Author: Моденов П.С.
Tags: математика элементарная математика сборник задач издательство высшая школа
Year: 1960
Text
П.С. МОДЕНОВ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО СПЕЦИАЛЬНОМУ КУРС У
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
ВЫСШАЯ ШКОЛА «I960
П. С. МОДЕНОВ
X-
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО СПЕЦИАЛЬНОМУ КУРСУ
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
МАТЕМАТИКИ
Издание второе,
дополненное и исправленное
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для высших учебных заведений
Государственное издательство
«ВЫСШАЯ ШКОЛА»
Москва—1960
ПРЕДИСЛОВИЕ
Сборник задач по элементарной математике предназначен в первую очередь
для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов
и университетов.
Сборник состоит из трех частей:
часть I — Алгебра (главы I—XV);
часть II — Геометрия (главы XVI—XXVI);
часть III — Тригонометрия (главы XXVII—XXX).
В сборник включены задачи по всем основным разделам элементарной мате-
матики, а потому он может быть достаточно широко использован препо-
давателями математики средней школы, а также учащимися средней школы, ин-
тересующимися математикой.
Материал по алгебре и тригонометрии расположен в точном соответствии
с единственными имеющимися сейчас учебниками С. И. Новоселова по специаль-
ным курсам алгебры и тригонометрии *. Названия глав и параграфов, а также
порядок их следования в указанных теоретических курсах совпадают, в основ-
ном, с названиями глав и параграфов настоящего сборника. Таким образом,
систематизация задач по алгебре и тригонометрии проведена в соответствии
с теоретическими курсами.
Что касается геометрии, то здесь задачи систематизированы в два раз-
дела—планиметрию и стереометрию. Задачи по планиметрии состоят из 6 глав:
гл. XVI — задачи на вычисление, гл. XVII — задачи на доказательство, гл. XXIII —
геометрические места точек, гл. XIX — задачи на построение, гл. XX — задачи,
в решении которых применяются комбинированные методы, гл. XXI — разные
задачи. Задачи на вычисление и доказательство разделены на три параграфа
(§ 1—треугольник, § 2 — четырехугольник, § 3 — окружность); классифика-
ция задач на построение та же, что и в книге «Сборник задач на по-
строение» И. И. Александрова (Учпедгиз, 1934); большинство задач (§ 1—8,
гл. XIX) заимствовано из этой книги.
Задачи по стереометрии систематизированы также по их типу: гл. XXII —
задачи на вычисление, гл. XXIII — геометрические места точек, гл. XXIV —
задачи на доказательство, гл. XXV — разные задачи, гл. XXVI—планиметрия со
стереометрией. Задачи внутри гл. XXII систематизированы по виду фигур
(§ 1—прямые и плоскости в пространстве, § 2— треугольная пирамида, § 3 —
многоугольные пирамиды, § 4 — призмы, § 5 — куб и т. д.).
При подборе задач, при составлении указаний и решений к ним я стре-
мился' поместить возможно больше задач разнообразных типов и указать на
методы их решения, не распространенные в имеющихся сборниках задач. К подоб-
ного рода задачам по алгебре относятся, например, задачи, помещенные в § 1
гл. III, где преобразование иррациональных выражений сочетается с понятием
абсолютной величины числа. Сюда же следует отнести многие задачи гл. IV
(§ 1 — эквивалентность уравнений, § 3 — эквивалентность неравенств и смешан-
ных систем).
* С. И. Новоселов. Специальный курс элементарной алгебры. Изд.-во «Совет-
ская наука», 1956; С. И. Новоселов. Специальный курс тригонометрии. Изд.-во «Со-
ветская наука», 1957.
1*
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Новым понятием является- полезное для решения задач понятие смешанной
системы, введенное С. И. Новоселовым, которое очень удобно применят^ как
инструмент исследования во многих задачах, связанных с решением уравнений
(особенно иррациональных), систем уравнений и неравенств (гл. VI, § 10, 11,
12 и др.). Имеются и задачи нового типа. К ним относятся задачи на линей-
ные неравенства (§ 3, гл. V). До некоторой степени новым можно считать вы-
деление уравнений и систем, содержащих параметры. Здесь я старался в указа-
ниях и решениях провести тщательные исследования, учитывая область изме-
нения параметров, не ограничиваясь формальными преобразованиями, дающими
верное решение лишь «вообще говоря». При решении задач, содержащих параме-
тры, следует всегда учитывать влияние на результат области изменения параметров.
В гл. VIII даны элементарные приемы исследования элементарных функций;
это позволяет решать единообразно многие задачи на наибольшие и наименьшие
значения.
В главах XIII (индукция), XIV (необходимость и достаточность) и XV (раз-
ные задачи) читатель также найдет задачи, новые по постановке вопроса и мето-
дам их решения. В геометрии, в разделе I (планиметрия), даны сведения об изме-
рении отрезков и углов как положительными, так и отрицательными числами.
Здесь же сформулирована теорема Шаля (и для длин отрезков, и для величин
углов), причем для случая величин углов продемонстрировано применение этой
теоремы к решению задач; отсюда видна возможность решать конструктивные
задачи геометрии общим метолом, не опираясь на чертеж. Метод этот может
быть очень широко применен в геометрии, он носит аналитический характер,
причем решение не теряет своей геометричности. Общность достигается тем, что
некоторые утверждения геометрии, искусственно разъединенные между собою,
объединяются в одно понятие, или утверждение (таково, например, понятие сте-
пени точки относительно окружности). В указаниях к планиметрии даны образцы
решения задач общими методами, мало распространенными в нашей учебной
литературе (применение перспективы к решению планиметрических задач, раз-
личные искусственные приемы, носящие до известной степени характер общих
методов, и т. д.). Ряд задач представляет собою набор нескольких связанных
между собою вопросов; решение этих задач потребует от читателя умения про-
вести небольшое самостоятельное исследование. У большинства таких задач
имеются решения; эти решения даны почти всегда с подробными исследованиями;
иногда к одной задаче даются различные методы решения: геометрический, алге-
браический и с применением тригонометрии; результаты исследований сопостав-
ляются. Здесь читателю следует обратить особое внимание на исследование
задач с применением тригонометрии, так как при приложении тригонометрии
к геометрии исследований обычно не проводят (это в основном относится
к гл. XXX). Если задачи повышенной трудности * вызовут большие затрудне-
ния, то рекомендуется прочитать их решения; это, без сомнения, принесет пользу,
так как, во-первых, решения составлены очень кратко и читателю остается над
чем подумать самому, во-вторых, в решении задач указанного типа читатель
познакомится с новыми приемами и методами.
В сборник включены задачи, связанные с такими понятиями, как гармони-
ческая четверка точек, радикальная ось, пучок окружностей. Часть задач свя-
зана с понятием эллипса, гиперболы и параболы. Указанные понятия не имеют
в задачах самостоятельного значения, а даются попутно с рассмотрением кон-
струкций элементарной геометрии. С весьма общим методом решения задач —
применением геометрических преобразований (движение, сжатие, сдвиг, пер-
спектива, инверсия и т. д.) — читатель познакомится в § 9 гл XIX. Метод гео-
метрических преобразований находит широкое применение и в задачах гл. XX
(задачи, в решении которых применяются комбинированные методы).
* Геометрические задачи с применением тригонометрии (§ 3, №Nb 99—125). Одной
звездочкой помечены задачи повышенной трудности, двумя — наиболее сложные.
ПРЕДИСЛОВИЕ
5
При составлении сборника широко использованы журналы и учебная лите-
ратура, издаваемые в нашей стране примерно с 1850 г., а также несколько сотен
иностранных журналов по вопросам элементарной математики. В значительной
мере использован журнал «Математика в школе» за весь период его существо-
вания. Часть интересных задач по алгебре, планиметрии и стереометрии заим-
ствована из сборников задач Пржевальского (Сборник задач по алгебре), Попру-
женко (Планиметрия) и Дзык (Стереометрия). Использованы и задачи по эле-
ментарной математике, которые предлагались в ряде стран (Франция, Англия,
Германия, Италия, Польша, США, Португалия, Испания, Швеция, Китай и др.).
В первую очередь я должен упомянуть здесь «Journal de mathematique ё1ётеп-
taire» и журнал «[/Education mathematique», а также «Mathematical Problem
Papers» by T. B. W. Spencer; Alberto Foa «Lezioni di algebra con numerosissimi
ezercizi.»
При окончательной обработке рукописи много ценных советов дал мне ее
редактор С. И. Новоселов. Рукопись была прочитана членами кафедры высшей
алгебры и элементарной математики Московского областного педагогического
института — зав. кафедрой проф. И. К. Андроновым; членами кафедры: доц.
Е. П. Шимбиревой, доц. Р. С. Черкасовым, доц. А. К. Окуневым, ст. преп.
Н. И. Сырневым, которые дали мне очень много ценных советов. Выражаю
большую благодарность зав. кафедрой проф. И. К. Андронову и всем членам
кафедры за оказанную помощь. Много ценных советов я получил также от
чл.-корр. АПН РСФСР П. А. Ларичева. Чертежи выполнены Н. А. Атабеко-
вым; им проделана очень большая работа: в ряде случаев Н. А. Атабеков пред-
варительно изготовлял пространственные модели, а большинство стереометри-
ческих построений выполнены им в кабинетной проекции.
Первое издание сборника обсуждалось на школьной секции Московского
математического общества; здесь были высказаны и некоторые деловые замечания,
которые я учел при подготовке следующего издания.
Во втором издании книги мною были также учтены многие замечания и по-
желания читателей, которым я весьма признателен. Прежде всего я дал крат-
кие сведения о линиях второго порядна, необходимые для понимания форму-
лировок некоторых задач и их решений, добавил одну главу (XXVI) — плани-
метрия со стереометрией — и ряд задач, интересных по методам их решения.
Кроме того, были проверены все решения задач и исправлены неверные от-
веты. Большую работу в этом отношении проделал Д. Л. Векслер, который
перерешал задачи сборника, дал ценные замечания и указал на необходимые
исправления. Я приношу ему большую благодарность.
Создание высококачественного систематического сборника задач по элемен-
тарной математике для будущего учителя, а также для преподавателей матема-
тики средней школы — дело очень сложное, и я понимаю, что нужно еще
много потрудиться над улучшением этой работы. Все критические замечания
и пожелания прошу направлять по адресу: Москва, Подсосенский пер., д. 20,
издательство «Высшая школа»; все эти замечания я приму с благодарностью.
Автор
Москва, 1960 г.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АЛГЕБРА
Глава I
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Тождественные преобразования многочленов
Доказать следующие тождества:
1. а (Ь + с)2 4- b (г 4- а)2 4- с (а 4~ Ь)2 — ^abc = (Ь 4~ £) (£ 4~ #) (# 4~ £)•
2. (а 4- b 4- с) (Ьс 4- са 4~ ab) — abc = (Ь 4- с) (с 4“ я) (а 4- #)•
3. (х2 - 1) (J/2 __ 1) (г2 _ 1) (х + yz} {у + zx} (2 + ху} =
= (хуг4~ 1) (х2 + у z- 4- 2xyz— 1).
4. 4 [(ас' — са')2 — (ab' — ba') (Ьс' — cb')[ —
— \2(ас' 4- са') — bb']2 — (Ь2 — 4ас) (b'2 — 4а'с').
5. (а 4- Ь 4~ с) (ах2 4- by2 4- cz2) — (ах 4- by 4- cz)2 =
— be (у — z)2 4- ca (z — x)2 ~4-ab(x — y)2.
6. (be 4- ca 4- ab)2 4- (a2 — be)2 4- (b2 — ac)2 4- (c2 — ab)2 = (a2 4- b2 4- c2)2.
7. (a2 4- b2) (x2 4- y2) — (ax 4- by)2 = (ay — bx)2.
8. (a2 4- b2 4~ c2) (x2 4~ .У2 4~ z2) — (ax 4~ by 4- cz)2 —
— (bz — cy)2 4- (ex — az)2 4~ (ay — bx)2.
9. (ax 4- by cz dt)2 4~ (bx — ay -\-dz — ct}2 4- (ex — dy — az-\- bt)2 4~
4- (dx -\~cy — bz — at)2 = (a2 4- b2 4- c2 + d2) (x2 4- y2 4- z2 +12).
10. (%4-y)3-(~3xy(l — x — у) — 1 l)(x24-y2 — xj/4-x4-j/4-1).
11. 2 (2x — a)3 — 27a2x = (x — 2a) (4x 4-- a)2.
12. (x — y) (xy)3 = x (x — 2y)3-\-y(2x — y)3.
13. (b 4- c)3 4- (c + a)3 + (a 4- b)3 — 3 (b 4- c) (c 4- a) (a 4- b) =
— 2 (a3 4- b3 4~ c3 — 3>abc).
14. (b — c)34-(c — G)3-4-(a — b)3 — 3(b~ c)(c — a) (a — b) = 0.
15. (a2 — be)3 4-- (b2 — ас)3 4- (c2 — ab)3 — 3 (a2 — be) (b2 — ac) (c2 — ab) =
= (a34-634-c3 — 3abc)2.
16. (64- c)3 4- (c 4- a)3 4- (a 4- b)3 4- (« 4- d)3 4- (b 4- d)3 4- (c 4- d)3 =
=:3(a4-6-|-c4-d) (a24-624-c24-d2).
17. (64-c — a)3 + (c4-a — 6)3 + (a4-6 — c)3 —
— 3 (b 4- c — a) (c 4- a — b) (a 4- b — c) = 4 (a3 4~ b3 4- c3 — 3abc).
18. (3a — b — c)3 + (36 — c — a)3 + (3c — a — 6)3 —
— 3 (3a — 6 — c) (36 — c — a) (3c — a — 6) = 16 (a3 4- 63 4- c3 — 3a6c).
•(<7 4 о) (»4 4 (э -}- q) (q — »)(» — 4 (э — 4 — ==
= (» 4 з) (э 4 q) (q 4- v) [(<? — ») гэ 4- (о — э) -cq 4- (з — q) zv] =
= (zQ — г») v> 4 (г» — г») »<? + (г» — г4 »» ‘88
•s(/fx — xz — ztf — zz 4- 4 + гх) 3 =
= 14 - zf) 4< ~ 4 4 z((f - x) z(x - z) + z(x - z) Z(z - Л ] Z =
= t(A' — X) 4- t(x — z) 4- 4? — zf) •££
\(q — 2) 4» — з) z 4- s(» — 4 — 7) 3 4 sO — °) e(<7 — 45 =
=- г(<7 — 4 г(» — 4 г(» — 4 6 — sG? — 4 4 8(° ~ J) 4 4 “ 4 ’98
•(p 4- э 4- q 4- v) pjqvog = gP — e3 — ,,q — gt? — s(p444
4 <,(/- 4 Q) 4" s(p 4 °) 4 4 444 4 4‘y) 4 4 4 4 4 4 4<7 4 4
—• 4 4 » 4 4 — 4 4 P 4 4 — «0 4»4 4 — 4 4 ? 4 <7 4 4 428
4G? — 4 4 4 — 4 4 4 — 411 5 =
= 14 — 44 4 — 4 4 4 — 4114 — 4 4 4 — 4 4 4 — 4125 ’*t8
G? 444s-vj ~<Гл'О8 =
= c(z — if 4 4 — s(zG — л' 4~ 4 — «(x — ?44 — 4 4 44 ’#88
•г(4 + zfx + zx) (if + x) ffxL = ,tf — Lx — L(<f + x) -ge
•(4 4^4 zx) (,f 4- x) ifxg = gif — Qx — g(if + x) 38
’s(4 4 ^x 4 гл‘) 3 = 4 + tx 4 4 44 ’08
s(qn 4- ъэ 4 jq) 3 = z(q + v) — 4 + ?)»?-
— 4 44»» — г»г<7г»5 4 4 4 ») 4 4 ?) z(f> 4 4 ’65
4 4<?444»5i =
= P 4 tQ 4»» 4 r(q 4 4 —»(» 44 — »(3 44 — 4 4 ? 4 4 ’#85
’1(гл 4 zx) z° — sG'”» — 4 гл')] 1(4 4 zx^z° — z^"0 4 z^ 4 г41 —
— 4 zx) — 4-Tz° 4 г(4 4 zx)\ 'LZ
44 4 zx) г(г<7 4 г») =
= Jjfxqvb — (4 — E.r) (zq — zv) 1 + z[ifx (zq — zv) 4 (4 — г4 <?4 ’*95
•г(0 4- xz) z(x -4 vz) z(-o — 4 = г(» 4 4 ъХ-PLZ — 4» 4XD 4 г4 V *4Z
•^/fxgoi = z(if — X — zz) Z — j(.v — z — ifz) if — Z(Z — if — xz) X —
— L4 — x) zz(x — z) if 4 4 — 4421 —4 4‘f + 4f- ‘*tz
(AX - zz) (xz — z.f) (Zlf — ZX) = t(.14- 4- XZ 4- Zif) — £(Z 4- A 4 4 Zifx 83
гл x]?z 4 c(z — 4 x) 4 4 — 4 4 4 4л 4 х —) = 4 4 л 4 х) ’*2Z
•(» 4 э) (»4 q) (q 4 41G? - »)гН(» - 4 г<? 4 О’ — <?) г»1 =
= (zq — г») Р 4 (г» — гЭ) 4 (г^> ~ г<?)»» 'IZ
(qv 4- vs 4 ^q) ?qvz =
= — q -j- v) (q — v 4- 3) (о — э 4- q) (qv — vj — iq — zt> 4- zq 4- zv) 4-
4 G3 4 zq 4 г°) jqv 4
4 4 — <7 4 ») 4 4 z(q — о 4 4 eq 4 г(» - ЖМ ’*03
(^qvz 8») (5 — 4 г(1 4 4 =
= (7 — v — эи)(г) — о — qu)(o — q — vij) £ —
— SG? — » — »4 4 s(» —»— <?4 4 & — q — »4 ’61
aonaifhOJOHiv BHHvaosvdgoadu аяннаахэзгжо! i tj •edgajrv -g
§ 2. УСЛОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА МЕЖДУ МНОГОЧЛЕНАМИ
9
39*. [b2c2 (а ж cl) -Г a2d2 (с + £)] (Ь — 4 (4 — <4 4~
Ж [с2а2 (Ь -f-Ж) Ч~ b2d2 (с Ж- а)] (с — а)(Ь — d) 4~
4 [а2Ь2 (с d) 4 c2d2 (а + #)] (а — Ь)(с — d) = 0.
40. aY 4 (1 — а2 Ч~ (1 — ^i) 0 — ^2) th 4~ • • •
... 4-(1 — о,)(1 — а2) • • (1 — а„_х)а„ = (1 — о:)(1 — о2) • • • (1 — «„)•
Произвести умножение следующих многочленов:
41. (х Ж-з? Ж д) (х2 Ж v2 --]-д2 — _уд — zx ~ ху).
42. (х2 + х 4- 1)(х2 — х+ 1)(х2— 1).
43. (a 4 b с d) (а2 4~ b2 4“ с2 4~ d2 — ab — ас — ad — be — bd — cd).
Упростить следующие выражения:
44. a (Ь 4~ с — а)2-\-Ь(с 4~ а — b)2 4~ с (а 4~ b — с)2 4"
4~ (Ь 4- с — а)(с-\-а — Ь)(а-}~Ь — с).
45. (2а2 4- ЗаЬ — Ь2)2 — 4 (а2 — Ь2) (а2 4- 3ab 4~ 2Ь2).
46. (а2 + Ь2 + с2 4- Ьс 4- с а 4~ ab)2 — (а 4» b 4~ с)2 (а2 4- Ь2 4- с2).
47. (abc 4- bed 4~ eda 4~ dab)2 — (be — ad) (са — bd) (ab — cd).
§ 2. Условные тождества между многочленами
Доказать, что:
1. Если s~t4-b-d-c, то
(as 4~ be) (bs 4- са) (cs 4- ab) = (b 4~ c)2 (c 4-* a)2 (a 4-- b)2.
2. Если a-4b-\- c = Q, to
a) a (a 4- b) (ac) = b (ba) (b -4- c) = c (c 4~ b) (c -j-a) — abc;
6) a3 -4- b3 4- c3 4- 3 (a 4- b) (b 4- c) (c-$-a) = 0.
3. Если a-j-b-j-c = 0, to
a2 (b -r c)2 4- b2 (c 4- а)2 Ж- l2 (a 4- b? 4- (a2 4~ b2 4 c2) (ab + be 4~ ca) = 0.
4*. Если a-\rb-}-c = Qi to
a) a3 4~ b3 4- c3 = 3abc;
6) a4 -4 £4 4- c4 = 2 (a2b2 4 b2c2 4~ c2a2) = 2 (ab 4~ be 4~ ca)2 =
^2^-о2-ж2у.
аь__aUbUc^ a? 4 4 c2 .
B) 5 “ 3 ’ 2
д7_|_ £7_|_ C7 __ C5 й?_р^2_|_с2 __ + C3 . д4 J_ £4 ,
rj 7 ~ 5 ’ 2 “ 2 3 ”4
. a1 4 b~ 4- c1 a2 -4- b2 Ж c3 _/ аъ 4 Ж c5 V
Д) 7 - — ~ j .
5. Если x3 4- A3 4- z3 = x2 -4 y2 4~ z2 = x 4~ у 4-2' = 1, T0 xyz = §.
6. Если x = b2 4~ be 4- с2 и у = b2c c2b, to
4x3 — 21 y2 = (b— c)2 (2b2 4- 3bc 4- 2c2)2.
7. Если 2s = abс, to
1) a (s — b) (s — c)~\~b(s — a)(s — c) 4* c (s ~ a) (s — b) 4
4- 2 (s — a) (s — b)(s — c) = abc\
2) (s — a)3 4- (s — b)3 4 (s — с)3 4- 3abc = s3.
10 Алгебра. Гл. I. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МНОГОЧЛЕНОВ
8. Если a-}-b-}~c-}~d = A, а-}~Ь— с—d — B,
а — Ь-}-с — d — С, а — b — c-\-d = D
и
ab (л2 + b2) = cd (с2 + ^2),
то
АВ {А2 4- В2) = CD (С2 + D2).
9. Если a-\-b-\-c-}-d = 0, то
а) (а3 4- Ь3 4- с3 + d3)2 = 9 (bed + с da-}-dab A- abc)2 =
— 9 (be — ad) (ca — bd) (ab — cd)\
6) (a 4- b) (a 4- c) (a-}~d) = (b 4~ c) (b 4~ d) (b 4~ a) =
= (с —Ц d) (c 4~ ci) (c 4~ b) = (d 4~ ci) (d 4- b) (d 4~ c)\
в) ad (a 4- d)2 -}-bc(a — d)2 4~ ab (a 4- b)2 A-cd (a — b)2 4~
4~ ac (a 4~ c)2 -}-bd(a — c)2 4~ ^abed = 0;
r) a± -4 & 4- ci 4- di = 2 (ab — cd)2 4~ 2 (ac — bd)2 4~ 2 (ad — be)2 4- \abcd.
10. Если yz-}~zx 4~ xy = 0, to
(j/ 4” z)2 (z 4“ x)2 (x 4" y)2 4- %x2y2z2 = x4 (y 4- z)2 -\-yi(zAr x)2 4- z* (X 4- y)2-
11. Если
У4~-Уг + г2 = а2’ z2-}-zx-}~x2 = b2, x2 4" xy 4- y2 = c2, yz-}~zx -}-xy — Q,
TO
(a 4- b 4- c) (a 4~ b — c) (a — b 4“ c) — a 4" b 4~ £) 0»
12. Если
JC = ax 4- by 4~ cz, Y = ex 4~ ay 4~ bz, Z = bx 4~ с у 4~ az,
A = ax 4- cy 4~ bzt В — bx 4~ ay 4~ cz, C — ex Arbyaz,
TO
(X — A) (X — В) (X — C) = (Y — Д) (Y — B) (Y — C) =
= (Z _ Л) (Z — B) (Z — C) = XYZ — ABC.
13*. Если
u — xA^-y-\~z-}-a(y-}-z — 2x),
v = x 4~ у 4- z 4~ ci (z 4— x — 2-V),
^==x-\-y-[-zAra(x-}-y — 2z),
TO
27а2 (x3 4~ У3 4~ z3 — 3xyz) = a3 v3 'W3 — 3uvw.
14*. Если
X= ax 4- by 4~ cz, Y — ay Arbz A^ ex, Z — az-\~ bx 4~ cy,
TO
a) X2^-Y2ArZ2—YZ — ZX—XY =
— (a2 4~ d2 4" c2 — be — ca — ab) (x2 4" У2 4~ z2 — yz — zx — xy)\
б) X3 4- У3 4- Z3 — ZXYZ = (a3 -4 b3 4- c3 — 3abc) (x3 4- y3 4- z3 — 3xyz).
15*. Если
а\ 4~ 1» ^2 4- b~2 = 1, a^a^ 4~ ^1^2 0»
TO
a2 4~ ^2 = 1» b\ 4~ ^2 1 > a^bi 4” a^b-2 z 0.
§ 4« ДЕЛИМОСТЬ МНОГОЧЛЕНОВ
11
16**. Если
4~ 4~ £1 — 1, а2 4~ ^2 4~ cl = 1, #з 4“ Й 4“ сз ~ 1»
^1^2 4” ^1^2 4~ ^1^2 ~ а2йз4Мз4^3=:^’ ^3^1 4“ ^3^1 4" ^3^1
то
#14~ &* 4- аз= 1» bi 4~ 4- ь3 — 1, Ci 4- Со 4- сз = 1,
U^A 4“ ^2^2 4“ ^3^3 #1^1 4" ^2^2 4" #3^3 =:: 4~ ^2^2 4~ ^3^3 ==:
17*. Если
Ьс — р2 = А, ас — q2 = B, ab — r2—~C,
qr — ap = P, pr — bq=^Q, pq — cr — R,
TO
(abc -2r2pqr — ap2 — bq2 — cr2)2 = ABC 4~ 2PQR — ДР2 _ BQ2 — CR2.
§ 3. Симметрические многочлены
Выразить через основные симметрические многочлены следующие симме-
трические функции:
1. х3 4~ >3 4“ 2:3— Sxyz.
2. х2у 4~ ху2 4~ x2z 4- xz2 4~ y2z 4- yz2.
3. х4 4- у4 4-4 — 2х2у2 — 2y2z2 — 2z2x2.
4*. х*у2 4- х2у$ 4- x^z2 4- x2z5 + ybz2 4- y2z$.
5. (4 4- у) (у 4~2)(z4~x)-
6. (x2 4- у2) (у2 4- z2) (z2 4- X2).
7. (x 4~ J/) (x 4- z) (x 4- a) (y 4- z) (y 4- a) (z^- u).
8. (xy)2 (y——z)2 (zx)2.
9. (xу 4" zu) (xz 4~ ya) (xu 4~ yz).
io*. Xi4-%24“x$4" ••• 4“-*'л*
11*. xi4-Xo4~хз4- ••• ~\~xn*
12**. Xi 4~ x2 4" хз 4~ ••• ~hx/i-
§ 4. Делимость многочленов
1. Доказать, что многочлен
£3 ^2 _ С2) £3 (С2 __ а2) 4- С3 (а2 _ Ь2)
делится на (Ь — с) (с — а) (а — Ь); найти частное.
2. Доказать, что многочлен
(Ь2с2 4- a2d2) (b — с) (a — d) 4» (с2а2 4- b2d2) (с — a) (b-~d)-{-
4- (а2Ь2 4- c2d2) (a — b)(c~~ d)
делится на
(а — Ь)(а — с) (а — d)(b — с) (Ь — d)(c — d)\
найти частное.
3. Доказать, что если п и k — целые положительные числа, причем п делится
на k, то хп — ап делится на xk — ak\ найти частное.
4. Доказать, что если п и k — целые положительные числа, и делится на k,
причем в частном получается нечетное число, то хп-\-ап делится на xk~\-ak\
найти частное.
12 Алгебра. Гл. I. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МНОГОЧЛЕНОВ
5. Доказать, что если п и k— целые положительные числа, п делится на k,
причем в частном получается четное число, то хп — ап делится на xk~^ak\
найти частное.
6. Доказать, что (х -4 1 )2п— х2п — 2х—1 делится на х (х-4-1) (2х Д--1), где
п — целое положительное число; найти частное.
7. Доказать, что пхЛ41— (44” 1)хл-|-1, где п — целое положительное*число,
делится на (х—I)2; найти частное.
8. Доказать, что многочлен
П2ХЛ42 (2я2-{- 2п 1) Хл + 14- (п 4- I)2 Хп — X — 1 ,
где п — целое положительное число, делится на (х—I)3; найти частное.
9. Доказать, что
Хп [Z2 (х — у)2 — у2 (z — х)2] + уп [х2 (у — z)2 — Z2 (х — J?)2] -j-
4~ zn [у2 (z — x)2 — x2(y — г)2],
где n—целое положительное число, делится на (у— z)(z — х)(х—у);
найти частное.
10. Доказать, что ап(Ь—с)-}~Ьп(с — а)-\-сп(а— Ь), где п — целое положи-
тельное число, делится на (#—с) (с — а) (а — /;); найти частное.
11. Вычислить частные:
х х3 (у — г) + у3 (г — Л-) + г3 (х — у).
' хЧу~2) + уЧ2-х) + 2Чх_-уу
Х4 (уЧ __ г2) у4 __ х2) г4 __ у2)
°) Х<1 (у _ 2} уЪ {2 __ х) + Z2 (X - у) ’
12. Доказать, что х4л+24-2х2л414“ 1 делится на (х4~1)2. Найти частное и
выписать его члены, содержащие х2п~т и х2п + т.
13. Доказать, что
(X 4- у + г)2"4 1 — Х2"М _ у2п + 1 _ Z2n +11
где п — целое положительное число, делится на
(х 4~ у 4” ~)3 — х3 — А3 — г3-
14. Доказать, что при п = 6k—1, где k— целое положительное число ^>1,
выражение
(х 4- у)п — — уп
делится на х2хуу2, а при п~- 6&4~H где — целое положительное
число 4>1, делится на (х2 4~ % У 4“ А2)2-
15. Доказать, что
Х44_)_л33 + х22 + л;11+ !
делится на
х44-х34-х24-х4- 1.
16. Доказать, что
л4 (Ь2 4- с2 — а2/ 4-- № (с2 4- а2 — Z?2)3 4- с4 (а2 4~ Ь2 — с2)3
делится на
д4 £4 _ 2№с2 — 2с2а2 — 2а2Ь2.
17. Доказать, что
(х 4-- 4- ^2п (У 4- z)2n - — (* 4- а)2" 4- ^2п 4- а2" +
где п — целое положительное число, делится на
(% + у-^-гУ — (_у + г)4 — (г 4-х)4 — (х -4 .У)4 + + У 4-
18. Пусть Р(х, у)—симметрический многочлен относительно х и у и пусть
он делится на х — у. Доказать, что тогда он делится и на (х — у)2.
§ 4. ДЕЛИМОСТЬ МНОГОЧЛЕНОВ 13
19. Доказать, что следующие многочлены:
а) х2п — пхп + 1 -+ пхп~г— 1;
б) х2^1 — (2п+ 1) х'2^1 4~ (2/г 4“ 1)х" — 1;
в) (п — 2/п) хп — пхп~т пхт — [п — 2т),
где п и т — целые положительные числа, делятся на (х—I)3.
20. Доказать, что многочлен
Х2П + ! и(п+1)(2п+1) х^2 + (z2-1)(/z-|-2) (2/2+1) %л + 1 _
(/г-1)(и + 2)(2/г+1) , п (п + 1) (2и + 1)
2 *“ 6
делится на (х—I)5 и не делится на (х—I)6.
21. Доказать, что необходимым и достаточным условием делимости многочлена
/(%)== аохл4-а1хл-1+ ... +ая
на (х — 1)* является соблюдение следующих условий:
^ + ^-1 + ^-2+ ••• +#0 = 0»
4-2ал_2~+ ... 4~пао==О,
1 • 2ип _2 4“ 2 • Злл „з 4~ • • * 4~ п (п — 1) +>z== о»
, . . /, । 1 х. । (& + 2)! . , п\ л
^!ал-?г + (^+ *)! + ' 2! ап~!г—2 + ••• ~1~ (пТ2'й)! а0 = 0-
22. Доказать, что многочлен
у- у? уЗ уЛ
1+^ + ь2+П27з+---+4 = 0
не имеет кратных корней.
23. Доказать, что х3/?4~л;37 + 14~х3,"+2 делится на х24-а:4"Ь где р, q, г —
целые положительные числа.
24. При каком условии х2л 4~ хп 4~ 1 делится на
х2 4~ 4~ 1»
где п — целое положительное число.
2с. При каком условии (х 4~ 1)" — xtl — 1 делится на х2 х 4~ 1, где п — целое
положительное число.
26. При каком условии (х 4~ 1)л 4“ хП + 1 делится на х24~а:+1, где п — це-
лое положительное число.
27. При каком условии (х4~1Г— хп—1 делится на (х2 + х + 1)2, где
п — целое положительное число.
28. При каком условии (х4~ 1)п 4“-^ + 1 делится на (х24~^4~02. где
п — целое положительное число.
29. Доказать, что (х+ + —хп—1 ни при каком целом положительнохм п
не делится на (х24~^4~1)3-
39. Доказать, что если
д0хл + «1Х'г-14- ... +«„
делится на х — 1, то
aQxkn 4~ a\xk 4~ ••• ~\~ап
делится на xk— 1.
31. Доказать, что многочлен
х3"4-(х24-х4- 1)(1 — Х^Х"-1— 1
делится на
Хб — X5 — А4 4- X2 4- X — 1,
где п — целое положительное число.
14 Алгебра. Гл. I. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МНОГОЧЛЕНОВ
32. Доказать, что многочлен
+ _ ^xPl+p-1
делится на
хр~г Д- хр~2-[- х?-3 ... 4~ х -1- 1,
где р, а, Ь, с...I — целые положительные числа.
§ 5. Разложение на множители
Разложить на линейные множители относительно х, т. е. на множители
первой степени относительно х, следующие выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
(х2 4-х)2 + 4(х2 + х)— 12.
(х2-\-х+ 1) (я2 4-х 4» 2) — 12.
(х2 4х 4- 8)2 + з% (Х2 4х 4- 8) 4- 2х2.
(х2 4- х + 4)2 4- 8х (х2 4- х 4- 4) 4- 15х2.
2 (%2 4-бх 4-1)2 4-5 (X2 4-4-1) (х2 4-1) 4-2 (X2 4-1)2
(х 4- 1) (х 4- 2) (х 4- 3) (х 4- 4) — 24.
(х+1)(х + 3) (х 4~ 5) (х 4-7)4-15.
4 (х 4-5) (х 4~ 6) (х + 10) (*+ 12) — Зх2.
х34-9х24- Их —21.
х3 — 6х2 — х-|-30.
8х3 — 36х2 4~ 54х — 27.
х44-2х3— 16х2—2х+15.
2х4 —х3 — 9х24~ 13х — 5.
х4 — 20х3 4- 150х2 — 500х 4- 625.
х34-9х24-23х4- 15.
х3 — х2 — 21 х ~4 45.
9х3— 15х2 — 32х — 12.
2х4 4- 7х3 — 2х2 — 13х + б.
х4 —2х3— 11х24- 12x4- 36.
20**. При каком необходимом и достаточном условии выражение
Дх2 + 2Вху 4- Су 4- 2Dx ±2Ey-\-F
второй степени относительно х и v разлагается в произведение двух линей-
ных множителей относительно х и _у?
21. При каком необходимом и достаточном условии выражение
Дх2 4- 2Вху 4- С/ 4 2Dxz + 2Eyz 4- Fz‘-
разлагается в произведение двух линейных и однородных множителей отно-
сительно х. у и z.
В следующих примерах следует разложить данные выражения, зависящие
от двух и трех аргументов, в произведение множителей первой и второй сте-
пени относительно аргументов. Множители второй степени относительно аргу-
ментов должны быть лишь такими, дальнейшее разложение которых на множи-
тели первой степени уже невозможно (см. выше задачи 20 и 21).
22. (1 4-х2)У4-2(х — у(14-ху4-1.
23. (1 4-й24-62 —2п)2 —(4д — 4а^)(1 4-п2 —62 —2а).
§ 5. РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
15
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
(а + Ь 4- с)3 — а3 — Ь3 — с3.
а3 -|- Ь3 + с3 — ЪаЬс.
2b2c2 + 2с2й2 + 2a2b2 — а4 — Ь4 — с4.
х (/ — г2) + .у О2 — x2)-\-z (х2 — у2),
(у + г) (Z 4- х) (х 4- JO + xyz.
xyz (х3 4-/4-z3) — У3?3 — z3x3 —’ х3у3.
a3 (<!>4-c)4-Z>3(c4-a)4-c3(a + ^)-!-a^ (а 4- b + с).
а2 (Ь 4- с)2 4- Ь2 (с 4- а)2 4- с2 (а 4- Ь)2 4- abc (а 4- b 4- с) 4~
4- (й2 4- Ь2 4- с2) (рс 4- са 4- ab).
х4 (у2 — z2) 4- у4 (z2 — х2) 4- z4 (х2 — у2).
(у — 43 4- (z — *)3 4- (* — зО3-
(6 — с)(а — 64-с)(а4-6 — с)4-(с — а)(а4-/> — с)(—а4-6 4-с)4-
4- (а — Ь) (— а 4- b 4- с) (а — b 4~ с).
(f> _ с) (Ь 4- С)2 4- (С — а) (с 4- а)2 4- (а — Ь) (а 4- Ь)2.
й2(^4-с —2а)4-г>2(с + а —26)4-с2 (а-^-Ь — 2с) 4-
4- 2 (с2 — а2) (с — Ь) 4- 2 (й2 — Ь2) (а — с) 4- 2 (Ь2 — с2) (Ь — а).
(Ь 4- с — а) (с 4- а — Ь)(а-{-Ь — с)-\-а(а — bс) (аb — с)4~
4- ь (а + ь — г)(— а 4“ ь 4~ О 4”с (— а 4” 4“с) (а — b 4~с)-
а (Ь 4- с — а)2 4- b (с 4~ а — bf 4~ с (а 4- b — с)2 +
4~ (Ь 4- с — а) (с 4~ # — Ь") (а 4~ — с).
а(Ь — с)3-}-Ь(с — а)3 -[-с (а — Ь)3.
х (у 4-4 (у2 — z2) 4- у (z 4- х) (г2 — х2) 4- 2 (х 4- у) (х2 — у2).
(Ь — с)(Ь-{- с)3 4- (с — а) (с 4- а)3 + (а — Ь) (а + Ь)3.
(х 4- у 4- z)4 — (у 4- z)4 — (z 4- х)4 — (х 4- у)4 4- х4 4- у4 4- z4.
(й 4. ь 4- С)3 _ с _ й)з _ (с + а __ by _ (а ь _ с)з.
(у — г)5 4-(z — х)ъ 4- (х — у)3-
(х 4- у 4- 45 — х3 — у3 — z3-
(а + Ь + сУ — (6 4-с — а)5 — (с 4-й — bj> — (a-\-b — с)5.
(Z, - С) (ft 4- С)4 -у-(с —а) (с 4- а)4 + (а — Ь) {а 4- Ь)4.
а4 (Ь — с) 4- Ь4 (с — a)-j- с4 (а — Ь).
а2 (а 4- Ь) {а 4- с) (Ь — с) 4- Ь2 (Ь ^с)(Ь + а) (с — а) +
4- с2 (с 4-й) (с 4- Ь) (а — Ь).
X3 (_у-z) 4- У3 (z--х) 4- 23 (х--у).
а2(Ь — с) (с-{-а — b^a-^-b — с)-^Ь2{с — а)(а-\-Ь — с) (Ь 4- с — й)4~
4- с2 (а — Ь) (Ь 4- с — а) (с -}- а — Ь).
а3 (Ь — с) (с — d) (d — b) — b3 (с — d)(d — а) (а — с) +
4- с3 (rf — a) (a — b)(b~d) — d3 (а — b) (Ь — с) (с —а).
(Ь 4- с — а — d)4 (b — с) (а — d) 4- (с 4~ а — b — d)4 (с — a) (b — d) 4~
4* (а 4- b — с — d)4(a — b)(c — d).
2 (й3 4~ Ь3 4- с3) 4~ й26 4- а2с 4~ Ь2с 4- Ь2а 4- с2а 4- с2Ь — ЗаЬс.
16 Алгебра. Гл. I. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МНОГОЧЛЕНОВ
55. а) х2л — 1;
б) х2л4- 1;
в) х2л+1 — 1;
г) х2/2 + 14" 1,
где п — целое положительное число. Произвести также разложение на
множители 1-й и 2-й степени с действительными коэффициентами (множители
второй степени с мнимыми корнями).
56. х10 4-х5 4-1.
8 6л Разные задачи на многочлены
1. Разложить на линейные множители (т. е. на множители 1-й степени)
относительно a, b, ct d выражение
(ab 4- cd) (а2 — Ь2 4- с2 — d2) 4- (ас 4- bd) (а2 4~ Ь2 — с2 — d2).
2. Представить произведение
(Д2+1)(^4-1)(г2+1)
в виде суммы трех квадратов рациональных функций от а, Ь, с.
3. Доказать, что
(х — 1) (х — 3) (х — 4) (х — 6) + 10 > О
при всех действительных значениях х.
4. Дано:
с = 0,
й24-^ + ^2= 1-
Вычислить
а4 4-^ + ^
5. Доказать, что в произведении
(1—х4-х2 —х34- ... — х"4-х100)(1 -4х-4х24-х34- ... 4-х9Э4-х199)
после раскрытия скобок и приведения подобных членов не останется х
в нечетных степенях.
6**. Доказать, что
х”2 — 1 хт~^ — \ хт~2—\ — \
X — 1 X2 — 1 X3 — 1 хр — 1
есть целая рациональная функция от х; т и р — целые положительные-
числа, причем р.
7**. Доказать тождества:
a) 1)Л + С2„(х-2)" — ... + (-1)" Спп (х-»)" = /?!;
б) хр — Сгп(х — If + C^x— 2)р — ... +(—1)яС"(х —/г/ = 0,
где п и р — целые положительные числа и р < п.
8. Определить значения а и Ь, при которых
x^(a-{-b) х34-(а — b)x2-\- (a24-2Z>— 1) ха-\~ b + 4
делится на (х—I)2. Чему будет равно частное?
9. Доказать, что произведение
xj(3x4-2)(5j/4-2)
есть разность квадратов двух многочленов относительно х и у с целыми
коэффициентами.
§ 6. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ НА МНОГОЧЛЕНЫ 17
10. Найти сумму коэффициентов многочлена, получающуюся после раскрытия
скобок и приведения подобных членов, в выражении
(1—3x4- 2х2)743 (1 4- Зх — 2х2)744.
11. Пусть F„(x)-xft —С'(х4-1/4-^(х4-2)6 —C3„(x4-3)ft+...
... 4- (- 1)л -1 СТ1 (X 4- п - 1/ 4- (-1)" (X 4- n)k.
Доказать, что
/7„(x4-1) + F„+1(x) = F„(x).
12. Доказать, что если от деления целой рациональной функции Р(х) на х — а
в частном получается многочлен Q(x), а в остатке R, то
S(Q)(1— d) = S(P) — R,
где S (Q) — сумма коэффициентов многочлена Q(x), a S(P)—сумма коэф-
фициентов многочлена Р(х).
13**. Найти необходимое и достаточное условие, при котором
ах2 + by2 4- cz2 2 f yz 4~ 2gzx 4~ 2hxy
было бы квадратом линейной однородной функции относительно х, у и z.
14*. Доказать, что если
(а — X) х2 4- (Ь — X) у2 4- (с — X) z2 4~ 2 f yz 4- 2gzx 4~ ^hxy
есть квадрат линейной однородной функции относительно х, yt z, то
X/ = af — gh, Xg = bg — hf, \h^=ch—fg.
15. Найти коэффициенты при хп и хп~2 в произведении
(1 4-<?ix4-c2x2-4- ... 4-с/1х«)(хл 4-^х"-1 4- ... 4- сп_,х 4- с„).
Глава II
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
§ 1. Тождественные преобразования алгебраических дробей
Упростить следующие выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
х
X— 1
х 4-1
, х(х— 1)
+ *+1
X4 — (Х—1)" . Л2 —(л2— I)2 . Х2(Х— 1)2— 1
(Х2 4- 1)2 — X2 "+ л-2 (Л + 1)2 — 1 + ' Л-1 — (X 4- I)2 ‘
х — а х — b
1 4- ах 1 4- Ьх
1 1 (х — а)(х — Ь)
"Г (1 4- ах) (1 4- Ьх)
*_1 + Z
_ 9 I _у!Л xiyi у х
\ у2 ' X2 / ху + у2 х3 — 2х2у -|- ху2
(X 4- у)2 U3 У2/' (х + у)3 \х^ у)
а-\- b . а — b . 2 (а2х + Ь2у) 4 (а±х2 — №у%)
ах-\-Ьу ' ах — by ' а2х2 -f- b2y2 а4х4— Z>4y4
х__________.__________у__________ 1_________1 х2Ц-Зу2
Х^ + Х2У + ху2 + У3 ' х3 — Х2у + ху2 — у3 ’ X2 — у2 X3 4- у2 X4 — у4
b — с , с — а , а — b ( (Ь — с) (с — а) (а — Ь)
b + c'c + a'a-\-b' (Ь + с) (с + а) (а + Ь) ’
Ьс , са ] ab ( 2abc
{а + Ь) (а + с) + (Ъ + с) (Ь + ^Т + (с + а) (с + Ь) (Ь + с) (с + а) (а+ Ь)^
§ 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДРОБЕЙ
19
13. (a — x)(a — y)(a — z) . (Ь — х) (Ь — у) (b — z) . (с —х) (с —у) (с —г) (а — Ь)(а — с) 1 (Ь — с) (Ь — а) 1 (с — а) (с — Ь)
14. а2 (х — Ь) (х — с) . Ь2 (х — с)(х — а) . с2 (х — а) (х — Ь) (а — Ь) (а — с) * (Ь — с) (Ь — а) ’ (с — а) (с — Ь)
15. а? . Ь2 . с3 (а — Ь) (а — с) ' (Ь — а) (Ь — с) ’ (с — а) (с — Ь)
16. а* . Ь* . с4 (а— Ь) (а — с) ’ (Ь— с)(Ь— а) ' (с — а) (с— Ъ) * Ь2 — с2 с2 — л2 а2 — Ь2
17. а 1 b с 6 — с 1 с — а \а— а ‘ b * с
18. Ьс(х— а)2 . са (х — Ь)2 . ab (х— с)2 (а — Ь) (а — с) (Ь — с)(Ь — а) ‘ (с — а) (с — Ь) '
19. а2 (а Ь)(а-\- с) . Ь2 (Ь -]- с) (6 + #) । с2 (с + а) (с + Ь) (а— Ь) (а— с) ' (Ь—с) (Ь — а) ' (с — а) (с— Ь) / а . „ \2 а3 , <23 , ,
20. (7 + 1) tT-1 . у+' a b а2 а ' а b ’ 7Г~”а 72' + т+'1 У + 'а“
21. СП 1 + + Ч* 1 • «п |(Л I 1
22. а3 #з сз — заьс (д_*Г+(й_С)2_|_(с_д)2 •
23. — д2 -|~ сд — ab — с4 ' а (Ьс — a2) -J- Ь (са — Ь2) + с (ab — с2)
24. (а-\- b с) (сЬ — а2) -|- (Ьс са + а&) + (be -\-ca-\- ab) (а — с) cb — а'1 + b (а — Ь) с (а — с)
25. (д + 6 + с) (Ьс — д2) + (а2 + 62 + с2) (а — ») + (д2 + />2 + с2) (а — с) Ьс — а2 -\-Ь (а — Ь)-\-с(а — с)
26. т (Ь2с2 — Ь3с2) 4~ (^Зс — Ьс%) т3 — ^с) a (bV — b^) + д2 (ЬЪ — Ьс*) + дз (be* — b?c) ‘
27. (a — b)(a + b+ c)(a + b—c) 2a4'i + 2&3с2 + 2с-’д3 — д< — М — с4 1
28. (х 4- у)7 — X7 —у7 (Х4-У)5—Л® —у7> •
29. Л3 (уЗ _ г2) уЗ __ Х2) _|_ zt (х-1 — у2) хз (у — г) + уЗ (z — х) + z3 (х — у)
30. (д2 _ ^3)3 _|_ (/,2 _ С2)3 (С2 _ д3)3 (a — bys-±(b — с)3 + (с — а)з '
31. 32. -у4 (У — ?) + У4 (г —х) + г^(х—у) (у+г)2 + (г + х)3 + (х + у)2 • 1 (1 + Д&) [1 + ab+(a+b) x] — (a + b)[a + b + (l+ ab) х]
1 — Г д + ^ + (1 + -у ]2. [1 + ab + (а + Ь) х]2 L 1 + ab + (а 4- Ь) х J
33. Л2_2х(х—I)2 . 2х2(х2 —I)2 х2 4- х 4- 1 х4 4- х2 4-1 х8 4- х4 4-1
34. (1 — 10х2 4- 54) (5 — ЗОх2 4- 5х4) 4- (5х — 10x3 4- х^) (20х — 20х2) (5х — Юхз 4- хз)2 4- (1 — 10х2 4- 54)3
2*
20 - - Алгебра. Гл. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41*.
2,2
У 2 — yz + Z3 | X2 3 \ \' Г Z
~х г- — ХТГ * ~L7_L । _L
у ‘ z / yz r zx r ху
_J_________L_ + _^_____________
a (x + у) + ----(..а_-ЛГ t ("-У)3
(a — y) (a — xy ~ (а — х)(а — уУ
D + ~T+b + (a + by Jf1 ~ (a + by ]
[1-7а+3)5"](1 + 7+у)
a + 2/> 2a + 6
ab± a^b
/?2+c2 / 1 П + c2 / 1 ГТ’
bW U2 c2) aW \ a2 c2)
- 1 7-Xn\ 4
\ 3 + xn J xn+2-j-3x2
6x2n — 24 2x *
д^+з + б^+з _|_9^3 ’ 3xn + 6
x — 1 1 — 3x 4- W 1
3x 4- (x — 1 )2 x3 — 1 x — 1
1 — 2x 4- x2 — 2x3 ’
1 4- 2x 4- x2 + 2л-з
an , bn , cn
(a — b) (a — c) (b — c) (b — a) (c — a) (c — b) ’
где n — целое положительное число.
до _____________I_____________________
a1 (al 4" a2) (a1 4“ a2) (а1 4~ a2 + аз)
j_____________________an__________
(^1 + a2 4~ • • • 4" aa -1) (^1 + a2 + • • • 4“ an)
43. Найти сумму n дробей
2x — a
x2 — ax 4- cC“ ’
2"Л2я-1_2«-1л2Л-1-1д2" -1
• • • ’ пП <>n- 1 9n -1 , oZZ
x* — x^ 4-
44. Упростить произведение
4х3 — 2а2х 8х7 — 4я4х3
х4 — а2х- 4~ я4 ’ -к8 — я4-*4 4“ я8 ’
45. Упростить произведение
(а2 — ах + х2) (а4 — а2х2 + х4) .. . (сУп — а2" ' ’х2" ~1
§ 2. Условные тождества
1. Вычислить
(у —— | ^—у\ ( | У J£
если x-{-y-\-z =
2. Доказать, что
где
у • Z J\y — Z ' z — X х — у
= 0.
+ ^2 + т3 “
а + Ь с-4- d ас — bd
= —Н-, т2 ~ ——г , т3 = —--г- .
а — b л с — d 6 ad -г- be
§ 2. УСЛОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА . 21
_______________________________________________________________________ А,'
3. Доказать, что если
a2±b2 = (a-i~b — c)2,
то
а2 + (а — с)2 а—-с
Ь2 4 (Ь — с)2 b — с
4. Доказать, что если 4^4- а2х2± + 44 4-а4 = 0, 4а0А7^_[_
-1 2б?2-4 ~J 4 41 0, 12б/^л*~ | блрху ] 2а2 4 0 и х2, х3, х4 —- три других
корня уравнения а()х^-[-а1х3-}~а2х2-}-а3х-\-а4=^ О,
то
—1— + —L-+ 1 = О-
*1 — х2 хг — Х3 1 Xi — х4
что если
5. Доказать,
то
6. Доказать,
где
что если
х2 -—уг _________________ у2 — xz
х(1—уг) y(l—xz)’
X #= у, X == О, У == О, Z -А О, yz ф 1, ху Ф 1, л
то
I I 1 . 1 I 1
х "Ь у 4”% ” —------— •
1 1 X 1 У ‘ Z *
7. Дана функция
у — ах -у-Ь.
Пусть xlt х2, х3— произвольные (и попарно различные) значения х, а у/р
у/2, у3— соответствующие значения у. Доказать, что
У2 — У1 = 4 — 4
Уз ~~ У 2 х3 — х2 ’
8. Дана функция
___________________________________ ах 4 b
У сх 4 d 9
причем ad — Ьс^О. Пусть xlt х2, х3, х4— произвольные (и попарно раз-
личные) значения х, а ylf у2, у3, у4— соответствующие значения у. Дока-
зать, что тогда
У2 — У1 . У4 ~~ У1 _ 4~ 4 . 4 —4
Уз — Уг' Уз —>4 -^з — *2 ’ ^з — ^4
9. Дано: а #= b, b 4 ct с 4 а и
Доказать, что тогда
а . b . с _________
(Ь — с)2 * (с — а)2 * (а — Ь)2
Верно ли обратное положение?
Ю. Доказать, что если
х2 — yz у2 — ZX Z2 — ху
а b с '
то
а2 — Ьс Ь2 — са с2 — ab
х
У
z
22
Алгебра, Гл. IL АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
11. Доказать, что если a -j- b — 1, то
а . b 2 (Ь — а)
12. Упростить выражение
(а + с) (a + d) (b + c) (b + d)
(а ь 4* е 4-
при условии, что
ab = cd.
13. Упростить выражение
, 7 /1 , 1 । 1 , 1 \
abed----г' г J--+ -у
\ а 1 b 1 с 1 d}
ab 4- ed
при условии, что a-\-b — c-\-d.
14*. Доказать, что если
Ь2 + с2 — а2 с2 4- а2 — />2 а2 4- Ь2 — с2 __
2Ьс 2са + 2аЬ “ 1 ’
то две из этих дробей равны 1, а третья —1.
15*. Доказать, что если а-\- b с = О, то
(^+^ + ^(Лт;£+^ + £^га40к(1+ 1 + 1у.
\Ь — с ' с — а' а — b / \ а2 * Ь2 1 с2 ) \а b с }
16. Доказать, что если
1 + 1+2 =__________!________,
а ' b ' с а-\- b 4-е
то
(1 { 1 i Ц2л+1 ______________1________= 1
\я b с) d2n+1 4- 62/г + 1 4* с (а 4 4" с)2л+1
где п — целое положительное число.
17. Доказать, что если
4- с2 — а2 . с2 4- а2 — Ь2 . а2 4- &2 — с2 _
2Ьс * 2са * 2аЬ ’
то
р2_|_с2_л2\2«+1 /с2 + а2 —Zz2\2rt + 1 , /б12Ч-^ — С2\2,г+3 ___
\ 2bl ) “Ч 2са ) 2аЬ ) ~“1’
где п—целое положительное число.
18. Даны соотношения
х' = агх 4- bty 4“ ctyr ~ а2х 4" 4“ е2-
Пусть (хр j/J, (х2, у2), (х3, у3) — произвольные пары значений х и у,
такие, 4TOx1_y24-x2j34-x3>/1 — хгу3 — х^— х3у2 #= 0, a(^b у^, (х2, у2)г
С4, Уз) — соответствующие им значения х' и у' (xt = ^i^i4~^iyi 4~
«Л4-^Л + С2’ Х2=а1Х2 + Ь1У2 + С1 П Т- Д-У
Доказать, что дробь
Х1У2 + 4уз + ХзУ\~~ Х>'з " — х'зУ2
Х\У2 + Х2у3 4” ХУУ1 — хлУз — Х2У1 — х2У2
выражается лишь через at, 1\, а2, Ь2 и найти это выражение.
§ 2. УСЛОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА 23
19. Даны соотношения:
х! = ахх -\-Ьху cxz, yf = а2х -\~b2y + c2z, z' = a3x-\-b3y-\-c3z.
Пусть (хх, zj, (x2, y2, z2), (x3, y3, z3) — произвольные тройки значе-
ний x, у, z, такие, что x^z^x^^^x^^—xxy3z2—х2у^г-—х3у2гх^0,
a (X» X’ X)’ (X» X’ X)’ (X’ X’ X)— соответствующие значения
х', у', z'.
Доказать, что дробь
XXX+XXX + XXX—XXX—ХуХз—XXX
^1У2^з + х2у3^1 + x3yxz2 — xxy2z3 — x2yxz3 — x3y2zx ; ,
выражается лишь через ах, bx, q, а2, Ь2, с2, а3, Ь3, с3 и найти это
выражение.
Глава III
РАДИКАЛЫ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
§ 1. Тождественные преобразования иррациональных выражений
Доказать следующие равенства:
1. /20+14/2 +/20 — 14/2 = 4.
2. /б/2 + 7 —/б/2— 7 = 2.
У/5 + 2 ///5-2 . 1
3 - V тг v /5 -/?•
4 _J_______________= . _3—_-4-___
/б —/б /5-/2 /б + /2
5 . (-_!+++г/+/91+.о/з.
\ 5 —/3 ) \ 2 —/5 / " 4
л 2/Э + /65 _ /19 + /3
О« у------ •---- •
/ 19 — / 3 2 у 9 — /65
7. /8 + 2/1О+2/5 +/*8—2/10 + 2/5 =/2(1+/б).
/3-1 = 79-5/J
/ 3 + 1 V 94-5/3’
9 1+ /3 = 2 + /3 .
2/2 /20 4-12/4'
10. ^8 +//2-1 /~8-/71^Т = ^2.
]/" /8-//2+1
11, /38+ 17/5 = /9 + 4 /5.
12. 2+/~3 -+ 2-/-У-^/2.
/2+/2+/3 /2—/2—/3
1 з /3-2/2 _ /3 + 2/2 = 2
/17 — 12 /4 /17 + 12/2
14. Доказать, что если
/ а, -4- b \ q—р а -р b . п
х = I д А > 0» Р q рациональны, то
Д дЧ — Ь^ /+ , _1_\ /а + &\+7
2 л2 + 62 \ХР ' xqJ \а — ь)
§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
25
Уничтожить иррациональность в знаменателе;
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
1
1 +/2-/3 '
______1_____
1 +1^2+2]^ 4 ’
7
1 — / 2 4- / 2
______1
Р'4 4-Рб4-Р~9 '
______А_____
V~a + Vb + f~c ‘
________А_______
/a + /6 + /7+/d '
______А_____
V а + / b + V с
Упростить следующие выражения:
22. /а2 4- 6а 4- 9 4-/а2— 6а 4-9.
И///
23. 2 44-----/>>0. ,>0. И> 1.
(’+-}) (’-?)
24. 2----------4__ , р > о. , > 0, рч > 1.
4-4(?+7)
23. (—4=» + -: (-7=!=,^------=L=’),
\/х-1 /х4-1/ \/х—1 /^4-1/
где
х = ~2^> а > 0, 6 > 0, а =4
26. --ЛХ±Л=, а =# 0.
07 1 4- (д + /^=~1)2 (Ь 4- /^И)2 а > j b > j
(а 4- /а2 - 1) (Ь 4- /б2 - 1) ’
28. ( 2х2+1+х/4х24-3 \ V .
\ 2л2 4- 3 4~ х /4х2 4-3 /
29.
и- — Зп 4- (/г2 — 1) /п2 — 4 4- 2
30 1-а/,4./Г444-а/Гм2
1 — ab 4- /1 4- b2 — b /1 4- а ! ‘
31. -а х2 — 2ах 4~ а /б, где х ~ УаЬ -,
Г /а-/б
а > О, b > 0, a^b.
32. 2&Ук+--г2 ., где х = 1(1/”а > 0, > 0.
/1 4-уз_х 2 \Y b V aj
26
Алгебра. Гл. III. РАДИКАЛЫ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
33.
2b Vx2 — 1
—--7----, где х —
34.
где х —
Ъ2 — ас
а — b 1
35.
где
2а
36*.
2 i j
• — 4а2х™ + п ,
где
2тп
™-п> а > 1, т пу т =^= 0, п Ф 0.
37.
(х-14“ а"1) (* + #)" —Ь~ххп ,
где
38.
п ( п п
х = ab’1*1 \#л+1 —
г 1
(Х2+Д2)~ +(Х2
-2
39.
40.
где
причем
где
где
_ (хз + я3) 2 — (х3 — а*)
х = а
п
з
—а*) , Ь>
1
(т + х) 2 + (т — -*)
(т -J- х) 2 — (т — х)
2 т п
__£
а 3 х
2
__
причем т > 0, 0 < п < 1.
41*. Упростить выражение
1
а — х -
где
х — 4 (а— 1).
Рассмотреть два случая:
а) 1 < а < 2; б) а > 2.
42.
где
1 ___i_ _j_ j_
;х + л)Т(х — я)~т-Нх4-я) 3(х —я)3—2.
причем т > п > 0.
т3 4- и3
х = а о -—о,
тп3 — и3
§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
27
43.
_ 1 _ 1 __1_ ___1_ -|-2
(а + х) 2 (/?-]— х) 2 +(д — х) 2 (х — Ь) 2
_ (« + А')
(х + b) 2 — (а — х) 2 (х — Ь)
где
х ab,
44.
45.
причем
где
причем
п > 1.
1 __________1
д; = (1 — лг-1) 2 (1 -уп-1)
где
4
(а — b)2 а + b .
_____ ___;
46.
числа а и b — действительны и z | а — b |2.
1 — ах / 1 4- Ьх
Ьх ’
где
I V и ^<а<Ь<2а.
47.
где п > 1.
48.
(1-х2)
2
49.
50.
51.
где
где
где
2
(1-
) J -1
2
х = 2&2 (1 +&)
а . 1 — а
и
/1 __ а2 — 1 + а
0 < я < 1.
/ (д -f- х) (х < Z?) у У (а — х) (х — Ь)
У'(а + х) (х + 'b) — У^а — х) (х — Ь) ’
= У ab, а > b > 0.
х3 — Зх + (х2
хз — Зх — (х2 — 1)/х^ —4
2
где х — действительное число, причем [ х | 2.
52. Вычислить ______________________
V Р (Р — а) (р — Ь) (р — с),
где
2р = ci —]— b —]— с,
а ~ х^2 ~Г О'2 ~~Уз? ’
b = ~ Х>)2 + (-Уз — У1У .
с = /(xt — х2)2 + — у2у .
Алгебра. Гл. Ш. РАДИКАЛЫ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Преобразовать результат к функции, рациональной относительно х1э ylt
х2> У2> *з, Уз-
53. Вычислить
Vp <Р — а) (р — Ь) (р — с),
где
2р = a —|— b 4~ с,
а = V (х2 — х3)2 Н- (у2 — у3)2 + O2 — z3)2,
b = V (х3 — %i)2 + (.Уз — у У -+ (*з — ^i)2^
с = /(xt — х2)2 + (ух — _у2)2 4- (z, — z2)2.
Преобразовать результат к виду УР24-<22 + R2, где Р, Q и R — рацио-
нальные функции от xt, у15 zY, х2, у2, z2, х3, у3, z3. Получить отсюда
(при zt = z2 = z3 = 0) результат предыдущей задачи.
§ 2. Условные тождества. Преобразование равенств, содержащих
иррациональные выражения
К Доказать, что если
Ух2 + jX х\у2 4~ У у2 +х2У4 =
то
2 2 2
X 3 -(-> 3 = CL 3 .
Избавиться от иррациональности в следующих равенствах:
2. а-4-У b с = 0.
3. ^4-]X^-L-Z? = 0.
4. рУ а2-\-дУа-{-г = 0.
5*'*., УЪ+У14- /7 4- У ~d 4- V~e = о.
2 2 4
6. (ах)3 4“ (by)3 — с 3 .
1 / 2 2 \2
7. (ху)3 \х 3 4- у 3 ) — а2, а > 0, х > 0, у > 0.
/ 2 _2_\ 2 2
8. ' \х 3 4- у 3 у х 3 у 3 = а2.
9. (х2 + у2)2 — [(ях)3 4- (by)3 ] [(ах)3 — (by)3 ].
10. Доказать, что если
(У ~ z) F'1 — х3 + (z — х) ]Х1 — j/3 -4 (х — у) V \ — = 0,
то
(1 —х3)(1 - _у3)(1 ~г3) — (1 — xyz)\
Глава IV
ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
§ 1. Эквивалентность уравнений
1. Верно ли утверждение, что уравнения
/ (х) — 0 и f (х) ? (х) ~ О
эквивалентны. Привести пример, когда
а) эти уравнения эквивалентны;
б) все корни уравнения / (х)~0 являются корнями уравнения /(х)<р(х)=0.
но не все корни уравнения / (х) (х) — 0 являются корнями урав-
нения /(х) = 0;
в) все корни уравнения /(х)ср(х) = 0 являются корнями уравнения
/(х) = 0, но не все корни уравнения /(х) = 0 являются корнями
уравнения /(х)ср(х) = 0.
2. Могут ли уравнения /(х) = 0 и /(х)ср(х) —О не иметь общих корней?
3. Могут ли уравнения
/(х) = 0 и f (х) + ср (х) = 9 (х)
быть неэквивалентными?
4. Даны два уравнения: /1 (х) = f2(x), Д (х) + /3(х) = /2 (х) + /3(х). Какое
из этих уравнений есть следствие другого (мы говорим, что уравнение
В = 0 есть следствие уравнения А — 0, если все корни уравнения А — О
являются корнями уравнения В~ 0)?
5. Какое из уравнений:
да- = дау " А (х) А (х) = Л <х) А <х)-
есть следствие другого? При каком условии эти уравнения будут эквива-
лентны ?
6. Даны два уравнения:
Л (х) fn (х)
/2 (*) fi (х)
и
Л(х)
Л(Х)+/4(Х)-
а) При каком условии второе уравнение есть следствие первого?
б) При каком условии первое уравнение есть следствие второго?
в) При каком условии эти уравнения эквивалентны?
7. Даны три уравнения:
Л (*) _ /з (*)
/г (х) А (х) ’
/1(х) + /3(х) /З(х)+Л(х)
/1 (х) — /’ (•*) A W—A (*) ’
/1(х)-/2(х) Л(х)-/4(х)
/1W+/2W AW+AW
30
Алгебра. Гл. IV. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
Доказать, что из первого уравнения следует либо второе, либо третье
(либо и то и другое).
8. Будут ли эквивалентны уравнения
/(х) —О и У f (х) = 0.
9. Будут ли эквивалентны уравнения
Vf (х) У? (х) = 0 и Vf (х)ср(х) = 0.
10. Будут ли уравнения
VAW УА(х)
и
Гам - Vac*) - Клей
КЛ(х) + УА(х) УА(х)+УА(х)
эквивалентны (над полем действительных чисел)?
11. Верно ли утверждение, что уравнения
Клей = Клей Клей 4-Клей К^+У2М
КЛСЙ КДСй’ КЛ(х)-КЛС*) КА(х)-КАСЙ
эквивалентны (над полем действительных чисел).
12. Верно ли утверждение, что уравнения
Улсй _ Vh(x)
Улсй Глсй
И
' ' : Гл(х)+Га(х) Уасй+Га(х)
эквивалентны (над полем действительных чисел).
13. Будут ли следующие уравнения эквивалентны (над полем действительных
чисел). Установить также, при каких условиях они эквивалентны:
а) /(х)= 1, log/(x) = 0;
б) . / (х) = ср (х). log / (х) = log (х);
в) /(х) = <р(х), log[/(x) —? (х) 4-1] = 0;
г) /(х) = 0, ]ХЛ(7) = О;
д) / (х) ср (х) = д. / (х) = ;
е) /(х) —0, arc sin f (х) = 0;
ж) / (х) — 0 arc tg f (х) .= 0;
з) /(х) = 0, /(x)-2/w = 0;
и) /(х) = 0; /(х) • 2?(Л) = 0;
к) Fog Vf (х) = 0, / (х) = 1;
л) /(х)ср(х)= 1, log|/(x)| 4-logl ср(х)| =0;
м) logx2 —0, 2Iogx = 0;
н) logx2 = 0, 2Iog|x| = 0;
о) logx3 —0, 31ogx = 0;
п) bg]= 0, log|/(x)| — logI ср(х)I = 0;
Р) log| /(х) ср (х) | = 0, log | / (х) | 4- log | ср (х) | = 0;
с) log[/ (х) ср (х)1 = 0. log| / (х) | 4- log I ср (х) | = 0;
§ 1. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ 31
т) log]/х = 0, llogx = 0;
у)* tg[/ (х)4-«(х)] = 0, tg / (х)tg <р (х) = 0;
ф) х = 0, tg (sin х) — 0;
х) /(х) —О, sintg/(x) = O;
ц) /(х) = ср(х), arctg/(x) = arctg<p(x).
14. Какое из двух уравнений каждой пары есть следствие другого (над полем
действительных чисел)?
з) /« = 0. =
б) /(х) = 0, sin/(x) = 0;
в) /(х)= 1, /2(х)= 1;
г) /W = f, tg/(x)= 1.
15. Уравнение /(х) = 0 не имеет корней. Пусть ср (х) = 0 — какое-нибудь урав-
нение. При какохм условии уравнения
f (х) — 0 и / (х) <р (х) — О
будут эквивалентны?
16. Дано уравнение
"j/" х -f— 1 —}/” х —2 = }/" х.
Возведем обе его части в квадрат:
(/х + Т + /Т+2)2 = X.
а) Могут ли быть «утеряны» корни в результате этого преобразования?
б) Могут ли появиться «посторонние» корни?
17. Рассмотрим два уравнения:
/(х) = с?(х) (1)
И
tg/(*) = tg<?(x). (2)
а) Могут ли быть «утеряны» корни в результате перехода от уравнения (1)
к уравнению (2)?
б) Могут ли быть «приобретены» посторонние корни?
в) Рассмотреть примеры:
a) arc sin х = 2 arc sin
)^2
б) х — 2х.
18. Какое из уравнений
/(х) = ср(х), arc sin f (х) — arc sin ср (х)
есть следствие другого? При каком условии эти уравнения эквивалентны?
19. Будут ли эквивалентны уравнения
cos f (х) = 0
и
arc cos [cos f (х)] = 1 ?
20. Будут ли эквивалентны уравнения
arc cos 1 — /2 (х) = arc cos 1 — ср2 (х)
и
/ (х) = ср(х)?
32 Алгебра. Гл. IV. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
21. Будут ли эквивалентны уравнения,
arc cos У1 + /2 (х) = arc cos У1 + ср2 (х) и / (х) = ср (х)?
22. Будут ли эквивалентны (над полем действительных чисел) системы уравнений?
х-|-> = 0, х2-^~у2 — 2
и
sin(x-|-^) = 0, х2 + у2 = 2.
23. Будут ли эквивалентны системы уравнений?
x4-j/ = 0, х2~\-у2 = 5
и
sin (х 4~j0 = 0, х24-«У2 = 5.
24. При каком условии системы уравнений
Л = 0, /2 = 0, /3 = 0
и
/1 — А — /2 /з — 0» /з— /1 = 0,
где /р /2 и /з — функции от любого числа переменных, будут эквивалентны?
25. Будут ли эквивалентны (над полем действительных чисел) следующие си-
стемы уравнений?
/2 (*) + ?2 ОО = h sin [nf (х) ср (J/)] = 1
и
/(x) = cp(j), | f (х) -I- © (_у) | = /2.
26. Имеются два уравнения с двумя неизвестными:
f(x, y) = Q, <?(х, j) = 0.
Пусть Gj, bt, а2, b2— какие-нибудь числа. При каком достаточном условии
система уравнений
Gi/(x, _у) + М(х. _у) = 0, «2/(х, у)-+-Ь2<?(х, у) —0
будет эквивалентна (над полем комплексных чисел) заданной системе?
27. Рассмотрим три уравнения с тремя неизвестными:
/ (х, у, г) — 0, ср (х, у, z) = 0, ф (х, yt z) = 0.
П}сгь alt Ср а2, b2, с2, а3, Ь3, с3—какие-нибудь числа; при каком
достаточном условии система уравнений
«1/ (х, у, z) + Ьг ? (х, у, z) + с, ф (х, у, г) = О,
о2/(х. у, г)-\-Ь2у(х, у, г)Ч-с2ф(х, у, z) = Q,
azf (х. у, г)4-г>3<р(х, у, г) + с2ф(х, у, г) = 0
будет эквивалентна (над полем комплексных чисел) заданной системе?
28**. Доказать, что уравнения
У(х — с)2 + у2 + У (х + с)2 + у2 ==-~2а
где а > с > 0, Ь = Уа2 — с2, эквивалентны (над полем действительных
чисел), т. е. любое решение х — х0, j = первого уравнения будет реше-
нием и второго уравнения и обратно.
§ 1. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ
33
29**. Доказать, что уравнения
I У (7 — с)2 + У2 — У\х 4- с)2 4- у- | = 2а
И
дД ___ У - 1
а* № ~ ’
где с > а > О, b — У с2 — а2, эквивалентны (над полем действительных чисел).
30. Доказать, что уравнения
У (*-</+/
и
у2 = 2рх,
где р > 0, эквивалентны (над полем действительных чисел).
31. Дано, что уравнения
ci Х“ —b х v У с V“ Д-* d ~~ 0
и
х2 у2 —- 1 = 0
эквивалентны (над полем действительных чисел).
Доказать, что тогда Ъ —- 0, а с ~ — d --р 0.
32. Дано, что уравнения
ах2 Д~ b ху су2 dx Д- еу Д- / — 0
и
х2 + У ~ 1=0
эквивалентны (над полем действительных чисел). Доказать, что тогда
b — d — е = 0, а = с — — f =Р 0.
33. Дано, что уравнение
ах2 Д-- Ьх у Д-- с у2 Д- dx Д- еу Д~ / ~ 0
эквивалентно уравнению
х у = 1
(над полем комплексных чисел).
Доказать, что в таком случае
а~с = d = e = 0, а Z? ~0.
34. При каком необходимом и достаточном условии уравнение
ах2 Д- Ьху д~ су2 Д- dx Д- еу Д- / = 0
эквивалентно уравнению
у = kx Д- Z
(над полем комплексных чисел)?
35. Доказать, что из уравнения
fl + Л + fi~ 2//3 - 2/J3 - 2/Д1 = 0
следует одно из уравнений
/174 = + /17Л ±/77-
36. Доказать, что уравнения
Ь % 4- У у = У z,
(д — х — у)3 27 хуz
эквивалентны (над полем действительных чисел).
3 П. С. Моденов
34
Алгебра. Гл. IV. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
§ 2. Доказательство неравенств
Доказать следующие неравенства (я —целое положительное число):
1. , / м -L- 1 \ /2 /г! < 1—~, я> 1.
2. (2п — 1)!! < п'г, п > 1.
3. п\ > я2 , п > 2.
4. п\>2'1^, п>2.
5. 2" > 1 4-/г К2',_1, п>1.
6. < 1 \ 3 \ /п 2/г — 1 \ 1 . . 2 2 ... 2 > , 11 > 1. \ п ) \ 11 J \ nJ п\
7 '->(«-ьо-1 • СтЬ)Ч> «> ь
8. .г!)3<^нш« + пу; /г>1.
9. (« О3 < [ 4 J - « > 1 • п + 1 п
10. у я4~ 1 < у и, п^2. п _ П-1
и. ]/п+1< у п, п > 2.
12. (2п— 1)1 О2'1-1, п>1.
13. 1 - 3-5 ... (2/г—1) 1 2-4-6 ... (2/г) ''/2л + 1‘
14. 3-7- П ... (4/г -1)^ ./*"’3”' 5-9 - 13 ... (4/1 1) "• У 4л-}-3‘
15. 1? -| 2„ т • Г - / 1 \л
16. 0 Л ) <з-
17. |ВД„ (1 + ’
18*. 2" • п! < п'\ п > 5.
19*. З'г • п! > и".
20**. (2/г)!< [//(«+ ВЛ «>1-
21. 1 Щ 2 5 “"zik !_ 2Уп 2 ’ 4 ’ 6’ ’ ' ‘ У^7г'
22. (2«)!<(2-^f.
23. п~1 14-Я- 2’2 <2Д /г>1. п
24**. 1 • 22 • 3’ • 44 ... пп < 2 •
25*. 1 3_ £ 2я—1 1 2 4 6 2п ^/Зя 4-1 ’
26. 1 3 5 99 1 2 ’ 4 ’ 6 ’ ’ ' 100 12 *
§ 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
35
27. Найти наибольшее значение
iz«,
где п— целое положительное число.
28. Какое из двух чисел больше,
3/7 + 5И2 __
—L--------- или б ?
И 5
29. Доказать, что при достаточно большом п сумма
может быть больше любого заданною числа,
30. Какое из двух чисел больше:
а) 300! или 10 0 300?
б) 200! или 100200?
31. Дан ряд чисел:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,
в котором первые два чиста равны 1, а каждый член, начиная с третьего,
равен сумме двух предшествующих. Доказать неравенство
1 i A i А т А т А । А । I3 ' Да 2
2 I 22 1 23 24 I 95 Г 26 I 2? Щ
32. Доказать, что если а > 0, b > 0 и а Ф Ь, то
а6 -Д № > аъЬ~у~ Ь5а.
33. Доказать, что если а > 0, Ь > 0, с > 0, b -Д с > а, с -Д а Ь, я -Д # > с, то
2 (ab [ Ьс -Д са) > а2 Д Ь2 -Д с2.
Доказать следующие неравенства; установить, при каком условии имеет
место знак равенства.
34. ab Д- ас Д Ьс <Д а2 Д- Ь2 Д с2.
35. а2 (1 Д Ь2) Д Ь2 (I Д с2) Д с2 (1 -Д а2) > Qabc,
36. Доказать, что если Ь Д с > а, с Д- а > /?, а Ь > с, то
(а2 -Д- Ь2 Д с2) (а Д Ь 4 с) > 2 (а3 -Д Ь3 -Д с3).
Доказать, что если а, Ь, с, cl — положительные неравные друг другу числа
(задачи 37—40), то
37. а3 -Д/ЕД- с3 > ЗаЬс.
38. (а Д- Ь Д с-Д-dy > 266abcd.
39. a2cd —Д Ь2аа -Д- с2аЬ Д- d2bc > ~\abccl.
40. (а Д- Ь -Д с) (а2 Д- Ь2 с2) > 9аЬс.
41. Доказать, что если все числа aY, а2, ..., ап положительны, то
2Д к Да ! г . i Да \ 1г
а2 аз #4 ’ *
42. Доказать, что если а>0, ^>0, с>0, а~-^Ь, Ь^с, с4--ак а-\-Ь^>с, то
ЕДа3 _д_ ЪаЬс > 2 (а -Д- Ь) с2.
43. Доказать, что если а > 0, ^>0, с > 0, то
ч 1 I 1 I 1 - 1 I 1 ! 1
а) 1_ д----д_ д_ ?
а b с у Ьс у са У ab
б) ]Дт + ±Vb;
при каком условии имеет место знак равенства?
3*
36
Алгебра. Гл. IV. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
44. Доказать, что если а > О, b > 0, а > Ь, то
У а2 — Ь2 У У 2ab — И2 > а.
Доказать, 1 45—58), то что если а>0, b > 0, с>0, а-/Ь, Ь£с, с 4 о (задачи
45. 3 (Ьс У- с а У ab) С (л Д b -У с)2.
46. (а 4 Ь 4- с} (1 -4-1 4-Д > 9.
47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 2(й а2Ь2 Д- Ь2с2 ~ с2а2 > abc (л Д b у с). (Ьс У са 4- ab}2 ЗаЬс (а Д b У с). а* у у У у- abc (а У Ь у- с). abc ^->(/?У с —а) (с Дл - Ь) (а 2:~Ь - с). 3 у Ь2 у с2) Д аЬ (а Д- Ь) у Ьс (Ь у- с) Д са (а у- с), а ! Ь с 3 b Д- с с Д а а Д Ь 2 3 (л3 У Ь2 У с3) > (a -U Ь у с) (ab у Ьс у ел). а2 Д- 2аЬ Д- ЗЬ2 > 0. (а Д- Ь) (Ь -4-- с) (с У л) > ЗаЬс. 3 (а2 г Ь2 4- с3) > 3 (Ь Д- с) (с У л) (л У Ь}. 27abc < (л у- b у с)3 < 9 (л3 -Д Ь2 Д с2). 2 , _2 2 9
b у с 1 с Д- а 1 а У Ь а у b Д с'
59. Доказать, что если л, Ь, с—целые положительные числа, причем b У с и с У а (задачи 59—61), то а Ь с аа ъ с . /7« f be. са i b -с > Д Д_ д о а 4 Ь,
69. 61. (/> \ а^-Ь-^с ) 4 с)" (с 4-а/ (а < [-|(а + М-иД''
62. Доказать, что если а > О, b > 0, с > 0, d > 0, то
У (а у с) (b У d) У ab-У У cd.
При каком условии имеет место знак равенства?
63. Доказать, что если а > 0, #>0, с > 0, то
2 (л3 + Ь2 У с3) > а2 (Ь У с) -У Ь2 (с У а) У с2 {а У Д.
При каком условии имеет место знак равенства?
64. Доказать, что а4 У Ь* У а2Ь -У ab2 (л и Ь— действительные числа).
65. Если л > /? > О, то
(а - Ь)2 а + b (a— Ь)п
~ 8~ “2” ~ V аЬ< ~~~ЗЬ ~ •
66. Доказать, что если а - О, Ь > 0, с ,> 0, то
ab (л у- /у -С Ьс (Ь У с) У с а (с у а) ЗаЬс.
При каком условии имеет место знак равенства?
§ 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
37
67. Доказать, что если а, b и с — целые положительные числа, причем
Ь-\-с>а, c-\-a"^>b, a-L-b^c, то
О + (* + С~г} (* + 44 L
При каком условии имеет место знак равенства?
68. Доказать, что
(/й 4- ]/Д8 > 6iab (а 4- 6)2,
где а > О, b > 0.
69. Дано
. п , . n /1 4- ab \2 1
а > 0, b > 0, —г-г- < 1;
доказать, что в таком случае, если одно из чисел, а или Ь, больше 1, то
другое меньше 1.
70. Доказать, что если а^О, ^*>0, с*>0, то
(а-4- 1) (a 4 с) (/? 4--с) > 16а£с.
При каком условии имеет место знак равенства?
71. Доказать, что если а и b не равны нулю одновременно, то
5а2 — 6а^4~ 5/>2 > 0.
72. Доказать, что если а > 0, b > 0, то
где п — целое положительное число.
При каком условии имеет место знак равенства?
73. Доказать, что если a^b, ЬФс, с 4= а, то
а* 4~ Ь2 с?> а + b Д- с
а? + № + J 3 ’
74. Доказать, что если а > 0, b > 0, афЬ, то
+ т
75. Доказать, что если числа a, b, с, d положительны, то
У(а 4- Ь) (с 4~ d) + У (а с) (b 4~ d) 4~ У(а У- d) (b 4~ с)
Уа/? 4~ У ас 4- У ad 4~ УЬс 4- У bd 4~ У cd.
76. Доказать, что
8(a44-^4)>(a4-^)4,
где а и b — любые действительные числа; при каком условии имеет место
знак равенства?
77. Доказать, что если a > 0, Ь > 0, с > 0, то
ab (a 4~ b — 2с) 4- Ьс (Ь 4- с — 2а) 4- са (с Ц- а — 2Ь) 0.
78. Доказать, что если a > 0, Ь > 0, а 4= Ь, то
У < £±у
79. Доказать, что если at > 0, а2 > 0, а3 > 0, а4 > 0, то
ах 4 2а2 Д За3 -4- 4аА10
8). Если а19 а2, а3, —положительные числа, то
4ах а2 а3 а± а4 4~
38
Алгебра. Гл. IV. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
81. Доказать, что если а и b — длины катетов, а с — длина гипотенузы тре-
угольника, то
с3 > а3
82. Доказать, что если
1 -С о <4 b - С с < а 4 1 и b с,
то а > Ь.
83. Доказать, что
1 4 !............................. ____!
1 4 \ а Ц- b I 1 j а | 1 4 1 }
84. Доказать, что если 0 < а< 1, 0 < р < 1, 0 < у < 1, то
(1 —»)(1—₽)(1 —Т)> 1 ~(а-Н-Н)-
85. Доказать, что если х > 1, а /г —целое положительное число, то
/ п + 1 п- 1\
Хп — 1 П \Х 2 — X 2 J ,
86. Доказать, что
1 х^ — х 4 1 о
3 х2 4 х "г 1 ’
87. Доказать, что
х2 4 2
88. При каких значениях а система неравенств
_ о А-ах —2 9
выполнена при всех действительных значениях х?
89*. Дано п положительных чисел ал, а2, ...» ап. Доказать, что сумма квад-
ратных корней из всех произведений этих чисел, взятых попарно,
не больше, чем
2~~~ 4’ 4 4" • • • -т аг\
90*. Доказать, что если все числа ак и Ьк положительны, то
4 А 4- а2^2 4~ • • • 4- (у2 4- + • • • + 4 414~ а2 4" • • 4~ 4)2-
91*. Доказать, что если 0<х< 1, то
92. Доказать, что если 1Д-^>0, то (144>1 где п — целое поло-
жительное число, большее 1.
93**. Доказать, что если абсолютная величина числа а меньше 1, то
1 _l£._ 1 +->
1 п " 1 ' 1 п
^2 П ----
иначе говоря, 1 Д- — есть приближенное значение корня У 1 Д-ц с избыт-
ком, причем ошибка не превосходит а2.
94. Доказать, что если а — число по абсолютной величине меньше 1, то
1 + s - <<1 +|.
т. с. 14у ссть приближенное значение корня У1-4^ с избытком и
с ошибкой, не превышающей
§ 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
39
95. Доказать, что
а + ~ > У a2 + b > а 4-
1 2а ¥ 1 1 2а
№
84’
если 0 < b <t а2.
96. Доказать, что если
то
97. Доказать, что если
4' 4~ 4~г ••• ~}~хп — а>
-|“ Х2 4- ••• —
то
и
98. Доказать, что если ах > 0, а2 > 0, . . ., ап > 0, то
(^14-а24" ••• + ~+ ••• +~-)>/г2-
\ а2 ап /
99. Доказать, что если + ••• + ^¥=0» то дробь
а\ 4 #2 . 4 ап
414 4 • • • 4 4
заключена между наименьшей и наибольшей из дробей
<7о «/;
4 ’ ь2 ’ ’ * ’ ’ 4
100. Доказать, что если ср, а2, . . ., а,г положительны, то среднее арифметическое
4 41 + а2 + • • • + ап^
заключено между наибольшим из чисел ср, а2, . . ап и наименьшим из них.
101. Доказать, что если числа ср, а2, ап положительны, то среднее геоме-
п____________________________________________
трическое из этих чисел, т. е. сра2 . . . ап, заключено между наибольшим
и наименьшим из чисел ср, а2, . ап.
102. Доказать, что если числа ср, а2, ..., срг положительны, то среднее гармо-
ническое этих чисел, т. е. число р, определяемое из равенства
l-J. (-1 ... +м
р п \ 1 а2 1 ' ап)
заключено между наибольшим и наименьшим из чисел 6Z1S а2, ..., ап.
103. Доказать, что среднее гармоническое из положительных чисел не более их
среднего геометрического, причем знак равенства имеет место только при
равенстве всех чисел между собой.
104. Доказать, что, каковы бы ни были числа alt a2i ..., atv среднее квадра-
тичное из этих чисел, т. е.
р/" + ••• +а7?
заключено между наибольшим и наименьшим из чисел
l«il. |о21........................|ал|-
40
Алгебра. Гл. IV. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
105. Доказать неравенство
#1 + а2 + • • • + ап 1 /~а\ + 4- ... 4 ап
п г и
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда все числа
at, а2> ап равны между собой.
106. Доказать, что если числа а2, ..., ан положительны, то отношение их
среднего арифметического к среднему гармоническом)7 не меньше 1.
107. Доказать неравенство
4" О2&2 + • • • + ап^п 4~ 4? 4~ • • • 4" ап h 4~ z?2 4~ • • • 4~ ^4
108. Доказать неравенство
V (а, - + (а2 - Ь2у + -~+ <
••• -+-4 + ^1 + ^+ ... +У.
109. Доказать неравенство
су ~4-- а2 н- . • • 4" ап <4 ’ а\ I 4~ | ai ! 4” • • • ~i~ ! ап I •
110. Доказать неравенство
| У (i\ ai 4~ ... 4- у, — V У 4- hi 4- ... 4“ bi i <
< 4i — М + I 4 — К 4- • • • + i ап ~ b„ !.
111. Доказать, что если сумма п положительных чисел л\, х2, х„ равна s,
то произведение х'”> имеет наибольшее значение, если
41- = 41 ™ ... —- 44 где т<, т.>, . . ., т„ — данные целые положитель-
тг т2 тп 1 - 11
ные числа. Найти это наибольшее значение. Доказать то же положение,
считая, что тр — данные положительные рациональные числа.
112. Доказать, что если произведение п положительных чисел хг, х2, ..., хц
равно данному числу то их сумма х14~х2 4~ ••• 4~ЛА будет наимень-
шей, если
х} = х2^. ... — хп.
Найти это наименьшее значение.
113. Доказать, что если Ах ~4 By -\-Cz -J- D = 0, где А, В, C, D — заданные
числа, причем среди чисел А, В, С хотя бы одно не равно нулю, то
_—-------- _. __ j _ । Axq 4- В\'о + Czq 4 В |
V (X - -4- 4~ (У - УХ + 4 - 44 .> J—’
где xQ, у0, zQ — также данные числа. При каких значениях х, у и z имеет
место знак равенства?
114. Доказать, что если
~ сц 4 л/р V; = 4 4“ Ыр 4 ~ 4~ ^Г>
х2 = а2 4-jj72, ул2 =/?2jjl7712, z2 — с2 4~ ^^2’
где <71? «2, Ь2, с2, /р тр /^, /2, т2, п2 — данные числа, причем
/1 + т] 4“ п\ 4= 0, 4 4~ 4- /г2 4= 0
и
(тхп2 — П12пх)2 4" (hn\ ~~ М2)2 4” Gi^2 — 4mi)2 4= 0,
то
у (х, - Л',4 -4- (у, V,)2 -4- (z2 — z,)2 •
'I ~ •*») Xi!’2 — "‘л') + (У2 -- У1) - Л»г) + — г1) (Ат2 — )_.
V (mjZ/o — /772Z?1 )3 “Г ^2п1 — hn2)~ Ч~ (hm2 — ^2т1У~
При каких значениях л и будет иметь место знак равенства?3
§ 3. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ НЕРАВЕНСТВ И СМЕШАННЫХ СИСТЕМ 41
115. Доказать, что если х0, j0, г0, xt, yt, /, /п, п— данные числа, а числа
х, у, z определяются соотношениями
х = х± —It,
у — ух -I- mt,
z = zt-Y-nt,
где t — произвольное число, то
(х - х0)2 -+ (у - jo)2 + (* - -о)2 >
- ~~ >'о) ~~ т ~~ го)12 + tZ — гр) — л (X! ~ х0)]2 + рц (-У1 — >Ур) — п 6т — Уо)Р
’ Р + т2-\-п^
При каком значении t имеет место знак равенства?
§ 3. Эквивалентность неравенств и смешанных систем
1. Доказать, что неравенство
х — а | < е
эквивалентно неравенствам
а — $ < х а
2. Доказать, что неравенство
х2 +• у2 < а2,
где а > 0, эквивалентно системе неравенств
•— а < х < а, — у а2 — х2 < у < У а2 — х2
или системе неравенств
— # < У < и, — Vа2 — у2 < х < Уа2 — у2.
3. Доказать, что система неравенств
Л>0, /2>0
эквивалентна системе
Л + Л>0, Л/2>0.
4. Доказать, что при условии
х' = X 4“ у, Хгу' — у
система неравенств
0< х' < 1, 0</< 1
эквивалентна системе неравенств
х > 0, у > 0, х 4- у < 1.
5. Доказать, что при условии
х' = х Д- у z, хгу' = у 4“ z, x'yfzr = z
система неравенств
0<х'<1, 0</<1, 0 < z! < 1
эквивалентна системе неравенств
х’ 0, у 0, z 0, х 4" у 4~ д 1 •
6. Доказать эквивалентность следующих двух систем неравенств:
--- У 1 — X2 — у2 < Z < У 1 — X2 — у2,
— У 1 — X2 < у < У 1 ----X2,
— 1 < X < 1
42 Алгебра. Гл. IV. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
и
----]/ 1 х2 Д у < У 1 X- — Д2,
— У 1 — z2 < х < Y1 — z2,
— 1 < Z < 1.
7. Будут ли эквивалентны неравенства?
а) / (х) > 0 и arctg/(x) > 0;
б) /(х)>0 и tg/(x) > 0.
8. Доказать, что если выполнена система неравенств
Z =# X, 0< д < х Д- у, 0 < у < 1 —- х, 0 < х < 1, (1)
то будет выполнена одна из следующих систем:
О < х < 1, 0 < z < х, 0 < у < 1 — х, (2)
или
О < х < 1, z — х < у < 1 — х, х < z < 1 (3)
и обратно: если выполнена любая из этих систем, то будет выполнена
начальная система. Доказать также, что если выполнена одна из систем (2)
или (3), то другая не будет выполнена (т. е. что системы (2) и (3) проти-
воречивы).
9. Даны системы неравенств:
д Д V, 0<д<хД-у, 0< v< 1—х, 0<х<1; (1)
z — у < х < 1—у, 0<iy<Zz, 0<д<1; (2)
О < х < 1 —- у, Z<y<i, 0<д<1. (3)
Доказать, что из системы (1) следует либо система (2), либо (3) и обратно:
из системы (2) следует (1), из (3) следует (1); доказать также, что си-
стемы (2) и (3) противоречивы.
10. Даны шесть систем неравенств:
0<д<х2Д-у2, 0<j/< 1, 0<х<1; (1)
О < < 1, 0 < д < х2, 0 < х < 1; (2)
Yz — х2<у’<1, х2 <д < х2Д-1, 0<х<1; (3)
О < д < 1, 0 < у < У z, Yz — у2 <Z х 1; (4)
О < д < 1, ]/ д < у < 1, 0 < х < 1; (5)
1 < д < 2, /д—Уд — у2 < х < 1. (6)
а) Доказать, что из системы (1) при условии д Д х2 следует одна из
систем (2) и (3) и обратно: если выполнена хотя бы одна из систем (2)
или (3), то будет выполнена система (1) и условие д Д х2; доказать,
что системы (2) и (3) противоречивы.
б) Доказать, что из системы (1) при условии д Д у2, д Д 1 следует одна
из систем (4), (5) или (6) и обраыю: если выполнена любая из этих
систем, то будет выполнена система (1).
Доказать также, чго системы (4), (5) и (6), взятые попарно, противоречивы.
11. Будут ли системы
хyz Д 0, yz Д- дх -У-ху > 0, хД-у-ДдДО
и
х > 0, уУ> 0, д > О
эквивалентны?
§ 3. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ НЕРАВЕНСТВ И СМЕШАННЫХ СИСТЕМ 43
12. Доказать, что при условии Д > 0, f2 > 0, /3 > 0 уравнение
эквивалентно смешанной системе
+ 2//3 - 2/Щ - 2ДЛ = О, /3 > Л + Л-
13. Доказать, что уравнение
эквивалентно следующей смешанной системе:
= 64//^.
Л>0, /2>о, /3>о, л>0, (Л-А)(/3-Л)>0,
(fi+А - Л - Л) (fJ-2 - АЛ) > о,
А+А+А +fl - 2Л А - 2/Дз - 2/щ - 2fj3 - 2fjl - 2fsfi < о.
14. Доказать, что если
х ~ a cos и cos v, у = a sin и costa z = а sin v
и если
z У а2 — х2 — у2,
О < х < at
0<з/<Уах — х2.
Обратно: если выполнены соотношения (3), то найдутся значения и и v,
удовлетворяющие соотношениям (2), для которых х, у и z определяются
формулами (1).
Глава V
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
§ 1. Линейные уравнения
Исследовать следующие системы уравнений:
1. л*! -4- х2 4- х3 -4 х4 = О,
х{ -!~3x24-Gx3-4 10х4 — о,
хх -4 х2 -4 4х3 4~ 10х4 = О.
2.
л-j -- х> -4- -Ч = О,
2хх 4- х2 ~4 'гз 4~ 2х4 ~ 1.
3. Xj — х2 4- Зх3 — х4 1,
л । Зх 2 J Л з ] X 4 ——- О,
х । — 2 х 2 "4— 2 х з О.
4. 2х. -4 х2 + хз 4~ 4 ~ 7>
л\ 4~ 2х2 4“ 4 4~ 4 ~ 8,
х44~ х^ 4" 2х3 4~ х±z=z: 8,
Х14х24-х34-х4 = 7.
5. Xj -— 2х.) —।— Зх3 — 4х4 4~ 2х- ~= О,
2х! 4“ Зх2 — 4х34" 4 ~ 2х5 —- О,
Злу — 2х2 ~j— 4х3 4~ 4 — 6х- г=~ 8,
4л*। -~j— ЗХо — л*3 — 2х4 — 4х- О.
6. л*! -4 х2 4- х3 -4 4 О,
3Xi ~4 4л"2 -f- 5х34- 6л*4 '4 4хг?“4 2хб 3,
3 х । —]— 6 л* о —j— 10 х з -4 1 о х 4 —|— 16 х - 4” 8 х g = 13,
хг -4 4х2 4- 5х3 4- 20х4 4- 2Ох54- 18х6 — 33,
8xt 4- 15х24 21х3Ч-42х44~40х54~28х6=-49,
4 -4 Зх2 4 бх3 4- 10х4 4-12х5 4- бх6 =10,
х14-2х24- 11х44-8х54- 12х6 — 23.
7. Xj 4“ 2х2 4~ 2х3 4- ... 4 2хл™1,
2х14-2х24-2х34- ... +2хп = 2,
2x^4 2x2 4-8x3 4- ... -42x/z^3,
2xi 4- 2х2 ~4 2х3 4~ 4л*4 4- ... 4~2хл = 4,
2хх 4* 2х2 4 2х34~ ••• 4~2хл„1 -[-пхп = п.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТРЫ' 45
8. 1 -j” Xj --j— х2 4~ ... -4 хп О,
1 4- 2х1 4- 22х2 + . . . + 2пхп О,
1 4 3xt 4 з2х2 4 ... злхл о,
1 }-пх1~]~п2х2хг ... ~±-ПпХп = 0.
9. , ^Ч-х,,^ —хч.2 4- ... Ч~*!==«,
х„ I- 2х„ „! Ч- Зх„ _ 2 Ч~ • • • + nxi =-- ’
до.. _дл„ । । 'Ф~'- О .. я(пЧ- 1)(»Ч-2)
л п • ол п“1 < илп“2 I • • • I ] .9 л1 “““ 1-2-3 ’
10е х1 4- 2х2 --Е. 2х3 -и. 2х4 4- 2х5 -f- ... -4 2х100 1,
х! 4~ Зх2 4х3 4~ 4х4 4~ 4х5 4" • • • 4' 4хюо ‘3>
Х1 -4 Зх2 + 5х3 4" 6х4 4- 6х5 -4 ... 4 6х100 = 3,
X! -4 3х24~5х34~ 7х44~8х54~ • — ~43х100 = 4
л*L -j- Зх2 4 Зх3 "4 7"4 9х,- 4 . . . 4- 199х 10q ~ 100.
§ 2. Линейные уравнения, содержащие параметры
Исследовать следующие системы уравнений:
1. ' х -у- 2 у 4' 4“ 3) z 8,
2х~4 3у; 4(й-4-4)2:= 12,
Зх 4- (6а 4- 5) у 4~ 7z == 20.
2. x4y4z = G,
ах -44j4“^™ 5,
бх 4~ (# 4~ 2) у 4- 1 з.
3, (а 4* 1) х 4* у 4- z а + 1»
х 4 (^4 1) у 4~ z = а 4~ з,
х 4 У А (а 4~ О z — 2fz — 4.
4, cix 4- у __ z --- 1, 5. ах — by-~Q,
х 4 а у — z 1, а2х —- by = ab.
— х 4- у 4 (iz 1 •
6. 2х 4- 3у - 4z о,
2ах 4 ЗЬу 4 (Ь 5а) z = 2а 4- ЗЬ,
Ьх 4 За у 4 b)z = а 4" 4/?.
7. ах 4-у4^= 1.
х 4~- ^У + z — а,
х _д_ у (IZ а2.
8. ах 4“ .У 4“ ^4^---1,
х 4“ А— z 4- t а,
х 4- у -}- az ~41 = ci2,
x-^y-4-z-\-at — а3.
46 Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
9.
ах + z — 4,
х 4" bу + z = 3,
х 4“ 1by-\-z — 4.
10. ах 4~ by 4“ cz 4~ dt = 0,
bx — ay-\~dz — ct — 0,
ex — dy — azArbt = 0,
dx 4~ cy — bz — at = 0,
где a, b, c, d, — действительные числа, не равные нулю одновременно.
И. kx у -\-z = а,
х 4~ by 4- z = ь,
х У +- bz = с.
12.
х 4~ а у 4~ d2z ~ а3,
х -4-by -{-b2z = b3,
X 4“ с у 4- C2Z — с3.
13. х = bу 4- cz -{-du,
у = ах 4~ cz 4~ du,
z = ах 4~ by 4- du,
и 2=2 ах 4~ by --f- cz.
14. х 4- а у -4 a2z 4 a3t 4~ я4 — О,
х 4- by 4- b2z 4- ьч 4- ь4 = о,
х 4 су 4- c2z 4- сЧ 4~ с4 = о,
х ^dy-{-d2z-l~d4 -{-d4==0.
15. х 4“ у 4- Ч~ а (4 4“ %) Ч~ ci2z -4 — о»
х 4- у 4- г 4- ь (V -4 4 -4- b2z 4- ь3 = о,
х 4- у 4- z 4~ с (у 4- ?) + c2z 4- с3 о.
16. х 4- y-\~z = §,
ах 4~ by 4“ cz = О,
bex 4- сау 4~ abz 1.
17.
х . у . z _ х . у . z _ 1.1.1
Z>‘c ‘<2 с ' tz ' а ‘ b ‘ с
18.
х 4- у 4- z — о,
а2х । Ь2у । сп z
а — d ' /2 — d ' с — d
их , • С2
а — d b — d с — d
— d (Ь — с) (с а) (а — Ь).
19.
1^44 । 1
а 4 b 4 А ' с 4
4 ___г _4__ _ ]
14 у г ь 4 п с 4 у
.„.4~ ! 2- ]
a -j- у т b 4 > г с 4 у
где
20.
ay-Ь, Ь-г-с, с-^а, v4Z, X7La.
где
X . у , Z
а ‘ b
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТРЫ 47
21. у I Z 1 л \ х\ Ь 1 С \ 1 <2 / у z 1 Л х \ b с и \ a j У \ z Л х\ b с v \ 1 a J
22. Vp Vq X z z V~P Vq и ’ -^=+ -Д. — 2-v, Tp Vq X у z где ZZv-tL Vp Yq v ’
23. 4= + -Д- = 2«, Vp Vq у Vp Vq « ’ X . у z Vp V? v ’ 1 ' _ 2n V7> Vq
24. При каком значении а система уравнений 2хх — Хо Ч~хзЧ~~~ 1» xi Ч~ 2х2— ^з4~4х4 = 2, х 1 —4 / х 2 — 4 х2 -4- 11 х4 а совместна.
25. Найти все значения X, при которых следующая система уравнений совместна: xi Ч~ х2 4~ хз ~г Ч~ х&— Хх^ — Зх2 —j— 5х3 — х4 —Зх5 ~~ 1, X2xt — х2 Ц- Зх3 -|- 2х5 = 2.
26. Найти все значения X, при которых следующая система уравнений совместна: Зх — 2у 4~ z -j- 2t — 3, 9х — Зу 4~ 2д 4~ 3/ 7, 6х — 4у 4~ 3z 4- It 8, Хх — 4у 4~ £ 4-1 — 4.
27. При каком условии система уравнений х Ч— у Ч— ~~ Ч— Ч— » ах 4~ by -4 cz == аг 4~ & 4“ <4 Ьх 4~ су 4~ az =- а2 4~ Ь2 4~ с2, сх 4- а у 4“ bz = 4ab совместна? Предполагая это условие выполненным, решить систему. Исследовать следующие системы уравнений:
28. Х2Ч~хзЧ~ ••• хп~ *з + *4Ч~ • • • 4-*1 = ^2, Х4Ч-*з+- . • • 4-^2 —Я3, Xi +-х24- ... -! = «„•
48 Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
29*. я04'4>
~=:z Z7() ~j~ 2Х] —|— X<>,
4~3Xi 4~ Зх2 ~j~ А'з
ап =- «о 4- «-<1 4- х., -J— .. . 4- х„.
30**. X, 4 Х-, 4х3 -4 ... 4 -4 = 1
aixi 4- а2х2 4- йзхз 4- • • 4- апхч --- *4
4- аД2 4- 44 4- • • • 4- а-пхп о,
a''~>xi 4- а.‘Хх„ 4- и'з ~1х3 4- ••• 4 а"Ххп ~ 01
где числа ах, а2, а3, .... ап— попарно различны.
31*. xt — х., — х3 — ... — х„ — 2а,
— -4 + Зх2 — х3 — ... — хп = 4а,
— хх— Хо^Тхз— ... —хп—8а,
— х, — х2 — х3 —- .. . -г (2Л — 1) хп = 2па.
Выписать и решить систем}’ при л = 4.
32**. — хя4-3х1 —х2 = а1,
— -Vj 4- Зх2 — х3 = а,,
х.> Зл’з - л'4 — а3,
— хп-2 4~З-4-i х„ — а„ _р
— 4-14-Зл-,, — хх — аа.
33. ахх-\-ахг-\- ... 4-ах„_х-}-Ьхп = с„,
ахх-\-ах.>-\- ... -|-/>х„_14-ахя =с„_1.
"4— (IX 2 '4~ • • • 4~ ^Х п — 1 ~Т~ ^Хп : С 1’
где а^Ь,
34**. (3 4 2а.) хх 4 (3 4 2а2) х2 Д ... 4 (3 2а„) х,. = 3 4- 2Ь,
(1 4 3at 4- 2aj) Xj 441 4- За2 4 2а?;) х., 4- ... 4 (1 4 За„ 4 2а;() х(1 —
1 4 ъь 4 21)\
а. (143442а=) xt 4 а2 (1 4 За2 4 2а0 х2 4 • • + «„ (1 4~ За,, 4 2^) х„ =
^(1 43/>424),
"3 (1 -4- Зл. д- 2aQ хt -Е- af^ ~3 (1 -д- 3rz2 -j- 2^) х2 д-~ . . .
... 4- (1 4- Зл/? 4- 2^) • Хп ь- -\1 4- 3/) 4- 2^),
а^ЦХ + Ъа^х^а^ЦХ-у-За.Ух.^г + ^~2 (1 4~ 3^) хп =
= ЬП^(\ 4-36).
35. Найти условия, которым должны удовлетворять данные числа а2, а3
и бг4, чтобы система уравнений
Л\ 4“ Х2 = Л1Г/2’ Х1 + Х3 ™ Xl + 'V4 =
х2 х3 — a2(i?>, х2 “4 х4 — х3 4 х±~- а3а^
была совместна. Найти при этом зна 1ения неизвестных хр х2, х3, х4.
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 49
38. Доказать, что если любое решение уравнения
Vi + а2х2 4- ... 4-аяхя = 0
является решением уравнения
Mi -ь ь,х2 -и ... 4- ьпхп = о,
то коэффициенты этих уравнений пропорциональны, т. е. существует число
k 4-О, при котором
b{ = kav b2 = ka2, . .., b[l = katl.
Сформулировать и доказать обратное положение.
37. Доказать положение, изложенное в предыдущей задаче, в случае уравнений
вида
а1х14-а2х24- ... +апх„ = р, Ь1х1 -|-Ь2х24- ... -\-bnx„ = q.
3S. Исследовать систему уравнений
КгД. = AX-L-By-\-Cz-±-D = Q.
I m n ' 1
39. Исследовать систему уравнений
aye + bty Д- ctz = 0, a2x 4~ b2y Д- c2z = 0.
§ 3. Линейные неравенства
Решить следующие неравенства:
1, 2х — о 4 0 •
2. — х-|-4<0.
3. — 2х —3>0.
Решить следующие системы неравенств:
4. х 4-5>0, X — 3<0.
5. 2x4-1 < 0, хф-З >0.
6. X — 1 > 0, X 4- 2 < 0, Зх 4- 2 > 0.
Решить следующие неравенства:
7. ax-^b>0.
8. (а2 - 2^ — 3) х 4- а2 >0.
9. Пусть (хр р\) и (х2, v2)— два решения линейного неравенства
Ах-\-Ву 4-С>0, (1)
т. е.
Ахх 4- В у, -4 С > 0, Ах2 4- Ву2 4-С>0.
Доказать, что тогда (/?Х14<7*2’ РУг <7Уя), где р > 0, 7 > О, p^\-q=l
также будет решепиехМ неравенства (1).
10. Пусть (хь p/р zt), (х2, у2, zA, (х3, v3, z2) — три решения неравенства
Ах 4Bv + C- +-D >0.
Доказать, что тогда (рх{ 4 qx2 4- rx3, +
где р>0, q > 0, r>0, p~\-q-A~r=\t также будет решением данного
неравенства.
11. Доказать, что если
/1X1 Уi 4 Ах2 ~4 ву2 4 о,
то найдутся числа р и q такие, что р > 0, 7 > 0, p~A-q=^\ и
Д (рхх 4 7*2) “F (РУ1 + ЯУ^ 4" с = °-
4 П. С. Моденов
50 Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
12. Доказать, что если
Ах^ Ч~ Byt Д- Czt ф- D Ф Ах2 Ч~ Ву2 Ч~ Cz2 Ч- В),
то найдутся числа р и q такие, что p~Y~q=^ 1 и
Л (рх, 4- qx2) 4- В (pyt 4- qy2) 4~ С 4- qz2) 4~ D = 0.
13. Пусть (хр j/p 2J — решение уравнения
Alx^B1y^C1z = 0, (1)
не являющееся решением уравнения
Л2-^ Ч~ В2у 4~ C2z = 0, (2)
а (х2, v2, 4) — решение уравнения (2), не являющееся решением уравне-
ния (1). Пусть в уравнениях (1) и (2) коэффициенты при неизвестных не про-
порциональны. Пусть рг и qr— такие числа, что (руА -ф- q>x2, р1у1 ф- q1y2,
Pizi 4~ anz<z) — решение уравнения
(А + А2) х ф-- (В. + В2) у Ч- (Сх + С2) - о,
а р2 и q2 — такие числа, что (руА^- q2x2, руА-у- Р2У2’ /?Л14~#2г2)— реше-
ние уравнения
(А - л2) х ч- (А - В2) у ч- (А - С2) ? - 0.
Доказать, что если рг и qr имеют одинаковые знаки, то р2 и q2 имеют
противоположные знаки и наоборот. Найти сумму
JA !. Р?
Я1 ’
14. Даны три уравнения с двумя неизвестными:
+ + (1)
^2Х 4“ В2У Ч~ А = 0» (2)
Л3х Ч~ В3у 4~ С3 — 0. (3)
Известно, что уравнения (1) и (2) имеют единственное решение (х15 у у,
уравнения (2) и (3) имеют единственное решение (х2, jo) и уравнения (3)
и (1) имеют единственное решение (х3, _у3).
Известно также, чго
Axi Ч~ Btyt Ч~ А > 0.
У^2Х2 4“ В2У2 4“ А А 0»
Д3х3 ф- В3у3 4- С3 > 0.
Доказать, что тогда
А (рхг Ч~ qx2 4- ''А-з) I- Bi (ру, Ч~ qy2 4~ СУз) + Ci > °>
л2 (Рх1 “4 <?х2 4 гхз) 4- В2 (ру^ Ч~ qy2 4" гУз) 4” С2 > °’
(рх1 4- ях2 4- гхз) -4- в-з (РУ14- qy2 4~г Уз) +
где
р > о, q Ч> 0, г > 0, р ф- q Ч~ г — 1,
и обратно: если
А.х Ч- В^ф^ >0, Л2хф--^4-с2 >0» ЛМ ^зУ4С3> 0,
то х и у можно представить в виде
x^px^qx. Ч-/х3,
у = РУ14~- яу2 4- гу3,
гдх р'^>0) qy>0, г > 0, р q ~^г г-----1. Обобщить это положение на
случай четырех линейных уравнений с ;ремя переменными.
§ 4. СОСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
51
§ 4. Составление линейных уравнений
П. 1. Составление линейных уравнений с одним неизвестным
1. Со станции вышел пассажирский поезд, проходящий v км!час. Через t час.
с той же станции, по тому же направлению вышел скорый поезд, проходя-
щий 74 (74 > г>) км[час. Через сколько часов после своего выхода скорый
поезд догонит пассажирский?
2. Предприятие за первый год после открытия дало 2450 руб. дохода и потре-
бовало 4100 руб. расхода; затем доход ежегодно увеличивался на 600 руб.,
а расход уменьшался на 500 руб. Через сколько лет сумма всех расходов
со дня открытия предприятия покроется доходом за это время?
3. Самолет летел сначала со скоростью 180 км!,час. Когда ему осталось про-
лететь на 320 км меньше, чем он пролетел, он изменил скорость и закон-
чил рейс со скоростью 250 KMjuac, причем средняя скорость его на всем
пути оказалась равной 200 км1час. Какое расстояние пролетел самолет?
4. Пассажир едет в поезде, который идет со скоростью 40 км/час, и видит,
что мимо окна в противоположном направлении в течение 3 сек. проходит
встречный поезд, имеющий длину 75 м. Какова скорость встречного поезда?
5. От пристани оюшел речной пароход н одновременно от нее же отправился
по берегу пешеход. Пройдя 24 км, пароход повернул обратно и через
некоторое время снова оказался с пешеходом в одном пункте, именно в 8 км
от пристани. Определить собственную скорость парохода, если скорость
пешехода и скорость течения реки равны 4 км)час.
6. В 8 час. вечера были зажжены две свечи одинаковой длины. Одна сгорает
за 5 час., другая — за 4 час. Через некоторое время свечи были потушены,
причем оказалось, что от первой свечи остался огарок в 4 раза длиннее,
чем от второй. Когда были потушены свечи?
7. Пешеход идет со скоростью 5 км!час, останавливаясь на отдых через
каждые 4 км, Продолжительность каждой остановки, кроме четвертой,—
10 мин. Четвертая остановка—1 час. Какое расстояние прошел пешеход,
если, отправившись в путь в 4 час. утра, он пришел на место к полудню?
8. Отец предполагал распределить некоторую сумму денег между своими тремя
сыновьями в отношении 7:6:5. Затем он изменил свое решение и ту же
сумму разделил в отношении 6:5:4. Кто из сыновей получит больше
в результате второго деления? Кто меньше? Известно, что один из сыновей
в результате деления (второго) получил на 12 руб. больше другого. Сколько
получил каждый?
9. Один сплав содержит два металла в отношении т\ п, другой сплав из тех же
металлов содержит эти металлы в отношении р: q. Сколько килограммов
первого сплава надо добавить к $ кг второго, чтобы количества металлов
в новом сплаве относились бы как а : Ь?
10. Имеется два сплава — меди и серебра. В первом сплаве отношение веса
меди к весу серебра равно р, во втором q. В каком отношении надо взять
вес первого сплава к весу второго, чтобы в новом сплаве, который получится
при переплавлении взятых сплавов в один, отношение веса меди к весу
серебра было бы равно г? При каком условии решение возможно?
11. Морская вода содержит 5% по весу соли. Сколько килограммов пресной
воды нужно прибавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли
в последней составляло 2%.
12. Одна бочка содержит 12 ведер спирта и 20 ведер воды, другая — 9 ведер
спирта и 4 ведра воды. Сколько ведер нужно перелить из первой бочки
во вторую, чтобы получить в ней смесь, содержащую спирт и воду поровну
(по объему)?
13. От двух кусков сплава с различным процентным содержанием меди, веся-
щих т и п кг, отрезано по куску равного веса. Каждый из отрезанных
52 Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
кусков сплавлен с остатком другого куска, после пего процентное содержа-
ние меди в обоих сплавах стало одинаковым. Сколько весил каждый из
отрезанных кусков,?
14. Некоторый сплав состоит из двух металлов; отношение частей металлов 1 : 2;
другой сплав содержит те же металлы в отношении 2 : 3. Из скольких
частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержащий те же
металлы в отношении 17 : 27?
15. В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления
из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5% железа, процент
содержания железа в оставшейся руде повысился на 20. Определить, какое
количество железа осталось еще в руде.
16. Два самолета летят в одном направлении по прямой со скоростями v и w,
причем -ц > тд. Первый самолет пролетает над городом А в момент t > 0,
второй—над городом В в момент Т > t, считая от некоторого общего
начала отсчета времени. Когда самолеты сойдутся, если известно, что рас-
стояние между А и В равно d?
17. Несколько человек взялись вырыть канаву и могли бы окончить работу
за 24 час., если бы делали ее все одновременно. Вместо этого они при-
ступили к работе один за другим через равные промежутки времени и затем
каждый работал до окончания всей работы. Сколько времени они рыли
канаву, если первый приступивший к работе затрата на нее время, в пять
раз большее, чем последний?
18. Имеется два сосуда: А и В, каждый вместимостью 20 л. Сосуд А наполнен
спиртом, а сосут В пустой. Из сосуда А отливают некоторое количество
литров спирта в сосуд В, а затем дополняют сосуд В водой; этой смесью
9
дополняют сосуд А. Затем из сосуда А отливают в сосуд В Gл. После
этого оба сосуда содержат одинаковое количество спирта. Сколько литров
спирта отлили из сосуда А в сосуд В в первый раз?
19. Для наполнения резервуара была сначала открыта первая труба, через
которую каждую минуту поступает 600 л 30-процентного раствора спирта;
затем, через 45 мин., вступила в действие вторая труба, дающая в минуту 800л
40-процентного раствора спирта. Через сколько времени в резервуаре полу-
чится 35-процентный раствор спирта?
20. Два завода: А и В, взялись выполнить заказ за 12 дней. Через два дня
завод А был закрыт на ремонт и в дальнейшем над выполнением заказа
работал только зазод В. Зная, что производительность завода В соста-
9
вляет 66-“-% от производительное!и завода А, определить, через сколько
дней будет выполнен заказ?
21. На метеорологической ci акции было замечено, что в июне средняя суточная
температура ежедневно повышалась на 0,25 . Средняя температура за весь
июнь (т. е. среднее арифметическое из 30 наблюдений) оказалась рав-
ной 16,125'. Какая средняя суточная температура была 20 июня?
22. Два пункта: А и В, отстоят друг от друга на расстоянии 120 км и нахо-
дятся на реке, которая течет с постоянной скоростью 3 км!час. Из пункта В
против течения вышел теплоход с постоянной скоростью относительно
воды 15 KMi-icic. Некоторое время спустя из пункта А по течению вышел
катер и встретил теплоход в середине пути АВ. Если бы катер вышел на
2 часа раньше, то он встретил бы теплоход на расстоянии в 40 км от
пункта. С какой скоростью двигался катер?
23. Кусок льда имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным
основанием. Если опустить его в воду, добавив к нему груз 75 кг, то
в воду погрузится 0,95 его объема. Определить высоту куска льда с точ-
ностью до одного миллиметра, зная, что плотность льда равна 0,92 и что
сторона квадрата, лежащего в основании, равна 1,2 м.
§ 4. СОСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
53
24. Завод расположен на пути между двумя городами: А и В; он потребляет
лед, который может быть закуплен либо в Д, либо в В. В А цена льда а
руб. за одну тонну, взятую в Л; в В цена льда составляет b руб. за одну
тонну, взятую в В. Стоимость транспорта составляет р руб. за пг^км\
предполагается, что потеря в весе, происходящая от таяния льда, соста-
вляет п тысячных веса на 1 км пути. Расстояние между городами Л и В
равно d. Определить расстояние завода от города Л, если цена за одну
тонну льда, доставленного на завод, одинакова, из какого бы города Л
или В лед ни был доставлен.
25. Две группы туристов направляются одновременно из пункта Л в пункт В,
находящийся в 5 км от Л. Первая группа сначала идет пешком со ско-
ростью v км)час. Вторая группа едет на автомобиле со скоростью и км[час.
Последняя, проехав некоторую часть пути, продолжает далее двигаться
пешком, со скоростью v KMjnac. Автомобиль же возвращается до встречи
с первой группой, которая с этого момента продолжает путь на автомобиле
и прибывает в В одновременно со второй группой. Определить время,
затраченное каждой группой на путь от Л до В.
26. Имеется 4 сосуда раствора спирта; объемы первых трех относятся как
2:3:5, а содержание в них чистого спирта по объему 80%, 72% и 50%.
Четвертый сосуд содержит 5,34 л чистого спирта и 0,66 л воды. Смесь
спирта из всех четырех сосудов содержит 35% воды по объему.
1А Найти вместимость трех первых сосудов.
2е. Сколько надо добавить к смеси спирта, чтобы получить раствор
спирта, содержащий 7 объемов спирта на 1 объем воды?
27. Из общего количества товара а % его было продано с прибылью в р %,
а из оставшейся части b % было продано с прибылью q %. С какой при-
былью следует продать всю остальную часть товара, чтобы общий процент
прибыли составлял г % ?
28. Прирост продукции на заводе по сравнению с предыдущим годом за первый
год составлял р %, а за второй год — q %. Какой прирост продукции
(в процентах) должен быть за третий год, чтобы средний годовой прирост
продукции за три года был равен г % ?
29. Букинистический магазин продал книгу со скидкой 10% от назначенной
цены и получил при этом 8% прибыли. Сколько процентов прибыли перво-
начально полагал получить магазин?
30. Поезд, направляющийся на станцию А, был задержан на станции В на
1 час. 42 мин. При дальнейшем движении скорость поезда была увеличена
на 20%, а затем на последнем перегоне, составляющем 0,1 расстоя-
ния АВ, — на 25%. В результате поезд прибыл на станцию В без опозда-
ния. Определить, за какое время при нормальных условиях поезд проходит
расстояние АВ.
31. Инженер завода приезжает ежедневно поездом на вокзал в 8 час. утра.
К этому моменту к вокзалу подъезжает автомобиль и отвозит инженера
на завод. Однажды инженер приехал на вокзал в 7 час. утра и пошел на-
встречу машине, встретил ее и приехал на завод на 20 мин. раньше, чем
обычно. Определить показание часов в момент встречи инженера с автомо-
билем. Скорость движения автомобиля считать постоянной.
32Л Сколько раз в сутки стрелки часов образуют между собою прямые
углы?
33.* Двое часов начали и кончили бить одновременно. Первые бьют через каж-
дые 2 сек., вторые — через каждые 3 сек. Всего было насчитано 13 ударов
(сливающиеся удары воспринимаются как один). Сколько времени на пер-
вых часах?
34. Пловец плыл против течения Невы. Возле Республиканского моста он поте-
рял пустую флягу. Проплыв еще 20 мин. против течения, он заметил свою
54 Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
потерю и вернулся, чтобы догнать флягу; догнал он ее возле моста Лейте-
нанта Шмидта. Какова скорость течения Невы, если расстояние между
мостами равно 2 км?
П. 2. Составление систем линейных уравнений с несколькими неизвестными
1. Поезд проходит мимо наблюдателя в течение сек., а мимо моста, длиной
в а м,— в t2 сек. Определить скорость и длину поезда.
2. Два туриста выходят одновременно навстречу друг другу из пунктов А
и В. Если бы первый вышел на один час раньше, а второй па полчаса
позже, они встретились бы на 18 мин. раньше. Если бы первый вышел на
полчаса позже, а второй — на час раньше, то место их встречи передвину-
лось бы на 2800 м. Какова скорость каждого туриста?
3. В двух мешках находится 14-0 кг муки. Если из первого мешка переложить
во второй 12,5% муки, находящейся в первом мешке, то в обоих мешках
будет поровну. Сколько килограммов муки в каждом мешке?
4. Турист отправляется в поход из А в В и обратно и проходит весь путь
за 3 час. 41 мин. Дорога из А в В идет сначала в гору, потом по ровному
месту, а затем под гору. На каком протяжении дорога тянется по ровному
месту, если скорость ходьбы туриста составляет: в гору 4 км/час, по ров-
ному месту 5 км/час и под гору 6 км/час, а расстояние от А до В по
указанной дороге равно 9 км?
5. Латунь состоит из меди и цинка. Сколько содержится меди и цинка в 124 кг
латуни, если 89 кг меди теряют в воде 10 кг, 7 кг цинка— 1 кг, а 124 кг
латуни — 15 кг?
6. Сосуд снабжен двумя кранами: через первый кран вода вливается, через
второй — выливается. Если оба крана открыты одновременно, то каждый
час в сосуде убывает а л воды. Во сколько часов через первый кран прой-
дет b л воды, если известно, что через второй кран выливается на с л
больше, чем вливается через первый, при условии, что второй кран будет
открыт на d час. дольше первого, а первый будет открыт е час?
7. Скорый поезд выходит в час дня из города А и направляется в город В
со скоростью 60 км/час‘, 15 мин. спустя из А выходит вслед за ним пас-
сажирский поезд, который идет со скоростью 40 км/час, Поезд, вышедший
из В, направляется в А со скоростью 50 км/час и встречает скорый поезд
после одного часа пути, а пассажирский — спустя 20 мин. после этого.
В котором часу вышел поезд из В?
8. Дорога от А до В, длиной 11,5 км, идет сначала в гору, потом по ров-
ному месту и затем под гору. Пешеход, идя из А в В, прошел всю дорогу
за 2 час. 54 мин., а на обратную дорогу затратил 3 час. 6 мин. Скорость
его ходьбы в гору — 3 км/час, по ровному месту — 4 км/час, под гору —
5 км/час. На каком протяжении дорога тянется по ровному месту?
9. Поезд вышел со станции Д по направлению В в 13 час. В 19 час. он дол-
жен был остановиться из-за снежного заноса. Через 2 час. путь удалось
расчистить, и, чтобы нагнать опоздание, машинист повел поезд по остав-
шейся части пути со скоростью, превышающей скорость поезда до оста-
новки на 20%. В результате поезд пришел в В с опозданием лишь на
1 час. На следующий день поезд, шедший из А в В по тому же расписа-
нию, остановился на 150 км дальше от А, чем первый поезд. Простояв
2 час., он тоже пошел со скоростью на 20% выше прежней, но нагнал
лишь полчаса и опоздал в В на 1 час. 30 мин. Какое расстояние между
А и В?
10. Дорога от А до В сперва поднимается в гору на протяжении 3 км, потом
идет по ровному месту на протяжении 5 км и после того опускается под
гору до самого пункта В на протяжении 6 км. Посыльный, отправившись
из А в В и пройдя полпуги, обнаружил, что забыл взять один пакет. Он
§ 4. СОСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 55
тотчас повернул обратно и по прошествии 3 час. 36 мин. после своего
выхода из А вернулся в А. Затем, выйдя из А вторично, он прошел весь
путь до В за 3 час. 27 мин. и обратный путь в А за 3 час. 51 мин.
С какой скоростью шел посыльный в гору, по ровному месту и под гору,
если считать эти скорости постоянными?
11. Сплав весом Р кг из двух металлов теряет в воде А кг. Такой же вес Р кг
первого из двух составляющих металлов теряет в воде В кг, а второго —•
С кг. Найти вес составляющих сплав металлов и исследовать возможность
решения задачи в зависимости от величин Р, А, В, С.
12. Сосуд, наполняемый последовательно двумя жидкостями, плотности которых
равны (I и D, весит соответственно q и Q кг, включая сюда и вес самого
сосуда. Найги вес сосуда и его объем. Найги условия возможности задачи.
13. Производительность станка А составляет т% от суммы производительно-
стей станков В и С, а производительность станка В составляет п% от
суммы производительностей станков А и С. Какой процент составляет произ-
водительность станка С по отношению к суммарной производительности
станков А и В?
14. В магазине имеется s м сукна двух сортов: ценой а руб. за 1 м и ценой
b руб. за 1 м. Сукно первого сорта было продано с прибылью в р%,
сукно второго сорта — с прибылью в q%, причем общее количество при-
были оказалось равным с руб. Сколько метров сукна каждого сорта име-
лось в магазине?
15. Заяц находится от собаки на расстоянии 80 своих прыжков. В то время
как он делает 3 прыжка, собака успевает сделать только 2, но собака про-
двигается одним своим прыжком на столько же, на сколько заяц двумя.
Сколько прыжков сделает заяц, пока собака его догонит?'
16. Два человека, А и В, идут вместе по дороге, ведущей из пункта С
в пункт D. В пункте Е мимо них проходит трамвай, соединяющий пункты
С и D. В этот момент А возвращается назад, а В продолжает идти в D.
Трамвай приходит в D и после ^-минутной остановки возвращается обратно
в С. В пункте Т он встречается с В, который останавливает его, садится
на него и прибывает в С одновременно со своим спутником А. Пешеходы
идут со скоростью г/р Трамвай идет со скоростью v2. Расстояние между
С и D равно d. Определить расстояние от пунктов £ и Т до пункта С.
17. Точки А и В движутся по прямой навстречу друг другу. В начальный
момент расстояние между ними было равно 1265 м. Точка А каждый час
проходит на 10 л/, а точка В на 3 м больше, чем в предыдущий. Сколько
метров проходят точки А и В в первый час и сколько в последний, если
известно, что они встречаются через 5 час. и что за эти 5 час. точка А
проходит на 55 м больше точки В?
18. 36 г цинка в воде весят 31 г, а 23 г свинца — 21 г. Сплав цинка и свинца
весом 292 г в воде весит 261 г. Сколько цинка и сколько свинца содер-
жится в сплаве?
19. Одна железная руда содержит 72% железа, другая — 58%. Некоторое
количество первой руды смешивается с некоторым количеством второй и
получают руду, содержащую 6296 железа. Если бы для смеси взяли каждой
руды на 15 кг больше, чем было взято, то получилась бы руда, содержа-
щая 63,25% железа. По скольку килограммов руды было взято первона-
чально для составления первой смеси?
20. Частное от деления целого числа р па целое число q равно 4, а остаток
равен 30. Если сложить делимое, делитель, частное и остаток, то полу-
ченная сумма будет равна 574. Найти делимое и делитель.
21. Двое рабочих могут выполнить некоторую работу за 30 дней. После шести-
дневной совместной работы один из рабочих (работая один) может закон-
чить ее за 40 дней. Во сколько дней каждый из них, работая один, может
выполнить эту работу?
56 Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
22. Несколько человек устраивают экскурсию. Если каждый из них внесет на
расходы 12 руб. 50 коп., то не хватит 100 руб., если же каждый внесет
по 16 руб., то останется сверх стоимости экскурсии 12 руб. лишних.
Сколько человек устраивают экскурсию и сколько стоит экскурсия?
23. * Три тела движутся по одному и тому же направлению и начинают свое
движение от одной и той же точки со скоростями, соответственно равными
4, 5 и 6 см’сек. Второе тело двинулось с места па 2 час. позже первого.
Через сколько времени после момента отправления первого тела должно
тронуться третье, чтобы одновременно со вторым догнать первое?
24. Два пешехода одновременно вышли из одного города в другой. Первый
проходит в час на 1 км больше второго и прибывает в город на 3 час.
раньше. Если бы каждый из них проходил в час на 1 км больше, то пер-
вый прибыл бы в город только на 2 час. раньше второго. Найти расстоя-
ние между городами и узнать, сколько километров в час проходил каждый
пешеход.
25. Велосипедист совершил поездку из А в В и обратно. Путь состоял из ров-
ных (горизонтальных) участков, подъемов и спусков. На ровных участках
он ехал со скоростью 12 KMftac, на подъемах — 8 км)час, а на спус-
ках— 15 км.чис. Из Д в В велосипедист ехал 5 час., а из В
в Д— 4 час. 39 мин. Определить общую длину подъемов и спусков, если
горизонтальная часть пути составляет 28 км.
26. Велосипедист выехал из Д в В и ехал с постоянной скоростью 20 км[час.
Когда он проехал 8-~- км, его нашал автомобиль, вышедший из А на 15 мин.
О
позднее и шедший тоже с постоянной скоростью. После того как велоси-
педист проехал еще 25 км, он встретил автомобиль, уже возвращавшийся
из В, где он стоял полчаса. Найти расстояние между А и В.
27. Рост одного кристалла — 4?0 к его весу (за 1 год), рост другого — 5%
в год. Известно, что прирост в весе первого кристалла за 3 месяца равен
приросту веса второго кристалла за 7 месяцев.
1°. Каково отношение весов кристаллов?
2°. Если каждый кристалл весил бы на 1500 г больше, то отношение их
38
весов равнялось бы -уу. Каковы веса этих кристаллов?
28. Имеется два сосуда с водой. Температура воды в первом сосуде в течение
1 мин. понижается на а во втором — на /Г. Если сосуды подогревать
на плитке, то температура воды в течение 1 мин. в первом сосуде повы-
шается на /А, во втором — на т°. Желая нагреть воду в обоих сосудах
до одинаковой температуры и располагая только одной плиткой, поставили
на нее сначала первый сосуд, затем по истечении некоторого времени сняли
его с плитки и поставили на нее второй сосуд. Через некоторое время вода
в обоих сосудах достигла требуемой одинаковой температуры. Определить
общее время нагревания обоих сосудов, если известно, что температура
воды (перед началом нагревания первого сосуда) в первом сосуде была
• на а0, а во втором на If ниже требуемой.
29. Сосуды .4 и В одинакового веса содержат различное количество воды. Вес
4
сосуда А с водой составляет веса сосуда В с водой. Если всю воду
о
из В вылить в А, то вес А будет в 8 раз больше, чем вес В. Зная, что
воды в В было больше на 50 г, чем в А, определить вес сосудов и перво-
начальное количество воды в каждом.
30. Два туриста вышли одновременно — один из А в В, другой из В в А.
Каждый шел с постоянной скоростью и, придя в конечный пункт, немед-
ленно поворачивал обратно. Первый раз они встретились в а км от В\
второй раз в b км от А через п час. после первой встречи. Найти рас-
стояние между А и В и скорости обоих туристов.
§ 4. СОСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
57
31. Было собрано и засушено некоторое количество грибов двух видов.
Известно, что свежие грибы первого вида содержат воды, а второго
вида — Ь% воды. Сушеные грибы как первого, так и второго вида содер-
жат р% воды. Сколько грибов того и другого вида было собрано и сколько
получено после сушения, если всего было собрано с кг грибов, а количе-
ство сушеных грибов первого вида получилось в q раз больше количества
t сушеных грибов второго вида.
32. Число лет отца на 5 больше суммы лет всех трех его сыновей. Через
10 лет отец будет вдвое старше старшего сына, через 20 лет он будет
вдвое старше второго сына, через 30 лет он будет вдвое старше младшего
сына. Сколько в настоящее время лет отцу и каждому из трех его сыновей?
33. Велосипедист едет по ровному месту со скоростью и км[час, в гору со
скоростью v км!час и под гору со скоростью w км!час. Сколько километров
ровного пути, подтема и спуска содержит дорога в а км длиной, если
велосипедисту нужно t час. для того, чтобы проехать ее в одну сторону,
и Т час., чтобы проехать ее обратно.
34. Надо вырыть ров в 12 дней; А и В, проработав 6 дней, пригласили С,
с которым через 6 дней окончили всю работу. Промежуток времени,
в который А один мог бы вырыть ров, относится к промежутку времени,
в который В мог бы олип вырыть ров, как 2 ; 3, а промежуток времени,
в который А и С вместе могли бы вырыть ров, относится к промежутку
времени, в который В и С могут вырыть ров, работая вместе, как 7 : 8.
Во сколько дней каждый из них, работая отдельно, мог бы вырыть ров?
35. Вода может втекать в бассейн через четыре трубы. Если открыты трубы
7, 2, 3, то бассейн наполняется за d час., при открытии труб 2, 3, 4— за
а час., при открытии труб 3, 4, 1- за b час., а при открытии труб 4,
2, 1 — за с час. Определить время наполнения бассейна при открытии ка-
ждой из труб в отдельности.
36. К резервуару присоединено три трубы; через первую и вторую из них вода
и 1
вливается, а через третью — выливается. Если через час. после совмест-
ной работы первых двух труб начинает работать третья, то резервуар
наполняется за 1-~ часа совместной работы всех трех труб. Если после 2 час.
работы третьей трубы начинает работать вторая, то резервуар опорожня-
ется за 3 часа их совместной работы. При совместной работе первой и
третьей труб резервуар наполняется за 3-|- час. Определить производитель-
ность каждой трубы.
37. Вместимость трех бочек с водой составляет 1440 л. Две из этих бочек
наполнены, третья пустая. Чтобы наполнить пустую бочку, понадобится все
содержимое первой бочки и ~ содержимого второй или же все содержимое
второй бочки и -- содержимого первой. Определить емкость каждой бочки.
О
38. За сколько дней каждый из трех рабочих отдельно может выполнить неко-
торую работу, если первый и второй выполняют ее в с дней, второй и тре-
тий—-в а дней, а третий и первый — в b дней?
39. Имеется двузначное число такое, что после перестановки его цифр снова
получается двузначное число; большее из этих чисел вычитают из меньшего
и в полученной разности опять переставляют цифры, в результате чего
опять получается двузначное число. Найти сумму этого последнего дву-
значного числа с предыдущим (т. е. с тем, из которого оно получено переста-
новкой цифр).
40. В резервуаре, наполненном водой, открыли четыре крана. Через 2 час.,
когда вылилась четвертая часть имевшейся в нем воды, первый кран был
закрыт. Через 4 час. после этого, когда вылилась еще одна четвертая часть
58 Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
всей воды, был закрыт второй кран. Через 6 час. после этого, когда было вы-
з
лито всей воды, был закрыт третий кран. После этого через 10 час.
из резервуара вылилась вся вода. Во сколько часов выльется из резервуара
вся вода, если будет все время открыт одни первый кран? Один второй?
Один третий? Один четвертый?
41. В сосуде имеется три крана. Через первый и второй краны вода вливается,
через третий выливается. Один первый кран может наполнить сосуд за
10 час., а один второй — за 15 час. При совместном действии всех трех
кранов из полного сосуда выливается вся вода за 30 час. Сосуд был полон,
когда открыли первый и третий краны. Через 1 час после их открытия
первый кран был закрыт, но открыт второй, а еще через 1 час закрыли
и третий кран и вновь открыли первый. Через сколько часов после закры-
тия крапа два первых крана наполнят сосуд?
42. Почтальон, идя безостановочно из пункта А через пункт В в пункт С,
проходил от А до В по 3,5 км/час. и от В до С по 4 км/час. Чтобы
успеть за столько же времени вернуться из С в Л, идя по той же дороге,
он должен был бы проходить по 3,75 км в час в течение всего пути.
Однако, дойдя на обратном пути до В. он задержался в этом пункте на
14 мин. и, чтобы успеть в назначенное время вернуться в Л, должен был
от В до Л проходить уже по 4 км/час. Найти расстояние между Л и В, В и С.
43. Из пунктов Л и В навстречу друг другу одновременно отправились пеше-
ход и велосипедист. После встречи пешеход продолжал свой путь в В,
а велосипедист доехал до Л, повернул назад и тоже поехал в В. Пешеход,
выйдя из Л, пришел в В на t час. позже велосипедиста. Сколько времени
прошло до встречи, если известно, что скорость пешехода в k раз меньше
скорости велосипедиста. При каком условии задача имеет решение?
44. Два велосипедиста, выехав одновременно из пункта Л, едут с разными, но
постоянными скоростями в пункт В и, достигнув его, сейчас же повора-
чивают обратно. Первый велосипедист, обогнав второго, встречает его на
обратном пути на расстоянии а км от В, затем, достигнув Л и снова по-
вернув обратно к В, он встречает второго велосипедиста, пройдя k-ю
часть расстояния от Л до В. Найти расстояние от Л до В.
45. Река течет от пункта Р к пункту Q, расстояние между которыми равно
12 км. Скорость течения постоянна. Л выезжает на лодке из Q в 12 час.
дня по направлению к В; В отправляется также из Q в Р 5 мин. спустя
и нагоняет Л в 1 км от Q. После того как В доплыл до Р и повернул
обратно к Q, он встретил Л в 2 км от Р. Через 35 мин. после того,
как Л приплыл в В, В приплывает обратно в Q. Найти время, когда Л
плыл мимо В, и скорость течения реки.
46. Пассажирский поезд идет из Л в В и после 5 мин. остановки в В идет
далее в С. Спустя 14 мин. после того как он покинул В, ему встречается
скорый поезд, скорость которого вдвое больше скорости пассажирского
поезда. Скорый поезд выехал из С в тот момент, когда пассажирский поезд
был, не доезжая В, на расстоянии 25 км от А. Кроме того, известно,
что скорому поезду нужно 2 час., чтобы пройти расстояние СВ, и что
если он из Л сразу возвратится, то прибудет в С на 45 мин. позже при-
бытия пассажирского поезда. Сколько километров в час делает каждый
поезд и как удалены друг от друга пункты Л, В, С?
47. Пассажирский поезд, идя по железной дороге от Л к С, останавливается
на 7 мин. на станции В, находящейся между Л и С. Через 2 мин. после
отхода пассажирского поезда из В он встречается с курьерским поездом,
который отошел из С в Л в тот момент, когда пассажирский находился
в 56 км по другую сторону от В. Курьерский поезд идет вдвое скорее
пассажирского и совершает путь от С до В в полтора часа, по если бы
он, достигнув Л, тотчас отошел обратно в С, то прибыл бы туда через 3 мин.
§ 4. СОСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
59
после пассажирского поезда. Найти расстояния от А до В и от В до С
и скорость каждого поезда.
48. (Задача Л. Н. Толстого). Косцы должны выкосить два луга. Начав с утра
косить большой луг, они после полдня работы разделились: одна поло-
вина осталась на первом лугу и к вечеру его докосила, а другая половина
перешла косить на второй луг, площадью вдвое меньше первого. Сколько
было косцов, если известно, чго оставшуюся часть работы выполнил один
косец в течение следующего дня?
49. А и В отправляются одновременно из пункта С в пункт D и обратно.
А, возвращаясь, встречает В в 180 м от D и приходит в С тремя мину-
тами ранее В. Но если бы он, прийдя в С, тотчас опять пошел в D, то
встретил бы В, пройдя расстояние, равное одной шестой пути между С и D.
Найти расстояние между С и D и время, в течение которого оно было
пройдено А и В.
50. Два встречных поезда — один пассажирский, идущий из А в В, и другой
скорый, идущий из В в А, были задержаны на промежуточной станции С
на 2 часа. Увеличив скорости обоих поездов на 25%, машинисты привели
их соответственно в В с опозданием на 48 мин. и в А с опозданием на
1 час. 36 мин. Определить первоначальные скорости поездов, если скорость
скорого на 20 км в час больше скорости пассажирского и расстояние АВ
равно 360 км. Определить также расстояние между станциями А и С.
51. Два завода получили заказы на одно и то же число машин. Первый начал
работать на 20 дней, а кончил па 5 дней раньше второго. К моменту, когда
оба завода выполнили вместе одну треть всего данного им заказа, первый
завод выпустил в 4 раза больше машин, чем второй. Всего первый завод
работал х дней, выпуская по т машин в день, а второй —у дней, вы-
пуская по 1Ъ машин в день. Найти те из величин х, у, т, п и те из отно-
шений х : у и т : п, которые по условиям задачи могут быть определены.
52. Бригада косцов и конная косилка скосили два луга. Косилка начала работу
па 1 час 30 мин. позднее косцов. После того как был скошен первый луг,
косцы и косилка немедленно перешли на второй луг. Со второго луга
косцы ушли на 30 мин. раньше, чем кончила работу косилка. Известно,
что первый луг втрое больше второго, на втором лугу косилка скосила
вдвое больше, чем косцы, а на обоих лугах вместе косцы скосили столько же,
сколько и косилка. В час бригада косцов скашивает а га, а косилка — v га.
Всего бригада косцов работала х часов, а косилка — у часов. Найти те из
величин a, v, х, у и отношения а : v и х : у, которые могут быть найдены
из условий задачи.
53- Из двух труб наполняются два бассейна, из которых второй вдвое больше
первого. При наполнении первого бассейна вторая труба открывается на
26 мин. позднее первой, а закрываются обе трубы одновременно. В первый
бассейн из первой трубы наливается в 4 раза больше воды, чем из второй.
Затем те же две трубы наполняют второй бассейн, причем трубы начинают
работать одновременно, кончает же работу вторая труба на И мин. поз-
днее первой. В оба бассейна вместе из первой трубы наливается столько же
воды, сколько и из второй. Первая труба подает в мин. а л и всего рабо-
тает х мин., а вторая подает в мин. b л и работает у мин. Определить те
из величин а, Ь, х, у и те из отношений а : b и х : у, которые по усло-
виям задачи могут быть найдены.
54. Автомобиль отправляется из города А в город В в 8 час. утра. В городе В
он останавливается на 3 час., плело чего возвращается в город А. Мото-
цикл выезжает из города В в час. утра в город А и встречает автомо-
биль в точке, которая вдвое ближе к В, чем к А. Доехав до города А,
мотоцикл немедленно направляется обратно в город В, куда и приезжает
одновременно с возвращением автомобиля в город А. Мотоцикл 'делает
тц км]час и всего находится в пути час., автомобиль делает v2 км!час
60 Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
и всего находится в пути t2 час. Найти те из величин -и2’ ^2 и те из
отношений : v2 и : t2, которые могут быть определены из условий задачи.
55. Некоторое количество денег было разложено на п кучек. После этого из
первой кучки переложили во вторую ~-ю часть бывших в первой кучке
денег. Затем из второй кучки ~-ю часть оказавшихся в ней после пере-
кладывания денег переложили в третью кучку. Далее ~-ю часть денег,
получившихся после этого в третьей кучке, переложили в четвертую и т. д.
Наконец, из n-й кучки ~ю часть оказавшихся в ней после предшествую-
щего перекладывания денег переложили в первую кучку. После этого
в каждой кучке стало А руб. Сколько денег в каждой кучке было до
перекладывания (рассмотреть случай п — 5)?
56. Некоторую сумму денег следует выдать нескольким лицам. Первое лицо
должно получить сначала а рублей и еще часть того, что остается
после этой предварительной выдачи. После того как выдана первая часть,
второе лицо должно получить 2а руб. и еще ~-ю остатка. После уплаты
первых двух частей третье лицо должно получить За руб. и -^-ю часть
остатка. Наконец, последнее </-с лицо получает qa руб. Какова первона-
чальная сумма денег и каково количество лиц, если известно, что все лица
получили одинаковые суммы?
57. ** В магазине один покупатель купил 47,5 м тесьмы, дал в кассу 25 руб.
и получил сдачу. Другой покупатель вслед за первым взял 83 м такой же
тесьмы, дал в кассу 100 руб. и получил сдачу. Выяснилось, что кассир
допустил ошибку: первому покупателю он сдал столько рублей, сколько
ему полагалось копеек, и столько копеек, сколько полагалось рублей; такая
же ошибка была допущена и в отношении второго покупателя. Выяснилось,
кроме того, что с обоих покупателей вместе кассир получил за тесьму
столько денег, сколько стоила проданная им тесьма, поэтому для исправ-
ления ошибки первый покупатель передал второму 64 руб. с копейками.
Сколько стоит 1 м тесьмы?
58. Некто N жил в XIX в. Суммы цифр года его рождения и смерти одина-
ковы. Число прожитых им лет начинается цифрой 8. Определить год рож-
дения N.
59. Некто N родился в XIX в. В 1901 г. сумма цифр числа лет, прожи-
тых им, равнялась сумме цифр года его рождения. В каком году родился /V?
Глава VI
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
§ I. Квадратный трехчлен
Решить следующие уравнения:
1. х- - 2 (а -4- 1) х 4- 4а = 0.
2. (а2 - Ь2) х2 - - 2ах Ц--1 = 0.
3. .V — а , х - b • , -т Г 2 ----- 0. л- — b 1 х - а 1
4. х 2а 8а2 л а х - < - а х- — а-
5. л' — а х — b 4аЬ х —Ь х — а * а2 — Ь2
6. (х — а) (х ~ с) , (.V — 1>) (х — с) (b — a)(b — с) 1 (a — b)(a — с) ~~ ’ h ' С а' а "=17 ’
7. (а2 4-b2 -j-с2) X2 4- 2 (« 4-b 4~ с) х 4-3 — 0.
8. 1 4 + 1 х а 1 b х a -J- b
9. (с 4~ а — 2d) х2 — 2с) х b 4-- с — 2а = 0.
10. -ДА.4. ab^Q. а -у х 1 t) - х ab
11. а (а -к О х2 4~х— а (а— 1) = 0.
12. а (а + 2) х2 4- 2х — а2 4~ 1 = 0.
13. (а2 4 а — 2) л*2 (2а2 4- а 4~ 3) х Д- а2 — 1 0.
14. 1 । 1 1 । 1 г , - -- 4 —т- = —к , , ab =40. х — а 1 х — b а 1 b
15. а —Ь а 4" с q а —р b —с х 4- ь ' х 4- с х 4~ ь 4~ с Найти все значения параметра а, при которых корни следующих уравнений действительны, и определить знаки корней (задачи 16—19).
16. х2 - 2 (а - 1) х 4- 2а + 1 = 0.
17. (а - 3) х2 — 2 (За — 4) х 4~ 7а — 6 = 0,
18. 3ах2 — 2(3а — 2)х-4~3(а— 1) = 0.
19. (а — 2) х2 — 2ах 4- 2а — 3 = 0.
20. Доказать, что уравнение Ь2 _ Л 1 х — 1 ’ ’ где а и d --действительные числа, не равные нулю одновременно, имеет лишь действительные корни.
62
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
В уравнении
(^2_5*^3)X2_[„ (з^_ 2 = 0
определить к так, чтобы один из корней был вдвое более другого.
Определить все значения а, при которых уравнения
х2 ~|— ах -4— 1 -— 0, х~ х —|— а — 0
имеют хотя бы один общий корень.
Определить значение а таким образом, чтобы один из корней уравнения
х2 у? х ^2 __ о
был квадратом другого.
Найти все действительные значения а, при которых трехчлен
(а2-- 1)х2 4 2(<7 1) х -2
будет положителен при всех действительных значениях х.
Корни хх и х2 уравнения
х2 — Зах 4~ а2 — 0
таковы, что
х2 Д - х2 — I,75.
Определить величину а.
Пусть хх и х2— корни уравнения
х24" &х "4“ 1=== о*
Найти все значения ft, при которых справедливо неравенство
Ш+йГ>>-
Доказать, что если х1 и х» - корни уравнения
х2 — сх с 0,
где с — действительное число (г ДО), то
х'1 -f-- х2 4 xix2 > о.
Пусть Xi и х2 — корни уравнения
х2-- ах 4~ и --- 1 — 0,
где а — действительное число. Найти значение а, при котором величина вы-
ражения
2 , 2
Xi -4- х2
будет наименьшей.
Корни уравнения
тх2 4- их 4~ и ~ 0 (гп^З, и ДО)
относятся как p:q. Доказать, что тогда при соответствующем выборе зна-
ков перед радикалами
V q 1 г р т т
Найти все значения а, при которых корни уравнения
(1 +4)х2~~ Зпх-4-467---0
действительны и каждый из корней больше 1.
§ 1. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
63
31. Доказать, что если между коэ официантами уравнений
х2 -ф рх -]-q = О
и
х2 ’гр.х 4- q.L -=z0,
где р, q, pt, qt — дейс гаи гельные числа, существует соотношение
PA = 2(7 + 7i)>
то, по крайней мере, одно из уравнений имеет действительные корни.
32. В каком промежутке должно изменяться число л, чтобы оба корня урав-
нения
х2 — 2ах -ф а2 ~ 1 = О
были заключены между 2 и 4?
33. Дано уравнение
ах2 ф-/лг -ф- с = О,
где а, Ь, с - действительные числа, ^-/=0, Ь2— 4ас > 0.
1°. При каком необходимом и достаточном условии корни и х2 этого
уравнения будут заключены между числами р и q (р<7)?
2°. При каком необходимом и достаточном условии один из корней лежит
между числами р и q, а другой не лежит между этими числами?
34. Дано уравнение второй степени
(/-ф-2) л2 — 2tx — t = 0.
1°. Исследовать, при каких действительных значениях t корни действительны
и каковы их знаки.
22 Определить t так, чтобы корни были симметричны относительно
точки х — И
У. Вычислить значения /, при которых уравнение имеет двойной корень,
и найти этот двойной корень.
4°. Показать, что если корни уравнения действительны и различны, то они
гармонически сопряжены относительно двух фиксированных точек; найти
эти точки.
35. Даны два уравнения:
х2 ф-2х ф о— 0,
(1 ф-жфнД2 +- 2.v 4- и) 1) ( х2-ф-1) = 0.
Доказать, что при действительных значениях а корни второго уравнения
будут мнимыми, если корни первого уравнения действительные и неравные,
и наоборот, если корни второго уравнения при действительном значении
а мнимые, то корни первое действительные и неравные.
36. Расположить в порядке возрастания корни двух уравнений (а — действи-
тельное число):
х2 — х— 1=0, х2 4~ ах — 1 = 0.
37. Доказать, что если корни уравнения
х2 -ф- рх -ф- q ™ 0
действительны, то корни уравнения
*23~(a -|_±)рХ_|_(а.„±)29==о
действительны (р, q и а — действительные числа).
64 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
38. Доказать, что если уравнение
х2 4 рх 4 q О
имеет различные действительные корни (р и q ~~~ действительные числа), то
уравнения
х2_^_(рЩ_2«) х 4 q~f ap =^ 0, Зх2 4 2 (р Д- а) х 47 гар~~0,
где а — любое действительное число, также имеют действительные различ-
ные корни.
39. Найти действительные значения а, при которых корни хх и х2 уравнения
2х2 — 2 (2а 41) х 4 а (а — 1) О
будут удовлетворять условию
х\ < а < х2.
40. Для каких действительных значений а уравнение
(« — 2) х2 — 2 (а 4- 3) х 4 4а “ 0
имеет один корень, больший 3, а другой — меньший 2?
41. Для каких действительных значений а корни уравнения
4х2 — 2х Д- а — 0
оба заключены между — 1 Д- 1 ?
42. Найти все действительные значения а, при которых оба корня уравнения
(2а Д- 3) х2 4- (а Д- 1) х 4 4 = 0
заключены между 0 и —2.
43. При каких действительных значениях а корни уравнения
(За Д— 2) х2 4' (« — 1) х Д— 4« Д— 3 = 0
будут действительны и какими неравенствами они будут связаны с — 1 и
Д- 1 в зависимости от различных значений а?
44. Пусть Xi и х2 — корни уравнения
ах2 Д Ьх 4- с = 0 («40).
Вычислить через а, b и с следующие выражения:
а) Х1Д-х2; а) Д-Д4
б) 4 -*4 б) — Д-------з •
х2
в) Х3 Д— Х2‘
45. Пусть Xj и х2— корни уравнения
ах2 4 Ьх Д- с = 0 («40).
Вычислить в зависимости от «, Ь, с следующие выражения:
«) 4x^X2 — х% -4 2xtx2 4 4xiX2 — х2;
1 - 1
О)---------1-------
X — Xj X — Хо
(Зх3 4 1)(Зх2 х i") .
7 (2х1~9)(2х2-9) ’
ч 1 ! 1
(ахг 4 Ь)^ ‘ (ах2 4 Ь)^ *
§ 1. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
6S
46. Для каких значений а разность корней уравнения
2х2 —(<z+ 1)% + ^ + 3-=0
равна 1?
47. При каком значении а один из корней уравнения
х2 — jx — О
будет вдвое более одного из корней уравнения
х2 — 5х -|” — 0 ?
48. При каких значениях а уравнения
(1 — 2й) х2 — Ъах — 1=0,
ах2 — х 4~ 1 — 0
имеют общий корень?
49. Найти все значения а (в том числе и комплексные), при которых уравнение
х2 444 1) х -]-а2 — О
имеет хотя бы один действительный корень.
50**. Доказать, что если xt и х2—корни уравнения
х2 — 6x4-1 = 0,
то х" 4- х" при любом целом п является целым числом и никогда не де-
лится на 5.
51*. Сколько существует уравнений вида х2— рх — q = Q, где р и q — нату-
ральные числа, положительный корень которых меньше данного натураль-
ного числа г?
52*. Доказать, что трехчлен
х24-5х4 16
ни при каком целом х не делится на 169.
53*. Найти, какому необходимому и достаточному условию должны удовлетво-
рять действительные коэффициенты 4 а2, b2, Ь3, чтобы выражение
(а1 + 4х)2 4~ (^2 4“ 4х)2 4“ (^з 4" 4х)2
было квадратом многочлена первой степени относительно х. Показать, что
в этом случае корень многочлена равен любой из тех дробей
4 ’ 4 ’ ь3 ’
у которой знаменатель не равен нулю.
Верны ли выводы, если для alt blt а2, b2, допускать и комп-
лексные значения?
54. При каком действительном значении х выражение
(ях4424(сх4<7)2,
где а, Ь, с, d — действительные числа, имеет наименьшее значение. Найти
это наименьшее значение.
55. Доказать, что если а, Ь, с—длины сторон треугольника, то корни урав-
нения
Ь2х2 4- (Ь2 4 с2 — а2) х 4 с2 0
мнимые.
5 П. С. Моденов
66 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
56. При каком необходимом и достаточном условии
(а 4- Ьх)2 + (а/ //х)2
будет квадратом многочлена первой степени относительно х. Показать, что
если (а 4~ bx)2 4~ (X 4” Ъ'х)2 и {а 4~ сх)2 4” (X 4~ с'х)2 — квадраты многочле-
нов первой степени относительно х, причем а2 -\-а^=рО, то тем же свой-
ством обладает функция
(/?4сх)2 4(/У4~4х)2.
Верны ли выводы, если для a, ar, b, IT, с, с' допускать комплексные зна-
чения?
57. I. Рассмотрим семейство квадратных трехчленов
F (х) — х2 — sx 4~р = О,
где s и рдействительные числа.
Введем на плоскости (F7) две взаимно-перпендикулярные оси координат Os и
Ор. Каждому квадратному трехчлену F (х) в плоскости (F/) соответствует
точка с координатами s и р (и обратно).
1°. Найти геометрическое место точек таких, чтобы уравнение F (х) — О
имело двойной корень. Найти геометрическое место точек таких,
чтобы один из корней уравнения F(x) —О был равен 4~1* Тот же
вопрос, если корень равен —1. Указать в зависимости от положения
точки Л1 в плоскости (Н) число корней уравнения F(x) = 0, заклю-
ченных между —1 и 4-1.
24 Найти геометрическое место точек М в плоскости (Я) таких, что один
из корней уравнения F (х) ~~ 0 равен данному числу а. Указать на этом
геометрическом месте точку А, соответствующую трехчлену (х — а)2,
и точку Т, соответствующую трехчлену х (х — а). Найти огибающую
прямых АТ, если а изменяется от — со до 4~сс-
3°. Пусть А, В, Р—-точки, соответствующие трехчленам (х — а)2, (х — Ь)2,
(х — а) (х — Ь), где а и b — два данных действительных числа. Построить
точки А и В, исходя из положения точки Р. Найти геометрическое
место точек /Л, соответствующих трехчлену (х — с) (х — d) такому, что
если на оси координат отмстить точки с координатами a, b, с, d, то
две последние разделят гармонически отрезок, ограниченный двумя пер-
выми {а и b — постоянные, с и d — переменные).
II. Рассмотрим в плоскости (Я) две точки с координатами
л ——- 11, р-^-22 и S —7, р— 10;
каждой из ни.х соответствует трехчлен F (х) ~ х2 — sx 4~ Р- Составим
рациональную дробь у, у которой числитель — первый трехчлен, а зна-
менатель— второй. Определить целые значения х, при которых у будет
также целым.
Ш. Рассмотрим теперь функцию
f (х) —COS2 X — S COS X' + р,
где х изменяется па сегменте [0, тс].
Каждой такой функции, как и ранее, поставим в соответствие
точку Л4 (s, р) плоскости (7V).
1°. Исследовать функцию / (х) па возрастание и убывание в зависимости
от положения точки /Л в плоскости (Я).
2°. Построить на одном и том же графике кривые, соответствующие сле-
дующим случаям:
§ 2. КОРНИ ЦЕЛОЙ РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ОТ ОДНОГО АРГУМЕНТА 67
a) s = — 4, р = 6;
б) s = — 2, р = 6;
в) s = 1, /? = 6;
г) s= 2, р = 6;
д) s = 4, р = 6.
3°. Пусть Л40 и /И—точки плоскости (Я), соответствующие функциям
/0 (х) = COS2 X Sq cos х 4~ Ро>
f (х) = COS2 X — S COS X 4“ P-
Найти наибольшее значение выражения | f (х)—/0(х)). Обозначим
этот максимум через D(M0, Л4); рассмотреть несколько случаев в зави-
симости от знаков s — s0 и р — pQ.
4°. Предположим, что Мо — фиксированная точка, а А1—переменная. Опре-
делить геометрическое место точек Л4 при условии, что £)(7И0, Л4) =
— const. Пусть А — точка с координатами s = p=2, а В — точка с
координатами s = р = — 2. Найти геометрическое место точек М таких,
что
D(A1, M) = D(M, В).
§ 2. Корни целой рациональной функции от одного аргумента
Найти рациональные корни многочленов:
1. х3 — 6х24-15х — 14.
2. х5 — 7х3 — 12х24-6х4~36.
3. 6х4 4- 19х3 — 7х2 — 26х 4- 12.
4. 24x4- Юл4 —х3 — 19х2 — 5х4-б.
5. Юх4 — 13х3+ 15х2 — 18х —24.
6. х4 + 4х3 — 2х2 — 12х -4- 9.
7. х5 4- х4 — 6х3 — 14х2 — 11х — 3.
8. Доказать, что если все коэффициенты целой рациональной функции / (х) —
целые числа и уравнение f (х) = 1 имеет четыре попарно различных целых
корня:
Х = Хр X = х2, х = х3, х = х4,
то при целом значении х, f (х) не может быть равно —1.
Решить следующие уравнения (найти все корни, в том числе и комплексные):
9. х6=1.
10. (х2 + х)4= 1.
11*. Доказать, что если х7 — 1 и х-тМ, то
12. Доказать, что если —1, хр х2, хп—корни уравнения хп 'rl 4~ 1 = 0,
то (1 — Х1)(1 — х2) ... (1 - хл)= 1.
13. Привести уравнение
/ х у / х 4- 1 у __ J7
\ х 1 / ‘ \ х / 4
к двучленному уравнению, а затем решить его.
5*
68 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Решить следующие уравнения:
14. х* — 2(а2±№)х2Л~(а2-~ £2)2 = 0.
15. х4 — а (а -4- Ь) х2 4~ а3Ь 0-
Решить следующие уравнения и найти, при каких действительных значениях
параметра а уравнения имеют действительные корни; выделить эти действи-
тельные корни и указать также мнимые корни:
16. (а— 1) х4 — 4х2 4~ а 4-2 = 0.
17. (а — 3) х42 (За —- 4) х2 4~ 7а — 6 = 0.
18*.При каких действительных значениях а уравнение
ах1 — (а — 3) х2 4~ За = 0
имеет один корень, меньший чем — 2, и три корня, больших чем --Р
19. При каком условии (р и q --действительные числа):
а) все корни уравнения х4 4" Рх'2 4' Я ~~б действительные;
б) все корни этого уравнения мнимые;
в) два корня мнимых, а два действительных;
г) все корни «чисто» мнимые.
Вывести необходимые и достаточные условия, доказав необходимость
и достаточность.
20. Доказать, что если корни биквадратного уравнения
л4 4“ рх2 4- Я = 0
(о и q — действительные числа) составляют арифметическую прогрессию,
то либо все члены этой прогрессии — действительные числа, либо все —
«чисто» мнимые.
21. При каком условии корни биквадратного уравнения
х4 4- рх2 4'7 — о
действительны и удовлетворяют следующим условиям?
а) все они заключены в интервале (—а, а), где а — данное положи-
тельное число;
б) все они заключены вне этого интервала;
в) одна пара корней заключена внутри этого интервала, другая — вне его.
Решить следующие уравнения:
22. х64-5х3 —24 = 0.
23. Xs— 15х4 — 16 = 0.
24. (2х2 4- Зх —1)2 — 5 (2х2 4- Зх 4- 3) 4- 24 = 0.
25. (л*2 — х 4-1)4 — бх2 (х2 — х 4-1)2-4 5х4 = 0.
26. (х4-3)4-Н(х4-5)4 = 4.
27. х44-4х— 1=0.
28. х4 — 4х3 — 1 = 0,
29. л4 4(х — 4)4 = 32.
ЗЭ. х5 4 (б — х)5 = 1056.
31. (х24-1)2 = 4(2х— 1).
32. (х ----- 4) (х — 5) (х — G) (х — 7) = 1680.
33. х4 4- 4а3х = а4.
34. (х2 —- 16) (х — З)2 = 9х2.
35. х4 — 12x4-323 = 0.
§ 2. КОРНИ ЦЕЛОЙ РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ОТ ОДНОГО АРГУМЕНТА 69
36. (6х 4- 5)2 (Зх 4~ 2) (х I) = 35 (подстановка 6х 4~ 5 — z).
37. (х 4- а)6 4- (х 4- 2а)6 4~ (х 4~ За)6 — 2а6.
38. (ах— 1)34-(а4- 1)3х2 = 0.
39. (х2 — 5х4-7)2-(х — 2)(х — 3)= I.
40. х34~(1—/л2)х4-и—0.
41. (а — х)54-(х — Ь)* = (а—&)\
42. (1 +х + х2)2 = |±4 (1 4-х24-х4).
43. х4 4- х3 4- х 4- 1 = 4х2.
44. х44-2х3—11х24-4х4-4 = 0.
45. (а — х)3 4- (Ь — х)3 — (а 4- Ь — 2х)3.
46. (х — I)3 4- (2х 4- З)3 = 27х3 + 8.
47. (а—x)44-(Z> —х)4-^(а4-^—2х)4.
48. (а — х)64-(£>- х)3 = («4-Л — 2х)5.
49. ' abx (х 4- а 4* Ь)3— (ах 4~ bx 4~ ab)3 = 0.
50. х3 — Зх = fl3 4~ “j-.
51. х3 4-(д2 — 2) х 2Ах2 — 2/л
___ , Зх . а 4- b г.
S2~- ''-л+аг = 0'
53. 9 (х 4- + v') (х-т) U — л’) = 4х (х 4~ 4') •
\ о/ \ О / \ О/ \ О/
54. х6 4- (с — Ь) х3 — Ьс = 0.
9
55. (8х + 7)2 (4х + 3) (х 4- 1) = ~ , (4х24~7х =
56*. {а 4- х)8 4- (а2 + х2)4 = а4х4, а Ф 0.
57. " (х2 — 3x4- 1)(х24-3x4-2)(х2— 9x4-20) = - 30.
58. (1-4-х)4 = 2 (14-х4).
59*. Доказать, что если все корни уравнения x3~±-px-]-q — 0 действительны,
то р < 0 (р и q— действительные числа).
60. Доказать, что уравнение
х2 4~ Рх 4~ q — о
не может иметь рациональных корней, если р и q — целые нечетные числа.
61*. Дано уравнение
х< —7х34~ I =0.
Не решая его, составить уравнение третьей степени, корни которого были бы
квадратами корней данного уравнения. Имеет ли данное уравнение мнимые
корни?
62. Вопрос предыдущей задачи для уравнения
X5 4- X3 4- х2 4- 2х 4- 3 = 0.
Решить также вопрос: имеет ли это уравнение мнимые корни?
63. Составить уравнение, корни которого равны кубам корней уравнения
х3 4~ Рх 4~ Я —
64**. Составить уравнение (шестой степени), корни которого равны х14“*г.
Х14“**3» Xl + X4* *2+Х3> Хз + Х4» ГДе Х1> Х2* Х3* Х4-КОрНИ
уравнения
х4 4~ х3 — 1 =0.
70 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
65. Составить уравнение третьей степени, корпи которого равны х2х3, х3хь
ххх2, где хд, х2, х3— корни уравнения
х3 4~ 2>;—1=0.
66. Составить уравнение третьей степени, корни которого
______________________________х2 __________ __________
— Л'1 + х2 + х3 ’ Х1— Х2~ГХ3’ Х1 + х2 — хз’
где хь х2, х3 — корни уравнения х3— х2— 3 — 0.
67. Доказать, что если xt, х2, х3— корни уравнения
х3 4~ рх —
то
X2 + Х9Х3 + X2 — X2 + Х3ХХ + X2 — X2 + ХХХ2 4" X2.
68. При каком условии уравнение
х5 + /XV4 + 7 — 0
имеет двойной корень?
69. При каком значении л уравнение
Зх4 + 4х3 — 6х2 — 12х + X — 0
имеет кратный корень. Каков этот корень и какова его кратность?
70. При каких значениях a, Ь, с уравнение
i0x34~Z>x-+-c==0
имеет корень кратности 4?
71. Стороны треугольника сложат корнями уравнения
х3 + рх2 -р qx у- г — 0.
Доказать, что р2 > 47.
72. Один из корней уравнения
х3 — 6х2 ах -- 6 — 0
равен 3. Решить уравнением
73. Числа а и ЕЗ (а -X р) являются корнями уравнения
Л-3 -L. рх 4 q = о
и удовлетворяют равенству оф 4 а ф ?-—0.
Найти соотношение между р и 7 и выразить третий корень через а и р.
74. Уравнения
/уг-НМ,
Л-34 /?2Л- 4 q2-=- 0,
где р3 #= р2 имеют общий корень. Найти этот корень, а также остальные
корни обоих уравнений.
75. Определить коэффициенты р и q так, чтобы многочлен
6х4 - 7х3 + рх2 4- Зх 4- 2
делился бы без остатка на х2 — x-\-q.
76. Решить уравнение
xin — 4хп — 1 =0,
где п — целое положительное число.
77. Решить уравнение
хп ~ пах4-1 — а2хп~2 — ... — ап = 0.
§ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
71
Решить уравнения:
78*. (М-1Г —(х— 1)/г = 0.
79*. (х 4- 1)п — (х — i)n — 0.
/ 1 _1_ [Х \п
80*. ('17Z77') —cos ср 4-/sin ср.
81*. 1 — у + * y4~ ~ • • • 4-(— О" = 0.
82**. cos ср 4- С\ cos (ср 4~ «) х 4~ С2п cos (ср 4~ 2а) х2 4~ •••
... 4- cos (ср 4- 1Ш) хп = 0, 0 < ср < у.
83. Доказать, что все корни уравнения
а (х — Ь)п 4- с (х — d)n = О,
где а, Ь, с, d — комплексные числа, расположены или на окружности, или
на прямой (числу где и и v действительны, ставим в соответствие
точку с координатами и. <?).
§ 3. Рациональные уравнения с одним неизвестным
Решить следующие уравнения:
1. ? 1 1 ~ о х2 — 4 х(х — 2) • х (х -|- 2)
2. 1 . 2 3 ___ 6 х — 1 * х — 2 ‘ х — 3 х — 6’
3. 1 . П ° . 10_ х — \ 1 х —11 9 — х 1 х —10 •
4. ( х У I ( х у _ 10 \ л — 1 ) Цлс + 1 J ~~ 9 •
5*. Х 1 (X + 1)2 1 •
6. х2 4- л: + 1 7 х + 1 — X + 1 ”9 ’ X — 1 •
7. L_ I _L_ 1 _L_ = о х — 8 1 х — 6 1 х + 6 ' х 4- 8
8. 5 , 4 . 21 __ 5 , 4 21 х— 1 1 х-|-2 1 л —3 х+1 1 х — 2 1 Л' + З •
9. 2 5 _ 3 .4 х + 8 ‘ лЧ-9 *4-15 1" х + 6 ’
10. х — 1 х — 2 х — 3 х — 4 х + 1 х~^2 х + 3 х 4 *
11. 1 । — 2 । х — 3 . х 4 . х — 1 * х 2 ‘ х 3 * х — 4
12*. 24 12 , „ —5 о— — Г А'2 х- х2 — 2х х2 — х 1
13*. d'ii=°-088-
14. х(х + 4)+-4т+4) = 0-
15. + = 10frL_±'| 3 х2 1и\3 хГ
72 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
16. _1__. 1 . j , 1 1,1, 1 . 1 х । х-\-2 ' х 4-5 ‘ х 4- 7 х4-1 ’ х4-3 1 х ~ 'г 4 х4~6
17. ' 2 I 25х^ __ 74 Х ' (5 + 2х)2 69 •
18. 3 _ 26 (х 4- З)3 343 *
19*. — Юл: + 15 _ Зх хЗ —6x4-15 х2 —8x-j-15‘
20. 9 I 4х2 - Х +(х4-2)з 5‘
21*. (х24-х4-1)2 _ 49 (х 4- 1)2 (х2 4- 1) “ 45 •
22*. (х2 -I- 1)2 _ 625 Х(х4- 1)2 ”"112 •
23*. (х — 1)2х ___ 2 . (х2 — х4-1)2 9’
24**. х4-6 / х —4 t х —6 / х + 9 у ___ 9 х^4-36 х — 6 \ х 4- 4 / ' х 4- 6 \ х — 9 ) х2 — 36'
25*. 1 (х4- 1)(х — 3) . 1 (х4-3)(х — 5) 2 (х4-5)(х — 7) 92 5 (х4-2)(х —4) Ь 9 (х4-4)(х — 6) 13 (х + 6)(х —8) 585'
26**. „ . / 24 — 5х । 5 — 6х \ _ _ „ ( 17 —7х । 8х 4- 55 \ 3Ц Х4-1 1 * + 1 37U Л х + 2 1 -* + 3 /
27. Х4_ П^ — 6 х ~ 6х —11 '
28*. . 133х —78 v5 . .. х — 133 —78х •
29*. 6 _ 257x2 __ б8 Х ~ 68x2 — 257 '
30. С^4-1) (х + Р2 + *2 _ „ , J_ х2(Х*4-1)4- 1 r X •
31. х3 + ^^6(х+т)- § 4. Рациональные уравнения с одним неизвестным, содержащие параметры
Найти все значения а, при которых следующие уравнения будут неэкви-
валентны:
1. xt.a х + а и (а2 + 2х)(хЧ-а) = (х — а)2.
2. = .т-4- ——- и (а 4-х) (а— 1) = ах4-х2. ах2 х (а — 1) 1 а (а — 1) v 1 v
3. 2а = аг-|-1 и ах2 —2а(х—И) =(а2+1)(х — 1).
4. (х — а)2 4- х (х — а) 4- -У3 19 (х — а)1^ — х (х — а) 4- х8 7
и
6 (х — а)2 — 13х (х — а) + $х2 =
§ 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ 73
При каком необходимом и достаточном условии между параметрами я,
bt с, ... следующие уравнения будут эквивалентны?
Зя + 2b -f- Зх а + 2Ь — 2х __ х 4- 2я — Ь
ЗЬ + 2а — Зх ’ + 2я 4-2х ~ х — 2b -f- а
и
(За + 2Ь + Зх) (а 4~ 2b — 2х) (х — 2Ь 4~ а) =
= (х 4- 2а — b) (ЗЬ 4- 2а — Зх) (Ь 4- 2а 4» 2х).
х {-2а —Ь х 4- а а 2х{-2а — Ь
~х 4- 2Ь -^~а х -f- b Ь 2х{-2Ь — а
и
Ь (х + а) (х -{-2а — b) (2х -{-2Ьа)~ а(х-{- Ь) (х -{-2Ь — а) (2х 4~ 2а — Ь),
* (2а 4- b — х)2_ (За {- Ь — х) (За 4- 2Ь — 2х)
7' (Ь + х)2 “ (b + 2х) (х + 2Ь)
и
(2а4-£—х)2(Z>4“2x) (х2b) ~ (Ьх)-(За ~{~Ь — х)(Зя 4~ 2* — 2х).
За — х Зх — Ь 9я — Ь 8х 4- Зя — ЗЬ
ЗЬ — х Зх — а 9Ь — а 8х — За + ЗЬ ’
9Ь — а =^= 0, 9я — Ь =/= О
и
(Зя — х) (Зх — b) (9Ь — а) (8х — За 4- ЗЬ) =
= (ЗЬ — х) (Зх — а) (9а — Ь) (8х 4~ За — ЗЬ).
_ (х -{ а — Ь)2 4- 36я2 / 7 а — b 4- х \2
'(х —я+ ^)2 4-36^2 ~~ \7F— я 4- х /
и
Цх 4- а — ьу 4- 36я2] (7Ь — а 4~ х)2 = [(х — а 4~ Ь)* 4- 36Z>2] (7а — Ь 4~ х)2.
(а — 2х)2 -4 (2Ь — х)2 __ (я4~2& — Зх)2
1 °' (Ь — 2х)2 4" (2я — х)2 — (Ь 4- 2а — Зх)2
и
1(я-2х)2 4-- (26-х)21 (Ь 4- 2л—Зх)2 = [(& — 2х)2 4~ (2а — х)2] (а 4~ 2Ь - Зх)2.
. । Ь 4 с . с 4~ а . я 4~ Ь ___ а 4- Ь 4~ с
Ьс — х ‘ са — х ‘ ab — х х 1
где
а 4-- О, Ь 4^ 0, с 4= О,
и
х (Ь 4~ £) — х) (ab — х) + х (с + а) (Ьс — х) (ab — х)4~
4~ х (а 4~ Ь) (Ьс — х) (са — х) = (а 4- Ь 4- с) (Ьс — х) (са — х) (ab — х).
п а {- с . Ь-\-с__а{-Ь{-2с
1Z’ х 4-2Z> “Г" х4-2я х + я4-/>
(где все числители отличны от нуля) и
(a -j- с)(х + 2а) (х + а + &) + (& + с) (х 2Ь) (х + а 4- Ь) =
== (а 4- Z> + 2с) (х 4- 2а) (х 4- 2/>).
(х + а)(х4-а46) _ (х — а)(х — а — 6)
‘ (х + с) (х 4- с 4- Ь) (х — с) (х — с — Ь)
и
(х 4- а) (х 4~ 4~ Ь) (х — г) (х — с — Ь) = (х -{- с)(х -{- с -{- Ь)(х — а)(х — а — Ь).
74
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
±)4=^.==0. «#=0, ^0
\x-\-b ) \х — b ] \Ь 1 а) х2 — 62 т
и
(х + а)2 (х — £)2 4- (х 4- i>)2 (х — а)2 — (у + у) (х2 — а2) (х2 — Ь2) = 0.
(х — а)2 + (х— а)(х — Ь) + (х— Ь? __ 19
(х — а)2 — (х — а)(х — Ь)-\-(х — bf* 7
и
6 (х _ а)2 _ 13 (Х _ а) (х — Ь) 4- 6 (х — Ь)2 = 0.
(х 4 а) (х 4 Ь) (х 4 та) (х 4 т^)
(х — а) (х — Ь) (х — та) (х — mb)
и
(х + а) (х 4~ #) (х — та) (х — тЬ)— (х — а)(х — #) (х 4~ та) (х 4~ тЬ)-
а (с — d) . d (а — b) _ b (с — d) . с (а — Ь)
x-f-a ’ х 4 d x-\-b * x-f-c
(где #40, #40, £¥=0, t/40, a4~-b, c=£d) и
а (с — d) (x 4- d) (x 4- b) (x 4~ c) 4- d (a — b) (x 4 fl) (x 4 #) (x 4" 4 =
= b (c — d) (x 4 л) (x 4~ d) (x 4- d) 4- c (a — b) (x 4-a) (x 4" #) (x 4" d).
-4- + —4 + —T— = 3 (где a=£0, Z>^0, c^O)
x-}-a 1 x-\-b 1 x + c v
и
a (x + #) (x 4- d) 4- ь (x 4- c) (x 4 4c (^ + a) (x 4- b) =
= з (x 4~ a) (x 4“ #) (.x 4“ 4*
----2-----1-----*______|---------l-3 = n.
b 4 c— x c4a — x a-\-b— x 1
#40, Z>40, c40
и
a (c 4“a — x)(a-\-b — x) 4- b (# 4~ c — x)(a-\-b — x) 4"
4" (# 4~ — x) — x>) 3 (# 4~ — ^d) 4~ x>) Ч- # *^) =~ Q*
(a — 2x)3 4 (2^ — x)3 / a — x \3
(b — 2x)3 4 (26 ~ x)3 ~~\6 —xj
и
[(<7 — 2x)3 4- (2л — x)3] (# — x)3 = [(# — 2x)3 -4 (2# — x)3] (л — x)3.
/ a^-b , a-Yx 1 b-\-x , 9\/ x b । g । Ц 5
\ x ‘ b ‘ a 1 /\a-|“6'a4x~‘64x‘2/ 2
(где л40, #40, л4-#40)
и
PQ = — abx (л 4 #) * (а 4" ^) ’ (# 4" х)-
где
Р = (а 4- b) ab 4~ (л 4- х) ах 4* (# + х) Ьх 4- 2я#х,
Q х (л 4- х) (# 4- х) 4- ь (л 4~ #) (# + х} + а (а 4“ #) (а 4"х) 4~
4-- 4й + ^й + х) •
§ 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
75
Л” -f- 14 I I Л Т v I И- V -л- V <-»
(л- + а)з “Г (х + by "1~ (х + С)3 “Г Т х^а ' x + b ' х + с ~ "2
и
(х2 — ах 4- а2) (х 4- Ь)2 (х 4-- с)2 4- (х2 — Ьх 4- Ъ2) (х 4- а)2 (х 4- с)2 4-
+ (х2 — сх 4- с2) (х 4- а)2 (х 4- Ь)2 4-1 (х2 — а2) (х2 — Ь2) (х2 — с2) =
= -J(x4-a)2(x4-m* + <l2-
Решить следующие рациональные уравнения, содержащие параметры:
Q а2 4- 2х _ х — а
х — а х + а '
24 а + х =_____1_____|_.___1__
’ ах2 х(а— 1) 1 а (а — 1) ’
л у 2
25. —2я==а2+1.
(х — а)2 4- X (х — а) + х2_19
(х — а)2 — х (х — а) 4- х2 “ 7 ’
За 4- 2Ь 4- Зх а 4- 2Ь — 2х х -\~2а — b
ЗЬ 4* 2а — Зх b 4- 2а 4- 2х х — 2Ь а
х 4~ 2я — Ь х 4~ а а2х-^2а — b
х -\-2Ь — а х 4- b 2х -\-2Ь — а'
/ 2а 4- b — х \*_ За 4- b — х За 4- 2Ь — 2х
29 * \ Г+~х ) ~ Ь + 2х 2Ьх '
За — х Зх — b 9а — Ь 8х 4~ За — ЗЬ
ЗЬ — х Зх — а 9Ь — а 8х — За-]-ЗЬ '
о,** ^4_а_02 + збл2 _ (7гг-^4-хР
01 • (х —й4-О24-36^ — (7Ь — а + х)2 ’
(а — 2х)2 4- (2Ь — х)2 _ (а 4- 2Ь — Зх)*
' (Ь~ 2х)2 + (2а — х)* (Ь-\-2а — Зх)* ’
33* Ь -{-с . с 4~д । _ д 4~ 4~с
Ьс — х ' са — х~^~ ab — х х
где Z?=^=0,
44* д Н~с । Ь-\~ с _ а-\-Ь-\-2с
* х4~26 ' х'4-2а х-{-а-^Ь ’
где а4“^¥=0, b-Нс=у=0, а-\-Ь4-2с=£0.
ЧЯ* (х + л) (* + д + ь) = — (х — а—Ь)
(х 4- с) (х 4- с 4- Ь) (х — с) (х — с — Ь)
36* /-* + а\2 (х-а\2 (д b\xi-a*
db • + — b) \b^ a) x^ — b^
Ь=^=0.
47 (x-^4-(x-^)(x-6)4HGr-^ = 19
(x — a)2 — (x — a) (x — b) 4~ (x — b)2 7 ’
qq + ^) U + b) = (-У 4~ ma) (x-\~ mb)
* (x — a) (x — b) (x—ma) (x — mb) ’
„ a(c — d) , d (a — b) __ b (c — d) , c (a — b)
9‘ x-\- a x-}- d x 4- b x 4-c
где #=£0, 6^=0, c^=0,
40- та + тт^ + т^7 = 3’
x -j— a x — >- о x j c
где д^=0, &4^=0, c=£0.
76 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
41. « |_ * 1_ F з = 0. b с — х ’ с + а — х а 4 b — х 1 где а=#0, £=#0, с#=0.
42. (а — 2х)3 4~ (2д — х)3 (а — х\3 (Ь — 2х)3 4- (2Ь — х)3 \Ь — х) ‘
43* * / Д 4 i Д 4 х х i о\ / Х I b । а 1 Ц 5 • \ X “* b “> а 1 “Да + 6 1 л + х 1 Ь-\-х^ 2)~ 2 ’ где а=#0, £#=0.
44* * х9 4 Д3 . х3 4 д3 । х34 с3 । 3 х — а х — Ъ х — с 3 * (х 4- а)3 • (х + Ь)3 ’ (х 4 с)3 ‘ 2 х 4 а х 4 b х 4 с 2 ’
45. (а-^-Кх-6)^ _ £1 _ (а — х)*4- (х — Ь)* 20
46. (а-х)^+(х-Ь^ _ 211 _ (а — Х)4 4- (х — by ~ 97
47. (д — Х)4-|_(Х— 6)4 _ д4 + 64 (а 4- ь — 2х)3 (а -I- 6)2 ’ ° + ®#=°-
48*. л —х . х — Ь а Ь п А/П • 7 1 7 vi = о" > Я =^= 0, U =# 0, (х — by* ’ (а — х)2 Ь- а*
49* * (x — a'fi i(* — l>\2i(x — c\2.r> (x — a)(x — b) (х — с) _ . U-м/ ’ \x+b) 1 U+J 1 “ (x+«)(%+6)u-н) •
50* * (x-M-W+Cr-H + rf)5 _ x (x 4" & 4- 4” (x ~1~ ~h
51. (x + a+.6)5+(x+c+rf)5 _ (a + 6-C-d)2 0 (x + a + c)5+(*-H + <*)5 (a — b + c — d)2’ a u'rc а 7= u.
52. (n-l)(fl4 + g2^ + x4) 7 Ц, ДХ У (П4- l)(d4 —а2Л2 + х4) Г лДа2 —XV’ * § 5. Системы рациональных уравнений с двумя неизвестными Решить следующие системы уравнений:
1. , 21 х v 35 у-у=б-
2. 3. х^ 4~ у 1==: х у% "4~ 1 ==: x24-j/2 = o, х4“_у— 1-
4. хъ у- 111 А--4-У-=12, -4-1=^. у 1 х х 1 у 3
5. 6. 7. 8. х3 — у3 = 19 (х — у), х3 У3 ™ 7 (х у)- х “Ь у 4~ ху — х2 4~ у2 4~ ху — 1’3- х2 4- 3 = 2ху, 6х2 — 11у2 = 10. х2 — ху 4~ у2 — 7, х 4~ У — 5.
9. 10. И. 12. 13. х24-у2— 17, х4“^у4~у — 9- ^24-у24-^4-у=:=32, 12 (х 4-у) = Тху. (х - у) (х2 — у2) =16, (х 4- у) (х2 4- у2) = 40. ху (х 4-у) = 30, х3 4“ у3 — 35. х3=5х4~У» у3 = х4~5у.
14. 7-у^з’б’ ^2-^= 324.
§ 5. СИСТЕМЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ 77
15. (х24~ 1)(У2 + 1)= Ю, (х+у)(ху- 1) = 3.
16. ^(х24~У2) = 6, Х(х2-у2)=1.
у л
17. (х— у) (х2 —|— у2) — 447, ху(х— у) — 210.
18. х3 — у3 = 26, х4 — у4 = 20 (х 4~ у).
19. х34-^3У+ У = 12, х 4_ху4~ у~ 0.
20. (5х-1)(Зу4-2) = (2х4-1)(9у-2).
(Зх + 2) (2у - 9) = - (х + 2) (у 4- 9).
21. х3у3ху (ху) — 13, х2_у2(х24~_у2) = 468.
22. х4 — х24-у4— у2 = 612, х2 4- ху -1- у2 = 39.
23. х4~У=12.
л-4- у2 __________________ 5 л п______л
24. —77^=2’ х2-у2 = 3.
25. у44~ху2— 2х2 = 0, х + у = 6.
26. х2у4~ху2 = 30, 14-1 = |.
27. х24-у2 —4х —Зу4-5 = 0, Зх24~ Зу2 — 11х — 7у 4- 10 = 0.
28. xy + _L+^ + |=13, xy__L_^ + 2_12.
29. х2 — у24-Зу = 0. х24-Зху4-2у24~2х4~4у = 0.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38*.
39*.
40*.
41*.
х4-у4-ху = 19, ху(х4~у) = 84.
ху=15, х 4~У 4~ х2 + у2 = 42.
ху(х4-у)=20, 14-1 = 1.
х24-у24-2(х4-у) = 23, х24-у24-ху= 19.
х4 —х2у24-у4= 1153, х2 —ху4-у2 = 33.
(х 4- у) (ху 4- 1) = 18ху, (х2 4- у2) (х2у2 4- 1) = 208х2у2.
х3 = 31х2 — 4у2, у3 = 31у2 —4х2.
4Ф4 = у, х24-ху4-у2 = 3.
хз у3 7 1 х 1 л
16х2 26ху 4- 34/ — ЗОх — 90у + 85 = 0,
11x2 + 4бху + 14^2 _ бох — 30j/ + 20 = 0.
х3у + X3/ + 2х2у2 + х2/ + ху3 = 30,
х2у + ху + х + у + ху2 =11.
X + у _ 5 х4 + у4 ___257
1 + ху — 4 ’ 1 + х4у4 “ 32 •
(х2 + у2) (х + у) = 15ху, (х4 + у4) (х2 + у2) = 85х2у2.
х2 4~ ХУ + У2 1 + ХУ + х2у2__________49 х2 — ху 4- у2 1 — ху 4- х°у?
(*+Х)2 ’ (1+*У)2 ^81’ (х-у)з (1—хуГ~’
43. Найти действительные решения системы
(14--^4"^)(1 4-У + У2) _ 13 (14-(1 + /) __25
3 f (1-л2)(1-у2) “12-
78 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
§ 6. Системы рациональных уравнений с двумя неизвестными,
содержащие параметры
Решить и исследовать следующие системы уравнений:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. х2 — хуАгау = 0, у2 — ху — ^ах = 0. х44~х2у2 4~у4 = а2, х2 4-ху 4-у2 = 1. x-\-y=za, х44~у4 = а4. х-\-у = а, х54-у5 = а5. х-\-у = а, х64~у6 = д6. х-\-у = а, х1-\-у1 = а1. х34~у3 = я, х2у-\~ху2 = Ь, а > 0, 6>0.
8**. у(1+х4 _ у (1-х2) _ Х(1 + уЗ) Х(1-у2) 1-
9. 10. х2 — у2 —а2, (x2-f-y2)2 — 4а2ху. х5-|-у9 = й6, хЦ-у — Ь.
11. х^ — О> _ 4 у5 —а3 _ . х — Ь ’ у-b ~х '
12. -х— - тт~х4-у, у — х — 2b, аФЬ, аф—Ь. а — b 1 а-\-Ь 1 7
13. х2 4~ У2 — 2бгх — (а 4~ Ь) у 4~ а2 4~ — & = 0, (а — Ь) х — 2Ьу 4~ Ь2 4“ 2^аЬ — а2 = 0.
14*. Л4+ Х2у2 +у4 _ = 0, Ху (X2 + у2) - = 0-
где а и b не равны нулю одновременно.
15. х4 + у4 = 2(в44-6й2&2 + ^), ху = а2 — Ь2.
16. х + У — а> х4-[~У4 = £4.
17. х4-У = о, x3-j-y3 = Z>(x2 + y2)-
ift** .v-t-y _ 2а *-У _ 2Ь
10 * 1+ху— 1 + а2’ 1 — ху ~~ l-f62’
где 14-а2#=0, 1-4~&2=#0.
§ 7. Системы рациональных уравнений с несколькими неизвестными
Решить следующие системы уравнений:
1. х + у = 3z, x2-\-y2 = 5z, х3 4-у3 = 9z.
2. х 4~ У 4-г= 13, х24-у24~22 = 91, y2 = xz.
3. х24~У2 — 22, yz-\--zx-]-xy = 47, (z— x)(z— у) = 2.
4. ху4~у2= 229, yz-\-zx = 255, zx-\-xy=196.
5. -^4“ У 4-2 = х24~у24“22 = х34-у34“23= 1.
6. x_[_-y.._|_^ = 0, х24-у2 — z2=20, х44~У4 — г4 = 560.
7. (1 4~х)(1-f-y) = 2уг, (1+у)(1+2г) = 2дх, (1 4-д)(х + у) = г2 — 2ху.
8*. х(1+у) = д2(1+х), у(14-д) = х2(1+у), д(14-д) = у2(14-г).
§ 7. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ 79
9. -х-J—лгу —|—у = 1, у-\~уг-\-г — 2, z -\-zx 4- х = 3.
10. x2-\-yz = y-\-z, у2 -$-XZ = X-j-Z, Z24-ху — X4"у.
11. х — у2 — yz— z = 0, х — у—у2 — z2 — 0, х-\-у— у3 — z = 0.
12**. (х 4- 2у) (х 4- 2z) = — 16. (у 4- 2х) (у 4- 2z) = 8. (z 4- 2х) (z 4- 2у) = — 7.
13**. xy(x-^-y)-^-yz(y-^-z)-]-zx(z-{-x) = 4,
ху (х2 4- у2) 4- yz (у2 4- z2) 4- zx (х2 4- Z2) = — 2,
ху -\-yz 4~ zx = 1.
14. ху —2, (3 —y)z —3, (2 — х)(4 — z)= 1.
15*. х2(х + 1) + у2(у 4--1) = |3, х2(х - 1)4-У2(У- 1) = - " •
16*. (х4-у)(х4-г) = х, (у4-г)(у4-х) = 2у, (z4-x)(z4-y) = 3z.
17. x4-y4-z = 0, 3x24-3z2 — 5xyz = 0, 2x3 4- 2y3 4- Zxyz = 0.
18*. *24~У2~ z2 = (x4~y — г)24-2,
x3 4- у3 — z3 = (x 4- у — z)3 4- 9,
x4 4" У4 — 24 = (x 4- у — z)* 4- 29.
19. x2 4~ 4xy 4-6y2 = 11, x2 4- 4xz 4- 12z2 = 9, y2 4~ 3yz 4- 2z2 = 0.
20*. x24-xy4-y2 = 37, х24-хг4-г2 = 28, у2 4-yz 4-г2 = 19.
21. x4-y4-z = 2, х24-у24-г2 = 6, x34-y34-23 = 8.
22. (x4-y)(14-z)=12, (x24-y2)(l 4-г2) = 50, (x34~y3)(l -R)3 = 252.
23. 14-14-1 = х4-у4-г = -^, xyz=l.
24. -^- = 5, -^- = 3, -^- = 4.
x + у x + г У + 2
25. - — —--4------- = ——-—- = x -J- у 4~ z.
у + Z A- + >4-1 A + > — 1 I A I
26 1 - 1 __ 1 1 I 1 — 1 1 - 1 _ 1
x у + z 2 ’ у ' z x 3 ’ z ‘ x + у 4
27*. y-yz — .2L_ Z^.x=z _JL_ x-4-y —jL
s 1 xyz 1 xyz 1 J xyz
28. x-\-y = ~ , y-\-z — —, z-\~x = — .
I A z > J I x I у
29- 2g(x+ х+^ + 2=15-
QA 1 I 1 I 1 __ II 13 1
30. -4---t- T = x4-y 4-2 =-.T. xyz=l.
У /С о
31*- 4 (x4-y~hz) =l(_y4-2 — x) = l(z4~x — y) = jxyz.
32. j/3_|_23 _. y-^z — 3-£ = 0, x-\~y — z = 0.
33. 6x (y2 -|- z2) = 13yz, 3у (x2 4- z2) = 5xz, 6z (x2 4- y2) = 5xy.
34. xy-j-xz = x2-j-2, xy 4- yz = j24~3, xz-\- yz — z2-\-^.
35. xyz — 2(yz-V-zx~\~yx), Zxyz = 2(yz — xy — xz'), 3xz — 2 (x --^z).
36**. 6 (y2z2 4-г2х2 4- x2y2) — 49xyz == 0,
6у (x2 — z2) 4~ = 0,
2z(x2 — y2) — 9xy = 0.
80 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
37**. х3 -Н у3 — г3 — xyz = — 4,
х3 — у3 4- «г3 — xyz — 8,
— х3 4- у3 + х3 — xyz = — 2.
39. х — у =2, xz— у — и = 7, xz2— у — 2и~22, xz3— у—3«==57.
40*. х24~.У24~г24“Я2~ 5, xyztt=l, x2(yz-}-zu-}-уи) = 3х—1,
х3 (у 4~ z 4~ и) = х (2х — 3) 4“ 1 •
41. -^- = 2, -^-=3, -Л^- = 6.
х + у + z x-j-y + v x-f-z-j-v z-f-v + y
42. 1—x1x2 = 0, 1—x2x3 = 0, 1—x3x4 = 0, ...» 1—x14x15 = 0.
43**. y«4-zn=^i^, znxn— , xn -|- =
1 xyz 1 xyz 1 xyz
где a>0, b > 0, c > 0, a n — целое положительное число, большее 1.
44**. (х2 + хз 4“ • • • 4~ хп) +1 • 2 (хх 4~ хг 4~ • • • 4- хп)2 — э#2,
Лт(xi4~хз4~ ••• 4~хл)“42• з(хг^24“ ••• 4~= 25&2,
хп(xi4-*24- • •• 4~хп-д4~п(п—1) Oi 4--^2 4- ••• 4~ = (2я 4~ О2 я2.
§ 8. Системы рациональных уравнений с несколькими неизвестными,
содержащие параметры
Решить следующие системы уравнений:
1. ху 4-xz = a2, yz-\-yx — b2t zx -]~zy = с2.
2. *24~(.У — z)2 = a, y2 + (z— x)2 = b, г24-(х— y)2^=c.
4. yz 4- zx 4~ xy = a2 — x2 = b2 — y2 = c2 — z2.
5. x (x4~ y~i~z) = а, у (x 4~ у 4~ z) = b, z(xy-{-z)— c.
6. xyz = a (yz — zx — xy) = b (zx ~ xy — yz) = c (xy — yz — zx),
где a 4= 0, b 4= 0, c 4= 0.
7.
(y +- 2) (x 4- у 4- z) = a2, (z -4 X) (x 4- у -4 z) b2, (x 4- y) (x 4- у 4 z) = c2.
8. x-4-y-4-z — 0, x — y-^-z — a, J-------== b.
1 1 1 xyz
• \a) * \b) ’ an^k bn+k cn±k'
где n и k — целые положительные числа, a 4= 0, b 4= 0, c 0.
10. -'4~~4~~ —Л» ax3 = by3 = cz3,
x ' у 1 z d
fl 4 0, b 4= 0, c 4= 0, d 4= 0.
11. (1 4- *2) (1 + У) (1 4- ^2) - (1 ™ я)3,
yzA~zx 4~ xy = a>
x 4~ У ~i~z ~ bxyz.
§ 7. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ
12. х-{- y-{-z — а, л2 4- _у2-|-^2~ а2-\-2Ь2, х3-j-у3-^-z3 = а3.
13**. -^ = 4Х==1, а4=0, />4=0, с40.
y-z1 z2x* х-у1
1Л , yz ___ be । zx ________ ас । ху ___ ab
‘ X~T~y-\-z b 4~ c" У ‘ z + x a-^-c' Z^x + y a-\-b'
где 0, b Ф 0, c =# 0, a-\-b =# 0, b-\-c #= 0, c-\-a Ф 0.
15. x3 4~ У3 4“ 3x (x 4“ I) -j— 3> (y 4” I) = c,
У-Н3-Ь3.у Су+ 1)4-Зг(г+ l) = a,
г3 + x3 + 3г (z + 1) 4- Зх (х + 1) = b.
16. 4.£У-ЗЬЛ) = ?-..(?.zb х\ — 2 У\, yz-j-zx-j- ху — (а А-'Ь -|-£) ху
где а =/= 0, b =# 0, с =/= 0.
17**. х2-\-yz — a, y^-^-zx — b, z2-\-xy~ с.
18**. (х — у~\-а2 — b2)2 — 4c2zt
(y — z-Y-b2~ с2)2 = 4а2х,
(г — х с2 — а2)2 — 4Ь2у.
19* *. а (х + у — — х (у — b(y-^-z — x)=y(z — х),
(а 4- b) (z 4- х — _у) = z (х — д/).
20* *. а2х2 (у 4- z)2 = (а2 4- х2) y2z2, b2y2 (z 4- х)2 = (Ь2 4~ /) z2x2,
c2z2 (х 4- у)2 = (с2 4- z2) х2у2.
21*. Зхд/г — х3 — у3 — z3 = а\ х-\- у -\-z-2a, х2-\-у2 — z2 = a2.
22-. < + !) = »• +
9Q** х(л + г) + у (х —г) = _а_
(x + z)(x + y) y + z’
У(у + х) + г(у — х)__ b
(У + х)(У^гг) z-\-x’
г(г + у) + х(г —у) _ с
(У 4- у) (г + х) л + у'
24**. х3 — y2z — a, у3 — z2x — b, z3 — х2у = с,
где а 4= 0, b + 0, с 4= 0.
25**.
(а4-/>)2.
—— _l _2i_ = ь2.
X — Z ' у — Z
26*. (1-|-а)х-|-&у4-с?=4’ ах + (1 +b)y + cz=^
л у
ах 4~ by 4~ (1 “4 ~==~ г
6 П. С. Моденов
82
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27*.
28.
Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
§ 9. Решение рациональных неравенств
Решить следующие неравенства:
(х 4- 1) (х — 2) (х -4- 3) (х — 4) > 0.
(х — 1)(х4-2)(х — 3)(х4-4)(х — 5) >0.
(х — 1)(х4-2)(х —3) (х4-4) (х — 5)<0.
х4 — 10х3 4- 35х2 — 50х 4- 24 > 0.
32х4 — 48х3 — Юх2 4-21x4-5 < 0.
4
х44-3х4- 1 >3x34--Jx2.
х3 — 6х2 4- 5х < — 12.
Зх3 — 14х24-20х > 8.
х4— 15х24-10х > — 24.
Зх2 (х — 4)2 < 32 — 5 (х — 2)2.
х4 — 2х34-х > 132.
х(х—I)2 2
(х2 —х + 1)2 > 9 •
з 1 (24~4 4- 4- 370 > 29.
\ х4~ 1 1 л4-4 ) 1
х2„х+1 Х2-Зх+1 9______1_
Л-—1 -г х — 3 4х — 8е
2 2 . 13
х Зх 9 *
1_____4______4_____1_ J.
х — 1 х — 2 ' х — 3 х — 4^* 30’
х + 6 /х — 4 \2 . х —6 /х 4~ 9 \3 х24-36
х — 6\х4-4/‘х4-6\х — 9/ х2 — 36*
х — 8'х — 6 Т х 4~ 6 Т х 4~ 8
2х — 1 . Зх — 1 . . . х — 7
х4-1 * х4-2 'х — 1
3.7 6
х 4- 1 * х 4" 2 х — 1
Л2 4- 7х 4- 12 х2 4- Зх 4- 2 ’
х2 -I- 8х + 20 X2 +4x4-6 , X2 + 6х + 12
3
2х . Зх
4x2 4- Зх 4- 8 ‘ 4х2 — 6х 4-
_ 4_ £
х 3 ’
4x2
(х + 2)2
(х+1)4 ^128
х (х2 +1) 15 '
£
6 *
§ 10. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
83
29. 1 2 | 3 4
1+2х 2-|-Зх 1 3 + 4х < 4 + 5х
30. 17 . 10х—13 . 8х — 30 . 5х —4
х — 4 1 2х —3 ' > 2х —7 1 х — 1
31. — 5 —5
2x2 — llx-f-12 * 2x2 —9x4-7 •
11,1 1 1 I 1 1 । 1
х 1 -|- х 2 4- х 3-|-х 4 -|- х 5 + х 6 + х 7 -|- х
§ 10. Иррациональные уравнения с одним неизвестным
и смешанные системы
Решить следующие уравнения *:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15*.
16*.
17*.
18.
19.
20.
21.
У х —5 4~ / 2х “1” 8 — 7.
Ух =Убх ~t~ 1 — У2х-[- 1.
9 —рТ1 —7х3 = у.
• У14-x-f-x2 4- У1 —х4-х2 = 4.
/~ %-Н /~ х — 1 __ 3
V х — 1 V х -f-1 2
x4-/xs— 12/х = 0.
/2714 —х — /х 4-2490 = 2.
/22 —х — /10 —х = 2.
/174-5х — /19 —5х = 3.
/5х-|-7 — /2x4-3 ~ /3x4-4.
/5х-Н7 — / 3x4-1 = /х-|-3.
/2х2 + 5х4-2 4- /2х2 + 5х —9 = 1.
/2х24-21х— И — /2х2 —9x4-4 = / 18х —9.
/ х4~5 4- /х+~3 = /2x4-7.
/2x4-4 — 2/2 —х = )2х .
У У /9х2+16
/2х2— 1 4-/х2 — Зх — 2 ~ /2х2-|-2x4-3 4-/х2 —x-j-2.
(1—х)|/' 3(1 4-^)-2 = /^=П+/Зх-1.
/629 —х 4-/77 4-х = 8.
/97 — х4~/х — 5.
з ______ з _________
/14-/х = 2 —/1—/х.
/х + 1 2
* Все уравнения этого параграфа следует решать над полем действительных чи-
сел; для каждого радикала берется его арифметическое значение.
6*
84 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
2х —1 -I- х / Х“ -I- 2 —|— (х —|— 1) V х‘1 —2х 4~ 3 — 0.
23.
24*.
25.
28.
27*.
28**.
29.
3).
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40*.
41.
42**«
43**.
44**.
45**.
46.
з ___ з ____
/8-Нх4-/8 —х = 1.
_ 3)2 _|_ зх — 22 = /х2 —3x4-7.
/~х- —*2х 4- 3 . _ х- 4- 2х -р 4 5
V X2 + 2х 4- 4 ‘ V х'2 — 2х 4- 3' ~~ 2“ •
x44-j = x/2|/"х4—j .
4х24-12х/14-х = 27(14-х).
4 _ 4 _____ 4 _________
у х 4-]/гх — 1 = V х -н 1.
]/х —24-/х —7 = ]Лх4-5 + /х — 10.
х + ]/х24-16 =
У х2+ 16
/2х-г /бх24- 1 =х4-1.
1_ I 1 = 4/3
1—/ 1 — х ' 1 4-/1 —х /1 —х
---+ .—4=^ = V2(x2+1).
I х + }' X2 — 1 V X — /х2 — I
j/^x-l-Vx — /l —х=1.
___*+/ + = /L
/х4-/х + /3 /х — Vx — /з
2 4- х I 2 — х - V 2
/2 +/24-х /2—/2^х И
3 -- 3 . 6 ----
/х4-1 — Vx— 1 =У х2— 1.
§11. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
85
47.
48.
49.
50*.
51.
5?.
53.
54*.
55*.
56*.
57.
58.
59.
60*.
61*.
62**.
63.
64.
65.
66.
[F(12 —х)з 4}7(12 —х) (x — ty + tXx — Sytf __ 49
12 —х + j/ х —3 ' 3 ’
V 7^7 к 7^7 _
%2 4 — V 2 + х •
| + * + jZ |-х=1.
+V бх — — ]/бх — 9 = 1^6.
7 ____ 7 ,____
У 12 + х , V 12 + х _ 64 Л—
х "+" 12 — з И х.
54 4/х 4-1^54 — У х = ]М8.
5х2 + 35х — ]/х24~7х— 1 = 4.
^(/х2 + 39х + 374 - /х24- 20х + 51) = |/~
<з - *> 7-1) j/77=2-
-^2x43 , ,У'2х —3_ 8 4х249
V 2х — 3 2х 4 3 — 13 ’ 4х2 — 9 ’
(39 — х) У х —6 — (х — 6) У 39 —х _
5 __________ 5 ___ ’
У 39 —х —]/х —6
78 4-1^24 4 /7— ]/" 84-1^30-/7 = 0.
У 16х“ . у-х—1 _ 5
V х—1 ' V 16х — 2 •
17X 4- 2У7 — 1 — V х — 2}7х — 1=2.
17x4-3 — 4)/х — 1 +17х 4 8 — 6}/7 — 1 = 1.
]7х2—2 = /2 — х3.
]/4х24- 10x4-4 4 2х2 — 5х — 3 = ^2x4 1.
1^10 —х — ]7з —х = 1.
у"71 4 х 4 41^х = 2.
у (x-f- 1)2+ /(х— I)2 = 4 |/ х2— 1,
где п — целое положительное число.
67**.
§ 11. Иррациональные уравнения с одним неизвестным,
содержащие параметры*
Решить следующие уравнения:
1. х = #4-]Лх22(# + 1) * + 4я.
2*. VT^~YVx^~7 = a.
* Параметры во всех примерах считаются действительными числами.
86 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
3. V а + х — |/" = У2а-\-х.
4. У 1 + х “Н х2 4“ У 1 — х -Ь х2 ===:
5. Y х2+^+/" х2-± = ах.
6. Ух + Ух — Ух — Vx = (a-Jri')l/~—^7=r.
r X + У X
7. 2 V a + x — Уa — x~Y a — x-\~Y x {a-\-x').
8. 2x-\-ax-\~Y x — Q.
9. Y a x — Ya — x = Ya2 — x2.
10. x = a -4-Ya 4~У*, где a^>l.
11** e Y 1—x2 — (a—Yxf, где я <C ~p
12. x 4- Y x2 — ^ax — b-
13. ]/ fl — x~\~Y b — x ==Ya-\~b — 2x.
14. Y x + a = Y~x+ Yb.
15. x Yfl2 + ab + b2 — a Y x2 — b2 + b Y x2 — a2-
16*. Yx — 2a — Yx — 2b=2.
IT Ya + ^ + / a — x b , а . A
17. ............, ГДв fl=#0, Ь =# 0.
у a-\-x—у a — x a
18*. /а24-х/х2-|-62 —a2 — x — a.
19*. x — Vb — хУс —х~уУс —хУа — х-\-У а — xVb — х,
где а =# 0, ЬфЪ, с^=0.
20.
21.
У а —|— b —}~ х —Y a -J- b — х
х
V а’
а^> О, b > 0.
П _____ п ------- ------
V akxn-k-yV an-kxk = 2ybx.
где п =£ 2k > 0, а > О, b > 0 (п и k — целые положительные числа).
где п — целое положительное число и b > а > 0. Найти только положи-
тельный корень.
где а > Ь > 0.
24*. Ya—Ya+x = x,
25. V (х + a)2 + ]/ (х — a)2 = Vx2 — a2.
26*. У а — x + %Y a-}- x — Ya — x -}- У ax + x2.
27. у a 4- x + У a — х—У 2a.
§ 12. СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
87
7 ____ 7 7
28. У а — х 4- У х = У а.
29. гЕг^У ?-+-»— = 1, а ^о.
1 ах г 1 — 2ах
/4 __ 4 _______\2 ____ ___________
31*. уУ&-|-х-уУа— х) (Уа~\~ х 4~Уа — х) = 2ах, а =£ О-
32. + = |а|<1.
33**. (К1+х— 1)(/Т~ё-н) — ах, а 0.
34. (x-j-Ух2—а)4(х— Ух2—а) = а, а^=0.
35. ~~~......-а__= Ух2 — а2 (У х2 -|- ах — У х2 — ах), а~у> 0.
У х + У х-~а^
36**. х2 -|-2ах + 1== —«4-]/ а24-х—1.
О- у Г а-\- х УЛ а — х у~ b + X у Ь — х
6 * V а — х V а-}-х~ V b^~x V ГкР
38. }/ У =
V b 4~ х 1 9 а—^х
39**. 2х(а-сх)У
+1й(а-сх)2=0 М^И-
40*. [-у- (£ + 02 4- 44^)Сх] У -^-(6—С)44(^4С2)2Х2 =
= (Ь — с)2 — (Ь2 4- с2) сх] У ~ (Ь 4- с)4 4 (Ь2 4 с2)2 х2,
где а Ф 0, b =£ 0, с Ф 0.
4Г_ 4 ___ 4
41*. У х-\~У а — х~Уь, Ь > 0.
4 ____ 4 _____ 4 __________
42. У а — х-\~У b — х — Уа 4~ b — 2х,
43*. а4(х4£)УУУ1 = ^444«)У ’ а °- Ь °'
4 ____ 4 _________
(а — х)У х — b + Сг — Ь) У а — х а — b
* 4 4 ~ ' 2 *
V а — х У х — b
§ 12. Системы, содержащие иррациональные уравнения
Найти действительные решения следующих систем уравнений:
1. ]Ar = Vху, х->!-у= 13.
2. Ух 4~Уу = 3, ху = 8.
3. Ух 4- У У = 2, ^У ху. х4-у=10.
88 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21*.
22**.
23*.
Ух'2 + у2 У 2ху = 8 У 2. ]/ х У У = 4.
7 У ху — 3 Уху — 4. х 4- у — 20.
4 ______ 4_______
У 14-5x4- У5 — _у = 3, 5х — у = 11.
х2 4- х У ху2 = 80, у2 4- у У ух2 — 5.
з ________________ 5 _________
1 х — 11 у ~ У х 4- у = У х 4- Оу.
х2 А-у Уху = 420, _у24-хУху = 280.
2 .VV -г V У X2 — V2 _ -Г X -*-.V , _ Г X — у
^14 '——у -у^-+ У ~2~’
Зх2 4- 4у2 — 7ху, х 2 — ух 2 = д- у2.
х24-хУ'х/ = 208, У4->-У’х5'= 1053.
/ -+]/'^-1=---Д-, УУ^ + УУУ-78.
г у 9 х У х у
х — 8 у У х2 — 9ху2 — (9 — 16х) у2, 5х — 4 — 25у2.
х~ . 2х V __пл У 2 4“ % л _______q
------- = 20 — -——, 4у — х ~ 8.
У2 1 у у у
8 "У х2 — у2 = х 4- Оу,
.V4 2х2у -У у2 + х — 2х3 2ху -j- У 4~ 506.
у + _2 у Х2_12у-4Л = (Х24- 1 7),
х (х 4~ у)4- У х2 -4 ху + 4 = 52.
у 1 — 16у2 — У1 — 16х2 = 2 (х 4- у),
X2 4- У2 + 4ху = у.
(1 - х2)2 (1 + У2) - (1 + х2)2 (1 — У2) ~ 4х2 У 1+у“,
У 2(1 — х2)(1 — у2) = 4ху.
(2у — 1) У х44-4х4-3 — (2х — 1) У/4-4у-|-3 =
= (X — у) (X 4- у — 2ху 4- 4),
1Л~ЕН _ 1Л1ЕЕ1 z+_L
V ху — 1 V 2х — 1 х 4- 1
§ 13. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ПАРАМЕТРАМИ
89
24.
25.
26.
27.
28.
29.
/х3 + у* -4- У'х^— / _ 5 4-/7
_ /‘7з~3.2 ~~ 5 — / 7 ’
х34-2у3 = 118.
ху 4- У х2у2 — у4 = 8 (/х 4- у 4- Ух — у),
3 3
(х4~у)2 — (х —у)2 ~ 26.
х3 + 0 + ху Y ху = 73,
х3 4“ 4-xz Vxz = 757,
у34-^34~У2' Yyz= 1009.
24
§ 13. Системы, содержащие иррациональные уравнения
с параметрами *
Решить следующие системы уравнений:
1.
2.
О£
О •
4*.
х2 4- у2 4~ ху = а2> х 4- у 4“ Yху =
у х 4- У Ч~У х — у = Ya> V х2 4~ У2 +х2 — У2 ™ V а~-
]/ х2 4- У2 4-я2 + (.х — у 4- я)2 ~ %Y 4ху,
5. Y(x2 + а2) (УМ- ь2) 4- Y(x2 + b2) (у2 4- а2) = (а -4 42,
х4у~ а-\-Ь, яЦ-^уО.
6**. У х2 4 \ х*у2 У 1 у2 4“ х2У4 — 4 х 4~ У Ч~ 3 У Ьху ~~ ь.
7** (* + уУ” (У + ^)т _
* п _______ ’ п_____________’ п______________’
И X + у 4 z YX 4 у 4 z Yx-j- у ±z
где а>0, Ь>0, с > 0, а т и п—целые положительные числа, причем
?г> 1. Рассмотреть случаи четных и нечетных т и ti.
8*. х3 — xyz = а ]/ xyz, у3 — xyz = bYxyz, z3 — xyz = cYxyz,
где at bt c — действительные не равные нулю числа.
9:\ х = Yz2 — а2 4- YУ2 — ^2-
у = Y х2 — ь2 4- Y~2 —”
z — Y х2 — с2 — ]/^У2 — ^2>
где а>0, #>0, с>0 и среди чисел а, Ь, с есть, по крайней мере, два
различных.
Параметры — действительные числа.
90 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Ю**. аУ х— y-j-zj/x^-y — z — хУуг,
Ь У X 4- у Z У X -/ у 4- Z = у У ZX,
сУ — X -/ У 4~ 2 Vх — у -\-г — гУху,
где а 4= 0. Ъ 4= 0, с 4= 0.
П, (/у— Ух) (а — х) — ЗУ х (х 4" у)> а2 — х2 = 3ху.
12*. Х + = —, хУа — у = у/а4-х> а Ф 0.
13*. Ух + у + Ух — у = ^-(ху — уУх2 — у2),
4 ____ 4 ____
У х-\-у 4” У х—У — Ь, Ь=£0.
Га? — х2 , уЗ —Г^4.^2 ___
14, V у2 — b‘* 'a- — х* V у^ + Ь* ^“^ + л2~~4,
xy — ab, а #= 0, b =# 0.
15. хА-у-\~Ух2-—у2 = 2я, уУ х2— у2~2Ь2, а =£ 0, b=£Q.
§ 14. Иррациональные неравенства
Решить следующие неравенства:
1. ]/ 25 —х24~У х24-7х>3.
2. У(х4-2)(х— 5) <8 — х.
3. У 1 — X — У х > -^= .
4. Х <(1+/Пр4)2‘
5. VX4-/X Ух Ух> ]/ 2 г х + у х
6. —8x4- 15 4-Ух2 4-2х— 15 > У 4х2 — 18x4-18.
7. х + ^-Ух2 — 2x4- 9< — ^±-!-Ух24-2х + 9.
8*. / 1 \2 25 3x2 + "9
9. 02 2>/11-2,<83--
10. (9 —х)/9 —х + (4 + х)У 4 + х Т_ (9 —х)/ 44-х + (44-х)/9 —х 6
11. (35 — х) /35 — х 4-(х — 9) У х — 9 > (У 35 — х 4-/ х — 9)3.
12*.
13*. и 1 1 Х|- V х 1
14 /2x4-4 — 2/2 — х> . v 1 / 9х3-|-16
§ 15. СОСТАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
91
15**.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
. х .35
У1 + X + У1 — X > 1.
+ 7+2/х2 4- 7х< 35 — 2х.
У2х—1 + ]/Зх —2 < /4х —3 + ]/5х —4.
2x-f- 1Ч-х/х2 + 2< — (х+ 1)У"х2 +2х-рз.
/2х+1<2^1.
§ 15. Составление нелинейных уравнений
П. 1. Составление квадратных уравнений с одним неизвестным
1. При перемножении двух чисел, из которых одно на 10 больше другого,
ученик допустил ошибку, уменьшив цифру десятков в произведении на 4.
При делении, для проверки ответа, полученного произведения на меньший
из множителей он получил в частном 39, а в остатке 22. Найти множители.
2. Из сосуда, наполненного 96-процентным раствором кислоты (по объему),
отлили 2,5 л. и долили сосуд 80-процентным раствором кислоты. После
этого в сосуде получился 89-процентный раствор кислоты. Определить
вместимость сосуда.
3. Имеется некоторое количество равных шаров. Их можно уложить в виде
квадрата или же в виде правильного треугольника. Найти число этих
шаров, если известно, что при треугольном их расположении в стороне
треугольника будет на два шара больше, чем в стороне квадрата при
квадратном их расположении.
4. Из бака, наполненного спиртом, вылили часть спирта и долили водой; потом
из бака вылили столько же литров смеси; тогда в баке осталось 49 л
чистого спирта. Вместимость бака 64 л. Сколько спирта вылили в первый
. и во второй раз?
5. В некоторой дроби знаменатель на единицу больше удвоенного числителя;
если к членам этой дроби прибавить по 5 и умножить полученную дробь
7
на первоначальную, то получится . Какова данная дробь?
6. Несколько рабочих получили 1000 руб. Один из них заработал 100 руб.,
другой на 50 руб. больше первого, а третий на 50 руб. больше второго
и т. д. Сколько было рабочих?
7. В гору едет автомобиль, который проезжает в первую секунду 15 м,
а в каждую следующую — на 1 м меньше, чем в предыдущую. Навстречу
ему через 3 сек. выехал другой автомобиль, находящийся от места выезда
первого автомобиля на расстоянии 308 м, причем второй автомобиль в пер-
вую секунду проехал 20 м, а в каждую следующую секунду проезжает
на 3 м больше, чем в предыдущую. Какое расстояние проехал первый
автомобиль до встречи со вторым?
Несколько человек должны были заплатить поровну всего 72 руб. Если бы
их было тремя менее, то каждому пришлось бы выплатить на 4 руб.
больше. Сколько их было?
9. Бассейн наполняется двумя трубами за 6 час. Одна первая труба заполняет
его на 5 час. быстрее, чем одна вторая. Во сколько времени каждая труба,
действуя отдельно, может наполнить бассейн?
10. Куплен товар двух сортов: первого на 150 руб., второго на 120 руб.
Второго сорта на 3 кг больше, чем первого, и стоимость его за килограмм
на 4 руб. 50 коп. дешевле. Сколько куплено товара каждого сорта?
92 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
11. Два лица выезжают одновременно из городов А и В навстречу друг другу.
Первый проезжает в час двумя километрами больше второго и приезжает
в город В часом раньше, чем второй в А. Расстояние АВ равно 40 км.
Сколько километров в час проезжает каждый из них?
12. Ученик при перемножении двух чисел, из которых одно на 94 больше
другого, ошибся, уменьшив в произведении цифру десятков на 4. При
делении ошибочного произведения на больший из множителей он получил
в частном 52, а в остатке 107. Какие числа он перемножал?
13. Числитель некоторой дроби на 3 меньше знаменателя. Если эту дробь
сложить с дробью, полученной перестановкой числителя и знаменателя
149
данной, то получится -уд-- Найти исходную дробь.
14. Расстояние между конечными пунктами А и L по железной дороге равно
200 км. Поезд идет от А первые 60 км в гору, следующие 100 км по
ровному месту и остальные 40 км опять в гору. При этом поезд в гору
идет на 10 км!час медленнее, чем по ровному месту. На этом пути есть
станции В, С, D, Е на расстоянии 40, 85, 135, 180 км от Л, и на каж-
дой из них поезд стоит 3 мин. Найти время прихода поезда в В, С, D, Е,
если известно, что он вышел из Л в 8 час. утра и пришел в Л в 12 час. 42 мин.
того же дня.
15. 50 000 руб. принесли в течение одного года некоторый доход. Какой
процент составил доход, если известно, что эти 50 000 руб. вместе с до-
ходом за первый год в течение следующего года дали 2612 руб. 50 коп.
дохода, причем за второй год доход был на 0,5% больше, чем за первый.
16. Два поезда отправляются навстречу друг другу: один из Москвы, другой
из Ленинграда. Они могут встретиться на половине пути, если поезд из
Москвы отправится на полтора часа раньше. Если бы оба поезда вышли
одновременно, то через 6 час. расстояние между ними составляло бы деся-
тую долю первоначального. Сколько часов затрачивает каждый поезд на
прохождение пути между Москвой и Ленинградом?
17. При рытье колодца глубиной свыше 10 м за первый метр платили 10 руб.,
а за каждый следующий — на 5 руб. больше, чем за предыдущий. Сверх
того за весь колодец дополнительно было уплачено 100 руб. Средняя
стоимость 1 м оказалась равной 62 руб. 50 коп. Определить глубину
колодца, зная, что она выражается целым числом метров.
18. В магазин доставлено несколько оконных стекол одного и того же сорта
общей стоимостью 90 руб. При перевозке два стекла оказались разбитыми;
остальные стекла были проданы с прибылью по 2 руб. за стекло, причем
всего получено 14 руб. прибыли. Сколько стекол было доставлено в ма-
газин?
19. Из города А в город В, отстоящий от А на расстоянии 350 км, вышел
поезд. Если бы он шел со скоростью, меньшей действительной на 5 км/час,
то пробыл бы в пути на 1 час 40 мин. больше. Сколько времени идет
поезд от Л до В?
20. Из двух мест, расстояние между которыми 28 км, выходят одновременно
навстречу друг другу два пешехода. Если бы первый не задерживался на
1 час на расстоянии 9 км от места своего отправления, то встреча пеше-
ходов произошла бы на полпути. После остановки первый пешеход увели-
чил свою скорость на 1 км/час, и они встретились на расстоянии 4 км
от остановки первого. Найти скорости пешеходов.
21. Кусок материи стоит а руб. Если бы в куске было на b м больше,
а весь кусок стоил бы также а руб., то каждый метр стоил бы на с руб.
меньше. Сколько метров было в куске?
22. Двое рабочих, работая вместе, могут окончить некоторую работу в т час.
Во сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить
эту же работу, если известно, что для выполнения всей работы одному вто-
§ 15. СОСТАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
93
рому понадобится на п час. больше, чем для выполнения всей работы одному
первому ?
23. На складе было некоторое количество угля. Один завод начал вывозить
со склада уголь с 1 сентября по а тонн в день, второй завод — с 10 сен-
тября и вывозил по b тонн в день. К концу дня 25 сентября на складе
осталась половина первоначального количества угля. Когда весь уголь был
вывезен, если оба завода получили угля поровну?
24. Из двух городов, расстояние между которыми равно а км, двигаются
равномерно навстречу друг другу два поезда. Первый поезд начал двигаться
на с час. позже, чем второй, и они встретились на середине пути; кроме
того, известно, что первый поезд проходит каждый час на b км больше,
чем второй. Сколько километров проходит каждый поезд в час?
25. Два грузовика одновременно выезжают с одного и того же склада в пункт,
отстоящий от него на а км. Один идет со скоростью, большей на т км!час,
чем другой, и приходит к месту назначения на п час. раньше. С какой
скоростью идет каждый грузовик?
26. Моторная лодка, обладающая скоростью а км!час, прошла расстояние
между двумя пунктами по реке туда и обратно, не останавливаясь,
за т час. Расстояние между пунктами равно s км. Найти скорость тече-
ния реки.
27. Из сосуда, вмещающего а л и наполненного спиртом, отлили некоторую
> * часть и вместо спирта сосуд долили водой; затем опять отлили такую же
часть смеси и снова сосуд долили водой, после чего в сосуде осталось спир-
та b л. По скольку литров жидкости отливали каждый раз?
28. Бассейн, содержащий а л воды, имеет два крана: через первый он напол-
няется, а через второй он опорожняется на т мин. скорее, чем первый
кран наполняет бассейн. Однажды, когда бассейн до половины был наполнен
водой, открыли оба крана одновременно. Через п мин. после этого бас-
сейн опорожнился. Через сколько минут первый кран наполнит бассейн,
а второй опорожнит наполненный бассейн, действуя отдельно?
29. Из двух пунктов A w В выехали одновременно два связиста к месту С.
Первый приехал в С через а мин., а второй, чтобы попасть в С одно-
временно с первым, должен проезжать каждый километр на с мин. быстрее
первого, так как расстояние от В до С на b км больше расстояния от
А до С. Определить расстояние от А до С.
30. Из двух станций, расстояние между которыми s км, были отправлены
навстречу друг другу два поезда с расчетом, что они встретятся на поло-
вине пути. Определить скорость в час каждого поезда, если первый из них
вышел на один час раньше второго со скоростью, на а км!час меньшей,
чем скорость второго поезда.
31. А выполняет некоторую работу в срок на а дней больше, чем В, и на b
дней больше, чем С; А и В, работая вместе, выполняют эту работу в срок,
равный сроку С. Определить время, в которое каждый выполняет эту
работу отдельно.
32*. Из пункта А, расположенного на берегу озера, в пункт В, расположенный
на берегу реки, впадающей в это • озеро, вышел катер. Катер прибыл
к месту назначения через т час., пройдя по озеру а км, а по реке — поло-
вину этого расстояния. Найти собственную скорость катера, если скорость
течения реки равна с км)час.
33. Перевозка одной тонны груза от пункта М до пункта N по железной
дороге обходится на b коп. дороже, чем водным путем. Сколько тонн
груза можно перевезти из М в N по железной дороге на сумму 5 руб.,
если водным путем на ту же сумму можно перевезти на k тонн больше,
чем по железной дороге.
34. Определить глубину коюдца, зная, что звук от удара камня о дно колодца,
брошенного в колодец с начальной скоростью, равной нулю, слышен через
94 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
t сек. от начала падения камня; ускорение силы тяжести равно g. Ско-
рость звука V. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.
35. Цилиндрическая трубка с поршнем погружена в резервуар с водой; между
поршнем и водой находится столб воздуха в h м при атмосферном давле-
нии. Затем поршень поднимают на b м над уровнем воды в резервуаре.
Вычислить высоту воды в трубке, зная, что высота столба жидкости в во-
дяном барометре при атмосферном давлении равна с м.
36. Найти формулу для n-го члена ряда чисел xt, х2, ...>хп, если Xi — a,
х2 = Ь и каждое хп, начиная с х3, есть среднее арифметическое двух пред-
шествующих, т. е.
г __ хп-1 + хп — 2
хп 2
37*. В шахматном турнире участвовали ученики девятых и десятых классов.
Десятиклассников было в 10 раз больше, чем девятиклассников, и они
набрали вместе в 4,5 раза больше очков, чем все девятиклассники. Сколько
очков набрали девятиклассники, если каждый с каждым играл один раз.
П. 2. Составление нелинейных уравнений с одним неизвестным
1. Города А и В расположены на берегу реки, в которой скорость течения
равна 4 км!час. Лодочник плывет на лодке от А к В и обратно и находит,
что он в пути на 39 мин. дольше, чем если бы течения не было совсем.
На следующий день он повторяет свою поездку с товарищем и находит,
что если бы не было течения, то вместе с товарищем они проплыли бы
за час наполовину более того расстояния, которое он прошел бы сам. На этот
раз они были в пути на 8 мин. больше, чем если бы не было течения.
Найти скорость лодки, если бы не было течения.
2. А и В работали одинаковое число дней. Если бы А работал на один день
меньше, а В — на семь дней меньше, то А заработал бы 360 руб.,
а В — 324 руб. Если бы, наоборот, А работал на семь дней меньше,
а В — на один день меньше, то В заработал бы на 162 руб. больше А,
Сколько заработал каждый в действительности?
3. Производительность завода А составляет 40,96% производительности за-
вода В. Число процентов годового прироста продукции на заводе А на 30
больше числа процентов годового прироста продукции на заводе В. Каков
годовой прирост продукции (в процентах) на заводе А, если на четвертый
год работы он дает то же количество продукции, что и Завод В?
4. Из сосуда с вином отлит 1 л вина и добавлен 1 л воды. Затем отлит 1 л
смеси и добавлен 1 л воды и т. д. После того как эта операция была
повторена 35 раз, оказалось, что смесь в сосуде состоит наполовину из воды
и наполовину из вина. Сколько вина было первоначально в сосуде?
5. Средний годовой процент прироста народонаселения из года в год остается
постоянным. Если бы годовой процент прироста увеличился на k, то через
п лет численность населения была бы в два раза больше, чем при нормаль-
ных условиях. Определить годовой прирост населения (в процентах).
6. Численность населения города увеличивается ежегодно на р°/0 (каждый
раз по отношению к началу года). Через сколько лет численность населе-
ния удвоился?
7. Сферический баллон с толщиной стенки е, изготовленный из материала
плотности d, заполнен жидкостью плотности Каков должен быть внутрен-
ний радиус R баллона, чтобы при погружении его в жидкость плотности Д
имело место равновесие. Какому условию должны удовлетворять плот-
ности d, 8 и Д, чтобы задача была возможна?
8. Двое рабочих наняты на работу на один и тот же срок, но зарплата у них
неодинакова. Первый работал на а дней меньше срока и получил b руб.,
а второй проработал на а дней больше срока и получил с руб. Если бы
§ 15. СОСТАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 95
первый работал столько дней, сколько второй, а второй столько дней,
сколько первый, то они получили бы поровну. Определить срок работы.
9*. Построены четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник и т. д. Число
диагоналей во всех многоугольниках равно 800. Сколько построено много-
угольников?
10**. Для нумерации некоторого числа страниц потребовалось в п раз больше
цифр, чем было страниц. Сколько было страниц? (п — целое положитель-
ное число).
П. 3. Составление систем нелинейных уравнений
1. Два туриста вышли одновременно из А в В и из В в А. Каждый шел
с постоянной скоростью и, придя в конечный пункт, немедленно повора-
чивал обратно. Первый раз они встретились в 12 км от В, второй раз —
в 6 км от А через 6 час. после первой встречи. Найти расстояние между
А и В и скорости обоих туристов.
2. Из А в В и из В в А одновременно вышли два пешехода. Когда первый
прошел половину пути, второму осталось пройти 24 км, а когда второй
прошел половину пути, первому осталось пройти 15 км. Сколько километ-
ров останется пройти второму пешеходу после того, как первый закончит
переход?
3. Два вкладчика вложили одинаковые суммы в сберкассу (по простым про-
центам). Первый по истечении 8 месяцев получил вместе с процентной сум-
мой 616 руб. Второй по истечении 15 месяцев получил 630 руб. 24 коп.
Какая сумма была вложена каждым вкладчиком и по каким процентам?
4. Найти два числа, зная, что их сумма, разность и произведение относятся
как а : b : с.
5. Два самолета одновременно вылетают навстречу друг другу из городов А
и В, расстояние между которыми s км. Через час полета они встретились
и, не останавливаясь, продолжали путь. Первый прибыл в город В на
т мин. раньше, чем второй прибыл в А. Найти скорости самолетов.
6. Через два крана неодинакового сечения ванна при совместном действии
кранов наполняется за т час. Если бы половину ванны наполнить через
один кран, а другую половину — через другой, то для наполнения ванны
потребовалось бы t час. Во сколько часов наполняется ванна через каждый
кран отдельно?
7. Два трактора разной мощности начали пахать поле в 14 га в 7 час.
и кончили вспашку одновременно. Если бы первый трактор вспахивал в час
на 0,1 га больше, а второй начал бы работу на час раньше, то работа
была бы окончена на 1 час 12 мин. раньше. Если бы второй трактор
вспахивал в час на 0,1 га больше, а первый начал бы работу на час раньше,
то работа была бы окончена на 1 час 4 мин. раньше. В котором часу трак-
торы закончили работу?
8. 1-я и 2-я трубы наполняют бассейн в 260 л, 3-я и 4-я — бассейн в 370 л.
3-я труба подает на 45 л в минуту больше, чем 1-я, а 4-я — вдвое больше,
чем 2-я. Все 4 трубы открываются одновременно; 1-я, 2-я и 4-я закры-
ваются одновременно, но‘позже третьей, которая действует 2 мин. При этом
оба бассейна оказываются наполненными. Все 4 трубы вместе подают 200 л
в минуту. Сколько времени действовала 1-я труба?
9. От пристани в пункте А отошел пароход в направлении пункта В, распо-
ложенного вниз по течению на расстоянии 24 км. Одновременно в том же
направлении отправился пешеход. Дойдя до В, пароход повернул обратно
и через некоторое время оказался в одном пункте с пешеходом, а именно
на расстоянии 8 км от А. Продолжая рейс, пароход прибыл в А через
30 мин. после встречи с пешеходом. Найти скорости движения парохода
аи пешехода.
96 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
10. Резервуар, вместимость которого равна 5280 л, был наполнен двумя тру-
бами, из которых вода текла неодинаковое время. Первая труба давала
каждую секунду на 2 л воды больше второй. Если бы вторая труба давала
в секунду столько, сколько первая, то из нее натекло бы 3400 л, а если бы
первая труба давала в секунду столько, сколько вторая, то из нее натекло
бы 2048 л. Сколько литров воды в секунду давала каждая труба?
11. Со станции А в направлении к станции В в 8 час. утра вышел скорый
поезд, а через один час — товарный. Со станции В в 9 час. утра того же
дня вышел в направлении к А третий поезд, который в 10 час. утра
того же дня встретился со скорым, а в И час. утра того же дня — с то-
варным. Товарный поезд прибыл в В на 4 час. позже скорого. Когда
третий поезд прибыл в А?
12 .. Сосуд имеет два крана: А и В. Сосуд был полон, когда открыли кран А,
а затем, когда из наполненного сосуда вытекло четверть всей воды, открыли
кран В; тогда остальная часть воды вытекла из сосуда через такое число
часов, которое на один час больше времени работы одного крана А.
Если же сосуд полон и оба крана открыть сразу, то он опорожнится на
полчаса раньше, чем в первом случае. Вычислить время, необходимое каж-
дому крану в отдельности для опорожнения наполненного сосуда.
13. Пешеход отправляется из пункта А в пункт В; расстояние между этими
пунктами равно 13 км 200 м, В то же время из пункта В в пункт А
выезжает велосипедист. Встреча происходит через 44 мин., после чего
велосипедист прибывает в пункт А на 1 час 45 мин. раньше, чем пешеход
- приходит в В, Каковы скорости пешехода и велосипедиста в метрах в ми-
нуту ?
1.4 . Два обыкновенных плуга и один тракторный обрабатывают вместе некото-
рый участок в 6 дней. Восемь обыкновенных плугов выполнили бы ту же
работу на 2 дня скорее, чем один тракторный. Во сколько раз произво-
дительность тракторного плуга больше производительности обыкновенного?
15. Сумма некоторого двузначного и обращенного чисел (т. е. написанного
теми же цифрами, но в обратном порядке) равна 55, а произведение тех же
чисел равно 736. Найти эти числа.
16. Березовые и осиновые дрова были куплены за 164 руб.; затем березовые
были проданы за 125 руб., а осиновые — за 48 руб., причем на первых
было получено столько процентов прибыли, сколько на вторых убытку.
За сколько рублей были куплены те и другие дрова в отдельности?
17. Сумма цифр двузначного числа равна 6. Произведение этого числа и обра-
щенного (т. е. написанного теми же цифрами, но в обратном порядке)
равно 1008. Найти это число.
18. Расстояние между двумя городами, равное 600 км, почтовый поезд про-
ходит на 8 час. быстрее товарного. Если скорость каждого увеличить
на 10 км!час, то почтовый поезд будет проходить тот же путь лишь на
5 час. скорее товарного. Определить скорость каждого поезда.
19. Если некоторое двузначное число умножить на сумму его цифр, то полу-
чится 90. Если обращенное число (т. е. написанное теми же цифрами, но
в обратном порядке) умножить на сумму его цифр, то получится 306. Найти
это число.
20. Для перенесения товара с одного места на другое нанято некоторое число
рабочих, которые перенесут весь товар за 10 час. Если бы рабочих было
на 10 больше и каждый переносил бы в час на 5 ящиков больше, то ра-
бота была бы закончена за 6 час., а если бы рабочих было на 20 меньше
и каждый переносил бы в 1 час на 5 ящиков больше, то на работу ушло бы
15 час. Сколько нанято рабочих и сколько ящиков в час переносит один
рабочий?
21. Число десятков двузначного числа на 5 больше числа его единиц; произве-
дение же этого числа на сумму его цифр равно 648. Какое это число?
§ 15. СОСТАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 97
22. Два грузовых автомобиля должны были перевезти некоторый груз за 6 час.,
но второй автомобиль задержался в гараже. Когда он прибыл на место
погрузки, первый уже перевез всего груза. После этого первый автомо-
биль уехал, а второй перевез оставшуюся часть груза. Перевозка всего
груза таким способом заняла 12 час. Сколько времени понадобилось бы
каждому автомобилю в отдельности для перевозки всего груза?
23. Произведение цифр двузначного числа в два раза больше суммы его цифр.
Если от искомого числа отнять 27, то получится число, написанное теми же
цифрами, но в обратном порядке. Найти число.
24 .. Из городов А и В одновременно вышли навстречу друг другу два пеше-
хода. Когда они встретились, то рассчитали, что первому пешеходу по-
требуется еще 4 час. 30 мин., чтобы дойти до города В, а второму, чтобы
дойти до города Л, потребуется еще 2 часа. Определить скорости пеше-
ходов, если расстояние между А и В равно 30 км.
25. Число десятков некоторого двузначного числа на единицу больше числа
единиц; произведение же этого числа на число обращенное равно 2430.
Каково данное число?
26. Двое рабочих выполняют работу за 20 дней. Один из них, работая отдельно,
затрачивает на эту работу на 30 дней меньше другого. Во сколько дней
может сделать работу каждый рабочий в отдельности?
27. Турист прошел 105 км. Если бы на это путешествие он затратил еще
два для, то мог бы в день проходить на 6 км меньше. Сколько кило-
метров проходил турист в день?
28. Отец хочет разделить 180 яблок между И детьми; для этого половину
всех яблок он отдает сыновьям, которые делят их поровну, а другую поло-
вину— дочерям, которые тоже их делят поровну. Оказалось, что каждая дочь
получила на 3 яблока больше, чем каждый сын. Сколько было сыновей
и дочерей?
29. Ученики одного класса сложились поровну и купили географическую карту
за 4 руб. 20 коп. Если бы учеников в классе было на семь меньше, то
каждому пришлось бы заплатить на 5 копеек больше. Сколько учеников
в классе?
30. Ценности двух сплавов металлов А и В относятся при равных весах спла-
вов, как И : 17. Если, не изменяя в сплавах количества металла Л, удвоить
количество металла В в каждом сплаве, то ценности их при равных весах
сплавов будут относиться, как 7:11. Предполагая, что цена металла А
в 13 раз менее цены металла В (при одинаковом их весе), определить
отношение веса А к весу В в каждом сплаве.
31. Сосуд, наполненный жидкостью, может быть опорожнен двумя кранами.
2
Первый кран был открыт у того времени, которое второй употребил бы,
чтобы он один опорожнил сосуд, а затем его закрыли, и сосуд был опо-
рожнен вторым краном. Если бы с самого начала открыть оба крана, то
сосуд опорожнился бы двумя часами раньше и из первого крана тогда вы-
текла бы только половина того количества воды, которое прежде вытекло
через второй кран. Во сколько часов каждый кран отдельно может опо-
рожнить сосуд?
32. Бочка вместимостью 40 ведер снабжена двумя кранами. Через первый кран
вода вливается, через второй выливается. Если бочку наполнить водой и
затем открыть оба крана, то через 10 мин. в бочке останется 20 ведер
воды. Сколько воды осталось бы в бочке (предварительно наполненной
водой) по прошествии 3 мин., если бы первый кран наполнял бочку на
одну минуту раньше, а второй опорожнял ее на одну минуту позднее, чем
им в действительности для этого требуется. Во сколько минут один первый
кран может наполнить бочку, если она предварительно не содержит воды?
7 П. С. Моденов
98 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Во сколько времени один второй кран может опорожнить бочку, если
бочка предварительно налита полностью?
33. Расстояние по железной дороге от А до В 150 км и от В до С 60 км.
Пассажирский поезд выходит из С в то самое время, когда скорый выхо-
дит ему навстречу из А. Пассажирский поезд останавливается в В на 30 мин.
и, выйдя из В, через 10 мин. встречает скорый. По прибытии пассажир-
ского поезда в А и скорого в С, они идут обратно, выйдя опять из этих
мест одновременно и идя с теми же скоростями, как и прежде. Но скорый
поезд был задержан на 6 мин. в В и пришел к месту, где поезда встре-
тились в первый раз, в то время, когда пассажирский поезд прошел только
9
~ расстояния от А до этого места. Найти скорости поездов.
34. Бассейн наполняется водой из двух кранов. Сначала первый кран был
открыт одну треть того времени, какое нужно было бы, чтобы наполнить
бассейн, открыв только второй кран. Затем, наоборот, второй кран был
открыт одну треть того времени, которое требуется для наполнения бас-
13
сейна одним первым краном. После этого оказались наполненными бас-
сейна. Вычислить, сколько времени нужно для наполнения бассейна каждым
краном в отдельности, если оба крана, открытые вместе, наполняют бассейн
за 3 час. 36 мин.
35. Найти четырехзначное число по следующим условиям: сумма квадратов край-
них цифр равна 13, сумма квадратов средних цифр равна 85, цифра тысяч
на столько же больше цифры единиц, на сколько цифра сотен больше
цифры десятков; если же из искомого числа вычесть 1089, то получится
число, записываемое теми же цифрами, но в обратном порядке.
36. На участке реки от А до Б течение так слабо, что его можно принять
равным нулю; на участке же от Б до В оно достаточно быстро. Лодочник
проплывает расстояние от А до В за 3 час., а вверх — от В до А за
3 час. 30 мин. Если бы на всем протяжении от А до В было такое же
течение, как от Б до В, то весь путь от А до В вниз занял бы 2 час. 45 мин.
Сколько времени потребовалось бы в этих условиях для того, чтобы
подняться вверх от В до А?
37. Найти трехзначное число по следующим условиям: а) его цифры составляют
геометрическую прогрессию; б) если из него вычесть 297, то получится
число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке; в) если
к цифрам данного числа прибавить соответственно 8, 5 и 1, то получен-
ные суммы составят арифметическую прогрессию.
38. Найти четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, если из-
вестно, что после того, как к ним прибавить соответственно 1, 1, 4 и 13,
они будут составлять арифметическую прогрессию.
39. Два поезда отправляются одновременно из А и В навстречу друг другу.
Скорость первого поезда на 10 км!час больше скорости второго. Оба
поезда встречаются на расстоянии 28 км от середины АВ. Если бы первый
поезд отправился из А на 45 мин. позже второго, то оба поезда встре-
тились бы на середине АВ. Найти расстояние АВ и скорости обоих по-
ездов.
40. Учитель предложил трем ученикам перемножить два числа. После умноже-
ния множимого на отдельные цифры множителя один из учеников при сло-
жении частных произведений забыл удержать в уме одну единицу неко-
торого разряда. Разделив при проверке результат на множитель, он полу-
чил в частном 971, а в остатке 214. Второй ученик в указанном разряде
не сделал ошибки, но при сложении цифр следующего разряда забыл при-
бавить двойку. Делая проверку таким же образом, как первый, он получил
в частном 365, а в остатке 198. Третий сделал подобную же ошибку
на единицу в следующем высшем разряде и получил при проверке в част-
§ 15. СОСТАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 99
ном 940, а в остатке 48. Определить данные для умножения числа и ука-
зать, в каких местах были сделаны ошибки.
41. Вода втекает равномерно в баржу через образовавшееся в ней отверстие.
Насосы А и В, которыми снабжена баржа, таковы, что поршень насоса А
делает три хода, в то время как поршень насоса В делает два хода; четыре
хода поршня насоса В производят то же действие, что и пять ходов поршня
насоса А. Насос В, качавший воду в продолжение такого времени, в кото-
рое насос А, действуя один, выкачал бы всю воду, перестает действовать,
а затем насос А выкачивает всю воду в 3 час. 20 мин. Если бы оба на-
соса действовали вместе с самого начала, то всю воду они выкачали бы
в 3 час. 45 мин., причем насос выкачал бы ста ведрами больше, чем прежде.
Сколько ведер воды было в барже, когда насосы начали действовать?
Сколько воды в час втекает в баржу? Сколько воды в час выкачивает каждый
насос?
42. Сумма цифр трехзначного числа равна И, сумма квадратов тех же цифр 45.
Если от искомого числа отнять 198, то получится обращенное число. Найти
это число.
43. Города А, В и С расположены так, что прямые дороги, соединяющие их,
составляют прямоугольный треугольник, в котором пути между А и В,
В и С составляют прямой угол. Пешеход, идя от А к В, затем от В к С
и от С к А с одинаковой скоростью, находит, что время, потребное для
прохождения от А до В, вместе с временем, потребным для прохождения
от В до С, больше времени, потребного для прохождения от С до А, на
2 час. 40 мин. Велосипедист, который оставляет А на 4 час. позднее
пешехода, проезжая тот же путь по тому же маршруту, что и пешеход,
догоняет его в конце восьмого километра от В на пути ВС, причем ско-
рость велосипедиста втрое больше скорости пешехода. Прибыв в А, вело-
сипедист останавливается там на 6 час. 40 мин., а затем снова отправляется по
тому же маршруту и прибывает в А одновременно с пешеходом, который
в С отдыхал 4 час. Найти расстояния между городами и скорости пеше-
хода и велосипедиста.
44. Две суммы денег, всего 50 000 руб., положены в сберкассу по 3% годовых.
Каждая из них дала 600 руб. дохода, причем первая сумма находилась
в сберкассе на 4 месяца дольше, чем вторая. Как велика каждая сумма и
на какой срок она была помещена, если известно, что ни одна из сумм
не находилась в сберкассе более одного года?
45*. Из городов С и D едут навстречу друг другу А и В, причем А выез-
жает тремя часами раньше В. Они встречаются на расстоянии 20 км от D.
А приезжает в D часом раньше, чем В приезжает в С. На другой день В,
выехав обратно, встречает Д, проехавшего одну седьмую часть своего об-
ратного пути, и, несмотря на бывшую затем трехчасовую остановку,
все-таки прибывает в D настолько рано, что мог бы проехать еще 28 км,
пока А приедет в С. Найти расстояние между городами С и D и скорости,
с которыми едут А и В.
46. Две трубы, действуя одна после другой, наполнили бассейн вместимостью
3100 ведер. Через первую трубу вливалось воды на 5 ведер в мин. больше,
чем через вторую. Если бы первая труба действовала столько времени,
сколько вторая, то через нее влилось бы в бассейн 600 ведер воды, а если
бы вторая труба действовала столько времени, сколько первая, то через
нее влилось бы в бассейн 1800 ведер. Сколько ведер воды в минуту вли-
валось в бассейн через каждую трубу?
47. Велосипедист, выезжающий из А в В, должен приехать в В через 3 час.
Одновременно с ним из пункта С выезжает другой велосипедист и, чтобы
успеть приехать в В вместе с первым велосипедистом, он должен каждый
километр проезжать на 1 мин. скорее, чем первый. Расстояние от С до В
на 6 км больше расстояния от А до В, Определить эти расстояния.
7*
100 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
48. Две автомашины выехали одновременно из одного пункта и едут в одном
и том же направлении. Одна машина идет со скоростью 50 км/час, дру-
гая— 40 км/час. Спустя полчаса из того же пункта в том же направлении
выехала третья машина, которая обогнала первую машину на 1 час. 30 мин.
позже, чем вторую. Найти скорость третьей машины.
49. Общее увеличение веса двух кристаллов — одного весом 1,2 г, другого
1,5 г — в течение двух дней равно 0,24 г; при этом рост первого кри-
сталла равен р% в день, а рост второго — q% в день, считая каждый
раз от первоначальных весов кристаллов (т. е. от 1,2 г и 1,5 г). Если же
считать, что рост кристаллов (в процентах) за день исчисляется от веса
каждого кристалла, который он имел в начале каждого дня, то через два
дня увеличение веса обоих кристаллов было бы не 0,24 а, а 0,2454 г.
Найти р и q с точностью до 0,001.
50. Найти два целых положительных числа, зная, что их разность равна 66,
а их общее наименьшее кратное равно 360.
51. По окружности радиуса R равномерно и в одном направлении движутся
две точки. Одна из них делает полный круг на t сек. быстрее второй. Время
между двумя последовательными встречами этих точек равно Т, Опреде-
лить скорости этих точек.
52. Два поезда выходят из пунктов А и В, расстояние между которыми равно
d км, и идут навстречу один другому. Чтобы они встретились на середине
пути, нужно, чтобы поезд из А вышел на t час. раньше поезда из В.
Если бы оба поезда вышли одновременно, то через а час. расстояние между
ними составляло бы А-ю часть (k > 1) расстояния между А и В, Найти
скорость каждого поезда.
53. Два пешехода вышли одновременно навстречу один другому из пунктов
А и В. Когда они встретились, то оказалось, что первый пешеход прошел
на ш км больше, чем второй. Затем каждый из них, сохраняя свою ско-
рость, отправился дальше, после чего первый прибыл в пункт В через р
час. после встречи, а второй прибыл в пункт А через q час. после встречи.
Найти расстояние между пунктами А и В.
54. Три экскаватора производят работу. Если эту работу будет выполнять один
первый, то закончит работу на а дней позже, чем все вместе. Если же эту
работу будет выполнять второй, то он закончит ее на b дней позже, чем
все вместе, а если третий, то ему потребуется времени в с раз больше, чем
при работе всех экскаваторов вместе. Во сколько дней выполняет работу
каждый из них в отдельности?
55. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выезжают два ве-
лосипедиста и встречаются через t часов. Какова скорость каждого, если
первый проезжает m км на q час. быстрее второго и если расстояние АВ
равно 5 км,
56. Два вкладчика положили в сберкассу одинаковые суммы. Первый из них
взял вклад по истечении m месяцев и получил р руб., а второй, взяв вклад
по истечении п месяцев, получил q руб. Какую сумму положил каждый
из них в сберкассу и сколько процентов выплачивает сберкасса? Известно,
что m < 12 и п < 12.
57. Два мотоциклиста выехали одновременно: один из А в В, а второй из В в А.
Каждый ехал с постоянной скоростью и, приехав в конечный пункт, тут же
поворачивал обратно. Первый раз они встретились в р км от В, второй
раз в q км от А через t час. после первой встречи. Найти расстояние
между Л и В и скорости обоих мотоциклистов.
58. Бассейн наполняется водой из двух кранов. Сначала первый кран был
открыт в течение времени, за которое бассейн наполняет второй кран,
а затем второй кран был открыт на такое время, за которое наполняет
бассейн первый кран. После этого оказалась наполненной —я часть бас-
§ 16. СОСТАВЛЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ
101
сейна. Оба крана наполняют бассейн за а час. Сколько времени требуется
для наполнения бассейна каждым краном в отдельности?
59. Два пешехода вышли одновременно, навстречу друг другу, из пунктов А
и В и встретились через а час. За какое время прошел расстояние между
А и В каждый из них, если первый, вышедший из А, пришел в пункт В
на Ь час. позже, чем второй пришел в пункт А?
60*. Шары А и В, радиусы которых равны г, соединены нитью, длина которой
равна а. Шар В подвешен к шару А. Последний выпускают из рук, пре-
доставляя его действию силы тяжести по отвесной линии. Шар В достигает
горизонтальной плоскости В, отражается вверх и в некоторой точке D,
отстоящей на расстоянии 2г -\-Ь от плоскости В, сталкивается с шаром А.
С какой высоты над плоскостью В был брошен шар А? Искомым является
расстояние от самой нижней точки шара А до плоскости В. Предполагается,
что шар В и плоскость В вполне упругие, так что шар В отражается
от плоскости В с той же скоростью, какую он имеет в момент удара.
Сопротивлением воздуха пренебрегаем.
61. Ученик должен перемножить два трехзначных числа и полученное произ-
ведение разделить на пятизначное число. Но он не заметил знака умноже-
ния и принял оба рядом стоящие числа за одно шестизначное. Поэтому
полученное частное оказалось в три раза больше истинного. Определить
все три числа.
62. В шахматном турнире участвовали два ученика седьмого класса и несколько
учеников восьмого класса. Два семиклассника набрали 8 очков, а каждый
из восьмиклассников набрал одно и то же количество очков. Сколько вось-
миклассников участвовало в турнире? Найти все решения, зная, что каждый
с каждым играл один раз.
63*. А и В едут на лодке между двумя пунктами по реке, скорость течения
которой а м/мин. В течение переезда минутная стрелка на часах у В пере-
мещается на некоторое число делений. Когда минутная стрелка на часах
у А переместится на столько же делений, он уменьшит скорость и пройдет
„ 2
оставшуюся часть пути со скоростью относительно берега, равной v пер-
о
воначальной скорости относительно берега. Если А и В едут по течению,
то А совершает первую часть перехода, т. е. до изменения скорости,
в промежуток времени, в 6 раз больший, чем вторую часть. Когда же они
едут против течения, то А совершает обе части перехода (до изменения
скорости и после) в равные промежутки времени; А совершил бы обе части
перехода против течения тоже в равные промежутки времени, если бы во
7
второй части перехода шел со скоростью у первоначальной и при этом
с самого начала поменялся бы часами с В. Полагая, что часы у них идут
равномерно (но не одинаково), найти скорости движения А и В. Пусть часы
у А идут верно; как тогда идут часы у В? Пусть часы у В идут верно;
как тогда идут часы у А?
§ 16. Составление неравенств
П. 1. Составление неравенств второй степени с одним неизвестным
1. По прямой из точки А в одном направлении движутся две точки: одна
равномерно-ускоренно с начальной скоростью 3 м/сек и ускорением 2 м/сек1,
другая равномерно. В каких пределах должна изменяться скорость второй
точки, чтобы она сначала обогнала первую точку, но чтобы затем первая
точка догнала вторую на расстоянии, не большем 10 м от А?
2. Расстояние между городами А и В равно 100 км. Из города А в город
В отправляются одновременно два автомобиля. Скорость первого на 10 км/час
больше скорости второго, но в пути первый останавливается на 50 мин.
102 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
В каких пределах может меняться скорость первого автомобиля при усло-
вии, что он прибудет в город В не позже второго автомобиля?
3. Велосипедист отправляется с некоторой скоростью из пункта А в В, от-
стоящий от А на расстоянии 60 км. Затем он выезжает обратно с той же
скоростью, но через один час после выезда он делает остановку на 20 мин.
После этого он продолжает путь, увеличив скорость на 4 км!час. В каких
границах заключена скорость велосипедиста, если известно, что на обрат-
ный путь от В до 4 он потратил времени не более чем от А до В?
4. Лодка спускается по течению реки на расстояние а км, а затем подни-
мается против течения реки на расстояние b км. Скорость течения реки
равна v км!час. Какова должна быть собственная скорость лодки, чтобы
вся поездка продолжалась не более чем t час.
5*. Два сплава — из серебра и меди—имеют одинаковую пробу (проба сплава—это
отношение веса серебра к весу всего сплава). Если сплавить каждый из них
с таким количеством меди, которое содержится в другом, то отношение
проб этих новых сплавов будет не менее В каких пределах должна
заключаться первоначальная проба (т. е. отношение веса серебра к весу
всего слитка в первоначальном сплаве), если отношение веса первого по-
2
лученного сплава к весу второго полученного сплава равно у?
6. На прямом берегу реки отгорожено забором место с трех сторон в форме
прямоугольника. Длина всего забора 100 м. Каких размеров должен быть
участок, чтобы его площадь была наибольшая?
7*. Точки А и В движутся по направлению к точке О по двум взаимно-пер-
пендикулярным прямым: ОА и ОВ. Расстояние от точки А до точки О
в начальный момент равно 6 м, а расстояние от точки В до точки О
в начальный момент равно 7 м. Скорости точек А и В равны соответ-
ственно 3 м!сек и 4 м!сек. Через какое время от начального момента рас-
стояние между точками А и В будет наименьшим? Найти это наименьшее
расстояние.
8. В каких пределах изменяется скорость точки, движущейся равномерно по
прямой, если известно, что при увеличении скорости на 3 м]сек эта точка
расстояние в 630 м проходит скорее, притом не менее чем на 1 сек. и
не более чем на 4 мин. 40 сек.
9. С поезда сошли два пассажира и направились в один и тот же пункт.
Первый половину времени шел со скоростью а, а вторую — со скоростью Ь.
Второй шел первую половину пути со скоростью Ь, а вторую — со скоро-
стью а. Который из них пришел раньше к месту назначения?
П. 2. Составление нелинейных неравенств
1. Знаменатель дроби меньше квадрата ее числителя на единицу; если к чи-
слителю и знаменателю прибавить по 2, то значение дроби будет больше
если от числителя и знаменателя отнять по 3, то значение дроби будет
меньше Найти эту дробь.
2. Вклад в А руб. положен в сберегательную кассу по р% годовых. В конце
каждого года вкладчик берет В руб. Через сколько лет после взятия
соответствующей суммы остаток будет больше или равен ЗА? При каких
условиях задача имеет решение?
3*. Непромытый «золотой песок» содержит k % чистого золота. После
каждой промывки «золотого песка» отходит р% содержащихся в нем при-
месей и теряется q% от имеющегося в песке золота. Сколько следует
произвести промывок, чтобы число процентов содержания чистого золота
в «золотом песке» было не менее чем г? Известно, что q < р.
§ 16. СОСТАВЛЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ 103
4*. Находящийся под постоянным давлением газ в количестве а м3 последо-
вательно пропускают через п фильтров, каждый из которых поглощает р%
общего объема примесей, содержащихся в газе, поступающем в рассмат-
риваемый фильтр. Затем газ смешивается с b м3 отнесенного к тому же
давлению газа, содержащего q% (по объему) примесей. Какой процент
примесей (по объему) допустим для газа до его очистки, если число про-
центов примесей в газовой смеси не должно превышать г?
5*. В резервуар, содержащий А л воды, сначала через одну трубу вливают
а л р-процентного (по объему) раствора спирта, а затем после перемеши-
. вания, через другую трубу, выливают равное количество (т. е. а л) обра-
зующейся смеси. Сколько раз нужно повторить эту операцию, чтобы в ре-
зервуаре получился раствор спирта крепостью не менее q% (по объему)?
Дано, что q < р.
6. В колбе в начальный момент имеется Af бактерий. К концу каждого часа
количество бактерий увеличивается на р% по сравнению с тем количе-
ством их, которое имелось в начале этого часа; кроме того, в конце
каждого часа из колбы берется порция, содержащая п (п < N) бактерий.
Через сколько часов количество бактерий в колбе будет превышать (после
изъятия соответствующей порции) начальное количество их в два раза?
Выяснить условия, при которых задача имеет решение.
Гл ава VI/
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ НАД ПОЛЕМ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
§ 1. Доказательство различных равенств, содержащих
показательную и логарифмическую функции
1. Доказать, что если
1 1
у— z—
то
1
х =
2. Дано: 1g 676 = 2,82995, 1g 104 = 2,01703.
Найти 1g 2 и 1g 5, не пользуясь таблицами.
3. Функция у дана уравнением
ах + а~х л
у = —х----, где а > 0 и а #= 1.
а — а
Выразить
__а^х + а-^х
Z а£х — а~4Х
как функцию только у и наоборот у как функцию z.
4. Доказать, что
где х > 0, х #= 1, а > 0, b 0, а 1, ab =£ 1.
5. Доказать, что если а и b — длины катетов, а с — длина гипотенузы, при-
чем с — b #= 1 и c-\-b =# 1, то
^ёс+Ь а + ]ёс-Ь а = 2 'ёс+b а ]ёс-Ь а-
6. Доказать, что если a2-}- b2 — lab, причем а#=£0, то
lgl£+±L = l_(ig|fl|4_ig^|)i
7. Доказать, что
lgaN\SbN + \gbN\ScN + lgcN\gaN — N ,
где N > 0, a > 0, b 0, c 0, N a 1, b ф 1, c -$= 1, abc Ф 1.
8. Доказать, что если a = lg1218, P = lg24 54,
то
ap — 5 (ot — p) = 1.
9. Найти lg64 168, если lg712 = a и lg1224 = 6.
10. Дано lg;!03 = «, 1£зо5 = />. Найти lg308.
11. Найти lg920, зная, что lg102 —a, lg103 = Z>.
§ 2. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 105
12. Доказать, что a lga b = 1, где а > О, b > 0, а Ф 1, b #= 1,
13. Пусть а — положительное число, не равное 1. Положим:
** ** LL ~р" Ц,
Доказать, что:
a) c2 — s* = 1;
б) s (2х) — 2s (х) с (х);
в) с (2х) = 2с2 (х) — 1 = 2s2 (х) + 1 = с2 (х) + s2 (х);
д) с > 1;
е) s (х + у) = s (х) с (у) 4- s (.у) с (х);
ж) с (х 4-У) = с (х) с {у) 4- s (х) $ (у);
з) с(—х) —с(х);
и) s (— х) = — s (х);
к) t (— х) — — t (х);
л) с (х — у) = с (х) с Су) —5 (*) 5 Су);
м)** Найти функции, обратные для $(х), с(х) и t (х).
§ 2. Логарифмические и показательные уравнения
с одним неизвестным
Решить следующие уравнения:
1. lga> х 4- Igj. а = 1, а > 0, а=#1.
2. lgax lgft х = \ga b, а>0, b>Q, a*l, b + 1.
3. хУх =Y Xх-
4. t. х^х==100х.
б. У x'gV* = Ю.
6> \4/ г З-'16*
1g (2х)
'• 1g (4х—15) '
8*. 14-Ш21£10й-х)1£л# = ^-. а>0, Z>>0, b 1.
9. (14-lgca) = а>°« ь>°>
с 0, а #= 1, b =/= 1, с 1.
10*. 1+1§’хП^£ = (1Д101Д10»— Wx10.
11. ]^lgaV^+^gxV^+у + ~ = а. а>0, а#= 1.
12. 52*-14-б**1 = 250.
13. lgx5/5 —|- = (lgxyr5)2.
14. К^Гз7-^х = -1.
15. (0,4)1^+1 = (6,25)2-^‘.
106 Алгебра. Гл. VII. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
16. 1+-г4^-х4'==Т-—fcA . а>0. 1. Р — q > 0.
Iga (•* + ?) ^p-q(x-Y q) ' 7
Р-ЧФ 1.
17. V Ig;c5/5 + lgr.-5/5 • lgy- x = - /6.
18. lgx21g2x2 = lg4x2.
19. =
lg(5 — x)
20. lg/1 4-%4- 31g/l —x==lg/l—x24~2.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
lgx (5x2) (lg5 a-)2 = 1.
^^ахУх + 7]§^хХ3=3\§^х2, a > 0. a^l.
Va
/ 1 \ lg3 V^+I-TT С*3-1) г-----
(1) ' =/2<*-D.
(У'2-У"зУ+ (И 2 + Кз)' = 4.
xl-lglc*=(),01.
— 5.
2 2 = 16/2.
Igio !3 + 2 lgI0(l 4- x)] = 0.
10lga(v2-3x+5) = 3Iga10, a > О, аф 1.
^2(igloJr)=-l igicx = y[o?
1 7
9х — 2*+ 2 = 2*+ 2 — З2*-1.
lg10 2 4- 1£ю(4"-2 4-9) = 14- lg10^x-2 + !)•
21g8(x2_6x+9) = з2 lsxVx-i
/1 + ^ + 3 lgc= (1 - x) = lga* (1 — x2)2 4- 2. a>0, a4 1.
xlg«* = a^sax^, a > 0, a =£ 1.
a'g^^x'gx^~x\ a>Q, a^l.
1 S’^xlgs (9x) + l = 1.
lg10 (5 — x) 4- 2 lg10 У‘3 — x = 0.
(1?5x)24“7 • lg7x = 2.
igxiO4-igx»io = 6.
. 2*4-3_3*2-2__з*2 4-i_2х”1
lgI0(3x-ll) + lg10(x-27) = 3.
*4-1 __
5х V 8х =100.
5-v 4-5-v+14-5-v+2 = 3-v 4-зх+14-зх+2.
/a2 4- V b2 = т Уab, aZ> > 0, аУ=Ь.
107
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
§ 3. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
tg 2 4- 1g (4 — 5х — 6х2) _„
lg(2x-l)
3х • 4х = 5х.
lg(1524-x3) — 31g(x + 2) = 0.
__*______|--------— 1
5—lg2x 1 l + lg2x
+ (K 2 +Уз)Х == 2 х.
2lgx«4-IgaxaH-31ga*x« = 0, a > 0, a 4=1.
>gxio + 2igt0xiOH-3ig100xio = o.
x-2- x+±
4*— 3 2 — 3 2 —2м-1.
Ig4(x+ 12)lgx2 = 1.
Ig /бх —4 + 1g /x4-l == 2 -}- 1g 0,18.
2* 2х-1 + 2Х~2 = 7х -}- 7*-i -j- 7X“2.
59. Сколько корней имеет уравнение
2" = х + 3.
Вычислить их (без таблиц) с точностью до 0,1.
60. Найти все значения k, при которых уравнение
1g (Ах) = 2 lg (х4- 1)
имеет только один корень.
61. Сколько корней имеет уравнение
3xlgx= 1 4-lg-tf-
Найти приближенные значения этих корней с точностью до 1.
§ 3. Системы логарифмических и показательных уравнений
Решить следующие системы уравнений:
ха — yb, 1g. — — *^с х с > 0, с 4= 1, а 4= 0, b 4= 0. л 4= А.
X - 6С у lg(.y / -г- -г-
2. хх+У = ух-У. х2у=1.
3. ахЬу = аЬ, ху=1, а>0, А > 0, «4 1, А 4=1-
4. ^g2 х-{-ig2 у —lg2 а2, ху — а2, а=£0.
? 15 __ JL 15 _____ __ _
5. х3 — Уysf у3 = Ух2, z=-~Yx -[-Уу,
6. (14-у)х=100, (У-- 2/+
7. 4^Sax + Р^ёаУ “0, хг — 4у' = 0, р 4= 0, 5’4=0, а > 0, а 4=1-
8 244
8. хг—-у 3, уг — х 3, z = У х -\~у у.
9. 642х4~642>'= 12, 64х+у = 4У2.
Ю. (у+1)х= 10000, (у2 - 1)2Х~2^
108 Алгебра. Гл. VII. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
11. ху = ух, 3Х=15У.
12. Igo,5(j —x)-blg2y = —2. x2-+-j/2=^25.
13. хУ = ух, px = qy, p>Q, q>0, p + 1, q+ 1. p ¥= <7-
14. xy = yx, x^ = yqt p q.
15. 3 х- 2y = 576, Ig^- (j/ — x) = 4.
16. 5 (lgy x -f-lgx y) = 26, xj = 64.
17. lg2x-!t-lgiy-]-lgiz = 2, lg3y + ^g9z-]-\g9x=^2, lg4^4-lgi6x4-Ig12y = 2.
18. Г-1-Г4, a.,_x+,=118.
19. lgx (ay) = p, ]gy(bx)~q, a>0, b>Q, pq #= 1.
20. lgax — iga^y — m, lga"-x — Iga^y — n, где а>0 и а Ф 1.
21. — lg„ x 4- — Ig.y = 0, — lg„x4—— 1g y—1,
где я > 0 и a£l, m 0, n 0.
22. Igio^'g'io-^ + ’gio^ !£юУ = 0. xy = c,
где a > 0, b > 0, a =# b, c > 0.
23**.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38**.
x-v-y = y12, y-v'-v = x3.
yx’ + 7x+12=lj x_yy = 6.
1 )
“8
x^io-v —4, xy = 40.
у.
2.5У —71, 1H4-2 • 52 =21, -|-52 = 16.
Igy X — lgx У = у , ху=16.
у -|~ Igio х — 1, хУ — 0,01.
lgxy — 41gyx = 3, ху = 2.
1йГж 104-lg-y 10 = 5, lg10x+ IgioJ' = 4-
хУ== J&o£ = -6.
/1000 У
X
уУ~х, _y3 = x2.
103-ig(x-y)_:250,
. г-- . 1 — 26 — у
Vx-yy^Vx + y^y^.
х^у — у, у^У х4.
ХУ=^ух=1.
7(lgyX + lgxy) = 50, ху = 256.
]/x2-f-5x + 2y —3 + /x24-.v + y-|-2 =
== x'£ —j~ ^x “I” — 2 хУ “4" 2y —Т 3, xx у = 2у 1.
.. § 4. РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ 109
39. х + tew У = 7- tew х — tew J = 2. 4 _8 4 _ __ 2
40. д-Рл + Уу — у'З , уУх+Уу — д-3 •
41. ХУ-+-243. /1024 = Их) .
§ 4. Решение неравенств, содержащих показательную и логарифмическую
функции
Решить следующие неравенства:
1. teax>61gj.a—1, где0<а<1.
2*. lga(35 —х3) о . , ,ь(5_,)'>3. где»>1.
3. 1 -> 1 2х—1 1—2л-1*
4. 1 > I Igw х 1 — lg]Ox
5. 6. 2lgxa-j-lgaxa-l-31ga^a > 0, гдеа>1. lgx(x + 2)>2.
7. lg8(x«-4x4-3)< 1.
8**. V ft. V о V 04 4 ^jO
Глава VIII
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Область определения
Найти область определения следующих элементарных функций:
1. у — у (х — 1) (х — 2) (х — 3) (х — 4) (х — 5).
2. У— У 1 — |4х3— 6х-|- 1|.
3. 1 У=~-
4. у = У x-j~y —х,
5. X У х2 1 *
6. у=: 2х2-(-Зх Д-5.
7. у = 1 — X2.
8. J = lg(<-2Hx-3).
9. у=^у/~ (*~2)(х-3) Г X2
10. 11. 12. 13. 14. y = \g [х (х — 3)(х4-5)]. _y = lg (х24~2х). у = 2х. У = lgio (х2 — 3x4-7). 3’ = 1§'10 ’gio X.
§ 2. Возрастание, убывание, выпуклость вверх и вниз
1. Доказать, что функция
х
У~~ х2 + 1
возрастет на сегменте [—1, 1].
Указание. Пусть
— 1 Х1 < Х2^ 1-
Надо доказать, что
Х1 х2
1+-*!
2. Доказать, что та же функция
У=Г-ТТ^
§ 2. ВОЗРАСТАНИЕ, УБЫВАНИЕ, ВЫПУКЛОСТЬ ВВЕРХ И ВНИЗ 111
на полуинтервале (— оо, —1] убывает, т. е. если
3. Доказать, что функция у — л3 — 6х на сегменте [—]/"2, |^2] убывает.
4. Доказать, что функция
. 1
а) возрастает в интервале (—оо, 0), т. е. если
< Х2 <
то
. 1 . 1
Х1 Ч-----2 < ^2 Ч Т ’
х< л;
б) убывает на полуинтервале (о, 1^2], т. е. если
в) возрастает на полуинтервале []^2, Ч~°°)-
5. Доказать, что наибольшее значение функции
х
равно j, а наименьшее—При каких значениях х функция принимает
значение у? При каких значениях х эта функция принимает значение--
6. Доказать, что если х > 0, то
причем знак равенства имеет место только при х^=]/2. Иначе говоря, на
интервале (0, оо) функция
. 1
принимает наименьшее значение, равное уУ'2.
7. Доказать, что функция
У = у/* х% ч~*х Ч~ 14“ У* х% — х Ч~ 1
имеет наименьшее значение, равное 2, при х = 0.
8. Доказать, что функция
х
а) на полуинтервале ( — оо, —Уз] выпукла вверх;
б) на сегменте [ — ]/*3, 0] выпукла вниз;
в) на сегменте [ 0, ]/ з) выпукла вверх;
г) на полуинтервале []/*3, Ч~ °о) выпукла вниз.
112 Алгебра. Гл. VIII. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
9. Доказать, что функция
а) на интервале (— оо, 0) выпукла вниз;
б) на интервале (0, -J-00) выпукла вниз.
10. Доказать, что функция
у — х3 4- ах2 4~ Ьх + с
а) на полуинтервале (—со, —выпукла вверх;
б) на полуинтервале £—у, -|~ 00J выпукла вниз (каковы бы ни были
числа b и с).
11. Доказать, что функция
у = У а2 — х2
на сегменте [—а, а\ выпукла вверх.
12. Доказать, что функция
_у = х3 + р* + <7
возрастающая, если р > 0. Если же р < 0, то:
а) на полуинтервале (—со, —|/ —она возрастает:
б)м„Г_>—J-Z убша„.
О ) Нex 1 Mti Н 1 с I I у Ь1 о de 1
в) на полусегменте совозрастает.
13. Исследовать на возрастание и убывание функции:
1) у = х2} 2) у==х3.
14. Исследовать на возрастание и убывание функцию
15. Исследовать на возрастание и убывание функцию
у = ах2 -j- bx 4~ с.
16. Воспользовавшись результатом задачи № 12, исследовать на возрастание
и убывание функцию
у —— cosx-sin2x.
17. Доказать, что функция
1
У 1 + X2
а) на полуинтервале — оо,-------j выпукла вниз;
б) на сегменте -----, -y==-J выпукла вверх;
в) на полуинтервале Г-—г, -|-ooj выпукла вниз.
18. Исследовать на выпуклость вверх и вниз функции:
Г. у = х2\
2°. у = х3\
§ 2. ВОЗРАСТАНИЕ, УБЫВАНИЕ, ВЫПУКЛОСТЬ ВВЕРХ И ВНИЗ
ИЗ
19. Доказать, что если а > 0, то функция
у = ах2 4~ Ьх -|- с
выпукла вниз, а если я<0,'ТО выпукла вверх.
20. Доказать, что если функция = на сегменте [а, выпукла вверх,
то тем же свойством обладает и функция
<Р (х) ==/(*)-}-а* 4~₽.
где а и р — произвольные числа.
21. Функции f(x) и <р(х) выпуклы вверх на сегменте [а, #]. Что можно сказать
о выпуклости вверх или вниз следующих функций:
1°. /(*)4-?(*);
2°. /(*) — с?(х);
3е. kf(x)(k— число).
22**. Доказать, что функция y — igx на полуинтервале (— oj выпукла
вверх, а на полуинтервале £о, выпукла вниз.
23. Доказать, что функция
1
У 1 ____х2
1°. в интервале (—оо, —1) убывает и выпукла вверх;
2°. в полуинтервале (— 1, 0] убывает;
3°. в полуинтервале [0, 1) возрастает;
4°. в интервале (—1, 1) выпукла вниз;
5°. в интервале (1, -(-оо) возрастает и выпукла вверх.
24. Исследовать на возрастание, убывание и на выпуклость следующие функции:
1°. у = /х; 2°. у = ^х; 3°. у=-^.
у х
25. Доказать, что если а > 0, то функция
у =z ах3 4~ Ьх2 + сх 4- d
обладает следующими свойствами:
Г. если Ь2 — то она возрастает;
2°. если Ь2 — Зас>®, то
а) в полуинтервале
(-со. _ ‘
\ За о т a2 J
возрастает;
б) на сегменте
г b 1 b2— Зас b . 1 Ь2— Зас 1
За “3 V аз ’ а2 I
убывает;
в) в полуинтервале
г Ь . 1 /" Ь2 — Зас . \
[~зг+з К -у-’ +")
возрастает;
3°. в полуинтервале f — оо, — -^-1 выпукла вверх;
4°. в полуинтервале £ — —, 4“°°) выпукла вниз.
При а < 0 все заключения будут обратными.
8 П. С. Моденов
114
Алгебра. Гл. VIII. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
26. Доказать, что функция
у = х sin х
возрастающая.
27. Доказать, что функция
^ = (х_1)2(х4_1)з
1°. в полуинтервале — сю, -g-j возрастает;
2°. на сегменте убывает;
3°. в полуинтервале [1, 4“°°) возрастает.
28.** Найти наибольшее и наименьшее значение функции
____12х (х — а)
У ~~ .гз + 36 ’
где а — данное действительное число, не равное нулю. При каком целом
значении а эти наибольшие и наименьшие значения будут целыми числами?
При каких значениях х функция у принимает эти наибольшие значения
(в общем случае и в частном, при которых наибольшее и наименьшее зна-
чения— целые числа)?
29. Найти область определения функции
у = ]/* 1 — х -j- У1 + х;
исследовать при помощи подстановки х = cos /, где О t к — промежутки
возрастания и убывания, наибольшие и наименьшие значения.
§ 3. Наибольшие и наименьшие значения
1. Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, который имеет
наибольшую площадь.
2. Найти высоту конуса максимального объема, который можно вписать в шар
данного радиуса г.
3. В круг радиуса г вписать прямоугольник с наибольшей площадью.
4. В круг радиуса г вписать прямоугольник, периметр которого был бы
наибольшим.
5. Из всех круговых секторов, имеющих данный периметр, найти тот, кото-
рый имел бы наибольшую площадь.
6*. Показать, что из всех треугольников, вписанных в окружность наиболь-
ший периметр имеет равносторонний треугольник.
7. Из всех прямых круговых цилиндров, которые можно вписать в данный
прямой круговой конус, найти тот:
а) объем которого был бы наибольший;
б) боковая поверхность которого была бы наибольшей.
8. В данный шар вписать конус, имеющий:
а) наибольшую боковую поверхность;
б**) наибольшую полную поверхность.
9*. Конус описан около шара. Показать, что объем конуса превосходит объем
шара не менее чем в два раза. Для какого конуса отношение его объема
к объему шара будет наименьшим?
10. Найти размеры конической палатки данной вместимости, требующей наи-
меньшего количества материи.
11. Нужно огородить проволокой, длиной 200 м, земельную площадь в виде
прямоугольника, примыкающего к стене. Найти размеры прямоугольника,
при которых площадь будет наибольшей.
12. Требуется изготовить сосуд без крышки в форме прямоугольного паралле-
лепипеда с квадратным основанием емкостью 32 л. Каковы должны быть
§ 4. НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ
115
размеры сосуда, чтобы на его изготовление пошло возможно меньше
материала ?
13. Из прямоугольного листа с размерами а и b требуется изготовить коробку
наибольшей емкости, вырезав по углам четыре равных квадрата и загнув
получившиеся выступы. Найти величину сторон вырезаемых квадратов. Рас-
смотреть случай а = Ь.
14. Из круглого листа радиуса г вырезан сектор с центральным углом ср.
Из этого сектора сделана коническая воронка. При каком ср емкость
воронки будет наибольшей?
15*. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб. При каком угле
наклона боковых стенок к основанию площадь поперечного сечения желоба
будет наибольшей?
16**. От канала шириной а, под прямым углом к нему, отходит канал шири-
ной Ь. Оба канала прямолинейны. Найти наибольшую длину бревна, которое
при сплаве из одного канала в другой не застрянет на повороте.
17**. На отрезке длиной /, соединяющем два источника света силой Д и /2,
найти наименее освещенную точку (освещенность обратно пропорциональна
квадрату расстояния от источника света).
18. На какой высоте над центром круглого стола радиуса г нужно подвесить
лампу, чтобы книга, лежащая на краю стола, была бы сильнее всего осве-
щена (освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния от источ-
ника света и прямо пропорциональна косинусу угла падения луча на осве-
щаемый предмет)?
Глава IX
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 1. Арифметическая и геометрическая прогрессии
1. Сумма четырех составляющих арифметическую прогрессию равна 1; сумма
кубов этих же чисел равна 0,1. Найти эти числа.
2. Найти числа, составляющие арифметическую прогрессию, зная, что сумма
первых четырех членов равна 68, сумма последних четырех членов равна
—36, а сумма всех членов равна 68.
3. Найти сумму п дробей, числители которых образуют арифметическую про-
грессию с первым членом а и разностью d, а знаменатели — геометрическую
прогрессию с первым членом b и знаменателем q.
4. Определить стороны треугольника, если они выражаются целыми числами,
образующими арифметическую прогрессию, причем периметр треугольника
равен 15.
5. Определить стороны треугольника, если они выражаются целыми числами,
образующими геометрическую прогрессию, причем произведение этих чисел
равно 216.
6. Сумма членов геометрической прогресии без первого члена равна 63-^-; сумма
членов без последнего равна 127; сумма членов без двух первых и двух послед-
них равна 30. Найти прогрессию.
7. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число уве-
личить на 8, то прогрессия станет арифметической. Но если после этого
увеличить последнее число на 64, то прогрессия снова сделается геомет-
рической. Найти эти числа.
8. Найти отношения сторон треугольника, зная, что один из его углов равен
120° и что стороны его образуют арифметическую прогрессию.
9. Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, разность
которой равна 2 см. Площадь треугольника равна 6 см2. Определить
стороны.
10*. Доказать, что если а > 0, #>0ис>0 соответственно /п-й, n-й и р-й
члены одновременно как арифметической, так и геометрической прогрессии,
то
b Ci c-aa-b 1
а и с = 1.
11. Доказать, что если а — первый член арифметической прогрессии, а сумма р
первых членов равна 0, то сумма следующих q членов равна---------- .
12. Доказать, что если sn, s2n и s3n — суммы п, 2п и Зп членов арифметической
прогрессии, начиная с первого, то
s3n — 3 ($2л $«)•
13. Доказать, что если sm, sn и sm+n — суммы т, п и т-\-п первых членов
арифметической прогрессии, то
__
Sm+n « + «'
§1. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ 117
14. Даны две арифметические прогрессии: одна возрастающая, другая убываю-
щая, у которых один и тот же первый член а и разность Ь. Пусть и $2
суммы п первых членов этих прогрессий. Найти
— $2
S1 + s2
15. Доказать, что если удвоенная сумма т первых членов арифметической
прогрессии равна сумме т-\-п первых ее членов, а эта последняя сумма
равна сумме т-\-р первых членов, то
(/и + «) (i - j) = + Р)(±- у).
16. Даны две прогрессии:
a, a-\-b, a-\-2b, я4~3#,...
и
с, с d, с —|— 2с?, с —Зб/,. ..
Выразить сумму
ac + (a + ft)(c4-6?)4-(«4_2ft)(c4-2^)+ ... 4~
+ [й + (/г—1)6] [с + (а—l)d]
через суммы и s2 п членов данных прогрессий и их разности b и d.
17. * При каком соотношении между а и b сумма всех парных произведений
членов прогрессии
at а — Ь, а — 2Ь, ..., а — (3/г2—2)6
обращается в нуль?
18. Доказать, что если члены ар, aqi аг и as арифметической прогрессии соста-
вляют геометрическую прогрессию, то р— q, q— г и г — s будут после-
довательными членами геометрической прогрессии.
19. Доказать, что если sn, s2n, и s3n суммы п, 2п и З/z первых членов геоме-
трической прогрессии, то
sn(s3n— S2n) = (S2n — S„)2.
20. Пусть q—знаменатель геометрической прогрессии, sn — сумма п первых ее
членов, a sn_t — сумма п,— 1 первых ее членов. Найти сумму всех парных
произведений п первых членов.
21**. Доказать, что условие
(^1 + ^2 4“ ••• + ^Л-1)(^2 4“ ^3 4“ ••• 4“^) =
= (^1^2 4" а2аЪ 4” ••• 4"^/г-1а/г)2’
где ait а2, ..., ап— действительные числа, является необходимым и доста-
точным для того, чтобы эти числа составляли геометрическую прогрессию.
.22. Пусть s2, s3 — суммы соответственно пг, п2 и п3 первых членов неко-
торой арифметической прогрессии. Показать, что
(«2 — «з) 4-(«з — «1) +(«1 — «г) == О-
23. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, даны
найти ат и ап.
24. Длины сторон треугольника образуют геометрическую прогрессию. В ка-
ких границах может меняться знаменатель этой прогрессии?
25. Знаменатель геометрической прогрессии равен 1 , Доказать, что
каждый член (начиная со второго) этой прогрессии равен разности двух со-
седних с ним..
118
Алгебра. Гл. IX. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
26. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 12, а сумма
квадратов ее членов равна 48. Найти сумму первых десяти членов этой
прогрессии.
27. Найти четыре числа, из которых первые три составляют геометрическую
прогрессию, а последние три — арифметическую: сумма крайних чисел
равна 14, а Сумма средних равна 12.
28. Три числа, сумма которых равна 60, составляют арифметическую прогрес-
сию; если к этим числам прибавить соответственно , 4 и 7, то новые
числа будут составлять геометрическую прогрессию. Найти эти числа.
29*. Найти четыре действительных числа, составляющих геометрическую про-
грессию, зная, что сумма их равна 130, а сумма их квадратов равна 5044.
30. Доказать, что если числа аг, а2, а3, ..., ап образуют арифметическую
прогрессию, то
1.1.1, , 1 и—1
#1^2 ^2^3 ^3^4 1 ^п — \^п
31. Доказать, что если lg*x, Ig^x, \gnx образуют арифметическую прогрес-
сию, то
32. Даны две прогрессии:
арифметическая
а2, а3, . . ап, ...
и геометрическая
blt ь2, ь3, .... ьп, ....
причем все члены этих прогрессий положительны и обе прогрессии воз-
растающие. Кроме того, дано
; И 6?2 — ^2*
Доказать, что все члены арифметической прогрессии, начиная с а3, меньше
соответствующих членов геометрической прогрессии, т. е. что ап < Ьп при
всех п > 2.
33*. Доказать, что последовательность чисел
аг — cos х -ф- i sin х,
а2 = cos 2х -J- i sin 2x,
an — cos nx -f- i sin nx
есть геометрическая прогрессия. Найти знаменатель этой прогрессии. Поль-
зуясь формулой для суммы п членов геометрической прогрессии, найти
sn и привести sn к виду А 4--Bi, где А и В действительны. Найти отсюда
выражения для сумм
А = cosх-j-cos2x4- ... + cos/zx,
В = sin х 4" sin 2x4~ ••• 4~sinnx-
34. В некоторой арифметической прогрессии второй член является средним
пропорциональным между первым и четвертым. Показать, что в этом слу-
чае шестой член будет средним пропорциональным между четвертым и
девятым.
35. Определить три числа, образующих геометрическую прогрессию, если сумма
7
их равна 21, а сумма обратных величин равна.
36. Найти три числа, образующих геометрическую прогрессию, зная, что их
сумма равна 26, а сумма их квадратов равна 364.
§ I. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ 119
87; Определить знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии,
зная, что ее сумма вдвое больше суммы п первых членов.
38*. Доказать, что для всякой арифметической прогрессии
#1» ^2» а3> • • • » • • •
имеют место равенства:
аг — 2а24~а3 = 0»
---- Зб?2 “Ь- ЗбХд-^4
&х — 4tz2 + — 4$4 —= О,
и вообще, при всяком п^>2
#1— С\а2~\-Спа%— —1)” 1 ' 1#л4“(—1)” • C%an+i === 0.
39*. Найти такую арифметическую прогрессию, чтобы между суммой ее пер-
вых х членов и суммой kx следующих за ними существовало постоянное
отношение, не зависящее от х.
40. Доказать, что для двух прогрессий:
геометрической
CL, ^2’ ^3» • • • » п’ • • •
и арифметической
b, blt ъ2, ь3,.... ьп.....
для которых
а > 0, — >0, 6, —£>0,
а 1
существует такое число а, что 1£аяЛ— bn не зависит от и.
41. Какая зависимость должна существовать между р и q для того, чтобы
уравнение х4 -ф-рх2 -ф- q — 0 имело четыре корня, образующих арифмети-
ческую прогрессию.
42. Найти арифметическую прогрессию, сумма п членов которой равна Зп2-ф-я*
43. Вычислить отношение сторон прямоугольного треугольника, зная, что его
стороны составляют арифметическую прогрессию.
44*. Дана последовательность чисел
б?о = О, а2 = 3, a3 —6, a4=10, a5—15, ...
таких, что разности
ai — я0=1, а2— а^ — 2, а3— а2 = Ъ, а±— а3 — 4, ...
образуют ряд натуральных чисел. Найти сумму
ао + ai + а2 4~ аз 4~ • • • 4~агг
45. Дано р арифметических прогрессий, каждая из которых содержит п чле-
нов. Их первые члены соответственно равны 1, 2, 3, . . ., р, а разности 1,
3, 5, ..., 2р—1. Найти сумму членов всех прогрессий.
46. Дана арифметическая прогрессия
«1, а2, а3, . .., ап, где все az>0.
Доказать, что
1 . 1 . ,______1 п-1
V + Va2 V ^2 + У а3 Уап-х~\~Уап У&х + У ап
47. Найти сумму семи членов арифметической прогрессии, 6-й член которой
равен —6, а сумма 2-го и 5-го членов равна 3.
48. Найти сумму шестнадцати членов арифметической прогрессии, если сумма
четырех первых членов этой прогрессии равна —28, а сумма шести пер-
вых членов равна 58.
120
Алгебра. Гл. IX. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
49. Найти сумму восьми членов геометрической прогрессии, сумма 1-го и 4-го
членов которой равна 18, а сумма 2-го и 3-го равна 12.
50. Найти сумму десяти членов арифметической прогрессии, 5-й член которой
равен 9, а сумма 2-го и 9-го членов равна 20.
51. Найти сумму восьми членов арифметической прогрессии, для которой
сумма первого и восьмого членов равна 25, а сумма 3-го и 5-го членов
равна 19.
52. Доказать, что во всякой арифметической прогрессии, разность которой отлична
от нуля, произведение двух членов, равноотстоящих от крайних членов, воз-
растает по мере удаления от концов к середине.
53. Рассмотрим арифметическую и геометрическую прогрессии, удовлетворяю-
щие следующим условиям:
а) первые члены обеих прогрессий одинаковы;
б) сумма первых двух членов арифметической прогрессии превышает
сумму первых двух членов геометрической на величину, равную утроен-
ному первому члену арифметической прогрессии;
в) сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна сумме
первых трех членов геометрической прогрессии.
Найти знаменатель геометрической прогрессии.
54. Решить уравнение
х3 -|- х2 4~ 2х 4~ л = О,
зная, что его корни образуют геометрическую прогрессию.
55. Решить уравнение
х3 4-х2 = а,
зная, что его корни образуют арифметическую прогрессию.
§ 2. Возвратные последовательности
Последовательность
^1» ^2» ^3» • • • » • • • О)
называется возвратной последовательностью £-го порядка, если ее члены свя-
заны соотношением
Pian+k-i Pzfln+k-zA- ••• + РА = °* (2)
где k — фиксированное целое положительное число, р2, Р& Pk — фикси-
рованные числа (возможно и комплексные).
Для задания возвратной последовательности (1), удовлетворяющей соотно-
шению (2), достаточно задать k ее первых членов
6Zp ^2’ ^3, • • • »
так как тогда ak+1 определится из соотношения (2), затем из того же соотно-
шения (2) найдем ak+2 и т- Д- Отсюда следует, что если мы найдем такое
выражение для ап, которое
а) при п=1, п = 2, ..., n = k обращается в ах, а2, а3, ..., ak
б) и которое удовлетворяет соотношению (1), то это выражение и будет
решением вопроса об отыскании последовательности (1), удовлетворяющей
соотношению (2). Кроме того, из сказанного выше следует, что мы найдем
общее выражение для ап, удовлетворяющее соотношению (2), если мы найдем
такую функцию — Сх...............Сл), от п и от k произвольных постоянных,
которые могут быть определены при произвольном задании /(1,СрС2.......Сл) =
= ^1, /(2, Ср С2, ..., С^) — а2, ..., f (k, Ср С2, ...»Ck) = ak.
Решение уравнения (2) ищется в виде ап = хп\ если полученное при этом
уравнение относительно k
+ ... -+-рА = 0
§ 2. ВОЗВРАТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
121
(называемое характеристическим) имеет простые корни, то общее решение будет
иметь вид
я сл ~ 4~ С2Х2 4- ... 4- С&х£. (3)
Если же, например, xt— корень кратности X:
Xi — Х2 — ... — Х\,
то соответствующая сумма в выражении (3) заменяется на
(Ci-|~C2n4-£,3ra24_ ••• 4~£xzlX~1)xi-
ал+2 — 5«л+14- 6ап = 0.
ап+г — 4ап+14~ 3«л = 0.
йл+2 + ал+1 + ап — °-
ап+2 — ал+14- 5ал = 0.
«л+2 —4ап+14-4ап = 0.
°л+2 4~Зап = 0.
ал+2 —«„ = 0.
ол+з 9«лц.211 26«л+1 24«л = 0.
«я+з4~2ая+2 — «л+1 — 2«я = 0.
ап + 3 3<7л + 2 4“ ап ; 1 ?jCIn ~ 0-
ал+з 3«л+2 50«п — 0.
ал+з — Ъап.,л4“ 2ал — 0-
йл+з4- Юал+2 4~32ая+14-32ап = 0.
«л+з — 6«я+2 4- 12ая+1 — 8«„ = °-
ал+3 8а;л+2 4- 8а;л + 1 ап == 0-
fln+3 4-3an+24_3a„+14-an — 0-
ап+3 — (2 cos а 4- l)a„+24-(2cosa4-1)ая+1 —«я = 0.
В следующих задачах (№ 1—18) требуется найти общее решение для воз-
вратных последовательностей:
1.
2.
3.
4.
б.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
В следующих задачах (№ 19—27) требуется найти ап, зная соотноше-
ние (2) и соответствующее количество первых членов последовательности:
19. оя+2 — 5ал+14-6а„ = 0, ^=1, а2 = — 7.
20. ая,2 —4ал+14-Зая = 0, где: 1) ах — 3, а2 — 9;
2) <z1 = g2 = 2; 3) «1=10, а2 — 16.
1 Уз
21. «я+24-ая+14-ая = 0, ^=3 —т, а2 =-------—.
22. «„+2 — «л+14-5ая = 0. ^ = 2, а2=-. — 3.
23. ал ,2 —4ал+1 4-4ая = 0, где: 1) «1 = 2, «2 = 4;
2) (24 = 2, а2~8; 3) ах = 0, а2 = — 4.
24. ал+2 4-2«л+14-ал = 0, «! = —!, а2=1.
25. ак+3 — 9ая+2’4-26ая+1 — 24ал= 0, ^=1, а2 = —3, «3 = —29.
