Author: Образцов И.Ф.   Васильев В.В.   Булычев Л.А.   Иванов Ю.И.  

Tags: авиация и космонавтика   летательные аппараты   ракетная техника   космическая техника   воздушный транспорт   авиация и воздушные соединения   воздушные линии и аэропорты   авиация   строительная механика   авиатехника   авиастроение   издательство машиностроение  

Year: 1986

Similar

Теоретические основы авиа- и ракетостроения

Устойчивость упругих систем

Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов

Қонструкция и проектирование авиационных газотурбинных двигателей

Text
                    ДЛЯ ВУЗОВ
СТРОИТЕЛЬНАЯ
МЕХАНИКА
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ
АППАРАТОВ
Под редакцией
академика И. Ф. ОБРАЗЦОВА
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебника для студентов
авиационных специальностей вузов
МОСКВА
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
1986

ББК 39.52
С83
УДК 629.7.015 + 624.04
И. Ф. Образцов, Л- А- Булычев^ В. В. Васильев,
А. Н. Елпатьевский, К. А. Жеков, [Ю. И. Иванов},
Б. А. Коновалов, Ю. С. Матюшев, Ф. Н. Шклярчук
Рецензенты д-р техн, наук А. С. Больмнр
и кафедра «Машиностроение» МВТУ
Строительная механика летательных аппаратов: Учеб-
С83 ник для авиационных специальностей вузов/И. Ф. Образцов,
Л. А. Булычев, В. В. Васильев и др.; Под ред. И. Ф. Образ-
цова. — М.: Машиностроение, 1986. — 536 с., нл.
(В пер.): 1 р. 50 к.
_ 3606030000-124 ,о. С£1	ББК 39.62
с ~teS(0ij^6~ 124’8“	6TS.1
УЧЕБНИК
Иван Филиппович Образцов, Лев Алексеевич Булычев,
Валерий Витальевич Васильев, Андрей Николаевич Елпатьевскнй,
Константин Алексеевич Жеков, | Юрий Иванович Иванов
Борис Александрович Коновалов, Юрий Степанович Матюшев,
Федор Николаевич Шклярчук
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
Редактор А. А. Хрусталева
Художественный редактор В. В. Лебедев. ТемкнческяЙ ред«*гор Оо В. Хуиерман.
Корректоры Т. В. Багдасарян н К» Г. Богомолова
ИБ № 4611
Сдано в набор 12.IS.85. Подписано в печать 28.05.86. Т-04982. Формат 60X90’/,,
Бумаге офсетная Д'? 2. Гарнитура литературная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 33,5
Уел. кр.-отт. 33,5. Уч.-изд. л. 35,15. Тираж 6400 экэ. Заказ 4. Цена I р. 50 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Машиностроение» 107076, Москва,
Стромынский, пер., 4
Ленинградская типография № 6 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского
объединения «Техническая книга» нм. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при
Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной тор-
говли.
193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10.
(gi Издательство «Машиностроение», 1986 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Летательный аппарат — самолет, вертолет, дирижабль,
ракета или космический корабль — должен воспринимать дей-
ствующие на него в процессе эксплуатации нагрузки без повре-
ждений и недопустимых изменений формы, т. е. быть достаточно
прочным и жестким. Этому требованию, являющемуся необхо-
димым условием безопасной эксплуатации, должно удовлетворять
любое инженерное сооружение, а конструкция летательного
аппарата должна отличаться еще и минимальной массой. Естест-
венно, что требования минимальной массы находятся в противо-
речии с требованиями достаточной прочности и жесткости. Раз-
решение этого противоречия является одной из основных про-
блем, возникающих при создании летательного аппарата; оно
осуществляется в процессе расчета, проектирования и экспери-
ментальной отработки как конструкции в целом, так и отдельных
се элементов и в значительной степени обусловливает эффектив-
ность летательного аппарата. Успешное решение проблемы опре-
деляется прежде всего степенью полноты н достоверности инфор-
мации, которой располагает конструктор относительно взаимо-
связи между геометрическими параметрами конструкции, свой-
ствами материала и допустимым уровнем ее нагружения. Эта
взаимосвязь формируется в процессе расчета на прочность ле-
гательного аппарата и его элементов, который предусматривает
определение расчетных нагрузок; выбор расчетных схем и моде-
лей, адекватно описывающих реальные элементы конструкции;
анализ напряженно-деформированного состояния, устойчивости и
динамического поведения отдельных моделей и их совокупности;
переход от расчетных моделей к реальным объектам и оценку их
работоспособности. Наличие широкого класса расчетных схем,
моделирующих элементы конструкций самого разнообразного
назначения, а также специальных, требующих достаточно слож-
ного математического аппарата, методов, необходимых для ре-
шения вопросов о напряженном и деформированном состоянии,
устойчивости и динамическом поведении моделей, определило
появление специальной научной дисциплины — строительной ме-
ханики.
Строительная механика — это наука о принципах и методах
определения напряженно-деформированного состояния типовых
расчетных моделей, анализа их устойчивости и динамического
поведения. Формирование строительной механики связано с име-
нами выдающихся ученых и инженеров И. Г. Бубнова, Б. Г. Га-
лсркина, А. Н. Крылова, С. П. Тимошенко. Развитие ряда на-
правлений строительной механики по расчету летательных ап-
паратов, судов, наземных транспортных средств и сооруже-
1*	3

Ний связано с работами советских ученых В. В. Болотина,
В. 3 Власова, А. А. Гвоздева, А. Н. Дииника, А. А. Ильюшина,
А. Ю. Ишлинского, А. И, Лурье, В. В, Новожилова, П. Ф. Пап-
ковича, Ю. Н. Работиова, А Р. Ржаницына, И. М. Рабиновича.
А., Ф. Смирнова, Н. С- Стрелецкого, В. И. Феодосьева, Ю. А. Ши
ганского и др.
Строительная механика летательных аппаратов отличается от
других направлений этой науки преимущественным анализом
тонгсостениых конструкций, а также повышенными требованиями
точности расчетных методов, которые с учетом ограничений
массы конструкции должны гарантировать ее безопасную работу
на пределе возможностей материала. Успехи в развитии строи-
тельной механики в нашей стране связаны с работами Л. И. Ба-
лдбуха, А. С. Вольмира, Э И. Григолюка, С. Н. Кана, В. И. Кли-
мова, К. С. Колесникова, Ю. Г. Одинокова, А. Ю. Ромашевского,
И. А. Свердлова, В. М. Стригу нова и др.
Строительная механика летательных аппаратов, как и любая
другая отрасль науки, непрерывно развивается и совершенст-
вуется, что связано прежде всего с развитием авиационной и кос-
мической техники — разработкой новых классов летательных
аппаратов, интенсификацией и расширением спектра внешних
воздействий, повышением требований к весовому совершенству
конструкций, внедрением новых анизотропных и слоистых мате-
риалов. Вместе с не теряющими актуальности аналитическими
методами исследования традиционных расчетных моделей интен-
сивно развиваются численные методы расчета сложных систем
с помощью ЭВМ. Современные концепции и методы анализа ме-
ханического поведения конструкций наряду с традиционными,
естественно, должны находить отражение в учебной литературе.
Именно эту цель и преследовали авторы настоящего учебника.
Как учебная дисциплина строительная механика базируется
на курсах теоретической механики, сопротивления материалов,
теории упругости и требует практически всего объема знаний
в области высшей математики, предусмогренного программами
для авиационных институтов. Положения и методы, изучаемые
строительной механикой, служат непосредственно основой для
курса прочности летательных аппаратов и используются в даль-
нейшем в курсах проектирования летательных аппаратов различ-
ного назначения.
Глава 1 учебника написана А. Н. Елпатьевским (за исклю-
чением разд. 1.6.5—1.6.8) и К. А, Жуковым, гл. 2— Ю. С. Ма-
тюшевым, гл. 3 и 9— Л. А. Булычевым (разд. 3.1, 3.2, 9.4, 9.5,
9.6) и К- А. Жековым (разд. 3.3, 3.4, 9.1, 9.2, 9.3), гл. 4—В. В. Ва-’
сильевым (разд. 4.1, 4.2, 4.3, 4.6) и Ф. Н. Шклярчуком (разд. 4.4,
4.5, 4.7), гл. 5 — Б. А. Коиовалбвым, гл. 6 и 8 ~ И. Ф. Образ-
цовым, гл. 7 — Ю. И. Ивановым, гл. 10 — Ф. Н. Шклярчуком,
гл. 11 и 12 — В. В. Васильевым.
4

ГЛАВА 1
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ И ПРИКЛАДНЫЕ
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ
МЕХАНИКИ
1.1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Задача теории упругости заключается б определении на-
пряженного и деформированного состояний, возникающих в спло-
шном упругом теле, находящемся при внешнем силовом и темпе-
^дтурноы воздействиях. Принципиально полное построение ре-
шения такой задачи дается в курсах теории упругости, подле-
жащих предварительному изучению.
В настоящем разделе приводятся основные соотношения, не-
оходимые для построения и обоснования энергетических и других
Прикладных методов решения задач строительной механики, ко-
уприе будут широко использовать в дальнейшем. Более подроб-
ней вывод основных соотношений теории упругости представлен
• 1бохе 116].
1.1.1. Теория деформаций
Обозначим компоненты смещения произвольной точки
iv ла с декартовыми координатами х, у, г через к, о, щ. Тогда
перемещение по произвольному направлению р, определенному
направляющими косинусами I, т, п (I = cos х, р, т — cos у, р,
n cos z, р), будет
Я — а! 4- vm 4- wn,	(1.1)
I малые относительные деформации такие, что их величину допусти-
ло считать принебрежимой по сравнению с единицей. Линейная
деформация ер и угловая уР1Р, между двумя взаимно ортогональ-
ными направлениями рхн р2 (см. рис. 1.1) определяются формулами
е —	у — I	ПО)
Ер~ др ’ Tpw.- ар> + dpi 	(1-4)
11ри совмещении направлений р, рх, р2 с координатами х, у, г из
| < ул (1.2) следует геометрические соотношения Коши
__ ди	__ ди	,	ди
Е*~ аГ’	V«,=	a9	+	дх1
dv	dw	ди	л
Ер = ^’	Т« =	-?т+-аГ’	(13)
dw	дш	.	ди
5

Рассматривая (1.2) как производные сложных функций
д^ д/?	дл dfi	ду	df? дг
др	— дх	др	* ду	др	дг др
и используя формулы Коши (1.3), получим
Ер = Ms + E#ms + E2ns + t^lm + yjn + тют«,
Tp.p. = 2 (Mi4 + e^m, + «лп2) +	(14)
4~ Txp (4^ -4- 4mi) 4 Та» (4й» 4 4^i) 4~	4~ ^Л)-
Формулы (1.4), с одной стороны, преобразуют компоненты дефор-
маций к деформациям в новых осях, а, с другой, показываю!', что
шесть компонент деформаций вх, ву, ez, уху, yxzt yvz полностью оп-
ределяют деформацию тела в точке в любой ортогональной си-
стеме координат р, pi, р2.
Соотношение Коши (1.3) определяют шесть компонент дефор-
маций через частные производные от трех функций и, о, ш. Отсюда
следует, что сами деформации как функции координат не являются
независимыми н должны быть связаны между собой некоторыми
соотношениями, которые называются уравнениями совместимо-
сти деформаций.
Эти уравнения могут быть получены из (1.3) в результате
исключения перемещений и, о, w, они имеют следующий вид:
д2гх .	_ д*1ху d2^ d2ez _ д2^
ду2 ’ дх2 дхду 9 дг£ ' дх2 дхдг 9
. d2ez _ ^yz_
dz2 ' dtf ~ дудг ’
d /	d'iyz	dyxz	духр \ с д%х	г,
дх \	дх Ч"	ду дг /	~ Z дудг	9
д (дУуг	dyxz	,	дУху\	_ 9	ffley
ду \	дх	ду	'	дг /	дхдг	9
В /	В'1уг	I	a-faz	^У \	_ „
дг \	дх	'	ду	дг /	дхду	°
Их справедливость может быть проверена подстановкой выраже-
ний для деформаций из (1.3), в результате которой они обращаются
в тождества.
1.1.2. Теория напряжений
Интенсивность усилий, возникающих на выделенной
внутри тела произвольной площадке, представляется в виде трех
компонент напряжений — нормального ар и двух касательных
'Ерро Трр„, действующих во взаимоортогональных направлениях
(рис. 1.1). Определяя направление направляющими косину-
сами It = cos (р£, х), mt = cos (pzt/), nt = cos (pfz), можно выра-
6

Рис. 1.1. Напряжения на про-
извольней площадке
лить компоненты напря-
жений Ор, тРР|, Трр, через
проекции суммарного на-
пряжения о на оси xt у, z,
т. е.
Ор = Хр/ 4- Ypm 4- Zpfi,
трр, “ Xplt 4" Ypmi 4" ^pni>
(1.6)
ТРРг = Хр/а 4- У 4~
Основными законами, связывающими компоненты напряжений,
являются уравнения равновесия. Для получения их выделим из
тела элементарный тетраэдр (рис. 1.2) и рассмотрим его равнове-
сие. Составляя суммы проекции всех сил, действующих по гра-
ням тетраэдра и а три оси, получим
ХР = oj 4- <txym 4- т„п,
YP = *xyl 4-	4- тадп,	(1-7)
Zp = тхг/ 4- xzi/m 4- ozn.
Здесь I, m, n —• направляющие косинусы нормали к наклонной
площадке.
Суммы моментов всех сил относительно трех осей дают закон
парности касательных напряжений = тук, тхг = тгх, т₽х =
== тг&, в силу которого порядок индексов у касательных напря-
жений становится безразличным. Располагая элементарный те-
траэдр у поверхности тела, чтобы косая грань совместилась
с элементом поверхности тела, и б силу этого считая, что компо-
ненты Хр, Ур, 2Р определяют поверхностную нагрузку (Хр =
= Xv, Ур = yv, Zp == Zv, v — нормаль к поверхности), из
(1.7) получим три алгебраических
соотношении
= ох14-	4- т„п,
У^«тэг1//4-0рт4-т1/2п, (1.8)
Zv = tX2Z 4- тргт 4- аап,
которые называются условиями
иа поверхности и являются ста-
тическими граничными условиями.
Рассмотрим равновесие неко-
торой произвольной части тела
/у
Tw/rz*/'
/ ТУ*
Рис. 1.2. Напряженное состоянне эле-
ментарлссэ т? фамр-*
7

(см. рис. 1.1). Пусть объем этой части v и силы, действующие на
каждую единицу объема, заданы компонентами X, Y, Z, внеш-
няя поверхность этой части Sx и поверхностные силы на ней —
Xv. Zv. Поверхность, которой отсекается произвольная
часть тела, обозначим через St и силы, действующие на нее,
через Хр, Ур, Zp. Составляя суммы проекций всех сил, действую-
щих на рассматриваемую произвольную часть тела, получим
jxcds+ jxvds + jX<fo = O,
s.	s.	V
J Y„ds+ J Y„ds + J Ydv^O.
Sa	S,	»
jZp*4- Jz.ds + jZ<fo = O.
Sg	S4	e
Перепишем эти уравнения в следующем виде:
J X„ds+ j(X,-Xc)<fe + jX<fo = O,
Ss+S,	s,	®
J Vpds+ J(y,-yp)ds+
Ss+S,	S,	61
J Z„ds+ J(Z.-ZP)* + jZ* = O.
Sg+S,	S,	ti
Первые интегралы в этих равенствах берутся по полной поверх-
ности рассматриваемой части тела и на основании формулы Грина
могут быть преобразованы в объемные. Внося в эти равенства
Хр, Ур, Zp из (1.7) и используя формулу Грима, получим
(X. - o.l -	- x.zn) ds + jj (	+ х)л=О,
Sa	v
§ (Yv -	- <V« - t„n) ds +	+^-+	+ у) Л=о,
Si	t
- wn - а.п) ds + (^. + -^- + ^.4-z)<fc = 0.
S«	v
Полученные равенства должны тождественно выполняться для
любого объема о, выделенного из тела и при любой внешней по-
верхности S,. а это возможно лишь при тождественном равенстве
в

Гис. 1.3. Напряжения, действующие по граням элементарного параллелепипеда
нулю подынтегральных выражений, что дает три условия иа по-
верхности (1.8) и три дифференциальных уравнения равновесия:
дстх । дх*и дхх2 .у
дх + ду + дг "ГЛ — °’
dCji dXjiy
дх 1 ду ' дг '	’	' 7
дх + ду + дг + z~ а
Уравнения равновесия (1.9) могут быть получены и непосредст-
венно как условия равновесия бесконечно малого элемента, вы-
деленного из тела и показанного на рнс. 1.3.
В заключение запишем формулы, определяющие напряжения
в произвольной ортогональной системе координат. Подставляя
х„, УР> zp из равенств (1.7) в (1-6), получим
ор — vj? 4- о^/п2 сг/12 4 2хху1т 4- 2тхх/л 4- 2xyimnt
<р₽, «	4- a^mrn, 4- aznnt 4- (ltm 4- /ш3) 4-
4- (4« 4- ЗД 4- fan 4- тпД, (1.10)
*оОа = <*»% 4- Gvmmz 4- ахппя 4- <сху (1йт 4- fa) 4-
4- Txz 4- ^в) + (т^п + тп^
Формулы (1.10) показывают, что напряженное состояние в про-
извольной точке тела полностью определяется шестью компонен-
тами напряжений (с учетом парности касательных напряжений),
действующих на трех взаимно перпендикулярных площадках.

1.L3. Физические соотношения
Физические зависимости в линейной теории упругости
для изотропного тела вводятся уравнениями обобщенного закона
Гука, имеющими вид
Вх = 4“~
(111)
К« = -g-	- !* (ох +
1 1 1
Vxi/ — Q	?XZ — Q TXZ> Tl/Z- Q ^yz
или в обратной форме
их = 2Gex -|- %0, gv = 2Gsy -J- Ж — 2Gsz -j- Х.9,
^ху — ^4xyt “^xz = @4x21 ^Vz “ ^4yz'
Здесь 6 == ex 4- ev + ez — объемная деформация.
В формулах (1.11), (1.12) Е и G — модуль упругости и мо-
дуль сдвига; р, Z — коэффициенты Пуассона и Ламе, между ко-
торыми имеются следующие зависимости:
G ~ Е	х — Е^
2(1 4-р)’ л ~ (1 4-Р) (1 -2р)’
При температурном воздействии уравнения закона Гука преобра-
зуются на основании гипотез Франца Неймана, постулирующих,
что полные линейные деформации ех, ву, ez связаны с перемещени-
ями формулами Коши (1.3), а упругие деформации связаны с на-
пряжениями уравнениями обобщенного закона Гука (1-11). Под
полными деформациями понимаются сумма упругих б*, ez
и чисто температурных деформаций at, т. е.
бх = £х 4- бу = б® 4" в* = ez 4"
Тогда, внося значения упругих деформаций в соответствии с (1.11)
получим уравнения закона Гука при температурном воздействии
«X = 4-“ 1* (аУ + °z)l +
еу = ~г [пу — р (ох 4- oj] 4- а/,
!	(113)
е2 =	1а* ~ И <Рх + а?)1 +
1 1 1
Уху Q	4x2 Q	4yz (J
10

инн в форме, разрешенной относительно напряжений:
ах = 2Gex -|- Х6 — (20 -|- ЗА,) at,
о, = 20ву 4-	- (20 4- ЗХ) at,	(1.14)
сг2 = 20ег 4- Х0 - (20 4- ЗХ)а/,
Тхг/ == Тхг = Оухг, Tgt — Сууг-
<1»и шческий закон для анизотропных материалов и, в частности,
«ля композиционных материалов излагается в гл. 12.
Таким образом, полная система уравнений теории упругости
включает 15 уравнений: три уравнения равновесия (1.9), шесть
неметрических соотношений Коши (1.3) или вытекающих из них
«равнений совместимости деформаций (1.5) и шесть соотношений
1 пеона Гука в форме (1.13) или (1.14). Эта система включает
1;> неизвестных: шесть напряжений, шесть относительных дефор-
маций и три перемещения, т. е. является полной. Решение основ-
ной системы должно удовлетворять граничным условиям на по-
верхности тела — статическим в форме (1.8) или геометрическим,
которые формулируются через перемещения.
1.1.4. Методы решения задач в перемещениях
и в напряжениях
В теории упругости используются две классические
формы записи разрешающих уравнений, к которым сводится
полученная выше полная система 15 уравнений.
Решение задачи в перемещениях предусматривает введение
в качестве неизвестных, определяемых, в первую очередь, трех
функций перемещений и (х, у, z), и (х, у, z), ш (х, у, г). Выражая
в законе Гука (1.14) деформации через перемещения с помощью
геометрических соотношений (1.3) и подставляя полученные вы-
ражения для напряжений в уравнение равновесия (1.9), полу-
чим три уравнения равновесия в перемещениях (уравнения Ламе)
GV« + (Z, + C)||--(2G + 3Ma~ + A = 0,
CV“o + (>- + G)-g--(2G + 3X)a^- + F = 0,	(1.15)
GV’ia) (Z-| G)^-(26 f	| Z. -0,
„„ d2 , d3 d2 Q du । do dw
где V — 0x2 4- dy2 4-	, 6 — dx + dy +	•
Решение уравнений (1.15) должно удовлетворять граничным ус-
ловиям. Геометрические граничные условия накладываются не-
посредственно на перемещения, а статические условия (1.8) за-
писываются через перемещения с помощью равенств (1.14) и
(1.3). По найденным перемещениям могут быть далее определены
11

деформации (1.3) и напряжения (1.14), т. е. получено полное ре-
шение задачи.
Второй метод решения задачи в напряжениях предусматри-
вает введение в качестве основных неизвестных шести компонент
напряжений, которые должны удовлетворять трем уравнениям
равновесия (1.9). Поскольку три уравнения с шестью неизвест-
ными могут иметь множество решений, существует множество
систем напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия.
Такие системы напряжений называются равновесными. Для того
чтобы выделить из статически возможных систем истинную си-
стему напряжений, будем рассуждать следующим образом. Пусть
имеется некоторая равновесная система напряжений. Тогда де-
формация однозначно определяются из закона Гука (1.13) и для
завершения решения необходимо найти перемещения. Однако
при этом надо проинтегрировать шесть геометрических уравнений
(1.3), включающих три неизвестных перемещения, т. е. систему
в общем случае несовместную. Для того чтобы система (1.3) была
совместной, необходимо, чтобы деформации были связаны не-
которыми соотношениями, которые и были получены выше в форме
(1.15). Таким образом, истинные напряжения отличаются от всех
равновесных тем, что вызываемые ими деформации удовлетворяют
уравнениям совместности деформаций (1.5). Эти уравнения с по-
мощью закона Гука (1.13) могут быть записаны через напряжения.
В результате преобразования с помощью уравнений равновесия
(1.9), в которых отсутствуют объемные силы, они могут быть при-
ведены к виду
'р,<’=‘ + гпг^- + а£(т^г^< + -ПТ^-) = 0>
V»	->+«Е (14^ v> < +	» = о,
„2	I 1	Фо	,	аЕ	дч	_ „
'	1 + Н дхду 1+ц дхду
м	,1	.	я£	дЧ	.
'	т	1 + |»	дхдг	'	>+|»	дхдг	= и-
rt,	,	1	,	аЕ	S4	.
V т-ух+ j+g дудг + 1+(1 дуВг — V.
(1.16)
Здесь о = а, + а, + о2.
Таким образом, основная система уравнений для решения задачи
в напряжениях включает уравнения равновесия (1.9) (при X =
У = Z — 0) и уравнения совместности деформаций (1.16).
Отметим, что полученная система включает девять уравнений,
содержащих шесть неизвестных функций напряжений. Из вывода
уравнений совместности (1.5) или (1.16) следует, что всегда су-
ществует три дополнительные функции, которые позволяют
19

№<л гтвенно удовлетворять эти уравнения. Такими функциями
ксдяится, например, перемещения и, v и ш. Действительно, под-
сыляя в (1.5) функции деформации, выраженные с помощью
(I 3| через три произвольные функции п, о, ш, можно убедиться
Ш что уравнения (1.5), а следовательно, и (1.16) тождественно
v -югетворяются при любых функциях и, v и w.
По найденным в результате решения системы (1.9), (1.16)
•И «пряжениям с помощью закона Гука (1-13) определяются де-
фпр.^ации, а затем из системы (1.3) (которая в силу того, что усло-
1)«1 н ее интегрируемости удовлетворены, является совместной)
(Ниху-цятся перемещения. Построенное решение подчиняется гра-
ни «игым условиям — статическим в форме (1.8) или геометриче-
смим. которые накладываются на найденные перемещения.
1.2. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ
УПРУГОЙ СИСТЕМЫ
Рассматривается непрерывное упругое тело, находя-
щееся под внешним силовым и температурным воздействием,
h г еду того, что в теле при этом возникают напряжения и дефор-
.• и ил, в нем накапливается потенциальная энергия деформации,
н меряемая работой упругих сил П.
.Для определения работы упругих сил рассмотрим ее прираще-
। в функции от приращения перемещений dat би, бьу. Тогда,
рз сматривая тело как совокупность бесконечно малых парал-
1 непипедов, заполняющих внутренний объем, и бесконечно ма-
пггх тетраэдров, определяющих пограничную зону, прилегаю-
щую к поверхности, подсчитываем работу, совершаемую в каж-
дой элементарной его части.
Выделяя из тела бесконечно малый параллелепипед со сторо-
п»мн dx, dy, dz и заменяя влияние отброшенных частей напряже-
ниями, получим на его внешних гранях интенсивность сил, пред-
ъявленную на рис. 1.3. Кроме того, будем считать, что на каждую
• синицу объема действуют объемные силы, заданные компонен-
1 амн X, У, Z. Зададим прнращення перемещений 6о, 6rw, не-
прерывно меняющиеся от точки к точке. Подсчитаем сначала ра-
боту сил, действующих в направлении оси х. Ограничиваясь
ишь малыми третьего порядка, получим результаты, представ-
ленные в табл. 1.1.
Суммируя работу всех сил, представленных в таблице,
найдем
ад = [(-^-+%-+^-+х)6и +
+ с=	+ ’»•- V + ’«^г]dx d* йг-
13

Таблица 1.1
Составляющие работы сил, параллельных оси х
Величина усилия	Перемещение	Работа	I
X dx dy dz	6u	Xdu dx dy dz
(о« +	dy dz	,	1 d&l J du 4- -r— dx * dx	X ( 6u 4—dx j dy dz
—с* dy dz	6 и	—oxdu dy dz
	R I	A 6u 4- ~s— dy dy v	/ c . ddu , \ , . x	dxdz
—xyx dx dz	bu	—tvxdu dx dz
(tzx + --^-dz)dxdy	ou 4—r— dz dz	-^dz)x /„ . d&u. X ( 6u 4- —dz) dxdy
—tZx dx dy	6u	—t2x6u dx dy
Аналогичным образом подсчитывая работу всех сил, действу-
ющих вдоль осей у и z, получим
dbv . ddu	dfiv 1 , , ,
+ т™ ~дГ + °ч \ + т« “аГ|dx d'J dz-
m’ = [O + > + > + z)to +
d&w , d8tu d6ail . . ,
+ *«	TjT + fz -*-jdx dV Az-
Таким же образом подсчитываем работу сил, действующих на
тетраэдр (см. рис. 1.2), в котором наклонная грань предпола-
гается совпадающей с внешней поверхностью, и в силу этого
14

гвующая иа ней нагрузка определяется поверхностными
. цломи Хр — Xv, Ур *» Fv, Zp = Zv. В результате найдем
6П* = (Ху. — сх1 —	— хгХп) Ьи dst
6Щ = (У v — tXj// — avm — ъг1/п) fir dst
6П£ = (Zv — xxJ — 1угт — огп) ds.
i 1риращение работы упругих сил, собранное со всей совокупности
плраллелепипедов н тетраэдров, выразится теперь так:
ЛИ = J J j (бп; + 6Щ + впэ dx dy dz 4- J j (6П; + 6Щ + 6ПЭ ds.
Подставляя сюда найденные выше приращения элементарных
работ, получим
вМШ(тг+тг+^ + х)6и+
+ (^ + ^ + ^ + z)^]dxdydz +
<- JJ l(Xv— a J — чгх1/т — т>2п) би + (У v — тта/ — сут — т^п) би +
+ (Z, - x,Jl — х„уп — aji) &uj ds +
+ x*^	+ dx) + ’<“* (17 + ~Йу') dxdy dz-
Для тела, находящегося в состоянии равновесия, два первых
интеграла в (1.17) б силу уравнений равновесия (1.9) и (1.8) обра-
щаются в нуль. Заменяя далее производные от приращений пере-
мещений через приращения деформаций с помощью соотношений
Коши (1.3), окончательно будем иметь
си •= j j f (OxSe. + ctfet 0j,6lBj 4“ Тдах/буяу 4"
4- ^Ухг 4- ^yVz) dy dz.	(1.18)
В задачах строительной механики вводится гипотеза о существо-
вании потенциала упругих сил, заключающаяся в том, что работа
упругих сил П полностью переходит в потенциальную энергию
U, накапливаемую телом при деформации, т. е. 6П = б(/. Если
ввести понятие удельной потенциальной энергии W, как энергии,
отнесенной к единице объема, то
U ~ J J j Wdxdydz	(1.19)
16

и в соответствии с (1.19) н (1.18)
f>W = (Тх6вх 4“ • • • + ^уг^уг-	(1 -20)
С другой стороны, в силу существования потенциала упругих сил
потенциальная энергия есть функция только деформаций и, сле-
довательно, ее приращение равно
=	+	о-21)
Сравнение (1.21) с (1.20) приводит к формулам Грина
_ dW .	dW ,	dlF .
°х дЕх ’	ds.v ’ °г д?.х '
_ dW	_ д\У	__ tW_
“ К*, '	=	~ дуу1 ’
являющимся аналитическим выражением гипотезы о существо-
вании потенциала упругих сил.
Следует сделать оговорку о том, что введенное понятие упру-
гого потенциала в рамках термоупругой задачи закономерно лишь
при определенном ограниченном уровне температуры, при ко-
тором в потенциальной энергии можно пренебречь чисто темпера-
турными членами в силу их малости. Кроме того, в дальнейших
выкладках рассматриваются лишь такие температурные задачи,
когда температура не зависит от деформации, а модули упруго-
сти — от температуры. При сделанном замечании удельная по-
тенциальная энергия будет определяться интегрированием вы-
ражения (1.20), т. е.
в. v
№ = J 6№.
at
Внося сюда (1.20), подставляя напряжения из (1.14) и производя
интегрирование, получим выражение для удельной потенциаль-
ной энергии, записанное через деформации
W = G (е2. + 4 + 4) + 4 02 + 4	+ & + &) -
— (2G-j-3X)a'9 + A(2G + 3X)(a/)a.	(1.22)
Используя закон Гука (1.13), из (1.22) можно получить удельную
потенциальную энергию, записанную в смешанной форме
= т (’Л + °4R4 +	-
- +о>+
(1.23)
16

1.3. ВАРИАЦИОННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ
Согласно изложенному выше в разд. 1.1 истинные на-
пряжения, деформации и перемещения, реализующиеся в упругой
системе, удовлетворяют полной системе уравнений теории упру-
гости, содержащей статические, геометрические и физические
соотношения. Введенное в разд. 1.2 понятие потенциальной энер-
гии упругой системы позволяет дополнительно сформулировать
некоторые энергетические свойства истинного напряженно-де-
формированного состояния, реализация которых эквивалентна
удовлетворению отдельных групп основной системы уравнений. Эти
энергетические свойства устанавливаются вариационными принци-
пами, которые широко используются в строительной механике.
1.3.1. Полная энергия упругой системы
Для построения вариационных принципов потребуется
понятие полной энергии Э, которую формально введем как раз-
ность между потенциальной энергией и работой внешних сил
Э=[/_ д.	(1.24)
В (1.24) U — потенциальная энергия деформации и А — ра-
бота внешних сил, определяемая формулой
А = | j (Xvu 4- Yvv 4- Z^w) ds 4- J j J (Xu-^-Yv-\ Zw) dx dy dz. (1.25)
Здесь Xv, Fv, Zv — компоненты поверхностной нагрузки, a X,
Yt Z — компоненты объемной нагрузки, интегрирование осу-
ществляется соответственно по поверхности тела S и объему v.
Преобразуем выражение (1.25). Для этого введем некоторую
произвольную систему напряжений йя, ..., xyz и систему пере-
мещений й, v, w (необязательно соответствующую напряжениям
ах, ..., хУА и рассмотрим следующий поверхностный интеграл:
J = j J K'V+w" + wO« + (М+s»'” + wO е+
+ (V + Vя + ЭД ds.
Преобразуем поверхностный интеграл 4 в объемный Д иа осно-
вании формулы Остроградского
1 \ дх ' ду 1 dz /	1 \ дх ду дг / J J
+№.т+»4+’-т+’»(£+4)+
+*.(т+т)+*..(4+-&)]^
17

н, кроме того, введем в рассмотрение объемный интеграл J2,
включающий произвольную систему малых деформаций вж ... yw,
не связанную ни с компонентами перемещений, ни с компонен-
тами напряжений
Л = J f J (б А + «А + бА + адед + ад» + адк) dx dy dz.
Очевидно, выражение работы внешних сил (1.25) не изменится,
если к нему прибавить и вычесть одни н те же величины. Поль-
зуясь этим, напишем
А = А — J +	— J8 + /2.
Внося сюда выражения для соответствующих интегралов, получим
+ J J [(X. - °*1 ~ ixl<m ~ Й + (Уv — W — °ит ~ V +
+ (Zv —	— i1!2m — агл) й>] ds +
+Ш [М4г - М+б«- ft - М+ 5‘ ~ £«) +
+(£+v - %•)] dxdydz+
+JJJ (0А + вА + ®А +адх, + ад»+ади)^буйг. (1.26)
Отметим, еще раз, что входящие н выражение (1.26) компоненты
перемещений, деформаций и напряжений совершенно произвольны
и не соответствуют действительно возникающим в теле деформи-
рованному н напряженному состоянию при нагружении.
1.3,2S Вариационный принцип Лагранжа
Рассматриваемый далее вариационный принцип Ла-
гранжа позволяет сформулировать энергетический признак, вы-
деляющий истинную систему перемещений, возникающую в теле.
Вариационный принцип Лагранжа сформулирован так: из всех
кинематически возможных систем перемещений в действитель-
ности в упругой системе реализуются лишь те, которые сообщают
18

минимум полной энергии. Под кинематически возможными здесь
понимаются перемещения, удовлетворяющие геометрическим гра-
ничным условиям на поверхности тела и связанные с относитель-
ными деформациями соотношениями Коши (1.3).
Таким образом, согласно принципу Лагранжа полная энергия
гола, в котором имеет место действительное поле перемещений,
должна быть минимальной. При этом деформируемая система
должна быть консервативной, т. е. приращение потенциальной
энергии должно являться полным дифференциалом от приращения
деформаций, а внешние силы не зависеть от перемещений. По-
скольку полная энергия Э = U — А выражается через интегралы
(1.19) и (1.25), она является функционалом и согласно вариаци-
онному исчислению реализация принципа Лагранжа сводится
к задаче минимизации функционала. Сначала докажем право-
мочность сформулированной вариационной задачи.
Экстремальное значение функционала реализуется обраще-
нием в нуль главной линейной части приращения функционала —
первой вариации
63 = 0,	(1.2/)
причем, если вторая вариация меньше нуля, то имеет место ми-
нимум. Можно показать, что в рассматриваемых задачах реали-
зуется именно минимум.
Записывая уравнение (1.27) с помощью (1.24), получим
6Э = 6(7 —6Л=О.	(1.28)
Входящая сюда вариация потенциальной энергии деформации 6(7
определяется равенствами (1.19), (1.20). Для записи вариации
работы внешних сил 671 воспользуемся соотношением (1.26).
При этом в силу того, что перемещения должны быть кинемати-
чески возможными, удовлетворяются соотношения Коши (1.3)
и третий интеграл в (1.26) исчезает. Кроме того, положим й =
- &и, v = Sv, w = 6ш и соответственно ёх = 6ек ... yyz — 6?w.
Тогда равенство (1.28) примет вид
63 = £ J [с.6е. + ... ти6ую] dxdydz —
+ (^“ + > + ^ + ^ +
+ (^+^+>+zH^dz-
— JJJ 1(Х» —	— V — т„п) би +
(У v —	— а„т — Т^п) би + (Zv —	— xuzm — агп) 6ш] ds —
— 11 -I-------т^6уВ2] dx dy dx = 0.
19

Сокращая первый и последний интегралы, окончательно получим
в5=Ш[О+^+^-+х)би+
+(^+->+^+у)^+
+(^+v+v+z)to],k*+
+ Jj К*. — nJ — txl,m — tr„n) 6u + (У, — Tx„z — otm — T„;r.) 6t> +
+ (Zv — ix2l — <t„m — a,n) 6®] ds = 0.
(1.29)
Поскольку вариации 6u, 8v, Sw произвольны н взаимно незави-
симы, из (1.29) вытекают уравнения равновесия (1.9) и стати-
ческие граничные условия (1-8). Таким образом, если выполнены
соотношения Коши и геометрические граничные условия, то из
принципа Лагранжа следуют недостающие уравнения равновесия
и статические граничные условия, что и доказывает справедливость
принципа.
Для реализации вариацнониого принципа Лагранжа необхо-
димо записать условия минимума полной энергии Э, выраженной
через перемещения. Подставляя в равенство (1.24) V согласно
(1.19), где W имеет форму (1.22), в которой функции деформации
выражены через перемещения с помощью соотношений Коши
(1.3) н работу внешних снл А согласно (1.25), окончательно будем
иметь
’-Щ(0[В)’+«),+ Й)’] + тЙ+^+тТ+
। О Г / ди_ , ди \2	/ ди dw_\z । / ди . ди> ^2~|
'2 |Д ду дх ) -г \д2~г дх ) "Г \дг "Г ду ) J
- (2G+3X) (А+ *. +	at +-3.(2G + 3X)(cc/)>}dxd!,d2-
— j j (Xvu 4- Yvv -j- Zxw) ds — J j J (Xu -f- Yv 4- Zw) dx dy dz. (1.30)
s	v
Минимизируя функционал (1.30) методами вариационного исчи-
сления, можно получить три уравнения относительно функций и,
v, w и естественные граничные условия, которые совпадают со-
ответственно с уравнениями равновесия в перемещениях (1.15)
и статическими граничными условиями (1.8), записанными через
перемещения. Таким образом, принцип Лагранжа является ва-
риационным аналогом метода решения в перемещениях, который
был опнсан в разд. 1.1.
Равенству (1.29) можно придать и другую трактовку, если счи-
тать Su,6v н Sw малыми возможными перемещениями тела в состо-
20

к । “виовесия. В этом случае (1.29) описывает принцип возмож-
(i ''"«ещений, согласно которому в состоянии равновесия
,. ма работ всех внешних и внутренних сил должна быть равна
5	. При этом требование консервативности системы отпадает.
1.3.3.	Пример—задача об изгибе балки
Для иллюстрации принципа Лагранжа рассмотрим
аль ”у об изгибе балки, показанной на рис. 1.4. В этом случае
птличны от нуля перемещения и (х, у), v (х, у), а интегралы в (1.30)
ВсрУ^я по длине балки и сечению с площадью F. Полагая t = 0,
ц.. пучим
О Р
+т«+£)>->*•	<131’
о
' - ем закон плоских сечеинй, согласно которому сечение х =
"list не деформируется вдоль оси у и остается плоским и нор-
• ьиым к нейтральной оси у = 0. Отсюда следует, что
ди	ди . ди А
ек —	~ °’ Тзд — Sy + gx — °-
Интегрируя эти уравнения, получим
v = v (х), и = —v'y 4- и0 (х).	(1.32)
। i'’-енебрегая эффектом Пуассона, который не учитывается в
 ергни изгиба балок (р=0), и подставляя перемещение (1.32)
функционал (1.31), будем иметь
i
+ (L33)
О
д, например, v' = dv/dx, I — центральный момент инерции
счения. Выражение (1.33) представляет собой функционал, ко-
орый символически записывается
• следующем виде:
I	Ч(*)
Э — j Ф (х, v, v, и'о) dx.
о	I
Лесь Ф подынтегральное выра- Рис_ 1.4. Быша в условиях яопереч-
кение в (1.33).	него изгиба
21

Согласно принципу Лагранжа и вариационного исчисления имеем
65=i[^&+w&'+<Mdx=°-
о
Интегрируя по частям дважды второе слагаемое под знаком ин-
теграла и один раз третье, получим
/	i
сп	[/ (Ф 1	। я ' f	d	дФ s |/
63	J ( до +	а« до" )6udx +	d,j- 6в J	dx	-
о	о
I
f d дФ f. . дФ к U _
- J d^Sudx+^6Ч = °-
О
Полученное выражение будет тождественно равно нулю при про-
извольных вариациях перемещений 6г и 6н0 лишь тогда, когда
подынтегральные выражения и внеинтегральные члены будут
равны нулю, т. е.
5Ф . d2 ОФ дФ к ,li л
dv + ах2 dv"	°’ ди” 6г/ |о ~ °’
d аф -Л- d дФ л	ЗФ я И л	/1Ой
dx до" fi’y|o 0’ dx аф —°* dui s“»|0-°-	С1-35)
Полученные уравнения являются уравнениями Эйлера — Ла-
граижа для рассматриваемого функционала, а внеинтегральные
члены — естественными граничными условиями. Для ряда за-
дач уравнения Эйлера—Лагранжа и естественные граничные
условия могут быть взяты в готовом виде из курсов вариацион-
ного исчисления.
Вычислим входящие в (1.35) производные
=	< =	(136)
Внося (1.36) в (1.35), получим
(£*")" = ?, £Д!6о'|' = 0, £Д”6о|' = 0,
(£FuJ) = O, £FuS6«o|' = O.	(L37)
Для истолкования соотношений (1.37) напомним, что согласно
сопротивлению материалов в сечении балки действуют изгиба-
ющий момент М, перерезывающая сила О и осевая сила N, ко-
торые определяются формулами
M = —EIv", Q=—EIv"', N = EFui. (1.38)
С учетом (1.38) соотношения (1.37) принимают вид
M" + ? = 0, N' = 0,	(1.39)
M6t/|' = 0, Q6t-|'=O,	= 0.	(1.40)
22

• равнения (1.39) являются уравнениями равновесия: первое —
р.имением упругой линии балки, а второе — уравнением рас-
fiженин оси. Равенства (1.40) определяют граничные условия.
Гл'ли перемещения и0, v и угол поворота v' на крае балки заданы,
и» вариации &/ =	= 6и0 = 0 и условия (1.40) удовлетворяются
ннюматическн. На свободном крае кинематические факторы ие
Йоданы, нх вариации отличны от нуля и согласно (1.40) получим
/И Q = дг = о, т. е. статические граничные условия. Таким
ппразом, соотношения (1.37) включают уравнения равновесия и
г глгические граничные условия, записанные через перемещения.
1.4. ВАРИАЦИОННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
В НАПРЯЖЕНИЯХ
В соответствии с изложенным в разд. 1.1 истинное
ноле напряжений выделяется из статически возможных путем
удовлетворения уравнений неразрывности деформаций. Анало-
ыми этих уравнений при энергетической постановке являются
нириациоиные принципы, вводимые на основании понятия до-
полнительной энергии.
1.4.1. Дополнительная потенциальная энергия
Введем по аналогии с (1.19) понятие дополнительной
потенциальной энергии деформации
jJjiFdxdj/dz,	(1.41)
V
причем приращение удельной дополнительной энергии 61^ будем
связывать с приращениями напряжений аналогично (1.20)
«117 = е, 6сх + 8„ CCj + е. 8а, 4- Тед +
ВвГад + Тивт^ + Т^бт^.	(1.42)
Подставляя функции деформации согласно закону Гука (1.13) и
интегрируя, получим
№ = ЁЁ+ а‘ч + ~ 2,1	+ ’А + Oi/°J +
+ ~^-(Тед + т«+ У + «<(0,4-0;, +а,)...	(1.43)
Дифференцирование (1.43) по компонентам напряжений дает фор-
мулы Кастильяно
свидетельствующие о том, что дополнительная удельная потен-
циальная энергия является потенциалом упругих деформаций.
23

Рис. 1.5. Удельная потенци-
альная энергия деформации
линейно-упругого (а) и не-
линейно-упругого (б) тела
при одноосном растяжении
Для того чтобы выя-
вить соотношение меж-
ду удельной потенци-
альной энергией W,
-* введенной в разд. 1.2, и
дополнительной энер-
гией W, рассмотрим одноосное растяжение стержня вдоль его
оси х при отсутствии температурного воздействия. В этом слу-
чае все компоненты напряжений, за исключением сгх, обращаются
в_нуль и согласно равенствам (1.20), (1.42) имеем 6W = oxtext
= ехбох. Из закона Гука (1.13) имеем сгх = £ех, т. е.
8х	Ех
W~(axte. = E§ е.68, = ^-=5^,
0	(I
о,	о	(1--15)
W = J 8. 6аж = -1- f ах 6сх = £ =	.
о	о
Таким образом, прн отсутствии_температурного воздействия для
лннейно-упругого тела W — W. Из геометрического смысла
интегралов (1.45) следует, что W7 и W в рассматриваемом случае
представляют собой площади треугольников, показанных на
рис. 1.5, с. Для нелинейно упругого материала W и ~W не сов-
падают (рис. 1.5, б).
1.4,2. Вариационный принцип Кастильяно
Введем теперь по аналогии с (1.24) выражение для
полной энергии
Э=и~ Д	(1.46)
где U определяется равенством (1.41). Основной закон, позволя-
ющий строить решение задачи в напряжениях, сформулирован
Кастильяно в виде следующего принципа: из всех статически воз-
можных систем напряжений в действительности в упругой си-
стеме возникают лишь те, которые сообщают стационарное
(минимальное) значение полной энергии, записанной через допол-
нительную потенциальную энергию (1.46). Поскольку полная
24

•шргля (1.46) есть функционал, то условием стационарности
г. и янляется обращение в нуль первой вариации
65 = 0.
(1.47)
I Ihiiomhhm, что статически возможными называются системы напря-
жений, удовлетворяющие уравнениям равновесия (1.9) и условиям
1Ы поверхности (1.8). Будем считать также, что напряжения свя-
iiitiibi с деформациями законом Гука. Тогда для решения задачи
и напряжениях необходимо удовлетворить уравнения совместности
деформаций (1.5). Покажем, что эти уравнения вытекают из прин-
ципа Кастнльяно. Из равенств (1.46) и (1.47) имеем
6Э = бО —6Л.	(1.48)
Внося сюда 6(7 согласно (1.41), (1.42) и определяя 6Л, варьируя
напряжения в (1.26), получим
Ьн (>+&+*)++>++у)+
I JJ 1“6 (xv - aj - i,vm — wi) + (У, — t.J — аут — гип) +
+ шб (zv - x„l — х„т — агп)] ds + JJJ [	- ех) во, +
+(€ ~ 4 6а»+(-^ -4 6ст‘+(!+£	+
+ (1г+4г—?»)бт»+(4г+4i7 ~ *»•)	-°-
(1.49)
Отметим, что объемные силы X, Y, Z, входящие в уравнения
равновесия (1.9) и в первый интеграл (1.49), являются заданными
п, следовательно, их вариации равны нулю. Что касается по-
верхностных сил Хх. Yv, Zy,t то статические возможные системы
напряжений не обязательно должны сводиться на поверхности
тела к заданным нагрузкам и можно ввести их вариации, например
6XV = 6ох/ + ^хуШ 4“ бт^г?.. Тогда поверхностный интеграл
в (1.49) исчезает. Для того чтобы входящие в (1.49) компоненты
напряжений были статически возможными, введем в рассмотре-
25

(1.50)

— e«
4-^+ — -
' к 02 dX
\* &/ В!/Лг~-^.+ ъ--.
ние шесть функций напряжений <р„ связанных с компонентами
напряжении следующими зависимостями:
°*	ду’	+^ — 21^-]Xdx’
а =	^Ф'	1	^Ф»	9	Уфа	Г .
"	дх’	дг’	2	дх дх	~	J Y ЛУ'
<т —	^Ф»	।	Уфа	9	Уфа	Г , ,
Ol ~	~ 2	~ J z
» „ =___?2s_	.	.Уф«	।	Уф,	_ уф.
Вхду	BxBz	'	ду dz	Вг’	’
. -Уф»	I	аФ,	Уф,	,	Уф,
BxBz	дхду	ду’	dydz	1
г„2 = --Уфа___ Уф. I Уф, , Уф,
" ByBz дх’ -Г дхду "Г ~ВхдГ-
Непосредственной подстановкой (1.50) в первый интеграл (1 49)
можно убедиться, что он обращается в нуль благодаря тому что
введенное выражение для напряжений тождественно удовлётво-
ряет уравнения равновесия (1.9).
«™г«.
+ /*L_e'(я/^Ф1_ , Уф, 9 Уф, \ ,
+ М6 (,тгг+ ~м-~2-д^) +
Л 6 (-^Si. + -?Ф’- — 2 уФ« \ I
) йу” + дх’ 2 Вхду ) +
+	+	\я/ Уф, уф, уф, у,,,
4* дх	а^+-Хй-+^*--а7-) +
у.Л 6 Г— _|_	_ уф» , уф, \ ,
/ к дхдг + дхду ду’ + дудг ) +
+ "&)] dxdydz^O.
(1 51)
ваРьиР°вании Функций напряжений, заданных
интегРалы- содержащие объемные Сили, ис-
чезают, так как последние не варьируются.
для	"° ЧаСТЯМ’ НаПРЙМер’
Ш(^~8”)6^L xdydz =
” f J [( a?~8») 8 ~ — «Ф»("ST —dxdi +
+ JJ.f ( a7 ’ B') dA'^ dz-
Of мстим, что согласно (1.50) функции напряжений выражаются
• грез вторые производные от функций напряжений. Значения их
первых производных и самих функций <pf на границе тела несу-
ш* ствеины и могут быть приняты равными нулю. Таким образом,
поверхностный интеграл может быть отброшен и равенство (1.51)
принимает вид
J J J [ Ui/< +^~’aFa77<,<P1+	----7ife~}8<i2 +
I / Уе» I	fir„ I (В2Ухг , Утхс Ууи о У<ЬЛ ..	,
' \ dz’ дх’ Вхду/ °is + ^йха»- ' дх dz дх’ 2дудг)°^'
. /	,	УУи	Уу«»	о Ус, \ Srr.	,
' \ дудг	'	дхду	ду2 дхбг /
+	+	— -ТГ- — 2	frpAdxdydz^O.
1 \ дхдг 1 dydz dz2 дхду /
В силу произвольности вариации функций напряжений отсюда
вытекают уравнения совместимости деформаций (1.5). Таким обра-
шм доказано, что уравнение (1.48) при удовлетворении уравнений
равновесия эквивалентно уравнениям совместимости деформаций,
т. е. принцип Кастильяно является энергетическим аналогом
метода решения задачи теории упругости в напряжениях.
Для аналитической записи принципа Кастильяно восполь-
«уемся соотношением (1.49). Применяя к первому интегралу фор-
мулу Остроградского и учитывая, что 6Х = 6У = 6Z ~ 0,
окончательно получим
ffj Мп* + ербо^ 4- e26oz + Кубт^-f.	dxdydz —
— JJ (ubXv -j- o6Kv 4- ^6ZV) ds = 0.	(1.52)
Согласно равенствам (1.41) и (1.42) первый ийтеграл представ-
ляет собой вариацию 61/, а второй — работу вариаций поверх-
ностных нагрузок.
1.4.3.	Принцип наименьшей работы
На практике обычно используется частная форма за-
писи принципа Кастильяно, называемая принципом наимень-
шей работы или принципом минимума дополнительной потенци-
пльной энергии. Предположим, что сравниваются не все стати-
чески возможные системы напряжений, а те из них, которые сво-
дятся на поверхности тела к заданным нагрузкам Xv, Yv, Zv.
Тогда 6XV = оУу — bZv = 0 и из (1.52) с учетом (1.41) и (1.42)
получим
6t7 = O.	(1.53)
11олученный результат н является принципом наименьшей работы
и формулируется следующим образом: из всех статически воз-
27

моотных систем напряжений, сводящихся на поверхности тел
к заданным нагрузкам, в действительности в упругой систц
возникают лишь те, которые сообщают экстремальное (минимал,
ное) значение дополнительной потенциальной энергии.
Для реализации принципа наименьшей работы необходим
записать условие минимума дополнительной потенциальной эне[
гин, выраженной через напряжения. Согласно ралснствам <1.41
и (1.43) получим
и=Ш щ(а*++°* ~2р- <6«а»+а‘°‘+a>a‘)i+
"4* g.- (т*, 4-	+ t.z) -f- at (а. п, v»)) dx dydz. (1.54
Здесь входящие функции напряжений должны удовлетвори!
уравнениям равновесия и статическим граничным условиям
Минимизация функционала (1.54) методами вариационного исчн
слення приводит к системе уравнений, которые являются уравне
ииями совместимости деформаций, записанными через напряже
ния.
1.4.4.	Теорема Кастильяно
Будем рассматривать произвольную деформируемук
систему, находящуюся под внешним воздействием, напряженно«
состояние которой определено и требуется найти смещение не-
которой точки k по направлению, заданному направляющими
косинусами lh, mh, nh. Для решения задачи приложим в точке k
неизвестную силу Ph по направлению искомого перемещения.
Тогда, относя рассматриваемую систему к декартовой системе
координат х, у, г, запишем составляющие силы действую-
щие по осям
= Py = Phmk, Pz~Phnh. (1.55)
Вычисляя работу сил (1.55) на перемещениях uh, vh, имеющих
место в точке k, получим
А = PblbUb + PhmhVb + Phnhwh = Pt (uhlh -|- vkmk + nkwh).
Записанное в скобках выражение представляет собой интересу-
ющее нас перемещение fh, т. е.
A^Pbh.
Выражение для вариации работы сил будет равно
вД=Дв/>».	(1.56)
Дополнительная потенциальная энергия в рассматриваемом слу-
чае будет функцией приложенной силы Ph и, следовательно, ее
вариация примет вид:
(1.57)
28

йюльзуя принцип Кастильяно в форме (1.48) прн 6U н 6Д,
Определенными формулами (1.57), (1.56), получим равенство

второе в силу произвольности вариации 6Pft дает
/» = <•	(1.58)
f limy ценное равенство формулируется в виде теоремы Кастильяно;
битная производная от дополнительной потенциальной энергии
Hi обобщенной, силе равна перемещению по направлению этой силы
(проекции полного перемещения на направление силы). Под обоб-
щенной силой здесь понимается сила или момент. В последнем
Случае будет представлять собой соответствующий угол пово-
рота.
1.4.5.	Примеры
Проиллюстрируем изложенный выше принцип наи-
меньшей работы и теорему Кастильяно на двух примерах.
Рассмотрим стержневую систему, показанную на рис. 1.6, а.
Методы расчета стержневых систем будут изложены в гл. 2, од-
нако рассматриваемая простая задача может быть решена и без
их привлечения. При действии силы Р в стержнях возникают
нормальные напряжения, которые распределены равномерно по
»счению и длине стержней н обычно заменяются усилиями в стерж-
нях = CtF (F — площадь сечеиия, которая считается одина-
ковой для всех стержней так же, как н модуль упругости мате-
риала Е). В силу симметрии усилия в стержнях 1 ... 4 и 3 ... 4
будут одинаковыми, т. е.
усилия и (рис.
Вырежем узел 4 и
составим сумму про-
екций всех сил на
иертикальную ось:
2/V1cosa-j-’ /V2—/э=0.
Определяя отсюда
усилие Nlt получим
ДГ2 = Р — 2/Vx cos со.
(1.59)
Рассматриваемая си-
стема является один
раз статически не-
для решения задачи необходимо найти
1.6, б).
Рис. 1.6. Статически неопределимая стержневая
система
определимой. Для
определения усилий
29

необходимо записать условие совместности деформации стержней,
которое следует непосредственно из рис. 1.6, а и имеют вид
Д/i = Д12 cos сс. Согласно закону Гука = ЕЕе.1г N2 = EFe2,
где = Д/j//, е8 — Д/2// cos а, т. е. окончательно получим
уравнение совместимости деформаций в виде
= •й'cos® а.	(1.60)
сг £г	'	'
Решение уравнений (1.59) и (1.60) дает
р cos2 а	Р	г
14-2cossa’ ~ l-|-2cos8a’
Смещение точки 4 по вертикали, очевидно, равно удлинению стер-
жня 2 ... 4, т. е.
<L62>
Применим теперь для решения этой задачи принцип наименьшей
работы. В соответствии с изложенным выше дополнительная потен-
циальная энергия стержня (1.54) имеет вид
о-63)
и для рассматриваемой системы
z7=2^/+^‘zcos“-	(I-64)
Согласно принципу наименьшей работы из всех статически воз-
можных систем усилий, сводящихся в узле 4 к силе Р, т. е. удов-
летворяющих уравнению (1.59), действительные усилия сообщают
U минимальное значение. Исключая из (1.64) усилие /У2 с по-
мощью (1.59)
ТТ О ЛГ?/ . (Р —SACCOS а)8 . с
U ~ 2EF + 2EF COS а’
записывая условие минимума функции
ЗС/   2Njl	, г\	пит \ 2/ cos2 сс	»•
=	----(Р —2AT,cosct)—gg— = 0	(1.65)
и преобразуя (1.65) с учетом (1.59), получим
-gr--grc°s2a = 0,
т. е. условие совместимости деформаций (1.60).
I	Последняя операция понадобилась только для истолкования
равенства (1.65), из которого сразу можно найти величину уси-
| лия Nlt совпадающее с решением (1.61).
80
[’«• I 7. Изгиб консольной балки
I l.i идем перемещение уз- f I If f f ,f_ у
в / г помощью теоремы	z
h । hiльяно. С этой целью г*'""
запишем U как функцию силы Pt действующей в этом узле.
Подставляя значение усилия (1.61) в выражение (1.64), получим
уг РЧ cos а
U ~~ 2£F(I 4-2cossa) ’
1>1сюда согласно теореме Кастильяио
# dU Pl cos а
h=s дР ~ £F(1-| 2cos»a) ’
что совпадает с (1.62).
Рассмотрим пример определения прогиба на конце консоль-
Пой балки постоянной жесткости EI, загруженной равномерной
поперечной нагрузкой (рнс. 1.7). Поскольку в месте искомого
прогиба внешней силы Р нет, приложим ее дополнительно. Тогда
«вгибающий момент в произвольном сечении х от заданной на-
«рузки q и введенной силы Р будет
М = |(Z-x)’-|-P(/-x)	(1.66)
и нормальные напряжения выразятся в соответствии с теорией
изгиба балок формулой
о. = --£».	(1.67)
Здесь I — момент инерции сечения: у — центральная главная
ось инерции сечения.
Согласно (1.54) дополнительная потенциальная энергия имеет вид
17= Jdxj-g-dF.	(1.68)
О F
Тогда напряжения и изгибающий момент в соответствии с (1.67),
(1.66)
и=I -h [4 • <1 -	+р v - ?;)Г -к Iyi dF-
О	F
Производя интегрирование, найдем
77____1 РУ  I
С 2EI \ 20 ф 4	3 /’
И, наконец, используя теорему Кастнльяио, получим
f _	ргр
I — дР ~ SEI + 3£/ •
31

Полученное значение прогиба соответствует задаче, когда балк
кроме распределенной нагрузки на свободном конце нагружен
силой Рх, а поскольку в исходной задаче ее нет, то следует поло
жить Р равным нулю. В результате прогиб будет равен
•k SEI '
1.5.	СМЕШАННЫЙ ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
Выше были рассмотрены принципы возможных г зме
нений деформированного состояния (принцип Лагранжа) и воз
можных изменений напряженного состояния (принципы Кастила
яно и наименьшей работы), позволяющие построить энергетик
ским методом соответственно статические соотношения и уравне
ния совместности деформаций. Можно построить также фуикцк
онал, из которого будут вытекать физические соотношения для
упругого тела.
Для этого используем принцип наименьшей работы (1.53)
Ввиду того, что этот принцип требует, чтобы варьируемые напря-
жения удовлетворяли уравнениям равновесия (1.9) и статически»
граничным условиям (1.8), воспользуемся известным из вариаци
онного исчисления методом множителей Лагранжа и запишЗ
расширенный функционал
^+ППи(^+->+^+х)+
+”(^+>+^+п+
+ч^+^+^+2)]«г+
+	—Oj —ттат — WJ)+o(0v —	— „т— „) +
4-®М — w — тугт — c.n)Jds.	(J.69)
Здесь U определяется равенством (1.64 , а и, v и w — мн жители
Лагранжа. Из дальнейшего будет видно, что эти множители
являются перемещениями, что и учтено в обозначениях. Согласно
принципу наименьшей работы 6F = 0. Отметим, что при этом
можно варьировать как множители Лагранжа (т. е. перемещения), I
так и напряжения, в связи с чем излагаемый вариационный прин-
цип и назван смешанным. При варьировании v и w из функци-1
онала (1.69) вытекают уравнения связей, т. е. уравнения рав-
новесия и статические граничные условия.
Осуществим варьирование по функциям напряжений, причем
следует иметь в виду, что внешние нагрузки являются заданными,
т. е. их вариации равны нулю, а вариации функций напряжений
можно считать взаимно независимыми, т. е. соотношения, свя-
зывающие функции напряжений, уже учтены в функционале
ЭЙ

।1 69) Проводя операцию варьирования функций напряжений
. преобразуя объемный интеграл в (1.69) с помощью формулы
I '• гроградского, окончательно получим
65 '= Ш |7Г 1с*бс* +	+ °’Еа' ’ 11 <с«6п» +	+
+ о«6о. + с/сгж । Ojficr, + о.Зср)! 4-
+ -J- (-ГчДгд, ! т„6г« + Tw6i„) а! (6а, ( 8^ - cj —
(ди *	. ди р . ди s . So л , dv х dv g.
“ (! а76т‘,,+	-•+а78 «+дГ5о»+д76т"г +
+ зг<4.+	« + -^-6ог« }	-
Нейду того, что вариации напряжений произвольны и независимы,
ч-ле дует
0й	1 ,	. ,	.	ди . dv	ххУ
аГ = -Ё-(‘'.-На„-ра,) + о/,	—+ —=,-^1,
dv	1 .	, ,	,	ди „ дш	хХг
dj — ~Ё (av - 1*аг —
dw I#	_ > .	< dv . dw xuz
•^-=-jr (о. — ро» — p®,) + “*. ^- + i7=-f--
Сопоставляя эти равенства с (1.3) и (1.13), можно заключить, что
они являются обобщенным законом Гука (1.13), в котором функ-
ции деформаций выражены через перемещения с помощью соот-
ношений Коши (1.3). Очевиден также физический смысл множи-
телей Лагранжа и, vt w — они являются перемещениями по осям
х, у, г.
Таким образом» можно заключить, что равенство 6F — О
является аналитической интерпретацией смешанного вариаци-
онного принципа, являющегося вариантом принципа Рейсснера»
из которого вытекают соотношения упругости.
В заключение сделаем некоторые общие замечания относительно
рассмотренных выше вариационных принципов. Из изложенного
следует, что эти принципы позволяют по существу построить функ-
ционалы, из которых методами вариационного исчисления могут
быть получены те или иные группы уравнений теории упругости.
Поскольку эта уравнения были выведены в разд. 1.1, непосред-
ственно может сложиться впечатление о том, что роль вариаци-
онных принципов ие столь велика.. Однако это далеко не так.
Отметим прежде всего, что при расчете сложных, состоящих из
большого числа взаимодействующих элементов конструкций не-
посредственный вывод основных уравнений является часто за-
дачей двлеко не элементарной — при проектировании силовых
факторов и записи геометрических связей ои часто требует до-
статочно сложных пространственных построений, что может
2 И. Ф. Образцов и др-
33

явиться причиной ошибок. В то же время потенциальная энергия,
являющаяся суммой энергий отдельных элементов, как правило!
записывается достаточно просто, а последующие формальный
операции минимизации функционала практически гарантируют!
от ошибок.
Кроме того, введение в функционал системы гипотез, которые
всегда принимают при расчете конструкций, позволяет получить
корректную систему уравнений и, что не менее важно, естествен-
ные граничные условия, число и точность которых соответствую!
порядку и степени точности вариационных уравнений. Отметим;
что неудачные или физически необусловленные гипотезы аппарат
минимизации функционала перерабатывает, естественно, так же,-
как удачные, поэтому, осуществляя формальные операции, не
следует упускать из виду их физическое содержание.
И, наконец, одна из основных возможностей, которую от-
крывает использование вариационных принципов, связана с псь
строением так называемых прямых методов получения прибли-
женных решений, когда интегрирование основной системы урав-
нений заменяется приближенной минимизацией функционала.
Эти методы будут изложены в следующем разделе.
1.6. ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Полученная в разд. L1 основная система уравнений
теории упругости более высокого порядка и содержания уравне-
ния в частных производных, как правило, не позволяет получить
точное решение даже для сравнительно простых и идеализирован-
ных расчетных моделей реальных конструкций. В связи с этим
иа практике широкое распространение получили приближенные
методы решения, изложению которых посвящен настоящий раз-
дел. Эти методы можно условно разделить на три класса — кон-
тинуальные, дискретиые и дискретно-континуальные. К конти-
нуальным будем относить методы, согласно которым рассчиты-
ваемая система рассматривается как сплошная среда (коити-
ииум), причем описывающие ее поведение функции, например
перемещения, аппроксимируются гладкими функциями коор-
динат. Дискретные методы, интенсивное развитие которых в по-
следние годы связано с совершенствованием вычислительной тех-
ники, основаны на замене задачи об определении непрерывных
искомых функций задачей о приближенном отыскании значений
этих функций в конечном числе точек рассчитываемой конструк-
ции. И, наконец, дискретно-континуальные методы совмещают
дискретное описание искомых функций по одной координате
с построением непрерывного решения по другой.
Рассмотрим далее некоторые наиболее распространенные
методы приближенного решения задач строительной меха-
ники.
34

