одночлена в степень.
1. Выполните действия: а) (7аЬс)г; б) (-f а1 2 3Ь3с4)3.
2. Представьте выражение в виде квадрата одночлена:
а) 64а12Ь8; б) |Ав; в) 25 А84.
3. Представьте одночлен 25х17у10 в виде произведения трех
одночленов степени 9 двумя способами.
Возведение одночлена в степень.
1. Выполните действия: а) (-2а2Ь3)3; б) (-| аЬ2с3)3.
2. Представьте выражение в виде куба одночлена:
а) 27а9Ь18; б) 0,008у15х9; в) £ А9.
3. Представьте одночлен 14х10у14 в виде произведения четы-
рех одночленов степени 6 двумя способами.
106
Функции у=х^ и у—х3.
1. Постройте график функции у = х2, заполнив таблицу:
X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
JJ
С помощью графика найдите х, при которых у=2,5 и у=6.
2. Принадлежат ли графику функции у = х3 точки А(2;-8),
В(0,5;0,125), В(-1;-1), В(-0,5;-0,125), Г(-5;125)?
3. Найдите наибольшее значения функции у—х2 при 1<х<2?
Функции у—х2 и у=х3.
1. Постройте график функции у = х3, заполнив таблицу:
X -4 —3 -2 -1 0 1 2 3 4
У
С помощью графика найдите х, при которых у=-2,5и у=4.
2. Принадлежат ли графику функции у=х2 точки А(2;-4),
В(4;16), В(5;25), Е(^;16), В(0;2)?
3. Найдите наименьшее значения функции у=х3 при -3<х<1?
Функции у=х2 и у=х3.
1. Постройте график функции у = х2, заполнив таблицу:
X -4 —3 -2 -1 0 1 2 3 4
У
С помощью графика найдите х, при которых у=2 и у=5.
2. Принадлежат ли графику функции у = х3 точки А(0;-1),
В(-0,5;-0,125), В(2;8), Е(-2;8), В(4;64).
3. Найдите наибольшее значения функции у=х2 при -3<х<1?
Функции у=х2 и у=х.
1. Постройте график функции у = х3, заполнив таблицу:
X ^4 —3 -2 -1 0 1 2 3 4
У
С помощью графика найдите х, при которых у=-3 и у=2.
2. Принадлежат ли графику функции у = х2 точки А(5;25),
В(-4;64), D{ |1), Е(-j; £), F( |; £).
3. Найдите наименьшее значения функции у=х3 при 1<х<3?
Абсолютная погрешность.
й€Р^8 ZB-1:
1. При вычислении дробь f заменили на 0,28. Какова вели-
чина абсолютной погрешности этого приближения?
2. Сколько процентов от числа 12,6 составляет 9,2? Ответ
округлите до десятых.
Абсолютная погрешность.
1. При вычислении дробь | заменили на 0,17. Какова вели-
чина абсолютной погрешности этого приближения?
2. Сколько процентов от числа 13,5 составляет 10,7? Ответ
округлите до десятых.
Абсолютная погрешность.
СР^28
1. При вычислении дробь | заменили на 0,67. Какова вели-
чина абсолютной погрешности этого приближения?
2. Сколько процентов от числа 15,6 составляет 11,4? Ответ
округлите до десятых.
Абсолютная погрешность.
1. При вычислении дробь у заменили на 0,71. Какова вели-
чина абсолютной погрешности этого приближения?
2. Сколько процентов от числа 12,6 составляет 9,2? Ответ
округлите до десятых.
108
Относительная погрешность.
1. Число 34,561 округлите до десятых. Чему равна величина
абсолютной и относительной погрешности приближения?
2. Представьте выражение в виде степени:
а) 2л-2п-1-2п+2; б) (9‘)2-33; в) 256 (п2)4.
Относительная погрешность.
1. Число 17,761 округлите до десятых. Чему равна величина
абсолютной и относительной погрешности приближения?
2. Представьте выражение в виде степени:
а) Зл-З3-Зл+2; б) (4л)2-83; в) 125 (тп3)2.
Относительная погрешность.
1. Число 22,615 округлите до десятых. Чему равна величина
абсолютной и относительной погрешности приближения?
2. Представьте выражение в виде степени:
a) 5f’3-5t+3-52-3t; б) (2Л)2-83; в) 125 (тп2)3.
Относительная погрешность. ci>~29
1. Число 11,439 округлите до десятых. Чему равна величина
абсолютной и относительной погрешности приближения?
2. Представьте выражение в виде степени:
а) 7Р"1-73-7*+4; б) (4л)2-22; в) 64 (с4)3.
109
Многочлен и его стандартный вид.
1. Какова степень многочлена:
a) t3n4-5t6n-12; б) х3у5 -х2у2 + 6x4-x3i/s-2?
2. Представьте многочлен в стандартном виде:
2а2 - 4ах + 5х2 - За2 + бах + а2 - ах - 4х2.
Многочлен и его стандартный вид.
1. Какова степень многочлена:
а) а5Ь3- 7а®Ь - 12; б) x6i/7-ху2 + 4х2-2х6у1 -2 + хву7?
2. Представьте многочлен в стандартном виде:
7x3z3 - 2x3z2 - 8x3z3 + 4x3z2 + x3z3 - 2x3z2 + 4x3z3 - 3x.
Многочлен и его стандартный вид.
1. Какова степень многочлена:
a) За3Ъ - 12а3Ь7 - ab; 6) k3y2 + 3k2y2 - 2k3y2 + 4?
2. Представьте многочлен в стандартном виде:
2а2z - За2 z2 + 4az2 - 2а2 z + 4а2 z2 - 4az2 + a2z2 + z2.
Многочлен и его стандартный вид.
1. Какова степень многочлена:
а) 5xt8 - 7xt + 3x5t2; б) 6ти2п + 5тп2 + 7т2п2?
2. Представьте многочлен в стандартном виде:
Зх2у - 4ху2-у3- х2у + 4ху2 + у3- 2х2у + 2у3.
110
Сложение и вычитание многочленов.
1. Выполните действия:
а) (За2Ь - 4а2Ь2 - 1) + (1 - 5а2Ь + 4а2Ь2);
б) (5а2Ь + ЗаЬ + 3) - (5аЬ + 5а2Ъ + 4).
2. Решите уравнение: 5а2 - 4 = а2 - (4а - 4а2).
Сложение и вычитание многочленов.
1. Выполните действия:
а) (ху3 - ху2 + 3) + (2ху2 - ху3 - 4);
б) (ЗА2 - 4А + 1) - (1 + ЗА + А2).
2. Решите уравнение: 7t3 - 5t= (t2-l) - (5 + t2 - It3).
Сложение и вычитание многочленов.
1. Выполните действия:
a) (4xy2 - 2xy3 + 6) + (xy2 - xy3 - 4);
б) (-5A2 + 4A + 1) - (1 - 4A + A2).
2. Решите уравнение: 1 + 2(c2-c) = 2c2- 4(c - 7).
Сложение и вычитание многочленов.
1. Выполните действия:
a) (4x2y2 - xy3 + 6) - (3x2i/2 - xy3 - 6);
6) (2p2 + p + 4) - (1 + 4p + p2).
2. Решите уравнение: 5 - 6a + 7a2 = (a + 4a2) + (3a2 - 4a).
Ill
Умножение одночлена на многочлен.
1. Выполните действия:
а) 2п3(п2 - 3);
б) а3Ъ*(ЗаЬ - 4Ъ2 + 7Ь).
2. Решите уравнение:
4х2(х + 1) - 12(х2 - 1) = -8х2 + Зх(х2 + 1) + х3.
Умножение одночлена на многочлен.
1. Выполните действия:
а) Зтп2(5 - 2ти3);
б) 2х4Ь3(5х3Ь -2х2&2-1).
2. Решите уравнение:
5х(х2 - 4) - 8х(5 + х2) = 6(х - 0,5х3) + 16.
Умножение одночлена на многочлен.
1. Выполните действия:
а) -5ху(Зх3 - 4у2х2 - у3);
б) 8Ь3(Ьх + х) - ЗЬ2(Ь2х + Ьх).
2. Решите уравнение:
12ти(тп - 8) - 4т(3т - 5) = 10 - 26ти.
Умножение одночлена на многочлен. SOW»
1. Выполните действия:
а) -За2&(4,5аЬ - а2Ь2 - 2);
б) Зт(2 - 4т(п2 - 1) + 5тп(3 - 4п2)).
2. Решите уравнение:
8(г2- 5) - 5г(г + 8) = Зг2- 11г + 18.
112
Умножение одночлена на многочлен.
1. Длина прямоугольника в три раза больше его ширины.
Если ширину этого прямоугольника увеличить на 2 см, то
его площадь увеличится на 126 см2. Найдите длину и ши-
рину прямоугольника.
Л 4х + 2 х — 2
2. Решите уравнение: —-----------— = 2.
Умножение одночлена на многочлен.
1. Из пункта А в пункт В вышла моторная лодка со скоростью
12 км/ч. Через 4 часа снова из пункта А в пункт В вышла
вторая моторная лодка со скоростью 14 км/ч. Обе мотор-
ные лодки пришли в пункт В одновременно. Определите
расстояние между пунктами А и В.
2. Решите уравнение:
5х - 3 х - 3
~5 3~
Умножение одночлена на многочлен.
1. Бассейн может наполниться водой через одну трубу через
4 часа, а через вторую вся вода может вытечь за 6 часов.
Через сколько времени наполнится бассейн, если одно-
временно открыть две трубы?
2. Решите уравнение: — ------н —-— = 1.
Умножение одночлена на многочлен.
1. На заводе после улучшения технологии производства на
обработку одной детали стали тратить на 1 час меньше,
чем раньше. Теперь 30 деталей обрабатывают за то же
время, что раньше обрабатывали 24 детали. Сколько вре-
мени расходуется теперь на обработку одной детали?
„ _ 2х - 3 х +1 1
2. Решите уравнение:-------------= -1.
5 3
113
Вынесение общего множителя за скобки. ' GI^*34 : В-1
1. Разложите на множители: а) 2а - 4а2; б) Зтп3п2 - 15т2п. 2. Решите уравнение: Зх2 - 21х = 0.
Вынесение общего множителя за скобки. IBSil
1. Разложите на множители: а) 6п - 18п2; б) 21х4у3 - 35х2у2. 2. Решите уравнение: 25у2- 5у = 0.
Вынесение общего множителя за скобки. CP-&4J Кв-ял.
1. Разложите на множители: a) 8b - 12b2 - 24b3; б) xm+1y2 + хту5. 2. Решите уравнение: |х2- |-х = 0.
Вынесение общего множителя за скобки. L В-4-:
1. Разложите на множители:
а) 12а2 - За3 - 20а4; б) ал+1тп4 + апт6.
2. Решите уравнение: fx2 - f х = 0 .
114
Умножение многочленов.
СР-35 В-1
1. Представьте выражение в виде многочлена:
а) (а - b)(2a - ЗЬ); б) (ЗаЬ - 1)(2а - Ь + 3).
2. Решите уравнение: 4х1 2 3 -(2х + 1)(2х -2) = 40.
3. Докажите, что если натуральные числа а и Ъ при делении
на 3 дают в остатке 1, то их произведение при делении на
3 также дает в остатке 1.
Умножение многочленов.
СР-35 В-2
1. Представьте выражение в виде многочлена:
а) (4m -Зп)(?п + 7); б) (5хг/ + 1)(х + 2у + 4).
2. Решите уравнение: 2у2 ~(2у -5)(у -1) = 9.
3. Докажите, что если натуральные числа а и Ь при делении
на 3 дают в остатке 2, то их произведение при делении на
3 дает в остатке 1.
Умножение многочленов. СР-35 В-3
1. Представьте выражение в виде многочлена:
а) (2а -ЗЬ)(2Ь + 7а); б) (5 + у2)(х2у -у + 1).
2. Решите уравнение: 2х2 -(2х -5)(х -3) = 18.
3. Докажите, что если натуральные числа а и Ъ при делении
на 4 дают в остатке 1, то их произведение аЬ при делении
на 4 также дает в остатке 1.
Умножение многочленов.
1. Представьте выражение в виде многочлена:
а) (2 -3t)(2 + 7t); б) (5а2 -с)(5а + с2 + 1).
2. Решите уравнение: (2 + 3z)(2 -г) + 3z2 = 0.
3. Докажите, что если натуральные числа а и & при делении
на 4 дают в остатке 3, то их произведение аЬ при делении
на 4 дает в остатке 1.
115
Разложение многочлена на множители. ИПКкМММ
Разложите многочлены на множители:
а) 2т(а - 6) - Зп(Ь -а); в) 6k3 - 3k2 -2k + 1;
б) 11х2у -5х + 11xi/2-5i/; г) аЬ -ас + bd -cd -Ь + с.