26. ал+3— Зая+24-а„л1 — За„ = 0, «1 = 3, «2 = 7, «3 = 27.
27. йл+3 —3«л+1Н-2«л = 0, ах = а, а2 — Ь, а3--=.с.
122
Алгебра. Гл. IX. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
28. Найти сумму ^ + ^2 + ^3+ • • • 4”^л, если ^+2 4~№+i +Qak= и
* Р ~\~Q 4” 1 ¥= О-
29. Найти возвратную последовательность такую, что
ап+2 — 2 cos аяп+1 ап = 0, ar — cos а, а2 = cos 2а,
и затем найти отсюда сумму cos а -|~ cos 2а ••• +C0SM-
30. Убедиться в том, что последовательность с общим членом ап = nk умуйле-
творяет соотношению
— Ckan+k-i 4" 4~ ••• 4~(—l)kCkan = 0.
Найти все последовательности, удовлетворяющие этому соотношению.
31. Найти все последовательности, удовлетворяющие условию
ал+2 —5ал+14~6ал = 4.
32. Найти последовательность, для которой
«л+2 — 6ал+14-9ал = — 4, ^=1, а2 = — 7.
33. Найти последовательность, для которой
I о- 1
йп+2 4~ял = а- Л1 = 2г, а2 —у.
34. При каком условии последовательность, определяемая соотношением
ал+1 = рал4-?, р#=1
будет сходящейся. Найти в случае ее сходимости предел.
35. При каком условии возвратная последовательность
ап+2 ~\~Рап + 1 Л~Яап — 0
будет иметь предел. Чему будет равен этот предел?
36. а) Доказать, что «частным» решением уравнения
««+2 4- Р«л+1 + = ап + р,
где а, р, р, q — данные числа, в случае если х — 1 не есть корень уравнения
х2-\~ рх -\-q~ 0,
является последовательность вида а*п — ап-\~Ь\ найти а и Ь.
б) Если х~ 1—простой корень уравнения x2-[-px-\-q — 0, то частное
решение может быть найдено в виде
а*п — п (ап 4~ #); найти а и Ь.
в) Если х= 1 —двойной корень уравнения х2 рх ~^~q — 0, т. е. начальное
уравнение имеет вид
ап+2 — + 1 4” ап — а 4" ₽>
то частное решение может быть найдено в виде
ап = п(ап-\-Ь)\ найти а и Ь.
г) Найти в каждом из трех указанных случаев общее решение данного
уравнения (применить подстановку ап — Ьп-\-а^.
В следующих задачах (№ 37—43) требуется найти общее решение, если
не даны первые члены последовательности и частное решение в случае задания
начальных условий.
37. an+i ап — п.
38. ^л+1 —^=1.
on и (и 4-1) 1
39. an+i ап — g » 1 •
§ 2. ВОЗВРАТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
123
40. а„+3 — бап +2 4- 11а„ — 6а„ = — 24п2 — 4д — 8,
с^ — 4, а2 — 26, а3 — 74.
41. ап+1 — ап = Зп.
42. «л+2 4-2ал+1 — 8ая = 27 • 5", о1== —9. а2 = 45.
43. а«+2 4-2«я+1“-8ая = 2п.
44. Дано уравнение
«Л4з4-ра«+2 + ^«+1 + ^« = а₽" (1)
(р, q, г, а и р— данные числа). Рассмотрим еще уравнение
х3 4~ рх2 + qx -j- г — о. (2)
Доказать, что если р не есть корень уравнения (2), то уравнение (1) имеет
частное решение вида
а* = С$п.
Если р— простой корень уравнения (2), то уравнение (1) имеет частное
решение вида
а* =Спрл.
Если р —двойной корень уравнения (2), то уравнение (1) имеет частное
решение вида
а* =Сп^\
и, наконец, если р— тройной корень уравнения (2), то уравнение (1) имеет
частное решение вида ап — Сп3рл.
45*. Составить рекуррентное соотношение, которому удовлетворяет общий член
последовательности
XcOS|l, 2X2cos2jx, 3X3cos3jx, nX^COS/Zfl, ...
(X и ti — данные числа), и с помощью этого рекуррентного соотношения
найти сумму
X cos jjl 4“ 2Х2 cos 2jx 4~ ЗХ15 cos За 4~ • • • 4~ n^n cos
46**. Рассмотрим две последовательности:
а2, а3, ..., ап, . . .,
Ь2, Ь3, .... Ьп, . . .,
члены которых связаны соотношением
1 Р2ап + q2b„,
Pi<h
Р2Ч2
4 0,
где р2, q2— данные числа (возможно и комплексные).
Найти выражение через п для ап и Ьп, считая, что ал и заданы. Иссле-
довать случай Д = 0.
Рассмотреть числовые примеры:
а)
б)
^Л !• 1 211я ! ^^л’
1-1 “ ^ап + 7^я,
а, —— 10, £>, = —13.
аЯ11 = За„-|-г»л,
^Я|1= °Я + ^Л’
— 14, b{ = — 6.
в) йя+1 = ап + 2^„.
^л+1 —Зяя4~б#п.
124 Алгебра. Гл. IX. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
47**. Даны две последовательности:
^1» ^2» ^3» • • • » &п* • • • •
^1» ^2» • • • » &п* • • • •
члены которых связаны соотношениями
ап+1 — Р1ап 4”71^п«
*в+1=ргвв-|-^в.
где р2» <71» ^2 — данные числа (возможно и комплексные), но такие,
что | Pi | 4~1 tfi I < и I Рг I 4"I Q21 < !• Доказать, что обе последовательности
сходятся к нулю.
48. Доказать, что если задано п последовательностей, члены которых связаны,
соотношениями
ал+1 = Pi^ + РтРьЛ- ••• -\-Pnfk*
^k+i — 7А + ^ + ^+ ••• -\~Qnfk*
fk + i — А^4"52^4“ ••• 4"^/fe*
причем
I Р1 14" I Р2 I 4" I Рз | 4“ • • • 4" 1 Рп I <
ki 14" I 14-1 14“ • • • 4-1 qn I < 1»
114-1 s214-1 $з 14- • • • 4-1 sn I < h
то все эти последовательности сходятся к нулю.
49**. Найти необходимое и достаточное условие, при котором последователь-
ности
#1» #2» ^3» • • • » • • • »
h, ъ2, ъ3....ьп.......
члены которых связаны соотношениями
«в+1 = Р1«в+?Л.
^л+i = Ргап 4“ ЧгЬп,
сходятся к нулю, каковы бы ни были их первые члены и bv
50*. Пусть дана линейная система двух уравнений с двумя неизвестными:
aiX-\-biy-\-Ci — 0,
а2х 4" ^2У 4~ С2 ~ 0» ( )
причем агЬ2—а2!\^ (в этом случае она имеет решение и притом только
одно). Перепишем эту систему в виде
х = (#i 4~ D х 4" &1У 4~ ci>
y=a2x-i-(b2+ 1)у + с2
и рассмотрим две последовательности: хп и уп, первые члены которых
произвольны и которые связаны соотношениями
xn+i = («14-1) хп -\~^хУп 4~
Уп+1 = а2хп-\-(Ь2-\- 1)^4-^
Доказать, что если | ах 4~ 1 14~ | bt | < 1 и | а214~ | b2 4~ 1 | < 1, то обе эти
последовательности сходятся к решению x — xQ, у — у^ данной системы (1).
§ 2. ВОЗВРАТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 125
51*. Показать, что если дана система п уравнений с п неизвестными:
Р\х Ч" РгУ + Рзг 4~ • • • + Pnt 4~ Ч = 0»
Я1Х 4" Я2У Ч~ Язг 4~ • • • 4~ я J 4~ mi — о»
six 4” szy 4~ S2Z 4- • • • 4~ snt 4~ = о,
причем известно, что она имеет единственное решение
х = у = у0, Z = Z, =
I Pi 4“114“ IP21 +1 Рз 14- • • • 4“ I Pn I < 1 •
IЯ114” 1Я2 4" 114“ I Яз 14~ • • • 4" I яп I < Ь
I 14" I s214" 15з 14- • • • 4~ I sn 4~ 11 < 1»
то это решение может быть приближенно, но с любой степенью точности
найдено так: берем любые значения х — х}, у — ylf z = zt......t — tt
и составим ti последовательностей, первые члены которых xlt ylt zlt ..tx
и которые связаны соотношениями:
Xk-3rl (pi 4~ 1) xk Ч-ал 4~/% 4~ • • • 4" АД 4-4»
yk+i~Я1хк^~(Я2~5г^Ук~}~Язгк-^ • • • 4-аЛ4-яч»
tk+i = $1Хк 4“ 52Ук 4~ s3zk 4~ • • • 4- (sn 4~ 1) h 4~
тогда эти последовательности будут сходиться соответственно к х0, yQl
zQ, . ..,£0, т- е- к решению данной системы.
52*. Члены двух последовательностей связаны соотношениями
an^^=an — 2Ьп,
Ьп + 1 — 4"/Г
Найти общее решение.
53*. Члены двух последовательностей связаны соотношениями
an±i — Ьп 4~5,
^л + 1 = — ап 4- 3.
Найти общее решение.
54**. Построить общую теорию решения системы рекуррентных соотношений:
ап +1 = рхап 4- qibn + rtcni
bn +1 = р2ап 4“ Я Jin 4“ r2Cn*
C/?+i — Рзап 4” Яз&п 4” гзсп-
55. Последовательность чисел
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..., ап...
два первых члена которой равны 1, а каждый член, начиная с третьего,
равен сумме двух предыдущих:
аП +2 — ап 4-1 4“ ап ’
называется «рядом» Фибоначчи. Доказать, что
ч 1 Г/1 +/5\п Л— /5\п] с ,
а) а«==уТ1(2—) \—2 / J (ФОРМУЛЗ БИНЭ)
б) аг а3 4~ ... -J- a2n+i — а2п +21
в) 1 4- 4- 4- . . . 4- О2л ~ а2п 4-1»
126
Алгебра. Гл. IX. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
х 2 Z
г) О'п an-iftn+i — ( О >
х 2 | 2
д) Яд-i + Яд—^2/1-1;
х 2 I 2 I 2 । । 2
е) 4- ^2 4“ #з -г • • • 4“ ап — Q'rfln +ь
ж) #л<2л+1 ^п-20'П -1 === &2п-1J
з) an+1an+2 — апап+ъ = (— 1)";
и) йха2 -ф- Я2#з 4" аЗа4: 4~ • • • 4“ а2п-1^2п = а2п>
к) ах — а24~а3 — а44- ... ± ал= ± ^-14-1;
л) ап~Т' ап+1— О'П-! — О'Зп*
м) О'П ^л-2^л~1^л+1^л+2 === 11
н) а1 4~ а2 + а3 4" • • • 4“ ап — ап +2 1 >
о) ^(ая+60 — ал) —число целое;
п) последняя цифра числа (k — целое) есть нуль;
р) число цифр ап больше ------.
§ 3. Произвольные последовательности
При отыскании предела последовательности бывает часто полезной следую-
щая теорема: всякая возрастающая последовательность, ограниченная сверху,
имеет предел; всякая убывающая последовательность, ограниченная снизу, имеет
предел (см. ниже задачи 5, 9, ...); строгое доказательство этой теоремы дается
в курсах математического анализа.
Найти предел последовательности, общий член которой:
_23 — 1 33 — 1 пз— 1
2 * а“ ~~ 23 + Г 33 4-1 * ’ ‘ пз 4- Г
3. /гл = (14-х)(1+х2)...(1+х2'’),
где | х | < 1.
4*. а ........... 2._, _ 2................. , .
/2 У 2 + У 2 ]У 2 У 2 .
п радикалов
5. а1 = У’2, а„ = У2 4-ал_1.
у 2-V2 + V2+...+Y2 + V2
У 2 — У 2 + ^2+ ... +/2 + /3
(в числителе и знаменателе п радикалов).
а-}- cl-\~Vа
(п радикалов).
8**. Пусть а<6<0. Составляются две последовательности ап и Ьп по фор-
мулам
п ____апЛ-Ьп
^л+1 — у
ап. +
§ 3. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
127
При этом al — a, bl~b. Доказать, что
_ /а — ^аЬ V” 1
ап + V^rfin. /
lim ап = lim bn — ab.
9. Доказать, что последовательность
(0< а< 1),
а х2<
х2 =2- +т>
1 I ^n~l
2 ' 2
возрастает и ограничена сверху.
Найти ее предел.
10. Найти предел последовательности:
г2
__ a xi
•^2 — “2 2“ ’
а л'о
Х-1==Т
__ а хп-1
Хп~~'2 2~~
где 0 < а < 1.
Непоследовательность задана рекуррентным соотношением
хл+1 — 2 х„)’
где д>0 — данное положительное число, а х0 — произвольное положитель-
ное число; таким образом,
1 / , а \
*1 =y(xo+v ’
Z \ х0/
\ ( t а\
Х2—
1 / , а\
V-3= 2(^+г2)’
Доказать, что эта последовательность имеет предел, равный ]/ а, каково бы
ни было начальное значение х0 (на этой теореме основан удобный, осо-
бенно на арифмометре, способ приближенного извлечения квадратных корней
из чисел).
12. Доказать, что предел последовательности, общий член которой
_ \k + 2k 4- 3k + ... + nk
an - л*+1
1
равен
k "Г- 1
128
Алгебра. Гл. IX. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
13. Последовательности определяются соотношениями:
а) х„+1 =
б)Хя+1~ 2xs„ + a ’
где а > 0; х0 > 0.
Доказать, что пределы . обеих последовательностей существуют и рав-
ны У#.
14**. Пусть а и Ъ—два положительных числа, причем а < Ь. Построим по этим
числам две последовательности, определяя их так:
ь. = ь^
bt = /оЛ;
а0 = а,
ао +
2 ’
ai +
2 ’
а.
а2
и вообще,
bn+i = V апЬп.
Доказать, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел.
Гл а в а X
СУММИРОВАНИЕ
Пусть задана какая-нибудь элементарная функция f (х), а ср(х)—другая
элементарная функция, связанная с функцией f (х) соотношением
/(*) = ?(*+*) —<?(*), (1)
где h — какое-нибудь число. Заменяя в этом равенстве х последовательно на x-\-h,
х-|-2Л, x-\-nh, получим:
/(х4_Л) = ?(х + 2/г)-ср(х + /г), (2)
/(х4-2/г) = ?(х4-3/г) —ср(х4-2Л), (3)
f (хЦ- nh) = ср [х +(п4- 1) h\ — ср (х 4~ nh), (n -|- 1).
Складывая почленно равенства (1), (2), . .., получим
f (х) 4" f (х "4~ Н" f (х 4~ 2^) 4~ • • • 4~ f (х 4~ ? Iх 4~ (4 4~ 1) h\ ~? (х)«
Таким образом, задача отыскания сумм вида
/(х) + /(х + /г)+/(х + 2Л)+...+/(х+пЛ),
где f (х) — элементарная функция, будет решена, если удастся подобрать такую
элементарную функцию ср(х), которая с функцией / (х) связана равенством
/ (х) = ср(хЦ- h) — с?(х). Не существует общего приема, по которому для задан-
ной функции f (х) можно найти «суммирующую функцию» ср (х).
В математической дисциплине, называемой теорией конечных разностей,
дается формула (Эйлера) для суммирующей функции в виде суммы ряда (и то,
конечно, при некоторых ограничениях на суммируемую функцию). По отноше-
нию к суммированию элементарных функций применение ее мало эффективно,
так как упомянутый ряд имеет сложную структуру и исследование его сходи-
мости. не просто. Поэтому обычно суммирующую функцию подбирают. Рас-
смотрим примеры.
Пример 1. Рассмотрим тождество
/ . Л \ ( h\ о. . h
cos 1x4—) — coslx------2/ ~ —2sinxsin -у;
здесь
ср (х) = cos (х — , ср (х -|- h) — cos (х + -j)>
/(х) — — 2sin х sin ~.
Поэтому
/(х)+/(х4_/г) + /(х4-2/г)4-...4-/(х + ^) =
z=z — 2 ли [sin х -|- sin (х 4~ ^) 4~ sin (х 4~ 2Л) 4“ • • • 4~ sin (х 4“ ~
= ср[х 4-- (м4- 1)/г] — cp(x) = cos [х — ~ 4- (п4- 1) /zj — cos (х — 4)“
- '• Л . (и 4-1) h . Г h . (п4-1)Л1 о. , nh\
= — 2sin -—sin lx — 2 4“ 2—j"2" = — 2sin -4) sin\x 4" “2")’
9 П< С. Моденов
130
Алгебра. Гл. X. СУММИРОВАНИЕ
и значит, если
sin-у ¥= о,
то
sin х 4~ sin (х 4” 4“ sin (х 4" 2/г) + • • • 4~ sin (х nti) —
sin (п 4-1) h . / . nh\
sin"2
Пример 2. Вычислим сумму
_ 1 ,_________________________________________1________________, 1
S~ х(х +h) (х + 2h) (X + 3h) (X + h) (х + 2/z) (х + 3h) (х + 4/z) ‘ ‘ ‘
_1__________________________!_________________________
(х + nh) [X + (n-f- 1) h] [х + (п 4-2) h] [х + (и + 3) h] ’
Рассмотрим функцию
ср (х) х (х д) (х 4- 2h) ’
Находим
cp(x + /z) —ср(х) =
______________I______________________1_________—_________________________—f (х)
(х 4- h) (х + 2/z) (х 4- ЗЛ) х (х 4- h) (х 4~ 2h) х(х + /г)(х4-2/г)(х 4- 3/г) J v 7
Отсюда следует, что
f (х) 4~/ (х ~\~f{x ~\~2h) 4~ • • • f (х “
= ЗЙ [х (х 2Л) (х + ЗА) (х + /г) (х + 2Л) (х + ЗА) (х + 4Л) + • ' • +
+ [х 4- (п — 3) h] [х 4- (п — 2) h] [х + (п — 1) h] (х 4- n/i) ' 4“ Ч~ 1) ? (х)
_ 1 1
[* + (п + И h] Iх + (/2 “Г 2) h] [х 4- (п 4~ 3) h] х (х 4- h) (х 4- 2h)'
значит, данная сумма
_ 1 г__________1________________________________1__________________1
S 3h L х (х 4- h) (х 4~ 2А) [х 4~ (п 4- 1) h] [х 4- (п 4~ 2) /г] [х 4- (п 4- 3) Л]] ’
Если последовательность ап — возвратная, то сумма аг 4~ ^2 + + • • • Ч~ ап
может быть легко вычислена.
Пример 3. Пусть ап — возвратная последовательность, для которой
^л+2 — Зб/л+1 -4- ап ~ п.
Требуется вычислить сумму
sn — ai 4“ Ч~ ai 4“ • • • 4“ ап ’
зная, что
ar = 1, а2 = 0.
Решение: полагая в данном соотношении п—\, 2, 3, ..., п, получим:
— 3&2 4“ 1 ’
^4----Зс3 4“ ^2 = 2,
---- ^°4; 4~ Г3 ~ 3,
ал+2 —Зал+14~ал = п;
Алгебра. Гл. X. СУММИРОВАНИЕ
131
складывая, получаем
sn — ai — а2 “Ь 4~ ап+2 — 3 (sn -J- Яд+i) 4* Sn =
откуда
s„ = 2а, — а2 4- ап+2 — 2an+1 — .
Частное решение уравнения
ап±2---^ап + 1 4~йл — п
есть
ап ~ 1 — п;
полагая ап = ап-+~Ьп, получим
Ьп+2 — з^д+14- = о.
Отсюда _
Так как at = blt a2 = b2~ 1 и ^=1, ^ = 0, то
1
/5 ’
bx — b2 = 1, и тогда
Таким образом,
, . 1 /34-/5 V 1 /3 —/5\я
•“'-’П'Л Н ~Vs{4~)
а потому окончательно
s _2 + 1-(п4-2)4-—______________1 - f3~J^r+2
« ' /з\ 2 / /5 \ 2 )
2 /34-/б\я+1 . 2 /3 — /5\я+1 «(« + /)
/5 к 2 ) + /^к 2 ) 2 “
__ — — Зп + 2 . /4 — 1 /3 4-/5~\п+1 У 5 + 1 /3 — /5 \л+1
“ 2 “• 2 /5 \ 2 / '2/5'2/
Задачи
Вычислить следующие суммы:
1. 1 • 114-2 • 21-4-3 • 3!4- ...+»• п!
2*. 1 • 2 • 3 4-2 • 3-44-3-4-54-... -|-(я —2)(«—1)«.
3. 124-224-324-...4-п2.
4. х4--2х24-Зх34- • • • 4~(га—1)Хп~1-}-пхп.
й. 134-234-з34-... 4-п3.
6. 1—224-з2—... 4-(—I)”-1/!2.
7. х4-22х24-32х34-42^4-.. . 4-п2хл.
8. 1 - 24-2 • 3 • %4-3 • 4 • х24- . .. 4-га(»4-1)х«-1.
9. 144-2*4-з44-...4-»*.
10. Вычислить произведение
(14-2)(3 4-4 4-5)(6 4-7 4-8 4-9) ....
состоящее из п множителей.
9*
132 Алгебра. Гл. X. СУММИРОВАНИЕ
11. Разобьем ряд натуральных чисел в группы:
1, (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10),
Найти сумму чисел n-й группы.
12. Разобьем ряд натуральных чисел в группы:
1, (2, 3, 4), (5, 6, 7, 8, 9), (10, И, 12, 13, 14, 15, 16),
найти сумму чисел n-й группы.
13*. Разобьем ряд натуральных чисел в группы:
1, (2, 4), (3, 5, 7), (6, 8, 10, 12), (9, И, 13, 15, 17), . ..;
найти сумму чисел n-й группы.
14. Найти сумму парных произведений п натуральных чисел
[т. е. сумму: 1 • 2 —|— 1 • 3 -j— • . . ~4~ 1 * ть 2 • 3 -j~ 2 • 4 —|— . . . —]— 2м . . . —
4-(п —1)«].
15. Вычислить:
а) 154~25 + 35+ ...
б) 1 в-j-2е + З6 + ... + ««;
в) 17+ 27 + 37 + ... 4-пЛ
16. Вычислить сумму парных произведений квадратов п натуральных чисел.
Вычислить следующие суммы:
17. 1- 14-2-34-3 • 5 + 4-7+ ... -|_re(2n—1).
18. 1 + 3 + 6 + 10+15+ ... +(1+2 + 3+ ... +«).
1 . 3 , 7 . 15 , . 2Л—1
19. Т+2“+4’+"8'+ • • • "•—
20. 1+9 + 45+189+729+ ... +(2п—1) З"-1.
21. х + *2(1 + х) + х3(1 + х + х2) + х4(1 + х + х2 + х3) +
+ ... +х"(1+х + х2+ ... +х'!~1).
22**. Возвратная последовательность
alt а2> а3, ..., ап, ...
определяется соотношением
Выразить через а2 и х следующую сумму:
s = aYxа2х2а3х3... -{-апхп.
23**. Найти целую рациональную функцию /р(х), которая при х — 0 обращается
в нуль и которая удовлетворяет тождеству
fp(x) — fp(X—l) = XP,
где р — целое положительное число или нуль, и доказать, что
/р(к) = 1Р+2Р + 3Р+ ... + +
(/р(х) — полиномы Бернулли).
Глава XI
КОМБИНАТОРИКА
Г. Найти число размещений из а предметов по г при условии, чтобы в каждое
из размещений входило р назначенных предметов из данных.
Г. Сколько можно составить размещений из букв a, b, с, d, е и f по четыре
с тем, чтобы буква а предшествовала букве Ь.
3. Сколько можно составить размещений из букв a, bt с, d, et f по четыре:
а) содержащих а\
б) сколько из них начинается с а?
4. На плоскости дано п точек, из которых никакие три не лежат на одной
прямой. Найти число прямых, которые можно получить, соединяя точки
попарно.
5*. Найти число точек пересечения- диагоналей выпуклого n-угольника, не сби-
тая вершин его и полагая, что нет совмещающихся точек пересечения.
6. Сколькими различными способами можно посадить 6 человек вокруг круг-
лого стола?
7. На железнодорожной станции имеется п семафоров. Сколько может быть
дано различных сигналов, если указателю каждого семафора можно дать
три положения?
8. Через каждую из трех данных Точек проведем по т прямых так, чтобы
из них не было двух, параллельных между собой, и трех; встречающихся
в одной точке. Найти число точек пересечения проведенных прямых.
9*. Дано т предметов одного сорта и п предметов другого сорта. Найти число
групп, которые можно составить, беря г одного сорта и s другого сорта.
10. На плоскости дано п точек, из которых т лежат на одной прямой, а в числе
остальных точек нет трех, лежащих на одной прямой. Найти число прямых,
которые можно получить, соединяя эти точки попарно.
11. Дано в пространстве п точек (и ^>7), из которых /п(т^З) лежат в* одной
плоскости, а остальные п — т (п — zn^>4) расположены так, что никакие
• четыре из них не лежат в одной плоскости. Сколько можно провести пло-
скостей так, чтобы каждая из них содержала по крайней мере три точки
из числа заданных.
12. На плоскости дано п точек, из которых т лежат на одной прямой, а из
остальных никакие три точки не лежат на одной прямой. Найти число тре-
угольников, которые можно получить, соединяя точки по три.
13*. Имеется шесть шаров: 3 черных, 1 красный, 1 белый и 1 синий. Сколькими
различными способами можно разложить их в ряд по четыре?
14. Дано п точек. Сколько можно построить многоугольников с т сторонами,
где zn<n, у которых вершины „лежали бы в данных точках?
15*. Доказать, что 2п предметов можно разбить на п различных пар - спо-
собами.
16. На плоскости даны три точки. Проведем через одну из них т прямых,
через другую а прямых и через третью р прямых. Положив, что в числе
134
Алгебра. Гл. XI. КО/МБ И НАТОРИ КА
этих прямых не находится трех, пересекающихся в одной точке, и двух,
параллельных между собою; найти число треугольников, образованных пере-
сечением проведенных прямых.
17**. Найти сумму всех возможных чисел, которые можно написать цифрами 1,
2, 3, 4 и в которых одна и та же цифра повторяется в каждом из чисел
только один раз.
18**. Найти сумму всех пятизначных чисел, которые • можно написать цифрами
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, в каждом из которых одна и та же цифра
повторяется только один раз.
19**. Найти число всех делителей произведения 25 • 3 • 54 • 7 • 13.
20**. Сколько существует таких треугольников, у которых вершины будут вер-
шинами многоугольника с п сторонами, но у которых стороны не совпа-
дают со сторонами этого многоугольника?
2Г*. На каждой из и прямых поставлено по т точек так, что нельзя провести
прямую через какие-либо три из этих точек. Сколько можно составить
треугольников, соединяя данные точки?
22**. Сколькими способами можно представить натуральное число п в виде суммы
трех слагаемых, каждое из которых есть также натуральное число (пред-
ставления, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считать различными)?
23**. Каждый из людей, когда-либо живших на земле, сделал определенное число
рукопожатий. Доказать, что число людей, сделавших нечетное число руко-
пожатий, четно.
24**. Расставить на шахматной доске 24 шашки симметрично относительно глав-
ной диагонали так, чтобы на каждой горизонтали стояло по три шашки.
Ставить шашки на главную диагональ воспрещается.
25. Какое максимальное число слонов одного цвета можно поставить на шах-
матной доске так, чтобы они не угрожали друг другу? Доказать, что число
способов расстановки слонов есть квадрат некоторого числа.
26. На какое наибольшее число частей могут разделить плоскость
а) 15 прямых?
б) 4 окружности?
27. Решить уравнение
j_________________________________L — _L
с? С1 ~ cl •
28**. Сколько делителей имеет число 22 • З3 • 44 • 55. Найти сумму всех делителей.
29**. Сколько и каких цифр понадобится для того, чтобы написать все числа
от 1 до 1 О'2 включительно?
30. Из точки проведено /г лучей. Сколько образовалось углов?
31. На окружности расположено п точек. Сколько существует различных мно-
гоугольников (не обязательно выпуклых), вписанных в эту окружность, вер-
шинами которых служат данные точки.
32. Дано п предметов, расположенных в определенном порядке. Сколькими
способами можно выбрать из них три предмета, при условии, что ни в одной
комбинации нет двух предметов, стоящих рядом.
33. На шахматной доске расставлены две ладьи так, что они не могут бить
одна другую. Сколькими способами может быть осуществлена такая рас-
становка?
34. На плоскости проведены т параллельных между собою прямых. Кроме того,
на этой же плоскости проведены п прямых, не параллельных ни между собой,
ни уже ранее проведенным. Ни одна из прямых не проходит через точку
пересечения двух других прямых. На сколько областей делится плоскость
проведенными прямыми?
35. Экскурсанты заказали 8 четырехместных кают на пароходе. Все места
в каждой из кают и все каюты равноценны. Сколькими способами могут
экскурсанты разместиться в каютах, если их было всего 32 человека?
Алгебра. Гл. XI. КОМБИНАТОРИКА
135
36. Даны 12 точек, из которых 5 лежат на одной прямой. Кроме них» ника-
кие три не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести
через эти точки (каждая прямая содержит не менее двух точек из числа
данных)?
37. Даны 11 точек, из которых 5 лежат на одной окружности и никакие три
точки не лежат на одной прямой. Кроме них, никакие 4 не лежат на одной
окружности. Сколько окружностей можно провести через эти точки так,
чтобы каждая проходила, по крайней мере, через 3 точки из числа за-
данных?
38. На плоскости дано 10 попарно пересекающихся прямых. Никакие три пря-
’ мые не проходят через одну точку. Сколько можно построить окружностей,
каждая из которых касается трех прямых из числа данных десяти? •
39**. Сколькими различными способами можно раскрасить 6 граней куба в 6 раз-
личных цветов? Различными считаются раскраски, не переходящие друг
в друга вращениями куба.
40*. Сколькими способами можно из колоды в 52 карты выбрать 6 карт так,
чтобы среди каждой группы из 6 карт были бы все 4 масти?
4Г*. Найти число всех выпуклых ^-угольников, вершинами которых служат k
из п вершин выпуклого n-угольнйка, Причем две соседние вершины ^-уголь-
ника должны быть разделены по Меньшей Мере $ вершинами я-угольника.
42. Сколько имеется шестизначных чисел, у которых три цифры четные, а три
нечетные?
43. Сколько имеется шестизначных чисел, у которых Сумма цифр четная (пер-
вая цифра предполагается отличной от нуля)?
44. Сколько имеется десятизначных чисел, у которых сумма цифр равна трем
(первая цифра предполагается отличной от нуля)?
45. Сколько имеется девятизначных чисел, у которых все цифры различные?
46. Из п букв, среди которых буква а повторяется а раз, буква Ь повторяется
Р раз, а остальные различны, образуют сочетания по р элементов с повто-
рениями. Сколько среди этих сочетаний будет таких, которые содержат h
раз букву а и k раз букву Ь?
47. Из п букв, среди которых буква а повторяется а раз, а буква Ь повторяется
Р раз, производят сочетания с повторениями по р элементов. Сколько среди
этих сочетаний будет таких, которые содержат h раз букву а и k раз букву Ь?
48. Сколько существует целых чисел, меньших тысячи, которые не делятся
ни на 5, ни на 7?
49. Сколько различных десятизначных чисел можно написать, употребляя
только цифры 1, 2, 3, при том дополнительном условии, что цифра 3
употребляется ровно два раза.
50. Найти пит, зная, что
4-1 * — О . О . о.
51. На одной из двух параллельных прямых выбрано т точек, на другой п
точек. Каждая из т точек на первой прямой соединена прямой линией
с каждой из точек на второй прямой. Найти, сколько раз пересекаются все
отрезки, соединяющие точки, если предположить, что нет ни одной точки,,
в которой пересекалось бы более двух отрезков одновременно.
52. Параллелограмм пересекается двумя рядами прямых, параллельных его сто-
ронам; каждый ряд состоит из tn линий. Сколько Всех возможных парал-
лелограммов можно составить из этих линий?
53. Сколькими способами можно разместить в ряд p~\~q шаров, из которых
р белых и q черных при условии, чтобы рядом не лежали черные шары.
Дано, что р > q.
54. В городе 57 автобусных маршрутов. Известно, что
а) с любой остановки на любую другую остановку можно попасть без
пересадки;
136 Алгебра. Гл. XI. КОМБИНАТОРИКА
б) для любой пары маршрутов А и В найдется и притом только однз
остановка, на которой можно пересесть с одного из этих маршрутов
на другой;
в) на каждом маршруте не менее трех остановок.
Сколько остановок имеет каждый из 57 маршрутов?
55. Автобусная сеть города устроена следующим образом:
. а) с любой остановки на любую другую остановку можно попасть без
пересадки;
б) для любой пары маршрутов А и В найдется и притом единственная
остановка, на которой можно пересесть с одного из этих маршрутов
на другой;
в) на каждом маршруте ровно три остановки.
Сколько автобусных маршрутов в городе?
56. Коалиции А и В ведут войну между собой; п нейтральных государств нахо-
дятся в нерешительности, причем известно, что р из них, наверное, не при-
соединятся к коалиции A, a k, наверное, не присоединятся к коалиции В.
Сколько новых положений может оказаться в этой войне в зависимости
от дальнейшего поведения нейтральных государств?
57. В отделении железнодорожного вагона один против другого поставлены два
дивана, на каждом из которых по 5 мест. Из 10 пассажиров четверо желают
сидеть лицом к паровозу, а трое — спиной к паровозу. Сколькими спосо-
бами могут разместиться пассажиры?
58. На сколько частей можно разделить поверхность шара плоскостями, прохо-
дящими через его центр, при условии, что никакие три плоскости не про-
ходят через один и тот же диаметр.
59. Можно ли провести в городе 10 автомобильных маршрутов и распределить
на них остановки так, что какие бы 8 маршрутов не были взяты, найдется
остановка, не лежащая ни на одном из них, а любые 9 маршрутов проходят
через все остановки?
60. Будем говорить, что два числа, входящих в размещение, образуют инвер-
сию, если большее предшествует (непосредственно или нет) меньшему. Найти
число 1п инверсий среди всех перестановок из чисел 1, 2, 3, ..., п.
61. Два играющих поочередно вынимают из двух ящиков шары. В свой ход
каждый может брать из любого, только одного, ящика произвольное число
шаров. Выигравшим считают того, кто берет последним. Как должен играть
первый играющий, чтобы выиграть, если в одном ящике 73 шара, а в дру-
гом 118?
62. В ящике лежит 70 шаров: 20 красных, 20 зеленых, 20 желтых, остальные
черные и белые. Из ящика наугад берутся шары. Какое наименьшее число
шаров надо взять, чтобы среди них было не меньше 10 шаров одного
цвета?
63. Сколькими различными способами можно распределить 20 различных пред-
метов между 5 лицами так, чтобы каждый получил по 4 предмета.
64. Можно ли выложить в цепь, следуя правилам игры, все 28 костей до-
мино так, чтобы на одном конце оказалась шестерка, а на другом — пя-
терка?
65. Числа от 1 до 1 000 вписаны подряд по кругу. Начиная с первого, вычер-
кивается каждое 15-е число: 1, 16, 31, ..., причем при повторных оборо-
тах зачеркнутые числа считаются снова. Число оборотов неограниченно.
Сколько чисел останется незачеркнутыми?
66. Сколькими различными способами число 1000 000 можно представить в виде
произведения трех целых чисел? Представления, отличающиеся только поряд-
ком множителей, считаются тождественными.
67. Плоская геометрическая фигура состоит из 9 точек и 9 прямых отрезков;
через каждую точку проходят 3 отрезка и на каждом отрезке лежат 3 точки.
Какова эта фигура?
Алгебра. Гл. XI. КОМБИНАТОРИКА 137
68. Можно ли ходом ладьи (на одну клетку) попасть из одного угла шахмат-
ной доски в противоположный, побывав в каждой клетке доски один и
только один раз? Можно ли проделать то же самое ходом коня?
69. Город имеет вид прямоугольника, разделенного улицами на квадраты.
Таких квадратов в направлении с севера на юг — /г, а в направлении
с востока на запад — т. Сколько имеется возможных (различных хотя бы
в части пути) кратчайших дорог от одной из вершины прямоугольника
до противоположной?
70. В выпуклом 13-угольнике проведены все диагонали. Они разбивают его на
многоугольники. Возьмем среди них многоугольник с наибольшим числом
сторон. Какое самое большое число сторон может он иметь?
71. Сколько различных шаров можно построить в пространстве так, чтобы они
касались трех данных плоскостей и данного шара?
72. На сколько частей разбивается выпуклый n-угольник всеми его диагоналями,
если никакие три из них не пересекаются в одной точке внутри /1-уголь-
ника?
Гл а в а XII
БИНОМ НЬЮТОНА
1. Исходя из равенства
(1 + хУ — Со -]-С2х2 4“ ... -\-Сихп,
вычислить суммы:
a) С\4~2С2 + ЗС3+ ... -\-пСп\
0 G) + 2СХ + ЗС2 4~ ... + (п 4~ 1) Сп\
в) с2 4~ 2С3 4-зс*4 4- ... 4~ (я—
г) с04-зс14-5С24- ... 4~(2^4-
д) ЗС1+7С2+11Сз+ ... -4-(4лг— 1)СЛ;
е) Со —2(44-3^- ... 4-(- 1Г(п4- 1)СЛ;
ж) Сг —2С2+ЗСз— ... 4-(—1)«-ЧСл;
Со । С1 । С2 । I Гп
3) 1+2+з + -- -+ п+1’
и \ С) I Q | £*2i ] G? .
И) -2- + -3- + -4-+ ••• +7Г+2’
к) +(-1)’ттг;
л) eg—c!+d-cl4- ... 4-(-i)"ct
2. Найти число членов разложений (после приведения подобных членов):
а) («4-^ + ^Г;
б) (a + b+c + dy.
3. Найти наибольший коэффициент в разложениях
а) (д 4-^4- £)10;
0 (л4-^4~с + ^)14.
4. Пусть а0, ait а2, ...—коэффициенты в разложении
(1+х+х2Г
по возрастающим степеням х.
Доказать, что:
a) aQat ^1^2 ~4~ ^2^3 • • • ^2Л-1^2я z==z
б) #о — #14~ ^2— ... 4-(—lfl/i-i4“y(—1)я ап ~ ~2 ап>
ч . п(п—1) (— 1/ п\ п
в) аг — паг_.А-у-А— аг_<у— ... 4—у-2—гт, й0™0
/ г г-i । у2 г-2. । г\(п — г)!’ и
(исключая случаи, когда г кратно 3);
г) ао+йз + дб+ ... —«1 4“ ^4 + ^7+ ... =^2 + + • • • = З^"1.
5. Сколько рациональных членов содержится в разложении
/ Г— 4 г-уо°
(у2+]/з; ?
Алгебра. Гл. XII — БИНОМ НЬЮТОНА 139
6. Определить номер наибольшего члена разложения (/? + #)” по убывающим
степеням буквы р, предполагая, что
р > 0, #>0, p-\-q— 1.
При каких условиях:
а) наибольший член будет первым?
б) наибольший член будет последним?
в) разложение будет содержать два одинаковых последовательных члена,
превышающих все остальные члены разложения?
7. Доказать, что в разложении (а > 0, b > 0, п— целое положи-
тельное число) не может быть трех одинаковых последовательных членов.
При каких условиях разложение имеет два одинаковых последовательных
члена?
8. Доказать, что сумма квадратов коэффициентов бинома Ньютона (х-ф-^Г
СП
2п-
9. Определить показатель п (п — целое положительное число) разложения
( 1 . 2 V
(б х ь5)
по убывающим степеням величины х, если 10-й от начала член этого раз-
ложения имеет наибольший коэффициент.
10. Если в разложении
(а + b с -j- ... 4~
все числовые коэффициенты заменить на 1, то получим целую рациональ-
ную функцию от а, Ь, с, . . ., I (однородную), которую будем обозначать так:
{а, Ь, с.../]„.
Доказать следующие тождества:
а) \а2, Яз, ...» ар+1]п а2, ...» ар]п = (яр^х cQ [ах, а2, . . ., яр^1]п_1\
б) [01, аг, ap]n = [alt а2.... op-il„ + ap[alt аг.... op-i]«-i +
Ч~ар1а1> а2’ •••> ap-lin-2~i~ ••• ~t~ap[al> а2> ••• ар- 11о>
где [Ор а2....ap_J0=l.
11. Полагая
s„,p=ip+2'4-3p+... 4-/Л
доказать, что
Sn,p F-1 = (П~\~ 0 Sn,p (Sl, р + S2, р + ••• +
12. Найти число различных (не подобных между собой) членов разложения
(х14" x2-j~ х34~ ••• +^)3»
получающихся после возведения в степень.
13. Найти коэффициент при х4 в разложении
(14-2х4-Зх2)10.
14. Определить число отличных от нуля коэффициентов в разложении
(l+xS + x^o-^ + ^x+^J- ... +v100-
15. Найти коэффициент при xk в разложении
(1Ч-хД-х24-х34- ... + х"-1)2.
Глава XIII
ИНДУКЦИЯ
Метод полной индукции (доказательство от п к /г-4-1) весьма распростра-
нен в практике математических доказательств. Однако в практике средней школы
этот метод применяется все еще недостаточно широко, а между тем ряд дока-
зательств получил бы при его использовании большую логическую стройность
и законченность.
В отдельных случаях применение принципа полной индукции упрощает
решение вопроса. Часто какую-либо формулу пишут по аналогии с тем, что
получено, например, для п= 1 или п = 2; такой вывод логически неполноценен,
и для законченности рассуждений применение принципа полной индукции просто
необходимо.
Цель настоящей главы — дать задачи на применение принципа полной
индукции из различных разделов курса элементарной математики и тем способ-
ствовать более глубокому внедрению этого принципа в обиход математических
доказательств на занятиях в средней школе.
Доказать методом полной индукции соотношение
1. (а2_|_а2_|_ t . t -|_о2)(£2_|_£2_|_ .. . 4-ал^)2>0,
где аи a2i ...» ап, bx, b2, ..., bn — действительные числа.
2. .Доказать, что
Тп (х) == cos (n arc cos х) *
(где п — целое положительное число) является целой рациональной функ-
цией от х степени п.
3. Доказать методом полной индукции, что если хг > 0, х2 > 0, . . ., хп > О,
если среди них есть хотя бы два различных числа и если
••• Ч- Хп — О^
то
. f а\п
*1*2*3 ... хп < у .
4. Доказать, что п прямых, расположенных в одной плоскости, из которых
никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку,
рассекают плоскость на
. , п (п 4-1) „
1 ----—l частей.
5. Доказать, что если на плоскости проведено любое число произвольным
образом расположенных прямых, то
t — 1 + р= 1,
где t — число точек пересечения этих прямых, I — число кусков, на которые
эти прямые делятся точками пересечения, а р— число кусков плоскостей,
на которые эти прямые делят плоскость.
* Тп (х) = ~ cos (п arc cos х) — так называемые полиномы П. Л. Чебышева.
Алгебра. Гл. XIII. ИНДУКЦИЯ .......
6. Члены последовательности чисел
^2* ^3 • • •» ^л’ * * *
удовлетворяют соотношению
аа ~ ап-1ап+1>
и все они отличны от нуля.
Доказать, что an — a1q , где q = -f-.
ai
7. Члены последовательности чисел
^1» #2* й3> • • • > ’
удовлетворяют соотношению
2an = an_x + an+v
Доказать, что
ЯЛ =<*!+</(П— 1),
где
d ~ .^1*
8. Доказать, что
18 + 23 + 33 + ... +д3 = р-К+-11]'.
9. Доказать, что сумму четвертых степеней натурального ряда чисел от 1 до п
можно представить в виде
I4 —}—24 —З4 —... +п4 — ллб + ^4 +£л34~^л24-ел4-/.
Полагая здесь п — 1, 2...найти a, bt с, d, е, f, а затем доказать фор-
мулу методом полной индукции. ,
10. Доказать тождество
1 • 2 • 3 + 2 • 3 • 4-4- ... +«(n + l)(n + 2) = ln(n + l)(/i + 2)(» + 3).
П, Доказать тождество
__1________L-_____1_____+ +_______________!____________
1-2-3-4-5 “ 2-3-4-5-6 ‘ ‘ ‘ (л — 1) л (л + 1) (л-|-2) (л + 3) —
= 1(_____!_________________!_______
4 \ 1 -2.3-4 л(л+1)(л + 2)(л + 3)/е
12. Дана последовательность чисел:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...
в которой первые два числа равны 1, а каждое следующее равно сумме
двух непосредственно ему предшествующих. Доказать методом полной
индукции, что число, стоящее на л-м месте, выражается формулой (Бинэ):
13. Доказать, что для любого выпуклого многогранника имеет место соотно-
шение
В — Р + Г = 2,
где В — число его вершин, Р — число ребер, Г—число граней.*
14. Доказать, что
I2 —22 + 32 — ... +(—I)""1»2 = (— I)""1 ” <? + Ч.
* Это предложение называется теоремой Эйлера.
142
Алгебра. Гл. XIII. ИНДУКЦИЯ
15. Доказать, что
sinnx, где п — целое нечетное положительное число, есть целая рацио-
нальная функция от sin х.
16. Доказать, что если последовательность чисел
^2» #3> • • •» • • •
такова, что
—— 2, ^2 3
и для всякого натурального числа k имеет место равенство
ak+2 — ^ak + l %ak'
то
17. Доказать, что
х , х(х — 1) , , пЛх(х-1) ... (х —лпл(х— 1) ... (х—л)
Ц-г 2! U п! —к 1) .
18. Доказать, что при любом натуральном числе п (и л = 0) число 11л+2-|~
делится на 133.
19. Доказать, что если в результате конечного числа рациональных действий,
т. е. сложения, вычитания, умножения и деления, над комплексными
числами
z2, ..., zn>
получается комплексное число zz, то в результате тех же действий над
числами __ __ _
72, zn,
сопряженными соответственно с числами z^ z2, z3i . .., zn, получится
комплексное число zz, сопряженное с числом zz.
20. Доказать методом полной индукции формулу Муавра
(cos х + z sin х)п — cos их + z sin пх.
где п— целое положительное число.
21. Доказать методом полной индукции неравенство
-i + -7^-+-7^+ • • • +“7^ > V п, где я > 1.
/1 /2 1 /3 1 1 Уп к
22. Доказать методом полной индукции неравенство
4Л (2л)! ,
7Г+Т>СИ!Г’ где ">h
23. Доказать, что если п—целое положительное четное число, то
20п+16л —Зл—1
делится на 323.
Глава XIV
НЕОБХОДИМОСТЬ И ДОСТАТОЧНОСТЬ
Понятие необходимого признака (или условия) и понятие достаточного
признака (или условия) являются важнейшими в формулировках многочислен-
ных положений математики. Непонимание этих логических категорий приводит
часто к тому, что и само утверждение теоремы и ее доказательство восприни-
маются учащимися недостаточно глубоко. Разъясним на примерах, что такое
необходимый и что такое достаточный признак (или условие) какого-нибудь
положения.
Необходимым признаком какого-либо положения Л* называется любое
следствие из этого положения. Итак, если Д—>В (читается так: «из А сле-
дует В»), то В — необходимый признак А.
Достаточным признаком какого-либо положения А называется такое
положение В, из которого следует А. Итак, если АВ (читается так: «из
В следует А, или А следует из В»)**, то В — достаточный признак А.
Ниже эти два фундаментальных понятия разъясняются на примерах.
Пример 1. Необходимым признаком делимости (нацело) целого положи-
тельного числа на 4, является делимость (нацело) последней цифры этого
числа на 2.
Высказанное положение надо понимать так: если целое положительное
число делится на 4 (положение Д), то последняя цифра этого числа делится
(нацело) на 2 (положение В) — это, очевидно, верно.
Высказанный необходимый признак делимости на 4 не является достаточ-
ным, ибо если последняя цифра целого положительного числа делится на 2,
то это число не обязательно разделится на 4.
Таким образом, положение «признак делимости целого положительного
числа на 4 есть условие делимости последней цифры этого числа на 2» верно
в том случае, если под словом «признак» понимать «необходимый признак»,
и неверно, если под словом «признак» понимать «достаточный признак».
Пример 2. Достаточным признаком делимости*** целого положительного
числа на 4 (положение Д) является следующий признак: число оканчивается
двумя нулями (положение В).
Высказанное утверждение надо понимать так: если число оканчивается
двумя нулями (положение В), то оно делится на 4 (положение Д), и это, оче-
видно, верно.
Вместе с тем указанный достаточный признак делимости целого числа
на 4 не являемся необходимым, так как если целое положительное число
делится на 4, то отсюда не следует, что оно оканчивается двумя нулями.
Положение «признаком делимости целого числа на 4 является то, что это
число оканчивается двумя нулями» верно, если под словом «признак» понимать
* Буквой А мы, таким образом, обозначаем то или иное положение.
** Можно писать и так: В -> А (читается так: «А следует из В» или «из В сле-
дует А»).
*** Здесь и везде в дальнейшем под словом «делимость» мы будем понимать дели-
мость нацело, т. е. без остатка.
144 Алгебра. Гл. XIV. НЕОБХОДИМОСТЬ И ДОСТАТОЧНОСТЬ
«достаточный признак», и неверно, если под словом «признак» понимать «необ-
ходимый признак».
Пример 3. Необходимым и достаточным признаком делимости целого поло-
жительного числа на 4 является следующий признак: число, образуемое двумя
последними цифрами рассматриваемого числа, делится на 4. Необходимость
здесь заключается в том, что если целое положительное число делится на 4
(положение Д), то число, образуемое его двумя последними цифрами, делится
на 4 (следствие В).
Достаточность заключается в том, что если число, образуемое двумя
последними цифрами, делится на 4, то и само число делится на 4.
Пример 4. Необходимым условием несовместности системы уравнений
• + — ci> а2х-\-Ь2у = с2
является условие ахЬ2— a2bx — 0.
Это надо понимать так: если данная система несовместна (положение Д), то
а1Ь2 — а2Ьг = 0 (положение В).
Однако высказанное необходимое условие несовместимости не является доста-
точным.
Н пример, для системы уравнений
х + у —|— 1 = 0, х —у 4“ 1 = 0,
ai&2 — а2Ьх = 1-1 — 1-1 = 0 (положение Д), однако эта система совместна, так
как, например, х = —1, у/ = 0 является решением.
Пример 5. Достаточным условием несовместимости системы уравнений
агх + Ъгу = а2х + Ь2у — с2
является условие: а1 = 0, Ьх = 0, ¥= 0. Это надо понимать так: если а1 = 0,
bx = Qt сх =# 0 (положение В), то система уравнений
ахх Ьху = сх, а2х 4~ Ь2у — с2
несовместна (положение Д). Это верно, так как если ах = 0, ^ = 0, q =£ 0,
то уже уравнение
arx ~\~bvy
не имеет ни одного решения.
Вместе с тем сформулированный достаточный признак несовместности
системы вовсе не является необходимым, т. е. из несовместности системы
a1x4-#i.y = Ср
а2х 4- Ь2у = с2
не следует, что ах = 0, ^ = 0, =# 0.
Например, система уравнений
ху = 1, х-[~у = 2
несовместна, однако, ах #= 0, Ьх #= 0.
Пример 6. Достаточным условием неопределенности системы уравнений
ахх-\-Ьху = Ср
4" ^2У 4“ С2
является условие
__ Ь\ Cj *
#2 Ь2 С2
* Мы говорим «условие», а не <условия?, пон шая под «условием» совокупность двух
равенств.
Алгебра. Гл. XIV. НЕОБХОДИМОСТЬ И ДОСТАТОЧНОСТЬ 145
Иначе говоря, если выполнены равенства
^2 ^2 ^2
то данная система неопределенная, т. е. имеет бесконечное множество реше-
ний (докажите!).
Обратное, однако, неверно, т. е. условие
= A =
#2 ^2 ^2 . .
не является необходимым признаком неопределенности системы. Так, например,
система уравнений
х 4“ 2у = О,
x-j-2y — О
неопределенная (имеет бесконечное множество решений); однако для этой
системы соотношения
^2 &2 С2
в целом не выполнены (сх — с2 — 0, поэтому дробь — не имеет смысла).
Пример 7. Для того чтобы из отрезков a, Ь, с можно было построить
треугольник, необходимо, чтобы выполнялось неравенство
а —b с.
В самом деле, если из отрезков а, Ь, г. можно построить треугольник (поло-
жение Л), то условие а-[-Ь>с будет выполнено (положение В), так как
сумма двух сторон треугольника больше третьей. Однако условие а-]~Ь>с
недостаточно для того, чтобы из отрезков а, Ь, с можно было построить
треугольник. Например, если а = 17, b = 2, с = 3, то а 4- b > с, однако не суще-
ствует треугольника со сторонами 17, 2 и 3 (почему?).
Пример 8. Для того чтобы треугольник был прямоугольным, необходимо
и достаточно, чтобы .квадрат одной из его сторон был равен сумме квадратов
двух ДРУГИХ СТОРОН. -
Необходимость признака заключается в том, что если треугольник прямо-
угольный (положение Л), то квадрат одной из его сторон (гипотенузы) равен,
сумме квадратов двух других сторон (катетов) (положение В)—это теорема
Пифагора.
Достаточность признака заключается в том, что если квадрат одной из
сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот тре-
угольник прямоугольный. Эта теорема обратна теореме Пифагора (она тоже,
конечно, верна). Отмечу, что на вопрос: «стороны треугольника равны 3, 4, 5;
на основании какой теоремы можно утверждать, что этот треугольник прямо-
угольный?»— некоторые отвечают так: «на основании теоремы Пифагора», путая,
таким образом, достаточный признак с необходимым. Ведь теорема Пифагора
относится к прямоугольному треугольнику (см. выше «необходимость»); как же
можно утверждать, что треугольник прямоугольный на основании теоремы,
которая устанавливает некоторое свойство (а именно а2-]-Ь2 — с2) прямоуголь-
ного треугольника. Это нелогично. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 прямо-
угольный не на основании теоремы Пифагора, а на основании теоремы, обрат-
ной для теоремы Пифагора (см. выше «достаточность» признака).
Верны ли следующие положения?
1. Если В есть необходимый признак Л, то будет ли Л достаточным призна-
ком В?
2. Если В есть достаточный признак Л, то будет ли Л необходимым призна-
ком В?
Ю П. С. Моденов
146 Алгебра. Гл. XIV. НЕОБХОДИМОСТЬ И ДОСТАТОЧНОСТЬ
. 3. Если А есть необходимый признак В. то будет ли А достаточным при-
знаком В?
4. Если А есть достаточный признак В, то будет ли В необходимым призна-
ком Л?
5. В — необходимый признак Л, а С—необходимый признак В. Будет ли С
необходимым признаком Л?
Указать, какие из перечисленных ниже признаков делимости являются
необходимыми, какие достаточными, а какие необходимыми и достаточными.
6. Признак делимости числа* на 7: все цифры равны 7 (например, 777).
7. Признак делимости на 5: число оканчивается на 5.
8. Признак делимости четного числа на 5: число оканчивается цифрой 0.
9. Признак делимости на 8: число делится на 4 и на 2.
10. Признак делимости на 27: сумма цифр числа делится на 9.
11. Признак делимости на 2: число оканчивается или на 2, или на 6, или на 8.
12. Признак делимости на 5: последняя цифра делится на 5.
13. Каково необходимое и достаточное условие несовместности системы урав-
нений
а^х-^-Ь^у — q,
а2х + b2y = с2.
14. Каково необходимое и достаточное условие неопределенности этой системы?
15. Будет ли условие** а-\-Ь>с, а-Y-c^b, Ь-^-с^>а достаточным для
того, чтобы из отрезков а, Ь, с можно было построить треугольник?
16. Каково необходимое и достаточное условие того, что из отрезков а, Ь, с
можно построить треугольник?
В задачах 17—27 приводится список различных теорем; читателю пред-
лагается установить, какое из выражений «необходимо», «достаточно» или
«необходимо и достаточно»; надо поместить на место многоточия.
17. Для того чтобы сумма двух целых положительных чисел делилась на 2 ...
..., чтобы каждое слагаемое делилось на 2.
18. Для того чтобы многочлен aQxn 4~ я1хЛ~14- . . . +#Л делился на (х — а)2. ..,
чтобы а было корнем этого многочлена.
19. Для того чтобы многочлен а()хп-\-а1хп~1-\- ... + ал делился на
(х — а)(х— р)..., чтобы аир были корнями этого многочлена.
20. Для того чтобы целое число делилось на 100 ..., чтобы это число дели-
лось на 10.
21. Для того чтобы целое число делилось на 100..., чтобы это число дели-
лось на 1000.
22. Для того чтобы было выполнено неравенство sinx>0..., чтобы были
выполнены неравенства 0 < х < тс.
23. Для того чтобы было выполнено неравенство ~ < 1 .. ., чтобы 1.
24. Для того чтобы было выполнено неравенство “ < 1 • • •, чтобы было или
х < 0, или х > 1.
25. Для того, чтобы два треугольника были равны . . ., чтобы две стороны
и угол, противолежащий одной из них в одном треугольнике, равнялись
соответственно двум сторонам и углу, противолежащему одной из них
в другом треугольнике.
* В последующих вопросах под словом «число» понимается «целое положительное
число».
** Условие заключается, таким образом, в одновременного выполнении всех трех
неравенств.
Алгебра. Гл. XIV. НЕОБХОДИМОСТЬ И ДОСТАТОЧНОСТЬ
147
26. Для того чтобы отрезок PQ лежал внутри треугольника АВС..., чтобы
середина отрезка PQ лежала внутри этого треугольника АВС.
27. Для того чтобы прямые АР, BQ, CR (черт. 1) пересекались в одной точке,
лежащей внутри треугольника АВС, .. ., чтобы
BP CQ AR _ 1
PC ’ QA ' RB ~
где Р, Q, R— соответственно точки, лежащие на отрезках BCt С А и АВ.
Гл а в а XV
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
1. Решить в целых числах уравнение
ху = х-\-у.
2. Решить в целых положительных числах следующие системы уравнений:
а) х2-\-у = у2-\-х = 42;
б) х2у = у2х = 17;
в) х2 + .у = 67, У4-х = 21;
г) х2 + з/= 294, у2-\-х = 42;
д) х2-±-у = 92, /Н-х=130.
3. Решить в целых числах уравнение
2xj> 4~ 3/ = 24.
4. Решить в целых числах уравнение
3х —2у=1.
5. Найти все положительные действительные, а также все положительные
рациональные решения уравнения
ху = ух.
6. Найти целые числа х, у, z и и такие, что
х24-3'2+^2 + ^2 = 2xyzu.
7. Доказать, что равенство
х2 + У2 + z2 = 2xyz
для целых х, у и z верно только при
х = y = z = §.
8. Доказать, что при любых значениях х и у выражение
(X + у) (X Н- 2у) (х 4- 3j) (х 4- 4у) Н- у
есть точный квадрат.
9. Доказать неразрешимость в целых числах уравнения
х2 — у2 = 2xyz.
Случай х=±у, z = 0 исключается.
10. Решить в целых положительных числах уравнение
(х4-у) = (х — у)2.
11. Доказать, что уравнение
— = 1
х~ 1 ху г у2
не имеет целых положительных решений.
-1-1- - Алг-ебра Гл XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ —
12. Решить в целых числах уравнение
2-+1=у.
13. Решить в целых положительных числах уравнение
8х2 _у>_|_8х _ 4-6 = 0.
14. Доказать, что уравнение
х3 4_ уъ 4- бхyz = 9/2
не решается в целых числах (решение х = 0, у~0, z = 0 исключается).
15. Решить в целых числах уравнение
(х4~з02— (х~[-у)— 2х~~150.
16. Доказать, что уравнение
%2_ Зу^17
не имеет решений в целых числах.
17. Решить в целых числах уравнение
х2 4- ху 4“ у2 — х2у2.
18. Найти целые положительные решения уравнения
19. Найти двузначное число, которое равно сумме куба числа его десятков
и квадрата числа его единиц.
20. Доказать, что уравнение
. _у2 = 5х24-6х4-15
не имеет целых решений.
21. Решить уравнение
3х = 4 у 4- 5
в целых числах.
22. Решить в целых положительных числах систему уравнений
х2 + 5,у2 4- 4г2 4- Ьху 4- ^yz = 125,........................."
х2 4~ ?>у2 — 4г2 4~ ^ху — ^yz = 75.
23. Найти два рациональных числа, сумма которых равнялась бы сумме их
квадратов.
24. Найти все рациональные решения уравнения
9х2 —3/24-7х —3 = 0.
25. Найти все рациональные решения уравнения
2х2 — 5х4-16 — у2 = 0.
26. Найти все рациональные решения уравнения
j/2 — Зх2 4- 2х — 5.
27. Найти все целые положительные решения уравнения
х2 —6x3/4- 13з/2= 100.
28. Найти все целые решения уравнения
2,у2 4-3х.у 4-.у2 = 35.
150
Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
29. Доказать, что 27 1958— 108878-р 10 152s делится без остатка на 26 460.
30. Вывести признак делимости на И.
31. Найти наименьшее число, которое при делении на 2, на 3, на 4, на 5 и
на 6 дает остатки, соответственно равные 1, 2, 3, 4, 5.
32. Доказать, что при любом целом значении а а3—а делится на 3, а5 — а
делится на 5, а7—а делится на 7.
33. Доказать, что если р и q— простые числа, большие трех, то р2— q2
делится на 24.
34. Найти все простые числа р, такие, чтобы р-\- 10 и р4~ 14 также были
простыми числами.
35. Для каких значений п сумма ряда натуральных чисел от 1 до п делится
на 99?
36. Доказать, что при нечетном п выражение и3 — н делится на 24.
37. Найти два трехзначных числа, сумма которых кратна 504, а частное
кратно 6.
38. Найти два числа, произведение которых есть трехзначное число, являю-
щееся точным кубом некоторого натурального числа, а частное от деления
большего числа на меньшее—квадрат этого натурального числа.
39. Найти коэффициенты при ab2c3d\ abed7 и c5d5 в разложении (а—b~j-e— d)10.
40. Доказать, что если р и q — целые положительные числа, то число
(р+ 1)2^+14-р^+2 делится на число р24~р4~ 1 (добавить и отнять р2^-1)).
41. Доказать, что если х34~>3 = ^3, где х, у и z — целые числа, то одно из
чисел х, у или z должно делится на 3.
42. Доказать, что если x^-yy^ — z^. где х, у, z — целые числа, то одно из
них должно делиться на 5.
43. Доказать, что 15-|~25-|~Зб 4~ ... —(2лг)5 делится на
44. Воспользовавшись равенством
1 000 009 = 1 0002 + З2 = 9722 + 2352,
разложить 1 000 009 в произведение двух целых положительных множителей,
каждый из которых отличен от 1.
45. Найти сумму парных произведений квадратов п первых натуральных чисел.
46. Доказать, что если имеется 100 целых положительных чисел, то из них
всегда можно выбрать несколько (или может быть одно) таких, что их
сумма разделится на 100.
47. Из двухсот чисел: 1, 2, 3, 4, 5, . . ., 199, 200, произвольно выбрали
101 число. Доказать, что среди выбранных чисел найдутся два, из кото-
рых одно делится на другое.
48. Найти значения k, при которых корни уравнения х4 — (3&—}—5)х2—|—
-{-(& 4“ I)2 = 0 образуют арифметическую прогрессию.
49. Доказать, что если р и q — целые положительные числа и если р24~<72
делится на 7, то каждое из чисел р и q также делится на 7.
50. Доказать, что выражение
х5 4“ Зх4у — 5х3у2 — 15х2у3 4~ 4ху4 4~ 12у5
не равно 33 ни при каких целых
51. Функция /(х), определенная при
влетворяет следующим условиям:
значениях х и у.
всех действительных значениях х, удо-
а) f (х-\-у)-\-f (х—у) = 2/(х)/(у) при любых значениях х и у;
б) существует такое положительное число с, что = 0 и /(*)=# 0,
если 0 < х < ;
в) /(0) > 0.
Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
151
Доказать, что тогда: а) /(0)=1; б) /(х) = /(-*); в) /(с) = -/(0) = -1; г) /(xfc) = -/(x); Д) / (х + 2с) = f (х); е) /(2с) =1; ж) |/(х)|< 1. Доказать, что данному функциональному уравнению удовлетворяет только функция /(x)=cosx (с = к).
52. Найти / (п) (п — натуральное число), если
53. Найти непрерывную функцию / (х), удовлетворяющую функциональному уравнению af 1) — bf (х) — cx-\-dt где а, Ь, с, d—данные числа, /(0)=п и на интервале от 0 до 1 функ- ция f(х) линейная.
54. Решить функциональное уравнение 1/(х)р-/(2х)-Ьс, где с — постоянная величина.
55. Решить функциональное уравнение /(x) = COSy/(у). где /(х) — непрерывная функция, причем f (0) = 1.
56. Найти непрерывную функцию / (х), такую, что 'W + айт^й)’ /(х)
57. Функция /(х) обладает следующими свойствами: а) при х > 0, / (х) > 0; б) /(х+у) = /(х)+/(у). Найти эту функцию.
58. Доказать, что если при любом значении х и постоянном а имеет место равенство ,, , ч 1+/(х) то / (х) — периодическая функция.
59. Произвести указанные действия: 1 + Z tg а . ' 1 — 1 tg а 1 б) 7 а — Ы (1+2Q3-(1-Z)8 . ; (3 + 2г)3 — (2 + /)2 ’ г) о-о5-» • ’ (1+Z)5+1> . (1 + О9 А) •
152
Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
60. Вычислить
а) (а ~|- 4~ cud2) (a -J- Ьы2 Ц- ссо);
б) (а + bw> cod2)3 (a 4” b&2 4- cud)3;
в) (аш24-^)(6ш24_я(й)’
где
— 1±/Кз
ш — 2 .
61. Решить уравнение
х4 4~ Р*2 4“ 9 = О
в случае, если
п2
9<0.
62. Представить в тригонометрической форме следующие числа:
а) — 1; б) i; в) — I; г)—1—t/З; д) 1 — z/З; е) /З — I.
63. Представить в тригонометрической форме комплексные числа:
a) 3 4-2Z; б) 3 — 2Z; в) -3 4-2/; г) —3 — 2/.
64. Найти геометрическое место точек z*t для которых
a) |z|=l’> б) argz = ^-**.
65. Найти геометрическое место точек z, для которых
где zx и z2— данные комплексные числа (^=#^2) и а — данное положи-
тельное число, не равное 1.
66. Вычислить
(1 4~cos а4~* sin а)л.
67. Извлечь корни
а)//; б) /2 — 3/; в)/—4; г)/1; д) /— 27.
68. Извлечь корень
69. Найти все комплексные числа, для которых
z — zn~\
где z — число, сопряженное с z, а п — целое положительное число.
70. Решить уравнения:
а) (z4-l)m — (z— 1)т = 0;
б) Сг4-/Г — (z — 1)т = 0;
в) zn — nazn~1 — C2a2zn~2— ... —an = Q.
71. Три последовательные вершины параллелограмма находятся в точках zlt
z2, z3. Найти число, определяющее положение четвертой вершины.
72. Найти середину отрезка, концы которого и г2.
* Выражение «точка z> означает «точка с координатами х, у» (z ~ х + <У»
хну — действительные числа)
** arg z — аргумент z.
Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ 153
73. Точки zlt z2, ..., zn— вершины выпуклого многоугольника.
Найти геометрическое место точек
* = Ml + KZ2 + ••• + Мл»
где Хр Х2, ...» \п— действительные положительные числа-и
Xi -|- Х2 . -|- Хл == 1.
74. Как изменяется аргумент произведения z(z—1), если точка z описывает
против часовой стрелки замкнутую линию, содержащую .внутри себя
точки 0 и 1.
75. Даны два комплексных числа: zx и z2.
Доказать, что два треугольника, вершины которых соответственно
О, 1,
и
О, z2, ztz2,
подобны и одинаково ориентированы (т. е. обход вершин обоих треуголь-
ников в указанном их порядке совершается в одинаковом направлении).
76. Доказать, что треугольники с вершинами
О, 1, z2,
о, z1(
1 ?2
подобны и одинаково ориентированы.
77. Рассмотрим тождество
(abr — arb) (cdr — c'd) = (ас + bd) (arcr + brdr) — (acf bd') (arc -|- b'd).
Положим в этом тождестве
а = а—|—pZ,
b =т + ^.
с — а'
^ = 7' + SzZ,
af — — у -|- о/,
bf — а — (3/,
с' = — 7' + 87,
d' = a' — [37.
Доказать, что произведение суммы четырех квадратов на сумму четырех
квадратов может быть представлено в виде суммы четырех квадратов.
78. Доказать то же положение, исходя из тождества
_J_______5-U-1________________________________м
а — b а — d \а — b а — с) ‘ \а — с а — d)
Отсюда
(b — d)(a — c) = (b — с) (а — d) + (с — d)(a — b).
Положить затем
____Р+Ъ г — Р’ + 1Ч' --- —г + $1 —r' + s'f
г 4- is’ p — ql ’ р' — q'i *
79. Какое преобразование (геометрическое) определяется равенством
154
Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
80. Какую линию описывает точка
____а 4- ЬХ 1 (а' + Ь'Х)
2~ с 4-dX 4~ Z (с'4-d'k) ’
где а, Ь, с, d, a', b\ cr, df—данные действительные числа, а X — прини-
мает все действительные значения?
81. В выражении
х 4- у (cos 0 -}- i sin 0)
полагают
_ х' sin (6 — я) У' sin (9 —а') ___ xr sin а У' sin аг
Х sin 0 > У sin в
Доказать, что результат можно представить в виде
[х' + yr (cos 6' + i sin 0')] (cos а i sin а),
где 6' = а' — а.
82. Пусть
bz 4~
причем аа — ЪЬ—\. Доказать, что это преобразование — окружность радиу-
са 1, с центром в начале координат, переводит в себя.
83. Найти наименьшее значение выражения х2 4" %ху 4~ 3>2 4" — Зу— 5.
При каких значениях х и у это выражение принимает наименьшее значение?
84. Дано равенство Л = а24~яя, где А и а — целые положительные числа
и 0<п<^2. Доказать, что а — приближенное значение корня квадратного
из Л, вычисленное с точностью до 1 (с недостатком). Воспользовавшись
доказанным, найти два последовательных целых числа, зная, что разность
их кубов равна 27 361.
85. На весах производится взвешивание в целых килограммах и при этом
допускается класть гири на обе чашки весов. Доказать, что достаточно
।
только п гирь для взвешивания любого веса до —— кг включительно.
Найти расположение гирь при взвешивании 421 кг.
86. Сосуд в 10 л наполнен вином. Требуется разделить это вино поровну
на 2 части, имея под руками два пустых Сосуда емкостью 7 и 3 л.
87. Пользуясь только одной масштабной линейкой, определить объем обыкно-
венной бутылки, которую можно частично заполнять водой.
88. Определить в форме неравенств, содержащих рациональные функции от а,
Ъ, с и X, необходимые и достаточные условия всех расположений числа X
относительно корней уравнения ах2 -\-Ьх 4~ с = 0, где Ь2 — 4ас > 0 (а, Ь,
с, X — действительные числа).
89. Двенадцать полей расположены по кругу; на четырех соседних полях стоят
четыре разноцветные фишки: красная, желтая, зеленая и синяя. Одним ходом
можно передвинуть любую фишку с поля, на котором она стоит, через
четыре поля на пятое (если оно свободно) в любом из двух возможных
направлений. После нескольких ходов фишки стали на те же поля. Как
они могут при этом переставляться?
90. Имеется 13 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Известно,
что любые 12 из них можно так разложить на 2 чашки весов по 6 гирь
на каждой, что наступит равновесие. Доказать, что все гири имеют одина-
ковый вес.
91. Доказать, что все числа вида 2п при различных целых п (положительных)
могут начинаться на любую наперед заданную комбинацию цифр.
Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ 155
92. Сколько нулей имеет на конце число 50!?
93. В каждый данный момент направление минутной стрелки часов зависит от
направления часовой стрелки. Заменим в часах минутную стрелку часовой,
а часовую минутной. Сколько раз в сутки часы после такой замены покажут
«возможное» время, т. е. сколько раз направление минутной стрелки будет
в точности соответствовать направлению часовой?
94. Какое из двух чисел больше,
999997 или 997999
(без применения таблиц)?
95. Даны два положительных числа: а и Ь. Составить из этих чисел рациональное
выражение, величина которого положительна и которое меньше и а, и Ь,
96. Доказать, что если —1, с=у а2— Ь2, где а > b > 0, то
(х— с)2 -J- у2 < 4я2.
97. Дано положительное рациональное число г, такое, что г2 < 2. Найти
рациональную функцию f (.г), такую, что f (г) > 0 и г2 < 2, причем
Г1>Г.
98. Обозначим через М(а, Ь, с, . .., k) наименьшее общее кратное, а через
£)(я, Ь, с, ..., k) — наибольший общий делитель чисел а, Ь, с, k.
Доказать, что
a) М(а, tyD(a, b) = ab;
б) М(а, b, c)D(a, b)D(b, c)D(c, а) = abcD(a, b, с),
99. Найти все рациональные числа г, для которых cos(rrc) есть число рацио-
нальное.
100. Доказать, что любое целое число рублей, большее 7 руб., можно упла-
тить без сдачи денежными билетами достоинством 3 руб. и 5 руб.
101. Имеется 80 одинаковых монет, причем только одна из них несколько
легче остальных. Как определить эту монету посредством четырех взвеши-
ваний на весах с двумя чашечками без гирь?
102. Два игрока по очереди кладут на стол пятикопеечные монеты. Выиграв-
шим считается тот, кто положит монету последним. Как должен класть
монету игрок, начинающий игру, чтобы обеспечить себе выигрыш? Стол
имеет прямоугольную форму. Монеты можно класть только на свободные
места, чтобы они не закрывали друг друга даже отчасти. Каждый из
играющих имеет неограниченное количество монет. Сдвигать монеты с мест,
на которые они положены, нельзя.
103. Найти последние шесть цифр числа 1001”, где
п= 100 1 22222.
104. Определить три последние цифры числа
28” • 3” • 7”-[-53” • 13”.
105. Имеется 555 гирь весом 1 г, 2 г, 3 г, . . ., 555 г.
Разложить их на три равные по весу кучки.
106. Из пункта А в другой пункт можно попасть двумя способами:
а) выйти сразу и идти пешком;
б) вызвать машину и, подождав ее определенное время, ехать на ней.
В каждом случае используется способ передвижения, требующий мень^-
шего времени. При этом оказывается, что если конечный пункт отстоит
на 1 км, то на дорогу понадобится 10 мин., если на 2 км, то 15 мин.,
а если на 3 км, то 16х/2 мин. Скорость пешехода и машины, а также
время ожидания машины принимаются постоянными. Сколько времени
понадобится для достижения пункта, отстоящего от А на 6 км?
456
Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
107. Числа 1, 2, 3, ..., 101 написаны в ряд в каком-то порядке. Доказать,
что из них можно вычеркнуть 90 так, что оставшиеся 11 будут располо-
жены по их величине (либо возрастая, либо убывая).
108. Определить число целых неотрицательных решений уравнения
где а — целое число, большее 1,
(Е(х)— наибольшее целое число, меньшее числа х или равное ему).
109. При каком наименьшем натуральном показателе имеет место неравенство
99л + 100Л< 101Л.
ПО. На*йти две последние цифры числа 7099.
111. Доказать, что число
(Юл+Юл-1+ ... 4-1)(10"+1 + 5)-Н
есть точный квадрат.
112. Найти последнюю цифру числа
22" + l,
где я — натуральное число 2.
113. Дано: т— действительное число, п — натуральное число, не делящееся
на квадрат натурального числа, большего 1, причем У^п^т. Доказать,
что существует единственное натуральное число х, удовлетворяющее
условию
т — Уп < Ух<С т.
114. Найти наименьшее значение функции
/(х) = |х — xJ-J-lx — х2|-(- ... +|х — х„|,
где х2, х3, ..., хп — данные числа, расположенные в возрастающем
порядке: xt < х2 < х3 < ... < хп.
115. Отрезок АВ делится на три равные части: AC = CD — DB, и отрезок CD
удаляется из отрезка АВ. Каждая из оставшихся частей (АС и DB) снова
делится на три равные части:
АР =PQ — QC. и DR~~ RS — SB,
и средние части PQ и RS снова удаляются и т. д.
Доказать, что на отрезке АВ найдутся такие точки, которые не будут
удалены, сколько бы раз мы ни повторили эту операцию удаления частей.
116. Доказать, что любая пара целых чисел х и у, получающихся из формулы
х+з,/5 = (9 + 4У5)п
(п = 0, ±1, ±2, ± 3, . . .),
удовлетворяет уравнению (Пелля)
х2 — 5 у2 = 1, 11
и обратно, все целые решения уравнения х2 — 5у2=1 получаются таким
же образом.
117. Найти наибольшее значение функции
sin х sin у 4~ sin (х у).
118. Доказать, что если — приближенное значение ]Х2 (т и п— целые поло-
т- + тп + 2и2
т2 4- тп + я2
жительные числа), то
является лучшим приближением. Дока-
зать также, что если одно из этих приближений по недостатку, то другое —
по избытку.
Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
157
119. Определить максимум функции
sin2 (х 4" у) c°s (х — у) -j- sin2 (х — у/) cos (х 4- У)>
если
sin2 х 4- sin2 у = т.
120. При каком условии выражение х24~ у24"-г’2 + ^2 имеет минимум, если
переменные х, у, zt t удовлетворяют равенству
тх 4- пу + pz-\-qt = А,
где т, q, А— данные числа.
121. Доказать, что выражение
2х24-3х24-6г2
можно представить в виде суммы трех квадратов линейных функций
от х, у и z с целыми коэффициентами.
,122. Найти все значения k. при которых уравнение
kA\=--C\^
имеет решение.
123. Сколько корней (действительных) имеет уравнение
2х=х4~3.
Вычислить их (без таблиц) с точностью до 0,1.
124. Доказать, что
+ И = + Н
([х] — наибольшее целое число, меньшее или равное х; тс ~ 3,14159 ...
г = 2,71828 ...).
125. Доказать, что функции _y~sinx и у = ех трансцендентные, т. е. не
могут удовлетворять уравнению вида
аЛх)Уп + ^Лх)уп-1-\- ... 4-аи(х) = 0,
где а0(х), ^(х)......Л/г(х) — целые рациональные функции от х, при-
чем функция а0(х) тождественно не равна нулю.
126. Доказать, что при 0 ср ~ имеет место неравенство cos sin ср > sin cos ср.
127. Доказать, что наибольшие значения выражений
(Ig56)sinx и (lg-e5)C0SJC
равны между собой.
128. Доказать, что если а, Ь, с — стороны треугольника, то корни уравнения
62X24-(£2 4_f2_a2)x_pc2 = 0
будут мнимые.
129. Найти наименьшее значение функций
п ат 4- хт ( а + х\т .
1) 2 \ 9
9 ат + Ьт хт / д + b + х\т
3 \ 3 ) 9
причем а > 0, b > 0, /п > 1 и функции рассматриваются лишь при х > 0.
130. Четырехзначное число aabb — точный квадрат (а и b — цифры); найти это
число.
158 _____________Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ________________________
131. Будем обозначать через М(а, b) общее наименьшее кратное двух чисел:
а и Ь, а через D(a, b) — их общий наибольший делитель.
Доказать, что
М(а, b, c)D(a, b) D gy c^= abc.
132. Доказать, что уравнение
rn.-L-rn^cn_
имеет решения (целые положительные) при любом /г.
133. Доказать, что уравнение
при любом целом положительном п имеет относительно х и у одно
и только одно решение в целых числах.
134. Доказать, что числа
k + l k + 2^ ‘ ‘ * ^nk + 1
не целые.
135. Из тридцати пунктов: Лх, Л2, Д3, ..., Дзо, расположенных на прямой MN
на равных расстояниях друг от друга, выходят тридцать прямых доррг.
Дороги располагаются по одну сторону от прямой MN и образуют с ней
углы, указанные в таблице:
АГ — начального пункта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
угол дороги с прямой MN 60° 30° 15° 20° 155° 45° 10° 35° 140° 50° 125° 65° 85° 86° 80°
TV—начального пункта 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
угол дороги с прямой MN 75° 78° 115° 95° 25° 28° 158° 30° 25° 5° 15° 160° 170° 20° 158'
Из всех тридцати пунктов выезжают одновременно тридцать автомобилей,
едущих, никуда не сворачивая, по этим дорогам с постоянной скоростью.
На каждом из перекрестков установлено по шлагбауму. Как только пер-
вая по времени машина проезжает перекресток, шлагбаум закрывается и
преграждает путь всем следующим машинам, попадающим на этот пере-
кресток. Какие из машин проедут все перекрестки на своем пути, а какие
застрянут? Изменится ли ответ, если не предполагать равными расстояния
между двумя последовательными пунктами?
136. Какому условию должно удовлетворять комплексное число a-[-bi для
того, чтобы его можно было представить в виде
। l . 1 — lx
a + bl = T+^'
где х — действительное число.
137. Определить значения коэффициентов а и Ь, при которых многочлен
х4 -J- ах3 Ьх2 — 8х4~4
является точным квадратом.
Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ 1W
138. Найти все действительные значения р, при которых система уравнений
х2 — у2 = 1, у = рх + Я
имеет действительные решения при любом действительном значении q.
139. Доказать, что если одно уравнение с двумя неизвестными
ах2 4- Ьху 4- су2 — О,
где а, Ь, с — действительные числа, не равные нулю одновременно, имеет
только одно действительное решение, т. е. существует только одна пара
действительных чисел х и у, удовлетворяющих этому уравнению, то
Ь2 — 4яс< 0.
140. Найти число непо^бных между собой членов разложения
(НЖЛ
141. Пусть х, у, z — три целых положительных числа; р — наименьшее крат-
ное чисел у и г, q — наименьшее кратное чисел z и х, г — наименьшее
кратное чисел х и у. Пусть Р, Q, R — наибольшие общие делители тех же
пар чисел. Доказать, что
(xyz)2 — pqrPQR.
142. Найти сумму
з4-33-4-333. 4-333 ... з,
п цифр
содержащую п слагаемых.
143. Найти коэффициент при в разложении
(а — b — с)7.
144. Найти все значения т, при которых система уравнений
х — у = т (1 4~ ху), 2 4~ х 4~ У 4~ ху = 0
имеет действительные решения.
145. Решить графически уравнение
У х — х 4~0,2
(требуется определить число действительных корней и найти их с точ-
ностью до 0,1).
146. Доказать, что если числа а, Ь, с, . . . положительны, ни одно из них
не равно 1 и они составляют геометрическую прогрессию, то числа
1 1 1
Iga N ’ 1g* АН ЛГ ’ ’ ” ’
где М— любое положительное число, не равное 1, составляют арифме-
тическую прогрессию.
147. Найти, при каких значениях k решение системы
х-\-ку = Ъ, &х4~4у = 6
удовлетворяет неравенствам
х > 1, у > 0.
14S. Найти все корни уравнения
149. Найти все рациональные значения х, при которых выражение ]/х2— х4~1
будет рациональным числом.
160 Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
160. При каких значениях а и b функция е
ах*2 4 Ьх -4~ 1
У х2 4 bx -j- а
не зависит от х.
151. 1°. Исследовать систему уравнений
(т2 — 3m 4- 3) х + 2 (т — 2) у = 4 (т — I)2, (1)
т2х 4- 2 (2/п — 3) у = 2 (3m2 — 2m 4~ 3). (2)
2°. Найти зависимость между х и у для любого решения системы (1), (2),
не зависящую от т.
3°. Доказать, что уравнение (1) при всех значениях m имеет одно и то же
решение; найти это решение; тот же вопрос по отношению к уравнению (2).
152. Доказать, что
153. Решить систему уравнений
154. Дано уравнение
— yz 1 — xz
yi = Ь — х, (1)
неизвестное, а и b — положительные константы, причем
в котором х —
а > Ь\ для радикалов берутся арифметические значения.
1°. Решить уравнение (1); исследовать в зависимости от параметра Ь>
считая фиксированным а.
2°. Предполагаем, что условие, при котором уравнение (1) имеет корень,
выполнено; доказать, что числа
а 4- # 5 (а — Ь)
и
а-'гЬ — У5(а — Ь)
положительны, которые мы, следовательно, можем обозначить через
zz2 и v2, где и и v — положительные числа. Установить затем, что
если х0 — корень уравнения (1), то х0, а — х0, b — х0 —квадраты
линейных функций относительно и и и. Какие значения при этом
принимают радикалы а — х0, b — х0 и ]/*х0? Проверить еще
раз выполнимость уравнения (1).
155. Поезд идет из Москвы в Ленинград. В поезде едут пассажиры: Иванов,
Петров и Сидоров. В поездной бригаде такие же фамилии имеют маши-
нист, кочегар и кондуктор. Известно, что:
а) пассажир Иванов живет в Москве;
б) кондуктор живет на полпути между Ленинградом и Москвой;
в) пассажир, однофамилец кондуктора, живет в Ленинграде;
г) ближайший по месту проживания сссед кондуктора (пассажир) зара-
батывает в год ровно втрое больше кондуктора; z
д) пассажир Петров зарабатывает в год 20 000 руб.;
е) Сидоров из бригады выиграл у кочегара партию на биллиарде.
Как фамилия машиниста?
156. В финальном шахматном турнире воинского соединения встретились
8 шахматистов, имевших следующие звания: полковник, майор, капитан,
лейтенант, старшина, сержант, ефрейтор и рядовой. Среди них были:
пехотинец, летчик, танкист, артиллерист, минометчик, сапер, связист и
кавалерист.
Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
161
В первом туре полковник играл с летчиком, майор — с танкистом, сер-
жант— с пехотинцем и старшина — с кавалеристом. После первого тура
рядовой выбыл из турнира. Из-за этого выходными оказались: во II туре —
минометчик, в III туре — капитан, в IV туре — сапер, в V туре — лейтенант,
в VI туре — танкист, в VII туре — связист. Во II туре полковник играл
с артиллеристом, пехотинец — с танкистом, лейтенант—с сержантом. В IIIтуре
ефрейтор выиграл у кавалериста, а партии полковника с сапером и майора
с минометчиком окончились вничью. Какую воинскую специальность имел
каждый?
157. В купе одного из вагонов Москва — Одесса ехали: москвич, ленинградец,
туляк, киевлянин, харьковчанин и одессит. Их фамилии начинались
буквами А, Б, В, Г, Д и Е. В дороге выяснилось, что А и москвич —
врачи, Д и ленинградец — учителя, а туляк и В — инженеры. Киевлянин,
Б и Е— участники Отечественной войны, а туляк в армии совсем не
служил. Харьковчанин старше А, одессит старше В, а Е — самый моло-
дой. Б и москвич сошли в Киеве, а В и харьковчанин — в Виннице.
Определить начальную букву фамилии и профессию каждого из этих
пассажиров.
158. Десять мальчиков: Александр, Борис, Василий, Георгий, Дмитрий, Евге-
ний, Захар, Иван, Кирилл и Леонид учатся все в разных классах одной
средней школы.
а) Старший брат Дмитрия оканчивает семилетку, а младший брат Евге-
ния учится в V классе.
Александр старше Кирилла на один класс, а Леонид старше Евгения
на два класса.
б) Василий не оканчивает школу в этом году, Иван при окончании
III класса получил похвальную грамоту, Борис — пионервожатый
в V классе, а Василий — в IV.
в) Александр, Кирилл и шестиклассник начали сдавать нормы на
значок БГТО, а Борис, Евгений и восьмиклассник уже получили
значки ГТО.
г) Александр и семиклассник живут на улице Ленина, Георгий и пяти-
классник—ла улице Куйбышева, первоклассник и восьмиклассник —
на Садовой, а Кирилл и десятиклассник — в переулке Буденного.
д) Борис помогает отстающему Евгению, Иган получает помощь от
Дмитрия, Александр — от Георгия.
В каком классе учится каждый из них?
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
*
РАЗДЕЛ I
ПЛАНИМЕТРИЯ
В целом ряде вопросов геометрии удобно длинам направленных отрезков,
расположенных на одной и той же прямой, приписывать знак; этим часто
достигается общность рассуждений, независимость их от частного расположения
точек, прямых, окружностей в рассматриваемой фигуре.
Для того чтобы направленному отрезку, лежащему на прямой, приписать
знак, прямой придают положительное направление (говорят также, что прямую
ориентируют), и тогда длина отрезка, лежащего на этой прямой, считается
положительной, если его направление совпадает с положительным направлением
прямой, и отрицательной — в противном случае. Длину отрезка ABt которому
приписан знак, будем обозначать так: АВ. В тех случаях, когда безразлично,
какое из двух возможных направлений на прямой принимается за положительное,
в условии задачи (или в решении) об этом и не говорится.
В качестве примера рассмотрим определение степени точки М относительно
окружности (О). Проведем через точку М произвольную прямую, пересекающую
окружность в точках А и В; степенью точки М относительно окружности (О)
называется число
а = МА • МВ
(при этом ориентация секущей роли не играет).
Отсюда сразу следует, что если точка М лежит вне окружности, то о > О,
если внутри, то о < 0 и т. д.
Чрезвычайно плодотворным в приложениях к доказательствам и к реше-
ниям задач является соотношение
АВ-j-ВС = АС
для трех любых точек А, В и С, лежащих на одной прямой (теорема Шаля).
Общность этого соотношения позволяет очень часто проводить рассуждения
фактически, не опираясь на чертеж. Решениям задач
по геометрии придается аналитический характер и при
^^Ч. этом не теряется геометричность решения.
Близким к указанному вопросу является вопрос
об измерении углов. Прежде всего следует заметить,
^Ч^ что понятие «угол» мы будем применять в геометрии
^*ч> в различных аспектах:
а) углы между двумя прямыми в элементарно
Черт. 2. геометрическом смысле этого слова; при этом две
прямые, если они пересекаются, образуют 4 угла,
а если они при этом не взаимно перпендикулярны, то из этих четырех углов —
два различных (один острый, другой тупой) (черт. 2). Заметим также, что2
под словом «угол» здесь и везде в дальнейшем мы часто будем понимать и его
меру (величину);
б) угол между двумя векторами; это вполне определенный угол, вели-
чина которого изменяется от 0 до к (черт. 3).
Если векторы коллинеарны и направлены в одну сторону, то угол между
ними будем считать равным нулю, а если в разные стороны, то равным it;
ПЛАНИМЕТРИЯ
163
в) ориентированный угол от неориентированной прямой & до неориен-
тированной прямой b — это угол, на который надо повернуть прямую а вокруг
любой ее точки, чтобы она стала параллельной или совпала с прямой Ь. При
этом повороты, совершаемые в каком-нибудь определенном направлении, мы
будем считать положительными, а в противоположном — отрицательными. Углы
при этом будем измерять соответственно положительными или
отрицательными числами (на чертежах обычно за положительное
направление вращения принимается вращение, совершаемое «против /
часовой стрелки»). /
Угол от прямой а до прямой Ъ в указанном смысле имеет
бесконечное множество значений; если а — одно из значений этого f )
угла, то все значения будут заключены в формуле \/
ср = а-|-&7г, \
где k — любое целое число. Последнее соотношение мы часто бу- \
дем записывать так: \
ср — а(шо4 • я)
Черт. 3.
(читается так: «фи сравнимо с альфа пр модулю пи») (черт. 4);
г) ориентированный угол от вектора а до вектора 6 или, что то же самое,
от ориентированной прямой а до ориентированной прямой b — это угол, на
который надо повернуть вектор а, чтобы его направление совпало с направле-
нием вектора Ь\ при этом так же, как и выше, устанавливается соглашение
о положительных и отрицательных поворотах, а в соответствии с этим — о полэ-
жительной и отрицательной мере угла. Если а— одно из значений угла от век-
тора а до вектора bf то все значения этого угла будут заключены в формуле
ср = а ,
где k — любое целое число (черт. 5), или
ср — a (mod • 2тг).
Ориентированные углы подчиняются теореме Шаля
(а, с) = (а, с) (mod • к)
в случае, если прямые а, Ъ, с — неориентированны, и
(а, Ь~) +(£>, с) = (at с) (mod • 2к)
в случае векторов (или ориентированных прямых).
Понятие ориентированного угла позволяет целому ряду вопросов и реше-
ниям придать более естественный характер, чем в случае, если пришлось бы
рассматривать углы неориентированные.
11*
164
ПЛАНИМЕТРИЯ
Например, геометрическое место точек Л4, из которых данный отрезок АВ
виден под углом 45°, состоит из дуг двух окружностей; здесь угол рассма-
тривается в смысле второго определения, т. е. как угол
между векторами МА и МВ (черт. 6). Геометрическое же
место точек М таких, что угол от прямой МА до пря-
мой МВ (в смысле третьего определения) равен 45°, есть
окружность (черт. 7).
Понятие ориентированного угла в сочетании с теоре-
мой Шаля позволяет решать задачи по геометрии мето-
дами, близкими к аналитическим, без потери геометри-
ческого содержания. Подобные решения в достаточном
числе представлены в решениях задач этого раздела, по-
этому в общих указаниях ограничимся одним примером.
Пример. Пусть А', В', С'— точки, симметричные
вершинам А, В, С треугольника АВС относительно про-
извольной точки плоскости. Доказать, что окружности
(АВ'С'), (ВС'А'), (СА'В') пересекаются в точке окруж-
ности (АВС), а окружности (AJBC), (АВ'С), (АВС') —
в точке окружности (А'В'С') (черт. 8).
Решение. Окружности (АВС) и (АВ'С') имеют общую точку А, значит они
имеют еще одну общую точку Р. Точки А, В, С, Р лежат на одной окруж-
ности, значит
(РА, РВ) = (СА, СВ) (mod . тс). (1)
Аналогично — четыре точки А, В', С', Р лежат на одной окружности, значит
(РА, РС')~(В'А, В'С'). (2)
Вычитая почленно из равенства (2) равенство (1), получим
(РА, РВ) — (РА, PC') = (СА, СВ) — (В'А, В'С') (mod . тс),
замечая, что В'С'\\ВС, будем иметь
(PC', РВ) = (СА, АВ') (mod • тс). (3)
Но в силу симметрии, отрезки СА и С'А' параллельны, так же как и АВ' и
Д'В; значит равенство (3) можно записать так:
(PC', РВ) = (А'С', А'В) (mod • тс). (4)
Отсюда следует, что точки А', В, С', Р лежат на одной окружности и значит
точка Р лежит на окружности (В А'С'). Аналогично доказывается, что точка Р
лежит на окружности (СА'В'). Аналогично (в силу симметрии относительно
точки О), если окружности (АВ'С'), (ВС'А'), (СА'В') пересекаются на окруж-
ности (АВС), то окружности (А'ВС), (В'АС) и (С'АВ) пересекаются на окруж-
ности (А'В'С').
ПЛАНИМЕТРИЯ
165
Касаясь задач на отыскание геометрических мест точек, следует отметить,
что в вопросах этого рода часто ограничиваются выводом лишь необходимого
признака. Например, доказывается, что точка М лежит на той или иной фик-
сированной прямой или окружности. Отсюда, конечно, нельзя еще сделать
вывода о том, что этим геометрическим местом является вся эта прямая или
вся окружность. В этой главе имеется много задач, где геометрическим местом
точек является часть прямой — часть окружности, состоящая из одной или
нескольких ее дуг.
Таким образом, после получения необходимого признака (вроде: точка 7И
лежит на окружности, точка М лежит на прямой и т. д.) следует провести
рассуждения, устанавливающие, какие точки полученного, вообще говоря, более
широкого множества удовлетворяют начальным условиям, определяющим то или
иное геометрическое место точек. Задачи подобного рода (с решениями) даны
в этом разделе, поэтому здесь примеров рассматривать не будем.
Необходимо отметить еще следующее: учащиеся часто считают, что гео-
метрическое место точек должно быть линией; это ошибочное представление.
Геометрическое место точек, определяемое тем или иным заданием, может быть
частью плоскости или даже всей плоскостью. Так, например, геометрическое
место точек А4, таких, что
МА > МВ,
где А и В— две различные точки плоскости, состоит из всех точек полупло-
скости, расположенных по одну сторону от медиатрисы отрезка АВ.
Геометрическое место точек М таких, что
МА < 2МВ
состоит из всех точек плоскости, лежащих вне окружности, построенной на
отрезке CD как на диаметре, причем D и С — такие, точки, что (черт. 9)
АС __ АР
СВ ~ РВ~Г
К подобного рода геометрическим местам приводят задачи, не обязательно
связанные явно с геометрическими неравенствами. В тех случаях, когда на
заданную точку М наложены достаточно общие ____
условия, она может зачерчивать часть плоскости.
Трудно найти общий научный принцип, по / \
которому следовало бы классифицировать задачи д \d
этого раздела. Мною они разделены так, как ““° V 0 1
указано в предисловии: глава XVI — задачи на \ J
вычисление, глава XVII — задачи на доказатель-
ство, глава XVIII — геометрические места точек,
глава XIX — задачи на построение. Однако и такая Черт. 9.
классификация не позволяет разделить собранные
мною задачи по трем указанным разделам, так как ряд задач может быть решен
как построением, так и вычислением с наличием в них вопросов «на доказа-
тельство». Такие задачи помещены в главе XX. Мы считаем, что синтез раз-
личных методов геометрии, примененных в одной задаче, будет способствовать
более глубокому пониманию силы того или иного метода в геометрии. Наконец,
в последнюю главу (XXI) этого раздела включены «разные» задачи, которые
по своему характеру не могут быть отнесены ни к одной из первых глав пла-
ниметрии. При решении задач по планиметрии не следует ограничивать себя
методами, обычно применяемыми в школе. Вполне допустимо приложение сте-
реометрии к решению планиметрических задач, а также и тригонометрии. Этим
достигается не только взаимосвязь многих разделов элементарной математики,
но получается возможность сравнить силу того или иного метода.
Рассмотрим несколько примеров, показывающих применение к решению
планиметрических задач перспективы, стереометрии, а также рассмотрим ряд
166
ПЛАНИМЕТРИЯ
искусственных приемов; с применением к решению задач различных геометри-
ческих преобразований читатель познакомится в решениях ряда задач главы XV.
Пример 1. На плоскости заданы три окружности: Ср С2, С3, из которых
ни одна не лежит внутри другой. Доказать, что три точки, в каждой из кото-
рых пересекаются две внешние касательные, проведенные к паре окружностей,
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть р — плоскость, в которой расположены данные окруж-
ности. Сначала докажем, что если через центры О1 и О2 окружностей Сг и С2
провести лучи, перпендикулярные плоскости р и направленные в одну сторону,
и отложить на этих лучах отрезки O^Bt и О2В2, равные соответственно радиу-
сам fj и г2 окружностей и С2, то прямая ВГВ2 пройдет через точку пло-
скости р, в которой пересекаются внешние касательные к окружностям Ct и С2
Черт. 10.
(черт. 10); в самом деле, пусть О' — точка, в которой пересекаются внешние
касательные к окружностям Сх и С2; так как точки Ор О2 и О' лежат на одной
прямой, то треугольники OtAfir ц О2Д2О' подобны, а потому
О А П —г2
О2О' ~ г2 ‘
Пусть О" —точка, в которой прямая ВХВ2 пересекает прямую ОХО2; тогда
из подобия треугольников O^Bfo" и О2В2О" находим
__ п — г2
О2О" ~ г2 •
Из полученных равенств находим О2О' = О2О"; следовательно, точки О'
и О" совпадают.
Теперь проведем через центры Ор О2, О3 данных окружностей лучи, пер-
пендикулярные плоскости р и направленные в одну сторону, и отложим на этих
лучах отрезки О1В1, О2В2, О3В3, равные соответственно радиусам г2 и г3
данных окружностей (черт. 11). Тогда, по доказанному, три Точки, в каждой
из которых пересекается пара внешних касательных, проведенных к двум из
данных окружностей, будут точками пересечения прямых BtB2t B2B3i B3Bt
с плоскостью р.
Эти точки лежат на одной прямой, по которой плоскость р пересекается
плоскостью ВХВ2В3.
Пример 2. Три круга расположены на плоскости так, что имеется часть
плоскости, общая всем трем кругам. Доказать, что три хорды, общие этим
кругам, взятым попарно, проходят через одну точку.
Решение. Рассмотрим три полусферы, граничными окружностями которых
являются данные окружности. Полусферы расположены по одну сторону от
плоскости р, на которой находятся данные окружности. Эти три полусферы
имеют (и притом только одну) общую точку; хорда, общая каким-нибудь двум
ПЛАНИМЕТРИЯ
167
окружностям, будет проекцией в плоскость р полуокружности, по которой пере-
секаются две полусферы, для которые эти окружности являются граничными
(черт. 12).
На каждой из трех полуокружностей ? по которым пересекаются рассма-
триваемые полусферы, взятые попарно, лежит точка, общая всем этим полу-
сферам, поэтому три хорды, общие данным окружностям, взятым попарно, про-
ходят через одну точку, которая является проекцией на плоскость р точки,
общей для трех построенных полусфер.
Пример 3. Пусть I и lf — две произвольные прямые плоскости. Возьмем
на прямой I три произвольные точки: 1, 3, 5, а на прямой /' — точки 2, 4, 6;
все точки отличны от точки пересечения прямых I и I'. Доказать, что три точки,
в которых пересекаются прямые
16 и 34,
56 и 32,
54 и 12,
лежат на одной прямой (черт. 13).
Решение. Прежде всего докажем, что две пересекающиеся прямые, лежа-
щие в какой-либо плоскости, можно из точки спроектировать в две параллель-
ные прямые.
В самом деле, пусть а и Ъ — две пересекающиеся прямые, лежащие в пло-
скости р. Проведем через точку пересечения этих прямых произвольную пло-
скость q и выберем в ней произвольную точку S. Проведем еще плоскость р',
параллельную плоскости q. Тогда проекциями прямых а и b из точки S на
163
ПЛАНИМЕТРИЯ
плоскость р' будут две параллельные прямые аг и Ь'; в самом деле, две пло-
скости, проходящие через точку S, и прямые а и Ь, которые проектируют эти
прямые а и b в плоскость р' из точки 5, пересекаются по прямой, параллель-
ной плоскости р', поэтому проектирующие плоскости пересекут плоскость рг
по двум параллельным прямым: af и b't являющимся проекциями прямых а и b
из точки S в плоскость р' (черт. 14).
Возвращаясь к данной задаче, спроектируем данную нам конфигурацию,
изображенную на черт. 13, из точки S, лежащей в плоскости q, проходящей
через точки пересечения прямых 16 и 34, 45 и 12 в плоскость р, параллель-
ную плоскости q-, мы получим в проекции конфигурацию К' того же типа, что
и конфигурация К, изображенная на чертеже 13; в конфигурации К', однако,
1'6' и 3'4' будут параллельны, прямые 4'5' и 1'2' также параллельны (черт. 15).
Докажем, что прямые 6'5' и 2'3' будут параллельны. В самом деле,
откуда (перемножая)
0'6' _ 0'1' 0'4' _ 0'5'
0'4' — 0z3z’ 0'2'—0'1'’
0'6' _ 0'5'
0'2' — 0'3"
значит, 5'6'|| 3'2', а потому при обратном проектировании конфигурации К'
плоскости р' из точки S в плоскость р мы получим, что параллельные прямые
5'6' и 3'2' спроектируются в прямые 56 и 32, пе-
ресекающиеся в некоторой точке С, лежащей на
«линии горизонта» АВ.
Пример 4. Каждая из сторон равностороннего
треугольника разделена на 3 равные части, и точки
деления соединены с противоположными вершинами
так, как указано на черт. 16. Найти отношение пло-
щади треугольника, образованного проведенными пря-
мыми, к площади заданного треугольника.
Решение. Пусть 5 — площадь данного треуголь-
ника, а х— площадь треугольника, образованного
проведенными прямыми (черт. 16).
Обозначим через у площадь каждого из четырехугольников и через z— пло-
щадь каждого из треугольников, на которые разбивается данный треугольник
проведенными прямыми. Тогда
с
х + Зу -f- — 5, у -|- 2z = у.
(1)
Для составления третьего уравнения соединим точку D с точкой В. Тогда
площадь Д DBP = 2z, и так как
пл. A ADC __ 0
пл. &BDA ’
ПЛАНИМЕТРИЯ
169
то
откуда
±±*=2.
Зг
у — 5z.
(2)
Решая системы уравнений (1), (2), получИлМ
s
Х = у,
1
так что искомое отношение равно -у.
Замечание. Отметим, что это положение верно для произвольного тре-
угольника и метод решения остается тем же.
Число «неизвестных» будет тем же самым.
Для того чтобы доказать равенство площадей
четырехугольников и треугольников, прилегаю-
щих к сторонам данного, треугольника, до-
статочно, например, заметить, что всякий тре-
угольник можно рассматривать как проекцию
равностороннего треугольника и что при па-
раллельном проектировании равные площади
проектируются в равные.
Пример 5. Три окружности одного и
того же радиуса пересекаются под прямыми
углами. Найти площадь криволинейного тре-
угольника, общую для всех кругов.
Решение. Соединим центры данных окруж-
ностей; получим равносторонний треугольник,
который дугами окружностей разделен на 7 частей. Обозначим искомую площадь
через х; введем еще в рассмотрение площади у (на черт. 17 они заштрихованы)
и площади z (черт. 17). Тогда*
т/* Q 1
х -|- Зу 4” 3z = пл. ОХО2О3 = —» х + 2^ + z — g-
х -j-y = —----------------— (пл. кругового сегмента).
Решая написанную систему, найдем
* = («+ 2/3-6).
Пример 6. Вычислить площадь сферического треугольника, углы кото-
рого А, В, С и который расположен на сфере радиуса г.
Замечание. Сферическим треугольником называется часть сферы, ограни-
ченная дугами трех больших ее кругов. Углами сферического треугольника
называются внутренние двугранные углы трехгранного угла, вершина которого
находится в центре сферы, а ребрами являются лучи, выходящие из центра
сферы и проходящие через вершины сферического треугольника.
Решение. Заметим сначала, что площадь части сферы, высекаемой из нее
гранями двугранного угла величиной а, ребром которого служит диаметр, равна
as
27’
* = г V 2, так как данные окружности пересекаются под прямыми углами.
170
ПЛАНИМЕТРИЯ
где s — поверхность сферы (черт. 18). Пусть АВС — сферический треугольник
(черт. 19). Так как все дуги АВ, ВС, С А — дуги больших кругов, то, про-
водя через дугу АВ плоскость, заключаем, что она пройдет через центр сферы,
Черт. 18. Черт. 19.
а сферический треугольник АВС окажется расположенным на одной из полу-
сфер, на которые разделится сфера проведенной плоскостью (черт. 19). Ду-
гами АС и ВС (продолженными за точку С) полусфера разделится на 4 части,
площади которых обозначим через
Черт. 20.
х, у, zt и. На основании только что вы-
сказанного соображения о величине сфе-
рического «двуугольника» находим:
х+у=4s==2Аг2-
x + z = ^-S = ^-.^ = 2Br\
х + и = ^з = ^г*==2Сг*
и, наконец,
x_y.yJrz-\-u = 2пг2.
Решая полученную систему, находим
х==(А4-В + С —гс)г2.
Такова формула для площади сфе-
рического треугольника. Отметим попутно,
что
д + В4_С = к4-^>
т. е. что сумма углов сферического треугольника больше тс (180°) на величину,
равную отношению площади этого треугольника к квадрату радиуса сферы, на
которой расположен треугольник. Это число
х
Г2
называется «сферическим избытком».
Отметим, что дробью можно практически пренебречь, если х мало
сравнительно с г, так что «небольшой» сферический треугольник (сравнительно
с размерами сферы) имеет сумму углов, приблизительно равную 180°.
ПЛАНИМЕТРИЯ
171
Пример 7. В шар, поверхность которого равна з, вписан куб, и все его
грани продолжены до пересечения с поверхностью шара. Найти площади тех
частей, на которые разделится поверхность сферы.
Решение. Поверхность сферы разделится на 18 частей: 12 «двуугольников»,
примыкающих к каждой из 12 граней куба, и 6 «четырехугольников», каждый
из которых вырезается из сферы четырьмя гранями куба, проходящими через
пары четырех параллельных между собою ребер (черт. 20).
Обозначая площадь «двуугольника» через х, а площадь «четырехугольника»—
через у, будем иметь
12x4-6j/ = s.
С другой стороны, грань куба отсекает от сферы сегмент, площадь кото-
рого равна 4х-±-у:
4x4- у ==
где — площадь сегмента шара, отсекаемого от него гранью куба, вписанного
в этот шар.
Нетрудно вычислить площадь этого сегмента:
s /. 1 \
5. — — I 1 — —-—г |.
2 А. /3/
Решая систему
12х 4“ 6у == s, 4х -j- у = ,
находим:
2 — /3 /3 —1
х~~ 12 s> У — q
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЛИНИЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Эллипс
Пусть на плоскости фиксированы две различные точки Ft и F2, расстояние
между которыми равно 2с. Фиксируем число 2а, большее, чем 2с. Ге о метриче-
ское место точек М, для каждой из которых
AfF14“ A1F2 = 2а, называется эллипсом.
Эллипс есть замкнутая выпуклая линия
(черт. 21); точки Fr и Г2 называются фокусами
эллипса, прямая FXF2— фокальной осью эллипса
(или его большей осью); медиатриса отрезка РГР2
называется малой осью эллипса. Точки пересечения
эллипса с его осями называются вершинами эллипса
(у эллипса 4 вершины). Точка пересечения осей
эллипса называется его центром', она является
центром симметрии эллипса. Расстояние а от центра
эллипса до любой его вер-
шины, лежащей на фокальной оси, называется большей полуосью эллипса; рас-
стояние же b от центра эллипса до вершины, не лежащей на фокальной оси,
называется меньшей полуосью эллипса. Числа а, b и с связаны соотношением
а2 = ^24“ с2. Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс превращается в окруж-
ность. Эллипс можно определить так же, как плоское сечение прямой круговой
конической поверхности плоскостью, которая пересекает все образующие этой
поверхности, но не проходит через ее вершину (черт. 22). Если секущая пло-
скость перпендикулярна оси конической поверхности (но не проходит через ее
вершину), то в сечении получаем окружность. Эллипс можно определить и как
результат сжатия окружности к любой прямой, в частности к диаметру окруж-
ности (черт. 23). Это означает, что эллипс может быть получен так: пусть
— фиксированный диаметр окружности, Р — о.снование перпендикуляра,
РМ
опущенного из точки т на АгА2, М —точка прямой Рт такая, что —— = k,
172
ПЛАНИМЕТРИЯ
где k — фиксированное число, не равное О ^на черт. & = Когда точка т
описывает окружность с диаметром А1А2, точка М описывает эллипс, одна из
Черт. 22.
полуосей которого равна а==
1 . .
= AtA2, другая же о опреде-
Ь | д |
ляется из соотношения — = \k .
а 1
В случае 0 < | k | < 1, b —
меньшая полуось, а — большая,
в случае | k | > 1 — наоборот. Пря-
мые, отстоящие от центра эллипса
(не являющегося окружностью)
eft
на расстояниях ~ от его цен-
тра и перпендикулярные его
фекальной оси, называются директрисами эллипса. Окружность директрис не
имеет. Директрисой, соответствующей данному фокусу эллипса, называется
директриса, ближайшая к этому фокусу. Отношение — = е называется эксцен-
триситетом эллипса. Отметим, что 1 (0 = 0 для окружности). Отсюда
следует, что собственно для эллипса (0 < £ < 1) — = и значит Директ-
риса не пересекает эллипс. Отношение расстояний от любой точки эллипса до
его фокуса к расстоянию от этой точки до директрисы, соответствующей рас-
сматриваемому фокусу, равно эксцентриситету эллипса (черт. 24).
Черт. 24.
Черт. 25.
Обратно: пусть на плоскости заданы прямая (Z)) и не лежащая на ней
точка F. Фиксируем число е, 0<£< 1. Тогда геометрическое место точек Mt
для каждой из которых отношение расстояний от точки F к расстоянию до
прямой (D) равно е, есть эллипс с фокусом F и соответствующей ему директ-
рисой (О). Касательной к эллипсу в точке М называется предельное положение
секущей Л4ЛГ эллипса, когда точка ЛГ эллипса, оставаясь на эллипсе неогра-
ниченно, приближается к точке М. Касательную к эллипсу в точке М можно
ПЛАНИМЕТРИЯ
173
определить и как прямую, проходящую через точку А4 и имеющую с эллипсом
только одну общую точку (М). При сжатии окружности к ее диаметру каса-
тельная к окружности в точке т переходит в касательную к эллипсу в точке М,
в которую переходит т (черт. 25). Отрезок МК касательной к эллипсу в точке М,
заключенный между точкой касания М и точкой К, в которой эта касательная
пересекает директрису, виден из фокуса, соответствующего этой директрисе
под прямым углом (черт. 26). Касательная к эллипсу в точке М образует рав-
ные углы с отрезками 447^ и A1F2; следовательно, нормалью к эллипсу в точке М
является биссектриса угла F1MF'2 (черт. 27). Геометрическое место оснований
перпендикуляров, опущенных из фокуса эллипса на касательную к нему, есть
окружность, построенная на большей оси эллипса как на диаметре (главная
окружность эллипса; черт. 28). Если одна сторона прямого угла проходит через
фиксированную точку F, а вершина угла описывает окружность, внутри которой
лежит F, то вторая сторона угла огибает эллипс, у которого F— фокус, а ука-
занная окружность — главная (черт. 29). Если прямая пересекает эллипс, то
174
ПЛАНИМЕТРИЯ
проекция на нее любого фокуса лежит внутри главной окружности, а если не
пересекает, то вне (черт. 30). Геометрическое место точек, симметричных фокусу
эллипса относительно касательных к нему, есть окружность с центром в другом
фокусе, радиус которой равен большей оси эллипса (направляющая окружность
эллипса; их у эллипса две; черт. 31). Геометрическое место середин параллель-
ных хорд эллипса есть отрезок прямой, называемый диаметром эллипса, сопря-
женным этим хордам (черт. 32). Все диаметры эллипса проходят через его центр
и обратно. Два диаметра эллипса называются сопряженными, если каждый из
них делит пополам хорды, параллельные другому (черт. 33). Для каждого диа-
метра эллипса существует, и притом только один, ему сопряженный.
§ 2. Гипербола
Фиксируем на плоскости две различные точки: Fx и F2, расстояние между
которыми равно 2с. Фиксируем положительное число 2я, меньшее, чем 2с.
Геометрическое место точек Л1, для
каждой из которых
| MFX — MF21 = 2а,
называется гиперболой. Гипербола со-
стоит из двух ветвей (черт. 34); для всех
точек одной ветви MF\—-MF2 = 2а, для
всех точек другой MF1—MF2 =—2a.
Точки Ft и F2 называются фокусами ги-
перболы, прямая FxF2—фокальной, или
действительной, осью гиперболы. Медиа-
триса отрезка FtF2 называется мнимой
осью гиперболы. Точки пересечения ги-
перболы с ее действительной осью назы-
ваются ее вершинами (у гиперболы 2 вершины). Точка пересечения осей гипер-
болы называется ее центром; она является центром симметрии гиперболы. Рас-
стояние а от центра гиперболы до ее вершины называется действительной
полуосью. Мнимой полуосью гиперболы называется действительное число
# = — Q2, отсюда а24~#2 —£2- Прямые, проходящие через центр гиперболы
и образующие с ее действительной осью острые углы 0 — arc tg , называются
асимптотами гиперболы. Гиперболу можно также определить как плоское сечение
прямой круговой конической поверхности плоскостью, которая не проходит
через вершину этой поверхности и параллельна двум ее образующим (иначе —
пересекает обе полости поверхности; черт. 35).
Прямые, перпендикулярные фокальной оси гиперболы и отстоящие от ее
центра на расстоянии —, называются директрисами гиперболы (черт. 36).
Директрисой гиперболы, соответствующей рассматриваемому фокусу, называется
директриса, ближайшая к этому фокусу. Отношение ~ — е называется эксцен-
ПЛАНИМЕТРИЯ
175
триситетом гиперболы; отметим, что для гиперболы е > 1. Отсюда следует, что
= и значит директрисы гиперболу не пересекают. Отношение расстоя-
ний любой точки гиперболы от фокуса к расстоянию от этой точки до директ-
рисы, соответствующей рассматриваемому фокусу, равно эксцентриситету гипер-
болы. Обратно: пусть на плоскости заданы прямая (О) и точка F, не лежащая
на (D). Фиксируем число е > 1. Тогда геометрическое место точек 7И, для каждой
из которых отношение расстояний от точки F к расстоянию до прямой (О)
равно е, есть гипербола с фокусом F и соответствующей ему директрисой (D).
Касательная к гиперболе определяется так же, как и для эллипса (см. выше —
первое определение). Отрезок МК касательной к гиперболе, заключенный
между точкой касания М и точкой К пересечения этой касательной с директри-
сой (О), виден из фокуса F, соответствующего директрисе (D) под прямым
176
ПЛАНИМЕТРИЯ
углом (черт. 37). Касательная к гиперболе в точке М является биссектрисой
угла FlMF2 (черт. 38). Геометрическое место оснований перпендикуляров.,
опущенных из фокуса гиперболы на касательные к ней, есть окружность,
построенная на действительной оси гиперболы ЛР42 как на диаметре (главная
окружность гиперболы; черт. 39).
Черт. 44.
Если одна сторона прямого угла проходит через фиксированную точку F,
а вершина угла описывает окружность, для которой F — внешняя точка, то
вторая сторона угла огибает гиперболу,
для которой F — фокус, а указанная
окружность — главная (черт. 40). Если
прямая пересекает гиперболу, то проек-
ция на нее любого фокуса лежит вне
главной окружности, а если не пересе-
кает, то — внутри (черт. 41).
Геометрическое место точек, симме-
тричных фокусу гиперболы относительно
касательных к ней, есть окружность ра-
диуса 2а с центром в другом фокусе (на-
правляющая окружность гиперболы; ги-
пербола имеет две направляющие окруж-
ности; черт. 42). Геометрическое место
середин параллельных хорд гиперболы
есть прямая, проходящая через центр гиперболы, если концы каждой хорды лежат
на разных ветвях гиперболы; это геометрическое место есть прямая за вычетом
отрезка (ограниченного точками пересечения этой прямой с гиперболой), если
концы каждой хорды лежат на одной и той же ветви гиперболы (черт. 43).
ПЛАНИМЕТРИЯ
177
Эта прямая (т. е. прямая, на которой лежат середины параллельных хорд гипер-
болы) называется диаметром гиперболы, сопряженным с рассматриваемыми хор-
дами. Все диаметры гиперболы проходят через ее центр. Обратно: любая пря-
мая, проходящая через ее центр, кроме двух асимптот, является диаметром
гиперболы.
Два диаметра гиперболы называются сопряженными, tcnn любой из них
делит пополам хорды, параллельные другому (черт. 44). Для каждого диаметра
гиперболы существует, и притом только один, ему сопряженный. Гипербола назы-
вается равносторонней, если ее асимптоты взаимо-перпендикулярны. Эксцентри-
ситет равносторонней гиперболы равен (и обратно).
§ 3. Парабола
Фиксируем на плоскости точку F и прямую (D), не проходящую через
точку F. Геометрическое место точек М, расстояние каждой из которых до
точки F равно расстоянию до прямой (D), называется
параболой (черт. 45).
Точка/7 называется фокусом параболы, a (D) —
директрисой. Прямая, проходящая через точку F
перпендикулярно директрисе (/)), называется осью па-
раболы; ось параболы является ее осью симметрии.
Точка пересечения оси параболы с самой параболой
называется ее вершиной. Парабола имеет одну вер-
шину. Расстояние от фокуса до директрисы назы-
вается параметром параболы.
Параметр р параболы равен половине хорды
параболы, проходящей через фокус перпендикулярно
оси. Параболу можно также определить как плоское
сечение прямой круговой поверхности плоскостью,
не проходящей через ее вершину и параллельной
только одной образующей поверхности, иначе—пло-
скостью, пересекающей одну полость конической по-
верхности (черт. 46).
Касательная к параболе определяется также и для эллипса (см. выше пер-
вое определение касательной к эллипсу). Отрезок МК касательной к параболе,
заключенный между точкой касания М и точкой К, в которой эта касательная
Черт. 46.
пересекает директрису, виден из фокуса под прямым углом (черт. 47). Если
через точку М параболы провести луч MS, идущий в область внутренних точек
по отношению к параболе, то касательная к параболе в точке М будет одина-
ково наклонена к лучам М/7 и MS (черт. 48) (оптическое свойство параболы).
12 П. С. Моденов
178
ПЛАНИМЕТРИЯ
Геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из фокуса
параболы на касательные к ней, есть касательная к параболе в ее вершине
(главная «окружность»; черт. 49).
Если одна сторона прямого угла проходит через фиксированную точку F,
а вершина угла скользит по некоторой прямой (А), не проходящей через точку F,
то другая сторона угла огибает параболу с фокусом F, касательной в вершине
которой является А (черт. 50).
ПЛАНИМЕТРИЯ 179
Если прямая пересекает параболу, то проекция на эту прямую фокуса лежит
По ту сторону от касательной (А) к параболе в ее вершине, где и фокус F,
а если не пересекает, то в другой полуплоскости от Д (черт. 51).
Геометрическое место точек, симметричных фокусу параболы относительно
касательных к ней, есть директриса (черт. 52). Геометрическое место середины
параллельных хорд параболы есть часть прямой, параллельной оси параболы,
состоящая из всех точек этой прямой, лежащей внутри параболы (черт. 53).
Сама эта прямая называется диаметром параболы, сопряженным хордам выбран-
ного направления. Любая прямая, параллельная оси параболы, является ее
диаметром.
Глава XVI
ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Треугольник
1. Найти катеты прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна а,
а один из острых углов равен 15°.
2. Определить стороны прямоугольного треугольника, если его периметр
равен 12 см, а площадь 6 см2,
3. Расстояние от вершины прямоугольника до диагонали, не проходящей
через эту вершину, равно 2,4. Найти стороны прямоугольника, если их
разность равна 1.
4. Меньший из отрезков гипотенузы треугольника, на которые делит ее
перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла, равен 1,8. Найти
стороны треугольника, если разность катетов равна 1.
5. В остроугольном треугольнике со сторонами а, Ь, с определить периметр
треугольника, образованного основаниями его высот.
6. Выразить стороны треугольника через три его высоты.
7. Определить вид треугольника, если длины а, Ь, с его сторон связаны
соотношением
а4 “Н4 + с4 = а2Ь2 + Ь2с2 + с2а2,
8. Определить углы треугольника, зная, что два из них относятся как 2:1,
а биссектриса третьего угла делит площадь треугольника в отношении 1 : ]Лз.
9. Найти катеты прямоугольного треугольника, если известно, что радиус
вневписанного круга, касающегося гипотенузы, равен 2, а высота, опу-
щенная на гипотенузу, равна 1^6 — 2.
Ю. Определить углы равнобедренного треугольника, зная, что точка пересече-
ния его высот лежит на вписанной окружности.
11. На гипотенузе ВС прямоугольного треугольника АВС, вне его, построен
квадрат. Зная, что сумма катетов равна а, определить расстояние от вер-
шины А до центра квадрата.
12. В прямоугольном треугольнике проекции катетов на гипотенузу равны р и q
Найти площадь треугольника.
13. В прямоугольный треугольник с катетами b и с вписан квадрат, имеющий
с треугольником общий прямой угол. Найти площадь этого квадрата.
14. Определить площадь треугольника, если основание его равно 10, а углы,
прилежащие к основанию, 30° и 45°.
15. Даны стороны а, Ь, с треугольника АВС, Найти расстояния от вершин В
и С до биссектрисы угла ВАС.
16. Вычислить стороны прямоугольного треугольника, зная его периметр 2р
и длину h перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на
гипотенузу.
17. Внутри угла 60° расположена точка на расстояниях а и b от его сторон.
Найти расстояние от этой точки до вершины данного угла.
18. Площадь прямоугольного треугольника равна 6, а радиус вневписанной
окружности, касательной к одному из катетов, равен 3. Найти стороны
треугольника.
§ 1. ТРЕУГОЛЬНИК ---181-
19. Катеты прямоугольного треугольника равны b и с. Найти длину биссек-
трисы прямого угла.
20. Определить отношение сторон прямоугольного треугольника, зная, что
радиус описанного около него круга относится к радиусу вписанного
в него круга, как 5 : 2.
21. Дан ромб ABCD, острые углы В и D которого равны 60°. Прямая MN
отсекает от сторон СВ и CD отрезки СМ и CN, сумма которых равна
стороне ромба. Определить углы треугольника AMN.
22. Вычислить катеты прямоугольного треугольника, зная его гипотенузу с и
длину I биссектрисы одного из острых углов.
23. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найти расстояние
между центрами вписанной и описанной окружностей.
24. Стороны треугольника связаны соотношением
а* = Ь3-}-с3.
Может ли угол А быть острым? Тупым? Прямым?
25. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна 5. Из медиатрисы этой медианы
15
больший катет и медиана высекают отрезок длиной -5-. Найти катеты,
о
Выразить через стороны а, Ь, с треугольника следующие элементы тре-
угольника:
26. Высоты ha, hb, hc.
27. Медианы та, mb, mc.
28. Биссектрисы внутренних углов la, lb, lc.
29. Биссектрисы внешних углов la\ lbt lc.
30. Радиус R описанной окружности.
31. Радиус г вписанной окружности.
32. Радиусы ra, гь, гс вневписанных окружностей.
33. Расстояния h’a> hfb, h'c от ортоцентра Н до вершин треугольника.
34. Расстояния Z' от центра вписанного круга до вершин..
35. Отрезки медиан т'а, т'ь, т'с, заключенные между точкой их пересечения и
вершинами.
36. Расстояния h"a, h", h"c от ортоцентра до сторон треугольника.
37. Отрезки Z", l"b, Г биссектрис между точкой их пересечения и сторонами
треугольника.
38. Отрезки т'а, т"ь, т"с медиан между точкой их пересечения и сторонами
треугольника.
39. Расстояния da, dbi dc центра описанной окружности от центров вневписан-
ных окружностей.
40. Расстояния kai kbi kc от центра описанной окружности до сторон тре-
угольника.
41. Расстояние d от центра описанной окружности до центра вписанной
окружности.
42. В круг радиуса г вписаны два правильных треугольника, стороны которых
пересекаются так, что каждая сторона оказывается разделенной на три
равные части. Определить площадь, общую обоим треугольникам.
43. Даны стороны b и с треугольника. Найти третью сторону х, зная, что
она равна высоте, на нее опущенной. При каком соотношении между Ъ и с
задача возможна?
44. На сторонах угла от вершины О отложены отрезки О А и ОВ, причем
ОА > ОВ. На отрезке О А взята точка Л4, а на продолжении отрезка ОВ
за точку В взята точка N так, что AM — BN~x< Найти значение х,
при котором отрезок MN имеет наименьшую длину.
182 Планиметрия. Гл. XVI. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
45. В треугольнике АВС угол А вдвое больше угла В. По данным сторонам b
ис найти а.
46. Из двух углов треугольника один в два раза больше другого. Найти
стороны треугольника, зная, что они выражаются целыми числами.
47. В треугольнике АВС биссектриса BD внутреннего угла В равна медиане АЕ.
Найти соотношение между сторонами треугольника.
48. В треугольнике АВС высота ha составляет половину биссектрисы внешнего
угла этого треугольника при вершине А. Найти | В — С|.
49. Равнобедренные треугольники ABC, ABCt и АВС2 имеют общее основа-
1 3
ние АВ, а высоты их равны соответственно АВ, АВ и -% АВ. Вычислить
- сумму углов при вершинах этих треугольников.
50. Найти длину гипотенузы такого прямоугольного треугольника, который
можно расположить на клетчатой бумаге так, чтобы гипотенуза лежала на
одной из линий сетки, а все вершины треугольника лежали в вершинах
квадрата, образованного линиями сетки.
51. Рассмотрим три произвольные, различные пары действительных чисел:
tZj, #2» ^2*’ ^3»
причем
^1^2 ^2^3 “Н ^3^1 ^3^2 ^2^1 ^3 9.
Доказать, что существует треугольник, длины сторон которого выражаются
числами
а = V (а2 — а3)2 + (Ь2 — £>3)2,
b = /(оз-а^+^з-^)2.
с = V(а1-а2)2+(д1-62)2,
и вычислить его площадь.
52. Рассмотрим три тройки действительных чисел:
#2» ^2» ^2>
#3» #3> С3»
причем
^1^2^3 4“ ^2^3^1 4“ ^3^1^2 ^3^2^1 ^2^1^3 ^1^3^2 9- .
Доказать, что существует треугольник, длины сторон которого
а = V (а2 — а3)2 + (b2 — b3)2 -f- (с2 — с3)2,
ft = /(а, - «1)2 + - h)2 + (Сз - ^)2,
с = /(«1 — а2у- + (bt — b2)2 4- (с, — с2)2,
и вычислить его площадь.
53. Определить сторону правильного треугольника, зная, что расстояния от
точки, лежащей внутри этого треугольника, до его вершин равны а, Ъ и с.
54. Высота, биссектриса и медиана треугольника, проведенные из его вершины,
делят внутренний угол треугольника на 4 равные части. Найти углы тре-
угольника.
55. В треугольнике со сторонами а, Ь, с проведены высоты ALt ВМ и CN.
Определить отношение площади треугольника MNL к площади треуголь-
ника АВС.
56. Вычислить стороны треугольника и его площадь, если даны: радиус г
вписанного круга, радиус R описанного круга и высота ha.
§ 1. ТРЕУГОЛЬНИК
183
57. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна а, а один из углов
его равен 144°. Найти площадь треугольника, не применяя таблиц.
68. Найти стороны прямоугольного треугольника, зная его катет b и проекцию с'
другого катета на гипотенузу.
59. Определить углы треугольника, зная, что медиана и высота этого тре-
угольника, проведенные из вершины А, делят угол А на три равные части.
60. В треугольнике радиусы описанного и уписанного кругов равны /? и г.
Найти отношение площади этого треугольника к площади треугольника,
образованного точками касания вписанного круга.
61. Из произвольной точки Л4, взятой внутри правильного треугольника АВС,
проведены перпендикуляры MD, ME и MF соответственно на стороны ВС,
СА и АВ. Найти отношение
MD + ME+MF
BD + CE+AF ’
62. В треугольнике АВС определить сторону ВС, если АВ ИС ===/», а проек-
ция биссектрисы угла А на сторону АВ равна р.
63. В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ —с, АМ2-\-В№=.т?,
где AM и BN — биссектрисы острых углов. Определить длину MN.
64. Из вершины С прямого угла треугольника АВС опущен перпендикуляр CD
на гипотенузу. Из точки D на катеты опущены перпендикуляры DE = р и
DF = q. Определить длину гипотенузы.
65. В треугольнике АВС определить биссектрису AD, если известно, что
AC-\-CD = m, AB — BD = n,
66. В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведена
высота AD, на ней и на катетах отложены отрезки АА' — ВВ' = СС' = 1.
Найти площадь треугольника А'В'С', зная, что ЛВ = 3, АС = 4.
67. Вычислить стороны b и с треугольника, зная, что а = 5, b — с —2, В — 2С.
68. В треугольнике АВС угол С =120° и = —-• Определить угол В.
69. На сторонах треугольника АВС взяты точки Р, Q, R такие, что AR : RB = v,
BP : PC = X, CQ : QA = ц. Вычислить отношение площади треугольника PQR
к площади треугольника АВС.
70. На сторонах АС, СВ и АВ треугольника АВС отложены соответственно
отрезки АК = -7}АС, CL — — CB, ВМ — ™ В А. Точки пересечения AL, ВК
и СМ служат вершинами треугольника, площадь которого равна 10. Найти
площадь треугольника АВС.
71. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С прямого угла проведены
высота СН и биссектриса CL. На стороне СВ (ВС > С А) отложен отрезок
СР — С А. Прямые АР и СН пересекаются в точке К. Найти длину
отрезка KL, если дано АС = Ь, ВС = а.
72. Через вершину В прямого угла прямоугольного треугольника АВС прове-
дена прямая I, не пересекающая гипотенузы. Из верший А, С опущены
перпендикуляры AAlf ССХ на прямую I (точки Аг и Сг лежат на прямой /).
При каком значении угла ср = / СВСг площадь трапеции А1АСС± будет
наибольшей?
73. В равнобедренном треугольнике длины боковых сторон равны а каждая,
а длина отрезка прямой, проведенного из вершины треугольника к его
основанию и делящего угол между равными сторонами в отношении 1 : 2,
равна t. Определить площадь этого треугольника.
74. Вычислить площадь треугольника, зная его стороны:
a = {y + z){yz — г2),
b = у (г2z2),
c = z(r2 — у2).
184
Планиметрия. Гл. XVI. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
75. Найти углы прямоугольного треугольника, в котором отношение радиуса
вписанной окружности к радиусу описанной окружности наибольшее.
76. С вершины башни высотой 30 м виден мост, направление которого
лежит в одной вертикальной плоскости с осью башни. Лучи зрения, иду-
щие к концам моста, составляют с вертикалью углы в 60° и 45°.
Определить длину моста.
77. Определить площадь треугольника, если даны а и Ъ — длины его сторон
и t — длина биссектрисы угла между этими сторонами.
78. Точка D лежит на стороне АВ треугольника АВС, точка Е — на стороне АС,
точка F—на стороне ВС, причем
AD : DB = BF : FC = СЕ : ЕА = т : п.
Зная, что площадь треугольника АВС равна s, определить площадь тре-
угольника» образованного прямыми AF, BE и CD.
79. В треугольнике со сторонами а, Ь, с через точку пересечения биссектрис
проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Вычислить длину
отрезков этих прямых, заключенных внутри треугольника.
89. В треугольнике АВС дано:
а = 78, /? = 65, г = 28,
где 7? и г — радиусы описанной и вписанной в треугольник окружностей.
Вычислить без таблиц длины сторон b и с.
81. В остроугольном треугольнике со сторонами а, Ь, с определить величину
выражения
ha - HA + hb - HB-±-hc - НС,
где Н — точка пересечения высот треугольника.
82. Биссектриса среднего по величине угла треугольника равна меньшей его
стороне и делится другими биссектрисами в отношении 1 : 2. Определить
стороны треугольника, если его периметр равен 21.
83. В треугольнике АВС проведена биссектриса AD и продолжена до пересе-
чения в точке К с описанной окружностью. Выразить через стороны
разность *
АО OD
OD DK ’
где О — центр вписанной окружности.
84. Даны длины а, Ь, с сторон треугольника АВС. Две окружности равных
радиусов, расположенные внутри треугольника АВС, касаются друг друга,
причем одна из них касается еще сторон АС и ВС. Найти радиус.
131
85. Периметр треугольника равен 20. Сумма его высот равна —— и радиус
описанной окружности равен ——. Определить стороны.
86. llf 12, 13 — три параллельные между собой прямые, причем прямая 12 про-
ходит между прямыми 1Г и /3. Расстояние между прямыми 1Г и 12 равно а,
расстояние между прямыми /2 и /3 равно Ь. Вычислить площадь равно-
стороннего треугольника, вершины которого лежат на данных прямых.
87. На сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС взяты соответственно
точки Р, Q, Р такие, что
PC QA р’ RB *•
Найти отношение площади треугольника PQR к площади треугольника АВС.
88. АВ — сторона правильного треугольника, вписанного в окружность
радиуса R. В меньший сегмент этой окружности, отсекаемый от нее
хордой АВ, вписан правильный треугольник, одна из сторон которого
перпендикулярна АВ. Найти длину стороны этого треугольника.
§ 2. МНОГОУГОЛЬНИКИ
185
89. Определить площадь равнобедренного треугольника, зная площади
вписанного и s2 описанного около него кругов.
90. Стороны треугольника АВС равны соответственно а, Ь, с. Определить,
в каком отношении биссектриса угла ВАС делит отрезок стороны ВС,
заключенный между точками пересечения ВС с медианой и высотой тре-
угольника, проведенными из вершины А.
91. Правильный треугольник АВС разбивается прямой на два треугольника:
ABD и ACD. В каком отношении прямая AD делит сторону ВС, если
радиус круга, вписанного в треугольник ABD, в два раза больше радиуса
круга, вписанного в треугольник ACD7
92. В треугольник АВС вписаны четыре круга таким образом, что один из них
касается трех сторон треугольника и трех других кругов, а каждый
из остальных касается двух сторон треугольника АВС и первого круга.
Определить радиус первого круга, если радиусы трех .остальных кругов,
равны г2, г3.
93. Стороны треугольника АВС разделены в отношениях
BP __. CQ_ AR _
PC ' QA~ RB ~~
Найти отношение площади треугольника ArBfCf, образованного прямыми АР
BQ и CR, к площади треугольника АВС.
94. Внутри треугольника АВС, площадь которого равна взята точка О,
Прямые АО и ВО делят треугольник на 4 части:
пл. Л АОВ ~ а, пл. Л OPCQ = Ъ.
Найти площади треугольников ВОР и OAQ.
95. Дан угол АВС = 60° (В — вершина). Точка М отстоит от сторон угла на
расстоянии dx и d2. Найти расстояние от точки М до биссектрисы угла АВС.
§ 2. Многоугольники
1. ABCD—параллелограмм, Р—-середина АВ, Q—середина ВС, R—сселит CD
и S — середина AD. Прямые AQ, CS, BR и DP при взаимном пересечении
образуют параллелограмм. Найти отношение площади этого параллело-
грамма к площади данного параллелограмма.
2. Вершина А квадрата ABCD соединена прямой с некоторой точкой М на CD,
причем AM = d. Биссектриса AN угла ВАМ пересекает сторону ВС
в точке N. Определить сумму DM BN.
3. Определить площадь ромба ABCD, зная, что радиусы окружностей, описан-
ных около треугольников ABD и ACD, равны соответственно R и г.
4. В треугольник со сторонами 13, 14 и 15 вписан прямоугольник, одна
из диагоналей которого параллельна меньшей стороне, а одна из сторон
параллельна большей стороне треугольника. Найти стороны прямоугольника.
б. В окружность вписан четырехугольник ABCD, причем ВС — CD. Отрезки
АВ, АС и AD удалены от центра окружности соответственно на 8 см,
5 см и 1 см. Определить CD.
6. На двух смежных сторонах квадрата со стороной 2а как на диаметрах
во внешнюю сторону построены две полуокружности и к этим полуокруж-
ностям проведены касательные, параллельные соответствующим сторонам
квадрата. Найти радиус окружности, касающейся этих полуокружностей
внешним образом и проведенных касательных.
7. В прямоугольной трапеции, высота которой равна 2h, на стороне, не перпен-
дикулярной основанию, как на диаметре, описана окружность; оказалось,
что она касается противоположной стороны трапеции. Найти площадь
прямоугольного треугольника, у которого катеты — основания трапеции.
186
Планиметрия. Гл. XVI. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
8. Найти длину отрезка прямой, заключенного внутри трапеции, если эта
прямая параллельна основаниям а и b трапеции и делит ее площадь пополам.
9. Определить площадь трапеции, если площади треугольников, образованных
< пересечением диагоналей и прилегающих к основаниям трапеции, соответ-
ственно равны т2 и п2.
10; По четырем сторонам трапеции вычислить ее диагонали.
1L Найти площадь трапеции по ее четырем сторонам.
12. Вычислить стороны равнобочной трапеции, зная, что периметр равен 2р,
диагональ равна d и что в эту трапецию можно вписать окружность.
13. На сторонах параллелограмма АВ, ВС, CD и DA взяты соответственно
точки Dx, В± и такие, что
ADi ВА\ С By DCi т
D\B АуС B\D СуА п
Отрезки AAlf BBlt ССР DDi, пересекаясь, образуют четырехуголь-
ник MNEF. Зная, что площадь параллелограмма ABCD равна Q, опреде-
лить площадь четырехугольника MNEF.
14. Площадь пятиугольника ABCDE равна 68см2, Если из вершины А
провести диагонали, то площади треугольников ABC, ACD и ADE составят
геометрическую прогрессию. Если на стороне DE взять точку F так, чтобы
369
EF = ggg FD, то площади треугольников ABC. ACD и AEF будут соста-
влять арифметическую прогрессию. Найти площадь каждого треугольника.
15. Выразить диагонали и площадь вписанного в круг четырехугольника через
его стороны.
16. Найти отношение площади правильного пятиугольника к площади треуголь-
ника, образованного стороной пятиугольника и двумя его диагоналями,
выходящими из концов этой стороны.
17. Даны: р— периметр правильного описанного n-угольника, Р — периметр
правильного описанного 2п-угольника. Определить ру—периметр правиль-
ного вписанного 2п-угольника.
18. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все углы равны между собой. Дано:
AB~CD = EF = a, BC = DE = FA = b. Вычислить площадь этого
шестиугольника.
19. Из точки, взятой на большей стороне прямоугольника, неравные стороны
его видны под равными углами. Найти расстояние этой точки до одной
из меньших сторон прямоугольника, если измерения последнего суть 65 и 63.
20. Точки Р и Q делят стороны ВС и СА треугольника АВС в данных отно-
шениях:
Пусть О — точка пересечения прямых АР и BQ, Найти отношение площади
четырехугольника OPCQ к площади данного треугольника.
§ 3. Окружность
1. Две окружности, радиусы которых равны г и R, пересекаются под прямым
углом. Определить длину их общей касательной.
2. Две окружности радиусов R и г касаются внешним образом. Опре-
делить радиус окружности, касающейся этих окружностей и их общей
внешней касательной.
3. Центр окружности лежит на гипотенузе прямоугольного треугольника.
Эта окружность касается большого катета ВС в точке, расстояние которой
до вершины В острого угла равно р, и проходит через вершину А острого
§ 3. ОКРУЖНОСТЬ
187
угла треугольника, касаясь в ней внутренним образом второй окружности*
центр которой лежит в точке пересечения D первой окружности с гипоте-
нузой треугольника. Найти радиус первой окружности, если хорда второй
окружности, проведенная через вершину В острого угла треугольника,
перпендикулярна его гипотенузе и видна из точки А под углом 609.
4. Две окружности, отношение радиусов которых равно 2 : 3, касаются друг
друга внутренним образом. Через центр меньшей окружности проверена
прямая, перпендикулярная линии центров, и из точек пересечения этой
прямой с большей окружностью проведены касательные к меньшей окруж-
ности. Найти углы между этими касательными.
5. В круге радиуса г проведена хорда, стягивающая дугу в 108°. Найти
длину этой хорды.
6. К каждой из двух данных окружностей, касающихся друг друга внешним
образом в точке Л, проведены две параллельные касательные, проходящие
через точки, диаметрально противоположные точке А. Отношение радиусов
данных окружностей равно k. Найти отношение радиусов окружностей,
каждая из которых касается внешним образом двух данных окружностей и
одной из построенных касательных.
2 ’ - • -
7. Круг радиуса касается внутренним образом круга радиуса 2. Найти
радиус третьего круга, касательного к двум первым и к диаметру, соеди-
няющему их центры.
8. Равнобедренный прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса /?.
Найти радиус окружности, которая касается равных сторон этого треуголь-
ника и данной окружности.
9. Дана окружность с центром в точке О, диаметр АВ которой равен 2/?.
На касательной к окружности в точке А отложен отрезок AM, длина
которого больше радиуса R, и из точки М проведена к окружности
вторая касательная, пересекающая АВ в точке Р. Определить стороны
треугольника АМР при условии, что его периметр равен SR.
10. Две окружности, радиусы которых равны а и Ь, пересекаются. Расстояние
между их центрами равно с. Найти радиус окружности, касающейся данных
окружностей и их общей касательной.
11. Даны длины а и b хорд круга радиуса R. Найти длину хорды, соответ-
ствующую сумме дуг, которые стягиваются данными хордами.
12. На отрезке и двух его неравных частях как на диаметрах построены полу-
окружности (расположенные по одну сторону от данного отрезка). Даны
радиусы а и b меньших полукругов. Определить радиус окружности,
касающейся всех полукругов.
13. Центры четырех кругов расположены в вершинах квадрата со стороной а.
Радиусы всех кругов также равны а. Вычислить площадь части плоскости,
общей для всех кругов.
14. Два круга одного и того же радиуса R расположены так, что центр каж-
дого из них лежит на окружности другого. Определить радиус круга,
вписанного в общую часть этих кругов и касающегося их линии цент-
ров.
15. Даны два смежных прямых угла с вершиной в точке О. В один из них
вписана окружность радиуса /?, а в другой — окружность радиуса г (R>r).
Общая внешняя касательная к этим окружностям пересекает стороны углов
в точках А и В. Определить площадь треугольника АОВ.
16. Точка внутри круга отстоит от его центра на расстоянии d. Хорда, про-^
ходящая через эту точку, делится в ней на части а и Ь. Определить
радиус круга.
17. В окружности радиуса R диаметр продолжен на-длину радиуса и из конеч-
ной точки проведена к окружности секущая, делящаяся этой окружностью
пополам. Найти длину этой секущей.
f88 Планиметрия. Гл. XVI. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
18. ЛВ—диаметр окружности радиуса г. В точке М окружности проведена
к ней касательная, встречающая прямую АВ в точке Р. Найти проекцию AM
на АВ, если AM = 2МР.
19. В круге» радиус которого равен 4, проведена хорда АВ так, что сумма
расстояний точки В до касательной, проходящей через точку Д, и до точки
касания равна 6. Найти длину хорды АВ.
20. Внутренняя и внешняя общие касательные к двум окружностям равны а и Ь.
Определить длину общей касательной после того, как окружности будут
сближены до соприкосновения.
21. В окружности хорда CD пересекает диаметр MN и параллельную ему
хорду АВ. Найти условие, при котором произведение отрезков хорды АВ
равнялось бы произведению отрезков диаметра MN.
22. Дана четверть круга АОВ радиуса г (О — центр). На отрезке О А как на
диаметре строится полуокружность (внутри данной четверти круга). Прямая,
проходяшая через середину отрезка ОА перпендикулярно ОА, пересекает
построенную полуокружность в точке N, а данную четверть окруж-
ности— в точке М. Найти периметр и площадь криволинейной трапе-
ции MNOB.
23. Три ск ужности радиусов г, гг и R касаются попарно одна другой внешним
образом. Найти длину хорды, отсекаемой третьей окружностью от общей
внутренней касательной первых двух окружностей.
24. В ромб, который разделяется диагональю на два равносторонних треуголь-
ника, вписан круг единичного радиуса. Найти сторону ромба.
25. Через дзе смежные вершины квадрата проведена окружность так, что каса-
тельная к ней из третьей вершины равна двойной стороне квадрата. Найти
радиус этой окружности, если площадь квадрата равна 10.
26. Окружность касается двух смежных сторон квадрата и делит третью сто-
рону на два отрезка: 8 и 17. Найти радиус этой окружности.
27. Дана равнобочная трапеция с боковой стороной, равной 5, и основа-
ниями 1 и 7. Найти площадь круга, описанного около этой трапе-
ции.
28. В окружность радиуса R вписан треугольник. Даны проекции at, blt сг
сторон а, Ь, с этого треугольника на диаметры, проведенные соответст-
венно из Л, В и С. Найти площадь треугольника.
29. Стороны вписанного в окружность шестиугольника последовательно равны
а, Ь, с, d, е, f. Найти необходимое и достаточное условие того, что три
прямые, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной
точке.
30. Найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника, зная длину
высоты, биссектрисы и медианы, проведенных из одной вершины.
31. О — точка пересечения диагоналей в описанном четырехугольнике ABCD.
Найти зависимость между радиусами окружностей, описанных вокруг тре-
угольников АОВ, ВОС, COD и DOA.
32. Круга радиуса г касаются внешним образом три равные окружности, касаю-
щиеся, кроме того, попарно между собой. Найти площади трех криволи-
нейных треугольников, образованных указанными окружностями.
33. Три окружности радиусов /?х, /?2, касаются внешне попарно друг
друга. Найти радиус окружности, проходящей через точки касания.
34. Сторона правильного треугольника равна а. Из центра его радиусом ~ опи-
сана окружность. Определить площадь части треугольника, лежащей вне
этой окружности.
35. Радиус окружности (О) равен 1. Продолжим диаметр В А этой окружности
за точку А (черт. 54). Проведем касательную к окружности (О) в точке В
и отложим на ней от точки В отрезки ВС —2, CD = ^-, СЕ — ~.
Ь 5
§ з. окружность
На диаметре В А от точки В отложим отрезок BQ = OD. Далее построим
ГОЦСО. Найти ~ BF с точностью до 0,000 001 (Шпехт).
36. Вычислить радиус окружности, описанной вокруг четырехугольника, если
известны радиусы Ra, Rb, Rc и Rd окружностей, описанных вокруг треуголь-
ников АОВ, ВОС, COD и DO А, где О — точка пересечения диагоналей.
37. В равносторонний треугольник вписываются окружности равных радиусов так
как указано на чертеже 55. Найти предел, к которому стремится отношение
площади, занимаемой всеми вписанными кругами, к площади треугольника,
когда число кругов неограниченно возрастает.
Глава XVII
ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
§ 1. Треугольник
Доказать, что во всяком треугольнике в соответствии с обозначениями, вве-
денными в задачах 26—41, гл. XVI, § 1, имеют место следующие соотношения
(проверка всех соотношений после того, как решены задачи 26—41, может
быть сведена к проверке тождеств; однако почти все предлагаемые ниже задачи
могут быть решены более коротко из геометрических соображений):
1. s = ^abchahbhc.
2. (Аа + А* + М(^+-^- + ^-) = (« + ^ + с)(| + | + 4)- 1 f(b2-c2)
3. s = (Ь > с). 4bc \ /
4. be । ab ас z . , . ч —г Ч * = —* (я > и > с). Ua l/c lblb
5. W = Га (Ь + С)2 + Га (Ь — С)2.
6. 4 (haka + hbkb + hckc) ==& + &+ <?.
7. 4(-£._l± i abc. . \ kb kc J kakbkc
8. S = (ah'a 4- bh'b 4- eAc).
9. hbhb ——:
10. /2 /2 /2 ala -\-blb —abc.
11. IM~MIa, где I — центр вписанной окружности, Ia — центр окружности, вневписанной в / Л, а М — точка пересечения 1а1 с описанной окруж- ностью.
12. е_ lglblc(b + c)(c + a)(a + b) Sabcp
13. s = Vrrarbrc.
14. s — rarbrc p
15. Г 4R — ra + r s — rn 1/ — . a Г ra — r
16. ,....rra(rb + rc) О - - • .......... a
17. arrg О _ • Гд — Г
§ 1. ТРЕУГОЛЬНИК
Ж
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
ОТ. Г
s =
ГЬ+ГС
^-b^rarb
г —
a b
„ — (a + b) rrc
гЛ-Гс ‘
rra = (p — b)(p — c).
4Rra (P — a) ~ abc-
a2 + (ra-r)2 = 4R(ra-r).
гагь-rrc = ^-(a2-\-b2 — c2).
ab + be ca = p2 -|- r2 4/?r.
4Rrp — abc.
P2r ~ rarbrc.
0.2 _|_ b2 4- c2 = 2p2 — 2r2 — 8/?r.
. . . . , ab + be + ca
ha + hb + hc =..~2/^~..
1=±4.1 I -1
r h ' h. * h r r ' r
a b c a b c
ba + hc t ha . he hb _ g
r ‘ r
c a
+ r r + r r.
________ b с x c a ' a b
hahbhc ~~ hbhc + hcha + hahb 9
rb
rarbrc
« &b + kc) + b (kc + ka) + c (ka 4- kb) = 2pR.
4 (kbkc 4- kcka 4- kakb) = be 4- ca 4- ab — 4R (R 4- r).
9 • GO72 —p2 4~5r2 —16/?r *.
/ТО72 = 4Я2 4- 4Rr 4- 3r2 — p2.
9GO2 = p2 4- 6r2 — r2 4- 4R (3>ra —• r) **.
GO'2 + GOa 4- 00} + GO2C = 16/?2 — (a2 + £2 + c2).
HO'2 + HO2a 4- ЯО1 + HO} = 48/?2 — 4 (a2 + b2 + c3).
_ —L___ I . \ 4
г rb rJ Га + ГЬ + Гс
a2 = (ra — r) (/*4-''c)-
O'Oa- O'Ob- O'Oc= \6R2r.
AOa BOb CCc = 4Rr2a.
ObOc-Opa-OaOb==lf>R2p.
d} = R2+Rra.
* G — точка пересечения медиан, O' — центр вписанной окружности.
** Од, Оь, О с — центры вневписанных окружностей, гд, г£ — их радиусы.
192
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
Планиметрия. Гл. XVII. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
rf3 + 4+4 + ^= 12/?2.
3 (d2 + da 4- 4 + d2) = 4 (a2 + b2 + c2) + 4 • OH2.
ha-\~ hb 4~hc = 2 (/? —(— г).
ka 4“ kb 4“ ke — R 4- r •
r2 4- r2a + 4 + r* - 4Д2 + h'2 + h'2 + h'2.
hbhc~\~ hcha -J- hahb = 2/? 4~ ^6 “I- ^c)-
д2 4- h'2 = b* 4- h'2 = c2 4- h'2 = 4Я2.
4 (k2a 4- 4 4- 4) = 12/?2 — (a2 4- b2 4- c2).
s = 2/?2 hah*hc .
abc
1
ap = ra(r b-+-rl).
1 , 1 . 1 . 1 _ a2 + ft3 + сз
2 "1 2 2 "* 2
r ra П rc rrarbrc
Л rj r: = 4/? + r
(a — b)(a — c) ‘ (b—-a)(b — c) (c — a)(c — b) p
...__________________+______________rl____________4-
(b + c) (a — b) (a — c)' (c + (b — a)(b — c)*
r2c . r2 4R
(a + b)(c — a) (c — b) (b c) (c a) (ab) s
4(ar2a + br2b 4- erg) + (д + + c)3 =
(a + b + c) (fa + rb + rc)
a2 № c3
a b c
(ra-r)(r»~r)(rc-r): 4/?r
be r r.r abc ( ca ! ab
AO2a BO2b co3
AO'2 \-во-2--\ CO'3
be ‘ ca ' ab
§ 1. ТРЕУГОЛЬНИК
193
73. a2 + 624-c2 + r2 + ^ + r26+^=16/?2.
7д (ГЬ + ГМГе + ГМГа + Г1>)_,п
rhr +г г + г rh ~
b с 1 с а 1 а b
78. $ = Rhahbhc.
70 1а1Ь 1с _ abc
Г ~ р '
8»- 4.(l + f) + s.(?+7) + 4-(l+4) = W.
8|- т;=т;+-^-т;-
ол СО • С0с _ Ь
0Ze BO'-BOb~ с 9
83. АО' • А0а = Ьс.
84. АО'2 + ВО'2 4- СО'2 = Ьс + са ab — 12/?г.
85. Доказать, что отношение суммы квадратов сторон треугольника к сумме
4
квадратов его медиан равно -д-.
86. Доказать, что из медиан любого треугольника можно построить треугольник.
87. Доказать, что в прямоугольном треугольнике сумма катетов равна сумме
диаметров вписанной и описанной окружностей.
88. Доказать, что если длины сторон прямоугольного треугольника выражаются
целыми числами, то произведение чисел, выражающих длины катетов,
делится на 12.
89. Доказать, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению
отрезков гипотенузы, на которые ее делит точка касания вписанного круга.
90. Доказать, что сумма квадратов расстояний точки от вершин треугольника
равна сумме квадратов расстояний центра тяжести треугольника от его
вершин, сложенной с утроенным квадратом расстояния данной точки
от центра тяжести.
91. Доказать, что условие
ab = chc.
необходимо и достаточно для того, чтобы ДС = 90°.
92. Доказать, что во всяком треугольнике сумма трех его медиан меньше
периметра и больше полупериметра.
93. Доказать, что
5>3]/3г2,
где s — площадь треугольника, а г — радиус вписанного в него круга.
94. Доказать, что если на основании АС равнобедренного треугольника АВС
взять произвольную точку М и соединить ее с противолежащей вершиной
В, то
ВС2 — ВМ2 — АМ -СМ.
13 П. С. Моденов
194 Планиметрия. Гл. XVII. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
95. Дан треугольник, вписанный в окружность. Доказать, что три дуги, сим-
метричные дугам окружности относительно сторон треугольника, пересе-
каются в одной точке.
96. Доказать, что если основания высот треугольника соединить, то получим
треугольник, для которого эти высоты будут биссектрисами.
97. Доказать, что площадь остроугольного треугольника равна произведению
радиуса описанного круга на полупериметр треугольника, вершины кото-
рого— основания высот данного треугольника.
98. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, ее заклю-
чающих, и больше разности между этой полусуммой и половиной третьей
стороны.
99. Доказать, что прямая, симметричная с медианой относительно биссектрисы
внутреннего угла треугольника, делит противоположную сторону на части,
пропорциональные квадратам прилежащих сторон.
100. Доказать, что в треугольнике со сторонами 3 см, 8 см и 10 см наиболь-
ший угол в три раза больше среднего по величине угла.
101. Доказать, что высота треугольника и прямая, соединяющая вершину
с центром описанного круга, образуют одинаковые углы с боковыми
сторонами.
102. Доказать, что если а — гипотенуза прямоугольного треугольника, Ьп с —
длины катетов, $— площадь и р— полупериметр, то
S = Р (Р — а) = (р — Ь) (р — с).
103. Дан треугольник АВС, На каждой из его сторон построен равносторонний
треугольник (во внешнюю сторону). Доказать, что окружности, описанные
вокруг этих треугольников, имеют общую точку.
104. Доказать, что если у треугольника равны две медианы, то он равнобед-
ренный.
105. Доказать, что если у треугольника равны две высоты, то он равнобед-
ренный.
106. Доказать, что угол треугольника будет острым, прямым или тупым, смотря
по тому, будет ли противоположная сторона меньше, равна или больше
удвоенной соответствующей медианы.
107. Доказать, что треугольник АВС будет остроугольным, прямоугольным
или тупоугольным в зависимости от того, будет ли выражение
a2^b2^-c2 — 8R2
соответственно положительно, равно нулю или отрицательно.
108. Доказать, что во всяком треугольнике большей стороне соответствует
меньшая высота.
109. На основании АС равнобедренного треугольника АВС взята точка D.
Доказать, что сумма длин перпендикуляров, опущенных из точки D на
боковые стороны, не зависит от выбора точки D на стороне АС,
НО. На сторонах АВ, АС и ВС треугольника, как на основаниях, построены
три равнобедренных подобных треугольника: АВР, ACQ, BCR, два пер-
вых — вне данного треугольника, а третий — по ту же сторону, что и дан-
ный треугольник. Доказать, что APRQ — параллелограмм.
111. Доказать, что если разделить хорду окружности на три равные части
и соединить с центром окружности концы хорды .и точки деления, то соот-
ветствующий центральный угол разделится на три части, одна из которых
больше двух других.
112. На радиусе АО окружности (О —центр), как на диаметре, построена
вторая окружность и из произвольно взятой на радиусе точки В восста-
влен к нему перпендикуляр, пересекающий малую и большую полуокруж-
ности соответственно в точках С и D, Доказать, что
AD2 = 2ACK
§ Ь ТРЕУГОЛЬНИК
195
113. Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла
делит пополам угол между медианой и высотой, проведенными из вершины
прямого угла.
114. Доказать, что сумма произведений высот остроугольного треугольника
на отрезки их от ортоцентра до вершин равна полусумме квадратов сто-
рон. Обобщить это предложение на случай тупоугольного треугольника.
115. Доказать, что квадрат биссектрисы, проведенной через вершину произ-
вольного треугольника, равен произведению боковых сторон без произ-
ведения отрезков основания. Выяснить, во что переходит указанное равен-
ство в случае равнобедренного треугольника.
116. Доказать, что точки, симметричные точке пересечения высот треугольника
относительно его сторон, лежат на окружности, описанной вокруг этого
треугольника.
117. Две вершины треугольника неподвижны, а третья перемещается по неко-
торому контуру. Доказать, что центр тяжести данного треугольника опи-
сывает контур, подобный данному.
118. Доказать, что для любого треугольника отрезок, соединяющий центры
вписанной и вневписанной окружностей, делится описанной окружностью
пополам.
119. Доказать, что если в треугольнике между его сторонами а, b и с суще-
ствует зависимость
a2 — b2-\-bc,
то
120. Доказать, что из всех треугольников с общим углом при вершине и дан-
ной суммой длин боковых сторон равнобедренный треугольник имеет наи-
меньшее основание.
121. Внутри прямоугольного треугольника АВС (С — вершина прямого угла)
дана точка О, служащая вершиной равновеликих треугольников ОАВ,
ОВС и ОСА, Доказать, что
ОД24-ОВ2 = 5 • ОС2.
122. Доказать, что прямая, соединяющая основания двух высот треугольника,
перпендикулярна радиусу описанного вокруг треугольника круга, идущему
в третью вершину.
123. Доказать, что периметр треугольника, вершинами которого служат осно-
вания высот данного треугольника, равен удвоенной площади данного
треугольника, разделенной на радиус описанной окружности.
124. Доказать, что произведения расстояний любой точки круга, описанного
около треугольника, от одной из его сторон и от противоположной вер-
шины равны между собой.
125. А — острый угол прямоугольного треугольника ABC; AM — медиана,
AD — биссектриса. Доказать, что
AD С AM,
126. В прямоугольный треугольник вписан квадрат MNPQ так, что его вер-
шины М и N лежат на гипотенузе АВ, а вершины Р и Q — на катетах ВС
и АС, Доказать, что
; PN2~BN • AM,
127. В треугольнике АВС проведена высота AD. Доказать, что разность ква-
дратов боковых сторон равна разности квадратов соответствующих отрез-
ков основания треугольника.
13*
196 Планиметрия. Гл. XVII. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
128. В прямоугольном треугольнике а и b — катеты, с — гипотенуза, h — перг
пендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу. Дока-
зать, что треугольник, стороны которого а 4~ b, h и с -f- ht также прямо-
угольный. Какова его гипотенуза?
129. Биссектриса угла В, заключенного между неравными сторонами треуголь-
ника АВС, пересекает сторону АС в точке D. Из середины отрезка BD
восставлен к нему перпендикуляр, пересекающий сторону АС (или ее про-
должение) в точке Е. Доказать, что
DE2 = AE*CE.
130. Треугольник вписан в окружность. Доказать, что произведение расстояний
любой точки окружности до двух сторон треугольника равно произведе-
нию расстояний этой точки до третьей стороны и до касательной, прове-
денной через вершину, противоположную этой стороне.
131. Доказать, что точки пересечения сторон треугольника с биссектрисами
одного внешнего угла и двух внутренних (не смежных с этим внешним)
лежат на одной прямой.
132. Доказать для треугольника соотношение .
2 /(р —^)(р —с) < а.
133. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС взята точка Р так,
что АР—т, РВ — п, PC = d. Доказать, что
а2т2 + b2jt2 = c2d2,
где а и b — длины катетов, а с — длина гипотенузы.
134. Через вершины А и В равностороннего треугольника АВС проведена
окружность. Через вершины А и С этого же треугольника проведена дру-
гая окружность, пересекающая первую в точке Р под прямым углом.
Доказать, что можно построить прямоугольный треугольник, катеты кото-
рого равны отрезкам ВР = п и СР = р, гипотенуза — отрезку АР — т.
135. На отрезке АВ и на его продолжении взяты точки Р и Q такие, что
АР _ AQ
РВ~ QB'
Доказать, что середина Н отрезка PQ лежит вне отрезка АВ.
136. Доказать, что площадь треугольника, построенного на гипотенузе прямо-
угольного треугольника, равна сумме площадей треугольников, подобных
этому треугольнику, построенных на катетах (гипотенуза и катеты являются
сходственными сторонами подобных треугольников).
137. Доказать, что если в треугольнике АВС угол А меньше угла С, то бис-
сектриса угла А больше биссектрисы угла С. \
138. Периметр треугольника равен 2. Доказать, что
а (а — 1 у + b {b — 1 )* + с (с — 1 )2 — abc _ о
(а-1)(*-1)(с-1) 3=2
(я, Ь, с — длины сторон треугольника).
139. Доказать, что центры правильных треугольников, построенных на сто-
ронах любого треугольника и примыкающих к нему извне, служат также
вершинами правильного треугольника.
140. Доказать, что если площади двух прямоугольных треугольников относятся
как квадраты гипотенуз, то треугольники подобны.
141. Доказать, что в треугольнике
$
abc {ha-\-hb~Y hc)'
2 {ab + be + ca)
§ 1. ТРЕУГОЛЬНИК ...197
142. Если стороны треугольника составляют арифметическую прогрессию с раз-
ностью d, то
ft9- —4rf2=12r2,
где b — средняя по величине сторона треугольника, а г — радиус вписан-
ного круга.
143. Доказать, что если стороны остроугольного треугольника составляют ариф-
метическую прогрессию, то сумма расстояний от центра описанного круга
до большей и меньшей сторон равна диаметру вписанного круга.
144. Доказать, что если стороны тупоугольного треугольника составляют ариф-
метическую прогрессию, то разность расстояний от центра описанного
круга до меньшей и большей сторон треугольника равна диаметру впи-
санного круга.
145. Доказать, что во всяком треугольнике сумма расстояний от центра опи-
санного круга до сторон треугольника равна сумме радиусов кругов впи-
санного и описанного.
146. Доказать, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками при-
косновения вневписанных окружностей, касающихся противоположных
сторон, проходят через одну точку (точка Нагеля).
147. Доказать, что если стороны треугольника образуют арифметическую про-
грессию, то точка Нагеля (см. № 146) лежит на прямой, соединяющей
центр тяжести треугольника с центром вписанного круга.
148. Доказать, что в треугольнике, у которого разность углов при основании
равна 90°, биссектриса внутреннего угла при вершине равна биссектрисе
внешнего угла.
149. На прямой даны три точки: Д, В и С (точка В лежит между А и С).
На отрезках АВ и ВС по одну сторону от прямой построены равносто-
ронние треугольники ABCt и BCAt. Точки М и N — середины отрезков
AAi и Доказать, что треугольник BMN — равносторонний.
150. В треугольнике АВС прямые АР, BQ и CR пересекаются в одной точке О
(точки Р, Q и R лежат соответственно на сторонах ВС, СА и АВ). Для
того чтобы имели место равенства
АО _ ВО ___ СО
OP ~ OQ ~ OR ’
необходимо (и достаточно), чтобы АР, BQ и CR были медианами тре-
угольника АВС (доказать).
151. Доказать, что центр тяжести системы из трех однородных отрезков, обра-
зующих треугольник АВС, лежит в точке пересечения биссектрис вну-
тренних углов треугольника PQR, где Р, Q, R — соответственно середины
сторон ВС, СА и АВ.
152. Доказать, что во всяком треугольнике биссектриса проходит между медианой
и высотой, проведенными из той же дершины (исключается случай равно-
бедренного треугольника).
153. Доказать, что если стороны треугольника а<6<с образуют арифмети-
ческую прогрессию, то
ас — SRr.
154. Доказать вычислением, что если биссектрисы двух внутренних углов
треугольника равны между собой, то треугольник — равнобедренный.
155. Доказать, что для всякого треугольника выполнено соотношение
Р R *
где р — полупериметр данного треугольника, pt— полупериметр треуголь-
ника, вершинами которого являются основания высот данного треугольника.
198
Планиметрия. Гл. XVII. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
156. На отрезке АС взята точка В и на отрезках АВ и ВС построены по одну
сторону от прямой АС равносторонние треугольники ABD и BCDV Пусть
7И и N — середины отрезков DC и DrA. Доказать, что треугольник MNB
равносторонний.
157. Около треугольника АВС со сторонами а, Ь, с описана окружность. Обо-
значим через т, п, р соответственно расстояния от какой-нибудь точки
окружности до сторон а, Ь, с треугольника. Доказать, что
а b . с
т п ’ р *
158. Стороны треугольника равны:
а = (2+ГзГ + (2-Гз)п-1,
^(2 4-K3)"+(2-K3)n,
r = (2+/3)n + (2-/3)n.
Доказать, что af b, с — целые числа (п — целое положительное число).
Вычислить площадь этого треугольника и доказать, что она выражается
целым числом.
159. Треугольник АВС движется на плоскости таким образом, что его сто-
роны АВ и ВС все время касаются двух окружностей. Доказать, что
сторона АС треугольника тоже касается некоторой окружности.
160. Доказать, что для того, чтобы треугольник со сторонами а, Ь, с был прямо-
угольным, необходимо и достаточно, чтобы имело место соотношение
в _ 1ь а + с
b ~ la V b + с ’
где 1Ь и 1а — длины биссектрис углов А и В.
161. Доказать, что если точки Bt и Сг лежат соответственно на сторонах ВС,
СА и АВ треугольника АВС, то необходимым и достаточным условием
пересечения в одной точке трех перпендикуляров к сторонам треуголь-
ника, восставленных в точках Д, Bt и Ср является равенство
ACl + ВЛ{ 4- СВ2! = BtA2 4- Cjfi2 4- AC2.
162. Доказать, что если два круга радиусов R и г расположены так, что рас-
стояние между их центрами равно ]/7?2 — 2г/?, то можно построить бес-
конечное множество треугольников, вписанных в один круг и касающихся
другого.
163. Доказать, что если стороны треугольника составляют арифметическую
прогрессию, то биссектриса внутреннего угла, противолежащего средней
стороне, перпендикулярна прямой, соединяющей центры вписанного и опи-
санного кругов.
164. Доказать, что если в треугольнике линия центров вписанной и описанной
окружностей перпендикулярна одной из биссектрис внутреннего угла тре-
угольника, то стороны треугольника составляют арифметическую прогрессию.
165. Доказать, что если стороны треугольника составляют арифметическую
прогрессию, то радиус вписанного круга равен высоты, опущенной
на среднюю сторону.
166. Доказать, что если стороны треугольника составляют арифметическую
прогрессию, то прямая, соединяющая центр тяжести треугольника с центром
вписанного круга, параллельна средней стороне.
167. Доказать, что если стороны треугольника составляют арифметическую
прогрессию, то rb = hb, где b — средняя по величине сторона треугольника,
hb — высота на нее и гь — радиус вневписанного круга, касающегося этой
стороны.
§ 1. ТРЕУГОЛЬНИК
199
168. В треугольнике АВС возьмем на основании ВС или на его продолжении
произвольным образом точку D и опишем вокруг треугольников ABD
и ACD окружности. Доказать, что отношение радиусов этих окружностей
есть величина постоянная. Найти такое положение точки D, для которого
эти радиусы будут иметь наименьшую величину.
169. Доказать, что проекции вершины одного из углов треугольника на четыре
биссектрисы (внутренние и внешние) двух других его углов лежат на одной
прямой.
170. Доказать, что прямые, симметричные относительно сторон треугольника
с какой-либо прямой, проходящей через его ортоцентр, пересекаются
в одной точке.
171. Доказать, что перпендикуляры к биссектрисам треугольника, в их сере-
динах пересекаются с противоположными сторонами в точках, лежащих
на одной прямой.
172. Доказать, что биссектрисы равных углов подобных треугольников пропор-
циональны сходственным сторонам.
173. Доказать, что медианы, проведенные к сходственным сторонам подобных
треугольников, пропорциональны сходственным сторонам.
174. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ ~ ВС) проведена высота AD.
Доказать, что
DC ВС —АС2.
175. Доказать, что если две стороны и высота, проведенная к третьей стороне
одного треугольника, пропорциональны двум сторонам и высоте, прове-
денной к третьей стороне другого треугольника, то такие треугольники
подобны.
176. В треугольник вписана окружность. Вокруг нее описан квадрат. Доказать,
что вне треугольника лежит меньше половины периметра квадрата.
177. Доказать, что если в треугольнике АВС угол С = 120°, то из отрезков
1) а, с, а-}~Ь и 2) Ь, с и а-\-Ь можно построить треугольник. Определить
один из углов этого треугольника.
178. Через точку, лежащую внутри треугольника, проведены прямые, соответ-
ственно параллельные его сторонам а, Ь, с. Доказать, что отрезки а', Ьг и сг
этих прямых, ограниченные сторонами треугольника, удовлетворяют соот-
ношению
179. Доказать, что если а, Ь, с — стороны треугольника ABC, ka, kb, kc — бис-
сектрисы углов этого треугольника, т и п; р и q\ s и t — отрезки, на
которые биссектрисы делят соответственно стороны а, Ь, с, то
a (k2a 4- тп) = b (k2b 4- pq) = с 4~ $0.
180. Доказать, что если точка М есть середина отрезка АВ, то для любой
точки С, лежащей на прямой АВ, отрезок СМ равен полуразности отрез-
ков АС и ВС, если С лежит между А и В; СМ равен полусумме АС и ВС,
если С лежит на продолжении отрезка АВ.
181. Доказать, что если из вершин треугольника АВС опустить перпендику-
ляры ЛBBl и CCt на произвольную прямую I, лежащую в плоскости
этого треугольника, и из оснований Alt Blt Ct этих перпендикуляров вновь
опустить перпендикуляры на стороны ВС, СА и АВ, то эти последние
перпендикуляры пересекутся в одной точке.
182. AF— медиана треугольника АВС. Из вершины В и из точки М пере-
сечения медиан опущены перпендикуляры BD и МВ на сторону АС.
Доказать, что
AD-CD — 3 (АЕ — СЕ).
200 Планиметрия. Гл. XVII. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
183а Доказать, что прямая BD. делящая сторону АС треугольника ЛВС на части,
пропорциональные сторонам АВ и ВС, есть биссектриса угла В.
184. На сторонах АВ и АС треугольника ЛВС построены квадраты; вершина О,
противолежащая вершине В первого квадрата, соединена с вершиной В,
противолежащей вершине С второго квадрата. Доказать, что
DB2 + ВС2 = 2 (ЛВ2 + АС2).
185а Из произвольно взятой на плоскости точки Л4 опущены перпендикуляры
на стороны данного треугольника. Доказать, что сумма квадратов трех
отрезков сторон треугольника, взятых через один, равна сумме квадратов
остальных трех отрезков.
186. В остроугольном треугольнике ЛВС проведены три высоты: ЛВ, BF и CD.
Доказать, что отрезки OB, BF и DF, соединяющие основания высот тре-
угольника, образуют с его сторонами треугольники, подобные данному.
187. Доказать, что для любого треугольника
3/3
где $ — его площадь, а р — полупериметр. При каком условии имеет место
знак равенства?
188. Доказать для треугольника соотношение
hyh2h3 _ (а -|“ Ь) (Ь с) (с а)
bib2b3 ~ WpR*
где hti h2, h3—высоты, blt b2, b3 — биссектрисы, p — полупериметр, R —
радиус описанной окружности, a, bt с — стороны.
189. Из точки £>, взятой на гипотенузе прямоугольного треугольника ЛВС,
восставлен перпендикуляр, который пересекает катет ВЛ, описанную вокруг
этого треугольника окружность и продолжение другого катета соответ-
ственно в точках К, Е и F. Доказать, что
KD • DF = DE2.
190. Доказать, что произведение ЛВ • ВС двух сторон треугольника ЛВС равно
произведению высоты BD на диаметр описанной вокруг треугольника окруж-
ности.
191. Доказать, что во всяком треугольнике расстояние между центрами круга,
описанного вокруг треугольника и вписанного в треугольник, определяется
равенством
/2 = /?(Я —2г),
где г — радиус вписанного, a R — радиус описанного круга.
192. Пусть а, Ь, с — длины сторон треугольника; Л, В, С — величины проти-
воположных углов. Доказать, что
Аа 4- ВЬ + Сс ± (Ab 4- Ba -f-Ас + Са -f- Вс + СЬ).
193. Через точку О плоскости проведены четыре луча (т. е. полупрямые):
ОЛ, ОВ, ОС, OD. Проведена произвольная прямая /, пересекающая эти
лучи соответственно в точках Лр Вр Ср Dv Доказать, что при любом
положении прямой I выражение
^1^1 . Л^!
С1В2 *
имеет одно и то же числовое значение.
§ 1. ТРЕУГОЛЬНИК
201
194. Точка Ж лежит внутри треугольника. Расстояния от этой точки до сторон
треугольника равны х, у, z, а соответствующие высоты треугольника
равны а, Ь, с. Доказать, что
а 1 b 1 с
(следствие из теоремы Жергона).
195. Внутри треугольника ЛВС взята точка О. Прямые АО, ВО, СО пересекают
стороны ВС, СА и АВ соответственно в точках Р, Q, R. Доказать, что
AR BP CQ
RB ' PC ’ QA ~ Ь
Сформулировать и доказать обратную теорему
196. Доказать, что
Ra /4Я2 —а2 Rb /4/?2 —62 4- Rc /4Я2 —с2 = abc,
где а, Ь, с — стороны треугольника, a R— радиус описанного круга.
197. Из точки М, взятой внутри прямоугольного треугольника АВС, проведены
перпендикуляры Л1Х, AIY и MZ соответственно на гипотенузу АВ и на
катеты ВС и АС. Доказать, что ааг -\-bbi 4~ ~ £2» где аг = BY, Br = CZ,
(^ — АХ, а с — длина гипотенузы.
198. В плоскости равностороннего треугольника со стороной а дана точка,
расстояния которой до вершин треугольника равны т, п и р. Доказать,
что
а4 /п4 + п4 4~ Р4 = сРт? 4- 4~ #2Р2 4~ т2п2 4~ п2Р2 4~ Р2^2-
199. Все углы треугольника АВС разделены на три равные части прямыми I,
I'; nt, tn' и п, п'. Точки пересечения прямых /' и tn; tn' и п; п' и I
обозначим соответственно через Р, Q и R. Доказать, что треуголь-
ник PQR правильный.
200. Доказать равенство
______ а^С
г~~~’
где dlt d2, d3 — расстояния от центра вписанной окружности (г — ее радиус)
до вершин треугольника.
201. В треугольнике АВС сторона ВС—2 АС. Доказать, что медиана AD этого
треугольника делит пополам угол между стороной АВ и медианой АЕ
треугольника ADC.
202. Доказать, что если стороны треугольника пересечь прямой, то произведе-
ние всех отрезков сторон, не имеющих общих концов, равно произведению
остальных отрезков (теорема Карно).
203. Доказать, что прямая, проходящая через основания перпендикуляров, опу-
щенных из ортоцентра треугольника АВС на биссектрисы угла А, делит ВС
пополам.
204. В треугольниках АВС и А'В'С' сумма углов А и А' равна 180°, а углы В
и В' равны. Доказать, что аа' = bb'-}-cc'.
205. Доказать, что если один из углов прямоугольного треугольника равен 15°,
то произведение катетов равно квадрату половины гипотенузы.
206. В серединах Е и F сторон АВ и АС треугольника АВС восставлены пер-
пендикуляры
во внешнюю сторону треугольника. Доказать, что DP = DM, если D —
середина стороны ВС.
202 Планиметрия. Гл. XVII. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
207. Доказать для треугольника соотношение
(Ь + с) /4Я2 —а2 + (с 4- а) /4Я2—&2 -f- (a -f- b) ]/4Я2 —с2 = 4pR.
208. Доказать, что если стороны треугольника выражаются тремя последова-
тельными целыми числами, то между радиусами описанного и вписанного
кругов существует соотношение
209. В окружность (О) вписан правильный треугольник AtA2A3. Окружность (О')
касается окружности (О). Отрезки касательных, проведенных из вершин
треугольника к окружности (О'), равны alt а2, а3. Доказать, что эти
отрезки удовлетворяют соотношению
= 2 Ш + а*а*).
210. На прямой даны три равных отрезка: АВ = CD ~ ВС. Через точку S,
не лежащую на данной прямой, проведены прямые ЯЛ, SB, SC, SD.
Произвольная прямая, не проходящая через Я, пересекает эти прямые
в точках Вр Ср Dt. Доказать, что
AAi . DDX _ ВВг . СС1
AyS DyS ~ BrS CiS *
211. На стороне АС треугольника АВС взята точка D. Через точки Л, В, D и
В, С, D проведены окружности. Доказать, что диаметры этих окружностей
пропорциональны тем сторонам треугольника, которые для них являются
хордами.
212. Доказать, что если из произвольной точки, взятой внутри треугольника АВС,
опустить перпендикуляры на его стороны: OP | AC, ON | ВС и ОМ _|_ ЛВ,
то отрезки, на которые основания перпендикуляров делят стороны: АР = и,
PC = v, CN ~ t, NB — z, ВМ — у, AM = х, находятся в следующей
зависимости:
b (и — г>) + л (/ — z) 4- с (у — х) = 0.
213. Доказать геометрически, что если в треугольнике две биссектрисы вну-
тренних углов равны, то он равнобедренный.
214. Доказать, что середины сторон треугольника, основания высот и середины
отрезков высот, заключенных между каждой из вершин и точкой пересе-
чения высот, представляют собой девять точек, лежащих на одной окруж-
ности (окружность Эйлера), центр которой лежит на середине отрезка,
соединяющего точку пересечения высот данного треугольника с центром
описанного круга и радиус которой равен половине радиуса описанного
круга.
215. На сторонах АВ и АС треугольника отложим в противоположных напра-
влениях два равных отрезка: BD = CE. Доказать, что отрезок DE делится
стороной ВС в отношении, обратном отношению сторон АВ и АС.
216. Внутри треугольника АВС взята произвольная точка О. Пусть Р, Q и /? —
точки, в которых прямые АО, ВО и СО пересекают соответственно сто-
роны ВС, СА и АВ. На продолжении сторон ВС, СА и АВ взяты точки
Р', Q', R' такие, что
ЯР _ BP' CQ _ CQ' AR _ ARr
PC Р'С 9 QA Q'A 9 RB ~ R'B '
Доказать, что точки P', Q', P' лежат на одной прямой.
217. Доказать, что точка М пересечения медиан треугольника, центр О опи-
санного круга и точка Н пересечения высот лежат на одной прямой (прямая
Эйлера), причем
0М'.МН=\ : 2.
§ L ТРЕУГОЛЬНИК
203
218. Пусть АА,, ВВ,, СС,— высоты треугольника ABC, a H— точка их пере-
сечения. Доказать, что
АН • НА, = ВН • НВ, = СН • НС,.
219. Доказать, что если прямые АА', ВВ' и СС', проходящие через соответ-
ственные вершины треугольников АВС и А'В'С', проходят через одну точку,
то точки Р, Q, R пересечения соответствен-
ных сторон этих треугольников
ВС и В'С', СА и С'А', АВ и А'В'
лежат на одной прямой (черт. 56) (теорема
Дезарга).
Указание. Спроектировать из точки данную
конфигурацию в другую плоскость так, чтобы
прямые АВ и А'В', а также АС и Д'С'спро-
ектировались в две параллельные прямые.
Тогда и прямые ВС и В'С' спроектируются
в две параллельные прямые.
220. Сформулировать и доказать теорему, обрат-
ную теореме, сформулированной в предыду-
щей задаче.
221. Проведем две прямые, пересекающие стороны
треугольника АВС в точках А,, B,t С, и
А2, В2, С2. Проведем прямые А,В2, В,С2,
С,А2 и назовем точки их пересечения соот-
ветственно со сторонами АВ, ВС и С А тре-
угольника через С,2, А,2, В,2. Доказать, что
прямой. Проведем прямые А2В,, В2С,, С2А, и обозначим через С2„ Л21, В21
точки их пересечения соответственно со сторонами АВ, ВС и СА. Дока-
зать, что точки С21, Л21, В21 также лежат на одной прямой.
222. Доказать, что для всякого треугольника АВС справедливо соотношение
(2s)2 = hahbAH • НВ + hbhcBH . НС 4- hchaCH • НА,
где s — площадь треугольника ABC, ha, hb и hc — его высоты, а Н—
точка пересечения высот.
223. Доказать, что прямые, соединяющие середины сторон треугольника с сере-
динами соответствующих высот, пересекаются в одной точке.
224. В треугольнике АВС проведены прямые АА,, ВВ, и СС„ пересекающиеся
в одной точке О, (точка А, лежит на стороне ВС и т. д.) Кроме.того,
проведены прямые ВВ2, АА2 и СС2, также пересекающиеся в одной
точке О2. Проведем следующие прямые:
через точку пересечения прямых ВВ, и СС2 —прямую ЛЛ12;
то же СС, и АА2 — прямую ВВ,2;
» » АА2 и ВВ, — прямую СС2,;
» » ВВ2 и СС, — прямую А421;
» » СС2 и АА, — прямую ВВ21;
» » АА, и ВВ2— прямую СС,2
(точки С,2 и С2, лежат на АВ, точки Л12 и Л21 лежат на ВС, точки В,2
и В21 лежат на АС). Доказать, что прямые ДЛ12, ВВ,2, СС,2 проходят
через одну точку. Доказать, что прямые АА21» ^21 • ^21 также проходят
через одну точку.
226. Доказать, что если высоты треугольника АВС пересекаются (при продол-
жении) с описанной окружностью в точках А', В', С', то точки пересе-
чения прямых А'В', В'С' и С'А' со сторонами АВ9 ВС и СА лежат на
одной прямой (теорема Брокара).
204 Планиметрия. Гл. XVII. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
226. Доказать, что если длины сторон треугольника образуют арифметическую
прогрессию, то центр тяжести треугольника и центр круга, вписанного
в него, находятся на прямой, параллельной средней (по величине) стороне
(теорема Лезана).
227. Доказать, что если соединить вершины треугольника АВС с произвольной
точкой М описанной < окружности и обозначить через Д', В', С' точки
пересечения сторон ВС, СА и АВ с прямыми AM, ВМ и СМ, то орто-
центр треугольника А'В'С' совпадает с центром круга, описанного вокруг
треугольника АВС (теорема Брокара).
228. Доказать, что треугольник, образованный основаниями биссектрис дан-
ного треугольника, будет прямоугольным тогда и только тогда, когда один
из углов данного треугольника равен 120°.
229. Доказать, что если Н— ортоцентр треугольника АВС, то треугольники
АВС, АНВ, ВНС и СНА имеют общую окружность (О9) Эйлера
(Гамильтон).
230. Доказать, что во всякий треугольник можно вписать два таких треуголь-
ника, стороны которых параллельны биссектрисам углов данного треуголь-
ника. Доказать, что оба эти треугольника имеют общую окружность
Эйлера.
231. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных на стороны тре-
угольника из какой-либо точки описанной окружности, лежат на одной
прямой (прямая Симпсона).
232. Доказать, что отрезок, соединяющий ортоцентр треугольника с какой-либо
точкой описанной окружности, делится пополам прямой Симпсона, соот-
ветствующей этой точке.
233. Доказать, что прямые Симпсона, соответствующие концам диаметра круга,
описанного около треугольника, взаимно перпендикулярны и пересекаются
на окружности Эйлера.
234. Стороны треугольника неограниченно уменьшаются. Справедливо ли утвер-
ждение, что при этом радиус описанного вокруг этого треугольника круга
также будет неограниченно уменьшаться?
235. Может ли быть правильным треугольник, расстояния вершин которого
от двух данных взаимно перпендикулярных прямых выражаются целыми
числами?
236. Существует ли треугольник, длины сторон которого выражаются тремя
последовательными целыми числами, наибольший внутренний, угол которого
в два раза больше наименьшего внутреннего угла этого треугольника?
237. Доказать, что для всякого прямоугольного треугольника имеет место соот-
ношение
f = ZJ 4~ G»
где Z — произвольный линейный элемент данного треугольника, a lt и Z2 —
сходственные элементы треугольников, на которые разбивает его высота,
опущенная на гипотенузу.
238. Из основания высоты прямоугольного треугольника под углом 45° к гипо-
тенузе проведены две прямые до пересечения с катетами. Доказать, что
отрезок, соединяющий точки пересечения этих прямых с катетами, равен
биссектрисе, проведенной из вершины прямого угла данного треуголь-
ника.
239. Доказать, что если стороны треугольника АВС связаны соотношением
Z?24“C2 = 5a2, то медианы, выходящие из вершин В и С, взаимно пер-
пендикулярны.
240. На отрезке MN, соединяющем основания внутренних биссектрис AM и BN
треугольника АВС, взята произвольная точка Р, из которой опущены
перпендикуляры PD, PC и PF соответственно на стороны ВС, СА и АВ
треугольника. Доказать, что PF — PD -\-РЕ.
§ 2. МНОГОУГОЛЬНИКИ
205
§ 2. Многоугольники
1. Доказать, что сумма квадратов диагоналей четырехугольника равна удвоен-
ной сумме квадратов отрезков, соединяющих середины противоположных
сторон.
2. Доказать, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов
непараллельных сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.
3. Диагонали АС и BD вписанного в круг четырехугольника ABCD пересе-
каются в точке Е. Доказать, что
АВ • ВС _ BE
ADCD~ ED'
4. Отрезки AB и CD пересекаются при их продолжении в точке 2W.
Доказать, что если AM • ВМ — МС • MD, то вокруг четырехугольника ABCD
можно описать окружность.
5. Доказать, что если вокруг четырехугольника можно описать окружность и
в него можно вписать окружность, то его площадь равна корню квадрат-
ному из произведения его сторон.
6. Внутри равнобедренной трапеции ABCD дана произвольная точка М. До-
казать, что из отрезков МА, МС, MB, MD можно построить четырех-
угольник.
7. В параллелограмме проведены биссектрисы углов между диагоналями. До-
казать, что точки пересечения биссектрис со сторонами параллелограмма
суть вершины некоторого ромба.
8. Доказать, что при пересечении биссектрис внутренних углов параллело-
грамма получается прямоугольник, диагонали которого равны разности двух
смежных сторон параллелограмма.
9. Доказать, что из всех четырехугольников с данными сторонами наибольшую
• площадь имеет четырехугольник, вокруг которого можно описать окруж-
ность.
10. Доказать, что прямая, соединяющая точки пересечения непараллельных сто-
рон трапеции и ее диагоналей, делит основания трапеции пополам.
11. На сторонах выпуклого четырехугольника построены подобные равнобед-
ренные треугольники так, что третьи вершины двух из них (противополож-
ных друг другу) находятся вне четырехугольника, а двух других — внутри
него. Доказать, что эти четыре вершины служат вершинами параллело-
грамма.
12. Доказать, что произведение длин перпендикуляров, опущенных из какой-
нибудь точки окружности на две противоположные стороны вписанного
в нее четырехугольника, равно произведению длин перпендикуляров, опу-
щенных из той же точки на две другие стороны этого четырехуголь-
ника.
13. Доказать, что из всех четырехугольников с данными диагоналями а и b и
данным углом а между ними наименьший периметр имеет параллело-
грамм.
14. Доказать, что для четырехугольника ABCD соотношение АВ2 • ОС • ODAr
4- ВС2 • ОА • OD + CD2 • ОА • OB^-AD2 >OB-OC = AC-BD (QB . OD +
4-ОЛ • ОС), где О — точка пересечения диагоналей.
15. Через вершину А параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая
диагональ BD и стороны ВС и CD соответственно в точках Е, F и К.
Доказать, что
AE2 — EF-EK.
16. На сторонах квадрата ABCD от его вершин отложены отрезки AAt =
—BB1 = CC1 = DD1 = х. Доказать, что A^Bfifi^ — квадрат. При каком
значении х сторона квадрата A'BXADx будет наименьшей?
206
Планиметрия. Гл. XVIL ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
17. Пусть OP, OQ, PM, PM', QM, QM'— шесть твердых стержней, соеди-
ненных друг с другом с помощью шарниров, причем точка О неподвижна.
Доказать, что если точка М описывает окружность, проходящую через
точку О, то точка М' описывает прямую линию (инверсор Понселе; (черт. 57).
18. Доказать, что сумма площадей параллело-
граммов, построенных на двух сторонах
треугольника, равна площади параллело-
грамма, построенного на третьей стороне
треугольника так, что его вторая сторона
равна и параллельна отрезку, соединяю-
щему общую вершину двух первых парал-
лелограммов с точкой пересечения продол-
жений их сторон, не имеющих общих точек
со сторонами треугольника.
19. Доказать, что если на сторонах четырех-
угольника построить квадраты, то центры
этих квадратов образуют четырехугольник,
диагонали которого равны и взаимно-пер-
пендикулярны.
20. Доказать, что если четырехугольник, длины сторон которого a, b, с, d,
вписан в окружность радиуса R, то ad (а ]Л4/?2 — d2 -f- d ]Л4/?2 — а2)4~
+ be (b /4/?2 —С2 + с VR2 — №) = ab {a VW-P + b УМФ — а?) +
4- Cd (С J2_|_dy4^2_c2).
21. Дан четырехугольник ABCD, в который можно вписать окружность и вокруг
которого можно описать окружность. Доказать, что сумма расстояний
центра описанной окружности от сторон четырехугольника равна сумме ра-
диусов окружностей, описанных около треугольников АМВ, ВМС, CMD,
DMA, где М — точка пересечения диагоналей четырехугольника.
22. Середины сторон АВ и CD, ВС и DE выпуклого пятиугольника соединены
отрезками. Середины полученных отрезков вновь соединены. Доказать, что
отрезок, их соединяющий, параллелен отрезку АЕ и равен i АЕ.
£
23. Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллель-
ная основаниям. Доказать, что отрезок прямой между непараллельными
сторонами точкой пересечения диагоналей делится пополам.
24. Доказать, что вершины подобных равнобедренных треугольников, построен-
ных на сторонах четырехугольника с перпендикулярными диагоналями,
служат вершинами четырехугольника с равными диагоналями (Нейберг).
25. Доказать, что сумма квадратов сторон четырехугольника равна сумме квад-
ратов его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между
серединами диагоналей (Эйлер).
26. Через точку В, в которой пересекаются две противоположные стороны че-
тырехугольника, вписанного в окружность, проведена к окружности каса-
тельная ВТ(Т—точка касания). Доказать, что если одна диагональ четы-
рехугольника параллельна касательной, то другая диагональ делит отрезок
ВТ пополам.
27. Доказать, что если в выпуклом четырехугольнике отрезок, соединяющий
середины двух противоположных сторон, равен полусумме двух других
сторон, то эти последние стороны параллельны.
28. Доказать, что если в произвольном четырехугольнике ABCD провести внут-
ренние биссектрисы, то четыре точки пересечения биссектрис углов А и С
с биссектрисами углов В и D лежат на окружности.
29. Доказать, что диагонали четырехугольника взаимно-перпендикулярны, если
его последовательные стороны a, b, с, d удовлетворяют соотношению с2—
— d2 = b2 — a2 (b>a, c>d).
§ 2. МНОГОУГОЛЬНИКИ
207
30. Доказать, что прямые, соединяющие последовательно центры квадратов,
построенных на сторонах параллелограмма и примыкающих к нему извне,
образуют также квадрат.
31. Доказать, что разность между суммой квадратов расстояний произвольной
точки плоскости до двух противоположных вершин параллелограмма и сум-
мой квадратов расстояний от той же точки до двух других вершин есть
величина постоянная.
32. ABCD — параллелограмм. Пусть I и т лучи, выходящие из вершины А и
идущие по его сторонам AD и АВ, а п — луч, выходящий из вершины А
и идущий по диагонали АС. Пусть Р, Q, R— точки, в которых произ-
вольная прямая пересекает лучи /, т и п. Доказать, что
AD . АВ _АС
АР' AQ~ AR'
33. Доказать, что если диагонали четырехугольника равны между собой, то
биссектрисы углов между ними параллельны прямым, проходящим через
середины противоположных сторон.
34. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Пусть г2, г3, г4 — соответственно
радиусы окружностей, вписанных в ломаные DABC, ABCD, BCDA и
CDAB.
Доказать, что
АВ . CD ВС , AD
36. Доказать, что для четырехугольника, который одновременно может быть
вписан в окружность и описан вокруг нее, справедливо соотношение
__!______L J.__ = _L
(/?4-d)2 —dp г*'
где г и R — радиусы вписанной и описанной окружностей, a d — расстоя-
ние между их центрами.
36. Доказать, что если в квадрат вписать прямоугольник с неравными сторо-
нами, то диагонали квадрата будут служить его осями симметрии (на каж-
дой стороне квадрата лежит одна вершина прямоугольника).
37. Дана трапеция ABCD. Доказать, что имеют место соотношения
ЛО ОС _ О В • OD OAOD — OB- ОС
~АС* BD* И — ВС* ’
где О — точка пересечения диагоналей трапеции.
38. Доказать, что прямые, соединяющие середины диагоналей каждого из пяти
четырехугольников, составленных пятью прямыми, пересекаются в одной
точке.
39. Доказать, что прямые, соединяющие каждую из вершин четырехугольника
с центром тяжести треугольника, образованного тремя остальными верши-
нами, пересекаются в одной точке.
40. Через середину каждой диагонали четырехугольника проведена прямая, па-
раллельная другой диагонали; точка пересечения этих прямых соединена
с серединами сторон четырехугольника. Показать, что последними четырьмя
прямыми данный четырехугольник разбивается на четыре равновеликие части.
41. Доказать, что всякий четырехугольник, не являющийся параллелограммом,
можно спроектировать (из точки) в квадрат.
42. В треугольнике из основания каждой высоты опущены перпендикуляры на
две другие стороны, Доказать, что:
а) основания этих перпендикуляров являются вершинами шестиугольника,
три из сторон которого параллельны сторонам треугольника;
б) вокруг этого шестиугольника можно описать окружность.
208
Планиметрия. Гл. XVII. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
43. Даны треугольники АВС и DEF, а также точка О. Берется любая точка. X
в треугольнике АВС и любая точка Y в треугольнике DEF. Треуголь-
ник OXY достраивается до параллелограмма OXYZ. Доказать, что все
полученные таким образом точки образуют многоугольник. Сколько сторон
он имеет? Доказать, что его периметр равен сумме периметров исходных
треугольников.
44. В произвольном шестиугольнике соединены, через одну, середины сторон.
Доказать, что точки пересечения медиан двух образовавшихся треугольни-
ков совпадают.
45. Дан выпуклый многоугольник. Внутри взята произвольная точка М. Из
точки М опускаются перпендикуляры на стороны многоугольника или на
их продолжение. Доказать, что по крайней мере один перпендикуляр пере-
сечет сторону многоугольника, а не ее продолжение.
46. Доказать, что к квадрату нельзя приложить более 8 не налегающих друг
на друга квадратов такого же размера.
47. Доказать, что если у шестиугольника противоположные стороны парал-
единяющие противоположные вершины, равны,
то вокруг него можно описать окруж-
ность.
48. А, В, С, D — четыре последовательные
вершины правильного семиугольника.
Доказать, что
_L = _L . J_
АВ AD'
49. Через произвольные точки L и U прове-
дены прямые: 1, 3, 5 через точку L и
2, 4, 6 через точку Доказать, что три
прямые, каждая из которых проходит че-
рез пару точек:
16 и 34,
56 и 32,
54 и 12,
проходят через одну точку.
Замечание. 15, 32, 56 и т. д.—точки,
в которых пересекаются прямые 1 и 6; 3
и 2; 5 и 6 и т. д. Каждая из прямых
1, 2, 3, 4, 5, 6 предполагается отличной
от прямой LU (черт. 58).
50. Из каждой вершины квадрата как из центра проведена окружность радиуса,
равного стороне квадрата. Доказать, что фигура, полученная в пересече-
нии четырех кругов, может вращаться внутри треугольника так, что все
время каждая из сторон треугольника будет иметь одну общую точку с пе-
риметром фигуры.
§ 3. Окружность
1. Доказать, что расстояние любой точки окружности от какой-либо ее
хорды есть среднее пропорциональное между расстояниями этой точки от
касательных к кругу в концах взятой хорды.
2. Доказать, что произведение расстояний какой-либо точки окружности, опи-
санной вокруг треугольника до его-сторон, равно произведению расстояний
этой же точки до касательных, проведенных в вершинах этого треугольника.
3. Доказать, что четыре окружности, описанные вокруг четырехугольников,
образованных четырьмя прямыми, имеют общую точку.
§ 3. ОКРУЖНОСТЬ
209
4. Доказать, что расстояния от любой окружности, описанной вокруг правиль-
ного треугольника, до одной из его вершин равно сумме расстояний этой
точки до двух других вершин.
5» Доказать, что точка G пересечения медиан треугольника, центр О' вписан-
ной окружности и центр О" окружности, вписанной в треугольник, верши-
нами которого служат середины сторон данного, лежат на одной прямой.
6. МА и МВ — две касательные к окружности (Л и В — точки касания),
ВС — диаметр, AD — перпендикуляр к диаметру. Доказать, что прямая СМ
делит отрезок AD в точке Е пополам.
7. Центр О данной окружности соединен с точкой С, произвольно взятой на
данной хорде АВ, Доказать, что
ОС24-ЛС. BC = R2.
8. На продолжении общей хорды двух пересекающихся окружностей взята
точка и из нее проведены касательные к обеим окружностям. Доказать,
что части касательных от их общей точки до точек касания равны.
9. Из данной точки М, лежащей вне окружности с центром О, проведена
секущая МАВ, Доказать, что
МО2 — МВ • МА = R2.
10. Доказать, что если R и г — соответственно радиусы описанной и вписан-
ной в треугольник АВС окружности, то имеет место соотношение
ОА-ОВ- ОС = 4Яг2,
где О — центр вписанной в треугольник окружности.
11. Даны круг и касательная к нему АР в точке А. Проведены диаметр АВ и
хорды ВС и BD по одну сторону от диаметра АВ, В точках С и D про-
ведены касательные к кругу; пусть Е— точка их пересечения. Хорды ВС
и BD продолжены до пересечения с АР в точках М и Н, Доказать, что
медиана стороны МН треугольника ВМН проходит через точку Е.
12. На касательной к окружности даны точки В и С, симметрично располо-
женные относительно точки касания А. Через эти точки проведены две
произвольные секущие, из которых одна встречает окружность в точках М
и W, а другая — в точках Р и Q. Доказать, что прямые и PN пере-
секают касательную в' точках Е и F, симметрично расположенных относи-
тельно точки А,
13. В круг вписаны трапеция, основанием которой служит диаметр, и равно-
бедренный треугольник, стороны которого параллельны сторонам трапеции.
Доказать, что треугольник и трапеция равновелики.
14. Из точки К, делящей пополам дугу окружности, стягиваемую хордой АВ, про-
ведены хорды, пересекающие хорду АВ. Доказать, что произведение каж-
дой такой хорды на ее отрезок от точки К до точки пересечения с хор-
дой АВ равно квадрату хорды АК, стягивающей половину дуги АКВ,
15. Доказать, что если через одну из точек пересечения двух окружностей
провести диаметр в каждой окружности, то прямая, соединяющая другие
концы этих диаметров, пройдет через вторую точку пересечения тех же
окружностей.
16. Внутри окружности с центром дана точка О. Через нее проведены диа-
метр OOt и перпендикулярная к нему хорда QK* Если теперь через точку О
провести произвольные хорды АВ и CD и соединить их концы, то хорды
АС и BD отсекут на СК отрезки OF и ОЕ, равные между собой.
17. В четырехугольник можно вписать окружность радиуса г и описать вокруг
него окружность радиуса R. Доказать, что
(Я2 — d2)2 = 2г2 (/?2 + ^2),
где d — расстояние между центрами окружностей,
14 П. С. Моденов
210
Планиметрия. Гл. XVII. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
18. На окружности, описанной вокруг треугольника АВС, выберем произволь-
ную точку М. Обозначим через МА, МВ и МС расстояния от точки М до
вершин А, В и С, а через MD, ME и MF— расстояния от точки М до
сторон ВС, СА и АВ, Доказать, что
МА • MD — МВ • МЕ = МС • MF,
19. Доказать, что радиус окружности, описанной вокруг треугольника,, в 2 раза
больше радиуса окружности, проходящей через основания высот этого тре-
угольника.
20. Доказать, что прямая, соединяющая середины диагоналей описанного четы-
рехугольника, проходит через центр вписанного круга (Ньютон).
21. Доказать, что сумма квадратов расстояний от двух точек, расположенных
на диаметре на одинаковом расстоянии от центра до любой точки окруж-
ности, есть величина постоянная.
22. Доказать, что геометрическое место точек, расстояния которых до данных
точек А и В находятся в данном отношении—^ 1, есть окружность с цент-
ром на прямой АВ. Выразить через АВ диаметр этой окружности. Иссле-
довать также случай p — q.
23. Три окружности с центрами Ох, О2 и О3 проходят через одну точку О.
Другие точки пересечения окружностей (OJ и (О2); (О2) и (О3); (О3) и (GJ
соответственно — А, В и С. Из произвольной точки М окружности (OJ прове-
дены секущие МАР и MCQ [Р и Q — точки соответственно на (О2) и (О3)].
Доказать, что точки Р, В и Q лежат на одной прямой.
24. Доказать, что точка О пересечения медиан треугольника, центр О' вписан-
ной окружности и точка пересечения прямых, соединяющих вершины тре-
угольника А, В, С с точками прикосновения к сторонам ВС, СА и АВ
окружностей (Оа), (О^), (Ое), лежат на одной прямой.
25. Доказать, что если из концов диаметра круга провести две пересекающиеся
хорды, то сумма произведений каждой хорды на ее отрезок от концов
диаметра до точки пересечения есть величина постоянная.
26. Из точки С, лежащей на диаметре АВ окружности, проведены касательные
СР и CQ. Пусть D — точка пересечения PQ и АВ, а Н—середина CD.
Доказать, что
СН2 = НА- НВ.
27. Из точки вне окружности проведены две касательные, и точки касания со-
единены. Доказать, что расстояние от любой точки окружности до этой
хорды есть среднее пропорциональное между расстояниями от этой точки
до касательных.
28. Точка С лежит вне окружности. Пусть С АВ — произвольная секущая, a D —
такая точка этой секущей, что АС : СВ = AD : DB. Доказать, что геоме-
трическое место точек D есть отрезок PQ (см. № 26).
29. Из точки М, взятой внутри угла А на окружности, описанной вокруг тре-
угольника АВС, проведены перпендикуляры к сторонам треугольника. Длины
этих перпендикуляров ра, рь и рс. Доказать, что
• а________ ___। с
Ра~ Pl> Рс'
30. Из произвольно взятой точки диаметра окружности проведены два отрезка.
Один отрезок проведен перпендикулярно диаметру до пересечения с окруж-
ностью, другой соединяет взятую на диаметре точку с серединой полу-
окружности. Доказать, что сумма квадратов этих отрезков равна удвоенному
квадрату радиуса.
§ 3. ОКРУЖНОСТЬ
211
31. АВ и CD — две пересекающиеся в точке Е хорды окружности, центр ко-
торой О, F— середина хорды АВ. Доказать: 1) что FE* СЕ • DE = AF2;
2) что если хорда CD пересекает хорду АВ под углом 45° и проходит
через центр, то AF2 -~(~EF2 = /?2, где R— радиус окружности.
32. Из точки С окружности на хорду АВ опущен перпендикуляр CD. Из кон-
цов хорды опущены перпендикуляры АЕ и BF на касательную к окруж-
ности в точке С. Доказать, что
CD2 = AE-BF.
Доказать, что если на плоскости заданы три окружности: Ср С2, С3, из
которых ни одна не лежит внутри другой, то две точки, в которых пере-
34.
35.
36.
37.
секаются внутренние касательные к окруж-
ностям С2 и к окружностям Сх и С3
лежат на одной прямой с точкой, в кото-
рой пересекаются внешние касательные
к окружностям С2 и С3 (черт. 59).
Доказать, что сумма квадратов длин хорд,
соединяющих произвольную точку окруж-
ности радиуса R = 1 с вершинами пра-
вильного вписанного в эту окружность
пятиугольника, равна 10.
Пусть В и D — точки, лежащие на дуге АС,
представляющей собою четверть некоторой
окружности, причем АВ —DC. Доказать,
что если из этих точек опустить перпенди-
куляры BE и DF на радиус ОС, то полу-
ченная криволинейная трапеция BEFD,
ограниченная прямыми линиями и дугой
окружности, равновелика сектору 0BD.
Дан круг радиуса R. Доказать, что в плоскости этого круга можно начер-
D
тить 7 кругов радиуса так, чтобы каждая точка данного круга принадле-
жала, по крайней мере, одному из семи кругов.
Доказать соотношение
где d — диаметр круга, ап и Ьп — стороны правильных вписанного и опи-
санного п-угольников.
38. Даны окружность и точка вне ее. Из этой точки мы совершаем путь по
замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окруж-
ности, а заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым
мы приближались к центру окружности, берем со знаком (плюс), а уча-
стки пути, по которым мы удалялись от центра, — со знаком — (минус).
Доказать, что для любого такого пути алгебраическая сумма длин участков
пути, взятых с указанными знаками, равна нулю.
39. Дан ряд концентрических окружностей с радиусами Гр r2, r3, ..., rn.......
причем площадь любого кругового кольца, заключенного между двумя со-
седними окружностями радиусов rk и rk+l, равна площади внутреннего
круга, радиус которого rt. Доказать, что наибольшая хорда, целиком ле-
жащая внутри любого такого кругового кольца, равна диаметру внутрен-
него круга 2гр
40. Даны окружности Ор О2, О3, проходящие через одну точку О. Вторые
точки пересечения с О2, О2 с О3 и О3 с Ох обозначим соответственно
через Др А2 и Д3. На Ot берем произвольную точку Bt. Если Bt не со-
впадает с Др то проводим через и Дх прямую до второго пересечения
с О2 в точке В2. Если В2 не совпадает с Д2, то проводим через В2 и Д2
14*
212
Планиметрия. Гл. XVII. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
прямую до второго пересечения с О3 в точке В3. Если В3 не совпадает
с Л3, то проводим через В3 и А3 прямую до второго пересечения с С\
в точке В4. Доказать, что В4 совпадает с
41. Дано п окружностей: О2, •••» Оп, проходящих через одну точку О.
Вторые точки пересечения с О2, О2 с О3, .. ., Оп с Ог обозначим соот-
ветственно через Alt Л2, Ап. На Ох берем произвольную точку
Если Вх не совпадает с Alt то проводим через Bt и At прямую до второго
пересечения с О2 в точке В2. Если В2 не совпадает с Л2, то проводим
через В2 и А2 прямую до второго пересечения с О3 в точке В3. Продол-
жая таким же образом, мы получим точку Вп на окружности Оп. Если Оп
не совпадает с Лл, то проводим через Вп и Ап прямую до второго пере-
сечения с Ох в точке Вп+1. Доказать, что Вп+1 совпадает с
42. Доказать, что три окружности, имеющие диаметрами три хорды четвертой
окружности, выходящие из одной ее точки, попарно пересекаются в трех
точках, лежащих на одной прямой (теорема Сальмона).
43. Доказать, что четыре окружности, касающиеся трех данных окружностей,
подобно тому, как вписанная и вневписанные окружности треугольника ка-
саются его сторон, касаются некоторой пятой окружности (теорема Гарта).
44. На каждой стороне данного треугольника во внешнюю сторону строится
равносторонний треугольник, и вокруг каждого из этих построенных тре-
угольников описывается окружность (внешние окружности Торичелли дан-
ного треугольника). Доказать, что три внешние окружности Торичелли
имеют общую точку. Доказать, что аналогичным образом построенные
внутренние окружности Торичелли также имеют общую точку.
45. Доказать, что если О2, О3 — центры окружностей, симметричных с опи-
санным кругом треугольника АВС относительно его сторон, то треуголь-
ники АВС и Ofi2O3 равны и имеют общую окружность (О9) Эйлера (тео-
рема Карно).
46. Если построить окружности /\, Г2, Г3 так, что каждая из них касается
одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон, и если
построить еще три других окружности Г', Г', Г' так, что каждая из них
касается двух из трех внешним образом, а третьей — внутренним образом,
то эти три последних круга пересекутся в одной точке Р, а прямые, соеди-
няющие эту точку Р с центрами трех первых окружностей, будут соответ-
ственно перпендикулярны трем сторонам треугольника (теорема Штейнера).
47. Доказать, что если стороны ВС, СА, АВ треугольника АВС пересекаются
окружностью в точках А', А", В', В" и С', С", то
А'В • В'С • С'А _ А" С • В"А • С"В
А'С • В'А • С'В ” А"В • В"С • С" А
(теорема Карно).
48. Доказать, что если стороны ВС, СА и АВ треугольника АВС пересекаются
окружностью в точках А', А"\ В', В” и С', С" и прямые АА', BB't СС
пересекаются в одной точке, то прямые АА”, ВВ”, ССГГ также пересека-
ются в одной точке (теорема Теркема).
49. Доказать, что если все стороны четырехугольника при продолжении касаются
одной окружности, то разность двух противоположных сторон равна раз-
ности двух других сторон (теорема Штейнера).
50. Доказать, что произведение расстояний от какой-либо точки окружности
до двух противоположных сторон вписанного четырехугольника равно произ-
ведению расстояний той же точки до двух других сторон (теорема Паппа).
51. В многоугольник вписана окружность, и точки касания последовательно
соединены. Доказать, что произведение расстояний любой точки окружности
до сторон полученного вписанного многоугольника равно произведению рас-
стояний этой точки до сторон описанного многоугольника.
Глава XVIII
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
1. Найти геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под
данным углом.
2. Найти геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний каждой
из которых до двух данных точек равна данному числу.
3. Найти геометрическое место точек, разность квадратов каждой из которых
до двух данных точек равна данному числу.
4. Найти геометрическое место точек, отношение расстояний каждой из кото-
рых до двух данных точек равно данному числу k( > 0).
5. Найти геометрическое место точек, степени каждой из которых относи-
тельно двух данных окружностей (или относительно окружности и точки)
равны.
6. Найти геометрическое место центров окружностей, делящих две данные
окружности пополам.
7. Найти геометрическое место центров окружностей, имеющих данный радиус
и пересекающих данную окружность под данным углом.
8. О — фиксированная точка данной окружности, а М — переменная точка той же
окружности. Найти геометрическое место точек ЛГ, лежащих на луче ОМ
и таких, что ОМ • ОМ' = а2, где а — данное положительное число.
9. Даны точка О и не проходящая через нее прямая /. Пусть М — произволь-
ная точка прямой /, а М'— точка луча ОМ такая, что ОМ • ОМ'— а2, где
а — данное положительное число. Найти геометрическое место точек М',
10. Пусть М — произвольная точка окружности (S) и О — точка, не лежащая
на окружности (S). Найти геометрическое место точек М', лежащих на
лучах ОМ и таких, что 0М-0М' = а2, где а — данное положительное
число.
11. Найти геометрическое место средин хорд, проходящих через данную точку,
лежащую внутри окружности.
12. В треугольнике АВС вершины В и С неподвижны, а А перемещается так,
что периметр треугольника остается постоянным. Определить геометрическое
место центров вписанных окружностей,
13. Найти геометрическое место точек, для которых разности расстояний до
двух данных прямых равны отрезку данной длины. Разобрать случай парал-
лельных и пересекающихся прямых,
14. Дан равносторонний треугольник АВС, Найти геометрическое место точек М,
для которых
МС2 = МА2-j-МВ2,
15. Отрезок ВС —а движется своими концами по сторонам угла Л; найти
геометрическое место центров окружностей, описанных около треуголь-
ника АВС,
46. Найти геометрическое место вершин прямого угла неизменяемого прямо-
угольного треугольника, если две другие его вершины скользят по двум
взаимно-перпендикулярным прямым.
17. А и В — две заданные неподвижные точки окружности, М — подвижная
точка этой же окружности. На продолжении отрезка AM в сторону, внеш-
нюю к окружности, откладывается отрезок MN = МВ, Найти геометри-
ческое место точек W.
214
Планиметрия. Гл. XVIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
18. Стороны деформирующегося многоугольника остаются соответственно парал-
лельными определенным направлениям, в то время как все вершины, кроме
одной, скользят по заданным прямым. Найти геометрическое место поло-
жений последней вершины.
19. На плоскости даны окружность S и точка А вне этой окружности. Через
точку А и произвольную точку окружности проводится прямая Пусть
С и D — точки пересечения этой прямой с окружностью S, причем АС < AD.
В точке С проводится прямая L2 I AD. Найти геометрическое место точек
и С2 пересечения прямой £2 с окружностью, построенной на AD как
на диаметре при вращении прямой £х вокруг точки А.
20. В плоскости даны треугольник АВС и две точки: М и N. Через точку N
проводится прямая d, на которой берутся две точки Р и Q так, чтобы
треугольник PA4Q был подобен треугольнику АВС. Определить геометри-
ческие места точек Р и Q, образующиеся при вращении прямой d вокруг
точки АЛ
21. Найти геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух
данных прямых равна данной величине. Разобрать случаи пересекающихся
и параллельных прямых.
22. На сторонах треугольника PQR отложены отрезки АВ, CD, EF. Внутри
этого треугольника задана точка So. Найти геометрическое место точек S,
лежащих внутри треугольника, для которых сумма площадей треугольни-
ков SAB, SCD и SEF равна сумме площадей треугольников SqAB, SqCD
и SqEF.
23. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена
секущая, вторично пересекающаяся с окружностями в точках Р и Q. Найти
геометрическое место точек, описываемое серединой М отрезка PQ, когда
секущая вращается вокруг точки А.
24. Даны окружность радиуса г и ее хорда АВ, равная 2а. Пусть CD — подвиж-
ная хорда той же окружности, имеющая постоянную длину 2Ь. Найти гео-
метрическое место точек пересечения прямых АС и BD. Найти, кроме того,
расстояние от середины хорды АВ до точки искомого геометрического
места, наиболее удаленной от середины, и до точки, наиболее близкой.
26. Даны две параллельные прямые и точка О, лежащая между ними на рас-
стоянии а от одной и b от другой. Через эту точку проводят произвольную
секущую, которая пересекает параллельные прямые в точках А и А'.
Найти геометрическое место концов перпендикуляра к секущей, проведен-
ного через точку А' и имеющего длину ОА.
26. Окружность радиуса R катится внутри окружности радиуса 2R. Какие
линии описывают точки катящейся окружности?
27. Дан неподвижный отрезок АВ = а. Квадрат APNM вращается вокруг вер-
шины Л в положительном направлении, изменяясь при этом так, что
AN2 — BM2-{~BP2.
Найти геометрические места центра / квадрата APNM, а также его вер-
шин. Определить положение квадрата, если сторона PN (или ее продол-
жение) проходит через заданную точку С. Решить те же вопросы, если
размеры квадрата изменяются так, что сумма квадратов расстояний от
точки В до четырех вершин квадрата постоянна и равна 10АВ2=10й2.
28. В плоскости дан треугольник АВС. Найти геометрическое место точек,
каждая из которых обладает тем свойством, что ее расстояние до точки А
меньше каждого из расстояний ее до точек В и С.
29. Внутри правильного треугольника определить геометрическое место точек,
обладающих тем свойством, что из перпендикуляров, опущенных из этих
точек на стороны, можно построить треугольник.
Глава XIX
ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
§ 1. Метод геометрических мест
1. Построить окружность данного радиуса, касающуюся двух данных окруж-
ностей. Исследовать.
2. Даны две концентрические окружности и еще окружность, их пересекающая.
Построить окружность, касающуюся этих трех окружностей.
3. Построить ромб так, чтобы две его противоположные вершины были в двух
данных точках, а третья лежала бы на данной окружности.
4. Построить треугольник, если даны A, hb и та.
5. Построить окружность с центром в данной точке, которая высекает из двух
данных параллельных прямых хорды, равные между собой.
6. Построить треугольник по следующим данным:
а) A, la, hc-, 3) ь, hb, ть;
б) A, la. hb-, и) та, ha, R,
в) b, та, ть. к) А, та, hb
г) а, с, hb\ л) b, hb, та;
д) a, b, hb, м) A, b, hb,
е) А, а, Ь\ н) А, г, Ь;
ж) a, R, hb\ о) А, 1а, г.
7. Построить ромб, зная его высоту и диагональ.
8. Построить окружность, касающуюся стороны ВС треугольника АВС, в дан-
ной на ней точке М так, чтобы один из ее диаметров лежал на стороне АВ.
9. Построить окружность с центром в данной точке так, чтобы стороны дан-
ного угла высекали на этой окружности хорду, параллельную данной
прямой.
10. Построить окружность, пересекающую три данные прямые под данным
углом.
11. Построить точку, из которой два данных отрезка видны под равными
углами.
12. Построить треугольник наибольшей площади, зная Айа.
13. Построить треугольник АВС, зная АС — Ь и радиусы окружностей, опи-
санных вокруг треугольников ABD и CBD, где BD — высота.
14. Через точки А и В провести две параллельные прямые, расстояние между
которыми равно а.
15. Через точку Р, лежащую внутри окружности, провести хорду, которая
в пересечении с данной хордой АВ делится пополам.
16. Через точку В, данную внутри окружности (О), провести хорду, вдвое
большую расстояния ее от центра О.
17. Через точку пересечения двух окружностей провести секущую так, чтобы
сумма или разность полученных хорд равнялась данному отрезку а.
18. Построить параллелограмм, зная основание, высоту и угол между диаго-
налями.
216
Планиметрия. Гл. XIX. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
19. Построить окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся
данной окружности.
20. Через данную точку провести две прямые, образующие между собою данный
угол и высекающие на данной прямой отрезок данной длины.
21. Построить квадрат, стороны которого проходят через 4 данные точки.
22. Найти на общей внешней касательной к двум данным окружностям точку,
из которой данные окружности видны под углами, имеющими данную сумму.
23. В данную окружность вписать треугольник с данным углом так, чтобы
сторона, противоположная этому углу, прошла через данную точку, а дру-
гая сторона — через другую данную точку.
24. В данной окружности построить хорду данной длины, которая делилась бы
пополам данной прямой.
25. Разделить данный треугольник на две равновеликие части прямой, прове-
денной через точку, лежащую на его основании.
26. Построить треугольник, зная
а) а, Л, Ь2 3 4 5— с2;
б) А?, Л, Ь2 — с2\
в) /?, Л, Ь2-\-с2.
27. Построить окружность, отрезки касательных к которой из трех данных
точек имеют данные длины.^
28. Построить треугольник, зная биссектрису угла и отрезки, на которые эта
биссектриса разбивает основание.
29. Построить точку, из которой три данные окружности видны под равными
углами.
30. На данной окружности найти точку, отрезки касательных из которой к двум
данным окружностям были бы равны между собой.
31. Через данную точку, провести окружность, пересекающую две данные окруж-
ности под прямыми углами.
32. Построить окружность, пересекающую под прямыми углами три данные
окружности, расположенные одна вне другой.
33. Построить окружность, делящую пополам одну из трех данных окружно-
стей и пересекающую две другие окружности под прямыми углами.
34. Построить окружность данного радиуса, проходящую через данную точку
и пересекающую данную окружность по хорде данной длины.
§ 2. Метод подобия
1. Построить треугольник, зная
а) А, ha, Ъ : с; ж) а, Ь, с : hc;
б) А, а, b : с; з) a-.b-.c и та-\-ть-\-тс\
в) А, a, hb: b; и) А, В, а — Ь;
г) А, hc, а: с; к) ha, та, а : с;
д) А, г, hb-.b\ л) ha, hc, та-
е) А, В, а+Ь-, м) a, Ь, тс.
2. В данный сегмент вписать квадрат.
3. Построить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся
двух данных прямых.
4. Даны две окружности и на них по точке. Построить две равные окруж-
ности, касающиеся между собой и касающиеся двух данных окружностей
в данных на них точках.
5. Построить хорду окружности, делящуюся двумя ее данными радиусами на
три равные части.
§ 4. МЕТОД СИММЕТРИИ И СПРЯМЛЕНИЯ 217
6. Построить равносторонний треугольник с данной вершиной, две другие
вершины которого лежали бы на двух данных прямых.
7. Построить равнобедренный треугольник, зная его площадь и отношение
R : г.
8. Построить вписанный четырехугольник, зная его угол, отношение, сторон,
образующих этот угол, и диагонали.
9. Разделить пополам площадь треугольника прямой, имеющей данное напра-
вление.
10. Построить окружность, проходящую через данную точку, касающуюся дан-
ной окружности и данной прямой.
11. Построить окружность, касающуюся двух данных окружностей и данной
прямой.
12. Построить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся
двух данных окружностей.
13. Построить окружность, касающуюся трех данных окружностей.
§ 3. Метод обратноети
1. В данный сектор вписать треугольник, равный данному.
2. В данный сегмент вписать треугольник, равный данному.
3. В данный полукруг вписать четырехугольник, подобный данному.
4. Построить окружность, которая была бы видна из трех данных точек под
данными углами.
5. В данный треугольник вписать треугольник, подобный данному, так, чтобы
одна из его вершин лежала в данной точке стороны данного треугольника.
§ 4. Метод симметрии и спрямления
1. На данной прямой найти такую точку, чтобы касательные, проведенные
из нее к данным окружностям, образовали с данной прямой равные утлы.
2. Построить треугольник, зная:
а) £ + а, В\ з) ha: b : R -,
б) a, b, hc-\-c\ и) А, ть, Ь-}-с;
в) b—J— с, b—и, В\ к) A, ha, 2р;
г) Л, Ь, а-\-с\ л) В, ha, 2р;
д) Л, Ь, а — с, м) s, Л, 2р : ha\
е) В, а, b — ha\ н) bt С — Л, с — а;
ж) b, ha, а-\-с; о) а = b, b-]-ct hc.
3. В данный угол вписать треугольник наименьшего периметра так, чтобы
одна из его вершин совпала с данной точкой, лежащей внутри угла.
4. Построить ромб с данной диагональю, которая лежала бы на данной пря-
мой так, чтобы другие две вершины лежали на данных двух окружностях.
5. Прямая МЫ пересекает отрезок АВ в точке С. Найти на прямой МЫ
точку, из которой отрезки АС и СВ видны под равными углами.
6. Построить четырехугольник ABCD, зная его стороны, если диагональ АС
делит угол А пополам.
7. Найти на основании равнобедренного треугольника точку, разность расстоя-
ний которой до боковых сторон треугольника равна данному отрезку.
8. Дан треугольник АВС. Найти точку X такую, чтобы вокруг четырехуголь-
ника АВСХ можно было описать окружность и чтобы в него можно -было
вписать окружность.
9. Построить ромб, зная его периметр и разность диагоналей.
10. На данной окружности найти точку, сумма расстояний которой до двух
данных прямых равна данной длине.
218
Планиметрия. Гл. XIX. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
II. Вписать в данный круг трапецию, зная ее высоту и разность оснований.
12. В данный треугольник вписать прямоугольник данного периметра.
13. В окружность вписать равнобедренный треугольник, зная сумму его высоты
и основания.
14. В данный сегмент вписать прямоугольник данного периметра.
§ 5. Метод параллельного переноса
1. Через две данные точки окружности провести две параллельные хорды, раз-
ность которых дана.
2. Построить четырехугольник, зная три его стороны и углы, прилежащие
к четвертой стороне.
3. Построить четырехугольник, зная его диагонали, две противоположные сто-
роны и угол между ними.
4. С корабля два маяка видны под известным углом. После того как корабль
в известном направлении прошел данное расстояние, они стали видны под
другим, также известным, углом. Найти построением местонахождение
корабля.
5. В окружности даны хорды АВ и CD, Построить на окружности такую
точку X что АХ и ВХ высекают на CD отрезок данной длины.
6. Построить трапецию, зная диагонали и непараллельные стороны.
7. Построить треугольник, зная:
а) В, та, тс\ з) ha, hb, та;
б) та, ть, 2-(та- тьУ и) А, та, ha;
в) та, ть, тс; к) та, ha, hb : t>;
г) ha, hc, mb; л) a, ha, £(ть, с);
д) та, тс, ha; м) A, ha, ть,
е) ha, hb, тс; н) ha, hb, 1_{Ь, та)
ж) та, тс, £ (ть, а);
8. Построить четырехугольник, зная две его диагонали, угол между ними и
две какие-либо стороны.
9. Построить трапецию, зная ее диагонали, угол между ними и одну из сторон.
10. Построить трапецию, зная ее диагонали и две параллельные стороны.
§ 6. Метод вращения
1. Построить четырехугольник, зная его стороны и зная, что вокруг него можно
описать окружность.
2. Построить четырехугольник ABCD, зная АВ, AD, £~В, ^D и зная, что
в этот четырехугольник можно вписать окружность.
3. Провести секущую данного направления, на которой две данные окружности
высекают хорды так, что их разность равна данному отрезку.
4. Даны окружность и точки Л и В. Провести к данной окружности касатель-
ную так, чтобы расстояния точки А до этой касательной и до перпендику-
ляра, проведенного из точки В к касательной, были равны между собой.
S. Построить четырехугольник, зная АВ: AD, B^D, АС, ВС и разность
углов ВАС и DAC.
в. В данный параллелограмм вписать треугольник, подобный данному.
7. В квадрат вписать равносторонний треугольник.
8. Построить треугольник, подобный данному, одна из вершин которого лежит
в данной точке, а две другие — на данных окружностях.
9. В данный прямоугольник вписать ромб с данным отношением диагоналей.
10. Даны прямые AR и BQ, Через данную точку М провести прямую MN,
пересекающую данные прямые в точках X и Y таких, что отношение АХ: BY
равно данному числу (точки А и В заданы).
§ 8. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД
219
11. На плоскости даны точки А, В, С, D. Найти точку О такую, чтобы тре-
угольники ЛОВ и COD были подобны и углы при вершине О равны между
собой.
12. Даны окружности (OJ, (О2), (О3) радиусов /?2, /?3. Построить треуголь-
ник АВС, равный треугольнику так, чтобы вершины А, В, С
лежали на данных окружностях.
13. Построить четырехугольник, зная его углы и диагонали.
14. Даны 4 луча, выходящих из одной точки. Построить параллелограмм с дан-
ными сторонами так, чтобы его вершины лежали на данных лучах.
§ 7. Метод инверсии
1. В данную окружность вписать четырехугольник, стороны которого прохо-
дили бы соответственно через четыре данные точки, лежащие вне окруж-
ности.
2. В данную окружность вписать треугольник, стороны которого проходили бы
через три данные точки, лежащие вне окружности.
3. Построить окружность, касающуюся трех данных окружностей.
4. Построить треугольник, зная
а) А, а и BD- АВ, где BD — hb,
б) Л — С, ас и hb.
б. Через две данные точки провести окружность, пересекающую данную окруж-
ность под данным углом.
6. Через данную точку провести окружность, касающуюся двух данных окруж-
ностей.
7. Три данные окружности проходят через одну точку. Построить окружность,
пересекающую их под данным углом.
8. Построить окружность, пересекающую две данные пересекающиеся окруж-
ности под данными углами и касающуюся третьей данной окружности.
9. Построить окружность, проходящую через данную точку и пересекающую
две данные окружности под данными углами.
(0. Построить окружность, пересекающую две данные окружности и данную
прямую под данными углами.
§ 8. Алгебраический метод
1. Построить окружности с центрами в данных точках, которые попарно ка-
саются друг друга.
2. Через две данные точки провести окружность так, чтобы касательная
к ней из третьей данной точки имела данную длину.
3. Построить прямую, делящую пополам и площадь, и периметр данного тре-
угольника.
4. Построить прямоугольный треугольник по данной сумме катетов и высоте,
опущенной на гипотенузу.
б. На биссектрисе угла дана точка. Через эту точку провести прямую, на ко-
торой стороны данного угла высекают отрезок данной длины.
6. Построить окружность, проходящую через две данные точки и высекаю-
щую на данной прямой отрезок данной длины.
7. В данную окружность вписать равнобедренный треугольник, зная сумму
(или разность) боковой стороны и высоты, опущенной на основание.
8. Из данной точки провести к данной окружности секущую так, чтобы она
разделилась окружностью на части, разность которых равна данному
отрезку.
9. Построить прямоугольный треугольник, зная разность (или сумму) ^его ка-
тетов и площадь.
220 Планиметрия. Гл. XIX. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
10. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и биссектрисе
острого угла.
11. Построить радиус г окружности, вписанной в треугольник, зная его пло-
щадь и периметр.
12. Через точку, лежащую внутри треугольника, провести прямую, делящую
площадь треугольника пополам.
§ 9. Сжатие, сдвиг, перспектива, гомологии
(задачи на доказательство и построение)
1. Фиксируем на плоскости произвольную прямую / (черт. 60). Пусть М —
произвольная точка плоскости, не лежащая на прямой L Проведем через
точку М прямую, перпендикулярную прямой Z, и
оМ пусть эта прямая пересечет прямую I в точке Р.
....... Возьмем на луче РМ точку М7 такую, что
РМ' ,
PM ~~kt
"М где k — некоторое данное положительное число. По-
. ставим точке М в соответствие точку М7. Наконец,
_и каждой точке Л4, лежащей на прямой /, поставим
в соответствие эту точку.
Черт. 60. Указанное соответствие, определенное для всех точек
плоскости, называется равномерным сжатием или просто
сжатием плоскости* к прямой I с коэффициентом сжатия k. Будем всегда обо-
значать точки, соответствующие точкам М, Nt Р, ... так: М7, N7, Р7, ...
Доказать, что:
а) если точки 2И. N, Р лежат на одной прямой, то соответствующие
им точки М7, N7, Р7 также лежат на одной прямой;
б) если отрезок АВ параллелен отрезку CD, то отрезок А7В7 паралле-
лен отрезку C'D7 и
АВ _ А'В'.
CD ” C'D' ’
в) если АВС—произвольный треугольник, то пл. ДД'В'С' —k • пл. Д АВС;
г) параллельные прямые после сжатия переходят в параллельные прямые;
д) можно геометрически построить точку N7, соответствующую данной
точке N, если даны Z и пара соответственных точек М и М7, причем
точка М не лежит на прямой Z; выполнить построение для случая,
когда точки Л4 и М7 лежат по одну сторону от прямой I и когда
они лежат по разные стороны от Z.
2. Фиксируем на плоскости произвольные пересекающиеся прямые I и т.
Пусть М—произвольная точка плоскости, не лежащая на прямой Z.
Проведем через точку М прямую, параллельную прямой /п, и пусть эта
прямая пересекает прямую Z в точке Р (черт. 61). Возьмем на луче РМ
точку М7 такую, что
РМ' ,
РМ ~k’
* Сжатие плоскости к прямой Z можно определить и соотношением
РМ' , / РМ'
= k вместо = k ,
рм \ рм г
где k — произвольное действительное число, не равное нулю (положительное или отри-
цательное), а Р—проекция точки М на прямую / (каждой точке М прямой Z ставим
в соответствие ее самое).
Если точка М не лежит на прямой Z, то в случае k > 0 образ М' точки М и сама
точка М лежат по одну сторон}' от прямой Z, а в случае k < 0 точки М и М' лежат
по разные стороны от прямой Z.
§ 9. СЖАТИЕ, СДВИГ, ПЕРСПЕКТИВА, ГОМОЛОГИИ 221
где k— некоторое данное положительное число*. Поставим точке М
в соответствие точку М'. Наконец, каждой точке М, лежащей на прямой Z,
поставим в соответствие эту же точку М. Указан-
ное соответствие, определенное для всех точек
плоскости, называется косым равномерным сжатием / т /
плоскости к прямой I по направлению прямой т / /
с коэффициентом сжатия к. Доказать, что косое / /
сжатие плоскости к прямой обладает свойствами / fM9
а) — г), сформулированными в предыдущей задаче. / /
Решить для косого сжатия и вопрос д) задачи № 1 ...f с । । I
этого параграфа. / ?
Доказать еще следующее свойство косого сжатия:
на плоскости существует два и только два перпенди- Черт. 61.
кулярных направления такие, что две произвольные
взаимно-перпендикулярные прямые, имеющие эти направления после косого
сжатия, останутся взаимно-перпендикулярными. Найти стороны прямоуголь-
ника, в который при этом переходит квадрат со стороной 1 (дан угол а между
прямыми I и т и коэффициент сжатия k).
3. В треугольнике FXMF2 длина стороны FXF2 равна 2с, а сумма FxM-\- MF2
равна 2а. Пусть I — прямая, перпендикулярная стороне FtF2 и проходя-
щая через середину О отрезка FXF2.
Произведем сжатие плоскости к прямой I
с коэффициентом сжатия
__
Пусть при этом сжатии точка 7И пе-
рейдет в точку М'. Найти длину отрез-
ка ОМ'.
4. Пусть К — поверхность прямого круго-
вого конуса, образующие которого не-
ограниченно продолжены в обе стороны.
Рассмотрим плоскость тс, которая не про-
ходит через вершину конуса и пересекает
все его образующие. Пусть С — линия, по
которой эта плоскость пересекает конус К.
Впишем в конус К две сферы, каждая из
которых касается конуса К' и секущей пло-
скости тс. Обозначим точки касания этих
двух сфер с плоскостью т^через Ft и F2.
Доказать, что FrM-\- F2M = const, где
М — любая точка линии С (линия С, по
которой плоскость, не проходящая через
вершину конуса К и не параллельная
ни одной из его образующих, пересекает
конус К, называется эллипсом; черт. 62).
Указать на значение этой постоянной.
Доказать, что и обратно: если точка М лежит в плоскости (тс) и если сумма
FiM-^-F^ равна этой постоянной, то точка М лежит и на конусе К, т. е.
на линии С.
* И здесь можно ограничиться лишь условием k #= 0 и указанное соотношение за-
менить следующим: ___
РМ'
__ к
РМ
(см. предыдущее подстрочное примечание).
222
Планиметрия. Гл. XIX. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
5. На плоскости даны точки Ft и F2, прямая I и отрезок АВ. Найти на
прямой I точку Ж такую, что
= АВ.
6. Доказать правильность следующего способа построения касательных к окруж-
ности, проведенных к ней из внешней точки О, с помощью линейки: через
точку О проводим три произвольные секущие: ОЛ^, ОА2В2, ОА3В3 (черт. 63).
Пусть Р — точка пересечения прямых АГВ2 и а Q— точка пересечения
прямых Л2В3 и Д3В2. Пусть 7\ и
Т2 — точки, в которых прямая PQ
пересекает окружность. Тогда О7\ и
ОТ2 — касательные, проведенные из
точки О к окружности.
Указание. Спроектировать прямым
круговым конусом данную окружность
д и точку О в другую плоскость так, чтобы
2 прямые ОЛ^, ОА2В2, ОА3В3 спроек-
тировались бы в параллельные прямые,
а окружность спроектировалась бы в
эллипс. На основании задачи № Зможно
затем произвести сжатие, при котором
Черт. 63. эллипс перейдет в окружность; парал-
лельность прямых при этом сохра-
нится.
Для окружности и трех параллельных секущих положение, указанное в ус-
ловии задачи, будет иметь место (только пучок прямых с центром в О заме-
нится пучком параллельных прямых); производя преобразования в обратном
порядке и замечая, что и при сжатии и при проектировании касательная
переходит в касательную, получим требуемое.
7. а) р и q — две пересекающиеся прямые, О — произвольная точка, не ле-
жащая ни на прямой р, ни на прямой q. Через точку О проведены се-
кущие OAiBl, ОА2В2, ОА3В3. Пусть Р — точка пересечения прямых
AtB2 и A2Blt Q — точка пересечения прямых Л2В3 и Л3В2. Доказать, что
прямая PQ проходит через точку пересечения прямых р и q.
б) Внутри треугольника АВС взята произвольная точка О. Пусть Р, Q,
R— точки, в которых прямые АО, ВО и СО пересекают соответ-
ственно стороны ВС, СА и АВ. На продолжении сторон ВС, СА
и АВ взяты точки Pf, Q', R' такие, что
BP BP' CQ CQ' AR AR'
РС = Р^^ W = W
Доказать, что точки Pf, Q', Rr лежат на одной прямой.
8. Прямая I пересекает окружность в точках А и В. Из произвольной точки
Ж прямой I, внешней по отношению к окружности, проведены две каса-
тельные ЖС и MD к этой окружности (С и D — точки касания). Доказать,
что прямая CD проходит через точку пересечения касательных к окруж-
ности в точках А и В.
9» На окружности взяты произвольные точки 1, 2, 3, 4, 5, 6. Доказать,
что точки пересечения прямых:
12 и 45,
23 и 56,
34 и 62,
лежат на одной прямой.
§ 9. СЖАТИЕ, СДВИГ, ПЕРСПЕКТИВА, ГОМОЛОГИИ 223
Указание. Спроектируем конфигурацию (черт. 64) из точки S, не лежа-
щей в этой плоскости, в другую плоскость так, чтобы данная окружность
спроектировалась в эллипс, а прямые 16 и 34 спроектировались в параллель-
ные прямые; затем произведем сжатие, при котором эллипс перейдет в окруж-
ность (черт. 65).
Тогда
10.
Д 0z5z2z оз Д 0z3z4z,
следовательно,
0'5' _ 0'3'
0'2' — 0'4' ’
Далее
Д 0z5z8z оз Д 0z2'7z,
поэтому
0'5' _ 0'8'
0'2' — 0'7' ’
следовательно,
0'3' _ 0'8'
0'4' — 0'7' ’
откуда
3'4'||8'7\
На окружности взяты произвольно 5
чек:
1, 2, 3, 4, 5.
Черт. 66.
Обозначим через I касательную к
три точки, в которых пересекаются
12 и 45,
15 и 23,
I и 34,
окружности в точке /. Доказать,
прямые:
что
лежат на одной прямой (черт. 66).
1L Доказать, что во всяком четырёхугольнике, вписанном в окружность (не
обязательно выпуклом), противоположные стороны и касательные в противо-
положных вершинах пересекаются в четырех точках, лежащих на одной
прямой (черт. 67).
Указание. Если спроектировать данную конфигурацию из точки, не
лежащей в плоскости чертежа, в другую плоскость так, чтобы касатель-
ные в противоположных вершинах перешли в параллельные прямые,
а окружность спроектировалась в эллипс, затем сжать равномерно эллипс
в окружность, то задача сведется к теореме о том, что высоты треуголь-
ника пересекаются в одной точке.
224
Планиметрия. Гл. XIX. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
12. Доказать, что если в окружность вписан треугольник /, 2, 3, то три
точки пересечения касательных к окружности в вершинах треугольника
с противоположными сторонами лежат на одной прямой (черт. 68).
Указание. Спроектировать треуголь-
ник так, чтобы прямые 2М и 71413 перешли
в параллельные прямые, а данная окруж-
ность спроектировалась бы в эллипс.
13. Доказать, что если около окружности описан шестиугольник 1, 2, 3, 4,
5, 6 (не обязательно выпуклый), то три прямые: 14; 25 и 36, проходят
через одну точку (теорема Брианшона).
Указание. Соединяя точки прикосновения, получим шестиугольник,
вписанный в окружность. Применить к этому шестиугольнику теорему Па-
скаля (№ 9) и воспользоваться результатом задачи 8.
14. Доказать, что если около окружности описан пятиугольник, то прямая,
соединяющая одну из вершин этого пятиугольника с точкой прикоснове-
ния противоположной стороны, и две диагонали, соединяющие остальные
несмежные вершины по две, проходят через одну точку.
15. Доказать, что если около окружности описан четырехугольник, то две
диагонали и две прямые, соединяющие точки прикосновения противо-
положных сторон, проходят через одну точку.
16. В треугольник вписана окружность. Доказать, что три прямые, соединяю-
щие вершины треугольника с точками прикосновения соответствующих
противоположных сторон, проходят через одну точку.
17. Сдвигом называется следующее преобразование плоскости: фиксируем на
плоскости произвольную прямую I и поставим в соответствие каждой точке М
плоскости, не лежащей на прямой Z, точку М'
такую, что отрезок ММ' параллелен прямой Z,
а длина его равна kd, где d — расстояние от точки М
до прямой/, a k — фиксированное положительное
число. Если точка М лежит на прямой Z, то такой точ-
ке мы поставим в соответствие эту самую же точку.
Наконец, если точки 714 и Р лежат по одну сто-
рону от прямой Z, то отрезки ММ' и РР' будем
предполагать направленными в одну сторону, а если
точки М и Р лежат по разные стороны от пря-
мой Z, то будем отрезки ММ' и РР' брать про-
тивоположно направленными (черт. 69).
Доказать следующие свойства сдвига:
а) если точки М, N, Р лежат на одной прямой, то соответствующие
им точки М', N', Р' также лежат на одной прямой;
б) если отрезок АВ параллелен отрезку CD, то отрезок А'В' будет
АВ А'В'
параллелен отрезку CrDr и >
§ 9. СЖАТИЕ, СДВИГ, ПЕРСПЕКТИВА, ГОМОЛОГИИ
225
в) площади фигур при сдвиге сохраняются;
г) параллельные прямые после сдвига остаются параллельными;
д) как геометрически построить точку А/', соответственную данной
точке N (даны прямая / и пара соответственных точек Л4 и А4' при
сдвиге, причем ни точка М, ни точка М' не лежат на прямой /).
18. АВС — произвольный треугольник; прямая АШЦВС (точка М лежит на
АВ, точка N лежит на АС); пусть О—точка пересечения прямых СМ
и AN. Доказать, что АО — медиана.
Указание. Произвести преобразование сдвига, принимая прямую ВС за
прямую / и поставив в соответствие точке А такую точку А', что А'В = А'С.
19. Дано изображение А'В'С' (черт. 70) центральной проекции отрезка АС и
его середины В. Как построить изображение точек, которые делят отрезок
АВ на произвольное число равных между собою частей.
Указание. Проведем через точку А' произвольный луч А'К и отложим
на нем отрезки А'Р' = Р’(У. Пусть S'— точка, в которой пересекаются пря-
мые В'Р' и C'Q'. Тогда, проектируя из точки S' точки А', Р', Q' на пря-
мую А'В'С', мы получим соответственно точки А', В', С'. Пусть S—истин-
ный центр проектирования. Произведем тогда косое сжатие к прямой А'В'С'
(в частности сдвиг), при котором точка S' перейдет в S. Тогда точки Р' и Q'
перейдут в точки Р и Q, лежащие на прямой A'PQ, и при этом в силу свойств
сжатия и сдвига А' Р = PQ. Пусть А, В, С — точки, которые были спроекти-
рованы в точки А', Bf, С'. Так как по условию АВ==ВС, то ДС|| A'Q. Если
разделить отрезок A'Q' на п равных частей, то после преобразования отре-
зок A'Q тоже разделится на п равных частей; значит, прямыми, соединяющими
точку S с точками деления отрезка A'Q, отрезок АС также разделится на п
равных частей. Тогда указанные прямые пройдут через те же точки отрезка А'С',
через которые пройдут прямые, соединяющие точку S' с точками деления
отрезка A'Q' на п равных частей. Отсюда следует, что знать положение истин-
ного центра проекции нам не нужно. Достаточно разделить отрезок A'Q' на п
равных частей и соединить точки деления с S'; указанные прямые разделят
отрезок А'С' на п неравных частей, служащих изображениями частей от-
резка АС, разделенного на п равных частей.
20. Дано изображение А, В, С, D углов шахматной доски в центральной
проекции. Дать изображение всех клеток доски.
Указание. Решается на основании предыдущей задачи. Построение данэ
на черт. 7.
21. Пусть I и т -две взаимно-перпендикулярные прямые. Произведем два сжа-
тия плоскости; к прямой I с коэффициентом сжатия k и к прямой т с коэф-
фициентом сжатия ~ . Пусть в результате этих двух преобразований
точка М перейдет в точку М'.
15 П. С. Моденов
226
Планиметрия. Гл. XIX. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
Преобразование М-+М' называется гиперболическим поворотом. Доказать,
что гиперболический поворот обладает свойствами сжатия а), б), г), сфор-
мулированными в задаче № 1.
Доказать, что при гиперболическом повороте сохраняются площади фигур.
22. Рассмотрим график обратной пропорциональности
Определим функцию / (х) следующим образом:
а) /(1) = 0;
б) если х> 1, то f (х) — положительное число, равное площади кри-
волинейной трапеции ABCD (черт. 72), вершины которой имеют
координаты
4(1, 0), В(1, 1), 1), [)(х, 0);
в) если 0 < х < 1, то f (х) — отрицательное число, равное по абсо-
лютной величине площади криволинейной трапеции с вершинами
Е(х, 0), р(х, -i), В(1, 1), 4(1, 0).
Доказать, пользуясь свойствами гиперболического поворота, что /(х) —
логарифмическая функция.
Указание. Пусть а и b — два произвольных положительных числа. Рас-
смотрим случай, когда а > 1 и b > 1. Рассмотрим гиперболический поворот,
при котором точка А (1, 0) переходит в точку А' (Ь, 0); тогда точка D(a, 0)
перейдет в точку D' (ab, 0). При указанном гиперболическом повороте криво-
линейная трапеция ABCD перейдет в криволинейную трапецию A'B'C'D', и
в силу того, что при гиперболическом повороте сохраняются площади, мы
будем иметь
пл. ABCD = nn. А'В'С'D'.
Отсюда
пл. ABCD пл. АВ В' А' — пл. ABC'Dr,
т. е.
/(«)+/
§ 9. СЖАТИЕ, СДВИГ, ПЕРСПЕКТИВА, ГОМОЛОГИИ 227
Далее легко видеть, что при а > 0 мы будем иметь
/(!) = -/(«).
Отсюда нетрудно установить, что равенство
/(д) + /(£)-/(^)
верно при любых а > О, b > 0 (далее см. С. И. Новоселов, Специальный курс
элементарной алгебры. «Советская наука», 1951 г., гл. VII — Показательная
и логарифмическая функции над полем действительных чисел, § 92 — Характе-
ристическое свойство показательной функции, стр. 474.)
23. Сжатие пространства к плоскости определяется аналогично тому, как
в задаче № 1 было Определено сжатие плоскости к прямой. Фиксируем
в пространстве плоскость тг; фиксируем положительное число k. Пусть
714 — точка пространства, не лежащая на плоскости и. Обозначим через Р
основание перпендикуляра, опущенного из точки 714 на плоскость к. Возь-
мем на луче PN1 точку 7HZ такую, что
и поставим точке 714 в соответствие точку М'. Каждой точке 714 плоско-
сти к поставим в соответствие ее самое*. Аналогично определяется косое
сжатие пространства к плоскости (лучи P7I4 выбираются все параллельными
фиксированной прямой, пересекающей плоскость т:).
Доказать, что при сжатии пространства к плоскости:
а) прямая переходит в прямую;
б) плоскость переходит в плоскость.
24. Рассмотрим множество всех прямых и плоскостей пространства, проходя-
щих через фиксированную точку О пространства (связка прямых и плоско-
стей). Фиксируем в связке плоскость тг и произведем косое сжатие про-
странства к плоскости 77 по направлению какой-нибудь прямой связки, не
лежащей в плоскости т:. Тогда каждая прямая связки перейдет в некоторую
прямую той же связки. Каждая прямая связки, лежащая в плоскости тг,
перейдет в себя. Кроме того, в себя перейдет та прямая связки, по
направлению которой производится сжатие. Будем прямые связки обозна-
чать буквами a, b, с, d, плоскости связки — буквами a, j3, у, о, ...,
соответствующие же им прямые и плоскости, в которые они перейдут после
сжатия, будем обозначать буквами a', bf, cf, df, . . . и , [Т, у', о', ...
Проведем плоскость, не проходящую через центр связки. Пусть эта пло-
скость пересечет плоскость т: по . прямой /, а прямую связки, по направле-
нию которой производится сжатие, — в точке 6*. Пусть секущая плоскость
пересечет прямые a, b, с, d, . . . и прямые a', br, cf, df,. . . в точках Л, В,
С, D, . .., А', В', С\ Dr, ... Поставим в соответствие точкам Л, В, С,
D, . . . точки А', В', С', Df, . . . Это соответствие точек в секущей пло-
скости называется гиперболической гомологией. В силу свойств сжатия
пространства к плоскости и определения гиперболической гомологии мы
можем заключить, что:
а) в гиперболической гомологии есть прямая /, каждая точка которой
переходит в себя. Эта прямая I называется ссью гомологии;
б) в гиперболической гомологии есть еще одна точка S, не лежащая
на оси гомологии Z, которая также переходит в себя. Эта точка S
называется центром гомологии.
* Соотношение (А) можно обобщить: —= k\ здесь на k ограничение: & =£ 0.
См. подстрочное примечание к стр. 220.
• 15*
228
Планиметрия. Гл. XIX. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
Доказать, что:
а) при гиперболической гомологии прямая переходит в прямую;
б) каждой точке А плоскости соответствует точка А', лежащая на
прямой SA;
в) гомология вполне задана, если заданы ее центр S, ось I и пара
соответственных точек А и А', т. е. что можно геометрически для
каждой точки В построить точку В', ей соответствующую; как вы-
полнить это построение?
г) Во что превращается гиперболическая гомология, если точка S — бес-
конечно удаленная (т. е. указанная выше секущая плоскость парал-
лельна прямой, по направлению которой производится сжа-
тие)?
д) Во что обращается гиперболическая гомология, если ось гомоло-
гии— бесконечно удаленная прямая (т. е. секущая плоскость парал-
лельна плоскости, к которой производится сжатие)?
25. Сдвиг пространства относительно плоскости по направлению прямой, парал-
лельной этой плоскости, определяется аналогично тому, как в задаче № 17
было определено преобразование сдвига плоскости относительно прямой,
а именно: фиксируем в пространстве плоскость прямую /, параллельную
этой плоскости, и фиксируем положительное число k. Пусть М — произ-
вольная точка пространства, не лежащая на плоскости к. Поставим ей
в соответствие точку М' такую, что отрезок УИЛГ параллелен прямой I
и его длина равна kd, где d — расстояние от точки Л1 до плоскости г,.
Для всех точек М, N, Р, ..., лежащих по одну сторону от плоскости тг,
будем преобразованные точки М', N', Р', ... выбирать так, чтобы напра-
вления отрезков Л1ЛГ, AW', РР', . . . были одинаковы, для точек же М
и К, лежащих по разные стороны от плоскости к, будем преобразованные
точки М( и К' выбирать так, чтобы отрезки M1W и КК' имели бы про-
тивоположные направления. Каждой точке плоскости к ставим в соответст-
вие ее самое. Доказать, что при сдвиге
а) прямая переходит в прямую;
б) плоскость переходит в плоскость.
26. Рассмотрим связку прямых и плоскостей в пространстве с центром S.
Произведем сдвиг пространства относительно какой-нибудь фиксированной
плоскости к связки по направлению какой-нибудь фиксированной пря-
мой I связки, лежащей в плоскости к. Тогда каждая прямая связки перей-
дет в прямую связки, а каждая плоскость связки перейдет в плоскость.
В этом преобразовании все прямые связки, лежащие в плоскости к, будут
неподвижны. Кроме того, если а и аг — прямая связки и ей соответствую-
щая, то прямые а, а' и I будут лежать в одной плоскости. Проводя про-
извольную секущую плоскость, не проходящую через центр S связки ана-
логично тому, как это было сделано в задаче № 24, определим преобра-
зование секущей плоскости, ставя в соответствие произвольной точке А
секущей плоскости точку А' такую, что прямая SAr получается из пря-
мой SA в результате указанного преобразования сдвига. Это преобразова-
ние секущей плоскости называется параболической гомологией. В силу свойств
сдвига пространства относительно плоскости и определения параболической
гомологии мы можем заключить, что:
а) в параболической гомологии есть прямая — ось гомологии, каждая
точка которой переходит в себя; других неподвижных точек в пара-
болической гомологии нет;
б) среди неподвижных точек параболической гомологии есть одна'
точка L (центр гомологии) такая, что если А — произвольная точка
плоскости, а А'—точка ей соответствующая в параболической гомо-
логии, то точки А, А7 и L лежат на одной прямой.
§ 10. СМЕШАННЫЙ ОТДЕЛ
229
Доказать, что:
а) при параболической гомологии прямая переходит в прямую;
б) параболическая гомология вполне задана, если задана ось / гомо-
логии, центр L гомологии и пара соответственных точек А и А'
(таких, что А, А' и L лежат на одной прямой), т. е. тогда можно
геометрически для каждой точки В построить точку В', ей соответ-
ствующую. Как выполнить это построение?
в) Во что обращается параболическая гомология, если ее центр — беско-
нечно удаленная точка (т. е. секущая плоскость параллельна пря-
мой Z, по направлению которой производился сдвиг пространства)?
г) Во что обращается параболическая гомология, если ее ось (следова-
тельно, и центр) — бесконечно удаленная прямая (т. е. секущая
плоскость параллельна плоскости, относительно которой произво-
дится сдвиг)?
27. Пусть С — окружность, Zt и Z2—две параллельные касательные к этой
окружности, и S2—точки прикосновения. Возьмем на окружности про-
извольную точку А, соединим эту точку с точкой S2 и на отрезке 52А
возьмем произвольную точку В. Соединим точку В с точкой и пусть
прямая SJ3 пересечет окружность С в точке А'. Рассмотрим гомологии Г{
и Г2; одна Г\ — с центром S2, осью гомологии Zt, которая точку А пере-
водит в точку В; другая гомология Г2— с центром осью Z2, которая
точку В переводит в точку А'. Выполняя над точками плоскости сначала
гомологию rit а затем гомологию Г2, мы сможем утверждать, что точка А
окружности С перейдет в точку А’ той же окружности.
Доказать, что:
а) любая точка окружности С в указанном произведении гомологий
перейдет в точку той же окружности; •
б) все внутренние точки окружности перейдут во внутренние точки;
в) внешние точки перейдут во внешние (указанное произведение гомо-
логий есть движение в плоскости Лобачевского, если последнюю
интерпретировать как круг, хорды круга — как прямые плоскости
Лобачевского и т. д.; см., например, статью Делоне Б. Н. в жур-
нале «Математика в школе» № 6 за 1947 г.).
§ 10. Смешанный отдел
1. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и медиане одного и
катетов.
2. Построить прямоугольный треугольник по высоте, опущенной из вершины
прямого угла, и разности острых углов.
3. Построить правильный треугольник по трем отрезкам — расстояниям от
точки, взятой внутри треугольника, до его сторон.
4. Построить прямоугольный треугольник по данной гипотенузе с и высоте /г,
опущенной на гипотенузу. Найти длины катетов и выяснить, при каком
соотношении между с \[ h задача возможна.
5. В данный треугольник вписать параллелограмм так, чтобы две его вершины
лежали на основании треугольника, а две другие вершины — на боковых
сторонах этого треугольника.
6. Построить треугольник, зная на плоскости положение трех точек, являю-
щихся центрами квадратов, построенных на сторонах треугольника и рас-
положенных вне треугольника.
7. Вписать в квадрат правильный треугольник так, чтобы одна из сторон была
параллельна данной прямой.
8т В точке А, находящейся на расстоянии а от центра круглого биллиарда
। радиуса R, лежит упругий шарик, размерами которого можно пренебречь.
В какую точку В нужно его пустить, чтобы, дважды отразившись от борта,
он снова вернулся в точку А?
230
Планиметрия. Гл. XIX. ЗАДАЧИ хЧА ПОСТРОЕНИЕ
9. В данный треугольник вписать прямоугольник с диагональю данной
длины.
10. Построить треугольник по основанию, высоте и разности углов при осно-
вании.
11. Даны точки А, В и С. Через точку А провести прямую так, чтобы сумма
расстояний от точек В и С до этой прямой была равна заданному отрезку.
12. Построить равносторонний треугольник, вершины которого лежали бы на
трех данных параллельных прямых.
13. Построить прямоугольный треугольник по высоте, опущенной из вершины
прямого угла на гипотенузу, и разности катетов.
14. Построить прямоугольный треугольник по данной гипотенузе с и биссе-
ктрисе / прямого угла.
15. Построить треугольник, если на плоскости заданы центры вписанной, опи-
санной и одной из вневписанных окружностей.
16. Построить треугольник АВС по стороне АВ, биссектрисе BD и длине
перпендикуляра, опущенного из вершины С на BD.
17. Через данную точку провести прямую, отсекающую от данного угла тре-
угольник данного периметра.
18. Построить треугольник по медиане и радиусам окружностей, описанных
вокруг двух треугольников, на которые данная медиана разбивает искомый
треугольник.
19. Построить треугольник по стороне, противолежащему углу и медиане одной
из двух других сторон.
20. В плоскости треугольника АВС найти точку М такую, что точки М{, М2
и Л43, симметричные с ней относительно сторон треугольника, лежат на
окружности, описанной вокруг этого треугольника.
21. Построить равнобедренный треугольник, основание которого лежало бы на
одной стороне данного угла, вершина — на другой стороне этого угла,
а боковые стороны проходили бы через две данные точки внутри данного
угла.
22. Как геометрически построить центр тяжести куска однородной проволоки,
согнутой в виде треугольника?
23. В данный треугольник АВС вписать треугольник MNP так, чтобы его сто-
роны были параллельны медианам треугольника АВС. Вычислить площадь
треугольника MNP и определить, сколько таких треугольников можно по-
строить.
24. В данный треугольник АВС вписать треугольник MNP так, чтобы его сто-
роны были параллельны биссектрисам углов треугольника АВС. Вычислить
площадь треугольника MNP и определить, сколько таких треугольников
можно построить.
25. Построить треугольник по:
а) двум сторонам и медиане между ними;
б) стороне и медианам двух других сторон;
в) двум сторонам и медиане к одной из этих сторон.
26. Построить треугольник по высоте AD, медиане BE и углу В.
27. Построить треугольник по стороне а, высоте ha и медиане ть одной из
боковых сторон.
28. Даны прямые AB\\CD\\EE (CD — между АВ и ЕЕ). Между АВ и CD даны
точки М и N, между CD и ЕЕ дана точка Р. Построить треугольник так,
чтобы на каждой из трех данных прямых: АВ, CD и ЕЕ, лежала одна
из вершин треугольника, а на каждой из трех сторон треугольника — одна
из трех данных точек.
29. В треугольнике АВС провести прямую DE параллельно ВС так, чтобы
BD-\~ЕС = 2DE.
30. Построить равнобедренный треугольник АВС (АВ = АС), если его вер-
шины В, С находятся на данной прямой I, вершина А находится на дан-
§ 10. СМЕШАННЫЙ ОТДЕЛ
231
ной прямой т, параллельной Z, а стороны АВ, АС проходят через данные
точки М и AZ.
31. Построить равносторонний треугольник АВС, если дана его сторона а
и известно, что стороны АВ, АС и биссектриса AD проходят соответ-
ственно через данные точки AI, N, Р, лежащие на одной прямой.
32. Построить треугольник, если дано положение оснований его высот.
33. Построить треугольник, зная положение одной из его вершин, середину
противоположной стороны и точку пересечения высот.
34. Построить треугольник, зная основания его медиан.
35. Построить треугольник по радиусу описанной окружности, сумме углов
при основании и медиане одной из боковых сторон.
36. Построить треугольник по биссектрисе и радиусам окружностей, описан-
ных вокруг треугольников, на которые данная биссектриса разбивает дан-
ный треугольник.
37. Построить квадрат, если заданы расстояния трех вершин его от данной точки.
38. Разделить прямоугольный треугольник прямой, выходящей из вершины
прямого угла, на два треугольника так, чтобы окружности, вписанные
в полученные треугольники, были бы равны.
39. Построить треугольник АВС по стороне.# и высоте ha при условии, что
сторона квадрата, вписанного в этот треугольник так, что две его вер-
шины лежат на ВС, равна диаметру окружности, вписанной в треугольник.
40. Построить треугольник, вписанный в данную окружность, если известно,
что одна из его сторон параллельна данной прямой и дано положение
точки пересечения его высот.
41. Построить треугольник АВС, зная положение точек 7И, AZ, Р, в которых
медиана, биссектриса и высота, выходящие из одной и той же вершины
треугольника, пересекают описанную окружность.
42. Найти на данной прямой такую точку, чтобы модуль разности расстояний
ее от двух данных точек, находящихся по одну сторону от прямой, был
наименьшим, а также такую точку, чтобы модуль этой разности был наи-
большим.
43. На стороне АВ прямоугольника ABCD найти такую точку Е, из которой
стороны AD и DC были бы видны под равными углами. При каком соот-
ношении между сторонами прямоугольника задача возможна?
44. Данный треугольник АВС пересечь прямой DE\\BC так, чтобы площадь
треугольника BDE равнялась заданной величине k2. При каком соотноше-
нии между k2 и площадью треугольника АВС задача возможна и сколько
она имеет решений?
45. Построить треугольник по его периметру 2р, одной из высот ha и радиусу г
вписанного круга.
46. На плоскости даны прямая и по одну сторону от нее две точки. Найти
на данной прямой точку, сумма расстояний от которой до двух данных
точек равна данной величине d.
47. Построить ромб при условии, что две его противоположные вершины лежат
в данных точках, а третья вершина лежит на данной окружности.
48. Построить трапецию по ее боковым сторонам, углу между продолжениями
боковых сторон и углу между диагоналями.
49. Дан произвольный выпуклый четырехугольник. Вписать в него квадрат
и описать вокруг него квадрат.
50. Через четыре данные точки провести четыре прямые так, чтобы они обра-
зовали прямоугольник с заданным углом между диагоналями.
51. Построить четырехугольник ABCD по заданным диагоналям АС и BD,
‘° углам ВАС и BCD и углу между диагоналями.
52. Дан треугольник АВС. Найти точки Ct так, чтобы вокруг
шестиугольника AC^BAfiB^A можно было описать окружность и чтобы
в него можно было вписать окружность.
232
Планиметрия. Гл. XIX. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
53. Точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника проектируется
на его стороны. Зная проекции, построить четырехугольник.
54. Построить квадрат, три вершины которого лежали бы на трех данных
параллельных прямых.
55. Из четырех подобных (неравных) прямоугольных треугольников составить
прямоугольную трапецию.
56. Биллиард имеет форму острого угла величины а, стороны которого про-
должены достаточно далеко в одном направлении. Из некоторой внутрен-
ней точки А под углом (3 к одному из бортов пущен упругий шарик, раз-
мерами которого можно пренебречь. Выяснить, как происходит отражение
шарика от бортов в зависимости от величин а и [3. Найти условия, при
которых 1) шарик после нескольких отражений от бортов начинает дви-
гаться в обратную сторону; 2) отражение от бортов прекращается и шарик
вылетает из биллиарда; 3) шарик проходит вновь через точку А.
57. Дана прямая I и вне ее точки А и В. Найти на прямой I такую точку Л4,
чтобы угол, образуемый лучом МА с прямой /, был вдвое больше угла,
образуемого лучом МВ с той же прямой Z.
58. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Построить три окружности,
пересекающиеся попарно ортогонально, центры которых находятся в дан-
ных точках.
59. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Принимая их за центры,
построить три окружности, которые касались бы друг друга.
60. Построить окружность, которая из вершин данного треугольника видна под
данными углами.
61. Дана полуокружность. Другая окружность проходит через ее центр и вну-
тренне ее касается. Построить окружность, касающуюся данных окружностей
и диаметра данной полуокружности.
62. Из концов данной хорды провести две параллельные между собою хорды,
сумма длин которых равна данному отрезку.
63. На основании ВС треугольника АВС найти точку D такую, чтобы окруж-
ности, вписанные в треугольники ABD и ADC, взаимно касались.
64. Даны точки А и В по одну сторону от данной прямой KL и точка С по
другую сторону от этой прямой. Найти точки пересечения данной прямой
с окружностью, проходящей через эти точки, если центр этой окружности
недоступен.
65. В данную окружность вписать треугольник так, чтобы две его стороны были
параллельны данным прямым, а третья проходила бы через данную точку.
66. Дана окружность. Даны также пересекающиеся хорды АВ и CD этой окруж-
ности. Найти на дуге АВ точку X такую, чтобы прямые ХС и XD отсе-
кали на хорде АВ отрезок данной длины.
67. Даны окружность и две точки. Через эти точки провести окружность так,
чтобы она пересекала данную окружность в ее двух диаметрально про-
тивоположных точках.
68. На данной прямой найти точку, из которой одна из двух концентрических
окружностей видна под углом втрое большим, чем другая.
69. Дана прямая MN, окружность (О) и точки А и В на ней. Найти на окруж-
ности такую точку X, чтобы прямые АХ и ВХ отсекали на прямой MN
отрезок данной длины.
70. Построить окружность, касающуюся данной окружности и данной прямой
в заданной на этой прямой точке.
71. В плоскости треугольника АВС с утлом при вершине, равным 120°, найти
точку, сумма расстояний которой до сторон треугольника имеет наимень-
шее значение. , с
72. В плоскости треугольника АВС с углом при вершине, превышающим 120?,
найти точку, сумма расстояний которой до вершин имеет наименьшее зна-
чение.
§ 10. СМЕШАННЫЙ ОТДЕЛ
233
73. В данный треугольник поместить центральносимметрический многоугольник
наибольшей площади.
74. Через вершину А треугольника АВС провести прямую так, чтобы сумма
расстояний ее от вершин С и В была наибольшей.
75. На стороне ВС треугольника АВС найти точку, сумма расстояний которой
до двух других сторон имеет наименьшее значение.
76. На стороне ВС треугольника АВС найти точку, сумма расстояний которой
до двух других сторон имеет наибольшее значение.
77. Вокруг данного прямоугольника описать четырехугольник наибольшей площади.
78. Из всех трапеций, описанных вокруг данной окружности, найти трапецию
наименьшей площади и наименьшего периметра.
79. На данной окружности найти точку, наименее удаленную от данной точки.
80. На данной окружности найти точку, наиболее удаленную от данной точки.
81. Найти отрезок наименьшей длины, концы которого лежат на двух данных
окружностях.
82. Найти отрезок наибольшей длины, концы которого лежат на двух данных
окружностях.
83. На отрезках АС и СВ диаметра АВ описаны как на диаметрах полуокруж-
ности. При каком положении точки площадь фигуры, заключенной между
тремя полуокружностями, будет наибольшая?
84. Из треугольников с общим углом при вершине и данной суммой боковых
сторон найти треугольник с наименьшим основанием.
85. Стороны АВ и АС треугольника АВС продолжены за вершины В и С на
отрезки BD и СВ так, что
BD-j~CE — BC.
При каком условии отрезок DE будет иметь наименьшую длину?
86. Через данную точку А вне круга провести секущую АВС так, чтобы £\ВОС
(О — центр круга) имел бы наибольшую площадь.
87. В £\АВС на основании ВС дана точка М. Требуется провести DE\\BC так,
чтобы площадь треугольника MDE была наибольшей.
88. Внутри данного выпуклого четырехугольника найти точку, сумма расстояний
которой до вершин данного четырехугольника имела бы наименьшую величину.
89. Внутри прямоугольника ABCD дана точка Р. Найти на каждой из сторон
прямоугольника по одной точке К, L, А4, N так, чтобы ломаная PKLMNP
имела наименьшую длину.
90. Дан угол и на одной его стороне даны точки А и В. На другой стороне
угла найти такую точку С, чтобы угол АС В достигал максимума.
91. В данный треугольник вписать прямоугольник с наименьшей диаго-
налью.
92. Разрезать прямоугольник с измерениями 16 и 9 на две части так, чтобы
из них можно было сложить квадрат.
93. Как разрезать параллелограмм на части, из которых можно затем сложить
квадрат?
94. Даны окружность и ее центр. С помощью одной линейки вписать в эту
окружность квадрат.
95. Даны окружность и ее центр. С помощью одной линейки вписать в эту
окружность правильный треугольник.
96. Из точки, лежащей вне окружности, опустить перпендикуляр на данный
диаметр окружности, пользуясь одной линейкой.
97. Даны окружность и точки А и В вне окружности. Построить точки
пересечения прямой АВ с данной окружностью при помощи одного
циркуля.
98. Построить центр окружности при помощи одного циркуля.
$9. Пользуясь только циркулем, построить по двум данным вершинам ква-
драта две другие его вершины.
234
Планиметрия. Гл. XIX. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
100. В треугольнике даны середины двух сторон. Через произвольную точку
в плоскости треугольника провести при помощи одной линейки прямую,
параллельную третьей стороне.
101. В плоскости треугольника даны две прямые, параллельные двум сторонам
треугольника. Через произвольную точку плоскости треугольника провести
при помощи одной линейки прямую, параллельную третьей стороне.
102. Провести к данной окружности из внешней точки касательные, пользуясь
одной линейкой.
103. Из данной точки окружности опустить перпендикуляр на ее диаметр при
помощи одной линейки (центр окружности неизвестен).
104. Даны отрезок и параллельная ему прямая. Пользуясь только линейкой,
разделить этот отрезок пополам.
105. При помощи одной линейки провести прямую, параллельную основаниям
данной трапеции, так, чтобы ее отрезок, заключенный внутри трапеции,
делился диагоналями на три равные части.
106. Пользуясь одной линейкой, разделить трапецию на две равновеликие части.
107. В круг вписан правильный шестиугольник. Пользуясь одной линейкой,
построить ~ -ю часть радиуса (/г-—2, 3, 4 . . .).
108. Найти точку, сумма квадратов расстояний которой от вершины треуголь-
ника наименьшая. Найти величину этой суммы.
Глава XX
ЗАДАЧИ, В РЕШЕНИИ КОТОРЫХ ПРИМЕНЯЮТСЯ
КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
1.* На сторонах ВС, С А и АВ треугольника АВС взяты точки А', В', С'.
Пусть Дх, Вр Сх и А2, В2 С2 — образы точек А, В, С в гомотетиях
с одним и тем же коэффициентом гомотетии k и соответственно центрами
гомотетий в точках С', Д', В' и В', С', Д'.
Доказать, что треугольники A^Bfi^ и А2В2С2 имеют один и тот же центр
тяжести.
2**. Пусть АВС — треугольник, сторона ВС которого лежит на фиксирован-
ной прямой (D) и угол А которого задан: Д = а, причем 0<а<90°.
Кроме того, фиксирована точка Н пересечения высот треугольника АВС.
1°. Показать, что окружность, описанная вокруг треугольника АВС,
проходит через фиксированную точку. Построить треугольник АВС,
зная точку И, прямую (О), угол а и еще длину а стороны ВС.
Исследовать.
2°. Пусть В' и С' — точки, полученные из точек В и С в результате
преобразования инверсии с полюсом И и степенью инверсии 4&2,
где 2k — расстояние от точки Н до прямой (В). Найти огибающую
прямой В'С'. Показать, что окружность, описанная вокруг треуголь-
ника НВС, касается фиксированного круга; вычислить диаметр этого
круга в функции k и а.
3°. Доказать, что окружность (О), описанная вокруг треугольника АВС,
касается фиксированного круга. Найти геометрическое место центров О
этого круга, а также геометрическое место центров тяжести треу-
гольника АВС.
4°. Изучить окружность, полученную в результате инверсии /(Я, 4&2)
окружности с диаметром ВС. Подсчитать радиус этой окружности.
Показать, что окружность с диаметром ВС касается двух фиксиро-
ванных окружностей, симметрично расположенных по отношению к ВС.
3. Пусть Ali jp Л42 — Две произвольные точки, лежащие на стороне ВС треу-
гольника ABC, N' — произвольная точка, лежащая на стороне С А, и Р' —
произвольная точка, лежащая на стороне АВ. Обозначим точки пересечения
прямых N'MX и Я'Л42 со стороной АВ через и Q2, а точки пересече-
ния прямых Р'М1 и Р'М2 со стороной АС через /?£ и R2. Доказать, что
прямые ВС, проходят через одну точку.
4*. Прямолинейный отрезок CD постоянной длины перемещается произвольно
по прямой ху между фиксированными точками Д и В этой прямой (С— со
стороны Д; D — со стороны В). Построим полуокружности (ОД и (О2) на
АС и DB как на диаметрах, расположенные по одну сторону от прямой ху,
затем — полуокружность (О) с диаметром АВ по другую сторону от прямой ху.
Найти геометрическое м^сто середин Р и Q полуокружностей (OJ и (О2),
а также геометрическое место середин отрезков SP, SQ и PQ. Найти оги-
бающую прямой PQ.
236
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
5. В плоскости даны две взаимно-перпендикулярные прямые Ох и Оу (черт. 73).
На перпендикуляре к плоскости хОув точке О отложен от точки О от-
резок ОА=1. Через точку А проведен луч, параллельный оси Оу, и на
нем от точки А в положительном направлении оси Оу отложен отрезок
AS=1. Рассмотрим переменную прямую Ои, проходящую через точку О,
но все время остающуюся в плоскости АОх. Пусть Н—
проекция точки S на Ои. Пусть М —точка встречи пря-
мой SH с плоскостью хОу и, наконец, пусть Р — точка
встречи прямых АН и Ох.
1°. Доказать, что точка Н описывает окружность (Г)
с диаметром ОА, расположенную в плоскости
АОх.
2°.
Доказать, что РЛ4|]5А Отсюда следует, что
ОР ~ х и РМ = у — координаты точки М. Рас-
Рм
сматривая отношение -=- и используя свойство
AS
3°.
прямоугольного треугольника АОР, доказать, что
у =— х2. Пусть (С) — геометрическое место то-
чек М; построить касательную к (С) в точке
этой линии с абсциссой OPr = 1.
Пусть АК — высота треугольника SAH. Доказать,
что АК — перпендикуляр к плоскости OSH.
$*.A'D — диаметр окружности с центром в точке A; J—точка, лежащая на
радиусе AD, такая, что AJ =- у, где R— радиус окружности. Через
точку J проводится произвольная прямая, пересекающая окружность в точ-
ках М и N.
1°. Касательные к окружности в точках М и N пересекаются в точке X.
Найти геометрическое место точек
2°. Произведем инверсию с центром в точке Уис коэффициентом ин-
версии, равным JA • JA'. Обозначим через ЛГ и N' точки, получаю-
щиеся в результате этой инверсии из точек М и N. Геометрическое
место точек М' и Nf будет окружностью (В), полученной из данной
в результате указанной инверсии. Найти ее центр.
3°. Касательные к окружности (В) в точках М' и пересекаются
в точке Р. Доказать, что точки Е, J и F лежат на одной прямой.
Найти геометрическое место (Л) точек В. Найти точку, в которой
линия (Л) пересекает прямую А А'.
4°. Доказать, что существует' окружность (Г) с центром в некоторой
точке С, касающаяся в точке. М данной окружности и в точке 714'
окружности (В). Доказать, что, когда точка М описывает данную ок-
ружность, окружность (7’) остается ортогональной некоторой фикси-
рованной окружности.
5°. Найти геометрическое место точек С.
7.* Дана окружность с центром О и точки В и С на окружности. Точка А
движется по этой окружности; Н— точ са пересечения высот треугольнику
1°. Определить геометрическое место точек пересечения медиан треуголь-
ника АОН.
2°. Определить геометрическое место оснований D биссектрисы внутрен-
него угла А треугольника АОН.
3°. Определить положние точки А, при котором биссектриса AD имеет
данную длину.
8*. Даны две окружности радиусов R \\ Rf с центрами в точках О и О'
(ОО' <7), пересекающиеся в точках А и В. Точка Р описывает окруж-
ность (О); М и N— точки пересечения хорд РА и РВ с окружностью (О').
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 237
1°. Определить огибающую MN.
2е. Определить геометрическое место центра окружности, описанной
вокруг треугольника PMN, геометрическое место точки пересечения
его высот и геометрическое место его центра тяжести.
3°. Определить положение точки Р на окружности (О), при котором
МА __ NA
МВ~~~ NB'
4°. Определить положения точки Р, при которых окружность, описанная
вокруг треугольника PMN, пересекает окружности (О) и (О') под
равными углами; вычислить величину этих углов.
1°. Пусть М — произвольная точка плоскости. Доказать, что разность
степеней точки М относительно окружностей (О) и (О') с цент-
рами О и О' равна 200' • КМ, где К — проекция точки М на ради-
кальную ось окружностей (О) и (О').
2°. Рассмотрим пучок (F) окружностей и пусть (Д) — их общая ради-
кальная ось. Будем обозначать через (М, О) какую-нибудь точку М,
лежащую на окружности (О) пучка (Р), а через о(Л4, О)ОГ — степень
этой точки относительно окружности (ОД того же пучка (F). Дока-
зать, что необходимое и достаточное условие того, что точка М ле-
жит на окружности (ОД пучка (F), может быть записано в виде
о (М, ОД = 20А •
где (ОД— произвольная окружность пучка (Л), а К — проекция
точки М на радикальную ось окружностей (ОД и (ОД.
3°. Доказать, что необходимое и достаточное условие того, что точки М
и М' лежат на одной и той же окружности (О) пучка (F), может
быть записано в виде
о (Af, О)Ог = КМ
а(М', О)Ог
т.*е. для того, чтобы две точки М и М' плоскости лежали бы на
одной и той же окружности пучка (F), необходимо и достаточно,
чтобы отношение их степеней по отношению к произвольной окруж-
ности (ОД пучка (F) было бы равно отношению ориентированных
расстояний этих точек до радикальной оси пучка.
4е Доказать, что для того чтобы точка М лежала на данной окружности
(03) пучка, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее степеней
относительно двух произвольных окружностей (ОД и (ОД этого пучка
было равно отношению ориентированных расстояний от центров Ох
и 02 до центра 03:
а (Л4, 03) О] _ ОТбз
аШ Оз) о;” о/73 •
5е. Доказать, что геометрическое место точек, отношение степеней кото-
рых относительно двух данных окружностей (ОД и (ОД равно данной
величине k, есть окружность (О) пучка (F) [определяемого окруж-
ностями (ОД и (ОД], иентр которой определяется соотношением
002
6°. Пусть (ОД и (ОД— две произвольные окружности, Р и AZ— их
центры подобия. Доказать, что окружность, построенная на PN как
на диаметре, принадлежит к пучку окружностей, определяемому окруж-
ностями (ОД и (ОД.
238
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
10*. Пусть (С) — окружность с центром О и радиусом R. Возьмем внутри
окружности (С) произвольную точку J, отличную от центра О, и проведем
через точку J прямую, перпендикулярную прямой OJ; точки пересечения
этой прямой с окружностью (С) обозначим через С и D. Пусть световой
луч, выходящий из произвольной точки А окружности, отразившись в точке J
от диаметра OJ, встречает окружность (С) в точке В.
1°. Доказать, что прямая АВ проходит через фиксированную точку.
2°. Пусть М— середина АВ. Доказать, что АВ — биссектриса угла CMD.
3°. Обозначим через у и В точки встречи данной окружности с прямой ОМ.
Пусть а—точка пересечения прямых Су и 03, а {3— точка пересе-
чения прямых Со и Оу. Доказать, что а, {3, у, о суть центры окруж-
ностей, вписанной и вневписанных в треугольник CMD. Найти геомет-
рическое место этих точек при условии, что точка А описывает дан-
ную окружность (С).
4°. Доказать, что окружность, описанная вокруг треугольника CMD, про-
ходит через середины шести отрезков: ар, ау, ао, ру, рВ, уЗ. Доказать,
что окружности, описанные вокруг треугольников аРу, Руо, у За и Зар,
имеют один и тот же радиус; найти этот радиус.
Каково геометрическое место центров окружностей, описанных вокруг ука-
занных четырех треугольников?
11**. Рассмотрим на плоскости взаимно-перпендикулярные оси Ох и Оу и треу-
гольники МОМ', для которых ось Ох служит биссектрисой внутреннего
угла МОМ', причем ОМ' = 20Л1. Эти треугольнику будем называть тре-
угольниками (7).
1°. Пусть / — точка пересечения ММ' с осью Ох, т — проекция точки Л!
на ось Ох, а т' — проекция на ось Ох точки М'. Изучить четверку
точек О, /, т, пг'. Изучить четверку точек, состоящую из точки О
и точек А, А' и В — пересечения с осью Ох медиатрис треуголь-
ника МОМ',
2°. Построить треугольник (Г), удовлетворяющий следующим условиям:
а) задана прямая, проходящая через точки М и М';
в) задана середина Р отрезка ММ';
б) задан центр со окружности, описанной вокруг треугольника МОМ".
3°. Пусть точка М описывает окружность (С), касающуюся в точке О
оси Ох. Найти геометрическое место точек М', соответствующих
точке М [таких, что МОМ' — треугольник (Г)]. Доказать, что каждая
из медиатрис треугольника (7) проходит через фиксированную точку.
Найти геометрическое место центров окружностей, описанных вокруг
треугольника (7).
4° Пусть окружности, описанные вокруг треугольника (7), проходят через
фиксированную точку В оси Ох. Найти геометрическое место точек М
и М' и место середины Р отрезка ММ'.
12**. Рассмотрим на плоскости все линии (С) второго порядка с данным экс-
центриситетом е, данным фокусом F, директрисы (£)) которых, соответ-
ствующие фокусу F, проходят через данную точку /.
1°. Найти геометрическое место вершин этих линий.
2°. Пусть (CJ и (С2) — две линии данного семейства, директрисы которых
взаимно-перпендикулярны.
а) Найти геометрическое место точек пересечения линий (CJ и (С2).
б) Найти геометрическое место точек пересечения направляющих
окружностей линий (С\) и (С2). Изучить огибающую общих каса-
тельных к линиям (Сг) и (С2). При каком условии существует эта
огибающая, каков ее вид в зависимости от различных значений е?
13*. Рассмотрим треугольник АВС. Обозначим через (U) окружность, которая
проходит через точки А и В и центр / которой расположен на АС;
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
239
через (V) обозначим окружность, которая проходит через точки А и С
и центр J которой расположен на АВ\ наконец, через (IF) обозначим
окружность, описанную вокруг треугольника АВС, а через К — ее центр.
1°. Построить треугольник АВС, зная I, J, К.
2°. Обозначим через Н точку пересечения окружностей (U) и (F), от-
личную от А. Доказать, что центр К окружности . (IF) расположен
на прямой АН.
3°. Предположим теперь, что АВ = АС ~ 2а.
Обозначим / ВАС через 2х. Выразить в функции а и х площадь у
треугольника IJK. Изучить изменение этой площади, считая, что
угол А принимает всевозможные значения (а — фиксировано). Для
изучения площади треугольника IJK положить igx = t.
14**. Точки А, В, С лежат на одной прямой (точка С лежит между точ-
ками А и В). Обозначим через М точку пересечения касательных, проведенных
из точек А и В к окружности с центром С и произвольным радиусом х.
1°. Найти геометрическое место точек М. Доказать, что это геометри-
ческое место есть окружность (Г), центр D которой расположен на
прямой АВ. Вычислить AD и радиус R этой окружности в функ-
ции С А —а, СВ = Ь(а>Ь).
2°. Допустимому значению х соответствует на полуокружности (Г), огра-
ниченной диаметром АВ, два положения и Mf точки М. Соста-
вить уравнение второй степени, определяющее длины МА и М'А
в функции а, Ь, х, и вычислить МА и МГА. Вычислить также МВ
и М'В. Вычислить радиусы р и pz окружностей, описанных вокруг
треугольников МАВ и М'АВ. Используя инверсию с центром А,
дать простое геометрическое построение касательных к этим окруж-
ностям в точках А и В, а также в точках М и М'.
а2Ь2
3°. Рассмотреть частный случай х2 =—» , Показать, что в этом
частном случае углы А и В удовлетворяют одному из соотношений:
В + А=--^ — и проверить справедливость равенств
Л4Л2 + Л1В2 = 4р2, /И'Л2-р/И'В2 = 4г/2.
15. Пусть АОВ — квадрант окружности радиуса R. Из точки М дуги АВ
опускаются перпендикуляры МР на ОА и MQ на ОВ.
1°. Определить точку М таким образом, чтобы МР Д- 2MQ = I, где I —
данное число.
а) Принять за неизвестное ОР — х. Исследовать.
б) Дать геометрическое решение и получить снова результаты пре-
дыдущего исследования.
2°. Определить М таким образом, чтобы отношение поверхности сфе-
'
рического сегмента, полученного в результате вращения дуги МА
вокруг ОА, к поверхности сферического сегмента, полученного
в результате вращения дуги MiB вокруг ОВ, было равно данному
положительному числу т.
а) Принять за неизвестное / АОМ — 9 и за независимое переменное
± 0 м т,
tg — =.t. Исследовать.
б) Дать геометрическое решение задачи и получить геометрически снова
результаты предыдущего исследования.
16**. Даны равносторонний треугольник АВС и точка Р, лежащая на окруж-
ности, описанной вокруг этого треугольника. Обозначим через X,Y,Z точки
пересечения прямых АР, ВР и СР соответственно с ВС, СА и АВ.
Проведем через X, Y, Z прямые XZf, YX', ZY', параллельные соответ-
ственно С А, АВ и ВС (X/— лежит на ВС, Y' — на С A, Zf — на АВ).
240 Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
Г. Доказать, что
/ ХВ \ YC
\ ХС J YA ~~
2°. Доказать, что AXr\\BYf\\CZr.
3°. Доказать, что треугольники XYZ и XYfZf одинаково ориентиро-
ваны, а их площади остаются равными и постоянными, если точка Р
описывает окружность (Д5С).
17**. Дана окружность (С) с центром О и радиусом R. Пусть АВ — фиксиро-
ванный диаметр этой окружности и (£))— прямая, перпендикулярная АВ
в точке Я, расположенной с той же стороны от О, что и В, причем И
и В различны. Дано: OH = d\ точка М описывает прямую (£)), прямые МА
и МВ пересекают окружность (С) вторично в точках Р и
1°. Доказать, что окружность (Г), описанная вокруг треугольника MPQ,
ортогональна окружности (С) (можно использовать инверсию с по-
люсом Л4). Определить геометрическое место ее центра.
2°. Показать, что прямая PQ проходит через фиксированную точку S
и определить положение точки 5 относительно (С) и (О). Найти
геометрическое место второй точки N пересечения окружности (Г)
и окружности, описанной вокруг треугольника МАВ.
ЗА Пусть со — центр окружности (Г). Ориентируем прямую (О) и поло-
жим НМ~х, Ни = у. Установить соотношение между х, у, R и d
и изучить у как функцию от х в случае а = .
18**. Рассмотрим окружность (С) с центром О и радиусом R и фиксированную
точку А на этой окружности. Переменная прямая (Д) пересекает окруж-
ность (С) в точках М и N. Прямые AM и AN пересекаются соответ-
ственно в точках АГ и М с прямой, перпендикулярной АО и проходящей
через точку О.
1°. Доказать, что точки Л4, N, M't Nf лежат на одной окружности (Г),
которая при изменении (Д) остается ортогональной к окружности
с центром А и радиусом /?]/2.
2е. Определить радикальную ось двух окружностей (7\) и (Г2), соответ-
ствующую двум положениям (AJ и (Д2) прямой (Д).
ЗА Пусть / — центр окружности (Г). Доказать, что если В — какая-
нибудь точка (Д), разность IA2— IB2 выражается просто в функ-
ции R и ОВ так, что если прямая (Д) проходит через фиксированную
точку Z7, точка / остается на фиксированной прямой (D). Можно ли
получить этот последний результат, опираясь на результаты пункта 2°
и минуя вычисление разности IA2 — IB2?
Доказать, что (D) есть поляра по отношению к (С) точки F', полу-
ченной переносом из F, который перевидит А в О [полезна вычис-
лить расстояние от О до (D)].
4°. Доказать, что I имеет полярой по отношению к (С) прямою (Д'),
полученную из (Д) переносом, переводящим А в О.
19**. Доказать, что окружность девяти точек треугольника АВС касается
четырех окружностей, касающихся сторон треугольника, т. е. вписанной
и вневписанных окружностей (теорема Фейербаха).
20**. Доказать, что окружность, ортогональная трем окружностям, имеющим
центрами середины сторон треугольника и проходящим через основания
соответствующих высот, касается окружности девяти точек.
21**. Рассмотрим точки Я, F, К, лежащие на одной прямой, причем F— се-
редина НК. На отрезке РК как на диаметре построена окружность (С).
Через точку Н проведена прямая, перпендикулярная ИРК. Во всем даль-
нейшем через (d) обозначается переменная прямая, проходящая через
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
241
точку В и пересекающая (D) в точке В, а окружность (С) — вторично в
точке А.
1°. Доказать, что В А • В В = const. Какое преобразование переводит
окружность (С) в прямую (£)). Какая точка соответствует в этом
преобразовании середине отрезка ДВ?
2°. Для каждого положения (й?) рассматривается эллипс с фокусом*/7 и
большей полуосью АВ. Доказать, что все эти эллипсы имеют постоян-
ную длину меньшей оси. Имеется ли в этом семействе окружность?
Определить (J) так, чтобы эллипс (Е) имел заданную длину большей
оси или чтобы он имел заданный эксцентриситет. Исследовать.
3°. Прямая КА пересекает прямою (/)) в точке Р. Перпендикуляр к (О)
в точке Р пересекает (d) в точке М. Доказать, что четверка точек
В, А, В, Л4— гармоническая. Найти геометрическое место (А)
точек М при условии, что (d) изменяется. Доказать, что касатель-
ная в точке М к (/) и касательная в точке А к окружности (С)
пересекаются на прямой (О).
4°. Найти геометрическое место центров окружностей, описанных вокруг
треугольника КРВ.
22**. На ориентированной прямой заданы точки А, В, В' такие, что АВ = т,
АВ' — mf, 0 < т < тг. Пусть (В) — окружность с центром В и радиу-
сом т, {В') — окружность с центром В' и радиусом m', (С) — переменная
окружность, касающаяся (В) и (Bz); С—центр окружности (С), Р—точка
прикосновения ее с (В), а Р'— точка прикосновения с (В').
1°. Доказать, что геометрическое место точек С состоит из эллипса и
прямой линии.
2°. Показать, что если точки Р и Pf различны, то прямая РРГ прохо-
дит через фиксированную точку /. Каково положение точки / отно-
сительно точек В и. Bz? Вычислить AI в функции т и пТ.
3°. Получить из 2° геометрическое построение точек пересечения эллипса
с фокусами F и проходящего через А, с прямой, проходящей
через В или В'.
4°. Каково геометрическое место точек пересечения касательных к (С)
в точках Р и Pz?
Дать геометрический способ построения касательных к этлипсу (В),
проведенных из любой точки прямой, проходящей через Д, перпен-
дикулярно ВВГ.
5°. Найти образы (В), (Bz) и ,(С) в инверсии (Д, 4mmz). Во что инвер-
тируется прямая РР'7 Использовать эту инверсию:
а) для того, чтобы установить результаты 2Э;
б) для того, чтобы доказать, что окружность (С) остается ортого-
нальной фиксированной , окружности при условии, что Р и Р' раз-
личны; вычислить АК, где К — центр этой окружности.
23*. Рассмотрим полный четырехугольник, противоположные вершины которого
(Д, С), (В, В), (/, J).
1°. Доказать, что
Та . ТБ £а . /в
Тв ’ Тс ~ ТБ' J С *
2е. Вывести отсюда, что если биссектрисы углов IAJ и IBJ пересекаются
на //, то же самое имеет место и по отношению к углам IDJ и ICJ.
*3°. Пусть (yj и (д2)— Две окружности пучка, предельные точки кото-
рого суть / и J. Какая-нибудь секущая, проходящая через /, пере-
секает (7J в точках А и В. Прямые JA и JB пересекают (Д2) в точ-
ках С и D.
Доказать, что точки /, С, D лежат на одной прямой.
16 П. С. Моденов
242
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
24**. Пусть Р — точка, симметричная ортоцентру Н треугольника АВС по отно-
шению к центру О описанной окружности, и Q — точка, симметричная
точке О относительно Н. Доказать, что центры тяжести треугольников РВС,
РСА, РАВ и центры тяжести треугольников QBC, QCA и QAB располо-
жены на двух равных окружностях с центрами О и Н. Обобщить это на
случай произвольного положения точек Р и Q на плоскости.
25. Рассмотрим на прямой точки О, А и В (ОА = а, ОВ = Ь), и пусть пря-
мые ОХ и АХ' проходят через точки О и А перпендикулярно прямой О АВ.
Возьмем на прямой ОХ точку Л4 такую, что ОМ == х. Проведем пря-
мую МВ, пересекающую АХ' в точке Q, и МР\\ОАВ, причем Р — точка
прямой АХ'\ проведем еще MNА_МВ, где М— точка прямой АХ'.
1°. Вычислить в функции а, Ь, х длины отрезков PN, PQ и AN.
2°. Вычислить х, если задано AN ~d.
3°. Доказать, что задача имеет решение, если только d превосходит или
равно некоторой величине, и найти эту величину; доказать, что если d
принимает это крайнее значение, то соответствующее положение
точки М таково, что Р— середина AN.
4°. Вычислить площадь треугольника MNQ. Вычислить х, если задана
площадь $ этого треугольника.
5°. Доказать, что последний вопрос имеет решение, если s больше или
равно некоторой величине, которую требуется определить. Доказать,
что если $ равно этой величине, то МВ образует с О АВ угол
Дать геометрическую интерпретацию результату.
26**. Рассмотрим треугольники АВС, в которых В = 2 /_С.
1°. Доказать, что стороны такого треугольника связаны соотношением
АС2 = АВ (AB-Y-BC).
2°. В таком треугольнике заданы сторона ВС — а и разность АС — АВ — I
двух других сторон. Составить систему двух уравнений с двумя
неизвестными, из которых можно определить длины х и у сторон
АВ и ЛС; решить эту систему; дать исследование.
3°. Дана сторона ВС= а произвольного треугольника АВС. Доказать,
что условие АС—АВ = I указывает на то, что точка А расположена
на некоторой линии (//J; требуется определить тип этой линии и ее
расположение.
Доказать, что если в треугольнике АВС угол В в два раза
больше угла С и сторона ВС фиксирована, то точка А описывает
гиперболу (Я2) с фокусом В, директриса которой есть медиатриса
отрезка ВС.
Доказать, что точки пересечения (//J и (Я2) можно построить
при помощи циркуля и линейки.
27. Пусть задан отрезок ВС длиной а, О — его середина, D — точка этого
отрезка такая, что
На перпендикуляре в точке D к отрезку ВС откладывают отрезок
DH= I (Z = const); через точку И проводится секущая, пересекающая
в точках М и N перпендикуляры к ВС, проведенные в точках В и С,
причем ВМ • С77 = I2 = DH2.
1°. Доказать, что ВМ = ml и CN =. Установить, что перпендику-
ляр из С на DN и перпендикуляр из В на DM пересекают DH
в одной и той же точке А. Вычислить DA в функции а, I и т.
Пусть Д'— точка, симметричная точке А относительно ВС. Что
можно сказать о расположении точек В, Н, С, А'? Каково положе-
ние точки А относительно треугольника В НС У
1
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 243
2°. Вычислить площадь трапеции BMNC и площадь s2 треуголь-
ника MDN в функции а, I и т.