1.6.1. Метод Ритца—Тимошенко
Метод, предложенный В. Ритцем и распространенный
L 11, Тимошенко на задачи строительной механики, позволяет
ihMiучить приближенное (а в отдельных случаях и точное) решение
и перемещениях иа основе вариационного принципа Лагранжа,
сложенного в разд. 1.3. Идею метода, который относится к классу
шшгииуальных, поясним иа примере решения пространственной
1ЯЛЛЧИ теории упругости.
Для построения приближенного решения три перемещения и,
V, w представим в виде следующих рядов:
и = £ AtUt (х, у, г),
v =	г),	(1.70)
£С<ЙМ*. У- *)•
i
II (1.70) функции Uit Vlt называются аппроксимирующими
и ныбираются заранее. Внося (1.70) в выражение полной энергии
(1.30) и выполняя интегрирование, получим
3 = 3 (Alt Л8 ... AtBtB9 ... Blt С», С8 ... С^.
Поскольку полная энергия превратилась таким образом в функ-
цию от коэффициентов, то условие минимума ее, следующее из
принципа Лагранжа, будет реализоваться обращением в нуль
И<<*х производных от полной энергии по коэффициентам рядов
(1.70), т. е. разрешающая система уравнений будет иметь вид:
^-=0. •#-=-(). > = 0.	(1.71)
оА$	0о$	ОС,
Поскольку полная энергия есть квадратичная функция от пере-
мещений, то уравнения (1.71) будут представлять собой систему
линейных алгебраических уравнений, причем количество этих
уравнений всегда будет равно количеству членов (коэффициентов),
вводимых в рядах (1.70) и, следовательно, система (1.71) будет
полной относительно определяемых коэффициентов. Найдя в ре-
зультате решения этой системы коэффициенты Ait В(, Ct, можно
долее по формуле (1.70) определить перемещения, а затем дефор-
мации и напряжения, т. е. получить полное решение задачи.
Таким образом, основная идея метода, кардинально упро-
щающая решение и, естественно, определяющая его приближен-
ный характер, связана с тем, что искомые перемещения отыски-
ваются в классе заранее заданных функций, которые выбираются
из основе опыта, интуитивно или на основе решений более простых
вадач. В результате минимизации полной энергии отыскивается
распределение перемещений, наиболее близкое к истинному в энер-
кчичбском смысле, а в' некоторых случаях может быть найдено
2*	35

kyv	и истинное голе перемещений'
|	/	если оно содержится в заданном
III II II 1 1 Т_. 1.1	классе функций. Отметим, что
Лг	; х на аппроксимирующие функции
______1__________:,у должны быть наложены опре-
деленные ограничения. Как сле-
Рис. 1.8. Изгнб^шарнирно опертой дует нз 30^ они должнь
а к	быть дифференцируемыми и по-
скольку принцип Лагранжа
предусматривает сравнение кинематически возможных систем
перемещений — удовлетворять геометрическим граничным усло-
виям. При этом возникает и чнето математический вопрос о пра-
вомочности представления искомых функций в виде рядов, свя-
занных с полной системы аппроксимирующих функций и схо-
димостью процесса при увеличении числа членов в рядах к
точному решению. При практических расчетах эти вопросы под-
нимаются редко и в лучшем случае подменяются сравнением
результатов при увеличении числа аппроксимирующих функций.
В качестве примера рассмотрим изгиб шарнирно опертой
балки постоянной жесткости Е1 под действием равномерно рас-
пределенной нагрузки q (рис. 1.8). Геометрические граничные
условия в этой задаче имеют следующий вид: при х = 0 и х = I
и — 0. Чтобы удовлетворить им, выберем аппроксимирую-
щие функции в виде синусоид с целым числом полуволн п:
(J-72)
п
Полная энергия изгибаемой балки определяется равенством (1.33)
при «о — 0, т. е.
з=1
Внося выражение (1.72) и интегрируя, получим

W У Ап
31	п
п=1. 3, 5
Система уравнений (1.71) принимает вид
, — Е1пл д а	tyl л /  13 5	\
Мп ~ 2Р АпП	т ~и («—*. 3, 6...).
Отсюда Ап — (4?/4)/(Е7ябпЕ) для нечетных п (для четных Ап = О).
Таким образом, прогиб определяется равенством
п=1. 3. 5.,.
36

|1н анализа сходимости ряда (1.73) рассмотрим прогиб балки
t ре днем сечеиии. Внося в (1.73) значение х —- //2, получим
'"и юдя видно, что ряд быстро сходится, его второй член состав-
лю г лишь 0,41 % от первого. Здесь полезно отметить, что схо-
। |N<iCTb построенного ряда падает при его дифференцировании.
|,.к, например, нормальное напряжение будет определяться
 р«ч вторую производную от прогиба, для которой ряд будет
К*ть следующий вид:
„ 4оР	/ 1 ппх \
v L 0?sul~r-)-
л==1. 3. 5
4iG для среднего сечения дает
=	_L + _!_____\
и Е1я3 \ З3 53	/
1д«сь второй член составляет уже 3,7 % от первого.
1.6.2. Метод Бубнова—Галеркина
Приближенный метод решения задачи путем сведения
к системе линейных алгебраических уравнений, основанный
ил принципе возможных перемещений, был построен И. Г. Бубно-
иым н весьма широко использовался при. решении различных
чпдач строительной механики Б. Г. Галеркиным. В рамках этого
м<*года перемещения по-прежнему задаются в форме (1-70), и
поскольку аппроксимирующие функции должны удовлетворять
неметрическим граничным условиям и быть непрерывны внутри
ибласти, занятой материалом конструкции, оии являются возмож-
ными формами перемещений и могут быть использованы для за-
писи возможной работы всех сил. В рамках трехмерной задачи,
используя уравнения (1.29), применяя в них си = Uit &v =
— Wi и в силу произвольности функций перемещений Uit
Vj, Wi приравнивая нулю возможную работу на каждом из этих
перемещений, получим
Ш(>+^+^+х)и‘^г+
+ J J (X, — cj. —	— Тх.п) и, ds = О,
(1.74)
+ j J Yv —	— чут —	V, ds = 0,
JJJ(^+> + -^ + Z)B7‘W’ +
4- j J (Zv — ч;хг1 — ryzm — azn) Wtds = 0.
37

I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
В уравнениях (1.74), естественно, понимается, что функции на
пряжений в соответствии с законом Гука и формулами Копп
заменяются функциями перемещений, которые и представляются
рядами (1.70). Представленный уравнениями (1.74) метод решения
обычно называют обобщенным методом Бубнова—Галеркина,
в рамках которого на аппроксимирующие функции наклады-
вается требование удовлетворения геометрическим граничны»
условиям.
Если же при выборе аппроксимирующих функций потребовать^
чтобы онн удовлетворяли кроме геометрических также и стати-
ческим граничным условиям, то интегралы по поверхности об-
ратятся в нуль и уравнения (1.74) превратятся в следующие:
Ш(^+^+^+*)^-м^=о.
jU(^+->+-^+5'),/“brd»*=0- “-78)
Ш О+^+4г +z) dxd»d’=°-
Метод решения задач, основанный на уравнении (1.75), называют
методом Бубнова—Галеркина. Поясним все изложенное выше
примером расчета балки, представленной иа рис. 1.8. Геометри-
ческие и статические граничные условия в этой задаче следующие:
прн х==0 и х = 1 р==0, М = —EZv"=0. При задании прогиба
v в форме (1.72) каждая из аппроксимирующих функций будет
удовлетворять геометрическим и статическим граничным условиям
при целочисленных значениях параметра п.
Записывая «возможную» работу сил, когда уравнение равно-
весия представляется уравнением изогнутой оси балки (1.37)
EIvw — q, получим
j(£7u>v - ф) sin dx = 0.
о
Внося сюда и согласно (1.72) и выполняя интегрирование, на-
пишем
АпЕ! 4—^=0.
Откуда Д„ — (4ql‘yl(EIp?ns} и функция v определяется так же,
как и при расчете методом Ритца—Тимошенко, рядом (1.72).
Сделаем одно замечание, общее для обоих рассмотренных ме-
тодов. Процедуру выбора аппроксимирующих функций в рядах
(1.70) можно упростить, если учесть, что между функциями Utl
Vt и Wi для каждого конкретного номера I имеется определенное
статическое соответствие, следующее из уравнений равновесия,
записанных в функциях перемещений. Указанного статического
соответствия, очевидно, можно всегда достичь, если выразить

!•••' «тенты перемещений через одну функцию путем удовлетво-
Оичи части уравнений равновесия* Рассмотрим, например, урав-
Кип! Ламе (1.15), предполагая, что температурное воздействие
^иЬычмные силы отсутствуют, т. е. t — 0 и X — Y = <2 ~5 0.
Надем разрешающую функцию <р по формулам
Mss=_^|L	су =— 2 (1 — ji) V3^. (1.76)
дкдх 1 дудя ’ дгг \	т у /
П< управляя (1.76) в (1.15), можно убедиться в том, что первые
|и»> уравнения удовлетворяются тождественно, а третье приии-
Мет вид VM<p « 0. Если теперь задать функцию <р в виде
р!ДИ
<Р = S
t
 согласно (1.70) и (1.76), получим
и = S ла» и = Е ла» Б
i	t	i
=	^=^"20-1*)^,.
I ]рн этом функции должны быть выбраны так, чтобы компоненты
pi. Vf, W( обязательно удовлетворяли заданным в задаче гео-
штрическим граничным условиям, что же касается коэффициен-
тов Ль то оии могут определяться и в соответствии с методом
Pin ца—Тимошенко или в соответствии с методом Бубнова—Га-
дсркииа.
1.6.3. Метод Власова—Канторовича
Этот метод был сформулирован в одни и те же годы
Н 3. Власовым применительно к построению приближенного
рпсчета тонкостенных пространственных систем и Л. В. Канто-
ривичем применительно к расчет)' изгибаемой пластинки. В от-
личие от изложенных выше двух методов, согласно которым за-
днча сводится к системе алгебраических уравнений, рассматри-
ваемый метод позволяет свести ее к системе обыкновенных диф-
ференциальных уравнений. Трудоемкость расчета при этом воз-
растает, однако, как правило, увеличивается и точность. Согласно
методу Власова—Канторовича, который применяется обычно для
решения двумерных задач, неизвестные перемещения (одно нли
два) задаются в виде суммы произведений двух функций, одно
in семейств которых зависит только от одной координаты и вы-
бирается, а второе, зависящее от второй координаты, определяется
и результате расчета;
/в =Е fin (^)ф|ш(|/)-	(1.77)
39

Пусть каждая из компонент перемещений /п (в конкретных за-
дачах это будет «, р, йу) представляется рядом (1.77), в котором
функции <₽|„ выбираются. Тогда полная энергия Э (1.30) пра
вратцтся в следующий функционал:
3= Jf (х, /(,„ fjjdx.
Минимум этого функционала в соответствии с принципом JTaj
гранжа будет реализовываться уравнениями Эйлера—Лагранжа
+	2. 3). О-78)
а естественные граничные условия определяют обобщенные ста-
тнческие граничные условия.
Уравнения (1.78) будут представлять собой систему обыкно-
венных линейных дифференциальных уравнений (второго илг
четвертого порядка). Таким образом, представление перемещений
в форме (1.77) сводит задачу, описываемую уравнениями в част
ных производных, к системе обыкновенных дифференциальные
уравнений. В связи с этим метод Власова—-Канторовича част<
называют методом приведения к обыкновенным днфференциаль
ным уравнениям.
Следует заметить, что аппроксимирующие функции <pin npi
расчете косоугольных н скошенных систем оказываются фуик
цнями от двух координат. Рассматриваемую процедуру расчет;
можно распространить и на трехмерную задачу, которую можн!
свести к системе двумерных уравнений, если аппроксимирующи!
функции будут выбираться одномерными, или к системе обык
новениых уравнений, если аппроксимирующие функции буду
выбираться двумерными.
1.6Л. Метод Папковича—Треффца
Выше были рассмотрены приближенные метода р
вня задачи в перемещениях. Аналогичным образом может <
построен континуальный метод решения задачи в напряжен
Компоненты напряжений при этом представляются в виде р
с неизвестными постоянными коэффициентами, которые onj
ляются иа основании принципа наименьшей работы. Поско,
при этом необходимо, чтобы компоненты напряжений были
тически возможными, аппроксимирующие функции выбира
в виде частных интегралов уравнений равновесия, удовлеп
ющнх условиям на поверхности. Уравнения равновесия мс
удовлетворить путем введения функций напряжений, пр
для удовлетворения трех уравнений равновесия (в общем
40

(Цр трехмерной задачи) достаточно ввести три функции напряжений
К следующим формулам:
<’»“>+>-R'fc-
dx dz J	(1.79)
T — д**Ра
~ дудг ’
Непосредственной подстановкой напряжений (1.79) в уравнения
। шповесия (1.9) можно убедить в том, что эти уравнения удов-
|г|воряются тождественно при произвольных функциях (ь =
I 2, 3).
| Для удовлетворения статических граничных условий введем
ппнряжения сг£, ..., т£2 так, чтобы на поверхности тела выпол-
нились равенства
Xv = (М ^xytn + Т?хгП,
Yv = Xxyl 4- tn 4- xj2n,
Zv = rtzi + *lzm 4- <$n,
Hu- Xv, Yv, Zv — заданные поверхностные нагрузки. Ввиду того,
»но напряжения ог£ ... т^ могут ие удовлетворять уравнениям
I шновесия (1.9) внутри тела, компенсируем их введение приве-
чгкпыми объемными силами, т. е.
да$.	дт°
у ____ х	ху __ xz
“Г* дх ду дх 5
у_______
вр	дх	ду	дг *
7	<*г
Л"Р ~	дх	ду	дх '
В формулах (1.79) при этом следует считать, что объемные
гплы состоят из заданных внешних нагрузок Хт1, ^вк, ZBn и
приведенных, т. е.
X = Хвп 4“ ХПр, У —з Уви -|- Упр» Z — Zsn 4“ Z^
Представим теперь функции напряжений в виде следующих
рядов:
ф< = Е (*. v, z).
41

При этом напряжения будут иметь вид
‘	I
........ ..	: aj
/
В равенствах (1.80) AfJ — неизвестные коэффициенты, а фу]
ции фу» как следует из изложенного выше, должны быть выбра:
так, чтобы напряжения, определяемые ими в соответствии с j
венствами (1.79) (без интегральных членов), на поверхнос
тела обращались в нуль. Тогда, как не трудно проверить, напр:
жения (1.80) будут тождественно удовлетворять уравнениям ра
новесия (1.9) и статическим граничным условиям (1.8). Коэфф;
циенты Aij согласно принципу наименьшей работы определяют^
из условия минимума дополнительной потенциальной энергий
(1.54), т. е.
= ° «=«.2.3; J-=1.2...).
В результате получим полную систему линейных алгебраически:
уравнений относительно Ац.
Приближенное решение задачи в напряжениях может быт;
построено и методом приведения к обыкновенным дифферент®
альным уравнениям, аналогичным рассмотренному выше метод}
Власова—Канторовича. При этом функции напряжений задаются
рядами, каждый член которых является произведением двух функ-
ций, т. е.
4>г - Е <РчФ«-	(1 -81)
Пусть в (1.81)	— искомые функции, а ф{/ — аппроксими-1
рующие функции, выбираемые заранее так, чтобы напряжения
на поверхности обращались в нуль. Тогда на основании прим
ципа наименьшей работы из условия минимума дополнительной
энергия можно записать систему дифференциальных уравнений
типа Эйлера—Лагранжа—Остроградского. При этом, если ап-
проксимирующие функции фу будут выбираться зависящими
от двух координат, то уравнения Эйлера—Лагранжа будут обык-
новенными, а если функции фу будут одномерными, то соответ-
ствующие уравнения будут включать две независимые перемен-
ные.
t.6.5* Конечно-разностные методы
Выше были рассмотрены континуальные методы, в со-
ответствии с которым искомое распределение перемещений или
напряжений отыскивается в виде разложений по системам вы-
42

к । немых гладких функций. Эти методы, как правило, позволяют
liti.vV'xiTb приближенное аналитическое решение, однако, поль-
• »нь ими, не всегда удается получить практически приемлемое
I * пи-ине многих важных задач. В последние годы в связи с раз-
ни пи-м вычислительной техники получили широкое распростра-
ните численные методы, основанные на дискретном представлении
1>и1ччитываемой конструкции и соответствующих математических
•йпиеимостеЙ.
Поскольку основой ряда таких методов является конечно-
рпцпостное представление операции дифференцирования, полу-
чим некоторые основные конечно-разностные формулы для дву-
м> 1'шлх задач.
Пусть имеем некоторую дифференцируемую функцию / (х, у),
ц юрая описывает геометрические или силовые факторы упругой
f||i темы. Разложим функцию / (х, у) в направлении х в ряд Тей-
«ри в окрестности заданной точки k, т. е.
f ' Дх fdf_\ Дх* \	,
Гл-i — Гл 11 < ах /л  21 к ах2 Л 31 к Л *
I л.«“^+тг(-|-Х+4гт+4г^Х+ —
• яг Дх — шаг сетки вдоль оси х (расстояние между точками
I 1, Л, k 4- 1), который будем считать постоянным. Оставив
4 них разложениях члены до второй производиой включительно,
|Д(»жением и вычитанием получим формулы для вычисления
Шрвой и второй производных в центральных разностях с погреш-
iHiribK) порядка Дх2
\ = 2ДГ	(j g2)
(W-X = д?
Очевидно, такой же вид будут иметь формулы для вычисления
производных в точке k в направлении оси у. Пользуясь форму-
лами (1.82) и правилом умножения конечно-разностных опера-
торов, можно построить соотношения для вычисления производ-
ных в центральных разностях любого порядка в обыкновенных
пли в частных производных. В частности, для производных,
нннболее часто встречающихся в задачах строительной механики,
 in формулы имеют следующий вид (рис. 1.9):
("ЭТ)» = 2Д? — М:
^~ду \ = 2 Л? ~ ’
(&?")» =	2М:
43

дхду')k~ 4&хЛу (/л Т А — /< f₽)»
('axr)s = 2Axr^fi ~ % —fm + /n);
( ду* X = 2 Ду> —	~~ ft + W> О’®
(&%г \ = TaTaJ»" (2f- — 2/ь — /н + А — f« + /»);
(д&ду );< = 2Дх»Лу ^fc~ + fh~ Il ~ fe + IgY
(-S-X = -2F № -	+А» +• «;
(aJasl’)* ~ Ax’ Ap“ — 2/a — 2ft> — 2fc — 2/d + I
4 fe + fg + fft+fl)-
Иногда бывает удобным выражать производные через несиммет-
ричные конечные разности, т. е. через разности вперед или назад,
следующие, например, из приведенных выше разложений функ-
ции в ряд Тейлора. Соответствующие формулы для первой произ-
водной имеют вид
/df\ i	<L84
Как видно, эти формулы имеют точность ниже на порядок шага,
чем формулы в центральных разностях при использовании та-
кого же количества точек. Пользуясь формулами (1.84) и правилом
умножения конечно-разностных операторов, можно вычислить и
Рис. 1.9. Прямоугольная сетка
иа плоскости (х, у)
старшие производные (прямые или
смешанные) через разности вперед
или назад.
Таким образом, на основании
(1.83), (1.84) можно записать в ко-
нечных разностях любые производ-
ные функций, входящих в различные
соотношения строительной механики,
в частности, в дифференциальное
уравнение, дифференциальные выра-
жения для граничных условий или
в подынтегральное выражение функ-

I • L Id. К решению задачи об из-
цл Л..ДКИ конечно-разностным ме-
тодом
цнпиана потенциальной энер-
Ц Характер использования
Бвнсдснных формул зависит
pi принятого метода решения
В| кроткой задачи.
Рассмотрим дискретный метод, основанный на численном реше-
 - дифференциальных уравнений (обыкновенных илн в частных
I -он модных) в задачах о напряженно-деформированном состоя-
нии пли устойчивости упругой системы. Решение состоит в све-
|. ипи дифференциальных уравнений вместе с соответствующими
। рппичными условиями к системе алгебраических уравнений.
При этом, если система описывается обыкновенными дифферен-
(цыльными уравнениями, соответствующий метод носит название
mi 1ода конечных разностей, а если решаются уравнения в част-
Mi г производных, он называется также методом сеток. В первом
Купле интервал интегрирования делится на участки длиной Дх,
V по втором — область, занимаемая телом, делится ортогональной
Кисой на прямоугольники со сторонами Дх, Аг/ (см- рис. 1.9).
Покажем применение метода конечных разностей на примере
Определения прогиба балки переменного сечения, закрепленной
й одном конце и свободно опертой на другом при произвольно
пределенной нагрузке q (рис. 1.10). Разрешающее уравнение
I* такой задаче имеет вид (1.39), т. е.
М" = ~q,	(1.85)
1де согласно (1.38)
М = — EI (х) U".	(1.86)
г побьем балку на четыре участка Дх = //4 и запишем урав-
нение (1.85) в точках 1, 2, 3 в конечных разностях, т. е.
Мл — 2Л1! + Л12 = — qs Дх2,	(1.87)
— 2Л12 + Л13 = — q2 Дх2,
М2 — 2Л4а + МБ = —qs Дх2.
• готическому условию на свободно опертом конце балки соот-
ветствует условие МБ = 0. Учитывая, что согласно (1.86)
Alft = £7ft (d2v/dx2)ft, где k = А, 1, 2, 3, запишем уравнения (1.87)
и конечных разностях через прогибы
EIa (va — 2va 4- Vi) - 2Е/г (vA — 2Vi + va) 4-
-J- EIS (Vi — 2va 4~ vs) = <7i &&>
Elj (vA ~ 2vx 4- d2) — 2E12 (Vi — 2v2 + v8) +
+ Els (v2 — 2v3 + vB) = q2 Ax4,	(1.88)
^2 (^1 — 2v2 + v3) — 2£/8 (v2 — 2jj3 -l- vB) = q3 №
45

I
L
Из геометрических условий при жестком защемлении имеем
Од = 0, (5о/5л-)д = 0.
Запишем второе условие в форме конечных разностей
(vi ~~ “°-	I
откуда перемещение в точке, называемой «законтурной» точкой,
будет va ~ vr. Если ^учесть и геометрическое условие vB ~ 'Ч,|
то система (1.88) примет вид
(2/д -|~	4~ h) vi — 2 (Zj 4~	4~ Z2o3 = g-j —g—, I
-2(7,4	f-(/i4-4/a4-/3)v3-2(44-Z8)^ = 98-^-, I
Zsfi — 2 (/2 4- /3) vs 4~ (Ae d_ 4/g) vs ~ 473	.	|
Полученные три уравнения включают три неизвестные вели-
чины olt v2 и va. В частности, при / = Ia = const, q = q0 = const!
имеем
7ua —	4~ fs “ “757^"“»	I
—to, + 6t>a - tos =	,
o,-to, + 5», = -^^-;
», = 0,909-^-; t>,= 1,682^Д; 0> = 1,364-S^-.
C<0	EIq	£fo
По найденному прогибу можно определить в каждом сечении из-
гибающий момент, а следовательно, и напряжения. Например,]
в сечении А имеем
или в форме конечных разностей
МА = Е!л (ив 4- V, - 2»д).
В частности, при ! = IOr q ~ q0
Ма ~ 1,818^0 Дх2 == 0,114<у0£3 (точное значение ~ О,125доР).
1.6.8. Вариационно-разностный метод
Метод представляет собой сочетание вариационного н
конечно-разностного методов и применяется для решения как
одномерных, так и даумерных задач. Согласно этому методу
46

ц< шодные искомой функции, входящие в подынтегральное выра-
функционала полной энергии, записываются в форме ко»
в< члых разностей, а соответствующий интеграл заменяется сум-
Днлее на основании соответствующего вариационного прин-*
црпл определяются значения искомой функции в узлах сетки,
mt шефствующие экстремуму дискретного аналога функционала.
А | и'браические уравнения, из которых определяются эти зна-
ния, получаются из условий минимума, т. е.
(1.89)
। it- I номер узла сетки; ft — значение искомой функции в z-m
, иг, I—дискретный аналог функционала полной энергии,
i in как I зависит квадратично от то условия (1.89) обеспечивают
шглность алгебраических уравнений.
11риведем пример построения этих уравнений для балки, пока-
инюй на рис. 1.10. Запишем полную энергию изгибаемой бал-
»и (1.33) (ыо = О)
Э = j [T-£/(o”)s - 70] dx.
(5.90)
I’.- вдел им балку, как и ранее в разд. 1.6.5, на четыре части и вы-
ражение (1.90) представим в виде суммы
I=у, [4- Е!< <°<)2 - д*>
i = Л, 1, 2, 3, В,
’ lpVi» h* vi—значения нагрузки, момента инерции и перемещения
и узловых точках. Используем формулы (1.83) и запишем произ-
лицине V/ в конечных разностях. При этом учтем сразу,
•ни равенство нулю изгибающего момента на шарнирной опоре
•Vie г vb — 0. В результате буд?м иметь
I = [^-	~ 2'Jz Г v^‘ + "Ф дК (°А “ 201 + +
4~	Н----'g3	— 2е,э T —
—<№ — № — чл]&х-
Теперь используем условия минимума J (1.89) и получим урав-
нения
Е1Л К — 2ол 4-	-- 2£/, (пл — 2ot + е,) +
-1-	(е,	2оа с,) = 71 Дх4;
£4 (ол — 2с, 4 - о2) — 2£/2 (о, — 2а, + п3) 4-
4- Е1В (о2 — 2», 4- ов) = 7, Дх4;
В/, (ох — 2os + t>8) — 2£/s (o2 — 2os 4- vB) = qs Ex1,

в которых нужно учесть граничные условия од =	4 =
= 0. Последнее из этих условий, записанное в форме конечны!
разностей, как было показано выше, дает va —• Vj_.
В результате, положив для простоты Ц — Io — const, qt -J
~ q0 ~ const, будем иметь разрешающую систему уравнений 1
70,-40,4-0.=
—4 с, + би, — 4о, =	;
Ci Q
t>, — iv, -|  St>3 =
с1ц
Как видно, эти уравнения совпадают с аналогичными уравнениями
метода конечных разностей.
1.6.7. Дифференциально-разностный метод
(метод прямых)
Метод применяется для решения неодномерных задачу
описываемых уравнениями с частными производными. Решение
при этом сводится к решению системы обыкновенных дифферен-
циальных уравнений. Для этого рассматриваемое тело (пластина
нли оболочка) вдоль одного из направлений разбивается на по-
лосы выбранной ширины (шаг разбиения). Границы этих полос
представляют собой линии (в частности, прямые), параллельные
другому направлению. Если производные исходного уравнения
записать по порядку разбиения в форме конечных разиостец
то для другого порядка разбиения получим систему обыкновен-
ных дифференциальных уравнений (т. е. уравнений вдоль линий!
Граничные условия задачи в одном направлении учитываются
при записи производных в форме конечных разностей, а в другом-]
при решении соответствующих обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений. В качестве примера рассмотрим уравнение Пуас-
сона, с которым связано решение ряда задач теории упругости и
строительной механики. В частности, для задачи о перемещениях
мембраны это уравнение имеет вид
' ду2-----"дг»	(*•»>),
где q, N — внешнее поперечное давление и внутренние нормаль-
ные усилия; пу (х, у) — искомая функция прогибов. Будем счн- I
тать, что прямоугольная мембрана по краям жестко закреплена
(рис. 1.11). Приведем прямые у0 ~ 0, уг = —Ь/4, у2 = Ь/4, раз-И
делив мембрану на четыре полосы шириной /\у = 5/4, и запишем
48

кипение (1.91) в форме конечных
> пиктей в направлении оси у, т. е.
1--^г(и>1 + “,1-2«’о)=--р-:
'.*7 I +»о - 2ы’О =
_ _ q .
— w >
,)л. +	~ 2®г) =
______q~
N *
Рис. 1.11. К решению задачи о
равновесии мембраны дифферен-
циально-разностным методом
.чшывая, что wv_±t)/2 = 0f в результате получим три уравнения
• 1ремя неизвестными функциями ttJ0 (x), wt (х), tt>2 (*)- Решение
«hiк уравнений должно удовлетворять граничным условиям
ца. । ajz = 0. Для быстрого получения результата упростим реше-
ние, проведя только одну линию у — 0, т. е. разделив мембрану
«олько на две части. Тогда будем иметь
(wv—4t + w«=w — 2wo) = ~-^г
или с учетом Шу=±ь/2 = 9
d^w 8	_	q
~ Ь1 ®0 -	N ’
и 1 которого получим решение вида
.2/2	<-2/2	। qba
w0 — сг sh —-—х ч- са сп —j— х + -ддр •
111 симметрии перемещений относительно оси у следует сг — 0,
п из условия wx=z±ai2 = 0 са = —qtFI&N ch	Окончательно
подучим
ch-h~x\
K’» = -8V 1-Г^Т- Ь
\	ch~Г~ /
1.6.8. Метод локальных вариаций
Метод локальных вариаций представляет собой числен-
ную реализацию вариационного подхода к решению различных
|.1дач механики.
Существо решения покажем на схеме численного определения
функции f (х), сообщающей минимальное значение одномерному
функционалу вида
j = jF(x.Af, пах
а
(1.92)
49

и удовлетворяющей на границах условиям /Л=а — A, f,-b — Л
Разобьем отрезок {<7, Ь] на N равных частей точками
Хд — й + А- Л г.
где Дх = -b-jy~a- — шаг разбиения; k — 0, 1,2.......ЛА. Тот/,
приближенное решение функционала (1.92) можно представит
в виде
N
J = I F (xt, Д, ft, fl) Дх,	(1.93
k-~ i	I
где fk, fk, fk — значения функции f (x) и ее производных в точад
X ~ Хд.
Если воспользоваться конечно-разностными формулами (1.83),
то производные Д, f'i можно записать через значения функцщ
в точках разбиения следующим образом:
t* ~ 2^х ^А+1 — f*-’)»	+ f*+l ~~
Тогда дискретный аналог функционала (1.92) примет вид
' - £ F (**• Л-	)	(1-94)
Л-1
или I = I (xjt, fj,) при k =- 0, 1, 2, ДГ. Таким образом, задача
определения функции / (х), минимизирующей функционал (1.92),
сводится к определению чисел fht минимизирующих выраже-
ние (1.94). Это решение находится методом последовательных
приближений. За нулевое приближение принимается некоторый *
ряд чисел Д°\ где k --= 0, 1, 2, ЛГ, который в соотвегствн!
с граничными условиями должен удовлетворять требованиям
fi0) = A, В. Процесс последовательных приближений осу-
ществляется следующим образом. Пусть имеется п =• е прибли-
жение, т. е. последовательность при А = 0, 1, 2, 3,	/V,
Тогда (п -|- 1) — е приближение определяется путем сравнений
в каждой точке хй трех величин
fp),
j~ I (Х„, fP„),	(1.93)
fP + h),
где 0 < h < Дх —шаг варьирования (шаг пробы). В каждой
точке .из трех значений Дп), /£& для (п А 1)-го прибли- j
жени я берется то значение, которое дает меньшую* из трех вели-1
чин (1.95). При фиксированном h приближения проводятся до
тех пор, пока J, становятся (с заданной точностью) рав-|
ными. После этого шаг уменьшают и проводится очередная серия
50

Цмп.лижений. Весь процесс приближений заканчивается при
К и щении (с заданной точностью) значений всех /й или </, J",
l* и двух последующих приближениях при достаточно малых h
п At.
8.6.9. Метод коллокаций
Этот метод также относится к численным, так как его
йшмснение связано с сеточной аппроксимацией упругого тела.
И пение задачи этим методом дает, однако, результат не в виде
Ь< кратных значений искомой функции в узловых точках сетки,
л и виде некоторой функции, удовлетворяющей заданному урав-
|Ц тио в узловых точках сетки (точках коллокации) и граничным
V< ловиям. Таким образом, метод коллокации является методом
Приближенного решения дифференциального (или интегрального)
W кпения и заключается в сведении этого решения к решению
। in гемы алгебраических уравнений.
Покажем применение метода на примере изгиба балки, пока-
id иной на рис. 1.10.
Для / — 10 — const требуется решить уравнение
EI,v'v (х) = q (х)	(1.96)
(раиичными условиями
« о, vK^i = v^t == 0.	(1.97)
I мделим балку, как и прежде, на четыре части и представим ре-
шсние уравнения (1.96) в виде
о(*)~ ^»»(г)*.	*• 2.N-
(1.98)
Число членов ряда (1.98) определяется числом узловых точек,
и которых должны быть удовлетворены уравнения (1.96), и чис-
лом удовлетворяемых граничных условий (1.97). В данном слу-
чае при трех точках коллокации и четырех граничных условиях
и (1.98) будет семь членов, т. е.
v (х) — а0 + йа - р + ("j”) 4“ (“) +
+ 42«('t) •	(1-99)
Подставим (1.99) в (1.96) и получим уравнение
24а4 -Ь 120ae -р + 360ae	, (I ЛОО)
51

которое при xt == //4, х2 = 1/2, х3 = 3//4 дает алгебраически
уравнения
24п4 + 30сь -+- 22,5п6 = q^l'-EI^
24й4 + 60сь 4- 90а6 = q^l/EI^	(1.101
24g4 4- 90ав -г 202,5ае = q^l!Е10.
Граничные условия (1.97) с учетом (1.99) дают
а0 = 0, аг — 0,
4- Й1 + ^2 т ЙЗ + ^4 + й5 + Й6 — 0,
с2 -г Зп3 + 6п4 -+- 10йв 4- 15йв = 0.
(1.102)
Из совместного решения (1.101) и (1.102) для случая равно-
мерной нагрузки <?0 имеет коэффициенты
п0 = и, = а6 = о, = 0, 0,= ^-, а, = —	=
которые после подстановки в (1.99) дают точное решение
В заключение отметим, что приведенные выше методы, в осо-
бенности методы конечных разностей и локальных вариаций,
универсальны, но связаны с трудоемкими вычислениями. Однакс
возможности их для решения сложных, в том числе нелинейных
задач строительной механики, а также применение вычислитель-
ных машин привете к распространению их на практике.
Из других дискретных методов особенно широко применяется
так называемый метод конечных элементов (МКЭ), согласно кото-
рому упругая система разбивается на отдельные конструктивные
элементы или фрагменты различной структуры. Решение строится
на основе вариационных принципов с использованием локальной
аппроксимации, заданной для каждого конечного элемента в от-
дельности. Подробно этот метод изложен в гл. 7.

ГЛАВА 2
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
2.1. ФЕРМЕННЫЕ, РАМНЫЕ И КОМБИНИРОВАННЫЕ
СИСТЕМЫ
2.1.1. Определения. Расчетные схемы
Конструктивные элементы летательного аппарата можно
< • । и к некоторым типовым расчетным моделям, одной из кото-
НК является стержневая система.
Приведем некоторые определения. Стержень — это тело,
второго один размер (длина) значительно превосходит два
Ьр -их (поперечных) размера.
Геометрическое место центров тяжести поперечных сечений
I•. ержня называют его осью. Ось стержня может быть прямоли-
| Иной и криволинейной, а поперечное сечение постоянным или
В ременным. Примерами прямолинейных и криволинейных стерж-
н li, работающих на изгиб, являются балки и рамы.
Ьудем рассматривать три основные группы стержневых си-
гм: фермы, рамы и комбинированные системы, состоящие из
I .мно-балочных и ферменных элементов. Стержни, входящие
и | <ктав стержневых систем, соединяются друг с другом в узлах.
Цуя реальных конструкций это соединение является упругопо-
11мигвым. Однако в расчетных схемах в одних случаях соедине-
ie стержней в узле принимается шарнирным, в других — жест-
ким.
Стержневая система называется фермой, если можно принять,
vuiu все стержни соединены между собой по концам с помощью
швальных шарниров, а нагрузки приложены только к узлам.
В плоской ферме в узлах предполагаются цилиндрические шар-
ниры, причем ось шарнира перпендикулярна плоскости фермы,
пространственной—шаровые шарниры. В связи с тем, что
mi «менты в узлах при такой расчетной схеме отсутствуют, можно
in «казать, что прямолинейные стержни фермы работают только
пи растяжение—сжатие. Записывая уравнения равновесия для
* ।ержня, показанного на рис. 2.1, получим 2Л<Х = 2Л12 = О,
куда Qx — Q2 = 0 и = 0, откуда — Лг2 = N. Нормаль-
ные напряжения о равномерно распределены по сечению стержня
и заменяются усилием W = uF, где F — плошадь поперечного
м-чения стержия.
Заметим, что в реальной ферменной конструкции стержни ра-
Гин-ают также на изгиб, однако изгибные напряжения незначи-
|гльны и нми можно пренебречь.
53

Рмс. 2.1. к доказательству работ!
У |	стержней на растяжение—сжатие j
.. - „
|	N	Модель называется рамой, еслг
-*—vl_,	— •	у—£—з- места соединений прямолинейны
1	2\ а * или криволинейных стержней сл^
2 дует считать жесткими. Е
рамах стержни работают, главным образом, на изгиб, а такж
на растяжение—сжатие. Стержни пространственной рамы могу
работать и на кручение.
В комбинированных системах предполагается, что узлы рам
но-балочных элементов — жесткие, а ферменных — шарнирны^
при этом на рамы и балки действует произвольная нагрузка, а на
фермы — лишь сосредоточенные узловые силы.
При расчете стержневых систем будем предполагать, что они
обладают линейностью (в силу малости перемещений уравнение
равновесия составляются для недеформированной системы, а дл|
материала стержней справедлив закон Гука), т. е. можно приме
нять принцип независимости действия сил, который будет широко
использоваться в дальнейшем.
2.1.2. Геометрическая неизменяемость системы
Система, состоящая из элементов, может воспринимать
нагрузку только тогда, когда при внешнем воздействии она яв-
ляется геометрически неизменяемой.
Изготовленная из абсолютно жесткого материала геометриИ
чески неизменяемая система вообще не изменяет своей формы. I
Стержни реальной системы обладают конечной жесткостью, по-
этому будем называть геометрически неизменяемой систему, в ко- (
торой при нагружении изменение конфигурации происходит толыаяЦ
за счет деформации материала стержней.
Для того чтобы судить о геометрической неизменяемости или
геометрической изменяемости системы, обычно проводят ее киие-
магический анализ. Этот анализ может быть осуществлен непо4||
средственно или с помощью формул, определяющих число степе-
ней свободы системы. Под числом степеней свободы W будем! I
понимать число взаимно независимых движений, которое может I
совершать система. Для вывода формул, определяющих IV', мыс- |
ленно отделим узлы от стержней и получившееся таким образом
число свободных точек (узлов) обозначим через Y. Поскольку
каждый свободный узел как точка обладает на плоскости двумя,
а в пространстве — тремя степенями свободы, система из У-уз-
лов имеет соответственно 2У- и ЗУ-степеней свободы.
Наложим далее на узлы связи в виде стержней. Поскольку
стержень на плоскости н в пространстве устраняет одну степень
свободы (препятствует смещению вдоль своей осн), окончатель-

Цн i'ih плоской и пространственной ферм соответственно полу-
III м
№пл = 2У — С,
№пр-ЗУ-С,	(2.1)
И» С — число стержней. Для фермы, показанной на рис. 2.2,
7, С = 14, т. е. №ол = 2-7 — 14=0. Из формул (2.1)
г'Н’лует, что возможны три варианта:
I)	если U? > 0, система подвижна, не имеет достаточного
Ип.пгчества связей, т. е. является геометрически изменяемой
1м<-химизмом);
*2) если № = 0, система имеет достаточное количество свя-
ц п, чтобы быть геометрически неизменяемой;
.1) при W < 0 в системе есть лишние связи.
11 дальнейшем будем рассматривать фермы, у которых U7 < О,
। in как геометрически изменяемая система в общем случае ие
ни принимает нагрузки. Отметим, что проведенный анализ спра-
иг пив для ферм с опорными узлами. Фермы, нагруженные само-
vp.i и повешенной системой сил и не присоединенные к опорам,
внутренне геометрически неизменяемые, всегда имеют на клос-
циггн три, а в пространстве шесть степеней свободы, как соответ-
ппующее свободное тело. Действительно, фермы, показанные
и । рис. 2.3, очевидно, воспринимают приложенные к узлам силы,
причем из формул (2.1) следует, что — 2-3 — 3 g 3, Ц7пр
• 3-5 — 9 = 6. При определении числа степеней свободы рам-
ных и комбинированных систем удобно вначале найти колнче-
• П1О степеней свободы всех отдельных элементов, от которого
тем следует отнять количество накладываемых связей. Отдель-
ные геометрически неизменяемые плоские элементы (рамы, балки,
псржнн) будем называть дисками и обозначать Д, а простран-
ственные элементы — телами (Г). Очевидно, что диск на плоскости
•Л-ыдаег тремя степенями свобода, а гею в пространстве —
।«сетью, поэтому в общем случае для комбинированных систем.
Рис. 2.2. Плоская прикрепленная фер- Рис. 2.3. Плоская («) ft пространствен -
ма	пая (б) фермы, не прикрепленные к
опорам
96

Рис. 2.4. Комбинированная стержневая система
состоящих из рамно-балочных и ферменных элементов, вместо (2.11
можно записать
= ЗД + 2У — С,
W'np = 67 + ЗУ — С,
(2.21
где Д (Т) — число дисков (тел); У — число узлов ферменной
части системы; С — суммарное число стержней (образующие
ферменные части), соединяющих их с дисками или телами, i
опорных. Отметим, что в У не входят опорные узлы и узлы, свя4
за иные с дисками и телами. В частности, для системы, показам
ной на рис. 2.4, имеем Ц7ПЛ = 3-2 + 2-0 — 6 = 0.
Анализ формул (2.2) аналогичен проведенному выше анализ)!
равенств (2.1). На основании изложенного можно заключить, что
для геометрической неизменяемости плоских и пространственным
стержневых систем, прикрепленных к опорам,
волнение условия
необходимо вы-
(2-
а для свободных плоских и пространственных систем соотв»
ственно необходимо, чтобы
№пл 3, №пр 6.	(2.4)
Условия (2.3) и (2.4) являются необходимыми, но не достаточ-
ными, так как геометрическая неизменяемость обеспечивается
не только потребным количеством стержней, но и порядком их
расположения, который ие учитывается в формулах для W
Действительно, переставим, например, в ферме, показанной
на рис. 2.2, стержень 2—4 в положение 4—6. Тогда по-прежнему!
W — 0, так как число стержней не изменилось, однако полу-,
ченная система уже не может воспринимать силу Д,. В простей*
ших случаях геометрическая неизменяемость может быть уста-
новлена непосредственно. Из формул (2.1) и достаточно очевидных
соображений вытекает, что элементарная геометрически неизме-
няемая ячейка фермы образуется узлом, который связывает два
стержня, не лежащих на одной прямой (на плоскости), или три
стержня, не лежащих в одной плоскости (в пространстве).
Если в результате мысленного отбрасывания таких ячеек оста-
ется заведомо геометрически неизменяемая (или изменяемая)
56

В«гма, то этим свойством, очевидно, обладает и исходная си-
• • М.1
,< уществуют и более сложные методы кинематического анализа,
hiih.Ko следует име«ь в виду, что геометрическая изменяемость
Ki гемы всегда обнаруживается в процессе ее расчета. Признаком
Кнттрической неизменяемости системы является ограниченность
К реличине усилий в ее элементах. Рассмотрим, например, ком-
Ьпнрованную систему, показанную на рис. 2.4. Составляя суммы
Квитов для балок относительно узлов / и 6, получим
Л\а + АГа2а — О,
N-fia +	— Р2а,
| in ясно правилу Крамера отсюда
 определитель системы. Очевидно, что Л\ и будут иметь
ошгчиые значения, если А 0. В рассматриваемом случае
Л 3cs, т. е. система является геометрически неизменяемой.
Кпустим теперь, что опора верхней балки (см. рис. 2.4) пере-
спа из сечения 1 в сечение Г. Тогда суммы моментов отиоси-
Кьпо опорных узлов Г и 6 дадут уравнения Nt2a + Л'2а = 0,
Е'Л/ F Nza = Р2а, для которых А = 0. Рассматриваемая си-
м мн является геометрически изменяемой и представляет собой
Ннрпирный четырехзвенник,
J(ля того чтобы стержневая система была геометрически неиз-
Кшсмой, необходимо также предъявить определенные требования
Ь опорам (опорным стержням), так как свободная (незакреплен-
|ц) ферма может быть жесткой, а вся система может оказаться
Кинизмом. Очевидно, что для плоской системы, обладающей
Нгмя степенями свободы, должно быть не менее трех опорных
• гржней-связей, а для пространственной (шесть степеней сво-
Клы) — не менее шести. Кроме того, опорные стержни не должны
Кп-секаться в одной точке, не должны быть параллельными и
Бргсекать одну ось.
2.2. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
2.2.1. Статически определимые системы
Распространенным классом геометрически неизменяе-
мых систем являются стержневые системы, у которых IV' == 0.
И таких системах нет лишних связей — удаление любой связи
 «ержня) превращает систему в механизм, при этом уравнений
р|цшовесия оказывается больше, чем входящих в них неизвест-
ных силовых факторов. При IV' = 0 число уравнений равновесия
57

Рас. 2.5. Статически определимая ферма
в точности совпадает с числом неизвестных силовых факторов
Последние однозначно определяются из уравнений равновесия
т. е. система является статически определимой.
Для составления уравнений равновесия используется извест
ный из курса сопротивления материалов метод сечений, согласи
которому стержневая система мысленно делится сечениями йа
части, а действие одной части на другую заменяется внутренним}
силовыми факторами, равными по величине и противоположно
направленными. Пусть, например, координатная ось к направ-
лена по оси стержня, а оси у и z расположены в плоскости попе»
речного сечения. Внутренние силовые факторы в сечении можно
привести к главному вектору и главному моменту, а затем раз-
ложить на составляющие по осям, т. е. ввести осевую силу Л;Х1
перерезывающие силы Qn крутящий момент Мх и изгибающие
моменты М^ Ms. Указанные составляющие находятся из урав-
нений равновесия внутренних и внешних усилий (сил и момен-
тов), действующих на одну из частей рассеченного стержня или
стержневой системы (обычно на ту, где проекции и моменты вы-
числяются проще).
Поскольку методы расчета балок и рам достаточно полно
излагаются в курсе сопротивления материалов, остановимся на
особенностях расчета ферм. Основными неизвестными здесь яв-
ляются усилия в стержнях N, которые постоянны по длине соот-
ветствующих стержней. Неизвестные усилия будем направлять
от узла, считая их растягивающими, и обозначать номерами уз-
лов, которые они соединяют, причем Nt_f = Nj_t (рис. 2.5).
Прн составлении уравнений равновесия обычно стараются при-
менять такие методы, которые избавляют от решения системы
совместных алгебраических уравнений. Рассмотрим простейшие ’
методы определения усилий в статически определимых фермах.
2.2.2* Метод вырезания узлов
Согласно этому методу мысленно вырезается узел,
к нему прикладываются внешние силы (если они действуют на
рассматриваемый узел), усилия — реакции в разрезанных стерж
58

Н* и составляются уравнения равновесия. В связи с тем, что для
[ кого узла можно приравнять нулю суммы проекций на две,
| tr и пространственного — на три оси, для плоских ферм таких
! ф pin нений будет 2У, а для пространственных —ЗУ. Используя
(I можно найти усилия во всех стержнях, в том числе и в опор-
; «ыК. Порядок составления уравнений целесообразно выбирать
Vhhm образом, чтобы они разделялись на взаимно независимые
(немы. При этом расчет плоской фермы целесообразно начинать
I и урезания узла, в котором сходятся два стержня, а простран-
Ф1».гнной —• с узла, в котором сходятся трн стержня (если такие
, пт имеются в системе).
Например, для фермы, показанной на рис. 2.5, расчет следует
починать с вырезания узла 4. Тогда из условия Sx = О следует
V, ( « 0, а нз Ху = О ЛГ4_8 = 0. Затем переходим к узлу 3 (Ху =
 0	У3_5 = — 2х = 0 -► Л'з.г = Р), далее последова-
••4i.no к узлам 5, 2, 1 и 6. Для фермы, показанной на
рн< 2.2, рассматривая узел 2, находим N2-4 = —Pi» пере-
|ВАпм к узлу 4, затем последовательно к узлам 7, <3, 2, Д 6
Недостатком метода вырезания узлов является зависимость
(•ееультатов последующих вычислений от результатов предыду-
щих и, как следствие, при достаточно большой вычислительной
Ципи накопление погрешностей.
2.2.3.	Метод моментных точек (для плоских ферм)
и моментных осей (для пространственных)
При использовании этого метода для определения неиз-
»««1ных усилий записываются уравнения равновесия моментов
Кггченной части фермы относительно точек и осей, которые
< убираются так, чтобы в каждое уравнение входило минимальное
Пиело неизвестных. Например, при определении усилия
(см рис. 2.5) рассматривается уравнение моментов относительно
Брл 2, а при нахождении — относительно узла 6 для части
Б’мы, лежащей справа от сечения т—т. Если два из стержней,
1ПН1.1ПШИХ в сечение, параллельны, вместо уравнения моментов
•1бцчно используется уравнение проекций. Так, чтобы найти 7V2_e,
можно записать для отсеченной части фермы уравнение проекций
ян ось у, откуда W2-e — —УЗгР.
В статически определимой ферме удаление даже одного стержня
превращает ее в механизм, т. е. расстояние между узлами, ранее
• мн ы иными удаленным стержнем, может свободно изменяться.
\ ;>го значит, что при установке вместо удаленного стержня дру-
IIHо (удлиненного или укороченного) усилий в системе не вознн-
|цгт- Отсюда следует важное свойство: изменение температуры,
• мнцение опор, неточность изготовления и сборки не вызывают
•(плий в стержнях статически определимой фермы.
Б9

2.2.4.	Определение перемещений узлов статически
определимых ферм
Пусть статически определимая ферменная конструхЦ
ция загружена системой сил, приложенных в узлах, и пусть темИ
пература i-ro стержня изменяется на величину //.
Для определения перемещения Л-го узла фермы в заданное
направлении можно воспользоваться теоремой Кастильяно (см
разд. 1.4.4).
Лк = -^.	(2.5|
где Ate — искомое перемещение; Ph— сила, приложенная в k-v
узле по заданному направлению; U — дополнительная потен
циальная энергия.
Если сила в узле, для которого находится перемещение, от-
сутствует, в выражение для U вводится в заданном направлена!
фиктивная сила, принимаемая впоследствии равной нулю, т. е.
<2-&
Для ферменной конструкции, имеющей п стержней, можно за-
писать
(2.6
Здесь It—длина г-го стержня; щ — коэффициент линейного
расширения; Ег — площадь поперечного сечения стержня.
Подставив (2.6) в (2.5), получим
Г=1
Для преобразования формулы (2.7) к окончательному виду запи-
шем усилия Ni в форме Ni = N? + N'lkPk, где N? — усилия
в стержнях от внешней нагрузки; Nik — усилия от силы Pk = I.
Таким образом, dNi/dPk = Nik- Учитывая далее, что сила Pk
фактически к системе не приложена, следует положить Ph — О,
т. е. Ni = N/ и (2.7) принимает вид
= 2-	.	<2-8)
*=1
Таким образом, для определения перемещения узла статически
определимой фермы необходимо найти усилия от внешней нагруз-
ки М. усилия N'ik от единичной нагрузки, приложенной к узлу k
60

I • направлению искомого перемещения. Отметим, что формула
• Н), как следует из вывода теоремы Кастильяно (гл. 1, разд. 1.4.4),
Й1< < уществу, определяет проекцию полного перемещения на
ниправление единичной силы.
2.8. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ
2.3.1.	Определение усилий в стержнях
Рассмотрим статически неопределимую стержневую си-
п*му, для которой по формуле (2.3) имеем, например, W = —т.
М ело т определяет степень статической неопределимости, т. е.
|ило связей, усилия в которых не могут быть определены из
. р.пшений равновесия.
11ерейдем от заданной статически неопределимой фермы к так
ниываемой основной системе, мысленно разрезав т стержней.
1кровная система является, таким образом, статически опреде-
лимой и должна быть геометрически неизменяемой. Отметим, что
ы «бранная основная система может быть и статически неопреде-
лимой. В результате расчета основной системы могут быть найдены
мплия в стержнях от внешних нагрузок (М)о. Например, для
Ьгрмы, показанной на рис. 2.6, a, W = 2У — С = 2-1 — 3 =
-1, т, е. т = 1. Основная система строится, например, путем
। «резания стержня 0—3 (рис. 2.6, б), причем (2Voi)o = Р, (А©о —
I) и, очевидно, (Л'оз)о = 0.
Неизвестные усилия в разрезанных стержнях обозначим через
\|, Х2 ... Хт и в соответствии с принципом независимости дей-
пшя сил запишем суммарные усилия в виде
(2.9)
/=4
। це Ni^ — усилия в стержнях от сил X/ = 1, приложенных к /-му
। п'ржню. В частности, для рассматриваемого примера из рис. 2.6, в
при Xi = 1 получаем Д® = 1,	= —У2, А® = I. Таким
Рис. 2.6. Статически неопределимая стержневая система

61


образом, для определения Nt необходимо найти т усилий XI
С этим обстоятельством и связано название метода (метода сил!
Неизвестные усилия Xs находятся из условий неразрывности
деформаций стержней в местах разрезов. Эти условия могут быте
записаны с помощью принципа наименьшей работы (см. гл. I,1
разд. 1.4.3) и имеют вид
*-и|) (j-l,2,...m).	(2.:0^
Подставляя усилия (2.9) в выражение для V (2.6) и раскрыва!
уравнения (2.10), получим так называемую каноническую систем!
уравнений метода сил
^баЛ + Дал-О (*=> 1. 2...т),	(2.11
п	J
где 6^ ™	з=®
В
(2.12Д
. V Г (Оо*!”'< ,	, 1
= / 11 ——-----------г	•
«=1	I
Здесь т уравнений (2.11) позволяют найти все X/. В левой часпи
k-ro уравнения (2.11) записано взаимное смещение сечений Л-го |
стержня в месте разреза от сил X/ и внешних воздействий. В илу!
того, что в действительности стержень является сплошным, это
смещение, естественно, должно быть равно нулю.
После определения силы Xj из системы (2.11) усилия в стерж-и
нях находятся по формуле (2.9).
В частности, для рассматриваемого примера (температура!
в наклонном стержне изменяется на величину t) (см. рис. 2.6, а)
имеем	J
СцХ] + Д1₽ — О,
где 6ц«•-jjrp8+ !* + (—1^2)' ]	-gj?—o/Rt/Z
Отсюда
+	atEF;
Ou	4’4
Nn - P + X, » A P 4- XL aiEF;
Nn = - /2Х, = XL P - -LalEF-,
Pti *= X, --~ P 4- -UL atEF.

2.3Лв Определение перемещений узлов
Определив силы X/, их можно далее отнести к системе
Mninx нагрузок и воспользоваться формулой (2.8). При этом
I и и следует принять — Ni, где Nt определяются равенст-
Lui (2.9), а единичную силу Ph = 1 прикладывать в основной,
bin чески определимой системе, т. е. Ж = (Жь)о- Следова-
К|.но,
п
- У, [	+ ГО» «м! •	(2-13)
*•«1 u
11 ищем смещение Ао узла 0 системы, показанной на рис. 2.6, а
Ь п «правлению 0—2. Из рис. 2.6» г и формулы (2.13) имеем
(ЖЪ ==№)<>== О, (ЖЪ-h
Д, == (4^- + аН?) I =	+ 4-0//?.
2,3.3* Некоторые обобщения
Порядок расчета ферм методом енл можно легко обоб-
Ьнь на расчет любых стержневых систем. Пусть в поперечных
Kir пнях стержней системы действуют силы и моменты Ж, Qy,
К* Мх, Му, Mz (рис. 2.7). Учитывая, что работа каждой из этих
Ндобщенных сил на соответствующем обобщенном перемещении,
•н’наином остальными силами, равна нулю, можно получить
следующее выражение для дополнительной потенциальной знер-
II f I N* ।	, <?“	М2и М2 \
(2.14)
Х.ксь интегралы берутся по длине элементов, а суммирование
производится по всем элементам системы: Е, G — модуль упру-
км гм и модуль сдвига; F, 1у, /ж,
/И|, -площадь, моменты инерции
•ыОеречного сечения при изгибе
и кручении; ky, kz—коэффицнен-
iij, характеризующие форму се-
мг ин я, например
। u* Sz — статический момент от-
• гчипной части сечения; Ьг —
1> 11мер поперечного сечения по
Рис. 2.7. Силовые факторы, дей-
ствующие в сечении стержня
63

координате г. В частности, для прямоугольного сечения k •'
= 1,2; для круглого — k — 32/27. Заметим, что выражение (2.Н
справедливо также и для криволинейных стержней малой кр»
визны. Для раскрытия статической неопределенности систем
т. е. для нахождения обобщенных усилий Хи Xs,... Хт в лишня
связях, как и в случае ферменной конструкции, используем уст»
вия (2.10). Предварительно по аналогии с (2.9) запишем выраиэ»
ния для сил и моментов в произвольном сечении элементов си
стемы
m
/=1
<2,-(<£)»+2<4ПХ/.	(2.18
/=«
л^(Оо+Е м<пх„
где {Nx)o и т* Д- —силовые факторы, возникающие в основной
системе от внешних нагрузок; NjP и т. д. — силовые факторы И
единичных сил X/ = 1.
Теперь условия (2.10) с учетом (2.14) и (2.15) можно записать
в виде системы канонических уравнений метода сил (2.11). При
этом коэффициенты этих уравнений вычисляются по формулам
®М == б,» = / , J	—сё-----И К —др-----h
\
+ С/Яр +' ЁГУ 1 /Л / dX'
(2.16)
Обычно для ферм учитываются только осевые силы Nx, а для
рам и балок влиянием осевых и поперечных сил пренебрегаю*
и учитывают моменты, так что выражения (2.16) упрощаются,
Коэффициенты канонических уравнений имеющие оди-
наковые индексы, называются главными, они всегда положи!
тельны. Коэффициенты с неодинаковыми индексами называ-
ются побочными и могут быть положительными, отрицательным!]
или равными нулю.
В тех случаях, когда кроме внешних нагрузок необходимо
учесть температурное воздействие, в свободные члены системы до-
бавляются температурные слагаемые. Пусть, например, t — прира-
щение температуры на оси стержня, г — разность приращений
64

миератур у крайних волокон поперечного сечения с высотой h
•о оси у (см. рис. 2.7). Тогда
+ У’ J pl‘»«x/ + -dx.	(2.17)
Перемещения определяются по формуле, обобщающей (2.13), т. е.
Л ” luj [	+	•   + М^)о ]^ +
/=»1
+ [(Ледов* +	] dx.
i=l е
где (N‘Xk)0 и т. д. — силовые факторы, возникающие в элементах
in нов ной системы от силы Ph = 1, приложенной в точке k, где
ищется перемещение в заданном направлении.
2.3.4.	Использование симметрии при расчете рам
При расчете симметричных рам можно ввести некото-
рые упрощения, особенно, если нагрузка симметрична или обрат-
ц<симметрична. Так, например, рама, показанная на рис. 2.8,
Илляется системой трижды статически неопределимой. Однако,
 чи при выборе основной системы осуществить вертикальный
Ьзрез, в нем (в силу симметрии нагрузки) будут лишь симметрич-
ные силовые факторы — изгибающий момент Л, и продольная
• ила а обратносимметричный фактор — перерезывающая
। ила Х3 = 0. При горизонтальном разрезе (в силу обратной сим-
»1с।рии нагрузки) присутствует лишь Х3, а	= 0. В связи
Ь угим в общем случае можно любую нагрузку разложить на сим-
метричную и обратносимметричную составляющие и вместо одной
< пстемы уравнений с полным числом неизвестных рассматривать две
независимые системы, причем одна содержит только симметричные
неизвестные, а другая —только обратноенмметричные (рис. 2.9).
Ряс. 2,8. К использованию симметрии при расчете рам
И. Ф. Об₽88Ц©В И др.
65


Рис. 2.9. Расположение нагрузки на симме-
тричную и обратносимметричиую составляю-
щие
Рис. 2.10. К расчету комбнш
рованиой стержневой систем
2.3.5.	Пример расчета комбинированной системы
Рассмотрим однажды статически неопределимую комби!
нированную систему (Двухопорная балка с подкрепляющими
стержнями), показанную на рис. 2.10.
Пусть жесткость балки на изгиб £7, жесткость стержней на
растяжение—сжатие EF. Из рассмотрения геометрии системы
найдем длину стержней: loc ~ a tg р, l0A = l0B = a/cos 0
В качестве основной системы выберем систему с разрезанным'
вертикальным стержнем. Тогда из рассмотрения равновесия
узла О получим NOc ~ Xi ~ 1» Мол «= Nob = —1/2 sin 0.
В соответствии с (2.16) коэффициенты системы (2.11) имеют внд
611	= ~EF (tg₽ +	) + 'згГ = ~ЗЁГ'
л- - Ра’
“1Р ~ ЗЕ1 ’
A —	2 sin2 p cos ₽ ‘
p
I	В результате находим = —Ацр/бц = —1~4.jp Дальнейший
расчет двухопорной балки, нагруженной в точке С силой Р + Хъ
I	и системы двух стержней АО и ОВ, нагруженной в точке О си-
|	лой Хъ не представляет затруднений.
I	2.4. РАСЧЕТ ШПАНГОУТОВ
I
2.4.1. Определение усилий при нагружении
।	в плоскости шпангоута
|	Применим метод сил к расчету часто встречающихся
в конструкциях летательных аппаратов кольцевых рам (шпан-
гоутов) постоянного сечения. Будем считать кольцо сравнительно
тонким, т. е. имеющим высоту поперечного сечения не более
I	1/5 радиуса; контур кольца отождествляем с линией центров
|	тяжести сеченнй (111.
I	66
I
I
I
I ________________________________________________________________

| • ». 2.11, К расчету круго-
вого кольца
I [усть кольцо радиу-
I А’ нагружено в своей
ьФмкости системой ра-
щпльных сил Pi (i —
П 1.2,..., п), касатель-
|ц 1 д сил Tj а —
Ь I, 2, ..., т) и момен-
К< ,Wft (k = 1, 2, Z,
। пшмно уравновешены,
S Pi cos <р, — X Tf sin <fj = 0,
1 1
SPiSintpi-f- YiTjcosq>j = 0,	(2.18)
i	i
tn	I
ЦТ;Р+ %Мк = 0.
1	1
рис. 2.11, а), при этом все нагрузки
т. е.
m
Кольцевая рама трижды статически неопределима. За основные
неизвестные примем Хг (изгибающий момент), Х2 (продольную
• илу) и Х3 (перерезывающую силу), действующие в сечении <р = 0
(| м. рис. 2.11. б). Тогда изгибающий момент в сечении <р выразится
||| »рмулой
M(<p) = Mf 4- Е МГХГ,	(2.19)
|цс М£ — момент от внешних сил в основной системе (разрезан-
ном кольце); AZj == 1, Л12 = Я (1 — cos ср), Л18 = Я sin ср — мо-
Ьгпты от единичных сил Xt = 1, Х2 = 1, Х3 = 1 соответственно.
Ь Система канонических уравнений (2.11) после сокращения на
Постоянный множитель R/EI имеет вид (учитываются только
и и и бающие моменты)
4- 612Ха 4- Д1Р = 0»
4~ 622X2 Т- Д3р = 0,
633X3 4~ Дзр —
2л	2Я
где 6ц = f М] = 2л,	612 = 62» = J ЛЬЛЬ dy = 2лР,
о	о
231	2л
622= f Mfd<p = 3jJ?2,	633= f Mldy^aP2,
а	о
67

— 2 J ЛЯП — cos(4> — <Р;)1 Л4,Ар — 2	J	I
i~i 9$	k^i	
(r « I» 2, 3).
В коэффициентах ДгР предел интегрирования выбирается с уче*
том того, что в разрезанном кольце момент М$ = 0 при ф •< <j^ I
н ф > гоахфх — /» /, /г)-	I
Выполнив интегрирование и разрешив систему канонических
уравнений относительно неизвестных сил Хг, придем с учета
равенств (2.18) к следующим выражениям:
-^1= £j t^Xip (^i) + 2j (<P/) 4- J] ^лХш (ф»)»
(=1
X2 = Л%яр (<Pi) + У, TfeT (ф>) + Ъм (Фл),
X» — У ЛХзр (<Р«)	У Тffar (Ф/) 4“ У ~7У” Хелт (фл)° $-20)
l=l	j=l	A=J
Здесь
%ip(4’)=-gr(l+4>slnq>), Хер (ф) = - —,
Хаг(ф) = — -*г-^ <|' ; Xir (ф) = (ф cos ф — ф - sin ф), I
Xsr (ф) = 4г (sin <р — <pcos <p), xs/ (ф) = -gT (ф s»« Ф + cos q>);
Ли (ф) = - (ф + 2 sin Ф),	Xsw (ф) =4- sin ф,
Х»м(Ф)”~ С°5ф.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример I. Шпангоут нагружен тремя симметрично расположенными ра
диальными силами Р (рис. 2.12, о). Совмещая начало отсчета последовательно
с точками А, В, С и учитывая, что (О) --- М2 (О) = Ма (0) = 0, имеем |
Мл = - РК f Up (О) + Х1Р (120°) + Xia (2W°)] “
= — PR (0,1S916 + 0,44783 — 0,41819) = — О, IB9PR;
Мв = - PR (у,,, (60°) + Up (180°) + up (200°)] =
= — PR (0,30349 + 0,10916 — 0,66253) = O.IOOP)?;
Me = - PR Iup (90°) + Up (210°) + xlP (330°)] =
= — PR (0,40916 — 0,13251 — 0,29918) = 0.0225W?.
Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 2.12, б.

