В. В. БОРОДКИНА
И. Р. ВЫСОЦКИЙ
П. И. ЗАХАРОВ
И. В. ЯЩЕНКО
Теория вероятностей
и статистика

В. В. Бородкина, И. Р. Высоцкий, П. И. Захаров,
И. В. Ященко
- Теория вероятностей
и статистика
Контрольные работы и тренировочные задачи
7—8 класс
Москва
Издательство МЦНМО
2011
ББК 22.17я72
Б83
Бородкина В. В., Высоцкий И. Р., Захаров П. И.,
Б83 Ященко И. В.
Теория вероятностей и статистика. Контрольные рабо-
ты и тренировочные задачи. 7—8 класс. — М.: МЦНМО,
2011. — 72 с.
ISBN 978-5-94057-675-4
Сборник контрольных работ по вероятности и статистике предна-
значен для учителей 7—8 общеобразовательных классов, преподающих
статистику и вероятность, а также для учащихся и их родителей. Цель
публикации — сориентировать читателя в том, какие итоговые требо-
вания предъявляются к школьнику на разных этапах изучения курса
вероятности и статистики.
ББК 22.17я72
Бородкина Виктория Владимировна
Высоцкий Иван Ростиславович
Захаров Пётр Игоревич
Ященко Иван Валериевич
Теория вероятностей и статистика
Контрольные работы и тренировочные задачи
7—8 класс
Подписано в печать 9.08.2010 г. Формат 60 х 90 Уи. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Печ. л. 4,5. Тираж 5000 экз. Заказ № 1225.
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования.
119002, Москва, Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) 241-74-83
Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография „Наука"».
121099, Москва, Шубинский пер., 6.
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,
Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) 241-72-85. E-mail: biblio8mccme.ru
© Бородкина В. В., Высоцкий И. Р.,
Захаров П. И., Ященко И. В., 2011.
ISBN 978-5-94057-675-4	© МЦНМО, 2011.
Предисловие
В соответствии с образовательным стандартом с 2004 года в Моск-
ве поэтапно вводится учебный курс вероятности и статистики. С 2007
года этот относительно новый для российской школы раздел включён
в московский базисный учебный план и изучается во всех москов-
ских школах. За пять истекших лет в Москве накоплен значительный
методический опыт преподавания, сформировались основные черты
школьной вероятности и статистики. Конкретезировались требова-
ния к уровню освоения данного радела математики, наработан задан-
ный материал.
Московский институт открытого образования в соответствии с при-
казом Московского Департамента образования на протяжении трёх
последних лет осуществляет контроль над результатами изучения
вероятностно-статистических тем в 7-х и 8-х общеобразовательных
классах Москвы. Весенние городские контрольные работы МИОО по
статистике и вероятности уже стали традиционными для московских
школ.
Многие учителя поняли, что вероятность и статистика — тот са-
мый раздел математики, который тесно связан с окружающими нас
массовыми явлениями. Вероятность и статистика позволяют на деле
осуществить связь школьной математики с жизнью. Внедряя в Москве
преподавание данного раздела математики, методическая служба по-
старалась не просто вввести очередной раздел математики, наполнен-
ный теоретическим материалом и задачами на формальное вычисле-
ние по каким-то новым фомулам. Напротив, были приняты все меры
к тому, чтобы преподавание вероятности и статистики велось от про-
стых и естественных задач, чтобы акцентировать внимание учителя
и учащихся на практических осмысленных примерах статистических
рассуждений и вычислений.
Преподавание вероятности и статистики на данном этапе очень
вариативно в силу специфики и новизны материала. В разных школах
преподавание вероятности и статистики осуществляется по разным
учебно-методическим комплектам. Наша задача — создать практико-
ориентированный курс, давая возможность учителю одни темы изу-
чать углублённо, другие — обзорно. Во многом это объясняется но-
визной и отсутствием глубоких, многолетних методических тради-
ций, не вполне удачным опытом введения вероятности в России
40 лет назад. В зависимости от разных обстоятельств школа может
4
Предисловие
выбрать один из нескольких вариантов планирования, отводя на
изучение вероятности и статистики от 18 до 34 часов в год. Описан-
ный подход к введению вероятности и статистики в школе позволяет
преодолеть естественное недоверие, которое испытывают учителя
к новому и непривычному для них курсу.
Московские городские контрольные работы по вероятности и ста-
тистике компонуются таким образом, чтобы содержание заданий со-
ответствовало ядру курса — общим основным контролируемым эле-
ментам, не претендуя на большую детализацию, зависящую от кон-
кретной программы.
Демонстрационные варианты работ, размещенные на сайте МИОО
http://statgrad.mioo.ru, определяют основные ориентиры для учи-
телей, родителей и учащихся, но не предназначены для того, чтобы
регламентировать порядок изучения тем, содержание или методику
преподавания и дать представление об уровне требований, предъяв-
ляемых к подготовке учащихся в настоящее время.
Настоящий сборник включает в себя демонстрационные и основ-
ные варианты контрольных работ 7-х и 8-х общеобразовательных
классов. Часть вариантов дается с решениями. Дополнительно пред-
лагаются тренировочные задания, цель которых — не столько помочь
учителю и учащимся при подготовке к контрольным работам по ве-
роятности и статистике, сколько обеспечить заданный материал для
ликвидации пробелов в знаниях и в повседневном учебном процессе.
Контрольные работы сгруппированы по классам в обратнохроно-
логическом порядке. Каждая работа содержит два варианта. Нумера-
ция вариантов контрольных работ общая. Например, вариант 7.2_1
следует расшифровывать так: вариант 1 контрольной работы 2 для
седьмого класса. В скобках после номера варианта указан год, когда
этот вариант предлагался школьникам.
7 класс
Пояснительная записка
В контрольную работу по статистике для учащихся седьмых клас-
сов общеобразовательных школ включено 5 заданий. Тематика за-
даний покрывает основное ядро курса статистики — представление
данных (таблицы и диаграммы), а также темы описательной стати-
стики— средние значения, показатели рассеивания.
Вариант 7.1_1 опубликован с решением.
Примерное содержание заданий работы отражено в заданиях де-
монстрационного варианта.
На работу учащимся отводится 45 минут. Данные в заданиях, где
требуются вычисления, адаптированы, поэтому все расчёты могут
быть проведены и без калькулятора, однако учащимся в ходе работы
разрешено пользоваться калькуляторами.
Критерии оценивания
Отметка «отлично» ставится за выполнение любых четырёх из пя-
ти заданий; отметка «хорошо» ставится за выполнение трёх любых
заданий, возможно, с одной вычислительной ошибкой при верном хо-
де рассуждений; отметка «удовлетворительно» — за выполнение двух
любых заданий, возможно, с вычислительной ошибкой.
Демонстрационный вариант
1. В таблице представлено распределение пассажиров (в млн чел.)
по видам транспорта.
Железно- дорожный	Автомо- бильный	Водный	Воздушный	Всего пассажиров
142	190	10	18	360
Какая из четырёх круговых диаграмм верно отражает данные таб-
лицы?
3)	4)
1)	2)
2. На столбиковой диаграмме показано производство пшеницы
в России с 1995 по 2001 год (млн тонн).
По диаграмме определите:
а)	В каком году производство пшеницы было меньше 30 млн т?
б)	Какие три года из данных в таблице были наименее урожайны-
ми?
в)	в каком году наблюдалось падение производства пшеницы
в России по сравнению с предыдущим годом?
Демонстрационный вариант
7
г)	определите примерный прирост производства пшеницы в Рос-
сии в 1999 году по сравнению с 1998 годом. Дайте приблизительный
ответ в млн т.
3.	В таблице дано число троллейбусных маршрутов в 10 крупней-
ших городах России.
1	Москва	82
2	Санкт-Петербург	41
3	Нижний Новгород	23
4	Челябинск	22
5	Уфа	21
6	Новосибирск	19
7	Екатеринбург	18
8	Самара	17
9	Омск	12
10	Казань	12
а)	Найдите среднее арифметическое данного набора.
б)	Найдите медиану данного набора.
в)	Какое из найденных средних лучше характеризует численность
троллейбусных маршрутов крупного российского города? Кратко обо-
снуйте своё мнение.
4.	На распиловочном станке пилят доски. Раз в год станок испыты-
вают. Для этого измеряют толщину полученной доски в пяти разных
местах и вычисляют дисперсию. Если дисперсия превышает 0,05, то
станок нуждается в ремонте. В таблице даны результаты измерений.
Номер измерения	1	2	3	4	5
Диаметр (мм)	18,1	18,5	18,5	18,6	18,3
а)	Найдите размах измерений.
б)	Найдите дисперсию измерений.
в)	Определите, нуждается ли станок в ремонте?
5.	Среднее арифметическое набора чисел равно 8, а дисперсия
равна 5. Каждое число набора умножили на -3 и после этого увели-
чили на 2. Найдите а) среднее значение и б) дисперсию полученного
набора.
Требования к выполнению и рекомендации по
оцениванию
Задание 1
Задание с выбором ответа. Никакие письменные пояснения от
учащихся не требуются. Задание можно выполнять разными способа-
ми. Например, можно найти, что 1° соответствует 1 млн пассажиров.
Теперь с помощью транспортира можно измерить углы каждого сек-
тора и найти диаграмму с углами 10°, 18°, 142° и 190°. Однако задача
допускает менее громоздкое решение—диаграмма 1 отбрасывается,
поскольку два меньших сектора одинаковы, диаграмма 3 отбрасы-
вается, поскольку в ней все секторы меньше 180° по величине. Из
оставшихся диаграмм 2 и 4 отвечает данным таблицы диаграмма 2.
Задание 2
Задание предназначено для проверки умения соотносить данные
диаграммы со словесной формулировкой. Задание не требует развёр-
нутых решений или пояснений. Объект проверки — умение верно по-
нять задание и извлечь информацию из диаграммы. Ответ на вопрос
задания г) может быть близким к 4 млн т. Следует принять как пра-
вильный любой ответ, разумно согласующийся с диаграммой. Напри-
мер, 3,5 млн т или «около 4,5 млн т», и т. п.
Задание 3
При выполнении пункта в) учащийся может дать любой обосно-
ванный ответ. Например, он может сказать, что наилучший показа-
тель — среднее арифметическое, поскольку оно позволяет узнать об-
щее число троллейбусных линий. Может быть, учащийся укажет моду
или другой вид среднего. Признаком верного ответа является обосно-
вание своего мнения.
Задание 4
Отсутствие единиц измерения в пункте а) не является основанием
для снижения отметки. Точно так же не следует снижать отметку при
наличии единиц (верных или ошибочных) в пункте б). Объект про-
верки — техническое умение вычислить дисперсию числового набора
и сравнить результат с данным значением. В случае ошибки при вы-
числении дисперсии задание в) засчитывается как выполненное вер-
но, если решение принято в соответствии с полученным значением
дисперсии.
Требования к выполнению и рекомендации по оцениванию
9
Задание 5
Здесь учащийся может воспользоваться свойствами среднего ариф-
метического и дисперсии. Можно просто явно или неявно сослаться
на них, можно воспользоваться символьной записью, если учащийся
ею владеет. Например:
«Пусть х и S2 — среднее арифметическое и дисперсия набора
X = (х,). Тогда для набора Y = -ЗХ + 2 находим:
у = —Зх + 2 = -22; S2 = S2 ч„,, = 9S2y = 45».
I	—оЛтЛ	Л
Теоретически возникает вопрос: что делать, если учащийся иллю-
стрирует изменение среднего и дисперсии на одном примере и прихо-
дит к правильному заключению. Разумеется, такой метод нельзя счи-
тать полным решением, но, по нашему мнению, он достоин какого-то
поощрения (например, полбалла и т. п.), поскольку от этого до пол-
ного правильного решения остался один шаг — замена конкретных
чисел в наборе переменными.
Вариант 7.1_1 (2010 г.)
1. Рейтинговое агентство проводило опрос среди покупателей «Ка-
кой книжный магазин вам больше нравится?». Столбиковая диаграм-
ма показывает рейтинги семи магазинов (в баллах) по результатам
опроса.