Разложение многочлена на множители.
Разложите многочлены на множители:
а) х\Ь -1) - у(1 -6);
б) 4а26 - 4а62 - Ъ + а;
в) у3 + 2у2 - 2у - 4;
г) тх2-пх2 + тх-пх-тп + п.
Разложите многочлены на множители:
a) a(z -5) -7(5 -г);
в) а4 *+ 2а3 - а -2;
б) 66 -6а + Зах - ЗЪх; г) р2х - 2х + р2у - 2у + 2-р2.
Разложение многочлена на множители.
Разложите многочлены на множители:
а) 2а(у -1) - 6(1 - у)-, в) Ъ6 - 364 - 2Ь2 + 6;
б) 5ах -56х - За + 56; г) Ътх-5х+2ут-2у+\-т.
116
Доказательство тождеств.
1. Проверить является ли равенство тождеством:
а) (х + у)(а -2) = ах -2х + ау - 2у;
б) (Ъ + 2)(Ь -3) + 2Ь = (Ь + 3)(Ь -2)-2Ь.
2. Подставьте вместо * одночлен так, чтобы равенство
(2х + Зу)(2х - Зу) = 4х1 2 -* являлось тождеством.
Доказательство тождеств.
1. Проверить является ли равенство тождеством:
а) (а -Ъ)(х + 3) = ах -Ьх + За -ЗЬ;
б) (У -4)(i/ + 1) + Зу = (у— 1)(у + 4) + 2у.
2. Подставьте вместо * одночлен так, чтобы равенство
(5а + 2д)(5а + 2Ь) = 25а2 + * + 4Ь2 являлось тождеством.
Доказательство тождеств.
1. Проверить является ли равенство тождеством:
а) (т + п)(х - у) = тх + пх - ту - пу;
б) (с -8)(с + 3) + 4с = (с + 8)(с -3) -6с.
2. Подставьте вместо * одночлен так, чтобы равенство
(Зт -4n)(4n + 3m) = * -16п2 являлось тождеством.
Доказательство тождеств.
1. Проверить является ли равенство тождеством:
a) (k - t)(c + d) = kc + kd -tc - td;
6) (a -5)(a + 7) -a = (a -7)(a + 5) + 3a.
2. Подставьте вместо * одночлен так, чтобы равенство
(4k -5t)(4k -5t) = 16k2 -* + 25t2 являлось тождеством.
117
Квадрат суммы двух выражений —I. ср-зЫ в-1
1. Выполните возведение в квадрат:
а) (2а + З)1 2; в) (8х2 - 7х3)2;
б) (5Ъ - бх)2; г) (х4у5 + 4х5у)2.
2. Решите уравнение:(7у -2)2 + 25у = 1 + 49у2.
3. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
а) (-Зх - 1)(3х + 1); б) (2 - k2)(k2 - 2).
Квадрат суммы двух выражений — Z.
1. Выполните возведение в квадрат:
а) (За + 5&)2; в) (llz/3 + г/5)2;
б) (4х - 7у)2; г) (2а4&5 - а3Ь4)2.
2. Решите уравнение: (4х + З)2 - 10х = 1бх2 + 1.
3. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
а) (п-2)(2-п); б) (-4-t2)(t2+4).
Квадрат суммы двух выражений — I. СВ-38ВтВ '
1. Выполните возведение в квадрат:
а)(4а-5&)2; в) (6t4 + f t2)2;
б) (^ -I- 7*)2; г) (ху2 - Зх2у2)2.
2. Решите уравнение: (х + 3)(х + 7) -(х + 4)2 = 0.
3. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
а) ~(5р - 2)(-5р + 2); б) (-За2 - 4)(4 + За2).
Квадрат суммы двух выражений —I. СР-З.3 В-4
1. Выполните возведение в квадрат:
а) (2т + Зп)2; в) (10а3 + | а4)2;
б) (k - |р)2; г) (7d2c - 3dc3)2.
2. Решите уравнение: (х -З)2 -(х -5)(х + 3) = 0.
3. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
a) (7t - 3)(-7* + 3); б) -(-х3 - 5)(5 + х3).
118
Квадрат суммы двух выражений — II. СР-39 В-1
1. Представьте в виде квадрата двучлена или выражения
ему противоположного:
а) 144а1 2 + 24аЪ + Ь2; б) -Эх4/ + 12x2i/4 - 4;
в) Is / -Р2 + 4.
2. Замените знак □ одночленом так, чтобы выполнялось равен-
ство: а) (2а-д2)2=4а2-П+д4; б) (3c3+EJ)2=4d4+12c3d2+9c6.
Квадрат суммы двух выражений — II. | 7 Вч2--
1. Представьте в виде квадрата двучлена или выражения
ему противоположного:
а) х2 + 26ху + 169z/2; б) -16 + 24а5д3 - 9а10&6;
в) Збр8-р4с4+ у^с8.
2. Замените знак □ одночленом так, чтобы выполнялось равен-
ство: а) (□+6&)2=25а4+60ад2+36&2; б) (□+Ь3)2=Ь6+25а2+10аЬ3.
Квадрат суммы двух выражений —II.
1. Представьте в виде квадрата двучлена или выражения
ему противоположного:
a) t4 - 2t2 + 1; в) p2k2 - k4p4 - 1.
б) -биги -9т2 -п2;
2. Замените знак □ одночленом так, чтобы выполнялось ра-
венство:
а) (аЬ+П)2=9-6аЬ+а2&2; б) (-а-2&2)2=а2+4а&2+П.
Квадрат суммы двух выражений — II. шивяваж
1. Представьте в виде квадрата двучлена или выражения
ему противоположного:
а) 25а2 - 20а + 4; б) -p2g4 + 2p3q2 -р*',
в)-^й4-й2-4.
2. Замените знак □ одночленом так, чтобы выполнялось ра-
венство:
а) (□+4аЬ)2=16а262+9-24аЬ; б) (7а2-Ь2)2=П+49а4+Ь4.
119
(a -b)(a + b) = a2-b2.
1. Представьте в виде многочлена произведение:
а) (За - 4&)(3а + 4Ь); б) (4х4 + у)(у - 4х4);
в) (р4 + Ь2)(р2 + &)(р2 - &).
2. Решите уравнение:
4х(х + 3) -(2х -5)(2х + 5) = 49.
(а — Ъ)(а + Ъ) = а2—Ъ2.
1. Представьте в виде многочлена произведение:
а) (5х - 7г/)(5х + 7у); б) (За3 + 2с5)(2с5 - За3);
в) (g4 + p2)(g2 -р)(д2 + р).
2. Решите уравнение:
4х(х + 2) -(2х + 3)(2х -3) = 25.
(а — Ь)(а + Ъ) = а2-Ь2.
1. Представьте в виде многочлена произведение:
a) (6dc + 7)(7 - 6dc); б) (5Л - 7)(-5Л - 7);
в) (t4+g6)(t2+g3)(g3-t2).
2. Решите уравнение:
(2х + 3)2-(2х + 5)(2х -5) = 38.
(а —Ь)(а + Ь) = а2—Ь2.
1. Представьте в виде многочлена произведение:
a) (4x3i/ + 5)(5 - 4x3z/); б) (2с3 - 9)(-2с3 - 9);
В) (Z6+7n8)(Z3+7n4)(Z3-7n4).
2. Решите уравнение:
(3i/+ 1)(Зу-1)-(Зу-4)2=7.
120
a.1 2 3—b2 = (а —Ь)(а + b).
1. Разложите на множители:
а)169с2-9Ь2; в) (4 -у)2 -9;
б) | х4 -16t10; г) (5t - З)2 - (4 - 3t)2.
2. Решите уравнение: 81у2 -1 = 0.
3. Представьте в виде произведения: 36t2 -z2 -2z -1.
а2-Ъ2= (а —Ъ)(а + Ь).
1. Разложите на множители:
a) 27d2 - 16с2; б) 49а8 - х2;
в) (х - 2)2 - 4; г) (2z2 - 4)2-( 1 - г2)2.
2. Решите уравнение: 64t2 - 9 = 0.
3. Представьте в виде произведения: 9 -х2+ 2ху -у2.
а2-Ъ2 = (а -Ь)(а + Ь). f
1. Разложите на множители:
а)81а2&2-1; б) -16с12;
в) (7а2 - 4)2 - 16а4; г) (3k + 4t)2 - k2 + 4kt - 4t2.
2. Решите уравнение: x2-2x + 1 = 16.
3. Представьте в виде произведения: z2 -2гу + у2 -25z2y2.
а2-Ъ2= (а -Ь)(а + Ъ). . 5!Свв®1ЖЖ
1. Разложите на множители:
a) 25xV-49; 6)9fe10-^;
в) (8t2 - 2) -16t4; г) (2d + Зс)2 - 9с2 - Qcd - d2.
2. Решите уравнение: 49у2 + 14у + 1 = 25.
3. Представьте в виде произведения: а4Ь4 -а4 + 6а2&2 -9Ь4.
121
Сумма (разность) кубов.
1. Разложите на множители:
а) 125 с3+27; в)д9-8д3;
б) 64-&3; г) 1 + (у + З)3.
2. Докажите, что значение выражения З213-4573 кратно 136.
3. Представьте в виде произведения: 33ге-8.
Сумма (разность) кубов.
1. Разложите на множители:
а) 1 - 125с3; в) -64g12 + 27g9;
б) t3 + 27; г) (х -1)3 + 8.
2. Докажите, что значение выражения 8753+1253 кратно 1000.
3. Представьте в виде произведения: 27 + 53л.
Сумма (разность) кубов. л B-tS"
1. Разложите на множители:
а) 1 + d6; в)^а12-Ь9;
б) у9-27; г)8-(х1 2 3-1)3.
2. Докажите, что значение выражения 256-126 делится на 481.
3. Представьте в виде произведения: 46”+3 + 8.
Сумма (разность) кубов.
1. Разложите на множители:
а) *6-64; в) ihP6+*12;
б) 27 + у12; г) 1 + (3 -у2)3.
2. Докажите, что значение выражения 156-136 делится на 56.
3. Представьте в виде произведения: 56д+9+27.
122
Преобразование выражений. LCFW. В-1
1. Упростите: (2у - 5)2 ~(2у + 5)2 + 40у.
2. Найдите значение выражения
2х3 + 9 —(х + 1)(х2 —х + 1) при х = 0,5.
3. Решите уравнение (За + I)2 - (За -2)(3а + 2) = 17.
Преобразование выражений. СР-43 В-2
1. Упростите: (4 - Зу)2 - (Зу + 4)2 + 48у.
2. Найдите значение выражения
(2 + х)(х2 - 2х + 4) -1 + х3 при х = ^ .
3. Решите уравнение (За + 2)(3а -2) - (За -4)2 = 28.
Преобразование выражений. СР-43 уЙгШ
1. Упростите: (Чу + I)2 - (у + 7)2 -48(у - 1)(у + 1).
2. Найдите значение выражения
х(х + 2)(х - 2) - (х - 3)(х2 + Зх + 9) при х = |.
3. Решите уравнение (2а + З)2 -4(а - 1)(а + 1) = 49.
Преобразование выражений. СР-43 . В-4
1. Упростите: (бу + 8)2 + (8у - 6)2 - 100(z/2 + 1).
2. Найдите значение выражения
(25 + х2 - 5х) - (5 + х)(х - 5)х при х = — ^.
3. Решите уравнение (За + 4)2 - (За -1)(1 + За) = 49.
123
Разложение на множители.
1. Разложите на множители:
а) За2-12;
б) 5а4-20а2 b + 20&2;
в) ат2 - п2а - п2Ь + тп2&;
г) х3у -2 - у + 2х3.
2. Решите уравнение: х3 -х = 0.
Разложение на множители.
СР^44 '?В--2?'
1. Разложите на множители:
а) 8 - 2d2;
б) Зх6 + 18х3у + 27у2;
в) 2х2а + Ъх2 -8а - 4Ъ
г) n3k - Зп3 + k -3.
2. Решите уравнение: х4 -4х2 = 0.
Разложение на множители. CP^44 'ЪЙГ
1. Разложите на множители:
а) 4а -ab2;
б) -120ak2 + 48ft4 + 75а2;
в) -у2п + п + 8т -у2п;
г) 8 + п3 + 2п4 + 16п.
2. Решите уравнение: 25х4-х2= 0.
Разложение на множители. СР-44 В^-З
1. Разложите на множители:
a) cb2 - 16c;
6) 18&8+ 32a2-48a&4;
в) 45n -5nt2 -9k + fei2;
г) 27k -2k2+ fe4-54.
i
2. Решите уравнение: x -36x = 0.