Рис. 2.12. Пример расчета кольца (а — схема на-
гружения, б — эпюра изгибающих моментов)
Пример 2. На шпангоут (рис. 2.13, а) действует сосредоточенная сила Р
р
уравновешивающий ее поток касательных усилий q = -^-sinct. Чтобы Полу-
нин выражение изгибающего момента М. (а), возьмем произвольное сечение
i»i углом а к вертикали и будем отсчитывать <р от этого сечения. На кольцо
Ксгвует сила Р. расположенная под углом (2л—а) относительно точки А,
 । жже распределенная нагрузка q, которую можно представить как бесчислен-
множество касательных сил qp dtp = —- sin (a -f- <р) dtp. Тогда в соответ-
VIнии с первым уравнением (2.20)
2л
f Р
МА = М (а) = PPXip (2л — а) 4- J ~ sin (а 4- <р) J?Xir (<₽) dq> =“
о
2л
~ ~^л~ [ 1 + (2эт ~~ а) sin(2jt - а) +	| sin (а + ф) (ф cos Ф ~
о
— sin<p — q>) dtp J —	1 -j- —- cos а 4~ asin а — Jtsinct^.	(2.21)
I »июда, например, Мв — М (0) —	~ 0.239Р/?, Me = М (180°) =	—
0,08РР. Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 2.13, б.
Рис. 2.13. Схема нагружения (а) и эпюра изгиба-
ющих моментов (б) шпангоута
69

Продольные и перерезывающие силы в сечениях шпангоута находятся i
зависимостей, аналогичных (2.19):
3
Л'(т)=>^0 + S V,”1*' 4-Х2cos9 — XgSla<р;
fx=l
3
Q (ф) — Qq + £• Q,Xf = Qf 4- X2 stn <₽ 4- X3cos <p.
r<=-l
Здесь и Q$ — осевое усилие и перерезывающая сила от внешней нагруа!
в основной системе (см. рис. 2.11, б)г a Xtt Xs определяются равенствами (2.2
2,4.2, Определение перемещений шпангоута
Взаимное смещение точек шпангоута может быть
как и ранее, найдено с помощью теоремы Кастильяно, однако н>
практике часто необходимо иметь более общее решение, опред
ляющее распределение функции перемещений по контуру шпан
гоута. Это распределение может быть получено в результате нитей
рировання уравнений упругой линии шпангоута. Пусть суммар
ное перемещение точки А в положение А' определяется проейй
циями и, w или Д₽, Дж (рис. 2.14), которые связаны следующи
образом:
Дг — sin ф 4- о соз ф,	(2.22),
Дв == w cos ф 4- v sin ф.	I
В деформированном состоянии точка с полярными координатам!
г = R и ф будет иметь координаты гх = К 4 пу, Фх — Ф 4“ v/R
Удлинение оси шпангоута и изменение ее кривизны имеют вид
в =
Х Ri R '
Учитывая, что ds ~ Rdq>, ds^ =s Гускрг при малых перемещениях
из первого равенства (2.23) получим
<2-24’
Кривизна оси шпангоута после деформации в полярных коорди
патах определяется известным равенством
Рис. 2.14. К определению
перемещений кругового
кольца
I _ '?4-2(гу-г,г;
('? + (№ ’
где ri	Для малых перемеще-
ний окончательно получим
("$-+“)• (2-4
При расчете шпангоутов обычно пред-
полагается, что ось является нерастя-
70

Ний, т. е. е = 0, а изменение кривизны х связано с изгнбаю-
Khm моментом соотношением М = Е1к. Таким образом, из ра-
Врт гв (2.24), (2.25) имеем
< + <» = 0.	(2.26)
+ № =	(2.27)
|||> кильку зависимость М (<р) известна из статического расчета,
|ty. шн-ние (2.27) позволяет найти w в виде
w = Ci sin <р 4- С2 cos ф 4- w*,	(2.28)
I w* — частное решение, соответствующее заданному моменту
V («|»). Перемещение v определяется из уравнения (2.26)
v = Сг cos ф — с2 sin ф — [ w* dip + Са.	(2.29)
Пипдем горизонтальную и вертикальную проекции перемещений.
Hi формул (2.22), (2.28), (2.29) имеем
Дг = Cj 4- Са cos ф — cos ф J w* dip + ЬУ* sin ф,
(2.30)
Дв = С2 — С8 sin ф - |- sin ф [ w* dip --f- w* cos ф.
И> равенств (2.29), (2.30) следует, что постоянные Сх, С2, С8 соот-
Ьгствуют смещениям шпангоута как твердого тела — горизон-
। мп.ному, вертикальному и повороту относительно центра. Они
»1лжны быть определены из условий закрепления шпангоута.
Рассмотрим, например, шпангоут, показанный на рис. 2.13, а.
1’пгнределение изгибающего момента определяется в этом случае
I iiicHCTBOM (2.21) при а = ф, а частное решение имеет вид
ta* = -™r(^-cos<p —-^-sln<p —	1).	(2.31)
lhK-тоянные Сх и С8 найдем нз условий симметрии: при <р = 0,
0 и dxvldsp = 0. Постоянную С2, определяющую вертнкаль-
ци»? смещение, определим из интегрального условия
л
J о) cos ФЙф = 0.
В результате получим
Г	г _ ррз ( 1(2	3 \ г — рр*
С1~“4£Г*	2л£/ \ 6	S"/’	2£/
71

и согласно равенствам (2.28), (2.29), (2.31)
ррв Г 1
W=~^ET [-2“ ("-<₽) Sin ф- 1 +
+444—г-^+гг) cos<p]’
v = _	4- ~ «"К1 - cos<₽) + Ц- (4~ ~
— 4~ — яф + 4~) stn<p].
2.4.3. О расчете шпангоутов, нагруженных
перпендикулярно их плоскости
Расчет колец, нагруженных силами, перпендикуляр-
ными их плоскости, проводится аналогично предыдущему. В об
щем случае в сечениях шпангоута действуют изгибающий н кру«»1
тящий моменты, а также перерезывающая сила. Чтобы раскрыть!
статическую неопределимость, разрежем кольцо по плоскосп
<р ~ 0 и приложим неизвестные изгибающий момент Хл, крутя
щий момент Х5 и поперечную силу Х6.
По аналогии с равенством (2.19) имеем
м (ф) = < + S МГХ„
л=4
(2.32)1
Ж(Ф) = те£+ S ж,х„
где , SKf — изгибающий и крутящий моменты в разрезан-
ном кольце от внешних нагрузок; MrWlT — моменты от единич-
ных силовых факторов Хг. В отличие от нагружения кольца
в плоскости в данном случае коэффициенты канонических ураЛ
неннй будут содержать по два члена, учитывающих изгиб н кру-
чение кольца. В результате получаются формулы для определе-1
ния Х4, Х6, Хо, по структуре аналогичные (2.20). Разно-
образные методы расчета и формулы для определения усилий и
перемещений в шпангоутах постоянной и переменной жесткости
приводятся в справочной литературе [26 L
2.Б. РАСЧЕТ ПЛОСКИХ РАМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ I
2.5.2» Определение числа неизвестных
При расчете плоских статически неопределимых рам
наряду с методом сил часто применяется метод перемещений,!
особенно эффективный для сложных систем с большим числом
лишних связей и малой подвижностью узлов [27, 33].
72

Рис. 2.15. Закрепленная рама (о) и ее шарнирная
схема (б)
Прежде чем приступить к расчету по методу перемещений,
•. юдимо установить степень кинематической неопределимости ti.
। понятие в отличие от понятия степени статической неопреде-
мости достаточно условно и зависит от принятой расчетной
имы, от степени точности определения перемещений и даже от
Кушчия вспомогательных материалов (набора формул и таблиц),
t. шла вливающих зависимость усилий от перемещений узлов
Ьимы Например, при наличии в системе криволинейного стержня,
I . которого в расчетной схеме заменяется ломаной, п зависит
hi числа участков этой ломаной.
Ьудем рассматривать рамы с прямолинейными элементами и
пренебрегать деформациями, вызванными продольными силами.
I [прядок определения числа п, т. е. количества неизвестных
ища перемещений, зависит от вида рассматриваемой рамы, и,
| частности, от того, какие перемещения допускают узлы рамы,
il рамах первого типа узлы допускают только поворот. Пример
Викой рамы, когда каждый узел прикрепляется последовательно
я двум другим узлам двумя стержнями, не лежащими на одной
примой, показан на рнс. 2.15, а. Линейные смещения узлов здесь
1 утствуют, так как стержни — нерастяжимые, а система узлов
Бйразует жесткие треугольники 0—1—3 и 7—2—4. Если рассмат-
риваемой раме поставить в соответствие так называемую шарнир-
ную схему, когда все жесткие узлы рамы, в том числе опорные,
•пменяются шарнирными (см. рис. 2.15, б), то такая схема будет
неметрически неизменяемой (W = 2 2 — 4 = 0).
Расчет таких рам особенно прост — за неизвестные прини-
м/иотся углы поворота жестких свободных узлов (в примере
и ф2, т. е. п ~ 2).
Рама второго типа, узлы которой допускают линейные сме-
шения, показана на рис. 2.16, с; ее шарнирная схема (см.
рис. 2.16, б) будет геометрически изменяемой (W = 2-2 — 3 = I).
Поскольку стержень 1—2 принимается нерастяжимым, смещения
у «лов 1 и 2 должны быть одинаковыми (1—Г = 2-—2' — А). За
неизвестные в этом случае принимаются как углы поворота
жестких узлов фа, так и линейное смещение А, т. е. п —
73

Рис. 2.16. Рама с линейным смещением узлов (а) и ее
шарнирная схема (6)
Таким образом, в общем случае степень кинематической нео<
ределимости находится по формуле	|
п — Пу • пд,	(2. 3-я
где — число свободных рамных узлов; пд — W — число ст*
пеней свободы соответствующей шарнирной схемы данной рамь |
2.5.2.	Основная система и канонические уравнения 
После установления степени кинематической неопре-
делимости п образуем основную систему рамы путем наложен!»
на ее узлы связей, препятствующих упругим перемещениям узло
(угловым и линейным). В соответствии с неизвестными эти связан
будут двух видов: защемление—связь, препятствующая угло
вому перемещению, и жесткий опорный стержень—связь, препят |
ствующая линейному смещению (рис. 2.17). Очевидно, что обще
число введенных связей должно быть равно числу неизвестных,
Неизвестные определяются из системы канонических уравнения
метода перемещений, которые имеют вид
£	+ Rkp = о (k = 1, 2... л).	(2.34)
где Zj — неизвестные перемещения узлов (угловые или линейЯ
ные); rhJ — реактивное усилие (момент или сила), возникающее
в связи k от единичного смещения в связи /; RkP—реактивном
усилие в связи k от внешней нагрузки.
Заметим, что, как и в методе сил, побочные коэффициент»
обладают свойством взаимности, т. е. = rJk. Уравнения (2.34)
защемление являются статическими и выражают ра-М
>к/ венство нулю общего реактивного усилия во
" R—	введенной связи.
Жесткий 1	п	.
стержень	Иис- Связи» препятствующие упругим перем -
щениям узлов рамы
74

2.5.3.	Определение коэффициентов канонических
уравнений
При определении коэффициентов rki и свободных чле-
|рС1 /\Лр уравнений (2.34) используют величины усилий, возни-
Крпцнх в статически неопределимых балках, на которые можно
винить рамы, от единичных смещений их узлов и от нагрузки.
таблица Z.1
Схема балки а В<ндейап6ие на нее			Эпюры усилий и реакции	Формулы
А,	.	L	,	(в VT	Мл(	 к IIJ^	7 *	’*« fs,	^А=пв= е _ ₽ _ IZ£I (<А-Вв-
А',	Га 1 '		к	ч-г р-р - ВС! Вл-Вв -
1^4' я % >			„ /ПШЛЬЕа».  К	1*	3-а о _р _ 3EI •'А ''В	^2.
н—-—н		в	'•^ПГПТтт--^ к	«Л=
А \			У„„^ГП^	? !? Л "	"	II “l"1 «Iе <3	Л	е* е*	г»	| М
				
75

Эти усилия в однопролетных балках постоянного сечения д;
различных случаев перемещений концов балки и загружеп||
приводятся в справочной литературе. Некоторые случаи при
ставлены в табл. 2.1.
Процедура определения rhJ и RhP связана с рассмотрен»
уравнений равновесия отдельных узлов рамы, содержащих соа
ветствующие связи, или интегрированием эпюр моментов. Во вт.
ром случае
ад dx" Rkp zLj ел dxi
£ О	£ О
(2.3
Здесь Mi, —моменты от единичных перемещений, пол
ченные в основной системе; (7И?)0 — момент от нагрузки в любя
неизменяемой, в том числе статически определимой системе, обр-
зованной из основной, при обязательном исключении k-й связ
2.5.4.	Пример расчета рамы методом перемещений
Рассмотрим раму, изображенную на рис. 2.18, a, дл
которой п = Нф + Ид — 1 4- 1=2. Образуем основную системе
вводя связи, препятствующие возможным перемещениям Zj и
(см. рис. 2.18, б). Используя табл. 2.1, построим эпюры мом
тов от единичных перемещений по заданным направлениям и Л
нагрузки (рис. 2.19, а, б, в). Система (2.34) имеет вид:
= 0,	(2.36)
f 12^1 4' ^*22^2 ‘I' ^2_Р	9.
Вырежем узел В (см. рис. 2.18) с введенными связями, изобразим
на стержнях этого узла усилия, возникшие от
Рис. 2.18, К расчету рамы методом пе-
ремещений. Схема рамы (а) и ее основ-
ная система (б)
перемещений или
Рис. 2.19. К расчету рамы методом пе-
ремещений:
а — эпюра изгибающих моментов М, «л
поворота связи 1 на единичный угол; б
эпюра М3 от смещения связи 2 на единицу
в — эпюра Мо от внешней нагрузки (см
рис. 2.1В)
76

I 4.20. К определению коэффициентов канонических уравнений методом
перемещений
in инк А нагрузки, и затем из уравнений равновесия найдем
К 1нг1ствующие реакции в связях (рис. 2.20). Например, реак-
|>1и>1лА момент в узле от его поворота на единичный угол (см.
К 2.20, а).
ЗЕ! . ЗЕ! . 4EI ЮЕ!
г“-----i Ь Г ' ~Т~ -----------Г~-
•нгг же результат дает и формула (2.35)
r ~ У f № dxt _ о 1 1 3El 2 ЗЕ/
Ги-“ Z J	1 ~ 2 гГ'г—7Г~7~ +
I
1 ( 4Е1 2 , 2 4Е! t 2£/ 1,2 2Е1 ЮГ/
' 2EI \ I 3 1 3 I h I 3	3 I ~ I ’
Ани логично реактивный момент в узле от его единичного линей-
ши о перемещения (см. рис. 20.20, б).
г __	6Г7 . ЗЕ! _ ЗЕ!
"Г р — ' р -
1Ь активное усилие в узле от его единичного поворота (см. табл. 2.1
В рис. 2.20, в).
6EI ЗЕ! ЗЕ!
Г21 _ —	_|----- - ...	— Г1г.
I»Активное усилие в узле от его единичного перемещения (см.
!»>< 2.20, г)
12/7 ЗЕ! _ 15Г/
' /Ч	/3
Мрктивные момент и усилие в узле от внешней нагрузки (см.
1-иг 2.20. д)
=	я,Р = о.
1'гшая систему (2.36), находим
7 - 5 gf8 7 - 1
1	376 EI ’	~ 376 EI *
77

Величины изгибающих моментов по участкам рамы определяю]
согласно принципу независимости действия силовых факторов, т<
Л! =	+
2.6. МАТРИЧНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТЕРЖНЕВЫХ
СИСТЕМ
2.6.1в Идеализированная расчетная схема
Расчет сложных стержневых систем с большим шслЛ
элементов связан со значительными вычислительными трудиЖ
стямн, преодолеть которые позволяют лишь электронные вычи
лительные машины (ЭВМ). Появление и развитие ЭВМ существен®
изменило саму форму расчетов, б частности, получила интенсЛI
ное развитие матричная форма записи исходных уравнений к ~
одна из наиболее приспособленных к использованию машин
При этом независимо от степени сложности рассчитываемой код
струкцин все расчетные операции метода сил или метода пер*
мещений изображаются аппаратом матричного исчисления в коЯ
пактном и легко обозримом виде.
Использование матриц в статике стержневых систем пред™
лагает разделение системы на отдельные элементы с дискретным
сочленением их между собой (места сочленения будем называв
узлами). Для ферменной конструкции элементом обычно служив
стержень между узлами. Для рам построение идеализированная
расчетной схемы осуществляется путем замены криволинейной oct
стержня вписанной ломаной с минимально допустимым чнслЯ
участков (элементов). Если поперечное сечение стержня вдоль ею
оси изменяется, стержень разбивается на участки с различной
жесткостью. Распределенная нагрузка чаще всего (но не обяза*
тельно) представляется в виде сосредоточенных сил, эквивалент
ных действительной нагрузке. В общем случае стремятся к тому,
чтобы вершины ломаной совпадали с местами ступенчатого изм*
точками приложения сосредоточенны!
сил, заменяющих распределенную
нагрузку.
х Таким образомя вся стержневЯ
система представляется состоящей и»
отдельных элементов призмати«Я
ской формы. Выделяя мысленно та
кой элемент (длиной Ц) кз конструв
цин, например плоской рамы, заме
ннм действие на него отброшенный
частей соответствующими силовыми
факторами Mt, Qit	на одном торце,
0м<	— на другом
(рис. 2.21). Кроме того, введем еле.
78

Ь>|цпс обозначения: — площадь поперечного сечения £-го
мп ,11 и id; It — момент инерции сечения относительно главной
ц, ht — коэффициент формы сечения; Eit Gt — модули упру-
Мн элемента; h — число элементов в стержневой системе.
I л- ши эти предварительные замечания, перейдем к рассмотре-
-I Н1КИХ классических алгоритмов, как метод сил и метод пере-
v ин ннй, используя матричную форму 130].
2.6.2. Метод сил в матричной форме
Рассмотрим /n-раз статически неопределимую стержне-
ft) ю систему, загруженную системой сил Р (Р1г Р% — Рп).
I Канонические уравнения метода сил (2.11) для такой системы
уписываются в матричном виде следующим образом:
DX = - dp.	(2.37)
л = |1М =
6ц 622 •  • 61m
621 622 . • • 62m
6ml 6т2 . . .
квадратная матрица коэффициентов при неизвестных;
dp — {Дьр} —
Д1Р
Д2р
&тР
матрица-столбец (вектор) свободных членов;
Х={Х,} =
Xi
Ха
вектор неизвестных (усилий в лишних связях).
Заметим, что вектор dP можно представить также в виде
= dPP, где dP= {Акр}, если внешнюю нагрузку изобразить
лк произведение некоторой единичной нагрузки на величину
/' (Д1р, Д2р, • •-, ДП1р — свободные члены канонических урав-
iiriiий, соответствующие единичной внешней нагрузке, причем
Л|1Р = &.крР).
Поэтому (2.37) можно переписать так:
DX = dpP.
(2.38)
79

COOTI
Если стержневая система рассчитывается на /'-различных ком(
наций нагрузок, коэффициенты (т. е. матрица £>) остакэт
неизменными, тогда как каждой комбинации нагрузок
ствуют свои свободные члены и свои неизвестные.
В этом случае имеем r-уравненнй вида (2.38)


PX,3> = -dF>/’<'’.
Эту систему уравнений можно представить в виде одного уран,
нения
М = - Др = - DPPt	(2.40
которое по внешнему виду совпадает с (2.37) или (2.38), но под Л
и DP или Dp понимаются уже не векторы, а матрицы с разив
рами тХг:
х!11 х!2)... х!'1
v(D у(2) у(г)
Ag Ag • • • Ag
DP =
A$ ... Aj?
Ag? Ag? ... Ag?
у(«) у(2) у (г)
A^AS.-.AS
Что касается матрицы нагрузок Р, то она представляется в видг
вектора
Р-
/><»
/>(2)
р(г)
если неизвестные находятся при одновременном действии всея
г-комбинаций нагрузок, или диагональной матрицы
Р =
/>{’) О ...О
О ... о
0 0	...
если неизвестные определяются при действии каждой из г-комби
наций нагрузок.
80

t’hnipoc о составлении матриц D и DP рассмотрим иа примере
i- ной рамы. Для такой рамы перемещения 8kj и Ддр запи-
 ген в соответствии с (2.16) так:
Г. _	+
I «м- ft 2u J L Elh + 1 °lh Eift J ax"
i==l 0
i^l 0
I u> м¥\ QV\ N;f) —силовые факторы в основной системе, вы-
ПВппые 1; (Mf)0, (Q?)o, (Wf)o —силовые факторы в основ-
ш системе, вызванные единичной внешней нагрузкой.
При принятом способе разбиения рамы на элементы эпюры
| юдольных N и поперечных сил Q в пределах элемента — по-
ишы, а эпюра изгибающих моментов М изменяется по линей-
► му закону (см. рис. 2.21). Поэтому, используя правило Вере-
<11 и in а, получим
* f	дл</г)	1 1
, ,,. -i- (2м?’> + М’1) ч—(мИ> + 2М&) -^7- +
я
wp’A'Pz,-!
+ kr ’ой".....+ ’	..Т
| ритывая зависимость Mi+1 = Жг Ч- Qdi, вытекающую из урав-
нения равновесия элемента, будем иметь:
I л,.; = £ [ Л1!и -i- м(/> 4- мГ Q!-'1 + ЙЛ) 2^77 Л1!Л +
+ (417 + ki -^г} +	' (2 42)
1Ь выражения (2.42) можно заметить, что и и можно на-
писать так:

h
= ^bitkFibiq,
- ь _
&kp — X b\ikFibpir
/=1
(2.43)
II
где buh = Qi41
|| М*1
— вектор усилий в
лишней неизвестной
i-м сечении, возникающих от воздействия
Xh = 1;
— вектор усилий в £-ом сечении от единичной внешней нагрузки
— .матрица податливости Z-го элемента системы.
Знак «'» в (2.43) означает транспонирование, т. е. замену
строк матрицы столбцами.
3 различных частных случаях внд blik, bPi, Ft оказываете
различным. Например, для статически неопределимой фермы
&!«=<>. &₽г = (77Г)о. Л =
для плоской рамы, когда не учитывается влияние на перемещение
продольных деформаций и сдвигов,
В самом общем случае для элемента пространственной рамы, ось
которого совпадает с осью х, имеем
&. = ||(йй)о (Qfjo «,) (Юо (Л^()о (ВД0||,
82

I t.'ri
г1(та+‘-тяг) »	°	" °
11 ° ° 0
"	°	-2ГГ- (srr~+ k“~bT~l °	0
2Ег7&1 \ SEtlyt л Gift /
10	0	0	0	-±-	0
cil I
о о 0	°	0 g£
nt [)ь запишем (2.43)
6/г/ = ||&ПЛ&12Й • • •
в следующей форме:
b\hk || •
О 0 II Ь1Г}
Fa О 1^12/
О Fh bihj
= buFbih
(2.44)
О
О
= bikFbpt,
I buk
bihk
вектор усилий во всех расчетных сечениях основной системы
и лишней неизвестной Хк ~ I;
bpii
ЬР21
\bpht
вектор усилий от единичной g-й внешней нагрузки;
матрица податливости всех элементов, рассматриваемых само-
|' юятельно, т. е. не связанных менаду собой.
83

И, наконец, искомые матрицы D и
запишутся так:
b'uFbu bi\Fbiz
b’\zFbn b'w.Fbu
b'lmFbn b'lmFbi2
Dr на основании (2 54<
b'llFbim
b'iiFbim
b’\mFbm
Iй" I
= '«, И bvF, ... F,,. J — B'FBi,	I
«mil
DP = BiFBp,	(2.«|
где By —1| &11&12 ... Bp ~ || bpibpb ... bpr ||	I
— матрица усилий во всех расчетных сечениях соответственно от
всех единичных лишних неизвестных и от всех единичных влей
них нагрузок.
Вернувшись к уравнению (2.40), решим его относительно Л
и с учетом (2.45) получим:
X = - D 'DpP = - (В[ВВ^ WFBp) Р. (2.46|
Здесь — матрица, обратная D, т. е. ~ DD-1 “ £,
где
II 0... 0
£= 01..-0
0 0... 1
— единичная матрица.
Итак, мы нашли значения лишних неизвестных X. Прежде
чем определить полные усилия во всех сечениях, обратим вни-1
мание иа следующее. В матрицах Вг и В? в (2.45) сохранены
только те усилия, которым соответствуют перемещения, возни-
кающие при учитываемых в расчете видах деформаций. Для шюс-1
кой рамы» например в матрицы и Вг, могут входить только
Q и М, a N не входить, поскольку при раскрытии статическом
неопределимости продольные усилия не играют существенной
роли (удельный вес членов, содержащих в ёйу невелик).
Вместе с тем в расчетах кроме М н Q необходимо знать также н N„
Вот почему наряду с В& должны быть введены в рассмотрения
также матрицы Bf и Вр, в которых представлены все усилия,]
а не только учитывающиеся при раскрытии статической неопре-
делимости.
Совершенно очевидно, что когда при раскрытии статической
неопределимости учитываются все усилия, Bi = Вр = Вр.
84

11i i jic сделанного замечания матрицу усилий во всех сече-
ii рассматриваемой конструкции можно записать так:
(2.47)
I первое слагаемое Вр — ВрР представляет собой усилия
I  пивной системе от внешних нагрузок, а второе В{Х — от
• ших неизвестных.
К развернутом виде (2.47) с учетом (2.46) выглядит следующим
Ж| > шм:
5 = ВР,	(2.48)
М» И Вр — Bi (B'iFBi)~l (B\FBp) — матрица усилий в элемен-
Mfa i н'ржневой системы от единичных внешних сил.
Для определения перемещений воспользуемся формулой (2.17),
М| йрая применительно к рассматриваемому случаю плоской
I i<i имеет вид
Д Г ОДО QZ№>	л
= (249)
I и. Mt, Qit N}, — полные усилия в статически неопределимой
.« геме; Qik\ N[k} — усилия в основной системе от обоб-
н«зшой силы Pk = 1, приложенной в узле, для которого нахо-
iifн и перемещение в заданном направлении.
Ио аналогии с (2.44) выражение (2.49) можно представить
• и п де
Afe = bkFS == b'kFBPt	(2.50)
fa г bk — вектор усилий в элементах основной системы от Pk = 1.
Обобщенные перемещения, соответствующие каждой из внеш-
1и к нагрузок, рассматриваемых как обобщенные силы, записы-
•ШО1СЯ в виде:
А = рДхАа ... A Jj = BpFBP.	(2.51)
При атом матрица имеет порядок г, элемент A;ft столбца Дй пред-
• ывляет собой перемещение, вызванное силой Рк по направле-
iiiiio Pj (&, / = 1, 2 ... г).
Поскольку для любой упругой системы обобщенные переме-
ни ния выражаются через обобщенные внешние нагрузки по
фирмуле
А == F*P,	(2.52)
г nr F* — матрица податливости всей системы, то в результате
«равнения (2.51) и (2.52) находим
F* = BpFB.	(2.53)
85


Порядок квадратной матрицы податливости Г* — г. Матрица /fl
может быть записана также е виде	II
F’ = B'FB.	(2.54,
Действительно,	1
Р" B'pFB . B'FB/. - D'pD~'Dp + D’pD'Dp =
=» 'FBP - {Bp - РР£Г'В\) FiidF'Dp =
= B'F{BP - BiD~lDP) = B'FB.
Кроме того, запишем две очевидные формулы	I
Д = BpV.	(2.55)
V — FS = FBP,	(2.56)
где V — матрица относительных перемещений по концам элемен-
тов (матрица деформаций).
Таким образом, чтобы найти усилия и перемещения в стержне-
вой системе при использовании метода сил, нужно составить
четыре исходные матрицы:
А* ($1) — размерности	X т (kh X т),
В*р(Вр) — размерности	X г (kh X г),
Г — квадратная матрица kh X kh,
Р — размерности г X 1 или г X г.
Напомним, что здесь X — число усилий в одном расчетном
сечении, учитываемых при раскрытии статической неопредели-
мости; Л* — полное число усилий в одном расчетном сечении;
т — степень статической неопределимости; h — число элемен
тов; г — число независимых комбинаций нагрузок.
Матрицы Bi (&р) либо совпадают с Bi (Вр), либо легко полу»
чаются из них путем вычеркивания тех строк, в которых записаны
усилия, не учитываемые при
раскрытии статической не
определимости.
Рис. 2.22. К расчету фермы матричным
методом сил:
а — sxexa фермы; б — ее основная система
Пример. Рассмотрим один pal
статически неопределимую фермен-
ную конструкцию, показанную ня
рис. 2.22, а, у которой материал
стержней одинаков и площади по-
перечных сечений fj « /s = 2ft,
Основная система и лишнее
неизвестное X (усилие в стержней
86

11 .»« чины на рис. 2.22, б. Для рассматриваемой фермы исходные матрицы
и кпд:
10,5 0 0 0 01
О 0,5 0 0 о|
О 0 I О ОП, th
О О 0 2 ol <Ь6Х1>
о 0002)
Вр
(1-5X2)
(— 1 о
О 1
о о
/2 О
О О
. соответствует усилиям в стержнях 1 ...5 от X — 1, а Вр— усилиям
нжиях 1 ... 5 от Pi = 1 и Р2 — 1 соответственно.
долее выполняется непрерывная цепь вычислительных операций с матри-
и<> формулам (2.45). (2.46), (2.47), (2.48), (2.52), (2.53):
Л = 6;Г61 = 5-^-, />->=* -ф.,
£-13	5 I
^-RT 2°о| = |-46^ 10
— 1 о
0 1
о о
/2 О
О о
К2~
2	|
/2
2 II 9 К2 I' ~
КГ Г| 20	20 II
2~ I
1 I
I I
-II —1
9	19
9	—1
II } 2 /Г
— 9 КГ К2"
87

S=BP<=
— 10
190
— 10
— 55
45
45
55/2 10J/2"
— 45/2 10/2
Из рассмотрения результирующих матриц S и А следует, например, что усили
в стержне 2 от действия силы Р2 = 200 имеет значение S2 = 190; усили
в стержне 3 при совместном действии = 100 и Р2 — 200 соответствен!
45 — 10 = 35 ит. д.; вертикальное смещение правого узла (по направлению Pg) -«
— А„= 95-^j- и т. д.
2.6.3. Учет температурных воздействий
Расчет статически неопределимых стержневых систем»
на температурные воздействия (а в общем случае на воздействи
начальных деформаций не объединенных в конструкцию элеме!
тов) проводится аналогично расчету при действии нагрузок. ।
Рассматривая в каноническом уравнении метода сил выражу
ние для свободного члена (2.44)
Айр = blkFbPl,
видим, что вектор FbP^ представляет собой деформации отдельны
элементов, возникающих в основной системе при действии внеш-
ней единичной нагрузки. Поэтому при температурных воздей
ствиях нужно лишь заменить FbpiP вектором начальных дефор
маций h, соответствующим заданному приращению температуры
(например, для й-го стержня фермы Лг - A/f — а&Ц).
Тогда матрица свободных членов запишется в виде:
b\.\hi buhz . b'uhr
buhi bfehz • - - bizhr
b'n
D,
- &'2 || й,й2 ... M =	(2.57)
где =
Решая
иметь
bimhi bimhz . • • b[mh,
Й,®
— номер воздействия.
hl
систему канонических уравнений, вместо (2.46) будем
Ь[т
^F*p = -ЁК
X = - (tfi'Ffli)-1
(2.58)
88

i«< кильку усилия в основной системе от температурных воздей-
Мм и равны нулю, получим
5 = В1Х = - ®Г («;гй1)'' В,Н.	(2.59)
«(смещения в некоторых узлах конструкции, вызванные только
« >111 рагурным воздействием, находятся из выражения (2.55)
д = в₽г,
й ЛР — матрица усилий в основной системе от единичных
Круюк, приложенных к тем узлам и в тех направлениях, для
|. |ррых находятся перемещения;
V=FS + H
I матрица полных деформаций.
ь В результате имеем
Д = B‘qH,
L Ло = B'p~ B'pFBi (BiF^i)"1 Bi
(2.60)
(2-61)
Пример. Рассмотрим ферму, показанную на рис. 2.22, а, при Pj = Pa — 0,
* RtitopoH стержень 5 нагревается так, чтойз — «бМб = 1- Найдем усилия в стерж-
ни н перемещения левого узла по горизонтали
dp=•>!»=
К2	f~2	V2
2	2	2
0
0
0
0

S = — b[D'1Dp = —
Г2
2
Г2
2
Г2
2
Eh
ы
Efs
— /2
10 v
— I/S
-1/5
a «= bp (fs+h) = || — loo Кг'оЦ’
— 1Л2
20 V
-2—j/2-
20 v
— /2
10 v
2
5
--Ь
г рассматриваемый узел смещается вправо.

89

образом:
2.6.4. Метод перемещений в матричной форме
Симметрия и аналогия вариационных принципов Я
стильяно и Лагранжа, которые являются фундаментом м( ,
сил и метода перемещений, позволяют раскрыть кинематичеси
неопределимость стержневой системы, используя некоторые
известные понятия.	м
Соответствие понятий метода сил и метода перемещений мож,
представить следующим с*;-------
Метод сил
Внешние силы Р
Перемещения А
Усилия в элементах 5
Деформации элементов V
Податливость отдельных необъ-
единенных элементов F
Податливость всей конструкции
(его
SCKW
2 у4|
Метод перемещений I
Перемещения в конструкции]
Внешние силы Р
Деформации элементов V I
Усилия в элементах 5
Жесткость отдельных необъеЛ
ненных элементов К
Жесткость всей конструкции Л'*
Если для определения неизвестных по методу сил использ- 
валось выражение (2.46)
X --- — D'Up = - (B\FBi}' (B'lFBp),
где Dp — DpP, Bp = ВЕР, то неизвестные метода перемещен®
находятся так:
г = - С~'СР = - (Д17<41Г‘ (41'КЛр).	(2.6
Здесь At — матрица деформаций элементов конструкции в кли-
матически определимой основной системе, вызванных единичны^
неизвестными перемещениями; АР — матрица деформаций, ан
званных заданными перемещениями (для единичных задашЛ
перемещений —АР); К — матрица жесткости отдельных необи
единенных элементов (т. е. рассматриваемых самостоятельнее
Заметим что
КР = РК=Е.	(2.6с
Продолжая аналогию дальше, можно записать:
Метод сил	Метод перемещений
S = ВР	У=ЛА	(2.64
В = Ёр — Bi (BiFBi) 1 (BiFBP)	А = Ар Ai (A'lKA У' (A'iKaI
Д = F-P	Р = К*Л	(2.6
F* = B'FB	К* = А'КА (2.66
V = FS = FBP	S = KV = К АВ (2.67
При этом	F*K* =	X*F* = Е.	(2.6Н1
90

JipHMip. Схему расчета кинематически неопределимой снстеиш проследим
г .г фермы, рассмотренной в разд. 2.6.2 (см. рве. 2.22, а).
П| кильку все четыре составляющие перемещений Zlt Z3, Z£, Z< двух подвиж»
111 иш неизвестны» степень кинематической неопределимости л ~ 4. Однако
К....ня Ди = Zs и AS2 = 2* (рис. 2.23), соответствующие силам Рг и Р>,
Б  ...кто не относить к неизвестным, а определить позднее по жесткости
| in гемы и силам.
Ио* составляем исходные матрицы;
НТ
К

О
о
о
о
2
Вмомним, что, во-первых, Л'< = 1/Fj. Во-вторых, в первом столбце матрицы А
Бннпны абсолютные удлинения стержней фермы, вызванные смещением левого
K|ii пверх на величину Zj = 1. Очевидно, что стержень / (см. рнс. 2.22) удли-
М и па величину 1, стержень 4 — на величину У 2/2, & остальные своей длины
не изменят. В-третьих, во втором столб-
гг це Ai записаны абсолютные удлинения
стержней, вызванные смещением правого
узла на величину Zs = 1, а столбцы Ар
представляют собой удлинения стержней,
соответствующие перемещениям = 1
И Дд2 — 1.
7г=/
Дл«/
Рнс. 2.23. К расчету фермы матричным методом перемещений
91

Находим
С= =
00 — 10 —
А = Ар~ AiC~lCp~
1Л2
1001-10
0
Г2
"2
9
б
Ef, -
Ср — А^КАр —
О	1
1 — 1
5	б
~У2	О
-4/2 4/2-|
W
45
Л'К А — А’рКА 4s-
92


о о о
2 0 0
О I о
° ° 4-
0 0 0 0
— 55	10
45	190
45	—10
55 V2 10 /2
— 45 /2 10 И2
н и смещений, и для усилий в стержнях получаем тот же самый результат,
ti<< по методу сил.
2»6с5» Матрица жесткости стержневой системы
Рассмотрим более детально основное матричное соот~
ни ин кие метода перемещений (2.65), записав его следующим
»>п|п|.<ом [341:
Р - КЛ	(2.69)
»Ht • l под вектором
й дальнейшем будем понимать комбинацию обобщенных сил,
приложенных к узлам идеализированной стержневой системы,
* игктор
«||ц дгтавляет собой перемещения узлов в направлении действия
ыл. Матрица /Со, связывающая силы и соответствующие нм пере-
пиения, называется матрицей жесткости.
93

В развернутом виде эта матрица выглядит так;
1^11^12 • • •
^21^22  • • ^2j • • • ^2g
• - • кц. . . kiq	Л
k(fl.kq2 • • -kqj. . . kgq
Для выяснения физического смысла коэффициента жесткости 
запишем i-ю строку матричного равенства (2.69)
РI =	4" ^2^2 “Г  ’ • ktfSj	ki(fiq.
Полагая б/ — 1, а б^/ = 0, получим Pi ~ кц, t. е. кц — сил
возникающая в узле I, когда перемещения 6j = 1, а все остальМ
перемещения нулевые.
Используя теорему о взаимности работ, можно показать, fl
ktJ = Ьц> т. е. матрица жесткости всегда симметрична.
Если в узлах действуют в общем случае силы и моменты, fl
раскладывая их по координатным осям, будем иметь для i-н
узла	I
P'i ^\PxtPViPaMxtMviM^.	(211
Соответствующие обобщенные перемещения узла также будр
матрицей-столбцом, элементами которой являются перемещен!!
по координатным осям и углы поворота
(2.7
Связь между обобщенными силами н перемещениями по-прсж
нему определяется соотношением (2.69), только элементы fl
матрицы жесткости Ко в (2.70) будут уже подматрицами раз Л
ром 6X6.
Например, для балочного элемента, показанного на рис. 2.
pj-isehu <
94

Pt и соответствуют выражениям (2.71), (2.72), а подматрицы
ми вид
	EI 1	0	0	0	0	0
	0	12Е!Я Р	0	0	0	6Е72 Р
	0	0	12л/и Is	0	— №1„ р	0
	0	0	0	GIX ~Г	0	0
	0	0	f>EIv Р	0	4£j„	0
	0	6EIZ Р	0	0	0	4Е/2 1

--Т-	°	0	0	0	0
о		0	0	0	6И2
р 0	0	—	р	0	6Е1ц р	р 0
0	0	0	GI* /	0	0
0	0	6Е/Ь Р	0	2£/„ ~т~	0
0 —	0	0	0	2Elz 1
4- о о	12£4 —р~	0 0	0	0 0	0	—	0 6£/2 Р
0	0 к„ = 0	0 0	0 0	12EZ,, /8 0 6Е/р Р 0	0 GBly р 0 0	iEtl‘ 0	0		0 0 0 4£/2 1
95

Для практических вычислений удобно использовать сквовЛ
нумерацию компонентов узловых обобщенных сил и перемцА
иий, т. е. вместо (2.71) и (2.72) писать
P't = II Ры—вРы—iPsi—зРы—2?Ы—iPei I].	(2 Я
££ = II £«—5 .............$6/ [].
Поскольку составляющие векторов Pt и связаны с коордиЛ
ными осями, элементы матрицы жесткости зависят от приняЛ
системы координат.
Для вычисления матрицы жесткости отдельных элемеЛ
может оказаться удобным использовать для каждого элем Л
свою (местную) систему координат, которая выбирается так, ч*Л
вычислительная работа была минимальной. В этих случаях поЛ
построения матрицы жесткости в местных координатах ну.«
перейти к общей системе координатных осей.
Пусть х, у, z и хг yt z — соответственно местная и общая А
стемы координат. Силы и перемещения элемента в этих систеЛ
обозначим Р и Р, 6 и 8.
При проектировании перемещений б (линейных н угловЛ
на местные координатные оси получим связь вида
К = ЬЬ,	(2.1
где Lt — матрица направляющих косинусов (косинусов упв
между осями х, у, z и х, у, г).
Так как в любой системе координат соответствующие ком®
иенты сил должны совершать одинаковую работу, то
Р'& = Р&.	(2 Л
Используя (2.75), получим
P'^i^PtL^,
откуда
Pi - LiPt.	(2
В связи с тем, что
Р, = КД	(2.TI
и в силу (2.75) и (2.76)
Pt=HKilA,
т. е.
(2 Я
Таким образом, если матрица жесткости элемента в местной®
стеме координат известна, для ее вычисления в общей системе
ординат достаточно построить матрицу направляющих косин®
и воспользоваться формулой (2,79).

Jilin ле нахождения матрицы жесткости отдельных элементов
Н-1 питой системы, приведенных к единой (общей) системе ко-
 । । переходят к построению матрицы жесткости всей си-
 и|.| Поскольку для удовлетворения условий равновесия в про*
hpiubiioft i-й узловой точке компоненты обобщенной силы Pi
► пл равняться сумме компонент сил от всех элементов, соеди-
*11111 хея в этом узле, т. е.
р, = Е р¥',
е
I» Р1г) —сила, приложенная к Z-му узлу со стороны элемента г,
• I и>днм к следующему очевидному правилу для вычисления
Ининой подматрицы JKij матрицы жесткости /Со«
Кч = Е /$’	(2.80)
суммирование ведется по тем элементам г, к которым одно-
»| НА«’ппо принадлежат узлы I и /.
Д I ющее формирование матрицы жесткости сложных систем
|>*|1мигизироваио и производится с помощью ЭВМ. Поэтому про-
*>||  правило (2.80) очень удобно, так как сразу после нахожде-
। нм коэффициента для отдельного элемента он может быть не-
Ukicniio заслан в соответствующую ячейку памяти вычисли-
। ной машины.
11|»и выводе матричного уравнения равновесия (2.69) стержне-
Ми система предполагалась свободной, т. е. система алгебраиче-
• mi к уравнений
Мх + kA -I--------1- klq6q == Pt (i =: 1, 2..q) (2.81)
и ржит в себе в общем случае шесть уравнений равновесия, ко-
1-||п.!с соответствуют шести степеням свободы всей конструкции
инк абсолютно твердого тела. Это приводит к тому, что строки
м 1рицы жесткости связаны между собой линейными зависи-
MiH гмми, т. е. эта матрица будет вырожденной (ее определитель
рйш'ц нулю).
Перемещение стержневой системы как жесткого целого можно
>< т ранить, закрепив ее статически определимым образом —
I общем случае необходимо наложить шесть соответствующим
нбрнзом ориентированных опорных связей.
Исключив из матрицы /Со строки и столбцы, соответствующие
узловым перемещениям, на которые накладываются кинематйче-
<!<»<• связи, получим уже невырожденную матрицу /Со» т. е.
вместо (2.69) имеем
P* = /C0*6*.
4 И. Ф. Образцов и др.
97

Отсюда при заданных нагрузках можно вычислить узловые пет
мещеиия конструкций в общей системе координат:
«* = [КоТ1Р*-	(2.1
После этого по формулам (2.69) и (2.67) находятся nej
мещеиия и узловые силы в каждом элементе стержней
системы.
Изложенная процедура матричного метода перемещений, Korj
за основные неизвестные принимаются перемещения узлов, пре,
ставляет простейший пример использования метода конечно
элементов, широко используемого при решении различных и
нических задач. Этот метод в общем случае излагается в гл.

ГЛАВА 3
РАСЧЕТ ПЛАСТИН
3.1. ОСНОВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ И УРАВНЕНИЯ
3.1.1. Расчетная схема пластины. Гипотезы
Кирхгофа
Плоские панели различных очертаний являются широко
। пространенными элементами летательных аппаратов, они опи-
амшпотся теорией тонких пластин. Пластина—это тело, ограни-
двумя параллельными плоскостями, расстояние между кото-
рынн h (толщина пластины, которая далее считается постоян-
<<*]) мало по сравнению с размерами в плане. Введем систему ко-
..рииат, показанную на рис. 3.1. Плоскость z = О, делящую
рлщнпу пластины пополам, назовем срединной плоскостью.
• И|>|‘юк нормали тп к срединной плоскости, заключенный между
Плоскостями, ограничивающими пластину, назовем нормальным
Ьмцнтом. В общем случае на пластину может действовать си-
ivmii поверхностных нагрузок иа плоскостях z — ±Л/2 (рис. 3.2),
I м к-ма объемных и контурных сил, вызывающих в совокупности
(«a f цжеиие-сжатие, сдвиг и изгиб пластины.
II принципе пластина, как и любое упругое тело, описывается
</|щими уравнениями равновесия теории упругости (1.3),
ЦП), (1.11), полученными в гл. 1, т. е. уравнениями равнове-
• ип
+	=	(3')
^+^,+^+у=0.	(3.2)
4?-+-^+^-4-2 = °;	(3.3)
дг 1 дх 1 ду 1	'	'
। •метрическими соотношениями
ди	dv	ди . ди
дх ’	— ду + дх •	(3.4)
да)	ди . dw	dv . dw
Т~ = -&+-аГ-ти = -а-+-^-	(3-5)
99

Рис. 3.1. Система координат и напряжения, действующие э пла
и законом Гука
в« = 4" (°« — Р®» ~	= -g~ (°у ~ Р°» - Р°.)> Т«-в= - * '
e. = -g-(a, И®,-р<тДТ«	(3)
где G = Е/2 (1 4- р).
Статические граничные условия на поверхностях 2 — ±Л/2 име*Ц
следующий вид (см. рнс. 3.2):
при z = Л/2 тха	— gxt.	= - qyit ож = - <?г1;	
при г-Л/2 тХ!	-- qxit - qyi, о* = — ^3.	Ч
Толщина пластины h мала по сравнению с размерами пластине
в плане. Это обстоятельство позволяет ввести ряд гипотез „ суще
ственно упрощающих исходные уравнения (3.1)—(3.7). Так»
гипотезы были предложены Кирхгофом* они формулируют^
следующим образом.
1. Нормальный элемент тп (см. рис.. 3.1) в процессе деформ!
ции пластины:
а)	не изменяет своей длины;
б)	остается прямым и нормальным *
Рис. 3.2. Нагрузки, дей-
ствующие ка поверхно-
стях пластины
поверхности, в которую переходит в рс
зультате деформации срединная пло|
кость.
2. Напряжения <Угя действующие пп
плоскостям z == const, пренебрежимо мапи
по сравнению с основными напряжениями
Гипотезы Гнрхгофа являются по су
ществу обобщением закона плоских с-
чений* используемого прн расчете би>
лок.
юо

3.1.2.	Вывод уравнений теории тонких пластин
Преобразуем исходные уравнения (3.1)—(3.7) с учетом
Шлгкмих выше гипотез. Из гипотезы 1а следует, что е* — О,
j и • ^гласно первому равенству (3.5) dwldz — 0 и w = w (х, у).
1Ь||-м«чценне w является основной неизвестной функцией в тео-
*«п нимба пластин и называется ярогибом пластины. Сопостав-
им Гипотезу 16 с определением деформации сдвига, можно заклю-
Kh, что yxs = yvx = Оз т. е. согласно равенствам (3.5)
Йи I dw — П dv	— л
-аГ' + -эГ = 0’	+
Нитрируя эти соотношения по z с учетом того, что w не зави-
•I • О! z, получим
u=.-z^- + u„(x, у), =	+	У)-	(3-9)
to< I. введены две произвольные функции и0 (х, у) н v0 (х, y)t
Kpju-i нвляющие собой перемещения точек срединной плоскости
О по осям х и у. Подставляя (3.9) в (3.4), найдем деформации
в плоскостях, параллельных срединной
м д2а>
" ~д^~
д2и>
ди0 d^w _
в=’~'~дГ~г'д^’ е*— ду
„ — й“« с	_ Оу
Тад “ ду + ах 2г
(З.Ю)
г < смотрим теперь соотношения (3.6). Отбрасывая в соответствии
гипотезой 2 с2, запишем этн соотношения в виде
ЕЕ	Е
•. — ' | р> (®» + 9pt)- °у = 1 _pi (eu + l18»)' г«а = 2 (1 4- р) Тад-
|-.|да с учетом деформаций (3.10) получим
Г <’» = Т^[^ + 9-7Г~г(-7йг + 1‘-7$-)].
=	+	+	(3.11)
т»« = £(ТТ)0	+ ‘^‘ “ 2г"^)-
Равенства (3.11) позволяют сделать важный для дальнейшего
hi люд: распределение напряжений и по толщине п ла-
пши включает постоянную, не зависящую от г составляющую,
мнорая статически эквивалентна распределенному усилию, и
101

линейно зависящую от z составляющую, которая эквиваленте
моменту. Введем усилия и моменты по формулам
ft/2	Й/2	ft/2
Nx= [ uxdz; Ny~ J avdz-, Nxu= f x^dz; (З.Ш
—ft/2	—ft/2	—ft/2
Й/2	ft/2	ft/2
Mx = J axzdz; Mv~ J uyzdz, Mxv = J xxvzdz. (З.Ц
—ft/2	—ft/2	—ft/2
Подставляя значения напряжений (3.11), получим
N, = В (eg + |»е», N, = В (е« + jxe"). N„ =	и> й»; (3. И
М* = D (и* + [лхД Му = В (Ку + jixJ, Мщ =	(1 — ц) хет, |
(3-lj
гдев-^,	+	(3.||
х. = -^-.х,= _^-.хвд=-2-^-:	(3.1
Соотношения (3.14) связывают нормальные Nx, Nv и сдвиг»
ющее NXy усилия с относительными деформациями е£, е£,
срединной плоскости. Параметр В характеризует жесткость плс
стины при растяжении-сжатин. Соотношения (3.15) связывЯ
изгибающие Мх, Му и крутящий Мхи моменты с кривизной к,
кривизной %у и кручением пху поверхности, в которую передЛ
срединная плоскость в результате деформации. Параметр &
называемый цилиндрической жесткостью, характеризует изгиб
ную жесткость пластины.	'
Соотношения (3.14)—(3.17) при условиях (3.12), (3.13) пол
ностью эквивалентны равенствам (3.11). Действительно, подстил
ляя в (3.11) производные от перемещений через усилия н моменты
нз соотношения (3.14)—(3.17), получим
о	с -	с	 12Мху I
h +	/F“z- ||
(3.1ч
Таким образом напряжения однозначно выражаются через виг
денные усилия н моменты, а онн, в свою очередь — через три
перемещения и0 (х, у), р0 (х, y)t w (х, у). Следовательно, гнпоте^ |
Кирхгофа позволили значительно упростить задачу — исходит
трехмерная задача об определении перемещений и (х, yt z), f (•
У, z) и ш (х, у, z) приводится к двумерной, т. е. к определении'
функций «0, v0, w, зависящих только от двух переменных.
102

Рис. 3.3. Усилия и моменты, действующие на элемент пластины
Выделим теперь двумерный элемент срединной плоскости и
приложим к нему усилия и моменты с соответствующими прира-
V пнями (рис. 3.3). Направления усилий н моментов соответ-
Киуют направлениям напряжений, показанным на рис. 3.1.
1й|1Шшем уравнения равновесия выделенного элемента — суммы
проекций действующих усилий на осн х, у, г н суммы моментов
гчпоентельно осей у и х
>+^+?« = 0,-^+^ + ?1 = 0;	(3.20)
^+^+?. = 0;	(3.21)
^ + ^-Q.+/n=. = o,
ям ам	(3-22)
^ + ^-<?в + т, = 0.
Здесь qx, qy, qz н тХ1 ту — поверхностные силы и моменты,
приведенные к срединной плоскости пластины. Их связь с внеш-
ними поверхностями (см. рис. 3.2) н объемными нагрузками будет
установлена ниже.
Можно заметить, что в уравнениях (3.20)—(3.22) введены два
новых усилия — перерезывающие силы Qx н Qy, которые яв-
лиются равнодействующими касательных напряжений и tpz
р м. рнс. 3.1)
h/2	ft/2
— j ^cczdz, Qv= f Vyzdz.	(3.23)
—ft/2	— ft/2
103

Установим связь между уравнениями равновесия элемент
срединной плоскости (3.20)—(3.22) н дифференциальными ура
иеииями равновесия теории упругости (3.1)—(3.3). Ввиду топ
что согласно принятым гипотезам напряжения однозначно вн
ражаются через усилия и моменты формулами (3.19), естествен!!
предположить, что и уравнения равновесия в рассматриваема
приближенной теории пластин должны выполняться ннтегральд
в отношении усилий и моментов. Действительно, интегрируя по
уравнение (3.1)
h/2
+^ + х)<ь=о
—h/2
и учитывая, что в соответствии с равенствами (3.12) и граничны»
условиями (3.8)
h/2	6/2	h/2
f Az - -	f	d*** dz — Жху	f dxxz	I
J	dx az~~	dx ’ J dy az~fy~’	J dz	az ~ 4x2±4xi,
—h/2	—h/2	—h/2
получим первое уравнение (3.20). Осуществляя аналогична
преобразования для уравнений (3.2) н (3.3), можно записать ец»
два соотношения, т. е. получить уравнения (3.20), (3.21) для
усилий, в которых (см. рис. 3.2) принято
6/2	h/2
Ях — 4x1 ~ 4x2 4- J X dz, qy == qvi — qy2 -|-
-h/2
4z — 4zi —
h/2
zdz.
41
(3.21
Перейдем теперь к
уравнение (3.1) иа
h/2
уравнениям моментов. Для этого
z и проинтегрируем по толщине
умиожи
пластин
—h/2
^+X)z& = 0.
Учитывая, что рогласно (3.13)
h/2	h/2
J ox	ox J dy	dy
-h/2
—h/2
и интегрируя по частям с учетом (3.8), (3.23)
h/2	й/2
J ~dz~	Ь/2 — J ЧЬсг dz =------(«7*1 + 9*2) — Q*»
—h/2	—h/2
104

поучим первое уравнение (3.22). Преобразуя аналогичным обра-
^отношение (3.2), можно в результате получить уравнения
м Киппов (3.22), в которых
ft/2
”lx -----2* (9к1 + Цхъ) + J X’z dz,
~Z <3-2S)
т„ = -^(qyl + qV2)+ J Tz*-
—Л/2
fail нм образом, в теории пластин уравнения равновесия теории
. ируюсти удовлетворяются в отношении усилий и моментов.
Итак, теория пластин в основном построена. Деформации
«н-гнны определяются тремя перемещениями и0, t»0, wt относи-
0.1 иными деформациями и функциями кривизны ех, в£, уху,
• «ху, а напряженное состояние — усилиями Nx, Ny, Nxy,
К, Qu и моментами Мх, Му, Мху. Эти 17 неизвестных функций
•и ременных х н у должны удовлетворять системе 17 уравнений,
||!лючающей пять уравнений равновесия (3.20)—(3.22), шесть
|]п шческих соотношений (3.14), (3.15) и шесть геометрических
Кн ношений (3.16), (3.17). Перемещения и, v, w и напряжения сх,
L Тад определяются формулами (3.9) и (3.19).
, Можно заметить, что полученная система уравнений разде-
лится на две независимые подсистемы. Действительно, восемь
уравнений (3.14), (3.16) и (3.20) включают восемь неизвестных Nx,
Vi, Nxy, е°, е£, уху, м0, v0, которые определяют иапряженно-
формированное состояние в плоскости пластины, а девять
||>пннений (3.15), (3.17), (3.21) и (3.22) включают девять неиз-
ri l i-пых 7ИЖ, Му, Мху, Qx, Qy, хж, ку, кху, w, которые опреде-
/1и»от иапряженно-деформированное состояние пластины прн нз-
|цбс. В связи с этим в дальнейшем будут раздельно рассматрн-
цнься задачи о плоском напряженном состоянии и изгибе
ПЛ.1СТИН.
Прежде чем перейти к приложениям построенной теории, сде-
jiii'm еще одно существенное замечание. При выводе формул (3.9)
m меча лось, что гипотезы Кирхгофа, иа которых основана теория
пл. юти н, по существу соответствуют равенствам ег — ухг =
* Уиг — 0. Казалось бы, что при этом нз закона Гука (3.7) должно
иидовать, что тЖ2 = 0 и xyz = 0, однако в уравнениях равно-
и«'ия (3.21), (3.22) фигурируют перерезывающие силы Qx и Qy,
валяющиеся равнодействующими напряжений тж2 и ту2. Из рис. 3.3
/адует, что прн отсутствии Qx и Qy не может быть обеспечено
Винновесие элемента в направлении оси z, т. е. имеет место про-
пгворечие между уравнениями равновесия и законом Гука для
до формации с индексом 2. Появление такого Противоречия яв-
ляется совершенно естественным — следовало с самого начала
ожидать, что введение дополнительных предположений — гипотез
105

Кирхгофа — приведет к построению приближенной теории, в В1
торой некоторые соотношения полной системы уравнений теори1
упругости не будут удовлетворены. Поскольку условия равное
сня должны быть выполнены, остается признать, что в теорй
пластин нарушается закон Гука для напряжений н дефор маци|
с индексом 2. Напряжения тхг, хуг н oz находятся нз уравненй!
равновесия (3.1)—(3.3). Действнтельно, подставляя напряжена!
ож, ?хд из (3.19) в уравнения (3.1), (3.2) и интегрируя по
ледние по z с учетом уравнений (3.20), (3.22), получим
(з.|
Подставляя (3.26) в уравнение (3.3) н интегрируя его по 2 с у н
том уравнения (3.21), найдем
/ I । 3z 2z3 \	,
°*----9('т+_й	7?-)-	<3-
Ввиду того, что равенства (3.26), (3.27) обычно используют^
в задачах изгиба пластин, при их выводе предполагалось, что iff
пластину действует только давление q по поверхности z = —М
т. е. принималось (рис. 3.2) X = Y = Z — 0; qxl = qxt
" Qyl =	= ?Z2 я ?Х1 =
3.2.	ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИН
3.2.1.	Исходные соотношения
Система уравнений теории пластин разделяется 1и
две независимые подсистемы, описывающие нагружение в плосм
сти пластины и ее изгиб. Рассмотрим случай, когда пластид
нагружена контурными силами, лежащими в ее срединной пли
скости и вызывающими в ней напряженное состояние, которп
называется плоским (рис. 3.4).
Рис. 3.4. Пластина, находящаяся в условиях плоского напряженного состояий»
106

г | шишем для этого случая систему уравнений теории пластин,
ц«>. шлющих усилия Nx, Ny, Nxy, деформации ех, е₽, уху н пере-
Бинля и и о (поскольку напряжения, деформации и переме-
ни равномерно распределены по толщине пластины, индекс
Б, ^означающий соответствующие составляющие в общих со-
Ишпкииях разд. 3.1, в дальнейшем опускается). Уравнения
^•шппвссия (3.20) прн qx =	— 0 принимают вид
dKVx _ 0 Ы/у	= 0	(3.28)
дх ' ду ’ ду * дх	'
|f* согласно равенствам (3.19)
Nx = oxh, Nv = (jyh, Nxy = rxyh.	(3.29)
♦н нческие и геометрические соотношения (3.14), (3.16) записы-
м h ня в форме
H/V„ = В (е. + [ЛЕ,), N, = В (в„ + jieJ, Nxy = 0,5В(1 — p)V„,,
(3.30)
ди	dv	ди . dv
Ъ = ~дГ>	(3.31)
IMP И = ЕЫ(1 — р8).
Ж* >'мь уравнений (3.28), (3.30), (3.31) включают восемь неизвест-
UteK Распространенным методом решения полученной системы
* мнется решение задачи в функциях напряжений, изложенное
|лпд. 1.1.3 гл. 1. Согласно этому методу основная система урав-
U1Iи включает уравнения равновесия (3.28) и уравнение сов-
I и пости деформаций, которое может быть непосредственно no-
il пню из соотношений (3.31) н имеет вид
।	= „fflay...,	(3.32)
др J дх* дхду	'	7
Ъшк-ывая (3.32) через усилия с помощью соотношений (3.30),
«учим
-~(NX - ^Ny) +	- рЛУ = 2 (1 + р)-g^-. (3.33)
лини образом, имеем три уравнения (3.28), (3.33), включающие
111 неизвестных усилия Мх, Му, NXy. Эти трн уравнения можно
I плести к одному введением функции напряжений Эри <р
= = <3-34)
Hi вставляя усилия (3.34) в уравнения (3.28), (3.33), можно убе-
лп.ся в том, что уравнения равновесия (3.28) тождественно удов»
л«гворяются, а уравнение совместности деформаций (3.33) при-
нимает вид
VV<p = 0,	(3.35)
v2v2= С—+ -^-V= —+2=-^—.	(3.36)
v v \ ах‘ ’	) ах1 + ах» aj» + дуа	'	’
107

Таким образом, задача о нагружении пластины в своей плоско!
сводится к решению уравнения (3.35). Это уравнение подроб|
исследуется в курсе теория упругости (см.в например, 1161)
3.2.2.	Однородное плоское напряженное состояние
В панелях крыла и фюзеляжа самолета, в стенка!
лонжеронов и нервюр реализуется напряженное состояние, кот»»
рое приближенно можно считать плоским н однородным, т. I
не зависящим от координат (рис. 3.5). Такое состояние описи
вается функцией напряжений вида
<₽=4- w+4-	- N°^y- (ф
Уравнение (3.35) при этом тождественно удовлетворяется и <(>
гласно (3.34) Nx — N£, Ny == Nxy — Считая усилия N.
Nyi Nxy заданными, найдем перемещения. Из равенств (З..Л
н (3.31) имеем
= 4г <"« - н^). > = 4-	(3 J
2(»4-р) N	,ззй
ду дх Eh xv'
Интегрируя равенства (3.38) с учетом того, что усилия постоянно
получим
“ =	<-N° - н№)+/ (р). V=W - р№)+/2 (х).
Подставим о и о в (3.39)
/i(y) + №) = -2(lah^-<.
Это соотношение может быть выполнено, если
К(У) = С1. /2(х) = с2,
Рис. 3.5. Пластина, находящаяся в ус-
ловиях однородного плоского напря-
женного состоиния
„ t „	2 (14-и) ..о
NXy,
т. е. А = Ctf + с9, Ъ = с, 4
= к + г*
и тогда и ~~	j
+ С^У + сз»
в	+ С2х + ,4,
где ci + с2 = 2-(1£^|1> I
Закрепив начало координм!
О от смещений по осям хи
т. е. положив и (0, 0) = и
v (0, 0) — 0, найдем са == с4 = О
108

<ин«*А угол поворота пластины относительно начала координат
|Н|»чн'ляется равенством (см. рнс. 3.5)
1 / ди dv \
-----аг)-
Пмппыя о) = 0, получим ct = c2t т. е.
v = -Eh (W‘ ~	"«'
3.2.3.	Концентрация напряжений в пластине
с отверстием
Рассмотрим важную для приложений задачу о растя-
•< ник пластины с малым круговым отверстием (рис. 3.6) —
Нио чу Кирша. Введем полярную систему координат (г, 6), свя-
и и ую с декартовыми координатами соотношениями
х — г cos 6, у — г sin 6,
А-г f г/2 -- Д 6 = arctg (у/х).	(3.40)
(I |н анализа напряженного состояния в окрестности отверстия
К'Плодимо записать полученные выше уравнения в полярных
>мпрдлнатах. Эти уравнения можно вывести непосредственно,
рнматривая элемент в полярных координатах, или путем пере-
йди от декартовых координат к полярным. Из равенств (3.40)
•«••им
df	х	л дг	у	. п
дх /х2 4- уа	V х3 + р»
00	у	_	&5п 0	60 _ х	_ cos 6
дх' =	х* 4- у* “ ’ ” г ' ду ~ X1 -}- у* ~~ г
hi" млтривая некоторую функцию f (х, у} как сложную
функцию переменных г и 6, получим
‘V df о 1 £>/
xsine. -^-=-g-sin0 +
+ 4'=S“cos0;
- d‘f co^S 2
ih- ~ ar' C0b B ar,ir x
I iilnO — cost* . df sin26 !
г г dr r +
df sin 0 cos 0 d2f sin8 fl ,
11 de г’ + ae» /« ’
Рнс. 3.6. Растяжение пластины с кру-
говым отверстием
109

dzf	I 2D I О &2f Sin0 COS 6 . Of COS2 6
dy* dr* 1 dr dd r 1 dr r
Q df sin 6 cos 6 . d*f cos2 6.
~ 2 dd	dd2 t* ’
87 - 87 clnBcocB I 87 cos2e df cos29
dxdy ~ dr* sln JCOSU Г Qf-QQ T	dQ ri
df sin 6 cos 6 d*f sin 6 cos 6 ,
_ _ 002
W	= _^L+ _L_^L +	A
v 1 dx* ' dy* dy* r dr r* d& * 
С учетом равенств (3.41) основное уравнение плоской задач
(3.34) принимает вид
(_&___ij____LjJ______!L\/g2<P а- 1	-4 1 g2<pA-о /3 42)
k dr* + г dr г* 302 A dr* + г dr + г* &Q* 1 “U'
Запишем теперь связь между усилиями Mrt N&, Nr$ и функцией
напряжений <р. Заметим, что при 6 = 0 (см. рнс. 3.6) Nx = N
Ny = Ne, Nxy = Nre. Используя равенства (3.34) и переходя
от декартовых координат к полярным с помощью формул (3.41)
в которых следует принять 0 = 0, окончательно получим
л/ —______________1 glP I 1 g8<P
г	\ду* /е=о“ Г dr ~1~ f* &Q* ’
3.4
Л7 —	/ а2ф \	______1 а2<р , I d(f
rB	\ dxdy /е=0	Г drdd г г* '
Рассмотрим теперь пластину, показанную на рнс. 3.6. Функция
напряжений, соответствующая равномерному растяжению вдоль
оси, в декартовой системе координат согласно (3.37) имеет вил
Ф1(*, у) = (1/2)
а в полярной системе координат в соответствии с (3.40) получим
Ф1(Л 6) = (l/2)/V?rW0 = (l/4)JV°r2(l-cos2e).	(3.44
Этой функции согласно формулам (3.43) соответствуют усилия
W=-^-(l+cos2B), W = -^-(l-cos29)> ОД’ = -^-з1п2(1
(3.48)
Учитывая структуру формулы (3.44), зададим искомую функция»
напряжений в виде
Ф = /1 (г) + /2 (г) cos 20.	(3.40)
ПО

Il'lit гавнв выражение (3.46) в основное уравнение (3.42), получим
( <>' , J_.	1	\	/ 4°	1_d___4_т
1 ,/>г 1 г	dr )\dfl '	г	dr )'\ dr-	' r	dr	г» )	'
xO+-r^r-^-Mcos28 = 0-
*iii уравнение должно быть выполнено для всех значений 6.
Ьй’довательно, функции (г) и /8 (г) должны удовлетворять
 н-нкиовенным дифференциальным уравнениям
(JL . 2__LW£h + _L Jh.\ = о
\ dr2 ' г dr / \ dr2 ’ г dr )	*
\ dfl ' г dr fl ) V dr- ‘ r dr fl /2/	’
ОГицие решения этих уравнений приводят к функции напряжений
<р= (с1г21пг + с2г8 + с31пг4.<;4) +
+ {v‘ + V1 + уг + cs) cos20,
|Лг ct — постоянные интегрирования.
Согласно формулам (3.43) усилия Принимают вид
£ = с, (1 + 2 In г) + 2с2 +	- (2с6 +	cos 20,
М> = Ct (3 + 2 tar) + 2ся - % (2с6 + ^. +	cos20, (3.47)
= (2с, + 6с/> - %- - ^-) sin 20.
При достаточно большом удалении от отверстия (при г -*• со)
л плия (3.47) должны совпадать с (3.45). Отсюда следует, что
,, = с6 = 0 и
2с2 — 2с, cos 20 = (1 /2) Л’° ( + cos 20),
2c2 + 2c5cos20 = (l/2)tf’(l -cos20),	(3.48)
2cs sin 20 = - (1/2) sin 20.
11.1 контуре отверстия г = rc усилия Nr и Nre должны обра-
^даться в нуль, т. е.
2ся + ----(2се + -^-+ cos 20 = О,
г0 \	'О	‘О'
2с6 + -^---^- = 0.
41	ЛО
(3.49)
П:< уравнений (3.48) и (3.49) получим
• В — ~ О'о? С8 —----°0э	“-----4" ^01	------4—
111

Окончательно усилия (3.47) принимают вид
=4 О - 4) +44 •+-4 - - г®-
. ^=4(i+4)-4(1+4)“s28- <3|
^=-4(i-4-+»20-
Анализ формул (3.50) показывает, что нормальные тангенциалЬ i
ные усилия Nq принимают максимальные значения 3N% на кои
цах диаметра, перпендикулярного направлению растяжения (см
рис. 3.6), т. е. коэффициент концентрации напряжений в рас
сматриваемом случае равен трем.
Решение (3.50) построено в предположении о том, что ширим
пластины достаточно велика. Для оценки минимально допустимой
ширины пластины рассмотрим изменение усилия Nq по оси |
(при 8 = эт/2). Из (3.50) имеем
^(г, я/2)=4(2+4-+34)
Из этой формулы следует, что при у — Юг© Nq отличается от А\
на 6 %, т. е. полученное решение можно считать удовлетвори1
тельным, если ширина пластины более чем в 10 раз превышав
диаметр отверстия.
При растяжении усилиями Ny вдоль осн у в формулах (3,50)
следует заменить 6 иа (л/2 + 6), т. е.
^=4(i+4)+4L(i+4)cos20- <з-|>
Рис. 3.7. Сдвиг пластины с круговым
отверстием
Ме = ^(1 -^ + -^-)sln2«
Если на растяжение вдоль oG
х с усилиями №х= N наложит!,
сжатие вдоль оси у с усилиями
Ny — —N, можно получить С1»
стояние чистого сдвига в коор
дннатах xlt yt (рис. 3.7). Пи
лагая в равенствах (3.50) ЛГ*-
= ДГ, складывая их с соотвп
ствующими равенствами (3.51)
112

ii|ui /V!} = —N н совмещая ось xt с осью x (т. e. заменяя В на
I I jl/4), получим
= - N (1	sin 20,
= W (1 + sin 20,	(3.52)
N%~-N (1-J± + M)cos2e.
Мишимальное значение усилия N™ в рассматриваемом случае
|||||1по 4А\ т. е. коэффициент концентрации напряжений равен
ч трем.
В общем случае плоского напряженного состояния распределе-
ние усилий может быть получено алгебраическим сложением со-
«шнтствующнх равенств (3.50), (3.51) и (3.52).
з.з. Изгиб прямоугольных пластин
3.3.1 • Уравнения теории изгиба пластин
и граничные условия
Рассмотрим теперь случай изгиба пластины попереч-
ной нормальной нагрузкой q (х, у) (рис. 3.8). Ввиду того, что
•• плоскости пластины внешних сил не приложено, из системы
уравнений (3.14), (3.16), (3.20) описывающей плоское напря-
жение, следует, что и0 = v0 = 0, Nx = Nxy = Ny = 0, т. e.
ii i перемещений срединной плоскости в теории изгиба пластин
ос тается только прогиб w (х, у), а из силовых факторов — мо-
менты Мх, Му, Mxv и перерезывающие силы Qx, Qy (см. рис. 3.8).
Перемещения точек пластины определяются равенствами (3.9)
при и0 = и0 = 0, т. е.
и=_г_^, р==_2	(3.53)
dx	ду	к 7
Установим геометрический смысл этих равенств. Из рис. 3.9
глсдует, что при изгибе точка А смещается в, направлении оси х
и положение причем А Ах = —и = z tg а. Но tg а = dwldx,
t. е. получаем первую формулу (3.53). Таким образом, производ-
ные dwldx и dwldy являются углами поворота нормали к средин-
ной плоскости в направлении осей х и у в пределах рассматривае-
мой, линейной теории изгиба пластин.
Изгибающие и крутящий моменты связаны с кривизной и кру-
чением поверхности, в которую переходит при изгибе срединная
плоскость, соотношениями (3.15)
= £> (их + рх„), М„ = D (к„ + цхх), 2Ига = - j- (1 — (1)
(3.54)
из

Рис. 3.8. Изгибаемая пластина Рис. 3.9. Смещения точек пласта
где D — £Л3/[12 (I — р2)] — изгибная или цилиндрическая
сткость платины. Кривизна и кручение выражаются через прон
w формулами (3.17)
д2™	d2w	„ д2о> ,п .
&2  'ЛЧ—	— 2	(3-3
Уравнения равновесия согласно равенствам (3.21), (3.22) имел
вид
^'-+->+9 = 0;	(3.5
^+-^-<2.=0. ^-+^l_q₽=o. (3.J
В соответствии со схемой нагружения, показанной на рис. 3.8,
и формулами (3.24), (3.25) в уравнениях (3.21) и (3.22) принято
Яг = Ягз = тх = ту = 0.
Девять уравнений (3.54)—(3.57) включают девять неизвестны#
Мх, Mxv, Qx, Qyt xx, %xy, w и определяют напряжений
деформированное состояние пластины при изгибе. Эти уравнении
можно свести к одному уравнению, включающему в качестве
неизвестной функции w (х, у). Подставим с этой целью хЛ,
и %ху из (3.53) в (3.54). Получим
лд _ , п /	. ,, d2w \ л, „ г dzw . d2w \
М*~ ~D \Пыг +	+	1
м —	п п .	
Выразим теперь из уравнений (3.57) перерезывающие силы I
=	+	=	(3.51
дх 1 ду ’	8у 1 дх	'
или с учетом (3.58)
О —	О—а	।	\ л п	, Лот
(3.60)
114

Hi н почим Qx н Qy из уравнения (3.56) с помощью (3.59), т. е.
д2Мх . „ д2МХу д*Му	«	/о с 1 \
2 “ и’
Ниш 1 являя моменты из (3.58), окончательно получим
d*w ~ d*w . д*ш _ q
дх* +2 д&дуг'Т- ду* ~ D
... < учетом (3.36)
V2V2ro = -^-.	(3.62)
• |Ь1>н!ение (3.62), называемое по имени французских механиков,
•иорые впервые его получили, уравнением Софи Жермен—Ла-
грппжа, является основным уравнением теорни изгиба пластин.
|ьсли прогиб пластины найден, по формулам (3.58) и (3.59)
Жнно определить моменты и перерезывающие силы н далее по
ф|рмулам (3.19), (3.26), (3.27) — все напряжения, т. е.