По диаграмме определите:
а)	какой магазин получил наибольшее число голосов по результа-
там опроса;
б)	сколько магазинов набрали более 60 баллов?
2. На рисунке показаны три круговые диаграммы, отражающие
содержание питательных веществ в трёх разных продуктах.
Арахис
Пирожное
Шоколад
Ц] Белки
Н ЖиРы
Щ Углеводы
| Прочие
а)	Определите, в каком из этих продуктов содержание белков наи-
большее.
Вариант 7.1 1 (2010 г.)
11
б)	Определите, каких питательных веществ больше всего в шоко-
ладе.
3.	В таблице указано количество проданной минеральной воды
(в тыс. бутылок) в весенние и летние месяцы за три года (по данным
компании-производителя).
	2007	2008	2009
Март	100	105	111
Апрель	104	109	109
Май	112	110	119
Июнь	119	126	130
Июль	120	125	121
Август	110	120	127
а)	Вычислите медиану данных за все летние месяцы.
б)	Вычислите медиану данных за все весенние месяцы.
в)	Дайте возможное объяснение тому, что найденные показатели
существенно отличаются друг от друга.
4.	В лаборатории производится анализ крови. Содержание гемо-
глобина в крови вычисляется как среднее арифметическое результа-
тов нескольких измерений.
Таблица содержит результаты пяти измерений гемоглобина (г/л)
в одной пробе крови пациентки.
Номер измерения	1	2	3	4	5
Содержание гемоглобина (г/л)	130	140	110	50	120
а)	Найдите среднее арифметическое результатов измерений.
б)	Найдите дисперсию измерений.
Выбрано правило: если квадрат отклонения некоторого значения
от среднего арифметического превышает дисперсию больше чем в 3,5
раза, то это значение считается ненадёжным (выбросом) и в дальней-
шем не учитывается.
в)	Определите, является ли значение 50 ненадёжным в соответ-
ствии с выбранным правилом.
г)	Найдите среднее арифметическое всех надёжных значений.
д)	Нормальное содержание гемоглобина в крови у женщин 120—
150 г/л. Можно ли считать, что у данной пациентки нормальное со-
держание гемоглобина?
12	Вариант 7.1 1 (2010 г.)
5.	В школе два седьмых класса. В первом 20 учеников, и их сред-
ний рост равен 159 см. Во втором — 30 учеников, их средний рост ра-
вен 154 см.
Найдите средний рост всех семиклассников школы.
Вариант 7.1_2 (2010 г.)
1. Рейтинговое агентство проводило опрос среди телезрителей
«Какой телеканал вам больше нравится?». На диаграмме показаны
рейтинги семи телевизионных каналов (в баллах) по результатам
опроса.
По диаграмме определите:
а)	какой канал получил наименьшее число голосов по результатам
опроса;
б)	сколько каналов набрали менее 50 баллов?
2. Круговые диаграммы показывают распределение населения по
группам крови в трёх странах.
Австралия
Исландия
g I группа
[2]	II группа
Щ III группа
| IV группа
а)	Определите, в какой из этих стран наибольшая доля людей с III
группой крови.
14
Вариант 7.1 2 (2010 г.)
б)	Определите, какая группа крови наиболее распространена в Ав-
стралии.
3.	В таблице указано количество проданных порций мороженого
(в тыс. штук) в летние и осенние месяцы за три года (по данным
компании-производителя).
	2006	2007	2008
Июнь	802	822	843
Июль	817	899	915
Август	507	558	543
Сентябрь	450	495	500
Октябрь	225	248	254
Ноябрь	211	374	411
а)	Вычислите медиану данных за все летние месяцы.
б)	Вычислите медиану данных за все осенние месяцы.
в)	Дайте возможное объяснение тому, что найденные показатели
отличаются друг от друга.
4.	В лаборатории производится анализ крови. Содержание саха-
ра в крови вычисляется как среднее арифметическое результатов
нескольких измерений.
Таблица содержит результаты пяти измерений содержания сахара
(г/л) в одной пробе крови взрослого пациента.
Номер измерения	1	2	3	4	5
Содержание сахара (г/л)	1,2	1,8	1,1	0,9	1,0
а)	Найдите среднее арифметическое результатов измерений;
б)	Найдите дисперсию результатов измерений.
Выбрано правило: если квадрат отклонения значения от среднего
арифметического превышает дисперсию больше чем в 3,5 раза, то это
значение считается ненадёжным (выбросом) и в дальнейшем не учи-
тывается.
в)	Определите, является ли значение 1,8 ненадёжным в соответ-
ствии с выбранным правилом.
г)	Найдите среднее арифметическое всех надёжных значений.
д)	Нормальное содержание сахара в крови взрослого 0,8—1,1 г/л.
Можно ли считать, что у данного пациента нормальное содержание
сахара в крови?
Вариант 7.1 2 (2010 г.)
15
5.	В школе два восьмых класса. В первом 30 учеников, и их сред-
ний рост равен 162 см. Во втором — 20 учеников, их средний рост
равен 157 см.
Найдите средний рост всех восьмиклассников школы.
Решения заданий варианта 7.1_1, требования
к выполнению заданий и рекомендации по
оцениванию
Задание 1
Возможное решение. Самый высокий столбик соответствует мага-
зину В.
Более 60 баллов набрали магазины А, Б, В и 3. Всего 4 магазина.
Ответ: а) В; б) 4.
Задание на чтение столбиковой диаграммы. От учащихся не тре-
буется ни пояснений, ни развёрнутых ответов. Отсутствие какой бы
то ни было записи решения не является основанием для снижения
отметки.
Задание 2
Возможное решение. Видно, что самый большой сектор, соответ-
ствующий белкам, на диаграмме «Арахис».
Ответ: Арахис.
Решение может опираться на прямое измерение или наглядное
сравнение секторов. От учащихся не требуется ни пояснений, ни за-
писи измерений величин секторов, ни вычислений или развёрнутых
рассуждений.
Задание 3
Возможное решение. Расположим данные за летние месяцы по воз-
растанию:
110,	119, 120, 120, 121, 125, 126, 127, 130.
Чисел девять. Медиана — пятое число в ряду. Оно равно 121.
Теперь расположим по возрастанию данные за весенние месяцы:
100,	104, 105, 109, 109, 110, 111, 112, 119.
Медиана равна 109.
Ответ: а) 121; б) 109; в) медианы могут отличаться потому, что
весной холоднее и люди пьют меньше минеральной воды.
Ответ на пункт в) может быть самым непредсказуемым. Напри-
мер: отличие небольшое, потому что хотя летом воды пьют больше,
но все разъехались на дачи и покупают воду в других магазинах. Или:
продажи весной и летом отличаются, потому что весной покупателям
Решения заданий варианта 7.1 1
17
вода этого завода понравилась, и летом они стали покупать её боль-
ше. Главный критерий — рассуждение содержит возможное, правдо-
подобное объяснение ситуации.
Задание 4
Возможное решение, а) Среднее арифметическое
130 + 140 + 110 + 50 + 120 _ 11()
б)	Отклонения от среднего арифметического: 20, 30, 0, -60, 10.
Квадраты отклонений: 400, 900, 0, 3600, 100.
Дисперсия:
400 + 900 + 3600 + 100 _ 5000 _ 100Q
в)	Квадрат отклонения числа 50 от среднего равен 3600.
3600 _ о А о с
1000 - 3,6 > 3,5,
значит, значение 50 ненадёжное.
г)	Среднее арифметическое надёжных значений:
130+140+110 + 120 _ 500 __ 125
4	— 4
д)	Число 125 больше 120, но меньше 150. Поэтому можно считать,
что содержание гемоглобина у пациентки в норме.
Ответ: а) 110; б) 1000; в) ненадёжное; г) 125; д) да, можно.
Не будет ошибкой, если указаны абсолютные отклонения, то есть
вместо -60 указано 60. Промежуточные вычисления могут быть рас-
положены в таблице, записаны в столбик или любым другим удоб-
ным способом. На уроках статистики следует приучать учащихся к ак-
куратной и систематизированной записи вычислений. В первую оче-
редь это необходимо, чтобы было легче проверять выкладки при по-
иске ошибок.	__
Учащийся может вычислить дисперсию по формуле S2 = х2 — х2
«Средний квадрат без квадрата среднего».
5 задание
Возможное решение. Сумма ростов учащихся первого седьмого
класса равна 20- 159 = 3180 (см). Сумма ростов учащихся второго
седьмого класса: 154-30 = 4620 (см). Тогда сумма ростов всех се-
миклассников равна 3180 + 4620 = 7800 (см). Средний рост равен
7800
'50~ = 156’
Ответ: 156 см.
18
Решения заданий варианта 7.1 1
Решение может быть записано одной выкладкой, например:
159-20 + 154-30 _ 7800 _ п ,
20 + 30	50
Не следует считать ошибкой, если учащийся в ответе не указал
единицы измерения — сантиметры. Однако в ходе работы над ошиб-
ками можно отметить этот недочёт в работе.
Вариант 7.2_1 (2009 г.)
1.	В таблице дана длительность каникул (в днях) в течение учеб-
ного года:
Осень	Зима	Весна	Лето	всего дней
4	22	7	87	120
Какая из четырёх круговых диаграмм верно отражает данные таб-
лицы?
2.	На диаграмме дано число рабочих на фабриках и заводах Рос-
сийской Федерации в 1927 году (в тыс. чел.).
С помощью диаграммы ответьте на следующие вопросы.
а)	В каком месяце 1927 года наблюдалось наиболее резкое увели-
чение численности рабочих?
б)	На сколько выросла численность рабочих в июле по сравнению
с маем? Дайте примерный ответ в тыс. чел.
20
Вариант 7.2 1 (2009 г.)
в)	В какие месяцы второго полугодия наблюдалось снижение чис-
ленности рабочих по сравнению с предыдущим месяцем?
3.	В таблице приведено число пользователей Интернета в 10 круп-
нейших по площади странах мира.
Страна	Число пользователей (млн)
Россия	30
Канада	24
США	220
Китай	213
Бразилия	68
Австралия	15
Индия	81
Аргентина	11
Казахстан	2
Судан	4
а)	Найдите среднее арифметическое числа пользователей.
б)	Найдите медиану числа пользователей.
в)	Какое из найденных средних лучше характеризует численность
пользователей Интернета в этих странах? Кратко обоснуйте своё мне-
ние.
4.	Швейцарские часы испытывают на точность с помощью специ-
ального теста. В ходе теста определяется ошибка измерения времени
(в секундах на протяжении суток) при разной температуре, влажно-
сти и в разных положениях механизма. Часы получают сертификат
точности, если размах ошибки меньше 4,5 секунд за сутки, а диспер-
сия меньше 3.
Если средняя ошибка в ту или иную сторону превышает 2 секунды,
то часы нуждаются в регулировке.
В таблице даны результаты пяти испытаний одного часового меха-
низма.
Номер испытания	1	2	3	4	5
Ошибка (с)	-1,1	-2,7	-0,8	-5,5	-2,9
а)	Найдите среднюю ошибку, размах и дисперсию ошибки.
б)	Определите, получают ли эти часы сертификат точности.
в)	Определите, нуждаются ли часы в регулировке.
5.	Среднее значение набора чисел равно 4, а дисперсия равна 18.
Каждое число набора изменили на противоположное. Найдите:
а) среднее значение нового набора; б) дисперсию нового набора.
Вариант 7.2_2 (2009 г.)
1. В таблице приведено количество уроков в третьей четверти по
категориям:
Гуманитарные	Естественнонаучные	Математические	Другие	Всего
143	91	75	51	360
Какая из четырёх круговых диаграмм верно отражает данные таб-
лицы?
1)	2)	3)	4)
2. На столбиковой диаграмме представлено число рабочих фабрик
и заводов Российской Федерации в 1928 году (в тыс. чел.).
С помощью диаграммы ответьте на следующие вопросы.
а)	В каком месяце наблюдалось наиболее резкое увеличение чис-
ленности рабочих?
22
Вариант 7.2 2 (2009 г.)