124
Применение преобразований.
1. Может ли выражение -16х* 1 2 + 8х -1 принимать положи-
тельные значения?
2. Решите уравнение: 5а -5 + а3 -а2 = 0.
3. Докажите, что при любом целом п значение выражения
(7п -2)2 ~(2п -7)2 делится на 5.
Применение преобразований.
1. Может ли выражение -10х + х2 + 25 принимать отрица-
тельные значения?
2. Решите уравнение: а4 - 2а2 + 7а - 2 = 0.
3. Докажите, что при любом целом k значение выражения
(5k -4)2 -(4fe - 5)2 делится на 9.
Применение преобразований.
1. Может ли выражение -4г2 -12ky -36у2 принимать положи-
тельные значения?
2. Решите уравнение: х3 -4х + х2 -4 = 0.
3. Докажите, что при любом целом т значение выражения
(Зтп -2)2 -(2тп — З)2 делится на 5.
Применение преобразований.
1. Может ли выражение -30 ху + 9х2 + 5у2 принимать отри-
цательные значения?
2. Решите уравнение: Зу -у2 + 3 -у3 — 0.
3. Докажите, что при любом целом k значение выражения
(7k -4)2-(4Л -7)2 делится на 11.
125
Уравнение вида: ах + by = с. ' ' | В-1'
1. При каком значении а пара чисел (3;-4) является реше-
нием уравнения ах + Зу = 3?
2. Составьте какое-нибудь линейное уравнение с двумя пе-
ременными решением которого будет пара чисел (-1;-2).
3. Найдите все решения уравнения Зх + 2у = 8, если х и у
натуральные числа.
4. Разложите на множители: 2 + а + 2а1 2 -I- а3 4.
Уравнение вида: ах 4- by = с.
1. При каком значении Ъ пара чисел (1; 4) является решени-
ем уравнения Ьх + 2у = 7?
2. Составьте какое-нибудь линейное уравнение с двумя пе-
ременными решением которого будет пара чисел (-2; 2).
3. Найдите все решения уравнения х -I- 4у = 9, если х и у
натуральные числа.
4. Разложите на множители: 2 -Ь + 4&2-2Ь3.
Уравнение вида: ах + by = с. ср-46
1. При каком значении с пара чисел (-1;-2) является реше-
нием уравнения -4х + су = 6?
2. Составьте какое-нибудь линейное уравнение с двумя пе-
ременными решением которого будет пара чисел (3; 2).
3. Найдите все решения уравнения 2х + Зу = 5, если х - на-
туральное число, а у - положительно.
4. Разложите на множители: с + 4 -с2-4с3.
Уравнение вида ах 4- by = с. CP-46 | В-4
1. При каком значении d пара чисел (-3;2) является реше-
нием уравнения -dx + у = -1?
2. Составьте какое-нибудь линейное уравнение с двумя пе-
ременными решением которого будет пара чисел (1; -3).
3. Найдите все решения уравнения 2х + Зу = 7, если у - на-
туральное число, а х - положительно.
4. Разложите на множители: 3d + 2 -8d2-12d3.
126
График уравнения ах + by = с. СР-47 j |' В-1.
1. Принадлежит ли графику уравнения 17х + 24у — -15 точка А(-3;2,5)? 2. Постройте график уравнения 2х -у -1 = 0. 3. В какой точке график уравнения Зх + 4у = 6 пересекает ось абсцисс? 4. Решите уравнение: f (ж _ 3) = "4 (9 - х).
График уравнения ах + by = с. СР-47 ; В-2
1. Принадлежит ли графику уравнения 7х + 22у = -9 точка А(5;-2)? 2. Постройте график уравнения -2х + у = 4. 3. В какой точке график уравнения Зх + 2у = 8 пересекает ось ординат? 4. Решите уравнение: | (2х - 3) = (4 - х).
График уравнения ах + by = с. СР-47 ' в<-
1. Принадлежит ли графику уравнения 14х + 15 г/ — 6 точка А(4; 4)? 2. Постройте график уравнения у + 4х = 5. 3. В какой точке график уравнения 2х -9у = 4 пересекает ось абсцисс? 4. Решите уравнение: | (2х -1) = f (х + 4) + | .
График уравнения ах + by = с. СР-47
1. Принадлежит ли графику уравнения 10х + 24у = 2 точка
А(-3,6;2,5)?
2. Постройте график уравнения у - Зх = -2.
3. В какой точке график уравнения 5х -2у = 10 пересекает
ось ординат?
4. Решите уравнение: 4 (х - 4) = (6 - х) - |.
127
Системы линейных уравнений.
1. Составьте систему линейных уравнений с двумя переменны-
ми, решением которой будет пара чисел (-1;-2).
„ „ „ [2х-у = 3,
2. Решить графически систему уравнении !
[ у + х = 3.
Сколько решений имеет система
4х + 5у = 2,
х + 1,25у = 0,5?
Системы линейных уравнений.
1.
2.
Составьте систему линейных уравнений с двумя переменны-
ми, решением которой будет пара чисел (2;-2).
Решить графически систему уравнений
2х + у = 3,
у + х = 1.
3.
Сколько решений имеет система
Зх - 2у = 6,
2х-3у = 4?
Системы линейных уравнений.
1.
2.
Составьте систему линейных уравнений с двумя перемен-
ными, решением которой будет пара чисел (3;-2).
Решить графически систему уравнений
Зх + у = 6,
2у + х = 7.
Сколько решений имеет система
Системы линейных уравнений.
12х - 4у = 5,
0,6х = 0,2у + 0,25 ?
1. Составьте систему линейных уравнений с двумя перемен-
ными, решением которой будет пара чисел (-1;3).
2.
Решить графически систему уравнений
- х + 2у = 6,
у - 2х = 5.
3.
Сколько решений имеет система
2х - 36 = 2у - 1,2;
х + Зу = 2,2 - х ?
128
Метод подстановки.
1. Решите системы уравнений, методом подстановки:
а)
т + 2п = 2,
т = Зп - 3;
в)
4m + 7п = 5,
3m + 5п = 3.
2. Разложите на простые множители: 64 - 1.
Метод подстановки.
1. Решите системы уравнений, методом подстановки:
а)
а = 2b -1,
а + Ь = 2;
в)
6а-76 = 2,
5а-66 = 1.
2. Разложите на простые множители: 74-1.
Метод подстановки. i
1. Решите системы уравнений, методом подстановки:
а) ^3"*’
[p + 2k = 2;
б)Г+4х=7’
|2х - у = 5;
2. Докажите, что число 32в-714 - составное.
Метод подстановки. Ж ft й в I
1. Решите системы уравнений, методом подстановки:
а)
и = 2v - 3,
и + 2v = 8;
10u - 9i> = 8,
7u-6v = ll.
2. Докажите, что число 515-73 - составное.
б зак. 200
129
Метод сложения.
СР-50 В-1
1. Решите системы уравнений, методом сложения:
б)
Зтп - 2п = 9,
5т + п = 15;
5(х + 2у) = х + 8,
4(х - Зу) = 50-у.
2. Определите а и Ь, если график функции у = ах + b прохо-
дит через точки А(-1;3), В(1,7).
Метод сложения. СР-50 В-2
1. Решите системы уравнений, методом сложения:
[4х + Зу = 6,
[4х + 2у = 8;
б)
- а - 2Ь = 2,
' 5а + 4Ь = 2;
в)
5(х - Зу) = 2х + 27,
3(х-6у) = 9 г/ 4-15.
2. Определите а и Ь, если график функции у = ах + Ъ прохо-
дит через точки К"(-2;9), Р(2,-1).
Метод сложения.
OP-50 | В-3
1. Решите системы уравнений, методом сложения:
в)
2(2х - Зу) = 14 - 8у,
3(х + 5у) = бу + 33.
2. Определите а и Ь, если график функции у = ах + Ь прохо-
дит через точки М(-1;2), ЛГ(3,6).
Метод сложения.
ср-5о Г
1. Решите системы уравнений, методом сложения:
[-5у + х = 2,
а) 1
[5у = 3х-3;
б)
4с + 5d = 3,
5c-2,5d = 2;
|2(х + Зу) = 11у-7,
|3(3х - 2у) = 5х - 2.
2. Определите а и Ь, если график функции у = ах + Ь прохо-
дит через точки С(2;6), Z>(1,-1).
130
Решение задач.
1. Скорость теплохода по течению реки 41,7 км в час, а про-
тив течения 31,9 км в час. Найдите скорость течения реки.
2. Из А в В, расстояние до которого 18 км, вышел турист. Через
1 ч 30 мин из В вышел другой турист, и они встретились че-
рез 1 ч 20 мин. Если бы они вышли одновременно, то встре-
тились бы через 2 ч. Какова скорость каждого туриста?
Решение задач.
1. Сумма двух чисел равна 68, а разность 34,7. Найдите эти
числа.
2. Автомашина за 3,5 ч проехала на 10 км больше, чем мо-
тоциклист за 2,5 ч. Скорость мотоциклиста на 20 км/ч
больше скорости автомашины. Найдите скорость автома-
шины и скорость мотоциклиста.
Решение задач.
1. Периметр прямоугольника равен 56 см. Найдите его сто-
роны, если известно, что длина прямоугольника на
14,2 см больше ширины.
2. Для школьного праздника купили конфеты двух сортов в
упаковках по 240 г и 150 г соответственно, причем конфет
первого сорта было куплено на 600 г больше. Сколько ку-
пили конфет каждого сорта, если упаковок с конфетами
первого сорта было на 20 упаковок больше?
Решение задач.
1. Найдите двузначное число, сумма цифр которого равна
15, а разность цифр 3.
2. Если половину всего заказа выполнит мастер, а затем ос-
тавшуюся часть закончит его ученик, вся работа будет
выполнена за 10 часов. Если мастер выполнит | всей ра-
боты, а затем оставшуюся часть выполнит ученик, то все
будет сделано за 9 часов. За какое время мог бы выпол-
нить работу каждый их них, работая один?
131
Дополнительные задачи.
Умение решать нестандартные задачи - важней-
шая составляющая математического развития учащих-
ся.
Желательно, чтобы к окончанию школы у детей
был накоплен некоторый опыт решения таких задач.
Большинство задач раздела не являются задачами
повышенной трудности. Для их решения не требуется
знаний, выходящих за пределы программы общеобразо-
вательной школы, не являются они, на наш взгляд, и
особенно трудными (более того, многие задачи предна-
значены для устного решения).
Однако некоторые из них имеют нестандартные
формулировки, другие требуют для своего решения пре-
одоления непривычного для школьников сочетания
трудностей, поэтому данный набор задач может считать-
ся, на наш взгляд, полезным дополнением системы за-
дач школьного учебника.
Задачи могут быть использованы как для фрон-
тальной работы на уроке, так и в качестве домашних
заданий, а также при организации различных форм
внеклассной работы (олимпиады, кружки и т.д.).
132
Выражения, тождества, уравнения.
1. Вычислите, наиболее рациональным способом:
а) 424 25;
б) 25 44,44;
2. Выполните действия:
а) (0,48:12 + 0,6:6) 80;
б) (5,5-3 }):0,1;
в) 456:25;
г) 5,06:25.
в) (0,24-|) 0,5+3,57:3,5;
, _2_ „ „ 0,97
г) 99 + 0,8 + jrd/oi •
3. Ребро куба увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличил-
ся объем куба?
4. Найдите: а) 72% от 12,5; б) 33>% от 33|.
5. Найдите число, если:
а) 3% его равны 9; б) 33 у % от него равны 33 у .
6. От числа А отняли 33 f % его, и получили 0,66. Найдите А.
7. Какое из чисел больше 6% от k или k % от 6?
8. Товар подешевел на 10%, а затем подорожал на 10%. Как
изменилась его стоимость?
9. Число А на 400% больше числа В. На сколько процентов
число В меньше числа А?
10. В бассейн проведена труба. Она засорилась и приток воды
в бассейн уменьшился на 60%. На сколько процентов
увеличивается время заполнения бассейна?
11. Из двух положительных чисел, одно увеличили на 1%,
другое на 5%. Могла ли их сумма увеличиться на 3% ?
12. В первом бруске весом 1 кг содержится 50% меди, а во
втором, весом 0,5 кг - 80% меди. Бруски сплавили.
Сколько процентов меди содержится в новом бруске ?
13. При каких целых х значение выражения Зх2 - 7 отрица-
тельно?
14. Решите уравнение:
а) х = 7х; б) 0,01г/ = у.
133
15. Число х при делении на 10 дает в остатке 3, а число у при
делении на 10 дает в остатке 2. Докажите, что сумма х +
у делится нацело на 5.