имх
и3
^Му ~КМху
Д8 Z>
(3.63)
(* - -<-): <3-64>
^=-?(4+-Й—^)-	(3.66)
Гниение уравнения (3.61) должно удовлетворять граничным
условиям, которые отражают характер закрепления нли нагру-
Шгпия пластины по контуру. Рассмотрим типовые граничные
условия:
а)	жестко защемленный край (рис. 3.10, с). Пусть, например,
Прин х = 0 жестко защемлен. Тогда при х — 0 должны быть
рпппы нулю перемещения, т. е. и = v = w = 0. Из первого ра-
венства (3.53) следует, что dw/dx = 0, а из второго — что усло-
а)
Рис. 3.10. Условия закрепления краев
пластаны — жесткое защемление (с);
шарнирное опирание (6); свободные
края (в)
115

лшшшн
Рнс. 3.11. К выводу формулы
обобщенной перерезывающей с
-У
в)
вне и — 0 удовлетворяется автоматически, т. е. при w = fl
dwldy = 0 прн х = 0. Итак, граничные условия имеют внд 
при х = const w ~ dw/dx = 0,
прн у = const w = dwldy — 0,	(3.66)
т. е. иа защемленных краях пластины обращаются в нуль прогиб
и соответствующие углы поворота;
б)	шарнирно опертый край (см. рис. 3.10, б). На шарнирно
опертом крае обращаются в нуль прогиб и изгибающий момен!
Например, для края х = 0 необходимо потребовать, чтобы w = 
и Мх = 0. Поскольку из условия w ~ 0 следует dwldy = d^wldy* ш >
= 0 при х ~ 0, то с учетом (3.58) получаем, что прн х = 0,w = О
н Мх = —D (dzw/dxr) ~ 0, т. е. условия шарнирного опнрани
имеют вид
прн х — const w — д211)1дхъ — 0,
при у = const w = d*w!dy* — 0;	(3.67)
в)	свободный край (см. рнс. 3.10, в). На свободном крае, на
пример х — 0, отсутствуют напряжения их, ъху и тх2, т. е. в со<
ответствии с равенствами (3.63), (3.64) должны выполняться!
условия Мх = Мху — Qx = 0. Однако в рассматриваемся
теории разрушающее уравнение (3.61) имеет четвертый порядок,
т. е. для определенности решения на каждом крае должно быть
не более двух граничных условий, как это н было в случаях защем-
ленного н шарнирно опертого края. Три записанных выше усло-
вия по существу статически эквивалентны двум, поскольку кру-
тящий момент на крае сводится к паре перерезывающих сил.
Действительно, рассмотрим край срединной плоскости х = О
(рис. 3.11). Заменим момент М.ху dy на участке АВ — dy (см.
рис. 3.11, а) парой сил Мху в точках А и В (по теории изгибл
пластин моменты являются распределенными и имеют размер-
ность силы). Аналогичную операцию проделаем и для соседнего
участка ВС = dy. Тогда в точке В (н в других точках, поскольку!
точка В является произвольной) образуются силы, показанные
на рис. 3.11,6, статически эквивалентные распределенной перс-

Знающей силе Qi (см. рис. 3.11, в). Добавляя эту перерезы
пщую силу к основной Qx и поступая аналогичный образом на
м у = 0, получим обобщенные перерезывающие силы Кнрх-
о:-Q.+^-, q; = с,+	<з.б8)
|' помощью равенств (3.58) и (3.60) Q* н Q# можно выразить через
|1|И‘| мб:
| InKiiM образом, граничные условия на свободном крае имеют вид
при х = const Мх = <2; = о,
при у — const Ми — Qy = 0.
'hut могут быть записаны через w с помощью формул (3.58) и
11 Ii9).
В заключение запишем выражение для полной энергии изги-
I «мой пластины. Согласно формуле (1.24)
Э - U — А.	(3.71)
Г1-»спциальная энергия деформации U определяется в общем
Вдучае равенствами (1.19) и (1.23) и в рассматриваемом случае
принимает вид
U = 4" Ш <а*Е« +	+ Ww/)dx dy dz‘	(3-72)
|десь sx, ъу и yKJZ в соответствии с (3.4) и (3.53) определяются
I |1>11и*нствамн
_______________ ди     д8»________________ &и    дга>
~ -fa ~ ~Z дх* ’	~ ду ~ ду* ’
_ _ ди . dv____9 d*w
Ужу ~~ ду дх	дхду ‘
Осуществляя в (3.72) интегрирование по z от —А/2 до /г/2, с уче-
||<»м (3.13) получим
v = 4" IJ (**«&• + м‘ dxdy- (3-73)
1’лбота поперечной нагрузки q на малом возможном перемещении w
имеет вид
А ~ J J qw dx dy.	(3.74)
117

Окончательно, подставляя (3.73) н (3.74) в (3.70) н выражая f
меиты через прогиб с помощью соотношений (3.58), будем им<
П Г Г ( & Г/ d2w \2 г / &iw \2 I о 02U) d2w .
<3-75)
Как уже отмечалось в разд. 1.3.2, из условия 63 — 0 можно
получить уравнение равновесия в функциях перемещений и ста-
тические граничные условия. Вариационное уравнение для
рассматриваемого функционала имеет вид
(3.76;
где F — подынтегральная функция в (3.75) и
dF q д2 dF п d2w ( о д*ш
dw D ’ д&	~ 2 ~д^~ + дх2 ду2’
\д* )
д2_____др r.	dlw
ду2 а ( d2ts> \	' ду* ' дх2 ду2 ’
кЭу8 )
д2 dF___________-4/1	1 ^iw
дхду .. / d2w \	' ^дхРду2'
\бх ду)
Подставляя эти производные в (3.76), получим основное уравне
ние теории изгиба пластин в форме (3.62). Осуществляя преобра-
зования вариации полной энергии 8Э по схеме, аналогичной
изложенной в разд. 1.3.3 для балки, можно получить также
естественные граничные условия, которые определяются выведен-!
ними выше соотношениями (3.66), (3.67), (3.70).
Отметим, что приведенные общие зависимости строго справед
ливы в том случае, когда срединная поверхность при деформации
пластины представляет собой развертывающуюся поверхность.
В частности, это имеет место при чистом изгибе пластины по ци
линдрической поверхности. Если срединная плоскость изгибается
в неразвертывающуюся поверхность, то рассмотренная теория и
соответствующие зависимости будут достаточно точными, если
возникающие в срединной поверхности напряжения малы по срав-
нению с максимальными напряжениями изгиба. А это равносильно
тому, что линейная деформация срединной поверхности мала по
сравнению с максимальной деформацией изгиба, которая зависит
от толщины пластины и ее кривизны при деформации.
118

3.3.2. Методы расчета прямоугольных пластин
Рассмотрим основные методы, применяемые в строи-
1Г.1Ц.НОЙ механике для расчета изгибаемых пластин.
Рассмотрим сначала некоторые частные случаи закрепления,
И н которых возможны точные решения задачи.
Решение в двойных тригонометрических рядах (метод Навье).
М< 1<|д применяется для решения задачи об изгибе прямоугольной
ширпирно опертой по всему контуру пластины при произвольной
fi.определенной нагрузке q (х, у).
Поместим начало прямоугольной системы координат х, у
И пдин из углов пластины. Вдоль осей х, у пластина имеет раз-
юры а и b (см. рис. 3.10, б). Разрешающее уравнение и граничные
Кровия для такой пластины .определяются равенствами (3.61)
ц (3.67), т. е.
дх4 дхРду^ ду* ~ D *	I
При х == 0 и х = a w = д2ш/дхъ = 0,	(3.78)
при у — 0 и у — b w — д2ш/ду2 — 0.
Представим решение уравнения (3.78) в форме
М*. У} = S S(3.79)
wi=J n=l
Кик видно, при таком задании функции прогибов удовлетворяются
line граничные условий. Подставим далее (3.79) в (3.77) и с
учетом обозначения
Ann<-^+-£-)2 = Bmn	(3.80)
получим
2	<3-81)
т=£ п~1
Коэффициенты Втп этого ряда определяются по формуле
а b
г> 4	( г .	. . тпх . tiny , .
Bm» = -SE- J J q(x, y)sta-i~sln-^-axdy,
о о
которую можно получить, умножив обе части равенства (3.81) на
shi^sln^dxdy (k.l= 1, 2, 3,...)
119

и проинтегрировав результат по х^от 0 до а и по у от 0 до
с учетом свойства ортогональности тригонометрических функци
Таким образом, из (3.80) и формул для Втп следует
4
л_____________________
\ a2
(З.Щ
т. e. решение определяется соотношениями (3.79) и (3.82). В част
иости, при равномерном давлении q (х, у) = q0 имеем
д ____W
тп а г, /	, «а V '
n*mnD Нзг + «г)
w(x, у)
п _ 16?°
тп nbnnjy
тп
. тлх . tnrcy
sin --sm -~
	AiH,n=l,3,5...).
Этот ряд быстро сходится. При т = п = 1 для квадратной пл
стины (а = Ь) максимальный прогиб в середине пластины
Wmax nejD
отличается от точного результата на 2,5 %.
Метод Навье можно применить также для расчета пластиИ
иа изгиб при сосредоточенном воздействии. Для этого представп
сначала, что на ограниченном участке действует распределенна!
нагрузка = P/uv (рис. 3.12). В этом случае на основании (3.8*
можно записать
А
тп	Гт?
n*Dab(^ +
£+V7)+'T
г f . mnx , ад , ,
I I sin-^stn—-axdj/»
Отсюда после интегрирования будем иметь
4Psin^sln =
______а_____о
лп l! mi 1
, тзш . rmv \
Sln-fT— Sin-XT- \
2a 2b |
тли	тлу j
< /
Устремляя и и v к нулю, получим
4Psin^Si„ =
л =° ь
""	. "2 V
120

t. 3.12. Шарнирно опертая пластина
Г мри локальном нагружении
У
Рис. 3.13. Пластина с двумя шарнирно
опертыми и двумя жестко защемлен-
ными краями
| киласно разложению (3.79) будем иметь следующее решение,
плкделяющее прогиб пластины, нагруженной сосредоточенной
•mjhh'i в точке
“ ж  tTlZtE. . ПЛГ . ГП31Х . гзш
ло \“Л	sin—-sin—j—'sin---sin—
ta (x, y) = -4P	>	> ______?____b ° b
m=i n=l	\ a’"*" b2 )
Решение в одинарных тригонометрических рядах (метод Леви).
•I ir метод применим для пластины, два противоположных края
|нгорой шарнирно оперты, а на двух других могут быть любые
1р/п1вчные условия.
Пусть имеем пластину, шарнирно опертую по краям х = О,
а (рис. 3.13). На границах пластины имеем условия (3.67),
• «
при х = 0 и х = a w — (Fw/dx* = 0.	(3.83)
Представим решение уравнения (3.67) в виде одинарного тригоно-
Ьического ряда
(*. У) = X м sln ’	(3-84)
т=1
• «ждый член которого удовлетворяет граничным условиям (3.83),
<	(у) — искомые функции.
Подставляя разложение (3.84) в уравнение (3.77), получим
^(y;„V^2^^ + ^rm)sin= = M. (3.85)
т
Ри .гожим теперь нагрузку q (х, у) в ряд, аналогичный (3.84), т. е.
<?(*.!/) =2	(3.86)
т=
121

где qm (у) можно получить следующим образом. Умножим щ
вую и левую части (3.86) на sin (&лх/п) dx (k =	2, 3, ...)
проинтегрируем результат по х от 0 до а. С учетом условий ор'
тональности тригонометрических функций
а
С , тлх a клх .
sin —• sin — dx =
j a a
о
при m^k
при m = k
получим
z \	2 г .	. , mnx .
?»(»)= у J ?(X, »)sln — dx.
(3J
Тогда уравнение (3.84) примет вид
(у- - 2	У" +	У„) sln^ = to) sin
т	т
Так как это равенство справедливо при любых х, то, приравя
вая множители при синусах с одинаковыми номерами т, получ
/«-уравнений
IV	9 Vй I mini V —
т	1 т' 1 т	D *
Решение каждого из этих уравнений имеет вид
Гт (I/) = Л тсЪ	ch st + Cm sh	+ Dm у sh	у + У1
(3.83)
Частное решение Ут определяется в зависимости от вида внеш
ней нагрузки, а постоянные Ат, Вт, Ст, Dm находятся из гр
ничных условий на краях у — О, у = Ь.
(З.НП
Пример. Пусть q (х, у) — q0 — равномерно распределенная нагрузка, а кр
у = 0, у = Ъ защемлены (см. рис. 3.13). Так как в этом случае прогибы сим*
тричны относительно середины пластины, то перенесем ось х иа середину (нои
положение оси х показано на рис. 3.13 штрихпунктириой линией). Тогда в сил
симметрии прогиба по оси у в решении (3.88) следует исключить нечетные состав-
ляющие, т. е. принять Вгп = Ст — 0. В результате получим
Ут. (у) = Am ch кту + Dtny sb ^тУ +
где = тп!а.
Из равенства (3.87) при q = q0 имеем
9» = н£(т = 1’ 31 6’-)
и частное решение Y^ можно принять в виде
Ym =
4<7о
(3.flfll
122

(•«.и.ку края у = d-b/2 (см. рис. 3.13) жестко защемлены, граничные условия
BiJiuuoTCH в форме (3.66), т. е.
И I/ ±&/2	w — dwldy = 0.	(3.91)
Uli ишляя (3.89) с учетом (3.90) в условия (3.91), получим следующие два урав-
Itiin для определения Ат и Dm:
Ащ ch tzm Т~ Dm sh ctm = — 4^0/(cXrnD)>
Arn^m Sh dm + Dm (sh am +	ch am) = 0,
n m =
Н.1ходя отсюда Am и Dm и подставляя их в решение (3.89) и далее исподь-
формулу (3.84), получим функцию прогиба в виде
(V у} = 4?0 V	(sbctm+gmCbctTOlchXrey —Imfsham^ysh^ray х
aD	5.. •	1т (От + Ch От sh am)
, tnnx
X sin-----
a
Ьлученный ряд достаточно быстро сходится. В частности, для квадратной пла-
Ьш.1 (а = о) максимальный прогиб в центре (х = а/2, у = 0) при т = 1 со-
KnuijicT Вдщах = O,002goc4ZD, что отличается от точного значения на 4 %.
I В реальных конструкциях пластины могут иметь самые раз-
йфбразные условия закрепления. Поскольку при этом точное
Спгние, как правило, построить не удается, для расчета исполн-
имся прикладные, приближенные методы, изложенные в разд. 1.6
»л. I. Проиллюстрируем приложение этих методов к расчету из-
I шиемых пластин.
* Расчет пластин методом Ритца—Тимошенко. Согласно изло-
женному в разд. 1.6.1 функция прогиба представляется в виде
«иисчиого ряда
k
w(x, JO = 2j AtWi (x, у),	(3.92)
f=l
цс задаваемые (аппроксимирующие) функции (х, у) должны
^цоплетворять по крайней мере геометрическим граничным усло-
жним. Неизвестные коэффициенты At определяются на основании
•условий типа (1.71)
<- = 0 (£=1,2,3...*),	(3.93)
|Дг полная потенциальная энергия Э вычисляется подстановкой
(3 92) в выражение (3.75).
Условия (3.93) приводят к системе линейных алгебраических
уравнений, матричная форма которых имеет вид
[а! L4] = [6],	(3.94)
123

где [a], [bl — квадратная матрица и матрица-столбец порядка
элементы которых определяются по формулам
и — j j dx2 ffxi 4- dyi	p dx, dyt -i-	j 4-
+ 2(1_ц)^.^1^аг>
1	' r' дхдудхду] 9t
bi = j j QWi dx dy (i, f 1,2 ... k).
Определив из системы (3.94) неизвестные коэффициенты Ai I
подставив их в (3.92), получим искомую функцию прог ибо
Точность результата зависит от количества членов в ряде (3.95
и характера выбранных аппроксимирующих функций. При прак>
тических расчетах пластин этн функции удобно представлять I
виде
Щ (*. У) = Фт (*) Фп (У),	(3.9В|
при этом, если выбранные функции <рт (ж) и фп (у) будут ортого-
нальными, то значительно упростятся как формулы для коэф
фициентов Су в уравнениях (3.94), так н сами уравнения, так мк
матрица [а ] станет диагональной и уравнения будут незавиЯ
мыми. В этом отношении в качестве функций <рто (%), фп (у) можно
рекомендовать формы собственных колебаний балкн, соответ
ствующей изолированной полоске, вырезанной из пластины вдоль
осей х, у. Граничные условия для такой балки должны состав
ствовать условиям закрепления пластины на сторонах х — conel
и у = const. При выборе одного члена разложения в качестю |
функций ср, (%), % (у) можно взять форму статического прогибе.
полоски-балки при нагрузке, аналогичной нагрузке на пластину, I
или форму основного тона собственных колебаний, если нагрузке
на пластину равномерно распределенная.
В качестве примера рассмотрим прямоугольную шарнир®
опертую пластину прн действии сосредоточенной силы Р, прило
женной в точке с координатами 1] (см. рис. 3.12). Форму него
мого прогиба представим в виде
m~-k п*~1
Лга„81П^~Sln^.
Я=1 п=1
Аппроксимирующие функции
. тпх .	. ппу
4>m = Sln —, <t„=Sln-j2


митлстворяют всем граничным условиям. Кроме того, для этих
Цинний выполняются условия ортогональности
г , тпх , ппх .
I sin—-sin — dx
Joe
о
(О при т = п
а/2 при т^п
[sln^sln^dff
J о и
(О при т^п
Ъ{2 при т^п‘
I ni да коэффициенты ait = ат„ и &f = bmn в уравнениях (3.94)
 •нр оделяются по формулам
__л*аЬР / /п1 ! я* \2
— —— V^--r-jr) >
bral = Psta^sln!!55.
I Неизвестные i4f = Лтд в уравнении (3.94) найдутся по фор-
муле
д
Птп —
Ьтп
атп
лг. .	- ЯЯЧ
4Р sin —5 sin
a b
. krJ I «S V *
+ -gr)
• искомая функция прогибов будет определяться выражением
sta^sinS
sin™sl„^
а  о
w(x,y)*=
При а = Ь, 5 = т] —т — п = 1 максимальный прогиб
«идратиой пластины при действии сосредоточенной силы в се-
рдине пластины и учете одного члена в выражении для функции
прогибов будет
Щгт
Рс»
л«П
Расчет пластин методом Бубнова—Галерки на. В задаче об
n и ибе пластин этот метод, изложенный в разд. 1.6.2, используется
цля приближенного решения разрешающего уравнения теории
ни иба пластин (3.62), которое перепишем в виде
дх*^ ^дх^ду-^ ду* D “U	(б.Уо)
Представим решение уравнения (3.96) в форме конечного ряда
“ (*. у) = S AiWt (х, &),	(3.87)
J2S

где задаваемые (аппроксимирующие) функции (х, у) доли»!
удовлетворять всем граничным условиям на краях пласти»!
Неизвестные коэффициенты определяются из условий thF
(1.76)
JJ Ф(х, ц, Ait q/D)wtdxdy = 0,	(3. 
где Ф (х, ут At, q/D) — функция, являющаяся результатом под
становки (3.94) в (3.96). Если бы ряд (3.97) являлся точным pt
шением, функция ф обращалась бы в нуль. Условия (3.98), кой
рые представляют собой условия ортогональности функци!
ошибки $ к каждой из аппроксимирующих функций, после оЖ
числения интегралов (при решении они являются определенными
дают систему линейных алгебраических уравнений отиосительй
неизвестных коэффициентов Д. При выборе аппроксимирующи|
функций можно использовать рекомендации, которые были сд|
ланы при описании метода Ритца—Тимошенко. Однако следу®
помнить, что в данном случае требования к функциям wt (х, 
являются более жесткими — они должны удовлетворять вей
граничным условиям.
В качестве примера рассмотрим защемленную по контуру
прямоугольную пластину при поперечной равномерно распре»
ленной нагрузке (см. рис. 3.10, а). Для сокращения вычислений
оставим в (3.97) один член и, учитывая приведенные ранее река
мендации, представим аппроксимирующую функцию в виде 
t»i (*> у) = чч (*) 4=1 (у).
где функции qi. (х) = (xVa4) (х — а)2,	((/) == (y2/ba) (у — 11)
представляют собой форму прогибов полосок-балок, вырезании!
из пластины вдоль осей х, у. Как видно, функция
(х, у) = Д, (х - а)2 (у - Ь)2
удовлетворяет всем граничным условиям. Подставив (х, у)
в (3.96), получим
Ф (X, у, Д1( ?/D) - А, [24х> (х - а)2 +
+ В (6х3 — бах -|- а2) (6г/3 — 6b у + Ь2) + 24г/2 (у — Ь)й] — q0/D.
Тогда на основании (3.98) имеем
а b
J [ {А [24х2 (х - а)2 + 8 (6хг - to + а2) (бу2 - бЬу + Ь2) +
О о
+ 24»’ (у - Ь)2] - -£-} А (х - а)2 ^{у- b)2 dx dy = О,
126

hyi.n после интегрирования и преобразовании получим
д =____________________7а№д0_____.
8D (с9 + у-ай£>и4-Ь9^
lniore выражение для искомой функции прогибов примет вид
W(x,y) = 7^(х-а)М8,-0^
8D (а9 4- -у- а*Ьй + Ь*)
I частности, для квадратной пластины (а = Ь) максимальный
шиб в середине пластины (х — у = будет
и„„ = 0,00133
|» не более чем на 5 % отличается от точного результата.
Расчет пластин методом Власова—Канторовича. При исполь-
ипии этого метода, изложенного в разд. 1.6.3, неизвестная
|нкция прогибов в соответствии с (1.76) задается в виде конеч-
м» ряда
I® (*. у) = L fi W Ч>! (У)-	(3.99)
f=t
|Ндесь одна из групп функции, пусть <рг (у), задается заранее,
п функции достаточно хорошо должны описывать деформирова-
н‘ пластины вдоль оси у и удовлетворять граничным условиям
| краях у = const. Другая группа функций, в данном случае
(»), определяется из обыкновенных дифференциальных уравне-
lii типа (1.77), строящихся с использованием принципа Ла-
ипжа.
Подставляя разложение (3.99) в выражение для полной энер-
11 (3.75), получим
) • U4- £ S(a,i№+++2 (1 -	-
I i i
(3.100)
« c'it = J Dtpitfjdy, btj= J Dtf'itf/dy,
cu = f Dwv'idy, dit = J DtfW/dy, pt = J ytp, dy.
П tip и ационные уравнения для функции (х) имеют вид, анало-
питый (1.77), т. е.
—-•^-^+^5^=0 (i=l,2, 3-fe).	(3.101)
Sfi	df i	ft
127

Решения уравнений (3.99) долл©
удовлетворять граничным условЯ
на краях х = const. Гсометриче<Я
граничные условия записываю»
непосредственно. Например, I
жестко защемленного края в с1
ветствии с (3.66) и (3.29) полу»
при х — const ft — ft = 0.
Вка честве статических граничЛ
условий следует принять естестп©
ные граничные условия вариацн®
ной задачи, вывод которых
проиллюстрирован иа примере w
дачи об изгибе балки в разд. 1.3 ‘
В рассматриваемом случае эти 
ловия, аналогичные первым двум условиям (1.35) для своб
ного края х — const, имеют вид
77-45=°- 5 = ° (<=1.2,3...fe).	(3.1
Sfi ах dfi dfc
Приведем пример применения метода Власова—Канторович»
для определения прогибов консольной пластины при произвол»,»
распределенной нагрузке (рис. 3.14). При этом будем считать, Я
пластина может быть переменной толщины и произвольной фор»
в плане. Задавая перемещение сечеиия х = const вдоль ос*
как поступательное перемещение вдоль оси г и поворот отно©
тельно оси %, представим функции <р4 (у) в виде
4'1 (у) = у‘ (1 = 0; 1).
Тогда ряд (3.99) примет вид
о- (*. у) = to W + A W у,
а выражение для полной потенциальной энергии (3.100) бу
I
 3 = 4-j[Goffi)2 + 2oifoA + c2(fi;)a + 2(l-riaI>(fi)!- I
о
-гр^-гр^ах,
pt= \qy‘dy.
Vi
где с,- = J Dy‘dy,
У1
Тогда равенство (3.101) при F = Oq (/о)2 +	+ a2 Ш)’ I
+ 2 (1 — p) Go (П)2 — 2pofo — приводит к двум обыкиоой-
ным дифференциальным уравнениям
OWo J- С1Я) — Ро»
(aifo + adT) — 2(1 — р) aof{ — р^.
128

Ьн решении этих уравнений необходимо учесть, что на крае
Ь 0 (см. рис. 3.14) пластинка жестко защемлена, т. е. имеют
рп граничные условия
при х — О /о = /6 — О, Я — 0,	(3.104)
Врпй х -- I свободен, т., е. имеют место граничные условия
। ИР)
при х — Z
dF____— d? d dF л
dxdft ’ dfi dx df '{	’
||.пвернутой форме эти условия имеют вид (при х = Z)
' ^(^+°Л)=°. 2(i-H^-4(^+°^) = 0- (3.105)
go/q + °ifi = 0; Gifo + йг/1 = 0.
в к им образом, для определения f0 (х) и (х) имеем два диффе-
ищпальных уравнения (3.103) с переменными коэффициентами,
сдое из которых имеет четвертый порядок и восемь условий
। Ш4), (3.105) для нахождения постоянных интегрирования.
В частности, для пластины в виде прямоугольного треуголь-
ник, который защемлен по катету b и имеет длину другого ка-
i.i Z, при равномерном давлении q — qc и постоянной жестко-
III D решение имеет вид
а=w r=W [4<5 - <“•)(• - * -	-
р-i
₽
(1 — X —

, 9oZ« 1	/х₽-1	х>-1\
«“wi-wy Р 3 /’
Lx^l-Л., а =	(1-м), р = /1 + 16а*.
|!«комая функция прогибов определяется выражением
(>' У) = 8D (f°„ 2а2) [~g - (5 — 4a-) 1 — x — ——) —
-VO-’-n^+W-V)]-
Расчет пластин методом сеток. Метод сеток принадлежит
К классу дискретных, конечно-разностных методов, изложенных
и рнзд. 1.6.5, и применяется для численного решения двумерных
R И« Ф Образцов н жр*	129

дифференциальных уравнений. В задачах об изгибе пласткй^Н
ким уравнением является разрешающее уравнение (ЗХ ), т е I
дх* + 2 сх} ду* + ду9 D "	('’-И
Решение этого уравнения, т. е. определение прогиба нласт^Н
при заданных граничных условиях и нагрузке методом конеч^В
разностей заключается в следующем. Пусть имеем прямоугольиИ
пластину. Нанесем на нее прямоугольную сетку с шзгом Дх, Ж
(см. рис. 1.9). Тогда, пользуясь формулами (1-83), можно ьапй
сать по методу конечных разностей все производные, еходя^И
в уравнение (3.106), а следовательно, и само уравнение во вел
узловых точках сетки. Пусть, например, точка k (см. рнс. !•
является одной из узловых точек сетки. Тогда уравнение (З.КЯ
записанное в точке k по методу конечных разностей,, будет имев
вид
~ (6ш„ to. - 4ю„ 4-	+ W.) | д5^г(4ш» - 2<о. - -Я
— 2ше — 2o»d + и, 4- tee 4- wh ie() 4-
+ к? ~ to«—4tB>< + wf+= -§ 	(3 '<*
Алгебраическое уравнение (3.107) является типичным, если уря|
неиие (3.106) записывается по методу конечных разностей в узЛ
вых точках, отстоящих не менее чем на два шага от гране
пластины. Если узловая точка является смежной с границей ил
принадлежит ей (последний случай только для свободного края!
то при записи уравнения (3.106) в такой точке по методу койот
ных разностей появятся так называемые законтурные (фиктнвиИ
узловые точки. Требуемое выражение прогибов в законтурны!
точках через прогибы в точках собственно пластины (влутри^И
узловые точки) определяется с использованием конкретм
граничных условии.
Пусть, например, линия т — п (см. рис. 1.9) — защемлеюИ
край пластины, которая находится выше линии т — л.
Введем законтурные точки ct с, 1 м рассмотрим точки а, I
и с. Так как точка k находится на защемленном крае, имеем Ufe •
= 0, (дш1ду)ъ = 0, или по методу конечных разностей согласи
формулам (1.83) (we — o/d) = 0. Отсюда
wc — wd,	(3.108)
т. е. функция прогиба в законтурной точке выражается черв
функцию прогиба точки d9 принадлежащей пластине.
Пусть теперь линия т—-п (см. рис. 1.9) — шарнирно оперти!
край. Как и в предыдущем случае, для расчета пластины необхо-
димо предварительно выразить значения прогибов в точках типи ♦
через значения прогибов в точках типа d. Так как точка k при
надлежит шарнирно опертому краю, можно записать =» &
130
конечных разностей con

^y2)h = 0. Отсюда с учетом (1.83) имеем (1/ш/") (wc -J- wa —
•й) == 0 или
wc = —wa.	(3.109)
ть теперь линия r,i— п (см. рис. 1.9) — свободный край.
р)м случае при расчете пластины придется выражать прогибы
|ух законтурных точках типа с и q. Для этого нужно исполь-
1и условия свободного края. Так как точка k принадлежит
Ьдному краю, то можно записать
f&w . d2tw\ п Гд3™ ,Q д d*w ]	«
гдч с учетом (1.83) имеем
(®. + Wg - 2®„.) + (to. + wb - 2®„) = 0;
(2ta. - 2al4 - WP + ®q) + 'ЛхЛу” 2Wg + W“ ~w>~
-w, + we) = 0.
i первого уравнения следует формула
t». = 2 (1 -1» wh - р, ^(ш. + №(,) - ta„, (3.110)
*)рая справедлива для точек типа с, т. е. законтурных точек,
поящих на один шаг от свободного края.
Из второго уравнения следует формула
w, “ 2 [ Е? <2 - + 1 ] (Wg -	+
+ з£(2-р)(ш,-ш,-и>л +	(3.111)
горая справедлива для точек типа д, т. е. законтурных точек,
•гоящих на два шага от свободного края. В зтой формуле про-
Wr, Wet SI Т. П. ВМ-
ЕНЯЮТСЯ по формуле типа
.110).
В качестве примера рас-
<итрим квадратную пласти-
г, шарнирно опертую по
1сму контуру. Разделим
Кроны пластины на четыре
1сти и, полагая в дальней-
гм а — bt = &у = й/4,
Г q0 — const, в силу сим-
М грии запишем уравнение
.107) только в точках /,
5 {рис. 3.15).
а
X I
VJI УШ
Рис. 3.15. К расчету пластины методом
сеток
а
131

Точка 1:
~(6[£,1- ton 'to,-(-дар гш,) ‘
2
2(К.„
ш, a?sv 1- да,) -' ®m. ) Ki, ) K>1
4.
4®а 4а>а-|-шо _!	=
В силу граничных условий и формул типа (3.109) имеем
О,

«Tv»- №v
Тогда, положив &
&ц-
2tW
— I6a>s
Зег»,
Точка 2,
о ’Ъг 
0/4. ft
<№*
2ЫМЭ 4
<7о. подучим
Л^(6»г
4«>й
®v »' tv*) f-
2
+ X?37'f4®’ 2<®V
'. •	' «'IV

 A^(6w,	4'A	4», wtJ №Vn)-^.
С учетом граничных условий и равенств a b, Лх Sy
Чг - q, имеем
16а»,	2«№, 8bss -^у-
Точка 5:
—- (6hl	4^	-f. &yix ।. аь-у) 4
2
"ЛхйЛ^ -4rf f‘ ~ "Ь 4	+ we) ’- O»J ' Wg да, 4~ W'aj
-i- -д’у- (&*6 - 4да4 - 4дав ф- р. шнп) =	.
С учетом граничных условий и равенств а =» Ъ, Дх -= Дн ч
9ь = ?о имеем	s
8щ,	32^ + 20^=.-^-.
Таким образом, разрешающая система уравнений имеет вид
20№, - 1&»S + 2аъ «	;
— !6да, +28да3 - 8»а ==
8ш, - 32®, + 20да6 =	,
132

»дн а результате решения! получим
fTt nji<4	t л •тй
wi яя. 0e&5-jgTgjp B’a ™ *V»"jgg£T t
да*г
щгнмальный прогиб в .середине — ж* — 0,004 -~- от*
Iih'ick от точного решения не более чем на 2„5 %.
М. НЗПкЯВ КРУГЛЫХ ПЛАСТЙИ
ЭЛЛ. Исходные соотаошейка
Для исследования круглых пластин, являющихся рас-
 । раненными элементами конструкций самого разнообразного
мочения» целесообразно записать соотношения теории изгиба
(Стин в полярных координатах гв 6 (рис. 3.16). Эти соотношения
то вывести непосредственно нлн перейти в «юлученных выше
внениях от декартовых координат к полярным. Соответствуй
формулы (3.41) такого преобразования были получены
. 3.2.3. Основное уравнение теории изгиба пластин (3.62)
pie перехода к молярным координатам примет форму, аиало-
чг ую (3.12b т- е-
I g I \ ( t^w . I । t <?*ьА
.dr4 r dr г* Й08/ \drs ' r dr-* r5 /
/ (3.1 i2)
Согласно рис. 3.16 в круглой пластине действуют изгибающие
1»меиты Л4Вв крутящий момент Air0 и перерезывающие силы
I, <?0. Для вывода соотношений, связывающих усилия н моменты
прогибом, воспользуемся приемом, изложенным в разд. 3-2.3.
я рис. 3,16 следует, что при 6 О /Иг — M3t ~ Ми, Мг0 Л1Ж8Г,
Рве. 1.Ш. Круглее вииегыма
133

Qr = Qx> Qe = Qy- В соответствии с равенствами (3.58) и форм!
лами (3.41), записанными для 6 = 0, получим
(3.1 w
Л^\И
н ее/
Аналогичным образом преобразуются выражения для еререв
вающих сил (3.59):	™
п тл & (। 15®, 1 d2w\
л n 1 д / й2а> 1 dw . 1 й2гу\
------и~1ё^+ — »+—д^)-
Обобщенные перерезывающие силы записываются
(3.68):
(3.114
аналогичИ
Q'=Qr+^-^p, Q5 = Ce + ^.
Распределение перемещений по толщине круглой пластины мож<
получить из равенств (3.53), если учесть, что при 6 = 0 радиаДь
ное перемещение и совпадает с перемещением по оси х, а окружив
перемещение v совпадает с перемещением по оси у. С помощи
формул (3.41) найдем
-—«у.	(Ji
и, наконец, распределение напряжений по толщине ластипн
определяется соотношениями, полностью аналогичными равс»
ствам (3.63)—(3.65), т. е.
(3-1 li)
„	„/1.3?	2z3\
°*--+ 2h ~ V-)*
Решение уравнения (3.112) необходимо подчинить
условиям на краях пластины. Для жестко защемленного кЯ
согласно (3.115) по аналогии с (3.66) получим
при г = const ш = — = 0;
При 6 = Const 12) = ~ ~ = 0.
граничные
(3.11’
134

Ki шарнирно опертом крае должны обращаться в нуль прогиб
• н .1 «бающий момеит, т. е. в соответствии с (3.113) по аналогии
КI' Ь/)
. д2и/ .	1 й® Л
.|>П г -const	+ и — §7 = 0.
, »	(3.118)
_ Л	&	1	f4’	П	\	/
Н |М1 0 = const tt-	О.
(3.119)
И, наконец, для свободного края аналогично (3.69), будем иметь
и|Н1 г =. const Ме “ Q.* — 0,
п| и 9 =» const Mq  ' Qg » 0.
ЗЛ.2- Осесимметричный изгиб круглых пластин
Наиболее распространенным является случай осесим-
К|рамного изгиба сплошных и кольцевых круглых пластин
Кир узкой q ~ q (г). Если край пластины г = const закреплен
Шишакове во всех точках, прогиб является симметричным отно-
н*и*льно центра пластины и не зависит от 6. В случае осесимме-
•ручного изгиба w — w (г), v = 0, QB 0, MrG = 0. Основное
||пшение изгиба (3.112) и соотношения упругости (3.113), (3.114)
|ur этом принимают вид
(£+4-4)(£+^-£-)=^;	(3.120)
►	,Me=_D(_Lg + ll£).
I рлнишые условия определяются равенствами (3..1I7)- (ЗЛ19) для
края = const.
Г Уравнение (3,120) допускает решение в общем виде. Заметим,
(3.122)
f с. уравнение (3.120) можно записать в форме
-T-£H[-r£('£)W-	(3.123)
'Умножим (3.123) иа г, проинтегрируем и разделим результат
пп г. Получим
<3-,24>
Сопоставляя (3.124) с последним равенством (3.121) и соотноше-
нием (3.122), найдем
[ qrdr~^-D.	(3.125)
135

Рис. 3.17. Круглая пластина, за-
щемленная по контуру
Интегрируя (3.124), умножая И
г и еще раз интегрируя, по’лф
деления результата на г получиа
+ С1 “(^пг------2~)+Са "2" + г' 1
(3.129
И, наконец, интегрируя (3.126), найдем прогиб
"4-(In f —- 1) + сас31пгс4,	(3.121
где Р (г) = J -у J г dr J -у J qrdr.
Постоянные сх — с4 находятся из граничных условий.
В качестве примера рассмотрим сплошную пластинку, защеик
ленную по контуру г = а и нагруженную равномерным давление
qQ (рис. 3.17). Для равномерной нагрузки имеем

(3.12В)
Ввиду того, что перерезывающая сила (3.125) и прогиб (3.127)
должны быть конечными при г = 0, следует принять сх = сд = 
т. е. получим
ш=м5+еа-г + с‘-
Для жесткой заделки должны выполняться условия (3.117)
т. е. при г = fl w = dwldr = 0. Из этих условий найдем са -
=с« - WVfMD) и Ш = ^(а2-га)а.
Максимальный прогиб реализуется в центре пластины
1и,шх=ш(г = 0) = ^-

ГЛАВА 4
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК
4.3. УРАВНЕНИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
4.1.1. Основные определения
В главе 3 были рассмотрены пластины, т. е. тоикостен-
B|v элементы, ограниченные двумя плоскостями. Оболочка яв-
игггя более сложным объектом — она представляет собой тело,
। цмпиченное двумя криволинейными поверхностями, расстоя
•Иг между которыми h (толщина оболочки) мало по сравнению
• другими характерными размерами (рис. 4.1).
оболочки разнообразных форм являются распространенными
цементами летательных аппаратов различного назначения. Рас-
Ьгиня схема оболочки используется для анализа герметических
•<>пп самолетов, корпусов и баков ракет, баллонов давления и
ipyi их элементов.
В 11о аналогии с пластинами поверхность, разделяющую толщину
1»»ш почки пополам, назовем срединной поверхностью, а отрезок
нормали к срединной поверхности тп (см. рис. 4.1) — нормальным
фментом. Геометрия оболочки полностью определяется формой
•г срединной поверхности и толщиной.
Отнесем оболочку к системе координат а, р, у (см. рис. 4.1),
причем ось у является прямолинейной и направлена по нормали
М срединной поверхности, а оси аир являются криволинейными
И лежат в срединной поверхности. Проведем через ось 7 семей-
iiiii) плоскостей, нормальных к срединной поверхности. Тогда
и результате пересечения этих плоскостей со срединной поверх-
lit t гью оболочки в точке О образуется семейство кривых, среди
вторых существуют две такие, у которых радиусы кривизны
ннляются максимальным и минимальным в данной точке. Кдса-
п'льные к этим кривым называются главными направлениями
поверхности и, как доказывается в теории поверхностей, являются
нртогональными. Кривые, касающиеся в каждой точке главных
направлений, называются линиями главных кривизн и в теории
оболочек обычно используются в качестве координатных ли-
нии аир (см. рис. 4.1). Введенная таким образом система коорди-
нат а, р, у является ортогональной.
Длины элементов координатных линий аир запишем в виде
— A da, dsp = В dp, где А и В — некоторые масштабные
коэффициенты, определяющие, скольким единицам длины соот-
пегствуют единичные приращения переменных а н р. Тогда ква-
137

драт длины дуги произвольного элемента, лежащего в средяииЯ
поверхности, равен
ds2 - J- ds| = Л» da* Д’ d$*.	(4 I)
Соотношение (4.1) называется первой квадратичной формой П|
верхности (существует и вторая квадратичная форма, которИ
связана с кривизнами поверхности и в дальнейшем не потребуете^,
д параметры А я В — коэффициентами первой квадратнч^И
формы. Для плоскости, отнесенной к декартовым координатам 
у, получим ds~ dx- + dy2, т. е. А « В « 1, для пяоскосЯ
отнесенной к полярным координатам г, Q (см., например, рис. 3.16/,
d& — dr2 + г2 cfG2, т. е. А ~ 1, В = г. Геометрия срединнот
поверхности оболочки полностью определяется коэффициентами Л
В н главными радиусами кривизны Rlt которые в общем
случае являются функциями переменных аир.
Для элемента длины дуги произвольной линии, заключенной
между поверхностями у ~ zhh/2, можно записать следующун
приближенную формулу:
Приближенность соотношения (4.2) вытекает из того, что, иаври
мер, для наружной и внутренней поверхностей оболочки (у -
= ±Л/2) dy = 0 н (4.2) совладает с (4.1), т.е. длина линий пл
поверхностях оболочки отождествляется с длиной их проекций на
срединную поверхность. Из рис. 4.1 следует„ что такая замена
тем правомочнее, чем меньше h по сравнению е и Rt. Точная
формула типа (4.2) имеет вид
ds' = Л’ (i 4-Х)' da« + В’ (i + ф’ + dy\ (4.3)
138

4Л.2. Исходные соотношения в криволинейных
координатах
В главе 3 уравнения теории пластин выводились из
jp.мнений теории упругости в декартовых координатах. Для
Кдпгпчиого вывода уравнений теории оболочек необходимы
Ьм in гствующие уравнения в криволинейных координатах. При
Им толщина оболочки считается малой, т. е. вводятся упроще-
И, позволяющие заменить (4.3) приближенной формулой (4.2).
1| ишения равновесия элемента (рис. 4.2), аналогичные урав-
iiiiiim (3.1)—(3.3), имеют вид
а(/чцВ) . а ,лв -Ав ,т .«Ж . _
Р да + д£ + ду	да +	+ “•» R, ~ °’
В*(Ч) I fl(fltgp) I А . АЛ дВ ЛВ_0
Г Л + За Г йу ИСТ„) иа +	+	— U,
(4.4)
д f л \ । д I д (Atrv) _ АВ АВ п
w (ЛВа,)+ V +	= 0.
усмотрим, например, первое уравнение (4.4). Его более сложная
(и рпвнеиию с уравнением (3.1) в декартовых координатах струк-
Вд связана с тем, что в криволинейных координатах А и В
цоиотся функциями а, р и срединная поверхность искривлена.
результате, если bd = Ada, ab = Bdfi, то ас = bd-j- (dA/dfi)dfi,
•I ab 4- (dBlda) да, и за счет углов d6lt d6s и tf63 (см. рис. 4.2)
Ь) имины напряжений ор, таР и тау дают проекции на направле-
нии а-
। Гюлее сложными, чем соотношения (3.4), (3.5) в теории пла-
»кп1, являются и геометрические соотношения
1 диа . "в 0А uv	л	1 дар иа дВ uv	е.
I е“ “ А да + АВ + яЬ	₽— В др + АВда + Д7’
р  1 д«а I 1 dt/g аа дА 	&&
?а₽ — в + л да ~ АВ др	АВ да1
(4-6)
_	_ ^Ua । j duv _ ua _ dug ._________df/y___
|«V— эр — ду + А да	ду В dp R4 ’
Цссь uat Up, uv — перемещения по направлениям a, p, у. Что
Йн ается физических соотношений, то оии с точностью до обозна-
чений совпадают с (3.6), (3.7)
= 4" (иа — у ор — В^Ч), Ер = 4" (аР “
= -j- (а, — ра» - ров). ?ит = 2(1+-- ta„	+ tBr
(4.8)
139


4.1.3- Основные соотношения общей теории обо«о»И
Теория оболочек, так же как и теория пластин, бах»
руется на гипотезах Кирхгофа для нормального элемента
(см. рис. 4.1). обсуждавшихся в разд. 3.1.1. Согласно этим гиЛ
тезам следует принять ev	= 0 и нз (4.6) прн у |
-С -R1.S получим uv — iv (а, р) и линейное распределение перем
щений иа, и$ по толщине оболочки, аналогичное (3.9)
иа = и + т0„ иа = о + уОв.	(4 fl
где и (а, р); v (а, р); w (а, р) - перемещения срединной п>
верхиости у 0 в направлениях а. р и прогиб' оболочки,^
,.ч м 1 «W «	» I dw	, .Л
0“^7Щ-Т<й?	И-Я
углы поворота нормали к срединной поверхности.
Подставляя перемещения (4.9) в геометрические соотношеЛ
(4.5), получим выражения для деформаций
е« = «&+?«.. ец=«е£- yxs, V<-.e “a ?o(i l-(4.1
где
о 5 да . » ЭД w й I ди . и дВ w
Е»г-ТЖ + лввр + ^' еР=гТ-<+
1 ди I	и дА w дВ
“ "а + Т - леер - АВ Эй
(41$
— деформации удлинения н сдвига срединной поверхности;^
1	, 1 дА <.	I 1 дв <>_ .Я
*“~~а 7Й‘+/ай?;0!5' «в» -в-^+мв^»’ (11»
_ 1 »<,	।	». гл ев
--В -м+~А~M3fg ~ABdi
— изменения кривизн и кручение срединной поверхностей
В соответствии с гипотезами Кирхгофа в законе Гука (4.Я
следует пренебречь напряжениями по сравнению с и <т>
Выражая из (4.7) напряжения и подставляя в полученные pf леи
ства деформации (4.11), будем иметь
о„ ~ Ё jej + JIE^ + V (ха + JI хА)],
l’f £ 1в§ 4 JIS^ 4- у (x(14- pQ),	(4 I4(
M= Ф E(1 - p) (Й, + yx^b),
где E «=£/(! — fi*).

a)	4?
 4 Напряжения (а)г результирующие усилия н моменты (6)t действующие
ио Гриням ялемскта оболочки
Ь те. как и в теории пластик, напряжения линейно изменяются
г tn" щи не оболочки и аналогично (ЗЛ2), (3.13) могут быть вве-
MJ усилия и моменты (рис. 4.3):
42	42	42
I	w«= J «а'Л’.	Nft-= [ Сцйу,	.VoS=	J
-Aft	Х'з	-ft; 2
Й/2	й/2	42
— f	Af,« j Cjs-yd-y, ;WeB=. J r^ydy, (4.15)
~42	~Й/2	-Л/2
42	42
Qa— J T«vrfT. Q»~ J T»vrfV-
=-42	-Л/2
ты и образом, в качестве основного элемента оболочки можно
|ми 1атривать элемент срединной поверхности, нагруженный уси-
Кими и моментами, показанными на рис. 4.3, б. Подставляя на»
«•рнжзнкл (4.14) в соотношения (4.15), получим
ft« = £ЛИ+ре®’ A-p '- Z
(4.16)
•*„=£>( „ + р*Д
Ле = />(с,+ }«.), < =-§-(1 — (i)k,s,
иг D —- £/i8/I2 (I — fis) — изгибпая или цилиндрическая жест»
мн ib оболочки. Усилия и моменты должны быть связаны урав-
Ш нияыи равновесия, которые могут быть получены кеписредст-
Ь’пно из рассмотрения равновесия элемента, показанного на
pin 4.3, б илн« как это было показано в гл. 3, в результате ин-
Шрирования ио толщине уравнений (4.4) с учетом соотношений
И!

(4.15).	Используя последнюю схему вывода уравнений, от<»
была описана в разд. 3.1.2, окончательно получим
 d(ANa$ у/Д дА АВ 0 . Д R п
I	_ V — I V I && f} I А рп Л
e(BQa) а (дод ав N ав .	<41
да + df,-------л«-д7-"0^'+'4^ = О,
(ВМа) । д (АЛ1ар} g. дВ . дА л R^, р
да н ------------M*fa + М<* д₽ ~ А BQa =“ °’
«GW , д(ВМаа м дА м дБ п С4»
дГ~ + ta----------Л“ а₽ + Л1"<‘ ta - лв<^ “ °’
где qa, q$, qv — поверхностные нагрузки, отнесенные к сред»
ной поверхности оболочки (см. рис. 4.3, б). При этом шестое ур •
некие (уравнение моментов относительно нормали к средний •
поверхности оболочки) удовлетворяется тождественно в силу на
кости касательных напряжений.
Соотношения (4.Ю), (4.I2), (4.13), (4.16)—(4.18) представ л Ж
собой исходную систему 19-ти уравнений общей теории оболочД
которые включают девятнадцать неизвестных функций перем-и
ных а, £: восемь усилий и моментов — Na,	Qa, Л
Л1а, Aljs, Л4ар, восемь компонентов деформаций — е°, ер,
Фа. Фр. *р, хар и три перемещения — ц, и, w. При А I
— В = 1 и а = х, р = ^из полученных уравнений следу®
уравнения теории пластин, выведенные в гл. 3.
Согласно общей схеме решения задачи в перемещениях, изл^
женной в разд. 1.1.3, система уравнений теории оболочек можц
быть сведена к трем уравнениям относительно перемещений и, е.
и/. Для этого необходимо кз уравнений (4.18) выразить перереЛ
вающие силы
п _ 1 [д(ВМа),д(АМа$ .. дВ . .. (5Д1
° =лл[—й7-+~ар--------------^ta+^apj I
0	। риэд в(аи«й	ммл.м М1 <4'Я
“ ав l ap + “ta---------м»ар +
и подставить нх в уравнения (4.17). Выражая далее в получен^И
таким образом трех уравнениях усилия и моменты через nepf
мещения с помощью равенств (4.16), (4.12) и (4.10), (4.13), мож».
записать следующую систему:
Luu& Lll(f -J- Llww — qa,
^2u& Ч* Ч- LSu)w — q$t	(4.2
LShw £8{,ц -j- LSww gv.
Дифференциальные операторы L в общем случае имеют весыш
громоздкую форму н здесь не приводятся.
142

H I < in в результате решения системы (4.20) найдены перемеще-
Ня и (а, Р), и (се, р), w (е, р), то далее по формулам (4.10)-—
0 (4.19) можно определить компоненты деформации и с по-
^>10 соотношений (4.16) — усилия и моменты. Напряжения в
определяются равенствами, аналогичными (3.19) и (3.26)
^Бв«»|>ин пластин, т. е.
I |2ЛК
-£- + ”*• °о-т + т?~^
- ____2^s ।
(4.21)
т)- ^=W -4)- <422>
:|рмулы (4.22) соответствуют наиболее распространенному слу-
и, когда на поверхностях оболочки отсутствуют касательные
Н"»ляющие внешней нагрузки..
I h теории оболочек так же, как и в теории изгиба пластин, имеет
нарушение закона Гука для напряжений тау, тг„; и от,
ждавшееся выше в разд. 3.1.2.
СИЛ. Граничные условия
Разрешающие уравнения общей теории оболочек (4 20)
в совокупности восьмой порядок по переменным а и ₽.
|| к ок дон точке края оболочки необходимо записать четыре
Выипчных условия, которые являются непосредственным обоб-
^нисм граничных условий (3.66), (3.67) и (3.70). Так, на крае
Киочкн а const в общем случае должны быть заданы четыре
грпшгчных условия:
и нлн Na, v илк w иля £?«, или /Ие.
В более общем случае (упругое закрепление) может быть задана
шпснная комбинация двух функций
д- =г (ДИ, ДгА'еф == CjC,
*	~ Me*
На «щемленном крае к условиям отсутствия прогиба и угла ново*
। «1.1 (3.66) необходимо добавить условия отсутствия тангенциаль-
Ки перемещений срединной поверхности, т. е.
при a const и ~ v — w —	= 0,	(4.23)
при р — const и — V — W ~ фр — 0.
> глы поворота нормали к срединной поверхности и Фр опре-
ЧП1ЯЮТСЯ равенствами (4.10).
143

Распространенным является так называемое скользящее ш
нириое опирание (свободное опирание) края. Граничные уело]
при этом имеют вид
при а ~ const vd = v = 0, Ма — Na = О,	(4Л
при р = const vd = и ~ О, М& — Ар = 0.
Согласно (4.24), например, край а — const может свободно пер-
мещаться в направлении a (Na = 0) и закреплен от перемещен!
в направлении р (и = 0). Если отсутствуют все тангенциалыг .
перемещения, то условия Na = 0 н = 0 следует замени ,
соответственно на и — 0 и v — 0. Если же край свободен в от!
шении тангенциальных перемещений, условия v = 0 и и
в (4.24) заменяются иа NaSi = 0 при а -= const и р = coni(
К условиям на свободном крае пластины. (3.70) необходимо Н
бавить условия отсутствия тангенциальных усилий, т. е.
при а = const Na = Na& = Ма = Qa == 0, I
при p = const Nfs = Nafi = /И₽ — Qp = 0.
Здесь Qa и Qp — обобщенные перерезывающие силы, котор|
определяются равенствами, аналогичными (3.68), т. е.
QZ = Q« + -1-^.	= % +
где QK и Q₽ выражаются через моменты соотношениями (4.1'0
4.1.5. Полная энергия оболочки
Потенциальная энергия тонкой оболочки, для котор
допустима замена (4.3) на (4.2), имеет вид, аналогичный (3.7, >
h/2
—hI2
Подставляя деформации с помощью равенств (4.11) и учит
вая выражения для усилий и моментов (4.16), получим
U = ___ JJ (Afа8а	«₽Та0 А4аИа 4~	-ф-
+• А В daap.	(4.27}
Вариация работы внешних сил имеет вид
6Л — JJ (^а6«/-|-^р6о4-^6ш) ЛВйаф. (4.2Н|
Полная энергия оболочки определяется общей формулой (1,24)
т. е. Э ~ U — А; согласно принципу Лагранжа (см. разд. Г.
ЬЭ = би-8А=0.	
144

4.2. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
4.2.1. Вывод разрешающего уравнения
Выше в общих чертах без подробного вывода были
Вучсшы уравнения общей теории оболочек. В настоящем раз-
К вывод основных уравнений будет проиллюстрирован на до-
। id’iho простом и тем не менее важном для приложений примере—
 лпдаче об осесимметричном изгибе цилиндрической оболочки.
 ।ученные результаты позволят также сделать некоторые
 ные выводы, которые будут использованы в дальнейшем.
Пусть тонкая круговая цилиндрическая оболочка постоянной
ыли'ны h нагружается нормальной нагрузкой (давлением qv =
• ,1 (<z)) и касательной нагрузкой qa — q (<х) (рис. 4.4). Если дей-
ующие иа торцах оболочки силы также не зависят от окружной
Нфдинаты р, то как нагружение, так и напряженно-деформиро-
.11 ное состояние оболочки будут осесиммегричными. При этом
[• (), а перемещения и, w и все усилия и моменты будут зави-
, I. только от осевой координаты а.
Согласно рис. 4.4, a — da2 + /?2dp2, т. е. в соответствии
формулой (4.1) для цилиндрической оболочки А ~ 1, В = R.
К»ме того, очевидно, что -> оо и = В. Геометрические
ппошеиия типа (4.5), (4.6) в цилиндрических координатах
Ви осесимметричной задачи имеют вид
= <4'29)
(4.30)
145

На основании гипотез Кирхгофа (в, =	= 0) из (4.30) полуЯ
частную форму равенств (4.9), (4.10) для рассматриваемого слуЛ
u, = t»(a), ua = u(a) + yeo, $„ = -(»',	(4 1Ц
где tv и и — функция прогиба и осевое перемещение точек сЛ
динной поверхности, а ( )' обозначает производную п a. lid
ставляя (4.31) в (4.29), аналогично (4.11) имеем
«а — eg ф- ухо, е₽ = eg,	(4.11
где	g
4 = u', eg = x„ = — w".	(4.fl
Закон Гука (4.14) принимает вид
«’a-Sfcg + M+ ?»«).	
-	(4 
Од = £ (eg + peg + урх„).
Подставляя eg, eg, и„ согласно (4.34) н (4.35) н находя усилии
н моменты (4.15), запишем равенства типа (4.16):
Ь/2	Н
Na = j ОвЙу=£Цй'-|-р-^Л,	I
-V2	’ ’	Я
J oedy = £ft(-i + pu'),	(4.3
-•6/2	‘
6/2	й/2
— j	— Dw"9 Мр— f apydy« —I
-6/2	-ft/2
где, как и ранее, Ё « £7(1 — р2), D = £Ля/12.
Выведем теперь уравнения равновесия типа (4.17). Выделимм
оболочки элемент, показанный на рис. 4.4, б и приравняем нули
сумму всех сил, действующих в осевом направлении а, су мА
проекций сил на нормаль к поверхности и сумму моментов отно
сительно элемента параллели (остальные уравнения ра новееJ
удовлетворяются тождественно). Получим	Ц
1-5-0, Q;=-^ + p = 0, Mg-Qe = 0.	(4.3$
Соотношения (4.35) и (4.36) представляют собой систему с овнД
уравнений для осесимметрично нагруженной цнлиндрическЯ
оболочки. Семь полученных уравнений включают столько ж-
неизвестных — два перемещения н, w н пять усилий н момент®
Q(g, Мр. Как отмечалось в разд. 4.1.3, эту систему
можно свести к уравнениям, включающим в качестве нейзвестиД
перемещения. Действительно, из третьего уравнения (4.36) и
равенств (4.35) имеем	