б)	На сколько рабочих меньше было в сентябре, чем за два месяца
до этого? Дайте примерный ответ в тыс. чел.
в)	В какие месяцы второго полугодия наблюдался рост числа рабо-
чих по сравнению с предыдущим месяцем?
3.	В таблице указано число станций в метрополитенах российских
городов.
Город	Число станций метро
Москва	176
Санкт-Петербург	63
Волгоград	18
Нижний Новгород	13
Новосибирск	12
Самара	9
Екатеринбург	7
Казань	6
а)	Найдите среднее арифметическое данного набора.
б)	Найдите медиану данного набора.
в)	Какое из найденных средних лучше характеризует наиболее ти-
пичный метрополитен в России?
4.	Швейцарские часы испытывают на точность с помощью специ-
ального теста. В ходе теста определяется ошибка измерения времени
(в секундах на протяжении суток) при разной температуре, влажно-
сти и в разных положениях механизма. Часы получают сертификат
точности, если размах ошибки меньше 4,5 секунд за сутки, а диспер-
сия меньше 3.
Если средняя ошибка превышает 2 секунды, то часы нуждаются
в регулировке.
В таблице даны результаты пяти испытаний одного часового меха-
низма.
Номер испытания	1	2	3	4	5
Ошибка (с)	-0,4	-0,9	1,6	4,1	3,6
а)	Найдите среднюю ошибку, размах и дисперсию ошибки.
б)	Определите, получат ли эти часы сертификат точности.
в)	Определите, нуждаются ли часы в регулировке.
5. Среднее значение набора чисел равно -5, а дисперсия равна 35.
Каждое число набора увеличили на 35. Найдите:
а) среднее значение нового набора; б) дисперсию нового набора.
Требования к выполнению варианта 7.2_1
и рекомендации по оцениванию
Задание 1
Задание с выбором ответа. Обоснования не требуется. Однако ре-
шение может быть основано на прямом измерении либо на кратком
рассуждении: самый большой сектор должен занимать почти три чет-
верти круга. Два малых сектора не равны между собой. Всем этим
условиям удовлетворяет только диаграмма (3).
Задание 2
Задание предназначено для проверки умения соотносить дан-
ные диаграммы со словесной формулировкой. Задание не требует
развёрнутого решения или пояснений. Ответ на вопрос задания б)
может быть близким к 230 тыс. чел. Следует принять как правильный
любой ответ, разумно согласующийся с диаграммой. Например, 225
или 240 тыс. чел. Отвечая на вопрос в) учащийся может не заме-
тить слабое снижение численности рабочих в ноябре по сравнению
с октябрём. Если два других месяца указаны верно, учитель имеет
право полностью засчитать задание в). Отсутствие единиц измерения
(тыс. чел.) не является основанием для снижения оценки.
Задание 3
При выполнении задания в) учащийся может дать любой обосно-
ванный ответ. Например, он может сказать, что наилучший показа-
тель — среднее арифметическое, поскольку оно позволяет узнать об-
щее число пользователей Интернета. Может быть, учащийся укажет
моду или другой вид среднего. Признаком верного ответа является
обоснование своего мнения.
Задание 4
Вычисляя среднюю ошибку, учащийся может дать ответ -2,6 се-
кунды, что также является верным ответом. Отсутствие единиц изме-
рения у среднего и размаха не является основанием для снижения от-
метки. Точно так же наличие единиц (верных или ошибочных) у дис-
персии не является основанием для снижения отметки. Объект про-
верки — техническое умение вычислить дисперсию числового набора
и сравнить результат с данным значением. В случае ошибки при вы-
числении среднего, дисперсии или размаха, задания б) и в) засчиты-
24
Требования к выполнению варианта 7.2 1
ваются, если решения приняты в соответствии с полученными значе-
ниями показателей и решающими правилами.
Задание 5
Учащийся может использовать свойства средних и дисперсии. Он
может явно или неявно сослаться на них либо использовать символь-
ную запись. Например,
у = -х = -4; S2 = S2_x = (-1)2S2 = S2X = 18.
Вариант 7.3_1 (2008 г.)
1. В таблице представлено число музеев в Российской Федерации
на конец 2005 года.
Исторические и археологические	Краеведческие	Искусствоведческие и литературные	Прочие музеи	Всего музеев
492	1085	316	392	2285
Какая из четырёх круговых диаграмм верно отражает данные таб-
лицы?
2. В таблице приведена приблизительная численность учащихся
и учителей общеобразовательных школ и интернатов в России по го-
дам (тыс. чел. к началу учебного года).
Годы	1940/41	1950/51	1960/61	1970/71	1980/81	1990/91	2000/01	2005/06	2006/07
Учащихся	20250	18600	18750	23250	17670	20250	20050	15 200	14350
Учителей	700	800	1010	1230	1070	1440	1710	1540	1480
а)	В начале какого учебного года (из данных в таблице) число учи-
телей в России было наибольшим?
б)	На сколько процентов уменьшилось число школьников к сен-
тябрю 1980 года по сравнению с сентябрём 1970 года?
в)	Сравните данные в начале 1970/71 учебного года и в начале
2000/01 учебного года. Как изменилась за тридцать лет численность
учащихся? Численность учителей?
3.	Таблица показывает производство сахара-песка в странах «вось-
мёрки» — восьми экономически крупнейших странах мира в 1999 году.
Страна	Велико- британия	Гер- мания	Италия	Канада	Россия	США	Фран- ция	Япония
Произведено сахара-песка (млн т)	1,3	3,7	1,6	0,1	1,3	7	4,3	0,7
В 2008 году работа в 7-х классах проводилась впервые. Не во всех школах материал
был изучен в полном объёме, поэтому работа 2008 года не содержит заданий по теме
«дисперсия».
26
Вариант 7.3 1 (2008 г.)
Найдите:
а)	суммарный объём производства песка в странах восьмёрки
(млн т) в 1999 г.;
б)	какой объём производства сахара-песка приходится в среднем
на каждую страну?
4.	В таблице отражена численность населения городов Новгород-
ской области по данным 2007 года.
Город	Население (тыс. чел.)
Боровичи	57
Валдай	18
Великий Новгород	216
Малая Вишера	13
Окуловка	13
Пестово	17
Сольцы	11
Старая Русса	34
Холм	4
Чудово	17
а)	Найдите среднюю численность населения этих городов (среднее
арифметическое).
б)	Найдите численность населения в среднем по величине городе
(медиану данных).
в)	Какая из этих характеристик — среднее арифметическое или
медиана — лучше описывает население типичного города Новгород-
ской области? Обоснуйте свой ответ одним-двумя предложениями.
5.	Сумма всех чисел набора равна 80, а среднее арифметическое
равно 8. Все числа набора увеличили на 3, а результат умножили на 2.
а)	Чему равно среднее арифметическое нового набора?
б)	Какое одно число нужно добавить к новому набору, чтобы сред-
нее арифметическое полученного набора стало равно 25?
Вариант 7.3_2 (2008 г.)
1. В таблице представлено число профессиональных театров в Рос-
сийской Федерации на конец 2005 года.
Оперы и балета	Драмы, комедии и музыкальные	Детские и юного зрителя	Прочие театры	Всего театров
72	335	165	16	588
Какая из четырёх круговых диаграмм верно отражает данные таб-
лицы?
2. В таблице приведена численность учащихся и учителей общеоб-
разовательных школ и интернатов в России по годам (тыс. чел. к на-
чалу учебного года).
Годы	1940/41	1950/51	1960/61	1970/71	1980/81	1990/91	2000/01	2005/06	2006/07
Учащихся	20250	18600	18750	23250	17670	20250	20050	15200	14350
Учителей	700	800	1010	1230	1070	1440	1710	1540	1480
а)	В начале какого учебного года (из данных в таблице) число
школьников в России было наибольшим?
б)	На сколько процентов выросло число учителей к сентябрю
2006 года по сравнению с сентябрём 1950 года?
в)	Сравните данные в начале 1940/41 учебного года и в начале
1990/91 учебного года. Как изменилась за пятьдесят лет численность
учащихся? Численность учителей?
3.	Таблица показывает добычу естественного газа в странах «вось-
мёрки» — восьми экономически крупнейших странах мира в 2001 году.
Страна	Велико- британия	Герма- ния	Италия	Канада	Россия	США	Франция	Япония
Добыто газа (млрд куб. м)	112	22,2	15,2	186	582	558	1,9	2,6
28
Вариант 7.3 2 (2008 г.)
Найдите:
а)	суммарный объём добычи газа в странах восьмёрки (млрд куб. м)
в 2001 г.;
б)	какой объём добычи газа приходится в среднем на каждую стра-
ну?
4.	В таблице отражена численность населения городов Ярослав-
ской области по данным 2007 года (за исключением Ярославля).
Город	Население (тыс. чел.)
Гаврилов-Ям	19
Данилов	16
Любим	6
Мышкин	6
Переславль-Залесский	42
Пошехонье	7
Ростов	33
Рыбинск	213
Тугаев	42
Углич	36
а)	Найдите среднюю численность населения этих городов (среднее
арифметическое).
б)	Найдите численность населения в среднем по величине городе
(медиану данных).
в)	Какая из этих характеристик — среднее арифметическое или
медиана — лучше описывает население типичного города Ярослав-
ской области? Обоснуйте свой ответ одним-двумя предложениями.
5.	Дан числовой набор из 9 чисел. Среднее арифметическое набо-
ра равно 5. Из набора удалили одно число, и среднее арифметическое
стало равно 6.
а)	Какое число удалили?
б)	Если все числа нового набора сначала увеличить на 2, а потом
умножить на 3, чему станет равно среднее арифметическое получен-
ного набора?
Требования к выполнению варианта 7.3_1
и рекомендации по оцениванию
Задание 1
Возможно непосредственное измерение и вычисление доли или
градусной меры каждого сектора. Задача может быть решена при-
кидкой. Никакие письменные пояснения от учащихся не требуются.
Задание с выбором ответа.
Задание 2
Отвечая на вопрос а), учащийся может только указать ответ безо
всяких пояснений. Полным решением задания б) может являться за-
пись вида
(23250-17670) : 23250 = 0,24 и т.п.
Ответ в пункте в) должен содержать в том или ином виде указание
на то, что число учащихся уменьшилось, а число учителей возросло.
Задание 3
Отвечая на вопрос б), учащийся может пользоваться результатом,
полученным в пункте а). Полной записью решения, например, следу-
ет считать такую:
1,3 + 3,7 +1,6 + 0,1 +1,3 + 7+4,3 + 0,7 = 20; 20 : 8 = 2,5.
Отметка не снижается, если учащийся не указал единицы измере-
ния — млн т.
Задание 4
Отвечая на вопрос в), учащийся может заявить, что медиана близ-
ка к населению 6 из 10 городов, поэтому она лучшая характеристика.
С другой стороны, учащийся может сказать, что наиболее подходя-
щая характеристика — среднее арифметическое. Критерием верного
ответа является наличие разумного обоснования. Отметка не снижа-
ется, если учащийся не указал единицы измерения (тыс. чел.).
Задание 5
Полным и верным решением в пункте а) следует считать, напри-
мер, запись (8 4- 3) • 2 — 22. При этом учащийся не обязан явно фор-
30
Требования к выполнению варианта 7.3 1
мулировать или называть свойства среднего арифметического, на ко-
торые он ссылается. Возможное решение в пункте б): сумма чисел
в новом наборе 10 • 22 = 220. После добавления числа среднее долж-
но стать 11 -25 = 275. Значит, добавлено число 55. Возможны другие
способы, например, учащийся может составить и решить уравнение
10-22 + х _
11
Ответы к заданиям контрольных работ
7 класса
Демонстрационный вариант
1.	2.
2.	а) 1998; б) 1995,1998 и 1999; в) 1998; г) 4 млн тонн.
3.	а) 26,7; б) 20; в) медиана, поскольку число маршрутов в Москве
и Санкт-Петербурге сильно отличается от прочих.
4.	а) 0,4 мм; б) 0,032; в) нет, в соответствии с указанным правилом
не нуждается.
5.	а) -22; б) 45.