3°. Вычислить тангенс угла MDN в функции a, I и т.
4°. Положим OD = x. Выразить т в функций х и найти геометриче-
ское место точек А, когда D описывает отрезок ВС.
28**. Пусть АВС — равнобедренный треугольник (АВ = АС) и М-какая-нибудь
точка, лежащая на его стороне ВС. Построим окружности, проходящие
через точку М и касающиеся прямой АВ в точке В, а прямой АС —
в точке С. Пусть D и Е— их центры, а М— вторая их общая точка. Точка
М— переменная точка, описывающая отрезок ВС.
1°. Доказать, что сумма радиусов построенных окружностей постоянна
и что медиа гриса отрезка DE проходит через фиксированную
точку.
2°. Найти геометрическое место середины отрезка DE. Установить, что DE
касается фиксированной параболы и что точка прикосновения есть
центр отрицательной гомотетии окружностей (О) и (Е).
3° Доказать, что прямая ALV проходит через точку А и что AM • Д/V —const.
Найти геометрическое место точек N.
4°. Указать, во что преобразуется конфигурация при инверсии (N, NA • NM).
29**. Доказать, что условие АВ = АС есть необходимое и достаточное условие
того, что окружность, проходящая через основание А' биссектрисы внут-
реннего угла А и через основания В' и С' биссектрис внешних углов В
и С треугольника АВС, касается стороны ВС.
30. Выпуклый многоугольник, имеющий 2/г сторон, вписан в окружность (С),
причем его стороны равны поочередно а и Ь.
1°. Даны: п, а, b (Ь<а). Определить угол а, под которым из центра С
видна сторона длиной а, и угол {8, под которым из центра С видна
сторона Ь; вычислить диаметр d окружности (С).
2°. Дано число 2п сторон и периметр 2р многоугольника. Найти мак-
симум и минимум площади многоугольника при всевозможных значе-
ниях а и Ь.
31**. Через произвольные точки М, Л7, Р, расположенные соответственно на
прямых ВС, СА и АВ, проходят прямые, параллельные данной прямой (А),
которые пересекают высоты АА', ВВ' и СС' треугольника АВС соответ-
ственно в точках М', N', РЕ Доказать, что касательные в точках А', В' и С'
к окружностям (MA'M'), (NBrNf) и (РС'Р') пересекаются в одной точке,
и определить геометрическое место этих точек при условии, что прямая (Д)
вращается вокруг некоторой точки.
32. Дан равносторонний треугольник и произвольная прямая, лежащая в пло-
скости этого треугольника. Пусть а, Ь, с — расстояния от вершин этого
треугольника до этой прямой. Доказать, что сумма а (а—b)A-b(b—с)4~
-|-с(с— а) постоянна. Обобщить.
33. На прямой заданы отрезок АВ = а и .точка С на АВ, расположенная
между А и В. Положим АС — 2х. Пусть О — середина АС. Построим
полуокружность с диаметром АС. Обозначим через D точку прикосновения
касательной, проведенной из В к этой полуокружности, через Е—точку,
в которой прямая BD пересекает перпендикуляр к АВ в точке А. Пусть,
наконец, / проекция D на АВ.
1°. Что можно сказать про треугольники ВАЕ и BDO1 Вычислить ВО,
BD, АЕ, BE в функции а и х.
2°. Вычислить длины отрезков 01 и AI; изобразить графически функ-
цию у — Д/ как функцию от х при условии, что С описывает отре-
зок АВ-, положить при этом а = 2.
3°. Фигура вращается вокруг АВ. Вычислить площади и s2, описан-
ные соответственно отрезком BE и дугой AD. Определить х так,
16*
244
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
чтобы -~ — т, где т — данное положительное число. Исследовать;
s’ 1
рассмотреть частный случай:
34*. Даны две взаимно-перпендикулярные оси Ох и Оу и прямая (D), уравне-
ние которой у —г.
1°. Доказать, что
Переменная окружность (С) имеет постоянный радиус г
и центр Р на прямой (D); положение центра опреде-
ляется углом (Ох, ОР) = у. Для каждого положения
окружности (С) строится два равнобедренных треуголь-
ника О АВ (О А =- АВ), три стороны которых ка-
саются (С), причем вершина В лежит на оси Ох.
Г. Для одного из этих треугольников окружность (С)
вневписана в угол О или в угол В. Каково гео-
метрическое место соответствующих точек Л?
2°. Для второго треуюльника АВС окружность (С)
либо вписана в треугольник О АВ (как на черт. 74),
либо вневписана в угол А. Как различить эти
два случая в зависимости от значений ср?
35. Биссектриса внутреннего угла А треугольника АВС пересекает сторону ВС
в точке D. Пусть ДВЛС = 2а. Точки В и С проектируются на AD; их
проекции обозначим соответственно через р и
1 ] 1 _ 2 cos а
~АВ ~АС~ “ ~~AD~ ’ •
2°. Пусть хАу — фиксированный угол величиной 2а. На полупрямых
Ах и Ау берутся соответственно точки В и С такие, что
1 » 1 _ 2
АЗ АС ~ т
где т — заданное положительное число.
а) Доказать, что прямая ВС проходит через фиксированную точку.
б) На полупрямых Ах и Ау берут еще пару точек В' и С' таких, что
АВ • АВ' = АС • АС' == £2,
где k — данное положительное число.
Доказать, что окружность, описанная вокруг треугольника АВ'С',
проходит через вторую фиксированную точку F, а прямая В'С
остается касательной к некоторой фиксированной параболе с фоку-
сом F.
3°. При данных п 2° положим ADB = Ъ.
а) В каких пределах могут изменяться 6 и sin 6?
б) Вычислить DB и D& в функции AD, а и 6.
Доказать, что
пр A D sin 6 sin 2а
sin2 0 — sin2 a'
«
36*. Даны окружности (Г) и (Г'); R и R'— их радиусы, d — расстояние между
центрами О и О'; (у) — образ (Г) в инверсии (О', R'2) и (у')—образ
окружности (Л) в инверсии (О, R2).
1°. Вычислить в функции R, R' и d радиусы г и г' окружностей (у)
и (f7)- Обозначим через со и о/ центры этих двух окружностей; вы-
числить Оо и О'о)'; положительное направление на прямой ОО' уста-
навливается от О к О',
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
245
2°. Показать, что если R R'. то из г —г' следует или
d2 — R2R'2 — RR', (1)
ИЛИ
(2)
Сформулировать и доказать обратное положение. Доказать, что при
любом из указанных двух предположений окружности (Г) и (Г') пересе-
каются. Обозначая через А точку их пересечения, вычислить угол ОАО'.
3°. Доказать, что если выполнено или (1), или (2), то окружности (у)
и (у') совпадают. Вычислить в этом случае отношение и указать,
какое положение занимает при этом точка (о.
37**. В плоскости дан отрезок АВ~а прямой. Переменная точка М этого
отрезка задается расстоянием АМ = х. С одной стороны от АВ построены
два равносторонних треугольника:»АРМ и MQB; соединим точки Р и Q.
1°. Определить х, если длина PQ задана. Исследовать.
2°. Найти геометрическое место середин О отрезка PQ. Показать, что
медиатриса отрезка PQ проходит через фиксированную точку /. Ка-
кова огибающая PQ? Что можно сказать про окружности, описанные
вокруг треугольника PMQ? Каково геометрическое место центров
окружностей, описанных вокруг треугольников CPQ, где С — четвер-
тая вершина параллелограмма, для которого Р, М, Q — три после-
довательные вершины.
3°. Построить геометрически PQ, зная лишь направление PQ. Построить
геометрически PQ, зная длину I этого отрезка?
4°. Продолжение PQ пересекает АВ в точке 5. Доказать, что окруж-
ности с центром S радиусом ЗЛ4 образуют пучок окружностей.
38 . Доказать, что если а, Ь, с и г, ra, rb, тс— длины сторон треугольника
и радиусы вписанной и вневписанных в него окружностей, то
abc. а3 . Ь3 . с3
39**. В плоскости задана ось Ох, О — начало координат. На этой оси фикси-
рована точка /0 с положительной координатой а. Пусть (D) и (D') — две
прямые, проходящие через О и образующие с Ох углы, соответственно
равные у и —Перпендикуляр (А) в точке /0 к Ох пересекает (D)
в точке До, a (D') — в точке BQ.
1°. Пусть дана точка I на прямой (Д); построить геометрически прямо-
линейный отрезок АВ с серединой I, концы которого А и В лежат
соответственно на прямых (D) и (D').
2°. Доказать, что когда I изменяется, оставаясь на прямой (Д), то пе-
реход от точки А к точке В может быть совершен вращением во-
круг некоторого фиксированного центра F. Определить построением
точку F и угол поворота. Какова огибающая прямых АВ1
3°. Пусть (у) — окружность, касающаяся FA в точке А и FB в точке В.
Найти геометрическое место ее центра, когда / описывает (Д). До-
казать, что если Р — какая-нибудь точка, лежащая на окружности (у),
PF
то отношение постоянно; найти эту постоянную. Получить отсюда
геометрическое место (Г), когда / описывает (Д) точек М и М' пе-
ресечения окружности (y) и параллели Ох, проведенной через /.
Установить, что в точках М и М' линия (Г) касается окружности (у).
49**. В плоскости задана окружность (С) с центром О и радиусом R.
Г. Пусть М — какая-нибудь точка плоскости, a (D) — какая-нибудь
прямая, проходящая через М. Построить окружности (а) и (J3),
246
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
проходящие через Л4 и касающиеся прямой (D) и окружности (С) (можно
использовать инверсию с полюсом в М). Пусть А и В— точки при-
косновения с (С); доказать, что окружность (АЛ4В) ортогональна
к прямой (D) и к окружности (С).
2°. Пусть ЛГ— точка, диаметрально противоположная точке Л4 на ок-
ружности (АВМ). Доказать, что геометрическое место точек М при
условии, что прямая (D) вращается вокруг фиксированной точки М,
есть прямая (т). Каково при этих условиях геометрическое место то-
чек пересечения касательных, проведенных к окружности (АВМ)
в точках А и В?
3е. Теперь предположим, что (D) — фиксированная прямая, проходящая
на расстоянии ОН — — от О и что точка М прямой (D) отстоит от
Н на расстоянии НМ = х. Вычислить в функции R и х радиусы
окружностей (а) и (|3). Найти отношение их радиусов. Найти геоме-
трическое место их центров.
41**. Пусть (С) и (CQ — две окружности радиусов R и R' с центрами О и О',
касающиеся одна другой внешне в точке 3. Пусть эти окружности пересе-
кают прямую ОО' в точке 3 и еще в точках А и А'. Общая касательная
к ним, отличная от касательной (D) в точке 3, пересекает (D) в точке Р,
а линию центров — в точке S'; М и М'— точки прикосновения, Т — се-
редина ОО'.
1°. Доказать, что окружность с диаметром ОО' касается ММ' в точке Р.
Вычислить 33' и ST в функции R и R'.
2°. Доказать, что А, А', М, М' расположены на одной окружности (2),
центр а) которой диаметрально противоположен точке Р на окруж-
ности с диаметром ОО'. Доказать, что прямые AM и А'М' пересе-
каются в точке, лежащей на прямой (О). Пусть а и р — проекции а)
на ОО' и на (D); доказать, что точки S', Р, Т, р лежат на одной
окружности; доказать, что точки S', Р'9 а, (3 также лежат на одной
окружности.
3°. Прямые 3714 и SM' пересекают (2) вторично в точках N и N'. До-
казать, что прямая NN' перпендикулярна (D) и что расстояние ее
до 3 равно 2SP (можно рассмотреть окружность, описанную вокруг
прямоугольника SMP'M', и произвести соответствующую инверсию).
Доказать, что S'P'— радикальная ось (2) и точки S.
4°. Предполагая, что прямая ОО' и точка 3 фиксированы, а радиусы R
и R' изменяются так, что R — R' = d (d — данное число); определить
геометрическое место точек о), огибающую ММ' и огибающую S'P'.
42**. АЕ и DD' — два взаимно-перпендикулярных диаметра окружности (О)
с центром О и радиусом R. Назовем треугольником (Г) всякий треуголь-
ник АВС, вписанный в окружность (О), стороны ВС = а, СА = Ь, АВ = с
которого удовлетворяют соотношению Ь2-}-с2— a2==d2, где d — заданное
положительное число или нуль. Обозначим через М, N, Р соответственно
середины отрезков ВС, С А и АВ, а через АА', ВВ' и СС' — высоты тре-
угольника АВС.
Г. Доказать, что угол А в треугольнике АВС острый. Доказать, что
выражение Л442-Д-/ИО2 постоянно. Получить отсюда, что геометри-
ческое место точек М, если оно существует, есть дуга окружности (Г);
где находится центр (Г) и каков радиус (Г)? Пусть заданы окруж-
ность (О) и точка М; построить треугольник (Т). Доказать, что не-
обходимое и достаточное условие существования треугольника (Т)
есть d < 2/?]Л2. Доказать, что окружность (Г) пересекает диаметр DD'
в точках Т и Т' таких, что ОТ=ОТ'=~. Вывести отсюда про-
стой способ построения (Г). Во всем последующем считается d — 2R.
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 247
2°. Доказать, что огибающая ВС — полуэллипс. Где расположены его
фокусы и каковы его оси? Построить треугольник (7), зная (О)
и одну из вершин — В или С. Доказать, что вершины В и С не могут
описывать всей окружности (О). Построить крайние положений этих
точек. Построить треугольник (Т), при условии что угол В или С
прямой.
* 3°. Найти геометрическое место точек A', N и Р. Найти граничные
точки этих геометрических мест. Доказать, что АВ • АС' = АС АВ' =
== 2R2. Доказать-, что высоты ВВ' и СС' огибают дугу параболы (/7);
уточнить элементы (И).
43*. Дан прямоугольный треугольник АОВ (О — прямой угол)» причем угол А
равен 60°, ОВ — а, где а—данная длина. Через О проводится полупрямая
Ох, перпендикулярная АВ, которая пересекает АВ в точке Н; пусть
М—какая-нибудь точка этой полупрямой. Положим 0М = х.
1°. Вычислить в функции а и х выражения у = МА2 4~ МВ2 и z = MD2
где D — середина АВ. Доказать, что между у и z существует соот-
ношение, не зависящее от х. Построить линию у = у(х) (положить
в этом случае я=1). Определить М при условии, что у = т2, где
т — данное число. Исследовать.
2°. Построим перпендикуляр в точке О к плоскости АОВ и отложим на
этом перпендикуляре в произвольном направлении отрезок OS — а.
В плоскости SOx построим прямую НК | S/И. Доказать, что угол АКВ
есть линейный угол двугранного угла с ребром S/И, грани которого
S/ИД и SMB. Определить М так, чтобы этот угол был прямым.
3°. Найти геометрическое место отрезков АК и ВК при условии, что
точка М описывает луч Ох. Построить пересечение плоскостей, ка-
сательных в точке /<, к этим геометрическим местам. Определить М
так, чтобы это пересечение было перпендикулярно плоскости АОВ.
44*. Пусть а, Ь, с — длины ВС, СА и АВ сторон'треугольника АВС; предпо-
ложим, что а > b > с.
1°. Пусть х—положительное или отрицательное число или нуль. Ка-
кому условию должен удовлетворять х, чтобы существовал треуголь-
ник А'В'С' со сторонами а-[-х, Ь-}-х, с-^х?
2°. Дано я —21, Ь = 19, с = 5; определить х так, чтобы треуголь-
ник А'В'С' был бы прямоугольным.
Тот же вопрос в случае а = 21, Z>=19, с =12.
3°. Возвращаясь к общему случаю, доказать, что всегда возможно
и притом единственным способом поставить в соответствие треуголь-
нику АВС со сторонами а, Ь, с такими, что а > b > с, прямоуголь-
ный треугольник А'В'С' со сторонами #4~х» ЬА-х, Иссле-
довать в зависимости от формы треугольника АВС знак величины х,
определяющей прямоугольный треугольник А'В'С'.
45. На фиксированной прямой (Z) даны фиксированные точки А и С; В — се-
редина отрезка АС. Пусть (у) — переменная окружность, проходящая че-
рез В и С. Проведем из точки А касательные к окружности (у). Пусть М
и М' — точки касания.
Г. Найти геометрическое место центров (у).
2°. Найти геометрическое место точек /И и М'. Пусть это геометриче-
ское место пересекает прямую (/) в точках Е и В.
по п МВ
3 . Доказать, что = const и найти эту постоянную.
4°. Доказать, что ME и ME — биссектрисы углов, образованных пря-
мыми МВ и МС.
43*. Пусть (О) — окружность, описанная вокруг треугольника АВС; биссектрисы
внутренних углов А и В этого треугольника пересекают стороны ВС и АС
248
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
в точках D и F, а окружность ((^) — в точках Е и G. Доказать, что если
DE = FG, то треугольник равнобедренный.
47*. Пусть (О) — окружность, описанная вокруг треугольника АВС; АН и BJ—
высоты этого треугольника, а / и К — точки их пересечения с окружно-
стью (О). Доказать, что если все углы треугольника АВС острые и HI =
=JK, то треугольник равнобедренный.
48*. Пусть (О) — окружность, описанная вокруг треугольника АВС; Р — сере-
дина АС, М — середина ВС, N и Q — точки, в которых AM и ВР пере-
секают окружность (О). Доказать, что если MN = PQ, то треугольник АВС
равнобедренный.
49. Квадраты CDEF и C'D'E'F' вписаны в квадрант ОАМВ окружности (О)
и в соответствующий сегмент АМВ (точки Е, Е', F, F' лежат на дуге АМВ;
стороны EF и E'F' параллельны ЛД), стороны ED и E'D' которых пер-
пендикулярны к хорде АВ и пересекают окружность вторично в точках Ех
и £'. Доказать, что
ЕЕХ = 3ED, АВ = 3E'Df, Е'Е[ = 7E'D'.
50. Угол А в треугольнике АВС равен 120°. Пусть D— точка, в которой бис-
сектриса внутреннего угла А треугольника АВС пересекает ВС; обозначим
через Е и F основания перпендикуляров, опущенных из точки D на сто-
роны АВ и АС. Соединим точки Е и F.
1°. Что можно сказать о треугольнике DEF?
2°. На продолжении AF за точку F откладывают отрезок FS; на про-
должении BE за точку Е откладывают отрезок ЕТ такой, что FS = ET.
Проведем прямые SD, TD и TS. Что можно сказать про треуголь-
ник SDT?
3°. Через точку С проводится прямая, параллельная DA; пусть эта пря-
мая пересечет продолжение ВА в точке М. Что можно сказать про
треугольник АСЛ4?
4°. Зная, что АВ=^с, АС = Ь, найти AD.
51. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, вписанный в окружность с цент-
ром О и радиусом R. Диагональ АС есть диаметр окружности. Противо-
положные стороны АВ и CD пересекаются в точке Е, стороны ВС и DA —
в точке F. Обозначим через Л1 вторую точку пересечения (отличную от С)
окружностей с диаметрами СЕ и CF.
1°. Доказать, что точки Е, М, F лежат на одной прямой; доказать, что
точки А, С, М лежат на одной прямой. Что можно получить отсюда
для окружностей, описанных вокруг треугольников ADE и ABF^
2е Выразить через угол BAD=^z углы В ME и DMF. Установить, что
прямая MCA — биссектриса угла BMD.
3°. I—середина EF и J—середина BD; что можно сказать про тре-
угольник IBD. Установить, что точки О, I, J лежат на прямой ли-
нии и что существует окружность, касающаяся сторон четырехуголь-
ника OBIJ.
4°. Предположим, что АВ — сторона правильного треугольника, вписан-
ного в окружность (О), a AD — сторона квадрата, вписанного в ок-
ружность (О). Выразить в функции R длины х = BE и y = DF.
52. Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ = 3 и АС = 4. По-
строим окружность (О), проходящую через точку А и касающуюся гипо-
тенузы в точке В. Построим окружность (О'), также проходящую через
точку А и касающуюся гипотенузы в точке С.
1°. Доказать, что точки О, А и О' лежат на одной прямой. Доказать,
что окружности (О) и (О') касаются в точке А.
2Э. Доказать, что медиана AM треугольника АВС касается (О') и (О).
3°. Доказать, что ОВ-О/С=АМ2-
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 249
53. Доказать, что если окружность девяти точек касается одной из сторон
треугольника, то этот треугольник равнобедренный. Верно ли обратное
положение?
54*. Даны окружности (О) и (О') с центрами О и О', касающиеся внутренним
образом в точке И. Радиус окружности (О) равен /?, радиус окружности (О')
равен /?'; при этом /?>/?'. Пусть Р — произвольная точка общей каса-
тельной к окружностям (О) и (О') в точке Н. Через точку Р проводят
две секущие; одна пересекает окружность' (О) в точках А и В, другая
пересекает окружность (О') в точках А' и В'.
1°. а) Доказать, что точки А, В, Д', В' лежат на одной окружности (С),
б) Построить центр / этой окружности и показать, что он является
точкой пересечения двух прямых, проходящих через две фикси-
рованные точки.
в) Рассмотреть случай, когда секущие РАВ и РА'В' являются соот-
ветственно касательными РТ и РТ' к окружностям (О) и (О').
Каково в этом случае положение центра / относительно окружно-
стей (О) и (О').
г) Доказать, что . между Ю и /О' существует, в последнем случае,
простое соотношение.
2°. Секущие РАВ и РА'В' перемещаются параллельно самим себе; до-
казать, что центр окружности {АВА'В') при этом фиксирован.
3°. Предположим, что РАВ проходит через О, а РА'В' — через О'-
Доказать, что окружность с диаметром IP проходит через О и О'
[/, как и выше, — центр окружности {АВА'В'}}. На какой линии рас-
полагается центр С окружности (JOO’P), если Р описывает общую
касательную к окружностям (О) и (О'). Пусть А — проекция / на ОО',
К — середина ОО'. Доказать, что К — середина LH. На какой линии
располагается точка / при изменении точки Р?
55*. Пусть Н — основание высоты АН треугольника АВС. Обозначим через /
и J точки, соответственно симметричные точке Н относительно ВА и АС.
Пусть прямая IJ пересекает АВ и АС соответственно в точках С' и В'.
Доказать,'что ВВ' и СС' — высоты треугольника АВС.
56. На полуокружности с диаметром AD, центром О и радиусом R берутся
точки В и С такие, что / АОВ острый, а угол ВОС равен 90°. Пусть АВ
и CD пересекаются в точке Р, а АС и BD — в точке Q.
1°. Доказать, что треугольники ABQ, DCQ, АСР, DBP равнобедренные.
2°. Каковы высоты треугольника APD?
3°. Пусть хорда AB = R. Вычислить в функции R длины отрезков ВС,
BD, BQ QD и CD.
4°. А и D фиксированы; угол ВОС вращается вокруг О. Каково гео-
метрическое место точек Р и Q? Как изменяется отрезок PQ, когда Р
и Q описывают свои геометрические места?
57. Отрезок АВ постоянной длины а перемещается так, что его концы А и В
скользят по полупрямым Ох и Оу, образующим между собою угол 30°.
1°. Пусть С — центр окружности, описанной вокруг треугольника О АВ.
Вычислить в функции а радиус R этой окружности. Что можно ска-
зать про этот радиус, если АВ перемещается? Каково геометрическое
место точек С?
2°. Пусть АА' и ВВ' — высоты треугольника О АВ (А' и В' — основа-
ния этих высот). Доказать, что вокруг четырехугольника А'ВВ'А
можно описать окружность и что радиус этой окружности постоян-
ный. Доказать, что А'В' сохраняет постоянную длину.
3°. Найти геометрическое место центров С' окружности, описанной вокруг
треугольника О А'В'. Пусть Н—ортоцентр треугольника О АВ. До-
казать, что эта точка лежит на окружности, описанной вокруг тре-
угольника О А 'В'. Найти геометрическое место точек Н.
250
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
58*. Дан прямоугольный треугольник АВС, причем £ВАС — 90°. Пусть Н —
основание высоты, опущенной из А. Обозначим через D и Е проекции
точки Н на стороны АВ и АС. Доказать, что вокруг четырехугольника BDEC
можно описать окружность. Пусть АН фиксирована, а треугольник АВС
меняется однако так, что все время / ВДС = 90°. Доказать, что окруж-
ность, описанная вокруг четырехугольника BDEC, проходит через две фик-
сированные точки. Определить положение этих точек.
59*. На прямой (D) даны фиксированные точки А и В. Пусть О — середина АВ,
2а — длина отрезка АВ. Пусть (С) — произвольная окружность, касающаяся
АВ и такая, что касательные к этой окружности, проведенные из точек А
и В (отличные от АВ), параллельны между собой. Пусть Н— точка при-
косновения окружности (С) с АВ и (Д)— прямая, проходящая через Р па-
раллельно касательным х' Ах и у'Ву, проведенным из Л и В к (С).
1°. Построить (С), зная (Д).
2°. Найти геометрическое место точек С, если (Д) вращается вокруг О.
3°. Построить (С), зная радиус R этой окружности.
4°. Построить (С), зная точку Р, в которой прямая АВ пересекает хорду,
общую для окружности (С) и окружности с диаметром АВ.
5°. Пусть IJ — диаметр окружности (О), перпендикулярный АВ. Дока-
зать, что С/ и CJ — биссектрисы углов прямых (Д) и СИ. Доказать,
что касательные к (С), перпендикулярные (Д), касаются соответст-
венно окружностей с центрами / и J и радиусами а.
60**. В плоскости задана окружность (О) с центром О и радиусом R = 30 мм,
а также параллельные прямые (D) и (D') на расстояниях от точки О, соот-
ветственно равных 0/7=50 мм и ОН' = 90 мм, причем ОН • ОН' > 0.
Проведем к окружности (О) параллельные касательные (Д) и (Д'), которые
пересекают (О) и (О') соответственно в точках Л и В и в точках С и D.
Пусть / — точка пересечения AD и ВС. Будем теперь изменять направле-
ние касательных (Д) и (Д') к окружности (О).
1°. Найти геометрическое место точек /.
2°. Доказать, что поляры (J) точек I проходят через фиксированную
точку.
3°. Найти геометрическое место полюсов т. и п прямых AD и ВС от-
носительно окружности (О).
4°. Найти геометрическое место проекций М и N точки О соответст-
венно на прямые AD и ВС.
5°. Доказать, что прямые MN проходят через фиксированную точку,
и найти положение этой точки.
6°. Найти огибающую прямых AD и ВС.
61. Даны фиксированные окружности (Cj) и (С2), лежащие одна вне другой,
с центрами и О2 и радиусами Rr и R2.
1°. Построить окружность (С) радиуса R, ортогональную окружностям
(Cj) и (С2). Каково геометрическое место центров С окружности (С),
если R меняется? Доказать, что при этом все окружности (С) про-
ходят через две фиксированные точки F и Т7'; построить эти точки.
2°. а) Доказать, что всякой точке М соответствует точка М' такая, что
точки Л4 и М' сопряжены относительно каждой из окружностей
(CJ и (С2).
б) Показать, как можно просто построить если известна
точка Л4.
в) Каково геометрическое место точек М и М', если задана длина
ММ' = 1.
3°. Найти геометрическое место точек М' и огибающую ММ' при усло-
вии, что точка М описывает прямую (D), перпендикулярную ОХО2.
4°. Найти геометрическое место точек 714' и огибающую ММ' при усло-
вии, что точка М описывает прямую (D), проходящую через F.
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
251
62*. На сторонах ВС, С А и АВ треугольника определить точки Л4, AZ, Р
такие, что ВМ — MN = NP = РА.
63. Треугольник АВС вписан в окружность (О) с центром О. Окружность (со)
с цент;ом w проходит через О. Построим еще три окружности: (Д), (В),
(С), с центрами А, В, С, равные окружности (О). Доказать, что прямые,
проходящие через точки А, В и С, соответственно параллельные общим
касательным и окружностям (Д) и (со), (В) и (w), (С) и (оз), все касаются
некоторой окружности, которая в свою очередь касается окружности (О).
64*. Даны окружности (OJ и (О2); М и М— точки прикосновения их общей
касательной, а I — точка, в которой прямая MN пересекает линию центров
этих окружностей. Проведем через точку I произвольную секущую, пере-
секающую окружности (OJ и (О2) последовательно в точках А и С, D
и В. Доказать, что прямые AM, CM, BN и DA/ образуют параллело-
грамм MENF. Найти геометрическое место его вершин Е и F, если секу-
щая меняется. Доказать, что окружности (АЕВ) и (CFD) касаются данных
окружностей.
65**. На плоскости задана ось х'Ох, О — начало координат. Пусть О'—точка
этой оси с абсциссой 5. Обозначим через (О) окружность радиуса 1 с цен-
тром О, а через (Oz)— окружность с центром О' радиуса 2.
1°. Пусть —какая-нибудь точка оси х'х. Вычислить в функции
ОМ = х степени Р и Р' точки М относительно окружностей (О)
и (Oz). Вычислить абсциссу точки Н, в которой радикальная ось
окружностей (О) и (О') пересекает ось х'х, и затем степень точки Н
относительно каждой из данных окружностей. Определить М так,
чтобы P' = kP, где k— данное число. Исследовать в зависимости
от значений k. Доказать, что когда имеется два решения М' и М",
эти точки соответствуют друг другу (при изменении k) в одной и
той же инверсии с полюсом Н. Во что преобразуются окружности (О)
и (О') в этой инверсии?
2°. Построить окружность, проходящую через Я, касающуюся окруж-
ности (О) и ортогональную окружности (О'). Пусть (С) — одна из
таких окружностей, а (Г) — какая-нибудь окружность пучка, опреде-
ляемого окружностями (О) и (О'). Доказать, что существует окруж-
ность (Г)' пучка, отличная от (С) и также касающаяся окружности (О).
Построить окружность (Г).
3°. Пусть / — одна из предельных точек определенного выше пучка
окружностей. Какому условию должна удовлетворять окружность (Г)
этого пучка, чтобы существовали две окружности, проходящие через
Н и I и касающиеся окружности (Г). Найти геометрическое место
точек прикосновения этих окружностей с окружностями (Г), если (Г)
меняется с сохранением ограничений на это изменение. Построить
такую окружность (Г), что две окружности, проходящие через И и /
и касающиеся (Г), будут между собою ортогональны. Вычислить
радиус этой окружности (Г).
66**. Пусть (D) и (D') — две параллельные прямые, на первой из которых фик-
сированы две различные точки: О и А. Рассмотрим переменные точки М
и М' прямой (О), симметричные относительно точки А.
Г. Построить окружности (С) и (Cz), касающиеся (D'), проходящие через
точку О и соответственно через точки М и М'. Обозначим точки
прикосновения окружностей (С) и (С') к прямой (D') соответственно
через N и N'. Доказать, что прямые MN и M'N' пересекаются
в фиксированной точке /. Доказать, что вторая точка В пересечения
п окружностей (С) и (С') расположена на фиксированной прямой; найти
,; геометрическое место точек В.
2°. Касательная в точке М к окружности (С) и касательная в точке М'
к окружности (С') пересекаются в точке Р. Доказать, что PI является
252
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
биссектрисой одного из углов между прямыми РМ и РМ' и что
РМ и РМ' огибают фиксированную окружность (Г) с центром I.
Доказать, что точка Р лежит на прямой ГА', где I' — точка, сим-
метричная точке О относительно /, а А' — точка, симметричная О
относительно А, Найти геометрическое место точек Р. Показать, как
найти угол между касательными в точке О к окружностям (С) и (С'),
если задана точка Р. Построить пару точек М и М', симметричных
относительно А, так, чтобы соответствующие окружности (С) и (С')
были ортогональны; сколько решений имеет эта задача?
3°. Над окружностями (С) и (С') производится инверсия (О, О/2); какую
фигуру мы получим в результате этой инверсии? Как построить
точку Q, являющуюся образом точки В в этой инверсии? Использо-
вать эту инверсию для построения пары точек М и М', симметрич-
ных относительно А, для которой окружности (С) и (С') будут орто-
гональны.
67*. Рассмотрим окружность (/) с центром / и радиусом R. Произведем инвер-
сию (/, /?2).
1°. Во что инвертируется окружность (С), ортогональная окружности (/)?
2°. Рассмотрим фиксированную окружность (CJ, касающуюся окруж-
ности (/) в точке О, и окружности (С), ортогональные (/) и касаю-
щиеся (С\). Доказать, что окружности (С) касаются второй линии (С2),
которая, вообще говоря, есть окружность. Пусть Mt и М2— точки
прикосновения окружности (С) с окружностями (CJ и (С2). Что можно
сказать про прямую М1М2, когда окружность (С) изменяется? Как
следует выбрать окружность (Сх) для того, чтобы линия (С2) была бы
прямой линией? Обозначим через ОО' диаметр окружности (/), ориен-
тированный от О к О', а через /?, 7?! и R2— абсциссы точек /,
Ср С2 (О—начало координат). Каково соотношение между R, Rt
и R2?
3°. Определить окружности (CJ и (С2) так, чтобы сумма квадратов
Д+Д была равна -Д где а — данное число. Доказать, что для
R2
всякого значения а, не превосходящего некоторого числа, всегда
существует единственная пара таких окружностей (CJ и (С2). Во что
л н R у
обращается эта пара окружностей, если а = у ?
4°. В частном случае а — определить геометрическое место центров
переменной окружности (С), касающейся (CJ и (С2).
68**. Пусть АВС — переменный прямоугольный треугольник (А — прямой угол),
гипотенуза ВС которого фиксирована. На высоте AD как на диаметре
строится окружность (О') с центром О'. Найти геометрическое место цен-
тра / положительной гомотетии и геометрическое место центра J отрица-
тельной гомотетии переменной окружности (О') и фиксированной окруж-
ности (О), описанной вокруг треугольника АВС, если точка А описывает
всю окружность (О).
69*. В окружности с центром О даны хорды АВ и CD, которые пересекаются
в точке /. Через точку / проведена хорда ЕР, делящаяся в точке / попо-
лам. Соединим точку А с точкой С, а точку В с точкой D. Прямые АС
и BD пересекают ЕР в точках М и 7V. Доказать, что /—середина MN.
70. Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник (АС и BD — диагонали). Инвер-
сия с полюсом А и степенью k преобразует точки В, С, D в точки В',
С', D'. Доказать, что
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 253
Получить аналогичные формулы для C'D' и B'D'. Вывести отсюда необ-
ходимое и достаточное условие
АВ . CD+ ВС • AD АС • BD
того, что вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.
71**. Углом, под которым окружность (О) видна из точки А, называется угол
между лучами, выходящими из точки Д и касающимися окружности (О).
Будем называть окружностью (О) окружность, которая видна из точки А
под прямым углом. Обозначим через Т точку прикосновения одной из каса-
тельных, проведенной из точки А к окружности (О), а через Н—основа-
ние поляры точки А относительно окружности (О).
1°. Найти геометрическое место точек О и Т, если окружности (О) про-
ходят через данную точку В.
2°. Найти геометрическое место точек О, если окружности (О) касаются
фиксированной прямой (А). К какой проблеме сводится построение
окружности (О), касающейся данных прямых (А) и (А')?
~АО
3\ Вычислить отношение —-; построить окружность (О), если задана
АН
точка //.
4С Пусть (OJ и (О2) —две окружности (О), /7t и Н2 — основания поляр
точки А относительно этих окружностей; доказать, что радикальная
ось окружностей (Ог) и (О2) есть медиатриса отрезка НХН2 (рассмо-
треть окружность, проходящую через точки Д, Их> и использо-
вать 3°).
5°. Будем рассматривать окружности (О), ортогональные данной окруж-
ности (со) радиуса р. Доказать, что тогда точка Н остается на фик-
сированной окружности; найти ее центр и радиус. Доказать обратное
положение. Найти геометрическое место точек О.
72***. В настоящей задаче предлагается изучить фигуру, образованную окруж-
ностями (а), ф), (у) с центрами Д, В, С и радиусами Rx, R2t R3, касаю-
щимися внешне попарно друг друга.
Окружности (а) и ф) касаются в точке W, окружности ф) и (*[) — в точке б/,
а окружности (7) и (а) — в точке V. Кроме того, предполагается, что все эти
окружности имеют общую внешнюю касательную (А), точки прикосновения ко-
торой к окружностям (а), ф) и (у) обозначим соответственно Р, Q и Т; все
окружности расположены по одну сторону от прямой (А). Центры Д, В и С
этих окружностей образуют треугольник, который мы назовем треугольни-
ком (Т). Обозначим через 2d длину отрезка PQ.
1. Даны две окружности (а) и ф), касающиеся внешне друг друга в точке IT,
и их общая внешняя касательная (А). Построить (у). Имеется, вообще го-
воря, два решения этой задачи: (у) и (у'); точки прикосновения окружно-
стей (у) и (у') к (А) обозначим соответственно через Т (на отрезке PQ)
ТР Т'Р
и Т' (вне отрезка PQ). Вычислить отношения и . Доказать, что
радиусы окружностей (а), ф) и (у) или (а), ф) и (у') связаны одним из
соотношений
1
-Х + -АЩ.
/ Яз I
(1)
Пусть U и V — точки прикосновения окружности (7) к окружностям (а)
и ф), a U' и V' — точки прикосновения окружности (7') к окружностям
(а) и ф). Доказать, что точки U, V, U'> V' лежат на одной окружности,
и вычислить отношение
UU' • VV'
UV-U'V' •
254
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
II. В этой второй части треугольники (Т) и (Г')» соответствующие окружно-
стям (7) и (7'), переменные, причем фиксированы прямая (А) и точки Р
и Q прикосновения к ней окружностей (а) и (j3). Предложенные ниже воп-
росы следует решать сначала для треугольника (Т), затем для треуголь-
ника (Т'). Все время рассматриваются построения по одну сторону от пря-
мой (А).
1°. Найти геометрическое место точек W и огибающую прямой АВ,
2°. Доказать, что прямая WT проходит через фиксированную точку 2,
а другая — через 2'.
3°. Найти огибающую окружностей (7). Найти геометрическое место цен-
тров С окружностей (7).
4°. Найти огибающую окружности, вписанной в треугольник АВС, Найти
геометрическое место центра / окружности, вписанной в треуголь-
ник АВС. Доказать, что прямая CI проходит через одну или дру-
гую из фиксированных точек.
5°. Найти огибающую прямых АС и ВС. Пусть G — точка прикоснове-
ния АС к огибающей, а Е— точка прикосновения ВС к огибающей.
6°. Найти огибающую прямых IU и IV, Пусть L — точка прикоснове-
ния IU со своей огибающей, а N — точка прикосновения IV со своей
огибающей.
7°. Найти огибающую прямых EL и O7V.
III. 1°. Доказать, что для того, чтобы треугольник АВС был треугольни-
ком (Г), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
ARC
tg^ + tgf 4-tg4 = 2 (2)
или
''14-'г4-''з= 2/’.
где г2, /'3—радиусы вневписанных окружностей, а 2р— периметр.
2°. Доказать, что углы треугольника (Т) будут определены, если задано
отношение ~ = kt где г—радиус вписанной окружности, а 2р— пе-
риметр. Исследовать. Доказать, что значения углов всякого треуголь-
ника (71) заключены один между 0 и ср, другой между ср и у, а тре-
тий между и 6, где ср и 9 — некоторые постоянные углы, которые
требуется определить. Может ли быть треугольник (71) равнобедрен-
ным? Каковы его углы в этом случае?
3°. Доказать, что для того чтобы треугольник АВС был треугольни-
ком (Г), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение
4/?-|-г = 2р, где R — радиус описанной окружности, г — радиус
вписанной окружности, а 2р— периметр.
73. I. а) В ориентированной плоскости заданы точки В и С, Найти геометри-
ческое место точек М плоскости таких, что
(MB, МС) — a ^mod
или, что то же,
(ЛШ, =
где а—заданный угол, п— заданное целое положительное число,
a k — произвольное целое неотрицательное число (& = 0, 1, 2, ...);
через (МВ, МС) мы обозначаем ориентированный угол от неориенти-
рованной прямой МВ до неориентированной прямой МС,
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 255
б) Найти все точки М плоскости, которые удовлетворяют одновременно
двум уравнениям:
(MB. .MC) = o(,n0d;), 55=' .
Эти точки суть вершины выпуклого многоугольника Plt вписан-
ного в окружность; занумеруем их: Л40, Мг, М2, . . . Нумерация произ-
водится в порядке встречи этих точек, если описывать окружность,
на которой они лежат в произвольном направлении. Если соединять
эти точки в порядке Мо, Мр, М2р, . . ., то получим многоугольник Рр.
Как, зная п, следует выбрать р для того, чтобы Pt и Рр имели оди-
наковое тело сторон?*
в) Найти инверсию, в которой точки преобразуются в вершины M'k
правильного многоугольника. Обозначим через и Qp многоуголь-
ники— выпуклый и звездчатый с вершинами Начертить для п = 6
многоугольники Рг и Рр с одной стороны и и Qp с другой.
II. а) Точки В и С фиксированы, а точка А описывает окружность (Г), про-
ходящую через В и С. Найти геометрическое место центров окружно-
стей, вписанных и вневписанных в треугольник АВС. Дать сначала
этому вопросу решение, позволяющее получить сразу все указанные
геометрические места; затем разделить это геометрическое место на
части, описываемые центром вписанной окружности и каждым из цен-
тров вневписанной окружности, противолежащих вершинам Л, В, С.
б) Обозначим теперь через М центр вневписанной окружности, противо-
лежащей вершине Л, а через т— отношение Построить
треугольник ЛВС, зная сторону ВС = а, описанную окружность (Г)
и отношение т. Исследовать.
в) Решить тригонометрически треугольник ЛВС, зная ВС — а, радиус R
описанной окружности и отношение ^^ = т, где М— центр вневпи-
санной окружности, противолежащей вершине Л. Исследовать, считая
О < т < 1.
г) Произведем инверсию с центром С, сохраняющую В. Во что преобра-
зуется фигура, рассмотренная в части II, а)? Как отсюда получить новое
решение II, б)?
74**. Даны окружность (О) с центром О и радиусом R и на ней две фиксиро-
ванные точки: Л и В; / — середина отрезка АВ. Переменная точка М опи-
сывает окружность (О).
1°. Доказать, что ортоцентр треугольника АМВ описывает окружность
(Ot), симметричную (О) по отношению к АВ. Изучить треугольник
amb, образованный основаниями высот треугольника АМВ (а — осно-
вание высоты, выходящей из Л и т. д.), а именно: найти геометри-
ческое место вершин, огибающую сторон и геометрическое место
центра окружности, описанной вокруг треугольника amb. Сравнить
треугольники amb и a'mb', соответствующие двум точкам М и М',
расположенным на одном перпендикуляре к АВ.
2°. Положение точек Л и М на (О) определено углами: (Ох, О Л) за-
фиксировано; (Ох, ОЛ1)=?— переменное, от Ох до радиусов О А
и ОМ, где Ох — ориентированная медиатриса отрезка АВ. Вычислить
площадь треугольника amb в функции а и ср. Для каких положений
* Под точкой МХр, где \р > 2п — 1, мы понимаем точку M}p_2nq, где q — такое
целое положительное число, что
О < Хр — 2nq < 2п — 1.
256
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
/
(А)
Черт. 75.
точки М эта площадь достигает экстремума? Определить М, если
задана величина площади треугольника amb. Исследовать. Вычислить
периметр треугольника amb\ определить М так, чтобы периметр имел
данную величину; исследовать. Дать геометрическое решение этого
вопроса.
3°. Доказать, что окружность (2) с диаметром МН сохраняет свою вели-
чину и остается ортогональной к фиксированной окружности (/).
Пусть (А) и (АД— радикальные оси соответственно окружностей (О),
(2) и (ОД, (2) и пусть (А) и (АД пересекаются в точке J. Как рас-
положена точка J по отношению к треугольнику МНП Каково гео-
метрическое место точек J? Доказать, что (А) и (АД огибают два
эллипса: (е) и (q).
75***. Точка / служит началом отсчета дуг ориентированной окружности с цен-
тром О. Пусть М — точка окружности (С) такая, что ориентированная дуга
IM = a-{-2kTz. С точкой М ассоциируется точка Р окружности (С) такая,
что 1Р = — 21М (черт. 75). Переменную прямую МР обозначим через (А).
Всякая точка окружности (С) может быть и точкой М
(С) и точкой Р.
1°. а) Доказать, что через каждую точку окруж-
ности (С) проходят три прямые (А). Каково
геометрическое место точек пересечения
взаимно перпендикулярных прямых (А)?
Найти прямые (А), касающиеся (С). Доказать,
что существуют еще две точки J и К на
окружности (С), отличные от I, такие, что
по отношению к ним прямая (А) может быть
определена так же, как и по отношению
к точке I.
б) (АД и (А') — две произвольные ортогональные прямые (А), ассо-
циированные с точкой I и пересекающиеся в точке Р{. Рассмотрим
переменную прямую (А), которая пересекает прямую (АД в точке Q,
прямую (А') в точке Qr и окружность (С) в точках Р и М. Дока-
зать, что М — середина QQf. Обратно: пусть Р1М1 и Р±М[— две
взаимно-перпендикулярные прямые, проходящие через точку Pi
окружности (С). Рассмотрим переменную точку Q прямой PrMY и
переменную точку Q' прямой Р±М[ такие, что середина QQ' лежит
на (С). Доказать, что прямая QQf есть прямая (А), ассоциирован-
ная с (С) и с вершиной треугольника, который требуется опреде-
лить.
2°. Пусть (АД— прямая (А), ассоциированная с окружностью (С) и точ-
кой I этой окружности. Доказать, что через какую-нибудь точку Q
прямой (АД проходят еще две прямые: (А) ((А2) и (А3)) — и что для
двух точек D и Е прямой (АД эти прямые совпадают. Доказать, что
эти двойные прямые ортогональные. Вычислить с точностью до 2/гтс
сумму дуг а2, а3, которые характеризуют прямые (АД, (АД, (А3),
проходящие через Q. Доказать, что эта сумма постоянна; обозначим
ее через 9. Обратно: если задана прямая (А,), а прямые (А2) и (А3)
определены дугами а2 и а3 такими, что Д- а2 4-а3 = 9, то прямые
(А2) и (А3) пересекаются в точке прямой (АД.
3°. Пусть (Г) — окружность, описанная вокруг треугольника АВС.
а) Из точки S окружности (Г) опускают перпендикуляры на стороны
треугольника АВС. Пусть С', V и Вг — основания этих перпен-
дикуляров (С'— на АВ, U — на ВС и Вг — на АС). Пусть
И— ортоцентр треугольника. Доказать, что точка А, симметрич-
ная И относительно ВС, лежит на (Г) и что точки В't U, Сг
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
257
лежат на одной прямой. Пусть S' — вторая точка, в которой пря-
мая SU пересекает (Г). Проверить, что прямые S'A и C'UBf па-
раллельны; Доказать, что точки, симметричные с точкой S отно-
сительно сторон треугольника, лежат на одной прямой, которая
проходит через точку И.
б) Пусть V — точка, в которой прямая CfUBf пересекает прямую АН.
Доказать, что прямые UV образуют семейство прямых (Д), ассо-
циированных с некоторой окружностью, которую требуется опре-
делить. Проверить, что все высоты и стороны треугольника АВС
входят в это семейство.
76***. В плоскости даны фиксированные точки О и Я; обозначим через (7) любой
треугольник этой плоскости, для которого точка О является центром опи-
санной окружности, а Н—ортоцентром (т. е. точкой пересечения высот).
Обозначим через А, В, С вершины треугольника (7), а через Q — его
центр тяжести (т. е. точку пересечения медиан).
1°. Определить геометрическое место вершин треугольника (7). Опре-
делить геометрическое место вершин тупоугольных треугольников (7).
Определить геометрическое место вершин тупых углов треуголь-
ника (7). Назовем через (X) всякую прямую, на которой расположена
какая-нибудь сторона треугольника (7). Как можно охарактеризовать
множество прямых (X)? Если на плоскости задана точка Л1, то можно
рассматривать множество прямых (X), проходящих через точку 714.
Найти геометрическое место точек М таких, что все прямые, про-
ходящие через точку М (за исключением одной) суть прямые (X).
Построить треугольник (7), если задана точка М, через которую
проходит сторона ВС, и если задана прямая (pi), на которой распо-
ложена вершина А треугольника (7). Найти затем геометрическое
место точек М, считая прямую (pi) фиксированной, и охарактеризо-
вать множество прямых (pi), считая точку М фиксированной. Построить
треугольник (7), зная, что данная прямая (v) является биссектрисой
одного из его углов (внутренней или внешней). Провести исследование.
2°. Рассмотрим множество треугольников (7), для которых задан радиус 7?
описанной окружности. Определить геометрическое место вершин
таких треугольников (7) и найти огибающие его сторон. Рассмотрим
множество треугольников (7), для которых сторона ВС имеет дан-
ную длину а. Определить геометрическое место вершин А и огибаю-
щую стороны ВС этих треугольников.
77**. Дана окружность (/) с центром / и радиусом г и точка <о, лежащая внутри
этой окружности. Через точку w проведены две взаимно-перпендикулярные
хорды: LN и МР. Пусть Аг — середина хорды LP, а А — точка, в кото-
рой пересекаются касательные к окружности в точках L и Р.
1°. Найти геометрическое место точек А'. Найти геометрическое место
ортогональных проекций точки о> на LP. Найти геометрическое место
точек А. Найти огибающую прямых LP.
2°. Доказать, что касательные к (/) в точках L, М, N, Р образуют впи-
санный четырехугольник.
В плоскости дан выпуклый четырехугольник ABCD, вписанный
в окружность (О) радиуса R, такой, что его стороны АВ, ВС, CD
и DA касаются окружности (/) с центром / и радиусом г соответ-
ственно в трчках L, М, N, Р. Обозначим через Е и F точки пере-
сечения противоположных сторон четырехугольника ABCD, через Ef
и F'— точки пересечения противоположных сторон четырехуголь-
ника LMNP, а через ю — точку пересечения диагоналей LN и МР.
3°. Где находится полюс прямой АС по отношению к окружности (/)?
Доказать, что АС и BD проходят через ш и образуют гармонический
пучок с LN и МР.
17 П. С. Моденов
258 Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
4°. Доказать, что Е, F, Е', F' лежат на одной прямой и образуют гар-
моническую четверку. Установить, что ю есть предельная точка пучка
окружностей, определенного окружностями (/) и (О).
5°* Вычислить угол от прямой LN до прямой МР. Доказать, что пря-
* мне LN и РМ — биссектрисы угла между диагоналями АС и BD.
Доказать, что существует эллипс (Е) с фокусами I и со, касающийся
четырех сторон четырехугольника LMNP.
6°. Показать, что существует бесконечное множество четырехугольни-
ков ABCD, вписанных в (О) и описанных вокруг (/), и что сущест-
вует бесконечное множество четырехугольников, вписанных в (/) и
описанных вокруг (Е). Какое соотношение существует между R, г и
расстоянием 01 =d, если существует четырехугольник, вписанный
в (О) и описанный вокруг (/)?
78*. 1°. Дан треугольник АВС. Плоскость поворачивается вокруг точки А на
угол а, а затем вокруг точки В на угол р. Каковы должны быть углы
аир, при которых точка С в результате останется неподвижной?
Доказать, что произведение следующих вращений:
(Д) с центром А на угол 2 (ЛС, АВ),
(В) с центром В на угол 2 (ВА, ВС),
(С) с центром С на угол 2 (СВ, СА)
(углы считаются ориентированными, прямые — неориентированные),
есть тождественное преобразование, т. е. каждая точка плоскости
остается на месте.
2°. а) Пусть ((d) и (о/) — две равные окружности, пересекающиеся в точ-
ках R и 5. Пусть произвольная окружность с центром R пересе-
кает эти две окружности соответственно в точках Р, Q и Р', Q'.
Доказать, что эти точки можно разделить в пары так, что
(РР, PP') = (PQ, PQZ) = const
(постоянная в смысле независимости величины этого угла от ради-
уса окружности с центром R).
б) Найти геометрическое место середин I отрезков РР' (или QQ').
в) Доказать, что прямая РР7 (или QQ7) проходит через фиксирован-
ную точку.
3°. Пусть М — какая-нибудь точка плоскости, М'— ее образ во враще-
нии (А), определенном в п. 1°, а М” ~ образ точки М' во враще-
нии (В) [тогда М — образ М" во вращении (С)].
а) Вычислить ориентированный угол (М'М, М'М") в функции ориен-
тированного угла (М'А, М'В) (прямые не ориентированы).
б) Найти геометрическое место точек М' при условии, что точки М,
М' и М" лежат на одной прямой.
в) Охарактеризовать это геометрическое место по отношению к окруж-
ности, описанной вокруг треугольника АВС. Найти геометрическое
место соответствующих точек М и М".
г) Используя 2°, показать, что прямая ММ' ME проходит через фикси- .
рованную точку в то время, как точка М' описывает свое геоме-
трическое место.
д) Охарактеризовать положение этой фиксированной точки по отно-
шению к треугольнику АВС.
79*. Даны фиксированные точки О и А, О А — а (а > 0). Окружность (L) про-
ходит через точки О и А.
1°. Определить на окружности (Л) точки М и М' такие, что прямые AM
и AM' одинаково наклонены к прямой О А и что произведение AM'AM'
имеет данную величину Ь2. Исследовать.
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
259
Во всем дальнейшем мы ограничим себя случаем, когда b < а и
когда прямая АО — биссектриса угла между лучами АМ и АМ'.
1Аъ\ будем предполагать, кроме того, что окружность (А), меняясь,
постоянно проходит через точки О и А.
2°. Доказать, что прямая ММ' вращается вокруг фиксированной точки /
и что геометрическое место точек М и М' есть окружность (2).
Пусть о) и а — точки, диаметрально противоположные точкам О и А
относительно (А). Найти огибающую прямых о>Л1, шЛГ, аМ, аМ' и
прямых, симметричных прямой ММ' относительно точек <о и а.
3°. Изучить биссектрисы внутренних и внешних углов треугольников АММ'
и аММ'. Определить центры окружностей, касающихся сторон
каждого из этих треугольников. Найти геометрическое место этих
центров при условии, что (L) меняется, но все время проходит через
точки А и О.
80**. Пусть даны две окружности: окружность (Ct) с центром и радиусом Rt
и окружность (С2) с центром О2 и радиусом R2. Пусть в результате какой-
нибудь инверсии окружности (CJ и (С2) перейдут в окружности (С')и(С').
Обозначим через /?' и Л' радиусы окружностей (CQ и (С'), а через О'
и О'— их центры. Положим OtO2 = d и 0'0' — d'. Доказать, что
2/?Х ~
Уточнить выбор знака в правой части этого равенства (требуется дать
решение, не используя ангармонического отношения четырех точек).
81**. (С)“ фиксированная окружность с центром О и радиусом а. Пусть Ох
и Оу — две полупрямые, образующие угол
(Ох, Оу)=^,
Ot— полупрямая, делящая угол хОу пополам:
(Ox, Ot) = ~.
На полупрямых Ох и Оу взяты точки F и G такие, что OF = OG = с.
Обозначим через (Г) окружность с диаметром FG. Пусть Q — какая-нибудь
точка, лежащая на окружности (F). Всякую прямую FQ, которая пересекает
(Г) в точках Pt и Р2 (различных или совпадающих), назовем прямой (А).
Г. При каких значениях с любая прямая FQ будет прямой (А)? В осталь-
ных случаях FQ будет прямой (А), если точка О находится на неко-
торой дуге окружности (Г). Пусть хорда ар пересекает Ot
в точке А. Найти ОА.
2°. Прямая (А) определяет прямые (7\) и (Т2), соответственно перпенди-
кулярные (А) в точках Рх и Р2. Назовем через Нх и Н2 проекции G
на прямые (7\) и Доказать, что какова бы ни была прямая (А),
сумма G//1 + G//2 остается постоянной.
3°. а) Рассмотрим линию второго порядка (эллипс или гипербола) с цент-
ром О и фокусами F и F' (FF' = 2с). Пусть G и G'— образы
точек F и F' при повороте вокруг точки О на +у- Доказать,
что сумма квадратов расстояний от О и G' до касательной к этой
линии—постоянная при изменении касательной.
17*
260 Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
в) Сформулировать и доказать свойство, обратное предыдущему [3°, а)].
Определить в зависимости от величины постоянной тип линии вто-
рого порядка. Рассмотреть частный случай, когда эта постоянная
равна 2с2.
4°. Доказать, что общие касательные к двум ортогональным переменным
окружностям, центры которых фиксированы, остаются касательными
к некоторой линии (А). Что это за линия? Построить ее и указать
точку прикосновения к (А) общей касательной к двум окружностям.
82. В плоскости фиксированы точки А и Н. Рассмотрим переменный треуголь-
ник с вершиной в А, ортоцентром в Н и такой, что радиус описанной
вокруг него окружности всегда равен высоте, опущенной из А.
1°. Найти геометрическое место середин М стороны, противолежащей
вершине А.
2°. Найти огибающую окружностей, описанных вокруг этого треугольника.
83. На плоскости задан отрезок АВ. Пусть (X) и (рь) — две прямые, ни одна
из которых не проходит ни через А, ни через В и не параллельна АВ.
Пусть эти прямые пересекаются в точке О, которая не лежит на АВ.
Переменная прямая (А), параллельная АВ, пересекает прямые (X) и (pi)
в точках Си/). Найти геометрическое место точек пересечения диагоналей
трапеции, вершины которой А, В, С, D.
84**. Рассмотрим окружность (С) с диаметром А'А —2а и центром О. Каждой
точке Мг окружности (С), проектирующейся на А'А в точку Н, ставится
в соответствие точка М отрезка НМГ такая, что ЕГ/И1 = 2НМ\
1°. Зная М{ и касательную к (С) в точке М19 построить геометрически
точку М и точку Т, в которой касательная в точке М к геометри-
ческому месту (Е) точек М пересекает диаметр А'А. Пусть касатель-
ная МТ пересекает в точке 5 перпендикуляр к АА' в точке А. До-
казать, что OS проходит через середину AM. Построить полюс М'
прямой МТ относительно окружности (С). Установить, что отноше-
ние "=== сохраняет постоянную величину и что касательная в точке М'
к геометрическому месту (Е') точек М' есть поляра точки М отно-
сительно (С).
2°. На касательной (D) в точке А к окружности (С) берется переменная
точка Р. Пусть L — вторая точка пересечения РА' с окружностью (С);
К — проекция L на А'А. Прямая /А, соединяющая точку А с сере-
диной I отрезка KL, пересекает А'Р в точке М, а прямая AL пере-
секает в точке М' перпендикуляр МН к А'А.
_ НМ*
Доказать, что отношение остается постоянным, когда Р
описывает (/)). Чему равно значение этой постоянной? Вывести отсюда
геометрические места (Е) и (Е') точек М и М' и установить их иден-
тичность с линиями, найденными в п. 1°.
3°. Найти геометрическое место точек Q пересечения AM и А'М'. По-
строить полюс 5 прямой AL относительно окружности (С) и дока-
зать, что OS проходит через середину AM. Получить отсюда геоме-
трическое место точек пересечения касательной к (С) в точке L и
касательной в точке М к геометрическому месту точек М. Доказать,
что можно определить точку М', исходя из переменной точки Р' и
касательной (/)') в точке А' к (С), построением, аналогичным тому,
которое определяет точку М, исходя из точки Р.
Каково геометрическое место точек S' пересечения касательной
в точке L к окружности (С) и касательной в точке М' к геометри-
ческому месту точек М'? Какое соотношение существует между дли-
нами отрезков АР и А'Р'? Где находится точка пересечения прямых
РР' и 55'? Получить отсюда огибающую прямых РР'. '
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
261
85. Прямая у'1у является радикальной осью двух окружностей: (О) и (О')\
х'1х— их линия центров, А и В — точки пересечения этих окружностей.
Требуется определить геометрическое место точки пересечения касательной
в точке А к окружности (О) с касательной в точке В к окружности (О')
при условии: __
1°. Если А и В фиксированы, а произведение Ю • Ю' постоянно.
2°. Если центры О и О' фиксированы, а точки А и В меняются
на у'у.
86**. I. Рассмотрим фиксированную прямую (D) и фиксированную точку Р, рас-
положенную от прямой (О) на расстоянии 2d. Обозначим через (О) окруж-
ность, проходящую через Р и пересекающую (О) под углом 6.
1°. Построить геометрически две окружности (О), которые проходят
через заданную точку А прямой (О). Эти две окружности вторично
пересекают (О) в точках В и В'\ пусть их линия центров пересе-
кает (D) в точке Е. Доказать, что
ЁА2—ЁВ -ЕВ'.
2°. Пусть Н — основание перпендикуляра, опущенного из точки Р на (D).
Во что переходит фигура, образованная прямой (О) и совокупностью
двух окружностей (О) в инверсии (Р, PH2)?
3°. Какова огибающая (Л) окружностей (О)? Доказать, что огибающие (Л),
соответствующие различным значениям 6, принадлежат одному и
тому же пучку окружностей; определить предельные точки этого
пучка.
4°. Найти геометрическое место (Г) центров О для одного и того же 0.
Каково расположение (Г) относительно прямой (D)?
5°. Найти геометрическое место (G) полюса / прямой (D) относительно
окружностей (О) для одного и того же 6; исследовать. Доказать, что
‘ положение центра этой кривой (G) не зависит от значения 6.
II. Рассмотрим теперь фиксированную окружность ((d) радиуса р и фикси-
рованную точку Р, расположенную на расстоянии 2d от центра
окружности (со). Пусть (О)—окружность, проходящая через Р и пере-
секающая ((d) под данным углом 6.
1°. Что является огибающей (Е) окружностей (О) для данного значе-
ния 0? Доказать, что огибающие, соответствующие различным значе-
ниям 0, принадлежат одному и тому же пучку окружностей; опреде-
лить характеристические точки этого пучка.
2°. Найти геометрическое место (/7) центров окружностей (О) для одного
и того же значения 6.
87**. Даны фиксированная прямая (А) и фиксированная точка А, не лежащая на
этой прямой. Переменные прямые (D) и (D') проходят через точку А,
пересекают (А) в точках В и С, причем (D, D') — ~.
1°. Найти геометрическое место центра О окружности (Г), описанной
вокруг переменного треугольника АВС, и огибающую окружностей (Г).
Найти геометрическое место центров <о окружности девяти точек
этого треугольника. Найти геометрическое место оснований В' и С'
высот, выходящих из В и С, а также огибающую прямых В'С'.
.2°. Доказать, что окружности (714) и (Л4') с центрами Л4 и Л4', прохо-
дящие через А и касающиеся прямой (А) соответственно в точках В
и С, ортогональны. Найти геометрическое место их центров и вторых
точек Р их пересечения (можно использовать инверсию с центром А).
Найти огибающую линии центров Л4ЛГ. Доказать, что окружность
(ВСР) проходит через фиксированную точку, когда (D) и (О')
меняются.
262
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
3°. Дана парабола (Р) с фокусом F. Через фокус F проводятся два
взаимно-перпендикулярных луча, которые пересекают (Р) в точках М
и М'. Найти геометрическое место проекций точки F на прямую 7ИЛГ,
а также найти огибающую прямых ММ'.
4°. Рассматривая какую-нибудь линию второго порядка и полагая
^MFM' =a=F у. обобщить предыдущие положения.
88**. Даны прямая (£)) и точка F, не расположенная на этой прямой. Пусть
<р— точка, симметричная точке F относительно (£)), Н—ортогональная
проекция F на (D) и А — какая-нибудь точка прямой (D), отличная от Н.
Предлагается изучить линии (С) второго порядка с фокусом F, касающиеся
в точке А прямой (D). Положим FH=d, FA = r.
1°. а) Доказать, что среди линий (С) существует парабола и только одна;
построить ее директрису и ось.
б) Доказать, что вторые фокусы линий (С) в случае, если (С) — цен-
тральные линии, располагаются на прямой (Л), проходящей через А.
Пусть на прямой (А) задана точка; всегда ли она может служить
фокусом некоторой линии (С)? Различить на прямой (Л) точки,
являющиеся фокусами эллипсов (С) и фокусами гипербол (С).
2°. а) Доказать, что директрисы (Д), соответствующие фокусу F линий (С),
проходят через фиксированную точку /; построить эту точку.
б) Построить директрисы (Д), затем вторые фокусы F' линий (С)
с данным эксцентриситетом, не равным 1. Исследовать. Пусть
существуют две различные линии: (Ст) и (С2); доказать, что их
вторые фокусы F' и F'2 гармонически сопряжены по отношению
к двум фиксированным точкам, которые требуется построить.
3°. Пусть (Г') и (Г') — направляющие окружности с центрами F[ и F'
линий (Cj) и (С2) с данным эксцентриситетом е. Уточнить их поло-
жение и показать, что их центр гомотетии не зависит от е.
4°. Ориентируем прямую (А) от А к ср; точку А примем за начало коор-
динат и обозначим через х абсциссу точки F'. Выразить в функ-
ции А, г и х квадрат фокальной оси и эксцентриситет линии (С),
для которой F' — второй фокус. Изучить функцию у — е2 — 1,
когда х изменяется от —со до Построить график этой функ-
ции, полагая г = 2, d=l (за единицу масштаба осей Ох и Оу при-
нять 3 см). Написать уравнение второй степени, которому должен
удовлетворять х, если е дано. Доказать, что если это уравнение
имеет действительные корни, их произведение не зависит от е, и по-
лучить отсюда снова результат окончания 2°, б).
89**. На плоскости фиксированы две точки: F и /, расстояние между которыми
равно d. Рассмотрим множество эллипсов (Е) с эксцентриситетом е, для
которых F — фокус, а директрисой, соответствующей этому фокусу,
является переменная прямая (£)), проходящая через точку /.
1°. Пусть дана директриса (D). Построить вершины А, А', В, В'
эллипса (Е). Обозначая через и угол (D) с IF, вычислить длину боль-
шей оси АА' этого эллипса. Определить (D) так, чтобы АА' имела
данную длину. Исследовать.
2°. Пусть Н — проекция F на (О); доказать, что отношения
FA FA'
•=- и
FH FH
остаются постоянными, когда (О) вращается вокруг I. Найти геоме-
трические места вершин А, А', центра О, второго фокуса F'
эллипса (Е). Что можно сказать о расположении малой оси и второй
директрисы эллипса (Е).
3°. Указать, как изменяется треугольник FOB. Найти геометрическое
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 263
место вершин В и В'. Пусть вершина В выбрана на своем геометри-
ческом месте; определить центр, другие его вершины, второй фокус
и директрисы эллипса (Е), конец малой оси которого совпадает с В.
4°. Проведем через точку I касательные к эллипсу (В); пусть М и М' —
точки прикосновения. Что можно сказать про углы MFI и M'FI?
Какие выводы можно сделать о линии (L), на которой располагаются
Л4 и ЛГ? Возьмем точку М на линии (Л); можно ли построить
директрису (£)) эллипса (В), который касается IM в точке М? Найти
геометрическое место точек М и М'. Исследовать фигуру, образо-
ванную точками Л4, Л4', F и точкой J, в которой (D) пересекает (L).
Пусть (D) задана; доказать, что J есть центр гомотетии окружностей
с центрами М и ЛГ, которые проходят через F. Построить точки М
и М' для данного положения директрисы (D).
Замечание. Для построений рекомендуется взять FI—3 см, е —.
90**. Г. В плоскости даны окружности (С) и (С') с центрами О и О' и ра-
диусами R и /?'; S— их положительный центр гомотетии. Обозначим
через р и р' степени точки S относительно (С) и (О') (будем считать,
что р #= 0 и pf #= 0); обозначим через к степень инверсии с полю-
сом S, которая (С) преобразует в (О'). Доказать, что
R' __k____
R р к ’
2°. Даны точки А, В и С, лежащие на одной прямой (С между А и В).
Обозначим через (ЛВ), (СВ) и (АС) полуокружности с диаметрами
АВ, СВ и АС, расположенные по одну сторону от прямой АВС.
Пусть (D)— прямая, перпендикулярная АВ в точке С. Рассмотрим
окружность (/) с центром I, касающуюся одновременно (АВ), (АС) и (D).
Во что преобразуется окружность (/) в инверсии (Л, АВ • АС)?
Во что преобразуется окружность (/) в инверсии (В, В А • ВС)?
Использовать полученные результаты для построения окружности (/)
и точек прикосновения (/) с (АВ), (АС) и (D).
3°. Решить те же вопросы для окружности (J), касающейся одновре-
менно (ЛВ), (СВ) и (D).
4°. Положим АВ = 2а, АС — 2х, СВ^=2у. Вычислить радиусы Rt и R2
окружностей (/) и (J), используя результаты пункта 1°. Какой вывод
можно сделать отсюда? Где должна находиться точка С для того,
чтобы величины Rt и /?2 имели максимальные значения? Чему равны
эти максимальные значения?
91. В ориентированной плоскости фиксированы прямая (D) и точка F на рас-
стоянии FH = h от (D). Две полупрямые, выходящие из В, пересекают (D)
в точках М и Л4\ причем (FM, FM') = .
о
1°. Уточнить, как могут перемещаться точки М и 714'. Доказать, что
центр С окружности (С), описанной вокруг треугольника FMM',
описывает одну ветвь гиперболы (Н). Указать положение вершины
этой гиперболы, ее центр и асимптоты.
2°. Во что переходит окружность (С) в инверсии (F, Л2)? Изучить изме-
нение фигуры, полученной из (С), в результате указанной инверсии.
Получить отсюда снова результаты пункта 1°.
3°. Найти геометрические места центров 1 и Г окружностей, вписанной
и вневписанной в угол F треугольника FMM'. Сравнить эти геоме-
трические места с геометрическим местом точек С. Построить каса-
тельные в точках / и Г к этим геометрическим местам и найти гео-
метрическое место точек их пересечения.
264
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
92**. 1°. Рассмотрим две взаимно-перпендикулярные оси: х'Ох и у'Оу. Пусть
Р — точка оси х'Ох с абсциссой, равной 1. Переменная прямая (О),
проходящая через точку Р, пересекает биссектрису (А) у — х между
осями х'Ох и у'О у в точке М, а биссектрису (Д') у ——х —
в точке М'.
Пусть (D')— прямая, проходящая через точку Р и перпендику-
лярная (D). Пусть прямая (D') пересекает прямую (Д) в точке /V,
а прямую (Д') — в точке N'. Доказать, что PN — РМ' и PM — PN'.
Доказать, что треугольники PM'N и PN'M могут быть получены
один из другого подобным преобразованием, заключающемся в про-
изведении поворота вокруг Р на гомотетию с центром Р. Доказать,
что окружности, описанные вокруг треугольников PM'N и PN'M,
ортогональны.
2°. Прямая (О) вращается вокруг Р; найти геометрическое место проек-
ций Р на NM' и на MN', огибающую прямых NM' и MN' и гео-
метрическое место точек Q пересечения NM' и MN'.
93**. 1°. Рассмотрим треугольник АВС и точку М, лежащую в плоскости
этого треугольника, но не совпадающую ни с одной его вершиной.
Пусть Q и R — точки, симметричные точке М относительно сторон АС
и АВ.
а) Доказать, что угол, образованный прямыми АМ и медиатрисой QR,
имеет те же биссектрисы, что и угол А треугольника АВС.
б) Пусть АХ, AY, AZ — три прямые, определяемые следующими усло-
виями:
угол (АХ, АМ) имеет те же биссектрисы, что и угол (АВ, АС);
угол (BY, ВМ) имеет те же биссектрисы, что и угол (ВС, В А);
угол (CZ, СМ) имеет те же биссектрисы, что и угол (СА, СМ).
Доказать, что АХ, BY, CZ пересекаются в одной точке М' или
параллельны.
2°. Во всем последующем предполагается, что все углы треугольника АВС
острые и что точка М расположена внутри этого треугольника. Будем
называть точку М', построенную по точке М, так, как это было
указано в п. 1°,—точкой, обратной для М относительно данного
треугольника АВС.
а) Пусть а, р, ?—проекции точки М на ВС, С А и АВ, а а', Р',
7' — проекции М' на те же стороны. Доказать, что точки а, р, у,
а', р', у' лежат на одной окружности; требуется определить поло-
жение центра этой окружности и установить соотношения
аМ • а/М7 = р~М • [РЛ47 = УЛ4-ум7.
б) Какова будет точка, обратная ортоцентру Н треугольника АВС
относительно этого треугольника?
Доказать, что существует эллипс (Е), касающийся сторон
треугольника, для которого Н будет одним из фокусов. Опреде-
лить главную окружность этого эллипса (Е).
в) Пусть касательные, проведенные из точки А' окружности (Г),
описанной вокруг треугольника АВС, к эллипсу (£), пересекают
окружность (Г) вторично в точках В' и С'. Пусть (Е') — эллипс,
касающийся сторон треугольника А'В'С', для которого одним из
фокусов является центр О окружности, описанной вокруг треуголь-
ника АВС. Определить второй фокус эллипса (Е') и его главную
окружность.
94**. Даны две взаимно-перпендикулярные оси: х'Ох и у'Оу; на оси Ох фикси-
рованы точки Я и В с абсциссами, соответственно равными а > 0 и — а.
Через точки А и В проведены прямые a'Au и v'Bv, параллельные у'Оу.
Наконец, на оси Ох фиксирована еще точка F с абсциссой с > а.
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 265
Переменная прямая, проходящая через точку F, пересекает и'Аи в точке а,
a v'Bv— в точке 7. Пусть (С) — окружность с диаметром ау и пусть она
вторично пересекает и'Аи в точке р, a v'Bv— в точке 3. Построим окруж-
ность^'), центр I которой совпадает с центром окружности (С), но которая
касается сторон (3^ и аВ прямоугольника а^уЗ.
1°. Доказать, что касательные, проведенные из F к (С), образуют между
собою постоянный угол 26; выразить sin 6 через а и с; доказать, что
касательные ОТ и ОТ', проведенные из О к окружности (С'), фикси-
рованы, и вычислить угол, между ними; доказать, что окружность (С)
на прямых ОТ и ОТ' высекает хорды постоянной длины.
2°. Пусть поляра точки О относительно окружности (О') пересекает (С)
в точках М и Л/, прямую у'Оу— в точке Н, а прямую IF— в точке К.
Вычислить в функции ординаты у точек этой поляры, а в функции а
ис — следующие величины: О/, HI, НК, радиусы г и R окружно-
стей (О') и (С) и длину отрезка НМ. Найти геометрическое место (Д)
точек К и геометрическое место (Г) точек М и N. Какую роль
играют О, A, Bt F, (Д), ОТ, ОТ' по отношению к (Г)?
3°. Обозначим через J точку, в которой касательная в точке М к окруж-
ности (С) пересекает у'Оу. Вычислить OJ и доказать, что окружность,
описанная вокруг треугольника IMJ, проходит через две фиксирован-
ные точки. Доказать, что окружность (С) касается в точках М и N
линии (Г).
4°. Получить из предыдущих результатов свойства окружностей, центры
которых расположены на мнимой оси гиперболы и которые касаются
этой гиперболы.
95**. А. 1 °. Найти геометрическое место фокусов F линий второго порядка, соот-
ветствующих данной директрисе (Д), если заданы точки Мг и М2,
через которые проходят эти линии.
2°. Найти фокусы F линий второго порядка с заданной директрисой,
соответствующей этому фокусу и проходящей через три данные
точки: Mlt М2, М3.
3°. Предыдущий вопрос, если заданы директриса (Д), две точки М2
и касательная (Г) к линии 2-го порядка в точке М2.
В. Рассмотрим все эллипсы (Е), имеющие данную директрису (Д) и данную
вершину S, не лежащую на фокальной оси (3). Обозначим через S' проек-
цию S на (Д), через (у) — окружность с диаметром SS', через (Г) — окруж-
ность с центром S, проходящую через S'.
i°. Найти геометрическое место фокусов F эллипсов (Е).
2°. Определить эллипсы (Е), которые проходят через данную точку М
и, следовательно, через точку М', симметричную М относительно (3).
Доказать, что, если точка М лежит на окружности (Г), задача имеет
только одно решение; если же М лежит внутри (Г), задача имеет
два решения (можно использовать инверсию с полюсом S).
3°. Доказать, что если точка М описывает (Г), F описывает лишь дугу (7).
Вывести отсюда, что эллипсы (Е) делятся на две группы: (EJ, кото-
рые имеют с (Е) по две общие точки, и (Е2), не имеющие общих
точек с (Г). В каких пределах могут изменяться эксцентриситеты
эллипсов (EJ и (Е2)?
4°. Доказать, что через каждую точку М, лежащую внутри (Г), проходит
по крайней мере один эллипс из группы (EJ.
96**. Даны две взаимно-перпендикулярные оси х'Ох и у'Оу и три точки А(а, 0),
А' (—а, 0), В (О, Ь), причем а>0 и й>0. Переменная прямая (О) вра-
щается вокруг точки В. Обозначим через I, Н, Н' проекции точек О, А
и А' на прямую (О).
1°. Определить геометрическое место точек /, Н и Н'.
266 Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
2°. Доказать, что ЫНН' остается подобным некоторому фиксированному
треугольнику. Каково геометрическое место точек пересечения медиан
этого треугольника?
3°. Обозначим через а угол между векторами ОА и 01 (из соображений
симметрии можно ограничиться рассмотрением лишь следующего
интервала: 0 < а < . Выразить длины АН и А'Н' через a, b и а
(можно, например, спроектировать на ось, определяемую вектором 01,
суммы АВ = АО ~\-ОВ и А'В — А'О -р ОВ, причем следует различать
два случая: прямая (£)) пересекает х'Ох между О и Л и за точкой А).
4°. Определить угол а так, чтобы — k (0 < k < 1 —данное число).
Таким образом, будут найдены две прямые (О); обозначим их через (DJ
и (О2); что можно сказать про четыре прямых: BA', BA, (£\) и (£)2)?
Можно ли определить (£\) и (£)2) геометрически?
97**. Пусть (Р)— данная парабола с вершиной S, фокусом F и директрисой (О).
Переменная прямая (А) постоянно проходит через точку F.
1°. а) Доказать, что, если прямая (А) не совпадает с SF, она пересекает
параболу (Р) в двух точках: Мг и М2; как построить эти точки?
в) Доказать, что точка О, в которой прямая (А) пересекает дирек-
трису (О), гармонически сопряжена с точкой F относительно
и М2.
2°. Обозначим через Нг и Н2 ортогональные проекции точек и Л42
на прямую (D), через (С) — окружность с диаметром МгМ2, а через
(Г)—окружность с диаметром HXH2.
а) Доказать, что окружность (С) остается касательной к фиксирован-
ной прямой, если (А) вращается вокруг (F).
б) Доказать, что окружность с диаметром FO ортогональна окружно-
стям (С) и (Г).
в) Доказать, что точка S имеет постоянную степень по отношению
ко всем окружностям (С).
3°. а) Доказать, что окружность (С) касается фиксированной окружности;
где ее радиус? Центр?
б) Найти геометрическое место середин А4 отрезка Л41ЛГ2, когда (А)
вращается вокруг F. Указать характеристические элементы этого
геометрического места.
98**. Рассмотрим окружность (О) с центром О и радиусом R. Пусть А — фикси-
рованная точка этой окружности. Построим окружность (С) радиуса р
с центром в точке А. Возьмем на окружности (С) точку М и обозначим
через (D) поляру точки М относительно окружности (О).
1°. Доказать, что огибающая прямых (£)), если точка М описывает (С),
есть линия второго порядка (Г), для которой точка О является фоку-
сом. Исследовать в зависимости от значений р тип линии (Г). Дока-
зать, что директриса этой линии, соответствующая фокусу О, есть
касательная в точке А к окружности (О) и что главная окружность
линии (Г) при любом р принадлежит к одному и тому же пучку
окружностей; определить точки Понселе этого пучка.
2°. Изучит^ в зависимости от значений р существование и число общих
касательных к линии (Г) и к окружности (О). Доказать, что если Р
и Q — точки прикосновения одной из таких касательных соответст-
венно с линией (Г) и окружностью (О), то ОР — биссектриса угла AOQ.
99**. В плоскости (Р) заданы две окружности (С) и (С') разных радиусов.
По этим окружностям с одной и той же скоростью, но в противополож-
ных направлениях движутся две точки. Пусть т и т' — положения этих
точек [соответственно на (С) и на (СО] для одного и того же момента
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 267
времени. Предметом исследования настоящей задачи будет изучение семей-
ства медиатрис (D) отрезка тт'.
Часть первая. 1°. Пусть О — середина отрезка СС'. Доказать, что в не-
который момент векторы Ст и С'т' будут иметь прямопротивопо-
ложное направление и что им соответствуют два положения и и v
для первой точки т и положения и' и v' для второй точки т'; uv
и u'v'— диаметры (С) и (С7), причем uv и u'v' имеют противопо-
ложное направление. Обозначим через х'х прямую, проходящую
через О, лежащую в плоскости (Р) и перпендикулярную uv, и пусть
G — точка, симметричная О относительно uv.
2°. Что можно сказать про прямые (О), если точки О и G совпадают?
Этот случай в дальнейшем исключается. Предполагая, таким образом,
OG =# 0, доказать, что симметрия относительно оси х'х, следующая
или предшествующая переносу, определяемому вектором ОО, перево-
дит окружность (С) в окружность (С7) и притом так, что каждое
положение точки т переводится в положение соответствующей точки т'
(окружность (С) может пересекаться с прямой х'х, а может и не
пересекаться).,
3°. Рассмотрим точечное преобразование А, которое произвольной точке р
плоскости (Р) ставит в соответствие точку р', которую мы получим,
производя сначала симметрию в оси х'х с последующим переносом,
определяемым вектором GO. Определить преобразование, обратное
для А; где находится середина отрезка рр'? Могут ли точки р и р'
совпадать? Обозначим через q точку, симметричную р' относительно uv,
а через q' — точку, симметричную р относительно uv\ доказать, что А
переводит q в q'\ доказать, что р и q симметричны относительно G,
а р' и q' — относительно О. Представить преобразование А в виде
произведения симметрии относительно оси на симметрию относительно
точки.
4°. Возвратимся к прямым (D). Требуется найти те из этих прямых,
которые проходят через данную точку р' плоскости (Р); для этого
надо рассмотреть прообраз р точек р' в преобразовании А, и точка т
определится’тогда, как точка пересечения окружности (С) с некоторой
прямой (исследования возможности этого пересечения производить не
нужно). В частности, доказать, что существуют две и только две
прямые (О), проходящие через О; обозначим их через (U) и (У);
определить эти прямые с помощью отрезков ии' и w7.
5°. Какая-нибудь прямая (Р), отличная от (U) и (V) и являющаяся
медиатрисой отрезка тт', пересекает (U) в точке X7, а (V)—в точке р/.
Обозначим через X и а прообразы \' и р/ в преобразовании А, через Хх
и р-i — середины XX7 и р-р-7. Доказать, что медиатрисы XX7 и р-р-7 суть
прямые ит и vm, что точки X7, X, О, и лежат на одной окружности
и что точки^р/, р-р О, v также лежат на одной окружности.
Установить, что треугольники иО\' и р/О-п подобны и имеют
одинаковую ориентацию. Получить отсюда соотношение ОХ'«Ор/ =
= Ои • Ov и получить, что пары полупрямых (Ou, Ov) и (ОХ7, Ор-7)
имеют одну и ту же ось симметрии Х'ОХ. __ _____
6°. Отложим на Х'ОХ противоположно направленные векторы OF и OF',
длина которых OF = OF' == Y Ou • Ov. Доказать, что точки F, F',
X7, р/ лежат на одной окружности. Обратно: если точки X7 на (U)
и р-' на (V) лежат на одной и той же окружности, проходящей через F
и F', и расположены по разные стороны от хорды FF' этой окруж-
ности, то прямая Х'р-' есть прямая семейства (О).
268
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
7°. Рассмотрим гиперболу (И) с фокусами F, F' и асимптотами (U) и (V).
Установить, что А/р/ — касательная к (Н) и что обратно: всякая каса-
тельная к (Н) принадлежит семейству (£)). Вывести это, изучив
огибающую прямых (D).
Часть вторая. В этой части предполагается, что окружность (С) имеет
дугу, лежащую целиком вне гиперболы (Н) (исследования условий
взаимного расположения точек С, С' и ut при которых это будет
так, проводить не надо).
1°. Возьмем точку а' на этой дуге (С). Пусть а — прообраз а' в пре-
образовании А. Построить, исходя из первой части, 4°, касательные
к (//), проходящие через а'\ пусть они пересекают (С) вторично
в точках Ь' и с'. Предположим (что имеет место в случае, если а'
не занимает исключительного положения на указанной дуге), что
точки Ь' и с' отличны от а'. Это построение связано с рассмотрением
точки р окружности (С) такой, что ее образ Р' в преобразовании А
будет симметричен р относительно а'с' и ‘с рассмотрением точки 7
такой, что ее образ 7' в преобразовании А будет симметричен 7
относительно а'Ь'. Пусть рх— середина рр'; 7Х— середина 77',
at — середина аа'. Используя вписанные четырехугольники а'а^
и 6z'^zp7, доказать, что Вывести отсюда, что Ь' симме-
трична р относительно uv, а также, что 7 нс' симметричны относи-
тельно uv.
2°. Пусть а — точка, симметричная а' относительно uv, а'—образ а в пре-
образовании А. Что будет медиатрисой аа'? (вернуться к /, 3°).
Вывести отсюда, что существует бесконечное множество треугольни-
ков а'Ь'с', которые вписаны в окружность (С) и стороны которых
касаются гиперболы (//).
3°. Доказать, что прямые аа', РР', 77' пересекаются в одной точке ср,
расположенной на окружности (С), и что а', Р', 7' симметричны соот-
ветственно а', Ь', с' относительно О. Вывести отсюда, что точка,
симметричная точке ср относительно О, есть ортоцентр треуголь-
ника а'Ь'с'.
100**. Даны отрезок АВ = 2R и полуокружность (Г) с диаметром АВ. Рассмотрим
окружности (со), центр ш которых лежит на полуокружности (Г) и радиус
соА
которых равен -у-.
1°. Найти геометрическое место оснований Н поляр точки А относительно
этих окружностей и доказать, что все окружности (со) ортогональны
одной и той же окружности (С).
2°. Пусть (cdJ и (ш2)— две окружности рассматриваемого семейства, пере-
секающиеся в точках М и N. Доказать, что окружность, описанная
вокруг треугольника MAN, касается АВ, и найти предельные положе-
ния тип точек Ж и ;V при условии, что |кружность (а)х) остается
фиксированной, а (а)2) стремится к (wj. Доказать, что окружность,
описанная вокруг треугольника тАп, проходит через центр о)х окруж-
ности (toj и что прямая Асо есть биссектриса угла тАп.
3°. Рассмотрим инверсию (А, 47?2). Пусть (/) — образ в этой инверсии
какой-нибудь окружности (о>) рассматриваемого семейства, (Д) и
(/2)— образы (wj и (cd2), Р и Q — образы М и Л/, а р и q — пре-
дельные положения точек Р и Q, когда (о>2) стремится к (cdJ. Найти
геометрическое место центров окружностей (/). Доказать, что отно-
шение расстояний от точек р и q до точки А и до касательной к (Г)
в точке В имеет значение (одно и то же для р и q), не зависящее
от выбора окружности (а^). Вывести отсюда, что при изменении (cdJ
эти точки остаются на фиксированной линии второго порядка, и уточ-
нить геометрическое место каждой из этих точек.
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 269
4°. Пусть со' — образ точки в указанной выше инверсии. Доказать,
что окружности, проходящие через Л, ю' и соответственно через р
и q, ортогональны окружности (/t). Вывести отсюда, что окруж-
ность (Д) и линия (Н) касаются друг друга в точках р и q.
101 ***. В этой задаче предлагается изучить некоторые свойства плоских фигур,
расположенных в данной ориентированной плоскости. Фигуру, образован-
ную тремя точками, будем называть ориентированной, если эти точки взяты
в определенном порядке; две такие фигуры: Л, В, С и Р, Q, R — будем
называть прямо (или обратно) подобными, если точки Л, В, С могут быть
переведены соответственно в точки Р, Q, R прямым подобием (соответст-
венно — обратным подобием).
Рассмотрим в плоскости три фиксированные точки: Л, В, С, не лежащие
< на одной прямой. Обозначим через (О) окружность, описанную вокруг треу-
гольника ЛВС; О — центр этой окружности; ЛХ, В К, CZ — касательные в
точках Л, В, С к окружности (О) и /, J, К — точки, в которых эти каса-
тельные пересекают ВС, СА и ЛВ. Обозначим через В, Q, R три точки,
выбранные соответственно на прямых ВС, СЛ и ЛВ, а через (В, Q, R) — фи-
гуру, которую они определяют (треугольник или три точки, лежащие на
одной прямой, — безразлично).
I. 1°. Доказать, что если точки В, Q, R отличны от вершин треуголь-
ника ЛВС, то окружности (AQR), (BRP), (CPQ) имеют общую
точку В. Во что обращается это предложение, если одна из точек В,
Q, R стремится к совпадению с одной из точек Л, В, С? Будем
говорить, что таким образом определенная точка В ассоциирована
с фигурой (В, Q, В).
2°. Доказать, что и обратно: данной точке В плоскости можно поставить
в соответствие семейство фигур (В, Q, В), ассоциированных с этой
точкой В, причем одна из точек В, Q, В может быть выбрана про-
извольно (на соответствующей прямой ВС, СЛ или ЛВ). Будем гово-
рить, что фигуры (В, Q, В), так определенные, все ассоциированы
с точкой В.
3°. Пусть (В, Q, R) — одна из фигур, ассоциированная с точкой В; устано-
ви^ соотношения, которые существуют:
мё5кду ориентированными углами
(ВВ, ВС), (BQ, СЛ), (ВВ, ЛВ);
между ориентированными углами
(BQ, ВВ), (ВВ, ВС), (ЛВ, АС);
между ориентированными углами
(ВВ, QR) и (ВЛ, АХ).
4°. Доказать, что необходимое и достаточное условие того, что фигуры
(В, Q, В) образованы тремя точками, лежащими на одной прямой,
заключается в том, что точка В, ассоциированная с этой фигурой,
лежит на окружности (О).
11.1°. Пусть точка В отлична от Л, В, С и лежит на окружности (О).
п BQ
Доказать, что отношение имеет одно и то же значение для всех
ВВ ’
фигур (В, Q, В), ассоциированных с В. Во что обращается это
утверждение, если точка В стремится к одной из вершин: Л, В или С?
2°. Дано число т. Доказать, что на окружности (О) существует точка В
рп
такая, что отношение =~~> соответствующее ей, равно т. Дать
построение точки. В. Рассмотрим две точки окружности (О), для
которых это отношение равно т и — tn. Доказать, что прямая, про-
ходящая через эти две точки, проходит через фиксированную точку,
270
Планиметрия. Гл. XX, КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
когда т изменяется. Где будут находиться точки S для zn»=—1,
2 и
III. В этом разделе мы будем предполагать, что точка § не лежит на окруж-
ности (О). Через (Р, Q, Я) мы будем обозначать здесь ориентированный
треугольник, вершины которого взяты в том порядке, как они записаны.
1®. Доказать, ЧТО если точка 5 фиксирована, то все треугольники
(Я, Q, Я), ассоциированные с S, подобны и одинаково ориентированы
С фиксированным треугольником. Пусть S и S' — две соответствующие
друг другу точки в инверсии с центром О, сохраняющей окруж-
ность (О). Доказать, что два каких-нибудь ориентированных тре-
угольника (Р, Q, R) и (Я', Q', Я'), первый из которых ассоциирован
С S, а второй — с S', будут противоположно ориентированы.
2®. Пусть дан ориентированный треугольник (Г); доказать, что существует
точка 5 такая, что ориентированный треугольник (Я, Q, Я), с ней
ассоциированный, будет подобен треугольнику (Т) и одинаково с ним
ориентирован. Построить, в частности, S, если (Р, Q, Я)— равно-
сторонний треугольник.
3°. Определить все точки S такие, что ассоциированные с ней треуголь-
ники (Р, Q, Я) будут подобны и одинаково или противоположно
ориентированы с ориентированным треугольником, полученным из дан-
ного треугольника АВС всевозможными (шестью) порядками его
вершин. Если треугольник АВС не равнобедренный, то, таким образом,
будут получены одиннадцать точек, среди которых будут О, I, J, К.
Показать, что пять из указанных одиннадцати точек будут лежать
на одной прямой, а шесть остальных — на окружности, проходящей
через точку О. Каковы будут эти точки, если АВС — равносторонний
треугольник? В общем случае пусть и — точки, с которыми
ассоциированы ориентированные треугольники (Я, Q, R), подобные
и одинаково ориентированные с ориентированными треугольниками
(В, С, А) и (С, А, В). Доказать, что. например, Si можно охаракте-
ризовать равенством углов (ВС, BS$, (СА, CSr), (АВ, ASJ и что
Si и S2 — фокусы линий второго порядка, касающихся ВС, С А
и АВ. Обозначая через а, В, у, алгебраические значения углов
(АВ, АС), (ВС, ВА), (СА, СВ) и (вС, BSJ, доказать, что
ctg (р = ctg а 4- ctg р 4» ctg 7
(можно сначала установить соотношение
4а ctg 0 = j/2 г2 — х2
для треугольника с площадью с и сторонами х, у, %, где 0 —угол,
противолежащий стороне х).
IV. I9. Точка S фиксирована [расположена на (О) или нет —безразлично].
Какова будет огибающая прямых PQ, соответствующая всем фигурам
(Р, Q, Я), ассоциированным с S?
2°. Точка 5 фиксирована на окружности (О) и отлична от точек А, В, С.
На каждой прямой PQR, ассоциированной с S, рассматривается
точка М такая, что
PM^WQ,
где X — данное число. Каково геометрическое место (Д) точек М?
Какова будет огибающая линий (£), если X меняется?
З9. Точка S фиксирована и не лежит на окружности (О). Найти геоме-
трические места центров описанных окружностей, ортоцентров, центров
тяжестей треугольников (Р, Q, R), ассоциированных с S. Можно ли
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
271
выбрать точку 5 так, чтобы для одного из ассоциированных с ней
треугольников (Р, Q, R) она была бы:
а) центром окружности, описанной вокруг треугольника PQR?
б) его ортоцентром?
в) его центром тяжести?
V. Точка S фиксирована, но не расположена ни на одной из прямых ВС,
СА и АВ.
Г. Рассмотрим инверсию с полюсом S. Изучить переменную фигуру,
образованную образами точек Р, Q, R в указанной инверсии для
фигур (Р, Q, R), ассоциированных с S.
2°. Рассмотрим полярное преобразование относительно окружности с цен-
тром 5. Изучить переменную фигуру, образованную полярами точек
Р, Q, R д,ля фигур (Р, Q, R), ассоциированных с S.
Глава XXI
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
1. Найти треугольник, стороны и площадь которого выражаются тремя после-
довательными числами.
2. Заключить квадрат со стороной а в равносторонний треугольник возможно
меньших размеров.
3. Построить внутри квадрата со стороной а равносторонний треугольник
возможно больших размеров.
4. Поместить внутри квадрата со стороной а правильный шестиугольник воз-
можно больших размеров. Найти сторону шестиугольника.
5. Поместить внутри правильного шестиугольника со стороной а квадрат
возможно больших размеров. Найти сторону этого квадрата.
6. Пользуясь циркулем и линейкой, соединить прямой линией точки А и В,
если длина линейки меньше расстояния ЛВ.
7. Квадрат со стороной а разрезать на 4 части так, чтобы из них можно
было составить тетраэдр.
8. Имеется шахматная доска с обычной раскраской (границы считаются окра-
шенными в черный цвет). Начертить на ней окружность наибольшего
радиуса, целиком лежащую на черном, и доказать, что большей начертить
нельзя.
9. Из прямоугольника ABCD вырезается квадрат APQRA. Найти при помощи
линейки центр тяжести оставшейся части.
10. Доказать, что любые четыре касательные, проведенные к окружности
через две сопряженные точки, делят любую пятую касательную гармо-
нически.
11. На плоскости дана квадратная сетка, причем сторона наименьшего квад-
рата равна 1 см. Дана плоская ограниченная фигура, площадь которой
меньше 1 см2. Доказать, что какова бы ни была форма этой фигуры, ее
можно наложить на сетку так, что ни одна из вершин квадратов сетки
не попадет на фигуру.
12. Исследовать покрытия плоскости правильными многоугольниками, удовле-
творяющие следующим условиям:
а) плоскость покрыта правильными многоугольниками сплошь — без про-
светов и двойных покрытий;
б) вокруг всех вершин правильные многоугольники расположены одним и
тем же способом, т. е. вокруг всех вершин в одном и том же порядке
следуют правильные многоугольники одних и тех же наименований;
например, если вокруг одной вершины многоугольники расположены
в последовательности: треугольник — квадрат— шестиугольник — квадрат,
то и вокруг всякой другой вершины того же покрытия многоугольники
расположены в той же последовательности: треугольник — квадрат —
шестиугольник — квадрат.
13. Даны четыре прямые: a, b, с, dt попарно пересекающиеся в шести точках.
Доказать, что:
а) эти четыре прямые, взятые по три, образуют четыре треугольника (1),
у которых все четыре описанные окружности проходят через одну и
ту же точку Р;
Планиметрия. Гл. XXI. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
273
б) центры этих четырех окружностей и точка Р лежат на одной окруж-
ности;
в) основания перпендикуляров, опущенных из точки Р на прямые at Ь.
с, d, лежат на одной прямой г; это свойство принадлежит исключи-
тельно точке Р;
г) ортоцентры всех четырех треугольников (Г) лежат на одной прямой г'\
д) прямые г и г' параллельны;
е) прямая г проходит через середину перпендикуляра, опущенного из точки Р
на прямую г';
ж) середины диагоналей полного четырехугольника, образованного прямыми
а, Ь, с, d, лежат на одной прямой г"\
з) прямая г" перпендикулярна прямым г и г';
и) для каждого из четырех треугольников (1) существует один вписанный
и три вневписанные круга, что дает всего шестнадцать кругов; центры
этих шестнадцати кругов лежат по четыре на восьми новых кругах;
к) эти восемь новых кругов разделяются на две группы так, что каждый
из четырех кругов одной группы пересекает ортогонально все круги
другой группы; центры кругов обеих групп лежат на двух взаимно-
перпендикулярных прямых;
л) эти последние прямые пересекаются в точке Р,
РАЗДЕЛ II
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Глава XXII
ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Прямые и плоскости в пространстве
1. Из внешней точки проведены к плоскости две наклонные; их проекции
на'эту плоскость равны а и b(a>b), а разность углов наклона к пло-
скости равна 45°. Определить расстояние от общей точки наклонных
до плоскости.
2. Из точки А, не лежащей на плоскости, проведены к ней две взаимно пер-
пендикулярные наклонные: АВ и АС, образующие с плоскостью углы 15°
и 75°. Найти углы В и С треугольника АВС.
3. Точка А лежит на данной плоскости. Точка В лежит вне данной плоскости.
Пусть Н — основание перпендикуляра, опущенного из точки В на данную
4
плоскость. Дано АВ — ВН-^^. Через прямую АВ проведена плоскость,
образующая с данной плоскостью угол в 30°. Найти угол между АВ и
прямой, по которой пересекаются данная плоскость с плоскостью, прове-
денной через АВ.
4. В прямоугольном треугольнике дана гипотенуза а и острый угол, равный 30°.
Определить расстояние от вершины прямого угла до плоскости, которая
проходит через гипотенузу и наклонена к плоскости данного треугольника
под углом 45°.
5. Параллелограмм и плоскость тс расположены так, что одна из меньших
сторон параллелограмма находится в плоскости тс, а противоположная ей
удалена от плоскости тс на расстояние, равное расстоянию между большими
сторонами параллелограмма. Определить угол между плоскостью тс и пло-
скостью параллелограмма, если длины сторон параллелограмма относятся
как 1:2.
6. Через две точки, находящиеся в данной плоскости на расстоянии, равном а,
проведены наклонные под углом 45° к плоскости. Определить расстояние
между ними, если расстояние между их проекциями на данную плоскость
равно Ь.
7. Даны плоскость тс и прямая АВ, удаленная от нее на расстояние а. Через
точку А проводятся прямые, перпендикулярные АВ, образующие с данной
плоскостью углы 45° и 30° и пересекающие эту плоскость в точках Р и Q.
Найти длину отрезка PQ.
8. Отрезок АВ параллелен данной плоскости тс. Из его концов восставлены
к нему перпендикуляры под углами 45° и 30° к данной плоскости. Опре-
делить расстояние от данного отрезка до данной плоскости., если его длина
равна а, а расстояние между точками пересечения плоскости с проведенными
перпендикулярами равно Ь.
$ 2. ТРЕУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
275
9, Не ребре двугранного угла 120° взят отрезок с и из его концов восста-
влены к нему в различных гранях перпендикуляры а и Ь. Определить
длину прямой, соединяющей концы этих перпендикуляров.
10» В трехгранном угла все плоские углы равны 46°. Найти расстояние от точки
до_вершины данного угле, если она находится на расстояниях, равных
от каждой грани.
11. В трехгранном угла SABC углы ASB и ASC равны между собой; угол BSC
равен 90р; ребро SA образует е гранью BSC угол 60°, На ребрах SB
и SC отложены равные отрезки SA1 и SN и через М и /V проведена
плоскость, дающая в сечении с гранями правильный треугольник. Опре-
делить угол между проведенной плоскостью и гранью MNS.
12. Основанием пирамиды служит квадрат. Двугранные углы при основании
относятся, как 1 : 2 5 4 : 2. Определить эти углы.
§ 2. Треугольная пирамида
1. Трехгранный угол, все плоские углы которого прямые, пересечен пло-
скостью, удаленной от вершины на о и отсекающей равные отрезки на ребрах.
Найти объем полученной пирамиды.
2. Плоскость отсекает на ребрах трехгранного угла, все двугранные углы
которого прямые, отрезки, составляющие арифметическую прогрессию с раз-
ностью 4 см. Найти размеры отрезков, если объем образовавшейся пира-
миды равен 140 см3.
8. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, а боковое
ребро равно Ъ. Плоскость, параллельная боковому ребру и скрещивающейся
с ним стороне, рассекает данную пирамиду по квадрату. Найти сторону
этого квадрата.
4. В треугольной пирамиде одна из сторон основания равна 16 см; противо-
положное ей боковое ребро равно 18 см; каждое из остальных четырех
ребер равно 17 см, Определить объем этой пирамиды,
5. Через одно ребро основания правильной треугольной пирамиды со стороной
основания q проведена плоскость перпендикулярно противоположному боко-
вому ребру. Определить полную поверхность пирамиды, если указанная
плоскость делит боковое ребро в отношении т; и.
6. Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды в k раз больше
площади основания, Найти объем пирамиды, если площадь круга, вписан-
ного в основание, численно равна радиусу этого круга.
7. Секущая плоскость делит боковые ребра треугольной пирамиды в othq.
шениях (считая от вершины)
TTZj /Яд /Ид
~П\* ~п^’
В каком отношении эта плоскость разделит объем пирамиды?
8. Дан тетраэдр ОЕ^Е* причем OEt ОЕ2 ОЕ$. На продолжении ребер
ОЕ\, ОЕ9 за точки Elt Е3, Е3 взяты точки Oit Qa, О9 на расстояниях,
соответственно равных х, у, z от точки О. Построен параллелепипед, для
которого отрезки OQj, ОО2 и 0О3 являются ребрами, а из точки О про-
ведена диагональ, встречающая плоскость треугольника Е^Е^Ез в точке М.
Найти отношения: пл. ДЛП?2/?3: пл. ДЛ4£3/ч : пл. ДА4ДЕ2.
9. На боковых ребрах тетраэдра SABC отложены соответственно отрезки
AA1^si2, ВВ^^Ъ, Плоскость, проходящая через эти точки,
делит объем тетраэдра в отношении 1 : 8. Определить боковые ребра тетра-
эдра, если известно, что они равны между собой.
10. В правильной треугольной пирамиде, сторона основания которой равна а,
а боковое ребро равно 2п, через середину бокового ребра перпендикулярно
к нему проведена плоскость. Определить площадь образующегося сечения.
276
Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
И. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Вершина
пирамиды удалена от плоскости ее основания на расстояние, равное 24,
и проектируется на эту плоскость в точку, лежащую внутри основания.
Найти ребро куба, четыре вершины которого лежат в плоскости основания
данной пирамиды, а ребра, соединяющие эти вершины, параллельны соот-
ветствующим катетам треугольника, лежащего в основании пирамиды. Четыре
другие вершины куба лежат на боковых гранях данной пирамиды.
12. Вершина треугольной пирамиды проектируется в центр нижнего основания.
Через середину высоты проведены четыре плоскости, параллельные осно-
ванию и боковым граням пирамиды. Площади сечения равны соответственно
$!, $2, $3 и $4. Найти полную поверхность пирамиды.
13. В основании АВС треугольной пирамиды SABC взята точка Ж и через
нее проведены прямые, параллельные ребрам S4, SB и SC, до встречи
с гранями SBC, SCA и SAB соответственно в точках Р, Q и /?. Полагая
54 = a, SB = b, SC = с,
МР=х, MQ — y, MR = z,
найти сумму
а b ‘ с ’
14. Найти объем правильной треугольной усеченной пирамиды, если известны
длина I средней линии боковой грани и расстояние d между центрами впи-
санного и описанного шаров.
15. Ребро правильного тетраэдра равно а. Найти стороны, периметр и площадь
сечения, параллельного двум его скрещивающимся ребрам и отстоящего
от центра тетраэдра на расстоянии Ь, причем
0< Ъ <
16. Определить объем тетраэдра, если противоположные ребра его попарно
равны а, b и с.
17. Ребро ВЛ пирамиды SABC перпендикулярно плоскости ее основания. Вычи-
слить площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через А, парал-
лельной ВС и перпендикулярной грани SBC, если
S4=1, XB = i. лс=-!1, вс=1.
18. Площадь боковой грани правильной треугольной пирамиды равна s. Найти
площадь сечения, проведенного параллельно боковой грани через:
а) точку пересечения медиан основания;
б) через середину высоты основания;
в) через середину высоты пирамиды.
19. Площадь сечения правильной треугольной пирамиды, проходящего через
вершину и перпендикулярного медиане основания, равна $. Найти площадь
сечения, перпендикулярного медиане основания, делящего ее в отношении:
а) 1 : 1; б) 1 : 2; в) 1 : 5.
20. Основанием пирамиды с равными боковыми ребрами служит прямоугольный
80
треугольник, катеты которого равны 5 и 12; высота пирамиды равна -jy.
Найти площадь сечения, параллельного гипотенузе основания и не встре-
чающемуся с ней боковому ребру, если секущая плоскость делит катеты
основания в отношении 4:1, считая от вершины прямого угла.
21. Вершины двух равных и правильных треугольных пирамид, объем каждой
из которых равен v, находятся в различных концах их общей высоты,
причем боковые ребра одной пересекают апофемы другой. Найти объем
тела, ограниченного боковыми гранями этих пирамид.
§ 3. МНОГОУГОЛЬНЫЕ ПИРАМИДЫ
277
22. Прямоугольный треугольник АВС (Л = 90°) проектируется на плоскость Р
в равнобедренный треугольник abc. Дано ab = ac — lt /_Ьас= 120°. Рас-
стояния от точек В и С до плоскости Р равны 2 см, расстояние от точки А
до плоскости Р больше, чем 2 см.
Г. Вычислить расстояние от точки А до плоскости Р. Во всем после-
дующем I = 3 ]^2 см.
2°. Вращением вокруг прямой, по которой пересекаются плоскость АВС
и плоскость Р, плоскость треугольника АВС совмещается с пло-
скостью Р. Начертить на плоскости Р треугольник abc и тот тре-
угольник ахЬхси с которым при указанном вращении совмещается
треугольник АВС.
3°. Вычислить объем пирамид аВЬсС и аАВс.
4°. Вычислить расстояние от точки а № плоскости АВС.
23. 1°. В треугольнике АВС /_А = 60°. Вычислить сторону а и площадь s
в функции b и с.
2°. В тетраэдре SABC
£ASB = /_BSC = £CSA = 00°\
пусть
SA = a, SB = b, SC = c.
Показать, что необходимое и достаточное условие того, что
ВС = a]f 10 выражается некоторым соотношением между а, Ь, с
[назовем это соотношение соотношением (1)]. Показать, что необхо-
димое и достаточное условие того, что треугольник АВС прямо-
угольный с прямым углом Л, также выражается некоторым соотно-
шением между a, b и с [это соотношение между а, b и с назовем
соотношением (2)].
3°. Пусть задана длина а ребра доказать, что можно определить
в функции а выражения Р — bc и S = ПРИ условии, что соот-
ношения (1) и (2) одновременно выполнены. Вычислить в функции а
значения b и с при условии, что
/ВДС = 90°, ВС = а / Тб.
4°. Вычислить в функции а полную поверхность тетраэдра в последнем
предположении.
§ 3. Многоугольные пирамиды
1. Основание пирамиды — прямоугольник, площадь которого 1 м2; две боковые
грани перпендикулярны площади основания, а две другие наклонены к нему
под углом 30° и 60°. Найти объем этой пирамиды.
2. Из середины высоты правильной четырехугольной пирамиды опущены
на боковое ребро перпендикуляр, равный ft, и перпендикуляр на боковую
грань, равный Ь. Найти объем пирамиды.
3. Основанием усеченной пирамиды служит прямоугольник, причем точки пере-
сечения диагоналей оснований находятся на одном перпендикуляре к пло-
скости основания. Стороны одного прямоугольника 54 см и 30 см, а пери-
метр другого 112 см. Расстояние между их плоскостями равно 12 см.
Определить боковую поверхность этой пирамиды.
4. Площадь сечения, проходящего через диагональ основания правильной
четырехугольной пирамиды параллельно не встречающемуся с ней боковому
ребру, равна $. Найти площадь сечения, проходящего через середины двух
смежных сторон основания и середину высоты.
278 Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
5. В основании четырехугольной пирамиды лежит параллелограмм. Через одну
из его сторон и среднюю линию противолежащей грани проведем плоскость.
В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?
6. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, боковое
ребро образует с высотой угол 30°. Построить сечение, проходящее через
вершину основания перпендикулярно противолежащему ребру, и найти
его площадь.
7» Две четырехугольные пирамиды имеют общим основанием квадрат со сто-
роной а и расположены по одну сторону от их общего основания. Высоты
их равны Л и проходят через середины противоположных сторон квадрата
основания. Найти объем общей части этих двух пирамид.
8. Вычислить объем общей части двух пирамид с одинаковой высотой Л, если
общим их основанием служит квадрат со стороной а, а высоты проходят
через противоположные вершины квадрата основания.
9. Площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды, перпендикулярного
стороне основания в ее середине, равна $. Найти площадь сечения, пер-
пендикулярного стороне основания и делящего его в отношении 1 : 5.
10. Площадь боковой грани правильной четырехугольной пирамиды равна $.
Найти площадь сечения, параллельного боковой грани и делящего площадь
основания в отношении 1) 1:1; 2) 1:3.
11. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 2, высота
равна 4. Вычислить площадь сечения, проходящего через середины двух
смежных сторон основания и середину высоты.
12. Диагонали оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды
равны 1 и 3, диагональ пирамиды равна 7. Найти площадь двух парал-
лельных сечений, одно из которых проходит через диагональ пирамиды
параллельно диагонали ее основания, а другое —через середину оси.
13. Основанием пирамиды SABCD служит параллелограмм со сторонами АВ — 15,
ДО =13 и диагональю 50=14. Ребро 5Л перпендикулярно плоскости
основания и равно 48. Через А проведена плоскость, параллельная BD и
делящая 5С в отношении 57И: Л4С=3 : 2. Найти площадь сечения.
14. Площади верхнего и нижнего оснований усеченной пирамиды равны и s2.
Определить площадь среднего сечения.
15. Правильная пятиугольная пирамида SABCDE пересечена плоскостью, про-
ходящей через вершины А и С основания и середины ребер DS и ES.
Найти площадь сечения, если ребро основания пирамиды равно q, а боко-
вое ребро равно Ь.
16. Площадь сечения, проходящего через высоту правильной шестиугольной
пирамиды и большую диагональ ее основания, равна $. Найти площадь
сечения, перпендикулярного апофеме основания в ее середине.
17. Площадь сечения, проведенного через меньшую диагональ основания пра-
вильной шестиугольной пирамиды параллельно ее высоте, равна $. Найти
площадь сечения, перпендикулярного стороне основания и делящего ее
в отношении 1 : 3.
18. Стороны оснований правильной шестиугольной усеченной пирамиды равны
а и За; расстояние между двумя параллельными ребрами, лежащими в пло-
скостях различных оснований и различных боковых граней, равно Ь. В пира-
миде проведены два параллельных сечения: одно проходит через упомянутые
ребра, другое — через середину оси. Найти площади сечений.
19. Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна
Найти площадь сечения, параллельного боковой грани и проходящего через:
а) центр основания; б) середину высоты.
20. Меньшие диагонали оснований правильной шестиугольной усеченной пира-
миды А1А2А3А±АьАъВ1В2В3В4ВъВв равны d и 2^; большая диагональ пира-
миды равна D. Найти площадь сечения, проведенного через парал-
лельно Л2Л6.
§ 4. призмы
279
21. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно I,
меньшая диагональ основания равна d, Найти площадь сечения, параллель-
ного SXi и Л2Дб, если отношение : ЖЛ4, в котором секущая пло-
скость делит ЛХЛ4, равно:
а) 3: 1, б) 1 ; 1, в) 1 : 3, г) 1 : 7.
§ 4. Призмы
1. Основание наклонной призмы — треугольник, стороны которого 35, 21, 28,
а расстояние между двумя ее основаниями 59. Определить объем.
2. В правильной треугольной призме ABCAiBiCi через сторону основания АВ
и противолежащую ей вершину Ct проведена плоскость. Вторая плоскость
проведена через сторону AtBt и вершину С. Найти отношение объемов
частей призмы, на которые ее разбивают проведенные плоскости.
3. Основанием наклонной призмы служит правильный треугольник со сторо-
ной а, длина бокового ребра равна Одно из боковых ребер образует
с прилежащими сторонами основания угол в 45°. Определить боковую
поверхность этой призмы.
4. Стороны основания прямой треугольной призмы равны соответственно 6,
8 и 4 /б. Через вершину большего угла основания проведено сечение призмы,
имеющее форму равностороннего треугольника. Найти периметр сечения.
5. Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равна 1;
высота призмы равна радиусу круга, вписанного в основание. Найти пло-
щадь сечения, проходящего через середины ребер AAlt АхВг и АС,
6. Каждое из оснований правильной призмы служит основанием пирамиды,
вершина которой находится в центре тяжести другого основания призмы.
Как относится объем тела, ограниченного боковыми гранями пирамид,
к объему призмы?
7. Перпендикулярные сечения двух призматичных поверхностей суть равные
правильные треугольники со стороной а. Найти объем тела, ограниченного
этими призматическими поверхностями, если
а) оси поверхностей пересекаются под прямым углом, а плоскости двух
граней совпадают;
б) одно из ребер каждой поверхности пересекает два ребра другой поверх-
ности под прямым углом.
8. Определить полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если
ее диагональ равна 14' см, а диагональ боковой грани равна 10 см,
9. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 15 см, высота
призмы равна 20 см. Найти кратчайшее расстояние от стороны основания
до непересекающей ее диагонали призмы.
10. В правильной четырехугольной призме через середины двух последователь-
ных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых
ребра и наклоненная к плоскости основания под углом 45°. Сторона осно-
вания равна а. Определить площадь полученного сечения.
11. Найти объем правильной четырехугольной призмы со стороной основания а,
если сумма углов, образованных диагональю призмы со стороной и с диаго-
налью основания (выходящими из той же вершины), равна 135°.
12. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 2, а высота
призмы равна 4. Найти площадь сечения, проходящего через середины двух
смежных сторон основания и середину оси.
13. Основанием прямой призмы служит ромб с диагоналями 6 и 15. Высота
призмы равна 8. Найти площади сечений, проходящих через диагонали
призмы параллельно диагоналям ее оснований.
14. В правильной четырехугольной призме проведены два параллельных сече-
ния: одно проходит через диагональ основания призмы параллельно ее
диагонали, другое делит ось призмы в отношении 1 : 3. Зная, что площадь
первого сечения равна найти площадь второго.
280
Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
15. В правильной четырехугольной призме проведены два параллельных сече-
ния: одно проходит через середины двух смежных сторон основания и
середину оси, другое делит ось в отношении 1 : 3. Зная, что площадь пер-
вого сечения равна $, найти площадь второго сечения.
16. Объем правильного тетраэдра равен v. Найти объем части тетраэдра, за-
ключенной внутри призматичной поверхности, сечение которой, перпенди-
кулярное к ее ребрам, совпадает с сечением тетраэдра плоскостью, парал-
лельной двум его скрещивающимся ребрам.
17. Оси двух призматических поверхностей, перпендикулярные сечения кото-
рых—равные квадраты со стороной а, взаимно перпендикулярны, а две
диагональные плоскости их совпадают. Найти объем тела, ограниченного
данными призматическими поверхностями.
18. Ребра АВ и CD тетраэдра ABCD перпендикулярны друг другу и к пря-
мой MN, соединяющей их середины; MN служит осью, вписанной в тетраэдр
правильной четырехугольной призмы. Найти ее объем, если
1) АВ = CD = 8, MN = 4, высота призмы относится к стороне основания
как 3:1;
2) АВ = 2, CD = MN = 4, высота призмы равна стороне основания.
16. В правильной шестиугольной призме проведены два параллельных сечения:
одно проходит через сторону основания призмы и ее большую диагональ,
другое делит ось призмы в отношении 1 : 3. Зная, что площадь первого
сечения равна $, найти площадь второго.
20. В правильной шестиугольной призме проведены два параллельных сечения:
одно проходит через середины двух несмежных и непараллельных сторон
основания и середину оси призмы, другое делит ось в отношении 1 :3.
Зная, что площадь первого сечения равна $, найти площадь второго сечения.
21. Каждое ребро правильной шестиугольной призмы равно 1. Найти площадь
сечения, проходящего через сторону основания и большую диагональ призмы,
22. Большая диагональ правильной шестиугольной призмы
равна О, меньшая диагональ ее основания равна d. Найти площадь сечения,
параллельного Л2Лб и AtBl9 если отношение АгМ : Л1Л4, в котором секу-
щая плоскость делит АгА4, равно:
1) 3: 1, 2) 1 : 1, 3) 1 : 3, 4) 1 : 7, 5) 0.
23. Объем правильной пирамиды равен v. В шестиугольнике, служащем ее
основанием, проведены диагонали, не проходящие через центр. Два полу-
ченных треугольника служат перпендикулярными сечениями призматических
поверхностей. Найти объем части пирамиды, заключенной внутри этих приз-
матических поверхностей.
24. Оси двух призматических поверхностей, перпендикулярные сечения которых
суть равные правильные шестиугольники со стороной а, пересекаются под
прямым углом. Найти объем тела, ограниченного призматическими поверх-
ностями, если у них совпадают:
а) две диагональные плоскости, проходящие через оси;
б) две диагональные плоскости, не проходящие через оси.
25. В правильной двенадцатиугольной призме через сторону нижнего основания
и противоположную сторону верхнего основания проведено сечение, обра-
зующее с плоскостью основания угол в 45°. Определить площадь сечения,
если сторона основания а = 5 см.
§ 5. Куб
1. В правильной четырехугольной пирамиде, высота которой 3,6, а сторона
, основания 4,2, помещен куб, четыре вершины которого находятся на осно-
вании пирамиды, а остальные четыре — на боковых ребрах. Определить
сторону куба.
§ 5. КУБ
281
2. Найти кратчайшее расстояние между диагональю куба, ребро которого
равно а, и любым ребром, скрещивающимся с этой диагональю.
3. Из данного деревянного куба вытесана правильная шестиугольная призма
наибольшего объема. Какой процент материала использован?
4. Через середину диагонали куба, перпендикулярно к ней, проведена пло-
скость. Определить площадь фигуры, получившейся в сечении, если ребро
куба равно а.
б. На расстоянии b от центра куба с ребром а перпендикулярно к его диаго-
нали проведена плоскость. Вычислить площадь сечения, считая, что
6. Найти кратчайшее расстояние, т. е. длину отрезка общего перпендикуляра,
между двумя непересекающимися диагоналями двух соседних граней куба,
ребро которого равно а.
7. В каком отношении прямая, пересекающая под прямыми углами ребро куба
и диагональ куба, скрещивающуюся с рассматриваемым ребром, делит эту
диагональ?
8. Куб пересекается плоскостью, проходящей через одну из его диагоналей.
Как должна быть проведена эта плоскость, чтобы площадь сечения полу-
чилась наименьшей?
9. Объем куба равен V. Строится призматическая поверхность, сечением кото-
рой, перпендикулярным ее ребрам, служит сечение куба плоскостью, пер-
пендикулярной его диагонали. Найти объем части куба, заключенной внутри
указанной призматической поверхности.
10. Ребро куба равно а. В куб вписаны три правильные четырехугольные
призмы, вершины углов которых делят ребра куба пополам. .Найти объем
тела, ограниченного боковыми гранями призм.
11. Ребро куба равно 1. Диагональ куба служит осью вписанной в куб
правильной шестиугольной призмы. Найти объем призмы, если ее высота
втрое меньше диагонали куба.
12. Ребро куба равно а. Диагональ куба служит осью, вписанной в куб пра-
вильной шестиугольной призмы, высота которой относится к диагонали
куба, как Z: 1. Найти сторону основания призмы.
13. Ребро куба равно 1. Диагональ куба служит осью вписанной в него
правильной треугольной призмы. Найти объем призмы, если плоскости ее
оснований делят в отношении 1 : 1 или 1 : 2.
14. Ребро куба равно 1. Диагональ куба служит осью вписанного в куб
/14
прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна —д—; найти
его объем.
16. Рассмотрим куб, две грани которого горизонтальны. Обозначим через О
одну из вершин нижней грани, через О А и ОВ — два горизонтальных ребра,
выходящих из О, через ОС — вертикальное ребро, выходящее из О. Обо-
значим через Ox, Оу, Oz лучи, выходящие из О, на которых лежат
соответственно отрезки ОА, ОВ, ОС. Длину ребра куба обозначим че-
рез а.
1°. Рассмотрим плоскость П, пересекающую Ох, Оу, Oz соответственно
в точках L, М, N таких, что OL = ОМ = ON = х (х — положи-
тельная переменная). Определить значения х, при которых плоскость 77
пересекает куб. Охарактеризовать различные формы сечения.
2°. Вычислить периметр р сечения в функции х и построить график
этой функции.
3°. Вычислить в функции х площадь сечения. Построить график этой
функции.
282
Стереометрия. Гл. ХХП. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
§ 6. Многогранники
1. Найти площадь сечения, проведенного через концы трех ребер, выходящих
из одной и той же вершины прямоугольного параллелепипеда, если длины
этих ребер 2, 4 и 6.
2. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 4 и 3, а его
высота равна 2. Через диагональ параллелепипеда проведена плоскость, парал-
лельная диагонали его основания. Найти площадь сечения.
3. Измерения прямоугольного параллелепипеда суть а, b и с. Найти площадь
сечения, проходящего через середины его ребер.
4. Чему равна сумма всех плоских углов выпуклого многогранника, имеющего
п вершин?
5. Определить объем додекаэдра, ребро которого равно а.
6. Определить полную поверхность многогранника, вершинами которого слу-
жат центры граней додекаэдра. Ребро додекаэдра равно а.
7. Отрезок PQ, длина которого с, параллелен сторонам АВ и CD прямоуголь-
ника ABCD и отстоит от плоскости этого прямоугольника на расстоянии h.
Длины сторон прямоугольника ABCD даны: АВ —а, ВС = Ь. Вычислить
объем выпуклого многогранника, который получится, если точку Р соеди-
нить с точками А и D, а точку Q — с точками С и В (клин).
8. Два прямоугольника — один со сторонами а и Ь, другой — со сторонами
с и d — расположены в пространстве так, что плоскости их параллельны
так же, как и соответственные стороны. Расстояние между этими плоско-
стями равно Л. Вычислить объем призматоида, двумя гранями которого
служат указанные прямоугольники, а четыре другие грани — трапеции, парал-
лельные стороны которых являются сторонами этих прямоугольников.
9. Зал, имеющий в плане форму квадрата со стороной а, перекрыт крышей,
построенной следующим образом: каждая пара смежных вершин квадрата,
образующего потолок зала, соединена прямыми с серединой противолежа-
щей стороны, и на получившемся треугольнике как на основании построена
пирамида, высота которой h лежит на одной из ее боковых граней и проек-
тируется в середину стороны квадрата. Расположенные выше других части
этих граней образуют крышу. Найти объем чердака, т. е. пространства
между потолком и крышей.
§ 7. Сфера и ее части; комбинации сфер с прямыми и плоскостями
1. Плоскость делит объем шара на части, равные 252 см3 и 720 см3.
Найти высоту наибольшего сегмента.
2, Шаровой слой имеет основанием круги радиуса а и b (а < й). Поверхность
пояса, ограничивающего слой, равна сумме площадей его оснований. Вы-
числить высоту слоя и радиус шара.
3. Шар радиуса 6 дм и удельного веса 0,7 г/см3 плавает в воде. Найти вы-
соту выступающей из воды части этого шара.
4. Шар радиуса R рассечен двумя параллельными плоскостями так, что диа-
метр, перпендикулярный этим плоскостям, делится точками пересечения
с ними на три равные части. Определить отношение объема шарового слоя
к остальной части шара.
5. Площади параллельных сечений шара, расположенных по одну сторону от
его центра, равны А и В, а расстояние между этими сечениями равно d.
Определить площадь сечения шара, параллельного сечениям А и В и деля-
щего пополам расстояние между ними.
6. Определить радиусы двух шаров, которые, пересекаясь, образуют двояко-
выпуклую линзу, если известно, что толщина линзы 2а, полная поверхность
ее s и диаметр линзы 2R.
7. Ребро куба равно а. Найти радиус сферы, касающейся прямых, соединяю-
щих середины непараллельных и непересекающихся ребер.
§ 8. СФЕРА, ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ 283
8. Ребро куба равно а. В этот куб вписана сфера. Найти длину хорды этой
сферы, которую она высекает на прямой, соединяющей середины непарал-
лельных и непересекающихся ребер куба.
9. Сфера радиуса г вписана в двугранный угол, равный 60°. Найти радиус сферы,
касающейся граней угла и данной сферы, если прямая, проходящая через
центры этих сфер, пересекает ребра данного двугранного угла под углом 45°.
10. В двугранный угол, равный 60°, вписаны две касающиеся друг друга сферы
радиуса г. Найти радиус сферы, касающейся двух граней двугранного угла
и обоих сфер.
11. В двугранный угол 120° вписаны две касательные друг к другу сферы
радиуса г. Две сферы (радиуса х) касаются друг друга, каждая из них ка-
сается одной грани двугранного угла и обеих сфер радиуса г. Найти х.
12. В двугранный угол 120° вписана сфера радиуса г. Четыре сферы (радиуса х)
расположены так, что центры их служат вершинами углов квадрата со сто-
роной 2х, причем каждая сфера касается одной грани угла и одного шара
радиуса г. Найти х.
13. Четыре шара одного и того же радиуса касаются один другого. Каждого
из этих четырех шаров касается внешним образом пятый шар и внутрен-
ним образом шестой шар. Найти отношение радиусов пятого и шестого шаров.
14. Три шара радиуса R касаются одной и той же плоскости, и каждый из них
касается двух других. Найти радиус шара, касающегося плоскости и трех
данных шаров.
15. Четыре одинаковых шара радиуса г лежат на плоскости и касаются друг
друга так, что их центры образуют квадрат, сторона которого равна диа-
метру каждого шара. На них сверху положен шар того же радиуса. Вы-
числить расстояние от центра этого шара до плоскости, на которой лежат
данные шары.
16. Центры двух равных шаров лежат на диагонали куба. Каждый шар касается
трех граней куба, сходящихся в одном из концов указанной диагонали и
другого шара. Найти отношение радиуса шара к ребру куба.
17. Четыре шара равных радиусов г расположены так, что каждый из них
касается внешне трех других. Найти радиус шара, который внутренним
образом касается всех четырех шаров.
18. Три сферы радиуса и три сферы радиуса г2 расположены так, что ка-
ждая сфера касается двух сфер радиуса rt, двух сфер радиуса г2 и пло-
скости Р. Найти —.
19. Шесть сфер радиуса г, центры которых служат вершинами правильного
шестиугольника со стороной 2г, внутренне касаются сферы радиуса R,
Найти радиус сферы, касающейся всех семи сфер.
20. Две сферы радиуса г касаются друг друга; 8 шаров радиуса х, центры
которых служат вершинами углов правильного восьмиугольника со сторо-
ной 2х, .касаются обоих шаров радиуса г. Найти х.
21. Три сферы радиуса г± и три сферы радиуса г2 расположены так, что ка-
ждая сфера касается двух сфер радиуса и двух сфер радиуса г2- Найти
гх : г2» если Центры всех сфер находятся в одной плоскости.
22. Четыре сферы радиуса и четыре сферы радиуса г2 расположены так,
что каждая сфера касается трех сфер радиуса rt и трех сфер радиуса г2.
Найти
г2
§ 8. Сфера, вписанная в многогранник и описанная вокруг него
1. В шар радиуса R вписана правильная треугольная призма. Определить
объем этой призмы, если радиус окружности, описанной вокруг ее осно-
вания, равен rt г < R.
2. В пирамиде SABC даны АВ = АС = 5, ВС = 6, высота пирамиды (S — вер-
шина) проходит через середину стороны ВС и равна 1. Вычислить
ж
Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
радиус шара, вписанного в эту пирамиду. Решить ту же задачу, если
ВС = 8.
3. Полная поверхность пирамиды равна 6 см2, а объем ’ шара, вписанного
в эту пирамиду, равен 50 см3. Вычислить объем пирамиды.
4. Шар касается четырех ребер куба, принадлежащих одной его грани, и
касается грани, противоположной указанной. Найти отношение объема куба
к объему этого шара.
б. В шар вгисан правильный тетраэдр, затем в тетраэдр снова вписан шар.
Найти отношение поверхностей двух шаров.
6. В правильный тетраэдр вписан шар, касающийся граней тетраэдра. В шар
вписан новый правильный тетраэдр. Найти отношение объемов двух тетра-
эдров.
7. Найти радиус сферы, описанной вокруг правильной шестиугольной призмы,
сторона основания которой равна 3, а высота равна 8.
8. Найти радиус сферы, описанной вокруг прямой призмы, основанием которой
служит равнобедренный треугольник с основанием, равным 6, и высотой,
равной 1; высота призмы равна 24.
9. Найти радиус сферы, описанной вокруг пирамиды, в основании которой
находится правильный шестиугольник со стороной, равной 4; одно из ребер
пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно 6.
10. Найти радиус сферы, описанной вокруг треугольной пирамиды, боковые
ребра которой взаимно перпендикулярны и равны 6, 8 и 24.
11. Найти радиус сферы, описанной вокруг пирамиды SABC, если АВ = АС = 30,
ВС = 48, SA перпендикулярно плоскости основания и равно 120.
12. Прямая, соединяющая центры двух правильных шестиугольников, стороны
которого равны 5 и 12, перпендикулярна их сторонам и равна 17. Найти
радиус сферы, проходящей через вершины шестиугольников.
13. В тетраэдре ABCD ребро АВ = 8, ребро CD =8, а каждое из остальных
ребер равно У74. Найти радиус описанного шара.
14. В шар радиуса R вписана правильная четырехугольная пирамида. Опреде-
лить объем этой пирамиды, если радиус окружности, описанной вокруг
его основания, равен г.
16. Найти радиус шара, вписанного в пирамиду, в основании которой лежит
ромб с диагоналями 6 и 8. Высота пирамиды проходит через точку пере-
сечения диагоналей основания и равна 1.
16. Найти радиус сферы, вписанной в пирамиду, в основании которой лежит
треугольник со сторонами 13, 14 и 15; вершина пирамиды удалена от ка-
ждой стороны основания на 5.
17. Найти радиус сферы, вписанной в тетраэдр ABCD, если АВ — CD—8,
а каждое из остальных ребер равно "|/^34. . *
18. Найти радиус сферы, вписанной в тетраэдр ABCD, если ЛВ = 10, CD= 18,
а каждое из остальных ребер равно 5*^10.
19. Найти радиус сферы, вписанной в пирамиду ABCD, если BD= ВС
CD= 18, АВ перпендикулярно плоскости BCD и равно 16.
20. Основание пирамиды SABCD — ромб с диагоналями АС = 8 и ВО = 6;
высота пирамиды Н =2. Найти радиус сферы, вписанной в пирамиду, если
Н совпадает: 1) с SA; 2) с SB.
21. Основание пирамиды — ромб с диагоналями 6 и 8; высота пирамиды про-
ходит через точку пересечения диагоналей и равна 1. В каждый из трех-
гранных углов при основании пирамиды вписана сфера радиуса г так, что
каждая сфера касается двух соседних; найти радиус г сфер.
22. Шар касается всех 12 ребер куба. Вычислить отношение объема той части
шара, которая находится внутри куба, к объему куба.
23. Определить плоский угол при вершине правильной четырехугольной пира-
миды, если центры вписанного и описанного шаров совпадают.
§ 9. ЦИЛИНДР, КОНУС, СФЕРА, МНОГОГРАННИКИ 285
24. Ребро куба равно а; АВ — его диагональ. Найти радиус сферы, касаю-
щейся трех граней, сходящихся в вершине А, и трех ребер, выходящих
из вершины В. Найти также часть поверхности этой сферы, которая лежит
вне куба.
25. Ребро куба ABCDA^C^ равно а. Найти радиус сферы, проходящей через
концы ребра AAt и касающейся грани двугранного угла с ребром ССг
(AAt, BBlt СС 9 DDy — параллельные ребра куба, ABCD — его верхняя
грань, — нижняя).
26. Определить полную поверхность правильной треугольной пирамиды, зная
поверхности вписанного и s2 описанного шаров.
27. Высота правильного тетраэдра служит диаметром сферы, поверхность кото-
рой равна $. Вычислить площадь той части поверхности сферы, которая
находится внутри данного тетраэдра.
28. В сферу радиуса R вписан правильный тетраэдр, и все его грани продол-
жены до пересечения со сферой. Линии пересечения граней тетраэдра со
сферой вырезают на ее поверхности четыре сферических треугольника и
несколько сферических двуугольников. Вычислить площадь каждого из этих
двуугольников и треугольников.
29. В основании пирамиды с равными боковыми ребрами находится прямоуголь-
ник, стороны которого равны 30 см и 12 см. Высота пирамиды равна 8 см.
В каждом из двугранных углов при основании пирамиды вписано по рав-
ному шару так, что каждый шар касается двух соседних; точки касания
шаров к плоскости основания лежат на прямых, проходящих через сере-
дины его параллельных сторон. Найти радиусы шаров.
30. Дан правильный октаэдр. Радиус вписанного в него шара равен R. В центре
одной из граней взята точка А. Вычислить сумму расстояний от А до ка-
ждой из остальных граней. Та же задача, если дан правильный додекаэдр.
§ 9. Цилиндр, конус, сфера в комбинации друг с другом, с плоскостями
и многогранниками
1. Прямой круговой конус касается вписанного в него шара по параллели 60°.
Найти объем конуса, если радиус шара равен 2.
2. Найти объем шара, вписанного в конус, у которого высота равна Л, а ра-
диус окружности, лежащей в основании, равен г.
3. Из полукруга радиуса г свернута боковая поверхность конуса. Найти объем
этого конуса.
4. Вычислить радиус основания конуса, если объем его равен v, а полная
поверхность равна s.
5. Шара касаются коническая поверхность и плоскость, перпендикулярная оси
конической поверхности. Отношение полной поверхности получающегося
при этом конуса к поверхности шара равно т. Найти отношение объемов
1
этих тел, если т < у.
6. В конус вписан шар радиуса г. Найти объем конуса, если известно, что
плоскость, касающаяся шара и перпендикулярная одной из образующих
конуса, отстоит от вершины конуса на расстоянии d.
7. Доказать, что объем конуса во столько раз больше объема вписанного
в него шара, во сколько раз полная поверхность конуса больше поверх-
ности шара.
8. В конус вписан шар. Поверхность шара относится к площади основания
конуса, как 4 : 3. Найти угол при вершине конуса.
9. Радиус земли равен 6300 км. На какую высоту над горизонтом следует
подняться, чтобы линия горизонта проходила на расстоянии 100 км от на-
блюдателя?
Ю. Отношение высоты конуса к радиусу описанного вокруг него шара равно q.
Найти отношение объемов этих тел. При каких q задача возможна?
286
Стереометрия. Гл. XXIL ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
1L Ось цилиндра, радиус основания которого г, совпадает с диаметром шара,
радиус которого R. Высота цилиндра равна 2/?. Определить объем части
цилиндра, находящейся вне шара, г < /?.
12. Основание конуса, радиус основания которого равен R, совмещено с осно- х
ванием прямого цилиндра, радиус которого г (г < /?), так, что их центры
совпадают. Определить объем части конуса, лежащей вне цилиндра, и объем
части цилиндра, лежащей вне конуса, если цилиндр и конус имеют одина-
ковую высоту Н.
13* Все вершины равнобедренного треугольника, основание которого равно 6,
а высота 2, лежат на поверхности кругового цилиндра, ось которого пер-
пендикулярна основанию треугольника и образует с его плоскостью угол 60°.
Найти радиус цилиндрической поверхности.
14. Треугольник со сторонами а, b и с вращается вокруг стороны а. Опреде-
лить объем тела вращения.
15. Равнобочная трапеция с диагональю, перпендикулярной боковой стороне,
и основаниями, равными а и Ь, вращается вокруг оси, совпадающей с бо-
ковой стороной трапеции. Определить полную поверхность тела вращения
(а < Ь).
16. Доказать, что объем тела вращения, полученного вращением треугольника
вокруг прямой, лежащей в плоскости этого треугольника, но не пересекаю-
щей его, равен 2яр$, где s —площадь треугольника, а р —расстояние от
точки пересечения его медиан до оси вращения (частный случай теоремы
Г юльдена).
17. На столе лежит круглое кольцо (тор), сечения которого вертикальными
плоскостями^ проходящими через центр кольца, суть круги радиуса г; центры
этих кругов расположены на окружности радиуса R. На кольце лежит шар,
касающийся стола в одной точке и касающийся кольца по некоторой окруж-
ности. Вычислить радиус шара и радиус окружности его прикосновения
по кольцу.
18. Прямая, соединяющая середины скрещивающихся ребер правильного тетра-
эдра, служит осью цилиндра, окружности оснований которого касаются
граней тетраэдра в их центрах. Найти отношение объема цилиндра к объему
тетраэдра.
19. Найти отношение объема цилиндра к объему куба, если высота цилиндра
лежит на диагонали куба, каждая из окружностей, лежащих в основании
цилиндра, касается трех граней куба, сходящихся в концах указанной диа-
гонали куба, а осевое сечение цилиндра — квадрат.
20. Одна из вершин конуса совпадает с вершиной куба, ребро которого равно а.
Окружность основания конуса касается трех граней куба, сходящихся в вер-
шине, противоположной той, с которой совпадает вершина конуса. Обра-
зующая конуса составляет с ^го осью угол 30°. Найти радиус основания
конуса.
21. Вершина конуса совпадает с вершиной куба; основание конуса касается
трех граней куба, сходящихся в противоположной вершине куба. Осевое
сечение конуса — правильный треугольник. Найти отношение объема конуса
к объему куба.
22. Осевое сечение конуса — две взаимно-перпендикулярные прямые. На одной
и той же образующей конуса взяты две точки А и В на расстоянии а друг
от друга. На поверхности конуса взяты еще две точки С и D такие, что
ABCD — правильный тетраэдр. Найти расстояние от вершины конуса до
ребра CD этого тетраэдра.
28. Сфера, поверхность которой равна s, касается ребер призматической по-
верхности, перпендикулярное сечение которой — правильный шестиугольник.
Найти величину части призматической поверхности, заключенной внутри
сферы.
§ 9. ЦИЛИНДР, КОНУС, СФЕРА, МНОГОГРАННИКИ
287
24. Найти величину части поверхности правильного тетраэдра, заключенного
внутри сферы, центр которой совпадает с центром тяжести тетраэдра,
а У*22 *
а радиус равен • , где а — ребро тетраэдра.
26. Найти величину части поверхности правильного тетраэдра, заключенной
внутри сферы, если эта сфера проходит через вершины основания тетра-
эдра, причем расстояние центра сферы от вершины тетраэдра относится
к его высоте, как 9 : 8. Ребро тетраэдра равно а.
26. Найти величину части поверхности призмы, заключенной внутри сферы,
диаметром которой служит отрезок, соединяющий центры треугольных осно-
а V"21T
ваний, если сторона основания призмы равна а, а высота —.
27. Найти величину части поверхности прямоугольного параллелепипеда, заклю-
ченной внутри сферы, диаметром которой служит отрезок, соединяющий
центры оснований этого параллелепипеда. Стороны основания равны 6 и 2,
а высота параллелепипеда равна 1^52.
28. Диагонали четырехугольника взаимно-перпендикулярны и равны 24 и 28.
В точке пересечения меньшая диагональ делится пополам, а большая —
в отношении 6:9. Цилиндрическая поверхность, ось которой перпендику-
лярна меньшей диагонали четырехугольника, касается всех его сторон.
Зная, что ось цилиндрической поверхности образует с плоскостью четы-
рехугольника угол в 60°, найти радиус цилиндрической поверхности.
29. В тетраэдре ABCD ребро АВ = 10, ребро CD= 18, а каждое из остальных
ребер равно 5]/10; найти радиус цилиндрической поверхности, касаю-
щейся пяти ребер тетраэдра, если ее ось параллельна: 1) CD; 2) АВ.
30. В тетраэдре ABCD ребро АВ =12, ребро CD = 30, а каждое из осталь-
ных ребер равно 51^13. Две равные цилиндрические поверхности касаются
друг друга, причем одна из них касается граней двугранного угла с реб-
ром АВ, а другая — граней двугранного угла с ребром CD; найти радиусы
цилиндрических поверхностей.
31. Ребро куба равно 1. Диагональ куба служит осью пересекающего куб
цилиндра, каждая из окружностей оснований которого касается трех граней
куба. Найти объем цилиндра, если
а) окружности оснований цилиндра пересекают прямые, соединяющие
середины параллельных ребер куба, выходящих из различных кон-
цов SSp
б) окружности оснований цилиндра касаются граней куба в их центрах;
в) окружности оснований цилиндра пересекают остальные диагонали куба;
г) точки пересечения диагоналей куба с поверхностью цилиндра лежат
на поверхности сферы.
32. В правильную четырехугольную пирамиду вписан равносторонний цилиндр,
ось которого параллельна диагонали основания пирамиды. Найти радиус
цилиндра, если
а) боковое ребро пирамиды равно 5, а ее высота равна 4;
б) боковое ребро пирамиды равно 5, а ее высота равна 3.
33. Основанием пирамиды служит ромб с диагоналями 18 и 10; высота пира-
миды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12.
Найти радиусы вписанных в пирамиду равносторонних цилиндров, оси
которых параллельны диагоналям ромба.
34. Найти радиус цилиндра, вписанного в пирамиду SABC, если он относится
к высоте цилиндра, как 1 : 8, и если АВ = АС =10, ВС =16, a SA пер-
пендикулярна плоскости АВС и равна 8.
35. В пирамиде SABC ребра АВ = ВС =10, ВС =12; высота пирамиды про-
ходит через середину высоты AD основания и равна 4. В пирамиду вло-
жен равносторонний цилиндр, одна из окружностей основания которого
288
Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
касается граней двугранного угла ВС, а другая — граней трехгранного
угла А, причем ось цилиндра параллельна AD. Найти радиус.
36. Основанием пирамиды служит восьмиугольник Л1Л2Л3Л4Л5ЛбЛ7Л8, симме-
тричный относительно диагоналей ЛХЛ5 — 24 и Л3Л7 = 30; Л2Л4 делит Л3Л7
в отношении 11:19, Л2Л8 делит ЛХЛ5 в отношении 1 : 23. Высота пира-
миды проходит через середину ЛХЛ5 и равна 36. Найти объем вписанного
в пирамиду цилиндра, ось которого параллельна ЛХЛ5, а каждая из окруж-
ностей основания касается основания пирамиды и четырех ее боковых
граней.
37. Ребро куба равно 1. Его диагональ SSX служит осью пересекающего куб
цилиндра, каждая из окружностей оснований которого касается трех гра-
ней куба. Дано отношение k высоты цилиндра к диагонали куба. Найти
отношение q к объему цилиндра объема многогранника, вершинами кото-
рого служат точки пересечения с поверхностью цилиндра
а) остальных диагоналей куба;'
б) прямых, соединяющих середины параллельных ребер куба, выхо-
дящих из 5 и
38. Объем правильного тетраэдра равен 1. Высота тетраэдра служит осью ци-
линдра, одна из окружностей основания которого лежит в плоскости осно-
вания тетраэдра, а другая — касается его боковых граней. Найти объем
многогранника, вершинами которого служат точки пересечения с поверх-
ностью цилиндра
а) остальных высот тетраэдра, если высота цилиндра относится к вы-
соте тетраэдра, как 1) 2 : 3; 2) 1 : 3; 3) 3 : 10; 4) 1 : 4; 5) 1 : 6;
б) прямых, соединяющих середины скрещивающихся ребер тетраэдра,
если высота цилиндра относится к высоте тетраэдра, как 1) 1:2;
2) 2:5; 3) 3: 10; 4) 1 : 4; 5) 1 : 6.
39. Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD
равна 48, высота пирамиды равна 8. Ось равностороннего цилиндра па-
раллельна АС, а окружности его оснований пересекают: одна — ребра
трехгранного угла А, другая — ребра трехгранного угла С. Найти радиус
цилиндра.
40. Ссноганием пирамиды с равными двугранными углами служит параллело-
грамм, диагонали которого равны 6 и 4; высота пирамиды равна 1. Найти
радиус равностороннего цилиндра, ось которого параллельна диагонали па-
раллелограмма, а окружности оснований пересекают ребра трехгранных
углов, вершинами которых служат концы этой диагонали.
41. Найти радиус г цилиндра, ось которого параллельна ребру ВС пира-
миды SABC, а окружности оснований пересекают ребра трехгранных
углов В и С, если АВ —АС, ВС=\2, /ВЛС= 90°, ВЛ_Цпл. АВС,
ВЛ — 8, Л : г = 3 : 5 (А — высота цилиндра).
42. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно 1. Прямая, соединяющая сере-
дины АВ и CD, служит осью цилиндра, каждая из окружностей основа-
ний которого пересекает остальные ребра тетраэдра. Найти высоту ци-
линдра, если она относится к его радиусу, как 2: 3.
43. Ребро куба равно 1. Найти радиус цилиндрической поверхности, проходя-
щей через 6 вершин куба, если ее ось параллельна 1) диагонали куба,
2) диагонали его грани.
44. Основанием пирамиды с равными двугранными -углами при основании слу-
жит параллелограмм, диагонали которого равны 30 и 24. Цилиндрическая
поверхность, ось которой параллельна одному из боковых ребер пира-
миды, проходит через все ее вершины. Найди длину бокового ребра.
45. Центры четырех сфер радиуса г служат вершинами углов квадрата со сто-
роной 2г. Найти радиус касательной к сферам цилиндрической поверхности,
ось которой перпендикулярна стороне квадрата и образует с его пло-
скостью угол 45°.
§ 9. ЦИЛИНДР, КОНУС, СФЕРА, МНОГОГРАННИКИ
289
48. Центры трех сфер радиуса г служат вершинами равностороннего треуголь-
ника со стороной 2г. Найти радиус касательной к сферам цилиндрической
поверхности, ось которой перпендикулярна стороне треугольника и обра-
зует с его плоскостью угол а = 30°.
47. Центры четырех сфер радиуса г служат вершинами правильного тетраэдра
с ребром 2г. Найти радиус цилиндрической поверхности, касающейся всех
сфер, если ее ось перпендикулярна прямой, соединяющей середины непе-
ресекающихся ребер тетраэдра, и образует с одним из этих ребер угол
а = 45°.
48. Центры пяти сфер радиуса г служат вершинами правильной четырехуголь-
ной пирамиды, все ребра которой равны между собой. Цилиндрическая
поверхность, ось которой перпендикулярна стороне основания пирамиды,
касается всех сфер. Найти 1) угол между высотой пирамиды и осью ци-
линдра, 2) радиус цилиндрической поверхности.
49. ABCD — правильный тетраэдр, ребро которого равно а. Точки А и В слу-
жат вершинами двух равных касающихся друг друга конических поверх-
ностей, оси которых — соответственно AD и ВС. Найти радиусы сечений
этих конических поверхностей, проведенных через точку касания перпен-
дикулярно их осям.
50. ABCDAiB1C1Di— куб с ребром а. Точки А и Вх служат вершинами двух '
равных касающихся друг друга конических поверхностей, осями которых
служат прямые АС и BJ^. Найти радиусы сечений, перпендикулярных
осям конусов и проходящих через точку касания.
51. Диагонали ADr и DCt граней куба ABCDA1BiC1D1 с ребром а служат осями
двух равных касающихся друг друга конических поверхностей. Найти'радиу-
сы сечений этих конических поверхностей плоскостями, перпендикуляр-
ными их осям и проходящими через точку касания, если, вершины кони-
ческих поверхностей совпадают с 1) D и Ох; 2) А и С\; 3) Сх и DP
52. Прямая, соединяющая середины ребер АВ и CD правильного тетраэдра
ABCD, служит осью конуса, вершина которого совпадает с ее концом.
Найти отношение объема конуса к объему тетраэдра, если окружность
основания конуса касается
а) двух граней тетраэдра в их центрах;
б) четырех граней тетраэдра.
53. Ребро куба равно 1. Его диагональ служит осью непересекающего
куб конуса, вершина которого находится в точке а окружность осно-
вания касается трех граней куба. Найти объем конуса, если окружность
его основания:
а) пересекает прямые, соединяющие середины параллельных ребер куба,
выходящих из S и 5/,
б) касается трех граней куба в их центрах;
в) касается всех граней куба;
г) пересекает остальные диагонали куба.
54. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде ABCDAlB1ClDl даны
ребро АВ —2, /А1АС = 45°; диагональ AtC пирамиды служит осью
конуса, вершина которого находится в Alt а окружность основания ка-
сается трех граней угла С, причем грани ABCD в ее центре. Найти ра-
диус г основания конуса.
55. Три равносторонних конуса, радиус основания каждого из которых равен г,
расположены так, что каждые два имеют по одной общей образующей.
Найти 1) объем пирамиды, вершинами которой служат общая вершина
конусов и центры их оснований; 2) радиус конуса, имеющего с каждым
из данных по одной общей образующей.
56. На плоскости, вокруг общей вершины, лежат шесть равных и последова-
тельно касающихся друг друга конусов. На конусах лежит шар, касаясь
290 Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
их боковых поверхностей в точках, находящихся на окружностях основа?
ний, Найти отношение объема шара к сумме объемов конусов.
57. Прямая, соединяющая середины Р и Q ребер АВ и CD правильного тетраэдра
ABCD, служит осью конуса, вершина которого совпадает с серединой АВ,
а окружность основания касается граней двугранного угла с ребром CD,
Зная, что высота тетраэдра равна 1, найти длину ее отрезка, заключенного
внутри конуса, если его высота относится к PQ, как 1) 2:3, 2) 5:6,
3) 7 : 12, 4) 1 : 2, 5) 1 : 3, 6) 1 : 6.
58. Ребро куба равно 1, диагональ его SSj служит осью конуса, вершина ко-
торого находится в S, а окружность основания касается трех граней
угла Найти длину заключенного внутри конуса отрезка одной из пря-
мых, соединяющих центры параллельных граней куба, если высота конуса
относится к диагонали куба, как
1) 11 : 12, 2) 5 : 6, 3) 3:4, 4) 7 : 12.
59. В тетраэдре ABCD ребро ДВ = 6, а ребро CD = 4, каждое из осталь-
ных ребер равно 7. Найти угол между образующей и осью описанной
вокруг тетраэдра конической поверхности, вершина которой находится на
прямой, проходящей через середины АВ и CD.
60. В тетраэдре ABCD ребра АВ и CD равны 4, каждое из остальных ребер
равно 3. Найти угол между образующей и осью описанной вокруг тетраэдра
конической поверхности, вершина которой совпадает с А.
61. Две равные конические поверхности имеют общую вершину, но не совпа-
дают. Какое максимальное число общих образующих они могут иметь?
62. Вокруг правильной треугольной пирамиды SABC описана коническая по-
верхность, вершина которой совпадает с А. Найти угол между образую-
щей и осью конической поверхности, если
а) угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости ее основания
АВС равен 30°;
б) боковое ребро пирамиды относится к стороне ее основания как 4 : 3.
63. а) На плоскости Р стоит равносторонний конус, высота которого равна h.
Каждый из трех равных шаров касается двух других, плоскости Р
и боковой поверхности конуса. Найти радиусы шаров.
б) Та же комбинация; найти высоту конуса, если радиусы шаров равны г.
64. а) На плоскости Р стоит конус, радиус основания которого равен 3, а
высота равна 4. Шесть равных шаров расположены так, что каждый
касается двух соседних, плоскости Р и боковой поверхности конуса.
Найти радиусы шаров.
б) Решить ту же задачу, если радиус основания конуса равен 4, а его
высота равна 3.
65. Два шара радиуса гг и два шара радиуса г2 расположены так, что каждый
касается трех других. Найти угол между образующей и осью, касательной
к шарам конической поверхности, ось которой проходит через точки ка-
сания равных шаров друг к другу.
66. Ребро куба ABCDA^Bfi^D^ равно 1; его диагональ ACi служит осью ко-
нуса, вершина которого находится в а окружность основания пере-
секает ребра куба, выходящие из А; в каждый из его трехгранных углов Дх,
В и D вписано по шару, касательному к боковой поверхности конуса.
Найти радиусы шаров, если высота конуса относится к диагонали куба,
как 46 : 51.
67. Ребро куба ABCDA^fi^D^ равно 1; его диагональ ACt служит осью ко-
нуса, вершина которого находится в Л, а окружность основания касается
трех граней угла Сх\ высота конуса относится к диагонали куба, как 1 : 2.
В каждый из его трехгранных углов Alt В и D вписано по касательному
шару к боковой поверхности конуса. Найти объем многогранника, вер-
шинами которого служат центры шаров и точки их касания к ко-
нусу.
§ 9. ЦИЛИНДР, КОНУС, СФЕРА, МНОГОГРАННИКИ
291
68. Вокруг конуса, высота которого равна 1, описана пирамида, основанием
• которой, служит ромб с диагоналями 6 и 8. Найти радиусы касательных
к боковой поверхности конуса шаров, вписанных в трехгранные углы при
основании пирамиды.
69. Основанием прямой призмы служит ромб с диагоналями 6 и 8; высота
призмы равна 1. Точка пересечения диагоналей верхнего ее основания слу-
жит вершиной конической поверхности, направляющая которой — окруж-
ность, вписанная в нижнее основание; в каждый из трехгранных углов
призмы вписано по шару, касательному к конической поверхности. Найти
радиусы шаров.
Глава XXIII
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
1. Найги геометрическое место точек, из которых можно провести к данному
шару радиуса R три касательные, образующие трехгранный угол с тремя
прямыми плоскими углами.
2. Найти геометрическое место центров сечений шара плоскостями, проходя-
щими через данную точку. Разобрать случаи, когда данная точка нахо-
дится вне шара, на шаре или внутри него.
3. Найти геометрическое место центров сечений шара плоскостями, проходя-
щими через данную прямую. Разобрать случаи, когда прямая пересекает
шар, касается его или не имеет с ним общих точек.
4. Найти геометрическое место проекций данной точки пространства на пло-
скости, проходящей через другую данную точку.
5. На сфере фиксирована точка О. Пусть М — произвольная точка сферы,
а Р— точка, лежащая на луче ОМ и такая, что ОМ • OP — const. Найти
геометрическое место точек Р.
6. Найти геометрическое место середин отрезков, концы которых находятся
на двух скрещивающихся взаимно-перпендикулярных прямых в пространстве.
7. Найти на плоскости р геометрическое место точек прикосновения сфер,
проходящих через точки А и В пространства, не лежащие на плоскости р.
8. В пространстве дана плоскость у и две точки: А и В. Найти геометри-
ческое место точек Р плоскости у, для которых прямые АР и ВР обра-
зуют с плоскостью у равные углы.
9. На шаре диаметра d дана точка Д. Через нее проведены хорды АВ, АС, ...,
на продолжении которых взяты точки Bit Сх, ... такие, что АВ - АВХ =
— АС-АС1= ... =d2. Найти геометрическое место точек Вх, .................
10. Найти геометрическое место точек пространства, расположенных в задан-
ной плоскости и равноудаленных от двух заданных точек.
11. Даны два скрещивающихся отрезка. Найти геометрическое место середин
отрезков, соединяющих каждую точку первого отрезка с каждой точкой
второго.
12. В пространстве дана точка А. Найти геометрическое место ее проекций на
всевозможные прямые, лежащие в данной плоскости р и проходящие через
некоторую данную точку В этой плоскости.
13. В пространстве задана сфера Пусть А и В — диаметрально противопо-
ложные то* ки этой сферы. На отрезке АВ выбрана точка М, через кото-
рую произвольным образом проведена плоскость Р. На отрезке перпен-
дикуляра к этой плоскости в точке М, заключенном внутри сферы
как на диаметре, построена сфера S2. Пусть Мг — произвольная точка пе-
ресечения плоскости Р со сферой S2. Найти поверхность, описываемую
отрезком MMl при произвольном вращении плоскости Р вокруг точки М.
14. В плоскости (Р) фиксирована точка О. Переменная прямая (£)) пересекает
плоскость (Р) в точке Н. Обозначим через (Д) те из прямых, пересекаю-
щих плоскость (Р), для которых угол (ОН, D)— прямой.
Стереометрия. Гл, XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК 293
1°. Найти геометрическое место прямых (А) при условии, что Н—фик-
сированная точка.
2°. Найти геометрическое место прямых (Д), параллельных фиксирован-
ной прямой.
3°. Найти геометрическое место прямых (Д), проходящих через фикси-
рованную точку пространства, не лежащую на плоскости (Р).
4°. Рассмотрим на перпендикуляре к плоскости (Р), проходящем через О,
точки А и В, симметрично расположенные относительно плоскости (Р).
Обозначим через А' и В' ортогональные проекции точек А и В на
прямую (Д). Доказать, что Н—середина отрезка А'В', и доказать,
что АА' = ВВ'.
5°. Доказать, что прямые (О), каждая из которых находится на равных
расстояниях от фиксированных точек А и В, определенных в 4°,
суть прямые (Д).,
15. Дан тетраэдр ABCD. Найти геометрическое место точек М таких, что
Л4Д2 + МВ2 — Тле2 + МО2.
16. На скрещивающихся прямых X и Y даны два равных отрезка:
АВ = CD.
1°. а) Каково геометрическое место точек Р таких, чтоРЛ = РС?
б) Каково геометрическое место точек Р таких, что РА = РС и
РВ = PD? Доказать, что это геометрическое место есть прямая
линия (и).
в) Каково геометрическое место точек Р таких, что PA — PD и
РВ — РС? Доказать, что это геометрическое место есть пря-
мая (-у). Доказать, что прямые (и) и (v) имеют общую точку.
2°. Точка М описывает прямую X, а точка N описывает прямую Y так,
что MA — NC и МВ = ND. Доказать, что плоскость-медиатриса MN
проходит через (и). Пусть Е— середина ABt F — середина CD. До-
казать, что плоскость (uv) есть плоскость-медиатриса отрезка EF.
3°. Предположим теперь, что А, В, С, D — вершины правильного тет-
раэдра. Пусть Е, F, G, И, К, L — соответственно середины АВ,
CD, AC, AD, BD, ВС. Каковы будут в этом случае прямые (и)
и (-у)? Что можно сказать также про прямые EF, GK и HL?
17*. 1° Даны прямые D и D', не расположенные в одной плоскости. На
этих прямых фиксируются точки: А — на прямой D и А'— на пря-
мой D'. Пусть М— переменная точка D, a М'— переменная точка D',
причем AM = А'М'. Каково геометрическое место середин отрез-
ков ММ'? Каково геометрическое место точек, делящих отрезок ММ'
в данном отношении k?
2°. Пусть А и А' выбраны на прямых D и D' так, что отрезок АА'
перпендикулярен каждой из этих прямых. Доказать, что тогда ММ'
образует равные углы с D и D'. Доказать, что если общая длина
отрезков AM и А'М' изменяется, то плоскость, перпендикулярная
отрезку ММ' в его середине, проходит через одну или другую из
фиксированных прямых Gx и О2, все точки которых находятся от D
и от D' на равных расстояниях.
3°. На прямых D и D' рассматриваются точки В и В'. Найти геоме-
трическое место точек, делящих отрезок ВВ' в данном отношении k
при условии, что отрезок ВВ' остается параллельным данной пло-
скости Р. Установить, что переменная прямая, пересекающая две
фиксированные скрещивающиеся прямые и остающаяся параллельной
данной плоскости, пересекает бесконечное множество других прямых,
параллельных другой фиксированной плоскости.
294
Стереометрия. Гл. XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
18*. Пусть L — фиксированная точка, взятая на высоте АН фиксированного
треугольника АВС, углы В и С которого острые; М—точка пересечения
BL и AC, a N— точка пересечения CL и АВ.
1°. Пусть S — точка пространства, не лежащая в плоскости треуголь-
ника АВС. Рассмотрим пирамиду с вершиной S и основанием AMLN.
Доказать, что плоскость (/?), проведенная через точку L параллельно
плоскости SBC, пересекает плоскость SML по прямой, параллель-
ной SB. Пусть А', М', N' — точки пересечения (7?) с ребрами SA,
SA4, S/V; доказать, что четырехугольник A'M'L'N' — параллелограмм;
обозначим его через (Р).
2°. Пусть К — ортогональная проекция точки S на прямую ВС. Поло-
жим SK = k, НА —a, HB = b, НС = с, HL — 1 и обозначим через а
двугранный угол между полуплоскостями ВСА и BCS. Вычислить
в функции k, b, с площадь параллелограмма (PJ, гомотетичного (Р)
( л
в гомотетии А, -=-
\ AL
Вывести отсюда площадь параллелограмма (Р)
и объем v пирамиды SA'M'LN' в функции k, a, b, с, I и а.
3°. Каково геометрическое место точек S, для которых площадь парал-
лелограмма (Р) задана? Каково геометрическое место точек 5, для
которых объем v имеет данную величину?
4°. Найти геометрическое место точек S, для которых: (Р) — прямоуголь-
ник, (Р) — ромб, (Р)—квадрат; каково в последнем случае геометри-
ческое место вершин квадрата? Вычислить SB и SC в функции b
и с. Вычислить стороны квадрата.
В пространстве фиксированы две различные точки О и Н\ будем называть
тетраэдр ортоцентрическим, если его высоты пересекаются в одной точке.
Обозначим через (Г) всякий ортоцентрический тетраэдр, для которого
точка О служит центром описанной сферы, а точка Н (ортоцентр) — точкой
пересечения высот.
Для решения ряда поставленных выше вопросов полезно установить сле-
дующие характеристические свойства ортоцентрического тетраэдра:
а) два любых скрещивающихся ребра ортогональны;
б) три отрезка, концами каждого из которых являются середины двух
скрещивающихся ребер, имеют одинаковую длину;
в) каждая из высот тетраэдра проходит через ортоцентр противополож-
ной грани.
Доказать, что для ортоцентрического тетраэдра три прямые, каждая из
которых является общим перпендикуляром для двух скрещивающихся ребер,
проходят через одну точку — ортоцентр (точку пересечения высот тетраэдра)
и что центр тяжести ортоцентрического тетраэдра делит пополам отрезок ОН.
Обозначим вершины тетраэдра (Г) буквами А, В, С, D, а его центр тя-
жести— буквой G.
1°. Построить тетраэдр (Г), зная одну из его вершин £>; исследовать.
Найти для таких тетраэдров (Т) (т. е. для тетраэдров (Т) с фикси-
рованной вершиной О) геометрическое место вершин и огибающую
сторон грани АВС, противолежащей фиксированной вершине D. Оп-
ределить область пространства, где расположены вершины всех тетраэд-
ров (Т). Построить тетраэдр (Г), для которого грань АВС распо-
ложена в данной плоскости; исследовать. Найти для этих тетраэдров
геометрическое место вершин и огибающую сторон треугольника
АВС. Как можно охарактеризовать плоскости (П), в которых лежат
грани тетраэдра (Т).
2°. Дана прямая (А0. Построить тетраэдр (Г), для которого одно из
ребер лежит на прямой исследовать. Как можно охарактеризо-
вать прямые, на которых лежат ребра тетраэдра (Г)?
Пусть в пространстве фиксирована точка S; определить множество прямых,
' Стереометрия. Гл. XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК 295
проходящих через точку S, таких, что на каждой из них можно по-
местить одно из ребер одного из тетраэдров (Т).
Пусть задана плоскость (Р); определить в этой плоскости прямые
(X), т. е. прямые, на которых могут быть расположены ребра тетра-
эдра (Г).
3°. Фиксирована точка S; рассматриваются те из тетраэдров (Т), для
каждого из которых одно из ребер лежит на произвольной пря-
мой SX, проходящей через S; обозначим через Y прямую, на кото-
рой лежит противоположное ребро такого тетраэдра.
Изучить распределение прямых Y, соответствующих всем пря-
мым SX, проходящим через S. Показать, что эти прямые Y ортогональны
некоторой фиксированной прямой, и определить огибающую тех пря-
мых Y, которые расположены в какой-нибудь плоскости, перпенди-
кулярной этой фиксированной прямой. Построить тетраэдр (Г),
зная точки S и 5', через которые проходят два его скрещивающихся
ребра; исследовать.
Глава XXIV
ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
1. Доказать, что две плоскости, проходящие через концы трех ребер
параллелепипеда, сходящихся в концах диагонали параллелепипеда, рас-
секают эту диагональ на три равные части.
2. Доказать, что если треугольник является ортогональной проекцией
на основание правильной четырехугольной пирамиды треугольника АВС,
расположенного на одной из боковых граней этой пирамиды, а треуголь-
ник А2В2С2 — ортогональной проекцией треугольника на другую
боковую грань, то треугольник А2В2С2 подобен треугольнику АВС.
3. Доказать, что если одна из вершин треугольной пирамиды проектируется
в ортоцентр противоположной грани, то и другие вершины этой пирамиды
обладают этим свойством.
4. Дана треугольная пирамида. Доказать, что
± = ± + _L + J_+_L
R hi ‘ h2 * h3 ‘ ’
где R — радиус шара, вписанного в пирамиду, а /гр h2, h3, Tz4 — высоты
пирамиды.
5. Доказать, что сумма расстояний от любой точки М, лежащей на одной
из граней тетраэдра, до трех его других граней не зависит от положения
точки М в выбранной грани.
6. Доказать, что квадрат площади треугольника равен сумме квадратов пло-
щадей его проекций на три взаимно-перпендикулярные плоскости.
7. Две треугольные пирамиды имеют при вершинах равные трехгранные углы.
Доказать, что отношение их объемов равно отношению произведений их
ребер, сходящихся в вершинах.
8. В пространстве дан четырехгранный угол и точка Р. Доказать, что через
точку Р можно провести плоскость, которая рассекает угол по парал-
лелограмму.
9. Дана пирамида ABCD. Строим новую пирамиду A'B'C'D' следующим
образом: точки А', В' определяем как симметричные точкам Л, В относи-
тельно произвольной точки О', лежащей на прямой АВ, а точки С', D'
определяем как симметричные точкам С, D относительно произвольной
точки О", лежащей на прямой CD. Доказать, что объемы пирамид равны.
10. Доказать, что если плоскость, проходящая через концы трех ребер парал-
лелепипеда, исходящих из одной вершины, отсекает от параллелепипеда
правильный тетраэдр, то параллелепипед можно пересечь плоскостью так,
чтобы в сечении получился правильный шестиугольник.
11. В пространстве даны две пересекающиеся плоскости: (Л1) и (А/). На линии
их пересечения дана точка А. Доказать, что из всех прямых, лежащих
в плоскости (Л4) и проходящих через точку А, наибольший угол с пло-
скостью (N) образует та, которая перпендикулярна линии пересечения
плоскостей (Л4) и (/V).
12. В пространстве даны точки С\, О2, О3 и точка А. Точка А симметрично
отражается от точки Ot, получается точка Дх; точка Ai симметрично отра-
Стереометрия. Гл. XXIV. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
297
жается от точки О2, получается точка Л2; точка А2 симметрично отражается
от точки О3, получается точка А3. Далее точка А3 последовательно отра-
жается относительно точек О2 и О3, Доказать, что последняя точка
совпадает с точкой А.
13. Доказать, что существуют тетраэдры, высоты которых не пересекаются
в одной точке.
14. Доказать, что всякая плоскость, проходящая через середины двух про-
тивоположных ребер тетраэдра, делит этот тетраэдр на две равновеликие
части.
15. Доказать, что если в треугольной пирамиде все грани равновелики, то все
они равны между собой.
16. Доказать, что в треугольной пирамиде с прямым трехгранным углом при
вершине квадрат площади основания равен сумме квадратов площадей
боковых граней.
17. Доказать, что если цилиндр пересечь наклонной плоскостью, затем раз-
резать его вдоль образующей и развернуть в плоскость, то линия, сечения
развернется в синусоиду.
18. Доказать, что если сечение правильной четырехугольной пирамиды некото-
рой плоскостью представляет собой правильный треугольник, то боковые
ребра пирамиды образуют с плоскостью основания углы по 45°.
19. Дан трехгранный угол, все плоские углы которого прямые. На одном из
ребер взята точка А, на другом — точка В, а на третьем — точка С. Обо-
значим вершину трехгранного угла буквой О, а проекцию этой вершины
на плоскость АВС — буквой 3. Доказать, что площадь треугольника АОВ
есть средняя пропорциональная между площадями треугольников АВС
и ASB.
29. Доказать, что объем тетраэдра равен произведению площади прямоуголь-
ника со сторонами, соответственно равными двум противоположным ребрам,
на одну шестую кратчайшего расстояния между этими ребрами.
21. В тетраэдре AtA2A3A4 три пары противоположных ребер: А}А2, Д3Л4;
Д2Д3, Л4Ар Л3АР А2Л4 — соответственно равны а1г а4, а2, а5, а3, aQ. Доказать,
что сумма произведений двух пар противоположных ребер больше произ-
ведения ребер третьей пары, т. е.
а fl 1 + 3 ajaj + 3 > a]flk + 3>
где Z, /, k различны и принимают значения 1, 2, 3.
22. Доказать, что прямые, соединяющие вершины треугольной пирамиды
с центрами тяжести противоположных граней, пересекаются в одной точке.
23. Доказать, что во всяком выпуклом многограннике есть, по крайней мере,
или одна треугольная грань, или один трехгранный угол.
24. Доказать, что если в треугольной пирамиде один из плоских углов при
вершине прямой, а высота пирамиды проходит через точку пересечения
высот основания, то и прочие плоские углы при вершине — прямые.
25. Доказать, что не существует выпуклого многогранника, имеющего 7 ребер.
26. Доказать, что если телесный угол шарового сектора содержит а стерадиан
и а < 2к, а развертка конической поверхности этого сектора имеет цен-
тральный угол р радиан, то
27. Доказать, что сечение параллелепипеда плоскостью не может оказаться
правильным пятиугольником.
28. Около сферы описан пространственный четырехугольник. Доказать, что
четыре точки касания лежат в одной плоскости.
29. Доказать, что полная поверхность конуса больше поверхности вписанного
в него шара.
298 Стереометрия. Гл. XXIV. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
30. Боковая (т. е. сферическая) поверхность сферического сегмента (не являюще-
гося полушаром) равна боковой (сферической) поверхности некоторого полу-
шара. Доказать, что объем полушара больше объема сферического сегмента.
31. Три грани трехгранного угла со взаимно-перпендикулярными ребрами пере-
секают шар по трем кругам. Доказать, что сумма площадей этих кругов
не изменится, если повернуть этот трехгранный угол вокруг его вершины
так, чтобы его грани не перестали пересекать шар.
32. Вокруг правильного тетраэдра описана сфера. Доказать, что расстояния
/п, А Я любой точки сферы от вершин тетраэдра удовлетворяют соот-
ношению
т4 п4 -|- р4 4- q4 = т2п2 4~ ^2Р2 4~ т2Я2 4~ п2Р2 4“ п2Я2 4~ Р2Я2-
33. Даны точки А и В. Рассмотрим точки С и D такие, что треугольники САВ
и DAB — равнобедренные (основание АВ) и расположены в разных пло-
скостях.
1°. Доказать, что точки С и D лежат в плоскости, перпендикуляр-
ной АВ. Что можно сказать про точку К, в которой эта плоскость
пересекает АВ? Доказать, что CD.i_AB- Что дают предыдущие
результаты, если плоскости САВ и DAB совпадают? Во всем даль-
нейшем будем предполагать, что эти плоскости различны.
2°. Доказать, что высота треугольника ACD, выходящая из А, и высота
треугольника BCD, выходящая из В, пересекаются в точке Н. До-
казать, что АН=ВН.
3°. Пусть HK — d, АВ = 2а, НС = х. Вычислить С А. Какое соотноше-
ние должно существовать между а и d для того, чтобы пло-
скости ACD и BCD были перпендикулярны?
4°. Пусть D'— ортогональная проекция D на плоскость АВС. Устано-
вить следующее: а) точка D' лежит на прямой СК‘, б) для того,
чтобы DB была ортогональна АС, необходимо и достаточно, чтобы
точка D' была ортоцентром треугольника АВС. Доказать, что в этом
случае DA | ВС.
Приложение. Пусть даны равнобедренный треугольник САВ (АВ —
основание) и прямая Сх, перпендикулярная АВ. Доказать, что,
вообще говоря, на прямой Сх существует, и притом только одна,
точка такая, что прямые АС и DB ортогональны. Каков здесь исклю-
чительный случай?
34. В пространстве даны две фиксированные скрещивающиеся и взаимно-пер-
пендикулярные прямые: х'х и у'у; 01 — их общий перпендикуляр (точка О
на х'х, точка / на у'у). Пусть 01 =d. На прямой х'х по одну и по дру-
гую сторону от точки О берут точки А и В такие, что ОА = а, ОВ = Ь.
На прямой у'у берется точка М.
1°. Пусть d2=ab. Доказать, что тогда при любом выборе точки М
на у'у прямые АМ и BI будут ортогональны. Вычислить в функции
только а и b объем тетраэдра MIAB, если IM = d.
2°. Теперь предположим, что d2 ab. Обозначим через В' ортогональ-
ную проекцию точки В на плоскость, проходящую через точку А
и прямую у'у. Найти геометрическое место оснований перпендикуля-
ров, опущенных из точки В на АМ при условии, что точка М
описывает прямую у'у.
3°. Доказать, что каждой точке М прямой у'у соответствует точка N
той же прямой такая, что AMJ_NB. Как построить эту точку?
Доказать, что М — ортоцентр треугольника AB'N, и использовать
этот результат для доказательства того, что AN | ВМ (можно,
например, доказать, что AN перпендикулярна плоскости ВМВ').
4°. Доказать, что произведение IM • IN сохраняет постоянную величину,
если точка М описывает прямую у'у. Вычислить это произведение
Стереометрия. Гл. XXIV. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 299
в функции a, b и d. Предположим, что d2 = ab\ что можно сказать
о положении точки N в двух следующих случаях?
а) /И занимает на прямой у'у положение, отличное от /;
б) М совпадает с /.
35. Скрещивающиеся оси Х'АХ и Y'BY пространства образуют между собой
угол 60° (угол между их положительными направлениями). Пусть АВ—отре-
зок, концы которого лежат соответственно на двух данных осях и который
перпендикулярен к ним обеим. Пусть О — точка, лежащая на отрезке АВ
О А
и такая, что —г = — 2. Пусть ОА—Ъа. Точка Л4 описывает ось Х'Х,
ОВ
а точка N— ось Y'Y так, что все время AM = 2BN — 2х.
1°. Доказать, что MN I Y'Y.
2°. Доказать, что плоскость (Р), перпендикулярная в точке О к АВ,
пересекает плоскость О MX по фиксированной прямой (D), и опре-
делить направление прямой (D) относительно данных осей.
3°. Доказать, что и обратно — всякая плоскость, проходящая через пря-
мую (£)) и неперпендикулярная АВ, пересекает оси Х'Х и Y'Y
соответственно в точках М и N таких, что AM — 2ВХ и что
MX±J7Y.
4°. Определить х так, чтобы /МОЛ/= 90°, и показать, что на АВ
существует тогда еще одна точка О' такая, что /MOW = 90°.
5°. Пусть МОХ — 90°. Найти синус угла прямой АВ с пло-
скостью МОХ.
36. Пусть ABCD — тетраэдр.
1°. Доказать, что если ЛВ | СО и AC | BD, то и ЛО | ВС (такой
тетраэдр будем называть ортоцентрическим); доказать, что высоты
ортоцентрического тетраэдра пересекаются в одной точке и что осно-
вания высот тетраэдра проходят через ортоцентры граней, на кото-
рые они опущены. Обратно, если высоты тетраэдра пересекаются
в одной точке, то тетраэдр ортоцентрический.
2°. Доказать, что если для тетраэдра ABCD имеют место соотношения
DB . DC • cos £BDC = ОС-ОД.cos £CDA = DA- DB- cos / ADB,
то тетраэдр ортоцентрический.
Доказать, что в ортоцентрическом тетраэдре все плоские углы любого
трехгранного угла или все острые, или все тупые; показать, что
из четырех трехгранных углов ортоцентрического тетраэдра имеется
не более чем один угол, в котором сходятся три плоских тупых угла.
3°. Рассмотрим прямые A'DA", BrDB", C7DC"9 проходящие через одну
точку D7 и не лежащие в одной плоскости; предположим, что
среди них нет ни одной пары взаимно-перпендикулярных прямых
(DA7 и DA"— взаимно противоположные лучи прямой A'DA7'-, то же
относительно DB' и DB", DC7 и DC'7). Рассмотрим всевозможные
трехгранные углы, которые образованы одним из лучей DA7, DA",
одним из лучей DB7, DB" и одним из лучей DC7, DC". Доказать,
что только для двух из этих углов все плоские углы, прилежащие
к вершине D, будут острыми (или все тупыми).
4°. Возьмем на прямой A'DA" произвольную точку А, отличную от D.
Пусть плоскость, проходящая через А ортогонально B'DB", пере-
секает C'DC" в точке С, а плоскость, проходящая через А перпенди-
кулярно C'DC", пересекает B7DB" в точке В. Доказать, что
ABCD — ортоцентрический тетраэдр.
5°. Доказать, что для того, чтобы тетраэдр ABCD был ортоцентри-
ческим, необходимо и достаточно, чтобы
АВ2 4- CD2 = АС2 + BD2 = AD2 + СВ2.
300 Стереометрия. Гл. XXIV. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
37. Даны окружности (С) и (С'), расположенные в двух параллельных пло-
скостях, причем прямая, соединяющая их центры О и О', перпендикулярна
этим плоскостям. Радиусы этих окружностей соответственно равны
R = 15 см и R' = 20 см, а расстояние между их центрами равно 25 см.
Пусть точка А описывает окружность ((?), а точка А'— окружность (С'),
притом так, что радиусы ОА и ОА' все время остаются взаимно-перпен-
дикулярными.
1°. Доказать, что длина отрезка А А' и угол, образуемый этим отрезком
с прямой ОО', постоянны. Найти длину отрезка АА* и величину
указанного угла.
2°. Построить общий перпендикуляр к прямым АА' и ОО'. Пусть этот
общий перпендикуляр пересекает ОО' в точке /, а АА'—в точке К.
Доказать, что точка / остается фиксированной, а расстояние IK
постоянно, если А и А' изменяются так, как указано выше.
3°. Из 2° следует, что точка К принадлежит окружности (Г); опре-
делить ее плоскость, центр и радиус. Обратно, доказать, что через
каждую точку К окружности (Г) проходят две и только две прямые:
(D) и (Д), каждая из которых пересекает обе окружности: (С) и (С').
Доказать, что радиусы окружностей (С) и (С'), идущие в точки
пересечения прямой (D) с окружностями (С) и (С'), взаимно-перпен-
дикулярны (то же и для Д) и что сами прямые (£)) и (Д) также
взшмнэ-перпендикулярны.
38. Рассмотрим тетраэдр ABCD, ребра DA, DB и DC которого попарно
взаимно-перпендикулярны. Пусть О — центр описанной вокруг него сферы,
а радиус этой сферы равен R.
1°. Доказать, что можно построить треугольник, стороны которого равны
расстояниям от трех вершин этого тетраэдра (в их числе есть
точка D) до диаметра сферы (О), проходящего через четвертую
вершину.
2°. Доказать, что если 5 — площадь этого треугольника, а а, Ь, с —
длины ребер DA, DB и DC, то abc = 4Rs.
39. ABCD — тетраэдр. Обозначим через (Р) плоскость, параллельную двум
противоположным его ребрам АС и BD, и через Е— точку, в которой (Р)
пересекает АВ (рассмотреть только тот случай, когда точка Е лежит
между А и В).
1°. Доказать, что сечение тетраэдра плоскостью (Р) есть параллело-
грамм.
2°. Предполагая, что точка Е — середина АВ, доказать, что три отрезка,
соединяющие се^дины противоположных ребер тетраэдра, пере-
секаются в одной точке — середине каждого из них.
3°. Можно ли выбрать Е так, чтобы соответствующее сечение было
ромбом? Вычислить в этом случае АЕ через длины ребер тетраэдра.
4°. Для какого тетраэдра сечение будет прямоугольником? Доказать,
ш что если сечение плоскостью, параллельной АС и BD, есть прямо-
угольник, сечзние плоскостью, параллельной AD и СВ, тоже прямо-
угольник, то и сечение плоскостью, параллельной АВ и CD, также
прямоугольник.
49**. Пусть О — центр сферы, описанной вокруг тетраэдра (Г) s ABCD; G, Ga,
Gb, Gc, Gd — соответственно центры тяжести тетраэдра (Т) и граней BCD,
CDA, DAB и АВС; ((в)—сфера (радиуса -у), описанная вокруг тетраэдра
QaGbGcGd * (сфера двенадцати точек). Обозначим через Od, G'd, &d, Hd
* Так как тетраэдры (Т) и GaGbGcGd соответствуют друг другу в гомотетии (G, —3),
то центр w сферы определяется соотношением Gw = —у GO.
Стереометрия. Гл. XXIV. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
301
ортогональные проекции точек О, G, (в, Н на грань АВС, а через
D' — точку, в которой высота DHd пересекает сферу (О).
1°. Доказать, что oxo. = ~ DD'.
а о
2°. Доказать, что если сфера (а:) касается одной из граней тетра-
эдра (Г), то ребра, идущие к вершинам этой грани, равны между
собой и обратно.
3°. Если сфера (w) касается двух граней тетраэдра (Г), то 5 ребер
равны между собой и обратно.
4°. Если сфера (ю) касается трех граней, то она касается и четвертой
грани и обратно; тетраэдр (Г) при этом правильный.
5°. Доказать, что тетраэдры AJBCD, BtCAD, C^DAB, DjABC, имею-
щие одной из своих вершин точку Alf Blt Clt Di9 симметричную
одной из точек А', В', С', D' относительно BCD, CDA, DAB и АВС,
имеют одну и ту же сферу двенадцати точек.
R
6°. Доказать, что отношение —, где R — радиус описанной вокруг
тетраэдра сферы, г — радиус сферы, вписанной в этот тетраэдр,
минимально в том случае, если тетраэдр правильный.
41. Пусть А, В, С, D — вершины тетраэдра, a, b, с, d — их ортогональные
проекции на противоположные грани.
1°. Доказать, что если точка а расположена на высоте ВН треуголь-
ника BCD, то АВ | CD.
2°. Сформулировать и доказать обратное положение.
3°. Доказать, что если точка а совпадает с ортоцентром треуголь-
ника BCD, то точки Ь, с, d являются соответственно ортоцентрами
граней ACD, ABD и АВС.
42. В плоскости (Р) задана окружность (С) диаметра АВ = 27?; на перпенди-
куляре AS к плоскости (Р) отложен отрезок AS = 27?. Точка М описывает
окружность (С). Обозначим через Н основание высоты, опущенной из А
на сторону SA4 треугольника ASM.
1°. Доказать, что плоскости SAA4 nSBM перпендикулярны и что AH±SB.
Каково геометрическое место прямых АН? Доказать, что геометри-
ческое место точек Н есть окружность; определить плоскость,
в которой она расположена, ее центр и радиус.
2°. Обозначим через х угол ВАМ. Вычислить в функции 7? и х рас-
стояние у от точки Н до плоскости (Р). Определить х так, чтобы
у имел данную величину d. Исследовать. Дать геометрическое ре-
шение.
3°. Выразить у в функции 7? и X=cos2a:. Изучить полученную функ-
цию при условии, что точка М описывает полуокружность (С) диа-
метра АВ и построить график этой функции.
43. Дан тетраэдр ABCD с основанием BDC, причем ребро AD перпендику-
лярно плоскости BDC. Пусть DE — высота треугольника DBC, опущенная
на сторону ВС.
1°. Доказать, что плоскость ADE перпендикулярна плоскости АВС.
2°. Пусть BF— высота треугольника АВС, опущенная на сторону АС,
а ВК — высота треугольника DBC, опущенная на сторону DC.
а) Доказать, что плоскость BFK перпендикулярна плоскости АВС.
б) Доказать, что ортоцентр Н треугольника АВС есть ортогональная
проекция на плоскость АВС ортоцентра N треугольника BCD.
3°. Предположим, что грань BCD фиксирована, а вершина А тетраэдра
описывает полупрямую Dx, перпендикулярную основанию DBC.
Найти геометрическое место точек Н и F.
4°. Доказать, что шесть точек: С, Е, Н, F, К, N лежат на одной
и той же сфере. Наати положение ее центра и радиус.
Глава XXV
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
1. Можно ли треугольную пирамиду пересечь плоскостью так, чтобы в сече-
нии получился ромб?
2. Можно ли пересечь треугольную пирамиду плоскостью так, чтобы в сече-
нии получился параллелограмм?
3. Куб опирается вершиной о плоскость так, что его диагональ, выходящая
из этой вершины, перпендикулярна плоскости. Он освещен пучком лучей,
параллельных указанной диагонали. Найти тень, отбрасываемую кубом на
плоскость.
4. На поверхности куба найти все точки, равноудаленные от концов одной из
его диагоналей.
5. В пространстве даны четыре точки: А, В, С, D\ EF—общий перпендикуляр
к отрезкам АВ и CD и АВ | CD. Зная, что АЕ = ЕВ — tn, CF = FD=n,
EF = k, найти в пространстве точку О такую, чтобы сумма расстояний от
нее до точек А, В, С и D достигала минимума.
6. Из двух треугольных пирамид с общим основанием одна лежит внутри
другой. Может ли быть сумма ребер внутренней пирамиды больше суммы
ребер внешней?
7. Определить радиус биллиардного шара, производя построение циркулем
и линейкой на самом шаре и на листе бумаги.
8. Через некоторую точку пространства проведены 4 плоскости; никакие 3 из
них не пересекаются по одной прямой. На сколько частей разбивается
пространство?
9. На поверхности твердого шара дан полюс N. Построить при помощи одного
циркуля другой его полюс S.
10* На поверхности твердого шара дана дуга, являющаяся частью параллели.
Построить полюс, пользуясь одним циркулем.
11. На сколько частей могут разделить пространство п плоскостей?
12. Прямая I пересекает две произвольные непараллельные плоскости: аир.
Исследовать, сколько плоскостей можно провести через прямую I так,
чтобы они пересекали данные плоскости по двум взаимно-перпендикуляр-
ным прямым.
13. На поверхности куба найти 3 точки, из которых его диагональ видна под
наименьшим углом.
14. Сколько существует плоскостей, равноудаленных от четырех данных точек?
15. Четыре плоскости, пересекаясь между собой, образуют произвольный тет-
раэдр. Сколько существует сфер, каждая из которых касается всех четырех
плоскостей?
16. Требуется изготовить тетраэдр из треугольного листа жести, не разрезая
его на части. При каких условиях это можно сделать? Вычислить сумму
косинусов линейных углов всех двугранных углов тетраэдра.
17. Как расположены плоскости симметрии ограниченного тела, если оно имеет
две оси вращения (осью вращения называется прямая, после поворота
вокруг которой на любой угол, не равный 2к, тело совмещается само с собой).
18. Дана часть шаровой поверхности; при помощи одного только циркуля
определить диаметр шара.
'Стереометрия. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
303
19. Прямоугольный параллелепипед с ребрами 8 см, 8 см, 27 см разрезать
на 4 части, из которых можно было бы сложить куб.
20. Из произвольной точки Р, лежащей внутри треугольника АВС, являю-
щегося гранью тетраэдра ABCD, проводятся прямые, параллельные ребрам
DA, DB и DC, которые пересекают грани BCD, CDA и DAB соответ-
ственно в точках Alt Blt Сг. При каком положении точки Р объем тетра-
эдра РА1В1С1 будет наибольшим?
21. Даны две скрещивающиеся и взаимно-перпендикулярные прямые (D) и (Д);
АВ — их общий перпендикуляр [точка А лежит на прямой (А>), точка В—-на
прямой (Д)].
1°. Доказать, что все грани тетраэдра ABMN— прямоугольные тре-
угольники.
2°. Определить центр сферы, описанной вокруг АВMN. Найти геометри-
ческое место середин отрезков MN, если М и N описывают соответ-
ственно прямые (О) и (Д).
3°. Пусть длина отрезка MN — постоянная. Найти геометрическое место
его середины.
4°. Дано AB = d, AM = BN — п. Найти объем тетраэдра ABMN.
22. Пирамида SABCD имеет основанием квадрат ABCD со стороной а. Длина
ребра SA равна а^З, и оно перпендикулярно плоскости ABCD. Пло-
скость, проходящая через AD, пересекает SB в точке В', a SC—в точке С'.
1°. Доказать, что четырехугольник AB'C'D есть равнобочная трапеция.
Найти геометрическое место точек М пересечения диагоналей DB'
и АС1 при условии, что В' описывает отрезок SB.
2°. Полагая SB' — x, вычислить
у = АВ'2 4- В'С'2 + C'D2.
3°. Изучить изменение у как функции от х и представить эту зависи-
мость графически при условии, что В' описывает отрезок SB.
4°. Определить х при условии, что у — 12, где I — данное число. Иссле-
довать существование и число решений.
5°. Дать геометрическое решение предыдущего вопроса и получить на
этом пути результаты предыдущего исследования.
23. Диагональ BD ромба ABCD параллельна плоскости Н и имеет длину 2а;
его другая диагональ АС — 4а образует с плоскостью Н угол 60°; при
этом ромб ABCD расположен по одну сторону от плоскости Н. Расстоя-
ние от точки А — ближайшей вершины ромба к плоскости Н — до этой
плоскости равно а. Пусть А', В', С', D' ортогональные проекции точек
А, В, С, D на плоскость Н. Многогранник ABCDA'B'C'D’ обозначим
через (Т).
1°. Доказать, что А'В'C'D'— квадрат и что (Т) имеет плоскость сим-
метрии. Найти угол между плоскостями, проходящими через DB
и АС и перпендикулярными плоскости Н.
2°. Вычислить длины ребер, полную поверхность и объем (Т).
3°. Пересечем (Г) плоскостью, которая пересекает все его ребра АА',
ВВ', СС', DD'. Доказать, что это сечение — параллелограмм. При
каком условии это сечение будет прямоугольником, ромбом, ква-
дратом?
4°. Вычислить площадь’ s прямоугольника, полученного в результате
сечения (Г) плоскостью, параллельной BD и перпендикулярной Н,
в функции расстояния х секущей плоскости от вертикального ребра АА'.
Построить график функции s — f (х).
24. В плоскости задан правильный шестиугольник ABCDEF с центром О
и стороной а. На прямой, перпендикулярной его плоскости и проходящей
через точку О, берется точка 5 такая, что OS = а. Рассмотрим пира-
304
Стереометрия. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
миду SABCDEF. Проведем через сторону АВ основания произвольную
плоскость, пересекающую пирамиду по шестиугольнику ABMNPQA (черт. 76).
1°. Доказать, что это сечение обладает плоскостью симметрии, что
диагональ A4Q и сторона NP остаются парал-
лельными фиксированной прямой и что прямые
ВМ, MN, PQA и QA проходят через фиксиро-
ванные точки.
Найти геометрическое место точек пересечения
прямых ТИЛ/ и PQ; ВМ и AQ-, ВМ и PQ-
AQ и ALV; AQ и РЯ; ВМ и PN.
Пусть точки Р и N являются серединами ребер
SF и SC. Доказать, что Q и М отстоят тогда от S
на -д- длины соответствующих ребер. Вычислить
в этом случае площадь сечения ABMNPQ и
объем пирамиды SABMNPQ.
25. Четыре отрезка: АВ, ВС, CD и DA, которыми соединяются четыре точки:
А, . В, С, D, не расположенные в одной плоскости, образуют простран-
ственный четырехугольник.
1°. Сколько имеется различных четырехугольников, имеющих заданные
вершины А, В, С, D, но взятые в разном порядке? Какова общая
часть двух таких различных четырехугольников?
2°. Изучить для каждого из них четырехугольник MNPQ, имеющий
вершинами середины сторон. Какова общая часть двух таких четырех-
угольников?
3°. Изучить фигуру, образованную отрезками, соединяющими середины
противоположных сторон и середины диагоналей пространственного
четырехугольника ABCD.
4°. Пусть вершины А, В, С фиксированы, a D описывает прямую (А).
Каково геометрическое место центров параллелограммов MNPQ?
26. Дана прямоугольная трапеция ABCD (углы А и D прямые), причем
АВ = AD = а, DC = 2a. На перпендикуляре в точке D к плоскости этой
трапеции откладывают длину DS = a.
1°. Доказать, не применяя теорему Пифагора, что четыре боковые грани
пирамиды SABCD—прямоугольные треугольники.
2°. Пусть Е— середина DC, а / — середина ВС\ вычислить расстоя-
ние DI. Определит^» положение центра и радиус сферы, проходящей
через точки S, В, Е, С.
3°. Пусть М— точка отрезка ЗА определяемая расстоянием SM = x.
Плоскость CDM пересекает ребро SB в точке Р. К какому типу
принадлежит четырехугольник DMPC7 Выразить в функции а и х
объем пирамиды SDMPC и определить х так, чтобы этот объем
л ^а3
был равен .
27*. Рассмотрим геликоидальное преобразование (77), полученное в результате
поступательного перемещения h в направлении оси (А) и поворота на угол
6 = ~ вокруг той же оси (А).
1°. Построить образ М' точки М в преобразовании (Я). Построить
точки М и М', зная середину / отрезка ММ'.
2°. Назовем прямыми (D) прямые пространства, проходящие через
точку М и ее образ М' в преобразовании (Я). Обозначим через d
кратчайшее расстояние между (О) и (А) и через а острый угол между
(D) и (А). Найти соотношение между a, d и h. Показать, что пря-
мые (D), проходящие через фиксированную точку А, принадлежат
круговому конусу, и определить сечения этого конуса плоскостью,
Стереометрия. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
305
перпендикулярной (А). Показать, что всякая прямая (£)) пересекает
свой образ.
3°. Пусть точка М зачерчивает плоскость (В); найти геометрическое
место середин / отрезков ММ' и геометрическое место точек М
плоскости (В), образы М' которых также лежат в плоскости (В)
Найти огибающую прямых (£)) плоскости (Р). • >
28**. Предметом этой задачи будет изучение некоторых свойств многогранника,
построение которого дается во второй ее части; алгебраический вопрос
первой части позволяет решить ряд вопросов, относящихся к дальнейшему.
I. Рассмотрим функцию
у — — х Vах2 4~ Р»
(1)
где а и р — постоянные, причем а> 1, Р > 0.
1°. Сколько существует положительных или нулевых значений для х,
удовлетворяющих соотношению (1), если для у задано какое-нибудь
положительное значение?
2°. Будем рассматривать функцию (1) лишь для положительных значе- *
ний х. Доказать, что при этом у > 0 и что у принимает минималь-
ное значение, равное
а
при каком значении х функция у принимает это минимальное зна-
чение?
II. В плоскости В задан правильный шестиугольник, последовательные вершины
которого Л, В, С, D, Е, В; длина стороны равна а. Через центр О этого
многоугольника проводится полупрямая OZ, перпендикулярная его пло-
скости; затем через полупрямые, проходящие не через последовательные
вершины Л, С, Е шестиугольника, проводятся полупрямые, также перпен-
дикулярные плоскости шестиугольника и идущие в том же направлении,
что и OZ. На этих полупрямых откладываются отрезки ЛЛ', СС', ЕЕ'
одной и той же длины /. Пусть / — точка полупрямой OZ такая, что
01 = / + х, где х—число, заключенное между нулем и /, т. е. 0 < х < I.
Три плоскости: IA'C', IC'E', IE'А', пересекают полупрямые, перпендикуляр-
ные плоскости (В), проходящие через три другие вершины В, D, Е шести-
угольника и идущие в том же направлении, что и OZ в точках В', D', F'.
1°. Доказать, что точки В', D', F' расположены с той. же стороы пло-
скости (В), что и точки /, А', С', Е'. Найти длину отрезков ВВ',
DD', FF'.
Точку / соединяют с точками А', Cf, Е' и строят шесть отрез-
ков: А'В', В'С', C'D', D'E', E'F', F'A'. Что представляет собою
четырехугольник JA'B'C'^
Данный шестиугольник ABCDEF, шесть прямоугольных трапе-
ций: ABB'A', ВСС'В', CDD'C', DEE'D', EFF'E', FAA'F', и три
четырехугольника: lA'B'C', IC'D'E', lE'F'A', являются десятью гра-
нями выпуклого многогранника, который мы обозначим через (А).
Построить ортогональные проекции (А), принимая последовательно
в качестве плоскостей проекции: плоскость (Р) шестиугольника, затем
плоскость ВВ'ЕЕ', затем плоскость, проходящую через середину
отрезка ВС, перпендикулярно к нему (на проекциях начертить проек-
цию ребер и вершин).
2°. Обозначим через ср угол ВВ'А', а через в — угол А'1С'. Вычислить
в функции а, I и х: длину каждой диагонали четырехуголь-
ника 1А'В'С'\ косинусы углов ср и 9; объем v многогранника (А),
его полную поверхность s и сумму L длин всех его ребер.
20 П. С. Моденов
306
Стереометрия. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
3°.
Предполагая, что а и I фиксированы и что показать, что
2^2
полная поверхность s и сумма L, рассматриваемые как функции
от х, обладают минимумами для одного и того же значения х, заклю-
ченного между 0 и /; вычислить значения этих минимумов, которые
мы обозначим s0 и Ло. Доказать, что это те значения х, при кото-
рых углы ср и 0 равны между собой.
Пусть (До) — многогранник, соответствующий этому частному значе-
нию х; ребра (До), выходящие, с одной стороны, из каждой вер-
шины /, В', D', F' и, с другой стороны, — из каждой вершины Л',
С', Е', определяют соответственно четыре трехгранных угла и три
многогранных (с четырьмя гранями). Сравнить грани этих трехгран-
ных и многогранных углов; каковы косинусы углов граней? Вычи-
слить двугранные углы этих трехгранных и четырехгранных углов.
III. Рассмотрим снова многогранник (Д), определенный в начале раздела П,
зависящий от трех параметров: а, Z, х. Будем говорить, что сфера впи-
сана в многогранник (Д), если она расположена внутри (Д) и касается
всех десяти его граней. В третьей части этой задачи предлагается изучить
многогранники типа (Д), имеющие вписанную сферу. Решения, геометри-
ческие и алгебраические, предлагаемых ниже вопросов 1° и 2° могут быть
даны в произвольном порядке; для одного и другого решения полезно
использовать сечение фигуры плоскостью ВВ'ЕЕ' и заметить, что если
сфера вписана в многогранник (Д), то ее центр лежит непременно на полу-
7 а /З
прямой OZ, а радиус равен —.
1°. Предполагая заданными а и Z, дать геометрическое построение много-
гранника (Д), обладающего вписанной сферой; исследовать.
2°. Предполагая заданными а и Z, определить х так, чтобы (Д) обладал
вписанной сферой; исследовать (разумеется, нужно сравнить резуль-
таты исследований).
3°. Доказать, что для всякого многогранника (Д), обладающего вписан-
ной сферой, отношение его объема v к полной поверхности $ равно
одной трети радиуса вписанной сферы. В конце раздела II был оп-
ределен многогранник (До), зависящий только от а и Z; доказать,
что можно определить I в функции а так, что и он будет обладать
вписанной сферой. Подсчитать для этого многогранника (До) отно-
шение его полной поверхности к поверхности вписанной в него
сферы и отношение его объема к объему этой сферы. Доказать,
что ошибка, которую мы допустили, принимая это отношение рав-
ным у, не превосходит 0,003.
Глава XXVI
ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
1***. Будем называть линией (С) всякую линию, которая может быть получена
перспективой окружности. Свойства линий (С) требуется изучить, не
опираясь на то, что линии (С)— конические сечения; не следует исполь-
зовать теоремы о конических сечениях, вводить мнимых точек, а также
не следует опираться на инволюцию. Применение же бесконечно удаленных
точек и прямых допускается. Напомним определение перспективы: пусть
даны плоскость (Р) на конечном расстоянии и точка 3, которая может
быть и бесконечно удаленной; перспективой называется преобразование,
которое всякой точке пространства ставит в соответствие точку М
пересечения прямой ЗЛ^ с плоскостью (Р).
Введем следующие обозначения: (Р) — плоскость, в которой лежит изучае-
мая линия (С); (PJ— окружность, перспектива которой есть линия (С);
(PJ — плоскость, в которой лежит окружность (Pt); 3— точка, не лежа-
щая ни на плоскости (Р), ни на плоскости (PJ. Исключая тривиальный
случай, когда плоскости (Р) и (PJ параллельны, обозначим через (П)
плоскость, параллельную (Р), проведенную через точку 3 и через прямую
(Gj), по которой пересекаются плоскости (PJ и (77).
I. Фиксированы следующие элементы: пересекающиеся плоскостл (Р) и (PJ,
точка 3, не лежащая ни на одной из них, и окружность (Рх), лежащая
в плоскости (Рх).
1°. Изучить число точек пересечения прямой (D) плоскости (Р) с пер-
спективой (С) окружности (PJ. Найти геометрическое место середин
параллельных хорд линии (С).
2°, Найти центр симметрии и оси симметрии ли: и (С). Исследовать число
этих осей симметрии и существование точек пересечения осей сим-
метрии с линией (С); в выводах должны фигурировать лишь данные
элементы (PJ, S (Г^ и прямая (GJ.
Доказать, что если линия (С) имеет более двух осей симметрии, то эта
линия — окружность (Г).
3°. Даны в плоскости (Рг) точка и ее поляра (DJ ст юсительно (Г^;
говорят, что их перспективы М и (D) являются полюсом и полярой
относительно линии (С). Должно быть оправдано это соглашение
или нет? В случае положительного утверждения дать оправдание этому
определению.
II. Даны окружность (Г) и на ней шесть различных точек: Д, Д', В, В', С, С',
Доказать теорему Паскаля: если Р, Q, R— соответственно точки пере-
сечения прямых ВС' и СВ', СА' и АС', АВ' и ВД', то они лежат на
одной прямой.
1°. Доказать эту теорему в каждом из следующих частных случаев:
а) АВ'\\ВА' и, следовательно, R—бесконечно удаленная точка в на-
правлении АВ', Доказать, что точки С С', Р, Q лежат, вообще
говоря, на одной окружности и что PQ|| АВ',
б) АВ' и В А' — два диаметра (Г). Пусть 7И и N — соответственно
точки, в которых пересекаются прямые АС', СВ' и СА', ВС'\
доказать, что точки М, N, С, С' лежат, вообще говоря, на одной
20*
3Q8 Стереометрия. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
окружности (Bz), ортогональной (Г), и что точки Р, Q, R лежат
на одной прямой.
2°. Доказать теорему Паскаля, используя в общем случае перспективу,
переводящую данную фигуру в одну из изученных выше.
III. Цель этой части — показать, что через всякие пять точек, лежащих в одной
плоскости, из которых никакие три не лежат на одной прямой, проходит
линия (С).
1°. Даны плоскость (В) и четыре точки: Л, В, D, Е, лежащие в этой
плоскости, такие, что никакие три из них не лежат на одной прямой.
Пусть 7 — точка пересечения АВ и DE (7 может быть и бесконечно
удаленной точкой). Обозначим через 7' и 7" точки, гармонически
сопряженные с точкой 7 относительно А, В и 7), Е.
Пусть (BJ— произвольная окружность, проходящая через точки D
и Е; плоскость (Bj, в которой лежит эта окружность, отлична от
плоскости (В); обозначим через / полюс прямой DE относительно (BJ.
Доказать, что если взять за точку 3 какую-нибудь точку пересечения
конуса [с вершиной А и основанием (Гх)] с плоскостью (7, 7'7") [за
исключением точек, расположенных в плоскостях (Р) и (Pi)], то пер-
спектива (7*\) на плоскость (Р) из точки 3 пройдет через точку В.
2°. Снова возьмем предыдущие данные и добавим в плоскости (Р) точку С
так, чтобы никакие три из пяти точек А, В, С, D, Е не лежали на
одной прямой. Обозначим через р точку пересечения АС и DE,
через Р' и р" — точки, гармонически сопряженные с точкой р отно-
сительно А, С и D, Е, и, наконец, через 7— точку пересечения 7'7"
и р'Р". Доказать, что если прямая /7Х пересекает конус с вершиной А
и основанием (7\) и если 3 — одна из этих точек пересечения, то
перспектива (7\) на плоскость (Р) из точки 3 пройдет через точки А,
В, С, D, Е.
Доказать, что необходимое и достаточное условие существования
точки 3 заключается в том, что прямая А/ пересекает отрезок DE.
3°. Применяя предыдущие обозначения, будем теперь точку 7 обозначать
через 1 (Д, DE), для того чтобы подчеркнуть ее происхождение. Сое-
диняя в другом порядке пять данных точек, можно получить другие
точки, аналогичные точке I.
Доказать, что точки /(В, АС) и 7(С, АВ) лежат на одной прямой
с точкой А и что точка, гармонически сопряженная с точкой А от-
носительно этих двух точек, обладает особым свойством (можно,
например, произвести подходящую перспективу). Доказать, наконец,
что прямые, соединяющие точки А и 7 (А, ВС); В и /(В, С А); С
и I (С, АВ), проходят через одну точку.
4°. Пять предыдущих точек остаются данными. Доказать, что если взять
три окружности, проходящие соответственно через В и С, через С
и А, через А и В, плоскости, которые отличны от плоскости (В),
то среди этих трех окружностей найдется хотя бы одна, подходя-
щая перспектива которой переведет ее в линию (С) плоскости (В),
проходящую через точки А, В, С, D, Е.
IV. Из предыдущих исследований вывести, что
1°. Через всякие 5 точек, лежащих в одной плоскости, из которых
никакие три не лежат на одной прямой, проходит линия (С) и при-
том только одна.
2°. Перспектива линии (С) есть снова линия (С).
V. Доказать, что если дана линия (С), то существует конус вращения, про-
ходящий через эту линию, т. е. что линия (С) есть коническое сечение.
Следует выбрать хорду DE линии (С), перпендикулярную одной из осзй
симметрии линии (С), и отыскать вершину 3 в плоскости-медиатрисе от-
резка DE.
Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ 3Q9
. 2**. I. Обозначения. Пусть (С) — линия второго порядка, F—ее фокус. Назовем
параметром р половину фокальной хорды этой линии, т. е. половину
хорды этой линии, перпендикулярной ее фокальной оси.г
Назовем модулем к расстояние от фокуса F до соответствующей ему дирек-
трисы. Заметим, что эксцентриситет равен отношению параметра к мо-
дулю: е== Теперь назовем базисными элементами линии (С):
а) базисной окружностью — окружность с центром F и радиу-
сом 2р;
б) ба изной прямой — прямую (А), симметричную директрисе (А) от-
носительно фокуса F.
Заметим, что фокус F не лежит на базисной прямой и что линия
(С) полностью определяется ба иеной окружностью и базисной прямой.
Во всем дальнейшем предполагается, что линия второго порядка
задана своей базисной окружностью и базисной прямой.
II. а) Как построить точки и касательные к линии (С)?
б) Как построить касательные к линии (С), пара ялельные данной прямой?
III. Преобразование (Н). а) Пусть даны точка F и прямая (Л), не проходящая
через эту точку. Пусть т—точка, не расположенная ни на прямой (Л),
ни на прямой (£0), проходящей через F параллельно (Л). Прямая Ftn пере-
секает (Л) в точке и существует точка Л4, гармонически сопряженная
с точкой и относительно пары т, F. Назовем преобразованием (Я) пре-
образование, которое точке т ставит в соответствие точку М. Во всем
дальнейшем мы будем рассматривать лишь одно это преэбра ование (77);
точки т и М будем называть гомологичными. Образ -М точки т можно
построить так: пусть — точка прямой (Ло), отличная от F; М, — сере-
дина Fm^ тогда М есть точка пересечения Fm и TMQ, где Т—точка пе-
ресечения с (Л) прямой тош; в самом деле, пучок TL, ТTFt TmQ гар-
монический.
' б) Частные случаи и различные замечания. Установить следующие факты:
1°. Образ mQ точки прямой (Ло) есть середина Л40 отрезка FmQ.
2°. Если точка ш стремится к F или к fi [р. — точка (£)], то ее образ М
стремится соответственно к F или р., так что F — двойная точка
преобразования (/7), так же, как и любая точка прямой (L).
3°. Образы бесконечно удаленных точек плоскости суть точки прямой (А),
симметричной (Л) относительно F.
4°. Точки, образами которых служат бесконечно удаленные точки пло-
скости, суть точки прямой (В), симметричной (Ло) относительно (А).
5°. Всякая прямая, проходящая через F, инвариантна.
6°. Всякая прямая (J), пересекающая (Л) и (£0) соответственно в точках Т
и mQ (отличной от F), переходит в прямую (О), проходящую через
точку Т и середину Л40 отре ка FmQt так как образ М любой точки m
прямой (d) на основании а) должен лежать на этой прямой (D).
7°. Всякая прямая (d), параллельная (Л) [но не совпадающая ни с (£),
ни с (Ло)], переходит в прямую (£)), гармонически сопряженную с (Л)
относительно пары (d, Ло).
8°. На основании предыдущего, образом прямой (d) является всегда
прямая (D); (d) и (D) будем называть гомологичными прямыми; две
такие прямые совпадают, если они проходят через F; в противном
случае они или пересекаются на (L), или параллельны (£). Наконец,
очевидно, что если четыре точки прямой (J) образуют гармоничес-
кую четверку, то их образы на прямой (D) также образуют гармони-
ческую четверку.
IV. Мы теперь видим, что линия (С), определенная базисной окружностью (с)
. и базисной прямой (Л), есть образ (с) в преобразовании (77), определен-
ном точкой Р (центром с) и прямой (L). Соответствующие точки (с) и (С)
310
Стереометрия. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
лежат на прямых, проходящих через точку F. Если на окружности (с)
взять точки и т2, то образом прямой будет прямая М1М29 где
и ТИ2 — образы точек т1 и т2, в частности, образом касательной
к окружности (с) в точке (С) будет касательная к линии (С) в точке М,
соответствующей точке т в преобразовании (77). Отсюда следует,
что некоторые построения, относящиеся к линии (С), можно выполнить,
проведя их предварительно для окружности (с). Рассмотреть два при-
мера.
а) Пересечение с прямой линии (С), заданной базисной окружно-
стью и прямой.
б) Касательные, проведенные из точки Р к линии (С).
V. Как определить тип линии (С), если заданы (с) и (Л)?
VI. Построить касательные к гиперболе (С), параллельные данной прямой. Ис-
следовать. Рассмотреть частные случаи. Как построить центр гиперболы?
Как построить центр линии (С)?
VII. Пусть F— вершина конуса вращения; (ДУ)— плоскость, проходящая через 5
перпендикулярно его оси; (ГТ) — секущая плоскость, пересекающая ось
в точке (2); (АД — прямая пересечения (77Д и (77'); (С') — сечение конуса;
(СД— проекция (С') на плоскость (П^; (П) — плоскость, симметричная
относительно 2; (А)—проекция (АД на (77); (L) — прямая, симметричная (АД
относительно 2; F — точка пересечения оси конуса с плоскостью (77);
(с)—окружность пересечения конуса с плоскостью (77); (С) — проекция (С')
[или (СД] на плоскость (77). Дать, исходя из этого, построения, прост-
ранственную интерпретацию преобразованию (77) и предыдущим построе-
ниям.
3***. I. Планиметрия. На плоскости фиксированы две точки: F nF' (FFf=2cy
О — середина отрезка FF'9 (А) — его медиатриса;.пусть а — положительное число,
с
отличное от с\ положим е — — .
а
Рассмотрим переменную точку прямой (А); обозначим через (Г) окружность
AF
с центром А и радиусом —; через В — точку, сопряженную с F относи-
тельно (Г) на диаметре AF.
1°. Доказать, что радикальная ось двух окружностей (Г) и (Г') ,с цен-
трами А и А' есть медиатриса отрезка ВВ', где точки В и В' соот-
ветствуют точкам А и А' так, как указано выше.
2°. Будем считать, что точка А фиксирована, а точка А' стремится
к точке А. Пусть при этом указанная радикальная ось стремится
к некоторой прямой (D) и пусть 7 — полюс прямой (7)) относительно (Г);
изучить окружность с диаметром AI. Как построить точку А, если
задана прямая (D) и если при этом она пересекает (7) в двух точ-
ках: М и ЛГ?
Доказать, что геометрическое место точек М и М' есть линия
второго порядка (Е) с фокусами F и F', касающаяся (Г) в точках М
и М'.
3°. Окружность (Г) фиксируется так же, как и соответствующая пря-
мая (£>). Пусть Р — переменная точка (Е), а Н—ее ортогональная
проекция на (7)). Доказать, что степень точки Р относительно (Г)
пропорциональна PH2. Чему равен коэффициент X пропорциональ-
ности? Будет ли (Е) геометрическим местом точек Р, обладающих
этим свойством?
Рассмотрим семейство С (Р) окружностей с центром Р на (7)
и радиусом ]ЛХР77 в случае, если X > 0. Найти на (Е) центры окруж-
ностей этого семейства, проходящих через заданную точку Q плоско-
сти; исследовать.
Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
311
П. Стереометрия. Пусть (D) — фиксированная прямая, a k— фиксированное
положительное число. Обозначим через Р какую-нибудь точку пространства,
через Н— ее проекцию на (Д)), через S(P) —сферу с центром Р и радиу-
сом k • PH.
А. Предположим, что точка Р перемещается по фиксированной прямой (Д), не
лежащей в одной плоскости с прямой (D) и не ортогональной (Д>). Пусть К —
точка прямой PHt сопряженная с точкой Н по отношению к сфере S(P).
1°. Каково геометрическое место точек /С, если Р описывает (Д)?
2°. Пусть Р и Рх — два различных положения точки Р на (Д). Доказать,
что радикальная плоскость S(P) и S(PJ содержит прямую, общую
плоскостям-медиатрисам отрезков ННХ и KKt.
3°. Доказать, что для частного значения k = k0 радикальные плоскости S (Р)
и S(PX) фиксированы, каковы бы ни были положения Р и Рг точек
на прямой (Д); вычислить kQ в функции угла а между (D) и (Д).
Вывести отсю; а что для k = k0 сферы S (Р) вписаны в поверхность
вращения (S), и определить меридиан этой поверхности; исследо-
вать.
В. Фиксированы прямая (D) и число k, большее 1; фиксирована сфера (V)
с центром V и радиусом р, не пересекающая (£>), а также фиксирована
какая-нибудь плоскость (Р), проходящая через (£>). Предлагается изучить
сферы S (Р), касающиеся (IZ), центр Р которых есть какая-нибудь точка Р
плоскости (Р).
1°. Каково геометрическое место точек S прикосновения S(P) и (V)?
Установить существование двух семейств Ф и Ф' сфер 5(Р), от-
вечающих указанным условиям; каково геометрическое место (Д)
центров сфер одного из этих семейств Ф и Ф'?
2°. Доказать, что сферы Ф ортогональны бесконечному множеству
сфер (2); пусть (20) есть сфера этого семейства, центр А кото-
рой лежит в плоскости (Р); вычислить отношение расстояний от
центра О геометрического места (Д) до (Д)) и до А.
3°. Доказать, что сферы Ф касаются семейства сфер (W). Каково
геометрическое место центров сфер (W)? Рассмотреть частные
случаи двух сфер (U7), центры которых лежат в плоскости (Р).
Доказать, что сферы (W) и (2) имеют общую радикальную ось.
Теперь будем считать фиксированными: (О), число & > 1, пло-
скость (Р), проходящую через (Д)), в которой перемещается точка Р,
сферу (2). Обозначим черзз (7?) окружность, по которой (Р) пере-
секает (2), а через А — центр этой окружности; радиус этой окруж-
ности обозначим через г; допускается также и то, что (Р) и (2)
не пересекаются.
Доказать, что существуют сферы S (Р) с центрами на (Р), ортогональные (2).
Изучить существование и построение сферы (V), ортогональной (2) и касаю-
щейся всех сфер S(P).
Если (V) существует, то определить, по отношению к фиксированным
образам, геометрическое место (Р) и огибающую больших кругов сфер S(P),
лежащих в плоскости (Р); установить положение центра геометрического места
точек Р относительно точки А и точки /, в которой пересекается плоскость (Р)
с прямой, сопряженной или взаимной с прямой (Д>) относительно (2).
Что можно сказать про геометрическое место точек Р (на основании резуль-
татов, полученных в первой части) в случае, если сфера (V) не существует?
С. Фиксированные элементы следующие: прямая (£)), число k > 1, сфера (V)
с центром V и радиусом р, не пересекающая (Д)), и еще сфера (Т),
с радиусом р' и центром Т. Через (Р) обозначим переменную плоскость,
проходящую через (Д)).
1°. Доказать (без исследования), что в плоскости (Р) существуют, вообще
говоря, две пары точек Рх и Р2 — центры сфер 5(Р), касающихся (V)
312
Стереометрия. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
... и ортогональных (Т); каждая пара этих точек может быть определена
как точки пересечения гиперболы с прямой (О), проходящей через
фиксированную точку о прямой (D).
2°. Если плоскость (Р) вращается вокруг (Z)), прямая- (G) описывает
конус, основание которого в плоскости, перпендикулярной (ZD), есть
линия второго порядка, фокус которой лежит на прямой (£>); этому
фокусу соответствует директриса, лежащая в радикальной плоскости
сфер (V) и (Г). Вычислить эксцентриситет этой линии.
3°. При каком условии геометрическое место центров Р состоит из двух
линий второго порядка, расположенных в плоскостях (PJ и (Р2),
проходящих через (Z))? Как построить тогда плоскости (PJ и (Р2)?
4***. Все фигуры, о которых говорится в условиях частей I, II, III и IV, пред-
полагаются расположенными в одной плоскости,
I. Обозначим через X и V две различные фиксированные и не взаимно-пер-
/ пендикулярные прямые, пересекающиеся в точке С. Со всякой прямой (А)
ассоциируются две прямые: (Ах) и (Д2), симметричные прямой (А) относи-
тельно прямых X и К, а также точка R пересечения этих прямых (Дх) и (Д2).
Всякая ли точка плоскости может быть ассоциирована таким образом с не-
которой прямой (А)?
Доказать, что, какова бы ни была прямая (Д), точка Р, с ней ассоцииро-
ванная, гомологична. ортогональной проекции N точки С на (Д) в подобии
второго рода, которое требуется определить как произведение симметрии в не-
которой оси на положительную гомотетию с центром на этой оси.
Пусть (г) — прямая, гомологичная (Д) в этом подобии; каково положение (г)
относительно (AJ и (Д2)? Каково геометрическое место точек R, ассоциирован-
ных с прямыми (А), проходящими через данную точку F, или параллельных
данному направлению? Какова огибающая прямой (А) такой, что точка Р, ей
ассоциированная, описывает или данную прямую, или данную окружность?
II. Дан фиксированный треугольник АВС (не прямоугольный) с вершинами Д
Bt С; пусть О — центр окружности (О), описанной вокруг этого треугольника,
Н—г его ортоцентр и А', В', С'— основания высот АН, ВИ и СИ. Со
всякой прямой (А) ассоциируются прямые (AJ, (Д2), (Д3), соответственно
симметричные ей относительно прямых ВС, С А и АВ так же, как точки Р,
Q, R, в которых пересекаются соответственно (Д2) и (Д3), (А3) и (AJ, (Д^
и (Д2). Точки Р, Q, R, вообще говоря, — вершины некоторого тре-
угольника (Г).
1°. Обозначим через (8) всякую прямую (А) такую, что точки Р, Q и R,
с ней ассоциированные, совпадают с одной точкой Л1. Определить
огибающую прямых (В) и геометрическое место ассоциированных
с ней точек
2°. Каковы геометрические места точек Р, Q, R, ассоциированных с пря-
мыми (А), параллельными данному направлению? Какое отношение
существует между треугольниками (Т), ассоциированными с этими
параллельными между собою прямыми (А)?
Точкам Р, Q, R, ассоциированным с какой-либо прямой (А), не
проходящей ни через одну из точек А, В, С, ставят в соответствие
прямые (р), (q), (г), соответственно перпендикулярные прямым АР,
BQ и CR в точках Р, Q и Р, так же, как точки Pz, Q', R', в кото-
рых пересекаются соответственно (q) и (г), (г) и (р), (р) и (q).
Точки Р', Q', R', вообще говоря, — вершины треугольника (/'),
который будем называть треугольником, присоединенным к треуголь-
нику (Г), образованному точками Р, Q, R. Каковы геометрические
места точек Р', Q', R', соответствующих прямым (А), параллель-
ным данному направлению?
3°. Доказать, что какова бы ни была прямая (А) [отличная от прямой (8)],
треугольник (Г), ассоциированный с ней, подобен треугольнику А'В'С',
Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
313
Каков род подобия (1-й или 2-й), которое треугольник (Т) переводит
в треугольник Д'ТЗ'С'? Во что переходит в этом подобии треуголь-
ник (Tz), присоединенный к (Г)?
Вычислить в различных случаях углы треугольника (Т) в функ-
ции углов треугольника АВС. Может ли быть треугольник (Т) равно-
бедренным, если треугольник АЗС неравнобедренный?
4°. Дана фиксированная точка F. Определить огибающую сторон и гео-
метрические места вершин Р, Q, R треугольников (Т), ассоциирован-
ных всем прямым, проходящим через F, так же, как огибающие сто-
рон и геометрические места вершин Р', Q', Rf треугольников (7'),
присоединенных к (Т). Уточнить положение этих различных геомет-
рических мест относительно окружности (О).
III. Дан фиксированный треугольник с вершинами Р, Q, R. Пусть (А) — какая-
нибудь прямая. Требуется определить треугольник АВС такой, что данный
треугольник PQR будет треугольником (Т), ассоциированным с прямой (Д)
в смысле определения части П. Сколько решений имеет эта задача? Вы-
числить углы треугольника АВС в функции углов треугольника PQR.
Доказать, что треугольники АВС, соответствующие указанным образом
всем прямым (Д) плоскости, можно разделить на четыре семейства таких, что
все треугольники одного семейства будут переводиться друг в друга подобием 1-го
рода. Каковы геометрические места вершин А, В, С треугольников каждого из
этих семейств при условии, что прямая (Д) принимает все возможные положе-
ния? Доказать, что окружности, описанные вокруг треугольников АВС одного
семейства, проходят через одну точку.
Каковы огибающие сторон треугольников АВС, соответствующих всем пря-
мым (Д), проходящим через данную точку F?
IV. Даны три окружности: (а), (р), (у), попарно пересекающиеся и имеющие
одну общую точку MQ; обозначим через I, J, К точки пересечения (от-
личные от Л40) соответственно (р) и (у), (у) и (а), (а) и (Р).
1°. Доказать, что существует бесконечное множество треугольников, вер-
шины Р, Q, R которых описывают соответственно окружности (а), (Р)
и (7), а стороны QR, RP и PQ проходят соответственно через I, J, К.
2е. Определить треугольник АВС такой, что все такие треугольники
(см. 1°) PQR могут быть рассматриваемы как треугольники (Г),
ассоциированные (по отношению к треугольнику АВС) к различным
прямым (Д), проходящим через некоторую точку F, положение кото-
рой также требуется определить. Сколько решений имеет эта задача?
V. Даны две фиксированные плоскости X и У, пересекающиеся по прямой (С).
Со всякой плоскостью (77) ассоциируются плоскости (77х) и (772), симмет-
ричные относительно X и У.
При каком условии плоскости (77х) и (П2) пересекаются? Пусть (R)— пря-
мая, по которой они пересекаются; назовем ее ассоциированной с плоскостью (77).
При каком условии данная прямая может быть рассматриваема как ассоци-
ированная с некоторой плоскостью (77)?
1 °. Пусть (L)— фиксированная прямая, не ортогональная (С), которая
не лежит в одной плоскости с (С). Доказать, что прямые (R), ассо-
циированные плоскостям (77), проходящим через (L), пересекают три
фиксированные прямые, которые требуется определить; могут ли быть
прямые (7?) охарактеризованы этим их свойством? Каково сече-
ние поверхности, образованной геометрическим местом прямых (R),
плоскостью, перпендикулярной (С)? Рассмотреть два случая: когда
плоскости X и У перпендикулярны и когда они не перпендику-
лярны.
2°. Даны три параллельные прямые: (Д), (В), (С), определяющие попарно
три различные плоскости: (В, С), (С, А) и (Д, В). Со всякой плэ-
311 Стереометрия. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
скостью (П) ассоциируются плоскости (/7J, (П2), (/73), симметричные
ей относительно плоскостей (В, С), (С, А) и (Л, В). Изучить в за-
висимости от положения плоскости (П) пересечение трех плоскостей:
(/7i), (Z72)* (773). При каком условии эти плоскости имеют
и притом только одну общую точку М? Каково геометрическое
место (S) этих точек М? На геометрическом месте (S) взята точка М;
соответствует ли она одной плоскости (/7) или нескольким?
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Глава XXVII
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Тождественные преобразования
П. 1. Тождества
Доказать следующие тождества:
1.
2.
3.
4.
5.
sin a cos (b — а) 4~ cos a sin (b — а) = sin b.
cos (а b) -|- sin (а — b) = (cos а 4- sin a) (cos b — sin b).
tfir2 а _ {Р2 b — з1п(д + &) sin (a — b)
g s cosaacoss6
sin (a — b) . sin (b — c) sin (c — a) ___
cos a cos b ’ cos 6 cos c ‘ cos c cos a
sin {a — b) . sin (b —c) . sin (c — a) ___
sin a sin b ‘ sin b sin c sin c sin a
6. sin (a + b) sin (я — b) — sin2 a — sin2 b = cos2 b — cos2 a.
7. sin (a 4~ b) sin {a — Z?) 4~ sin (b 4~ c) sin (b — с) 4~ sin (c 4~ a) sin (c — a) = 0.
8. sin (a b) sin (a — b) 4~ sin (b — c) sin (Z> 4“ <4 4~
+ sin (c 4~ d) sin (c — d) Ц- sin (d 4~ cl) sin (d — a) = 0.
9. sin2 (a 4~ b) = cos2 a 4- cos2 b — 2 cos a cos b cos {a -p b) =
— sin2 a 4- sin2 b 4~ 2 sin a sin b cos (a 4" b).
10. sin (60° — a) cos (30° 4~ a) 4~ cos (60° — a) sin (30° 4~ a) = 1.
11. cos2 a 4- cos2 4” aj 4~ cos2 ^4^- — .
12. tg 20°4- tg 40°-4-/3 tg 20° tg 40° = /3.
13. tg (a 4- b) tg (a - &) = -cos2 a _ sln3 ъ.
14‘ ctg^c^l^T =tg (a + tg (a - b) tg2 a tg2 b-
15. tg(a—6)(1 4-tgatg&)-|-tg(&—c)(14-tgZ»tgc)4-tg(c—a)(l 4-tgctga) = 0.
16. cos (a — b) cos (a-\-b) — sin (a — b) sin (a 4- b) — cos 2tz.
1 — 2 sin2 a_ 1 — tg д
* • 1 4- sin 2a 1 + tg a
18. cos6 a — sin6 a = cos2a^l — ~ sin2 2a^.
19. cos6 a + sin6 a == cos2 2a 4- -j- sin2 2a.
316
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
39.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
Тригонометрия. Гл. XXVII. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
cos2 2а— 4 cos9 а 3 __, 4
cos2 2а -j- 4 cos2 а—1 а"
(1 4-tga)2 —2tg2 а . о . о
•• — .6 2.—&— = sin 2а -4- cos 2а.
1 + tg2 а 1
tg 2а + sec 2а = tg (45° 4~ а).
cos2 — aj — sin2 — а^ = sin 2а.
1 4~,cos 2а cos 2b = 2 sin2 a sin2 b 2 cos2 a cos2 b
cos2 (a — b) — sin2 (a 4“ b) = cos 2a cos 2b.
sin2 (a + b) -|- cos2 (a — b) = 1 4“ sin 2a sin 2b.
cos2 (a 4- b) — sin2 a = cos b cos (2a 4~ b).
> <>, । । i 9 ( 2 (sin2 2a -4 sin2 2b)
tg2 (Л 4~ £) + te'2 (a Ь)~ —7---------x---।-----•
v 1 7 1 b v 7 (cos 2a -+- cos 2b,2
. 3z . к . 3k . 2k . 7k . Зк M
Sin sin -7— — Sin sin --F- 4“ Sin -Г7- sin —- = 0.
10 10 о o' 10 10
— 2 cos 2a — 1 — ~ *g a tg
cos a 1 + tg a tg 2a
sin a sin 3a = sin2 2a — sin2 a.
cos a cos 3a = cos2 2a — sin2 a.
, Q tg22a — tg2 a
b s 1 — tg2 a tg2 2a
sin 3a 4- sin3a
----5---!-----5— = ctg a.
cos3 a — cos 3a °
4 sin3 a cos 3a 4- 4 cos3 a sin 3a = 3 sin 4a.
32 sin2 a cos4 a = 2 -|- cos 2a — 2 cos 4a — cos 6a.
sin 6a = 2 sin a (16 cos5 a — 16 cos3 a 4- 3 cos a).
cos 4a — 8 cos4 a — 8 cos2 a 4~ 1 — 8 sin4 a — 8 sin2 a 4~ 1.
tCT4fl_ Jtg£.0-Jg3_g)_
ь — 1 — 6 tg2 a 4~ tg4 a ’
tg a 4- 2 tg 2a + 4 tg 4a 4~ 8 ctg 8a = ctg a.
2tg-|- 2Ctg4 2
sin a =---------=------------—----------------.
IH-tg'-g- 14- ctg2 ~2 tg-2’+ctgT
1 4- sin a 1 (. , , a \2
1 + COS a = 2 0+tg~2-) •
cos a _ 1 /. ,2 a\
1 4-cosa ~ 2 V & 2 );
sec a 4- tg д __ a\
sec a — tg а b \ 4 ~1~ 2 / ‘
tg а tg4 -5- + 4 tg3 — 6 tg a tg2 ~ — 4 tg 4- tg a = 0.
cos a cos b cos c= cos (a -|- b 4- c) 4~ -j- cos (b -f~ c — a) -|-
-j- 1-cos (a-[-c — b)-\ 4os(a-[-6 — c).
§ 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
317
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
69.
61.
62.
63.
64.
]/з sin a cos b = -g- cos (60° — a -f- b) -J- ~ cos (a -|- b — 60°;
— у cos (60° 4- a -}- b) — у cos (60° -f- a — b).
4 sin a sin (60° — a) sin (60° 4~ a) = sin 3a.
1 1 3
cos4a = -g-cos 4aу cos 2a-]-—.
. . 1 . 1 „ , з
sin4 a = cos 4a — — cos 2a 4- —.
o 2 о
15 5
cos5 a = -Г7Г cos 5a -4- -nr cos 3a 4- — cos a.
Io lo 8
sin5 a = sin 5a------ sin 3a 4- ~ sin a.
lo lb b
3 1
sin3 a cos3 a — sin 2a — sin 6a.
sin a sin (b — c) 4“ sin sin (4 — a) + sin c sin (a ~ = 0.
sin a sin b sin (c — d) 4~ sin b sin c sin (d — a) 4-
4~ sin c sin d sin (a — b) 4~ sin sin a sin — c) — 0.
sin2 2a cos2 a — cos2 2a sin2 a — sin a sin 3a.
cos (a — b) — sin (a 4~ #) = 2 sin (45° — a) cos (45° 4~ b).
sin 50° sin 24° (tg 40° 4- tg 66°) 4- sin 74° = 2 cos 16°.
sin (a 4~ b) sin (b 4~ c) — sin a sin c — sin b sin (a 4- b 4~ c), •
sin a 4- cos a 4~ sin h 4- cos b — 2 У 2 cos — cos ^45° — - - j .
tg(a —£)4~tg (b — a)4-tg(c —a) = tg (a — b) tg (b — c) tg(c — a).
1 — cos2 a — cos2 b — cos2 c-\-2 cos a cos b cos c —
. . aA-bA-c . b 4- c — a . a — b 4- c . a 4- b — c
— 4 sin —— sin —-----------sin----g4— sin —^2-----•
1 — cos2 a — cos2 b — cos2 c — 2 cos a cos b cos c —
. aA-b+c b 4- c — a a — bA-c aA-b— c
= 4 cos —— cos —Ц_---------cos----— cos —4,-------•
4 cos a cos b cos c 4- cos 2a 4~ cos 2b 4~ cos 2c 4~ 1 —
o aA-bA-c bA-c— a a — bA-c bAc—a
— 8 COS !-£—J COS----------cos-----^4 COS 4_------.
65. cos2 (b—c) 4~cos2 (e — a) 4-cos2 (a—b) = 2 cos (b—c) cos (c—a) cos (a—b) 4~' I.
66.
67.
68.
69.
70.
2 (sin4 x 4” sin2 x cos2 x 4~ cos4 x)2 — (sin8 x 4- cos8 x)
(упростить).
sin 3a .______sin 3b_________।__________sin 3c_______
sin (c — a) sin (a — b) * sin (a — b) sin (b — c) ’ sin (b — c) sin (c — a)
— 4 sin (6z4~^4~ c).
tg3a = tgatg(j-4-a)tg(~ — a).
sin3 a sir;3 (b — c) + sin3 b sin3 (c — a) + sin3 c sin3 (a — b) =
= 3 sin a sin b sin c sin (a — b} sin (b — c) sin ''c — a).
cos2 (a — x) -f- cos2 (b — x) — 2 cos (a — b) cos (a — x) cos (b — x)
(упростить).
318
71.
72.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
Тригонометрия. Гл. XXVII. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
(sin 2a -f- sin 4a 4~ sin 6a)3 — sin3 2a — sin3 4a — sin3 6a
sin 3a sin 4a sin 5a cos2 a cos 2a
(упростить).
9 Qin’/7 1 + Ctg Д + Ctg (45° — a) _ , 2 9 tо-з/др;0 i „ч
2 Sin a ctg 2a cos 2a —T+TsTnla' ~tg 2fl tg (45 +a)'
П. 2. Условные тождества
Доказать, что если a~-b^c, то
. . , । л . а b с
sin а 4~ sm b 4~ sm с = 4 sin cos -% cos.
। » . л а b с .
cos а 4~ cos b 4~ cos с = 4 cos cos-^- cosyy— 1.
sin а 4- sin b — cos c = 1 — 4 cos ~ sin ^45° — cos ^45° 4~ y) •
tg a 4- ctg b + ctg c = tg a ctg b ctg c.
sin? a 4- sin2 b 4~ sin2 c — 2 (1 — cos a cos b cos c).
cos2 a 4~ cos2 b 4~ cos2 c — 2 cos a cos b cos c — 1.
Доказать, что если a~\-b-\-c^= то
.... . . . . тс — 2a . тс — 2b . тс — 2c
sin a 4- sin b 4- sin c — 1=4 sin —-л— sin —-л— sin —-л—.
11 4 4 4
sin2 a 4~ sin2 b 4~ sin2 c = 1 — 2 sin a sin b sin c.
ctg # 4" ctg b 4~ ctg c = ctg a ctg b ctg c.
sin a sin b cos c 4~ sin # sin c cos b 4~ sin b sin c cos a = cos a cos b cos c.
(1 — sin b) (1 — sin c) cos a 4~(1 — sin с) (1 — sin a) cos b 4~
4~(1 — sin a) (1 — sin b) cos c = cos a cos b cos c.
Доказать, что если ^4“^4“f = 7:» то
, . , „ с а—b
sin а 4- sin b = 2 cos у cos —— •
sin а 4- sin b . с
_________!____— Cfcr_.
cos а cos b ° 2
sin2 а — sin2 b — cos2 b — cos2 а — sin {а — b) sin с.
, . , । . а b с
sin а 4- sin b 4- sin с — 4 cos у cos у cos у .
। , . .. а . b . с , .
cos а у- cos b cos с — 4 sin у sin sin у 4~ * •
, , . . । sin a sin b sin с
COS а 4- COS Ь 4- COS С =?= 1 4- 2 —-;-:—г-;—;—-.
1 1 1 sin а 4- sin b 4- sin с
. а , , b , , с sin а 4- sin b 4- sin с , а
ctg у + ctg у + ctg у = —ctg _ .
cos2a4~cos2Z?4“Cos2c =— 1 —4 cos a cos b cos c.
sin2 a 4~ sin2 b — sin2 c = 2 sin a sin b cos c.
. , , . о r । . Q o a b с . 3a 3b 3c
sin3 а Ц- sin3 b 4~ sin3 c — 3 cos cos cos 4“ cos — cos cos -x-.
. a . , b , c , a , b , c
tgy + tgy-Ctgy=-tgytgyCtgy.
sin a sin (a — b) sin (a — c) -j- sin b sin (b — c) sin (b — a) 4~
4- sin c sin (c — a) sin (c — b) — sin a sin b sin c (1 — 8 cos a cos b cos c).
§ 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
319
а b — с , b е — а . с а — b . . . . ,
24. cosy cos—§------' cosУ C0S —2------гcos "2 cos —2— = sin а -|- sin £ sin с.
25. sin2 а — 2 sin a sin b cos (60° + с) = sin2 с — 2 sin b sin c cos (60° 4~ a),
Доказать, что если a 4~ b 4~ c — 2k, to
26. 1 4- cos 2a 4- cos 2b 4~ cos 2c — 4 cos a cos b cos c.
/ । . a . b c
27. sin a — sin b 4~ sin c — 4 cos sin -j cos-y.
28. 1 — cos2 a — cos2 b — cos2 c 4~ 2 cos a cos b cos c == 0.
Доказать, что если a -\~b 4~c 4~^ — то
29.
30.
• I’Li* . » л • cl 4~ b . cl 4- c . b 4- c
sin a + sin b 4~ sin c — sin a — 4 sin —g— sin —4— sin ——
tg a + tg b 4- tg c + tg d
___ sin (a 4~ d) sin (6 4- d) sin (c *0
~~ cos a cos b cos c cos d
Доказать, что если a -{-b 4~ c 4~ d = 2k, to
. • I . t I I . i j . cl 4- b . b 4- с . c 4* cl
31. sin a 4” sm b 4~ sm c 4~ sin d — 4 sin —— sin — sin —
32. sin2 a -j- sin2 b 4~ sin2 c 4- sin2 d =
== 2 (1 4~ sin a sin b sin c sin d — cos a cos b cqs c cos d).
33. Доказать, что если a 4~ b 4- с = 2пк, где n—целое положительное число, то
I . / I • / 1 ЧЙ-1 A . CL . b . C
sin a 4~ sin b 4- sin c = (— 1) 4 sin -% sin -g- sin .
34. Доказать, что если a 4~^ 4~ c — 4“ О где n — целое число, то
cos4 ~ 4- cos4 ~ 4“ cos4 ~ — 2 (cos2 ~ 4~ cos2 у 4~ cos2 4“
4~ 4 cos2 у cos2 cos2 у = 0.
35. Доказать, что
a) cos ~ — 4- V1 + sin a 4~ 4" V1 — sin a,
sin 4 = 4- К1 4~ sin a — 4~ 1 — sin a,
если 0 < < 45° или 315° < ~ < 360°;
6) cos у •= V1 + sin a — у У" 1 — sin a,
sin 4 = 4 V1 4- sin « + 4 V1 — sin a -
если 45°< 135°;
в) cos у = — у ]C 1 sin a — у У1 — sin a,
sin 4 — — -я- V1 ~b sin a -4- yr 1 — sin a,
если 135° <y <225°;
320 Тригонометрия. Гл. XXVII. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
г) cos -^ = — Y У1 4- sin а + j 1 — sin а,
sin у = у У1 + sin а — у У1 — sin а,
если 225° <-£ <315°.
36. Доказать, что если a-\-b-\-c-\-d=0, то
cos 2а 4- cos 2b + cos 2с 4~ cos 2d =
= 4 (cos a cos # cos c cos d — sin a sin b sin c sin d).
37. Доказать, что если корни уравнения
х3 + ах2 4- Ьх 4~ с = 0
суть tgoq, tga2, tga3, а уравнение
х3 4- сх2 4~ Ьх 4~ а = 0
имеет корни tg р1( tg р2, tgp3> то
al Ч- а2 Ч- а3 4“ Р1 Ч- Рг Ч- Рз —
•где k — целое число.
38. Доказать, что если 0<а<тс, 0<д<к, 0<с<к и tg у, tg~, tg
являются корнями уравнения
x3-j-xp2-{-x-)-q = 0,
то
tg а 4- tg b 4- tg с = tg a tg b tg с.
39. Доказать, что если
cos2 а 4- cos2 b 4- cos2 с 4~ 2 cos a cos b cos с = 1,
то имеет место одно из четырех условий
а ± b ± с = (2k 4- 1) к,
где k — целое число.
40. Доказать, что если sin (а— Ь) = $\п2а— sin2#, то либо а — b—kn, либо
а 4- # — к тс 4“ (— 1) ~2 ’
где k— целое число.
41. Доказать, что если
tg| = 4tg^,
ТО
b — а ___________________________ 3 sin а
2 5 — 3 cos а ’
42. Доказать, что если tg(a-\-b) = Z\.g а, то
sin (2а 4- 2b) 4~ sin 2а = 2 sin 2b.
43. Доказать, что если
(1 4-cosa)(l 4-cos#)(l 4~cosO = (l —cos fl) (1 —cos#)(l —cos c),
то каждая из частей этого равенства равна ± sin a sin b sin с.
44. Доказать, что если
cos х = cos a cos#,
то
, х-±-а . х—а , 9 #
tg-2-tg-2- = tg=T.
§ 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 321
45. Доказать, что если а4"^4“с = тс и
sin а : sin b : sin с = 4 : 5 : 6,
то
cos а : cos Ь : cos с = 12 : 9 : 2.
46. Доказать, что если я4“"^4“£ = 7Г> а = 2Ь, то
sin2 а = sin b (sin с 4~ sin b).
47. Доказать, что если
cos а + cos b -j- cos с — О,
то
cos a cos b cos с = (cos За 4~ cos 3b 4- cos Зс).
48. Доказать, что если
tg х : tg а = (1 4- cos2 х): (1 4“ sin2 х),
ТО sin (Зх 4~ а) — 4 sin (х — а).
49. Доказать, что если sin4 X j COS4 х 1 а * b а-±-Ь ’
то sin8 а: , cos8 а: 1 аз » £> з (а 4- ьу* ‘
50. Доказать, что если 0 < а < 90°, 0 < b < 90°, 3 sin2 а 4- 2 sin2 b = 1, 3 sin 2а = 2 sin 2b,
то л4-2& = 90°.
51. Доказать, что если cosa = tg£, cos# = tgc, cosc = tga, то sinzz = sin# =
= sin с = 2 sin 18°.
52. Доказать, что если
sin (х — а) a cos (х — а) sin (х — b) b ’ cos (х — b) bi ’
то / , ч (Юл 4" ьЬл cos (а — b) = —-44-—г • 4 7 abi 4- агЬ
53. Доказать, что если cos х cos 2х cos Зх а>1 а% л3
то sin2 Х а1 а3 2 4а2
54. Доказать, что если sin х , sin Зх sin Зх #1 az
то Д1 4~ д5 дз — а\ ai
55. Доказать, что если 3 sin р = sin (2а 4~ Р)» то tg(a + 0) = 2tga.
21 П. С. Моденов
322 Тригонометрия. Гл. XXVII. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
56. Доказать, что если 0 < а < у, 0 < р < ~,
tga = —, sin В = —4=-»
5 7 И /10
то
а + 2р = |.
57. Доказать, что если
sina = A sin (a —|—Р),
то
58. Доказать, что если а-\-Ь-\-с =
то
tgAtg4+tgAtg4+tg|tg|=i.
59. Доказать, что если
sin р _______________________________ п
sin (2a + р) т ’
то
! » tgp
-Т- tga _ 1 — tg a tg 3
m -\-n m — n
60. Доказать, что если
cos a-j-cos P +cosy = 1 4~4 sin у sin у sin у,
TO
61. Доказать, что если
1C
T’
0<a< y,
0<₽
0<7<y,
то равенство
cos2 a 4- cos2 p 4“ cos2 у 4~ 2 cos a cos p cos у = 1
имеет место только тогда, когда а4~У 4~? — к-
62. Доказать, что если
cos(2a4~p)= L
то
tg(a 4-?) — tga = 2tgy.
63. Доказать, что
_ тп? + п2
sec 2a — cos 28 — • ,
‘ COS za
где
т = sin(a + p), « = sin(a — р).
§ 2. СУММИРОВАНИЕ 32&
Исключить х из соотношений:
64. cosx—sinx = /n, sin2x = n.
65. asinx4~ftcosx = /n, sin2x = n.
66. sin 3x = a, cos 2x = b.
67. sinx4“cosx = a, tg3 x 4“ ctg3 x = b.
68. cos"g-------------------sin-^- = a, cosx = ft.
69. n tg (x — a) = m tg (x 4- a), p sin 2x 4- q cos 2x = r.
Исключить x и у из соотношений:
70. cos(x— y) = ct sin x sin у =®= a, cosx 4" cos y = b.
71. sin x 4- sin у = a, cosx 4“ cos y^b, tg^ tg-| ~ tg2
72. a sin2 x 4“ b = k 4-b sin2 xt b sin2 у -[-a~ e -{-a sin2 y, actg y = b ctg x.
73. tgx4-tgj; = a, ctg x 4- ctg у = b, x-[-y = c.
74. sinx4~cos = a, tgx4~ctg y — b, sec х-4-cosecy = c.
75. cl sin2 x 4- b cos2 x «= m, b sin1 уacos2 у = nt atg x — btgy.
Исключить x, y, z из систем уравнений:
76. cos(x4~.y) = л. cosfy4~*) = ^» cos(z — x) = c.
77. x4-j4-^ = at tgx4-tgj/4-tg2 = A,
tg x tg у 4- tg у tgz 4- tg z tg x — B. tg x tg у tg z = C.
78. sin (j; — x) sin (z — x)== a cos x, sin (z -— y) sin (x — y) = b cos yt
sin (x — z) sin (y — z)^c cos z.
§ 2. Суммирование
Просуммировать следующие выражения:
1. sin х 4~ sin (х 4-й) 4~ sin (х 4~ 2ft) 4“ ••• 4*sin (* + n^).
2. cosx4~cos(x4-ft)4-cos(x4-2ft)4- ... 4~cos (x 4“^ft).
3. sinx — sin (x 4“ ft) 4“ sin (x + 2ft)— ... 4~(—1)” sin (x
4. cosx — cos(x4~ft)4~cos(x4~2ft)— ... 4“(—l)”cos(x4“^ft).
5. cos x — sin (x — ft) — cos (x — 2ft) 4- sin (x — 3ft) 4~
4- cos (x — 4ft) — ... 4“ cos [x 4" n •
6. 1) sin x 4~ sin 3x4“ ... 4“ sin (2/i—l)x;
2) cosx4“cos3x4“ • •• 4“cos(2n—l)x.
7. sinx — sin2x4-sin3x— ... 4“(—l)/l~1sinnx.
8. sinx — sin3x4~sin5x — sin7x4~ ••• 4~(— l)”~1sin(2n—1) x.
9. sinnx4-sin(n—l)x4~ ••• 4“sin(t—n)x-
10. cosx — cos3x4~cos5x— ... 4~cos(4fl — 3)x — cos(4n—l)x.
11. COS -Г- 4“ cos -Г- 4" ... 4-COS —.
k 1 ft 1 * ft
21*
Тригонометрия. Гл. XXVII. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
< Л Л п , Зл . 5л , , 2п — 1
12. cos--------к cos----к cos---к ••• -к cos------7Г.
п 1 п ' п ’ 1 п
13. sin—4" sin —4-sin —4~ ... 4"sin—~7Г-
п 1 п * п 1 ’ п
.« it . 3w , , 17л
14. COS-уд-4-COS-уд-4- ... 4-COS-jg-.
«_ 2тс . 4тс . бте . . 20л
15. cos-2j-4-cos^y-4-cos-jp4- ... 4-COS-21-.
. тп . . Зтп , . . (2п—1) т
16. sin----------к Sin------к ... 4“ Sin3-----—ТС.
п 1 п 1 1 п
17. sin х sin 2х 4~ sin 2х sin Зх 4“ • • • 4~ sin пх sin (п 4~ 1) х.
18. sin х sin Зх 4~ sin 2х sin 6х 4~ ••• 4“sin(2rt~1x) sin(3 • 2л~1х).
19. sin2 х 4“ sin2 (х 4" h) J- ... 4"Sin2[x4-(^—1)й].
20. cos2x4~cos2(x 4~й) 4~ ••• 4~cos2[x4-(n— 1)А].
21. sin2 x 4~ sin2 2x... 4"Sin2zix.
22. ' cos2x4"cos22x4~ ... 4~cos2/lx-‘
23. sin2 x 4“ sin2 ^x 4~^ 4~sin2 ^x 4"^-j 4“ ••• 4“ sin2 (x 4- •
24. cos2x4~c°s23x4~cos25x4- ••• 4~cos2(2m—l)x.
25. sin3 x 4-sin3 (x 4~ 4" ••• 4~ sin3 [x (n—l)/z]-
26. cos3 x 4-cos3 (x 4~ &) 4“ ••• 4~cos3[x 4“(^—1)^].
27. sin3 x 4- sin3 2x4- • • • + sin3 nx.
28. cos3x4-cos33x4- ••• 4-cos3(2/i—l)x.
ЛЛ . о । . о/ . 2n\ . . . „г । 2(n —1)те1
29. sin3 x 4- sin3 (x 4--) 4” • • • + sin3 x 4-----—-—— •
\ П / L ” J
30. COS3 X 4“ COS3 (x 4“-“^4" ••• 4~ COS3 4- 2 — n •
31. sin4 x 4" sin4 (x 4- h) 4- --- 4-sin4[x4“(^—I)/*]»
32. (n — 1) sin x 4~ — 2) sin 2x 4- • • • 4“ 2 sin (n — 2) x 4- sin (n — 1) x.
33. sin (x 4~ й) 4~ 2 sin (x 4-2Л) 4- ••• 4” n sin (x 4“ n^)-
34. cosec x 4~ cosec 2x 4 cosec 4x 4- 4“ cosec 2rz~1x.
35. tg x ctg x -j- tg 2x + ctg 2x 4- ... 4- tg (2n-1x) 4- ctg (2n-1x).
oo _____1________I________J_______I _ I______________!________
ou* COS X -f- COS 3x COS X 4- cos 5x ’ * * * ‘ COS X 4- COS (2n 4 1) x ‘
37. arc tg j j _|_ p 4~ arc tg j 2 4- " + arc 1 4- n 4- ~
= 7 —arctg^-j- (доказать).
38. arc tg j 4- arc tg у 4- ... 4- arc tg = arc tg <Д°казать)-
39. (1 4- sec 2x) (1 4- sec 4x) ... (1 4- sec 2”x) = -.
если х#=£тс, где k — целое число, доказать.
§ 2. СУММИРОВАНИЕ
325
Вычислить произведения:
40. (2 cos х — 1) (2 cos 2х — 1) ... (2 cos 2"”1х — 1).
.. / । \ / a t b\ I а , b \
41. (^cos ^--rcos-g- Hcos-4 4-cos^j . . . ^cos-^H-cos-g^J.
42. Доказать, что сумма квадратов хорд, соединяющих произвольную точку
окружности с вершинами правильного вписанного в круг я-угольника,
равна 2пг2, где г — радиус круга.
43. Доказать, что сумма четвертых степеней хорд, соединяющих произвольную
точку окружности с вершинами правильного вписанного в круг п-уголь-
ника, равна бпг2, где г — радиус круга.
44. В круг вписан выпуклый n-угольник так, что его последовательные сто-
роны отсекают дуги а, 2а..........па. Найти отношение площади этого много-
угольника к площади правильного n-угольника, вписанного в тот же круг.
45. В плоскости данного правильного n-угольника даны точки А и В на рас-
стоянии а. Через точку В проведены прямые, параллельные сторонам
многоугольника. Найти сумму квадратов расстояний от точки А до этих
прямых.
46. Найти произведение всех хорд, проведенных из вершин правильного много-
угольника ко всем прочим его вершинам.
47. Пусть Z — прямая, на которой лежит сторона А^2 правильного п-уголь-
ника AtA2A3 . .. АП. Будем вращать многоугольник вокруг его вершины А2
до тех пор, пока на прямую I не упадет вершина А3, затем будем вращать
многоугольник вокруг А3 до тех пор, пока на прямую I не упадет вер-
шина А4 и т. д. Вычислить длину линии, которую опишет вершина Alt
когда многоугольник таким образом «прокатится» по прямой Z, сделав
один полный оборот (т. е. сторона AtA2 снова будет лежать на прямой Z).
Радиус окружности, описанной вокруг данного многоугольника, равен а.
48. По правильному n-угольнику, вписанному в круг радиуса а, «катится»
прямая. Вычислить длину линии, которую опишет точка катящейся прямой,
совпадающая в начальный момент с одной из вершин многоугольника при
условии, что прямая сделает полный оборот.
49. Вычислить суммы:
sin х 4~ 2 sin 2х 4~ ... 4~ п sin пх.
50. tg а2 tg 2а4 tg 4а 4~ . . . 4-2/г“1 tg 2п~Аа.
51. cosnx -\-C„cos(n— 1) х-\-С2п cos(n — 2)х-Ц-
—|— . . . 4“ COS (/£ — &) X 4~' ♦ • • 4“ 1 •
sec а sec 2а 4~ sec 2а sec За + ••• 4-sec/га sec [(п 4" 1) а]
cosec а cosec 2аcosec 2а cosec За 4- ... 4" cosec па cosec [(/г 4-1) а]
1-1- C0S Х 1 cos I cos I . cos пх
5 * ’’ COS X ‘ COS2 X ‘ COS3 X ‘ ‘ cos'1 X *
54. Доказать равенства:
п-1
а) 22" cos2" х = 2 2 С^п cos [2 (п. — k) х] + С?л;
k-Q
б) 2ncos2n+1 х = S Ck2n+1 cos [(2n — 2k 4- 1) x];
£ = 0
B) 22" sin2” x = S (— 1 )n+ft <X+i Sin [(2n — 2k + 1) x];
# = o
r) 22n sin2n+1 x = 2 (— 1 )n+k.C2n+i Sin [(2n — 2k -J- 1) x].
£ = 0
326 Тригонометрия. Гл. XXVII. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
55. Доказать, что:
а) 14-С*+С8„+ ... =4(2^ + 2^005^);
б) CJ+C8+C' + ... =4 (2я-1 + 2^sin^) ;
в) Ci + C8„ + C“+...=4(2'”1-2^cos-^);
г) С’+С; + С“+...=4(2л-1— 2^sin™).
Глава XXVIII
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Доказать следующие шесть групп формул (задачи 1 — 6):
a) arc sin (— х) = — arc sin х, — 1 х 1;
б) аге cos (—х) = к — аге cosx, —1<^х<С1;
в) arc tg (—х)==—aretgx;
г) аге ctg (— х) = тг — arc ctg х.
а)
б)
а)
аге sin х + arc cos х = -g-, — 1 х
аге tg х + arc ctg х = .
arc sin х = arc cos У1 — х2 = arc tg
= аге ctg--------------, 0
1.
1.
/1—
б)
аге cos х = arc sin 1 — х2 = arc tg
/1— х2
1.
в)
г)
1
arc cos __=
/1+х2
, х
0.
= arc ctg г , 0 < х <
s У1 —х2
X X 1
аге tg х = arc ctg —- = arc sin
s s * У1 + х2
. .1 • 1 Л -ч. Л
аге ctg- х — arc tg — = arc sin —==== = arc cos —-.—, х > 0.
& X /1 + /1 + X2
a) arc sin х -|- arc sin у — arc cos (]/1 — х2 У1 — у2 — ху),
где 0 х <1 1, 0 У <. 1.
arc sin х — аге sin у = аге sin (х У1 — у2 — уУ 1 — х<2)>
где О х <1 1, 0 у 1.
аге cos х -|~ аге cos у — аге cos (х_у — У1 — х2 У1 — у2),
где О х 1» О У 1 •
аге cos х — arc cos у — аге sin (у У1 —х2 — хУ 1 —У2),
где О х 1, 0 < у 1.
аге tg х аге tg у = аге ctg—где х > 0, j/>0.
б)
в)
Г)
д)
е)
ж)
aretgx — arc tgу == arctg, где x>0, у > 0.
1 -j- xy
xy — 1
arc ctg x arc ctg у — arc ctg -^r—, где x > 0, у > 0.
з)
аге ctg х — arc ctg у — аге tg । , где х
328 Тригонометрия. Гл. XXVIII. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
5* a) 2arcsin’x = arc cos (1 — 2х2), где 0<Lx<Ll.
6) 2 arc cos x = arc cos (2x2—1), где 0<;x^l.
1______________________хъ
в) 2 arc tg x = arc ctg—gjT”’* где x >
хъ_______________________i
г) 2 arc ctg x = arc ctg —> где x > 0.
6. a) arc sin x = arc cos -—!, 0<ix<;i.
_ 1 _ Г1 + x Л <
6) -g-arccosx = arc cos у —, где 0<^x<,i.
ч 1 x /Г+х^-~1 . Л
в) у arc tg х = arc tg-, x > 0.
7. Доказать следующие формулы:
a) sin (arc sin x) = x,- — 1 x 1;
6) sin (arc cos x) = У1 — x2, — 1 x 1;
в) sin (arc tg x) =
r) sin (arc ctg x) = ^_2_;
д) cos (arc cos x) = x; — 1 x
e) cos (arc sin x) = ]Л 1 — x2, — 1 x C 1;
ж) cos (arc tg x) = y== ’>
з) cos (arc ctg x) =
и) tg(arctgx) = x;
к) tg (arc sin x) = y==- ’ — 1 < x < 1;
л) tg (arc cos x) — , — 1 x << 0, 0 < x 1;
m) tg (arc ctg x) = , x =£ 0;
h) ctg (arc ctg x) = x;
o) ctg (arc sin x) = ———, — 1 <C x < 0, 0 < x 1;
n) ctg (arc cos x) = -^==r, — 1 < x < 1;
p) ctg (arc tg x) = ~, x + 0.
8. Найти:
1
a) arc sin 0; 6) arc sinв) arc sin
r) arc sin Д) arc sin 1; e) arc sin
ж) arc sin 3) arcsin(—arcs*n(—
Тригонометрия. Гл. XXVIII. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 329
9. Найти:
1 V2
a) arc cos 0; б) arc cos в) arc cos-Ц^-;
х /3 ч . / 1 \
г) arc cos-Ц,-; Д) arc cos 1; е) arc cost— -g-j;
ж) аге cos (—3) аге cos (—и) arc cos (—1).
10.
Найти:
а)
arc tg 0; б) arc tg -i-; в) arc tg 1;
У 3
arctgl/l; д) arctg(—-pL); е) arctg(—1);
arc tg (— Уз).
11.
г)
ж)
Найти:
a) arc ctg 0; б) arc ctg ; в) arc ctg 1;
г) arc ctg У3; д) arc ctg (—уУ*)’ arcct^^—
ж) arc ctg (— У 3).
12. Вычислить:
(2 \ / 2 \
arc cos у I; б) cos (arc sin у 1;
в) sin^arccos^—4*))’ г) cos(arcs^n(—4
д) sin (аге tg 2); е) cos (arc ctg (— 2));
ж) tg fare sin f—4))’ 3) с^(агссо8(—4)
13. Вычислить:
a) sin ^2 arc cos y); 6) cos (з arc sin ~
в) cos (2 arc cos x); r) cos (3 arc cos x);
д) sin (2 arc tg 4); e) tg (3 arc ctg 5).
14. Вычислить:
a) arctg(tg-);
6) arc cos
b) arc sin (siny-j; r)
arc ctg (ctg .
15. Вычислить:
a) arc sin (sin 5); 6) arc cos (cos 10);
в) arctg[tg(— 8)1; r) arc ctg [ctg (—12)].
16. Выразить через арксинус следующие значения обратных тригонометрических
функций:
ч f 1 \ 2 ч ,5
a) arccosl — у); б) arc cos у; в) arctg^;
г) arc tg (— 4); д) arc ctg ~; е) arc ctg 2.
330 Тригонометрия. Гл. XXVIII. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
17. Выразить через арккосинус значения обратных тригонометрических функций:
a) arc sin 4; б) arctg3; в) arc ctg
и Э
(3 \
— yj; е) arc ctg (—3).
18. Выразить через арктангенс следующие значения обратных тригонометри-
ческих функций:
ч • 3 / 1 \ . 7 .
a) arc sin'н-; б) arc sin I—; в) arc cos T.5 »
7 о \ о / 1о
г) arc cos (-д) arc ctg 4; e) arc ctg —y^.
19. Выразить через арккотангенс следующие значения обратных тригонометри-
ческих функций:
ч • 1 . ХЧ • ( 1 \ ч 1 ч 5 .
a) arc sin уд; б) arc sin I — yl; в) aretgy,*
ч х ( 1\ ч 1 ч 2
г) arc tg (— ту ; д) arc cos е) arc cos v.
20. Пользуясь формулами сложения, произвести указанные действия:
4 • 1 I - 2 - 2 .1
a) arc sin-х-4- arc sin 6) arc sin—arc sin--;
7 3 1 о 3 5
ч 1 । 1 ч 4 1
в) arc cos -h-h- arc cos r) arc cos — arc cos-j-;
7 O' О D 4
д) arctgy+arctgyi e) arc tg i — arc tg-j;
2
ж) arc ctg *r* + arc ctg 3; з) arc ctg 2 — arc ctg 5.
О
21. Произвести указанные действия:
ч • / 1\ I I 3\
a) arc sin (— у 1 + arc cos (— ;
б) arc tg (— 2) 4- arc sin + arc ctg (— 4)»
ч ( 2\ .2
в) arc cost—у I— arc sin у;
ч 13. x 2 .3
r) arc tg у arc tg у — arc sin у.
22. Применить формулы удвоения:
а) 2 arc sin 1/4; б) 2 arc cos'!/ 4; в) 2arctg3; г) 2 arc ctg 4.
23. Применить формулы удвоения:
a) 2 arc cos (—6) 2arctg(—5); в) 2 arc ctg
24. Применить формулы первой и шестой групп:
а) у arc sin I— yl;
б) у arc cost— yl;
в) у arc ctg I — у 1.
Тригонометрия. Гл. XXVIII. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 331
25. Применить формулы шестой группы:
ч 1 .3
а) arc sin j;
б) arc cos у;
в) yarctg3.
26. Доказать, что:
3 п
a) 2 arc tg 2 — arc tgу = у-;
б) 4 arc tgl-arc
в) 3 arc sin у-j-arc cos = у.
27. Вычислить
( 20 \ , / 20 \
arc cos — arc ctg | — ypJ.
28. Вычислить
□ • 1 । П
3 arc sin -r + arc cos .
4 1 16
29. Доказать, что
arc tg -| + arc tg у + arc tg у -f- arc tg у = ~ .
30. Вычислить
cos2 (arc tg у j — sin (4 arc tg y).
Доказать следующие соотношения:
31. . 1 . . 1 , /2 + 1 arc tg —7^ + arc sin = arc tg . S /2 ' /2 fa/2 — 1
32. . ! Л2 —/3 . /З , 1 arc sin 1 / k arc cos - k arc cos — — V 4 1 2 ' /2 2
33. . 1 , 1 . .3 x arc sin —k arc sin —-== + arc sin . 3 3/11 /11 2
34. 3 . 11 . . 1 5r. arc sin 4- arc cos --= -k arc sin — = —. /73 /146 2 12
35. . 3/3 + 4 . 3 « arc sin гтк arc sin-=- = . 10 00
36. cos (2 arc tg у j == sin ^4 arc tg уj.
37. ,/“2 /6+1 я v 3 2/3 6
38. 2arctgy + arctg^ = y.
39. 1 1 2 arc tg у + arc tg у + arc tg у = arc tg 5.
40. . 4 . . 5 , .16 тс arc sin -k arc sin 75 -k arc sin -^=- = . 5 1 13 1 65 2
332
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
Тригонометрия. Гл. XXVIII. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ _
Преобразовать следующие выражения:
cos (arc tg х 4~ arc tg У)-
tg (2 arc sin х).
cos (arc sin У1 — х — arc sin У х).
ctg [arc tg х 4- arc tg (1 — х) ].
sin arc sin х).
cosarc cosх^.
cos(3 arc cosx).
cos(4 arccosx).
tg(5arctgx). .л
sin(3 aretgx).
sin(3 arc sin x).
arc cos (2x2 — 1) 4" 2 arc sin x.
Г 1+ Г . . x/3 +/1—x2
2 arc cos у —4^-H arc sin-------%------•
sin^-i- arC sin x).
cos^- arc cosx^.
tg (y arc tg x).
ctg arc ctg x}.
cos (arc tg x -[- arc ctg x).
tg (2 arc cos x).
sin [arc cos(l —x) arc cos x].
ctg (2 arc’sin x 4~ 3 arc cos x).
2 tg (arc cos r 1 _ — arc cos r *•==-) -
s \ /1 + x2 /1 + x® )
2 tg (arc tg x 4~ arc tg x3).
tg (z+iarc cos z)+tg (z—4arc cos t) •
Доказать следующие соотношения:
arc tg x -|- arc tg у = arc tg
где e = 0, если ху < 1; e = — 1, если ху > — 1 и х < О и г = 1, если
ху > 1, х > 0.
Если
arc tg х 4~ arc tg у 4“ arc tg z = те,
то
х-\-y-\-z~ xyz.
f arc sin уЧ — x2, если 0<Сх<^1;
arc cos х = { _____
(те — arc sin У 1 — х2, если — 1 х 0.
Тригонометрия. Гл. XXVIII. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 333
68.
69.
70.
arc tg х — •
яге cos г если х^-0;
1 /о
— arc cos-у=—, если х<<0.
У1 + х^
arc tg х — arc ctg —, если х > 0;
— arc ctg — К х ) * если х < 0.
1 ( 0, если х > 0;
arc tg х — arc ctg — = < — те, если х < 0.
71. аге sin -^=1=- — arc cos - .- = - /1 + х« . /1 + хЗ 0, если х 0; те — 2 arc cos —, если х 0. У1 + х2
arc sin (х У 1 — у2 + уУ1 — х2), если ху 0
или х2 + У2 Ь
72. arc sin х 4~ arc sin у —
те — arc sin (х У1 — у2 -|- у V1 — *2), если х > 0;
у > 0 и х2 ~|~ у2 > 1;
—те—arc sin (х У1 — у2 ~РуУ 1 — х2), если х < 0,
у < 0 и jv2 —|— _у2 > 1.
73. arc sin х — arc sin у =
arc sin (х У1 — у2 — у У1 — х2),
или
те — аге sin (х У1 — у2 — у У1 — х2),
у < 0 и
если ху^>0
х2 + у2< 1;
если х > 0,
*2 + /> 1;
—те—аге sin (х У1 —у2 —yV 1 — х2), если х < Х)д
у > 0 и х2 + у2 > 1-
74.
аге tg х — arc tg у =
, х— У 1
arc tg -j——, если ху > — I;
ь I + ху
те 4- arc tg , если х > 0, ху < — I;
— те 4~ arc tg, если х < О, ху < — I.
75.
аге cos
, 7С . I
— arc cos х 4—, если х^> —
’ 4 У?
те I
arc cos х----, если х
4 /2
76. arc tg х 4- arc tg * , х =
ь ‘ ьI+х
если х > — I;
Зте . .
-----г, если х < — I.
4
77.
arc sin
2х
1 + х2
— те — 2arctgx, если х < — 1;
2 arc tg х, если — 1 С х 1;
те — 2arctgx, если х > 1.
‘334 Тригонометрия. Гл. XXVIII. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
78.
79.
где
80.
где
81.
если
82.
где
83.
84.
85.
8бе
arc sin (sin х) =
х, если 2
ТС X.
тс — х, если уС-
х — 2тс, если Зтс
Зтс
. 5л
8arctg^+arctgx = -J,
1
8 аге
arc cos х + аге cos
arc sin
sin х + cos х Зл
-----~™-----------X,
/2 4
п 5 л
-г < X < -г-.
4 ^4
2х
2 arc tg х + arc sin
аге sin х + arc sin у —
2 аге sin х —
х > 1.
, х/1 — у2 + у/1— Хч-
агс tg ' г——~— >
& /1— Х2/1 — у2 — Ху
если х2 + у2<1 или
. , х/ТЛГ^_|_ у /Г=х5
я 4- аге tg ’ / ——------,
s /1 — — у2 — ху
если х24~у2 > 1, х > 0, у > 0;
, * х/Г=у«+у/Г=х§
— тс -4- arc tg —; J ,.:_4=z'-,
/1— х2/1 — у2 — ху
если х2-|-у2 > 1, х < 0, у < 0.
I х I ~7='>
1 1 /2
1;
/2
arc sin (2х У 1 — х2),
к — аге sin (2х У1 — х2),
— тс — аге sin (2х У1 — х2),
если
если
если
если
Г arc cos (2х2—1), <
2 аге cos х =4 Л
( 2тс — аге cos (2х2—1), <
х 2х
aretgy—
2х
тс 4- аге tg -i-?г, если х > 1;
1 ь 1 — Л2
2 arc tg х =
если
— 1 X ------у=“
/2
0<х< 1;
— 1 << х <<0.
2х
— тс4-агеtg-;-----х-, если х< — 1.
1 & 1 — х2
Тригонометрия. Гл. XXVIII. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 335
87.
1±А_
1 —X
2 arc sin х = тс
при любом х, по абсолютной величине меньшем 1.
88.
где
. 3 . .8
arc sin arc sin = arc sin х,
О ’ 27
32 + 3/665
Х~ 135
89. arc sin х 4- arc tg у = arc sin ——7--=. .
/1 + у2
где 0 < x < 1, у > 0.
90.
91.
3 arc tg х = arc tg----, где
& s 1—3x2
. X /1 X2 TC
arc sin x — arc sin---==--= —,
/2 4
где 0 x 1.
луг; i /Г^х2 (°’ если
92. arccosx —arctg]/ ‘ ~ Varcfg ~ V * = < тс ,
r 1+-X x если —1<х<0.
1 । . V x TC . n
93. arc sin -+ arc sin , x > 0.
+ /1+x 2
_ . /2x + I, , /* 1 + 2x тс
94. arc sin -—-+-----------к arc ctg ]/ —!,
/2 ‘ 1—2x 2
если
ляг x /п /1 + x2 — 1 \ Л _/“ 1+x'
95. tg 12 arc tg -—-------------j = cos ^2 arc cos у —~—
. /ГнРх + /Г=~И
= sin (2 arc cos --5---------1 = x.
1 1 1
96. arc tg - arc tg - = arc tg •
97. Доказать, что если x — не целое число, то
2х — 1 1 , (. 2х—1 \ г .
—2-------aretg^tg—2—^ = [х],
где [х] есть наибольшее целое число, меньшее, чем х.
98. Доказать, что если
arc sin х +- arc sin у +- arc sin z — тс,
то _______ __________ _________
х/1 —х2+у V1 —У2 -\~zV1 —z2 = 2хуг.
99*. Доказать следующую формулу:
arc sin (sin х) = (— 1)L (тс < ~+- у > — j
[X 1 1 X 1
~ + у —наибольшее целое число, меньшее или равное "Ч-тр
( х 1 1
а I тс’^"”2|—дробная часть этого числа, т. е.
Н+тМ+1-К+4]-
336 Тригонометрия. Гл. XXVIII. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
100**. Доказать следующую формулу:
arc cos (cos х) — к |
Г х 1
если — — число четное и
L 71J
arc cos (cos х) — к —11 {'к’}’
если — число нечетное.
( -V 11
101**. Доказать, что если <-----1-— у =£ 0, то
(u Z )
arc tg(tg = — J.
102**. Доказать, что если / — >=£0 1т. е. — не есть целое число!, то
arc ctg (ctg х) — г?
Глава XXIX
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Решение тригонометрического уравнения обычно сводят к решению одного
из следующих простейших уравнений:
a) sin х = а\
б) cos х = а\
в) tg х = а;
г) ctg х = а.
Итог исследования уравнений sinx = a и cosx — а дан в следующей таблице:
Вид урав- нения Значение параметра а
1 а | > 1 а = — 1 <2=0 й = 1 -1 <Л <1
sin X = а нет корней тс X = 2&7С у X = kit х — 2kit 4- -j- х = 2kit 4* + arc sin a, x = (2^4-1) — arc sin a
cos х = а нет корней х = (2Л + 1) Л х = kr. 4- — х — 2kit x 2kit ± ± arc cos a
Все корни уравнения tgx — a (а — любое число) даются формулой
х — 4- arc tg а.
Все корни уравнения ctgx = a (а — любое число) даются формулой
х = kit -j- arc ctg а.
Отметим еще формулы, дающие все корни следующих уравнений:
Уравнение Корни
sin2 x = а, где 0 a 1 x = kit ± arc sin Va
cos2 x = а, где 0 < a < 1 x = kit ± arc cos V*a
tg2 x == а, где 0 < a x = kit ± arc tg Va
где k — любое целое число.
22 п. С. Моденов
338
Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
При решении тригонометрического неравенства с одним неизвестным
/(х)>0
следует сначала найти область определения функции /(х), затем решить уравнение
Ж> = 0,
а затем воспользоваться, например, тем свойством элементарной функции, что
если она определена на некотором сегменте (или интервале) и не имеет на этом
сегменте (или интервале) корней, то она сохраняет знак на этом сегменте
(или интервале).
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Решить неравенство
7 cos х12 sin1 2 3 х < 13.
Решение. Функция 7 cos х 4~ 12 sin2 х определена при всех значениях х.
Решаем уравнение
7 cos х 4“ 12 sin2 х = 13,
или
12(1 —cos2 х) 4” 7 cos х— 13 = 0,
или •
— 12 cos2 х 4~ 7 cos х — 1=0,
или
12 cos2 х — 7 cos x 4~ 1 = 0.
Находим
7±/49 — 48 7±1
cosx~~ 24 — 24 ’
Отсюда
1 . 1
COSX = ~r или cosx-~-t-,
3 4 ’
следовательно, на сегменте [0, 2к] уравнение 7cosx 4~ 12sin2x = 13 имеет
следующие корни (располагаем их в порядке возрастания):
1
хх = arc COS -g-,
1
Хо = arc cos —,
i 4
n 1
x3 = 2k — arc cos -r,
d 4 »
1
x4 = 2k — arc cos 4.
о
Разобьем сегмент [0, 2к] на следующие полуинтервалы и интервалы:
[0, xj, (х,. х2), (х2, х3), (х3, х4), (х4, 2к].
Данное неравенство можно переписать в виде
(3 cos х — 1) (4 cos х — 1) > 0.
В случае
0 х < х1э
3 cos х — 1 > 0, 4 cos х — 1 >0,
следовательно, при всех х из полуинтервала [0, хх) данное неравенство будет
выполнено.
В случае
Xi С X <4 Х2
будем иметь:
3 cos х — 1^0, 4 cos х — 1^0,
Тригонометрия. Гл, XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 339
и, значит, для всех х из сегмента [х1э х2\ данное неравенство не будет выполнено.
В случае
х2 < х < х3
будем иметь
3 cos х — 1 < 0, 4 cos х — 1 < 0;
данное неравенство выполнено для всех х из интервала (х2, х3).
Аналогично убеждаемся в том, что данное неравенство не будет выполнено
для всех х из сегмента [х3, х4] и будет выполнено для всех х из полуинтер-
вала (х4, 2тг].
Так как функция 7cosx4-12sin2х—13 периодическая и. период ее ра-
вен 2к, то окончательно будем. иметь следующий результат.
Все решения данного неравенства будут:
х < 2&Т7-|-arc cos
2йк-|~ arc cos ^- < х < 2 (й 4" 1)к — arc cos у,
2 (А 4“ О гс — arc cos у < х 2 4~ О гс.
Пример 2. Решить неравенство
tg х 4“ dg х < — з.
Решение, Функция
tgx4-ctgx
периодическая и ее период равен к.
Исследуем поэтому эту функцию только на сегменте [0, к]. Точки 0,
р к из этого сегмента не входят в область определения функции tgx4~ctgx.
В остальных точках сегмента [0, к] функция tgx4*ctgx определена.
Найдем корни уравнения
tgx4-ctgx = —3
на сегменте [0, /я].
Имеем:
sin2 х 4- cos* х__
sin х cos х 1
• n 2
sin 2x = — у.
Отсюда находим корни уравнения tgx4~-ctgx =— 3: . -
, . 2
2х = к4~агс sin у,
2
2х — 2к — arc sin у,
следовательно,
я . 1 .2
Х1 = у4-у arcsiny,
1 . 2
х2 = к — тг arc sin -к-.
* 2 о
Теперь надо исследовать знак функции tg х 4“ctg х4~3 в каждом из интер-
валов и сегменте:
(°* ?)• (? 4’ [Х1’
22*
340
Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
В интервале ^0, yj имеем tgx4-ctgx4~3 > 0; ;
в интервале х^ имеем tgx4-ctgx4“3 < 0;
на сегменте [хр х2] имеем tg х-J-ctg х + 3 0;
в интервале (х2, гс) имеем tg х 4~ctg х 4~3 < 0.
Следовательно, все решения данного неравенства, расположенные на сег-
менте [0, к], даются формулами
гс п . 1 .2
2 <^<-2+TarcsinT>
1 . 2’
гс — тг arc sin v < х < к,
. £ о
а все решения данного неравенства будут:
г I ГС . у I ГС . 1 .2
ягс 4~ < х < ягс4- ^-4- — arc siny,
, , 1 . 2 .
kit 4- гс — -ту arc sin < х < лгс гс,
Z <5
где k — любое целое число.
§ 1. Тригонометрические уравнения с одним неизвестным
Решить следующие уравнения:
1.
2.
3.
4.
б.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
sin2 х -j- sin2 2х — sin2 Зх + sin2 4х.
sin (те cos х) — cos (те sin х).
tg (40°-|-х) ctg (5° — х) —,
sin2 х + sin2 2х sin2 Зх == .
sin х sin 2х sin Зх = 4- sin 4х.
4
sec х = 4 sin х + 6 cos x.
cos2 x 4~ cos2 2x 4~ cos2 3x 4~ cos2 4x = 2.
sin4 x 4- sin4 (x 4-^4- sin4 (x — .
tg(rc tg x) = ctg (rc ctg x).
sin4 x 4~ sin4 ( x 4“ 4") — "j" •
sin2 x 4~ sin2 a 4- sin2 {3 4~ 2 cos a cos p cos x = 2.
• i x . л. x 5
sin4 -x- 4~ cos4 = -Q-.
<5 о о
(sin x 4~ cos x) У2 = tg x 4~ ctg x. j
sin2x4“tgx = 2.
7
sin6 x 4~ cos6 x = тс.
* lb
3
sin4 x 4~ cos4 x — 2 sin 2x 4“ -j sin2 2x = 0.
sec x 4~ cosec x 4“ sec x • cosec x — 5.
tgx = tg2^T- 2J .
§ 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ 341
19. tg х 4~ 2 ctg 2х = sin х ( 1 4~ tg х tg yj. . /5* \ 1
20. Sin { -3-COS UX I = у .
21. 2ctg2x— 3ctg3x = tg2x.
22. sin4 x cos4 x = .
23. (sin 4x — 2 cos 4x)2 -J- (cos 4x — 2 sin 4x)2 — 3.
24. sin x -j- cos x — У 2 sin 5x.
25. cos x 4- cos (x 4“ -j j 4" cos^x 4~ = 0-
26. sin x sin lx = sin 3x sin 5x.
27. sin x sin 3x 4- sin 6x sin lOx = 0,
28. sin x sin (x + 60°) sin (x 120°) = .
29. (cos x 4“ sin x)2 — s*n 2x
cos4 x + 4- sin2 2x
2sln2y+ 3cos” j —2
30. sin2 2x (1 4- ctg2 2x) 2 *
31. 4 cos2 x 4~ sin x cos x 4" 3 sin2 x = 3.
i . - / 3x . 3x \2
32. 1—sin5x = lcos-2 sinj .
33. sin2 x — cos2 x — cos — .
34. tg 7x4~tg3x = 0.
35. 2 cos 2x4-2 cos 4x4-3 sin2 2x—1.
36.. tg(-f + x) = tg 2x4-7.
37. sin 3x = cos x.
38. sin2 x 4~ sin2 2x = 1. ?
39. cos x cos 2x = cos 3x.
40. cos2 2x 4- cos2 3x = 1.
41. 1 4* sin x 4" cos x = 0.
42. sinx4~sin2x — sin3x. <
43. cos x 4~ cos 2x = sin x 4~ sin 2x.
44. sin 3x 4~ cos 5x = 0.
45. sin x 4~ cos 2x = 1 4- sin x cos 2x.
46. tg x 4- tg 2x = tg 3x.
47. sin 5x 4- sin 3x — sin 4x.
48. tgjc — sinx = 2sin2-^, '
49. 1 4-cosx = ctg^.
50. sin Ъх — sin x cos 2x.
Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
342
51
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58. •
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
tex4--^- = 2
tg-K-t- i-i-sinx z-
у 'i+Sr' = (sin x+cos x)2-
1/‘3’ i
sin 17x cos5x 4~y sin 5x = 0.
sin3 x cos3 x = 1.
sin x + sin 2x + sin 3x = 1 4~ cos * + cos 2x.
o 1 + /3 z . 4
cos 2x =---— (cos X — sin x).
tg 2x 4~ ctg x = 8 cos2 x.
5(1— sin 2x) — 16 (sin x —cos x) 4~3 = 0.
cos2 (x 4~ a) -J- cos2 (x — a) = sin 2a,
tg* + tg (a —x) = 2tga.
2 cos x — cos 1.
sin x 4-cosx — 1 — 0.
sin (x — a) — sin x — sin a,
sin2 2x — sin2 x — sin2 ~.
о
sin (1 Ircx) sin (4tcx) 4-sin (5kx) sin (2~x) = 0.
= cosec3 cosec
14- 2 cos (2Лр) * r k
sin x 4“ tg x = sec x — cos x.
cosx — cos2x = 1.
tg x = 2 cos ~.
У 2 sin — 4~ 1 = cosx.
sin4 x 4“ cos4 x = sin 2x.
sin x • sin 3x = -j.
tg3 x 4“ sec3 x = 3.
(3 4~ sin 2x) sin4 x — (3 4~ sin 2x) sin2 x 4~ 1 = 0.
sin4 x 4~ cos4 x — 2 sin 2x 4~ у sin2 2x = 0.
ctg3 x 4~ cosec3 x — 3.
« 3x
cosx = cos2-4-.
cos3 & . sin3 d _J
cos x ’ sin x
У2 sin3 x = 4 cos2 x.
Найти cosx и sinx, если
a cos x 4~ b sin x = c.
tg 3x — tg x tg (60° 4- x) = 0.
§ 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ 343
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
111.
112.
113.
114.
115.
cos 2х + 2 sin 2х = --^З+Д.
2 cos2 х = ]/sin2 х — 16 sin2 х cos2 х cos2 2х -f- cos2 x.
5 sin2 (2x + 30°) -h 3 cos (2x -Д- 30°) = 3.
4 cos -j- 2 cos £-4-4 = 0.
О О
2 sin 2x tg 2x — 8 cos 2x -|~ 1 = 0.
a cos x -|- sec x 4~ £ =
5tg2(X+fi)“ 2sec (Х + Г2) + 2 = О-
4 sin — 8 cosec = + ctg -=• = 0.
6 6 1 & 6
п . 9 / Зх 5тс \ . . о / Зх \ o . / Зх 5tc \
2 sin ^>2" 4- 4 cos j-g-j — 3 — sin )•
sinx — 2cos2x= 1.
a cosec (nx) 4“ b ctg2 (nx) 4~ c = 0.
sec (36° — 5x) 4- 8 cos (36° — 5x) 4~ 6 tg (5x — 36°) — 0.
a tg (mx) 4~ b ctg (tnx) 4~ c — 0.
5 sin2 x — 3 cos2 x = ctg2 x.
tg22x = |i-tg2x.
. 2 , 1
Snr X 4“-4 = Sin X.
2 sin2 x 4~ cos x == 2 sin2 x cos x 4- 1 •
o . Зх . ~ . Зх Зх о Зх «
2 sin -у 4- 6 sin -g- cos-2-3 cos = 1.
sin2 x sec x — У 3 = tg x — У 3 sin x.
COS X 4- COS -y = sin у .
sin 4x 4-cos 4x 4~ 1 = 0-
2 ctg 5x = sin lOx.
1 4-sec 2x = ctg2x.
sin (x — 10°) = 0,3 cos (x — 10°).
3 cos2 2x = sin2 2x.
sin2 x 4~ 1 »7 cos2 x = 6 sin x cos x.
sin2 x 4- sin 2x cos 2x = 2 cos2 2x.
sin3 x = 3 sin x cos2 x.
sin5 x — sin4 x cos x = 2 sin3 x cos2 x.
sin4 x cos2 x 4- sin2 x cos4 x — sin3 x cos3 x 4~ sin x cos5 x.
10 sin2 13 sin y cos^ — cos2 у = 5.
2 sin x 4” 0 cos x = sec x.
sin 2x = cos 2x — sin2 x 4~ 1 •
8 tg 3x sin 3x 4- 6 sin 3x 4~ 3 cos 3x — 4 sec 3x.
344
116.
117.
118.
119.
120.
121.
122.
123.
124.
125.
126.
127.
128.
129.
130.
131.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
147.
Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
a ctg (тх 4~ a) cos (тх 4- а) 4~ b sin (тх а) 4~ с cos (тх 4~ а) = d.
sin 5x = sin 7х.
cos х = cos Зх.
sin 2x — cos 4 = 0.
О
tg 8x — Ig 2x == 0.
, x . 3x
ctg-j =<^-4-.
tg (пх + a) = ctg (mx 4- P).
• sin 3x 4-cos 3x = 0.
tg (2x 4" j) 4~ ctg (бх — -£) = 0.
sin (180° — x) — sin (270° — 2x) = 0.
cos (x 4~ yj = cos (2k — x).
ctg (-y- + *) 4- tg (2k — x) == °.
sin (630° — x) 4- cos (x — 90°) = 0.
ctg (405° — x) = tg (2x — 690°).
/ 23tc - x\ . (x 25я\
;cos\ 3 + 2’J- Sin\2 6 )•
tn sin (x 4~ 15°) = n sin (x—75°).
3 sin 4- 2x) = 4 sin — 2x).
cos (y — 45°) = 3 cos (I — 90°).
— ycos0^ 4~x) = 0,5cos(^j — x).
3 sin (30° 4- 3x) = 5 cos (60° — 3x).
10 tg (x + a) = 6 tg (x 4- P).
— 4 ctg (5x 4- 43°) = ctg (5x 4- 13°).
^и+2) = 2с^(5 + з)’
У tg (23° -4- 8x) = — 3 ctg (77° — 8x).
sin 3x cos 3x = — 0,5.
sin ~ cos у = sin 2x cos 2x.
sin (2x -j- 70°) sin (2x — 50°) = .
sin (a 4- mx) cos (P — mx) — a.
sin^ 4- 3x)cos0^-—3x) = 0,1084.
sin (mx 4~ a) cos (mx 4- P) = a.
cos (x 4- 35°) cos (x 4- 5°) = — 0,3205.
cos(75° — 4) cos(4 — 15°^ = 0,25.
§ 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМНЕИЗВЕСТНЫМ 345
148. sin Зх sin 2х = sin Их sin 10х.
149. sin x sin (тс — 4x) = sin 2x cos 4” 3x^.
150. 151. 152. sin (8x 56°) sin (5x 4-34*) = sin (4x 26°) sin (x-4-4°). cos 3x cos x = cos 7x cos 5x. cos lOx cos 6x = cos2 8x.
153. COS (%X — y) COS 0 — -j) = COS (бх 4--j) COS 0X -H fig) .
154. 2 sin x 3 cos x + 2 = 0.
155. sin x 4-/3 cos x -|- 1 = 0.
156. sin (x — 30°) — 2 cos (x — 30°) — ~~. , . ,
157. 158. 4 sin (2x -f- 20°) — cos (2x 4- 20Q°) = 3. ?,, 2 cos 3x 4~ 19,9 sin 3x = 17,32.
159. Sin lx 4” 7J-1 4” cos I x 4” -4" j — a-
160. sin у 4- cos у = У 2 sin x.
161. sin (x 4- 60°) 4- cos (x 4- 60°) = 2 sin (2x 4- 120°) — 11.
162. sin^ a)4”cos("-j aj = 1^2 sin (x 4~ 2a).
163. sin (x+t) - cos (x + t) = sitl (f - !§) •
164. sin 0^ —4-cos 0^-——) == ]/2 cos (x 4-.
165. cos (mx 4~ a) — sin 4” a) — V 2 cos (nx 4” ?)• л
166. cos2(x + 30°) 4-cos2 (X — 30°) — |.
167. cos2 0 y) — COS2 0 4- yj = 0,5.
168. sin2 (x -0- a) 4- sin2 (x — a) —a.
169. . Jx . 2tc\ . 9 / x 2tl\ j/3 sin sin \T "3")“ 2 ’
170. sin2 (2x 4-150°) 4” cos2 (2x — 150°) = 0,137.
171. 172. 173. sin2 (mx 4~ a) — cos2 (/nx — a) = a. cos x = cos 2x — cos 3x. cos (270° 4- 5x) 4- sin (3x 4- 90°) -0- sin (360° — x) = 0.
174. cos ^2x — — cos ^4x — y) ~ s'n (^x — y) •
175. cosx — cos 17x= 1 4-2 sin 8x sinx — cos 16x.
176. 1 -0- cos 2x 4“cos 4x = sin 2x 4- sin 4x 4" sin 6x.
177. tg 3x — tg 2x 4' tg * = 0.
178. Ctg (y- — 3x) 4- fg 0 — 2x) 4- cfg 0 4--J) = ° •
179. COS nx 4“ cos l(n ,4~ 2) x] = cos X.
346
Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
180. sin х 4~ cos пх — cos [(n 4~ 1)
n— целое положительное число.
181. tg2x = tg7x.
182. sin (nx) sin (тх) = 1,
где тип — целые положительные числа.
183. 4 tg + 2 tg -J 4- 8 с tg х = tg — tg -J-.
184. 185. 186. 187. 188. sin5 x 4- sec x = cos5 x 4- cosec X. (cos x — sin x) (2 tg x 4- sec x) 4~ 2 = 0. 2 cos2 4x 4~ sin2 3x = 1. sec2 x 4- sec2 12x — 12. 3 sin (x — 60°) 4- 4 sin (x 4- 30°) 4- 5 sin (5x 4- 30°) = 0.
189. _i L_ sin x 1 cos x
190. 191. 192. 193. 2cos4 2x 4- cos2 2x cos 4x 4~ cos 6x cos 2x 4~ cos Sx — . 1 1 1 2sinx sin (x 4- 3a) = 3 sin (a — x). 1'6 sin6 x 4~ 6 cos 2x — 3 cos 4x = 4,75. (a — 1) cos x 4- (a 4~ 1) sin x = 2a.
194. sin mx cos mx sin x cos x
195. 196. 197. 198. a (sin x 4- cos x)2 = b cos 2x. sin (x — a) = sin x — sin a. 8cosx— 14cos2x4~ 8cos3x— 2cos4x4-cos2x — 1. 5 sin 2x 4- sin x 4- cos x — 1.
199. sin 3x sin3 x4~cos 3x cos3 x = 4-. о
200. a sin x # a cos x & ab "> 0 b cos x л Z? sin x a *
201. 202. 203. 204. 2sin’x = sin x. sin x cos x = sin 40°. sec2 x 4- sec2 2x— 12. tg 2x = ctg x.
205. COSy 4“COS x = 1.
206. 1 Sin x — cos —. X
207. 208. 209. 1 4" cos x 4- cos 2x = 0. 1 4-sinx4“Cosx4-tgx = 0. ctg x 4- ctg 3x = cosec x • cosec 3x.
210. sec2 y4~cosec2y= 16ctgx.
211. 3 sin2 x — 4 sin x cos x 4- 5 cos2 x = 2.
212. . □ 3 sin 3x 4
§ 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ 347
213. - 1 COS ОХ — -о . о
214. GTQ ОО
, 2х 7
216. Ctg 3 13 •
216. л 3 cos2 X = . b
217. Sin2 X = у .
218. tg2 x== 10.
219. * 9 7 ctg2x = ly.
220. sin (5x + 3) = cos (4x -|- 2).
221. tg fcx + y) = ctg (r.x + -J-).
222. 2sin2 x — 3 cos2 x 4~ sin x cos x = 0.
223. . / . . / n \ 1 sin тех 4- -r I sin тех nr — тг. \ 1 4 / \ 12 / 2
224. sin (тех) sin (Зтех) = .
225. cos (7тех) sin (бтех) = cos (5тех) sin (8тех).
226. tg (3itx) = tg (5тех).
227. /3 i sin 11 x-|--yy-sin Zx-l-y cos7x = 0.
228. tgh(x — i)]ctgh(x—1)] = i.
229. cos3 x sin 3x 4- sin3 x cos Зх = Д.
230. (1 — tg x) (1 + sin 2x) — 1 + tg x.
231. sin4 (тех) + cos4 (тех) = sin (2тех).
232. sin x sin 5x = sec 4x.
233. 29 sin10 x 4- cos10 x — cos4 2x. 10
234. cosec x + cosec 2x + cosec 4x 4~ cosec 8x = 0.
235. 2]<3sinx = — ]/3. 2 /sin x — 1
236. sin10^ — x)-]-cos10 — xj = a.
237. Найти все значения x, для которых 3 . 4 COS X =-у-, Sinx™ —V-. . 5 5
238. sin x sin Зх 4~ sin 7x = 3.
239. Сколько корней на сегменте [0, те] имеет уравнение
tg(10x) = sin х.
Решить уравнения (240—241).
240. (а — 1) sin2 х + a sin х — 2 = 0.
241. sin (те tg х) = cos (те tg х).
348 Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
242. Подобрать в уравнении ctg (т cos 2tzx) = коэффициент т так, что0ы
уравнение имело корни х— ± и затем найти при найденном значении
т все остальные решения уравнения.
243. Решить уравнение
. тс 1
sin — = I.
X
Сколько корней имеет это уравнение на отрезке
0,001 <х< 0,002?
244. Решить уравнение
т (cos х — sin х) = У1 + sin х cosx.
т-г . —1
Положить sina =--------у—; выразить решение данного уравнения через а.
Л2+2
Изучить расположение на тригонометрическом круге точек, соответствую-
щих решениям. Доказать, что если |/п|> —, данное уравнение имеет два
корня, заключенные между —тс и тс.
245. 1°. Решить уравнение
cos mx = cos (т — 1) х.
В каком случае оно обращается в тождество?
Дать геометрическую интерпретацию для т целого положительного,
большего 1.
Рассмотреть случаи т—2 и т = 3.
2°. Найти значения cosx такие, что
cos тх — cos (т — 1) х,
при т = 2 и т — 3.
3°. Применить 2° для вычисления сторон правильного треугольника
и правильного пятиугольника (выпуклого и звездчатого), вписанного
в окружность.
4е. Найти, какому уравнению удовлетворяет cosx, если
cos3x = cos4x.
Доказать, что значения cosx#= 1 удовлетворяют уравнению третьей
степени; дать геометрическую интерпретацию корням этого послед-
него уравнения.
§ 2. Системы тригонометрических уравнений
Решить следующие системы уравнений:
1. х + у=-^,
tgx + tgj/=l.
2 'ч5 sin х _ т
sin у п ’
х + у = а.
3. cos (х + у) • cos (х — ey) = -l sinxsiny = 4-
У о
§ 2. СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
349
4. 1 Sin X Sin у— J 4/2 tgXtgJ> = -g-.
5. 1 Sin X COS у =-r, 4 3tgx = tgj>.
6. x + y = <f, cos x cos j/= tx.
7. sin x = cosec x 4~ sin y, cos x — sec x + cos y.
8. xу — 135°, tgx —tg_y = 2.
9. y — x = 30°, x IX 2 /3 tgx4~ctgj = 3 . , • /3
10. sin x sin у — ——» /3 COS X COS у — j- .