4 Б. Цилнндрнче-
*•- лочка, иагружеи-
/ иономерным вку-
. давлением (а) и
1 ч закрепления ее
«пцемленныЙ край
«• «риирио опертый
(г । н край, свободно
цающийся в ра-
лом направлении
(а)
гг ;вляя теперь
иженные через
*2	# в) г)
в первые два уравнения (4.36) 'Afa, 7Иа, Qra,
перемещения, окончательно получим
u"+-s-tB' = -A’ tW+W- <4-38>
многих случаях задача является статически определимой от-
। гельно усилий /Уп — они могут быть получены путем интегри-
шия первого уравнения (4.36), причем произвольная постоян-
определяется по известному значению Na — N на каком-
j торце оболочки. В этих случаях вместо двух уравнений
К) можно получить одно уравнение относительно прогиба w.
Пусть на оболочку действует только внутреннее давление р
с. 4.5). При q — 0 из первого уравнения (4.36) получим Na = N
in р — const, то N = О,5р7?). Исключая из формул (4.35) и',
дем
+	(4.39)
ном случае второе уравнение (4.36) после подстановки выраже-
|'1 для (4.37) и (4.39) примет вид
DW">+^-w= -р*
ЛИ
wIV -|~ 4£4w — (р — р ,	(4.40)
L и - Eh - 3 0-Р8)
w 4J?2D ~	J?2h8 ’
4.2.2. Краевой эффект и безмоментное состояние
Общее решение уравнения (4.40) запишем в виде
di	е-*® (Сх cos ka -|- С2 sin ka} -j- eka (C3 cos Ла -J- C4 sin Ла) 4- E,o>
(4.41)
о- (а) — частное решение неоднородного уравнения (4.40),
рвисящее от вида правой части. Четыре произвольных постоян
147

ных Сй> Сэ, Ci определяются из четырех граничных услиниЯ
при а = 0 н а — I (см. рис. 4.5).
Если оболочка рассматривается как полубес конечна я (/ -> J
то из условия ограниченности решения при а -* ©о следует lid
ложить Са =- С3 = 0. Тогда
w = e~fta (Сх cos ka C2 sin ka.) - шй.	(4.4я|
Здесь константы Сг и С2 определяются из граничных условий HI
краю а 0; они характеризуют быстро затухающее решение тиц|
краевого эффекта, описывающее местный изгиб оболочки вблив
края а — 0. Так как е~л ж 0,043, то влиянием краевого эффекЯ
практически можно пренебречь при а rtlk или, если положив
р — 0,3, при а 2,5j/#ft. Например при Rih - 100 и R/hВ
= 400 ширина зоны краевого эффекта равна 0,25# и 0,12й|
соответственно.
Если длина оболочки превышает ширину зоны краевого |ф>
фекта (I >2,5jA#A), то такую оболочку можно считать длинной J
изгиб вблизи каждого из двух краев а = 0 и а — I можно рассмв
тривать незавнснмо друг от друга, используя решение (4 41)
для полубесконечной оболочки (при этом в каждом случае кооц*
дниата а отсчитывается от рассматриваемого края в направлении
другого края).
Если правая часть уравнения (4.42) представлена в виде поле
нома по степеням а с показателями, не превышающими трех, 
частное решение имеет вид
В более общем случае, если правая часть уравнения (4.40) меняет»
достаточно плавно, выражение (4.43) может быть использовал»*
как приближенное частное решение.
Решение (4.43) может быть также получено как решение у paii
нения (4.40) при D ~ 0. Из равенств (4.35), (4.37) и соотношеМ
(4.21), определяющих распределение напряжений по толщине иЛ
лочки, следует, что при D = 0 М№ /Ир = Qa — 0 и оа - //Л
™ N$!ht т. е. напряжения равномерно распределены ио тив
щине. Такое напряженное состояние оболочки называется бе»
моментным н соответственно решение (4.43) называется безмомеЯ
ным решением.
Таким образом, можно считать, что общее решение затач||
при осесимметричной деформации тонкой достаточно дливпоП
цилиндрической оболочки складывается из безмомеитного решения
и решения краевого эффекта.
В частности, для оболочки, показанной на рис. 4.5, о, нр|
р cosnt (N = 0,5/?#) и I > 2,5-|/#ft согласно (4.42), (4.41|
получим
(4.44J
где w* =	(Сл cos Аа • f- С8 sin ka)
148

Вставляющая прогиба, соответствующая краевому эффекту,
I	в'”“4г(1 -£)
(оставляющая прогиба, соответствующая безмоментному со*
hi и ию.
 Краевой эффект возникает в том случае, когда на краю оболо-
Вц нагружается моментным образом (поперечными силами, мо-
В|Ьпми), соединяется с другой оболочкой шпангоутом и т. и.
| 1т закрепляется в отношении поперечного перемещения w
Buia поворота &а. Угол поворота нормали, изгибающие моменты
 перерезывающая сила согласно формулам (4.35), (4.37) и (4.44)
•г-г вид:
 - w* ~ fee-*® (Cft (cos ka 4- sin ka) — Cs (cos ka — sin /га)],
I Ma ~ — Dirf = - 2Dk4~k<i (Сл sin ka — Cs cos ka),
(4.45)
Qa~ — Dw" — — [Ся (cos ka — sin ka) 4-
4- C3 (cos ka 4- sin Ла)].
pi-делим постоянные Cle Cs для различных типов граничных
Копий.
К Для защемленного края (см. рнс. 4.5, б) на оснований условий
А'З) при а = 0 следует принять w =	— 0. При этом согласно
i И), (4.45) Ci = Ct « — и? и
5® ~	— e~fea (cos ka — sin Ла)].	(4.46)
Вли на торце оболочка закреплена шарннрно, то в соответствии
| («1 24) при а — 0 ш —	— 0. Тогда
|	С8 = 0 и
ш — w>° (1	cos ka).	(4.47)
|1> равенств (4.46), (4.47) следует, что при увеличений а прогиб
Вцближается к безмоменткой составляющей, т. е. на достаточном
Бдении от края w “ (см. рис. 4.5, б, в).
Т |.сли оболочка не закреплена в отношении радиального пере-
I ип-пия К’ и угла поворота (см. рис., 4.5, а), то при а = 0
|l Q® = 0 и из равенств (4.44), (4.45) следует, что Ct = Cs = 0
! «.• т. е. при таком закреплении краевой эффект отсутствует
| прогиб полностью определяется безмоментиым решением.
1.1ким образом, достаточно длинная цилиндрическая оболочка
jM'iih всюду (за исключением быть может узких участков вблизи
 I нп) находится в безмоментном состоянии, а в окрестности краев
<«|ш соответствующих граничных условиях реализуется локальное
моибное состояние — краевой эффект. Эта особенность напряжен*

кого состояния характерна не только для цилиндрической, а
для более широкого класса оболочек н позволяет в ряде случ
значительно упростить расчет.
4.3. БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ]I
4.3Л. Геометрия оболочки вращения
Срединная поверхность оболочки вращения полу,
ется в результате вращения плоской кривой относительно Л
лежащей в плоскости этой кривой (рис. 4.6). Такая кривая на,
вается меридианом. Меридианы являются линиями главных щ
визн и их принимаю в качестве координатных линий. Парад
ли — окружности, образованные пересечением срединной 1
верхности оболочки с плоскостями, перпендикулярными ее оси,
представляют семейство других координатных линий. В качея
криволинейных координат, отсчитываемых вдоль меридианон
параллелей, возьмем углы а и (5: а — угол, который нормаль об,
зует с осью оболочки, р — угол, отсчитываемый вдоль параллч
от некоторой заданной меридиональной плоскости (см. рис. 4
Первый главный радиус кривизны поверхности вращения]
равен радиусу кривизны меридиана (рис. 4.7). Второй главк
радиус равен отрезку нормали к поверхности до осн вращем
т. е. согласно рис. 4.7

(4
где г — радиус параллели. Радиусы Rt н 7?й не являются неза(
симымн. Действительно, из рис. 4.7 следует, что, с одной cropoi
dsa = Rida, а с другой — dsa = dr/cos а, т. е. cos a da ==|
Подставляя сюда dr согласно (4.48), получим
^-№sina).
(4
Ряс. 4.7. Геометрия меридиана
лочки вращения
160

Min типа (4.1) для линейного элемента поверхности вращения
ПИК ds2 = dSa + ds, — Rida2 -(/’dp2, т. e.
A — Ri, В = r.
(4.50)
« координата x связана с углом а следующим соотношением,
ющим из рис. 4.7^
dx — sin a « /?! sin a da,.	(4.51)
4.3.2. Основные соотношения для безмоментной
оболочки вращения
Уравнения безмоментной теории могут быть получены
«их уравнений', приведенных в разд. 4.1, если принять, что
Бпая жесткость оболочки D 0. Однако, учитывая пракгя-
ую важность безмоментной теории, ниже эти уравнения вы-
rtn традиционным путем в результате непосредственного
л м равновесия и геометрии деформирования обо»
1гик, рассмотрим тонкую оболочку вращения (см. рис. 4.6),
ця. что она находится в безмоментном напряженном состоя-
Выделим бесконечно малый элемент оболочки (рис. 4.8),
Ь(ищийся под действием безмоментных усилий Na,
и заданной поверхностной нагрузки с компонентами qa, q$,
L. травленными вдоль координатных линий а, р и норма-
V
Рнс. 4.8. Усилий, действующие в безмоментной оболочке вращения
151

Составим уравнения равновесия, т. е. приравняем нулю сумм»
проекций сил, действующих на элемент. В направлении касател»,
ной к меридиану получим
- Word(5 +	+ ^da) (г + ^da") d₽ - N^R, da + I
+ (WaB 4-	dp) Ri da — N^Ri da cos a dp i qaR,r da dp = 0; ,
в направлении касательной к параллели
- N^r d₽ + (ЛГкЭ + ^da) (г + ^da) d₽ - Nfada -f- 
+	dp) Ri da j- NafiR, da cos a dp -J q$Rtr da dp = 0
В обоих этих уравнениях появление предпоследних членов обч
ловлено наличием малого угла cos adp между боковыми граиль
элементов.
Сумма проекций действующих сил на нормаль к поверхяосф
—Nardfida — N^Rtda sin adfi 4- qyRt rda dp = 0»
где учитывается угол между усилиями Na на нижией и верхий
гранях, равный л — da, и угол между усилиями на боком»
гранях, равный л — sin adp.
В результате уравнения равновесия оболочки вращения при
безмоментном напряженном состоянии записываются в виде
-г	cos а +	== 0,
(rNа₽) 4-	4~ <x0#iCos a 4~ tfoRif = 0,	(4-510
^.4.^ = 0
Ri qv'
Эти уравнения могут быть получены из общих уравнений (4.17)
если принять Qa = Qj = 0 и учесть формулы (4.49), (4.50'
Из трех уравнений (4.52) могут быть найдены три неизвестны!
усилия Na (a, р), JVp (a, р), Na[] (к. Р) с точностью до произволу
ных постоянных или функций, которые должны быть определено
из граничных условий.
Примечательно, что безмоментное напряженное состояние об«
лочкн является локально статически определимым. Однако в цс
лом для оболочки задача может оказаться статически неопредели
мой, если для определения произвольных функций интегрирован»
нли произвольных констант потребуется использовать геометрп
ческие граничные условия.
Выведем теперь геометрические соотношения, связывающие or
носительные деформации с перемещениями.
Рассмотрим элементы меридиана и параллели (рис. 4.9, а)
До деформации их длины равны dsa = Rtda и dsp = rdp. Поел»
152

. 4.9, К выводу геометрических соотношений безмоментной теории оболо-
чек вращения
«н»рмации, которая характеризуется перемещениями и, vt w,
ииы этих элементов будут (см. рис. 4.9, б, в):
= (Я1 + к>) da + da,
ds$ = (r + K,)d|5 + -^d₽,
Jilt tir = u cos a -|- w sin a	(4.53)
Ь ||.|диальное перемещение точек оболочки (см. рис. 4.9, б).
I Углы поворота относительно нормали элементов меридиана и
рлллели (см. рис. 4.9, й) соответственно имеют вид
до	ди	v
" dsa	га dsp	г
К выражении для у2 первое слагаемое представляет собой угол
и< шпрота элемента параллели за счет разности перемещений
in концов; второе слагаемое обусловлено поворотом этого эле-
Влгга относительно оси оболочки на угол vlr.
Деформации вводятся следующим образом:
dsa — dsa	dsa — dsn
e““—=	T«P = ?»-T1
и определяются равенствами
<-« =	(£ + “)’ ee = 4-(-|+Hcosa + wslna), (4.54)
1 / ди	\ I do
= ~ (a₽~rcos“) + ^^-
 глы поворота нормали к срединной поверхности имеют вид (см.
рис. 4.9, а)
«-=£(“-£). «•»>
Формулы (4.54), (4.55) могут быть получены и из общих соотиоше-
1'itii (4.12), (4.10) с учетом равенств (4.48)—(4.50). Индекс «0»
r (4.12) для безмоментной оболочки, естественно, опускается.
853

Перемещение точек оболочек в осевом направлении определил
соотношением
их — и sin а — w cos а.	(4 '»
Усилия связаны с деформациями законом Гука (4.16), т. е. I
N„ = Eh (еа + це..), NB = Eh (е, + pej, .V„s = CzJJ EhfaJ
(l|
Поскольку моменты в рассматриваемой оболочке отсутствуют,В
пряжения связаны с усилиями следующим образом:
СГа = ^р	таР = ^‘	(4В
Соотношения (4.52), (4.54), (4.57) являются основными уравиД
ями безмоментной теории оболочек вращения. Девять уравнен»)
включают столько же неизвестных — три усилия Mtt, Л/р, /Vw
три деформации ett, ер, и три перемещения u, v, w. УД
нения равновесия (4.52) могут быть проинтегрированы независим
от остальных, по найденным из них усилиям с помощью равен<т
(4.57) могут быть определены деформации и в результате интегв
ровання геометрических соотношений (4.54) — перемещения Н
практике вместо перемещений и и w часто используются раднал|
ное и осевое перемещения и их, которые выражаются через Д
п формулами (4.53), (4.56).
Далее в разд. 4.4 и 4.5 полученные соотношения будут исшЛ
зованы при анализе напряженно-деформированиого состояния Д
лочек вращения для наиболее распространенных случаев наД
жения.
ЮСИМИкТМИПиЯ ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ
ВРАщЕНиЧ'
4,4Л.	деформация
Одним из наиболее распространенных случаев нагр>
жения оболочек вращения является осесимметричное на гр у жени»
при котором поверхностные и краевые силы не зависят от окру»
ной координаты ₽ и = 0. При этом в оболочке вращения отс"
ствует окружное перемещение у, а и и w так же, как и ненулеД
силовые факторы	Л4а, Л4Р, зависят только от пер»
менной а. В условиях осесимметричного нагружения работа!»
баки, баллоны давления, резервуары н т. д. Метод расчета таки
оболочек строится по аналогии с решением для цилиндрически)
оболочки, полученным в разд. 4.2, т. е. напряженное состоя
ние разделяется на безмоментное и изгибный краевой эффс<
локализующийся вблизи краев. Такое разделение для оболочй
вращения произвольной формы является приближенным, одна»
854

Mi удлиненных в осевом направлении оболочек оно позволяет
MlpoiiTb решение, обладающее приемлемой для практических
 гюв точностью.
4.4.2. Безмоментное напряженное состояние
Основная система уравнений (4.52), (4.54), (4.57) без-
агптной теории оболочек для случая осесимметричной дефор-
Кньп принимает следующий вид:
(rNaY — Л’Л cos а + qR^r = 0,	(4.59)
и-60)
ек =	(и' -|-и>), е, — Л-(и cos к -|-tBsttia), (4.61)
Na = Eh (ee 4- рер), Nt = Eh (e, + цво). (4.62)
Мдиальное и осевое перемещения определяются по-прежнему
Кмшствами (4.53), (4.56)
иг = и cos а w sin а, иж — и sin а — w cos а, (4.63)
В у юл поворота нормали к срединной поверхности — первой фор-
Кк>й (4.55), т. е.
6« = -^(а-»')-	(4-64)
 уравнениях (4.59), (4.60) принято qa — q, qv = р\ ( )* обозна-
производную по а. Уравнение (4.60) часто называется ураВ-
Вмшем Лапласа.
Г Найдем усилия Na и N$. Из (4.60) имеем
N^pR,-Na-^~.	(4.65)
рдставим JVP в (4.59). Непосредственной проверкой с помощью
Ьпеиства (4.48) можно убедиться в том, что уравнение (4.59)
Ьгле подстановки (4.65) может быть записано в следующей форме:
(rNa sin а)' = (р cos а — q sin а) rRt.
Мшсгрируя, получим
“ 7S5K [ J (°cosra - qslnajrRtda -	.	(4.66)
[во	J
Истоянная интегрирования найдена из статического условия
при a=cqj (рис. 4.10), согласно которому 2 зх rc Na sin <х0 — —Хо,
। нг Хо — осевая сила, приложенная в сеченни а~а0. Отметим,
вго соотношение (4.66) может быть получено непосредственно иа
Ксмотрения равновесия отсеченной части оболочки, показанной
155

Ркс. 4ДО. Уснжя м мигрузмм, дей-
ствующие на отсеченную часть обо-
лочка вращений
на рис. 4.10. Дебствяга
проектируя действующие 1
на ось оболочк», имее*«
<®
2жгЛГп sin а 2л | (р cose
—- Q sin a) rRfc dn- . Хл.
Отсюда сразу следует (4.6
Таким образом, уснл!
осесимметрично	на гр уже
безмомеитиой оболочке вр
ння определяются равенст
(4.65), (4.66).
Наиболее распространенным случаем осесимметричного и
же ин я является воздействие равномерного внутреннего давл<
Полагая в (4.66) q ~ 0, р ~ const и учитывая, что согласно (
Rr cos ada = dr, получим
Для замкнутой в вершине оболочки г0 « 0. При отсутствии о<
силы (Хо •== 0) из равенств (4.65), (4.67) с учетом соотнош
г — R2 sin а окончательно будем иметь
^=4^ ^=4^(2-^.).
Формулы (4.68) определяют усилия в замкнутых баллонах
леиия. В частности, для цилиндрической части баллона 7?, -
R^ = R и Na ~ pR!2,	= р/?; для сферического бал
Ri = Rs = R и Na = Np » pR/2.
Деформации безмомеитиой оболочки вращения определи
из закона Гука (4.62)
е® Eh	е₽ "	ffi).
Для определения перемещений воспользуемся геометричес
соотношениями (4.61). Из второго соотношения с учетом
имеем
—- о cftg сс.
Подставляя (4.70) в первое равенство (4.61), получим
и* — и ctg а f (a)
где f (а)	ег,
«а
15$

*»i«. нс этого уравнения имеет вид
и = (F (а) + Cp lsina,	(4.71)
I Л (а! - R,iln,
	' ' J Staff 1
К произвольная постоянная. Из (4.7U) и (4.71) получим
И = —cos a If (а) + С„1 + еР/-.’..	(4.72)
Ь пыльное и осевое перемещения* а также угол поворота (ем.
f 4 10) согласно (4.63), (4.64) и (4.71), (4.72) имеют вид
«Г —epG
«« =- с« +' Р (о) - u, cig а,	(4 73)
«»-^[/(aJctga-Ce^'J.
к ооолочки постоянной толщины выражение для угла поворота
•образуется к виду
««- 4Н^1-+2₽(!~->)с‘^+(-к+^-
- [	(-кг + 4г - 2>) + 4г Ж (х) ]Ч  <4-74)
I |i>« шинная Сй определяется из геометрического граничного усло-
я на закрепленном крае оболочки, которое в соответствии с без-
рентной теорией может быть задано только для тангенциаль-
Вр <) перемещения и.
Г I ‘ли безмоментная оболочка вращения в виде пояса закреплена
b «аигеициальным смещениям на обоих торцах (рис. 4.11, а),
В<• этом случае продольная реакция на одном из торцов, напри-
b ? на нижнем Хо, является статически неопределимой и опреде-
цмтся совместно с константой Со из заданных геометрических
птячных условий их |*=о ~ и* |Хта/ = 0. Если сила Хо за-
н.| (см. рис. 4.11, б), постоянная Со определяется из условия
|* i —- 0. В случае, когда оболочка является незакрепленной,
пример баллон под действием внутреннего давления, константа
। является неопределенной — она представляет перемещение
юлочки вдоль осн как недеформируемого твердого тела.
Безмоментное решение яв-
ится точным только в опре-
иенных случаях. Обычно же
fо используется как прибли-
женное решение на большей
цисти поверхности оболочки
hp пцения при осеснмметрич-
иом нагружении, если радиус
f (а) и нагрузки q (а), р (а) яв-
/ппотся достаточно плавными
функциями.
Рве. 4.И. Схемы закрепления безмомент-
ной оболочки вращения
157

4Л.З. Краевой эффект	I
На краях оболочки, где она сопрягается с друпИ
оболочками вращения, круговыми шпангоутами или нагружа^И
осесимметричными нагрузками, граничные условия на практМ
редко соответствуют безмоментным условиям. Поэтому вбл»ж|
таких краев оболочка обычно подвергается изгибу.
Дифференциальные уравнения изгиба произвольной болов
вращения прн осесимметричном нагружении имеют перемев^И
коэффициенты н нх точные решения могут быть получены олХ]
в некоторых частных случаях в специальных функциях (напрнвЖ
для сферы и конуса).
В случае тонких непологих оболочек при плавном и змеи^И
радиуса и нагрузок qt р изгиб в основном происходит вблА|
края и по мере удаления от края напряженное состояние прч^И
жается к безмоментному. Поэтому безмоментное решение при<Л1
женно используется в качестве частного решения неодноро^И
задач, н по аналогии с ш° в решении (4.44) для цилиндрической «И
лочки. При этом однородное решение, описывающее изгиб об^
чки, имеет характер затухающего краевого эффекта типа fl
в (4.44). В работах ПО, 111 дано строгое обоснование упроще|И
уравнений краевого эффекта для произвольной оболочки вра^Н
ння и построены соответствующие приближенные решения. 
Для простоты и краткости изложения краевой эффект для т.ж
кой непологой оболочки вращения рассмотрим на основе упр&ж
ющих допущений, которые примем, опираясь на аналогию с крм
вым эффектом для рассмотренной ранее цилиндрической i болочМ
Общее решение вблизи края оболочки представляется в вцЦ
суммы безмоментного решения (обозначаем его верхним индемМ
«О») и однородного решения в виде краевого эффекта (с нденй
«к»):	|
и == U° +	»» ~	4"
«х = № + №. № - Nl + №»	(4.Я ;
мо = лс м,
В нзгибных силовых факторах Mav Qe, естественно, <рн
рируют только составляющие краевого эффекта.
При описании краевого эффекта в качестве координаты бу.
рассматривать расстояние s, отсчитываемое от края оболочки bjk
меридиана (рис. 4.12). Вместо угла а введем угол ф, отсчитывав»
от края, при этом ds = Т^ф. Введение координаты s и угла
вместо sa н а позволяет одинаковым образом описать краев
эффект как на иижнем. так и на верхнем краях, причем на 1 иж|
крае ds — dsai ф — <х, а на верхнем крае ds — —dsat ф = л - *
Оболочку в районе рассматриваемого края будем считать]
пологой, если | ctg ф | < 3.
158

| 4.12. Координаты обо- Рнс. 4.33. Напряженное состояние элемента
। личин вращения	оболочки в зоне краевого эффекта
I У тонкой непологой оболочки зона краевого эффекта является
•гпточно узкой, и поэтому изменением радиусов кривизны обо-
tuftini н угла фв пределах этой зоны можно пренебрегать, принн-
В1| их значения равными значениям на крае.
 В случае оболочки типа пояса, имеющей два края (рнс. 4.11),
•|m>->ibie эффекты на этих краях будем рассматривать независимо
bfc затухающие, считая, что ширина зоны каждого из них меньше
» *• гоя ни я между краями вдоль меридиана.
Г Получим уравнения равновесия. Составим уравнения проекций
•»л и направлении нормали и моментов относительно касательной
| !»П сней грани элемента, выделенного из оболочки в зоне краевого
•фФ< «та (рис. 4.13):
(<25 + ^T<fc) (r+^-*)<f₽-QSrdp-
— WJrdpdip —ds sin (р dp — О,
^+-^-dsj(r + ^-ds)d₽- Mjrd₽-
(4.76)
— Mpds cos sp dp — (&r dpds = 0.
hn-ь внешние нагрузки q, p и безмоментные усилия Na, ЛЦ не
,'пиi,шлются, так как они находятся в равновесии. Разделив урав-
1ИТИ1Я (4.76) на rdpds н учитывая, что г — sin ip. dr/ds = cosip,
rt Rtity, получим
, QK Ctg -ф	We _ n
ds + 4» Ki -^--0,
^-+« -	ffi=0.
(4.77)
159

Рис. 4.14. Усилия, действу-
ющие на крае оболочки
Из уравнения равновесия отсечен»
части оболочки (рис. 4.14), учитывМ
что внешняя нагрузка уравновеД
вается усилиями /У», найдем
Qa Sin ф —	sin ф О,
откуда	I
< = ctg№ (4.71)1
В случае непологой оболочки (| ctg ф [ < 3) из (4.78) следует, Ь
и являются величинами одного порядка. Поперечная сил»
Q£ на основании второго уравнения (4.77) выражается через изг«
бающие моменты, в результате чего она зависит от изгибной жен
кости оболочки D, пропорциональной Я3. Напомним, что толщиЯ
считается малой. Поэтому для тонких оболочек усилия JV&, т|»
же как и можно считать пренебрежимо малым по сравнении
с которое пропорционально h. Кроме того, при изгибе края ф
статочно гладкой, тонкой, непологой оболочки можно предпож
жить что тангенциальное перемещение ик является пренебрежж»
малым по сравнению с нормальным перемещением вук. На основ!
нии этого примем следующие допущения:
^к»нк«0.	(4.7.
Определим угол поворота в плоскости меридиана и изменении
главных кривизн при изгибной деформации оболочки:
лк _ dw*
dT
„к	1	.	_ <*«’+ »*)	<4	 
a	R,	ds	ds	ds ' dsa ’ I
л 1	1 sin (4> + 6") sinif sin+#Kcosi|>
K₽“ Я ’	~ r+u, r ~ r
-	’	+ '	(4.80
sin-;	ctgij) d®“ CtgIf
r	K, ~ ds	R, ’
где Ri, R? — радиусы кривизн деформированной срединной по
верхности оболочки с учетом поворота нормали на малый улм
Изменением этих радиусов за счет деформаций удлинена
срединной поверхности пренебрегаем. Соотношения (4.80) могу,
быть получены из общих геометрических соотношений теори,
оболочек (4.10), (4.13), если принять в них Ada = ds, и
и учесть равенства (4.48), (4.49).
Введем весьма существенное для теории краевого эффекта до
пущение, вытекающее из быстрой изменяемости решения по пер,
менной S. Из выражения (4.44) следует, что для цилиндрической
оболочки составляющая wv пропорциональна е-*“, т. е. при диф
160

цк щировании по сс она умножается на —k. Если k велико, то
мкпо утверждать, что функции, описывающие краевой эффект,
ton дифференцировании существенно возрастают по абсолютной
। 'г и чине, т. е. в уравнениях краевого эффекта можно пренебречь
1ишими производными по сравнению с высшими.
 этого, в частности, следует, что согласно (4.80)	и об-
щи соотношения между моментами и изменениями кривизн
1.16) можно приближенно записать с учетом (4.80) в виде
Л2-...К
< =	=	«1 = 0^=!^.	(4.81)
||миедем теперь уравнение краевого эффекта. В соответствии с
цш пятыми выше допущениями (Na < Л’р) в первом уравнении
1.77) пренебрегаем членами, содержащими и Nai при этом
«ипаем, что у непологой оболочки ctgip не является большой
Ьичиной, а радиус не является малым по сравнению с ради-
гпм /?2. Во втором уравнении (4.77) пренебрегаем вторым членом,
щщржащим М* и Л4р = рЛ4„ по сравнению с первым членом,
Ьгдставляющим производную от быстроизменяющейся функции,
чнда с учетом (4.81) из второго уравнения (4.77) будем иметь
<4-82)
 из первого —
+Л1 = о
(4-83)
|п11ншем выражения для окружной деформации ер. Из равенств
|4 61) и (4.69) с учетом принятых допущений и формулы (4.48)
|м<?ем
е| =-i-(U“ ctg а + w«) «,

Тпким образом
(4.84)
Подставляя (4.84) в (4.83), получим уравнение краевого эффекта
IIЛ К
^-T4fe- = 0,
.. Eh _ 3(1-|г»)
6 И. <Х>. Образцов и др.
(4.85)
161

Здесь радиус в пределах зоны краевого эффекта, можно гч>^Н
постоянным и равным его значению на рассматриваемом U |
Отметим, что уравнение (4.85) аналогично однородному ум |
нению, соответствующему уравнению (4.40) для цилиндрич^И
оболочки. Затухающая часть решения (4.85) аналогичная Ч.ЯI
т. е.
w* = е~*а (Сх cos ks 4* Cs sin ks).	14
По формулам (4.78), (4.80)—(4.82), (4.84) н (4.86) получим!
О* = —	|Ct (cos ks sin ks) — Cs (cos ks — sin 1
К - —D	= —2DA2e-*« (( , sin ks - C2ces fts), I
“ ~D ^S~ = —2DA3e-*' [Cl (cos ks - sin ks) +	J
+ Cs (cos fasin fa)],	(4,
Mp = цЛГ, tf“ = ctgW“
На крае оболочки усилия Na н Qa приводятся к радиальнойЯ
Г” (см. рис. 4.14)
= — М COS Ф + (К Sin ф) = —
4j
Последнее равенство получено с етом 4.78). Радиальное Л
мещенне за счет краевого изгиба определяется приблиямИ
формулой, следующей из первого равенства (4.63)
й“ « ш* sin ф.	(4 >
Положительные направления кинематических и силовых фаф
ров на краях оболочки показаны на рис. 4.15.
Произвольные постоянные Cj и Са, входящие в равепйШ
(4.86), (4.87), удобно выразить --
через радиальное перемещали
угол поворота на крае обила
8“ 0. Полагая в (4.86) ... (4j
8 — 0, ф — ф, получим I
"К	йг Л
Рис. 4.15. Положительные направле-
ния краевых кинематических и сило-
вых факторов

С1 —»  ----х-у Cg ---------za
sin up	sin^p
и далее
,(4. i
Жа = С21«г= С22<Й, I
sin3 ф ’ См С« 1
— \^Dk. (4,
где си =
_ 2Dk3
sinty ’
162

<i. нее величины с чертой относятся к краю оболочки. Коэф-
1111-иты ciS (i, / = 1, 2) называются коэффициентами жесткости
.[ни оболочки. Для безмомеитиой оболочки D — 0, cti = О,
 Мка = 0.
Пигрешность формул (4.87)» полученных на основе прибли-
• iinioro решения для краевого эффекта, зависит от величины
г/(в//£ tg Ф и не превышает 5 %, если на рассматриваемом крае
। £',/htgip>5. В случае цилиндрической оболочки (ф = л/2)
рмулы (4.87) являются точными. Практически для тонких обо-
I ин к (RJh > 100) построенным приближенным решением можно
Коваться при значениях краевого угла ф в пределах 20е <
Ф < 160°. Ширина зоны краевого эффекта примерно равна
• ' что при р — 0,3 составляет 2,5
4.4.4. Граничные условия и условия сопряжения
Общее решение задачи об осесимметричной деформации
«и точки вращения записывается в виде суммы (4.75) безмомент-
решения (4.65), (4.66), (4.71) ... (4.73) и краевого эффекта
fi.H(i) ... (4.89). Оно содержит три произвольные постоянные Со,
ц С2, которые должны быть определены из граничных условий
Н п условий сопряжения на крае оболочки. В качестве граничных
< линий на крае должны быть заданы две компоненты перемещений
i|t у юл поворота в меридиональной плоскости или соответствующие
IM распределенные силы и момент, например, и или w или
Q . или Ма.
Приведем основные типы граничных условий: жесткое защем-
ит ие — и = w —	= 0; шарнирное закрепление — и = w —
L Ма = 0, при этом вместо условий и = w = 0 можно исполь-
BiiliilTfe условия ит = их = С.
Условия жесткого соединения оболочек по краям записываются
ииде трех геометрических условий совместности перемещений и
и Лов поворота и трех статических условий, на основании которых
|н акции (две силы и момент) на соединяемых краях должны быть
|i пшы по величине и противоположны по направлению.
В случае, если оболочки соединяются через упругий шпангоут,
к > статические условия записываются в виде уравнений равно-
|н i-ия соединительного шпангоута под действием сил и моментов,
и число которых включаются реакции со стороны оболочек Na,
/и М. Реакции Т и Ма можно выразить через радиальное пе-
ремещение Ъг и угол поворота Фа края оболочки по формулам,
mi алогичным (4.90). Суммарные величины иг и складываются
из слагаемых, представляющих безмоментное решение («°, Фа)
и краевой эффект (Л“, Ъа)
й, = й? + й,к, «а = ±< + #5.	(4.92)
6*
163

Значения Ф& определяются по формулам безмоментногоИ
шения (4.73), они не зависят от константы Со и поэтому являнЛ!
известными. В формулах (4.92) за положительное направляв
принимается направление от края оболочки. В связи с тем, что Я
совпадает с координатой sa, соответствующей безмоментнИ
решению только для иижнего края (см. рис. 4.12), во втором
венстве (4.92) для нижнего края следует принять знак «+», а Я
верхнего края —знак «—» (см. рис. 4.15). В результате аиалЛ
чно (4.90) получим
С1=Л-Д, с 	^<>° J
sin	2 sin ф	k	v 
т = Cl 1 (йг - й?) - св (5К т 5°),
.—.	-	-	_	_	(4.<Й‘
Ма = CZi (Ur — И®) — С22 (Фа =F Фа).
Здесь cij определяется равенствами (4.91), знак «—» при Фа сад»
ветствует нижнему, а знак «+» — верхнему краю оболочки Я
рис. 4.15).
Радиальное перемещение иг и угол поворота Ок на крае о •
лочки, связанной со шпангоутом, исходя из геометрических усД
вий сопряжения выражают через радиальное перемещение в цеЛ
тяжести поперечного сечения шпангоута шш и угол поворота это]
сечения Фш. В итоге при любом числе сопрягаемых со шпаигв
том оболочек, если они являются статически определимыми Я
носительно безмоментных усилий Ла, задача сводится к дну
линейным алгебраическим уравнениям относительного о»га, фш. it
еле их определения находятся иг, Ок и константы Сь СЕ (4/1
для каждой из сопрягаемых оболочек.
Для определения константы Со ставится граничное услом
или условие сопряжения для осевого перемещения их, которой
основании (4.73) равно
их = Со + F (а) — ur etg се,	(4л
где иг = «г + w* — полное радиальное перемещение.
Запишем условия сопряжения для системы двух оболочек,И
единенных через упругий шпангоут, который свободно оперт 1
контуру радиуса г0 (рис. 4.16). Будем считать, что на onopi
контуре вертикальное смещение равно нулю, т. е. и0 = 0. Paciil
деленную вертикальную силу Ро находим из уравнения равной
сия всей системы. Затем для каждой из оболочек 1 и 2 запи^Н
ются решения по безмоментной теории и теории краевого эффск,
Геометрические условия жесткого сопряжения оболочек
шпангоутом (см. рис. 4.16, б) имеют вид:
Wo = 0, йха 1 = Ф'ш (с*о — ^*1), й-х, 2 = Ош (Ьр -|- 62), XI
О». 1 “ —Фш» Фа, 2 ~ Фш, «г, 1 = ВУш + 0шЙ1,
Wp,2 =	— ч)1иС2-
164
^Блппения равновесия радиальных сил и моментов, действующих
 шпангоут, записываются в форме (см. рис. 4.16, в)
Рта^та	___'г Г1 __t у7.
Я*,	*п~	71 Кш lsiRn,+1°’
В^Е-»ш=-(<,1 +Tiat)-^-+ (М^г + Т^-^ + М,.
“	“	“	(4.97)
Е|Нгсь и /ш — площадь и момент инерции поперечного сече-
L Бк шпангоута относительно радиальной оси, проходящей через
Kic центр тяжести; множители в виде отношения радиусов (fj/Ra
К другие) вошли в уравнения (4.97) в силу того, что соответствую-
I in нс распределенные силы и моменты (Тг и другие) отнесены к еди~
»line длины тех линий, на которых они приложены.
[ В уравнениях (4.97) ~Т0 и ЛТО представляют собой распреде-
♦ • иную радиальную нагрузку и распределенный момент, которые
.«шикают за счет реакций безмомеитных оболочек (от извест-
K»dx меридиональных усилий Лт«) н внешней нагрузки, действу-
цгй не шпангоут. В рассматриваемом случае имеем (см. рис.
I 1Ь, в):
То = Ю1 -£-cosa, — (ЛоТ-У-сс а2,
ЛИ
-Мо = (Na)i -2- (bl sin al - a, cos ai) |	(4.98)
4 (Л^)2 -тг~ (fe sin “2 — COS a») Po a0.
165

Уравнение проекций сил в направлении оси оболочки
0V?)-^-sina8 — (N?)sinag-|- Ро-£- = О
Ли	Л[П	я'-ГП
позволяет определить реакцию Ре.
Уравнения равновесия (4.97) с учетом зависимостей (4
для каждой из оболочек и геометрических соотношений (4
приводятся к виду *
“Ь	== Вы,
~Ь	~ ^го-
Коэффициенты уравнений (4.99) в рассматриваемом случае |
рис. 4.16) будут
В12 В21 — (4Р -}- С|рС1) -41-------(С{? 4-	,
«Ш	Кш
^22 — (с2р + 2cfpCj -|- С1Рй|) ~—р
Лш
+ (cg> + 2сё>а2 + с!?Ч) 4- +	.
Вт = Ц!’й°, - с!!Ж,,)	+ (cg>«’_ 2 + с$ъа. 2)	+ т
^гп	*Чи I
Вог = КД1 + 4"й1) fij. 1 — (41’ 4- clt’ci) 1] -Д--------(4.1
''ГП
- [(<$+й° 2 + (4? + $>02) ё»,2]	+ м0.
Здесь Ви, В1Ъ — BZ1 и В22 представляют собой коэффицие;
жесткости шпангоута с учетом присоединенных оболочек. !
коэффициенты легко обобщаются путем суммирования на слу
произвольного числа оболочек (в формулах (4.100) коэффицие;
жесткости ctJ (4.91) различных оболочек отмечаются верхним
дексом).
Во многих случаях размеры поперечного сечения шпанго
малы по сравнению с его радиусом. В таких случаях при прн£
женных расчетах можно пренебречь всеми эксцентриситета
положив в уравнениях (4.95)—(4.97) г = гх = г2 — /?ш, ах — а
= bi =	- 0. Шпангоут при таком упрощении по сущее
рассматривается как упругая линия в виде окружности ради
Rm-
После решения уравнений (4.99) по формулам (4.93) с уче
зависимостей (4.95) для каждой из оболочек определяются к
станты С18 Са и Со,
166

4 Л.5. Примера расчета
Пример 5» Рассмотрим коническую оболочку постоянной толщины h, пол-
pNi п-|<> заполненную жидкостью с удельной плотностью -у (рнс. 4.17). При этом
и« <ш оболочки будем пренебрегать. Гидростатическое давление на глубине
К» х от свободной поверхности равно р у (И — х).
I Рассмотрим беэмоментное напряженное состояние. Полагая в формуле (4.66)
b  л/2 — ф; ? ® О; г = х tg ф; Ядйа — dsa = dx/cos ф; Ле — 0, получим
*=
а
[ (Я— jtyxdx
ЖС06*ф J *	*
о
/ Н____£\
ccs*q? \ 2	3 f
И* равенства (4.65) при й4-*м и /?#er/slncz имеем
₽ С08аф С05яф *
lie формулам (4.69) найдем деформации


Hi равенств (4.71), (4.72) получим перемещения безмоментной оболочки
„.„JL-ilSL 17 «*-4-)-н (Л£- 4)1 4-С.cosф.
Eh cos5 ф L \ 4	9 /	\ 2	3 / J
у gin8 ф / ЗЯ
Eh сов4ф \ 4
8х \ , _ .
-—9™ ) Xs — Со sin ф.
учетом краевого эффекта у закрепленного края я = Я перемещения имеют вид
и »	w — аР 4- e~fes (Ci cos fes ф- Cs sin fes),
,У 3(1-и»)81и»ф
Где*—у Й,А11	, s см(р
При шарнирном закреплении из граничных условий и s 0, w — 0, Ма = О
мри х = Н (s = 0) находим	.
L _______V 81пф Я8 / 5 ,Д
Ue“ Eh со8«ф 6 Кб
C1SS—га«(Я), С>0.
Усилия и моменты, обусловленные
Краевым изгибом оболочки, опре-
деляются по формулам (4.87); уси-
лии N& затем складываются с
|'не. 4.17. Коническая оболочка,
ииюлненная жидкостью (а), и. ее
отсеченная часть (б)
167

я)	8)
Рис. 4.18. Цилиндрический бак со сферическими днищами (с), присоедииенн!
через шпангоуты (б), и его контактные параметры (в)
безмоментными усилиями Л7£, Л'^. Напряжения оа, Ср могут быть найдены
формулам (4.21).
Пример 2. Определим напряженио-деформироваиное состояние обол©
цилиндрического бака со сферическими днищами с учетом краевого эфф |
в районе нижнего шпангоута (зона А), (рис. 4.18, а). Массой оболочки пренеЯ
гаем _по сравнению с массой жидкости. Примем следующие параметры: Rc/R
= /2; Rlhi = 250; ЙСЛ2 = 400; Rlh„ = ISO; H/R = 4; Rid _ 20; vH I д
PB = дЯ/2.
Рассмотрим безмоментиое напряженное состояние.
1. Цилиндрическая оболочка 1; Rt-^oo, Ra = R, а — л/2. Давление
оболочку р = РО при х > Н и Р — р0 4- у (Н — х) при X < Н. Усилия в сред
иой поверхности
AZO - P^—P^nR	п.
“ 2лЯ	°’
при
[Ro +	“ *>] Л ~ ^PqR С3 — ж/я) при ж < я.
Нормальные перемещения определим по формуле
р
Имеем
и)° = 250pq.R/£	при х > Н,
и;0 = 125 (3 — х!Н} PqRIE при х Н.
168

пильное перемещение иг и угол поворота на крае х ~ 0:
«?='“”1л-=о = 375'^7Г-> ^а = —-Й—= 31,25-§-.
г	о Е ’ а Ehi dx |л==0	Е
" Сферическая оболочка 2; Яг — Т?2 = Rc — V2R, ай = л/4. Давление
оболочку — р — Р + ? (Я -j- Яс cos а — Rc cos cQ.
mi и я в оболочке
а
pR’jslnaeosato-
О
= -^2-<Ро+тЯ — TRoCOsM + f
Wg = pRe-W°.
крае оболочки при а = а2 = 45° получим Л;° = 1,080ро7?, Я| — 1,О4ОроЯ
я центре днища прн а О Л™ = Я2 — 1,1О8ро7?.
Вычислим далее
/(«)-<£-<$ -^- = e«-eg = JiiL^o-pRJ^
'<4^=-^ [4(_^+4.n^+
4- -4г ctgs a 4  In sin оЛ — In sin a] - —vR?	X
Z	/	J	OCflg
Х[тг^г + 1П(1+С“а)]-
|»пднальное перемещение и угол поворота
^ = e’RcStan, дас=—^-*. = ^-Sina;
>i крае оболочки при <х — ос2 — 45° имеем (й®)2 =	|a=a8 =“ 202,9 н
l^b-^1^^50,0-^-.
3. Цилиндрическая оболочка 3; ^ — oq, R2= R, a = л/2. Уравнение
шпшодесия всего отсека (см. рис. 4.18, а) имеет вид
2лТ? (Рв-Рн)+^ж = 0,
I не обьем Жидкости
Vw = л₽5Я + лДЭ (2 — 3 cos <*2 + cos3 а^/З = 4.22л/?3.
Hi этого ураонеиия находим Рн и затем — усилия в оболочке:
Н°а =	= -О.7637роЯ, Яо = 0.
Р|Диальное перемещение и угол поворота
«/о = -^ЯадЯйз) = 34,4р07?/£, 0* 0.
169

Рассмотрим краевой эффект в районе иижиего шпангоута (зона Л, см. рис. 4.181
Вычислим цилиндрические жесткости D, параметры k и коэффициенты жестки
сн» с12 — св1» СЕ2 на сопрягаемых краях оболочек, а также — коэффициент
жесткости шпангоута.
I.	Цилиндрическая оболочка /; % — 90°:
рп» а= 5г86'10“»£/?\ М == 20,32,	. 1,968-10“*Е.
ш ” 4,840-10“6££. 4Р = 2,382- 10'7£₽2.
2.	Сферическая оболочка 2; ф2 — я—сс2 = 135°: Rc = 1^27?;
Р‘2» в 4,05-10-вЕЯя, М = 18,18, 4« «= 1,922-16“*Е,
4F ==	“ 8.740-10~та, ГЦ’ == 1,452-10"7££2.
3.	Цилиндрическая оболочка 3; фз — 90°:
0<3) --- 27,1- 10-a£fl3, k3R 15.74, cj»‘ = 4,214-10"*£,
с|§> 4Р ---13,38-10~e£R,	== 8,500-10"7£/?2.
4.	Шпангоут; Еш — Е:
Fm rfa/2, Im « &/36. EaFm/R9 = 1.250 - KT’S,
£шЛп/К*=“ 1,740-10-’£Я«.
Уравнения равновесия шпангоута записываются в виде (4.99), где
Вц = 2,107-10“8£, £„ =- Вп = 1,584-10"6ЕК»
В3£ = 2.722 • IO" «ЕЕ2» Вт = —0,6057р0£,
fies = 20,97-10-»^.
Решая эти уравнения, находим к>га = —З61ро1^/Е, Ою — —982Ор0!Е и дал
йг, 1 — —GSSPvR/Е, &?, 2 = йг> 8 — —197p0R/E.
Если пренебречь всеми эксцентриситетами (рассматривай шпангоут 1
упругую линию с теми же жесткостями EmFm и Ещ/щ), то получим
В„ = 2,06 • 10- s£,	В12 = B2i = 1,228 -10“ 6£R,
ВВЕ = 1,407-10“ в£/?я, В01 = —О,6362ро^,
£©2“ —-0,582-10 ^PoRnl
= —322,7PoRlE^	= —2405ро/£.
Эксцентриситеты в данном случае, в первую очередь, влияют на величи
момента ТИу, который образуется за счет безмоментных усилий Л'^, действующ;
на шпангоут со стороны оболочек и выворачивающих его (без учета эксцеитрис
тетов .Мо — 0). Приведенные результаты показывают, что при принятой фор
поперечного сечения шпангоута и его расположении (см. рис. 4.17, б), пре?
брегать эксцентриситетами нельзя.
По формулам (4.93) определяем константы Gj и С2 для каждой из сопряг!
мых оболочек:
СР’ = — 1О63роЯ/£. СР' == —581р0Я/£,
С?' = —566р0Я/£,	—28p0R/E,
Ср> = —231pv£/E. C(2Si = ZWpvRlE.
По формулам (4.87) найдем перемещения, усилия и изгибающие моменты, обус
ловленные краевым изгибом оболочек в районе шпангоута. После этого спреда
ляются суммарные перемещения к> и усилия 7Va, TVp с учетом безмоментного ре
шения. При определении перемещений будем считать, что осевое перемещен»
шпангоута на линии сопряжения его с цилиндрическими оболочками (см. рис. 4.18)
равно нулю.
370

a)	8)	в)
4.19. Безмоментные усилия, возникающие в баке (а), прогиб (61 и изги-
бающий момент (в) в зоне краевого эффекта
I 1огда
1 = йх. 3 = °- “х. 2 ” 5md = —KtPoRlE.
|liпользуя формулу (4.95) для перемещения их сферической оболочки при а =
* иу = 45° с учетом 2 = —197PqR/E, йХг 2 = — 491р0/?/Е. F (a) |а=45о=
I 41,2p0J?/£l, получим Cq —-—647p0^/£'. Найдем нормальное перемещение
ц|>1 рнческоЁ оболочки в полюсе при к = 0 по формуле (4.72). Учитывая, что
Г (и) |а=0 »= —51,7р0/?/Е, е|Яс |о=0 = 3lOpoR/E, получим
w|а==0 = [— (—51,7 — 647) 4- 310] p0R/E = 1008,7ро7?/£.
I На рис. 4.19, а приведены эпюры усилий Л® и Nfy, полученных по безмоыент-
ФЙ теории.
На рис. 4.19, б сплошными линиями показаны изменения нормальных пере-
Мщений оболочек в районе нижнего шпангоута. Пунктирными линиями пока-
iniiu нормальные перемещения, вычисленные по безмоментной теории. Безраз-
мерные перемещения краев оболочек, показанные на рис. 4.18, б, равны: Л1Л£ =
375; Л2Л; == 202,9; Л3Л§ = 34,4; Л,Л.» = 688; Л8ЛС = Л8Л * =« 197; А$А£=
- 491; А§А$ = 566.
На рис. 4.19, в показаны эпюры изгибающих моментов в оболочках. Макси°
Сильные значения моментов возникают на линиях сопряжения со шпангоутом
। Л4а, t - —2,8- Ю-ЗроЯ2, Ма> 2 == —7,51 • 10%/^. Ма 3	5,26- 1С-эр0Яй.
Определим максимальные напряжения в оболочках.
I.	Цилиндрическая оболочка /. Максимальные растягивающие напряжения
•«вникают вблизи нижнего шпангоута вие зоны краевого эффекта при 8г
к 2,5 yRhi = C.158R.
|,»o.1E8R Wg |._о “ 375р0.
171

Максимальные меридиональные н окружные напряжения в зоне края^И
эффекта при Sj = 0 и у = ifti/2:
7L 1 6Чх I 6
ва =. —± —= =Р 2,8. КГ’РоЯ’ = Ч=1050₽„,
вр =	±	- —688ft, т 315ft.
2.	Сферическая оболочка 2. Напряжения в полюсе оболочки при а J
равны оа = ор = 1,1О8р07?/й2 = 314р0. Усилия на крае оболочки при s2 J
(ф2 = 135°) за счет краевого эффекта;
л? “ -20^ (cP + <-f *) ctg Ч>2 = -0,025р„Л,
"р = PW«c) cP = -i. «АЛ
Максимальные меридиональные и окружные напряжения на крае оболов
при s2 = О, у = ±йг/2:
во = (1,08 — 0,029) ft,R/fts =F 6-7,51  W^p^/h^ = 297р0 ч= 36р0,
«р= (1,04— 1,42) ро£/Л2:ч=0,3-6-7,51-lO^ft,)?2/^™—108ft, =F 10,8ft,j I
3.	Цилиндрическая оболочка 3. Максимальные меридиональные и окружи»
напряжения на крае оболочки «а = 0, у = =ЬЛа/2:
ао = —0,7687ft^//i3 ± е.5,2(М(Т=р,0//7Лд = — 104р„ ± 712р01
вц = ±0,3-7.12р„ = ±213,7р0.
Приведенные результаты показывают, что в рассмотренном случае изгиба»
напряжения в цилиндрических оболочках значительно превышают безмоментиИ
напряжения. Изгибные напряжения могут быть уменьшены за счет соотив
ствующего выбора площади, формы и расположения шпангоута.
4.5. АНТИСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ I
ВРАЩЕНИЯ
Помимо осесимметричного нагружения, рассмотрев
иого в разд. 4.4, распространенным расчетным случаем являете
антисимметричное нагружение, вызывающее общий изгиб о6>
лочки. Такое нагружение характерно, например, для отсеков л«
тательных аппаратов.
Рассмотрим тонкую оболочку вращения (рис. 4.20, с), наход»
щуюся под действием поверхностных нагрузок вида
<?а = <7а ’ (к) COS р, — </рп (а) sin р, р — ра) (а) cos р. (4 101
Пусть распределенные нагрузки (или реакции) на краях обо
лочки заданы аналогичным образом, т. е. меридиональные усилии
поперечные усилия и изгибающие моменты распределены вдоль
краев по закону cos р, а окружные усилия — по закону sin
Все эти нагрузки в каждом поперечном сечении х = const при
водятся к равнодействующей поперечной силе Y и изги
172

* 20. Антисимметрично нагру-
би оболочка вращения (с) и
'» отсеченная часть (б)
^щнщ-му моменту £, вызы-
>-Ц||ЦПМ общий изгиб и сдвиг
мочки как балки (см.
|1»| 4.20, б). Если нагрузки,
(ршусы кривизны и толщина
Буппгки изменяются в ме- Р
tTjln опальном направлении
JM «точно плавно, то при ан- у*
Iuvпмметричном иагружеиии
Бк »кс, как и при осесимметричном, оболочка в основном испыты-
.. <i । безмоментное напряженное состояние. На краях, где оболоч-
 погружается распределенными поперечными силами и изгибаю-
Ш ми моментами, а также в местах сопряжения различных оболочек
«пикает быстро затухающее моментное напряженное состояние
।iiii.i краевого эффекта, который изменяется в окружном направле-
нии пропорционально cos р.
 На основании этого приближенное решение задачи при анти-
симметричном нагружении оболочки вращения может быть полу-
•» по так же, как и при осесимметричном нагружении, в виде суммы
hi моментного решения и моментного решения в виде краевого
и|и|»екта.
4.5.1. Безмоментное решение
При действии антисимметричных поверхностных на-
Грузок (4.101), как следует из уравнений равновесия безмомент-
|1<>й оболочки вращения (4.52), распределенные усилия изменяются
г окружном направлении следующим образом:
N =A^(a)cos₽, 7V₽x=7Vt(a)cos₽, ^«Mp(a)sin₽, (4.102)
F.(c Nla, Nfa и — неизвестные функции, которые можно оп-
ределить, интегрируя уравнения равновесия (4.52) по а. Однако
проще составить уравнения равновесия отсеченной части оболочки,
показанной на рис. 4.20, б.
Равнодействующая поперечная сила и равнодействующий мо-
мент внешних нагрузок, действующих на отсеченную часть обо-
дочки (см. рис. 4.20), имеют вид
V = Уо + J J (<7a cos a cos р — q$ sin £ -|- p sin a cos p) r dp |	da,
«0 Lo
a
a0
(^a cos a cos p — sin p) -j- p sin acos p)rdp I (x — x2) RT da,
'2Л	“I
j (<7a sin a — p cos a) r® cos p dp da —
173

где Yo и Ц — равнодействующие распределенных нагрузок, п
ложенных на нижнем крае оболочки; х — координата рассмапа
ваемого сечения; — текущая координата (хс < хг <11
dxy = sin a da).
Уравнения равновесия отсеченной части оболочки а
рис. 4.20, б):
2зт
У -}- J (Na COS Ct COS р — Ма& sin p) r dp = 0,
2Л	(4.101
L — J Na sin ctr2 cos p dp = 0.
0
Эти уравнения являются интегралами первых двух дифферегцЯ
альных уравнений (4.52). Выполняя интегрирование по р с учет •.
(4.102), получим
У + лг (Л a cos а — Мр) = 0,	f
L — sxrzNa sin сс = 0.	дВ
Отсюда определяются амплитудные функции распределении»
усилий (а) и JV’Lp (а) в выражениях(4.102). Усилие зап»
находится из третьего уравнения равновесия (4.52)
= Afpcosp = (р1 — -~j #2cosp. (4.10
Деформации оболочки определяем из закона Гука (4. •
в форме, аналогичной (4.102),*
еа = el (a) cos р, е₽ =	(а) cos р, уар =	(а) sin р, (4. Ilrti
где = A- (N'a - цОД). 4 = -X- W ~	•
Из геометрических соотношений (4.54), связывающих деформации
и перемещения, получим
и = и1(а) cos р, и == и1 (a) sin р, »у = w1 (а) cos р,
> I г> I
-&г + ю = /?1Е“
-^- + и' ctga + ш' = ^,	(4.10/1
/?8
йа
v1 cig а
sin а
= R^Af-
174

^>рвощ уравнения (4.107) определим w\ подставим ш1 во вто-
 ши ние и поделим его на sin а; третье уравнение продиф-
Ьнпируем по а. В результате этих преобразований получим
1 du1 . cosa ,	1	/г> » п„к
. .. -*-ЙГГ"*Г+ ЙЗ^" -•R,e»).
f Rt <№\	ter I vl__________i ^U1 I
' " \ R^" da )	C g da ’ sina a	ua a da
^Bli  s второго уравнения первое, будем иметь
- / Я, dp1 \	___d ip,j I	Д2е|>~*1еа
R, lla)	tg“ da ~	da	sina
W Un a/?s -ф	(ЛЛ) -	,	- (-§- 4 - 4).
tiK как Кг sin ada — dx, то последнее уравнение можно запи-
В|< I* виде
-^- = Л,	(4.108)
В f> - *ЙПГ [4^s)-(>4- 4)] 
Ь" рируя уравнение (4.108), получим
в* = J f F, dxdx + A1x + Л2.	(4.109)
о о
ле этого из третьего и первого уравнений (4.107) найдем
/ «	\
и1	—$2Ta₽ sin и — cos a I j J f i dxdx 4- Aix -|- Л21 +
\o 0	/
4-r sina^j Fidx +(4.110)
w* — Rl^t — Кл sina"77"’
Ik трудно заметить, что решения, содержащие произвольные кон-
Кпиты As и представляют перемещения недеформмрованыой
Милочки как твердого тела за счет поворота на угол Аа и сме-
Бк'ния А2 в сечении я == 0.
Г Если оболочка закреплена на крае безмоментным образом
[ фолько по тангенциальным перемещениям), то константы
I ii А2 определяются из условий и1 ~ 0, и* — 0 на этом крае. В об-
М<*м случае, когда условия закрепления или сопряжения не явля-
ются безмоментными, константы Ai и А2 определяются совместно
। произвольными константами, входящими в моментную часть
||1С11>ения,
17S

4.5.2« Краевой эффект
Поскольку антисимметричное напряженно-дефор!
рованное состояние оболочки меняется в окружном направлен
медленно (по закону cos р), то антисимметричное (моменте
состояние по характеру его изменения в меридиональном напр|
лении очень близко к осесимметричному краевому эффекту. I
основании этого в районе края, где при антисимметричной I
формации оболочка испытывает изгиб, приближенное общее I
шение представляется в виде суммы безмоментного решения
краевого эффекта, т. е.
и и1 cos р, о к, v1 sin р,
w = w1 cos р + cos р,
(4.11#
где шк берется в таком же виде, как и при осесимметричной Н
формации, аналогично (4.86),
ьук	e~fts (Ci cos ks -j- C2 sin ks).
Дуга s отсчитывается от рассматриваемого края (ds = RiJA
ф — cc — на нижнем крае и ф — л — са — на верхнем крае»
Изгибающие моменты и усилия в зоне краевого эффект.*1*
A'la = MaCOSp, = pMaCOSP, Qa = Q^COSp,
Wa=(tf« + tf9cos₽, МР = (Л^ + Л£)СО8₽,	(4. Ill
A'of = N'af. sin p,
где Ma, Qa, //a, ЛГр определяются по формулам (4.87).
Произвольные постоянные и С2 определяются совмесгЯ
с константами А1г А2, входящими в безмоментное решение, из гр.,
ничных условий на крае. При этом константы Дх, А2 определи
ются для оболочки в целом, а константы Clf С2—только на ра<
сматриваемом крае. Всего на каждом крае должно быть задав
четыре граничных условия, например, для и или Na, v или
м или Qa, €a или Ма.
В качестве примера запишем граничные условия на краях об®
лочки, жестко закрепленной при х = I и нагруженной при х =
а) тангенциальной сдвигающей нагрузкой q0 sin р и б) р»
диальной нагрузкой q0 cos р (рис. 4.21). В обоих случаях эти н<
грузки приводятся к одной к
той же ревнодействующей си»
Уо = лг090. Следовательно, вде-
ли от края х =? О напряжение
х состояния оболочки будут ОДИ
*“ наковыми.
Рис. 4.21. Оболочка, нагруженная кд
сательными (а) я радиальными (б) крае
выми усилиями
176

J p<i яичные условия на краях оболочки записываются в виде:
। и t = I: и — 0, v — 0, w — 0, Фа « 0; при х = 0 в случае (а):
Н► 0, Л'а₽ = g0 sin ₽, Qa = 0, Мв = 0 и в случае (б): Na =
Г- 70 cos «о cos Р, NaP = 0, Ох — 7о sin а0 cos Р, Ма = 0.
|1 случае «а» напряженное состояние оболочки является без-
МФнгиым, за исключением зоны краевого эффекта вблизи за-
пленного края х = Z. В случае «б» возникает также изгибный
мичюй эффект вблизи края х — 0.
Ври формулировке условий сопряжения оболочек вращения
I иругим шпангоутом или друг с другом так же, как и при осе-
Ьистричной деформации, вместо перемещений и, w удобнее рас-
мирчвать радиальное и осевое перемещения uf и uXf которые
kit щпы с и и w формулами (4.53), (4.56). При этом вместо уси-
iift и Qa вводится их равнодействующая — радиальное уси-
ие 7\ которое наряду с моментом Л4О выражается через пере-
пцсние и угол поворота на рассматриваемом крае оболочки по
Киулам (4.94), где_б° и при антисимметричной деформации
меняется на йг и Фа-
4.6. ТЕОРИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
4.6Л. Основные гипотезы и исходные соотношения
Теория пологих оболочек является упрощенным вари-
вшем общей теории оболочек, изложенной в разд. 4.1. Пологой
называть оболочку, на поверхности которой можно ввести
шкоторую систему криволинейных координат, такую, что рас-
стояние между двумя точками и угол между двумя направлениями
поверхности можно приближенно отождествить с расстоя-
ниями между точками и углами между линиями, лежащими на
шкоторой плоскости. Типичная форма пологой оболочки или
*Г кривленной панели показана па рис, 4.22, а. Криволинейный
Ьгмент abed поверхности такой оболочки в координатах х, у
Можно приближенно отождествить с его проекцией на плоскость
№CD, а криволинейные координаты х, у — с декартовыми коор-
динатами. Основное упрощение, вытекающее из этого предполо-
гпия, заключается в том, что метрическое соотношение (4.1)
di8 = A*da* 4- Bzdfi2 общей теории в координатах х, у можно
с)
Рис. 4.22. Пологая оболочка (а) и действующие в ней усилия и моменты (б)

приближенно заменить следующим: ds® — dxa + т. е. р-н^И
А — В — 1. Помимо этого, в теории пологих оболочек принл^Н
ется, что при проектировании действующих на элемент слл^И
оси к и у можно в силу малой кривизны оболочки не читна^И
составляющие от перерезывающих сил Qx и Qy (см. рис. 4 .22.^®
а в геометрических соотношениях, определяющих мено^Н
кривизн, учитывать только нормальное перемещение №. В резу^И
тате уравнения общей теории оболочек (4.17)» (4.18)» (4.16)» ({.Я ।
(4.13), (4.10) упрощаются следующим образом.	||||
Уравнения равновесия принимают вид	||||
-^т+тг+^=°- <4|к
+	+ ₽ = (4ll
О* оу Л1 Ля
дМх . dMxv xj __« дМ„ . 8MxV q ____л /4 I !•
дх + ду~ Vx-V,
Соотношения упругости сохраняются без изменения:	||i
N, = Ё6(в)> + ре»), W„ = ЁЛ (ej + рв°), Л\„ = * £(1-ЙТ«Я
(4.1 И i
Л4, = О (и, + рх,), М„ = О (к, + цх„), Л4ВД = -2- (1 — р) и* И
Геометрические соотношения записываются в форме
„ _ ей <а „______а> , ч> f, _ Ви , до ..
Е*-а» + я„’ е«-0«+ёГ’ й"-'в7+а^’ (4ЛМ
«. = >•	«-=>4-^. Л
где	(4.||
Полученные уравнения отличаются от соответствующих у неви4
теории пластин (3.20)—(3.22), (3.14)—(3.18) наличием лепЛ
NjRt, Ny/Ru в уравнении (4.114) и членов w/Rx, wlR2 в отнЯ
шениях (4.117). Соответственно упрощаются и выражения дли
перерезывающих сил (4.19). Из (4.116) имеем	и
л —	, ВМхи п . дМу , BMXV 1Л ,и
дх +- ду~, Чи----д-у Ь—аГ~-	<4 •»
Обобщенные перерезывающие силы согласно (4.26) имеют вил
« = & +	Q;^Q, + ^~.	(4.121)
С учетом (4.121) граничные условия определяются равенстваИ
(4.23) ... (4.25). Полученные уравнения в силу своей простоты®
78	£

Мшению с уравнениями общей теории широко применяются
К решения самых разнообразных задач по расчету оболочек.
I инювимся на некоторых приложениях.
4.6.2» Расчет пологих оболочек
Совокупность сделанных выше упрощений не приводит
| । /шественным погрешностям при расчете пологих оболочек
kftirofi кривизны (рис. 4.22), если выполняется неравенство
« 1.	(4.122)
виду того, что построенная система уравнений является прибли-
К иной, при расчете пологих оболочек, как правило, не учиты-
|4гкя переменность радиусов кривизны Rlf R2. В частности, для
плочки, показанной на рис. 4.22, Rt и R2 можно считать по-
пя иными и равными их значениям в вершине оболочки.
Г Система (4.113)—(4.119) может быть преобразована к трем
уршшениям типа (4.20) относительно перемещений и, v, w, Ис-
I почая из уравнений (4.113) (4.114) Qx и с помощью (4.120)
I иыражая в них далее усилия и моменты через перемещения со-
Ьпгпо равенствам (4.116)—(4.119), получим
»им	1 — р д2и . 1 + р d2v , / 1  р \ dw _	1—р2
J. •	2 ду* “*	2 дх ду “г \ Ri /?2 / дх Eh Чх’
1 I р д2и . d2v 1 — р &v , / 1 р \ дю________________________1 — и2 .
Р " дхду ду2 + 2 дх2 Т к Я8 i / ду Eh 4v'
1' ли на оболочку не действуют касательные поверхностные na-
il'узки, т. е. qx — qy == 0, система (4.113)—(4.119) может быть
приведена к двум уравнениям.
Введем функцию напряжений ф так, как это было сделано
и кюрии пластин (см. разд. 3.2.1):
ы _ N _ _^Р_ JV=_	(4 124)
ду* ’	— дх* ’	дхду
Тогда уравнения (4.113) (при qy = qy = 0) удовлетворяются тож-
шггвенно, а уравнение (4.114) после исключения Gy, Qy и за-
4«-11ы Му, Му, Мху через w, a Nx, Ny — через ч с помощью
(I 124) примет вид
+	=	(4.125)
Иснользуя выражения для деформаций eJ, eJ, (4.117) и путем
их дифференцирования исключая функции и и о, получим
179