Вариант 7.1_1
1.	а) В (или третий магазин); б) 4.
2.	а) Арахис; б) углеводы.
3.	а) 121; б) 109; в) возможно, весной минеральную воду покупают
меньше потому, что не так жарко, как летом, и пить хочется меньше.
4.	а) ПО; б) 1000; в) ненадёжное; г) 125; д) можно.
5.	156 см.
Вариант 7.1_2
1.	а) Канал-365; б) 2.
2.	а) Эстония; б) I группа;
3.	а) 817; б) 374; в) осенью люди покупают меньше мороженого,
потому что холодно.
4.	а) 1,2; б) 0,1; в) ненадёжное; г) 1,05; д) можно.
5.	160 см.
Вариант 7.2_1
1.	3.
2.	а) В июне; б) около 230 тыс. чел.; в) в августе, ноябре и декабре.
3.	а) 66,8 млн; б) 27 млн; в) медиана, поскольку данные содержат
значения, значительно отличающиеся от прочих.
4.	а) Средняя ошибка 2,6 с (или -2,6 с); размах 4,7 с; дисперсия
2,8; б) не получат, поскольку размах превышает 4,5 с; в) нуждаются,
поскольку средняя ошибка больше 2 с.
5.	а) -4; б) 18.
Вариант 7.2_2
1.	2.
2.	а) В июне; б) около 40 тыс. чел.; в) в июле, октябре, ноябре
и декабре.
32
Ответы к заданиям контрольных работ 7 класса
3.	а) 38,25; б) 12,5; в) медиана, поскольку данные содержат значе-
ния, значительно отличающиеся от прочих (Москва и Санкт-Петер-
бург).
4.	а) Средняя ошибка 1,6 с; размах 5 с; дисперсия 4,1; б) не полу-
чат, поскольку дисперсия превышает 3; в) не нуждаются, поскольку
средняя ошибка меньше 2 с;
5.	а) 30; б) 35.
Вариант 7.3_1
1.4.
2.	а) 2000/01; б) 24%; в) выросло число учителей и сократилось
число учащихся.
3.	а) 20 млн т; б) 2,5 млн т;
4.	а) 40 тыс. чел.; б) 17 тыс. чел.
5.	а) 22; б) 55.
Вариант 7.3_2
1.1.
2.	а) 1970/71; б) 85%; в) при той же численности учащихся число
учителей выросло больше чем в два раза;
3.	а) 1480 млрд куб. м; б) 185 млрд куб. м;
4.	а) 42 тыс. чел.; б) 26 тыс. чел.;
5.	а) -3; б) 24.
8 класс
Пояснительная записка
В контрольную работу по вероятности и статистике для учащихся
восьмых классов общеобразовательных школ включено 6 заданий.
Первые два задания отвечают темам «Представление данных»
и «Описательная статистика. Средние значения». В большинстве об-
разовательных учреждений Москвы этот материал изучался в 7 клас-
се. Включение этих заданий в контрольные работы 8 класса связано,
в первую очередь, с важностью этих тем.
Третье задание проверяет умение перечислять элементарные со-
бытия в эксперименте, описанном в условии задачи.
Четвёртое, пятое и шестое задание проверяют умение вычислять
вероятности событий, составленных из равновозможных исходов экс-
перимента. Задания расположены по возрастанию сложности и отве-
чают требованиям государственного стандарта основной школы. По-
следнее шестое задание составлено с таким расчётом, чтобы учащие-
ся, владеющие комбинаторными знаниями, могли применить их для
решения задачи. Однако задача решается и без комбинаторики пря-
мым перебором всех элементарных событий и благоприятствующих
событий.
Вариант 8.1_1 опубликован с решением.
Примерное содержание заданий работы отражено в заданиях де-
монстрационного варианта.
На работу учащимся отводится 45 минут. Данные в задании адап-
тированы таким образом, что вычисления проводятся с одним деся-
тичным знаком после запятой. Поэтому все расчёты могут быть про-
ведены и без калькулятора, однако учащимся в ходе работы разрешено
пользоваться калькуляторами.
Критерии оценивания
Отметка «отлично» ставится, если безошибочно выполнены любые
пять заданий из шести; отметка «хорошо» ставится за выполнение че-
тырёх любых заданий, возможно, с одной вычислительной ошибкой
при верном ходе рассуждений; отметка «удовлетворительно» — за вы-
полнение трёх любых заданий, возможно, с вычислительной ошиб-
кой.
Демонстрационный вариант
1.	В таблице дано число троллейбусных маршрутов в 10 крупных
городах России.
1	Москва	82
2	Санкт-Петербург	41
3	Нижний Новгород	23
4	Челябинск	22
5	Уфа	21
6	Новосибирск	19
7	Екатеринбург	18
8	Самара	17
9	Омск	12
10	Казань	12
а)	Найдите среднее арифметическое данного набора.
б)	Найдите медиану данного набора.
в)	Какое из найденных средних лучше характеризует численность
троллейбусных маршрутов крупного российского города? Кратко обо-
снуйте своё мнение.
2.	На столбиковой диаграмме показано производство пшеницы
в России с 1995 по 2001 год (млн тонн).
Демонстрационный вариант
35
По диаграмме определите:
а)	В каком году производство пшеницы было меньше 30 млн т?
б)	Какие три года из данных в таблице были наименее урожайны-
ми?
в)	В каком году наблюдалось падение производства пшеницы
в России по сравнению с предыдущим годом?
г)	Определите примерный прирост производства пшеницы в Рос-
сии в 1999 году по сравнению с 1998 годом. Дайте приблизительный
ответ в млн т.
3.	Перед школьным спектаклем Саша, Вова и Коля с помощью жре-
бия распределяют между собой роли Атоса, Портоса и Арамиса.
а)	Сколько существует возможных вариантов распределения ро-
лей?
б)	Перечислите все эти варианты с помощью таблицы.
4.	Для проведения экзамена по математике в 9 классе случайным
образом выбирается одна из 92 экзаменационных работ. Перед экза-
меном Вася решил все работы с первой по двадцать третью.
а)	Какова вероятность, что будет выбрана работа №33?
б)	Какова вероятность того, что на экзамене будет выбрана рабо-
та, которую Вася решил перед экзаменом?
5.	На поле для игры в крестики-нолики поставлен
крестик (см. рис.). Свободную клетку для нолика вы-
бирают случайным образом.
Найдите вероятность того, что нолик окажется
в клетке, соседней с крестиком (клетки считаются со-
седними, если у них есть общая сторона).
6.	В сундуке 5 монет, из которых 2 золотых и 3 серебряных. Пират
достаёт из сундука 2 случайные монеты. Какова вероятность того, что
обе монеты оказались золотыми?
Требования к выполнению и рекомендации
по оцениванию
Задание 1
При выполнении задания в) учащийся может дать другой обосно-
ванный ответ. Например, он может сказать, что наилучший показа-
тель — среднее арифметическое, поскольку оно позволяет узнать об-
щее число троллейбусных линий. Может быть, учащийся укажет моду
или другой вид среднего. Признаком верного ответа является обосно-
вание своего мнения.
Задание 2
Задание предназначено для проверки умения соотносить графиче-
ски представленные данные со словесной формулировкой. Задания не
требуют развёрнутых решений или пояснений. Объект проверки —
умение верно интерпретировать задание и извлечь информацию из
таблицы. Ответ на вопрос задания г) может быть близким к 4 млн т.
Следует принять как правильный любой ответ, разумно согласующий-
ся с диаграммой. Например, 3,5 млн т или: «менее 5 млн т» и т. п.
Задание 3
Ответ на пункт а) может быть получен как умножением 3 • 2 • 1 = 6,
так и после выполнения пункта б), в котором все шесть вариантов
перечислены явно. Если учащиеся знакомы с понятием перестанов-
ки и формулой для перестановки, они могут пользоваться этой фор-
мулой: 31 = 6. Основой задания является перечисление всех исходов
в некоторой выбранной логике перебора.
Задание 4
Решение следует считать полным и верным, если учащийся в ка-
ком-либо явном виде указал общее число элементарных событий (ис-
ходов) при выборе работы и число благоприятствующих исходов.
Требования к выполнению и рекомендации по оцениванию 37
Задание 6
При определении общего числа элементарных событий вместо
комбинаторного правила умножения учащийся может пользоваться
перебором, пронумеровав монеты и выписав все возможные исходы.
Например:
12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45.
Может быть использовано число сочетаний: n = Cj = 10. Если уча-
щиеся знакомы с числом сочетаний С*, но не умеют вычислять его,
они могут пользоваться треугольником Паскаля как таблицей.
Вариант 8.1_1 (2010 г.)
1. Рейтинговое агентство проводило опрос среди покупателей «Ка-
кой книжный магазин вам больше нравится?». Столбиковая диаграм-
ма показывает рейтинги семи магазинов (в баллах) по результатам
опроса.
там опроса;
б) сколько магазинов набрало более 60 баллов?
2. В таблице указано количество проданной минеральной воды
(в тыс. бутылок) в весенние и летние месяцы за два года (по данным
компании-производителя).
	2007	2008
Март	100	105
Апрель	104	111
Май	112	110
Июнь	119	126
Июль	120	125
Август	110	120
Вариант 8.1 1 (2010 г.)
39
а)	Вычислите среднее арифметическое данных за все летние меся-
цы.
б)	Вычислите среднее арифметическое данных за все весенние ме-
сяцы.
в)	Дайте возможное объяснение тому, что найденные показатели
отличаются друг от друга.
3. В городе планируется построить метрополитен, в котором три
линии — Южная, Западная и Кольцевая. Художнику поручено нари-
совать схему будущего метрополитена, причем каждая линия долж-
на иметь свой цвет. Художник использует три цвета: красный, синий
и зеленый.
а)	Сколько существует возможных вариантов распределения цве-
тов?
б)	Перечислите все варианты с помощью таблицы.
4.	На чемпионате по художественной гимнастике выступает 18 гим-
насток, среди них 3 гимнастки из России, 2 гимнастки из Китая. По-
рядок выступления определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность
того, что:
а)	первой будет выступать гимнастка из России;
б)	последней будет выступать гимнастка или из России, или из
Китая.
5.	Иван и Пётр играют в кости. Каждый бросает кость два раза.
Выигрывает тот, у кого выпавшая сумма очков больше. Если суммы
очков равны, игра оканчивается вничью.
Первым бросал кости Иван, и у него выпа-
ло 5 очков и 3 очка.
Теперь бросает кости Пётр.	й
а)	В таблице элементарных событий ука- о
жите (штриховкой) элементарные события, g
благоприятствующие событию «Пётр выигра- §
ет».	ш
б)	Найдите вероятность события «Пётр
выиграет».
6. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном семизнач-
ном телефонном номере последние четыре цифры — тройка и три
двойки (в любом порядке).
Вариант 8.1_2 (2010 г.)
1. Рейтинговое агентство проводило опрос среди телезрителей
По диаграмме определите:
а)	какой канал получил наименьшее число голосов по результатам
опроса;
б)	сколько каналов набрали менее 50 баллов?
2. В таблице указано количество проданных порций мороженого
(в тыс. штук) в летние и осенние месяцы за два года (по данным
компании-производителя).___________________
	2007	2008
Июнь	815	843
Июль	817	915
Август	507	543
Сентябрь	411	500
Октябрь	225	450
Ноябрь	211	411
Вариант 8.1 2 (2010 г.)
41
а)	Вычислите среднее арифметическое данных за все летние меся-
цы.
б)	Вычислите среднее арифметическое данных за все осенние ме-
сяцы.
в)	Дайте возможное объяснение тому, что найденные показатели
отличаются друг от друга.
3. В городе три района — Заречный, Фабричный и Центральный.
Художнику поручено нарисовать план города, причем каждый из рай-
онов должен быть выделен своим цветом. Художник решил использо-
вать три цвета: розовый, голубой и желтый.
а)	Сколько существует возможных вариантов распределения цве-
тов?
б)	Перечислите все варианты с помощью таблицы.