16. Среднее арифметическое двух чисел равно 10, а одно из
чисел равно 4. Чему равно другое число?
17. Сумма двух чисел 495. Большее из чисел оканчивается
цифрой 0. Если 0 зачеркнуть, то получится второе число.
Найдите эти числа.
18. Решите уравнение:
а)|Зх-1]=-5; в) х2 + 100 = 0;
б) | х - 2 | + 2 = 2; г) | х I + Зх2 + 4 = 0.
19. Задуманное двузначное число оканчивается цифрой 7. Ес-
ли цифры в этом числе переставить, то получится число
на 27 больше задуманного. Найдите задуманное число.
20. В двузначном .числе сумма цифр равна 8, число десятков
в 3 раза больше числа единиц. Найдите это число.
21. Может ли сумма семи последовательных натуральных чи-
сел быть простым числом?
22. Делимое и делитель увеличили в 3 раза. Как изменились
частное и остаток?
23. При делении некоторого числа на 225 в остатке получи-
лось 150. Какой остаток получится при делении этого
числа на 75?
24. Докажите, что если два числа при делении на а одинако-
вые остатки, то их разность делится на а.
25. Докажите, что если сумма двух чисел число нечетное, то
их произведение четно.
26. Докажите, что разность трехзначного числа и суммы его
цифр делится на 9.
27. Решите уравнение:
а) ((2 - х):1,5 + 17,4:29):(25 0,16) - 0,005 = 0,4;
б) 2 - (0,2 - 0,02:(0,002 + 0,0002х)) = 0,3;
в) ((0,7 + 0,004х):0,9):24,7 - 12,3 = 77,7;
г) ((0,001х + 2):0,3) 0,01 - 11,2 = 22,2.
134
28. Среднее арифметическое двух чисел равно 10,01. Найдите
каждое из них, если одно в 4,5 раза больше другого.
29. Среднее арифметическое шести чисел равно 345, а среднее
арифметическое четырех других чисел равно 555. Чему
равно среднее арифметическое всех десяти чисел?
30. Фабрика по производству шоколадных конфет в каждую
коробку конфет вкладывает талон. За десять накопленных
талонов покупателю выдается бесплатно коробка конфет.
Какую часть стоимости коробки стоит один талон?
31. Найдите четыре последовательных четных числа, сумма
которых равна 4052.
___ _ 52367
32. Какое число нужно вычесть из числителя дроби 47533 и
прибавить к знаменателю этой дроби, чтобы после сокра-
щения получилось 33 ?
33. Решите уравнение:
Зх - 11 = 5;
х - 81 + х = 5;
х - 3 |- х = 7;
х-3| + |х + 2| = 7;
Зх - 2 | + х = 2;
х | = 3(х - 3);
|х-4| + |х + з|=2;
|х + 2| + |х-3| = 5.
а)
б)
в)
г)
Д)
е)
ж)
з)
34. В уравнении 5(... + Зх)(х + 1) - 4(1 + 2х)2 = 80 стерто не-
которое число. Что это за число, если х = 2 - корень
уравнения?
35. Решите уравнение, относительно х:
а) ах = 1;
б) ах = а;
в) ах + а = 4а;
г) ах = 23,5 - 4,8 - 18,7.
135
Функции.
1. В какой точке пересекаются графики функций
у = -10х + 13 и у = 100х + 13?
2. Как расположены точки координатной плоскости, у кото-
рых абсцисса меньше ординаты?
3. Как расположены точки координатной плоскости, у кото-
рых абсцисса меньше 4, а ордината больше 1?
4. Постройте график функции у = -0,2х + 2. При каких
значениях х: а) у = 0; б) у < 0; в)у > 0?
Как изменяется переменная у (возрастает, убывает) с воз-
растанием переменной х?
5. Построить график функции у = 0,5х + 2. Найдите :
а) координаты точек пересечения графика с осями координат;
б) какие значения может принимать у, если -6 < х < 6.
6. График функции у = kx проходит через точку (6;-14).
Проходит ли он через точку (-9;21) ?
7. При каком значении Ь прямые у = 2ж-4иу = 10х - Ъ
пересекаются на оси ординат? На оси абсцисс?
8. В какой из координатных четвертей нет точек графиков
функций:
a) z/=5x+10; в) у=8х;
б) z/=-3x+5; г) i/=-89?
9. Графикам каких линейных функций соответствуют пря-
мые а, Ь и с на рис. 1?
136 f
11. В одной системе координат постройте графики функций:
а) I/ = х; у = х |; у = х + | х |;
б) у = х + 3; у= х + 3 |; у = |х|+3.
12. Постройте графики функций:
. |х| X2 X
а) у = —; б) у = — ; в) у=х+ х
х х
13. Найдите площадь треугольника, ограниченного осями ко-
ординат и прямой у = -2х + 2.
14. Найдите площадь четырехугольника, ограниченного ося-
ми координат и графиками функций у — -2х + 2; у = х +
2; у = -х - 2 и у = 2х - 2.
15. Расстояние между деревнями А и. В равно 3 км. В деревне
А - 300 школьников, а в деревне В - 200 школьников. Где
следует построить школу, чтобы общее расстояние прой-
денное школьниками по дороге в школу было как можно
меньше?
16. На координатной плоскости лежат 4 точки: А(1;5),
В(-1; 1), С(1,5; 6), Р(7; 12) . Лежат ли эти точки на одной
прямой?
17. Некоторая линейная функция задана таблицей.
X 1 0 -2 -3 2
У 5 2 -4 -6 8
Одно из значений функции вычислено неверно. Какое
именно? Задайте функцию формулой.
18. На доски написаны числа: 1; -5; 3; 4; 8;-4. Выберите из
них два так, чтобы они образовали координаты точки ле-
жащей на графике функции у = |х + 3 (порядок чисел
изменять нельзя).
19. Квадрат ABCD со стороной 6 расположен так, что центр
его находится в начале координат, а стороны параллельны
осям. Прямые АС и BD совпадают с графиками некоторых
линейных функций. Задайте эти функции формулами.
20. В какой точке пересекаются графики линейных функций
у = 4х - 3 и у = 2х - 1?
137
| Степень с натуральным показателем. [ 3 j
1. Вычислите:
а) (-1)2”; г) (-1)3л+1;
б) (-1)2л+1; д) (-1)2л (-1)2л+1;
в) (-1)3”; е) (-1)л(-1)2л+1(-1)л+1.
2. Вычислите:
a) (-l/C-l)2-...(-I)100; б) (-1)1 + (-1)2 + + (-1)100.
3. Подберите такие натуральные значения п, чтобы выпол-
нялись равенства:
а)2л=32; б) 2л-5=1; в) 2л-1=46; г) 4Л=86.
4. Докажите, что
а) разность 1024 - 4 делится нацело на 3;
б) разность 1ОО100 - 1 делится нацело на 9;
в) число 10189 +1 не делится 1023- 1.
5. Сколько слагаемых в левой части равенства:
а) 25 = 2 + 2 + +2; б) З100 = 3 + 3 + +3?
6. Представьте в виде произведения степеней простых чисел:
1-2-...-14-15.
7. Среди всех делителей числа 1-2-...-14-15 найдите наиболь-
ший, который является:
а) квадратом, натурального числа;
б) кубом натурального числа;
в) пятой степенью натурального числа?.
8. На какую наибольшую степень числа 7 делится
1 2 ... 99100?
9. Найдите такое натуральное и, чтобы число 2Л + 15 было
составным.
10. Проверьте являются ли данные равенства тождествами:
а) (-а3(-а)3)2 + (-а2(-а)2)3 == 0;
б) (-1)л ал+т = (~а)п ат.
138
11. Запишите число 77 в виде суммы различных степеней:
а) числа 2; б) числа 3; в) числа 5.
12. Проверьте, верны ли равенства:
а) 128-912 = 1816; в) 1218 = 276-169;
б) 96-98-189 = 81-343-26; г) 2528-0,00819 = 0,25.
13 .Верно ли, что 199,6-(19961996- 1) - целое число?
14. Докажите, что при любом натуральном п число |-(10л+8)
- целое.
15. Найдите последнюю цифру числа: 51995+б1996+ц1997+зо1998.
16. Найдите последнюю цифру числа:
а) 2100; в) 281 + 282;
б) 2199 , г) 2 + 22 + 23 + + 2100.
17. Решите уравнение: 21000 - 2999- 2998 - 2 +х = 2х.
18. Докажите, что:
а) число 19961"6 + 2 не является квадратом целого числа.
б) число 7777 + 1 не делится на 5.
19. Докажите, что 2Л + 2л+1 + 2л+2 делится на 7.
20. Число ***9 равно кубу целого числа. Какого?
21. Для трех чисел З33, З3 и(33)3 найти отношение наиболь-
шего числа к наименьшему.
22. Докажите, что пятая степень любого натурального числа
оканчивается той же цифрой, что и само число.
23. Какой цифрой оканчиваются числа:
а) 1743; б) 181997; в) 19100.
24. Докажите, что 4343- 1717 делится на 10.
25. Сравните числа:
а) 3111 и 1714; в) 156 и 712;
б) 635 и 810; г) 269 и 120®.
139
Многочлены.
ии
1. Докажите, что при любом значении Ь значение выраже-
ния: (36 - 1)(46 + 1) > (26 + 1)(56 - 3).
2. Докажите тождество: (а - 1)(а + 2) = 4 + (а - 2)(а + 3).
3. При каком х верно равенство, если в записи 100 пар скобок:
(Х_(Х_..._(Х_1)...))) = 1?
4. Решите уравнение:
. 4 + х 3 х - 2 х + 4
а) ----=---; б) -----------=-----
4х-2 4 х — 1 х + 7
5. При каких значениях
а) т выражение т2 меньше т?
б) х выражение, х2 больше х3?
6.
Сократите дроби:
219 -273 +15 -49 -94
69 -210 +1210
7. Вычислите:
а) 2379-23782378 - 2378-23792379;
л* \ а 2 5 _ л 181 гт 194 _ гт 5
183 ° 199 183 ’ • 199 • 199 •
8. При делении одного числа на другое получилось в част-
ном 18 в остатке 24. Как изменятся частное и остаток, ес-
ли делимое и делитель увеличить в 6 раз?
9. Докажите, что если два числа при делении на 3 дают в
остатке 1, то и их произведение дает в остатке 1.
10. Докажите, что разность между трехзначным числом и
суммой его цифр всегда делится на 9.
11. Докажите, что число, записанное с помощью 9 одинако-
вых цифр делится на 37.
140
12. Найдите все двузначные числа, которые в сумме с чис-
лом, записанном теми же цифрами, но в обратном поряд-
ке дают квадрат натурального числа.
13. Докажите, что не существует натурального числа, которое
при делении на 18 дает в остатке 13, а при делении на 21
дает в остатке 2.
14. Известно, что числа х 4- у и 4х + у положительны. Может
ли число 8х + 5у быть отрицательным?
15. Докажите, что если выражение За + 4Ь + 5с при некото-
рых целых значениях а, Ь и с делится на 11, то и выраже-
ние 9а + & + 4с при этих значениях о, бис делится на 11.
16. Сформулируйте какое-нибудь утверждение, которое верно
для всех натуральных чисел кроме 5, 17 и 257.
17. Решите уравнение относительно х:
а) (Зх-4&) + (7Ь + 2х) = 135;
б) (13й + 10х) - (8х - 9k) = 12fc;
в) (5х - 7а) 4- (а - 2х) = За;
г) (2х - 4т) + (4х + 5/и) = 19тн.
18. Решите уравнение:
.3x4-1 . 44-х _ 5х -1
а) ------4- 4 =-----4-3--------;
2 3 4
. „ . Зх-4 х4-1 Z1 Х4-2.
в) 2х - I------=-------(I-------);
2 3 2
19. Решите уравнение: х(х 4- 1)(х 4- 2) = (х 4- 1)(х 4- 2)(х 4- 3).
20. Докажите, что число 210 - 28 4- 26 - 24 4- 22 - 1 кратно 9.
21. Вася сказал, что он знает решение в натуральных числах
уравнения ху6 4- х8у = 1995. Докажите, что Вася ошибся.
141
Формулы сокращенного умножения.
1. Что больше 8742 или 870-878?
2. Найдите значение выражения 73,1х2- 73,Ху2 при х = -0,1
и у = 0,9.
3. Вычислите наиболее простым способом:
а) 141 139; б) 1002 998 - 1003 997.
4. Докажите, что значение выражения
(а + 4)2 + 2(а + 4)(6 — о) + (6 — а)2 при любом значении а
равно 100.