уравнение совместное
деформаций, аналогичи
(3.32) в теории пластин,
Рис. 4.23. Шарнирно опертая по краям по-
логая оболочка
 ’Pmn — постоянные коэффициенты разложений, которые
обходимо определить. Представляя внешнюю нагрузку р (х, у)
JnifM же рядом
птх . ппу
’тп Sin—— Sin—
(4.130)
д^о |
=	дх2 ‘И
Заменяя sj, eg н у'х„ '•
рез Nx, Ny, Nxu с in
мощью (4.116) и вводя функцию напряжений <р по формулам
(4.124), получим
1	. -с	1 42ui .	1 d-w
й" V V <р -	+ Rs gx, 
f‘mn — известные коэффициенты (более подробный вывод из-
Ьксн в разд. 3.3.2), и подставляя ряды (4.129), (4.130) в уравне-
|Г (4.125), (4.126), получим алгебраическую систему уравнений
ni определения wmn и <pmn:
гz^y + ( - у^ _ Г > ( ™ у + • х
(4-13
Фтп — Ртппу
(4.131)
Таким образом, теория пологих оболочек сводится к двум ура»,
нениям (4.125) и (4.126) относительно прогиба w и функции п»
пряжений <р. Эти уравнения можно привести к одному у равней
относительно w. Действуя оператором V2 V2 на уравнение (^ 5
и исключая V2 V2 <Р с помощью (4.126), можно записать одно
некие восьмого порядка
+4г^-)“ vSv2p-
+т(^)1^ = а
Определяя из системы (4.131), например, юг
[кизаяной
(4.127.
. птх . ппу
S1IJ------sin---г2—-
а Ь
>mn для оболочки,
на рис. 4.23, окончательно получим
w{xt у) =
Для шарнирно опертой по краям прямоугольной в плане поли
гой оболочки (рис. 4.23) решение может быть построено путем ра»
ложения искомых функций в двойные тригонометрические рад
типа (3.79), использованные в разд. 3.3.2 для расчета шарнирп
опертых прямоугольных пластин. Граничные условия (4.24) враг
сматриваемом случае записываются в
при х = 0 и х = с пу = п == 0,
при у = 0 и у — b w ~ и ~ О,
следующем виде:
_ а,дд> _ „
(4.12
o^w ___ д-чр __ q
~д^~ ~~ дх2 ~ V‘
Для того чтобы удовлетворить эти граничные условия, hckomi
функции w и <р достаточно представить рядами вида
тпх . ппу
>mn sin —— sin——,
, тпх . nsty
4>тп S1H ~— SID —g- ,
180
fs \ a I j
(4.132)
мнение (4.132) может быть получено и в результате подстановки
Изложений для w и р (4.129) в уравнение (4.127). Ряд (4.132)
родится значительно медленнее соответствующего разложения
 79) для пластины, так как первое слагаемое знаменателя,
Обеспечивающее его сходимость, содержит малый коэффициент D,
•|ропорциональный /г3.
i В случае, когда граничные условия не соответствуют условиям
Йглрнирного опирания (4.128), решение может быть получено ме-
пдами, изложенными в разд. 3.3.2 применительно к расчету пла-
ятин. Значение полученных уравнений (4.123) или (4.125), (4.126)
hie исчерпывается возможностью расчета пологих оболочек. Теория
иологих оболочек в силу простоты ее уравнений и достаточной
| очности в большинстве практических случаев находит также ши*
||(>кое применение при решении задач локальной деформации
| «белочек при действии сосредоточенных нагрузок и задач устой-
чивости оболочек, когда на ее поверхности образуются местные
|(ладки [12]. Основанием для этого является то, что на относи-
(4-11 । I Цельно малом участке поверхности оболочка практически всегда
может считаться пологой и соответствующее локальное напряжен-
ное состояние может быть описано полученными выше уравнениями.
181

4.6.3. Техническая теория цилиндрических оболоче^И
Для цилиндрической оболочки /?г->-оо и левая часть ml
равенства (4.122) обращается в нуль. Как известно, цилинд^И
ческая поверхность может быть развернута на плоскость и в коорЖ!
натах х и у = /?Р (рис. 4.24), отсчитываемых вдоль образу I
и параллели, метрическое соотношение (4.1) принимает вид dsa 
~ dx2 + dy\ т. е. основное допущение теории пологих оболочф |
(Л = В =. 1) для цилиндрических оболочек выполняется точнн |
Что касается двух других допущений, связанных с отсутствие!
перерезывающих сил в уравнениях (4.113) и тангенциальных пеД I
мещений в соотношениях (4.119), то их введение определяет упри I
щенную, так называемую техническую, теорию цилиндрически
оболочек, использующуюся для решения широкого круга задД
В рамках технической теории цилиндрические оболочки опи-
сываются уравнениями (4.123) или (4.125), (4.126), в которых cj»
дует принять со, /?2 = R (см. рис. 4.24). Если по краям
оболочка шарнирно оперта, решение так же, как и в разд. 4.6 '
может быть построено в двойных тригонометрических рядад
В качестве примера рассмотрим круговую цилиндрическую
оболочку радиуса шарнирно опертую на краях х — 0 и х 
Граничные условия на этих краях имеют вид
WS = O(^ = C); о = 0; « = 0; Л4, = 0	= о) . (4.1.»
Пусть на оболочку действует нормальное давление р (х, р), par
пределенное симметрично относительно радиальной плоское^
Р = 0, а тангенциальные нагрузки отсутствуют (qx — qv = И1
ЪРтп^'~1~
n=0
(4.1341
Подставляя разложения и, d, w и р в уравнения (4.123) и при
равнивая по отдельности члены левых и правых частей уравнений
Рис. 4.24. Цилиндриче-
ская оболочка
содержащие одинаковые тригонометрий
ские функции, для каждой тройки нс
известных коэффициентов umni vmn,
получим по три линейных алгебраичг
ских уравнения:
-[т'+^(тП-+1
. 1 Ч- ц тл п	. и тл	п
+ -F- -Г--R	+ R ~Г	=	°-
1 + Р тя п	Г / n Y ,	1 —1*	V
“2 I RU™	|Д К 1 1	2	Х1
(-т^ )2] ''»» -г -у тН™-= °-
182

. / П \212	1 — и»
+ (-R) J И'“’>=~й
Mtiin эти уравнения, можно найти итп, vmn, wnn в зависимости
Ккоэффициентов разложения нагрузки pmn.
[ Аналогичным образом решаются и уравнения (4.125), (4.126).
 рмультате получается система типа (4.131), из которой нахо-
И фтп.
4.7.	ПОЛУБЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ОБОЛОЧЕК
4.7.1.	Основные гипотезы и исходные соотношения
Цилиндрическая оболочка является распространенным
» Вментом конструкций самого разнообразного назначения и ме-
Вли расчета цилиндрических оболочек разработаны наиболее
Килю. Уравнения теории цилиндрических оболочек могут быть
ииг.чены из уравнений общей теории оболочек, приведенных
 разд, 4.1, если принять А ~ В — 1, оо, /?2 = R- Путем
щедения некоторых упрощающих предположений в разд. 4.6
Крлн получены уравнения технической теории цилиндрических
«>лочек. Для иллюстрации необходимости дальнейших упро-
41Н1ИЙ запишем уравнение типа (4.127) для цилиндрической обо-
Кчки, на которую ие действуют поверхностные нагрузки, т. е.
к Чу = Р = О (см. рис. 4.24). При Лх оо и /?2 = Z? уравне-
и<- (4.127) принимает вид
D Va V2 V1 Vat« +	= 0.	(4.135)
I В случае шарнирного опирания по краям решение этого урав-
нения может быть получено в виде двойного тригонометрического
рчда типа (4.132). Для других граничных условий решение (4.135)
Ь силу его периодичности по окружной координате у может быть
представлено, например, в виде
у) =	w„(x)cos-^-_	(4.136)
Подставляя (4.136) в (4.135) и приравнивая нулю коэффициенты
при cos (ny/R), получим для (к>п/^)обыкновенноедифференциалы-юе
уравнение восьмого порядка
VIII .	пл VI . / с	п* . Eh \ iv	я8	* . пв	л
4 Wn -}- ^6	де2£)" J ЬУп	дев 4“ дев	0.
(4.137)
183

Я
Рис. 4.25. Полубезмоментная модель оболочки (а) и действующие в ией
и моменты (б)
У II
В принципе решение уравнения (4.137)
^n(^) = Zj С nilnl(x)>
содержащее восемь произвольных постоянных Cin для каждо
позволяет удовлетворить любые граничные условия на
х = о и х = I (см. рис. 4.24). Однако практическое определив
частных решений Fni (х) уравнения восьмого порядка свя ч
с большими трудностями, что и вызывает потребность в далы J
шем упрощении теории для снижения порядка уравнения (4.1'ij
Именно такой упрощенной теорией и является рассматриваем
ниже полубезмоментная теория цилиндрических оболочек, ЛI
роко используемая при решении конкретных задач [9, 11, Н
в частности, для расчета цилиндрических оболочек средней дли
нагруженных таким образом, что их деформированное состояли
меняется медленно в продольном направлении. В этой тес и
наряд)’ с гипотезами Кирхгофа используются дополнительные 
решающие статические и кинематические допущения. Если чЛ
sa = х и Sp = s обозначить координаты точки срединной пов«
ности оболочки, отсчитываемые в продольном и поперечном
правлениях (рис. 4.25, с), то допущения полубезмоментной теоЛ
можно записать в виде
п dv w	о du . dv q i л ,
Е"= = ТГ + яГ = °- ^=*-1 77 =°-
Л4а » 0, Qa « 0, А1аР яа 0.
Согласно (4.138) в продольном направлении оболочка во»»-
себя как безмоментная, а в кольцевом — как система иерастяж
мых рам. Полубезмоментная теория особенно эффективна для рй
чета оболочек, подкрепленных системой часто расположили
шпангоутов, которые «размазываются» по длине оболочки, солЦ
вая высокую изгибную жесткость в кольцевом направлен*
Три компоненты перемещения и, v, w связаны между сс»1Чй
двумя кинематическими условиями (4.138), и поэтому при люСи*»
184
I

направляющей они могут быть представлены через одну
. решающую функцию Ф (х, s);
и = —~вГ’	(4139)
। праведливость представления (4.139) может быть проверена
|п<мредственной подстановкой в (4.138).
Г Усилие Na и изгибающий момент М$ определяются по закону
Кка:
=	=	=	(4.140)
П п л д / V dw \ п / 1 д'-Ф . D д*Ф \
^6 ds \ Я2 ds )	D*\ Rs &« + ds* )'
Ulfj > в силу сделанного выше замечания о возможности приме-
ра Пня полубезмоментной теории для расчета оболочек, подкреп-
иных шпангоутами, введены различные обозначения для жест-
 i к‘й Eah и Dfl. При этом в полубезмоментной теории влиянием
• • ффициепта Пуассона пренебрегают, полагая р = 0. Сдвигаю-
I' - усилие (лоток касательных напряжений) в срединной поверх-
и пи оболочки определяется из уравнения равновесия в продоль-
 м направлении (см. рис. 4.25, б) с учетом (4.140):
“&	~di	~E“h ~дх^ ~	(4.141)
равнение для неизвестной функции Ф можно получить рассма-
Ёрпвая равновесие элемента, показанного на рис. 4.25, б или с
Ыомощью вариационного принципа Лагранжа (см. разд. 1.3).
Ниже будет реализован второй способ. Потенциальная энергия
hi формации полубезмоментной оболочки (4.27) с учетом (4.138),
i*l 140) будет иметь вид
с = -g- J J	+ Л1В"ХР] dxds =
I нпм^+м^+^rw- (4И2)
Ьриация работы поверхностных нагрузок определяется равен-
гном (4.28), т. е.
б Л = J J [<7а бы -|- би Ц-- р биу] dx ds =
+	(4.143)
Подставляя полученные выражения в уравнение б£/ — б А =0
И преобразуя его интегрированием по частям таким образом, чтобы
под поверхностным интегралом в качестве общего множителя была
мриация 6Ф, получим дифференциальное уравнение для функции
Ф и естественные граничные условия.
185

4.7.2.	Круговая цилиндрическая оболочка
Рассмотрим прямую замкнутую'круговую цилиндре
скую оболочку, для которой ₽2 — R = const и х = Rat s • 1
(см. рис. 4.24). После интегрирования по частям интегралов Пй
и р с учетом периодичности Ф и ее производных в окружиоуИ
правлении получим	I
1	К
ЛТ1 *л С ЛлГ д4® . Пл / д*Ф , о	\ .
«и-«Л=] ^[-^--^+^.(^-+2-^ + -^) +
с 2«	юЯ
+1 (4^-<->)] (гф’ЯМ:1^ +
4-(f)Jr£<xh а*® 0(«Ф)	/ Eah а»<в „\.Л,1“ = ГЦ(1 I
\yil~RS-ltar-ta (.-К5--^-+’“)еФ]а = 0/фГв
(4.14.
где I = l/R, I —длина оболочки.
Отсюда следует дифференциальное уравнение для функцн^Н
которое запишем в виде	.
+_а>____«Lr jl.+ п2ф (4 к-
8а* R*Eah	+ ) Eah *	1 н
г21е п - &£_ .	_ Jfe-
Д Ч 0&» + ag 0а ’
На торцах полубезмоментной оболочки граничные условия фора
лируются так же, как и для безмоментной оболочки — на калцр
торце должны быть заданы или тангенциальные перемещения, И
соответствующие им тангенциальные усилия, т. е. и или Н.
v или Л’ар. Аналогичный результат следует и из вариационв
уравнения (4.144). Контурный интеграл в (4.144) представлю
вариацию работы реакций на торцах; он с учетом (4.139|
(4.141) может быть записан в виде
Ф{^»в«+^-вФ]“:')к<Ф=
= ф {[Д'. С« + Na6 6о] “ “ р } R df,.
Чтобы этот интеграл обращался в нуль, на каждом торце долм
быть заданы перемещения (тогда би = 0, 6v — 0) или должны бу
равны нулю соответствующие им усилия Na = 0, Na& — 0-
верхиостные нагрузки, действующие иа круговую цилиндри>
скую оболочку, могут быть представлены в форме тригонометрии»
ского ряда по окружной координате 0. Например, при нагрузки
186

мяметричных относительно образующей р = О, правая часть
шнения (4.145) может быть записана в виде ряда
₽) = ^f„(a)cosn₽.	(4.146)
п—О
^решающая функция Ф (а, р) в этом случае находится в виде
Ф = S ®n(tz)cosnp,	(4.147)
|с Фп (а) — неизвестные функции.
I В силу ортогональности тригонометрических функций решение
II издается иа отдельные составляющие. При этом в случае п =
О, представляющем осесимметричное напряженно-деформи-
Ьншное состояние, полубезмоментная теория неприменима (так
in ер = 0) и это состояние рассчитывается отдельно по безмо-
•игной теории с учетом краевых эффектов. Для первой гармо-
нии (n = 1), представляющей изгиб оболочки как балки, полу-
пмоментная теория не учитывает сдвиг (уар = 0), и поэтому бо-
ре точное решение можно получить на основе общей безмомент-
>11 теории (здесь также можно учесть краевые эффекты изгиба).
Подставляя разложения (4.146), (4.147) в уравнение (4.145),
щучим для каждой гармоники (п = 2, 3, ...) обыкновенное диф-
। ренциальное уравнение
-^- + 4Г„Ф„ = /„(«),	(4.148)
ik'- = дЙЬгО’-
^ывнение (4.148) в отличие от уравнения (4.137) имеет уже чет-
щггый порядок и по виду совпадает с уравнением осесимметрич-
но краевого эффекта. Его решение можно записать в форме,
иiлогичной (4.41),
Фп = e~knCt (Ci coskna Ц- C2sinkna) 4*
4~ efe”“ (C3 cos kna -|- sin fena) £ Ф° (a),	(4.149)
иц- Ф£ (a) — частное решение неоднородного уравнения.
Параметр kn в случае гладкой оболочки (£„—£, £р ---££712)
Пропорционален величине j/"h/R и при небольших значениях п
Является достаточно малым. Вследствие этого деформированное
стояние тонкой оболочки при малых п меняется вдоль образую-
гиги медленно. В этом случае удобнее решение записать через
функции А. Н. Крылова:
Фп = AiKj (fen12-) Ч- А2К2 4~ А3К3 (fen*2) Ч-
4-Л4К4(йпа) + ФЙ(а).	(4.150)
187

Функции А. Н. Крылова имеют вид [111:
Ki (х) = ch хcos х, К2 (х) = -4- (ch х sin х 4- sh х cos x),
1	I	(41
Ks (x) = -g- sh x sin x, K4 (x) = -j- (ch x sin x — sh x cos x).
Они делятся на симметричные (Кг и Кз) и антисимметрий
(Къ и Ха) относительно х = 0 и их производные выражай
через эти же функции в виде: К[(х) = —4К4 (х), К2(*) = К11
K'3(x) = Kz(x)t №(х) = К3(х).
Произвольные постоянные Ct в (4.149) или Aj в (4.150) onpq
ляются из четырех граничных условий на торцах оболоч
В случае необходимости решение, полученное по полубезмома
ной теории, при не слишком больших п может быть дополй
решением в виде осесимметричного краевого эффекта.
Полубезмоментная теория применима для расчета деформа uj
медленно изменяющихся вдоль образующей; для гладкой оболоя
это ограничение определяется неравенством 1 < п < у/ Rih [L

ГЛАВА 5
РАСЧЕТ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ТОНКОСТЕННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ ПО БАЛОЧНОЙ ТЕОРИИ
5.1.	ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ГИПОТЕЗЫ
При создании летательных аппаратов широкое при-
Ьш-ние получили тонкостенные конструкции, обеспечивающие
Ьчстание высокой прочности и жесткости при относительно
К большой массе и представляющие собой удлиненные оболочки
едлпндрической и конической формы типа крыла, фюзеляжа или
♦ приуса летательного аппарата с произвольным контуром попереч-
<||>ю сечения (рис. 5.1). В большинстве случаев обшивка 1 под-
крепляется продольным силовым набором (стрингерами 3, поясами
конжеронов 2). Жесткость контура поперечного сечения оболочки
I своей плоскости обеспечивается поперечным набором (нервю-
|i 1ми 4, шпангоутами).
I Введем срединную поверхность, т. е. поверхность, делящую
|плщину оболочки пополам. Кривая, которая получается при
пересечении срединной поверхности плоскостью, перпендикулярной
В продольной оси оболочки, называется контуром поперечного
шчения. Положение любой точки М оболочки характеризуется
криволинейной координатой s, отсчитываемой по контуру попереч-
|ою сечения от некоторой начальной образующей, и продольной
|н «ординатой z (см. рис. 5.1).
В зависимости от типа сечения оболочки разделяются на
1'пстемы с открытым (рис. 5.2, а), замкнутым (см. рис. 5.2, б)
млн многократно замкнутым — многозамкнутым (см. рис. 5.2, в)
Контуром поперечного сечения.
[ В настоящей главе рассматривается балочная теория под-
(ргпленных оболочек. Предполагается, что оболочки восприни-
мают изгибающие моменты, поперечные силы и крутящие мо-
иеиты, работая как тонкостенные балки. Такая расчетная модель,
часто называемая балочной, справедлива для удлиненных оболо-
•юк регулярной конструкции, т. е. для оболочек, размер которых
кцоль оси z значительно больше размеров поперечного сечения,
причем отсутствуют вырезы и резкое изменение жесткости об-
шивки и подкрепляющих элементов по координате г. Балочная
Iгорня оболочек основана на следующих гипотезах, совокупность
моторых позволяет достаточно просто рассчитывать весьма слож-
ные пространственные конструкции:
189

Рис. 5.1. Подкрепленная оболочка
Рис. 5.2. Открытый (а), одном®»
кнутый (б) и многозамкнутый (•
контур поперечного сечения 
1.	Контур поперечного сечения оболочки z « const считав
иедеформируемым в своей плоскости, т. е. ев = 0. Это предппд.
жение обусловлено тем, что в конструкциях рассматриваемо!
класса (крыло большого удлинения или корпус летательно!
аппарата), как правило, имеется система часто расположение
поперечных подкрепляющих элементов (нервюр нли шпангоут»
2.	Предполагается, что относительные удлинения по ось>
е любом сечении оболочки распределяются по закону плоско
Вводя в плоскости сечения координаты х и у (рис. 5.3), полу*
Рис. 5.3. Усилия, моменты и напряжения, действующие в сечении обол-»-
190

К (1. b, с —некоторые функции переменной г. В сечении z
Иин-jst (5.1) является уравнением плоскости. Соотношение (5.1)
и. ично закону плоских сечений теории изгиба балок, однако,
Ен льку оно записывается для относительных деформаций,
 (блочной теории подкрепленных оболочек сечения не обяза-
Kfli.ix остаются плоскими. Действительно, интегрируя геометри-
Кк соотношение	с. учетом (5.1), получим следующее
Ин отделение осевых перемещений:
I	х Jeds 4-9/bd?+jcdz + f(x, #).	(5.2)
[ |l»l use три слагаемых в (5.2) соответствуют закону плоских
Кшияй, а последнее (произвольная функция интегрирования)
Кк-деляет постоянное по оси z отклонение сечения от плоскости
Ииг.ланацню сечения). Нормальные напряжения сге с учетом того,
Ki е, ~ 0, определяются законом Гука в форме
Г	ая = Еъг — Е (ах 4= by + с)	(5.3)
 гели модули упругости обшивки и подкрепляющих элементов
Kpiкаковы, распределяются в сечении по закону плоскости. Функ-
ции / (х, у) не влияет на нормальные напряжения, т. е. имеет
свободная депланация сечения оболочки. Отметим, что
К>нле случаев депланация сечения (если она имеет место при сво-
Кяном изгибе или кручении незакрепленной оболочки) огранн-
Ьпч’ется условиями закрепления края г = const. В этих случаях
 окрестности закрепленного края возникают дополнительные
Ко] лальные напряжения ах. Эти напряжения, естественно, не
н/т быть выявлены в результате расчета по балочной теории.
№п| их определения необходима более общая расчетная модель
рлочки, которая будет описана в следующей глзве.
[ 3. Ввиду малой толщины 6 оболочка считается безмомеитиой,
В г предполагается, что нормальные о2 и касательные т напряже-
|цю (см. рис. 5.1) по толщине обшивки и стенок распределяются
Кпвиомерно. При этом удобно ввести поток касательных сил
q ~ тб.	(5.4)
Е^&змеры сечений продольных элементов считаются малыми по
ривнению с размерами сечения оболочки. Предполагается, что
Цементы подкрепления (стрингеры, пояса лонжеронов) воспри-
нимают только нормальные напряжения о2, которые равномерно
I pm пределены по сечению элемента.
4.	Предполагается, что действующие на оболочку нагрузки
л каждом сечении z = const сводятся к изгибающим моментам
|	(z), Му (z), крутящему моменту Мг (г), осевой силе — N (z)
К поперечным силам Qx (z)> Qy (z) (см* Рис* 5.3). Эти нагрузки
м«нут быть найдены в результате анализа оболочки как консольно
««крепленной балки Например, для крыла, показанного н^

Рис. 5.4. К определению’ попе-
речной силы и изгибающего
момента в сечениях оболочки ти-
па крыла
рис. 5.4, поперечная сила и 1
мент, передающиеся на сечен!
от мысленно отделенной этим
чением части консоли, имеют ।
Q, = /?(*)&. M, = — J?(г)!в
Положительными считаются В
менты, действующие против чф
вой стрелки, если смотреть с
ца соответствующей оси;
жительные усилия совиадаьЖ
направлениями соответствуюци
координатных осей (см. рис. Г.;
Методы определения моменмИ
сил, действующих в сеченияДИ
соотношения, связывающие И*
аэродинамическими и друпн*
характеристиками летательных аппаратов, рассматриваются
курсах прочности летательных аппаратов [32, 25, 5].
Поскольку оболочка рассматривается как балка, действующ
в сечении изгибающие моменты и поперечные силы связаны пт
стными соотношениями сопротивления материалов, которые ।
принятого правила знаков имеют вид
dMj; ___________________
“ИГ"
( I
-Qx-
5.	Напряжения в конструкции определяются законом Гун
т. е. не превосходят предела пропорциональности; считается, ••
стенки и обшивка не теряют устойчивости (см. гл. 9). Отметим,
расчет оболочек по балочной теории может проводиться i|j
напряжениях, превышающих предел пропорциональности, и по’
потери устойчивости стенок и обшивки. В этих случаях р;н-
осуществляется методом последовательных приближений и р
сматривается в курсах прочности летательных аппаратов 132, Ц •
(см. также гл. 9, 11).
5.2.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ .
5.2.1.	Редуцирование сечения по материалу
В случае, когда все элементы оболочки изготовлены ft
одного материала с модулем упругости Е, напряжения щ расп|-
деляются по сечению по закону плоскости в соответствии с ран
ством (5.3). Однако реальные тонкостенные конструкции ч.-i
выполняются из различных материалов. В таких оболочках и
расчете все элементы обычно приводятся к одному материи
192
 г. осуществляется операция редуцирования сечения по мате-
1»алу. Естественно, что такое редуцированное сечение должно
Кп> эквивалентно действительному. Пусть в Ай точке сечения
^координатами xt, yt (5.3) находится элемент набора с площадью
Игния Fit модулем упругости Et или элемент обшивки с пло-
Ьщью dFt =	(6 —толщина обшивки) и модулем упругости
*1 Заменим истинный элемент фиктивным (редуцированным)
. площадью сечеиия Fip или dFlp = &tpds и модулем упругости Ер,
Ьи паковым для всех элементов. Очевидно, для эквивалентной
Кмгяы необходимо, чтобы, во-первых, усилия в действительном
| редуцированном элементах должны быть равны
= Olpfjp.	=	(6.6)
HW н Gip — напряжения соответственно в действительном
редуцированном элементах, а во-вторых, деформации истинного
редуцированного элемента должны быть одинаковы, т. е.
(6.7)
*1ш1дем редукционный коэффициент, учитывающий различие мате-
(и плов действительного и редуцированного элементов сечения, ина-
। редукционный коэффициент по материалу
<pf=#	(5.8)
игда согласно равенству (5.7)
Of = 4i°ip	(6.9)
•• hi соотношений (5.6) найдем
FiP = <PiO.	(5Л°)
ким образом, для приведения сечения к одному материалу
• Игдует площади сечений элементов и толщину обшивки изменить
пропорционально отношению модулей упругости действительного
I фиктивного материалов.
| Поскольку все элементы редукцированного сечения имеют
•щипаковый модуль упругости Ер, напряжение в точке i опре-
10Г1г»ется равенством (5.3)
С|р = Ер (axt + byt + с).	(5.11)
lb uiHHbie напряжения в соответствии с (5.9) и (5.11) имеют вид
= <Pi (AXf +	+ Q,	(5.12)
। иг А = Ера, В = Epb, С ~ Ерс.
В качестве материала приведения может быть выбран материал
itriCjoro элемента оболочки или некоторый гипотетический мате-
риал. Часто материал стрингеров приводится к материалу об-
шил ки. Если соответствующие модули упругости обозначить через
I „ и Ео, то для точек обшивки = 1. а для стрингеров <р2 —
' И. Ф. Образцов и др.	193

~ EJEq. При Ее > Eq напряжения в стрингерах будут соглнг
(5.12) в £е/£л раз больше, чем'в прилегающих элементах обшиш
т. е. в сечении, включающем элементы из разных материал
распределение напряжений не будет соответствовать закону ш
скости.
6-2.2. Вывод формулы для нормальных напряжений!
Найдем коэффициенты Д, В, С, входящие в равенд
(5.12). Поскольку распределение напряжений (5.12) в сечем
z = const оболочки должно быть статически эквивалентным дс^
ствующим в этом сечении моментам MXt Му и осевой силе]
(рис. 5.3), получим
$ ayS ds + J] OjF/y, — М, + NyK,
f <1x8 ds + J CjFjX, = — Му + NxK,
(5-
ф об ds Ц- J ojFj = АЛ
Здесь, как и ранее, С — толидина обшивки; Fj — площадь сечеиВ
/-го продольного элемента. Первые слагаемые в левых частя<
равенств (5.13) соответствуют моментам и силе от напряжен»!
в обшнвке (суммирование по элементам обшивки заменено интог
рированием по контуру), а вторые — моментам и силе от напри
жений Oj в подкрепляющих элементах с координатами сечений Xg.
У]. Отметим, что (х, у) — произвольная система декартовн»
координат, заданная в сеченин.
Подставляя (5.12) в (5.13), получим
+ Bl, + CS. = М. + Nyx,
BI№ + CSU = — My + NX".	(5.14)
ZS,4-BSr4-CF = N,
где Ixy = <j> yxtfids 4- У, <P;F,X;»h
<PB!6 ds 4- 2 tfiF/y],
(5.15)
194

1 - ()) <px£6ds+2j ф/F/X/ — центробежный и осевые моменты
Г	I
М*ции редуцированного сечения в координатах х, г/;
= $ Ф^5 ds 4- £ fPjFjyj,
Sv = § (рхб ds 4- J	(5.16)
F = (£<p6ds-|- VjFj
k । ытические моменты и площадь редуцированного сечения.
I Три уравнения (5.14) включают три неизвестных А, В, С.
r.h.•пство числа неизвестных коэффициентов имеющимся уравне-
ймим статики указывает на статическую определимость задачи
определения нормальных напряжений в тонкостенных конструк-
тжх. Найдем А, В и С из полученных уравнений. Из последнего
^ищнення системы (5.14) имеем
С =г ----Ах0 --- .ВУо~
1 >фГ1.
*о = -^. So = -^	<517)
координаты центра тяжести редуцированного сечения.
Представляя коэффициент С в первые два уравнения системы
('i 14), после преобразований получим
Alo^y BIOx ~ МОх,
AIOv + BIO3tv = -MOv.	1	'
II Кгнх уравнениях обозначено
Idx = h — SoF,
10д = 1д-х&,	(5.19)
4 ecu = Ixy XoBoF
осевые Zos, IQV и центробежный IQxy моменты инерции реду-
цированного сечения оболочки относительно центральных осей,
пириллельных первоначально выбранным осям хи//;
Л40а: = Мк 4- N (yN — у0),
^Аод = N (.^n	%о)
изгибающие моменты от действующих внешних нагрузок,
цилючающие моменты от продольных сил относительно централь-
ных осей, параллельных исходным.
Г	195

Решая уравнения (5.18), найдем
Д __ ____1____ / .^оу ___ ^Ох ipxy \
1 _	' ^ау 1°х	’
iOxiоу
fl ______*	/ Мох | МОу 7С ху \
J   if) XI) X Ox ioy if)X /
ioxiоу
Подставляя коэффициенты А, В и С в выражение (5.12), полу»,
нормальные напряжения для t-й точки сечения тонкости»
системы
Здесь
* =—!р—	(ба
1 ОХУ
ioxi оу
— коэффнциент несимметрии сечения оболочки;
“	(5»
й = Si — 5, — (*г — *<>)-4^
г0у
— обобщенные координаты гй точки сечения оболочки.
Отметим, что нормальные напряжения (5.21) получены Щ
произвольно выбранной системы координат. Если сечение имЛ-«
ось симметрии, например ось у, которая проходит через цсш
тяжести, то
Xq — О, Уо 0, 1оху — ?ку — О, — 1» Xi — Xi,
Ус = Vt — Уо> Id* = /х — tfoF, hs = Л
Мох — Л4М N (ук — р*0), TWop = Му — Nxn.
Для сечення с двумя осями симметрии, являющимися однопр
менно центральными
Хо — Уо = о, 1оку — 1ку = 0, k — 1, Xi — Xi? УI — у I?
~ loy — lyt iA()X = ТИсеЦ- NyN,
Mqv — My — NXtf.
В заключение сделаем некоторые замечания. Чем больше чвкл*
и площади поперечных сечений продольных элементов, тем лш
чительнее роль их по сравнению с обшивкой в передаче норм;иц,
ных напряжений от изгибающих моментов и продольной вилн
Поэтому в отдельных конструкциях, особенно с тонкими обшит
ками, продольные пояса являются основными элементами, пер*
196

i -ми моменты Afx, Му и силу N. В таких системах допу-
что обшивки совсем не воспринимают нормальные иапря-
)и к и работают только на сдвиг. Обшивка, не воспринимающая
(мяльные напряжения, естественно, не учитывается при вы-
! । ии моментов инерции, обобщенных статических моментов
I -их геометрических характеристик оболочки. В этом случае
। учесть только сосредоточенные элементы — пояса лонже-
стрингеры или внеинтегральные члены в формулах (5.15),
•биту обшивки значительной толщины на нормальные напря-
и ложно учесть путем приведения ее к продольным элемен-
• этом случае при вычислении нормальных напряжений
пие оболочки заменяется системой сосредоточенных площадей,
пчающих площади сечений продольных элементов с присоеди-
ftno.; обшивкой.
Применяется и другая расчетная схема, при которой работа-
ли на нормальные напряжения обшивка не приводится к под-
дяющим элементам, а стрингеры равномерно распределяются
донтуру сечения и в результате получается гладкая оболочка,
ц этом следует иметь в виду, что при определении нормальных
ряжений учитывается приведенная толщина обшивки, а при
и-.слении касательных напряжений — только действительная
|цина, так как стрингеры воспринимают только нормальные
пряжения.
J (юе описанные расчетные модели широко используются в прак-
•I' ких расчетах конструкций летательных аппаратов.
Б.2.3. Примеры определения нормальных напряжений
Пондер 1. Найта нормальные напряжения в сеченин оболочки, нагружен-
| погибающим моментом Мх = —М (рис. 5.5). Материал сечеиия оболочки —
кпниезый сплав. Обшивка работает на нормальные напряжения, а стенка 6а
Ьринимает только сдвиг.
Г Иля данной оболочки редукционный коэффициент <р = 1, ось х является
ральной н главной, т. е. k = 1, Уг = &t, iox ~ Iхн формула для нормальных
Лшжеиий (5.21) принимает вид
а == -у— ffit
- J tpSds.
•ипеграл вычисляется только по участкам /—2 я 1—3, воспринимающим
. dx
,.«че напряжения. Учитывая, что	ПОЛУЧИМ
КВ JL Vs dx ьн*в
2В *) 1 cos а	6 cos а *
о
6М	_ 3Mcosa
°*= —У1 = т -ёйда—Х|-
«енуе наряжений показано иа рис. 5.6.
197

Рг =0.255
Рис. 5.5. Геометрические характеристики
сечения оболочки н действующие на-
грузки
Рис. 5.6. Распределение nt
мальных напряжений ё =
&НВ
= О-—=------ по контуру I
SlWcosa	I
чення
Пример 2. Определить нормальные напряжения в сечении трехзамкнуи
оболочки (рис. 5.7) от действия изгибающего момента Мх — —М прн услоД
что стенки 11—3 и 9—5 воспринимают нормальные напряжения, а обцнш
работает только на сдвиг. Материал поясов лонжеронов 3, 5, 9, 11 — ci.i |
стрингеров, стенок и обшивки — алюминиевый сплав (принимается Е^Е-п -1
Площади поясов лонжеронов F — 2f — &R, стрингеров f= 0,561?, толщи
стенок 68 = 2S, обшивки — 6Х = С.
Приведем материал сечения оболочки к алюминиевому сплаву. Тогда и
поясов лонжеронов <р3 — срв = ср9 = <ры — <рп = 3, а для остальных элемеш
<Р/ = 1. Рассматриваемая конструкция имеет две осн симметрии. Выбраян
система координат х, у (см. рис. 5.7) является центральной н главной. В
случае k = 1, yt = yt н	Поэтому
Or^Vt -Ц~У1-
х определяется вторым равгм
провод нгсн по участкам сечен ик
а суммирование распространим
ся на все продольные влеменм
относительно оси
причем интегрирование
на нормальные напряжения'
Момент ннерцни
вом (5.15),
работающим
' Уз
2

= 4 J у’26* +
+ <Pn^F+y|f +2$.
1/"3
Здесь й = R, Иг = R 2^-, у.
= 0,51?. В результате получи
/й = 7.23261?3.
Рис. 5.7. Геометрические харям
теристики сечения и действую
щие нагрузки
198

Подсчитаем нормальные на-
. «иля в отдельных элемеи-
гчепия оболочки.
h поясах лонжеронов:
° °И ”----—
М 1 „
’'"(S.S + KSJSR3 2
.20^2 ~^г
Кингерах 2, 6, 8, 12;
fg ------Ое ™ CT|g к
м Из
(5,5 + ИЗ ) 8R’ 2
=-0.H975^-
Рис. 5.8. Распределение нормальных на*
gpS
пряжений с — о ~т^- по контуру сечения
। |рннгерах /, 7:
tfy = —CFj = —
। к-нках 11—3, 9—5:
°ii-з ~ —о'в-ь ~ —
М
(5,5+}'3)6R’
м
R	—0.13828-™-.

«пшделевие нормальных напряжений показано иа рнс. 5.8.
пример 3. На оболочку (рве. 5.9) действует изгибающий момент Мх =
> М. Определить нормальные напряжения в элементах поперечного сечения,
•.и in, что обшивки и стенки не работают на нормальные напряжения. Пояса
^||н<1*ронов 5, 8,9,12 выполнены нз стали, стрингеры — из алюминиевого сплава
*т/£д — 3). Площадь сечений поясов переднего лонжерона Fb = Fit = Збй,
n>m г>в заднего лонжерона Fa — F» =	^Ь, стрингеров 26b (С — толщина
(Яшники).
199

Геометрические характеристики сечения. Нормальные напряжения в элементах оболочки
ёГ*|		Ь;	—0,0178 -0,00035 —0,0092 —0,0442 —0,4760 —0,0528 —0,0185' к0,0348 —0,0875 1-0,0394 —0,0354 —0,1400 —0,0276 —0,0240 —0,0208	0Z66‘0— 1 № Г7 j'Po 1Л >
II о <6*	Is		НО,0335 НО,0047 -0,0241 -0,0528 -0,2449 -0,0577 -0,0341 -0,0314 НО, 1576 -0,0499 НО,0472 НО, 1330 -0,0417 НО,0389 НО ,0362	
				
		2	—0,266 —0,037 +0,191 +0,419 +0,648 --0,458 —0,271 +0,083 —0,417 -0,396 —0,375 —0,352 —0,331 —0,309 —0,287	
				
	8	2	0 0,167 0,667 1,500 12 2,778 2,667 4,667 0 0 0 0 0 0 0	=
	ь	2	0 0,250 1 2,25 4 4,17 4 3,5 0 0 0 0 0 0 0	
°’я» Cl с			0 0,0417 0,167 0,375 3 1 0,463 0,296 0,333 0 0 0 0 0 0 0	ВШ9^« 1
			0 0,0625 0,250 I 0,562 0,694 1 0,444 0,250 0 0 0 о° 0 0	
3	•°	о	0 0,667 2,667 6 48 16,667 24 65,333 65,333 24 16,667 48 6 2,667 0,667	s<?9Z*9SS = |
ТГ	ь	о	о —Ti’cncpmcDOChCDincDOj-^—, —’tNCO’sFxJ’COO}-*	
	8	•	0 0,167 0,333 0,500 3 0,556 0,444 0,667 0 0 0 0 0 0 0	e<?9Z99‘S =
			0 0,667 1,333 2 12 3,333 4 9,333 9,333 4 3,333 12 2 1,333 i 0,6671	B<№*S9==
*	-	«	0 0,250 0,500 0,750 1,000 0,833 0,667 0,500 0 0 0 0 0 0 0	
«		ю		
	8		0,667 0,667 0,667 0,667 3 0,667 0,667 1,333 1,333 0,667 0,667 3 0,667 0,667 0,667	«S91=‘,,jS=-f
&		п	0,333 0,333 1 0,333 1 0,333 0,333 0,333. 1 1 0,333 0,333 1 0,333 0,333 0,333	
rT		С5	2 2 2 2 3 2 2 1,33 1,33 2 2 3 2 2 2	
•**		—	—< CJ CO ЧН tn CO r- CO СП О — СЧ ICO	tn	
				
200

-0,2449
В качестве материала приведения принимается сталь, т. е. для поясов лон-
KitioB <р — 1, а для стрингеров <р — 1/3.
Геометрические характеристики сечения сводятся в таблицу 5.1. Суммиро-
Ш1<‘ столбцов 4, 7, 8, 10, 12, 14 таблицы позволяет найти характеристики F,
I. Sv, 1Х, 1Ху. По формулам (5.17) и (5.19) находим координаты центра
Ж14-ги сечения х0 —	= 4,086; у0 = —— — 0,3546 и центральные моменты
|ц|>ции сечения /Сае = 2,6766s, /оу — 59,9563, /оэе^ — 1,3568. Коэффициент
симметрии сечения (5.22) k = 1,01 и обобщенная координата (5.23)
& = yt - 0,354Ь — (xf - 4,086) 0,0217.
пн пения у$ приведены в столбце 15 таблицы. Нормальные напря-
шция определяются по формуле (5.21)
°! =	= “I’Obp‘Ww Bi
। приведены в столбце 16.
11 качестве проверки по формуле
Е OiSiFi = —М
уДкет быть найден изгибающий момент в сечении. Результат
1уммирования столбца 17 таблицы показывает, что погрешность
рпсчета составляет 0,3 %. Распределение нормальных напряжений
Н'жазано на рис. 5.10.
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
5.3Л. Вывод формулы для потока касательных сил
При изгибе подкрепленной оболочки в обшивке возни-
кают касательные напряжения т, направленные вдоль контура,
|н in номер но распределяющиеся по толщине обшивки б и сводя-
щиеся к потоку касательных напряжений (5.4) q == тб.
201

Для определения потока касательных сил (ПКС) q выдели
из оболочки элемент с размерами dsdz (см. рис. 5.3) и рассмотри
его равновесие, считая, что поверхностная нагрузка в направлен»
оси z отсутствует, т. е. продольная сила для данного отсека ко»
струкции постоянна (N — const). Спроектируем все действуют»
на элемент оболочки силы на ось z
~5z ^2) ® ~	4- ds} dz — qdz — 0.
Отсюда после очевидных преобразований
•^б+4-=о
dz ‘ dz
и после интегрирования по s
?«•-	+	(5.р|
0
Здесь qn (z) — ПКС в точке s — 0. Подставляя в равенство (5.711
выражение для нормальных напряжений (5.21) и учитывая, чп
в нем от z зависят только Мйж и MDyt получим
Отметим, что в формуле (5.21) имеется индекс I, однако следует
иметь в виду, что она определяет напряжения как в точках ofj
шивки, так и в продольных элементах. Поэтому, если на участит
контура 10, si имеется m-продольных элементов, то интеграл в рп
венстве (5.24) следует вычислять с учетом этих элементов и фунн
цин Sx (s) и Sy (s) в общем случае имеют вид
s	т
§„ = J адб ds 4- V}
.	41
SB = j <рл6 ds + 2 №fj-
о	(-1
Здесь интегралы уже распространяются только на обшивку; Л
и ф — толщина и редукционный коэффициент обшивки; fif
Уь Ф/ — площадь сечения, обобщенные координаты (5.23) и рг
дукционный коэффициент /-го продольного элемента.
Функции SK (s) и Sy (s) (5.26) представляют собой обобщении!
статические моменты отсеченной части контура редуцированно!"
сечения в произвольно выбранной системе координат хОу (cl
рис. 5.3). Начало отсчета координаты s выбирается в произвольно,
точке контура сечения.
202

Преобразуем равенство (5.25) к окончательному виду. Для
вино учтем, что в силу условия N = const и равенств (5.5),
[П *))
dM-on _л	dMOy ___ л
—“ Чу,
|1 результате для сечения z = const получим
g = -*(^3;. + -&-Si,)+<?o	(5.27)
1и<>1 v = gQ + f0,
де
4cl=~kt-^Sx + -^-Su')-	(5.28)
X Jox	‘оу f
1 Wii.i ки обобщенных статических моментов Sx и Sv зависят от зна-
кон обобщенных текущих х, у и фиксированных х}, у; координат
I i Й6), а также от принятого начала отсчета координаты s. Знак
11 КС gQ в (5.28) определяется знаками поперечных сил Qx, Qy
|1 обобщенных статических моментов $х и Sy. При этом положи-
Вольный ПКС gQ совпадает с выбранным направлением обхода
Вппгура, а отрицательный — принимается в противоположном
Л травлении. Формулы (5.27), (5.28) определяют распределение
ИКС по контуру сечения. Касательные напряжения в соответ-
I |нпи с равенством (5.4) имеют вид
» =	(5.29)
юдует отметить, что поток д0, входящий в формулу (5.27), яв-
оптся пока неизвестным и определяется по-разному в зависи-
Ц«ити от степени замкнутости контура (см. рис. 5.2). Таким обра-
♦ »м, определение касательных напряжений представляет собой
flcMice сложную задачу по сравнению с расчетом нормальных
Ипряжений, так как в этом случае небезразлично, каким является
Ь’чение оболочки — открытым, однозамкнутым или многозамкну-
пим. Так, однозамкнутое сечение является статически определи-
мым, многозамкнутое — статически неопределимым, а оболочка
। открытым контуром при решении задачи кручения является
оке геометрически изменяемой системой. Поэтому необходимо
ы «следовательно рассмотреть определение касательных напряже-
ний для каждого типа сечения тонкостенных конструкций.
5.3.2. Определение ПКС в оболочках с открытым
контуром поперечного сечения. Центр изгиба
Для более полной иллюстрации схемы решения, кото-
рая в основных чертах будет повторяться и далее в более сложных
• (дачах, рассмотрим простой пример — задачу об изгибе оболочки,
показанной на рис. 5.11.
203

Рис. 5.11. Круговая цилиндрическая Рнс. 5.12. Распределение ПКС
оболочка с открытым контуром	л/?
= П° контУРУ с^'»2ния I
Как уже отмечалось, в формуле (5.27) q0 = q (при s 4
Поместим начало отсчета дуги s в точке А, т. е. на крае kohtJ
Поскольку край АВ свободен от нагрузки, в силу закона паря
касательных напряжений в точке А (т. е. при s = 0) q = 0. j
довательно, qQ ~ 0 -и согласно (5.27), (5.28)
? =	k-&-Sx.
*Gx
Для рассматриваемого контура, обладающего осью симмеи
Ч>=1, s=^«, j/ = ^cos«, у = у, k = 1, 4 = /01 = 0,Я
= /?26 j cosada ~ 7?2f, sina, q =----^-slna. I
0
Распределение потока q по контуру показано на рис. 5.12. Hal
равнодействующие потока q по осям х и у
Я	л
J q cos aR da == 0; j q sin aR da == Qu.
Таким образом, поток qQ, входящий в формулу (5.27), статича
эквивалентен действующим в сечении поперечным силам. I
смотрим условие статической эквивалентности по моменту отн?
тельно оси z (точки О на рис. 5.11)
J qR* da = Qya.
о
Отсюда а — т. е. сила Qv должна проходить через впо|
определенную точку. При любом другом ее положении полу
емый поток q оказывается неэквивалентным действующей в са
нии силе и не может быть найден по балочной теории.
204

I усмотрим теперь откры-
ли контур общего вида
i.l 5.13).
 координату s отсчитываем
I свободного края контура
|<ц|н1ля. Поскольку q0 пред-
Ьнпляет собой поток, действую-
ши на крае сечения оболочки,
К. при отсутствии продольных
mt'i вдоль образующей имеем
0. Поэтому в оболочках с
«крытым контуром касатель-
•1н усилия находятся по фор-
Рис. 5.13. К определению ПКС в сече-
нии оболочки с открытым контуром
g^qQ = -k(^L-Sx + ^sA.	(5.30)
\ >ох	‘оу /
< i обобщенные статические моменты Sx и Sv вычисляются по
Крмулам (5.26) от одной из свободных кромок профиля.
'’умма проекций всех элементарных касательных сил qQds
ш координатные оси Qx и Qv (см. рис. 5.13) обеспечивает выполие-
условий равновесия
| qQ cos ads = Qx, j qQ sin ads — Qy. (5.31)
S	6
Ih выражения (5.30) следует, что поток касательных сил в сечении
Кшочки открытого контура не зависит от величины крутящего
имев га. При кручении таких систем отсутствуют внутренние
рплия, уравновешивающие крутящий момент. Поэтому тонкостен-
ш* конструкции открытого профиля не воспринимают крутящий
мп м гит и представляют собой в этом случае нагружения геометри-
Вкп изменяемую систему.
' Огметим, что последнее является следствием гипотез
нючной теории, т. е. применительно к задаче кручения
। ли остенной конструкции открытого профиля концепции балоч-
Hitii теории дают совершенно неудовлетворительные результаты.
11ри определении нормальных и касательных напряжений были
Ьлпилетвореиы пять уравнений равновесия (5.13) н (5.31). Шестое
♦ рлннение позволяет найти координаты точки, через которую
приходит равнодействующая развивающихся в сечении по-
лонов касательных сил. Этим уравнением является
.рлннение моментов относительно любой оси, параллельной оси z.
Определим раздельно координаты х, у искомой точки. Сначала
1ИГП1ВИМ уравнение моментов относительно произвольной
|нчки в плоскости сечения — полюса Р (хр, ур) (см. рис. 5.13)
Р'ЛЬКО для усилия Qv
—Qv(xp — *) = Jw^
s
205


Здесь р = р (s) — расстояние от полюса до касательной в теку»»»
точке контура или плечо элементарной касательной силы
Подставляя в последнее равенство qQ из формулы (5.30)
9s = -*-^-S„
JOx
находим
хр — х — j §хр ds.	(5.
8
Рассматривая затем действие силы Qx, аналогично получаем |
УР — У = — ~ц~ j 3„Р ds.	(5.' I
8
Координаты х, у определяют точку, через которую проходи»
равнодействующая развивающихся ПКС в сечении оболочЛ
открытого контура. Эта точка называется центром изгиба
в = х =	j—• J Sxp ds -J~ Хр,
k /« л	<5J<I
Уц-» — У —j SyP “s 4" Ур-
Положение этой точки не зависит от внешней нагрузки и опре
деляется геометрическими характеристиками сечения. Ценя»
изгиба открытого профиля лежит всегда вне контура и на ос'
симметрии, если она имеется. Геометрическое место центров изгиб»
сечений по длине конструкции образует ось жесткости (ось и»
гиба), которая для цилиндрических оболочек представляет со(П
прямую, параллельную образующей.
В качестве примера рассмотрим открытый контур, показанный
на рис. 5.14. Оболочка нагружена поперечной силой Qy = (j
Определить ПКС q и абсциссу точки приложения внешней и*
грузки (Хд.и) при условии, что обшивка с толщиной = 6 н<и
принимает нормальные и касательные напряжения, а стены
с толщиной 62 = 0,256 работает только на сдвиг. Материал oflu
лочки — алюминиевый сплав.
Эта оболочка уже рассматривалась ранее при определена
нормальных напряжений (см. пример 1 в разд. 5.2.3). Для л«
было найдено, что k — 1, yt — Уь 10х — 1ж = "ёсоХ > <р =» I,
т. е. согласно формуле (5.30)
q = qQ = — k	Sx = - cos aSs, (5.3|
206

У
В 5.14. Геометрические характеристики сечения С открытым контуром
WI0 SX SX — статический момент отсеченной части. Крорди-
Бтд s отсчитывается от точки /, т. е. от свободной кромки. Учи-
кимя, что ds ~	> У	х (см. рис. 5.14), для
Нитка 1—2 имеем
с’-2 _ ( к„ dx ЪН
я	cos «	4В cos а
1 точке 2 имеем
х	'	'	4 cos а
|bскольку стенка с толщиной бя на нормальные напряжения по
Еовию не работает, на участке 2—3 Sl“s = и в точке 3 Sx —
 S*. Для определения статического момента на участке 1—3
Ьдобнее ввести новую координату Sj (см. рис. 5.14). Учитывая,
Frfsi=-^’ ^ = “получим
__ f Я,,	„ бЯ У2
*« ~ J	"cos a “ 4Bcosa X'
IIih-ok касательных сил определяется теперь по формуле (5.35)
il показан на рис. 5.15. На участках /—2 н 3—1 получим q —
-	х2, а на участке 2—3 q = —т. е. при обходе
Ьштура по часовой стрелке поток на всех участках имеет противо-
Ьложное направление. Из рис. 5.15 непосредственно следует, что
1<кинодействующая ПКС на ось хравна нулю, а на ось #она, как не-
го?

Рис. 5.15. Распределение ПКС
Н
Я —
~ qQ по сечению с открытым контуром
трудно проверить, равна О
Действительно,
— 2 [ 27^5 x-asinа I
J 2НВг	cos а г
При расчете тонкостей
ных конструкций с откр|^
тым контуром сечения и
основе балочной теории
поперечные силы должны
обязательно проходить ф
рез центр изгиба. Опрсдс
лим абсциссу центра и
гиба в рассматриваемой
оболочке. В практических
расчетах целесообразно ко
ординаты центра изгиба определять не по формулам (5.34), а непо
средственно из уравнения моментов. Составим это уравнение стати
ки, принимая полюс в точке L Тогда условие статической экви-
валентности найденного ПКС силе Q примет вид
3
Отсюда —-g-B.
5.3.3. Определение ПКС при изгибе и кручении
оболочки с однозамкнутым контуром сечеиия
Пусть тонкостенная конструкция с замкнутым конгу-
ром нагружена в сечении произвольно приложенными поперек
ными силами Qv, Qx и крутящим моментом Мг (рис. 5.16, а). Дли
определения потоков касательных сил система с замкну»
тым профилем разрезается вдоль образующей в произвольном
месте поперечного сечения и превращается таким образом в обо
лочку с открытым контуром, которая была рассмотрена выпь
Разрез служит начальной точкой отсчета обобщенных статически
моментов отсеченной части сечения оболочки. При введении
разреза в тонкостенной конструкции появляются распределены#
касательные усилия q0 (z), которые в рассматриваемом сечении
z = const имеют постоянную величину, т. е. q0 — const.
Потоки касательных сил в сечении оболочки находятся со
гласно (5.27) и (5.28) по формуле
9 = ^4-	(5.3(Н
208

Ча-----kl^-S. + ^Sy)	(5.37)
\ 7 ox	7 оу I
представляет собой поток касательных сил в сечении оболочки
I открытым контуром, который определяется по схеме, описанной
и разд. 5.3.2. При этом обобщенные статические моменты S* н Sy
«мчисляются по формулам (5.26) от введенного разреза.
Г Для определения ПКС q0 запишем не использованное пока
vp 1внение моментов сил относительно произвольно выбранного
полюса Р с координатами хр, уг (см. рис. 5.16, б). Имеем
Mfcp = $ qp ds,	(5.38)
I да Л411р = Мг — Qy (хр — ха) + & (ур — уа) ~ крутящий мо-
мент от заданных нагрузок; р = р (s) — длина перпендикуляра,
опущенного в сечении из полюса на касательную к контуру в теку-
щей точке.
Подставляя (5.36) в (5.38), получим
Л4„р = <£qQpds+ ft <£ pds.
i .ледовательно,
(5.39)
(bpcis ffipcis
209

Как для крутящего момента, так и для момента от потока касатея
ных сил, положительным считаем направление против часом
стрелки, если смотреть с конца положительного направления осп1
В знаменателе равенства (5.39) стоит интервал <j)pds. Устав
вим его геометрический смысл. Из рис. 5.16, б видно, что вели
чина pds равна удвоенной площади элементарного треугольни!
с вершиной в полюсе Р н основанием ds (элементарная секторная
ная площадь). В результате интегрирования получим удвоенна
площадь, ограниченную контуром сечения, причем величии
интеграла не зависит от расположения полюса. Введем обозная
ние
(j) р ds — Q.
Тогда формула (5.39) примет вид
9о = -q — $ Чцр ds).
(5 1(1)
Итак, ПКС в однозамкнутом контуре определяется равенствам»
(5.36), (5.37), (5.40).
Рассмотрим один важный частный случай. Предположим, чтч
в сечении действует только крутящий момент Мх. Тогда Qx Я
= Qy = 0,	= Мз., (Jq ~ 0 и из (5.36), (5.40) получим
л	/til
(5.411
Формула (5.41) называется формулой Бредта. Из нее следует, чт»
при свободном кручении оболочки с однозамкнутым контуром
поперечного сечения поток касательных сил не изменяется ндол»
контура и определяется в результате деления крутящего момент!
на удвоенную площадь, ограниченную контуром сечения. Касч»
тельные напряжения находятся по формуле х = q/&.
В заключение отметим, что оболочки с однозамкнутым копту»'
ром в отличие от систем с открытым профилем воспринимаю*
произвольно прикладываемые поперечные нагрузки Qx, Qu к
момент Мг. Возникающие при этом напряжения определяются
как следует из изложенного выше, только из уравнений равнм
весия. Поэтому тонкостенные конструкции с одиозамкиутмм
контуром поперечного сечения являются статически определи*
мыми.
В качестве примера рассмотрим оболочку с сечением и схеме!
нагружения, показанными на рис. 5.17 (см. также пру»,
мер в разд. 5.3.2). Согласно (5.36) q = qQ 4- q0. Разрежем контур
в точке 1. Тогдв получим открытый контур (см. рис. 5.14) и расп|М
деление ПКС qQ, показанное на рис. 5.15. Найдем поток q0, ком
пенсирующий сделанный разрез. На практике вместо использй
вання формулы (5.40) обычно непосредственно составляется ураь»
210

Рис. 5.18. Распределение потока ^e =
И
— Яй ~q~ п0 сечению с однозамкиутым
контуром
Рис. 5.17. Распределение суммарного
IlkC q — q-~ по сечению с одио-
замкнутым контуром
пение моментов. Принимая в качестве полюса точку 1 и направляя
К против часовой стрелки, получим (см. рис. 5.15, 5.17)
Отсюда (/о = — (рис. 5.18). Суммарное распределение ПКС
Ч c.q + ?о» полученное в результате сложения потоков, пока-
11ШНЫХ на рис. 5.15, 5.18, представлено на рис. 5.17.
5.3.4. Определение ПКС прн изгибе и кручении обо-
лочки с многозамкнутым контуром поперечного сечения
Теперь рассмотрим определение касательных напряже-
ний в тонкостенных конструкциях с многозамкнутым контуром
поперечного сечения.
Пусть n-раз замкнутая оболочка нагружена произвольной
шетемой поперечных нагрузок (рис. 5.19). Прежде всего тонко-
г генную систему с многозамкнутым контуром нужно превратить
к оболочку с открытым контуром. С этой целью необходимо раз-
резать оболочку на каж-
дом контуре по образую-
щей. Всего таким образом
делается n-разрезов. Для
компенсации нарушенных
связей в разрезах необхо-
димо приложить неизвест-
ные распределенные ка-
сательные усилия qQt (z).
Для рассматриваемого се-
Рнс. 5.19. Сечение оболочки с многозамкиу-
тым контуром
чения z = const, в котором
действует заданная система
211

Рис. 5.20. К определению II
qq в оболочке с многозамкну!
контуром сечення

поперечных нагрузок, -т.
усилия являются пост |
явными в пределах кажд»
го контура.
| Qy	Далее от поперечны л
сил по формуле (5.2н»
определяются потоки касательных усилий в сечении оболочки
с открытым контуром, т. е.
+	(5.1-4
X ' Ох	I оу	!
причем обобщенные статические моменты отсеченной части реду
цированного сечения Sx и Sy отсчитываются от одного,из разрезом.
Типичное распределение по контуру показано на рис. 5.20.
Для сечения, состоящего из n-замкнутых контуров, суммарны*
потоки касательных сил в произвольной точке записываются
<7 — Qq + S QQob
(5.4.1)
где qt — единичный поток, показывающий направление потоки
qot в i-м контуре (рис. 5.21); qoi-— величина потока в i-м контуре.
Отметим, что усилия от ПК<
Рис. 5.21. К определению ПКС qot в
оболочке с многозамкнутым контуром
сечения
q (5.43), будучи спроектирован^
нымн на оси хну, приводят к
заданным силам Qx и Qy, так как
этим свойством обладает потоку
(5.42), а постоянные по отдель
иым контурам распределенный
касательные усилия q^t яв-
ляются самоуравновешенными.
Таким образом, остается по-
требовать, чтобы момент от по
тока q в сечении сводился к
крутящему моменту, т. е.
$9pds = Mz — Qt(xr — xQ)-t
+ <2« (Sp — Bq)- (5.44)
Интегрирование распростра-
няется на все поперечное се-
чение оболочки. Подставляя в
уравнение (5.44) q согласно (5.43)
н принимая во внимание, что
(J> ftp ds = Ip ds = Qit
212

4f - удвоенная площадь, ограниченная i-м контуром попереч-
^Kiu r-ення оболочки, получим
I Чо А + $ ЧчР ds = Мг — Q„ (хр — хе) + Q* (др — yQ). (5.45)
В I' . ь, для определения n-неизвестных потоков qoi имеется
^Kv одно уравнение равновесия. Поэтому задача определения
в оболочке с п-замкнутым контуром сечеиия является
-раз статически неопределимой. Для решения этой задачи
^Кп-одимо привлечь уравнения совместности деформаций.
 11олучим выражение для относительного или распределенного
^Кри закручивания сечения оболочки 0. С этой целью восполь-
‘ч теоремой Кастильяно, изложенной в разд. 1.4.4 гл. 1.
иасно равенству (1.’58) частная производная от дополнительной
lib "шальной энергии по обобщенной силе равна соответству-
ет ау обобщенному перемещению. Для линейно упругих систем,
If • । 'лу которых относится рассматриваемая оболочка, дополни-
Кг п !я потенциальная энергия совпадает с потенциальной энер-
|/ *>• деформации. Запишем распределенную потенциальную энер-
)и (соответствующую единице длины оболочки) для некоторого
Ири контура многозамкнутого сечення
U,=$*-eds = ^<is.	(5.46)
SJ	si
lUu G и 6 — модуль сдвига и толщина обшнвки; S| — длина
/ п контура, a q определяется равенством (5.43). Распределим
Кд,мяь /-го контура ПКС <70/» создающий согласно формуле Бредта
(Г) 41) крутящий момент
Afj =	(5.47)
Где	—- удвоенная площадь, ограниченная j-м контуром.
Рассматривая в качестве обобщенной силы, по теореме
И,, стильяно получим следующее выражение, определяющее рас-
пределенный угол закручивания (угол закручивания единицы
[.Длины: оболочки) Qf.
= (-48)
[Согласно равенству (5.47) имеем
dUj = dUj ддЪ} __ 1 dUj
dMj dqoj dMf Qj dq^j
I Поставляя сюда U$ по формуле (5.46) и учитывая равенства (5.43)
и 15.48), получим
п
. Р	. г X Mos
6, = ’ ф А ds = ’ ф q}	ds,
1	ш dqDf Go	J J
si	si
2J3


Таким образом
п
4-aQn	(saq
где
“° = Ф ds’ а°‘ °* Ф "cs ds- (5'Gw
si	si
Соотношение (5.49), определяющее распределенный угол закручи»
вания, иногда называется уравнением циркуляции потоков кас»
тельных сил.
Запишем теперь условия совместности деформаций рассматдп
ваемых контуров. Ввиду того, что в балочной теорш сечеим
оболочки считается абсолютно жестким в своей плоскости, угли
поворота всех его элементов, в частности всех контуров, ;олжп(|
быть одинаковыми, т. е. 0Х = 02 = ... == бу = ... = 0П = 0. Г»
кнм образом, с учетом равенства (5.49) получим
aij4ot Ч- aQj —	(/“1*2, 3 ... п).	(5.5b
В уравнениях (5.51) содержатся п + 1-неизвестных величин Л
/z-потоков q0} и распределенный угол закручивания сечения fl
Система (5.51) позволяет выразить все потоки qDI через Bl
и получить зависимости вида
— Aj -f-	(5.52)
Здесь Aj — потоки и Bj — коэффициенты являются и местными
величинами, зависящими от геометрических и жесткостных харак-
теристик поперечного сечеиия (потоки Aj, кроме того, завися!
также и от поперечных сил).
Распределенный угол закручивания 0 определяется из урашв
ния моментов (5.45) после подстановки в него потоков (5.52).
По найденному 0 с помощью равенств (5.52) определяются
и по формуле (5.43)—суммарный поток касательных сил в аждпм
контуре.
Для проверки полученного таким образом решения необходимо
найти равнодействующие потока q по осям х и у — эти равнодеи
ствующие должны совпадать с силами Qx и Qir. Следует метитЬ|
что такой статической проверки недостаточно для статически 1
неопределимой системы — она не гарантирует правильности опре-
деления самоура&новешенных потоков qoj. Существуют различные
способы полной проверки решения, однако все онн весьма грп
моздкн. На практике обычно ограничиваются статической про
веркой, а также проверкой правильности решения алгебраиче
ских уравнений (5.45), (5.51). Остановимся на одном из способа»
полной проверки ПКС q^. Существо его заключается в том, чти
каждый контур многозамкнутой оболочки разрезается в другом ।
месте и задача решается снова. Очевидно, что суммарные ПКС
214

•• соответствующих участках многозамкнутого контура в обоих
'fjiyiaax расчета должны быть одинаковыми.
 Для иллюстрации описанной схемы расчета рассмотрим два
||||Ц пора.
5.3.5. Примеры определения ПКС в оболочках
с многозамкнутым контуром иоперечного сечения
Пример 1. Определить ПКС в трехзамкнутой оболочке,
Нагруженной поперечной силой Qv = Q (рис. 5.22). Упругие
R неметрические характеристики сечения оболочки приведены
• условии примера 2, рассмотренного ранее в разд. 5.2.3.
Г Превратим трехзамкнутый контур сечения оболочки в откры-
тий. вводя разрезы в точках /, 13, 14 (см. рис. 5.22). Так как
• точке 1 имеется стрингер, то для сохранения симметрии контура
йнкк'.ительио оси у разрез введем таким образом, чтобы попереч-
II | сечение его было разделено пополам.
I Ноток касательных сил в трехзамкнутой оболочке на основа-
нии (5.43) будет
Я — Яо 4- QiQoi 4- ЯъЯс2 4* ЯзЯиз-
215