11. x + у x—• у 1 COS COS —тр- — У ’ 1 cosxcos у — -v-. t:
12. X 4-у -j-Z = It, tg'* tgjz —3, tg_ytgZ = 6.
13. tg j4-tg-f = a- 1 Л2 1 -4-й cos у — j—г . ' 1 — b cos x
14. . 1 X 4-^=3-, sin (kx) 4“ sin (rcy) = 1.
15. x+^= 3, 2 cos (тгх) -j- 4 cos (irj/) = 3.
16. . 2 x+3/=T’ tg (nx) 4- tg (It y) = 2 Уз.
17. x+>=.-4 ’ coe (rcx)cos (rcy) — .
18. sin (tcx) 4- sin («у) = у, Уз cos (кх) 4" cos (’'J') ~ ~2~ •
350
19.
20.
21.
22.
23.
24.
23.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
з
sin (тех) sin (ку) — ,
tg (ях) tg (тсу) = 3.
sin (пх) ___cos (тсх) _______
sin (тсу) ’ cos (тсу)
, тсх . , тсу
tg"2—F-tg-^- =а,
1_____________________#2
1 4- b cos (ку) = -тс--------—г.
1 v 1 — b cos (тсх)
tg(TCx)tg(TCz) = 2,
tg (яу) tg (tcz) = 18,
cos тс
± ex 1
tg—---= 0, xy = -577.
& x 4- у J 32
^±211=1 ±_i_± = l
x4~y J ’ x’y n
arc sin x = arc cosy,
7tc
COS-----:- = 1.
arc sin х = — arc cos у,
cos [Зтс(х-}-у)] = 1.
х2—у2=16, tg [те (х— у)]=1.
sinx4-siny = a,
a =$= 0
cosx4~cosy — bt где
и b #= 0.
z । х n sin x 2
cos(x+y) = 0, =
tgA:H-tgy = tg^- + tg^- = 2.
x 4~ у = a, sin x -f- sin у = b
x -}- У = a, sin x 4~ cos у — b.
x 4- У = at sin x cos у = b.
x 4- у = a, cos x cos у = b.
x-]-y = a, igxtgy—b.
x+y=a, ' tgx-lrtgy = b.
x-{-y = a; tgx — tgy — b.
x 4~ у = 54°, sin x cos у = ~,
sin x = cos 2 y, sin 2x = cos y.
x-\-y — a9 Z? sin x 4~^ sin у = d. 7
x — y — a9 bcosx — c cosy — d.
x 4- у = , sin (x 4- a) — sin (x — d) 4~ 2 cos2 = k.
3 (sin x — sin y) == 4 (sin 2x —sin 2y),
3 (cos x — cos y) — 4 (cos 2 x — cos 2y).
sin 2x4~ sin 2y = 3 (sin x 4~ sin y),
cos 2x 4~ cos 2y — cos x 4* cos у.
§ 3. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
351
45. 46. cos х sin у — tgx ctg у = 0, ctg х ctg у — 1. х +* У 4~ z — sin х : sin у : sin z = 2 : 3 : 4.
47. x-j-y~]-z — cosx : cos j: cos г =e rz: b : c.
48. x-f-y 4“2 = y, ctgx : ctgу : ctgz = a : b : c.
49. 50. x-^-y — ^z, sin x : sin у : sin z — a : b : c. x (sin у 4- sin z) = a, x (cos у + cos z) — b, x (sin 2x + sin 2y) == c.
51. Найти самый общий вид решений неопределенной системы:
tgx = tg(y — z),
tgy = tg(z —х).
Как изменятся эти решения, если к заданным уравнениям добавить условие
tg2 — atg(x — у), где а — какое угодно число?
§ 3. Решение тригонометрических неравенств
Решить следующие неравенства:
1. 2. 3. 4. 5. sin4 x — 6 sin2 x 4- 4 > 0. tg3x— ctg3x< 7,875. 4sinxsin3x > 1. 2sinxsin3x< L tgx tg3x < — 1.
6. 1 ’ sin2 2x > sin2 x 4“-j •
7. tg2 x sec 2x > 7 —*9 ip-.
8. 9. 10. sin x4~cosx < 1^2. sin x 4- л cos x < at secx< 21 sin x4~cosx|. . Vs x
11. cosec x cosec у.
12. sin 4x 4“ 4 sin 3x cos x < 0.
13. , x sinx ‘S 2 > 3x ’ P c?s-2-
14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 1 — cos x < tg x — sin x. tgx(l 4~cos2x)< cos2xtg2x. sin x 4~ sin 2x 4“ sin 3x < 0. tg3x4-tg2x> 14-tgx. tg*“Hg2x4-tg3x > 0. tg 2x < sin x 4~ tg x. 2 sin2 3x 4“ sin2 6x < 2.
352
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
tg2 х ctg2 х > 2. ,
cosx>sin2.x— cos2x.
4 sin x cosx (cos2 x — sin2 x) < sin 6x.
sin 7x cos 7x < у (3 — 4 sin2 5x) sin 5x.
sin 5x -|-cos 5x -|- sin 7x-|-cos 7x < 0.
sin 7x 4- ]ЛЗ cos 5x > sin 5x -f-]/^3 cos 7x.
sin x + sin 3x < sin 2x -|- sin 4x.
cos x cos 3x < cos 5xcos 7x.
, x . tgx — 2
tg 12 > tgx+ 2 ’
sin (kx) > cos (k]/x).
tg(|-*) + tg(|+*) < ]/
sin 3x < Sin X -Hy .
tg 2x < 8 cos2 x — ctg x.
. /2те \ . /2я . \
Sin I -g- COS X I < COS I-g- sin X j .
cos4 ^45° —"j) > -yg-(2cos2x— 1).
sin 5x > 16 sin5 x.
4 sin x sin 5x > 1.
8 sin x sin 2x sin 3x sin 4x < 3.
cos3 x sin 3x + sin3 x cos 3x < -r.
4
sin4 x -|- cos4 x > a.
sin [k(x 4~ 3a)] < 3sin [к (a — x)], — 1 < a < 1.
cos24»cos2 (тех) 4-cos2 {к 4-xj] < 1 4~ 2 cos -3- cos (-| + •
tg(^x)4-tg(2Kx)< Of
sin — > 0.
X
te___H____>1 ?
4(x4- 1) b
sin(2kcosx) > 0.
Изобразить графически множество решений неравенства
sin [тг (х 4~ У)1 > 0. €
Изобразить графически множество всех решений следующей системы не-
равенств:
tgl«(^ 4-у)) > о.
tg[«(x — у)]>0.
Изобразить графически множество всех , решений неравенства sin(irxy) >,0.
§ 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ 353
§ 4. Доказательство тригонометрических неравенств
Доказать следующие неравенства:
L Если 0 < х < у то
a) tgx>x; б) sin х < х; в) ctgх> cosx;
г) sinx cos х < д) sin х 4- cos х < ]/*2; е) tg х 4~ctg х > 2.
2. Если 0<х<^-, 0<у<у, то
a) sin (х 4-у) < sin х 4-sin у; б) sin(x4~y) < cosx 4-cos у.
3. Если 0<х<~, 0 < у < ~ и 0 < х4~У < у
то
а) 0< tgxtgy < 1; б) tg(x4-y)< tgx + tgy.
4. Если 0 < х < ~, 0 < у < , 0 < z < ~,
0<х-|-у+^<у> ТО
sin (х 4~у 4"г) < sinx 4~ sin у 4~sin£.
б. Если 0 < х < у» то
У cos х < /2 cos .
6. Если А, В, С — углы треугольника, то
ч о . А . В . С / ,
а) 8 sin sm sin -у- 1;
_ -А С 3 ,/х-
б) cos-у cos-j-cos-2" < у.У 3;
в) sin2 4“ sin2 ~2“ 4~ sin2 “У > -4 »
. г) sin А 4- sin В 4- sin С > sin 2А 4~ sin 2В + sin 2С.
7. Доказать, что если
то
a — sin а < р— sin р.
8. Доказать, что если
0<«<у, 0<p<j, 0<f<-|, а + р 4-f = тг,
tg4+tg24+tg2i>L
9. Дано:
0<a<j, 0<р<2-, 0<?<у.
Доказать, что неравенства
0<a + ?4-T< J
будут выполнены тогда и только тогда, когда
tgatg?-rtg?tg;r+tg7tga< L
23 П. С. Моденов
354 Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
10*. Доказать, что если
0<a<P<-J,
ТО
11*. Доказать, что если
0<а<?<|.
то
tg« tgft
“ ? *
12. Доказать, что если
0^а<-2, 0^y<^-, а4-Р4~Т=2’>
/5 + tgаtgр + У54-tgptgy 4-/M-tgytga< 4/3?
13. Доказать, что если
то
a —tga < ft — tg{3.
14. Доказать, что
^7riT-2sinl-hsin7AT>0,
где п — натуральное число, большее или равное 2.
15. Дано:
0<₽<^, 0<T<J, a+p-H=“.
Доказать, что тогда
- tg2 a 4- tg2 [3 4- tg2 7 — tg2 a tg2 (3 tg2 у > .
16. Доказать, что fee ли А -{-В -|-C = ~, to
tg2^4-tg2B4-tg2c> 1.
17. Доказать, исходу из равенства
sin х — 2 tg у cos2 у,
что если
0<Х<у,
-й
то
д;3
О < х---< sin х < х.
18**. Доказать, что если 0<х<у, то
л Х$
О < х---sin х < х.
о
19**. Доказать, что если 0 < х < у, то
Л х3 . . . х3 , хг>
0<x--¥<sinx<x--r4--I25-.
§ 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ 355
20. Доказать, что если 0<х<~, то
sin X > X — --.
ТС
21. Доказать, что если 0 < х < ~, то
----2~ C0S A < 1-
22. Доказать, что если 0 < х < у, то
X 4- COS X > 1----24I.
I
23**. Доказать, что если 0<х<~, то
у2 уЗ у4
1«А> J 4 j ./V
----_<cosx< 1--г4 Тб-
24**. Доказать, что если 0 < х < у , то
, х’ . , х» , х*
1 2 < cosx < 1 2 ’ 24
25. Доказать, что если 0<х<у, то
уЗ
tg X > X 4- -у ,
26. Доказать, что если 0 < х < ~ , то
1 х , 2 .
у tg х 4- у sin х > х.
27. Исходя из результатов задач 18, 19, 21, 24, установить ошибку прибли-
женных равенств:
х 3 х‘~
1) sin х ~ х; 2) cos х 1; 3) sin х — х------g-; 4) cos х = 1 — -у,
считая 0 < х < у.
28. Доказать, что если 0<х<у, то приближенное равенство
х3
sin х = х----
о
верно с точностью до 0,0005.
29. Доказать, что если
Q<x< 30 ’
то приближенное равенство
sin х ~ х
верно с точностью до 0,0005.
30. Доказать, что если 0<х<-^-, то приближенное равенство
1 х3
cos х = 1---------------------------------у
верно с точностью до 0,0005.
2з*
356
31.
32.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Доказать, что если 0<х<™, то приближенное равенство cos х 2Т1
верно с точностью до 0,0005.
С какой точностью верно равенство
sin Г ™ sin 0,0175453 — 0,0175453?
§ 5. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестные
под знаком аркфункции
Решить следующие уравнения: $'
arc sin (1 — х) — 2 arc sin х ™ .
arc tg (х Д- 1) Д- arc tg (х — 1) Д- arc tg х ™ 0.
аге sin — ,L — аге sin |/ 1 —• х .
У х
2 аге tg х -4- 3 arc cig х .
sin (у аге cos xj — 1.
arc sin х Д~ arc cos (х Д~ 1) = -X .
arc cos х = arc ctg х.
аге sin (Зх Д- 5) Д- arc sin (1 — х) ™ А-.
arc tg (х2 Д~ х) Д~ arc tg (х2 — х) 4 в
arcsin (2х Д--1)~ arceosx.
arc tg -3 —р arc tg -у ~ arc ig х.
. Зх . . 4х
arc sin-г—Г arc sm -= arc sin х.
о ’ о
arc cos (х ]/ 3) Д- arc cos х .
arc sin 2х — 3 аге sin х.
are tg ------- __ 2 arc tg (х — 1).
• arc eos [ctg (2 are tg x) ] — 0.
x — arc ctg (2 ctg x).
arc sin x Д- arc sin (x ]/ з) — .
arc tg x Д- arc tg 3x — Д.
arctg(x Д- 1) —arc tg(x — 1)^ 7 .
/3
arc sin x — arc cos x ~ arc cos —.
arc tg (x Д- 1) Д-- arc tg (x — 1) — arc ig 2.
23.
arc sin x Д- arc sin 2x
§ 5. УРАВНЕНИЯ. СОДЕРЖАЩИЕ АРКФУНКЦИИ
357
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
, 1 . 1 ,
arc tg ЗГ—“I “ arc tg Т+Т агс g а-
arc ctg х 4- arc ctg (х -j- 1) — --.
arc sin х • arc eos х — а2.
arc tg (х — 1)4- arc tg х 4- arc ctg (х 4“ D — arc tg Зх.
arc cos х = arc tg х.
. , х к
arc sin х 4~ arc sin .
1 2 4
arc tg j 4- 2 arc tg | + arc tg 1 ~.
31. sin (п arc tg х) = 0 (п — целое положительное число).
32.
arc sin (ах) = arc cos (Ьх),
33. arc sin 2х 4" arc sin х = .
о
34. 2 arc sin х 4~ arc cos (1 — х) 0.
35. arc tg х 4- arc tg ~ 4~- arc tg ™ ™ 0.
36. arc sin 2х 4~ arc tg ~ •
37. (arc tg х)2 + (arc ctg х)2 = ~2.
38. (arc sin х)3 4“ (arc cos х)3 = ~3.
. Зх . 4х
39. arc sin —k arc sin — arc sin х.
5’5
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
arc cos -j “ 2 arc tg (х — 1).
arc tg 2х 4~ arc tg Зх == ~
arc sin х = arc ctg х.
arc tg (1 — х ]/*2) ~ arc tg х2.
arc cos | х | = arc sin 2х.
arc tg (х 4- 1) — arc tg (х — 1) = .
1 __х2 2х ()х
arc cos 4- arc sin 4~ arc tg ----------------------
1 4 х2 ‘ 1 4 х2 ‘ 1 —.
2 arc tg (cos х) =- arc tg .
Л ь \ sin х J
Решить следующие системы уравнений:
48. arc sin х • arc sin у = ~, arc cos х • arc cos у ~ .
49. arc sin х 4- arc cos у = 0, arc sin у 4- arc cos х — ”.
50. х24~У2”1» 2 arc cos (х 4~ у) +-о-—т—i—г—-3~.
° ‘ 4 1 1 8 arc cos (х 4 У)
51. ху=1, arcsinx4~arceosy = ~.
52. arc tg х 4-arc tg у , ху = —2.
358
53.
54.
55.
56.
57.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
It.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Решить следующие неравенства:
arc sin х > arccosx,
arc tg x > arc ctg x.
2 arc sin x > arc tg x.
arc sin x < arc cos (1 — x).
arc sin x — 2 arc cos x > -^ .
О
§ 6. Трансцендентные уравнения
Решить следующие уравнения:
\ga (sin х 4~ cos х) = 2,
где а — положительное число, не равное 1, причем а2 |/~2.
arc sin (lg10 х) = 0.
Ig10(arc sin х)= 0.
arc cos (тс lg3 tg x) = 0.
ler ~ =______9
^sin* 3 —
(/TW5)* ’+у 5-=27s)‘"' ’=4.
• ^bsin3x3—
sin (5 arc tg3x) — 1.
sin (тс 1g x) 4- cos (тс 1g x) = 1.
tg (3 arc tg x) = ctg (3 arc ctg x).
1 + >g tg x +1 — 1g tg X = 2.
lg2* ~Hg3* 4-'g4X= 1.
arc sin (x2 4- x 4—-кД = arc cos (x2 4~ x ~|—;кД.
\ /2 / \ /2 }
•gio (arc tg x) + Igio(a^ ctg x) = a.
Исследовать решения в зависимости от значений а.
Зх — ctg (arc tg ~ — arc tg у^т) = °-
4 arc tg (x2 — Зх -|- 3) — к.
arc sin [1g (x2)] -|- arc sin 1g x =
arc tg (2 4~cos x) — arc tg (2 cos2 j = .
sin’ Х-l sin x+4 ,
(cos x) 2 2 = 1.
arc tg (2 + sin x) — arctg(l-|-sinx) =
arc sin 2х+' 4- arc sin (4]Л 3 • 2*) = .
§ 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 359
22. arc tg 3 х — arc tg 3~х = ~ .
23. sin (к arc tg х) — cos (5 arc tg х).
24. sin [~ (arc tgx2)] — ~ . § 7. Исследование элементарных функций Найти области определения следующих элементарных функций:
1. 3 у == arc cos ~ . . 2х
2. у =. arc sin -7—;——. 1 4- х1
3. У = tg х + tg 2.V 4- tg Зх.
4. sin х л 1 — COS X
5. у = Ig 1 arc sin (Зх2 4~ 4x).
6. у — arc sin (tg x).
7. У=|Л1п1.
8. у = '(/sin (cos x).
9. У —'gio tgio 'gio tg-~.
10. у Ig (sin X — cosx).
11. y='gcosxSin*-
12. y-=/'gio (cos2zx).
13. , / . sin x — cos x \ уx__ arc tg arc sin ). / 0 \ sin x 4- cos x / Исследовать на возрастание и убывание следующие функции:
14. у х -4- sin х.
15. у — sin х -4 cos2 х.
16. .1.0 у — Sin X 4~ -Q- Sin Зх. о
17. 2х у = arc sin .
18. 1—хЗ у = arc cos -г-т—г • 14 х2
19. , у — (7 4~ 2 cos х) sin х.
20. sinx У sin х 4 cos х *
21. Доказать, что функция y=sin х на сегменте [0, -} выпукла вверх.
22. Доказать, что функция у —tgx на полуинтервале Го,выпукла вниз. 1
360
Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
23. 24. Построить графики следующих функций: у — sin 2х. у — cos Зх.
25. У - Sin Л .
26. у — 2 cos ~~. и
27. у ~ tg ОХ.
28. . 2'Г У ctg -у-.
у ~ sin (2х 4-3).
33. у -- 3 cos ^7т:х — уj .
31. 3'^- A tg[-(A-— 1)].
32. 33. 34’. у 3 ctg [ (2 — х) п]. у ~~ sin х -ф cos х. у sin X 4~ sin Зх.
35. 36. у — sec х. у = cosec х.
37. у — 2 sin х 3 cos х. . 1 у ™ sin - -.
39. 4\ о . 1 у X- Sin - . у = COS — . X
41. 1 . 1 V — sin — . " X X
42. 43. ( y=dgiysinx. у ~ sin (х2).
44. у arc sin (sin х).
45. у arc cos (cos x).
43. У arc tg (tg x).
4’. у arc ctg (ctg x).
43. у x — arc tg (tg x).
49. у x — arc sin (dn x).
59. у = x arc sin (sin x).
51. у — arc tg (tg x) — arc sin (sin x).
52. у = arc cos (cos x) — arc sin (sin x).
53. у = arc tg 1 •
54. y = arcctg(lg10x).
361
55.
53.
57.
53.
§ 8. РХЗНЫЕ ЗАДАЧИ
. 1
у arc sin —.
х-
у - ь)(arc sin х).
у аге ип (lg10 х).
у “ sin (arc tg х).
§ 8. Разные задачи
Вычислить (без помони таблиц):
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
И.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
tg 20° tg40° tg60° tg 80°.
9- 4z 6z Z 4z 5z
1) cos у 4-cos у 4-COS у; 2) cos у cosycos у.
tg 10' tg 503 tg 70°.
tg 9'— tg 27° — tg 63° -Hg 814
tg2 36е tg2 72°.
\/ 4z . 6z\Z 8z 12z \
Hcos у 4 COS у H COS у “h cos-y I.
cos 20° cos 40° cos 80°.
. Z . 2z . (/2 — l)z
Sin p— Sin TV- ... Sin -—5-• .
2/i 2/2 2n
2z
2z ( 1(
cos у -г cos д
sin T—sin -тг~т~г • • • sin о—рт
2/2 -f~ 1 2n + 1 2/2 4- 1
. z . 3z . (2n—l)z
Sin p- Sin p- ... sin ------—
4/2 4/2
cos ~
cos
4/2
n
. . COS -5--
2z
COS TV—rp cos
.. cos
(2/7—l)z
4/2
2//z
. . . COS -р——р .
2п 4~ 1
2«z
... COS ~г.-П" .
2п 4- 1
+ cos ~ 4- cos р .
, 8" . 1 Jz
't~ cos -у 4~ COS -y.
9z . 11-
13 v0S '13
z 3z
cos COS ~r~
4/2 4/2
Z 2z
COS p---Г— COS T5-----г
11 2/2 4- 1
4z___
2/2 + 1
Z , 3z ( 5z
cos-1T + cos|T 4-cos-n
2r. , 4r. .
COS y- COS у-p COS y-
- , . 3- . 5r. , 7т:
COS —|— COS -py -p COS ~pr -p COS -pr
lo lo io lo
^5-rC— — 2 sin 70°.
2 sin 10
2z , 4z 7z
COS p- 4- COS -Y=---COS pr — COS ртг- .
lo 1 15 lo lo
ctg 7\5 4- tg 67°,5 — tg 7°,5 — ctg 6745.
21. Доказать, что корни уравнения
х3 — Зх2 4- — 1—0
суть 4 cos2 4-, 4 cos2 ~ и 4 :os2 .
/ 7 7
362
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Доказать, что корни уравнения
х3 —33х24~27х —3 = 0
суть tg2 20°, tg2 40° и tg280°.
Доказать, что
Зл л 2л 4 л к 7л 1Н 13л
COS -F- COS -r- COS -7- COS = COS -77- COS -77- COS -77- COS -77- .
5 5 5 5 15 15 15 15
Найти sin x из уравнения
sin a sin (x — d) -j- sin (2x 4“ a) = sin (x 4~ a) 4~ sin (2x — a),
ЗЛ
причем z < x < -p- .
Найти tg x из уравнения
2 cosx cos (я — x) = cos#.
Найти tg 2x из уравнения
1 4~ sin x 4-cos x 4-sin 2x 4~cos 2x = 0.
Преобразовать в произведение
ctg2 2x — tg2 2x — 8 cos 4x ctg 4x.
Найти алгебраические связи между углами х, у, г, если
tS^-Hgy-Hg^^tgxtgytgz. •
Найти затем при этом условии наименьшие положительные значения углов
х, у, z, если известно, что
у + г х + у
Сколько корней имеет уравнение
х arc tg х = 1.
Сколько корней, удовлетворяющих неравенствам
0 х < 2т.,
имеет уравнение
sin 2х = 1g sin х.
Дано (1 4-tg а) (1 “Hg ₽) ~ 2- Найти а-4?-
Дано: cos а 4“ cos [3 = я, sin а 4~ sin р = b. Найти cos (а 4”?) и sin (а-[-?)•
01 Т^" 7 о
Найти tgy, если sin а + cos а =-у- и 0<а<45~.
Выразить cos а и sin р через А и В, если
sin а = A sin £), tg а = В tg
При каких значениях а и b возможно равенство
sin а 4~ sin b = sin (а Ь) ?
3 х 5х
Дано cos х =-у . Вычислить 32 sinsin-j-.
При каких значениях п выражение
sin пх
имеет период 4~.
§ 8. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
заз
4
38. Известно, что sin^ —у. Чему равно выражение
Уз sin (а + Р) — 2 sec — cos (а 4“ ₽)
sin а *
а) если угол р острый; б) если угол р тупой?
39. Вычислить без таблиц:
a) (tg 7°30' 4- tg 37°30' + tg 67°30z) (tg 22°30' 4~ tg 52°30 + tg 82c30');
6) ^2sin jg-J + (2cos-jgJ .
40. Найти наибольшее и наименьшее значение каждой из следующих функций:
a) a cos л: 4-£ sin х;
б) a sin2 х -|-2# sin х cos х 4~^ cos2 х.
41. Вычислить:
a) cos 18°; б) cos-^-; в) sin ~ ; г) sin 9°;
д) cos9°; е) sin 15°; ж) cos 15°; з) tg 15°;
и) sin 7°30'; к) cos7°30'; л) tg 7°30';
м) tg 22=30'; н) ctg 22=30'; о) cos 33-^;
п) tg 142=30'. *
42. Найти tg оctg а, если а — (п -|Д ± ~ •
43. Доказать, что
ч ~ । Зл , , 17л 1
а) сов-уд-4-cos-jg-l- ... + cos-уд-=-g-;
б) cos-2i- +cos 2j-4- ... 4-cos-2j- = —-2 .
44. При каком значении х функция
у = sin (g- 4- Зх) cos (х 4- j)
принимает наибольшее и наименьшее значения?
45. Найти угол х, если известно, что
а) 0<х<
б) —— число рациональное;
в) cos х — число рациональное.
46. Рассмотрим функцию
у = cos2 х 4~ sin х cos х,
где
л . л
— "2 < Х < Г •
1°. Выразить у через tgx.
2°. Дано значение у. Вычислить t — igx. Исследовать. Исследовать знаки
соответствующих значений у.
3°. Доказать, что между двумя решениями t' и t”, соответствующими
заданному значению у, существует соотношение, не зависящее от у.
4°. Можно ли выбрать у так, чтобы для двух соответствующих значе-
ний х' и х” удовлетворялось условие
tg 2х' = tg 2х"?
Вычислить в этом случае tgx' и tgx".
Глава XXX
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТРИГОНОМЕТРИИ
§ 1. Тригонометрические соотношения между
элементами треугольника
В настоящей главе* принимаются следующие обозначения: А, В С — вер-
шины и соответствующие внутренние углы треугольника АВС; а, £ с — сто-
роны, соответственно противолежащие углам А, В, С;
2р — периметр;
— Длины высот;
та, ть, тс — длины медиан;
/Л, 1Ь, 1С—длины биссектрис внутренних углов А, В., С;
/*, Гь, Г—длины биссектрис внешних углов А, В, С;
s — площадь;
R — радиус описанной окружности;
г — радиус вписанной окружности;
гп, гь> гс—радиусы вневписанных окружностей;
Д], /Д, —основания высот;
А', А!', А'" — середины сторон ВС, С А и АВ;
Dlt D2, D3 — точки пересечения биссектрисе внутренних углов А, В, С
с противоположными сторонами;
£)', D', D'3 — точки пересечения биссектрисе внешних углов треуголь-
ника АВС с противоположными сторонами;
(У — центр описанной окружности;
О, Оа, Оь, Ое — центры вписанной и вневписанных окружностей;
О7— точка пересечения медиан;
/VI — точка пересечения высот;
Гр F,— точки прикосновения вписанной окружности со сторонами ВС,
СА и АВ;
F'a, F'b, Ffe, F"a. F'b, F'c—точки, в которых стороны или их продолжения
касаются вневписанных окружностей.
Доказать (№ 1 —15), что во всяком прямоугольном треугольнике имеют
место следующие соотношения (С — прямой угол):
1.
2.
3.
4.
5.
sin А Д- cos А — sin В Д~ cos В,
(sin A Д-cos В): (sin В Д-cos А) — tg А,
, 1 • В — А , । п г— В — А
b — а = с У 2 sin —-— ; b Д- а — с У 2 cos ——
Ь — а , В — А
COS -J-
с -4- а
~2с~
* Если нет оговорок, указывающих на другие обозначения.
§ 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ 365
—- ———————™ -— —- .
6. В Г с — а а_ _ b ® " г с ~P<z ™” ~~ 1 с а '
7. л 1 гл л & Д'" sec 2 В -— tg 2/4 = ——-г • ° а — b
8. s ™ -г sin 2В. 4 . ~ . 2аЬ
► 9. t<r 2Д = -75 - • lo
10. sin (В — Л)— с., .
11. cos (В — Л) = —•.
12. ,од Л. Зйс2-4Л:! cos (2В — А) —~~7 .
13. л/-^ л В р —С у 2 COS-у- COS -р- .
14. hc ~= sin 2B = 2p j/"2 sin sin •
15. sin2 в __ sin- /1 siif' Л a2b2 Доказать (№ 16- -26), что при выполнении следующих условий треуголь- ник будет прямоугольным (С = 90Д:
16. 2 [ 1 — cos (В — Д)] : (1 — cos 2В) (Ь — а')1: Ь2.
17. ( I rg \ ( 1 ГдА — о \ га / \ ГЬ)
18. В а + с Ctg - = -Д— . ъ 2 b
19. S = р(р — с)~-(р ~д)(р — Ь).
20. с : а : /? —«- : ай : (а:>, ас, д10 —стороны правильных вписанных в один и тот же круг 5-, 6- и 10-угольников).
21. Если расстояние между центром описанной окружности и ючкой пересече- ния высот равно половине одной из сторон треугольника.
22. 8/?2 = а2Д-/Я_|_ с\
23. гс-^г -\-га-\-гь.
24. ггс -= rarb.
25. . п л sin В J - sin А sm С cos В cos А —~ . sec В Jr sec А
26. cos- А 4- cos2 В — cos2 С 1. Доказать (№ 27—31). что при выполнении следующих условий треугольник будет или прямоугольный или равнобедренный:
27. (Ь2 4~ с2) sin (С —> В) (с2 — b2) sin (С Д- В).
28. tg В : tg Д sin2 В : sin2.4.
29. cos С 4- 2 cos А sin В cos С -f- 2 cos В sin /1
30. Если квадраты двух сторон относятся как их проекции на третью сторону.
366 Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
31. 1 —|~CLg-(450 — В) = 2:(1-—ctg A), 4s = с2 (и равнобедренный и прямо- угольный). Доказать, что во всяком треугольнике имеют место следующие сооотно- шения:
32. а2— Ь2 sin (4 — В) с'1 sin С 9
33.
34. А
35. _p-b В р — а * ’ ‘st
36. А В р — с ТГ -;г — . Л 2 ь 2 р
37. А В . В С b t о- to- L_ to- to- - Ч 2 2 ь 2 2 * р •
38. А . В р — с . С Sin 77- Sin -77- = Sin . 2 2с 2
39. А В р . С COS -77- COS -77 = ~ Sin . 2 2 с 2
40. а (а 4- с — Ь) 1 — cos А b (b 4 с — а) 1 — cos В *
41. с2 sin A sin В S 2 sin С
42. s — aR sin В sin С.
43. s =z 2R2 sin A sin В sin C.
44. s (sin A -4~ sin В + sin C) — 2pR sin A sin В sin C = — p2 (cos A 4“ cos В 4~ cos C — 1).
45. s = p(.p — a) tg-~.
46. s = (p — b)(p — c) ctg 2- •
47. s- — abcp sin -y sin sin -. n , z x . А В C
48. s2 = abc (p — a) sin coscos-. or A L В ± C
49. s = P2 tgy ^~2 ’ , xn A . В . C
50. s = (p — a)2 tg ctg у ctg -y. , ABC.
51. ps — abc cos -g- cos -7 cos -j-.
52. P"1 ГЛ..В..С = + ctS-2-+ С‘§Т-
53. № + <? —o'- . \ tgA
54. a2 4- b2 4~ c2 (a2 4 b2 4~ c2) sin A sin В sin C 3 cig A 4- cig В у cig C 2 (sin2 A 4- sin2 В 4 sin2 C)
§ 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
367
, , С А —В
55/ а 4~ = 4 В с*<?~*у cos —g •
, лп .С . Л —В
56. а — b = 4R sin у sin —— •
57. а 4- b 4- с == 8/? cos у cos -у cos у .
58. а 4“ Ъ — c = 8R sin у sin у cos у .
59. a2 — b2 = 4R2 sin С sin (Л — В).
60. (а 4~ Ь)2 — с2= 16/?2 sin A sin В cos2 у .
61. а2 — (Ь — с)2 = 16/?2 sin В sin С sin2 у .
62. 2R t = f'a2b2c2.
63. a cos А 4~ b cos В 4- с cos С ~ 4R sin A sin В sin С.
АВС
64. 2sp2 = Rp2 (a cos А 4~ b cos В 4~ с cos С) = 8abc R cos2 у cos2 у cos2 у.
65. be sin2 А = a2 (cos А 4*- cos В cos С).
66. a (cos А 4" cos В cos C) = b (cos В 4~ cos A cos С) = с (cos С 4~ cos A cos В).
л sin2 А cos A cos В . cos В cos С . cos С cos А
• a2 ab ' Ьс ' са '
68. a (sin В — sin б?) 4~ # (sin С — sin Л) 4~ с (sin А — sin В) = 0.
69. a sin (В — С) 4“ b sin (С — А) 4~ с sin (Л — В) = 0.
70. ' a3 sin (В — С) 4-/?3 sin (С — Л) 4~ с3 sin (Л — В) = 0.
д'* sin (В — С) . sin (С — Л) . с2 sin (Л — В) _________п
' * sin Л ‘ sin В * sin С
72. (я2 — b2) ctg С 4~ (Ь2 — с2) ctg А 4- (с2 — a2) ctg В = 0.
73. a sin (В — С) cos (В 4~ С — A)~\-b sin (С — Л) cos (С 4~ Л — В) 4~
4~ с sin (Л — В) cos (Л 4- В — С) = 0.
bha , chb . ahc _ а2 + № 4- с2
с *“ а * b ~ 2R
75. ci3 cos (В — С) 4- b3 cos (С — Л) 4~ £3 cos (Л — В) = 12Rs.
76. (а2 4- с2) [ 1 4- cos С cos (Л — В)] = (а2 4- b2) [ 1 4~ cos В cos (Л — С)].
77. b cos В 4~ с cos С = a cos (В — С).
78. a cos Л 4“ b cos В 4~ с cos С —
— ~ [a cos (В — С) 4~ b cos (С — Л) 4~ с cos (Л — В)].
79. a2 cos2 Л — b2 cos2 В — с2 cos2 С = 2bc cos В cos С cos 2Л.
80. а2 — 2ab cos (60° 4- С) = с2 — 2bc cos (60° 4- Л).
Я a sin Л + b sin В 4- с sin С __ а2 4" + с2
4 cos у cos у cos у
cos 2A cos 2В _________ 1 _1_
82. -у — — — у.
cos 2а . cos 2В . cos 2С __ 1 . 1 . 1 3
ОО. г ^2 1 ^2 — J2“~r 7Г ~ 2R2 •
368 Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
84. be cos А — ас cos В ~ Ь2 — а2.
85. Ьс cos А 4" ас cos В -j- ab cos С ™ +_£2 е
88. Ьс (о2 - ~ с2) cos А 4~ ас (с2 — a2') cos В 4~ ab (а2 — Ь2) cos С ™ 0.
87. (Ь 4” О cos А -4-(а 4~с)cos В -{-(а 4~b) cos С ™ а 4~b 4~с.
gg _______cos~A!___________cos В (__________cos С___ _ а?№ А~ (А
с cos В 4- b со.ъ С 1 с cos А a-cos С a cos В b cos А 2abc ~
89. (Ь — с) (р — d) cos /14 ~ (с — а) (р — b) cos В -{-(а — Ь) (р — с) cos С = 0.
90. 2abc (cos А 4~ cos В) ~ (а -*-b) (c-j-b — а)(с -j-a — b).
91. 2abc (cos А — cos В) (/? — а) (а 4~ b 4- с) (а 4~ b — с).
92. abc (cos А 4“ cos В Д- cos С) ~ а2 (р — а) 4~ Ь2 (р — Л) 4~ с2 (р — с).
93. й- — с" , _ | а1 — cos В -f- cos С cos С -В cos А ‘ cos A -f- cos В
94. cos В с — b cos А cos С ~~ b — с cos А
95*. (Ь — a cos С) tg А~~ a sin С.
98. 1'4 А а2 А-с2— Ь2 Ig £ ~ i-4-С2 — й3 '
97. 14 А а (а — b cos С) ig В Ь (Ь — a cos С)
98. s ~ (с2 sin 2 В 4~ b2 sin 2С).
99. а2 — b2 “ 2s (ctg В — ctg А).
100. А В b cos2 — -J- a cos2 — == р.
101. b sin2 - 4“ а sin2 -у — р — с.
102. (Ь -4- с) cos3 -Т 4- (а + с) cos3 + (а 4~ b) cos3 -= Зр."
103. {Ь 4~ с) sin2 -Т -j- {а 4~ с) sin2 ~ 4- (а 4~ О sin2 Т = р.
1С4. АВС be cos2 4" ас cos2 ~2 ~i~ cos2 "2“ Р2'
105. (р — о) tg (р — Л) tg -=- (р — с) tg Т .
106. (р — a) (ctg- Y 4- ctg Т j == a ctg А .
107. Ь — с 9 А . с — а 9 В । а — b 9 С а COS2 -ГТ 4 Z COS2 4" COS2 -тг- — 0. а 2 1 Ь 2 1 с 2
103. (а — b) ctg 4-(с — a) ctg -]-~(Ь — с) ctg ~ = 0. В--С г С — А . А —В
109. a sin —— b sin - c sin L 2 A — 2 ™ 0 A 1 , ii 1 . C sin — sin — sm -g-
В задачах № 95—99 предполагается, что все углы треугольника — острые.
§ 1/ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
369
110.
a cos2 у 4- b cos2 4- с cos2 у
р+^-.
a- cos b* cos — с2 cos
111, —---------f----1---------ь —4-----------/— = 2(^4-^ + ^).
, -‘1 . £5 С,
sin sin у sin у
.4 Л? С* Г*
112. a ctg у b ctg -2- — с ctg -у = 2р tg -у .
113.
114.
115.
116.
117.
118.
. , A . x # t k , C 9Z 1 . 1 . 1 3\
bcctg^^-acctS-2+abctg1- = 4Rp-(- + T^---'j.
(b 4- c) tg у 4- (« + c) tg + (a 4- b) tg =
— 4R (cos A --4 cos В 4~ cos C).
t. A о • В . С
ha cos у- -- 2p sin у sin у.
h„ : hh : /L = ™ : 4- • ~ = cosec A : cosec В : cosec C.
a t> l abc
q sin A 4~ b sin В 4~ c sin C = 2 (ha cos A 4~ hb cos В 4~ hc cos C).
hb hbhc \
hc h2 I
cos А —
119.
. А
sinT =
120.
---ГДе <X2=hcha,
а3 — hahb и 2Р = hbhc 4~ bcha 4~ hahb.
А
COSy =
Р(Р-Ч)
а2а3
(см. предыдущую задачу).
121
cos Л —
122.
ctg Л —
4т2а — а2
4Ьс
4т2а — az
“8s
123.
1а
1а
tg
C—B
2
(С > В).
124.
А
COS у
la
125.
а —
COS
ba__
B—C
2
В
COS ~9- <
2s
~ B — C
cos у
17~
l+l + 2
a i b ' c
a cos
2bc cos
126.
С
2s
C—B “ . C—B
sin —Г)— a sin -
hq
2
2s
A
(b Ч- c) sin у
n В . c
2p sin у sin у
„ B_c .
cos у cos —2 —
___ 2s ___
А ~
(c — b) cos у
СЛ В С
2р sin -у sin у
л t с-в «Х»-
cos у sin —2—
2
24 П. С. Моденов
ОА • А
2bc sin у
с — b
370
127.
128.
129.
130.
131.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
147.
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
ВС . А , С А ,В
a sin -g-sin у о sin sin у c sin у sin у
r = _ = _ = _ .
COS -y cos cos -y
Г = (/> — «) tg у = (jP — *) tg у = (/? — t) tg у.
ha sin ~
Г=~ В C~'
2 cos у cos -g-
, A t В t C
r = />tgy tgy tgy .
r2 = *tgy tgytgy.
r = ^R sin у sin у sin у.
В C . А С з A В
a cos cos b sin cos c sin cos
4^ 4^ 4^
Га = j = В ~C
COS Sin у Sin у
'a=ptg-g- = (/> —*)ctgy = (p — C)ctgy.
____ s
ra p — a
. А В C
ra —------В-----C~ ~ sin ~2 Cos ~2 C0S ~2
2 sin у sin у
, A . В , C , A , В . C
r ctg у Ctg-J ctg -g- = ra ctg 1- = rbctg-s- = rc Ctg g-.
r2a=^sig^-ctg~ctg^.
Rr = - А в c~ •
4 cos у cos у cos у
rra = s tg Y = (p—b) (p — c).
c
rarb =sctg-^- = p(p — c).
ra — r = о tg у = 4R sin2 у.
(ra — r) (rb — r) (rc — r) = sin2 у : sin2 у : sin2 ~.
ra — rb = (a — b) ctg у = 4R sin Л~ - cos у.
ra + rb = cctgy = 4/?cos2y .
(rb + rc): (rc -j- ra): (ra + rt) = cos2 у: cos2 у : cos2 у.
r -\-ra-\-rb — rc — 4R cosC.
§ 2. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
371
148. (гаЛ~гЬ~\~гс — г) '• (— га~1ГгЬ~1Ггс~1Гг) • (га — ГЬ + г< + г) (/а Н~ + гь — rc-\-r)= 1 : cos А : cos В : cos С.
149. гга , о А __ |сг2 г ь? с. 2
150. га + ГЬ + гс , 2 А . , В . , С — fp-2 1 1 fg2 rarb + rbrc + rcra b 2 ^ => 2 T ° 2 . В . C ha — 2r hn
151. fp- — fp- _ — ±L_ — g 2 Tg 2 ha - 2ra + ha-
152. I. A 1 * B 1 i CV <ra + ГЬ + Г,)3 1 for 1— tc -1— —- 1 — —v„“—! и—‘ LZ \s2'b2^&2/ rarb + rbrc + rcra ‘
153. a ctg A b ctg В 4~ c ctg C — 2 (/? -f~ r).
154. (р — a)2 sin А 4~ (р — £)2 sin В 4~ (р — с)2 sin С =
— 4r (2R — г) cos cos -j- cos ~~.
§ 2. Решение треугольников
Решить прямоугольный треугольник no следующим данным
угол):
1. R, b — = m. 7. с, Р-
a 8. с, г.
2. e, s ^ = rn- 9. с, S,
r 10. с,
3. r.. — = 2m — 1. к 11.
ct
4. s, b2 — 2ac. 12. с» b — a~k.
5. mc. тв —- = m. 13. st 1с-
6. c, hc. 14. hc. S.
(С — прямой
Найти углы прямоугольного треугольника по следующим данным:
15. 2р -±-:=т. с 20. С he~m'
16. _L —± 2р т ’ 21. ТГ = т- hc
17. S -^=т- 22. гс
18. ^1==т- 23. г — = т. гс
19. с _1_ г т*
Решить произвольный треугольник по следующим данным:
24. А, В, С, R. 30. А, В, С, р — а.
25. А, В, С, ha. 31. А, В, С, 1а.
26. А, В, С, s. 32. А, В, С, Га (Ь > с).
27. А, В, С, a-\-b = k. 1111
28. А, В, С, а — b = k. 33. .4. В, С. - +-4-+ £---=Г.
29. А, В, С, р. 34. Л. S, С, иа.
24*
372
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
35. А, В, С. h^rlib. 68. а, В, та.
36. А, В, С, 69. а, В, ть.
37. А, В. С, г. 70. а, В, тс.
38. А, В, с, га. 71. а, В, R.
39. А, В. С, fa'Jrrb~Jrrc- 72. а, В, гь.
40. Д, В, С, ± + ±+'-,Л. 73. а, В, rb-\-rc-=R.
г а ГЬ 1 с, 74. а, В, 1
41. А, В. а.
h 75. а, В, 1ь,
42. А, а, с ‘ 76. а, В, т2— т2 — ^2.
43. А, Ь. а 77. a. A, ha.
Ь — а 78. a, А, 2р.
44. А, а, с 79. а, А, Ь2— с2 k2.
45. А, а, hh 1. • 80. a, A, b2-±c'^kK
fte 81. a, A, b(b — c)==k2.
h — С
46. А, а, — h а 82. a, A, hb-\-hc — k.
47. А, г, S — = т. ас 83. а, А, -у ~ = /г
г 4- г, 84. а, А, т„.
48. а, С, = т.
гь + гс 85. а, А, ть.
49. а, А, hb *4~ hc —-1—~ = tn. ha 86. а, Д, 1а.
т l 1 87. а, А, г.
50. А, та -l- = v ”-т- 88. а, А, га.
51. A, $, r. + r. + r, д4д + . 89. а. А, гь.
Ь h 90. а, ra-A-rl>^=k.
52. а. --- с = т, — f’b 91. а> А< ra — rb ^k.
53. R. ab : ас : Ьс — т : п :
54. а, b. A — B~2k.
55. а, Ь. sin С : sin А “ k.
56. а, Ь, cos А : cos В — т.
57. а. Ь, '‘а-
58. а, Ь, hc.
59. а, Ь, s.
60. а, Ь. R.
61. а, Ь, le.
62. а, Ь, m,.
63. а, Ъ, ra — 3r.
64. «, Ь, rrarbrc~~ Z<4-
65. а, Ь, 1 i 1 ra rb
6Р. а. В, ha-
67. а. В, b~\-c = k. -
92. hb< A.
93. ha, hb, A — B=-.2k.
94. ha, hb, hc.
95. h,;, hb, r.
96. /!a’ hb< ra — rb^k.
97. ha- llb- Ca^m-
98. ha> hb<
99. ha, h„. mc.
100. ha, hb, mn.
101. mn, mb,
102. ma, mb. .4.
103. ma, mb, C.
104. ma- ть- Гг“- 3- . ' b
105. a> ha» b -|-c ~ k.
§ 2. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
373
106. a, ha, В — С — k. 107. я, ha, -j- д rLb '^с 108. a, ha, г. 109. a, ha, га. ПО. fl, ha. гс. 111. й, ha, rb-\-rc = k. 112. a, ha, rb — rc = k. 113. й. ha, rbrc = k2. 114. a, ma, b-}-c = k. 145. A, mb, rb-~rc ^k. 146. A, la, b-}-c — k. 147. A, la, b — c — k. 148. A, la, p. 149. A, la, r. 150. A, s, R. 151. A, s, p. 152. Л, s, p — b = k. 153. A, r, -7—|—r— = tn. hb hc 154. A, r, ra.
115. й, ma, p. 116. fl, ma, s. 117. a, mb, b-\-c = k. 118. fl, mb, s. , 119. fl, la, b-\-c. 120. fl, la, b — c = k. 121. fl, la, be = k2. 122. fl, la> s- 123. a, la, B — C —2k. 124. a, la, R. 125. fl, la, rb-\-rc — k. 126. a, lb, b-\-c = k. 127. fl, lb, b— c = k. 128. fl, lb, p. 129. fl, lb, 2C4-B —2&. 130. a, r, B — C = 2k. 155. A, r, rb. 156. A, r, - = nt. Гь rc 157. A, ra, b — c = k. 158. A, ra, a — b — k. 159. A, ra, hb — hc=^k. 160. Л. r.. = 161. A, rb, b-\-c — k. 162. A, rb, a-\-c = k. 163. At гb, ci-^b^^k. 164. A, rb, a — b = k. 165. A, rb, p — b — k. 166. A. rb, bc=^k2. 167. ha, la, b + c. 168. ha, la, p.
131. «, r, s. 132. A, ha, ma. 133. A, ha, b-\-c — k. 134. A, ha, b — c — k. 135. A, ha, p. 136. A, ha, hb + hc-^k 137. A, ha, hbhc = k2. 138. A, ha, r. 139. A, ha, ra. 140. A, ma, b-±-c — k. 141. A, ma, b2— c2 — k2. 142. A, ma, p. 143. A, ma, hbAr-hc = k. 144. A, ma, r. 169. ha, la, ma. 170. ha, la, r. 171. ha, ra, la. 172. ha, la, rb + 'rc = k. 173. ha, la, rb rc k. 174. ha, la, 175. ma, b-\-c = k, hb — hc = q. 176t ma, b + c = k, rb-+-rc = q. 177. ma, b-j-c = k, hb-\-hc = q. 178. ma, bc — q2, rb — rc — q. 179. ma, bc = q2, — rc 180. ma, ^ = m, rb+rc = k.
374
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
181. та, - = т, rbrc — k2. 196, ЬХг 197« 182. R, г, А±-^ = т. а 198. 183-* Г’^ = т- 199. 184. R, г, а — b = k. 2оо 185. га, R, 6 с = k. 201 186. R, га, ^- — т. 202. 187. г, ra, b-[-c = k. 203. 188. г, га, b — c = k. 204. 189. г, га, В -С = 2k. 205. 190. г, ra, гь. 206. 191. г, ra, hb-\-hc — k. 207. 192. ra, rb, rc. 193. ra, rb, ha. 208’ 194. ra. rb, a2 + b2 = k2. 209. 195. ra. rb, A — B = 2k. 210. ra> rb> ha — hb = k. R, ha, р. ha, ~ = R. ha, b*+.& = &. p, ha, B — C=2k. P. ha, rb + rc = k. p — c = q, ha, R. s, P. rb + rc = k. a^b = k, hc, r. a + b = k, hc, ra-\-rb = q. a — b=kt hc, r. ho rc- ha + hb = k. 1 a hc‘ Ге> ~ьг=т- hc. rc, ra — rb = k. hc- re> hb — ha — k.
Решить, не применяя таблиц, следующие задачи:
211. m2b — т2 = |а2/3, В=15°. Найти другие углы.
212. йа = 8, hb = Q, тс = 5. 213. Аа = 3/3, йд = 4/3. даа = 2/7. Определить угол С. Определить угол С.
214. а = 3, ma=2, Л|Н-Л? = 4- Определить sin4.
21S. Л=36-. *0 = Г5 + 1. + = Найти углы В и С.
216.0 — 6=1, Ас = 2, Л = 30°. Определить sin В.
00 |сч 11^ II •О) 1 сч Определить углы.
218. о = /б, 6=1, 1с=^~. Определить угол С.
219. В=18°, о = /54-1, 1с=у=г.' Определить угол С.
220. о = 3, 64-с = 9, 1ь = ^_. Определить угол С.
221. Аа = /з', /а = 2, В — Д=15°. 222. Ьс = 5, Za = 2, йа= -7Д-. Определить углы. Определить угол А.
223. s = 8, 6а = 3, /а = 4. 224. Аа = 2, /а = /ТТ, 6 = 2с. 225. Aa = /acos40°, 2hb = a. 226. йа = 4, Za = 5, 3(6 + f) = 8(64-6i). Определить sin (В — С) и Определить tg Л. Определить углы. Определить угол А.
227. о = 6, г= 1, cos В = 4» 5 Определить sin С.
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
375
228. А= 108°, Л = У5 , г=1. 4 229. cos А = , а — с==2, г—1. о 230. .4 = 60’. ,1+±+±.„2.. г = 3. 231. г=1, р — с = УУ Я = 2]/Т. Определить углы. Определить tgC. Определить углы. Определить cos (Л — В).
232. = « = |,^ = 2. Определить угол С.
233. га — rb~2, а —7, # = 5. Определить угол С.
234. г — 1, га — У 2 , а — 1. Определить угол А.
235. гв = уТГ-Н, г^г-УЗ— 1, .4=60°. Определить углы.
236. ha = la sin IT, rbrc — 3rra. Определить углы.
237. /? —4, г— Уб, =6—Уб. Определить угол С.
238. Я=1, га=1-|-Хр, А — 5 = 60°. Определить углы.
239. Вычислить тангенсы углов треугольника, если
Г : Га : rb = 1 : 2 : 3.
240. Вычислить тангенсы углов треугольника, если г = 2, га = 3, hb = 5
241. г = 1. ra = 2, = г с * Определить угол С.
242. Я = 8. Л4=2/5_— 3, ^ = /5—1. Определить угол А.
3 5 243. р— 3, cos 4 = у, гв-|-гй=2-. Определить углы.
244. га = 1. р = 3, | = J. Определить углы.
245. sin 4 = 0,96; 5=18°; а = 1,44 (У5* + 0- Определить Ь.
246. <? + # = ^2^* , 4=132°, 5=12°. Определить с.
247. р — Уз , sin -у = ~ cos у, С = 60°. Определить а.
248. sin 4 =sin В = , 5а -j- 13# -|- 65с -- О 1о -320.
Определить a, b и с. 249. 4 = 30°, # = 3]/зГ, a-^c = 3hb. Определить а и с.
250. а = УУ, #=1,4 —В =45°. Определить с.
251. #=13, я =12, 13 cos 4 = 20 cos В. Определить с.
252. s = 4, # —с = 3, 4 = 90°. Определить а, b и с.
„го о 9 3/15 253. а —2, Р = 2 , s= 4 Определить b и с.
254. # = /?, а = 25, #„ = 3. Определить R.
255. а = У5~, ha=^-^, b=2c. у 5 Определить b и с.
256. 4= 18°, Лв = 2(]/‘5'— 1), #с = 8/2'. Определить а.
376
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
257. sin А ~ , ha = ^, 1Г-+с"-= 15.
О “ 4
258. А 30’, hb 4- hc = , s = |.
259. hahb = У5~ — 1, С = 18’.
260. ha = 1. р —3, s= 1.
261. р — а = 2, ha = 1. s-= 1.
262. 5 — 1, ha ~ р — с = 1.
263. 4 = 60’, тА = 8, b-±c^aV'Z.
з
264. та = 3, s-~3.
265. а = ]/[4, та = 3, Ьс = 12.
266. ma = 4, ha — 3, 4 = 45°.
267. Ь-}-с~ 5, та — Уб,65, cos 4= у.
268. tg4 = |, ^4-c2 = 25, ота = У11,05 .
269. 4 = 60’, р = 10, та=2УТГ.
1Л46 а
270. ь+ с = 7, та = -ЦА b — с = “ .
271. &-4-с = 7, ma = 3, $ = 3,25.
272. В = 18°, С = 54°, I = Х3±.У£ •
V 5 + /5
273. а—~, 1ь — 4, «4-с = 3/>.
274. А±= 120’, Ь-{-с — 5, 1а=~.
а о
275. А = 60’, Ь — с=1, /о = б/0Д2.
276. cos А — у, la — ]/~-3 , р — 3.
277. $=бУб, й4-£=И, г=|У(Г.
278. а = 4, г = 1, Ь — с 2.
279. г = УТ, /? = 2УУ /? = с = 2а.
280. А ==40’, IA — cfi=ac, гс^--\'3.
281. .4 = 60’, га = У'З', b -j- с = 4.
282. ctgА = з, =
283. sin .4 = =, гй = 6, —с= 1.
О 0
284. /?==2,га = Уз’Н-1, Ь 4- с = а У з".
285. re= 1, /? = 4> bc= 1.
286. га = 2, /?=|, Ла = |.
Определить стороны.
Определить b и с.
Определить s.
Определить стороны.
Определить стороны.
Определить стороны и угол А.
Определить стороны.
Определить а.
Определить b и с.
Определить а и Ь,
Определить стороны.
Определить стороны.
Определить а.
Определить стороны.
Определить стороны и угол А.
Определить Ь,
Определить
Определить
Определить
Определить
сторону с.
стороны.
стороны.
а.
Определить стороны.
Определить /у с и угол В.
Определить углы и стороны.
Определить периметр.
Определить стороны.
Определить стороны.
Определить а.
Определить углы и стороны.
Определить угол А и стороны.
Определить а и А.
§ 2. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
377
287. =х 3, р=4, /'^ = 2. Определить стороны.
288. р=5, s = 4, га =-2. Определить стороны.
239. s=6, р— а~~ 1, г^ = 3. Определить стороны.
290. р^= 16,5; гг- -9, гь -Ь~-. Определить b и с.
291. 5 р = 5, 67 = 4, га = ^-. Определить ь.
292. rfl = p = 6, hb-\-hc — 7. Определить стороны.
293. = 41/^5 , /?= 12, Ьс = 56. Определить стороны.
294. 13 9 cosecЛ=Т;у, г—г~~г. Определить 12 й о а.
295. 5 4 = 15, sin С =--у, cos В =-у. Определить а.
296. т/ = 6, b—7, rbrc—-\Q. Определить с.
297. а = 15, rb 4~ гс = 5. Определить cos А.
298. О / 18 24 ГА а = 2, h/t = - -- , rh — /* = —- . Определить 6 о г b и с.
299. Л = 60э, r.4-гс = У'6 . Определить стороны
300. з tg Л =~4-, Гь — 6, rarc — rrb. Определить стороны.
301. г = 1, А? = 3, rb-{-rc = Q. Определить стороны и угол Д.
1 3 задачах 302—325 требуется определить стороны треугольника
302. р = 6, га = 2, г = 1.
303. г =4, гд = 9, с = “. а 5
304. г = 3, га = 4, /Л 4-с2 =1201.
305. г -- 1, га = 2, р — с = 1.
306. га = 3, /^ = 10, я 4-6?= 18.
307. 114, гй = 57,
308. га = 8, rd = 3, а b = 5с.
309. ra = 6, г6 = 3, б72+^2 = 41.
310. Г —54, >7, = 24, гс — 4г.
311. 3 ,Л'3“ 5 ,/"Т 1 5 ’ гь - -:V 5’ Р~с-2‘
312. R -= -| /3 , р 3, г у га.
313. р — а=^\, ha^2A\
314. р —а = 5, Ла=12, rb — rc=^5.
315. р — а = 2, 13/7^ = 60, rbrc = 30.
316. 9 г а— г = 8, р —67 = 8, =
317. р- 77=1, Га^-^Г.
378 Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
318. p — c=12, ha=3]/r3, rb — 3rc.
319. ha=12, p — c — 8, rra = 25f).
320. р=Ь, s = -|-/5, rarb=5.
321. s—6, a 4-^ — 8, rarb=12. '-’4 -
322.
323. $=6)^6, a — b=l, rarb~36.
324. 5=12, a —b = 3, ra—4rb.
325. A = 2 arctg i, /z= 5, rbrc = 10.
326. 2 3 r = -j, ra = y, rbrc=3. Определить а и A.
327. ha—\, p—3, rb-j-re — ~-. Определить стороны и A.
328. a= 15, p=20, rb — rc — 15. Определить b и c.
329. p—6, a =4, rb—3rc. Определить b и c.
330. a — b—l, hc—\, гь-\-гс = 3. Определить стороны и углы.
§ 3. Задачи по планиметрии с применением тригонометрии
1. Вычислить площадь треугольника, вершины которого находятся в точках
пересечения биссектрис внутренних углов данного треугольника (со сторо-
нами а, Ь, с) с противоположными сторонами.
2. Найти произведение отрезков гипотенузы прямоугольного треугольника, на
которые ее делит биссектриса прямого угла. Даны катеты а и Ь.
3. Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Ц
а описанную окружность — в точке L. Доказать, что
DL — _______... .
2 (Ь 4- с) cos
4. Биссектрисы внутренних углов треугольника АВС пересекают описанную
окружность в точках Л, N. Доказать, что
пл. —
5. Доказать, что если Elt Е2, Е3— точки, в которых вписанная в треугольник
АВС окружность касается его сторон ВС, СА и АВ, то
АЕ2 — АЕ3 — р— a — R (sin В sin С — sin Д),
BEt — ВЕ3 — р — b — R (sin А — sin В sin С),
СЕХ — СЕ2 = р — c~R (sin А 4- sin В — sin С).
6. Доказать, что если Е'а, F'b, F'c—точки, в которых вневписанная окруж-
ность касается стороны ВС и продолжения сторон АВ и АС, то AFb —
= AF'b =р, BF'c = BF'a ^р-с, CF'b ^CF’a=p-b.
§ 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ 379
Аналогично, если F"a, F'b, F"c и F"', F"', F'" — точки касания соответствую-
щих вневписанных окружностей к сторонам АС и АВ и продолжениям других
сторон, то
BF"a = BF" = CF'" = CF'" = р, CF"a = BF'"— CF"b —BF'" ~ р —a, AF'" =
= AF'" = p — b, AF"c = AF" — p - c.
7. F'Fc=F'aF''a=^ = FbF? = F''cF'c=“-
8. = = F'bE2 = F'cE3 = a.
9. E1Fra = b—ct E2F"b~c—a, EJF"' — b— a (b^>c^>a\
10. F7;3 = F^ = а. F& = F^ = b. F'^ = F"'E2 = c.
11, Доказать, что радиусы вневписанных окружностей суть корни каждого из
следующих уравнений:
X3 — Р (tg 4 + 4 +tg 4) %2 + ~ 7 = °’
sx3 4- р (—— ----р2^ х2 4~ p2sx — s2p — 0,
(x2 + p2)(x — r) = 4Rx2.
12. Доказать, что стороны треугольника суть корни уравнения
х3 — 2рх2 4~ (г2 4~р2 4- 4RF) х — 4Rrp = 0.
13. Доказать, что если О — центр вписанной окружности, то
а) О А • ОВ • ОС= 4Rr2-,
б) a-OA2 + b-OB2 + c-OC2==abc.
14. Доказать, что если О1— центр вневписанной окружности, касающейся
стороны ВС, то
OlA‘OlB‘OiC=4Rr2a.
15. Доказать, что если Olt О2, О3— центры вневписанных окружностей,
а О — центр вписанной окружности, то
' . ОА . ОВ . ОС _ .
а) OjA "г- О1В "г- О1С “ 1;
б) ООХ • ОО2-ОО3= 16/?2г;
в) 001:: 003 — sin -ф : sin 4 '• sin у •
г) OiO2=4/?cos-4;
д) OtO2: OtO3: О2О3 = cos 4 : cos 41 cos 41
e) OOi" O2O3 = 4aR;
ж) OO1:O2O3 = —— =
> \ 2 A p---a p
3) 00?4- O.,O2 = 0014-OX)2 = 003 + 0 0? 16£2.
И)
к) ОА+ед+ОА^^^+'-.+'-Л
16. Доказать, что если 001 = 002. то треугольник равнобедренный.
17. Доказать, что расстояние от центра описанного круга до центра вне-
вписанного равно ]^/?2 + 2/?га.
380 Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
18. Доказать, что сумма квадратов расстояний от центра описанной окружи
ности до четырех центров О, О15 О2> вписанной и вневписанных окруж-
ностей равна 12Z?2.
19. Доказать, что расстояния от центра описанной окружности до сторон
равны AfcosM, RcosB и R cos С.
20. Доказать, что
tg (OO^Oj) = 2 (a„in g ,
& v 17 2 cos A — 1 \
где О — центр вписанной окружности, О' — центр описанной, а С\ — центр
вневписанной окружности.
21. Доказать следующие соотношения:
а) О'Н2 = 9R2 — а2 — b2 — с2 = R2 (1 — 8 cos A cos В cos С);
б) О'Н2 = НА2~А-НВ2-^НС2 — З/?2,
где Н—ортоцентр, а О' —центр описанной окружности.
Доказать теоремы (22—28), относящиеся к центрам О, Ох, О2, О3 вписан-
ной и вневписанных окружностей:
ллхг л и Е “И О С А А В
22. Углы равны-------------.
23. Радиус окружности, описанной вокруг треугольника равен 2R.
24. Площадь треугольника OYO2O3 равна
о о ) Л А- В С р. г-* ab с
8/?2 cos -£ cos -у cos = 2Rp — .
25. — =l + -r-L7^------1-----|~г--Ь—г4------•
s 1 b + с — a ' a — b A~ c &A- b — c
26. пл. Д OO1O2 = 8/?2sin Asin^cos^ = — c)=;—
27. пл. ДООДгпл. Д ОО^з: пл. Д ОО2О3: пл. f\°fi2O3 =
= (Р — с): (р — b): (р — а): р rc : гь : га : г.
28. Площадь четырехугольника ОВСОГ равна
Д (г 4- г.а)
2
Вершины треугольника ЕХЕ2Е3 (задачи 29—36) находятся в точках касания
окружности, вписанной в треугольник АВС к его сторонам. Обозначим через Ev
^2, Е3 углы треугольника E^JE^ через а2, а3— его стороны, через R' и
— радиусы описанной и вписанной окружностей, через Е — площадь.
Доказать следующие соотношения (задачи 29—36):
9Q R_____ р ___ r' Е р ______ ~ — С
м 2 ’ -— 2 ’ Ез — —2—*
30. R' = г.
31. a! = 2rcosA —2(р —a)sin-^-.
32. F— 2s sinsin —sin.
2p sin A sin -S- sin 4
33. r' f____2 2
cos -g-H- cos -g- COS -g-
§ 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
381
34.
35.
36.
2 г
ауа2а2 ~ •
а}а2а:} г2
abc 2R2
F_ г
's 2R ‘
37. Доказать, что если st, s2,. s3— площади, отсекаемые от треугольника АВС
касательными к вписанной окружности и соответственно параллельные
сторонам треугольника, то
s,: : s3: s = (р — а)-: (р — /?)2 (Р — <02 Р2-
38. Доказать, что если р,, р2. р3 — отрезки этих касательных (см. № 37),
заключенные между сторонами треугольника, то
а b ’ с ““
Обозначим (задачи 39—57) через Лр Въ Сх — основания высот остро-
угольного треугольника АВС; через kr, k2, стороны треугольника Л^Ср
через Rh — радиус окружности, описанной вокруг треугольника Л^^; через р,
Pi, р2’ 2з — радиусы вписанной и вневписанных окружностей для треугольника
А1В1С1. Через Н обозначим ортоцентр треугольника АВС; отрезки НА, НВ и
НС обозначим через h'a, h'b, hfc и, наконец, периметр треугольника А^В^С^ обо-
значим через 2рР
Доказать, что:
39. Треугольники АВ£Х, ВА{С^, САХВХ подобны треугольнику АВС, причем
АС1 Л « г ч
——- =- — — ~---~ — cos Л; следовательно, всякий линейный элемент
abc'
треугольника АВ1С1 равен соответственному элементу треугольника АВС,
умноженному на cos Л.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
k, = /?5ш2Л, k2^ /?sin2B, /?3—/?sin2C.
Л1=^180^— 2Л, В^ 180°— 2В, 6^—180° — 2С.
r^2r.
р = 2R cos Л cos В cos С, рг = 2R cos Л sin В sin С,
рх -j- р — 2R cos Л cos (В — С), рх — р = 2 R cos2 Л.
Р1 -j- р2 2R sin2 С, рх — р2 — 2R sin С sin (В — Л).
2pt — 4R sin Л sin В sin С.
р =- ,Д ctg A ctg В ctg С, Pi = р, ctg А.
hah'a llbll'b hch'c QD
Pl p2 Рз
пл. /\ AC1Bi ~ s cos2 Л.
пл. /\ A1BlC1 — s (1 — cos2 A — cos2 В — cos2 C)
— 2s cos A cos В cos C ~ R~ sin 2Л sin 2B sin 2C
о • Л] . B-[ , C]
~ 2s sin sin —y- sin -4 •
382
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ j
Высоты треугольника АВС суть биссектрисы углов треугольника A1BlCi ’
и, следовательно, ортоцентр Н треугольника АВС совпадает с центром >
окружности, вписанной в треугольник AtBfiv ’
*1 . *2 > __ л2 + й2 Н с2
-г Ь2 т сч — 2аЬс ' . '
= ACt • ВАг • СВ, = ABi • ВС,. CAt. j
Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС, НАВ, НВС !
и НСА равны между собой.
Доказать, что окружность, описанная вокруг треугольника проходит
через середины А', А", А!" сторон ВС, СА и АВ. Радиус этой окруж- ;
R ?
ности равен -g~.
Доказать, что та же окружность (Л^С^ проходит через середины отрез-
ков НА, НВ и НС.
Доказать, что центр О9 окружности (О0) девяти точек (т. е. окружности, ;
проходящей через основания высот, середины сторон и через середины ;
отрезков НА, НВ и НС) отстоит от сторон на расстояниях
-l/?cos(B — С), -1 R cos (С — A), ±Rcos(A — B). !
Расстояния от О9 до высот равны
~R sin (В — С), -1 В sin (С — Л), 1 R sin (Д — В).
Доказать, что окружность, описанная вокруг треугольника АВС, есть
окружность девяти точек для треугольника ОкО2О3,
Доказать следующие соотношения:
о
а) ДОд = — (1 + 8 sin В sin С cos Л);
б) ДО|4-ЯО9 4-СО9 = -^(11 4-8 cos ZcosBcosC).
Даны а, Ь, А, причем а < b («сомнительный» случай решения треуголь-
ников). Обозначим через Ci большее, а через с2—меньшее значения третьей
стороны.
Доказать, что (задачи 62—66):
ci — с2— 2а cos В, e1-j~c2— 26 cos Л.
cj + с22 — 2схс2 cos 2 А — 4а2 cos2 А,
*1 + <?2 = ctg А
сг — с2 ctg В *
Ci и с2 — корни уравнения
х2 — 2bx cos А 4- Ь2 — а2 0.
Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АСВХ и АСВ2,
равны между собой.
Доказать, что в каждом
ный (задачи 67—73):
из следующих случаев треугольник равнобедрен-
c. D sin Л
2 COS В
sin С
а = 26 cos С.
• § 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ 383
69. а — 2b sin .
70. a tg А 4- b tg В = (а 4- b) tg -А-^ В .
71. (р — b) ctg ~ = р tg ~.
72. .А ~ В .В .А Sin у COS3 у = Sin COS3 у .
73. cosec В ctg В — , & /4а2 —с2
74. Доказать, что если 3/? —4г, то 7 cos А 4- cos В -j- cos С = -j .
75. Доказать, что если А 1 ,/" № + с2 COS2=2 1/-^-> то а2 = 2Ьс.
76. Доказать, что если (Ь 4- с 4~ я) + с — и) З^с, то 4 = 60°.
77. Доказать, что если В — 45°, то (14-ctgX)(14-ctgC) = 2.
78. Доказать, что если А = 60°, то прямая, соединяющая точку пересечения высот с центром описанной окружности, образует со сторонами АВ и АС равные углы.
79. Основание треугольника разделено на три равные части и точки деления соединены с вершиной. Доказать, что если /х, /3 — углы, противо- лежащие отрезкам деления, то (ctg 4 4- ctg 4) (ctg 4 4- ctg 4) == 4 (14- ctg2 4).
80. В сектор радиуса R вписана окружность, радиус которой равен г. Хорда сектора равна 2с. Доказать, что 1=1+1 r R^ с "
81. В вершинах треугольника проведены касательные к описанной окружности. Доказать, что углы треугольника, образованного этими касательными, будут: т: — 2А, тг — 2В, тс — 2С, а стороны а b с 2 cos В cos С * 2 cos С cos А ’ 2 cos A cos В *
82. На полуокружности взята точка Р. Вписано две окружности: одна касается диаметра и окружности в середине дуги ВР, а другая — диаметра и окруж- ности в середине М дуги СР. Доказать, что радиусы этих окружностей равны: ас аЪ 2 (а 4- с) 11 2 (а -}- Ь) ' где а, с — гипотенуза и катеты треугольника ВРС.
83. Вершина А прямого угла соединена с серединой О' гипотенузы. Доказать, что квадрат расстояния между центрами окружностей, вписанных в тре- угольники АВО' и АСО', равен (2 — sin 2С) (1 4- sin С) (1 + cos С) *
384 Тригонометрия. Гл. XXX, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
84. Окружности радиусов и R2 пересекаются под углом С. Доказать, что
длина их общей хорды равна
sin С
V с
Окружности (ОД, (О2), (Оз), радиусы которых Rv, R2, R3, касаются попарно
внешне друг друга в точках Р, N и М.
85. Доказать, что (задачи 85-87):
/_L+_LWJ_4.JLW_L+.±\ = JL,'
\ Я1 #2 / \ #2 #3 / \ #3 Я1 / abc
86. Общие касательные пересекаются в одной точке, расстояние которой до
каждой из точек касания равно
R1R2R3
Ri + R2 + R3
87. Если R^ = R2 = R3 = R, то площадь, ограниченная дугами Л4Л\ МР и NP,
равна (уз — ^R2-
88. Iе. Доказать, что радиус х окружности (К), касающейся сторон угла А
треугольника АВС и внешне касающейся описанной окружности, опре-
деляется одной из формул
лп . А . В , С
4R sin sin sin -g-
ГТ”
cos2 -g-
4Rra
Гь + гс
, А о А
ptg-y sec*y
bes
Р(Р — а)2 '
2°. Если Вх и Сг суть точки прикосновения к сторонам утла А, то сере-
дина хорды есть центр вневписанной окружности треуголь-
ника АВС.
3°. Если В2 и С2 суть точки, в которых сторон угла касается окружность,
имеющая с описанной вокруг треугольника окружностью внутреннее
касание, то середина О2 хорды В2С2 есть центр окружности, вписанной
в треугольник АВС.
4°, Если у и z суть радиусы двух окружностей, касающихся также внешне
описанной окружности (вокруг треугольника АВС) и сторон углов В и
С, то
1 , 1 . 1 2R — r
X ~г у “Г z 2Rr
б) 32R3 — 2R (ху -\~yz 4- zx) — xyz ~ О
89. Пусть О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, a Rp /?2, /?3 —
радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников ВОС, СОА и АОВ.
Доказать, что
R\RIRI = R^AO - ВО - СО.
90. Пусть Of—центр окружности, описанной вокруг треугольника ABC, a R},
R2, R3 — радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников ВОГС,
АО'С и АО'В. Доказать, что:
. а . b . с _______ abc
а)ТГ"*" + 'R7~~R3~’>
б) R,R2R3 - I abc tg (453 - A) tg tg (453 - - J) •
§ 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
385
91. Пусть Н—ортоцентр треугольника АВС. Доказать, что АН, ВН и СН —
корни уравнения
х3 — 2 (7? + г) х2 + (г2 Н~р2 — 47?2) х — 87?3 cos A cos В cos С = 0.
92. Высоты треугольника АВС продолжены до пересечения с описанной окруж-
ностью в точках Мх, М2 и Л43. Доказать, что
1°. пл. Д = 8s cos A cos В cos С.
2°. АМХ sin А -|- ВМ2 sin В СМ3 sin С — 87? sin A sin В sin С.
93. Доказать, что если г', г", ггп — радиусы окружностей, описанных вокруг
треугольников ОХВС, О2АС и О3АВ, то r'r”rf" = 2R2r (Ор О2, О3— центры
вневписанных окружностей).
94. Доказать, ,то 00‘' °'°; + °°’' =
U1C/2
ОС?2 ’ ^1^2 “1“ ССз * О3О1 /О м.
=------— gg—-——, где О, Ор О2 и О3 — центры вписанной и вне-
вписанных окружностей в треугольнике.
95. Доказать, что если а и Ь— стороны параллелограмма (а > b), t — меньший
угол, х — большая диагональ, у — меньшая диагональ, tx— меньший из уг-
лов, образуемых диагоналями, то:
1°. x2 — a2-^b2-\-2abcQst',
2°. у2 = а2 4- Ь2 — 2abcx)stx,
3°. 4а2 —x24-y24“2xj/cos/i;
4°. 4Ь2-х2~\-у2 — 2xyQost\
5°. sin / : 5шЛ=— —;
1 ху ’
6°. cosbcostx = (* + УП*-У^Ь)(а-Ь) .
70 4 sin t е
‘ ' а2—Ь2 ’
8°.
& X2 — у2
9°. s = ^y(2а-\-х 4~.У)(2Я"|-х — j/)(2a— *+.У)(х + .У— 2а) •
4abxy
95. Обозначим в трапеции большее основание АВ через а, боковую сто-
рону ВС — через Ь, меньшее основание CD — через с, боковую сторону DA —
через d, диагональ АС — через g, диагональ BD — через /, точку пересечения
диагоналей—через О и /_AOD — через /. Доказать, что:
1°. /2_[_g2==:Z?2_|_^2_[_26Zf;
2°. f2-g2 = ^-(b-\-d)(b~d);
3°. f2 — ас — bd 4- + ;
4°. g^ac-bd-T (ad~ feL(.-+A;
a . 1 /7 - C. 1
_ a2-\-c2—b2 — d2 __ (a + c)2 —СЛ + .у2) .
— 2/g — ’
rr.Q t _ 1 •,/ (« + «+/—£) («+ «—/+£)
• CO82"2 Г Tg
25 П. С. Моденов
386
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
97. Принимая обозначения предыдущей задачи для произвольного четырех-
угольника (АВ —a, BC = b, CD = c, DA — d, AC — g, BD — f, угол
между диагоналями /); доказать, что:
1°. а24-£2 — 2accos(a, c) = />2-|-d2 — 2Mcos(6, d);
2°. fg cos t = ac cos (a, c) — bd cos (b, d) = ±(a2— b2-j-c2— d2J;
3°. 2accos(a, c) = f2-{-g2— b2 — d2\
4°. 4p2 = /24-£2 — 2fgcost = f2 + g2 + b2 + d2 — a2 — c2 =
— b2-j-d2^-2bdcos(b, d),
где p — отрезок, соединяющий середины сторон а и с.
5°. $= jfgsint.
6°. S = | ]/ 4f2g2 — (а2 — Z>2 -р С2 _ rf2)2.
7°. s = pq sin (р, q), где q — отрезок, соединяющий середины сторон b и d.
8°. s = | (g2 _ /2) tg (р, q).
98. Обозначим через a, b, с, d стороны АВ, ВС, CD и DA вписанного четы-
рехугольника, через dr и d2— его диагонали АС и BD, через s — пло-
щадь, через t — угол между диагоналями и через 2р — периметр.
Доказать, что:
#2 дГ2 — £2 — (Л
COS А =----------------------
2 (ad +
_ Г (p-a)(p-d) .
2 — V (p-b)(p-c)
^V(p—a)(p — b)(p — c)(p — d) .
ad + be
5°. s = V(p — a)(p — b)(p — c)(p — d);
4s
6°. tg л = , . .?—75—
& a2 4* d2 — b2 — c2 ’
0 , /" (ad + be) (ac-(-bd) , (<d> + de) (ac + bd) .
' • а1—У ab + dc ’ a2 — |Z _ ad + bc ’
8. dxd2— ac + bd, — ad_|_6c’
qo d2 — dt _ (a — c)(b — d) .
У • d2 + dt — (a + c) (b + d) ’
10°. 4/?s = У (ad + be) (ab 4- cd) (ac -f- bd);
11°. (ac 4- bd) sin t = 2s;
19° X1 = Xz —
‘ad be ad-\- be * ab cd ab-\-cd 9
— У1 — У2
ad be ab cd 9
где xx — AK и x2 = CK — отрезки, на которые диагональ АС делится
диагональю BD, а ^ == ВК и у2 = DK — отрезки, на которые диаго-
наль BD делится диагональю АС.
§ 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
387
99. В плоскости даны две взаимно-перпендикулярные оси:
х'Ох и у'Оу.
На полуоси Ох берется точка Л, на полуоси Оу — точка В, при этом
ОЛ = ОВ —а>0. Повернем прямую у'у вокруг точки О на угол а, за-
ключенный между —y и получим прямую (О); с другой стороны,
повернем вокруг точки А прямую АВ на угол — а. Получим прямую (А).
При каких значениях а прямые (D) и (А) будут параллельны?
При каких значениях а прямые (О) и (А) будут перпендикулярны?
100. 1°. Вычислить в функции сторон а, Ь, с и углов Л, В, С треуголь-
ника АВС стороны a', Ь', с' и углы Л', В', С' треугольника А'В'С',
где Л', В', С' — основания высот АА', ВВ', СС' треугольника АВС.
Рассмотреть два случая:
а) А, В, С — углы острые и а > b > с.
б) Л—тупой угол.
2°. Доказать, что полученные результаты можно использовать для вычис-
ления углов А, В, С треугольника АВС, если известны числа I, т, п:
1 = a cos A, m = bcosB, п — ccosC.
Рассмотреть два случая:
а) I, т, п положительны;
б) I < 0.
3°. Обозначим через Лр Вр Сх точки, в которых прямые В'С', С'А' и
А'В' пересекают соответственно ВС, СА и ЛВ. Доказать, что четверки
точек (ВСЛ'ЛХ), (САВ'Ву), {АВС'С^} гармонические.
4°. Указать в каждом из двух предыдущих предположений а) и б) гео-
метрический способ построения треугольника АВС, если известны I, т, п.
101*. Рассмотрим треугольник ЛВС: длины его сторон ВС, С А и ЛВ — соответ-
ственно а, Ь, с, внутренние углы — Л, В, С. Предположим, что b > с.
1°. Пусть D и Е— основания на стороне ВС биссектрисы соответ-
ственно внутреннего и внешнего угла А. Вычислить AD и АЕ в функ-
, Л
ции Ь, с,
2°. Пусть AD = AE\ найти соотношение между углами В и С.
3°. В дальнейшем рассматриваются треугольники ЛВС, для которых
в —с = |.
а) Вывести геометрически соотношение между отрезками АЕ и AD
биссектрисы угла Л.
б) Доказать, что высота, опущенная из вершины А, касается окруж-
ности, описанной вокруг треугольника АВС.
в) Найти соотношение между сторонами треугольника.
102*. 1°. В треугольнике ЛВС три угла, расположенные в порядке возраста-
ния (Л < В < С), образуют арифметическую прогрессию со знамена-
телем ср. Найти стороны треугольника, зная его периметр 2р, и угол ср.
Исследовать.
2°. Дан периметр 2р и площадь s треугольника ЛВС.
Вычислить ср. Исследовать. На^ти соотношение между р и s, при вы-
полнении которого треугольник будет прямоугольный.
3°. Построить треугольник ЛВС, зная его периметр 2р и сторону /
квадрата, площадь которого равна площади этого треугольника.
103*. Дана фиксированная окружность (О) с центром О и радиусом R. На
этой окружности фиксируется точка А, а на радиусе ОА берется точка со
3
на расстоянии R от точки Л. Пусть (ш) окружность с центром ш,
25*
388 Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОЛ1ЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
проходящая через точку А. Рассмотрим касательную (А) к окружности (со)
в переменной точке I этой окружности; обозначим через В и С точки,
в которых эта касательная пересекает окружность (О), через М — сере-
дину ВС, через D — точку, в которой продолжение AI пересекает (О).
1°. Доказать, что AI— биссектриса угла ВАС. Доказать, что треуголь-
ники ABD и BID подобны. Вывести отсюда, что /Ю=2В£) и что
Ь-\- с = 2а, где а, b и с длины сторон треугольника АВС.
2°. Дан угол А; вычислить В и С.
3°. Выразить в функции R и А длину стороны ВС треугольника АВС,
затем из рассмотрения трапеции ОАНМ высоту АН этого треуголь-
ника и его площадь Построить график функции $ =
4°. Доказать, используя инверсию (О, R2), что окружность (ВОС) при
изменении (Д) касается фиксированной окружности.
Найти геометрическое место центров окружности (ВОС) и
геометрическое место полюсов Р прямой (Д) относительно окруж-
ности (О). Доказать, что касательная в точке Р к геометрическому
месту точек Р есть поляра точки / относительно окружности (О).
104*. АВС — равносторонний треугольник, АВ = а, О — центр окружности,
описанной вокруг этого треугольника. Обход треугольника АВС в напра-
влении от Л к В и С примем за положительный обход в плоскости.
Пусть А'В'С' — треугольник, полученный из треугольника АВС поворотом
вокруг точки О на угол 6 (0 < 9 < 120°) и пусть, наконец, Oz— прямая,
в которую перейдет О А при повороте вокруг О на угол 0.
1°. Доказать, что треугольники АВС и А'В'С' симметричны относи-
тельно Oz. Пусть D — точка пересечения прямых АС и А'С',
Е — точка пересечения прямых АВ и А'В', F — точка пересечения
прямых ВС и В'С'. Доказать, что треугольники ADE и A'EF
равны.
2°. Вычислить периметр и углы треугольника A'EF. Выразить его сто-
роны в функции а и 6.
3°. Определить 9 при условии, что EF-—, где т — данное по-
ОТТ1
0
ложительное число. Исследовать. Пусть = Доказать, что
у = А'Е = • Обозначим через г радиус окружности, впи-
санной в треугольник A'EF. Вычислить г в функции у. Найти
максимум г при условии, что у изменяется.
105*. Треугольник АВС изменяется таким образом, что точки В и С фикси-
рованы, причем расстояние между ними равно 6. Сумма сторон АВ и АС
постоянна и равна 10. Обозначим через D основание биссектрисы вну-
треннего угла А, а через О — середину ВС. Положим OD — x.
1°. Построить, используя геометрическое место точек, которое описы-
вает точка А, треугольник АВС, зная точку D, расположенную
между В и С.
2°. Доказать, что для любого треугольника АВС, удовлетворяющего
условию задачи, имеем
sin В + sin С 5 +гг В С 1
sin (В + С) ~ — "З ’ tg Т g Т — Т ’ ’
3°. Вычислить в функции х длины сторон АВ и АС. Вычислить коси-
нус угла А, затем косинус угла BAD. Найти проекции АВ' и АС'
сторон АВ и АС на прямую AD. Установить, что касательная АТ
к окружности с диаметром В'С' сохраняет постоянную длину при
изменении х. Найти igDAT. Какой треугольник АВС соответствует
минимуму угла DAT?
§ 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
389
106**. Доказать, что углы А, В, С треугольника АВС удовлетворяют соот-
ношению
9 sin2 А +sin2 В + sin2 С — rtp- A I ctr В 1 etc- С
2 sin 2X + sin 2В + sin 2С ~ Ctg А + Ctg + С g
Существуют ли треугольники, для которых
sin2 А -|- sin2 В + sin2 С == ctg А 4~ ctg В 4~ ctg С.
107**. Дан треугольник АВС\ I — центр вписанной в него окружности. Пусть
Аь и Ас—проекции точки А на BI и СГ, Вс и Ва — проекции точки В
на CI и AI и, наконец, Са и Сь — проекции С на AI и BI. Доказать,
что произведения сторон треугольников АьВсСа и АсВаСь равны между
собой и что сумма площадей этих треугольников равна половине пло-
щади треугольника АВС.
108*. Переменный треугольник АВС вписан в окружность (Г) (фиксированную)
с центром О и радиусом R. Вершина А фиксирована, а сторона ВС про-
ходит через середину D радиуса ОА. Обозначим через Л, В, С углы
треугольника АВС, через s — его площадь, а через ср — угол ADB
(черт. 77).
1°. Найти геометрическое место точек пересечения медиан треуголь-
ника АВС. _
2°. Доказать, что
?=+С - в.
3°. Доказать, что I
2 cos (В 4- С) = cos (В — С), (1)1 ° D\j
1 \ Ул
= (2)
s 1 /?2 sin 2Л, (3) Черт. 77.
и доказать, что из каждого из этих соотношений следует два дру-
гих. Доказать также, что если выполнено любое из этих соотно-
шений, то сторона ВС проходит через середину D радиуса О А
окружности, описанной вокруг треугольника АВС.
4°. Вычислить А, В, С, если задан угол ср.
109*. Доказать, что необходимое и достаточное условие того, что для тре-
угольника АВС выполнено соотношение
а\=Ь^-}-с\
является условие
2 sin2 А = tg В tg С. (1)
Вычислить высоту этого треугольника, опущенную из вершины Л, в функ-
ции радиуса описанной окружности и расстояния от центра этой окруж-
ности до стороны ВС.
ПО*. Решить треугольник АВС, зная его сторону ВС = а, медиану т, исхо-
дящую из вершины В, и произведение k=^CA-CD, где D—; основание
перпендикуляра, опущенного из В на АС. Провести исследование возмож-
3
ных значений k, считая, что т = а.
111*. Пусть О — центр тригонометрического круга (радиуса 1), А'ОА и
В'ОВ — два его взаимно-перпендикулярных диаметра, которые мы примем
соответственно за оси Ох и Оу. Пусть М— произвольная точка триго-
нометрического круга. Обозначим через и угол от оси Ох до луча ОМ,
390
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
и = (ОА, ОМ) (значения этого угла для точек А, В, А' и В' соответ-
' тг Зт: \ *
ственно таковы: 0, тс и -yj- Пусть Р— проекция точки М на ось Ох,
a Q — проекция точки М на ось Оу, Н — проекция точки М на пря-
мую PQ. Продолжим прямую НМ в обе стороны и отложим на ней
в обе стороны от точки М ^отрезки т'М и Мт, длина каждого из ко-
торых равна радиусу тригонометрического круга, т. е. 1. Отрезок Мт
отложим в направлении от Н к М, отрезок Мт'— в противоположном
направлении.
Г. Предполагая, что точка М находится на дуге АВ первого квад-
ранта, выразить в функции sin и и cos и координаты х, у точек т
и т'. Определить геометрическое место точек т и т' при условии,
что точка М описывает дугу АВ. Каково будет геометрическое
место этих точек, если точка М опишет всю окружность. Будем
считать теперь во всем последующем, что точка М находится на
дуге АВ, расположенной в первом квадранте.
2°. Определить положение точки М при условии, что площадь тре-
угольника Оттг равна у. Пусть отрезок Мт вращается вокруг
оси Ох и вокруг оси Оу. Выразить поверхности 5 и s' вращения
в функции sin а и cos и; полагая tgu — X, -~=Y, выразить Y
в функции от X {X—считать положительным). Определить точку М,
если Y = ЗУЗ — 4.
3°. На перпендикуляре к плоскости хОу, проходящем через точку М,
взята точка Г. Определить МТ при условии, что площади треуголь-
ников mPQ и TPQ равны между собой. Установить связь длин От
и МТ.
112. (С)— окружность радиуса R с центром О; (С')— окружность радиуса у
с центром А, лежащим на окружности (С). Обозначим через М и N
точки пересечения окружностей (С) и (Cz). Выразить приближенно угол
M0N (в радианах).
113**. Рассмотрим треугольник АВС.
1°. Доказать, что каждое из трех следующих соотношений влечет за
собою выполнение двух других:
А = 2С, (1)
а2 = (Ь-\-с)с, (2)
Ь = 4с cos (ЗО° + у) cos (ЗО° — А). (3)
Построить с помощью циркуля и линейки треугольник, обла-
дающий указанным свойство^, зная, кроме того, длину а стороны ВС
и зная, что Д АВС или равнобедренный или прямоугольный.
2°. а) Доказать, что во всяком треугольнике АВС длина биссектрисы
внутреннего угла А равна
a sin В sin С
д
sin -g- (sin С 4- sin В)
б) В треугольнике АВС даны сторона а, длина I биссектрисы вну-
треннего угла А и известно, что А — 2С. Вычислить угол С
этого треугольника, а затем и другие его углы. Как следует
выбрать I и а, чтобы треугольник существовал?
в) Построить геометрически этот треугольник и получить геометри-
чески результаты предыдущего исследования.
§ 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
391
114**. Будем рассматривать треугольники (Г), углы которых удовлетворяют
условию
ctg Л = 2 (ctg Вctg С). (1)
1°. Вычислить стороны Ь и с этого треугольника (Т), если заданы сто-
рона ВС — ап угол А. Провести исследование.
2°. Доказать, что равенство (1) выражает необходимое и достаточное
условие того, что в треугольнике АВС медианы, выходящие из
вершин В и С, взаимно перпендикулярны. Построить треуголь-
ник (Г), если даны его вершины В, С и угол А; исследовать.
3°. Пусть даны две взаимно перпендикулярные оси: Ох и Оу. Рассмо-
трим все треугольники (Г), вершина А которых расположена на
оси Оу, а сторона ВС, имеющая данную длину а, лежит на оси Ох.
Найти геометрическое место центров тяжести этих треугольников.
115*. Доказать, что перпендикуляр, опущенный из вершины А треугольника АВС
на прямую, соединяющую центры I и О вписанной и описанной окруж-
ностей, пересекает ВС в точке 7И такой, что разность радиусов окруж-
ностей, описанных около треугольников АВМ и АСМ, равна 01.
116**. В . треугольнике АВС дана длина а стороны ВС и известно, что
АВ = 2 АС.
1°. Дан еше угол А. Вычислить стороны АВ и АС. Показать, что
треугольник АВС всегда существует, каков бы ни был угол А
(О < А < 180е).
2°. Дать геометрическое построение треугольника АВС.
3°. Изучить изменение высоты AH=h при условии, что угол А из-
меняется.
Начертить кривую, представляющую зависимость h от А, по-
лагая а = 1 (угол А измеряется в радианах).
4°. Найти А, если задано А; исследовать.
5°. Найти геометрическое место середины стороны АВ и середины
биссектрисы угла А, если Л переменное.
117*. Рассмотрим равнобочную трапецию, площадь которой равна 1 л2, боль-
шее основание — AD, меньшее — ВС, непараллельные стороны — АВ и CD.
Обозначим острый угол прямой ВС с прямой CD через 0; полу-
сумму оснований — через х; AB-^~BC~j-CD = p; высоту — через Л; длину
отрезков — через ВС и AD, р и Р'.
Г. Сколько надо задать размеров из числа указанных, чтобы полностью
определить такую равнобочную трапецию площадью 1 м2? Дать
несколько примеров условий, определяющих эту трапецию.
2°. Вычислить р в функции 6 и х.
3°. Пусть х задано; определить трапецию, для которой р минимально.
При каком значении 9 будет получен этот результат?
4°. Доказать, что каждому произвольному значению х соответствует
минимум функции р от 6. Какое значение надо дать х, чтобы по-
лучить наименьший из этих минимумов?
5°. Для трапеции, определенной в вопросе 4°, вычислить ВС, h и АВ.
Какое простое замечание можно сделать по поводу этой трапеции?
118**. В треугольнике АВС дан периметр 2р, радиус г вписанной окружности
и высота h, выходящая из вершины А.
1°. Вычислить его стороны и углы (при вычислении Ь и с найти сна-
чала Ь-\-с, затем Ьс).
2°. Какое соотношение должно существовать между р, г и h, для того
чтобы Л = 90°?
3°. Пусть р = 6, h — З. Каковы границы изменения г, при которых
треугольник АВС существует?
4°. Вычислить стороны и углы треугольника, если р = 6, h — З, г—1.
392 Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
119**. Обозначим через D и D' точки пересечения биссектрис (внутренней и
внешней) угла А треугольника АВС со стороной ВС, а через I и
U—длины этих биссектрис.
1°. Решить треугольник, зная Z, I' и А ^выразить длины сторон
через Z, U, А и угол и, определенный соотношением tgrz=^.
Дать геометрическое построение треугольника, если даны Z,
V и А.
2°. Пусть заданы точки D и D' и величина угла А (0 < А < тс). Каково
геометрическое место точек Л?-Доказать, что стороны АВ и АС
проходят через две фиксированные точки I и J. Построить эти
точки. Как расположены точки В и С при условии, что точка А
занимает в условиях вопроса всевозможные положения?
Построить треугольник, если дана:
а) середина А' стороны ВС; исследовать;
б) точка Р, из которохй сторона ВС видна под прямым углом;
исследовать.
120**. Построим произвольный треугольник АВС.
1°. Вычислить в функции синусов углов этого треугольника отноше-
ния Z, т, /г каждой стороны а, Ь, с к соответствующей высоте.
2°. Дано отношение I и угол А; вычислить углы В и С. Провести
исследование.
3°. Построить треугольник, зная a, Z, А. Найти условие возможности
построения.
4°. При каком условии, наложенном на at I и А, треугольник будет
равнобедренный? Прямоугольный?
121*. 1°. Доказать, что площадь выпуклого четырехугольника со сторонами
а, Ь, с, d может быть вычислена по формуле
s2 ~ (р — а) (р — /;) (р — с) (р — d) — abed cos2 ---ф — -.
2°. Доказать, что
х2у2 = (ас bd)2 — Aabcd cos2 —ф ,
где х и у — длины диагоналей.
3°. Доказать, что если заданы отрезки a, b, с, d, то необходимое и
достаточное условие того, что можно построить выпуклый четырех-
угольник со сторонами a, b, с, d заключается в том, что наиболь-
шая из длин а, Ь, с, d меньше суммы трех остальных.
4°. Доказать, что если наибольшее из чисел a, b, с, d меньше суммы
трех остальных, то существует выпуклый четырехугольник со сто-
ронами а, Ь, с, d, около которого можно описать окружность; из
всех выпуклых четырехугольников этот четырехугольник будет
с наибольшей площадью и максимальным произведением диагоналей.
122**. Обозначим через И ортоцентр какого-нибудь треугольника АВС, через
А' — основание высоты, опущенной из вершины А, через О — центр
окружности, описанной около треугольника АВС; наконец, пусть А4 —
середина ВС.
1°. Где находится центр гомотетии и каков ее коэффициент, если эта
гомотетия вектор НА переводит в вектор ОА4?
2°. Установим на прямой АА' положительное направление от Л к А'
и положим AA' = h, AH = d. Вычислить h и d в функции ради-
уса R окружности, описанной около треугольника, и в функции
его углов.
§ 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
393
3°. Вычислить углы А, В, С треугольника, зная /?, d и R. Исследо-
вать.
4°. Построить треугольник, зная /г, d и R (сначала построить точку О).
Получить отсюда еще раз результаты предыдущего исследования.
5°. Построить треугольник АВС, зная центр О описанной вокруг него
окружности, ортоцентр Н и вершину А. Если точки О и Н фикси-
* рованы, в какой области может находиться точка А, чтобы по-
строение было возможно?
123**. Рассмотрим треугольник АВС со сторонами
ВС = а, СА = Ь, АВ = с
и углами А, В, С; предположим, что В > С. Пусть О — центр окруж-
ности, описанной вокруг этого треугольника, радиус этой окружности
равен R. Сторона ВС и окружность (О) пересекаются с биссектри-
сой внутреннего угла соответственно в точках D и Е, а с биссектрисой
внешнего угла — соответственно в точках и Е'. Обозначим через I
центр окружности, вписанной в треугольник АВС, а через 1а, 1Ь, 1С —
соответственно центры окружностей, вневписанных в углы А, В и С.
1°. Доказать, что поляра точки I относительно окружности с диамет-
ром DDf проходит через 1а. Что можно сказать про расположение
точек 1Ь и 1С относительно этой окружности? Доказать, что про-
екция lblc отрезка IbIc на ВС равна Ь-{-с. Вычислить в функции
углов В и С угол AD'B.
2°. Приложить полученные результаты 1° к построению треугольника
по следующим данным:
В — С = 2х, AH = ha, b-\-c = 2l,
где Н—основание высоты, опущенной из А на сторону ВС.
Исследовать.
3°. Вычислить Ь-^-с и /га в функции R и углов А, В, С треуголь-
ника АВС. Исходя из тех же данных, что и в 2°, вычислить углы
д
треугольника АВС. Можно принять за неизвестное cos-^-=x.
Получить аналитически результаты проведенного ранее геометри-
ческого исследования.
124**. В плоскости даны оси OX, OY, OZ, на которых взяты тбчки А, В, С.
Положим
О А = х, ОВ = у, ОС — z.
1°. Доказать, что необходимое и достаточное условие того, что точки
А, В, С являются ортогональными проекциями точки М соответ-
ственно на оси OX, OY, OZ, может быть записано в виде
xsin(Or, OZ) + ysin(OZ, OX) 4~х sin (OX, OY) = Q. (1)
2°. Доказать, что необходимое и достаточное условие того, что
точки А, В, С лежат на одной прямой, может быть записано в виде
sin (OY, OZ) , sin (OZ, OX) sin (OX, OY) _ n ,
x . у ‘ z ' '
3°. Рассмотрим три различные точки Аг, А2, А3, расположенные на
оси ОХ, и три точки Вх, В2, В3, расположенные на оси OY. По-
ложим
OAi — xi, ОА2 = х2, ОА3 = х3,
ОВХ = ур ОВ2 у2, овз = у3.
394
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Доказать, что необходимое и достаточное условие того, что
прямые АхВг, А2В2, А3В3 пересекаются в одной точке, может быть
записано в виде
4°. Обозначим через / точку, в которой пересекаются прямые А1В1,
А2В2. * Каково геометрическое место точек /, если xv х2, у2
связаны соотношениями
д) ---1--=-------1--;
7 *1 У1 *2 ‘ У2
б) (i—-Wi—-)=(i—-)(i—
’ \ Х\)\ У2/ \ Х2/\ У1/
5°. Что дает соотношение (1), если треугольник АВС равнобедренный
(АВ — АС), причем точка М взята на дуге ВС окружности (АВС),
не содержащей точку А, а за оси OX, OY, OZ принимаются по-
лупрямые МА, МВ и МС; что мы получаем, если АВС — прямо-
угольный треугольник? Если он равнобедренный?
6°. Четыре точки А, В, С, D лежат на одной окружности и образуют
выпуклый четырехугольник. Принимая за О точку D, установить,
что дает соотношение (1).
7°. Пусть АВС — какой-нибудь треугольник, a D и D'— точки пере-
сечения биссектрисы внутреннего угла со стороной ВС и с окруж-
ностью, описанной вокруг этого треугольника. Положим AD = la
и AD' = \а. Принимая за точку О точку А, установить, что дает
соотношение (1) для точек А, В, D', С и соотношение (2) для
точек А, В, D, С.
125**. Фиксируем в ориентированной плоскости ось х'Ох и на этой оси—
точку А с данной положительной абсциссой Пусть (О)—окружность
радиуса 7? с центром О.
А. Рассмотрим еще ось Х'ОХ и две точки: М и 2V, лежащие на окруж-
ности (О) и симметричные относительно этой оси. Обозначим через 6 ориенти-
рованный угол от Ох до ОХ:
0 = (Ох, ОХ),
а через ср — ориентированный угол от ОХ до ON:
^ = (0Х, ON);
тогда
(ОХ, ОМ) = — ср.
1°. Вычислить в функции 6 и ср длины сторон треугольника AMN.
Доказать, что если условие
2MN = AM + AN (1)
будет выполнено, то 6 и ср связаны или соотношением
4 cos ср — cos 0 = 3, (2х)
или соотношением
4 cos ср — cos 0 = — 3. (2")
* Предполагаем, что точки Аа и А2 различны, точки В^ и В2 также различны.
§ 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
395
2°. Доказать, что из (2Z) или (2ZZ) следует (1).
Для этого сначала нужно установить, что из соотношения
| sin и | = 2 | sin v [
следует, что
sin (и -v) sin (и — v) О,
а из соотношения
| cos zz | ==2|cos*u|
следует, что
sin (и -у) sin (zz — О-
___________________________________________ r
3°. Пусть С — точка оси х'Ох, такая, что___Н— ее проекция
на MMt (С)— окружность с центром С, которая проходит через Л.
Используя полученные выше результаты, доказать, что для выпол-
нения соотношения (1) необходимо и достаточно, чтобы было вы-
полнено соотношение
CH^^R, (3)
иначе говоря, чтобы ММ касалась окружности (С),
В. Назов'ем треугольником (Г) переменный треугольник, вписанный
в окружность (О), вершина А которого фиксирована, причем выполнено все
время соотношения (1).
Г. Доказать, что прямая АН, соединяющая точку А с проекцией Н
точки С на ММ, есть биссектриса внутреннего угла А треуголь-
ника (Т). Найти, если (Т) меняется, геометрическое место центров I
окружности, вписанной в треугольник (Т), и геометрическое место
центров Г окружности, вневписанной в угол А этого треугольника
/ Та Га \
| рассмотреть отношения == и .
\ F IH ГН)
2°. Доказать, что, вообще говоря, существует для всякого положения
треугольника (Г) гипербола, проходящая через точки М и М, для
которых А — фокус, а соответствующая ему директриса — пря-
мая СН,
Найти, если (Г) изменяется, геометрическое место вершин этой
гиперболы и геометрическое место ее центра.
Доказать, что каждая из ее асимптот проходит через фикси-
рованную точку.
Замечание. Части В и А можно решать независимо одну от другой
(в части В использовать лишь 3°, А).
126. Из точки М окружности радиуса R выходят одновременно и движутся
равномерно по окружности точки А и В со скоростями соответственно
м/сек и v2 м/сек. Определить площадь треугольника МАВ через
t сек, после начала движения.
127. Определить угол А между данными сторонами b и с треугольника, если
медиана, выходящая из вершины А, есть средняя пропорциональная между
b и с,
128. На одной из сторон острого угла ср даны две точки, расстояния которых
от другой стороны угла равны а и Ь. Определить радиус окружности,
проходящей через эти две точки и касающейся другой стороны угла или
ее продолжения.
129. Зная углы треугольника, определить угол х между медианой и высотой,
проведенными из вершины какого-нибудь угла.
396
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
130. Угол В между боковыми сторонами равнобедренного треугольника АВС
равен 2а. В каком отношении делится площадь этого треугольника пря-
мой, проходящей через середину высоты треугольника hb и наклонной
под углом р к продолжению основания его?
131. Расстояние между центрами двух расположенных в одной плоскости кру-
гов радиуса R равно d. Определить площадь части второго круга, лежа-
щей вне первого круга.
132. Непараллельные стороны трапеции перпендикулярны друг другу; одна из
них, равная а, составляет с диагональю угол а, а другая образует такой же
угол а с большим основанием. Вычислить площадь трапеции.
133. Две квадратные пластинки расположены так, что центры их совпадают,
а угол между их диагоналями равен а. Определить периметр и площадь
образовавшейся восьмиконечной звезды, если сторона каждой пластинки
равна а.
134. Внутрь острого угла а вписано п кругов: С\, С2, . . ., Сп так, что круг С2
касается внешне кругов Сг и С3, круг С3 касается внешне углов С2 и С4
и т. д. Доказать, что радиусы этих кругов образуют геометрическую
прогрессию. Найти зависимость между знаменателем прогрессии и вели-
чиной острого угла а.
135. Доказать, что если прямая Эйлера параллельна стороне треугольника,
то тангенсы углов треугольника составляют арифметическую прогрес-
сию.
133. В треугольнике АВС даны: угол А, высота hb и радиус R описанного
круга. Вычислить его площадь.
137. Стороны треугольника составляют арифметическую прогрессию. Найти
А С
произведение ctg ctg , где А — наибольший, а С — наименьший угол.
138. Найти сторону а треугольника АВС, если даны радиус г вписанной в него
окружности, угол А и площадь $.
139. Дан прямоугольный треугольник АВС (С — прямой угол). Из вершины А
радиусом, равным катету АС, описана дуга, пересекающая гипотенузу
в точке Е. Из вершины В радиусом, равным катету ВС, описана дуга,
пересекающая гипотенузу в точке D. В криволинейную фигуру CDE
вписан равносторонний треугольник CA4.V, причем точка М .лежит на
дуге CD, а точка N— на дуге СЕ. Определить площадь треугольника CMN,
если площадь треугольника АВС равна Q, а дуга MD равна половине
дуги СМ.
14Э. Определить углы равнобедренного треугольника, в котором высота вдвое
больше биссектрисы угла при основании.
141. Доказать, что если стороны треугольника составляют арифметическую
прогрессию, то и котангенсы половин углов треугольника также соста-
вляют арифметическую прогрессию.
142. В каком отношении делится площадь правильного треугольника прямой,
проходящей через середину стороны его и составляющей угол, равный а
(О < а < 90°), с этой стороной?
143. Вычислить площадь треугольника по углам и по одной из медиан.
144. Каждая из непараллельных сторон равнобочной трапеции равна меньшему
ее основанию. Большее основание относится к меньшему, как т : п.
Определить углы трапеции.
145. На четырех сторонах квадрата как на основаниях построены во внешнюю
сторону равнобедренные треугольники, боковая сторона каждого из кото-
рых равна а. Каков должен быть угол при вершине каждого из построен-
ных равнобедренных треугольников, чтобы площадь получившегося при
этом построении многоугольника имела бы наибольшую величину?
145. Найти сторону квадрата, вписанного в сегмент круга радиуса а, если
хорда этого сегмента стягивает дугу а.
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ
397
147. Расстояние между центрами двух кругов равно d. Общая внутренняя
касательная их составляет с линией центров угол, равный а, а общая
внешняя касательная их составляет с линией центра угол, равный р.
Определить радиусы этих кругов.
148. Из точки Л, лежащей вне круга радиуса г, проведены касательная АВ
и секущая АС. Определить площадь треугольника АВС, если секущая
наклонена под углом а к касательной АВ и проходит на расстоянии,
равном d от центра круга.
149. Хорда, проходящая через точку М, лежащую внутри окружности, делится
этой точкой в отношении В каком отношении делит данную окруж-
ность .эта хорда, если она образует угол ср с диаметром, проходящим
через точку М?
150. Через точку, лежащую внутри круга радиуса R, проведены две взаимно
перпендикулярные хорды, расстояния которых от центра круга равны а
и Ь. Определить площадь части круга, ограниченной этими хордами и
наименьшей дугой этой окружности, соединяющей их концы.
151. В круговой сектор ОАВ, центральный острый угол которого равен а,
а радиус г, вписан прямоугольник данной площади одна из сторон
которого лежит на радиусе ОА. Вычислить стороны этого прямоуголь-
ника.
152. В круге с центром в точке О проведен радиус ОА и на нем отложен
отрезок ОВ = а. Определить наибольший из вписанных в этот круг углов,
опирающихся на отрезок OB (а < R).
§ 4. Применение тригонометрии к стереометрии
П. 1. Плоскости, прямые, двугранные углы
1. На ребре двугранного угла а взят отрезок с и из его концов в плоскостях
граней восставлены перпендикуляры а и Ь. Определить расстояние между
концами этих перпендикуляров.
2. Прямая АВ параллельна плоскости р. Прямая CD пересекает прямую АВ
под углом а и образует с плоскостью р угол ср. Определить угол между
плоскостью р и плоскостью, в которой лежат прямые АВ и CD.
3. Все двугранные углы трехгранного угла равны а. Найти расстояние от
точки до вершины трехгранного угла, зная, что эта точка находится на
расстоянии а от каждого ребра трехгранного угла.
4. В трехгранном угле все плоские углы равны а. Найти расстояние от точки М.
до вершины этого угла, если точка М находится на расстояниях, равных а
от всех трех граней данного трехгранного угла.
Б. Отрезок АВ, длина которого равна а, параллелен плоскости р. Через
точки А и В проведены прямые, перпендикулярные отрезку АВ и обра-
зующие с плоскостью р углы аи^ Расстояние между точками пересече-
ния плоскости р с проведенными прямыми равно Ь. Найти расстояние от
отрезка АВ до плоскости р.
6. Две пересекающиеся под углом а прямые пересекают плоскость Р. Одна
из них образует с плоскостью Р угол р, а другая — угол ?. Определить
угол между плоскостью, в которой лежат данные прямые, и плоскостью Р.
7. Отрезки двух прямых линий, заключенные между двумя параллельными
плоскостями, относятся, как 2:3, а их углы с плоскостью — как 2:1.
Определить зги углы.
8. Даны три плоских угла трехгранного угла:
£BSC = a, £CSA = $, £ASB = V
Найти двугранные углы этого трехгранного угла.
398
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
9. Один из плоских углов трехгранного угла равен а, двугранные углы,
прилежащие к этому плоскому углу, равны соответственно р и у. Найти
два других плоских угла.
10. Найти угол ребра с плоскостью грани SBC трехгранного угла SABC,
если
= = ^ASB — ^.
11. Определить угол между скрещивающимися диагоналями двух граней куба.
12. Отрезок АВ параллелен плоскости. Из его концов проведены к плоскости
две наклонные: АС — си BD = d. Наклонная АС составляет с плоскостью
угол а. Определить угол наклонной BD с этой плоскостью.
13. Наклонная образует с плоскостью угол а. Через вершину этого угла про-
ведена к данной плоскости вторая прямая под углом р к проекции наклон-
ной на плоскость. Определить угол между этими прямыми.
14. Концы отрезка АВ, длина которого равна а, отстоят от данной плоскости
на расстояниях тип. Определить угол между отрезком и плоскостью.
15. Дан трехгранный угол SABC, в котором плоские углы CSA и CSB равны а,
а плоский угол ASB равен р. Определить угол наклона ребра SC к пло-
скости грани ASB.
16. Прямоугольный треугольник АВС расположен так, что его гипотенуза АВ
лежит на плоскости р, а катеты образуют с плоскостью р углы а и {),
Определить угол между плоскостью треугольника и плоскостью р.
17. Параллелограмм и плоскость р расположены так, что одна из меньших
сторон параллелограмма находится на плоскости р, а противоположная
ей — удалена от плоскости на расстояние, равное расстоянию между боль-
шими сторонами параллелограмма. Определить угол между плоскостью р
и плоскостью параллелограмма, если стороны параллелограмма относятся,
как 3:5.
18. На плоское зеркало под углом а падает световой луч (угол a — это угол,
который образует падающий луч с перпендикуляром к зеркалу). Пусть
I — отраженный луч. Затем зеркало поворачивают на угол р вокруг проек-
ции падающего луча в плоскость первоначального положения зеркала. На
какой угол отклонится отраженный луч /?
19. Доказать, что в любом трехгранном угле углы ар а2, а3 наклона ребер
к противоположным граням связаны соотношением
1 , 1_________1 ' 1
sin 04 ~sin а2 sin a3
20. Доказать, что отношение синусов плоских углов любого трехгранного
угла равно отношению синусов соответственно линейных углов трехгран-
ных углов.
21. Сторона АВ треугольника АВС лежит на плоскости р. Дано: / САВ = ч,
^АВС = ^\ двугранный угол между плоскостью треугольника АВС и
плоскостью р равен ср. Найти внутренние углы треугольника ABCf, где
С1 — проекция точки С на плоскость р.
22. Квадрат, сторона которого равна а, проектируется на некоторую плос-
кость в виде ромба со стороной b и острым углом а. Найти косинус угла
между плоскостью квадрата и плоскостью его проекции.
23. В плоскости (Р) дан ромб ABCD со стороной а и углом А= 120°. Через
точки В, С, D проводят полупрямые By, Cz и Dt, перпендикулярные
плоскости (Р) и идущие по одну сторону от (Р). На лучах By и Dt
откладываются отрезки, соответственно равные ВВ’ = DD' — х. Плоскость
(Р7), проходящая через точки А, В', D', пересекает Cz в точке С'.
1°. Доказать, что при изменении х плоскость (Р7) проходит через фикси-
рованную прямую. Что представляет собою четырехугольник AB'C'D'l
Определить в функции а и х длину СС'> затем стороны и площадь
четырехугольника AB'C'D'.
§ 4, ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ 399
2°. Обозначим через ср угол между плоскостями (Р) и (Р'); вычислить
. . ox B'AD'
tg ср и cos ср в функции а и х. Выразить tg—— через cos ср.
3°. Можно ли выбрать х так, чтобы четырехугольник AB'C'Df был:
а) квадратом, б) ромбом, подобным ромбу ABCD?
4°. Вычислить в функции анх объем многогранника ABCDA'B'C'D'.
24. Пусть ABCD и ABEF— две грани куба с ребром а. На диагонали АС
первой грани от точки А в направлении к точке С откладывается отре-
зок AM, а на диагонали FB от точки F к точке В откладывается отрезок
той же длины FN — AM — х.
1°. Доказать, что при изменении х, MN остается параллельной некото-
рой плоскости. Найти геометрическое место середин отрезков Л4ЛЛ
2°. Вычислить в функции а и х величину y = MN2. Изобразить эту
функцию графически. Определить х, если задан у = 1. Исследовать.
3°. Обозначим через а и (3 острые углы, которые образуют отрезок MN
соответственно с АС и BF. Вычислить а и р в случае, если длина
отрезка MN минимальна. Вычислить cos а и cosp в функции а и х
в общем случае. Доказать при помощи полученных формул для cos а
и cosp, что MN никогда не может быть общим перпендикуляром
к АС и FB. Как это можно установить чисто геометрически? Вычи-
слить cos 2а, если х =
П. 2. Параллелепипед
1. В параллелепипеде длины трех ребер, выходящих из общей вершины, равны
а, b и с. Ребра а и b взаимно-перпендикулярны, а ребро с образует
с каждым из них угол а. Определить объем параллелепипеда.
2. Ребра параллелепипеда, исходящие из общей вершины, соответственно
равны at b и с. Ребра а и Ь взаимно-перпендикулярны, а ребро с обра-
зует с каждым из них по углу, равному а. Определить угол наклона
ребра с к плоскости ребер а и Ь.
3. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Одна из диагоналей
параллелепипеда равна / и образует с плоскостью основания угол а,
а с одной из боковых граней — угол ср. Найти объем параллелепипеда.
4, В прямоугольном параллелепипеде диагональ основания равна d и соста-
вляет угол а с большей стороной основания. Через эту сторону и противо-
лежащую ей сторону верхнего основания проведена плоскость, которая
наклонена к плоскости нижнего основания под углом р. Определить боко-
вую поверхность параллелепипеда.
5. Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых граней прямоуголь-
ного параллелепипеда наклонены к плоскости его основания под углами а
и р. Найти угол между этими диагоналями.
6. В параллелепипеде все его грани — равные ромбы со сторонами а и острыми
углами а. Определить объем этого параллелепипеда.
7. Стороны основания параллелепипеда а и b образуют между собой угол а»
боковое ребро его, равное с, наклонено к плоскости основания под углом р.
Найти объем параллелепипеда.
8. Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм с острым
углом а. Стороны основания равны а и Ь. Меньшая диагональ параллелепи-
педа равна большей диагонали основания. Определить площадь сечения,
если секущая плоскости проходит через первую из этих диагоналей парал-
лельно второй.
9. В кубе ABCDAXBXCXDX (одинаковыми буквами обозначены соответствую-
щие точки верхнего и нижнего оснований) через диагональ АСХ проведены
плоскости АСуРх и ACXBV Вычислить угол между ними.
400
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
10. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с его осно-
ванием угол а. Боковая поверхность этого параллелепипеда равна
Определить угол между диагональю и стороной основания.
11. Через диагональ прямоугольного параллелепипеда проведена плоскость,
параллельная диагонали основания, не пересекающей эту диагональ парал-
лелепипеда. По сторонам основания а, b и высоте 2Л определить внутрен-
ние углы фигуры, по которой плоскость пересекает параллелепипед.
12. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с острым углом а. Под
каким углом к плоскости основания наклонена плоскость, рассекающая
этот параллелепипед по квадрату?
13. Определить объем параллелепипеда, в котором даны площади р и q двух
его граней, длина а их общего ребра и угол а между этими гранями.
П. 3. Призма
1. Определить объем прямой призмы, в основании которой лежит ромб
с меньшей диагональю d и острым углом а, если угол между меньшей диа-
гональю основания призмы и меньшей диагональю самой призмы равен [3.
2. В основании четырехугольной призмы лежит ромб со стороной а и острым
углом а; боковые ребра этой призмы равны b и наклонены к плоскости
основания призмы под углом [3. Определить объем призмы.
3. В основании прямой призмы лежит прямоугольник. Определить боковую
поверхность и объем призмы, если диагональ призмы равна т и соста-
вляет с боковыми гранями соответственно углы а и [3.
4. Основанием призмы служит ромб со стороной а и углом а. Боковые ребра
имеют длину b и наклонены к основанию под углом [3. Определить пло-
щадь перпендикулярного сечения призмы.
5. В треугольной призме известны длина бокового ребра /, углы а, [3 между
ребром и прилежащими сторонами основания, длины а и b этих ребер
и двугранный угол у между боковыми гранями, проходящими через эти
ребра. Определить объем призмы.
6. Определить объем прямой призмы, у которой в основании лежит ромб со
стороною а и тупым углом а, если диагональ боковой грани этой призмы
составляет с боковым ребром призмы угол [3.
7. От правильной четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через диа-
гональ нижнего основания и одну из вершин верхнего основания, отсечена
пирамида с полной поверхностью s. Найти полную поверхность призмы,
если угол при вершине треугольника, получающегося в сечении, равен а.
8. В правильной треугольной призме проведено сечение, проходящее через
одну из сторон нижнего основания и противолежащую вершину верхнего
основания. Определить площадь сечения, если сторона основания равна а,
а плоскость сечения наклонена к плоскости основания под углом а.
9. Основанием прямой призмы служит ромб с острым углом а. Как надо
пересечь эту призму, чтобы в сечении получился квадрат с вершинами на
боковых ребрах.
10. Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник АВС
(АВ = АС), периметр которого равен 2р и угол при вершине А равен а.
Через сторону ВС нижнего основания и противолежащую вершину А
верхнего основания проведена плоскость, составляющая с плоскостью ниж-
него основания угол [3. Определить объем призмы.
11. В правильной четырехугольной призме проведена плоскость через середину
оси и середины двух последовательных сторон основания. Сторона осно-
вания равна а, а боковое ребро равно Ь. Найти угол между проведенной
плоскостью и основанием.
12. В основании усеченной призмы лежит равносторонний треугольник АВС с
углами АВС = р, ВАС — а и стороной АВ — с. Вершины А'В'С' верхнего
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ 401
основания удалены от плоскости треугольника АВС на расстояниях АА' =
ВВ' — Ь, СС' = с. Вичислить объем призмы АВСА'В'С'.
13. Через сторону основания правильной треугольной призмы проведена пло-
скость, которая в сечении с призмой дает треугольник, периметр которого
в п раз больше периметра основания призмы. Найти угол между секущей
плоскостью и основанием призмы.
14. В правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сто-
рон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и
наклоненная к основанию так, что ее площадь равна s. Сторона основания
равна а. Определить:
а) угол между сечением и основанием;
б) углы многоугольника, полученного в сечении.
15. Через сторону ВС основания правильной треугольной призмы АВСА^В^С^
проведена плоскость, проходящая через вершину второго основания. Найти
угол между этой плоскостью и основанием призмы для каждого из следую-
щих случаев:
а) отношение боковой поверхности призмы к полной поверхности отсе-
ченной от нее треугольной пирамиды АХАВС равно т\
б) отношение боковой поверхности призмы к полной поверхности четырех-
угольной пирамиды АВСВХСХ равно т\
в) отношение полной поверхности четырехугольной пирамиды АВСВХСХ
к полной поверхности треугольной пирамиды АХАВС равно tn.
П. 4. Треугольная пирамида
1. Две боковые грани треугольной пирамиды — прямоугольные равнобедрен-
ные треугольники, гипотенузы которых равны а и образуют между собою
угол а. Найти объем пирамиды.
2. Определить объем правильной треугольной пирамиды, боковое ребро кото-
рой равно I и наклонено к плоскости основания под углом а.
3. Определить косинус внутреннего двугранного угла правильного тетраэдра.
4. Дана пирамида, основанием которой служит прямоугольный треугольник
с острым углом а. Боковые ребра равны I и наклонены к основанию под
углом р. Определить объем пирамиды.
5. Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды равен а.
Определить двугранный угол между боковыми гранями этой пирамиды.
6. Ребра оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны а и b
Определить объем и полную поверхность пирамиды, если известно,
что боковые ребра наклонены к плоскости большего основания под углом а.
7. Ребра оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны соот-
ветственно а и b (а<Ь). Определить ее высоту, если известно, что боковые
грани образуют с плоскостью большего основания равные двугранные углы а.
8. В правильной треугольной пирамиде проведено сечение через одну из сто-
рон основания перпендикулярно противолежащему ребру. Определить
площадь сечения, если сторона основания равна а и боковое ребро соста-
вляет с плоскостью основания угол а.
9. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого
основание равно а, а боковая сторона равна Ь, Боковые грани образуют
с основанием равные двугранные углы а. Определить высоту пирамиды.
[0. Основание пирамиды — правильный треугольник; из трех боковых граней
этой пирамиды одна перпендикулярна основанию, а две другие накло-
нены к нему под углом а. Под какими углами наклонены к основанию
боковые ребра?
11. Вокруг правильной треугольной пирамиды, двугранный угол между боко-
выми гранями которой равен ср, описан шар. Найти отношение объема
пирамиды к объему шара.
26 П, С. Моденов
402
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
12. В пирамиде SABC дано: АВ = АС = а, ВАС = у. Грань SBC перпенди-
кулярна плоскости основания АВС, а грани SBA и SC4 образуют с пло-
скостью основания угол t. Определить объем и боковую поверхность.
13. Вычислить объем правильной треугольной пирамиды, если плоский угол
при вершине равен а, а радиус окружности, описанной вокруг боковой
грани, равен г.
14. В правильнрй треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен а,
а кратчайшее расстояние между боковым ребром и противоположной сто-
роной основания (длина общего перпендикуляра) равно d. Определить
объем этой пирамиды.
15. Через среднюю линию основания правильного тетраэдра проведена пло-
скость, пересекающая два боковых ребра и наклоненная к основанию под
углом а. Определить отношение площади сечения к площади грани тетраэдра.
16. Грани правильной усеченной треугольной пирамиды касаются шара. Опре-
делить отношение поверхности шара к полной поверхности пирамиды,
если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости ее основания под
углом а.
17. Через одно из ребер правильного тетраэдра проведена плоскость, накло-
ненная под углом а к противоположному (т. е. не пересекающемуся с данным
ребром) ребру. Определить площадь полученного сечения, если ребро
тетраэдра равно а.
18. Боковые ребра треугольной пирамиды имеют одинаковую длину, равную /.
Из трех плоских углов, образованных при вершине пирамиды этими реб-
рами, два равны а, а третий равен р. Найти объем пирамиды.
19* *. В треугольной пирамиде SABC дано: BSC = a, £ CSA — $, / ASB — у,
— a, SB = b, SC= с. Найти угол между скрещивающимися ребрами
и ВС, а также кратчайшее расстояние между ними.
20. В треугольной пирамиде, основание которой — прямоугольный равнобед-
ренный треугольник, две грани, проходящие через катеты, перпендику-
лярны плоскости основания, а третья составляет с плоскостью основания
угол в 45°. Определить боковую поверхность пирамиды, если площадь
основания равна Q.
21. Определить зависимость между углами оснований боковых граней треуголь-
ной пирамиды и доказать, что эта зависимость справедлива и для n-уголь-
ной пирамиды.
22. В правильной треугольной пирамиде между двумя боковыми ребрами дан
угол а. Найти угол между боковым ребром и основанием.
23. Высота правильной треугольной пирамиды SABC равна радиусу окруж-
ности, описанной вокруг основания. Через вершину А основания проведена
плоскость, параллельная стороне ВС основания и перпендикулярная боко-
вой грани BSC. Определить угол между этой плоскостью и основанием.
24. Высота правильной треугольной пирамиды SABC равна радиусу окруж-
ности, описанной вокруг основания. Через вершину А основания проведена
плоскость, параллельная стороне ВС, которая делит объем пирамиды,
считая от вершины S, в отношении т : п. Определить угол между секу-
щей плоскостью и основанием.
25. Определить объем треугольной пирамиды по ее боковым ребрам а, Ь, с
и двугранным углам рр р2, рз при этих ребрах.
26. Определить объем треугольной пирамиды по ее боковым ребрам а, Ь, с
и плоским углам а, р, у при вершине.
27. Через ребро правильного тетраэдра проведена плоскость, делящая его
объем в отношении 3:5. На какие части она делит двугранный угол?
28. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен а.
Через боковое ребро проведена плоскость, делящая объем пирамиды
в отношении т: п. На какие части эта плоскость делит двугранный угол
между боковыми гранями?
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ 403
29. Пусть SABC — правильная пирамида, основанием которой служит равно»
сторонний треугольник, вписанный в окружность с центром О и радиу-
сом R. Дан угол ASB=-0.
1°. Вычислить сторону основания, длину бокового ребра, апофему, высоту
и боковую поверхность пирамиды для случая 6 = 60° и для случая
6 = 90°.
2°. В общем случае обозначим через а величину угла OAS. Подсчитать
в функции тригонометрических функций угла а значения sin— и cos6.
Выразить у — cos 0 через x = cos2a.
3°. Какой график выражает найденная в 2° зависимость у от х.
30. В треугольнике ОАВ:
О A = а, ОВ = Ь, /_ АОВ = я.
Проведем прямую Z'Z через точку О, перпендикулярную плоскости тре-
угольника АОВ.
1) Доказать, что для всякой точки С прямой Z'Z можно найти такую
другую точку D той же прямой, что противоположные ребра тетра-
эдра ABCD окажутся взаимно-перпендикулярными; определить зави-
симость между ОС и OD. Найти геометрические места оснований
высот этого тетраэдра и геометрическое место центра сферы, описан-
ной вокруг этого тетраэдра.
2) Считая угол а острым, найти положение точек С и D, при котором
объем тетраэдра достигает минимума. Вычислить этот объем и радиус
сферы, описанной около тетраэдра.
П. 5. Многоугольные пирамиды
1. Определить объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро
которой равно /, а плоский угол при вершине равен я.
2. Основанием четырехугольной пирамиды служит квадрат; две боковые грани
этой пирамиды перпендикулярны плоскости ее основания; две другие ее
боковые грани образуют с плоскостью основания равные двугранные углы,
каждый из которых равен я. Высота пирамиды равна Л. Определить боко-
вую поверхность этой пирамиды.
3. Определить объем правильной пятиугольной пирамиды, если боковое ребро
равно а, а двугранный угол между смежными боковыми гранями равен я.
4. В правильной четырехугольной пирамиде через сторону основания, рав-
ную а, проведена секущая плоскость, делящая пополам двугранный угол
при основании пирамиды, равный я. Определить площадь получившегося
сечения.
5. Основание правильной четырехугольной пирамиды с плоским углом я при
вершине вписано в основание полушара радиуса R, причем вершина S
пирамиды находится вне полушара. Вычислить длину линии, по которой
пересекаются поверхности этих тел.
6. Основанием пирамиды служит квадрат со стороной а\ две боковые грани
пирамиды перпендикулярны основанию, а большее боковое ребро ее накло-
нено к основанию под углом {3. В пирамиду вписан прямоугольный парал-
лелепипед так, что четыре вершины его находятся на боковых ребрах
пирамиды, а четыре другие вершины — на основании пирамиды. Опреде-
лить объем параллелепипеда, зная, что диагональ его образует с плоско-
стью основания угол я.
7. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания относится
к боковому ребру, как т : п. Через диагональ основания проведена пло-
скость, параллельная боковому ребру. Определить наклон этой плоскости
к основанию.
26*
404 Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
8. В правильной /z-угольной пирамиде плоский угол при вершине равен а.
Определить двугранный угол при основании этой пирамиды.
9. В правильной четырехугольной пирамиде высота относится к стороне осно-
вания, как т : п. Через диагональ основания проведена наклонная плоскость
так, что полученное сечение равновелико диагональному сечению. Опре-
делить угол между проведенной плоскостью и основанием пирамиды.
10. В правильной четырехугольной пирамиде через сторону основания про-
ведено сечение, перпендикулярное противоположной грани. Определить
площадь сечения, если сторона основания равна а и боковая грань соста-
вляет с плоскостью основания угол а.
11. В правильную четырехугольную пирамиду, двугранный угол между смежными
боковыми гранями которой равена, вписан шар. Плоскость, проходящая через
диагональ основания пирамиды и параллельная боковому ребру, рассекает
шар на две части. Найти отношение объемов этих частей.
12. Правильная четырехугольная пирамида, боковое ребро которой I накло-
нено к основанию под углом а, пересекается плоскостью, проходящей через
центр описанного шара, вершину основания и параллельной диагонали
основания. Определить площадь получившегося сечения.
13. В пирамиде SABC ребро перпендикулярно к плоскости основания АВС\
ребро ВС = а\ грань BSC наклонена к основанию под углом а, и пло-
щадь ее равна Р. Определить объем этой пирамиды.
14. Определить объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро
которой равно /, а двугранный угол между двумя смежными гранями
равен р.
15. В правильной четырехугольной пирамиде площадь боковой грани равна Q.
Эта боковая грань наклонена к плоскости основания под углом а. Опре-
делить объем пирамиды.
16. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания
которой равна а, а плоский угол при вершине равен углу наклона боко-
вого ребра к плоскости основания.
17. Основанием пирамиды служит квадрат со стороной а. Вершина пирамиды
проектируется в одну из вершин этого квадрата. Две боковые грани
пирамиды, таким образом, перпендикулярны плоскости основания, а две дру-
гие наклонены к ней под одним и тем же углом а. Определить боковую
поверхность пирамиды.
18. Основанием пирамиды служит прямоугольник, площадь которого равна Q.
Две боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию, а две другие
образуют с ним углы а и р. Определить объем пирамиды.
19. Основанием пирамиды служит трапеция ABCD, у которой АВ = ВС —
— CD = a (ВС || AD)\ острые углы трапеции равны а. Боковые ребра
образуют с плоскостью основания угол ср. Определить объем пира-
миды.
20. В правильной шестиугольной пирамиде отношение высоты к стороне осно-
вания равно k. Определить плоский угол а при вершине пирамиды и дву-
гранный угол р между смежными боковыми гранями пирамиды.
21. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым углом а; дву-
гранные углы при основании равны ср. Определить радиус шара, вписан-
ного в эту пирамиду.
22. Пирамида имеет основанием ромб. Две боковые грани перпендикулярны
плоскости основания. Определить угол между одной из двух других боко-
вых граней и плоскостью основания, если боковая поверхность пирамиды
в т раз больше площади основания.
23. Найти объем пирамиды, основанием которой служит ромб с острым углом а,
если известно, что ее диагональное сечение, проходящее через вершины
тупых углов основания, представляет собой равнобедренный прямоугольный
треугольник, площадь которого равна s, а вершина совпадает с вершиной
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ
405
пирамиды. Угол между плоскостью этого сечения и плоскостью основания
также равен а.
24. Основание пирамиды — ромб со стороной а и острым углом а; из боко-
вых граней две перпендикулярны основанию, а две другие накло-
нены к нему под углом ср. Определить боковую поверхность этой пирамиды.
25. В основании четырехугольной пирамиды лежит ромб, сторона которого
равна а и острый угол равен а. Плоскости, проходящие через вершину
пирамиды, и диагонали основания наклонены к плоскости основания под
углами ф и ф. Определить объем пирамиды, если ее высота пересекает
сторону основания.
26. В правильной шестиугольной пирамиде с углом между боковыми ребрами,
равным а, проведено сечение через наибольшую диагональ основания под
углом р к нему. Найти отношение площадей сечения и основания.
27. В правильной четырехугольной пирамиде даны: апофема с и площадь Р
диагонального сечения. Определить угол между боковой гранью и осно-
ванием, а также сторону основания.
28. Основание пирамиды—равнобедренная трапеция, в которой а и b(a>b)—
параллельные стороны, а неравные отрезки диагоналей образуют угол ср.
Найти объем пирамиды, зная, что высота пирамиды проходит через
точку пересечения диагоналей основания, а двугранные углы, прилежащие
к параллельным сторонам основания, относятся, как 2:1.
29. Определить плоский угол 6 при вершине правильной /г-угольной пира-
миды, если боковые ребра ее наклонены к плоскости основания под углом а.
39. В правильной /г-угольной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости
основания под углом а. Под каким углом к плоскости основания наклонены
боковые ребра пирамиды?
31. Плоский угол при вершине правильной zz-угольной пирамиды равен а.
Определить двугранный угол 0 между двумя смежными боковыми гранями.
32. В правильную /г-угольную пирамиду вписан конус. Определить отношение
полной поверхности пирамиды к полной поверхности конуса.
33. Основание пирамиды — правильный /г-угольник, описанный вокруг боль-
шого круга шара радиуса R. Определить объем этой пирамиды, если
боковые ребра ее касаются поверхности шара.
34. В правильную /z-угольную пирамиду с ребром основания q и боковым реб-
ром b вписан шар. Найти его радиус.
35. Вычислить объем правильной пирамиды высоты /г, зная, что в основании
ее лежит многоугольник, сумма внутренних углов которого равна nd,
а отношение боковой поверхности пирамиды к площади основания равно k.
36. Через вершину правильной /г-угольной пирамиды и через две вершины
многоугольника, лежащего в основании, под углом а к основанию прове-
дена плоскость, рассекающая основание на два многоугольника, имеющие
соответственно г + 2 вершин и п—г вершин < ~2—)’ ^айти объем
пирамиды, если общая сторона этих двух многоугольников равна Ь.
37. Основание пирамиды SAXA2 ... Ап— правильный /г-угольник, сторона
которого равна а. Высота пирамиды проектируется внутрь этого много-
угольника вблизи вершины Аг Плоские углы / SAXA2 и / SA2An при
основании двух смежных боковых граней равны соответственно а и
а их общее ребро равно Ь. Вычислить объем пирамиды.
П. 6. Цилиндр
1. К цилиндру проведена касательная прямая под углом а к плоскости его
основания. Определить расстояние от центра нижнего основания до этой
прямой, если его расстояние от точки касания равно d, а радиус цилиндра
равен г.
2. В цилиндре высота h равна диаметру окружности основания. Точка верх-
406 Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
ней окружности соединена с точкой нижней окружности; соединяющая
прямая образует угол а с плоскостью основания цилиндра. Определить
кратчайшее расстояние между этой прямой и осью цилиндра.
3* Стороны равнобочной трапеции касаются круглого цилиндра, ось которого
перпендикулярна параллельным сторонам трапеции. Найти угол, который
образует ось цилиндра с плоскостью трапеции, если длины оснований тра-
пеции равны а и Ь, а высота трапеции равна h.
4. Все вершины квадрата, сторона которого равна 1, лежат на поверхности
круглого цилиндра, ось которого перпендикулярна стороне квадрата и
образует с его плоскостью угол а. Найти радиус цилиндрической поверх-
ности.
5. Рассмотрим цилиндр радиуса R с высотой Н. Плоскости, перпендикуляр-
ные его образующим и равноотстоящие друг от друга, делят цилиндр
на т равных цилиндров. В каждую окружность оснований каждого
цилиндра вписываем правильный n-угольник так, чтобы образующая
цилиндра, проходящая через вершину любого многоугольника, делила бы
пополам дугу, стягивающую сторону многоугольника, лежащего выше
и ниже рассматриваемого. Вершины многоугольников соединяем с бли-
жайшими к ним вершинами многоугольников, лежащих в ближайших парал-
лельных сечениях. Получаем многогранник, все грани которого равны
между собой и являются равнобедренными треугольниками, а вершины
лежат на поверхности цилиндра. Требуется вычислить поверхность этого
многогранника и найти ее предел при условии, что тп и п стремятся к оо
(цилиндр Шварца).
П. 7. Конус
1. Полукруг свернут в конус. Найти угол в осевом сечении этого конуса.
2. Определить" объем конуса, если известно, что его боковая поверхность,
будучи развернута на плоскость, дает круговой сектор с радиусом I и
центральным углом а.
3. Угол, величина которого равна а, свернут в конус. Определить угол в осе-
вом сечении этого конуса.
4. Угол при вершине в осевом сечении конуса равен а. Определить централь-
ный угол в развертке его боковой поверхности.
5. Угол при вершине осевого сечения прямого кругового конуса равен 2а,
а его высота равна h. Определить радиус шара, вписанного в конус.
6. Образующая прямого кругового конуса составляет угол а с плоскостью
основания. Объем конуса равен V. Определить радиус основания и высоту
этого конуса.
7. Определить полную поверхность конуса, если угол между его образующей
и плоскостью основания равен а, а площадь осевого сечения равна
8. Полная поверхность конуса, образующие которого наклонены к плоскости
основания под углом а, равна Р. Определить объем конуса.
9. Осевое сечение конуса представляет собой треугольник, площадь которого
равна Q. Зная, что образующие конуса наклонены к плоскости основания
под углом а, определить боковую поверхность и объем конуса.
10. В усеченном конусе диагонали осевого сечения взаимно-перпендикулярны,
а образующая составляет с плоскостью нижнего основания угол а и равна I.
Определить объем этого конуса.
11. Полная поверхность прямого кругового конуса в п раз больше поверх-
ности вписанного в него шара. Под каким углом образующие этого конуса
наклонены к плоскости его основания?
12. Вокруг шара описан усеченный конус, боковая поверхность которого от-
носится к поверхности шара, как т : п. Определить угол между образую-
щей и ббльшим основанием.
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ
407
13. Поперечное сечение конуса, делящее его объем так, что часть этого объема,
расположенная между сечением и вершиной конуса, составляет ~ всего
объема этого конуса, проходит через центр описанного шара. Найти наклон
образующей к основанию.
14. Образующая усеченного конуса наклонена к его основанию, имеющему
радиус R, под углом а; радиус другого основания равен г. Определить
боковую поверхность усеченного конуса.
15. Конус и цилиндр имеют общие основания, а вершина конуса находится
в центре другого основания цилиндра. Чему равен угол между осью конуса
и его образующей, если полная поверхность цилиндра относится к полной
поверхности конуса, как 7 : 4?
16. В усеченном конусе диагонали осевого сечения взаимно-перпендикулярны,
а образующая составляет с плоскостью нижнего основания угол а и
равна I. Определить полную поверхность этого усеченного конуса.
17. Сектор круга радиуса г с углом в п° свернут в виде конуса. Определить
угол между образующей и основанием.
18. Площадь большего и меньшего оснований усеченного конуса и его боковая
поверхность относятся, как т: п: р. Определить угол между образующей
и большим основанием.
19. В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу основания конуса.
Найти угол между осью конуса и его образующей, если полная поверх-
ность цилиндра относится к площади основания конуса, как 3:1.
20. На общем основании построены два прямых конуса (один внутри другого)
так, что их вершины находятся друг от друга на расстоянии а. Опре-
делить объем, ограниченный поверхностями конусов, если угол при вер-
шине осевого сечения большего конуса равен а, а меньшего конуса равен р.
21. Площадь осевого сечения конуса относится к площади полной поверхности
этого конуса, как т\п. Определить угол между образующей и основанием
конуса.
22. В усеченном конусе высота равна h\ образующая составляет с площадью
нижнего основания угол а и перпендикулярна диагонали осевого сечения,
проходящей через верхний конец этой образующей. Определить боковую
поверхность усеченного конуса.
23. Внутри конуса, у которого угол при вершине осевого сечения равен а,
находится другой конус, имеющий с первым общее основание; боковая
поверхность внутреннего конуса есть среднее арифметическое площади осно-
вания и боковой поверхности внешнего конуса. Определить угол между
высотой и образующей внутреннего конуса.
24. Перпендикуляр, опущенный из центра основания конуса на образующую,
вращается вокруг оси конуса. Часть конуса, от вершины до поверхности
вращения перпендикуляра, составляет ~ часть объема конуса. Определить
угол между образующей конуса и его основанием.
25. В конус, радиус основания которого 2, вписана треугольная пирамида так,
что вершина ее совпадает с вершиной конуса, а плоскость основания —
с плоскостью основания конуса. Определить объем пирамиды, если в ее
основании лежит прямоугольный треугольник с углом а и все боковые
ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, рав-
ным а.
26. Прямая линия, касательная к боковой поверхности конуса, составляет
с образующей, проходящей через точку касания, угол 0. Какой угол ср
составляет эта прямая с плоскостью основания Р конуса, если образующие
его наклонены к плоскости Р под углом а?
27. Через вершину конуса проведены две плоскости. Одна из них наклонена
к плоскости основания конуса под углом а и пересекает это основание по
408
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
( хорде, длина которой равна а, а другая наклонена к плоскости основания
под углом 3 и пересекает основание по хорде, длина которой равна Ь.
Определить объем конуса.
28. Найти косинус угла при вершине в осевохм сечении прямого кругового
конуса, зная, что на его поверхности можно провести три попарно пер-
пендикулярные образующие.
29. Высота конуса равна Н. Угол между осью конуса и его образующей равен а.
Через середину высоты под углом к оси проведена прямая, пересекаю-
щая боковую поверхность конуса в двух точках. Определить ее отрезок,
заключенный внутри конуса.
30. Определить в конусе угол между образующей и плоскостью основания,
если площадь основания, поверхность вписанного шара и площадь боковой
поверхности конуса составляют арифметическую прогрессию.
31. Через вершину О конуса проводится плоскость р, параллельная его осно-
ванию. Угол между осью конуса и его образующей равен а. Через сере-
дину высоты конуса проводится прямая, образующая острый угол (3 с этой
высотой; отрезок этой прямой между плоскостью р и плоскостью основания
конуса равен а. Определить отрезок проведенной прямой, заключенный
внутри конуса.
32. В конус с радиусом основания г и углом а между образующей и плоскостью
основания вписана прямая треугольная призма с равными ребрами так, что ее
основание лежит в плоскости основания конуса. Определить объем призмы.
33. В конус, высота которого И, вписана правильная треугольная пирамида,
боковая грань которой составляет с плоскостью основания угол а. Опре-
делить боковую поверхность и объем пирамиды и конуса.
34. В конус, радиус основания которого г, а образующая наклонена к пло-
скости основания под углом а, вписана прямая треугольная призма, все
ребра которой равны между собой, а основание лежит в плоскости осно-
вания конуса. Найти длину ребра призмы.
35. В прямой конус, образующие которого наклонены к плоскости основания
под углом (7, вписана правильная n-угольная пирамида. Определить отно-
шение полной поверхности пирамиды к полной поверхности конуса.
36. В прямой круговой конус вписана треугольная пирамида, у которой пло-
ские углы при вершине равны а, р и у. Определить объем этой пирамиды,
если объем конуса равен v.
37. В конус, образующая которого I наклонена к плоскости основания под
углом су, вписала правильная /г-угольпая призма, все ребра которой равны
между собой. Найти полную поверхность призмы.
38. Два равных конуса расположены в пространстве так, что осью каждого
из них является образующая другого. Углы при вершинах в осевых сече-
ниях этих конусов равны а. Найти угол между двумя образующими, по
которым пересекаются эти конусы.
39. В пространстве даны две точки: А и В (АВ~2а).
1°. Доказать, что плоскости, проходящие на равных расстояниях d(d < а)
от точек А и В, либо параллельны АВ, либо проходят через сере-
дину отрезка АВ. Обозначим через Sj семейство всех плоскостей,
каждая из которых параллельна отрезку АВ и проходит от точек А
и В на расстоянии d, а через S2 — семейство всех плоскостей, кото-
рые проходят через середину J отрезка АВ и находятся на расстоя-
нии d от точек А и В. Каждая плоскость первого семейства касается
некоторого кругового цилиндра каждая плоскость второго семей-
ства касается некоторого прямого кругового конуса С2.
2°. Пусть Р — произвольная плоскость из семейства Sr Доказать, что
существуют две плоскости П и П' из семейства S2, перпендикуляр-
ные плоскости Р. Существует ли другая плоскость Р' из семейства
также перпендикулярная плоскостям П и ГГ?
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ
409
40.
3°. Пусть Р — какая-нибудь плоскость из семейства Обозначим через
М какую-нибудь точку, в которой пересекается эта плоскость Р,
конус С2 и какая-нибудь плоскость из семейства S2. Обозначим
через Д', В' и J' проекции точек А, В, и J на плоскость Р, а че-
рез К
прямой
конуса
и L — проекции точки М на АВ и А'В'; пусть а — угол
JM с плоскостью Р и р — половина угла осевого сечения
С2. Доказать, что
KL = d, 4sln
sin a sin а
Доказать, что существует соотношение между J'L2 и ЛЛ42.
Сосуд состоит из боковой поверхности усеченного конуса, меньшее осно-
вание которого закрыто касающимся образующих сферическим сегментом.
При этом, если продолжить этот сферический сегмент, то сфера коснется
большего основания (черт. 78).
1°.
2°.
3°.
4°.
Зная радиус R сферы и угол 2а между
образующими конуса, вычислить радиус
усеченного конуса, его высоту НК и об-
разующую АВ.
Показать, что, исходя из тождества
, / тс я \ 14-sin а
Ct44-2) = -^-’
можно легко вычислить АВ.
В дальнейшем полагаем, что а = 30°. Со-
суд наливают водой; уровень воды х
(считая от дна). Вычислить поверхность
s воды:
а) в случае х < PH;
б) в случае х > PH.
Начертить график функции s^s(x') при условии,
от 0 до РК. Показать, что график состоит из двух различных кри-
вых, имеющих, однако, в общей точке общую касательную.
двумя противоположными
АН меньшего основания
Черт. 78.
что х изменяется
П. 8. Сфера в комбинации с многогранниками, цилиндром и конусом
1. В конус вписан шар. Высота конуса h; угол образующей с плоскостью
основания а. Определить поверхность шара.
2. Определить отношение объема конуса к объему описанного вокруг него
шара, если образующая наклонена к основанию под углом а.
3. Поверхность шара, вписанного в конус, равна площади основания конуса.
Найти угол при вершине конуса.
4. В шар радиуса R вписана правильная четырехугольная пирамида, ребро
которой наклонено к плоскости основания под углом а. Определить объем
пирамиды.
5. Полная поверхность конуса в два раза больше поверхности вписанного
в него шара. Определить отношение объема конуса к объему шара.
6. Плоскость, проведенная через центр шара, вписанного в конус, параллельно
плоскости основания конуса, делит объеАм конуса пополам. Найти угол
в осевом сечении конуса.
7. Вокруг шара радиуса R описан прямой круговой конус, в котором угол
между образующей и плоскостью основания равен а. Определить боковую
поверхность этого конуса.
8. В конус с образующей /, наклоненной к плоскости основания под углом а,
вписан шар, а в него — куб. Определить поверхность куба.
9. В конус, образующие которого наклонены к плоскости основания под
углом а, вписан шар. Определить отношение объема шара к объему конуса.
410
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
10. В конус вписан полушар так, что плоская сторона лежит на основании
конуса, а выпуклая сторона касается всех образующих. По длине образую-
щей I и углу а между образующей и основанием найти объем полу-
шара.
11. Угол при вершине осевого сечения прямого кругового конуса равен а,
а радиус основания конуса равен /?. Найти радиус такой сферы с центром
в вершине конуса, которая делила бы объем конуса пополам.
12. Определить двугранный угол при основании правильной пирамиды, если
центр вписанного шара делит ее высоту в среднем и крайнем отно-
шении.
13. Определить двугранный угол при основании правильной четырехугольной
пирамиды, если радиус шара, описанного вокруг нее, в п раз больше
радиуса вписанного шара.
14. Вокруг сферы описана правильная 2п-угольная пирамида, у которой угол
между плоскостью основания и боковой гранью равен а. Найти отношение
полной поверхности пирамиды к поверхности сферы.
15. Шар радиуса R вписан в пирамиду, в основании которой лежит ромб
с острым углом а. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости осно-
вания под углом ср. Найти объем пирамиды.
16. Радиус шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, равен г.
Двугранный угол, образованный двумя соседними боковыми гранями этой
пирамиды, равен а. Определить объем пирамиды, имеющей вершину
в центре шара, а вершины основания — в четырех точках касания шара
с боковыми гранями данной пирамиды.
17. В конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под
углом а, вписан шар радиуса г. Определить полную поверхность конуса и
его объем.
18. В шар радиуса R вписана правильная четырехугольная пирамида, боковое
ребро которой образует с плоскостью основания угол а. Определить объем
пирамиды.
19. В прямой круговой усеченный конус вписан шар. Объем этого шара соста-
вляет половину объема конуса. Определить угол наклона образующей
конуса к плоскости основания.
20. В конус вписан шар. Линия касания шара и боковой поверхности конуса
т ~
делит последнюю в отношении —. Определить угол между образующей и
основанием конуса.
21. В усеченный конус вписан шар. Радиусы оснований конуса и г2. Опре-
делить угол наклона образующей конуса к основанию.
22. Вокруг шара описан прямой параллелепипед, объем которого в т раз больше
объема шара. Определить углы в основании параллелепипеда.
23. Из вершины конуса, как из центра, описана сферическая поверхность,
касающаяся основания конуса. Часть конуса, заключенная между вершиной
и этой поверхностью, составляет по объему ~ часть объема конуса.
Определить угол при вершине осевого сечения конуса.
24. Вокруг шара описана правильная четырехугольная пирамида, боковая грань
которой составляет с плоскостью основания угол а. Определить отношение
объемов частей пирамиды, на которые ее рассекает касательная к шару
плоскость, проведенная параллельно основанию.
25. В конус вписан шар. Радиус окружности, по которой боковая поверхность
конуса касается шара, равен г. Радиус шара, проведенный в произволь-
ную точку этой окружности, наклонен к ее плоскости под углом а. Найти
объем конуса.
26. Вокруг шара, радиус которого равен г, описан конус (прямой, круговой)
наименьшего объема. Найти угол при вершине осевого сечения конуса.
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ
411
27. В конус, образующая которого составляет угол а с плоскостью основания,
вписан полушар так, что больший круг полушара лежит на плоскости
основания. Определить, в каком отношении объем конуса лечится сфери-
ческой поверхностью.
28. Определить угол в осевом сечении прямого кругового конуса, если объем
вписанного в него шара равен объему, содержащемуся между сферической
поверхностью и вершиной конуса.
29. В конус вписана полусфера, большой круг которой лежит на основании
конуса. Определить угол при вершине конуса, если полная поверхность
конуса относится к боковой поверхности полусферы как 18:5.
30. Вокруг шара радиуса описан усеченный конус, образующая которого
составляет угол а с плоскостью большего основания. Определить объем и
боковую поверхность усеченного конуса.
31. Вокруг шара радиуса R описана правильная шестиугольная пирамида, боко-
вая грань которой составляет с плоскостью основания угол а. Определить
боковую поверхность и объем пирамиды.
32. Три шара имеют радиусы, каждый из которых равен 6а, а четвертый
шар — радиус а. Найти радиус пятого шара, если известно, что каждый
из пяти шаров (внешним образом) касается четырех остальных.
33. Вокруг шара описана правильная n-угольная пирамида, у которой двугран-
ный угол при основании равен а. Найти отношение объема шара к объему
пирамиды.
34. В шар радиуса /? вписана правильная треугольная пирамида. Вычислить объем
пирамиды, если ее ребро наклонено к плоскости основания под углом а.
35. Определить двугранный угол при основании правильной четырехугольной
пирамиды, если радиус описанного шара в 2г/2 раза более радиуса вписан-
ного шара.
36. Правильный многоугольник, имеющий четное число сторон, вращается
вокруг прямой, параллельной его стороне и не пересекающей многоуголь-
ник. Вычислить предельным переходом поверхность и объем тела враще-
ния, полученного вращением окружности вокруг прямой, не пересекающей
окружность.
37. Внутри конуса лежит шарик, касающийся основания в его центре. Через
вершину конуса проведена плоскость, касательная к шарику. Эта плоскость
наклонена к плоскости основания конуса под углом р и отсекает на окруж-
ности основания дугу а (в угловой мере). Определить поверхность шарика
и объем конуса, если высота конуса равна Н.
38. Площадь поверхности шара, вписанного в конус, равна площади основания
конуса. Определить угол при вершине осевого сечения конуса. Решить
задачу, предполагая, что отношение поверхности шара к площади основа-
ния конуса равно т.
39. Определить угол при вершине осевого сечения прямого кругового конуса,
если шаровая поверхность с центром в его вершине, касающаяся основа-
ния, делит объем конуса в отношении 1 : 2 (считая от вершины).
40. Отношение поверхности шарового сегмента к боковой поверхности конуса,
имеющего вершину на поверхности шара, а основание общее с основанием
сегмента, равно т. Определить угол между образующей конуса и осью.
Разобрать два случая:
а) конус расположен вне сегмента;
б) конус вписан в сегмент.
41. Центры шаров, описанного вокруг правильной четырехугольной пирамиды
и вписанного в нее, совпадают. Определить плоский угол при вершине
этой пирамиды.
42. Площадь поверхности шарового пояса, основания которого равны между
собой, равна сумме площадей оснований. Определить величину дуги в осе-
вом сечении шарового пояса.
412
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
43. Определить центральный угол осевого сечения сферического сектора 1-го
рода (т. е. не имеющего полости), если объемы его сферической и кони-
ческой части равны между собой.
44. Из точки шара радиуса R проведены три равные хорды под углом а друг
к другу. Определить длину этих хорд.
45. На поверхности полусферы радиуса г расположены три окружности,
радиусы которых равны а, причем каждая окружность внешним образом
касается двух других. Найти радиус окружности, также расположенной на
данной полусфере и касающейся трех данных окружностей внутренним образом.
46. Определить поверхность тела, получаемого при вращении правильного
пятиугольника со стороной а вокруг одной из его сторон.
47. Дуга, стягиваемая хордой длины а, вращается вокруг диаметра, проведен-
ного из ее конца и образующего с хордой угол ср. Определить площадь
полученной поверхности.
48. Ромб с большей диагональю d и острым углом у вращается вокруг оси,
проходящей через вершину ромба и перпендикулярной большей диаго-
нали его. Определить объем тела вращения.
49. Определить отношение объемов двух тел, образованных вращением равно-
бедренного треугольника вокруг основания и одной из боковых сторон,
зная, что угол при вершине этого треугольника равен 2а.
50. Сегмент круга вращается вокруг диаметра, проходящего вне сегмента и
составляющего с хордой его, равной а, угол а. Определить объем полу-
ченного тела вращения. (
51. Через точку А окружности проведены хорда АС и диаметр АВ. Отноше-
ние объема, образованного вращением фигуры АСтВ вокруг диаметра АВ,
к объему, полученному при вращении сегмента АпС вокруг той же оси,
равно k. Определить угол между АС и АВ.
52. Рассмотрим семейство сфер, касательных к данной плоскости Р в данной
точке А. Дана прямая ОХ, перпендикулярная плоскости Р. Доказать, что
точки касания рассматриваемых сфер с касательными плоскостями к ним,
проходящими через ОХ, расположены на конусе вращения, сфере и ци-
линдре вращения. Найти эти поверхности.
53. АВС — прямоугольный треугольник со сторонами а, Ь, с; ВС = а — гипоте-
нуза. Вращая этот треугольник вокруг С А — Ь, получим конус.
1°. Определить центр / и радиус г сферы, вписанной в этот конус.
2°. Окружность, по которой касается сфера (/) с конусом, делит (/) на
два сферических сегмента. Найти отношение их поверхностей в функ-
ции а и с, затем в функции tg-^-.
3°. Проводится плоскость (Р) через прямую СВ. Конус пересекается
по треугольнику ВСВ'\ ВВ'— сторона этого треугольника, лежащая
в основании конуса; положим ВВ' — 2х (0 х с); рассмотрим
также угол 2и при вершине С треугольника ВСВ' (угол и с х свя-
зан простым соотношением). Сфера (/) пересекается этой плоскостью
по окружности (/') радиуса г'.
Стороны а, Ь, с считаются заданными. Вычислить г' и отношение
площади круга (У7) к площади треугольника ВСВ' в функции х.
54. Рассмотрим две сферы (Л) и (В) радиусов а и b такие, что одна лежит
вне другой. Расстояние между их центрами обозначим через 2d (так что
2d>a-\-b).
I. Предположим, что а^Ь.
1°. Пусть Р — какая-нибудь точка, лежащая на сфере (Д). Доказать, что
существует две, одна или нет ни одной общей касательной к сферам (Д)
и (В), таких, что сферы (Д) эти касательные касаются в точке Р
в. зависимости от того, пересекает, касается или не пересекает
сферу (В) плоскость, касательная к сфере (Д) в точке Р.
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ 413
Как в первом случае можно построить эти две общие касательные?
2°. Рассмотрим плоскость (V), проходящую через линию центров АВ,
которая пересекает (Л) и (В) соответственно по окружностям (а)
и (р); точка Р берется на одной из полуокружностей, отсеченной
от (а) прямой АВ\ положение точки Р на этой полуокружности
определяется углом X от луча АВ до луча АР (0 ^Х^тс); касатель-
ная в точке Р к окружности (а) есть след на плоскости (-и), плоскости
касающейся сферы (Л) в точке Р. Определить дугу полуокружности,
на которой должна находиться точка Р для того, чтобы через нее про-
ходила по крайней мере одна касательная, общая к сферам (Л) и (В);
в каких пределах должен быть в таком случае заключен cosX? Пло-
скость поворотом вокруг касательной к окружности (а) в точке Р
совмещается с плоскостью (у)\ при этом общие касательные к сфе-
рам (Л) и (В) также попадут в плоскость (г/). Построить в плоско-
сти (г/) совмещение этих касательных.
3°. Рассмотрим все касательные, общие к заданным сферам. Найти на
этих сферах геометрическое место точек прикосновения и охарактери-
зовать размеры соответствующих зон и их площади.
II. Случай равных сфер.
Предположим а — b. Обозначим через О середину отрезка ЛВ, через Р
и Q — точки прикосновения общей касательной к сферам (Л) и (В) с этими
сферами и через F— ортогональную проекцию точки О на прямую PQ.
1°. Доказать, что F— середина отрезка PQ и что прямая OF — общий
перпендикуляр прямых ЛВ и PQ в случае, если эти прямые не
лежат в одной плоскости. Начертить ортогональные проекции фигуры,
образованной отрезками ЛВ, PQ, АР, OF и BQ, принимая последова-
тельно в качестве плоскости проекции: плоскость, параллельную ЛВ
и PQ-, плоскость, перпендикулярную PQ, и, наконец, плоскость,
перпендикулярную ЛВ.
2°. Принимая предположения и обозначения, введенные в I, 2° относи-
тельно расположения плоскости (*и) и выбора точки Р на полу-
окружности (а), при котором существует, по крайней мере, одна
общая касательная к сферам (Л) и (В), вычислить в функции a, d
и cosX длины отрезков PQ и OF и косинусы углов:
у = cos (OP, OQ), z = cos (FA, FB), u = qos(AP, BQ).
3°. Полагая cosX — x и ~ = m, выразить у, z и а через tn и х.
Изучить изменение этих функций при условии, что x = cosX прини-
мает всевозможные значения.
III. Случай неравных сфер.
Предположим а > Ь.
1°. Пусть М — какая-нибудь точка, лежащая вне сферы (Л) и вне
сферы (В). Рассмотрим два конуса вращения: (М, Л) и (7И, В),
с вершиной 714, описанных соответственно вокруг двух сфер: (Л)
и (В) (слово «конус» означает здесь ничем не ограниченную кониче-
скую поверхность, продолженную в обе стороны от вершины).
Доказать, что геометрическое место точек 7И таких, что конусы
(714, Л) и (714, В) равны, есть сфера (S); определить точки / и J
встречи этой сферы с линией центров ЛВ (через I обозначим ту из
точек, которая лежит внутри отрезка ЛВ) (для решения этого вопроса
можно вычислить сначала синусы половин углов в осевых сечениях
конусов (7И, Л) и (7И, В) в функции радиусов а, b и расстояний
ТИЛ и МВ).
2°. Доказать, что ортогональные проекции Н и К точек I и J на общую
касательную к сферам (А) и (В) лежат на сфере (S). Что предста-
414
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
вляет собою прямая HI для треугольника НАВ '(а также прямая KJ
для треугольника КАВ), если точка Н (соответственно К) не рас-
положена на АВ? Показать, что если общая касательная к двум сфе-
рам (Л) и (В) не пересекает их линии центров АВ, то точка Н есть
один из центров гомотетии двух окружностей, полученных в сечении
сфер (А) и (В) плоскостью, перпендикулярной IH и проходящей
через где находится второй центр гомотетии этих двух окруж-
ностей? Изложить окончательные результату для точки К.
3°. Доказать, что геометрическое место ортогональных проекций точек /
и J на все общие касательные к сферам (Л) и (В) есть два сфери-
ческих сегмента сферы (S). Вычислить высоту и площадь каждого
из них в функции a, b, d. Какому условию должны удовлетворять
a, b, d для того, чтобы эти два сферических сегмента имели бы
общую часть. Пусть, наконец, Л1 — точка сферы (S). Как можно
определить общие образующие конусов (7И, Л) и (7И, В)? Исследо-
вать, в зависимости от различных положений точки М на сфере (S),
число этих общих образующих.
ОТВЕТЫ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. АЛГЕБРА
Глава Г Тождественные преобразования -
§ 1. Тождественные преобразования многочленов
13. Воспользоваться тождеством х3 4“ У3 + 23 — 3xyz = (х 4- у 4- z) (х2 4- У2 + z2 — yz —
— zx — ху) и положить х = b 4- с, у = с 4-a, z = а 4- Ь. 14. См. указание к пре-
дыдущей задаче. 15. См. указание к задаче № 13. 17. См. указание к задаче № 13.
18. См. указание к задаче № 13. 19. См. указание к задаче № 13. 20. Положить
Ь-\-с — а — 2х,с-\- а — b = 2у, а-±-Ь — c = 2z; тогда а = у 4-2’, b~z-\-x, с — хД-у
и т. д. 22. Рассмотрим выражение (x-\-y-\-z)3— (—^4~У4~г)3— (х— У4-2’)3 —
— (х 4- У — z)3. При х = 0, при у = 0 и при z = 0 оно обращается в 0 и значит
делится на xyz. Но это выражение 3-й степени относительно х, у, z, следовательно,
в частном получится число С и, таким образом, данное выражение равно Cxyz.
Но при х = у = z = 1 данное выражение обращается в 24, значит С = 24.
24. См. указание к задаче № 22. 25. 4 [(х— а)2-^-Зах]3— 27а2х2 (х 4- а)2 =
= 4 (х — а)3 4- 36 (х — ау ах 4» 108 (х — а)2 а2х2 4- Ю8д3х3 — 27а2х2 (х 4- а)2 —
= 4 (х — л)6 4~ 36 (х — fl)4 ах 4~ 108 (х — а)2 а2х2 — 27а2х2 (x — a)2 = (x—a)2 (2x24
4- 5ax 4- 2a2)2 = (x — a)2 (2x 4- a)2 (x 4- 2a)2. 28. Левая часть при а = 0,
при b = 0, при с = 0 и при а — — (b -j- с) обращается в нуль и, следовательно,
имеет вид Cabc (а 4- b 4- с). При а = b = с = 1 получаем 81 —48 4- 3 = ЗС, С = 12.
33. Положить у4-г = а, у — г = о. 34. Положить а — с = х, b — а = у; тогда
b — с = х 4~ У и далее см. № 31 и 32. 35. Данное выражение обращается
в нуль при а = b = с = d = 0 и д4~^+с + ^ = 0 (отсюда, например, а-\-Ь =
= — (с 4- rf) и (а 4- Ь)3 4- (с 4" ^)5 = 0 и т. д.). Значит левая часть равна Cabcd (а4>
4-b 4-с 4- d). При а=6=с=^=1 имеем 4С = 45— 4-35 + 6-25 — 4 = 240,
С = 60. 39. Левая часть есть целая рациональная функция от а третьей
степени. При четырех значениях а (а = 0, a — b, а = с, a — d) она обращается
в нуль; следовательно, данное выражение тождественно равно нулю. 41. х34-у34-
4- z3 — 3xyz. 42. х6 — 1. 43. а3 4- Ь3 4- с3 4~ d3 — 3 (abc 4- abd 4~ acd 4- bed). 44. babe.
45. 62(fl4-3&)2. 46. (be 4- ca 4- ab)2. 47. abed (a 4- b 4- c + d)2.
§ 2. Условные тождества между многочленами
4. Указание к в), г) и д): см. гл. I, § 1, № 30, 31, 32. 6. У к а з а н ие. 4х3 — 27у2 =
= 4 (Ь2 4- Ьс 4- с2)3 — 27Ь2с2 (Ь 4- с)2 = 4 [(6 — с)2 4- 3bc}3—27b2c2 [(6 — с) 4- 2с]2.
13. Указание, и3 4~ v3 4- w3 — 3uvw = (w 4~ v + w) • -pf [(v — w)2 4~ — u)2 +
+ (« —v)2]. 14. Указание. X2 + У2 + Z2 — YZ — ZX— XY = 1 [(У— Z)2 +
4- (Z — X)2 4- (X — У)2]. 16. Решение: возьмем три данных соотношения:
Ai + bl 4“ ci = 1»
А 1^2 4“ ^1^2 4“ ^1^2 6,
aia3 4" ^1^3 4" с1сз == 6. (1)
Умножая первое из них на b2c3 — b3c2, второе на с^3 — с3Ьх и третье на
Ьхс2— Ь2сх и складывая, получим ах (ахЬ2с3— ахс2Ь3-\-а2схЬ3— а2с3Ьха3Ьхс2—
— а^2с\) = ^2сз — ^зс2> ИДИ «1 • А = Ь2с3 — Ь3с2 (2), где Д = аА^з — а^^з + а2сi—
— а2с3Ьх 4- а3Ьхс2— а3Ь2сх. Умножая первое из соотношений (1) на с2а3 — с3а2, вто-
рое— на ахс3 — а3сх и третье — на а2сх—ахс2, а затем, складывая, получим
61-Д = «3с2 — а2с3 (3). Умножая первое из соотношений (1) на а2Ь3 — а3Ь2, вто-
рое— на ^ifl3 — b3ax и третье — на ахЬ2 — а2Ьх и складывая, получим: Ci • Д =
= а2Ь3 — а3Ь2. (4). Из соотношений (2), (3), (4) следует, £что (а\ 4- b\ 4~ <q) д2 =
== (62С3 — Ь3С2)2 + (аЗС2 — й2Сз)2 + (а2^3 ~= (а2 + Ь2 + 4) (а3 + Ь1 + Сз) —
— (д2«34- Мз4~ с2сз)2 " 1- Но ai + tf+ci — 1’ значит Д2=1, откуда Д = 1 или
416 Ответы. Алгебра. Гл. I. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Д= — 1. Аналогично могут быть выведены соотношения: а2 • А = Ь3сх—
Ь2 * Д == ^2 * Д ^1^з — и • Д = Ь}С2 — b2clt b3 • Д = л2С\ —— d\C2i
с3. А == а{Ь2 — а2Ь\. . Теперь находим 4" + Лз := а1 ’ а1 + а2 ’ а2 4" аз ’ аз ~
^2с3- ЬзС2 I _ ^3С1- ^1С3 I _ Ь1С2--Ь2С\ Д 1 д2 ( д2 I t2 L Г .
= «1 ----д------Г а2 ----д-----Г Лз ----Д---- = у = 1, + *2 + *3 == *1 * *1 +
। к к । д к к а^с2 — а2сз" । Л й1сз — #3С1 ( А а2с}—ахс2 А
+ ь2 • ь2 + Ь3 • b3 = bl-------Н Ь2 ----------|- Ь3---------- = — = 1 И ана-
логично Cj + с2 + сз ” 1- Далее» ^1^1 + ^2^2 + азЬз — а\----+ а2 ~-С - ДзС1 +
ДА А
_|_ я3 ~ q (после приведения подобных членов) и аналогично 4-
+ а2С2 + а3с3 — biC\ 4“ ^2С2 + Ь3С3 = 0.
§ 3. Симметрические многочлены
1. Указания: имеется несколько методов представления симметрической функции
в виде целой рациональной функции от основных симметрических функций. Эти
методы основаны на формулах Ньютона и Варинга. Существуют также методы
Жирара и Гаусса. *
Первый способ. Пусть
pi == Xi 4-х24~ ... 4-*л,
р2 = *1*2 + *1*з 4~ ... + *1*/г + *2*3 + ... + х2хп + ... + *Л-1*Л,
Рп = *1*2*3 . . . */2
основные симметрические функции от п аргументов *ь х2,..., х„, а ср (хь х2.хп) —
данная симметрическая функция. Рассмотрим то слагаемое Ах^х^3... х*“ в выра-
жении для ср, в котором «1 >-а2 > ... >ал (в силу симметрии ср такое слагаемое
всегда существует). Разность ср — Арх р2 ...рпп~г пр£ будет также симме-
трической функцией, и в ней это слагаемое Ах^х2 ... х£ сократится. Продолжая
вычитание, мы решим задачу. Можно также воспользоваться методом неопреде-
ленных коэффициентов (см. ниже). Решим теперь первый пример: ср = х3 ч- у3 4-
4-г3 — 3xyz; здесь слагаемое Ах^'х2\ .. х°пп, о котором говорилось выше, есть
x3y°z°. При этом «1 = 3, а2 == 0, а3 = 0. Находим ср — Р^Р^Р^ = *3 -4- у3 4~ ^3—
— 3xyz — (х 4- у 4- г)3 = 3 (у 4- г) х2 — 3 (3yz 4- z2 4- у2) х — 3yz (у 4- z). Теперь
в члене —Зх2у мы имеем: А —— 3, а1 = 2, а2 = 1, а3 = 0. Составляем разность
— 3 (у + z) х2 — 3 (3yz 4- z2 4- у2) х — 3yz (у 4- г) 4- 3 (х 4- у 4- z) (yz 4- zx 4- ху) ~0.
Итак, х3 4- у3 4- — 3*yz = pl — Зргр2 = (х 4- у 4- z)3—-3 (х + у 4- z) (yz 4- zx 4- ху).
Второй способ (метод неопределенных коэффициентов). Возьмем член х3; для
него «1 = 3, а2 = 0, а3 = 0. После составления соответствующей разности надо будет
рассматривать слагаемое вида х2у, для которого «1 — 2, а2 — 1, а3 — 0, затем сла-
гаемое вида xyz, для которого «j = 1, а2 = 1, а3 = 1. Соответствующие слагаемые,
которые надо будет вычитать, будут: Apf, Вр^р^ Сру Итак, х34~>34--2'3 — 3xyz~
= А (х 4- у 4- 43+ ^(* + У + -г) (У-2'4- 2Х 4- ху) 4~ Cxyz. Пусть х = у = 0, z = 1,
тогда 1 — А; пусть z = 0, х — у — 1, тогда 2 = 8А 4- 2В, В = — 3; пусть х = у ~
— z = l, тогда 0 = 27А 4-9В 4-С = 0, С — 0. Итак, х3 4- у3 4- z3 — 3xyz =
= Pi — ^РгР2 == (* 4- У + ^)3 — 3 (* + У + 4- гх 4- ху). Наконец, задача допу,
скает и элементарное решение: х3 4- У3 4~ — Зхуг = (х 4~ У 4~ г) (*2 4" У2 4" z2_
— yz — zx — xy) = (х4-у 4-z) [(х4-у 4-z)2 — 3yz — 3zx — Зху] = (х4-у4-г)3 —
— 3 (х 4- у 4- z) (yz 4- zx 4- ху). 2. PiP2 ~ Зр3. 3. р\ — 4/?^2 4- Зрхрг. 4. Указа-
ние. Составляем таблицу значений аь а2, а3 (a.i > а2 > аз. ai 4 + аз = 7):
ai я2 а3
5 2 0
5 1 1
4 3 0
4 2 1
3 3 1
3 2 2
* См., например, А. К. С у ш к е в и ч. Основы высшей алгебры.
Ответы. § 3. СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ 417
Значит, х5у2 + х2у5 х5г2 -|- x5x2 + у5х2 + г5У2 = APiP2 + ВР\Рз + СР\Рг +
+ Dp\p2p2 + Ер2р3 + Fptfl = А (х + у + г)3 (уг + zx 4- ху)2 + В (х + у 4- г)4 xyz +
+ С (х 4- у 4- z) (у г 4- zx 4- ху)3 4- D (х 4- у 4- z)2 (yz 4- zx 4- ху) xyz 4- Е (yz 4- zx 4-
4- ху)2 xyz -j- Е (х 4- У 4- г) x2y2z2.
Следует придавать х, у и z такие значения, чтобы в полученных уравне-
ниях А, В, С, D, Е, F определялись постепенно; так, полагая z = 2, х = у == — 1,
находим: — 1 — 1 — 4 + 32 — 4 + 32 = 9-2Д откуда £= 3. Полагая z = О, х = у = 1
и z — 0, х = 1, у = 2, получим 8Л + 2С = 2, 108Л + 24С=36, откуда А = 1,
С = — 3. Полагая х = 2, у = — 1, z = 2nx = 3, у = — 2, z = 6 (для того, чтобы
обратился в нуль член yz + zx + ху), получим: З4 (—4) В + 3F- 4 • 4 = 32 — 4 +
+ 128+ 128 — 4 + 32 и 74 • 3 • (— 2) • 6В + 7 • 62 • З2 • 2F= З5 (— 2)2 + (— 2)5 • З2 +
+ З5 • 62 + 65 • З2 + (— 2)5 • 62 + 65 (— 2)2, откуда В = — 2, F = — 7. Наконец, по-
лагая х = у = z == 1, найдем 6 = 243Л + 81В + 81С + 21D + 9£ + 3Ff откуда D = 6.
Итак, х5у2 + х2у5 + xbz2 + z5jc2 + y5z2 + z5^2 = (х + у + z)3 (yz + zx + ху)2 —
— 2(x + y + z)4xyz —3(x + y + z) (yz + zx + xy)2 + 6(x + y + z)2(yz + zx+x>)xyz +
4- 3 (yz 4- zx 4- xy)2 xyz — 7 (x 4- у 4- z) (xyz)2. 5. p{p2 — p3. 6. p^ — 2pfp3 — 2pl+
+ W2P3 — Pl 7- P1P2P3 — P\P4 — Pl 8- P1P2 — 4Р1Рз — 4P2 + ^Р1Р2Рз—27Рз-
9. p[pA + pl — 4p2pA. Ответ: p\ — 3prp2 + Зр3. Задача может быть решена эле-
ментарно или указанным общим методом, или еще при помощи формул Ньютона.
Рассмотрим целую рациональную функцию от х
/(х) = (х —xj)(x —х2)(х —х3) ... (х —хД (1)
f(x) = xn-plxn-'+p2xn-2-p3x"-2+ ... 4-(-1)'>ря, (2)
где ръ р2, Рз, ..., рп — основные симметрические функции. Найдем /(х4-й),
исходя из (1) и исходя из (2):
f (х 4- h) = (х 4 h — х^ (х h — х2) (х 4- h — х3) ... (х 4- h — хп) =
= (х — х^ (х — х2) (х — х3) ... (х — х„) 4-
4- h [(х — х2) (х — х3) (х — х4) ... (х — хп) 4-
4-(х —х,)(х —х3)(х —х4) ... (х — хп) +
+ (х — x,)(v — х2)(х — х4) ... (х —х„)4- ... 4-
4-(х — х,)(х — х2)(х — х3)...(х — х„_1)14- ...;
с другой стороны У(х4 h) = (х4-й)я— рг (x+h.)n~l 4-р2 (x+h)n~2 — ... 4- (—1)пРп =
= хп — ptxn~' 4 РахП~2 — • • • 4- (— 0” Рп + [«Xя-1 — Pi (п — 1) х”-2 4-
+ Ра(п—2)хя~3— ... 4-(—1)л“‘Pn-i] + Приравнивая полученные выраже-
ния и учитывая равенства (1) и (2), мы получим равенство двух многочленов отно-
сительно й, начинающихся с й в первой степени. Так как эти многочлены тожде-
ственно равны, то должны быть равны коэффициенты при й в первой степени, т. е.
(х — х2) (х — х3) (х — х4) ... (х — хп) 4-
4- (X — Xj) (х — х=) (х — х4) ... (х — хл) 4-
4- (х — Х|) (х — х2) (х — х4) ... (х — х„) 4-
+................................+
4- (X — Xi) (х — х2) (х — х3) ... (х — хл_0 =
==„х«-1_р,(и_1)хя-24-/?2(п-2)хя-34- ... 4-(_1)я-|ря_ь
или
f(x) f(x) /(X) ..
X — X! ' X — Х2 ”1' " ' X — Хл
==„х»-1_р1(л_1)лп-2 + л(га_2)хя-3+ ... 4-(-1)я-,л_1. (3)
Если выполнить деление f (х) на х — хь исходя из выражения (2) для f(x),
то мы получим ^+2 = хя-1 4- (Xj—рг) х"~2 4- (х2 — Xj/4 4-р2) х"~3 4- • • • +
4-хя-1 — хя-2Р1 4-х"~лр2— ... 4-(—1)Л-1РЛ_Г и аналогично
+^ = хл~14-(х2-р1)хл-24-(х^ —х2р14-р2)хп~34- ... 4-
+ —л2 ^Р1~^л2 3Р2— ••• (—1)” 1 Рп^Ъ
-++ = хл-14-(хп-р,)хп~2 4(х2— х„/>14-р2)хя~34- ... 4-
л. л fi
4-хл"1-хя-2р1 + хя-%- ... 4-(-1)"'1 Рл_г
27 П. С. Моденов
418
Ответы. Алгебра. Гл. I. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Складывая и учитывая (3), получим
пхп~{ ~p{(ii-~\)xn-2 + р2(п — 2)хп~3 — ... -j-(—
= пхп~1 + ($! — ПР1) хп~2 4- ($2 — ${р{ 4- Пр2) Хп~~3 4" ••• +
+ 5n-l-S«-2^1 + Sn-3^2- ••• +"(-1)^4-r
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (например, при xn-k-^,
получим (— \)kPk(n — k) = sk — S*-1A+ «й-2Р2— • +(— 1)к прk, или
Sk — Sk-iP\ + Sk-2p2— +*(— l)ftA=0, k = 1, 2, 3, .... n — 1 (4)
Соотношение (4) есть первая формула Ньютона. По ней находим (k = 2): s2 — Sipt +
+ 2р2 = 0, откуда s2 = pl — 2р2, т. е. х% + х2 + х?3 + ... + х2п = (Xj +*2 + -*3+ •••
• • • + ХпУ-2 (XjX2 + Х]Х3 + • . . + *\Хп 4- Х2Х3 + .. . + Х2Хп 4- ... 4“ хп-\хпУ*
Далее, при k = 3 находим s3 — s2px + s^2 — Зр3 = 0, s3 == рг (pj —2р^ —р^ + 3/>3 =
~ р[ — ЗР1Р‘2 + Зр3. 11. pi — 4р\Р% + 2^2 + ^Р\Рз — ^р4. См. указание к предыдущей
задаче (воспользоваться формулой Ньютона). 12. См. указание к предыдущей задаче
(воспользоваться формулой Ньютона). Ответ: pf — Ьр\р2 4~ ^Р\р2 + ^Р\Рз— ^Р^Рз—
Splpi Д' 3/?5.
§ 4. Делимость многочленов
1. __ (Ьс 4- са 4- ab). 2. 1. 3. xn~k xn~2kak 4- ... 4-дл“^. 4. xn~k — xn~2kak + ...
п ( J
5. xn-k — xn-2kak + .. _ ап-к 6> (XJ_ 1)2П_х2П_'2х— 1 = [(х+ 1)2]Л —
— (х2)л — (2х + 1) = [(х + I)2 — х2] ((х + 1)2Л~2 + (X + 1)2Я-< х2 + . . . +
+ (X + I)2 х2"-4 + х2П~2] — (2х + 1) = (2х + 1) [(х + 1)2Л~2 + (X 4- 1)2Л-" х2 4- ...
... -4-(х 4-I)2 х2л-4 + х2Л-2—1]1 иосде деления на 2x4-1 получим (х-|-1)2л_2 +
+ (Л 4- 1)2«-4 х2. 4- ... 4- (х 4- 1)2 Л2Ч-4 4- Х2П~2 _ ]. СуММЭ (х 4. 1)2Л-4 х2 4. ...
... 4- (* + 1)’х2л-4 делится на х(х 4-1) ив частном получается (х4~ 1)*л_’х4~ ...
...+(•* +1)*2Л-5< Остается разделить (х-f-1)2Л_’-f-х2л-а— 1 на х(х-|-1).
Имеем:
(х 4- 1)2Л~2 4- *2Л_2 — 1 = (х 4- 1)2Л-2 4- (х2 — 1) (х2Л~4 4- х2Л~6 4- ... 4- х2 4-1) =
= (х4-1)[(х4-1)2Л-34-(х— 1)(’с2л—44~х2л—®4“ ... +-*2 + 1)1 =
= (X 4-1) [х2л“3 + С^.х2^4 4- • • • + С\п_3х 4- 1 4-
4-(х— 1)(х2л~44 х2л~64- ... 4-х2)4-х — 1] =
= X (X 4- 1) [х2л 44-С2„_зХ2л ° 4- • . . +С2л-з4~ * "
4-(х— 1)(х2Л-54-х2Л~74- ... 4-х)4-1].
Ответ: (х+1)2л~5х + ... + (х + 1)х2л~54--^4-С12п_3х2я~54- ... +С4„_3 +
+ (Х— 1)(х2Л-5 I хзп-7 + > ,> + л) + 1. 7. нхп-1+(н— 1)хп-2 + (п — 2)хп-3 + ...
... 4-2x4- 1. 8. п2хп~1 + (п — I)2 хп-2 + (п — 2)2х"-34- ... 4- 9х2 4- 4х 4- 1.
9. yz (уп~х 4- Уп~2? + уп~222 4-... 4- yzn~2 4- 2п~1) 4- zx(zn-' + zn~2x 4- -гл“3х2 + ...
... 4" гхП~2 + хп~1) 4~ ХУ (хп~'[ 4- хп~2у 4- хп~3у2 4- ... + хуп~2 4- Уп~~х)-
10. —— сумма распространена на все неотрицательные целые значения а,
8, т, в сумме дающие п — 2. 11. а) х4“У-г^ б) (у 4" (г +х) (х 4“ У)-
12. 1—2х 4-Зх2 —4х3 4- ... 4- (2/г4-1)х2/г — 2пх2П^1 + ... 4-х4\
(—1)^ (2/2 — т 4- 1) x2n^mt (—l)m (2п — т 4- 1) х2П+т, 19. Указание. Положить
x==14-z и расположить выражение (1 + z)2n — п (1 4~ z)n+1 4” п (1 + г)”"1 — 1
по возрастающим степенями. 21. Указание. Положить х=14-“-2'. располо-
жить /(14-£) по возрастающим степеням z и приравнять нулю свободный
член и коэффициенты при г, z2, zk. 22. Пусть х = а — кратный корень данного
многочлена. Полагая x = a-f-2, будем иметь /(х) = / (а 4- z) = 1 4- —+-• 4-
2!
2! 1
а2 а3
2! + ЗТ
г п\
г4~ ••• Так как а — кратный корень, то
, , а2
а3
ап
-г = °,
п\
ап
nl
, О + -<)3 ,
г 3! ~
а2 ос3 аР 1
1-НН- 27-+ зг+ ... +(-^=Т)!==0’
Ответы. § 5. РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
419
flt*
откуда = 0, т. е. а = 0; но тогда из предыдущих соотношений следует 1—0.
24. Если п не кратно 3. 25. Если п при делении на 6 дает в остатке 1 или 5.
26. Если п при делении на 6 дает в остатке 2 или 4. 27. Если п при делении на 6
дает в остатке 1. 28. Если п при делении на 6 дает в остатке 4.
§ 5. Разложение на множители
>. + 2) - 4 + 1+1ТЯ) 4 '-4®). 2. (,+2) (л—1) (х +1+4?) (, +
+ ±=41). 3. (. + 2)(х + 4)(,+^=4)(л+1±4).
4. (х 4 2)2 (х 4 3 4 V~5) Сх 4 3 —У~5). 5^9(х-|-1)2(х + 2 + / 3) (х 4 2 - У~3).
6. х(х 4 5) (х + j (х 4 . 7. (х+2)(х+6) (х + 4 + f 6) (х 4
+ 4_/б). 8. Указание: 4(х2-h 60 4 17х) (х2 4 60 4 16х)—Зх? = 4(х2 4 60)2 4
132х (х? 4 60) 4 1085х2.
Ответ: ___ ______________
2 (х 4 8) (2х 4 15) (х 4 (х 4 35-/265 . 9. {х _ 1) {х + 3) (х 4 7).
10. (х + 2)(х —3)(х —5). 11. (2л —З)3. 12. (л — 1) (х + 1) (х — 3) (х + 5).
13. (х—1)3(2х + 5). 14. (х — 5)4. 15. (х1) (х + 3) fx + 5). 16. (х — З)2 (х 4 5).
17. (Зх + 2)2 (х — 3). 18. (х — 1) (х 4- 2) (х 4 3) (2х — 1). 19. (х 4~ 2)2 (х — З)2.
20. Ответ: при условии
Д = ACF 4 2BDE — CD2 — АЕ2 — FB2 = 0. (1)
Решение: доказательство необходимости: пусть
Ах2 4" 2Дху 4~ 4" 2£)х 4~ 2Еу 4" F ~ (рх 4" ЦУ 4" (рх 4~ by 4~ с)>
тогда *
А = ар, B~~(aq-± bp), С = qb, D = j (ar + ср), E = ™ (aq + rb), F = rc.
Подставляя в (1) эти значения для А, В, С, D, Е и F и раскрывая скобки, полу-
чим, что левая часть соотношения (1) обращается в нуль.
Доказательство достаточности: пусть соотношение (1) выполнено. Так как
в условии задачи сказано, что данное выражение второй степени относительно х и у,
то, по крайней мере, одно из чисел А, В или С не равно 0. Пусть, например,
Я 4 0. Тогда данное выражение можно преобразовать так:
Ах2 4- 2 (By 4- D) х 4- Су2 4- 2Еу 4- Л =
л[" I 9 By + D 3-4- (B>’ + ‘D)21 (Ву + Dy
= Л[Х +-----л 4~J-------------------j----4
+с^ + 2еу + ^а(х + + + лв- d2 . (2)
\ У1 / хт.
заметим, что
(АС — В2) (AF—D2) — (AE — BD)2 = А • Д = 0; (3)
значит, если Ь = АС — В2 4= 0, то числитель второго слагаемого правой части
равенства (2) принимает вид (АС — В2) у2 -4 2 (АЕ — BD) у 4- ^4^77.^) —
= В = [(ЛС — В2) у 4- (АЕ — BD)]2', следовательно, данное выражение принимает вид
л (х 4 Ву4°)2 - — А (АС —В2) [(Л С - В2) у + {АЕ - BDW = u'v’
где
и = V А (х 4 Ву + Д) 4 ]/" ~А(а4-В2) [(л с - у +(Л£ - BD}]'
v = VА (х 4 -^4^) ~ V А (АС^ &) [(ЛС~ £!) у + (Л£ ~ BD»’
* Строго говоря, надо доказать еще теорему: если равны тождественно две целые
рациональные функции от двух аргументов, то равны их соответствующие коэффициенты.
27*
420 Ответы. Алгебра. Гл. I. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
v и и — линейные относительно х и у множители (быть может, и с комплексными
коэффициентами). Если же АС — В2 = 0, то из (3) следует, что ЛЕ — BD = 0, и
данное выражение [см. (2)] принимает вид
. / , By + D\2 AF—D2
\ 1 А ) ~А
I + I 1/ ! By + D\ Г AF — D2 Л
Если А = 0, но С #= 0, то при выполнении соотношения (1) приходим к аналогич-
ному результату (надо рассматривать данное выражение как квадратный трехчлен
относительно у). Если, наконец, А == С = 0, то данное выражение будет 2Вху 4-
+ 2Dx 4- 2Еу F = 0, а условие (1) принимает вид 2BDE—FB2—0. Здесь В =£ Q
(ибо при В = 0 мы не имели бы выражения второй степени относительно х и у);
значит, 2DE = FB, F = и, следовательно, 2Вху 4- 2Dx 4- 2Еу 4- =
в В
= 2Вх (у + + 2£ (у + "gj ~ + 2£) (у 4~ “gj—произведение двух линейных
множителей. 21. ЛСЛ + 2BDE— CD2 — АЕ2 — FB2 = 0. 22. (ху 4- 2х — у + 1) (ху —
— у 4» 1). Дальнейшее разложение на множители первой степени относительно х
и у невозможно, ибо для первого множителя (см. задачу 20) Д = 2 • . 1 • (——
— 1 • (~У =# °, для второго Д^2.1-(-4)-О"“1’(1)2^О- 23, f1—
— b (14-/2 )]2[1—Л — 6(1 —/2 )]2. 24. 3 (Ь 4- с)(с 4- а) (а 4- Ь). 25. _(л4-б4-
4- с) (а 4- гЬ 4- е2с) (а 4- е26 -J- гс), где в = 1 , е2 = —- ~ 1 /3 .
26. (а 4- b 4~ с) (а 4- b — с) (а — b 4- с) (— а 4- b 4- с). 27. (у — z) (г — х) (х — у).
28. (х 4- у 4- *) (У* + -г’х4-ху). 29. (х2 — уг) (у2 — zx) (z2—xy).. 30. (а2 4- 624-с2) (Ьс 4-
А-са-^-аЬ). 31. (Ь 4- с) (с 4- я) (а 4~ Ь) (а 4~ & + с)« 32. —(у 4- z) (z + х) (х 4-
4- У) (У — г)(г — х) (х — у). 33. (у — г)3 Д- (z — х)2 4~ (х — у)3 = (у — г)3 4-
4- (z —- х)3 + (х — У)3 — 3 (у — z) (z — х) (х — у) + 3 (у — z) (z — х) (х — у) ==
— 3 (у — z)(z — х)(х — у), ибо у — z z — хА~х — у = 0 (см. задачу 25 этого па-
раграфа). 34. — 4(6 — с) (с — а) (а — 6). 35. — (6—с) (с—а) (а—6). 36. — 3 (6 — с)(с —
—а) (а — 6). 37. 4л6с. 38. 4л6с. 39. (6 — с) (с — а) (а — Ь)(аА-ЬА- с). 40. (у — z) (z —
— х) (х — у) (х 4- у 4- г)‘ 41. —2(6 — с) (с — а) (а — 6) (л 4-64-с). 42. \2xyz(xA
4- у -j- z), 43. 24л6с. 44. 5 (у — z)(z — х) (х — у) (х 4~ гу 4- e2z) (х 4- е2у 4- ez),
где е = 1 + Z , е2 = —1 2 ' . 45. 5 (у + г) (г + х) (х + у) (х2 + у2 +
4- z2 4- yz 4- zx 4- ху). 46. Указание. Положим b А- с — а — х, с А~ а — b — у,
аА~Ь — с = 2; тогда аА-ЬА~е=:Х'\-УА~г и далее см. предыдущий пример; учесть
также, что х2 А~ У2 + + У^ 4- гл 4- лу = ~ [(у 4- z)2 4- (z 4- х)2 4- (х 4- у)2]. Ответ:
80<т6с (а2 4- 62 4- с2). Другой метод. Положим: 6 4- с — и, 6 — с v; тогда данное
выражение примет вид (а 4- и)5 4- (а — и)ъ 4- (v — а)5 — (v 4~ а)5 — Юл (и4 — т/4) 4-
4- 20л3 (и2 — v2) и далее л2 — ц2 == 46с, и2 4- v2 = 2 (62 4- с2) и т. д. Если решать
этот пример указанным методом, то предыдущий пример указанной заменой при-
водится к этому. 47. — (6 — с) (с — а) (а — 6) (Зл2 362 4~ Зс2 4- 56с 4- 5сл 4~ 5л6).
48. — — а) (а — 6)(л24-^24~с24-6с4-сл4-л6). 49. — (6—с) (с—л) (л—6) (л 4-
4-6 4-с)2. 50. (у — z) (z — x) (х —у) (х-j-у A-z). 51. —(6 — с)(с — л)(л —
_М(Й16 4-С)2. 52. (b — c)(c~a)(a — b)(a — d)(b—d)(c — d). 53. —16(6 —
__С) (С — a) (a — b) (a — d) (6 — d) (c — d). 54. (л+ 6 4-с) (2л2 4-262 4-2с2 —
п
— Ьс — са — ab). 55. Будем обозначать произведение ах л2 л3 ... ап так: JJ
* = 1
Тогда требуемые разложения можно записать в виде
2п-1 . и и \
J1 Гх — (cos ~ 4" 1 sin —)] =
ML \ п)\
(x - 1) (x 4- 1) Д [* - (cos — 4- I Sin —J j 1 |x - (cos - + Z sin - JJ ;
если нужно произвести разложение на множители первой и второй степени с дей-
ствительными коэффициентами (причем квадратные множители имеют мнимые
Ответы. § 6. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ НА МНОГОЧЛЕНЫ
421
корни)» то следует заметить, что (х— х^) (х— х2п~-к) = х2— %х cos----------|-1. Ответ:
л-1 , ь\ г
а) х2П — 1 = (х — l)(x+l)|J (х2 —2xcos — 4 1); б) х2П 4 1 = Ц х —
л=1 \ п ' £=ol
/ ТС 4 2^ТС .ТС —2А?тс\ уу / _ 2& 4 1 . . \ к 2/24-1 1
— cos —х------г-1 sm —4-----I = 11 х2 — 2х cos —— тс 4 1 ь в) x2/z+1 —1 =
\ 2п 1 2п ) JJ \ 2п /
4 ' х
= (Х-1)Ц X- СО5-2Я71
k -1 4 1
. . 2kit , уу (
1 sin 2цт)] = с*—о II v*2-
2£тс
— 2х cos о—г—г
2п 4 1
+1); г) х2«+' +1 = ]J р — (cos 4у 4
Z sin
тс -j- 2£тс\
"2п+1 /
/ г 1 \ 1ГТ Г / тс2^тс . . тс 2&тс\1 уу Г / тс 4~ 2kiz
= «+ 1) II р - (cos ~2}ГТТ +1 sm ^+Т)J J1+1 Г “ Г08 W +
+ Z 8*ПШт)] = (л+ l)ll(*2 + 2xcos + 1). 56. П[х-
zv —’ 1 К — U
- (cos + ,sll, nJ. - («««2i<2+2i> +, sl„ .
§ 6. Разные задачи на многочлены
1. (Ь 4- с) (а d) (а 4- d 4- Ь — с) (а 4- d — b 4- с). 4. ~. 5. Указание. f(x) = /(— х).
о
Целая рациональная функция от х, обладающая этим свойством, не содержит х
в нечетных степенях. 6. Положим т — р = # О 0). Тогда данное выражение можно
переписать так:
х1 + <7—1 х2+<7 —1 xp+q-A
х — 1 X2 ~ 1 ’ хр — 1
Очевидно, х = 1 есть корень кратности р как целой рациональной функции f(x) =
= (xi+q— 1) (х2 — 1) ... (xp+q — 1), так и целой рациональной функции ср (х) =
= (х—1) (х2—1) ... (хр—1). Рассматривая любой корень У1 (s<p) и группы
чисел 1 2 3 ... s; $4-1 s 4 2 ... 2s; ... (р); 14# 2 4- Ч • • • $ + s 4“ 1 4" Q
s 4- 2 4~ q • • • 2s -f- ... (р 4 #)» установим, что в каждой из групп р :да чисел
s f-
(р + q) найдется число, делящееся на s, а потому кратность корня у 1 для функ-
ции /(х) не ниже кратности того же корня функции ср (х) [в последней группе (р)
чисел число чисел может быть меньше s, и тогда возможно, в зависимости от
значения q, что в последней группе чисел ряда (р д- q) найдется число, делящееся
на s; тогда кратность рассматриваемого корня у 1 для функции f(x) будет выше»
чем кратность того же корня для функции ср (х)]. 7. Указание. Если f(x) —
целая рациональная функция f(x) = хп 4- а{хп~1 4- ... 4- ап-\х 4" ап* то разность
Д/ — f (х -1- 1)—f(x) есть также целая рациональная функция степени п—1, при-
чем коэффициент при хп~1 равен п. Далее Д2/ = /(х4-2)—— [/(x4~l) —
— /(х)] ==/(х 4- 2) — 2/(х-}- 1) +/(х) — также целая рациональная функция сте-
пени п — 2, и коэффициент при хп~2 равен п(п—1) и т. д., значит, bnf = ~
= /(x + n)-C’/(x + n-l) + C2/(x + n-2)- ... +(-l)nC”/(x) = n! Для до-
казательства предложенного в задаче соотношения а) достаточно положить в этом
тождестве f (х) — (х — п)п. Для доказательства же соотношения б) достаточно за-
метить, что для целой рациональной функции f{x) степени п имеем Дя+1/ = 0
1 23
(надо взять f(x) = (х — п)р и записать, что Дл/ = 0). 8. а = , b = — • & Ука-
зание. (Зху 4- 2у) (5ху 4- 2х). Затем положить u-]-v — Зху 4 2у, и — v == 5ху 4 2х.
Ответ: (4ху д- х 4 у)2 — (—ху 4 у — х)2. 10. /(1) = 0. 11. Воспользоваться свой-
ствами сочетаний. 12. Применить теорему Безу. 13. Необходимое условие: be = f2t
422
Ответы. Алгебра. Гл. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
са ab h2>a^c -^^fgh—bg2— af2--ch2 — 0. Доказательство достаточности: f
= Уб уТеь g = ]^c Уагъ h^-Уа Уb е3, где s2 = з| = e| = 1. Подставляя это
в условие abc 4* 2fgh — bg2 — af2 — ch2 — 0, получим £ je2e3 ~ 1 (если a4=- 0, b Ф 0,
с ф 0), тогда £j = £2 — £3 = 1 или среди них есть два отрицательных. В обоих
случаях данное выражение есть полный квадрат линейной однородной функции от-
носительно х, у, z. Пусть теперь, например, а = 0, тогда g = h = 0, и данное вы-
ражение принимает вид by2 4- cz2 4- 2fyz = by2 cz2±2 Уb Уc yz — (у Уb ± z Ус )2.
Аналогичный результат получим при b = 0 и при с — 0. 14. Воспользовавшись резуль-
татом предыдущей задачи, находим f ~ гхУЬ—А Ус—X, g = г2У с—\У а— X,
h = е3Уа — ^УЬ — X, где е2 = е2 == е2 = 1; считая а — X 0, b — X =£ 0, с — X =^= 0»
находим, е^з = 1; значит, fg = (с — ^)Уа — ^Уь — X = -Е-2 д (с—Х) = /г(с—X)
£з
и т. д. Если же а — X = 0, то /г = ^~0 и данное выражение принимает вид
(Ь — X) у2, 4- ^fyz + (с — X) г2; предлагаемые соотношения также выполнены.
15. 1 -j- cf + cl + ... 4-с2; с2 Д- с/з + с2с4 + •
Глава II. Алгебраические дроби
§ 1. Тождественные преобразования алгебраических дробей
1. А 4-1. 2. 1. 3.
13.
17.
24.
28.
1. 4. х. 5. 1. 6. 7. х8 + у2. 8. 9. 0. 10. б. 11. 0. 12. 1.
. 14. х2. 15. а 4~ b 4- с. 16. а2 4~ Ь2 4~ с2 4- Ьс 4- са 4* ab.
(а + ь + с)2. 20. 1. 21. -Г 22. а + Ь+с 1
26 w — 6) 0” — с) .
а (а — Ь) (а — с)
yz + ** + *У
а + b 4-с. 18. л2. 19.
31.
а. 25. — я 4” 4" с*
7
у (*’ + ху + у2).
— -^(.У — г) (z — x) (х — у).
3(хг4-у2 + г2). 3S. 2а2. 37. 1.
29.
32. V-A-,.
1 — А2
а2 Ь2 *
27.
33.
39.
-.23.
а — b
(с — а 4~ 6) (с 4- а —— Ь)
30. (6 4-с) (с 4-а) (а 4-6).
8~^ + 1 34 5
8 + X4 4- 1 - • 1 -|~ X2 *
хл4-5 40 ('г2 + (2* 4~ 1)
35.
41. 1а*Ь^с19 где сумма распространена на всевозможные неотрицательные целые
значения а, р и 7, в сумме дающие п — 2.
2'1+1*2"+1~1 4-2"Л2П-1 2а — а
42.
''П
43.
45.
*2"+I
л2 4~ а,х 4- а2
Л I <>П
Д2 дз 4~ • • - ~
(й1 + а2 4" • • •
1 — А2'
44. —:—±—___
(.1 — А2) А2"-!
2
§ 2. Условные тождества
1. 9. 9. Верно. 12. ab. 13. а 4~ Ь. 18. аф2 — а2Ь{. 19. ахЬ2с3 4~ ^2^зс1 + a,3biC2 — a[b3c2 —
— а2Ь\С3 — а3Ь2С\.
Глава III. Радикалы и иррациональные выражения
§ 1. Тождественные преобразования иррациональных выражений
,5. ,6. -=А±2^~^4 . 17. l+3h- + 2/2-W.
4
.п .П A(Va +Vb -УГ)(Уа -Vb/Г)
18. У J — f z. 1». Д2 + й2 + С2 _ чЬс^2са — 2аЬ '
р
20. ф-, где
р = A(Va +/F — Ус — У^УУа+Уь+Ус —УаУУ’а+Уь—Ус +/d)X
Х[(а-|-й — с — d)2-\-4ab — 4cd — 4(a-\-b — с — d)yab],
Q [(a 4- b — c — d)2 4~ 4ab — 4crf]2 — 16 (a 4- b — c — d)2 ab.
Ответы. § 2. УСЛОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАВЕНСТВ 423
Р = А (^а2 + 62 + Fc2 — Vbc — Уса — frab),
Q = (аbс)2 + Зулгбс(а + &+с)+9Тла2й2с2,
/? = (а 4- b 4- с)3 — 27abc.
22.
| —2а, если а-<—3;
/аг бд 9 Уд2 __ бд _|_ 9 { 6, если — 3 < а < 3;
(2а, если а>3.
/ п\Р+? / п\Р + (1 а
23. М-] . 24. ( —] . 25. -т-, если а
\q / \q/ b
выражение не определено. 26. 2, если
> 6; —, если а < Ь; при а~Ь данное
а > 0; — 2, если а < 0. 27. 2 [ab +
+ /(а2-1)(&2-1)].
ад 1-л + УТ+^
1 —* + /1+*2 '
28.
31. 0.
х + /4х2 + 3 29 п + 1 Г п-2
3Ух2 + 1 * ' п—1 Г п + 2
32. а 4- Ь. 33. а — bt если а > /?; — ~ (а — Ь),
если а-у'Ь. 34. 35. Ь, если — 1 <С b 1; ~у > если 36. 0. Указание:
’ 1 J\2 / 1 _1\
хт 4~ хп / — 4а2 \хт 4~ -* /
т-пУ
т — п
— 4а2х тп .
т1
37. 0. 38. п2 '
1/2 2\£
39. (ай)3 V3 —я3/2 *
40. -.
п .
42. У тп
т — п
2
т
«• •> УУ
43. —. 44. и (п — 1). 45. —46. 1. 47. -i J^n2 (п2 —/л« — 1).
48. У& — 1 • 49.1. 50. j/~y. 51. Так как | х | > 2, то данное
выражение есть действительное число (для всех радикалов берем действи-
тельные значения). Обозначая данное выражение через а и воспользовав-
шись формулой (а 4~ Ь)3 = а3 4- ьз 4~ ЗаЬ (а 4- 6), получим а3 = х3 — 3x4-32 или
Кх \2 3 1
а 4- у j 4“ С*2 — 4) = 0. По условию
/ х\2 3
|х | > 2. Если | х [ > 2, то I я 4~ у! + у(х2— 4) > 0; следовательно, х — я = 0,
откуда я = х. Итак, если | х | > 2, то данное выражение равно х; если х = 2, то
данное выражение равно 2, а если х~—2, то оно равно —2. Итак, я = х при
всех х таких, что | х | > 2. 52. | Х1У2 + *гУз + *зУ1 — *1Уз ~ л'гУ1 ~ *зУг !•
53. V>2 4- Q2 4- Р2, где
Р = х{у2 4- х2у3 4” -^зУ1 — ^1Уз — *2У1 — -^зУг»
Q = у^2 4“ Уг^з 4~ Уз^1 — Угг1 — У1?з — Уз^г,
Р = Z\X2 4- г2Х3 4- Z3X{ — ZXX3 — Z2XY — ^3X2.
При zx == z2 = z3 == 0 получаем УР2 = | Р [.
§ 2. Условные тождества. Преобразование равенств, содержащих
иррациональные выражения
2. (а 4- 4- с3)2 = ь (ь 4~ Зс2)2. 3. а = _ у j 4. Решение: р У а2 — q ^а — г,
р2а а = q2 У а2 4- 2qr У а 4~ г2; полагая У а — х, получим: рх2 4- qx 4- г ~ 0,
q2x2 4- (2qr — Р2а) х 4~ г2 = 0. Умножая первое соотношение на - q2, второе на р
и складывая, получим (2qrp — р3а — q3) х == rq2 — рг2; возводя обе части этого
равенства в куб, будем иметь (2qrp — р3а — q3)3 а = г3 (q2 — рг)3. 5. Решение:
— V"a У~Ь 4- / с 4- У ~d 4- У~е,
а = b 4- 2/7 (Ус 4- v~d 4- УТ) 4- (У7 4- Vd 4-У7)2,
4НУс + У7 + У7)2-(а —^)2 — 2 (а — Ь) (У7 4- У d 4- У7)2 4- (У7 4- У7 4- У7)4,
(Ус 4- у d 4- У7)4 — 2 (а 4- Ь) (У7 4- У d 4- У7)2 4- (а - ьу = о,
424 Ответы. Алгебра. Гл. IV. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
С2 + 4С/С(/ d + y е) + 6с (У d + y г)2 + 4/ су d + y е)3 + (уг'5 + /7)4~
— 2 (а + Ь)у — 4 (а + Ь) /7 (/d + /г) — 2 {а + Ь) (/”5 + /г)2 + (а — Ь)2 = О,
4 У" с (V d + У е) [с + (У d Д- У е)2 — а — 6] == 2 (а + Ь) с — (а — Ь)2 — с2 +
+ (2а + 2Ь - 6с) (/d + У~е)2 - (У d + У~е)\
16с (У d + У~ё)2 [с —- а — b 4- (УН -}- У~е)2]2 =
= 12 (а + Ь) с - (а - Ь)2 - с2 + (2а + 2b - 6с) (/d + У~е)2 - (У~3 + /7)4]2,
16с (d 4- е 4~ 2 У de) (с — а — b 4- d 4~ е 4~ 2 jZ" de)2 —
= [2 (а 4- b)c — (a — Ь)2 — с2 + (2а -±2b— 6c)(d + е+ 2 У de) —
— d2 — 4d У de — 6de — 4еУ de — e2]2,
[16c (d 4- e) 4- 32c УТе] [(c — a — b 4- d 4- e)2 4- 4ed 4-
4_4(с_д_64-^4-^) = [2 (a 4- b) c — (a — b)2 — c2 +
4- (2a 4- 2b — 6c) (d + e) — d2 — 6de — e2 4- (4a + 4b — 12c — 4d — 4e) УеЗ]2,
16c (d 4- e) [(c — a — b d e)2 4- 4ed] 4- \28ced (c — a — b 4- d 4- e) 4-
4- { 32c [(c — a — b 4- d 4- e)2 4- 4ed\ 4- 64c (d 4- e) (c — a — b 4- d 4- e)} У ed =
= [2 (a 4- b) c — (a — b)2 — c2 4- (2a 4- 2b — 6c) (d 4- e) —
— d2 — Me — e2]2 + 16ccZ (a + b — 3c — d — e)2 +
4- 8 [2 (a 4- b) c — (a — b)2 — c2 4- (2a 4- 2b — 6c) (d 4- e) —
— d2 — 6de — e2] (a 4- b — 3c — d — е)Уed,
{16c (d 4- e) (c — a — b 4- d 4- e)2 4- 34ced (d 4- e) -f-
4- 128ced (c — a — b 4- d 4- e) — [2 (a 4- b) c — (a — b)2 — c2 4-
4- (2a 4- 2b — 6c) (d + e) — d2 — Gde — e2]2 — (a 4- b — 3c — d — e)2} =
= {8 [2 (a 4- b) c — (a — b)2 — c2 4- (2a 4- 2b — 6c) (d 4- г) —
— d2 — 6de — e2] (a 4- b — 3c — d — e) — [32c [ (c — a — b + d 4- e)2 4-
4- 4cd) 4- 64c (d 4- e) (c — a — b d e)}}2 ed.
6. (a2x2 4- b2y2 — c4)3 4- 21a2b2c*x2y2 = 0. 7. [xy (x2 4- y2)2 4- 9я2х2у2 — а6]2 =
= 33a2x3y3 (x2 4- y2)2- 8. x2y2 (x2 4~ y2 4" За2) == ^6- 9» [С*2 + У2)6 — ax + +
4- 27abxy (x2 4- y2)6 == 0.
Глаза IV. Общие свойства уравнений и неравенств
§ 1. Эквивалентность уравнений
1. Нет. a) f(x) = x2 — 2х — 3, (х) — л 4~ 1; уравнения f(x) = 0 и f(x) ср (л) = 0 имеют
одни и те же корни, т. е. эквивалентны; б) f(x) = x2 — 2х — 3, ср (х) = х — 5;
все корни уравнения f(x) — 0 (т. е. х = — 1 и х — 3) являются корнями уравне-
ния f (х) ср (х) = 0, но не все корни уравнения f(x) ср (х) — 0 (именно корень х = 5)
являются корнями /(%) — 0; в) /(х) — х2 — 2х — 3, ср (х) — arc sin х\ все корни ура-
внения f(x) ср (х) — 0 являются корнями уравнения f(x) = 0, но не все корни урав-
нения f(x) — 0 являются корнями уравнения f(x) ср (х) = 0 (уравнение f(x) ср (х) — О
имеет лишь один корень х — — 1; значение х = 3 не является корнем этого урав-
нения, ибо выражение arc sin 3 не имеет смысла). 2. Да. Пример: х2 — 2х — 3 = 0
и (х2 — 2х — 3) arc sin (1—х) = 0 не имеют общих корней (первое уравнение имеет
корни х — — 1 и х = 3, второе уравнение имеет корень х = 1). 3. Да. Пример:
х — 1 = 0 и х — 1 4~ arc sin (1 4- х) = arc sin (1 4-- х) неэквивалентные уравнения (пер-
вое уравнение имеет корень х = 1, второе не имеет). 4. Первое уравнение есть
следствие второго, но второе (вообще говоря) не есть следствие первого. 5. Вто-
рое уравнение есть следствие первого. Уравнения будут эквивалентны, если корни
второго уравнения не являются корнями уравнений /2 (х) = 0 и /4 (х) = 0. 6. а) При
условии, что ни одни из корней первого уравнения не является корнем уравнения
/2 (-^) + Л (х) = 0; б) при условии, что ни один из корней второго уравнения не
является корнем первого уравнения; в) при выполнении условий а) и б). 8. Да. 9. Да.
10. Да. 11. Нет. 12. Нет. 13. а) Эквивалентны; б) уравнения эквивалентны, если
среди корней уравнения f(x) = ср (х) нет таких, для которых /(х) < 0 (иср (х) < 0);
в) эквивалентны; г) эквивалентны; д) эквивалентны, если а -=Г 0; если же а = 0, то
уравнения будут эквивалентны при условии, что уравнение ? (х) == 0 не имеет кор-
ней; е) эквивалентны; ж) эквивалентны; з) эквивалентны; и) эквивалентны, если
Ответы. § 1. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ
425
корни уравнения /(х) = 0 входят в область определения функции ? (х); к) эквива-
лентны; л) эквивалентны; м) не эквивалентны; н) эквивалентны; о) эквивалентны;
п) эквивалентны: р) эквивалентны; с) эквивалентны, если уравнение f(x) (х) == — 1
не имеет корней; т) эквивалентны; у) эквивалентны, если система уравнений f (х) =
— у (х) — (2s -J- 1) ~ , rze 'k и s— целые числа. — несовместна; ф) не
эквивалентны; х) эквивалентны, если уравнение f(x) = sit arc tg kit (k и s — целые
числа) имеет корни лишь при k = s 14. а) Первое уравнение — следствие вто-
рого; б) второе уравнение — следствие первого; в) второе уравнение — следствие
первого; г) второе уравнение — следствие первого. 15. При условии, что корни
уравнения 7 (х) — 0 входят в область определения функции f(x). 16. а) Нет; б) нет,
так как из второго уравнения следует первое. 17. а) могут; б) могут; в) х = 1 —
корень уравнения arc sin х = 2 arc sin , но не корень уравнения tg (arc sin х) —
= tg ^2 arc sin далее, x = ~ — корень уравнения tgx~tg2x, но не корень
уравнения х — 2х. 18. Первое — следствие второго. Уравнения эквивалентны, если
все корни уравнения f(x) = r^(x) по абсолютной величине меньше или равны 1.
19. Будут. 20. Будут, если уравнение f(x) —— у (х) не имеет корней, при кото-
рых / (х) 0 (и —? (х) 4= 0). 21. Будут, если уравнение f2 (х) = у2 (х) имеет
только такие корни, при которых f (х) — (х) — 0. 22. Эквивалентны. 23. Нет.
24. При условии, что система уравнений А — /2 — /3 имеет лишь такие решения,
при которых fx == 0, /2 = /з ~ 0. 25. Да. 26. При условии ахЬ2 — а2Ьх =4 0. Доказа-
тельство: любое решение системы /=0, ? — 0 является и решением системы
= 0, a2f-rb2y = 0. Обратное положение верно, если ахЬ2—а2Ьх =^= 0. В самом
деле: пусть xG, у0— какое-нибудь решение последней системы, т. е. axf(xG, у0) +
4- Ьху (х0, у0) — 0, a2f(x0, у0) ^2? (-г0, Уо) — 0- Умножая первое из равенств на Ь2,
второе — на —Ьх и складывая, получим (ахЬ2 — a2bx)f(x0, у0) = 0; аналогично на-
ходим (01^2 — ^2^1) ? (х0, Уо) = О- Отсюда и следует, что если ахЬ2 — а2Ьх=£=0, то
f(xQ, Уо) == ?(хо> Уо) == т. е. решение системы axf-\-bxy — 0, ^2/+^2?=0
является вместе с тем и решением системы/== 0, ср = 0. 27. При условии А = а\Ь2с3 +
+ + я361С2 — ^з^2с1—а\Ь3с2 — а2Ь Ф И здесь без всякого дополнитель-
ного ограничения любое решение системы (1) является решением системы (2), при
доказательстве же обратного положения придется воспользоваться условием Д 0.
Именно: пусть xG, yQ> zG — какое-нибудь решение системы (2), т. е.
«1/ <Ло. У о. го) + b 1?(*о. Уо. ?()) +сгИ-^о. Уо- •г’о)=О,
a2f(x0, у„, zB) + b2? (х0, у0, г0) + с2<Ь (х0, у0, г0) = 0,
a3f(x0, у0, z0) + b3? (х0, у0, z0) + c,-i (х0, у0, га) = 0.
Умножая первое уравнение на Ь2с3— Ь3с2, второе — на Ь3сх— Ьхс3, третье — на
&1С2 — &2С! и складывая, получим (atb2c3 a2b3cx -j- а3Ьхс2— а3Ь2сх— ахЬ3с2—
— ^2^1сз)/(хо> Уо* го) = откуда, в случее, если выражение, заключенное в скобки,
не равно нулю, находим f(xQy у0, г0) = 0. Аналогично в случае Д =^= 0 находим
? (x0l у0, г0) = 0, 6 (х0, у0, z0) = 0. 28.
У(х — с)2 + у2 -}- У(х + с)2 ~г У2 = 2«, (х — с)2 + у2 ~Ь
+ 2 V(x — с)2 + у2 /(х + с)2 + р’ 4- (х + с)2 + у2 = 4а2,
У(х2 -г у2 + с2 + 2сх) (х2 4- У2 + с2 — 2сх) = 2«2 — (х2 + у2 + с2),
(х2 + у2 + с2)2 — 4с2х2 = 4а4 — 4«2 (х2 -|- у2 + с2) •+ (х2 + у2 + с2)2,
(а2 — с2) х2 + а2У2 == cl2 (я2 — с2); но а2 — с2 = Ь2,
X2 У2
значит Ь2х2 + а2у2 = а2Ь2, откуда — — Ь Мы доказали, что любое решение пер-
вого уравнения есть решение и второго уравнения. Докажем, что и обратно — лю-
бое решение второго уравнения есть и решение первого. Итак, пусть х, у — какое-
х2 у2 I х2\
нибудь решение уравнения — J- ~ — 1, тогда у2 — b211 — ~ j; значит,
У(^-с)2 + У2 (х-с)2 + 62(1-^) =
. _ . /“72___ А2
= ]/ 1— ^х2 — 2сх + с2 + &2 = ]/ --а2 -X2 — 2сх + с2 + &2 =
426 Ответы. Алгебра. Гл. IV. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
у2
По условию а > с > 0. Так как, кроме того, — 4-^2 = 1, то абсолютная величина х
меньше или равна а, т. е. (мы ограничиваемся лишь действительными
решениями). Отсюда и из неравенства д>с>0 следует, что а — — > 0; значит
я — — 1= а — ~, и мы окончательно находим У^(х — с)2 + у2 = а — —. Аналогич-
I a j а г ч / ! ✓ &
ными рассуждениями доказывается, что У\х 4- с)2 -f- у2 = a -f- ~ ; значит
(х — с)2 у2 4- У\х ~|- с)2 4~ у2 = 2а, и мы находим, что если выполнено равен-
ство ^2 + ^2 “ 1» то будет выполнено и равенство у (х—с)2 4- у2 4- У(л:4-с)24-у2 = 2а.
Эквивалентность заданных уравнений доказана. 29. Решение аналогично предыду-
щей задаче. Здесь при доказательстве того, что любое решение второго уравнения
является решением первого, мы придем к равенствам уг(х — с)2 4~ У2 = j— л|,
У (х 4- с)2 4~ У2 — — + # • Из соотношения — — следует, что | х | Рас-
смотрим два случая: 1) х а и 2) х — а. В первом случае в силу неравенств
сх сх
с > а > 0 имеем —--а > а > 0, так что приведенные выше радикалы соот-
ветственно равны —-----а и — а, их разность равна —2а, абсолютная величина
этой разности равна 2а. Во втором случае (лг-<— а) в силу неравенств с>а>0
имеем ~ — а < 0, 4~ а < 0, так что приведенные выше радикалы соответственно
равны а----— , — а — ~, а их разность равна 2а. 31. х = 1, у = 0 и х = 0, у = 1 —
решения второго уравнения. По условию эти решения будут и решениями первого
уравнения, значит а 4~ = 0, с4-^==0. откуда d = — а, с —— d. Теперь первое
уравнение принимает вид — dx2 4- bxy — dy2 4- d == 0. Рассмотрим решение х == ~=,
1
у ~ второго уравнения. По условию это и решение первого уравнения, т. е.
/ 1 \2 1 1 / 1 \2
— d ) 4- Ь — d 4~ ~ 0, откуда 6 = 0. Первое уравнение при-
нимает вид — dx2 — dy2 4- d = 0. Здесь d 4= 0, ибо в противном случае это урав-
нение было бы тождеством, в то время как второе уравнение не является тожде-
ством. 33. При х = 0 уравнение ху = 1 не имеет решений, значит при х = 0 и пер-
вое уравнение не имеет решений. Но при х = 0 первое уравнение принимает вид
су2 4- еу 4-/ — 0, и оно не имеет решений тогда и только тогда, когда с = е = 0,
f =£ 0. Аналогично доказывается, что а = d = 0. Первое уравнение, следовательно,
имеет вид bxy f = 0. Но х = у = 1 есть решение уравнения ху = 1, значит и
уравнения Ьху 4- f = 0; следовательно, 6 4-/ = 0. При этом b 0, так как в про-
тивном случае мы имели бы также /=0 и первое уравнение было бы тождеством,
в то время как второе уравнение не является тождеством *). Читателю предла-
гается решить задачу в случае, если эквивалентность задана над полем действи-
тельных чисел. 34. Если а = b = с = 0, то вопрос сводится к эквивалентности урав-
нений dx еу f — 0 и kx— y-\-lz=z0t что будет иметь место тогда и только
тогда, когда d — — ek, —el. Если, по крайней мере, одно из чисел а, b или с
отлично от нуля, например с Ф 0, то будем рассуждать так: любое решение урав-
нения (2) является по условию и решением уравнения (1). Значит, уравнение (1)
обратится в тождество (относительно х), если в лезую часть подставить kx-yi
вместо у; отсюда следует, что квадратный трехчлен су2 4- (Ьх 4~ £) У 4~ах2 + dx~yf
относительно у должен делиться без остатка на у — (kx1). Выполняя это деле-
ние, получим в частном су(bck) хеcl, а в остатке ах2dxf 'r
4- (kx 4- I) (b 4- ck) x 4- (kx 4- I) (e 4- cl). Так как этот остаток должен быть равен
нулю при всех х, а он представляет собою квадратный трехчлен относительно х,
то должны быть равны нулю все коэффициенты — при х2, при х и свободный член
остатка:
ck2 + bk + а о, bl 4- 2ckl 4- ke 4- d = 0, cl2 4- el 4-/ = 0. (A)
*) Изложенное решение сообщено автору научным редактором книги С. И. Ново-
селовым.
Ответы. § 1. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ
427
Теперь левая часть уравнения (1) разлагается на два множителя: у — (kx-\-l) и
су Ck) х -j- е + cl. Так как любое решение уравнения (1) должно быть реше-
нием уравнения (2), то любое решение уравнения су 4- (b -f- ck) х 4~ е 4- cl должно
быть решением уравнения у — kx— I = 0, что будет иметь место тогда и только
тогда, когда b 4- ck = — ck, е 4- cl = — cl или
b 4- 2ck = 0, ^4- 2с/ = 0. (В)
Итак, при с =4= 0 уравнения (1) и (2) будут эквивалентны только тогда, когда выпол-
нены условия (А) и (В). Пусть теперь с = 0. Тогда уравнение (1) принимает вид
(Ьх 4- е) у 4- ах2 4* dx 4- /» (D)
и оно должно быть эквивалентно уравнению
y-(£x + Z)=0. (С)
Если b и е одновременно равны нулю, то уравнения (D) и (С) неэквивалентны
Если b и е одновременно не равны нулю, то при делении левой части уравне-
ния (D) на левую часть уравнения (С) получим в частном Ьх-}-е, а в остатке
(kx 4- Z) (Ьх 4- Z) 4- ах2 4- dx 4- /• Этот остаток будет равен нулю тогда и только
тогда, когда
kb + а = 0,
lb 4- ek 4 d = 0, (Е)
z^4-z=o.
При выполнении этих условий уравнение (D) примет вид (Ьх 4 *)> 1у — (kx 4- Z) = 0.
Если b =£ 0, то это уравнение удовлетворяется при условии х =-и любом у,
т. е. оно неэквивалентно уравнению (2). Если же 6 = 0, е 4= 0, то уравнения (1)
и (2) эквивалентны; при 6 = 0 условия (Е) принимают вид а = 0, ek 4- d = 0,
^+/=0; значит, вопрос сводится к уже рассмотренному случаю (а = 6 = с = 0).
Итак, при с = 0 уравнения (1) и (2) эквивалентны, если
d __ е __ f
~"Т " —Z ’
35. При доказательстве того, что из уравнения (1) следует одно из уравнений (2),
нужно предварительно доказать, что из уравнения (1) следует, что все функции
/ь /з — одного знака, так что при условии выполнимости уравнения (1) /ь /2
и /3 можно заменить на [/J, \f21 и |/3 [. 36. Если]/х + 14 = ^ г, то возводя в куб
обе части этого равенства и учитывая, что Ух 4-У У = V z, получим х4-у4-
4 3]/ xyz = z, откуда (z— х — у)3 = 27xyz. Обратно: если (z — х — у)3 = 27 xyz,
то z — х — у = 3 ]/xyz (1). Соотношение 4" К / г будет выполнено,
если будет выполнено соотношение х 4- У 4" 3 Уху (У х 4~ У у) = z или z—х—у=
= 3]Хху('|Хх+]Х7) (2). Но так как соотношение (1) выполнено, то соотноше-
ние (2) будет выполнено тогда и только тогда, когда 3 Уxyz = 3 Уху (У х + О;
предполагая, что ху #= 0, получим У х 4- У У = У z. Если же ху = 0, то или х = 0
или у = 0. В этом случае (1) имеет вид (в случае, например, у = 0) z — х = 0,
и оно, конечно, эквивалентно соотношению z при у = 0.
§ 2. Доказательство неравенств
пп
. Указание. Данное неравенство можно переписать в виде (2 л—1) . Далее можно
п п п
установить, что (2л— 1) !! > (2л— I)2 , < л2 (см. пример 3 этого параграфа).
7. Решение этого и ряда других примеров (см. ниже) опирается на следующее
неравенство: “У*' ‘..——- > У? 1Д2 - • • где ^>0, а2 > 0, ...» лл>0 (сред-
нее арифметическое из неотрицательных чисел не меньше среднего геометриче-
ского из тех же чисел). Эта теорема может быть доказана самыми разнообразными
428 Ответы. Алгебра. Гл. IV. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
способами. Дадим ее доказательство
—aJ-+^—//г2 =
методсш полной индукции. При л = 2,
->0. Пусть —а.‘..+ аг+ + а" >
п.
Д1 । аг+ • • +ап ,
>Va~a--------а“- тогда а' + аг4-... 4-дп-1 4-д„ + ап+1 — п ”+‘
> V Д1а2 ... ап , тогда
п
п Уа^а2 ... ап-\- апл.\ Плплмгим л л л у(л + !) п П мл + 1 ТЛГ1Й
--------— —. положим ujug • • • ~ у , тогда
"^1Дг п-+а"+а^с _п /а1в2.;:а;н„;,' =
пхП + х + УП+Х п _ пхп + 1 + yn+l — пхпу — хпу __
~~ л + 1 х у п + 1 ~
__ пх11 (х — у) — у (хп — уп) __ (х у) (пхп — ухп~' — у2хп~2 — ... — уп)
п -j- 1 л —|- 1
__ (х — у) (хп — ухп~х + Хп — У2ХЛ“24~ ... хп— уп) _
“ п + 1 “
• (х— v)2 [хп~1 + хП~2 (x4-y)+^~3 (.r24-.ry-hy2)-r... -!-(хл“14-*п“2у24-...+ул“1)]
" : МИ > °’
значит,
rt
только тогда, когда ах ~ а2 -
что равенство
п
->]/*Л1Л2 ...ап. Знак равенства имеет место тогда и
= ап. В самом деле, из предыдущего следует,
I „ п 4-1
~Г . J !----------
-—= у аха2 ... апа^
возможно тогда
а\а2аз • • • ап-\ап = ап+\ ’ аналогично
отсюда йп = ап^.х. Таким же образом
можно получить
доказываются pa-
и только тогда, когда
^1д2й3 • • • ап -\ап 4 1 ~
венства ах = а2 — ... = ап. Теперь соотношение задачи 7 доказывается из тождества
2" = (1 -f-1)« = 1 4- л 4- п(г1--^. + /г (Л712)(з~2) + . • • + .
Применим теорему, что среднее арифметическое больше среднего геометрического
(в случае наличия неравных чисел):
2Л п+}/~ л (л — 1) л (л — 1) (л —- 2) л (л —-1) (л — 2) ... 2 • 1
п 4- 1 > Г п 1-2 1-2-3 ••• 1 • 2 3 ... й ’
или
2п(л+1) > + /'2 \2.1.
8. Применить неравенство йх 1.Для чисел I2, 22,
З2, ..., л2. 9. Применить неравенство + ^2 а-п Уа^аУ... ап для
чисел I3, 23, З3, ..., л3. 15. Указание: ~ < -г-у--—— == —L--L 25. Полагая
К, \k _ 1 I Ь _ 1 k
‘ . „ход™ _ <3j + l>^+2>; _ 12о-+28»=+20о+4 ,
(2л—1)!!/Зо + 1 \ ап 1 (Зл+4) (2о If 12о3+23пг + 19л4-4
Но при п = 1 получаем в левой и правой части ; следовательно при л> 1 и ап+ j > 1.
П 4 1 П
26. См. задачу 25 данного параграфа. 27. Доказать, что Уп-j- 1 < Уп при л > 3;
3 _ __ п __
кроме того, следует заметить, что УЗ >У2; итак, Уп принимает наибольшее
•> по 3/7 4-5/2 _ , . 1 . 1 , 1 .
значение при л = 3, и оно равно у 3 28. —-—— >6. 29. 1 + ~ — 4-
+ у + т + 7 + 1 + 1+-- - +!> 1+1 + т + 4 + } + 1 + 1 + 4 + в +
+1б+й+^+1б+й+А+ ••• =1+1+4+1+4+1+ •••
Ответы. § 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
429
и последняя сумма при достаточно большом числе слагаемых может быть сде-
лана больше'любого наперед заданного положительного числа. 30, а) 300! > 100300;
б) 200! < 100200 (см. задачи 11 и 19 этого параграфа). 31. "
а\ । а2 I Дз_ । ^4 I
2 22 " 23 ^ 2'
ап-\ I
2/2-1 1-
2п
л __
---а2 I а4 ----а3 I #5 а4 I I ап+1 ап । + 2
2 * 22 * 23 1 * ' 2Л ' 2Л
__ I ^3 । ,Д4 | I ^71+1 ______ аП | аП + 2 =в
2 22 ' 23 ' * 2Л 2ZI~i * 2Л
= й1 + + ... +_£'L_ + f«±L--^ZL_+£«±£_ai_a2=:
1 22 22 23 1 2/г — 1 2п 2п 1 z
= 2s - 2 +
+ 1 ап ___
2п
2$___2 I Н~ — 1
2п
2s — 2 + -^- +
2п
ап-л .
2«-1 ’
о ^/2—1
отсюда s — 2----—
отсюда 5—z — ~^п^Г — ^нак Равенства имеет место тогда и только
тогда, когда а — b — с. 35. Знак равенства имеет место только в следующих пяти
случаях: а — Ь — с~О, а ~ b — с — 1, —а~— Ь~с~\, а^=— Ь=—с = 1,
— а ~ b ~ с ~ 1. 39. Указание. Среднее геометрическое чисел a2cd, b2ad; c2ab
и d2bc равно abed. 40. У к а з а н и е. Рассмотреть средние геометрические чисел а,
Ь, с и а2, Ь2, с2. 41. Указание. Среднее геометрическое слагаемых левой части
равно 1. 43. а) Знак равенства имеет место лишь при условии а — b — с; б) знак
равенства имеет место только при а = Ь. 46. Рассмотреть средние арифметические
чисел а, Ь, с, и чисел ~. 51. с (а2 b2) > 2abc и т. д. Первое неравенство
следует из неравенства я3 4- Z>3 > ab (а 4- b) и неравенств, полученных из него
круговой перестановкой букв. 52. yqy + 1 + yzpy + 1 + aj^~b + '
J 1 ' 1 ' ^у)-3 = 1[(6 + с)+(<; + а) + (а + 6)]Х
далее см. задачу 46 этого параграфа.
1
1
1
'' \ b + с ‘ с 4- а
а2 4~ Л3”4= €3
53. -----з—!— > abc] далее см. задачу 46 этого параграфа. 55. (Ь -|- с) (с 4~ а) (а +
4- Ь\— 8abc = а(Ь — с)2 4- b (с — а)2 4- с (а — Ь)2. 56. 3(Ь с) (с 4~а) (a-у Ь) <
< 3 (а2Ь 4~ Ь2а 4- а2с 4- с2а 4- b2c 4- c2b 4~ 2abc) <3 Га3 4~ + а3 + с3 + + с3 ~Ь
2 з
4- -g- (я3 4~ + с3) I — 8 (а3 4- Ь3 4- с3). 57. Указание: (а 4~ Ь-\-с)3 = а3-уЬ3-]~ с3^~
4- 3 (Ь 4- с) (с 4- а) 4“ О- 59. Рассмотреть а чисел, равных ~, b чисел, равных у
1 2
равных—. 61. Заметить, что 2Ьс 2са2ab <(аbс)2. 62. Знак
С о
имеет место при условии ad ~ Ьс. 63. Знак равенства имеет место тогда
тогда, когда а~ b = с. 66. Знак равенства имеет место только при
о b — с с — а а — b
67. Знак равенства имеет место при условии —-— = —
см.
и с чисел,
равенства
и только
а = b ~ с. . ______ _______________ _______,__________
J а b с
70. Знак равенства имеет место только при условии а = b — с = 1. 72. Применить
метод полной индукции: знак равенства имеет место только при а=^Ь. 76. Знак
равенства имеет место только при а~Ь. 82. Если предположить, что а^Ь, то
приходим к противоречию. 85. Вопрос сводится к тому, что среднее арифмети-
ческое из нескольких неотрицательных чисел не меньше среднего их геометри-
ческого. 88. — 1 < а < 2. 89. У к а з а н и е: (У а! — Уа2)2 = + #2 — 2 У*а\а2 0
и т. д. 90. Перемножить выражения, стоящие в левой части, и заметить,
что ~ -j- ~ 2 и т. д. 92. Если а > 0, то (1 4~ а)п = 1 + па 4- ... > 1 + ап\
если а = 0, то (1 4~ а}п = 1 4~ ап\ если, наконец, — 1 < а < 0, то, полагая а = — Ъ,
получим 0<6<1. Рассмотрим разность (1 ау*— (14-яя) —G— Ь)п— (1 — Ъп)
и докажем, что при возрастании п она возрастает: (1 — [1 — £ (п 4~ 1)] —
430 Ответы. Алгебра. Гл. IV. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
— (1-Ь)п + (\~~bn) = (1—b)n + 1 — (1-6)" + b - - (\—b)nb + b = b [ 1 —> 0,
так как 0 < b < 1. Но при n = 0 будем иметь (l-j-a)7*— (l+an) = 0, значит
при zz > 1 эта разность будет положительна. 95. Сводится к задаче 94 этого па-
раграфа. 105. Следует из тождества (сц 4- а2 + а3 4- ... 4~дл)2 + (^1—а^)2 +
+ {ах --- аъ)2 ... 4~ (#1 -- ап)2 + (а2---^з)2 + (Д2-^)2 + • • • + (^2--ап)2 + . • •
• • • + (ап-1~~ап)2 ~ п (д1+^2 4" • • • + 1°7- Выражение (ах~Ьхх)2+(а2--Ь2х)2\-...
. .. 4” (ап — Ьпх)2, являющееся квадратным трехчленом относительно х, при всех х
сохраняет знак, а именно: это выражение положительно при всех х и, быть может,
при одном только значении х обращается в нуль. Значит, дискриминант этого
трехчлена отрицателен или равен нулю. В условии задачи числа ait а2, ..., ап\
bu b2,,..t bn предполагаются действительными*. 108. Умножить обе части не-
равенства Буняковского (см. предыдущий пример) на 2, затем заменить bx, b2t...,bn
соответственно на —Ьь —b2t ...» —bn и прибавить к обеим частям полученного
неравенства ^4-^4- ... +Лд + ^14-^+ ••• +*«• Ш* Рассмотреть ггц чисел,
равных —т2 чисел, равных —и т. д. Наибольшее значение
ГГЦ ГП2
гщ т2 m l s \... 4-ztz^
гтц ггц ... тпп{----------------------
\ ггц 4~ т2 4" • • • 4~ пгп /
п _
112. nV Р. 113. Так как Ах 4~ By 4- Cz 4- D = 0, то Ах0 4- Ву0 4- Cz0 4- D =
= А (х0—~ х) В (уо—у) 4- С (z0 — z). Неравенство [(x—xQ)2 4 (у — у0)2 4- (г—z0)2] X
X (А2 4- В2 4- С2) > [А (х — х0) 4- В (у — Уо) 4~ ^ (- “ ^о)]2 есть неравенство Буня-
ковского. Знак равенства имеет место, если х — xQ, у — у0, z — zQ пропор-
циональны А, В, С, т. е. х — xQ~ ХА, у — у0 = ХВ, z — г0 = ХС, откуда х = х0 4- ХА,
у = у0 4- ХВ, z = Zq 4- ХС. Подставляя в Ах 4~ By 4- Cz 4- D = 0, находим X:
л__ Ах0 4- Ву0 4- Czq 4“ Г) а
А2 4- В2 4- С2
отсюда
__ л + Ву0 4~ Czq 4“ &
~~ ° А2±В2ц- С2
в ^'Г° + &
у уо ° А*±Ь» + С*
__ _____Р Аха 4~ ВУо 4~ Сго 4~
0 A'2 -f- В2 + С2
р R
114. X = -Q , а = , где
Р = (т,п2 — zn2nj) [тг (с, — с2) — п2 (&, — Ь2)] +
4" (Z2ni — Л лг) 1л2 (а1 — аг) — Z2 (ci — cj)1 4*
4- (Лт2 — Z2«1) [Z2 (bt — b2) — m2 (a, — a2)],
Q = (mxn2 — m2ri\)2 4- (Z2«t — 1^п2)2 4- (lxm2 — l2mt)\
R = (m{n2 — т2пх) [m, (c, — c2) — n, (6, — 62)] 4-
4" (Z2ni — Ллг) [л1 (Я1 — аг) — h (ci ”“с2)] 4~
4" (zim2 — Z2nJi) [Л (^i — b2) — пг2(fli Д^)]-
115. При t =
(Xj — л0) Z 4- (у, — Уо) т 4- (г, — г0) п
Г2 4- т2 4- п2
§ 3. Эквивалентность неравенств и смешанных систем
5. Пусть 0 < х' < 1, 0 < у' < 1, 0 < г’ < 1. Тогда 0<х4-у4~г<1, х = х’ — х'у' =
= х' (1 — у') >0, у = х'у' (1 — г') > 0, z = х'у'г' > 0; обратно, если х > 0, у > 0,
г > 0, х 4- у 4- z < 1, то 0 < х' < 1, у' = Хфт—. значит 0 < у' < 1; г' = —,
X У ~т 2 У ~г 2
значит 0 < z’ < 1. 6. Каждая из предложенных систем неравенств эквивалентна
одному неравенству х2 4~ У2 4“ г2 < 1- 7* а) Да- б) Нет (вообще говоря). 8. Пусть
выполнена система (1). Возможны два допущения z < х и z > х; если z < х,
* Предложенное неравенство было получено русским ученым Буняковским;
оно применяется в математике в различных вопросах.
Ответы. §1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
431
то из (1) следует также, что 0 < z < х, значит выполнена система (2); если же
z > х, то из (1) также следует г < х 4~ У, х + У < t т- е. z < 1 и далее;
из z<x-\-y следует, что z— х < у. Итак, в этом случае выполнены соотноше-
ния (3). Обратно: пусть выполнены соотношения (2). Тогда, так как z < х, а у > О,
то г<х + у; следовательно соотношения (1) выполнены. Пусть, наконец, выпол-
нены соотношения (3). Тогда, очевидно, z > 0 и z < х-j- у. Далее: у > г —х,
z — х > 0, т. е. у > 0, т. е. все неравенства (1) выполнены. Наконец, ясно, что
системы (2) и (3) несовместны [в системе (2) г < х, в системе (3) z > х]. 9. Ука-
зание к б). Если z =# у2 и z Ф 1, то из (1) следует, что 0 < z < 1 или 1_< z < 2;
в то же время из г у2 следует при этом: или у >У z, или у <У z. Таким
образом, имеем 4 -Возможности: а) 0 < z <1, у > ; 0 0 < г < 1, у < У z\
в) 1 < z < 2, у < VT; д) 1 < г < 2, у >У z. Однако при У z < у имеем z < у2 <_1,
что противоречит условию 1 < г < 2. Значит, остается: а) 0 < г < 1, у < У z;
б) 0 < z < 1, у > У~г\ в) 1 < г < 2, у < У z. Из (1) и а) приходим к (4); из (1)
и б) — к (5); из (1) ив) — к (6). 11. Эквивалентны (предположение х < 0 приводит
к противоречию; аналогично приходим к противоречию в предположении у < О
или г < 0).
Глава V. Линейные уравнения и линейные неравенства
§ 1. Линейные уравнения
1, Xi = — х4, х2 = Зх4, х3 =— Зх4. 2. Система несовместна. 3. Система несовместна.
4. X! = 0, х2 = 1, х3 = 1, х4 = 5. 5. Xi = х2 = х3 = х4 = х5. 8. Xj = х5 4~ х6 — 1,
х2 = х5 — хб4-1, х3 = хб~х5 —2, х4 = 2 — х5 —— хб. 7. х4 = х3 = х4 == х5 = .. .
... == хп ~ 1, х2 = 2 — п. 8. Рассмотрим многочлен (х— 1) (х — 2) (х — 3).. .(х— п).
Производя перемножение, представим его в виде (х— 1) (х—2) (х — 3)... (х — п) =
= хп -j- alxn~l + а2хп~2 -j- ••• -\~an-ix + an' Полагая здесь поочередно х = 1,
х = 2, х = 3, ..., х = п, получим:
1 -j- + а2 -J- ... + •= 0,
2л + 2"-1а1+2'!-2а2+ ... 4-а„=0,
пп 4~ пп~хах + пп~2а2 + ... 4-ал = 0
ИЛИ
L | ап~2 I ; д2 . а\ _L _J_
' ап + ап + + ап + ап 1 ап
1.1 2 4- 22
ап
4-2л~2
^2 । 2^“ 1 । 2^ 1
ап ап 1 ап
.. . dn_ 1 . 0 afi_о
1 4~ а _1_ л2 -
ап J ап
... 4- л"-2 4- п'1-1 -^14- пл — = 0.
«л ап 1 . «л
Отсюда видно, что решение данной системы будет
а\ — 1
--- > хп — ---.
“п “п
Xi =
ап- 1
“п
ап-2
• > хп-1
(1)
, Х2 =
Таким образом, для решения заданной системы надо выполнить умножение
(х — 1) (х — 2)(х — 3) ... (х — п); тогда мы будем знать аъ а2, ап, а затем хь
х2, ...» хя определятся формулами (1). Отметим, что, например: ап~(—1)пл!,
tzn_1 = (—где — сумма всевозможных произведений из чисел 1,
2, 3, ..., п таких, что в каждое произведение входит п—1 множителей и т. д.
Заметим, что приведенным рассуждением не установлена единственность
решения. 9. Вычитая почленно из второго уравнения первое, из третьего — второе
и т. д., а из последнего — предпоследнее, мы получим систему п—1 уравнений
с п—1 неизвестными хь х2, ..., хп_х той же структуры. Повторяя это по отно-
шению к полученной системе из п—1 уравнений, мы опять получим линейную
систему той же структуры, но уже с п — 2 неизвестными и так далее. В конце
2 • 3
концов мы придем к системе х2 4- Xj =2, х2 4- 2xi = —3, откуда Xj = х2 = 1.
432 Ответы. Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Так как первые уравнения предшествующих систем имеют вид*
%! 4- х2 4~ -^з = 3,
> xi 4- х2 4* хз + == 4,
xi 4- х2 4" хз 4“ ♦ * • -+• л*л = л,
то х3 = х4 = ... = хп = 1. Отметим еще формулы, которые получаются при
подстановке х{ = х2 == .., = хп == 1 в уравнения данной системы (начиная со
второго):
с’+с|+... +с;=с2п+1>
Й + Сз + ••• + С'л + 1 = С'л + 2>
сз3+^ + ... + ф2 = С^+3
и вообще
</? —1 I /^п~1 I I </7-1 ___ </7
с/7-1“Гсл • ••• -Г Чп-2 — Ч/l-Г
Ю» х 1 == 1, х2 == 1, х3 == ~~ 1, х$ 1, ..., Xqq == ~~ 1, х 1 оо == 1.
§ 2. Линейные уравнения, содержащие параметры
1 ч Р . А 7 12(3-4-1) 4 12 о
1. а) Если а 0 и з =4 — ~ то х = , у = ~, г = х—. б) Если
’ 3 Зз 4- 7 Зз -f- 7 Зз 4- 7
7
а =-----х-, система несовместна, в) Если з = 0, то z— любое число, х = г,
<5
у = — 2г 4- 4. 2. а) Если з 4= 4 и а —3, то х = -т—-—, у =—--у-, z = 6.
7 . 4 — з з — 4
б) Если з = 4, система несовместна, в) Если з =— 3, то х — любое число,
4 х — 1 19 — 7 х ~ р л ~ з 4- 1 & 4~ 3
а у =------5— , z ------х--. 3. а) Если з^О и з 4 -3, то х =--------, у = —1,
3 3 / / / з 7 з
2 (з 4~ 2) с> л \ г? о
z =-----------~. б) Если з = 0, то система несовместна, в) Если з = — 3, то у — лю-
2 2
бое число, х ~ у , z " у--------. 4. а) Если з 4=0, а 4 L 4 —1, то х = у =
о d
~г ~ , б) Если 3 = 0, то система несовместна, в) Если з = 1, то система
неопределенная: z — любое число, х = г, у = 1. г) Если з = — 1, то система не-
определенная; у — любое число, х = у, г = — 1. 5. а) Если з 4 0, а 4 1- & 4= 0,
то система имеет единственное решение: х = —-------р, у = - . б) Если з = 0,
b Ф 0, то х — любое число, у = 0. в) Если з = 0, b = 0, то х и у—. любые числа.
г) Если а 4= 0, b = 0, то х = 0, у — любое число, д) Если b = 1, b 4= 0, то система
г» гч п & — 2х 4- 4z
несовместна. 6. Решение. Из первого уравнения системы находим у =---------.
3
Подставляя это значение у в два остальных уравнения, после упрощений будем
иметь
2 (з — Ь) х — 5 (а — b) z = 2 (з — &)»
(Ь — 2а) х 4- (5з — b) z — 4 (b — а).
а) а = Ь. В этом случае первое из уравнений (А) является тождеством, а второе
принимает вид — ах 4- 4зг = 0. Если а = b = 0, то и это уравнение выполняется
при любых х и z. Следовательно, если а = b = 0, уравнения (А) будут тождествами
„ 5 — 2х 4- 4г
и. значит, все решения данной системы х, у =-------j------, г, где х и z — произ-
вольные числа, б) Если а = b 4= 0, то уравнение —ах 4- 4az = 0 может быть
переписано так: х = 4г, у = ~ (5 — 2х 4- 4г) = ~ (5 — 4г). Все решения: х ~ 4г,
о о
5___4г
у ~ , Где 2 — произвольное число. Если а — то уравнение 2 (з — Ь) х —
3
5
— 5 (з — 6)г = 2(з — Ь) можно переписать так: 2х — 5z~2, откуда л = 1-^-^г,
* Эта система уравнений вместе с первым уравнением данной системы экви-
валентна данной системе.
Ответы. § 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТРЫ 43&
а следовательно, уравнение (Ь — 2а) х 4 (5а — Ь) г = 4‘(’d — а) принимает вид
(Ь — 2а) (1 4 ~ (5а — b) z = 4 (b — а) или 3bz = 2 (3b — 2а). в) Если а — d 40,
b — О, ЗЬ — 2а 4 О, то система несовместна, г) Если а — Ь О, b = О, ЗЬ — 2а = О,
। 5 । 3__2
то х = 1 4 z, у = (5 4- 4г—2 — 5z) =—g—, где z— любое число, д) Если
,^л 2(ЗЬ — 2а) , . 5 (3d — 2а) 2(9d —5а)
а-b^O, Ь^О, то г = -У-^-............+ 2-= . А .......’ ,
1 Г. , 8 (36 — 2а) 4 (96 — 5а) 1 36 + 4а _ „ , , , о
-----1к_1----J------L-----1------'1 = —J_—. 7. Если e^l, а =# — 2, то
Уо
Если а = 1, то z = l—х — у, а х
несовместна. 8. Если а 4 1 и а 4 —3,
_ 2а 4- 1 а3 4- За2 4- 2а 4- 1
' 2 л I Q » л I Q
ЗЬ
1
У =
(*-!)(* 4-2)’
k — — 2 и а 4 d 4 с = О, то
х— 2у 4- z .== Ь, Все решения
х — любое число. Если & = 1
х и у —любые числа.
3b J ~
(д + 1)2
а 4“ 2 *
и у — любые числа. При а = —2 система
а2 4~ 2а 4- 2 а2 4- а — 1
то х =-------!—г-^5--, у =---------—о—
а 4~ 3 а 4” 3 w ~ ( ~
Если а = 1, то t = l—х~у— z, а х, у, z — любые числа. При а = — 3 система
пт? // a -zi 2d —1 1 -2ad —4d4-l
несовместна. 9. Если 4 0 и я 4 1, то л = -г~,-----, у — -т , z = —.
Ь (а—1) b Ь (а — 1)
Если b = 0, то система несовместна. Если d40, а = 1, d 4 -i-, система несовместна.
Если а = 1, b = , то х—любое число, у = 2, z = 2—х. 10. Если a2 4-d2 4с2+^2¥=0,
то система имеет единственное решение: x=y=z=Z=0 (см. задачу 9, гл. 1, § 1).
11. Если &41 и &4—2, то система имеет единственное решение: х —£
м _ d(fe4-l) —а —с __ c(fe4- 1) —a —d
3- {k-l)(k + 2) 'Z ’ (й-1)(А + 2) •
система эквивалентна следующей: — 2х 4- у 4 z = a,
о b — а , Ь 4- 2а
этой системы: х, у = х-------~, z = х 4 —х--------*,
о О
и a = Ь = с, то все решения: х, у, z = a — х — у, гд;
Во всех остальных случаях (k = — 2, а 4- b 4 с 4 0 и k = 1, причем среди чисел а,
Ь, с есть хотя бы два различных) система несовместна. 12. Если d 4 с, с 4 а,
а 4 d, то х = abc, у = — (Ьс 4- са 4 ab), z-a^b^c. Если среди чисел а, Ь, с
есть только два равных, например, Ь — с Ф а, то данная система эквивалентна
следующей: х ау + a2z = а\ х -j- by 4 b2z = d3, откуда х == abz — ab (а 4 d),
у =— (a 4-d) г-j-a2 4 a^ 4~ d2, где z — любое число. Если а = Ь = с, то данная
система эквивалентна одному уравнению хау-у-a2z ~ а3’, все решения этого
уравнения: х = а3 — ay—a2z, у, z, где у и z — любые числа. 13. Указание:
переписать данную систему в виде (а 4 1) х = (d 4- 1) у = (с 4~ 1) z = (d 4- 1) a =
= ах 4- by 4~ cz 4 du и ввести вспомогательное неизвестное ах 4 by 4- cz 4 du = s.
Ответ: а) если (a + 1) (6 + 1) (с + 1) (d 1) =/= 0 и +
+ 4 1---1 ¥= 0, то х = у = г = и = 0; б) если (a -j- 1) (6 4-1) (с -|- 1) (d -|- 1) 0,
а , d , с . 6? , л t f t
а4~1 d 4-1 с 4- 1 d 4~ 1 а 4-1 b 4~ 1 с + 1
а=—где t — любое число;, в) * если а 4~ 1 = 0, (d + 1) (с + 1) (d j-1) 4= 0,
то х = у = z = и — 0; г) если а 1 = 0, d 4~ 1 = 0, с 4~1 + 0, ^ 4- 1 =4 0, то у — про-
извольное число, х = — у, z = 0, и = 0; д) если а4~1=0, d 4-1 = 0, с + 1 = 0,
d 4- 1 4= 0, то у и z — любые числа, х ~ — у — z, и = 0; е) если а + 1 = 0, d-j- 1 = 0,
с 4~ 1 = 0, d 4- 1 = 0, то х, у, z — любые числа, и = — х — у — z. 14. а) Если a=^= d,
а 4= с, а 4= d, Ь 4= с, b 4= d, с =£ d, то х = abed, у = — (abc 4- add 4~ acd 4 bed),
z = ab 4 ac 4- ad 4- be 4- bd 4- cd, t — — (a 4 d 4 c + d)', б) если a + d, a 4= c, d4=c,
c = d, to t — любое число, x = — abet — abc (a 4 d 4 с), у == (ac 4 ab 4 be) t 4
• • (a 4 d 4 c) (be 4 ca 4 ab) — abc, z = — (a 4 d 4 c)t — (a2 4 d2 4 c2 4 be 4 ca 4 ad);
в) если a4=d=c = < to t и z — любые числа, а x = abz 4 ab (a 4 d) t 4
4 ad (a2 4 ab 4 d2), у = — (a 4 d) z — (a2 4 ab 4 d2) t — (a3 4 a2b 4 ab2 4 d3); г) если
* Аналогичные выводы будем иметь в случаях: d 4 1 = 0, (а 4 1) (с + 1) (d 4 1)+0
или с 4 1 = 0, (а 4 1) (Ь 4 1) (d 4 1) 4 0, или d 4 1 = 0, (а 4 1) (d 4 1) (с + 1) 4 0.
В подобных случаях [см. ниже случаи г), д), а также задачи 14, 15 и др.] мы не будем
в ответах давать полный анализ результатов.
28 П. С. Моденов
434 Ответы. Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
а = b = с = d, то у, г nt — любые числа, а х = — ау — a2z — a3t — а4. 15. Ука-
зание: ввести новые неизвестные; х у + z = р, у 4~ z = q, z = г. Ответ: а) если
а =£ b, b =£ с, с^ а, то х = —- abc — be — са — ab, у = be 4~ са 4- ab 4~ а 4~ b с,
2 = —а — b — с; б) если а 4= b = с, то z произвольно, х — (abаb) z
4- ab (а 4“ b) 4~ а2 + ab 4~ Ь2) у = — z — (а 4~ b) z — a2 — ab — Ь2; в) если а = b = с,
то у и z прсизвольны, х =— (у 4~ 2) + О — а*2 — ^3. 16. а) если а =£ Ь, Ь^с
и с =Л а, то х = -tvt-г-, у = yr-777---г , 2 = 7------------77-—у. ; б) если
“ ’ (а-~Ь)(а — с) (Ь — с)(Ь — а) (с— а) (с— Ь)
афЬ = с, то система несовместна; в) если а = b = с, то система несовместна.
17. Указание. Ввести новые неизвестные: Х = х—1, Y = у—1, Z = z—1.
1113
Ответ (предполагаем, что а =^= О, b =^= 0, с 0): а) если 4- 4“ уз —¥= 6,
1113
то система имеет единственное решение х =у=2,= 1; б) если + т^тш-г- = 0,
а* Ь3 с3 abc
х 111111
но хотя бы одно из чисел —г-г, -т---г,------не равно нулю, то
ab с2- be а2 ас b2 J
, , , ( 1 1 \ 1 . . / 1 1 \ . , , / 1 1 \
х = 1 4- f -7-7 , у = 1 4- /-----7 , Z = 1 4- и —7----------т), где t — любое
1 \ be a2 J J \са b2) ' \ab с2}
ч 1 1 1 1 1 1 л
число; в) если —---г =—-------------7=0, то у и z — любые числа,
' be а2 са b2 ab с2 J
а х = а 4~ у 4* ~—у—а) Если б?4=0, а^Ь, Ь^с, с^а (разумеется,
а =/= d, b =£ d, с d), то система имеет единственное решение:
х = (Ь — с) (a — d) [d (b + с) — £с],
у = (с — а) (Ь — d) [d (с 4~ я) — са],
z = (а — Ь) (с — d) [d (а 4~ Ь) — аЬ].
б) Если d = 0 и выполнено хотя бы одно из неравенств а b, b с> с =£ а, то
л = /(д —с), у = t (с — a), z = t(a — b), где t — любое число; б) если среди
чисел а, Ь, с есть только два равных между собой, например, а = b #= с, то х
любое число, у = —х, г = 0; г) если а = b = с (=/= d), то у и г — любые числа,
а х =— у — г. 19. Переписывая данную систему в виде
с 4~
а 4~ X
c+jx
у 4» 2 = с 4- \
$4~Х
ь + р>
с двумя
и вычитая почленно из первого уравнения второе и из первого третье, получим
(после сокращения на X — р.7^0 и X — v =4 0)
(а—-с)х , (Ь — с)у
(а 4~ X) (а 4~ Н-) ‘ (Ь 4~ X) (Ь 4~ ia)
(а — с)х , (Ь — с)у
(а — с) х (Ь — с) у
"4- Г~ = ~ У-4'Х"~ “ ПОЛУЧИМ систему той же структуры, но уже
неизвестными: —--------р —= 1, 4- 7-^— = 1 или А + х 4. у _
а 4- pi 1 b 4- [J. а 4~ м 1 b 4~ v
Ь “4* \
-j-p--Xi 4~ у! = & 4-V. Вычитая и сокращая на у. — 0, получим
{а 4~ X) (а 4~ Р-) 4" v) .
=------!!—!—- • аналогично
Полагая
(а 4“ Р-) (я 4~
*1 =-----------; следовательно, -------------------------------
а — Ъ (а — Ь) (а — с)
v __ (^ + + F0 (^ + '4 (с 4- (с 4~ Р-) (с 4~ v) „
у-------(Г-а) (Ь-с)------* ----(С_а)(с_&)-------’ Этим приемом можно ре-
шить систему из п уравнений с п неизвестными, имеющую ту же структуру, -что
и заданная система. Правильность формул, которые в случае системы из п урав-
нений с п неизвестными аналогичны указанным выше, может быть установлена
и методом полной индукции. 20. Система несовместна. 21. Система в случае
а 4- v 0 имеет единственное решение: х = а ---V U , у = b ~ , z = с — —
и-\-и ' v и V -Y и '
Ответы. § 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТРЫ 435
В случае и 4- и = 0 система несовместна. 22. Система несовместна. 23. Система
имеет единственное решение х = Ур (а 4- 0,’ у = V q {и — v), z ~ 2uv. 24. а = 5.
25. При всех значениях X, кроме Х = 1 и X = — -i. Решение: х4 — 1—— х2 —
— *з’— х5,
Хл?! — Зх2 4" &х3 — 1 4“ Х1 4" Х2 4~ х3 + х5 4" Зх$ = 1,1
12х{ — х2 4- Зх3 4- 2х5 = 2; J
(X 4~ 1) xi — 2х2 4- 6х3 4“ 4х5 == 2, 1
Х2,**! — х2 4- Зл*з 4~ 2х5 = 2; J
х2 = X2A"i 4“ $х3 4“ ^х5 — 2,
(X 4“ 1) -Vi — 2Х2а*1 — 6.Х3 — 4^5 4~ 4 4~ &хз 4~ ^х$ 2,
(1 4-Х — 2X2) Xl = — 2.
Это уравнение не имеет решения, если 1 4~ X — 2Х2 = 0, откуда Х1 = 1, Х2 =—
26. Система совместна при всех значениях X. 27. с = а 4- Ь. а) Если 6^0, то х = 0,
у ~2b, z = 2а\ б) если b = 0, а #= 0, то х = 0, у == 0, z = 2а\ в) если а = b = 0,
то у и z — любые числа, а х = — у — z. 28.
а\ 4- #2 4~ • • • 4* ап
Л‘ = „---1---------аь
~ __ ах 4~ #2 4“ • • • 4" ап
Х2 — л I а2>
_ ах 4- а2 4- ... 4- ап п
ЛП — п | иП'
29. Xi = Л1 — й0, х2 = а2 — 2aj + aQ, х3 = а3—За2 + 3^ — а0.хп=а„ — С1„аа_1 +
4- С2ал_24‘ ••• + (—1)пя0. 30. Умножим обе части первого уравнения на Ьь обе
части второго уравнения — на Ь2, обе части предпоследнего уравнения — на Ьп^г
и сложим почленно полученные уравнения. Выберем blt b2.......#л-1 такими, чтобы
Z>1 4" Ь2а2 4“ ^2 4" ^4а2 + • • • 4“ ^д-1а2 2 4“ а2 1 == ^»
4-Мз 4- ьзаз 4- ^4аз 4" • •• 4~^л-1аз 2 4-^з ! = 0,
bi 4- Ь2ап 4- ьза2п 4- ь4ап 4- ••• +bn~ian~2 4-Яд"1 = °;
тогда после сложения получим уравнение (#1 4~ ^1 4~ 4" ••• 4~ ^д-1а?”2 4~
4- а""1) == bv Из соотношений (А) следует, что а2, а3, ..., ап суть корни урав-
нения zn-' 4- bn_xzn-2 4- ... -\-b3z2-\-b2z~Ybx == 0, так что zn~x 4- bn^xzn'~2 4- ...
... 4- b3z2 4- b2z ^bxr={z — a2) (z — a3) ... (z — an)>, отсюда b{ 4- Ь2аг 4- b3a\ 4~ .. .
... +^~1^"24-^'1 = (ai- - аз) ••• anp TaK 4T0
x (—l)”"1 Д2я3 ... Яд
l" (aj — a2) (Л! — л3) ... (ax — ал) ’
аналогично
(— 1)П * . . ♦ ^д х __( 1) #1^2 ... Дд-1_
2____________________________________________________________________________(б12 — (it) {р2 — а3) ... {а2 ап)_Х.ап ^1) ^2) • • (^д ^п~ 1)
31. Xi =л(1 4-zz«2zz"1), .г2=л(1 4-Z2-2'2’2), .... хп-^а(\ 4- п). При п == 4 система
имеет вид
Xi — х2 — х3 — х4 = 2d,
— Xi 4- Зх2 — х3 — х4 = 4а,
—— х2 4~ 7х3 — х4 = 8rz,
— jti — х2 — х3 4- 15а4 = 16а;
436; Ответы. Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
ее решение: хх = 33а, х2 = 17я, х3 = 9а, х4 = 5а. 32. Решение. Определим одно из
неизвестных, например, хп. Для этого умножим первое из уравнений данной
системы:
— хп + 3X1 — х2 = аь
— Xj + 3x2 — Х3 = а2,
— х2 + Зх3 — х4 = а3,
— хп-ъ + Зхл_2 — хл_х = ап~2,
xn~2~t^n-i хп~ап-\*
хп-1 Н“ %хп Х1 ~ ап
на Ьх, второе — на Ь2, третье — на Ь3... предпоследнее — на Ьп_х и сложим по-
членно полученные после этого уравнения с последним из уравнений (1). Выберем
числа Ьх, Ь2, Ь3..Ьп_х так, чтобы коэффициенты при хь х2, х3, xn_i обра-
тились в нуль:
— Ь2 + ЗЬХ — 1 =0,
— ь3 + 3^2 — ьх = о,
— ь4 + ЗЬ3 — Ь2 — 0,
............................................. (2)
-- ^/2-3 + 3^72-4 - ^/2-5=0,
-- ^/2-2 + ЗЬп _ з — Ьп_4 = 0,
— ^/2-1 + зьп_2 — ьп_3 = 0,
-1 + 3^1-^-2 = 0;
тогда хп определится из уравнения
( Ь{ Ьп_ 1 + 3) хп = ахЬх + а2Ь2 + ... + an_ibn^l + ап. (3)
Перепишем систему (2) в виде
Ь2 т=~~ ЗЬ, — bq,
Ь3 = 3^2 — b
b 4 z==- ЗЬ3 — Ь2,
bk — 3bk_! bk_2,
^п~\ — 3Z?22 -2 ^/2-3,
— З^п-1 ^/2-2»
где для симметрии положено b0 = bn — 1. Будем искать решения рекуррентного
соотношения
bk = 3bk_x Ьк_2 (5)
в виде bk = xk (более подробно этот метод изложен в главе IX — «Последователь-
ности^): xk = 3xk~'—xk~2, или х2 — Зх+1=0, х = —. Итак, рекуррент-
/ 3 _1_ т+5 \ k
ному соотношению удовлетворяют последовательности b^ = i—----------------1 и
\ z /
/з
---) , а в силу однородности этого соотношения и линейная комби-
нация этих решений
! 3 + /5 У . / 3 — /5 У
=р(—2—) +А-+-)
(6)
Определим р и q так, чтобы
выполнялись условия bQ == bn — 1, т. е. />+#=1,
1; отсюда находим р и q\ подставляя в (6), получим
(ЦП)* [, _ (ЦЦ* ] + (ЗЦЗ)») (ЗЦ5)" _, j
^3 + / sy _ (З-Убу
Ответы. § 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТРЫ 437
Теперь из уравнения (3) находим хп:
Замечание. Знаменатель 3 — Ьх — Ьп~} преобразуется так:
438
Ответы. Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
_ ж+чж _ т-ж _
У — (З + Убу1 ^3-/5)"
[(4я-(ЖГ
У + / 5у‘ _ ^3 —/ ру'
Значения для х/ можно записать в виде
//5+1\я , (Кб — 1\л
х = _£/_ \ 2 /П 2 ) х.
‘ /5 ^/5+ljn (/5—
ЁЖЖЖЖП
жжжт “
. [(Ж- (Ж'+Ж’“ - (Ж-2']
ЧЖЧЖ]
i = 1, 2, 3, .., п,
33.
— g(ClH~C2+ 4~Сл)— С1 [(и — 1) g 4~ 6]
(а~6)[(/г-1)а + ^
г __ a(Cl~bg2~H - 4~^л) & +
2 (a-b)[(n-l)a + b]
y = fl (ci Н~ g2 Н~ «>. 4~ сл)— сл [(^ — 1) а 4*^1
п (а —г>) l(n — 1) а-Ь д]
34. Решение. Перепишем данную систему в виде:
3(*i4~ хг ~i~ • •• 4~ хп) 4" 2 fai-Xi 4~ (1гх2 + ••• 4" апхп)= 3 4“ 2Z>,
•*14”*г2 4‘ ••• 4~ хп 4~ 3(ял 4-(^чх2 4" ••• 4“ апхп) 4*
4- 2 (gjXj 4“ a2Xii + • • • + алхл) = 1 + 3# 4- 2б2,
«л+'^2+ ••• +апхп 4-3(4*14-4*2 4- ... +4хл) +
4- 2 (а^Х! 4~ 4*2 + • •. + апхп) = 6 (1 4- 36 + 262),
а1 3*1 + а2 3*2+ ••• +4 3*л + 3(4 ~*'Х1 4- а^~^х2 4- ... 4- апп~~ хл)4-
+ 2(аГ1*1 + 4"1*2+ ••• +4_1^) = ^"30 + 36 + 262),
а1~2*1 + 4 2*2 + ••• + 4~~*д + 3(4~]*! 4~ д2~1х2 + ..• + 4”1 *л) “ 6Гг“2(1 4-36)
И ПОЛОЖИМ
*14-*24- ... 4-*л = ^1»
£1*! 4-02*2 4“ 4“ДЛ*Л = ^2»
afxi + fl^2+ ... +4x„ = Z3,
а” Ч14-а2-Ч2-|- ... -\-апп~хха = Хп.
Ответы. § 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТРЫ 439
Тогда система примет вид
3^4-2^2 = 3 4-2*.
+ ЗХ2 4- 2Х3 = 1 4~ 3* 4~ 2*2,
х2 4- ЗХ3 4- 2Х4 = b 4- З*2 4- 2*3,
Хп-2 + ЗХ„_, + 2Хп = + Зй«-2 +
Хп_! + ЗХп = 6«-2 4- ЗЙ«-1;
полагая,
X, - 1 = X2-b = z2, X3 — b2 = z3...........Хп -bn~' = zn,
получим:
З^! 4" ^^2 ’===' О,
2*14~ 3z2 ~Ь 2*з = о,
Z2 4" 3^ 4“ 2^4 О»
гд-2 + ^Zn-\ 4" ^2П ~
?П-\ + %zn ~ &
Отсюда
^П- 1 = = (22 1) -S'n,
Ztl — 2 ^zn- 1 ^zn = (23 1)
^п-з “ — ^«-2 — i ~ — 2bzz 4* §zn “ — 15zn = (24 1) znt
Zfl — i 3Zn — 3 ^^n — 2 45zn 14’n = 31zn = (25 1) znt
г2 = -U - 2z\ = (—1Г~2 (2^-i - 1) zni
Зг2 - 2г3 = (—1Г ~1 (2" - 1) zn.
Теперь из первого уравнения 3z^ 4~ 2г2 = О находим 3 (—1)л~2 (2Л”1 — 1) zn 4-
4- 2 (—l)"-1 (2" —1) zn = 0, или [3 (2л-1 — 1) — 2 (2Л—1)] zn = 0, или (—2Л~1) гл=0,
откуда zn == 0, а значит и г1 = г2 = г3= ... = zn~x = 0. Таким образом,
•*1 4“ Х2 + хз + ♦ 4“-гл==^
Д1Х1 4* ^2Х2 + &зхз “Ь ••• 4“ апхп Ь»
aixi 4“ а2х2 4" а1хз 4* • • • 4“ а<пхп “
ai~ixi 4" д2~1х24"аз 1хз4- ••• 4"я* Ххп — Ьп
Умножим первое из уравнений на ръ второе — на р2, третье — на р3, ... и пред-
последнее— на pn-i', последнее оставим без изменения. Сложим все полученные
уравнения и выберем рь р2, рз, .... pn~i так, чтобы коэффициенты при x2, х3, ..., хп
обратились в нуль:
Р\ 4" а2р2 + а2Рз 4" ••• 4" я" 2/?л-14"Я2 1==0,
Р1 + я3р24-а|р34- ... 4-Л3 “/?л_14~Яз 1==0, > 0)
Pi 4~ апР'2 4" апРз 4“ • • • 4- Яд~т>д_14~ я” 1 = 0.
Тогда
(pi + а\р2 + а1Рз 4- • • • 4“ ai 2Рп-14“ ai xi =
— Pi 4- ьр<24-ь~р.34- ... 4" ьп "рп-1^г^п (2)
Из соотношений (1) следует, что а2, а3, ..ап — корни уравнения sn~l 4~ Pn-isn~2~r
4- Pn-2sn~3 4“ ••• 4~ Рз^2 4“ P2S 4* Р\ = 0, так что левая часть этого уравнения
тождественно равна (s — а2) (s — a3),..(s — ап) и уравнение (2) примет вид
(Я1 — а2) (ах — я3) «• • (Я! — ап) х^(Ь — а2) (^ — я3) ... (6 — ап\ откуда
х я2) — д3) ... 0 — ап)
1 (aj — а2) (Я! — я3) ... (аi — ап) ‘
440 Ответы. Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Аналогично:
х = (b — ax)(b — a3) ,,, (Ь — ап) '
2 (02 — 01) (02 — 0з) • • • (02 — 0д) ’
х (^ —01)(^-~02) ... (^ —0/г-1)
(0/г 01) (0д 02) • • • (ап ап-1)
35. Необходимое и достаточное условие совместности системы: аха2 ф- л3я4 ==
== аха3 ф- я204 = 020з + 0401- При этом условии:
Xi = у [ai (а2 ф- а4) — а204],
*2 == у [02 (03 + 04) “ 0304],
х3 = у [03 (02 + 04) “ 0204],
"Г4 “ 2~ (а2 ---020з]«
35. Положение очевидно, если все коэффициенты ах, а2, а3, ап; Ьъ Ь2, Ь3, .Ьп
равны нулю. Предположим, что ах Ф 0, тогда и Ьх =f= 0. В самом деле, если бы
было Ьх — 0, то хх = 1, х2 == 0, хп = 0 являлось бы решением второго уравне-
ния, но (в силу ах =# 0) эта совокупность чисел не будет решением первого урав-
нения. Рассмотрим решение хх = — —, х2 = 1, х3 = 0, лг4=О, хп~0 первого
01
уравнения. По условию это решение и второго уравнения, т. е. —Ьх~ -ф#2 =0,
откуда Ь2 = а2. Полагая — = k, получим b{ = kalt b2 = ka2. Рассматривая решение
ах d\
хх =— х2 = 0, х3 = 1, х4 = 0.........хп = 0 первого уравнения в силу эквива-
01
лентности, находим: — Ьх ~ -ф Ь3 = 0, откуда b3 = ka3 и т. д. Число k, по доказан-
01
ному, отлично от нуля. Обратное положение. Если k =£ 0, bx = kab Ь2 = ka2, ...
..., bn = kan, то уравнения аххх ф- а2х2-\~ ... +апхп = 0, bxx{+b2x2-\- ... ф- Ьпхп — 0
эквивалентны. 38. Если А1 -ф Вт -ф Сп Ф 0, то система имеет единственное реше-
ние; если А1 -ф Вт ф- Сп = 0, Аа -ф ВЬ ф- Сс -ф D Ф 0, то система несовместна;
если А1 ф- Вт 4- Сп = $, Аа ф- ВЬ -ф Сс ф- D = 0, то система неопределенная; ее
решения х = а 4 It, у = b 4 mt, z = с 4 nt, где t — любое число. 39. Если хотя бы
одно из трех чисел: Ьхс2 — Ь2сх, сха2— с2ах, ахЬ2 — а2Ьх, не равно нулю, то все реше-
ния данной системы даются соотношениями: х = (/;хс2 — Ь2сх) t, у = (сха2 — c2ax)t,
z = (axb2— a2b})t, где t принимает все значения. Если все указанные числа равны
нулю, то данная система эквивалентна тому из двух уравнений, в котором не все
коэффициенты равны нулю. Если, например, Ьхс2 — Ь2сх = сха2 — с2а{ = ахЬ2 — а2Ьх=0,
, л » bxy-\-cxz
ах 0, то все решения данной системы х =------------—!---, у, г, где у и z — люоые
01
числа.
§ 3. Линейные неравенства
5 3 1
1. х > —- 2“ • х > 4 3. х < —2" • 4. —5 < х < 3. 5. —3 < х < — . 6. Система не-
Ь b
совместна. 7. Если а > 0, то х >---; если а < 0, то х <------. Если а = 0, b > 0,
а а
то неравенство удовлетворяется при всех значениях х. Если а = 0, Ъ <;0, неравен-
а^
ство не имеет решений. 8. Если —1 < а < 3, то х < —Если а < —1
или а > 3, то х >----5---х---. Если а = 3 или а = — 1, то л — любое действи-
ям — 2а — 3
тельное число. 13. —- ф-— — 0.
^1 ^2
‘Ответы. § 4. СОСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 441
§ 4. Составление линейных уравнений
П. 1. Составление линейных уравнений с одним неизвестным
vt
1. у—у. 2. Через 4 года. 3. 1120 км. 4. 50 км/час. 5. 20 км/час. 6. В 11 час. 45 мин.
вечера. 7. 30 км. 8. В результате второго деления первый получил больше, вто-
рой столько же, третий меньше. Полученные суммы: 72 руб., 60 руб., 48 руб. или
36 руб., 30 руб., 24 руб. 9. 10. . ц 60 кг. 12. 20.
р + q mb — па (р — г) (1 4- q)
13. /п"ур~~ • 14. Девять частей первого на 35 частей второго. 15. 187, 5 кг. 16. Само-
м d 4- vt — Tw
леты сойдутся в момент времени —-------, считая от начального отсчета вре-
мени. 17. 40 час. 18. 10 л. 19. 3 час. 20. 27 дней. 21. 17°, 25. 22. 57 км/час.
23. 1736 мм, с точностью до 1 мм (с недостатком). 24. Расстояние от А до завода
пяпнп 1000(6 —a)4-rf(1000p + na) (Зи + v) s
Равно-------2обЬр + п(Я- *)-----’ ' 4Я7Г 2о- 1 * * • 12 л- 18 л> 30л-2-
Зг-п-п- Р<1
100 100 \ 100 / 4 100
118,8 л. 27. ——------%. 28. -----------------------. 29. 20%. 30. 10 час.
А____L 1^1 А . _£?|/14--^Л
\ ЮО/ \ 100/ \ 100/\ 100/
31. 7 час. 50 мин. 32. 44 раза. 33. 10 .час. 34. 3 км/час.
П. 2. Составление систем линейных уравнений с несколькими неизвестными
1, v = —, I = —Ч- 2. 4 км/час, 3,5 км/час. 3. 80 кг, 60 кг. 4. 4 км. 5. 89 кг мети
/2 — t2------------------t\
Л bd
и 35 кг цинка. 6. --------т-г-.—< час. 7.
с — a (d 4- е)
3 км/час, по ровному месту 4 км/час,
В 1 час дня. 8. 4 км. 9. 600 км. 10. В гору
r ’ it о ^1 — С п & — ^4
под гору 5 км/час. 11. Р р В^Е'С '
Q — q Dq— dQ
-у-—, вес —A-------~ • Это верно, если обе
D — d D — d
__
U1 + V2 \ 00 1
первый час 112 м,
115 м, в послед-
, железа, и 30 кг
руды, содержащей 58 % "железа. 29. 438 и 102.’ 21. 50 и 75. 22. 32 человека, 500 руб
С < А < В или С > А > В. 12. Объем
дроби положительны. Задача неразрешима, если хотя бы одна из дробей отрица-
тельна. Если D — d, q^Q, задача неразрешима. Если D == d, Q — q, то взс р и
100(10000 — тп)
объем v связаны лишь одним соотношением p-ydv — q. 13. д~2т/Г ’
100с — bqs . 100с — aps 9/fn rp *4 (nv2 ,
14. -----Н— м по а руб. и —--------м по b руО. 1э. 240. 16. СЕ =----1------
ap — bq bq — ap
4-2 А = + 17. Точка А проходит в
/ (^i + V2)2 \ 60 /
в последний —152 м. Точка В проходит в первый час
ний —127 м. 18. 108 г свинца. 19. 12 кг руды, содержащей 7296
23 ГЧерез~3 часа~ 20 мин. 24. 60 км, 5 км/час и 4 км/час. 25. Длина спусков 10 км,
„ ы 475 .97 1° 35-9° 17^;и6^ 24 “ + ") + b (Р + <1)
подъемов 16 км. 26. уу км. 27. 1 . , 2 . 1/,о/сг и о лгг. 28. ~mpddE~^ *
29. Вес сосуда 50 г. Вес воды в А равен 150 г; вес воды в В равен 200 г.
30. АВ = За — b, vL == , и2 = ^-.31. Количество свежих грибов первого
вида
1- L
1 юо
cq------
1- —
1 100
1 ~1®>
+ г
100
442
Ответы. Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
количество сушеных грибов первого вида
1 —L 100 С? 1-JL 100 1 L , , 100 1 + q — 1 100
количество свежих грибов второго вида
с
. 1 100 1+’1_2L 100
количество сушеных грибов второго вида
1—— 100 с -— 1-.Z. 100 1 —L Ч . 100 1 + * а 1 100
32. 50 лет отцу, сыновьям 10 лет, 15 лет, 20 лет. 33. В гору:
V W)\и V W
34. А — в 30 дней, В — в 45 дней, С — в 18 дней. 35. -час,
_A4.JL4.J_4._L
а ‘ Ь ‘ с ‘ d
3 3 3
+1 । 1 час’ ’ 1.час’ “1 । 1 . а час*
а Ь г с d а b с~г d а b ' с d
36. 1 час 45 мин., 7 час, 3 час. 30 мин. 37. 480 л, 560 л. 38. ——— дней,
ab ас — Ьс
-------- дней, -г~т~-к дней. 39. 99. 40. 16 час. 48 мин., 60 час., 40 час.
аЬ Ьс — ас са-\- cb — ab
41. 1 час. 24 мин. 42. АВ — 14 км. ВС = 16 км. 43. ~—ft, k > 2. 44. 2ak.
/г2 — — 2
45. А плыл мимо В в 3 час. 20 мин. Скорость течения реки 2 км/час. 46. АВ — 72 км.
ВС =120 км. Vj = 30 км/час, v2 = 60 км/час. 47. АВ = 63 км, ВС — 126 км. Ско-
рости: 42 км/час и 84 км/час. 48. 8. 49. CD = 2160 м\ А проходит это расстояние
Ответы. § 1. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
443
за 8 мин. 15 сек., В — за 9 мин. 45 сек. 50. 40 км[час и 60 км [час, АС ~ 120 км.
51. х = 45, >- = 30, - = -!• 52- -г = 5. У =4. — = 4- 53. х = 60, у = 45,
п 3 ' v 5 J * b 4
54. — = — » 6 = 10» 6 = И (считая и стоянку в В). 55. Xi = —.............—А
v2 э (п — I)2 ’
п2 — 2л4-2 . . z lx»
х2 = —(-----ф— А, л*3 = х4 = ... = хп = А. 56. (л — I)2 а\ число лиц п — 1.
57. Первый покупатель должен был получить сдачи 25—47,5л:, а второй 100—83х.
Пусть 25—47,5л: содержит а руб. и b коп., а 100—83л: содержит с руб. и d коп.
Тогда 25 — 47,5х = а 4“ 0,016, с -4 0,01 d ~ 100 — 83л:. (1). Кассир дал первому поку-
пателю 6 +0,01л, второму d 4-0,01с. По условию а 4- с 4- 0,016 4- 0,01rf = b 4- d 4-
4-0,01л + 0,01с или а с = b d. Кроме того, 6 — а ===65 или 6 — а = 64. Считая
6 — л = 65, находим 6 = л 4-65, d = c — 65. Подставляя это в (1) и исключая х
после упрощения, получаем 95с — 166л = 5465. Надо решить это уравнение в целых
числах, учитывая, что л и с — целые положительные числа. Имеем:
л =
95с —5465 „„ 13 +95с 13 +95с
166 “ + 166
166р—13 „ , —24р—13
с = —-------= 2р +---------
— 95^ — 13 . . q ~~13
А=----------= -4^4-
166 ~р’
— 24/7—13
95
9—13
24
q = 24s 4-13, р = — 96s —52 4-5= — 95s — 52,
с = — 190s — 104 + 24s 4-13 = — 166s — 91,
a = — 33 — 95s — 52 = — 95s — 85.
Отсюда s = — 1, —2, —3, ... Полагая s = — 1, находим c = 75, л = 10; значит,
6 = 75, d = 10. Из 100 — 83x = 75 + 0,1 находим x = 0,3 руб = 30 коп. Предполо-
жения s= — 2, —3, ... не дают решения задачи. Не дает решения задачи и пред-
положение 6 — л = 64. 58. 1809 г. 59. 1810 г.
Глава VI. Уравнения и неравенства высших степеней
§ 1. Квадратный трехчлен
1. 2л и 2. 2. Если л2 — 62 =4 0, то корни —Ц- и —т-т-. Если [ л | = 1 6 | =£ 0, то уравне-
л — о а ~г* и
ние имеет один корень ~ . Если | а [ = 1 6 | = 0, то уравнение не имеет корней.
. Л 4“ Г? X.
3. Если л =4 6, то уравнение имеет корень —~— • Если а = 6, то уравнение не
имеет корней. 4. Если а =4 0, то уравнение имеет два корня: —2л и Зл. Если л = 0,
то уравнение не имеет корней. 5. Если л =4 0, 6 =4 0, то уравнение имеет
д2 I #2 ^2 I £2 fj
два корня: —А-—, —. Если а = 0, 6 4 0, то уравнение имеет один корень .
2л 26 2
Если 6=0, л 4 0, уравнение имеёт один корень у. Если л = 6, то уравнение не
имеет корней. 6. л и 6. 7. Если а2 4~ Ь2 4- с2 ¥= 6, то корни
— (а Z>+c) ± lV(b — с)2 + (с — д)2 + (л — Ь)г
аг-\-Ьг-\- сг
Если а2 4- Ь2 4“ с2 = 0, но а -4 6 4- с ¥= 0 (это возможно при комплексных значениях
л, 6, с), то уравнение имеет лишь один корень х = — (л 4- Ь 4- с). Если а2 4- 4"
4- с2 = а 6 4- с = 0, то уравнение не имеет корней. 8. Если л -4 6 = 0, лб 4 6, то
уравнению удовлетворяет любое значение х, кроме х = 0. Если л 4- 0, лб #= 0,
то уравнение имеет два корня: —л и —6. Если ab = 0, то уравнение не имеет кор-
ней. 9. Если с-4 л — 26=4 0, то уравнение имеет два корня: 1 и
Если с4"а — 26 =0, но 6 4 с, то уравнение имеет один корень: x = -
С^_^_26*
6 4- с — 2л
л 4е $ — 2с
444 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Если с-^-а — 2Ь = 0, а 4- Ь — 2с == 0, т. е. а = Ь = с, то уравнение становится тожде-
ством. 10. Если а2 =4= b2t то уравнение имеет два корня: — и------------аГ\ПГ '
Если а = Ь, то уравнение имеет один корень — ~. Если а = — Ь, то уравнение не
имеет корней. 11. Если д^Оил^ —1, то уравнение имеет два корня: —* и
—* ^сли а то уравнение имеет один корень 0. Если а = —1, то уравне-
ние имеет один корень 2. 12. Если а =4= 0 и я =4 —2, то уравнение имеет два корня:
_ д + 1
а И а 4- 2
то уравнение имеет
1 — а
два корня: ——и
Если а = 0, то уравнение имеет один корень — ~ . Если а=—2,
3
один корень -2~. 13. Если а =£ 1 и аф — 2, то уравнение имеет
f . Если а = 1, то х = 0. Если а =— 2, то х =— -i-.
1 — а 3
2аЬ
14. Если а2 =4= Ь2, то корни а 4- Ь и • Если а = — Ь, то х = 0. Если а — Ь,
то х = 2а. 15. Перенося все в левую часть и приводя к общему знаменателю,
(х —• а) [(& + с) х + Ь2 4- с2] Л
получим = 0. Корни числителя будут корнями данного
уравнения, если они не будут корнями знаменателя. Один из корней числителя
л = я; это число будет корнем данного уравнения, если (а 4- Ь) (а 4- с) (а 4- b 4- с) =4= 0,
и не будет корнем данного уравнения, если (а 4 Ь) (а 4- с) (а 4- Ь 4- с) — 0. Если
Ь2 I q2
b 4~ с =£ 0, то корнем числителя будет число х =----ь с • Подставляя это зна-
чение х в знаменатель, приходим к выводу: если Ь 4- с =4= 0 и Ьс (Ь— с) =4= 0, то
Ь2 4- с2
х =-----£~4=”ё--корень данного уравнения, а если Ь 4- с =4= 0, Ьс (Ь — с) = Q, то —
не корень. Пусть Ь 4- с = 0, Ь2 4- с2 =4= 0. Тогда, кроме х = а, числитель не имеет
корней. Если же Ь 4~ с = Ь2 4- с2 = 0, т. е. Ь = с = 0, то данное уравнение удовле-
творяется при всех значениях х, не равных нулю. 16. Указание. При решении этой
и многих других задач полезно знать следующие необходимые и достаточные при-
знаки расположения числа X относительно действительных и различных корней xt
и х2 квадратного уравнения ах2 4~ Ьх 4~ с == 0 (а =4= 0, Ь2 — 4ас > 0, at Ь и с — дей-
ствительные числа):
j' X < х{ < х2 ... а (ак2 4~ 6Х 4~ с) > 0, а (2ак 4- Ь) < 0;
(I) { Xj < X < х2 ... а (ак2 4- 6Х 4- с) < 0;
I х} < х2 < X ... а (ак2 4- Ьк 4~ <0 > 0, а (2лХ 4- Ь) > 0.
Доказательство необходимости, а) Пусть X < х} < х2; тогда 0 < а2 (к — хх) X
X (X — х2) = а • а (X — (X — х2) = а (ак2 4- 6Х 4- с) и далее из X < хх < х2 следует
Xi 4* *2 > 2Х, т. е. > 2Х, откуда (умножая обе части на а2) а (2ак 4- Ь) < 0;
б) пусть х} < X < х2; тогда 0 > а2 (X — xj (X — х2) — а (ак2 4- Ьк 4- с), в) пусть
хх<х2 <к\ тогда 0 < а2 (X — xj (X — х2) = а (ак2 4- Ьк 4- с), х{ 4- х2 < 2/,
— — < 2Х, а (2ак 4- Ь) > 0. Достаточность этих признаков доказывается методом от
противного. В частности, если X = 0, получаем:
10 < xt < х2 ... ас > 0, ab < 0;
хг < 0 < х2 ... ас < 0
хх < х2 < 0 ... ас > 0, ab > 0
(конечно, сюда еще должно быть присоединено условие а =4= 0, Ь2 — 4ас > 0).
Полезно для себя записать условия (I) и (II) в случае д = 1 (т. е. в случае, если
квадратное уравнение имеет вид х2 4- рх 4- q = 0). Если —со < а <—то
Xi < 0 < х2. Если а = — -у , то хх = — 3, х2 = 0; если — ~ < а < 0, то Xj < х2 < 0;
если а == 0, то Xj == х2 = — 1; если а — 4, то х} = х2 = 3; если а > 4, то 0 < Xj < х2
(при 0<а<4 — корни мнимые). 17. Корни действительны, если или а — 2 или
а . Если а < — 2 или а или а > 3, то 0 < хх < х2; если у < а < 3,
Ответы. § 1. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
445
то ДГ1 < 0 < лг2- ^8. Если а < 0, то О
л 3
то Ху < х2< 0; если а = —,
а = 2, то только один
3
то Ху = Х2 = у • Если
#2 ==: — 2. 23. aXt 2 =
I 1
2 й2 - — 2 .
если
з
лг2; если а = 0, то один корень х = ~;
если 0 < а < 1, то хх < 0 < х2; если а = 1, то хх = 0, х2 = если 1 < а < ~ ,
о 3
Л 4 1 I 4 \
то 0 < Ху < х2; если а = $ , то Ху = х2 = -g- (при а > у — корни мнимые).
3
19. Если а = 1, то Ху = х2 = — 1; если 1 < а < ,
3
то Ху = — 6, х2 = 0; если < а < 2, то хх < 0 < х<
корень х = ; если 2 < а < 6, то 0 < Ху < х2; если а == 6,
2
а < 1 или а > 6, то корни мнимые. 21. k = -л-. 22. ах = 1,
о
1 3 , / 3 _ -1- 5 - / 5. j 24. я > 1 или а < — 3. 25. ах =
г 7 х г - Ч- 1 1 — V 3 V 3 — 1
26. k > ^45- или k < — —-=Р~, или -----------Р—<k <J_2L=7_L. 28. а = 1.
/2 /2 /2 /2
39. — у < а < — 1. 32. 1 < а < 3. 33. 1°. Ь2 - \ас > 0, a (ap2 + bp J-c) > 0, a (aq2p
4- bq 4- с) > 0, а (2ар -f Ь) < 0, a (2aq -4 b) < 0; 24 (ар2 4~ Ьр + с) (aQ2 + bq р с) < 0.
34. 1°. Если —оо < t < 2, то х' < 0 < х", При — 2 имеем лишь один корень
— -i. Если —2<t<— 1, то х' < х" < 0; при / = — 1—двойной корень х' =
== х" ==—1. Если —1 < t < 0, то корни мнимые; при £ = 0 — двойной корень
х' = х” = 0. Если 0 < t < 4- оо, то 0 < х' < х" 2°. Такого значения t не суще-
ствует. 3°. При t = — 1, х' = х" = — 1 и при f = 0, х' — х” = 0. 4°. Точки М' (х')
и М" (х"), если х' и х" действительны, гармонически сопряжены с точками О (0)
Л (1); х'4-х" 4-2х'х" = 0, 4 4~ 4 = Д ИЛИ +-4= =-4-. 33. Решим
х 1 х —1 ОМ' ОМ" ОА
следующую более общую задачу. Пусть даны два уравнения: / (.г) ~ ах2 4~ Ьх 4~ с—0,
у (х) ЕЕ а'х2 4- Ь'х 4~ с = 0. Требуется составить в форме неравенств (содержащих
лишь рациональные функции от коэффициентов а, Ь, с, а', Ь', с') необходимые и
достаточные условия, выражающие условие действительности корней этих уравне-
ний и все возможные взаимные расположения корней первого уравнения относи-
тельно корней второго уравнения- Решение. Обозначим корни первого уравнения
через Ху и х2, а корни второго — через Д и ;2 (мы сейчас не будем предполагать,
что они действительны; в случае действительности корней первого уравнения
будем считать хх х2, а в случае действительности корней второго Д < ;2)- Под-
ставим корни Д и ?2 второго уравнения в левую часть первого; получим
/(?!) И /(?2). Вычислим /(;1)/(?г) и /(4) + f (=2): /(?>)/(Ь) = («Ч + + с) X '
4ZI К-. I Л— J_ ЛЛ/с2 _1_ E2V.L Z.2;^ _|_ с2; но
2 дз,4 -
’1*2
сг Ь'
и ^i4“*2 = —’ значит (после ряда преобразований) f (Д) f (;2) =
1 А
= —[(ас' — са')2 — (ab' — ba') (Ьс' —cb')] = —-. Далее аналогичными преобра-
a'z a'z
z-z-ч , х b'(ab' — ba') — 2а'(ас' — са') Р .
зованиями получим /(;i) 4"/(*2) =------------------• Анало-
а а
.... А ... . . 2а(ас' — са')-~ b (abr — ba') Q
гично находим ср (xj ср (х2) = и ср (xj 4- ср (х2) =---------—2-------------= —2.
Из полученных выражений для /(Д)/(?2) и ср (хх) ср (х2) следует, что данные урав-
нения имеют общий корень тогда и только тогда, когда А = 0; А называется
результантом двух данных уравнений; его можно представить в виде
Д = 1 [(2ас' 4- 2са’ — bb')2 — (Ь2 — 4ас) (Ь’2 — 4а’с')].
(D
Все, что мы имели выше, верно и в том случае, если коэффициенты а, Ь, с,
а', Ь', с' — комплексные числа. Начиная с этого места, мы будем считать, что
а, Ь, с, а', Ь\ с'—действительные числа, причем а Р 0, а’ Р 0, и в дальнейшем
будем исследовать лишь те случаи, когда корни данных уравнений действительны.
446 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Случай I. А /= О (т. е. данные уравнения не имеют общего корня), а) А < 0.
Из соотношения (I) следует тогда, что (Ь2— 4ас) (Ь'2— 4а'с') > 0, значит либо
В = Ь2— 4ас > 0 и о' = Ь'2— 4a'c'f>Qy либо В<0 и В'< 0. Следовательно, если
А < 0, то оба уравнения имеют либо действительные (и различные корни), либо
оба уравнения имеют мнимые корни. Пусть А < 0, 6 > 0 (тогда и о' > 0). Так
как /(5i)/(52) < 0, то одно из чисел 51 или ;2 лежит между х{ и л2, а другое —
вне интервала (хь х2), т. е. мы имеем либо
либо
•*1 < 51 < Х2 < 52,
(1)
51 < Xi < е2 < х2.
(2)
В случае (1) мы будем иметь 5i + 52 > *i + х2, в случае (2) 5i + 52 < Xi ~|- х2;
иначе, в случае (1) — > — ~, т. е. k = aaf (аЬ' — Ьа') < 0; в случае (2) k > 0.
£) А > 0, В > 0, У > 0. Тогда корни данных уравнений действительны и все попарно
различны. Так как /(5j)/(52) > 0, то /Gi) и f (52) одного знака и одного знака
с /(51) +/(52). Но знак последний суммы одинаков со знаком Р. Значит если
аР < 0, то af (5i) < 0 и af (52) < 0, поэтому 51 и 52 лежат между Xj и х2.
Х\ < < 52 < х2> (3)
а если аР > 0, то af (5j) > 0 и я/(52) > 0 и значит возможны следующие располо-
жения:
*»1 < Xi < х2 < z2, (4)
Х\ x2 5i 52, (5)
5i < 52 < Xi < x2. (6)
Так как A > 0, то и ср Qq) ср (х2) > 0; в случае (4) х{ и х2 лежат между 51 и 52,
значит а'у (х}) < 0 и а'ср (х2) < 0, а потому а'у (х{) + л'ср \х2) == a'Q < 0. В слу-
чаях (5) и (6) a'Q > 0. При этом в случае (5) х, + х2 < 51 + 52, т. е. k < 0,
а в случае (6) k > 0. Итак:
А < 0, В > 0 (У > 0) | > 0
Xi < 5i < х2 < 52
5i < Xi < 52 < х2
(1)
(2)
Д > О, 8 > 0, 6' > 0 { ар > 0
( аР < 0 Xi < 5i < 52 < х2 (3)
a'Q < 0 5i < Xi < х2 < 52 (4)
n f k < 0 < *2 < Si < (5)
Я (J > и Л ж
I. k > 0 5! < 52 < Xi < х2 (6)
д) А > 0, причем или В = 0, или В' = 0, или В' = В == 0. Пусть, например, В = 0; тогда
b Ь
xt = х2 ~ и вопрос сводится к определению расположения числа —
относительно действительных и различных корней уравнения ср (х) = 0 (В' > 0).