5. Докажите, что выражение (бу + 4)2 + (8у + З)2 + 4у можно
преобразовать в квадрат двучлена.
6. При каком значении р трехчлен 1 а2 + 13а + р можно
представить в виде квадрата двучлена?
7. Решите уравнение:
а) х2 + 8х + 16 = 0;
б) 4у2-9 = 0;
в) а3 + z = 0;
8. Вычислите:
21,52 -3,52 .
а) 1152 - 652
г) х2 + 2х + 2 = 0;
д) х2 = п2 + 2я + 1;
е) х2 + х + I =0.
732 - 2 73 23 + 232
б) /-----------------.
262 - 242
9. Решите уравнение:
а) 49(х -1)2 + 14(х -1) + 1 = 0;
б) (х - 7)2 -(х -1)2 = 50 - 13х.
10. Докажите, что (а + b + с)2 — а2 + Ь2 + с2 + 2аЬ + 2Ьс + 2ас.
142
11. Возведите многочлены в квадрат:
а) а + b - с; в) х2 - х - 1;
б) За + b - 2с; г) За2 - 2ab + ЗЬ2;
12. К следующим выражениям прибавьте такое слагаемое,
чтобы получить квадрат суммы или разности двух выра-
жений:
а) х2 + рх; б) а2 + 16;
в) 4а6 - 2а5; г) 4х2 + 25;
13. Решите уравнение, получив предварительно квадрат сум-
мы или разности двух выражений:
а) у2 + + 3 = 0; б) х2 + х + ^ = 0;
14. Представьте в виде произведения суммы двух выражений
на их разность:
а) (а2-1)(а2+1)-а(а+2); б) а4+4;
в) 4а4+1; г) 625х8+4а4.
15. Разложите многочлены на множители:
а)6<2-5<-1; б) т3 + 3m -4; в)а3+а-2.
16. Представьте в виде степени двучлена :
0,125а3 - 0,75а2т + 1,5ат2 - т3.
17. Докажите, что сумма кубов трех последовательных чисел
делится на 9.
18. Докажите, что полусумма квадратов двух четных чисел
равна сумме квадратов двух целых чисел.
19. Докажите, что разность квадратов чисел не делящихся на
3, делится на 3.
20. Докажите, что сумма квадратов трех последовательных
натуральных чисел при делении на 3 дает в остатке 2.
21. Докажите, что разность квадратов двух нечетных чисел
делится на 4.
143
22. Докажите, что разность квадратов двух последовательных
нечетных чисел делится на 8.
23. Известно, что 410 -1 делится на 15. Какие из данных чи-
сел также делятся на 15:
а)4п-1; б)412-1?
24. Две противоположные стороны квадрата увеличили каж-
дую на 1, а каждую из двух других уменьшили на 1.
Сравните периметр и площадь квадрата с периметром и
площадью полученного прямоугольника.
25. Разложите на множители число 4545 + 5454.
26. Решите уравнение, относительно х:
а) ах + х = а + 1; б) (а + 1)х = а2 - 1;
в) (а - 2)х = а2 - За + 2.
27. Найдите суммы коэффициентов многочленов, получен-
ных после раскрытия скобок:
а) (а + 6); б)(а + Ь)2; в)(а + &)3; г)(а + &)4.
Какое правило Вы заметили?
28. Докажите, что выражение (х -4)(х -6) + 3 при любых
значениях х принимает положительные значения.
29. Найдите ошибку в «доказательстве» того, что два
любых числа равны между собой: «Пусть а = Ь + с, тогда
а(а -Ь) = (6 + сХа -Ь), следовательно: а2 - ab = ab + ас -
- Ь2 -Ъс, затем: а2 -ab -ас = аЬ -Ъ2 -Ьс и, наконец:
а(а — Ь - с) = Ь(а — Ь - с). Откуда: а = Ь.»
30. Можно ли выражение 2а2 + 2Ь2 можно представить в виде
суммы двух квадратов?
31. Известно, что а2 + Ь2 + с2 = ab + Ьс + са . Докажите, что
а = Ь = с.
32. На какую цифру оканчивается число I3 + 23 + + 9993 1*
144
Системы, линейных уравнений.
1. Имеет ли уравнение Зтп+21п=1998 решения в натураль-
ных числах?
2. Решите уравнение в целых числах:
а) х2 + у2 = 13; б) х2 + у2 = 14; в) | х | + | у + 11 = 8.
3. Напишите какое-нибудь уравнение с двумя переменными,
график которого проходит через точку В(-1;-2).
4. Не выполняя построения графика, определите, существует
ли на прямой 5х -I- Зу = 400 точка, ордината которой рав-
на абсциссе.
5. При каких значениях k график уравнения 2у — 1 -kx
проходит через точку А(-1,5; 2,5)?
6. Что представляет собой график уравнения х(у + 1) = 0?
7. Постройте график уравнения:
а)х2-4 = 0; б) у2-9 = 0.
8. Постройте график уравнений:
а) (х + 5)(у - 2) = 0; б) х2 + ху = 0.
9. Постройте график уравнения:
a)W£z^ = 1; б)у-(6-х) = -1.
х + у 2х-у
10. Постройте график уравнения: х2 - у2 = 0.
11. Известно, что
х + у- г- а-Ь,
х-у + г = Ь-с,
-х + у + 2- с-а.
Докажите, что х + у + г = 0.
145
12. Сумма двух чисел равна 527. Найти числа, если известно,
что 8% первого числа равны 7,5% второго?
13. Разность двух целых чисел равна 48. Если первое число
разделить на второе, то в частном получится 4, а в остатке
3. Найти числа.
14. Одно число больше другого на 406. Если большее разде-
лить на меньшее, то в частном получится 3, а в остатке
66. Найдите эти числа.
15. Сплав меди с оловом весом 12 кг содержит 45% меди.
Сколько олова нужно добавить к нему, чтобы содержание
меди стало 40% ?
16. Сумма цифр двузначного числа равна 6. Если к этому
числу прибавить 18, то получится число записанное теми
же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это число.
17. Можно ли разлить 50 литров бензина по трем бакам так,
чтобы в первом баке было на 10 литров больше, чем во вто-
ром, а после переливания 26 литров из первого бака в тре-
тий в третьем баке стало столько же, сколько и во втором?
*
18. Решите уравнение: >
а)(2х -у)2 + (у -4х -2)2 = 0;
б) (2х-у)2 + (у-2)2+ | x+y+z | =0.
19. Решите систему уравнений:
а) <
7x-3i/=17,
2х + у = 3;
б)
8359х +1641г/ = 28359,
1641Х + 83591/= 21641.
20. Корни уравнения 2х3 + ах -13х + Ь = 0 равны 2 и -3.
Найдите а и Ь.
21. При каком значении k:
а) прямые у = kx, 5х + Зу = -14 и х - 2у = -8 пересекают-
ся в одной точке?
б) прямая у = kx -4 проходит через точку пересечения
прямых у = 2х -5 и у = -х + 1?
146
22. При каком значении а прямые 5х-2у = 3и.х + у = а пе-
ресекаются в точке, принадлежащей оси ординат?
23. Найдите два числа, если их сумма равна 168, а наиболь-
ший общий делитель равен 24.
24. Поезд за 15 секунд проходит мимо телеграфного столба, а
за 50 секунд мост длиной 700 метров. Найдите скорость
движения поезда и длину моста.
25. Найдите скорость и длину поезда, зная, что он проходил с
постоянной скоростью мимо неподвижного наблюдателя в
течение 7 секунд и затратил 25 секунд на то, чтобы про-
ехать с той же скоростью вдоль платформы длиной 378 м.
5х + ау = 2,
являет-
15х - Qy = Ь,
26. При каких а и b решением система •
ся пара чисел (3; 2)?
ах + Зу = 3,
имеет
2х - у = &,
27. При каких а и b решением система <
бесконечное множество решений?
„„ „ „ ax + z/ = 6,
28. При каком значении а система уравнении: <
12х у — 2,
не имеет решений?
29. Разделите 90 на две части, чтобы 40% одной части было
на 15 больше 30% другой части.
30. Решите систему уравнений:
а + Ъ + с = 110,
Ъ + с + d = 100,
с + d + а = 80,
d + а + b = 70.
31. На три склада был доставлен груз. На первый и второй
было доставлено 400 т., на второй и третий вместе было
доставлено - 300 т., а на первый и третий - 440 т. Сколь-
ко тонн груза было доставлено на каждый склад в отдель-
ности?
147
Ответы и решения
Выражения. Преобразование выражений.
В-1! 1. -8,1. 2. -18. 3. ху + 7000. 4. 8а. 5. 22у - 5г. 6. -За + 5.
7. -2а + Ъ. 8. -5р + 33. 9. 4,7k + 1,2; 22,35. 10. 34,68. 11. (х + y)t.
12. 32%.
В-2: 1. -1,6. 2. 5. 3. 2(18 + х). 4. 2х - 5. 5. 85 - х. 6. 4t + 12.
7. а + 65. 8. 18d. 9. у - 7. 10. 76. 11. (k + р)а. 12. 72,8%.
В-3: 1. -16,1. 2. 10. 3. 7(7 - а). 4. 30 + 30/. 5. -5 + 6. 6. -х + 3.
7. 11а + 5а. 8. 5с - 2. 9. 8,6а - 1,5; -5,8. 10. 420. 11. (а + 5)t.
12. 44%.
В-4: 1. -0,6. 2. 21. 3. За + 1000. 4. 100 - у. 5. -35 + 2с. 6. 8у + 10.
7. 6k - а. 8. 7р - 4у. 9. 2а - 7. 10. 24,5. 11. 100-5(x+i/).
12. Подешевел на 1%.
У равнения.
В-1: 1. Для второго. 2. -1,1. 3. 6. 4.-2,8. 5. -if. 6. -3. 7. 231.
8. Пешком - 150 км, на поезде - 1050 км. 9. -18 4-. 10. ±4.
О
11. - I—;? . 12. 5 лет и 25 лет.
В-2: 1. Для первого. 2. 0,9. 3. 2. 4. -1,6. 5. 3|. 6. -1. 7. -1^.
8. 11 кг капусты и 19 кг моркови. 9. 0,26. 10. ±3. 11. 50.
12. 60 кг в каждом.
В-3: 1. Для второго. 2. -0,6. 3. 3. 4. -2,8. 5.-3. 6. -3|. 7. 105.
О
8. 12 кг картофеля и 4 кг моркови. 9. 1175. 10. ±11. 11. -15,6.
12. 14.
В-4: 1. Для первого. 2. -0,4. 3. 2. 4. 4,5. 5. 5. 6. -2. 7. 9|.
8. 35 лет и 11 лет. 9. 4. 10. ±24. 11. -0,5. 12. 39.
Функции.
В-1: 1. 5. 2. При х=5. 3. Да; нет. 4. у=2х+2. 6. 3. 7. (2;0); (0;2).
8. (1;0); (0,5). 10. у=-4,3х. 11. а) (1;1,6); б) не пересекаются.
12. k = 3; 5 = 7.
148
В-2: 1. 28. 2. При х = -0,4- 3. Нет; да. 4. у----1х. 6. 5. 7. (-2;0);
(0,1). 8. (5;0); (0;5). 10. у = —^Х — 4. 11. а) не пересекаются;
б) (1,1;5,4). 12. k = -3; Ъ = 2.
В-3: 1. 11. 2. При х = 6. 3. Да; нет. 4. у = -2х + 2. 6. 4. 7. (-1;0);
(0;2). 8. (-3;0); (0;6). 10. у = -7х. 11. а) (-1;-9,7); б) не пересекают-
ся. 12. k = 4; Ь = -3.
В-4: 1. -40. 2. При х = -7. 3. Да; нет. 4. у = Зх. 6. При х = -6.
7. (-3;0); (0;-1). 8. (3;0); (0;-6). 10. у = 8х + 9. 11. а) не пересекают-
ся; б) (1;2). 12. k = -12; & = 4.
Степень с натуральным показателем.
В-1: 1. а) тм; б) 30,7. 2. -9. 3. 1. 4. а) Ь7; б) х12; в) у12-, г) 81/.
5. 6а3/. 6. 6х2/. 7. 81а4&20. 9. -4а1в&10с23. 10. 5. 11. а) -р2>-р3;
б) -Р2<-Р3. 12. а) /а+1; б) х3У.
В-2:1. а) - ; б) 975. 2. -8. 3. 118. 4. а) а12; б) с18; в) р12; г) 645е. 5.
2,8а4/. 6.-14авЬ5с3. 7. -64а3Ьв. 9. -/г23. 10. 2,3; =0,6%. 11.
а) -а2<-а3; б) -а2>-а3. 12. а) 3₽+4; б) 25*.