Рис. 5.23. Направления еди-
ничных потоков в контурах
Тогда
Единичные потоки показаны Я
рнс. 5.23. Для определения ПКС₽
вычислим обобщенные статнческ
моменты отсеченных частей конту]
по первой формуле (5.26)
в	т
S„= j q>₽8ds +
О	/=1
Напомним, что в рассматриваем
примере для стальных поясов лоня
ронов 3, 5, 9, 11 <ра — 3, а для <
тальных элементов сечения нз алю-
миниевого сплава ф = I.
На всех участках сечення дни
жемся от разрезов по часовой стрелке
sl~s = Wifi = Т 6/г2 (о « s < -5g-),
где V1 = R, h = ±-f = ±6R-,
S2-s = S't + yyfo = ± 6Я2 +	8«2 - *	®«2-
Здесь
= f2 = 48R-
Для элемента стенки 13—3 имеем
dSx = Ч>Угз~^ ds9
где у13_3 = Д.
В текущем сеченин стенки
S‘3~s = J <p±R2Sds = 8fls (о <5 s <5 -Х4);
0
s—^~— К т/’T
Sx 2	==	№.
На участке 3 — s ^0 < s <
Sj-s = si + s’~~ R + Waf8 = (	W? +
+ 4 ®«s =	6Я2,
где й = -4 R, f. = F = 6R.
216

Для участка 14 - s
$«- = J Wu_28 ds =-&Rs Io<s^±/-r},
0	\	/
_ Vs~
F «и-, =---l: R; S~ 2 - —	8/?«.
На остальных участках сечення подсчет обобщенных статнче»
1их моментов проводится аналогично!
SS—s	q2—s	«8—s	eil—S
X — О* — —Ох = —Ох »
об—s _ «I—s  e?--s	о12—а
Ох — Ох — “Ох — “О*
т. Д.
Определим ПКС
Qa = -k-^-S,.
•X
ь k — 1, Iqx — lx 5.2.3, пример 2),	= (5,5+ /T)	67?s = 7,23267?’ (cm.
_I—s	Л6—s Qq =qQ = —	1	Q	-0,03457 4;
	4(Б,5 + КЗ) R	
9q-" = ?«”* = —	1 + /3 Q	-0,09445 4; A
	4(5, Б + ГЗ) R	
9^ = -?Г' = -	1	Q S	—0,13828-^-S;
	(5,5 + КЗ) R1 “	
		
	КЗ	<2	-0,11989-^-;
	2(5,5 + Кз) R	
qq~8 —____УН-З^З и0 42175 —
9Q 4 (5,5 4-^3) R	R


Г. Д«
.определение потока касательных сил qQ показано на рис. 5.22.
Перейдем к определению потоков qQX, gC2 и qw. Разрешающая
истема уравнений состоит из уравнения моментов (5.45) и трех
уравнений (5.51), т. е.
4~	4~ Hs(fo3 (j) qQp ds = Qxq9
йи?о1 + а1з?с2 -|- а1зЯоз Н~	= £^j6»
^21^01 4" G22?02 4" ^asQos 4“	— H26,
(5.53)
C319oi 4- G32«7o2 4" а3в(&3 4~ aQS — ^30‘
217

Подсчитаем входящие в эту систему коэффициенты. Площ
сектора с центральным углом а определяется по формуле
S = — R2 (се — sin се).
В результате получим
£21 = йа = 2S = Л2 (4 я - sin 4 п) =
Й2 = 2 (лй2 — 2S) = 3.825Й2.
Координата нагрузки xQ = —0,5/7. Коэффициенты aw и вы
числяются по формулам (5.50). Направление единичных потоков
(i — 1, 2, 3) показано на рис. 5.23:
л л	2 I
= °зз ~ 9 ~а&- = Т
Т+т|=2'®4
R .
G6 1
Уз к
Оц = Ог-. = «23 = азг = J = - -gj- J ds = -0.866-^
Ou —	— 0;
/2CL/;	А
/	2	К	6
= А	f	a.	f
° \	.1	28	+ 1
— У-
2
Так как поток касательных сил
осн yt то
GQ1 == aQ3 = ф == 0,
R
qq симметричен относнтелы
а“г ~
и момент, создаваемый этим потоком относительно продольис
оси. проходящей через начало координат, обращается в нуль, т.
cf qQp ds *= 0.
Подставляя в систему (5.53) вычисленные коэффициенты, получи
1,2279и + 3,825Чо,4.- 1.2279м = -0.5-|-.
2,959?и — 0,866?м = 1.227Й656,
—0,866ус| + 3,8259М — 0,8669м = 3,825йС«е,
-0,8667м + 2.9597га = 1,227^066.
Решение этой системы,, записанное в форме (5.52)» имеет вид
9о» « (fos 0B8I54/?G6e,	= l,3702£Gee.
218

I первого уравнения системы
LIU) находим распределенный
И»л закручивания
6 = —0,06904
определяем ПКС
I tfoj; " CoS = “”0,0563
?т = -0,0946-j-.
*t и ределение ^0< показано на
in. 5.24.
Суммируя эти потоки с пото-
Рис. 5.24. Распределение ПКС
D
Qoi = 4oi~Q’ по сечем»
>м qq по отдельным участкам,
мучаем полные ПКС q, действующие в сечении. Распределение
^ммарного потока касательных сил показано на рис. 5.25.
Пример 2. Рассмотрим определение потоков касательных сил
f поперечной силы Qy = Q в двухзамкнутой оболочке несим-
Причного контура (см. рис. 5.9), приведенной в примере 3
219

разд. 5.2.3, при тех же упругих и геометрических харах™1
стиках.
Схема решения этой задачи аналогична предыдущей и е*й
гается более кратко. Искомые потоки касательных сил преда
вляются в виде	I
Я ~	4~	4" 92<702»
ПКС да вычисляется по формуле
Здесь Л = 1,01; 7„ = 2,6766s.
Для определения Sx введем разрезы в обшивке вдоль сира!
ющих оболочки справа и слева от Пояса переднего лонжера
в точке 5 (рис. 5.26). Имеем
§< = £ мл
Обход каждого из днух открытых контуров проводится от точкии
против часовой стрелки. Вычисление обобщенных статически
моментов и потоков касательных сил в открытом ков
туре qQ сведено в табл. 5.2. Распределение потока qQ показав
иа рис. 5.26.
Составим разрешающую систему уравнений для определен™
потоков qOi и 9С2 (направления потоков qt и qs показаны u.i
рис. 5.27, с):
п
’Wo; 4“ ^»9о2 4“ X QqPs — —Q (хр — xq)>
в11901 4“ С12?02 4" aQl — &J0,
а21Яо1 4* ^22?02 4- Ода ~ Q20
Рис. 5.26. Геометрические характеристики сечения и распределение ПКС qq
b
220

е>
Инг. Б-27. Принятые направления единичных потоков ^(а) и распределение
ПКС qni — qOi (б) по сечению
пли 4fe4-4,59o2 4-0,2350-3-= 4-’
9,12?01 - ?02 4- 0,4660 4 = 46G 66,
—Ча + 7.54УИ, - 0,5695 4 = 4,560 86.
Решая совместно второе и третье уравнения, находим
9т = —0,0434 4 + 0,5115ЬС 66,
9и = 0,0698 -3- + 0.66466G 66.
Рнс. 5.28. Распределение суммарного ПКС с = Q -гг ио сечению
Qtl
221

Определение потоков касательных усилий в двухзамкнутой оболочке
222

Ityjii гавляя эти потоки в первое уравнение, получаем
е=°-124-й^-
Следовательно,
Чп = 0,0200 - j-!	<?«» = 0,1522	.
Печения q^t и полных потоков д по участкам приведены в табл. 5.2.	Й
определение потоков касательных сил gGi и а приведены на	I
1-мг 5.27, б и 5.28.
5.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРА ИЗГИБА СЕЧЕНИЯ
ТОНКОСТЕННОЙ КОНСТРУКЦИИ
Выше в разд. 5.3.2 при рассмотрении оболочек с откры-
ты контуром поперечного сечения было введено понятие центра
1л1иба как точки, через которую проходит равнодействующая
№>гока касательных сил. Оболочки с открытым контуром’ могут
рассчитаны по балочной теории, если поперечные силы
П|н ходят через центр изгиба. Оболочки с замкнутым и миого-
Кмкнутым контуром поперечного сечения могут быть рассчитаны
при любом положении поперечных сил, однако и для них можно
niit'cm понятие центра изгиба.
Центром изгиба называется такая точка сечения оболочки,
Которая обладает тем свойством, что поперечная сила, проходя-
щая через нее, вызывает изгиб тонкостенной конструкции без
вкручивания. При произвольном нагружении поперечными си-
лами тонкостенные системы изгибаются и закручиваются. При
Ьим каждое поперечное сечение оболочки имеет линейные пере-
мгщеиия по осям х, у в своей плоскости и поворачивается относи-
тельно оси г. Если поперечная нагрузка приложена в центре
щпиба, то поперечное сечение тонкостенной конструкции имеет
только линейные перемещения и не поворачивается. Следова-
тельно, распределенный угол закручивания равен нулю, т. е.
ЙО.
Для определения абсциссы центра изгиба хц. я следует пред-
положить, что в рассматриваемом сечении действует сила, равная
I Qu (Qx ~ Мг ® 0), проходящая через центр изгиба. Тогда поток
Касательных сил определяется формулой» аналогичной (5.43),
lie.
п
Ч = 9q + S 4<4oi-
»=1
I Iotok qQ ве зависит от положения силы Qv, а потоки qOi, соответ-
• гвующие силе, проходящей через центр изгиба, отмечены штри-
I ком. Для определения потоков дм и координаты центра изгиба
'ц.и следует воспользоваться уравнением моментов, в котором
223


необходимо принять Qx = Мг ~ 0, xQ = хп. в, г *7"
(5.61), где необходимо положить 0 — 0. В результате
следующую систему:
и уравнения
i получ
S + $ ЯчР ds = —(x„ - x„.
(5.M)
2j + aQi = 0	(/ = В, 2, 3, ... п).	(5.58)
Из уравнений (5.55) находятся $ы9 я затем из уравнения (5.54)
Хц. и-
Для определения ординаты центра изгиба уп,„ следует пре
положить, что в сечении действует сила, равная Qx и проходящ
через центр изгиба. В этом случае потоки q'Gt также находят
из системы (5.55), а уп. в — из уравнения моментов, аналоге
иого (5.54), т. е.
п
У (fa&t + $ tfQp ds = Qx tyр — Уч.«)-	(5.56)
Отметим, что положение центра изгиба в оболочках с однозамкну-|
тым и многозамкнутым контурами не зависит от действующей
нагрузки и определяется геометрическими и жесткостными харак
теристиками сечения. В тонкостенных конструкциях с замкнутым
контуром так же, как и в оболочках открытого профиля, гео-
метрическое место центров изгиба образует ось изгиба или ось
жесткости, которая для цилиндрических Оболочек с одинаковыми
сечениями параллельна продольной оси. Если сечение тонкостен-
ной системы симметрично, то центр изгиба всегда лежит иа осн
симметрии.
Реальные тонкостенные конструкции летательных аппаратов
обычно рассчитывают на несколько вариантов нагружения. Рас-
четы проводятся по ряду типовых сечений. В этом случае для
сокращения вычислительной работы необходимо сначала найти
центр изгиба в каждом сечении, а затем определить и построить
эпюры потоков касательных сил от условных нагрузок, например,
оу единичного крутящего момента Л1кр ~ 1 и единичных усилий
Qx ~ 1 и Qy = 1, приложенных в центре изгиба. Затем действи-
тельные нагрузки в каждом сечеиии приводятся к центру изгиба,
находится крутящий момент относительно центра изгиба и осуще-
ствляется определение касательных напряжений.
В качестве примера найдем центр изгиба сечеиия, показанного
иа рис. 5.17 (см. примеры в разд. 5.3.2 и 5.3.3). Распределение
потока <?с, вызванного действием силы Qy ~ Q, приведено иа
рис. 5.15. Предположим, что сила Q проходит через центр изгиба
и иайдем хц.и (в силу симметрии сечения г/ц.и = 0). Направим
224

‘ок q'v против часовой стрелки и составим урздаеаке моментов
^снтельно точки /. Получим (си. рис. 5.15, S.I7)
<&ВН + НВ = ®хл. ,.	(S.67)
Ьвнение (5.55) для случая п — I имеет »ид
«*Фтяг+фп8г-“°-
юда окончательно получим
« Q (й 4“ 6Я cos
Ч* ~ ~~ Тн (Л 4- 2# cos а) •
из уравнения (5.57)
Жц " ~ В 4- 2Я cos а *
Б.Б. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ПОДКРЕПЛЕННЫХ
КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Ранее была построена балочная теория подкрепленных
Молочек с ие изменяющимися по длине геометрическими харак-
Беристиками сечения. Одиако реальные конструкции типа крыла
или корпуса летательного аппарата часто обладают переменным
Учением.
Рассмотрим подкрепленные усеченные конические Оболочки
произвольного поперечного сечения с яедеформируемым контуром,
ike образующие таких оболочек пересекаются в одной точке *—
першине конуса, а осью его является прямая линия, проходяйдйя
через вершину и центры тяжести поперечных сечений рис. ЕЛЮ.
Известно, что поперечные
сечения в конических оболочках
получаются пересечением сре-
динной поверхности со сферами
с центрами в вершине конуса.
Рис. 5.29. Геометрические
характеристики подкреп-
ленной конической обо-
лочки
R Н Ф. Образцов в д».
225

Если конус не круговой, то контур поперечного сечеиия не
ляется плоской кривой. Для упрощения задачи ограничимся pl
смотрением слабоконических оболочек с малым углом конЛ'
ности (2а с 32° рис. 5.29), для которых можно считать, ч »
cos а « 1 и sin а « а. Это допущение позволяет приближенно
считать поперечные сечеиия плоскими и перпендикулярными 
оси конуса.
Начало прямоугольной системы координат помещаем в вы-
шине конуса. Поскольку все сечения подобны, то геометрическЯ
характеристики поперечных сечений конической оболочки мох^И
выразить через геометрические характеристики любого проЯ
вольно выбранного сечения. В качестве такого сечения выберем!
сечение z = I. Тогда для любого сечения г ~ const получим (сж
рис. 5.29)
х (s) = ~ X, (S,), у (s) = уг (s,).	(5.60
Индексом I отмечены координаты, относящиеся к сечению z = я
Ограничимся рассмотрением особенностей, вносимых в расчг!
учетом конусности оболочки. Для простоты будем считать, пт|
сечеиие z ~ const отнесено к центральным осям х, у и нагрузим
в нем сведены к изгибающему моменту Мх, поперечной силе Q,
и осевой силе N, приложенным в центре тяжести (см. рис. 5.29)
Примем также, что толщина обшивки 6 не зависит от переменной Я
а площади подкрепляющих элементов F} (z) линейно выражают»
через соответствующие характеристики сечения z — I, т. е. 
л и = т-4
Для оболочек с малой конусностью нормальные напряженно
по-прежнему определяются равенством (5.21), которое в рассмм*
триваемом случае принимает вид
=	<5Б1
где yi = yt — xt -°*v-, a k определяется соотношением (5.2*2)
В отличие от призматических оболочек в конических нормальны»
напряжения направлены по образующим, не параллельным оси л.
а геометрические характеристики сечения не постоянны и выра
жаются через соответствующие характеристики сечения z - f
по формулам
^ох = (/“)	/щг» foxy — loxyi F — ~F{.
(5.60»
Величины с индексом I определяются равенствами (5.15), (5.16)
в которых х и у следует заменить на хь yt,
226

I Для потока касательных сил справедлива формула (5.24),
ритору го с учетом (5.59) можно записать в виде (предполагается,
чю Л/ — const)
= Qv + q0 (г),	(5.61)
Г»!*
л—J-g-»*—(S-62)
о
Едедует иметь в виду, что обобщенный статический момент отсе-
ченной части контура 5Х является функцией г и может быть вы-
ряжен через соответствующую характеристику сечения z = I,
I. с.
Sj,= (r)2?”	<б-63)
Здесь si определяется по первой формуле (5.26), если заменить
В ней у иа
Таким образом, из равенства (5.62) имеем
11.1 основании соотношений (5.5) и (5.60), (5.63) получим, что
г, е. равенство (5.64) принимает вид
Вводя обозначение
& =	(5-65)
пкоичательно получим
=	(5.66)
‘ОХ
Равенство (5.66) отличается от соотношения (5.28), соответству-
ющего цилиндрической оболочке, наличием второго слагаемого
и формуле (5.65). Это отличие вызвано тем, что в конической
иболочке поперечная сила уравновешивается ие только касатель-
ными напряжениями в обшивке, но и нормальными напряже-
на
227

ннями» вызванными изгибающим моментом. Действительно,!
гласно рнс. 5.30 имеем
AQy = (£ a sin аб ds.
3
Учитывая, что sin а а? а aj —• и
а — Ф& -у2- у,	/вх = ф ф^83 ds
(для главных центральных осей), получим
= ft-^-^q>jiJ6ds = ft—-.
Таким образом, при поперечном изгибе конической оболочки
нормальные напряжения, возникающие в продольных элементу
и обшивке, разгружают стенки и обшивку от касательных напри»
жеиий. Этот эффект может быть весьма значительным, например,
если оболочка изгибается силой Qy, приложенной в вершине d
(см. рис. 5.30), то Мх = Qvz и согласно (5.65), (5.66) Qv -1
и qv = 0. С другой стороны, из равенств (5.65) и (5.66) следует,
что при чистом изгибе конической оболочки (т. е. при Qv - 0)
в обшивке и стенках возникает поток касательных сил qy.
Итак, ПКС в конической оболочке согласно (5.61) и (5.66),
(5.66) имеет вид
9 = _ft(Q,,-^)A. + ?,.	(5.Я
Поток 90, например для однозамкнутого контура, находится,
как и ранее, из уравнения моментов. При этом момент целесоЯ
разно вычислять относительно точки пересечения оси а с атло
скостью сечеиия. В этом случае в уравнение моментов не войдут
моменты, создаваемые проекциями
плоскость сечеиия, т. е. оио бу-
дет иметь такой же вид, как и
для цилиндрической оболочки.
Рис. 5.30. К выводу формулы для
AQjr
нормальных напряжений ил
Рис. 5.31. К определению положе-
ния центра изгиба в сечении кони-
ческой оболочки
228

| При чистом кручении для конической оболочки справедлива
фмула Бредта (5.41), т. е.
?W = «0 = ^-.
|JU Й (г) — удвоенная площадь, ограниченная контуром pacceia-
Кшаемого сечения.
г рассмотрим-определение центра изгиба однозамкиутого сече-
Ми конической оболочки.
Г Ранее отмечалось (см. разд. 5.4), что через центр изгиба (центр
Ьсмкости) проходит равнодействующая касательных сил, раз-
;[пающихся в сечении оболочки, которая не вызывает его пово-
да. Если известно положение центра жесткости в сечении
»лочки, то можно рассматривать отдельно решение задач изгиба
и кручения путем приведения заданных внешних сил к равио-
►й.-твующей, проходящей через центр изгиба, и к крутящему
Кменту относительно центра изгиба.
| Для нахождения координат центра изгиба в одиозамкнугом
Учении оболочки с малой конусностью (рис. 5.31) необходимо
||ичиить совместно уравнение моментов типа (5.54) и уравнение
(циркуляции потоков касательных сил при 6 — 0 (5.55). Как было
шиказано ранее, особенность расчета конических оболочек состоит
 том, что касательные напряжения определяются ие только
рЛствующей в сечении поперечной силой Qy, но и зависят от
нагибающего момента Мх. Уравнение крутящих моментов суще-
К-иеяио упростится» если выбрать полюс, как указывалось выше,
П точке пересечения оси коиуса и сечеиия оболочки. При этом
| уравнение моментов, из которого определяется абсцисса центра
нлиба, имеет вид, аналогичный (5.54)
+ ф до ds <^хц. и,	(5.69)
• де qi — поток касательных сил прн действии силы Qv в центре
изгиба, который определяется из уравнения (5.55), т. е.
ацфо Ч- aQi &
( учетом выражений (5.50) для коэффициентов это уравнение
принимает вид
(570>
S	8
II результате решения уравнений (5.69) и (5.70) с учетом равен-
ства (5.67) находим
Ж S«<fc
т”бб"
(Б71>
У Об
229

Рис. 5.32. Геометрические характеристики и
схема нагружения круговой конической обо-
лочки
Из формул (5.71) и (5.72) видно, что
Аналогично определи
координата
Уц. В --
координаты
в однозамкнутых (а также и в многозамкнутых) контурах коня
ческих оболочек в отличие от цилиндрических зависят ие толь,кв
от геометрических и жесткостных характеристик сечения, ио и
действующих нагрузок и продольной координаты сечения. Но
этому положение центра изгиба в конических оболочках мож*
меняться в довольно широких пределах. Вместе с тем следуй
отметить, что в оболочках малой конусности существует цент)»
жесткости (и соответственно ось жесткости) в том же смысли
как и в призматических, что дает возможность производить съ
дельио расчет напряжений и деформаций при изгибе и круч*
иии.
В качестве примера рассмотрим круговую коническую об»
лочку, нагруженную поперечном силой Qv — —Q в сечении г
= tn = 2R (рис. 5.32, 5.33). Обшивка с толщиной 6 и стрииггрь
с площадью сечеиия F = jRb выполнены из одного материал ц
Обшивка воспринимает нормальные и касательные напряжеиЯ
Найдем распределение потока касательных сил. Для рассми
триваемой оболочки оси х, у являются главными центральными
осями сечения (k = 1, у = у), а <р
— 1; ПКС определяется равенство»
(5.67), т. е.
Р	т
где 3» = J у 6R dp + У у,Р,.
О	/=1
Л.	5
/<« = 2
С	/=1
Сделаем мысленно разрез вдоль об
разующей в точке 1 и будем отсчп
тывать от этого разреза. В сил|
симметрии задачи относительно пл..-.
Рис. 5.33. Распределение ПКС
R
q = q -q- по сечению z — I
230

Вш и yoz в точке J q = и,
h|u] этом Sx = 0 в этой точке
I, следовательно, q0 = 0. Бу-
,гм рассматривать половину
L'k-ния, соответствующую 0«
L |i < зт, т. е. примем Fr —
ь /•; = 0,5£6, f2 = F3 =
Р /-4 = #6. Из рис. 5.32 имеем
V, — <2, Л1« = — Q(z — m),
L с. согласно (5.65)
I Q = -<?(1—^).
Членение параметра -q =-
Рис. 5.34. Изменение параметра Т] =
—------- по длине конической обо-
лочки
по длине оболочки показано
•п рис. 5.34. Выразим геометрические характеристики сечения
const через характеристики сечения z = I. Согласно равен-
|гвлм (5.60) и (5.63) получим
/ох = (^-)34.

Считывая, что yi — R cos р, найдем
л	5
/ш = 20 J cos2 р dp I- 2 X //«“cos2 ₽, = 7,14160.
0	/=1
I .т.тгический момент в точке 8, определяющий максимальное зна-
чсиие потока касательных сил в сечении
Sij = ^«26 / cos р dp + £ Fl^ cosP/j = 2,2O71«!6.
I iким образом, максимальное касательное усилие в сечении
и ^меняется по длине оболочки согласно следующему соотношению:
?„„ = 0,309 4(1
(‘.определение ПКС по контуру сечения z = I показано
п-i рис. 5.33.

ГЛАВА 6
РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
С УЧЕТОМ ДЕПЛАНАЦ1ИИ СЕЧЕНИЯ
6Л. ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКОЙ
ОБОЛОЧКИ ТИПА КЕССОНА прямого крыла
6.1 Л- Основные определения
Рассмотрим среднюю часть прямого кессонного крьМ
показанную на рис. 6.1. В гл. 5 был описан эффективный прикл4>
ной метод расчета конструкций такого рода, основанный на ли
иейном распределении продольных деформаций по координатам •
г)и
ъ* = Т)Г = аЮх+ьЮ9 + сЮ'	(е I'
В результате интегрирования по z отсюда может быть получек
формула (5.2), определяющая распределение продольных пере
мещеиий по контуру сечения
и = A (г) х + В (г) у Ч- С (z) + / (х, у), (Ь/Л
где А— [ cdz, В—jbdz, C = Jcdz.
Первые три слагаемых в равенстве (6.2) соответствуют закону
плоских сечений,, а функция интегрирования f (х, у) определим
отклонение от этого закона, т. е. так называемую депланацн»»
сечения. В балочной теории, изложенной в гл. 5, функции а (>),
b (z), с (z) определялись непосредственно из условий равновесии
а функция f (х, у) в решении ие фигурировала. Причина эпи-
связана с тем, что форма представления перемещения (6.1) исклЬ
чает из рассмотрения случаи, когда депланация сечения завшш
от переменной z, т. е. ие позволяет учесть возможное локалыи
стеснение депланации. Если сечеиие, которое при свободам
деформации не остается плоским, закрепить, т. е. наложить пл
него связи, препятствующие депланации, в конструкции возни-
кают вторичные или дополнительные (по отношению к балочииП
теории) напряжения, учет которых часто оказывается необходп
мым для оценки ее прочности. Действительно, если вместо (6.‘2)
примять
и = А (г) х + В (г) у 4- С (г) + Д (х, у, г),	(6.1)
то согласно (6.1) и закону Гука os = £ег будем иметь
[o(z)x + b(z)^4-C(z) + -^-j
232

Рис. G.L Кессонной прямое крыло
Б функция депланации fx (х, у, z) будет оказывать непосредствен-
Бое влияние на распределение напряжений. Для кессона крыла,
оказанного на рис. 6.1, принципиальное различие равенств
fl 2) и (6.3) имеет место вблизи жесткого защемления (г /).
Представление (6.3) при А (0) = В (0) — С (0) —• 0 и Д (х, у, 0) js 0
Бшволяет точно сформулировать условия закрепления сечения
 I (и == 0), в го время как балочная теория позволяет обеспе-
чить лишь условие А (0) В (0) — С (0) 0. Таким образом, если
речение в принципе имеет тенденцию к деплаиации (т. е. функ-
ции f или fr не равны тождественно нулю), то балочная теория не
Позволяет устранить депланацию сечения в жестком защемлении
• выявить связанные с этим эффектом напряжения. Эти нап.ря-
гния, как следует из изложенного выше, оказываются суще-
ственными в местах закрепления конструкции. Вдали от жесткого
ущемления напряженное состояние конструкций типа показан-
ий на рис. 6.1 достаточно хорошо описывается балочной теорией.
'I (хим образом, приводимый далее метод расчета, основанный
пл форме (6.3), не противоречит балочной теории, а позволяет
уточнить аппроксимируемое этой теорией напряженное состояние
Вблизи закрепленного сечения.
&,L2. Реиаеите задачи ®
Рассмотрим случай изгиба кессоиа, показанного иа
рис. 6.1, поперечной нагрузкой q (z). Представим продольное
и контурное перемещение и н v (см. рис. 6.1) в форме следующих
разложений, аналогичных (6.3):
и (г, s) = Ut (z) <₽, (s) + £4 (z) <j>2 (s) + U, (z) ф, (s).
(6-4)
о (z, s) = Vi (z)	(s).
Здесь Ut (z) и V, (z) — неизвестные функции, подлежащие опре-
делению, а % («) и % (з) — заданные функции, определяющие
да

Рис. 6.2. Геометрические характеристики сечения (а) и функции, определяйте
распределение перемещений и (б — д) и v (е) по контуру сечения
распределение перемещений по контуру сечения. При выбв
функций (рг -(S) и фг (s) учтем прежде всего смещения сечения и, I
жесткого диска. Приняв, в частности, tpj (s) = 1, можно опис
продольное поступательное смещение сечения, а функция <р2 (s)
= у соответствует его повороту относительно оси х. Функши
epi (s), как правило, изображаются графически в форме контурны
эпюр, показанных на рис. 6.2. Функции = 1 и <р2 = у пр»
ставлены на рис. 6.2, б и 6.2, в. В дальнейшем понадобятся проц|-
водные dfptlds = (pl (s), которые строятся следующим образов
На верхней горизонтальной стороне (у = dt/2) (см. рис. 6.2, Я
s = х, т. е. <р£ = d(pddx\ на правой вертикальной стороне (х I
= 4/2)
бД .	/ (ll	Г	«	, ч
s = ^- + (“у- — У) И <pi = —d(p//dy,
а йа стороне у = —d-J2 очевидно
х)
и —— dfpddx. В результате получим = 0 и распределение <
показанное на рис. 6.2. г.
Функции <рх и (р2 определяют смещения сечения как абсолютно
жесткого диска. Введем функцию ф3 (s), описывающую возможную
депланацию сечения. Теоретические и экспериментальные исслр
дования модельных конструкций, служащие, как правило, ост
ванием для выбора функций депланаций, показывают, что npi
поперечном изгибе кессона крыла перемещения по горизонтальны*
панелям распределяются неравномерно и возрастают от серед® ш
к краям. На боковых стенках, из-за их небольшой высоты, явлении
депланации проявляется незначительно и практически можно
234

। |ть, что здесь справедлив закон плоских сечений. Учитывая
мстрию сечения (см. рис. 6.2, а) в качестве поправки к закону
iiKHX сечений примем параболическое распределение пере-
11‘ний, показанное иа рис. 6.2, д.
При выборе функции (s), определяющей контурное пере-
цепне v (6.4), будем считать, что сечение является в своей
-скости абсолютно жестким. В рассматриваемой конструкции
Кона крыла справедливость этого предположения опреде-
1гся наличием системы поперечных диафрагм-нервюр, обеспе-
нощих жесткость контура сечения. При изгибе сечения z =
[const смещается поступательно в направлении оси у. Учитывая,
 перемещение V направлено по касательной к контуру (см.
I 6.2, а), единичное смещение сечения вдоль оси у можно пред-
in ить распределением, показанным на рис. 6.2, а (направление
гасмещеиий показано стрелками).
(’ учетом (6.4) продольная деформация ez и деформация сдвига
определяются следующими равенствами:
_ я	(6.6)
ось U'i = dUt/dz, V'i == dVi'dz и учтено, что tpj ~ 0. Напря-
синя найдем с помощью закона Гука
a^E^ — EWwi + Ufa + U^	6
ts2 = Gysz = (7 (£/292 Ч-4-
Для вывода уравнений, определяющих функции Ut (а) и (z),
Иоспольз уемся вариационным принципом Лагранжа, изложен-
ным в разд. 1.3. Потенциальная энергия деформации рассматри-
ваемой конструкции (см. рис. 6.1) определяется равенством
l/ = y jdz^(a.e.4-T„T„)df.	(6.7)
О Г
Контурный интеграл вычисляется по площади поперечного сече-
ния F. Работа распределенной нагрузки q (z) имеет вид
i	i
А — §q(z)vg (z) dz = J qVt dz.	(6.8)
о	0
Здесь vq — смещения точек, в которых приложена нагрузка.
Поскольку сечение является жестким в своей плоскости и сме-
щается по оси у иа величину Гъ в рассматриваемом случае vq —
235

= Уд. С учетом соотношений (6.5)-—(6.8) полную энергию снст^В
можно записать в форме
Э — U А ~ | ф [ ~2~	4“ ^2^'2 4" ^зФз)2 4“
ч~ '*2~ (^2<р2 4~ ед; 4- dF—j dz —
i
“ J {~2~ K^i)2G>i 4~ (^z)2 °22 4~ (^з)2 йзз 4" 2L/1U2Q12 4- 2U\U2,a^ |
0
-j-	(1/2622 Ь ^з^зз 4" 2^2^/3623 -|" 2и2УцС2( -p I
4- 2ед;с31 + (v;)2rH] - 9V,}dz,	(6
где
a// ±= (j) ff>i<PidFt bif — <j) ds,
Cn = (jjqpftyfids (j, /=1, 2),
633 == $ Фз dFt F33 = $ (Фз)2 6 ds,	(6.10)
йгз = (j) чрйфзб ds (i — 1, 2),	623 = (j) <рй<рзб ds,
C3B == ф фзфлй ds, ru = ds.
Здесь dF — элемент площади сечения; ds ™ элемент дуги контурЯ
сечения; 6 — толщина обшивки.
Согласно принципу Лагранжа ЬЭ = 0. Осуществляя варьирсЛ
ванне функционала (6.9), в рассматриваемом случае получив
следующую систему вариационных уравнений (см. разд. 1.0
&gQjii 4- U2g12 4- ^'3^83 =0;	(6.11)
(^2^22 4-	4- £/з&2з) — G (Lf2^22 4" 3^23 4" ^E^2t) = 0; (6.12)
(^/з^зз 4”	4” £4^23) — О (^/3633 4“ ^2^23 4"	==	(6.13)
V 4" ^2^28 4" 3^31 4“ "g” =	(6.14)]
и стигм«есхях граничных условий для сечения z = О
b/iGii 4~ ЦгС|2 4~ ^з^из ~ 6а
^/1012 4“ &2&22 4" ^3®23 ~
1Лаи + и»2з + 1/эая = О.	(б16>
^2С2В 4“ ^ZsSei 4- У fol s0‘
Г5©

учетом равенств (6.6) и (6.10) и рис. 6.2 условия (6.15) можно
писать также в виде
N, — а.<р, dF =	a, dF = 0;	(6.16)
М, = <j) <ЗД>а dF — <ji atydF = 0;	(6.17)
B, = fa^dF = 0;	(6.18)
Q„ = ds = 0.	(6.19)
Ггиенства (6.16), (6.17) и (6.19) предусматривают отсутствие на
пчбодпом торце кессона осевой силы N,, изгибающего момента Мх
и перерезывающей силы Qy. Величина Вх является обобщенным
пиментом, который называется бимоментом.
В жестком защемлении (г = 1) должны выполняться условия,
Ьбгсиечнвающие отсутствие перемещений. Из равенств (6.4)
следует, что условия и (I, s) = 0, о (Z, s) = 0 выполняются, если
£/1(l) = ys(Z) = (/,(/) = 0, Vj(Z) = O. (6.20
Л«КИМ образом, системе дифференциальных уравнений (6.11)—
0 .14), имеющей в совокупности восьмой порядок, соответствует
«•семь граничных условий (6.15), (6.20).
Прежде чем перейти к решению полученных уравнений, осу-
|ц‘-ствим некоторые упрощения. Из равенств (6.10) й рис. 6.2
Цледует, что
а„ = F = 2 (Ft + F, + 2fl. аи = 0,
O2.e/, = d?(4 + 4 + f),	(6.21)
&23 ” С31 а Ги “ 2FX.
Здесь Ft = djCj, Fa — da6a — площади сечений вертикальной и
горизонтальной панелей; / — площадь сечения пояса; 1Х — мо-
нет инерции сечения относительно оси х.
Рассмотрим условие ап — 0. В общем случае функции, для
которых при i =?& / справедливо равенство
Ср ф«ф/ dF •= 0»
называются взаимно ортогональными, т. е. функции фх и об-
ладают этим свойством (аи — 0). Естественно попробовать по-
добрать функции депланации фа так, чтобы она была ортогональна
функциям ф> й Фа. Для этого представим эту функцию в виде ли-
нейной комбинации <Pj =	+ ^Ф1 + сф2 и найдем коэффициенты b
и с из условий ортогональности
Ф1Ф8 dF = Ф фаф# dF ~ 0.	(6.22)
аг

Рис. 6.3. Распределение функции депланации (п) и ее производной (б) по I
туру сечения
В результате получим b — 0, с =	Функция <р3 f
и ее производная показаны на рис. 6.3. Ортогонализация функция
существенно упрощает уравнения, так как согласно равенстпщ
(6.22) при этом а13 = а23 = 0и коэффициенты уравнений (6.11)
(6.14) принимают следующий вид (в связи с тем что ф3 заменяет
на <р3 верхняя черта у них исчезает):
«33 =	= ф <pl dF = -A-
fc23 = ф <j>2<j$5 ds = 2cFi,
Ьзз - ф (<Й2 6 ds = 4- <^s + 2Лч,
С3| = Ф <ri>|5ifids = 2cFi.
Окончательно систему уравнений (6.11)—(6.14) и граничные у
ловил (6.15), (6.20) можно записать следующим образом:
Ui = 0;	(6.2*
EIM-ZGF^ + cUi + Vti^O;	(6.241
EIt4/J'3 - G(2cFxU2 4- bs3Us + 2cFiVi) - 0;	(6.2 ,
У5 + су' + у;-_г_^_ = 0;	(6.2(11
при 2 = 0
t/J = O, 1/^ = 0,	t£==0,	г/2 + ^з + ^ = 0; (6.27)
при z = I
Ui = 0, U2 = 0, Us = 0, Vi = 0.	(6.2R)
Рассмотрим решение полученных уравнений для случая разно
мерной нагрузки q = q& = const. Из уравнения (6.23) имссу
— С^г 4- Cz, а из первых условий (6.27) и (6.28) — Q
— Са “ 0, т. е. = 0. Функция описывает продольное
2зе

вцсние сечений кессона — в силу принятых условий нагру-
Kii.in такое смещение отсутствует. Проинтегрируем уравне-
ние (6.26)
l/2 + rf/s + Vi = C8	(6.29)
Подставляя это соотношение в уравнение (6.24) и интегрируя
Пинеды, получим
^ = >^+с>+с.--<7-	(6-30)
Подставляя теперь в уравнение (6.25) 14 из (6.29) будем иметь
1<р	1ф
1л<‘
=	=	(в-31)
Руление этого уравнения" имеет вид
U3 = Ce sh ktz 4 - С7 ch kjZ-— (2GF1C3 — qoz).
k\EIUp
Функция Vi может быть найдена в результате интегрирования
/равнения (6.29)9 в которое предварительно необходимо подста-
вить и Us.
Постоянные найдем из граничных условий (6.27), (6.28).
11 « условия и% (0) == 0 получим С4 = 0, а из условия U3 (0) =
• 0 — Се = —cq0/k[E/1(Sl. Сопоставляя соотношение (6.29) с по-
следним условием (6.27), будем иметь С3 = 0. Из условия U2 (/) =
0 найдем СБ = q0Pfo. Определяя С7 из условия Us (/) = 0,
окончательно получим
С2 = -б®г(;э”^
г	’ ,	к I \ т <6-32)
Уз = тД? I k'z ~sh klZ+ (th kl‘ ~ ch kA 
Нормальные напряжения согласно равенствам (6.6) и (6.32)
будут иметь вид
(6.33)
Функции <р2 и Фз определяются рис. 6.2, в и 6.3, а. При ф8 = 0
'из (6.33) следует распределение напряжений, соответствующее
закону плоских сечений.
В качестве примера рассмотрим конструкцию с параметрами
(см. рис. 6.2, а) 4 = 0,2d,	~ d, I — 5d, EIG = 2,6, f = 0.
239

РйС. 6.4. Распределение нгпря^И
аг — 0г6/д„ в нижней панели по лц
кессона. Сплошная линия соотвсйИ
ет решению, основанному на за»,
плоских сечений; пунктирные л .
соответствуют расчету по форм)
(6.33) (/ — В точке сечений х ~ Я
V ~ —гД/2; 2 — 0 точке сечения 
- О. у - -^/2)	1
На рис. 6.4 приведено распределение напряжений в ннжнй
панели по длине кессона. Сплошная линия соответствует зак^В
плоских сечений, согласно которому напряжения распределявши
равномерно по ширине панели. Пунктирные линии / к 2 опре-
деляют соответственно изменение напряжений вдоль края (х •
= d##) и б середине (х =» 0) панели, найденное по формуле (6.33|
Из графика следует, что стесиеиие депланации сечекня приводи
к существенно неравномерному распределению напряжений б жсо
ком защемлении н вызывает концентрацию напряжений в угль
вой точке сечения. Этот эффект быстро затухает при удаление
от края и на расстоянии от края порядка ширины кессона пращ
тнческн исчезает.
Рассмотрим теперь кручение кессона, показанного иа рис. 6 I,
распределенным моментом т (z). Для определения возможнМ
формы депланации сечения исследуем поведение конструкции,
показанной на рис» 6,5, с. Предположим, что панели работал
только на сдвиг, а поясатолько на растяжение—сжатш
Пг*йНг
*
С23
Рис. 6.5. Кручение кес-
сона торцеьым моментом
(с), распределение уси-
лий и напряжений (5, е)
s характер депяанацнй
(»)
«49

Bt» .а при действии торцевого крутящего момента в панелях
Bi . икнут постоянные по ширине касательные напряжения,
[ Доказанные на рис. 6.5, б. Приравнивая нулю сумму проекции
Кггх сил, действующих в сечении на оси х, у и записывая урав-
| Iiuihh для крутящего момента, получим
== т34 = Tj, т23 = т41 — т2, (тх 4- т2) б djrf2 — М. (6.34)
11< равенств (6.34) следует, что напряжения тх и т2 в общем случае
| iiv одинаковы и их разность может вызвать образование нормаль-
|ц.1\ усилий Nt в поясах (см. рис. 6.5, в). Приравнивая нулю
гумму проекций всех действующих в сечении сил на ось z и суммы
моментов относительно осей х и у, получим
= дг, дг8 = —ДГ, дг8 =	(6.35)
аким образом, в смежных элементах действуют одинаковые по
|||сличине и противоположные по знаку усилия (см. рис. 6.5, б),
которые вызывают деформацию сечения, показанную на рис. 6.5, г.
[Оставляя завершение этой задачи до следующего раздела, исполь-
Куем полученные результаты для построения решения в пере-
I мещениях.
Зададим перемещения кессона, показанного на рис. 6.1 и на-
туженного крутящим моментом, в форме, аналогичной (6.4)
и (г, з) = U* (г) % (s), v (z, з) « V2 (z) ф8 (з).	(6.36)
Функция tp4 ($), характеризующая депланацию сечения при кру-
чении и построенная в соответствии с рис. 6.5, г, показана на
рис. 6.6, б. Производная (з) представлена на рис. 6.6, в. Функ-
ция (з) определяет поворот сечения как жесткого диска вокруг
точки О (рис. 6.6, г). Если через V% обозначить малый угол пово-
рота сечения, то контурное смещение будет пропорционально
длине перпендикуляра, опущенного из центра вращения на соот-
ветствующую сторону. Направление перемещения f показано
стрелками на рис. 6.6, а.
Деформации и напряжения в соответствии с равенством (6.5),
(6.6), (6.36) будут
8^^,	~	(6-37)
сг = eu^,	т«=с? (ад+v-Ж)-
(6.38)
Д-тя вывода уравнений, определяющих функции </< (г) и V2 (z)t
воспользуемся, как и ранее, вариационным принципом Лагранжа.
Потенциальная энергия деформации по-прежнему определяется
равенством (6.7), а работа распределенного крутящего момента
на углах поворота имеет вид
i
А = J n(z)V,(z)dz.	(6.39)
0
241

Рис. 6.6. Геометрические характеристики сечения (а) и функции, характерная
ющие распределение перемещений по его контуру (б, в, а)
С учетом соотношений (6.7), (6.39) и (6.37), (6.38) полную энергии
можно записать в форме
Э = и- Л = |	+
о
+ ~ (U^'t	| dF mV2\ dz =
= j(-f-U4)2a«	+ 2C4V/;42 I (^)%2] mV^dz, I
(6 4111
где 044 — ^ (<p4)zdFs b44 = <^(q>4)26ds, с,л =фф4<р26ds, г22-'.рр26(/ч
В результате минимизации Э получим следующую систему ва
риационных уравнений:
EU4644 — G {lJ 4^4.4 —1 V2C42) = О,
™ =о	<6-41'
О
и статических граничных условий для сечения 2 = 0
U4Q44 = 0, U 4С42	^2^22 == 6.	(6.4‘
242

В» и у слоен я можно записать в виде
В = ф ад4 dF = О,
Mz = ф tszi|)26 ds = 0.
Здесь В — крутильный бимомент, a Mz — крутящий момент.
На закрепленном торце кессона z = I отсутствуют переме-
щения, т. е. согласно равенствам (6.36) при z == I
и4 =0, V2 = 0.	(6.43)
Вычислив коэффициенты для функций, представленных на рис. 6.6,
получим
d2d2
с44=/2<р=4г^+^+6^
&44 = Г21 —	4"
са& = -g- (^F\ —
Введем следующие обозначения:
=	6 = V2, с = £а44, bx = GbM = 0г2а, Ь2 = &42 (6.44)
и запишем уравнения (6.41) и граничные условия (6.42), (6.43)
в виде
aU” - Ь±и - Ъ&' = 0,	-\-b2Ur -|-т = 0;	(6.45)
при 2=0
U' = 0, O'bi + t/^O;	(6.46)
при г — Z U = 0, 6 = 0.	(6.47)
Заменой
и = ф', е = -4-(Ь1ф - “Ф")	(6.48)
первое уравнение (6.45) удовлетворяется тождественно, а второе
принимает вид	Фп- Й|Ф”+-Ф = О, z 1 abt	
« Ь1-М		
,деЙ2	аЬ,	E^2 + 4Fl)(Fl+F2+6f) '	
Запишем решение полученного уравнения при т = mQ = const
Ф = Cj + C2z + Са sh feaz + С4 ch Л2г + zs. (6.50)
243

Из равенства (6.48) и (6.50) получин
V = Са + k, (С, ch k.z + С4 sh М + -Й&. г,
6 e	(Ci 4~ С,г)------ (Са sh Аа2 -р С4 ch /гаг) 4-	(6.51J
, «1/2_______
\»1	20 Г
Постоянные Сг — Ct определяются из граничных условий (6.46),
(6.47) и имеют внд
1=ф[[ ^chjv + ^j' ’ ’
q____fflpfee (sh feg/ — fegl) q__nohg	(6.52) I
ablkt2!AkJ ’	*	ab,k^
Подставляя (6.51), (6.52) в первое равенство (6.38), получим]
следующее выражение для нормальных напряжений:
°'“	[ch k>t ~ chk‘ (z - г) - kjshk2z] (Ms). (6.53)
К2°1/2ф cn n2l
B качестве примера рассмотрим кессон, показанный на рис. 6.1,
нагруженный распределенным крутящим моментом т0 - 2Х
X 103 Н-м/м и обладающий следующими параметрами (см.
рис. 6.6, a): di = 0,1 м; d2 - 0,3 м; Z = 1 м; = 1,2-10-» м;
С2 — 2 • 10~» м; ЕЮ == 2,6. Изменение нормальных напряжений
(6.53) в угловой точке сечения при удалении от закрепленного,
сечения показано на рис. 6.7.
Рис. В. 7. Распределение нор-
мальных напряжений в угловой
точке сечення но длине кессона
ирж кручении
В заключение сделаем замечание
общего характера. Изложенный вы-
ше метод был разработан В. 3. Вла-
совым и является приложением к
задачам строительной механики об-
щего метода Власова—Канторовича, i
описанного в разд. 1.6.3 гл. 1. В
общем случае оболочки типа крыла
нли корпуса летательного аппарата
продольное и контурное перемеще-
ния представляются в виде следую-
щих конечных рядов:
и(г, s) ~
i—l
v (2, s) - S Vh (2) 1рй (s). (6.54)
244

|десь Vi (z) и (г) — искомые функции» определяющие распре-
Ьление перемещений вдоль продольной оси, а ф, ($) и фА ($) —•
Сдаваемые функции, аппроксимирующие распределение пере-
мещений по контуру сечения. В результате использования вариа-
ционного принципа Лагранжа получается система обыкновенных
дифференциальных уравнений
У X aii^l — S — S	o,
‘	£	*	(6.55)
S CMUi + S rhkVk + -^=r = 0.
(f, / == 1, 2, 3 ... m; A, A = 1, 2, 3 ... n).
Здесь у — E/G и
an =	<P/4><6 ds 4- £
й,( = f. <p'|tp'(6 ds. c,t =<f> <p^»6 ds,	(g S6)
Сы = $ фл<Р/6 ds, rht = <f ds,
P1=§P4,ds, 4,- =	ds.
ft — площадь сечения пояса с номером Z; <pj, ф{ — значения функ-
ций Ф/ и ф| в точке сечения, где расположен пояс с номером /;
р и q — поверхностные нагрузки, направленные вдоль оси и
контура сечения оболочки; s — контурная координата; 6 — тол-
щина обшивки. Коэффициенты (6.56) симметричны по индексам,
т. е. Од = аи и т. д.
Аппроксимирующие функции ф1 и фА должны обеспечивать
непрерывность перемещений вдоль контура сечения и быть ли-
нейно независимыми. Выбор функций может быть осуществлен
следующими тремя способами.
Первый способ основан иа интуитивной аппроксимации рас-
пределения перемещений в соответствии с известными точными
решениями модельных задач или экспериментальными резуль-
татами (рис. 6.8, а). При этом число аппроксимирующих функций,
как правило, оказывается небольшим и система (6.55) допускает
Рнс. 6.8. К выбору аппроксимирующих функций в форме априорного W; ня (о),
использования системы степенных (б) g локальных (е) функций
Кб

---------------------------------------------------1
ранее.
Если априорных оснований для выбора функций депланацИ|
нет (назначение функций, определяющих смещения сечения кц
жесткого диска, не вызывает затруднений), может быть реалц
зован второй подход, основанный на использовании известнИ
полных систем функций. В качестве последних могут быть при
ияты тригонометрические функции контурной координатор!
или степенные функции типа x*yl (i, j = 0, 1, 2 ...) декартомЯ
координат, к которым отнесено сечение (см. рис. 6.8, б).
И, наконец, в случае систем со сложным контуром могут быт|
использованы системы локальных функций. При этом контуй
разбивается иа участки системой узловых точек. Задавая еди*
ничное перемещение некоторой 4-й узловой точке, считая кепод«
вижными соседние точки с номерами (I— 1), (Z 4- 1) и аппрок^В
мируя распределение перемещения на участках между точками
(Z — 1), /, (i 4- 1) линейными функциями, можно построить набор
треугольных эпюр, показанных на рис. 6.8, в. Система (6.5б)
при этом решается численными методами.
В результате задания конечного набора аппроксимирующий
функций рассматриваемая конструкция, обладающая бесконечным
числом степеней свободы, сводится к дискретно-континуальи^Н
расчетной модели, являющейся континуальной в отношение
координаты z и обладающей заданным числом степеней свободы
в отношении смещения ее фиксированного сечения. Заметим, чти
система уравнений (6.55) обладает «фильтрующими» свойствами®
если аппроксимирующая функция выбрана неудачно и не харак-
теризует действительное поведение системы, соответствующая!
составляющая решения в рядах (6.54) окажется несуществ^И
ной.
Система уравнений (6.55) значительно упрощается, если си
стемы функций <р< или фй удовлетворяют условиям ортогональИ
ности. При этом соответствующие коэффициенты с различными
индексами (aJt при Z --/= j или rhk при h=£ k} обращаются в нуль.
Если функции и фй удается выбрать так, что они вместе с пер-1
выми производными являются взаимно ортогональными, тс си-
стема (6.55) разделяется на взаимно независимые пары уравая I'
ний и можно получить точное решение.
Решение уравнений (6.55) определяет перемещения р; ссматрн*
ваемой конструкции. Напряжения находятся по формулам, аиа
логичным (6.6), т. е.
Ox(z, s) = £j]L//(p„
(2, s) — G J] -j- 2j j Vj.
246

I фгема (6.55) имеет порядок 2 (т + п) и требует такого же коли-
brrina граничных условий. Статические граничные условия фор-
улпруются через обобщенные силовые факторы
В] = (j) UztyjdF = Е UtCijii
m	,='„	X
<2ь = <J> wM = G	V'kThk I •	(6.57)
II частности, если на крае z = z0 заданы распределенные по сече-
пню нормальные и касательные напряжения сг0 и т0, имеем
Bi (*о) = <f dF, Qh (z0) = тофл6 ds.
I и метрические граничные условия записываются непосредственно
через функции Ui и Vfe.
Добавляя соответствующие члены в выражение для полной
•пергии, с помощью которого получены уравнения (6.55), можно
учесть упругие х деформации нервюр крыла, шпангоутов фюзе-
ляжа, упругий характер закрепления и другие дополнительные-
я|)фекты.
Рассмотрим в качестве примера задачу расчета кессонного кры-
III с центропланом (рис. 6.9), являющуюся иллюстрацией анали-
III ческой реализации общего метода подкойструкций, изложенного
и гл. 8. В соответствии с равенствами (6.54) представим переме-
1П<‘ция консоли и (z, s), v (z, s) и центроплана й (z, s), v (z, s)
и виде следующих разложений (верхней чертой будем отмечать
I» личины, относящиеся к центроплану):
и (z, s) = U2 (z) <р2 (s) 4- G3 (z) ф8 (s) -j-	(z) tp4 (s);
v (z, s) = Vi (z)	(s) V2 (z) Ф2 (s);
и (z, s) = U2 (z) <P8 (s) 4- G3 (z) ф8 (s) -+- t/4 (z) <p4 (s):
V (z, s) = Vi (z) ф! (s) 1- V2 (z) ф2 (s).
. 1десь члены (z) <р]_ (s) и
(2) <Pi (s), соответствую-
щие осевому растяжению
пипсолей и центроплана (см.
рис. 6.2, б), опущены, по-
скольку осевые нагрузки
игсутствуют. Слагаемые
//. (г) <р2 (s), U2 (z) <р2 («) (см.
Ьнс^ 6.2, в), Vi (г) ф! (s),
' I (z) (s) (см. рис. 6.2, е) И
I . (z) (s), V8 (z) ф2 (s) (см.
Рис. 6.9. Кессонное крыло с центропланом
247

рнс. 6.6, ё) соответствуют балочной теории изгиба и кручении
консолей и центроплана, а составляющие (7 3 (2) <р3 (s), U3 (z) q*ap)
(см. рис. 6.3, а) и U* (z) <р4 (s), ил (z) <р4 (s) (см. рис. 6.6,1
описывают депланацию сечений консолей и центроплана при • i
гибе и кручении. Записывая потенциальную энергию (6.7) к.ц
сумму энергий консолей и центроплана (для изгиба и кручепи.
консолей полная энергия определяется равенствами (6.9) I
(6.40), а для центроплана — аналогичными выражениями, в км
торых L/t (z), Vj (z) следует заменить на /7л (z), Vj (z), z — пя |
и I на 11, в результате минимизации можно получить систеЛ
дифференциальных уравнений типа (6.55), полностью аналоиJ
ных уравнениям (6.12)- (6.14) для изгиба и (6.41) для кручении
Решения этих уравнений также аналогичны построенным ранее Д
для консолей имеют следующий вид (для удобства введены дру
гие постоянные, а общее решение записано через экспоненциал
ные функции):	|
=	A*+a);
1/, = Л.е*-+Д^Ч -	А);
ut -^Bs + k2 (в*--’ + в.е к‘г) -I-	;
abffi
™ ~EQ 24	~6~" ’	~2	^»г)	I
2Gfj'G0~2“" А) г А:
V, = _ Л (,й|+В,,) - А (В,ек“ 4 S4e -h->) +
• ( 1 \
Л" Af \ \	2а Г
Диалогично для центроплана будем иметь (поверхностные
иагруали отсутствуют)
“1“	) >
1/3 =» ch	sh	* 2  J
"U^	^2 (i93 ch ^-zZ. —j—	sh ^gz);

v* ” _ жО'* т+л« 4-+А^) -
—4	*** A*+ в1 ^1
V, » - A (Bt ,|. ад _ А (В, sh ifi + ~Bt ch M)-
к|»ффвцневты А, и fee определяются равенствами (6.31), (6.49).
 Для простоты будем считать консоли достаточно длинными.
Леходьку напряжения, вызванные в них стеснением депланации,
при приближении к свободным торцам должны затухать, поло-
вим ' j:* Ba = 0 (координата г отсчитывается от места соеди-
нения консоли с центропланом). В результате в построенное
(п-теиие входят 18 произвольных постоянных, которые должны
Нить найдены из граничных условий. Для центроплана в плос-
кости симметрии г = О отсутствуют продольные перемещения,
е. U, (О) = О (4 = 2, 3, 4), перерезывающая сила Q = Q„
it крутящий моменты М, — Qa (6.57), что дает пять условий.
11< бортовой нервюре (г — I, г — 0) отсутствует перемещение о,
I. е. V1 (0) = У5 (0) = V, (7) = Vs (7) = 0, а продольные пере-
мещения и обобщенные силовые факторы (6Ли) должны быть
«маковыми, т. е. Ug (0) =-» Ut (/) и Bt (0) =•	(/) (£ — 2, 3, 4).
,'Оставшиеся три условия должны обеспечивать отсутствие пере-
резывающей силы Q — Qu крутящего Mt = Q2 н изгибающего
Л1« = Bt моментов (6.57) иа свободном торце консоли z = /.
Ксишем окончательные выражения для нормальных напряжений
I консолях
= _	1)<р,(з) +

п в центроплане
11араметры
х /хфМЬУ
l^chk^l	78Tfe8chM
249

определяют упругий характер закрепления консолей. При
= Хз = О полученные соотношения соответствуют жесткому 1
креплению консолей.
Более полно рассматриваемый метод описан в книгах [13, |
6.1.3. Решение задачи в напряжениях
В предыдущем разделе описан метод расчета топц
стенных конструкций, основанный на вариационном при иди
Лагранжа. Аналогичные результаты могут быть получены и п|
решении задачи в напряжениях, основанном на принципе ни
меньшей работы (см. разд. 1.4.3).
В порядке введения завершим расчет кессона, показан»^
на рис. 6.5, в котором обшивка работает только на сдвиг, а поясп-
на растяжение или сжатие. Из условий равновесия (6.34), (б.л
следует, что в горизонтальных и вертикальных панелях действу!
соответственно касательные напряжения т* и т2, а в поясах 1
усилия Рассматривая равновесие элемента пояса, показп*
кого иа рис. 6.5, в, получим
(тх — т2) 6 dz = dN.
Учитывая последнее равенство (6.34), будем иметь
Т1Л~ №

(6-ftq
Таким образом, задача сводится к определению усилия N, к<тЛ
рое должно быть найдено из условия совместимости деформаций
панелей и поясов или согласно принципу наименьшей работы Я
из условия минимума дополнительной потенциальной энергии
В рассматриваемом случае
и = 4- J (2 ~d£ + 2	+ 4 dz.
О
Подставляя теперь т1>2 из (6.58) получим функционал вида
U = j F (N, N') dz,
где F — -jTj [dz (N'} +<2, (-4У — «'У 1 + ~ег-
4Go L л \<Ма / ' 1	/ J 1 Ef
Условия минимума U сводятся к вариационному уравнении
dN dz \dN’J
250

•^тественному граничному условию dFIdff1
* сечении z ~ I. В результате получим
О в закрсвдон-
№ _ ЬЫ « О,

ч 8G6
ц_жие уравнения
(6.60)
(6.61)
инду того, что на
я Сг из условия
.61) будем иметь
_ Л!(^-4Р
(6.59) имеет вид
N = Ct sh kz 4- Ся ch kz.
крае z = О, N — 0, имеем Сг = 0. Опреде-
(6.60), на основании соотношений (6.58) и
<ъя —
(d, — dj ch kz 1
(dj + djchW J’
Л Г _ 2ft(d,~d^shfa
A(dx + djchftl *
<1* =
M
2^
k поток касательных напряжений, определяемой формулой Бред-
ив (5.41), следующей из балочной теории, изложенной в гл. 5.
| В качестве примера рассмотрим кручение кессона с парамет-
рами (см. рис. 6.5, а) — 0t2d, d2 = d, I = &d, f — 5d6. EIG =
i 2,6. Изменение касательных напряжений в панелях и усилий
поясах при удалении от закрепленного сечения z = / показано
и рнс. 6.10 и 6.11. Из графиков следует, что эффект стеснения
с. 6.10 Изменение касательных на-
ижений Tj (кривая 1) и т8 (кривая 2)
il удалении от жесткого защемления.
унитарная прямая соответствует рас-
чету по балочной теории
кессона при удалении от жесткого sa-
щемления
251

депланации сечения вызывает значительное перераспредели
касательных напряжений по отношению к уровню, определяем!
балочной теорией (пунктирная прямая иа рис. 6.10), и вызыг
появление усилий в поясах, которые не описываются этой теоря
Рассмотрим теперь общую схему решения задачи в напри
ииях. Зададим нормальные напряжения в виде суммы двух
ставляющих
««—о?+в,.	<б.а
Здесь о? — напряжения, уравновешивающие внешние нагруЛ
и определяемые по балочной теории, изложенной в гл. 5. Для и .
мольных напряжений справедлива формула (5.21), которую И
оболочки, изготовленной из одного материала с сечением, OTfr
сенным к главным центральным осям, можно записать в пн*
о Мх ,	ы
o’ = 7f» + VX + T-
(6
Здесь Afe (z),	(z),	(z) — изгибающие моменты относит* л i
осей х и у н осевая сила, действующие в сеченин.
Составляющая дх в равенстве (6.62) описывает возмож,
отклонение в распределении напряжений от закона (6.63), вь
кающего из балочной теории, и может быть представлена в фо]
a«= S (z) <p*(s)-
(6
Такое отклонение связано с возможным стеснением депланацй,
сечеиия при изгибе и кручении. В связи с этим распределеш!
напряжений 6, по контуру сечения естественно принять в coin
вететвии С формой деплаиации сечения прн изгибе н кручен*!
Б частности, для кессона с прямоугольным сечением, рассмотрен
него в разд. 6.1.2, были введены две такие функции, показаиш®
иа рис. 6.3, fl и 6.6, б. Функции (г) в (6.64) являются искомым*
и определяют распределение дополнительных напряжений ш
длине кессона. Следует отметить, что напряжения oj (6.53) обеоИ
чикают выполнение условий равновесия и статических раним
ных условий в отношении продольной силы и изгибающих ко
ментов. Поэтому напряжения аг (6.64) пе должны давать резуль
тирующей силы и моментов, т. е. должны выполняться услоли
ортогональности функций q>( с 1, х и у, а именно:
q>, dF = <j> x<f>t dF — <J> ytft dF = 0.	(6 65)
Таким образом, из равенств (6.62)—(6.64) имеем
°«"=‘ТГ У + "7~ * + "jr + JE oWi- (6 014
®	V	*	&=i
25Й

Йи» определения касательных напряжений так же, как и в балоч-
[>(1Й теории (см. разд. 5.3.1), воспользуемся уравнением равно-
ir< ня элемента оболочки, показанного на рис. 5.3, т. е.
^>+«1==0.	(6.67)
дг “ ds	'	'
rtt<i q = т8Т6 — поток касательных напряжений, введенный
и разд. 5.1.
|1одставляя (6.66) в уравнение (6.67) и интегрируя, получим
Я = Чч + <?о (г) - S o'l (г) [Ф, (s) + €,].
(6.68)
не </<j =
(6.69)
Выражение (6.69) было выведено в балочной теории и в общем
f/iyqae произвольных осей имеет форму (5.28). Функции
\ydF, S„(s) = j*dF
S«(s)
являются статическими моментами отсеченной части контура сече-
ния. Способ построения этих функций был изложен в разд. 5.3.1.
Ноток qQ обеспечивает выполнение условий равновесия и статиче-
ских граничных условий в отношении перерезывающих сил Qx (z),
Qu (z), заданных в сечении. Функции
ф| (s) = J <й dF
е
ии аналогии с Sx ($) и Su (s) называются статическими бимомен-
1ПМИ отсеченной части контура сечения и строятся так же, как
функции Sx (s) и Sv (s).
Поток q0 (z) представляет собой произвольную функцию интег-
рирования. В случае однозамкнутого контура поток q0 (г) опре-
деляется, как было показано в разд. 5.3.3, из уравнения момен-
|пв относительно оси г, т. е.
Мх = ф qqpds + pds —
— 2°<(г)[^ Wjpds + Ci^pds].
(6.70)
Здесь Мг (г) — крутящий момент, действующий в сечении; р —
длина перпендикуляра, опущенного из начала координат иа
253

касательную к контуру. Зададим в (6.70) постоянные Ct >|
чтобы выражения в квадратных скобках обращались в нуль, т. I
с,=—^ф«р*-	<6-4
где Й = р ds.
Из равенства (6.70) с учетом (6.71) имеем
''«=4(^-^«pds)- (бв
Таким образом, соотношения (6.66) и (6.68) при любых фуп
днях ot (z) обеспечивают выполнение уравнений равновесия 
определяют статически возможные состояния рассматриваем^
системы. Как следует из принципа наименьшей работы (см
разд. 1.4.3), действительные напряжения должны в этом случи
обеспечивать минимум дополнительной потенциальной энерп|
(6’1
о
Подставляя напряжения (6.66) и поток (6.68) в выражение (6.7!)
получим функционал вида
i
U — [ F (clt o'i) dz.
о
Вариационные уравнения и естественные граничные условия и
закрепленном крае оболочки для этого функционала записи
ваются в форме
0F	д dF	п	..	1	п	о v
fcj	Вг	~°	(/- 1.	2,	3 ... п)
и при z = const дЕ/дс] =	0. С	учетом	условий (6.65)	получим
Д -	£ аА)	= 6 (2) (/ =	1,	2, 3 ...	п),	(6.741
где а„ = j)^-ds, 6Ц = (р™-dF-,
На закрепленном крае z = const будем иметь
2	= fl (/ = 1. 2, 3 ... и).	(6 7fn
254