Аналогично исследуется случай В' — 0 В > 0. Если, наконец, В = В' = 0, то
b г b' b Ь'
xt ~ х2 -- — , ?! = ?2 — — 9-7 и дело сводится к решению неравенства-<---7
Случай II. А = 0, т. е. данные уравнения имеют общий корень; пусть х0—
общий корень данных уравнений, т. е.
ах^ + Ьх0 + с = 0 —
а'Лд-|- Ь'Ло + с' 0 а
Умножая первое из тождеств на —а', второе на а и складывая, получим
(аЬ'— Ьа') х0ЕЕ са'—ас'. Если ab'— Ьа' 0, то х0 = . Отсюда следует,
что если А = 0, но аЬ' — а'Ь =£ 0, то данные уравнения имеют только один общий
г са' — ас' о „ / г/ ч м /
корень д-р — ;0 ~ Второй корень xQ уравнения /(х) = 0 будет xQ =
b са' — ас' „ / ч л г' Ь'
=— ~а—~ab'------И/Ь' 3 ВТОРОИ К0Рень ч) Уравнения ср (х) = 0 будет 50 = — ™ —
са'— ас' _ г
— 'аЬ'--~аГЬ' *аким образом, х0 , л*0, ?0 11 выражаются рационально через а,
Ь, с, а'г Ь', с'\ значит, если а, Ь, с, а', Ь'г с' — действительные числа, то корни
Ответы. § 1. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
Ш
обоих уравнений действительны. Учитывая, что х0 = %, получаем, что возможны
следующие восемь расположений х0, x'Qt ё0, относительно друг друга (случай
= х0, 5о = х0 исключается):
хо < < хо ” хо ~ < ло < \)
^0 < Х0 < XQ ~ ;0
Х0 < .^о = Х0 ~ *0
< Xq = XQ = £0
х0 “ ’0 < < хо
хо = £0 = л0 < 60
х0 ~ «0 = ^0 < хо •
Задача решена, так как х0, xQt 60 и выражены рационально через a, Ь, с,
а\ b't с'. Замечание: если Д = 0 и аЬ'—а'Ь = 0, то ас'—а'с = 0; значит, а‘.Ь:с —
= а': Ь': с' и потому xt = х2 = с2 (корни могут быть и комплексными). Рассмот-
рим теперь задачу 5б этого^ параграфа. Обозначая корни уравнения х2— х—1=0
1— /5 1 +/5" , , , _
через х{ и х2: х{ ~----» х2 = —-----» а К0Рни уравнения х2 -ф ах— 1=0 —
, . —а — /аЯ7? е —а + ,
через и £2: ?i =-------%---— » ==------------— > находим (а = 1, Ь = — 1,
с = — 1, a' = 1, Ь' = а, с' = —1): ас' — са' = 0, ab' — ba' = а -|- 1, Ьс' —cb' = а -ф- 1;
следовательно, Д = — (а -ф I)2 < 0, k = а -ф- 1. Значит если а < —1, то (Д < 0, k < 0)
Xi < < х2 < £2; если а > —1, то (Д < 0, k > 0) я < Xj < £2 < хъ а если а = —1,
то = хх < S2 = х2. 39. а<—3 или а > 0. 40. 2 < а < 5. 41. —
42. — Д- < а < 15 — 41^17 и а > 15 44^17. 43. При а =— 1, xt = х2 = — 1; при
2 2 1
— 1 < а < —.< > Xi < — 1 < х2 < 1; при а = —- — только один корень, равный -г;
О V О
2 1 1 1
при —< а < —ту» — 1 < *1<1 < х2\ при а 2"» х\ — L х2 = 2; при —у <
23 23 7
< а < —j? , 1 < Xi < х2; при а = — , Xi = х2 = . При остальных значениях
а \а <—1 и а>— —корни мнимые. 44. а) —; б) -;
. Ь4— 4асЬ2 4- 2а2с2 .—65-ф5ас&3— 5а2с2Ь ЗаЬс— Ь3 Ь3—7abc + 2a2c
В)---; г)----7—; д)-----?. 45. а)--л-;
. \ 9с — ЗЬ -ф- а , .
’ В} 4с + 18^-ф8и’ Г}
Ь2 — 2ас
а2с2
2ах 4» Ь
' ах2 Ьх + с
(при а = 0 оба уравнения имеют по корню, равному нулю). 48. = 0, а2 = —
_3
4 ’
а3 = -д . 49. Все действительные значения а, при которых корни действительны,
таковы, что —< а < 1. Все мнимые: а = а± ^(За — 2)/, где а — действитель-
о
2
ное число, или меньшее 0, или большее В последнем случае действительный
о
корень уравнения равен 2а. 50. Рассмотрим последовательность, определенную
рекуррентным соотношением ап — + ап-2 — 9. Этому соотношению удовлет-
воряет ап = хп, где х — корень данного уравнения (хп — хп~2 = 0,
х2 — Зх + 1 = 0), а также ап = х^ + х", где хх и х2 — корни данного уравнения.
При n = 1 числа ах = xt + х2 — 6 и а2 = xj х^ == (л^ -ф- х2)2—2х^2 = 36—2 = 34 —
целые; значит, а3=6а2 — ai будет целым, а4 = За3 — а2 тоже будет целым и т. д.;
а{ и а2 на 5 не делятся; а3 = xf + х^=(хх -ф- х2) [(Xi + х2)2—Зх!Х2] = 6 • (36—3) =6*33
не делится на пять. Предположим, что ап = х" -ф х" при каком-нибудь п делится
на пять. Так как an~3an_i — ап_2 = ^п-\ + ап-\—ап-2 = 5an-i + ^ап-2 —
— а^^.3 л^_2 = 5$^_। -ф 5<jz^_2 — tz^_3, то а^^.3 также делится на пять, делится
на пять и т. д., и значит, а3, или а2, или а{ делится на пять — противоречие.
51. Положительный корень + < г> откуда Ур2 4q <2г р. Отсюда
р < 2г и далее р2 -ф 4q < 4г2 — 4гр + /?2, q < г {г — р); значит, р < г. Из неравенств
р < г, q < г (г — р) следует, что р может принимать значения г — 1, г — 2, г — 3, ...
Ш Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
3, 2, i, a q < г (г — р) при каждом выбранном/?. Ответ: (г—1) ----
52. У к а з а н и е: 4 (х2 + 5х + 16) = 4х2 20л + 64 = (2х 4~ 5)2 4“ 39. Для того чтобы
это выражение разделилось на 169, во всяком случае необходимо, чтобы (2х -f- б)2
делилось на 13, а значит и на 169; но 39 на 169 не делится. 53. Прежде всего,
по крайней мере, одно из чисел bh b2, Ь3 должно быть отлично от нуля. Д^лее:
дискриминант может быть преобразован к виду Д t== — (a2d3—-a3b2)2~(a3bf — dtb3)2 —
— (a^2— a2bt)2. Отсюда искомое необходимое и достаточное условие а2Ь3— а3Ь2 =
= a3bi— a{b3 = aib2—~ а2Ь{ = О, Пусть 0; полагая — = X, имеем \ЬЬ
lb2bi — a2bi = 0, Х$2 — а2 = 0, а2 = \Ь2, а из a3bt — а{Ь3 == 0 найдем а3Ь{ — ХЬгЬ3 = 0,
д3==:Х/>3. Квадратный трехчлен приводится к виду 4- + (*2 + 2Хх 4- X2); его
корень —X. В случае комплексных значений а2, b2, a3t b3 приведенные
здесь выводы, вообще говоря, не верны. 54. Если а2 4 с2 #= 0, то при х « — с2
- • г (be — ad)2 с п
наименьшее значение равно д2 . Если а = с = 0, то данное выражение равно
Ь2 4- d2 при всех х. 56. Ь2 4- Ьг2^ 0, ab’ — а'Ь = 0. Все верно и в том случае, если
коэффициенты комплексные. 57. I, 1°. Геометрическое место точек таких, что урав-
j < " некие F(x) «й имеет двойной корень. Уравнение F (х) = х2 — sx 4-77 = 0 имеет
двойной корень, если его дискриминант Д = s2 — 4р равен нулю. Точка М ($, р)
‘ описывает, таким образом, параболу (П); р = -^-, осью симметрии которой является
ось Ор\ Os — касательная в вершине (черт. 79). Если М лежит внутри параболы (П),
то Д < 0 и F (х) = 0 не имеет действительных корней; если точка М лежит вне (П),
то Д > 0 и Z?j(x) = O имеет два действительных различных корня. Геометрическое
место точек М таких, что Л(х)=0 имеет корень 4~ 1- Уравнение F(x)=0 имеет
корень 4~ 1, если А(1) = 1 — $ р = 0. Это уравнение определяет прямую (£>),
пересекающую ось Os в точке с абсциссой s == 1, а ось Ор— в точке с ординатой
•г - $2 '
р ==—1. Так как! уравнение 1—$4~ —= 0 имеет двойной корень s = 2, то пря-
мая (D) касается параболы (П) в точке р(2, 1). Прямая (D) делит плоскость (Н)
на две области: одну — содержащую начало координат, в которой F (1) = 1 —54- /?>0,
другую; в которой F(l) < 0. Если точка М находится в области, содержащей О,
уравнение (1) или не имеет действительных корней, или имеет два корня таких,
что 4- 1 лежит вне интервала, ими образованного; если точка М лежит во второй
области, то уравнение (1) имеет два действительных корня, таких, что 4“ 1 лежит
между ними. Геометрическое место точек М таких, что уравнение F (х) = 0 имеет
корень ?—1. Уравнение (1) имеет корень —1, если F (—1) — 1 4- $ 4* Р = 0; это
геометрическое место точек М есть, следовательно, прямая (£)')» пересекающая Cfs
в точке с абсциссой s = —1, а прямую Ор — в точке с ординатой —1. Так как
Ответы. § 1. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
449
s2
1 4~ s 4~ “4“ == 0 имеет двойной корень $ •-= — 2, то прямая (D') касается параболы (77)
в точке fi' (—2, 1) (черт. 79). Прямая (Я') делит плоскость (Я) на две области;
одну, содержащую начало координат, для которой F (—1) = 1 -f-s р > 0, другую,
для которой F (—1) < 0. Если М находится в области, содержащей О, уравне-
ние (1) или вовсе не имеет действительных корней, либо имеет два корня таких,
что —1 лежит вне интервала, образованного ими. Если М находится в другой
области, то уравнение (1) имеет два корня таких, что —1 лежит между ними.
Исследование числа корней уравнения (1), заключенных между —1 и 4-1. Пре-
дыдущее исследование позволяет найти в зависимости от положения точки Л1
в плоскости (Я) расположение чисел —1 и 4-1 по отношению к корням уравне-
ния F (л) == 0. На черт. 80 суммированы результаты предыдущего исследования ".
Мы видим, что уравнение (1) имеет два корня, заключенные между —1 и 4-1,
если М расположена в области, ограниченной дугой fifi' параболы (П) и прямыми (D)
и (£)'). Уравнение (1) имеет только один корень, заключенный между —1 и 4-1,
если М лежит в одном из двух углов, образованных прямыми (Я) и (Я'), именно
тех, которые не со (ержат точек параболы и не являются углами, Вертикальными
к углу, в котором расположена парабола. В оставшейся части плоскости нет кор-
ней между —1 и 4-1. 2°. Геометрическое место точек М таких, что уравнение (1)
имеет корень а. Уравнение (1) имеет корень а, если F (а) = а2— as^\-p=^0—это
прямая (А), пересекающая ось Os в точке с абсциссой а, а ось Ор — в точке с орди-
s2
натой — а2. Так как уравнение а2 — as-[- — — 0 имеет двойной корень s = 2я,
то прямая (А) кгсается параболы (77) в точке А (2а, а2); эта точка А и соответ-
ствует трехчлену (х — а)2. Точка Т (а, 0), в которой прямая (А) пересекает ось Os,
соответствует трехчлену х (х— а). Огибающая АТ —парабола (Я). 3° Построение А
и В (исходя из Р). Пусть Р — точка, соответствующая трехчлену (х— а) (х— Ь).
Так как этот трехчлен имеет корень х = а, то точка Р лежит на касательной
к параболе (77) в точке А и аналогично — на касательной к параболе (77) в тоМке В.
Следовательно, точки А и В суть точки прикосновения касательных к параболе (Я),
проведенных из точки Р. Геометрическое место точек М, соответствующих трех-
члену (х— <) х — d) при условии, что (a, b, с, d) — гармоническая четверка. Пусть
на оси координат четыре точки с абсциссами a, b, с, d образуют гармоническую
четверку; тогда (и только тогда) (а 4~ b) (с-}- d) = 2 (ab 4- cd). Если мы положим
с 4» d = s, cd = р, то получим (а 4- b) s == 2 (р 4- ab). Точка М (s, р) принадлежит,
следовательно, прямой плоскости (Я), имеющей это уравнение; это уравнение удо-
влетворяется, если с = d = а (и если с ~ d = Ь); значит, эта прямая есть прямая АВ.
Обратно: если мы возьмем на прямой АВ точку, внешнюю по отношению к пара-
боле (77), то s2 — 4р > 0; значит, существует два действительных числа с и d таких,
* Отметим еще, что для области I, s = хг 4~ х" < —2, для области 77, — 2 < х' 4~
4-. х" < 2 и для области III, х' 4- х" > 2; отсюда и из предыдущего следуют неравен-
ства, отмеченные на черт. 80.
29 П. С. Моденов
450 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
что с + d = s и cd == р; числа с и d удовлетворяют условию гармонической сопря-
женности. Таким образом, геометрическое место точек М есть часть прямой АВ,
лежащая вне параболы (/7). И. Возьмем в плоскости (Н) две точки с координа-
тами 5 = 11, р = 22 и s = 7, р = 10. Соответствующие трехчлены: х2— 11x4-22,
о 7 х2 — 11x4-22 . 4х—12 , N
_7х + Ю; отсюда у = , или у = 1 -л2__7х + 10 = 1 --д, где
N
V = 4x—12, D = х2 — 7х Ю. Дробьбудет целым числом, если N делится
на D. Исключая х из этих двух равенств, получим 16Z) = N (V— 4)—32. Если N
делится на D,. то 32 также делится на D и, значит, D имеет вид ±2k, где0-<&<;5.
Остается найти, какие из уравнений х2 — 7х 4~ Ю±2* = 0 имеют целые корни. Дискри-
минант этого уравнения равен 49—4(10±2^) —9 + 2k+2, и корни могут быть целыми
только в том случае, если 9qz2^+2 (0<С k <С 5) — точный квадрат. Для числа 94~2^+2
имеется (при условии 0<;&<;5) только одно такое значение k = 2, а для числа
9 — 2^+2 только 1. Соответствующие уравнения х2 — 7x4-6 = 0, х2 — 7x4-12 = 0;
корни первого х = 1, х = 6, корни второго х = 3, х = 4. Итак, целые значения х,
при которых дробь у принимает целые значения таковы: 1, 3, 4, 6. III. Рас-
смотрим функцию /(x) = cos2x— 5 cos х + Р на сегменте [0, тс]. Имеем: /(0) —
= 1 — 5 4~ р, f(~) =2 1 4- s р. 1°. Ответ: если | 5 | > 2, то функция /(х) монотонная;
при 5 2 функция убываю-
щая, при 5 >2 функция f (х)
возрастающая; если | s | < 2,
то функция /(х) убывает на
Гл 5 1
сегменте 0, arc cos и
возрастает на сегменте
Г 5 1 ГЛ
arc cos у , тс . Разделим
плоскость (Я) на три об-
ласти прямыми & (s =— 2) и
б'(5 = 2). Если точка М находится слева от (о) или на (б), то функция f(x)
убывающая; если точка Л4 находится между (б) и (б'), функция /(х) сначала убы-
вает, затем возрастает; наконец, если точка М находится на прямой (бЛ) или справа
от (бЛ), функция /(х) возрастает (черт. 81). 2°. Пять частных случаев, а) Если
5 = — 4, р = 6, функция убывает: когда х возрастает от 0 до тс, она убывает
от 11 до 3, причем б) если 5 =— 2, р = б, то функция /(х) убывает;
при измерении х от 0 до * она убывает от 9 до 5, причем /^0=6, в) если
[тс 1 23
0, убывает от б до -—г- , а на сегменте
и J 4
~ , тс возрастает от -т-до 8, при этом у () = 6, г) если 5 = 2, р--6г функция/(х)
L о J 4 у Z J
возрастает. При изменении х от 0 до тс она возрастает от 5 до 9, причем
д) если s = 4, р = б, то функция /(х) возрастает; при изменении х от 0 до тс она
возрастает от 3 до 11, причем /^yj = 6. Графики. Заметим, что точки 0 и тс суть
точки максимума или минимума функции /(х). Заметим еще, что линии, соответствую-
щие значениям 5, равным по абсолютной величине, но противоположным по знаку,
симметричны относительно прямой х = . Эти различные замечания позволяют
составить представление о графиках Тз» ‘4. 7б Функций (черт. 82). 3°. Вы-
Ответы. § 1. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
451
числение D(MQM). Пусть Мо и М — точки плоскости (Н), соответствующие
функциям /о (*) = cos2 х — $о cos х 4- Ро и f (х) = cos2 х — s cos х 4~ Pi имеем f (х) —
—f(x0) = (sQ — s) cos x 4- p — PqI следовательно, D (A4OA1) ±= max | (s0 — s) cos x 4-
4- p — pQ |. Функция вида ср (x) = a cos x 4- p изменяется между ₽ — а и 3 -f a- Следо-
вательно, максимум | ср (x) I равен | a 4~ P I» если a и p одного знака, и |a — 0 |, если
аир разных знаков. Во всех случаях этот максимум равен | a ] 4- | р |. Мы имеем,
следовательно, D (Л40Л4) = | s — s01 4" IР — Pol- Выражение D (Л40Л4) поэтому обла-
дает следующими свойствами, аналогичными расстоянию между двумя точками:
а) D (Л40Л4)>0, причем знак равенства имеет место только в том случае, когда
точки MQ и М совпадают; 6) D (Л40Л4) = D (симметрия); в) и(МхМ2)^
< D (AfjAlg) 4- D (Af3Af2); это последнее «неравенство треугольника» получается
при почленном сложении неравенств: | Sj — s2 (< | $i — s31 4~ I s2 — $з I, I Pi — P21 C
I Pi—P3I + IP2 — Рз I- 4°. Геометрическое место точек M таких, что D(M0M)
постоянно, где Af0— фиксированная точка. Заметим, что изменение s0— s и р0 — р
на s — s0 и р — pQ (одновременно или нет) оставляет D (Л40Л4) без изменения;
значит, искомое геометрическое место имеет в качестве осей симметрии прямые,
параллельные осям Ор и Os и проходящие через точку Мо. Значит, достаточно
изучить геометрическое место точек М при условии s >s0, р pQ. Необходимое
и достаточное условие того, что D (Л40Л4) = с (= const) имеет вид s—s0 4- Р—Ро = с
или s 4~ Р = с 4- s0 4- Ро- Эта часть геометрического места есть, следовательно,
отрезок прямой s 4~ Р = с + $о 4~ Ро» ограниченный прямыми, проведенными через
точку Мо параллельно осям. В силу установленной выше симметрии геометриче-
ское" место точек М есть квадрат a^S с центром Мо, имеющий своими диагоналями
Черт. 84.
прямые, параллельные осям Ор и Os (черт. 83). 4°. Геометрическое место точек М
таких, что D (Л4А) = D (МВ). Пусть А — точка с координатами s==p = 2, а В —
точка с координатами s = р = — 2. Имеем: D (МА) = | s — 21 4- I р — 21, D (МВ) =
= [s + 2|4-]/?4-2|. Отсюда
|s — 21 4~ Iр 21 = । s 4* 21 4-|р4” (1)
Это геометрическое место имеет две оси симметрии: АВ и медиатрису АВ; эти
две прямые делят плоскость на четыре квадранта, и мы можем ограничить себя
отысканием точек этого геометрического места в одном из квадрантов, например
в том, который содержит положительную полуось Ор, Проведем прямые 0) и 0').
уравнения которых s = —2 и s = 2, и прямые 0,) и (&Д уравнения которых
р = 2 и р = —2. Эти прямые делят рассматриваемый квадрант на четыре части,
которые мы последовательно рассмотрим. Рассмотрим область, ограниченную частью
прямой 0') и продолжением ВА за точку А. В этой области, включая границы,
имеем /?>2, s>2. Значит, из(1) s — 24-/7 — 2 = s-j-2-j-p-j-2 условие не вы-
полняется. Возьмем область, ограниченную прямыми 0), 0') и расположенную
над отрезком АС прямой 0J. В этой области, включая границы, мы имеем — 2 < s < 2,
/?>2; значит, из (1): 2 — s 4- Р — 2 = s4-24-p4~2, откуда s = — 2; точка М на-
ходится на луче прямой 0), имеющем положительное направление оси Ор, вклю-
чая точку С. Возьмем область, заключенную между 0) и продолжением ОС за
точку С. В этой области, включая границы, будем иметь — s>2. Условие (1)
принимает вид 2 — s -\-р — 2 — — 2 — s 4~ 4~ 2, т- е- удовлетворяется всякой точкой
этой области. Наконец, рассмотрим область, заключенную внутри треугольника ОСА.
В этой области, включая границу, мы имеем: — 2^s^p <2 п — 2 — s 2.
Условие (1) принимает вид 2 — s 4~ 2 — р = $4-24-/?4~2, или s 4“ Р = 0; точка М,
следовательно, описывает отрезок ОС медиатрисы отрезка АВ. На основании
29*
452 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
указанной выше симметрии искомого геометрического места относительно медиат-
рисы этого отрезка заключаем, что геометрическое место точек М таких, что
D (МА) =*= D (МВ) состоит из отрезка CD и областей (вместе с их границами),
заштрихованных на черт. 84.
§ 2. Корни целой рациональной функции от одного аргумента
2. —2, 3. 3, —3,-у. 4. у, 3’4"* 5* Ра11иональных корней нет. 6. 1 — дву-
кратный корень; —3 — двукратный корень. 7. 3, —1 — четырехкратный корень.
8. /(х)— 1 = (х—Х\)(х—х2)(х—х3)(х— х4) р (х); если х — целое число, отличное
от хь х2, х3, х4, то все множители правой части — целые числа. Множители х — хь
х — х2, х — х3, х — х4 попарно различны, два из них могут быть равны ± 1, два других
отличны от ± 1; значит, правая часть при целом х не может быть равна —2. 9. ±1,
±.-тi(_,±/E^L±
+ 1/ ]/17~- ;) . 13. 1, — —2, — 1 14. ±(а + й), ±(а — Ь). 15. ± а,
' Z / о о
± Vab. 16. У к азан ие. Надо исследовать дискриминант уравнения о = — (а—2) (а -р 3)
9 I 9 4 9 9 О, 2 !
совместно с выражениями хг +х; = --।, xf— х:2= • .р (при а =£ 1). Ответ:
если а =£ 1, то уравнение имеет четыре корня:
2 +лГ 4 _л + 2_+1/ 2 + 1/‘б-«-«2
а— 1~Г (a — iy а— 1 “ “ |/ а— 1~У (а — 1)2 '
(1)
а) Если а < — 2, то все корни мнимые, б)
2/
Хз 4 = ± —г-=-, в) если — 2 < а < 1, то два
Уз
если а = —2, то Xi = х2 = 0,
корня действительные: хЬ2 =
6—а—а2
6 — а — а2
(а _ 1)2- и Два мнимые: х3, 4 = ± --т - у цТ •
г) если а = 1, то два корня ± — ! Д) если 1 < а < 2, то все четыре корня (1)
действительные; е) если я = 2, то Xj = х2 = У2 , х3 = х4 = —У2; ж) если а > 2»
то все четыре корня (1) мнимые. 17. Если а 3, то уравнение имеет четыре
За — 4 // За — 4 \2 7я — 6 о
корня х = ± д _ g~~ — у I а ZZ'3")------g-; а) если а <—2, то все
четыре корня уравнения действительны; б) если а == —2, то два двойных корня:
л?! = х2 = У2, х3 == х4 = — У2; в) если —2 < а < у, то все четыре корня мнимые;
1 16
г) если а = , то Xi = х2 = 1, х3 == х4 = — 1; д) если < а < , то все корни
. 6 п . 2 . 6
действительны; е) если а == у , то Xj = х2 == 0, х3> 4 = ± ; ж) если -у < а < 3,
За — 4 За — 4 \2 7а — 6
а —3 + а —3 ) а—3 ‘ И
то два корня действительны: хь 2 =
два мнимых: х3, 4 =
За — 4
а — 3
2 7а — 6 пч п . «
--------х-. 3) Если а > 3, то
а — 3
4
все четыре корня действительны. 18.----=- < а < 0. Указание. Установить
о
сначала, при каких значениях а уравнение будет иметь четыре действительных корня.
Левая часть будет равна
/(х) = а (х — Xi) (х — х2) (х — х3) (х — х4).
Среди корней биквадратного уравнения, если все они
личны от 0, два положительных и два отрицательных,
если корень Xi < - " ; . "
чие условия а < 0) /(—2) > 0, а так как
4
и/(— 1)>0. Это дает а>—так как а < 0, то
о
(1)
действительны и от-
Из (1) следует, что
—2, то (для действительности корней необходимо выполне-
1 < —2 < —1 < х2 < х3 < х4, то
4
— < а < 0. При этих значе-
о
Ответы. § 2. КОРНИ ЦЕЛОЙ РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
453
ниях а корни действительны. 19. а) р2— > 0, р < 0, > 0; б) р2—4# < 0, или
р2 — 4(/>0, р > 0, q > 0; в) р2 — iq > 0, q < 0; г) р2— 4# >0, р > 0, q > 0. 21.
а) р2 — 4q^0, q^>0, Р^О, 2а2 -}- р > 0, я4 4~ pa2 + Q > 0; б) р2 — 4q > 0, q > О,
2а2 -f- р < 0, я4 + pa2 + q > 0; в) р2 — 4# > О, р < О, <7 > О, я4 4~ pa2 + q < 0.
22. —2г, /Зе, где е = 1 или —1 | . 23. ±2, + 2/, . 24. —2, — А,
1. 25, 1 (двойной корень), ±(, 1+11Ц2+1Е1, .
23. —4 ± 27. 28. Полота-
/2 /2
новкой х = ~ приводим уравнение к предыдущему. 29. 3, 1, 2 ± 5/. 30. 4, 2,
3 ± z/19. 31. 1 (двойной корень), —1+2Z. 32. —1, 12, 4 (11 ± Z V159). 33.
^(1±//2/2+1). у=(-1± /2/2-1)-
34. —1 ± /7, 4±2г/2. У казани е.
х2(х — З)2 — 16 (х — 3)2 + 9х2 = х2(х2 — 6х + 18) — 16 (х — З)2 = х« — 6х2 (х — 3)—
— 16(х — З)2. 35. х«— 12х + 323 = х< — 12х+ 182— 1 = х* —36х2 + 36х2 — 12х 4-
С 1 t 1
+ 182 — 1. Ответ: —3 + i /16, 3 ± 21 /2. 35. — £ ± £ /21, — ± /5I. 37.
' г » Г 6 6 6 3
—2d (двойной корень), —2а±а Уб 4- 1^15/,—2а ± а Уб — У15/. 33. Если я=^= О, то
три корня: —1, —--------Lt ..1 • Если а = 0, то два корня: ±1.
39. 2, З.^фХ 40. 41. £+* ± 4=1 z/3. 42.
^-(—1±//3), l(zz±/zz2— 4). 43. 1. (двойной корень); . 44. 2, 1, - .
45. а, Ь, £-±^ .46.3, — 4-. — Д. 47. a, b, 1 (а + Ь)+ А- (а — b) iVT (еслиа^й).
48. а, Ь, -- ± — -^-L-1 Уз . 49. Если а =£ 0, & =£ О, то корни ± У ab,
а2 Ь2
-у , ~. Если а = О, b =4= 0 или а Ф 0, 6=0, то один корень х = 0. Если а = b = 0,
то любое число х является корнем. 50. а + ~ ~ £— (я 4~ ± 12—З^а 4- j.
6 ± 1/б2 4- 8
51. 6, ---£—•—. 52. Решение. Будем следовать методу, которым решается
любое кубическое уравнение вида х3 4- рх 4- q = 0. Числа а и 6, входящие в дан-
ное уравнение, могут быть и комплексными. Положим х = и + v, тогда х3 = и3 4-
4- v3 4~ 3wv (и -j- v). Подставляя в данное уравнение, получим
“3 + / + 3uv (и + V) — (и + v) + = 0.
Выберем и и v так, чтобы коэффициент при и 4- v обратился в нуль: uv =
Тогда и3 4- v3 = — 1 = и3, v3 — КОРНИ уравнения z2 4- z +
Inn 11
'^~a3b3=s^' Решая это уравнение, получим zl = — —^5 значит,
1 1 УаЧ У alb 9
и = — ----£, v = -т— ==-—;— =----— £2» где е — любое из трех значении
Уа^Ь а®и а”
ЗгГ , —1±/Кз 1 Уа^ь ,
V 1, т. е. 1, ------. Окончательно: xlt 2 3 = — --е — —т-~ £ , где е имеет
J _ У а2Ь а°
значения 1, —? ~ > а значение радикала Уа2Ь берется любое, но
454 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
одно и то же в обоих слагаемых. 53. 9 (х -j- у^х + yj (х — у) (х — 1) =
=~4 (л2+4) ’2 4+j _ 4) (*2+4 ~ I)=~4 (*2+4) и т-д- °твет;
2 —1±У17 3/.— 3Z—
—1, у, g .54. — Усе, У be, где е принимает значения, равные 1,
—l±z/3 .. 1 5 —7 + 2//Т /л2 + х2 4-2лх\4 . /а2 + х2 И ,
----§---. 50. -у, -7. g . 56. -------j +(—=L
Полагая
получим (z + I)4 + (z — I)4 = 1, откуда
(2)
где ч и г2 принимают значения +1 и —1. Из (1) х = ~ (г— 1± V(z-j- 1) (z — 3)),
где z имеет одно из четырех значений (2). 57. Указание, (х2 4- Зх 4- 2) X
X (х2 — 9х + 20) = (х 4- 1) (хЦ-2) (х — 4) (х — 5) = (х2 — Зх — 4) (х2 — Зх — 10);
3 + 1/29
далее положить л2 — Зх = z. Одно из значений z будет z = 5. Ответ: -—~,
llKsW», ,58. (1+/з; СИ, (1-/3) х
£ £ \ У & ]
I 4Н
X I 1 ±z ~у~ I , 59. При р > 0 функция х3 ф- рх ф- q возрастающая. 60. Рассмотреть
дискриминант р2— 4q. 61. х4—49х3 ф-2х2 4~1 = 0; имеет. Указание. Пусть
х1г *2. *з> *4 ~~ корни данного уравнения, тогда (х — хх) (х — х2) (х —- х3) (х — х4)=
х4 —7х3 ф-1; значит, (хф- xj (х ф- х2) (х ф- х3) (х ф- х4) = х4 ф- lx3 ф- 1; остается
эти равенства почленно перемножить. 62. х3 ф- 2л:4 4- 5х3 4- Зх2 — 2х — 9 = 0;
мнимые корни имеются. 63. Первый способ. Зная *, ф-*2 ф-*3 = 0,
*2*з + *3*1 + *1*2 = А *1*2*3 = — q, легко ВЫЧИСЛИТЬ *1ф-*2 4“*3’ *2*3+
ф-*|*1+*1*2» xixlx3' Второй способ. Искомое уравнение можно записать в виде
(u3 — Xi) (w3 — *2) (w3 — *3) = 0 (где и3 = х) или, полагая / (л) = х3 4- рх 4- q, в виде
f (и) f (ей) f (е2и) = 0 ^где е— —, или (цз ра (из zpu (из
ф- ^ри q) = 0, или, выполняя умножение (и3 4- q)3 4- (ри3) =0, х3 4- 3qx2 4~ (3<?2 +
4-р3) х 4~ ^з = 0. 64. В решении задачи № 10, гл. I, § 3 «симметрические много-
члены» была выведена первая формула Ньютона — ^k~\P\ sk-2p2— ••• +
4 (—+ 1)^ = 0, где = 1,2,3...n —1, а р{, р2, р3 ...,рп_х—
— основные симметрические функции переменных xlt х2, х3......хп, т. е.
Р\ = *1 + *2 4- *3 + ... +*«1
р2 = Х[Л:2 4- *1*3 ~г • • • + *1*/2 4“ *2*3 4" *2*4 4" • • • 4" Х2ХП “4 ••• 4“ хп-\хп*
a $i, s2, ...» S/2-1 — сумма одинаковых степеней переменных xh х2, х3, ..., хп:
s\ — *14~*2 4~*з4“ ••• 4-хп>
S2 = *{ 4“ х2 + хз + • • • + *4
с _____ I vn-\ I vzz-l I , ^п-1
5/2-1—*1 4” *2 Т *3 "Г 4-*// •
Для вычисления sn, snn,... выведем вторую Формулу Ньютона. Пусть
f(x) = (* — *!)(* — *2) (*—*/z) = *,z—р{хп~^ р2хп~2— ... ф (—\)п рп. Тогда
f(xi) = х1 — рхх'1 1 Н- Р2х’^ 2 — ... + (—1)" рп = О, i = 1, 2, 3......п.
Ответы. § 2. КОРНИ ЦЕЛОЙ РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 455
Отсюда
= +А*Г+*~2— ••• +(—1)ЛРп^=0-
Полагая здесь / = 1, 2, 3,..., п и складывая почленно полученные равенства,
будем иметь sn+k — piSn+k-i +р2«л+й-2— ••• + (—1)"ЛАг = 0. где й=0, 1,2,
3, ... Это—вторая формула Ньютона, которая позволяет вычислить sn, sn+b $л+2, ...
после того, как по первой формуле Ньютона sb s2> s3, ..., выражены через
основные симметрические функции. Идея решения задачи 64 заключается в том, что
сначала вычисляются суммы Si, S2, S3, S4, S5, S6, 1-ых, 2-ых, ..., 6-ых степеней
выражений Xj + х2, хг^-х3, x\+x4i х2-\-х3, x2-{-x4i х3-{-х4 через суммы $2,
$з» s4, $5» 5б степеней основных переменных xlt х2, х3, х4. По формулам Ньютона
последние можно вычислить, а зная Sb S2, S3, S4, S5, S6, можно вычислить основ-
ные симметрические функции выражений х{ +х2, х{ -j-x3, ... Рассмотрим равенство
(х + xi)k = хк + C\xk~xxi 4- С2кхк~2х1 4- ... -\-хк. Полагая здесь i = 1, 2, 3, 4
и складывая, будем иметь (х 4~ xx}k 4~ (х 4~ x2)k 4~ (х 4~ х3)к 4~ (х 4- x4)k = \xk
4- C\xk~Asx 4- C^xk~‘1s2 4~ ... 4" sk- Полагая в этом равенстве х = xlt х = х2,
х — х3, х = х4 и складывая полученные равенства, будем иметь
2ksk 4" 2S* = 4s^ 4~ 4" ^ks2sk-2 4" ••• 4~ C\sk- isi 4" 4s &
откуда
Sk = ~2 (S0Sfc 4” + ^kS2Sk~2 4" 4"
где для симметрии мы положили s0 = х® 4" х2 4“ *з 4“ х^ = 4. Теперь находим (сна-
чала непосредственно)
Si == Xi 4~ х2 4~ Х[ 4~ х3 4~ 4“ 4" х2 4" хз 4~ х2 4~ х* 4~ хз 4*х* ~
S2 = (s0s2 4~ 4~ — 2s2 = 2s2 4" ,
S3 = ~2 (SqS3 4~ 3siS2 4~ 3s2si 4" s3$o) 4s3 = 3sjS2,
S4 = (sqs4 + 4sls3 + 6«2 + 4s3Sl + s4so) — 8s4 = 4slS3 + 3s2 ~ 4s4-
S5 = "2* (^0^5 4“ 5siS4 4“ 10s2s3 4- 10s3s2 4“ 5s4$i 4“ ^5^0) I6S5 == 5si$4 4" 10s2s3 — 12$s,
s6 == (sos6 4" 6si$5 4“ 4- 2OS3 4~ 15s4s2 4~ 4- $б<$о) — 32s6 —
6Sj5- 4~ 16s254 4~ — 28<s'g.
Теперь находим Sb S2, S3, S4, S5, S6. Из данного уравнения x4 4-х3 —1=0
находим: рх — — 1, р2 = 0, р3 = 0, р4 — — 1. Применяя первую формулу Ньютона
(см. решение задачи 10, гл. 1, § 3), получим:
Si = рх — 1,
^2 ^Р2 »
Р1 — %Р\Р2 "Н 3/>з = ’— 1,
а теперь, применяя вторую формулу Ньютона, находим:
s4 — P1S3 + P2S2 — P3S1 + P4s0 = 0 (s0 = X1 + x2 + x3 + x4 = 4)-
s4 — 1 — 4 = 0, s4 = 5,
55 — PlSi 4~ P2S3-p3S2 4- p4Sl 0,
554-54“l“0, S5=--------6,
S6 --- p}Ss 4“ P2s4 -p3S3 4* p4s2 “ 0»
s6 — 6 — 1 = 0, s6 = 7.
456 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Значит,
—3,
S2 = 2s2 -j- «Sj === 2 Ц- 1 == 3,
S3 == 3s 1$2 == ~~ 3,
S4 = 45^3 + 3$2 — 4s4 = 4 4- 3 — 20 = — 13,
S5 = 5sjS4 + 10s2s3 — 12s5 = — 25 — 10 4- 72 = 37,
S6 = 65^5 4- 15s2s4 + IOS3 — 28s6 = 36 4- 75 + 10 — 196 = — 75.
Теперь по первой формуле Ньютона находим основные симметрические функции
от аргументов Xj 4 л2, Л1
P1==S1==-_3, 52 — 4-2Р2 = 0,
3 —9 4-2Р2 = 0, Р2 = 3;
S3 — S2A 4- S\P2 — ЗР3 = о,
— 3 4- 9 — 9 — ЗР3 = 0, Р3 = — I;
S4 — S3Pt 4- S2P2 — Sj/% 4- 4P4 - 0,
— 13 —9 + 9-34-4P4 = 0, P4 = 4,
S5 — S4Pi 4- S3P2 - S2P3 + S)P4 — 5P5 = 0,
37 „ 39 _ 9 j. 3 _ 12 — 5P5 = 0, P5 = — 4.
А теперь по второй формуле Ньютона Зб — S5p! 4- S4P2 — S3P3-\-S2P4 — S}Pb +
4-6Рб = 0 находим —75 4- Ш—39 — 3 4- 12— 12 4-6Рб = 0, /Зб=1- Искомое
уравнение: x6 4~ 3л5 4- 3л4 4~ + 4x2 4- 4x 4- 1 = 0. 65. x3 — 2x2 4- 1 =0. 66. 25x3 4-
4- 37 x2 4- 18л 4-3 = 0. Указание. Воспользоваться формулами Виета. 67. У к а-
зание. Л| 4* ^2 + ^3 = 68. q =}= 0, 256/?5 — 3125# = 0. 69. При X = 11 — двойной
корень х = 1, при Х = — 5 тройной корень х = — 1. 70. а =—— е, =—бе,
5 . — 1 + lV 3 — 1 — iV 3 „ „ . „ ,
с — у, где е равно или 1, или ——----------♦ или -----2-----* Корни 1, 2, 3.
73. (р— q)2-\~q = Q‘ Третий корень равен 74. Общий корень ——----------— . Два
Р\ --Р2
других корня первого уравнения: 2 (^'— jpj ± 3 (</1—</2)2—4/^ (рг~р2)2)>
Два других корня второго уравнения:^—?----- —qi^V—^A\~~qA2—^р2(р\—Pt)2)*
75. Р\ = — 12; qx = — 2; р2 = — 7; q2 = — 1. 76.
1 / 1 + /2/2-1 / 2йя . , , 2kit\
V /2 I n n )’
f /2 / 2 — 1 — 1 Г (2й + 1) Л , , , (2k + 1) я
x = I / --------- cos -!—---p I sin
г V 2 L n n
X = V1-|-/2 <« (2^+ l)F-arctg/l 4-2/2 (2fe+l) я-arctg / 14-2/2 n ' n
x = Vl+/-2 e™ (2^+l)" + arctg/l 4-2/2 f (2fe4-l)*4-arctgV 1+2/2 L n n k = 0, 1, 2, 3 n — 1.
2kr. . . 2/гя\ ,
У 2 I COS--L- I sin --- j — 1
77. x = a-----------------------, k = 0, 1,2.........n — 1. 78. a) — I ctg — ,
" « 2йя n
1 +/4 — 2/2 cos —
n
kit
k = \t 2, ..n — 1. 79. ctg —, k = 1, 2, ..n — 1. 80. Если sin ? #= 0, то уравне-
Ответы § 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ 457
ние имеет п корней: tg > fe = 0. 1, 2, ..п — 1; если cos ср = — 1 и п нечет-
- » / и п — 1 \
ное, то уравнение имеет п — 1 корней (исключается значение k = ——I ’> если
cos ср = 1 ил—четное, то уравнение также имеет п — 1 корней ^исключается
k = 81. Корни: 1, 2, 3, ...» л. Указание. Последовательно сложить дроби.
82. Уравнение можно переписать в виде
(cos Ср 4~ 7 sin ср) [1 + (cos а -|- Z sin а) х\п -f- (cos ср — I sin ср) [1 + (cos а — Z sin а) х]п = 0.
Ответ:
х* ~ ~ —2яГ' k = 01 *' 2......."~*'
2л
Если а =# । ^=0, 1, 2,..., п — 1, то уравнение имеет п корней,
указанных предыдущей формулой. Если же при некотором целом имеет место
(27г + 1) ~ — 2ср
равенство а = ------, то из указанных значении х^ следует исключить xk
с индексом, равным остатку от деления числа k на число л; если k < 0, то сначала
к нему надо добавить п столько раз, чтобы сумма была больше или равна нулю;
первая такая сумма дает индекс для х^, который должен быть исключен из ука-
занной совокупности корней; уравнение в последнем случае ^т. е. в случае наличия
(2£+1)я —2ср\
равенства а =---------------- I будет иметь п — 1 корней.
§ 3. Рациональные уравнения с одним неизвестным
1.3. 2.{42. 3.0. «,И. ,. ±|. ±,П. 3.
-/2-1 ± lV 2/2+1
-------------------1 Указание. Переписать уравнение в виде
(% —ттг)2 + = L 6. 2,-1+z/з. 7. 0, ±5/2. 8. ±/2, ±/з:
9. 6,—^. 10. 0, —4. П. 4-(—1 ± 1/"?)- 12. 3, —1, 1 ± z/3. 13. у,
4 2 2 \ т / 2 о
-13-^s5—- 14. л/~4 —1 ±///б—1,5; — 1/”у—1±//6+1,5. 15.6,
Оо г 2 т 2
__ J у
—2, 3 ± ]^21. 16. Подстановка х~ z— ; ответ: —,
+ г|/~ /313—1з\ 17 J _5 —37±z/122l
313 4-13
1 24 ± 35Z/3
18, 2 ’ 13
14
19. 7 ± /34,
находится
22. 7, 1,
У к а з а н и е. Положить х2 — 8х 4-15 = у; тогда легко
отношение у. 20. —1, 2, —. 21. 2, (—9 ± У*65).
5 ^339' • 23. 2, 1, 2 ± / 3. 24. 0, + 6Z, 4 (1 ± /26)- Указа-
62 2 О
X — 6
ние. Правая часть равна
. Указание. Произвести
2
5
умножение биномов. 26. —• Указание. Переписать уравнение в виде
/24 —5х 5 —6х \ /17 —7х 8x4-55 \ io1
3Чт+т + 5 + т+т+ 6J = 29/У+Г + 7+-Т+1----------8)-2'- -1’ 21 2-
458 Ответы. Алгебра. Гл. VI, УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
1(1±W>. 28. ±,.1.1. 29. ,.2 +1 ±/13^1
6 2 3 13 2 ’ /34
1+/2 ± V2/2-1 1-/2 ± i/2/2 + l ±3±/5 .
□О. ------. ---------------х-------. о!. ---Г.- . I I.
§ 4. Рациональные уравнения с одним неизвестным, содержащие параметры
1. а = 0, а = — 2. 2. а = 0, а = 1. 3. а = 0. 4. а = 0. 5. ab (а 4- Ь) (5а — ЗЬ) 0.
6. ab (а — b) (2Ь — а) 4= 0. 7. b (а 4~ Ь) (2а + Ь) (2Ь а) 4= 0. 8. ab (а — 6) 4= 0.
9. b (а — Ь) (30а2 4- Mab 3062) 4= 0 (см. решение задачи № 31 этого параграфа).
10. Решение. Уравнения (1) и (2) будут эквивалентны тогда и только тогда, когда
корни уравнений
(Ь — 2л)2 + (2а — х)2 = 0 (3)
и
b + 2а — Зх = 0
не будут корнями уравнения (2). Уравнение (3) может быть приведено к виду
5х2 — 4 (а + Ь) х + 4а2 4~ Ь2 = 0, (3')
а так как (я — 2х) + (2х — Ь)2 = 5х2 — 4 (а 4- Ь) х 4- 462—а2, то прежде всего должно
быть 4624~а2— 4а2— Ь2 =)= 0, т. е. а2 — Ь2 4 0- (I) Далее: корни уравнения (3)
°>а -н I
не должны обращать в нуль и 2а 4- b — Зх, иначе х =-------
о
2а ! b
корнем (3). Подставляя х ==-----—— в (3), получим еще
о
4а— b 0 (II). Наконец, корень уравнения 64-2а— Зх = 0,
не должно быть
т.
одно неравенство
b 4- 2а
е. х =----,
не должен обращать в нуль правую часть уравнения (2), т. е. (6—2---4—) 4-
4- (2а--& j (а 26— b — 2а)2 =4 0, или [учитывая (I)] 4а — b 4= 0 (III).
Условия (I), (II), (III) можно объединить: (а2 — Ь2) (4а — Ь) 4= 0. 11. (Ь2 — с2) X
X (с2 — а2) (а2 — b2) (а 4~ b 4~ с) 4= 0. 12. а 4 Ь. 13. с (а — с)(а-\-Ь — с) (Ь 4~ с — а) X
X (2с + Ь) (Ь с) 4= 0. 14. а 4= Ь. 15. а 4= Ь. 16. abm (а 4- b) (1 — т) (а — mb) X
X (b — та) 4= 0. 17. (а — с) (а — d) (b — c)(b — d)^=O. 18. b ф с, с 4= а, а 4= Ь.
19. (Ь — с) (с — а) (а — Ь) 4= 0. 20. Уравнения неэквивалентны, так как второе урав-
нение имеет корень х = Ь, не являющийся корнем первого уравнения. Если а 4= \Ь,
у —1±//3
где Х =------------> то все остальные корни обоих уравнении соответственно
одинаковы. 21. Уравнения неэквивалентны, так как второе уравнение имеет корни
х =— а и х =— 6, не являющиеся корнями первого уравнения. 22. abc(b — с) X
X (с — а) (а — Ь) 4= 0. 23. При а = 0 уравнение корней не имеет. При а, равном —2,
х = 6. При а 4= 0 и а 4= —2 уравнение имеет два корня: (—а—4 ± Уа24~4а4-20).
24. При а ~ 0 и а = 1 уравнение не имеет корней. Если а 4 1 и а 4= 0, то урав-
нение имеет два корня: х =— а и х = а—1. 25. При а = 0 уравнение корней
не имеет. Если а 4= 0, то уравнение имеет два корня: 1 4~ д и 1 4~ — • 26. Если
а = 0, то уравнение корней не имеет; если а 4= 0, то уравнение имеет два корня:
— 2а и За. 27. Перенося все в левую часть, приводя дроби к общему знаменателю и
(а 4- Ь) [х2 — (а2 4- ab 4~ Ь2) ]
производя упрощения в числителе, получим Зх) (6+2д+2х) (л-26+п) = °’
Значит, если а 4-6 = 0, уравнение удовлетворяется при любом значении х, кроме
корней знаменателя. Если же а 4- b 4= 0, то данное уравнение эквивалентно следую-
х2 — (а2 4- ab 4- Ь2) ~
щему: /о, .-о----9 ч /?т~о—г~о -'Г7~-отп—г = °- Отсюда следует, что уравне-
J (36 4- 2а — Зх) (6 4~ 2а 4~ 2х) (х — 26 4~ a) J J г
——j — (а2 4- ab 4~ 62) 4= 0
или а(36 —5а)#=0; (-^4 У — (a2 -\-ab + Ь2) =# 0 или b ф 0; (26 + а)2 —
— (а2 4- ab 4- 62) 4^ 0 или 6 4= 0. Если а = 0, то 6 4= 0 (ибо а 4~ 6 4= 0) и уравнение
имеет один корень х = — 6. Если 36 —5а = 0 (при этом а 4= 0 ибо а 4- b 4= 0), то
7
уравнение имеет один корень х = —^а. Наконец, если 6 = 0, то уравнение имеет
о
Ответы. § 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
459
один корень х = а. В этом решении дан общий метод решения рациональных урав-
нений, содержащих параметры: все переносим в левую часть, приводим к общему
знаменателю и находим корни числителя; подставляя их в знаменатель, находим
неравенства, при выполнении которых корни числителя будут корнями данного
уравненйя. Затем исследуем случаи, когда корни числителя обращают в нуль знаме-
натель. Можно вместо подстановки корней числителя в знаменатель поставить
корни ----------- ~ --------- °— '• л “ ------------------- ------ --------
Если
кроме
корня:
знаменателя в числитель. 28. Если b =0, то уравнение корней не имеет.
b == а 0, то уравнение удовлетворяется при любом значении х,
х = — а и х = — Если ab (а — b) (2Ь — а) =£ 0, то уравнение имеет три
х} = 0, х2> з — ± Yа2 — ab Ь2. Если d 4= 0, но а = 0, то уравнение
имеет два корня: Xi =0, = d. Если а 4= b, b б, 2Ь — а = 0, то уравнение имеет
-г. м/'T nn v (а + Ь)(х — а) (х~—Ь)2
два корня xlt 2= ± b V 3. 29. Уравнение приводится к виду (frZpgx) (2d+x) °*
Отсюда следует, что если а + Ъ = 0, то уравнение удовлетворяется при всех значе-
ниях х, кроме х = — Ь, х = — 2Ь и х = —если а 4- b 4= 0, то корнями данного
уравнения могут быть только числа а и Ь; при этом число а будет корнем данного
уравнения тогда и только тогда, когда (а b) (b 4~ 2а) (2Ь 4~ я) 4= 0, а число /сбудет
корнем данного уравнения тогда и только тогда, когда b Ф 0. 30. Уравнение пре-
образуется к виду
(а — Ь)(х2— ab) [10х— 3 (а 4- d)] ~
(3d — х) (Зх — а) (9Ь — а) (8х — За + ЗЬ) ~~ 1'
Если а = Ь, то уравнение удовлетворяется при всех значениях х, кроме х = 0,
х3=~, х-\~ЗЬ. Если ab (а— Ь) 4= 0, то уравнение имеет три корня xIj2±|^ad,
3 зь
x3=-y^(tf + d). Если d 4= # = 0, то уравнение имеет один корень а еслн
а 4= d =0, то корень х ~ у . 31. Уравнение приводится к виду
(a—b)[x~(a + b)} [x2-(a2-\-34ab + b2)] __
[(л — а + d)2 + 36d2 ](7d — а + х)2
Подставляя х = аb в знаменатель, получаем 40d2 • 64d2. Подставляя х = а— 7Ь
в числитель, получаем (а—Ь) (—8d) 48d (d—а). Остается исследовать, при каком усло-
вии уравнения х2 — (а2 4~ 34ad 4- b2) = 0 и (х — а 4- d)2 4- 36d2 = 0 или х2 — 2 (а—Ь) х 4-
4- а2 — 2ab 4~ 37d2 = 0 имеют общий корень. Предполагая я4Ч можно утверждать,
что они могут иметь только один общий корень, который определяется из урав-
а2 4- \5аЬ 4- 19d2
нения а2 4- 34ad 4- d2 — 2 (а — d) х 4- а2 — 2ab + 37d2 = 0, т. е. х = ~ .
Для того чтобы это значение х было общим корнем, необходимо и достаточно,
чтобы _ (Д2 4. з4в6 4- 62) = о или />2 (30а2 + 48а6 + ЗОд2) = 0.
Итак, если d (а — Ь) (5а2 4- Sab 4- 5d2) Ф 0, то уравнение имеет три корня: xt ± а 4“ Ь,
х2,3 == ± "/а2 + 34ad 4~ ^2- Если а 4= d = 0, то только один корень х = — а. Если
а=^Ь и d Ф 0, но 5а2 4~ Sab 4~ 5Ь2 == 0, то уравнение имеет два корня: х == а 4- d и
„ t лг~ъ——й—i—° ' а2 4- 16аЬ 4- 19d2 r,. v
тот из корней ± у а2 4- 34аЬ 4~ d2, который отличен от -!—-------. 31. Урав-
нение приводится к виду
(а — Ь) (х2 — ab) £х —~ (а 4- d)^j
[(6 — 2х)2 4- (2а — х)2] (6 + 2а — Зх)2 = °’
Значит, если а = d, то уравнение удовлетворяется при всех значениях х, кроме
а 4 ± 31 ,
х = —и х = —=— а, так как при а = d знаменатель при указанных значениях х
3 о
обращается в нуль. Пусть а^Ь. Уравнения х2 = ab и (d — 2х)2 4- (2а — х)2 = 0 или
5х2 — 4 х 4-1)2 _i_ 4^2 __ о ПрИ условии а 4- d 0 имеют общий корень, опре-
деляемый из уравнения ЬаЬ — 4 (а 4- d) х 4- d2 4~ 4я2 = 0; отсюда х = - , и это
значение х будет общим корнем данных уравнений, если (4а -f- d)2 — 16ab или 4а — b =0.
п 2 . . ,. 2а -j- d
Подстановка х= •=- (а4-d) в знаменатель и х=—4— в числитель новых ограничении
О о
не дает. Впрочем, условие (а2 — d2) (4а — d) 0 было уже получено в решении за-
а — b
460 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
дачи № 10 этого параграфа. Итак, если (а* 2 * — Ь2) (4а — Ь) =£0, то уравнение имеет три
корня: х1} 2 = ± Уab, х3 = -g- (а -4- Ь). Если а — b 0, но b — — а, то уравнение имеет
только один корень х == 0. Если а — b 0, но 4а— Ь ===== 0, то уравнение имеет
только один корень х =— 2а. 33. Уравнение приводится к виду *
[(д + -|- с) х — abc] [Зх2 — 2(Ьс-\-са4~ ab) х -ф abc (а 4-Т? 1с)] __ q
х (be — х) (са — х) (ab — х) '
Отсюда, если (а 4- b + с) (Ь2— с2) (с2 — а2) (а2 — Ь2) =4= 0, то уравнение имеет три
корня:
abc
Xi = -----г---- ,
а 4- b -4- с
х2,3 = i (Ьс + са +- ab ± У'о2с2 4- с2а2 -j- а2Ь2 — abc (a 4- b -j- с)).
и
Если а + b + с = 0, но (Ь — с) (2с 4- b) (2Ь 4- с) 4= 0, то уравнение имеет один корень
х — -ъ- (Ьс 4- са 4- ab). Если а 4- b 4- с = 0, (Ь — с) (2с 4* b) (2Ь 4- с) = 0, то уравнение
о
не имеет корней. Если а-4-Ь-]-с=^=0, но Ь = с^=а, то в случае с = b =f= — а уравне-
ab2 b (а 4- 2Ь) ,
ние имеет два корня: Xj =----, х2 = —-—4----------- , а если с = b = —а, то один
a -j- Zb <5
корень: х = Ь2. Аналогичны выводы в случаях а 4~ с ¥= 0, Ь = а 4= с и
о
а 4- b с а = с ={= Ь. Если а 4~ b 4- с =4=0, b = — а, то в случае b = — а — с и
b = — а =— с уравнение имеет один корень х — а2, а в случае b =— а 4= ±с
о
уравнение имеет два корня — (—а2 ± У а4 *За2с2). Аналогичны выводы в случаях
<2 -4 b 4- с Ф 0, Ь = — с и а 4“ Н с с = — а. 34. Если а =4= Ь, то уравнение имеет
один корень х = — 2 (а 4- Ъ 4- с). Если а = Ь, то уравнение удовлетворяется при
любом значении х, не равном —2а. 35. Указание. При решении рациональных
уравнений, содержащих параметры, иногда удобно применять следующий прием:
перепишем данное уравнение в виде
(х 4 а) (х 4~ Д 4 Ь) (х — с)(х — с — Ь) — (х — а) (х — а — Ь) (х 4~ с) (х + с 4~ Ь) ~
(х 4- с) (х — с) (х 4- с 4- Ь) (х — с — Ь) ~~
или
(а - с) х [х2 - ^£±(M_W±0]
(л с) (х — с) (Л- + с + Ъ) (х — с — Ь) ~~ °’
(2)
Отсюда следует, что если а = с, то уравнение удовлетворяется при всех значениях х,
кроме х = ± с и х == ± (Ь 4~ с). Во всем дальнейшем мы будем считать а 4= с и
не отмечать это каждый раз. Если подставить корни знаменателя уравнения (2)
в числитель, то придется производить некоторые преобразования для приведения
результата подстановки к простому виду. Лучше поэтому подставлять корни знаме-
нателя в числитель уравнения (1) (сказанное относится и к ряду предыдущих и
к ряду последующих примеров). Производя эту подстановку и отбрасывая множи-
тель с — а =4= 0, будем иметь:
а) при х = с:
б) при х = — с:
в) при х = b 4- с:
г) при х = — (Ь 4~ с):
— (с — а — Ь)2с (2с 4~ 6);
(а 4- b — с) (—2с) (—2с — Ь)\
— (Ь 4- с — а) (2с 4- Ь) 2 (Ь 4- с);
(а — b — с) (—2а — b) (—2Ь — 2с).
(3)
(4)
(5)
(6)
Отсюда следует, что если с {а b—с) (2с + b) (b -f- с — а) (Ь -|- с) 0. уравнение
имеет три корня:
х _ а х _ + 1/" ас + (а + 6) (b + с) (7)
Xi—и, х2) з = х у ----------2--------• и/
Сравнивая результаты подстановки при х = с и при х = b 4- с, заключаем, что
если с (а 4- b — с) — 0, (Ь 4- с — а) (Ь 4-е) (2с 4- Ь) 4= 0 (в этом и только в этом слу-
чае выражения (3) и (4) будут равны нулю, а выражения (5) и (6) будут отличны
от нуля), то среди значений (7) для х будут значения ± с, которые не будут
Ответы. § 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ 461
корнями данного уравнения; более точно: если с = О, а 4- Ь 4= 0, ab (а — Ь) X 0, то
, Ь (а Ь) . л . , п
уравнение имеет только корни х = х J/ ——; если с 4 " а-\- о — с = и,
b + с X 0, то уравнение имеет только один корень х == 0; если с = 0, а 4- Ь = 0, то
уравнение корней не имеет. Далее, если наоборот (а 4- Ь — с) (2с 4~ Ь) X 0, но
(Ь 4- с — а)(Ь-\-с) = 0, то среди значений (7) для х будут значения ± (Ь 4~ с),
которые не будут корнями данного уравнения; более точно: если Ь 4- с = 0, ас 0,
то уравнение имеет два корня х = ± J/ ; если Ь 4- с = 0, ас = 0, то уравнение
не имеет корней; если b 4- с — а = 0, с (Ь 4- с) X 0, то уравнение имеет один корень
х = 0, а если Ь - -^ с— а = 0, с = 0, уравнение не имеет корней. Пусть, наконец, все
выражения (3) равны нулю; тогда если хотя бы одно из чисел с и Ь+с не равно
нулю, то среди чисел х — ± с, х= ± (Ь 4- с) есть, по крайней мере, три различных;
значит, уравнение не имеет корней; если же с = 0 и Ь 4- с = 0, то уравнение не имеет
- ор (х 4- я \2 ( (х— а\2 ах2—а2 b х2 — а2 х 4- а (х-±- а
корней. 36. “У
ах — а\ b х — а (х а ах — а \ _ (х 4 а ах — а\(х-\- а
Ъ х — Ь ) ах — b \х b b х — b ) \х b b х — Ь )\х 4~ Ъ
— li 5с--f*) 0’ Ответ: если # ¥= F то четыре корня: — [ ± (а + b) ± У а2-\-§аЬ-^Ь2]‘
Если а — Ь, то уравнение удовлетворяется при любом значении х, кроме х— ± cz.
37. Если а^Ь, то уравнение имеет два корня: х^ — ЗЬ — 2а, х2~3а— 2Ь. Если
а ~ Ь, то уравнение корней не имеет. 38. Если т = 1 или а 4- Ь == 0, то уравнение
удовлетворяется при всех значениях х, кроме х = а, х = Ь, х = та, х = — mb. Если
abm(a + b)(\— т) (а— mb) (Ь— та) Ф 0, то уравнение имеет три кор: я: Xj » 0,
х2>3 = ± У amb. Если хотя бы одно из чисел а или Ь, или т равно нулю, то урав-
нение корней не имеет. Если amb (т — 1) (а 4- Ь) X 0, а = mb, тф — 1, то } ра-
нение имеет два корня: X] = 0, х2 —— а\ если amb (т—1) (а 4- Ь) X 0, а = mb.
т = — 1, то уравнение имеет один корень х = 0. Если abm(m—1) (а 4- Ь) ф 0.
Ъ — та, — 1, то уравнение имеет два корня: Xj " 0, х2 =— Ь\ если же
abm(m — 1)(а4^)Х0, Ь = та, т = — 1, то уравнение имеет один корень х == 0.
39. Если (а — Ь) (с— d) = 0, то уравнение удовлетворяется при всех значениях х,
кроме х — — а, х = — Ь, х == — с и х = — d. Если (а — Ь) (с — d) (а — d) (а — с) X
X (Ь— с)(Ь— z/)X0, а 4- Ь X с 4 d, то уравнение имеет два корня: х=0,
х = d ' ^сли (а — (с — d) а 4- Ь = с 4- d, cd — ab X 0, то урав-
нение имеет один корень х = 0. Если, наконец, а 4“ b = с 4 d и cd — ab = 0, то
уравнение удовлетворяется при всех значениях х, кроме х — —а, х = — Ь, х = — с
и х — — d. 40. Если (Ь— с) (с — а) (а — Ь) X 0, то уравнение имеет три корня:
Xi ~ 0, x2i 3 = — -i (а 4- Ь 4- с ± У а2 4- Ь2 4- с2 — Ьс — са — ab). Если а b ~ с, то
—2а — Ь , .
уравнение имеет два корня: Xj=0, х2 =-------Q---; если Ь=£а — с, то тоже два
О
2^ л
корня: Xi =0, х2 =-------5----; если с а = Ь, то тоже два корня хх = 0,
о
__2с а
х2 =---------. Если а ~ Ь = с, то уравнение не имеет корней. 41. Если (Ь — с) X
о
X (с — а) (а — Ь) 4= 0, то уравнение имеет три корня: Xi = а 4 b 4- с, х2)3 —
2 । __________________________
— -5- (а 4- Ь 4~ с) ± У а2 4- Ь2 4- с2 — Ьс — са — ab. Если Ь = с а, то уравнение
о о
, , , а 4- ЬЬ о ,
имеет два корня: х1 == а 4- Ь 4 х2 ~ -—4— Если с = а =/= Ь, то уравнение имеет
о
( , । Ь 4 Ьа ,
два корня х{ — а 4- Ь 4 *2 = —4— J если а = b 4= с, то два корня Xj == а 4~ Ъ 4 с,
о
^2 === ^—. Если а — Ь ~ с, то уравнение имеет один корень х — За. 42. При
о
а = Ь уравнение удовлетворяется ири всех значениях х, кроме х = Ь и
х ~ b. Во всем дальнейшем считаем а=^Ь. Если Ь == 0, а 4= 0, то урав-
нение имеет только один корень х = а. Если b 4= 0, а2 4- ab 4 Ь2 4= 0, а2 — ab 4 Ь2 4= 0,
то уравнение имеет четыре корня: 0, а, ± У аЬ, а если b -=f= 0, а2 4- ab 4- Ь2 0,
а2 — ab 4~ Ь2 = 0, то три корня 0, ± У ab. Если Ь 4= 0, а2 4- ab 4- Ь2 = 0, то уравнение
имеет три корня 0, а, — (а 4- Ь), а если Ь 4= 0, а = 0, то один корень, равный 0.
462 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
( й-4~6 + -г а-\-Ь-]-х а-\-Ь-\-х Л[ а-}-Ь-\-х a-j-b-j-x
— + -ъ н - 1 j ауь + -а + х +
, а-\-Ь + х 5\ 5 , , L , 1 , 1\/ 1 , 1 , 1 \
+ —2)=2' (,^ + Ь + х) ^_+_+_Д—ру+—+ yq—J~
-(a + i+j:)(^ + iqLr.|.^_)-=(a + t+j()(l + l + l)=,).yp„.
нение имеет корень х —— (а 4~ Ь), если а 4- 6 =£ 0, а Ф О, Ь =/= 0. Если же
ab (а 4~ Ь) = О, то это значение х не является корнем данного уравнения. Далее,
<»+‘+-'>(l+l+l)(i47+d^+^)~
[l+(a + 6)^- + yJ + x^- + yJ+——J^-Ty+—j—
5 / 1 , i , 1 \ . a + b . . . . . ,. / i . 1 , 1 \
-- "о" I-1-A--) “ 0> -A- (-£ 4“ ^) (^ 4“ I -i-7--1--A—I- ) -
2 \a b xj abx \a-\-b a-j-x b-У x J
Отсюда, в случае 2a2 4~ ab 4- 2,b2 0, Зя2 4- 262 0 уравнение имеет два корня:
х = -~-(—а— b ± Y—15а2 — баб— 1562) (1). Если 2а2 4-аб 4~262=0, то данное урав-
нение имеет корень х =---------— при условии, что а~У b =4= 0 и а =£ Ь; если же
а 4- Ь = 0 или а — 6=0, то это значение х не является корнем данного уравнения.
Если За24-262 =0, то данное уравнение вместо двух корней (1) имеет один корень
х=== ~2— ПРИ уСЛ0ВИИ’ что а Ь’ а + 0 и — Ь=^0; если же (а2 — 62) X
X (За — 6) = 0, то это значение х не является корнем. Наконец, если За2 4~ 262 = 0,
«/14 b — а
то вместо двух корней (1) данное уравнение имеет один корень х = —, если
Ьфа, ЗЬ — а =£0, а 4- Ъ =£ 0; если же (а2 — Ь2) (ЗЬ — а) = 0, то это значение х
не является корнем данного уравнения. 44.
х? — ах 4- а2 х2 — Ьх 4- Ь2 х2 — сх 4- с2 3 (х — а) (х — Ь) (х — с) 3 __ 0
(х 4- а)2 (х 4-б)2 +' (^ + с)2 + 2~ (х’4-"а) (* + 6) (х + с) 2 ’
, Зах . ЗЬх Зсх 3 (х — а) (х — 6) (х — с) 3
4~ &У '(х4-6)2 + ~ (х 4- с)2 2 (х4-а) (х 4-6) (х 4~ с) ~~~2 ~ ’
1 (х —— а) (х —- 6) (хс) 1 Г а 6 с 1
2 (х 4- а) (х 4- 6) (х 4- с) *“ 2 L (х 4" a)2 (х 4- 6)2 (х 4- с)2 J *
х3 4" (Ьс 4- са 4- аб) х _ а (х 4~ 6)2 (х 4- с)2 4~ b (х 4~ а)2(х 4~ с)2 4~ с (х 4~ а)2 (х ~УЬ)2__
(Л- -+• а) (х + Ь) (х 4- с) — х (х + а)2 (л Ь)г (х + с)2 ’
[х3 4" (Ьс -Уса-у ab) х] (х 4~ а) (х 4~ Ь) (х + с) — ах (х2 4~ Ьх 4- сх 4- 6с)2
(х + а)2 (х 4- 6)2 (х 4- с)2
Ьх (х2 4- сх 4- ах -4 ас)2 4- сх (х2 4~ ах 4- Ьх 4- аб)2 __ ft
(х 4- а)2 (х 4- 6)2 (х 4- с)2 ~ ’
2 х4 — 2 (6с 4- са 4~ аб) х2 — 8а6сх 4~ а2Ь2 4~ 62с2 4~ с2а2 — 2а2Ьс — 2Ь2са — 2с2аЬ
л- (X 4-а)2 (х 4-д)2 (х + с)2 = °-
Числитель преобразуем по методу Феррари (этот метод заключается в том,
что целую рациональную функцию четвертой степени представляют как разность
квадратов целых рациональных функций второй степени; эта задача приводит,
Ответы. § 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
463
вообще говоря, к решению уравнения третьей степени; здесь дано искусственное
преобразование):
[х2 — (— Ьс 4- са аЬ)]2 — 4Ьсх2 — 8abcx — 4а2Ьс = [л:2 — (— Ьс 4- са 4~ я#)]2 —
— 4Ьс (х2 4- 2ах 4- а2) [х2 — (— Ьс 4~ са 4- ab)]2 — [2 УЬс (х 4» а)]2 =
= (х2 4~ 2 У Ьс х 4- 2а У Ьс — ab — ас 4~ Ьс) (х2 — 2 УЬсх — 2а У Ьс — ab — ас-\- Ьс)-
Находим: х{ = — У Ьс 4- УаЬ — У ас, х2 = ~У Ьс — У ab 4~ У ас, х3-=Уьс-}~Уса-г
-j-УаЬ, х4 = УЬс — УаЬ — У ас. Все эти значения х, а также значение х5 — О
будут корнями данного уравнения, если abc (Ь — с) (с — а) (а — Ь) =£ О (см. задачу 22
этого параграфа). Если же среди значений xlf х2, х3, х4, х5 будут равные — а,
—Ь, —с, то эти значения не будут корнями данного уравнения. Если abc == 0, то
х = 0 не будет корнем данного уравнения, а если abc #= 0, то х = 0 — корень. 45.
Если а == Ь, то уравнение не имеет корней. Если а^Ь, то уравнение имеет четыре
За — Ь ЗЬ — а а-\- Ь , 3(а — Ь) . /
корня: Xt = —----» х2 ~ ’ Хз> 4 —2— “ — 1 ^подстановка х =
а-4-Ь \ or о, о а 4- Ь . ,а — Ь Г 13 ,
= —Z.------z). 46. За —- 2Ь, ЗЬ — 2а, —~— ± i —g— J/ -у- . 47. Если а =£ Ь, то
л । / 2л6 а2 4- Ь2
уравнение имеет четыре корня: 0, а 4-6, -у-q—у , ♦ Если а~Ь, то два
корня: 0 и 2а. 48. Если а = Ь, то уравнение удовлетворяется при всех значениях х,
кроме х == а. Если а-ф Ь и а2 4- ab 4~ Ь2 =^= 0, то уравнение имеет четыре корня:
о , , а-4-b . а — b f а2 — ЗаЬ 4- Ь2 ~ . , , , , . , 9 А
О, л 4-6, —р- ± —]/ Если ^4-6, л2 4-л6 4 62-°, то урав-
нение имеет два корня: 0 и а 4- Ь. 49. Если abc(b — с) (с — а) (а — 6) ^0^ то урав-
нение имеет корни: х{ =? 0, х2 = У Ьс 4- Уса 4- УаЬ, х3 = — УЬс-^УаЬ — У ас,
х4 =— У Ьс — УаЬ-4-Уас, хъ~УЪс— УаЬ — У ас. Если abc = 0, то Xj = 0 — не
корень, а если abc 0, то Xf = 0 — корень. Если среди чисел х2, х3, х4, х5 есть
равные —а, —Ь, —с, то эти значения не будут корнями данного уравнения.
50. Указание. Положить а 4- Ь ~ а 4- р, с + = а — 3, <2 4~ с ~ 4~ 6 4~ =
—а' — Р'; тогда а = а' == -i (л 4- 6 4-с 4-d), ₽ == -~(а 4- Ь — с — d), Р' = 4 (л 4-с-—6—d).
Л Л £
Затем положить x-j-a = z и решить уравнение относительное. Ответ. Если Х=1,
р2 = £'2, то уравнение удовлетворяется при всех значениях х, кроме тех, которые
обращают в нуль сумму (х 4- а 4- с)5 4~ (х 4~ Ь 4~ d)5. Если Х = 1, =/= j/2, то урав-
нение имеет два корня х =— а ± — При условии, что ₽4 — 18₽2{f2 4~
4- р'4 =4= 0. Если же X == 1, р2 ~ р'2, р4 — 18р2Р'2 4- f*'4 = 0, то уравнение не имеет
корней. Если X 1, £2 = /X &/2 (под /X здесь понимается любое из значений /X),
/Ю/Г /1Ч
(1), если только
X 0, X #= (9 4~ 4/5 )2, X #= (9 — 4]/5)2 и Ф 0 (в выражении J1) под /X при-
нимается то значение корня, которое входит в равенство р2 = /Х^'2). Если Х=^1,
р2 =_ /х jT2 но имеет место хотя бы одно из равенств X = 0, Х==(9±4/К)2.
р'— 0, то уравнение не имеет корней. Если X^=l, $2=fc р'2, то уравнение не
имеет корней. Если X 1, р2 З'2, р4 — Хк8'4 0, £4 — 18t82£'2 4-₽'4 ¥= 0, то данное
уравнение имеет четыре корня:
/— 5 (fj2 Э'2) ± у5 V(4 4- X) р4 — 10Хр2р'2 4- х (4Х 4- 1) f4
1~Х
Если X =/= 1, |з2 =^= р'2, р4 — Х!3'4 =^= 0, р4 — 18р2р'2 4~ р'4 = 0, то данное уравне-
ние имеет два корня:
3±у w2-^2\
51. Положить л4~6 = а4~?. с 4" а ~~~ л4-с=:=ал4“?л» Ьd = а' — тогда
а = а' = (а 4~ Ь 4~ с 4" d), р = (а Ь — с — d), {Г = | (а с — Ь d). Ответ:
464 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
если р2 = р'2, то данное уравнение удовлетворяется при всех значениях х,
за исключением тех, которые обращают в нуль выражение (х -f- a -f- с)5 +
+ (х 4- b + J)5; если р2 р'2, р 4= 0, р 4= ± Уб р', то данное уравнение
имеет корни: х = — а ± 5 урр\ х = — а±|/’5'Крр' (для У 5 берется
арифметическое значение, для "Урр'— любое\ Если р24=р'2 и имеет место хотя бы
одно из равенств: Р = 0, р = ± р'Уз, то данное уравнение не имеет кор-
ней. 52. Если п = 1, а — 0, то уравнение удовлетворяется при всех значениях х,
кроме х == 0. Если п = 1, а 4= 0, то уравнение имеет один корень х = 0. Если
п ф 1, а — 0, то уравнение корней не имеет. Если п 4= 1, а 4= 0, то следует сде-
tz2 X2 1
лать подстановку ~ если п ¥= 1» а Ф 0, л =/= у, то уравнение имеет
восемь корней:
а если а 4=0, п =
1
Л - 2 .
1 а 3 /“ я — 1 \
"2 , то — четыре корня: х = у ± у -п~~\ ± у ’ Где
§ 5. Системы рациональных уравнений с двумя неизвестными
/2 3\ / 21 63 \ о (— l + '/З —14-г/3\ /—1—Z/3
*' \ 4 ’ 8) ’ \ 40’ 20 Г Д \ 2 ’ 2 )’ \ " 2
-1-//3\ Zl + z/7 1 -z/7\ /l-Z/7 l + Z/7\ Zl-Z 1 + Z\
2 )’ I 2 ’ 2 /’ к 2 ’ 2 J’ 4 2 ’ 2 )’
(44-- 4- (6’ 6)’ [4°^-°’ “ [-|(/5+l),
|-(/5 — 1)] . 5. (0, 0), (/7, /7), (—/7, — /7), (/19, — /19), (—/19, /19).
(2, 3). (—2. -3), <3, 2), (-3. -2) 6. (3, 1). (1, 3), (~5+/23-,
7. (3. 2). (-3. —2), (, // - Ji.- />
(-1/ТЗ-’ТТ'/tj)- ’ Л 21 (2-3)- ’• (4’°- <1,4)'
-7-’r? ). 10. (3. 4). (4. 3).
-16-8|Г-Г0). (-16"81''1" . -‘ЦЦГ“ ). 11. (., 3.1, (3., .), где .-1
— l + z/3 —1—z/з 1O .„ „ . .„ „ . ,
или e =--2~— или e =-(2e, Зс), (Зг, 2e), где s—любое из значении
/Г (е = 1, г = 13. (0, 0), (2, —2), (—2, 2), (/б, /б ), (— /б), —/б ),
[^(/3 + /7 ), А (/3 - /7 )] , [|(/3 - /7 ), 1 (/3 + /7 )] , [1 (-/з +/7 ),
-1(/3+/7)], [_1(/з+/7), |(/7-/3)]. 14. (9, 12), (-12, -9),
/3+Z/423 — 3 + z/423 \ /3 —z/423 — 3 —i/423
\ 2 2 / ’ \ 2 ’ 2
П+z-
\ 2
, 4 _ 4 / 4 _ 4 ( 4 _ 4 / 4 _ 4 \
(1, —2), 16. (^/8, /2;, 4 / 8, —/2 J, V /8, —z/2 j , (— I /8, Z/2 ),
). 15. (2, 1), (1, 2),
££11), 1+^), (0, -3), (-3, 0), (-2, 1),
Ответы. § 5. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ 465
—1 ± z/з
или
—1 ± z/з
е =
2
i |/ -j J • 17. (10s, 7e), (-7s, —10s), где e равно или 1,
18. (/13 e, -/13s), (—г. -Зе), (Зг, e), где е = 1 или
19. (1 + /3, 1-/3), (1-/3, 1 + /3), (-1+Z, -1-Z), (-1-Z, -14-Z
20. (О, 0), (3, 2). 21. (Зе, -20. (-2г, 30, (/169 + Z /11 /13 )
j(/169 -//ll/T3)e],[y(/T69-z/ll/i3 )е, у (/169 + Z/11 /13 ) е]
где г = 1 или г = ~1-±2г|' 3 . 22. (5,2), (2,5), (-5, -2), (-2, -5), (5 /3 + 2z/3
-5/3 + 2Z/3), (2Z/3-5/3, 5/3 + 2Z/3"), (-5/3-2z/3, 5/3-2Z/3)
(5/3 -2Z/3, -5/3-2Z/3). 23. (9, 3), (--|, 24. (Z, 2Z), (-z, -2Z),(2, 1)
(—2, -1). 25. (4, 2), (9, —3), (5 + Z /ГГ, 1 - z/TT), (5 - z/l+ 1 + z/TI). 26. (3, 2)
(2, 3), (-6, 1), (1. -6). 27. (3, 1), (1, 2). 28. (1, 5), (2, 5), (-|, -б), (-2, -5)
29. (0, 0), (2, -1), -1), 30. (3, 4), (4, 3), (6+ /29", 6-/29), (6-/29
6 + тз1.(3.5).(5.3).(=Ц1+
32. (1. 4). <4. 1).(=ЦН (2.з>. (3. 2)
(-5, 2), (2,-5). 34, (Зе+2/2 4, 3г —2/2 e'), [j (г /129 + e'), i(e/129 —4)]
где г и s' принимают значения + 1 и —1 независимо друг от друга. 35. (7 + 4/3
2 + /3), (2+ /3, 7 + 4/3), (7 — 4/3,2 + /3), (2 + /3, 7 — 4/3), (7 + 4/3
2 —/3), (2 — /3, 7 + 4/3), (7 — 4/3, 2 —/3), (2 —/З", 7 — 4/3)
36. (О, 0), (27,27), [2(3 +/33), 1 (3-/Зз| , [1 (3-/33), |(3 + /33)]
(30, 15), (15, 30).-37. (2, —1), (—1, 2), (-2, 1), (1, —2), 3s — 3e~e7 /^\
где £ и s' независимо друг от друга принимают значения 4- 1 и —1. 38. Вычесть
[-l+(4+/10)z
почленно из первого уравнения второе. Ответ: -g-
14 —(16 +/16) Z1 Г-1+ (16 +/16) Z 14 -t- (6 + /16) I ]
10 J ’ L 5 ’ 10 J
, 14 + ^6~/1.0). Z. j . 39. (2, 1), (1, 2), (l + z/2, 1 —z/2)
о ,T2. i+(ирг (+/. (1+ots
l-Z/19 \ /l-z/19 14-Z/19X лп /о 1\ /! +
2
/7
14+(—6+/10) Z
10
[-1+(4-/10) Z ,
Г_1 + (16 — /Тб) I
1 5
250 + 5/134 Z +/1168334 —7674/134 Z 250 + 5/134 7 —/1168334 — 7674/134 г \
1272 ’ 1272 /’
250 4 5 /134 Z — /1168334 — 7674 /134 Z 250 + 5 /134 I + /1168334 — 7674/ 134Z \
1272 ’ 1272 / ’
250 — 5 /134 Z + /1168334 + 7674 /134 Z 250 — 5 /134 z — /1168334 + 7674/134i \
1272 ’ 1272 / ’
250 — 5 /134 Z — /1168334 + 7674 /134 I
250
1272
30 Зак. 1143. П. С. Моденов
466 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
41. (О, 0), (2, (1 2),
[11 z>^9603), (-1 - i /9603)] ,
[if- ( -1 - ' /9603), (-1 + I /9603)] .
Указание. Выделив решение (0, 0), разделить обе части первого уравне-
ния на ху, обе части второго — на х2у2 и ввести новые переменные х У =
JC у
----= р. Относительно получится квадратное уравнение. 42. Ввести новые
у X
неизвестные а = ~ , р == ху . Ответ: (2, 1), (—2, —1), (1, 2), (—1, —2),
1 "Г 1
—1’ 2) ’ ("2 ’ 1) ’ (—~2 ’—1)’ У к а 3 а н И е* Освободиться от
знаменателя; ввести новые неизвестные х-}~ у и ху. Получится возвратное уравнение
четвертой степени относительно ху. Ответ: (2, 3), (3, 2), (-у, -у), (у ,-у).
§ 6. Системы рациональных уравнений с двумя неизвестными, содержащие
параметры
1. Если я =£ 0, то три решения: (0, 0), (4^, —4^), (2я, 4я). Если а = 0, то
\ о о /
г л > О Г / 1 /
все решения х = X, у = X, где X — любое число. 2. I^l е |/ —%—
Зя2 — 1
3 —я2
'——2—’ ’ гДе £ ~ ± 1, е' = ±1.3. Если а = 0, то х = у — 0;
если я =£ 0, то система имеет решения: (0, я), (я, 0), •
любое число.
. 4. Если а = 0, то все решения х = X, у = — X, где X —
1 — z/з \
Если я =£ 0, то решения: (0, я), (я, 0), ( + .. а>
. 5. Если а = 0, то х = у=0; если я=£0,
1—ze'/s + e/33 \
------------------। ( где £ и £' принимают независимо
то решения
\ 2 2
( 1+П']/8 + е/33
V 2 ’ “ 2
друг от друга значения ±1. 6. Если а = 0, то решением является пара чисел вида
х = X, у = — X (X — любое число); если а =£ 0, то система имеет следующие
решения: (я, 0), (0, я), а, ----- а} . 7. Если а 4- ЗЬ ф 0, то
2
1
, а
8. При я = 1, 6 = 1 все решения системы: х = X, у = X, где X — любое число,
кроме 0, 1, —1, Z, — Z. При я = 1, b = —1 все решения: х =• X, у = у, где X — лю-
бое число, кроме 0, 1, —1, I, —i. При я =— 1, 6 = 1 все решения системы:
х = X, у = —где X — любое число, кроме 0, 1, —1, z, — Z. При я = — 1, 6 = — 1
л
все решения х = X, у =— X, где X — любое число, кроме 0, 1, —1, Z, —Z. При
а = 1, 6 =у ±1 система несовместна. При я =^= ± 1, 6 = 1 система несовместна. При
а = 6 = 0 все решения системы: х = X, у = 0, где X — любое число, не равное нулю.
Если я = 0, 6 -ф- 0, 6 =4= ± 1, то решения
/ __ / 4- /б2 — 1 \
z> -------------Lj ; если 6 = 0, я=£0,-
Ответы. § 6. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
467
4-1 Л 1±К1“Д2\ ( ! 1±У1 — а2\ .
аф ± 1, то решения II, --------), I—1, -------------1; если а = Ь, но а 4= О,
b Ф 0, а 4=1, 6 #= 1, а 4= — 1, b =£—1, то система несовместна; если а =— Ь,
но а Ф О, b 4= 0, а =£ 1, b Ф 1. а ¥=— L — L то система несовместна. Пусть,
наконец, а 4= 0, 6 4= О, а=£ 1, — 1, ##= — 1, а^Ь, —Ь. Тогда
данная система и система
У (1 + х2) = ах (I + у2),
у(1—х2) = *х(1 —у2) ''
имеет те же решения, что и данная, и еще одно решение (0, 0). Складывая и вы-
читая (3), получим систему, эквивалентную (при указанных условиях) системе (3):
2у = х[а(1 + у2) + 6(1-Я]. ...
2ух2 = х [а (1 + у2) — b (1 — у2)]. * ’
Эта система будет эквивалентна следующей:
2у=л[в(14-у2)+&(1-У2)].
4у2х2 = х2 [а2 (1 у2)2 — &2 (1 — у2)2];
(5)
второе уравнение после сокращения на х2 не будет иметь решения (0, 0), а потому
система
2у = х [а (1 + у2) + b (1 - у2)Ц
4у2 = а2 (1 + у2)2 — b2 (1 — у2)2 J ’
в случае а#=0, Ь =4-0, а =# ± 1, & =4 ± 1, а^±Ь будет эквивалентна данной. Вто-
рое уравнение системы (6) имеет решения:
у = е'1/ 2-Д2-62 + 2еГ(а2-1)(62-1)...... 6 = ±1>Е, = ±1.
Z F а2- 1)2
Подставляя это в первое уравнение системы (6) и замечая, что в силу a ± Ь
. Д6 + 1-е/(а2-1)(62-1)
коэффициент при х не равен нулю, найдем х =--1’ X
Г 2 — а2 — Ь2 4- 2s V(а2 — 1) (b2 — 1)
X I/ ------------X Л-V-----Li-----L , Итак, данная система, в случае если
г а2 — Ь2 __________
(аЬ^-\—гУ(a2—\}(b2—\} z
b=£0, ± 1, 6=#±1, аф±Ь, имеет решения: -----— X
чz ,ч/"2 —а2 —i2 + 2O<(or—1)(й2 —1) 2—a2—i2 + 2е/(а2 —1)(&2—1) \
Хе V а2 — Ь2 ,е ' а2 — Ь2 /’
где £ = ± 1, е' = ± 1. 9. Если а = 0, система имеет одно решение (0, 0); если
а=£0, то система имеет четыре решения:
/1 4-/2 , —И 4-а /1+/2. -
2/14-/2 / 1 2/14-/2
alVVS-X.- — 2У/2 -1 / \ 2 У /2 -1 }
10. Если b = 0, а 4= 0, то система несовместна. Если b 0, то решения системы:
( b \2 4- Ь2 1 /‘•+7 ь ’ 2 — Ь2 1 / 4а5 У *’+ ь
4 2/5 । 4 2/5
( b \2 — Ь2 4 1 2/5 ’ b ’ 2 + Ь2 4 1 2/5 Г 4а5 1 У 64+^г J
II + /_ Ь2 4 + 2/5 1 /“+Т b ’ 2 — /_ Ь2 4 + 1 - 2/5
ь \2 — /- Ь2 ”4 + 2/5 1 ’ "2 + /” Ь2 4 -4--U 2/5
3G*
468 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
11.
(О, 0),
Если b = 0, а 0, то система несовместна; если а = 0, b 0, то решения:
если а == b = 0, то все решения: (X, — Л), (X, X), (X, /X), (X, — /X), где X — любое
число, не равное нулю; если а3 — Ь5 4=- 0, то данная система принимает вит
Система
х3 — b3 у5 — b3
х — ь ~~ У ’ у — ь
или
л5 — Ьъ = у4 (х — Ь),
>'5---- /,5 — Х4 __
х5 — Ь5 = ху4 — by4,
у5--- £5 __ -- fjX4
(1)
(2)
(3)
имеет те же решения, что и система (1) и еще решения (Ь, Ь), (Ь, — Ь), (— Ь, Ь),
(b, bi), (b, —bi), (bi, b), (— bi, b). Решая систему (3) и исключая из решений
указанные, получим все решения системы (1). Вычитая из первого уравнения (3)
второе, получим л5 — у5 = — ху (х3 — у3) + b (х4 — у4) = 0. Отсюда: или х = у,
тогда получаем решения (—Ь, —b), (bi, bi), (—bi,—bi), или x4 4- x3y 4- х2у24~лу34-
4-у4 = — ху (х2 -/ ху 4~ у2) 4- b (х2 4- у2) (х 4- у) или (х2 4- у2)(х 4- у)2 b (х2 4- у2)Х
X (х 4- у)- Отсюда х 4- у — 0 — это дает решения (bl, —bi) и (—bi, bi) или
х2 4-у2 = 0 — это дает решения (—Ь, Ы), (—Ь, —bi), (bi, —b), (bi, — b), или
x 4- у — b. Тогда уравнения (2) принимают вид х 4- у = Ь, х5 у5 Ь3. Решая
систему х-\~у = Ь, х5 4" У5 — Ь3 [и исключая решения (Ь, 0), (0, />)], получим:
/. 1 /z/з , 1 — z/з \ (, 1 — z/з , 1 + z/з \
\Ь-----2---, b-------£------/’v ----2-----’ —~2------)• Пусть, наконец, я5 =£ &5,
причем b 0 и а =/= 0. Тогда данная система эквивалентна следующей:
х5 — а5 = у4 (х — Ь),
у5 — а5 — х4 (у — Ь). ( )
Вычитая из первого уравнения второе, как и выше, получим: х — у — 0, х 4- у = 0,
х2 4- у2 == 0, х 4- у = b; (aj/~# j/""у (для корня берутся все четыре зна-
„ / 4/ a а \
чения каждый раз для х и у — одно и то же значение), I а у , — а у I
/ ( -if а -if а \ / 4/”
(еще четыре решения), у — , lay у j (четыре решения), \ау -у •
4 f а \
— lay (четыре решения) и при х у = b получим: х3— а3 = у4 (—у) или
хъ 4- у5 = я5; отсюда решения:
( b . -> f V2 1 Г ’ 4я5~ b , f ~b2 1
\ 2 |/ 4 2/5 Г "I" b ’ 2 ]/ 4 2 /5 Г b ) *
/ b _ / 1 , 4а^ b , , Л &2 1 \
у 2 J/ 4 2 /5 ' ь ’ 2 + J/ 4 9 /5 Г b у ’
у 2 + ]/ 4"^2/Г Г Ь ' 2 у 4+2/5 г +*/’
I h 1 7 1 , 4аЬ’ ь , 1 / b2 , 1 ./,4 , 4а5
(/2 I “T'+nT V ’ 2 + у 4+^Vb^~tT)-
Ответы. § 6. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
469
12. Если а 0, два решения: (а — Ь, а-У Ь), — я), ~ (# + #)j . Если
# = 0— одно решение (—Ь, Ь). 13. Если а* 2 * — 2аЬ 4- ЬЬ2 =# 0, то система имеет
решения: {a -f- b, а), (Ь— Ь, Ь)\ если а2 — 2аЬ -|- ЗЬ2 = 0, но а и b одновременно не
равны нулю, то первое уравнение есть следствие второго; решением является
любая пара чисел, удовлетворяющих лишь одному второму уравнению; если
а = 6= О, то все решения системы (X, ± ZX), где X — любое число. 14. Если а^Ь,
а =£ О, b =£ 0, то система имеет 25 решений: (a^kfbes)t где е# есть любое из пяти
5
значений у 1 (k = 1, 2, 3, 4, 5; s = 1, 2, 3, 4, 5); если а = b =/= 0, то решения
системы (azk,bts\ где k^= s (всего 20 решений); если а = 0, b =£ 0, то система
имеет пять решений (0, bzk)\ если #4=0, 6 = 0, то система имеет пять решений
(#£й,0). 15. х4 у4 = (х2 + у2)2 — 2 (ху)2 = [(х 4- у)2 — 2ху]2 — 2 (ху)2. Отсюда при-
ходим с системе, эквивалентной данной: ху = а2 — Ь2, [(х4~у)2— 2 (а2— 62)]2—
— 2 (а2 — Ь2)2 = 2 (а4 4- 6а2Ь2 4- 64). Ответ: (а 4-6, а — 6), (а — Ь, а 4~ 6), (— а 4- 6,
—а — Ь), (—а — 6, —а 4- 6), [(<2 4~ 6) Z, (—a -j- 6) Z], [(—а 4- 6) Z, (а 4- 6) Z], [(а ~ 6) Z,
(—а — 6) Z], [(—а — b) I, (а — 6) Z]. 16.
(а Л Зд2 V а* + *4
О ' Г 4 /2
' а । f За2 Уд4 4~ 64
У ~ V ~ 4 /2 ’
а_ . f _ За2 _ Уд4 4- 64
2 + |/ 4 /2 ’
а_ _ Г _ За2 _ Уд4 + й4
2 |/ 4 /2
a .j Г За2 . Уд4 -+- А4
2 " |/ --4~+ у-g- у
а , Г За2 Уд4 4~64\
? ' |/ 4~ ‘ /2 / ’
а -)у~ За2 Уд44-64\
7 ~ V 4 уг / ’
а , Г За2 Уд4 4~ 64 \
7+ V 4 уг ) ‘
17. Если Ь = -^аи аУ0, то система несовместна; если # = 6 = 0, то реше-
нием служит любая пара чисел х, у такая, что xfy = a; если а = 0, 6 Ф 0, то
система имеет одно решение (0, 0); если #^0, 6ф то система имеет решения:
а — 26 \1
26 — 3#/] ’
# f Г а — 2Ь\
TV “И 26 — 3#/’
У14 Уи)]-
18. Если # = 6 = 1, то все решения (1, X), где X — любое число, не равное 1
и не равное —1; если а = 1, 6 = — 1, то все решения (X, 1), где X — любое число,
не равное ± 1; если а = — 1, 6 = 1, то все решения (X, — 1), где X — любое число,
не равное ± 1; если # = 6 =— 1, то все решения (X, — 1), где X — любое число,
не равное ± 1; если а = b^f= ± 1, то система имеет одно решение » если
; если #6 = 1, но
а — — 6 4= ± 1, то
система имеет одно решение
1
а -ф ± 1, 6 Ф ± 1,
а ± 1, 6 =# ± 1,
ab 4= ± 1, а =/= ± 1,
то система имеет
то система имеет
6 ± 1, то данная
одно решение
одно решение
2#
1 4- а2
2а \
14-а2 Г
если ab =—1,
если # =£ ± 6,
система эквивалентна следующей:
* + у = -гг^-(1+*Л
26 z,
Х-У^ (1-Л7);
(1)
(2)
из уравнения (1) следует, что
х 4- У + 1 + ху (1 + ху) 4- 1 4- ху,
\-^ху — х — у = \-\-ху— Y-^Уг- С1 + -*>’)
470 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
или
(1+л)(1 + у)= -(! (1 ~ -v) (1- У) = (1 + *У)-
1 -j* L4 1 "j" С4
Заметим, что в решение не может входить х = 1 или у = 1, или такие х и у, что
ху = — 1 (ибо если х = 1 или у = 1, то а = 1, если же ху = — 1, то знаменатель
первого из уравнений равен нулю); поэтому все решения данной системы будут
удовлетворять уравнению
(1 +х) (1 + У) _/1+д\2.
(1-х)(1-у) "\l-aj ’ W
аналогично
(14-х)(1-у) / 1 + Ч2 ...
(1-х)(1+>) W
1 + л- (14-й) (1 + 0 а + Ь
следует, что ± ; отсюда
1л /п а — b I—аЬ
Из (I) находим: у} — ----г , у2 =----г~ • Эти значения х и у
v I —ab а — b J
и уравнению (2) (это нужно проверить, так как применяемый здесь
Из (3) и (4)
1 -4- ab
*2“ д + ft '
удовлетворяют
метод решения приводил к необходимым следствиям из данной системы; в резуль-
тате могли появиться пары значений х и у, не являющиеся решением данной
системы). 19. Если а = О, b + 0, то система несовместна; если а3 — Ь3, но а + Ь3,
то система несовместна. Если а = b =0, то все решения (± i, X), X— любое число,
6 __________________________ /I \
причем X =/= 0 и X =/= |/ — I; если а = I, b3 = I, то все решения (X, X) и (у , XI,
б _____________________________________________________________
где Л — любое число, отличное от 0 и любого из значений ]/ —I; если а--— I,
Ь3 = — 1, то все решения (— X, X), I— -у , X1, где X — любое число, отличное от О
u 6 _______________________
и любого из значений у — 1. Пусть теперь а3 + Ь3 и а + Ь3. Тогда решения:
' / д /2 (^ — Ь3) + /2 fib3 — а3 — аЧ3) /2 (д — ft3) + /2 (&3 — 2д3 + д) \
\ 2/д3 — Ь3 2 /д3 — Ь3 / ’
/ дУ~2 (д — ft3) — /2 (2ft3 — а3 — д2&3) /2(д —&3) + /2(ft3 —2д34-д) \
\ 2/д3 — Ь3 2 /д3 — ft3 / ’
/ д/2(д — &3) + /2 (263 — д3 — д263) /2 (д — ft3) — У 2 (ft3 — 2д3-f-д) \
\ 2/д3 —ft3 2 Уд3 — ft3 /’
/ д/2(д—ft3)—/2(263 —д3 —д2й3) /2 (д — &3) — /2 (ft3 — 2д3 + д) \
\ 2/д3 — Ь3 2/д3 —ft3 /’
— д /2 (д — ft3) + /2 (2ft3 — д3 — д2й3) —/2(д —ft3)yy2(ft3 —2д3 + д)
2 /д3 — Ь3 2 /д3 — Ь3 J
— д /2 (д — ft3) + /2 (2ft3 — д3 — а?Ь3) —/2(д—ft3)4-y~2(ft3—2д3Н-д) '
2/д3—ft3 2 /д3 — ft3 >
— д /2 (д — ft3) + /2 (2ft3 — д3 — д2й3) — /2(д —ft3) —/2(ft3 —2д34-д)
2 /д3 — ft3 2 /д3 — ft3
f — д/2(д — ft3) — /2 (2ft3 — д3 — д2й3) — /2(д — ft3) — У 2 (ft3 — 2д3 + д)- '
L 2/д3 — Ь3 2/д3 —ft3
если только ни одно из значений для у не равно У — 1; если же среди указанных
пар чисел будут такие, для которых у6 = — 1, то эти пары чисел следует исклю-
чить (они тогда не являются решениями).
§ 7. Системы рациональных уравнений с несколькими неизвестными \
1. (О, 0,0), (1,2, 1),(2, 1, 1), 1—I)’ I' ’+/ I’ !)•
2. (9, 3, 1), (1, 3, 9). 3. (4, 3, 5), (—4, —3, —5), (3, 4, 5), (—3, —4, -5),
(7 + /ИЗ), 1(7-/ИЗ), 9], [1(7-/ИЗ), ^-(7 + /ПЗ), э] , -
Ответы. § 7. СИСТЕМЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 471
[-у(7 + /НЗ), |(-7 + /113). - э] , [1 (-7+/113), _1(7 + /113), -9].
4. 12/-ПР 'У-®1)' (~т№к ~12/ттт’
- 12 1/ ф). 5- 0- °- °)> (°- t °)- (°- °- 1)- 6- (5- —2> —3). (—5- 2. 3), (2, —5, 3),
(-2, 5. -3). 7. (О, 0, 0), (-1, -1, 0), (2, 2, 6), (1, 1, -|), (фф,
1), (фф, фф, 1). 8. (0, о, 0), (-1, -1, -1), (1, 1, 1),
(1, - t-ф), 0-1. -ф 1), (1. —1 —t ф), (-Z-1. ф, 1).
(- ф. 1, -1ф,(—ф-, 1. -1-z). 9. (|/б-1, у/б-1, /6-1),
/6-1, /6-1, -/6-1). 10. (0, 0, О), (1, 1, 1), (-1, 1, 1), (1, -1, 1)(
(1, 1, -1). И. (1, О. 1). (1, -1- О- <7> 2, 1), (0,0,0), [(1 + /2)3, 1+/2, 1 +/2 J
[(1—/2)3, 1— /2, 1 —/2].
12. (О, 4, —1), (—2, 2, —3), (2, —2, 3), (0, —4, 1),
5/3 + /19-. —/3 + /19. — 4/3 + /19 .'
3 3 1" 3 1.
5/3 —/19 z —/3 —/19 . 3 1' — 4/3 —/19 3
^-5/3 + /19 . /з + /14. 3 1' 4/34-/19 . 3 ‘
(-5/3-/19 . /з—/йГ. з 1> 4/3 —/19 . з 1
13 Указание. Левые части выразить через основные симметрические функции
от’ х, у, г. Ответ: (1, -1, 2), (1, 2, -1), (-1, 1, 2), (-1, 2, 1), (2, 1, -1), (2, -1, 1),
(Г 1 , /473 2 ‘ 54 ф_± ф г 2 /473 -i1/ 54 ’ Ч+Ч^-+у ч- /473 54 J
1Г_±+ г 2 1 ffle2 + 17 - 54 г 1 /473 \ 2 54
г 1 , /473 2 54 +/-1- + У 2 /473 -.у _1+/47з;е f 2 "Г 54 -1- V ч- /473- 54 £’
1Г-14 2 1 1 /473 Л 2 54 £ / ’
1 /473 2 ‘ 54 8/~ . £ + Т — 2 /473 . 54 ’ 1 У 1 . /473 . -.7 2 * 54 1 2 /473’ 54 1
/ч+ /473 £2ф_ 1 /473 \ 2 54 J’
(/ч + /473еф 1 54 1 /473~ 2 54
^3/~ 1 । /473 2 + 54 +/ч- -Ч1- V 'Ч+ЧЧ/ 1 2 /473 \ 54 / ’
(/ч +4^-+^ 1 /473 2 54
з/~ 1 . /473 2 + 54 £' / 473 2 л/ 54 Е ’ У Г_1х /473 -.7 2Г 54 1 V 1 2 /473 \ 54 / ’
472 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
1 I У'473 2 1 л/~ 1 V"473 лУ~ 1 , /473 , 1Z" 1 V473’
2 "г 54 е ' ' 2 54 £’ * "2 ' 54 ' 2 54
у j у j- У473 \
У + ~2 54“е/’
—-4^- и. (44 т)-
.3, (2 + ,-/4 2-1/’), (2-,-/’. 2 + 1/1).
[1(-2+Ks-±/'|+‘4- 4(-2 + /3 + 4т + 44]'
[1(-2-/5±/4/6-1). 1(_2-/3+/|Л 4/6-4)].
16. Указание. Положить у z = a, z-f-x = $, х + у — у. Ответ: (О, О, 0)
(0,0,3), (0,2,0), (1,0,0), 17. (О, 0, 0), (-1, -2, 3),
/ 13 13 39\ с v D
I--=-,----77.-, -уу- . 18. Указание. Ввести еще одно неизвестное а = х 4- у—г.
\ О 10 Ю /
Ответ:
/_£
\2 '
2 ’
-
2’2/
/ 39 1 1 \ / 39
19‘ к /153 ’ /153 ’ /153/’ \/153 ’
(1, 1, -1), (-1, -1, 1),
/ТТ (/883 — 29) _ 2/ТГ
/1980 — 64 /883 ’ / 1980 — 64 /W ’
/П(—29 —/883) _ 2/ТГ
/"1980 + 64 /883 ’ /1980 + 64 /883 ’
1 _ 1 \
/153 ’ /153 Л
/И \
/ 1980 — 64 /883/
/11
/1980 + 64 /883
20. Указание. Сложить все данные уравнения, затем из первого уравнения
вычесть второе, из второго третье, из третьего первое и воспользоваться тожде-
ством (у — г)2 -j-- (z— х)2 (х — у)2 = 2 [х2 4-у2 + — (У2 + 2Х 4- *у)]; тогда
9.9,9 , . / 10 1 8 \
легко определить х2 4- У2 + -г2 и yz 4- zx 4- ху\ ответ: ~у— » —у4Г/
(-#• -/' /)'(4-3-2)- (-4' -3' -2)-2|- °- ~1-2)- <1-2'-,)-
(—1, 1, 2), (2, 1, —1), (—1, 2, 1), (2, —1, 1). 22. (1, 2, 3), (2, 1, 3), (з, 6, i).
(б. 3. j), (1, 3, 2), (3, 1, 2), (2, 6, 4), (б, 2, 1). 23. (1, 2, (1, 2),
,= /_/ 7 3 \ / 23 23 23 \ (5 8 3 */'8_ £ 4 Г 8 \
5‘ \20 ’ 20 ’ 20/ 28, ( 10’’ 6’2 /’ 27‘ \2 V 15"’ 2 Г 15е’ 2 V 157
± 1, e= ± I. 28. (-4=, 4=> 44- (-7=>-----U,----М- 29- (4- 5- 6).
\ /2 /2 /?/ \ /2 1' 2 /2 /
(^. “.-!). 30. (1.3.1). (1.4.з).(з.1.1).(з,1.1).(1.з.1).
(1.1.3). 3,.
Выразить х, у и z через xyz. Ответ: (0, 0, 0),
3, —
—3, 1J. 32. (0, Ю, 0).
1)’ °-
33.
j[
2*’
!.-1.
(0, х, 0), (0, О, X),
где X — любое число.
Ответы. § 7. СИСТЕМЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 473
34. (-Дх, -]L=, , (--,-------- ,--. 35. (О, 0, 0), (1, —1, 2).
\/15 /15 /15/ \ /15 /15 /15/
36. (2, 1, 3), (—2, —1, 3), (2, —1, —3), (—2, 1, —3). (X, 0, 0), (О, X, 0). (О, О, X),
где X —любое число. 37. (2, V 3, /э), (2, /Зг, /§"/, (2, /Зе2, /бе),
(2е, /з; /9е2), (2г2, /з? /9 е), (2г. /Зе2, /9), (2е2, /з г, /э), (2г, /Зе, /9 г),
/). (2г2, /3 г2, /9 г2), (/1 г2, - г2, / J г2) . 33. (2, -3, 4),
(2, 3, -4), (-2, 3, 4). [-J (1 + I /П. 1 + г /7. 2 (1 + I /Г)] , (1 - i /7),
1 — i /7, 2 (1 — I/7 )j . 39. (10, 8, 2, 5). 40. Указан и е. Из данных уравнений
нетрудно определить основные симметричные функции от четырех переменных х,
п ло . Л . 34-/5 3 — /5\
у, г, и. Данная система имеет 48 решении: ^Z, —i, -----------.
( . 3-/5 3 4- /5\ / 3-/5 . 34-/5\ , ол
U — -------2---’ —~2----/ ’ V ----2---’ Л —~2------/ и т’ д’ (все 24 пере’
становки) и еще:
[1(з +//145 + 10 4- /(/5 4- //145— К))),
1 (з — //145 4-104- i(/5 — //145—ю)),
/ (з 4- //145 4-Ю — / (/5 4- / /145 — ю) ),
4 (3 - //145 4-Ю -1 (/5- //145-10) )]
и т. д. (все 24 перестановки). 41. z4 г, —/4 г, —/4г^, г = 1,
— 1 ± I /3 ло , 1
или е =-----«—-—. 42. х{— любое число, не равное нулю, х2 =—, х3 == хь
2 A'i
х4 =—.......х14 =—> xI5 = xP 43. Складывая почленно второе уравнение
Xj xt
гг П а п Ь
с третьим и вычитая первое, будем иметь х ==^у, аналогично ул
zn = . Данная система уравнений (1) эквивалентна системе:
а п b п с
---- уП гП
xyz J xyz----------------xyz
(2)
В самом деле, соотношения (2) следуют из соотношений (1); обратно, если выпол-
нены соотношения (2), то имеем
у" 4- у* =
ь 4- с
xyz ’
аналогично выводятся
лентна такой:
второе и третье из соотношений (1). Система (2) эквива-
’п =.а~~.
xyz ’
уп = —
xyz
и с . .и abc
zn == ----, (xyz)n = --------гтг
xyz V (xyz)3
(3)
474 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
В самом деле, соотношения (3) следуют из соотношений (2); обратно, если выпол-
нены соотношения (3), то будут выполнены и соотношения (2), так как соотно-
шения (2) — это первые три из соотношений (3). Система (3) эквивалентна сле-
дующей:
„ л
хп =--------------
xyz
У‘
= ..Л..
xyz
zn =
с
xyz
1_________1_
(xyz)n+3 ~ abc ’
(4)
или
„ я
п________
xyz '
Уп
b
xyz ’
..
xyz ’
где £ — любое из п -|- 3 значений корня
степени
1 _ E
xyz ~ Л + 3 ___’
У abc
n 4~ 3 из 1, т. e. £ =
cos
л + 3 ,
Уabc рассматривается здесь
ствительнбе положительное число. Система (5) эквивалентна следующей:
Е
72+3
У abc
4-Zsin-^Z a fc = 0, 1, 2, /г 4-2,
n + 3
__ аг
л + 3
У abc
==___-____
Л+3 ___
У abc
Из первых трех уравнений этой системы находим:
.п_____
у /г + 3_________
У abc
1
xyz
(5)
2kn
72 4~ 3 '
как деи-
(6)
b
У abc
а " г- а
л+з V г = Ъ+з........... ’
У abc У abc
где А, у., v — корни степени п (п 4- 3)
. 2piz
X = cos —
п (п 4- 3)
2q~
у- = cos —7—4- I Sin —7 7-^- ,
г п (п 4- 3) 1 п (п 4- 3)
2гг 2гг
V = cos--7--4- 1 sin —7---i—oV »
п (п 4- 3) п (п 4~ 3)
где р, q, г принимают значения 0, 1, 2, 3, ..., п (п 4- 3)—1.
1 £
еще выполнено соотношение ----— , а
У abc
п + 3
У abc 1
С Хи.
У = ’
из 1, т.
1 sin
е.
2р~
п (п 4- 3)
2qn
с
л+3
У abc
Так как должно быть
1
__________ 1 '
fl+3____ Xpw *
У abc
то должно быть Х|г?==-|- или (Хрсг)72 ’3 = 1, ибо £ есть любое значение корня сте-
пени п 4- 3 из 1. Из последнего соотношения находим
rcos (р + ? + г>2тс
L п (п 3)
или
. . (р + ? + г)2я 1я+3 ,
4- / Sin 1... 7----I = 1
72 (72 4- 3) J
т (р + , + г)^
п
+
. . (/?+? +Г) 2г.
I sin --L--- — j;
п
значит, p-^-q + r равно 0 или
данной системы:
/г,
или 2тг и т. д.
Таким образом, все решения
cos
2^- . .
—;—4- z sm
72 ( 72 -j- 3) ‘
п
У =
cos
4~ I sin
п (п -j- 3)
г =
cos
2rr , t . 2/-r \
/2 (72 4- 3) T 72 (72 4- 3) J’
Ответы. § 8. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ 475
где радикалы рассматриваются как действительные положительные числа, р, q, г
принимают значения: 0, 1, 2, 3, п (п + 3) — 1, причем p + q + r должно быть
равно одному из чисел 0, п, 2п, Зп, ... 44. Решение: &-ое уравнение системы
можно переписать в виде (будем считать п >2) х\ — xks — k (k + 1) s2 —
c S2
— (2k + l)2a2 = 0, где s = xt -J-x, + • • • + xn или xk = у - (2^4-1) у --a2=
— JL ± у s2— 4a2; складывая почленно эти уравнения, получаем
5 ~ А |/ ---a2 (1), или (2 — п) s = A Vs2 — 4а2, где А = ± 3 ± 5±7 ± ...
... ± (2а + 1) (со всевозможными наборами знаков). Из (1) для выбранного набора
4а2А2
знаков (следовательно, для фиксированного А) находим s2 = --то---, если
только А2 + (2 — п)2 [случай А2 = (2 — п)2 возможен;
4-7 + 9—11)2 = (2 — 5)2]; в случае А2 + (2 —а)2,
г~----— 2a (2— а) 2Аа
у s2 — 4а2 = / - и значит s = ~7^============z.,
/Х2— (2—п)2 /Х2—(2—п)2
Л2 —(2 —n)2 ’
пример: n = 5, (— 3 — 5 4-
, . „ 4a2(2 —n)2
52-4д2= л?--(2--и)2 ’
— aA ~ +1) Д (2—n)
Xk~ /X2—(2 —n)2 ’’
k = 1, 2, .... nt причем из двух знаков ± берется тот, который выбран для А,
а для радикала берется одно и то же (любое) значение. Система имеет столько
решений, сколько существует значений А == ± 3 ± 5 ± 7 ± ... ± (2п + 1) таких,
что А2 Ф (2 — и)2.
§ 8. Системы рациональных уравнений с несколькими неизвестными,
содержащие параметры
1. Если 62 + с2 + а2, с2 + а2 + ^2, а2 + 62 + с2, то система имеет два решения:
У(62 4- с2 — д2) (С2 4- й2 — Z>2) (а2 ^2 — С2) у (62 g2 _ д2) (с2 д2 _ ^2) (д2 _ £2)
(62 + с2 — а2) /2 ’ (с2 + а2 — Ь2) /2
/(62 -4- С2 _ Д2) (С2 д2 _ 62) (д2 4, 62 _ с2) ~1
(д2 4. 62 — С2) /2 ] ’
причем во всех выражениях берется одно и то же значение радикала; если
а2 ц- Ь2 = с2, но а + 0 и b + 0 — система не имеет решений; если а2 + Ь2 = с2,
a = 0, b + 0, то решением служит тройка чисел (О, -у-, XI, где X — любое число,
не равное 0; если а2 + b2 = с2, a + О, b = 0, то решением служит тройка чисел
о, XI, где X — любое число, не равное 0; аналогичны выводы в случае
Ь2 + с2 —- а2 и с2 + а2 = Ь2; если а = b = с = 0, то решениями служат тройки чисел
(X, 0, 0), (О, X, 0), (О, О, X), где X — любое число. 2. Решение. Если дана система
уравнений вида
/i(a, у, г) = а, /2(а, у, г) = £, /з(а, у, г) = с, (1)
то следующая система уравнений:
/1+/г — /з = а 4~
/1—Л+Л — л — bс, (2)
— /1 +/г +/з = — a + b + с,
будет эквивалентна системе (1). Для заданной системы уравнения (2) принимают вид
А'2 + (у — -г)2 + У2 + (а — г)2 — г2 — (х — у)2 = а + b — с,
а2 + (У — г)2 — у2 — (я — г)2 + z2 + (х — у)2 = а — b + с,
— а2 — (у — г)2 + у2 + (х — г)2 + г2 + (л — у)2 = — a + 6 + с,
или
(х + у — г)2 = а + b — с, (х — у 4- г)2 = а — b + с, (— х + у + г)2 = — а + b + с.
Эта система эквивалентна следующей:
х + у — z s! ]/a + b — с,
х — у + z = г2Уа — b + с, (3)
— х + у + z = £3 У— d + Ь + с,
476 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
где еь е2, £з принимают значения 41 и —1, а под каждым выражением Ya-\-b — с,
Ya — b с, Y— а-\- b -j- с понимается любое из двух значений квадратных ради-
калов. Система (3) при фиксированных значениях еь е2, е3 имеет единственное
решение:
х = Ya~h b — с -\-t2Ya — b 4- с\
У == 2'(£iV<а + b — с-)-£з Y— а + b 4 с\ (4)
z — ~2 (£2 Ya — 6 4- с 4- г3 Y— а 4~ b 4- с).
3. Если а + 0, Ь^О, с ф 0, —1+4-4-1^0, 1— 4 + 1 + 0, 1+4-1 + 0,
а'Ь'с а Ь ' с а ' Ь с
то система имеет два решения (соответственно двум значениям радикала):
Система не имеет решений, если а = 0, Ь 4= 0, с 4= 0, или а 4= 0, Ь 4= 0, с = 0,
или а =4= 0, b = 0, с =4= 0» или а = Ь = 0, с =4= 0, или Ь = с = 0, а 4= 0, или с = а = 0,
Ь =4= 0; если а = Ь == с = 0, то решениями являются тройки чисел: (0, X, р.), (X, 0, р),
(X, р., 0), где X 4= 0, р. 4= 0, X 4- р- 4= 0. Пусть теперь а 4= 0, Ь 4= 0, с 4= но
1 , 1 , 1 1 1 , 1 Л 1,1 1 Л
Н 4 = 0 или г 4 = 0, или-4 ~7~-----= 0; в этом случае
а--------------------------------------------------------------------' й '-с а-b '-с abc
система решений не имеет. 4. Если а 4= О, Ь 4= 0, с 4= 0, то система имеет два
Г , 1 / ас . ab be \ , 1 / be , ab са \ , 1 / са . cb ab
решения: ± ту 4--------------> ± ту —-4----------у- > - о -------------->
L 2 \ Ь ' с а / 2 \ а ' с Ь ) 2 \ Ь ' а с )]
причем должны быть взяты одновременно все верхние или все нижние знаки; если
равно нулю только одно из трех чисел: а или Ь, или с, то система не имеет
решений; если Ь = с = 0, но а 4= 0, то все решения (±Уа24"У2» У. —у), где
у — любое число; если с = а = О, Ь 4= 0, то все решения (х, ±Ух24"^2, —*)»
где х — любое число; если а = Ь = 0, с 4= 0, то все решения (х, —х, ±Ус24-*2)»
где х — любое число; если а = Ь = с = 0, то решениями будут (— X, X, X), (X, — X, X),
(X, X, —X), где X — любое число. 5. Если а 4~ Ь 4- с = 0, но хотя бы одно из чисел
а, Ь, с отлично от нуля, то система несовместна; если а = Ь = с = 0, то система
удовлетворяется любой тройкой чисел х, у, г, в сумме составляющих нуль:
х + У + z = 0; если, наконец, а 4- b 4~ с 4= 0» то система имеет два решения:
а Ь ____с
Ya+b + c' Ya-\~b-\-c* Ya-^b^c
соответственно двум значениям радикала Yа + b 4" с. При этом во всех написанных
выражениях надо брать одно и то же значение радикала. 6. хх = 0, У1 = 0, г, — 0;
если b 4- с 4= 0, с 4- а 4= 0, а 4- b 4= 0, то система, кроме того, имеет единственное
решение:
2bc 2са 2аЬ
х2 =-----z—•— , у 2 =-----;— , =------->
b -[-с с + а а-\-Ь
если, хотя бы одно из чисел Ь 4- с, с-\-а, а-\-Ь равно нулю, то это решение
отпадает, но есть другие (уже независимо от ограничений на а, b и с): х = 0,
Ответы. § 8. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ 477
у = 0, z — любое число; х = 0, у — любое число, г = 0;х—любое число, у = 0,
z = 0. 7. Если д2 4- 62 ~Ь с2 ¥= 0. то система имеет два решения:
/ + 62 + С2 — О2 + С2 + Д2 — 62 + д24~62 —с2 \
\ /2 /д2 + 62 + с2 ’ ~ У2" Уд2 + 62 + с2 ’ ~ /2 /д2 + 62 + с2 / ’
где должны быть взяты одновременно все верхние или одновременно все нижние
знаки (значение радикала во всех выражениях — одно и то же); если а2 -4- Ь2 с2 = 0,
но хотя бы одно из чисел at Ь', с не равно нулю, то система несовместна; если
а = b = с — 0, то решением служит любая тройка чисел х, у, z, такая, что х -|- у 4-
4- z = 0. 8. Если а — 0, решений нет; если а 0, но ab = 2, то система имеет одно
/ а а а \ , л . . п
решение ( Ь если а =£ 0 и ab ф 2, то система имеет два решения:
/ ab + 2 ± Уд2й2 — 4д* 4- 20 д ab — 6 гр Уд2&2 — 4д& + 20 \ .
V 4 (ab — 2) ’ 2 ’ а ^(ab — 2) } ‘
9. Если д* -|- bk + ck = 0, то система решений не имеет; если д* 4- -|- ck ф О,
то система имеет п3 решений:
/ п/ ~k пГ п/ ~k \
\ ]/ ak + b* 4~ ck ’ ^'lfl |< ak 4- Ьк с}г' С ?/2 у ak bk ck) ’
, п г-
где Хл. р-л» vn — любые значения у 1, а под радикалами понимаются какие-нибудь
фиксированные значения (из п значений). 10. Решением служит любая тройка чисел:
d (У а'К 4~ & И + / с ) zZ (У Д X 4- У Ьр 4~ У"с v ) d (/+ V 4~ /с 41 )
X / a р-У b с /
при условии, что х/д 4~ pYbJryYc^=O ^Х, р, v принимают независимо друг
1 -1 ±//3\ о .
от друга все значения у 1, т. е. 1 и --—\. В общем случае система имеет,
следовательно, 27 решений. 11. Если b =/= 1, то система имеет шесть решений:
(О, z/д, —iYа), (0, —j-У a, iY д), (/ У а, 0, —lY а\ (—iYa, 0, iY а\ (iYa,
— iYа, 0), (—iYa, iYа, 0)‘> если b — 1, то, помимо этих решений, система имеет
еще решения, являющиеся любой комбинацией корней Хь Х2, Х3 кубического урав-
нения X3—/?Х24~дХ — = где р — любое число (система имеет, таким образом,
бесконечное однопараметрическое множество корней). 12. (д, Ь, —b), (а, —Ь, Ь),
<». а.<». - Ь,»). (-».«. »>. <-».». «>. .3, (11552. ,i55v).
где значение радикала одно и то же; X, р, \ — значения У1, причем X, р и
должны выбираться так, чтобы Xpv = 1, т. е. допустимыми комбинациями являются
лишь следующие:
1 1 1 -! + *У з 2 — 1 — z У з 2 -1 + /У з 2 — 1 — /У з 2
1 -1 +1У з 2 — 1 —/Уз 1 1 — 1 — z У з -14-/УЗ
2 2 2
V 1 — 1 — z Уз — 1 4-z/з — 1 — i У 3 1 + /Уз 1 1
2 2 2 2
— система имеет 7 решений. 14. Если а 4- b 4- с =/= 0, то система имеет одно реше-
( be са ab \ , , , А
ние: ---:----, —:—;—, —г-,—;если а 4- b 4- с = 0, то система не имеет
\a-\-b-yc а-\~Ь-\-с а-]-Ь-\-с)’ 1 1
1- ( 1 < У/~—а, -]- ЬЦ- с . 1 . , _13/~а — Ь — с
решении. 1э. I — 1 4- J/ ----g—!--F ь — 1 ~г у ----g-----И 1» — 1 4-
, УГ а b — с . Л
4- I/ —1 + lb где для каждого радикала берется люоое из трех значении.
478 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
16. (X, 0, 0), (О, X, 0), (О, О, X), где X — любое число; если a -f- Ь 4- с = 0, то система
о / X X X \
имеет, кроме указанных решении, еще решение ( —, —), где X — любое
\а о с /
число; если а + b 4-с 4= 0, но хотя бы одно из чисел — а-^Ь -{-с, а — 6 4- с,
а 4-6— с равно нулю, то система имеет только решения (X, 0, 0), (О, X, 0), (О, О, X);
если а 4~ b 4- с Ф 0, — & 4- 6 4“ с* ¥= О» а — 6 4~ с ¥= О, а-}- Ь — с^О, то все реше -
ния системы: (X, 0, 0), (О, X, 0), (О, О, X), где X — любое число, и еще одно решение
(—„ г\ 1 „ > "Z-----ГТ/ > Т ~1-----/V 17« Если я = 6 = с = 0, то все решения
\ — а 4~ 6 4“ с я — 6 4- с — с /
(еХ, е2Х, X), где X — любое число, а е— любое из значений у 1; если хотя бы одно
из чисел а, Ь или с (например, с) не равно нулю, но а2 — Ьс = Ь2 — са — с2 — ab — О,
( Зе2х2 ех _/ Зе2х2\
то все решения системы: ----± у С£---------4—»-----2~ г С£---------4—)’
?.— / Зе2х2
где е— любое из значений у 1, а для радикала у сг---------— берется в выраже-
ниях для у и z одно и то же значение; если я34-634~£3— Зя5с = О, но хотя бы
одно из чисел а2 — Ьс, Ь2 — са, с2 — ab отлично от нуля, то система не имеет реше-
ний; если, наконец, я3 4- 634-с3— Зябс 4= 0, то система имеет два решения:
а2 — Ьс
У а3 4" 63 4" с3 — ЗаЬс
Ь2 — са
У а3 4" ^3 4" с3 — ЗаЬс
— ab
У а3 4- Ь3 4- с3 — ЗаЬс
одно решение: (0, 0, 0); если а 4= О, Ь ф 0, но а2 аЬ 4-
имеет два решения: (0, 0, 0) и (а 4~ Ь), — (а 4- Ь),
Ф О, Ь 4=- 0, cl2 4- ab 4- Ь2 Ф 0, то система имеет три реше-
аЬ {За3 4- 6я26 4- 9а62 4- 563 qz R)
где для радикала берется любое из двух значений, но одно и то же в выражениях
для х, у, z. У к а з а н и е. Из данных уравнений следует, что сх ау-\- bz — О,
Ьх 4- су 4- аг — 0 и т. д. 18. Указание. Положим х — а2, у = ₽2, z == у2; тогца
получим ± су ± аа ± бр = 0; определяя отсюда су — ± аа ± Ь$, первое уравнение
системы запишем в виде (а ± а)2 = (р ± Ь)2 и т. д. Ответ: [(6 4~ с)2, {а — с)2, (6 4~ я)2],
[(6 —с)2, {а — с)2, {Ь — а)2], [(6 —с)2, (а 4- с)2, (Ь 4- а)2], [(6 4- с)2, (а— с)2, (6—я)2];
если {а 4- с)2 = Ь2, то система имеет еще решения [(X 4- с)2, X2, (X — л)2], где
X — любое число; если {а — с)2 — Ь2, то система имеет еще решения [(X 4- с)2, X2,
(X 4~ я)2], гДе — любое число. 19. Если а — Ь — 0, то все решения: (О, О, X), (О, X, 0),
(X, 0, 0), (X, X, X), где X — любое число; если а = 0, 6 4= О или а 4=- 0, 6=0, то
система имеет только
4- б2 — 0, то система
2а (Н6)2]
— -т- -—Н4- ; если а
Ь л 4-26 J
/л л м\ .. I °? + — аЬ2 — 63 ± R
ния. (О, О, О) и g (д.2 + аЬ J2) • 2 (а2 -\-ab-\- Ь2)2
— а R} \. где /? = /a6+4a^4-10a^2+12a3&3+13<z26^+10a/,5+*e-
26 {а2 4- ab 4~ Ь2) /
20. Если а — 6 — с — 0, то все решения системы: (О, X, pi), (X, 0, pi), (X, pi, 0), где X и
у. — любые числа; если а — Ь — 0, с Ф 0 или 6 = с = 0, а Ф 0, или с — а = 0, 6 4= О,
или а 4=- 0, 6 = 0, с 4= 0, или а ф 0, 6 =/= 0, с = 0, или а — 0, 6 4= 0, с 4= 0, или
а 4= 0, 6 4= 0, с 4= 0, 4- О* то все решения системы: (X, 0, 0), (О, X, 0),
(О, О, X), где — любое число; если а =4= 0, 6 =4= 0, с =£ 0, ~ 4~ + ~^2 О» но
(^ + ^)(^ + т2“)(^ + Тг) = 0’ то все Решения системы: (х> °. °). (0.0),
(О, О, X), где X — любое число. Наконец, если а =4= 0, 6 ф 0, с =4= 0, b О,
4 + F ^ °’ °' 4" + 'Ъ2 °’ Т0 Все Решения системы; (X, 0, 0),
(О, X, 0), (О, О, X), где X — любое число, и еще два решения:
21. ---4V о] , [а(1--4-Y a(l+-4=-Y°L 21 22- Если
[ \ ^/2/’ \ /2/ J И /2/ \ /2/ J
(— а ь 4- с) {а — 6 4~ с) {а Ц- 6 — с) = 0, то система не имеет решений; если
Ответы. § 8. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
479
(— а + Ъ + с) (л — b 4~ с) (а + b — с) 0, то система имеет решения:
("2* а — b сУ а b — СЕь “j V"— а 4“ b + с Уa -j- b — се2.
~2 У а — b 4“ с У— а 4“ 4~ с £з \)
где для радикалов У—а-\-Ь-\-с, У а — b с, Уа-}-Ь— с берутся фиксированные
значения (любые), а еь е2, £з принимают значения 4-1 и —1, причем е1е2£з == 1,
так что для еь е2, ез возможны следующие комбинации значений:
£1 1 1—1 —1
е2 1 —1 1 — 1
Е3 1—1—1 1
23. Система несовместна, если выполнено одно из следующих условий:
я — О, b == 0, с Ф 0;
а = О, b =4= 0, с = 0;
а 4=- О, b = 0, с = 0;
а = О, b = О, с = 0;
с = 0, а Ь,
b = 0, а Ф с,
а~0, сф Ь.
Если а == О, b = с 0, то все решения системы: (—аУ а2Ьа, а — У а2 — Ьа,
а 4~ ]Лх2 — Ьа), где а — любое число, не равное нулю; для каждого радикала берется
любое из двух значений, но одно и то же в выражениях для у и г; если 6 = 0,
с = а =£ 0, то все решения системы: (р — У ft2 — а$, — ₽ 4“ У?2 4~ р 4~ V₽2 — #₽)»
где 3 — любое число, не равное нулю; для каждого радикала берется любое зна-
чение, но одно и то же в выражениях для х и z. Если с = 0, д = Ь =£ 0, то все
решения системы: (7 — У у2— by, y-f-Уч2—by, —7 4"Vy2 + ^y)> Еде Y — любое
число не равное нулю; для каждого радикала берется любое значение, но одно и
то же в выражениях для у и х. Если а О, b =^= 0, с Ф 0, (— а 4~ Ь 4~ с) (а — Ь 4~ с) X
X 4“ — с) — 0, то система не имеет решений. Если а 0, 6^0, с О,
(— a -j- b 4- с) (а — b 4- с) (а 4- b — с) =4= 0, то все решения системы:
/6/г . , /с Va
X “ — (I ’.-з^—r ———£ [ 4“ ........ — —-7-7— £ 2 -р
У а— Ь-\-сУа-\-Ь— с У—а 4~ b 4~ сУа 4~ Ь— с
|г
Ya — 6 -f- с У — а-\- b [- с
Y 7 Yc , Y« ,
у — а -;т £] — Ь .. р: г 'т~" у".:..::-—;;-1-——=zrr:—- £2 4“
У а — b -^-сУ а b — с У — а 4- Ь 4~ с Уа 4- b — с
, с________YaY~b
У а — b + с V — а-\- b -}-с
YWc , ь Y^Ya
Z ~ а — -: с j 4~ 6 7~~. --------- — —~—тг. ' £2 ~р
У а — Ь 4~ с У а 4- b — с У— а 4- b 4~ с У а 4- Ь — с
, „ YaY~b
4- С —-----—-------- --£3,
У а, — b 4- с У— а 4~ 4~
где для шести радикалов выбраны любые фиксированные значения, а г2, е3
принимают значения, указанные в следующей таблице:
£j 1 1—1 —1
£9 1 — 1 1 —1
£3 1—1—1 1
24. У к а з’а н и е. Из данных уравнений следует: ay 4~ bz 4- сх = 0, az2 4- bx2 +
с у2 = 0. Данная система эквивалентна следующей:
ay 4~ bz 4- сх = 0,
az2 4- bx2 4- су2 = 0, (1)
у3 — z2x = Ь.
480 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
В самом деле, эти уравнения следуют из данной системы; обратно, если выполнены
эти соотношения, то из двух первых находим (в силу у3 — z2x —6^0; а: b \с =
= (х3 — zy2): (у3 — z2x): (z3 — х2у), и так как у3 — z2x = b 0, то х3 — zy2 = а
и z3 — х2у = с. Из первых двух соотношений (1) в случае Z>3 + с2а =£ 0 находим:
— са2 + bR —ab2 ± cR п лг-----------------
х — --у, z = —гч—;—5—, где /? = у — а3Ь — Ь3с— с3а, используя же
Ь3 + с2а Ь3 + с2а J
последнее из уравнений, находим решения:
(— са2 + bR)}/ b
Д/’(Ь3 -J- с2а)3 — (— аЬ2 ± cR)2 (— с#2 + bR)
________________(Ь3 + с2а)^~Ь______________
у"(Ь3 + с2а)3 — (— ab2 ± cR)2 (— са2 zp bR)
(— ab2 ± cR) frb
z ~ 1 . '" -------------- Е-
У(Ь3 -|- с2#)3 — (— ab2 ± cR)2 (— са2 qz bR)
где для кубического радикала Уb и кубического радикала
(£3 _|_ £2^)3 - (- afj2 + (-- са2 -j-
за-
берутся фиксированные значения, а е принимает все значения у 1. Это, конечно,
верно, если (Ь3 4- с2я)3 — (— я£24-с7?)2 (— са2 — bR) =£ 0, (b3 4- с2#)3 — (— ab2 -|- cR)2 X
X (— са2 4- bR) =£ 0. Если эти выражения равны нулю, система не имеет решений.
Если равно нулю только одно из них, то система имеет три решения, соответ-
ствующие неравному нулю из этих двух последних выражений. Если Ь3 4- с2а = 0,
/ b л \ . — 1 ± г/З
то решения системы: [ — э е, 0, у с е | , где е = 1, е =--------~, и в слу-
\ (м) /
чае 8я3#бс3 — (с3 4- Ьа2)2 (с3 — ba2) Ьс2 =£ 0 еще три решения:
____________(с3 — Ьа2) Ь2________£
8л3&6с3 — (с3 7 Ьа2)2 (с3 — ba2) Ьс2
2аЬ3с
у=.. - ..-.... . .
у8а3Ь3с3 — (с3 + Ьа2)2 (с3 — ba2) Ьс2
г _ (с3 + Ьа2) Ь2с £
}л8а3й«с3 — (с3 4- Ьа2)2 (с3 — Ьа2) Ьс2
, —1 + //3 „
где е принимает значения 1, ---------' 23. Решение: из данных уравнении
находим:
а2 4- (а 4- Ь)2 4- 62 = 2х 4- 2у 4- 2z, (1)
а2х 4- (а 4- Ь)2 у 4- b2z — yz 4- zx + ху, (2) (В)
а2х2 4- (а + Ь)2 у2 4- b2z2 = 0. (3)
Обратно: любое решение: х, у, z этой системы такое, что у z, z =£ х, х У
есть и решение данной системы, так как уравнения системы (В) получены из урав-
нений данной системы (А) сначала их почленным сложением, затем сложением
после предварительного умножения на х, у, z и после предварительного умноже-
ния на х2, у2, г2; остается заметить, что yz2 4- ху2 4- x2z—ух2 — zy2 — z2x~
= С?— >) (х — z) (х — у) ф 0 (см. задачу № 27, глава IV, § 1). Вместе с тем из
данных уравнений (А) следует:
а2 (а 4- Ь)2 Ь2
у — z ~~г z — х ‘ х — у
(4)
(у — z) (Z — X) Z ~ X (Z — х) (х — у)
(У — X) 4- b (у — Z) 0,
(а 4- Ь) у — ах — bz = 0,
(д 4- Ь) у — ах 4- bz.
Ответы. § 8. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ 481
Таким образом, все решения данной системы есть все такие решения
системы (В), для которых z 4= х, х У- Если а = b == 0, то система (В)
принимает вид: хуz = 0, yz 4- zx 4- ху = 0. Все решения данной системы
( —14-//3 —1 —//з'\ ( _1—г-/з —1 + //3 \
в этом случае: 1г----—, г, ---------g——z\, (г---------g----, z——g-------, z),
где z — любое число, не равное нулю. Если а = 0, b 0, то данная система не
имеет решений. Если а 4= 0, b = 0, то данная система не имеет решений. Если
а Ф О, b 4= 0, то уравнение (5) при помощи (3) может быть записано в виде
(ах)2 + ах • bz 4- (bz)2 = 0, откуда (6) bz = tax, где е == - - ^g- ——. Будем решать
систему (1), (5), (6), т. е. систему уравнений х + у + z ~ а2 4- ab + 62, (а + Ь) у =
= ах -j- bz, bz = tax. Если для двух указанных значений £ мы будем иметь b2 + %ab 4-
4~ е (а2 4~ 2аЬ) 4= 0, то для этих двух значений е:
~ ь(а + ь) № + а^ + £2)
Х ~~ Ь2 4~ 2аЬ 4~ е (а2 4- 2аЬ) ’
v = аЬ 0 + 1)(Д2 + ^ + ^2) (7}
у b2 + 2ab + t(a2 + 2ab) ’
_ га (а 4- b) (а2 4~ ab 4- Ъ2)
Z b2 4- 2аЬ 4- е (а2 4- 2аЬ)
Если для одного значения г выражение Ь2 4- %ab 4- е (а2 4~ %ab) ~ 0, а для дру-
гого— это выражение не равно нулю, то система (1), (5), (6) будет иметь лишь
одно решение соответственно тому значению е, для которого b2 4- 2аЬ 4-
4- е (а2 4~ %ab) 4= 0. Если, наконец, для обоих значений е выражение b2 + 2аЬ 4-
4- е (a2 -j- ЪаЬ) = 0, то система (1), (5), (6), а значит и данная, не имеет решений.
Решения (7) системы (1), (5), (6) будут решениями данной системы, если только
для значений х, у, z, определенных формулами (7), будут выполнены неравенства
у =/= z, z 4= х, х у, х + у 4-z ¥= 0. В самом деле, (7) есть решение системы (1),
(5), (6), но из (5) и (6) следует (3); из (5) следует (в силу z 4= у, х 4= z, у =£ х), что
_£!_ + (о + 6)! _^ = 0. (4)
у — Z Z— X 1 X — у
Система же (1), (3), (4) эквивалентна данной, так как (см. задачу № 27,
глава IV, § 1):
у2 _Д----1 хг --1---1---1--zt-----]---- у2----L_ z2------L_ х2 =
X — у Z — X ' у — Z у — Z Z — X X — у
= -2(x+y + z)^0;
значит, (7) будет решением данной системы тогда и только тогда, когда a2-j-ab
4- Ь2 4= 0, а 4- b 4= 0. b 4= ^а. Если а 4= 0, b -=j=- 0, по хотя бы одно из чисел а 4- Ь,
а2 4- ab 4- Ь2 или b — га равно нулю, то система не имеет решений. 26. Если
1 4~ а 4- b 4- с 4= 0, то имеется два решения:
(......1 ...............1_______. 1.............\
\/1 + а + b + с /1 + а + b + с У 1 + а 6 + с/
соответственно двум значениям радикала (во всех случаях берется одно и то же
значение радикала). Если 1 4~ b 4х 0, 1 4~ с 0, то имеется еще два решения:
/ / “1 + с / г+т~ Г 1+л + М.
\Г 14а-М’ Г 14" а 4- b ’ V 14-с /’
в первых двух случаях значения радикала одинаковы (но любые), значение для z
связано со значением х (и у) соотношением xz = —1. Если 14-#4~£“14-с”0>
то взамен этого решения система имеет бесконечное множество решений (х, х, — ,
где х — любое число, не равное нулю. Если 1 4~ ^¥=0, 1 4- b 4- с 4= 0, то система
имеет еще два решения:
/ f~ 1 4~ Ь 4~ с 1 4“ а л/~ I \
\ V ’ V тцпт+с’ V г+т+^с/’
причем здесь значения радикалов выбраны так: у ~ z, ху 1. Если 14-а = 14-
4. b 4- с — 0, то взамен этих двух решений система имеет бесконечное множество
31
П. С. Моденов
482 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
решений —у, у, у J , где у — любое число, не равное нулю. Если 1 4- b О,
1 + а + с Ф 0, то система имеет еще два решения:
fiAHEIZ 1А 1+с+д i + O
\ V 1 4~ с 4* ’ V 1 + Ь 1 У \ с аг
причем здесь х = г, ху = ~ 1. Если, наконец, 1 + а -}- с = 1 4- b '== 0, то взамен
этих двух решений система имеет бесконечное множество решений -г-j,
где z — любое число, не равное нулю.
§ 9, Решение рациональных неравенств
1. Корни функции (х -j- 1) (х — 2) (х 4~ 3) (х— 4) таковы: —3, —1, 2 и 4. Если
х < —3, то все множители отрицательны, а значит все произведение положи-
тельно. Если —3<^<—1, то все множители, кроме третьего, не положительны,
третий множитель не отрицателен, и, значит, произведение не положительно. Если
—1 < х < 2, то первый и третий множители положительны, второй и четвертый
отрицательны, а произведение положительно. Если 2<4Л'"С4, то первый и третий
множители положительны, второй не отрицателен, а четвертый не положителен,
следовательно, и произведение не положительно. Наконец, если х > 4, то все мно-
жители положительны и, значит, произведение положительно. Итак, все решения
данного неравенства образуют три • интервала: (—оо, —3), (—1, 2), (4, 4- оо).
2. О < 11 О” 1 < °’ < 0 и т- д- Ответ: (—со, 0), (1, -{-со). 3. (—4, —2),
(1, 3), (5, -f-оо). 4. (—со, —4), (—2, 1), (3, 5). 5. (—со, 1), (2, 3), (4, со).
б- (—4 *—т) ’ (^ 4) у к а 3 а н и е-—3x3+зх+1=4 (х2—у у—
„/ , Зх\ . , 25 . п ( 1—/10\ /7-/85 1+/10\
-2/ 2'2")+ 36 ит-д- Ответ: (-00* —з— М—)>
(1±^;+со). 8. (_та, -1), (3, 4). 9. (|.2), (2, +со). 10. (-со, -4),
(-1, 2), (3, +=о). 11. (2~у=. 1). (3, 2 + уу)- 12- (—со. -3), (4, + со).
13. (2 - /3, -1) - (2, 2 + /3). 14. (-4,
/ е 3\ /—7 +/37 7 — /37\
\ 5’ — 5”/’ к-----2---’ ~2~Е
5\ , . , . ._ / — 7 — /37\
+ 5‘ \~ °°’ -2-/’
(Р). (1±д\+4 ,6. (О).
(2.4 <3. ^>. п. (цр,.4), (, >±я. ,8. _2),
(2, 3), (4, 6), (7, +оо). 19. (-6, бК—), (0, 6), 9), (9, + со).
20. (—8, —5/2), (—6, 0), (6, 5 /2), (8, + со). 21. (—со, —2), (— А, —1), (1, 5).
22. (-2, - А), (_1, 1), (5> +со). 23. (—со, -4), (-3, - А). (—2, -1),
(0, +со). 24. (-4, -3), (-А. -2), (-1, 0), 25. (1, в), 26. (-2, 0), (6, + со).
27. (-1, 2). 28. (-оо,0), (1, з). 29. 1, —|), (-|, -1), (0, + со).
30. (-со, 1), А)> (4* 4)' 31- (]- |)’ (4- 4)’ (4, +СО)' 321 Указа‘
н и е. Сложить дроби, равноотстоящие от концов; (—7, —6), (—5, —4), — у , —3^ ,
(—2, -1), (0, 4- со).
§ 10. Иррациональные уравнения с одним неизвестным и
смешанные системы
Указания. В уравнениях вида /(л-) = 0, где f(x) — рациональная функция
от х, требовалось определить все корни, в том числе и комплексные. Аналогич-
ное условие ставилось и по отношению к системам рациональных уравнений (§ 1—8).
В § 10 требуется найти лишь действительные корни; при этохМ для каждого ради-
Ответы. § 10. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ 483
кала берется лишь его арифметическое значение. Возможна и иная точка зрения,
когда для каждого радикала берутся все его значения (в том числе и комплекс-
ные); корнем уравнения в этом случае можно считать такое значение неизвест-
ного, когда при подстановке этого значения в данное уравнение найдется такой
набор радикалов, при котором уравнение удовлетворится. Так, например, с этой
точки зрения уравнение (Ух— 4-}-Ух—I)4 = 1 имеет корень х = 0, так как
одним из значений корня Ух— 4 при х = 0 является 2z, одним из значений
корня Ух— 1 при х = 0 является — /; значит, одним из значений суммы Ух — 4 ~р
~гУх—1 при х = 0 будет /, но z4 = 1. Этой точки зрения в § 10 мы придержи-
ваться не будем. Отметим, что в вопросах решения неравенств рассмотрение
многозначных функций уже явно нецелесообразно (например, если ограничиться
лишь арифметическим значением корпя, то можно сказать, что неравенство Ух > 1
при х == 4 выполнено, но если считать, что У~4= ± 2, то вопрос о выполнимости
неравенства Ух > 1 при х = 4 лишен смысла). Кроме того, множество комплекс-
ных чисел мы рассматриваем как неупорядоченное (знаки > и < не вводятся);
таким образом, при решении неравенств нужно ограничиваться лишь действитель-
ными числами. Одним из весьма плодотворных методов решения уравнений
(а также систем уравнений и неравенств) является введенное С. И. Новоселовым
понятие смешанной системы, т. е. системы, состоящей из уравнений и неравенств.
Это понятие позволяет во многих случаях от одного уравнения или системы урав-
нений перейти к эквивалентной смешанной системе. Этим дается строгое обосно-
вание применений разнообразных преобразований уравнений, в процессе которых
и не теряются и не приобретаются <лишние> корни. Особенно удобно применять
этот прием по отношению к иррациональным уравнениям. Применение этого приема
позволяет не производить «проверки > найденных «решений». Такая проверка иногда
вызывает значительные технические трудности. Так, например, ниже, на стр. 488,
(2 _\ 2
__ — Ух] имеет только один действи-
тельный корень х =-д 114- р/ J/ у-З I ; однако установить проверкой, что
это значение х является корнем, технически трудно. Заметим, что весьма часто
производятся такие преобразования уравнения, которые приводят к новому урав-
нению, являющемуся следствием предыдущего. В таком случае решения
никогда не теряются, но <посторонние» корни могут появиться. Покажем, как
может быть решено уравнение, данное в задаче 1: У х 4 5 4 У2х -j- 8 == 7 (1),
каждым из этих двух методов.
Вариант I. Из уравнения (1) имеем: х 4 5 4 2 У(х 4- 5) (2х 4- 8) 4 2х 4
4-8 = 49, 2/(Т+5Н2ТТ^--3(12-х), 4(х45)(2х4-8) = 9(12--х)2, х2-288х^
4 1136 = 0, ад = 4, х2 = 284. Так как каждое из последующих уравнений есть
следствие предыдущего, то в результате этих преобразований корни не могли
быть потеряны. Проверка, однако, нужна, и с ее помощью мы устанавливаем, что
только х = 4 — корень, следовательно, и единственный корень данного уравнения.
Большое количество <искусственных) приемов решения уравнений и заключается
как раз в получении из данного уравнения — следствия/при таком способе про-
верка необходима: при ее помощи будет выделено множество всех решений.
Вариант II. Если х — действительный корень данного уравнения, то
А'4 5 4 0, 2x 4 8 .4 0, т. е. —5, —4, или — 4. Таким образом, дан-
ное уравнение эквивалентно (над полем действительных чисел) смешанной системе:
Ух 4 5 4У2х 4 8 = 7, х>—4. (1)
Эта система эквивалентна такой (возводим в квадрат):
х + 54-2/х+3/2Г+8+2х + 8 = 49, (2)
Х>—4.
В самом деле, соотношения (2) следуют из соотношений (1). Обратно,
если выполнено второе из соотношений (2), то х 4 5 > 0, 2x4 8 40 и',
значит, первое из соотношений (2) можно переписать так: (Ух 4 5)2 4
4 2 У (х 4 5) (2х 4 8) 4 (/2х 4 8)2 = 49, или (УГ45 4 У2Г+§)2 = 49; так как
Ух 4 5 4- У2х 4 8 > 0, то У х + Ь + У2х + Система (2) эквивалентна такой:
2 У(х 4 5) (2х 4 8) = 3 (12 — х), х>—4. (2'). Система же (2') эквивалентна сле-
дующей
с 4(х 4 5) (2x48) = 9(12 — х)2, 12>х>— 4. (3)
31*
484 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
В самом деле, соотношения (3) следуют из (2'); обратно: из соотношений (3) сле-
дуют соотношения (2')- Решая уравнение 4 (х 4- 5) (2х Д- 8) = 9 (12 — х)* 2 * 4 или
х2— 288x4- 1136 = 0, получим: Xi = 284, х2 = 4. Условию —4</r<J12 удовлетво-
ряет только х = 4; следовательно, х = 4— единственный корень данного уравне-
ния. Задачи, которые даны ниже, рекомендуется решить обоими методами. 2. 0
и 4. 3. 0 и 2. 4. ± 5. 4 • 6. 0, 9 Г 9. 7. 10. 8. 6. 9. • Ю. — 4 •
У 5 ' 3 10 3
11. —ур 12. Перенося второй радикал направо и возводя в квадрат, получим
10 = —2/2х24~5х— 9; отсюда следует, что уравнение не имеет корней. 13.5
и 14. Возводя в квадрат, получим 1 4~ 2 /х2 4- 8х Д- 15 = 0. Корней нет.
15. Если х — корень данного уравнения, то 2х Д-4 > 0, 2— х > 0, т. е. — 2<х<2;
заметим, что если —2 < х < 2, то 12х — 8 = 2 (6х — 4) = 2 [(2х Д-4)4 (2— х)] =
= 2 [(/2х 4- 4)2 — (2 J/2 — х)21. Данное уравнение эквивалентно следующему:
1'ггр-2/2=7_ 2-2/Г=7К/Е+ < + 2/2=)
/9л-2 -4- 1’6
или
(—2 /2^7 4- /2%Т4) (1—2 -JL\ = о.
\ }9л24-16 )
Таким образом, надо найти корни уравнений У 2х Д- 4 — 2 ]2—х = 0 и
п /2х 4-4 4-2 /2 — х о^-^оп
1 — 2----- .... —--— = 0, удовлетворяющие условию —2 < х 2. Решая
У 9 х2 | 16
__________________ _____ ________________ __________ 2
уравнение /2х Д-4— 2/2—х = 0 или /2хД-4 = 2/2—х, получим х=-^~;
о
2 2
так как —2 < -у < 2, то х = — корень данного уравнения. Уравнение
1 о У/"2х Д- 4 Д- 2 /2 — х г-—-—j—==< п z /---—j—-
1 — 2-----_-----------= 0 эквивалентно уравнению У 9х2 Д- 16 = 2 (р 2х Д- 4 Д-
У 9х2 4- 16
4 2/2—х), а это уравнение эквивалентно следующему: 9х2 Д-16 = 4 [2х Д-4 Д
4 4/(2x4-4) (2 — х)4-4(2 — х)], или 9х2 Д- 16 = 4 (12 — 2х Д- 4/8 — 2х2), или
—9х2 4- 32 -8x4- 16 /8 — 2х2 = 0, или 4 (8 — 2х2) 4- 16 /8 — 2х2 — (х2 4- 8х) = 0,
или (2 /8 — 2х2 — х) (2 /8 — 2х2 Д 8 4 х) = 0; отсюда 2 /8 — 2х2 = х и
2/8 — 2х2 Д- 8 4- х = 0. Второе уравнение не имеет корней, так как из условия
8 — 2х2^0 следует, что |х|<2, а поэтому 2/8 — 2х2 Д-8 Д-х > 0 при всех х,
удовлетворяющих этому условию (| х j 2). Первое уравнение перепишем так:
—о~2 х Q 4/2 о
1 8 — 2л’2=---; решая его, получим х——х—, а так как —2 < —<2, то
2 о и
4/2
х = —g----корень данного уравнения. Итак, данное уравнение имеет два корня:
2 4/2 г______ г____________
„ и — — . * 15, Перепишем данное уравнение так: У 2х2 — 1 — ух2— х Д-2 =
О О 1
= /2х2Д2хДЗ— /х2 — Зх—2. Возводя обе части в квадрат и присоединяя
к уравнению соответствующие неравенства, получим две следующие смешанные
системы, эквивалентные данному уравнению:
2x2 __ у _ 2/25^1 /х2 —хД2 + х2 — х 4- 2 =
= 2х2 4- 2х 4- 3 — 2 /2х2 Д- 2х Д- 3 /х2 — Зх — 2 4- х2 — Зх — 2,
2х2 — 1 > х2 — х 4- 2 > 0, 2х2 4- 2х Д- 3 > х2 — Зх — 2 > 0
* Отметим, что в книге (Сборник алгебраических задач> Е. Пржевальского
(Учпедгиз, 1941, в решении этой задачи, помещенном на стр. 157, задача дана под
2 4 _ /"ts
№ 235), сказано, что х = не является корнем данного уравнения, а что х = ± У 2
о о
4 ---.
и х = — (—2 ± 1 —14) — корни. с
Ответы. § 10. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ 485
и
2х2 — 1 — 2 У2л2 — 1 /л2 — х + 2 + х2 — х 4- 2 =
= 2х2 + 2х + 3 — 21<2л2 +2x4-3 /х2 — Зх — 2 4- х2 — Зх — 2,
х2 _ х 4- 2 > 2х2 — 1 > 0, х2 — Зх — 2 > 2х2 4- 2х 4- 3 > 0,
ИЛИ
Vr2x2—1 <х2 — х 4- 2 = /2х2 4-2х + 3 /х2 — Зх — 2,
х2 4- х —3>0,
х2 4~ 5х 4~ 5 > 0,
х2 —Зх —2>0
и
/ 2х2 — 1 /х2 — х 4~ 2 = УЗ^^^ТЗ /х2 — Зх — 2,
х2 4-х — 3<0,
2х2 — 1 > О,
х2 4 5х 4* 5 -С 0.
Исследуем систему (1). Эта система эквивалентна следующей:
(2т2 — 1) (х2 — х 4- 2) = (2х2 4- 2х 4- 3) (х2 — Зх — 2),
2х2— 1 >0,
х2 4- х — 3 > О,
х2 4 5х 4~ 5 > О,
х2 —Зх —2>0.
(1)
(2)
(1')
Упрощая уравнение, получим х3 4~ 5х2 4~ 7х 4~ 2 = О, откуда х = —2, х =
— -!-(—з ± у 5). Значение х = —2 не удовлетворяет условию х2 4- х — 3>0, зна-
У"5 — 3 о 2 1 У5+3
чение х = -—g— не удовлетворяет условию 2х2 — 1 > 0, значение х = —------—
не удовлетворяет условию х25х-f-5 >-0. Значит, смешанная система (1) не
имеет решений. Исследуем теперь систему (2); система (2) эквивалентна сле-
дующей:
(2х2 — 1) (х2 — х + 2) = (2х2 + 2х + 3) (х2 -- Зх — 2),
х2 х — 3 0,
2х2 — 1 > О,
х2 + 5х 4- 5 < О,
х2 — Зх — 2 > 0.
(2')
Корни уравнения, входящего в эту смешанную систему: х = —2, х = -—— >
У 5 4-3 .. _ у 5—3 У 5 4-3
х —-------. Исследуя значения х = —2, х —---------, х =-------------, являю-
щиеся корнями первого из уравнений смешанной системы (2'), убедимся в том,
что х — —2 удовлетворяет всем условиям х2 4~ х— 3<С0, 2х2—1>>0, х2 4-5x4-
_____________________________________з
-4 5 < 0, х2 — Зх — 2 > 0; х —-----— не удовлетворяет условию 2х2 — 1 > 0,
а х ==—3 не удОВЛетвОрЯет неравенству х24~-^ — 3<0. Значит, данное
уравнение имеет только один корень х = —2*. 17. Переписывая данное уравне-
ние в виде
(1-л)|/* 1 + А_уг+г = УзТ=л (1)
* Этот пример заимствован из книги Е. Пржевальского «Сборник алгебраических
задач» (Учпедгиз, 1941, задача № 213); в решении, данном на стр. 150, говорится, что
Q —3 ± У 5
уравнение имеет три корня: — 2 и ----.
486 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ .
и возводя обе части этого уравнения в квадрат, получим смешанную систему
+ ]/~(1 + |)(х + 1) + х+1 = Зх-1,
(1-х)]Л 1 + А_/^рТ>0, (2)
1 + — >0, л+1>0, Зх — 1>0,
1 X 1
э
эквивалентную данному уравнению. Совокупность соотношений 1 ->0,
Ъх — 1>0 эквивалентна одному соотношению Зх — 1>0, поэтому сме-
шанная система (2) эквивалентна такой:
(1_л)2(1+А)_2(1-л)|/’ (1 + 2)(х + 1) + х+1=Зл-1,
(1-л)|/ (3)
Зх— 1>0,
или
(1_х)2(1+2)-2(1-х) yf (1 + ±)(х + 1) + 2(1-х) = 0,
(l-х)]/” 1 + | - /Г+1 > 0, (4)
Зх — 1 > 0.
Корень х=1 уравнения, входящего в систему (4), не удовлетворяет соотношению
Л" _____
(1-х)]/ 1 + ^-/х + 1 >0, поэтому смешанная система (4) эквивалентна сле-
дующей:
(1-х)(1+/-)-2]Л (1 + /-)(х+ 1) + 2 = 0,
(1—х)]/" 1 + /Г+Т>0,
Зх— 1>0,
или
/-х = 2]Л (1+/)(х+1), (1-х)]/ 1 + / -/Г++>0, Зх-1>0,
или
(|-xy = 4(l + |-)(x+l), (1-х)]/" 1 +2-/Г+Х>0, -|<х</3,
или
(-'-i/-)’-4/ +)-» = ». и
(!-*>]/ 4 Г'| : ' -‘ с-К/'З.
Решая уравнение fx 4-—^ —4fx4~—)— 28 = 0, получим л/-™ =2 ± 4 /2.
\ X / \ X / X
I _ 2 _
Так как должно быть , то остается только х-}- —= 2-|-4уЛ2 , или
х2 — 2(14-2уг2)х + 3 = 0, откуда Xi = 3 (1 + V2), х2 = У'2 — 1. Так как 1—Xi < 0,
то условие (1 — х) j/ 4-х>0 при х = xt не выполняется. Значе-
ние же х = уг2—1 удовлетворяет всем условиям (5). Итак, данное уравнение
Ответы. § 10. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ 487
_ 4_______4 ____________
имеет только один корень х = У 2 —1*. 18. Указание. У629 — х = ау У 71 4~ х-^Ьу
а*+ № = я-Н = 8. Ответ: 4 и 548. 19. 16 и 81. 20. 0. 21. 81. 22. /л2 4~ 2 =
- а > 0, Ух2 + 2х ф 3 = b > 0, 62 - а2 + --~---- а 4---b = O,b— а-0,
1 , , У у а)2 , 1
откуда х = —х-, остается b 4~ # 4~ -—й—~~ + V > 0 в СИЛУ того» что а > 0 и
J 2 2 о
Ь > 0 (больше корней нет). 23. ± 3/21. 24. 6, —3. 25. 2, . 26. У~ —тг~ •
27. 3,| (9-/97). 28. У 1 + 1-рЛ 1-| = 1, У 1 + Уа>0,У 1-±=
= Ь > 0, а — b = 1, я4 4- 64 = 2; отсюда находим ab, а затем легко находится и х.
Интересно отметить, что полученное для х значение немного больше 1 (условие
х > 1 является необходимым ограничением на корни данного уравнения). Ответ:
/27 + 12 /6 . 29. jg- 30. 1, —31 • 1L 321 3- 33- 0 и 2- 34- 35. 1.
36. If. 37.2. 38. ±/3. 39. ±4^. 40. /2 —х = д, = 6, д = 1— b,
25 ~
а3 4- Ь2 = 1, (1 — Ь)3 4~ Ь2 = 1 и т. д. Ответ: 1, 2, 10. 41. 8. 42. ± 2. 43. 3,-.
о
44. После возведения в квадрат можно определить--------——, затем — и
х /1— X2 X
—- * — как корни квадратного уравнения; учесть, что должно быть |х| < 1.
у 1 — X2
4 3 1
Ответ: 45. Ясно, что корни х > 0. Подстановка х = — приводит к преды-
5 5 Z
дущему уравнению. Ответ: 46. ±13, ±3]/21 . 47. 4, 11,
2 1
48. ± —— -------•. 49. ±-х-. 50. Корнями являются все числа х такие, что
/l + 2-|Z4 2
5_ 5
А^х<3. 51. 52. 4416. 53. Корней нет. 54. 78. 55. (3 — х)3 4-(л — I)'3 =
1 1
- 2 (х 1)3 (3 — х)3. Возводя в куб по формуле (а 4- Ь)3 — а3 4- Ь3 4- ЗаЬ (а 4~ Ь) и
учитывая это уравнение, получим (3 — х)3 4~ (х — I)5 4- 6 (х — I)2 (3 — х)2 =
— 8 (л — 1) (3 — х). Полагая 3 — х = а, х — 1 = b будем иметь а±Ь = 2, а3 4~ Ь3 4-
• Qa2b2 = Sab. Отсюда найдем ab. Ответ: х = 2. 56. ±~, ±~. 57. х — 39 не
' 14 о
является Корнеем данного уравнения, поэтому данное
следующему:
уравнение
эквивалентно
(39-х) У±-JL-(x-6)
у* (>
V 39 —л:
= 30.
° Г х__6
Положим 1/ получим систему
г оУ — X
Из второго уравнения находим (и3 =£—1):
= зо, и5 =
39 — х
1 — а
39^5 + 6
х " 1 4- и3
39 — х =
33
1 4-ZZ5
и первое уравнение системы принимает
3 (ц 4- 1) (Юа4 - 21г/3 4- 10ц2 — 21и + Ю) 0< Для
вид
ЗЗи (1 — ц«)
(1+«5) (!-«)”’
или
определения и имеем возвратное
* Этот пример заимствован из книги «Сборник алгебраических задач> Е. Прже-
вальского (Учпедгиз, 1941, задача № 275). Решение задачи дано на стр. 171 и 172.
В ^ответе даны четыре корня: 3 ± ЗУ 2 и —1 ± ]/2.
488 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
уравнение 10м4 — 21м3 -|~ Юм2 — 21м-|-10 = 0. Решая его подстановкой z = и 4~ —
и ограничиваясь лишь действительными корнями (так как в данном случае для
мнимых значений них будет мнимое), будем иметь М] = 2, м2 = и соответ-
ственно этому х{ = 38, х2 — 7. 58. 9. 59. 2, — . 60. Корнем является любое число х>2.
61. Корнем является любое число х>1. 62. Должно быть 2 — х3 > О, х 2 .Так
как справа стоит неотрицательное число, то х2— 2 > 0, откуда или х>У2 или
лХ—]/"2; условие х X У 2 противоречит условию х < у 2, значит остается
х < — У2 ; при выполнении этого условия будет 2 — д3 > О и х2— 2;>0. Теперь
находим (х2 — 2)2=(2 — х3)3, или х9 — 6х6 4 х4 4- 12х3 — 4./2 4-4 = 0, или х4 (14х5)—
— 6х6 4 12х3 4 4 (1 — х2) = 0. Так как х X — У 2 , то х4 (1 4 X) < 0, —6л:6 < О,
12х3 < 0, 4 (1 —х2) < 0 — данное уравнение корней не имеет. 63. —у, 2. 64. 2 и 11.
(9 । 1/Г"3),г ! 1 (2_Т^ЗГ)71 I 1
65. Уравнение не имеет корней. 66. ~~-——-------, ------——- о 67. Полагая
(24-/З)"—1 (2-/3)" —1
2 г- 9
]х = у и -х- — у х = г, сводим уравнение к системе у4-{-г4 = 1, y-f-z = ~,
о о
решая которую, находим единственный (действительный) корень данного уравне-
1 Г , 1/ 77^ 42
ния х = g- I 1 4- у у ~2~3J-
§ 11. Иррациональные уравнения с одним неизвестным,
содержащие параметры
1. Данное уравнение имеет один корень ~ тогда и только тогда, когда или
\^^(l “*j 1 I
о X — 2 или — у < а X 0. 2. Ух — 3 = у, Ух — 7 = г, у X г = м, у2—z2 = 4. Оче-
видно, должно быть а > 0 (если а X 0, уравнение не имеет корней). При а > О,
у — z ~ —, у=т-м-|----), г = ТГ|м-----); так как г>0, то м>2. Итак, при
a J 2 \ ' а) 2 \ а) к
. о 0 , 9 м4 4 20м2 4-16 о Р Л
м >2 уравнение имеет корень х ~ 3 + у2 =----L~4^2—----• Если м < 0, то
уравнение имеет корень х —2а\ если м > 0, уравнение корней не имеет; если
м = О, уравнению удовлетворяет любое положительное число. 4. Если а > 2, то
, а а2 — 4 „ п
уравнение имеет два корня: ± -~у ---р Если м < 2, уравнение корней не
имеет. Если м = 2, то уравнение имеет один корень х = 0. 5. Уравнение имеет
8 / 2
2 ^4„~' 2) только в случае 2 X а2 < 4; знак корня такой же,
2
один корень
как и ум. 6. х л- Ух ~~Ух2 — х = аУх^-У х,Ух—Ух—1 = а, Ух=^у, Ух—1—z,
V—z = м, у2—г2 = 1, у 4 г = -- , у = (а 4~ -Ц>0, откуда а > 0, z = 4- —И>0,
а 2 \ а) 2 \ а )
при м > 0 это дает мХ 1. Итак, при 0 < а X 1 данное уравнение имеет один корень
[а2 + 1 \2 64м _
I—~—I . 7. При м>0 это уравнение имеет два корня: 0 и ; при м = 0 —
имеется два корня: 0 и
один: х = 0; при м < 0 — ни одного. 8. Если м < — 2, то
(2 4 м)2 ’ еслн то одик корень 0. 9. Возводя обе части уравнения в куб,
получим: а4 х — а-\-х 4- 3 ]/ а2 — х2(У а — х—У а 4- х)=У а2 — х2, 2х4~зУ м2—X X
/ б______________________ __________________________ _______________
X V- У О2 — х2/ = У а2 — х2, 2х — 3 У а2 — х2 = Уа2 — х2, х = 2 У а2 — X, откуда
. 2м 2м тУ~7~’ У—— У/ Т~2У
х = ± . Проверка: для х = —— имеем у а 4 — V а — х = 1/ а 4—-------------
/5 У 5 /5
Г2
-vrr iЖ'1ЖЧ - V i - ё (Д1 - ’Д')
V V з
Ответы. § II. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
489
t а „ *г-------х ,6/~ , 4«2 №а\ р л
= -— . Правая часть: у а2 — х2 == J/ а2 ---g- = . Если а > 0, то
/5 /5 /5
2а А 2а
х = — корень данного уравнения, а если а < 0, то х = — не корень дан-
у 5 1 5
—2д
ного уравнения. Аналогично убеждаемся в том, что если а > 0, то х = ----не
л 2а
корень данного уравнения, а если а < 0, то х = —— корень данного уравне-
уб
ния. 10. Перепишем данное уравнение так:
(1)
Данное уравнение эквивалентно следующей смешанной системе:
(х — а)2 = а Д- У х, х — а > 0.
(2)
В самом деле, если выполнено равенство (1), то будет выполнено и равенство
(х— а)2 = а Д- Ух. Далее, из равенства (I) следует, что х — а>0 (так как
х — а = Уа4~Ух, а уГа-^Ух>0). Таким образом, из равенства (1) следуют
оба соотношения (2); обратно: если выполнены соотношения (2), то в силу условия
а > 1 имеем а 4- У* > 0, а из равенства (х — а)2 = a Д- Ух следует У(х — а)2 —
~ У а Д- I -г, | х — а \ = У а -у У х, но х — а > 0; значит, \х — а\ = х — а, а потому
х — а ~Уа 4-Ух, т. е. мы получили равенство (1). Таким образом, любое значе-
ние х, удовлетворяющее равенству (1), будет удовлетворять и системе (2), а любое
значение, удовлетворяющее соотношениям (2), будет удовлетворять и равенству (1).
Значит, уравнение (1) эквивалентно смешанной системе (2). Смешанную систему (2)
перепишем так: (х — а)2 — (У У2 --р х — У х — а = 0, х — а >0, или
(х — а — У х)(х —а-у У х) Д- х — У х — а == 0, х — а > 0,
или
(х — Ух — а) (х Д- Ух — а Д- 1) = 0, х — а > 0. (2')
Решая уравнение х — Ух — а = 0, находим Ух = ~ (1 Д- У1 ~г (так как Ух > 0,
а -^-(1 — У 1 4- 4а) < 0, то равенство Ух = -У (1—У1 -р 4а) не имеет места ни
2
I , или
+- 4zz \
при каком действительном значении %). Далее находим х
1 Д- 2а Д- У ГУ47
у =. —1!1--------------это значение х удовлетворяет и второму соотношению
2
0.
•а-
смешанной системы (2); в самом деле, х—а=-—^--~
„ „ 1 -+ 2а + /1 4- 4а
Значит найденное значение х =-----------------есть корень данного уравнения.
Далее решаем уравнение х 4- У х Д- 1—^=0. Так как 1 — а < 0, то это квадрат-
ное уравнение относительно Ух имеет действительные корни различных знаков,
_1 д_ У1 _ 4 (Г-:У У47-^3 —1
а так как у х^0, то у х ==-----------!----g— --------------9-----» откУДа
2а — 1 — У4а — 3" ~ — 1—уг4о^3 А
х ==-----------------. Отсюда находим х — а =------Д-------< 0, что противо-
речит неравенству х — а > 0, входящему в смешанную систему (2'), эквивалентную
о , 2а - 1 — У 4^ — 3
данной. Таким образом, х —---------------- не есть корень данного уравнения.
2
2
Итак, данное уравнение имеет только один корень х == ——------------ Н. Пусть
х — действительный корень данного уравнения. Тогда ибо в данное
уравнение входят радикалы Ух и У1 — х2. Полагая Ух = у, а — Ух = г, будем
иметь: У1 — у4 ~ г2, у -4- г = а, 0 < у < 1, откуда у4 Д- г4 = 1, у +- z == а, 0<у < 1 (2)-
Итак, если х — любой действительный корень данного уравнения, то 0 и
числа у = У л, z = a—Ух образуют решение смешанной системы (2). Обратно;
4£0 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
если у и г — два действительных числа, образующих решение смешанной системы (2),
то х = у2 есть действительный корень данного уравнения. В самом деле, если у
иг — действительные числа, такие, что: у4 + г4 = 1, у z = а, 0 у <; 1 и х = у2,
т. е. у = Ух, то z = а — у — а — Ух, 1 — у4 — г4, 1 — х2 = (а — Ух)4, и так как
(это следует из того, что 0<у<1 и у = Ух), то 1 — х2>0; значит,
из равенства 1 — х2 = (а— Ух)4 следует У1—х2 = (а — Ух)2. Итак, вопрос сво-
дится к отысканию действительных решений смешанной системы:
у4 + г4 = 1, у + z = а, 0 < у < 1. (2)
Если все такие решения будут найдены, то, выбирая из этих решений значения
9 О
уь 3'2, Уз, •••, мы получим все решения данного уравнения: л\ = yj, х^ = у{.
Итак, будем решать смешанную систему (2). Замечая, что у4 4- г4 = (у2 Ц- г2)2 —
-—2 (уг)2 = [(у + г)2 — 2yz]2— 2 (yz)2, будем иметь [(у-(-г)2 — 2yz]2— 2 (yz)2 = 1,
у z = а, 0у 1 (2). Эта система эквивалентна следующей:
y-\-z = a, 0<у<1, (а2 — 2yz)2 — 2 (yz)2 = 1. (3)
В самом деле, из соотношений (2) следуют соотношения (3), а из соотношений (3)
следуют соотношения (2). Из первого уравнения системы (3) находим 2 (yz)2 —
— 4а2 (yz) -j- а4 — 1—0, откуда yz — а2 ± j/^ —1 так что <спстема (3) эквива-
лентна следующей:
у + z — а, 0 < у < 1,
или такой
Г4 44
У (я - У) = а2 ± |/ —Э__ t у^г^а, 0 < У < 1. (5)
/~ ст^ 4-1
Первое уравнение этой системы дает у2 — ауа2 ± у —~— = 0. Уравнение
у2 — ay + а2 + j/ = 0 имеет мнимые корни. Решаем поэтому только урав-
некие у2 —ду + а2 —jZ ^44 = 0; получаем yb 2 = ~ ^У y + 3‘
Так как , то 41/"| +JL-3>4j/ 1 + 44-3-Л у2. 3<+2 4<-3 =
2 У671 „ 2 • 25 , 50 „ .
— ---3^-7.----3 — —3 > 0, поэтому Vj и v2 действительны, а так как
З2 У У
д44- 1
я4 —1
следует взять только
0, то эти корни у!
и у2 разных знаков. Так как (КС у <. 1, то
-4я-1)4
Значит, данное уравнение имеет только один действительный корень
4
Ответы. § 11. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
491
12. Если а = b 4= 0, то данное уравнение не имеет корней; если а = b = 0, то кор-
нем является любое число х, такое, что х < 0; если а 4= Ь, но b (Ь — 2а) (Ь — а) > 0,
то корней нет; если а 4= b, b (Ь — 2а) (Ь — а)>0, то имеется
Ь2
х = -кт,----г • 13. Если а > Ь, то х == Ь\ если а < 6, то х = а; если
2 (Ь — а)
14. Если а > b > 0, то х = ; если а = 0, b 4= 0 или а =/= 0,
нение не имеет корней; если а = b = 0, то корнем служит любое число, х
если а < b или а < 0 или b < 0, то корней нет. 15. Если 2а 4 b > 0, а 4 26 > (
/^2 । dl)_______________________________________L- 62
-------— • если 2а 4 b < 0, а 4- 26 < 0,
п Га2 ab 4 62 „ о . г 1 or
то один корень х =— 2 |/ —-—. Если 2а 4 6 и а~\-2Ь разных знаков, то
корней нет. Если 6 =—2a=f=Q, то уравнение имеет один корень х~—2а\ если
а = —26 4= 0, то один корень х = —26; если а = 6 = 0, то уравнение обращается
в тождество. 16. Если 6 > а 4 2, то уравнение имеет корень [(6 — а)2 4- 4 (6д а)44];
2л26
; > а, то х = ~2- q_- р- ; в против-
корень х = 0; если а — 0, 6 = 0,
а > 0 корней нет. При а < 0 и
<0, а2 — 62 > 0, то корней нет.
у; тогда х ~ а — а2 = 6 — р2 =
один
а = Ь,
b = 0,
0,
корень
то х = а.
то урав-
•>0;
0, то
если b < а 2, то корней нет. 17. Если а > 0, | b |
ном случае корней нет. 18. Если а = 0, b 4= 0, то
то корнем является любое число />0. При
5а2 — Ь2
а2 — Ь2^0 — корни х = 0 и х = —— ; если а
19. Положим У а — х = а, У Ь — х = р, У с — х = \
= с — у2 = Ру + 7а + откуда
(« + Ю(“ + 7) = «, (? + «)(?-H) = £. (7+ *)(7+ ₽) = £• (А)
Отсюда
Ь + ?) (3 + 7) (1 + »)=/А,
а + = -1- \ abc, “ + 7 = “ Елйс, 7 + а — у VаЬс,
1 / 1 , 1 . 1 \ -r-г- 0 1/1 1 , 1 \ ЛГ~Г
а = —------F ~Г Н-У лбе, В = 7Г----- 4— У abc,
2 \ а ‘ 6 1 с / г ‘ 2 \а b 1 сJ
<в>
Так как я, 3, у — действительные неотрицательные числа, то {а 4= 0, б 4= 0, с 4= 0 —
ч , А 1 , 1 11,1 11,1 1 1Л 1 . 1 1
по условию) abc > 0, -у- +-> — , — -----> т-»------г -г > - -. Из -г -4-> — и
J 7 b 1 с а а 1 с b а 1 6 с б ‘ с а
„L4+L > следует, что с > 0 и аналогично 6 > 0, а > 0; следовательно, abc > 0.
Итак, уравнение имеет корень лишь в случае
Il.1 1
b ~ с а ’ с ‘ а 6 ’ а ‘ 6 с
(С)
Если эти неравенства выполнены, то числа я, р и у, определяемые соотноше-
ниями (В), будут положительны и будут удовлетворять системе (А), из которой
следуют соотношения
а __ а2 = ь „ рг = с _ = ар. (D)
Полагая а — а2 = 6 — $2 = с — у2 == х ( > 0), получим а = у'а-—х,^ = Уь~х>
у =Ус — х и, подставляя это в (D), будем иметь х = Yb — х Yc — х 4
4 Ус — х Yа — х 4" Va — х Vb — х ' Итак, уравнение имеет в случае выполнения
условий (С) один корень: х = а — abc —4 +-6 + с ) * ^СЛИ а' ^Рав‘
нение имеет единственный корень 2Ул6; если 6 < а, то корней нет. 21. Если b < а,
то уравнение имеет один корень х = 0; если Ь^> а, то уравнение имеет корни 0 и
2п
{Vb+ Vb^)nZ± . 22< (64-а'
п
• 23. —4---------------
/ Л \/г + 1 _J
. 24. Если а < 1, то
2fe
492 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
корней пет, если д>1, то уравнение имеет один корень х = ----. 25. Если
д=£0, то уравнение не имеет корней; если а = 0, то уравнение имеет один корень х —0.
26. х = —а. 27. ±д. 28. хл = 0, х2 = а. 29. 0. 39. Если а < 0, то уравнение корней не
имеет; если а > 0, то уравнение имеет один корень х=— ~ . 31. Полагая У а-}- х~ а,
о
4 ___
Уа — х = v, получтм (и 4~ v)2 (и2 + ^2) = а (и4— и4), и4 + v4 = 2а, или, так как
и v ф 0, и2 4~ v2 =/= 0, то и 4" v = а (и — v), и4 v4 = 2а. Отсюда следует, что
при а<0 уравнение не имеет корней; если а > 0, то, полагая далее а — v — \
= найдем р. = ак и затем найдем
4 - 4 _
> 2 У а 2а Уа
К = —----------, р. = —--'----,
Уд4 4~ 6д2 + 1’ У а4 4- 6д2 + 1
а так как р. — л = 2v > 0, то д > 1; значит, при а < 1 уравнение не имеет корней.
Если же д > 1, то
(4 _ \
_ (а-1)Уа \
4__________ •
У а4 + 6<z2 + 1 /
-~2 ^_-у— . Из условия Х>1, и > 1 находим У 2—1
Проверкой убеждаемся, что это корень (следовательно, и единственный корень)
данного уравнения. 32. а. 33. Умножая обе части уравнения на х1, находим
один из корней xL = 0. Далее надо решить уравнение У1 - х + + Х+ 1).
Полагая Т1 — х J- 1 = X, У1 4- х 4- 1 = и, находим (X — I)2 4- (,« — I)2 = 2, X = аа.
~г 0 т 2д (д -j- 1)
Отсюда р. = 1 X = —4—-----L
а2 + 1
<^д^уг2 -|-1. При этих условиях
4д(1 — а2) „
х = / 9 I 1Ч2- • Если же а
(д2 + 1 2
данное уравнение имеет еще корень
уг2 — 1 или а > У2 4~ 1, то данное уравнение имеет
только корень х = 0. Полезно убедиться непосредственной подстановкой в уравне-
ние У1—х 4- 1 = а (У1 4~ х 0, что в случае У2—1<д<;У2 4-1 значение
4# (1—а2) гт
х = - v2 есть к0Рень этого уравнения. 34. При а <4 1 уравнение имеет корень
а 4-1 . о ог д У 1 д2 —
х ~ t ПрИ а > j уравнение корней не имеет. 35. д ——!---------- 63. Положим
х2 4- 2дх -J- А = у, тогда у = — а Д-]/ д2 -j- л — i, у ~\~а^= J/ а2 4~ х — При
у 4 д^>0 это соотношение эквивалентно такому (у 4- а)2 = a2 -J- х — или
х = у2 -\- 2ay 4- —. Итак, корнями данного уравнения будут значения х, входящие в
решения смешанной системы:
v = х2 4- 2дл +
' ’ ' 16
X = у2 4-2<гу 4-4
Из (1) находим
или
у 4- я > 0.
у — X = X2 — у2 4- 2д (х — у),
(х — у) (х + у 4- 2а 4- 1) = 0.
(А)
Пусть х — у — 0, т. е. х = у. Тогда у = у2 4-2ау 4“ jg. или У + а = (У + а)2 —
-a24-a + ]l, y4-a=-l±j/~ а2 — а 4-= ~±j/~ (а — 1) (а“т)’ Отсюла
13 3
следует, что система (1) не имеет решений, если < а < ; если же д>-^- или
а < —, то значения для у Д- а будут действительны. Одно из этих значений
Ответы. § 11. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
493
I , , / / 1 \ / ‘ 3 \ „ 3 1
Ту 4~ JZ \ — Т/ П0Л0ЖИТеЛЬН0* ПОЭТОМУ ПрИ d >ИЛИ а -V- Д31И1ОС
уравнение всегда имеет корень
*, = -« + -//. (2)
Исследуем второе значение для у 4~ а:
откуда
Условие у ~j~ а > 0 дает
2 — ]л5 ,2-f/5
4 4
(3)
„ 2 — V5 2 + У 5 , 1 . ГI Ь / 3
Значит, если а < —~— или а > —------, то х2 = —а 4- 1 \ а —
2—Уб . . 1 3 ^2-рУ
не корень данного уравнения. Если же —у------< (2 <или —4“
то данное уравнение имеет еще корень
^=-«+4-]/г(а-|)(«-4)- <4)
Из соотношения (А) далее следует, что х 4 У 4~ 2а 4~ 1 = 0, откуда г — у — 2я — 1,
а значит, —у — 2а—1 — у2 4~ 2яу 4 или (у 4 а)2 4~ у 4 а — а2 4- а 4- yg = О,
откуда у -f' а ~ .у ± j/""я2 — я — . Перед корнем следует взять только знак 4-:
, 1 I 2 13 . X
у 4~ а = — у {- J/ а2 — а — , и это значение для у 4- а будет
2 — /21 2 4-/21
если или а < -—у----, или а ; оно будет отрицательно,
не отрицательно,
2 — /21
если -—у—- <
2 4-1'21,, 2 — V 21 2 4- V 21
<а<—--------. Итак, если -------у-—- или а —-у- , то уравнение имеет
1
корень х3 ~ — а — 7)
пение имеет два
Г" [3 о__/21
I/ а2 — а — тг,. Итак, если — со < а < ---, то урав-
г 1о 4
корня: X; — а Ь+ ]/ "4i/ ~ ~ а------2
' 2 13
(2 2 Д------•
16’
2
если -
— /21 2-/5
, то уравнение
имеет только один
, 1 , ,/ 9 ,13
корень: xt == — а 4~ у Ь / а2 — а + J5 5 если
. 1 । "Тз
имеет два корня: лд ” — а 4~ 4“ у а2 — а—jg>
2 — / 5
~4^<-<
4*2 = — О- *Т" ~2~
то уравнение
— /а2 « + )6;
1 3
если < а <
4 4
3 о । у/” з
то уравнение не имеет корней; если ™ а < — -у-----, то урав-
1
ненис имеет корни ад = —а 4
а2_а+3_ iX,.= ~a-+ +
если
2 4- /5 ^„2 4- /21
4 4
то уравнение имеет один
корень Xi = — Ц 4" *2" +
, ,3 2 + /21
а2 — а 4~ уф ; наконец, если , т0 данное уравнение имеет два
а2_а+_1.Лз.= _а__Т._
трическая интерпретация: система у = х2 4- 2ах 4 у = — а
корня: X] = — а 4-
2 13 Г
а2 — а— Геоме-
16
2
16
4 ’
494 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
или у = х2 4 ^ах + Jg» х — у2 2ау 4 jg, У 4"а 0 представляет собою две линии;
парабола у = х2 4 2ах 4 jg и «верхняя,) часть дуги параболы х = у2 4 2яу 4 jg •
Эти линии, как показано аналитически, могут пересекаться в двух, в одной точке
или вовсе не пересекаться. Рекомендуется построить эти линии для следующих
значений параметра: I. а = — 1. И. а = —~ . III. а = -i . IV. а = ~ . V. а = 1.
3
VI. а = . VII. а = 2. 37. При а = b данное уравнение — тождество. Если а 4 Ь,
ab < 0, а 4 b 4 0, то уравнение имеет три корня: О, ±У ab. Если афЬ, но или
или а 4 b == 0, то уравнение имеет только один корень х = 0. 38. Если
| с | < 2, то уравнение не имеет корней. Если с — 1, то уравнение имеет один корень
л — b г. ,
—2—’ Ь,сли с = —Е то Уравнение не имеет корней. Если | с | > 2, то уравне-
2а — Ь (с + Ус2 — 4) 2а — b (с — Vс^4) ,
ние имеет два корня: х, =------------, х2 =............................. — (в слу-
2 4-с-|-УУ — 4 2-1-с —/с2 —4
чае | с | > 2 знаменатели этих выражений отличны от нуля). 39. Решение: данное
уравнение эквивалентно двум смешанным системам:
(а2х2 — b2) (1 — х2) 4 (1 4 х2) (а — сх)2 —
— 2х(а — сх) У (а2 — b2) (1 — х2) + (а — сх)2 =0, (I)
I л-,' < 1
и
(а2х2 — b2) (1 — х2) + (1 + х2) (а — сх)2 +
+ 2х (а — сх) ]л(ат”/У) (1 — х^ЩУХХх)2 == 0, (И)
| X I > 1
Будем решать смешанную систему (I). Уравнение, входящее в эту систему, можно
переписать так:
(а2 — х2) (1 — х2) 4 (л — сх)2 — 2х(а — сх) У (а2 — b2) (1 — х2) 4 4 — сх)2 4
4 х2 (а — сх)2 = а2 (1 — х2)2, | х | < 1,
или У(а2 — b2) (1—х2) 4 4 — сх)2 — х (а— сх)=±а(\—х2), ] х | < 1. Эта сме-
шанная система эквивалентна системе (а2 — 62) (1—х2) 4 4— сх)2 = [х (а— сх) ±
±д(1 — х2)]2, 41 < 1, х (а— сх) ± а (1—х2)>0. Упрощая уравнение, получим
(можно в силу | х| < 1 сократить на 1—х2)\
или
(а —• сх)2 + 2ах (а — сх) 4 а2х2 — Ь2,
| х | < 1, х (а — сх) ± а (1 — х2) 0
а — сх 4 ах = b, 'j
|аг|<1, } (А)
х (а — сх) — а (1 — x2)>0; J
а — сх 4 ах — — Ь,
41 <1, у (В)
х (а— сх) — а (1—х2)>0; J
а — сх — ах = Ь,
4|<1, { (С)
х (а— сх)-^-а(1—х2)>0; )
а — сх — ах =— Ь, 'j
41 <1, У (D)
х (а — сх) 4 а (1 — л2) 4 0. ]
Исследуем систему (А): если а — с, то она не имеет решений; если а 4 с, то урав-
/ * ч b — а „
нение, входящее в систему (А), имеет решение х =-------. Это значение х будет
а G-
Ответы. § 11. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
495
\ b — а
корнем данного уравнения, если а__с
b — а ( b — а
------1а — с---------
а — с \ а — с
1 и если
(6-д)21
(Я_С)2 J^U>
если же хотя бы одно из этих неравенств не выполнено, система (А) не имеет
решений. Система (В) не имеет решения в случае а = с. Если а с, то из урав-
/Г»\ "4“ л*
нения системы (В) находим х = ; это значение х оудет корнем данного урав-
нения, если
а 4~ b I , а 4- Ь ( а -4- b \
—!— < 1 и —!— 1а — с —!— — а
с — a j с — а \ с — а /
(а+^)г
(с —а)2
если же не выполнено хотя бы одно из этих неравенств, система (В) не имеет
решений. Система (С) не имеет решений, если а = — с. Если же а =£—с, то
а — b . | а — b I ,
х ~ а^~с 0Удет решением данного уравнения, при условии, что | 1 < I и
а — Ь[ а~Ь\ Г (я-б)2"! л
.—— I а _ с —— 4- а 1----?—j—> 0.
а 4- с \ а-}- с ) 1 L (я 4~ О2 J
Если не выполнено хотя бы одно из этих соотношений, то система (С) не имеет ре-
шений. Система (D) несовместна, если ^4~c==0; если же г?4-^¥=0, то х =
I а 4- b
оудет решением данного уравнения, при условии, что ——
и
a-\-b I а-\-Ь\ , Г. (а + Ь)2 4 п
—— (а — с —— )4-а 1-------т——~~ >0.
а 4- с \ а 4- с J ' L (я 4~ с)2 J
Если не выполнено хотя бы одно из этих неравенств, система (D) не имеет реше-
ний. Исследуем систему (II). Исследование этой
предыдущему, к исследованию следующих систем:
а — сх + ах = bt
системы приводит, аналогично
(А')
— х (а — сх) 4- я (1 — х2) 0;
а — сх 4- ах " — Ь,
— х (а — сх) -\-а (1 — х2) 0;
а — сх — ах = Ь,
(В')
(С')
— х (а — сх) — а (1 — х2) > 0;
а — сх — ах = — Ь,
— х (а — сх) — а (1 — х2) 0. j
Система (А') имеет решение х = ~ только в случае
b— al b — а\ , Г- (Ь— а)2
-----[а— с------ 4-а 1 —;------(2
а — с \ а — с } 1 L (а — су.
(D')
a=f=c,
Система (В ) имеет решение х = — только в случае
а 4“ bl а 4~ b \ . Г .j
—!— la __ с —!— 4- а 1 -
с — а \ с — а ) 1 L
a-\-b
с — а
а
Система (С') имеет решение х = -jpp только в случае
а — b ( а — Ь\ Г
—— (а — с —;— — а \
а 4" с \ а-\-с) L
(л + *)2
(с — а)2,
(а-Ъ)2
(« + 02.
а 4- с =£ 0,
496 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Наконец, система (D') имеет решение х =
а 4- b
а~\-с
только в случае
a -j" с =/= О,
I д + и
I а-^с I
> 1,
а 4- b /
------!-- 1а — С
а 4- с \
а 4~ b
с 4~ а
(а + <Р_Г
Ь — а а 4- b
а — с ' с — а
Данное уравнение имеет, таким образом, не более четырех корней:
а — b а 4- b .
'а~^_с » » ПРИ 9Т0М пеРвое число будет корнем, если оно
нием или системы (А), или системы (А'), второе число будет
уравнения, если оно является или решением системы (В), или (В')
вести обе части уравнения в квадрат; х1 = 0; в случае Ь2 "
л с2 Ь2
корень х2 == -j случае Ь2 < с2 это значение х не является корнем дан-
4 4
является реше-
корнем данного
, , и т. д. 40. Воз-
с2 уравнение имеет еще
__ _ 4 _____ 4 _
ного уравнения. 41. У к а з а н и е: Ух = Уь и, У а — х = Уь&, отсюда и -1- и == 1,
и4 4- v4 == ~ и а > 0, v > 0. Ответ: если а < ~ , то корней нет. Если ~ < а < Ь,
то
=Ь
уравнение имеет два
корня:
4
I / 1 I я 4~ Ь 3\
\ 2" + Г V ~~2b 4J * Х1~
; если а > Ь, то уравнение имеет только один корень
х == Хр 42. Если а > Ь, то х — Ь\ если а < Ь, то х = а. 43. Если а = Ь, то уравне-
ние обращается в тождество. Если а b и ab < 0, то уравнение не имеет корней.
Если а 4= Ь, а < 0, b < 0, то уравнение имеет корни х = 0, х == Уab; если Ь,
а > 0, b > 0, то корни уравнения х = 0 и х = — Уab. 44. Если а — & <1 0, то урав-
о 1 /Ч # 4- ь
нение не имеет корней. Если а — b > 0, то уравнение имеет корень х =—~.
§ 12. Системы, содержащие иррациональные уравнения
I. (4, 9). (9, 4). 2. (1. 8), (8. 1). 3. (jg. g), (j_. ™). 4. (« 24), (з. |).
S. (S, 3), [— у | (/Я5 + J). - (/109 -3)1. 6. (4. 4). 7. (10 + /99.
10 — /99), (16, 4), (10 —/99, 10+/99), (4, 16). 8. (3, 4), (0, —11). 9. Положить
3 __________________________________________________________ 5_________
у = kx. Ответ: (8, 1), (8, —1), (—-8, 1), (—8. —1). 10. Положить Ух 4~ у = Ух 4~ = а
„ т. я. _OTseT: (0. 0). (5. 3), (-5. -3). g. -A). (-J» . ±). (18. 8).
12. у = и. /~+ - о и т. д. Отпет: (3. 3). 13. (0. 0), (4, 3). 14. (8, 27),
(8, —27), (—8, 27), (—8, —27). 15. (81, 16), (16, 81), (—81, —16), (—16, —81). 16. Из
уравнения 5х —4 = 25у2 следует, что х > 0, а потому первое уравнение можно
переписать в виде (/х — 9у2 — 4у У х)2 = 0. Ответ: 1, ij . 17. (8, 4), (152 — 64 У (5 ,
яп iri/T\ iq ъ /25 —/19968 21 25-/19968\ 1О v ..
40— 16 у b ). 18. (5, 3), (-——- , —яр ——cJq--------) • 19. Указание. Из
\ кУ Ал kJ /
первого уравнения находим Ух2— 12у 4-1 — 4, откуда х2 — 12у == 15; второе урав-
X2 1 /~ / х 1 \ х 1
нение (у 0) можно переписать так: ]бу2~~2у г \ Зу ”4 / Зу + 4” нли
l*l2 Iх '-шУ'Л I 1 I ft/' х t \2 п 1Л! t/~x I ГЛ
(4у)2 2у V Зу+4' + \Р Зу + 4 / “ °’0ТКуда Ty ~V зу + 4 ’ Отсюда
следует, что всегда у > 0. Ответ: (б, —V (—9 — 4/б, + б/б). 20. (5, 4),
/2 1 \ / 1 2 \
(—5, —4), (15, —12), (—15, 12). 21. -Ж). 22. Указа-
\/б5/б5/ \ /65 }-65/ ____
ние. Первое из данных уравнений приводится к виду у2 (Г 4- х4) == 2х2 (14-/14- У4)’>
отсюда следует, что если х = 0, то у == 0, а если у — 0, то х = 0; однако (0, 0) —
Ответы. § 12. СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 497
не есть решение данной системы (см. второе уравнение). Данная система эквива-
лентна такой:
ИЛИ
или
= 2 (1 + /1 + у4),
y8d + y8)8
<№— 1)2
(1-2/2,
I + /1 + У4,
или
у6 + у4 + Зу2-1 =У1 + у4(у2-1)2,
Эта же система эквивалентна следующей смешанной системе:
(У6 + У4 + Зу2 - I)2 = (1 + У4) (У4 - 2у2 + I)2,
У6 + У4 + Зу2-1>0, (1-л) (1-у) =2^2 ,
или
У8 + 2у4-| = 0,У+У4+Зу2-1>0, (1-х)Д-у) = 21г2 ;
23. Решение:
(2 у — 1) Vх4 + 4х -f- 3 — (2х — 1) /у4 + 4у -j- 3 = х2 — у2 — 2х2у 4- 2ху2 + 4х — 4у,
(2у — 1)/х44-4х4-3 — (2х — 1) /у* + 4у + 3 = (2х — 1) у2 — (2у — 1) х2 + 4х — 4у,
(2у — 1)/х44-4x4-3 — (2х — 1) Vy4 + 4у + 3 =
= (2х — 1) у2 — (2у — 1) х2 4- 2 (2х — 1) — 2 (2у — 1),
(2у - 1) (х2 + 2 + fx4+4х + 3) = (2х - 1) (у2 4- 2 4- 47ТЗ)-
32
П< С. Моденов
498 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
(2у — 1) [2 + х2 + + 2л + 1) (л2 — 2л + 3) ] =
= (2л - 1) [2 + у2 + /О2 + 2? + 1) W-2y + 3)],
(2у — 1) [2л2 + 4 + 2 У(х2 + 2л + 1) (х2 — 2л + 3) J =
= (2л - 1) [2у2 + 4 + 2 /(7+2у+1)(у2-2у + 3)],
(4у — 2) [л2 + 2л + 1 + 2 /(л2 + 2л- + 1) (х2 — 2л + 3) + х2 — 2х + 3] =
= (4л - 2) [у2 + 2у + 1 + 2 У(?2 + 2у+1) (у2-2у + 3) + у2 - 2у + 3],
[(у2 + 2у + 1)—(у2—2у + 3)] [л2 + 2л + 1 + 2 /(л2 + 2л + 1) (л2—2л + 3) + л2—2л+3]=
=[(л2 + 2л + 1)—(л2—2л + 3)] [у2 + 2у + 1 + 2 /(у2 + 2у + 1) (у2-2у + 3)+у2-2у+3].
а так как
л2 + 2л+1>0, у2 + 2у + 1>0, л2 —2л + 3>0, у2 —2у + 3>0,
[(У2 + 2у + 1) - (у2 - 2у + 3)] (/л2 + 2л+1 + /л2-2л+3)2 =
= [+2 + 2л + 1) - (л2 - 2л + 3)] (Уу2 + 2у + 1 + /у2-2у+3)2,
а так как
Ул2 + 2л + 1 + Ул2 — 2л 3 > 0, Уу2 + 2у + 1 + Уу2 —2у+ 3 > О,
ТО
(V У2 + 2у + 1 — Уу2 — 2у + 3) (Ул2 + 2л+1 + Ул2 —2л + 3) =
= (Ул2 + 2л + 1 - У л2-2л + 3) (У у2 + 2у + 1 + Уу2-2у+3).
Раскрывая скобки и производя упрощения, получим (х—_у)(2лу— х— у — 4) = 0.
Если х = у, то из второго уравнения найдем х = у = . Если 2лу — х — у — 4 = 0,
3
то у =
Если 2х
3 3 _
4-1 j 2х — 11 ~ 2х — Г
3
—- = 0—это уравнение не имеет корней; если 2х — 1 > 0,
и второе уравнение принимает вид
6
то V л+1 2л—1
условию 2х— 1 > 0, а
, откуда находим лишь одно значение х, удовлетворяющее
х 4- 4
из формулы у = —j- соответствующее значение у. Итак,
система имеет два решения: ~ j, ^2 4--|-Уз , -|-УЗ —24. (4, 3),
(37*59 3/"59\ _______________
4 у -g-, —Зу у). 25. Указание. У ху = и, ух—у = v. Ответ: (5, 4).
2 2 2
26. х= и3, у = и3, z = w3. Ответ: (1, 4, 9). 27. Этот пример заимствован из книги
Е. Пржевальского <Сборник алгебраических задач» (Учпедгиз, 1941, задача № 412,
стр. 33 и стр. 230). Вот какое решение приводит сам автор: «Из первого уравне-
( < , Г 4х \ у2 . у । 1 у2
ния ^разделив обе части на у х) получим 4~ 4" f ~ > или
( У . 1\2 у2
ЬУл+2>1 = 4’ 0ТКуда
у iJL_+2 „ „ _ у2
2Ул+ 2 ~ - 2 Х-(у±1)2"
(I)
Из второго
х _
х — у — 1 “
Ух -[-Ух — у — 1 1
уравнения 7 —- = у 4- 1, или
(у 4- 2)2 у 4-1 Х 4 (у 4-1)
• 2- , или ^-3— = С / откуда
У2 X (у + 2)2
Ух ”у+2
/л-у-1 У
или
(П)
Ответы. § 12. СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 499
Комбинируя уравнения (I) и (II), найдем несколько значений х и у, из которых
удовлетворяют уравнениям х = 4, у = 2». Здесь мы имеем типичный пример «мани-
пуляций», проводимых без всякого анализа эквивалентности цепи промежуточных
систем. Словом «или», повторяемым три раза подряд, автор разделяет четыре
уравнения, каждое из которых не эквивалентно предыдущему, а именно — каждое
из уравнении + <Л) V X — Ух — у — 1 jX, „ >-+-2 . (В) у-х — у — 1 У * (У + 2)2' •Г—у— 1~~ у2 ’ Vе) У + 1 _ 4(у + 1) л - (у+ 2)2
не эквивалентно предыдущему, а последнее уравнение не эквивалентно совокуп-
ности уравнений (II)
У+1=0, x = (Е)
Действительно, уравнение (А) имеет, например, такое решение: х = 1, у = О, кото-
рое не является решением уравнения (В). Уравнение (С) имеет, например, такое
решение: х =—1, у~—1, которое не является решение^м уравнения (В). Далее,
уравнение (С) имеет решение х = 0, у — —2; но эта совокупность чисел не является
решением уравнения (D). Наконец, одно из уравнений (Е) имеет в качестве реше-
ния пару чисел х = 0, у — —2, которая не является решением уравнения (D).
Далеко не благополучно обстоит дело и с преобразованием первого уравнения дан-
ной системы; оно, т. е. уравнение
,/"у2 + х. у у! ./" 4х
Г . r Vу2+ х 4 * У2 +х ’
(F)
заменяется не эквивалентным уравнением
у2
х~~ (У±1)2 ’
В самом деле, для последнего уравнения (G), числа х == 0, у = 0 образуют реше-
ние, а для первого уравнения (F) эта пара чисел не является решением. Таким
образом, в цитированном выше решении автор заменяет первое уравнение системы
ему неэквивалентным и второе уравнение системы тоже. Неудивительно, что
в результате приходится производить проверкой отбор решений. Автор приводит
ответ: х — 4, у — 2. Эта пара чисел есть решение данной системы, что может быть
установлено проверкой. Но где гарантия того, что это есть единственное решение?
Метод автора, конечно, не может дать ответа на этот вопрос: ведь автор заменил
данную систему уравнений несколькими системами, совокупность которых не
эквивалентна данной системе, а потому среди решений данной системы часть могла
и не попасть в число решений совокупности систем (I) и (II). Таким образом, при
решении системы «произвольными манипуляциями) мы можем лишь в итоге устано-
вить проверкой появление посторонних решений, но не всегда можем установить,
есть утерянные решения или нет. Покажем, как можно изменить рассуждения
для того, чтобы быть уверенным в том, что в итоге не будут утеряны решения и не
появятся посторонние решения. Прежде всего отметим, что если какое-нибудь
уравнение системы заменить уравнением, ему эквивалентным, то получим новую
систему, эквивалентную данной. Поэтому будем, как это делает и сам автор, пре-
образовывать отдельно каждое из уравнений системы, учитывая, однако, возмож-
ные нарушения эквивалентности. Уравнение
(О)
(1)
(2)
32*
500 Ответы. Алгебра. Гл. V!. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕН
У2
-- (3). В самом деле, если выполнено равенство (1), то
0; значит, будет выполнено и равенство (2), а значит — и равен-
равенство (3), то х > 0, а тогда и у2 + х > 0;
(2), а значит, — и (1). Итак, уравнения (1) и (3)
перепишем так:
или -—л——р
4* V 4х
у2 р х > 0, х
ство (3). Обратно, если выполнено
значит, будет выполнено равенство
эквивалентны. Далее, уравнение (3)
„Ы. + 1 = L2 (3'),
4x^2 Ух Г 4 4 V }
или
(+4V=т <3")’илн
\2 /х 2} 4 7
у , 1 = 4.2
2/хТ2 ~2’
(4)
Совокупность двух уравнений (4) эквивалентна уравнению (3Z), или (3), так как,
если выполнено равенство (3), то будет выполнено одно из равенств (4), и обратно,
у 1 v у 1 у
если выполнено одно из равенств (4): —4- -т = -у- или —-U =-----------£ то
2V X 1 г 2/л- 2 2
будет выполнено и равенство (3") или (3х), или (3). Теперь перепишем уравне-
ние (4) так:
+ 1 = ± У, (4')
Ух
или
отсюда
т^ = -еггт7- (5)
Это уравнение не эквивалентно уравнению (4"), но, если к нему добавить условие
х Ф 0, то эквивалентность будет восстановлена. Итак, совокупность смешанных
систем
1 Л ~ — 1 У
и
(6)
х 0
эквивалентна уравнению (4"), следовательно, и исходному уравнению. В самом
деле, если выполнено равенство (4"), то х 4= 0 и из (4") следует у = У х (— 1 4~ у),
или у = Ух (—1 — у). В первом случае у 1, во втором случае у^—1 (если
предположить, что в случае у = У х (—1 4 У), У ~ 1, то получим у == 0, а это
противоречит условию; аналогично доказывается, что во втором случае у =J=—1),
г~ V г— V
а потому у х = —[Tip’v ИЛИ Х ~ —Г—’ кратно, если выполнена одна из сме-
шанных систем (6), то будет выполнено и одно из уравнений (4")- Далее, первая
из смешанных систем (6) эквивалентна следующей:
у
а вторая — следующей:
v у
-у-V
(7х)
(7")
О, —3----
— 1 — У
В самом деле, если (в поле действительных чисел’) выполнены условия
Ух
-I + У
х Ф 0, то будут выполнены и равенства (/'); обратно: из условий (7')
у
следуют соотношения У х =
х 4= 0. Аналогично доказывается эквивалент-
>— v
ность смешанной системы у х = ---, х Ф 0 и системы (7Z/). Итак, первое из
уравнений данной системы эквивалентно совокупности двух смешанных систем: (7х)
и (7"), в том смысле, что любое решение одного только первого уравнения данной
системы является решением одной из систем (7х) или (7ХХ); обратно, всякое реше-
ние любой из смешанных систем (7х) или (7ХХ) является решением первого урав-
Ответы. § 12. СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 501
нения данной системы. Преобразуем теперь второе уравнение данной системы
/* + /х-у-1 — (у (Ух — Ух — у — 1) следующим образом:
X ]Х — у ~ 1 ~ У Ух + Ух — у Ух — у — 1 — Ух — у Т,
или
(У + 2) У х — у—\ = у У х. (8)
Итак, второе уравнение данной системы эквивалентно уравнению (8). Таким обра-
зом, данная система эквивалентна совокупности двух смешанных систем:
(у 4-2)1 Л-у-1-у/х
(9')
(У + 2) \'х — у — 1 = у Ух
(9")
(9)
т. е. все решения смешанной системы (9') и все решения смешанной системы (9")
будут всеми решениями данной системы. Будем решать смешанную систему (9').
Докажем, что эта система эквивалентна такой:
х = ( —, X > О, —i-j- >0, ]
\ у — 1 / у — 1 |
у (у 4- 2) > 0, х — у— 1 > 0, f (10)
(у+ 2)2(x-y-l) = y2x. j
В самом деле, из равенств (9') следует, что у 9=0 ^так как ~f > о) и у
(в противном случае у Ух = 0, откуда или у = 0, или х = 0, чего не может быть),
а значит у и у 2 — числа одного знака (это следует из у Ух = (у 4~ 2) Ух — у — 1),
т. е. у (у + 2) >0. Обратно из соотношений (10') следуют соотношения (9'). Урав-
нение (у + 2)2 (х — у — 1) = у2х можно переписать так: (у + 1) [4х — (у 4~ 2)2] = 0.
Если у — —1, то v (у + 2) < 0, что противоречит условию у (v -|- 2) > 0, входящему
/ у \2
в систему (10'). Значит, остается 4х—(у -}-• 2)2 = 0. Решая систему х = (—’
4 v2 2 v
4х — (у + 2)2 = 0, находим: ^4лр 4 "+ 2>2, /—Т = 1 <> + 2). >’> = ~1’ >’2 = 2>
/17 —з — /17 — з „ .
у3 = l— ---, у4 = —- Q-----. Значение У] = —1 не удовлетворяет условию
у(у-|-2)>0, значение у2 = 2, следовательно, х2 = 4 удовлетворяет условиям
системы (Ю'). Значение у3 = ~ не удовлетворяет условию —-р > 0. Если
— /17 — 3 ( у, \2 9 —/17 _
у4 — —Цг------, то х4 ~ I—г =---------. Значения х4 и у4 удовлетворяют
3 \ У 4 1 / О
всем условиям системы (10'). Исследуем систему (9Л/). Эта система эквивалентна
такой:
' - > “ =1/ >“><’ + 2> > “Л (№)
х — у — 1 >0, у2х = (у 4~ 2)2 (х — у —1). j
Преобразуя уравнение у2х = (у + 2)2 (х — у — 1), как и выше, получим уравнение
(у \2 / у \2
-—jJ , 4х = (у -j- 2)2, получим: 4 ~—-j =
(у + 2)2, ± [-4у = у + 2’ откУда >’1 = , у2 = . Значение yt
V ГХ
не удовлетворяет условию —- > 0, а значение у2 не удовлетворяет услозию
502 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
у (у 2) >0. Значит, система (10") не имеет решений. Итак, данная система имеет
/Э —/17 — /17-3\
два решения (4,2) и I---, ---------2----) '
28. (3, 2), 29. (2, 1), (1, 2).
§ 13. Системы, содержащие иррациональные уравнения с параметрами
1. Если или а < —2, то два решения:
(а У а2 — 4\3 ,
1- 2 11
1+(« + ЦУ)'
! ; (<2+1^'
Если а = —2 и b 4= 0, то система несовместна. Если —2 < а < 2, то система несов-
местна. Если а = —2, 6 = 0, то все решения (X, —X), где К — любое отличное от
нуля число. 2. Если а = b = 0, то решением является х = у = 0; если 6 = 0, а Ф 0,
то система несовместна; если 6 =4 0, а = 6, то решения системы (0, а) и (а, 0);
если 6=4 0 и 6 = — а, то решения системы (0, —а) и (—а, 0); если 6 (62 — а2) < 0,
то система не имеет решений; если 6 (62 — а2) > 0 и (Зя2 — Ь2) (ЗЬ2 — я2)^0, то
Г Я2 + &2±/(Зй2 — Л2) (ЗЙ2^2) Д2 /,2 т у (Зд2 _ 62) (362 _ д2) -]
решения системы ---!----"----------------’} ---!--r_L_o— ------------с ,
Если 6 (62 — a2) > 0, но (Зя2 — 62) (362 — я2) < 0, то система не имеет решений.
_ fi+/3 , _/;. Т11Л5- 1 Г1—/з ,,,г; пттг з
з. L—2—а' ~ v 1 + 18 ' 3 а ] ’ L—2-----а’ ±У 1 — 18'3 а_Г 4- Указа-
н и е. В силу второго уравнения ху + ау — ах = 0, а петому (я — у+я)2 = х2 4- у2 + я2.
Полезно далее еще заметить, что из (х — у + я)2 — 4ху = 0 следует (х — у -j- я)2 —
— 4 (ах—ау) = 0, (х — у—а)2 = 0, х—у—а — 0. Ответ: (14-^5), ~ (—1+V5 )J ,
[тг (1—У 5) , — (—1 — У 5)j. 5. Если я6>0, то система имеет два решения:
(я, 6) и (6, я); если ab < 0, то система не имеет решений. 6. Если а = | 6 |, то
(0, 6) и (6, 0) — решения системы; если а I 6 |, то (0, 6) и (6, 0) — не решения;
если я = 0, 6 0, то решений нет; если я = 6 = 0, то система имеет единственное
решение (0, 0); если я < 0, то решений нет. Пусть я > 0, тогда первое уравнение
системы будет эквивалентно уравнению
(1)
Это же уравнение будет эквивалентно уравнению
или
Из уравнений (1) и (2) следует, что х^у2-'тх2у^ 4- Зх2у2а~-
о
((12-- -v-2 _ \'2\3
-----3——) , или
3 / а2х2у2 = а2 — х2~ у2.
(3)
Ответы. § 13. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ПАРАМЕТРАМИ
503
Можно сказать, что это уравнение следует из одного лишь уравнения (1), так
как (1) и (2) — эквивалентные уравнения. Рассмотрим тождество (Ух2 4~ Уу2)3 ==
= х2 + У2 + 3 }^х2у2 (Ух2 У У2). Отсюда и из (3) следует, что (Ух2 4- Уу2)3 =
= а2—3 Тр) , (T^+Tj^)3—л2=3
—Т^) (Fr + —i^2) —F^T2 + FF + рт (F^2 + Fy2) + = o.
а так как второй множитель положителен при любых значениях х и у, то
^2 + )v?2 = F«2.
(4)
Таким образом, уравнение (4) есть следствие уравнения (1). Обратно: если выпол-
нено уравнение (4), то, возводя обе части уравнения в куб, получим (3), а затем
из тождества ()zx4 * *y2 Ух2у4)3 = х4у2 4~ х2у4 4~ Зх2у2 (Ух4у2 4“ У х2у4), или
(у х4у2 4- Ул*2у4)3 = х2у2 [х2 4~ У2 + 3 Ух2у2 (Ух2 4~ У v2)], учитывая (4), получим
(}х4у2 4- Ух2у4)3 — х2у2 (х2 4~ У2 + 3 Уа2х2у2). Затем, учитывая (3), получим
()3 х4у2 4- Ух2у4)3 = а2х2у2 и, снова учитывая (3), получим (Ух4у2 4~ Ух2у4)3 ~
-- I---------— ; следовательно, 1 х4у2 = у х2у4 ~-------------—, т. е. мы при-
\ 3 / о
ходим к уравнению (1). Таким образом, первое из уравнений системы эквива-
лентно уравнению Ух2 4- У У2 = fra2. Будем решать систему fr х2 4~ fry2 = У#2,
х 4~ У + 3 fr Ьху = Ь. Произведем замену переменных: frx = и fr a, fry = vfra.
ь
Получим: и2 4- ^2 = 1, 4~ и3 + 3cuv = с3, где с = “|/ — , или (и v)2 — 2uv = 1,
(и 4~ и) [(^ + ^)2 — 3uv] 4~ Scuv = с3, или X2— 2р_ 1, X3— З/.л 4- Зсу = с3, где
/< = zz 4-v, р = uv. Исключая р, получим: /ч = с, Х2 = с + УЗ Ус2 4- 1, Х3 = с —
r_ г______ —1 F —1 X2. —1
—У3 Ус2 4- 1, Pi = —-— , р2 = —g— , р3 = —g— . Теперь и и v найду гея как
л2 — 1
корни уравнения г2 — Хг 4-----g— = 0ТСЮДа
Х±У2 —X2
*1, 2 = -Цу-------•
Так как система решается над полем действительных чисел, то при 2 — Х2>0; и г2
будут равны и и v, а х = аи3, у — av\ т. е. система будет иметь решения
г /'. f -iFo Г2Л3 л Г 2 /2 \31 г /> гт 3 । тЛз ГТ\31
2 j
— Л2
2
решения:
Таким образом, 1) X = Xj — с. Если 2 — J/ 0, то система имеет следующие
rF2=FV п (с У2 I L F-F2^y; а ^ + F2^Fj3j .
/ b2
Если же 2 — 1/ < 0, то ни одна из этих пар чисел не есть решение. 2) X
с 4- у 3FcH71- Если 2 — /.] = 2 — (с + У зУ<Т+~1)2 > 0, т. е. —2УЗ?Fc2 + 1 >
4С2 _j_ j, то система имеет еще два решения (см. ниже). Условие 4с2 4~ 1 <
3/Л 77
<___2 У 3 с Ус2 + 1 ие будет выполнено, если с >0, т. е. 1/ — 0, т. е. если > 0
(ибо сейчас мы предполагаем, что а > 0). Если b < 0, то с < 0, и это условие может
быть выполнено; однако оно в случае с < 0 эквивалентно следующему 12с2 (с2 4~ 1)^>
16с4 4» 8с2 _р ] или 4с4 — 4с2 4- 1 < 0, (2с2 — I)2 •< 0, откуда с2 ~ , с — — ^2*
1
Итак, только при I/ - - -
F а
ствующее X = X, == F 2): (
система имеет следующее решение (соответ-
а
а
Х3 — с — У 3 Ус2 + 1. Рассуждая
504 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
как и выше, найдем с = —rL- , X = — У 2 , решение: (-,-----. 7. а) если т
/2 \ 2/2 2/2/
и п — нечетные числа, то вместе с решением (х, у, г) система имеет решение
(——у, —г). В случае, если т и п — нечетные числа, то данная система экви-
валентна следующей:
. т
тп
тп
тп
т
= У&-
1 т
тп — 1
Складывая, получим (х 4- у + г) тп == —
, откуда в силу того, что
пт—1 — четное число:
тп
т
т
Значит у 4" г == V
т _
Ус. Следовательно,
отсюда находим х, у, z; система имеет, следовательно, два решения:
(1)
а + у b + Ус
У а У У*
2
т тп~
1 / т т т
1/ У“+Уъ+У~с
(2)
б) если пг — нечетное, а п— четное, то тп — 1 — нечетное число, а поэтому система
решение (1), в) если т— четное и п— четное, то дан-
совокупности следующих систем:
имеет в этом случае одно
ная система эквивалентна
тп
т
зУ
___z 4 х
тп
т
= г2УУ
где г2, е3, независимо друг от друга, принимают
т т т
значения 4-1
тп-\
получим (х 4- У 4~ г) тп
тп
число, ТО (х 4~ У 4~ 2)тп =
2
т т
а + ЧЗ^А £зУ с так
. Так как
и —1. Складывая,
тп — 1 — нечетное
как тп — четное
число, то решение здесь существует лишь в случае х 4- у 4 z > 0 и значит для
’ тп
т
т
,— *
т
т т т
2
2
4Z ,
* Отметим, что если р — нечетное число, то при целых р и q\
Q __ / 7 _ / Г_,
= a) U4.
Ответы. § 13. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ПАРАМЕТРАМИ 505
еь е2. £з допустимы лишь такие наборы из 4-1 и —1, для которых
tn tn т _
У а ^2 У^ + £з Ус >0. Так, например, следует отбросить набор значений
Ej =—1, е2 = — 1, е3 = —1 и далее; если, например, е, =—1, е2 = 1, е3 = 1 дает
т т т
положительное значение для суммы £t У а 4~ е2]/Т + г3 Ус , то при е, = 1, £2 = —1,
£3 = —1 эта сумма будет отрицательна и набор значений = 1, е2 ==—1, е3 = —1
следует опустить. Итак, для наборов £,, е2, £3 из значений 4-1 и -^-1, для которых
т шт т т _ т
Ej У а + £2У^ + £з V с > 0, найдем х 4- у — £3Ус X, У + х — гхУ а X, z 4~ х = £2У^ X,
где X =
тп-\ г т т т
1 / £iУ^ ~ь£2У^ н~ £зУс
2
Таким образом, решения системы сле-
дующие:
т т т тп Г" т т т
— У я 4" £2 V b 4- £з V с | / £ 1 у а 4~ ^2 У^ 4“ £зУс
2 Г 2
т т т т,1~ Г т т т
£ * 1 а ---- £ 2 V + £ 3 У С J// £ 1 V Д 4~ £2 £3 У С
т т т т /"* т tn т
£ j } <7 4“ е2 У — £3 V С | / £ 1 Уа 4~ £2 Т + £3 V с
|/ 2
где еь £2, принимают значения -j 1 и —-1 независимо друг от друга, но допу-
т т tn
стимы лишь такие наборы, для которых е, У a -f £2 У b 4~ £3Ус >0, г) пусть,
наконец, т— четное, а п — нечетное. Тогда всякое решение (х, у, z) данной
системы таково, что х 4- У + 2 > 0; рассуждая как и выше, приходим снова к тем же
решениям, что и выше, в случае четных т и лг, с теми же ограничениями на
наборы знаков для еь е2 и £3 (для радикала четной степени тп— 1 следует брать
в силу х 4- У 4- 2 > 0 лишь положительное значение). 8. Система имеет всегда
решение (0, 0, 0). Ниже говорится о решениях, отличных от этого. Если а b 4~ с = 0,
1 . 1 . 1 л Г У/~ Ьс (Ь 4- с) / У/~ ас (а-у с)
~а~^Ь^ с < ’ Решение [ а у QjC са _|_ аьу * у Ц)С са аь)2 »
a/” ab (а 4- b) I л 1.1.1 А
— с]/ у,——4—• Если а 4- Ь 4~ с = 0, но---к г 4--->0, то решении нет.
г (Ьс у~ са-у ab)2 \ 11 а 1 b 1 с г
Если а 4- b 4- с 4= 0, -..— > 0, < 0 и (bcy~cayab)2^Aabc GH-^-f-c),
* [ ay- b ~у с а у~ b ~у с
то решения
[У X (X 4~ а), ]/ X (X 4* Ь), У'Ь (X 4~ с)], (1)
где X—-любое из двух положительных чисел:
X __ — + са - Уса а^2 — ^abc (а У- b -у с)
“ 2К+ПГ7) •
Если а -УЬ-у с =У 0, —< 0, > о, то одно решение (1), где
1 а 4- b 4- с a-у о ~у с
X — действительное число, определяемое соотношением
—• (Ьс 4- са -у ab) 4~ У (Ьс 4- с а 4- ab)2 — 4abc (а 4- b 4- с)
"" T(^yb + c)
, , ,ч abc „ be ~У са -У ab _ „ „
Если а-УЬусУ~У —Г — < 0,----L-T—J--< 0, то решении нет. Если
i 1 ' а -у Ь У- с а -у Ь у~ с
, , , _ abc ~ be ~у са у- ab л „ л ..
а j_ ь .и с ф о, —--> 0, —L---4— > 0, то решении нет. 9. Из данных урав-
1 1 v <2 4- b -4- с а у- Ь ~У с
нений следует, что для всякого решения (х, у, z) будем иметь х >0, у > 0, zy> 0.
В самом деле, х как сумма двух неотрицательных чисел У?2 — а2 и У у2 — а2 не
может быть < 0. Если же х == 0, то из второго уравнения: у = У— Ь2 --j- Уz2 — b2,
506 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
что возможно лишь при b = 0, а нам дано, что b > 0. Данная система эквивалентна,
таким образом, следующей системе:
х2 = г2 + у2 — 2а2 4- 2 К(72 — а2) (у2 — &),
у2 = л-2 4- г2 — 2Ь2 + 2 /(х2 —ft2) (z2 —ft2) ,
z2 = х2 + у2 — 2с2 + 2 ]Л(х2 — с2) {у2 — с2) ,
х > 0, у > 0, г > 0,
или следующей:
(х2 — z2 — у2 + 2а2)2 = 4 (г2 — а2) (у2 — а2),
(у2 _ хг _ г2 _|_ 2ft2)2 = 4 (х2 — ft2) (г2 — ft2),
(z2 _ Х2 _ у2 2с2)2 = 4 (х2 — с2) (у2 — с2),
х2 _ 22 _ у2 2а2 > 0,
у2 — X2 — z2 + 2ft2 >0,
г2 — х2— >24-2с2>0,
z2 > а2, у2 > а2, х2 > Ь2, z2 > ft2, х2 > с2, у2 > с2,
х > 0, у > 0, г > О,
или после преобразований первых трех уравнений:
4а2х2 = (х + у + г) (— х + у 4- г) (х — у + z) (х + у — г),
4ft2y2 = (х 4- у 4- г) (— х 4- у 4- г) (х — у 4- г) (х 4- у — г),
4с2г2 = (х + у 4- г) (— х 4- у 4- г) (х — у 4- г) (х 4- у — г),
х2 — z2 — у24-2а2>0,
у2 —х2 —z24-2ft2>0
г2 — х2 — у2 + 2с2 0,
z2 > а2, у2 а2, х2 Ь2, г2 Ь2, х2 с2, у2 > с2,
х > 0, у > 0, z > 0.
Обозначая (х + у + г) (— х + у + г) (х — у + г) (х у — г) через 16s2 (s > 0) и
учитывая, что а > О, b > 0, с > 0, х > 0, у > 0, z > 0, получаем:
ах = by = cz = 2s,
х2 — z2 —у2 4- 2а2 > О,
у2 — X2 — z2 4- 2ft2 > 0,
г2 — х2 — у24-2с2>0,
> я2, У2 л2, х2 Ь2, z2 Ь2, х2 с2, у2 > с2,
х > 0, у > 0, z > 0.
Из уравнений ах = by = cz == 2s находим:
+у + т)-
-x4-y4-z = 2s (-I4-I4.I).
1 о П 1 , Ч
х-~у + <г = 25-----------,
\ а b 1 с /
о /1 , 1 1\
х-4-у — z = 2s —4 -V-----.
1 J \а 1 b с J
Ответы. § 13. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ПАРАМЕТРАМИ 507
Обратно: из этих соотношений следует, что ах = by = cz == 2s. Таким образом
данная система эквивалентна следующей:
т 2 — 2s I-р -з—---),
\ а 1 b 1 с )
-л + ^ + г= 2s(~|+ } + })-
л_у + г = 2х(1_± + 1)>
x + y-^ = 2S(l + l-l),
х2 — z2 — у2 + 2а2 О,
у2 —х2 — г2 + 262у0,
z2 — х2 — у2 + 2с2>0,
z2 > а2, у2 а2, х2 b2, z2 Ь2, х2 с2, у2 > с2,
х > 0, у > 0, z > 0.
Если (х, у, г) — решение данной системы, то из данной системы очевидно, что
. । х 1 , 1 1
х < у г, у < z х, z < х 4- У, а потому должно быть еще: у + у < ~ >
~cJr~a<~b,~aJr~b'<~c'’ Перемножая первые четыре уравнения последней
системы, находим:
ifi2 1с JI i 1 , 1 V 1 , 1 , 1 \/1 1 , ЦП , 1 IV
\a ' b ' c)\ a ' b 1 c / \ a b 1 c)\a 1 b c )
откуда
2s 2s 2s
Теперь находим: x = —, У = у» z = — . Остается проверить выполнение всех
условий последней смешанной системы. Это сделать проще всего геометрически.
11.111,111.1/
Пусть выполнены неравенства: у < у + у» у < у + у » у < у + у (если не
выполнено хотя бы одно из этих неравенств, система не имеет решений), тогда
будут выполнены и неравенства х < у z, у < z х, z < х у, а так как х > О,
у > 0, z > 0, то х, у, z можно рассматривать как длины сторон треугольника,
s— ег0 площадь, а а, b и с — высоты. Условие х2— z2— у22я2 > 0 означает,
что основание высоты лежит на стороне х (а не на ее продолжении), так как
уг2 — а2 и уу2 — а2 — эт0 отрезки, на которые высота а делит сторону х, и если
основание высоты а лежит вне стороны х, то х равен разности этих радикалов
д: == ±(y~z2 — а2 — VУ2 ~ а2\ откуда х2 < z2— а2у2 — а2. Аналогично условия
у2 — х2 — z2 у262>0, z2 — х2 — у2 у 2с2 у 0 означают, что основания высот b и с
лежат на сторонах у и z. Отсюда следует, что треугольник со сторонами х, у, z
не тупоугольный. Легко видеть, что для такого треугольника все условия
смешанной системы (I) будут выполнены. Итак, если
1 1 I _1 1 1x11/1x1 1<-1j__1
а < b ‘ с ’ b < с а ’ с а, ' b ’ а2 62 ‘ с2 ’ Ь2 с2 1 а2 ’ с2 а2~^ Ь2’
(П)
то система имеет единственное решение:
2
а
508 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Если же хотя бы одно из неравенств (II) не выполнено, то система не имеет реше-
ний. 10. Если х = 0, то у = z = 0; если у = 0, то х == z = 0; если z = 0, то х = у = 0;
таким образом, система имеет решение (0, 0, 0), и для всякого другого решения
(х, у, z) будем иметь х Ф 0, у =4 0, z =4 0. Будем искать только такие решения.
Если (х, у, z) решение такое, что х =4 0, у #= 0, z =£ 0, то должно быть yz > 0,
zx > 0, ху > 0, х + z > у, у х > х, х у > z, откуда следует, что х > 0, у > 0,
z > 0 и значит х, у, х можно рассматривать как длины сторон треугольника.
Отсюда также следует, что данная система не имеет никаких решений, кроме
(0, 0, 0), если хотя бы одно из чисел а, Ь, с отрицательно или равно 0. Пусть а > 0,
b > 0, с > 0. Полагая х + у + z = 2р, можно данную систему записать в виде
ARC
2а sin ~2 = х, 2b sin = у, 2с sin = х. Но х — 2R sin А, у = 2R sin В, z 2R sin С,
где R — радиус описанного круга; значит,
АВС
2а sin -у- = 2R sin A, 2b sin -у = 2R sin В, 2с sin = 2R sin С,
или
Отсюда
или
R cos = a, R cos
, Л В _
Ь C0S — CL COS “2" “ 0»
А С
с cos -----CL COS == с
А , А
== с cos -----я sin cos
-у = /? cos -у = с.
А С л
с cos -----a cos -£-=(),
А А + В
cos 2---я sin---— —
В А В л
~2---a cos sin = 0;
но cos = — cos --у- . Следовательно, с cos -у-b cos sin —a cos -ту- sin = 0,
А А В А
и так как cos -g- =4 0, то b sin -у + я sin с. Отсюда и из уравнения b cos ——
В А
— a cos -j- == 0 находим
Л 4 А .
I р sin -ту- -j- a sm
А
cos ~2--a cos
= с2
или
а2 Ц- Ь2 — 2ab cos -^-х— = с2, а2 -|- Ь2 — 2ab sin ~ = с2,
л
с а2 4- Ь2 — с2
Sin 2 ~ 2аЬ
а2 । ь2 — с2 .
и значит z = с----——г----. Аналогично находим
2ао
__ а(Ь2-\-с2— а2) _ b (с2 -|- а2 — Ь2}
Х 2Ьс ’ У-----------------------2Й
Таким образом, данная система не имеет решения, отличного от (0, 0, 0), если
хотя бы одно из чисел а2 Ь2 — с2, Ь2 -|- с2 — а2, с2 а2 — Ь2 отрицательно или
равно 0. Если же Ь2-^-с2 — а2 > 0, с2 + — Ь2 > 0, а2 4- Ь2 — с2 > 0, то, кроме
n m (а(Ь2-А-с2 — а2) b (с2 а2—Ь2) с (а2 4 Ь2—с2)\
(С 0, 0), система имеет еще решение (~ ^ 2Ьс------1 —2ас--------' —2аЪ------J*
2ас
Ответы. § 14. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 509
это необходимо еще проверить подстановкой, так как нами здесь значения для х,
у и z получены как следствие из данной системы. 11. Если а — 0, то система имеет
решение (0, 0); если а 0, то система не имеет решений. 12. Если а < 0, то си-
//153—11
стема не имеет решении; если а > 0, то система имеет одно решение I ’-jg-а,
13 —/153 \ v
-----л-----а\ 13, Указание.
о /
— У уД2 —у2) = т^-С/Д + у —/х —у)2
и далее умножить обе части первого уравнения на У ху— Ух — у. Ответ: если
?,г----------- --------------
b > 0, b 4--—>0, b-----------— >0, то система имеет решение
( Ь* + 12^2^4- 4а У 4а 1г У 4а + 4а \
\ "W ’ 4b2 Г’
если же или b < 0, или
решений 14.
, , удъ . . уд« л
b •---— < о, или b — —,— < 0,
‘a b ’
то система не имеет
/б + / 2 ь.
2
/-/6 + /2 _/(i_/2 \ /,_/(5-уД , _/б + /2 \
(-----2---Ь' -----2---а)’ ----2----Ь' ----2~~4’
15. Если а < 0, то система не имеет решений; если а>0,то система имеет два
решения:
/ а2 — 62 а2 + 62 ± /а4 — 6а262 -|- 64 \
\ а 2а )'
§ 14. Иррациональные неравенства
1. Область определения функции ]^25 — х2 У х2 1 х определяется условиями
25 — а2 > 0, а2 4~ 7а > 0, откуда 0 х /4 5. Данное неравенство
/25 — х2 -j- /х2 + 7х > 3
эквивалентно следующему:
(уДТ—Д2 + /хЧ7 7х)2 > 9.
(1)
(Д
В самом деле, если выполнено неравенство (1), то в левой части этого неравенства
будет стоять положительное число; значит, квадрат этого положительного числа
будет больше 9, т. е. будет выполнено неравенство (2). Обратно: если выполнено
неравенство (2), то, замечая, что }/Г25 — а2 4- Ух2 7 а — число положительное
(считаем, что 0<х<5 и для каждого радикала берем положительное значение),
после извлечения корня получим неравенство (1). Упрощая неравенство (2), полу-
чим: 25—х2 + 2 |г25 — х2 Ух2 -j- 7а: х2 7х > 9, или 2 У"25 — х2 У1х -j- х2 > —
— 16 — 7 а. Если 0 < 5, то — 16 — 1х < 0, а так как 21^25 — х2 Ух2 4~ 7а > 0,
то последнее неравенство, эквивалентное данному, будет выполнено при всех х
таких, что 0<а<5. Но так как 0 х <4 5 есть область определения функции,
стоящей в левой части данного неравенства (1), то сегмент [0, 5] и дает все реше-
ния неравенства (1). 2. Пусть выполнено данное неравенство (1), тогда ]/г(а4~2) (х—5)
есть действительное число, а потому (х 4- 2) (х — 5) > 0, откуда х — 2 или а > 5.
Кроме того, число V(a4- 2) (х — 5) положительное или равно нулю (так как для
квадратного радикала из положительного числа мы берем лишь положительное
значение), а так как 8 — х > ) (х J, 2) (х — 5), то и число 8 х > 0, откуда х < 8.
Значит, если выполнено неравенство (1), то а-<^ — 2 или 5 <4 х < 8. Кроме того, из
неравенства (1) следует, что (а 4-2) (а —5) < (8 — х)2, так как если неравенство (1)
выполнено, го У(х --j- 2) (а• — 5) > 0 и 8 — х > 0. Итак, из данного неравенства
-следует, чю а <4 — 2 или 5 <4 х < 8 и (л* 4~ 2) (а* — 5) < (8 — а)2. Обратно: если
выполнены неравенства (а 4~ 2) (а — 5) < (8—а)2, а <1 — 2(2') или неравенства
510 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
(х + 2) (х — 5) < (8 — х)2, 5 < х < 8 (2") и (х + 2) (х — 5) > 0, 8 — х > 0, то значит
будет выполнено неравенство (1). Итак, неравенство (1) эквивалентно совокупности
двух систем неравенства (2') и (2"), или
X < — 2, х < (2J) и 5 < х < 8, X < Ц- (2");
отсюда и находим все решения данного неравенства: х < — 2, 5 < х < . 3. Если
неравенство (1) выполнено, то 1 — х > 0, х >0, т. е. 0<л<1 и уг1-х>/ X,
т. е. 1 —х > х, т. е. х < -% . Таким образом, 0 < х < ~. Далее,
(УГ=^~Ух)2> 1.
о
Итак, если выполнено неравенство (1), то
0<х<1, (УГ^-Ух)2 >1. (2)
Обратно: если выполнены неравенства (2), то У1 — х и Ух—действительные
числа, причем У1 — х > Ух, а потому из неравенства (У1~х — Ух)2 >~ сле-
о
дует, что У1—х — Ух>—. Итак, неравенство (1) эквивалентно системе не-
V 3
равенств (2) или 1 — х — 2 У1~ х Ух + х > Д-, 0 < х < Д, или
о 2 о
0<х < у. (2'), Из неравенств (2') следует, что
х(1 — *)<-§-. 0<х<^. (3)
Обратно: если выполнены неравенства (3), то х > 0, 1 — х > 0, а потому из нера-
венства х (1 — х) < Д следует, что Ух У1 — х < ~ . Значит, система неравенств
(3) эквивалентна системе неравенств (2), следовательно и неравенству (1). Решая не-
равенство х (1 — х) < 1 или х2 — х + ~ >0, находим или х < Д — JlA или
У У 2 g
1 . <5
х > ।---б-• Итак, данное нам неравенство эквивалентно двум следующим сис-
темам неравенств:
х < 2 6“ ’ ° Х < У
и _
х > ~2 + ~ТГ 1 0 < ^ < у • (42)
Система неравенств (41) эквивалентна следующей системе 0<л<у — Др
а система неравенств (42) не имеет решений. Итак, все решения данного неравен-
ства: 0<х<——Д-Д. Второй способ: УЧ—х > Ух + -J=r . Считая 0<х<1,
6 уз
можем утверждать, что это неравенство эквивалентно следующему:
значит,
()</*<
-1+У 5
2У 3
З — У 5
6
При решении иррациональных неравенств, содержащих логарифмические и показа-
тельные функции (а также тригонометрические и обратные тригонометрические
Ответы. § 14. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
511
функции), можно исходить из следующей теоремы: если элементарная функция /(х)
определена при всех значениях х, удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь, и если
при всех этих значениях х она не обращается в нуль, то при всех этих значениях х
она сохраняет знак. Справедливость этой теоремы следует из непрерывности эле-
ментарной функции, которая определена при всех х из некоторого интервала (а, Ь),
а также из свойств непрерывной функции. Это замечание позволяет свести вопрос
о решении неравенств к вопросу об отыскании области определения элементарной
функции f (х) (что часто приводит снова* к решению неравенств, только более про-
стых), корней элементарной функции и изолированных точек, в которых она не
определена. Решим задачу (3) этим способом. Перепишем данное неравенство
в виде У1 — х — У х — > 0 и решим уравнение У1 — х — Ух — или
У1 —-х — Ух = . Возводя обе части уравнения в квадрат, получим
У з
— х —2У1 —хУ х-{-х = ~‘2У х — х2 = — ~ , Ух— л-2 = А-, X — х2 = ;
О О О У
отсюда х{ =----и х2 = —"^0---------• Из этих значений х корнем уравнения
У1 —х — Ух — является только х}. В самом деле,
/3
/ - - / д^=/д^ - / дд -
= 1 ГО+УЗ)2' 1 Г (/5-1)2 = /5 + 1 _/5-1 = _1^
|/ 12 V 12 2/3 2/3 /з‘
Выражение /1—х— /х при подстановке в него х2 вместо х обращается в----------
1 г 3 ’
следовательно, х2 не является корнем уравнения У1 — х — Ух = Теперь за-
V 3
метим, что функция УЛ — х — Ух-------— определена при всех х, удовлетворяю-
V з
щих неравенствам 0<х<1. Корень X! разбивает сегмент 0<х<1 на два полу-
интервала:
О <>х
3 —У 5
6
(А)
3 —У 5
6
< х < 1.
(В)
Для какого-нибудь значения х из промежутка (А), например для х = 0, мы имеем
У1 —х — У~х = 1 > . Для какого-нибудь значения х из промежутка (В), на-
д _______ _ i
пример, для х = 1, имеем У1 — х —- Ух = — 1 < . Значит, на основании сфор-
V з
мулированной выше теоремы данное неравенство выполнено тогда и только тогда,
3________________УЗ
когда 0 < х <-----. 4. Если выполнено неравенство
х2
то 1 -\~х^0, т. е. х>— 1. Далее, при тех же условиях
л „ /(1-/ГД)2
(1+/1+х)2(1—/1 + Д2 ’
или х — 4 < (1—/1+Д, или /1 + х < 3, откуда 1+х<9, или х < 8. Итак,
< еесли неравенство (1) выполнено, тох>—1, х < 8 и обратно. Значит, все решения
: ^данного неравенства — Г<х<8. 5. Первый способ. Области определения
512 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
функций, входящих в данное неравенство, определяются условиями (см. заме-
чание к решению задачи 3 этого параграфа) х > 0 и х Ух; таким образом, при
все функции будут определены. Решая уравнение У х-\~Ух— Ух — Ух--^
3 Г х „ 25
= — -\ / ------. находим единственный его корень х = —. Область опреде-
2 I/ х 4- Ух 16
Г * Г 25 \ / 25 \
ления [1, 4-со) —этот корень разбивает на две части: 1, -yg-) и (yg-, 4-ooj.
Если взять, например, х = 1, то V1 -j-У 1 — У^1 — У 1 = У 2 будет больше, чем
3 Г 1 3
— 1 / ------; значит,
2 V 1 + /1 2/2
У X 4- У X — V X — У X >
при всех х таких, что 1
25
'16 *
/9+/9 — /9 — /'9 = /12 — У 6
Если взять, например,
будет меньше, чем
то
= ALA- значит, Ух 4- Ух — У х — Ух < — 1 /~ —при всех
12 4 ’ 2 |/ х-}-Ух
25
Итак, все решения заданного неравенства l<x<jg-. Второй спо-
соб. Область определения функции У х 4- Vx-V Х — Ух —
1 / х
2 ]/ х + Ух
есть
х > 1. Далее, считаем, чтох>1. Система неравенств У х + У х— У х—Ух >
> ~ 1/^-----1, ИЛИ Ух + Ух — УX—УX > — 1 /----------------л>1
2 У х + Ух 2 V 14-/*
эквивалентна следующей: У/л'4~1— V У*—1>-, х^Л, или
2 У1+Ух
Ух 4-1 —Ух — 1 > ~1, или/ х — Ух—1 > у , х>1, ИЛИ У X > Ух—1 4-~,
___ । ____3 25
Л>1, ИЛИ X > X— 1 4- Ух—1 4“> 1> ИЛИ /л—1<у,Л>1, ИЛИХСр,,
25 / 1 \
л>1, или 1 < х < . 6. (5, 4-ос). 7. (—со, 0). 8. ( — со,--у-), (3, 4- со).
10 \ о /
9. (3, 11). 10. (0, 5). 1L (9, 10), (34, 35). 12. (—2, —/12], [У 12, 2).
13. (1, -- ’ (~~ОТ ° ’ ”^со)’ 14. Область определения функции, стоящей
в левой части неравенства, есть сегмент [—2, 2];
/2х + 4 —2/2 —х —2 2-г + 4 4(2 —>о,
V 9х2 + 16
(/2x4-4 — 2 /2^Сх) (1 — 2-Г2-г + '1+2У2~> о
\ /9х2 4-16 /
(/2Т + 4 — 2/2=х)(/27+44-2/?=Т) _ /9х» +16 — 2(/27+4 + 2/7=7) 0
/2х + 4 + 2/2—х /9х2 + 16
(6х — 4) [/9х2 + 16 — 2 (/2х + 4 + 2 /7=х)] > 0, (1)
так как 4 2х + 4-{- 2J-' 2 — х > 0, /9х2+ 16 > 0. Последнее неравенство (1) экви-
валентно следующему: (6х — 4) |/9х2 +16 — 2 (/2x4=1 + 2/2 — х)] [/9х2 + 16 +
+ 2(у 2х 4-4 + 2/1—х)1 > 0, так как последний множитель положителен при
всех х таких, что —2<;х<2. Итак,
(Зх — 2) [9х2 + 16 — 4 (12 — 2х) + 4//=27] > 0,
Ответы. § 15. СОСТАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
513
или
(Зх — 2) (9х2 * 4 + 8х — 32 — 16 У8 —2х2) > О,
(Зх — 2) (х — 2 /8 —2х2) (2 У8 —2х2 + 8 + х) > О,
или (Зх — 2) (х — 2 У8 — 2х2) > 0, так как 2 У8 — 2х2,+8-|-х > О, если — 2 < х < 2.
При х < О это неравенство выполняется. Будем считать, что х^О. Если л>0, то
второй множитель х — 2*^8— 2х2 будет положителен тогда и только тогда, когда
х > 2 У~8 — 2х2, х2 > 4 (8 — 2л2), х > — -if--. Первый же множитель будет поло-
о
2\
3/’
(•iKl.sl. 15. (1, 4), (4, +со). 16. 1-1, 1). 17. Го, (-ВТ1. 18. (1, +60).
).2„. (4,2). 21. [_2,(0. 2)'
жителей, если х > , и отрицателен, если х < Отсюда ответ: —2,
о о I
§ 15. Составление нелинейных уравнений
П. 1. Составление квадратных уравнений с одним неизвестным
2 7
1. 31 и 41. 2. 10 л. 3. 36. 4. 8 л., затем 7 л. 5. 4 или ~. 6. 5. 7. 105 м. 8. 9.
5 15
7
9. 10 час., 15 час. 10. 12 кг, 15 кг. 11. 8 км/час, 10 км/час. 12. 53 и 147. 13. у^.
14. Поезд прибывает на станцию В в 9 час., на станцию С — в 10 час. 3 мин, на
станцию D— в 11 час. 6 мин., на станцию Е— в 12 час. 9 мин. 15. 4,596. 16. 12 час.;
15 час.; 17. 20 м. 18. 15. 19. 10 час. 20. 3 км]час. 21. 4-(Ус2й2 + 4а&с — сб).
22. т — Л- + У™.2 + час. и »г + у + j/~т2 + час. 23. К концу 15 октября.
— cb + V с2Ь2 + 2abc cb+Vc2b2 + 2abc — тп Ут2п2 iamn
24. ---------2с—------- и ......... 2с ------• 25. ----------2п ,
.mn+fm^2 + 4amn . 26. Т/А-А^. 27. а-^аЬ. 28. +-^-+ЛУ-1,
2п Vm 2
— т Ут2 + Ьтп Ус2Ь2 + ^аЬс— Ьс —а У а2 + 2as аУ a2 Jr2as
2 ’ 2 ' 2 ’ “ 2 ’
Л » Ь I тГт:?-----г ог> Зл 4- 2тс + У 4.т2с2 — \атс + 9а2
31. b-уу b2 — ab, Ь — а + У b2 — ab, 32.-!-----—-— -------------!---. Ука-
зание. Для того чтобы, легко выбрать нужный корень квадратного уравнения,
следует принять за неизвестное разность между скоростью катера и скоростью реки.
_____________________________________________________bk-L. Уb2k2 A- ^99bsk
33. По железной дороге за s руб. можно перевезти --------—----26~~~-------тонн,
bk + Уb2k2 + 4006$£ ол v , , . „ т-п—-а
а водным путем -------!—— тонны. 34. — — yv2-{-2vgt).
Zb g
35. (c + b — У(c — b)2 4- 4Ac). 36. Решение. Будем искать решение рекуррентного
Л/2_2АЛ„_1 и тя п zn~2
соотношения хп ~ 1 в виде хп ~ zn. Имеем zn =>--------g----- или
2г2 — z —1=0, откуда z = l и г = — ~. Имеем два решения: лл=1 и
хп = . Решением будет и их линейная комбинация хп = + Аг - Agh ~ > где
Ci и С2— произвольные числа. Выберем их так, чтобы удовлетворялись «началь-
но С2 .о . С2 , а -}- 2Ь
ные» условия хх = Сх--------- = а, х2 = = Ь; отсюда Ci = —5— ,
2 4 о
4 . £4-26 . 4(6 — а) . „
С2 = -х-(6 — а), и окончательно хп =—-------(----• (—1)\ 37. п — число
о о о • Z'1
к, . „ П(П—1) . „ .
девятиклассников. Между собой они сыграли —~ партии и набрали, следо-
гт ~ ЮИ (10/2—1)
вательно, столько же очков. Десятиклассники между собой сыграли -----—-------
33 П. С. Моденов
514 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
партий и набрали столько же очков. Девятиклассники с десятиклассниками сыграли
п • Юп = 10п2 партий. Пусть из этих партий девятиклассники набрали ~ очков
k
(k — целое), тогда десятиклассники Юп2 — -% очков. По условию
10/2 (Юн 1) 1 __ k
2 _ £
п (п — 1) k — 2 ’
2 + ~2
или k = 21/г2 — п. Так как Юп2 — ~ = ~~ > 0, то возможно лишь п = 1, тогда
k
7г = 20, a -j" =Ю — число очков, набранное девятиклассниками.
П. 2. Составление нелинейных уравнений с дэдним неизвестным
1. 6 км [час. 2. А — 375 руб., В — 450 руб. 3, 50%. 4.
6. и=____________________________.
lg 0 + w)
35
ST-—- =•
V 2—1
; о > Д > d
п г-
V 2—1
или б < Д < d.
1/ t) —L_ 1/ £
8. a r__ 9. 15. 10. Решение. Пусть х— число страниц и пусть х есть
у с — у ь
/г-значиое число. Представим его в виде х = 9 + 90 + 900... +9-10/*~24-
+ (х —10^“1 1). Для нумерации понадобится число цифр, равное 9 + 2-90 4-
4- 3 • 900 + ... + (k — 1) 9 • 10*“2 + k (х — 10/г“] + 1) == их; отсюда (k + 1 — п) х =
^(lO*"1 — !) —[9 4- 2-90 4-3 • 900 4- ... 4-(£ — !)• 9-Ю*"2] или (k — n)x=^
Ю&___1
---------—111 ... 1 — k. Так как справа стоит £-значное число, начинаю-
яГраз
щееся с 1, a k 4- 1 — п — целое число, х является й-значным числом, то для п воз-
можно лишь одно значение, при котором k — п будет равно 1; это значение п = k — 1.
Тогда число страниц х = 111 ... 1 — (и + 1). Например, если п = 2, 3, 4, 5, 6, ...,
то число страниц х = 111—3 = 108, х = 1111—4=1107, х = 11106, х = 111105,
х = 1111104, ... Для нумерации же страниц в количестве 108, 1107, 11106, 111105,
1111104,... понадобится число цифр, соответственно равное: 2-108 = 216,
3-1107 = 3321, 4-11106 = 44424, 5-111105 = 555525, 6•1111104 = 6666624, ...
П. 3. Составление систем нелинейных уравнений
2с 2с
1. 18 км, 6 км/час, 4 км/час. 2. 8 км. 3. 600 руб. по 4%. 4. —----------, —:г7Г*
и и а —т- о
_ т — 2 -I- Vni2 4~ 4 т 4- 2 — Ут2 + 4 „
5. ел =-----------+-----!—s, t/2 =--------о-----—s. 6. /4-у/2 — 2tm и
1 2т 2m
t — Уt2 — 2tm. 7. В. 17 час. 8. 4 м. 9. 4 км/час. и 20 км/час. 10. 8 л/сек, 10 л/сек
или л/сек, л/сек. 11. В 12 час. 12. 5 час. и 7 час. 30 мин. 13. 80 м/мин
и 220 м/мин. 14. 136 раз. 15. 23 и 32. 16. 100 руб. и 64 руб. или 102 руб. 50 коп.
и 61 руб. 50 коп. 17. 24 или 42. 18. 50 км/час, 30 км/час. 19. *15. 20. 40 рабочих,
15 ящиков в час. 21. 72. 22. *Или обоим по 12 час., или первому 10 час., второму
15 час. 23. 63. 24. 4 км/час и 6 км/час. 25. 54. 26. 30 дней, 60 дней. 27. 21 км.
28. 6 сыновей, 5 дочерей. 29. 28. 30. 9 и 4. 31. 6 час., 3 час. 32. Наполняет за
5 мин., опорожняет за 4 мин. 33. 60 км/час, 84 км/час. 34. 6 час. и 9 час. 35. 3762.
36. 3 час. 51 мин. 37. 421. 38. —3, —6, —12, —24. 39. АВ — 840 км, vr = 80 км/час,
v2 — 70 км/час. 40. 972 и 314. Первый ученик уменьшил на единицу число сотен,
второй уменьшил на две единицы число тысяч, третий уменьшил на единицу число
десятков тысяч. 41. Д —240 ведер в час, В — 200 ведер в час; втекает 120 ведер
в час; в начальный момент было 1200 ведер. 42. 452. 43. АВ = 10 км, ВС = 24 км,
АС = 26 км. Скорость пешехода 3 км/час. Скорость велосипедиста 9 км/час.
Ответы. § 15. СОСТАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
515
44. 20 000 руб. на 1 год и 30 000 руб. на 8 месяцев. 45. 7 км!час, 9 -д- км!час.,
CD = 56 км. 46. 15 ведер в мин. и 10 ведер в мин. 47. 30 км, 36 км. 48. 60 км!час.
49, р = 5%, q = 4% (точные значения); второе решение: р = 3,888% (с недостатком),
q = 4,888% (с избытком). 50. 24 и 90. Указание. = k и —- = s взаимно
п 360 360 аа
просты. Далее ----— ---= 66 и т. д. 51. щ =
'+4-1)- 52-
^(^-1) d f г t2(k-iy-\
2ak 2t \ V a2k2 J
v2
_ d(k-l) , d ( r~
“ 2ak 2i\ V
t2(k-\)2\
a2k2 )
В выражении для v2 радикал следует взять отрицательным, так как v2------> 0.
V1 + Vp 2лс 4- а — Ь 4- /(а — Ь)2 + Шс2
оо. та ———----. <?т’. ——
V q-V Р 2(с + 1)
2Ьс b — а -}- У (а — b)2 + 4/zZxf2
с [— а — b Ц- У (а — b)2 4~ 46Z&C2]
qs — 2mt4- ]/Лq2s2 4~ 4>Т72/2 qs 4- 2mZ — Уq2s2 + 4m2t2
55. и) =----------------2_---------------, v2 =---------------—
56. qm~pn. руб., P7Z1~ 1200% в год. 57. AB = 3p — q, = 2 ?-Р ~q- ,
т — п qm — pn ___________ 4 t ’
2р ’ cl , 1 , Г 1 A a L . 1 1 A e_ . b ,
^2 = -~r~ • 58. -Q- I 2 -j--p 1/ —x— 4) и yt 12 --------------1/ -—X------41. 59. cl —(y -p-
2 t 2 \ /? F /z2 / 2 \ 1 n Y n2 J *2
4 У 4+ д2 час' 11 а — + час' 60, ~8 (а — 26) + д + 2г~ 61 * 167
и 334; пятизначное число 27889. У казанпе. ~ з2^1. Отсюда следует,
что у делится на х, а так как у и х— трехзначные числа, то частное может быть
целым числом от 1 до 9; из 1000х Д-у = Зху следует, что 1000x4-У делится на 3.
Значит, возможно лишь у = 2х, у = 5х, у = 8х. Возможно лишь у — 2х. Отсюда
х = 167, у = 334. Остается еще заметить, что 167 — простое число, так что z может
быть или 1672 = 27809, или 2- 1672 — это число не подходит. 62. Два семиклассника,
играя между собой, получили одно очко, а значит, еще 7 очков они получили
с восьмиклассников. С восьмиклассниками они сыграли 2х партий, где х — число
восьмиклассников. От этих партий восьмиклассники получили 2х — 7 очков, да еще
х(х —1) 1л х24-3х~-14
.——L очков, играя друг с другом. Итого: -----------!-------- и это по условию
k 5 k
равно ~2'х' где 2—число очков> полученных каждым восьмиклассником. Имеем'
14
k == х 4- 3---. Так как* k и х — целые положительные числа, то х = 7 или х = 14.
1 х
63. Скорость А 2а м]мин, скорость В За м!мин. Если часы у В идут верно, то
часы у А отстают на 10 мин. в час., а если часы у А идут верно, то часы у В
идут вперед на 12 мин. в час.
§ 16. Составление неравенств
П. 1. Составление неравенств второй степени с одним неизвестным
1. 3 <£><'. 5. 2. 10 < v <4 40. 3. 0<г/<С20 км^ас. 4. Пусть х — собственная скорость
лодки, тогда
а b или tx2 ~~— b) — tv2
-7+v + ^V^ ’ -------(7+v)(x-4>.........>0’
или (так как х4~^>0, х — и>0)
/(х) = tx2 — (а 4- Ь) х 4- v (а — Ь) — tv2 0.
33*
516 Ответы. Алгебра. Гл. VII. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМ. ФУНКЦИЯ
Корни этого трехчлена действительны и различны, так как дискриминант положи-
телен: А = {а Ь)2 — 4/ (а — b) — tv2} = (a-\-b — 2vt)2 4- ftbvt > 0. Число v заклю-
чено между корнями f(x)\ < v < х2, так как f(v) —— 2bv < 0 [f(x)
“ t (х — Xi)(x — л:2)]. Из условия задачи следует, что х > v; неравенство же
/(л)>0 выполняется при или х^х2. Условие не может иметь
места, ибо тогда х < v, значит х должно быть больше или равно наибольшему из
корней /(х), т. е.
а + b V (а + Ь)2 — At (а — Ь) — tv2]
х$> - г
или
а + b + У (а + b — 2vt)2 4- Sbvt
~~2t
5. Между -g- или jg-. 6. Длина забора вдоль реки 50 м, расстояние забора до
реки 25 м. 7. 36 см, 1,84 сек. 8. 1,5 v^ 42 м/сек. 9. Первый пришел раньше
второго.
П. 2. Составление нелинейных неравенств
1 3 4
1. -g, или
5 п
или 24 . 2.
г (100 — fe)
АР.
100
„ lsA(100 —г) . „
3. -----1оо~—4* Если л~число процентов примесеи газа перед поступ-
’S 100^7
лением в первый фильтр, то х
40 100
(а Ь) г — Ьд__
_м\п+м_
100/ ^100
при этом
1g —Р—
5 р — д
1g '
5 А
6. Количество бактерий в колбе
будет превы-
шать их начальное количество в
lg
2 раза через число часов /и > —
2Np — IOOtz
Np — 100/2
Условие возможности решения: Np — 100n > 0.
Глава VII. Показательная и логарифмическая функция
над полем действительных чисел
§ 1. Доказательство различных равенств, содержащих показательную
и логарифмическую функции
1
И г —1
— ю. 3(1—-а — Ь\ 11. 13. м) функция, обратная для
- со < х < 4- со), будет у == loga (х 4~ Vх2 4- 1); функция, обратная
2. 1g 2 ==0,3010275, 1g 5 = 0,6989725. 3. jy
о _________
а^ — ЬЬУ
ах — а~х
У =
2
на полуинтервале [0, 4”°°) для у = , будет у = loga(x 4“ Vх2— 0, если
а> 1, и y = loga(x —/х2—1), если 0 < а < 1; обе эти функции определены на
Ответы. § 2. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 517
полуинтервале [1, + оо); функцией, обратной на полуинтервале (—со, 0] для функции
у == } будет у = iogfl (х __ ул2_. 1)э если а > j и у = Iogfl (х t
если 0 < а < 1. Обе функции определены на полуинтервале [1, +оо). Функцией
______________________ & X J —I— '
обратной для у — х , _х, будет у — -= loga . Эта функция определена
CL ~| СЬ Z 1 JC
в интервале (—1, 1).
§ 2. Логарифмические и показательные уравнения с одним неизвестным
1. а.
2. Ь. 4- 3. 1;4. 4. 4, ЮО. 5. 100. 6. . 7. -J- 8. Если а < 10*.
О IU 1W J J
то уравнение не имеет корней. Если я > 10^, то х = lg10a ± Igio —^2. 9. 1, ас.
10. Если 0 < п < 10000 и п Ф 1000, то два корня 2 ± У4 — lg10 п; если п == 10 000,
то х = 2; если п = 1000, то х = 3; если п > 10 000, то корней нет, 11. Если а > 1,
тох^/; х2 = аа~~\ Если 0 < а < 1, то уравнение не имеет корней. 12. 2.
5___ j
13. 5, 5. 14. д-. 15. 10; 100 000. 16. Если пли р <0, или q <0, решений нет.
Если р > 0, q > 0, то
18. 2уТ, 2~УТ. 19. 2;
24. 2, — 2. 25. 100, 1.
уравнение имеет два корня: — - + Уpq. 17. -i
5
3. 20. Корней нет. 21. У"5. 22. 1, а, я-1,3. 23. 3.
о
__ Q 1
26. /26. 27. 7; — 1. 28. — 29. 1; 2. 30. 10, -Ар
31. 32. 4; 2. 33. 2; 4. 34. Если | а | < / 2, то уравнение имеет корень
х = 1 — а2. Если | а | > /2, то уравнение не имеет корней. 35. 1, а. 36. 2.
37. 1, . 38. 4-/2.39. 5, А.. 40. ]/Ю. 41. l(log32±j/"log2 2-41og3A).
42. 37. 43. 2, — 1 — log5 2. 44. - . 45. Если т < 2, то уравнение
ig о — igo
. а
не имеет корней. Если т > 2, то уравнение имеет два корня: -------- .
т±Ут2 — 4
g 2
46. 47 > 1 47- 47- КоРней нет. 48. 0. 49. 4.
1g 19 + 1g 3— lg 37 1g 19 + lg3 — lg37 r ________
-11 ± V4i -5 ± V13 -KT-1± /2К2-1
50. 8; 4. 52. a 10 . 53. 10 6 . 54. 2; 2 2 . 55. -|-. 56. 4.
jcr 7 — lg57
57. 8. 58. 2 -J- ---A—-. 59. У к а з а н и e. Построив графики функций у = 2 х
и у = х 4- 3, видим, что они пересекаются в точках с абсциссами, заключенными
в интервалах (—3, —2) и (2, 3). При этом 2~3 — (—3) — 3 > 0, 2“2,9 — (—2,9) — 3 —
= 2~2,9 — 0,1 > А — 0,1 > О, 2-2,8 — (—2,8) — 3 = 2-2,8 —0,2 = 2(-А. _ АЛ.
23 . \23,8 10/’
1 1 1 1 1 1
вычисляя 238 10ю , получим i024. Ю24 • 1024 • 128 10'° < 10“ 10‘о<0;
значит, один из корней заключен между —2,9 и —2,8. Далее, исследуем интер-
вал (2, 3), имеем: 22— 2 — 3 = — 1 < 0, 22,1—2,1—3 — 22,1 — 5,1; вычисляя
22i_5,iio, будем иметь: 221 = 2 097 152; 5,12 = 26,01; 5,14 = 676,5201;
5.1® > 676,52 = 455852,25; 5,1'° > 455852-26 = 11852152; 221 — 5,1’° < 0; отсюда
видно, что, значит, и 22,1 — 5,1 <0. Далее, 22,2— 5,1 <0, ибо 222 = 4194304 < 5,110
и тем более 222 < 5,210. Далее, 22’3— 5,3 < 0, ибо 223 = 8388608 < 5,110 и тем более
223 < 5,3’°. Далее, 22’4 — 5,4 < 0, ибо 224 = 16777216, в то время как 5,42 = 29,16;
5,44 = 850,3056; 5,48 > 8502 = 722500; 5,4’° > 722500 • 25 > 18000000; значит,
224 —5,4’° < 0, а потому и 22’4 — 5,4 < 0. Наконец, 22,5 — 5,5 > 0, ибо 225 — 5,51 ° >
> 33 000000 — 5,510, и так как 5,52 = 30,25; 5,54 = 915,0625 < 915,1; 5,58 < 837409;
5,5’0 < 837409 • 30,25 < 840000 31 = 26040000, то 225—5,5’° > 33000000—26040000 > 0,
значит, и 22,5 — 5,5 > 0. Итак, второй корень заключен между 2,4 и 2,5.
518 Ответы. Алгебра. Гл. VII. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМ. ФУНКЦИЯ
60. lg(M = 21g(x + l), х* + (2-А)х + 1=0, х = А-1 ± Для
того чтобы хотя бы один корень был действительным, нужно, чтобы или k < 0,
или Пусть k < 0, тогда ххх2 = 1, хх 4~ х2 = k — 2 < 0, т. е. оба корня
£ 1___________
отрицательны; но 2 4-1 — ту ± ту у £2 и при k <0 только хх 4~ 1 =
= ~ 4- ~ Vk2 — 4£ > 0, а так как хх < 0, kxx > 0, то при k < 0 данное уравнение
k j .________
имеет только один корень х = — 1 4- у k2 — 4k. Если k > 4, то оба корня
положительны. Наконец, если k = 4, то данное уравнение имеет только один
корень х = 1. Итак, данное уравнение имеет только один корень, если k <0 или
k = 4. 61. Переписать уравнение в виде = 1 и встроить графики
функций у ==!gx и У — "Г * Ланное уравнение имеет два корня. Один из них
заключен между 0 и 1, другой — между 1 и 2.
§ 3. Системы логарифмических и показательных уравнений
/ ь<2 ь \
1. (,со(6-°>, сь-а]. 2, (1,1), (—1,1), з. (1, 1), (IsJL
4- И w)’ (тагН- 5- 01 ;’2)' [(/ 29-тУ’(/25-|)2> <]•
6. (log, 100, 1), (log10jlOO, 101). 7. (29,8. (1,1, 2), -1)’,
’ т]’ 9- U’ т)’ (4’ "б)- ’°* (ig.oG +/юоШ)’ V^oSooi),
(log, 10000,1). 11. [(log, 15)’°^13(log, 15),og*3]. 12. (-у=. у^), (3, 4). 13. Если
_____________________1g/7_ _1g/>_
lg<7^n тп г — 1-'SP v_f ^^Xlgg-IgP.
— >0, > y-lj-gyJ
!g q л
если -~-A- < 0, то система
. Igp
не имеет решений.
14. (1, 1); если > 0, то система имеет еще решение
15. (2, 6). 16. (2, 32), (32, 2), (—2, —32), (—32, —2).
17.
27
8 ’
?)
18.
(12, 10), (-10,-12). 19. Если Ьа" и abp 1,
система имеет решение
; если или
Ьа? = 1, или abp = 1
то
то
система не имеет решений. 20. (л2 ^,п^гп\ а6^1 2п^).
21. Если т2 =£ п2, то
/ш2 тп‘2
х — а™2~п\ у~ап2~т*. Если т2 =» п2, то система не имеет решений.
22, UO'S b~'e ~a, lO’S"-’*6/. 23. (4, 2), (1, 1), (1, —1), (9, —3). Замечание. Одна
из систем х 4-у =—6, ху2 = 1, которая здесь получается, не имеет, очевидно,
решений (х, у) с положительными значениями для х и у. Эта система имеет.одно
решение (х, у) с действительными значениями для х и у, которое находится
так: (— у — 6)у*=«1, у’4-6у? + 1 =0, y = ^s4~6^f- 1 да?0,
z* == и9 4- v9 4- Suv (ц 4" *0» w34-^34-3«v(«4-v) + 6(u 4-v)4-l ==0. Положим uv = —2,
тогда и9 4- Vs =5 — 1, u3v9 =х —8, V + X —- 8 ~ 0s и3 =*= f «« —73f
2
3 '
так как значение для у иррационально и отрицательно, то эта пара значений
для х и у не образует решения данной системы. 24. (—4, 10), (—3, 9), (5, 1), (7, 1).
Ответы. § 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
519
25. (7, 5). 26. ДЮ, 4), (4, 10). 27. (2, 2, 1). 28. (8, 2), (1, 64^, (-8, -2),
(—1, 64^. 29. (п). 2), (100> — !)• 30. (j/2. 31. (10, j/Io), (|/10, ю).
32. Од, (1000, -1). 33. (1, 1) и (j. |). 34. (34, 30) и (20, 16).
35. (1, 1), (2, 4), (—2, 4). 33. (1, 1). 37. (128, 2) и (2, 128). 38. (3, 2). Указание.
/р л + ? + 2 — /л2 4- 4л 4- Зу — 2 = Ул2 4- 2у 4-3 — /л2 + 5л + 2у — 3. (1)
Возвести в квадрат. После упрощений получится уравнение 4л:2 — Зху — у2 — 9д: 4-
4-4у -4- 5 = 0, или (х— у — 1)(4х4~У— 5) = 0. Уравнение х — у — 1 = 0 дает
решение (3, 2). Для решения системы хх~? ~ 2у — 1, у = 5 — 4х заметим, что она
эквивалентна следующей: л5Л~5 = 9 —8х, у = 5 — 4х. Далее, необходимое условие
выполнения равенства (1) таково:
х2 -}- х + у 4- 2 > х2 -j- Зу + 4х — 2,
х2 Д- 2у -J- 3 > х2 Д- 5х Д- 2у — 3
или
х2 4 х 4 у 4- 2 < х2 4~ Зу 4" 4л — 2,
х2 4- 2у 4- 3 < х2 4- 5х 4- 2 у — 3.
6
Упрощая первую систему неравенств, получим: Зх4~2у <4, (или соответ-
О
6 \
ственно Зл'4~2у^>4, x^-^j. Для уравнения л5Л~5 = 9 — Зх мы должны найти
9
положительные решения; значит, х < Следовательно, предположения Зх4-2у>4
6 6
л > V- отпадают и остается Зх4-4у<4, Однако система хъх~ъ = 9 — 8х
о &
/*
у = 5 — 4х не имеет решений, удовлетворяющих условию Зх4~4у<4,
о
с
ибо из у = 5 — 4х, З.г4-2у <(4 находим: ЗхД Ю — 8 -^4, Зх 6, x^-=-t что
о
. 6 it
противоречит условию х <_ . Итак, данная система имеет только одно реше-
ние (3, 2). ЗЭ. (101ч>2’5, 1(Г1+Г?’5), (lO1"^, КГ1-1^). 40. (1, 1), (4,4V
\ о! У /
’g3 *|~
2 ---, 4
'ga у 5 lg3 3'
41. л = 3 , у = -----o'-
‘s3 i
§ 4. Решение неравенств, содержащих показательную и
логарифмическую функцию
1. 0 < х < а2 или 1 < х < Д-. 2. 2 < х < 3. 3. 0 < х < 2— lg2 3, х > 1. 4. 1 < х < 10.
а3
5. (-1 4, ( 1 . 1 \ , (1, 4- со). 6. 1 < л < 2. 7. — 1 < л < 1 пли 3 < л < 5.
Ха'Уа) \а2 у^Ч
112 2 1
8. lgV4»2<lgt4, 0 </?<-.-, —т < ------, ---------7 j г > 0,
‘ 4 lg2 (л 4- р) lg2x 1§2л Ig2(x4-P)
Ig./^ + P)2
2 + P) ~ lg2 X л X л T-T X л
— 1 у *2.— > q ---——— > q прежде всего должно быть х > 0.
lg2 х lg2 (х 4- Р) lg2 х lg2 (х 4- р)
Далее: a) lg2 х > 0, если х > 1, и lg2 х < 0, если 0 < х < Г, б) lg2 (х 4- р) > 0,
если х4~Р>1, т. е. х > 1—р и lg2 (х 4- р) < 0, если 0<х-Р^<1» т. е.
( у I . п\2 (х _|_ п)2
0 < х < 1 —р\ в) 1g -—> 0, если -—так как х > то это неРа"
венство эквивалентно следующему; (х 4~ р}2 > х, х2 4- (2р — 1) х 4- р2 > 0. Корни
520 Ответы. Алгебра. Гл. VIII. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
О X] х2 1-Я
1 , , / 1 „ /_ 1 \
этого трехчлена л1; 2 = ту — р ± у — р действительны и различны 10 < р < ~ \,
Далее, х{х2 == р2, Xi -}-х2 = 1 —2р; так как -j-x2 > 0 и х^2 > 0, то оба корня
положительны. Докажем, что оба они
меньше, чем 1 — р. В самом деле,
+ х2 — 1 — 2р = 1 — у» — /? < 1 — р. Зна-
чит, оба корня меньше чем 1 — р. Пусть
х{ — меньший корень, а х2 — больший.
(х -4-
Тогда lg2 -—- > 0, если 0 < х < Л1 или
(.х 4- рУ
х > х2> 1g2 -—" -- < 0, если хг < х < л2.
о
*1
а
+ -
*2 IfP
Знаки
Черт. 85.
несены
корень
. •’ 1
а больший х2 = -g-
lg2^. lg2(*+P).
на черт. 85. Так
1
равен *1 —ту —
1 (* * х + РУ
lg2 х на-
как меньший
Т
4~Р>
—Р>
то данное в условии задачи неравенство
будет выполнено, если
< X < 1 — р или X > 1.
0<А< ^—Р—у J— Р ИЛИ 1 —р±у 1—р
Глава VIII. Исследование элементарных функций
§ 1. Область определения
1. Выпишем корни подкоренного выражения в порядке их возрастания: 1, 2, 3, 4, 5.
Если х < 1, то гее разности х — 1, х — 2, х — 3, х — 4, х — 5 отрицательны и под
корнем находится отрицательное число. Если 1 <5 х < 2, то х—1>0, в то время
как х — 2<С0, х — 3 < 0, х — 4<0, х — 5 < 0, так что под корнем находится
неотрицательное число. Точно так же убеждаемся в том, что, если 2 < х < 3, то
подкоренное выражение отрицательно; если 3<л<4, то оно >0; если 4 < х < 5,
то подкоренное выражение отрицательно, и, наконец, если л5>5, то оно 5>0.
Таким образом, область определения данной функции состоит из множества всех
чисел, удовлетворяющих одному из не-
равенств: 3-<х<С4, х >5. 0 12 3 4 5
Это множество чисел графически изо- ----о----о о о и—с----------о.........
бражено на черт. 86. Утолщенными
линиями отмечены промежутки, соот- Черт. 86.
ветствующие числам, входящим в об-
ласть определения данной функции. Можно сказать и так: область определения
данной функции состоит из двух сегментов и одного полуинтервала: [1, 2], [3, 41,
[5, +оо]. 2. —1 <5 4л3— 6л + 1 1. Отсюда 4л3— 6л-]-2>-0, 4л3— 6л <0 или
X (л + Корни функции А, расположенные в порядке их возрастания,
-1-/3 -1
будут --2--’ --
— 1 — /3
1 1 3
, 1. Отсюда следует, что если л < —~
л а -----г - —1 + /3
А < 0; если -----------------------g-----, то А>0; если ---------—<
то А < 0; если л^>1, то А^0. Итак, А^-0 тогда и только тогда,
то
когда
2
Г---- или л^1. Теперь решим неравенство
Корни
Отсюда и из выражения для В следует, что если х
функции В, расположенные в порядке их возрастания, будут — |/ , 0, у .
, то В 0; если
,/“3
если х > у , то
Ответы. § 2. ВОЗРАСТАНИЕ, УБЫВАНИЕ, ВЫПУКЛОСТЬ ВВЕРХ И ВНИЗ 521
В > 0. Таким образом, неравенству В<0 удовлетворяют те и только те значе-
/ з" г з*
ния лг, для которых х^—у или Изобразим графически полу-
ченные результаты на двух параллельных осях (черт. 87). Отсюда ясно, что
Черт. 87.
-1+/з
0 ——
Черт. 88.
соотношения Л > 0, В < 0 одновременно выполняются тогда
—1—/3 . ,/"3 п . 1+/3
когда ---g-2— <С х — у -g-, или 0 С х , или
и только тогда
-1+/3
2
Эти три сегмента
и обра-
зуют область определения данной функции (черт. 88). 3. (—оо, 0), (0, 4~°°)-
4. 0. 5. (—со, —1), (—1, 1), (1, +оо). 6. (—со, +оо). 7. [—1, 1]. 8. (0, 2),
(3, +оо). 9. (—оо, 0), (0, 2], [3, 4-оо). 10. (—5, 0), (3, 4-ос). 11. (—со, —2),
(0, +°°)- 12. (—оо, -ф-оо). 13. (—оо, -f-оо). 14. х > 1.
§ 2. Возрастание, убывание, выпуклость вверх и вниз
х2 Xi х2+ x2xj — xl — x1xl (X —X )(1—Х X )
1. Составим разность ---х-------т =--------— --------—- = -----------.
1+х2 l+^i (1 +л‘1)(1 + *2) (1 +zi)(l + *2)
Числа х2 — xv 1 4- Хр 1 *2 положительные. Остается доказать, что 1 — х{х2 > 0.
В силу данных нам условий —1 х{ < х2 1 имеем 1-j-^i^O, 1—x2^>0.
Отсюда (l-j-j^Hl—л2)>0 или 1—х1х2‘^х2 — х^ Но х2 — х{ > 0, значит, и
1 — х{х2 > 0. Итак, неравенство —^—5 < —доказано. 2. Как и выше, находим
1+^1 1 + ^2
х2 __ Х1 _ (л2 —Х1) (1 — Л1Х2)
1 + *2 1 +*1 (1 + л1) (1 + ^2)
Здесь по-прежнему х2 — > 0, 1 + xj > 0, 1-{-х2> 0. Однако, 1 — х1 х2 < 0.
В самом деле, так как по условию Xi <х2^—1, то —хг > 1, —х2 > 1, откуда
1—XiX2 < 0. Таким образом,
х
. График функции у =----------
1 + X2
х2 < У 2. Надо доказать, что
(перемножая) получаем х{х2 > 1. Следовательно,
Х2 Xi А Xi х2
теперь -----------------5 < 0 или ------5 >-------п
1 + *2 1 + -Яд 1 + Х1 1 + *2
изображен на черт. 89. 3. Пусть — У 2 < лгх <
xf — 6х1 > х2 — 6х2. Составим разность
х2 — 6х2 — — бл^) = (Х2 — Л^) (л?! 4~ Х1 х2 + Х2 ~ 6) .
В силу неравенства х^ < х2 имеем х2 — х{ > 0. Докажем, что х^ -J- х^ х2 4- х^ — б < 0.
В самом деле, из соотношений —У 2 С х{ < х2 У 2 имеем л;14“Т^2>0,
Л1 _ у 2 < 0, откуда (перемножая), получим х% — 2<0, л^<2. Точно так же
522 Ответы. Алгебра. Гл. VIII. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
докажем, что л2<2. Теперь из неравенств х{ 4-У 2 > О, У 2 — х2>0, перемно-
жая, получим (х{ У 2) (У 2 — л2)>0 или 2^зд>(х2 — ^)У2, а так как
л2 — *i > О, то и 2 — XiX2 > 0, откуда х^2 < 2. Складывая неравенства 2,
хгх2<2, х2<2, получим 4--*4*2 4"-*2 < 6. Таким образом, х2— 6х2 —
— < 0, откуда xf— бх2 < xf— 6xv 4. Составим разность
л । 1 I . 1 \ *2 — *i I 1 1
= *2 + “Г — ( *1 + -V 1 = —---------L ( *1*2--------
*2 \ *! ) *х*2 \ *! *2
Теперь последовательно имеем: а) в силу неравенств хх < х2 < 0 находим
*2 — *i > 0,-----— > 0,---— > 0, ххх2 > 0, так что А > 0, откуда *i ф- Д- <
*1 *2 х{
1 3 —
< *2 4---2 з б) в случае 0 < х{ < х2 < V 2 имеем опять х2 — Х[ > 0; кроме того,
исследовать выражение х{х2----------------
*1 *2
1 1 1
данных неравенств находим — > -у—-, —
*1 V 2 *2
1 1 3 —
откуда -—-4------> V 4. (а). Из условий же 0
X} х2
силу
1
Из (а) и (р) выводим XjA'2--------— < 0, так что
*1 *2
теперь А < 0, т. е. xt -f- ф- > х2 4- ; в) пусть,
•*1 -*2
наконец, < xl < xt. Тогда х{х2 > Т~4,
1 . 1 J/-. 1 1 . п
— + ~ < Г 4; значит, х,х2 — -------—>0, откуда
*1 Xi Xi Xi
A > 0, т. e. Xi 4“ Д г < *2 4“ График данной
Х1 х2
функции изображен на черт. 90. 5. -g--
14-х2 —2х (х— I)2 л
- 2(1+^) = 2(^+1) >°’ °ТКуДаГ
причем знак равенства имеет место только
2 ’
Итак, данная функция принимает наибольшее значение, равное у при х = 1. Точно
так же доказывается, что данная функция принимает наименьшее значение,
равное — ~ , при х = —1 (черт. 89). Можно также сделать тригонометрическую
подстановку _r = tg^; тогда данная функция обратится в — sin 2<? *. 6. Это сразу
следует из результатов задачи 4: а) на полуинтервале (о, V2] данная функция
убывает; б) на полуинтервале [У 2, ф-оо) она возрастает. Значит, если рассматри-
вать интервал (0, ф-оо), т. е- все положительные числа, то при х = У 2 функция
имеет наименьшее значение. Это наименьшее значение равно у = у 2 ф- ==
3 з _ ^4
= -g- V 2. 7. Из данного выражения для у следует, что у > 0 и что у2 = 2х ф- 2 ф-
4- Ул44~*2ф-1- Отсюда следует, что наименьшее значение у2, а следовательно
Сообщено С. И. Новоселовым.
'Ответы. § 2. ВОЗРАСТАНИЕ, УБЫВАНИЕ, ВЫПУКЛОСТЬ ВВЕРХ И ВНИЗ 523
и у, имеет при х » 0 *. 8. Составим разность:
А = /(М^) - | №)+/(*>)] =» —7IT+KV I (гЪ + гЫ =
\ * ! * 11 (• 2 2 \^+л1 1 тл2/
_ (Х I х X Г 2______________________1 4~ XjXg 1 =
- [ 4 + (%1 + xtf 2 (1 + х2) (1 + х2) J
(X, + х2) {4 (1 + х2) (1 + х2)- [4 + (xt + х2)2] (1 + х} *2)
2(1+^)(1+^)[4 + (Л + ’г2)2]
(Х^ 4- Л'2) (3^1 + ЗХо 4- 2X1X2 — 6XjX2 — XjX2 — X2Xj)
2 0 + Л1) С1 + Х1) [4 + (*1 + x2f]
Выражение, стоящее в числителе, обращается в нуль при х2 = х1; следовательно,
. (Xj 4-Х2) (Х2 — X])2 (3 — XjX2)
оно делится на х2 — х^ поэтому А = -—х 1 ' / -ч- -7...L -- =
г^ + х^О + х^р + ^ + ху]
/д- д- \2
= Р (Xi 4- Хо) (3 — XiXi), где Р = —,-----------577~~^-9<Т12---------oi — число
2(1+х2)(1+х2)[4 + (х1 + х2)2]
положительное (так как Xj х2). Теперь будем исследовать указанные выше
случаи: а) хх<х2^— У 3. Тогда х{~\-х2<0, 3 — х{х2 < 0; следовательно,
А > 0, т. е. функция выпукла вверх; б) —У B^Xj < х2 < V 3. Тогда xt + х2 < 0,
3 — XjX2 > 0, А<0 — функция выпукла вниз; в) 0 Xj < х2 < У 3. Тогда
х1-\-х2>0, 3 — XjX2 > 0, Л>0— функция выпукла вверх; г) У 3 С xt < х2,
тогда xl-]-x2>0t 3 — Х;Х2 < 0, Л<0— функция выпукла вниз (черт. 89).
9. Составим разность
. Xi 4- *2 I 1 1 / , 1 . . 1 \
Л =----х---Р ~ - 2 — ту ( X! 4-2- 4“ Х2 Н------2|
2 . /х1+х1 \ 2 у xf х2 /
ХА [(*1 + *2)3 + 8] — (-У, + -У2)2 (А + *2 + АХ1 + *1*2)
“ 2x2x2(X! + x2)2
— 6'V1 л2 ~ л 1 ~ 2х1 л2 — 2х1 х2 — х2 _ _ (х2~ Х1)2 [(*1 + ХА + 2х1х2]
2х^х^(хх + х2)2 2х2х2 (Xj 4-х2)2
Если 0 < Xj < х2, то это выражение отрицательно, А < 0, откуда ^...Т л'2_
4- -f-г---Г2 + Цг + х2 + Д' — данная функция выпукла вниз. Если же
2\ Х22)
Xi < х2 < 0, то опять Л < 0 (черт. 90). 10. Составим разность
л - )’ + «‘ -И1 +' -
—2~ (х^ 4- ах^ 4- Ьх^ 4~ с 4~ -^2 ^х^ 4- bXo 4- =
“ "g (х2 — х1)2 (3X1 4~ $Х2 Ч- 2^).
Отсюда следует, что: а) если xt < х2 < — , то Зх{ а <0, Зх2 а < 0; значит,
3xj 4~ Зх2 4~ 2я < 0, откуда Л > 0, т. е. функция выпукла вверх; б) если же
— ^^,хх<х2, то Л<0 и данная функция выпукла вниз. 11. Предполагая, что
и
—~а^.хх <х2^а, составим разность
* Это решение дал Л. М. Лоповок.
524 Ответы. Алгебра. Гл. VIII. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
Надо доказать, что эта разность положительна; преобразуем ее следующим
образом:
Умножая числитель и знаменатель нас2 — XjX2 + У (а2— получим
<(^.-3-1)1, где Р=АВ, А = 21/~,
* у \ /
в = а2 — хг х2 + V(а2 — х2) (а2 — х2}.
Так как — а хт < х^ а, то x1-j- а ^0,
а— -г2>0, откуда (перемножая) получим а2 — ххх2— ах2-\- а2 — ххх2^
>а(х2— X;), и так как х2 — Xj >0, а > 0, то а2 — ххх2 > 0. Поэтому знаменатель
последней дроби положителен, числитель также
д положителен (Xi =£ х2) и, следовательно, А > 0,
Черт. 91.
т. е. данная функция выпукла вверх. Замечание.
Графиком данной функции является полуокруж-
ность (черт. 91) и геометрически выпуклость
вверх не вызывает сомнений. 13. а) На полу-
интервале (—оо, 0] убывает, на полуинтервале
[0, -j- оо) возрастает; б) возрастает. 14. На интер-
вале (—оо, 0) убывает, на интервале (0, 4~оо)
убывает. 15. Если а > 0, то на полуинтервале
( b "I
I — оо, —2^- убывает, а на полуинтервале
£— 2^- > + °°) возрастает. При а < 0 — наоборот.
16. Гели —1 cos х <;-----,
/3
то данная функция возрастает; если
1 / 1
COS X < -Z=r- ,
/з /з
то убывает; если же
cos то возрастает.
Отсюда нетрудно выделить соответствующие промежутки изменения х.
18. 1°. Выпукла вниз. 2°. На полуинтервале (—оо, 0] выпукла вверх, а на полу-
интервале [0, + °0) — вниз. 3°. На интервале (—оо, 0) выпукла вверх, а на
интервале (0, Ц-оо) — вниз. 20. Указание, f j/—IZ(-^i) + /(-^2)] Н
= ?(^‘4^)-у[?(^1) + ?(л2)]. 21. 1° и 2°.
Ничего нельзя сказать. 3°.
Если
k > 0, то функции f(x) и kf(x) имеют одинаковую выпуклость, а если k < 0,
то — противоположную. 24. 1°. Функция определена на полуинтервале [0, + оо).
На этом полуинтервале она возрастает и выпукла вверх. 2°. Функция возрастает
на интервале (—оо, +оо). На полуинтервале (—оо, 0] она выпукла вниз, а на
поли те/вале [0, + оо)— вверх. 3°. Функция определена в интервале (0, +оо).
Она на этом интервале убывает и выпукла вниз. 25. Решение. Сведем решение
этой задачи к задаче № 12. С этой целью произведем замену х = и выбе-
рем X так, чтобы преобразованное выражение для у, т. е. у = а (г-|-Х)3-|-
+ b (г 4- X)2 -ь с (^+ X) d, не содержало бы г2. Это дает Х = —— . Подставляя
<oCL
это значение X в предыдущее выражение, будем иметь
Зас — Ь2
За2
у = а z3 -}
где
4 а + 27а3 За2
и задача сведена к №-12. 28. Найдем число р такое, чтобы в разности
12л-(х —а) п (12 — р)х2 — 12ах — ЗЗр
х2 + 36 р X2 4- 36
Ответы. § 3. НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ
525
корни трехчлена, стоящего в числителе, были бы равны между собой. Для этого
необходимо и достаточно, чтобы 36а2 + 36/? (12—р) = 0 или р2—12/?— а2 = 0,
р == 6 ± V36 -Ь ^2- В случае р = 6 + У36 4~ а2 (и а 0, коэффициент при х2
в числителе отрицателен; значит
—— (6 + /36 + а2) < 0,
х оо
причем знак равенства имеет место только при
6а 6а 6 z г_____
х = 75—(6+/36 + а2).
12 — р о — У оо + а2 а
В случае р = 6 — У36-}-а2 будем иметь 12 — р > 0, и значит
— (6 - /36+ а2) > 0.
X2 4“ оо
6<z
6а
причем знак равенства имеет место только при х =-----—-------г_____
1 н 12 — р 6 + /36+а2
= (/36 + а2 — 6). Итак
6-/36+ а2<^^-^<6 + /36 + а2,
причем наименьшее значение у = 6 — У3б4-а2 функция принимает при х =
— — (У 36 + а2 — 6), а наибольшее у = 6 + У36 4- а2 — при х = — — (У36 4- а2 6).
а а
При целом а (=£0) наименьшее и наибольшее значения будут целыми, если
36 4- а2 есть точный квадрат: 36 -ф- а2 = Ь2, откуда (Ь — а) = 36; отсюда
b-^-а и b — а как целые числа, произведение которых равно 36, могут принимать
значения:
6 + а| 1|36| —1[—36[ 2 18 ( —2|—18| 31 121 —3 [ —121 41 91 —41 —91 6 [ —6
Ь — а|зб| 1|— Зб| —1118 2|—18| —2 [ 121 з| —121 —з| э| 4] — э|— 4| б|— б’
Но (6+ #) + (& — а) = 26— число четное, а кроме того, а #= 0; значит, остается
только
6 + а | 2 | 18 | —2 | —18
b — а I 18 | 2 I —18 I —2
Отсюда а ——8 или а — 8. Соответствующие наибольшее и наименьшее значения
будут
12х(х±8)
' л2+ 36 ’
причем наименьшее значение —4 функция принимает при х = -^д- (10—- 6) = ± 3,
6
а наибольшее 16 при х = (6 + 10) == q: 12. 29. При изменении х от —1 до 0
функдия у возрастает от У 2 до 2; при изменении х от 0 до 1, у убывает от 2
до У 2. Область определения —1 1, наименьшее значение У 2, наибольшее 2.
§ 3. Наибольшие и наименьшие значения
4г
1. Квадрат. 2. h 3. Квадрат. 4. Квадрат. 5. Если р — заданный периметр, то
о
радиус окружности равен ~, а центральный угол двум радианам. 7. а) Радиус
2 хх 1
цилиндра равен -д- радиуса основания конуса; б) радиус цилиндра равен -% радиуса
4/*
основания конуса. 8, а) Высота конуса равна , где г —радиус шара, б) обо-
значим через а угол наклона образующей конуса с основанием. Тогда полная
526 Ответы. Алгебра. Гл. VIII. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
поверхность конуса будет 4г2 cos а (1 4- cos а) sin2 а == 4г2 (— л4 — л3 + ** + *)>
х = cos а. Вопрос сводится, таким образом, к отысканию наибольшего значения
функции /(л)= — х4—x3-j-x2-]-x9 если 0 < х < 1. Составляя разность
f(x2)— f (хполучим:
f (Лг) f (Xl) = (л2 *1) ( Х2 Х2Х1—Х1 — Х1 — *1*2— x2~i~ Х2~^~Х1 4“ 1) •
Положим, что в выражении,
— 4Х| — 3xf + 2хк 4- 1. Это
1 __ i/j?
х3 = 4___L2L } и потому оно
/1 +/17
вале I——
заключенном в круглые скобки, х2 = xlt получим
1 4-У17
выражение имеет корни xt =*—1, х2 =—— —
в интервале ^о, положительно, а в
8
иитер-
отрицательно. Считая 0 < xt < х2
п.г <-х‘+х* ! + /!7
U < %! < 2— < л2 < 8
1 + У17 *
---3---> будем
иметь
так что
—4x| — 3xj + 2xj4-l >0,
-4 - 3 (M/2-)2 + 2 4-1 > 0.
—4л?2 — 3.<2 + 2х2 + 1 > 0.
Умножая среднее неравенство на 4 и складывая затем все неравенства, получим
(после сокращения на 6) —x2~-x<22x1~x2x2i — xl—xi—xiх2—х2 + х2 4» хг + 1 > О,
так что /(л'2) — /(*1) > 9; значит, на полуинтервале
ция f(x)— возрастающая. Аналогично доказывается, что
Г1+/17 Л ,
—~, II она убывающая и, значит, конус будет иметь
если косинус угла
°;
Черт. 92.
Л 14-/17] .
к0, —т—J функ'
на полуинтервале
наибольший объем,
1 +
равен —.
о
где а — угол наклона образующей
наклона образующей к основанию
п 1
9. cos а ® -х-,
О
конуса к основанию. При этом — « 2. Для других
v2
значений угла а, — > 2. 10. Если объем палатки
равен v, то наиболее экономичные размеры таковы:
3Л би 1 би
—, радиус основания у —.
11. >>0 м X 100 м. 12. 4 дм X 4 дм X 2 дм, 13. Сто-
a + i ——аб +63 п
рона квадрата —!------—---------!—. Если а = bt
сысота
в
6
то сторона квадрата равна 14. азд2тс|/ —•
радиан. 15. Указание. Метод решения аналогичен
методу решения задачи № 8. а) ответ: 60°. 16. Длина АВ бревна будет равна I « АС 4-
4-СВ=—-—I—— , где а — угол наклона бревна к одной из стенок канала
(черт. 92). Наименьшее значение / и будет наибольшей длиной бревна, которое можно
сплавить из одного канала в другой. Угол а изменяется в интервале ^0,
Наименьшее значение I будет достигаться одновременно с наименьшим значе-
нием /2; имеем:
/2«=
2 (a + ^tg g)2(l + tg2 а)
tg2a
Положим tga=-.r, 0 < х < 4- оо; тогда вопрос сводится к отысканию наименьшего
, \ («+/).г)2 (1 4-Л2) Z2 2 1 О А I 2^6 . а2
значения функции /(л) = -—*----—1—L =» Ь2л2 4~2а^ 4- —h + а + ь >
Ответы. § 1. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ 527
если 0 < х < 4- со. Находим
Л*,) _ f (Xl) = (Л2 _ х,)Г&2 {Х2+Х1)+2ab _ _ JL. (-L + АЛ].
L \ *'Т Л2/3
Определим, при каком Xi — х2 выражение в скобках обращается в нуль:
262л'1 + 2аЬ---------г = 0, (Ьх^ 4- а) [ b--— | = 0, и так как 0 < xt < 4- со,
.3
a > 0, b > 0, to xt = у Заметим, что если Xj и x2 положительны, то при
2ab л2 /1 f 1\
их уменьшении выражение х{ х2 уменьшится, а выражения ----------и —— (-----[---)
Х^Х2 ХуХ2 \Xj Х2/
увеличатся, так что выражение в квадратных скобках уменьшится, а так как оно
°а а л
, то при Xi < х2 у — оно будет отрица-
равно нулю при х{ =.
а
тельно, а при у
х2 положительно. Значит, f(x2)<f(xl), если
ху < х2
, и f(x2) > если
xt < х2. Таким образом, фуик-
ция f(x) убывает
на полуинтервале
и возрастает на полуинтервале
потому Z2, следовательно, и Z имеет наименьшее значение
при tg а
отсюда
а
1_
а3
sin a =-----------
b3
COS a =---------
следовательно,
_3
I 2 2 \ 2
l , = —4- 5 6 - = ( a3 + 63 )
mil1 Sin a ‘ COS a ' ‘
17. Освещенность в точке Л4, находящейся на расстоянии d от источника Ц
следовательно, на расстоянии l — d от источника /2, равна J == k ^375)2) >
Г / d \2 I
где k — коэффициент пропорциональности. Имеем J = Л + ( / ZZy) ’
d г г (14-х)2(Л+*2Л) D
полагая — получим Вопрос сводится к оты-
2/ /
сканию наименьшего значения функции /(-v) = /2^2 + 2Л^ + -~+
где 0 < х < + со, ибо х = • Исследование функции f(x) на возрастание и
убывание производится так же, как и в предыдущей задаче. Ответ: наименее
освещенной является точка М, отношения расстояний от которой до источника
з4 у f'
света силой Ц к расстоянию от источника света силой /2 равно у 18. у5|-
Глава IX. Последовательности
§ 1. Арифметическая и геометрическая прогрессии
1. 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 или наоборот. 2. 20, 18, 16, 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2, 0, —2; —4; —6, —8;
-10, -12. 3. (<?”-!)- , 4. 3, 5, 7; 4, 5, 6 и 5, 5, 5.
bqn~x (q — I)2 w ' bqn
5. 4, 6, 9 и 6, 6, 6. 6. 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1. 7. 4, 12, 36 и ~ •
у у у
528
Ответы. Алгебра. Гл. IX. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
8. 3:5:7. 9. 2 (/6—1). 2/6, 2(/6+1). 14. . 16. s = ^i--l—+ “•
2 CL 12 П
17. 2a = b (3n2 ± n — 2). 20. sn_lsn. 21. Достаточность доказывается методом
21. n~'
индукции. 23. ат = /АВ, ап^А(~\2 * *'1. 24. -^4—- < q < *4/~5. 26. .
27. 2, 4, 8, 12 и 4 , 4. v > 4- 28. 17- 20- 23 и 20, 29. 16, 24, 36, 54
2 2 2 2 О о
и 54, 36, 24, 16.
_________cos kx1 sin kx___________
ak_} cos (k— 1) x -j- i sin (k — 1) x
(cos kx + I sin kx) [cos (k — 1) x — Zsin(£—l)xl , ,,
cos2 (k — l)jt + sin2(£ — l)x v 7 1
4~ sin kx sin (k — 1) x + i [sin kx cos (k — 1) x — cos kx sin (k — 1) лг] = cos x 4~ i sin x,
так что действительно данная последовательность — геометрическая прогрессия.
Ее сумма
_ (cos nx + i sin nx) (cos x 4~ i sin x) — (cos x + Z sin x)
sn------------------------------------------------------=
cos x + Z sin x — 1
[(cos nx i sin nx) (cos x Z sin x) — (cos x 4~ Z sin л)] (cos x — 1 — Z sin л)
(cos x — I)2 + sin2 x
cos nx — 1 — cos (n 4- 1) x + cos X 4“ i [sin nx — sin (n 4- 1) x 4~ sin x]
, пх п 4
sin cos —~
sin Т
4sin2~
, nx . n 4- 1
sin -y sm ——
, x
sln2-
отсюда
, nx n 4- 1
sin “2“ cos —— x
cos x 4- cos 2x 4“ ... 4" cos nx = —--------------,
sin ~
. nx 3 n 4-1
sin-y- sin —g— x
sin x 4- sin 2x r|- ... 4~ sin nx = —---------.
sin ~
35. 3, 6, 12; 12, 6, 3; A (9 +/65), —6, —-|(/65 —9); —-|-(/65 —9), —6,
3 Z г— x 1 ( П/— \
ту (9 4~ К 65). 36. 2, 6, 18 и 18, 6, 2. 37. -- (^для |/ 2 берется п значений).
/2
1
39. а. За, 5а,... 40. а = Ь'~Ь • 41- 4/= 25?. 42. 4, 10, 16, 22,... 43. 3:4:5.
44. и<л+16)(”+2:>. У к а з а ни е. ап = = | р (” + 1) ("+2> _ <^=1 )._g (»+.l) J.