4.	На чемпионате по прыжкам в воду выступает 20 спортсменов,
среди них 5 прыгунов из России и 3 прыгуна из США. Порядок выступ-
ления определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что:
а)	первым будет прыгать спортсмен из США;
б)	вторым будет прыгать спортсмен или из России, или из США.
5.	Татьяна и Виктория играют в кости. Каждая бросает кость два-
жды. Выигрывает та, у кого выпавшая сумма очков больше. Если сум-
мы очков равны, игра оканчивается вничью.
Первой бросала кости Виктория, и у нее
выпало 2 очка и 4 очка.
Теперь бросает кости Татьяна.
а)	В таблице элементарных событий ука-
жите (штриховкой) элементарные события,
благоприятствующие событию «Виктория вы-
играет».
б)	Найдите вероятность события «Викто-
рия выиграет».
6. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном семизнач-
ном телефонном номере последние пять цифр — одна семерка и четы-
ре восьмёрки (в любом порядке).
Решение варианта 8.1_1, требования к выполнению
и рекомендации по оцениванию
Задание 1
См. решение задания 1 варианта 7.1_1.
Это задание на чтение столбиковой диаграммы. От учащихся не
требуется ни пояснений, ни развёрнутых ответов.
Задание 2
Возможное решение. Вычислим среднее за все летние месяцы:
119 + 126+1204-125 + 110 + 120 _ 12Q
6
Теперь найдём среднее за все весенние месяцы:
100 + 105 + 104+111 + 112 + 110 _
6	- 1ил
Ответ: а) 120; б) 107; в) вероятно, весной минеральную воду по-
купают меньше, потому что не так жарко, как летом, и пить хочется
меньше.
При вычислении средних учащийся может воспользоваться свой-
ствами средних. Например, вычисляя средние за все летние месяцы
можно упростить вычисления, отняв от каждого из чисел 110, а потом
прибавив это число к результату усреднения
9 +16+ 9 10 * * * *.±15 + 0 + 10 + но = 10 +110 = 120.
О
Ответ на пункт в) может быть непредсказуемым. Например: от-
личие небольшое, потому что хотя летом воды пьют больше, но все
разъехались на дачи и покупают воду в других магазинах. Или: прода-
жи весной и летом отличаются, потому что весной покупателям вода
понравилась, и летом они стали покупать её больше. Главный кри-
терий — рассуждение содержит возможное, правдоподобное объясне-
ние ситуации.
Задание 3
Возможное решение. Сначала решим пункт б), перечислив вариан-
ты. Построим таблицу и заполним её. Если Южная линия имеет крас-
ный цвет, то Западная и Кольцевая имеют соответственно зеленый
и синий или наоборот. Внесём эти два варианта в таблицу и найдём
Решение варианта 8.1 1, требования к выполнению
43
ещё по два варианта в случаях, когда Южная линия имеет синий или
зеленый цвет. Получим таблицу.
Южная	К	К	С	с	3	3
Западная	3	С	к	3	К	с
Кольцевая	С	3	3	к	с	к
Тогда всего существует 6 раскрасок.
Ответ: а) 6.
Не следует выдавать школьникам шаблон таблицы заранее. Табли-
ца должна быть сконструирована самостоятельно. При этом варианты
могут располагаться как в строчках, так и в столбцах. Обозначения
цветов могут быть сделаны буквами или цветовыми метками, линии
метро также могут быть обозначены первыми буквами и т. п. В прин-
ципе совершенно не играет роли, отделены ли графы таблицы друг
от друга линиями или нет. Таблица должна быть аккуратной, полной
и понятной. Других требований к ней нет. Пункт а) многие школьни-
ки могут решить независимо от б). Например, с помощью комбина-
торного правила умножения: Южной линии назначаем любой из трёх
цветов, для Западной остаётся два цвета, а для Кольцевой — один.
3 • 2 • 1 = 6. Особенное внимание следует обратить на тех учащихся,
у кого в пунктах а) и б) получилось разное число раскрасок. Контроль
над этой ошибкой не проводился, но в будущем планируется.
Задание 4
Возможное решение, а) При выборе первой гимнастки общее число
элементарных событий N = 18, число элементарных событий, благо-
приятствующих событию А = {первая из России}, N(A) = 3.
- „П/ЛЛ W) 3	1
Тогда Р(А)- N -18-6.
б) Пусть В = {последняя из России или из
Китая}.
N = 18, N(B) = 3 + 2 = 5, Р(В) = Л-
1о
Учащийся может не обозначать события
буквами. Запись решения может быть бо-
лее или менее подробной, чем приведённая
в примерном решении.
44
Решение варианта 8.1 1, требования к выполнению
Задание 5
Возможное решение. Чтобы выиграть, Пётр в сумме должен вы-
бросить больше, чем 5 + 3 = 8. Заштрихуем в таблице исходов опыта
с бросанием двух игральных костей все исходы, благоприятствующее
событию «Сумма очков больше 8».
Общее число элементарных событий 36, число благоприятствую-
щих событии равно 10, значит, вероятность равна = у^.
Учитель может разрешить учащимся пользоваться для штрихов-
ки заранее подготовленной таблицей либо потребовать перечертить
таблицу в тетради. Не нужно требовать специальных письменных по-
яснений к штриховке.
Задание 6
Возможное решение. Общее число возможных комбинаций послед-
них четырёх цифр: N = 104. Указанному событию благоприятствуют
исходы вида 3222, где цифры следуют в любом порядке. Позицию для
тройки можно выбрать Cj = 4 способами. На остальные места нужно
поставить двойки.
С1.	4	1
Тогда искомая вероятность равна = уу^ = ^qq = 0,0004.
Учащийся может не использовать комбинаторные соображения,
а просто перечислить все благоприятствующие исходы: 3222, 2322,
2232 и 2223. Общее число комбинаций также можно найти непосред-
ственно — чисел от 0 до 9999 ровно 10000. Ответ может быть записан
как обыкновенной, так и десятичной дробью.
Вариант 8.2_1 (2009 г.)
1. На столбиковой диаграмме представлено число рабочих фабрик
и заводов в 1927 году (в тыс. чел.).
С помощью диаграммы ответьте на следующие вопросы.
а)	В каком месяце 1927 года наблюдалось резкое увеличение чис-
ленности рабочих?
б)	На сколько выросла численность рабочих в июле по сравнению
с маем? Дайте примерный ответ в тыс. чел.
в)	В какие месяцы второго полугодия наблюдалось снижение чис-
ленности рабочих?
2.	В таблице приведено число пользователей Интернета в 10 круп-
нейших по площади странах мира.
Страна	Число пользователей (млн)
Россия	30
Канада	24
США	220
Китай	213
Бразилия	68
Австралия	15
Индия	81
Аргентина	11
Казахстан	2
Судан	4
46
Вариант 8.2 1 (2009 г.)
а)	Найдите среднее арифметическое числа пользователей.
б)	Найдите медиану числа пользователей.
в)	Какое из найденных средних лучше характеризует численность
пользователей Интернета этих стран? Кратко обоснуйте своё мнение.
3.	У шляпника есть четыре шляпы: две с галуном (золотой лен-
той) и две с серебряными пряжками. Мушкетеры Атос, Портос, Ара-
мис и дАртаньян бросают жребий, чтобы решить, кому достанется ка-
кая шляпа. Составьте таблицу элементарных событий (исходов) этого
опыта.
4.	Эксперимент состоит в последовательном бросании двух ко-
стей.
Событие А = {«На обеих костях выпала двойка»}.
Событие В = {«Сумма очков на костях больше 8»}.
а)	Найдите вероятность события А.
б)	В таблице элементарных событий (см. рис.) выделите элемен-
тарные события (исходы), благоприятствующие событию В.
(1;1)	(1;2)	(1;3)	(1;4)	(1;5)	(1; 6)
(2; 1)	(2; 2)	(2;3)	(2; 4)	(2; 5)	(2; 6)
(3; 1)	(3; 2)	(3;3)	(3;4)	(3; 5)	(3; 6)
(4;1)	(4; 2)	(4; 3)	(4; 4)	(4; 5)	(4; 6)
(5; 1)	(5; 2)	(5;3)	(5; 4)	(5; 5)	(5; 6)
(6;1)	(6; 2)	(6; 3)	(6; 4)	(6; 5)	(6; 6)
в)	Вычислите вероятность события В.
5.	На Арбатско-Покровской линии московского метрополитена
один из 40 работающих поездов — состав-выставка «Акварель». Мож-
но считать, что поезда распределены случайно. Ваня спускается в мет-
ро на конечной станции.
а)	Какова вероятность того, что первый подошедший поезд — «Ак-
варель»?
б)	Ваня хочет уехать обязательно на поезде «Акварель». Какова ве-
роятность того, что ему придется пропустить не менее пяти составов?
6.	В тёмном погребе шесть банок с вареньем. Половина из них —
с малиновым, а половина — с вишнёвым. Дедушка достал наугад две
банки из погреба. Какова вероятность того, что обе банки оказались
с вишнёвым вареньем?
Вариант 8.2_2 (2009 г.)
1.	На столбиковой диаграмме представлено число рабочих фабрик
и заводов Российской Федерации в 1928 году (в тыс. чел.).
С помощью диаграммы ответьте на следующие вопросы.
а)	В каком месяце наблюдалось резкое увеличение численности
рабочих?
б)	На сколько рабочих меньше было в сентябре, чем за два месяца
до этого? Дайте примерный ответ в тыс. чел.
в)	В какие месяцы второго полугодия наблюдался рост числа рабо-
чих?
2.	В таблице указано число станций в метрополитенах российских
городов.
Город	Число станций метро
Москва	177
Санкт-Петербург	64
Волгоград	18
Нижний Новгород	13
Новосибирск	12
Самара	9
Екатеринбург	7
Казань	6
48
Вариант 8.2 2 (2009 г.)
а)	Найдите среднее арифметическое данного набора.
б)	Найдите медиану данного набора.
в)	Какое из найденных средних лучше характеризует наиболее ти-
пичный метрополитен в России?
3.	Из четырёх спичек две длинные и две короткие. Аня, Боря, Ваня
и Гена последовательно тянут жребий, вытягивая спичку. Составьте
таблицу элементарных событий (исходов) этого эксперимента.
4.	Эксперимент состоит в последовательном бросании двух ко-
стей.
Событие С = {На первой кости выпало 3, а на второй выпало 4}.
Событие D = {Выпавшие числа отличаются на единицу}.
а)	Найдите вероятность события С.
б)	В таблице элементарных событий (см. рис.) выделите элемен-
тарные события (исходы), благоприятствующие событию D.
(1; 1)	(1;2)	(1;3)	(1;4)	(1;5)	(1;б)
(2; 1)	(2; 2)	(2; 3)	(2; 4)	(2; 5)	(2; 6)
(3; 1)	(3;2)	(3;3)	(3;4)	(3; 5)	(3;6)
(4; 1)	(4; 2)	(4; 3)	(4; 4)	(4; 5)	(4; 6)
(5; 1)	(5; 2)	(5;3)	(5; 4)	(5; 5)	(5; 6)
(6; 1)	(6; 2)	(6; 3)	(6; 4)	(6; 5)	(6; 6)
в)	Вычислите вероятность события D.
5.	На Замоскворецкой линии московского метрополитена один из
50 работающих составов — поезд-музей «Народный ополченец». Мож-
но считать, что поезда распределены случайным образом. Петя спус-
кается в метро на конечной станции.
а)	Какова вероятность того, что первый подошедший поезд — «На-
родный ополченец»?
б)	Петя хочет уехать обязательно в поезде «Народный ополченец».
Какова вероятность того, что ему придется пропустить не более трёх
поездов?
6.	В аквариуме три золотые рыбки и две серебристые. Кот выловил
две рыбки. Какова вероятность того, что обе они были серебристые?
Требования к выполнению варианта 8.2_1
и рекомендации по оцениванию
Задание 1
Задание предназначено для проверки умения соотносить данные
диаграммы со словесной формулировкой. Задания не требуют раз-
вёрнутых решений или пояснений. Ответ на вопрос пункта в) может
быть близким к 230 тыс. чел. Следует принять как правильный лю-
бой ответ, разумно согласующийся с диаграммой. Например, 225 или
240 тыс. чел. Отвечая на вопрос б) учащийся может не заметить сла-
бое снижение численности рабочих в ноябре по сравнению с октяб-
рём. Если два других месяца указаны верно, учитель имеет право пол-
ностью засчитать пункт б). Отсутствие единиц измерения (тыс. чел.)