В-3: 1. а) - з4з ; б) 15,25. 2. 89. 3. -32. 4. а) 1518; б) Ь9; в) 948;
г) 256а4. 5. -2,8х3/. 6. 40р9/г15. 7. 81а20Ь4. 9. -с11//1. 10. 100.
11. а) -/>-/; б) —/<—/. 12. а) а2х+в; б) с4у.
В-4:1. а) - ; б) -52. 2. 4. 3. -74. 4. а) а21; б) а28; в) с54; г) 12553.
5. 8а®с8. 6. -28х8/. 7. -64/г3р18. 9. -х47. 10. 2,7; ; =1,2%.
11. a) -t2<-t3; б) -t2>-t3. 12. а) 5^3; б) 73Р.
Многочлены.
В-1: 1. 10а4 - З5а3. 2. х3 - 4х. 3. k2 - 9k - 56. 4. 12/ + by - 6&2.
5. -2,4. 6. -5,1. 7. 8а3(За2 - 2). 8. ху(3х - 1). 9. -2,6. 10. (а+Ь)(а&-6).
11. (х - 5)(х - 6). 12. 30 км.
В-2: 1. 6х®-24хв. 2. -х2+6х. 3. *2+4fe-21. 4. 6х2+7ху-3/. 5. -7,5.
6. 1|-. 7. 15а7(4-а2). 8. х/(Зу-1). 9. 21x2+14x2i/-2x/-31xi/+4/.
10. (х - </)(4 + х/). II. 7. 12. Указание: 643-85-47= 13-214.
149
В-3:1.10у4 - 20у. 2. -х2 - 18х. 3. с2 - 2с - 24. 4. 2х2 - 13ху - 7у2. 5.
-2. 6. -3. 7. 4а(4а - 1). 8. ху(5 - х). 9. 2. 10. 3(а + b)(ab - 2).
11. (х + 3)(х + 5). 12. 3600 кг.
В-4: 1. З5х3 + 28х2. 2. -7а2 + 16а. 3. k2 + life + 30. 4. Зх2 - 2ху - 5у2.
5. -3. 6. -2. 7. 9а2(5а3 - 1). 8. ху(4-х). 9. 24х2-12х2у+4ху2-2ху-2у2.
10. (у - х)(3 + ху2). 11. 3. 12. Указание: 812 - 272 - 92 = 71 З4.
Формулы сокращенного умножения. ИМИ»
В-1: 1. 4а2 + 4а + 1. 2. с2 - Sep + 16р2. 3. Ь2 - 49. 4. -2х2 + 10х - 1.
5. 2у2 + 42у - 9. 6. 4х2 + 16у2. 7. (Ь - 4)(Ь + 4). 8. (5а - 9у)(5а + 9у).
9. (х - З)2. 10. у(2у - 1)(2у + 1). 11. а4 - 50а2Ь2 + 625b4. 12. 250000.
13. (х2 - ху + у2)(х + у + 1). 14. 252.
В-2: 1. 64-48а+9а2. 2. 4у2 + 4у + 1. 3. х2 - 4. 4. -х2 - 18х + 25.
5. -5с2+18с+49. 6. 4а2+9Ь2. 7. (5-у)(5+у). 8. (За-7Ь)(За+7Ь).
9. (х - 2а)2. 10. с(1 - 6с)(1 + 6с). 11. -180х2. 12. Больше.
13. у3(у-1)2(у2+у+1)2. 14. Указание: 4a2-28ab+49b2=(2a-7b)2.
В-3: 1. 16 + 8у + у2. 2. 16a2-8ab+b2. 3. 49 - у2. 4. Зу2 - бу - 25.
5. 3a2-26a-9. 6. 7х2 + 7р2. 7. (9 - х)(9 + х). 8. (7х - 4у)(7х + 4у).
9. (р-у)2. 10. у(у - 8)(у + 8). 11. 625с4 - 50с2Ь2 + Ь4. 12. 160000.
13. (х + у)(х2 + у2). 14. 24.
В-4: 1. b2-18b+81. 2. 49+84a+36a2. 3. 16с2-у2. 4. 2р2 - 12р + 4.
5. -с2-2с+9. 6. 5с2 + 5у2. 7. (а - 5)(а + 5). 8. (7у - 2а)(7у + 2а).
9. (fe-2a)2. 10. с(6с-1)(6с+1). 11. 40а3. 12. Меньше. 13. (1-а)2(1+а)2.
14. Указание: 25 + Юр + р2 = (5 + р)2.
Системы линейных уравнений. ТЗ-7
В-1: 1. (-1;-2). 2. 10 и 5. 3. (2;4). 4. (2;3). 5. (5;7) 6. Да, одно реше-
ние. 7. (2;4). 8. 120 и 100.
В-2: 1. (1;-2). 2. 20 и 16. 3. (2;-1). 4. (3;-1). 5. (5;2) 6. Нет.
7. (9;3) 8. 3 т и 4 т.
В-3: 1. (1;-3). 2. 8 и 4. 3. (1;-3). 4. (-3;10). 5. (2;-4,5) 6. Да, одно
решение. 7. (2;-1) 8. 55 кг и 50 кг.
В-4: 1. (2;-4). 2. 4 и 5. 3. (-1;2). 4. (-9;-31). 5. (-1;-6). 6. Да, беско-
нечно много. 7. (-2;2). 8. 64 и 80.
150
Выражения, преобразования выражений. fiegf
В-1: 1. 73. 2.-а4-3&<2а-2&. 3. 2тп+п; 459,8. 4. 1,2. 5. а) 4,8а+3,7&;
б) 2 у 1/4-4 у; в) 4-6а. 6. Привести к виду 43x4-1. 7. Сумма трех по-
следовательных четных чисел приводится к виду 6п4-6.
В-2: 1. 5,5. 2. Равны. 3. 2s+n; 183,1. 4. . 5. а)-6,8а4-7,ЗЬ;
б) 6,34-3 4- х; в) -&4-10. 6. Привести к виду 36i/4-17. 7.Сумма двух по-
следовательных нечетных чисел приводится к виду 4п4-4.
В-3: 1. 2|. 2. -i/4-3x>2i/-x. 3. 2zn4-l,5d; 496,95. 4.Ц . 5.а)-2| а-11 &;
б) 8 у -3 у у; в) -1,2п4-4,2. 6. Верно. 7. Сумма трех последовательных
нечетных чисел приводится к виду 6п4-9.
В-4: 1. 4,05. 2. 5k-2a<7a-3k. 3. 2,2р; 407. 4. з|. 5. а)
б) 1,4-1 у у; в) За+ЗЬ. 6. Не верно. 7. Сумма четырех последователь-
ных натуральных чисел приводится к виду 4п4-6.
В-5: 1. 2^ 2. 2ху-х>3ху-у. 3. 10и4-8р; 2960. 4.^. 5. а) -yj а4-0,6;
б) 1,9-уур; в) 4,1тп-2п. 6. При х=1. 7. Произведение двух последо-
вательных четных чисел приводится к виду 4п(п4-1).
В-6: 1. 23,35. 2. 11у-4ху>7 х-2ух. 3. 9а+6&; 324. 4. 7^.
5. а)0,1тп+0,5п; 6)12+3- у; в)-7а+4Ь. 6.т=1. 7.Сумма пяти последова-
тельных натуральных чисел приводится к виду 5п+10.
У равнения. /'К-2
В-1: 1. а) 2,5; б) 5,5; в) 100; д) 1,5. 2. 6. 3. 213 т; 142 т; 209 т.
4. 14. 5. 11; 12; 13; 14. 6. 2; 3|. 7. ±1; ±2; ±4. 8. 197. 9. 5.
В-2: 1. а) 17|; б) 11; в) 5; д) -3,8. 2. 1. 3. 750; 1500; 830.
4. 2. 5. 12; 14; 16; 18. 6. 2,5; 4. 7. 0. 8. 153. 9. 22.
В-3: 1. а) 25; б) f; в) 10; д) 3|. 2. -1,5. 3. 840; 280; 80. 4. 0,5.
5. 13; 15; 17; 19; 21. 6. 1,5; -1.7. 2. 8. 24. 9. 2.
В-4: 1. а) 8,75; б) 6,5; в) 5; д) 10. 2. |. 3. 243; 486; 546. 4. 0,02.
5. -1; 0; 1; 2; 3. 6. -1,6; }. 7. 2. 8. 36. 9. 28.
151
В-5: 1. а) 5; б) 8; в) 83,2; д) -62. 2. -2. 3. 4,4 т; 6,6 т; 11 т.
4*. - 3|. 5. -6; -4; -2; 0; 2; 4; 6. 6. -1; 1|. 7. 0. 8. 90. 9. 13.
В-6: 1. а) 1^-; б) 0,5; в) -0,3; д) 0,5. 2. -2. 3. 300; 900; 1200. 4. 0,9.
5. -3; -1; 1; 3; 5. 6. -2,5; -0,5. 7. 0. 8. 94. 9. 13.
Функции.
В-1: 1. Нет. 2. (0,4;-0,8). 3. а) а * 8; б) b = 3; в) с = 4; d=-1.
4. а) -2; б) 12. 5. у = 4х - 10. 6. (0; -4). 7. 1.
В-2: 1. Нет. 2. (2;0). 3. а) а * 5; б) b * -21; в) с = 7; d = 9.
4. а) -1; б) 30. 5. у = -2х - 10. 6. (0;-2). 7. 0.
В-3: 1. Нет. 2. (-0,5;-4). 3. а) а * -4; б) Ъ = 45; в) с = 3; d = -4.
4. а) -5; б) 10. 5. у = -2х. 6. (1;0). 7. 2.
В-4: 1. Да. 2. (-0,2;3,4). 3. а) а * 7; б) Ь = -4; в) с = -1; d = 2.
4. а) 6; б) -6. 5. у = Зх + 9. 6. (±1;0). 7. 0.
В-5: 1. Да. 2. (-1,2;3,2). 3. а) а * -2; б) b = -1,5; в) с = 4; d = 1.
4. а) -3; б) 12. 5. у=6х-17. 6. Не пересекает. 7. Так как 2k+l*4n+2
ни при каких целых п и k.
В-6: 1. Нет. 2. (If ;8f). 3. а) а * -2; б) b = 7; в) с = -6; d = 2.
4. а) -2; б) 21. 5. у = -х + 1. 6. Не пересекает. 7. Так как 2fe#8n+3
ни при каких целых п и k.
Степень с натуральным показателем.
В-1: 1. 8; 0; -1; 0; 0,69; 3; 12. 2. а) а16; б) Ь28; в) а3; г) 81b4;
д) А; е) J_. 3. а) -12хву3; б) 2а4Ь3с4; в) -2а2Ь2; г) -3,375x6i/9.
b3 а3
4. а) 0,5; б) 1,5. 5. 5. 6. 320=910>810=230. 7. 4.
В-2: 1. 32; 15; 3; 1,25; 0; -0,75; -1; 0. 2. а) а21; б) Ь4; в) с45; г) 64г3;
д) -А; е) -J—. 3. а) 0,2а7Ь6; б) -5х3у8; в) -2 f а2Ь2с; г) -1 f х6у14.
d4 т2
4. а) 5; б) 6. 5. 6. 6. 350=24310>12510=530. 7. 3.
152
В-3: 1. -56; 0; 7; 7,875; 8; 8,008; 9; 16. 2. а) х22; б) у12; в) г36;
г) 32i5; д) 64; е) ±. 3. а) -2а5Ьп; б) -fa55ec10; в) 125хуз;
/и3 у3
г) -^xV1. 4. а) 16; б) 0,4. 5. 7. 6. 4в0=409610>129610=640. 7. 4.
В-4: 1. 34; 15; 8; 7,125; 7; 6,992; 6; -1. 2. а) а31; б) тп18; в) у32;
г) 625х4/; д) ; е) 2_. 8. a) -jx12j/3z3; б) -|а8Ь8с4; в) -2а3Ь3с;
h5 t2
г) -1 х9у21242. 4. а) 5; б) } . 5. 9. 6. 340=8110>6410=430. 7. 4.
В-5: 1. 36; 12; 2; 0,375; 0; 0,032; 0; -100. 2. а) тп22; б) п3; в) р28;
г) 125х3; д) ; е) А. 3. a) ^xej/12z4; б) -jx2y3z2; в) 32аЬ;
п4 q
г) -^x21j/21z3. 4. а) 9; б) 3. 5. 11. 6. 540=62510>34310=730. 7. 5.