45. g£(”P.+ l).. 47. 0_ 48> 1488. 49> 5Ю (а! = 2, ? = 2) и (4 = 16, ?=-4
2 о \ 2 /
50. 100. 51. 100. 52. 4 или —2. 54. —2, -? ± ' ^15 . 55. —4, 1 о
2 о о
§ 2. Возвратные последовательности
1. Ci • 2" + С2 • 3". 2. C, + Cs-3". 3. Ct (- .1+?^) + С2(-=^=^1)Л или
С( cos + Сг sin ~~. 4. (1 + <21<19) + С2 Р"^19) • 5. (С, + С2л)2л.
Ответы. § 2. ВОЗВРАТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
529
6. (С, + С2п)(-1)л. 7. C,(//3)n + C2(-z/3)". 8. С1 + С2(-1)« 9. Cr2n +
+ С2-Зл4-Сз.4л. 10. С, + С2 (- 1)л+ С3 (-2)л. 11. С1/л + С2(-/)л+С3-Зл.
12. С] (—1 4-3/)л + С2 (—1 —-3/)лС3 • 5Л‘ 13. С1 + С2п4-С3(-2)л. 14. (С,+
+ С2п) + (-4)л4-Сз(-2)л. 15. (С1 + С2п+СзП2)2л. 16. G + С2п + С3п2.
17. (С, 4- С2п + С3п2) (—1)л. 18. Ci cos па 4- С2 sin па 4- С3. 19. 5-2л —Зл+‘. 20. а) Зл;
б) а„ = 2; в) 74-Зл. 21. cos -2тс (п ~ . 22. (1 + 2/)л + (1 — 2Z)”- 23. а) 2Л; б) п2л;
О
в) (1 —п)2”. 24. (—1)л. 25. 2Л4-3Л —4Л. 26. 2 cos + Зл. 27. -1^~6~4с.+
, b — 2а 4- с , —а 4- 2Ь— с , .
------—!— п ------(—2)л. 28. Положить в данном соотношении k = 1,
о-------------------------1о
2, 3,..., п и сложить полученные соотношения. Ответ:
(1 4~ Р) (#1 --Д/2+ 1) 4~ Д2---ДП4-2
1 + я
29. Решение: ап = Сх cos па 4- С2 sin па; из условий ах = cos а, а2 = sin а находим '
ап = cos па. Далее, из соотношения ап+2— 2 cos аап+х-\- ап = 0, полагая п = 1, 2,
3, ..., п и складывая, получим (см. предыдущую задачу):
COS а -|- cos 2а -|- ... + COS па =
па п + 1
(1 — 2 cos а) [cos а — cos (п 4~ 1)g] 4” cos 2а — cos (и 2) а __ s п 2 cos 2 а
2 — 2 COS а а
sin J
30. Ci С2п ... 4- С^пк. 31. Положим ап~ Ьп-\-а\ тогда Ьп+2~~5bn+i-\-3bn-±-
4а — 5а 4- 6а = 4. Выберем а так, чтобы а — 5а 4~ 6а = 4, а = 2; тогда Ьп+2—+
4- 6Ьп = 0 и значит ап = Ci ♦ 2п 4~ С2 • Зп 4- 2 (см. задачу № 1). 32. В данном случае
уравнение х2— 6л 4-9 = 0 имеет кратный корень. В этом случае произведем замену
ап = Ьп 4- ап\ тогда получим: &л+2 4- а (п 4- 2)—6 [6л + 1 4- а (и4-1)] 4-9 (6п4-ап) = —4
или Ьп+2 — 66л+1 4~ 96д — 4а = —4. Выберем а таким, чтобы —4а = — 4, т. е. а = 1;
тогда bn+2 — 6bn+i 4- 9Ьп = 0, Ьп = (Ci 4- С2п) Зл, ап = п 4- (Ci 4- С2п) Зл, ап = п 4-
4- (1 — п) Зп. 33. Ищем «частное» решение в виде а* = ап 4- находим а*п = — •
Далее делаем замену: ап = --g— 4- Ьп; тогда Ьп+2 4- Ьп = 0; отсюда bn = Ciin 4*
4- С2 (— i)n и значит ап = Ьп 4~ а*г = — — 4- Crf” 4- С2 (— 1)п', отсюда по началь-
__I
ным условиям находим: €\ = 1, С2 = 1, так что ап = —~-------Н’л 4“ (—34. Так
общее решение: ап — — — 4~ то последовательность будет сходиться
-— (т. е. к корню уравнения х = рхq) при любом начальном значении аь
как
к -----
1— Р
если только | р | < 1 (это верно и для комплексного значения р). 35. При условии,
что квадратное уравнение х2 4~ рх 4- Я = 9 имеет корни, по модулю меньшие Г,
предел будет равен 0 (это верно и в случае комплексных значений для р и q).
б)
ап
Т
4^-«(4 + Р)\. .
4(2+р) ? В)
9~а
2
*
где хх и х2—корни уравнения х2 4- рх 4~ q = 0, Ci и С2 — произвольные числа;
г)2 ап = п(Р + О";
г)3 ап = п2 п 4~ —j 4“ Ci 4~ С2п.
34 П. С. Моденов
530
Ответы. Алгебра. Гл. IX. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
37. + ” (”2 38. 1 + -Цу~ • 39 ‘ -п(п'^1^(п^~2-)-. 40. ая = я’ + 2п2 +
Зп п
X 5п ___ 5-2^+3\ 41. С1 + ~. 42. 5"+2 • (--4)"-3 • 2". 43. ~ • 2п + Q (—4)" + С22п.
45. ап+4 — 4Х cos р. ап+3 X 4Х2 (1 X cos2 р) ап+2 — 4?? cos рап+L X \*ап = 0; (1)
соответствующее характеристическое уравнение:
л4 — 4 cos ул3 + 4л2 (1 cos2 р.) х2 — 4Х3 cos цх X = 0,
или
[л — X (cos р 4“1 sin Р-)]2 tx — (cos Р —I sin Iх)]2 == 0
(отсюда и надо исходить). Из (1) (обозначая искомую сумму через находим:
sn — ai — а2 — аз — а4[г ап+\ 4- ап+2 X ап+з 4" ап+4 — 4Х cos р (sn — ах — а2 — а3 4-
X ап+1 4- ап+2 4" 4- 4Х2 (14~ cos2 р) (sn — — а2 4" Я/2+i 4“ лл+2) — 4Х3 cos р х
X (sn — ах 4- ап+х) 4- ^4sn = 0, откуда = — , где Д = X cos р X 2Х2 cos 2р X
X ЗХ3 cos Зр 4- 4Х4 cos 4р — (п 4- 1) XAZ+1 cos (п 4-1) Iх — (п 4“ 2) Хл+2 cos (п 4- 2) р —
— (п 4- 3) Хп+3 cos (п 4- 3) р. — (п 4- 4) Хл+4 cos (п X 4) р — 4Х cos р [X cos р X 2Х2 cos 2рХ
X ЗХ3 cos Зр — (п 4-1) Xn+l cos (п 4~ 1) р — (л 4- 2) Хл+2 cos (п X 2) р — (п X 3) Xrt+3 X
X cos (п 4- 3) р] 4- 4Х2 (1 4- cos2 р) [X cos р X X2 cos 2р — (п X 1) ^n+l cos (п X 1) Р —
— (п X 2) Хп+2 cos (п X 2) р] — 4Х3 cos р [X cos р — (п X 1) ^n+l cos (п X 1) р]> £ = 1 —.
— 4Х cos р X 4Х2 (1 X cos2 р) — 4Х3 cos р X ^4- 46. Будем искать частное решение
в виде ап = /г1хп, bn == k2xn. Это приводит к системе:
(Pi — +/г,+71*2=0.
/?2*1 + *2 (7г — х) — 0.
. \Pi — ^ Qi '
необходимо и достаточно, чтобы
I р2 q2 — x
Для того чтобы эта система имела относительно kx, k2 ненулевое решение (/^ = k2~ 0—
нулевое решение приводит к тривиальному решению: ап = 0, Ьп = 0 при всех и),
= 0 (2). L Если это уравнение имеет
простые корни хх и х2, то из системы (1) ~при х = хх находим какое-нибудь нену-
левое решение: kl^=sky ^2 = ^2» для ^==x2 находим ненулевое решение k
= &2*> которое в силу xt =£ х2 не
найдем два частных решения:
ап =
будет пропорционально первому. Так мы
bn =* k2xl»
Общее решение:
an = k1X", bn = k.2xn2.
ап Ci*+i + С2Ь^,
Ь^С^ + С^х".
В самом деле, при п = 1, получаем:
== C^k-^X^ 4~ ^*2^1 *^2’
Ь^С^ + С^х*
(3)
Эта система разрешима относительно Сх и С2> ибо ее определитель
так как хх 0, х2 X 0 в силу Д X 0, а
k 1 k
хо
в силу того, что хх и х2 — неравные корни уравнения (2), поэтому ненулевое ре-
шение kv &2 системы (1) при х = хх не пропорционально ненулевому реше-
нию k^t k*2 той же системы при x = x2. Таким образом, из системы (3) находим:
L t** t L* t*
r __ —а1^2
^2^1 /
Ответы. § 2„ ВОЗВРАТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
531
так что искомое решение в этом случае
1 1 £* 1*
__ ,♦ а1^2 —01^1 п ** ^1^2 п
ап ^1 /j.M* "4 42’
— k>2kr ) X2 \kYk2 — k2kt )
h _ k* ~*1л1___ ,л I Ml —alfe2 n
п 2х,(^*-МГ) 1+2 2’
II. Пусть корни уравнения (2) равны между собой. В этом случае находим, как и
ранее, частнсе решение ап = kxx"> bn^k2x^ где kv k2 — ненулевое решение
системы (1) при x^xl(~x2). Будем искать другое частное решение в виде
ап = (si -J- k{n) хп, bn = (s2 + k2n) х11. Тогда мы получим две системы:
(Pi — х) kx + qxk2 -= 0, (рх — x)sx-tqxs2 = kxx,
kxp2 + (?а — х) k2 = 0 p2sx Н- (<?2 — х) s2 == 62х.
Первая система совпадает с системой (1) и поэтому ее ненулевое решение (при
х = Xi = х2) можно считать совпадающим с взятым выше ненулевым решением k'v k2
(все ненулевые решения пропорциональны). При х = xt ( — х2) из второй системы
найдем =» sp s2 =• s2; так как Xi 0, то это решение будет ненулевым и не будет
пропорционально kv k2* Таким образом, мы найдем второе частное решение;
ап -« + *» 4. +
Общее решение:
ап 4~ ^2 (si + ^1л) Х1>
Ьл ^А^* ХГ + С2 (S2 + XV
Это решение является общим, потому что из него при ц = 1 получается система,
всегда совместная относительно Clt С&
+ (Л1 + *1) ®* 3А •
лас1 + (*2 + 4) с2 ,
отсюда
Д1(4 + 4)~ *1(4 + 4) с ъА~аА
*1(44“ 44) ’ 2 *1(44 “44) ’
а общее решение:
b^ — afa
апв &
♦ а1
ч —
— &2
---г т
•^1(^2-Mi)
’1) ^1^1 *“““^1^9 / * я* '
— + /У* ЧА" (4 +
III. Пусть, наконец, Д ==0; тогда р2 =« <h зяв значит, Ьп+1 == при всех и,
значит и Ьп — \ап, а потому из an+i =* р^ап -|~ qYbn находим апЛ. i — (Pi ап ~ 0.
Если pi + т0 имеем только одно решение: ап =» 0, Ьп 0. Если р{ -f- ¥=
то ап =» Ci (pi + tyiY1» ~ \Ci (pi + 4i)rt — Две геометрические прогрессии.
I—2 — x 4 I
5 x H o. x2—5x -j- 6—0,
Xi=*2, x2=»3. Система (1) при x^»2: —4/г14-4^2 = 0, ki=zk2=*U при x —3:
— 5£i4-4£2=s0, ^-4, 4=5. Частные решения: an^2n, bn = 2n\ an=4-3nf
bn^5- Зл. Общее решение; an =« . 2n 4“ C2 • 4 • 3nt bn^ Ci-2n 4- 5C2 • Зл. Решение,
соответствующее данным начальным условиям: ап = 2n — 4 • о", Ьа = 2п — 5 • Зл;
б) | 3 ~ Х * | — 0, л1 — 4х 4- 4 =8 0. Xi « х2 =« 2. Система (I) при х = 2 при-
I —1 1 — хI
нимает вид kv 4 k2 « 0, — — k2 «=» 0, откуда, например, k{ = 1, k2 = — 1, ал =* 2Л,
bn = —2Л. Ищем другое частное решение в виде аа == (sx 4*п) 2Л, ba = (s2 ~ п) 2п.
34*
532
Ответы. Алгебра. Гл. IX. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Находим Сч + п + 1) 2Л +1 = 3 Д- л) 2Л Д~ (s2 — п) 2п, (s2—zi—1) 2п = — (51+л) 2п +
4- (s2 — п) 2п, = 1, s2 = 1; значит, ап = (1 Д- и) 2ZZ, bn~ (1 — л) 2п. Общее
решение: ап = [Ci Д- С2 (1 Д- /?)] 2", Ьп = [—С. Д- С2 (1 — л)] 2п. Для а} = 14, — 6
находим С[ = 3, С2 == 2, так что ап = (5 Д- 2п) 2'4 Ьп~ — (2п Д- 1)2Л; в) Ьп+1 — Злл+Ь
b 1г = Зап, ап+} = 7ап, ап = CJ11, bn = 3CJn — две прогрессии. 47. Обозначим через М
наибольшее из чисел | zzj | и I ], а через т— наибольшее из чисел |р1|Д-|#11
и IА I + I #21 i тогда
|а2| = 1Я1Р1 + М1 К1«11 |Р11 + l&i 1191 К 34<]р, 1 + 1 q<
I b21 = I atp2 + b}q21 < | a, 11 p2| + I bt 11 q21 < M (| p21 + | q21 )< Mm,
+з I = I «2Р1 + b2q\ I < I a2 I I + I b2 11 qt |< Mm | pt | + Mm | qt |< Mm2,
] b3 К Mm2
и т. д., вообще: | an || bn |< а так как 0 < m < 1, то lim an = 0
и lim bn = 0. 49. Если Д — p 1 0, то необходимое и достаточное условие
I Р2 #2 I
I Pi — x qx I
заключается в том, чтобы корни Xi и х2 уравнения 1 — 0 были по
I Pt #2 — * I
модулю меньше единицы. Если Д=0, а X — такое число, что р2 = \рь #2 =
то необходимое и достаточное условие сходимости к нулю данных последователь-
ностей имеет вид | рх Д- ^#1 I < 1- 50. Рассмотрим две новые последовательности:
п/г = хп~ xQ, vn = yn — у0. Тогда хп = ип Д- х0, уп = vn Д- у0; значит, ип+! Д- х0 =
: ' (^1 + 1) (ип Д- xQ) Д- b} (уп Д- у0) Д- cb vn+! Д- y0--=zz2 (ип Д- хс) + (62 Д’ 1) (^/г+Уо)+с2»
или = (Д4 Д-1) ип Д- bxvn Д— cl^Xq Д- ^jy0 Д- Ci, ^n+i а2ип + (Ь2 Д- 1) vn Д- л2х0 Д-
Д^гУо + с2, а так как ZZ]XO Д- Ь^у0 Д- С[ — 0, а2х$ Д- b2yQ Д- с2 = 0, то wM+i =
= (Л1 Д-1) ип Д- biv}v vn+x = а2ип Д- (b2 Д- 1) vn. В силу условий | ах Д-1 | Д-1 bx | < 1,
I а21 + I ^2 + 1 I < 1 последовательности ип и vn сходятся к нулю, а значит хп и уп —
соответственно к xQ и у0. 51. Решение аналогично предыдущей задаче. 52. ап~
= 1[СХ (1 Д- 2i)n Д- С2 (1 — 2Z)% bn = Ci (1 Д- 2i)n — С2 (1 — 2i)n. 53. П е р в ы й с п 0-
с о о: решаем систему х==уД-5, у = — х Д- 3, находим х = 4, у = — 1. Вводим две
новые последовательности ип — ап — 4, vn = bn 1. Тогда un+i — vn, vn+l = — ип
и т. д. Ответ: ап = 4 Д-1 [С1//2 Д- С2 (— l)n], bn~ — 1 — Ciin Д- С2(— 1)п. Второй
способ: ап+2 = bn+i~\-5 = — ^Д-8, откуда ап+2 Д- ап = 8. Ищем частное реше-
ние в виде ап = С (где С постоянное), находим С Д- С = 8, откуда С — 4. Рассма-
триваем новую последовательность ип = ап — 4; тогда wn+2 Д- ип-=-$. Составляем
характеристическое уравнение х2 Д-1 = 0; его корни ±z. Общее решение: ип = С1/ЛД-
+ С2(— 1)п, а значит ап = 4 Д- Cxin Д- С2 (— 1)п, откуда Ьп = — 5 =— 1 Д-
Д- Ciin Д- С2 (— i)n, что лишь обозначениями постоянных отличается от ответа, по-
лученного выше. 54. Решение лишь до некоторой степени аналогично решению
задачи 46. Существенной особенностью здесь явится исследование кратных корней
уравнения
Pl—X Q\ /'i
Р2 #2 — г2 = 0.
Рз #3 Г3 — X
В случае, например, двукратного корня х == х{ = х2 возможны два случая:
а) система
(/?i — xj ki Д- q{k2 Д- гik3 — 0,
p2^i Д~ (#2 — -^1) ^2 4" 2^3 = (А)
/?3&1 + #3^2 + (г3 — Х\) #3=0
имеет два линейнонезависимых решения: #*, k^, #3 и #**, kT, k™. Если при этом
#1 , #2 , #3 — решение той же системы при х = х3 хъ то общее решение будет
иметь такой вид, как и в случае отсутствия кратных корней:
+ = + сХЧ" + Сз4*Чл.
Ьп = С^х? + С2^ + C3k^x",
с„ = С^х" + C2k*3*x” + C3k***x“.
Если же все решения системы (А) пропорциональны, то придется еще искать
частное решение в виде ап = ($! Д- kin) хп, bn = (s2 Д- k2n) хп, сп = ($3 Д- k3n.) хп.
Ответы. § 3. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
533
§ 3. Произвольные последовательности
1
19 1 2 19
1. 4. 2. 4. 3. . 4. Указание. , —4=^-
3 3 *~Х V2 cos| /24-/2 cos-
ап —
п sin 2*-н
2 7U
2«+i
sin 2^+1
последовательность с общим членом -------------- сходится
ТС
2"+1
к 1. 5.2. 6. . У к азание. К2 = 2 cos ~,УЗ = 2cos7. j—fcjQ 8. У к а-
з а н и е. Последовательность аъ Ь2, а3, Ь4, ...— возрастающая, ограниченная сверху;
последовательность Ьь а2, Ь3, а4, ...— убывающая и ограничена снизу, lim (ап—Ьп)=6
(это следует из тождества, которым ап и Ьп связаны с а и Ь, и условия а < b < 0).
г_____ *1 а2
9. 14-у1 — а. 10. х2 — Xi =-2~ =------g-< 0, так как а=£®'> значит, х2 < х/,
а х? а а2 а (4 — а)
так как х2 = к----9- = тт----—---------б----> 0, то 0 < х2 < хР Далее х3 — х2 —
Z Z z о о
= -^ (х^ — х|) > 0; значит, х3 > х2, х3 — Xj
2 2
х| — Х3
Находим х4 — х3 =-----значит, х3
----, х3 < хР Итак, х2 < х3 < хР
Л1 л3 ~
х4; х4 — х2 =----~----->0, х4 > х2.
Итак, х2 < х4 < х3. Аналогично находим, что х4 < х5 < х3 и т. д. Таким образом,
последовательность хн х3, х5, ..., х2п+1, ... убывающая, а последовательность
х2, х4, ..., х2п, ... возрастающая (это следует доказать методом полной индукции).
Обозначим предел последовательности хн х3, х5, ... через А, а предел последо-
о тл » а х<2п
вательности х2, х4, х6, ...—через В. Из соотношении х2п+1=^------------------,
а х2п-л а В2 а А2
х2п = -g-----g— переходим к пределу, находим: А = -g---------------------2~ ’
Д2__ £2
откуда А — В —-----------, или (Л — В) (2 — А — В) = 0. Так как А и В положи-
тельны, причем А^~г В^^> то их сумма меньше 1 (0 < а < 1) и, значит,
а А2
2 — А — В =4= 0, поэтому А — В = 0, откуда А = В. Итак, А = -^------» откуда:
А2 4- 2А — я = 0, А = Vl 4- а — 1 (второй корень этого квадратного уравнения
отрицателен, следовательно не может быть равен А, так как А > 0). 11. Доказа-
тельство. Предположим, что х0 выбрано так, что Xq > 0 или х0 > У а *. Докажем
сначала, что х0 > Xj > У а. В самом деле,
1 ( а \
Xq — Xi = Xq------ 9“ I Х0 4" “)
Xp—a
2xq
>0,
так как по предположению х% > а. Далее,
_/—• 1 / . а\ -г- 1/2 п ^г~ । У (х0 — Ук
X!— У а = ~^04-_ J — уа = —(х^ — 2х0Уа 4-а) =--> °-
Итак, х0 > Xj > У а. Докажем теперь, что х0 > х{ > х2 > ... > хп > Vа . (1)Для
доказательства предположим, что написанные неравенства верны; докажем, что
тогда будут верны еще и такие неравенства: хд>хл+1>уЛ0. В самом деле,
_____________ „ __ 1 / \ Х^ 0-------2
хп — хп+х~лп ?у1хл4----------------------) = -~9-> 0, так как по предположению хп > а.
\ Хл/ £Хп
Далее,
.rn+I— Va =1 (хп 4-А)_/а =4п’(^ —2л„/а а) = (хп — /а )2 > 0.
*) Случай Xq < а и х^ = а предлагаются читателю исследовать самостоятельно.
534
Ответы. Алгебра. Гл. X. СУММИРОВАНИЕ
Итак, х0 > лд > х2 > *.* > хп > xn+i >Уа. Но цепь неравенств (1) доказана для
zz = 1; значит, правильность неравенств (1) доказана методом полной индукции для
любого п, т, е. xQ > xt > х2 > ... > х^> •*. > V а . Таким образом, последова-
тельность х0, xlt х2, ...» хп, ... убывающая и ограничена снизу {xn>Ya}\ сле-
довательно, эта последовательность имеет предел. Так как xn>Yat то этот пре-
дел х будет а (неравенство в пределе сохраняется или переходит в равенство):
x^Ya, значит х > 0. Переходя к пределу в обеих частях равенства хп+1 =
. а\ .. .. * 1 f . а\
хп 4~ — J и замечая, что lim хп+j = х, lim хп = xt будем иметь х = (х --1,
2х = х , х == ~ , х2 = а, х == ±Ya • Но мы уже доказали, что х > 0, значит
x==Ya' 12. Указание. Применить метод полной индукции.
4(
Глава X. Суммирование
1.
(л + 1)! — 1. 2. Указание, п (п + 1) (п + 2) (п + 3) — (п — 1) п (п + 1) (п + 2) =
= 4п(п+ 1)(п + 2). Ответ: - п (п + 1) (я + 2) (п + 3). 3. ..” <»+0 (2/*+О .
л „ 1—х" /гх" + ! п2 (я -f-1)2 t 1?!-i п (п +1) п х2 — хп+2 ,
4‘ (1—х)2 1— х ’ 5’ 4 • ( О 2 • (1—х)3 "г
х — (2я3) хл+2 (n-\-iyXn+l 2(1— хп+') 2(п + 1)хл
+ (1— х)2 1—х • (1—х)3 (1—х)2
9. ^п(/2 + 1)(6пз + 9п2 + «-1). 10. _(^)^.+ 1);^+2) .
11. п(п2+1\. 12. (п-1)3 + яз. 13. -J[n2 + l+(-l)«|]. 14. ^(n-l)nx
X (я + 1) (Зя2). 15. а) ^(п + 1У(2п2 + 2п-1); Q я (я+1) (ЗяЧ-6я3-Зя+1).
в) 16. _1_п(л^1)(4й2_1)(5л + 6).
17. . 18. Л ^ + 1) (11 + 2) . 19> 2(л-1)+2*-« 20. 1+(я—1)3Л.
21‘ ((1—х)(1 — х2) ' 22, ЕСЛИ и х^1}> Tos = 1 — 2Х1—Зх2 {а‘Х +
+ (а2—2Д]) х2—х”+1 (_ 1)"+' e2+Oi 3„+1] _3хп+2 (- ])« +
+ —Зл+2 ] I.
У к а з а н и е.
а3 — 2^2 — За! = 0,
а^ — — За2 == 0,
— Ча^ — За3 = 0,
^7/2 — 1 2 -----
Далее умножаем первое соотношение на х\ второе на х\ последнее на хп и,
складывая почленно получаемые равенства, получаем: s — а{х — а2х2 ~
— ^x(s~aix — апхП) — Зх2 (s — ап__!Хп~1—апхп)~0. Отсюда находим s. Затем
надо найти общее решение для заданного рекуррентного соотношения и выбрать
Ci и С2 так, чтобы первые два члена последовательности были равны а{ и а2.
Глава XL Комбинаторика
’• 2-72-3- а) 240; б) 60- 4- 4л(/г—1)-5- 6-60-7-3"-8-Зт2-
9. ,,т---г_____1!____(5 I г)' 10 т(т-\) п (п-1)(п-2)
r\(m — r)\ s\(n — s)\ Г ) • 2 2 1 L п* 1-2-3
__ m(m-l)(m-2) п(п-\)(п-2) (от - 1) (те - 2)
1-2.з 11 1Д пт?з------------------m--------- 13- 72-
Ответы. Алгебра. Гл. XII. ИНДУКЦИЯ
535
п(п — 1) ... (и — m + 1) lfi «(«—!) , я(4 — 1)
14. -+----------------16* -------Ь2 1Л тй 1---П2— <т + /’) +
+ (m + n) + 17. 3999 960. 18. 839 991 600. 19. 239. 20. ~п(п — 4)Х
п(п— 1) 1) . л(л—1)(п —2) т2п(п—Г\,
Х(п-5). 21. 2 \ \,2—---------П2?3-----т’=---§----\™+«-3).
Ь2.3
22. — (п —1)(л —2). 23. Применить метод индукции. 25. 7. 26. а) п прямых могут
. , п (п + 1) „ - -
разделить плоскость на 1 4----g----частей; 15 прямых на 121 часть; б) на
14 частей. 27. л = 2. 28. 264 делителя; сумма всех делителей, включая 1 и само
число, равна 319 987 040. 29. Цифры 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 встретятся /г-Ю""1 раз.
Цифра 1 встретится IO*"1 + 1 раз. Нуль встретится п (Ю""1 + 1) — 1 раз.
30. С2„. 31. ^4^- 32, |(«-2)(п-3)(н-4). 33- 1568- 34. m(« + D +
+ 312+11+ 1.35. 36. 57. 37. 96. 33. 480. 39. 30. 40. 4(с‘3)3С?з +
+ 6(с'1з)2(С1з)2 = 7682544' 4Е если s = °. то С* Задача не имеет ре-
шений при и <&(!+$)* При n = £(l-|-s) число различных ^-угольников равно
1 + S. 42. 64 800. 43. 64 800. 44. 55. 45. 3265920. 46. 47. CPZ^.
48. 686. 49. 2880. 50. m = 3, п = 6. 51. ^тп (т— 1) (п — 1). 52. -1 (m-f-l)2 (m+2)2.
53. С£и. 54. 8. 55. 7. 56. 2p+A3n~p~ft — 1. 57. 43 200. 58. Круг, по которому т-я
плоскость пересекает шар, пересекается каждой из остальных плоскостей в двух
точках и, следовательно, делится на 2(/п — 1) частей. По обе стороны каждой из
этих частей находятся 2 части сферы, которые обращаются в одну, если убрать
т-й круг. Следовательно, число F(m) кусков шара при делении его т плоскостями
на 2(/n—1) больше F (т— 1) — числа делений т — 1 плоскостями: F(m)==
= 2 (т — 1)4- F(m — 1), но F(l) -2, значит, f(n) = 2(1+1 -|-2+3-j-п-1) =
= 2 + л (л — 1). 63. C%q • Cj6 • Cj2 • =» .
Глава XII. Бином Ньютона
а) л2л-’; б) (п + 2)2'1-1; в) 1 + (я — 2)2"“г) (n + 1)2Л; д) 1 + (2л- 1)2Л; е) 0;
2л+1 _ 1 ч 1+п2п+1 . . 1 . . . .
ж) °; 3) « + 1 i и) (л + 1)(л + 2)’ л+1’ л)°илн( О с-п_-
2. а) (» + W + 2). б) (п + W + 2> (п + 3).. 3ф а) 4200; б) 4204 200. 5. 26.
6. Докажем, что члены разложения бинома (р 4- Я)П, где р > 0, q > 0, р -|- q = 1,
сначала растут, а затем убывают. Имеем Тк = Ckn~xqk^pn~li+^* « Cknqkpn~k,,
отсюда ^п~ +. 12,*L . Решая неравенство ~ > 1, найдем k < q (м+1).
7 # яр 7 &
Итак, если k < q (п + 1), то 7\ < Т2 < ... < Tk+l. Для k q (п +1),
Tk ?k+\ > • * • > Т’п + ь Таким образом, если q (п + 1) > 1, то наибольшим членом
будет первый; если q (/г + 1) > п, то наибольшим членом будет последний. Если же
1 + Я (п + 1) + п, то наибольший член не будет ни первым, ни последним; если
при этом q(n-\-\) — число не целое, причем ч— наибольшее целое число, все
еще меньшее, чем q(n-{-1), т. е. v < q (п + 1) < v + 1, то номер наибольшего
члена разложения равен ^ + 1; если же # (/г +1) — число целое, причем 1-+
q (и + 1) + ri. то имеются два равных между собой наибольших члена разложе-
ния, номера которых ^(/г + 1) и # (п-ф-1) + 1- 9. 13. 12. С\ + 2С2п + 13. Пер-
вый вариант: (1 + 2х + Зх2)10 = 1 + 10 (2х + Зх») + 45 (2х + Зх2)2 +
+ 120(2х+Зх2)3+210 (2х+3х2)4 + ... (недописанные слагаемые содержат х в степени
большей, чем 4). Из последнего выражения легко находим коэффициент при х*: 45 • 9 +
+ 120 • 3 • 4 • 3 + 210 • 16 = 8085. Второй вариант; общий член разложения
тринома (1 + 2х + Зл2)'0 есть -yry-т Iя (2л/(Зл2)\ где а + р + j = 10, причем а,
a.plp
536
Ответы. Алгебра. Гл. XIII. ИНДУКЦИЯ
р, у — целые неотрицательные числа от 0 до 10. По условию Р4~2у = 4. Если
Y = 0, то р = 4, а = 6; если 7 = 1, то р = 2, а = 7; если 7 = 2, то р = 0, а = 8; у не
может быть больше чем 2, так как тогда р=4 — 2у < 0. Соответствующие, ука-
10’ 10’ 10’
занным членам коэффициенты: -к ‘ 24 Ц- о . 22 • 3 4~ З2 = 8085. 14. Реше-
014! / ! 2 ! 1! о! 21
ние. Общий член разложения (1 -J- х2 4~ х5)20 имеет вид
20!
plqlr!
l^x2qx5r =
= , где р, q, г — целые неотрицательные числа, такие, что р + q +
4- г = 20. Таким образом, вопрос сводится к тому, имеет ли уравнение 2q-\-5r = т
(где т— любое целое неотрицательное число от 0 до 100 включительно) реше-
т,т п - т— г п гт т— Г /
ние или кет. Имеем: 2q = т — or, q = —х-----------2г. Положим: —~— = s (s —
целое число), тогда г = т— 2s, а значит q = s — 2(/и— 2s) = 5s — 2m. Так как
г > 0, # > 0, то т — 2s > 0, 5s — 2т 0; значит, s <; —, или s > —г— , или
2 О
5 -ту-, или 4/72 10s 5т. Ясно, что если т 10, то существует целое
О 2
положительное число s, для которого эти неравенства будут выполнены (так как
5т — 4т = т^ 10), а значит при том целом положительном значении s, при кото-
ром они будут выполнены, числа г = т — 2s и q = 5s — 2т будут целыми не-
отрицательными числами, причем 2q5г — т. Следовательно, #10, ап я12, • • • ^юо
все отличны от нуля. Что касается значений т меньших чем 10, то проверкой
убеждаемся, что уравнение 2q-]-5r = m, где т = 0, 1, 2, 3, ..., 9 не имеет целых
неотрицательных решений лишь при т = 1 и т = 3; значит, в указанном разложе-
нии лишь ах = 0 и я3 = 0; значит, не равны нулю 99 коэффициентов #0, #2,
a3i aQ, ..#100. 15. Л 4- 1, если k п — 1 и 2п — k — 1, если k > п — 1.
Глава XIII. Индукция
1. Для /2=1 имеем равенство а2Ь^—(#1Z>1)2 = 0. Предположим, что соотношение, под-
лежащее доказательству, верно; тогда (^ + #2+ ••• + ап+1) (61 + 62 + .---
+^л + ^л + 1)—(аА + а^>2 + ••• + Я/Дг + дл+1^л+1)2 — (Д1+а2 + • • • + ал)х
Х(^1 + ^+ ••• - (Д А + а2^2~\~ ••• + апРп)2 + ап+1 (^1 + ^2 + • • • + ^«)+
+ ^П + 1(а1 + а2+ ••• + ал) + ^л + 1^Л + 1-+ (#1&1 4~ ^2^2 + ... +ДЛ) —
-+ 1 = [(а1 + + ••• +ал)(^1 + ^2+ ••• +^д)-------- (ДА + а2^2 + ...
... 4-^Л^л)]2+(^1^+1---------------------------------------^1ДЛ+1)2 +АА + 1- ^2Дл+1)2 + ... + (ДЛ+1-^A+i)2>0,
так как, по предположению, выражение, заключенное в квадратные скобки, поло-8
жительно или равно нулю. Но так как соотношение, подлежащее доказательству,’
верно для /г = 1, то методом полной индукции оно доказано для любого целого
положительного числа п. 2. Для п = 1 и п = 2 имеем 7\ (х) = cos (arccos х) = х,
Т2 (*) = cos (2 arccos х) = 2 cos2 (arccos х) — 1 = 2х2 — 1 — полиномы первой и вто-
рой степени. Предположим теперь, что 7\(х), Т2(х),..., Тп(х) — полиномы, соот-
ветственно первой, второй и т. д., /z-й степени. Имеем: Tn+l (x)=cos [(/г4-1) arccos х],
Тп~ i (х) = CGS [(п — 1) arccos xj, откуда Тп+Х (х) 4~ Тп_х (х)1 = 2 cos (n arccos х) X
X cos (arccos х) = 2хТп (х); следовательно, Тп+Х (х) = 2хТп (х) — Тп_! (х). Так как
по предположению Тп_х(х) и Тп (х)— многочлены степеней соответственно п — 1
и /г, то 7п+1(х) = 2хТп(х)—Тп~х(х) есть многочлен степени и
наше положение доказано методом полной индукции. Замечание. Отметим, что
рекуррентное соотношение Тп+Х (х) = 2хТп (х)—Тп-\ (х) позволяет вычислить
последовательно Г3(х), Г4(х),
Т3 (х) = 2хТ2 (х) — Тх (х) = 2х (х2 — 1) — х = 4х3 — Зх,
Т4 (х) = 2хТ3 (х) — Т2 (х) = 2х (4х3 — Зх) - (2х2 — 1) = 8х4 — 8х2 + 1,
Г5 (х) = 2хТ4 (х) — Т3 (х) = 2х (8х4 — 8х2 + 1) — (4х3 — Зх) = 16х5 — 20х3 + 5х,
Т6 (х) = 2хГ5 (х) — Т4 (х) = 2х (16х5 — 20х3 + 5х) - (8х4 — 8х2 + 1) = 32х6 — 48х4 +
4- 18х2 — 1 и т. д.
3. Если /г = 2, то положение доказывается просто; в самом деле, пусть хх > 0,
х2 > 0. Xi 4~х2 = 0, тогда (хх Ф х2):
/ \ /2 \ Г( а \2 а2Л а2 / а \2 а2
ххх2 Xj (# Xj) \х^ #xQ — [ \ 1 ~~ ~2^ / 4J ~ ~4 " \ 1 2 / < 4 г
Ответы. Алгебра. Гл. XIII. ИНДУКЦИЯ
537
так как хх —~ =£ 0 ^если бы было хх------- = 0, то хх = х2 = , что противо-
речит условию^. Предположим теперь, что высказанное предположение верно для
некоторого 72. Пусть Xi 4- х2 4- ... 4~ хп + хп j = а и будем по-прежнему считать,
что среди чисел xh х2, ... хп, хп+1 есть хотя бы два различных. Тогда из этих
72 4~ 1 чисел можно выделить 72 чисел, среди которых будет также, по крайней
мере, два различных*). Пусть это будут, например, первые 72 чисел х2,... хп.
Так как ^i4~-r2+ ••• -\-хп~а — хп+х [все числа xlt х2, ..., хп (и хл+1) поло-
жительны и среди чисел хъ х2, ..., хп есть, по крайней мере, два различных], то
7 а — х„ . 1 X72 (а—хп4-Лп *
по допущению ххх2 ...хп< I-----, откуда ххх2... хпхпы < I----------хп+1.
„ (а — х„±.\ X72 ^7 а \п + х п . хп±х .
Докажем, что Х/2+1 уТГуИ / ' Дли 9Т0Г0’ полагая *---я
установим, что последнее неравенство (подлежащее доказательству) эквива-
тг72 /г72
лентно следующему: X72 (1 —-Х)<_-— ----тгтт, 0 < X < 1. Имеем:--------—ттг-г —
(п + 1)'+‘ (/г4-1)"+‘
„?П(1_П=уп )п 1 г/ „ V ->
(« + 1)‘
п \ 1
1
П-2
I м
п
„ L п \ 1 /
4~ X72 [ X-------j 7— I •—- г~~1— (
X п-\-\ ) п -j- 1 \
4- X72”1 — (п 4-1) X72] . Если О
П-2
--q- р-, то, заменяя в квадратных скобках
каждое слагаемое фуна X72”1, мы уменьшим
рассматриваемое выражение (или, в крайнем случае, оставим его без изменения)
1 [ п Л г / п Л2 С
и получим
значит, и
7Z72
(72 4- 1Г
МП— ‘)1"1-,-<"+1>''"1 = ё7+Т>г
7272
подавно --------X72 (1 — X) > 0. Если же
(« +1)
_Х«(1-Х)=-ГГ|
п
\«+1 } ’
г < X < 1, то
4-1
1 7 72 X72”2
X —
_1_ ъ>
П + 1 /
а \л+1
п +1 /
7272
так что и в этом случае -------------j
(72 4- i)
<д~*”+!2_ Хп+Ъ a Так как ххх2 ... хпхп+1 < a~^”——х„+1, то XiX2...
а \n+l
pyj . Предположенное неравенство доказано методом полной
индукции. Отметим, что если все числа х2.........хп равны между собой, то из
условия + х2 + • • • + хп ~ а следует: jq = х2 = ... =хп = — , так что ххх2 ...
/ X72
... хп = I -- 1 . Замечание. Рассмотрим несколько примеров приложения
доказанной теоремы, 1°. Из всех прямоугольников данного периметра наибольшую
площадь имеет квадрат. В самом деле, если х и у — стороны прямоугольника,
а 2р — его периметр, то 2х 4~ 2у = 2/? или х 4- У = А Площадь s = ху по доказан-
7 Р Р% Р
ному меньше (у) ~ если х и Равна ’ если * = у = у . 2°. Из всех
прямоугольных параллелепипедов с заданной полной поверхностью наибольший
объем имеет куб. В самом деле, если обозначить измерения параллелепипеда через
х, у, г, через 2s — его полную поверхность, а через v — объем, то 2yz 4- 2?х 4- 2ху =-
= 2s, v = xyz. Так как yz 4~ zx 4- ху — s, то yz • zx • ху < I у \ , если среди чисел
. 7 s X3
yz, zx и ху есть хотя бы два разных, и yz • zx • ху — I у) , если yz = zx~ ху.
Хл(1
пп
п
П
п
П
:) Считаем тг > 1.
538
Ответы. Алгебра. Гл. XIII. ИНДУКЦИЯ
откуда х = у = z, Так как yz*zx- ху == у2, то для прямоугольного параллелепи-
педа, не являющегося кубом, у < , а для куба у =/(Я з’ п“-
щадь треугольника выражается формулой s~Vp(p — х)(р — у) (р — z), где х,
у, z— длины его сторон, а р — полупериметр. Б силу того, что р — х-\~ р— у 4-
+ р — z = 3p— (х + у + г) = Зр— 2р = р, из всех треугольников с заданным
периметром наибольшую площадь будет иметь тот, для которого множители
р — х, р — у, р — z, входящие в выражение для площади, будут равны р — х =
= р — у~р— z, х ~ у = z, т. е. равносторонний треугольник. Вообще доказанная
теорема с успехом применяется при решении различных задач на наибольшие и
наименьшие значения. 4. Для п = 1 положение верно 1 Ц-2, и дей-
ствительно, одна прямая рассекает плоскость
что п прямых (из которых никакие две
не параллельны и никакие три не про-
ходят через одну точку) рассекают пло-
скость на 14~—“ частей- Возьмем
п-ф* 1 прямых, из которых опять никакие
две не параллельны и никакие три не
Предположим теперь,
на две части.
Черт. 96.
Д*+з 'Ln
Черт. 95.
проходят через одну точку; п каких-нибудь из этих прямых по предположению рас-
. , п(п .
сскают плоскость на ------~—-- частей. Присоединим к этим прямым прямую.
Она, по условию, пересечет все п прямых в и различных точках и, значит, пройдет по
п +1 кускам плоскости, каждый из которых она разделит поэтому на два куска.
Таким образом, добавится е це п 4- 1 кусков, и общее число частей плоскости будет
1 п (п 1) . . 1 , (п 1) (п 4~ 2) р.
1 ----—L п -j- 1 = 1 4- -—!—1. Последнее выражение получается из
1 f если вместо п подставить /?4~1- Таким образом, формула доказана
4 • 5
методом полной индукции. Например, при п = 4 имеем 1 4- —11 (ч^рт. 93).
Ответы. Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
539
5 • 6
При п = 5 имеем 1 + ~2—= 16 (сделать чертрж’) и *• Д- 5. В качестве примера рас-
смотрим конфигурацию, приведенную на черт. 94. Здесь t = 5, I = 16, р = 12 и дей-
ствительно t — I 4- р =5 —16 + 12 = 1. Теорема, очевидно, верна для п = 1, т. е. для
одной прямой. В самом деле, для одной прямой Z = 0, / ==1, р — 2, так что t—Z-f-p —1.
Предположим, что теоремд верна для п прямых, т. е. что для п прямых t — l~[-p = 1.
Проведем на плоскости п -|- 1 прямых. Выделим из этих прямых любые п прямых.
Пусть Мх, М2, ..., —точки, в которых л-]-1-я прямая Ln + X пересекает п вы-
деленных прямых Zh Л2, ..., Ln. Предположим сначала, что все точки Мх, М2, ...
..., Mk новые, т. е. что прямая А/2}1 не проходит ни через одну из точек взаим-
ного пересечения прямых Л,, Z2, ..., Ln (черт. 95). Для прямых Z2, ..., Ln
соотношение t — Z 4- р = 1 мы предполагаем выполненным. После проведения пря-
мой Ln н к числу t добавится k, к числу Z добавится k -f- 1 k — 2k 1 (так как
каждая из прямых £2> 7.3, •••> разделится на две части и, кроме того, сама
прямая Lnvx точками Л/2, разделится на k -|-1 частей); наконец,
к числу р кусков плоскостей добавится еще k 4- 1 кусков (границами этих кусков
будут, между прочим, те k -}-1 частей прямой на которые она делится
точками М2,..Mk). Таким образом, tx —4Х -j-Pi == + k) — (I -\-2k -f-1) -j-
4*p4‘^ + l=^— / + p = 1. He меняется дело и в том случае, если среди точек
Alj, м2, ..., есть старые точки, т. е. точки взаимного пересечения прямых
Ai, Р2> •••» (черт. 96). Пусть, например, в точке Мх пересекается q прямых LX9
Л2, • ••» ^4* ^ТУ точку Мх мы поэтому будем обозначать так: Л4123 ... Теперь
число t точек увеличится на k— q, число частей прямых увеличится на k— q 4-
4- 1 4" — 7» а число кусков плоскостей увеличится на k— 7 4"!» так что опять
Л — Л +Pi = + k—q) — (Z 4-2k—2q 4- 1) 4~ (/> 4- k — q4~1) = t — I -±p = 1. Таким
образом, незаЕИсимо от дого, являются ли все точки Л1ь М2, М^ <новыми.» или
среди них есть <старые>, притом с любой кратностью, мы всегда будем иметь tx—
— Л + Pi = 1» если предположить, что соотношение t — I 4- р = 1 верно для п
прямых. Но это соотношение доказано для п =» 1 (для одной прямой), значит,
оно верно для любого п.
Глаза XIV. Необходимость и достаточность
1. Будет, 2. Будет. 3. Вообще говоря, нет. 4, Вообще говоря, нет. 5. Будет. 6. Доста-
точный. 7. Достаточный. 8. Необходимый и достаточный. 9. Необходимый. 10. Не-
обходимый. 11, Достаточный. 12. Необходимый и достаточный. 13. ахЬ2— а2Ьх =0,
но хотя бы одно из чисел Ьхс2— Ь2сх или сха2— с2ах не равно нулю. 14. ахЬ2 — а2Ьх =
— Ьхс2 — Ь2сх~сха2— с2ах =0, но хотя бы одно из чисел ах, Ьх, а2, Ь2 не равно
нулю или же ах = Ьх = сх = а2 Ь2 = с2 = 0. 15. Будет. 16, \а — Ь\ < с < а-\-Ь.
17. Достаточно. 18. Необходимо, 19. Если а #= р, то необходимо и достаточно;
если а = р, то только необходимо. 20. Необходимо. 21. Достаточно. 22. Достаточно.
23. Достаточно. 24. Необходимо и достаточно. 25. Необходимо. 26. Необходимо.
27. Необходимо и достаточно.
Глава XV. Разные задачи
1. (2,2) и (0,0). Указание. Переписать уравнение в виде (х — 1) (у — 1) = 1. 2а а)
(6,6); б) нет решений; в) нет решений; г) (17,5); д) (9,11). 3. (3,2), (—3,4),
(—7,6), (-17,12), (-3,-2), (3,-4), (7,—6), (17,-12). 22. (4,3,1) и (8,1,2).
1 I р г I __0
23. и 1 _р fl ' где г рационально. 24. у = Зх 4* г, х =
9 +7г — 3№ о- „ . . 8г 4-5 4г2 + 5г 4-8
2 25. у = 44-гх, х = -2-4г. У==—•
26. у = (х-1)г, х = 27- <17-3). П-3), <18-4) и (б-4)-
28. (±37, т 33), (±2, ± 3). 39. 12 600,720,-252. 45. 2s = (Р4-2’4- + "2)2 —
1 95
+ 4-n’) = 4^ «(/?-l)(4.P-l)(5n4-6). 48. «,=5.
Оиц 1 *7
54. еах 4“ о ах. 56. тс ctg тс х. 57. Сх, где С =* const. 59. a) cos 2а 4- Z sin 2а;
а2 — 2ab t . 44 — 5Z, ч — 1—32Ze о 2
б) а2 4~ fj2 +1 а2318 ’ 25 * 2. 60. а) д 4- b -|-с Ьс
•—са — ab}6)a* -f- Ъ* 4-е’ + \2аЬс—3{а2Ь-\-а2с+Ъ2а-\-Ь2с+с2а-\-с2Ь)\ в) а* — ab 4- Ь2.
61. ± 1/ “ 1 1/ ‘ 62, а) cosz + ^sln^ б) cos ^-4”/sin y‘>
в) cos
—?г) + sIn f— 4);г)2 (cos vsin
k a / \ 46 / \ 4
чпГ f я\ , . , ( я\"|
у I; д)2 I cos +* sin I—3 )J >
540 Ответы. Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
arc cos
аге cos —1 •
/13
аге cos
arc cos
z — аге cos
аге cos -ДЛ 4- i sin
/13/
’-агсс“Д)];
64. а) Окружность радиуса 1 с центром в начале координат; б) положитель-
ная часть оси Оу. 65. Окружность Аполлония (точки zx и z2 базисные).
66. 2Л cos'* у ^cos ~ + i-sin у .
67.
1Х 4k + 1 , . ,4*4-1
1) cos —----Г. -4- I sin-£—- к,
7 6 ‘ 6
8/г~1 । • • Sk~1
2) у 2 I cos —j2— г- +1 Sln-[г-
ОЧ-.ЛО-/ 2/г + 1 , , , 2*4-1
3) У 2 ( cos--— п -j- I sin--—
\ 4 4
4) cos + I sin , * = 0, 1,2,3,4,51
О о
А: = 0, 1, 2;
0, 1, 2, 3;
k^0t 1, 2;
5) /3 (cos -2А.+ .1- к -у i sin , й = 0, 1, 2, 3, 4, 5;
14 — I
68. /131 cos
2&ТС
69. cos----
п
б) ctg , k = 1, 2, 3, ..т — 1; в)
OX. I Ofc I \
2kn + arc cos 2kn 4- arc cos -7= 1
--------7 Из + ,sln----------7 Г13J. 4 = о, !. 2, 3. 4. S. 6.
psln —, й=0, I, 2......п — 1. 70. a) iclg—, к-1. 2.......m-1;
1 п ' * т
a 2kn . , . 2#7с
---------, где еь = cos------k i sin ——,
п ___________________________ * n 1 n
*№-l
k = 1, 2, n — 1. 71. zx — z2 4- z3. 72. 73. Площадь многоугольника.
74. Увеличивается на 4~. 79. Произведение инверсии относительно окружности
радиуса 1 с центром в начале координат на симметрию относительно оси Ох
(перейти к полярным координатам; тогда гг' = 1, arg г' = — sin z). 80. Окружность.
82. У к а з а н и е. Проверить, что 1 — zfz' — —=-=— . Отсюда из zz =
| bz— а |2
— 1 (х2 + У2 = 1) следует z'z' = 1. 83. Многочлен приводится к виду (х4~ у 4- I)2 +
, о / 5 \2 73 73
4-2 1у— у-1 —у. Отсюда следует, что его наименьшее значение —у дости-
5 9 5 ab
гается при х 4~ у + 1 = 0, у-Т = 0, т. е. х =--т» У = 95. —г~г •
г 1 ' 1 J 4 4 4 а-\-Ь
103. 001001. 104. 001. ПО. 07. 112. 7. 114. Если п четное, то минимум равен
lxn + xn-i + +*п \~~(хп +ХП + ••• +л2-т-^1\ при любом X, удо-
\ т + 1/ \ ~2 ~2^ )
влетворяющем условию: хп^х^.х , а если п нечетное, то данная функция
V Т+1
достигает минимума, равного 4“ хп-\ + • • • + хл+1 j “ ^/г-1
прих = хлИ 117. Функция имеет наибольшее значение
/ з /з
sin у = -у , sin (х 4- у) = -у-- Это наибольшее значение равно
где не будут задержаны лишь 14-я, 23-я и 24-я машины. Ответ
/3
при sin X = ,
ф. 135. Н„.
не зависит от
Ответы. Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
541
расстояний между начальными пунктами. 136. Если а 4 bl
1 — ix
1 — ix
_____ Я=тгТ0 |а+м-
11 — ix 1 ут+л* 1 2 * * ,
—--------L == __ = е Таким образом, для того чтобы число
11 -4- /г I Т/1 Д_ г2
1 — ix .
р-р-ц. ’ гДе л, я, л — числа действительные,
о достаточности
а bi можно было представить в виде
необходимо, чтобы модуль этого числа был равен единице. Поставим теперь вопрос
этого признака, т. е. предположим, что | а 4- bi | = 1 и попы-
1 — ix
такое, что а 4- bl ~ , где а, Ь, х — числа действительные.
? аргумент числа а 4- bl, находим а 4~ bi = cos ? + Z sin ? ~
2Z tg-~- /- - - o\2 /. o\2
1 + tg24
таемся отыскать х
Обозначая через
1 + fg2 у
1 +1 <g 4
1 — ng 4
l + tg’l
1 — ix ? гт
1 jS’ix1 где x~ — tg-~2-‘ Проведенная выше выкладка имеет ме-
том случае, если 4 (2/г + 1) ™ , где k — число целое, иначе
— 1, sin ? — 0, то а + bl
с точностью до 0,1 с недостатком; х2^0; наконец, 1' 0,7 > С , , , / ,
отсюда с точностью до 0,1 с недостатком л3^0,7. 147. Система имеет
ное решение, если 4 — k2 =£ 0, т. е. k =4 ±2. Предполагая это условие
6 3 о 6 . Л 3
пым, находим: х = ’ У = 2~4~1’’ из условии — 1 > 0,
чаем — 2 < k < 4. Если k = — 2, то система несовместна. Если k = 2,
сто лишь в
? 4 (2k + 1) ”, т. e. cos ? -4- —- 1, а так как в случае cos
равно — 1. С другой стороны, если ^4~Z»Z = —1, то соотношение —1 =
не выполняется ни при каком действительном значении х. Итак, если а bl^—1,
то условие 1 а 4- bi\ = 1 достаточно для того, чтобы число а 4- bl (а и Ь действи-
ч 1 — ix
тельны) можно было представить в виде •, где л' — действительное число.
9 1 /lO^ — lO \ 2
138. — 1 <р<1. 140. С;,,9- И2. v ------х—------п . 143. -35. 144. \т\^~.
о \ У / у5
145. Уравнение имеет три действительных корня. Значение этих корней с недо-
статком, с точностью до 0,1: х1 —1, 3; х2 —0; х3^0,7. То, что уравнение
имеет три корня, можно установить графически. Указанные приближенные значения
корней следуют из неравенств:]/' — 1,3>—1,3 4-0,2;]/—1,21,24-0,2; отсюдасточ-
5 - 5 * * * 9 ___
ностью до 0,1 с недостатком; ад = —1,3. Далее, ]/0 < 0 4~ 0,2; ]/0,1 > 0,1 4~0,2; отсюда
5 _______________________________________________________________
0,7 4- 0,2; ]/0,8 < 0,8 4- 0,2;
единствен-
выполнен-
> 0; полу-
____ ___ . , то система
сводится к одному уравнению x-j-2y = 3t откуда х = 3 — 2у и решений, удовлет-
воряющих поставленным условиям, в этом случае бесконечное множество: у — любое
число из промежутка 0 < у < 1,
1 + '* 1-пг|
а х = 3 — 2у. 148. Положим л =— tg~. Тогда
ср ср
cos -g- + Z sin ~
----------------= cos 'f + Z sin?
cos -5- — Z sin
и данное уравнение принимает вид cos 4? 4*z* sin 4? = Z; значит, sin 4?= 1, 4? 4-
_ ” 5rc 9r
4-2£?z, + a корни: x{ - - tg jg, x2 = - tg , x^-tg-yg-,
13- r_________-
x4 ==—tg-fg- (все корни— действительные числа). 149. Положим у х2— х4~1 =
= х + г. Тогда Ух2 — X 4- Г при рациональном х будет рациональным тогда и
только тогда, когда г рационально. Находим х2— х 4- 1 = х2 -f- 2хг 4 г2 и; значит,
।______г2 / 1 \
х = 1 -а •, где г — любое рациональное число I 4= —у) • 150. а) а = 1, б) а == — 1,
14~ \ '
542
Ответы. Алгебра. ГЛ. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
. _ , , . _ 2я тг — т +1 _.
J.0, 151. Г. Если л 1 я я 3, то х = ——р , у = —-—. При т — 1
ТП 1 ТП 1
9 . • 16 — Зх I
система несовместна, при m == 3 она неопределенна; общее решение у =---—•>
л —любое число. • 2°. х2 — 2ху — 2х + р = 0. 3°. х = 4, у = 2 и х = 6, у = 1.
153. Полагая х — tg «, у — tg z = tg у, найдем:
х = tg (arc tg b -f- arc tg c — arc tg a) J,
У = tg[y (arc tgc + arc tga — arc,
z = tg £4 (arc tg a + arc tg & — arc tg c)j.
Решение существует, если все аргументы тангенсов отличны от ±
154. 1°. Решение уравнения (1). Если существует решение уравнения (1), то оно
должно удовлетворять неравенствам 0 < х < Ь. Возводя обе части (1) в квадрат,
получим: _____________
х = а — х-\-Ъ — х4-2/(а — х)(Ь — х), |
О < х < b J ()
Уравнение (1) эквивалентно смешанной системе (2) или системе
Зх — (а Ь) = 2У (а — х) (Ь — х),
О < х < Ь.
a -4- b _
Если существует решение, то ~. Возводя в квадрат, получим:
/(х)=5х2 — 2(а + й)х + (л — &)’ = 0, 0<х< Ь, (3)
О
Система (3) эквивалентна (1). а) - > Ь или b < в этом случае система (3)
о 2
не имеет решений, их нс имеет и уравнение (1). Р) < Ъ или b > Решение1
уравнения /(х) = 0 будет решением уравнения (1), если оно удовлетворяет условию
< х < Ь; имеем f (Ь) = (а — 2Ь)2 > 0, = 4- (a —2b) (2а —b) < 0.
^2 I j)
Значит, корни хг и х” уравнения f(x) = 0 действительны и при этом хг < —<
о
< х" < Ъ. Лишь больший корень есть корень уравнения (1). 7) £ = В этом
, а-\-Ь .... а .{а-\-Ь\ а „ а . а г
случае b,/(#) —0, /1—^-1 = 0. Второй корень значит, = х <
= = b. Корнем уравнения (1) является лишь один корень х". Итак, только
при условии а^.2Ь уравнение (1) имеет только один (действительный) корень —
это наибольший корень уравнения 5л2 — 2 (а -ф- Ь) х 4~ (а — Ь)2 = 0. 2°. Пусть а < 2Ь.
Дискриминант функции f (х) в этом случае положителен: Д' = (а 4- Ь)2 — 5 (а — Ь)2^
^=[аb-\~У Ь (а — — У5(а — /?)]. Первый множитель положителен, зна-
чит положителен и второй: а-^-Ь-^У5(а — Ь) == и2, а-\~Ь — У5 (а — b) == v2.
Отсюда
_ И2 (/5 +1) 4- V2 (/5 — 1)
а иУь
Далее находим:
0 ~ 10 ’
м2(/5—l)-f у2 (/5 4-1)
«ут
[«(/54-1) — V (/5-I)]2
40
[«(/5- 1)- v(V5 4- I)]2
40
Ответы. § 1. ТРЕУГОЛЬНИК
543
Отсюда /х0 = Ц , ибо и > 0, и > 0 (и > v), Уа — х0 = ———
/10 2/10
г----- г(/5 + 1)_и(/5 — 1)
у Ь — ха =------1—2 у у) --------- (РассмотРеть разность v2 (у 5 + 1) —
— w2(/5 —1)2 = ... = 8/5(26 —а) >0). Теперь можно еще раз проверить (1).
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ГЕОМЕТРИЯ
Раздел 1. Планиметрия
Глава XVI. Задачи на вычисление
§ 1. Треугольник
1. а^3+,!) а.^3 Ч. 2. 3, 4, 5. 3. 3 4, 3, 4, 5.
2/2 2/2
262с2 4- 2с2а2 + 2а262 — а4 — 64 — с4.
5-' 'lab с
Аналогичные выражения имеем для Ъ и с. 7. Равносторонний. 8. 30°, 60°, 90°.
9.6 — 2Тл6-4~2угЗ — 2^2 и 6 — 2 Уб— 2Уз2V2. 10. Углы при основании
arctgJr- 13-(-ц^- 14-25^3-1)-
15. у/~ь(р-е^р-^)_ 1б Катеты; рР±Р±Ур^-2Рн-^;
гипотенуза ———-. 17. /д2 4- аб -1~ б2. 18. 3, 4, 5. 19. -О—. 20. Стороны
J 2p + li /3 b+c
треугольника относятся как 3:4:5. 21. Все углы по 60°. 22. (Z У^2 + 8с2)
и Ус2-~2(1+У1г+8с2)2. 23. jy 25. 6 и 8. 26. /ia=~ Ур (р-а) (р—Ь) (р-с),
/, = £±А±£. 27. та = 1 /2Г2 + 2с2-«2. 28. la = =|- /^7[р- а).
29. Z* = —УЬс (р — Ь)(р — с).
Ь — с
Г (p — a)(p — b)(p — b)
31. r-JZ р
^Ур(р — а)(р — Ь) (р — с)
, r р(р—ь>>(р—
Га-V ‘
33. /г'
=____ а + с2 ~_______ 34. / =i/~6c^ £>. 35./п' = -/2624-2с2—а2.
4/р(р—а) (р~Ъ)(р—с) ' Р 3
„ _ с (д2 + с2 — Ь2) {а2 + б2 — с2)
а 4 У'МТ^а) (р — Ь)(У—с)
т" = — / 262 + 2с2 — «2.
а а г
37. 1"а = УьГрХУ^а).
k а(Ь2ус2 — а2)
8УрТр — а) (р —
36.
38.
41.
43.
44.
50.
abc (а3 4- Ь3 + с3 + ЗаЬс — а2Ь — а2с — Ь2а — Ь2с — с2а — с2Ь) г2 /3
у . 2
1 __________ ...............— /5 — 1 с ./5 — 16^.,
у=УЬ2 + с2±У(Ь2 + с2)2-5(Ь2-с2)2 . —<7<1> -7— <7<1-
Х=ОА+2Ё._ 45. а = /6(6 4-с). 47. |6-с|/2 = а. 48. 60°. 49. 90°.
1
Где т и п любые целые положительные числа. 51. [ (а2 — а3) X
544
Ответы. Планиметрия. Гл. XVI. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
X (Ь3 — bi) — (а3 — ax)'(b2 — b3) |. 52. 4s2 = [(а2 — а3) (bi — b3) — (ах — а3) X
X (*2 —*з)]2 + [(Ь2 — Ь3) (с,— с2) — (&! — Ь3) (с2 — с3)Р + [(Сг — «з) («I — а3) —
— (Ci — с3) (аг — Дз)]2-_____________________________________________________________
53. у/~ 1(^ + Р + «,±/3 (« + » + ()(. +4 —с) (« — 5+ 0(5+ « — «>). 54.90е,
22-30'. 5Г30-. 55. I (»’+ >2 - »> <92 + 0 - >) (» + 0 - »)! .
/с'2 4- /с'4 + 4с,262 с' + V с'2 + 4£>2 тс тс я
---~ 2--С--------- ; гипотенуза —*-----g—------• 59‘ ~2~ ’ IT ’ Т ’
з
60. 61. -4=. 62. BC = Vm2 — 2mp. 63. /и2 —с2. 64. .
г /3 pq
65. Утп. 66. 4-. 67. 6 и 4. 68. 45°. 69. —70. 70. 71.
5 (1 Н-А) (1 4-р.) (1-j-») a-\-b
72. 45°. 73. (2а+ /)/(/+За) (a—t). 74. ryzV z /(r2y+ r2z—гу2) (г2—у2—yz).
75. 45°. 76. 22 м. 77. ХХ±+21 /4а2й2 — /2 (а + 6)2. 78. —Л~~~Г~г- *•
4(Z& \ I / т2 _|_ тп п2
81. 1 (Д2 + 62 + с2). 82. 6, 7, 8. 83. +
70 a (й + с) b (с + а) с(а-\-Ь)
#4" ь 4- с’ a-j- b + с1 а-\- b с*
84. Ь-.
(Ь + с)2 — а2
а2 — (Ь — с)2
Г (a+Z,)2_c2\
"Г V с2 — (а — Ь)2/
85. 5, 7 и 8.
86.
89.
-4= /а2 + ab + Я 87.
/3
1+Ф 88 /ЗЗ-Зд
(1 + а)(1 + ₽)(1 + 7) * * 6
1—21/" 51 ) 1 + 1/" - —1/" 1—21/* 51
/2 \ V * s2 / [ Y s2 V * s2
+ Я^*
И
3
/у2 У 33 1 г__ г_______ г______
90. • 9!- ---§---‘ 92‘ ^г1Г2 + ^г2^з + /г3Г1. 93. Проведем пря-
мые ЛЛ', ВВ', СС', Обозначим через ль x2t х3, х4, х5, х6 и х7 площади тре-
угольников, на которые разбился данный треугольник проведенными прямыми.
В силу данных соотношений будем иметь: пл. /^B'BP = \x3i пл. С'CQ = у.х2.
ДЛ'Л/? = ^1 (на черт. 97 заштрихованы площади х4, х5 и х6). Теперь в силу
данных соотношений будем иметь:
1) Х2 + Х5 + (1 + v) Х1 — и
1 I г
2) Х5 4" (1 + *0 Х1 + Х2 + Х4 + ^Х3 ==^[(14- Р-) Х2 + Х3 + -^б]>
3) х7 4- х4 4- Хх3 = X (х2 4“ -^з),
4) (1 + Iх) Х2 + XQ + х3 = “1”2|_’х’ ’
5) (1 4“ Iх) Х2 + х6 + Х5 + Х1 + = -V [(1 4" Х3 + Х1 + *4]»
6) Х7 4- Х5 4- VX! = V (х4 4- X))t
7) (1 4- хз 4" х4 4" Xi = ,
8) (14" хз 4- х4 4- xi 4“ Х6 4“ № == и- [(1 4"v) xi 4" х5 4* лб]>
9) xi 4- хь 4" 1*х2 = Р- (*5 4~ хг)‘
£
Складывая 1-е и 3-е уравнения и вычитая из 2-го, получим —л-2 = Х(1 4-р.) х2—y-j— ,
1 -j- [L
откуда x2 = -7г~1—стг~г~7—r- ix-Ti • Аналогично из 3, 4 и 5-го уравнений находим
0 4-^) [14- (^4- 1)М >
§ 2. МНОГОУГОЛЬНИКИ
545
s
х3 ~ ———r-r—-;—у т~кт » наконец, точно так же из трех последних уравнении
(1 n) [I -j- v (1 -f- 01
находим Xi — Из черт. 97 теперь легко находим:
(1 + 0П + гО + 0]
«S 5 «S
4- —-----Г —----р х7 — (хг + х2 + х3) = s. Отсюда из предыдущих выражений
1 4~ 1т!1 1 4~ v
Черт. 97.
-а-7 -^7 1 1
для xh х2, х3 находим искомое отношение —- в виде —4=]— .. .——----
s s 14» х 1 4- ц,
11 1 1
Н* (1 + Х)[1+,(1 + Х)] (1 + |Л) [1 + х (1 + И)] (1 + ,)[1 + (х(1 + ч)] -
= [1 + V (1 + Х)И1 + М1 + ^)] [ГW+T)]-•94- Проведем отРезок ос <чеРт- 98>-
ВР
PC
Тогда
?-4~» значит пл. А РОС = х — • Теперь имеем:
b ~у \ * а-}- х г
пл. А АОВ пл. A ABQ пл. А ОВС пл. A QBC ’
ИЛИ 2 = Д±2 (1) Ь 4- у X9 17 X 4-х —1 1 а 4- х
а так как а + Ъ 4- х 4- у = s, (2)
то вопрос сводится к решению системы уравнений: (1), (2). 95. -. У 3
§ 2. Многоугольники
1.-1. 2. d. 3. {^Г'г!у- 4. 4J и ™- 5. 2/17 и 2/33. 0. г - 2«(2-/3).
7. -‘2. з. /гЦЕЕ. 9. (» + ю. /,
2 г 2 г b — а 1
, /" 4- b (с2 — d2)
If _x----Д—Д-------- (bud — параллельные стороны, b > d).
И. -4^44гЬ(« + ^ + с-^)(^-» + « + ^) (a + *-c + d) (-« + 6+ <: + </),
где b и d—параллельные стороны, b>d. 12. Основания трапеции: (p±Y2p2—4d2)
13 n2Q is Диагонали’ if(aC + "^) (^ + ^) 4-M) 4~ cd)
13- т2 + (т + пу^ 15- Диагонали, у ab-у cd ’Г bc + ad
Площадь: У\р — а) (р — b)(p — с) (р — d), где 2р = а 4- b 4- с 4- d. 16.^5.
'17. ... 18. П (а2 + 4аЬ + Ь2). 19. 16. 20.-.... ...—
4 (1 + =) (1 + р) (1 +«+«?)
546
Ответы. Планиметрия. Гл. XVII. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
§ 3. Окружность
3. 4. 90’. 5. + .XP
<3 2
8. r = 2(/2—1)/?. 9. ЛЛ4 = 2Р, ЛР = —, Л!Р=—. 10.
3 3
ab (а 4~ b)
1. y2Rr. 2.
6. k2. 7. 1.
11.
14.
21.
то
22.
с2 —(а — Ь)2
4(/^+/F)2 ’
1 (ay4R^2 + bV2R^T2). 12. + 13,4(34-^3/3).
a -j- ao -j- oA о
jR. 15- 16- ^a6 +d2- 17- RVb- 18. г/З. 19. 4. 20. — b\
Если А’— точка пересечения CD с AB, Л — точка пересечения CD с MX,
DK = LC (точки на хорде CD расположены в порядке: С, L, К, D).
4R
95
26. 13 или 53. 27. — 28.
2
23 ,
32.
—+ —к 23.
8 48 /
Г Ra{bxc
V 2~
4
24. -7™. 25. 5.
/3
2
од (Ra^b + RcRd) (RbRc 4- RaRa)
□о. I/-------------------------------
RqRc ~Г RbRd
Ь2 Ут2 — /г2
2/г/^2 —/г2 ’
Pi 4- Аг 4’ R3
37.
2/3
. 30.
31.
34. ™(3/3-г.).
1О
Глава XVII. Задачи
на доказательство
§ 1. Треугольник
158, -1^-[(2 +/3 )2л — (2 — /3)2л]. 177. 60°. 193. Решение (черт. 99):
ВР _ пл. А ВАР
РС ~ пл. Д САР ’
отсюда
ВР пл. Л ВОР
ТС ~ пл. Д РОС ’
ВР _ _
РС ~ пл. А СОА
Аналогично выводим:
CQ _ пл. А ВОС
QA ~~ пл. А ВО А *
Перемножая, будем иметь
BP CQ _______
PC ' QA' RB
пл.
&ВОА
AR _ пл. А АОС
RB ~ пл. А ВОС
AR =1
имеет место последнее соотношение, то прямые АР, BQ
Обратная теорема: если i
и CR пересекаются в одной точке; в самом деле, пусть О — точка, в которой
пересекаются АР и BQ, и пусть СО пересекает АВ в точке R'. Тогда по дока-
занному
ВР CQ AR'
PC ’ QA ‘
отсюда и из данного соотношения (а)
AR ___________________________________
RB “ R'B ’
R’B 1
находим
ARf
так что точки R и R' совпадают. 234. Нет, так как на окружности сколь угодно
большего радиуса можно взять сколько угодно близкие друг к другу три точки
51
(служащие вершинами треугольника). 237. = - - и т. д.
Ответы. Планиметрия. Гл. XVIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
547
Глава XVIII. Геометрические места точек
1. Дуги двух окружностей. 2. Окружность. 3. Прямая, перпендикулярная прямой, про-
ходящей через две данные точки. 4. Окружность в случае k 0 (окружность
Аполлония), прямая в случае k = 1. 5. Прямая линия (радикальная ось). 6. Прямая,
параллельная радикальной оси и отстоящая от одного из центров на таком же рас-
стоянии, на каком находится радикальная ось от другого центра. 7. Окружность.
8. Прямая, перпендикулярная диаметру, проходящему через точку О. 9. Окруж-
ность, проходящая через точку О. 10. Окружность. 13. Если данные прямые пере-
секаются, то заданное множество точек состоит из всех точек, лежащих на про-
должениях сторон прямоугольника, для которого данные прямые служат диагона-
лями. Если данные прямые параллельны и заданная разность равна нулю, то пря-
мая. Если данные прямые параллельны и данный отрезок меньше расстояния между
ними, то четыре прямые, параллельные данным. Если данный отрезок равен рас-
стоянию между данными прямыми, то множество всех точек плоскости, лежащих
вне полосы, образуемой данными прямыми, а также все точки, лежащие на данных
прямых. Наконец, если данный отрезок
больше расстояния между данными пря-
мыми, то имеем две прямые, параллель-
ные данным. 16. Вершина прямого угла
описывает диагонали прямоугольника, сто-
роны которого равны удвоенным катетам
движущегося треугольника и параллельны
данным взаимно перпендикулярным пря-
Черт. 100.
Черт. 101.
мым. Центр симметрии прямоугольника совпадает с точкой пересечения данных
прямых. 17. Хорда АВ делит данную окружность на две части и С2; для всех
точек М части Сх имеем для всех точек М части С2 имеем
/ АМВ = р. Искомая линия состоит из дуг С\ и С*2 окружностей, концы кото-
рых— точки А и В. Дуга С* лежит с той же стороны хорды АВ, что и дуга Сь
и для всех ее точек ТУ имеем AN В ~ ~. Дуга С2 лежит с той же стороны
о
хорды АВ, что и дуга С2 и для всех ее точек N имеем: / AN В — ~. 18. Прямая.
19. Две окружности с центром в точке А. 20. Если считать, что (в соответствии
с данным порядком вершин треугольников АВС и PMQ) 2 PMQ == / АВС, то
заданным геометрическим местом точек являются дуги четырех окружностей, для
которых MN — общая хорда и которые вмещают углы АС В и ВАС (черт. 100).
21. В случае пересекающихся прямых — прямоугольник, для которого данные пе-
ресекающиеся прямые являются диагоналями. В случае, если данные прямые па-
раллельны, будем иметь две прямые, параллельные данным (если сумма расстоя-
ний больше расстояния между прямыми). Если данные прямые параллельны
и сумма расстояний от любой точки заданного множества точек до этих прямых
равна расстоянию между ними, то искомое множество точек состоит из всех то-
чек, лежащих между данными прямыми, включая и все точки обеих данных пря-
мых. 24. Пусть а > b и пусть дуга, стягивающая хорду 2а, равна 2а, а дуга, стя-
гивающая хорду 2Ь, равна 23- Искомая линия состоит из пары окружностей, для
которых АВ — хорда, которая видна из точки окружности под углом a-j-f или
а — р. Расстояния, о которых говорится в условии задачи, равны для первой ок-
ружности:
г2 + ab — У г2 — а2 У г2 — Ь2 ЬУг2 — а2 4 аУ г2 — Ь2
bYr2 —a2 —*2 ’ гг^аЬ—Уг2 — а2 ’
548 Ответы. Планиметрия. Гл. XIX. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
для второй окружности:
Г2 + + у>2 _ а2 у r2_b2 z, _ а угг _ Ь2
bVr2 — a2 — аУг2 — Ь2 ’ г2+ ab ± У г2 —а2 V г2 — Ь2 ‘
25. Точка В, где РВ = а, принадлежит заданной линии (черт. 101). Проекция от-
ложенного отрезка х на прямую Z равна а, поэтому средняя линия трапеции PORQ
является в то же время и перпендикуляром к отрезку А'В в его середине. Зна-
чит (/, OA'R == 90°), вокруг четырехугольника OBA'R можно описать окруж-
ность (с центром Т), поэтому / RBO = 90° и. следовательно, заданная линия
является прямой, проходящей через точку В перпендикулярно ОВ. Если отре-
зок х откладывать в обе стороны, то получим две прямые: вторая прямая про-
ходит через точку В' (РВ' = РВ) перпендикулярно OB'. 26. Диаметры неподвиж-
ной окружности. 29. Все точки, лежащие внутри треугольника, вершины кото-
рого— середины сторон данного треугольника.
Глава XIX. Задачи на построение
§ 10. Смешанный отдел
4. с > 2/г , -1 (/2Лс + с2±/с2 — 2Лс). 8. sin <? = (/R2 + 8а2 — /?),
гдеу — Z-OAB (О — центр биллиарда). Задача имеет еще два решения: шарик
можно направить по диаметру ОА в одном из двух возможных направлений.
22, Центр тяжести совпадает с центром круга, вписанного в треугольник, верши-
нами которого служат середины сторон заданного «проволочного» треугольника.
42. Пусть А и В — данные точки, а отрезок АВ не параллелен и не перпендикуля-
рен данной прямой. Перпендикуляр к отрезку в его середине встречает данную
пря$у% в ТОЧке М, для которой | AM— ВМ\~0— это наименьшее значение
| AM—ВМ |. Продолжение отрезка АВ встречает данную прямую в точке М, для
которой I AM — ВМ | имеет наибольшее значение. Разобрать случай, когда отре-
зок АВ', а) параллелен данной прямой; б) перпендикулярен данной прямой
43. АВ — АВ±\ АВ2— AD2 , АВ^у> AD. 44. Два решения, если s > 4Л2, одно,
если s — 4&2; ни одного, если s < 4&2. 53. Около данного треугольника описываем
окружность и строим равнобедренные треугольники АСХВ, ВА{С и СВ}А, г%е Сь
Ai и Вх—вершины равнобедренных треугольников, лежащие на описанной ок-
ружности. 56. Для краткости формулировок условимся говорить, что «шарик дви-
жется по первому способу), если до удара о борт в точке Р (черт. 102) шарик
и вершина данного острого угла находятся по одну сторону от перпендикуляра,
восставленного к борту в точке Р, и что «шарик движется по второму способу»,
если шарик и вершина угла находятся по разные стороны от указанного пер-
пендикуляра (черт. 103). Если шарик движется первым способом (черт. 104) и если
угол падения 3>90с — а, то, отразившись от борта один раз, он вылетит из
биллиарда. Если $ <90° — а (черт. 105), то шарик после удара о борт в точке Р
Ответы. § 10. СМЕШАННЫЙ ОТДЕЛ
549
будет совершать движение к другому борту и будет опять двигаться первым^ спо-
собом, причем новым углом падения будет угол а 3- Если все еще 3 -[-а < 90° — а.
то после отражения шарик будет двигаться и опять первым способом, по на-
правлению к борту, ударится о него и т. д. Вообще, если k — такое целое
положительное число, что 3 -4- (k — 1)а<90° — а, но 3 4-&а>-90о— а, то после
k отражений шарик вылетит из биллиарда и притом в процессе движения будет все
время двигаться первым способом. Если шарик движется вторым способом и если
р == а (черт.106), то после отражения от борта в точке Р он ударится о другой
борт в точке Q PQA — 90°) и на-
чнет свое движение от Q к Рпо тому я в р\
же пути и будет двигаться уже первым _________f«
способом. Если 3 < а, то после отраже- ч. i
ния в точке Р он будет двигаться I
к борту уже первым способом, так, Мрч.
что если РО, то шарик в конце
концов вылетит из биллиарда. Если, -----------11 /7 1
наконец, 3 > а и шарик движется L । ч.
вторым способом (черт. 107), то после s' 1 * Чч.
отражения от борта в точке Р шарик J
будет двигаться к другому борту опять ___________1_____________^ч^
вторым способом и угол падения будет
3 — а. Если все ещё 3 — а > а, то ша-
рик после отражения будет двигаться Черт. 108.
вторым способом по направлению
к другому борту и т. д. Пусть k—такое целое положительное число, что 3—(&—1)
но 3 — а- .Тогда после k отражений шарик переменит способ движения, нач-
нет после ‘&:го отражения двигаться первым споссбом и опять в конце концов
вылетит из биллиарда. Из проведенных рассуждений ясно достаточное условие,
при каком шарик пройдет через свое начальное положение: если он начинает свое
движение вторым способом и если -— число целое (конечно, положительное),
л
т. е. угол падения в целое число раз больше острого угла биллиарда. 88. Точка
пересечения диагоналей. 89. Надо последовательно отразить зеркально точку Р
в сторонах данного прямоугольника. Получим точки Р1, Ри, Р1П, Р]у (черт. 108),
а затем, соединив PIV с Р, найдем X, соединив К с .Р111, найдем L и т. д. Лома-
ная PNMLKP будет иметь наименьшую длину.
Глава XX. Задачи, в решении которых применяются
комбинированные методы
1. сХ = kCA, А7В1 = kA7^, B^Ct = kB7^, Fl, = жХ 'СВ2 = kCB, AC2 = kA'%.
Точки C?i и G2 будут центрами тяжести треугольников A^Ci и А2В2С2 тогда
и только тогда, когда
Но
-j- 4" G\C\ = 0, (1) G2A2 4* G2B2 4" G2C2 — 0.
(2)
G^ = G^C + rX= G^C' + kCA, O^B, = oTT' 4- AB, = ~G^' + kA^B,
= GJ3' + Ft, = gTB’ 4- k&C, cAa = ±5^2 = Ga&4- kB7^
G2B2 “ G2C' 4~ Cr B2 = G2C 4" kC B, G2G2 = 4- A' C2 — G2Ar 4” kA'G*
550
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
Теперь из (1) и (2) находим
и
G.C + GxAr + G.B' = k (Cr А + А'В + ВГС)
G2B’ + 4- G2A’ = k (В\4 4- СВ + А^);
(1')
(2')
но АВ ВС 4- СА — 0, значит АС 4- С В 4- ВА' 4- А'С 4- СВ’ 4- В'А — 0, откуда
4- GXA' 4- GiB' — G2B’ 4- G2C’ 4- G2A'. Отсюда следует, что точки Gt и G2 совпа-
дают (точка G на черт. 109). 2. 1°. Окружность, описанная около треугольника АВС,
проходит через точку Р, симметрич-
ную точке //относительно (£>); точка Р
фиксирована, поскольку фиксированы
Н и (Р).
Построение треугольника АВС
с заданной стороной ВС =? а. Пусть
АВС—искомый треугольник (черт. ПО)
и пусть (Г) — окружность, описанная
вокруг этого треугольника. Эта окруж-
ность проходит через точку Р, точка А
В
^2
А
Черт. 109.
Дг
есть вторая точка этой окружности, лежащая на перпендикуляре, опущенном из Р
на (£)). Так как А—а—острый угол, то точка А лежит на большей дуге окружности (Г),
отсекаемой от (Г) прямой (D). Отметим на прямой (D) точки В{ и Ci такие, что
В^Сг == ВС. Преобразование переноса BBh при котором точка В преобразуется
в В{, переводит окружность (Г) в одну из двух окружностей, проходящих через Bi
и Сь дуги которых вмещают данный угол а. Отсюда построение: возьмем на пря-
мой (D) произвольный отрезок В}С^ длина которого равна а. На отрезке B{Ci по-
строим две дуги, вмещающие угол а (дуги большие полуокружности, поскольку а —
острый угол), и дополним эти дуги до окружностей, частью которых являются эти
дуги. Окружность, описанная около треугольника АВС, удовлетворяющего усло-
вию, получается в результате такого параллельного переноса одной из таких ок-
ружностей, при котором перенесенная окружность пройдет через Р. Проведем те-
перь через точку Р прямую (А), параллельную (D). Если Рх — одна из точек,
в которой эта прямая пересекает одну из построенных окружностей, мы получим
окружность (Г), описанную около треугольника, удовлетворяющего услэвию в ре-
зультате переноса PPlf вершина А которого расположена на большей дуге ок-
ружности (Г) [отсеченной от (Г) прямой (D)]. Это условие будет выполнено всегда,
если точка Рх будет расположена на меньшей дуге окружности (Г\), проходящей
через Ai и Сх и вмещающей угол А, причем большая дуга (Гг) лежит по ту же
сторону от прямой (D), где лежит точка //. Обозначим через (Г2) окружность,
симметричную (Z^) относительно (Р), а через р и 7— точки, в которых прямые,
проходящие через С1 и В{ перпендикулярно (Р), пересекают (Г2). Точка Р может
также принадлежать дугам окружности (Г2), заключенным между прямыми (D)
и ру. Точка Рг не может лежать на большей дуге окружности (Г\), отсекаемой от нее
прямой (Р), и на дугах (Г2), лежащих вне полосы, ограниченной прямыми (D) и ру.
Таким образом, задача имеет решение тогда и только тогда, когда точка Рх при-
надлежит одной из трех дуг, отмеченных утолщенными линиями на чертеже ПО.
Обозначая через М и N середины B{Ci и ру, через U—середину меньшей
дуги B^i окружности (Гj), находим: М U — tg ~, MN = a ctg а.
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
551
/ а V 2\
Если MN > MU (т. е. tg-j < то
4 решения, при ~ tg < 2k < a ctg а — два
при 0 < < ~ tg — задача имеет
решения, при 2k > a ctg а —- ни одного
решения. Если же MN < MU, то у tgи я ctg а в приведенных неравенствах
надо поменять местами. Что будет при MN MU (сделать чертеж)? Исследовать
случаи: tg ~ == 2k, a ctg а = 2k, считая MN > MU или MN < MU, или MN = MU.
2'J. Огибающая прямой В'С'. Пусть К—проекция Н на (£>). Прямая (7))
в результате инверсии / (И, 4k2) преобразуется в окружность (7), построенную
на НК как на диаметре; В' и С — это точки, в которых прямые НВ и НС пе-
ресекают эту окружность (черт. 111). Следовательно, угол ВНС равен соответ-
ственно или 180° — а или а, в зависимости от того, расположена ли точка А по ту
сторону от (D), где лежит точка 77, или по
другую сторону (сделать второй чертеж,
аналогичный чертежу 111). В том и другом
случае угол B'JC' равен 2а. Расстояние от
точки J до прямой В’С всегда равно k cos а,
значит прямая В’С' касается окружности
с центром J и радиусом k cos а. С другой
стороны, всякая касательная к указанной
окружности соответствует некоторому воз-
можному положению В'С, так как точки В
и С, в которых прямые НВ' и НС' пересе-
кают (D), определяют треугольник АВС,
принадлежащий заданному семейству тре-
угольников АВС. Таким образом, указанная
окружность является огибающей семейства
прямых В'С'.
Фиксированная окружность, касаю-
щаяся окружности, описанной около
треугольника НВС.
Окружность, описанная около треуголь- Черт. 111.
ника НВС, получается в результате инвер-
сии I(Н, 4k2) прямой В'С', а потому касается окружности (F), полученной из
окружности (7), в результате инверсии I(H, 4k2). Пусть Е и F— точки, в кото-
рых окружность (7) пересекает 777<, и пусть Е' и F' — образы этих точек в ин-
версии /. Так как (черт. Ill) НЕ—- k(\— cos a), HF = k (1 -j- cos а), • то HE'
4k2 4k 4k2 4k
k (1 — cos а) 1 — COS a ’ k (1 -f- COS a) 1 COS a ’ слеДовательно>
= HE' — HF' = -5--?.-.?-.
3°. Фиксированная окружность, касающаяся окружности, описанной около
треугольника АВС. Окружность (Г), описанная около треугольника АВС, сим-
метрична окружности (НВС) по отношению к (D), значит окружность (F) каса-
ется окружности (J"), симметричной окружности (J') ио отношению к (D).
Геометрическое место О центров окружностей, описанных вокруг тре-
угольника АВС. Окружность (Г) проходит через точку Р и касается фиксирован-
ной окружности (J"). Более того: так как прямая В'С' может быть любой каса-
тельной к окружности (J), окружность (НВС) может совпасть с любой окружностью,
проходящей через Н и касающейся окружности (J'); значит, окружность (Г) может
быть любой окружностью, проходящей через Р и касающейся окружности (J").
Отсюда следует, что геометрическое место центров О окружности (Г) есть гипер-
бола, фокусами которой являются точка Р и центр окружности (J"), а большая
ось равна радиусу окружности (J").
Геометрическое место центров тяжести треугольника АВС. Пусть С центр
тяжести треугольника АВС. Точка С получается из точки О гомотетией (^Н, ;
значит, геометрическое место точек G есть гипербола, полученная из гиперболы
(только что рассмотренной) в результате гомотетии ^77,.
4°. Изучение окружностей с диаметром ВС. Окружность с диаметром ВС
ортогональна прямой (D) в точках В и С; значит, ее образ (S) в инверсии (77,4k2)
будет окружностью, ортогональной в точках В' и С' окружности (7). А так как
k
угол В'JC равен 2a, то центр (S) отстоит от 7 на постоянном расстоянии —-
552 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
и радиус (S) всегда равен k tg а. Значит, точки Р и Q, в которых JS пересекает
окружность (S), отстоят от J на постоянных расстояниях, и потому окружность (S)
касается двух °
сами JP и JQ.
концентрических
Отсюда следует,
окружностей (CJ и (С2) с центром J и радиу-
что окружность с диаметром ВС касается двух
и только двух фиксированных окружностей
(CJ и (С2), полученных в результате инвер-
сии (//, 4k2). Но центр окружности с диа-
метром ВС лежит постоянно на прямой (/));
значит, если окружность с диаметром ВС ка-
сается фиксированной окружности, то она ка-
сается и окружности, симметричной указанной
фиксированной окружности относительно (/)).
Но окружности с диаметрами ВС касаются
только двух фиксированных окружностей;
значит, окружности, полученные из окруж-
ностей (Ci) и (С2) инверсией / (Я, 4£2), ко-
торых касаются окружности с диаметрами ВС,
симметрично расположены относительно (D).
3. Спроектируем из точки данную конфигу-
рацию в другую плоскость так, чтобы пря-
мая ВС спроектировалась бы в бесконечно
удаленную прямую плоскости проекций. Будем
обозначать в плоскости проекции образы то-
чек теми же буквами, но строчными. Тогда на
плоскости проекций n’qx\\p’ri и n’q2 \\р'г2, а надо доказать, что rxq2\\r2q{, что до-
стигается рассмотрением подобных треугольников. Другой вариант реше-
ния: обозначим через I и / точки, в которых прямые Q\R2 и Q2R[ пересекают ВС,
Применяя теорему Менелая к различным секущим, будем иметь (черт. 112):
112);
IB R2C j
TBR^CQ^A^x
jcr^aq^b"
О j
WWc&a = x
ЛГЛ Q^B
~M^~R^CPrA ^x
лцср^ар7^
m^r^pfa^x
Из (3) и (6), а также из (4) и (5)
ходим:
ТОЖв _
7ра рчв м[с аЦс r^a qTb
n^cp^am^bm^br^cq^a
Жд Р7^ ЛЦС ЛЦе R[A Q^B
(1)
Черт. 113.
откуда
R~C Q^A .
R^A Q[B R^A Q^B"
ZB JB
отсюда и из (1) и (2): -= = =
значим через I точку пересечения прямых АР и BQ; треугольник AIB прямо-
угольный и равнобедренный. Геометрическое место точек Р и Q суть отрезки Р2А
и QiB сторон AI и BI длиной (черт. 113).
Геометрическое место середин Р' и Q' отрезков SQ и SP, Точки Q' и Р'
гомотетичны точкам Р и Q по отношению к фиксированной точке S с коэффи-
следовательно, точки I и J совпадают. 4. Обо-
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 553
циентом гомотетии, равным Геометрическое место точек Q' и Р' суть от-
резки QjQq и Р\Ру гомотетичные отрезкам АР2 и Q^B в гомотетии ^S, .
Геометрическое место точек S'. Пусть S' — середина PQ. Опустим
из точки S' перпендикуляр S'J на АВ и соединим точки Р и Q с центрами
и О2 полуокружностей (OJ и (О2)\ POXO2Q — прямоугольная трапеция, S'J — ее
гол OlPTO2Q АВ— CD с,
средняя линия; значит, JS =-------g-----=------4----> следовательно, точка S
лежит на прямой, параллельной АВ. Геометрическим местом точек S' является
отрезок S}S2 эт°й прямой, соединяющей середины отрезков AQX и ВР2.
Огибающая PQ. Пусть Г — пересечение медиатрисы PQ с IS. Так как
IS— биссектриса угла / треугольника IPQ, то ее пересечение с медиатрисой гипо-
тенузы PQ принадлежит окруж-
ности, описанной около этого
треугольника; но центр этой
окружности есть середина S'
отрезка PQ', значит, ST — S'I,
точка, симметричная I относительно SjS^- Далее,
а потому Г — фиксированная
PQ — вторая сторона прямого угла I’S'P, вершина S' которого перемещается
по отрезку STS2’ а первая сторона которого проходит через фиксированную
точку Г. Значит, огибающей будет дуга параболы с фокусом /' и касательной
в вершине SjS^ причем эта дуга ограничена касательными, проведенными к ука-
занной параболе из точек и S2. 5. 1°. Прямой угол OHS проектируется на пло-
скость в прямой угол АОх (черт. 114). Значит, точка II лежит на окружности
с диаметром ОА в плоскости АОх.
2°. Параллельность РМ и SA. Прямая AS параллельна оси Оу, следова-
тельно, параллельна плоскости хОу. Плоскость SAH пересекает плоскость уОх
по прямой РМ', значит, PAf||SA.
Соотношение между ОР—х и РМ=у. Из подобия треугольников SAH
pm Tip
и НРМ имеем -=^ — -z=r. С другой стороны, ОЯ_1_ АР и, значит, ОН—высота
AS НА
Л ГУП ОР2 РМ ОР2
прямоугольного треугольника АОР, поэтому = — —— , отсюда = —qJ\P
но О А == aS = 1, значит, у =— х2. Геометрическое место точек М есть парабола
у =— х2. Для построения касательной к этой параболе в точке Ml (1, —1) строим
точку Q (0, 1). Прямая QAIj — искомая касательная. 3°. ОН J_ АН и OH±_ AS\
значит, ОН J_ пл. SAH и ОН А/<. Итак, АК Д_ SH и АК J_ ОН, значит,
АК ± пл. OHS.
11. Г. Четверка точек О, /, т, т’. Пусть J—точка пересечения ММ'
с осью Оу. Пучок прямых О (у, х, М, М') — гармонический; следовательно,
554
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
jm' IM' _2
ЛЙ 7м ~ 1
Л в отношении 3 и,
проекция р точки Р
2 — —, 4
находим /, так как 1т' =— 21т. Прямая ММ' совпадает с IP,
(ЛММ')— гармоническая четверка точек, а значит {01тт') — также гармоническая
четверка. Заметим, что так как ОМ' = 2ОМ, то — —I?L--~2 (черт. 115).
От 1т
Четверка точек О9 А9 А', В. Опишем вокруг треугольника ОММ' окруж-
ность; она пересечет ось Ох во второй точке В, такой, что В — середина дуги ММ'.
Пусть to — центр этой окружности, прямая мВ — медиатриса отрезка ММ', тре-
угольник ОмВ — равнобедренный. С другой стороны, медиатрисы отрезков ОМ
и ОМ' проходят через со и одинаково наклонены к оси Ох; они пересекают ось Ох
в точках А и А'; таким образом, Л АмА' равнобедренный. Наконец, так как
ОМ' = 2ОМ, то О А' = 2ОА; следовательно, ОА = АА' — А'В, т. е. точки А и А'
делят отрезок ОВ на три равные части.
2°. Построение треугольника (/)» если задана:
а) прямая ММ'. Пусть I и J—точки пересечения этой прямой с осями Ох
и Оу. Так как ЛММ'— гармоническая четверка точек и
~MJ Wj Q _f/
то — ~ "yTTj ~ * значит> точки М и М делят отрезок
следовательно, легко могут быть построены.
б) Дана середина Р отрезка ММ'. Тогда известна
____________________________________________________ С/ __ ____ ZJ. ______
на ось Ох, а также известны точки т и т', так как От = -- Ор и От' = -^Ор.
Зная т и т',
а точки М и М' находим, проводя через т и т' прямые, перпендикулярные оси Ох.
в) Дан центр со окружности, описанной вокруг треугольника (Т). В этом
случае можно построить окружность, описанную около треугольника ОММ' (ее
радиус соО). Эта окружность пересечет ось Ох в точке В. Значит, можно построить
точки А и А' (ОА = АА' — А'В). Прямые мА и мА'— медиатрисы отрезков ОМ
и ОМ'; следовательно, точки М и М' — это точки пересечения окружности, опи-
санной около искомого треугольника (Т), с перпендикулярами, опущенными из О
на соА и мА';
3°. Геометрическое место точек М' — окружность (С'), полученная из окруж-
ности (С) гомотетией (О, —2) [следует сделать чертеж для рассматриваемого
случая, т. е. для случая, когда точка М описывает окружность (С), касающуюся
оси Ох в точке О].
Медиатрисы (Т) проходят через фиксированные точки. Медиатриса
отрезка ОМ проходит все время через центр С окружности (С), а медиатриса ОМ'
проходит постоянно через центр С' окружности (С'\; мы видим, что медиатрисы
треугольника (7) пересекают ось Ох в точках А, А' и В таких, что ОА = АА'~~А'В;
аналогично — эти медиатрисы пересекают ось Оу в точках С, С' и D таких, что
CO — OD — DC'. Значит, медиатриса отрезка ММ' проходит постоянно через
середину D отрезка ОС'.
Геометрическое место точек со. Точка D лежит на окружности, описанной
около треугольника (Г), так как она диаметрально противоположна точке В
(все эти рассуждения относятся к чертежу, который надо было сделать выше к 3°).
Таким образом, окружность, описанная вокруг треугольника (Т), проходит через
фиксированные точки О и I), значит, геометрическое место точек w есть меди-
атриса отрезка OD.
4°. Геометрическое место точек М9 М' и Р при условии, что окружность,
описанная около треугольника (Г), проходит через фиксированную точку В
оси Ох. В этом случае точки А и А' фиксированы (ОА == АА' = А'В), а так как
AM = АО и А'М' = А'О, то точки М и М' описывают окружности соответственно
с центрами А и А', проходящие через О. Пусть М} — точка, симметричная точке М
относительно оси Ох; точка М{ лежит на окружности, являющейся геометрическим
местом точек М. Обозначим через N середину М'МГ; проекция N на Ох совпа-
дает с р — проекцией Р на Ох. Заметим, что так как точки и М' описывают
окружность, то точка N описывает окружность, центр у которой есть середина
. .г 1У Р? 2РР
отрезка АА , и эта окружность проходит через О и В, а так как L m'M'
2рР 2 IP 1 п
== ~3mM~~ ~ J ~ТМ ~ 3” 1 Т0 точка из точки N получается в результате равно-
мерного сжатия к оси Ох с коэффициентом сжатия , а потому описывает эллипс
о
с большей осью ОВ; меньшая полуось перпендикулярна в точке 7 к ОВ и длина
ее равна — 12. Геометрическое место вершин линий (С). Г. Пусть Я—
о
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
555
ортогональная проекция F на (D). Вершины А и Аг линии (С), расположенные
на фокальной оси, определяются соотношениями
AF A'F
= --в, — 2?,
АН А'Н
FAr е
~ —---р • Таким образом, А и А' суть образы
е \ , ( „ е \
т—— их г,---------г I
1 4- е / V е — 1 /
FA е
отсюда — -г—;— и
FH 1 + е
точки Нв гомотетиях х (F,
, а так как геометрическое место
точек Н есть окружность (7) с диаметром FI, то геометрическое место течек А
и А’ суть окружности (Г) и (Г'), полученные из (у) при помощи гомотетий х и х'.
Если 0 < е < 1, то линия (С) — эллипс; в этом случае имеются еще две вершины В
и В', не расположенные на фокальной оси. Точки В и В' получаются из точек А
и А' в результате подобий Сд и G2, которые являются произведением поворота
на углы ± arc cos (—е) вокруг F на гомотетию ^F, . Значит, геометрическое
место точек В и В' — снова две окружности (1\) и (Г2), полученные из (Г) и (Гг)
в результате преобразований подобия Gi^F, и G2^F, —у, — ,
где О = arc cos (— е).
2°. а) Геометрическое место точек, общих линиям (СЦ и (С2), директрисы
которых взаимно-перпендикулярны. Пусть М — точка, общая линиям (СЦ и (С2)
с фокусом F, с данным эксцентриситетом, директрисы (Dx) и (D2) которых
взаимно перпендикулярны и обе проходят через фиксированную точку /. Обозна-
чим через тт?! и т2 проекции точки М на (OJ и (D2). Тогда MF = eMmx и
MF = еМт2, откуда Мтх = Л1т2 и, значит, соответствующий четырехугольник —
ТП/??] 1 A1F е ~
квадрат. Отсюда —= -- и, следовательно, —— = -^=г . Отношение расстоя-
Q
ний от точки М до F и I постоянно и равно , поэтому геометрическое место
точек М есть окружность с диаметром ру/, где р. и У делят отрезок FI в отно-
шениях и — ^СЛИ е ~ 2, т. е. линии (С) — равносторонние гиперболы,
то MF = MI, значит, геометрическое место точек Л4 есть медиатриса отрезка F1.
б) Геометрическое место точек пересечения направляющих окружностей
—> ------------------------------------------------------------------->-
линий (СА и (С2). Центр О линии (С) определяется вектором FO = FH,
где Н—проекция F на соответствующую ему директрису. Центры С4 и О2 на-
правляющих окружностей линий (CJ и (С2) со взаимно перпендикулярными
диаметрами являются, следовательно, концами Ох и О2 диаметра О{О2 окруж-
ности (7'), являющейся образом окружности (7) в гомотетии
+ 2Ла)2
е2 — 1)
[ибо НХН2— диаметр окружности (7)]. Так как FO} -|- ^2 = 2ЛХ где со — центр (7'),
то 250, = (5/7, + РНг) = -4^- FI- далее, FO\ + FO, = 4А,2 = FP.
FO FO
Если М — точка, общая окружностям (CJ и (С2), то МО[ =—~, МО2 =—
значит, MOl + -^^2 = 7 ~2 g~~j\2" ^2> н0> с другой стороны, MOl + Л4О2 = 2Л1со2 -д-
1 / е2 \2
J- ~2 (-^2-f) (в треугольнике С^ЛЮз отрезок ЛЬ) — медиана),
1 д2(2__е2} г—
поэтому AW = — ---угу- FI2, Если е > у 2, то геометрическое место точек М
пусто; если е — У 2, оно выражается в точку со, которая в этом случае совпадает
с точкой / (так как в этом случае F& = FI); если е < У 2, то геометрическое место
1 е у 2~е2
точек М. есть окружность (Г*) с центром со и радиусом —г----рр-.
2 I в 1 [
Огибающая общих касательных к линиям (Ci) и (С2). Если М есть точка,
общая направляющим окружностям (OJ и (О2), то эта точка является проекцией
фокуса F на общие касательные к линиям (CJ и (С2) (и обратно). Значит, огибаю-
щей общих касательных к линиям (Cj) и (С2) являетсй линия второго порядка
536
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
с фокусом F и направляющей окружностью (Г*). Предыдущее исследование пока-
зывает, что огибающая существует при условии е < V 2. Для определения вида
огибающей надо сравнить радиус (Г*) с расстоянием Ло> фокуса F до центра (Г*). Так
как Ла) =
е2
Если
же 1
если
1 е2 . , 1 е У 2 —- е2 F<» е
----------р] и радиус (Л") равен-------—-----рг то------== —7----;-.
2 k2-li 2 ’ Я(П) У2-^2
е < У 2 — е2 или е < 1, то F лежит внутри (Л*) и огибающая — эллипс;
< е < У 2, то F лежит вне (Г*) и огибающая — гипербола [при е = У 2
все общие касательные к линиям (0) и (С2) будут про-
ходить через фиксированную точку].
13. Г. Построение треугольника АВС, Точки / и J
суть соответственно точки пересечения прямой АС с ме-
диатрисой отрезка АВ и прямой АВ с медиатрисой отрез-
ка АС (черт. 116); точка К есть точка пересечения указан-
ных медиатрис. Стороны АВ и АС суть две высоты тре-
угольника НК (опущенные на //< и /0. Это позволяет
их построить, если известны точки /, 7, /<; таким образом,
находим А; точки В и С будут точками, симметричными А
относительно IK и JK-
2°. Центр К расположен на АН, Прямая АН есть
радикальная ось окружностей (U) и (V), следовательно,
она перпендикулярна прямой //, которая соединяет их
центры; АК—третья высота треугольника НК> т. е.
АК _L М поэтому АН и АК совпадают, т. е. точка К рас-
положена на прямой АН.
3°. Площадь треугольника IJK. Предполагая, что АВ — АС = 2а, следует
рассмотреть два случая: когда х < ~ (угол А — острый, черт. 117) и х > ~ (угол А —
тупой, черт. 118). В обоих случаях пл. Л НК = у = /К2 sin (~—2л) = ~ /К2 sin 2х.
Далее, если А — острый угол, то IK = a (tg2x— tgx), а если А — тупой угол,
а2
то IK — а (—- tg 2х + tg л); значит в обоих случаях у = — (tg 2х — tg х)2 sin 2х
/3 И д_/2\
и, полагая tg х = / (/ принимает все значения от 0 до 4~ оо), получим у = а2 .
(1 t )
Отсюда находим, что при изменении t от 0 до 1, у возрастает от 0 до 4- при
изменении t от 1 до У 3 4~ 2 У" 3 , у убывает от + оо до У(3 + 2 У 3 )3, а при
изменении t от /з+2/З до 4- со, у возрастает от У(3 + 2 У З)3 до 4- оо.
14. 1°. Геометрическое место точек Af. Рассмотрим касательную ВТ, про-
веденную из точки В к кругу (С), и две касательные, проведенные из точки А
к тому же кругу. Пусть М— точка пересечения касательной ВТ с одной из двух
касательных, проведеьных из А. Точка С есть основание биссектрисы внутреннего
угла М треугольника АМВ. Значит основание С' биссектрисы внешнего угла М
того же треугольника гармош чегки сопряжено с точкой С относительно А и В.
Поэтому точка М расположена на окружности (Л), построенной на СС как на
диаметре. Радиус х окружности (0 может изменяться от 0 до Ь. Обозначая
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 557
через Т ту точку прикосновения касательной, проведенной к окружности (С)
из точки В, которая расположена над АВ, заключаем, что эта касательная ВТ
может занимать всевозможные положения луча, проходящего через точку В и
расположенного внутри прямого угла CBI, и точки пересечения касательной ВТ
с окружностью (Г) [или с касательными, проведенными из А к (С)] опишут
соответственно дуги CI и C'J окружности (Г) (черт. 119). Если точка Т располо-
жена под АВ (точка Т' на чертеже 119), то точки Л4 и М' опишут дуги CJ и С1
той же окружности (Г). Значит, геометрическое место точек /И есть вся окруж-
ность (Г). Вычисление AD и R. Так как точки А, В, С, С' образуют гармониче-
1,1 2 1.1 2
скую четверку, то -=г- +
А С
направление выбираем от
АС + АС'
сюда AD =-------!----~ -
АС
А
2
' А.В
к В);
- . 1
или -=—-----
АС а
(положительное
а — b
от-
следовательно,
(С)
Черт. 119.
А к окружности (С) (черт. 119). Пусть К
С и D на эту касательную. Имеем:
А А17Г АН _ AD
Д ЛДС, то АК - АС ,
а2 (а + Ь)
—-—v-- . Таким
а — b
Уа2 — х*Х = о,
а2
2 ~~ а — b
и R^CD='CA-^AD^AD —
ab
— AC =-----г . Замечание.
a — b
Так как точка В гармонически со^
пряжена с точкой А относительно С
и С', то прямая //— поляра точки А
относительно окружности (Г); точки
/ и J являются точками прикосно-
вения касательных, проведенных
к окружности (Г) из точки А.
2°. Точки /И, соответствую-
щие данной окружности (С).
Рассматриваемые положения М
и М' точки М суть точки пере-
сечения с окружностью (Г) одной
из касательных, проведенной из точки
и Н—ортогональные проекции точек
AM + АМ'= 2АН, AM • АМ'== АС • АС, Так как Д AHD
АН = ~ 0,2 — л2; с ДРУГ0Й стороны, АС • АС'
zic« а — и
образом, AM и AM' суть корни уравнения А2—V --аССь
откуда Ль 2 = СКя2 — х2 ± V Ь2— х2). Точка С служит основанием биссек-
трис углов АМВ и AM’ В\ значит, МВ\ МА = М' В : М'А = СВ : С А = b : а, откуда
Л1В = —Ь— (/й2 —л;2 _ уЬ1 _ Л2), = -Д-7 //>2—Щ. Наконец,
для вычисления радиусов р и р' окружностей, описанных около треугольников МАВ
А „ AD МВ М’В
и М АВ, используем соотношения: ——= 2р и —-—= 2р , а так как
J bin ВАМ ‘ sin ВАМ
sin ВАМ = sin ВАМ' = — , то ? = МВ ~ , ₽' = М'В , т. е.
а * r 2х ’ г 2х ’
ab (/a2 — х2 — Уь2 — х2') г, _ аЬ (Уа2 — х2 А У Ь2 — х2)
2х (а — b) ’ ‘J 2х (а — Ь)
Касательные к окружностям АМВ и АМ'В. Окружность АМВ ортогональна
окружности (Г), так как делит гармонически диаметр СС' этой окружности,
а потому касательная к ней в точке М есть MD. Аналогично касательная в точке М'
к окружности (AM'В) есть М' D. Инверсия (А, АС • АС') точку В преобразует
в D, и поскольку окружность (Г) в этой инверсии инвариантна (переходит в себя),
точка М переходит в точку М'. Значит, окружность (АЛ1В) переходит в пря-
мую DA4'. Касательной к окружности (АМВ) в точке А будет, следовательно,
прямая, проходящая через точку А параллельно DM', а так как АВ — хорда
окружности АМВ, то касательная к окружности (АЛ1В) в точке В будет анти-
параллель по отношению к АВ для касательной к окружности (АМВ) в точке А.
Касательные в точках А и В к окружности (АЛГВ) строятся аналогично.
558 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
а2Ь2 г_______ а2
3°. Частный случай х2 = ~к—т—В этом случае у а2 — х2 = — ------------------,
3 а2 + »2 J
i/'Ta---~i ut a(a-\-b) b(a-]-b) , aYa2A-b2
V Ь2 — х2 — --- - , откуда МА — _ , МВ — --- — ,МА=- — --------,
Ya2 + b2 Ya2 + b2 Va2-}-b2 a — b'
b if а2 Д-Ь2
ATВ = —-—. Таким образом, MA2 4- MB2 = (a 4~ b)2 = AB2, а потому Л AMB
прямоугольный (/ M — 90 ); значит, A + В = или В = — А. Далее (черт. 119),
/ ABM' = tz— / ABT' ~tz— / АВТ, а значит, угол В треугольника АМ'В равен
В = п — ~ +Д. Следовательно, для этого треугольника В — А==~.
Наконец, для данного значения х, 4о2 = МА2 4“ МВ2 (Д АМВ прямоугольный).
Подсчитывая М'А2 4- М'В2 и р'2, получим М'А2-^ М'В2 = 4р'2.
15. Г. Определение так, что МР 4-2AZQ = I.
а) Имеем МР = УР2 — х2, а потому
УР2^х2^2х = 1, (1)
или
О2 — *2 = 1 — 2х. (2)
Возводя в квадрат, получим
Р2 — х2 = (Z — 2х)2. (3)
Любое решение уравнения (2) удовлетворяет уравнению (3). Обратно: реше-
ние уравнения (3) удовлетворяет уравнению (2) тогда и только тогда, когда х ;
в таком случае из (3) следует, что х^Р. А так как, согласно условию, х>0, то
задача имеет решение тогда и только тогда, когда уравнение
f(x) = 5х2 — 4lx +I2 — Р2 = 0, (4)
эквивалентное уравнению (3), имеет действительный корень, удовлетворяющий
условию . Имеем /(0) = /2— Р2, /Iу) = — — Р2. Отсюда следует, что
если 0 < Z < Р, числа /(0) и — оба отрицательны, корни уравнения (4) дей-
ствительны, а числа 0 и ~ заключены между ними: х' < 0 < — < х" — задача не
имеет решения. Если Р <1 < 2Р, то /(0) >0, f < 0, ' корни уравне-
ния (4) действительны и при этом 0 < х' < — < х". Задача имеет одно
решение, соответствующее меньшему корню х' уравнения (4). Если I > 2Р, то надо
вычислить дискриминант уравнения (4): А = 4Z2— 5 (Z2 — Р2) — 5Р2 — I2. Значит,
если I > Р У 5, то корни уравнения (4) мнимые и задача не имеет решения. Если же
2Р < Z < Р У 5, то корни уравнения действительны и оба заключены между 0 и
-ту— задача имеет два решения. Замечание. Для доказательства последнего
утверждения ^т. е. того, что х' < 0 < ~ < х"^ решим следующую общую задачу
(полученный сейчас результат может быть применен для решения многих задач,
сводящихся к рассматриваемой): определить расположение числа т относительно
корней х' и х" квадратного трехчлена f (х) = ах2 4- Ьх 4~ с (<т=^0), предполагая,
что корни действительны и различны. Решение. Пусть корни х' и х" трехчлена
f (х) ЕЕЕ ах2 -j- Ьх -|- с действительны и различны, т. е. а=р0, Ь2 — 4ас > 0. а) Возь-
мем любое число т < х' < х". Тогда
af(m) = а (ат2 4* Ьт 4- с) = а2 (т — х') (т — х") > 0,
2т < х' 4* 2/72 < — ~, а (2ат 4~ Ь) < 0;
б) пусть т — любое число, такое, что х' < т < х"\ тогда
af(m) = а (ат2 4~ Ьт 4~ с) = а2 (т — х') (т — х") < 0;
в) пусть наконец т — любое число, такое, что х' < х" < т\ тогда
af(m) = a (am2 4~ bm -j- c) > 0, а (2ат 4~ Ь) > 0.
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
559
Итак:
если m < х' < х", то а (ат2 4~ Ьт 4- с) > 0, а (^2ат 4~ Ь) < 0;
если х' < т < х”, то а (ат2 4- Ьт Ц- с) < 0;
если х' < х" < т, то а (ат2 4- Ьт 4~ с) > 0, а (2ат 4~ Ь) > 0.
Методом от противного доказываем, что полученные признаки расположения дей-
ствительного числа т относительно действительных корней квадратного трехчлена
ах2-\-Ьх-\-с не только необходимы, но и достаточны. Возвращаясь к случаю
2R < I < Ry 5 данной задачи, заметим прежде всего, что в силу 2R < I < R У 5
мы будем иметь: А > 0, т. е. корни уравнения (4) будут действительны
и различны. Далее, так как коэффициент при х2 в уравнении (4) положи-
телен, то вместо выражений а (ат2 4~ Ьт-\- с) па (2ат 4- Ь) в приведенных выше
неравенствах можно рассматривать ат2 4- Ьт-\- с и 2ат 4~ Ъ. Полагая т = 0, в силу
установленных достаточных признаков находим (5х2—41 х 4~ I2—^)2х=о = l2—R2 > 0,
(10.v — 4Z)x==0==— 4Z < 0, значит 0 < х' < х" и далее: (5х2— 4lx12 — R2) t =
Z2
= ~ — R2 > 0, (10х — 4Z) z = 5Z —- 4Z = Z > 0; значите'
< х" < —. Итак, в
0 < х' < х" < — , т.
тельно: если R < I < 2R — задача имеет одно решение, а если
2R < Z < R У5 — задача имеет два решения. При Z = R задача
имеет одно решение (х = 0); при Z = 2R задача имеет два
решения (х = R и х = ; при Z = Ry 5 задача имеет
одно решение •
б) Геометрическое построение М. Отложим на луче ОВ
отрезок QM' = 2QM. Тогда ОМ' = I и направление ММ' фик-
сировано, так как тангенс угла М' равен у. Пусть (А) пря-
мая, имеющая это направление. Задача сводится, таким образом,
к отысканию точек пересечения четверти окружности АОВ с
ттгчй /А\ тт ТТОГЧОП ЛЛ’ ПАЛ' - 1 АЛ
х~ 2
случае 2R < / < R У 5 , мы имеем
е. задача имеет два решения. Окончи-
мл
м'
В
О
м
О х Р
Черт. 120.
к отысканию точек пересечения четверти окружности АОВ с прямой, параллель-
ной (А) и проходящей через ЛГ, причем ОМ'= I. Пусть М{— точка такая, что
OMi = 20 A = 2R, и М2— точка луча ОВ, соответствующая касательной к четверти
окружности, параллельная прямой (А). Если Т — точка прикосновения, то М2Т =
= 2ОТ = 2R, значит, ОМ2 = R2 + 4/?2 = 5/?2, ОМ2 = R У 5 . Теперь ясно, что если
I > R У 5, то точка М' лежит выше М2 и прямая, проходящая через точку М'
параллельно (А), не пересекает четверти окружности, задача не имеет решения.
Если 2R < Z < R У 5, то точка М' лежит между точками и М2 и прямая, про-
ходящая через точку М' параллельно (А), пересекает четверть окружности в двух
точках — задача имеет два решения. Если R < I < 2R, то точка М' лежит между В
и Мх и прямая, проходящая через точку М' параллельно (А), пересекает дугу АОВ
четверти окружности в одной точке — задача имеет одно решение. Наконец, если
I ~ R У 5 , или I = 2R, или I = R, т. е. точка М' совпадает соответственно с точ-
ками М2, Mi и В, то задача имеет
одно решение (черт. 120).
2°. а) Определение точки М
соответственно одно решение, два решения,
таким образом, что площади двух сегмен-
тов, описанных дугами МА и МВ, находятся в данном отношении т. Площади
двух указанных сегментов суть 2kR • АР и 2nR • BQ; полагая / АОМ = 0, находим:
АР __ R(\ — cos 6) , 1 — cos 0 _
JQ “ /?(1 — sin 0)~ 1 1 — sin 0 ~
„ 0 2t2
Полагая tg-g- = Z, получим m = » откуда
(Z) — (m — 2) Z2 — 2mt 4- m = 0. (5)
Так как 0 < 0 < у*), то 0 < Z < 1 и обратно; поэтому задача разрешима, если
уравнение (5) имеет действительные корни, заключенные между 0 и 1. Заметим,
*) Случаи 0 = 0 и 0 = ~ исключаем (т=£0 и тд^=оо).
560
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
что (0) — т, cf (1) = — 2. Отсюда следует, что если 0 < т < 2, то (0) > 0,
(1) < 0 и коэффициент при t2 меньше нуля. Значит корни уравнения (5) действи-
тельны, причем 0 заключен между ними, al — вне корней: г < 0 < t" < 1 —задача
имеет одно решение, соответствующее большому корню t" уравнения (5). Если
т > 2, то ср (0) >0, ср(1) < 0 и коэффициент при t2 в уравнении (5) больше 0, зна-
чит, уравнение (5) имеет два действительных корня, причем 1 заключена между
ними, а 0—вне интервала корней: 0 </'< 1 </"; задача имеет одно
решение, соответствующее меньшему корню уравнения (5). Если, наконец,
т = 2, то (5) — уравнение первой степени; оно в этом случае имеет един-
ственный корень t = ~. Итак, задача всегда имеет решение и притом только одно.
б) Геометрическое решение. Условие
АР
BQ“
т можно записать в виде
2/?- АР _
Л1Л2 МА г-
или или ~ V т' таким образом, вопрос сводится к отысканию точки М
четверти окружности, для которой МА: МВ = Ут. Это соотношение показывает,
что точка М лежит на окружности, являющейся геометрическим местом точек М
таких, что МА : МВ = V т. Если / и J—точки хорды АВ такие, что — -— — Ут
JB IB
то IJ—диаметр этой окружности. Эта окружность (каково бы ни было т) пере-
секает дугу АВ четверти данной окружности всегда в одной точке, т. е. задача
имеет решение и притом только одно (если т — 1, то МА = МВ и точка М есть
тэчка
пересечения медиатрисы отрезка АВ с данной четвертью окружности)
(XQ \ YC
1---= I —— = 1. Выражая двумя способами
ХС / YA
(черт.
степень точки X относительно окружности (С), будем иметь (черт. 122): ХВ-ХС~
ХА • ХР. Проведем окружность с центром А и радиусом АВ, проходящую
через В и С; степень точки X по отношению к этой окружности ХВ-ХС =
____ ___ _________ ____ ___ _____ ________________ ____ RC2 _____ «7^2
=ХА2—ВС2, откуда ХА • ХР—ХА2—ВС2, следовательно, ХР—ХА-------и РА—-----------
ХА ХА
Применяя теорему Менелая к треугольнику АСХ и трансверсали BPY, получим
РА ВХ YC . тл РА ВС2 ВС2
РХ ВС YA РХ РХХА ВХ-ХС
ВС
чит -~-
ХС
1, откуда
ХВ \ YC
ХС) YA
(1)
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
561
2°. Параллельность AX', BY' и CZ', Круговой перестановкой букв из (1)
получаем
t ГС\ ТА 1
YA / ZB
1— ZA\ хв
ZBI ХС ~
(2)
(3)
Так как ЕХ'ЦАВ, то учитывая (1), имеем
2СС _ YC _ ХС
Х~В ~ YA~~ ВС
(4)
Аналогично: ZY' |1 ВС и, учитывая (3), имеем
ZB ХВ
= — = ----— И
ZA СВ
АХ' j| BY'. Далее
AZ’ _
АВ
Из (5) и (6) следует, что BY'\\CZ',
3°. Площади треугольников
ХВ
АВС. Положим —z=- = X,
ХС
, но X, Y, Z — точки пересечения АР, ВР и СР с противо-
1. С другой
1,
Г А
Из (4) и (5) следует, что
(5)
(6)
ника
1 — Av
АС _ ХС
AY' ~~ ВС9
XZ' АС; значит,
ХС
св !зс'
. Итак, AX'\\BY' \\CZ'.
XYZ и X'Y'Z'. Пусть s —площадь треуголь-
YC 74
= АА = Тогда пл. Д XYZ =
. YA ZB
-S (1-X)(1-[X)(1-V)
положными сторонами, поэтому на основании теоремы Чевы крч ==
стороны, соотношения (1), (2), (3) принимают такой вид: (1 — X) р. = 1, (1 — р) v
(1 — v) X == 1; значит, (1 — X) (1 —» (1 — ч) = —; таким образом, пл. Л XYZ = — 2s;
отсюда следует, что треугольники АВС и XYZ имеют противоположную ориента-
jf'C ' ' ’
цию. Выше мы имели: —
Х'В
Следовательно,
YC Х'В 1
---— и; значит,
YA
пл. Л X'Y'Z'~s
= s
1-4
__ 1±
К р у
— 1
________________= — 2<?
(Х_1)0л-1)о-1)
1 Z'A 1
Итак, площади треугольников XYZ и X'Y' Z'
равны между собой, а сами эти треуголь-
ники имеют одинаковую ориентацию.
17. 1°. Изучение окружностей (Г),
Пусть р— степень точки М по отноше-
нию к (С) (черт. 123). В инверсии (Л4, р)
окружность (б?) инвариантна, точки Р и
Q— образы точек А и В и, значит, окруж-
ность (Г) инвертируется в прямую АВ,
Эта прямая ортогональна (С), значит, (С)
ность (Г), инвертирующаяся из прямой АВ, в
расположенный на перпендикуляре, опущенном из М на АВ, т. е. на (D).
лежит всегда вне окружности (С), так как это центр окружности, ортогональной
(С). Для того чтобы показать, что точка со может занимать на (D) все положе-
ния, внешние по отношению к (С), возьмем на прямой (D) какую-нибудь точку соь
внешнюю по отношению к (С). Существует окружность (Г\), имеющая центром эту
точку и ортогональная (С); пусть 44}—одна из точек, в которых окружность (А)
пересекает (D). Построим окружность (Г), соответствующую выбранной точке
эта окружность (Г) будет проходить через точку и будет ортогональна (С).
Существует бесконечное множество окружностей, проходящих через и ортого-
нальных (С), но среди них только одна имеет центр на прямой (£>); зна-
чит, (Г) и (Г\) совпадают и центр ш окружности. (Г) есть сор Геометрическое
и (Г) также ортогональны,
инверсии с полюсом М имеет
Окруж-
центр <о,
Точка со
36 П. С. Моденов
562
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
2 . Свойства прямой I
то^ки пересечения Р и Q cy i
d <R
Черт. 124.
место точек <о есть для случая, изображенного на черт. 123 (d > R), — прямая
в целом, а для случая, изображенного на черт. 124 (d < R), — часть прямой, внешняя
по отношению к (С).
I. Так как окружности (С) и (Г) ортогональны, их
точки прикосновения касательных, проведенных из
центра о) окружности (Г) к (С); прямая PQ есть,
следовательно, поляра точки со по отношению к (С).
Точка <о постоянно расположена на (D), а значит
поляра PQ проходит постоянно через полюс 3 пря-
мой (£)) по отношению к (С).
Геометрическое место второй точки 7V,
общей (Г) и окружности (МАВ). В инверсии с по-
люсом S, которая оставляет окружность (С) инва-
риантной, окружность (Г) и окружность, описанная
вокруг треугольника МАВ, также инвариантны;
точки М и N, общие для этих окружностей, со-
ответствуют друг другу в этой инверсии. Точка М
описывает прямую (D) (в целом). Точка N описы-
вает, следовательно, в целом линию, полученную
инверсией (D). Это есть окружность, проходящая
через 3 и имеющая центр на SH. Из того, что точки
А, В, Н, S образуют гармоническую четверку, сле-
дует, что образ точки Н в инверсии гармонически
сопряжен с бесконечно удаленной точкой относи-
тельно инвертированных точек А, В, т. е. относи-
тельно В и А; значит, точка Н инвертируется в се-
редину О отрезка АВ. Окружность, являющаяся геометрическим местом точек М,
есть окружность, построенная на OS как на диаметре.
3°. Соотношение между х, у, R и d. Окружность (Г) ортогональна (С).
Обозначая через р радиус окружности (Г), будем иметь: Ою2 — R2 4- р2, т. е.
ОН2 + На2 = R2 + со,И2 = R2 Д- (НМ — Яш)2, или
2ху = х2 4~ R2 — d2. При d = — будехм иметь
х , З/?2
d2 -j- у2 = R2 4- (х — у)2, или
О)
и
; у убывает
/?/"3 т?/з
при Л =----2~.УШах =-----
J
у возрастает в полуинтервалах
Г rV~3 л
в полуинтервалах------— ,01 j
Л/З /?/3 _ / АХ Ж
при х = —2—> Упнп “—9—• В интервале (—оо, 0) функция выпукла вверх,
а в интервале (0, 4~сс) ~~ вниз. График функции изображен на чертеже 125. 3 а м е-
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 563
ч а н и е. Для d = прямая (£)) пересекает окружность (С) в
положенных на расстоянии —g— от точки Н. Из чертежа 125
ния (а) следует, что если точка М описывает прямую (D) в
двух точках, рас-
или из соотноше-
ния (а) следует, что если точка М описывает прямую (D) в целом, то точка
(всегда расположенная с той же стороны, что и М по отношению Н) проходит
два раза через каждую точку (£)), внешнюю по отношению к (С).
18. Г. Изучение окружности (Г). Точки М и М' с одной стороны, а также
N и N' с другой соответствуют друг другу в инверсии с полюсом Л, которая
окружность (Q преобразует в прямую Оу (черт. 126). Имеем
AM • AM' = AN • AN';
(1)
отсюда следует, что эти четыре точки лежат на одной окружности (Г). Обе части
равенства (1) равны: АО-АО' = 2/?2 = (/? 2)2. Если мы теперь рассмотрим окруж-
ность (Л, RV~2\ то степень центра этой окружности по отношению к окружно-
сти (Г) равна квадрату радиуса; значит, эта
окружность ортогональна (Г).
2°. Радикальная ось (Г\) и (Г2). Если
(FJ и (Г2)— две окружности, соответствующие
двум положениям (AJ и (Д2) прямой (Д), то
точка Л, имея одну и ту же степень по отно-
шению к этим окружностям, лежит на их ра-
дикальной оси. С другой стороны, (Aj) и
(Д2) — радикальные оси окружностей (Д) и (Г2),
взятых по одной с окружностью (С). Значит;
точка S пересечения прямых (Д^ и (Д2) лежит
так же, как и Л, на радикальной оси окружно-
стей (Г{) и (Г2); радикальная ось и (Г2)
есть, следовательно, Л5.
3°. Значение IA2— IB2. Пусть I и р —
центр и радиус окружности (Г). Так как окруж-
ность (Г) ортогональна окружности (Л, R Y 2),
то 1А2 = Р2 + (Я V 2)2 = ?2 4- 2Я2. Так как
точка В расположена на радикальной оси (Г)
и (С), то IB2 — p2 = OB2 — R2 или 1В2 = р2~р
А-О В2 — R2. Вычитая почленно полученные
равенства, будем иметь /Л2 — IB2 = 3R2— ОВ2. Если (Д) меняется, но проходит все
время через точку F, то, применяя полученное соотношение для точки Л, будем иметь
IA2 IF2 = 3R2 — OF2 = const. Точка / принадлежит геометрическому месту точек,
разность квадратов расстояний от каждой из которых до двух точек А и F равна
3R2— OF2; это прямая (D), перпендикулярная AF; ее пересечение с AF есть
точка Н, определяемая следующим соотношением, в котором £ — середина AF,
2AF - = 3R2 — OF2, откуда (черт. 127)
_: 3/?2-ОЕ2
2AF
(1)
То, что точка 1 остается на фиксированной прямой, можно получить из того, что
если F—общая точка прямых (Д^ и (Д2), прямая AF есть радикальная ось
соответствующих окружностей (1\) и (Г2). В самом деле, прямая /j/2 центров этих
окружностей, на основании сказанного, перпендикулярна AF; если, следовательно, (Д^
фиксирована, а (Д2) изменяется, но постоянно проходит через F, точка 12 лежит
на прямой, проходящей через Д перпендикулярно AF.
Свойства прямой (D). Пусть (черт. 127) Р и /<—проекции точки О на пря-
__ ____ ____ о А2 — OF2
мые (£>) и AF. Тогда О А2 — OF2 = 2AF • откуда &К = . Отсюда,
2AF
используя формулу (1), находим
£777 (ттг З/?2 — OF2 — О А2 + OF2 3R2 - R2 R2
1\П = --Г7 — =-----------=-----------=------— =" —=• »
2AF 2AF AF
значит
KH-AF = R2. (2)
Пусть Fx—точка, полученная из F переносом, при котором Л переходит в О.
Точки О, Р, Fi расположены на одной прямой и, значит, ОР ~ КН и OF^ = AF>
36*
564.
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
Отсюда и из (2) находим ОР • OFX = /?2; значит, точка Р есть основание поляры
точки Z7! по отношению к окружности (С). Эта поляра есть, следовательно, пря-
мая (D).
4°. (Д') — поляра I. Так как поляра точки F{ относительно окружности (С)
проходит через /, то поляра точки / проходит через Fx. Эта поляра есть, следова-
тельно, перпендикуляр, опущенный из Fx на 10. Так как IO _L (А), то этот пер-
пендикуляр параллелен (А) — он получается из (А) в результате переноса, перево-
дящего F в Fi (или А в О).
19. Пусть АВС — данный треугольник; Аь В{ и Cj—середины сто-
рон ВС, С А и АВ; 1 и 1С — центры вписанной и вневписанной окружностей,
лежащие на биссектрисе угла С; F и Fx — точки касания этих окружностей со
Черт 128.
стороной АВ; D и Д — точки их касания со стороной ВС; СС2— высота тре-
угольника, М— точка пересечения линии центров Пс окружностей (/) и (4) со
стороной АВ (черт. 128). Так как CXF = C{Fi, то точка Ci имеет одну и ту же
степень а относительно окружностей (Z) и (?Д Так как прямые BI и 1СВ служат
биссектрисами внутреннего и внешнего углов при вершине В треугольника ВСМ,
то точки Z и 1С делят гармонически отрезок МС2. Поэтому C}F2 = C1F1X~ СгМ • СгС2.
Из этого равенства следует, что точка С2 преобразуется инверсией (Cb C[F2)
в точку Л4, а значит окружность Эйлера треугольника АВС — в прямую PQ,
проходящую через точку М параллельно касательной к этой окружности в точке
Докажем теперь, что эта касательная параллельна касательной к описанной окруж-
ности (АВС) в точке С. В самом деле, середина О отрезка ОН есть центр окруж-
ности Эйлера, поэтому ОХВ2 ЦОС» а касательная к описанной окружности (АВС)
в точке С перпендикулярна OiB2 и, значит, OiCi, так как В2 и Сх — диаметрально
противоположные точки окружности Эйлера. Из того, что касательная I к окруж-
ности Эйлера (треугольника АВС) в точке С) параллельна касательной к окруж-
ности (АВС) в точке С, следует, что прямая Z образует с ВС угол, равный углу А
треугольника АВС. Итак, окружность (О9) Эйлера треугольника АВС преобра-
зуется инверсией (Cb C±F2) в прямую PQ, проходящую через точку М и образую-
щую со стороной ВС угол MQC, равный углу А данного треугольника; иначе
говоря, прямые АМВ и PMQ образуют с прямой Пс равные углы. Так как АВ
есть общая внутренняя касательная окружностей (/) и (1С), то PMQ — их вторая
общая внутренняя касательная. Из сохранения касания при инверсии заключаем,
что (О9) — образ PQ в инверсии (Cj, C{F') будет касаться окружностей (Z) и (/Д-
инвариантных в этой инверсии. Аналогично доказывается, что (О9) касается вне-
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
565
вписанных окружностей (!а) и (7Д 20. Пусть АА', В В', СС' — высоты треуголь-
ника (черт. 129). Окружность (О9) Эйлера проходит через основания Д', В', С'
этих высот и через середины а, Ь, с сторон ВС, СА и АВ. Обозначим через
(Са), (СД (Сс) окружности с цент-
рами а, Ь, с и радиусами аА’, ЬВ', сС .
Радикальная ось (О9) и (Са) есть пер-
пен тикуляр, опущенный из точки А'
на О9а; эта ось, следовательно, па-
раллельна ВС *. Следовательно, ра-
дикальные оси окружности (Од), взя-
той последовательно с окружностями
(Са), (Сь), (Сс), образуют треуголь-
ник DEF, который мы получим проводя
через А', В' и С — прямые, парал-
лельные противоположным сторонам
ВС, С А' и А’ В’. Так как А', В', С'—
середины сторон треугольника DEF,
то треугольники АВС и DEF имеют
одну и ту же окружность Эйлера.
Точка D расположена на радикальной
оси (О9) и (С/Э с одной стороны и на
радикальной оси (О9) и (Сс) с другой;
значит, точка D лежит на радикальной
оси окружностей (Сь) и (Cf); эга по-
следняя есть перпендикуляр к Ьс, про-
веденный через D; следовательно, она
параллельна АА', потому является бис-
сектрисой угла D треугольника DEF. Таким образом, устанавливаем, что радикальные
оси окружностей (Са), (Сь) и (СД взятых попарно, суть биссектрисы углов треуголь-
ника DEF и их радикальный центр есть центр окружности, вписанной или вне-
вписанной в треугольник DEF. Пусть / — этот радикальный центр и (/) — соответ-
ствующая вписанная или вневписанная окружность. На основании теоремы Фейер-
баха **, она касается (О9). Обозначим через а точку прикосновения EF с радикальной
осью (О9)_и (Са), которые она пересекает в точках А' и р. Произведем инверсию
(а, а.А’. оф); окружности (<?9) и (Сл) при этой инверсии инвариантны; (/) преобра-
зуется в прямую, касательную к (О9) и перпендикулярную О9а— это касательная
. к (О9) в точке а; так как эта касательная есть диаметр (сД то она ортогональна (Са)
и потому окружность (/) ортогональна (Са). Окруж-
ность (/), следовательно, ортогональна окружностям
(Са), (Cb), (СД а ранее было указано, что она ка-
сается (О9).
21. 1°. Преобразование (С) в (D). Из подобия
ЕА FK
треугольников FAK и FHB находим -р-q ~ ^д(черт. 130),
откуда FA • FB = FH • FK или Е А • FB = FH • FK. —
= — FH2 = const. Окружность (С) и прямая (О) соот-
ветствуют друг другу в инверсии с полюсом Е и сте-
пенью инверсии, равной FH • FK- В этой инверсии
точки А и В друг другу соответствуют, а середине О
отрезка АВ (гармонически сопряженной бесконечно
удаленной точке АВ относительно А и В) соответ-
ствует точка М, гармонически сопряженная точке F
относительно А и В (построение точки М дано ниже).
2°. Эллипс (£) с фокусом F и большей полу-
осью АВ. Пусть а и Ь — длины полуосей эллипса. Тогда
FA~a— с, Е В ~ а А-с, откуда ЕА-ЕВ = а2—с2 =*
= Ь2 = ЕН2, значит b = FH~ const. Если прямая (d) совпадает с НЕК. то эллипс
является окружностью. Пусть теперь задана величина 2а = h, тогда FА • FB = FН2,
EAA-FB — h, отсюда FA и ЕВ — корни уравнения х2 — hx ЕН2 = 0, xli2 = ±
± j/"* , Значит, задача разрешима, если FH~ или h 2FH. Зная
* Очевидно, О9а||ОД. Далее, точки В, С, В', С' лежат на одной окружности.
Инверсия (А, АВ-АС') переводит В' и С' соответственно в С и В и, значит, прямую
ВС — в окружность (АВС); поэтому В'С' JL ОА. Но О9а|;ОД; значит, ВС ±ОдД.
** См. предыдущую задачу.
566 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
л?! и х2, легко построить точки В и A (FB— больший корень, FA— меньший).
Задача имеет два решения, так как на прямой (D) имеется два положения Вх и В2
для точки В (симметричные относительно Н), для которых FBX = FB2. Пусть
с FH
теперь задан эксцентриситет ~ == е; тогда а = , и так как ()•<£< 1, то
Q.a'^Q.FH и, на основании предыдущего, задача всегда разрешима: в данном
семействе имеются эллипсы с любым эксцентриситетом (0<>< 1).
3°. Геометрическое место (Л) точек М. Рассмотрим пучск с вершиной Р
и лучи РВ, РА, РМ, PF (черт. 131). Параллель НК прямой РМ пересекает три
других луча в точках, ограничивающих два равных отрезка; значит, эти четыре
луча образуют гармоническую четверку и, значит, (BAMF) == — 1 (точка М — это,
следовательно, та, которая в рассмотренной выше инверсии соответствует сере-
дине О отрезка АВ). Отсюда также следует, что F—основание поляры ТТ' точки М
относительно окружности (О), по-
Черт. 131. Черт. 132.
Рассмотрим еще окружность с центром М и радиусом МТ; она проходит через Р
в самом деле, МР2 = МА • МВ и, значит, МР2 = МТ2. Прямая ТТ' есть радикаль-
ная ось окружностей (О) и окружности (Г) с центром М и радиусом МР. Точка F,
расположенная на этой радикальной оси, имеет одну и ту же степень по отноше-
нию к этим двум окружностям. Вернемся к инверсии, рассмотренной в пункте 1°.
Степень инверсии р = FH • FK равна степени точки F по отношению к окруж-
ности (О) и, значит, эту же степень точка F имеет и по отношению к окруж-
ности (Г), которая, следовательно, инвариантна в этой инверсии. Окружность (Г)
касается прямой (D); значит, она касается и окружности (С), которая” из (D) по-
лучается указанной инверсией. Касание внутреннее, так как степень точки F по
отношению к (F) отрицательна. Пусть Р'— точка касания (черт. 132); она распо-
ложена на прямой центров Мы. Заметим, что МР' — МР; обозначим через Q
точку отрезка РМ, расположенную от Р на расстоянии, равном радиусу окруж-
ности (С); тогда M& = MQ, где MQ — расстояние от точки М до медиатрисы
отрезка FH. Отсюда следует, что точка М расположена на параболе (£) с фоку-
сом w и директрисой (Д). Так как точка Р описывает (D) в целом, точка Q опи-
сывает (Д) в целом, а потому точка М описывает параболу (Z) в целом.
Свойство касательной к параболе в точке М и касательной к^окруж-
ности в точке А. Касательной к параболе в ее вершине является касательная (Д1)
к окружности (С) в точке F; точка Е, в которой касательная к параболе (Z)
в точке М пересекает прямую (Д]), есть середина отрезка FQX (черт. 132). Про-
изводя гомотетию с центром М, заключаем, что точка /, где касательная пересе-
кает (£>), есть середина ВР. Пусть, с другой стороны, АГ— точка, в которой
касательная к окружности (С) в точке А пересекает (Д^; тогда NF = NA = NE
ибо £ЕАЕ=-^. Точка N, следовательно,— середина ЛЕ. Производя гомотетию
с центром А, заключаем, что касательная к окружности (С) в точке А пересекает
прямую (D) также в середине отрезка ВР. Итак, касательная к параболе (Z)
в точке М и касательная к окружности (С) в точке А пересекаются на прямой (D).
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 567
22.
4°. Геометрическое место центров окружностей (КРВ). Точка Р пересе-
чения высот /(7/ и ВА треугольника СРВ является его ортоцентром. Окружность
(КРВ) проходит, следовательно, через точку ср, симметричную F относительно (£)).
Итак, эта окружность проходит через две фиксированные точки: /< и ср. Ее центр,
следовательно, расположен на медиатрисе отрезка 7<ср, т. е. на прямой (А). Этот
центр 12 есть точка пересечения (Д) с перпендикуляром в точке I к (Е>). Так как
точка / [пересечения (Е>) с касательной к окружности (С) в точке А] описы-
вает (Е>) в целом, то точка 12 описывает (Д) в целом.
Предварительное замечание. Если на окружности (Е) задана какая-
нибудь точка Р, отличная от А, то всегда существует окружность, касающаяся (Л)
в этой точке и окружности (Е'). В самом деле, произведем инверсию с полюсом А;
окружности (Е) и (F') преобразуются в параллельные прямые (F^ и (Ej), а точка Р
преобразуется в точку Еь расположенную на (Р}); существует и притом только
одна окружность, касающаяся (EJ в точке Р{ и касающаяся (Е^; значит, произ-
водя ту же инверсию, заключаем, что существует и притом только одна окруж
ность, касающаяся (Р) в точке Р и касаю-
щаяся (F').
Г. Геометрическое место точек С.
Если Р и Р' — точки прикосновения (С) с (Р)
и (F') — различны, то (черт. 133) СР СР' =
РР + PC + F'P' — СР' = РР + Р'Р' -
_ т mr t значит, точка С расположена на
эллипсе (Е) с фокусами Е и F', большая
ось которого т -\-т' (этот эллипс проходит
через точку А, которая является его вер-
шиной). Точка С есть точка пересечения
этого эллипса с полупрямой, проходящей
через Р и проходящей через Р. Так как
точка Р (см. предварительное замечание)
может описывать всю окружность (Л), то
точка С описывает эллипс (Е) в целом. Да-
лее, существует бесконечное множество
окружностей, касающихся (Е) и (F') в точке А;
их центры заполняют прямую АРР' целиком.
2°. Свойство прямых РР'. Точка Р
есть центр отрицательной гомотетии окруж-
ностей (Е) и (С), а точка Р' — центр положительной гомотетии окружностей
(Е') и (С). На основании свойства центров гомотетий трех окружностей, взятых
попарно, заключаем, что точка /, в которой прямая РР' пересекает линию центров
окружностей (Е) и (Ez), есть центр отрицательной гомотетии этих последних;
точка /, следовательно, фиксирована; точки I и А, как центры гомотетий окруж-
ностей (Е) и (Е'), гармонически сопряжены относительно Е и Р'. Следовательно,
2 1,1 1,1 т 4- т' 2тт'
= —т-- -р - =-----1---=------—'— , откуда А/ =---------.
А/ АР АР' т т' тт' т-\-т'
3°. Построение точек, общих эллипсу (Е) и произвольной прямой, про-
ходящей через Е. Пусть дана какая-нибудь прямая, проходящая через Е (но не
проходящая через А). Точки встречи этой прямой с эллипсом суть центры окруж-
ностей (С), которые касаются (Е) в точке пересечения (Е) с заданной прямой.
Пусть Р — одна из этих точек. Соединим Ес/, продолжим !Р до пересечения
в точке Р' с (Е'). Точка С, в которой пересекаются ЕЕ и F'Р’, есть одна из
точек, в которых данная прямая пересекает эллипс (Е). Другая точка строится
аналогично. Для прямой, проходящей через F', построение также аналогично:
сначала находится точка Р', затем Е.
4°. Касательные к (С) в точках Р и Р', Точка S пересечения касательных
к (С) в точках Е и Р' есть радикальный центр трех окружностей (С), (Е) и (Е');
эта точка, следовательно, расположена на радикальной оси окружностей (Е) и (Е')
и, следовательно, лежит на их общей касательной (Л) в точке А. Точка S есть
точка пересечения (А) и касательной к (Е) в точке Е. Так как точка Е описывает
всю окружность (/*), точка S описывает всю прямую (А). Прямая CS, соединяющая
центр С окружности (С) с точкой пересечения касательных к (С) в точках Е и Е',
является биссектрисой угла РСР' — это биссектриса внешнего угла FCF' и,
значит, касательная в точке С к эллипсу (Е). Для того чтобы провести к эллипсу (Е)
касательные из произвольной точки S прямой (А), следует поступать так: одна из
этих касательных, очевидно, — прямая (Л); точка прикосновения другой касатель-
ной есть центр окружности (С), которая касается окружностей (Е) и (F') в точках
прикосновения к этим окружностям касательных, проведенных из S.
5°. Инверсия (А, 4тт'). Пусть В и В' — точки, диаметрально противопо-
ложные точке А относительно окружностей (Е) и (Е'). Инверсия (А, 4тт')
568
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
(С.)
преобразует эти две окружности в две параллельные прямые: (/4) и (Т^), касающиеся
соответственно в точке В' окружности (F') и в точке В окружности (F). Окруж-
ность (С) преобразуется в окружность (CJ, касающуюся этих двух прямых; точки
прикосновения Р и Рг (инвертированные из Р и Р') расположены на прямой,
параллельной AF (черт. 134). Эта инверсия преобразует прямую РР' в окруж-
ность (АРХР^. Центр этой окружности
лежит на медиатрисе (£>,) (фиксирован-
ная прямая) отрезка Р\Р\\ окружность
^АРгР^) проходит через точку сим-
метричную А относительно (Dx) Далее,
AJX = АВ' -j- BVj = АВ' + АВ == 2т'+
4- 2т — 2 (т ^г_т'). а) Из полученного
результата (AJi == const) следует, что
прямая РР' проходит постоянно через
фиксированную точку J, полученную
из Jj инверсией (А, 4тт'), С дру-
гой стороны, точка есть середина
отрезка, который соединяет точки F^
и Лр полученные инверсией точек F
и F'; в самом деле, ,F и Fx гомоте-
и В в гомотетии (А. 2); обозначая через 1Ц середину ВВ', заклю-
которая гомотетична Нх в гомотетии (А, 2), есть середина FXFX;
Ц')
Черт. 134.
тичны В'
чаем, что
четыре точки F F^ Jr оо образуют гармоническую четверку, значит и Л, F',
J, А образуют гармоническую четверку, т. е. точка J гармонически сопряжена с А
------------------------------------------ --- ------------------ 4тП1
относительно F и F'. Наконец имеем AJ * AJX = 4mm', откуда А/=——
AJX
= . j222?2—. Мы снова приходим к результатам п. 2°: точка J есть та же самая
m + ш’
точка, которую в п. 2° мы обозначили через /. б) Все окружности (Ct) ортого-
нальны прямой (Dj), значит, окружности (С) ортогональны образу (D}) в инвер-
сии (A, 4mm’) — это окружность, проходящая через А и касающаяся (Д); точка Н,
диаметрально противоположная А, есть образ Н{ в инверсии (А, 4mm')', значит,
-----rv, . , г-гг 4тт 4тт тт „
АН* АН1 = 4тт , откуда АН = _г_— =---------------Центр К этой окружности есть
АНХ т 4- т
середина отрезка
АН, значит АК —---
тА~т
точка К совпадает с / (и с J).
23. 1°. Соотношение : -^=- = .
IB IC JD JC
Применяя теорему Менелая к тре-
угольникам ADI и BCI, пересеченным
соответственно трансверсалями JCB
и JDA, будем иметь (черт. 135):
ТА . СР * ВТ t ТВ DC ATT _ j
ТВ CI ВА ~ ’ ТСDI АВ ” ’
откуда
ТВ а/ Та В7_
ТС ' DI ТВ СТ 9
или _____
Та Td Та Тв
— : -г=—. (1)
IB IC JD JC k
2е. Свойство биссектрис углов JDJ и ICJ, Пусть я — точка пересечения
биссектрис углов IAJ и 1BJ и пусть она расположена на /J; тогда ~ == ~ =
aj AJ BJ
IA JA JD ID DI CI
откуда -7о-==-7о. Отсюда и из (1) следует — ттг или -ггг — -^т\ значит, если
id Jd jQ /С DJ CJ
биссектриса угла ICJ пересекает IJ в точке р, то ; следовательно»
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 569
-—г = , а потому биссектриса угла IDJ также проходит через р. Итак, бис-
сектрисы углов ICJ и IDJ пересекаются на IJ.
3°. Свойство окружностей (у,) и (у2). Пусть (тЭ и (у2) — две окружности
пучка, предельные точки которого / и J (черт. 136). Проведем через / секущую,
пересекающую (yj в точках А и В. Пусть С — точка пересечения JB с (у2) и
D — точка пересечения IC с JA. Так
как (yj и С'2) принадлежат одному
А/ BI
пучку, ТО -ут==-от’э ИЗ (1) находим
f\J Dj
Cl DI
-Qj — , откуда следует, что
точка D лежит на окружности (?2).
24. Обобщение задачи. Возьмем на
плоскости две произвольные точки:
Р и Q. Обозначим через А', В' и С'
середины сторон ВС, СА и АВ.
Центр тяжести А\ треугольника РВС
есть точка отрезка РА' такая, что
_______ 2___
РАХ~-^РА'. Это замечание позво-
о
ляет утверждать, что если мы обо-
значим черезВ,, Ср А2, B2i С2 центры
тяжести треугольников РАС, РАВ, QBC, QCA и QAB, то треугольники и
А2&2С2 получатся из треугольника А'В'С' в результате гомотетий
и
(Q, -у )• Следовательно, эти треугольники равны, а значит равны и описанные
около них окружности. Эти окружности получаются из окружности (О9) девяти
точек треугольника АВС в результате гомотетий и ^Q, Обозначая
через со центр окружности (О9) Эйлера (середина ОН), а через и <о2 — центры
окружностей, описанных вокруг треугольников А{ВХС{ и Л2В2С2, будем иметь:
___ 9 _ ___ 2 ______ 1
р^х = А», Qcd2==— Q<»; радиус окружностей (AJ^C^) и (А2В2С2) равен
о о О
радиуса R окружности, описанной вокруг треугольника АВС. Частный с л у-
ч а й. Если точка Р симметрична ортоцентру Н относительно центра О описанной
окружности, и Q — точка, симметричная О относительно Н, то сщ совпадает с О,
а 'о2 с Н. Треугольники и А2В2С2 равны и вписаны в окружности радиуса у
„ г г ю пхг ab ах .х2 4- ab
с центрами О и Н. 25. 1 . PN = — , PQ = , AN =--------.
3°. 4’. S = 4^2+х2)
2Ьх 9
а2х2 — 2bsx -J- а2Ь2 = 0. 5°. s^a2, ОМ =
~ОВ. В этом случае A QMN — прямо-
угольный равнобедренный, высота его
равна значит, площадь равна а2
(черт. 137).
26. 1. Соотношение АС2 =
- АВ (АВ + ВС). Указание: провести
биссектрису угла В (черт. 138), исполь-
зовать теорему о биссектрисе и подобие
треугольников ABD и АВС.
2°. Вычисление АВ = х и АС = у.
Имеем у — х = I, у2 = х (х 4- а). Отсюда
Z2 I (а —- Z) л t а
х --—у — • Прежде всего из условия х > 0 следует I < у; при
этом условии будет и у > 0. Для того чтобы существовал треугольник со сторо-
нами, длины которых а, х, b (положительные числа), необходимо и достаточно,
чтобы одно из этих чисел было заключено между модулем разности и суммой
, al п г
двух других; это дает Z < а < ——. Первое неравенство I < а в предположе-
а al , а /
нии I < vr выполнено. Второе неравенство а <----дает I > 7г (и обратно из
2, а — 21 о \
570
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
I > следует второе неравенство). Итак, необходимое и достаточное условие
о /
существования треугольника АВС, в котором АС— АВ = Z, ВС = а и /.В == 2 £_С,
a , а
таково: < Z < -<< •
о
3°. Линии (Н.) и (Н2). Пусть точка В расположена левее С (черт. 139).
Условие АС—АВ = I означает, что точка А лежит на левой ветви гиперболы (Н.\
что точка А лежит на левой ветви гиперболы (Н.\
для которой В и С — фокусы, а I — длина
действительной оси. Условие / В = 2 / С озна-
чает, что &BCD — равнобедренный, так что
точка D расположена на медиатрисе отрезка ВС.
Имеем (& AHD /\COD) кроме
21D L)
АВ ВС
того, = из этих соотношении нахо-
D С* L)
АВ ВС Q
дим -7-7J = — 2; это означает, что точка А
Ari С/С
расположена на гиперболе (Н2) с фокусом В и
соответствующей директрисой (Д) (эксцентриси-
тет равен 2). При этом точка А расположена на
левой ветви этой гиперболы. Гиперболы (И.) и (Н2) имеют общий фокус В, и их
действительная ось есть прямая ВС. Для второй гиперболы директрисой, соответ-
ствующей фокусу В, является прямая (Д), эксцентриситет равен 2; для первой
гиперболы эксцентриситет равен е = --; пусть (Д^ — директриса, соответствующая
фокусу В. Если М— точка, общая гиперболам (Н.) и (Н2), то, обозначая через К.
/* ч х А\В а МВ
и К2 проекции ее на (Д^ и (Д), будем иметь — у и = 2, откуда
= Г, Значит точка М расположена на одной из двух прямых (О) и (D'),
являющихся геометрическим местом точек, отношение расстояний от каждой из
которых до прямых (Д) и (Д^ равно эти две прямые вместе с (Д) и (Д^
образуют гармоническую четверку параллельных прямых. Обратно: если точка М
лежит на одной из прямых (D) или (О') и на одной из гипербол (Н.) и (Н2), то
она лежит и на другой гиперболе. Построение точек, общих гиперболам (И.)
и (Я2), сведено к построению точек, общих одной
и (О'); это построение можно выполнить при
Исследование. Так как АС — АВ = I,
то должно быть I < а [условие существования
гиперболы (И.)]. Точка О — центр гиперболы (Hi);
пусть О.— основание директрисы (Д^; точка О.
____________________________________ __ /2
расположена между О и В; при этом ОО. О В — у ,
________________________________________ а _ /2
и так как ОВ =-----~ , то ОО. == — -л—. Пусть I
2 2а J
и г — точки, в которых прямые (О) и (О') пере-
секают ВС; тогда —__________
_ /0L_ 2Z
откуда 21 -01 = а (ОО. — 01),
“ — а (ОО. — ОГ);следовательно, ОГ = ----г,
zS cl)
__. /2
01 =— 2 (27-Р^) * ^ЛЯ Т0Г0 чт°бы пРямые (^0
гиперболы, необходимо и достаточно, чтобы абсциссы
вершины этой ветви. Это дает для (О'):
Для (D): -Т2-А2т^<-^, что не
приходим к результатам пункта 2°.
прямых (О)
и
из них и одной из
помощи циркуля
линейки.
То
Гб.
21 -
__ а
О1' =
Z2
и
(О') пересекали левую ветвь
точек пересечения (О) и (О')
и
с осью ВС были меньше абсциссы —~
Z2 Z а а
откуда у < Z < у.
быть выполнено. Мы опять
ВМ = ml, CN=~. ВМ- CN = Z2, (ВВ' 4 ГМ) (СС' 4 OV) = Г (черт. 140),
I (В'М 4- C'N) 4- В'М • C'N = 0; далее, ^4^ = = — т,
k п 7 г C'N НС' DC
2 (21 — а) 2 5
может
27. 1°.
откуда
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 571
В' М = — tnC'N и т. д. — находим ВМ == ml, CN = . Перпендикуляры из В и С
DB2 DC2
на DM и DN пересекаются на DH. Находим DA = , DA* = • (А* — точка
пересечения с прямой DH перпендикуляра, опущенного из С на DN)\ поделив
почленно лва последних соотношения, получим -75-77-—значит, точки А и А
L)А
совпадают.
Точки В, /7, С, Аг лежат на одной окружности. Находим: DB = >
DC = —^-г , DA = ; следовательно, DA • DH — DBDC, DA' • DH~
т + 1 ’ (т + I)21
— DB • DC, т. е. точки В, Н, С, А' расположены на одной окружности. Эта
окружность описана вокруг треугольника ВНС, и точка А симметрична А' относи-
тельно ВС и потому совпадает с ортоцентром треугольника ВНС.
2°. Площади BMNC и MDN. [т -{- , s2 = ~ .
3- . <g z mu. <Е Z *<ОЛ' = + й > + •
___ £
„ r, . BD Х + 2 а + 2х -Р--Г
4. Геометрическое место точек А. т = ~ --~
2"~Х
тя2 а2 — 4л2 х z
= DA = -----дуга параоолы (черт. 141).
28. Г. Сумма радиусов (D) и (Е) постоянна. Треугольники BMD и ВСЕ
равнобедренные, значит DM\\FC', точно также Л С ME равнобедренный, значит
ME\\FB. Четырехугольник DFEM— па-
раллелограмм. Значит (черт. 142) BD +
4- СЕ = DB + DF = FB = const. Соеди-
ним точки £>, Ей. С с центром О описанной
окружности. Имеем: OF = ОС, СЕ = DF,
Z ОСЕ = z OF С = Z OFD. Следова-
тельно, Л ОСЕ — Л OFD и OD = ОЕ\
отсюда следует, что медиатриса отрезка
DE проходит через центр О окружности,
описанной вокруг треугольника АВС.
Д
Черт. 142.
2°. Геометрическое место середин DE. Середина G отрезка DE есть также
и середина FM\ G получается из М гомотетией значит, геометрическое
место точек G есть отрезок B^i, соединяющий середины Bj и Сх отрезков FBnFC.
Огибающая DE. DE есть вторая сторона прямого угла OGD, первая сторона
которого проходит через фиксированную точку О, а вершина описывает отре-
зок ВГСХ. Значит, DE касается параболы с фокусом О и касательной в вершине В{С{.
Из свойства касательной к параболе следует, что G есть середина отрезка каса-
тельной, заключенной между точкой Нг пересечения параболы с ее осью OF и
точкой Н прикосновения; эта последняя, таким образом, симметрична Н' относи-
HE H'D FD .
тельно G\ имеем: -j— = —7-7— —------> так как последнее отношение по
HD Н'Е FE
572
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
абсолютной величине равно о i ношению радиусов окружностей, то отсюда следует,
что И есть центр отрицательной гомотетии этих окружностей.
3°. MN проходит через A; AM A/V = const. Так как АВ = АС, то А есть
точка радикальной оси окружностей (D) и (£), Далее АМ • А/V = АВ2 = const.
Геометрическое место точек N. Точка N получается инверсией М в инвер-
сии (А, АВ2). Геометрическое место точек N есть образ отрезка ВС в указанной
инверсии, т. е. дуга BNC окружности, описанной вокруг треугольника АВС.
4\ Инверсия данной конфигурации. Обозначим через В и С образы
точек В и С в инверсии (М, 7VA, NM). Прямая ВС перейдет в окружность (NB'C),
прямая АС—в окружность (NMC'), прямая АВ — в окружность (NMB'), окруж-
ность (О) перейдет в прямую В'МС'; окружность (ХМ В) в прямую АВ', касатель-
ную к (NMB'), а окружность (ХМС)— в прямую АС', касательную к (ХМС').
Таким образом, инвертированная фигура будет равнобедренным треугольником АВ'С'
и двумя окружностями (ХМВ') и (;VA1C'), касательными к АВ' и АС' и пересе-
кающимися на основании В'С. 29. Если треугольник равнобедренный (АВ = АС),
то, очевидно, окружность (А В^) касается ВС. Докажем обратное положение.
Пусть окружность (A7BjCj пересекает вторично ВС, СА и АВ в точках X, Y, Z.
Ориентируем контур треугольника АВС в направлении от А к В, от В к С и от С
к А. Тогда
ВА' = > А'С iX— В'\С = > В1А = ~^-С— >
Ь + с b -j-- с 1 с — а 1 с — а
С\в = -^, ф =
1 а — b ’ 1 а — b
(для вывода этих соотношений следует воспользоваться теоремами о биссектрисах
внутреннего и внешнего угла треугольника и теоремой Шаля). Далее, АВ\- AY —
~ACj-AZ, ВС\ • BZ = ВА( • ВХ, СВ[- CY = СА' • СХ, откуда и из предыдущих
соотношений имеем:
-^4--Д- = о, -Д + ^-=о, -^L + ^=o. о
а — с 1 а — b а — b 1 bс а — с bс
Предположим, что точки А' и X совпадают, тогда ВХ ==, ХС ~ ,
b -j- с b -j- с
/n BZ ас CY ab
а значит из (1) —y + =0, ~ \ь + с)2 = °’ слеД°вательно>
/У= АС 4- CY = — b + = —Л - (£+_с_)2] и = АВ -f- BZ =
1 ‘ (&-f-c)2 (b -f- с)2 1
ac(b — a) с [(b с)2 + a (b — а)]
= ——-—-----------------—. Для того чтобы было выполнено и
(* + 02 „ (* + <У
первое из соотношений (1), необходимо и достаточно, чтобы
frR (*-£)-(* +с)2] + = 0
а — с ”* а — b *
или
(& — О [(^ + с)2 (Ь Д- с — а) 4- а (а-— Ь) (а — с)] = 0.
Отсюда либо b — с = 0, т. е. b ~ с — треугольник равнобедренный, либо равно нулю
выражение в квадратных скобках, что невозможно, ибо это равенство можно
представить в виде abc = — (а 4- b -f- с) (Ь 4- с — а)2.
а 8 Sln 2 +S,n V
30. Г. Значения а, 3, d\ d sin= a, d sin ~ = b, nCi 4 3) = 2л, -~ —
2 2 \ i г/ a-\-b
a 3
sin ту — sin
—--------ZTa---- и т’ д- (чеРт- 143). Ответ:
л о / а — I) л \ _ п л ± [ а — b л л \
а =---р 2 arctg I —r-т tg -ту- 1, 8 =--2 arctg (—~г tg ,
п { s \ a~\-b 2п /f к п ьуаА-Ь^Ъп)’
а ___ b
Гл / а — b t л \] ~’ 7 Г~я \ — b л \1
sin 75—Г arctg —г~т тт- sin Иг-----arctg । ——г tg 75—
L 2n ‘ b \ a -j- b ь 2л J J L 2n b\a-\-b b 2n J J
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
573
2°. Наибольшее и наименьшее значение s.
п {a-^b) = 2р, л (а + р) = 2л, 5 = (a2 ctg j + b2 ctg
„ r ?P
Полагая a = x, находим: b — —
n
a
sin
sin
n
Далее,
, откуда
a 2p f г “
ctg -ЙГ =----+ ctg —
nx bin “
n
ctg-^ctg^ + l
-----a-------= ctg -n + C0SeC 7 -27
ctg-g- —ctg-
2p2 T. 7
+ ^-Cig-Ctg5;
n2 -r
=-£— ctg — . 31. Касательная к окружности, описанной вокруг прямоугольного
— cosec —.
n
1
nx
2px
n
p p2
x = ~ имеем smax -
тс Л 2p
Ctg K- при x = 0 и x = — .
2n ’ r n 9
1
s —
2p
n
треугольника в вершине прямого угла, симметрична высоте, опущенной на гипоте-
нузу относительно любого из катетов.
Обозначим через (с) направление, пер-
пендикулярное (Д). Касательная в точ-
ке А' к окружности (МА'М') есть,
Черт. 143.
следовательно, прямая А7, симметричная направлению (о) относительно ВС, значит
(черт. 144) (А7, ВС) — — (о, ВС) (mod. к). Аналогично: касательная в точке В'
к окружности, описанной вокруг треугольника NB'N', есть прямая В'/, симметричная
направлению (о) относительно СА; значит (СА,В'1) =— (СА,Ъ) (mod • т:). Имеем
(А7, ВС) + (ВС, СА) + (СА, В'1) = — (Ъ, ВС) + (ВС, С А) — (С А, Ь) = 2 (ВС, С А).
На основании свойства треугольника А'В'С' имеем (С'А', СВ') = 2 (ВС, С А)
(mod л). Значит, (А7, В'/) = (С'А', С'В'), откуда следует, что точки А', В',
С', I лежат на одной окружности. Касательные в точках А' и В' к окружно-
стям (МА'М') и (NB'N') пересекаются на окружности Эйлера треугольника АВС.
Аналогично доказывается, что и касательные к окружностям (МА'М') и (РС'Р')
в точках А' и С7 пересекаются в точке окружности Эйлера. Но так как касатель-
ная к окружности (МА'М') в точке А' пересекает окружность Эйлера вторично
в точке /, то и касательная к окружности (PC'Р') в точке С' проходит через /.
Итак, все три касательные проходят через одну и ту же точку / окружности
Эйлера, которая и является геометрическим местом этих точек.
33» 1°. Значения ВО, BD, АВ, BE. Треугольники ВАЕ и BOD подобны
(черт. 145); ВО — а—х, BD = }^а(а — 2х),АЕ = хъ/ —Gl^-iBE = (a—х) .
г CL—ЛХ г Cl ЛХ
2°. Длины отрезков 01 и AI. Гра рик у = AL 01 = ———AI = •
cl — х а -X
ах а2 _ . 4 п
График функции у —-------или у =------------а, или при а = 2, у = ----2-^
а — х а — х £ х
дуга равносторонней гиперболы для х от 0 до 1 (черт. 116).
574
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
по s2 ах (а — х) о ах2 s2 2х (а— 2х)
3°. Соотношение -- = т, s. = те —-—, s2 — 2те------, — = —я*
Si а — 2х ~ а — х (а — х)2
или f(x) ~ (т 4~ 4) х2 — 2 (т + 1) ах 4~ та2 = 0; х должен изменяться от 0 до
—> 0, Д = (т I)2 а?—т (пг 4-4) а2 = (1—2/п) а2.
Находим /(0) = та2
Если 0
Корни f (х) мнимые, если т > ™ .
1
, то корни f(x)
действительны, различны и поло-
жительны. Полусумма корней равна
т -4- 1 А
---' а» и если т изменяется от 0
т + 4
до , эта полусумма возрастает от
а а
j до j и остается, следовательно,
т < ~, уравнение f(x) =0 имеет два действи-
Л а 1
тельных корня, заключенных между 0 и у, и задача имеет два решения; для т >
решений нет; для т = уравнение /(х) = 0 имеет двойной корень х = ему
Z о
2 ло _ _
у-™-
Если окружность (С) вневписана
в угол О (черт. 148), ее центр Р
соответствует лишь одно положение точки С на расстоянии -АВ от точки А.
34. 1°. Геометрическое место точек А.
в треугольник О АВ в угол В (черт. 147) или
расположен на биссектрисе внутреннего угла ОАВ. Но треугольник ОАВ равно-
бедренный, значит эта биссектриса параллельна оси Ох и значит АР||Ох. Так как Р
описывает прямую (£>), то и точка А постоянно расположена на прямой (D).
Обратно: рассмотрим на прямой (D) какую-нибудь точку А и построим соответ-
ствующий равнобедренный треугольник ОАВ. Окружность, вневписанная в этот
треугольник в углы О или В, имеет радиус г. Таким образом, для всякого поло-
жения точки А на прямой (D) существуют две окружности (С). Можно сказать,
что точка А может занимать на прямой (D) всевозможные положения и каждое
из них два раза.
2\ Окружность (С) — вписанная или вневписанная в угол А. Если окруж-
ность (С) вписана в треугольник ОАВ (черт. 149), то у изменяется либо от 0
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 575
до -у, либо от ~ до тс. В случае, если окружность (С) вневписана в угол А,
изменяется от ~ до ~ (черт. 150).
1,1 2 cos а _ _ .
35. Г. Соотношение —• Пусть Е— основание биссек-
АВ AC AD
трисы внешнего угла А (черт. 151). Точки A, D, р, у — проекции на прямую AD
точек Е, D, В, С. _Так как (EDBC) =
= — 1, то
и (АЕфч) = —1, значит,
__ j_ . Но так как В и y расположены вместе с точкой D по одну
A? А'( AD .
.1.12 1,1 2
сторону от точки А, то -^ + -3- = -^, откуда --g —+= ,
1.1 2 cos а
или -jg + ~дс др--
2Э. а) ВС — проходит через фиксированную точку. Пусть D — точка,
от- * Л 'Г 1 . 1 2 cos а
в которой прямая ВС пересекает биссектрису угла хАу. Тогда -^-g- др -»
С другой стороны, по предположению ф ~т^ — —, значит, AD = пг cos а и,
A LJ zl С. TYt
значит, точка D фиксирована, когда В и С меняются.
б) Окружность (АВС) проходит через фиксированную точку; В'С ка-
сается параболы, Точки В' и С' получаются из точек В и С в результате инвер-
сии (A, k2). Окружность, описанная вокруг треугольника (АВ'С'), инвертируется
в прямую ВС, а так как эта последняя проходит через фиксированную точку D,
то окружность (АВ'С') проходит через фиксированную точку F, полученную из D
инверсией (A, k2). Пусть В{ и С{ (черт. 152) — проекции этой фиксированной
точки F на Ах и Ау. На основании теоремы Симпсона точки 77, В{ и Сь являю-
щиеся проекциями точки F на стороны треугольника В’АС' лежат на одной прямой;
точка Н, значит, расположена постоянно на прямой В{СХ (она описывает лишь
отрезок В}С{ этой прямой). Мы видим, что проекция Н фиксированной точки F
на переменную прямую В'С' расположена на фиксированной прямой В^С^ значит,
В'С' касается параболы с фокусом Е, для которой В^ — касательная в вершине.
576 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
3°. а) Изменение 0 и sinO. Прямая ВС, вращаясь вокруг точки D, должна
пересекать обе полупрямые Ах и Ду. Проведем через точку D прямую, парал-
лельную Лу, и пусть эта прямая пересечет луч Ах в точке В. Точка В может
описывать бесконечную часть луча Ах, ограниченную точкой Во. Так как тре-
угольник ABqD равнобедренный, то угол b может изменяться от а до тс— а,
a sin 6 — от sin а до 1.
_ „гх HD-sin а PlD-sina
6) Значения BD и DC, BD = -т—777-—7, DC — ~~—-----------г- Отсюда нахо-
7 * Sin (0 -р а) ЫП (6 — а)
дим ВС = BD + DC и т. д. ___________ ____
36. 1°. Вычисление г, г\ Ос» и О'ш\ Нетрудно доказать, что если окруж-
ность (С) инвертируется в окружность (С') относительно точки О, а степень
инверсии равна р, то гомотетия ^0, , где рг — степень точки О относительно (С)
также преобразует (С) в (С'), а значит центр (С) — в центр (С). В преобразова-
нии инверсии (О', R'2) окружности (Г) коэффициент гомотетии будет равен
инверсии (О, R2) этот коэффициент равен
R'2
----- а в преобразовании
d2-- р>2 >
R2
к —--------- . Отсюда
J5 — R’3
D.,,. RR'2
r~ R' k •d< - R--. ’
dR'2
d2 — R2- ’
О'ш^О'Ок
О'и>'
Ooj = ОО' О~
, л' ) a j R' R2
г — R | k ; - di _ I .
__ _ J/?2
Оо/ = =
d2— R'2
di — R—R’2
d'
___ __ /?2 -Ь Р'2 — d2
О'О-^Ош' п---d,
d2 — R'2
2:. Соотношения d2 ~ R2 4~ Rt2 ± RRвеличина угла ОАО', Для того чтобы
, А ' А R
имело место равенство г=г , необходимо и достаточно, чтобы-----=---------5- ,
\d2—Д'2: \d2—R'3\
R' R
или --------= ±---------у-* Отсюда в силу R^ R’ получим или (1), или (2). Если
rf2—/?2 d2—R'2
выполнено условие (1) или (2), то (Г) и (Г') пересекаются, так как при каждом
из этих предположений мы будем иметь R2 -f R'2 —2RR' < d2 < R2 R'^ 4- 2RR’,
откуда \R—R'\ < d < R R'. Пусть A — точка пересечения; тогда d2 = R2 4-
-p R’2 — 2RR' cos Д. В случае (1) cos A ~ , A = 60 ; в случае (2) cos A = —,
A = 120°.
wO
3\ Окружности (у) и (у') совпадают. Отношение Для того чтобы
wO'
в предположении (1) или (2) окружности (7) и (р) совпадали, необходимо и доста-
точно, чтобы совпадали их центры, так как радиусы их равны. Равенство Ош = Ош'
проверяется исходя из формул, полученных для Ош и Ош' с учетом одного из ра--
_______________________________________ ____ ___________________________
венств (1) или (2). В первом случае Ош — Ош' = п---d; во втором Ош =
К — R
= 0(0 =--------d. Отношение ~ .-- = ——-—в первом случае равно ------,
R + R' шО' 0'0 +0ш н н R'
R
во втором---. Значит, в первом случае со —• центр положительной гомотетии
окружностей (Г) и (Г'), а во втором случае — центр отрицательной гомотетии
тех же окружностей.
37. 1°. Значение х, если дано PQ — I; PQ = ]/~Зх2 — Зах 4- а2. Если PQ — I,
то имеем
Г (л) = Зх2 — Зах 4- а2 — Z2 = 0.
Дискриминант Д = 3 (4/2 — а2) положителен, если I > ~ . Если это условие выпол-
нено, то уравнение (1) имеет два действительных корня: х' и х"\ но решение
(1)
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 577
должно быть еще заключено между 0 и а. Имеем: /(0) = а2— /2;/(«) = а2 — Z2.
Полусумма корней —. Если Z < а, то /(0) и f(a) положительны, ни одно
из чисел 0 и а не заключено между корнями х' и х", а так как полусумма этих
корней заключена между 0 и а, то оба корня х' и х" заключены между 0 и а
и дают решение задачи. Если I > а, то /(0) и f(a) отрицательны и числа 0 и а
заключены между корнями х' и х"; эти последние не дают решения. Итак, задача
имеет два решения, если " < Z < а. Если Z = ~, то Д = 0, уравнение имеет
кратный корень х' = х" = у. Наконец, если I = а, то уравнение имеет корни х' = 0
и х" == а — это крайние случаи.
2°. Геометрическое место середин PQ. Пусть С — точка, в которой пере-
секаются продолжения АР и BQ (черт. 153). Треугольник АВС равносторонний,
Черт. 153.
Черт. 154.
Л4С; точка О получается,
описывает отрезок Л'В',
четырехугольник MPCQ — параллелограмм. Середина О диагонали PQ этого парал-
лелограмма в то же время — середина второй диагонали 1
следовательно, из точки М гомотетией (с, н значит
соединяющий середины сторон СА и СВ (черт. 154).
Свойство медиатрисы PQ. Медиатрисы сто-
рон РМ и A1Q треугольника MPQ проходят через
точку /, являющуюся центром окружности, вписанной
в треугольник АВС; значит, через ту же точку про-
ходит и медиатриса отрезка PQ.
Огибающая PQ. Угол ЮР прямой; одна из
его сторон проходит через фиксированную точку /,
а его вершина перемещается по прямолинейному
отрезку А'В', значит, другая сторона ОР или PQ
касается параболы с фокусом /; А'В' — касательная
в вершине. Для построения точки прикосновения
надо продолжить отрезок 01 за точку О на рас-
стояние OJ = 01 и через точку J провести прямую,
параллельную оси параболы; точка Т пересечения этой
прямой и прямой PQ и есть точка прикосновения;
точка J получается из точки О в результате гомоте-
тии (/, 2); значит, геометрическое место точек J есть отрезок АХВХ, полученный
из отрезка А'В' гомотетией (/,2) — этот отрезок равен отрезку АВ, причем
четырехугольник ААХВХВ— прямоугольник. Если точка J занимает положение
то PQ совпадает с АС и точка Т — с точкой А; если точка J занимает другое
крайнее положение Вь то точка Т совпадает с В. Таким образом, мы видим,
что с одной стороны точки А и В лежат на параболе, с другой стороны, что
точка Т описывает дугу параболы, ограниченную точками А и В (черт. 155). Эта
дуга параболы и есть огибающая PQ.
Свойство окружностей (P7HQ). Все окружности (PMQ) имеют общий центр /
(описанные окружности будут, следовательно, концентричны).
Геометрическое место центров окружностей (PCQ). Треугольник PCQ
симметричен треугольнику PMQ относительно точки О, и, значит, центр окруж-
ности (PCQ) симметричен центру окружности (PQM), т. е. I относительно О — это,
следовательно, точка J; геометрическое место центров окружностей, описанных
вокруг треугольника PQC есть, следовательно, отрезок А{В{.
21 П. С. Моденов
578
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
Зэ. Построение PQ, если известно направление PQ. Надо опустить пер-
пендикуляр 10 из / на прямую, имеющую данное направление. Пусть этот перпен-
дикуляр пересечет А'В' в точке О; через точку О проводим прямую, параллельную
заданной. Задача имеет решение тогда и только тогда, когда точка пересечения
с А'В' перпендикуляра, опущенного из / на данную прямую, лежит между А' и В'.
Построение PQ, если задана длина этого отрезка. УголР/Q— центральный
угол в окружности (PA4Q) и равен удвоенному углу PMQ; его половина OIQ
равна 60е; значит, OQ =/О tg 60° =/О / 3, откуда Ю — . Значит, PQ будет
у 3
иметь данную длину Z, если 10 = -^-^=^. Построив окружность такого радиуса
с центром /, мы найдем точку О (одну, две или ни одной), а зная точку О, уже
просто построить PQ. Задача имеет два решения, если заключено между /Д'
. т л/о'ч td' аУз I аУз а ,
(расстояние от 1 до АВ) и IB , т. с.--------< —- <-------------, или — < I < а,
12 2/3 6 2
что мы уже п имели в п. 1°.
4°. Окружности (5, SM) образуют пучок. Проведем (черт. 156) через
точку С прямую, параллельную PQ, и пусть М' — точка, в которой эта прямая
пересечет АВ. Лучи СА, СВ, СМ, СМ'
образуют гармоническую четверку, так как
РО = OQ. Четыре точки А, В,Л1 и М',
значит, также образуют гармоническую
четверку, и, значит, окружность с диаметром ММ' принадлежит пучку окружно-
стей, для которого А и В — предельные точки. Окружность, построенная на ММ'
как на диаметре, и есть окружность, указанная в условии задачи, так как из ра-
венства МО = ОС следует, что Л45 SM', т. е. S — середина отрезка ММ'.
39. Г. Построение АВ с серединой /. Точка В должна быть симметрична
точке А относительно /; Пусть (X)— прямая, симметричная (D) относительно /;
точка В должна лежать на (X), так как А лежит на (D). Прямая (X) есть прямая,
параллельная (D) и проходящая через точку А, симметричную Ао относительно /
(черт. 157).
2\ Переход от А к Я вращением. Если точка А может быть переведена
в точку В некоторым вращением, то медиатриса отрезка АВ проходит через
фиксированную точку. Эта точка должна лежать на Ох (медиатриса АВ для случая,
когда / занимает положение /0) и на перпендикуляре к (D) в точке Ао (медиа-
триса АВ, когда / совпадает с Ао). Таким образом, центр вращения, если он суще-
ствует, есть точка Р, диаметрально противоположная точке О в окружности,
описанной вокруг треугольника А0ОВ0. Пусть Р— эта точка (черт. 157). Тогда
Д AqFA -- А В0РВ, так как РА0 = РВ0, и А0А = В0В, так как А0А = А'В (сим-
метрия относительно /), А'В = В0В (равнобедренный треугольник). Значит, РА = РВ
и медиатриса любого отрезка АВ проходит через точку Р. С другой стороны,
углы Z А0РА и z В^РВ равны и отсчитываются в одном направлении, т. е.
(РА, РВ) = (РА0, РВо) = 60 ’. Точка В получается из точки А в результате
преобразования поворота (Р, 60°).
Огибающая АВ. Прямой угол PIA таков, что одна из его сторон проходит
через фиксированную точку Р, а вершина скользит по фиксированной прямой (Д);
значит, вторая сторона касается параболы с фокусом А; (Д)— касательная
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 579
в вершине. Так как точка I описывает прямую (Д) в целом, то прямая АВ может
совпадать с любой касательной к указанной параболе.
3°. Геометрическое место центров окружности (у). Если точка / совпадает
с /0, то Центр £2 окружности (?) находится в О. Для всякого другого положения
точки I четырехугольник FAV-B подобен четырехугольнику FAQOBQ, значит
z 1ГОХ ГЛ
(черт. 158) = —=~. Отсюда сле-
дует, что точка £2 расположена на
прямой, параллельной (Д) и проходя-
щей через точку О, т. е. на перпенди-
куляре Оу к оси Ох в точке О. Точка £2
описывает Оу в целом (черт. 158).
Свойство точ^к окружно-
стей (у). Если точка I совпадает с /0,
то окружность (?) совпадает с окруж-
ностью, центр которой О, а радиус ОА0;
пусть (70) — эта окружность и пусть
S и S'— точки, в которых она пере-
секает ось Ох. Точки S и S' гармо-
нически сопряжены с точками /0 и Л.
Окружность (7о) принадлежит, следо-
вательно, пучку окружностей, для
которого F и /0 суть предельные точки;
отношение расстояний от любой точки
этой окружности до точек /0 и F по-
стоянно, и мы имеем, например
[Ро — какая-нибудь точка окружно-
, PQP aqf
сти (7о)]: , и так как /
*0'0 ^0'0
Черт 158.
I0A0F == 60°, то P0F = 2Р070. Из соображений
. РР
подобия находим -pj
= 2, где Р — какая-нибудь точка окружности (у).
Геометрическое место точек М и М'. Расстояние от любой из этих точек
до 7 есть в то же
время расстояние от этой точки до (Д). Каждая из точек М
и М', следовательно, такова,
что отношение расстояния от нее до F и до (Д)
равно 2; эти точки, следовательно, расположены
па гиперболе с фокусом F и соответствующей
директрисой (Д); эксцентриситет равен 2. Точки
и М' — суть точки пересечения указанной
гиперболы с прямой, проходящей через 7 парал-
лельно Ох. Так как точка 7 описывает прямую (Д)
в целом, то каждая из точек М и М' описывает
в целом одну из ветвей гиперболы. Эта гипер-
бола (Г) и есть искомое геометрическое место;
S и S'— ее вершины (положения точек М и М'
для того случая, когда точка 7 совпадает с 70);
окружность (у0) есть ее главная окружность,
a (D) и (D')— асимптоты. Для того чтобы по-
строить касательную к (Г) в точке Л/, доста-
точно провести через фокус F прямую перпен-
дикулярную MF, и соединить точку А1, с точ-
кой Т, в которой этот перпендикуляр пере-
сечет (А). Эта прямая будет вместе с тем ка-
саться в точке М окружности (7); в самом деле,
окружность с диаметром МТ, очевидно, проходит
и через F и через 7. Но точки I и F гармони-
q ро чески разделяются концами диаметра (7), лежа-
° ' щего на прямой IF (ибо 7— основание поляры
точки F)\ значит, окружность с диаметром МТ
орюгональна (7) и значит МТ касается (7). Гипербола (Г) и окружность (7) имеют
одну и ту же касательную в точке Л1, аналогично и в точке М' (из соображений
симметрии).
40, Г. Построение окружностей, касающихся (D) в точке М и касаю-
щихся (С). Пусть р — степень точки М относительно окружности (С). В инвер-
сии (Л4, р) прямая (D) и окружность (С) инвариантны, а искомые окружности
преобразуются в прямые, параллельные (£>) и касающиеся ДС). Отсюда построение:
проведем к (С) две касательные, параллельные (D) (черт. 159); пусть А' и В'—точки
прикосновения. Образами этих точек в инверсии (М, р) будут точки А и В,
в которых прямые МА' и МВ' пересекают окружность (С).
37*
5Н) Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
Замечание 1. Предполагается, что точка А1 не расположена на окруж-
ности (С). Легко видеть, что если точка М расположена на окружности (С),
не существует окружности, удовлетворяющей условию задачи, или существует
бесконечное множество соответственно в зависимости от того, пересекает или
касается прямая (D) окружности (С).
Замечание 2. Если прямая (D) касается (С) и точка М не есть точка
прикосновения, то одна из окружностей (а) или (3) вырождается в прямую (D).
Изучение окружности (ЛвМ). Эта окружность получается из прямой А' В'
в результате инверсии (Л/, р). Так как прямая А' В' ортогональна (С), то и окруж-
ность (ЛВЛ4) ортогональна (С). Так как. с другой стороны, прямая А'В' перпенди-
кулярна (D), то и окружность (Л£Л1) перпендикулярна (D). Пусть / — центр
окружности (АВ АГ). Из того что окружность (ЛАШ) ортогональна (С), следует,
что касательные к (С) в точках Л и В пересекаются в центре I окружности (АМВ);
так как окружность (AA4Z3) ортогональна (D), то (D)— ее диаметр и точка I также
лежит на (D).
Замечание. В частном случае, когда точка М совпадает с проекцией Н
точки О на (D), точки Л и В совпадают соответственно с В' и Л' и окруж-
ность (А А! В) вырождается в прямую.
2'. Геометрическое место точек М' и /. Точка АГ, диаметрально противо-
положная точке М, лежит на окружности, ортогональной (С), и является точкой,
полярно сопряженной с точкой М относительно (С).
Значит, когда точка А1 фиксирована, а прямая (D)
вращается вокруг /V/, точка АГ описывает в це-
лом поляру (т) точки М относительно окруж-
ности (С). Точка / пересечения касательных к (С)
Черт. 161.
в точках Л и В есть центр / окружности (ABAI); эта точка / -—середина от-
резка МАГ; она получается из АГ в результате гомотетии ^М, уj. Значит,
геометрическое место точек / есть прямая, полученная из (т) гомотетией
о
3°. Случай ОН = -%. Ответ: радиусы (а) и (?) (черт. 160) соответственно будут
I , 3R2 i ' , З/?2 !
Д 4'1 Д 41
3R ’ “ R ’
их отношение равно -- . Геометрическое место центров (а) и (£) — параболы
с фокусом О, директрисы которых — прямые, параллельные (D) и отстоящие от (D)
но ту и другую сторону на расстоянии /?.
41. Будем предполагать, что /\ > R' (черт. 161).
1°. Окружность (ОО') касается ММ'. РМ = PM' = PS. значит Р — сере-
дина ММ'. Отрезок ТР, значит, параллелен основаниям трапеции О ММ'О' (значит,
_д
перпендикулярен А1АГ) и равен их полусумме: ТР = —— = ТО" ТО'. Отсюда
следует, что окружность с центром Т, которая проходит через О и О', проходит
также и через Р и касается ММ'.
Q СС' „ СТ С7’ R~R' СС' -RR'
Значения 55 и ST. 37 ~ ~, 33 = •
2°. Свойство точек Л, Л\ М, М'. Имеем / SAA1 = / SAID и /_ЗА1Р-~
“ - / Л'АГЗ' (гомотетия с центром S'). Значит, / 5ЛА1 / А' АГ М = к и АА' ММ'—
вписанный четырехугольник. Центр ш окружности (Ч), описанной вокруг этого
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 581
четырехугольника, есть точка пересечения медиатрис отрезков ММ' и АА'. Пер-
вая медиатриса есть ТР. Для того чтобы определить основание а второй медиа-
трисы, можно заметить, что отрезок АА' получается из отрезка ОО' в результате
гомотетии (S, 2) и, значит, середина а отрезка АА' получается из середины Т
отрезка ОО' при этой гомотетии, значит точка а симметрична точке 3 относи-
тельно Т. Медиатриса отрезка АА' есть прямая, симметричная (D) относительно Т.
Точка, в которой она пересекает ТР [т. е. центр окружности (i2)], есть поэтому
точка, симметричная точке Р
по отношению к 7, т. е. диаме- D
трально противоположная точ-
ке Р на окружности с диа-
метром ОО'. Прямые (£>), AM
и А'М' — радикальные оси
окружностей (С), (С') и (Q),
взятых попарно; следовательно,
они пересекаются в одной
точке Р' (черт. 162).
Свойство точек S', Р, Т, g.
Так как точка со симметрична
точке Р относительно 7, то ее
проекция g на (D) симметрична
точке Р относительно 3. Четы-
рехугольник S'PT$ сложен, та-
ким образом, из двух равных
прямоугольных треугольников,
имеющих общую гипотенузу, и,
значит, вокруг него можно опи-
сать окружность. _ __ __ __
Свойство точек 5', Р' а, g. На основании предыдущего 3JE • 57 = 38 • ЗР-
Умножая обе части этого равенства на 2, получим 33' • Sa = 3g • 2SP. Так как
SMP'M' — прямоугольник, то 2SP = ЗР' и, значит, 33' • Sa = 3g • SP'. Отсюда
следует, что четыре точки 3', Р', a, g расположены на одной окружности.
3°. Изучение прямой NN'. Пусть N и N' — вторые точки пересечения пря-
мых SM .и SM' с окружностью ((2) и р — степень точки 3 относительно этой
окружности. В инверсии (3, р) окружность, описанная вокруг прямоугольника
SMP'M', преобразуется в прямую NN'. Эта прямая будет перпендикулярна пря-
мой, соединяющей центр инверсии с центром этой окружности; значит, она пер-
пендикулярна (D). Пусть Н— точка, в которой прямая NN' пересекает (£>);
точка Р' есть образ точки Н в инверсии (3, р) и, значит, SH • SP' = р\ далее,
р = SA • SA' = — SP'2 и, значит, SH = — SP' = — 2SP; итак, SH = 2SP.
Свойство прямой S'P'. Выражая двумя способами степень точки 3' относи-
тельно окружности, описанной вокруг прямоугольника SMP'M', получим
S'М < S'М' = S'S2; с другой стороны, точка Р' расположена на радикальной оси
окружностей (С) и (Q) и, значит, Р'М-Р'А ~P'S2. Каждое из этих равенств выра-
жает также и то, что точки S' и Р' имеют одну и ту же степень относительно (Ч)
и 5. Значит, S'P' есть радикальная ось (Q) и 3.
4°. Геометрическое место to. Пусть ОО' фиксирована и 3 фиксирована, R
и R' изменяются так, что R— R' = d ~ const. Тогда За ~ d; точка а, значит, также
фиксирована; следовательно, точка со расположена постоянно на перпендикуляре(Д)
к ОО' в точке а. Чтобы уточнить геометрическое место точки си, заметим, что
aoj = SP ~ VRR' R' (/?' -ф- d). Если R' изменяется от 0 до оо, то асо также
изменяется от 0 до оо и, значит, точка со описывает прямую (Д) в целом.
Огибающая прямых ММ'. Точка Т фиксирована, / ТРМ = 90° изменяется
так, что одна его сторона проходит через фиксированную точку Т, а вершина
скользит по фиксированной прямой; значит, прямая РМ (или ММ') касается пара-
болы с фокусом Т, для которой (D) — касательная в вершине. Но точка Р описы-
вает прямую (D) в целом [как со описывает в целом (Д)]; значит, прямая ММ'
может занимать положение любой касательной к указанной параболе.
Огибающая прямых S'P'. Так как За = 257 и SP' = 2SP, то из подобия
треугольников SPT и S'SP следует подобие треугольников РЗа и S'SP'. Значит,
аР S'P'. Проведем через точку Р' прямую, параллельную аР, и пусть она пере-
сечет ОО' в точке Р. Эта прямая перпендикулярна 3'Р', и точка Р фиксирована,
так как SP = 23а = 2d. Прямой угол перемещается так, что одна из его сторон
проходит через фиксированную точку Р, а вершина скользит по фиксированной
прямой (D). Значит, прямая S'P' касается параболы с фокусом Р, причем каса-
тельной в вершине является прямая (D). Точка Р' описывает (как и Р) прямую (D)
в целом; значит, прямая S'P' может совпадать с любой касательной к указанной
параболе.
582
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
42. 1°. Угол А острый. Имеем (черт. 163) а2 = Ь2 4- с2 — 2bc cos А, Ь24-с2 —
d2
— а2 — d2\ отсюда cos А = > 0; отсюда, между прочим, следует, что прямая ВС
не может пересекать отрезок О А.
Выражение ТИА2-)-ТИО2 постоянно. Пусть АВС — какой-нибудь треугольник,
вписанный в окружность (О); тогда, обозначая через М середину стороны ВС,
/7 2 А 2 /,2 fj2
будем иметь Ь2 с2 = 2МА2 -% , откуда МА2 — — -- — — и МО2 — ОВ2—МВ2 =
а2
— R2 — ~ . Складывая, получим
МА2 4- ЛЮ2 = ~ + ~~ g2 + R2, (1)
а для треугольника (7)—
d2
МА2 + МО2 - ~ + R2. (2)
Геометрическое место точек М. Пусть /-—се-
редина ОА\ рассматривая треугольник ОМА, будем
иметь
МА2 + ЛЮ2 = 2/ М2 + ~ (3)
R2 d2
или на основании (2) 21М2 4- -у — -% -j- R2, значит,
/Л'Р = ^. (4)
Таким образом, точка М всегда находится на окружности (Г) с центром / и
радиусом ~ У^2 + • Ясно, что при этом точка М должна находиться и внутри
окружности (О).
Построение треугольника (Г), если
задана точка М, Точка М должна удовлетво-
рять только что сформулированным требова-
ниям. Проведем через нее прямую, перпенди-
кулярную ОМ, и пусть эта прямая пересечет
окружность (О) в точках С и В. Точка М бу-
дет серединой отрезка ВС, и легко доказать,
что полученный треугольник АВС удовлетво-
ряет условию вопроса. В самом деле, в полу-
ченном треугольнике АВС соотношения (1) и (3)
выполнены [только потому, что точки В и С
лежат на окружности (О)]; выполнено и соотно-
шение (4), так как точка Л4 взята на окруж-
ности (Г). Из (1), (3) и (4) находим
а2 -{- Ь2 — с2 = d2, т. е. АВС — действительно
треугольник (7). Это исследование позволяет
высказать следующее утверждение: геометри-
ческое место точек М— середин сторон ВС
треугольников (Г), есть дуга окружности (Г),
расположенная внутри (О).
Существование (71). Условие существо-
вания треугольников (Т) заключается в том,
чтобы окружность (Г) имела точки, заклю-
z_. Vd2 + R2 3R
ченные внутри (О), т. е. ----
или d < 2 У 2 R.
Положение точек пересечения (Г) и DD'.
Радиус -i- Vd2 -J- R2 окружности (Г) всегда
больше 2 '> значит, (Г) и DD' всегда пересекаются в двух точках Т и Т'; ле1 ко
находим ОТ = -g-. Точки Т и Т' легко построить на DD', а значит легко построить
и (Г). В частном случае d — 2R точки Т и Т' совпадают соответственно с D и D'.
Мы будем предполагать, что это имеет место во всем дальнейшем (черт. 164).
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 583
2°. Огибающая ВС. Прямой угол ОМВ таков, что его вершина М все время
расположена на окружности (Г), а одна из сторон проходит через фиксированную
точку О; значит, другая сторона ВС постоянно касается эллипса с фокусом О, для кото-
рого (Г) — главная окружность. Второй фокус этого эллипса есть точка А. Для того
чтобы построить точку прикосновения ВС с огибающей, надо построить точку Mh сим-
метричную точке О относительно ВС; тогда прямая АМ} пересечет ВС в искомой
точке Q. Точка гомотетична точке М в гомотетии (О, 2); точка М описывает
дугу DD',n, значит, точка описывает дугу D'v полученную из DD' гомотетией
(О, 2). Полупрямая АМ{ находится, таким образом, все время внутри угла ADV Этим
крайним положениям (т. е. точкам Dx и соответствуют крайние положения
точки Q — концы 3 и 3' малой оси эллипса. Точка Q описывает, таким образом,
половину эллипса, расположенную слева от его малой оси; этот полуэллипс и есть
огибающая ВС.
Построение треугольника (7), если задана (О) и или вершина В, или
вершина С. Построение треугольника (7) в этом случае сводится к построению
касательных, проведенных из точки В (или С) к указанному полуэллипсу. Это воз-
можно прежде всего, если точка В (или С) расположена вне указанного эллипса.
Кроме того, точка В (или С) должна лежать на части окружности (О), лежащей
вне эллипса и между касательными к эллипсу, проведенными к нему в точках ;3
и 3'. Тогда касательные из В (или С) к указанному эллипсу коснутся его в точках, рас-
положенных влево от 33'. Значит, точка В (и С) может описывать лишь дугу BqECq
окружности (О), лежащую вне эллипса. Для построения границ этой дуги доста-
точно заметить, что, с одной стороны, известна сумма расстояний от любой из
этих границ BQ и Со до фокусов О и А — это двойной радиус 2р окружности (Г);
с другой стороны, их расстояние до О равно /?; достаточно, таким образом, про-
вести окружность радиуса 2р — 7? с центром А.
Построение треугольников (Т) прямоугольных в В или С. Эти треуголь-
ники имеют вершину в точке £, диаметрально противоположной А, на окружно-
сти (О). Задача — частный случай предыдущей; искомые треугольники имеют третьей
вершиной D или D'.
ЗА Геометрическое место точек Д', TV, Р. Основание А' высоты, опущен-
ной из А на сторону ВС, есть проекция точки А на прямую ВС, касающуюся
эллипса с фокусом А, для которого (Г) — главная окружность, и, значит, А', лежит
на окружности (Г). Точка А' описывает часть этой окружности; расположенную
влево от прямой, проходящей через точку А параллельно DD'. Точки N и Р—сере-
дины СА и АВ —- получаются соответственно из точек С и В гомотетией ^А, —j.
Геометрическое место любой из них есть, следовательно, образ дуги В0ЕС0 в этой
гомотетии.
Соотношение АВ • АС' == АС • АВ' = 2R. Точки В' и С' — основания высот
треугольника (7), опущенных из В и С, —суть вторые точки пересечения пря-
мых АС и АВ с окружностью, построенной на ВС как на диаметре. Выражая
тремя способами степешэ точки А относительно этой окружности, будем иметь
АВ • АС' = АС • АВ' = АМ2 — МВ2. Но на основании (2), 1°, учитывая, что d = 27?,
будем иметь Л1А2 МО2 = 37?2. С другой стороны, из прямоугольного треуголь-
ника ОМВ находим МВ2 -’г МО2 — 7?2. Вычитая, получим МА2 — MB2 = 2R2 и
окончательно АВ - АС' = АС • АВ' = 27?2.
Геометрическое место точек В 'и С'. Эти точки получаются из точек В
и С в результате инверсии (А, 27?2). Геометрическое место точек В и С есть
дуга BqECq окружности (О), проходящей через А; значит, геометрическое место
точек В' и С' есть отрезок прямой, полученный при инверсии этой дуги — это
отрезок прямой DD', заключенный между точками, в которых эта прямая пересе-
кается с прямыми ABq и ACq.
Огибающая прямых ВВ' и СС'. Каждая из этих прямых, на основании преды-
дущего, лежит на стороне прямого угла, вершина которого описывает прямую DD’,
а другая сторона проходит через фиксированную точку А; значит, ВВ' и СС
касаются параболы (17) с фокусом А, для которой DD'— касательная в вершине.
Граничные точки дуги параболы, которой касаются ВВ' и СС', суть точки прикосно-
вения касательных, которые можно провести к этой параболе из граничных точек
отрезка, описываемого точками В' и С'.
43. Г. Значения у и z (черт. 165):
2 , 5я2 la \2 а2
1 +~6-’г = (2-А +12-
> = 2
584
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
Соотношение между у и z: у — 2г
теорему о медиане в треугольнике АМВ.
соответствующая положительным значениям
р ~ (черт. 166).
Определение М для у = т2.
X Г’ 2 5а2
а) Еслиш2 < задача не имеет реше-
9 5tf2
ния; б) если т2 = , задача имеет одно
о
решение: точка М совпадает с Н; в) если
5а2 9 4а2
. < т2 < задача имеет два реше-
6 3
ния: одно между О и //, другое, симмет-
2Д
График у=^у(х).
/ а
х; вершина I —
это соотношение
Часть
5^\
6 /
Черт. 166.
выражает
параболы,
параметр
решения. Это
задача имеет
4<22
ричное первому относительно /7; г) если т2 = у, задача имеет два
4л2
точка О и ей симметричная О' относительно /7; д) если т2 > -у,
одно решение: точка М — на продолжении луча Ох за точку О'.
2°. Двугранный угол A (SM) В. АВ Ох\ значит, ребро АВ перпендику-
лярно плоскости SOx. Так как ребро SM расположено в этой плоскости и пер-
пендикулярно НК и АВ, то плоскость АКВ перпендикулярна ребру SM и, зна-
чит, АКВ — линейный угол двугранного
угла A (SM) В. Этот двугранный угол будет
прямой, если треугольник АКВ будет пря-
моугольным АКВ = 90°). и так как /7 —
основание перпендикуляра, опущенного из К на АВ, то / АКВ будет равен 90°
тогда и только тогда, когда Д АКВ = /\ АОВ, т. е. НК^НО', значит, SH—бис-
сектриса угла MSO, и так как SA1 = Ух2 -г а2, то (черт. 167) уу — или
а а
2 2 4а
, откуда х = .
У х2 а2 а 3
Геометрическое место АК и ВК. Если М описывает Ох, то К описывает
в плоскости SOx окружность (Г) диаметром SH. Геометрическое место АК и
ВК — два конуса, вершины которых А и В, а направляющая — эта окружность.
Пересечение плоскостей, касательных в К этим конусам. Плоскости,
касательные в* К к этим конусам, обе проходят через касательную в точке К
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
585
к окружности (Г) и потому пересекаются по касательной к окружности (Г)
в точке К.
Выбор точки М такой, что прямая пересечения указанных касательных
плоскостей будет перпендикулярна ОАВ. В этом случае касательная к окруж-
ности (Г) должна быть параллельна OS; положения точки /< суть границы R' и R"
' диаметра этой окружности, перпендикулярного OS (черт. 168); лишь одна из этих
двух К' и R" дает решение задачи. __Мы видим, что НМ' = 2/Rr = HS —
-./"аС , а/5 1+К5
= у j + а2 = —, значит х — —------------а.
44. 1°. Выбор х, при котором треугольник А' В'С' существует. Из а > b > с
следует всегда ах > bх > сх. Треугольник А'В'С' существует тогда и
только тогда, когда b + х + с -1- х> а + х или х > а — (Ь + с).
2°. Определение х, при котором треугольник А'В'С' прямоугольный
в случае а = 21, Ь — 19, с = 5. Имеем: (21 + х)2 = (19 + х)2 + (5 + х)2, откуда
х —— 11 или х = 5; так как должно быть х > 21 — (19 + 5) = — 3, то х = 5.
Случай а = 21, Ъ — 19, с = 12. В этом случае х = — 16 или х = — 4, и так как
х > 21 — (19 + 12) = — 10, то только х = — 4.
3°. Единственность решения общей задачи.
Имеем (а + х)2 = (b -j- х)2 + (с + х)2 или
/ (х) ЕЕ х2 — 2 [а — (Ь + с)] х + Ь2 + с2 — а2 = 0.
(1)
Дискриминант этого уравнения положителен: А = 2 (а — Ь) (а — с) >0; значит,
корни всегда действительны и различны. Так как f[a — (b + с)] = —2 (а — Ь)%
X (^ — с) < 0, то число а — (Ь + с) лежит между корнями и потому существует
только один корень уравнения (1), такой, что х>а — (Ь + с); задача всегда имеет
и притом только одно решение.
Исследование. Если А — острый угол, т. е. а2 < Ь2 + с2, то оба корня
отрицательны и искомое значение х — отрицательно; если А = 90°, то х = 0; если
А — тупой угол, т. е. а2 > Ь2 + с2, то корни уравнения (1) противоположных знаков,
значит решение дает лишь положительный корень. Итак, если все углы треуголь-
ника АВС острые и а > b > с, то для получения прямоугольного треугольника
надо уменьшить все его стороны на одну и ту же длину. Если же АВС — тупо-
угольный треугольник (А — тупой угол), то для получения прямоугольного тре-
угольника надо все его стороны увеличить на одну и ту же длину.
45. Г. Геометрическое место центров (у). Медиатриса отрезка ВС.
2°. Геометрическое место точек М' и МС Окружность с центром А и
АС
радиусом
МВ МВ 1
3 . -7^ = const. Отношение постоянно равно
МС МС г |Л 2
46. BD = X- > DC = /“+, AD = V~ —-1, AD • £)£=
b + c b + с V (b + c)
= BD DC, DE = r~— I/ -———-—~Г1------------. Аналогично
b + c V (a + b + c)(b + c — c)
FC == 1)2 \f___________CCL_______
~~ ca V (£ + Z> + c)(c + # — b) *
Условие DE = FG принимает вид (a — b) (a + b + с) [a2 (a + с) (a + c — b) +
-f- ab (a -J- c) (b + c) + b2 (b + c) (b + c — a)] = 0, откуда a = b.
47. bc = 2R-AN, *2 = a2 + c2 —2a-BH, HC = a—BH =
1 2a
a2 + b2 — c2 _ Ar/ lTT irl (a2 + c2^b2)(a2-^b2 — c2) n
= -—। -------- BH • HC = AH * HI, HI = У—1-------------------- R; аналогично
2a 2a2bc
TI7 (Ь2^а2 — с2){Ь2Д-с2 — а2)п n r„
JR—-----!-----2л&21—---------" Равенство HI — JR приводится к виду
(a — b) (a + b + c) (a + b — c) = 0, откуда a = b.
48. AM2 = 2 (62 f2) ~ ai, AM-MN = BM- MC, MN = —-----------------;
4 2/2 (ft2 4-c2) —a2
аналогично PQ — —— — . Равенство MN = PQ приводится к виду
2^2 (a2 + c2) — b2 н
(a2 — b2) (2aA + a2b2 + 2^4 + 2a2c2 + 2b2c2) — 0, откуда a = b.
49. Указание. Выразить двумя способами степени точек D и D’ относи
тельно данной окружности.
586
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
50. 1°. Л DEF. Треугольник DEF— равносторонний:
2°. Л SDT. Треугольник SDT—равносторонний.
3°. Л АСМ. Треугольник АСМ— равносторонний.
cb
4°. Значение AD. AD = —.
с + b
51. 1°. Точки £, 7И, Улежат на одной прямой. ЕМС — 90°, CMF — 90°;
значит, / EMF = 180°.
Точки A, Af, С лежат на одной прямой. Так как /. АВС — ADC = 90°,
то прямые FBhED— две высоты треугольника AEF\ следовательно, АС — третья
высота; но CM J_ EF; значит, точки А, С, М лежат на одной прямой (на этой
третьей высоте).
Окружности, описанные вокруг треугольников ADE и ABF. Так как
/ ADE = / АМЕ —- 90°, то окружность, описанная вокруг треугольника ADE, про-
ходит через М; точно так же, так как / ABF = / AAfF = 90°, окружность, опи-
санная вокруг треугольника ABF, проходит через М. Обе эти окружности пересе-
каются в точках А и Л/, АМ — их радикальная ось.
2Э. Вычисление углов ВМЕ и DMF. £_ВМЕ — £_ВСЕ, ВСЕ — £ BAD,
так как оба эти угла в сумме с углом BCD дают z; значит, / ВМЕ = а; анало-
1ично / DMF — а. Биссектриса угла BMD. Так как / FMC' / СМЕ = 90°, то
/ СМВ = CMD — 90° — я, прямая MCA — биссектриса угла BMD.
3°. Вид треугольника BID. BI — медиана прямоугольного треугольника BEF;
значит, BI = -% EF; аналогично DI = CF; значит, BI = DI, треугольник IBD —
равнобедренный.
Точки /, О, J лежат на одной прямой. Точка I принадлежит медиатрисе
отрезка BD и т. д. Окружность, вписанная в OBID. Четырехугольник OBID имеет
ось симметрии (OI). Центр вписанной
Черт. 169. Черт. 170.
4°. Значения х = BE и у — DF. х = R(2 J- У 3), У = R (2 У 2 + У 6).
53. Если бы в треугольнике АВС мы имели бы АВ^=ВС, ВС^=СА и СА^=АВ,
то окружность Эйлера пересекала бы все три стороны.
Обратное положение верно: если треугольник равнобедренный, то окружность
Эйлера касается его основания.
54. Г. а) Четыре точки А, В, А', В’ лежат на одной окружности.
РА • РВ = РА' • РВ' = PH2.
б) Исследование центра I. Центр / лежит, например, на медиатрисах отрез-
ков АВ и А'В' (эти медиатрисы проходят через фиксированные точки О и О').
в) Секущие РАВ и РА'В' проходят через О и О'. В этом случае I есть
точка пересечения ОТ с О'ТС Окружность (С) в этом случае касается окружно-
сти (О) внутренним образом, а окружности (О') — внешним образом (черт. 169).
г) Соотношение между IO и ЮС 10 -ф- IO' — R -ф- RC
2°. Центр окружности (АВА' В). Если РАВ и РА'В' перемещаются парал-
лельно самим себе, перпендикуляры, опущенные из точек О и О' на эти прямые,
не меняются; значит, точка 7 остается фиксированной.
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 587
3°. Случай, когда РАВ и РА'В' проходят соответственно через О и О'
(черт. 170). В этом случае медиатриса отрезка АВ есть перпендикуляр в точке О
к ОР, а медиатриса отрезка А'В' — перпендикуляр в точке О' к О'Р. Углы /ОР
и /О'Р — прямые, и окружность с диаметром /Р проходит через О и О'.
Линия, на которой расположен центр С окружности (О1РО). Окружность
(OIPO') проходит через две фиксированные точки О и О'; значит, точка С лежит
на медиатрисе (Л) отрезка ОО'. Проекция С на ОО' есть середина /\ отрезка ОО'.
Но С — середина PI, значит, если L проекция I на ОО', то /< — середина
проекции HL отрезка Р/. Линия, на которой остается точка /. Так как
точка L фиксирована (эта точка симметрична точке Н относительно середины /<
отрезка ОО'), то точка I расположена на прямой, проходящей через точку L пер-
пендикулярно HL.
55. Соединим Н с С' и В'. Прямые С'НпС'1 симметричны относительно АВ;
значит, АВ одна из биссектрис угла С' треугольника НВ'С', аналогично и пря-
мая АС —одна из биссектрис угла В' того же треугольника НВ'С'. Так как АВ
и АС пересекаются в А, то АН—биссектриса угла Н треугольника НВ'С\ другая
биссектриса этого угла, следовательно, есть ВС, но тогда ВВ' и СС' — вторые
биссектрисы углов В' и С' треугольника НВ'С', а значит ВВ' и СС' — соответ-
ственно перпендикулярны АС и АВ.
56. Г. Треугольники ABQ, DCQ, АСР и DBF равнобедренные, / ВАС = 45Р
и т. д.
2°. Высота треугольника APD. АС и DB — две высоты; значит, PQ — третья
высота. __
3°. Значения ВС, BD, BQ, QD и CD. ВС = RV 2, BD = F/3, BQ = AB = R,
QD — R (/3 - 1), CD = Щ 6 - /2).
4°. Геометрическое место точек P и Q. Треугольник BDP — равнобедрен-
ный прямоугольный (/. BPD — 45е), значит, Р лежит на дуге, для которой
AD — хорда и которая вмещает угол 45°. Пусть Е— середина данной полуокруж-
ности. Тогда точка Р лежит на дуге радиуса ЕА с центром Е. Из этой окружности
надо взять лишь часть Р{Р2, высекаемую из нее касательными к полуокружности,
проведенными в точках А и D (черт. 171). Так как / BQC = 135°, то точка Q
Черт. 171. Черт. 172.
списывает дугу AQD, равную дуге Р]Р2. Длина отрезка PQ постоянна, он переме-
щается параллельно самому себе, его длина равна расстоянию между центрами
дуг PJ>2 и AQD, т. е. Ж
57. Г. Радиус окружности, описанной вокруг треугольника ОАВ. Пусть
С —центр окружности, описанной вокруг треугольника ОАВ, тогда А СВ 60°;
значит, AC — АВ—- а. Радиус описанной окружности равен а.
Геометрическое место точек С. Так как ОС = а, то точка С лежит па
окружности радиуса а с центром О. Однако точка С может занимать на этой
окружности лишь все полеженпя на дуге С^СС^ которая высекается из этой
окружности лучами Ох' и Оу', перпендикулярными Ох и Оу (черт. 172).
2°. Окружность, описанная вокруг четырехугольника А'В АВ'. Т<к как
/ АВ'В / АА'В —90°, то точки А' и В' лежат на окружности с диаметром АВ.
Следовательно, вокруг четырехугольника А'В АВ' можно описать окружность
диаметром АВ == а. Угол А'АВ' в сумме с 3(У дает 90е, значит, /_А'АВ'= 60 ;
значит, А'В' — сторона правильного вписанного в окружность треугольника; если
а л г г а]/Г 3
радиус окружности равен -у , то А В = —.
588
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
3°. Геометрическое место точек С. Мы перейдем от С к С', если АВ
заменим на А В = —; значит, геометрическое место точек С есть дуга
Е
А
М
D
В
Q
173.
N
Черт.
Т' 5 »
С{С С2 окружности с центром О и радиусом ——, ограниченная лучами Ох
и Оу', соответственно перпендикулярными Ох и Оу.
Геометрическое место ортоцентров //треугольника О АВ. Пусть Н—точка
пересечения АА' и ВВ' — это и есть ортоцентр треугольника О АВ. Так как АА'
и ВВ' соответственно перпендикулярны в точках А'
и В' к ОА' и ОВ', то эти две высоты пересекаются
на окружности, описанной вокруг треугольника О А' В'
в точке 77, диаметрально противоположной О. Точка EI
из точки С' получается в результате гомотетии (О, 2);
значит, геометрическое место точек Н есть дуга НХНН2
окружности с центром О и радиусом аУ 3, ограничен-
ная лучами Ох' и Оу'.
58. Г. Вокруг четырехугольника BDEC можно
описать окружность. Имеем АВ • AD = АС • АЕ —
= АН2.
2°. Фиксированные точки, через которые про-
ходит окружность (BDEC}. Пусть О — центр этой
окружности, Р—точка пересечения диагоналей прямо-
угольника ADHE, I и Q — ортогональные проекции
точки О на ВС и АН. Медиана AI и высота АН
антипараллельны относительно АВ и АС ВАН ^
~С=£1АС). Аналогично DE и ВС антипарал-
лельны относительно АВ и АС (ибо вокруг четырех-
BCED можно описать окружность). Так как АН ВС, то AI J_ DE.
, конечно, АР\\10. Значит, четырех-
угольника j_____ ______ ________ .......~ г _ _
Кроме того, OP J_ DE. Значит, ОР\\А1 и, конечно, АР\\Ю. Значит, <---------р—
угольник APOI — параллелограмм и (черт. 173) AP—IO = HQ; следовательно,
3
AQ = -g- АН и потому точка Q фиксирована. Пусть М и N— точки пересечения
окружности (BDEC) с АН. Имеем: АМ • AN — АВ • AD = АН2 = AQ2 — QM2;
__ __ ______ _____ 9 __ ______ 5______
следовательно, QAP = QN2 = AQ2—АН2 = -г АН2 — АН2 = -г АН2; следовательно,
1Л5
QM = QN = -L— АН, а М и N — фик-
сированные точки прямой АН.
59. Предварительное заме-
чание. АС и ВС — биссектрисы углов,
дополнительных к В Ах и АВу; они, следо-
вательно, перпендикулярны, и треуголь-
ник АВС прямоугольный АСВ = 90е).
Г. Построение (С), если известна
прямая (Д). СО — медиана треуголь-
ника АСВ; значит, ОС = АВ = а и, зна-
чит, на прямой (А) имеется два положе-
ния для точки С на расстоянии а от О
(черт. 174).
2°. Геометрическое место точек С.
Так как ОС = а, то геометрическое место
точек С при условии, что прямая (А) вра-
щается вокруг О, есть окружность (О)
с диаметром АВ.
3°. Построение (С), если известен
радиус R окружности. Центр С, с одной
стороны, лежит на окружности (О), с другой стороны — на прямых, параллельных АВ
и отстоящих от АВ на расстоянии R; значит, С — точка пересечения этой окруж-
ности с этими параллелями.
Исследование. Если R < а, то параллели, о которых говорилось выше,
пересекают окружность (О) каждая в двух точках; имеется четыре решения. Если
R = a, то параллели касаются (О) в точках / и J—концах диаметра (О), перпенди-
кулярного АВ; имеется только два решения. Если R>a — решений нет.
4°. Построение (С), если известна точка Р. Точка Р есть точка радикаль-
ной оси окружностей (С) и (О), а потому она имеет одну и ту же степень
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 589
относительно этих окружностей: РН2~ РА • РВ. Это соотношение определяет точку Н;
ее можно построить, например, так: проводим через точку Р касательную РТ
к окружности (О) и от точки Р откладываем отрезок РН—РТ. Центр С окруж-
ности (С) расположен, с одной стороны, на окружности (О), с другой стороны — на
перпендикуляре, проведенном через точку Н к прямой АВ.
5°. Изучение CI и CJ. Пучок (С/, CJ, СО, СН) гармонический, а так как
С/CJ, то CI и CJ—биссектрисы углов, образованных прямыми (Д) и СН.
Касательные к (С), перпендикулярные (Д). Касательные к (С), перпенди-
кулярные (Д), на основании предыдущего, суть прямые, симметричные прямой (D)
[касающейся окружности (С) в точке //] относительно прямых CI и CJ. Следова-
тельно, расстояние от / до касательной, симметричной (D) относительное/, равно О/;
эта касательная к окружности (С),
значит, постоянно касается также
окружности с центром / и радиу-
сом 01 = а; аналогично и вторая
касательная к (С), перпендикуляр-
ная (Д), касается окружности ра-
диуса а с центром J.
60. 1°. Геометрическое место
точек Л Четырехугольник ABDC
по построению — параллелограмм;
его диагонали — AD и ВС; значит,
/— центр этого параллелограмма
(черт. 175). Соединим точку I
с центром О окружности (О). Пря-
мая 01 будет параллельна (Д) и
(Д') и будет проходить от этих
прямых на равных расстояниях, так
как она проходит через середину ВС
и через середину О диаметра (О),
соединяющего точки б и б' при-
косновения касательных (Д) и (Д')
к окружности (О). Центр I этого
параллелограмма лежит на пря-
мой (Dq), параллельной прямым (D)
и (/)') и проходящей на равных
может быть точкой /, так как для этого надо только выбрать касательные (Д) и (Д')
параллельными 01. Итак, геометрическое место точек I есть прямая (DQ), парал-
лельная (О) и (£)'), которая пересекает ОНИ' в точке 7/0 такой, что 0HQ = 70 мм.
2°. Поляра точки / относительно (О). Поляра (J) точки / перпендикулярна 01,
а следовательно параллельна диаметру бб', соединяющему точки прикосновения
касательных (Д) и (Д') к окружности (О). Так как точка / описывает прямую (DQ),
поляра точки I относительно (О) вращается вокруг фиксированной точки /<0 — полюса
_______________________________________ __ ______________________ 90
прямой (£>0) относительно (О). Имеем: ОК§ • OHQ = R2 = 302, откуда OKQ = у мм.
ЗХ Геометрическое место полюсов m и п прямых AD и ВС относительно
окружности (О). Пусть m и /г —полюсы прямых AD и ВС относительно (О); пря-
мые От и On соответственно перпендикулярны AD и ВС. Рассмотрим пучок
I (О, Но; А, В); он гармонический, так как АВ||О/ и прямая (Do) проходит через
середину АВ. Следовательно, пучок прямых О (б, KQ; т, п) также гармонический,
так как он образован перпендикулярами, опущенными из точки О на прямые пер-
вого пучка. Отсюда следует, что на поляре (J) прямые OKQ, От, On высекают
равные отрезки, иначе KQ — середина тп. Можно сказать и так: точки тип сим-
метричны относительно точки /<0; с другой стороны, б есть полюс прямой (Д),
т — полюс прямой AD, значит Ът — поляра А и полюс h прямой (£)) относи-
тельно (О) лежит на этой поляре.
Oil • ОН= R2 = 302, Oh 18 мм. Точка
, тл l\Qm hR0
с точками т и о. Имеем ~т=- — ,
Об hO
следует, что геометрическое место точек тип есть окружность с центром /<0 и
60
радиусом у мм.
4°. Геометрическое место проекций М и N точки О на AD и ВС. Точки М
и N являются точками пересечения От и On с AD и ВС соответственно, и так
как т и п — полюсы AD и ВС относительно (О), то От ОМ = On • ON = R2 = 302.
Эти соотношения показывают, что точки М и N получаются из точек т и п
ючка п определяется из соотношения
h фиксирована и лежит на одной прямой
/7“ 7 ОА 60
отсюда /<от = —— • 30 = мм. Отсюда
590 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
60\2 90
7/ 7'
в результате инверсии (О, /?2). Окружность, являющаяся геометрическим местом
90 60
точек т и л, не проходит через полюс О инверсии, так как 0/<о —
значит, геометрическое место точек Л1 и N есть окружность, полученная инвер-
сией (О, R2) окружности (/), являющейся геометрическим местом точек т и п.
Точки [л и р,' окружности (/), лежащие на ОН, определяются соотношениями
-- 90 60 30 90 , 60 150 г D D,
Op- — -7-—-^, Op- = у f- у — . Если P и P — образы точек p. и
в инверсии (О, 302), то Оу • ОР = Ор • ОР' = 302, откуда ОР = 210, ОР' ~ 42.
Центр окружности (Л), являющейся геометрическим местом точек /И и N, имеет
абсциссу 126 мм, а радиус равен 84 мм.
5°. Прямые MN проходят через фиксированную точку. Рассмотрим окруж-
„ 60
ность, описанную вокруг треугольника Отп\ так как /<0/и =/<ол ~ у, то мы видим,
что эта окружность проходит через две фиксированные точки ОН’, одна из них —
точка О, другая со—такая, что К^О-К^ш = /<от • /<0/z, откуда —
40 л -гйГ , -р— 90 , 40 130 D /Л FF
~мм и Осо = 0/<о-j-— у + у = у-. В инверсии (0,302) окружность,
описанная вокруг треугольника Отп, преобразуется в прямую MN. Так как эта
окружность (Отп) проходит через фиксированную точку ш, то и прямая ALV про-
______________________________________________ ___ __ 630
ходит через фиксированную точку Q такую, что Ош • О!2 = 302, откуда OQ = yj мм.
6°. Огибающая прямых AD и ВС. В п. 4° мы видели, что геометрическое
место точек Л1 и N есть окружность (F) с диаметром РР'\ таким образом, AD
и ВС — вторые стороны прямых углов ОМА и ON В, первые стороны которых
проходят через фиксированную точку О, а вершины описывают окружность (F).
Так как абсцисса центра этой окружности равна 126 мм, а радиус равен 84 мм,
то точка О лежит вне окружности (F). Огибающая AD и ВС — гипербола с фоку-
сом О, для которой окружность (F) является главной.
61. Г. Построение (С). Квадрат расстояния dx от центра (С) до опреде-
ляется формулой d2 = 4 R1, а квадрат расстояния d2 от центра (С) до О2 опре-
деляется формулой d22 = R2 R2- Проведем в произвольной точке окружно-
сти (CJ касательную и отложим на ней отрезок Ai7\ = R. Центр окружности (С)
будет лежать на окружности (Qj) с центром Oj и радиусом аналогично,
в произвольной точке А2 окружности (С2) проведем касательную и отложим на
на ней отрезок А2Т2 = R. Центр окружности (С) будет лежать на окружности (Q2)
с центром О2 и радиусом О2Т2. Если окружности (4) и ((22) пересекаются или
касаются, их общая точка — центр окружности (С). Решения нет, если окружно-
сти (S2j) и (Q2) не пересекаются.
Геометрическое место центров окружности (С). Центр окружности (С)
имеет одну и ту же степень R2 относительно окружностей (СЦ и (С2) и, значит,
лежит на радикальной оси этих окружностей. С другой стороны, так как окружно-
сти (CJ и (С2) лежат одна вне другой, все точки их радикальной оси лежат вне
этих окружностей и, значит, каждая точка радикальной оси (Д) окружностей (С\)
и (С2) может служить центром одной из окружностей (С). Итак, геометрическое
место центров окружностей (С), ортогональных окружностям (С\) и (С2), есть
вся радикальная ось (Д) двух последних окружностей.
Фиксированные точки F и F'. Окружности (С) с центрами на (Д) ортого-
нальны окружностям (СД и (С2) и, значит, образуют пучок, сопряженный с пучком,
определяемым окружностями (С\) и (С2). Эти окружности (С) образуют, следо-
вательно, пучок окружностей, проходящих через предельные точки пучка, опре-
деляемого окружностями (СО и (С2). Для построения предельных точек F и F'
пучка [(СД (С2)] достаточно построить окружность (U), ортогональную (СД и (С2)
и имеющую центром О — точку пересечения радикальной оси (Д) окружностей (CJ
и (С2) с их линией центров. Эти точки F и F' сопряжены и относительно (CJ
и относительно (С2).
2°. а) Точки М и М'9 сопряженные одновременно и относительно (CJ и
относительно (С2). Пусть дана какая-нибудь точка М. Геометрическое место
точек, сопряженных с точкой М относительно окружности (Cj), есть поляра точки М
относительно (Ct), а именно — это прямая, перпендикулярная О{М; аналогично,
геометрическое место точек, сопряженных точке М относительно окружности (С2),
есть поляра точки М относительно (С2) — это прямая, перпендикулярная О2М. Зна-
чит, если точка М не лежит на прямой OjO2, то эти поляры пересекаются, причем
в единственной точке 'М', которая будет сопряжена точке М и относительно
окружности (С\) и относительно окружности (С2). Если точка М лежит
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
591
на прямой Oi<92, две указанные поляры, вообще говоря, параллельны и не имеют общей
точки. Однако надо еще рассмотреть точки F и F', так как в этом случае указан-
ные поляры совпадают и, значит, точке F, соответствуют все точки прямой, прохо-
дящей через F' перпендикулярно ОХО2, а с точкой F' сопряжены все точки пря-
мой, проходящей через F перпендикулярно ОХО2. Итак, если точка Л1 не лежит
на прямой ОХО2, ей всегда соответствует и притом только одна точка ЛГ, гармо-
нически сопряженная относительно каждой из окружностей (CJ и (С2).
б) Построение АГ. Если М не лежит на прямой ОХО2> то через три точки F,
F' и М можно провести и притом только одну окружность. Точка М' — это точка,
диаметрально противоположная точке Л4 этой окружности. Заметим, что / MFM' -
-= / MF'M' = 90°, поэтому точка М' является также точкой пересечения прямой,
перпендикулярной MF в точке F, с прямой, перпендикулярной MF' в точке F'
в) Геометрическое место точек АГ и АГ, если ММ' имеет данную длину /.
Окружность (MFF'M') ортогональна окружностям (CJ и (С2) и имеет диаметр
ММ'~ I. На основании 1° можно построить лишь две окружности (симметричные
относительно (?1О2), ортогональные (CJ и (С2) и имеющие данный радиус
-g- — эти две окружности и образуют геометрическое место точек М и М'.
3°. Геометрическое место точек М' при условии, что точка М описывает
прямую (Р), перпендикулярную ОХО2. Пусть //—точка пересечения (D) и OiO2
(черт. 176). Так как ММ' — диаметр окружности (С), то середина / отрезка ММ'
лежит на радикальной оси (Д) окружностей (Cj) и (С2). Следовательно, ортого-
нальные проекции Н и Н' точек М и М' на ОХО2 симметричны относительно
Черт. 176.
точки О. Так как Н—фиксированная точка, то Н' также фиксированная точка;
значит, точка М' лежит на прямой (D'), проходящей через точку Н' перпендику-
лярно ОХО2. Обратно: если М'— любая точка прямой (D'), то существует точка М
на прямой (D) такая, что / M'FM = 90°. Значит, все точки прямой (D') принад-
лежат геометрическому месту точек М'. Прямая (D') совпадает с (D), если (D)
совпадает с (Д). Заметим, что геометрическое место точек М' включает в себя и
прямую ОХО2, так как, если М — бесконечно удаленная точка прямой (D), то
М' — любая точка прямой ОХО2.
Огибающая ММ'. Пусть К' — ортогональная проекция точки F' на ММ'.
Четырехугольники HMF'F' и H'M'K'F' вписанные; значит, / К'HF' = / /<'MF'
и / K'H'F' ~ / !\ М'F'. Следовательно, так как треугольник MF'M' прямоуголь-
ный MF'M' = 90°), то НК'Н' = 90°. Геометрическое место точек К' есть
окружность с диаметром НН'. Следовательно, огибающая ММ' есть линия второго
порядка с фокусами F и F'; для которой окружность, построенная на НН' как на
диаметре, главная.
592
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
4°. Геометрическое место точек АГ при условии, что точка АГ описывает
прямую, проходящую через F. В этом случае / MFM' = 90° и геометрическое
место точек АГ есть прямая (£\), перпендикулярная (D^) и проходящая через F
(черт. 176). Заметим для полной строгости, что геометрическое место точек Мг
включает в себя еще прямую проходящую через F' и перпендикулярную О1О2»
так как точка АГ есть любая точка этой прямой, если А1 совпадает с F.
Огибающая АГАТ. Пусть Q — точка, симметричная точке F' относительно ММГ.
Тогда прямая — биссектриса угла F'FQ. Точка Q лежит, следовательно,
на прямой (Л^, симметричной прямой FFr относительно прямой (^j). Прямая
ММ'— медиатриса отрезка F'Q, один конец Fr которого фиксирован, а другой,
т. е. Q, описывает прямую (AJ. Огибающая ММГ есть, следовательно, парабола
с фокусом F и директрисой (AJ.
62. Построим фигуру, гомотетичную искомой ломаной BMNPA относительно
точки А, следующим образом: построим окружность с центром В и радиусом ВА\
пусть эта окружность пересечет АС
в точке а ВС — в точке р. Через
точку pi проведем прямую, парал-
лельную АВ, затем построим окруж-
ность с центром и радиусом АВ,
пересекающую эту параллель в точ-
ке Л1], и, наконец, через точку Alj
проведем прямую, параллельную ВС. Ломаная AB^YjAf^j такова, что BiAft =
” yWjZ/j — N}B = ВА (черт. 177). Пусть прямая AAfj пересекает ВС в точке М;
проведем через точку М прямую- параллельную А^Л^; пусть она пересечет АС
в точке N; наконец, через точку N проведем прямую, параллельную и пере-
секающую АВ в точке Р; точки А/, 2Y, Р удовлетворяют условию вопроса, так как
в силу гомотетии с центром А мы имеем: ВМ = MN = NP = РА. Вторая точка
пересечения окружности с центром и радиусом АВ также дает решение, однако
при этом точки М, N, Р будут лежать на продолжении сторон.
63. Обозначим через Р радиус окружности (О), описанной вокруг треуголь-
ника АВС. Пусть (А^) — общая касательная к (В) и («), касающаяся (В) в точке Ви
a (со)— в точке N. Прямая Ж) пересекает в точке М прямую, параллельную (А&)
и проходящую через точку В. Имеем (черт. 178): NM = ВХВ = Р = ЛАо Д а>М,
(оАГ = Р — г, где г — радиус окружности (со); аналогично доказывается, что расстоя-
ние от точки со до прямых (Ад) и (АД проходящих через А и С и параллельных
соответственно общим касательным к окружностям (А) и (со), (С) и (со), равно Р — г.
Значит, окружность, концентричная (со), радиуса Р — г, касается всех трех прямых:
(Ад), (А&) и (АД С другой стороны, эта окружность касается и окружности (О),
так как Осо = г — Р — (Р — г).
64. Геометрическое место точек Е и F. Окружность (О2) соответствует
окружности (ОО в гомотетии ^/, ±-^j. Треугольнику МАС в этой гомотетии
соответствует треугольник NDB\ значит, их соответственные стороны параллельны
и MENF— действительно параллелограмм.
Хорды AM и BN антипараллельны; / ЕАВ = / ENM, A EMN А АЕВ,
откуда ЕА • ЕМ = ЕВ • EN; значит, точка Е лежит на радикальной оси окружно-
стей (ОО и аналогично и хорды МС и ND пересекаются в точке F, лежащей
на радикальной оси окружностей (ОО и (ОД Обратно. Пусть Е и F — две точки
радикальной оси (А), симметричные относительно точки пересечения (А) с общей
касательной MN к окружностям (ОО и (ОД Тогда четырехугольник MENF —
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
593
параллелограмм, прямые ЕМ и EN определяют на окружностях (OJ и (О2) точки А
и В (антигомологические); прямая АВ проходит, следовательно, через точку I.
Таким образом, геометрическое место точек Е и F— вся радикальная ось (А)
окружностей (Oj) и (О2) (черт. 179).
Окружности (ЛЕВ) и (CFD) касаются данных. Так как точка Е лежит на
радикальной оси (А) окружностей (OJ и (О2), то ЕМ • ЕА = EN • ЕВ. Произведем
инверсию (Е, ЕМ • ЕА). Окружности (ОЦ и (О2) перейдут соответственно в себя.
Общая же касательная MN к ним преобразуется в окружность, проходящую через
точку Е и касающуюся данных окружностей в точках А и В. Итак, окружность
(ЕАВ) касается данных окружностей; аналогично доказывается, что и____окруж-
ность (FCD) касается данных; для этого надо рассмотреть инверсию (Л, FC-FM).
65. Г. Степень точки М относительно данных окружностей. Р == х2— 1,
Р' = (х — 5)2 — 4 = х2 — 10х + 21.
Абсцисса точки Н. Абсцисса точки Н определяется из уравнения Р — Р\
что дает х = Степень точки И относительно (О) и (О') равна —^“25’
Положение точки ЛИ, для которого Р' ?= kP. Получаем уравнение (k — 1) х2 4-
-*10х — (/г + 21) = 0. Его дискриминант А = k2 -j- 206 + 4 положителен или равен
нулю, если или £<— 10 — 4]/*6или£>—10 4 Кб. Уравнение Р' == kP имеет
два действительных различных корня, если исключаются знаки равенства; если
же k = —10 ± 4 Кб, то корень двойной. Для того чтобы показать, что при наличии
различных решений М' и М" эти точки соответствуют друг другу в одной и__той
же инверсии относительно Н, заметим, что (а— координата точки Н) НМ'-НМ" =
” (х'— а) (х" — а) = х'х"— а (х' 4- х") а2. Подставляя сюда х'х", х' -\-х"
и а = У , получим НМ' • НМ" Точки М' и М" соответствуют друг другу
/„ 96\ „ о 96 „
в инверсии (Я, 2gI. Степень инверсии оказалась равной степени ^g точки Н
относительно (О) и (О') вот почему: если k = 0, то точки М' и М" являются
точками, в которых окружность (О') пересекает ось х'х, и произведение НМ' - НМ"
должно быть равно степени точки Н относительно (О') [и (О)].
2°. Окружности, проходящие через //, касающиеся (О) и ортогональ-
ные (О'), Обозначим через р степень только что рассмотренной инверсии.
В инверсии (Н, р) окружности (О) и (О') инвариантны, а всякая окружность, удо-
влетворяющая условию задачи, преобразуется в прямую, касающуюся (О) и орто-
гональную (О'), т. е. в касательную, проведенную из точки О' к окружности (О).
Таких касательных существует две; значит, и окружностей, удовлетворяющих
условию задачи, также две. Пусть (С) — одна из них и (D) — прямая, полученная
из (С) инверсией (Н, р). Если окружность (Г) пучка (F), определяемого окружно-
стями (О) и (О'), касается (С), то так как (Г) инвариантна в инверсии (Н, р),
то (Г) касается и прямой (D). Остается установить, что в пучке (F) существуют
окружности, отличные от (С) и касающиеся прямой (D). Мы знаем уже одну
окружность пучка (F), касающуюся (D) — это окружность (О); пусть Т — точка
прикосновения прямой (D) к окружности (О). Если К— точка, в которой пере-
секаются (D) и радикальная ось (А) окружностей (О) и (О'), то другая окруж-
ность (Г) пучка (F), касающаяся прямой (D), должна касаться (D) в точке S,
симметричной Т относительно /<. Центр этой окружности (Г) лежит в точке пере-
сечения прямой ОО' с перпендикуляром, проведенным в точке S к прямой О'Т,
38 П. С. Моденов
594 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
3°. Окружности, проходящие через точки Н и / и касающиеся данной
окружности пучка (Л). Окружность, построенная на TS как на диаметре, орто-
гональна окружности (О), а ее центр К лежит на радикальной оси окружностей (О)
и (О'); значит, эта окружность принадлежит пучку,
довательно, проходит через предельные точки I и Г
Обозначим
лежит вне
сопряженному с (Т7);- еле-
' пучка (Л) (чертеж 180).
одну из них, например ту, которая лежит внутри (О). Точка 77
окружности пучка (Л); значит, для того чтобы через точки 77
через I
любой
касательную к данной окружности (Г)
и / можно было провести окружность,
пучка (Т7), необходимо и достаточно, чтобы и точка 7 лежала вне (Г), т. е.
чтобы (Г) была любой из тех окружностей, которые содержат внутри себя вторую
предельную точку Г. Предположим, что окружность (Г) пучка (F) изменяется,
удовлетворяя этому условию. Пусть — точка прикосновения с ней какой-нибудь
из двух окружностей, проходящих через / и /7 и касающихся ее. Для того чтобы
найти геометрическое место точек М, произведем инверсию (/7, /772) (черт. 181).
В этой инверсии точка / и окружность (Г) инвариантны, а каждая окружность,
проходящая через / и Н и касающаяся (Г), преобразуется в прямую, проходящую
через / и касающуюся (Г); точка Л1 преобразуется, следовательно, в точку М'
прикосновения касательной, проведенной из / к (Г). Окружность с диаметром IM'
принадлежит пучку, сопряженному с пучком (Т7), ибо эта окружность ортогональна
окружности (Г) и <окружности-точки^ I. Значит, эта окружность проходит и
через точку Г, а потому /. 1Г М' = 90°. Таким
образом, точка М' расположена на перпенди-
куляре к ОО'у проведенном через точку Г;
точка М' при изменении (Г) может занимать
на этом перпендикуляре всевозможные поло-
жения; значит, указанная прямая и есть гео-
метрическое место точек М'. Геометрическое
место точек М получается из этого гео-
метрического места "в результате инверсии
(И, HI2) — это окружность, построенная на ГН
как на диаметре.
Определение такой окружности (Л),
для которой две предыдущие окружности
будут ортогональны. Для того чтобы две
окружности, проходящие через точки I
были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы
них в инверсии (Н, HI2), были также ортогональны,
и Н и касающиеся (Г),
прямые, полученные из
иначе говоря, чтобы касательные, проведенные из точки / к окружности (Г), были
наклонены под углом 45° к оси х'х. Это будет так, если прямоугольный треуголь-
ник IM'Q. (черт. 182) [£ — центр окружности (Г)] равнобедренный и Г — середина Д2.
Итак, центр окружности (Г), для которой окружности, проходящие через точки /
и Н и касающиеся окружности (Г) пучка (F), будут ортогональны, есть точка
симметричная I относительно Г.
Вычисление радиуса (Г). В п. Г мы нашли, что степень точки Н отно-
96 96
сительно всякой окружности пучка (Т7) равна Значит, в частности, HI2 = -gg-,
н, _ Дк, _ 2„, „ ДА,,,, _ Д«., к _,,,, -2 _ ДД.
5 5 5 5
66. Г. Построение центров С и С' окружностей (С) и (С'). Центр С
окружности (С) лежит на медиатрисе (А) отрезка ОМ; точка прикосновения окруж-
ности (С) к прямой (D') есть точка, в которой (Д) пересекает (D'). Центр С
окружности (С) лежит в точке пересечения прямой (Д) и медиатрисы отрезка ON
(черт. 183); аналогично строится центр Сг окружности (С').
Свойства прямых MN и M'N', Прямые (Д) и (D') являются биссектрисами
углов между прямыми MN и ON. Прямая MN, следовательно, симметрична
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
595
степень относи-
прямой ON относительно (D'); значит, она проходит через фиксированную точку /,
полученную из О симметрией в (D'). Прямая M'N' также проходит через ту же
фиксированную точку /.
Геометрическое место точек В. Пусть К—точка, в которой прямая IA
пересекает (D'). Это фиксированная точка, и поскольку А — середина ММ', то
К—середина NN'. Точка /< имеет, следовательно, одну и ту же
тельно окружностей (С) и (С'), поэтому ле-
жит на радикальной оси этих двух окружностей,
которая есть фиксированная прямая ОК Итак,
точка В лежит на фиксированной радикальной
оси ОК окружностей (С) и (С'). Для определе-
ния геометрического места точек В установим
на прямой КО положительное направление
___________________ ~KN2
от К к О. Тогда КВ — . Знаменатель —
КО
постоянный и положительный, числитель также
положителен и в силу KN = ^-АМ может при-
нимать все действительные значения от 0 до
+ оо. Значит, геометрическое место точек В
есть полупрямая, выходящая из точки /< и про-
ходящая через О.
2°. Свойства касательных в точках М
и ЛГ к окружностям (С) и (С'). Точка N,
в которой прямая АП пересекает (С), есть се-
редина дуги ОМ окружности (С). Значит углы, образованные этой прямой с пря-
мой (D) и с касательной МР к окружности (С) в точке Л1, равны между собой
(один из них вписан в дугу, другой образован касательной и хордой, отсекающей
ту же дугу). Значит, точка I равноотстоит от прямой {D) и от прямой МР; анало-
гично доказывается, что точка / равноотстоит от прямой (D) и от касательной М'Р
в точке М' к окружности (С'). Так как точка / равноотстоит от трех прямых: (D),
МР и М'Р, то она расположена на биссектрисе одного из углов, образованных пря-
мыми МР и М'Р, и, значит, все эти три прямые касаются окружности (Г) с цент-
ром / и радиусом О/.
Черт. 184.
Геометрическое место точек Р. Точка О есть точка прикосновения окруж-
ности (Г) со стороной МАГ треугольника МРМ'; значит, эочка А', симметрич-
ная О относительно середины А отрезка AIM', также является точкой прикосно-
вения к МАГ другой окружности (Г'), касающейся этих трех прямых; центр
окружности (Г') расположен на той же биссектрисе угла Р, что и точка / [если
точка М расположена между А и О, как на черт. 184, то окружности (Г) и (Г') —
38*
>96
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
сбс вневписанные окружности в углы М' и М треугольника РМ'М; если же
точка М лежит вне отрезка АО, то (Г') будет окружностью, вписанной в тре-
угольник МРМ', а (Г) — окружность, вневписанная в угол Р]. Окружности (Г)
и (Г') гомотетичны по отношению к центру Р; значит, точка А' окружности (Г')
и точка Г окружности (Р), диаметрально противоположная точке О, > лежат
на одной прямой с точкой Р. Итак, точка Р лежит на фиксированной прямой,
проходящей через две фиксированные точки: А' и Г. Для того чтобы найти гео-
метрическое место точек Р, можно рассматривать точку Р как точку пересечения
фиксированной прямой А'/'с касательной, отличной от (D), прозеденной из точки М
к окружности (Г). Если точка М приближается к А, то точка М' также прибли-
жается к А. Касательные, проведенные из этих двух точек к (Р), стремятся к со-
впадению, и точка Р также стремится к совпадению с общей точкой касания; так
как точка Р всегда расположена на прямой Д'/', то, когда точка М совпадает
с А, точка Р есть вторая точка Е пересечения прямой А'Р с окружностью (Р).
Когда точка М удаляется от точки А вправо, точка Р описывает отрезок РА',
в то время как точка М описывает отрезок ОА. Затем, когда точка М описывает
отрезок ОМХ [точка Мх такова, что касательная, проведенная из нее к окружно-
сти (Р), параллельна А'Р], точка Р описывает все продолжение отрезка РА' за
точку Д'; наконец, когда точка М переходит через точку Л4 j и неограниченно
удаляется вправо, точка Р описывает продолжение отрезка А 7' за точку Итак,
геометрическое место точек Р есть прямая ЕГ за вычетом отрезка РР.
Положения точек М и ЛГ, при которых окружности (С) и (О') будут
ортогональны. Направления касательных к окружностям (С) и (О') в точке О
симметричны направлениям касательных к этим окружностям, проведенным в точ-
ках М и М' относительно прямой, перпендикулярной (D). Поэтому для того чтобы
окружности (С) и (С') были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы пря-
мые МР и М'Р были ортогональны и, следовательно, чтобы точка Р принадле-
жала геометрическому месту точек, для каждой из которых окружность (Р) видна
под прямым углом — это окружность (/, 10^2). Она пересекает А'/' в двух точках;
каждой из них соответствует пара точек: М и М'. Задача всегда имеет два решения.
3°. Преобразование фигуры инверсией (О, О/2), В этой инверсии прямая (О')
перейдет в окружность (Р), а окружности (С) и (О'), касающиеся (О'), — в каса-
тельные к (Р), параллельные соответственно касательным в точке О к окружно-
стям (С) и (С'). Их направления, как это указывалось выше, симметричны напра-
влениям прямых МР и М'Р относительно перпендикуляра к (Е>) или, что то же
самое, относительно любой прямой, параллельной (D). Значит, прямые, в которые
перейдут (С) и, (С'), будут прямыми, симметричными прямым МР и М'Р отно-
сительно прямой Х'Х, проходящей через точку / параллельно (D). Образ Q
точки В в этой инверсии есть, следовательно, точка, симметричная Р относи-
тельно Х'Х. Для того чтобы окружности
(С) и (С') были ортогональны, необходимо
и достаточно, чтобы прямые, в которые они
преобразуются, были ортогональны; значит,
точка Q, следовательно и Р, принадлежит
геометрическому месту точек, для каждой
из которых окружность (Г) видна под пря-
мым углом. Мы приходим к тому, что выше
было получено иным путем.
67. Г. Образ (С) в инверсии (/, R2).
Всякая окружность, ортогональная окруж-
ности (/), инвариантна в инверсии (/, Р2).
2°. Изучение окружностей (С),
ортогональных окружности (/) и касаю-
щихся окружности (Ci). Всякая окруж-
ность (С), ортогональная окружности (/)
и касающаяся (CJ, инвариантна в инверсии (7, /?2) и, значит, касается окружно-
сти (С2), полученной инверсией (Cj). Точки прикосновения и М2 окружности (С)
к окружностям (Ci) и (С2) соответствуют друг другу в этой инверсии, и, значит,
прямые МХМ2 постоянно проходят через точку I. Линия (С2), которая есть, вообще
говоря, окружность, касающаяся в точке О окружности (/), вырождается в прямую
[касающуюся также в точке О окружности (C2)J в случае, если (CJ проходит
через точку /.
Соотношение между R, Rx и R2. Пусть Рх и Р2 — точки, диаметрально про-
тивоположные точке О относительно окружностей (Cj) и (С2) (черт. 185). Имеем:
IPi - — 1О2\ отсюда следует, что точки Рх и Р2 гармонически сопряжены отно-
сительно пары точек О, О'; это можно записать и так:
____ ___— — ______ ИЛи ---------------г---~ .
ОР, ОР2 ОО' Рх Р2 R
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
597
3\ Определение (CJ и (С2) таких что
+ %
(2)
Вопрос сводится к решению системы (1), (2) или Xi -j- х2 = 2J3, х1~\- х2 = а2, где
1 11 1 0 о
= я=₽- Второе
$2
(лу 4- х2)2—-2x^2 = а2> откуда XjX2 = 2р2-%-.
Таким образом, х{ и х2 — корни уравнения
«2
х2_^х + 2?2 — у = 0. (3)
Единственное условие возможности ре-
шения — это действительность корней этого
Р
уравнения, что дает а < ' Итак» ДЛЯ лю“
r
бого —=7 мы имеем единственную пару
У 2
окружностей: (СО, (С2), удовлетворяющую
условию задачи; (СО — любая из них.
Частный с л у ч а й: я = . В
уравнение можно переписать так:
Черт. 18b
этом
случае один из корней уравнения (3) равен
2
нулю, другой 23, т. е. . Нулевому корню
соответствует прямая, касающаяся
в точке О окружности (/). Корню
2
~~ соответствует окружность с центром
1\
J
__ о
таким, что OJ =; это окружность, построенная на 01 как на диаметре.
2^
4°. Геометрическое место центров окружностей (С), если а = -у . В этом
случае окружность (CJ— это окружность, построенная на О! как на диаметре,
(С2)— касательная к окружности (7) в точке О (черт. 186). Продолжим радиус СМ2
окружности (С) на длину М2Н, равную ;
получим точку Н, всегда расположенную
на фиксированной прямой (О), параллель-
ной прямой (С2), проходящей на расстоя-
НИИ от прямой (С2) по другую сторону
от точки I. Из равенства отрезков СМ{
и СМ2 следует равенство отрезков CJ и СН;
значит, точка С лежит на параболе (Р)
С с фокусом J и директрисой (£)). Так как
точка М2 описывает прямую (С2) в целом,
точка Н описывает прямую (D) в целом,
а значит С описывает параболу (Р)
в целом.
68. Пусть (О') — окружность с диа-
метром AD, где AD — высота треуголь-
ника АВС. Проведем диаметр EF окруж-
ности (О), лежащий
резка ВС.
окружностей (О) и (О') суть точки пересе-
чения линии ОО' центров этих окружностей
с прямыми ЕА и ED, соединяющими концы
прямая ID проходит через F. Заметим, что если А стре-
стремится также к точке Е, a J—к точке « отрезка ОЕ
Ош = —аналогично, если точка А стремится к точке F,
о
Е
(О)
(0)
и
г
Черт. 187.
на медиатрисе от-
Центры I и J гомотетий
параллельных радиусов;
мится к Е, то точка I
такой, что - ОЕ.
о
точка I стремится также к Л, а точка J стремится к точке отрезка OF такой,
—1 —> R
что Осо' = -л- OF, Осо'(черт. 187). Проведем окружность (о) с центром со и
о о
радиусом со£ и окружность (со') с центрОхМ со' и радиусом со'/7; эти окружности
598
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
проходят соответственно через точки со' и со. Опустим из точки I перпендикуляр IH
на диаметр ЕЕ; он пересечет AD в точке Z, а окружность (со) — в точке К- Имеем
Я/ 01 , К 10'\ .К AD\ .... 4/?2(/?2-Л£2) Та
77Г~ ОО' “ ' V /o)~LV 2R ) ’ 0ТКУда HI ~ (2/? —aD)2 • Так
как НК—перпендикуляр к диаметру £V окружности (со), то НК2 = ЕН• Ни’ =
-~/ 4 „ — \ DL ЕН ОН ЕН
= EH\-gR — EH\. В силу гомотетии имеем -= , откуда -д-j —
Я _ r\xj пт г> #'AD
r2R--AD’ слеД°вательно’ 0H ~2R—AD’ L R ~ 2R—AD 2R2R—AD’
Л±Л£_.
3 3 2R—AD’
4R2
значит, НК2 — —,j--
Точка / принадлежит, следовательно,
R2~ AD2
ТЖ- a Dy
эллипсу (£]),
НЕ
откуда
о
полученному из
Н1 , г ъ
НК ~ 3’
окружности (со) аффинным сжатием (в данном случае — фактически растяжением)
к оси ЕЕ с коэффициентом сжатия, равным jA 3; в то же время точка / лежит
вне окружности (О), аналогично можно доказать, что точка J принадлежит
эллипсу (£2)> полученному из окружности (со') тем же сжатием; однако точки J
при этом лежат внутри окружности (О). Если точка А описывает окружность (О)
в целом, то точки 1 и J описывают дуги указанных эллипсов: точка / описывает
дугу эллипса (£]), расположенную вне окружности (О), а точка J — дугу эллипса (£2).
расположенную внутри окружности (О).
69. Пусть G— точка пересечения прямых С А и BD, а Н—точка пересечения
прямых AD и ВС. Тогда пучок G(C, В; /, Н) гармонический. Прямая GH—поляра
точки / по отношению к окружности (О), и, значит, GH J_ 01; но, с другой сто-
роны, 01 J_ ЕЕ; значит, GH\\ EE. Рассмотрим гармонический пучок G (С, В; 7, Н);
прямая ЕЕ пересекает прямые этого пучка в точках М, N, /ив бесконечно уда-
ленной точке; значит, / — середина MN (черт. 188).
70. Если В' и С—точки, полученные инверсией (A, k) из точек В и С, то
(черт. 189 и 190) АВ • АВ' = АС • AC' = | k |, отсюда - ; значит,
а лп'г' л лгп В'С' АВ’ d^AB' d„AB-AB'
/\АВ С ~&АСВ, поэтому -рр = -рр, откуда В С = ВС—рр — ВС-.р -р =
С. Ж С< Ж Ц, Ж lj • pl
= ВСА^С’ аналогично C'D'=CDA^AD и D'B’-DB^AAB- ВокРУг
четырехугольника ABCD можно описать окружность тогда и только тогда, когда
точки В', С' и D' расположены на одной прямой, т. е. если D'C' -ф- С' В' = D' В'
(точка С' расположена между точками В' и D', так как ABCD — в ы п у к л ы й
четырехугольник). Последнее соотношение можно переписать в виде CD |
-/1 и • U
I & I I h I
+ ВС . дс — BD г ИЛИ " АС • BD. Итак, для того
чтобы вокруг выпуклого четырехугольника ABCD можно было описать окруж-
ность, необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений противоположных
сторон была равна произведению его диагоналей (теорема Птоломея и ей обратная).
71. Необходимое и достаточное условие того, что окружность принад-
лежит данному семейству окружностей. Если окружность (О) с центром О и
радиусом R принадлежит заданному семейству (черт. 191), то OA — RY2; (1)
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 59S
касания, есть квадрат;
Соотношение (1), таким
Т
(О)
Г'
Черт. 191.
R
—
£1
А
Д
Г
Черт. 192.
обратно, если для окружности с центром О и радиусом Я выполнено соотноше-
ние (1), то четырехугольник, образованный касательными, проведенными из точки А
к окружности (О), и радиусами, проведенными в точку
значит, окружность (О) принадлежит заданному семейству,
образом, есть необходимое и достаточное условие того,
что окружность с центром О и радиусом R принадлежит
заданному семейству окружностей.
1°. Окружности (О), проходящие через данную
точку В, Для того чтобы окружность, проходящая через
данную точку В, принадлежала данному семейству, необхо-
димо и достаточно, чтобы ОА = ОВуг 2 или —
Геометрическое место центров О окружности данного се-
мейства, проходящих через точку В, есть, таким обра-
зом, геометрическое место точек, отношение расстояний
каждой из которых до точек А и В равно У 2. Это
окружность (Г), имеющая центр на прямой АВ, точки пе-
ресечения которой с прямой АВ строятся, например, так
(черт. 192): пусть АВС — равнобедренный прямоугольный треугольник (В — прямой
угол); проведем биссектрисы внутреннего и внешнего угла С; эти биссектрисы
пересекут АВ в точках Р и Q, в которых окружность (Г) пересекает прямую АВ.
Пусть £2— центр (Г); треугольник АС£2— прямоугольный и равнобедренный; эта
окружность (Г) касается АС в точке С. Точки прикосновения Т u Т' получаются
из точки О (черт. 191) подобиями ^А, + y) И (^’ —7") ^е°метри-
ческие места этих точек состоят из двух окружностей, полученных из (Г) этими
подобиями. Треугольник А 0-2 подобием ^А, y- .J ’ —“j преобразуется в треуголь-
ник АВСГ, где С' — точка прикосновения к окружности (Г) второй касательной,
проведенной из А. Значит, одна из окружностей (геометрическое место точек Т')
есть окружность с центром С', проходящая через В (эта окружность касается
прямой АВ в точке В); другая окружность симметрична этой относительно АВ.
2°. Окружности, касающиеся данной прямой. Для того чтобы окружность,
касающаяся (Д), принадлежала данному семейству, необходимо и достаточно,
чтобы отношение расстояние от ее центра до
(Г) точки А к расстоянию от центра до прямой (Д)
было равно У 2. Геометрическое место центров О
окружностей (О), касающихся прямой (Д), есть, сле-
довательно, гипербола (Н) с фокусом А и соответ-
ствующей этому фокусу директрисой (Д). Пусть
л В — проекция точки А на прямую (Д). Тогда вер-
* шины Р и Q гиперболы (Я) строятся так же, как
точки Р и Q на чертеже 192; (Я) — равносторонняя
гипербола.
Окружности семейства, касающиеся двух
данных прямых: (Д)и(А'). Для того чтобы окруж-
ность данного семейства, касающаяся (Д), каса-
лась бы и (Д'), необходимо и достаточно, чтобы
ее центр лежал на любой из биссектрис углов
между прямыми (Д) и (Д') или на прямой, находящейся на равных расстояниях
от (Д) и (Д'), в случае, если эти прямые параллельны. Таким образом, вопрос
о нахождении окружности семейства, касающейся прямых (Д) и (Д'), сводится
к нахождению точек пересечения прямой с равносторонней гиперболой (Я).
3°. Вычисление . Приложение. Сразу находим —= 2, поэтому, если
АН АН
известна точка Я, можно построить точку О, продолжая отрезок АЯ за точку Я
на расстояние, равное его длине. Радиус искомой окружности семейства равен
стороне квадрата с диагональю АО.
4°. Радикальная ось двух окружностей рассматриваемого семейства.
Для того чтобы доказать, что эта радикальная ось есть медиатриса отрезка НХН2,
достаточно доказать, что центр I окружности (АНХН2)— точка, лежащая на этой
медиатрисе, имеет одинаковую степень относительно окружностей (01) и (02).
Точка Нх— есть основание поляры точки А относительно окружности (Oj). Значит,
точки А и Я] делят гармонически тот из диаметров этой окружности, который
лежит на прямой АЯь окружность (АНХН2), проходящая через точки А и Яь сле-
довательно, ортогональна окружности (ОД; аналогично она ортогональна и
600 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
to, расположенная на медиатрисе
и так как ее сте-
ее степень относительно окруж-
окружности (О2). Значит, центр I этой окружности имеет одну и ту же степень
относительно окружностей (04 и (О2) (квадрат ее радиуса).
5°. Геометрическое место точек А/, если окружность (О) остается орто-
гональной данной фиксированной окружности. Пусть (OJ — какая-нибудь
фиксированная окружность рассматриваемого семейства, ортогональная окруж-
ности (со) радиуса р, а (О) — произвольная окружность
данного семейства, ортогональная (w); пусть Oi и
О — центры этих окружностей, а Нх и Н—середины
отрезков АОХ и АО. Точка имеет одну и ту же сте-
пень р2 относительно каждой из рассматриваемых
окружностей, лежит на их радикальной оси, а также на
медиатрисе отрезка (см. 4°); значит (черт. 193),
co/Zj = ыН, откуда следует, что точка Н расположена
на окружности с центром о, проходящей через
точку Н{. Обратно: пусть Н—какая-нибудь точка этой
окружности, а (О) — соответствующая окружность се-
мейства; тогда точка со, расположенная на медиатрисе
отрезка НХН, имеет одну и ту же степень относи-
тельно окружностей (OJ и (О),
пень относительно окружности (OJ равна р2, то ---------
ности (О) также равна р2; значит, окружности (О) и (04 ортогональны. Таким
образом, если окружность (О) данного семейства меняется, оставаясь ортогональ-
ной окружности (to), то геометрическое место точек Н есть вся окружность
с центром to. Чтобы уточнить положение этой окружности, достаточно построить
одну ее точку. Пусть Е—одна из точек, в которой окружность (w) пересекает
прямую Асо. Построим одну из точек //, соответствующую окружности семейства,
ортогональной окружности (со) в точке Е. Эта окружность должна касаться пря-
мой Аю в точке Е и должна быть вписана в прямой угол с вершиной А; значит,
она должна касаться любой из полупрямых, выходящих из А и перпендикуляр-
ных Асо; пусть Ал — такая полупрямая; точка Т прикосновения окружности (О)
с Ах такова, что АТ = АЕ; точка Н—середина ТЕ.
За мечание. Нетрудно вычислить радиус этой окружности. Пусть О — центр,
a R — радиус окружности семейства, соответствующей построенной точке И;
точка Н—середина О А. Из треугольника АсоО, применяя теорему о медиане, по-
лучим со А2 + ^О2 = 2ыН2 2А//2; полагая со A = d, в силу ортогональности окруж-
ностей будем иметь соО2 = R2 4- р2, откуда d2 + R2 4- р2 = Ъ^Н2 4- R2, следова-
/*4/21 р2
тельно, (лН=у ---------. Геометрическое место центров О получается из геоме-
трического места точек /Т гомотетией (А, 2).
Черт. 194.
72. Изучение фигуры, образованной окружностями («), (g), (у), касаю-
щимися внешне друг друга и имеющими общую внешнюю касательную.
1. Построение (у), если известны (а) и (3). Произведем инверсию
(Р, PQ2 — 4d2). Окружность (3) остается инвариантной так же, как и общая внеш-
няя касательная (Д); окружность (а) преобразуется в прямую (о), параллельную (Д)
и касающуюся окружности (3) в точке Q', диаметрально противоположной Q на
окружности (?) (черт. 194). Искомая окружность (у) преобразуется, вообще говоря,
в окружность (Г), касающуюся (?), (Д) и 0). Эта окружность (Г) равна окруж-
ности (£) и касается окружности (3) по одну или по другую сторону в точках и
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 601
и и!, расположенных на диаметре окружности (3), параллельном (А). Имеется, сле-
довательно, вообще говоря, два решения: (7) и (7'). Окружности (Р) и (Г')
касаются 0) соответственно в точках v и и', а (А) — в точках т и 4 таких, что
Q'v — Q'v' ~ Qt = Qt' = 2Р2- Построим центр С окружности (7). Прямая Pv вто-
рично пересекает (а) в точке И, а прямая Ри вторично пересекает (3) в точке U,
Центр С есть точка пересечения А У и BU. Центр С' окружности (7') строится
аналогично. Построение точек Т и Г прикосновения просто.
Исследование. Существуют две окружности: (7) и (7'), если точки тит'
отличны от Р. Одна из точек т или т' совпадает с Р, если окружности (а) и (3)
равны; в этом случае существует только одна окружность (7), а вторая выро-
ждается во вторую общую внешнюю касательную (о) к (а) и (fl).
ТР Т'Р
Вычисление отношений и Заметим, что т и V симметричны от-
TQ TQ
носительно Q; значит, их образы Т и Т' в инверсии
(Р, 4гР) гармонически сопря-
ТР
Tq'
РТ (2d 4 2R2) ™ 4г/2, откуда
г. Т'Р
жены с Р и Q, т. е.
T'Q
РТ А
Так как 7 —образ т в инверсии (Р, 4г/2), то
TQ = PQ~PT^™^.
РТ
2d2
d-\~R2 И
ГР ТР d
Окончательно - -.. -- ---- = —.
T'Q TQ R2
Соотношение между радиусами (а), (3) и (у). Рассмотрим прямоугольную
трапецию, образованную центрами” А и В окружностей (а) и (3) и их точками при-
косновения Р и Q к (А). Имеем АВ2 ~ PQ2(АР—BQ)2, откуда (Р{-р Р2)2 ;;
4г/2 (Ri — R2)2 4г/2---4Р(Р2; аналогично, рассматривая пары окружностей
(3), (?) и (7), О), найдем: Р72 = 4/?1/?3, TQ2 = 4R2R3. Итак, PQ = 2 V'R^R2,
PT = 2V’RiR3, Q'r^2V'R2R3. Так
мой, то PQ = ] РТ ± TQ\, или
VRJb = | V'R~R3 ± VR^R3 !, пли
_U|-4-U (i)
VRz I VK VRi I
Окружность, проходящая
через /7, V, U\ V\ Рассмотрим
четырехугольник vuu'v', образо-
ванный точками прикосновения (Г)
и (Г') с (3) и (о). Ясно, что фигура
vuu'v' — равнобочная трапеция,
а потому вокруг нее можно описать
окружность. Образы точек и, и,
и', v' в инверсии (Р, 4г/2), т. е.
точки /7, И, /7', V' также будут
лежать на одной окружности. Вы-
UU'. VV'
ражение ц-у—^гут инвариантно
во всякой инверсии*, значит,
в частности, и в инверсии (Р, 4г/2);
UIJ'. VV'
следовательно,
IjV • U V
как точки Р, Q и Т лежат на одной пря-
... = _............4. Черт. 195.
LLV • u'v' р2 Y 2 • Р2 У 2
II. В этой части окружности (а) и (8) изменяются так, что, с одной стороны,
внешне касаются друг друга, а с другой стороны, касаются фиксированной пря-
мой (А) в фиксированных точках Р и Q. При этом мы будем рассматривать окруж-
ности (а) и (fl), расположенные только с одной стороны от прямой (А).
Г. Геометрическое место точки W и огибающая АВ. В инверсии (Р, 4г/2)
точка U7 инвертируется в ючку Q', диаметрально противоположную Q на (fl).
Геометрическое место точек Q' есть полупрямая, перпендикулярная в точке Q
прямой (А). Значит, геометрическое место точек W есть полуокружность с диа-
метром PQ (черт. 195). Эта полуокружность ортогональна окружностям (а) и (3)
в точках Р и Q (см. черт. 194), а значит, она ортогональна им в точке 17 и
I k I
* Это сразу следует из формулы А'В' = АВ f определяющей длину А'В'
образа отрезка АВ в инверсии (О, k) (см., например, задачу № 70 этой главы).
602
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
касается их линии центров АВ. Таким образом, огибающая прямых АВ есть полу-
окружность, являющаяся геометрическим местом точек W.
2°. Фиксированная точка WT. В инверсии (Р, 4d2) прямая WT преобра-
зуется в окружность, проходящую через полюс инверсии Р, через точку Q', полу-
ченную инверсией W, и через точку т, полученную инверсией Т. Эта окружность
вторично пересекает прямую QQ' в точке (о такой, что QP - Qt = QQ' - Q<o; но
Qt = QQ' 2Р2), значит, wQ = QP; треугольник PQ(o поэтому равнобедренный.
Отсюда следует, что прямая WT проходит через точку £2, полученную из со в ре-
зультате инверсии (Р, 4<Р), — это точка пересечения Ро> с полуокружностью, сим-
метричной относительно (Д) той полуокружности, которая является геометрическим
местом точек W; аналогично для окружности (у'), прямая WT' проходит через
точку £2', симметричную £2 относительно (Д). Итак, прямые WT и WT' проходят через
фиксированные точки £2 и £2' •— середины дуг полуокружностей с диаметром PQ.
3°. Огибающая окружностей (у). Рассмотрим снова окружность (Р), полу-
ченную из (7) инверсией (Р, 4<Р). Если (£) изменяется, эта окружность (Р) остается
гомотетичной любому из своих положений, так как ее центр описывает полупря-
мую, выходящую из точки Q и образующую с (Д) угол 9 = arctg Следовательно,
огибающая окружностей (Г) состоит из полупрямой (Д), ограниченной точкой Q,
4
и другой полупрямой (Д^, выходящей из Q и образующей с (Д) угол 20 = arctg .
о
Отсюда следует, что огибающая окружностей (у) состоит из отрезка PQ и дуги
окружности, ограниченной точками Р и Q и пересекающей (Д) под углом 20;
центр 0] этой дуги есть точка медиатрисы
отрезка PQ, расположенная под прямой (Д)
Черт. 196.
и такая, что Ooj — ^d (О — середина ог-
5
резка PQ); радиус этой дуги равен d,
касательная к этой дуге в точке Q есть
полупрямая (Д^, симметричная (Д^ отно-
сительно QB. Аналогично рассуждая по
отношению к (у'), приходим к выводу, что
огибающая окружностей (у') состоит из всех
точек прямой (Д), лежащих вне отрезка PQ
и дуги (oj) окружности, ограниченной точ-
ками Р и Q и касающейся в точке Q пря-
мой (Д]); эта дуга симметрична относи-
тельно (Д) дуге, дополняющей до полной
окружности дугу (nJ. Итак, огибающая (у)
и (у') состоит из всей прямой (Д) и дуг (б/)
и (о^ двух указанных окружностей.
Геометрическое место центров С.
Пусть (tfj— прямая, параллельная (Д) и
расположенная на расстоянии -у от (Д)
над этой прямой. Если точка прикосно-
вения (у) с (oj) есть то СТ = Су.,
bd „
ojp, == —j--; мы видим, что расстояния от С
до точки oj и до прямой (l/J равны между собой; значит, точка С лежит па параболе
с фокусохм сд и директрисой (б/!). Геометрическое место точек С есть дуга этой
параболы, расположенная над прямой (Д) и ограниченная точками Р и Q. Анало-
гично доказывается, что геометрическое место центров С' окружностей (у') обра-
зовано двумя дугами параболы [расположенными над прямой (Д)] с фокусо.м Oj
и директрисой где о1 и (d^ симметричны о и ) относительно (Д). Если мы
рассмотрим параболу (г.) с фокусом oj и директрисой (dj, то в целом геометри-
ческое вместо центров окружностей (у) будет состоять из дуги этой параболы,
расположенной над (Д), и дуг, симметричных относительно (Д) тем, которые рас-
положены под прямой (Д).
4°. Огибающая окружности, вписанной в треугольник АВС. Окружность,
вписанная в треугольник АВС, есть окружность UVW. В инверсии (Р, 4<Р) эта
окружность преобразуется в окружность, проходящую через точки и, v, Q'; эта
окружность касается в точке Q' прямой QQ' [прямую QQ' будем в дальнейшей
называть прямой (Д') — черт. 196]. Геометрическое место центров окружностей (uvQ')
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
603
есть полупрямая (X), образующая с (Д') угол 6' = arctg~; значит, ее огибающая
состоит из полупрямой QY и другой полупрямой (XJ, образующей с QA' угол
20' = arctgy — это продолжение полупрямой orQ. Отсюда следует, что огибающая
окружностей, вписанных в треугольник АВС, состоит из полуокружности с диа-
метром PQ и дуги окружности, ограниченной точками Р и Q, касающейся
в точке Q прямой X{Q. Эта дуга (/j) имеет центр F\, расположенный на медиат-
4 5
рисе отрезка PQ под прямой (Д), причем OEi ~ d; радиус этой дуги равен у d;
аналогично, огибающая окружностей, вписанных в треугольник АВС, есть полу-
окружность с диаметром PQ и дуга окружности с центром симметрич-
ным Е\ относительно (Д), проходящая через точки Р и Q [берется дуга над (Д)].
Геометрическое место центров /. Окружность, вписанная в треуголь-
ник АВС, касается одновременно дуги (/Э и полуокружности с диаметром PQ.
Геометрическое место / ее центров есть, следовательно, дуга эллипса (£) с фоку-
сами О и Flt большая ось которого у d. Аналогично окружность’ вписанная
в треугольник АВС, касается одновременно дуги и полуокружности с диа-
метром PQ; геометрическое место ее центра есть
/ 8
и F^ и большей осью ~^d. Итак, геометрическое
эллипса (£) с фокусами О и F{ и большей
g
осью —- d, расположенной над прямой (Д), и части,
о
симметричной относительно (Д) дуге этого эллипса,
расположенной под прямой (Д).
Фиксированная точка С/. Точки U, V, Q
преобразуются инверсией (Р, 4d2) в точки и, v, Q,
расположенные на одной прямой — биссектрисе
угла (Д, Д'). Значит, точки Р, U, V, Q располо-
жены на одной окружности, центр которой есть
точка 12, в которой медиатриса отрезка PQ пере-
секает прямую Quv (черт. 197). Медиатриса от-
резка UV проходит, следовательно, через точку 12,
но эта медиатриса есть прямая CI— биссектриса
угла АСВ; значит, прямая CI проходит через
фиксированную точку 12. Аналогично, рассматри-
вая точки Р, U', V', Q' и прямую СР, установим,
что СГ проходит через фиксированную точку 12'.
Прямые CI и СГ проходят через фиксированные
точки 12 и 12', которые мы уже имели в п. 2°.
5°. Огибающая прямых АС и ВС. Так как
точки Р, U, V, Q лежат на одной окружности, то
медиатрисы отрезков PV и QU суть прямые А12
и В12. Значит, А К и BU симметричны, прямым
АР и BQ относительно прямых А12 и BQ, прохо-
дящих через фиксированную точку 12. Расстояния от точки 12 до АС и ВС,
постоянны и равны d; эти прямые АС и ВС, следовательно, касаются
ности (12) с центром 12 и радиусом d. Прямая АС огибает четверть OQj
пости, прямая ВС—четверть ОР{; аналогично прямые АС' и ВС' касаются
ности (12') с центром 12' и радиусом d. Огибающая АС' — дуга а огибающая
ВС' — дуга OQtP^ каждая из этих дуг равна трем четвертям полной окружности.
6°. Огибающая прямых IU и IV. Прямые АС и У12 симметричны прямым
АР и 12Р относительно 12А; значит, угол между ними равен (mod те). Но IV±AC;
значит, прямые IV и АС симметричны относительно 12 V. Значит, расстояние от 12
до IV равно расстоянию от 12 до АС; оно, значит, постоянно и равно d; прямая IV
также касается окружности (12). То же самое можно повторить и относительно
прямой IU. Итак, прямые IU и IV касаются окружности (12), Огибающая пря-
мых IU—четверть OQ{ дуги окружности (12), огибающая IV—четверть ОРХ дуги
этой окружности. Аналогично устанавливаем, что прямые ГU' и PV' имеют оги-
/ ' / / 3
бающими дуги QXPXO и OQ^P^ окружности (12'), каждая из которых составляет
полной окружности.
дуга эллипса (Е') с фокусами О
место
точек
/ состоит из
части
(О')
(Й )
W
и
Q
(Q)
Черт. 197.
(А’>
О,
в
с/1
значит,
окруж-
окруж-
окруж-
604
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
7°. Огибающая прямых EL и GN, AC ± IV; значит, V—вершина квадрата,
описанного вокруг окружности (Q); NG, следовательно, — сторона квадрата, вписан-
ного в эту окружность так же, как и EL. Значит, прямые NG и EL касаются
окружности (QJ, концентричной (Q) и радиуса Аналогичны и результаты
для N'G' и E'L'; они касаются окружности концентричной (£') и
d ~ х
радиуса —— . В соответствии с границами огиоающих, найденных выше, заклю-
чаем, что огибающая прямых NG и EL есть четверть окружности (QJ, ограни-
ченная радиусами Q.P и QQ, а огибающая N'G' и E'L' составляет полной
окружности ограниченной радиусами Q'P и Q'Q.
III. Г. Необходимое и достаточное условие того, что треугольник АВС
есть треугольник (Т). В части I мы видели, что для этого необходимо и доста-
точно, чтобы
1 = 1 1 + 1 |
~ /я? ~ /я; г (}
Этим соотношением связаны длины 4” /?2, #2 + ^3 и ₽3 + Ri сторон тре-
угольника (7). Так как возможны все комбинации знаков, заключающие в себе
один знак минус, то (1) эквивалент но соотношению
+ + _______1_____1
\/7?3 /7?, VRP
X _________U+-М t-L+-1________________M=0
Wr3 V/?7 Vr2)\Vr3 /7?; VrJ
или
/ 1 1 1 \2 4
U?T~ 7?Г“яГ/ “ Х7?Г = 0' (Г)
Обозначая через г радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, имеем
г=Ri tg 4=т?2 *g 4=tg 4 •
Значит,
1 1 1 АВС
R1 ’ R2 Ri ~ S 2 •tg 2 • 2 2
и (Г) эквивалентно соотношению
Л С . А t в\2 А. В а
(tg^--tg?-tg _4tgytgT = 0. (1")
Но в любом, треугольнике tgtg-у-4~ tg-и-tgtgtg-у — 1. Отсюда и
из (1") находим *
4 В С
tg y + tg T + tg-^- = 2. (2)
Обозначая через rb r2, г3 радиусы окружностей, вневписанных в треуголь-
А В С
ник АВС, будем иметь: /4 ~ р tg -у-, г2 = р tg -?у , r3 = ptg^-, откуда и из (2)
Г1 + г2 + = 2р.
2°. Определение углов ( Г), если известно отношение -- ~ k. Положим
^i^tgy, ^2 = tg-|-, ^з-tgy. Тогда + 1^2 4- t2tz 4~ /3/1 = 1.
* Сначала получим tg2 4- tg2 4~ tg2 = 2, затем
tg24+(s24 Ttg2 f-+2tg4tg4+2tgTtgT+2tgTtg4=4
и т. д.
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
605
п , , , < А . & С Г Г
Далее: = tg у tg tg
рг3 рг3 г т.
— ~ . Если известно отношение
s2 р2г2 р
г __ ____________г3
р —с ~ '(р — а)(р — ЬЦУ-с)~ =
Г
— = k, то tly t2i t3 — корни урав-
нения
t3 _ 2/2 _j_ t ki (3)
где t > 0.
Исследование. Рассмотрим функцию
y = t2 — 2t2 + t. 1) Если 0</<1 то она
и
4 1
возрастает от 0 до 2) если 1,
2 / о
4
то она убывает от до 0; 3) если />1, то
она возрастает от 0 до 4~со (черт. 198).
4
Значит, если 0 < k < , прямая у = k пере-
секает кривую у = /3 'It2 -4- t в трех различ-
ных точках; абсциссы t{, /2, /3 точек пересечения
удовлетворяют неравенствам 0 < < t2 <
<3
при этом два
, 4 п
В — -. Если
3 3
Г4 л
— абсцисса точки
корня совпадаютj. Если
4
k > 27 > прямая у ~ k пересекает кривую (С) только в одной точке
4
у =27 11 кривой (С),
, . 1
имеется двойной корень = г2 = ,
пересечения прямой
‘“27
с абсциссой, большей -х . Задача, значит, возможна, если 0 < k < ~=. В этом слу-
о 2/
чае углы А, В, С определены тангенсами их половин. Из предыдущего следует,
X П О 1 л С 1 В тс А
что если мы будем считать С < В < A, чо $ < -— < arctg < "4 < 2 *^
4 1 тс 4
< arctg -Q- или 0 < С < 2 arctg -5- < В < -- < А <2 arc tg v •
о о 2 о
Треугольник (Г) равнобедренный. Треугольник (Г) равнобедренный тогда
4
п только тогда, когда уравнение (3) имеет двойной корень; это будет при k = х? .
1 4
Углы треугольника АВС в этом случае таковы: С = В = 2 arctg -х-, А = 2 arctg -х .
о о
33 Новая форма необходимого и достаточного условия того, что тре-
угольник АВС есть треугольник (Т). Соотношение (2) можно переписать так:
Г . Г г Q
----- -------_j--------— j, или
р — а р — о р — с
Ьс Д- са ab — р2 __
(Р — а)(р — Ь) (р — с)
(4)
Но рг = Ур (р — а)(р — Ь) (р — с); значит, рг2 = (р — а)(р — Ъ)(р — с) —
~ р (Ьс 2- са ab — р2) — abc, а так как abc = 4Rs = ^Rpr, то be са -j- аЬ — р2 =
-r(4R-[~r). Соотношение (4) принимает вид г = 2 или 47?-{-г = 2/?.
Это необходимое и достаточное условие того, что треугольник АВС есть тре-
угольник (Г).
73. I. а) Геометрическое место точек М таких, что (МВ, МС) = a ^mod .
Заметим, что если в плоскости фиксированы точки В и С, то геометрическое место
точек таких, что (МВ, МС) = a (mod тс), где (МВ, МС) — ориентированный угол
от неориентированной прямой МВ до неориентированной прямой МС> а а —данный
угол, есть, вообще говоря, окружность (Г), проходящая через точки В и С и
касающаяся прямой СТ такой, что (СВ, СТ) = a (mod тс). Рассмотрим теперь
в той же плоскости точки М такие, что
(МВ, МС) = a fmod ™
(1)
606
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
где п—данное целое положительное число. Соотношение (1) равносильно следующему:
(МВ, МС) = а 4- k ~ , где k — какое угодно целое число. Каждому значению k
соответствует окружность (Гк), проходящая через В и Си касающаяся прямой CTk
такой, что (СВ, CTk) = а k — (черт. 199). Двум различным
^>**"**^44 значениям и k2 соответствует одна и та же окружность,
< если ^2 — ki = 0 (mod п). Мы видим, что достаточно дать
для k следующие значения: 0, 1, 2, п—1, чтобы полу-
rR) / I \ чить полностью все геометрическое место.. Оно состоит,
\ таким образом, из п окружностей (Гк), проходящих через
11 В и С и касающихся прямых CTk(k = 0, 1, 2, п—1),
S таких, что (СВ, CTk) = а ( mod — ). Если для какого-нибудь
----——v n'k-
.л значения k мы будем иметь a-j—— = 0, то соответствую-
/ щая окружность вырождается в прямую линию.
/Ти б) Определение точек М таких, что (AIZ?, МС) —
7 л/ .я\ МС 1 ч
O mod и . На основании а) геометри-
Черт. 199. \ п) МВ 2
ческое место точек М таких, что (МВ, МС) = 0 ^mod —'j
состоит из прямой ВС и и—1 окружностей (Г/?), проходящих через В и С и
касающихся CTk в точке С, причем (СВ, CTk) — (& = 1, 2,..., п—1). Гес-
,, МС 1 /пч
метрическое место точек /И таких, что -jpg ~ ~2 есть окружность (Ч), имеющая
диаметром отрезок IJ прямой ВС, заключенный между точками / и J такими, что
ТС JC 1
•— = -—. Точка I симметрична В относительно С, a J находится на от-
ZB JB 2
резке ВС и отстоит от точки С на расстоянии одной трети ВС (черт. 200). Искомые
точки М суть точки пересечения ВС и окружностей (Гk) с окружностью (Ч).
Прямая ВС пересекает (Q) в точках / и J; точка /.лежит вне каждой окруж-
ности (Г^), a J—внутри; значит, (<2) пересекает каждую из окружностей ([\)
в двух точках. Мы получаем окончательно 2п
искомых точек, лежащих на (Q). ^****“^*4.
Многоугольники Pi и Рр, Если мы соеди-
ним найденные^очки последовательно в том по- \ \
рядке, как мы‘их встречаем на окружности (<2), f U/f) \М
описывая ее в произвольном направлении, то мы [ х***|**\.
получим выпуклый многоугольник Pi, вписанный I уГ I
в окружность (Q). Пусть Мо, Mj, М2, ..., M2„_j— \ f / \
последовательные вершины этого многоугольника. \ ______[J у
Если мы будем соединять точку Л40 с точкой Мр, |
затем с точкой М2р и т. д., то получим звездча- & ** ]
тый многоугольник, вписанный в окружность (L2). У
Выбор р, при котором Pi и Рр будут иметь /j
одинаковое число сторон. Рассмотрим много-
угольник Рр, его вершина номера X (Л40 — нуле- ц
вая, Мр — первая и т. д.) есть М}р, и мы впервые черт. zuu.
вернемся к MQ тогда, когда \р есть наименьшее
общее кратное чисел р и 2п. Следовательно, как известно из арифметики, X есть
частное от деления 2п на наибольший общий делитель р и 2п. Следовательно,
для того чтобы Рр имел то же число сторон, что и Рх, необходимо и достаточно’
чтобы числа р и 2п были взаимно простые, т. е. их наибольший общий делитель
был равен 1. Но соединяя точки М в порядке 7И0, Мр, М2р, ... и соединяя их
в обратном порядке Мо, М2п__р,..., мы получим тот же многоугольник. Значит,
можно считать, что р меньше половины п от 2/z. Итак, для того чтобы Рх и Рр
имели одинаковое число сторон, необходимо и достаточно, чтобы числа р и 2п
были взаимно-простые и р < п.
в) Инверсия, преобразующая точки М в вершины М' правильного много-
угольника. Окружности (Pk), проходящие через точки В и С, сопряженные
точкам / и J, ортогональны окружности (L). Произведем инверсию с полюсом В
и степенью BI • ВТ. Окружность (Q) инвариантна в этой инверсии, а окружности (Tk)
преобразуются в прямые, ортогональные к (2), т. е. в ее диаметры. Далее, эти
диаметры должны быть параллельны касательным CTk в точке С к окружностям (Tk)',
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
607
„ тс
но эти касательные образуют последовательно углы, равные и значит прямые,
в которые преобразуются окружности (Г&), образуют между собой последовательно
равные углы. Значит, точки Л4, преобразующиеся в концы диаметров окружности (Q)
7С
образующих последовательно углы — , являются вершинами правильного 2/г-уголь-
ника, вписанного в (Q). Таким образом, выпуклому многоугольнику соответствует
Черт. 201. Черт. 202.
выпуклый правильный многоугольник Qi, а звездчатому многоугольнику Рр соот-
ветствует звездчатый правильный многоугольник Qp, имеющий вершинами точки М'.
В случае п = 6 единственное число, меньшее п и взаимно-простое с ним, есть 5.
На черт. 201 и 202 изображены Ръ P5t Qi и Q5.
И. а) Геометрическое место центров окружностей, вписанных и вне-
вписанных в треугольник АВС.
Если точка А описывает окружность (Г), проходящую через фиксированные
точки В и С, то (ЛВ, АС) = a (mod л), где а — постоянный угол. Центры I. 1а,
1Ь, 1С окружностей, вписанных и вневписанных в треугольник АВС, суть точки
пересечения биссектрис внутренних и внешних углов треугольника АВС. Бис-
сектрисы 0) угла В определяются соотношением (ВА, ВС) = 2 (о, ВС) (mod тг),
а биссектрисы 0') угла С — соотношением (ВС, СА) = 2 (ВС, ол) (гпоб к). Если
точка М лежит на пересечении (5) и 0'), то мы имеем (складывая) (АВ, АС) —
— 2 (МВ, МС) (mod ~), откуда (МВ, МС) — ~ (АВ, AC) ^mod или
(MB, MC) = -^(mod -j). (2)
На основании I, а), геометрическое место точек М, удовлетворяющих усло-
вию (2), состоит из двух окружностей: (Со) и (С}), определяемых соотношениями
(Со) (МВ, МС) = (mod Ч
(G) (MB, МС)=~ + ~ (mod п).
Окружности (Со) и (CJ проходят через В и С и касаются в точке С пря-
мых СТ0 и С7\, которые определяются равенствами (СВ, С1\) = ~ (mod z),
(СВ, С1\) = ™ (mod -.). Это прямые, соединяющие точку С с серединами «0
и coj дуг (Г), на которые эта окружность (Г) разделяется хордой ВС. Точки о)0
и «j суть центры окружностей (Со) и (СЦ, и эти окружности ортогональны.
Выделение из (Со) и (CJ геометрического места центра вписанной окруж-
ности и геометрических мест центров вневписанных окружностей в тре-
угольник АВС. Легко проследить по непрерывности, что описывают точки /, 1а,
1Ь, 1С на найденном геометрическом месте в целом. Для этого следует заметить,
что если точка А описывает дугу С«0В окружности (Г), то биссектриса внутрен-
него угла А вращается вокруг точки «], а биссектриса внешнего угла А вращается
вокруг со0, в то время как, если А описывает дугу BcdjC окружности (Г), бис-
сектриса внутреннего угла А вращается вокруг о>0, а биссектриса внешнего угла
608
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
А — вокруг сор На чорт. 203 сплошной линией выделено геометрическое место
центров вписанных окружностей. Пунктиром вида —--------обозначено геометри-
ческое мес. о точек 1а, пунктиром----------------------обозначено геометрическое место
точек Ibi а пунктиром--------------обозначено геометрическое место точек 1С.
Заметим, что части дуг ограничены точками Во, Со, Вь в которых окруж-
ности (Со) и (CJ пересекаются прямыми, проходящими через В и С перпенди-
кулярно ВС.
б) Построение треугольника АВС, если дано ВС, описанная окружность
AfB .. ЛЯ
и отношение — т, где М— центр окружности, вневписанной в угол А
треугольника АВС. Зная сторону ВС и окружность (Г), описанную вокруг
треугольника АВС, на основание п. а) можно построить геометрическое место
Черт. 203.
точек М центра окружности, вневписанной в угол А треугольника АВС (черт. 204) —
это две дуги: одна В0С0 окружности (Со) с центром со0 и радиусом «0В0 и дру-
гая BjCj окружности (С}) с центром cdj и радиусом [берутся дуги вне (Г),
заключенные между перпендикулярами к ВС в точках В и С]. С другой стороны,
МВ
известно, что т = — второе
МС
ность (9), диаметром IJ которой
. Тс JC
и J такими, что --= —------= т.
IB JB
геометрическое место точек М есть окруж-
является отрезок прямой ВС между точками /
Если точка Мх — точка, общая для ВХС^ и (Q),
то прямая «о,Mi пересекает (Г) во второй точке Аь которая есть искомая вершина.
Аналогично, если Мо есть точка пересечения В0С0 и ((2), то прямая <о0А[0 пере-
секает (Г) во второй точке Ао, которая также искомая вершина. Имеется, таким
образом, столько решений, в скольких точках (Q) пересекает дуги В0С0 и В}С}.
Исследование. При исследовании будем предполагать, что 0 < т < 1 и что
cdj — середина наименьшей дуги (Г), расположенной под хордой ВС; в этом случае
угол Z В<^С острый, который мы обозначим через а. Заметим, что BY — точка,
диаметрально противоположная точке В на (CJ; если М} описывает B^j, то отно-
А1]С ,
шение ~М В К0Т0Р0М числитель растет, а знаменатель убывает) будет возрастать
В,С а
и, значит, минимум этого отношения -оЧ? = sin -у. Аналогично точка Во диаме-
D । D L
трально противоположна точке В на (Со); если Л40 описывает В^С0, то отноше-
А40С
ние ~М~В ' В К0Т0Р0М числитель растет, а знаменатель убывает, будет расти, и,
ВС а.
значит, минимум этого отношения равен = cos . Мы видим, что если
ljqD 2
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
609
тп < sin у, то (Q) не пересекает В^СХ;
значит, решений нет; если tn, — sin
а
Т’
то (Q) пересекает ВХС} в точке В/, этому случаю соответствует треугольник,
выродившийся в отрезок ВС; если sin ~ </n<cos-^~, то (Q) пересекает BiCb
но не пересекает В0С0; значит, имеется только одно решение; если яг = 008-3-,
то (£) пересекает Вр4 (это будет настоящий треугольник) и проходит через Во
(что дает решение, выродившееся в отрезок ВС); наконец, если cos < тп < 1,
то (Q) пересекает В^СХ и В^С0, что дает два решения АХВС и А$ВС.
в) Тригонометрическое решение треугольника АВС; дано ВС = а, радиус R
А1С
описанной окружности (Г) и отношение == т, где ЛИ —центр окружности,
вневписанной в угол А треугольника АВС. Достаточно подсчитать углы тре-
угольника АВС, так как значение радиуса R описанной окружности сразу позво-
ляет определить и стороны b = 2/? sin В, с = 27? sin С. Углы треугольника АВС
л I г-» I /'’ «Л О' В С
удовлетворяют соотношениям А + В 4~ С = л; sin А = ; cos : cos = т
(последнее соотношение получается, если использовать теорему синусов для тре-
угольника МВС). Предположение я <27?, конечно, имеет место [ибо ВС есть
хорда (Г)], и мы видим, что соотношение sin А = позволяет определить два зна-
чения для А: одно А = а, где а — острый угол, другое А = п — а. Остается опре-
делить В и С. Имеем: В + С = тс — а, cos : cos -у = т; отсюда
В С СВ с , в
COS COS -у COS ----COS -х- COS + COS "ту
m ~~ 1 ~ 1 — m ~~ 1 -j- tn ’
или
C + B C-B ~ i C В 4 C-B
2 cos-j cos ——----- 2 sin £---sin-------
______4 4 ____________4_________4
14“m ~~ 1 — m ’
откуда
m — 1
С — В m— 1 C 4- В n , D . . С—В
tg—?— = 7777 ctg —j—, а так как C + B = r.~- А, тр tg—— =
.z A \ _ m — 1 / тс . A \
4 4 / ~ m 4~ 1 \ 4 "T" 4 /
тс TC
Если мы обозначим через £ угол, заключенный между —4 и так°И' чт0
_ т — 1 /тс А\ п D С—В
” ягРПГ ’ Т0 Так как И ° меньше тс, то —~— = р, откуда
С— В~ 4р, и так как С — В = тс — А, то С = у — -^4-2£, В = ~—~ —-2р.
Углы А, В, С найдены, и треугольник решен.
Исследование. Будем предполагать, что 0 < т < 1 ^напомним, что а — острый
угол такой, что sin а — • Возьмем сначала А = а. Мы имеем: С = ~ ~ 4- 2£,
В = —2р, tg 3 = 2|_у- tg^~ + • Угол р отрицательный, ибо т < 1,
значит В > 0. Для того чтобы и угол С был положителен, необходимо и достаточно,
„ тс а Л л /тс а\ х . / тс а \ 1—тп /тс , а\
чтобы ~А----г > —В, или tg I ---— ) > —tg В, или tg Н--7- I > -- tg -7- 4- -г ),
4 4 1 &\4 4/ \4 4/ 14- тп 6\4 ‘ 4) ’
откуда, упрощая, m > sm у. Имеется, значит, решение с острым углом А, если
тп > sin ~. Возьмем теперь А = тс — а. Будем иметь: С = ~ 4“ 2?, В == ~ — 2^,
tg 3 == — j- ctg-J . Угол р опять отрицателен, ибо m < 1, значит В > 0. Для того
чтобы и угол С был положителен, необходимо и достаточно, чтобы ~ > — р,
39 П, С. Моденов
610
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
. а * а — та а
или tg-j > — tg р, или tg — > -j~|_ m Ctg , или m>cosy. Имеется, значит,
решение с тупым углом А, если т > cos . Мы снова приходим к результатам
п. в): нет треугольника АВС, если т < sin ~, один треугольник АВС, если
а
sin -g“ < т
а
cos2
и два треугольника ЛВС, если т
а
>cos¥.
г) Инверсия с центром С, сохраняющая В. Это инверсия (С, СВ2). В ней
окружности (Г), (Ci) и (Со) преобразуются в три прямые: (у), и (у0), проходя-
щие через точку В и параллельные касательным в точке С и (Г), (С^ и (Со)
(черт. 205). Дуга ВХСХ преобразуется в отрезок прямой (?i), заключенный
между пересечениями (?i) с перпендикуляром к ВС в точке С к прямой СС0;
Черт. 205.
дуга В0С0 преобразуется в отрезок ро7о прямой (у0), за-
ключенный между точками пересечения (у0) с перпенди-
куляром к ВС в точке С к прямой СС0. Пусть М' об-
раз М в рассматриваемой инверсии. На основании свойств
D..z ВМ-СВ СВ
инверсии ВМ =---гут;— ==---- и, значит, ВМ имеет
МС т
МС
постоянную длину, ибо = т и ВС = const. Точка Мг —
это одна или другая из точек и [i0 прямых (-и) и (у0)
ВС
таких, что Вр.х = В^о =---. Если^ лежит на Pfft, то Qil
пересекает (СЭ в точке Mlt а зная мы проведем
и найдем точку Ах, следовательно, решение АХВС\ анало-
гично, если [10 лежит на отрезке рО7о» то Qx0 пересе-
кает (Со) в точке Л40, а зная Мо, мы найдем второе ре-
шение А0ВС. Рассматриваемая инверсия дает, таким обра-
зом, другое решение п. б).
Исследование. Заметим, что В^ = ВС sin , Bgi =
ВС а
=-------. Решение АХВС существует, если ВС sin <
а 2
sin 2-
вс ВС
<-----<-------. Первое неравенство всегда выпол-
sj4
няется, так как 0 < т < 1;
второе дает
а «
> sin . Аналогично
Ву0 = ВС cos у,
т
ВС
Вро —-----t Решение
C0ST
А0ВС существует, если ВС cos — <
ВС ГТ
------. Первое
cos-g-
неравенство всегда выполняется, второе дает т > cos ~. Мы снова приходим
к результатам п. б): если пг < sin-^-, нет решении; если sin -^ < m < cos-g-— одно
решение АХВС‘, если т > cos у, то два решения: АХВС и А0ВС.
74. I. Изучение некоторых элементов, относящихся к треугольнику МАВ,
где М—переменная точка окружности (О), проходящей через две фиксиро-
ванные точки: А и В.
1°. Геометрическое место ортоцентра Н треугольника МАВ. Обозначим
через (МА, МВ) ориентированный угол от неориентированной прямой МА до не-
ориентируемой прямой МВ, лежащими в ориентированной плоскости. Если точка М
описывает окружность (О), то (МА, МВ) — a (mod -), где а — постоянный угол
(положительный или отрицательный). Пусть Н—ортоцентр треугольника АВМ;
тогда (НА, НВ) = (НА, МВ) + (МВ, МА) + (AL4, НВ) (mod и), а так как (НА, МВ)=
—(mod тс), (МА, НВ) = ~ (mod л), то (НА, НВ) = (МВ, МА) =— a (mod л).
Отсюда следует, что геометрическое место точек Н есть окружность (С^), сим-
метричная (О) относительно АВ (черт. 206).
Ответы, Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
611
Геометрическое место вершин треугольника mab. Точка т — ортогональ-
ная проекция М на АВ; значит, геометрическое место точек т есть отрезок тгтгг
с центром I и длиной 27?. Так как (ЬА, ЬВ) — (аА, аВ) = ~ (mod л), то геометри-
ческое место точек а и Ь есть окружность (Г) с диаметром АВ.
Огибающая сторон треугольника mab. Точки Н, т, В, а лежат на одной
окружности, так как (аН, аВ)=(тН, тВ) = ~ (mod л). Значит (та, тВ)=(НА, НВ)=
~— a (mod к), а потому та имеет фиксированное направление и, следовательно,
не имеет огибающей. Аналогично и точки Н, Ь, А, т лежат на одной окружности,
а так как (ЬН, ЬА) = (mH, mA) = ~ (mod тс), то и (mb, mA) = (НВ, НА)=а (mod тс);
mb имеет фиксированное направление и, значит, не имеет огибающей. Далее,
точки а, Ь, 7, т лежат на окружности Эйлера треугольника АВМ, значит, (1а, /Ь) =
= (та, mb) (mod тс); далее, (та, mb) = (та, тВ) (тA, mb) ~ — 2а (mod тс) и, зна-
чит, (Ia,Ib)~ — 2а (mod тс). Точки а и Ь, кроме того, лежат на окружности (Г)
с центром 7; следовательно, хорда ab окружности (Г) огибает окружность, кон-
центричную окружности (Г). Определим радиус этой окружности. Так как радиус
окружности Эйлера равен , то = -5-1 sin 2а | = R | sin а cos а ]; значит, расстоя-
ние от 7 до ab равно | tg а | = 7? sin2 а.