не является основанием для снижения оценки.
Задание 2
Задание предназначено для проверки умения соотносить дан-
ные диаграммы со словесной формулировкой. Задание не требует
развёрнутого решения или пояснений. Ответ на вопрос задания б)
может быть близким к 230 тыс. чел. Следует принять как правильный
любой ответ, разумно согласующийся с диаграммой. Например, 225
или 240 тыс. чел. Отвечая на вопрос в) учащийся может не заме-
тить слабое снижение численности рабочих в ноябре по сравнению
с октябрём. Если два других месяца указаны верно, учитель имеет
право полностью засчитать задание в). Отсутствие единиц измерения
(тыс. чел.) не является основанием для снижения оценки.
Задание 3
Система выбранных обозначений может быть произвольной, но
должна быть понятной. Перечисление должно быть полным без по-
вторений. Желательно — в какой-либо логике перебора. Границы таб-
лицы могут быть не изображены. Объект проверки — умение пере-
числять исходы опыта.
Задание 4
Выполняя пункт б) учащийся может заштриховать, закрасить или
отметить нужные ячейки таблицы. Для этого таблицу можно перечер-
тить в тетрадь (цифры внутри — не обязательно), можно выполнить
50
Требования к выполнению варианта 8.2_1
штриховку на листке с заданием, можно — на специально розданных
листках с заготовкой таблицы.
Задание 5
Пункт б) можно решить как непосредственно, так и с помощью
подсчёта вероятности противоположного события «Ваня пропустил
менее пяти составов».
Задание 6
Введя подходящие обозначения для банок (например, Bl, В2, ВЗ,
Ml, М2 и М3), можно перечислить все комбинации непосредственно.
Например: В1В2, В1М1 и т.п. Задача также может быть решена с по-
мощью комбинаторных сведений: N = = 15, N(A) = С? = 3.
Ответы к заданиям контрольных работ
8 класса
Демонстрационный вариант
1. а) 26,7; б) 20; в) медиана, поскольку число маршрутов в Москве
и Санкт-Петербурге сильно отличается от прочих.
2. а) 1998; б) 1995,1998 и 1999; в) 1998; г) 4 (млн тонн).
Саша	Ат	Ат	Ар	Ар	П	П
Вова	П	Ар	Ат	П	Ар	Ат
Коля	Ар	П	П	Ат	Ат	Ар
4. a) б) 1.
Вариант 8.1_1
1. а) В (или третий магазин); б) 4.
2. а) 120; б) 107; в) возможно, весной минеральную воду покупают
6. 0,0004.
52
Ответы к заданиям контрольных работ 8 класса
Вариант 8.1_2
1. а) Канал-365; б) 2.
2. а) 740; б) 368; в) осенью люди покупают меньше мороженого,
чем летом, потому, что осенью холоднее;
Заречный	Р	Р	г	г	ж	ж
Фабричный	Ж	Г	р	ж	р	г
Центральный	Г	Ж	ж	р	г	р
4. а) б)
Вариант 8.2_1
1. а) В июне; б) около 230 тыс. чел.; в) в августе, ноябре и декабре.
2. а) 66,8 млн; б) 27 млн; в) медиана, поскольку данные содержат
значения, значительно отличающиеся от прочих.
3.
Атос	Г	Г	г	п	п	п
Портос	Г	п	п	г	г	п
Арамис	П	г	п	г	п	г
Д’Артаньян	П	п	г	п	г	г
4.
5.
6.
. 1	>5
а) 36’ В) 18-
(1 \	( 7\
=	;б) 0,875 =£ .
Ч-U J	\ о у
| (=0,2).
Вариант 8.2_2
1. а) В июне; б) около 40 тыс. чел.; в) в июле, октябре, ноябре
и декабре.
Ответы к заданиям контрольных работ 8 класса
53
2. а) 38,25; б) 12,5 в) медиана, поскольку данные содержат значе-
ния, значительно отличающиеся от прочих (Москва и Санкт-Петер-
бург).
Аня	Д	Д	Д	к	к	к
Боря	д	К	к	д	д	к
Ваня	К	Д	к	д	к	д
Гена	К	К	д	к	д	д
4. a) i; в)
5.a)0,02(=i);6)0,08(=§).
6.i(=0,l).
Тренировочные задачи
§ 1. Представление данных и описательная
статистика
На уроке по теории вероятностей шестеро ребят подбрасывали
монетки. В таблицу они записали, сколько раз у них выпадали орёл
и решка.
	орёл	решка
Коля	7	9
Вова	11	8
Ася	10	12
Даша	5	8
Саша	9	11
Оля	6	7
1.	Сколько раз у Вовы выпал орёл?
2.	Что чаще выпадало у Даши: орёл или решка, и сколько раз?
3.	У кого из ребят больше всего раз выпала решка?
4.	Сколько раз всего выпал орёл?
5.	Сколько раз Оля бросала монетку?
6.	Кто из школьников бросал монетку больше всего раз и сколько?
7.	Сколько раз всего школьники бросали монетку?
* * *
На уроке по теории вероятностей Таня, Ваня, Митя и Вика подбра-
сывали игральные кости. В таблицу они записали, сколько раз у них
выпадало каждое число.
	1	2	3	4	5	6
Таня	8	11	12	5	9	11
Ваня	9	11	8	7	7	6
Митя	4	8	6	6	3	9
Вика	13	7	4	12	9	11
8.	Сколько раз у Вики выпала тройка?
9.	Какое значение чаще всего выпадало у Вани и сколько раз?
§ 1. Представление данных и описательная статистика
55
10.	У кого из них больше всего раз выпала четвёрка?
11.	Сколько раз всего выпала пятёрка?
12.	Сколько раз Таня бросала кубик?
13.	Сколько раз всего школьники бросали кости?
14.	В школе два шестых класса. На контрольной работе в 6 «А»
классе было получено 5 двоек, а в 6 «Б» — 4 двойки. При этом в 6 «А»
учится 20 школьников, а в 6 «Б» — 25.
а)	Сколько процентов учащихся в 6 «А» получили двойку?
б)	Сколько процентов учащихся в 6 «Б» получили двойку?
в)	Найдите среднее арифметическое результатов заданий а) и б).
г)	Найдите, сколько процентов всех шестиклассников получили
двойку.
д)	Объясните, почему результаты в заданиях в) и г) не совпадают.
* * *
В таблице дано число золотых Олимпийских медалей, полученных
спортсменами разных стран, начиная с 1994 года.
	1994 (зим.)	1996 (лет.)	1998 (зим.)	2000 (лет.)	2002 (зим.)	2004 (лет.)	2006 (зим.)	2008 (лет.)	2010 (зим.)
Китай	0	16	0	28	2	32	2	51	5
Германия	9	20	12	13	12	13	11	16	10
Италия	7	13	2	13	4	10	5	8	1
Норвегия	10	2	10	4	13	5	2	3	9
Россия	11	26	9	32	5	27	8	23	3
США	6	44	6	36	10	35	9	36	9
Остальные страны	18	149	30	174	34	179	47	165	49
15.	Сколько золотых медалей завоевали спортсмены из Норвегии
на Олимпийских играх 2002 года?
16.	Спортсмены какой из перечисленных в таблице стран завоева-
ли больше всего медалей на всех этих Олимпийских играх? Только на
зимних играх?
17.	Найдите дисперсию количества золотых медалей для каждой
страны отдельно по зимним играм, отдельно по летним играм и по
всем играм вместе. Какие страны показывают наиболее устойчивые
результаты по количеству золотых медалей на Олимпийских играх?
На зимних Олимпийских играх? На летних Олимпийских играх? Чем,
по вашему мнению, можно объяснить такие результаты?
56
Тренировочные задачи
18.	Найдите среднее число медалей на летних и зимних Олимпий-
ских играх для каждой страны. Какие из указанных стран наиболее
сильны в летних играх? Какие в зимних? Проиллюстрируйте ваш вы-
вод круговой диаграммой.
19.	У какой страны количество золотых медалей на летних Олим-
пийских играх начиная с 1996 года росло? Уменьшалось?
20.	Какая из столбиковых диаграмм показывает количество золо-
тых медалей у спортсменов России на зимних Олимпийских играх?
21.	Нарисуйте столбиковую диаграмму, показывающую количе-
ство золотых медалей, набранных спортсменами России на летних
Олимпийских играх.
22.	На диаграмме представлено распределение золотых медалей
на Олимпиаде 2008 года. Указаны секторы, соответствующие Норве-
гии и странам, не вошедшим в таблицу. Укажите, какая страна из
данных таблицы, соответствует каждому сектору.
участники
§ 1. Представление данных и описательная статистика
57
* * *
На диаграммах показано распределение приёма студентов на оч-
ное отделение по типу обучения для пяти специализаций.
гуманитарные
науки
социальные
науки
образование и
педагогика
экономика и
управление
физико-мате-
матическая
□ бюджетное
обучение
 внебюджетное
обучение
23.	По какой специализации доля приёма на бюджетное обучение
наибольшая? наименьшая?
24.	По какой специализации доли приёма на бюджетное и внебюд-
жетное обучение отличаются менее всего? Более всего?
25.	По каким специализациям приём на бюджетное обучение
больше, чем приём на внебюджетное обучение?
26.	По каким специализациям приём на внебюджетное обучение
составляет меньше четверти от общего приёма?
27.	По каким специализациям приём на бюджетное обучение со-
ставляет меньше половины от общего приёма?
28.	Найдите примерное отношение числа поступивших на бюд-
жетное обучение к числу поступивших на внебюджетное обучение по
специальности «Экономика и управление».
* * *
29.	В двух кабинетах информатики произвели замеры освещённо-
сти на каждом рабочем месте. Результаты измерений записаны в таб-
лицах. Освещённость измерена в люксах.
Кабинет 203
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
580	490	375	545	440	420	520	360	520	460
58
Тренировочные задачи
Кабинет 106
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
380	420	320	345	460	490	495	480	370	330
а)	На каком рабочем месте кабинета 106 наименьшая освещён-
ность?
б)	Чему равна средняя освещённость рабочего места в каждом из
кабинетов?
в)	Чему равна максимальная освещённость рабочего места в каби-
нете 203?
г)	По санитарным нормам в кабинете информатики освещённость
на каждом рабочем месте должна находиться в пределах 300—500
люкс. В каком из кабинетов освещённость на каждом рабочем месте
соответствует санитарным нормам?
30.	Пожарная инспекция осмотрела все огнетушители в домах ра-
бочего посёлка. В таблице указано, сколько месяцев прошло с их по-
следней перезарядки.
Номер дома	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Срок с момента зарядки (мес.)	36	43	29	54	62	48	35	59	24
а)	В каком доме срок, прошедший с перезарядки огнетушителя,
наименьший?
б)	Чему равно среднее число месяцев, прошедших с момента пере-
зарядки огнетушителей в посёлке?
в)	По правилам пожарной безопасности огнетушитель необходи-
мо перезаряжать раз в пять лет. Все ли дома удовлетворяют этому
требованию?
г)	В скольких домах нужно перезарядить огнетушители, чтобы все
дома соответствовали правилам пожарной безопасности?
31.	В результате измерения некоторой величины был получен сле-
дующий набор данных:
4	23	17	3	-5	6	14	16	20	9	13	1	11	8
а)	Найдите медиану этого набора.
б)	Найдите среднее арифметическое этого набора данных.
в)	Чему будет равно среднее арифметическое этого набора, если
каждое из чисел увеличить в три раза?
г)	Чему будет равно среднее арифметическое этого набора, если
каждое из чисел уменьшить на 2,5?
§ 1. Представление данных и описательная статистика
59
32.	В результате измерения некоторой величины был получен сле-
дующий набор данных:
15	—9	0	1,5	6	3,5	19	10	-5	8	12	21	9
а)	Найдите медиану этого набора.