В-6: 1. -48; 0; 3; 1,875; 0; -0,792; -3; 0. 2. а) тп15; б) п6; в) Л28;
г) -8t3; д) ЮОООп4; е)—. 3. а)-За12510свтп; б)-0,25а12&22с4; в)-2а2с2;
х3
г)-эт x9y21z3.4.a) 256; б) 3,5. 5. 27. 6. 680=129620>51220=8в0. 7. 2.
Функции у—х2 и у=х3 и их графики. К-5
В-1: 1. а) да; б) да. 2. а) -2; 2; б) у > 4. 3. 3,2; 0,01; £%.
4. -5a13d9. 5. (0;0); (1;1). 6. а) 107<28 57; б) 2525<250-350. 8. Если х>0,
то выражение больше 0.
В-2: 1. а) да; б) нет. 2. б) у > -8. 3. 2,0; 0,01; 0,5%. 4. -2т9п8.
5. (0;0); (2;4). 6. а) 1427<226-728; б) 4530=360-530. 8. Если х < 0, то вы-
ражение больше 0.
В-З: 1. а) нет; б) да. 2. а) нет; б) у > 1. 3. 5,2; 0,01; £%. 4. а6Ьв.
5. (0;0); (1;1). 6. а) 612>213 З11; б) 63зо=36° 73°. 8. Если х > 0, то вы-
ражение больше 0.
В-4: 1. а) да; б) да. 2. а) 1; б) у > -1. 3. 0,5; 0,04; 8%. 4. ja5b5.
5. (0;0); (1;1). 6. а) 256<212-312; б) 915=310 З20. 8. х>0.
В-5: 1. а) да; б) да. 2. а) нет; б) 16>i/>0. 3. 1,0; 0,05; 5%.
4. lOOmV. 5. (0;0); (2;8); (-2;-8). 6. а) 181в>217915;
б) 24°154о>541-639. 8. а, а3, а2.
153
В-6: 1. а) нет; б) да. 2.а)-2; б)1>у>-8.3. 7,4; 0,05;#%. 4.13,5а6Ь20.
5. (0;0). 6. а)1816>217-915; б) б20-920=220-360. 8. а3, а2, а.
Многочлены.
В-1: 1. а) -с - 39а2; б) -}а2Ь2. 2. Зу2х2. 3. а) 4с2(с2+Зс3-2);
б) 3xt/(5x2y-6x+9y). 4. -б|. 5. 600 км. 6. 0; 0,02. 7. -2аЬ6.
В-2: 1. а) -1,2у - 5,2г/2; б) j а252-2,5а2Ь3. 2. 4х3у6+9х3у2.
3. a) 3d3(d2-15+4d4); б) 8а2Ь2(4а22Ь3-2а+1). 4. 7,5. 5. 40 км/ч и
400 км. 6. 0; -200. 7. -2ху3.
В-3: l.a) За2; б)4аЬ7+4а3Ь4. 2. a2b6+Sa2b2. 3. a) llz3(ll+3z2-5z4);
б) 18*2?(*t3-3t+2). 4. 2. 5. 1280; 2560; 2160. 6. 0; 0,09. 7. 0,8х2у5.
В-4: 1. a) 3,5b-652; б) х2у2-11ху\ 2. 24c2d4-12cd5.
3. а) 12а2(За3-4а2+5); 6)14a2t4(4+2ai-5i3). 4. 2. 5. 6 км/ч. 6. 0; 30.
7. 2a3k.
В-5: 1. а)-0,75ху-|х8у; б)1,6х5у5+3ху. 2.-7a2d. 3. a) 0,2fe(6-5fc);
6) 6a4b3(9a4b2-7a-454). 4. 1. 5. |. 6. 0. 7. -2zn2n3.
B-6: 1. a) |m2n-|mn2; 6) -x5y5+3xy. 2. 2x2y. 3. a) i(0,lf+10);
6) 4c2b2(3c2b+2c-5). 4. -11. 5. f. 6. 0. 7. -ab2.
Умножение многочленов. К-7
B-l: 1. a) -тп2+2тп+3; б) 37аЬ-5а2-42д2; в) -5x2y. 2. a) (t-3)(4f-l);
6) (n-l)(m-k); в) (2xy-3)(x+2). 3. 8 кг. 4. 11. 5. Указание: 250 выне-
сите за скобки. 6. c3-b3;3,5.
В-2: 1. a) -fe2-2A+15; б) 15х2+26ху-8у2; в) -ad. 2. a) (l-f)(*+l);
б) (а+2)(а2-2); в) х(ху+2)(5х-3). 3. 140 км 4. 2. 5. Указание: З17
вынесите за скобки. 6. Зр3-4тп3;-49.
В-3: 1. а) 13х-42-х2; б) 14zA-4*2-6z2; в)-х-2х2у.2.а)-(5п+1)(п+3);
б) (a-d)(d-c); в) y(2-xy)(l+3z). 3. 2 км/ч 4. 2. 5. Указание: 543 вы-
несите за скобки. 6. 3a3-25a&2;6. \
154
В-4: 1. a) 6-i-t2; б) 31а&-35а2-652; в) у+2ху. 2. а) (6х-7)(6х+1);
б) (x+z)(x2-2z2); в) а2(4-5а4)(4а2+3). 3. 4 км/ч 4. -2,5. 5. Указание:
9" вынесите за скобки. 6. -6j/3-8x2j/;148.
В-5: l.a) 7m-m2-12;6) 12х2-7ху+у2; в) а5+За3. 2. а) (а2-с)(х7+з3);
б) (ш-4)(тп-2п); в) (За+2)(1+у+2а). 3. 5000 см2 4. . 5. Указание:
233 вынесите за скобки. 6. 2т2п+Зп3; 27 .
В-6: 1.а)х2+10х+21; б)Зх4у+2у-ху2+6х3; в)16Ь.2.а) у(4а-3)(3-у);
б) (Ьс2-1)(5Ьс-2); в) (х2+х+1)(1+ах). 3. 221 см2 4. 4. 5. Указание:
З55 вынесите за скобки. 6. 2c3-9c2d;-0,5.
Формулы сокращенного умножения. К-8
В-1: 1. a) 9m2-24mA+16A2; б) 0,25х4+х6+х8; в). 16d2-16952;
г) 9ху5-16х3у3. 2. а) (2х-3у)(2х+3у); б) (3-2mj(9+6m+4m2);
в) -3(р+1)2.3. з . 4. а) (29а-7)(41а-7); б) 2х(3у2+х2). 5. -0,5.7. а(а*+1)2.
В-2: 1. a) 25kz-30ky+9yz; б) 25ft2+8fe6+|f fe10; в) 25а2-144с2;
г) 4аз7-25а5г. 2. а) (а-85)(а+85); б) (5а-1)(25а2+5а+1); в) 2i(4t-3)2.
3. 1. 4. a) (13у2-9у-3)(13у2+9у+3); б) 2b(3az+bz). 5. -0,5. 7. b(l-bm)2.
В-3: 1. a) 9а4-24а2х+1бх2; 6) 0,04z2+2z3+25z4; в) 196у2-49х2;
г) 25х3у-49х3у5. 2. а) (0,5-ху)(0,5+ху); б) (т-п2)(т2+тп2+п4);
в) -а(2х-1)2. 3. 2. 4. а) (7а-12Ь)(23-12Ь); б) (1-х)(1+7х+19х2).
5. -0,6. 7. c(2+ck)z.
В-4:1. а) 36пЧ12тп+т2; б) k2-k3+-^k4; в) 121z2-9i2; г) 25mat-256mt3.
2. а) (0,8-2а)(0,8+2а); б) (ху-1)(х2у2+ху+1); в) т(6у+5)2. 3. 2.
4. а) 3(10у-9)(4у+3); б) (За+2)(13аа+12а+14). 5. -5. 7. d(2d*+l)2.
В-5: 1. a)l+2abc+a2b2c2; б)-4а2+6аЬ-2,2562; в)&4-4; г)5х5у-20ху3.
2. а)(а+Ь+2)(а+Ь-2); 6)(3p-0,5q)(9p2+0,5pq+0,25q2); в)-2у(Зх+1)2.
3. -2. 4. a)- (0,2i+l)(l,8+f); б) 2х(3х2+4а2). 5-0,2. 7. 7х2(хт-1)2.
В-6: l.a)l-30a52+9a254;6)16y6+3i/4-^l/2; в)зб-16; г)1-18а2+81а4.
2. а) (a+b+c)(a+b-c); б) (0,2fc2-l)(0,04fe4+0,5fc2+l); в) -12q(q-l)2. 3. 3.
4. а) -(д-6)(11д-6); б) -2х(27Ь2+х2). 5.^-0,5. 7. 5а3(уп-1)2.
155
Преобразование выражений.
В-1: 1. a) 10t; б) 64д3+1; в) 16х2-30ху ; г) Зт+1. 2. а) 25п2(1-
-2п)(1+2п); б) (t+l)(t-l)2; в) (m+4)(zn-l). 3. Указание: (п+1)2-
-п2=2п+1. 4. х3 + 8; 8,125. 5. 25. 6. 1,5. 7. a) (l-2m+p+q)(l-
-2m-p-q); б) (а 4- d)(l+x+i/).
В-2: l.a) 2ft; 6)8-125d3+l; в)49х2; r)t3+12t. 2. a) 3ft(l-2ft)(l+2ft);
б) (3-х)(а-5); в) (2d+l)(d-l). 3. Указание: n(n+l)+n+l=(n+l)2.
4. 27-4тп; 26. 5. 0,15. 6. -3. 7. a) (x+2i/-2z+f)(x+2i/+2z-f)>’
б) (ft+p)(l+x2+x3).
В-3: 1. a) 7z; б) тп3+0,125; в) 4; г) 6ft-l. 2. a) 2q2(4q-l)(l+4q);
б) (о-2)2(а+2); в) (п-1)(Зп+5). 3. Указание: (2ft+l)2-(2ft-l)2=8ft.
4. 8-у; 4,25. 5. -0,5. 6. 9.7. a) (x+y+t)(x+y-t); б) (a+b)(d+c+f).
В-4: 1. а) -Зу2; б) 27а3+64; в) 3t-7; г) 8+6Ь2. 2. a)(l-7cd)(l+7cd);
б) (а-&)(а+5-1); в) (d-l)(d-2). 3. Указание: (2ft+l)2-l=4ft(ft+l).
4. (п+тп)3;27. 5. 0,75. 6. 9. 7. a)(l-ft-5+c)(l-ft+ft-c); б)(х-1)3(х+1)2.
В-5: 1. а) 2ху; б) 0,125c3-8d3; в) d2; г) 8. 2. а) (1,5-2х)(1,5+2х);
б) (2х+у)(2х-у+1); в) (1-а)(а+5). 3. Указание: n(n-l)(n+l)+n=n3.
4. 2тп(п+2т); -1,5. 5. 23. 6. 1. 7. a) (p-q)(p2+pq+q2+p-q);
б) (x2+y)(ft+m+n).
В-6: 1.а)-аЬ; б)1+тв; в)-18а+6; г) 50+48р. 2. a) (2,5-Зу)(2,5+Зу);
б) (х+1)(ху+1-х); в) (l-z)(2z-l). 3. 8; 9; 10; 11. 4. 50х2+41у2; 43.
5. f. 6. 2. 7. а) 2(2х.+1)(2х2+2х+1); б) (y2+ft)(ft-m-n).
Системы линейных уравнений.
В-1: 1. а) 1; б) нет решений. 2. 22 и 18. 3. у=Зх-5. 4. (7;-2). 5. 6.
6. (0,5;1). 7. (1;0,5).
В-2: 1. а) 1; б) нет решений. 2. 7 и 10. 3. у=2х-5. 4. (-2,5;-3,25).
5. -15. 6. (1;1). 7. (2;3).
В-3: 1. а) 1; б) бесконечно много. 2. 11 и 12.. 3. у=2,5х-4,5.
4. (-1,1;1,1). 5. -2. 6. (-1;-1). 7. (1;1).
В-4: 1. а) 1; б) нет решений. 2. 50 и 18. 3. у=-2х-1. 4. (-0,25;1).
5. 2. в. (1,8;2,25). 7. (2;3).
156
В-5: 1. а) 1; б) нет решений. 2. 23 . 3. а=0,5; 6=-2. 4. —
5. Не существует. 6. (1;1). 7. (-0,5;-1).
В-6: 1. а) 1; б) бесконечно много. 2. 39 и 52. 3. а=3.4. (0,1;-0,3).
5. 2. 6. (—1;—1). 7. (-1;-3).
Итоговая контрольная работа.
В-1: 1. 5а2 - 12а - 7. 2. 2,5 3. 0,2. 4. Нет. 5. 22 и -8.
В-2: 1. 10а2 + 4а - 12. 2. 2,25. 3. 6. 4. Да. 5. 9,5 и -4,5.