Геометрическое место центра окружности, описанной вокруг треуголь-
ника mab. Окружность, описанная вокруг треугольника mab, есть окружность (со)
Эйлера треугольника МАВ. Ее центр со — середина ОН; он соответствует точке Н
в гомотетии (о, значит, геометрическое место центров со окружности (со) есть
окружность, полученная гомотетией -g-j окружности (OJ; центр полученной
j Я
окружности есть точка 7, а радиус равен -g-.
Сравнение треугольников mab и та'Ь', соответствующих точкам М
и М', если 7ИЛГ J_ АВ. Ортоцентр Н треугольника МАВ симметричен вершине Мг
треугольника М'АВ по отношению к АВ. Значит (черт. 207), высоты треуголь-
39*
612 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
ника М'АВ, выходящие из Л и В, суть прямые, симметричные сторонам треуголь-
ника МАВ относительно АВ, и обратно — вершины треугольника та'Ь' симметричны
вершинам треугольника mab относительно АВ. Заметим (это будет использовано
в 2°), что в случае, если ММ' пересекает отрезок АВ, стороны треугольника та'Ь',
выходящие из т, являются продолжениями сторон треугольника mab, выходящими
из т [это следует из равенств (та, тВ) =— a, (mb, mA) = а]; в этом случае Ьа'
есть сумма сторон та и mb. Напротив, в случае, изображенном на чертеже 207
(ММ' пересекает прямую АВ в точке, лежащей вне отрезка АВ), стороны тре-
угольника та'Ь' покрывают частично стороны треугольника mab', хорда Ьа' есть
в этом случае разность сторон та и mb, выходящих из т в треугольнике mab.
2°. Площадь треугольника mab в функции а и ср. Ориентируем (черт. 208)
медиатрису отрезка АВ в направлении от О к I и положим (Ох, О A) = a(mod 2л),
(Ох, ОМ) = ср (mod 2л). При выбранной ориен-
л *
тации оси Ох угол а изменяется от 0 до -% .
Заметим, что двум точкам М и М', располо-
женным на одном перпендикуляре к АВ
(т. е. для двух дополнительных до л значе-
ний а), соответствуют два равных треуголь-
ника: mab и та'Ь'. Аналогично производя
симметрию фигуры относительно диаметра Ох,
получим, что точке Mlf симметричной М
(т. е. для двух противоположных значений ср),
соответствуют два равных треугольника: mab
и тахЬх, симметричных относительно Ох. Это
замечание позволяет ограничить изменение ср
так: a < ср < л. Мы имеем тогда (Л1А, МВ) =
=—(Ох, ОА) =— a (mod л), (АВ, AM) —
= 1 (ОВ, ОМ) = ^+1 (mod 7t), (BA, ВМ) =
= 1 (ОА, ОМ) = (m°d л). Мы видели,
Черт. 208. что (та, mb) = —- 2 (МА, МВ)=2а (mod л);
аналогично (ab, ат) =— 2 (АВ, AM) —
— — (ср a) (mod л), (mb, ab) = — 2 (ВМ, В А) = — (ср — a) (mod л). Треугольник mab
есть треугольник, вписанный в окружность (со) Эйлера диаметра 7?; значит,
ab = R sin 2х, та = R sin (ср — a), mb = R | sin (а ср) |, S -% та • mb • sin 2а =
= 2” R2 sin a cos а | cos 2ср — cos 2а |.
Экстремальными значениями | cos 2ср — cos 2a | будут 1cos 2a и 1 — cos 2a.
Соответствующие положения точки М суть концы С и D' радиусов ОС и OD'
таких, что (бх, ОС) = — (mod 2л) и (Ox, OD') = л (mod 2л). Площадь обращается
в нуль для ср = а и ср = л — а; соответствующие положения точки М суть А и А',
где А' лежит на перпендикуляре к АВ в точке А. Ко всем этим положениям
точки М надо присоединить ей симметричные относительно двух взаимно-перпен-
дикулярных диаметров СС' и DD' и относительно О.
Определение /И, если задана площадь k2 треугольника mab, В этом слу-
чае мы имеем или
2k2
cos 2ср = ---------1- cos 2a, (1)
1 R2 sin a COS a v '
или
2k2
cos 2cp = cos 2a — . (2)
T R2 sin a cos a v '
Первое значение для cos 2cp больше, чем cos 2a (и, следовательно, .больше,
чем —1); для возможности решения надо только, чтобы оно было < 1, т. е.
2k2
------------<1 — cos 2a или k2 < R2 sin3 a cos a. Если это условие выполнено, то
К2 bin a cos a
единственное решение ср уравнения (1), удовлетворяющее условию a < <р < тс, будет
ср = тс — -g- аге cos (~2^ ;г~п а CQS а + cos 2a J . Ему соответствует лишь одна точка Mit
расположенная на дуге A'D'; второе значение cos 2ср меньше, чем cos 2a, и значит
* Заметим, что здесь через а обозначено то, что раньше мы обозначали через — а.
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
613
меньше, чем 1. Условие возможности решения, значит, будет только cos 2а —
9£2
---------------> — 1 или k2 < R2 sin a cos3 а. В этом случае уравнение (2) имеет
R2 sin a cos а
1 ( 2£2 \
два решения такие, что а < < к: = — arc cos (cos 2а------------и
1 / 2&2 \
ср = тс—тг arc cos ( cos 2а -----------. Им соответствуют две точки М2 и М3,
г 2 \ R2 sin a COS а / J 6
одна из них на дуге АС, другая —на дуге С А'. Для того чтобы уточнить резуль-
м тс тс тс
таты исследования, надо рассмотреть еще два случая: 0 < а < -j- и — < а < —.
Получаем. Случай первый: 0 < а < . 1) 0 < k2 < R2 sin3 а cos а — три реше-
ния: Mlt М2 и М3; 2) k2 = R2 sin3 а cos а — три решения: D, М2, М3; 3) R2 sin3 а cos а <
< k2 < R2 sin а cos3 а — два решения: М2, М3; 4) = 7?2 sin а cos3 а— два решения:
С и Mf, 5) k2 > R2 sin a cos3 а — ни одного решения. Случай второй: < а < у -
1) 0 < k2 < R2 sin а cos3 а — три решения: Mit М2, М3; 2) k2 = R2 sin а cos3 а — два
решения: С и 3) R2 sin а cos3 а < k2 < R2 sin3 а cos а — одно решение: Мг;
4) k2 > R2 sin3 а cos а — нет решений. Разумеется, сюда надо присоединить точки,
симметричные найденным относительно СС' и DD' и относительно точки О.
Периметр треугольника atnb. 2р = R sin 2а 4- R sin — а) 4- R | sin (ср 4- а) I.
Если а < ср < тс — а, то 2р = 2R cos а (sin ср 4- sin а). Экстремальные значения 2р
в этом случае суть 4R sin a cos а и 2R cos а (1 4- sin а); они соответствуют: первое
тс
для ср = а и cp = 7t — а; второе для ср = —. Соответствующие положения точки М
суть А и А' в первом случае и С — во втором. Если тс — а < ср < тс, то
2р = 2R sin а (cos а — cos ср). Экстремумы: 4R sin а cos а и 2R sin а (1 4~ cos а). Первый
при ср = тс — а, второй при ср = тс; соответствующие положения точки М суть
А' и D.
Определение М для заданного периметра 2p = 2Z. Имеем: I = R cos а X
х (sin ср 4- Sin а), если а < Ср < тс — а, или Z = R sin а (cos а — COS ср), если тс — а < ср < тс,
Z
Первое уравнение дает sin у = д — sin а, и мы должны иметь sin а < sin ср <
откуда 2R sin а cos а < Z < R cos а (1 4- sin а). Если это условие выполнено, мы имеем
/ Z \ / Z \
два решения: ср = arc sin I -----sin о) и ср = тс — arc sin I --sin а), кото-
\ R cos а ) 1 \ R cos а )’
рым соответствуют точки и М2: одна на дуге АС, другая на дуге СА'. Второе
Z
уравнение дает cos ср = cos а —-, и мы должны иметь — cos а > cos ср > — 1,
откуда 2R sin а cos а < Z < R sin а (1 -J- cos а). Если это уравнение выполнено, то
задача имеет только одно решение: ср == arc cos (cos а ^~1гГТ) ’ второму соот-
ветствует точка М3, расположенная на дуге АЧУ. Для того чтобы уточнить резуль-
таты исследования, надо еще разделить случаи 0 < а < ~ и ~ < а < ~.
О < а < —. 1) если 27? sin а cos а < Z < 7? sin а (1cos а), три решения: Mlf
М2 и М3; 2) если Z = R sin а (1 4- cos а), то три решения: Mlt М2 и D'; 3) если
/? sin а (1 4-cos а) < Z < 7? cos а (1 4-sin а), то два решения: М2; 4) если
Z = R cos а (1 4~ sin а), то одно решение: С; 5) если Z > R cos а (1 4~ sin а), то нет
решений.
Т < а < *2” ’ Если 27? sin а cos а < Z < cos а (1 4“ sin а), то три решения:
М{, М2, М3; 2) если Z = 7? cos а (1 4- sin а), то два решения: С и М3; 3) если
7? cos а (1 4~ sin а) < Z < 7? sin а (1 4- cos а), то одно решение: Л43; 4) если Z = 7? sin а X
X (1 + cos а)» то одно решение: О'; 5) если Z > 7? sin а (1 4- cos а), то нет решений.
К каждому решению надо присоединить точки, получаемые симметричным отраже-
нием найденных решений в прямых СС', DD' и в точке О.
Геометрическое решение. Мы видели, что mb имеет фиксированное напра-
вление, определяемое условием (mb, mA) = — a (mod тс), и, следовательно, mb J. О А.
Если точка М лежит на дуге A'D', то, как мы видели (конец п. Г), Ьа' — сумма
сторон та и mb. Значит, чтобы найти точку М такую, что 2р = 2Z, надо найти
хорду (Г), перпендикулярную О А и равную 2Z — 7? sin 2а. Если на перпендикуляре,
614
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
опущенном из 1 на О А, мы отложим длину IL = I — R sin a cos а и проведем через
точку L прямую, параллельную О А, то она пересечет (Г) в точках b и 3 (черт* 209).
Для решения надо взять только Ь; параллель прямой IL, проведенная через Ь,
пересечет ГА в точке т3, откуда найдем и М3. Это построение приведет к точке М3
тогда и только тогда, когда Z — У? sin a cos а заключено между радиусом R sin а
окружности (Г) и полухордой (Г), проходящей через А перпендикулярно ОА, т. е.
К sin а cos а < I — R sin a COS а < К Sin
Если М лежит на дуге АА', то
мы видели (окончание п. 1°), что
Ьаг — разность между сторонами
та и mb треугольника mab. Рас-
стояние от точки т до середины К
хорды Ьа' равно в этом случае по-
лусумме сторон та и mb, поэтому
, откуда 2R sin a cos а < I < R sin а (1 cos а).
Черт. 210.
(черт. 209), если мы продолжим fib до пересечения в точке т{ с продолжением АВ и
если прямая, проходящая через т{ параллельно ГЬ, пересечет (Г) в точках Ь^ и ар то
т^т^ = 2ГЬ = 21— 27? sin a cos а. Перпендикуляр к АВ в точке тх пересе-
чет (О') в двух точках: Mi и М2, расположенных на дуге А А' и удовлетворяющих
решению вопроса. Это решение существует, если 1тх заключено между R и
r. _ . r ГЬ I—У? sin a COS а _ , Z—У? Sin а COS а _
ГА = R sin а; но 1т, ---=---------------; значит, R sin а <------------< R,
cos а COS а COS а
или 2R sin а cos а < Z < R cos а (1 + sin а)- Мы получаем снога результаты преды-
дущего исследования.
. 3°. Изучение окружности (Q) с диаметром МН, Рассмотрим (черт. 210)
окружность (2) с диаметром МН. Окружность (OJ получается из (О) переносом,
определяемым вектором OOf, точка Н получается в результате этого переноса из
> ——>
точки М, т. е. MH = 00i. Окружность (2) имеет, значит, постоянный диаметр,
равный OOi, а ее радиус равен 01. Из ™ МН—ОГ следует, что /2 = ОМ; значит,
степень точки / относительно (2) равна /22 — М22 = ОМ2 — Of2 — О А2. Отсюда
следует, что окружность (2) остается ортогональной к окружности с центром I и
радиусом ГА, т. е. к окружности (Г). Так как ОГ — QH, то 02 \\1Н; радикальная
ось (Д) окружностей (О) и (2) перпендикулярна линии их центров и, следова-
тельно, перпендикулярна ГН. Аналогично — так как 10{ = М2, то 2Oj ГМ; ради-
кальная ось (ДО окружностей (Of) и (2) перпендикулярна линии Oj2 их центров
и, следовательно, перпендикулярна ГМ. Обозначим через / точку пересечения ради-
кальных осей (Д) и (ДО- Так как (Л4) — точка, лежащая на (Д), то (Д) — высота на
сторону ГН треугольника Г МН. Точно так же Н—точка, лежащая на (ДО; значит,
(ДО —высота на сторону ГМ в том же треугольнике ГМН. Но АВ — высота на
Ответы. Планиметрия. ГЛ. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
615
(Aj) есть эллипс (ех) с фокусом / и
сторону МН; значит, J лежит на АВ. Это видно и из того, что J есть радикальный
центр окружностей (Q), (О) и (0). Мы видим, что J есть ортоцентр треуголь-
ника MIH. Пусть а —вторая точка, общая (О) и (й); это основание высоты (Д)
на IH. Четыре точки И, т, J, а расположены на одной окружности; значит,
Гт 77 = 777 Та == /А2; значит, У гармонически сопряжена с т по отношению к А
и В. Так как т описывает отрезок т'т” прямой АВ, то точка J описывает гео-
метрическое место точек, гармонически сопряженных относительно точек А и В
со всеми точками отрезка т'т".
Огибающая (Д) и (Д0 Проекция а фиксированной точки I на (Д) описывает
окружность (О); значит, огибающая (Д) есть эллипс (е), для которого 1 — фокус,
а (О)— главная окружность; аналогично вторая точка р, общая (Aj) и (0), есть
ортогональная проекция фиксированной точки I на (Aj). Эта точка 3 описывает
окружность (Oj); значит, огибающая прямых (‘
соответствующей ему главной окружностью (ОЭ;
заметим, что эти эллипсы симметричны относи-
тельно АВ.
75. Г. а) Число прямых (Д), проходящих
через данную точку окружности (С). Рас-
смотрим данную точку ориентированной окруж-
ности (0, определяемую криволинейной абсцис-
сой a (mod 2л). Если мы эту точку примем за
точку М, то ей будет соответствовать одна и
только одна точка Р такая, что 1Р =— 2IM,
ибо IP = — 2а (mod 4л). Но если мы примем
эту точку за точку Р, то ей будут соответ-
ствовать две точки М такие, что IP — — 21М,
так как IM = — ~ (mod л). Следовательно, че-
рез эту точку проходят три прямые (А). Заме-
тим, что две последние из них взаимно-перпен-
дикулярны, поскольку они соединяют точку
окружности (0 с двумя ее диаметрально про-
тивоположными точками.
Геометрическое место точек пересече-
ния двух ортогональных прямых (Д). Рассмо-
трим (черт. 211) две прямые (Д): РМ и РХМХ.
Имеем4. 1Р =— 2IM, IPl = — 2IMl; следова-
тельно, РРХ =— 2ММХ, поэтому (Л^Р, Л41/0 = (РМХ, РМ)
откуда (QM, QMX) = (РМХ, РМ) (mod к); отсюда
, + (QM QA0 (mod л)
следует, что прямые РМ й Р\М{
ортогональны тогда и только тогда, когда М и — две диаметрально противо-
положные точки (С), а потому эти прямые пересекаются в точке, лежащей на
окружности (С). На основании замечания, сделанного в начале, заключаем, что гео-
метрическим местом точек пересечения двух взаимно-перпендикулярных прямых (А)
является вся окружность (0.
Прямые (Д), касательные к (С). Прямая (А) касается (С), если точки М и Р
совпадают, т. е. РМ = 0 (mod 2л), а так как РМ = 3/М, то IM = 0 f mod 1. Мы
видим, что имеется три точки М окружности (0 такие, что (Д) касается (С); это
точки I и J такие, что U == , и точка К такая, что 1К = — . Эти три точки
о о
образуют равносторонний треугольник с вершиной Л вписанный в окружность (0;
соответствующие прямые (Д) — касательные к (0 в точках /, /, /<.
Замена I на J на К. (Д) определяется соотношением /Р — — 2/Л4 (mod 2л)
или IJ-\-JP — — 2 (IJ + ЛМ) (mod 2л), откуда JP — — 2JM (mod 2л). Прямая (Д)
определена по отношению к J так же, как и по отношению к I (аналогично и для /<).
б) М—середина QQ'. Рассмотрим две ортогональные прямые: (Д^ и (Д0, пересе-
кающиеся в точке Рх окружности (0. Пусть (Д) — какая-нибудь прямая, пересе-
кающая (Д}) и (д[) соответственно в точках Q и Q'. Имеем (0^, РХМ) =
~ (PAlj, РМ) (mod л). На основании п. 1° имеем (РМХ, РМ) ~ (QM, QMX) (mod л);
следовательно, (PxMlt РХМ) = (QM, QMX) (mod л). Треугольник PXMQ равнобед-
ренный, атак как /\PiQ0 прямоугольный, то РхМ—~ медиана, относящаяся к гипо-
тенузе QQf, a QQ' есть прямая (Д). Обратно. Рассмотрим ортогональные прямые
Р}Мг и /’jMp проходящие через точку Рх окружности (0, и пусть прямая РМ
616 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
пересекает и Р^М\ в точках Q и Q' таких, что середина М отрезка QQ'
лежит
такой,
М,
(A3)
(А.)
Черт. 212.
(С)
м2
на (С). На основании п. 1°, а) существует равносторонний треугольник ///<
что ^и значит суть прямые (А). Возьмем одну из его вершин I.
Будем иметь 1РХ =— 21МХ. Треугольник PXQQ'
прямоугольный (Р = 90°), РХМ— его медиана;
треугольник PjAfQ равнобедренный и, следова-
тельно, (РХМХ, РХМ) = (QM, QMX) (mod тс). Обо-
значим через Р вторую точку пересечения QQr
с (С). Тогда (РХМХ, РХМ) — (РМХ, РЛ4)(тобтс),
(РМХ, РМ) — (QM, QA4j); следовательно,
(AljP, Al^j) = (РМХ, РМ) + (РМ, МХРХ) =
= (PAft, РМ) + (QM, QMX) = 2(РМХ, РМ)Х
X (mod 2тс); отсюда РРХ = — 2ММХ и, значит, IP —
=— 21М, т. е. QQ' есть прямая (А), ассоцииро-
ванная с точкой /.
2°. Прямые (Д), проходящие через данную
точку Q прямой (ДО. Рассмотрим (черт. 212)
прямую (AJ, ассоциированную с окружностью (С)
и точкой / и пересекающую (С) в точках Мх иРь
Проведем через точку Рх прямую (A1)j_(A]).
Возьмем на прямой (AJ произвольную точку Q.
Прямая, проходящая через точку Q, на осно-
вании п. 1°, б) будет прямой (А), если она пере-
сечет (At) в точке Q' и (С) в точке М так,
что М будет серединой отрезка QQ'. Геометри-
ческое место середин отрезков, исходящих из Q
и имеющих вторую граничную точку на (А^,
есть медиатриса отрезка QPX. Пусть М2 и М3—
пересечения (если они существуют) этой ме-
диатрисы с (С). Искомые прямые (А2) и (А3) суть QAf2 и QM3. Если медиатриса
отрезка QPX заключена между касательными к (С), перпендикулярными к (AJ,
имеется две прямые: (А2) и (А3); если она вне, то таких прямых не существует.
Прямые существуют, если точка Q лежит на отрезке DE, где D и Е— точки, сим-
метричные Рх по отношению к касательным к (С), в концах d и е диаметра (С),
параллельного (AJ. Если Q совпадает с D или Е, прямая (А) совпадает соответ-
ственно с Dd и Ее. Эти прямые пересекаются в точке (С) под прямым углом, так
как направления симметричны ортогональным
Вычисление суммы «14-«2 + аз. Построение
прямых (А2) и (А3) показывает, что точки М2
М3 — окончания дуг а2 г .......''"р..... ....
тельно диаметра (С), параллельного* (AJ; значит,
а2 Ц--— 2/г/(mod 2тс). Пусть f—середина РХМХ;
тогда 21 f— 1МХ 4- 1РХ ~ — ах (mod 2тс), а так как
fd ==•— (mod тс), то 2/д? — 21 d—2//=а1-}-а24-а3 (mod 2тс).
Итак, aj -j- a2 4- аз = (mod 2тс). Сумма ai4-a24-a3
постоянна, если Q описывает (A^, и даже не зави-
сит от выбора (AJ.
Прямые (Д2) и (Д3), для которых «14-а2 +
о a3 = тс; (ДJ — задана. Пусть прямая (AJ задана
и ей соответствует дуга at. На основании предыдущего:
— 2// = ab а так как 21 d — 21 f — 2fd = г. (mod тс), то
21 d = тс — = a2 «з- Отсюда следует, что точки М2
и М3 симметричны относительно диаметра (С), па-
раллельного (Aj), и соответствующие прямые (А2)
и (А3), симметричные РХМ2 и РХМ3 относительно
М2М3, пересекаются в точке Q прямой (AJ.
3°. а) Точка симметричная Н относительно
Prd.
направлениям Рхе
И
к
Д,
И
и а3 — симметричны относи-
(г)
Sa
Черт. 213.
ВС. Угол между прямыми
НВ и НС, соответственно перпендикулярными АС и АВ, равен углу между этими
последними (черт. 213): (НВ, НС) = (AC, z!B)(modz). Симметрия относительно ВС
дает (АХВ, Л1С) = — (НВ, НС) — (АВ, AC) (mod тс), откуда и следует, что точка Ах
лежит на окружности, описанной вокруг треугольника АВС.
Точки С', U, В лежат на одной прямой. Соединим S с А и С. Точки S,
А, В, С лежат на одной окружности (Г)\ следовательно, (SC, 8Л) = (ВС, В A) (mod тс).
Ответы. Планиметрия. Гл. XX, КОМБИНИРОВАННЫЕ'МЕТОДЫ 617
Прямые SU и SC' соответственно перпендикулярны ВС и ВА\ значит, (SC, SC') =
= (ВС, В A) (mod л). Отсюда следует, что (SC, SA) = (SU, SC') (mod те), и, отни-
мая от обеих частей по (SU, SA), получим (SC, SU) ~ (SA, SC') (mod те). Так как
точки S, С, U, В' лежат на одной окружности с диаметром SC, то (SC, SU)=~
— (В'С, В'£7) (mod те). Аналогично, четыре точки S, В', А, С' лежат на одной
окружности с диаметром AS; значит, (SA, SC') — (В' А, В'С') (mod те). Таким обра-
зом, (В'С, В'С)==(В'А, В'С') (mod те), откуда и следует, что точки В', С, С',
лежат на одной прямой.
Параллелизм S'A и B'UC'. Точки A, S, С, S' лежат на окружности (Г). Зна-
чит (AC, AS') = (SC, SS')(modr.). Но мы видели, что угол (SC, SS') или (SC, SU)
равен (В'С, B'U), значит, (AC, AS') = (В'С, В'С) (mod те), откуда и следует, что
5'АЦВ'СС'.
Симметрия S относительно сторон треугольника. Точки Sa, Sb, Sc, сим-
метричные S относительно ВС, СА и АВ, гомотетичны точкам С, В', С' в гомо-
тетии (S, 2) и, значит, лежат на прямой, гомотетичной UB'C', т. е. SaSbSc || UB'C'.
Соединим S' с АР Трапеция ASS'A! равнобедренная; значит, (SA], SS') =
— (S'S, S'A) (mod те) или, так как S'A || SaS^Se, то (SAb SS') = (SaS, SaS&) (mod те).
Так как S и Sa симметричны относительно ВС, то прямые ВД и SaSbSc так же
симметричны относительно ВС; следовательно, прямая SaS^Se проходит через орто-
центр Н.
б) Прямые UV образуют семейство (Д). Соединим Нс S и пусть М — точка
пересечения HS с B'UC'. Мы видели, что М— середина HS; следовательно, М
— середина UV, поскольку AH\\SU. Далее, НМ — HS и, значит, точка М лежит
на окружности (С) девяти точек треугольника АВС, которая проходит через осно-
вание К высоты АН. Мы возвращаемся к п. 2е: ВС и АК — две взаимно-перпен-
дикулярные прямые, пересекающиеся в точке К окружности (С); прямые UV
таковы, что середина М отрезка UV лежит на (С); они, следовательно, образуют
семейство (Д) по отношению к (С) и точке 1 этой окружности такой, что
IK —— 2/я, где а — середина ВС. Отсюда ясно, что АК и ВС составляют пару
взаимно-перпендикулярных прямых (Д) и что каждая высота треугольника вместе
с соответствующей ей стороной также образует такую пару; в самом деле, сере-
дина любой из сторон АС и АВ треугольника АВС лежит на окружности Эйлера,
а концы этих отрезков АС и АВ лежат на взаимно-перпендикулярных прямых АК
и ВС (аналогично — середины ВН и СН лежат на окружности Эйлера). Итак, все
три стороны и все высоты треугольника АВС
входят в семейство прямых (Д), ассоцииро-
ванных с окружностью девяти точек тре-
угольника АВС.
76. Зная .ортоцентр //треугольника (Т)
и центр круга, описанного вокруг этого тре-
угольника, можно построить центр тяжести
(точку пересечения медиан) G и центр со
окружности Эйлера: OG= ОН, Ои>— -^ОН.
1°. Геометрическое место вершин
треугольника (Г). Пусть А — произвольная
вершина треугольника (Т); середина А' про-
тивоположной стороны ВС есть образ точ-
ки А в гомотетии с центром G и коэффициен-
том гомотетии, равным —~. Прямая (X), на
которой лежит сторона ВС, перпендикулярна
О А' в точке А'; вершины В и С суть точки
пересечения прямой (X) с окружностью, опи-
санной вокруг треугольника АВС. Имеем ОА'<ОА, откуда АН <20 А (так как
АН = 20А') или -q-^ < 2; значит, точка А лежит вне окружности Апполония, для лю-
окружности Эйлера). Итак, все
(0)
А
в
(Г3)
(г.)
(Г2)
X
Черт. 214.
бой точки М которой отношение МН к МО равно 2; это окружность (Г{), построенная
на H'G как на диаметре, где Н' — точка, симметричная точке Н относительно точки О.
Далее, О А' не перпендикулярна A'G (в противном случае точки А, В и С лежали бы
на одной прямой); значит, /О A'G — /HAG не прямой и точка А не лежит на
окружности (Г2), построенной на GH как на диаметре. Указанные необходимые
признаки ограничения расположения вершины А треугольника (Г) и достаточны
в том смысле, что если точка А лежит вне круга (Д) и не на окружности (Г2), то
существует треугольник (Т), у которого А — вершина. Итак, геометрическое место
вершин треугольников (Т) есть часть плоскости, которую мы получим, удаляя из
нее круг ([\) и окружность (Г2) (черт. 214).
618
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
Геометрическое место вершин тупых углов. Треугольник (Г) будет тупо-
угбльный, если ортоцентр Н лежит вне окружности, описанной вокруг него, и обратно,
т. е. если ОА < ОН; иначе говоря, точка А должна лежать внутри окружности (Г3)
с центром в точке О и радиусом ОН. Итак, геометрическое место вершин тупо-
угольных треугольников есть часть плоскости, заключенная между окружностями (Г])
и (Г3), за исключением точек окружности (Г2). Угол А будет при этом тупым тогда
и только тогда, когда медиана АА' будет меньше половины А' В стороны ВС, т. е.
А'А < А'В или А'А2 < А'В2; но АА' = ~AG, ~ОА' = А’В2 - О А2 — О А’2 =
1 9 1
= О А2----г АН2; значит, -г AG2 < ОА2-— АН2, или
4 4 4
9Д(72<4ОД2 — АН2. (1)
С другой стороны, применяя теорему Стюарта * к треугольнику АОН и к секу-
щей AG, будем иметь О А2 • СЯ — AG2 • GH-г- АН2 • ^GH—GH -^GH • ОЯ=0,
откуда 4ОА2 — 6AG2 — 2АН2 4- 3GH2. Отсюда и из (1) находим АН2AG2 < GH2;
значит, точка А лежит внутри
круга (Г2). Обратно: если точка А лежит внутри
круга (Гг), то, повторяя выкладки в обратном
порядке, мы получим, что АА' < А' В, т. е.
угол А* тупой. Итак, геометрическое место
вершин А тупых углов треугольника — вну-
тренность круга (Г2).
Изучение прямых (X). Рассмотрим про-
извольную прямую (К) плоскости, на которой
расположена сторона ВС треугольника (Т)
(черт. 215). Ортогональная проекция точки О
на прямую (X) есть середина А' стороны ВС.
Вершина А получается из А' в результате
гомотетии с центром G и коэффициентом го-
мотетии, равным —2. Точки В и С суть точки
пересечения прямой (X) с окружностью с цент-
ром О и радиусом О А. Имеем: О А' < О А
или О А' < 2<о А' (О А || юА'). Значит, точка Д'
должна лежать вне окружности (Г2) с диа-
метром GH. Отметим еще, что (X) не проходит
через точку G, так как в противном случае (X)
как прямая, проходящая через точку Д', сов-
падала бы с прямой A'G, на которой лежит и
вершина Д. Указанные необходимые признаки (X) достаточны. Таким образом, все
прямые (X) — это такие прямые, для которых ортогональные проекции на них
точки О лежат вне окружности (Г2). Пусть теперь на плоскости задана точка М
и ставится вопрос о том, какие прямые, проходящие через М, будут (Х)-прямые.
Заметим сначала, что геометрическое место проекций точки О на прямые, прохо-
дящие через точку М, есть окружность (7), для которой ОМ является диаметром.
Значит (Х)-прямые, проходящие через М, — это суть те и только те прямые, кото-
рые соединяют точку М с точками дуги а окружности (7), лежащими вне (Г2),
за исключением прямой MG. Если точки пересечения окружностей (7) и (Г2) мы
обозначим через а и а' (конечно, если эти окружности пересекаются), то прямые
Ма и Ма' будут касательными к гиперболе (Н) с фокусом О, для которой окруж-
ность (Г2) является главной, т. е. окружностью с центром в центре гиперболы и
* Теорема Стюарта: если Р — произвольная точка, лежащая на стороне ВС
треугольника АВС, то
РС • АВ2 4- ВР • АС2 — АР2 • ВС — ВР- РС- ВС = 0. (а)
Доказательство. Пусть Н — проекция точки А на ВС. Тогда из треугольников АВР
и АСР находим:
АВ2 = АР2 + ВР2 — 2РВ -~РН, АС2 = АР2 + СР2 — 2РС - PH.
Умножая первое из этих равенств на РС, а второе — на ВР и складывая, мы и получим
соотношение (а), так как
ВР2 • РС + СР2 • ВР = ВР2 - РС + РС2 - ВР
= ВР-РС(ВР + РС) = ВР-РС-ВС,
а последние члены уничтожаются в силу
РВ-РН-РС + РС-PH-ВР = РН-РС(РВ + ВР) = 0.
Ответы. Планиметрия. Гл. XX, КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
619
радиусом, равным половие ее действительной оси. Известно, что прямая пересе-
кает гиперболу, если проекция ее фокуса на эту прямую лежит вне главной окруж-
ности, не пересекает, если эта точка лежит внутри главной окружности и касается
ее при условии* что проекция лежит на главной окружности. Таким образом,
(Х)-прямые, проходящие через точку М, — это те прямые, которые пересекают
гиперболу (Н), за исключением прямой MG. Значит, для того чтобы все прямые,
проходящие через точку М, пересекали гиперболу (//), т. е. чтобы все они были
(Х)-прямыми, необходимо и достаточно, чтобы точка М была бы внутренней точкой
гиперболы (Н) (прямая MG исключается). Рассмотрим еще несколько частных слу-
чаев: если А лежит на окружности (Л), но не совпадает с точками G и Н', то
точка А' располагается на окружности (Г2) так, что О А == О А'; значит, точки В
и С совпадают с точкой А' и треугольник (Г) вырождается в отрезок А А'; в этом
случае прямая (X) касается гиперболы (//). Если А совпадает с точкой G, то с этой
точкой совпадает и точка А', так же как и точки В и С, поэтому треугольник (Т)
вырождается в точку (7; прямая (X) — касательная к гиперболе в точке G. Если
А совпадает с точкой //', то точка А' совпадает с точкой //, точки В и С также
совпадают с точкой Н и треугольник (Г) вырождается в отрезок НН', прямая
(X) — касательная к гиперболе (Н) в точке Н. Если А расположена на окруж-
ности (Г2), но не совпадает с Н, то О А' J, АА' (ибо / OA'G = / GAH = 90°).
В этом случае одна из точек В или С совпадает с А, другая симметрична А отно-
сительно А'\ треугольник (Т) вырождается в отрезок А А'; прямая (X) пересекает
гиперболу (Н) и проходит через точку G. Если А совпадает с точкой Н, то А'
совпадает с точкой О и всякий диаметр круга (Г3) есть сторона ВС [треуголь-
ник (Г) — прямоугольный, угол А — прямой, гипотенуза — произвольный диа-
метр (Г3)]; прямая (X) проходит через фокус О гиперболы (Н) и пересекает эту
гиперболу. Если А расположена на окружности (Г3), А' располагается на окруж-
ности (Г4) с диаметром ОН ргак как при гомотетии с центром G и коэффициентом
гомотетии, равным — —, окружность (Г3) переходит в окружность (F4)J; пря-
мая (X) совпадает с прямой А'Н О А' Н =90°), одна из точек В или С совпадает
с Н\ если, например, с точкой Н совпа-
дает точка В, то точка С будет второй
точкой пересечения прямой (X) с окруж-
ностью (Г3). Так как вершина В лежит
на окружности (Г3) с центром О и эта
окружность описана вокруг треуголь-
ника АВС, то угол В прямой, а гипо-
тенузой АС является диаметр окруж-
ности (Г2). Наконец, если точка А рас-
положена й'а части окружности (Г4),
заключенной между (1\) и (Г3), точка А'
расположена на окружности (Г5) с диа-
метром Осо; прямая (X) проходит через
точку со. Подведем итог: если точка А
находится внутри окружности (Л), тре-
угольник (Т) не существует, точка А'
находится внутри окружности (Г2),
а прямая (X) пересекает гиперболу (Н).
Если точка А находится внутри окруж-
ности (Г3), но вне окружностей (ГО
и (Г2), треугольник (Г) тупоугольный,
но А—угол острый, прямая (X) (т. е. ВС)
пересекает гиперболу (Н) и встречает
прямую ОН между G и Н [так как точка А' будет находиться внутри (Г4) и вне
Тагушрнук^
тупоугольный,
Д-острый
угол
Треугольник
остроугольный
(Г3)
Н'
(Гг)
(г2)
Угол А
тупой
н
Треугольник
вырождается
Треугольник
прямоугольный^
Д- острый угол
Черт. 216.
Нет
решении
(Гб) и (Г2) — эта область получается в результате гомотетии
рассмат-
риваемых областей, в которых лежит точка А]. Если точка А лежит внутри окруж-
ности (Гг), то треугольник (Г) тупоугольный, угол А тупой, прямая (X) пересекает
гиперболу (Н) (так как точка Ах лежит вне ее направляющей окружности) и пере-
секает ОН в точке, лежащей между О и G [так как точка А' лежит внутри окруж-
ности (Г8)]. Наконец, если А лежит вне окружности (Г3), то треугольник (Т) остро-
угольный, прямая (X) пересекает гиперболу (Н) и пересекает ОН в точке, лежащей
вне этого отрезка ОН [так как точка А' лежит в этом случае вне окружности (Г4),
в которую переходит окружность (Г3) в результате гомотетии с центром в точке G
и коэффициентом гомотетии, равным —% j • Результаты исследования приведены
схематически на чертеже 216.
620
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
Построение треугольника (Т) по следующим данным: прямая (р), на
которой лежит вершина А, и точка Af, лежащая на стороне ВС (черт. 217).
Если точка А лежит на прямой (pi), то середина А' стороны ВС лежит на пря-
мой (р/)> получающейся из (pi) в результате гомотетии ^(7, — ; прямая (X) * на
которой лежит сторона ВС, касается параболы (П) с фокусом в точке О, для кото-
рой прямая (pi) служит касательной в вершине [так как проекция А' точки О на
прямую (X) лежит на (pi)]. Так как прямая (X) должна пройти через данную точку М,
то построение треугольника (Т) сводится к проведению касательных к параболе (II)
из точки М; как мы видели, такая касательная определит треугольник (Т), если
она пересекает гиперболу (И) и не проходит через точку G. Если прямая (X), на
которой лежит сторона ВС, должна пройти через точку М, то точка А' должна
быть расположена на окружности (у) с диаметром ОМ (так как / ОА'М = 90°),
а значит точка А должна лежать на окружности (Г), полученной из (7) в резуль-
тате гомотетии (G, —2). Но точка А должна лежать и на прямой (pi); следова-
тельно, псстроение треугольника (Г) сводится к отысканию точек пересечения пря-
мой (pi) с окружностью (Г). Точка А пересечения прямой (pi) с окружностью {Г)
определит треугольник (Г), если эта точка расположена вне окружности и не
на окружности (Г2) (за исключением Н). Пусть прямая (pi) фиксирована. Исследуем
при этом построение треугольника (Г), привлекая к исследованию гиперболу (Н)
и параболу (II). Если М лежит внутри параболы (П), задача не имеет решения.
Если точка М лежит на параболе (П), то существует касательная к параболе (II)
в точке М; следовательно, если точка М лежит на параболе (11) и внутри гипер-
болы (77), задача имеет одно решение. Если точка М лежит на параболе (П) и вне
гиперболы (77), имеется одно решение или ни одного в соответствии с тем, пере-
секает или нет касательная к параболе (П) в точке М гиперболу (77) или нет.
Если точка М лежит вне параболы (II), существуют две касательные к ней, прохо-
дящие через точку М. Следовательно, если точка М лежит вне параболы (II) и
внутри гиперболы (77), имеется два решения, если же точка М лежит и вне пара-
* Здесь «прямой (Х)амыназываем прямую, проходящую через А' перпендику-
лярно ОА'.
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
621
болы (П) и вне гиперболы (Я), то существуют два, одно или ни одного решения
в зависимости от того, пересекают ли гиперболу (Я) две, одна или ни одна из этих
касательных. В частности, если прямая (р.) проходит через точку Я, то прямая^')
проходит через точку О и, значит, прямая (X) есть перпендикуляр, опущенный из
точки М на прямую (р/)- Таким образом, задача имеет одно или ни одного реше-
ния в зависимости от того, пересекает или нет прямая (X) гиперболу (Я). Проведем
исследование числа решений, считая фиксированной точку М; проведем в этом
случае элементарное исследование. Если точка М фиксирована, то окружность (Г)
известна. Если прямая (/л) не пересекает окружность (ГJ, то имеются два, одно
или ни одного решения в зависимости от того — пересекает, касается или не пере-
секает прямая (pi) окружность (Г). Если прямая (р.) касается окружности (ГJ,
имеется два решения; если она пересекает (Г) в двух точках, отличных от точек
касания с окружностью (Г^, то одно решение, при условии, что одна из точек
пересечения (pi) и (Г) совпадает с точкой касания (pi) и (ГЭ; если (р) касается(Г),
имеется одно решение, при условии, что при этом (Г) не касается (р) в той же
точке, в которой (р) касается (7J; наконец, если р пересекает (ГJ, имеется два
решения, одно или ни одного в соответствии с тем, что (р) пересекает, касается
или не пересекает • (Г), и в соответствии с тем. будут ли эти точки внутренними
или внешними по отношению к окружности
Построение треугольника (Г) по биссектрисе (v) внутреннего или внеш-
него угла. Напомним, что прямые АО и АН одинаково наклонены к сторонам АВ
и АС. Задача сводится к определению треугольника АОН, для которого данная
прямая (ч) является биссектрисой угла А.
Пусть J—точка пересечения прямой (^) /Vs
с прямой ОН [если (^) не параллельна ОН]', /
обозначим через J' четвертую гармони- . /хХ-*"
ческую к J относительно точек О и Н * ।
(черт. 218); точка А будет тогда второй f
точкой пересечения окружности с диа- { \ 'Т/у
метром JJ' с прямой (ч). Это построение __А________о о
приводит к треугольнику (7), если точка А О
лежит вне окружности (Д) и не на \ J
окружности (72) (за исключением Н). За-
метим, что окружность с диаметром JJ' "* /
принадлежит так же, как и (7j), пучку (Л) /
окружностей, имеющих предельными точ- Чеот 218
ками точки О и Н, и рассмотрим раз- р ’
личные случаи расположения точки J на
прямой ОН. Если точка J лежит между точками G и Н', то окружность с диамет-
ром JJ' лежит внутри окружности (Г{); треугольник (Т) не существует. Если J
совпадает с точкой G, то J' совпадает с Н'\ окружность с диаметрОлМ JJ' совпадает
с окружностью (7J и, значит, точка А — точка пересечения прямой (м) с окруж-
ностью (7J; в этом случае треугольник (Т) вырождается в отрезок, если А не
совпадает с точкой G, и вырождается в точку G, если прямая (м) касается окруж-
ности (71) в точке G. Если точка J совпадает с точкой Н', треугольник (Т) снова
вырождается. Если точка J лежит вне отрезка GH, но не совпадает ни с точкой Н,
ни с точкой со, то окружность с диаметром JJ' лежит вне окружности если
при этом прямая (^) наклонная к ОН, мы получаем одно решение; если же при
этом (^) перпендикулярна ОН, то точка А совпадает с точкой J, треугольник АВС
равнобедренный. Если точка J совпадает с точкой Н, точка А также совпадает
с точкой Н, треугольник же (Т) прямоугольный, с прямым углом А; он вписан
в окружность (Г3), сторона ВС — диаметр окружности (Г3), перпендикулярный
радиусу окружности (Г3), проходящему через вторую точку, общую для прямой (\)
и (Г3), которая может быть и отличной от Н (сделать чертеж) и совпадать с Н
(сделать чертеж); в последнем случае треугольник (7) прямоугольный равнобед-
ренный. Если точка J совпадает с точкой со, задача не имеет решений при условии,
что (ч) не перпендикулярна ОН\ если же (^) перпендикулярна ОН в ее сере-
дине со, то точка А — произвольная точка прямой (\»), за исключением точек пере-
сечения прямой (м) с окружностью (72) [для этих точек треугольник (7) выро-
ждается]. Наконец, если прямая (м) параллельна прямой ОН—имеется одно решение,
для которого вершиной А служит точка пересечения прямой (^) с перпенди-
куляром, восставленным к отрезку ОН в его середине со. Итак, задача имеет един-
ственное решение, если прямая (^) пересекает прямую ОН в точке, лежащей вне
отрезка GHr (за исключением со); в случае, если (\>) перпендикулярна ОН в сере-
дине <о отрезка ОН, имеется, бесконечное множество решений.
Изучение треугольника (7), для которого задан радиус R описанной
окружности. Ее шины треугольника (7), для которого задан радиус R описанной
окружности, лежит на окружности (О) с центром в точке О и радиусом R; сере-
дины же сторон лежат на окружности с центром со радиуса гомотетичной
622 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
находим геометрическое
указанной окружности в гомотетии (g, — -1) (на черт. 219 случай OG < R < ОН изо'
бражен пунктиром). Вспомним, что на основании предыдущего, вершины треуголь-
ника (Г) должны лежать вне окружности (Л) и не на окружности (Г2). Отсюда
о вершин треугольника (Г) и огибающую
его сторон. Если 7? < OGt треугольник не
существует; если OG < R < иН, то геоме-
трическим местом вершин треугольника (Г)
является дуга окружности радиуса R с цен-
тром О, лежащая вне окружности (ГЭ, за
исключением точек пересечения этой дуги
с окружностями (Г]) и (Г2); геометрическое
место середин — дуга окружности радиуса
R
с центром со, лежащая вне окружно-
сти (Г2), за исключением точек пересечения
этой дуги с окружностями (Г2) и (Г6). Оги-
бающая сторон — дуги гиперболы, имею-
щей О и Н своими фокусами, а со — направ-
ляющей окружностью; эти дуги состоят из
всей ветви гиперболы, окружающей фокус О,
из двух частей другой дуги гиперболы, не
содержащей ее вершины и ограниченной
двумя точками, соответствующими тем каса-
тельным, на которые точка О проектируется
в точки, совпадающие с точками пересечения окружностей (Г2) и (со). Если R == ОН,
то геометрическое место вершин — вся окружность радиуса R с центром О [т. е.
окружность (Г3)], а огибающая сторон вырождается в две точки: О и Н (иначе
говоря, стороны проходят через эти точки). Если R > ОН, то геометрическое место
вершин — окружность радиуса R с центром в точке О; середины сторон образуют
окружность (£) радиуса с центром со, а огибающая сторон — эллипс, для кото-
рого точки О и //—фокусы, а окружность (£)— направляющая.
Изучение треугольника (Т), для которого задан угол ВАС = а (0 < а < я).
Если угол ВАС треугольника (Г) равен а, то (см. черт. 214) АН = 2ОА' = 2ОА | cos а |;
Д77 тс 2тс
следовательно, ус-г- = 21 cos а ], а потому в случае, если а и а =7= -х-, точка А
(У А о о
расположена на окружности, для каждой точки которой отношение расстояний до
точек Н и О равно 21 cos а | (черт. 220). Этот
круг (Га) входит в пучок окружностей, имеющих О
и Н предельными точками, а так как при этом
2 I cos а 1 < 2, то окружность (Га) или лежит вне
окружности (ГЭ, или охватывает окружность (/\).
Значит все точки окружности (Га), за исключе-
нием точек пересечения этой окружности с окруж-
ностью (Г2), суть вершины треугольников (Т).
TZ
Мы имеем далее: если 0 < а < , то (Га) охва-
о
тывает точку О, геометрическое место вершин А
есть дуга окружности внешняя по отноше-
нию к окружности (Г2) (ибо А — острый угол).
2тс
Если -д- < а < т:, то (Гй) охватывает точку О, ибо в этом случае, как и в преды-
АН
дущем, 1 < < 2 и геометрическое место вершин А есть дуга окружности (Гй),
внутренняя по отношению к (Г2) (А — тупой угол). Если -5- < а < ту , (Га) окру-
О Z
жает Н и геометрическим местом точек А является дуга окружности (Га), внеш-
2тс
няя по отношению к окружности (Г2). Если < а < -х-, то 0 < 21 cos а | < 1,
2 о
поэтому окружность (Га) охватывает предельную точку Н и геометрическим местом
точек А является дуга окружности (Га), внутренняя для (Гг) (Д — тупой угол).
Если а = тг, окружность (Га) вырождается в точку 77; если а = , то А лежит
на перпендикуляре ^к ОН, проведенном через его середину <о; геометрическим
местом вершин является часть этого перпендикуляра, внешняя по отношению к (Гг)
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
623
(А _ острый угол). Если а = -у, то геометрическое место вершин А — часть ука-
занного перпендикуляра, внутренняя по отношению к окружности (Г2) (ибо А — тупой
угол). Геометрическое место точек А' получается из геометрического места точек А
в результате преобразования гомотетии . Поэтому, если 0 < а < ~, то
геометрическое место точек А' есть дуга окружности (га), не окружающей О,
а значит огибающая сторон ВС есть дуга гиперболы, имеющая О фокусом,
а (г') — направляющей окружностью. Если ~ < а < у, то геометрическое место
точек А' есть дуга окружности (г'), окружающей О, огибающая стороны ВС — дуга
эллипса, имеющая О фокусом, а [Г— направляющей окружностью. Аналогичные
тс 2тс
выводы можно сделать для следующих значении а: если < а < огибающая
£ О
стороны ВС есть дуга эллипса, а если -у < а < тс, то огибающая — дуга гидер-
болы. Если а = -^, точка А' совпадает с точкой О и огибающая стороны ВС сво-
те 2тс
дится к точкам О и /7. Если а = или а = -у-, то геометрическое место точек
о о
А — часть перпендикуляра, восставленного к отрезку ОН в его середине, а значит
огибающая ВС — часть параболы с фокусом О, для которой касательной в вер-
шине является перпендикуляр, восставленный к отрезку О» в его середине.
Точки В и С получаются из точки А', если произвести гомотетию с центром О и
коэффициентом гомотетии > j , а затем произвести повороты на углы ± а, если
О < а < у, и на углы ± (тс — а), если ~ < а < тс. Значит, эти геометрические места
ч . тс . 2тс тс
суть дуги окружностей, если а=£ и а , и части прямых, если а = или
О о О
2тс
~-н~. Точки В' и С' получаются соответственно из точек В и С в результате
о
гомотетии ^G, —yj. Следовательно, геометрические места этих точек суть дуги
окружностей, когда а ~, а =£ , и
о о
тс 2тс
части прямых, когда а = — или а = —,
о о
Огибающие сторон АВ и АС суть ча-
сти линий второго порядка с фокусом О,
имеющих в качестве направляющей
окружности геометрическое место то-
Тс 2тс
чек В' и С', если а=£ v и а=£—- и части
о о
парабол с фокусом О, имеющих касатель-
ными в вершинах прямые, на которых ле-
жат геометрические места точек В' и С',
гс 2тс
если а = у или а = у. Это линии
того же рода, что и огибающие сто-
роны ВС.
Изучение треугольника (Т), для
которого дана длина а стороны ВС
(черт. 221). Для того чтобы в треуголь-
нике (Т) длина стороны ВС равнялась а,
необходимо и достаточно, чтобы ОА2 — О А'2 =--р или 40 А2— АН2 = а2. Пусть
/<—точка отрезка ОН такая, что KH=W0. Прилагая теорему Стюарта к тре-
угольнику О АН и к секущей А/<, будем иметь АК2 • ОН — АО2 • ~ ОН + АН2 X
О
1 ___ _____ 4 _____ 1 ____ 4ДО2__________________Д//2 4
х 4 он— ОН • 4 ОН • 4 ОН = О, или Л/<2 — Q - 4 ОН* = 0, откуда
ООО О .У
а =
(Я)
о
Черт. 221.
3
624 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
,„2 За2 + 4О//2 ~ л
АК2 =------Lg-----. Отсюда следует, что точка А лежит на окружности с центром
1 г__________
в точке К и радиусом -х-у 4О//24~Зй2. Точка К является центром окружности (Г^,
и
2
радиус окружности (К) с центром в точке К и радиусе м А/\ больше радиуса -к- ОН
о
окружности (Г\). Значит, окружность (К) охватывает окружность (Г\). Геометри-
ческое место вершин А — это о сружность (К), за исключением точек пересечения
этой окружности с окружностью (Г2). Геометрическое место точек А' есть поэтому
окружность (К'), Центр которой совпадает с центром окружности (Г2) и радиус
которой равен — У ЮН2 -\-За2. Этот радиус становится равным /СО, если а ~2ОН,
Мы видим, таким образом, что если а > 2ОН, окружность (К') охватывает точку О
и огибающая сторон ВС есть эллипс с фокусом О и направляющей окружностью (/<').
Если а < 2ОН, точка О лежит вне окружности (К') и огибающая сторон ВС — гипер-
бола с фокусом О, для которой (К') — направляющая окружность. Если, наконец,
а ~ 2ОН, то О лежит на окружности (К') и огибающая вырождается: она состоит
из точки О и точки, диаметрально противоположной точке О относительно окруж-
ности (К').
77. Г. Геометрическое место точек АС Точка А' —середина гипотенузы LP
треугольника АмР; значит, А'ы = А'Р = A'L и, следовательно, (черт. 222)
А'Р + AW = А'Р 4- А'Р2 = 1Р2 = г2. ,
Точка А' такова, что сумма квадра- Е
тов расстояний от нее до фиксиро-
ванных точек / и со равна постоянной
величине /*2. Значит, точка А' распо-
ложена на окружности (Л), центр ко-
торой есть середина отрезка /со и ра-
диус р которой определяется из со-
отношения 4р2 + /со2 — 2г2. Обратно:
если А' — любая точка окружности (Л),
то /А'2 + А'со2 = г2, откуда А7 < г;
значит, точка А' лежит внутри
окружности (/). Поэтому существует
Черт. 222.
А £
Черт. 223.
хорда LP, для которой А' — середина. Тогда А'Р 4~ А'Р2 = г2 и, значит (см. также
предыдущее соотношение), А'со = А'Р, откуда следует, что / L&P = 90°. Значит
геометрическим местом точек А' является вся окружность (Л); точки / и со лежат
внутри этой окружности (Г), так как на продолжении отрезка /со за его граничные
точки имеются точки, удовлетворяющие соотношению А'Р 4- А'со2 = г2.
Геометрическое место проекций Н точки <о на LP. Так как точка 2 — сере-
дина /со, то ее проекция 2' на LP есть середина А'Н\ значит, точка 2 располо-
жена на медиатрисе отрезка А'Н и, значит, 2// = 2А'. Отсюда следует, что точка Н
расположена на окружности (Г) — это вторая точка, в которой прямая LP пере-
секает окружность (Г). Так как луч со// параллелен лучу /А', так как оба эти луча
направлены в одну сторону и так как луч /А' принимает всевозможные направле-
ния вокруг точки /, то точка Н описывает всю окружность (Г).
Геометрическое место точек А, Точка А есть образ точки А' в инвер-
сии (/, г2); значит, геометрическое место точек А есть окружность (О), полученная
из (Г) инверсией (/, г2) (черт. 223).
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
625.
Огибающая LP. Прямая LP несет на себе вторую сторону прямого угла,
первая сторона которого проходит через фиксированную точку /, причем вер-
шина А' прямого угла описывает окружность (Г), внутри которой лежит точка /.
Отсюда следует, что огибающей LP служит эллипс с фокусом / и направляющей
окружностью (Г) (второй фокус О)).
Замечание. Огибающей других сторон четырехуголь шка LMNP служит
тот же эллипс (Е), так как прямая LP при вращении двух взаимно-перпендику-
лярных прямых, проходящих через со, будет занимать последовательно положения
всех сторон этого четырехугольника.
2°. Четырехугольник, образованный касательными к (/) в точках £, М,
N, Р. Так как точка А при вращении двух взаимно-перпендикулярных прямых
вокруг со пройдет через положения В, С, D, то все эти точки принадлежат гео-
метрическому месту точек А, т. е. лежат на окружности (О); значит, четырех-
угольник ABCD вписанный.
3°. Полюс АС. Полярами точек А и С относительно (/) являются соответ-
ственно прямые LP и MN. Значит, полюсом F' прямой АС является точка пере-
сечения LP и MN. Аналогично: точка Е' пересечения LM и NP есть полюс пря-
мой BD относительно (/).
АС и BD проходит через со. Из способа построения поляры точки по отно-
шению к окружности с помощью одной линейки следует, что поляры точек F' и Е'
по отношению к окружности (/) будут и>Е' и <aF' . Но мы уже видели, что поляры
точек F' и Ег суть АС и BD. Значит, <аЕ' совпадает с АС, а со/'— с BD. Таким
образом, четыре точки А, С, со, Е' лежат на одной прямой так же, как и четыре
точки: В, D, <о, F'.
Пучок, образуемый AC, BD, LN, МР. Прямые LN, МР, ыЕ' и <о£' образуют
гармоническую четверку; но ^F' и совпадают соответственно с BD и АС.
4°. Рассмотрение точек £, F, £', F'. Точки Е, F, Er, F' суть соответственно
полюсы относительно (/) прямых LN, МР, BD и АС, которые проходят через
одну точку <о и образуют гармоническую четверку. Значит, эти точки расположены
на одной прямой и также образуют гармоническую четверку, иначе точки Е, F,
Е' и F' суть точки, в которых прямая (Д) пересекается с перпендикулярами,
опущенными из I на LN, МР, BD и АС. Так как последняя четверка прямых
гармоническая, то и перпендикуляры из / на эти прямые также образуют гармони-
ческую четверку и, значит, точки Е, F, Е', F' также образуют гармоническую
четверку.
Отношение со к (О) и (/). Из способа построения поляры точки по отноше-
нию к окружности с помощью одной линейки следует, что точка со лежит на поляре
точки Е относительно окружности (С). Точка со принадлежит также поляре точки F
относительно (О); значит, поляра точки со относительно (О) есть (Д). Итак, (Д)
есть поляра точки со и относительно (/) и относительно (С). Таким образом, каж-
дая из окружностей (/) и ((9) делит гармонически отрезок <о/<, где К — проекция <о
на (Д). Мы видим, что окружности (О) и (/) принадлежат одному пучку окруж-
ностей, для которого со — одна из предельных точек.
5°. Вычисление угла от LN до МР. На основании теоремы Шаля имеем
(LN, МР) = (LN, LI) + (LI, МГ) + (МГ, МР), (1)
а также (LN, МР) = (NL, РМ) = (NL, NI) 4- (NT, РГ) + (РГ, РМ), а так как тре-
угольники LIN и MIP равнобедренные, то
(LN, МР) = — (LN, LE) + (W/, РГ) ~ (М/, МР). (2)
Складывая почленно (1) и (2), получим 2 (LN, МР) = (А/, MI) -ф- (NT, РГ)', но ЬГ,
МГ, NI, PI соответственно перпендикулярны В А, ВС, DC, DA; значит, 2 (Л/V, МР)~
-=(ВА, ВС) + (DC, DA); но ABCD — вписанный четырехугольник, значит
(В A, BC)~(DA, DC), а потому 2(LN, MP)^(DA, DC) + (DC, DA)=Q (все
с точностью до kn) и потому 2(NL, МР) == (NL, МР) = ~. Так как пря-
мые NL и МР не имеют одного направления, то п нечетное, иначе LN J_ МР. Но
прямые LN и МР образуют с АС и BD гармонический пучок; значит, LN и
МР — биссектрисы углов между АС и BD.
Существование эллипса (Е). Существование эллипса (Е) (с фокусами I и со)
было установлено в п. 1°.
6°. Существование бесконечного множества четырехугольников, вписан-
ных в (О) и описанных вокруг (I). Проведем через точку со две какие-нибудь
взаимно-перпендикулярные прямые; пусть Z, л, т, р — точки, в которых они пере-
секут окружность (/) и пусть abed — четырехугольник, образованный касательными
к окружности (I) в этих точках. На основании сказанного выше, точки a, b, с, d
будут оставаться на фиксированной окружности, в то время как две взаимно-пер-
пендикулярные прямые, проведенные через со, будут вращаться вокруг со. Эта
40 П, С. Моденов
626 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
фиксированная окружность есть не что иное, как (О), так как если In и тр сов-
падают соответственно с LN и МР, то точки a, b, с, d совпадают соответственно
с А, В, С, D. Итак, переменный четырехугольник abed постоянно описан вокруг (/)
и вписан в (О).
Существование бесконечного множества четырехугольников, вписанных
в (/) и описанных вокруг (Е). Переменный четырехугольник 1тпр на основании
п. 1° таков, что его стороны постоянно касаются одного и того же эллипса с фоку-
сами I и Так как этот четырехугольник 1тпр может совпасть с LMNP, то этот
эллипс и есть эллипс (Е). Переменный четырехугольник hnnp постоянно вписан
в (/) и списан вокруг (£) (черт. 224).
Соотношение между R, г и d. На основании п. 1° окружность (Г) есть
направляющая окружность эллипса (Е) и может быть получена из окружности (О)
при помощи инверсии (/, г2). Гомотетия
/ г2 \
(I, ~\, так же как и инверсия (7, г2),
преобразует (О) в (Г). Поэтому отношение
радиуса р окружности (Г) к радиусу R
окружности (О) равно абсолютной величине
/ /*2 \
коэффициента гомотетии I 7, » т- е-
Р ,, г2 _ г2 (3}
Это самое отношение равно отноше-
нию расстояний от центров Q и О этих
окружностей до центра 7 гомотетии
Выше мы имели
2р24
7со2
2
г2,
или
(4)
4р2 +/ш2 = 2г2. (5)
Исключая р и /2 из соотношений (3),
(4) и (5), найдем искомую зависимость
между R, г и d\
2r2 (R2 + d2) === (R2--d2)2,
78. Г. Произведение (С) (В) (Д)
Черт. 224. есть тождественное преобразование.
Пусть С' — образ С в преобразовании по-
ворота (А, а). Точка С' расположена на
окружности (А, АС). Для того чтобы поворот (В, р) возвращал точку С' в поло-
жение С, необходимо и достаточно, чтобы точка С' была расположена на окруж-
ности (В, ВС). Эти две окружности имеют одну общую точку С, значит С' — их
вторая точка встречи (черт. 225). Таким образом, точка С' симметрична точке С
р _ 7Q _ 7Q
R ~ IO “ d •
относительно прямой АВ. Значит, а = (ДС, АС) = 2 (АС, АВ), $ = (ВС, ВС) =
=2 (ВА, ВС) (с точностью до 2kit, где k — любое целое число). Так как углы а и 0
определены с точностью до 2kn, то в этих равенствах (АС, АВ) и (ВА, ВС) можно
заменить соответственно на (АС, АВ) и (ВА, ВС), так как эти углы определены
с точностью до kn, но перед ними стоит множитель 2. Если а и £ определены так,
как было указано, повороты (А, а) и (В, р) совпадают с теми, которые в условии
задачи обозначены через (А) и (В). Так как при всяком вращении вокруг точки С
она остается на месте, то произведение (С) (В) (А) оставляет точку С на месте и,
значит, это произведение есть вращение вокруг точки С. Угол этого вращения, на
основании теоремы Шаля, равен 0 (с точностью до 2kn), так как 2 [(АС, АВ) +
А-(ВА, ВС) А~ (СВ, СА)] = 0 (с точностью до 2kn). Поэтому (С) (В) (А) каждую
точку плоскости оставляет на месте.
2°. а) Углы (RP, RP') и (RQ, RQ') постоянны. Окружность (со') может быть
получена из окружности (со) вращением (/?со, Re/). Пусть Р и Q — точки, в кото-
рых окружность (<о) пересекается с какой-нибудь окружностью с центром в R
(черт. 226). Их образы Р' и Q' во вращении (Лео, Re/) суть точки, в которых
окружность (со') пересекает рассматриваемую окружность с центром R. Таким
образом, (RP, RP') = (/?<о, Ra') и (RQ, RQ') = (/?co, Ra').
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 627
б) Геометрическое место середины / отрезка РР'. Прямое подобие с цент-
ром R, которое точку Р преобразует в середину / отрезка РР', переводит точку со
в середину О отрезка coco'. Значит, геометрическое место точек I есть образ геомет-
рического места точек Р в указанном подобии. Но геометрическое место точек Р
есть окружность (со); значит, геометрическое место точек I есть окружность, полу-
ченная из окружности (со) указанным подобием, т. е. окружность, построенная
на RS как на диаметре.
в) Прямая РР' или QQ' проходит через фиксированную точку. Так как
РР' ± Я', то РР' проходит постоянно через точку S; аналогично QQ' проходит
также через S.
3°. а) Угол (М'М, М'М") в функции (М'А, М'В). На основании теоремы
Шаля (М'М, М'М") = (М'М, М'А) + (М'А, М'В) + (М'В, М'М") Пусть I и Z" —
середины М'М и М'М" тогда (М'М, М'М") = (М'М, AI) 4- (AI, М'А) 4-
+ (М'А, М'В) + (М'В, В1") + (В1", ЛГЛ1"); но так как АМ' = АМи (АМ, АМ')=^
= 2 (АС, АВ), то (М'М, AI) = и (А/, М'А) = (А/, АМ') = (АС, АВ). И далее,
из соотношений ВМ" = ВМ' и (ВМ', ВМ") = 2 (В А, ВС) имеем (М'В, BI") =
= (ВМ', ВГ) == (В А, ВС) и (BI", М'М") = ~. Соотношение, написанное выше,
принимает вид (М'М, М'М") = (АС, АВ) 4~ (М'А, М'В) + (ВА, ВС) + у, или
(М'М, М'М") = (М'А, М'В) + (АС, АВ) + (ВА, ВС)-[-к. На основании теоремы
Шаля (АС, АВ) + (В А, ВС) = (АС, ВС) = (СА, СВ)\ слагаемое тс можно опустить,
так как все эти равенства имеют место с точностью до kn. Итак, (М'М, М'М") =
= (М'А, М'В) + (СА, СВ).
б) Геометрическое место точек М'. Для того чтобы точки М, М' и М"
лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы (М'А, М'В) 4-
-4 (СА, СВ) = 0, откуда (М'А, М'В) = — (СА, СВ). Из этого равенства следует,
что точка М' должна быть расположена на окружности (Г), симметричной окруж-
ности, описанной вокруг треугольника АВС относительно стороны АВ.
в) Геометрическое место точек М и М". Круговой перестановкой букв
А, В, С и М, М', М" заключаем, что для того чтобы точки М, М' и М" лежали бы
на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы точка М" лежала на окруж-
ности (Г"), симметричной окружности, описанной вокруг треугольника АВС относи-
тельно стороны ВС, или чтобы точка М лежала на окружности (Г), симметричной
окружности, описанной вокруг треугольника АВС относительно стороны СА.
г) Прямая ММ'М" проходит через фиксированную точку. Окружности (Г)
и (Г) равны и пересекаются в точке А. Точки М и М', расположенные соответ-
ственно на этих окружностях, соответствуют друг другу [так же, как и точки Р
и Р' окружностей (со) и (со') в преобразовании вращения с центром R, которое
преобразует (со) в (со') [см. 2°, в)]. Отсюда следует, что прямая ММ' проходит
постоянно через вторую точку, общую окружностям (Г) и (Г').
д) Характеристика точки, через которую проходит переменная прямая
ММ'М". Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон,
лежат на окружности, описанной вокруг треугольника; значит, окружности (Г),
(Г'), (Г"), симметричные окружности, описанной вокруг треугольника АВС относи-
тельно сторон этого треугольника, проходят через ортоцентр треугольника
АВС —такова фиксированная точка, через которую проходят прямые ММ'.
79. 1°. Построение пары (М, М'). Обозначим через М" точку, симметричную
точке М' относительно ОА. Точки А, М и М" должны_лежать на одной прямой,
и из соотношения АМ • АМ' = Ь2 следует, что АМ • АМ" = вЬ2 (г = ± 1). Иначе
говоря, точки М и М" соответствуют друг другу в инверсии (A, eb2). Отсюда сле-
дует, что пара точек (Af, М') есть пара точек, общих окружности (L) и прямой,
40*
628
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
которая получается из (L) в результате преобразования, являющегося произведе-
нием инверсии (А, еб2) на симметрию в ОА (это произведение коммутативно). Две
инверсии: (А, Ь2) и (А, — 62), предшествующие или следующие за симметрией в ОА,
преобразуют (£) в две прямые: (L{) и (£2), параллельные касательной к окружно-
сти (£) в точке О. Каждая из этих прямых (Z^) и (Л2), если только они пересе-
кают (L), дает решение (А1, АГ) вопроса.
Исследование. Обозначим (черт. 227) через L центр окружности (£), через
I — радиус (L). Пусть (ОА, OL) = 6. Достаточно рассмотреть значения 0 в интер-
Черт. 227.
вале ^0, , так как значения 6 из интервала
/ п \
\ — *2 ’ / соответствУют окружностям, симметрич-
ным относительно ОА. Предположим, что b > 0.
Пусть Aj — проекция А на ось OL. Радиус I окруж-
ности (L) равен I — n и ОАг = a cos 0.
v r 2 cos 0 .
В инверсии (А, гЬ2) (предшествующей или сле-
дующей за симметрией в ОА) прямая, в ко-
торую переходит (Л), будет находиться от А на
расстоянии d, определяемом из равенства
d = ^Ь2. Следовательно, алгебраическая вели-
cos 0
чина расстояния от прямой (L\) до (О) на оси OL есть
, о b2 cos 0 а2 — b2 п
d{ = a cos 0----------=----------cos 0 и до (L2)
а а ' '
b2 cos 0 а2 —I— b2 / /\
есть d2 = a cos 6 -j--— = —~— cos 0. Прямая (Z.J дает решение (Atp , если
dx > 0, т. е. а > 6, а прямая (L2) дает решение (М2, А12), если d2 < “-g, откуда
b<atgft (и обратно). Таким образом, мы видим, что, если а < Ь, пара (АГр М^
не существует; если а = Ь, точки А^ и М[ сливаются с О; если а> Ь, пара
(Alp существует и точки Atx и М[ расположены при этом по разные стороны
от ОА, ибо из условия а > b следует, что (Lx) пересекает отрезок ОА; таким
образом, О А есть биссектриса угла между лучами АМ1 и AAtp Далее, если
b > /г tg 0, пара (А12, At2) не существует. Если b = atgQ, точки М2 и ^.совпадают
с точкой окружности (L), диаметрально противоположной точке О; если b < a tg 6,
пара (Л12, АГ0 существует, обе точки At2 и А!2 расположены по одну сторону
от АО; биссектриса угла между лучами АМ2 и АМ2 перпендикулярна АО. Итак,
если b больше наибольшего из чисел а и a tg 0, никакой пары (АГ, АГ) не суще-
ствует; если b заключено между а и a tg 0, одна из таких пар существует; если Ь
меньше наименьшего из чисел а и a tg 0, обе пары (Atp At*) и (Л12, Л12) существуют.
Во всем дальнейшем мы предположим, что b < а и будем рассматривать только
тот случай, когда О А есть биссектриса угла между лучами AM и AM'. Преды-
дущее исследование показывает, что пара (Atp AfJ) всегда существует (а > Ь);
именно эту пару мы будем обозначать просто через (М, At').
2°. Фиксированная точка / прямой ММ', Прямая ММ' получается в резуль-
тате инверсии окружности, симметричной (L) относительно О А. Последняя окруж-
ность проходит постоянно через точку О, а значит прямая ММ', которая полу-
чается^из нее инверсией (А, Ь2), проходит постоянно через точку I такую, что
АО • AI = Ь2. Эта фиксированная точка расположена между А и О, причем
= у (черт. 228).
Геометрическое место точек М и М'. OL есть ось симметрии для ММ',
значит ОМ ~ ОМ'. Рассмотрим окружность с центром О и радиусом ОМ. Прямая
ММ' — радикальная ось этой окружности и окружности (L). Точка / имеет постоян-
ную степень относительно пучка окружностей; значит, она имеет постоянную
степень и относительно окружности (О, ОМ); центр О этой окружности фиксиро-
ван; значит, радиус ее постоянный [не зависит от (£)]. С другой стороны, если (L)
меняется, ММ' принимает все направления вокруг О. Значит, геометрическое место
точек At и АГ есть окружность (£) с центром О радиусом ОМ — в целом. Пусть
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
629
директрисе гиперболы, соответствующей фокусу А;
Черт. 228.
со). Так как прямая, симметричная ММ' относи-
М" — точка, симметричная с точкой М' относительно О А, тогда AM ♦ AM" = b2
так как точка М" лежит на окружности (£2), то этим выражением дается степень 2 (А)
точки А относительно (2). С другой стороны, 2 (А) == а2 — R2; значит, R2 = а2 — Ь2,
где R — радиус (2). Мы видим, что точка А лежит вне окружности (2).
Огибающая прямых соЛ, w/И', аЛ и аЛ'. Так как О<о есть диаметр (£), то
углы ОЛсо и ОМА прямые; следовательно, прямые соЛ и соЛ' касаются (2) соот-
ветственно в точках Л и М'. Огибающей этих прямых является, следовательно,
окружность (2). Далее, Аа есть диаметр (А), а Л й Л' — ортогональные проек-
ции А на аЛ и аЛ'. Как мы видели, точка А лежит вне окружности (2); значит,
огибающая прямых а Л и аЛ' есть гипербола с фокусом А и главной окруж-
ностью (2). Заметим, что / есть основание поляры точки А по отношению к (2);
значит, точка I принадлежит
это дает возможность по-
строить точки прикосновения
прямых аЛ и аМ' к гипер-
боле (отрезок касательной,
ограниченный точкой при-
косновения и точкой дирек-
трисы, виден из соответ-
ствующего фокуса под пря-
мым углом); так как аЛ и аМ'
одинаково наклонены к Оа,
то точки касания располо-
жены симметрично относи-
тельно Оа.
Огибающая прямых,
симметричных ММ' относи-
тельно <о и относительно а.
Касательная в точке со
к окружности (7) огибает
параболу с фокусом О, каса-
тельная в вершине которой
есть прямая АХ, перпенди-
кулярная АО в точке А
(геометрическое место точег
тельно со, есть прямая, гомотетичная этой касательной в гомотетии (7, 2), то оги-
бающая прямых, симметричных ЛЛ' относительно со, есть парабола с фокусом
О' = 270) и вершиной A' (IA' ~2/А). Касательная в точке а к окружности (Z)
огибает параболу с фокусом А, касательной в вершине к которой служит прямая,
перпендикулярная АО и проходящая через точку О (геометрическое место точек а).
Прямая Z, симметричная этой касательной по отношению к 0Y, огибает, следова-
тельно, параболу, касательная в вершине которой есть 0Y, а фокус А" — точка,
симметричная точке А относительно О. Прямая, симметричная ММ' относительно а,
параллельна I и получается из / в результате гомотетии (7, 2); значит, огибающая
прямых, симметричных ММ' относительно а, есть парабола с фокусом в точке
S (7S = 2ТЙ") и вершиной О' (/О' = 2/0).
3; Внешние и внутренние биссектрисы углов треугольника АММ'.
Окружность вписанная и окружности, вневписанные в треугольник АММ'.
АО и Асо— две биссектрисы угла А. Окружность (2) пересекает прямую АО
в точке J, расположенной между А и О, являющейся центром окружности, вписан-
ной в треугольник АММ', и в точке J', внешней для АО, служащей центром
окружности, вневписанной в угол А треугольника АММ'. Другие биссектрисы
углов треугольника АММ' суть MJ, M'J, MJ' и M'J'. Эти прямые пересекают АХ
в центрах Р и Q окружностей, вневписанных в углы М и М'. Так как £PMQ~=
-- / PM'Q' —90°, то точки Р и Q лежат на окружности радиуса соЛ с центром ю.
Мы видим, что центры вписанной окружности и вневписанной окружности в угол А
суть фиксированные точки J и J'. Центры же Р и Q окружностей, вневпи-
санных в углы М и АГ, описывают прямую АХ.
Биссектрисы внутренних й внешних углов треугольника аЛЛ'. Вписан-
ная окружность и вневписанные окружности в треугольник аЛЛ\ Точка а
списывает прямую OY, и биссектрисы угла а суть аО и асо; аО — биссектриса вну-
треннего угла, — внешнего. Окружность (2) пересекает аО в двух точках: JY
п/f, точка Jx— внутренняя для аО, служащая центром окружности, вписанной
в треугольник аММ', а точка — внешняя для аО, служащая центром окружно-
сти, вневписанной в угол а треугольника аММ'. Это фиксированные точки. Другие
биссектрисы углов треугольника аММ' суть М ф, Mf Jx, Mj[ и Mr j\. Биссе-
ктрисы М JY и MJr пересекаются в точке а биссектрисы М'j[ и MJX — в точке V;
630 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
точки X и X' принадлежат той же окружности с центром ш и радиусом coAf; X и X'
суть центры окружностей, вневписанных в углы М' и М треугольника аММ'.
Окружность (<о, шЛ4) проходит через две фиксированные точки t и t' прямой АО,
так как середина А отрезка tt' фиксирована и, кроме того, И • It' — IM' IM' =
= I J • I J' = const; значит, геометрическое место точек X и X' есть геометрическое
место точек окружностей, касательные в которых параллельны АХ, причем все
окружности проходят через фиксированные точки t и t' — это равносторонняя
гипербола с вершинами t и t',
80. В силу того что образы одной и той же фигуры в двух различных инвер-
сиях с одним и тем же полюсом гомотетичны друг другу, выражение
tt —• R\ —R% f f f
у =--------7—7---, будучи однородным относительно Rx /?2 и d и имеющее
показатель однородности, равный нулю, будет иметь одно и то же значение во
всех инверсиях с данным полюсом. Отсюда следует, что данное положение будет
доказано в общем виде, если мы его установим для инверсии с какой-то выбран-
ной нами степенью. Пусть 3 — полюс инверсии, рх и р2 — степени этого полюса
относительно окружностей (CJ и (С2). Выберем в качестве степени инверсии
число р{. Тогда окружность (CJ перейдет в себя (отсюда следует, что R1 = R^,
а образ (С0 окружности (С2) может быть получен из этой последней гомотетией
с центром 3 и коэффициентом гомотетии
Pi SC\-R\
k= — =------1----U (1)
Pi Ri
Центр C2 окружности (C2) лежит на прямой SC2 и определяется соотношением
а радиус
^2 = #2 I I* (3)
Точки С2, 3, С2 лежат на одной прямой. Применим теорему Стюарта к четырем
точкам: С2, 3, С2; будем иметь
или,
или
или,
CjC;2 • SC2 + Cj S2 • C2C2 + CjC| • C2S + sc2 c2c2 c'2s = 0,
заменяя C,C2 на d2, СгС'2 на d'2 и C2C2 на C2S + SC;, будем иметь
d,2SC2 + C^S2 (C^S + SC0 + d2C^S 4- SC^ (C^S + SC%) C^S = 0,
d'2SC2 — SCf (SC2 — SF2) — d2 SC[ + SC^^SC^ SC^) SC2 = 0,
заменяя SC2 его выражением из соотношения (2), имеем
d'2SC2— SCl(l — k)SC2 — kd^SC2 + k(l — k)SCi = 0,
Сокращая на SC2, получим d'2=(l — k) SC2 + kd2 — k (1 — k) SC2, илий/2=М2+
+ (1 — k)(SC2 — kSCty. Из соотношения (1) имеем k (SC2 — /?2) = SC2 — R2, откуда
SC2 — kSC2 —R2 — kR2. Теперь последнюю формулу для d'2 можно переписать
так: d' = kd2 (1 — k) (R2 — kR^j, а так как R[ = Rr n R2 = \k\R2, to
d’ — R'2 — R'2 d'2 — R2 — k2R2 kd2 + (1 — k) (R2 — */?2) — R2 — k2R2
~ 2R[R2 2| A|/?i/?2 ~ 21 jfe | R^2 ~
_ kd2 — kR2x — kR22 k d2 — R\ — R22
= 21 * | RtR, = T*T 2R^R2 ’
k , d'2 — R'2 — R2 d2 — R2-R2
а так как -г- равно или +1, или —1, то ----------7—7----= ±----------------
|fe| . 21^2 2RtR2
В правой части следует взять знак +, если k положительно; следовательно [на
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 631
основании формулы (1)], если р} и р2 одного знака, т. е. если точка S лежит или
вне обеих окружностей (CJ и (С2), или внутри них. Если же точка S лежит вну-
три одной из окружностей (CJ и (С2) и вне другой, то в правой части последнего
равенства следует взять знак минус.
81. Г. При с^а. Если же с> а и если а и ₽ — точки пересечения с (Г)
касательных Ftx и Ft2 к (С), то прямая FQ будет прямой (Д) тогда и только тогда,
когда точка Q лежит на дуге аОЗ окружности (Л). Далее, OF — биссектриса
угла t{Ft2, точка О — середина дуги и ар £ Ot. Если А'— точка, диаметрально
противоположная точке О на окружности (Г), то Оа2 = О А • О А' = О А • с 2. Если
через а обозначить ту из двух точек а и р, которая лежит вместе с точкой G по
одну сторону от О А'\ то O^F = OGF = ~ ; Л ОаД поэтому прямоугольный и
___ а2
равнобедренный, значит СЬ2 = 2а2 и окончательно О А =—Z.
2°. Пусть I—середина РХР2, a J—середина Н{Н2; прямая IJ проходит через О
и перпендикулярна (Д). Далее, GH{ = — JG, GH2 = JH2 — JG = — (/Hj -j- JG),
откуда GH^ Д- GH^ = 2 (JHl Д- JG1^. Ho J\OGJ = &FOI (от одного из этих тре-
угольников переходим к другому поворотом вокруг у на угол , поэтому
JG = О/, и так как /Я1 = IPlt то GH2 Д- GH2 = 2 (IP2 Д- OZ2) = 20Р2 = 2а2.
3°. а) Пусть (С) — главная окружность линии второго порядка, ее радиус а, (Тх)
касательная к этой линии, а точка Рх [которая лежит на (С)] — проекция F на (ГД;
Р2 — вторая точка встречи (С) с прямой FPX; перпендикуляр (Г2) в точке Р2 к FP2
есть касательная к рассматриваемой линии, параллельная (7\). На основании преды-
дущего СЯ2 Д- ОН2 = 2а2. Но GH2 = g'Н[ и потому СЯ2 Д- Gfн'^ = 2а2.
б) Пусть G и G' — две фиксированные точки, О — середина отрезка
GG' (OG = OG' = с) и а — данное положительное число. Поставим вопрос об
отыскании огибающей семейства прямой {Т такой, что если Я1 и Ях — проекции G
и Gr на эту прямую, то GH\ Д- О'н'^ = 2а2. Пусть F и F' — точки, полученные
из точек G и G' поворотом вокруг О на угол — , Я2 — точка, симметричная Н[
относительно О, Рх— проекция F на (ГД и, наконец, I и /—проекции О на FPX
и ЯД. Так как 1— середина НХН2, то СЯ2 Д- G'Нг± == СЯ2 Д- СЯ2=2(С/2+/Я2).
Но 1НХ~1РХ и &OJG = £±OIF, значит, JG = OI и потому GH\-\-GrH2~
= 2 (JP2 Д- OI2} = 20Рр а следовательно, 2а2 = 2ОР2, откуда ОРх=а. Точка Рх
лежит поэтому на окружности (С) с центром О и радиусом а, а потому прямая (ГД
касается линии второго порядка с фокусами F и F', для которой (С) — главная
окружность. Эта вся линия является огибающей [это следует из 3°, а)]. Если с < а,
то точки F и F' лежат внутри (С) и огибающая — эллипс. Если с > а, то точки F и F'
лежат вне (С) и огибающая — гипербола. Если а == с, то окружность (С) проходит
через точки С. Gf, F, F', а все прямые (Г) — это прямые, проходящие через
одну из точек G или G'.
4° . Пусть G и G' — две фиксированные точки (GG' = d). Необходимое и
достаточное условие того, что прямая (7') есть общая касательная к двум данным
ортогональным окружностям с центрами G и G', имеет вид GH2 Д- G'H'2 == GG’2 = d2,
где Я и И' — проекции G и Gr на (Г). На основании предыдущего пункта, огибаю-
щая прямых (Г) есть линия второго порядка, фокусы которой F и F' получаются из
точек G и СЕ, если произвести поворот вокруг О на угол 90°, где О — середина GG';
главной окружностью будет окружность с центром О и радиусом = FG. Эта
линия — эллипс, проходящий через точки G и G'. Точка Т касания с эллипсом (Е)
прямой ЯЯ' получается так: пусть S — точка, в которой HFF пересекает FF', и
St— касательная к главной окружности (С) эллипса (Е). Точка Т есть точка пере-
сечения прямой ЯЯ' и прямой, проходящей через t параллельно GG'.
82. Г. Пусть АВС — треугольник, удовлетворяющий условию. Обозна-
чим через I середину АН, через А' — основание высоты, опущенной из А на сто-
рону ВС, через (Д)— прямую, проходящую через А перпендикулярно АЯ, и через
К—проекцию М на (Д). Так как АЯ = 2ОЛТ, то AI = ОМ; четырехугольник
О AIM— параллелограмм и, значит, MI—OA. Но О А = А А' = МК и, значит,
[М — МК, т. е. точка М лежит на параболе (П) с фокусом / и директрисой (Д).
632 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
Обратно: точка М этой параболы будет серединой стороны ВС треугольника АВС,
удовлетворяющего условию задачи, если окружность с центром О (который опре-
деляется соотношением МО = /А), проходящая через А, пересечет перпендикуляр
к ОМ в точке М, т. е. если О А > ОМ или /М > IA, иначе — если точка М лежит
вне окружности с центром 1 и радиусом IA. Эта окружность пересекает пара-
болу (II) в точках р/ и р", расположенных на перпендикуляре к IA в точке I.
Таким образом, геометрическое место точек М состоит из двух дуг параболы (И),
которые расположены в той же полуплоскости от р'р", где лежит Н (р/ и р" не
входят в это геометрическое место).
2°. Из соотношения МО == IA следует, что геометрическое место центров О
окружностей, описанных вокруг треугольника АВС, получается из геометрического
места точек М переносом IA. Если (D) прямая, в которую перейдет (Д) при этом
переносе, то геометрическое место центров О состоит из двух дуг параболы (Р)
с фокусом А и директрисой (£)), расположенных по отношению к (Д) в той же
полуплоскости, где лежит Н. Отсюда следует, что окружность (О) все время касается
прямой (D). Если т' и т" — проекции р' и р" на (£>), то огибающая состоит из
частей прямой (D), которые мы получим, удалив из нее отрезок т'т",.
84. 1°. Для построения точки М надо на луче НМХ от точки Н отложить
отрезок НМ, равный стороне квадрата с диаметром НМ{. Геометрическое место
точек М есть эллипс (Е), для которого (С) — главная окружность, А, А' — вершины,
лежащие на фокальной оси. Касательные к (С) и (Е) в соответствующих точках Мх
и М пересекаются в точке Г, лежащей на АА'. Далее, пусть прообразом 5 будет
точка Зь а прообразом I—точка Л; очевидно, прямая 03! делит пополам;
это сохраняется и после сжатия. Полюс М' прямой МТ относительно (С) располо-
жен на поляре точки Т, т. е. на прямой МН. С другой стороны, точки М и М'
гармонически сопряжены с точками Мj и М2, в которых прямая НМ пересекает (С);
тТГл гГГлг пи НМ' НМ' г—
с ле цовате льно, НМ <гш = НМ\, и так как НМ = ——, то —= у2, т. е.
1 У 2 НМХ
точка М' из Мх получается в результате сжатия к А'А с коэффициентом У 2. Зна-
чит точка М' описывает эллипс (Е') с большей полуосью аУ 2, для которого (С) —
второй главный круг. Касательная к (Е') в точке М' есть прямая М'Т; значит,
поляра М относительно (С). Для построения фокусов эллипсов (Е) и (Е') надо
в первом случае вписать в (С) квадрат со стороной, параллельной АА'; стороны,
перпендикулярные АА', пересекут этот диаметр в фокусах Е и F'. Для построе-
ния фокусов (Е') надо описать квадрат вокруг (С) со стороной, параллельной АА';
стороны, параллельные АА', пересекут медиатрису АА' в фокусах ср и ф' эллипса (Е').
оо НМ KI НМ KL НМ2 1 z1. _
2 • НА = КА ’ НА' = КА' ’ °ТСЮДа НА^НТ = 2'^ ПуСТЬ М' “ Т0Чка
пересечения луча НМ с (С). Тогда НМ^ ~ НА • HAf и на основании (1)
/ЕИ 1 _ . с,тгал НМ' г-^
. Далее, НМ' = 2НМ и, значит, — у 2.
/ЕИ1 У 2 /E^i
3°. М'Н и A'L — две высоты Л А'М'А, значит третья высота AM; / A'QA ~ 90°
и Q описывает (С). Полюс 5 прямой AL относительно (С) есть точка, в которой
прямая (Е) пересекается с касательной к (С) в точке L. Так как SL = SA, то 3
есть точка пересечения с (D) медиатрисы AL с гипотенузой АР прямоугольного
треугольника ALP, значит AS == SP. Прямая OS |) А'Р, а так как 3 — середина АР,
то точка N пересечения OS и АМ есть середина АМ. Мы видели (1°), что точка,
в которой касательная к эллипсу (Е) в точке М пересекает (D), есть прямая,
соединяющая О с серединой N отрезка АМ, т. е. 3. Значит геометрическое
место точек пересечения касательных в L к (С) и в М к (Е) есть прямая (D).
Пусть Р'— точка, в которой прямая АМ' пересекает касательную (D') к (0 в А',
и пусть J—точка, в которой прямая А'М' пересекает Ll\. Так как / — середина L,
то М — середина НМ' и, значит, L — середина НМ'. Значит точка М' может быть,
исходя из точки Р', построена так: строим KJ — 2/<Z; пересечение АР' и A'J
есть М'. Мы видели (1°), что касательная к (Е') в точке М' есть поляра М относи-
тельно (С). Касательная в Z к (С) есть поляра L относительно (С). Точка пере-
сечения этих двух прямых есть, следовательно, полюс ML; но полюс ML есть
точка S' пересечения касательных (£)') и LS к (С). Но 3 — середина АР,
значит S' — середина А' Р' и, значит, точка S' — точка пересечения касательных
в £ к (С) и в М' к (Е') описывает целиком (D'), когда Р' описывает целиком (D').
Далее, АР • А'Р' = 2AS • 2A'S' = 4AS • A'S' = 4/3 • LS'. Ho £A'L A -90° и
OS J_ A'L и OS JL AL; значит, / SOS' = 90°, поэтому LS • LS' = OL2 ~ а2, а следова-
тельно, AP’ A'P' = 4я2. Огибающая 33' есть окружность; значит, огибающая РР'
есть эллипс (РР' и S3' пересекаются на АА'; РР' из S3' получается в результате
сжатия к АА' с коэффициентом 2), полуоси которого а и2я; прямые АА' и медиатриса
этого отрезка его оси симметрии; окружность (С) — вторая главная его окружность.
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 633
85. Г. Предположим сначала, что произведение 10 • 10' положительно и равно
/А* 2 = а2, и обозначим в этом случае точки О и О' так: о и о', а окружности (О)
и (О') так: (я) и (o'). Точки оно' находятся с одной стороны от точки I. Пусть
касательная к окружности (o') в точке В пересекает ось х'х в точке /. Тогда
If - Io' = —I А2 = — Io Io', откуда If = — Io. Аналогично и If' = — Io'. Отсюда сле-
дует, что касательные Bf к окружности (o') nAf' к окружности (о) соответственно
параллельны Ао и Во'. Пусть р и q — точки пересечения Bf, Af' и Ао, Во'.
Четырехугольник ApBq — прямоугольник, I — его центр; значит, точки р и q лежат
на окружности с диаметром АВ (и являются диаметрально противоположными
точками этой окружности). Таково геометрическое место р в случае Ю • 10' = AI2.
Пусть теперь 10 • 10' = т2а2. Построим точки о и о' такие, что IO = mfo и
Ю' = mlo'. Прямые АО и ВО' получаются из прямых Ао и Во' умножением абс-
цисс точек о и о' на т; значит, точка Q (точка пересечения АО и ВО') из точки q
получится перемещением последней по прямой, параллельной оси х'1х, так что
абсцисса этой точки умножится на tn.
2°. Прямые АО и ВО' пересекаются в точке Q, АО' и ВО — в точке Q', сим-
метричной Q относительно ОО'; пусть//—точка пересечения QQ' с ОО'; точки/
и Н гармонически сопряжены с точками О и О', а так как точки 1, О, О' фикси-
рованы, то фиксирована и точка Н. Точка Q лежит, следовательно, на прямой,
проходящей через Н перпендикулярно ОО'. Далее, АР и ВР перпенди-
кулярны соответственно AQ и BQ; значит, точки А, Р, В, Q лежат на одной
окружности с диаметром PQ; центр со этой окружности лежит на медиатрисе
отрезка АВ. Значит расстояния HQ и МР от Q и Р до О равны, но противопо-
ложно направлены. Заметим, что АРВ &OQO' (треугольники со взаимно-
перпендикулярными сторонами). Точки N и Н — основания высот PN и QH,
так же как / и С, — середины АВ и ОО', соответствующие в этом подобии; значит
, откуда IN2 = СН • NP. Обозначая через х и у координаты Р,
получаем у2 = — СНх, и поскольку СН = const, то это уравнение параболы с вер-
шиной / и осью 1х'. Полагая Ю = а, 10' — Ь, находим IC = , и далее
2 1 , 1 аb „ .-zy 2ab
—= =—Р — ~—т—. Следовательно, 1Н=——у, откуда CH—IH—IC =
а ‘ b ab a-f-b J
2ab а + b (а — Ь)2 _ 2 (а — Ь)2
= —г-7------4— = — 7Y7—г-—-. Последнее уравнение принимает вид у2 = ~х.
afb 2 2 (а 4-0) г 2(а-{-Ь)
Далее, IF' • 10' = — a2, IF • 10 = а2, откуда IF' = — ~ ~ = ~~ • Пря-
мые BF и AF' получаются, таким образом, из Bf и Af' умножением абсцисс послед-
них на (и без изменения ординат). Значит точка р перейдет в точку Р, лежащую
на перпендикуляре pH к АВ, причем НР=^ Нр. Отсюда следует, что окруж-
ность (I) перейдет в эллипс, для которого АВ будет одна из осей; ось, перпенди-
кулярная АВ, будет иметь величину — АВ. Теперь предположим, что произведение
Ю • Ю' постоянно, но отрицательно и равно — а2. Тогда АО и АО' перпендику-
лярны, окружности (О) и (О') ортогональны; касательные к ним в точках А и В
будут О'А и ВО, которые пересекаются в точке Р. Геометрическое место точек Р
есть в этом случае геометрическое место вершин Р треугольников ВРА с фикси-
рованным основанием и разностью углов при основании, равной 90°: ВАР—АР В = 90°.
Можно сказать, что АР и ВР поворачиваются на равные углы, но в противополож-
ных направлениях, причем биссектриса угла АРВ имеет неизменное направление
(следует из &АР — АРВ = 90°). Известно, что это равносторонняя гипербола с вер-
шинами А и В. Если Ю • 10' = — т2а2, то введем точки О± и О^ такие, что
Ю ~ mIOi, Ю == тЮу как и в предыдущем случае, установим, что точки Р{ и Р
__________________________________ 1 ______
имеют одинаковые ординаты, но НР = — НР{ (Н—основание перпендикуляра,
опущенного из Р на у'у). Это последнее преобразование преобразует равносто-
роннюю гиперболу с вершинами Л и В в другую гиперболу с теми же вершинами,
но уже не равностороннюю.
634
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
86. Замечание. Углом между прямой и окружностью мы будем называть
острый угол, образованный этой прямой и касательной к окружности в одной из
точек, в которых ее пересекает данная прямая.
I. 1°. Касательными в точке А к искомым окружностям являются прямые, про-
ходящие через А и образующие с прямой (D) углы 6. Значит центры искомых
окружностей лежат в точках пересечения медиатрисы отрезка РА с прямыми, про-
ходящими через точку А и образующими с прямой (D) угол ~ — 0. Если 0 < 0 < ~,
то имеются две такие окружности: (О) и (О'). Если 0 = 0, то имеется только одна
окружность [проходящая через Р и касающаяся (£)) в точке Л]. Если 0 = ~ , то
есть тоже одна окружность — ее центр Е [точка пересечения с (D) медиатрисы
отрезка ЛР].
Замечание. В изложенном выше мы предлагали, что точка Р не лежит на
прямой (£)). Если точка Р лежит на прямой (D) и если точки А и Р различны, то
все предыдущие построения остаются в силе, за исключением только случая 0 = 0;
в этом случае не существует ни одной окружности, удовлетворяющей условию
задачи. Случай совпадения точек Р и А не представляет интереса; в этом случае,
каково бы ни было 0, существует бесконечное множество (и даже «дважды» бес-
конечное множество, если 0=^=0 и 0 ~ j окружностей, удовлетворяющих условию
задачи.
Во всем дальнейшем мы будем предполагать, что точка Р не лежит на (D)
(в вопросе 2° это даже необходимо). Предположим, что 0 < 0 < . Так как
ЕО О А
(D) — биссектриса угла А треугольника ОАО', то . Отсюда следует,
что Е — центр подобия окружностей (О) и (О'), а значит Е может служить и цент-
ром инверсии, при котором окружность (О) перейдет в (О') и обратно. Точка А
в этой инверсии неподвижная, точки же В и В' переходят друг в друга, значит
ЕА2 = ЕВ • ЁВ'.
2°. В инверсии (Р, PH2) прямая (D) переходит в окружность (С) с диамет-
ром PH, а множество окружностей (О), пересекающих (D) под углом 6, переходит
в множество прямых (5), пересекающих (С) под углом <0; это множество прямых
есть множество касательных к окружности (L') с центром С и радиусом d cos 0.
3°. Огибающая прямых (S) есть окружность (£'), значит огибающая окружно-
стей (О) есть окружность (А), полученная из (L') инверсией (Р, РН2)\ определим
положение центра L этой окружности. Пусть Р' — точка, симметричная точке Р
относительно прямой (D). Точка Р' есть образ точки С в инверсии (Р, PH2),
а потому Р' есть основание поляры точки Р относительно окружности (Ь). Пусть U
и V—точки, в которых касательные, проведенные из Р к (L'), пересекают пря-
мую (D), a U' и V — точки пересечения этих касательных с прямой, проходящей
через Р' параллельно (D)\ окружность (L) — это окружность, касающаяся пря-
мых PU' п РУ ъ точках U' и У; ее центр лежит на пересечении прямой PH
с перпендикуляром к PU' в точке U'. Легко находим: P'U' = РР' ctg 0 = 2d ctg 0,
n r P'U' 4d cos 0 nr R 4d
R = LU' = - . й =—г-;-?- и PL —---------- =
sin 0 sm2 0 cos 0 sin2 0
Далее, так как окружности (L') концентричны, С — их общий центр, и все
они ортогональны медиатрисе (Д) отрезка PH, то окружности (L) ортогональны
образу (Д) в инверсии (Р, PH2), т. е. к окружности с диаметром РР'. Эти
окружности (L) принадлежат поэтому к одному пучку окружностей с радикальной
осью (D) и предельными точками Р и Р'.
Замечание. Если 0 изменяется от 0 до ~ , окружность (L') пробегает
множество всех окружностей с центром С и лежащими внутри (С); граничными
являются: окружность-точка С и сама окружность (С). Отсюда следует, что окруж-
ности (L) не охватывают всего указанного пучка, но лишь все те и только те
окружности этого пучка, внутри которых лежит точка Р'\ граничными являются
сама точка Р' и прямая (D) — вырожденная окружность пучка.
4°. Заметим сначала, что если 0 = 0, то окружности (О) проходят через Р
и касаются (D); значит, геометрическое место точек О в этом случае есть пара-
бола с фокусом Р и директрисой (D). Если 0 = ~ , то окружности (О) ортого-
нальны (D) и геометрическое место точек О есть сама прямая (D). Исключая эти
два частных случая, будем считать, что О<0<~. Окружности (О) проходят
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 635
через Р и касаются окружности (£) [которая в целом есть огибающая (O)J, поэтому
геометрическое место точек О есть гипербола с фокусами Р и £, для которой
окружность (£) есть направляющая окружность, относящаяся к фокусу Z. Эта
гипербола имеет в качестве центра Г середину отрезка PL\ ее главная окружность
есть окружность с центром Г, проходящая через U и V, ее асимптоты — прямые ГО
и ГУ (так как они соединяют центр Г гиперболы с точками U и V прикосновения
касательных, проведенных из фокуса Р к главной окружности), эксцентриситет
ГР 1
равен е = у-д = со8~у и» наконец, (£>) — директриса, соответствующая фокусу Р.
Замечание. Можно и иначе: пусть А — одна из точек пересечения окруж-
ности (О) с (£>) и К — проекция О на (£>). Так как / АОК = 0, то ОК == АО cos о =
ОР 1
= ОРСО8 0, откуда =
5°. Если 6 = 0, то все окружности (О) касаются (D) и геометрическое место
точек / есть прямая (D). Если 0 = ~, то прямая (D) — диаметр всех окружностей
(О) и все эти окружности имеют для прямой (D) полюсом / — бесконечно уда-
ленную точку в направлении, перпендикулярном (D). Исключая эти частные случаи,
будем считать 0 < 0 < Пусть / — полюс (£>) относительно (О), А — одна из
точек пересечения (О) с (£)) и К— проекция О на (£>). Тогда КО • KI = — КА2 =
________ jzj
= — /(О2 fg2 о, откуда =: = — tg2 0. Из этого соотношения следует, что геометриче-
КО
ское место точек I из геометрического места точек О получается, если произвести
сжатие к оси (£>) с коэффициентом tg2 6 последующую симметрию в (£>). Значит геоме-
трическое место точек I есть гипербола (G), полученная из гиперболы (Г) в резуль-
тате этого преобразования. Центр G гиперболы (G) есть образ центра Г гипер-
j-jQ _____ _____ ____
болы (Г) в этом преобразовании. Значит =7-= —tg20. Но НР-НГ =— HU2 —
НГ
___ fjp
= — НГ2 tg2 6; значит, —— = — tg2 0 и точки Р и G совпадают. Таким образом,
НГ
положение центра G гиперболы (G) не зависит от 0. Так как точки U и V в ука-
занном преобразовании неподвижны, а Г переходят в Р, то асимптотами (G)
будут PU и PV, главной окружностью будет окружность с центром Р, проходящая
через U и V [ибо при рассматриваемом сжатии длина ПО действительной полуоси
гиперболы (Г) перейдет в длину ГО • tg2 0 действительной полуоси гиперболы (G);
но rUtg2 0 = РО]. Наконец эксцентриситет гиперболы (G) равен
II. Углом между двумя пересекающимися окружностями назовем острый угол
между касательными к ним в точке их пересечения.
Г. Огибающая (£) окружностей (О), соответствующих данному углу 0.
Рассмотрим сначала частные случаи 0=0 и 0 =~; будем различать две возмож-
ности— лежит ли точка Р на окружности («) или нет.
а) Точка Р лежит на окружности (<о). Если 0=0, то множество окружно-
стей (О) состоит из всех окружностей, касающихся (со) в точке Р. Если ® = ту,
то множество всех окружностей (О) состоит из всех окружностей, касающихся соР
в точке со.
g) Точка Р не лежит на окружности (со). Если 0 = 0, то окружности (О)
касаются окружности (со) и .через каждую точку (со) проходит и притом только одна
окружность (О). Огибающей будет (со). Если 6 = ~, то окружности (О) ортого-
нальны (со), они проходят, следовательно, через вторую фиксированную точку
Р' — основание поляры точки Р относительно (со). Эти окружности образуют пучок
с базисными точками Р и Р'. Огибающей нет. Исключим эти частные случаи, т. е.
будем считать, чтоО<0<у’, будем снова различать два случая.
у) Точка Р лежит на (со). Пусть (7)— касательная к (со) в точке Р, а (7\)
и (72)— две прямые образующие с (7) угол 6. Множество окружностей (О) состоит
из всех окружностей, касающихся (7^ в точке Р, и всех окружностей, касаю-
щихся (72) в точке Р.
3) Точка Р не лежит на (со). Произведем инверсию с полюсом Р и степенью
инверсии, равной Рсо2 — р2 = 4^2 — р2. В этой инверсии окружность (со) переходит
в себя, а окружности (О) переходят в прямые (о), пересекающие (со) под постоянным
636 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ'
углом 0. Если (О) пересекает (<*) в точках Л и В, то прямая (б) есть А'В',
где А' и В' суть вторые точки пересечения РА и РВ с (<о). Огибающая прямых (о)
есть окружность (Е') с центром <о и радиусом р cos 6; значит, огибающей окружно-
сти (О) будет образ (Е') в указанной инверсии. Уточним положение точки Е и
найдем величину радиуса окружности (Е). Центр Е окружности (Е) есть образ
в указанной инверсии основания поляры Е' точки Р относительно (Е'). Имеем
Р£. РЕ' = 4d2 — р2. Но РЕ' -Рй>~4(12 — о2 cos2 6, значит РЕ = Ры .
1 4а2 — р2 cos2 0
Это соотношение определяет положение точки Е. Радиус (Е) находим из про-
РЕ
Рш
4с/2 — р2
4с/2 — р2 cos2 0
I 4с/2 —р2 I
.откуда г = | ^2_p2cos2fl [pcosQ.
порции -------
р cos 0
Докажем, что окружности (О) принадлежат одному пучку. Окружности (Е') при-
надлежат пучку концентрических окружностей с центром о>; все они ортогональны
прямым, проходящим через to; образами этих прямых будут окружности, прохо-
дящие через Р и через точку со', полученную из <о указанной инверсией. Окружно-
сти (Е), будучи ортогональными окружностям, проходящим через Р и со', будут
сами образовывать пучок с предельными точками Р и со'.
Замечание Если 0 изменяется от 0 до , то окружности (Е') — это все
окружности с центром со, лежащим внутри (со); граничными окружностями служат
сама окружность (<о) и < окружность-точка > со. Окружности (Е) не заполняют, таким
образом, всего пучка окружностей с предельными точками Р и со'. В самом деле:
1) Если Р вне (со), то со' — внутри (со) и окружность (Е) пробегает часть множе-
ства тех окружностей пучка с предельными точками со' и Р, которые окружают со';
граничными окружностями для (Е) являются сама окружность (со) и сокружность-
точка» со'. 2) Если точка Р лежит внутри (со), то со' лежит вне (со) и окружность (Е)
пробегает множество тех окружностей пучка с предельными точками Р и со',
которые не лежат внутри (со); точнее в этом случае [точка Р лежит внутри (со)]
будем иметь: если р cos 0 < 2с/, то окружности (Е') лежат внутри окружностей
с центром со и радиусом сор = d и окружности (Е) пробегают множество окружно-
стей пучка, которые окружают со'; если р cos 0 = 2с/, то (Е') есть окружность
с центром со, проходящая через Р; значит, (Е) вырождается в радикальную ось
пучка — медиатрису со'Р; если, наконец, р cos 0 > 2tZ, то окружность (Е') пробегает
кольцо, заключенное между (со) и окружностью с центром со и радиусом соР; ок-
ружности (Е) пробегают тогда те окружности пучка с предельными точками
Р и со, которые окружают Р, но лежат вне (со).
2°. Геометрическое место (Н) центров (О), соответствующих данному
углу 6. Рассмотрим ряд случаев в зависимости от расположения точки Р отно-
сительно (со) и в зависимости от значений 0.
а) Р лежит на (со). Если 0=0, то геометрическое место точек Р есть пря-
мая Рсо; если 0 — ~ — геометрическое место точек О есть касательная к (О)
в точке Р; если 0 < 6 < ~, то геометрическое место точек О есть две прямые,
проходящие через Р и образующие с соР углы 0.
g) Точка Р лежит вне (со). Если 0=0, то окружности (О) огибают саму
окружность (со) и геометрическое место их центров есть гипербола с фокусом Р
и направляющей окружностью (со); если 0 = ~ , то окружности (О) проходят через
точки Р и со'; геометрическое место их центров есть, следовательно, медиатриса
отрезка Рсо'; если 0 < 0 < ~, то окружности (О) огибают окружность (Е), окру-
жающую со', причем точка Р лежит вне этой окружности (Е); значит, геометриче-
ским местом О будет гипербола с фокусами Р и Е и направляющей окруж-
ностью (Е).
у) Точка Р лежит внутри (со). Рассмотрим несколько случаев в зависимости
от величины О.
Vi) р cos 0 > 2d. Окружности (О) огибают окружность (Е), окружающую Р;
геометрическое место их центров есть эллипс с фокусами Р и Е и направляющей
окружностью (Е); если 0=0, то геометрическое место точек О есть сама окруж-
ность (со).
Тг) р cos 6 < 2с/. Окружности (О) огибают окружность (Е), окружающую со',
и, следовательно, точка Р лежит вне окружности (Е). Геометрическое место их
центров будет гипербола с фокусом Р и направляющей окружностью (Е).
Тз) р cos 0 = 2d. Окружности (О) огибают медиатрису ‘ отрезка Рсо'. Геоме-
трическое место их центров — парабола с фокусом Р, директрисой которой служит
указанная медиатриса.
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
637
87. 1°. Пусть (D) и (D')— две прямые, проходящие через точку А и такие,
(D, D') = ~ . Обозначим через В и С точки, в которых эти прямые пересе-
прямую (Л), через О — центр окружности (Г), описанной вокруг треуголь-
АВС, и через Н—проекцию точки О на (А). Тогда (ОВ, ОС) = 2 (АВ, АС) =
что
кают
ника
= ~ (mod 2~); треугольник ВОС, следовательно, равнобедренный и прямоугольный,
О В О А г^г о
а потому = У 2 или Qjj = У 2; значит, точка О находится на равносторонней
гиперболе (Нх) с фокусом А и соответствующей директрисой (А). Обратно: пусть
О — какая-нибудь точка, лежащая на гиперболе (ЯД Я—ее проекция на (А),
а В и С — точки встречи (А) с окружностью, проходящей через А с центром О.
Из соотношения — или ^| = Т/Г2 следует, что £±ВОС прямоугольный и.
равнобедренный; значит, при соответствующем обозначении точек В и С, (ОВ, ОС) =
= у (mod 2") и потому (АВ, АС) = . Таким образом, геометрическое место
точек О есть гипербола (Н^ в целом. Центр / этой гиперболы — точка, симмет-
ричная А относительно (А).
Замечание. Если (D') || (А), С — бесконечно удаленная точка, В совпадает
тогда с точкой В{, в которой (А) пересекается с одной из асимптот, окружность (О)
вырождается в прямую АВ}, а ее «центр:» — бесконечно удаленная точка в напра-
влении одной из асимптот. Аналогично, если (D) || (А). Огибающая (Г) есть окруж-
ность радиуса 2^уг2 с центром в точке F, которая симметрична точке А относи-
тельно /. Геометрическое место центров со окружности девяти точек, треуголь-
ника АВС находится так: пусть а, р, у —середины ВС, С А и АВ, а А'— про-
екция А на (А). Если (D) и (D') меняются, точки р и у описывают прямую (5),
полученную из (А) гомотетией ^А, . Далее (ар, ау) = (D, D') = (mod тс).
Точка А' лежит на окружности (ару); значит, (А'₽, А'у) = (ар, ау) =-^ (mod тс).
Таким образом, точка со окружности (А'уР) определяется по отношению к А' и (5)
точно так же, как точка О по отношению к А и (А); значит, со описывает равно-
стороннюю гиперболу с фокусом А' и директрисой (б).
Геометрическое место В' и С'. Треугольники АВВ' и АСС' прямоугольные
х АВ' АС' 1 д
равнобедренные, значит -----=------— ——. От точки В мы переходим к точке В
АВ АС у 2
при помощи поворота вокруг точки А на угол и последующей гомотетии с коэф-
фициентом . От точки С к С' мы переходим при помощи поворота на
угол —— и последующей гомотетии с коэффициентом Геометрические
V &
места точек В' и С', следовательно, будут образы (А) в указанных преобразо-
ваниях: это прямые А'х и А'у, проходящие через А' и такие, что
тс тс
(А, А'х) — -^, (А, А'у) = — -j- [биссектрисы углов между АА' и (А)]. Далее, А'В'
и А'С' (т. е. А'х и А'у) фиксированы; точка А служит центром окружности,
касающейся этих прямых, и она касается В'С' ^эта окружность и будет огибаю-
щей В'С', ее радиус
2°. Пусть АГ и АТ' — касательные в точке А к окружностям (А4)
и (Мг). Тогда (АТ, АТ') — (АТ, АВ) + (АВ, АС) + (АС, АГ')(тобтс) =
— (АВ, ВС) + (АВ, АС) + (ВС, AC) (mod тс) = (АВ, АС) + (АВ, AC) (mod тс) =
= 2 (АВ, AC)(mod тс) = ~ (mod тс). Точки М и М' описывают целиком параболу
с фокусом А и директрисой (А).
Геометрическое место точек Р. Произведем инверсию (А, АА'2); прямая (А)
перейдет в окружность (АА'), а точка Р— в точку Р'. Окружности (AI) и (ЛГ)
перейдут в две перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке Р' и касаю-
щиеся окружности (АА'). Значит геометрическое место точек Р есть окружность (Q'),
638 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
описанная вокруг квадрата, описанного в свою очередь вокруг (АА'); будем счи-
тать, что одна из сторон UV этого квадрата лежит на (Д) (А' — середина UV).
Геометрическое же место Р будет окружность, полученная из (й') инверсией (А, АА'2);
центр этой окружности лежит на АА'; одна из ее точек К есть, очевидно, точка
пересечения UA с (АА'), другая S есть точка пересечения стороны квадрата,
противоположной UV, с А'К. Далее, ММ' — медиатриса АР; так как Р описывает
окружность (й), внутри которой лежит точка А, то эта огибающая есть эллипс,
для которого (Q)— направляющая окружность, .относящаяся к другому фокусу.
Докажем, что окружность (ВСР) проходит через фиксированную точку: пусть
Q — вторая точка пересечения прямой АР с окружностью (ВРС) и L — точка
пересечения_АР и (Д) (Z—середина ВС)£имеем LBLC—LP LQ или ТР TQ~—ТВ2,
а так как LB2 = LP • LA, то LQ = — LA; следовательно, точки Q и А симметричны
относительно L и, значит, относительно L симметричны и окружности (РВС)
и (АВС). Отсюда следует, что эти окружности симметричны относительно (Д),
а потому окружность (РВС) проходит через точку /, симметричную точке А отно-
сительно (Д), т. е. через центр I гиперболы (Нх).
3°. Пусть (Д) — директриса параболы (Р), а М и М'— точки пересечения
с параболой (Р) двух взаимно-перпендикулярных полупрямых, проходящих через
точку F. Окружности с центрами М и М', проходящие через (Р), ортогональны
между собой и касаются (Д) в точках В и С. Мы приходим к конфигурации 2°
(теперь F вместо А). Пусть А' — проекция А на (Д), а К — проекция F на ММ';
Р — вторая точка пересечения окружностей (Л4) и (ЛГ). Геометрическое место
точек Р есть окружность (Й), полученная инверсией (Р, РА'2) из окружности,
описанной вокруг квадрата, который описан вокруг окружности с диаметром АА',
а геометрическое место точек К есть образ (й) в гомотетии Огибаю-
щая ММ'— эллипс с фокусом Р [(й) — направляющая окружность, относящаяся
к другому его фокусу].
4°. Обобщение на случай какой-нибудь линии (Г) второго порядка и
угла а ~.
Первый случай: (Г) — центральная линия. Пусть М и ЛГ —две точки (Г)
такие, что (FM, FM') = в; р и р' — точки прикосновения направляющей окружно-
сти (F') с центром F' с окружностями (М, MF) и (М', M'F), ср— вторая точка
пересечения этих окружностей и Р — ортогональная проекция Р на ММ' (Р — сере-
дина Р<р). В инверсии с полюсом Р [которая переводит в себя окружность (Р')]
окружности (М MF) и (М', M'F) переходят в касательные к окружности (F')
в точках Г и Г, в которых эту окружность вторично пересекают прямые Рр. и Рр'.
Эти касательные пересекаются в точке ср', являющейся образом у в указанной
инверсии (/). Теперь рассмотрим два подслучая:
“ >' ..................................>*
а) (Г) —эллипс. Векторы FM и F'T тогда будут параллельны и противопо-
ложно направлены, так же как и векторы FM' и F'T', значит (F'T, F'T') = а
и / Ту'Т' = ъ — а. Точка <р' принадлежит поэтому окружности (^') с центром F'
2а .
и радиусом р =------. Эта окружность описывается точкой у целиком, так как
C0ST _ _ _> _>
при полном обороте угла (FM, FM') вокруг точки Р угол (F'T, F'T') делает пол-
ный оборот вокруг F'. Геометрическое место точек ср есть образ окружности (<р')
в инверсии (/), т. е. тоже окружность (ср). Геометрическое место точек Р есть
окружность (Р), гомотетичная (ср) в гомотетии ^Р, Точка Р лежит внутри (у'),
а значит и внутри (ср) и (Р). Огибающая ММ', следовательно, — эллипс, для которого
(Р) — главная окружность, а (ср) — направляющая окружность, относящаяся ко вто-
рому фокусу.
б) (Г) — гипербола. Пусть а и v — точки прикосновения к (F') касательных,
проведенных к (F') из Р, а и' и v' — точки прикосновения тех же касательных
к главной окружности линии (Г). Если точки М и М' лежат на одной ветви (Г),
которая окружает Р, то р. и р/ лежат на дуге usv окружности (F'), более близкой
к Р; в таком случае точки Т и Т' лежат на дуге us'v окружности (F'). Векторы Р7?
и FM, а также F'T' и FM' параллельны и одинаково направлены и, значит,
/ Т'уТ = тс— а. Точка <р' лежит, следовательно, на той дуге окружности (<?') с цен-
c., г 2а „
тром Р и радиусом р =-------, которая лежит внутри угла uFv и которая ближе
cos
к Р. Обратно: всякой точке ср' этой дуги соответствуют точки М и М' одной
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
639
ветви (Г), окружающей Е, и такие, что (FM, FMr) = а. Если М и Мг обе принад-
лежат ветви (Г), окружающей F', то р и р' лежат на дуге us'v; значит, Т и Тг
находятся на дуге usv окружности (Fr), поэтому / Ту'Т' ~ к — а и ?' лежит на
дуге (?'), внешней для угла uFv или для угла, вертикального с углом uFv, Верно
и обратное. Наконец, если точка М принадлежит дуге, окружающей F, a
(ее будем тогда обозначать принадлежит ветви, окружающей F', то р лежит
на дуге usv, р/ — на дуге us'v, значит Т — на дуге us'v, Тг — на дуге usv и потому
/ Т^ГТГ — а. Соответствующая точка лежит на одной из дуг окружности (?Q
Z7Z 2^
с центром F и радиусом --------, внешней для угла uFv или для угла, вертикаль-
sin7
ного с углохм uFv, Верно и обратное. Окончательно: геометрическое место точек у'
состоит из дуг окружности (/), внутренних углу uFv или углу, с ним вертикаль-
ному, и дуг (?j), внешних для этих углов. Отсюда следует, что геометрическое место
точек ср состоит из дуг окружностей (?) и (?j), полученных инверсией (/) из указан-*
ных дуг окружностей (?') и (?0. Дуги (?) вырождаются в отрезок urvr, если (?')
проходит через F; дуги (?j) вырождаются в часть прямой, внешнюю относительно
отрезка urvr, если (?t) проходит через F. Геометрическое место точек Р получается
из геометрического места точек ? гомотетией ^F, и, значит, состоит из четы-
рех дуг окружностей, которые могут, в частности, вырождаться в отрезок или
полупрямые. Огибающая (Е) прямых ММ' поэтому состоит из дуг линий второго
порядка с фокусохм (Е), для которых главными окружностями (или прямой) являются
окружности, носящие на себе геометрическое место точек Р (или касательная
в вершине в случае параболы). Исследуем, наконец, тип огибающей прямых ММ'.
Обозначим через 6 угол uFrv между асимптотами (Е). Тип огибающей будет зави-
сеть от положения точки F относительно окружностей (?') и (?j). Следует рас-
смотреть несколько случаев в зависимости от взаимоотношения величин 0, в и
п
Г
а) 6 < у, следовательно / u?v > у* Если 0 < а < те — 0, то F лежит
внутри (?') и (?Д значит внутри (?) и (?i), огибающая состоит из четырех дуг
эллипсов. Если а < 6 или а > тс—0, то F лежит внутри одной из окружностей (?')
(?1) и вне другой, значит внутри одной из окружностей (?), (?j) и вне другой.
В этом случае (Е) состоит из двух дуг эллипсов и двух дуг гипербол. Если а = 0
или а = тс — 0, то F лежит на одной из окружностей (?'), (?t) и внутри другой;
значит, (Е) состоит из одной (или двух) дуг парабол и двух дуг эллипса.
₽) 6 > у , следовательно, / uFv < Если тс — 0 < а < 0, то Е вне (?') и (?*),
значит вне (?) и (?i), а потому (Е) состоит из четырех дуг гипербол. Если а < тс — 0
или а < 0, то F — вне одной из окружностей (?'), (?^ и внутри другой, значит вне
одной из окружностей (?) и (?j) и внутри другой; (Е) состоит из двух дуг эллипса и
двух дуг гиперболы. Если а = тс — 0 или а — 0, то Е лежит на одной из окружно-
стей (?'), (?i) и вне другой; значит, огибающая прямых ММ' состоит из одной
(или двух) дуги параболы и двух дуг гиперболы.
?) 0 = ~. Если а #= , то Е лежит внутри одной из окружностей (?'), (?j)
и вне другой, значит внутри одной из окружностей (?), (?i) и вне другой. Оги-
бающая (Е) прямых ММ' состоит из двух дуг эллипса и двух дуг гиперболы.
Если а = ~, то окружности (?') и (?J) совпадают с окружностью, проходящей
через Е (и с центром Е'), и огибающая есть парабола с фокусом Е и директри-
сой u'v' (между прочим, u'v'— также директриса (Е), относящаяся к фокусу Е).
в) (Г) — парабола. Обозначим через 5 вершину (Г), через р — ее параметр,
через (Д)— директрису и через Н—проекцию S на (Д). Пусть М и М'— две
точки (Г) такие, что (FM, FM') — a- р и р'— точки прикосновения с (Д) окружно-
стей (М, MF) и (ЛГ, M'F); ?—.вторая точка пересечения этих окружностей и
Р — проекция Е на ММ'. ПроизведехМ инверсию (Е, Е//2); (Д) перейдет в окруж-
ность, построенную на FH как на диаметре, а окружности (Л4, MF), (M't M'F) —
в касательные к окружности (FH) во вторых точках Т и Т' встречи этой окруж-
ности с прямыми Ер и Ер'. Эти касательные пересекаются в точке ?', являющейся
образом ? в указанной инверсии. Имеем: векторы ЕЛ4 и ЕЕ с одной стороны, и FM'
640 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
и 57' — с другой, параллельны и одинаково направлены, значит (ST, ST') = a,
поэтому Ту'Т' = п — а. Точка у' лежит, следовательно, на окружности (/) с цен-
тром S и радиусом рг = ———; эта окружность описывается точкой у' целиком,
COS-J
в то время как угол (FM, FM') делает полный оборот вокруг точки F. Геометри-
ческое место точек есть окружность (?), в которую переходит (/) в указанной
инверсии, а геометрическое место точек Р есть образ (<?) в гомотетии ^F, j.
Точка F лежит внутри (/), значит и внутри (?) и внутри (Р); значит, огибаю-
щей прямых ММ' является эллипс с фокусом F, для которого (Р) —главная
окружность [или для которого (со) — направляющая окружность, относящаяся к дру-
гому фокусу].
Замечание. Пп. 3° и 4е могут быть решены также при помощи полярного
преобразования по отношению к направляющей окружности с центром Р; отсюда
можно получить огибающую прямых ММ' и значит геометрическое место проекций F
на ММ'.
88. Г. а) Парабола семейства (С). Пусть Q — точка, симметричная F отно-
сительно (D). Если в семействе (С) существует парабола, то ее директриса дол-
жна пройти через точку ср и быть перпендикулярной в этой точке к Лер. Поэтому
для любого положения точки А на прямой (D) существует парабола с фокусом F,
директрисой (Г) которой будет перпендикуляр к Лер в точке <р; такая парабола
существует только одна.
б) Геометрическое место вторых фокусов линий (С). Геометрическое место
точек F' есть геометрическое место центров окружностей, касающихся в точке
окружности с центром А и проходящих через ср, т. е. прямая Aw, за исключением
точек А и ср. Точки этой прямой, расположенные с точкой А по одну сторону,
будут фокусами эллипсов (С), а по другую — фокусами гиперболы.
2°. а) Свойства директрис (Д). Отрезок касательной (D) к линии (С), заклю-
ченный между точкой касания А и точкой 7, в которой (D) пересекает (Л), виден
из фокуса F под прямым углом. Значит точка 7 фиксирована и все директрисы (Д)
проходят через эту точку.
6) Директрисы (Д) и фокусы F' линии (С) с данным эксцентриситетом.
Если линия (С) имеет эксцентриситет, равный е, то, обозначая через г' расстояние
F ^4 F к
от А до (Л), будем иметь — = £, откуда г' = — = —; (Д) есть, следовательно,
касательная, проведенная из 7 к окружности с центром А и радиусом г'. Условие
г г
существования этих касательных таково: г' < IA или — < AI, или е > —. Так
а лс-г а лиг г АН Vr2 — d2
как ДЛЛ7 Л AHF, то =-----------, и предыдущее условие прини-
мает вид е>----------Если оно выполнено, существуют две касательные: (Д,)
и (Д2), проведенные из 7 к окружности (Л, г'), и, значит, две линии второго по-
т/7-2_____________________________________________________________d2
рядка: (СО и (С2), удовлетворяющие условию вопроса. Если е =---------, то
эти две линии совпадают. Если линии (CJ и (С2) различны, их вторые фокусы F[
и F2 являются точками пересечения с прямой (L) (являющейся геометрическим
местом точек F') перпендикуляров, опущенных из F на (Д^ и (Д2). Пучок с вер-
шиной 7, образованный лучами (ДО, (Д2), (О) и перпендикуляром к (D) в точке 7,
гармонический, поскольку две последние прямые служат биссектрисами углов двух
первых. Значит пучок с вершиной F, образованный прямыми, перпендикулярными
к указанным, также гармонический. Отсюда следует, что точки F[ и F2 гармо-
нически сопряжены с точками <р и <р', в которых прямая (L) пересекается с прямой,
проходящей через F перпендикулярно Т7^.
3°. Направляющие окружности (fj) и (Г2) линий и (С2). Обе эти
окружности проходят через точку <р и касаются в этой точке. Если е > 1, то (CJ
и (С2) — гиперболы; 771 и F2 расположены на прямой (А) по одну сторону от
точки Л и по разные стороны от <р, поэтому окружности (7^) и (г2) касаются
внешне. Если е < 1, то (С<) и (С2) — эллипсы; Fx и F2 расположены на прямой (L)
по ту же сторону от точки А, что и точка w'\ значит, и (Г2) касаются внут-
ренне. Б обоих случаях w— их центр гомотетии; значит, точка у', будучи гармонически
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КО1ЧБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
641
сопряжена точке относительно точек Et и Е^ есть второй центр гомотетии
(Л)и о
4°. Вычисление квадрата фокальной оси и эксцентриситета (С) в функ-
ции а, г и х. Приняв на прямой (Z) положительное направление от А к будем
иметь (2а)2 = с?/7'2 == (AF' — А?У = (х - г)2 и (2с)2 = FF'2 = АГ + АГ2 — 2AF X
X АЕ' cos EAF'. Положим 2. ЕАъ = 2а. Если х > 0, то АЕ' = х и / ЕАЕ' = 2а;
если х < 0, то АЕ' = I х j == — х и / ЕАЕ' = тз — 2а, так, что cos / ЕАЕ' == — cos 2а.
В обоих случаях (2с)2 = г2 -4- х2— 2rx cos 2а. Но sin а = у , откуда cos 2а = 1 —
г2__2d2 г2 — 2d2
— 2 sin2 а =----у---- и, следовательно, (2с)2 = г2 + х2— 2-----------х.
Из выра-
2 . 2 о г2 - 2d2
х2 Ж г2 — о----------
с2
женин для (2а)2 и (2с)2 находим ~--------------(^277)2
4 d2 х d2
Если х возрастает от —го до — г, то у убывает от Одо —-у2;
d2
если х возрастает от — г до г, у возрастает от--------2- до
—-, откуда у = е2 — 1 =
если х возрастает
от г до 4- сс, то v убывает от ~~ 30 До 0. Уравнение, дающее х в функции е\
4d2 * *
(е2— 1)(х— г)2------х " 0. Коэффициент при х2 равен е2—1, свободный член
(с2 — 1) г2. Произведение корней равно, следовательно, г2. Это показывает, что точки,
имеющие абсциссами корни этого уравнения, гармонически сопряжены с точками
прямой (Л), с абсциссами —г и г (это выше было получено геометрически
в пункте 2°).
89. 1°. Построение вершин и вычисление большей оси эллипса (Е). Пусть
Н— проекция Е на (D). Вершины А и А' эллипса (Е) суть точки прямой ЕИ,
определенные следующими равенствами:
АЕ
АН
А'Е
Тн
(1)
и
Построение этих точек просто (Е и е даны, точка Н— строится). В частном
случае е — - эти точки являются основаниями биссектрис угла G прямоуголь-
ного и равнобедренного треугольника HEG (Е = 90°). Центр О эллипса (Е) есть
середина отрезка АА'. Вершины В и В' являются точками пересечения перпен-
АЕ
дикуляра, опущенного из О на ЕН, и окружности (Е, О А). Из равенств -ут»- = е
Ап
А' Е
и учитывая расположение точек А и А' относительно Е и Н, находим:
AF=-FH-^— , A'F=FHT^~, откуда АА' = AF + A’F = FH ( =
1 + е 1—е’ J 1 \1 -j е ' 1— е)
2 de sin а ...
— ------ . Если длина АА = I дана, то
1 — е2
sin а =
1(\—е2)
2 de
(2)
, 2 de „
что возможно тогда и только тогда, когда -Если это условие выполнено,
уравнение (2) для значений и из интервала ^0, даст лишь одно значение для и\
следовательно, существует два положения для прямой (D), симметричные отно-
сительно Е/ (в случае знака равенства обе эти прямые совпадают с прямой, пер-
пендикулярной отрезку Е/ в точке /). ___
РА Ар
2°. Геометрическое место точек А, А', О и Е'. Имеем -====г ==—
ЕН НЕ
АЁ ЁА' АЁЁ АЁЁ ЁА
~-------=- и -=- =-------= ----——, откуда на основании (1) =
АЕ— АН ЕН НЕ А'Е — А'Н ЕН
— еАН е ЕА' е
~~----=г—=------------ и . Из этих соотношений следует, что
— еАН—АН е-^Х ЕН е — \
41 П. С. Моденов
642
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
точки А и А' получаются из точки Н гомотетиями \F, 7~1)* ^ак
как геометрическое место точек И есть окружность (С), описанная на FI как на
диаметре, то геометрическое место точек А и А'— окружности, построенные на Fa
и Fa' как на диаметрах, где Fa и Fa' — отрезки, полученные из отрезка FI указан-
ными гомотетиями. Точки А и А' являются проекциями точек а и а' на FH; значит,
середина О отрезка АА' есть проекция на FH середины « отрезка аа'; поэтому
геометрическое место центров О эллипса (Е) есть окружность с диаметром F&.
Наконец, фокус F' получается из точки О гомотетией (Е, 2), а потому геометри-
ческое место точек F' получается из геометрического места точек О указанной
гомотетией: это, следовательно, окружность, построенная на Fy' как на диаметре,
где — точка, симметричная F относительно <п.
Расположение малой оси эллипса (Е) и второй его директрисы (Д). Малая
ось, будучи перпендикулярна FO в точке О, постоянно проходит через точку <п.
Вторая директриса (D'), будучи симметричной (D) относительно любой точки
малой оси, в частности относительно точки со, будет проходить постоянно через
точку /', симметричную / относительно со.
3°. Геометрическое место точек В и В'. Обозначим через 0 угол OF В,
через 2а и 2с — длины большей оси и фокальное расстояние эллипса (Е). Имеем
FO с
cos ® = gg = ~ — е- Угол ® имеет, следовательно, постоянную величину. Отсюда
следует, что геометрическое место точек В получается из геометрического места
точек О подобием с центром F, углом 0 и отношением подобия ~со^у~ = это
геометрическое место есть окружность, проходящая через F, центр С которой
получается из центра у окружности (О) [геометрического места центров эллипса (Е)]
указанным подобием. Треугольник F^C подобен треугольнику FOB и / 7 = 90°,
значит точка С расположена на медиатрисе Fur, значит, окружность В — геометри-
ческое место точек В — проходит через со ^если е = > то A FOB равнобедрен-
ный и точка С расположена на окружности (О) j . Геометрическое место точек В'
есть окружность, симметричная предыдущей относительно FH. Далее, точки В, О,
св лежат на одной прямой, поэтому, если точка В задана, точку О находим как
точку пересечения окружности (О) с прямой Вы; точки A, Al и F суть точки
пересечения прямой FO с окружностями, являющимися геометрическими местами
этих точек; наконец, директрисы (D) и {D') — это прямые, перпендикулярные FO
и проходящие через I и Г.
4°. Касательные, проведенные из точки I к (Е). Известно, что отрезок
касательной к линии второго порядка, заключенный между точкой касания и дирек-
трисой (D), виден из фокуса F, соответствующего директрисе (D) под прямым
углом. Значит точки М и М' прикосновения касательных, проведенных из / к (Е),
расположены на перпендикуляре (Z.), проведенном из F к FI. Если директриса (D)
задана, а М — точка прикосновения одной из касательных, т — проекция М на (D),
MF ,, MF ” /гч
то — е, откуда Мт = —~, Обратно: если — данная точка прямой (£), то ей
соответствует линия второго порядка (Е), если существуют касательные, прове-
_ .. MF Т1 „
денные из точки / к окружности с центром М и радиусом ~. Необходимое
MF MF
и достаточное условие существования этих касательных или
PF
Геометрическое место точек Р плоскости таких, что == е, есть окружность
с центром на прямой Е/, пересекающая эту прямую в точках, делящих этот отрезок FI
в отношениях е и —е (это точки а и а , которые мы уже имели выше). В зави-
симости от того, будет ли точка Р лежать внутри или вне этой окружности, отно-
шение ее расстояний до точек F и / будет < е или > е. Значит геометрическое
MF
место положений точек М таких, что О, есть отрезок прямой (£), заключенный
между точками Мх и М2, в которых она пересекает окружность с диаметром аа'.
Если М и М' — точки прикосновения касательных, проведенных из / к эллипсу (Е)
с данной директрисой (D), то, обозначая проекции точек Л1 и М' на (£)) через т
, „ MF M'F FM Мт JM о
и т , будем иметь: ~ е, —7 — е, откуда —т = -щтг • Значит
’ J Mm М in ' FM Mm JM'
точка J гармонически сопряжена c F относительно М и М'. Так как точка F
есть центр отрицательной гомотетии окружностей с центрами М и М', проходящих
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 643
через Л, то J— центр положительной гомотетии тех же окружностей. Для построения
точек Л1 и М' достаточно заметить, что расстояния от этих точек до F являются
расстояниями от них до прямой IF. Значит точки Л4 и АГ лежат соответственно
на прямых (Д) и (Д'), являющихся прямыми, для каждой точки которых отношение
расстояний до прямых FI и (D) равно е. Мы получим легко по одной точке каж-
дой из прямых (Д) и (Д') как точки пересечения прямых, параллельных FI и отсто-
ящих от этой прямой на расстояниях Fa, с прямой, параллельной (D) на рас-
стоянии а! от этой прямой.
90. 1°. Пусть Р и Q — точки пересечения окружности (С) с прямой ОО',
а Р' и Q'— точки окружности (С'), которые соответствуют точкам Р и Q в гомо-
тетии с центром S, преобразующей (С) в (С'). Имеем: р = SP- SQ, р' = SP' • SQ',
k = SP' • SQ
_ SP' SQ
~~ SP-SQ
= SP • SQZ;
SP' __ SQ' = R'
SJP ~ SQ ~~ R
k R' SP'
— и аналогично ----=-----
p R SP
Теперь
SP' - SQ'
SP-SQ'
находим -----
R
= ~ . Итак,
k
SP'
SP
BL- k - pr
R p k '
2°. Окружность (/), касающаяся (AB), (AC) и (D). В инверсии (A, AB • AC)
полуокружность (AB) с центром О, полуокружность (AC) с центром К и полупря-
мая Cz, лежащая на прямой (D) и расположенная относительно прямой АВ с той
же стороны, что и указанные полуокружности, преобразуются соответственно
в полупрямую Cz, в «полукасательную» Ви в точке В к (АВ) и в полуокруж-
ность (АВ). Значит окружность (/) перейдет в окружность (/'), касающуюся полу-
прямых Cz и Ви и полуокружности (АВ). Центр о>' окружности (/z) будет рас-
положен, с одной стороны, на медиатрисе отрезка ВС, с другой стороны — на
окружности с центром О и радиусом OL — О В Д- НВ.
Замечание. Имеется еще одна окружность, касающаяся полупрямых Cz
и Ви и полуокружности (АВ)-—это окружность с диаметром ВС; при указанной
инверсии эта окружность перейдет в себя, и она действительно касается (АВ), (АС)
и (D) (в дальнейшем эту окружность мы исключим из рассмотрения).
Итак, точку <о' мы можем построить; точка / будет расположена на прямой Ао/.
Рассмотрим теперь инверсию (В, В А - ВС). В этой инверсии полуокружность (АВ),
полупрямая Cz перейдут друг в друга, а полуокружность (АС) — в себя. Следо-
вательно, окружность (/), касающаяся (АВ), (АС) и Cz, перейдет в окружность,
касающуюся (АВ), (АС) и Cz. Но существует лишь одна окружность, удовлетво-
ряющая всем трем условиям касания; в самом деле, при помощи первой инверсии
было установлено, что ее образ после инверсии единственен. Отсюда следует, что
окружность (/) инвариантна в инверсии (В, В А • ВС). Степень точки В отно-
сительно (/) равна поэтому степени инверсии ВА • ВС- Точка В имеет одинаковую
степень относительно окружности (I) и окружности с диаметром АС и потому
расположена на радикальной оси этих окружностей, но эти окружности касаются,
поэтому точка В лежит на касательной в точке Т, в которой касаются окруж-
ности (/) и (АС). Значит точка I лежит на прямой КТ, где Т — точка прикосно-
вения с (АС) касательной, проведенной из В. Центр / окружности (I) лежит на
прямой КТ и является точкой, в которой пересекаются прямые КТ и Ао/. Точки
прикосновения (/) с (AC), (D) и (АВ) суть соответственно: точка Т, проекция
точки I на (D) и точка, в которой продолжение 01 пересекает АВ.
3°. Окружность (J), касающаяся (АВ), (CD) и (D). Аналогично находим,
что центр J окружности (J) расположен, с одной стороны, на прямой В?', где <р' —
точка, в которой медиатриса отрезка АС пересекается с окружностью с центром О
и радиусом О А Ц-КА, с другой стороны — на прямой, проходящей через середину Н
отрезка СВ и через точку U прикосновения касательной к (СВ), проведен-
ной из А.
4°. Радиусы окружностей (/) и (J). Рассмотрим окружность (/)-и ее образ (/')
в инверсии (А, АВ • АС) и пусть Rx — радиус окружности (I). Точка А есть центр
положительной гомотетии окружностей (/) и (Г). Степень инверсии с полюсом А,
в которой окружности (/) и (/') переходят друг в друга, равна АВ • АС—2а • 2х — 4ах.
г» /тг\ ю К\ 4 ах
Радиус окружности (/ ) равен, очевидно, у, поэтому на основании 1 —- =------,
п 4аху
откуда Rl =-------. Можно легко подсчитать р, если предварительно доказать, что
точки Т' и S' прикосновения окружности (/') с Ви и (АВ) расположены на одной
прямой с точкой А. В самом деле, для окружности с диаметром АВ и окружно-
сти (/') точка S' есть центр гомотетии и, значит, касательная к окружности с диа-
метром АВ в точке М (в которой ее пересекает прямая S'T') будет параллельна
41*
644 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
касательной Т' В в точке Т' к (/'); следовательно, касательная в точке М к окруж-
ности с диаметром АВ будет перпендикулярна АВ и, значит, точка М совпадает
с А. Таким образом, /? = AS' • АТ или, замечая, что АВТ' — прямоугольный тре-
угольник, a BS'— его высота, будем иметь: р = АВ2 = 4я2, откуда .
Аналогично найдем = = Окружности (/) и (У), таким образом, равны.
Максимум для и /?2. Так как х -4- у = а, то максимальные значения R{
и /?2 будут иметь тогда, когда х = у. Точка С в этом случае — середина АВ,
а максимальные значения для R\ и R2 таковы: Rt = R2 = ~.
91. 1°. Перемещение точек Af и АГ. Обозначим через FX и FX' полупрямые,
выходящие из £ и проходящие соответственно через Л/ и ЛГ. Угол XFX' сохра-
няет величину и знак, и его стороны должны пересекать (О). Значит этот угол
может вращаться вокруг двух крайних положений; X{FX\<—положение, в кото-
ром FX\\(D) (в этом случае М— бесконечно удаленная точка), и положение X2FX2,
в котором FX' ('(£>) (точка АГ в бесконечности). Пусть М\ и — положения АГ
и .И, соответствующие указанным крайним положениям угла XFX'. Когда угол XFX'
вращается от положения Х{ТХ} к X2FX^ то точка Л1 движется из бесконечности
(снизу вверх) и доходит до точки Л/2, а точка АГ начинает свое движение с поло-
жения и движется вверх (до бесконечности).
Геометрическое место центров С окружности, описанной вокруг тре-
угольника MFM', Пусть Е— проекция С на (D). 5'гол MFM'— вписанный угол
г 2г.
для окружности (С), и так как он равен -у , то угол МСЛГ равен -у, и
о о
угол MCE равен ™ , потому СЕ = CM cos ~ , откуда = 2 и,
о и 2 (j Е
CF
вательно, = 2. Таким образом, отношение расстояний от С до F и (D)
значит
следо-
посто-
янно и равно 2, а потому точка С лежит на гиперболе (Н) с фокусом F, соответ-
ствующей директрисой (D) и эксцентриситетом е~2. Для того чтобы уточнить
положение основных элементов этой гиперболы, заметим, что директриса (D),
соответствующая фокусу F, есть поляра точки F по отношению к главной окруж-
ности гиперболы (И), а асимптоты (И) — это прямые, соединяющие центр гипер-
болы с точками касания касательных, проведенных из F к главной окружности,
и, наконец, угол 0, который образуют асимптоты гиперболы с фокальной осью,
а
с
определяется соотношением cos 0 =
~ ~ . Для гиперболы (//), cos 0 = ~ и, зна-
чит, 6=касательные, проведенные к главной окружности из F, образуют,
о
следовательно, с фокальной осью угол
это, следовательно, не что иное как
6 ’
прямые ЕМ1 и FM2. Асимптоты (//) — перпендикуляры в точках М^ и М2 соот-
ветственно к прямым FAt1 и FM2. Точка, в которой пересекаются эти перпенди-
куляры,— центр О гиперболы (И). Теперь можно построить главную окружность,
а тогда в пересечении с фокальной осью получим вершины А и гиперболы (И).
Точка С расположена по отношению к (D) с той же стороны, что и F (скажем,
слева); значит, точка С лежит постоянно на той ветви гиперболы (//), которая
расположена по ту же сторону от (D), что и F. Эту ветвь (//) точка С описывает
целиком. В самом деле, пусть Со — какая-нибудь точка этой ветви, £0 — ее про-
екция на (D), /Ио и Мо— точки пересечения (D) с окружностью, проходящей через F
и имеющей центр в точке CQ. Тогда = тузначит, угол MQCE0
CqAtq С г* 2
f 2т" / г
равен ~ и, значит, угол /И0СА10 равен , а потому угол M{)FMQ равен . Таким
о о о
образом, точка CQ есть центр окружности (С), соответствующей некоторому поло-
жению M^FMq угла MFM'. Итак, геометрическое место точек С есть вся ветвь
гиперболы (//), лежащая влево от (D).
2\ Изучение образа (С) в инверсии (F, й2). В этой инверсии прямая (D)
инверсируется в окружность (d) с диаметром FH, точки М и АГ инверси-
руются в точки m и т', в которых FM и FM' пересекают (d), а образом
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
645
окружности (С) будет прямая тт', Так как угол mFm равен то он вы-
о
2тс
секает в окружности (d) дугу . Хорда тт' является, следовательно, стороной
о
равностороннего треугольника, вписанного в эту окружность, и расстояние от
центра Q окружности (d) до этой хорды равно поэтому . Таким образом, пря-
мая тт', являющаяся образом (С) в инверсии (Л, Л2), постоянно касается окруж-
ности (Q) с центром Q и радиусом , Касательные, проведенные из А к этой
окружности (£),— не что иное как прямые и FM2. Пусть т{ и т2— образы
и М2 в рассматриваемой инверсии. Образы точек и М2 (бесконечно удаленные
точки) совпадают с Г и, значит, Fmt и Fm2— граничные положения для тт'.
Отсюда следует, что точка К прикосновения тт' с окружностью (Q) описывает
лишь дугу К\К% этой окружности (сделать чертеж). Окружность (С), полученная
из тт' указанной инверсией, касается постоянно окружности (Д'), полученной
инверсией (^); при этом окружность (Г') расположена вся вправо от (/)); точка F
лежит, следовательно, вне этой окружности. Окружность (С) проходит постоянно
через точку F и касается окружности (Г'), вне которой лежит точка F. Значит
центр С окружности (С) лежит на гиперболе (Н) с фокусом F, для которой
(F) — направляющая окружность, относящаяся к другому фокусу. Окружность (F'),
как и 02), вписана в угол MXFM2\ значит, точки и Т<2 касания (Г') с FM'{
и FM2 — образы и /<2 в инверсии (Л Л2). Поэтому Fmx • FMX — Л2, FK^ • FK{ — /г2 .
Но FK\ ~~Fm^ значит, FK{ == Таким образом, точка симметрична F
относительно Л1р а точка 7<, симметрична F относительно Л42. Точка F' — центр
(Г')— есть точка, в которой пересекаются перпендикуляры к FK} в точке 7<J
и к FK2 в точке /<2- Точка 7< прикосновения тт' с (У) описывает, как указано
выше, лишь дугу К\К2 окружности (Q), значит, точка К' прикосновения окруж-
ностей (С) и (Г') описывает дугу К'ХК2 окружности (Г') (полученную из KiK2
рассматриваемой инверсией). Эта дуга К\К2 есть геометрическое место точек
прикосновения (Г') с окружностями (С), проходящими через F и имеющими
центры на одной ветви гиперболы (//). Таким образом, геометрическое
место точек С есть целиком одна ветвь гиперболы (77). Главная окружность
гиперболы (/7) есть окружность, касающаяся FI\[ и FK^ в точках и Л12
(середины FKX и FK^. Отсюда сразу видим, что гипербола, о которой здесь
говорится, есть та же, о которой мы говорили в пункте Iе.
3°. Геометрическое место точек/и/'. Пусть 7 и J'— проекции на (/)) центров I
и Г окружности, вписанной в треугольник MFM' и вневписанной в угол F этого
треугольника. Пусть Т и Т' — точки прикосновения эти* окружностей с прямой FM.
Тогда 1J = IT = IF sin Г = Г !'r = I'T' =I’F sin ~= Г откуда dL. = 2
о z 6 z 1J
Г F
и -jtjf ~ 2. Отсюда следует, что точки I и /' обе расположены на той же самой
гиперболе (77): это точки пересечения биссектрисы FZ угла FMM' соответственно
с левой и правой ветвями гиперболы (77). При вращении угла MFM' полупрямая FZ
описывает угол, образованный лучами AZj и FZ2 — биссектрисами углов X^FX^
и Х.РХ'^ эти лучи образуют с FFI углы -- и потому параллельны асимптотам (И).
о
Отсюда следует, что геометрическое место точек I состоит из части левой ветви
гиперболы (77), лежащей внутри угла ZXFZ2, а геометрическое место точек Г есть
вся правая ветвь гиперболы (77).
Касательные к (Н) в точках / и /'. Так как прямая (/)) есть директриса
гиперболы (/7), соответствующая фокусу F, то отрезки касательных к (77) в точках/
и /', заключенные между точками касания и прямой (/)), видны из фокуса F под
прямым углом. Значит эти касательные обе проходят через точку Р, в которой (/))
пересекается с перпендикуляром к FZ в точке F. Эта точка Р есть точка пере-
сечения с (D) касательной к (77) в точке, описывающей целиком правую ветвь
гиперболы (77); точка Р описывает лишь часть (/)), расположенную вне угла между
асимптотами, в которых расположена гипербола (Я), иначе говоря, точка Р описы-
вает прямую (D) за вычетом отрезка М1Л12,
646
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
92. Г. При повороте 4- прямые (D), (Dr) и (Д) перейдут соответственно
в прямые (Z?z), (D) и (Д')- Следовательно, точка М пересечения (D) и (Д) перейдет
в точку N' пересечения (D') и (Д'), а точка N пересечения (D') и (Д) перейдет
в точку М' пересечения (D) и (Д'). Значит
PM^PN', PN = РМ' (1)
и
(РМ, PN') = + j, (PN. РЛГ) = + у (mod 2я). (2)
Далее, применяя теорему Шаля, будем иметь: (РМ, PN) = (РМ, PN') Д- (PN', РЫ) =
~ (PN', PN)P(PM, PN'), или так как в силу равенства (2) (РМ, PN') — (PN, РМ'),
то (РМ, PN) = (PN', PN) + (PN, РМ'), откуда (РМ, PN) = (PN', РМ') (общее
значение 6 этих равных между собою углов равно или или ~ в зависимости от
того, будут ли точки N и N' лежать по одну сторону от точки Р или по разные).
PN РМ'
С другой стороны, из (1) следует — • Обозначим через k величину этого
—> —>
отношения. На основании предыдущего, имеем (РМ, PN) = 0 (mod 2к), -р~^~ — k
—► —> РМ'
и (PN', РМ') = 0 (mod 2е), р^г = k. Отсюда следует, что N и М' получаются из
точек М и N' после поворота вокруг точки Р на угол 0 и гомотетии с центром Р
и коэффициентом гомотетии, равным k. А так как в этих преобразованиях точка Р
неподвижна, то треугольник РМ'N в этом подобии переходит в треугольник PN'М.
Окружность, описанная вокруг треугольника PN'М при указанном подобии, пере-
ходит в окружность, описанную вокруг треугольника PM'N. Угол, образованный
а ™ Зп
касательными к этим окружностям в точке Р, равен 0, т. е. или поэтому
эти окружности ортогональны.
2°. Геометрическое место проекций Р на NM' и MN'. Проекциями Р
на NМ' и MN' в силу того, что эти треугольники равнобедренные и прямо-
угольные, являются середины отрезков NМ' и МЫ'; это центры окружностей,
описанных вокруг четырехугольников с вершинами N, М', О, Р и М, N', О, Р.
Эти две окружности проходят через фиксированные точки О и Р, а потому их
центры расположены на медиатрисе отрезка ОР. Прямые, соединяющие точку Р
с этими двумя точками, являются биссектрисами углов, образованных прямыми (D)
и (D'), и они описывают всю плоскость, если (D) вращается вокруг Р. Значит
медиатриса z' z отрезка ОР целиком есть геометрическое место середин отрез-
ков N М' и N' М.
Огибающая прямых NM' и N'M. Каждая из этих прямых есть одна из
сторон прямого угла, другая сторона которого проходит через фиксированную
точку Р, а вершина скользит по прямой z' z. Значит прямые NM' и МЫ' касаются
параболы (П) с фокусом Р, для которой касательной в вершине является z'z
(а потому у'у — директриса). Так как вершина указанного прямого угла описы-
вает z'z целиком, то огибающая каждой из прямых NM' и N'M — вся указанная
парабола (П).
Геометрическое место точек пересечения прямых NM' и N'M. На осно-
вании предыдущего прямая NM' получается из МЫ' в результате поворота вокруг Р
на угол 0 == ~ или 0 = ~ и последующей гомотетией. Значит эти прямые пер-
пендикулярны. Геометрическое место точки Q их пересечения есть, следовательно,
геометрическое место точек таких, что через каждую такую точку можно провести
две взаимно-перпендикулярные касательные к параболе (17): это — директриса у'у
этой параболы.
93. Г. а) Свойство прямой AM и медиатрисы отрезка QR. Пусть
АВС — какой-нибудь треугольник, М — какая-нибудь точка, лежащая в его пло-
скости, 3 и у— проекции этой точки на прямые AC, АВ', Q и R— точки, симме-
тричные точке М относительно прямых АС и АВ. Точка А есть точка пересечения
медиатрис сторон A4Q и MR треугольника MQR; значит, медиатриса (Д) третьей
стороны QR проходит через А. Четырехугольник АЗА4у вписанный, значит
(АЗ, AM) = (уЗ, yAf)(modz), и так как Q/?||y3, то
(Ар, AM) = (QR, УМ) = (QR, Д) + (Д, АВ) +
+ (АВ, чМ) = j + О, АВ) + ~ = (A, АВ) (mod г.).
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
647
Полученное соотношение можно переписать так: (АС, АМ) = — (АВ, A) (mod я).
Таким образом, АМ и (Д) — изогонали относительно АС и АВ. Значит углы,
образованные прямыми АМ и СА, имеют те же биссектрисы, что и углы, обра-
зованные прямыми АС и АВ.
в) Свойство прямых АХ, BY и CZ. Прямая АХ такова, что углы между
прямыми AY и АМ имеют те же биссектрисы, что и углы между прямыми АВ
и АС. Она совпадает с медиатрисой (Д) отрезка QR. Аналогично, обозначая через Р
точку, симметричную точке М относительно ВС, заключаем, что прямые BY
и CZ—медиатрисы отрезков RP и PQ. Если точки Р, Q и R не лежат на одной
прямой, то прямые АХ, BY, CZ, будучи медиатрисами сторон треугольника PQR,
пересекаются в одной точке М'. Если же точки Р, Q и R лежат на одной прямой,
то эти прямые параллельны. В этом случае (и только в этом случае) проекции а,
р, у, точки М на ВС, СА и АВ лежат на одной прямой (прямая Симпсона), что
будет иметь место тогда и только тогда, когда точка М лежит на окружности,
описанной вокруг треугольника АВС.
2°. Предположим теперь, что все углы треугольника АВС острые и что точка М
лежит внутри треугольника АВС.
а) Свойство проекций точек Af и АГ на стороны треугольника АВС. Тре-
угольники АМу и AM'fi' с одной стороны, и и АМ'у', с другой, — подобны,
так как они прямоугольные с соответственно равными острыми углами, поэтому
Лу АМ Др АМ Ау Лр ло AQ,
—лАт = —г-ггг и ~~~ = —тт-, откуда ~ ; следовательно, Лр • Лр =
Лр AM' Ay AM' ’ . Лр Ay ’ г 1
= Ау • Ау'; а так как р и р' также у и у' расположены по одну сторону от точки Л,
то Лр • Лр' — Ау • Ау'. Из этого соотношения следует, что точки р,-р', у, уг рас-
положены на одной окружности. Центр этой окружности есть пересечение медиа-
трис отрезков рр' и уу', т. е. середина <о отрезка ММ'. Аналогично установим,
что точки р, р', а, а' расположены на одной окружности, центром которой является
та же точка <о. Таким образом, точки а, р, у, а', р', у' расположены на одной
окружности, центр со которой совпадает с серединой <о отрезка ММ. Из подобия
уМ AM pAf AM
треугольников, рассмотренных выше, также находим и у-щг /др >
откуда , или ЗЛ4 • р'Л4' == уМ • у'М', и аналогично $М • $'М' = аМ • а'М'.
Объединяя эти равенства, получим аМ • а'М' = рЛ4 • р'А4' = уМ • у'М', а так как
точки М и М' лежат обе внутри треугольника АВС, то аМ • а'М' = $М • р'Л4' ~
= (М • у'М'.
б) Случай, когда точка М совпадает с ортоцентром Н треугольника АВС.
Известно, что во всяком треугольнике высота, выходящая из его вершины, и
диаметр описанной окружности, выходящий из той же вершины, являются изого-
налями сторон, выходящих из рассматриваемой вершины. Отсюда следует, что если
точка М совпадает с точкой Н, то точка М' совпадает с центром О окружности (Г),
описанной вокруг треугольника АВС. С другой стороны, точки, симметричные
точке Н относительно сторон ВС, СА и АВ треугольника АВС, лежат на окруж-
ности (Г), описанной вокруг этого треугольника. Отсюда следует, что эти три
стороны касаются эллипса (Е), одним из фокусов которого является точка Н,
а окружность (Г) — направляющая окружность, относящаяся к другому фокусу.
Главная окружность этого эллипса получается из окружности (Г) гомотетией ^Н,
эта окружность проходит через основания а, {В, у высот треугольника АВС и
потому является окружностью Эйлера треугольника АВС; центр этой окружности
(со) — середина со отрезка ОН.
в) Линия второго порядка, касающаяся сторон треугольника А'В'С'.
Пусть А'— какая-нибудь точка окружности (Г), В' и С' — точки, в которых
касательные, проведенные из А' к (Е), вторично пересекают (Г). Точке О — центру
окружности (Г), описанной вокруг треугольника А'В'С', соответствует как обратная
по отношению к этому треугольнику А'В'С' его ортоцентр Н'. Точки, симметрич-
ные точке И' относительно сторон треугольника А'В'С', расположены на окруж-
ности (Г), и, значит, его стороны касаются эллипса (Е'), для которого //' — один
из фокусов, а (Г) — направляющая окружность, соответствующая другому фокусу.
Точки, симметричные фокусу Н' эллипса (Е') относительно касательных А'В' и А'С'
к этому эллипсу, расположены на (Г); точка//', общая точка двух окружностей (TJ
и (Г2), симметричных (Г) относительно А'В' и А'С'. Но прямые А'В' и А'С'
по предположению касаются эллипса (Е), поэтому точки, симметричные фокусу Н
эллипса (Е) относительно этих двух прямых, лежат на окружности (Г); таким
образом, точка Н принадлежит также окружностям (Гх) и (Г2). Но эти две окруж-
ности, помимо точки А', имеют еще только одну общую точку; значит, точки Н'
и Н совпадают. Окончательно: эллипс (Е') совпадает с эллипсом (Е); вторым
648 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
фокусом эллипса (£') является точка //, а его главной окружностью является
окружность Эйлера — треугольника АВС.
94. Г. Касательные, проведенные из/7к (С). Пусть S —точка прикосновения
/с
касательной, проведенной из F к (С); положим / ISF = 9, тогда sin 6 — —- =
IF
== -jp Касательные из 0 к (С). Обозначим через D точку, в кото-
о > . п, IT ID Da ОА а
рои до касается (С). Тогда sin и =значит, касатель-
ные из О к (С') фиксированы (заметим, что 6' = 0). Хорды, высекаемые (С) на
прямых ОГи ОТ'. Прямые ОТ, ОТ' и аб равноудалены от центра / окружности (С)
и потому высекают из нее хорды, равные ар = 2а.
2°. Вычисление О/, ///, НК. Из прямоугольного треугольника OTI находим
О/ П72 / 0Н V 0И2 ГУТ ОН | у I m
01- ОН = ОТ2 = тт-тгг = 5 следовательно, 01 = —. Так как
\ cos и / cos2 о cos2 6' cos2 О
точки / и И расположены всегда по одну сторону от х'х, то OI- —~2~&г.
— q2 __ с2 ___ ____ ____ ____________
Но cos2 О' — —; значит, 01 = У- Из HI —01 — ОН находим {ОН — у):
--- d 2
HI — У- Наконец, треугольники IHK и IOF гомотетичны; следовательно,
НК HI а2 у с2 у а2 а2
OF 01 с2 — а2 с2 — а2 с2 с
Вычисление г, R и НМ. Из прямоугольного треугольника ITО находим
г — IT — IO sin О' ~ у Ю = ^22^2 - Зная, что ТЕ~а, найдем R {R2 — IT2 + ТЕ2)'.
Г2
с2у2
(с2 — а2)*
Из прямоугольного треугольника IHM находим
У2
НМ2 = IM2 — IH2 = /?2 —
с2 — а2
а*у2
~{с2 — а2)2 ’
Геометрическое место точек К» Абсцисса этой точки постоянна =
а2
значит, точка К лежит на прямой (А), уравнение которой х =• - - . Точка К есть,
таким образом, точка, в которой эта фиксированная прямая пересекает IF, но
поскольку прямая IF может вращаться вокруг F, принимая все возможные поло-
жения, точка К описывает всю прямую (Д).
Геометрическое место точек М и N. Абсциссы точек М и N равны ± НМ,
а2
их ординаты равны у; на основании предыдущего х2 =или
а2
— -----— = 1 — это уравнение определяет гиперболу с вершинами А и В; F— один
из фокусов. Ординаты точек М и N равны ординате точки К, а так как последняя
по доказанному принимает все действительные значения от —оо до 4~ оо, то
точки М и N описывают целиком обе ветви указанной гиперболы. Прямая (Д) для
этой гиперболы является директрисой, соответствующей фокусу F.
На основании предыдущего, ОТ й ОТ' асимптоты этой гиперболы.
3\ Вычисление OJ. Из прямоугольного треугольника IMJ имеем IJ-IH —
/М2 = R2; отсюда находим IJ, а затем из соотношения OJ = 01IJ находим
— с2 — а2
OJ =-----------.
У
Фиксированные точки окружности HMJ). Пусть с — одна из точек, в кото-
рой окружность {IMJ) пересекает ось х'Ох. Из прямоугольного треугольника
____________ _ ___ q2 -q2
находим Оу2 = — 01 -OJ=~^ у - -— — с2; значит, окружность (IMJ)
проходит через точку F и точку F', симметричную F относительно О (т. е. через
фокусы гиперболы).
Касательная в М к (Г). Окружность {IMJ) проходит через F и F'\ значит, MJ
есть биссектриса угла F' MF (сделать чертеж!) и потому касается {Г) в точке М;
отсюда следует [так как MJ касается в точке М и окружности (QJ, что окруж-
ность (С) касается гиперболы в точке М (аналогично и в N).
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 649
4°. Из предыдущего следует, что:
1°. любая окружность, центр которой лежит на мнимой оси гиперболы и
которая касается этой гиперболы, видна из любого фокуса под углом, равным
тому углу между асимптотами гиперболы, в котором не лежит эта гипербола;
2Э. каждая такая окружность высекает на асимптотах хорду, равную длине
действительной оси гиперболы.
95. А. 1°. Геометрическое место F, если известна директриса и две
точки. Пусть Н. и Н2— проекции на (Д) точек М. и М2. Так как = е и
m2f fm. м.н. п .. ..1 1
= е, то -уу • Предположим сначала, что прямая не парал-
лельна (Д) и пусть / — точка пересечения Л41Л12 и (Д). Тогда ясно, что точка F
расположена на окружности (С), двумя диаметрально противоположными точками
которой является точка / и точка, гармонически с ней сопряженная относительно
ЛЛ КЛ ( Л М.Н. M.I \ с f
точек М. и М2 (ибо -><-77- = • Обратно: пусть F—точка (С), не лежащая
\ М2г12 М21 /
на (Д). Существует линия 2-го порядка, проходящая через М., имеющая фокус F
и соответствующую директрису (Д); эта линия пройдет и через /И2» ибо, полагая
Л FM. IM. М.Н. M2F т
-»,7- = е, будем иметь == -ттг- == » откуда — е' Таким обра-
М.Н. J ЕМ2 1М2 М2Н2 J М2Н2 г
зом, геометрическое место точек F состоит из окружности (С), за исключением
точек этой окружности, расположенных на (Д). Выше мы предполагали, что М.М2
не параллельна (Д). Если М.М2 (Д), то М.Н. = М2Н2, значит FM. = FM2 и гео-
метрическое место точек F есть медиатриса отрезка AfiALj, за исключением точки
пересечения этой медиатрисы с (Д).
2°. Приложение. Если линия второго порядка с директрисой (Д) должна
пройти через данные точки М., Л12, М3, то ее фокус F должен быть расположен
и на окружности, которую описывает фокус F линий второго порядка, проходящих
через М. и М2 и имеющих директрису (Д) (соответствующую фокусу F), и на
окружности, которую описывает фокус F линий второго порядка, проходящих
через Л12 и Л13 и имеющих директрису (Д). Фокус F должен быть точкой, общей
этим окружностям. Если линия второго порядка с данной директрисой (Д) должна
проходить через две данные точки М. и М2 и должна касаться в точке М2 данной
прямой (7) (проходящей через Л12), то одна из указанных выше окружностей
оказывается окружностью, построенной на ГМ2 как на диаметре, где F — точка
пересечения (Д) и (Т) [если (7)Ц(Д), то точка Л12 будет вершиной фокальной оси
линии и окружность с диаметром ГМ2 вырождается в прямую, проходящую через Af2
перпендикулярно (Д)].
В. 1°. Геометрическое место фокусов F эллипсов (Е). Касательная в S
к (£) есть прямая SS' и, значит, геометрическое место (F) есть окружность (7)
с диаметром SS' (за исключением точек S и S').
2°. Эллипсы (Е), проходящие через данную точку М. Имеется столько
возможных положений для фокуса F эллипса, удовлетворяющего условию задачи,
сколько имеется общих точек у окружности (7) — геометрического места фокусов
эллипса (Е) и у окружности (С) — геометрического места фокусов А эллипсов,
проходящих через точки 5 и М [с данной директрисой (Д)]. В силу того что все
эллипсы (£), удовлетворяющие условию задачи, обладают осью симметрии (6),
проведенной через S параллельно (Д), можно предположить, что точка М распо-
ложена по отношению к (о) с той же стороны, что и (Д). Так как, с другой стороны,
не существует эллипсов (£), проходящих через точки, расположенные по отно-
шению к (Д) в полуплоскости, в которой не лежит S, то можно предположить,
что М лежит между (о) и (Д). Пусть / — точка, в которой SM пересекает (Д), и
точка /, гармонически сопряженная с ней относительно 5 и М; пусть (С) окруж-
ность с диаметром Л/. Точка F должна лежать и на окружности (у) и на окруж-
ности (С). Для того чтобы изучить взаимное расположение этих окружностей,
произведем инверсию (S, SS'2). Окружность (7) перейдет в прямую (А); образом I.
точки / будет точка пересечения SI с (7). В силу сохранения гармонизма при
инверсии точка М. (образ М) будет серединой I.J. (J. — образ J). Окружность (С\)
[образ (С)] будет окружностью с диаметром I.J., иначе окружность с центром М.,
проходящая через
Случай I. М лежит на окружности (Г). В этохМ случае точка М. совпа-
дает с М, I .S'Н = /_ MS'Н\ значит, S'М биссектриса угла I.S'H. Прямо-
угольные треугольники MS'I. и MS'Н равны и, значит, МН = MI., Отсюда следует,
что окружность (СД касается (А) в точке Н. Значит окружности (7) и (С) также
касаются в точке К, в которой прямая HS пересекает (7). Эта точка К есть един-
ственное положение фокуса F, удовлетворяющее условию задачи; имеется, следо-
вательно, только один эллипс (£), проходящий через точку М.
650 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
Случай II. Точка М внутри (Г). Предположим, что в соответствии с обо-
значениями, принятыми при рассмотрении первого случая, точка М передвинется
по прямой SI к точке S; точка Mlf первоначально совпадавшая с Л4, передвинется
в противоположном направлении; радиус окружности (СО увеличится, а так
как точка Afj приблизится к /, то она приблизится и к (Д). Отсюда следует, что
если точка М лежит внутри (Г), образы (Д) и (С\) окружностей (?) и (С) будут
иметь общие точки; значит, и окружности (у) и (С) будут пересекаться в двух
точках. В этом случае имеется, следовательно, два эллипса (Е), проходящих через
точку М.
Замечание. Если точка М лежит на отрезке 3/, но вне (Г), то, рассуждая
аналогично, убедимся в том, что нет ни одного эллипса (Е), проходящего через
точку М.
3°. Две группы эллипсов (£). Если точка М расположена на (Г) и описы-
вает часть (Г), расположенную между (В) и (Д), ее проекция Н на (Д) описывает
отрезок Н' Н" этой прямой, являющейся проекцией на (Д) окружности (Г). Точка К
описывает, следовательно, на (7) ее половину К'К", расположенную по отношению
к медиатрисе S3' с той же стороны, что и 3'. Соответствующий фокус F эллипса (£)
описывает эту дугу K'S'K" окружности (7); этот эллипс имеет с окружностью (Г)
общую точку М и ей симметричную относительно (В). Если же фокус F расположен
на дуге К'SK" окружности (Г), то точке F не будет соответствовать ни одна
точка М окружности (Г),
ностью (F) ни одной общей
окружности (Г), лежит
эксцентриситет эллипса
на
(£)
точка F совпадает с /('
или
соответствующий эллипс (Е) не будет иметь с окруж-
точки (фокус эллипса, проходящего через любую точку
дуге K'S'K"). Для данного положения точки F на (7)
SE
равен е =-----; он имеет
S3'
с К"’, < е < 1, если
1
значение, равное —-, если
F лежит на дуге K'S'K",
иначе — если эллипс (Е) принадлежит первой группе; 0 < е < > если точка F
лежит на дуге K'SK", иначе — если эллипс (£) принадлежит второй группе.
4°. Эллипсы первой группы, проходящие через данную точку Af. Пусть
М—данная точка, лежащая внутри (F), М'— ей симметричная относительно (В); D
и Я—точки, в которых прямая ММ' пересекает (В) и (Д), а Мо и м'о — точки,
в которых прямая ММ' пересекает (Г). Фокусы F эллипсов (Е), проходящих через
точку М (следовательно, и через М'), должны лежать на окружности (7) и на
окружности (C'J, являющейся геометрическим местом фокусов F эллипсов с дирек-
трисой (Д); эти эллипсы проходят через точки М и М'. Эта окружность (С') имеет
концами одного из своих диаметров точку Н и точку Я', гармонически ей сопря-
женную относительно М и М'. Если точка М совпадает с Мо, то мы уже видели,
что ей соответствует (2°, случай /) только один фокус F эллипса (Е), лежащий на
окружности (7); соответствующую окружность (С') обозначим через (Со)— она
касается (Д) и (7) и ее центр находится правее середины DH (ближе к Я), ибо
точка Fq касания (Со) и (7) лежит на дуге K'S'K". Если точка М расположена
между D и Мо, точка Я', гармонически сопряженная точке Я относительно М и М',
расположена между D и Яд. В самом деле, DH • DH' = DM2 и DH- DHfQ = DM^t
откуда в силу DM < DM0 находим DH < DHQ. Окружность (С') окружает, следо-
вательно, окружность (Со); она пересекает поэтому окружность (7) в двух точках
по одну и по другую сторону от Fq. Одна из этих точек расположена на дуге FqS'}
соответствующий эллипс принадлежит поэтому первой группе. Таким образом,
через каждую точку, лежащую внутри окружности (Г), проходит по крайней мере
один эллипс первой группы.
96. 1°. Геометрическое место точек I, Н и Н'. Геометрическое место точек I
есть окружность с диаметром OB', геометрические места точек Я и Я' — окруж-
ности (Я) и (Я') с диаметрами АВ и А'В.
2°. А ОНН' остается подобным фиксированному треугольнику. Обозначим
через о) и to' центры окружностей (Я) и (Я'). Точки Я, Я' и В лежат на одной
прямой; следовательно, поворот вокруг точки О, при котором окружность (Я)
совпадает с (Я'), переведет точку Я в точку Н'. Отсюда следует, что
А ОНН' А Осоо/.
Геометрическое место точек пересечения медиан треугольника ОНН'.
HI = /Я', OG = 01 (G — точка пересечения медиан треугольника 0НН')\ значит,
геометрическое место точек G есть окружность, полученная из окружности (/)
гомотетией (о, -тД.
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
651
3°. Вычисление АН и А'Н'. Обозначим через z'Oz ось, проходящую через
точку О, положительное направление которой дается вектором 01. Через АН и А'Н'
обозначим алгебраические проекции векторов АН и А'Н' на эту ось. Проектируя
равенства АН = АО + О В -|- ВН и А'Н' ~ А'О + О В ВН' на ось z'z, получим:
АН — — a cos а 4- b sin а, А'Н' = a cos а b sin а. В силу условий задачи, А'Н' > 0;
а
значит, АН = | — a cos а b sin а [, А'Н' = a cos а b sin а. Если tg а < у , то
АН — a cos а — b sin а, а если tga > ~ , то АН = b sin а — a cos а. Если tga = y
[т. е. (D) проходит через А], то АН = 0.
ЛО о
4 . Вычисление а, для которого
a) (D) пересекает
- k, 0 < k < 1.
А п
между О и А. В этом случае
a cos а — b sin а
----------------— k,
a cos а о sin а
Ох
(1)
а 1 — k
откуда tga = 1-T-j-¥
0 < aj
2 “
б) (D) пересекает
Ох
и
и . а
есть лишь один угол аь такой, что tgo^ < у и
. n b sin a — a COS a , ~
вне А, В этом случае -----------—-------= k. Это урав-
J a cos а -[- b sin a
(L г.
решение а2 такое, что tg а2 > у и 0 < а2
у , а именно:
нение имеет лишь одно
4 а 1 + £
fg “2 - 6 1 _ k '
Изучение пучка (BA't BA, Z>2). Обозначим через и М2 точки пересече-
ния (£4) и (D2) с Ох. Тогда ОМ{ = О В tg 04 = а г"? , ОМ2 = О В tg а2 = a rjjv •
1 л? 1 ГС
Значит ОЛ41 • ОМ2 = а2, (A', A, Mlt Л42)— гармоническая четверка, так же как
рассматриваемый пучок [если а = Ь, то А'-ВА = 90°, а В А' и В А — биссектрисы
углов между прямыми (Z)j) и (£>2)].
Геометрическое решение. Пусть М — точка пересечения (D) и Ох. Тогда
Л4А7” “ AZT/Z ~ Н° еСТЬ ДВС точки’ делящие отрезок А А' в отношении k\ одна
из них лежит между А' и А (точнее между О и А, ибо 0 < k < 1), другая — за А.
97. 1°. а) Точки, общие (Р) и (Д). Парабола (Р) есть геометрическое место
центров окружностей, проходящих через F и касающихся (D). Прямая (Д) может
быть рассматриваема как геометрическое место центров окружностей, проходящих
через F и касающихся в этой точке F прямой FI (Д) [будем считать, что точка /
лежит на (£>)]. Таким образом, точки пересечения параболы (Р) с прямой (Д) суть
центры окружностей, касающихся (D) и касающихся FI в точке F. Таких окруж-
ностей две; для их построения на прямой (D) от точки / отложим отрезки
IHX = IH2~IF и в точках Нх и Н2 восставим перпендикуляры к (D); точки
пересечения этих перпендикуляров с (Д) и будут М} и М2.
б) Свойство точки G. Точки F и G— центры гомотетии окружностей (Alj)
и (Af2), и, значит, эти точки гармонически сопряжены с точками и М2.
2°. а) Свойства окружности (С). Очевидно, / MJM2 = 90°; значит, окруж-
ность с диаметром проходит через /, а так как к тому же MI (£>)> то она
и касается (D).
б) Свойства окружности с диаметром FG. Эта окружность один из диа-
метров окружности (С) делит гармонически, а потому она ортогональна (С).
С другой стороны, пусть К—проекция F на (£>); четверка точек 77b Н2, G, К
гармоническая, и потому окружность с диаметрОхМ FG, которая проходит через К
и делит гармонически диаметр НХН2 окружности (Г), будет ортогональна (Г).
Замечание. Центр со окружности с диаметром FG имеет по отношению
/ FG \2
к окружностям (С) и (Г) степень, равную (—, и, значит, со лежит на радикаль-
ной оси окружностей (С) и (Г). Эта радикальная ось перпендикулярна линии
центров окружностей (С) и (Г) и, значит, параллельна (D), а так как
со — середина FG, то радикальная ось (С) и (Г) проходит через середину S
отрезка FK- Таким образом, радикальная ось (Г) и (С) есть касательная к пара-
боле (Р) в ее вершине S.
652 Ответы. Планиметрия. Гл. XX КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
в) Степень точки 5 относительно (С). Так как точка S лежит на радикаль-
ной оси окружностей (С) и (Г), то ее степень относительно (С) равна ее степени
Q
относительно (Г), т. е. IS2—IF2 = (KS2 4- К/2)— (KF2 4- К/2) = KS2—KF2 — — — р2
(р— параметр параболы).
3°. а) Фиксированная окружность, которой касается (С). Окружность (С)
на основании предыдуше/о инвариантна в инверсии Но окружность (С)
касается фиксированной прямой (D)\ значит, она же касается фиксированной окруж-
ности (D'), полученной из (D) инверсией —эт0 ОКРУЖНОСТЬ,
проходящая через S, а точка, диаметрально противоположная S на (D'), есть
точка К', полученная из К указанной инверсией ^SK' = эта точка К' сим-
метрична точке К относительно F. Точка касания есть образ /' точки / в той же
инверсии.
б) Геометрическое место точек М. Пусть Q и г — центр и радиус окруж-
ности (D'). Окружность с центром М, которая проходит через 12, имеет радиус,
равный Ml— г, и, значит, она касается прямой (£\), параллельной (D) и отстоя-
щей от (D) на расстоянии г [по ту же сторону от (Z)), где лежит Л]. Значит
точка М расположена на параболе с фокусом 12 и директрисой (£4). Так как
/ описывает (D) в целом, то описывает эту параболу в целом. Так как
SK' ЗР /лх ос
г = —, то прямая (£Д) — медиатриса отрезка SF.
98. 1°. Огибающая поляр (D) точки М относительно (О). Основание
поляры (D) точки М относительно окружности (О) есть точка Н прямой ОМ,
определяемая условием ОМ • ОН = R2. Значит, точка Н есть образ М в инвер-
сии (О, R2). Геометрическое место точек Н есть, следовательно, образ окруж-
ности (С) в инверсии (О, R2). Если р R, то окружность (С) не проходит через
полюс инверсии; ее образ в инверсии (О, R2) есть окружность (С'). Прямая (£>),
будучи перпендикулярна ОН в точке Н, будет иметь огибающей линию второго
порядка (Г) с фокусом О, для которой (С')— главная окружность. Пусть кис-
точки, в которых окружность (С) пересекает прямую О А, а' и {Г — образы точек а
и 3 в инверсии (О, R2). Точки а и а' расположены по одну сторону от точки О;
то же и относительно точек 3 и $'• Отсюда следует, что если окружность (С)
не окружает точку О (р < R), то (С') также не окружает О и, значит, (Г) — гипер-
бола. Если (С) окружает О (р > R), то и (С') окружает О и (F)— эллипс. Если
р = R, то окружность (С) проходит через полюс инверсии; ее образ в инверсии
(О, R2) есть прямая (медиатриса О А). Огибающая (D) в этом случае — парабола
с фокусом О, для которой медиатриса отрезка ОА будет касательной к вершине;
директриса этой параболы есть прямая (Д), перпендикулярная ОА в точке А.
Если р =4= то основание директрисы, соответствующей фокусу О, гармонически
сопряжено с О относительно а' и р'. Но точка А, середина ар, гармонически
сопряжена с бесконечно удаленной точкой О А относительно а и р, а значит в силу
сохранения гармонизма при инверсии точка О (образ бесконечно удаленной точки)
гармонически сопряжена с точкой А (образ точки А совпадает с ней самой)
относительно а' и р'. Значит основание директрисы, соответствующей фокусу О,
есть А, а значит сама директриса есть перпендикуляр (Д) к ОА в точке А;
прямая (Д) есть касательная к (О) в точке (А) [выше мы видели, что если р = R,
то (F)— парабола, а эта прямая (Д) является ее директрисой]. Для вычисления
эксцентриситета (F) достаточно подсчитать отношение расстояний одной из точки
линии (Г) до точки О и до прямой (Д). Возьмем точку 3', которая является вер-
шиной (F). Пусть 3— точка, в которой пересекает окружность (С) продолжение
прямой ОА за точку А. Точка р' расположена между О и А и, значит,
R2 _ /?2
ор' _ ОЗ
е З'Л ’ ОА — О)' Р2 Я2 ₽••
' О’? R+?
Точки, общие линии (Г) и окружности (О), суть точки этой окружности, отноше-
ние расстояний которых от точки О и от прямой (Д) равно R; поэтому эти точки
отстоят от (Д) на расстоянии р; следовательно, они расположены на перпендикуляре
к О А в точке а. Эти точки существуют, если точка а не лежит вне окружности (О),
т. е. если р 2R.
2°. Общие касательные к линии (Г) и окружности (О). Для того чтобы
прямая касалась (О) и (Г), необходимо и достаточно, чтобы проекция точки О
на эту прямую была расположена одновременно и на окружности (О) и на главной
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
653
окружности (С') линии (Г). Значит имеется столько общих касательных к (О) и (Г),
сколько имеется общих точек у (О) и (С'). Но так как точки, общие окружно-
стям (О) и (С'), являются вместе с тем точками, общими окружностям (О) и (С),
то мы приходим к следующему выводу: если окружность (С) пересекает окруж-
ность (О) (р < 27?), то существуют две общие касательные к (Г) и (О), которые
являются касательными к (О) в двух точках пересечения (С) и (О). Если
(С) касается (О) (р = 2/?), то существует лишь одна общая касательная к (Г) и (О).
Если (С) не пересекает (О), т. е. р > 27?, то общих касательных у (Г) и (О) нет.
Пусть Р и Q — точки прикосновения одной из общих касательных к линиям (Г)
и (О), J—точка пересечения PQ с директрисой (А), соответствующей фокусу О.
Отрезок JP виден из точки О под прямым углом; OJ—биссектриса угла, обра-
зованного двумя касательными JA и JQ, проведенными из точки О к окруж-
ности (О); значит, О/— биссектриса угла, образованного радиусами О А и uQ,
проведенными в точки касания. Но так как OP j_ OJ, то ОР— другая биссектриса
этого угла.
Часть первая. Прямые (£), соответствующие двум диаметрально про-
тивоположным точкам М на окружности (С). Пусть и М2 — две диаметрально
противоположные точки на окружности (С). Прямые (Т^) и (D2), им соответствую-
щие, переходят при инверсии (О, 7?2) в окружности, построенные на ОЛЦ и ОЛ12 как
на диаметрах. Эти две окружности пересекаются в точке О и в точке являю-
щейся проекцией О на Геометрическим местом точек Г является, следова-
тельно, окружность, построенная на О А как на диаметре. Точка пересечения (7^)
и (D2) есть образ /' в инверсии (О, 7?2), а геометрическое место точек / есть
образ в инверсии (О, 7?2) окружности, построенной на О А как на диаметре — это
прямая (А). Наконец, прямые (7)]) и (£)2) пересекаются в точке 7, лежащей на
директрисе (А) линии (Г), и, значит, точки Р} и Р2 прикосновения (DJ и (Т)2) к (Г)
лежат на прямой, проведенной через О перпендикулярно 01, значит, Рь Р2 и О
лежат на одной прямой.
99. 1Э. Обозначим через и mQ положения движущихся точек в некоторый
момент 70, а через т и т' — положения этих точек в момент t [точка т лежит
на окружности (С), точка т' — на окружности (С')]. В силу условия задачи
(движение обеих точек с одной и той же по модулю скоростью) соответствие
между положениями точек т и т' для произвольного момента времени может быть
выражено соотношениехМ (С1 mQi Сгт'} + (СCm) = 0 (mod 2г). Векторы Cm
и Ст будут иметь противоположное направление, если (С'т', Ст) = г (mod 2г).
Это условие (необходимое и достаточное) может быть записано и так:
(С'т', C'mQ) + (c'm'Q, Cm} ~ - (mod 2г.),
или, на основании предыдущего соотношения, еще так:
(С/»о, Ст) (с'т'ц, Ст} = - (mod2г). (1)
Произведем перенос С'С. Векторы С'т' и С' mQ займут новое положение. Обо-
значим через X вектор, идущий по биссектрисе угла, образованного CmQ и пере-
несенного вектора Сг т^ тогда (С//г0, Ст) ^~(С'mQ, Cm} ~2 (X, Cm)*, (mod 2г)
и, значит, необходимое и достаточное условие того, что векторы Ст и Ст'
будут противоположно направлены, запишется так:
(X, Ст) = (mod г). (2)
Это равенство показывает, что направление вектора Сп (Сп = Стд) получается
из X поворотом последнего на угол 4- Таким образом, находим одно решение:
С'п' — — Сп. Так как равенство (2) выполнено по модулю г, то другое решение
(а вместе с тем и все решения) получится поворотом X на угол —~. При этом
мы получим вектор Cv = — Си и опять C'v' ~—Cv. Из этих соотношений следует
* Формула аналогична формуле х — --1-
отрезка Л1{Л12 с концами А^ (a'J и А12 (а2).
для абсциссы середины XI (х)
654 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
uv + u'v' = иС + Cv + и'С' + C'v' — иС + Cv + Си — Cv = 0; следовательно,
векторы uv и u'v' имеют противоположное направление. Обозначим через х'х
перпендикуляр, опущенный из О на uv; буквой G обозначим точку, симметричную
точке О относительно uv.
2°. Теперь соотношение между т и т' может быть записано так:
(Сп, Ст) (С'п', С'т') — 0 (mod 2т:). (3)
Рассмотрим частный случай, когда О и G совпадают. Точка G симметрична
точке О относительно прямой uv; эти точки могут совпадать тогда и только
тогда, когда точка О лежит на прямой uv; но прямая uv проходит через С,
значит, прямая uv проходит и через О; центр С' симметричен С относительно О,
a u'v' имеет направление, противоположное uv и лежит на прямой, проходящей
через С'; значит, все точки и, v, С, и', v', С' лежат на одной прямой; к ней пер-
пендикулярна прямая х'х; окружности (С) и (Cz) симметричны относительно х'х.
Из соотношения (3) в этом случае следует, что точки т и т' симметричны отно-
сительно х'х. Медиатриса тт' совпадает с х'х; если, однако, окружности (С)
и (С') пересекаются в точках А и В, то в то время как точка т будет в А,
там же будет и точка т' и в качестве их медиатрисы можно рассматривать
любую прямую, проходящую через А (а также и любую прямую, проходящую
через В). Рассмотренный частный случай мы исключим из всего дальнейшего рас-
смотрения, т. е. будем считать, что uv не проходит через О, т. е. что точки О и G
различны. Назовем через (С") и т" окружность и точку, симметричную окруж-
ности (С') и точке т относительно х'х. Обозначим через Н точку пересечения х'х
и uv. Тогда С"С' — 2НО, и так как Н—середина GO, то 2НО = GO — С"С'.
Отсюда следует, что перенос GO переводит окружность (С") в окружность (С').
При симметрии в х'х вектор Си переходит в вектор С"и" =—Си, но —Си —Си',
значит С"и" = Си', потому при переносе GO (— С"С') точка и" перейдет в и'.
Далее, (С'и', С'т') = (С"и", С"т") (mod 2г.), а так как С'и' — С"и" и
| С'т' | = | С"т" |, то и С'т' — С"т". Отсюда следует, что перенос GO точку т"
переведет в пг'. Итак, от окружности (С) можно перейти к (С'), и при этом пере-
ходе точка т перейдет в соответствующую точку т', производя симметрию
в оси х'х и перенос GO (в любом порядке).
3°. Пусть р" — точка, симметричная р относительно х'х; перенос GO пере-
водит ее в р', так что р"р' — GO; пусть р'" — образ р при переносе GO; тогда
р'"р = GO. Из соотношения р"р' — р'"р и того, что р и р" симметричны относи-
тельно оси х'х, следует, что рр"р'р'"— прямоугольник. Значит А”1 есть произ-
ведение симметрии в оси х'х на перенос OG. Середина р' отрезка рр' лежит
на х'х. Для того чтобы р и р' совпадали, необходимо, чтобы р лежала на оси Ох;
но если р лежит на оси х'х, то она переходит в другую точку р' (GO 0);
значит, преобразование А не имеет неподвижных точек. Прямая uv не играет
роли в определении преобразования А среди прямых, перпендикулярных х'х.
Тем не менее обозначим через S , SG, SG, симметрии в оси uv и относи-
тельно точек О, G, Н. Так как GO — 2GH, то перенос Т, определяемый векто-
ром GO, можно представить в виде T = SHSG (достаточно проверить для двух
точек!), а симметрию S в оси х'х — в виде S = S SH = S^S (достаточно про-
верить для двух точек). Значит А = ZT — SuvSHSHSG = SuivSG —
С другой стороны, Т — S0SH и, значит, А — S0SHSHSuiv—SqS^. Пусть
q — точка, симметричная р' относительно uv, a q'—образ q в преобразовании А.
Так как Suv переводит q в р', то из А — $UVSG следует, что SG = SuvA (S2UV — 1),
а потому SG переводит р в q (А переводит р в р', затем Stw точку р' переводит
в q); значит, р и q симметричны относительно G. С другой стороны, из A — S0Suv
следует So = $иг, точку р' переводит в q, а затем А переводит q в q';
значит, преобразование So точку q переводит в q', т. е. q и q' симметричны
относительно О.
4°. Обозначим через р прообраз р' в преобразовании А. Если m — какая-нибудь
точка (С), а тп' — ее образ в преобразовании А, то рт — р'т'. Необходимое и
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 655
достаточное условие того, что медиатриса отрезка тт/ проходит через р', имеет
вид р'т = р'т' или рт = р'т; значит, точка т есть точка пересечения окруж-
ности (С) с медиатрисой отрезка рр'. Пусть, например, р' совпадает с О, тогда
р совпадает с G, медиатриса OG есть uv; искомые точки и и v, а искомые пря-
мые (£>), проходящие через О, суть медиатрисы (U) и (К) отрезков ии' и vv'
(впрочем, это и так ясно).
5°. Две прямые (D) могут быть параллельны тогда и только тогда, когда
параллельны соответствующие им прямые тт'; но так как составляющая век-
тора тт' по оси х'х есть GO, то параллельность двух прямых (D) возможна
лишь в случае равенства соответствующих им векторов тт'. Но середина тт'
лежит на оси х'х; следовательно, точки т, соответствующие параллельным между
собою прямым (D), должны лежать на прямой, параллельной х'х. Но на прямых,
проходящих через и и через v параллельно х'х, есть только по одной точке
окружности (С); значит, прямая (£>), отличная от (U) и (V), пересекает обе
эти прямые; обозначим точки пересечения соответственно через к' и р/; пусть
X и pi — прообразы А' и р/ в преобразовании А. Рассмотрим прямые (D), проходя-
щие через к' [это (U) и На основании предыдущего медиатриса кк' проходит
и через т и через и, т. е. эта медиатриса есть ти. Аналогично медиатриса р-р/
есть vm. Если — середина ХА', а — середина р.р/, то ит совпадает с wAb а
vm— с v^j. Рассмотрим окружность с диаметром ик', которая проходит через О,
ибо (U) _L Ои; она пройдет и через А,. Аналогично окружность с диаметром vp.'
проходит через О и p.h Значит (иО, ик') = (А;О, /ЦА') (mod-), (р.0, p/v) =—
= (jjijO, (mod-). Так как к}0 и совпадают с х'х, a AjA' и совпадают
с vm (vm _L ит, ит \ кк'), то (Ои, ик') = (р.'О, p.'v) (mod и). Из этого соотноше-
ния следует, что углы (Оик') и (Op/v) или равны, или дополнительные. Но так как
это острые углы прямоугольных треугольников (/_ иОк' = / vOp/ = 90°), то они
равны, а соответствующие треугольники иОк' и p.'Ov подобны и одинаково
ориентированы, отсюда и, значит, Ок' • Ор/ = Ои • Ov. Назовем далее
через Х'ОХ биссектрису угла, на сторонах которого лежат векторы Ои и Ov; эта
прямая Х'ОХ фиксирована, и мы имеем (ОХ, Ои) (OX, Ov) = 0 (mod 2л). Но
так как (Ои, Ок') (Ov, Ор.') = 0 (mod 2л), то, складывая, получим
(ОХ, Ок') (OX, Ор/) = 0 (mod 2л), откуда и следует, что Х'ОХ—также бис-
сектриса угла, образованного полупрямыми, выходящими из точки О, на которых
лежат векторы Ок' и Ор/.
6°. Отложим на Х'ОХ от точки О векторы OF и OF' в противоположных
направлениях и таких, что OF = OF' — YQu • Ov. Точки F и F' фиксированы.
Пусть Y'OY—медиатриса отрезка FF'. Обозначим через р." точку, симметричную
точке р/ относительно Y'OY; полупрямые Ок' и Ор." имеют прямопротивоположное
направление, а потому ОА' • Ор." = Ок' • Ор/ = OF2; точнее: ОА' • Ор." = — OF2 =
= OF • OF'; отсюда следует, что точки и.", F, F' лежат на одной окружности;
Y'OY— ось симметрии этой окружности; эта окружность проходит и через р/;
точки А' и р.' расположены по разные стороны от FF' (ибо FF' — биссектриса / к'Ор.').
Обратно: если Ао—точка (U), р0 — точка (V) и если Ао и р.о лежат по разные
стороны от прямой FF' и точки F, F', А', р0 лежат на одной окружности, то
^о'хо — прямая (D); в самом деле, через точку Ао проходят две прямые (D); одна
из них есть (U). Пусть другая пересекает (У) в точке Pq. Окружность (FF'k^, по
условию, проходит через р0, лежащую на прямой (У) и по другую сторону от FF'
по отношению к точке k'Q. Но пересекает эту окружность также в точке p.Q' •
значит р0 совпадает с р0 и Аор' есть прямая (D).
7°. Огибающая будет гипербола с асимптотами (U) и (У) и фокусами F' и F;
это следует из соотношения Ок' • Ор/ = Ои • Ov = OF2. Вершины этой гиперболы —
проекции на Х'ОХ точек пересечения окружности, построенной на F'F как на
диаметре с асимптотами (U) и (V).
Часть вторая. Г. Существуют две касательные к гиперболе (Н), про-
ходящие через точку а'. Пусть Ь' и с' — точки, в которых эти касательные
вторично пересекают окружность (С). Построение прямых а'Ь' и а'с', на основа-
нии I, 4°, таково: это прямые (D), проходящие через точку а'. Пусть а — про-
образ а' в преобразовании А и пусть медиатриса отрезка аа' пересекает (С)
в точках р и 7. Преобразование А переводит точки ₽ и 7 в t8' и 7', лежащие на
656 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
окружности (С'); прямая а'с' — медиатриса отрезка 33', а прямая — медиатриса
отрезка 77'. Пусть далее 3j и 7] — середины р.З' и 77', а{—середина аа' (Зь 7, и ах
лежат на х'х). Точки и 7!—вершины прямых углов а'а^ и л'717, стороны
которых проходят через а' и 7. Эти точки лежат, следовательно, на окружности
с диаметром а'^. Поэтому прямые а'\ и (или х'х) одинаково наклонены
к прямым <2171 и <7t7. Иначе говоря: прямые а'^ и х'х одинаково наклонены к а'Ь'
(которая является медиатрисой отрезка 77') и к 37. Но а', Ь', 3, 7 лежат на
окружности (С). Поэтому а'\ и Ь'$ одинаково наклонены к а'Ь' и З7. Сравнение
этих результатов позволяет утверждать, что Ь'^Цх'х; таким образом, точки Ь' и 3»
лежащие на окружности (С), симметричны относительно uv. Если мы заметим,
что Л] и 31 лежат на окружности с диаметром а'$, то аналогично будет доказано,
что точки с' и 7 окружности (С) симметричны относительно uv.
2°. Добавим к предыдущим построениям точку а, симметричную а относи-
тельно uv, и ее образ а' в преобразовании А. На основании первой части
пункта 3° заключаем, что а и а' — также симметричны относительно uv (точка р'
теперь обозначена через а',- точка q — через а, р— через а). Итак, точки а и а'
симметричны относительно uv так же, как и точки а' и а. Медиатриса отрезка аа'
симметрична поэтому медиатрисе отрезка аа', а так как последняя есть З7, то
медиатриса отрезка аа' есть b'c' (b'fi 1| \с' || х'х). Но так как а лежит на окруж-
ности (С), то Ь'с' есть прямая (D) и, значит, касается гиперболы (77). Таким
образом, стороны треугольника а'Ь'с', вписанного в окружность (С), касаются
гиперболы (Н). Так как точка а' может перемещаться по окружности (С), то
таких треугольников [вписанных в (С), стороны которых касаются (77)], бесконеч-
ное множество.
3°. Из первой части п. 3°, следовало, что р' и q' симметричны относительно О.
Принимаем за точку р' точку а'\ тогда q' будет а'; следовательно, а' и а' симмет-
ричны относительно О. Принимая за точку р' точку Ь', затеям с', докажем, что
Ь' и 3' симметричны относительно О и что с' и 7' симметричны относительно О.
Значит Д а'Ь'с' симметричен треугольнику а'3'7' относительно О [первый тре-
угольник вписан в окружность (С), второй — в окружность (С')]. Далее 77' а'Ь',
но в силу указанной симметрии а'Ь'\\а'У, значит, 77' — высота треугольника а'З'т';
аналогично аа', 33' — две другие высоты; они, следовательно, пересекаются в неко-
торой точке е; точка <р есть ортоцентр треугольника а'3'7'. Наконец, середины ab
31 и 7! отрезков аа', 3ij/> Т(' являются проекциями точки ср на стороны Ь'с', с'а'
и а'Ь' треугольника а'Ь'с', вписанного в окружность (С), и так как эти точки ах,
31 и 7! лежат на одной прямой (прямая Симпсона), то точка ср лежит на окруж-
ности (С); точка ср', симметричная точке ср относительно О, лежит на окруж-
ности (С') и является ортоцентром треугольника а'Ь'с'.
100. Г. Геометрическое место точек Н. Основание Н поляры точки А
относительно окружности («) определяется на прямой и>А следующим соотноше-
нием, в котором р есть радиус (со): <оД • w/7 ~ р2; но р = <оД, поэтому
• соД = соД2 и, следовательно, <о77 = соА. Отсюда следует, что точка Н
о / . 3 \ ГГ
из точки о) получается гомотетией IA, I, а геометрическое место точек п
из геометрического места точек <о получается указанной гомотетией. Это, следова-
______________________________________________________________________ 2 __
тельно, полуокружность, построенная на АЕ как на диаметре, где АЕ — — АВ,
3
AE~~^R. Пусть С — центр окружности, построенной на АЕ как на диаметре,
а (С) — сама эта окружность.
Свойства окружностей (to). Точки А и 77 делят гармонически тот диаметр оф
окружности (С), который лежит на прямой соД. Значит (С) и (со) ортогональны.
Итак, все окружности (со) ортогональны окружности (С).
2°. Изучение двух пересекающихся окружностей (со). Пусть (coj и (со2) —
две окружности семейства (со), пересекающиеся в точках М и N. Так как окруж-
ность (С) ортогональна каждой из них, то ее центр С имеет одинаковую степень
относительно обеих этих окружностей, равную квадрату радиуса (С); значив,
центр С лежит на радикальной оси MN окружностей (coj и (со2) и СМ • CN — С А2,
отсюда следует, что окружность (Л4АГА) касается СА в точке А. Прямая MN
есть перпендикуляр, опущенный из точки С на прямую со^. Если а>2 стремится
к coj, то прямая tojcog стремится к касательной, проведенной к полуокружности (Г)
в точке соь а прямая MN стремится к перпендикуляру, опущенному из С на эту
касательную. Точки т и п, в которых перпендикуляр, опущенный из С на каса-
тельную к (Г) в точке о)ь пересекает (toj, будут предельными положениями
точек М и N. Окружность (Атп), являющаяся предельным положением окруж-
ности (AALV), так же, как и эта последняя, касается С А в точке А; ее центр £2
Ответы. Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
657
расположен одновременно на касательной в точке А к (Г) — на медиатрисе тпг
которая является касательной к (Г) в точке ((dJ. Длины <>А и равны (как
отрезки касательных, проведенных к окружности из одной и той же точки), и,
значит, окружность (Атп) с центром ^2, проходящая через А, пройдет и через сщ,
Точка расположенная на медиатрисе хорды тп окружности (Атп), есть
середина дуги тп этой окружности, поэтому Awj — биссектриса угла тАп.
3, Преобразование конфигурации инверсий (A, 4J?2). В инверсии (А, 47?2)
окружность (С) перейдет в прямую (С'), перпендикулярную АВ в точке Е' такой,
_______ ___ 2
что AE-AE' — ^R2. Так как AE — --R, то АЕ'— . Всякая окружность (со),
будучи ортогональной к (С), перейдет в окружность (/), ортогональную прямой (С'),
иначе говоря, в окружность с центром на этой прямой. Центр I этой окружности
есть точка, в которой прямая, Аю пересекает (С'); в то время как w описывает
полуокружность (Г), эта точка I опишет полупрямую Е'у, лежащую на прямой (С').
Пусть (coj) — одна из окружностей (о>). Ее центр <оь будучи расположен на (Г),
перейдет при инверсии в точку расположенную на образе (Г) в инверсии (А, 4/?2),
т. е. на полупрямой Bz, лежащей на касательной к (Г) в точке В. Окруж-
ность (Атп) касается АВ в точке А, поэтому она перейдет в прямую, параллель-
ную АВ и проходящую через сор Точки т и п перейдут в точки р и q, в которых
Ат и Ап пересекают эту прямую. Образ (/,) окружности ((oj проходит через
эти точки р и q, и центр Ц окружности (Ц) есть точка, в которой прямая А<щ
пересекает Е'у. Так как coj есть основание биссектрисы угла А треугольника pAq,
рА
то ----- —
” / л л 094 л 4/?2
г, а так как р из т получается инверсиеи (А, 4/<2), то Ар —----------
qwx Ат
С другой стороны, так как р и
/ тг/\^
о>1 р = -------шхт. Отсюда
А^-Ат 1
coj — образы т и <о1 в инверсии (А, 4/?2), то
и из предыдущего соотношения находим
Ар А «о. п рА о .
—у——-------L. Но по условию Awj = 2со1ти1, поэтому -—-—=2. Аналогично
о^т p^Y
- - 7- = 2. Таким образом, отношения расстояний от точек р и q до точек А
и равно 2 при любом выборе окружности (coj. Но так как расстояния
от точек р и q до точки со1 являются расстояниями от этих точек до прямой (Д),
то точки р и q лежат на гиперболе с фокусом А, директрисой (Д), соответствую-
щей этому фокусу, и эксцентриситетом 2. Если изменяется, то описывает
луч Bz, а каждая из точек р и q—верхнюю часть ветви указанной гиперболы.
4°. Взаимное расположение (Ц) и (И), Так как точки А и гармонически
сопряжены с границами диаметра а'^' окружности (1Х), окружность (А(о,у?) орто-
гональна (Zi); ее центр расположен поэтому на касательной в точке р к (1Х), и
если Т — точка, в которой эта касательная пересекает (Д), то одним из диаметров
окружности является рТ. Отсюда следует, что / рАТ = 90’. Но
(А) — директриса, соответствующая фокусу А гиперболы (Н); значит, рТ—каса-
тельная к гиперболе (Н) в точке р. Аналогично доказывается, что касательная
к (/j) в точке q есть и касательная в точке q к гиперболе (Н). Впрочем, это
следует и из того, что точки р и q симметричны относительно Е'у, которая
является мнимой осью гиперболы (Н).
Раздел II. Стереометрия
Глаза XXII. Задачи на вычисление
§ 1. Прямые и плоскости в пространстве
. А (а _ ь ± /д2 —6ай + &2). 2. 15° и 75°. 3. 60°. 4. . 5. 30°. 6. 1/ —
2 о г 2
7. Или а (/3-1-1), или а (/1—1). 8. А(/3 ± 1)/б2 —а2. 9. /а2 + 62 + с2 + аб
. 10. 3. 11. 90°. 12. 30°, 60°, 120°, 60°.
42 П. С. Моденов
658
Ответы. Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
Черт. 229.
(К задаче № 12, гл. XXI)
Ответы. Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
659
§ 2. Треугольная пирамида «
д^З 2 б 10 14 3 4. 576 см\ 5. ^•?2(1 + 1/~
2 а-\- Ь 4 v \ г п /
9 У11 36
10. —4g— а2. И. 3. 12. 4st + (s2 + $з + 13. 1. 15. В сечении прямо-
угольник со сторонами у(а±2бУ2); периметр 2а, площадь ~ (а2— ЗЬ2).
16. у У (т — а2) (т — Ь2) (т — с2), где т = ~ (а2 Ь2 -|- с2).
1 25 9 1
б) j 5; в) -gg- s. 19. a) -jg- s; б) -j s или
22. Г. Аа=2-\-~^ (см. черт. 230 и 231); тре-
угольник АВС — прямоугольный, равно-
бедренный. 3°. Объем пирамиды аВЬсС
равен 6 УЗ см3\ объем пирамиды аАВс
Черт. 232.
17.
21
125 *
Черт. 233.
18. а)
16. 21.
9 S;
2
9 U-
равен расстояипе от а до плоскости АВС равно -^=-.23, Г. а=
— У#24-с2 — Ьс (черт. 232), s =. 2°. 10а2 == Ь2 -f- с2 —- Ьс (черт. 233) (I)
и 2а2 + Ьс==а(Ь + с) (2). 3°. 10а2 = S2 — ЗР, 2a2 = aS — P, S2 — 3aS — 4a2 = 0,
отсюда S = 4a, P = 2a2; значения b и с при условии, что / ВАС = 90° и ВС = а У10;
b - a (2 4- У 2), с = а (2 — У 2). 4°. s = ~ (3 У 3 + 7).
§ 3. Многоугольные пирамиды
16/W
1. -
3
r-ч iv/i, и п о,5 а2 _ 5а2 А „ a2h
. 2. ------------г — -.....- . 3. 1920 см2. 4. -р s. 5. 3:5. 6. . 7. - о . 8. —.
з (Д2 _ ^2) у2^2 _ Д2 4 у з 24 6
п 5 ч 3 15 7 15 1О 21 91 1Q 1QA 1у| Si + s2
9. -тт s. 10. a) -r- s; 6) s или s. 11. -r-. 12. -7- и 777. 13. 126. 14. --------------
9 7 4 16 16 4 4 12
2
42*
660
Ответы. Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
15. -^•(2-Ь/3)/4&2 + 372. 16. 1s. 17. ~s. 18. ~ ab и ~ab. 19. а) $;
,, 25 „ 36 п . . <« dl ч 33 . 35 „
б) 1(. s. 20. -35- Dd. 21. а) , б) 3 , в) J2 dl, г) gg dl.
§ 4. Призмы
1. 17 346. 2. 5:3:3: 1. 3. аб(/2-Ь 1). 5. 1. 6. 1. 7. а) 1^-й3; б) Л
о 12 О 12
8. 32(6 + /6). 9. 12. 10. 1а2 Г 2. 11. 2 /2 а\ 12. 9. 13. 51 и 75. 14. 2 s. 15. -Ц- s.
о 4 12
3 2К 2 19 27 1
16. ^v. 17. -=-у^й2. 18. а) 3. б) 1. 19. ~ s. 20. s. 21. 3. 22. а)
б) 4 Dd\ в) 4 Dd-, г) Dd-, д) 4 Dd. 23. -Ц -v. 24. a) -L й3; б) 4л3.
о о о 2 4 lo J о
§ 5. Куб
1 ^6 CL "I ’
1. • 2. р -у. 3. Приблизительно 70%, 4. —-^—а2. 5. Плоскость, проходящая через
концы ребер, выходящих из одной и той же вершины куба, перпендикулярна его
диагонали, выходящей из той же вершины, и делиг ее в отношении 1:2; отсюда,
между прочим, следует, что ука-
занная в условии задачи пло-
скость пересекает грани куба по
прямым, параллельным соответ-
ствующим диагоналям граней — это
Черт. 235.
Черт. 234.
дает возможность точно построить данное сечение куба, наметив сечение АВ, ска-
жем верхней его грани (черт. 234); в сечении получается райноугольный шести-
угольник (все углы 120е), противоположные стороны которого параллельны; длины
меньших сторон а ] 2 — b Уб, длины больших сторон ~ а У 2 + b Уб; площадь
(я2 — 462). 6. -~=-. 7. 1 : 1. 8. Плоскость должна проходить через диаго-
наль и середину любого скрещивающегося с ней ребра. 9, -Ц- а 10. 11. у.
10 1 — I ,/-5- ю 7 14 1 169
2 й) 2. 13. 48 . 14. 9 или П25 .
15. 1°. Сечения куба плоскостями (П). Пусть D—вершина куба, противопо-
ложная точке О. Рассмотрим куб с ребрами OL, ОМ, ON; он гомотетичен данному
кубу по отношению к О; OD несет на себе диагональ этого куба, которая перпен-
дикулярна плоскости LMN; эта последняя пересекает куб, если точка Н пересе-
чения плоскости LMN с OD лежит на отрезке OD. Находим ОН=—^; отсюда:
V 3
Ответы. Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
661
плоскость LMN пересекает куб, если 0 < < аУ3 или 0 < х < За; если
О < х ±4 а, сечение — равносторонний треугольник LMN; если а < х < 2а (это слу-
чай — на черт. 235), то сечение — шестиугольник PQRSTU; наконец, если
2а < х < За, сечение снова — равносторонний
треугольник.
2°. Периметр сечения. Если 0<х<;я,
Р’ = Зл}/'2; если а < х < 2а, сечение—шести-
угольник PQRSTU. Треугольник QM{R равно-
Черт. 236.
сторонний, значит, QR = RM{; значит, QR 4- RS — SM} = а У 2, значит, периметр
в этом случае равен Зя]л2. Наконец, если 2a<Zx<3a, р = 3 (За — х) У 2. Гра-
фик р = р (х) изображен на черт. 236 — равнобочная трапеция.
х2 Уз
3°. Площадь сечения. Если 0<х^.а, s — —~. Если а < х < 2а,
х2У 3 _
s =----g-----3 пл.
наконец, если 2а <
QMXR = (-2л2 + бах — За2) -ЕГ = _ у3 .
Уз
х < За, то s = У3а — х)2. График функции $ = s (л) состоит
из дуг трех парабол (черт. 237).
§ 6. Многогранники
1. 14. 2. 13. 3. -|/л+2-|-с2+-г а262. 7- 4“(с+2а)'8- I2 (^b + cd) + ad + 6с].
§ 7. Сфера и ее части; комбинации сфер с прямыми и плоскостями
2. г = — iLir 1,2 ----------, й = //а4 + a2b2 + 64 — а2 — b2. 4. .
2//a4 + a2Z>2 + +4 — а2 — Ь2 14
i 4^аУ i^-R2-a2 £~аУ i~R2~a2
5. -j (2А + 2В -j zrf=). 6. —-r .. 2~ t r /....... .
a + V i~R2~a2 a~V i~R2~a2
7. a Q a 2/2 ’ ‘ /2' Q 9 +4/2 9-4/2 ln r (r . 9. „ г и r. 10. —- (5 z: У 13) . / /5 11. 4 (3±) r5) О
12. (9 ±/69). 13. 5 + 2/K 14. 15. r(l + /2). О 16. 3— /3 4
17. ('+/ 4)- 18. 2±/3. 19. ~-R. 20. 2*-(3 — 2/2). 21. 5 ± /24
22. 3 ± 2 } 2.
662
Ответы. Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
§ 8. Сфера, вписанная в многогранник и описанная вокруг него
1, j. IjL r21/~R2____ r2 2 A — 3
2 v K ' • 7 3 29 * •
9. 5. 10. 13. 11. 65. 12. 13. 13. 5.
Черт. 238.
17" — CM3. 4. . 5. 9. 6. 27. 7. 5. 8. 13.
v tz 1255
14. -^-(Я±//?2-г2). 15. -E-. 16.
П. 18. _g. 19. 36.20. a) 6) |.
2I- w S(15-8’/»-
23. 45°. 24. a (2 —/2), 6м2 (5 /2 — 7).
25.1^., 2». 1Д4+/М
/ Z,- \ r 5] /
27. Пусть А, В, C — точки встречи ребер
тетраэдра, выходящих из , вершины Р,
через которую проходит сфера, с этой
сферой; тогда тетраэдр РАВС также пра-
вильный, а сфера проходит через его вер-
шины (описана вокруг него). Продолжим
все грани тетраэдра до пересечения со
сферой; тогда сфера разделится на десять
частей: четыре криволинейных треуголь-
ника и шесть криволинейных двуугольни-
ков (черт. 238). Обозначая площадь
каждого из таких криволинейных треуголь-
ников через х (это и есть искомая пло-
щадь), а площадь двуугольника — через у,
получим 4х 4- бу = 5, х Д- Зу = 6*], где $! = у —- поверхность сферического сег-
мента, отсекаемого от нашей сферы плоскостью какой-нибудь грани тетраэдра РАВС.
Из полученных уравнений находим: х = ^. 28. —,. 29. (6 ± ]/г17).
§ 9. Цилиндр, конус, сфера в комбинации друг с другом,
с плоскостями и многогранниками
^=-(2 + V З)3. 2.
о У о
1 r3fl3
3 Я (г + / г2 + Л2)3 ’
“Г3
3. •—г=- 4. Г] 2
8/3
2/И2 ЯГ2(г + 1/-г2_|_(й_г)2)3
• 1 + 2т - 3 (d — г)2
№(r + /r2 + (rf + r)2)3
WP • 8- 60 •_ 2
9. 100 У3970 — 6300 = 780 м. 10. I-,
0<?<2. 11. ~ (г2 + гЯ — R2).
пН (R — г)2 (R2г)
12. -г—------------- ; объем вне ко-
оР
нуса равен 13. 2/3.
14. р(р-а)(р—Ь) (р-с), где р= .
15-л (а2+ь2+<«+*> Vь (Ьга))
R2
17. Радиус шара ; радиус окруж-
ности прикосновения fg’*
,9. I/ «(3-Г®.
$4 — 72stw2
4"S
21. 3- (]А 3 — У 2)3. 22. Отрезок LM, соединяющий середины ребер АВ и CD тет-
раэдра, перпендикулярен к ним обоим, и его длина равна -Д" (черт. 239). ГГрове-
Ответы. Стереометрия. Гл. XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
663
дем через ребро CD плоскость, перпендикулярную оси конуса. Плоскость круга
сечения наклонена под углом 45° к АВ; значит, LM = LS t поэтому SM = а,
а так как CD = а, то легко находим радиус круга рассматриваемого сечения
о/z п ~ л /5л\2 . /За \2
SK==-g-. Расстояние же от вершины О до ребра CD равно: J/
= 23. |s. 24. -“-(2^+ 3/3). 25. -^-(л + 5/З). 26. ~(л + 2).
27. (7л + 6/3). 28. 6. 29. а) б) |. 30. 31. а) б)
о о Z Ч 04 1 о
») г) 32. а) 1. 6) 1. 33. ” „ 3,. ’ 33. |. 33. 288.
1ZO о4о и/ 1У 11 о
37. а) при 1 < k < 1, q == fl — 1); при 0 < k < 1 , q = yy-1 .yi
И J
при k = 1, ?max = •> б) при 1 < k < 1, q = Ta fl - 11; при 0 < k < 1,
1 1/Л з i У 3
при k = -g-, ?max = —-; в) при у < k < 1, q = — X
A . 1
при 0 < k > q ~
1 . 1 /3
\ 2 > ПРИ 2 ’ ^inax я
33 а) 11 -1—• Q1 -?-• 3) 1331 * 4) • 5) - ^1 • 61 11 1 * Q1 • 31
a) 108 ’ } 27 1 } 32 000 ’ > 2048 ’ } 6912 ’ 6) !) "16 ’ ’ 250 ’ 16 000
4>т®4; 5> + ,5' ” тт T- 4L * «• •> T1 «> T1-
44. 25. 45. /-(j/" A± 1). 46. ± 1). 47. r ± 1). 48. a) sinx = j/”
rf 2 + Л 49 go aV&. a/22 . a/2 3a/2
6) \/3-1/ ‘ 4 • 5V‘ 4 ‘ 51‘ a) 8 ’ б) ПГ’ B) T-’ “Тб--
. - r. . л „ . л/3 З/Зл . /Зл /Зл
52. а) 24 или 27 , б) 16 . 53. а) 128 или 128 , б) 54 или ;
. л/3 . 4/1л 6/Зл =л ЛГ10 —/48 „ „ г’/б
в) 16 , г) 125 или 125 . 54. У 12 . 55. а) 4 ;
(ч 1/”(Л кс 45/ 5 __ .2 . 5 .. 49 .1 .1 .1
б)-2<3±/б). 56. -gj-. 57. а)3; б) в) г) д) т; е)
58. а) б) 11; в) 1|; г) 59. tgai = l, tga2 = |. 60. 45°. 61. 4.
62. а) 30°; б) sin а = А. 63. а) — или й; б) г или 5г. 64. а) 2 или 1; б) 11
о о 4 о
"" i' = Т- 67- 3572 68' ’•-IT ®- р“"
усы шаров, вписанных в трехгранные углы при нижнем основании призмы, равны
12 6
Г[ = 2д- и г2 = у, а радиусы шаров, вписанных в трехгранные углы при верхнем
12 3
основании, гз = “25 11 г4 = у •
Глава XXIII. Геометрические места точек
1., Сфера. 2. Надо построить сферу, для которой данная точка и центр данной сферы
являются диаметрально противоположными точками. Множество всех точек по-
строенной сферы, лежащих внутри данной сферы, и есть искомое множество то-
чек— это или сферический сегмент, или сфера с выколотой точкой, или просто
сфера, в зависимости от того, лежит ли данная точка вне, на, или внутри данной
664 Ответы. Стереометрия. Гл. XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
сферы. 3. а) Дуга окружности, лежащая внутри сферы, причем данная точка и
центр сферы служат концами диаметра указанной окружности; б) окружность
с <выколотой) точкой; <выколотая) точка есть данная точка; в) окружность.
4. Сфера. 5. Плоскость. 7. Точка О—пересечения прямой АВ с плоскостью р (если
АВ р), отстоит от точки касания шара на постоянном расстоянии d = 1^0А • ОВ.
8. Пусть А' и В' — проекции данных то-
чек А и В на плоскость у, а а и Ъ — рас-
стояния от точек А и В до плоскости у.
Обозначим через С и С' точки, лежащие
Черт. 2-10. Черт. 241.
проходящей через А' и В', и такие, что
СА' С'А' а ~
СВ~ ~ СПУ ~ ~Ь Тогда 11С‘
на прямой,
комым геометрическим местом будет окружность, построенная на СС' как на диа-
метре. 9. Плоскость. 10. Прямая. 13. Сфера радиуса VAM • МВ с центром
в точке М. 14. 1°. Ответ: плоскость, перпендикулярная О А. 2°. Ответ: пусть В—
прямая, по которой плоскость (Р) пересекается с плоскостью, проходящей через
точку О, перпендикулярно заданному направлению. Искомое геометрическое место
прямых (А) есть плоскость, проходящая через прямую о параллельно заданному
направлению (черт. 240). 3°. Пусть Т — ортогональная проекция данной точки 5 на
плоскость (Р) и пусть точки Т н О различны. Угол S/Ю проектируется на пло-
скость (Р) в прямой угол ОНТ. Следовательно, точка Н лежит на окружности (С),
построенной на ОТ как на диаметре. Обратно: если точка //лежит на окружности
(С), то / ТНО — 90°; следовательно, / OHS = 90° и прямая SH есть прямая (А).
Значит, геометрическим местом прямых (А) является конус с вершиной S, для ко-
торого окружность (С) является направляющей. Если точка Т совпадает с точкой О,
то SO — единственная прямая, удовлетворяющая условию. 4°. ОН ± (А), АА' Д_ (А)
и ВВ' J_ (А), значит, ОН, АА', ВВ' параллельны одной и той же плоскости. Но
О — середина АВ, значит, Н—середина А'В'. Далее: Л АН А' = Л ВНВ', значит,
АА' = ВВ'. 5Э. Обратно: если АА' — ВВ', то Л АН А' —
~£\ВНВ', значит, НА' = НВ'. Так как АО: ОВ —
— А'Н: НВ' = 1, то АА', ВВ', ОН параллельны одной
и той же плоскости; но А А' и ВВ' перпендикулярны (D),
значит, и ОН J. (D), т. е. (D) есть прямая (А) (черт. 241).
15. Пусть / и J—соответственно середины АВ и CD.
Тогда
В
X
м
Черт. 242.
____ ____ ______ ДР2 ________ _______ _______СП2
МА2 + МВ2 = 2М/2 4- ~~, МС2 4- MD2 = 2MJ2 + ;
• 1 4 4
значит, МА2 -j- МВ2 = МС2 -j- MD2 тогда и только тогда,
Искомое геометри-
перпендикулярная от-
16. 1°. а) Геометриче-
(ядс) — медиатриса от-
когда
ческое
резку IJ в точке Н такой, что 2U-0H —
ское место точек Р таких, что
резка АС. Геометрическое место точек Р таких, что PB--PD есть плоскость, (ъ )—
медиатриса BD. Так как X и Y—скрещивающиеся прямые, то АС и BD—также скре-
щивающиеся прямые; значит, плоскости (^лс) и (~BD) пересекаются по прямой U, для
всех точек которой и только для них мы будем иметь одновременно РА=РС и
PB- PD (черт.242), б) Геометрическое место точек Р таких, что РА = PD и РВ — PC
есть прямая V, по которой пересекаются плоскости (к ) и (к ) — медиатрисы
4
место есть плоскость,
CD2 — АВ2
4
РА = PC есть плоскость,
Ответы. Стереометрия. Гл. XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
665
отрезков AD и ВС. Прямая U пересекает плоскость в самом деле, если бы
прямая U была параллельна плоскости она была бы ортогональна AD, а так
как U ± АС, то прямая U была бы ортогональна плоскости ACD} значит, пря-
мая BD, которая также ортогональна U, лежала бы в плоскости ACD, что по
предположению не имеет места. Пусть Ро —точка, общая U и (^лл). Тогда
Р^А = PqD, РоА — PQC и PoB — P0D, значит, PQB = Р0С и, значит, точка Ро лежит
на следовательно, и на прямой V. Итак,
в точке Ро такой, что PQA — Р0В = PQC = PQD
(черт. 243). 2.° Пусть Q — какая-нибудь точка пря-
мой U. Тогда QA — QC и QB—QD. Так как
АВ — CD, то &QAB — £\QCD, значит, и
QA1 = QN, ибо NC и МВ — ND. Значит, Q лежит
на но Q — любая точка U} следователь-
но, проходит через U. Так как £и Р—се-
редины АВ и CD, то ЕА — РС, ЕВ == PD и
плоскость-медиатриса отрезка ЕР проходит че-
рез U. Пусть R— произвольная точка прямой V;
тогда RA — RD и RB — RC; значит, Л RAB .
----- Л RCD, а медианы RE и RP этих треуголь-
ников равны между собой; значит, R лежит
на плоскости-медиатрисе EF} проходит че-
рез V. Итак, есть плоскость, проходящая
через U и V.
3°. Прямая U есть GK} прямая V — LH.
Точка Рй есть точка пересечения GK и LH и так
как GHKL — квадрат, то U и V пересекаются под прямым углом. Отрезки ЕР,
GK и HL равны и пересекаются попарно под прямыми углами.
17. 1°. Геометрическое место середин I отрезка ММ'. Назовем через /
середину отрезка ММ'} О — середина АА' (черт. 244); О принадлежит геометри-
ческому месту. Проведем через О две прямые (d) и (d'), параллельные соответ-
ственно прямым (О) и (D')\ затем через точки М и М' проведем прямые, парал-
лельные АА', а точки пересечения этих прямых с (d) и (dr) обозначим соответ-
ственно через т и т'. Так как Мт == АО
и т' М' = О А, то Мт == т' М'. Четырех-
угольник МтМ'т', следовательно, — па-
раллелограмм и середина / отрезка ММ'
есть в то же время середина отрезка тт'} но От = АМ, От' = А'М', а так как
АМ — А'М', то От —От'. Треугольник Отт' равнобедренный, прямая 01 — ме-
диана, относящаяся к стороне тт', и в то же время биссектриса угла тОт'.
Обратно: если мы возьмем точку I на любой из биссектрис (о) или (o') угла, обра-
зованного прямыми (d) и (d') и проведем через / в их плоскости перпендикуляр
к 01, то получим равнобедренный треугольник Отт'} значит, параллели АА', про-
веденные через' т и т', пересекут (D) и (D') в точках М и М' таких, что
АМ — А'М'. Геометрическое место / середин отрезков ММ' есть, следовательно,
пара биссектрис (&) и (6') углов, которые мы получим, проводя через середину О
отрезка АА' прямые (d) и (dr), параллельные (D) и (D').
Геометрическое место точек, делящих ММ' в данном отношении k. На
каждом отрезке ММ' существуют две точки, делящие его в отношении k:
666
Ответы. Стереометрия. Гл. XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
= = k (черт. 245). Одна из них лежит внутри отрезка ММ', другая —
вне этого отрезка. Мы исследуем лишь точку У, лежащую внутри ММ' ^исследо-
вание /' — аналогично). Пусть Oj — точка, делящая АА' в отношении k, = k.
i А
Проведем через точку Ох прямые (УО и соответственно параллельные (D)
и (D'), затем через М и М'— прямые, параллельные АА', пересекающие (/J
и соответственно в точках т1 и тх. Имеем: Мхт{ = ОХА и тхМ[ — ОХА'\ сле-
Afm, DXA , тт ,, г
довательно, ——~ = ——? = k. Четырехугольник Мт М тх — трапеция, отношение
тхМ ОуА * 1
параллельных сторон которой равно k. Диагонали этой трапеции пересекаются
. Мт} , _ ~~ Т/
в точке J, так как--Т = —7—г = k. Так как Охтх = AM, О т] = А М , то тре-
Jmx тхМ 1
угольник Охтхтх— равнобедренный, направление основания т^тх его фиксиро-
вано. Геометрическое место точек J есть, следовательно, геометрическое место
точек основания равнобедренного треугольника О т тх таких, что \ — k. Это
Jmx
свойство сохраняется при гомотетии относительно Ох. Значит, геометрическое место
точек J образовано двумя прямыми (oj и (о2), проходящими через точку
(или Oj), делящую отрезок АА' в данном отношении k, расположенными в пло-
скости (/р и проходящими через точки Jx и У2 отрезка ММ' такие, что
J\M . 1Г
===== — —= Аналогично геометрическое место точек J образовано двумя
прямыми и (о2), проходящими через точку Oj и расположенными в плоскости,
параллельной (D) и (D').
2°. Случай, когда AA'J_(D) и AA'J_ (Д'). Точка / — середина ММ' лежит
в плоскости, проходящей через середину отрезка АА' параллельно прямым (D)
и (D'). В рассматриваемом случае эта плоскость будет перпендикулярна АА' и,
значит, IA = IA'. Отсюда следует, что /\1АМ = Д/А'М'. Значит, АЛЯ = /.А'М'1,
прямая ММ' одинаково наклонена к прямым (D) и (D'). Плоскость-медиатриса
Черт. 246. Черт. 247.
отрезка ММ'. В п. 1° было доказано, что геометрическое место точек / образо-
вано двумя биссектрисами углов между прямыми, проходящими через середину О
отрезка АА' параллельно прямым (D) и (/)'). В случае АА' JL (О) и АА' Д_ (D')
треугольники ОАМ и ОА'М' равны, значит, ОМ = ОМ' и, значит, точка О лежит
на плоскости, перпендикулярной отрезку ММ' и проходящей через его середину.
Значит, эта плоскость проходит через прямые 01, иначе через (6) и (o'). Прямые
(GO и (G2) являются прямыми (о) и (6'). Точки Gx и С2 равноотстоят от (D) и (/)').
Пусть IK и /К' — перпендикуляры, опущенные из точки / на прямые (D) и (D').
Эти перпендикуляры проектируются ортогонально на плоскость (о, о') соответ-
ственно в перпендикуляры Ik и Ik' к (d) и (/') на основании теоремы о проекции
прямого угла (теорема о трех перпендикулярах). Так как / лежит на одной из бис-
сектрис (6) или 0'), то Ik— Ik'. С другой стороны, kK — OA, k'K' = OA';no
ОА = ОА', значит. kK — k'K'- Отсюда следует, что £±IkK~i\Ik'Kr> поэтому
//< = //<' (черт. 246).
Ответы. Стереометрия. Гл. XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
667
const,
Отсюда
3°. Геометрическое место точек, делящих ВВ' в данном отношении А?.
Рассмотрим какую-нибудь прямую ВВ', параллельную плоскости (Р) и пересекающую
две скрещивающиеся прямые (D) и (£>'). Существуют две точки: АГ и N', делящие
NB N' В г
отрезок ВВ' в отношении k (черт. 242): ~ Пусть ВгВх— какая-
нибудь другая прямая, параллельная плоскости (Р) и пересекающая (D) и (D')
в точках и Bv Пусть Nl и — точки, делящие отрезок ВгВг в отношении k.
Предположим, что ВВ' фиксирована, а В В —переменная прямая. Проведем
AW2||(£)); пусть эта прямая пересекает В{В' в точке N2; соединим Н2 с N\.
тл ^2^1 NB U ^1^1 ЛГ \г |1/ГЛ,ч п
Имеем ~ “ "д/в" ’ откУда’ следУет» что ^2^1 II (D ). Следова-
тельно, плоскость фиксирована, поскольку она параллельна (D) и (D')
(ибо она проходит через NN2 и N2Afi). Треугольник NN2Nt остается все время
подобным себе, если В1В1 перемещается. В самом деле, стороны NN2 и A^-Vi
п NN2 B'N B'N 1
остаются параллельными (D) и (О'). Далее, — -дгд- = ~
A^j B{NX BXNX 1 1 HN? ВВХ ВВ{
—_ —!—Г =-----------i—!—— =---------, откуда ----— = —т—ч ; но —~
В В. В, В. B,N.A-B\N. 14-£ N2N, В В, В В\
1 л А А 1 I 1 А 1 xjA 1 А
, АШ2
ибо В, Bt остается параллельной плоскости (Р). Значит, -т = const.
'V2/V1
также следует, что направление АГА^ фиксировано в плоскости, проходящей через N
параллельно (D) и (£>'). Геометрическое место точек А7\ есть, следовательно, пря-
мая, проходящая через точку N (аналогично и для N'). Следствие. Если k изме-
няется, существует бесконечное множество прямых, являющихся геометрическим
местом точек, делящих отрезок ВВ' в отношении k. Эти прямые, по доказанному,
пересекают все прямые ВВ'; все они, по доказанному, параллельны плоскости,
параллельной (£)) и (£>'). Итак, прямые ВВ', параллельные плоскости (Р) и пере-
секающие две скрещивающиеся прямые, не параллельные этой плоскости, пересе-
кают еще (каждая) бесконечное множество прямых, параллельных другой плоско-
сти (<?).
18. Пересечение (Р) с плоскостью SML. Плоскость SML содержит прямую SB.
Плоскость (Р) параллельна плоскости SBC, ’ ”
плоскость (Р) пересекает плоскость SML по
прямой, параллельной прямой SB (черт. 248).
Сечение пирамиды SANLM плоско-
стью (Р). Обозначим через А', М и N' точки
пересечения ребер SA, SM и SN с (Р). Мы
видим, что ЛАГ || SB. Грань SAN содержит
прямую SB, значит, (Р) пересекает эту пря-
мую по прямой A'N' || SB. Аналогичными рас-
суждениями устанавливаем, что (Р) пересе-
кает SNL и SAM по прямым LN' и А'М',
параллельным SC. Четырехугольник A'M'LH,
противоположные стороны которого парал-
лельны, есть, следовательно, параллелограмм.
Площадь параллелограмма (PJ. Гомо-
тетия (А, =-) преобразует L в Н и, сле-
довательно, плоскость (Р) — в плоскость SBC.
Она преобразует параллелограмм (Р) в парал-
лелограмм (Pi) с диагональю SH, стороны
пусть SN{HM{—этот
SK-вс k (b + с)
s 2 ~ 2
BHN} / L
и, значит, s \ВС J (Ь + с)2 ’
Ь2 I с2 и -т-
значит, Pt s - s - .
параллелограмма (Р). (Р) получается в результате гомотетии (PJ с коэффициентом
AL HL — HA l — а п п /1 — а\2 kbc II —а\2
АН АН а \ а ) (Ь-у су\ а )
Объем пирамиды SA'M'LN'. АН _|_ ВС и, если мы опустим из точки А пер-
пендикуляр на плоскость SBC, то длина этого перпендикуляра будет равна a sin а,
параллельна
и
прямой SB. Значит,
S
в
н
К
Черт. 248.
с
и не-
равна
которого параллельны SB
параллелограмм. Площадь треугольника SBC
-. Треугольники BHN{ и СНМ{ подобны треугольнику SBC
Ш\2 Ь2
СНМХ
s
с2
= 7ГП--77 > значит,
(Ь + су
Площадь
668
Ответы. Стереометрия. Гл. XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
ибо величина двугранного угла с ребром ВС равна, по предположению а. Расстоя-
ние от точки А до плоскости (Р) гомотетично этому последнему (a sin а) в отно-
шении —-----; оно равно, следовательно, {а — /) sin а. Расстояние же от S до пло-
скости (Р) есть разность расстояний от точки А до плоскостей SBC и (Р) и, таким
образом, высота пирамиды SA'N'LM' равна I sin а, а ее объем v — Pl sin а —
kbc (а — l\2 .
= отгп—z sin a-
3 (b + c)2 \ a /
Геометрическое место точек S таких, что Р — const. Длины a, b, с, d
фиксированы, значит, если Р = const, то k — const и наоборот. Геометрическое
место точек S — это геометрическое место точек, равноудаленных от ВС. Это
цилиндр вращения с осью ВС и радиусом k\ отсюда надо исключить две образую-
щие, расположенные в плоскости треугольника АВС.
Геометрическое место точек 5 таких, что я = const. Мы видим, что
v = const тогда и только тогда, когда k sin а — const, а так как k sin а есть расстоя-
ние от точки 3 до плоскости АВС, то геометрическое место точек 3 таких, что
v — const состоит из двух плоскостей, параллельных плоскости треугольника АВС
на расстоянии k sin а от этой плоскости.
4°. Геометрическое место 5 при условии, если а) Р—прямоугольник.
Напомним, что параллелограмм (PJ с вершинами 3, Nx, Н, Л4 подобен (Р). Значит,
в этом случае угол BSC должен быть прямым и, следовательно, точка 3 должна
быть на сфере с диаметром ВС. Из этой сферы исключаются точки ее пересечения
с плоскостью треугольника АВС.
б) (Р) — ромб. В этом случае SH—биссектриса угла BSC. Следовательно,
если мы обозначим через Нг точку, сопряженную с Н относительно В и С, то-
биссектрисы углов BSC должны проходить через фиксированные точки Н и Н'
и геометрическое место точек есть сфера, построенная на НН' как на диаметре,
за исключением точек этой сферы, расположенных в плоскости треугольника АВС.
в) (Р)—квадрат. Необходимо и достаточно, чтобы выполнялись одновременно
условия а) и б). Геометрическое место точек 3 есть окружность, по которой пере-
секаются сферы с диаметрами ВС и НН', за исключением двух точек этой окруж-
ности, лежащих в плоскости треугольника АВС: Геометрическое место вершин
квадрата (Р). Н—фиксировано, 3 описывает предыдущую окружность; значит,
вершины и описывают также окружности с осью ВС, поскольку эти точки
A4j и Nj лежат на медиатрисе отрезка HS по одну и по другую сторону от HS
на расстоянии HS. Геометрическое место вершин (Р) получается из предыдущих
/ . AL \ . ,
в результате гомотетии (А, L фиксировано, А описывает окружность,
гомотетичную окружности, которую описывает 5, а № и N' — окружности, гомо-
тетичные тем, которые описывают Д и в гомотетии IA, ~=~у
Вычисление SB и SC. Треугольник SBC — прямоугольный (3 — прямой угол)
и Н—основание биссектрисы угла BSC. Имеем
откуда
SB2 _ SC2 __ BS2 4- CS2 _ ВС2 __ (b 4 с)2
b2 ~ c2 ~ b2^c2 ~ ^2 + c2 “ ’
jg+a sc_i£±£i.
Vb2 -f c2 vb2 + c2
Вычисление сторон квадрата. Приложим к треугольнику BSC теорему
be 19
о биссектрисе, получим SB • SC ~ SH2 4- ВН СН, откуда SH = —-----------. Диаго-
1Л2 а — I
наль (Pj) имеет эту величину, диагональ (Р) равна ......—-------------, а сторона
У Ь2 4~ С2 а
Ьс (а — I)
ayrb2-irc2 ’
19. Зная ортоцентр Н ортоцентрического тетраэдра (Т) и центр О сферы,
описанной вокруг него, легко построить центр тяжести ОС = НентР первой
сферы Эйлера тетраэдра — также и центр а второй сферы Эйлера:
4 = - Г GO.
О
Ответы. Стереометрия. Гл. XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
669
Исследование тетраэдра (Т) с заданной вершиной D. Предположим, что
D — вершина тетраэдра (7) (черт. 249). Центр тяжести D' противоположной грани
получается из D в результате преобразования гомотетии ^G, — yj- Плоскость (П)
противоположной грани — это плоскость, перпендикулярная DH и проходящая
через D'; треугольник АВС вписан в окружность (Od) пересечения сферы (О)
с центром О и радиусом 0D с плоскостью (77). Обозначим проекцию точки О на
плоскость (77) через Od; точка Od служит центром окружности, описанной
треугольника АВС. Точка Hd пересечения прямой DH с плоскостью (77)
вокруг
служит
ортоцентром треугольника АВС, а точка О'—центр тяжести грани АВС;
деле, обозначая через проекцию точки G на плоскость (17), будем иметь
Od<*d ~ 4 D'(*d = 4 OdHd, следовательно, OdDf — Od^d- Указанное по-
и о
строение приводит к тетраэдру (Т), если сфера (О) и плоскость (17) пересекаются
и если существует треугольник АВС, вписанный в (Od) и имеющий Hd своим
ортоцентром, и если, наконец, плоскость (77) не проходит через точку D. Сфера (О)
и плоскость (77) пересекаются, если OOd < OD. На основании задачи № 76, 2°
(глава XX) возможно построить треугольник АВС, для которого окружность (0^)
будет описанной, a Hd будет ортоцентром, если точка D’ лежит внутри окруж-
ности (0^), т. е. если 0Dr < 0D. Заметим, что из этого одного условия уже сле-
дует, что 00d<0D, так как 00d^0D'. Таким образом, если 0D' <0D, то
имеется бесконечное множество треугольников АВС и, следовательно, бесконечное
множество тетраэдров (7) с заданной вершиной D. Обозначим через D" точку,
гармонически сопряженную с точкой D' относительно точек Od и Hd, через (ГJ —
окружность с диаметром D'D". Тогда, если OD' < OD < 0Hd, геометрическое
место вершин треугольников АВС есть часть окружности (Od), внешняя по отно-
шению к (7"j); огибающая стороны — срответствующая часть гиперболы с фоку-
сом Od, для которой направляющей окружностью является окружность, полученная
из окружности (Od) в результате гомотетии ^7У, —T)-j. Если 0H—0D, геометри-
ческое место вершин — окружность (Od), и огибающая сторон треугольника АВС
вырождается в две точки: Od и Hd. Если 0Hd < OD, геометрическое место вер-
шин — окружность (Od), а огибающая сторон — эллипс, для которого Od — фокус,
а направляющей окружностью служит окружность, полученная из (Od) в результате
гомотетии ^£>', —Условие OD' <0D существования тетраэдра (7) можно
модифицировать: обозначим через К точку прямой ОН, полученную из О в резуль-
тате преобразования гомотетии (G, —3), тогда DK = 3D'O и условие существова-
ния тетраэдра будет иметь вид DK < 3D0. Это неравенство показывает, что
точка D должна лежать вне сферы (IJ, имеющей диаметром GH', где Н' — точка,
симметричная с точкой Н по отношению к О. Так как плоскость АВС не должна
проходить через D, то это означает, что прямые DG и DH не должны быть пер-
пендикулярны, а значит точка D не должна лежать на сфере (S2) с диаметром GH.
Итак, области пространства, где расположены вершины тетраэдра (7), суть точки,
внешние для сферы (S,), за исключением точек сферы (S2)-
в самом
670 Ответы. Стереометрия. Гл. XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
Построение тетраэдра (7), грань АВС которого лежит в данной пло-
скости. Предположим, что задана плоскость (77), в которой лежит грань АВС
тетраэдра (7). Центр окружности, описанной вокруг треугольника АВС, является
проекцией Od точки О на плоскость (77), а точка Н пересечения высот является
проекцией Hd точки Н на плоскость (77). Следовательно, центр тяжести G' тре-
угольника АВС есть точка D' такая, что OdD' = вершину D тетра-
эдра (7) построим, произведя над точкой D' гомотетию (О, —3); сфера (О)
с центром О и радиусом OD пересекает плоскость (77) по окружности, описанной
вокруг треугольника АВС. Это построение приведет к тетраэдру (7), если сфера (О)
и плоскость (77) пересекаются, если существует треугольник АВС, имеющий (0^)
в качестве описанной вокруг него окружности и 77j в качестве ортоцентра, и, на-
конец, если плоскость (77) не проходит через D. Сфера (О) и плоскость (77) пере-
секаются, если OOd < OD. На основании предыдущего, существуют треуголь-
ники АВС, если точка D' лежит внутри окружности (Оа), и мы видим, что гео-
метрическое место вершин — это часть окружности (Od), внешняя по отношению
к (Д); огибающая сторон — коническое сечение с фокусом для которого
направляющей окружностью служит образ окружности (Od) в гомотетии ^77', —
полное исследование уже было дано выше. Для того чтобы точка D' была вну-
тренней точкой окружности (Оа), необходимо и достаточно, чтобы OD' < Ои,
рассматривая центр с второй сферы Эйлера, это условие можно переписать так:
D'O < З77'а; отсюда следует, что точка D' должна лежать вне сферы, являющейся
геометрическим местом точек, для каждой из которых отношение расстояний от
точек О и а равно 3. Это сфера с диаметром 077; тогда точка D' есть проекция
точки J, симметричной с точкой о относительно G на плоскость (77). Таким обра-
зом, плоскости (77) — это плоскости, не проходящие через точку G и такие, что
ортогональные проекции на них точки J лежат вне сферы (S3). Рассмотрим теперь
плоскость, проектирующую прямую ОН на плоскость (77); эта плоскость пересе-
кает сферу (S) по окружности а3 с диаметром GH и плоскость (77) по прямой OdHa,
точка 77' является внешней точкой по отношению к окружности а3, поэтому пря-
мая OdHd пересекает гиперболу, для которой 7—фокус, а а3 — направляющая
окружность. Плоскость (77) — это, следовательно, такая плоскость, что проекция
на нее прямой ОН пересекает эту гиперболу. Значит, плоскость (77) — это любая
плоскость, пересекающая двуполостной гиперболоид вращения, полученный при
вращении этой гиперболы вокруг оси ОН, за исключением плоскостей, проходящих
через точку G.
Изучение тетраэдра (7), для которого задана прямая, на которой лежит
одно из его ребер. Предположим, что ребро AD тетраэдра (7) расположено на
данной прямой (X) (черт. 250). Ортогональная проекция L точки О на (X) есть сере-
дина А77; середина М противоположного ребра CD есть точка, симметричная с точ-
кой L относительно G. Перпендикуляр (Z), опущенный из Н на (X), есть общий перпен-
дикуляр для прямой (X) и для прямой (У), на которой лежит сторона ВС. Пря-
мая (У), следовательно, получится, если на прямую (Z) из точки М опустить пер-
пендикуляр. Так как НМ ортогональна (X), прямая (У) расположена в плоскости
(Z, НМ). Вершина А и 77 — это две точки прямой (X), симметричные по отношению к L
и такие, что АН перпендикулярна плоскости (77, У); следовательно, АН J_ DM. Пусть
М'~ точка, симметричная с точкой М относительно 7; тогда AM'\\DM, значит
/ М'НМ — 90°. Следовательно, точка А лежит на сфере (S) с диаметром М'Н. Центр
этой сферы лежит в точке « пересечения прямых OL и М'Н, ибо OG = GH, LG = GM.
Точки А и 77 суть, следовательно, точки пересечения сферы (S) с,прямой (Д'); эти точки
симметричны относительно точки L, а потому «7 есть диаметр сферы (S); перпен-
дикулярный прямой (Л'). Для того, чтобы эти точки существовали, необходимо
и достаточно, чтобы &L < <лН. Обозначая через а центр второй сферы Эйлера для
—> —> —> । >
тетраэдра (7), будем иметь со//= —7а, шЬ = — LO; значит, условие <£>Ь<<яН
примет вид LO < 3La. Это неравенство показывает, что точка L должна лежать
вне сферы, являющейся геометрическим местом точек, для каждой из которых
отношение расстояний до О и до а равно 3. Эта сфера есть сфера (S3) с диаметром 077;
Н и D, таким образом, будут определены: вершины В и С будут точками пересе-
чения сферы с центром О и радиусом ОА с прямой (У). Эти точки существуют,
если ОМ < О А или LH < О А. Далее имеем О А2 == AL2 -j- LO2 = «7/2 — u>L2 + OL2 =
= ~ 7а2 4- OL2 и LH2 = 27G2 -j- 20G2 — OL2. Прилагая теорему Стюарта к тре-
угольнику LOG и секущей 7а, получим 7а2 • OG + LO2 • ----7О2-4-ОО—
о о
4 1 — 4 4 1
—у OG • OG • OG = 0, откуда 7а2 = OG2 + v LG2 — v 7О2, следовательно,
о о У о о
Ответы. Стереометрия. Гл. XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
671
О А2 = 3LG2 + OL2. Предыдущее условие принимает вид 2LG2 + 2OG2 — OL2 <
<3LG2-±OG2 или OG2 < LG2 + LO2. Отсюда следует, что точка L должна
лежать вне сферы (S4) с диаметром OG. Таким образом, прямая (X), на которой
лежит ребро тетраэдра (Т) — это такая прямая, для которой ортогональная проек-
ция L на нее точки О лежит вне сферы (S4), а также и вне сферы (S3).
Прямые (X), проходящие через данную точку <9. Геометрическое место орто-
гональных проекций точки О на прямые, проходящие через точку S, образуют
сферу (S) с диаметром OS. Эта сфера пересекается со сферой (S4), так как сферы (S4)
Черт. 250.
и (S3) имеют общую точку О; пусть (а4) — окружность, по которой пересекаются
сферы (S) и (S4). Прямая, выходящая из точки S, только тогда может быть прямой (X),
если она проходит вне конуса (С4), имеющего S своей вершиной, а (а4) — напра-
вляющей окружностью. Если при этом сфера (S) не пересекается со сферой (S3),
то всякая прямая, проходящая через точку S, внешняя по отношению к конусу (С4),
будет прямой (X). Если же сфера (S) пересекается со сферой (S3) по окруж-
ности (а3), то окружности (а3) и (а4) будут различны, так как они расположены на
сферах (S3) и (S3), внешне касающихся друг друга. Прямой (X) является в этом случае
любая прямая, проходящая через точку S и расположенная вне конусов с верши-
ной в S, направляющими окружностями которых служат окружности (а3) и (а4).
Прямые (X), расположенные в данной плоскости (Р). Геометрическое
место ортогональных проекций точки О на прямые плоскости (Р)— это сама пло-
скость (Р). Заметим, что если Ор— проекция точки О на плоскость (Р), то проек-
ция точки О на прямую, лежащую в плоскости (Р), совпадает с проекцией
точки О на эту прямую. Прямая плоскости (Р) может быть прямой (X) тогда и
только тогда, когда ортогональная проекция точки Ор на эту прямую лежит и вне
сферы (Х3), и вне сферы (S4). Поэтому, если плоскость (Р) не пересекает (S3) и (S4), вся-
кая прямая плоскости (Р) есть прямая, на которой может лежать ребро тетраэдра (7).
Если плоскость (Р) пересекает одну из этих сфер, например сферу (S3) по окруж-
ности (а3), то проекция точки Ор на прямую (X) плоскости (Р) должна лежать
672 Ответы. Стереометрия. Гл. XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
ветствии с рассмотренными случаями,
(X)
(К)
Черт. 251.
О
вне окружности (а3). Следовательно, если сама точка Ор лежит внутри окруж-
ности (а3), прямая (X) плоскости (Р) — это любая прямая плоскости (Р), которая
не пересекает эллипс (Е3), имеющий Ор своим фокусом, а (о3) — направляющей
окружностью. Если точка Ор лежит вне окружности (а3), прямые (X) — это пря-
мые, пересекающие гиперболу (Я3), имеющую Ор фокусом, а (о3) — направляющей
окружностью. Следовательно, если плоскость (Р) пересекает только сферу (S3),
прямые плоскости (Р), на которых может лежать ребро тетраэдра (Г), это, в соот-
либо прямые, не пересекающие эллипс (£3),
либо прямые, пересекающие гиперболу (//3).
Если плоскость (Р) пересекает обе сферы
(S3) и (S4) по окружностям (а3) и (а4), то,
повторяя предыдущие рассуждения и за-
мечания, что точка Ор не может лежать
одновременно внутри (а3) и (о4) (ибо сферы
(S3) и (S4) касаются внешним образом),
получим, что если точка Ор лежит вне
обеих окружностей (з3) и (о4), то пря-
мые (X) плоскости (Р) — это все прямые,
пересекающие гиперболу (7/3) и гипер-
болу (Т/4) с фокусом Ор и направляющей
окружностью (а4); если точка Ор лежит
внутри (а3) и, следовательно, вне окруж-
ности (а4), прямые (X) плоскости (Р) —
это все прямые, которые не пересекают
эллипс (£3) и пересекают гиперболу (Т/4);
если точка Ор лежит вне окружности (а3)
и, следовательно, внутри окружности (з4),
то прямые (X) плоскости (Р)— это все
прямые, лежащие в этой плоскости, кото-
рые пересекают гиперболу (Н3) и не пере-
секают эллипс (Е4).
Исследование прямых (F), соот-
ветствующих прямым (X), проходящим
через данную точку S. Пусть дана
прямая SX, проходящая через данную
точку S, на которой (т. е. на прямой X)
расположено ребро тетраэдра (Т) (черт. 251).
Прямая (Г), на которой лежит проти-
воположное ребро тетраэдра (Г), перпен-
дикулярна плоскости (SX, Н) и, следова-
тельно, ортогональна прямой SH этой
плоскости. Таким образом, прямые (Г),
соответствующие прямым (X), проходя-
щим через данную точку S, ортогональны
фиксированной прямой SH. Рассмотрим те-
перь фиксированную плоскость (Q), пер-
пендикулярную SH. Геометрическое место
на прямые SX составляет часть сферы (S)
с диаметром OS [внешнюю по отношению к сферам (S3) и (S4)]. Гео-
метрическое место середин М противоположных ребер получается в результате
симметричного преобразования указанного геометрического' места относительно
точки G. Заметим, что при этой симметрии сфера (S3) перейдет в сферу (S4) и наоборот.
Отсюда следует, что геометрическое место точек М есть часть [внешняя по отношению
к (S3) и (S4)] сферы с диаметром StH, где S\— точка, симметричная точке S
относительно G. Для прямых (Г), расположенных в фиксированной плоскости (Q),
перпендикулярной SH, геометрическое место точек Л4 есть часть окружности, по
которой пересекаются сфера (SJ и плоскость (Q), расположенная вне сфер (S3)
и (S4) (если, конечно, плоскость (Q) пересекается со сферой Si). Обозначим теперь
через Oq ортогональную проекцию точки О на плоскость (Q) и через-(sj) — окруж-
ность, по которой плоскость (Q) пересекает сферу (Si). Прямая (Y) плоскости (Q) —
это такая прямая, для которой ортогональная проекция на нее точки OQ лежит на
указанной выше части окружности (oj. Мы видим, таким образом, что огибающая
прямых (Г) плоскости (Q) (если она существует) есть эллипс, или гипербола, или
дуги этих линий, имеющих фокус Oq и направляющую окружность (<jj). Если Oq
лежит внутри (aj, то эта огибающая — эллипс, а если точка Oq лежит вне окруж-
ности (а,), эта огибающая — гипербола.
П( строение тетраэдра (Т) по двум точкам S и S', через которые про-,
ходят соответственно ребра АВ и CD. Мы видели, что прямые (Г), соответ-
ствующие прямым (X), проходящим через точку S, перпендикулярны прямой SH
й L точки
Ответы. Стереометрия. Гл. XXIV. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
673
Следовательно, прямые (У), проходящие через точку S', расположены в пло-
скости (Q), проведенной через точку S' перпендикулярно SH. Мы также устано-
вили, что прямые (К), лежащие в плоскости (Q) J. SH, соответствующие пря-
мым (X), проходящим через точку 3, огибают эллипс или гиперболу с фокусом Oq
(Oq — проекция О на плоскость Q) и направляющей окружностью (а^, по которой
плоскость (Q) -пересекается со сферой (Sj), симметричной сфере (S) с диамет-
ром OS относительно G. Следовательно, прямые З'У суть касательные, проведен-
ные из точки S' к указанной выше линии второго порядка. Следовательно, задача
имеет два, одно или ни одного решения. Возьмем одно из решений S'K; проекция
точки Oq на прямую S'К дает середину М ребра, расположенного на S'K; обо-
значая через L середину противоположной стороны (точка L симметрична точке М
относительно точки G), мы находим прямую SL, на которой лежит противоположное
ребро тетраэдра. Зная две прямые, на которых лежат два противоположных ребра
/етраэдра (Г), можно построить этот тетраэдр так, как уже было указано выше.
Глава XXIV. Задачи на доказательство
33. 1°. Плоскость, содержащая С и D (черт. 252). Так как СА ~ СВ, то С
лежит в плоскости, проходящей через середину К отрезка АВ перпендикулярно
этому отрезку. Так как DA = DB, то точка D лежит в этой же плоскости. Так
как CD лежит в плоскости, ортогональной АВ, то АВ j_ CD. Если плоскости С АВ
и DAB совпадают, то точки С и D лежат на медиатрисе отрезка АВ; CD J_ АВ.
2°. АН — ВН. Высоты, выходящие из А и В, в треугольниках ACD и BCD
лежат в плоскости, проходящей через АВ перпендикулярно CD; эта плоскость
существует, так как АВ J_ CD; значит, высоты АН и Вп пересекаются в точке Н,
в которой эта плоскость пересекает CD. Далее, так как отрезок CD лежит
в плоскости (/7), проходящей через середину отрезка АВ перпендикулярно этому
отрезку, то и точка Н лежит в этой плоскости, значит АН = ВН.
Черт. 252.
3°. Величина С А ~ V а2 4- d2-\~x2- Соотношение между а и при. кото-
ром плоскости ACD и BCD будут перпендикулярны. АНВ — линейный угол
между указанными плоскостями, он должен быть прямым. Но КН — медиана, про-
веденная к гипотенузе. Значит, искомое соотношение a — d.
4°. а) Точка Ь' на СК. Так как СК—одновременно медиана и высота равно-
бедренного треугольника АВС, то АВ J_ КС. Но АВ J_ CD, значит, АВ и
плоскость КСН перпендикулярны и, значит, плоскость КСН перпендикулярна
плоскости АВС; значит, перпендикуляр DD', опущенный из С на плоскость АВС,
лежит также в плоскости КСН; значит, точка D' лежит на прямой СК
б) Ортогональность DB и АС. Для того чтобы DB и АС были ортого-
нальны, необходимо и достаточно, чтобы плоскость BDD', которая перпендикулярна
плоскости АВС, была бы перпендикулярна АС, иначе говоря, чтобы пересече-
ние BD' этих двух плоскостей было перпендикулярно АС, т. е. BD' — высота
треугольника АВС; но СК—высота того же треугольника. В таком случае
AD' — третья высота АВС; следовательно, она перпендикулярна ВС. Плоскость AD'D
перпендикулярна ВС, значит, AD _1_ ВС.
Приложение. Пусть Сх — прямая, ортогональная АВ. Пусть D' — орто-
центр треугольника АВС. Искомая точка D есть точка пересечения Сх с прямой,
лежащей в плоскости СКх и перпендикулярной СК Исключение составляет тот
случай, когда Сх пл. АВС.
34. Г. Ортогональность AM и BI. Если d2 — ab (черт. 253), то OI2 =
— — О А • О В; треугольник AIB — прямоугольный (/ = 90°), значит, BI J_ AI. С дру-
гой стороны, у'у _L х'х и у'у _L 10, значит, у'у перпендикулярна плоскости ABI,
поэтому BI j_ IM. Кроме того, IA J. IM, a BI перпендикулярна плоскости AIM,
значит, BI _l AM.
43 П. С. Моденов
674 Ответы. Стереометрия. Гл. XXIV. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО;
Объем тетраэдра ABMI. Треугольник AIB— основание, IM—высота,
v = ab (a -j- b).
2°. Геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из В
на АМ. Так как d2 ab, то ортогональная проекция В' точки Ё на плоскость,
проходящую через А и у'у есть точка прямой AI, отличная от I (черт. 254).
Пусть Н—основание перпендикуляра, опущенного из В на АМ. Соединим В' с Н.
На основании теоремы о трех перпендикулярах
В'Н JL АМ и обратно. Значит, геометрическое место
точек Н есть окружность, построенная в плоскости
(А, у'у) на АВ' как на диаметре.
3°. Точка N такая, что AM J_ BN. Если М
задана, то точка N лежит в плоскости, проходящей
через точку В перпендикулярно АМ. Если М отлична
от /, то АМ — наклонная к у'у и эта плоскость
пересекает у'у в точке N. Эта плоскость содер-
жит ВВ' и ЁН и пересекает плоскость (А, у'у)
по прямой В'Н; точка N, следовательно, — точка
пересечения НВ' с у'у.
М — ортоцентр AB'N. На основании Г,
у'у ± АВ'; на основании 3°, NB' J_ АН. Таким обра-
зом, MN и МА суть высоты треугольника AB'N
на его стороны АВ' и NB'\ значит, М — ортоцентр
этого треугольника.
ВМ. Из предыдущего следует, что AfB'— третья
высота треугольника AB'N, значит, MB' J_ NA. Так как ВВ' — перпендикуляр
к плоскости AMN, то ВВ' j_ AN, значит, AN J_ ВВ' и AN J_ В'М, поэтому
AN — перпендикуляр к плоскости ВВ'М и значит, AN j_ ВМ.
4°. Произведение IM • IN. Пусть С — точка, симметричная точке В' относи-
тельно у'у. Точка В' — ортоцентр треугольника AMN, так как NH j_ AM и
AlyNM; значит, окружность, описанная вокруг треугольника AMN, проходит через
точку С, и мы имеем (выражая двумя способами степень точки I относительно
этой окружности) IM - IN = IA* 1С = — IA* IB' == const (при условии, если точка М
описывает прямую у'у).
Значение этого произведения в функции а, б, d. Обозначим через J точку
пересечения ВВ' с 01 (черт. ‘255). Треугольники BOJ и 10А подобны, следовательно,
ОТ ~ 047’ 0ТКУда ^=='7z“* Точки J, О, А, В' лежат на одной окружности;
значит;*7А • IB' = 10 IJ = did — 4г*) = Итак, IM • IN —‘ab — d2. <
\ d )
Y
Черт. 255. Черт. 256.
Случай d2 — ab. В этом случае предыдущее соотношение принимает вид
1М • IN — 0. Если точка М лежит на прямой у'у, но не совпадает с /, то IM Ф О,
значит, IN = 0 и точка N совпадает с /. Если точка М совпадает с I, то IM = О,
значит, величина IN—произвольная; следовательно, точка N—любая точка пря-
мой у'у.
35. 1°. Перпендикулярность АТДГи Y'Y (черт. 256). Проведем через точку А
прямую у'Ау, параллельную прямой Y'BY; пусть (тс) — плоскость, в которой лежат
прямые Х'АХ и у'By. Спроектируем ортогонально М на у'Ау и проекцию обо-
значим через N'. Угол между Х'АХ и у'Ау равен 60°. Мы имеем также AN' =
= —— = х. Следовательно, AN' и BN равны и параллельны; значит, AN'NB —
прямоугольник. Отсюда следует, что NN' || АВ и NN' J_ (г.) и что / AN'N есть
Ответы. Стереометрия. Гл. XXIV. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 675
ортогональная проекция угла BNM на плоскость (л), значит, / BNM = 90°,
т. е. Y'Y.
2°. Пересечение (D) плоскостей (Р) и 0MN. Пусть Н—точка пересечения
плоскости (Р) с MN; прямая (D) есть тогда прямая ОН. Имеем: = —2.
HN ОВ
Проведем Н'Н\\ NN' и пусть Н' — точка пересечения НН' с MN'; имеем также
/ГМ НМ п АМ о .
---== —— = ~2, а так как по предположению -тттг = т0 есть биссек-
H'N HN
триса угла хАу. Но эта биссектриса есть ортогональная проекция ОН на пло-
скость (тс); прямая (D) параллельна АН'. Отсюда следует, что (D) — фиксирован-
ная прямая. Она образует с осями Х'Х и у'у углы по 30°.
3°. Прямая MN, определяемая плоскостью, проходящей через (D). Возь-
мем точку М на Х'АХ; она определит вместе с прямой (D) проходящую через них
плоскость, и эта плоскость не будет перпендикулярна АВ. Эта плоскость пере-
сечет у'Ау в точке М' такой, что АМ' = АМ. Отсюда следует, что плоскость (М, D)
и плоскость (АВ, у'у) пересекаются по прямой ОМ', причем ОМ' пересекает Y'Y
XT ” BN OB 1 ллхт
в точке N такой, что ~ гтут-— упг ~ "о > 0ТКУДа BN — -^АМ. Прямая MN, кото-
/г! С/ У*. Л Л
рая соединяет точки пересечения плоскости (М, D) с Х'Х и Y'Y, следовательно,
такова, что AM — 2BN и на основании предыдущего MN Y'Y.
4°. Ответ: х = аУ 2. Сфера с диаметром MN пересекает тогда АВ в точке О
и еще в точке О', симметричной О по отношению к основанию перпендикуляра,
опушенного на АВ из середины MN. Но середина MN проектируется в сере-
дину АВ, а потому точка О' — это точка, лежащая на отрезке АВ и такая, что
О'А = а, О'В — 2а. При этом / MO'N, так же как и / M0N, равен 90°.
5°. Синус угла между АВ и M0N. Пусть К — ортогональная проекция точки А
на ММ'. На основании теоремы о трех перпендикулярах ОК ± ММ'; следова-
тельно, плоскость АОК перпендикулярна плоскости 0MN, а потому ОК есть
ортогональная проекция АВ на плоскость 0MN, и угол АВ с плоскостью 0MN —
это угол АО К- Но АМ — 2аУ2}
sin AOK = —т77-7' •
/ 3
37. Г. Длина АА' и угол АА'
с ОО'. Пусть В — ортогональная
проекция А в плоскость окруж-
ности (С'); тогда А'В — const, так
как А'В — гипотенуза треуголь-
ника A'Q'В, катеты которого К
и R' — постоянны, АВ — const,
ибо АВ = ОО', значит, АА'= const
(как гипотенуза треугольника с по-
стоянными катетами). Отсюда сле-
дует, что и / BAA' = const,
(черт. 257). Вычисление АА' и
(ОО'ТаА'). Так как О А = 15,
О'А' = 20, то А'В = 25, но и
АВ ~ 25, значит, АА' = 25 У 2 и
Z В А А' = (Об^ЛА') = 45°.
2°. Общий перпендикуляр
к ОО' и АА'. Общий перпендику-
ляр IK к АА' и ОО' паралле-
лен плоскости окружностей (С)
и (С'), ибо ОО' — перпендикуляр
к этим плоскостям и проектируется
который является перпендикуляром
прямого угла IKA, параллельна плоскости проекции). Находим --------------
К'А' О'А'2
-15! -А „ 01 _ АК _ ВК' _ 9 01 10' О1 + Ю'
202 16 и Да^е JQ, - КА, - - jg , откуда — =-^ ==
= -xf- = 1, значит, OI — 9, Ю' = 16. Значит, I—фиксированная точка. Так как
Ж ~О-К'. О'К' - - 12. И«, ж- !2.
ВА
на
из
25
плоскость окружности (С') в отрезок О'К',
О' на А'В (ибо одна из сторон, именно KI
ВК' О'В*
43*
676 Ответы. Стереометрия. Гл. XXIV. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
3°. Геометрическое место точек К. Из предыдущего следует, что точка К
описывает окружность (Г), радиус которой равен 12, центр /, а плоскость парал-
лельна плоскостям окружностей (С) и (С').
Прямые (D) и (А), проходящие через точку Д' окружности (Г). Пусть
К — какая-нибудь точка окружности (Г) и К' — ее проекция на плоскость (С');
так как О'К' ~ /К = 12, то точка К' лежит внутри окружности (С'). Проведем
через точку К' хорду (С') перпендикулярно О' К\ пусть Л' и а' — концы этой
хорды. Имеем А'К'2 —О'А'2— О'К'2 — 2№— 122 = 162, откуда А'К' = 16, следо-
вательно, А'К' — К'К Отметим на продолжении отрезка А'К' за точку К' точку В
такую, что О'В J_ О' А'-, проведем КА'\ проведем через точку В прямую, парал-
лельную КК' • Эти последние прямые пересекаются в точке А, и мы имеем А'В —
В'А2 202
— А'К' = ~Тб~ = 25 = ВА\ значит, точка А лежит в плоскости круга (С). Далее
О'К'-А'В 12 25 1С л
О В =------— = —57— = 15, значит, О А = 15, а поэтому точка А лежит на
А'О 20 J
окружности (С). Таким образом, прямая КА' пересекает окружность (С) в точке А;
радиус ОА, параллельный О'В, перпендикулярен радиусу О' А' окружности (О').
Прямая КА' есть прямая (D). Аналогично доказывается, что прямая Ко/ пересекает
окружность (С) в точке а; прямая /<а'—это прямая (А). Так как &КК'А' прямоуголь-
ный и равнобедренный, то / (D, А) — 90°, прямые (D) и (А) взаимно-перпенди-
кулярны. 38. Построим прямоугольный параллелепипед с ребрами DA — a, DB — bt
DC — с. Его диагонали АА', ВВ', СС', DD' будут тогда диаметрами сферы (О)’
описанной вокруг DABC. Обозначим че-
рез р, q и г расстояния вершин А, В, D
С АС', СВС', CDC' — прямоугольные
грани ABD до диаметра СС'. Треугольники
и поэтому р • 2R — АС' • АС — DB • АС — b У#2 4- с2 (черт. 258) и аналогично
q • 2R — а У Ь2 4- с2, г • 2R = с У a2 -j- b2. Очевидно, что квадрат любой из величин
ьУс2А~а2, с Уа2 4- Ь2, аУЬ2 с2 меньше суммы квадратов других величин и,
значит, меньше квадрата их суммы. Следовательно, треугольник со сторонами р, q, г
существует. Площадь s этого треугольника можно определить из соотношения
а2Ь2с2
16s2 = 4<72г2 — (q2 4~ г2 — р2)2, откуда 16s2 == 4 (а2 4~ Ь2 -|- с2). Но 4/?2 — а2 +
Ь2 с2, значит, 16s27?2 — а2Ь2с2 и, значит, s — .
39. 2°. Если Е— середина АВ, то F, G, Н—середины ВС, CD, DA и т. д.
3° АЕ — ‘
’ АС 4- BD ’
4°. EG — FH (диагонали прямоугольника равны); EG — IJ, значит, FH = IJ,
значит, IHJF—прямоугольник (параллелограмм с равными сторонами), но его сто-
роны параллельны А В и CD, значит, АВ j_ CD (черт. 259).
40. 1°. Так как точка G делит отрезок Осо и DGd в отношении 3, то 3co<oj 4"
+ OOd = 4GGd = DHd, HO DHd = 1 DD' QOd, значит,
= 4 DD’.
2°. Если сфера касается грани АВС, то точка касания непоеменно совпадает
] __________________________ _____ _____ r
с точкой Gd и на основании (1) -7- DD' = — &Gd = -к- и DD'—2R. Прямая ОО'=
о б
(1)
Ответы. Стереометрия. Гл. XXIV. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 677
~ DHd совпадает с осью OOd окружности АВС и, значит, DA — DB = DC и
обратно 3°. Следствие 2°. 4°. Следствие 2°.
5°. Пусть G' — центр тяжести тетраэдра A'BCD\ (о/) и (wj — сферы двена-
дцати точек тетраэдров A'BCD и A^BCD. Точки G и G' делят отрезки AGa и A'G„
AG AG'
в отношении ~ ~q7~q~ значит, прямая GG'\\AA', поэтому прямая GG'
перпендикулярна плоскости BCD. С другой стороны, сферы (оз) и (со') преобра-
зуются из сферы (О) гомотетиями (g, —и (g', — они поэтому равны,
а кроме того, прямая coco' || GG' и, значит, прямая coco' перпендикулярна пло-
скости BCD, Наконец, на основании (1) расстояния от точек со и со' до пло-
скости BCD равны -i АА' и ~ А'А, поэтому сферы (со) и (со') симметричны отно-
сительно плоскости BCD, и сфера (coj), которая симметрична сфере (со') относи-
тельно этой плоскости, совпадает со сферой (оз). 6°. Относительно взаимного рас-
положения тетраэдра (Г) и сферы (оз) можно сделать следующие предположения:
(со) не касается ни одной грани (Г); (со) касается только одной грани (Г);
(со) касается только двух граней (Г); (со) касается четырех граней (Т). В первых
трех предположениях грани тетраэдра высекают из сферы (со) четыре, три или два
сферических сегмента, расположенных вне (7). Проведем к этим сферическим сег-
ментам касательные плоскости, параллельные соответствующим граням тетра-
эдра (Г). Мы получим тетраэдр (7\), для которого сфера (coj вписанная. Так как
соответствующие грани тетраэдров (Т) и (7^) параллельны или совпадают, то
тетраэдр (TJ из тетраэдра (Т) получается в результате некоторой гомотетии
с коэффициентом k > 1. Сфера (оз), вписанная в тетраэдр (7^), при этой гомоте-
тип переходит в сферу (7) радиуса г, вписанную в (Т) и, значит, -5- = kr,
R
где k>l, т. е. — — 3k > 3. Для правильного тетраэдра (Т) и (7^) совпадают;
R R
k " 1 и у = 3. Итак, минимум отношения -у равен 3, и он достигается лишь для
CD, таким образом, перпендикулярна пло-
правильного тетраэдра.
41. Г. Ортогональность АВ и CD. Предположим, что ортогональная проек-
ция а точки А на грань BCD лежит на высоте ВН треугольника BCD. Прямая Аа
ортогональна CD, ВН j_ CD. Прямая
скости, содержащей прямые Аа и ВН,
значит, ортогональна прямой АВ, ле-
жащей в этой плоскости.
2°. Обратное положение форму-
лируется так: если два ребра АВ
и CD тетраэдра ортогональны, то
ортогональная проекция точки А на
плоскость BCD расположена на вы-
соте ВН треугольника BCD. В самом
деле, Аа J. CD, так как Аа перпен-
дикулярна плоскости BCD. Пло-
скость ВАа содержит две прямые:
Аа и АВ, ортогональные CD, и, зна-
чит, она перпендикулярна CD. Следо-
вательно, Ba±_CD. Итак, ортогональ-
ная проекция а точки А на BCD лежит
на высоте ВН треугольника BCD.
3°. by с, d — ортоцентры гра-
ней, если а—ортоцентр грани BCD.
Докажем, например, что если а— Черт. 260.
ортоцентр грани BCD, то b — орто-
центр ACD. В самом деле, если а — ортоцентр BCD, то прямые Ва, Сам Da — высоты
треугольника BCD. На основании 1° заключаем, что AB±_CD, AC_CBD и AD±_ВС.
Из 2° следует, что если АВ CD, то ортогональная проекция b точки В на ACD
лежит на высоте треугольника ACD; аналогично из ортогональности АС и BD
следует, что точка b лежит на высоте треугольника ACD, выходящей из вер-
шины D; наконец, из ортогональности AD и ВС следует, что точка b лежит на
высоте треугольника ACD, выходящей из вершины С. Итак, b — ортоцентр тре-
угольника ACD. Аналогично доказывается, что end — ортоцентры треугольни-
ков ABD и АВС.
42. Г. Перпендикулярность плоскостей SAM и SB АС Угол АМВ прямой.
Прямая AS перпендикулярна плоскости (Р) и, значит, AS J_ МВ\ отсюда следует,
что МВ — перпендикуляр к плоскости SAM, а так как плоскость SMB проходит
через прямую МВ, то и она перпендикулярна плоскости SAA1 (черт. 260).
678 Ответы. Стереометрия. Гл. XXIV. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Ортогональность АН и SB. Прямая АН, проведенная через точку А пло-
скости SAM перпендикулярно линии SM пересечения двух перпендикулярных пло-
скостей ASM и BSM, будет перпендикулярна плоскости BSM, значит, АН SB.
Геометрическое место прямых АН. Прямая АН ортогональна прямой SB;
значит, прямая АН лежит в плоскости, проходящей через точку А перпенди-
кулярно SB. Обратно: пусть АН—любая прямая плоскости (Q), проходящей
через А перпендикулярно SB. Тогда плоскость SAH пересекает (Р) по прямой АМ,
и, как уже было доказано, плоскость SMB будет перпендикулярна пло-
скости SAM. Эти плоскости пересекаются по прямой SM; прямая АН будет
перпендикулярна SM. Итак, геометрическое место прямых АН есть плоскость (Q),
проходящая через А перпендикулярно SB.
Геометрическое место точек Н. Пусть С — точка, в которой плоскость (Q)
пересекает SB; точка С — середина SB, ибо АВ = AS. Соединим С и Н; так как
прямая АН перпендикулярна плоскости SBM, то она перпендикулярна и НС. Зна-
чит, / АНС — 90°. Геометрическое место точек Н есть окружность, построенная
на АС как на диаметре; ее центр со —- середина АС, радиус равен .у— .
У 3
27? cos2 х
2°. Расстояние у от точки Н № плоскости (Р). Ответ: у = —----------5.
J 1 + cos2 X
Если у " (I, ТО C0S А'= ' Решение возможно при условии, что
0< Т' е' d<R-
Геометрическое решение. Геометрическое место точек Н есть окружность
с диаметром АС, лежащая в плоскости (Q). Пусть h—точка прямой АС, расстояние
которой до АВ равно d. В плоскости (Q) геометрическое место точек расположен-
ных на расстоянии d от плоскости (Р), есть перпендикуляр в точке h к пря-
мой АС. Точка Н получается в пересечении этого перпендикуляра с окружностью,
являющейся геометрическим местом точек Н. Задача имеет два решения, сим-
метричные относительно АС. 3°. у = 27? ПРИ этом — 1 < Л’ < 1. Соответ-
Л -j- о
ствующая дуга гиперболы выделена на черт. 261,
Черт. 261. Черт. 262.
43. Г. Ортогональность плоскостей ADE и АВС (черт. 262). Ребро AD
перпендикулярно плоскости BDC; значит, перпендикулярно прямой ВС, лежащей
в этой плоскости. Ребро ВС ортогонально AD, а также высоте DE; значит, пря-
мая ВС перпендикулярна плоскости ADE. Плоскость АВС проходит через пря-
мую ВС, поэтому плоскости АВС и ADE также перпендикулярны.
2А а) Ортогональность плоскостей BFK и АВС. Прямая ВК ± AD, потому что
она расположена в плоскости DBC, перпендикулярной AD; по построению
также ВК ± DC. Значит, ВК — перпендикуляр к плоскости ADC и, значит, ВК ± АС.
Далее AC ±_ BE, значит, АС — перпендикуляр к плоскости BKF. Плоскость АВС
проходит через прямую АС; значит, плоскости АВС и BKF также перпенди-
кулярны (черт. 262).
б) Ортоцентр Н треугольника ВАС. Плоскости ADE и BFK перпенди-
кулярны плоскости АВС и, значит, пересекаются по прямой, перпендикулярной
Ответы. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ 679
плоскости АВС. Одна из точек, общая этим плоскостям, есть точка N пересече-
ния DE и ВК — ортоцентр треугольника BDC; другая точка, общая плоскостям ADE
и BFK, есть точка Н пересечения АЕ и ВЛ; эта точка Н есть ортоцентр тре-
угольника АВС’, в самом деле, АЕ — высота АВС, так как ВС есть перпендикуляр
к плоскости ADE. Прямая NH, следовательно, перпендикулярна плоскости АВС,
и ортоцентр Н треугольника АВС есть ортогональная проекция ортоцентра N
треугольника BCD на плоскость АВС.
3°. Геометрическое место точек Н. Если А описывает полупрямую Dx,
плоскость ADE остается фиксированной, точки N и Е этой плоскости также
фиксированы. Мы видели, что точка Н есть ортогональная проекция точки N
в плоскость АВС; значит, / NHE = 90°. Следовательно, геометрическое место
точек И есть полуокружность плоскости xDE, построенная на NE как на
диаметре.
Геометрическое место точек F. Так как плоскость BFK перпендикулярна
плоскости АВС, а прямая АС перпендикулярна линии BF их пересечения, то АС—пер-
пендикуляр к плоскости BFK; значит, AC A_FK. Поэтому KFC — 90°; следова-
тельно, если точка А описывает полупрямую Dx, то точки С и К остаются фик-
сированными, так же как и плоскость ADC. Геометрическое место точек F есть,
следовательно, полуокружность плоскости xDC с диаметром СК.
4°. Сфера, проходящая через шесть точек: С, Е, Н, F9 К, N. Рассмотрим
четырехугольник, образованный четырьмя точками: С, Е, N, К Его противополож-
ные углы Е и К прямые. Далее, отрезок HN перпендикулярен плоскости АВС;
значит, отрезок NC из точек Е, К, И виден под прямым углом. Итак, пять точек:
N, С, Е, К, Н лежат на сфере с диаметром NC. Далее, прямая АС перпенди-
кулярна плоскости BFK, следовательно, перпендикулярна и прямой NF этой пло-
скости; /_NFC --tyT; значит, точка F лежит на той же сфере. Итак, шесть точек:
С, Е, N, F, К, Н лежат на одной и той же сфере с диаметром NC; ее центр —
середина отрезка NC, радиус равен половине отрезка NC.
Глава XXV. Разные задачи
3. Правильный шестиугольник. 16. Исходный треугольник—остроугольный. Сумма
косинусов внутренних его углов равна 2. 20. Обозначим через s, а, р и у площади
треугольников АВС, РВС, РСА и РАВ; тогда (черт. 263) s = а 4- р -}- у. Прямые СР
и DCX пересекаются в точке Е, лежащей на АВ, J)
РСХ ЕР д РАХ а
имеем — —V = . Аналогично —fx-F ~ — »
DC ЕС s DA s
-jyg- ~ -- . Трехгранные углы D (АВС) и Р (АХВХСХ)
равны (ребра соответственно параллельны), поэтому
их объемы относятся как произведения сторон
vl РАХРВХ-РСХ ару
V = DA~DB-DC ~ 4 • Объем 1,1 будет МаКСИ'
мальным, если ару будет максимально, а так как
a -J-- Р + 7 — const, то ару будет максимально при усло-
вии а “ р = у; в этом случае точка Р совпадает с точ-
кой пересечения медиан треугольника АВС.
21. 1°. Грани тетраэдра ABMN. АВ ± (D) и
АВ 4 (Д); значит, грани АВМ и АВАГ--прямоуголь-
ные треугольники (прямые углы А и В). Так как
(D) 4 (Д), то (D) перпендикулярна плоскости, обра-
зованной прямыми (Д) и АВ; значит, (D) перпенди-
кулярна и AN и, значит, / MAN = 90°. Аналогично доказывается, что BMN — 90°.
2°. Сфера, описанная вокруг тетраэдра ABMN. Углы MAN и MBN пря-
мые; значит, точки А и В лежат на сфере с диаметром MN. Центр Q этой
сферы — середина MN.
Геометрическое место середин MN. Середина Q отрезка MN равноотстоит
от фиксированных точек А и В; значит, точка Q лежит в плоскости, проходящей
через середину отрезка АВ перпендикулярно этому отрезку. Пусть Ох и Оу — пря-
мые, параллельные (D) и (Д), проведенные через середину О отрезка АВ. Они
лежат в плоскости, проходящей через середину отрезка АВ, перпендикулярно
этому отрезку. Обратно. Пусть Q—-любая точка этой плоскости и пусть сфера
с центром 2, проходящая через А и В, пересекает (D) и (Д) в точках М и N.
Тогда точки М и N — диаметрально противоположные точки этой сферы, так
как / NAM = / NBM — 90°; значит, <2 — середина MN; итак, геометрическое
место середин отрезков MN есть плоскость, проходящая через середину О
отрезка АВ перпендикулярно к этому отрезку.
680
Ответы. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
Геометрическое место точек Q, если MN — 21. Если MN = 2l(>AB),
то AQ — РВ = 2“ MN = L Значит, геометрическое место точек 3 состоит из тех
точек плоскости хОу,
, задача не имеет
имеет одно решение;
^стоянии Z, —это окружность,
лежащая в плоскости хОу
с центром О и радиусом
j/" /2-1 ЛВ*.
4°. v = i dn2.
О
22. Г. Геометрическим
местом точек М является отре-
зок SO, где О — точка пере-
сечения диагоналей АС и BD
(черт. 264).
2°. у = ~х2 — 7ах+7а2,
0 < х < 2а. При изменении х
от 0 до -g-, у убывает от 7 а2
2\а2
до —.....; при изменении х
7а Л
от -у до 2а, у возрастает
2\а2
от -у до За2 (черт. 265).
21а2
1ения; если Z2 = —уу, задача
21а2
если - ig.< Z2 < За2, задача имеет два решения; если
За2 < Z2 < 7а2, задача имеет одно ре-
шение; если Z2 > 7а2, задача не имеет
решений.
5°. Точка С' является точкой пе-
ресечения ребра SC со сферой, центр
которой / есть середина AD, а радиус
равен - I2 — у а2. Расстояние от
точки I до SC равно Отсюда,
V 5 ‘
Z2 а2 2а
сравнивая |/ --------- и , полу-
чим результаты предыдущего иссле-
дования.
23. 1°. Ромб ABCD (черт. 266)
проектируется на плоскость (AZ) в ромб
А'В'С'D', поскольку одна из сторон
прямого угла между диагоналями BD
и АС параллельна плоскости (И). Да-
лее, А'С' — AC cos 60° — 4а • у == 2а,
а потому А'С = В' D' и, значит,
A'B'C'D' — квадрат. Рассмотрим пло-
скость, проходящую через АС и
перпендикулярную плоскости (Н). Эта плоскость есть плоскость симметрии
ромба ABCD, потому что она проходит через середину О диагонали BD ромба и
перпендикулярна отрезку BD. По той же причине эта плоскость есть плоскость
симметрии квадрата A'B'C'D'; отсюда следует, что эта плоскость есть плоскость сим-
метрии (Г). Плоскости, проектирующие отрезки АС и BD на плоскость (//), взаимно-
перпендикулярны, так как BD перпендикулярна плоскости АС С' А' (черт. 266).
2°. Ребра, полная поверхность и объем (Г). Ответы: А'В' = а ^2г
АВ == aVСС' — а (1 4- 2 КЗ), ВВ' = DD'— а (1 + V*3). Для вычисления пол-
ной поверхности (Г) и объема удобно дополнить (Т) до прямой призмы. Пусть
01 — точка, симметричная точке О' относительно О. Проведем через точку О1
Ответы. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
681
плоскость, параллельную (И), и пусть она пересечет продолжение боковых ребер (Т)
в точках A]f Въ С{, и т. д. Полная поверхность (Г) равна S -== 2а2 (3 4- 2 У 3 4
4- 2 У 6); объем v = 2а3 (1 4- У 3).
3°. Сечения (Г) плоскостями (Р). Так как боковые противоположные грани (Г)
параллельны, то в сечении (7 ) плоскостью (Р) получится параллелограмм. Для
того чтобы этот параллелограмм был прямоугольником, необходимо и достаточно,
чтобы один из его углов был бы прямым; угол сечения, вершина которого распо-
ложена на АА', проектируется в прямой угол А' квадрата А' В'С' D'. Однако пря-
мой угол проектируется ортогонально в прямой тогда и только тогда, когда одна
из его сторон параллельна плоскости, на которую производится проектирование.
Таким образом, в сечении получится прямоугольник тогда и только тогда, когда
секущая плоскость (Р) параллельна одной из сторон квадрата А'В'С'D'. Для того
чтобы сечение было ромбом, необходимо и достаточно, чтобы диагонали сечения
были взаимно-перпендикулярны, а так как эти диагонали проектируются во взаимно-
перпендикулярные диагонали А'С' и В'D' квадрата А'В'С'D', то одна из диаго-
налей сечения должна быть параллельна плоскости (Н), следовательно, и одной из
диагоналей А'С' или В'D' квадрата; значит, секущая плоскость (Р) должна быть
параллельна одной из диагоналей квадрата A'B'C'D'. Наконец, для того чтобы
сечение было квадратом, необходимо
и достаточно, чтобы плоскссть (Р) была
параллельна и стороне, и диагонали ква-
драта, лежащего в плоскости (И), и, зна-
чит, (Р) должна быть параллельна (77).
4°. Сечения (Т) плоскостями, па-
раллельными BD. Эти плоскости пересе-
кают ABCD и A'B'C'D' по прямым,
параллельным BD, а боковые грани — по
прямым, перпендикулярным (77). Следова-
тельно, в сечении получается прямо-
угольник,
вый, когда
сечении
Рассмотрим два случая —пер-
секущая плоскость
пересекает
Черт. 268.
расположенной между А' и О', и второй, когда
О' и С'_, иначе говоря, !:• О < х < а и II: а
диагональ А'С' в точке,
лежит между точками
I. В этом случае s = 2х(а + х/3); в случае II_ s = 2 (2а — х) (а + х /3). В пер-
вом случае график функции $ = 2х (а -ф- х /3) — дуга параболы, ось которой
а^З а вепшина ( а V3 Д2/3 \
х —------_—. , а вершина ----------, __ 1. эта Дуга 0Граничена наЧЗЛОМ
координат и точкой [а, 2а2 (1 +У"3)]. В случае II кривая s=2 (2а—х) (а 4-х V3)—
- ( >л3\
также дуга параоолы, выпуклость которой направлена вниз; ось х = а I 1----— I,
эта точка
< х < 2а.
эта дуга ограничена точками
вершина I а g— j , — (12 +
[а, 2а2 (1 + /3)1 и (2а, 0) (черт. 267).
24. 1°. Изучение сечения ABMNPQ (черт. 268). Плоскостью симметрии
сечения является плоскость, проходящая через вершину 5 перпендикулярно АВ.
Далее PN\\ MQ'[ АВ. Прямая ВМ проходит через фиксированную точку В.
682
Ответы. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
Прямая QA — через точку А. Прямая MN проходит через точку G пересечения
прямых АВ и CD. Прямая PQ проходит через точку И пересечения прямых АВ
и EF (черт. 269).
Черт. 269.
сторонний (сторона равна аУ3). Отметим
2°. Геометрическое место точек пересечения пар прямых (MN и PQ),
(ВМ и AQ). MN и PQ симметричны по отношению к плоскости (/7), проходящей
через середину АВ перпендикулярно АВ. Значит, точка пересечения этих прямых
лежит в плоскости (77); то же относится и к точке пересечения прямых ВМ и AQ.
Рассмотрим сечения данной фигуры плоскостью (77) (треугольник (черт. 270),
где аир — середины сторон АВ и DE). Легко доказать, что этот треугольник равно-
еще в плоскости основания пирамиды
точки К, G, Т и / пересечения продол-
жений сторон (черт, 271). Прямые MN и
PQ суть прямые пересечения переменной
плоскости с плоскостями граней CSD
и EFS. Эти плоскости пересекаются по
прямой SI и гео!ч1етрическое место то-
чек L пересечения MN и PQ есть
отрезок SI (см. черт. 270), причем
^/ = О!?=^Е^. Прямые ВМ и AQ
суть прямые пересечения переменной
плоскости с плоскостями граней CSD
и EFS. Эти плоскости пересекаются по
прямой SK, и, как видно из чертежей,
точка L' их пересечения описывает
продолжения KY и SY' отрезка 3/< за
[ллельны, если секущая плоскость парал-
точки <8 и К; прямые ВМ и AQ пара.
дельна прямой SK; точка L' в этом случае — бесконечно удаленная точка пря-
мой SK.
Геометрическое место точек пересечения ВМ и PQ; AQ и MN. AD и Л1А
симметричны ВМ и PQ по отношению к плоскости (77), поэтому достаточно рас-
смотреть пару прямых ВМ и PQ. Прямые ВМ и PQ суть пересечения переменной
плоскости с плоскостями граней BSC и EFS; одна из этих плоскостей проходит
через ВС, другая—параллельна ВС. Значит, прямая, по которой они пересекаются,
есть прямая SX, проходящая через S параллельно ВС. Прямые ВМ и PQ пере-
секаются в точке L луча SX, идущего в направлении вектора ВС; все точки этого
луча и есть геометрическое место точек пересечения прямых ВМ и PQ.
Геометрическое место точек пересечения ВМ и PN, AQ и PN. Рассмотрим
лишь пару прямых: ВМ, PN. Прямые ВМ и PN пересекаются на прямой ST.
Геометрическое место точек их пересечения есть отрезок ST.
Ответы. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
683
3°. В треугольнике SEH , SF
2
значит, SQ = SF. Аналогично из
О
и] ИР — медианы, пересекающиеся в точке Q;
2
£\SDG имеем SM = — SC. Площадь сечения
о
ABMNPQ равна —5—. Объем
о
пирамиды SABMNPQ равен
J3a3 /3
48
25. Г. Существует 6 отрезков,
соединяющих данные точки по-
парно: АВ, AC, AD, ВС, BD, CD.
Будем называть отрезки противо-
положными, если они не имеют
общей вершины. Имеется три
пары противоположных отрезков:
(АВ, CD), (AC, BD) и (AD, ВС).
Пространственный четырехуголь-
ник мы получим, опуская какую-
нибудь пару пространственных от-
резков; значит, имеется три раз-
личных пространственных четырех-
угольника: ABCD, ACBD, ABDC.
Общая часть двух четырехуголь-
ников. Так как каждый простран-
ственный четырехугольник мы по-
лучаем опуская пару противоположных отрезков, то у двух пространственных
четырехугольников имеется пара общих противоположных отрезков.
2°. Фигура MNPQ — параллелограмм, стороны которого параллельны диаго-
налям АС и BD четырехугольника ABCD. Аналогично и для четырехугольни-
ков ACBD и ABDC (черт. 272).
Общая часть двух параллелограммов. Мы видели в п. 1°, что два простран-
ственных четырехугольника имеют пару общих противоположных сторон; следова-
тельно, соответствующие параллелограммы имеют две противоположные вершины
и, значит, и общие диагонали.
3°. Фигура, образованная отрезками, соединяющими середины противоположных
сторон и середины диагоналей, состоит из трех отрезков: QN, МР и IJ (черт. 273),
пересекающихся в точке О — середине каждого из них.
4°. Так как СР = ~ CD, то если D описывает прямую (Л), то Р описывает
прямую (о), полученную из (Д) гомотетией Так как А и В фиксированы,
то М— фиксирована. Так как МО ~ МР, то О соответствует Р в гомотетии
значит, если Р описывает (о), то О описывает прямую (о')>
684
Ответы. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
М
В
Черт. 274.
треугольник BDC, следовательно,
параллельную (В), следовательно, и (Л). Итак, геометрическое место центров парал-
лелограммов MNPQ есть прямая (o'), параллельная (Д).
26. 1°. Боковые грани пирамиды SABCD (черт. 274). SD перпендикулярно
плоскости ABCD, следовательно, грани SDA и SDC— прямоугольные треугольники
(прямые углы при вершине D). Если мы
опустим перпендикуляр BE на DC, то мы
получим квадрат ABED' значит, BE — ED =
= _ ~~~
прямоугольный (прямой угол В). Углы SAB
и SBC проектируются ортогонально в пло-
скость SBCD в углы DAB и DBC', значит,
эти углы прямые. Итак, боковые грани пира-
миды SABCD— прямоугольные треугольники.
2°. Величина DI. =
Сфера, проходящая через точки 5,
В, Е и С. Ось окружности, проходящей через
точки В, Ей С, есть прямая, перпендикулярная
в точке / плоскости ABCD. Пусть О — центр
сферы, проходящей через точки В, Е, С, S и
R — ее радиус, тогда R2 == OS2 = ОС2. Так как
___ ZO7C = 90°, то ОС2 = OI2 + IC2, и из прямо-
угольной трапеции SDIO-. OS2 — DI2 -j- (DS — О/)2 — DI2 -f- DS2 — 20/ - DS -f- О/2;
отсюда /С2 + О/2 = DI2 + DS2 — 20/ • DS + О/2; значит, 20/ • DS = DI2 + DS2 —
Юл2 2я2 2 п Ъа ~
— /С2 = ——к я2-------= Зя2, откуда, наконец, 01 = -g-. Этим фиксирован центр.
Радиус R==
а /11
2
Другое решение (черт. 275). Центр О искомой сферы есть точка пере-
сечения осей окружностей, описанных вокруг треугольников ВЕС и SEC тетра-
эдра. Первая ось проходит через точку / и параллельна DS; вторая—проходит через
точку пересечения медиатрис отрезков SE и ЕС. Если J' — середина ЕС, то так
как DJ'J — равнобедренный и прямоугольный треугольник то J'J = DJ' = ^-.
Эта вторая ось параллельна J'l и пере-
секает первую в искомом центре О таком,
Зя
что /О — -—.
3°. Тип четырехугольника DMPC.
Плоскость MDC содержит DC, a DC || АВ,
поэтому плоскость MDC пересекает
плоскость SAB по прямой Л4РЦ DC\ че-
тырехугольник DMPC, следовательно, —
трапеция. Более того, плоскость MDC
перпендикулярна плоскости SDA потому,
что она содержит прямую CD, перпен-
дикулярную этой плоскости. Углы М
и D, следовательно, прямые. Итак, трапе-
ция DMPC прямоугольная; М и D — пря-
мые углы.
Объем SDMPC. Опустим из точки S
перпендикуляр SH на DM. Он будет
вместе с тем перпендикуляром к пло-
скости DMPC\ значит, SH— высота пира-
Черт. 275.
MD (DC + МР).
2 ’
миды SDMPC. Объем пирамиды SDMPC будет равен v — -i- SH-
о
ЬП‘Ми огллл ПЛ. A о/И X
но---------площадь треугольника SDM. Имеем ----—-----—------=--------— ,
2 пл. &SDA SA а/2
АОГЛЯХ Х * оглл 0Х • МР SM
откуда пл. Л SDM — —— , пл. Д SDA — —; далее, --------==----, значит,
3 aV 2 2/2 АВ SA
МР ==---— — , откуда v — — ах (2я V 2 4- х). Если v = —- то х — —
а/2 /2 12 24’ /2
точка М совпадает с серединой отрезка 5Д.
Ответы. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
685
27. 1°. Построение М' (черт. 276). Пусть т — проекция М на (Д); возьмем
на прямой (Д) точку т' такую, что тт' = Л, затем повернем полуплоскость (Л4, Д)
на угол + > а в этой последней полуплоскости проведем через точку т* луч,
перпендикулярный (Д); точка М' есть точка этого луча такая, что т'М' = тМ.
Построение М и М'9 если известна середина I отрезка Проведем
через точку I плоскость (У3), перпендикулярную (Д); пусть Мх и Мх — проекции
точек М и М' на эту плоскость. Обозначим через I проекцию 7 на (Д). Угол
AfjZAfj — линейный угол двугранного угла Л4(Д) М', а потому М^МХ — у. Далее,
1МХ = тМ, 1М[ = т'М', значит, 1МХ = 1МХ и £±МХ1М{ прямоугольный и равно-
бедренный. Значит, /7 — одновременно
и медиана и высота и IMX = IMX ~ И.
Чтобы построить точки М и М', до-
статочно провести в плоскости (Р)
перпендикуляр к II и взять на нем точки
Мг и такие, что /Мх — 1М'Х = И,
затем восставить в точках Мх и Мх
перпендикуляры к (Р) и отложить
h
на них отрезки МХМ = — — и
= -А (черт. 276).
Соотношение между d, а и h.
И — d есть кратчайшее расстояние
между (D) и (Д), так как II перпен-
дикулярна к (D) и (Д). Так как
Д 1М'МХ — прямоугольный, то 1МХ ~
=: tg а. Но /м{ = II = d,
М'МХ == , значит, d = ~ tg а.
Прямые (7>), проходящие че-
рез точку А. Рассмотрим пло-
скость (/7), перпендикулярную (Д) и
такую, что проекция Ах точки А на
эту плоскость отстоит от точки А
h . л h
на расстоянии АА}~-^-. Пусть
'х — точка, в которой прямая (D) пе-
ресекает (/7); тогда y.Ax~d, где d — расстояние между (D) и (Д). Это также
расстояние от точки О пересечения (77) и (Д) до проекции прямой (D) на пло-
скость (77), ОК = d. Значит, конус, образованный прямыми (77), проходящими
через точку А, пересекает плоскость (77) по геометрическому месту точек р. таких,
что Ah!x — ОК- Обозначим через Oj точку пересечения перпендикуляра к Аь'х
в точке ;х с перпендикуляром к ОАХ в АР Треугольники ОАХК и Aj^Oj равны,
так как Ацх — ОК, / ОКАХ = /_ АцхС^ — ~ (и АХОК = как углы с пер-
пендикулярными сторонами). Значит, А^^ОАь точка Oi фиксирована, а так-
как / АхрОх = ~, то геометрическое место точек есть окружность, построенная
на АХОХ как на диаметре — это направляющая окружность конуса (А — его вер-
шина); конус — круговой, наклонный.
Пересечение (D) и (D'). Пусть (D) — прямая ММ'; обозначим через М"
образ М' в преобразовании (77). Образ (Dr) прямой (77) есть прямая М'М"; она
пересекает (77) в точке М'. Обратно: пусть (L) — такая прямая, которая пересе-
кает свой образ (L') в преобразовании (77), и X'— точка их пересечения. Обозна-
чаем через X прообраз X7; точка X лежит на (L), так как ее образ X' лежит на (L').
Значит, (L) — прямая (77). Таким образом, необходимое и достаточное условие того,
что прямая есть прямая (77), состоит в том, что эта прямая и ее образ (77') должны
иметь общую точку.