б)	Найдите среднее арифметическое этого набора данных.
в)	Чем}' будет равно среднее арифметическое этого набора, если
каждое из чисел уменьшить в два раза?
г)	Чему будет равно среднее арифметическое этого набора, если
1„
каждое из чисел увеличить на g ?
33.	В библиотечном журнале выдачи книг указано, сколько книг
брали в библиотеке за последние 5 дней.
ПН	ВТ	СР	ЧТ	ПТ
34	25	41	29	21
Найдите среднее значение и дисперсию данных.
34.	В таблице указано число посетителей занятий по танцам за
последнюю неделю:
14	19	18	19	11	28	24
Найдите среднее значение и дисперсию данных.
35.	В таблице указано количество проданных магазином платьев
определённой модели за первые 6 дней месяца:
4 7 5 11 16 20
Найдите среднее значение и дисперсию данных.
36.	Медиана некоторого набора данных равна 45. Верно ли, что
если в этот набор добавить число 52, то медиана увеличится?
37.	Медиана некоторого набора данных равна 45. Верно ли, что
если в этот набор добавить число 38, то медиана не увеличится?
38.	Среднее арифметическое набора данных равно 23,5. Верно ли,
что если в этот набор добавить число 20, то среднее арифметическое
уменьшится?
39.	Среднее арифметическое набора данных равно 23,5. Какое
число можно добавить в этот набор данных, чтобы среднее арифме-
тическое не изменилось?
60
Тренировочные задачи
40.	В ряд по возрастанию выписаны результаты измерений неко-
торой величины:
2, 3, 3,	54, 57, 59.
а)	Может ли медиана этого ряда быть равна: 2? 60? 39?
б)	Может ли среднее арифметическое этого ряда быть равно: 1? 59?
54? 30?
41.	В ряд по возрастанию выписаны результаты измерений неко-
торой величины:
-5, 0, 3, ..., 21, 24, 24.
а)	Может ли медиана этого ряда быть равна: 0? 12? 24?
б)	Может ли среднее арифметическое этого ряда быть равно: —2?
24? 20? 13?
42.	В ряд по возрастанию выписаны результаты измерений неко-
торой величины:
-47, -42, -38, ..., -3, -2, 2.
а)	Может ли медиана этого ряда быть равна: 2? -42? -19?
б)	Может ли среднее арифметическое этого ряда быть равно: 0?
-50? -25? -3?
43.	В ряд по возрастанию выписаны результаты измерений неко-
торой величины:
7, 7, 12, ..., 32, 35, 39.
а)	Может ли медиана этого ряда быть равна: 32? 10? 18?
б)	Может ли среднее арифметическое этого ряда быть равно: 40?
7? 6? 21?
44.	В четырёх рабочих посёлках пожарная инспекция осмотрела
огнетушители в домах. По правилам пожарной безопасности огнету-
шитель необходимо перезаряжать раз в пять лет.
Учащиеся подсчитали различные статистические характеристики
сроков (в месяцах) прошедших с момента последней перезарядки ог-
нетушителей:
— Посёлок 1: медиана 36.
— Посёлок 2: среднее арифметическое 12.
— Посёлок 3: минимум 46.
— Посёлок 4: максимум 64.
а)	В каких из посёлков все огнетушители заведомо удовлетворяют
требованиям пожарной инспекции?
б)	В каких посёлках заведомо есть огнетушители, не удовлетворя-
ющие требованиям?
§ 1. Представление данных и описательная статистика
61
в)	Для каких посёлков по указанным данным нельзя однозначно
сделать вывод о наличии огнетушителей, не удовлетворяющих тре-
бованиям (приведите примеры).
45.	В четырёх рабочих посёлках пожарная инспекция осмотрела
огнетушители в домах. По правилам пожарной безопасности огнету-
шитель необходимо перезаряжать раз в пять лет.
Учащиеся подсчитали различные статистические характеристики
сроков (в месяцах) прошедших с момента последней перезарядки ог-
нетушителей:
— Посёлок 1: среднее арифметическое 50, размах 20.
— Посёлок 2: среднее арифметическое 45, дисперсия 100.
— Посёлок 3: среднее арифметическое 45, дисперсия 400.
— Посёлок 4: медиана 50, размах 30.
а)	В каких из указанных посёлков все огнетушители заведомо удо-
влетворяют требованиям пожарной инспекции?
б)	В каких посёлках заведомо есть огнетушители, не удовлетворя-
ющие требованиям?
в)	В каких посёлках по указанным данным нельзя однозначно сде-
лать вывод о наличии огнетушителей, не удовлетворяющих требова-
ниям (приведите соответствующие примеры)?
46.	а) Может ли дисперсия набора из 10 чисел быть равна 65, если
размах этого набора равен 8?
б)* Размах данных в числовом наборе равен R. Докажите, что дис-
персия набора не больше, чем R2.
47.	В девятом классе с понедельника по пятницу отмечали число
опоздавших. Получились следующие числа: 4; 2; 4; 0; 4. Найдите сред-
нее х, медиану т, дисперсию S2 и стандартное отклонение S (квадрат-
ный корень из дисперсии) числа опоздавших. Данные и результаты
занесите в таблицу в указанные поля.
	Число	Отклонение	Квадрат отклонения
Пн			
Вт			
Ср			
Чт			
Пт			
Сумма:			
Среднее:			
Ответ: х =; т=S2 —; S =
62
Тренировочные задачи
48.	На распиловочном станке бревно распиливают на доски. При
проверке станка ширину полученной доски измеряют на концах и по-
середине. Если размах измерений превышает 5 мм или отклонение
от заданной ширины хотя бы в одном месте превышает 3 мм, станок
нуждается в ремонте.
При проверке станок настроили на распил доски шириной 150 мм.
Измерения доски дали следующие результаты: 147,3; 151,1 и 152,6 мм.
Нуждается ли этот станок в ремонте согласно указанному правилу?
49.	При изготовлении труб диаметром до 30 мм предельные от-
клонения по наружному диаметру по государственному стандарту
(ГОСТ) не должны превышать ±0,2 мм. Приведены измерения длины
семи труб диаметром 22 мм: 21,9; 22,2; 22,1; 21,7; 22; 22,3; 21,8.
Сколько труб удовлетворяет ГОСТ?
§ 2.	Случайный выбор в задачах
50.	В каждой двадцатой банке кофе согласно условиям акции есть
приз. Призы распределены по банкам случайно. Варя покупает банку
кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Варя
не найдет приз в своей банке.
51.	Когда в коробке оставалось 40 чайных пакетиков чёрного чая,
мама положила туда 25 пакетиков зелёного чая, чтобы все пакетики
лежали в одной коробке. Ваня, не глядя на этикетку, вынимает наугад
один пакетик и заваривает чай. Какова вероятность, что это окажется
черный чай?
52.	Королеву бала выбирают голосованием: в урну для голосова-
ния каждый гость бросает записку с именем кандидатки. 66 гостей
уже проголосовали, но никто из них не голосовал за Анастасию. Ана-
стасия сама подошла к урне и тайком засунула в нее 34 записки со сво-
им именем. Затем из урны наудачу извлекли одну записку с именем
Королевы бала. Найдите вероятность того, что Анастасия не станет
королевой.
53.	В автомобиле «Жигули» есть деталь, которая часто выходит из
строя. В продажу в среднем на каждые 100 таких деталей поступает
20 неисправных. Василий Иванович решил купить сразу три таких
детали. Найдите вероятность того, что Василию Ивановичу удастся
найти среди купленных деталей хотя бы одну исправную.
54.	Марина заказала в мебельном Интернет-магазине два одина-
ковых кресла понравившегося ей цвета. Известно, что в среднем на
50 заказанных изделий при доставке приходится два случая ошибки
§ 2. Случайный выбор в задачах
63
с цветом товара. Найдите вероятность того, что хотя бы одно из двух
привезённых кресел будет того цвета, который хотела Марина.
55.	Папа с Мишей решили покататься на колесе обозрения. Всего
на колесе двадцать четыре двухместные кабинки. Кабинки по очереди
подходят к платформе для посадки. Мише очень хочется покататься
в синей кабинке, но синяя кабинка только одна. Перед папой и Ми-
шей в очереди только бабушка с внуком. Найдите вероятность того,
что:
а)	Мише сразу попадётся синяя кабинка;
б)	Мише придётся пропустить ровно одну кабинку, прежде чем
придёт синяя;
в)	Миша не сможет в этот раз покататься в синей кабинке.
56.	Миша с папой по выходным ходят кататься на колесо обозре-
ния. Всего на колесе двадцать четыре кабинки, которые по очереди
подходят к платформе для посадки. Мише очень нравятся синие ка-
бинки, но их всего три. Мишу никто не спрашивает — ему приходится
кататься в той кабинке, которая попалась. Найдите вероятность того,
что ни в субботу, ни в воскресенье Миша так и не сможет покататься
в синей кабинке.
57.	Двое знакомых покупают билеты в один и тот же купейный
вагон скорого поезда, не зная друг о друге. Найдите вероятность того,
что они окажутся в одном и том же купе. (В вагоне девять купе, по
четыре места в каждом.)
58.	В опыте с двумя бросаниями правильной кости:
а)	укажите элементарные исходы, благоприятствующие событию
А = {сумма очков при двух бросках равна 4};
б)	вычислите вероятность события А.
59.	Из карточек составлено слово «СЛОН». Опыт состоит в случай-
ном выборе одной карточки.
а)	Найдите вероятность того, что на карточке буква «Н».
б)	Перечислите элементарные исходы, благоприятствующие собы-
тию
D ( выбрана карточка с буквой, )
~ I обозначающей согласный звук )'
Сколько таких исходов?
60.	Из карточек составлено слово «ВЕРОЯТНОСТЬ». Опыт состоит
в случайном выборе одной карточки.
а)	Сколько элементарных исходов благоприятствует событию
G — {выбрана карточка с буквой Т}?
64
Тренировочные задачи
б)	Перечислите элементарные исходы, благоприятствующие собы-
тию
D — {выбрана карточка с буквой, обозначающей гласный звук}.
Сколько таких исходов?
в)	Найдите вероятность событий D и D.
г)	Найдите вероятность события
Р _ ( выбрана карточка с буквой, ]
I обозначающей глухой согласный звук )'
д)	Найдите пересечение В = F О G и вероятность события В.
е)	Независимы ли события F и G?
ж)	Независимы ли события D и G?
61.	Случайный опыт состоит в двукратном бросании правильной
кости. Отметьте в таблице элементарные исходы, благоприятствую-
щие событию
а)	А = {сумма выпавших очков меньше 7};
б)	В = {в первый раз выпало больше, чем во второй}.
62.	Случайный опыт состоит в двукратном бросании правильной
кости. Отметьте в таблице (см. рисунок к задаче 61) элементарные
исходы, благоприятствующие событию
а)	А = {произведение выпавших очков больше 12};
б)	В = {в первый раз выпало не меньше, чем во второй}.
63.	Случайный опыт состоит в двукратном бросании правильной
кости. Отметьте в таблице (см. рисунок к задаче 61) элементарные
исходы, благоприятствующие событию
а)	А = {выпавшие очки отличаются не более, чем в два раза};
б)	В = {в первый раз выпало не больше, чем во второй}.
64.	Случайный опыт состоит в двукратном бросании правильной
кости. Отметьте в таблице (см. рисунок к задаче 61) элементарные
исходы, благоприятствующие событию
§ 2. Случайный выбор в задачах
65
а)	А = {произведение выпавших очков меньше 8};
б)	В = {в первый раз выпало на 2 больше, чем во второй}.
Найдите вероятности событий А и В.
65.	Случайный опыт состоит в двукратном бросании правильной
кости. Отметьте в таблице (см. рисунок к задаче 61) элементарные
исходы, благоприятствующие событию
а)	А = {сумма выпавших очков больше 6};
б)	В = {в первый раз выпало меньше, чем во второй}.