В-3: 1. Юти2 - 2тип. 2. -10. 3. |. 4. Нет. 5. 42 и 35.
В-4: 1. 10а2 + Gab. 2. -5. 3. 5. 4. Да. 5. 40 и 28.
В-5: 1. 6п2- Зтпп. 2. -89. 3. 13,5. 4. Да. 5. 49,6 и 34,8.
В-6: 1. 7z2-10pz+16p2. 2. 2 . 3.1,75. 4. Да. 5. 51,1 т и 46,6 т.
| Выражения, тождества, уравнения. [ ; J
1. а) 424 25=42400:4=10600; б) 1111; в) 456:25=4,56 4=18,24;
г) 0,2024. 2. а) 11,2; б) 22,5; в) 0,74; г)1,8. 3. В 8 раз. 4. а) 9;
6)11 g .5. а) 300; б) 100. 6. 0,99. 7. Равны. 8. Уменьшилась на 1%.
9. На 80%. 10. На 150%. 11. Пусть первое число равно 100х, а вто-
рое 100у. Сформулируем задачу иначе: «может ли при ка-
ких-нибудь положительных хну выполняться равенство:
101x+104i/=103(x+i/)?», откуда следует, что у=2х. При х=1 и у=2
получим числа 100 и 200, которые будут удовлетворять условию
задачи. 12. В новом бруске весом 1,5 кг содержится 0,9 кг меди.
Ответ: 60%. 13. О и ±1. 14. а)0; б) 0. 15. Заметим, что х=10£+3, а
у=10п+2, тогда х+у= =10£+10п+5, где t и п - целые числа. Следо-
вательно X + у - делится на 5. 16. 16. 17. 45 и 450. 18. а) нет реше-
ний; б) 2; в) нет решений; г) нет решений. 19. Пусть задуманное
двузначное число равно 10а+7, тогда (70+а) - (10а+7) = 27. Ответ:
47. 20. 62. 21. Сумму семи последовательных натуральных чисел
можно записать в виде: (n+l)+ (n+2)+...+ (п+7)=7п+28. Ответ: нет.
22. Пусть a=bc+d, b>d, тогда 3a=3bc+3d и 3b>3d. Следовательно
остаток d увеличился в 3 раза, а частное с не изменилось. 23. 0.
24. Пусть Ь=ас+т и d=at+m, тогда b-d = ас- at - делится на а.
157
25. Если сумма двух чисел нечетна, то одно из них - четно, а следо-
вательно четно и их произведение. 26. Заметим, что 100а+10&+с-
-(а+Ь+с) = 99а+9&. 27. а) 0,47; б) —5 f ; в) 500000; г) 1000000.
28. 3,64 и 16,38. 29. 429. 30. Распространенный ответ: талон стоит
столько же, сколько часть коробки шоколада. Такой ответ неве-
рен потому, что в «призовой» коробке шоколада тоже находится
талон. Таким образом покупатель получает приз за 9 талонов, а не
за 10. Ответ: стоимость талона соответствует стоимости коробки
шоколада. 31. 1010; 1012; 1014; 1016. 32. 35367. ЗЗ.а) 2 и
б) нет решений; в) -2; г) Найдем на координатной оси точки сумма
расстояний от которых до точек с координатами -2 и 3 равна 7. От-
вет: 4 и -1; д) 1 и 0; е) 4,5; ж) нет решений; з) [-2;3]. 34. 7.
35. а,г) если а#0, то х=Х- а=0, то решений нет; б) если а#0, то
х=1, а=0, то х -любое число; в) если а#0, то х=3, а=0, то х -любое
число.
| Функции. | 2 J
1. (0;13). 2. Часть координатной плоскости, расположенная выше
прямой у = х. 3. Часть координатной плоскости, расположенная
выше прямой у = 1 и левее прямой х = 4. 4. а) х = 10; б) х > 10;
в) х < 10. Убывает. 5. а) (0;2) и (-4;0); б) -1 < у < 5. 6. Да. 7. 4 и 20.
8. а) IV; б) III; в) II и IV; г) I и II. 9. а: г/=|х + 5; Ъ\ г/ = -Зх - 5 ;
с: у = -х + 1. 10. а:у= 2х + 5; Ь: у = --|-х + 3 ; с: у = -Зх - 6. 13. 1.
14. 6. 15. Понятно, что школу следует строить на отрезке АВ, но где
именно? Пусть расстояние от деревни А до школы х, тогда суммар-
ное расстояние, пройденное всеми школьниками по дороге в школу
равно /(х) =300х + 200(а - х) =200а + 100х, где а - длина отрезка
АВ. Наименьшее значение /(х) достигает при х = 0. Ответ: в А.
16. Нет. 17. (-3;-6). 18. (3;4). 19. у = х и у = -х. 20. (1;1).
| Степень с натуральным показателем. | 3 |
1. а) 1; б) -1; в) -1; г) 1; д) -1; е) 1. 2. а) 1; б) 0. 3. а) 5; б) 5; в) 13;
г) 9. 4. а) 1024-4 = 99...96 - сумма цифр этого числа делится на 3;
б) Ю0100-1 = 99...9; в) 10189+1=10...01, 1023-1=9...9 - первое число
не делится на 9; а второе делится. 5. а) 16; б) З99. 6. 2П-З6-53*72 11 13.
7. а) 210-36-52-72; б) 29-36-53; в) 210-35. 8. 16. 9. 7. 10. а) да; б) да.
11. а) 26+23+22+2°; б) невозможно; в) невозможно. 12. а) да; б) да;
158
в) да; г) нет. 13. Да, так как 19961"6 - 1 - делится на 10. 14. Так как
сумма цифр числа 10л + 8 делится на 9. 15. 2. а) 6; б) 4; в) 6; г) 0.
16. х =2. 17. а) число 19961"6 + 2 не является квадратом, так как
оканчивается на 8; б) число 7777 + 1 не делится на 5, так как оканчи-
вается на 8. 18. Указание: вынесите «за скобки 2Л. 19. 6859. 20. З24.
21. Указание: рассмотрите пятые степени чисел: 0, 1, 9. 22. а) 3;
б) 8; в) 1. 23. 4343 - 1717 оканчивается на 0.
24. а) 3111<3211=255<256=1614<1714; б) 635 < 645 = 230 = 810;
в) 156 < 496; г) 269>259=1256>1206.
| Многочлены. | 4 |
1. (3d - 1)(4Ь + 1) - (2Ь + 1)(5Ь - 3) = 2Ь2 + 2 > 0. 3. При любом.
4. а) -0,625; б) 5. 5. а) 0<тп<1; б) х<0 и 0 < х < 1. 6. 0,5; а) Указание:
обозначьте: а = 2378, b = 2379, тогда выражение примет вид:
lOOOlad-lOOOlad, что равно 0; б) аналогично. 8. Частное не изменит-
ся, остаток увеличится в 6 раз. 10. Заметим, что abc -
(а+&+с)=99а+9&. 11. Число делится на 111, а значит и на 37. 12. Та-
ких нет. 13. Указание: используем, что 18п+12^ 21Я-1 ни при каких
п и t, так левая часть делится на 3, а правая нет. 14.Воспользуемся
тем, что 8x+5i/=4(x+i/)+4x+i/. 15. Воспользуемся тем, что
9а+д+4с=3(3а + 4& + 5с) - 11(& + с). 16. (п - 5)(п - 17)(п - 257) * 0.
17. а) 2&; б) -5*; в) За; г) 3m. 18. а) 0; б) -2; в) 2. 19. -1; -2. 20. 210 -
-28 + 26 - 24 + 22 - 1 = (26 - 1)(24 - 22 + 1) = = 63(24-22+1). 21. Указа-
ние: ху8 + х8у = хг/(х7 + г/7) - четно.
| Формулы сокращенного умножения | 5 |
1. Больше. 2. -58,48. 3. а) 19599; б) 5. 4. Данное выражение равно
(а + 4 + 6 - а)2 = 100. 6. р = 6. 7. а) -4; б) ±1,5; в) 0; г) нет корней;
д) ±(л + 1); е) -0,5. 8. а) 0,05; б) 25. 9. а) |; б) 2. 10. (а + & + с)2 =
=(а + Ь)2 + 2(а + Ъ)с + с2. 11. а) а2 + &2 + + с2 + 2аЪ - 2Ъс - 2ас;
б) х4 + х2 + 1 + 2х - 2х3 - 2х2; в) 9а2 + Ь2 + 4с2 + 6ab - 4Ьс - 12ас;
*2
г) 9а4 + 4а2&2 + 9&4 - -12а3Ь - 12а&3 - 18а2с2. 12. а) б) 8а;
в) 0,5а2; г) 20х. 13. a)-1 и-3. б)-{ и . 14. а) (а2+а+1)(а2-а-1);
б) (а2 + 2а + 2)(а2 - 2а + 2); в)(2а2+2а+1)(2а2-2а+1);
г) (25х4 + 2а2 + 10х2а)(25х4 + 2а2 - 10х2а); 15. a) (6i + l)(t -1);
б) (m - l)(m2 + m + 4); в) (а - 1)(а2 + а + 2); 16.(0,5а - т)3; 17. Указа-
ние: (n -1)3 + п3 + (n + I)3 = Зп3 + 6п= Зп(п2 + 2). Далее заметим, что
159
либо п, либо п2+2 делится на 3. 18. Заметим, что 0,5(4п24-4тп2) =
= (ти-п)24-(тп4-п)2. 19. Указание: либо сумма, либо разность таких чи-
сел обязательно делится на 3. 20. (п - l)2+n2+(n 4- I)2 = Зп2 4- 2.
21. (2т + I)2 — (2n 4- I)2 = = 4ти2 4- 4п2 + 4т + 4п. 22. (2п+3)2-
-(2п+1)2=8п+8. 23. а) 411 -1=4-410 * -1=4 (410- 1)+3 - имеет при деле-
нии на 15 остаток 3; б) 412-1=42-410-1=42 (410-1)+15 - делится на 15.
24. Площадь уменьшилась на 1, а периметр остался прежним.
25. Указание: 4545 4- 54 * б) * * *54= (2545)2,+2-2б45+(5452)2-254в - далее расклады-
ваем по формуле - разность квадратов. 26.а)Если а*-1, то х = 1; если
а = -1, то х - любое число; б) если а Ф -1, то х=а-1, если а=-1, то х -
любое число; в) если а # 2, то х = а - 1, если а = 2, то х - любое чис-
ло. 27. а) 2; б) 4; в) 8; г) 16; сумма коэффициентов многочлена (а+Ъ)п
равна 2я. 28. (х - 4)(х - 6) 4- 3 = (х - б)2 4- 2 > 0. 29. Так как а - Ъ - с
= 0, делить на это выражение нельзя. 30. 2а2 4- 2Ь2 =
=(а 4- Ъ)2 4- (а - Ь)2. 31. Воспользуемся тем, что 2а2 4- 2b2 +2с2 - 2аЪ -
-2Ьс - 2са = = (а -Ь)2 4- (Ь - с)2 4- (с - а)2 = 0. 32. Воспользуемся тем,
что I3 4- 23 4- 4- 9993=(134-9993)4-(234-9983)4-.,,4-(49934-5013)4-5003. По-
следняя цифра суммы в каждой скобке равна 0, следовательно по-
следняя цифра выражения равна 0.
| Системы линейных уравнений.
1. Да, например: п=1; тп=659. 2. а) (±2;±3), (±3;±2); б) нет решений;
в) указание: перебор при |х|<8. 3. -2х+у=0. 4. (50;50). 5. 2f.
6. Прямые х=0 и у=-1. 9. а) Указание: прямая х=1 без точки (1;-1);
б) указание: прямая х=2 без точки (2;4). 11. Сложив уравнения,
получим требуемое равенство. 12. 272 и 255. 13. 63 и 15. 14. 676 и
270. 15. 1,5 кг. 16. 24 и 42. 17. Нет. 18. а) (-1;2); б) (1;2;-3).
19. а) (2;-1); б) Сложим уравнения и сократим на 10000, получим:
x+i/=5; вычтем из первого второе и сократим на 6718, получим:
х-у=1. (3;2). 20. а-----1; b = 12. 21. а) -0,5; б) -1,5. 22. -1,5.
23. (24; 142); (48; 118); (72;96). 24. 72 км/ч и 300 м. 25. 75,6 км/ч и
147 м. 26. а=-6,5; Ь=33. 27. а=6; 5=1. 28. -2. 29. 60 и 30.
30. Сложим уравнения и разделим на 4. Получим a+b+c+d=120,
откуда а=20; 5=40; с=50; d=10. 31. 170 т, 230т, 270 т.
160