3°. Геометрическое место точек I при условии, что М зачерчивает пло-
скость (Р), Точка 7 из точки М может быть
h
получена в результате переноса ,
686
Ответы. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
поворота вокруг (Д) на угол и аксиального подобия (ось Д) с коэффициентом
_ 1_
Все эти преобразования плоскость переводят в плоскость. Значит, геометри-
ческое место точек I есть плоскость. Заметим, что если точка М описывает пря-
мую (А), а точка М' описывает ее образ —(А'), то геометрическое место точек /
есть также прямая линия. Значит, если рассмотреть две прямые плоскости (Р), то
геометрическое место точек / при условии, что точка А1 зачерчивает плоскость (Р),
будет плоскость, определяемая двумя прямыми, ассоциированными указанным обра-
зом с выбранными прямыми.
Геометрическое место точек М — плоскости (Р), образы которых лежат
также в плоскости (Р). Пусть (Р) — произвольная плоскость, а (Р') — ее образ.
(А') —прямая, по которой пересекаются (Р) и (Р'); (Л) —прообраз (А'). Прямая (А)
лежит в плоскости (Р), так как прямая (А') лежит в плоскости (Р'). Прямая (А)
и состоит из тех точек плоскости (Р), образы которых лежат также в плоскости (Р)
[так как прямая (L') лежит также и в плоскости (Р)].
Огибающая прямых (D) плоскости (Р). Пусть М ~ произвольная точка пря-
мой (А) плоскости (/7), а ЛГ— ее образ, лежащий на (А')- Тогда ММ'— это пря-
мая (А)) плоскости (Р). Обозначим через U' точку пересечения прямых (А) и (А'),
а через U—прообраз U'. Отрезки UM и U'М' равны; значит, если и М2 — два
положения точки М на прямой (А), а м[ и М2—их образы (они лежат на прямой А'),
то M{M2 = MtM2. Но в таком случае прямая ММ огибает параболу, касающуюся
прямых (А) и (А') соответственно в точках U и U'\ где U" — образ U'.
28. I. Изучение иррационального уравнения. Г. Число неотрицательных
значений х, соответствующих положительному значению у.
Пусть т — какое-нибудь положительное значение у. Найдем, сколько значе-
ний х соответствуют условию
т = — х ] rax2 --J- х 0, где а > 1 и р > 0.
(1)
Эта смешанная система эквивалентна следующей:
3 > 0, или следующей (m х)2 — ax2 -J- J3, х > 0, а
дем из условий
т + х = У*ах2 |3, х > 0, а > 1,
> 1, 3 > 0. Окончательно х най-
(а—1)х2 — 2т х + 3 — т2 = 0, х>0, а > 1, > 0.
Мы видим, что если т >] ?, то так как а > 1, то крайние коэффициенты квад-
ратного уравнения будут разных знаков, уравнение имеет два корня противополож-
е Л 3 — т2
ных знаков, а задача — одно решение. Если 0< т р, то произведение ~---------—
и сумма корней уравнения (2), т. е. дробь ~—р, больше или равна 0. Условие
, /7 (* —"К т 1/-6-
деиствительности корней: т V L~----------- . Так как это число меньше, чем | А
/ й б xL_1)
окончательно имеем: 1) если 0 <т< |/ —то ни какому значению х>0
ох Г* (а—О
не соответствует положительного значения у; 2) если 1/ —'-Ст-СУр,
то два значения х соответствуют заданному значению у = т\ 3) если т > , то
лишь одно положительное значение х соответствует заданному положительному
значению у = т.
2°. Минимум функции у. Из соотношения (1) следует, что каждому значе-
нию х 0 соответствует единственное положительное значение у, так как если
х > 0, то в силу а > 1 и 3 > 0 имеем )^.х23 > х и, значит, у > 0. Из I, Г сле-
/’ЗТТЕТ])
дует, что если у < J/ ———-, то никакое положительное значение х не соответ-
ствует этому значению у. Значит, при всех положительных значениях х функ-
_ , П (з — 1) ,
ция > J/ — ~это число есть, следовательно, нижняя грань функции у;
эта грань достигается при значении х, которое является двойным корнем уравне-
/оч т ъ/ ₽
НИЯ (2), т. с. При х ~ --г = 1/ ---1—— .
1 а — 1 г а (а — 1)
Ответы. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
687
А
А
Е‘
D'
Р
D
Черт. 277.
II. Свойства многогранника (Д). 1°. Свойства ребер ВВ\ DD', FF'. Рас-
смотрим правильный шестиугольник ABCDEF со стороной, расположенной в пло-
скости (Р) (черт. 277). Проведем через точки А, С и Е прямые, перпендикулярные
плоскости (Р), по одну сторону от этой плоскости, и отложим на них отрезки
А А' = СС' = ЕЕ' — I. Затем на полупрямой OZ,
перпендикулярной плоскости (Р), отложим от-
резок OI == I Д- х (0 < х < Z). Пусть плоскость
1А'С' пересекает перпендикуляр в точке В
к плоскости (Р) в точке В'. Прямые IB' и А'С'
плоскости 1А'С' пересекаются в точке Z,
ортогональная проекция J которой на пло-
скость (Р) есть точка пересечения прямых
ОВ и АС. На основании свойства шестиуголь-
ника, J есть середина ОВ и АС. Значит, J'
есть середина IB'. Обозначим теперь через О'
и ортогональные проекции J' и В' на OZ.
Так как АА' ~ СС' = Z, то прямая А'С' парал-
лельна плоскости (Р) и ОО' = JJ' ~ АА' = I.
Далее, О' — середина р/. По предположению
О < х < Z, значит, I лежит внутри сегмента
О'К~1, где точка К лежит на продолжении
отрезка ОО' за точку О'. Точка р симметрична
точке I относительно О' и, значит, лежит вну-
три сегмента О'О, симметричного О'К относи-
тельно р; значит, р расположена над пло-
скостью (Р), а потому В' расположена над
плоскостью (Р). Аналогично доказывается, что
и точки D' и F' пересечения плоскостей IC'Е'
в точках D и F лежат по ту же сторону. Далее, Ор Д- 01 200', откуда Ор ==
= 200' — 01 = 21 — (Z Д- х) = 1 — х. Итак, ВВ' = DD' = FF' = I — х.
Форма четырехугольника lA'B'C'. Точка J', на основании предыдущего,
есть середина А'С' и IB'. Угол IJ'A', сторона J' А' которого параллельна пло-
скости (Р), проектируется на плоскость (Р) в прямой угол OJA, значит, угол IJ' А'
также прямой. Четырехугольник IA'В'С', диагонали которого пересекаются в их
серединах и перпендикулярны, — ромб; четырехугольники IC'D'E' и lE'F'A' —
также ромбы.
Проекция многогранника (Д) на различные плоскости. Рассмотрим много-
гранник (Д), грани которого: шестиугольник ABCDEF, шесть прямоугольных тра-
пеций: ABB'A', ВСС'В', CDD'C', DEE'D', EFF'E', FAA'F' и три ромба: lA'B'C',
IC'D'E' и lE'F'A'.
... а) Возьмем в качестве плоскости проекции плоскость (Р) и предположим,
что наблюдатель находится в бесконечности в направлении полупрямой OZ.
Шестиугольник ABCDEF спроектируется в правильный шестиугольник, в истин-
ную свою величину. "
FF’ ЕЕ1
IE'А' с перпендикулярами к
и
(Р)
Д’
ВВ1 СС'
Черт. 278.
Вершины А', В', С', D', Е', F' спроектируются соответственно
в А, В, С, D, Е, F, вершина / — в точку, О — центр дан-
ного правильного шестиугольника. Вертикальные грани
спроектируются в стороны шестиугольника, а ромбы
lA'B'C', IC'D'E' и lE'F'A' — в ромбы О ABC, OCDE,
OEFA. Все проекции будут видимы, поскольку точка I
видимая (черт. 278).
б) Возьмем теперь в качестве плоскости проекции
плоскость ВВ'Е'Е и предположим, что наблюдатель
находится в бесконечности в направлении, перпенди-
куляром этой плоскости, например в направлении АС,
со стороны точки С по отношению к плоскости ВВ'Е'Е
(черт. 279). Шестиугольник ABCDEF спроектируется на
эту плоскость в отрезок BE длиной 2а, центр О — в сере-
дину этого отрезка, вершины А и С — в середину ОВ, а вер-
шины D и F—в середину ОЕ. Перпендикуляры к плоско-
сти (Р) спроектируются в перпендикуляры к отрезку BE.
Е' спроектируются в точки, лежащие на перпендикулярах к BE
D
D'
Вершины А', С',
в точках А, С, Е на расстоянии Z от BE; I спроектируется в точку, "лежащую на
перпендикуляре к BE в точке О на расстоянии I Д- х. Точки В', D', F' спроекти-
руются в точки, лежащие на перпендикулярах к BE в точках В, D, F на расстоя-
нии I — х. Заметим, что плоскость lA'B'C' перпендикулярна плоскости ВЕЕ'В';
она, следовательно, проектируется в прямую линию; все проекции точек В', А',
С', I лежат на этой прямой. Контур BEE'IB' видим, ибо видны все ребра. Проек-
ция дана на черт. 279.
в) Возьмем, наконец, в качестве плоскости проекции плоскость, прохо-
дящую через середину отрезка ВС, перпендикулярную этому отрезку, и
688
Ответы. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
предположим, что наблюдатель расположен в бесконечности, в направлении
от В к С. Шестиугольник ABCDEF спроектируется в отрезок СЕ длиной аУ 3 —
двойная апофема шестиугольника. Центр шестиугольника спроектируется в сере-
дину этого отрезка, туда же спроектируется А и D. Вершины В и F спроекти-
руются соответственно в С и Е. Перпендикуляры к плоскости (Р) спроектируются
в перпендикуляры к отрезку СЕ. Вершины А', С', Е' спроектируются в точки,
лежащие на перпендикулярах к СЕ в точках А, С, Е на расстояниях I от СЕ.
Вершины В', D', F' спроектируются в перпендикуляры к СЕ в точках В, D, F
на расстоянии I — х, а вершина / — на перпендикуляр к СЕ в точке О на расстоя-
нии I + х. Невидимыми будут ребра, выходящие из А' (черт. 280).
2°. а) Диагонали ромба IА'В'С'*. А'С' — аУ'З, IB' = У4х2 + я2- б) cos ср =
х 0 а /3 „ 2.V2 — а2
, tg — = , COS 0 ~ .
/а2 + л2 2 }'4х2 + я2 2(х2 + "2)
. п, ... 3а2//3 ,
в) Объем (A): v -----g—— (не зависит от х).
г) Полная поверхность (A): s = За —х + Зх2 -}- —р /3 + 4Z)-
д) Сумма всех ребер: А = 3(—х-|-/9х 2+tt2)+6(^ + Z).
3°. На основании I находим минимумы s.n L: sQ — {а (/3 -J-У2 ) 4Z1
при х = —Lq = 6 [а (У2 4-1) 4- Z] при х = —. Полагая о = 0,
2/2 2/2
л
х ~ и обратно.
найдем
Изучение трехгранных углов с вершинами /, В', D', F' и четырехгран-
ных углов с вершинами А', С', Е' многогранника (А). Поскольку для (До)
# Л
величина х = , то мы имеем cos 0 = cos ср и, так как эти углы заключены
между 0 и 180°, то 6 = ср, или £А'IC' = £ВВ'А'. Все плоские углы трехгранных
углов I(A'C'E') и В'(ВА'С') также равны 6, ибо / ВВ'А = £ВВ'С == ср,
/.А'В'С' —в. Трехгранные углы I(A'C'E'), В' (ВА'С'), D'(DC'E'), F'(FE'A')
имеют все плоские углы, равные 0. Рассмотрим четырехгранный угол А' (АВ'IF').
Углы АА'В и AA'F' равны ~ — ср, углы В'А'I и F'А'I равны тс— 0, значит, все
плоские углы равны между собой и равны тс — 0. То же самое относится и
к четырехгранным углам С' (СВ' ID') и Е' (ED'IF'). Косинусы плоских углов трех-
гранных углов равны
Z 2х2 — а2 \ 1
\2(х2 + ^)/=__£=.” 3 ’
2 У 2
а плоские углы четырехгранных углов равны . Из черт. 277 следует, что АВС —
о
линейный угол двугранного угла с ребром В'В; этот угол равен 120°. Все двугран-
ные углы трехгранных углов равны 120°. Аналогично: все двугранные углы четырех-
гранных углов, рассмотренные выше, равны между собой. Двугранный угол с реб-
ром А А' имеет в качестве линейного угла угол FAB, равный 120°. Таким образом,
все двугранные углы рассматриваемых четырехгранных углов равны 120°.
Ответы. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
689
III. Многогранники (Д), описанные вокруг сферы. Для того, чтобы в много-
гранник (Д) можно было вписать сферу, прежде всего необходимо, чтобы она
касалась боковых граней АА' В' В, В'ВСС', а, значит, ее центр должен находиться
на равных расстояниях от этих граней, т. е. он должен быть расположен на полу-
прямой OZ. С другой стороны, радиус сферы должен быть равен расстоянию от
точки полупрямой OZ до одной из боковых граней, т. е. апофеме данного правиль-
а/З т
. Так как сфера должна быть расположена
центр должен быть расположен
окружности, даст возможность
к
ного шестиугольника, а именно —%
внутри (Д) и касаться основания ABCDEF, то ее
на луче OZ, перпендикулярном плоскости (Р) на
т/* яГ
расстоянии Оо» = ——- (черт. 281). Рассмотрим
теперь сечение многогранника (Д) одной из его
плоскостей симметрии, например плоскостью
В'ВЕЕ'\ это будет пятиугольник В'ВЕЕ'1. Сечение
сферы (й), вписанной в (Д), будет окружность ра-
дУз тт
диуса —g—» касающаяся BE в его середине U.
Так как плоскость IA'В'С' перпендикулярна этой
плоскости симметрии и сфера ((.2) касается этой
грани, то сечение IB' этой грани касается сече-
ния (LO-
Г. Построение многогранника (Д), опи-
санного вокруг (Й). Заданы а и I. Зная а и Z,
мы можем построить отрезок BE — 2а и отре-
зок JJ' ~ Z, перпендикулярный к ОВ в его сере-
дине J. Затем мы можем построить окружность
аТАЗ г. „ „
радиуса —, касающуюся BE в точке О. Пря-
мая IB', определяющая вершину /, есть касатель-
ная, проведенная из J' к построенной окружно-
сти. Исследован ие. Обозначим через В" точ-
ку пересечения перпендикуляра к BE, проведенного
через точку В, с касательной (параллельной BE)
в точке О", диаметрально противоположной точке О
окружности. Касательная, проведенная из точки J'
построить многогранник (Д), если точка В' (точка пересечения ее с ВВ") будет
лежать между В и В". Если точка В' изменяется между В и В", точка J' описы-
вает часть перпендикуляра к ВО в точке J. Так как OJ=^, а радиус сферы
а УЗ
равен ——» т- е- больше, чем OJ, то этот перпендикуляр пересекает окружность
в двух точках: К и а прямую О”в"—в точке К?. Обозначим через l'm точку
пересечения JJ' и касательной к окружности, проведенной из точки В. Возможное
изменение В показывает, что J описывает отрезок К' J'm и что для всех точек
отрезка j'mK" проходит только одна касательная к окружности в то время, как
через любую точку отрезка КАК' проходят две касательные, дающие решение
вопроса. Вычисляя JK' и Jj'm, приходим к выводу: 1) если у(УЗ +У2) < Z < #УЗ,
то имеется два многогранника (Д), вписанные в сферу; 2) если аУз <1 <2аУз,
то имеется только один многогранник (Д), вписанный в сферу; 3) если Z > 2#УЗ,
то нет ни одного многогранника (Д), вписанного в сферу. Для I—2а^3 много-
гранник (Д) еще существует, но вершины В', D', F' совпадают соответственно
с вершинами В, D, F. Для 1 = а}Аз имеется многогранник типа (Д) и призма,
в основании которой лежит правильный шестиугольник. Для Z =-^ (У3"-ф-У2)
имеется лишь один настоящий многогранник (Д).
2°. Определение х, для которых (Д) имеет описанную сферу (й). Мы
видели в II, 2°, что IB' = У4х2 -ф- а2. Вычислим расстояние d от точки <о до пря-
мой IB' (черт. 281). Выражая двумя способами двойную площадь треугольника ад/Г/,
мы имеем d-IB' = BO-I^ или d У4х2 -ф- а2 — а х—• Прямая IB'
44 П. С. Моденов
690
Ответы. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
касается окружности сечения (□), если d — -—— *> тогда х удовлетворяет уравне-
яУз /-j- —- ( яУз \
нию —g— у 4х2 -ф- а2 = а \1 -ф- х-g—), или
/3 (4л2 + а2} = 2л — а /3 + 2Z. (3)
Уравнение (3) эквивалентно следующей смешанной системе:
3 (4л2 + а2) = (2л — а Уз + 2Z)2, (4)
а/З
> 2 (5)
С другой стороны, по предположению, х должен быть заключен между 0 и Z.
Упрощая (4), получим
/(л)=2л2 — (21 — аУЗ) х-±1(аУЗ — Z) = 0, (6)
Л 1 3 г
причем v < х < I и х > —-------Z.
Исследование. Если Z > аУЗ, уравнение (6) имеет два корня противополож-
ных знаков: х' < 0 < х". Положительный корень удовлетворяет условию задачи,
„ . „ аУ3 , . аУЗ . ~
если х < I, так как условие х > —g—• — удовлетворяется, ибо —g----------< 0-
Вычислим f (Z) == Z (2аУз— Г). Отсюда следует, что I больше, чем х”, если
1<2аУз, и Z заключено между 0 и х", если 1>2аУЗ. Задача имеет, следова-
тельно, одно решение, если аУЗ </<2аУз. Если Z < а УЗ, надо вычислить
дискриминант уравнения (6): Д = 3 (4Z2 — 4а1 УЗ -ф~ а2)- Корни Д суть ~ (|г3 — У 2)
И -|(/3 + /2). Если -J(f3-/2)< / < ~(УЗ +/2), то Д < 0 и корни урав-
нения (6) мнимые. Если I < -- (У 3 — У 2 ), то уравнение (6) имеет корни одного
знака, но их сумма I-----g— отрицательна; значит, оба корня отрицательны и
задача не имеет решения. Если ~ (У3 -\~У2) < I < аУЗ > то два корня уравне-
ния (6) положительны, /(Z) > 0; следовательно, I вне интервала корней и i больше их
Z аУЗ Л , ~
полусуммы -------значит, корни заключены между 0 и Z. С другой стороны,
аУгз , «/з , .
условие х> —g-------выполнено, так как — ----------1<0. Оба корня дают реше-
ние задачи. Мы, таким образом, снова приходим к результатам геометрического
исследования: 1) если Z < (УЗ ]/"2) или Z > 2а Уз, то не существует многогран-
ника (Д), описанного вокруг сферы (Q); 2) если (У 3 -ф- У 2) <; Z < аУ 3, то суще-
ствуют два (Д); 3) если аУЗ < I < 2аУЗ , существует один многогранник (Д).
3°. Отношение объема v многогранника (Д), описанного вокруг (Й), к его
полной поверхности $. Мы видели в II, 2°, что объем у и поверхность s многогран.
ника (Д) таковы: v = ~ а21 Уз , s = За (—x-J-l/ ~г (4л2 +<т2)) + ду (аУ$ + 4/).
На основании (3), если (Д) описан вокруг сферы (Q), мы имеем Уз (4л2 -ф- а2) =
== 2х — аУЗ -f-2Z, откуда —+ -j (4л2 -ф- а2) = ——~—-JL , в этом случае
о 31 — аУз , За z г- . .a n / v \ аУЗ
s — За---------И "5“ UV3 4- 4Z) — 9^Z, значит, — — , что действительно
2 Z .802
составляет ~ от радиуса сферы (Й).
о
Частный случай многогранника (До). Многогранник (До) соответствует мини-
л/2 „
муму $ и соответствующее значение х == —д—. Если при этом еще многогран-
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
691
ник (До) описан вокруг сферы (Р), то указанное значение х должно быть решением
уравнения (6), т. е. f ( ---(21 — а 1'3) I (а ) "З — I) = 0. Отсюда
\ 4 / 4 4
находим лишь одно положительное значение для /, / = ~(УЗ
Отношение объема и поверхности многогранника (До) к объему и поверх-
ности сферы, вписанной в этот многогранник. В рассмотренном случае
_ За3 УЗ (УЗ 4- У2) __ 9а2 (/3 + У 2)
V° _ _ t Sq------------------------_------.
Объем и поверхность сферы (Q):
аУз
2
Уо 3_ /3 +У2 21-2 Уз +V2
у, ~ 2 - 11 S( ~ 2 г.
Эти отношения имеют одну и ту же величину. Составляя разность
3 Уз + У2 з _ 3 Уз + У2—П
2 г. 2 “ 2 я ' ’
найдем, что эта разность < 0,003.
। ~а3 Уз , ,
----- > “ Зла2, отсюда
4 /
~ 3 Ч
2
Глава XXVI. Планиметрия со стереометрией
(0.)
Черт. 282.
(А)
Я
(Г,) (Р)
(D)
Изучение линий (С), перспективных окружностям.
I. 1°. Пересечение линии (С) с прямой. Всякая линия (С) определяется как
проекция из точки S на плоскость (Р) окружности (J\). Пусть плоскость (/7),
параллельная (Р) и проходящая через S, пересекает плоскость (PJ, в которой
лежит окружность (ГД по
прямой (С/Д Если (GJ —
бесконечно удаленная пря-
мая, т. е. плоскости (Г)
и (PJ параллельны, то (С)
является окружностью. Мы
исключим этот тривиальный
случай; тогда (GJ— пря-
мая на конечном расстоя-
нии, а ее проекция из
точки S на плоскость (Г)—
бесконечно удаленная пря-
мая этой плоскости. Пусть
прямая (Г}), по которой
пересекаются плоскости
(S, D) и (rj, встречает
прямую (GJ в точке /ь Вся-
кая прямая плоскости (ГД
проходящая через /ь проек-
тируется на плоскость (Г)
в прямую, параллельную
прямой SIlf т. е. в пря-
мую, имеющую направление,
определяемое бесконечно
удаленной точкой J пло-
скости (Г), где J — проек-
ция из точки S на плоскость
(Г) точки /1 (черт. 282).
Если прямая пересекает окружность (TJ в точках т{ и пъ
пересекает линию (С) также в двух точках: т и л, являющихся
тх и ли Середина w отрезка тп гармонически сопряжена с точкой
т и л, а так как гармонизм сохраняется при центральном проектировании, то
точка со есть перспектива точки coj прямой (ГД гармонически сопряженной
с точками тх и относительно точки Отсюда следует, что геометрическое
место середин параллельных хорд тп линии (С) есть перспектива хорды p^h
поляры (AJ точки Г относительно окружности (ГД
(Р)
то прямая (D)
перспективами
J относительно
44*
692
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
Исследование, a) (Go не пересекает (ГД (черт. 282). Всякой точке 1Х пря-
мой (GO соответствует хорда pxqXf которая проектируется в отрезок pq— геоме-
трическое место середин со хорд
/ линии (С), параллельных тп.
Всякая прямая (£>), имеющая
(Z/J это направление, пересекает
линию (С) в двух точках, если
она пересекает отрезок pq\ не
пересекает линию (С), если
она [прямая (£))] не пересекает
отрезок pq, и касается ли-
нии (С) (в точке р или q), если
она проходит через точку р
или точку q. Линия (С) в этом
случае — эллиптического типа.
б) (GO пересекает (Гх)
в точках и (черт. 283).
Пусть касательные (7\) и
в точках и ty к окружности
(Л) пересекаются в точке
Перспективы (Г) и (Тг) прямых (7\) и
Черт. 283.
которая будет полюсом (GJ относительно (Гх).
(71) будут пересекаться в точке О, расположенной на конечном расстоянии, являю-
щейся перспективой Ог Всякой точке / прямой (G^j лежащей вне отрезка txt[, со-
ответствует хорда pxqx окружности (Гх), которая пересекает (СД и которая проек-
тируется (в силу сохранения разделенности пар точек при проектировании) в точки
двух лучей прямой pq, внешних по отношению к отрезку pq. Точки этих двух
лучей образуют геометрическое место середин хорд линии (С), параллельных (D).
Линия (С) в этом случае гиперболического типа.
в) (GJ касается (ГЦ в точке Ох (черт. 284). Всякой точке 1Х прямой (G^,
отличной от Ох, соответствует хорда Охрх, перспективой которой будет луч рО
" ', являющийся геометрическим местом середин
(О — бесконечно удаленная точка),
хорд линии (С), параллельных пря-
мой (D). Линия (С) в этом слу-
чае — линия параболического типа.
2°. Центры и оси линий (С).
Мы будем называть осью ось
симметрии линии (С). Если
О — центр линии (С), то всякая
точка т', симметричная точке т
линии (С), будет также лежать на
линии (С) и, значит, точка О гармо-
нически сопряжена с бесконечно
удаленной точкой прямой тт'
относительно точек т и т'. Значит,
точка О есть перспектива точки Ох
плоскости (PJ, сопряженной отно-
сительно (Л) с любой точкой (GJ,
иначе О} — полюс прямой (G) отно-
сительно (Л). Поэтому если (Gx) не касается (Гх), то (С) имеет
и притом только
один центр О (на конечном расстоянии). В противном случае линия (С) не имеет
центра (на конечном расстоянии). Для того чтобы прямая (А) была осью (С), необ-
ходимо и достаточно, чтобы она несла на себе геометрическое место середин ы
хорд тп, перпендикулярных (А); в этом (и только в этом) случае угол (SIX, SJX)
прямой (см. черт. 282). Точки Ц и Jx прямой (GJ сопряжены относительно (Гх),
а потому сферы с диаметром IlJi входят в пучок (Ф) сфер, центры которых рас-
положены на прямой (GJ и которые ортогональны окружности (Гх).
Исследование. 1°. 5 не лежит на базисной окружности (Го) пучка (Ф).
В этом случае только одна сфера из пучка (Ф) проходит через S и определяет
две оси линии (С).
a) (Gi) не пересекает (ГД. Линия (С) — эллиптического типа; она имеет две
взаимно-перпендикулярные оси, каждая из которых пересекает линию (С) в двух
точках, симметрично расположенных относительно О.
б) (Gi) пересекает (ГД в двух точках (черт. 283). В этом случае (С) —линия
гиперболического типа; она имеет две оси симметрии, и лишь одна из них: пере-
секает линию (С) в двух точках, симметрично расположенных относительно О.
в) (GJ касается (ГД (см. черт. 284). В этом случае (С) — линия параболического
типа; она имеет лишь одну ось симметрии (на конечном расстоянии), которая пере-
секает линию (С) в единственной точке, расположенной на конечном расстоянии.
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
693
2°. 3 лежит на базисной окружности пучка (Ф). Всякий диаметр (С), про-
ходящий через (О), будет тогда осью (С); линия (С) будет поэтому окружностью.
Это можно показать и иначе: так как базисная окружность (Го) существует, то (dj)
не пересекает ([\). Сфера (S), проходящая через (Л) и 3, ортогональна (Го)
и плоскость (П) касается в точке 3 сферы (S). Плоскость (Р), параллельная (/7),
получается из сферы (I) инверсией с полюсом 3; она пересекает конус с верши-
ной (3) и основаниехМ (7^) по линии (С), являющейся образом (7\) в указанной
инверсии. Поэтому линия (С) — также окружность.
3°. Полюсы и поляры относительно линии (С), Рассмотрим в плоскости (PJ
точку Л/1 и ее поляру (£\) относительно окружности (TJ и пусть М и (D)— пер-
спективы М{ и (D{). Всякая секущая (Д/) линии (С), проходящая через (М) и пересе-
кающая (D) в точках Pi и Qi, пересекает (D) в точке Nt (конечной или бесконечно
удаленной). Четверка точек MNjPiQi— гармоническая, так как она является проек-
цией гармонической четверки точек. Мы можем определить поэтому прямую (D) по
отношению к М двумя точками: и N2, гармонически сопряженными с М относи-
тельно точек пересечения с (С) двух секущих: (At) и (Д2)> проходящих через М. Это
определение уже не зависит от перспективы, а является инвариантным построением,
относящимся исключительно к линии (С), точке М и данной прямой (D).
II. Теорема Паскаля для линии (С).
1°. Линия (С) есть окружность (Г), две хорды которой: АВ' и ВА' —
имеют частное расположение. Исключим тривиальный случай, когда АВ' и ВА'
пересекаются в точке R, лежащей на окружности (Г); в самом деле, если, напри-
мер, точки А' и В' совпадают с некоторой точкой R окружности (Г), то эта
точка, очевидно, расположена на одной прямой, которая проходит через точку Р
пересечения ВС' и СВ' и через точку Q — точку пересечения АС' и С А'.
а) АВ' и ВА' параллельны. Используя равенство (по модулю к) между
ориентированными углами от прямой до прямой (неориентированных) и используя
те из них, которые характеризуют вписанные четырехугольники, будем иметь:
(ВС', АС') — (ВВ', АВ'), (В'С, А'С) = (В'В, А'В). Но 2 (ВВ', АВ') = ВА,
2 (В' В, А'В) = В'A' (mod 2~). Так как АВ' и В А' параллельны, то ВА=В'А' (mod~2r.).
Следовательно, (ВС', АС') = (В'С, А'С) и, значит, (С'Р, C'Q) — (СР, CQ).
Если Р—бесконечно удаленная точка, то СР и С'Р параллельны; следовательно,
CQ и C'Q также параллельны, а Р, Q, R лежат на одной бесконечно удаленной пря-
мой плоскости (Р). В противном случае CC'PQ — вписанный четырехугольник и
потому (PQ, PC) = (C'Q, С'С). Но (C'Q, С'С) = (С'А, С'С) = (В'А, В'С) = (В'А, PC).
Следовательно, (PQ, PC) — (В'А, PC) и, значит, PQ || В'А, а потому проходит через R.
б) АВ' и ВА' пересекаются в центре R окружности (Г), Пусть М и
N — точки, в которых пересекаются АС', СВ' и А'С, ВС'. Тогда 2 (С'м, C'N) —
= 2 (С'А, С'В) = АВ = В7^' = 2 (СВ', С А') = 2 (CM, CN) (mod 2ix). Если М — бес-
конечно удаленная точка, то СМ и С'М параллельны; следовательно, CN и C'N
также параллельны, PCQC' — параллелограмм, противоположные вершины Р и Q
которого лежат на одной прямой с серединой R отрезка СС' (АС' и В'С парал-
лельны). В противном случае СС'MN вписан в окружность, назовем ее (Г'). ИмеехМ
2 (C'R, ОС) = к + С'С (mod 2к) и 2 (МС', МС) = 2 (МА, МВ') = к + ОС (mod 2;0.
Следовательно, (C'R, С'С) — (МС', Л4С) и C'R—касательная к (Г') в точке С.
Отсюда следует, что СС' — поляра R относительно (Г'), которая также ортого-
нальна (Г). Значит, PQ — поляра относительно (Г') точки Н пересечения MN и СС',
а так как Н лежит на поляре точки R, то ее поляра PQ проходит через R.
2°. Общий случай. Г. Линия (С) есть окружность (Г).
а) АВ' и ВА' пересекаются в точке /?, лежащей вне (Г). В этом случае
в плоскости окружности можно взять прямую (G), проходящую через R и не
пересекающую (Г), затем взять точку 3 на базисной окружности (Го) пучка (Ф)
сфер, центры которых лежат на прямой (G) и которые ортогональны окруж-
ности (Г). Перспектива (Г) из точки S на плоскость (Р), параллельную плос-
кости (S, Q), есть окружность, а перспективы хорд АВ' и ВА', которые пере-
секаются в точке R, лежащей на прямой (G), будут две параллельные хорды
упомянутой окружности; точки Р, Q и R лежат на одной прямой, так как по дока-
занному выше их перспективы также лежат на одной прямой.
б) АВ' и ВА' пересекаются в точке Я, лежащей внутри (Г). В этом слу-
чае поляра (G) точки R относительно (Г) не пересекает (Г). Возьмем точку 3 на
базисной окружности (Го) пучка (Ф) сфер с центрами на (G), которые ортогональны
окружности (Г). Перспектива (Г) из точки 3 на плоскость (Р), параллельную пло-
скости (3, G), есть окружность, а перспективы хорд АВ' и ВА' суть диаметры
этой окружности; точки Р, Q, R лежат на одной прямой, так как их перспективы
лежат по доказанному выше на одной прямой.
2°. Общий случай. Если (С) линия, являющаяся проекцией окружности, то
точки Р, Q и R лежат на одной прямой, так как перспективы этих точек лежат
по доказанному на одной прямой.
694
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ ’
Обратно: если fA пересекает отрезок DE, то / лежит внутри угла DAE, значит,
и 1 ' ~
III. Через пять точек плоскости (Р) таких,
лежат на одной прямой, проходит по крайней
А, В, С, D и Е — пять точек, лежащих в плоскости
из них не лежат на одной прямой. Обозначим через
соответственно с АВ и АС, через 7' и ч"— точки,
пары прямых АВ, DE, а через 3' и 3"— точки, сопряженные ₽ относительно пары
прямых AC, DE. Пусть (Р^ — окружность, проходящая через точки D и Е, лежа-
щие в плоскости (Pi), отличной от (Р), и пусть Ц — полюс DE относительно (Гх).
1°. Точка у сопряжена с точками /, и 7" относительно (PJ; следовательно,
Irf'— поляра 7 относительно (PJ. Пусть S— точка [не расположенная ни в пло-
скости (Р), ни в плоскости (Pi)], общая для плоскости Zi7z7/Z и конуса с вершиной А
и основанием (Pj). Перспектива (С) на плоскость (Р) линии (РJ из точки S про-
ходит через A, D и Е. Перспектива 7 есть у, а перспектива Irf' есть 7'7". Следо-
вательно, 7'7" — поляра 7 относительно (С), и так как А, В, 7, у' — гармоническая
четверка, то (С) проходит и через В.
2°. Если // пересекает конус в двух точках: S и S' (/ — точка пересече-
ния 7'7" и р'З"), то ни одна из них не лежит в плоскости (Pj), так как в против-
ном случае / совпадала бы с р" и 7" (лежащими на DE), а В и С лежали бы на
одной прямой с точкой А.
Точки S и S' не лежат и в плоскости (Р), так как в противном случае S
(или S') совпадала бы с точкой /, лежащей или на AD, или на АЕ, и так как
плоскости ЦАР) и 1ХАЕ касаются конуса, то прямая 1Х1 также касалась бы
конуса и не могла бы иметь с ним двух различных общих точек. Перспектива (С)
на плоскость (Р) окружности (PJ из S (или S') проходит через A, D и Е; так
как S (или S') лежит в плоскости /17'7", то (С) проходит через В, а так как,
кроме того, точка S (или S') лежит в плоскости 7i₽'₽", то (С) проходит через С.
Пусть прямая 1Х/ пересекает конус в двух точках: S и S'. Точка I сопряжена
с точками ₽ и 7 относительно (С), и, значит, / есть полюс DE относительно (С);
следовательно, / — перспектива /х, А — перспектива точки Ах окружности (PJ.
Так как IiAx пересекает отрезок DE, то IA пересекает также этот отрезок DE.
внутри конуса; точка /х лежит вне окружности (PJ, значит, й вне конуса. Сле-
довательно, /]/ пересекает конус в двух
точках. Итак, необходимое и достаточ-
ное условие пересечения прямой //
с конусом в двух различных точках,
будет то, что прямая IA пересекает
отрезок DE.
3°. Уже рассмотренную выше точ-
ку I условимся обозначать так: I (Л, DE)
(для того чтобы напомнить ее по-
строение по данным точкам). Сочетая
в различных комбинациях данные пять
точек, мы можем получить другие
точки, аналогичные точке /, и не на-
рушая общности, предположить, что
две из данных пяти точек, например В
и С, находятся в бесконечности [для
этого достаточно спроектировать данные
5 точек из точки S в плоскость (Р),
что никакие три из них не
мере одна линия (С). Пусть
(Р) и таких, что никакие три
7 и р точки пересечения DE
сопряженные у относительно
параллельную SBC]. Пусть (черт. 285)
еД' £С’ °д» — точки пересечения прямых (AD, ВС), (BD, AC), (CD, АВ),
(АЕ, ВС), (BE, АС), (СЕ, АВ), и — бесконечно удаленные точки); фигура
A^BD^C — параллелограмм, а ^А^в ’ ~
тельно А. Аналогично и параллельны АЕ и симметричны относительно А.
Точка / (В, АС) принадлежит поляре относительно (AD, ВС), а потому лежит
на прямой Аналогично доказывается, что / (В, АС) лежит на Значит,
I (В, АС) есть точка пересечения прямых и Аналогично доказывается,
что точка / (С, АВ) есть точка пересечения и ^А^в- Значит, А — середина
/ (В, С А) I (С, ЛВ) и, значит, в силу свойств перспективы заключаем, что в общем
случае (когда В и С на конечном расстоянии) точка А лежит на одной прямой
с точками I (В, ЛС) и I (С, АВ) и что точка Л', сопряженная точке Л относительно
этих двух точек / (В, АС) и / (С, ЛВ), лежит на ВС. Аналогичные заключения можно
сделать по отношению к тройкам точек: В, I (Л, ВС), / (С, АВ) и С, I (А, ВС),
/ (В, АС). Предполагаем снова, что точки В и С бесконечно удаленные, заклю-
чаем, что I (Л, ВС), I (В, С А) и I (С, АВ) — три вершины параллелограмма с цен-
тром Л и сторонами, параллельными соответственно ЛВ и АС. Четвертая вер-
шина со есть, следовательно, точка пересечения следующих трех прямых: Л/(Л, ВС),
и e^ec параллельны AD и симметричны относи-
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
695
из пяти точек: А, В, С, D, Е не лежат на одной
ни на одной из трех прямых: АВ, ВС и С А, а по-
/ АВ ВЁ СА
(черт. 28о), будем иметь
мере одно из трех отношений отрицательно; пусть,
отрезок АС. Значит,
1.
пересекает соответствующим
BI (В, AC), CI (С, АВ). В силу свойств перспективы заключаем, что в общем слу-
чае (когда В и С — на конечном расстоянии), прямые А/(А, ВС), BI(В, АС),
CI (С, АВ) пересекаются в одной точке со.
4°. Так как никакие три
прямой, то точка со не лежит
тому, применяя теорему Чевы
Отсюда следует, что по крайней
В'С п ,D
например, < 0; прямая /В
на основании III, 2°, если взять три
окружности, проходящие соответ-
ственно через В и С, С и А, А и В,
плоскости которых отличны от
плоскости (Р), то по крайней мере
одна из этих окружностей подхо-
дящей перспективой может быть
спроектирована в линию (С), про-
ходящую через пять данных точек.
IV. Г. Через каждые- пять
точек таких, что никакие три
из них не лежат на одной пря-
мой, проходит и притом только
одна линия (С). В самом деле, на
основании предыдущего через дан-
ные пять точек проходит по крайней
мере одна линия (С). Переменная прямая Ах пересекает (С) вторично в точке М,
отличной или совпадающей с А. На основании теоремы Паскаля, три точки: Р, Q
и R, в которых пересекаются прямые (АВ, DE), (ВС, ЕМ) ц (CD, AM), лежат на
одной прямой. Задание прямой Ах определяет прямую PQ, значит, и точку Q пере-
сечения
Отсюда
жат на
дящую.
2°.
!ую PQ, значит, и точку Q nepi
ВС и PR и, значит, единственную точку М пересечения Ах и QE.
и следует, что пять точек: А, В, С, D, Е, из которых никакие три не ле-
одной прямой, определяют только одну линию (С), через них прохо-
Перспектива линии (С) есть снова линия (С). В самом деле, пять точек:
А, В, С, D, Е, лежащих на линии (С), проектируются из точки S на плоскость (Р)
в пять точек A', B't С', D', Е' таких, что никакие три из них не лежат на одной
прямой.
Пусть (Г')— перспектива (С). Линия (Г') проходит через А', В’, С', D', Е',
которые определяют линию типа (С); ее мы обозначим через (£')• Проведем через
которые определяют линию типа (С); ее
Черт. 287.
точку А' произвольную прямую А'х'. Так как теорема Паскаля имеет место и для
линии (Г') [ибо эта линия есть проекция линии (С)] и для линии (С') [ибо эта
линия типа (С)], то на произвольной прямой А'х' вторые точки пересечения ее
с (Г') и (С') будут совпадать с одной и той же точкой М' прямой А'х'. Значит,
линии (Г') и (С') совпадают.
V. Линии (С) суть конические сечения. Всякая линия (С) имеет по мень-
шей мере одну ось симметрии х'х и по меньшей мере одну точку А, лежащую на
этой оси (черт. 287). Пусть DE—хорда линии (С), перпендикулярная в точке d
оси х'х. Полюс I прямой DE относительно (С) лежит на х'х. Если существует
в плоскости-медиатрисе отрезка DE точка S, служащая вершиной конуса вращения
сосьюЗ^ и проходящего через (С), то перспектива из S линии (С) на плоскость (Pt),
перпендикулярную Sd в точке D, будет окружностью (ГJ с осью Sd и радиусом dD.
696
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
Полюс /1 прямой DE относительно (Л) лежит в бесконечности; следовательно, IS,
которая проходит через /1? будет перпендикулярна Sd и, значит, точка S
лежит на окружности с диаметром Id; прямая SA пересекает dl} в точке Т такой,
что dT = dD; значит, точка Т является точкой пересечения окружности с центром d
и радиусом dD и окружности, гомотетичной окружности с диаметром Id в гомо-
(Ad \
А, J. Если поэтому эти две окружности пересекаются в точках Т и Г',
то прямая ТА пересекает в точке S (по другую сторону от Т относительно х'х)
окружность с диаметром Id и, значит, (С) лежит на конусе вращения с вершиной 5,
осью Sd и половиной угла при вершине, равной (Sd, ST). Для того чтобы доказать, что
(С) — коническое сечение, надо еще показать возможность построения указанного .
конуса, а для этого необходимо и достаточно установить существование точек Т
и Т'. Точки же Т и Т' существуют тогда и только тогда, когда dD < Id , или
Ad dD AJ r
lA>-Id=TA’ ГДе ^-точка
в точке А.
Исследование, а) (С) — линия
центр (С), В — одна из точек его
пересечения JC с перпендикуляром к х'х
эллиптического типа (черт. 287). Пусть О —
оси, перпендикулярной х'х. Положим О А — а,
OB = b, Od — х, dD = у. Тогда Od • 01 = х 01 = а? и — = =
J у 01—ха2 — х2
а л J ~ > AJ, если а2 — х2 > ау. При х = 0, у = b и если а> Ь,
ab = ау. Это возможно в том случае, когда за ось х'х взять ту,
большая ось АА'. Таким образом, можно построить по крайней
вращения, на котором лежит линия (С); линия (С) в этом слу-
х2 у2
уравнение у + и конус можно построить, если 1 —
Ь2
т. е. у > —.
7 а
01—а а2 — ах
, Ad = а — хи Ad
то а2 — х2 = а2 > ।
на которой лежит
мере один конус
чае — эллипс. Его
х2 __ у2 у
а2 Ь2 > а г
б) (С) —линия гиперболического типа (черт. 288). В этом случае х'х — та
ось, которая пересекает (С) в двух точках: А и А'. Применяя аналогичные обозна-
чения и обозначая еще через а половину угла между прямыми ОТ и ОТ' [см. I,
1°, б)], будем иметь: Ad > AJ, если х2 — а2 > ау. Если х неограниченно увеличи-
у
вается, то ~ стремится к tg а и трехчлен х2 — axtga — а2 становится положитель-
ным. Можно, таким образом, и в этом случае построить конус вращения, на кото-
ром будет лежать линия (С); линия (С) в этом случае — гипербола. Построение
Ь2
возможно, если у > —.
а
в) (С) линия параболического типа (черт. 289). Пусть /—точка, симметрич-
ная d относительно А. Положим Ad = х, dD = у; Ad > AJ, если 2х > у, что может
у
быть выполнено, так как стремится к нулю при неограниченном возрастании х.
Таким образом, и в этом случае построение конуса вращения, проходящего через (С),
возможно; линия (С) — парабола; ее уравнение у2 = 2рх. Условие возможности по-
строения конуса 2х > р.
2°. II. Построение точек и касательных к линии второго порядка, опре-
деленной базисной окружностью и базисной прямой.
а) Пусть (с) и (/) — базисная окружность и базисная прямая линии (С). Возьмем
на окружности (с) произвольную точку тп, не лежащую на фокальной оси, т. е. на прямой,
проходящей через F перпендикулярно (/). Касательная к (с) в точке m пересекает (£)
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
697
в точке Т, а перпендикуляр к Fm в точке Л пересекает директрису (А), соответ-
ствующую фокусу Л в точке Т'\ пусть, наконец, прямая ТТ' пересекает Fm в точке М.
Отношение расстояний от точки М до Fn и до (А) равно отношению расстоя-
ний от точки Т до прямой FT' и до (А); это отношение, следовательно, равно -|у-,
т. е. е. Поэтому точка М лежит на данной линии (С); более того: так как отре-
зок МТ' виден из фокуса Л под прямым углом, то ТТ' — касательная к (С)
в точке М. Мы получаем, таким образом, способ построения любого числа точек
и касательных к линии (С).
б) 1°. Пусть тир. — точки пересечения с (£) прямых FT' и FM; так как
T'F = Fx, то пучок с вершиной Т (£, ТТ'\ TF, Тт) гармонический; следовательно,
М гармонически сопряжена с точкой р относительно пары (т, Л).
2°. Проведем через Л прямую (Z,0)U(Z,); она пересекает ТМ и Тт соответ-
ственно в точках Мо и т0, и на основании предыдущего замечания FM0 = Мото или
Fm0 = 2FM0. Проведем через Л прямую, параллельную ТТ', и пусть она пересе-
кает Тт в точке /; тогда Т — середина ImQ\ следовательно, точка / лежит на пря-
мой (В), симметричной (Ао) относительно (£). Прямая FI\\ ТТ', и мы видим, как это
удобно использовать для построения касательных к линии второго порядка, парал-
лельных данной прямой (зная Z, находим т, затем М — как гармонически сопря-
женную с р и т. д.).
IV. а) Проведем через Л прямую (Ло) || (L) и предположим, что прямая (D)
пересекает (£) и (Ао) соответственно в точках Т и А40; прямая (d), гомологич-
ная (D), проходит через точку Т и точку mQ прямой (£0) такую, что FmQ = 2FMQ.
Если (d) пересекает (с) в точках m и т', то (D) пересекает (С) в точках М и М',
гомологичных т и т'. Исследование тривиально.
б) Пусть р — точка, гомологичная Р\ предположим, что точка р лежит вне (с),
и пусть рт и рт' — касательные, проведенные из р к (с); если М и М' — точки,
гомологичные точкам т и т', то РМ и РМ'—искомые касательные.
Отметим, что из чертежа немедленно следует, что (РЛ4?РР) = (РР, Рр) (пер-
вая теорема Понселе).
V. Тип линии второго порядка определяется ее эксцентриситетом. Однако
можно определить тип линии по числу общих точек этой линии с бесконечно уда-
ленной прямой, иначе говоря — по числу общих точек, которые имеют базисная
окружность (с) и прямая (В). Таким образом:
если (В) не пересекает (с), то (С) — эллипс;
если (В) касается (с), то (С) — парабола;
если (В) пересекает (с), то (С) — гипербола.
VI. Построим прямую (В). Она пересекает окружность (с) в двух точках: а и 3;
образы этих точек будут бесконечно удаленными точками линии (С), т. е. Ла и Рр
будут иметь асимптотические направления. Все прямые, параллельные (D), будут
иметь гомологичными прямые (d) пучка с центром /, в котором прямая Р/|| (D)
пересекает (В). Касательная к гиперболе, параллельная (D), будет образом каса-
тельной к окружности (с), проведенной из точки /. Отсюда следует, что если пря-
мая, проходящая через F параллельно (О), пересекает (5) в точке /, лежащей внутри
отрезка оф, то касательных к гиперболе, параллельных (О), не существует. Если же
точка / лежит вне отрезка оф, то из точки / можно провести к окружности (с) две
касательные: 1т и 1т'. Прямые, им гомологичные, будут касательными к гипер-
боле, параллельными данной прямой; эти касательные легко строятся (так же, как
и точки М и М' прикосновения).
Частные случаи. Если точка / совпадает с а, то касательная к (с) в точке а
пересекает (А) в точке J и образ а/ есть прямая, проходящая через J параллельно Ла.
Эта прямая есть, следовательно, асимптота, поскольку точка, гомологичная точке а,
есть бесконечно удаленная точка гиперболы.
Аналогично строится вторая асимптота. Мы получим касательные в вершинах
гиперболы, построив образы касательных к (с), параллельных (L).
Точка пересечения асимптот гиперболы есть ее центр. Этот центр можно по-
строить так же, как точку, гомологичную полюсу (б), относительно (с) (это годится
и для эллипса).
VII. Пространственная интерпретация. Рассмотрим конус вращения с вер-
шиной S. Пусть 0 — угол его образующей с осью. Обозначим через (/7J плоскость,
проходящую через S перпендикулярно оси конуса, через (ГТ)— секущую плоскость,
пересекающую ось конуса в точке Q, плоскость (/7J по прямой (AJ, а конус по
линии (С'). Какая-нибудь образующая Sm конуса пересекает (ГТ) в точке М' (лежа-
щей на С')\ пусть М{— проекция М' на (П{). Пусть, наконец, — общая проек-
ция точек М' и Mi на (AJ; / = 0; обозначим / MiM'Kx—угол плоско-
сти (/7') с осью конуса — через а. Из прямоугольных треугольников M^SM'
698
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
и Л4' имеем tg 6 и МХКХ = М^ tga, откуда ~ = const;
отсюда следует, что проекция на плоскость (ГТ^), перпендикулярную оси, конуса
вращения в его вершине S сечения (С') этого конуса плоскостью (77'), есть линия
второго порядка (С\), для которой S— фокус, а соответствующая этому фокусу
директриса есть прямая (AJ, по которой пересекаются плоскости (77J и (77');
эксцентриситет этой линии равен отношению тангенсов углов, которые образует
ось конуса с его образующей и секущей плоскостью. Пусть теперь (77) — пло-
скость, симметричная плоскости (77J относительно 2; (Д)— проекция (AJ на пло-
скость (Г7); F— точка пересечения оси конуса с плоскостью (Г7), (7) — прямая, по
которой пересекаются плоскости (77) и (77'), и (с) — окружность, по которой пло-
скость (77) пересекает конус [т — точка, лежащая на (с)]. Из предыдущего сле-
дует, что прямая (L) симметрична (Д) относительно F и что проекция (С) линии (С')
на плоскость (77) есть также проекция на эту плоскость линии (С}). Значит,
tg О
F—фокус (С), (Д) — соответствующая этому фокусу директриса, е = — эксцен-
триситет. Следовательно, если р и X—соответственно параметр и модуль линии (С),
то X = FH и е ~ ~. Пусть 7?— радиус окружности (с); из треугольников HFQ
к
и mFS находим R = SF ig 0, F77 ~ ---Д- tg а или X — ~-тг- tg а, откуда — — 2 ,
2 2 Л ig а
или 7? = 2Х • ~ 2р. Мы видим, что в плоскости (77) линия (С) получается пре-
л
образованием (77) из окружности (с) [базисная прямая (£)]. Таким образом, пре-
образование (77) есть результат последовательного проведения следующих пре-
образований:
а) центральное проектирование из центра S, при котором точка т плоско-
сти (77) переходит в точку М' плоскости (77'); б) ортогональное проектирование
плоскости (77') на плоскость (77), при котором точка ЛГ переходит в точку М.
= АО • А/, и условие
___ ___ 1 1 ___ __ е2 — 1 ____
3. Планиметрия. Г. АВ • AF = AF2 = AF2; отсюда FB = ——FA
и геометрическое место точек В получается из (Д) в результате гомотетии
/ е2________________________1 \
(7s ——)> т- е- описывает прямую, параллельную (Д).
Окружность (FBB') ортогональна (Г) и (Г'), ее центр лежит
поэтому на радикальной оси этих окружностей, а так
как ВВ'\\АА', то эта радикальная ось есть медиатриса
отрезка ВВ'.
2°. Если А' стремится к А на (Д), то радикальная ось
стремится к прямой (£)), проведенной через В перпендику-
лярно (Д). Если 7—полюс (D) относительно (F), то 7F—по-
ляра В относительно (F) и окружность с диаметром IA про-
ходит через F и F'. Для того чтобы (D) пересекала (F)
в двух действительных точках, необходимо и достаточно,
др _________________________________________________
чтобы точка 7 лежала вне (F), т. е. AI > ~. Но AF2 =
АО п АО
принимает вид < е. Полагая cos а == , имеем cos а < е.
Аг Аг
Это неравенство определяет на прямой (Д) соответствующий отрезок (в зависи-
мости от значения е). Если А выбрано так, что М и М' действительны, то при-
меняя к четырехугольнику AMFF' теорему Птоломея, получим (в случае е > 1)
(черт. 290) 2с • AM -f* AF' • MF = MF' • AF, откуда MF'— MF ~2а и геометриче-
ское место точек М и М' есть гипербола (Е) с фокусами F и F' и эксцентриси-
тетом е\ касательной в точке М является М/; значит, в точке М этой гиперболы
касается и окружность (F). Если е < 1, то (Е)— эллипс.
3°. Зафиксируем (Г); тогда прямая (£)) также будет фиксирована. Возьмем
на (Е) произвольную точку Р и пусть Н—ее проекция на (О) (черт. 291); Р — есть
точка прикосновения (Е) с окружностью (Г') с центром А'. Радикальная ось (Г)
и (Г') пересекает МР в середине со этого отрезка; пусть прямая МР вторично
пересекает (Г) в точке Mlf а (Г') — в точке Р^ проекции а м а' точек А и А'
на МР суть середины отрезков ММ1 и РРЬ а со есть середина не только МР, но
и AfjPi, ибо о>Л1 • соМ{ = соР • ыРъ откуда coA/j = — соРР Степень точки Р относи-
тельно (Е) равна: р = РМ • РМХ — РМ • а'а. С другой стороны, —
А'А РМ
---------- ----------- ^2 ___ _________________________ ^2
и В'В = PH, откуда А'А = -------f Е77, и, следовательно, р — \РН2, где X = --.
в 1 е2 — 1
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ 699
Обратно: предположим, что р = ЪРН2, пусть РМ вторично пересекает (Е) в точке Q
и пусть К— проекция Q на (D); тогда РМ-РМ. = IPH2, QM • = IQK2,
PM PM. PH2 u PM PH PM. PM
J QM QM. QK2 QM QK QM. QM
точки P и Q совпадают. Таким образом, (E) есть геометрическое место точек Р
таких, что р == ^РН2. Перейдем теперь к окружностям С (Р). Если X > 0, то е > 1
и, значит, (Е) — гипербола. Если Р — точка (Е), служащая центром окружности С (Р),
проходящей через Q, то она имеет одинаковую степень относительно (Г) и отно-
сительно точки Q. Значит, точка Р есть точка пересечения (Е) с радикальной
осью окружности (Г) и точки Q. Значит, имеется две
окружности С (Р), действительные или мнимые, раз-
личные или совпадающие, проходящие через точку Q.
Исследование, Радикальная ось (Р) окруж-
ности (Г) и' точки Q или не пересекает (Г) [если Q
не лежит на (Г)], или касается (Г), если Q леЖит
на (Г). Гипербола (Е) касается (Г) в точках М и М',
а так как ММ' параллельна фокальной оси ЕЕ', то
точки, внешние для отрезка ММ', будут внутрен-
ними точками гиперболы (Е). Если точка Q отлична
от М и М'у то (Р) пересекает ММ' в точке, внутрен-
ней для (Е), а потому пересекает (Е) в двух точ-
ках; значит, существуют две различные действитель-
ные окружности С (Р), проходящие через Q. Если
же Q совпадает с Л4 или М', то (Е) касается (Г)
в этой точке и искомая окружность («двойная») вы-
рождается в эту точку (М или АГ).
Стереометрия. А. 1°. Пусть (г/) — плоскость,
параллельная (D) и проходящая через (А), ОЕ — общий
перпендикуляр к (D) и (А) [Е—на (Е>), О — на (А)]
и (тс) — плоскость, проходящая через OF и перпендикулярная (Е)). Проекция на
плоскость (тс) прямой (А) есть прямая (А'), по которой пересекаются плоскости
(тс) и (тс'); точки Ру Н и Ку лежащие на одной прямой, проектируются в точки А
[на (А')], Е и В; сфера 5 (Р) проектируется в окружность (Е) с центром А и ра-
диусом kAF; точки Е и В сопряжены относительно (Е), и на основании резуль-
татов, полученных в первой части (планиметрия), точка К лежит в плоскости (<о),
полученной из (тс') в результате гомотетии (Е, —k2). Далее, в проекции на пло-
скость (тс') прямая (D) проектируется в прямую (Е)'), перпендикулярную (А'),
а точки Ру Н и К— в точки Pt Нг [на (Е)')] и К'. Из подобия треугольников РКК'
и РНН' следует . Но PK * PH = k2PH2\ следовательно, PK = k2 • PH'
PH' PH
и, значит,
Н'К'
ТЁР
1 — k2. Если а — угол, дополняющий до 90° угол между (D)
И (Л)’ Т° ~^” = Ctga И Jy7 = (1~ft2)ctga.
Геометрическое место точки /<
есть, следовательно, прямая (Е), лежащая в плоскости (<о), пересекающая OF и
образующая с прямой (D) дополнительный угол (до 90°), который определяется
_ tg a
соотношением tg р =.
2°. Сферы S(P) и S (Pi) ортогональны сфере (S), проходящей через /<, Н,
Н. и Ki- Поэтому центр сферы (S) лежит на радикальной плоскости сфер S (Р)
и S (Р.). Но он должен лежать в плоскостях-медиатрисах отрезков НН. и КК\>
а так как эти плоскости пересекаются по прямой (Z), перпендикулярной РР., сле-
довательно, параллельной или лежащей на радикальной плоскости сфер S (Р) и S (Р.),
то прямая (Z) непременно лежит в указанной радикальной плоскости.
3°. Плоскость-медиатриса отрезка НН., параллельная PH и Р.Н., пересекает
отрезок КК\ в его середине /. Радикальная плоскость сфер 5 (Р) и S (PJ содер-
жит 1у так как эта точка лежит, конечно, и на медиатрисе КК. (см. 2°); но
точка I — переменная точка прямой (Е); значит, чтобы радикальная Плоскость
сфер 5 (Р) и S (Pi) была фиксирована, необходимо, чтобы она проходила через (Е);
значит, прямая (Е) должна быть ортогональна (А). Это условие и достаточно, так
как если оно выполнено, то плоскость (О, Е), перпендикулярная (А) и содержащая
прямую, общую плоскостям-медиатрисам отрезков НН. и КК\, является радикаль-
ной плоскостью сфер S (Р) и S (P.). Таким образом, искомое частное значение
р = а 21 , откуда —=---------------и, значит, k0 =-----~.
2 1 — ^о tga cos a
70Q
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
Докажем теперь, что если k =/= kQ, то сферы S& (Р) вписаны в поверхность
вращения с осью (А). В„ самом деле, если k = kQ, то сферы Ska (Р) принадлежат
пучку сфер, радикальной плоскостью (тг0) которых является плоскость (л0), пер-
пендикулярная в точке О прямой (А); базисной окружностью является окруж-
ность (Го) пересечения плоскости (тс0) со сферой Ski(O), с центром О и радиу-
сом kQ • OF. Произвольная плоскость, проводящая через (А), пересекает Sk (Р) по
окружности (Г) с центром Р и радиусом Р = k- PH, а окружность (Го) — в точ-
ках и расположенных на перпендикуляре в точке О к (А) и таких, что
Оср • Оср' = k0 • OF, Но Рср = Р = kQPH. Следовательно, R = Ру, и на основании
/?0
результатов первой части (планиметрия) заключаем, что если k < k0, то сферы Sk (Р)
вписаны в поверхность вращения [с осью (А)], меридианом которой является гипер-
бола с фокусами ср и ср' и эксцентриситетом ; если k > k0, меридианом является
эллипс.
В. Г. Общий случай —точка V не лежит в плоскости (/?).
а) Рассмотрим сферы S (Р), центры которых лежат в плоскости (R) и которые
касаются сферы (V). Прямая Vx, параллельная (7?), ортогональна (/)) и лежит
в плоскости PHV\ она пересекает HS в точке v. Так как &vsV ~&HsP, то
Vv Vs р р „ „
~РН ~ ~р$ ~ ~k..PH ’ °ТКуда = 1 и S лежит на одной из окружностей, (С)
или (С'), являющейся сечением сферы (V) плоскостями (D, v) и (D, vf), где v
и v'— точки пересечения Vx и сферы с центром V и радиусом ; сечения (С)
и (С') действительны, так как в силу k > 1 имеем ~ < р. Обратно: если точка s
лежит на окружности (С), то vs пересекает (/)) в точке Н, a Vs пересекает (7?)
PH Ps
в точке Р; PH 1_(D) и -р—; следовательно, Ps = kPH. Таким образом,
геометрическое место точек $ состоит из двух указанных окружностей: (С) и (С'),
и существует два семейства сфер S (Р), удовлетворяющих поставленному условию:
семейство Ф сфер S (Р), касающихся (V) в точках окружности (С), и семейство Ф'
сфер S (Р), касающихся (V) в точках окружности (С'). Геометрическое место (L)
центров сфер семейства Ф есть пересечение плоскости (Р) с конусом вращения,
имеющим вершину V и направляющую окружность (С). Плоскость, параллель-
ная (7?) и проходящая через V, пересекает этот конус по двум действитель-
ным прямым [так как точка V лежит внутри (С), а прямая Vv принадлежит пло-
скости, проходящей через V параллельно (Р)], половина угла 6 между которыми
Vv 1 ...
— = ; значит, (L) — гипербола с эксцентри-
которой есть прямая (Р), по которой плоскб'ётГ (Р) пере-
секается с плоскостью, проходящей через V перпен-
дикулярно (D); пусть плоскость (~) пересекает (£))
в точке F, а окружность (С) — в точках Sj и s2; тогда
VSj и Vs2 пересекут (А) в вершинах Рх и Р2 гипер-
болы (А). Отрезок SjS2 лежит вне угла P\VP2, а так
как (D) не пересекает (V), то F лежит внутри угла
PXVP2, иначе, точка F расположена между F\ и Р2.
б) Изучим сферы (Q), ортогональные всем сфе-
рам Ф (черт. 292).
Сфера (QJ с центром вписанная в указанный
выше конус так, что она касается его по окруж-
ности (С), будет ортогональна сфере (V). Всякая сфера
семейства Ф, касающаяся (И) в точке окружности (С),
будет, конечно, также ортогональна (QJ; но центры
сфер семейства Ф лежат на плоскости (7?), поэтому они
ортогональны всем сферам (^2) пучка (F), определенного сферой (&J и радикальной
плоскостью (7?). Ось пучка (F) есть перпендикуляр QjA к плоскости (7?), прове-
денный через точку этот перпендикуляр пересекает (7?) в точке А, лежащей
на прямой (А) и служащей центром сферы (20) (действительной или мнимой)
пучка (Т7). Сферы S (PJ и S (Р2) семейства Ф имеют центры на прямой (А); они
принадлежат сети (г) сфер (ось. которой есть ^А), ортогональных сферам (Й).
Следовательно, степени точки А относительно сфер S(Pj) и S (Р2) равны между
собой: АР^ — P^s2 = АР% — P2s%. Но АР\ — АР^ — ?Р\Р2 • АО, где О — центр гипер-
болы (L) и P^i — kPxF, P2s2 = kP2F; следовательно, Р^2— P2s?2 = 2k2P1P2-FO,
OF 1
и потому -=r = — .
OA k*
определяется соотношением cos 0 =
ситетом k, фокальная
ось
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ 701
в) Изучим теперь сферы (IT), касающиеся всех сфер Ф (черт. 293). Окруж-
ность (оЦ пересечения S(Pi) и (~) имеет радиус kPxF > PXFX и, значит, F лежит
внутри (aj). Аналогично — точка F лежит внутри окружности (а2) пересечения S (Р2)
и (тс). Отсюда следует, что всякий луч, выходящий из А и лежащий в плоскости (тс),
пересекает (аЦ в точке tXi а (а2)— в точке t2. Точка F лежит внутри отрезка РХР2>
и можно выбрать обозначения так, чтобы точка лежала внутри отрезка Ft2.
Прямая Pxtx пересекает тогда сторону P2t2 треугольника FP2t2 в точке W, а пря-
мая, проходящая через IF, параллельная (Д), пересекает отрезок txt2 в точке '
Треугольники txWw и txPxF гомотетичны; треуголь-
ники t2Ww и t2P2F также
Ww
W.
tz
рг
Черт. 293.
Ww Wtx
тельно, пгг
гомотетичны; следова-
Но Pxtx=k-PxF
г 2Г2
и P2t2 = k-P2F\ следовательно, Wtx = Wt2 — k • Ww
и W есть центр сферы (IF) радиуса — k-Ww, касаю-
щийся S(Pi) в точке a S(P2) — в точке t2. При-
нимая сферу (W) за сферу (V) [см. выше В, 1°, а)]
и применяя полученные там результаты, заключаем, что
геометрическое место центров сфер S(Р) с центрами
на плоскости (/?) и касательными к (W) в точках
окружности (Cw), по которой сфера (IF) рассе-
кается плоскостью (D, w)t есть гипербола с вершинами Рх, Р2 и эксцентрисите-
том k\ это гипербола (Л), и, значит, сферы (IF) касаются всех сфер Ф. Далее,
Р^х = P^W — P^ — P^W следовательно, PxW-\-P2W ~ Pxtx P2t2 =
~ k (PxF \ P2F). Но точка F лежит между точками Рх и Р2. Значит, Рх W-\-P2 W~kPxP2
и геометрическим местом точек W является эллипс, проходящий через фокусы гипер-
болы (А), причем (Д) — его фокальная ось. Две сферы (IF) с центрами на плоскости (/?),
следовательно и на (Д), которые мы обозначим через (FJ и (F2), пересекаются пло-
скостью (тс) по большим их кругам (vj и (v2), касающимся (аЦ и (а2). Центры Ух и У2
этих сфер суть фокусы гиперболы (L) (или концы большой оси эллипса, являющегося
геометрическим местом точек IF). Далее, (R) — плоскость, в которой лежат центры
сфер Ф, (Fj)h (F2). Сечения плоскостью (/?)сфер Ф будут окружностями (а'), касаю-
щимися больших кругов и , по которым та же плоскость (/?) пересекает сферы
(Fj) и (F2). Таким образом, огибающая семейства окружностей (а') состоит из двух
окружностей: и (v2). Центр сферы (Qw), ортогональной сфере (IF) и пересе-
кающей ее по окружности (Cw), лежит на плоскости (тс). Эта сфера (Qw), ортого-
нальна трем сферам сети (г): S(PX), S (Р2) и плоскости (тс) (в которую выро-
ждается одна из сфер этой сети), поэтому сфера (Qw) входит в пучок (F) сфер
(см. выше). Плоскость, проходящая через Ftxt2 перпендикулярно (тс), — радикальная
плоскость сфер ((-2w) и (IF); значит, прямая (D), по которой эта плоскость пере-
секается с радикальной плоскостью (/?) сфер (^2), есть радикальная ось как сфер (£)
[ибо она лежит в радикальной плоскости этих сфер], так и сфер (IF). Рассмотрим
случай, когда центр У сферы (F) лежит на плоскости (/?). Обозначим через Тх
и Т2 точки пересечения со сферой (F) прямой (Д), проходящей через точку У
перпендикулярно (D), а через F — точку пересечения прямых (Д) и (D): Рассмот-
Р~Т Р Т
рим на прямой (Д) точки Рх и Р2 такие, что .-.--J- —--=4=?- — k', так как (D)
Р XF P2F
не пересекает (F), то F лежит вне отрезка ТХТ2 и внутри отрезка РХР2. Сфера S (РЦ
с центром Рх будет касаться (F),b точке Тх, а сфера S(Р2) с центром Р2 будет
касаться сферы (F) в точке Т2. Всякий луч, выходящий из F и лежащий в пло-
скости (тс), проходящей через (Д) перпендикулярно плоскости (/?), будет пересе-
кать эти две сферы соответственно в точках tx и t2\ прямая Pxtx пересечет отре-
зок P2t2 в точке IF, и так же, как было показано выше (в вопросе в), устанавли-
вается, что сферы S (Р), центры которых лежат в плоскости (R) и которые
касаются (F), образуют семейство Ф сфер, которые будут также касаться сфер (IF)
с центром W и радиусом Wtx = Wt2 в точках окружности (Cw) с диаметром txt2,
плоскость которой проходит через прямую (D). Отсюда то же геометрическое
место центров Р этих сфер S (Р) (гипербола с вершинами Рх, Р2 и эксцентрисите-
том k). Второе семейство Ф' мы получим, исходя из точек Р± и Р2 прямой (Д)
рГт. рГг2
таких, что---— - = —= k. Отсюда следует, что сфера (Q), проходящая через
'p[f р'2г
окружность (Cw) и ортогональная (IF), будет ортогональна всем сферам Ф и, значит,
существует в рассматриваемом частном случае бесконечное множество сфер (й),
ортогональных всем сферам Ф; центры й этих сфер лежат в плоскости (тс), прохо-
дящей через v перпендикулярно (/?); эта плоскость (тс) пересекает плоскость (R)
702 Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
по прямой (Д), которая, в свою очередь, пересекает прямую (D) в точке F. Пере-
ходим к следующему вопросу: существование сфер 5 радиуса k • PH [с центром Р,
лежащим в плоскости (/?)], ортогональных данной сфере (Q). Пусть R— радиус
сферы (Q). Пусть Р — центр сферы S (Р) и пусть прямая (d), параллельная (£)),
пересекает в точке / прямую (Д), проходящую через А перпендикулярно (£)). Тогда
7’122— Р2 = k2 • PH2. Но РЕ2 — РА2 + А--2 и PH = fF [Р—точка пересечения (D)
и (Д)]; значит, Р есть точка пересечения прямой (d) с окружностью, центр которой
находится в точке А, а радиус R' определяется из соотношения R'2 = k2fF2 —
— А22 + Р2. Необходимое и достаточное условие того, что на прямой (d) имеются
действительные точки Р (различные или нет), удовлетворяющие условию задачи,
имеет вид R' Af или (Л/) — (k2 — 1) Af2 — 2k2 AF • Л/ + k2AF2 — AQ2 + R2 > 0.
Дискриминант этого трехчлена (относительно Af) равен к' ~k2AF2A~(k2—1) (AQ2—R2).
Если (Г) — мнимая окружность [т. е. плоскость (R) не пересекает сферу (Q)], то
AQ2— R2 > 0, откуда Д'> 0; трехчлен ср (А/) имеет два действительных корня:
ЛР1 и ЛР2; точки Рх и Р2 — две действительные различные точки, лежащие на
прямой (Д), и всякая прямая, параллельная (D) и пересекающая (Д) в точке, внеш-
ней по отношению к отрезку PjP2, содержит два центра: Р и Р', сфер S (Р)
и S (Р'), ортогональных сфере (Q). Если (Г) — действительная окружность, то
________
Р2 — AQ2 =z г2 и Д'>0, если ЛР ------------г. Если это условие выполнено, тона
k J
прямой (Д) имеются две точки: Рх и Р2, действительные ^различные в случае
_____ ______ _________________________________________________________ ______
AF > /-, совпадающие в случае AF = - гj такие, что ЛР1 и ЛР2
служат корнями трехчлена (Af) и всякая прямая, параллельная (D) и пересекаю-
щая (Д) в точке, внешней по отношению к отрезку PiP2, содержит две точки: Р
и Р', служащие центрами сфер S (Р) и S (Р')> ортогональных сфере (Q). Сами
точки Р] и Р2 также служат центрами сфер 3 (РД и S (Р2), ортогональных (Q). Если
AF < А— г, то трехчлен « (Л/) > 0 для любой точки /; значит, на любой
прямой, параллельной (D) и пересекающей (Д), имеется две точки: Р и Р', служа-
щие центрами сфер S (Р) и 3 (Р'), ортогональных сфере (Q).
__ Ар [ др
Середина О отрезка РХР2 определится из соотношения АО =-------g------~ —
£2 ___ Qf |
= ——™ ДР, откуда ~; это соотношение позволяет построить точку О.
Далее, точки Рх и Р2 лежат всегда вне сферы (Q); это ясно, если (R) не пересе-
кает (Q); если же (Г)— действительная окружность [(Р) окружность, по которой (R)
пересекает (Q)], то с? (± г) = k2 (г ± ЛР)2 >0, а потому точки пересечения (Д)
с (Г) лежат вне отрезка PjP2, т. е. точки Рх и Р2 лежат вне сферы (Q). Далее,
TPj. ЛР2 = (РЛ + ЛРЛ (РА + ЛР2) = ЛР2 — (APj + ЛР2) ЛР + ЛР\ • ЛР2.
U ТВ ! ТВ 2k2-AF ~~ k2AF2 — AQ.2R2
Но ЛР1 + ЛР2 — --т— и ЛР1 • ЛР2 =----------г»---1—!---; следовательно,
— 1 /Р — 1
__ ___ р2______ДО2___Др2
FPX • РР2 =------k2 —-1-----’ Если (^) — действительная окружность, то
__ ___ г2_____AF2
FPX • PPi = —• Покажем теперь, как построить точки Рх и Р2 на пря-
мой (Д). Если окружность (Г) мнимая, то пучок (Р) сфер, определяемых сферой (2)
и радикальной плоскостью (Р), имеет две точки Понселе. Пусть со — одна из них.
Если Рх (или Р2) есть центр сферы 5 (РЛ, лежащей на прямой (Д) и пересекаю-
щей ортогонально (Q), то P,w = kPxF и Р2<о = РР2Р» поэтому точки Рх и Р2 суть
точки пересечения (Д) с окружностью Апполония, лежащей в плоскости (л;), кото-
рые делят в отношениях k и —k отрезок <пр. Точки Pj и Р2 лежат по разные
стороны от Р (ибо k > 1) и в этом случае всегда действительны (это уже уста-
новлено выше аналитически). Пусть (Г)— действительная окружность. Обозначим
тогда через (Р') окружность, полученную из (Р) гомотетией ^Р, —^====Л. Рас-
смотрим несколько случаев: '
а) Если (D) не пересекает (Р), то окружность с центром Р, ортогональная (Р'),
пересекает (D) в точках М и ЛЕ; окружность с центром О, проходящая через М
и М'} пересекает (Д) в искомых точках Рх и Р2, так как
________ .___ ___ r2 — AF2
FPX РР2 = FM • FM' = ...
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
703
Точка F расположена в этом случае между Pj и Р2.
(3) Если (D) касается (Г) (в точке F), то Р{ совпадает с F, а Р2 — точка,
симметричная F относительно О.
у) Если (D) пересекает (Г) в точках и <р2, то (D) пересекает (Г') в точ-
ках и перпендикуляр к (£>) в точке пересекает в точке О' перпендикуляр
к (Д) в точке О, и окружность с центром О', касающаяся (D) в точке пересе-
------------------------------------- ---- г2 ___________
кает (Д) в точках Рх и Р2, так как FP1 -FP2 = F^ = —2 __ . Точки Pi и Р2
действительны, если О'с/ > О'О\ используя это и соотношение OF = , при-
k2
ходим к выводу, полученному ранее аналитически: если AF > \ г, то
k
Vk2
Рх и Р2 действительны и различны; если AF =----------г, то они совпадают
1/&2 — 1 т/м ~1
если AF < -А—-—- г, то точки Р^ и Р2 мнимые. В случае AF > -----------г
k k
F лежит вне отрезка Р]Р2.
точки
(с О);
точка
Переходим к исследованию вопроса существования сфер (V), касающихся
всех сфер (S) [ортогональных (Q)]. Сферы (S) попарно симметричны относительно пло-
скости (тс), поэтому если существует сфера (V), касающаяся всех сфер (S),
то ее центр должен лежать в плоскости (тс). Пусть такая сфера существует и пусть
какая-нибудь из сфер (S) касается сферы (V) в точке S. Эта сфера (S) ортогональна
всем сферам пучка (Л), определяемого радикальной плоскостью (Л) и сферой (Q);
значит, в частности, она ортогональна и сфере (Qj) этого пучка, проходящей через
точку S. Отсюда следует, что сфера (Qj) ортогональна сфере (V), пересекая ее по
окружности (С), проходящей через S. Если другая из сфер (S), скажем (S)', касается
сферы (V) в точке S', не лежащей на (С), то (V) ортогональна сфере
[пучка (Л)], отличной от (Q) и проходящей через S'; отсюда следует, что центр
сферы (V) лежит на плоскости (7?). Если существует сфера (V), центр которой V
не лежит в плоскости (/?), то необходимо, чтобы сферы (S) касались (V) в точках
окружности (С). Центр V сферы (V) и ось окружности (С) лежат в плоскости (тс),
и конус вращения с вершиной V и основанием (С) пересекает (Р) по линии вто-
рого порядка, являющейся геометрическим местом центров сфер (S); эта линия вто-
рого порядка имеет вершины в точках и Р2, лежащих на прямой (Д). Таким
образом, для того чтобы существовала сфера (V), центр которой V не лежит
в плоскости (/?), необходимо, чтобы точки PY и Р2 (определенные выше) были
действительны и различны, т. е. или чтобы окружность (Г) была мнимой, или чтобы
__j
окружность (Г) была действительной и AF > ------------ г. Это условие и доста-
точно. В самом деле, если оно выполнено, точки Р{ и Р2 действительны, раз-
(Q). Значит, из точки Рх можно провести касательную P]Si
по которой плоскость (к) пересекает сферу (Q); Fsr вторично
пересекает (о>) в точке s2, а касательная
к (со) в точке s2 пересекает PYsY в точке V,
вне
личны и лежат
к окружности
а (А) — в точке Р. Имеем Pxs{ = kP{F > P^F] следовательно, / sxFPx > / PxsxF =
/ SiS2P (черт. 294 и 295), а потому прямая, проходящая через точку V парал-
лельно (Д), пересекает отрезок в точке v. Треугольник SiVv гомотетичен
треугольнику sJ^F, а треугольник s2Vv гомотетичен треугольнику s2PF\ следова-
Vv Vv Р[Е PF и п г, п , гас,
тельно, -гг— = -vy—- = — = -5—. по Р^ — кРхР\ следовательно, Ps2 ~ kPF и
vSi V $2 /jSi
потому точка Р совпадает с центром Р2 сферы. S (Р2). Кроме того, = Vs2 == k Vv.
Отсюда следует, что конус вращения с вершиной V, описанный вокруг (S2) вдоль
704
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
окружности (С) с диаметром 5^2, плоскость которой проходит через (D), пересе-
кает (Р) по гиперболе (А) с вершинами Ръ Р2 и эксцентриситетом k. Пусть
Р — произвольная точка (А); тогда PV пересекает (С) в точке s, a sv пересе-
кает (D) в точке УУ; треугольники sVv и sPH гомотетичны, PH перпендикулярно (£))
и Ps == k • PH. Значит, сфера с центром Р и радиусом PH касается (И) в точке s
и потому будет ортогональна (Q); указанная сфера, следовательно, входит в рас-
сматриваемое семейство сфер (S). Других сфер (S), кроме сфер с центрами на (L) и
касательных, к (И) в точках окружности (С), нет, ибо в противном случае на пря-
мой, параллельной (£)) в плоскости (Р), содержалось бы более двух центров таких
сфер. Итак, каждой сфере (£2) пучка (А) соответствует сфера (И), касающаяся всех
сфер (S), ортогональных (£2). Геометрическое место центров V этих сфер есть эллипс,
фокусами которого служат вершины Рх и Р2 гиперболы (У,), которая является гео-
метрическим местом центров Р сфер (S), ортогональных (^2). Так же как и в раз-
деле В, устанавливается, что огибающая больших окружностей сфер (S), получен-
ных сечением этого семейства.плоскостью (У?), является совокупностью двух окруж-
ностей: и (v2), полученных сечением плоскости (Р) сфер (VJ и (У2), имеющих
центры в плоскости (Р).
У&2___j
Частный случай. Если АР =-----------г, то (D) пересекает (Г) в двух точ-
ках: срх и ср2. Точка О является точкой пересечения касательных к (Г), проведен-
/ т/^г__1
ных в точках и ср2 (это устанавливается из соотношений АК —-------------г и
___ £2 __\
АО = -^2---pAF). Гипербола (L) вырождается в две прямые: и Оу2, и имеется
только одна сфера (И) — это сфера с центром О, проходящая через срх и ср2;
сферы (5) в этом частном случае состоят из двух пучков сфер, касающихся сферы (V)
в точках срх и «з2. Переходим к изучению расположения центра линии (А) относи-
тельно точки А и точки У, в которой прямая, сопряженная с (D) относительно (£2),
пересекает плоскость (У?); мы дадим также новое построение точки О: плоскость (тс)
есть плоскость симметрии (D) и (£2); значит, точка I лежит на прямой (Д). Так как
F и I сопряжены относительно (£2), то сфера с диаметром FI ортогональна (£2).
Если G есть середина отрезка FI, то — GF • GI = G£22 — У?2, но О£22 = GA2 + £2А2,
поэтому
Р2 —GA2—-QA2 = GF-GI = (GA + AF)(GA +А7) = GA2 + GA (AF + AI) + AF-AT,
k2 — 1
мнимая, то пучок (F) имеет
__ __ ^2 ___ ___
что AO-AI — ——j- Л(0ГЛ(о2.
со2 в точки щ со2, тогда
отсюда R2— AQ2 = AF • AI + GA (2GA + AF + А1)\ сумма в скобках равна нулю,
____________________ __ ___ __________________ £2 ___
ибо G — середина FI, значит, AF • AI = У?2 — А£22; но АО = ---у- AF, поэтому
__ __ Ь2
АО • AI = —-----р (У?2 — Ай2). Если окружность (Г)
две точки Понселе: со х и со2, и Р2 — А£22 = Ас^ • А<п2, так
Пусть гомотетия ^А, преобразует и
АО • АУ = Acoj • А «2 и, значит, О—вторая точка пересечения (Д) с окружностью (Уо^ .
Если окружность (Г) действительна, то Р2 — АЕ2 — г2 и та же самая гомотетия
преобразует (Г) в (Г'); точка О есть точка прямой (Д), сопряженная У относи-
тельно (Р'). В заключение этого раздела остается найти геометрическое место
центров Р сфер S (Р), ортогональных заданной сфере (2) [Р лежит в данной пло-
скости (У?)] в случае, если сфер (V), указанных выше, не существует. В этом пред-
1/^2___________________j
положении AF <-----------г < г и, значит, (D) пересекает (Г) в двух действитель-
__ _ г2 k
ных точках: М и М'. Далее, AG • АУ = г2, откуда АУ —----> г ..-----г > г. Зна-
AF Vk2 — 1
л
чит, окружность с центром А и радиусом 2 г пересекает окружность с диа-
метром АУ в двух действительных точках: <р и ср', симметричных относительно (Д).
k yf k2_1 А ср
Положим е = -у-------> 1. Радиус (Г) равен Аср —-----------— ——, а степень
у k2 — 1 , k е
точки Р [являющейся центром сферы S (Р), пересекающей (2) ортогонально] отно-
е2
сительно окружности (Г) равна квадрату радиуса сферы S(P), т. е. k2PH2=-^-j-РУУ2.
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ 705
На основании результатов первой части (планиметрия), геометрическое место
точек Р есть гипербола (Е) с фокусами и <?' и эксцентриситетом е. Окруж-
ности (s'), по которым сферы (S) пересекаются плоскостью (7?), не имеют оги-
бающей.
Замечание. Можно доказать, что сферы (S) в случае существования
сфер (И) имеют огибающую, общую с огибающей сфер (V). Эта огибающая (Г)
может быть рассматриваема как геометрическое место окружностей, в точках
которых каждая из сфер (S) касается со всеми сферами (И). В случае, если (£2) не
пересекает (7?), или в случае, когда (D) пересекает (Л), производят инверсию,
имеющую полюсом соответственно или предельную точку пучка (Т7), или точку <?
пересечения (£>) и (Г); в этой инверсии (V) переходит в конус вращения с вер-
шиной «о (соответственно ср) и, таким образ°м> сама огибающая (V) может быть
рассматриваема как образ конуса вращения в указанной инверсии. Если (£2)
касается (R) в точке А или если (D) касается (Г) в точке А, производят инвер-
сию с полюсом А (соответственно Л); (?) есть образ цилиндра вращения в этк)й
инверсии. Наконец, если (D) не пересекает действительную окружность (Г), произ-
водят инверсию, полюсом которой является одна из точек пересечения (Г) и (А);
(?) есть тогда образ тора в этой инверсии. Поверхность (?) называется циклидой
Дюпена, и вопрос В, 2° может быть сформулирован так: необходимое и достаточ-
ное условие того, что сферы S (Р) с центрами, лежащими на плоскости (7?) и орто-
гональными сфере (£2), имели в качестве огибающей циклиду Дюпена, заключается
в том, что или (£2) не пересекает (7?), или, если (£2) пересекает (7?) по действи-
тельной окружности (Г) с центром А и радиусом г, то в том, что прямая (D)
лежит вне сферы с центром А и радиусом — г; если же (£>) касается этой
сферы, то циклида Дюпена вырождается в две точки: и ?2 пересечения пря-
мой (D) со сферой (£2).
С. 1°. Плоскость (л), перпендикулярная (D) и проходящая через V, пересе-
кает (D) в точке F, а (V) — по ее большому кругу (v). Плоскость (R) опреде-
ляется прямой (D) и прямой (А) плоскости (к), проходящей через F. Прямая, про-
ходящая через V параллельно (А), пересекает сферу с центром V и радиусом —
в точках v и v'. Плоскости (Z), v) и (D, v') пересекают (V) по окружностям (С)
и (С'), и соответствующие геометрические места центров Р и Р' семейств Ф и Ф'
сфер с центрами на (7?) и касающихся (V) в точках (С) и (С') суть — две гипер-
болы; (£) и (£'), лежащие в плоскости (Л). Всякая сфера Ф ортогональна сфере (£2),
которая в свою очередь ортогональна сфере (V), пересекая ее по окружности (С),
и аналогично — всякая сфера семейства Ф' ортогональна сфере (£2'), которая в свою
очередь ортогональна сфере (V), пересекая ее по окружности (С'). Центры £2 и £2'
сфер (£2) и (£2') суть точки пересечения прямой (Ь), сопряженной с (D) относи-
тельно (V) с диаметрами сферы (V), перпендикулярными соответственно плоско-
стям (D, и) и (£>, v'). Если центр сферы (7) не лежит в плоскости (л), то ради-
кальная плоскость сфер (И) и (Т) пересекает (D) в конечной точке а. Радикальная
плоскость (V) и (£2) есть плоскость (Z), v), а так как эта плоскость проходит через
прямую (D), то она проходит и через точку а; точка а фиксирована и, следова-
тельно, является радикальным центром сфер (V), (Т) и переменных сфер (£2)
[в зависимости от (/?)]; поэтому точка а лежит и на радикальной плоскости сфер (Р)
и (£2), которая пересекает (Р) по прямой (G), проходящей через а; прямая (G)
пересекает гиперболу (L) в двух точках: Р{ и Р2 (действительных или мнимых,
совпадающих или нет), являющихся центрами сфер 5 (Р), касающихся (V) и орто-
гональных (Т). Аналогично радикальная плоскость (Г) и (£2') пересекают (Р) по
прямой (О'), проходящей через а, а прямая (СГ) пересекает гиперболу (£') в точ-
ках Рх и Р2, служащих центрами сфер S (Р), касающихся (V) и ортогональных (Г).
Если точка Т лежит в плоскости (к) и если радикальная плоскость сфер (V) и (Г)
не проходит через (Z)), то прямые (G) и (Gf) будут параллельны (и); наконец,
если точка Т лежит в плоскости (тс), а радикальная плоскость сфер (V) и (Г) про-
ходит через прямую (Z)), то прямые (G) и (G') сливаются с прямой (D).
2°. Докажем теперь, что если плоскость (Р) вращается вокруг (Z)), то пря-
мая (G) [в случае, если радикальная плоскость сфер (V) и (Т) не проходит
через (£>)] описывает конус с вершиной а или цилиндр с образующими, параллель-
ными прямой (D), основанием которого служит линия второго порядка, лежащая
в плоскости (тс), а фокусом является точка F. В самом деле, пусть t (черт. 296)—
проекция Т на плоскость (тс). Радикальная плоскость (V) и (7), перпендикуляр-
ная VT, пересекает плоскость (тс) по прямой d, перпендикулярной VT и П, сле-
довательно, перпендикулярной и Vt. Сферы (£2) с центрами на прямой (S) — поляре (D)
относительно (V) — ортогональны этой сфере и образуют пучок (/), для которого
FV—радикальная ось. Радикальная плоскость сфер (Г) и (£2) пересекает FV
в радикальном центре J сферы (Г) и пучка (/) [/—в плоскости (тс)]. Точка g
15 П. С. Моденов
706
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
пересечения прямой (G) с плоскостью (л) принадлежит радикальной плоскости
сфер (Г) и (Qj), ортогональной (V) вдоль окружности (Ci), по которой сфера (V)
пересекается плоскостью (D, v) v —одна из точек пересечения сферы с цен-
тром V и радиусом ~
следует,
что
k
есть
с прямой, проходящей через V параллельно (Д)^. Отсюда
радикальная ось сфер (Г) и (Qj) и пересекает (на конечном
или бесконечном расстоянии) радикальную ось Fv
сфер (У) и (&i), причем пересечение происходит
в точке, расположенной на прямой (d) и являющейся
радикальным центром сфер (Г), (V) и (QJ. Пусть h
и К — проекции на (d) точек g и /, a J — точка пере-
сечения прямой Fv с прямой, проводящей через J
/АХ т ZZ Jj
параллельно (А). Тогда = Но
о FJ
следовательно, Jj = ~ = const, так как точки F,
к г v
V и J фиксированы. Так как точка К также фикси-
gF р FJ
рована, то ~ ^у = const и геометрическое
место точек g есть линия второго порядка с фоку-
сом F и соответствующий ему директрисой (d). Пре-
дыдущим соотношением определяется и эксцентриситет
этой линии. Дадим ему еще другое выражение: / есть
также радикальный центр сферы (Г) и сферы (й£)
с центром Z, в котором прямая (В) пересекает пря-
мую (df), проходящую через t параллельно (d). Ради-
кальная плоскость сфер (Г) и (й£) перпендику-
лярна TL и пересекает плоскость (те) по прямой, про-
ходящей через точку J и перпендикулярной LT и Tt,
следовательно, перпендикулярной и Lt, т. е. по прямой /К. Отсюда следует, что
точка К есть радикальный центр (Г), (V) и (Qz) и, значит, лежит на радикальной
плоскости (V) и (Qz), которая, проходя через (О), пересекает плоскость (те) по
прямой FK\ так как сфера (Qz) ортогональна сфере (V), то FK есть поляра
точки L относительно окружности (v) [большого круга (V), лежащего в плоско-
сти (те)] и полюс прямой (d') относительно этой окружности [прямая (d') проходит
через точку £] есть точка t', в которой FK пересекается с перпендикуляром Vt,
________________________________________________________ __ _________ q2
опущенным из точки V на прямую (dr). Следовательно, Vt • Vt' == р2 и Vt' = -~~.
Р
u Jj Vv Vt „ gF Vt
Ho -j~ = -pp- = Следовательно, и эксцентриситет указанной выше
Vt
линии второго порядка равен он зависит только от радиуса р сферы (V) и
от расстояния Vt от центра V сферы (У) до диаметра сферы (Г), параллельного (D).
3°. Если радикальная плоскость сфер (У) и (Г) не содержит (D), то в ней
лежит не более двух пар действительных центров Р. Значит, для того чтобы гео-
метрическое место центров Р состояло из двух линий второго порядка, располо-
женных в плоскостях (Ri) и (R2), проходящих через (£>), необходимо, чтобы
радикальная плоскость сфер (У) и (Г) содержала прямую (D). В этом случае
точка Т лежит в плоскости (те), и если v — одна из точек пересечения сферы с цен-
тром У и радиусом — и прямой, проходящей через У параллельно (Д), то сфера (У)
ортогональна [вдоль линии (С) пересечения ее с плоскостью (D, и)] сфере (2j)
с центром на прямой (б); (D) — радикальная ось сфер (У), (2,) и (Г). Для того
чтобы точка Р, не лежащая на (D), но лежащая в плоскости (У?), определенной
прямой (D) и прямой (Д) плоскости (те), проходящей через F, служила центром
сферы S(P), ортогональной (QJ [в точке (С)] и ортогональной (г), необходимо,
чтобы (У?) была радикальной плоскостью сфер (Г) и (Qj); следовательно, прямая (Д)
и прямая Vv, ей параллельная, должны быть перпендикулярны пусть Vv пере-
секает в точке W, а У21 пересекает Fv в точке со, тогда выполняется условие
У со . у^! == Vv« У1У; следовательно, VW = ~ • р2 = kp. Необходимо, таким образом,
чтобы прямая (Д) была перпендикулярна касательной, проведенной из Г в пло-
скости (те) к окружности с центром У и радиусом £р. Итак, необходимое условие
того, что геометрическое место точек Р состоит из двух линий второго порядка,
лежащих в плоскостях (/?0 и (R2), проходящих через прямую (D), состоит в том;
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXVII. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 707
(А)
что радикальная плоскость сфер (О) и (Г) проходит через прямую (D) и что
точка Т лежит вне сферы с центром V и радиусом k? (черт. 297). Это условие и
достаточно. В самом деле, если оно выполнено, то из точки Т можно провести
две касательные: TWX и Т1У2, к большому кругу сферы (У, &р) плоскости (тс).
Пусть (AJ — перпендикуляр, опущенный из F на TW, a Vj—точка отрезка У1У>
такая, что Vvx = у . Перпендикуляр, опущен- (ц)
нЫй из V на FvXi пересекает эту прямую
в точке со, a TWX — в точке Так как Vvx =
и VWx — k?, то У«-У(4~р2 и Qj является
центром сферы (QJ, ортогональной (V) вдоль
окружности (G), по которой сфера (V) пере-
секается плоскостью (Z), vx); точка Qj лежит,
следовательно, на прямой 0). Прямая (D) — ра-
дикальная ось сфер (Г), (V) и (^i) — ортого-
нальна и так как (AJ перпендикулярна (£>),
то плоскость (Pi), проходящая через прямые
(Aj)h(Z)), есть радикальная плоскость сфер (Г)
и (Uj). Сферы S(P), касающиеся (У) в точках
окружности (Ci), с центрами, лежащими в пло-
скости (/?]), будут ортогональны (Г), и геометрическое место их центров
пербола (АД лежащая в плоскости (Rx). Аналогично: геометрическое место точек Р,
лежащих в плоскости (Р2) и служащих центрами сфер S (Р), касательных к (Й) и
ортогональных (Т) [(Р)— плоскость, проходящая через прямую (D) и прямую (Д2),
проходящую через F перпендикулярно Г1У2], есть гипербола (£2), лежащая в пло-
скости (Р2).
Замечание. Если точка F совпадает с одной из точек Vi или и2, то соот-
ветствующая гипербола вырождается в две пересекающиеся прямые.
Черт. 297.
есть ги-
Глава XXVII. Тождественные преобразования
§ 1. Тождественные преобразования
П. 1. Тождества
66. 0.
П. 2. Условные тождества
64. 1 — п = т2. 65. (27/г2 — а2 — b2 — 2abn)2 = (b2 — а2)2 (1 — /г2). 66. (1 — b) (1 + 2Ь)2 = 2а2.
67. Ь(а2 — 1)3 + 6(гг2— I)2 — 8 = 0. 68. гг4 = 2а2 — Ь2. 69. (п — т)2 (q2 — г2) =
~ (п + т)2 (р2 -|- q2) sin2 2а — 2рг (п2 — т2) sin 2а. 70. а2 4- Ь2 = 2 (1 + с)-
71. (а2 b2) cos а — 2Ь. 72. tg2 b 4- tg2 с = tg2 а (1 4- tg2 b tg2 с). 73. ab = (b — a) tg с.
§ 2. Суммирование
. / п 4~ 1 г \ 2х + nh
sin\—2—A)sln--------2—
1. _—l---------------------, если /г 2&тс, где k — целое число.
sin у
• ( п + 1 г. \ 2х 4- nh
sm I—~— h\ cos -——
2. -------------------------, если h 2&тс, где k — целое число.
sinT
3. -------------, если 1) г., где k — целое число,
cos т
cos Гх J- 1 Sin + О
v V/ о j .a j 2 j bill----2--—---
4.-- -----------------------------------} если h =# (2k 4- 1) где k — целое число,
cos т
45*
708 Ответы. Тригонометрия. Гл. XXVII. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
51п(в + 1)(.-2А)со Г 0(0-28)1
к 4 I- 4J те— 2Л
5.--------------------------я-т------------------, если sin —-------=# 0. 6. а)
, те — zn 4
sin —-л----
4
sin2 их
sin х ’
sin (2лх)
) 2 sin х
cos у =£ 0. 8.
sin (" + W + *) sln£l£±_^_)_
если sin x =£= 0. 7.---------------------------------------, если
cos -g-
sin Л(2х + Л> sin Гх ! (« — 1)(2x + ") 1
Olli - ------- aiu i л -q--- I Г I I
-------------------——---------------------, если cos x =# 0. 9. sin nx.
sln22nx _ sin 2k cos 2k n 1
10, cos x " если cosx^°- 11 • -J----• 12- °- 13- ctS^- I4-y
Sin2*
15. -1 16.0. 17. 2^.^n-rcos^+2)x > есди sjnx¥=o
18. у(cos 2x— со8 2"+1х).
n sin nh cos [2x + (n—1)Л]
l9’ "2 2^кП
если sin h =£ 0.
n sinnftcOs[2x + (n-l)/U если sin h * 0 21 n _ sinnxcos(fl + l)x
2 * 2 sin A 2 2 sin x
если
если
3
sin 2x=# 0.25.
если
22. l + 4• 24 + SS
n — 1 0 1 3nh
sin-y-
, 3h
sin-y
b=lH]sin^.
' h
sin 2
2 sin x
h
sin -g-
. nh
Sin Y~ 1
4
h , где k — целое число,
о
2«. 4
cos
3/z (Л 1) -] 3nh
--b----sin —
--- ------------, если
, 6П
“T
s,„ liiUi sl„ “
27. 4
2
4
cos
. , 2/г те
где k — целое число.
k — целое
k — целое
Зх(л4“1) , Злх
1_ sin---2----Sin ~2~
4
. sin J
no 3 sin nx cos nx , 1
число. 28. ~r---------------
4 sin x
число. 29. 0. 30. 0.
cosf2x-]-(n— 1) h] sin nh , ,
---- bl------1—J-----, еСли h Ф
2 sin h
если sin ¥= 0.
2kn
-з~> где
2_____
, Зх
Sin-у
sin Злх-cos Зпх , kit
------;—5----—, если x =# -x— , где
sin Зх 3
Зп , cos [4х + 2h (п— 1)] sin 2nh
Т*
если
4
31
k~
Y*
8 sin 2A
. n sin x—sin nx
где k — целое число. 32. --------------
4 sin2
(n + 1) sin (x + nh) — n sin [X 4- (л + 1) h} — sin x
oo.----------------------------£---------------------, если
4 sin2 y
sin #= 0. 34. ctgy — ctg2n-lx. 35. 2 [ctg x — ctg (2nx)]. 33.
те 1
x =£ ^те, где k — целое число. 37. ------------arc tg —г—г-.
4 п 1
tg2n х ... . . _ 2 cos (2лх) + 1
----(х ф kit). 40. —5, если
tg х v 7 2 cos х +1
1 cos a — cos b
--------- , если выражение, стоящее в знаменателе, не равно нулю.
COS-----COS 2/г
tg 1) X — tg X
если
39.
40.
2 sin x
38. arctgyAy.
, 1
cos x Ф •
41.
.Ответы. Тригонометрия. Гл. XXVIII. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТР. ФУНКЦИИ 709
яя 2 яг. па2 я„ , „ , 4ял х тс _
44. ---------. 45. 46. лй'1”1. 47.-ctg . При неограниченном увеличении п
du Tl ull
п sin -g-
Q ло О / I , 71 лп (n-Fl)sinnx—л sin (п + 1)х
длина линии стремится к 8л. 48. 2лтс (л + 1) sin —. 49. 21-----------------------,
п 4sin’-J
если sin=£0. 50. ctga— 2nctg(2na). 51. 2я cos" cos . 52. tg a tg (a-J-па).
53 sin (” + *)* .
cos'1 х sin х
Глава XXVIII. Обратные тригонометрические функции
4. Следует прежде всего обратить внимание на структуру этих соотношений: если
берется сумма двух обратных тригонометрических функций, то она выражается
через ту обратную тригонометрическую функцию, значения которой заключены
в промежутке от 0 до л, а если берется разность двух обратных тригонометри-
ческих функций, то она выражается через ту обратную тригонометрическую функ-
цию, значения которой заключены в промежутке от —-g- до ту. Это простое
соображение позволяет дать единообразный вывод всех формул этой группы.
Например, пусть а) 0 < х < 1, 0 < у < 1. Положим arc sin х = a, arc sin у р; тогда
х = sin а, у = sin р, 0<a<J,0<p<|; значит, 0 < а -|~ р < тс; далее, cos а =
== У1 — х2, cos Э = V1—у2, COS (а 4- Р) = cos а cos ₽—sin а sin 3 = У 1—х2 У1—у2—ху,
и так как 0 < а 4- р < л, то а 4- = arc sin x4-arc sin у = arc cos (У 1—х2 У1—у2—ху).
Или еще: б) Пусть arc sin х = a, arc sin у = р, тогда при 0<х<1, 0 < у < 1 будем
иметь х = sin а, у = sin 43, 0 < а < ~ , 0 < 3 < у,
= sin а cos 3 — sin 3 cos а — х — х2, и так как
то а — 3 = arc sin х — arc sin у = arc sin (х У1 — у2 — у У1 — х2). Или еще: д) Пусть
arc tgx — a, arc tg у = р; х > 0, у > 0, тогда х = tg а, у = tg 3, 0 < а <
далее, ctg (а + Ю = ~
j __________________________
0 < а 4~ Р < тс, то а 4~ Р = arc tg х 4~ arc tg у = arc ctg — ——.
x 4~ У
ваются и все остальные формулы этой группы.
6. а) Положим arc sin х —а, считая 0 < х < 1. Тогда x=sin а, причем 0 < а <
2 sin ~ cos ~ = х, sin2 4“ cos2 -j = Ь отсюда (складывая и вычи-
/ а а\21. / а а \2 —
( cos £-4-sin-j ) =14“л> (cos у—sin
л а л а а а. а
0 <-у <значит, cos ту > sin-ту , поэтому cos ту + sin ту =
Л 11
-Гл—;-- а . а ^Гл-------------- а У1 4~ X -
= у 1 4- х, cos -J — sin J = У 1 — х, откуда cos = --5---
а /1 +х 1
тельно, = arc cos-----!--, или arc sin х = arc cos
тс
2
л
2
значит,
и так как
Аналогично доказы-
Теперь имеем:
тая) находим:
Так как
л
2’ Т0
; следова-
2
2 ’
2
2
2
б) Положим arc cos х = а, считая 0 < х < 1; тогда cos а = х, причем 0 < а < ~.
~ а ч / I 4~ C0S а / 1 -
Следовательно, cos — = у —------------ = у —
1
, или arc cos х = arc cos
а л
2 <2’ Т0
а
= arc cos
710 Ответы. Тригонометрия. Гл. XXVIII. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТР. ФУНКЦИИ
в) Положим arctg л'= «, считая х > 0; тогда tga = x, причем 0<а< —.
2tg^ 2tg|
Так как tg а =------, то х =--------, или х tg2 -- -{- 2 tg -у — х = 0, откуда
а —1 ± /1 +х2 ' А
tg-£-=-------. Так как х > 0, то корни разных знаков, а так как
Л а тз а _ о
О < -g- < у, то tg -^ > 0, поэтому следует взять лишь положительный корень
. а /Г/Г2 _ 1
этого уравнения tg — =----~--------
. Отсюда силу неравенств 0 < ~ ~
1 1 , /Г+Т2 — 1
—, или агс tg -г = arc tg ——--------
будем иметь = arc tg
8. а) 0, б) , в) , г) у, д) , е) — , ж) — , з) — у, и) — у. 9. а) у,
7С . 73 73 _ . 2тЗ ЗтС 5 73 . \ 73
6) у, в) -р г) -g-, д) О, е) -у, ж) 3) -g-, и) -. 10. а) 0, б) -g-, в)
.73 73 73 73 73 73 \ \ \ 2 73 . ЗтЗ
г> 3’ д)-б’е) ”_'4,ж) ~з- 1La) 2>б) 3’В)Т’Г) 6’д)Т’е)Т’
„ 5- ч V 5 V 5 ч /15 ч 4 ч 2 ч 2 . 3/10
ж) — . 12. а)--, б) -— , в) —--, г) — , д) —— , е)--_=г , ж)----,
’ 6 3 3 4 5 /5 /5 20
з) -А. 13. а) |/2, б) в)2х2 —1, г) х(4х2-3), д) , е)
14. а) 4. б) %-, в) —4, г) —• 15. а) 5 — 2”, б) 4-—10, в) Зя — 8, г) 4я —12.
о о 2 4
2 /2 3 Vr~5 5 4
16. а) тз — arc sin—-—, б) arc sin—-—, в) arc sin— г) —arc sin ~^=r,
' 3 ’ 7 13 /17
Д)
г)
б)
е)
г)
б)
• 5 . .1 . .
л — arcsin — , е) arc sin ——-. 17. a) arc cos
13 /5
2/2 1 1
—-—. б) arc cos -, в) arc cos •-==
3 /10 /26
— arc cos —— , д) — arc cos — , e) arc cos (--=r
/5 5 \ /10
3
18. a) arctg —
4
arc tg(-,
\ /35)
я + агс tg-|j.
arc ctg (—2) — я, д)
. 4/6 —/5
arc sin —-——-
15
. t 2/30
в) arc tg —-— ,
r) it + arc tg
19. a) arcctg/99, 6) arc ctg (—2/ 2) — я,
4 . 1
д) arctg —
4
2
в) arc ctg
5
1 2 ч 2CK42 —1)
arc ctg ——, * e) arc ctg —— . 20. a) arc cos-—-
2/2 /5 __ 15
1—8/3 3 — 4 /15 •- I
в) arc cos-—--, r) arc sin-> д) у » e) arc у
ж) arc ctg -jy, з) arctg-ц-.
— /7 — 6/2
21. a) arccos -----------
12-
/11 \
5 /
,. . 1—4/2 —2F3 —/2 . „2(/21-/51 m arrsin /7-3
ui di i 01 и . 01 di и tuo f i и» v 15/2 15 ’ 4/2
22. a) arc cos , 6) arc cos у , / 4\ 4 t / 15 \ в) arc ctg 1— gj, в) arc ctg ( g-J
7 12 23. a) r. arc cos — , 6) arc ctg — тз, 95 3 B) arc ctg 168 -h Я. 24. a) - arc cos —
73 , / 5 . тз /13—3 25 . 1 +/7
6) — arc cos |/ -g- , в) у — arctg . лЭ, dj dlC COS “ 4
3 /10—1 nn тз on 1 1—xy
6) arc COS —-T— , B) arc tg -- . 28. — . 30. --. 41. - ?-
/14 3 2 50 /l+x2/l+y
Ответы. § 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
711
42. 2х/1~2^2-. 43. 2/х(1-х). 44. х2-х+1. 45.
!— 2х ]/2(1+/1 —х2)
46. (2х-1)1/Г^ . 47. 4x3-Зх. 48. 8л<_8хг + 1. 49. '
f £ и<Л тгЛ мл -д— 1
50. —^L. 51. Зх —4х3. 52. я, если
(1 + х2р
7t V 3
53. 2 arc cos л-J-v, если <х<1, и
о 2
х > 0; 4 arc sin х, если х < 0.
2я 1 / V з
~~~, если — 1 < х < —х— .
о Л
56 У2 + х2-2/Г+^
57 1/У1 +У+.А . 58. о. 59. -^2-------60. х/2х —х2 + (1 —х)/1—х2.
V /1 + х2 — X 2х2 — 1
r г2_1 9 V 26
61.-----т- ..- 62. -----. 63. -----. 64. —. 98. Пусть 6 — наибольшее
/1 — X2 X 1—х2 а
целое число, меньшее чем х, т. е. k < х < k 4- 1. Тогда х = k -f- а, где 0 < а < 1.
2х — 1 1 / 2х — 1 \ 2 (/?+<*)—1 1 * Л 2(£4-а)—1 \
Имеем —g--------“ агс —2— J “—2^---------^afc tg \tg '---------*7
= k 4~ а — -х-------arc tg ftg (атс—5-Н. Так как 0 < а < 1, то 0 < ал < тс; значит,
2 тс |_ \ 2 / J
тс тс тс х Г / тс \1 к
— —- < атс — поэтому arc tg I tg I атс—j I = атс—— , и мы находим
2, L \ / J £
2х— 1 1 , Л 2х—1 \ . , 11/ я\ ,л 1 .1
—2-----aretg^tg-^—^ = Л + а-у--^-^ = й + а-7-а + 7 =
= k = к].
Глава XXIX. Тригонометрические и трансцендентные уравнения
и неравенства
§ 1. Тригонометрические уравнения с одним неизвестным
1. %- 2- 2^ ± 4 ± агссозУЛ. 3. 180° й—17°30'-1 arcsin У?-,
2 О 4 4 2 Ю
90° (2й + 1) - 17° 30' + -1 arc sin УУ 4. k* + , (2й + 1) £. 5. ~ , (2й + 1) £.
2 IU о о 2 о
6. йя-J, йяarc tg 5. 7. (2*+l)J, (2й+1)-^, (2й + 1)-^.
1 1A§—- 2
8. kn ±-% arc cos-£---. 9. Эта очень трудная задача была предложена посту-
пающим на механико-математический факультет МГУ и решалась многими сле-
дующим образом. Перепишем данное уравнение так: tg (тс tg ж) — tg —rcctgx^.
Для того чтобы тангенсы двух аргументов были бы равны, необходимо (но не
достаточно, см. ниже), чтобы выполнялось равенство TCtgjv==-2- — тз ctgx4~ 6л,
где 6 — любое целое число. Последнее уравнение после упрощений принимает вид
1 4
tg-^+ctgx = 77 4-6, откуда sin 2х ==-р-т-рг-г-. Так как | sin 2х I < 1, то
2 *“Г
и так как 6 — целое число, то оно может быть любым целым числом,
4
= y--j_ 2^- находим 2х = 2лп 4-
окончательно имеем: х==/гл4-
— 1, —2. Из соотношения sin 2х
Т+2Й’ 2x = 2r.n + z-arcsinT-^ и
4 , л 1 4
S’ —jarcsin 1+2Л
I__1___| 1
I 1 + 26 R
кроме 0, 1,
, . 4
4- arc sin
+ |arcsinTT_>
0, 1, —1 и —2, а /г —любое целое число. Это решение ошибочно. Однако вскрыть
, где k — любое число, кроме
712 Ответы. Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
в таком решении погрешность не легко! Дефект решения заключается в следую-
щем: соотношение
гс tg х = — — я ctg х Д- (1)
есть следствие соотношения
tg (rctg х) = tg Pl— я ctg х
(2)
иначе говоря, каждый корень уравнения (2) есть вместе с тем и корень уравне-
ния (1); обратное же утверждение с логической точки зрения недопустимо, а именно:
мы не можем утверждать, что если выполнено соотношение (1), то будет выпол-
нено и соотношение (2); иначе говоря, если аргументы равны, то нельзя утверждать,
что будут равны их тангенсы. Например, равенство ~ ~ верное, но равенство
х гс х тс / ± ТС
tg — = tg -g- не имеет смысла (как говорят: tg -g- не определен, или не существует,
или выражение tg лишено смысла^. Таким образом, если уравнению (1) удовле-
26 4- 1
творяет значение tgx = —~~—, где k— целое число, то уравнения (1) и (2) не
эквивалентны, ибо при tgx — функция tg (т: tg х) теряет смысл. Точно
так же, если уравнению (1) удовлетворяет значение ctg а-, найденное из уравнения
-i- — тс ctg х = (2k 4- 1) ~ или ctgx = &, где k— целое число, то опять это значе-
2 2
ние ctgx не удовлетворяет уравнению (2), так как tg Д- &гс^ не определен.
Итак, мы должны исследовать вопрос о наличии у уравнения (1) корней вида
2k 4-1
tgx =—2”» где — целое число. Прежде всего заметим, что если tg х = 0, то
ctg а* не определен, а если ctg х = 0, то tgx не определен; потому уравнение (1),
или tgx = 4- — ctgx + &, эквивалентно следующему: tgx—А-—-А--------------1- k или
ig X
О (этому уравнению tgx = 0 не удовлетворяет), откуда
tg2x
‘g-v=| + 4±)/' (4+4)2-1 = {(2й + 1 ±/(2.% + 1Г-1б).
Прежде всего мы видим, что должно быть (2k Д- I)2 — 16 >0; значит, для k исклю-
чаются значения & = 0, k~\, & = — 1, k~ — 2. Далее, мы видим, что tgx будет
рациональным числом, если (2k Д-1)2 —16 будет точным квадратом. Полагая
2k Д- 1 = a, (2k Д- I)2 — 16 = b2 (Ь — целое число), будем иметь а2 — Ь2 ~ 16. Это
уравнение (одно уравнение с двумя неизвестными) надо решить в целых числах,
причем а должно быть нечетным. Для решения положим а — b = и, a-\-b = v;
тогда получим uv ~ 16. Если а и b — целые числа, то и и v -т- тоже целые. Таким
образом, задача будет решена, если мы решим последнее уравнение в целых
числах и выберем те решения, которые дают для а и b целые значения и притом
с нечетным а. Уравнение uv = 16 имеет в целых числах следующие десять реше-
ний: Ui — 1, v{ = 16; и2 = 2, v2 == 8; u3 =4, v3 = 4; w4 = 8, v4 == 2; иъ == 16, v5 = 1;
Wg = — 1, v6 = — 16; u7 = —-2, t/7 = —-8; u8 = — 4, v8= — 4; w9—— 8, v9= —2;
w10 = —16, Vio = — 1- Так как a = U g....., b = -g и а нечетное, то из этих
решений нам годятся только следующие: u2v2, u^v^ u7v7', u9v9, откуда a~5 или
a — — 5. Но если а — 5, то k = 2, а если а — — 5, то k — — 3. Подставляя k = 2
j ____________ 5 + 3
в соотношение tg х ~ ~ (2k Д- 1 ± V(2k Д- I)2 — 16), получим tg х = —~— или
tgx = 2, tgх = i. Последнее значение tgx —А- не удовлетворяет начальному
уравнению, но tgx = 2 ему удовлетворяет. Отсюда х — k~ Д- arc tg2. При k = — 3
получим tgx= — g-—, откуда tgx = -—2 и tgx = — -A. Опять tgx = — А-
Ответы. § 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ , 713
данному уравнению не удовлетворяет, a tg лг —=— 2 удовлетворяет, откуда
х = kit— arctg2. Итак, решения данного уравнения следующие:
, , 2*4-1 ±/(2*4-I)2—16
:л arc tg--X--I—±---!—L------
где п — любое целое число, a k — любое целое число, кроме k ~ 0, k ~ 1, k ~ — 1,
/г —= 2, & = — 2 и k— 3. Корнями данного уравнения являются еще следующие
значения х: х = k- ± arc tg 2, где k— любое целое число. 10. kit—
11. 2kr. ±а±3. - 12. (3k ± 1)у. 13. 2£* + ~. 14. + 15.
16. 4~г(—1)* 4 arc sin (4 — 2}Л3). 17. 2k- 4- 2 arc tg 1, 2k- -h 2 arc tg 1.
2 2 2 <5
18. А т: 4 (—1)^ arc sin 4- 19. (2k 4- 1) 4 • 20. 2k ± -- arc cos , 2k ± ™ ,
о 4 к LU о
17 7е 73 kit 7t
2k + 1 ± — arc cos vt- . 21. Корней нет 22. kit ± , kit ± —-. 23. -r- -f- ,
1 к 10 3 о 4 48
kit 5т: kit . It kit .it oe fc I 15 од k7Z n-7 klz klz
v + 18- 24--2+16’ т+«- 25-^+б- 26-^' 27‘ V’ -7-
28. + 29. (2*4-1)-! ЗЭ.(4* + 1)™. 31. b: 4~ 4, 32. k~>
О О *4 £ *
4-1 2 2
33. 4 (2k + l)n, 4(2Z> + l)r. 34. fcz,
о о О
10* 4-1 10* + 2 _ 10* 4- 3 _
10 10 ’’ 10
10
10*4-4 10* J-6 10*4-7 10*4-8 10*+ 9 -
—К^”- “цН- —йГ^’ -ТО-71’ За. (2*4-1)4-
36. *z + larccosl. 37. ~ 4-J, *-+|- 38. (2* + 1) -J , *к ± J. 39.4р.
40. ± ~ , 2*- ± 4- 41. (2k 4- 1) it, 2k- — 42. 2*rt ± . 43. (2* 4- 1) л,
О 1U 2 2 о
2/?” , 7t .. kit it , , - , ,Я1 , тс kit kit . it
~3~ + б- “4 Гб ’ к~ 4- -4 • 45. *7t, (4* 4- 1) J. 46. -у . 47. у , 2*- ± .
48. 2*-, kv-J--. 49. (2*-j-l) it, 2*~4--|. 50. . 51. 2k- ± у 52. *-,.*- —у
53. ТТ-Й’ 4 + 4 51 2^-2^ + у. 55. 2*л±у, (2*4-1) + 2ьГТТ,
2*я 4--у-. 56. 2*г-Ь +, 2*г- + |, *тс+у 57. у+(-l)ft^-, ** + j-
тс лГ о 1 Г / тс \ ~1
58. kit 4- 4 (—0Л’ arc sin . 59. kit ± arccos tg / 1. 60. Если tg a ~0t
то предложенное соотношение — тождество. Если tga =£ 0, то х = 4" (2^ 4* 1)
61. 4kit, 4Лл±-^-, 4kn ± 62. 2kitt 2k^-j~~. 63. Если а — 2k-, где k — любое
целое число, то данное уравнение является тождеством. В остальных случаях
корни х ~ ^kit и х — 2kit 4- а. 64. kit ± arc sin j/"5-1-— t kit ± arc sin]/”%—,
k k f #t: 4-(—1)^3? , .
65. -g-, -g-. 66. Iog2--L- -----—- , где k — любое целое число такое, что выра-
Зтс 7С
жение под знаком логарифма положительно. 67. 2kit 4- -g-, kit. 68. kit 4- -g-,
2kn + ^. 69. (34-4*)z, 2*«4-(—1)*^-. 70. 2kr., 2*rt — (—1)*£.
71. kit 4. arcsin (У 3 — 1), к — arc sin (У 3 — 1). 72. kit ± ~ , kit ± .
212. (—1)л4 arcsin т 4* "5" • 2l3« i 4 arc cos 4" • 214* 3 4 arc tg 8 4- 4kit.
о 4 О О О о °
3 3 7
215. гт(£4“1)~ — тт arc etg-yx-• 216. itn ± arc cos
2 2 Lu
3 1
. 217. itn ± arcsin —
5 /7
714
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
218. kr. ± arctgУ" 10. 219. Лл ± arc ctg у . 220. (4k 4-1) — 1, (4k 4-1) i .
2^.±1 _ _t. 222. j + kr., k~ —arctg-. 223. k + ±, k 4- .
2Ш,Й±А. 225. k. 2Ш-. 226. k. 227. Uk + ±), (2k 4-1) J 4-
221.
224.
228,
231.
1 тс
х — произвольное число, не равное £ + 229. (46 1) ~. 239. /гтс.
2 о
4 + (-1)* 4- arc sin (/3 - 1). 232. 2Лл ± . 233. (2й + 1) 234. ,
2 2тс z 1 8 15
где k — произвольное четное число, некратное 15. 235. {2k 4- 1)~—2L 2&тс4-~.
3 18 о
v, получим и + v = 1, и5 -f- v5 = а.
Находим: (и 4- v) {и4 — u3v -{- u2v2 — uv3 4- v4) ~ a, u4 -}- 2u2v2 u4 — 2u2v2 4-
4- u2v2 — uv {u2 4" 2uv 4- u2 — 2uv) — a, (u2 4~ v2)2 — u2v2 — uv (1 — 2uv) — u,
(1—2uv)2— u2v2—uv4"2u2v2 = u, 5(uv)2—5uv4~l— 0» = ±
Имеем две системы:
236. Полагая sin2
U, cos2
1 4~4а
5
uv =
и 4~ v = 1,
и 4- V = 1,
Решения первой системы мнимые. Решения второй
Исследование. а) 1 + 4д > 0, а > — ~ ;
1 + 4а
5
14-4л . п 1
—!-------1 > 0, откуда я > yg-;
5
в) 1 +
— 1 < 2, откуда а < 1. Итак,
1 1 тп
< а < 1. При этих уело-
виях sin2
1 ~l~ 4а _____1
5
значит,
тс
б
/ 2 у __ 1 j . 237. 2^тс — arc tg ~ . 238. Корней нет.
240. Если — 4 — 2)^6, то х = kr. 4- (—1)^ arc sin X
3 t. t z 1 \• — а4-/аЧ8а-8
z\---------ут----; если я > -ту , то .г — &тс 4- (—-Ip arc sin-’---•
kt^ 1
при всех остальных значениях а решений нет. 241. х = -
где k — любое целое число, а
^тс . 1 + 4
ещех=-г4-2агс‘8^+Т-
1 2
х = k ± 4. 243. х = т-~-,
6 1 х 4£ ’
± arc sin
239. 11 корней.
2(а—1)
/гтс , 1 / . 4
-г+2(-1) arCSin4^n-
п — любое целое число, кроме п = 0 и п^— 1, и
где k и п — любые целые числа. 242. m ~ ,
где k — любое целое число. На данном сегменте
уравнение имеет 250 корней. 244. Данное уравнение эквивалентно следующей сме-
шанной системе: --49 1 1 ---°- —
т2— 1
sin 2х =----у-,
т2+4
тп2 — 1
tn2 (cos х — sin х)2 = 1 sin х cos х, т (cos х — sin х) 0 или
tn (cos х — sin х) > 0. Условие существования решения
— 1
ffl2 , 1
т + 2
откуда | tn | > . Предполагая I т | > i, обозначим через а
Л £
Ответы. § I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
715
„ Г гс гс 1 о . т2 — 1
угол, расположенный на сегменте —g, -g- , такой, что sma = '---------j-; тогда
т2 + ^ '
sin 2х = sin а; значит, х =4~ £гс, х = ~ ~£гс. Так как
то —Окончание дуги следовательно, расположено на дуге PQ
тригонометрического круга, а окончание дуги ™ — у — на дуге PQr. Пусть Л1 —
окончание дуги ~ и N — окончание дуги Дуги х, являющиеся решением
уравнения т2 (cos х— sin х)2 = 1 Д- sin х cos х, оканчиваются тогда в точках М и М'
и в точках N и ЛГ'. Таковы решения только что указанного уравнения. Если т > О
этом случае т > -g-j, решение данного уравнения дают дуги, оканчивающиеся
в М и N', Если же т < 0 (в этом случае тп<— , решение данного уравнения
дают дуги, оканчивающиеся в М' и N. Иначе, если т > ~, то х = 2£гс +
1 тп2 — 1 о । . гс 1 тп2 — 1 1
4- -у arc sin------=—, х = 2k~ + гс -4 - — -- arc sin---т-, а если т < —х-, то
*-> 9 1^ Л Л „ . 1 £
т2 4- -g- т2 4-
1 /и2 .— 1 7С 1 _ 1
х = 2£гс + гс Д- -у arc sin----у, х = 2k-. + -у — ту arc sin •----у.
т2 + 4 -2 + 4
Замечание. Если т = ±, то sin а =— 1, откуда а =— —. Точки М
и N совпадают тогда с Р, а точки М' и N' — с Р'. Из предыдущего следует, что
если | т | > -g-, то данное уравнение имеет в интервале (— гс, гс) два корня: при
1 1 тп2—1 гс 1 s т2—-\ 1
тп > -g- X! =-g-arc sin-j-, х2 — — -g-—у arc sin---р , а при тп < — g-
«2 4- 4 т2+4
Л[ _ .2— X arc sin —-, х2 = — я 4~ 4 агс s'n --4 •
«2+4 «2+4
1 2£гс
245. Если тп =/= -g-, то или х = 2£гс, или х =-g^-р , где k — любое целое
число. Уравнение обращается в тождество при тп =-g. Если тп — целое положи-
тельное и >1, то окончание дуг, дающих решение данного уравнения, суть вер-
шины правильных многоугольников с 2тп—1 сторонами. Г. В случае т — 2 будем
иметь правильный треугольник, в случае тп = 3 — правильный пятиугольник.
2°. а) В случае тп = 2, cos х = 1 и cos х-— — —. б) В случае тп = 3 cos х = 1,
V~5— 1 /5 4-1
4 4
3°. Предположим радиус окружности равным 1. Если известен косинус
дуги х, то длина стягивающей хорды будет 2 sin у, т. е. 2 . для
тп = 2 получим У 3. Для тп = 3 (для выпуклого пятиугольника) 2 |/ -g°—-- ~
/5-1 ~ _______
4 /10 — 2/5 /104-2/5
----- ----- —--------------, для звездчатого --g—------.
4°. Ответ: 8 cos3 х + 4 cos2 х — 4 cos х — 1=0. Это уравнение определяет
косинусы дуг, начало которых лежит в начале отсчета дуг, а концы — вершины
правильного вписанного в окружность семиугольника.
716
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
§ 2. Системы тригонометрических уравнений
d 4^| d 1 ^d^ ^сли m 0, to a . . , 1 I m — n . a \ ;r ~ тг 4~ k~ 4- arc tg tg -к- , 2 1 b\m + n * 2 ) a , . ( m~- n a\ у — -T — k~ — arc tg tg - . J 2 s \ /72 -r/zs 2 /
Если tn 4- n = 0 ^/72 Ф 0, n =^= 0, cos ~ 0^,
TO x = -j4-(2* + l) J, y = ~ —(2^4-1) J.
3. x — у — 2/ггс ± arc cos ± j/"~ j , / 1 f ’2~\ x 4~ У = 2/2- ± arc cos 1 — -g- ± J/ 1
с любым набором знаков (k и п — любые целые числа).
4.
,, . 1 1 -T-
x = (k 4- 5) тс 4— arc cos ~F ~
2 2/2 8 ’
, X 1 1 —
у == (k — s) 7z arc cos — »
2 2/2 8 ’
, . x 1 1 7C
x = (k 4- 5) t: 4- arc cos
' 2 2V2 8 ’
у — (k — s) rc 4- -i arc cos 1 2/2 +?;
x = (k 4~ s) rc —~ arc cos 1 2/2
1 1 **
у = (k — s)t: arc cos _
2 2/2 8
j 1 rc
x — (k 4- s) я arc cos •
2 2/2 8
,, x 1 1 , ГС
у == (k — s)~ arc cos + TT-
2 2/2 8
5- *= + + У = | + + W k и s —
любые целые числа. 6. х — kx 4- %- ± -i- arc cos (2а — cos ?), у = — kn ±
4* -g- + arc cos (2a — cos ^), где k и s — любые целые числа. 7. £(2# 4" 2s -j- 1) ~,
(2k — 6s — 3) , где k и s — любые целые числа. 8. x = 75° ±180%, у = 60° + 180&.
9. x = 30° ± 180° k, у = 60° ± 180° k. 10. x = kn ± ~ 4- ~, у = ±
+ — kit qz 11. x — 2k~ ± ~ , у = 2s~ ± 4г. 12. x = ~ 4~ kit, у = izn 4- arc tg3,
x О От:
3—
z —-----arctg3— (k-\-n)iz, где k и n — любые целые числа. 13. x = 2k~ 4-
+ 2arctg[A.(6-1) y = 2s^ + 2arctg[^-(6 + l)
14.x = 2* + |, y = 4“2fe- 15. x = *+|(-l)\ y =
Ответы. § 2. СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
717
16. л = у + й, У = 4~k- ,7- (*’ *)’ (? + *’ — k)‘ 18, х==^ + 2п + к-
у = k; х = + 2п + к, у = k -|- -g-; х = 2п + k, у = у + k\ х = у + 2л + k,
у = у + Л. 19. х=у4-£, у = у4-л; х = —у-Н, у = —-у+л.
20. х = у arc tg у j/"— + т, у = у аге tg ]/”— + k. Решение суще-
ствует, если один из параметров больше, а другой меньше единицы по модулю.
21. tg^ = ^-(6-l T/F=I), tg-^ = ^-(&4-l ±/Г^У2). 22. x = k±
± — arc tg , у = s ± — arc tg —7=-, z — — k — s +
тс &y q’ J тс У 7
__ 2 + /2 2-/2.
23. x =-~r--, у =---77— •
4k 9 J 4k
4k
x = k+n — /А2 — л2,
24. x = k -j- л -|-/fe2— л2, у = k 4- n — V k2 — n2;
у = kn-}-Уk2 — n2, k — произвольное целое число, удовлетворяющее условию
lilsml оч Р + ^23 7-/23\ /7-/23 7 + /23\ / 1 1 \
|й|>(л|. 25. ^—12—, —уз—), V—is— 26‘(“/1 ’ /Г/’
/2 —/14 2 + /14\ /—2 — /14 —2 + /14\ /4±/2 4 т / 2 \
\ 6 ’ 6 /’ \ 6 ’ 6 /’ X 6 ’ 6 /
27. (4[s + 4±)/'32_(4 + |у]. |[‘ + 4±/32-(i + |y]).
где k = 0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5 — всего 22 решения. 28. х = kr. 4- arctg у 4-
, е2/д2 + 62 , . а е2/а2 + 62 , .
4- £i arc cos— 1-, у == пк 4- arc tg arc cos —-----, где et = ± 1,
2
г2 — ± 1; решения существуют, если а2 4~ Ь2 С 4. 29. х — k~ 4~ агс tg -у >
2 2 2
у = (2л — k) тс 4 arc ctg у; x — kr. — arc tg у, у = (2zz Ц- 1 — k) n 4~ arc tg у, где k
и л—-любые целые числа. 30. х = 2^^4-2arctg<l±У'б), у = 2stc4-2arctg(1+У*6),
где k и $ — любые целые числа. 31. х = — 4~ 2^к ± arc cos
q: arc cos—; решения существуют
4~ kr, 4- (—1)* arc sin-,
2 cos ----a\
\ 4 /
k — любое целое число. Решения
при условии | b [ <; 12а |. 32. х = — —
у = 4 + Т — Й5'~arc sin
существуют лишь при
ь
2 cos ( 4- —а
\4
33. х = 4- 4- у (—1)* arcsin (2b — sin а),
>=f ~ у 1)/г arcsin <26—sin а)>
решения существуют лишь при 12Ь — sin а\ < 1. 34. х = — kn ± arccos (2b — cos а),
у ~ -- j&7с + arccos (2b — cos а). 35. х = ~ -j- kn ± arccos 1
а и (1 + b) cos а I (1 + ^) cos a I . v a\h^A-
У = -g- — qz arccos v Г -----• j3 * *—T^b— L 36. x = 4~ ±
1 /2 sin a \ a t 1 /2 sin a \
± у arccos I—------cos aj , У = 2— + ~o arccos (—g-----cos aj,
I COS a |<1. 37. x = ^4-arctg(A-ctga± -7 + -^),
718
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
у = а-х. 38. х = -g- + 4- (-1/ 2L, у = fj - ~ -(-1)* Указание.
sinx cos у = *2 [sin (х 4- у) 4- sin (х — у)]. 39. Или sin 2х = cos у = 1, или sin 2х =
= cos у = — -g-*, отсюда х и у, 40. Угол х определяется условиями
__ tZ (Z> — с cos а) ± с sin аУ#2 4~ с2 — d2— 2bс cos~a
SnX Ь2Д-с2— 2bc cos а ’
— dc sin a~- (fi — c cos a) Vb2 c2 — d2 — 2bc cos a
C0S X b2 4- c2 — 2bc cos a ’
b2 4- c2 — d2 — 2 be cos a 0
(каждый раз с точностью до 2kiz)\ у = а~х. 41. Угол х определяется условиями
___ — cd sin а ± (Ь — с cos а) УЬ2 4- с2 — d2 — 2bc cos а
SnX b2 4- с2 — 2bc cos а ’
— — с cos а)^ + (— с 510 а) У#2 4~ с2— — %Ьс cos а
cos Л b2-\-c2— 2bc cos a ’
b2 4~ с2 — d2 — 2 be cos а 0
(угол х определяется с точностью до 2&гс); у = а — х. 42. х = — 2&гс 4~ +
k — m , k — m \ k — m \ . лг.
+ arccos —г-х-т— , у = 2kn ± arccos —< 1. 43. х — любое
т 4~ 2 sin а т 4- 2 sin а | т 4- 2 sin а |
о, , лл еСУП — УЗ) г.
число, у == 2&гс ± х. 44. х = пк ± arccos —:~ б" ’ У ~ пп q:
е(УП-УЗ) гс . , } Уб—1
т arccos-----,------т -$• , где п — любое целое число. 45. х = &гс± arcsin -—~,
4 ‘ о 2
у = 4~ ~ + arcsin ~~, где k и s — любые целые числа. 46. х = #гс 4-
, , • /Т5 I / • ЗУ15 , , 1Ч* У15
+ (~1) arcsin, у — src4~(—l)y arcsin —-— г —— &гс—-src—(—1)* arcsin ------
о 10 о
— (—I)5 arcsin 4~гс. 51. Условие равенства тангенсов: х=у— г4~&г-,
у = z — х 4~ 5гс, где k и $ — любые целые числа. Из написанных уравнений нахо-
дим х = —g— гс, а тогда z = у 4-----При любом у указанные значения х
£ 4- $
и z удовлетворяют системе; однако если k 4- $ число нечетное, то х = —гс
не входит в область определения tgx и потому следует взять только k-^s — 2n,
где п — любое целое число; тогда х = пъ. Точно так же, если k — s нечетное, то
~_________________________g
в этом случае z — у =—— гс не входит в область определения tg(z — у), а по-
тому следует взять только k — s = 2т, где т — любое целое число. Итак, х = пгс,
у — произвольное число, входящее в область определения tg у, z = у 4- тгс,
где т — любое целое число. Таково общее решение данной неопределенной
системы. Подставляя это в третье уравнение tgz~aig(x— у), получим
tg у = —aXgy. Если а — — 1, то это тождество и, следовательно, уравнение
igz~atg(x— у) нового ограничения не дает. Если же а =# — 1, то из уравнения
tg у = — a tg у находим tg у = 0; значит, у ~ k2~, где k2 — любое целое число.
Тогда z =? k2Tt 4- mit = k3~, где k3 — любое целое число; обозначая еще (для сим-
метрии) п = kit получим х = Угс, где kx — любое целое число. Итак, если а —1,
то х = k^, у = k2r^t z = k3it, где klt k2, k3 — любые целые числа.
§ 3. Решение тригонометрических неравенств
. Го. ои , • /5—И /о, , • /5—1 пь , , . /5—1\
1. 2&гс, 2Лгс 4- arcsin--)» (4~ ~ ~~ arcsin-, 2k% 4- гс 4- arcsin----1,
^2Лгс4~2гс — arcsin , 2£гс4~2гсУ 2. (&гс4-г. — arctg 2, kit 4- Ч-
3- +iff • “'+те) (2fa + те +те) (2fc + тег + тег)
(2t« + ~g. « [a-. 2‘” + i)' (И=+Т' 21"-+т)-
Ответы. § 3. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
719
2*"+т)’ (2*г-+Т’2Ь1 + т)’ (2йл + -¥- 2**4-2л]. 5. +
(fc + £.»« + I") 6. (24. + J, 24. + , (24. + , 24. -|- , (24. + .
24.+ ^), (24. + ^, 24. + Jt). 7. (4. + , 4. + ^), (i. + J -
4 V 3 — 5 , .л \ /, , л л 4 У 3 — 5 \
— arccos--23---» ^+2/’ 4^ + , kz + 4- arccos-g§--/>
(Зк 11 л \
^4-—, £л + "]2~Ь & Неравенство выполняется при всех х, кроме
8& “Ь 1 / г, г? \ 8^ “j" 1 I i/qt
х — —J— тг (k — любое целое число); при х = —~— л имеем sin х 4- cos х = у 2.
4 4
9. Если а > 0, то ^2 arctg -f- 2kn, 2л -f- 2kr.j. Если a < О, то ^2йл, 2*п 4” 2“ 4-
4-2arctg-i). 10. 4*’2^* + у)>4’г’^"§'’2йп'^4)’4Я^ 4’2fe7t+4)’
2^+4^, 2^+24.
О J
11. ^2/гл, 2kn 4- , (2/гл-j-л, 2^42"), (2&л-)-Зл,
2kn
13.
+ t)- i2-
^2£л— 2arccos
\/?л 4“ arcsin
/13—1
4
/!-**+
2^ + y),
— 2 arccos —, 2&л 4~ 2л^. 14. ^2kn 4 i, 2kn 4~ j, ^2k~ 4- ~ , 2&л -j- j •
15. Решений нет. 16. ^2£л 4- ~ ,
2/гл-ту-), ( 2/гл-j-л, 2£ л 4~-ту*), (2&л4--22,
о / \ Z / \ о
2^4-2zj. 17. (^4--j, ^4-тН, 18. [kntkn + ~
arccos
kr. + у > + у) , 4 + 4 ’ -J"
—arccos |/ , kr. -J- 4) • 13, 4~ + у > 2*я+ у) >471 + 4’2йл+л) -4" 4 ’
ОА ! Зл \ /„. , 7я о, . о \ ОЛ / 2йл 2kT. я \ / 2Ля я 2Ато я \
2йя + j,\2kn — 4 , 2йл + 2rJ. 20. 3 , з + 12 JЦ з + б ’ 3 4)’
/ 2kr. , 5л 2йл , л \ / 2йл Зл 2kn , 2л \ u
(-3- + -J2 > “ + 2')’(-з~+ Т’Т-~^-з4 21‘ НеРавенство выполнено при
всех х + кт. ± . 22. [2йл, 2kr. + у), [2Ал + л, 2ftл + 4) • 23- 4"*2Й” + Т?) ’
4^+^,2^.+j),4л+4’'2^+4)- 24- 4я>2йг-+4)'4г-+5
nr . 5к\ /л. , 7к , 9тс \ / 11к п 13л \ /п 15л о 17л \
2^+ 29)’4’'+ 29 >2^+ 29)’(2^’! + '29‘ ’2bt+ IT)’4” + 29 •2йя+ 29 /’
4»+^->2^ + ^). 4^ + ^ >2^ + ^)> 4’' + Й’2Ч’ 4” + ^’
ой , 33л \ /о, , 35л Ofc . 37л \ , 39л 41л \ ( 43л
2^л 4- -gg-), |2/гл + 2д , 2йл 4- 2д ), |26п 4- 29 , 2Ал 4- 2д j, ^26.4- 2д ,
о, . 45л \ /о 47л 49л \ / 51л 0 53л \ /„, 55л
2йл 4 2уJ > ^2&л 4" 2д. * 4~ 29 / 4* 29 > 2&л 4~ 29 / ^2&л 4- 2д ,
2*л4-^м 25. 4*+т>2Ьс+44 4л+^-2^+?)- 4k+4’
-+». 4^>- 2-+4)’ (2-+>-
. 4*4*4’ 2^4-4), 4г''ь^’ 2k*+^r)- 2б- 4я’ 2*я+й)’
2Ал4-^-, 26л 4
24
720
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
(»" + 4т' (2fa + "’2fa + ». +
27. (ikr., 2^4-0, (2Ля + ^, 2Ьг + ~), (2^ 4-я, 26*4-10,
(26*4- 2kr. 0. 28. (2^ + |, 26* + 0. (26*4-0 26* + 0,
fa 4- 0 26* + 0), (26* + -0 , 26* + г.) , (26* 4- .0 26* + 0, fan + 10 ,
26*+0, (2kn + ~, 2б* + JA (26*4-10, 26*+ 2*). 29. (26* 4-Т , 26* + *к
(26* + 0, 26* + 2*). 30. ,-glp + l), 6 = 0, 1,2,...
31. (б*, k* + -0, (б* + Т ( k* 4- 0.) , fa 4- 10, kr. 4- 0. 32. (26*, 2kr. 4- 0,
(26*+-Т.26* + 0, (26* + ~, 26* + !^-), far. + ^Z-, 26* 4. 0 40. Если
a < -£ , неравенство выполняется при всех х. Если < а < 1, то х заключен
в одном из следующих интервалов: k~ < х < kit -j- , (2k 4- 1) ~ ~ < х <
<(2й + 1)-Т, (26 + 1) ^ < * < (26 + 1) Т + ^2-, (6 + 1)*-^ <х<(6 + 1)*,
где aQ = arcsin pr2 (1—a), k — произвольное целое число; если а > 1, неравенство
не имеет решений. 41. Если |а| < 1, тогда k— 1 0- ~ < х < k + —; если
ТС ТС
1 а а
тг < I а I < Е то k -|—- < х < k + 1 d—- > где а0 — arctg (tg3 ла), k — произвольное
Z ТС ~
целое число. 42. < х < 43. Либо k fa< х < k fa } либо
IU 1U 4 <5
12 11
kfa-~<x<-^fak. 44. х > 1 и 9- -. • < х < -^уг-, где k — произвольное целое
Zf о Zffi ~| 1 Zrfi
4^ 4-1 4^4-2 /тс тс \
число, не равное нулю. 45.-— < х < — j •. 46. (0- 2&~> -9 + 2£тт),
47? 4,х —{— 1 \ и 2. ]
fa~—-Т, 26* —0, (26*+ 0, 26*+ 0 fa~ + ”> 26*1Ту
§ 4. Доказательство тригонометрических неравенств
17.
, п * X 9 X n 4 X /. l9-*\ . /Ч п X X
sin х = 2 tg J cos тг = 2 tg 2-(l — sin2 Г, если 0 < x <-% , to j >
XX X ( X% \ X3 X
-g- > sin ту-, поэтому sin x > 2 ту- il-—J — x-18. Имеем: sin x = 3 sin —
л . q x t x o.x л , t x o . x . . о x , x
— 4 sin3 , sin — = 3 sin — 4 sin3 , sin = 3 sin^-4sin3 -oT > • •.» sin ~
о о о2 З2 о2 о3 о3 оц 1
— 3 sin -хуу — 4 sin3 . У множая второе из этих равенств на 3, третье — на З2 и т. д.,
о о
последнее — на З72-1 и складывая, будем иметь
sln.v = 3«sin ^~4(4i34+3sln3-T-+ +3«-‘ sin3 -ТЛ
оп \ 3 З2 , оа /
На основании предыдущего (задача 17) sin ~ — 4~^зп » кРоме того>
З- < У ’ 32 < 32” > • • • > > поэтому sin л > Зп (
Д ( Х’ I Ч I Q2 %3 I _ЬЧЛ-1 х3 \ х3 4х3/ 1 . 1
4\З3 I*3 З6 1~3 39 + ••• +3 33л) — х 4.32Н 21 ( + З2 1" З4 1"
Ответы. § 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ 721
1 \_ л-3 4х3 З2" _ х3 х3(
Ь 3зл-2/ —х 4.32л 27 1 ~х 4-32Я 6 V
1 —
32Л ) ~ х 6 +
. X3 X3 X3 X3
6-32Я — 4 • З2" ~ Х — ~6 ~ 12 • 32Л • Итак’
х3 х3 х3
- 12.32Я-- > ИЛИ sinx-x+ -у- > -
слева, не может быть отрицательным, так
если 0 < х <
х3
ТО Sin X > X — уг —
о
; отсюда следует, что число, стоящее
х3
как справа стоит число — •1o~q2h >
2
которое при 0 < х < ~ отрицательно и при достаточно большом п может быть
X3
сколь угодно малым по абсолютной величине; значит, sin х — x-j--^^Ot откуда
X3 ft
sin х > х-----. 19. Если 0 < х <-рг , то по доказанному в задаче 18 имеем:
о 2
sin .г > х — > 0, sin ~ > у - -Д^- >0, sin ~ — ДДд > °* отсюда
О 2 2 О • о 4 4 О • 04
X X2 X4 Хб X х2 х4
sin2 _ > _ _ _ 4- значит, sin2 - > — - ; далее, находим:
. . X . „ X . I X Х3\ (х1 X* \ . , X . , X _ X3 X3 п X
4sin -g- sm 7 > 4(д — 4gJ^jg- jpg3 / ’ 4 Sln 2 sin 4>8 27 или 2 Sln 2
д-3 д-5
— sin x > -g 27 ’
2 8 T 2' '
(1)
Аналогично имеем:
V у y3 у5
+ <2>
!1„Р<2!1„Л-Д+1У, (3)
X о . X X3 ! X5
< 2sin 2ТГ — 2з(п_1) 8 + 25(«-1),27 •
(га)
Умножая обе части неравенства (2) на 2, обе части неравенства (3) на 22 и так
далее, наконец, обе части последнего неравенства на 2AZ-1 и складывая, получим
9/г . л х3(л 1 1 2 \ лг5 / 1 । 1 . . 1 \
sin х < 2 sin 2^ ’ g ( + 22 24 22П~2) 27• \ 24 28 24п~4) ’
Так как при 0 < х < ~,
2П
X3
"8
1 —L
2п
1______L
, х5 24П
4 27 _ JL
16
2п
120
Б -н 120 6-2"
sinx_x + _____
6 • 2п 120 • 24Л f
или sin х — х + —
6
120 • 24Л ’ ИЛИ
Х^ X3
””120
Число Sin Л — + --------------------T7S7T
о 120
7С
2 Не
может быть
положительным,
так как оно меньше числа которое
при 0
достаточно большом п может быть сколь угодно
значит, sin х — х -g- — <5.0, откуда sin х х —
7С
< х < у положительно и при
малым положительным числом;
у-5 чт
к + йб-20- Еми0<Ж<2’
х ft о пд ft 2 х 2
то -тг < -ттг , но ft2 < 24; следовательно, -ггг < —, поэтому < — и т. д.
6 12 * 12 ft 7 6 ft
46 П. С. Моденов
т
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
X. Х% Х% у
21. cos х = 1 — 2 sin2 у > 1 — 2 -j- = 1-g-. 23. cos x == 1 — 2 sin2 -g-,
X X x3 / X x3 \2 x2
stay > £ ~2з74 <см- заДачУ 17)> поэтому cosx < 1 — 21 y — = 1 — у +
x^ x3 x2 x^ x3
+ -pr----gg <1--------g~ Тб ' ^4. Воспользоваться неравенством sin x x — ™
__ X3
/ 104 ni- . Sin X 6 . /. X2 . X4\ ( , Л3\
(см. задачу 18). 25. tg x = ; так как - у + (x + y) =
1 2 +24
x3
X3 X3 X3 6 X3
= x — ’ To -----2----Г > x + T • 27. а) Приближение sin x^x
О о О .j X . X о
+ 24
с недостатком; ошибка не превосходит -g-; б) приближение cos х 1 с избытком;
X2 X3
ошибка не превосходит в) приближение sin.x^jc---------------- с избытком; ошибка
X3 X2
не превосходит qgg-; г) приближение cos х 1---------g- с недостатком; ошибка не
х^
превосходит -g^ . 32. С точностью до 0,000001.
§ 5. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестные
под знаком аркфункций
1. 0. 2. 0. 3. 1. 4. Нет корней. 5. Нет корней. 6. Нет корней. 7. 0. 8. Нет корней.
9. 10.0. 11. ± 1, 0. 12. О, ± 1. 13. у. 14. О, ±у. 15.1.
16. —1±/2. 17. х = £гс+£. 18. Т 19. Т- 20.0. 21. 22. 1. 23. Т-
z у з z у 5
24. Если 0 < а < 2, то х—± 25. 2. 26. Х( = sin ^-i_E2L-l&L ,
к_ 16а2 , , х о„ „ , 1 оо ,/"/5—1
х, — cos -j-----, если |а К у. 27. О, ± у. 28./ -—?—.
29. V30. Т 31 . tg-^-, где принимает все целые значения,
по абсолютной величине меньшие, чем ~. 32. а) Если а>0, 6>0, но, по крайней
мере, одно из чисел а или b не равно нулю, то данное уравнение имеет только один
корень х = 4—тт----— ; б) если а < О, b 0 но, по крайней мере, одно из
У а2 + Ь2
чисел а или b не равно нулю, то данное уравнение имеет только один корень
х =----? *....; в) если а > О, b < 0 или а < О, b > 0, то данное уравнение не
У а2 + Ь2
имеет корней; г) если а = b == 0, то данное уравнение не имеет корней.
33. |1/ 4 • 33 34- °- 35- 3; °- 36- 4 • 37- Нет корней. 38. Нет корней. 39. —1,
2г/ о
О, 1. 40. /2. 41. 1 и —у. 42. -^5—- 43. ± 1. 44. Решение. Строим
последовательность уравнений, каждое из которых есть следствие предыдущего:
arc cos | х 1 = arc sin 2х,
cos (arc cos | x |) = cos (arc sin 2x),
| x | = /1 —4x2,
x2= 1—4x2,
5x2 = 1,
1
Л==±/5'
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
723
Так как в последовательности уравнений (1)—(6) каждое уравнение есть следствие
предыдущего, то среди найденных значений одно значение х, а может быть и два
могут и не быть корнями другого уравнения; поэтому нужна «проверка/). Так как
1 : 2 I 1 I 1 , / 2 \
arccos—== arcsin-—— но arc cos------= arccos —=# arcsin/-----=—|
/5 /5 |/5| /5 \ /б /’
1 1
то х =— -~т=~ — не корень; данное уравнение имеет только один корень
V 5 У 5’
отметим, что посторонний корень появился в результате перехода от уравнения (1)
к уравнению (2), но при возведении в квадрат обеих частей уравнения (3) посто-
ронних корней не появилось. 45. }Л3+1- 46. 1. 47. кк-{-~. 48.
(1 \
—-—I. 49. у — любое число из сегмента [0, 1], т. е. 0<<у<1,
/2 2/
а a- = _/TZT7. 50. [£i(l + /3), ^-(1 -УЗ)] , [^(1-/3),
(1+/3)]. 51. (1,1). 52. (—-g—3 Т2^17)- 53- 54-*>1-
55. О < х 1. 56. О <4 х < ~. 57. sin 80° < х 1.
§ 6. Трансцендентные уравнения
1, х = -4- 2кк ± arc cos -^=г. 2. х=1. 3. х = sin 1. 4. х = кк 4- arc tg3\ 5. Если
4 /2
считать основание логарифма всегда положительным, то х = 2кк Л,
о
x = 2ktz-\- 6. x — k~ ± arcsin —Ж-——. 7. sinx = 2 2 10ga3.8. xI>2=±
3 Ig(/ 2+/3)
1 7t 2k +4
± -g- ctg-|Q, x3=0. 9. x=10 4, где k—любое целое число. 10. Корнем является любое
число, кроме х = и х = — 11. х = кк-{- 12. x = 23+21gs2. 13. ^=0,
х2 =— 1. 14. 2 — tg —- --- в случае, если если 10а > —,
уравнение не имеет корней. 15. 1. 16. Х! = 1, х2 = 2. 17. х = 10
18. х = (2к 4- 1) л, где k — любое целое число. 19. х = 2кк, х = кк (—1/ -g-,
где k — любое целое число. 20. х = 2кк — у, где k — любое целое число.
11 К
21. х = -^. 22. х = 2" Igs 3. 23. Решение, tg (я arc tgx) = 1, я arc tg х = — 4~
arc tg х = -i- + k, k — целое число. Так как —~ < aretgx < у, то k может при-
нимать лишь следующие значения: k — — 1, k = 0, k = 1; отсюда xt =— tg-j,
24. Данное уравнение имеет 10 корней: xt = ctg
.1 .5
^2=tg4, *3 = tgT.
/*13 , /*25 . ,/"37 t , /*49 . ,/"5
X2 — Ctg 1/ ' -g-, x3 = ctg у g-, x4 = ctg у g-, x5 = ctg у -g-, x6 = ctg у -g ,
x7 = Ctg J/ /”17 . ,/’29’ . _/*TT t -.УбЗ xs = ctg у -r9 = ctgy -g-, x10 = ctg|/ -g-.
724
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
§ 7. Исследование элементарных функций
!.(-».-3], 2. (-т+„). 3. / + С? + т.4? + у)'
+ + / ’ <“"2 +1) ") 5-[“^Д --«)• (°'
6. 7. + со). [(24 + 1)я. gs;]- 8- ^-,2йт:Н-g-j.
’(cdW 144 ,0-(“*+? 24"+т)- ”• (2^2fa+4
12. х = kt где k — любое целое число. 14. Функция, возрастающая в интервале
/ , X 1 г- Г г“ п I Г г“ 71 1 * Г л 5л I
, (—оо,4-оо). 15. —, -g- J — возрастает, -g-, j — убывает, I-%, -g- —возра-
г 5~ 3-1 с Г 73 г-1 Г77 771 л
стает, -g- , — убывает. 16. ~ f, 4- — возрастает, -j , — убывает,
г л Зл з ГЗл 5л *1 г 5л 3л1 гЗл 7л1
• ~4"1 — возрастает, , -у — убывает, — возрастает, -у , — —
убывает. 17. (—оо,—1] — убывает, (—1, 1] — возрастает, [1, 4" °0)— убывает.
18. (—оо, 0] — убывает, [0, 4~°°) — возрастает. 19 и 20. Подстановка tg = г
и дело сведется к исследованию рациональной функции.
§ 8. Разные задачи
1 о о 1 о 1 л л < я 1 7 1 я п 0/2/г-Ь1 1
1. 3. 2. — 2 • 3- у у 4- 4- 5- 5* 6- 8 ' 7‘ 8 ’ 8‘ 2"~1 * 9‘ 2" ' 5’ 2 ’
16. — ~. 17. . 24. sin х = — —— + V , При sin а __ о предложенное соот-
пе . . (а , я\ п_ .-«/-о п-7 8 cos 4л-sin2 (45°—4х)
ношение есть тождество. 25. tgx = tg )• 26. ±У 3. 27.-------------------.
\2 4) sni24x
2л л
28. х 4- У 4- z = х "V» У ~ V j z “ 29. 2 корня. 33. 11. 37. п = ± 1;
о о
п=±2. 41. а) 1 /10 + 2/5; б) V 2 + V 2 +
В) 1К2-/2 + У2+П г)-> ]/2_/i±p; д)
е) ; ж) !OiJ;
2/2 2/2
л) / 6 — / 3 + / 2 — 2;
з)2_/31 „jl+Ll+i2;
2/2 2/2
м)/2-1; н)/2 + 1; о) j V2 + /44/1;
п) 2 + /2-/3-/6. 42. 4. 46. 1°. y=l±^L. 2°. У = 4^-
yf2 — f у _ 1 = 0.
(1)
Уравнение имеет действительные
Угол х имеет тот же знак, что
1 — /2 1 +/2
корни, если---g--< У < —------• Знак x.
и t = tg x (ибо — < x < . Произведение
1. 1—/2 n
, и их сумма —; значит, если ----- м п
у — 1
КОрНеИ ураВНеНИЯ (1) равно ----, п пл vj-vnvia ona-iru, ---2--
оба корня отрицательны и оба соответствующих значения х отрицательны; если
1 _1_т<2
О < у < 1, знаки корней и, значит, знаки х противоположны; если 1 < у <-g--,
оба корня, а, значит, и оба значения х противоположны. 3°. Соотношение между t'
и t". t't" 4-1' -j-1" = 1. 4°. Выбору при условии tg2x' = tg2x'. Имеем
Ответы. § 2. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
725
2Г
----—- — ----—, отсюда или — t"y или 1 + ft" — 0. В первом случае мы имеем
।__i/""2 _
двойной корень: или у =-----, что дает tg х' = tg х" = — (1 4- У* 2), или
14-/2 . , + л 1
у ——__2—} что дает tgx = tgx"—у 2— 1; во втором случае у — и соот-
л
ветствующие значения tgx' и tgx" таковы: tg л/~14~ У 2, tgx" —У*2 или
наоборот.
Глава XXX. Геометрические задачи с применением тригонометрии
§ 2. Решение треугольников
D ODlfl-2 О 1 -р /72 У2 В- А 1/"'о
sm В = т, a — 2Ryi — т2. 2. cos——!-. 3. cos— -— ту 2.
2 1 — т 2 2
Л . \ 1 г- . , г» лч 5 I —* т2 ~ / тс _
4. sin А — У 2 — 1. 5. sin (В — А) ~ ;. 6. sin 2В = —~. 7. cos (~Л-------В
v ' 3 I 4- т2 с \ 4
= 2р 8. с cos —-— = --±.с . 9. sin 2.8 = sin 24 = — . Ю. 62 + а2 = с2;
ср 2 2/2 с2
Ь определяется из уравнения 2cb2 — l2ab — cl2a = 0. И. Ь2 = -^(с2— mfy.
k г—
—13. Катеты—корни квадратного уравнения 1сх2 — 2sx у 2 4-
су 2
2<?
4- si = 0. 14. с = ; ab = 2s; а
с hr
12. sin
16. ctg у = т — 1.
— 4/?2 (т -j- I). 20*
4s2
——p 4s и т. д. 15. sin 2B = m2 — 2m.
he
17. sin2B = 4/n. 18. cos = (1 + т)Г2_. 19. sin 24 =
2 2(1 — m)
sin 2B = —. 21. sin 2B = —~fc 2.”L. 22. sin 2B = m? — 4m.
m
4m
23. sin 2В — ----------.
(1 — т)2
24.
т2
С
27.
30.
(a 4- b) sin у
C= A —В
C0S 2
(p — a) sin v
a —---------r------7^
ti Сл
Sin у Sin у
. sin A sin В 4- sin В sin C 4~ sin C sin А
a = k----------------!---------------!-------------. 34.
a = 2R sin А. 25. b —
sin
(a-b)cos-^
^С = ---А-В •
sln~2—
la sin
31. b =----------
sin С
2s sin А
sin В sin С ‘
А
psin у
"В С"’
COS -у COS у
В —С
sin --------
32. b = 1^---------------.
а sin С
29. а =
33.
35.
37.
40.
44.
с~~ 9 С
2 cos у cos
А
Г COS у
. В С~‘
sin у sin
к А
k COS -%
В С '
sin у sin -у
1 + 2п£
, В + с
tg 2 “ t b — a
С
а —
а =
sin В sin С
hq 4~ hfy
А —В '
38. а =
2
33.
а —
42.
tg4-
а =
2та sin А
У2 sin2 В 4~ 2 sin2 С — sin2 А
(ha hc) s*n
sin В sin С 4~ sin С sin А 4~ sin A sin В ’
A
ra COS у
В C~’
COS у COS у
в-c = 7 — 1
§2 -4-1
c 1
39.
(гд + ^ + гс) sin А
а — , * д
2 Н 4" sin у sin у
, А
hb __1
hr
43. sin С = — sin А.
а
А
c‘g-2 •
В — С
46. sin ——
726 Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
А А
есть корень уравнения mx2 -|- 2х sin = т cos2 у.
В—С А А В —С
48. cos —— = т ctg -у cos —. 49. cos —-----корень уравнения
47. sin В = 2т.
9 В — С п В — С . . А А
т cos2 —-----------2 cos —— sin cos — т sin2 у -
В__
50. tg В — корень уравнения (2т — 1) tg2 В—sin 2A tg В=2 sin2 А. 51. 2т cos —
_о . n2q2 4~ m2q2—m2n2
~—х-----. 53. cos А = —-—1--------
2тп2
п з А 1 . т2п2 + п2 — т2
~ 2т sin ту -]------д-. 52. cos А =--------1 -----
X -/1
sinT
2mnq2
54. ctg-£ = tgk. 55. c = ak.
b 2 a — b 6
h 9 <?
58. sin В = — . 59. sin C ~ .
a ab
56. c2 = ~ д2) {bm + fl)
bm — a
60. sin A = тук- 61. cos
57. sinC = 4r-
b
£_ lc(a-\-b)
2 2ab
62. + + 63. 64. S1„C = ^.
2 V 4ab ab
63. 3, = i.«S.C_£5-.67. clg-|-4£.gf.6S, ..-„„«T-'".
69. 4m2b — a2 c2 + 2<zc cos B. 70. m2 — a2 + — ac cos B. 71. b — 2R sin B.
72. ''z>tgy'= r6ctg-^-—a. 73. ctg ~~ 74. lc sin ( В -|- — a sin B.
75. ZftctgC = a-cosec у — Z* ctg76. tgC = tg Btg ^45°+arc tg
77. a cos (B — С) = 2Ла sin A — a cos A. 78. a cos 9 = (2p — a) sin ~ .
79. a2 sin (В — C) = k2 sin A. 80. a2 cos A cos (B — C) = k2 sin2 A — a2. 81. ~ = x
b
D ___ S>
определяется из уравнения (1 — x)a2 == &2(1 -j-x2— 2x cos A). 82. 2a cos — „ ---
k
A ’
cos-g
00 • в~с П -4
83. sin —g-= x — корень уравнения 2x sin
cos2 ~ — X2\.
оа 2k2 sin2 A— a2 cos A 4ma— a2 c a2
84. cos (В — C) =-------------------, где k2--= ---j- .85. = x, —-------------- =
a2 4 cos A b 4w2 _ол2
1 + x2 —- 2x cos A B — C . , . / _ о A \
----2*2 ’ 86* cos 2—==zXi -*7asin A = alx2 — sin2-y j.
0-7 B—C ,А.П A oo B — A A
87. a cos —— = a sin ту + 2r cos . 88. a cos —— = 2ra cos — a sin .
z z, z z 2
В___q А А С В
89. a sin —— = 2rb sin --a cos . 90. 2a cos2 ту = k sin A. 91. a sin2 =
A ( A
~ sin -ту (asin --cos
C
= Ctg у Ctg k.
94. cos A
92. c = hb cosec A, sin В = ha *1П Л . 93. ^»-+=
hb hb — ha
__ ____hb^c 95 1 ___1_____1____ 1
2hb 2hc 2h^ hc r ha hb
96. ra и rb определяются
97. cos A ==
~h2+ m2h2
2hahbm
из уравнений ra — rb = k, —---------- ---------L #
hb ha
98. 2 sin A~m. 99. 4m2 cos C = /
— hahb. 100. 2m2a cos C == V(m2a — h2^ (4m2a — hty hahb. 101. 9a^ = 8m2b 4
9 0 c 4x2 4-1 — 4x cos A 3m2h
~[-8m2 — 4m2. 102. x = —, ----------------=----------— ЮЗ. Стороны а и b
b 2x24-l 2m2a + m2b
Ответы. § 2. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
727
/9 9\ ° х** ~~ */
определяются из системы 4ут* — пгь) = 3(Ь2 — а2), 1-----%- =-----------------г
о 4 | х ““• 4х cos С*
где х = у. 104. Отношение х = у определяется из уравнения (7т2а— 10/и&)л24-
4-16 (т2 — т2а}х = 7ть — Ю^- Ю5. ctg ~ . Ю6. cos Л и sin Л опре-
< . л л < л-7 х A ak2h„— а
деляются из уравнения a cos k = 2ha sin Л ~ a cos A. 107. ctg-^-==-----------.
103. ctgA = -£(^M. 109. ctgA = ^±2f«L. no. {b—c)rc = a(ha-rc).
2 2r2 2 2r^
A k
111. ctg-y = y. 112. b — c = x, k(a2 — x2) = 2ahax. 113. (b + c)2 = 4k2 + a2.
114. b = у (k 4- V4m2a 4- a2 — k2\ где k = b 4- c. 115. b = p — у + Vm2a—p2-\-ap.
116. Указание: в треугольнике АА'В (Л' — середина ВС) известны две стороны: -у,
та и угол АА'В, так как $ = -i ата sin (АА'В) и т. д. 117. b—2k ±
х V4т2ь 4- 2k2 — 2а2. 118. s ctg В = а2 — V/и^а2 — s2. 119. b и с — корни уравне-
/2^2
ния x2~kx^j^-—^==Q, где k = bс. 120. Произведение х = Ьс определяется
из уравнения 4х24~(^2 — — 4l2^x~l2ak2. 121. b и с — корни уравнения:
х2 — —аЬ - - х 4- k2 = 0. 122. Полагая b 4- с = х, Ьс — у, найдем: Z2 = у — ,
Vk2-ii *2
4s2 12ах2
1==—— 4----отсюда х и у. 123. Указание: ha = la cos k, 124. Указание:
/“.Г 4у~
51пЛ = ^-. 125. ctg 4 = 4 и т. д. 126. с —корень уравнения (л-f-<?)2 =
— ac(a-—k-\-2c)(a-\-k). 127. Сторона с — корень уравнения: Z&(a4-c)2 =
== ас (а + k 4- 2с) (а— k). 128. В решении задачи № 126 заменить k на 2р — а.
g
129. В треугольнике ABD2 угол BD2A — С -J-y-; следовательно, для решения
треугольника CBD2 имеем две стороны: а, 1Ь и угол BD2C, противолежащий а
(BD2— биссектриса внутреннего угла В; точка D2 лежит на ЛС, так что BD2 = lb).
(Л \ Л 2s
cos k — sin 1 = 2r cos . 131. ha = — и т. д. 132. a2 + 4a/ia ctg A —
л / a a
л д
— 4/n2=0. 133. a2+2eAactg4—A2 = 0. 134. a2 — 2haaig-^- — k2 = 0.
(A \
2/?4~ ha ctg -yj = 2p2. 136. Заменяя в уравнении a2 = b2-\-c2— 2bc cos A
стороны на —, "4~ , ~, найдем h h — — 2h2a cos2 -ф + ha V cos4 4” + k2
Лд flb tic r Z
зная hb 4~ hc и hbhc, найдем hb и hc. 137. k2 cos (B — C) = 2h2a sin2 A — k2 cos A.
В__q AB_____________C A
138. У казание: r cos —-= ““ r) sin Га C0S —2— = Г(^ Sin ~2 '
140. b и c — корни уравнения x2 — kx-[- — (k2 — 4m2 } cosec2 = 0- Hl. be =x,
4x2 — (2x cos A — 4m2a)2 + = 0. 142. (2p — a)2 = 2/n 2 +^ + (2«2 — sec A.
143. b + c = hbs^^c 144. 2^a-j-2r ctg у j + a2 — 4m2 = 8r + r ctg у cosec A.
145. Указание: r^, — rc = (b — c) ctg -ф , a2 = b2+c2—2bc cos A, 4n?b = 2 (a2+c2)—b2-
728
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
146. b и с — корни уравнения х* 2 * — kx kla sec гу ~ 147. Ьс = х> 4х2 cos2 у =
2р2 — 2pla cos у
= 12а (й2 4- 4х). 148. а =---—у .
2p — la cos у
R2
150. R2cos (В—С) sin A~s----sin 2А. 151.
В___С Д
153. (1 — тг) cos —g— =х тг sin . 154.
О , С— В А ( В—С.
156. 2 sin —— = mr ctg ту-(cos —-------г :
л хг о r sin тг
9. Указание: cos В—С _ 2
“2~~ ~~~7~~А ’
la sin —г
р2 — sctg-к- .
д=------------152. ай-.й2 4-stgT-
р 6 2
а = ra —L.. 155. rctg£ =r*tgy.
tgT
. а\ . в~ с
>in -у 1. 157. 2r а sin----==
= #^cos
находим
В — С.
— 2 С + sin у . 158. 2га (с — /г) tg -4- = (с -[- k) (2r а ctg — 2с^ , отсюда
В-С ,/ В —С . 4 А\
—2— = £ I cos —g-------г sln ) * отсюда находим
4г2 cig2 у — 4 (й + с) ra ctg ~ + 4bc cos2 у = 0;
с.
159. 2r а sin. Asin
160. b — с = mb с sin А,
отсюда найдем Ь п с. 161. 2rb cos
В—С
2
= k \ sin
, А
+ cosy
162. b — корень
В —С
2
(4 \ А
Ъ— гь tS'y) tg ~2 > где k = aA~c. 163. с~ k —
А / А \ А
— 2r*tgy- 164. с —корень уравнения гь (й + с) = (с— й) 1 с + rb tg у ) tg у.
А А
__С k cos ~2 г 1) sin ~2"
165. sin—т— =------------2--. 166. а и b — с определяются из системы
fl л
к + г» tg у
уравнений а 4- (Ь — с) — 2rb tg у и а — {Ь — с) = — у.1п 4.. 167. х — cos у,
л(ла~ zc) —2xAaZa + *^2 = 0, где k — bс. 168. /a(psiri y +
+ ftacosyj = pfta. 169. /2 У/n2 — Л2 sin2 у = Л2(/т2 — Л2 — У/2 — Aj).
170. sin 4 = {harLar)ia • ,71- = z« (r« cos 4 + ha sin 4) • 172> (2Й“ “ k} X
X l2a cos A = k (2h2a — ity — 2ftaZ2 . 173. й = 2йа sin - ~ B cos у . 174. m sin у X
X (йа + la sin у j = 2Za cos2 у . 175. Й2 sin2 A = (2й2 — 8m2) (1 + cos A) + q2.
176. tgy==x, ^2л4 — й2х2=й2—4zn2. 177. й2 cos2 A+(8/n2—2£2)cos A=8m2—Й2—q2.
<) A 4(mA~l)2(ma — k2) 4m2
178. f t8= T + 2,1 (! + cos Л). 179. - 1) ' ,8°- ТЬт "
,1 (g! ...
. ,81. ,82. r_2«(„_l)ai„r.
m2 1 — 2m cos A 4m2a — a2 1 Д- m2
А А Г"
183. 16m^2sin44+4^[r(l + m)2 —4^m]sin244-r2(lrm)2=0. 184. 16j?2sin4^ —
£ £ 2
— 16/? (/? — r) sin2 £ 4- Й2 = 0. 185. 16/?2 sin4 4 — 4 (/? 4- ra) R sin2 4 4- й24~4г2 =0.
2 2 2 u
186. Угол В определяется уравнением (~44) sin2^“b(r« — 2/? cos2 —
= 4R2 cos2 у. 187. (ra4-r) a = (ra—r)k, (ra 4- r) (b—c) — Vк2 (ra—r)2—4rra (ra4-r)2
Ответы. § 2. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
729
и т. д. 188. а = /4гга + k2, (ra—r) (b+c) = (ra+ г) V4rra + k2. 189. (ra + r) sin =
=(ra-r) cos k и т. д. 190. tg4 = t tg 4 = ^Vb-r(ra+rb)
* ra rb _ '
tg V = Tf= -.,£==; ==•. 191. 2 (ra + r) cos2 = k, (ra —r)cos B~c =
2 V rarb — r (ra + rb) 2 2
= (r0 + r)siny. 192. a:6;c = (J- + -L-V(-L-|-2-V/±_|._L\ и т. д.
* \rb rc!\rc raJ \T'a • rb f
Q
= rarb ((ra—rc)2 4- k2], c2 == k2+ 2ab— 4rarb. 195. Указание: (ra — rb) cos у =
= (Та + rb) sin k. 193. 2 sin2 у = , (Гд4-О>) $1п -у— = (ra — rb) cos у.
197. p2 — Rha (1 + cos Л) = 2pR sin A. 198. cos2 4 = . 199. 4/?2 cos2 A —
— 4Rh.a cos ^4 £2 — 4/?2 — 0. 200. p ^cos k — sin у == ha cos ~. 201. tg =
= , cos cos “. 202. 2R (p — c) sin A 4- Rha cos A -=
k2p 2 \ k 1 2p) 2 \r ' \ a
A
g___q $ ctg 4~ p2
= q2 4- Rha> a = 2R sin A. 203. cos —~— ==----------j- sin ; угол А опреде-
p2 — S ctg
ляется из уравнения tg2 у — p2 tg у + s = 0. 204. tg у = /(Zfg_2r)~ И
C
hc cosec В = k — hc cosec С и т. д. 205, (k2 4~ q2 — 27zr#) cos2_y = q, hc cosec В =
A — В
, , ОАО . л —В k(hc — 2r) , C rcos 2
k — hc cosec С. 20э. tg —~---------= -------------'г- и sin =-------r--------.
c 2 2r (hc — r) 2 hc — r
207. {hc 4- rc) (4rc—k) cos2 ~ = krc, 203. 2 (rc+hc} Vm cos у = (in4-1) V2rhc4-lVc.
X, k2(2rc-\-hc)2 } ЛС , (he4-re)2 . 2C
209. Угол С определяется из уравнения —ь—1—44- sin4--------с-‘ —sin2— = 1.
4r^ cos2 4 2 rc 2
210. sin = 1/ ? (2Гa—44 • 211. C = 45°. 212.90°. 213. arc cos-Ц-•
2 Г 4ra(ra — hc) 14
214. sin Л — l/ 4- 215. 132° и 12°. 216. 4- 217. Л = 30°, В = arcsin^-.
г 5 о о
218. 72°. 219.84°. 220. С = 90°. 221. Л = 70°, В = 85°. 222. Л = 36°.
223. sin(B —С) = -Ц4, 12Л=| ил^Л = -^-. 224. • 225. Л =40°,
о _ к
С = 30°. 226.60°. 227.4- 228. Я == С = 36°. 229.-—-. 230. А В = С = 60°.
О 12
231. /3—1. 232. 18°. 233, 90°. 234. 45°. 235. 90° и 30°. 235. 60°. 73°. 237. 36°. 241. 60°.
242. 144°. 243. С = 90°, В=2 arc tg 4.244. Л = 2 arc tg 4, В — С = 2 arc tg 4. 245. 4 .
о о 2 2
os cifi
246. 1.247. 1. 248. а = 3, b = , с = . 249. а = 3, с =6. 250. 1. 251. 10. 252. а = 5,
1о 1о
Ij t с = —. 253. b = 4, с = 3. 254. 2^3. 255. Одно из решений:
г = 1, Ь = 2. 256. 1^2. 257. а = 3, две другие стороны 4-(з 1/ -Я ± 1/ -у-)•
730
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
258. b = 2, с = 3. 259. 2. 260. а = 2, b = 2 ± у . 261. а = 2, 6 = 3 ± ]/ у.
262. а = 2, Ь = с = /2, А = 90°. 263. а = 8 /3, Ь = 16, с = 8. 264. 2 /2. 265. 4 и 3.
266. а = 4, b = V10 + 6 /2 + /10 — 6 /2. 267. /ЗД; 2; 3. 268. /ЗД 3; 4. 269. 4.
270. а = 2, 6 = 4, с = 3. 271. а = 6, Ь — с = /23, Л = 90°. 272.1. 273. 5.
274. а = /19, 6 = 2, с = 3. 275. а = /7", 6=3, с = 2. 276. -у.’277. а = 5, 6 = 6,
с = 7. 278. 6 = 5, с = 3, В = 90°. 279. а = 6 = с = 2/б. 280. 2р = 6. 281. а = 6 =
/~2~ Г 2~
= с = 2. 282. а = 2, 6 = 2±у , с = 2 +]/ -д- . 283. 3. 284. А = 60°, С = 30°,
286. Л = 60°, a =-уу-. 287. а=1, 6 = 3,25; с = 3,75. 288. а = 3, 6 = 3,5 ± /(Ц55;
с = 3,5 + /ад5. 289. a = 5, 6 = 4, с = 3. 290. 6 = 11, с = 13. 291. 6 = 3+у/П.
4
292. a = 5, 6 = 4, с = 3. 293. а = 9, 6 = 8, с = 7. 294. 1. 295. 14. 296. 3. 297. — = .
О
298. 6 = 2/^574--^, 6 — с = 1. 299. а = 6 = с=1. 300. 3; 4; 5. 301. Л=90°;
6 = 4 +/2, с = 4 + /Г, а = 6. 302. а = 3, 6=4, с = 5. 303. а = 6 = 15, с = 24.
304. a = 7, 6 = 25, с = 24. 305. 3; 4; 5. 306. а = 5, 6 = 12, с = 13. 307. а = 95, 6 = 76,
с = 57. 308. а = , 6 = -^ , с = 2. 309. а = 5, 6=4, с = 3. 310. а = 55 А-,
1111 1о
6 = 34^, с = 54. 311. а = 2, 6 = 3, с = 4. 312. а = 6 = с = 2. 313. а = 5, 6 = 4,
с = 6. 314. а = 25, 6 = 20, с = 15. 315. а = 13, 6 = 12, с = 5. 316. a = 64,
6 = 40 ±/1015, с = 40 + /1015. 317. а = ~, 6 = у±^, С = 4 + ТГ’
9 21
318. а = 16, 6 = 14, с = 6. 319. а = 40, 6 = 13, с = 37. 320. а = ~, 6 = ~,
5 5 ’
с = 4. 321. a = 5, 6 = 3, с = 4. 322. a = 6, 6 = 7, с = 8. 323. а = 7,_6 = 6, с = 5.
324. a = 8, 6 = с = 5. 325. a = 3, 6 = Т + 1 /41. 326. a = , А = 60°.
2 0 О
327. А = 90°, а = -у, 6 = -у±-Д^. 328.6 = 17, с = 8. 329. 6 = 5, с = 3.
330. a = 2, 6 = 1, с = / 3, А = 90°, В = 30°.
§ 3. Задачи по планиметрии с применением тригонометрии
П. 1. Треугольник
2abcs ab (а2 + b2)
L (a + b)(b + c)(c + a)' Д (a + b)2 *
99. 1°. Значения а, при которых (£>) || (Д). Имеем (х'х, D) — (x'x, у'у) 4-
+ (у'у, D) = ~ а (mod тс), (х'х, Д) = (х'х, АВ) + (АВ, Д) = — а (mod тс). Для
того чтобы (D) || (Д), необходимо и достаточно, чтобы (х'х, D) — (х'х, Д) -|- /г~,
ТС . Зтс Тс ТС _
или '2~га== “д----аф^тс, или а = —у. Среди всех этих углов есть лишь
Зтс тс тс тс
два: ctj =--g- и a2 = -g , заключенные между — — и -g-; при этих значениях а
прямые (D) и (Д) будут параллельны. Для того чтобы прямые (D) и (Д) были пер-
пендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы (х'х, D) — (х'х, Д) -f- ~ -j- /г тс, или
тс Зтс тс । г Зтс , kit
т/ + а = -4--а_|____|_#тс, откуда а = -g- + 5 среди этих углов есть только
тс Зтс тс тс
два: а3 == —g- и а4 = — , заключенные между — у и -%; при этих значениях а
прямые (D) и (Д) будут перпендикулярны.
Ответы. § 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
731
100. 1°. а) а' = a cos Ау b' = b cos В, с' = с cos С;
б) а' — — a cos A, b' — b cos В, с' = с cos С;
а) А' = 180° — 2А, В'= 180° — 2В, С'= 180° — 2С;
б) А' = 2А — 180°, В' = 2В, Cf = 2С.
2°. а) В этом случае cos A, cos В, cos С положительны, значит, все углы А, В, С
острые. На основании 1° имеем а' = Z, Ьг = ту с' = п. Зная стороны треуголь-
ника А'В'С', найдем его углы, а углы А, В, С затем определим по формулам:
A' R' С'
Л = 90° —В = 90°—-^—, С-90" —
р) Если Z < 0, то cos А < 0, А — тупой угол, В и С — острые. В этом случае
а' = — Z = | Z |, Ь' — /и, с' = п. Зная стороны а', Ь'у с' треугольника А' В'С', найдем
А' В' С'
его углы; однако теперь А = 90° 4- -j- , В = , С = .
' 3°. Свойство полного четырехсторонника.
4°. а) I > 0, т > 0, п > 0. В этом случае все углы треугольника АВС острые,
а его высоты — внутренние биссектрисы углов треугольника А'В'С'; значит,
в этом случае строим треугольник А'В'С' (В'С' = Z, С'А' = т, А'В' = и), проводим
биссектрисы внутренних его углов, затем через каждую из точек А', В', С' про-
водим прямую, перпендикулярную той биссектрисе, которая выходит из соответ-
ствующей вершины.
(0 I < 0, т > 0, п > 0. В этом случае А — тупой угол и три его высоты суть
соответственно — биссектриса внутреннего угла А' и биссектрисы внешних углов В'
и С', значит, построение таково: строим треугольник А'В'С' [В'С' = 111, С^А' = т,
А'В' ~п\, затем строим биссектрису внутреннего угла А' и биссектрисы внешних
углов В' и С', а затем к каждой из них через соответствующую точку А', В' или С'
проводим перпендикуляр. В пересечении этих перпендикуляров и получаем тре-
угольник АВС,
101. Г. Длина отрезков AD и АЕ:
. 2Ьс А . _ 2Ьс , А
AD = -г—— cos -5-, АЕ = -г-----sin
b с 2 ’ b — с 2
b — с
Ь с
2°. Соотношение между В и
. А
tg *2~; с другой стороны, в
С, если AD == АЕ. В этом случае из Г
b — с sin В — sin С
любом треугольнике -7—— = ~:—
J Ь А с sin В A sin С
. А + В — С о
= tg-у tg—2------; значит, В — С =
3°. Изучение свойств треуголь-
ника, у которого В — С = ~ .
а) Пусть В — С — ~. Угол ADB—
внешний угол треугольника ADC; значит,
он равен С 4~ -у • Но так как В — С =
А к
и А В 4~ С = я, то С 4—А * Зна-
чит, A EAD равнобедренный и прямо-
угольный, значит, AD = АЕ (доказано
положение, обратное 2°).
б) Пусть (черт. 298) АВС — треугольник, в котором В — С = ^~. Построим
внутри угла В угол СВ/, равный С, тогда В/ J_ &А. Пусть (Г)—окружность, опи-
санная вокруг треугольника АВС. Опустим из точки А перпендикуляр АН на ВС.
Углы НАВ и IBC равны как углы с перпендикулярными сторонами, значит,
/ НАВ = / ВС А; отсюда и следует, что АН касается окружности (Г) в точке А.
в) На основании только что доказанного ОАЦВС, где О — центр окружно-
сти (Г); с другой стороны, / ABI = 90°, значит, точка А', в которой продолжение В/
пересекает (Г), диаметрально противоположна точке А. Для любого треуголь-
ника АВС имеем: АС2 — АВ2 = 2ВС • НМ = 2ВС • АО (М — середина ВС) или
#2 — с2 2aR, но 4R2 = Ь2 4- с2 (А'В = АС), значит, Ь2 — с2 ~aVb2 4- с2«
732
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
102 1° а = b = с = a + b + с .
sin A sin В sin С sin А + sin В sin С ’
2^sin(?+f)
/з cos(-6 — j)
Единственное
условие существования треугольника ? < у •
2°. Вычисляя s по формуле s = 4- ас sin В, найдем cos о ——---------,
3 2 2(p* — sV 3)
л те
между 0 и значит, его косинус заключен между
.о
— и 1, — < —-—------< 1; отсюда прежде
2 2 2(_р2 —$/3)
всего р2 > s V 3; если это выполнено, то должно
быть р2 — s У 3 < р2 + sV 3 2 (р2 — s У 3).
Первое неравенство всегда выполнено. Второе
Р2 *
дает s < - лчто включает в себя условие
_3/3
р2 > s У 3, указанное выше. Итак, единственное
. р2
условие $ < г_. >
3/3 .
3°. Условие, при котором треугольник
прямоугольный. Прямым углом должен
конечно, угол С. Это дает ~ и
S — р •
2/3
4°. Построение треугольника 4ЯС,
известны 2р и I. Г
В = ~ и А
3
Р» + $/3 .
угол «р должен быть заключен
быть,
т. д.
, если
В искомом треугольнике
С. Строим угол на его сторо-
ВАу== р и ВСХ = р. Строим окружность, касающуюся
для" искомого треугольника АВС (черт. 299). Пусть окружность (Z), вписанная в иско-
мкттт Tnfltrrn riLUWi/ Л Fif"* l'Qoqotoo nnn FiF^ и РА о тпттг/пу Л'' тл- С1 тглпттп
нах
сторон угла В в точках А{ и —это будет окружность, вневписанная в угол В
мый треугольник АВС, касается его сторон ВС и ВЛ в точках Л' и С', тогда
В А' = р—Ь, а если г{—радиус окружности, вневписанной в угол В, то
(Р — = ^2- Это позволяет определить р — Ь, значит, и точки А' и С', значит, и
построить окружность (/), вписанную в треугольник АВС. Остается провести вну-
треннюю общую касательную к окружностям (ZJ и (/) — ту, которая даст Л<С-
Исследование. Возможность проведения внутренней касательной г
si2 л Р „ А'АХ 24'4, 2(р — ВА')
но г ~ , гi = р tg — = , ZZ. =----— = ——— = —-—------------- . но так
Р Р 6 6 / 3 ’ 'Гп 'Гп
откладываем отрезки
COS -7“
о
/3
/2 /2/3 ,, 2 / /2/3 \ 2(р2_/2/3)
как ВА' равно — =-----, то II, = —==1 р------— I = —----==--
г‘ Р /3 \ р } р/3
Р , Р ^2(р2_/2/з) рг
и, значит,-—£———-------— ----, или I2 <——то же, что и выше.
р /3 р/3 3/3
103. 1°. Окружность (О) получается из («) гомотетией [А, -у). В этой гомо-
\ о •/
тетии точка / переходит в D, значит, касательная в точке D к (О) параллельна ВС
и т. д.
Далее, после того как будет получено соотношение AD == 2BD, заметить, что
АВ п u BI АВ АС АВ АС^АВ о
тогда и -^7- = 2. Но , значит, = 2 и, значит, -р. г7- = 2,
Dl Cl С/ £>/
т. е. b + с = 2а.
Ответы. § 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
733
2°. Считая В > С, находим:
п ~ 71 . /о . Л
В = у--------j" + агс cos (2 sin 2~
п ~ A А
С ~ — ~2---arc cos I 2 sin -g-
Условие возможности: a < ~,
о
B^O (это условие выполнено), С>0 — приво-
n . a . a .. те
дится к виду 2 sin тг- > sin -и-, что верно. Итак, единственное условие: а < -у.
2 2 о
3°. Проведем через точку « и через середину отрезка РА прямые, парал-
лельные основаниям трапеции; первая прямая есть со/; пусть Нх — точка, в которой
/АЧ „ . „ АН+ОМ т АХНХ+ОМ
вторая пересекает (Д). Тогда АХНХ ==-------g-----, = —!—, откуда
АН = 4со/ — ЗОМ = ЗР (1 — cos А) и, значит, $ == ЗР2 sin А (1 — cos A); s возрастает
Гл z 1
на сегменте 0, -д- .
4°. Окружность (у) в инверсии (О, Р2) переходит в прямую (Д), а так как эта
последняя касается все время окружности (со), то окружность (y) касается окруж-
ности (<о'), полученной из (со) инверсией (О, /?2); пусть (Д) пересекает АО в точке G;
окружность (со') — это окружность с центром G, проходящая через А. Окруж-
ность (у) проходит через фиксированную точку О и касается постоянно окруж-
ности (о/); значит, центр К окружности (y) расположен на эллипсе с фокусом О,
для которого окружность (со') есть направляющая окружность, относящаяся к дру-
гому фокусу; полупрямая ОК перпендикулярна (Д); она может, вращаясь вокруг О,
принимать все возможные направления; значит, К описывает указанный эллипс
целиком. Точка Р (см. условие) расположена на перпендикуляре ОМ (М на ВС),
опущенном из О на (Д), и такова, что ОР • ОМ = Р2; значит, точка Р получается
из 44 инверсией (О, Р2) и, значит, точка Р — диаметрально противоположна точке О
окружности (y). Геометрическое место точек Р есть, следовательно, эллипс, полу-
ченный из эллипса (К) гомотетией (О, 2); фокусами этого эллипса служат точки О
и Е [£ — диаметрально противоположна точке А на окружности (О)]; окружность (со')
для этого эллипса является главной. Наконец, точка I есть точка прикосновения (Д)
и (со); ее образ Z' в инверсии (О, Р2) есть точка касания (<«') и (y). Так как
01 • ОГ — Р2, то Г — основание поляры точки / относительно (О); эта поляра
перпендикулярна 01 и проходит через Г; значит, это прямая ГР. Точка Г является
проекцией на эту прямую фокуса О эллипса (Р), и она (точка Г) расположена на
главной окружности эллипса (Р), поэтому РГ — касательная к эллипсу (Р) в точке Р.
104. Симметрия фигуры относительно Ог. Г. Дуги АА', ВВ', СС' равны
между собой (каждая из них равна 0); значит, дуги А'В, В'С и С'А также равны
между собой (каждая из них равна 120° — 0); отсюда и из того, что точки А и А'
симметричны относительно диаметра Oz следует, что точки В и С' симметричны
относительно Oz, точки В' и С симметричны относительно Oz. Прямые, на которых
лежат стороны треугольника A'EF, на основании предыдущего, симметричны относи-
тельно Oz прямым, на которых лежат стороны треугольника AED\ эти треуголь-
ники, значит, сами симметричны относительно Oz, а потому равны между собой.
2°. Периметр треугольника AEF. Прямые АВ и А'С? симметричны относи-
тельно оси Oz\ точка Е, в которой они пересекаются, лежит на оси Oz, значит,
А' Е = АЕ. С другой стороны, / A'BF = В A' F, значит, A'F == FB. Отсюда следует,
что периметр треугольника A'EF ра,вен АЕ-\- ЕЕ 4~ FB ~ АВ == а.
Углы и стороны того же треугольника. Углы F, А' и Е треугольника FA'E
А'Р FF FA'
равны ». 60-, 180° —(!)+ 60°). Далее, == -
А’Е-У EF-У FA' __________Ча sin 9
“ sin 9 + sin 60° + sin (9 + 60°) ’ 0ТСЮДа “ 3sin 9 +/3(1 + cos 9) ’
EF = _____рА, = 2д sin (9+ 60°) _
3 sin 9 + V*3 (1 -j- cos 0) 3 sin 0 4“ P 3 (1 4~ cos 0)
3°. Определение 0 из условия FE == 3 , где m > 0. Для того чтобы это
условие было выполнено, необходимо и достаточно, чтобы 3 sin 04-V3 (14-cos 0) == 3m
или sin (0 4~30°) = ---L. Так как 0 изменяется от 0 до 120°, то 0 4~30° изме-
няется от 30° до 150°, а sin (0 4- 30°) принимает все значения между -i- и I по два
А
734
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
раза. Значит, мы получим для 0 4" 30°, следовательно, и для 0 два значения, если
1 m/З — 1 2 . 3 п
— < 1 или —— т ~ . Полученные при этом значения для
2 2 У 3 У 3
6 4- 30° будут дополнительными, а соответствующие значения для 0-дадут в сумме 120°
(что ясно и геометрически).
Выражение у == А'Е в функции t:
2at
У = -^~Т^
(1)
А
4°. Выражение г в функции у. Воспользовавшись формулой г = (р — a) tg -%
» З^З у(2у — а) а
и соотношением (1), найдем г = —~~ ; максимум г будет при у = -д-,
при этом t — , Д- = 30°, 0 == 60°.
о 2
105. Г. Построение треугольника АВС, если задана точка D. Геометри-
ческое место точек А есть эллипс с фокусами В и С; большая ось его равна 10.
Биссектриса угла ВАС есть нормаль в точке А к эллипсу. Зная ее основание D,
можно построить точку Е, в которой касательная к эллипсу в точке А пересекает ВС:
^та'точка гармонически сопряжена с D относительно В и С. Построение точки А
сводится, таким образом, к проведению касательной из точки Е к эллипсу, что
может быть выполнено, например, при помощи аффиннитета. Условие же возмож-
ности решения состоит в том, чтобы расстояние от точки Е до центра эллипса
ОВ2 9 9
было не менее большей полуоси, т. е. О£>5, -—г >5, lx 1<т.
J OD I хI 1 5
2°. Соотношение между углами предлагается вывести читателю самостоятельно.
3°. Значения АВ и АС. АВ = ^(3 + х), АС =4(3 — х).
О о
****х^ч,ч‘ | 63 >**x^*v. 12
Значения cos А и cos BAD*, cos А =-----------1----, cos BAD — —-----------
25(9 —x2) 5/9 — x2
Величины проекций АВ и АС на AD*. АВ' = 41/ -у-, АС' = 41/ 55——.
г О X г О 4~ X
Пусть Т — точка прикосновения касательной, проведенной из точки А к окруж-
ности, построенной на В'С' как на диаметре. Тогда АТ2 = АВ' • АС' = 16, АТ — 4.
Вычисление tg DAI. Пусть / — центр окружности с диаметром В'С', тогда
, пят /Т IT В'С' АВ' —АС' 1 / /"З+Т
tgDA7' = tgZ4r=7y = -r = -1- =------------g------3+4-
. Минимум для угла DAT —число нуль в том случае, когда треугольник АВС равно-
бедренный (ВА = С А).
106. 1°. Предоставляется доказать читателю.
2°. На основании Г имеем sin 2A4-sin 2B+sin 2С = 2, или sin A sin В sin С = у.
Пусть угол А задан. Остается решить систему sin В sin С — 5-^-, В 4? С = к — А.
- 2 sin А
Из первого уравнения cos (В — С) — cos (В 4 С) = ’ следовательно,
1 ___ л. л существует, если 0 < | В — С|<
1 1
е. 1 >--------cos А > — cos А.
sin А
д
как sin А > 0. Полагая tg -% = /,
1__t2
iJ так как > 0, то оно экви-
cos (В — С) — х -----cos А; треугольник АВС
< В 4- С или 1 > cos (В — С) > cos (В С), т.
Второе неравенство, наверное, выполнено, так
1 1 + ^2
перепишем первое неравенство так: 1 > —------
валентно следующему: Z4 -J- 2t2 — 4t + 1 <0 или (t — 1) (z3 4-t2 4- 3/ — 1) с 0. Функ-
ция /3 t2 + 3t — 1 всегда возрастает и, значит, имеет лишь один корень t' (между 0
и 1; более точно 0,29 < t' < 0,30). Значит, предыдущее неравенство будет выпол-
нено, если t' < t < 1, т. е. 2 arc tg t' < А < ~ , где t' — действительный корень урав-
нения /3 12 3/ — 1 = 0; треугольники, удовлетворяющие условию задачи, суще-
ствуют.
Ответы. § 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
735
пл.
107. Г. AbBc-BcCa*CaAb^ AcBa* BaCb CbAc. Заметим прежде всего, что
точка I лежит внутри треугольника АВС и что лучи, соединяющие эту точку /
с вершинами треугольников АьВсСа, АсВаСь и АВС, образуют во всех случаях
л АВС
шесть острых углов, попарно равных дополнениям до -% углов , g, g, например
С
/ 1ААЬ — -% и т. д. Обозначим через г радиус окружности, вписанной в треуголь-
А Д 67 С
ник АВС. Тогда IA sin g = IB sin g = IC sin g ~ г. Мы имеем: 1АЬ = IA sin g =
С .В А
s1n ~2 ' ,. г, , В _ sin 2 ,D ,о A sln 2
Sln2
С
sin 2
sil? 2 В
---—, IAC — IAs\n^ = г
sin 2
, A
S ° 2 IAb IBC
отсюда 7^ = 7^ =
sin 2
A
, IBC == IB sin = r
c 2
—rcb = ic^ =
sin2
, В ’
sin2
следовательно, треугольники 1АЬВС и
AbBc sin 2 ..
№ Круг0Б0И
, A 2 В
S П 2 CaAb _ Sin 2
, C ’ BaCb ~ , A •
sin j a 0 sln
sin
--------------------------------------------5~; значит,
sing
, c
A В 2 В C
перестановкой -букв получаем: T T =---------к-, =
° с sin -g- с а
_. AhBr ВгСп С аАь .
Перемножая, получим = 1.
2°. Пл. А АьВсСа + пл. А АсВаСь = ~ пл. А АВС. На основании предыду*
А
sin
sin ~
В А
sin -g- cos -g-
~c ;
sm-g-
A В
sin -g cos -g
1АсСь подобны; отношение подобия равно
C
1 sin 2”
щего пл. A IAbBc — r--------j-
Sin -g-
X cos р или пл. А 1АЬВС = ~ г2
A В
sin 2 A 1 sln 2
r —g- cos у и пл. A IAcCb — 2-r —J-
sin g- sin g-
. C A
Sin -g- COS g
sin 2
, пл.
&IAcCb = ~r*
производя круговую перестановку,
пл. Д 1ВаАс~ ~г2
. С В
sin -% cos
s,n 2
, пл.
получим:
пл.
•2
А !ВсСа — -q- г*
А ICaAb — 2
. A C
sin g- cos y
= gr2---------g----.Складывая, получим:
Sing-
. В C
Sin g COS g
sln2
sinp
пл. £JCbBa =
А АьВсСа + пл. A AcBaCb =
.С А . . А С
Sin у COS -g- + Sin g COS g
+
В
sin у
“р
. В С . , С
sm g cos g + sin g
A
sin 2
, A В , . В A \
sin g- cos g- -J- sin g cos g \
~C =
sm g /
= тгг2 ctg ctg g ctg g- = g ПЛ. A ABC.
В
COSg
___£ +
736 Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
108. Г. Геометрическое место точек пересечения медиан треуголь-
ника АВС, Середина М стороны ВС есть проекция точки О на эту сторону; значит,
геометрическое место точек М есть окружность с диаметром OD. Точка G — пере-
сечения медиан треугольника АВС получается из точки М преобразованием гомо-
тетии (a, значит, геометрическое место точек G есть образ окружности с диа-
метром OD в гомотетии yj. Этот образ есть
окружность с центром D (черт. 300).
3°. Соотношения (1), (2), (3). Остановимся только
на доказательстве того, что если выполнено любое
из соотношений (1), (2), (3), то треугольник обладает
свойством, указанным в условии задачи. Пусть, напри-
мер, выполнено условие (3); тогда sin 2А < 0; значит,
А — тупой угол, значит, сторона ВС проходит между О
и А. Из формул ? = у+ С— В, /ODB = ~ —(С —В),
£OBD = ~ — (С В), из треугольника BOD имеем
(теорема синусов):
ОВ ОР
cos (С — В) ~ cos (С + В) *
О В . cos (С + В) = OD • cos (С — В);
но из (3) следует (1); значит, ОВ == 2OD.
м). В—с = у — <f, + A. arccos sin А
4°. В 4 С— arc cos
агс cos
109. Из (1), применяя теорему синусов и соотношения Ь2 — а2 4- с2 — 2ас cos В,
c2 = #2_]_#2 — 2ab cos С, получим я4 = -|-с4. Обратно, если выполнено это
соотношение, то л4 — (Ь2 — с2)2 = 2Ь2с2, (а2 4- Ь2 — с2) (а2 — Ь2 + с2) = 2Ь2с2,
2ab cos С • 2ас cos В == 2Ь2с2 и т. д., приходим к (1). Далее, так как я4 = &4 4~ с4, то
а2 < Ь2 4~ с2 и, значит, А — острый угол, cos А = ~ и т. д. Ответ:
R
(R2 — d2)
R2 — 2d2 •
110. Пусть АС = b, АВ = с, тогда
Ь2
с2 + а2 = 2т2 + ~.
(1)
Применяя теорему о квадрате стороны треугольника в соответствии с опре-
делением абсолютной величины и знака k, будем иметь
C2 = a2 + b2 — 2k\ (2)
из (1) и (2) имеем: b2 = 4(m2-]-k— а2), с2 = 4/п2-|~2& — Зя2. Следовательно,
предполагая, что k больше наибольшего из чисел а2 — т2 и ~ 2m2, будем иметь
Ь = 2 /да2 + й — а2, с = /4и2 + 2й — За2. (3)
Таким образом, известны все стороны a, Ь, с треугольника. Положим теперь
т = ~2~; формулы (3) примут вид b = Уба2 -\-4k, с = Уба2 + 2k, причем k должно
Л А ^а2
быть больше----:
треугольник существует тогда и только тогда, когда \ b — с | < а < b -|~ с, или
b2 -j- с2 — 2Ьс < а2 < Ь2 + с2 + %Ьс, или
— у (5а2 + 4k) (6а2 + 2k) <—5a2 — 3k< V (5а2 + 4k) (ба2 + 2k). (5)
Ответы. § 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
737
Так как k>-----, то —5а2 — 3k <--------; значит, —5а2 —3£ —число отрица-
тельное, а потому второе из равенств (5) выполняется. Остается первое, которое
можно переписать в виде У (5а2 4~ 4/г) (ба2 4~ 2k) > 5а2 4- так как 5а2 4~ 3& > О,
то это неравенство эквивалентно тому, которое получится возведением в квадрат
обеих частей. Производя выкладки, получим —а2 < k < 5а2, но в таком случае (4)
выполнено. Итак, —а2 < k < 5а2.
111. Г. Координаты точек т и т'. Угол от оси Ох до Мт равен — а,
поэтому, проектируя ломаную ОМт на ось Ох, получим (черт. 301): хт — +
+ cos — и) = cos и 4- sin а, а проектируя на ось Оу, ут = cos (у — иj 4“ cos # =
— sin и 4- cos и. Угол от Ох до Мт' равен тс 4“ у— и=~— и. Значит,
хт» = cos и 4~ cos ------и) = cos и — sin и,
(ТС \ . /те Зтс \
ут, = cos 2* — а у 4“ cos (д — у + aj =
= sin а — cos а.
Мы видим, что ут ~хт, ут, = — хт,, т. е.
точки т и т' лежат на биссектрисах углов,
образованных координатными осями.
Геометрическое место точек т и /п',
когда точка М описывает дугу АВ первого
квадранта. Имеем
От = | cos и 4" sin a I У 2 = 2 sin I ~ + a
От' = | cos a — sin a | У 2 = 2
Максимум От равен 2, минимум У 2; геометрическое место точек т есть
отрезок тхтъ концы которого определяются условиями OmY == 2, От2 ~ У 2.
Максимум От' равен У 2, минимум равен 0, геометрическое место точек т*
есть отрезок т^т^, заключенный между точками тх и т^ определяемыми условиями
От\ = От'2 = У 2.
Геометрическое место точек т при условии, что точка М описывает всю
окружность. Это геометрическое место состоит из двух отрезков биссектрис
координатных углов, длина каждого из которых равна 4, а середина каждого
из которых совпадает с точкой О.
2°. Положение точки М при условии, что площадь треугольника Отт'
равна -%. ^Отт' прямоугольный (О — прямой угол), потому его площадь равна
i От • От' = | cos 2a I = ~ , 2a = ~ , a = ~; 2a = , a = ~ .
Z Z о О о о
3°. Площади поверхностей вращения, полученных при вращении
отрезка Мт вокруг осей Ох и Оу. s = те (2 sin a 4- cos a), s' = те (sin a 4- 2 cos a);
s 2 tg a 4~ 1 tz 22C 4-1 „ л v
-p- ~ lgjT+~2~ ’ ~ "x~4-"2--дуга РавностоРоннеи гиперболы (0 < X < 4- co).
Если у = 3 У 3 — 4, то X = К 3, a = у -
4°. Определение 7VH. TH— высота Д TPQ, поэтому пл. Д mPQ = пл. Д TPQ,
если ТН~тН\ но TH2 = ТМ2 4- МН2, а так как TH = Нт = НМ 4-1, то
ТМ2 = 2НМ 4- 1, но НМ == cos a sin а; значит, ТМ2 = (sin a 4~ cos a)2, TM — sin a 4-
4-cos a, а так как От — (sin a 4- cos и) У 2, то ТМ — сторона квадрата, диагональ
которого равна От.
112. 1,01 радиан.
113. 1°. Если А~2С, то В = те— ЗС; значит, ——^7^ =
sin 2С sin ои sin С
Ь-ус = Ь + с . от_юла а2 _ (Ь + с)с __с(Ь-[~с)
sin ЗС 4- sin С 2 sin 2С cos С ’ sin2 2С 2 sin 2С sin С cos С sin2 2С 9
47 П. С. Моденов
738
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
значит, а2 = с (Ь О» Далее, sin В = sin ЗС = sin С (3 — 4 sin2 С), отсюда
Ь = с (3 — 4 sin2 С) = с (1 + 2 cos А) = 4с cos ^30° + у^ cos ^30° —у j. Далее, если
а2 = (Ь + С) с, то sin2 А = (sin В + sin С) sin С = sin (А + С) sin С sin2 С, откуда
2 (sin2 А — sin2 С) == cos 2С — cos 2 А = 2 sin (А + £) sin (А — С) = 2 sin (А С) sin С.
И так как sin (А + С) ¥= 0, то sin (А — С) — sin С; отсюда А — С = С, значит, А = 26.
Далее, из данного равенства а2 — (Ь Ц- с) с находим Ь2 4~ с2 — 2bc cos А = Ьс + с2;
'зо°-4)>
тогда sin В = sin С (1 + 2 cos A), sin (А + С) = sin С +
+ 2 sin С cos A, sin (А — С) = sin С, А = 2С. Из соотно-
шения b = с (1 + 2 cos А) находим b2 — Ьс 4~ %bc cos А; но
а2 — Ь2 + с2 — 2bc cos А; значит, а2 = Ьс + с2 = (Ь 4~ с) с.
Прямоугольный или равнобедренный треугольник, для
которого А = 2С. Если треугольник АВС прямоугольный,
то С — не прямой угол
значит, b = с (1 + 2 cos А). Пусть, наконец, b
или b = с (1 + 2 cos А);
(ибо А = 2С). Если А — у, то
треугольника - не вызывает за-
7С — 7С _ 7С
у, то С — -g-, А = у; построе-
С
В = С — ~ ; построение
труднений. Если же В —
ние такого треугольника с помощью циркуля и линейки
также просто. Если треугольник АВС равнобедренный,
то А =£ С (ибо А = 2С). Положим В = С, тогда С = 9
Л Л
A , В = —, и мы приходим к предыдущему слу-
чаю. Если же А = В, то С = , А = В = ^. В этом
о о
случае (а = Ь) основание с треугольника есть положительный корень уравнения
с2 у. ас — а2 — 0. Этот корень строится так: строим окружность на отрезке MN = а
как на диаметре. В точке М проводим касательную к этой окружности и на ней
откладываем отрезок МТ = а\ точку Т соединим с центром О окружности (черт. 302).
Пусть отрезок ОТ пересечет окружность в точке Р. Тогда с = РТ. Зная с и а,
можно построить соответствующий равнобедренный треугольник (основание с, две
других стороны равны а).
2°. а) Длина биссектрисы внутрен-
него угла А. пл. £±ABD пл. ДАС£> =
= пл. Л АВС, у 1с sin ~ 4- ~ lb sin у =
= i be sin А, где I — длина биссек-
трисы AD. Отсюда находим Z, а заменяя D
t sin В sin С
b и с соответственно на а -—г и а ——г ,
sin A sin А
в a sin В sin С
получим Z = --д---------------•
sin у (sin В 4~ sin С)
б) В частности, если А = 2С, то
I = а 3 , следовательно, tg2 С =
4
= Sg.TljZ • отсюда найдем С (С —острый угол, ибо А = 26); зная С, найдем А =2С
а
к
и в = к — ЗС. Заметим, что угол С должен быть заключен между 0 и у, ибо
Черт. 303.
В = гс-—ЗС. Это будет так, если tg 6 < ]^ 3, а это, в свою очередь, будет так,
если 0 < < 3. По условию - < 3 имеет место при любых а > 0 и
а &
За —41 Л , 3
Z > 0; значит, остается единственное условие —-— >0, т. е. I < у а.
в) Геометрическое построение. Если А = 26, то / CAD — С\ треуголь-
ник ACD, следовательно, равнобедренный с вершиной D и, следовательно, DC =l.
Отложим на прямой отрезок ВС = а и возьмем на ней точку D такую, что
6£) = Z; D — основание биссектрисы внутреннего угла А. Основание D' биссек-
трисы внешнего угла А легко построить (ибо BD: DC — BD'; D'C). Таким образом,
Ответы. § 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
739
вершина А есть точка пересечения окружности с диаметром DD' с окружностью
с центром D и радиусом DC = Z. Если эти две окружности пересекутся, то полу-
чим два решения, симметрично расположенные относительно ВС (черт. 303). Если
у, то С лежит внутри отрезка DD' и две указанные окружности, очевидно,
пересекаются. Предположим теперь, что 1> -%. Угол А существует, если I < DD'.
г. г. > t D'B DB a — I D'B D'C
Так как BD = а — I и DC = I, то = —,—, откуда -—т == —у—
LJ О 4 44 ”4 4
а „ а (а — I) _ . а (а — I) 21 (а — Z)
== ----; значит, D'B = -Д—и DD' = а — 1-\- ; итак,
2Z — а 21 — cl 21 — a 21 — а
. 2l(a — l) 1(За — 4Г) п , а . За п
I < '---L, или _л_------>0, а так как I > , то I Следовательно,
21 a 2L CL 2 тг
, За
единственное условие существования решения Z < .
114. Г. Вычисление б и с. Данное соотношение в силу В 4-С = тс — А
cos А 2 sin А
приводится к виду д-=81п№7. или
sin В sin С cos А = 2 sin2 А. (1)
Отсюда
be cos А = 2а2; (2)
но а2 = Ь2 + с2 — 2bc cos А; значит, а2 = Ъ2 4- с2 — 4а2, или
5а2 = 62 + с2. (3)
Из соотношений (2) и (3) можно найти b и с:
4^2 / 4
(ft+c)2 = i2 + c2+2^ = 5a’+-^1, b + c = ay 5 + -J-J;
4л2 / 4
(й_с)2 = 62 + с2_26с = 5а2--^-5, Ь-с = ау 5--^ (*>С);
следовательно,
, а ГЗ cos А + 4
6=2\V cos Л-
5 cos А — 4'
cos А ,
^.(1/ 5 cos 4~ 4____5 cos Л — 4\
2 \ V cos Л V cos Л /
Исследование. Условие возможности решения задачи
5 cos Л 4- 4 > ф 5 cos Л — 4 > 5 cos Л 4- 4 5 cos Л — 4
cos Л cos Л ' cos Л > cos Л
Все эти условия будут выполнены, если
cos Л > — •
5
(4)
2°. Медианы, выходящие из В и С, взаимно перпендикулярны. Построе-
ние треугольника (Т), если заданы вершины В, С и угол Л. Пусть М — сере-
дина стороны ВС какого-нибудь треугольника (Т) {АВС) и ~
этого треугольника (черт. 304). Для того чтобы
/ BGC = 90°, необходимо и достаточно, чтобы
ВС а
GM = = 2", или
а2
GM2 = —;
4
2b2 + 2с2 —а2
но АМ2 =----------------,
4 ’
(АМ\2 2b2 + 2c2 — a2 w
= I —g- I =-------Чф-----. Условие (5) принимает
2Ь2 + 2с2 — а2 а2 ,2 . 2 - 2
вид-----L-gg-----== -j-, или Ь2 4- с2 = 5а2. Об-
ратно: если выполнено это последнее соотношение,
то будет выполнено и соотношение (5). Построение
треугольника (Г), для которого заданы вершины В, С и угол А (черт. 305). На
отрезке ВС строим дугу, вмещающую угол Л; MG~-^f значит, MA = ~-t
а поэтому точка Л должна быть расположена на окружности с центром М и
G— центр тяжести
(5)
поэтому
GM2 -.
47*
740
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
За _
радиусом Эта окружность пересекается с дугой, опирающейся на хорду ВС
и вмещающей угол А, тогда и только тогда, когда ALV > или ВМ ctg ~ ~,
_____ > А I л 4\
это условие получается и из cos Л >
откуда
Черт. 305.
3°. Геометрическое место центров тяжести треугольников (Г). Пусть а
задано. Тогда GM = -%, GA ~а и, значит, точка G описывает эллипс с полу-
осями а и (черт. 306).
Радиусы окружностей,
AM AM
^“2 sin В’ 2 sin С’
,n n , AM |c— b\ D __ „ .
I — R21 = ~2—d'sin С * Если H—основание высоты, опущенной из А на ВС,
Т — точка прикосновения к стороне ВС окружности, вписанной в треугольник АВС,
a D — середина стороны
115.
и АСМ;
описанных вокруг треугольников АВМ
, п п AM | sin С — sin В |
откуда | - R21 = -2----siil?sinC 1 или
ВС, то АН = b sin С, ВТ = р — Ь~~(а-±-с— Ь),
BD = ~> TD = ~\c — 6 | и, значит, 1 ~/?2 I =
AM -TD ~
~ . Опустим из точки О перпендикуляр ОК
на IT. Треугольники АМН и OIK подобны, откуда
~ _ AM • TD , п ~
01 == —ТП— » следовательно, I R{ — /?21 = 01.
АП
116. Г. Вычисление Ь и с. Имеем а2~Ь2-\-
4- с2—2bc cos А. Так как с = 2К то а2=5Ь2—4b2 cos А,
, л 2 а
откуда Ь = > , с = - ___Та к
•/5 —4cos Л /5 — 4соэЛ
как 1< У*5 — 4 cos Л <3, то |&— с\<а<Ь-\-с.
Следовательно, при любом А (0 < Л < 180°) суще-
ствует треугольник, удовлетворяющий условию.
2°. Построение треугольника. Для построения
этого треугольника построим на прямой отрезок
ВС = а; построим дугу, вмещающую данный угол Л, и окружность, для всех то-
чек Л которой АВ = 2АС. Эта дуга с построенной окружностью - пересекаются
всегда в одной точке (черт. 307).
па „ л , be sin Л п sin Л .. л
3 . Изменение h. ah = be sin Л, откуда h =----~2а-=.---л---т. Угол Л
J а 5 — 4 cos А
Л А
2tgA l-tg*A
изменяется в интервале (0, л). Так как sin А =-j-, cos А =------—, то
l + ‘g2JJ 1 + tg2 -2-
Ответы. § 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ '
741
tg-4 4 3tg4
= 4а —--------г- =* -у а-------^-То • Полагая
1 + 9,в.4 3 i + (3te4)
! -т-Х^о— = -В- a sin 2ср. Так как 0 < А < к, то
1 + tg2 <? 3
О < 4» < ~; значит, при изменении А от 0 до тс, 3 tg -у монотонно возрастает
от 0 до 4-оо, значит, и tgcp изменяется от 0 до 4* °0- Поэтому можно считать, что
О < ср < у, а тогда при 0 < ср ~, sin 2<р монотонно растет от 0 до 1, а при
монотонно убывает от 1 до 0. Если ? = у , то tg <? = 1, 3tg~ = l,
4 2 4 Z
л I 4 4 2
tg — = -д-, cos А = ; значит, при 0 < А < arc cos -g- h возрастает от 0 до у а,
а при arccos-у <А <-у h убывает
О 2
от — до 0. Замечание. Из черт. 307
ясно, что если угол А изменяется от О
до тс, то h сначала возрастает от 0 до
, I ^а\
радиуса окружности (Г) I он равен yj,
2а л
а затем убывает от -у до 0.
4°. Определение 4, если за-
дано h. Если задано А, то угол А нахо-
дится из условия 9Л tg2 у— 4а tg у 4- = 9; корни этого уравнения относительно
^4
tg у должны быть действительны и положительны, что будет тогда и только тогда,
2а
когда дискриминант неотрицателен: 4а2 — 9/г2 >0, h < -у.
5°. Геометрическое место середины АВ и середины биссектрисы угла 4.
Выше мы видели, что если А возрастает от 0 до тс, то точка А описывает полу-
окружность окружности (Г), расположенную над прямой ВС. Для заданного поло-
жения точки А середина АВ получается из А при помощи гомотетии ^Bt yj.
Значит, геометрическое место точки М есть полуокружность, полученная в резуль-
тате гомотетии полуокружности (Г), расположенной над ВС; эта полуокружность
также расположена над ВС с центром D и радиусом DC. Аналогично находится
геометрическое место середин AD.
117. Г. Число условий, определяющих равнобочную трапецию, площадь
которой равна 1 м\ Чтобы определить трапецию вообще, нужно задать четыре
стороны. Так как трапеция равнобочная и так как задана ее площадь, то два
условия уже заданы и остается задать еще два условия, например: 1) g и 0'
fтогда находим х = -- и h из равенства xh = 1^;
2) ₽ и
3) р' и
4) Р и
5) ₽ и
6) р' и
9 х 4
— 2а -т у:
5 + 5tg2-J-4 + 4tg*~
А 4
3 tg у == tg ср, получим А = у-а
п
7
-ъ-а
2
Л;
Л;
6;
6
и т. д.
2°.
Вычисление р в функции 6 и х:
1 2 —cos 0 ( 1 ,/v
р =-------г-н---и х = — V 3 ----
г X sin О ‘ X %
полагая
/3tgv = tg?, находим р = — /3 —s- + X и, значит, pmin = — +х.
& wV Olli «Лк
742
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
3°. Определение трапеции, для которой р минимально.
/4_ \2
4 __
+ 2/3,
Anin
4 4 2
значит, (Anin)fflin — 2 У 3 при х = У 3 ; при этом АВ == ВС == . Итак, в тра-
/27
пеции ABCD имеем АВ = ВС = CD.
118. Указание: a = Далее, Ь + с = 2р — а == 2p^—ZLt Из фор-
Л- ц,
+Г (Р — а)(р — Ь)(р— с) L _ h nh— 2r „
мулы же г = у -------—-----—------~ находим Ьс = г2 -+ р2 —-—. Сто-
J г р h — 2r ‘ h
роны Ь и с — корни соответствующего квадратного уравнения; эти корни
h-r , р2 h
р —h— “ Г V —h — 2r— 0НИ И будУт (если задача разрешима) значениями
АВС
Ь и с. Углы находим из соотношений г = (р — a) tg = (р—6) tg = (р — с) tg .
2 2 2
2°. tg -g" = 1; отсюда 2pr = (р — г) h.
3°. Необходимо и достаточно выполнение следующих трех условий:
. z?2 h . л о ,
а) — тб) найденные выше значения для Ь и с положительны;
Г1л П — 2Г
9 3
Условие а) при = 6 и Л = 3 дает или , или г> Условие б) будет
выполнено, если Ь + с > 0, Ьс > 0, отсюда г < ; но это условие будет выполнено,
3
е. уже при выполнении условия а). Условие а < Ь 4- с дает г < ,
9 . 2рг п _ Гр2 h
г < -тг. Условие а > \ Ь — с I имеет вид > 2г 1/ 7,
8 h V h2 h — 2r
h h / n Л 3
т---5“ , T- e- z--n — 2г>0,г<^- что опять выполняется
h — 2r’ h — 2r 2 *
9
lK- '•<-8 •
A 4
4°. Если p = 6, h = 3, r = 1, to a — 4, b = 5, c = 3, В = 90°, A = arc tg 3-,
3
C = arc tg 4-.
119. 1°. Будем считать, что При этом условии угол и — это угол ADB
(черт. 309):
Z sin и sin А
9
если r<-Q , т.
о
что следует из
р2 Р2
илим>>-
9
а = —
sin
Ь = —
sin
I sin и
с = —
sin
I sin и
Для построения треугольника строим сначала прямоугольный треугольник DAD'
с заданными катетами I и Затем строим лучи АВ и АС такие, что /_BAD =
= LDAC => . Условие возможности:
tg-y<tgw^H tg~<-|-.
2°. Угол DAD' = 90° (черт. 310); зна-
чит, точка А расположена на полуокруж-
ности с диаметром DD' (мы предполагаем,
что вершина А лежит над прямой DD').
Однако точка А не может занимать лю-
бое положение на этой полуокружности.
В самом деле, точки В и С гармонически
сопряжены относительно пары точек D
и D' (черт. 311), и точка D (конец внутренней биссектрисы) должна быть между
ними; значит, точка С должна быть расположена на продолжении отрезка D'D
за точку D. Пусть АХ — луч, исходящий из А, параллельный D'D и идущий
Черт. 309.
Ответы. § 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
743
в направлении луча D'D, тогда DAX>-^-} т. е. D'DA > значит, точка А
может занимать на указанной выше полуокружности лишь те положения, которые
отделены на этой полуокружности лучом DAX, таким, что ^D'DAX —
Точки, через которые проходят АВ и АС. Пусть / и J—вторые точки
пересечения прямых АВ и АС с окружностью (Г), построенной на DD' как на
диаметре. Соединим их с точкой D'; имеем: (D'D, D'l) = (AD, AI)~(AD, AB) = — g- »
(D'D, D'J) = (AD, AJ) = (AD, AC) = -g~; значит, точки / и J расположены сим-
метрично по отношению к D'D. Ясно также, что D'l и D'J симметричны DAX
относительно точки О и по отношению к медиатрисе у'у отрезка DD'. Иначе
говоря, точка I симметрична с точкой Д относительно О, а точка J симметрична
с точкой Аг относительно у'у. В то время как точка А описывает свое геометри-
ческое место от D к Аь точка В идет из D влево до точки О, а точка С от D
когда точка А' расположена на полупрямой Dx. Если это условие выполнено, то
точки В и С суть точки, в которых прямая DD' пересекает окружность, ортогональ-
ную окружности (Г) с центром А', радиус которой равен отрезку касательной, про-
веденной из точки А' к окружности (Г). б) Дана точка Р, из которой отрезок ВС
виден под прямым углом. Окружность с диаметром ВС, который ортогонален
окружности (Г), должна пройти через точку Р. В то время как точка А описывает
дугу DAi окружности (Г), окружность с диаметром ВС (эта окружность принад-
лежит пучку окружностей, для которого точки D и D' — предельные) изменяется
так, что она пройдет через все точки плоскости, расположенные справа от пря-
мой у'у. Итак, точка Р должна быть расположена справа от прямой у'у. Если это
условие выполнено, существует только одна окружность, проходящая через точку Р
ортогонально (Г), центр которой расположен на прямой х'х. Эта окружность про-
ходит через точку Р' — четвертую гармоническую к точке Р относительно точек,
в которых прямая ОР пересекает окружность (Г)', ее центр — А' — точка, в кото-
рой медиатриса отрезка РР' пересекает прямую х'х. Радиус этой окружности А'Р,
а центр А'.
о sin А __ sin В __ sin С
sin В sin С ’ m ~~ sin A sin С ’ а ~~ sin A sin В
2°.
D тс , 1 Г /2 . . л\ .1
В = -g- 4- g- arc cos I у sin А — cos А 1 — А ,
% 1 Г /2 . \ . л!
С = -g- — у arc cos I у sin А — cos A I -J- A l
A
(считаем B>C). Условие возможности Z>2tg-y.
3°. Для построения треугольника АВС по данным а, I, А строим на отрезке
ВС = а дугу, вмещающую угол А, и проводим прямую, параллельную ВС и от-
стоящую от ВС на расстоянии h = ~. Если эта дуга и прямая пересекаются, то
44
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
берем, считая В > С, лишь ту точку встречи, которая лежит по одну сторону
с точкой В относительно медиатрисы отрезка ВС. Линии пересекаются, если
л < ту ctg у или / > 2 tg у.
л А
4°. Условие АВ = АС будет выполнено, если А = ctg
А
л
или Z = 2 tg -j-.
л А
Так как угол С может изменяться от 0 до 90° — , а угол В— от 180°—А до 90°—-% ,
Д
случае А < 90° —,
А
если 90° —j" < А <
треугольник не может
)бом С, а если А < 90°,
2 ’ -
то равенство В А = ВС может быть выполнено лишь в
откуда А<бЭ°. Наконец, равенство АС = ВС возможно,
<180° — А, откуда 60° < А <90°, Далее, если А > 90°, то :
быть прямоугольным; если А = 90°, он прямоугольный при лю<
он будет прямоугольным и угол В будет прямой (В С) при условии, что I = tg А,
122. 1°. Гомотетия, в которой вектор НА переходит в вектор ОМ.
Точка О есть ортоцентр треугольника, вершинами которого служат середины М,
N и Р сторон треугольника АВС. Гомотетия, в которой вектор НА переходит
в ОМ, есть, следовательно, гомотетия, переводящая треугольник АВС в треуголь-
ник MNP; это, следовательно, Гомотетия (G, —, где G — точка пересечения
медиан треугольника АВС (черт. 312).
2°. Вычисление h и d в функции R и углов треугольника АВС. Обозначая
через b и с длины сторон АС и АВ треугольника АВС, имеем (классическое соот-
ношение) be = 2R • АА' или 2R sin В • 2R sin С = 2RAA', откуда АА' = 2R sin В sin С
и, так как АА' = АА', то
h — 2R sin В sin С.
(1)
С другой стороны, в силу гомотетии, указанной в 1°, имеем АН = 20М =
~2R cos МОС. Угол МОС равен А или тс — А в зависимости от того, будет ли
А острым углом или тупым. В обоих случаях cos МОС = | cos А |, значит, АН =
— 2R | cos А |. Это равенство показывает,
что АН и 2R cos А имеют одну и ту же
Черт. 312.
Черт. 313.
абсолютную величину. Из черт. 312 и 313 следует, что АН и cos А положительны,
если А — острый угол, и АН и cos А отрицательны, если А — тупой угол; значит,
d = 417=2/? cos А. (2)
3°. Вычисление углов А, В, С, если даны Zz, d и R. Из (1) и (2) имеем:
2 sin В sin С = Д- , cos (В + С) = — ~ , отсюда cos (В —- С) = • Если — —
К ЛК ЛК
2h — d 1,1 о
и —— заключены между —1 и 4- 1, существуют два угла аир, заключенные
ЛК
л d о 2h — d . о - /
между Ойл, такие, что cosa =—и cos р =—; предполагая В^С (это
. ЛК лк
Ответы. § 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
745
Д I ft Д _ ft
не нарушает общности решения), будем иметь В = —, С = —— • Найденным
значениям В и С соответствует треугольник, удовлетворяющий условию, ибо углы В
и С будут положительны (и их
сумма меньше тз). Угол В, оче-
видно, положителен. Угол а по-
ложителен, ибо а > ₽, так как
0 2Л — d d
cos? =—> cosa = —
Итак, треугольник существует,
1 d 1
если только —1 < — < 1 и
. 2h — d ,
— 1 < —оо— < эти неравен-
2R
ства эквивалентны следующим:
1 d 2h — d 1
—- 1 < 2^ и 2R < 1’ или
d <2R и d > 2h — 2R, или
2 (h — R) < d < 2R.
4°. Построение треуголь-
ника, если даны Ze, d и R.
Зная h и d, можно построить
точки А, Л' и Н и провести
прямую (А), перпендикулярную
в точке Л' к прямой Л Л', на которсй лежит сторона ВС (черт. 314 и 315). Пусть
точка, симметричная Н относительно (А). Точки А и К лежат на окружности, описанной
вокруг искомого треугольника; значит, центр О этой окружности лежит на медиа-
трисе (D) отрезка АК; с другой стороны, точка О лежит на окружности с центром Л
радиуса R. Таким образом, построена точка О. Построив окружность с центром О
и радиусом R, найдем в пересечении ее с (А) точки В и С. Для того чтобы реше-
ние было возможно, необходимо и достаточно, чтобы окружность с центром Л
радиуса R пересекала (D), и окружность с центром О радиуса R пересекала (А).
Пусть /—середина АК. Сформулированные условия запишутся так: А/ < R и
и
и
(Ю
м
Черт. 316.
(д)
IA'< R. Но (черт. 314 и 315) А'1 = МО = — ~ АН = — у и А1 = АА' + А'1 =
1 d I 1 d I I d I — г-,
= h — 2", значит, \h — g| < и — g- < Я, или — R< h — g
— R< — ~ < R — то же, что и выше.
5°. Построение треугольника АВС, если известны точки О, Н и Л. Если
известны точки О и Я, то можно построить центр тяжести G искомого треуголь-
ника и вектор ОМ, полученный из НА в результате гомотетии [g, —g^. Точка
М — середина стороны ВС известна; проведем через точку М прямую, перпенди-
кулярную к прямой ОМ; на этой прямой должна лежать сторона ВС. Окружность (Г)
с центром О и радиусом ОА пересечет эту прямую в искомых вершинах В и С
(черт. 316). Условие возможности решения задачи состоит в том, чтобы окруж-
ность (Г) пересекала прямую (А), т. е. ОМ < О А
или i АН < АО или < 2. Для того чтобы
это условие было выполнено, необходимо и до-
статочно, чтобы точка Л лежала вне окружно-
сти (?), являющейся геометрическим местом точек,
для каждой из которых отношение расстояний от
двух фиксированных точек Н и О равно 2 (эта
окружность, между прочим, проходит через
точку G).
123. 1°. Поляра точки /. Расположение
lbnlc относительно (DDf). Величина ib ic. Сто-
роны и биссектрисы угла В образуют гармониче-
ский пучок; этот пучок биссектрисой внутреннего
угла Л пересекается в точках Л, D, /, 1а; значит,
четыре точки образуют также гармоническую четверку. Угол DAD' прямой;
т,гп ттп п/у как на диаметре, пройдет через
жности;
' 4. 4
эти >
значит, окружность (&)/ построенная *на DDr i
точку Л. Точки Z и 1а, по доказанному, сопряжены относительно этой окруж!
значит, поляра любой из этих точек проходит через другую. Точки Л, D',
являются точками пересечения четырех указанных прямых, образующих
746 Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
гармоническую четверку с биссектрисой внешнего угла А. Значит, эти точки также
образуют гармоническую четверку, и, значит, точки 1Ь и 1С также полярно сопряжены
относительно окружности (Q). Точки ib и 1С суть точки прикосновения с прямой ВС
окружностей, вневписанных в углы В и С треугольника АВС. Значит, Bib = р и
В1С = р — а, где р — полупериметр треугольника АВС', отсюда ibic = b + с; наконец,
£AD' D=£HAD (углы с перпендикулярными сторонами). Обозначим через А' точку,
симметричную точке А относительно ЕЕ'\ тогда / HAD = / AEEf = ~ / АЕА’ =
= у z АВА' = | (Z АВС — Z А'ВС) = АВС — / АСВ) = С . Итак,
2°. Построение треугольника АВС> если даны В — С — 2а, АН—На и
Ь-\-с — 21, Если известен угол AD'H(—a) и длина АН(— ha), то можно построить
прямоугольный треугольник AHD'. Построим затем середину N отрезка D'H.
Расстояние между точками ib и 1С известно:
/гЛ = * + с = 2/, (1)
а так как четыре точки £)', A, Ic, 1Ь образуют гармоническую четверку, то и четыре
точки D', Н, lc, ib образуют гармоническую четверку; следовательно,
• Nib = NH2; (2)
кроме того,
A76-^=2Z. (3)
Из системы (2) и (3) можно найти или геометрически построить отрезки Nib
и (черт. 317). Зная Nlb и NZC, можно построить на прямой D'H точки ib и ic,
Черт. 317.
а затем построить и середину М отрезка ВС, так как середина отрезка ВС сов-
падает с серединой отрезка lbtc. Проведем, далее, через точку М прямую, перпен-
дикулярную D'H, и пусть она пересекает D'A в точке а прямую AD х AD'
в точке Е. Строим окружность на отрезке ЕЕ' как на диаметре. Точки пересечения
этой окружности с прямой D'H и будут искомые вершины В и С треугольника АВС.
Условие возможности решения состоит в том, что окружность, построенная на ЕЕ'
как на диаметре, пересекает прямую D'H, а это будет тогда и только тогда, когда
Ответы. § 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
747
точка Е' лежит над прямой D'H, а точка Е— под этой прямой; иначе, если
точка D лежит правее М, т. е.
NM > ND. (4)
Из черт. 317 находим NM = №> *, Хсо2 = NH2 4- Ню2 = NH2 Z2 и условие (4)
можно записать так: NM2 > ND2, или NH2 4~I2 > (NH 4~ HD)2, NH2-\- Z2 > NH2 4-
+ 2NH • HD-Y HD2, или, заменяя 2NH на D'H, I2 > D'H • HD 4- HD2, или
Z2 > Л2 4~ (ha tg a)2» отсюда Z > ^a~ -.
a 1 V a & J 9 * cos a
3°. Выражения для Ь-\-с и ha в функции R и углов треугольника:
b 4- с = 2R (sin В 4- sin С), (5)
ha — 2R sin В — sin С. (6)
Вычисление углов треугольника АВС по данным п. 2°. Перепишем соотноше-
ния (5) и (6) так:
Ь + с = 4Rsin В + cos , ha = R [cos (В — С) — cos (В + С)],
или
Полагая
^4
l=2R cos у c<>s a, ha — R (cos 2a 4- cos A).
A
cos -y = x и исключая получим
(7)
и А. Углы В и С
В — С
и —“ а’ откуда
f(x) = lx2 — hax cos a — I sin2 a = 0.
A A
Это уравнение определяет cosy , откуда у , следовательно
- „ В -j- С те А
будут определены тогда из соотношении -------g— == у----
г, к Л , к А
В~~ 2 2 + ’ С ~ 2 2 а'
Исследование. Для того чтобы корень уравнения (7) давал решение задачи,
необходимо и достаточно: 1°, чтобы он был заключен между 0 и 1; 2°, чтобы полу-
ченные значения для В и С были положительны. Значение В положительно. Для
того чтобы и значение С было положительным, необходимо и достаточно, чтобы
те А . / те А \ , А г . ,,
~2 —g" > а’ или sin ( 2” — > s п а’ или cos "2~ > Sin а’ Т’ е‘ Х > Sm a* Итак,
задача имеет решение, если уравнение (7) имеет корень, заключенный между sin a
и 1. Корни уравнения (7), очевидно, всегда действительны. Далее, /(sina) =
— — sin a cos a < 0, /(1) = cos a (Z cos a — — это выражение положительно,
если ha<l cos a. Наименьший из корней уравнения (7) всегда меньше sin а и
потому должен быть отброшен. Больший будет больше, чем sin а, и меньше 1, если
только ha< I cos а или I > • Мы приходим снова к результатам исследования,
полученным выше геометрическим путем.
124. 1°. Пусть точки А, В и С — ортогональные проекции на OX, OY и OZ
точки М. Полагая (ОХ, ОМ) = a, (OY, OM) = fi, (OZ, ОМ) = 7, будем иметь х —
= ОМ cos а, у = ОМ cos р, z = ОМ cos 7. Применяя теорему Шаля (к углам), находим
sin (OY, OZ) = sin [(OK, ОМ) 4~ (ОМ, OZ)] = sin (p — 7) = sin p cos 7—sin 7 cos p; за-
меняя cos 7 и cos p их выражениями из предыдущих соотношений, получим
—> —> 1 —>. —> х
sin (OY, OZ) = (z sin p — у sin 7), откуда x sin (OY, OZ) = (z sin P—у sin 7).
Аналогичным путем можно получить еще два соотношения, которые получаются
из этих круговой перестановкой букв (X, Y, Z), (х, у, z) и (а, р, 7): у sin (OZ, OX) =
~ ОМ sin 7 г sin аЬ z sin ОУ) = (у sin а—х sin Р). Складывая, получим
х sin (ОУ, OZ) -}- у sin (OZ, OX) 4- z sin (OX, OY) — 0.
(1)
* Надо построить окружность (<о) радиуса Z с центром со, лежащим на NА, касаю-
щуюся DH в точке Н. Если тогда соединить N с со и обозначить точки пересечения
окружности (<о) с Хсо через и ib, то Ni'cNib == NH2 и Nlb — Nic = 21; отсюда NM = Na>.
748
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Доказано, что соотношение (1) есть необходимое условие того, что
точки А, В и С являются ортогональными проекциями на OX, OY и OZ некоторой
точки М. Для того чтобы доказать, что условие, выраженное равенством (1), и доста-
точно, предположим, что точки Л, В и С, расположенные соответственно на ОХ,
OY и OZ, таковы, что соотношение (1) выполнено. Обозначим через С' точку
(отличную от 0), в которой OZ пересекает окружность, описанную вокруг треуголь-
ника ОАВ. Перпендикуляры к ОХ в точке Айк OY в точке В проходят через
точку О', диаметрально противоположную точке О на окружности (Г); значит,
точки А и В, а также и О' суть ортогональные проекции точки О' на OX, OY
и OZ, а потому, полагая ОС' =Zz', на основании необходимого признака будем
иметь х sin (OY, OZ) 4- у sin (OZ, OX) -f- z' sin (OX, OX)—0. Сравнивая c (1), которое
выполнено по предположению, получим z' — z, а, значит, точки С и С' совпадают,
а потому точки А, В и С являются ортогональными проекциями точки О' на осях
OX, OY и OZ.
2°. Для того чтобы три точки А, В yl С лежали на одной прямой, необходимо и
достаточно, чтобы точки А', В', С', полученные из них в результате инверсии (О, р),
лежали на одной окружности, проходящей через точку О. Для этого необходимо и до-
статочно, чтобы точки А', В', С' были ортогональными проекциями на OX, OY и OZ
одной и той же точки или чтобы х' sin (OY, OZ),-{- у' sin (OZ, OX) z' sin (OX, OZ) =
== 0, где x' = OA', y' = OB', z' == ОС'; но x' = , y' = z' = —, значит,
xyz
sin (OY, OZ) sin (OZ, OX) sin (OX, OY)
X у Z ““ ( )
Предположим, что прямые AXBX, A2B2 и A3B3 пересекаются в одной точке, и
пусть OZ — прямая, которая соединяет точку О с общей точкой этих трех прямых.
Точки Ab Вх и J расположены на одной прямой и соответственно на осях OX, OY,
OZ; значит,
sin (Qp, OZ) sin (OZ, OX) sin (OX, OY) = Q
*1 + У1 + Si “
Аналогично, рассматривая точки A2, B2 и I, с одной стороны, и точки А3, В3, I —
с другой, получим:
sin (OY, OZ) sin (OZ, OX) sin (OX, OY) Q
x2 ‘ y2 + zx ~ ’
sin (OY, OZ) sin(O$, OX) sin (OX, OY) = Q
хз + Уз + 2-1
Вычитая из второго равенства третье, из третьего — первое, а из первого второе,
получим:
(--------Ц sin (OY, OZ) + (--sin (OZ, OX) = o,
(4-----4-) sin + ( V-----H sin (°A OX)=0.
(A - АЛ sln (О?, o’?) + (4— 4-) sin (oz, OX) = 0.
\xk X2 J \ Ух У2/
Умножая обе части первого равенства на —, второго — на — и третьего — на —
Х1 х2 Х3
и складывая почленно полученные при этом равенства, будем иметь
А(А_А) + А(А_А) + А(А
ХХ \ У2 Уз) х2\ Уз У\) хз\ Ух
A')l sin (OZ, OX) = 0.
У2 /J
Так как точки Аь А2, А3, по предположению, различны, то точка I не может быть
расположена на оси ОХ; значит, оси ОХ и OZ различны и sin (OZ, OX) 0, поэтому
— (_L _ И + _L (_L__L) + J_ (_!_ _ _L) _ о.
XX \ У2 Уз) x2\ Уз Ух ) хз\ Ух У2 /
Это условие получено как необходимое условие того, что прямые АХВХ, А2В2 и А3В3
пересекаются в одной точке. Докажем, что оно и достаточно; предположим, что
Ответы. § 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
749
точки Аь А2, А3 на оси ОХ и Blt В2, В3 на оси OY выбраны так, что оно выпол-
нено. Обозначим через / точку, в которой пересекаются прямые АХВХ и А2В2,
а через А3— точку, в которой 1В3 пересекает ОХ, Полагая ОА3 = х3, будем иметь
— _ J_) + ± (Л —Ц + 4 (2__ „ о;
*1 \ Уг Уз / *2 \ Уз У1/ х3\ У1 Уз /
сравнивая это с (3), найдем л3 = х3, т. е. точки А3 и А3- совпадают. Значит, пря-
мая А3В3 также проходит через точку /.
Замечание. Мы доказали, что если прямые ХВр А2В2 и А3В3 проходят
через одну точку, то соотношение (3) выполнено. Можно доказать, что соотноше-
ние (3) выполнено и в том случае, когда эти прямые параллельны между собой.
В самом деле, в этом случае Xi = \ylt х2 — \у2, х3 = Ху3 и соотношение (3) легко
проверить. С другой стороны, при доказательстве достаточности условия (3) мы
предполагали, что А{В{ и А2В2 пересекаются; предположим теперь, что соотноше-
ние (3) выполнено, а АХВУ и А2В2 параллельны. Обозначая тогда через А3 точку,
в которой прямая, проведенная через В3 параллельно и AYB2, пересекает
ось ОХ, как и выше, докажем, что А3 и А3 совпадают. Окончательно можно ска-
зать, что соотношение (3) есть необходимое и достаточное условие того, что пря-
мые Д#!, А2В2, А3В3 проходят через одну точку или параллельны между собой.
4°. а) Предположим, что точки А2, лежащие на оси ОХ, и точки и В2,
лежащие на оси OY, меняются так, что
*2 Уз
Пусть I — точка пересечения прямых и А2В2. Обозначим через 01 пря-
мую, ориентированную, например, от О к 1. Точки В{, I лежат на одной прямой,
точки А2, В2, 1 также лежат на одной прямой; значит, полагая 01 = z, будем иметь:
(4)
sin (OX OZ) sin (OZ, OX) sin (OX OY) = 0
+ УI + *
sin (OY, OZ) sin (OZ, OX) sin (OX, OY) Q
*2 У2 X z
откуда (вычитая)
(J------sinfor, OZ) 4- (------------M sin') OZ, OX) = 0. (5)
\-*l *2 / X \У1 У2 / /
1Л /лч 1 1 /1 1 \
Из (4)------------ — I---------)• Обе части этого равенства отличны от нуля, так
X х2 \ У) у2 /
как мы предполагаем, что точки Аг и А2 различны так же, как и точки и В2.
В таком случае из (5) следует sin (OY, OZ) — sin (OZ, OX) == 0, sin (OY, OZ) =s
= sin (OZ, OX)', значит, (OY, OZ) = (OZ, OX) (mod 2к), или (OY, OZ) = к —
— (OZ, OX) (mod 2к). Второе равенство не может иметь места, так как в случае
если оно выполнено, применяя теорему Шаля, мы получим (OY, ОХ) = K(mod2K),
т. е. оси ОХ и OY лежат на одной прямой, а мы предполагаем, что это не имеет
места. Значит, остается (OY, OZ) = (OZ, ОХ), т. е. ось OZ есть биссектриса угла,
образованного полупрямыми ОХ и OY. Таким образом, прямая OZ есть прямая, па
которой лежит эта биссектриса; она фиксирована, и точка I постоянно лежит на
этой прямой (Д). Точка / есть точка пересечения переменной прямой АХВХ с пря-
мой (Д). Пусть точка А! фиксирована, а В{ произвольно изменяется на оси OY
(это возможно, ибо Xi и у! связаны лишь одним соотношением (4), куда входят
четыре количества xlt уь х2, у2, из которых лишь х} мы считаем фиксированным,
а у! — произвольным). Тогда прямая А[Вг будет занимать вокруг точки Д всевоз-
можные направления и, значит, точка / опишет целиком всю прямую (Д); прямая (Д)
и есть геометрическое место точек I. б) Предположим теперь, что
1 —
Заметим, что это соотношение есть то же соотношение (3), в котором х3 = у3 = 1.
Оно выражает необходимое и достаточное условие того, что прямые А^В^ А2В2,
750
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
АВ
о А
2cos-£-
А3В3, где ОА3 — ОВ3 = 1, пересекаются в одной точке, лежащей на фиксированной
прямой А3В3; точка I пересечения прямых AjBj и А2В2 описывает прямую А3В3
в целом.
5°. МА sin (МВ, МС) 4- MB sin (МС, МА) 4- МС sin (МА, МВ) = 0 или
— МА sin А + MB sin В 4~ МС sin С = 0, откуда 2МА sin = МВ 4- МС. Если
Z ВАС = 90° (и В А = АС), то МА У"2 = МВ МС. Если Л АВС равносторонний,
то МА = МВ + МС. F
6°. DA sin (DB, DC) + DB sin (DC, DA) + DC sin (DA, DB) = 0. Ho
sin (DB, DC) = -5^ , sin (DC, DA) = — , sin (D%, DB) = ; значит,
DA • BC — DB • CA 4~ DC • AB = 0. Это равенство выражает теорему Птоломея.
7°. АВ sin (AD, Ж?) + AD' sin (AC, AB) + AC sin (AB, AD’) = 0 или c sin-y —
— sin A b sin 4, откуда 2Ла cos =b-j-c. Соотношение (1) дает -s—_i_
. , , A • Д
, sin (AC, AB) , sin (AB, AD) . sln 2 sin A . sm 2
+------AD-----+------AC—^0'—i------------lT+~Г-=°’Или
1 1
= у + ~ • Делением находим ZaXa = be.
Замечание. Поступая аналогично по отношению к биссектрисе внешнего
угла А, обозначая точки пересечения этой биссектрисы с ВС и окружностью, опи-
санной вокруг треугольника АВС, через Е и Е' и полагая АЕ = l'a и АЕ1 = Х^, по-
о . А
. а %Sin 2 11 II
лучим: 2Xasin-y = | b — с |, -= |, * А = Ьс.
125. 1°. А. Длины сторон треугольника AMN.
Рассмотрим следующие равенства (верные с точностью до kn, где k — целое
число): (МА, MN) = у (61, ON) = 1 [(61, 61) + (ОХ, СЖ)] = -1+Li(NA, NM)=
= 1 (61, ОМ) = -1 [(61, OX) + (OX, ОМ)] = , (AM, AN) = ^ (OM, ON) = <p.
Теперь из A AMN имеем -j—4^ r = ----г = тт~т = 2/?, откуда AM=
I sin —sln ~2 I
= 2R | sin 1, ^ = 27?|sin-^-=^-|, AW = 2/?|sin?|.
Соотношение между 0 и ф, если сторона MN равна полусумме двух
других сторон. Соотношение 2MN = AM 4- AN может быть записано теперь так:
2 | sin ср | = | sin -ф- | 4-1 sin — . Отсюда или
21 sin ср | = | sin 4~ sin ^2^ ) ’ С1')
или
2 | sin ср | = | sin — sin 1 • (1")
Соотношение (V) можно переписать так: 2 | sin | = j 2 sin ~ cos , или 4 sin2 ср =
= 2 sin2 ~ 2 cos2 , или 4 (1 — cos ср) (1 4“ cos ср) = (1 — cos 6) (1 4- cos ср). Предпо-
ложим, что 1 4~ cos ср = 0; в таком случае MN = 0 и соотношение (1) не может
быть выполнено [это обстоятельство вызвано тем, что если бы мы с самого начала
вместо соотношения (1) взяли бы соотношение 2MN = | AM — AN то, повторяя
те же выкладки, мы пришли бы снова к соотношениям (1') и (V)]. Таким образом,
1 4- cos ср =£0, и мы имеем 4 (1 — cos ср) = 1 — cos 0; отсюда
4 cos <р — cos 6 = 3. (2')
Аналогично из (Г7) получим
(2")
4 cos ср — cos 6 = — 3.
Ответы. § 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
751
2°. Каждое из соотношений (2') или (2") влечет за собою соотношение (1).
Пусть | sin и | = 2 | sin v |. Тогда sin2 и = 4 sin2 v, 1 — cos 2u ~ 4 (1 — cos 2v), cos 2u =
= 4 cos 2v — 3, cos 2u — cos 2v = 3 (cos 2v — 1), откуда sin (u, 4~ v) sin (u — v)<0.
Аналогично из | cos и | = 2 | cos v | следует, что sin (и 4- v) sin (w — v)< 0. Предпо-
ложим теперь, что выполнено соотношение (2') 4 cos ср — cos 6 = 3. Тогда 4 (1 — cos^) =
= 1 — cos 0, 4 (1 — cos ср) (1 cos ср) = (1 — cos 0) (1 4- cos ср), 4 sin2 ср = 2 sin2 -% X
l+? + s,n±=2|. (3)
одного знака, ибо тогда
X 2 cos2 -g-, 2 | sin <p | = j 2
Остается показать,
sin -g- cos ~ , 2 | sin cp | = j sin
6 -- co 0 — cp
что sin —и sin —
£ £
I 0 4- ф • 0 — ср | I 0 4- ? I । I 6 — 9 I n
sin —4" sin —= sin —M. Sin —__L . Перепишем для этого coot-
I £ Z 1 | I j £ I
ношение (3) следующим образом: 2 12 sin -g* cos — | = 12 sin -g- cos -g- j; поделив обе
части на |2cos-gJ (это выражение отлично от нуля, если точки М и АГ различны),
| sin ~ | = 2 j sin — |, и, значит, sin
0 \
Т — 2 / 0' Аналогично
получим
доказывается, что из (2") следует (1).
3°. Условие, которому должна удовлетворять длина отрезка СН для
того, чтобы имело место соотношение (1). Обозначим через / точку пересече-
ния MN с Х'Х. Проектируя равенство СН = СО 4- dt4- IH на Х'Х и замечая, что
алгебраические проекции 01 и IH на Х'Х соответственно равны У? cos ср и 0, по-
лучим СН =-----J- cos 0 + /? cos ср = (4 cos ср — cos 6). Мы видели (1° и 2°), что для
выполнения соотношения (1) необходимо и достаточно, чтобы 4 cos ср — cos 0 равня-
__________________________________ 3 3
лось или -J-З, или —3; значит, СН = ±-^ /?, а потому СН = R. Отсюда следует,
3
что MN касается окружности с центром С и радиусом R. Эта окружность про-
ходит через точку А.
В. 1°. Свойство прямой АН. Пусть К—точка, в которой продолжение АН
пересекает окружность (О). Эта окружность (О) гомотетична окружности (С) отно-
сительно точки А, значит, касательная в точке К к окружности (О) параллельна
касательной в точке Н к окружности (С), т. е. прямой MN. Отсюда следует, что
точка К есть середина дуги MN, а потому АК (или АН) — биссектриса внутрен-
него угла MAN.
Геометрическое место точек /. Точка / есть точка пересечения АН с бис-
сектрисами внутренних углов М и N треугольника AMN. Применяя к треугольни-
кам АМН и ANH свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника, будем иметь
IA __ МА IA _ NA IA __ МА _ NA __ MA^NA __ AM-[-AN.
IH МН И IH NH * 0ТкуДа 1Н~ мн ~ NH MH+NH MN ’
... IA 2MN п IA „ „
отсюда, в силу соотношения (1), 777 ~ 7^77^ “ 2 и, значит, -== —2. Теперь
Та Гн Тн—Та ан . Л7 2
находим----=------=----------=-----; значит, . Точка / получается,
— 2 1 14-2 3 АН 3
/ 2 \
следовательно, из точки Н гомотетией IA, -^4; значит, геометрическим местом то-
чек I является окружность, полученная из окружности (С) указанной гомотетией;
„ 3R 2 R ~
радиус этой окружности равен —— • -у = —; это окружность, построенная на О А
как на диаметре.
Геометрическое место точек Точка I' гармонически сопряжена с точкой I
относительно точек А и Н; значит, 4Д- = 2, отсюда-44- = 2. Таким образом, геомет-
ГН АН
рическое место точек /' есть окружность, полученная из (С) гомотетией (А, 2). Эта
окружность проходит через А и имеет центр в точке, диаметрально противополож-
ной точке А относительно окружности (С).
2°. Гипербола, проходящая через М и А, имеющая фокус А и соответ-
ствующую ему директрису СН. Расстояния от точек М и N до прямой СН соот-
AAU хттт п zf М4 NA IA л
ветственно равны МН и NH. Выше .было доказано, что и "тттт равны -гуу = 2.
Мп 1\п 1п
752
Ответы, Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Значит точки М н N лежат на гиперболе, имеющей фокус А, соответствующую
ему директрису СН и эксцентриситет 2. Пусть Р— проекция А на СН. Вершины
5 и S' гиперболы суть точки, которые делят вектор АР в отношениях 2 и —2.
Выше мы видели, что точки I и Г делят АН в тех же отношениях и получаются
из Н гомотетиями f А, ~ \ и (А, 2). И здесь точки S и S' из точки Р получаются
теми же гомотетиями. Геометрическое место точек Р есть окружность, построенная
на АС как на диаметре, и, значит, геометрические места точек S и S' есть окруж-
ности, полученные из этой окружности указанными гомотетиями. Пусть со — центр
гиперболы. Точка о>— середина SS'. Взяв на прямой Асо положительное направле-
ние от А к со, будем иметь Асо =
| (Л5 + Л5') = (IАР + 2лр) = 4 АР •
Зна-
чит, геометрическое место точек со получается из окружности, построенной на АС
/ 4 X
как на диаметре (являющейся геометрическим местом точек Р), гомотетией (А, ) —
\ о /
это окружность (со), построенная на АО как на диаметре.
Свойство асимптот. Известно, что если а — острый угол асимптоты-гиперболы
, ч а 1 D 1
с ее фокальной осью, то cos а == у = у- В нашем случае cos а = у и, значит,
а~ 3
Таким образом, асимптоты образуют с осью соО (не фокальной) острые
углы -g-; они, следовательно, проходят через две фиксированные точки: J и
которые мы получим, отложив на окружности (со) от точки О по одну и другую
сторону дуги у. Заметим, что точки / и /' являются точками пересечения с («)
прямой, проходящей через С перпендикулярно О А.
126. 2| sin (V2~V|)Z- . 127. созл = ^=^=^-. 128. .1±±±2^°^.
| 2R 2Ьс 2 sin2
129. tgAT = 4 - g"- 130. 3 - 4 tg2 a tg2 p. 131. —2£2arccos ^5- +
& 2 sin A sin В & 2R
. d „гт-нч--тт a on a2 ctg a , no т-r о sin a 4-cos a
+ 2 . 132. 133. Периметр 8a ; площадь:
2a2 . 134, Знаменатель tg2 (7 + тт Y 136. f К4/?2 sin2 A — h?b +
1 + sin a + cos a & \ 4 2 / 2 \
4-Лй^Л). 137.3. 138. y-rctg^- 139.
sin a sin G4 + #)
142. ------------r------. 143. 0- . x-;--—t-trx-----• 2'7 TTT'pv l44- Угол ПРИ
л / , тс \ . 2 (sin2 A 4- sin2 B) — sin2 (A 4- B)
4 sin I a 4- — I — sin a ' viz
m — n
основании аге cos —x---
2n
145. 135°. Соответствующий многоугольник правильный.
146. a (1/~4 + sin2 ~—2cos-^-Y 147. /? = d sin а--ф— cos -a-x , r =
== tZ sincos. 148. x-4—(r cos a — d)(r — d cos a-}-V*r2 — d2 sina).
^2^ 2^ Ъ1П
1 m-\-n x X
arc‘g(^—
149. Если m > nt то искомое отношение равно ----------•
х I w + п х \
” -arc ‘g СМ
150. -5- (arc cos + arc cos V7?2 — а2 — 4 V#2 — ---h ab.
2 \ i\ J\ / 2 2
151. — 2s Ctg а -|—-------[- 1/ г2 — 2s ctg а-г~ ) и
2 \ У & 1 sin а 1 У 6 sin а /
sin а /, Г 9 n .2s . n , 2s \ , а
—о—11/ Г2 —2sctga + ^------ру г2 —2sctga--------— ). 152. arc sin.
2 \ Г ‘ sin а 1 Г ь sin а / R
Ответы. § 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ 753
§ 4. Применение тригонометрии к стереометрии
П. 1. Плоскости, прямые, двугранные углы
а У 3 sin у
1. V а2 + Ь2 4~ с2 — 2abcQsa. 2. arcsin-^-^-. 3. —7-..........4. аУЗс(я~,
11 sin а Га 6 2
J/ 4sin2y-l
Л /14-2 cos а sin В sin у — cos2 а — cos2 В — cos2 у
6, cos ф =------!---------—:—!s.
т sin а cos р COS у
Л , cos а — cos В cos у cos В — cos а cos у
8, cos X =------—, cos р. =----------------ч----:------L,
sin р sin у sin а sin у
cos у — cos а cos В Л cos у cos а 4- sin у tg В
cos V = ----Ц------. 9. ctg срi = -----!------------L_5_r_
sin a sin p sin а
cos В cos а 4-sin В ctg у . o o Z1 , o
ctg y>2 =-------Jina--------• 10* Sin2 ф = cosec2 а (1 4~ 2 COS a COS p cos у — cos2 а —
— cos2 p — cos2 y). 11. 60° или 90°. 14. Или sin ф = —A! или sin ф = •
18. Первый вариант (черт. 318). Если плоские углы трехгранного угла
равны а, р, у, то косинус двугранного угла, противолежащего плоскому углу у,
cosy—cos a cos р z . ч _
равен: cos х —-----sin a'7in~p---- (эта Ф°РмУла легко выводится). Применяя эту
формулу для двугранного угла, равного 90°, между плоскостями .VO-Vt (ON и
ON, — перпендикулярны к начальному и конечному положениям зеркала) и AON,
получим cos / = cos х — cos a cos р. Обозначая через со двугранный угол трех-
гранного угла О ANN,, прилежащий к ребру О А, находим cos <о == —•
Точно так же из трехгранного угла ОАА'А" (О А' и О А"— отраженные лучи)
находим косинус того же двугранного угла о>, прилежащего к тому же ребру ОА:
COS X — COS 2а COS 2х ' . л,~ лп тл « о
cos to =-----:—х—-—ту-------, где X == / А О А . Из уравнении cos х = cos a cos р,
sln za sin ^х
cos р — cos а cos х cos X — cos 2а cos 2х . . о . 0
---- ------------ = ------:—X —X------- находим cos X z= sin2 а 4- cos2 а COS 2р.
sin а sin х sm 2х sin 2х 1
Второй вариант. Проводим NA J_ АО и AWi ± CW (черт. 319);^т^е-
угольники NA0 и N,N0— прямоугольные; значит, АО = NO cos a, N,0 = у;
АО
следовательно, cos х = = cos a cos р (£ N,A0 = 90°, так как АГА^ ± пл. AON,;
следовательно, AWt О А. А так как О A _L AN, то О А J, пл. ANN,, следовательно,
ОА _1_ АА^). Теперь изменим построение и буде^ считать: АА' _!_ ON, АА" _L ON,
(AN = A'N, AN, = A"A4), NN, J_ AN (NN, лежит в плоскости, перпендикулярной
АА'О), Л ANN, ~ Л А А'А"; следовательно, АА" Д_ АА', АО = а, А'О || А"О = а,
АА' = 2а sin а, А А" = 2а sin х, А' А" 2а / sin2 х — sin2 а. Теперь из Л О А'А" на-
ходим cos/А'ОА" = cos Х== sin2 а 4- cos2 а cos 2р. 21. arctg (cos ф tg а), arctg (cos cptgP),
те — arctg (cos ф tg а) — arctg (cos ф tg P) (если аир — острые углы). 22. cos ф = sin а.
48 П. С. Моденов
754 Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
23. 1°. Плоскость (РЛ) проходит через прямую (Д), которая проходит через
точку А параллельно BD (черт. 320); AB'C'D'— ромб; СС' = 2х, ВВ' = Уа2 л2,
АС' = /а2 + 4x2, В'й' = аУЗ, пл. AB'C'D' = -2- /3 (д2 +4х2).
no 4 2-^ О, . B'AD' г-х
2.tg? = —, cos ? tg ——= V 3cos<?.
а У a2 4л2 2
3°. a) x — -~=r. б) Ромбы подобны, если их диагонали пропорциональны.
АС' АС
Так как соотношение -втат = не может иметь места, то может быть только
£> и DU
AC BD -i/"q ло ч тЛо
-jyjy = Jq, откуда х = а у 2. 4 . v = ~a2y 3.
24. 1°. MN остается параллельной фиксированной плоскости. Так как
AM FN
AM = FN, мы имеем (черт. 321) . Отсюда следует, что MN лежит в плос-
z кости, параллельной AF и ВС или
плоскости FAD. Заметим, что отсюда
Черт. 320.
Черт. 321.
Геометрическое место середин Р отрезка MN. Спроектируем MN орто-
гонально на плоскость ABCD в Мп и пусть р— проекция середины Р отрезка MN
(черт. 322); Мп остается параллельной ВС\ значит, середина р отрезка Мп остается
на прямой AI, соединяющей А с серединой / отрезка ВС. Следовательно, точка р
лежит в плоскости FAI. Проектируя ортогонально на плоскость ABEF, убедимся
в том, что точка Р лежит в плоскости CBJ, где J—середина AF. Геометрическое
место точек Р есть отрезок ZJ, соединяющей середины отрезков ВС и AF
(черт. 322).
Черт. 322.
Черт. 323.
ции — дуга параболы с вершиной и граничными точками (0, а2) и (а У 2, а2)
\ У 2 2 /
(черт. 323). Исследование случая, когда MN—1. Если решений нет;
Ответы. § 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ
755
если Z = имеется одно решение (MN совпадает с ОО')', если хр-р < Z<a,
имеется два решения (в случае Z — а — два крайних случая); при Z > а нет решений.
3°. Вычисление аир при условии, что MN минимально. В этом случае
треугольники ОАО' и О ВО' равносторонние и, значит, а = р = 60°. Общий случай.
Заметим, что МВ2 = NA2 — а2 4-х2 — ахУ 2 = MN2\ значит, треугольники MNA
и MNB равнобедренные с вершинами ЛГ и Л4; значит, cos а = =
х 0 BN 2/2 —х
= ---г......; - » COS р — --------- = ----.......- \ ОТСЮДЗ СЛ6-
2 Ул2 —ах/2-|-а2 2MN 2 V х2 — ах/2 — а2
дует, что cos а и cos р одновременно в нуль не обращается. Значит, MN никогда
не может быть перпендикулярна АС и FB, Это можно установить и геометри-
чески: MN JL АВ\ и, значит, если MN J, АС, то MN будет перпендикулярна пло-
скости ABCD и, значит, не будет перпендикулярна BF.
а а 2/2__29
Значение cos 2а при х = ~ . Если х = , то cos 2а =-------.
2 2 34
П. 2. Параллелепипед
1. аЬсУ—cos 2а (45° < а < 135°). 2. cos ^ — /2 cos а, если 45° < а <^90°; cos<p =
г . 1 sin а cos2 а sin Ф
=/2 cos (180° — а), если 90°<а<135°. 3 ..ч. y ' "V"*
г 4 3 У cos (а 4- ср) COS (а — ср)
4. 2 У 2 d2 sin а tg р cos (45° — а). 5. cos х = sin а sin р. 6. Если 0° < а < 60°, то суще-
ствует только один параллелепипед, удовлетворяющий условию задачи. В двух
противоположных вершинах этого параллелепипеда будут сходиться ребра,
каждая пара которых образует угол а. Объем этого параллелепипеда равен
v = 2л3 sin ~ sin sin . Если 60° < а < 90°, то, кроме указанного паралле-
лепипеда, можно построить еще один: в двух противоположных вершинах этого
параллелепипеда будут сходиться ребра, каждая пара которых образует угол
180° — а. Объем этого параллелепипеда равен v — 2а3 cos ~ у — cos 4^- cos .
7. abc sin a sin p. 8. Уab (a 4- b cos a) (b 4- a cos a). 12. Секущая плоскость должна
быть параллельна большей диагонали основания и составлять с плоскостью осно-
вания угол, косинус которого равен tg-^-. 13. sin а.
2.
П. 3. Призма
4( sin 4-/2 cos a j
a2b sin a sin p. 7. ----------------- Z - s.
sin -g- 4" cos "2 + /2 cos a
8 sin6 ^4S° ) 4
П. 4. Треугольная пирамида
i- a2 sin ~ /cos a. 2. 13 cos2 a sin a. 3. 4-. 5. sin = — * —
6.
11.
2 Y 3 sin + 30°) sin - 30°) ctg4 J
9л sin2 -g-
aY 4b3 —a3 .
9. ------------------tg a.
2 (a + 2b)
a3
12. v = sin2 <p tg t,
s = -%- -J- (1 + sin X- sin . 13. 4R3 sin2 a cos -yl/”sin (б0° + sin (б0° — -£-).
2 COS Г \ 2 / о 2 1 \ 2 / \ 2/
. . d3 3a
14. -5- cosec -x-
o Z
7: sin2 a
10. ------——;
6 / 3 a (1 — sin2 cos2 -|-
17. —7------------.
2 / 2 sin a
756 Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
уз О Г з L c-cos₽— b cos 7
18. sin - 1/ cos2 — cos2 a. 19. cos <? — ± >-- . = >
3 2 r 2 yb2-j-c2— 26c cos a
(9 a \
sin j
----7= / .
у 3 /
a6c , . a + ? + 7 • — a + ? + 7 . a —- 3 + 7 . a + ? — 7
26. ~o— 1/ sin —-r *• sin-----1 • sin-----------* sin —‘ •
о r 2 z 2 2
П. 5. Многоугольные пирамиды
л ! \ a snva cos-r ni/"o / к
’I 4 4---
, . c a3 sin 2a cos a sin3 ₽ m ~ m
(a — в градусах). 6. —- ...................— • 7. аге cos —>° < — < V2.
У 2 sin3 (a + 3) ny 2 n
j^2 2 722 2 г— /—
9. arc tg———, если n^m у 2; если n c m} 2, ре пений нет. 10. a2sin3a, 45° < a < 90°«
2/2тптг
( sin ~ cos a ) 2 sin — cos a j .
\ 2 1 _________/ \ 2 ________/ Z2 cos a sin 2a P2 sin 2a
I a ,r--------------\2 Zr, • a I лГ---------V ’ 2 Sin2 a COS 3a’ " Зй
(sln-g- — V — COS a I I 2 sin -g- + v — COS a I
О
cos Л- cos P . ________ . _________
14. — 4z3-----------5---. 15. o- Q Sin a / Q cos a. 18. — Q/Qtgatgp.
3 sin’l 3 3
20. sln — = —r 1
2 2/1+ k*
либо у — 2 arc tg т.
sin — — 21. — sinatg “• 22. 2arctg/n — ~
2 Г з + 4/г2 2^2 s 2
2<1/ s
23. (1 + cos a),
о
24. a2 sin a ctg H5° —
______a3 sin2 a tg у tg ф
6 6g ? cos Л. + tg ф sin 4
— где — двугранный, угол, образуемый основанием и плоскостью, проходящей
через вершину пирамиды и меньшую диагональ основания.
27. а=/2C*±VW=W, cos ?=}/" l±j/" |-^.28- -
29. sin tv = cos a sin ~ . 30. tgx = tg a cos ~ .
2 n b n
33.
kR3
3cos ~
n
2(? + tg-£/462-?2
Л cos ““
31. sin 4 =----—• 32. — tg-.
2 a те 6 n
C0ST
h3(nd + 2^)
• Зтс (k2 — 1) g 2те + nd •
nb* tg a sin — cos — rHIlZL
36. -------------....------------. 37.
48 sin8
n
1 na?b
V=s24”7V
8Ш2 —
П
1 — 2 cos a cos p cos ™ —
— cos2 a — cos2 3 — cos2 —
n
Ответы. § 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ 757
П. 6. Цилиндр
1. У г2 sin2 а 4- d2 cos2 а. 2. -^-4— У— cos 2а. 3. sin х — , ab < h2. 4. —H~sin а
г 1 2 sin а п 2
5. 2Rn sip — 1/ Н2 4- 4R2m2 sin4 . Предела нет.
пт Zn
П. 7. Конус
1 60° ° «3/3/4г.2-а2
2.
24л3
.У" 3г/
/ tg2 a.
. 3. 2 arcsin . 4. 2л sin ~. 5.
P sin а
о. -----------
6 cos3
7. rcsctg-|.
h sin а
1 4~ sin а ’
Г P COS a
У ~~2^
-у vc(ga>
9. S =
sin а
3
1 “ r__________
V = у ~Q " V ctg a.
14. *(*2-/X15.
m /1 . a . 2 \ 2n — 1 ± У4п(п — 2)
10. “Ta~ sin a (1 4-2 Sin2 a). 11, cos a =---------—
12 1 7 4n 4-1
. ... arcsin 16. 2 л/2 sin (15° 4- —----------15° V 18. arccos ——
cos а 5 V 2 / \ 2 / p
3 — УГ _Q л/г2 _ . O7 л У b2 — a2\b2 ctg2 а — a2 ctg2 ?)
----ft—. 22.-------. 26. sin cp=sina cos 6. 27.-------------------------——
2 cos a T
no 1 on /7 sin sin 2a
28. cos ф =----5- . 29. л 7 . 2 Q--7-r .31.
T 3 2 (sin2 3 — sin2 a)
19. arctg
24 (ctg2 a —Ctg2 py
a sin 2a sin 23 Л
~Г -Л-777—---Г7---77-----Г , при 0 <
4 sin (3 4“a) sin (p — a) K 1
О < a<arc
34.
, Sin
r\3sin* .35.n —
2sin fa + 4^
л (1 4" COS а)
2л
cos а sin —
п
(ABCD)3’*
V
sin2 ~ sin2 ~ sin2 ~
4~ sin ----sin ~ , C = sirt — sin + sin 7Г > & ~ — sin 7Г + sin V + sin 4“ •
£ £ £ £ £ £ £ £
те \2 За а
2Z sin a sin — \ . sin -r- sin -r
------------!L_ (1 + I ctg * \ 38. 2 arctg-----------------4------1-.
2sin^ + tgaP 2 nj cos-^
36.
где А = sin “ + sin 4- sin -g-, В = sin +
и
П. 8. Сфера в комбинации с многогранниками, цилиндром и конусом
5.2. 6. 2 arcsin (f'’2 — 1). 7. .^2Q + c-?s 8. 8/2 cos* a tg« 4 • 9. 4tg34ctga.
7 sin2 a cos a b 2 2
л!3 sin3 2a _ R */" j a a «> a . о a *
10. J2--. n- ~2~V Ctg-2 cosec2 . 14. - sec a cos2-g-ctg2tg
4 n, (14“ cos cp)3 4 _ „ a r------- 2 n„ } qn .
15. R3 ------! s——-------. 16. -7Г r3 COS 2 77- у —COS a. 18. -TV R3 sin 3 2a tg a.
3 cos <p sin2 cp sin a 3 2 3 *
2лг3 ctg3 / 450 — tg a — 2 sin3 a
19. arctg 2. 24. ctg6 4- — 1. 25. -----527. 2 sin3 a
s а 2 3 cos a sin 2a
28. sin x — 3 — 2У2. 29. 2 arcsin ~ или 2 arcsin 4-* 39. v = ~ л/?3 ——.Л,—
6 6 3 sin2 a
2 Уз^/?2 ctg2 у 2
S = - . 31. s =---------------, v = Tr=- Я3 Ctg3-77 tga. 32. а или a.
Sill2 a COS a * У 3 2 10
33. tg3 ctg a ctg . 31. - R3 sin2 a sin2 2a. 35. 2 arctg или 2 arctg
36. 2na • кг2.
37< s = 5^-cos^. J v = # 39< 120o.
COS4 2" 3cOS2 ~2
758
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
44. 4/? у 4sin(j + ^-)sm(j-|) • 45- —(2/г2 — а2 + /Зг2 — 4а2).
46. 8ла2 cos318° = 5ла2 tg 54°. 47. ~а2. 48. tg -1. 49. - = —. 50. — - .
& 2 & 2 v2 2 sin а б
Ьс
53. Г. / лежит на АС между Л и С, причем 1А = г = -^-
Л 4“ С 4 2
---!-- = ctg2 ~ .
а — с 6 2
треугольника ВСВ' равно
2°. Отношение нижней части к верхней равно
3°. Отношение площади (/') к площади
тс (а — с)2 х __ (а — с)2 sin w
(а2-—л2)уа2_~х2 “ * a2 cos2 и
54. I. Определение общих касательных к
1°. Общие касательные к сферам (Л) и (В),
сферы (Л). Геометрическое место касательных к сфере (Л) в точке Р есть пло-
скость (р), перпендикулярная радиусу АР
двум неравным сферам,
проходящие через точку Р
точке Р. Могут представиться
три случая: а) Плоскость (р)
пересекает (В) (черт. 324).
Пусть (С) — окружность, по
которой плоскость (/?) пересе-
кает сферу (В). Так как
сфера (Л) лежит вне сферы (В),
точка Р лежит вне окруж-
ности (С); в таком случае из
точки Р к окружности (С)
можно провести две касатель-
ные — это и будут две общие
касательные к сферам (Л) и (В),
проходящие через точку Р,
Для их построения достаточно
построить в касательной пло-
скости к сфере (Л) в точке Р
окружность на Рау как на диа-
метре; точки Q и Q' прикосно-
вения общих касательных PQ
и PQ' к сфере (В) будут точ-
ками пересечения построенной
окружности и окружности (С),
б) Плоскость (р) касается
сферы (В). Пусть Q — точка
в
Черт. 324.
18)
касания, тогда PQ будет единственной общей касательной к сферам (Л) и (В),
проходящей через Р, в) Плоскость (р) не пересекает сферы (В). В этом случае
нет ни одной общей касательной к сферам (Л) и (В), проходящей через точку Р.
2°. Дуга полуокружности (aj, через точки которой проходит, по край-
ней мере, одна касательная, общая сферам (Л) и (В). Рассмотрим плоскость (v),
проходящую через ЛВ и пересекающую (Л) и (В) соответственно по большим
окружностям (а) и (р). Пусть Р — точка полуокружности (а), ограниченная пря-
мой ЛВ. Плоскость, касательная в точке Р к сфере (Л), пересекает (v) по прямой,
касательной к (а) в точке Р. К сферам (Л) и (В) можно провести две, одну или
ни одной общей касательной, проходящей через Р, если соответственно указанная
касательная пересекает, касается или не пересекает (р). Дуга PiP2, Для точек ко-
торой проходит, по крайней мере, одна общая касательная к сферам (Л) и (В),
заключена между точкой прикосновения Рх общей внешней касательной к окруж-
ностям (а) и (р) и точкой прикосновения Р2 общей внутренней касательной. Обо-
значая угол от АВ до АР через X, найдем —cos Х< —.
Построение общих касательных, проходящих через Р. Если Р совпадает
с Рх или Р2, то единственная общая касательная к сферам (Л) и (В) есть каса-
тельная к (а) в точке Рх или Р2. Если Р лежит на дуге РХР2, касательная к (а)
в Р пересекает (р) в точках р. и р/. В этом случае плоскость, касательная к сфере (Л)
в точке Р, пересекает сферу (В) по окружности с диаметром pip.'; если совместить
эту окружность с плоскостью (v) поворотом вокруг рр', то окружность сечения
совместится с окружностью (X), лежащей в плоскости (v) с диаметром рр', а каса-
тельные к окружности сечения сферы (В) совместятся с касательными, проведен-
ными к окружности (X) из точки Р. Отметим еще, что ортогональные проекции
точек Q и Q' прикосновения общих касательных к сферам (Л) и (В) на плос-
кость (v) будет точка пересечения рр' с хордой, соединяющей точки прикоснове-
ния касательных, проведенных из точки Р к окружности (X) (черт. 325).
Ответы. § 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ
759
3°. Геометрическое место точек прикосновения общих касательных
к сферам (Д) и (В). Предыдущие рассуждения имеют место для всех плоскостей,
проходящих через АВ\ значит, геометрическое место точек Р есть шаровой пояс,
полученный вращением дуги Р\Р2 вокруг АВ. Этот пояс ограничен окружностями,
по которым касаются со сферой (Д) конусы, описанные вокруг сфер (Л) и (В),
вершины которых являются центрами внешнего и внутреннего подобия этих сфер.
Эти конусы касаются сферы (В) по окружностям, которые ограничивают на
сфере (В) шаровой пояс, являю-
щийся геометрическим местом
точек Q прикосновения к сфе-
ре (В) общих касательных
к сферам (Д) и (В). Высота ша-
рового пояса сферы (Д) равна
ab 2ка2Ь D
—у- , а его площадь ——. Вы-
а а
сота шарового пояса сферы (В)
ab
будет также —&, а его пло-
щадь ——•
II. Случай равных сфер.
1°. Общий перпендикуляр к АВ Черт. 32о.
и PQ. Пусть F—ортогональная
проекция середины О отрезка АВ на касательную PQ, общую к сферам (Д) и (В).
Так как прямые ДР, ОР и BQ перпендикулярны одной и той же прямой PQ, то
Черт. 326.
все они параллельны одной и той же плоскости (перпендикулярной PQ)\ значит,
1 = АО: О В = РР: FQ, а потому PP = PQ, т. е. Р—середина отрезка PQ; отсюда
следует, что Л АРР = Л BQF, так как (черт. 326) /_АРР = /_BQP — 90°, АР = BQ
и РР = PQ\ значит, РА = РВ, поэтому точка Р лежит в плоскости, проходящей
Черт. 327. Черт. 328. Черт. 329.
через точку О перпендикулярно отрезку АВ. Отсюда и следует, что прямая РО
есть общий перпендикуляр к АВ и PQ.
Ортогональная проекция АВ, PQ, АР, OF, BQ. Если плоскость проекции
параллельна одновременно АВ и PQ, то она перпендикулярна их общему перпен-
760
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
дикуляру OF. Отсюда следует, что проекции о и f точек О и F совпадают
(черт. 327). Проекции ab и pq отрезков АВ и PQ имеют общую середину о.
Значит, проекция указанной конфигурации состоит из двух диагоналей параллело-
грамма и двух его параллельных сторон (ap\\bq). Заметим еще, что АВ и PQ и
угол между ними проектируются в истинную величину. Если плоскость проекции
перпендикулярна PQ, три точки р, f, q совпадают (черт. 328). Отрезок OF проек-
тируется в истинную величину of, а отрезок АВ проектируется в отрезок ab,
перпендикулярный of, причем точка о — середина ab\ АР и BQ проектируются
в истинную величину. Таким образом, проекция есть равнобедренный треугольник,
причем ар — bq = а, а высота h = OF. Если плоскость проекции перпендику-
лярна АВ, три точки а, о, b совпадают, OF проектируется в истинную величину о/;
PQ проектируется в отрезок pq с серединой /, причем of _L pq. Проекция есть
равнобедренный треугольник, стороны ар и bq равны, а высота h = OF (черт. 329).
2°. Значения для PQ, OF, у, z и и. Выполняя построение, аналогичное
черт. 329; однако для случая а = b (черт. 330) найдем: PQ = 2 Уd (d — a cos X),
OF = Ya (a — d cos a) ,
a2 — d2 — ad cos X
a2 — d2
Z a2 d2 — ad cos
in2 — 1
У a2 d2 — ‘lad cos X ’
a
d
Если положить
. 2d cos л
и = 1-----------,
а *
- 2х
и — 1------
т ’
Ш2 — | — mx
m2 4- 1 — wx
m2 4~ 1 — Imx ’
^черт. 331, где m =
III. Случай неравных сфер. 1°. Геометри-
ческое место вершин М равных конусов (Af, А)
и (AI, В). Пусть a — половина острого угла осевого
cos X = х,
то
сечения конуса (М, А), описанного вокруг сферы (А) с вершиной М; тогда sin а = ,
а b
аналогично sin р = ~мв, где £ — половина острого угла в осевом сечении конуса
с вершиной М, описанного вокруг сферы (В). Так как конусы равны, то a = р;
А4А a
значит, . Геометрическое место точек М, удовлетворяющих этому усло-
вию, есть сфера (S), диаметр IJ которой лежит на прямой АВ, причем —----=
__ IB
JA а
= -р- = р I — это центр отрицательной гомотетии сфер (А) и (В); J—это
JB °
центр положительной гомотетии тех же сфер. Так как сфера (В) лежит вне
сферы (А) и а > Ь, то точки I и J лежат вне обеих сфер; сфера (S), следовательно,
лежит вне сферы (А) и внутри ее лежит сфера (В). Все точки сферы (S) служат
поэтому вершинами конусов, описанных вокруг сфер (А) и (В). Таким образом,
геометрическое место вершин равных конусов, описанных вокруг сфер (А) и (В),
есть вся сфера (S). В частности, если точка М совпадает или с I, или с J, эти
конусы совпадают, причем они описаны одновременно вокруг сфер (А) и (В).
Проекции точек I и J на касательные, общие сферам (А) и (В). Пусть (черт. 332)
общая касательная к сферам (А) и (В) касается этих сфер соответственно в точ-
ках Р и Q. Обозначим через Н и К ортогональные проекции точек I и J на PQ.
Прямые АР, BQ, IH и будучи перпендикулярны одной и той же прямой PQ,
Ответы. § 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ
761
НР
параллельны одной и той же плоскости (перпендикулярной PQ). Значит,--= =
77Q
= = -у. Рассмотрим треугольники АРН и BQH, они подобны, так как
. п ~ ПЛ0 НР АР а НА а
/Р = /О =90° и -777Г = “отг = т , значит, ; следовательно, точка Н
О 1LD и
лежит на сфере (S). Аналогично доказывается, что и точка К лежит на сфере (S).
Расположение HI относительно треугольника АНВ и KJ относительно треуголь-
_ _ л n m НА d IА Г ГТ а 1
ника КАВ. Так как -jjg , то ™ есть биссектриса внутреннего угла А
треугольника НАВ\ HJ—биссектриса внешнего угла А (ибо / IHJ = 90°). Ана-
логично доказывается, что KJ есть биссектриса внешнего угла А треугольника КАВ,
a KI—биссектриса внутреннего угла А того же треугольника.
(51
Черт. 332.
Центры гомотетии окружностей сечения сфер (А) и (В) плоскостью,
перпендикулярной IH и проходящей через Н, Плоскость, проходящая через
точку Н и перпендикулярная /77, пересекает плоскость АНВ по прямой HJ, пер-
пендикулярной HI. Пусть эта плоскость пересекает сферы (А) и (В) по окруж-
ностям (А') и (В'). Так как J есть центр положительной гомотетии для сфер (А)
и (В), он будет тем же и для окружностей (А') и (В'). Обозначим через А' и В'
центры окружностей (А') и (В'); точки А' и В' суть ортогональные проекции
точек А и В на HJ. Так как четверка точек А, В, /, J — гармоническая, то и А',
В' Н, J — гармоническая четверка, а потому точка //, гармонически сопряженная
с точкой J относительно А', В', есть центр отрицательной гомотетии окруж-
ностей (А') и (В'). Аналогично доказывается, что плоскость, перпендикулярная JK
в точке К, пересекает сферы (А) и (В) по окружностям, для которых 7<— центр
положительной гомотетии, а / — центр отрицательной гомотетии.
Геометрическое место ортогональных проекций точек / и J на общие
касательные к сферам (А) и (В). Мы видели (III, 2°), что ортогональные проек-
ции Н и К точек I и J на касательные, общие к сферам (А) и (В), лежат на
сфере (S). Обратно: пусть Н—какая-нибудь точка сферы (S). Если плоскость,
перпендикулярная IH и проходящая через 77, пересекает сферы (А) и (В) по
окружностям (А') и (В'), то эти сечения лежат одно вне другого так же, как
и сферы (А) и (В); при этом точка Н лежит вне этих сечений, так как она лежит
и вне сферы (А), и вне сферы (В). Из точки 77 можно тогда провести две общие
касательные к окружностям (А') и (В'), которые вместе с тем будут и общими
касательными к сферам (А) и (В). Остается установить условие, при котором
762
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
плоскость, перпендикулярная отрезку Ш и проходящая через точку Н, пересекает
сферы (А) и (В). Это будет так, если АА' < а. Далее (черт. 333), = С- = ,
Л О d —и
JA JB 2d гт 4abd A A' AJ
---= —=---------г, откуда ZJ='-5-------ту-. Мы видели, что
а b а — b J а2 — Ь2 Ш Л
л2 —62 *
Пусть //' — проекция //на АВ, тогда IH— У IH' • IJ, AAf ~ AJу/ и усло-
вие АА' < а принимает вид IH' < a2
2 а2 — b2 ~ ab а — b ~
а ----Й72772-= ^77-----ГТ“ • Эт0 с0’
4a2d2 d a-{-b
(а — b)2
лежать на сферическом сегменте (S)
Этот сферический сегмент и есть
а2Ь2
отношение показывает, что точка Н должна
„ _ „ , ab а — b
с вершиной / и высотой пн =
геометрическое место точек Н. Его площадь равна 4к • Заметим, что
предыдущее вычисление предполагает, что Н отлично от /. Если Н и / совпадают,
существует бесконечное множество общих касательных к сферам (А) и (В), про-
ходящих через И и образующих конус с вершиной //, описанной вокруг сфер (А)
и (В). Если Н лежит на указанном сферическом сег-
менте, то существуют две общих касательных к сфе-
рам (А) и (В), проходящих через И и перпендикуляр-
ных ///; если Н лежит на граничной окружности этого
сферического сегмента, существует лишь одна общая
касательная к сферам (А) и (В), перпендикулярная Ш.
Аналогично доказывается, что геометрическое место
точек К есть сферический сегмент сферы (S) с вер-
шиной /, высота и площадь которого соответственно
, ab а 4- b 4тш2Ь2
равны: —------и Если точ-
r к da — b к (а — Ь)2
ка К совпадает с /, имеется бесконечное множество
общих касательных к сферам (А) и (В), проходящим
через К- Эти касательные образуют конус с вер-
шиной /, описанный вокруг сфер (А) и (В). Если
точка К лежит на сферическом сегменте, определенном
выше, то через нее проходят две касательные к (А)
и (В), перпендикулярные JK\ если точка К лежит на
граничной окружности соответствующего сферического
сегмента, через нее проходит лишь одна общая касательная к сферам (А) и (В),
перпендикулярная JK- Для того чтобы два сферических сегмента имели общую
часть, необходимо и достаточно, чтобы hH-{- hK > IJ при условии, что это не- .
. , п » t. it. п ab а2b2
равенство совместно с неравенством a-\-b<2d; но hH-\- hK = 2 —-j- __^2" > от"
сюда а2 4- Ь2 > 2d2. Неравенства а 4- b < 2d и а2 4- Ь2 > 2d2 совместны, что можно
Черт. 334.
Ответы. § 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ
763
установить графически (черт. 334); точки (я, Ь), удовлетворяющие неравенству
a2-}-b2>2d2, лежат вне окужности радиуса (£^2 с центром в начале координат,
а точки (а, Ь), для координат которых а-\- b <2d, лежат по одну сторону от пря-
мой, отсекающей на осях координат равные отрезки 2d (эта прямая касается
указанной окружности). Отсюда следует, что точки, удовлетворяющие обоим не-
равенствам, всегда существуют. Итак, два указанных выше сферических сегмента
имеют общую часть, если а2 -ф- Ь2 > 2d2,
Общие образующие конусов (Jf, 4) и (Jf, В). Общие образующие конусов
(Л4, Л) и (М, В) суть общие касательные к сферам (А) и (В), проходящим через
точку М, Обратно, всякая касательная, общая сферам (Л) и (В), пересекает
сферу (S) в точках Н и К, являющихся ортогональными проекциями точек I и /
на эту общую касательную, и конусы с вершиной в Н (или /(), описанные вокруг
сфер (Л) и (В), равны; для них эта общая касательная будет общей образующей.
Таким образом, число общих касательных к сферам (Л) и (В), проходящих через
точку М сферы (S), совпадает с числом общих прямолинейных образующих кону-
сов (М, Л) и (Л4, В). Рассмотрим три случая: a) a2-\-b2<2d2. Геометрические
места точек Н и К суть два сфёрических сегмента сферы (S) без общих точек;
обозначим их через S//f S#, а через В' — оставшийся шаровой пояс. Через / или J
проходит бесконечное множество общих касательных к сферам (Л) и (В); конусы
совпадают. Если точка М принадлежит SH Или Вк (не совпадает с I и /), имеются
две общие образующие. Если М лежит на поясе S', нет ни одной общей образую-
щей, а если точка М лежит на граничной окружности сферического сегмента
или SK, имеется лишь одна общая образующая, проходящая через / или J, по
которой конусы касаются; б) а2 + Ь2 > 2d2. Геометрическое место точек НпК
суть также сферические сегменты Вя и SKi но в этом случае они имеют общую
часть S' — сферический пояс. Если М совпадает с / или J, эти конусы совпадают.
Если М расположена на SH или S^, но не в их общей части, имеются две общие
образующие; если точка М лежит на поясе S', имеются четыре общие образую-
щие, и, наконец, если точка М лежит на граничной окружности одного из сегмен-
тов SH или Вд-, имеются три общие образующие, а по одной из них конусы
касаются; в) а2 -|- Ь2 == 2d2. Шарового пояса S' не существует. Если точка М лежит
на SH или Sftt но не совпадает с Z, J и точками граничного круга, то имеются
две общие образующие. Наконец, если точка Л4 лежит на граничной окружности
сферических сегментов SH и S^, то конусы (Л4, 4) и (Л4, В) имеют две общие
образующие, причем по каждой из них они касаются.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................................... 3
ЧАСТЬ I
Алгебра
Глава I. Тождественные преобразования .......................................... 7
§ 1. Тождественные преобразования многочленов....... 7
§ 2. Условные тождества между многочленами. 9
§ 3. Симметрические многочлены.................... 11
§ 4. Делимость многочленов.......................... 11
§ 5. Разложение на множители .......................... 14
§ 6. Разные задачи на многочлены.................... 16
Глава II. Алгебраические дроби................................................. 18
§ 1. Тождественные преобразования алгебраических дробей....................... 18
§ 2. Условные тождества....................................................... 20
Глава III. Радикалы и иррациональные выражения................................. 24
§ 1. Тождественные преобразования иррациональных выражений.................... 24
§ 2, Условные тождества. Преобразование равенств, содержащих иррациональ-
ные выражения.............................................................. 28
Глава IV. Общие свойства уравнений и неравенств.............................. 29
§ 1. Эквивалентность уравнений.............................................. 29
§ 2. Доказательство неравенств.............................................. 34
§ 3. Эквивалентность неравенств и смешанных систем.......................... 41
Глава V. Линейные уравнения и линейные неравенства........................... 44
§ 1. Линейные уравнения............................................ 44
§ 2. Линейные уравнения, содержащие параметры........................ 45
§ 3. Линейные неравенства ........................... 49
§ 4. Составление линейных уравнений...................... 51
П. 1. Составление линейных уравнений с одним неизвестным............. 51
П. 2. Составление систем линейных уравнений с несколькими неизвест-
ными ............................................................ 54
Глава VI. Уравнения и неравенства высших степеней............................................................ 61
§ 1. Квадратный трехчлен. 61
§ 2. Корни целой рациональной функции от одного аргумента........................... 67
§ 3. Рациональные уравнения с одним неизвестным..................................... 71
§ 4. Рациональные уравнения с одним неизвестным, содержащим параметры . . 72
§ 5. Системы рациональных уравнений с двумя неизвестными. 76'
§ 6. Системы рациональных уравнений с двумя неизвестными, содержащие пара-
метры ...................................................................... 78
§ 7. Системы рациональных уравнений с несколькими неизвестными.............................................. 78
§ 8. Системы рациональных уравнений с несколькими неизвестными, содержа-
щие параметры............................................................... 80
§ 9. Решение рациональных неравенств................................... 82
§ 10. Иррациональные уравнения с одним неизвестным и смешанные системы . . 83
§11. Иррациональные уравнения с одним неизвестным, содержащие параметры . 85
§ 12. Системы, содержащие иррациональные уравнения..................... 87
§ 13. Системы, содержащие иррациональные уравнения с параметрами...... 89
§ 14. Иррациональные неравенства....................................... 90
§ 15. Составление нелинейных уравнений................................. 91
П. 1. Составление квадратных уравнений с одним неизвестным.......................................... 91
П. 2. Составление нелинейных уравнений с одним неизвестным........................................... 94
П. 3. Составление систем нелинейных уравнений........................................................ 95
ОГЛАВЛЕНИЕ
765
§ 16. Составление неравенств.......................................................................... 101
П. 1. Составление неравенств второй степени с одним неизвестным ... 101
П. 2. Составление нелинейных неравенств....................................................... 102
Глава VII. Показательная и логарифмическая функции над полем действи-
тельных чисел.......................................................... 104
§ 1. Доказательство различных равенств, содержащих показательную и лога-
рифмическую функции.................................................... 104
§ 2. Логарифмические и показательные уравнения с одним неизвестным .... 105
§ 3. Системы логарифмических и показательных уравнений......................... 107
§ 4. Решение неравенств, содержащих показательную и логарифмическую
функции................................................................ 109
Глава VIII. Исследование элементарных функций......................................................... ПО
§ 1. Область определения..................................................... 110
§ 2. Возрастание, убывание, выпуклость вверх и вниз.............................. ПО
§ 3. Наибольшие и наименьшие значения...................................... 114
Глава IX. Последовательности.......................................................................... 116
§ 1. Арифметическая и геометрическая прогрессии..................................................... 116
§ 2. Возвратные последовательности.................................................................. 120
§ 3. Произвольные последовательности ............................................................... 126
Глава X. Суммирование.............................................................................. 129
Глава XI. Комбинаторика............................................................................. 133
Глава XII. Бином Ньютона............................................................................. 138
Глава XIII. Индукция.................................................................................. 140
Глава XIV. Необходимость и достаточность............................................................. 143
Глава XV. Разные задачи............................................................................. 148
ЧАСТЬ II
Геометрия
Раздел I
Планиметрия
Некоторые сведения о линиях второго порядка........................ 171
§ 1. Эллипс............................................................... 171
§ 2. Гипербола.......................................................... 174
§ 3. Парабола............................................................. 177
Глава XVI. Задачи на вычисление........................................... 180
§ 1. Треугольник ........................................................ 180
§ 2. Многоугольники...................................................... 185
§ 3. Окружность ......................................................... 186
Глава XVII. Задачи на доказательство...................................... 190
§ 1. Треугольник........................................................ 190
§ 2. Многоугольники.................................................... 20э
§ 3. Окружность........................................................ 208
Глава XVIII. Геометрические места точек..........'...................... 213
Глава XIX. Задачи на построение......................................... 215
§ 1. Метод геометрических мест.......................................... 215
§ 2. Метод подобия......................................................
§ 3. Метод обратности...................................................
§ 4. Метод симметрии и спрямления.......................................
§ 5. Метод параллельного переноса ......................................
§ 6. Метод вращения.....................................................
§ 7. Метод инверсии.....................................................
§ 8. Алгебраический метод...............................................
§ 9. Сжатие, сдвиг, перспектива, гомологии (задачи на доказательство и по
строение) ...............................................................
§ 10. Смешанный отдел....................................................
766
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава XX. Задачи, в решении которых применяются комбинированные
методы................................................................... 235
Глава XXI. Разные задачи................................................................................ 272
Раздел II
Стереометрия
Глава XXII. Задачи на вычисление........................................................................ 274
§ 1. Прямые и плоскости в пространстве............................. 274
§ 2. Треугольная пирамида........................................................... 275
§ 3. Многоугольные пирамиды............. 277
§ 4. Призмы............................. 279
§ 5. Куб............................. 280
§ 6. Многогранники.................................................... 282
§ 7. Сфера и ее части; комбинации сфер с прямыми и плоскостями....... 282
§ 8. Сфера, вписанная в многогранник и описанная вокруг него. 283
'§ 9 . Цилиндр, конус, сфера в комбинации друг с другом, с плоскостями и много-
гранниками .............................................................. 285
Глава XXIII. Геометрические места точек ................................................................ 292
Глава XXIV. Задачи на доказательство................................................................... 296
Глава XXV. Разные задачи.............................................................................. 302
Глава XXVI. Планиметрия со стереометрией............................................................... 307
ЧАСТЬ III
Тригонометрия
Глава XXVII. Тождественные преобразования............................................................... 315
§ 1. Тождественные преобразования...................................................................... 315
П. 1. Тождества.................................................................................. 315
П. 2. Условные тождества . ...................................................................... 318
§ 2. Суммирование....................................................................................... 323
Глава XXVIII. Обратные тригонометрические функции....................................................... 327
Глава XXIX. Тригонометрические и трансцендентные уравнения и не-
равенства ........................................................ . 337
§ 1. Тригонометрические уравнения с одним неизвестным................................................... 340
§ 2. Системы тригонометрических уравнений............................................................... 348
§ 3. Решение тригонометрических неравенств.............................................................. 351
§ 4. Доказательство тригонометрических неравенств ...................................................... 353
§ 5. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестные под знаком аркфункций 356
§ 6. Трансцендентные уравнения.......................................................................... 358
§ 7. Исследование элементарных функций.................................................................. 359
§ 8. Разные задачи.................................................. . 361
Глава XXX. Геометрические задачи с применением тригонометрии....................... 364
§ 1. Тригонометрические соотношения между элементами треугольника.................. 364
§ 2. Решение треугольников ............................................................................. 371
§ 3. Задачи по планиметрии с применением тригонометрии.................................................. 378
§ 4. Применение тригонометрии к стереометрии............................................................. 397 ,
П. 1. Плоскости, прямые, двугранные углы . .................... 397
П. 2. Параллелепипед........................................................ 399
П. 3. Призма................................................................ 400
П. 4. Треугольная пирамида.................................................. 401
П. 5. Многоугольные пирамиды..................................................................... 403
П. 6. Цилиндр.................................................................................... 405
П. 7. Конус................................................................. 406
П. 8. Сфера в комбинации с многогранникам^, цилиндром и конусом . . 409
Ответы..............................;................................................................... 415
Петр Сергеевич Моденов
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО СПЕЦИАЛЬНОМУ КУРСУ
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
Редактор Е. А. Шарова
Техн, редактор С, С. Горохова
Корректоры: Н. С. Ткаченко и Т. С, Короткова
Сдано в набор 10/11 1960 г.
Подписано к печати 4/XI 1960 г.
Бумага 70X1081/ie = 48 п. л. = 65,56 усл. п. л.
= 78,06 уч-изд. л. Т-08975
Тираж 42000. Заказ № 1143.
Цена 24 р. 40 к. С 1/1-61 г. 2 р. 44 к.
Государственное издательство «Высшая школа»
Москва, Б-62, Подсосенский пер., 20.
Типография № 2 им. Евг. Соколовой УПП Ленсовнархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29.