66*. На рисунке показана схема лесных тропинок. Иван Петрович
выходит гулять из пункта S и идет по тропинкам слева направо. На
каждой развилке Иван Петрович выбирает тропинку случайным об-
разом. М — опушка, L — болото. Найдите вероятность того, что Иван
Петрович попадет на опушку.
67*. На рисунке показана схема лесных тропинок. Дарья Петров-
на выходит гулять из пункта S и идет по тропинкам слева направо.
На каждой развилке Дарья Петровна выбирает тропинку случайным
образом. D — поляна, Е — посёлок. Найдите вероятность того, что Да-
рья Петровна попадет в посёлок.
66
Тренировочные задачи
§ 3.	Применение комбинаторики
68.	Случайным образом выбирается двузначное натуральное чис-
ло. Найдите вероятность того, что это число чётное.
69.	Сколько всего двузначных чисел, в которых вторая цифра боль-
ше первой?
70.	Случайным образом выбирается двузначное натуральное чис-
ло. Найдите вероятность того, что вторая цифра будет меньше пер-
вой.
71.	Сколько всего двузначных чисел, в которых первая и вторая
цифры отличаются не более чем на 2?
72.	Случайным образом выбирается двузначное натуральное чис-
ло. Найдите вероятность того, что первая и вторая цифры отличаются
не более чем на 2.
73.	Случайным образом выбирается двузначное натуральное чис-
ло. Найдите вероятность того, что хотя бы одна из двух его цифр яв-
ляется квадратом целого числа.
74.	Случайным образом выбирается двузначное натуральное чис-
ло. Найдите вероятность того, что обе цифры делятся на три.
75.	ПИН-код для сим-карты— случайная комбинация четырёх цифр.
Будем называть ПИН-код простым, если в нём две последние цифры
повторяют две первые в том же порядке. Например: 3434 — простой
ПИН-код. Покупатель купил сим-карту. ПИН-код начинается с цифр
57. Найдите вероятность того, что ПИН-код простой.
76.	ПИН-код для сим-карты— случайная комбинация четырёх цифр.
Будем называть ПИН-код счастливым, если сумма двух первых цифр
равна сумме двух последних. Покупатель купил сим-карту. ПИН-код
начинается с цифр 57. Найдите вероятность того, что ПИН-код счаст-
ливый.
77.	ПИН-код для банковской карты — случайная комбинация че-
тырёх цифр. Будем называть ПИН-код простым, если в нём две по-
следние цифры повторяют две первые в том же порядке. Например:
3434 — простой ПИН-код. Найдите вероятность, что держателю бан-
ковской карты достанется простой ПИН-код.
78.	ПИН-код для сим-карты выбирается как случайная комбина-
ция четырёх цифр. Последовательность цифр называется палиндро-
мом, если она в обе стороны читается одинаково. Например: 0220 —
палиндром. Найдите вероятность, что покупатель сим-карты получит
ПИН-код, который является палиндромом.
79.	Билетик в маршрутном такси имеет шестизначный номер
(первая цифра может быть нулём, например 031234). Последова-
§ 3. Применение комбинаторики
67
тельность цифр называется палиндромом, если она в обе стороны
читается одинаково. Например: 324423 — палиндром. Найдите веро-
ятность, что случайно выбранный билетик имеет номер-палиндром.
80.	Найдите вероятность того, что в семизначном телефонном но-
мере пять последних цифр — две двойки и три тройки в любом по-
рядке.
81.	Найдите вероятность того, что в шестизначном номере пас-
порта четыре последние цифры — две семерки и две девятки в любом
порядке.
82.	Найдите вероятность того, что в случайном восьмизначном
цифровом пароле шесть последних цифр—две единицы и четыре
тройки в любом порядке.
83.	Абонемент в бассейн имеет пятизначный номер. Последние
четыре цифры можно считать случайными. Найдите вероятность
того, что в таком номере четыре последние цифры — одна шестёрка
и три двойки в любом порядке.
84.	Найдите вероятность того, что в семизначном телефонном но-
мере среди пяти последних цифр нет ни одной из цифр
О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
85.	Паспорт имеет шестизначный номер. Все цифры можно счи-
тать случайными. Найдите вероятность того, что в таком номере сре-
ди трёх первых цифр нет ни одной из цифр 0, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9.
86.	Найдите вероятность того, что в случайном четырёхзначном
цифровом пароле все цифры нечётные.
87.	Найдите вероятность того, что в случайном пятизначном циф-
ровом пароле нет ни одной из цифр 0,1, 2, 3, 5, 6, 8, 9.
88.	ПИН-код для сим-карты — случайная комбинация четырёх
цифр. Будем называть ПИН-код неудачным, если в нём встречаются
только цифры 0 и 1 (обе цифры присутствуют). Найдите вероятность
того, что покупателю сим-карты достанется неудачный ПИН-код.
89.	ПИН-код для сим-карты — случайная последовательность че-
тырёх цифр. Будем называть ПИН-код удачным, если в нём встреча-
ются только одна или две цифры. Например, ПИН-коды 5225 и 0000 —
удачные. Найдите вероятность того, что покупателю сим-карты доста-
нется удачный ПИН-код.
Ответы к тренировочным задачам
1.	11.
2.	Решка, 8.
3.	У Аси.
4.	48.
5.	13.
6.	Ася, 22.
7.	103.
8.	4.
9.	Двойка, 11.
10.	У Вики.
11.	28.
12.	56.
13.	196.
Указание. Эту сумму можно считать как сумму всех чисел в таблице,
а можно сначала подсчитать сколько раз бросил каждый школьник (сумма
по строкам) и сложить полученные результаты или сначала подсчитать,
сколько раз выпало каждое число (сумма по столбам) и сложить полученные
результаты.
14.	а) 25%; б) 16%; в) 20,5%; г) 20%; д) потому что в классах
разное число учеников.
15.	13.
16.	США, Германия.
17.	Все: Германия, Италия, Норвегия; летние: Германия, Италия,
Норвегия; зимние: Германия, США, Китай.
18.	Летние: США, Китай, Россия; зимние: Германия, Норвегия,
США.
19.	Росло: Китай; Уменьшалось: Италия.
20.	2.
22.	Китай, Германия, Италия, Норвегия, Россия, США.
23.	Наибольшая: физико-математические науки, наименьшая:
экономика и управление.
24.	Менее всего: гуманитарные науки; более всего: физико-мате-
матические.
25.	Социальные науки, образование и педагогика, физико-мате-
матические науки.
26.	Образование и педагогика, физико-математические науки.
27.	Гуманитарные науки, экономика и управление.
28.	1:3.
29.	а) 8; б) в 203 кабинете: 471; в 106 кабинете: 409; в) 495; г) 106.
Ответы к тренировочным задачам
69
30.	а) 9; б) 4з|; в) нет; г) 1.
31.	а) 10; б) 10; в) 30; г) 7,5.
32.	а) 8; б) 7; в) 14; г) 7|.
33.	30; 48,8.
34.	19; 28.
35.	10,5; 34,25.
36.	Нет.
37.	Да.
38.	Да.
39.	23,5.
40.	а) Нет, нет, да; б) нет, нет, нет, да.
41.	а) Нет, да, нет; б) нет, нет, да, да.
42.	а) Нет, нет, да; б) нет, нет, да, нет.
43.	а) Нет, нет, да; б) нет, нет, нет, да.
44.	а) 2; б) 4; в) 1, 3.
Примеры:
Посёлок 1, удовлетворяющий требованиям: 13, 32, 46.
Посёлок 1, не удовлетворяющий требованиям: 13, 32, 62.
Посёлок 3, удовлетворяющий требованиям: 46, 50, 51.
Посёлок 3, не удовлетворяющий требованиям: 46, 50, 62.
45.	а) 2; б) 3; в) 1, 4.
Примеры:
Посёлок 1, удовлетворяющий требованием: 36, 53, 55, 56.
Посёлок 1, не удовлетворяющий требованием: 45, 45, 45, 65.
Посёлок 4, удовлетворяющий требованием: 25, 50, 55.
Посёлок 4, не удовлетворяющий требованием: 35, 50, 65.
46.	а) Следует из доказательства в пункте б).
б) Доказательство. Обозначим числа набора х1; х2,..., хп. Раз-
мах — разность между наибольшим и наименьшим числом в наборе.
Если х — среднее арифметическое набора, то для любого числа откло-
нение от среднего меньше, чем размах: |х; — х| < R. Поэтому квадрат
отклонений меньше, чем R2:
(х,-х)2 < R2.
Все квадраты отклонений меньше, чем R2. А дисперсия - их среднее
значение. Значит, она тоже меньше, чем R2:
2	(Х1-х)2 + (Х2-х)2 + ... + (хп-х)2	nR2 _ „2
D — --------------------------------- <	— /v .
П	П
Получим, что S2 < R2, это и требовалось доказать.	□
47.	Среднее 2,8; медиана 4; дисперсия 2,56; стандартное отклоне-
ние 1,6.
70
Ответы к тренировочным задачам
48.	Да.
49.	5.
50.	0,95.
51.	% 0,615.
52.	0,66.
53.	0,992.
54.	0,9984.
55.	а) <»0,042; б) в) £.
49
56.	^^0,766.
о4
3
57.	7^0,086.
58.	б) ^**0,03.
59.	а) 0,25; б) 3.
60.	а) 2; б) 4; в) РЦУ) =	** 0,364; Р(5) = **0,636; г) **0,273;
д) Р(В) = Yi **0,091; е) нет; ж) нет.
61.	Р(А) = ~ъ 0,389; Р(В) =4 **0,111.
1о	у
13	7
62.	а) ~ **0,36; б) у^**0,58.
63.	а) ^**0,67; б) ^**0,58.
64.	а) Р(А) =	**0,39; б) Р(В) = 5 **0,11.
65.	а)	**0,58; б) ^**0,42
7
66*	0,583.
67*. |*i 0,667.
68.	0,5.
69.	36.
70.	0,5.
71.	41.
41
72.	gj** 0,456.
73.	0,6.
2
74.	^*<0,133.
75.	0,01.
76.	0,07.
77.	0,01.
78.	0,01.
79.	0,001.
Ответы к тренировочным задачам
71
---т
80.	0,0001.
81.	0,0006.
82.	0,000015.
83.	0,0004.
84.	0,00032.
85.	0,008.
86.	0,0625.
87.	0,00032.
88.	0,0014.
89.	0,064.
Содержание
Предисловие ............................................ 3
7 класс................................................. 5
Демонстрационный вариант................................ 6
Требования к выполнению и рекомендации по оцениванию ...	8
Вариант 7.1_1 (2010 г.)................................. 10
Вариант 7.1_2 (2010 г.)................................ 13
Решения заданий варианта 7.1_1, требования к выполнению зада-
ний и рекомендации по оцениванию....................... 16
Вариант 7.2_1 (2009 г.)................................. 19
Вариант 7.2_2 (2009 г.) ................................ 21
Требования к выполнению варианта 7.2_1 и рекомендации по оце-
ниванию ............................................... 23
Вариант 7.3_1 (2008 г.)................................ 25
Вариант 7.3_2 (2008 г.) ............................... 27
Требования к выполнению варианта 7.3_1 и рекомендации по оце-
ниванию ............................................... 29
Ответы к заданиям контрольных	работ 7 класса........... 31
8 класс................................................ 33
Демонстрационный вариант............................... 34
Требования к выполнению и рекомендации по	оцениванию ... 36
Вариант 8.1_1 (2010 г.)................................ 38
Вариант 8.1_2 (2010 г.)................................ 40
Решение варианта 8.1_1, требования к выполнению и рекоменда-
ции по оцениванию...................................... 42
Вариант 8.2_1 (2009 г.) ............................... 45
Вариант 8.2_2 (2009 г.) ............................... 47
Требования к выполнению варианта 8.2_1 и рекомендации по оце-
ниванию ............................................... 49
Ответы к заданиям контрольных работ 8 класса........... 51
Тренировочные задачи................................... 54
§ 1.	Представление данных и описательная статистика... 54
§ 2.	Случайный выбор в задачах......................... 62
§ 3.	Применение комбинаторики ......................... 66
Ответы к тренировочным задачам......................... 68