I свободном крае следует принять — 0 (/ — 1, 2, 3 ... п).
нише уравнений (6.74) с учетом соответствующих граничных
Кий определяет напряженное состояние тонкостенной кон-
гу и ции.
В качестве примера рассмотрим оболочку, показанную на
, 6.5, а, причем будем считать, что обшивка работает на нор-
hi.i№ie напряжения. Поскольку оболочка нагружена только
ihcbbim крутящим моментом, N = Мх = Му =	— Qv — О
Ej = М = const. В равенстве (6.66) удержим один член ряда,
ипетствующий депланацин сечения при свободном кручении,
о, = С (z) <Р (S).	(6.76)
шкцня <р ($) == ху, показанная на рнс. 6.6, б, ортогональна
I х и у, т. е. условия (6.65) выполняются. Поток касательных
пряжений (6.68) с учетом равенств (6.69), (6.71), (6.72) в рас-
шриваемом случае имеет вид
? = 4^a'(z)O(S),	(6.77)
S
I Ф (s) = ф (s)-ф Фр ds, Ф (s) = [ ф dF.
о
(тема (6.74) вырождается в одно уравнение, которое можно
писать в форме
а” _	= 0,	(6.78)
G6 (£ <р2 dF
.
Е ф Фа ds
Иля закрепленного торна оболочки z = I следует записать гра-
ничное условие (6.75), т. е.
о'ффМз=	(6.79)
М для края 2 = 0 принять о — 0.
Решение уравнения (6.78) имеет вид
о = Сг sh kz 4- ch kz.
I Поскольку о (0) = 0, имеем С2 = 0. Определяя С2 иа условия
I «1.79), получим
Д4 (£ods	*
о (2) — о. ,, ... —---sh kz.	(6.80)
265

Для кессона, показанного на рнс. 6.5, а, имеем
ф ф* dF - /ф = 4г («4 + 64 + 6Г).
фф*= - ^(4-4).
Ф ®Ms = -А-
J	*й1с2
44*44+4) Т~’
720^^ + ^)]
ф ~Ь
(6Л1)
С учетом вычисленных интегралов и формулы (6.80' оотношеипи
(6.76) и (6.77) для нормальных напряжений и потока касательно
напряжений принимают вид
ME (fa — 4) A shA?
2^6 ch kl
v(s);
« «= JM1	Ф (s) 1
9 2djda I/ GGfafa chkl^^r
Отметим, что коэффициент k (6.81), характеризующий скоросЛ
изменения нормальных напряжений при удалении от закреплен
ного края и максимальное значение этих напряжений при z 1,
отличается от соответствующего коэффициента kz (6.49), полу
чей него при решен ин задачи в перемещениях. Эти коэффициенте
совпадают только в том случае, если считается, что обшивка н»
работает на нормальные напряжения. В общем случае при решо
нии задачи в перемещениях коэффициент &2 получается большим
чем коэффициент k при решении задачи в напряжениях, т. с
в первом случае нормальные напряжения в жестком защемле-
нии выше, чем во втором, и быстрее затухают при удалении сп
жесткого защемления. Это объясняется следующим. При реше-
нии задачи в перемещениях предполагалось, что сечение повора
чнвается как жесткий диск, т. е. считалось, что оно не деформн
руется в своей плоскости. Физически это соответствует наличии»
в кессоне нервюр, абсолютно жестких в своей плоскости и жестко
связанных с обшивкой. При решении задачи в напряжения#
деформация сечения в своей плоскости допускается, т. е. ра.
четная модель обладает меньшей жесткостью.
Таким образом, в расчетной модели, соответствующей методу
перемещений, деформация обшивки стеснена в большей степени,
чем в модели, соответствующей методу напряжений, а следо»
вательио, напряжения в жестком защемлении в первом случае
больше, чем во втором, н быстрее затухают. Если обшивка не
256	- I

Мф»тает на нормальные напряжения, то этот эффект не прояв-
Кк<ся и результаты совпадают.
| Расчет конструкций типа крыла в функциях напряжений более
Ц|и| ю описан в книге 1311.
S.2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СТРИНГЕРОВ И ОБШИВКИ
Панели крыла и корпуса летательного аппарата для
•члшшения общей жесткости, как правило, подкрепляются часто
|ш- положенными стрингерами, связанными с элементами попе-
1Тчного набора — нервюрами в крыле и шпангоутами в корпусе.
_|1 местах приложения сосредоточенных сил устанавливаются
филее жесткие элементы — лонжероны, нагрузка с которых
Передается на стрингеры посредством касательных напряжений,
Ьрзникающнх в обшивке.
Для иллюстрации этого эффекта, называемого эффектом вклю-
чения стрингера, рассмотрим панель, образованную полкой
лонжерона, двумя стенками и двумя стрингерами (рис. 6.12, а).
Пусть в сечении х = 0 лонжерон нагружен силой Р, а стрингеры
пюбодны от нагрузки. Имея в виду наличие жестких попереч-
ных элементов, будем считать, что точки панели смещаются только
ч направлении оси х. Тогда в лонжероне и стрингерах возникнут
напряжения
= £„-> ос = Ес^..	(6.82)
Предположим далее, что тонкая стенка работает только на сдвиг.
Тогда в ней возникнут касательные напряжения т0 = Goy, причем
согласно рис. 6.11, а деформация сдвига у = (ил — u^lb. Таким
образом
т,=4 <«"-"«)•	(6-83)
Рассматривая равновесие элементов лонжерона и стрингеров
(см. рис. 6.12, б), будем иметь
F„ - 2т0«0 = 0. Fe^S. + тЛ = 0.	(6.84)
Пять уравнений (6.82)—(6.84) включают пять неизвестных —
'Гт ®с» ”^о» ^л» ^с*
Будем решать рассматриваемую задачу в напряжениях.
Прежде всего умножим второе уравнение (6.84) на 2 и сложим
г первым. Интегрируя результат, получим 2ocFc + олРл — Сх.
Поскольку при х = 0 Gc = 0 и	постоянная Сг —
—Р, т. е.
°с = “ 27? <-р + a"FJ-	(6.8Б)
9 И. Ф. Образцов н да.
257

Рис. 6.12. Параметры подкрепленной панели (а) к ее напряженное состояние (Л)
Продифференцируем теперь первое уравнение (6.84) и выразим
в нем т0 с помощью равенства (6.83)
Лл dx» b °0°0U*
Заменяя производные от перемещений через функции напряже-
ний с помощью формул (6.82) и выражая ос через ол согласно (6.85),
окончательно получим следующее уравнение:
= <6а’)
Здесь
В = 2ЕСЕС + Е„Е„ — суммарная жесткость стрингеров и лоп
жерона. Общее решение уравнения (6.86) имеет вид
ал = С2е-‘’+С,е‘«.__^..
Пусть рассматриваемая панель является бесконечно длинной.
Поскольку при х -> со функция напряжения ол должна оста-
ваться ограниченной, очевидно, следует принять С9 = 0. Окоп
чательно, определяя С2 из условия ал (0) = —P/F„, получим
ал о'л — Нг с ** >	(6.88)
здесь о„ — —РЕЛ/В — напряжения в лонжероне вдали от иа
груженного края панели (при х -+ <х>). Из равенств (6.85) и (6.88)
после некоторых преобразований найдем
ае = ас(1-е-П
(6.89)
258

I где бс = —PEJB — напряже-
ния в стрингере при х->оо.
И, наконец, подставляя (6.89)
ио второе уравнение (6.84), за-
пишем выражение для касатель-
ных напряжений
— р т/—gcfcfio... р-**,
° г Ь$>ВЕпЕя е
В качестве примера рассмотрим
панель с параметрами Fc = F/4’t
Ь60= Fc; Ес=£л-£; Go/£ =
1 = 2,6. Изменение напряжений
по длине паиели показано на
рис. 6.13. Из графика следует,
что при х = 2,4b напряжения
в стрингерах и лонжероне вы-
равниваются, т. е. стрингеры
полностью включаются в ра-
боту. Интенсивность включе-
ния стрингеров в работу про-
порциональна параметру k (6.87) и тем выше, чем больше
жесткость обшивки на сдвиг О060-
Более сложные примеры решения аналогичных задач при-
ведены в книге [21 ].
в.З. ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
И ОБОЛОЧЕК С ОТКРЫТЫМ КОНТУРОМ СЕЧЕНИЯ
В настоящем разделе рассматриваются цилиндрические
и призматические тонкостенные конструкции типа фюзеляжа само-
лета, крыла или корпуса летательного аппарата, имеющие длинные
вырезы, т. е. оболочки с незамкнутым контуром поперечного
сечеиия. Характерные размеры рассматриваемого тела суще-
ственно отличаются между собой: толщина его стенки мала по
сравнению с габаритами поперечного сечения, а последние, в свою
очередь, значительно меньше длины. Оболочка может обладать
подкрепляющими продольными элементами жесткости.
Изложенный в гл. 5 метод расчета подкрепленных конструк-
ций может быть успешно применен для рассматриваемых систем
только в том случае, когда поперечные силы Qx, проходят через
центр изгиба.
Специфическая особенность работы цилиндрических оболочек
открытого профиля состоит в том, что при кручении в них могут
возникать продольные деформации и соответствующие нормаль-
ные напряжения, приводящие в каждом поперечном сечении
к системе самоуравновешенных продольных сил. Поэтому для
9*	259

расчета подобных конструкций требуется метод, отличный |
методов элементарной теории изгиба балок.
Теория тонкостенных призматических и цилиндрических к<
струкций с открытым контуром поперечного сечения была ра
‘работана В. 3. Власовым 113].
6.3.1.	Основные гипотезы. Деформации удлинения
и кривизны кручения
Рассмотрим оболочку (рис. 6.14), подверженную воз-
действию произвольной поверхностной нагрузки. Отнесем сре
динную поверхность к ортогональным криволинейным коор-
динатам z, s, где z — расстояние вдоль образующей, s — длина
дуги контурной линии (определения срединной поверхности и
контура поперечного сечения приведены в разд. 5.1).
Вводятся следующие кинематические гипотезы:
а)	контур поперечного сечения остается жестким (недеформ
руемым) в своей плоскости;
б)	деформация сдвига срединной поверхности, характеризу
щаяся изменением прямого угла между координатными линия]
z = const, s — const, принимается равной нулю.
На плоскость жесткого контура г — const нанесем декартову
систему координат Оху (рис. 6.15). Тогда начало отсчета (точка 0)
и оси координат Ох, Оу будут перемещаться вместе с контуром.
Пусть перемещения точки О в направлении оси Ох есть £ (z),
а вдоль оси Оу — t] (z). Тогда согласно кинематике твердого тела
компоненты полного перемещения произвольной точки М (z, s)
на контуре в направлениях осей Ох н Оу могут быть выражены
следующим образом:
1м = £ — ув,	(6.90)
Чм — Ч + хв.
Здесь х — х (s);	«= у (s) — декартовы координаты точки Af;
0 = 0 (z) — угол поворота сечения относительно точки О, кото-
рый считается малым. Положительным принимается вращение
Рнс. 6.14. Тонкостенный	Рис. 6.15. Поперечное
стержень	сечение стержня
260

ini часовой стрелке. Обозначим танген-
сиальное перемещение точки М (zt s) бук-
' ной о, а нормальную составляющую — w
(см. рис. 6.16). Для компонент переме-
щений Лм точки контура будем иметь
v (z, з) = Eff cos а + Чм sin а, (6.91)
су (г, s) = —Ем sin о + чм cos а.
Здесь а — угол между касательной к кои-
туру и положительным направлением оси
Ох. Очевидно
4^ = х' — cos а, ~ = д' = sin а. (6.92)
ds	’ as е	'	'
Рис. 6.16. Перемещение
точки на срединной по-
верхности в плоскости
контура стержня
Подставляя выражения (6.90) в зависимости (6.91) и учитывая
равенства (6.92), получим
о (г, s) = Е (2) *' (S) + Ч (г) у' (s) + 6 (г) fi (s),
и (г. з) - -Е (г) / (s) + ч (г) х' (s') + 6 (г) t (з).	(
где принято F. (s) — ху' — ух',	(6.94)
t (s) = хх* + уу’.
Эти формулы для тангенциального н нормального перемещений
произвольной точки срединной поверхности являются следствием
первой кинематической гипотезы. Второе допущение приводит
к выражению для продольного перемещения и = и (z, s). Действи-
тельно, согласно последнему из соотношений (4.12) деформация
сдвига срединной поверхности, отнесенной к криволинейным
координатам z, з, может быть записана в виде
Полагая уг,9 = 0, а также подставляя выражение для танген-
циального перемещения (6.93) и интегрируя, будем иметь
u(z, s) = t(z)- f-^ds^t(z)-x(s)E(z)p(s)n(z)-Ms)e(z).
0
(6.96)
Здесь С (^) — продольное перемещение точки контура, соответ-
ствующей началу отсчета криволинейного интеграла; со (s) =
к
= J h (s) ds — функция контурной координаты s, названная
о
В. 3. Власовым сектор иа л ьной площадью. Если соединить начало
координат Оху с точкой на контуре прямым отрезком под уг-
лом <р9 к оси Ох (см, рис. 6.16), то иа этом отрезке имеем х =
261

= s cos <p0. у = s sill q>0. Тогда подынтегральная функция Л (i
согласно ее выражению (6.94) окажется равной нулю для аждц
точки иа этом отрезке. Поэтому будем принимать кижний преда
интегрирования на левом конце контура или в точке его симме)
рии. Таким образом
co (s) = j (xp' — yx') ds.
(6.90)
Геометрический смысл этой функции заключается в том, что аС
величина для каждой точки s контура равна удвоенной площа^И
сектора между линией контура и лучами, исходящими из начале
координат О в точке s — 0 и s.
Деформация продольного удлинения цилиндрической обоЛ
лочки (4.12) в координатах г, s есть е, =
Применяя формулу для продольного перемещения (6 •95).
получим
— У(з)п — ®(s)e.	(6.97)
Согласно гипотезе о недеформируемостн контура деформация
контурного удлинения и изгибной контурной кривизны отсутЯ
ствуют, т. е. е, = 0, х, = 0. Исследованиями установлено, что
учет деформации продольной кривизны дает продольные распре-1
деленные изгибающие моменты, максимальные напряжения от
которых значительно ниже нормальных напряжений, соответ-
ствующих деформации продольного удлинения е2. Поэтому!
принимаем ~ 0 ... Деформацию кривизны кручения полу-1
чим из рассмотрения принимаемого напряженного состояния!
стержня и точного решения задачи о «чистом» кручении тонкое
стенного стержня с криволинейным открытым контуром сечеиия. I
Действительно, напряженное состояние стержня в сечении z =*|
= const представляется следующим: нормальные напряжения п*
постоянны по толщине стенки, контурные касательные иапря-1
жения хы ~ х„ (z, s, у) меняются по толщине линейно (рнс. 6.17),
а касательными напряжениями хху в направлении нормалЛ
к контуру пренебрегается. Пусть касательные напряжения!
х„ (z, s, ±h/2) в крайних точках толщины стержня имеют зиа-1
чения т2 и tj. (рис. 6,17). Тогда напряжения xxs (zt ss у) можно
представить суммой двух слагаемых: постоянными по толщине!
Рис. 6.17. Напряженное состояние стержня
Ж

касательными напряжениями, равными т = т (z, s) = (ts 4- т2)/2,
и напряжениями, меняющимися по толщине кососимметрично,
со значениями в крайних точках 7 — zhh/2, равными ±(т8 — тх)/2.
Последние, переменные по толщине касательные напряжения
статически эквивалентны распределенным крутящим моментам,
которые на сечеини z = const приводятся к крутящему моменту
Я » Я (z).
Согласно теории тонких оболочек контурные касательные
напряжения определяются выражением
— Gy*tt-	(6.98)
Решение же задачи чистого кручения тонкостенного стержня
с криволинейным открытым профилем 131 моментом Н при усло-
вии hiRt <£ 1 имеет вид
<M~-Gy20 ....	(6.99)
Сравнивая выражения (6.98) и (6.99), получим формулу для де-
формации кривизны кручения
х„=-2Й...	(6.100)
Нормальные напряжения, соответствующие продольной дефор-
мации е„ приводятся к нормальным усилиям c,h, действующим
в направлении образующей срединной поверхности. Закон Гука
(4.7) для плоского напряженного состояния дает соотношения
а, = -|-(<’»'"
,	(6.Ю1)
е. -	- I10.)-
Здесь о, — нормальное напряжение в продольном сечении s =
— const.
В условиях недеформируемостн контура (е, = 0) имеем а, =
= рс2. Отсюда первая из формул (6.101) дает соотношение аг —
=	е‘- Следуя теории тонкостенных стержней, будем пре-
небрегать величиной р2 по сравнению с единицей:
1—р2~1.	(6.102)
Тогда
ог = Ее,,	(6.103)
а имея в виду выражение (6.97), получим формулу для нормаль-
ных усилий
0/1 = Eh(l — x(s) | — y(s) n — a>(s) ё).	(6.104)
Постоянные по тойщиие касательные напряжения х = т (z, s)
приводим к потоку касательных сил q (г, s) = xh, подробно опи-
263

сываемому в разд. 5.1. Действие крутящих моментов, распро-
страненных иа всю длину контура, будем заменять работой
крутящего момента Н (z) иа всем поперечном сечении.
6.3.2. Полная потенциальная энергия.
Уравнения равновесия. Граничные условия
В соответствии с формулами (4.16), (4.27) потенциальна!
энергия деформации тонкой оболочки определяется выраже-
нием
и = 4*J[(ь. + Мг — 2(1 -)0(EA--T)*]‘te + I
I
+ ~12 0-ц) ф [(*. + K.f — 2 (1 - н)(иЛ - ^)] *} dz.
Отсюда в рамках принятых гипотез (е5 = ?« = я3 — xz = 0) и
замечания (6.102) получим потенциальную энергию деформации
тонкостенного стержня
у=If (¥)’>*• (6Л05>
После подстановки выражения (6.100) и введения момента инер-
ции чистого кручения Ia = —- ф /? ds (6.105) последнее выра-
жение представится в виде
у-(6.106)
Вторым подынтегральным слагаемым отражена работа отнесен-
ного по всему поперечному сечению крутящего момента // (г)
на угле закручивания 0 dz. Следовательно,
H = GI&,	(6.107)
Рассмотрим работу внешних сил. Пусть составляющие поверх-
ностной нагрузки по осям Ох, Оу и Oz заданы соответственно функ-
циями Рх = Рх (z, s), Pv = Ру (z, s), Pz == Pz (z, s). Работа этой
нагрузки на перемещениях £м,	(6.90), и (z, s) (6.95) средин-
ной поверхности равна
Ап = ( ф (ЛЛм (z* s) Ч- РуЦм (z, s) 4- Pzu (z, s)l ds dz.
i
На торце z = z0 стержня могут быть приложены сосредоточен-
ные обобщенные силы 2V°, Q2-, QJ, Z4J, Л!*}, Мг, В°.
264

Тогда с учетом зависимостей (6.90), (6.95), (6.97) и обозна-
чений для распределенных обобщенных усилий
I <j>Psdx = <7„ ^>Pydy = qy, (— Pxydy + Рух dx) = tn;, (6.108)
|> P, rfs уг, (f P.yds = m„ —<£> Ptxds = my, ^>Pzads = br
(6.109)
выражение для полной потенциальной энергии тонкостенного
। гсржня (как сумма энергии деформации (6.106) и взятая со зна-
ком минус работа внешних сил) запишется в форме
э = J[4-^£(L-4-^	+
I
— (<?Л + «Л + W + тЛ —	~ bp&\ dz — (Л'"^ +
+ <& + <2fr)o + «Й -	+ M°A> - В°ёо). (6.110)
Последней скобкой отражена работа обобщенных сосредоточен-
ных сил на соответствующих обобщенных перемещениях. При
лом учтено, что положительный момент Мх и бимомент В° вызы-
вают соответственно отрицательную девиацию т)0 н отрицатель-
ную меру депланации 0О.
Далее применяется вариационный принцип Лагранжа. С по-
ящим вариационного исчисления энергия (6ДЮ) — это функцио-
нал вида
I = f F (х, ylt y'lt yddx+'Ei [Ptyt (a) Д- Qtyl (a)]
Д
co свободным концом на границе х = b н заданными значениями
функций Pt, Qi на другом конце. Необходимое условие минимума
функционала приводит к системе уравнений Эйлера
аг d / др \ . д? / др \	„	/кип
и естественным граничным условиям
* /.^\ = о, ^- = 0пРИх = ь,
ду) dx \ ду) /	’ ду) у
(6.112)
~-----А. / JL-\ + Р, = 0, -А- + Q, = 0 при х а.
ду)	dx \ By) /	‘	dyi ' '
265

Для функционала (6.110) на множестве функций g, q, 6 ура
иения (6.111) примут вид
If - ртз„ - ЧП1$» - е™.% + 4<?• ” °-
С‘"8„ - ^1, - тГ l,u - e>vs„, + (q, - т,)!Е = 0. (6. ИЗ)
Сш8. _ Eiv/W _ niv/je _ eivSw+(qv + rtx)/£ = 0>
C»iSe _ EivSei _ nivS(w _ e>v/o + С/Е1$ + (mt + йр)/£ = о. I
Здесь в дополнение к ранее введенным обозначениям (5.15), (5.16)
(где следует положить <р = 1) принято
0)h ds 4- 2 Ю;/;,
Зшж — сохЯ ds 4- У tojXjfj,
Suv = wt/h ds 4- 2 ojyjfj,	(6.114)
/<а — (j) ds 4- J
Заметим, что в соответствии с выводами разд. 1.3 гл. 1 система
дифференциальных уравнений (6.113) является уравнениями рав-
новесия стержня в перемещениях.
Естественные граничные условия (6.112) решают вопрос о струк-
туре формул для обобщенных сил. Продольному перемещению С
будет соответствовать осевая сила
N ----------
(6.115)
С учетом формулы (6.104) получим
N^fojids.	(6.116)
Перерезывающая сила <?г, соответствующая вариации
щения 6Е, получит выражение
переме-
<2«
dF____d ( dF \
д£~ dt \ Bi I
=—m,+	(Ё — х£п1~ут|п,—а>6П1)Л ds=—mv + Ср х -^-hds.
(6.117)
гае

1И логично будем иметь
Q, - т, + ф (Ё - хРп — рч1П - и®ш) Л ds =
— т^+g-^-hds;	(6.118)
+	+	(6.11S)
Мх = ф yaji ds, Mv — — ф xcrji ds,
г	(6.120)
В — ф (btrji ds.
Подставляя зависимости для обобщенных сил (6.115) ... (6.120)
в систему (6.113), получим уравнения равновесия полоски стержня
К •= const, z 4- dz ~ const в усилиях
-^-+?.=о, ^-+Ь-О, J^.+9ll = 0,
-~^ + m. = 0.	(6.121)
Сравнение формул для сил (6.116) ... (6.118) и моментов (6.120)
I приводит к соотношениям
“TJ55--Q, +т» = 0-	+ Q. + mv = 0,
-f--Afe + bp-O.	(6.122)
I Здесь Af. — ф о--^- hds + bs	(6.123)
изгибио-крутящий момент, интерпретация которого дана
в разд. 6.3.3.
Для однозначного решения системы дифференциальных урав-
пений (6.113) четырнадцатого порядка требуется столько же
граничных условий. На каждом конце стержня можно задать
по семь условий: кинематические—С (z0). Е (г«). Ч (zo)= Е (г.),
I Ч (г.). 0 М, 0 (гг) или статические — N (г<,), Qx (гс), Q, (гс),
| М, (z0), Л1е (г„), М. (г„), В (г.), или в смешанном виде.
6.3.3. Определение нормальных напряжений и потока
касательных сил
По формуле (6.103) можно найти нормальные напря-
жения о, только после решения системы дифференциальных
уравнений (6.113). Однако в ряде случаев, когда удается устано-
3S7

внть обобщенные силы //, Mxt Mv, В, мииуя решение систИ
(6.113), важно иметь формулу для нормальных напряжений,
включающую только функции обобщенных сил и геометрически»
характеристики сечения. Изложим вывод этой формулы.
Рассмотрим зависимости (6.115), (6.120), которые с уче*Л
равенства (6.104) дают,систему алгебраических уравнений отца
сительно неизвестных t, L Ч-
Ft-S,t-S,ii = W/£ + S„6,
S„t -1Д - l,yii - - М,/Е + sMe,
S.,C - !.л - 1Л = MJE + М-
Решение этой системы можно представить в виде
(6.124)
* —+ I
Здесь в дополнение к ранее введенным обозначениям (5.17), (5.19),
(5.22) принято
- k Г-/- (S _ &А) - AfL (SM - x0S„)],
L 1 Ox	^OX'CU	J
У a 253 k Г — (S^ — XoSw) 4*	(Sw — £fo$<o) ]»
L 10£	‘0ж1oy	J
(6.125)
= ад0 — УаХо —	;
Мозе = Mx - t^N, MOv xgN .	(6.126)
В теории тонкостенного стержня имеется понятие приведенного!
бнмомента
Вп—$> ®п<Уг h ds,	(6.127)
где
®о “ ° (s) ~~ хб (y(s) — Fo) 4" Sa (х (s) —	(6.128)
268

I Приведенный бимомент Вп связан с ранее написанным В
I потношением
Вп^В -х^-цМ,-----------^-N.	(6.129)
Подставляя решение (6.124) в формулу (6.127) и учитывая
[гттиоЕпение (6.128), получим зависимость приведенного бимо-
I мента от меры депланации сечения
В„=-Е1^.	(6.130)
1десь
Дап = Ц ~	~™ Fo^w)	Н (^<вя	^>0^и) ffd ~' р"~ •
(6.131)
Можно показать, что
/.„ = <£«#tds.	(6.132)
I Теперь искомую формулу для нормальных напряжений получить
нетрудно. Действительно, подставляя решение (6.124) и выраже-
ние для функции 6 (6.130), в равенство (6.104), получим
О.(г, S) = 4- +*[-fe-p(s)—+ 7^‘n'”(s)-
(6.133)
j Здесь
5 (s) = x(s) ~х„-	(g(s) - gc),
(6.134)
S («) = У (s) - № -	(* <s) ~ *»)•
Очевидно, первые три слагаемых формулы (6.133) совпадают с ре-
зультатом элементарной теории изгиба тонкостенных балочных
конструкций (5.21). Четвертое слагаемое определяет нормальные
напряжения, возникающие вследствие того, что сечения стержня
при кручении не остаются плоскими, а депланнруют (искривля-
ются) по закону секториальных площадей.
Поток касательных сил # == # (z, s) не может быть иайдеи
подобно нормальным напряжениям из закона Гука, так как вто-
рая кинематическая гипотеза отрицает деформацию сдвига. Его
можно определить из первого уравнения (4.17) равновесия эле-
мента срединной поверхности, наделенного сечениями z “ const,
z 4~ dz = const, s = const, s 4~ ds — const (см. рис. 5.3):
(6.135)
ses

Отсюда с учетом формулы для нормальных напряжений (6. ОД
имеем	||
g = <7 (г, «)=%(*)-J ptds —
О
- [4 F(S)	(^S.(s) -S^s) + ^~Sa(а))]• (6.1J
Здесь, как и в разд. 5.3.1, введены функции отсеченной площади и
статических моментов для отсеченной части контура
F« jftds, Ss = Jpftds,	(6.137)
3„ — ' xhds, — J
Чс (г) — функция внешних сдвигающих усилий иа райией
прямолинейной кромке s = 0.
Первое из уравнений равновесия (6.121), дифференциальные
соотношения (6.122), а также выражения для приведенных мо-
ментов (6.126) и бимомента (6.129) приводят к равенствам
7? —	д., Л4о. = Qy — Шу -|- goqx — Qv —
= Q» 4~	~|~ Х^дг — Qx 4- ttlayf	(6.138)
= Mи — bp	хл (Qv тх) да (—Qx — ту)-—mDqx = 7Htoa—bpn.
Здесь
mOx — mx —	— mv 4~ xog„
(6.139,
Opn = br + хлт, + уату — aoq„
Л4<«„ = Л1»-*а<2в + »а2х.	(6.140)
Подставляя зависимости (6.138) в выражение (6.136), получим!
формулу для потока касательных сил:
g(z, s) = ?(,(z) —Jp,ds + -&-F(s) —
о
_ft(to^(s)+^St(s))_2^^Sb(s). (6141)
270

ih ли сечение стержни содержит стрингеры, то формулы для ста-
Кеских моментов отсеченных частей (6.137) следует заменить
сражениями
F = Jftds+^A.
О	i=t
5	т
= J Xhds+ У xtft,
о	Л=1
(6.142)
s	tn
§« = j gfi ds + £ уЛ,
8	Kt
s« = J ahds+
О	/=1
Здесь ft, xb yit &1 — соответственно площадь и обобщенные
шюрдииаты (6.134), (6.128) /-го стержня; т — число стержней
и отсеченной части 0—s контура.
Покажем физический смысл обобщенных сил Qx, Qy,
Пусть прямолинейные границы стержня s = 0 и s = свободны
in- внешних сдвигающих усилий. Тогда интегрирование по частям
выражений (6.117), (6.118), (6.123) с учетом уравнения (6.135)
н обозначений (6.109) дает следующий результат:
Q»== —тц + фх-^-hds = —01, + фх (—	— ft) ds =
= -фдг-й-*=Ф^х>
<?„ =т, + фу -^-ЛЛ = т, + фр (-- ft) ds =
--j>y-^-ds^^>4dy.
м. = b, + Ф «>	h ds - b„ + ф <о (—- ft) ds =
= — &ui-^-ds = ф^&о =ф?й(«)Л.
Следовательно, перерезывающая сила Qx—это равнодей-
ствующая на сечении г = const проекций потока касательных сил
иа ось Ох; перерезывающая сила Qy — на ось Оу. Изгибно-крутя-
щий момент представляет собой равнодействующий крутя-
щий момент от потока касательных сил у на всем сечении z = const
относительно начала координат Оху.
271

6.3.4* Частный случай изгиба и кручения стержн^ W
В инженерных задачах нередко на свободном цопц|
стержня заданы нлн известны значения обобщенных сил. ВэтЯ
случае для определения напряженного н деформированного о
стояния стержня нет необходимости решать систему дифферчМ
циальных уравнений четырнадцатого порядка (6.113). Действ
тельно, функции продольной и перерезывающих сил, а такЛ
крутящего Mz и изгибающих моментов Mxr Mv найдутся пути
интегрирования уравнений (6.121), (6.122). Уравнение относ»
тельно приведенного бимомента ВЮп негрудно получить, сели
выражения (6.124) подставить в последнее уравнение систсгн
(6.113) и учесть соотношения (6.130), (6.121), (6.122). В резуЛ
тате преобразований получим
- й— Вм„	= 0,	(6.141|
где тм = tnz — xdqy + ydqxi а функция bpa определена равен»
ством (6.139). Решение уравнения (6.143) будет единственным,
когда известны граничные условия. Например, если иа свобож
ном конце стержня z = I отсутствуют нормальные напряжении
или они так распределены по сечению, что (j) couoz (/, s) h ds =* j,
тогда справедливо равенство
Всоп (0 = о.
Для жесткозаделанного сечения z — 0 перемещения в его плосд
кости (6.93) и из плоскости (6.95) отсутствуют. Отсюда в сил*
линейной независимости функций sin a cos а, h (s), t (s) и обой
щенных координат 1, х ($), у (s), со (s) в точке z — 0 будут выпой
няться условия
ИО) = В (0) = 1] (0) = Й0) = ч (0) = 6 (0) = 0 (0). (6.144)
Условие ё (г0) = 0 в сечении z = z0 каждый раз будет спра
ведливым, когда это сечение лишено возможности депланировати
(например, когда в сечеиии z = z0 имеется мощный шпангоут,
жесткий на изгиб из своей плоскости).
После определения приведенного бимомента вместе с ра
нее полученными другими функциями обобщенных сил формулы
(6.133) н (6.136) позволяют вычислить нормальные н касательные
направления. Перемещения точек стержня и его закручивание1
найдутся после последовательного интегрирования уравнений
(6.130), (6.124) и применения формул (6.93), (6.95).
6.3.5. Пример стесненного кручения стержня
Покажем методику расчета тонкостенной цилиндрической конструк» I
ции открытого профиля на примере.
Задача. Цилиндрическая оболочка типа корпуса летательного аппарата!
с длинным вырезом жестко заделана на одном конце и нагружена крутящим
272

Рис. 6.18. Результаты расчета стержня на кручение
шитом М. на другом конце (рис. 6.18, а). Обшивка и стрингеры выполнены из
(лого материала, модуль упругости которого £, а коэффициент Пуассона р —
I 0,3; Л., 2R, I — толщина обшивки, диаметр сечения и длина стержня. Площади
крайних стрингеров имеют значения =:	— Rh, площади внутренних стринге-
ров равны /а = /з —	— О»52?Л- Соотношения между размерами заданы
/?==50Л, / = 20Я.	(6.145)
Определить напряженное и деформированное состояние стержня.
Решение. Введем безразмерные координаты ₽ и ф так, что z =
s = 7?ф, dz ~ R ds — R dtp,	(6.146)
n .
а = ~2- + ф-
Тогда декартовы координаты точек контура, функции контурной координаты
(С.94) и секториальная площадь &> с началом отсчета в точке / ^ф —-g
|апишутся в виде
£?х с-’л .	dtf
x=sRcosar y^Rsina, ==	== — б!пф, -^- = cos<p,
Я(ф)=/?, г(ф) = О, щ(ф) =

273

Значения этих функций в точках 1, 2, .... 9 (места расположения стринге
занесены в табл. 6.1. По формулам (5.15), (5.16) и (6.114) найдем величины
метрических параметров сечения:

S.=
5гоф<!ф+2и^ = —2,6R!A. S„ = 0;
j	R’h co# ф <!o>4-	rffi = 6,03R3h;
J Rsh stn! 9 dtp -j- y<fl = з.ббй’Л;
Зи = | R‘h f ф + -g- я) dtp + У Wj/j = 20,3R’ft;
-4-"
S«>» = j R‘h (-^
cos <f dtp + otfitJi = 10,2R«A;
Sav « j R*h ( q? 4- к
') sin ф dtp + у aanfa — — 5,44R‘h;
л
274

Геометрические характеристики сечения
R6h	о	СЧ со 'й «	«	ё		52	Ё S £ •ф —.	=’rf«»z
				е еч	£ сч			
	о	СЧ ~e О 1	со ~к ICO 1	СО 'Й 1	§ ю 1	К 1	о ~ё 61	= w® s
		сч сч					сч —«	со	
R*b	о	т 1" 1	т	о	е ю	'S	к е Г- ICO сч	w’£e>4oi+z " = >/WC! [J
«К	о	а ,ш		со	сч	5J	СЧ „ - СО	ад^Г“
е*		К к	к	&	к НО	К	4?	= ’/’>» 5
а*	о	«о со	к	'б еч	СО ~ё ю	К	со СО	
•И со №а		°	со	сч	СО	СО	° S	%йг = WK
as со °>7	СО	1О СО О СО	со	о	со	00 СО	io XF О со	w~ = WK
S= «К	1Л о	ш СЧ ° 7	ICO 1 ^l'- 1	ю 7	со 1 S.I'1, 1	ю сч 7	1О о о	= ’^/S
аГ	-и	= +	ICO J ,ф 1	— 1	,сок» хГ 1	-|« I	1 о — сч	
и*	ch 7 Sb 1	1		-|сч I	о	-|о)	|со| ^|с<	|СО | - 'х|"	
as	о	>11	ю о	о	МЭ о	1О^ о	1О о	ю о	U5 О О --	WS‘S “’/3
вхяэиаь-е йамои		сч со		ш	СО		со Ci	
275

Здесь значения для конечных сумм, соответствующих продольным элем(
жесткости (стрингерам), взяты из табл. 6.1. Приведенные геометрические х
теристики сечения в соответствии с формулами (5.17), (5.19), (5.22) в 'ft
будут равны
X. = О, ус = —0,26&R,	= 2.96№
foy ~ 6,0277?%, foxy ~ 0, k = lj	(6 Н
*<f = 0. yd = —1.69/?, <в€ = — 2,О97?я;
/Шп = 1,57?%.
Момент инерции чистого кручения (6.105) и коэффициент отношения крутил»
жесткости к векториальной принимают значения
зг
h? с	4
fd = —3—	J R dtp =» ~ лВЬ.3,
=с,32б(Ау=(0.01И2)а.
£. IT -f- p,} 1 Оп	\ A /
(6.1<
На свободном конце стержня нормальные напряжения отсутствуют, а пом
мсательных сил приводится к крутящему моменту. Следовательно (см. (6.116)
W — Л4Ж== MpBsB—QjjxsQjjasO при
К
(6.141«|
Н 4- Л4(й = М при р =	.
При таких статически граничных условиях и отсутствии поверхностной нагрузка
уравнения равновесия (6.121) и (6.122) приводят к тривиальному решению 1
К (Р) = МХ®)~ Mv (р) = Qx (₽) s Qv (₽) s 0,	(6.150.
Mz($) ~М
и условию
ЛЧ₽)+МГ(₽)-М при ₽ = -g--
(6.151]
Следовательно [см. (6.129), (6.126), (6.150)] в данной задаче приведенный бим«
мент ВОп не отличается от обобщенной силы В. а поэтому граничное услоиЛ
(6 151) с учетом соотношений (6.107) и (6.130) преобразуется к виду
\ К / X if / Мац
Подставляя сюда значения (6.145), (6.147), (6.148), получим граничное услошц
(0,0П4^.в-(4) -е" (i) =	(6.1И)
-276

Ii> у гствяе бимомента В на свободном конце н жесткое защемление оболочки на
ijiyi’OM конце дают другие граничные условия
в'(~)=0; 0(0) =»0; в'(0)=.0.	(6.153)
I Уравнение стесненного кручения (6.142) с учетом зависимости (6.130) при
мдянном нагружении примет вид
6IV(₽)-^F-e”(₽) = 0.
I* «се решение этого уравнения
0 (₽) - <4 + ^0 + С*Г ЬР 4-	,
ipc b* —	при граничных условиях (6.152), (6.153) дает функцию угла
С/«,ц
«wspora сечения
s® =	(5.03 + 0.256₽— 13,72e*bfi + 8,687е*).	(6.154)
При этом функции депланацни, бимомента и изгибно-крутящего момента при-
мут вид
е' (₽) =(2.Б6— 1.566е -* — 0,992е*0) И*** ,
й„,п (₽) = (33,96eis — БЗ.бЗе-^З) MR,
(6.155)
I	м„ (₽) - (о,388е^ + 0,612е~1’5) М,
1дс Ь ~ 0,01142.
Нормальные напряжения пропорциональны бимоменту, так как другие
ибпбщенные силы отсутствуют (6.150). График функции ВИп (0) изображен на
цис. 6.18, а. В сечении z = 0 нормальные напряжения наибольшие и распреде-
лмются по закону
ВИв(0)
°т. (0. ф) = —у-----®п (Ф).
'(Од
I- |де соп (ф) ю (ф) — l,69Rx (ф) — 2,09R8.
Расчеты приведенной сектор иальной площади соп и нормальных напряжений
и, (0, ф) сведены в табл. 6.2. Эпюра нормальных напряжений показана на
рис. 6.18, б. Здесь экстремумы в точках контура
Фх — —-2,51; фа =? —0,632.
Н сечении z = 0 изгибно-крутящий момент Ма, равный внешнему крутящему
моменту М, статически эквивалентен распределенному по контуру потоку каса-
к-льных сил (6.141)
«(0, <р) = -?!^3„(1р),
где Sa=	+ Ьб71ф —0,114 — 1,69310 ф) R8A4-	Wi-
Л=1
277

а о л и u я
Нормальные напряжения uz (0, <р) и поток касательных сил q (I, <р)
Номер		ffi <Ф)/Я*		§Ю(Ф)	я* 1 9'~м-
			« Л4		
1	7л , „ — ~б"+ 0	—0,63	413	—0,63	0,409 1
2 2	—л — 0 —я -J- 0	0,12 0,12	—79 —79	—0,744 —0,684	0,483 I 0,444 I
3	5л - — --0	0,417	—273	—0,524	0,340 1
3	5л . -—+ о	0,417	—273	-0,315	0,205 I
4	2л -—-°	0,322	—211	—0,107	0,070 ]
4	2л , - —+0	0,322	—211	0,054	—0,035 I
5	31 — — ±0	0,00	0	0,143	-0,093 1
6	л —Г-°	—0,322	211	0,054	—0,035
6	Я —~г+°	—0,322	211	—0,107	0,070
7	я -Т-о	—0,417	273	—0,315	•0,205 I
7	Л -т+о	-0,417	273	-0,524	0,340
8 8	+0	—0,12 —0,12	79 79	—0,684 —0,744	0,444 0,483
9	Я т-°	0,63	—413	—0,63	0,409
Результаты вычислений также занесены б табл. 6.2. а эпюра потоков ка-
сательных сил изображена иа рис. 6.18.
Интегрирование уравнений (6.124) с учетом равенств (6.150), решения (6.154)
и граничных условий в жестком защемлении
(t(0) = О, £(0) = 0, Е'(0) = 0, 4(0)-О, Ч'(0)=0)
приводит к компонентам перемещений осн стержня
С (?) = —юс//?е' (?) = 2,О9/?0' (?),
В (?) = У# (?) = -1.69/?@ (?); г, (?) = 0,
где в (?) н 0' (?) — функции (6.154), (6.155).
278

I Перемещения точек контура стержня б соответствии с зависимостями (6.93)
/Г %) определяются формулами
v = 1,691?в (Р) sin <р, и> — 1,696 (р) cos <j>,
и = £0' (₽) (1,69 cos Ф — <р — 1,57).
шиз этих формул показывает, что перемещения точек контура в плоскости
। w) значительно выше перемещений из плоскости и.
В заключение заметим, что полученное напряженное и деформированное
П»яние стержня 'будет точным, если на свободном конце крутящий момент М
Винт из момента свободного кручения, равного Н = 0,0256/4, и изгибно-
<щего момента, составляющего Л4Ш = 0.9744Л4 и распределенного по се-
ни» в виде потоков касательных сил, показанных на рис. 6.18, в.

ГЛАВА 7
РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ ПРОСТРАНСТВЕН11|
КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ конечных
ЭЛЕМЕНТОВ
7.1.	ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМГл!
Метод конечных элементов (МКЭ) является при*
женным численным методом и широко используется в насто
время для расчета сложных нерегулярных конструкций. (X >
ная идея МКЭ, как и многих приближенных методов, за ключ .1
в дискретизации исходной в общем случае континуальной сисла
причем по сравнению с классическими приближенными методц
описанными в разд. L6, процедура дискретизации в МКЭ Ц
дает определенной спецификой. Суть этой процедуры заключив
в следующем. На первом этапе конструкция расчленяется I
мощью некоторой сетки на отдельные фрагменты конечных |
меров, называемые конечными элементами (КЭ), и представляв
как некоторая совокупность конечных элементов. Сетку н;1
чают с учетом геометрических и структурных свойств констр
ции, а также исходя из предварительно принятой схематигип
ее элементов (обшивка, стенки, подкрепляющий набор и т
с привлечением известных расчетных моделей строительной м<
Рнс. 7.1. Схема нанесении сетки на поверхность пластины с круглым (а) н ю
дратным (б) отзерс'гкямк
280

/2. Расчленение оболочки
ни (стержни, пластины, оболочки). Помимо этого, выбор сетки
лнпяется таким требованиям, как простота формы конечных
и-гитов, возможно меньшая размерность модели, возможность
>.нжения требуемой точности расчета. На рис. 7Л—7.5 пока-
примеры конечно-элементиой дискретизации конструкций
рипчных типов. Следующий этап дискретизации, имеющий
^магический характер, заключается в аппроксимации иско-
I функции, например, перемещения с помощью конечного
I in выбранных локализованных координатных функций. Такне
икции отличны от нуля лишь в сравнительно небольшой (по-
мп. ' шага сетки) области конструкции, а вне ее тождественно
«им нулю. Процедура дискретизации иа этом завершается.
№• ши, что термином «конечный» в названии метода отражаются
I особенности МКЭ. С одной стороны, подчеркивается дискрет-
3	V	5
Рис. 7.4. Расчленение крыла на конечные элементы:
цпяс; 2, 8 — подкрепленная никель обшивки; 4 *— стенка нервюры; 5 — элемент
лонжерона
281

Рис. 7.5. РасчленеиЛ
иин фюзеляжа иа и
вые элементы ц
/ — Пояс ц1па».тсутв|’.
подкрепленная паим|
шиякн; 3 — стейка 
гоу?я
иый характер метода, предполагающий расчленение конструКм
на элементы конечных размеров. С другой стороны указывМф.
на то, что элемент обладает конечным числом степеней свойщ»
и его состояние описывается конечным числом параметров .W
Локализоваиность координатных функций является отличв
тельной особенностью МКЭ. Она обеспечивает достижение iur
важных качеств метода, как: простота построения ко динапиа
функций; высокая универсальность широкого класса задач ст|“»
тельной механики, в том числе для конструкций сложной ст;,
туры и геометрии с нерегулярным распределением параметре
при достаточно произвольных внешних воздействиях в граничим
условиях; возможность реализации процедуры МКЭ с помок I
стандартных алгоритмов, хорошо приспособленных к ис|^И
эованию ЭВМ.
7.2.	КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ КОНСТРУКЦИИ I
Конструкция расчленяется сеткой линий на онеча
элементы. Схема членения служит основой для построения •
нечно-элемеитной модели конструкции. Выбор расчетной аМ
(схемы членения) зависит от ряда факторов: геометрии и стр у
туры конструкции, ее коиструктнвно-силовой схемы, харак1л
внешних воздействий, целей и требуемой точности расчета.’К
правило, линии расчетной сетки совпадают с осями осномм*
подкрепляющих элементов конструктивно-силовой схемы.
некие на конечные элементы отражает механическую cropgii
процесса дискретизации исходной конструкции. Выбранная
членения влияет на точность расчета и определяет размерив
задачи.
Тснку пересечения линий сетки назовем узлом расчетной аим
или узлом конструкции. Точку конечного элемента, совпадая»^
282

। у/ком конструкции^ назовем узлом конечного элемента. Введем
Следующие параметры конечно-элементной модели конструкции
И их обозначения: k — число конечных элементов; п — общее
•in до узлов конструкции; j — номер узла конструкции
п
(/	1, ...» n); N3 — число степеней свобода в узле /; ДО »= £ ДО/ —
Юлии 2 число степеней свободы незакрепленной конструкции;
 * номер конечного элемента (е ~ 1, .... й); пе —- общее число
ПОов конечного элемента е; s — номер узла конечного элемента
 принимает значения номеров узлов конструкции, с которыми
нпадают узлы элемента); ДО1 — число степеней свободы в узле s
цента е; № — У Nea — общее число степеней свободы эле-
S
шита е. Размерность матриц будем обозначать через 1а х 0],
Пг а — число строк, 0 — число столбцов.
I Геометрия конструкции задается координатами ее узлов
п глобальной системе координат х, у,
I В каждом узле конструкции / вводится тройка взаимно пер-
Ьидикулярных орт bJt n.j, определяющих три направления,
Которые будем называть главными направлениями в узле /
Инг. 7.6). В частном случае эти направления могут совпадать
 и «правлениями осей глобальной системы координат х, у, Z.
№ случае оболочек вектор обычно направляется по нормали
К срединной поверхности (а векторы а}, fy — по касательным
 [той поверхности). Для каждого конечного элемента е выбн-
Встся местная система коор
В »юй системе формируются в
К В качестве обобщенных пе-
Кмещеннй примем перемеще-
Цт. узлов незакрепленной (сво-
Имной) конструкции по глав-
ки направлениям. Запишем
ги перемещения в виде век-
н-p.i (матрицы-столбца) размер-
Цис ЪЮ 5ДО х 11
I	(7.1)
1’д«- нижний индекс обозначает
IHwrp узла. Вид подвектора г/
мписит от кинематических
 пбенностей конкретной за-
мни (внда перемещений и их
Ьвсла в узле). В частности, для
пространственной задачи (см.
1-.I* 7.6)
r5 = {ufljW/i, (7.2)
Рнс. 7.6. Глобальная (X, у, %) и мест-
ная (В,	0 системы ноордннат кон-
струкции н конечного элемента
283

где uh vf, Wj — компоненты перемещений узла / соответствия |	11реобразование перемещений ге к осям местной «петелы
по направлениям Ь}, п}.	фдннат элемента е осуществляется на основе (7.5) и ижк
Вектор перемещений узлов элемента е в местной системе шнц I ib записано как
динат будем обозначать через ре [Ne X 1 ]. Для четырехупуь
него КЭ, изображенного на рис. 7.6
(Р*)’ = WlPkP'lPm],
где /, kt I, т — номера узлов расчетной сетки, с которыми сф I
падают узлы элемента е. Вид подвектора
от кинематических характеристик элемента
ном случае
(?ЭТ =
(71
узла s
элемент!
координат
по главш
где us, va, w3 — компоненты перемещения
соответственно по направлениям осей £.
Перемещения узла элемента в местной системе
перемещения соответствующего узла конструкции
направлениям связаны линейным соотношением
Р/ = а>/,	(7 м
где aj [2V/ X IV/] — матрица преобразования перемещений дль
узла / элемента е. В случае, когда векторы перемещений р] и •
определены выражениями (7.2) и (7.3), матрица а} состо
направляющих косинусов между осями
cos (!,«;) cos(|, fej)

bh п} и 1,
cos(|, «/)’
С/= cos(q, а{) cos (т), 6/) cos(q, «,)
COS(t, <Zj) COS (£,&>)
Чтобы установить связь между перемещениями узлов элем
(7.3) и перемещениями узлов конструкции (7.1), вначале нео(|
димо выделить из общего вектора (7.1) перемещения тех уз/
конструкции, с которыми совпадают узлы элемента е (наприй
в случае (7.3) это будут узлы /, kv /, m), а затем 1Г(ресбразоп!^^_
выделенные перемещения к осям местной системы координат
Вектор г} выделяется из гс с помощью операции
г, = Е)Г^	(7?)
Выделяющая диагональная матрица Е, IN] X JV] легко уп,
навливается иа основании соотношения (7.1). Вектор перемену
кий ге узлов конструкции, с которыми совпадают узлы элемента I
найдется ио формуле
г"=Е,г,
COS(f„ и,)
(7 Л
где диагональная матрица Е* составляется из блоков Et
р' = CV*.	(7.9)
___ Ин крепленной конструкции в определенных узлах
(7 11 | некоторым направлениям равны нулю и она характеризуется
тором г, который получается из вектора перемещений свсбод~
В конструкции гс путем «вычеркивания» нулевых компонент,
рЛМ X 1] завис»» Ьткетствующих устраненным перемещениям. Связь между г
е, В простраи	гс может быть записана в виде
r = Ecrc,	(7.10)
В матрица Ео получается из диагональной единичной матрицы
i см вычеркивания нз нее строк, соответствующих устраненным
йонентам вектора rc. С учетом (7.8)-—(7.10) получим связь
И .г. *у обобщенными перемещениями элемента в местной системе
йцдинат и обобщенными перемещениями закрепленной Конст-
анции в глобальной системе координат
Г
(7.И)
7.3.	СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МКЭ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ
При решении задачи в перемещениях в качестве
inioBHbix неизвестных рассматриваются перемещения по глав-
fit-iM направлениям в узлах конструкции, т. е. компоненты
# шора г.
Г Для получения уравнений статики в перемещениях для
,и|«угой конструкции, представленной в виде системы коиеч-
шх элементов, обычно используют принцип Лагранжа (1.27) или
tli бивалентное ему условие минимума полной энергии (1.24). При
•к»м в пределах каждого конечного элемента перемещения ап-
фпксимируются с использованием заданных функций местных ко-
ординат таким образом, чтобы в узловых точках элемента они были
Влкпы соответствующим обобщенным перемещениям. Заданные
Вункции перемещений, которые в МКЭ называют функциями
Б|>мы, должны удовлетворять условиям неразрывности как в пре-
Ьлах конечных элементов, так и на разделяющих их границах.
г ли эти условия выполняются точно, то конечные элементы на-
»каются совместными. В этом случае метод конечных элементов
-|и существу является вариантом метода Ритца, в котором варьи-
руемыми параметрами являются перемещения в узлах, азаданные
функции являются локальными (отличными от нуля только на ко-
нечных элементах, для которых данный узел является общим). Ус-
|0шия неразрывности легко выполняются в случае одномерных
| гл (стержень, балка), для которых границами, разделяющими
млечные элементы, являются сами узлы (точнее — проходящие
285

через ннх плоские поперечные сечеиия). В случае двумерни| t
трехмерных тел, когда границами разделения элементов явлимяя
лниии или поверхности, кинематические граничные условии
пряжения элементов удовлетворяются автоматически, если п цр»
делах каждого элемента при аппроксимации перемещений оцми»
читься линейным распределением. При более высокой стмяй
аппроксимирующих полиномов точное удовлетворение кию И
тических условий сопряжения (иапример, в задачах изгибе щу
стин по перемещениям и углам поворота) представляет затрут
ния. Поэтому в таких случаях часто используются иесовмея®
конечные элементы, кинематические условия сопряжения МВ
рых удовлетворяются точно только в отдельных точках (у
Для повышения точности или для точного удовлетворения й
нематических условий сопряжения элементов иногда узлы бм
не только в угловых точках элементов, но и иа их гранях или И
три элементов. Для этой же цели в узлах модели можно удовл*ф
рять не только требуемым кинематическим условиям (услсив*
непрерывности перемещений и углов поворота), ио также услиаА
непрерывности некоторых старших, производных от перемещс^В
иапример производных, входящих в выражения для иапряжс*ш||
если по условиям задачи известно, что в узловых точках напри •
ния являются непрерывными функциями. Такой прием повьшцр
точность выполнения не только кинематических, но и статичесив
условий сопряжения элементов. Число степеней свободы Д
в узле s равно числу кинематических условий, которые требуvw
удовлетворить. Если же в данном узле наряду с кииематическяВ
ставятся дополнительные условия сопряжения (по напряжении
или производным от перемещений), то число степеней caofli,»»
в таком узле соответственно увеличивается. Число степеней |К
боды конечного элемента Ne равно числу степеней свободы пр
надлежащих ему узлов.
Вектор перемещений и элемента е представляется в ни»
конечного разложения
u = Up*,	(7 h
где U — матрица аппроксимирующих функций п ремещеме/
(функций форм) элемента г. В случае трехмерной задачи М»
— \и, ц, &у|т н матрица U (|, t), £) имеет размерность ЗхДР
Функции формы элемента обычно записываются в виде сюнц
ных полиномов от координат. Коэффициенты этих полиномов (>
общее число"равно Ne) определяется с помощью (7.12) при уе>
вин, что значения компонент вектора и в узлах элемента coin»
дают с соответствующими компонентами вектора ре. Примг|!|>
построения функций формы для одномерного элемента при рати
женни-сжатии и плоского двумерного элемента при плоском и»
пряженном состоянии приведены в разд. 7.4.
286

| Ли пишем полную потенциальную энергию упругого тела как
к н-мы конечных элементов
Э=ЕЭ„	(7.13)
е
ч Э* — полная потенциальная энергия элемента е. Согласно
|Г’»4) ее можно записать в матричном виде как
Э, = ~ j <r (е - «„)d/ - j u’p dv - j u’P dS, (7.14)
Ve	Ve	Se
i-| о, e — векторы напряжений и деформаций; е0 — вектор на-
«п|1.ных или нестесненных температурных деформаций; р, Р —
Бкторы удельных объемных н поверхностных нагрузок; Ve —
ufti.cM элемента; Se— поверхность граничного элемента, яв-
дикощаяся частью поверхности тела S, на которой задаются
।омические граничные условия (если элемент е не прилегает
I грлиице, то Se = 0). В случае трехмерного элемента в мест-
ной системе координат £, ?], £ будем иметь
= (сЕа„а£тЕ,гкт^),
ет =	.
РТ = (Р«ЛЛ|, MWtl. в’=(иош|-
HrjKrop температурных деформаций при иагреве тела до темпера-
туры Т (£, т), £) будет ej = аТ {111 ООО} .
j Далее напряжения выражаем через деформации на основании
гнппа Гука (1.13), а деформации — через перемещения на осно-
импии соотношений Кошн (1.3). В результате, используя матрич-
ную форму записи, будем иметь
О = Л[8-Е0], 8 = РЙ,	(7.15)
ini- А — симметричная матрица коэффициентов упругости (Ат —
- A), a D — линейный дифференциальный оператор (матрица).
Пппример, в случае плоского напряженного состояния для на-
iprroro двумерного изотропного элемента:
					[еЕ1			[1		
“=			<*ч	, е =	«ч	. ©о	== аТ	1		
					Ivsn			0		
		I	Н	0 "			“ д ав	0		
А	Е	р	1	0		О =	0 -	д		•	(7.16)
	 -Ра			1-Н				а>)		
				2			д	д		
								di		
1 учетом (7.12), (7.15) полная потенциальная энергия элемента
(7,14) записывается с точностью до несущественной коистаиты
287

через компоненты вектора представляющие обобщенные пг^о
мещения данного элемента:
э.=4-(/)’к;₽'-(л>т/”.
№= J(/W)’.4ZWdy,
(it
Р‘ = J (РСуЛе0.^+ J (£/)’pdV+ j U'PdS,
V«	vs	sc
где Де является квадратной симметричной матрицей жестгахф
элемента порядка Nei Рг — вектор обобщенных сил, действуй
щих на элемент е и соответствующих вектору обобщенных ncji •
мещений ре. Первый член в выражении (7.17) для Р* представлчВ
собой вектор эквивалентных обобщенных сил, с помощью котори»
данному элементу можно было бы сообщить деформацию, равпу»
начальной или нестесненной температурной деформации е0; ц
лее этот член будем обозначать через Р*.
Далее полная энергия элемента (7.17) преобразуется в гл,
бальные обобщенные перемещения в узлах данного злемспЪ
(вектор ге) с помощью соотношения (7.9);
Зв = ~(г‘)’^г‘-(гТРе,
P
К. = (СТ К°се, R' - (ст р‘-
После этого с учетом (7.8) путем суммирования по всем злекЯ
там записывается полная энергия (7.13) всей незакрепленной |ецц
бедной) конструкции
э — -^-ГеКсГс — r'Rc;
ЕС'/СЯ'.
(71
где и Рс — представляют симметричную матрицу жесткое^
и вектор обобщенных сил для системы в целом. Матрица жеЛ*
кости свободной системы Хе> как и матрицы жесткости отдельны |
элементен является вырожденной. Свободная система моя» I
воспринимать только самоуравновешенные нагрузки; при этим
ее перемещения (вектор ге) могут быть определены только с то*
ностью до перемещений системы как твердого тела.
Согласно формулам (7.19) матрицу и вектор /?с удобпу
формировать в процессе последовательного вычисления матриц А
и векторов разнося и добавляя нх элементы в соответствуй
щне места, которые определяются по расположению обобщенны!
перемещений данного элемента и системы в целом (эти меп
Ж
Ц.1ВЗЮТСЯ матрицей Ее, ге = Еегс). Для систем высокого порядка
^К’лыо экономии рабочего поля ЭВ/М и удобства автоматизации
^Ьшслений желательно расположение элементов вектора г{.,
f Ч лнруемого из векторов ге, выбирать таким образом, чтобы ма-
К>|‘1 । Кс. имела ленточный вид, т. е. чтобы ее ненулевые элементы
Кг полагались вблизи диагонали.
| Из условия минимума полной энергии системы (7.19) оЭ ~
Я Лгс (Кегс — Дс) — 0 получаем уравнение
КеГ, - Re-	(7-20)
 матричное уравнение представляет собой систему уравнений
Ьоновесня узлов. Если в определенных узлах по каким-либо
Кргмещениям система закреплена, то соответствующие компо-
Кнты вектора гс приравниваются нулю и он преобразуется в век-
i.p г согласно (7.10). При этом из вектора А*, вычеркиваются
известные реакции закреплений и on обозначается соответст-
ш ю через R; аналогично (7.10) имеем R — ECRC
| Таким образом для закрепленной системы уравнение (7 20)
1вре.ходит в следующее:
Kr = R,	(7-21)
матрица жесткости закрепленной системы К получается из
I ширины К с путем вычеркивания в последней строк и столбцов,
К гветствующих нулевым компонентам перемещений в узлах!
К EJKeEl. Вычеркнутые уравнения могут быть использованы
<ли определения реакций закрепления. Матрица жесткости за-
.осиленной системы является невырожденной и система уравнений
К 21) имеет единственное решение относительно г.
Г Уравнение (7.21) для закрепленной конструкции можно по-
I лучить непосредственно из условия минимума потенциальной энер-
Ьии, если учесть наложенные на систему связи (закрепления).
Подставляя в (7.17) соотношение (7.11), записанное с учетом свя-
и-й. и суммируя согласно (7.13), получим
э = —r'Kr - r-’R,
К = S («Т к,а‘, R = Е(«Т Р*
(7.22)
Из условия 63 — 6г' (Кг — R) = 0 следует уравнение (7.2!).
После решения уравнения (7.21) далее по приведенным выше
формулам могут быть определены деформации и напряжения в эле-
ментах системы.
7.4. КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Конструктивно-силовые схемы основных агрегатов ле-
тательного аппарата (см. рнс. 7.1—7.5) включают как стержневые
(стержни, балки, пояса), так и тонкостенные элементы (гладкие
10 И Ф 06pfiSQos к др-

(тонкостенные стержни, стенки,
него состояния. Тонкостенные
Ряс. 7.7. Конечный элемент *
пояса:
« — узловые перемещения: и
вне силы: о — ряспредсление ш> м
хцения ио длине элемента: е. д (
И«к. образующие матрицу О*; 
температурные узловые емм
и подкрепленные палилиfl
шнеки, стенки nanniylH
лонжеронов si нервюрИ( ь
ионное напряженное confl
ние тонкостенных злемсиИ
будем считать безмоме1гп1<|
(см. гл. 4). В пределах intl<
расчетной сетки кривиыю!
элементов, а также изм«
нием их геометрические
жесткостных параметронИ
дем пренебрегать. В эш
случае конечно-элементи
модель конструкции состоя
ляется из прямых и плоски
КЭ постоянной жестксмА
работающих в условиях и|
ноосного (пояса) и плоск/Л
элементы обшивки) напряжм
элементы могут иметь фори
трапеции, прямоугольника н треугольника. В данном разд*
для конечных элементов указанного типа применительно к ра
личным моделям МКЭ будут рассмотрены наиболее употребите!
ные аппроксимации искомых функций и получены соотношеви
относящиеся к КЭ и необходимые для построения вычислительна
процедуры метода.
Поясом, будем называть зле.мент, работающий в состоянии
одноосного растяжения-сжатия. Поясом можно моделирор|И
ребра жесткости, пояса шпангоутов, лонжеронов и нервюр
Заданы следующие параметры пояса (рис, 7.7): F — площадь
поперечного сечения^ I — длинам Е— модуль упругости! е0
= аТ (|) — температурная деформация. Объемные и поверхно
стные силы отсутствуют.
Матрицы, введенные в разд. 7.2, в данном случае принимают шш
«==«(£). о^а(|), 8 = 8©,
А = Е, D=^-.
Векторы перемещений и сил в узлах элемента имеют вид (см.
рис. 7.7, а, б)

УЬ|>< мещеиия вдоль координаты В аппроксимируются по линей»
Key закону (см. рис. 7.7, в). Аппроксимирующая формула (7.12)
»|..шимает вид
«К) = U-i II	(723)
\uk)
tb
£=£//__ относительная координата. Функции, образующие
К|рнцу U и соответствующие единичным перемещениям узлов,
I |||1<<1заны на рис. 7.7, г и д.
 Используя формулы (7.17), получим:
 матрицу жесткости пояс®
I	=	(7.24)
»1тор эквивалентной температурной нагрузки
Г	=	(7.25)
Вели аТ = const, то
7»J = Efa7’{~ *}.
Ьи силы показаны и® рис. 7.7, е.
J В соответствии с (7.15) напряжение в поясе найдем как
n=4i-l
или	-----аТ).
I ели аТ = const, то и с = const.
Формула (7.9) преобразования
струкции по направлениям с, Ь,
к перемещениям узлов кои»
и (рис. 7.8) принимает вид
Пк
(«Л ГС, 01 (га
W [о cJlnJ’
|де С, — jeos (I. c,)cos(s, 6.) X
X cos (s, л8)(,
r.-IVWb «“/Л
Треугольный тонкостенный
элемент, работающий в условиях
Рис. 7.8. Главные направлении, задан-
ные в узловых точках пояса
aj
10*
291

плоского напряженного состояния, задается узлами /, k, I и им*и
следующие параметры (рис. 7.9): 6 — толщина стенки! Е — ми
дуль упругости i р — коэффициент Пуассонам Т (|,т|) — темпер»
тура. Объемные и поверхностные силы отсутствуют. Геомегри»
элемента задана координатами узлов в местной системе коордн
иат £. tj.
Матрицы, введенные в разд. 7.3, в данном случае принимаИ
вид (7.16).
Векторы перемещений и сил в узлах элемента (<-м
рис. 7.9, а и б):
(р‘)т =	= (или* % щ uj, (7.йц
(/”)’ = {Ptphp,\ = ИЛ
Вектор перемещений содержит шесть компонент. Для устаноыв
иия однозначной зависимости типа (7.12) выражения для перс
мещеннй должны также содержать шесть параметров. Аппрокси
мируя перемещения по линейному закону, примем
«(5>ч)з“а1 + “^ + “Л.	J
«(В. Ч) = «з +	(7'27Ч
Параметры а,... а„ являются пока неизвестными. Подставляя!
в (7.27) координаты точек j, k, I, получим шесть уравнений, спя
зывающих компоненты вектора р' с параметрами а, ... а„:
«, = а,, Оу = аъ, ик = а, + a,fs,
t’ft = «• + а&и, и, = а, + a.Sj 4. а6Т|(,
»i=as + «4Bi + «e4i.
Решая эту систему, найдем параметры а,... а„. После
подстановки их в (7.27) получим аппроксимирующие выражс-
292

• для перемещений, которые в развернутой форме имеют
u = Ц— 41 (5 - 5i) - 5»i (4 ~ 41)1 “J +
+ 1416-Ь41 Ui. + U4«i).	(7.28)
о =	|[— 4i (5 — 51) ~ бы (4 — 41)1 V1 +
+ 1416- Si4l пд + Ьда!.
| 2S = BhTji — удаоеиная площадь треугольника? £А/ =	—
L-
11о формулам Коши определим компоненты деформации:
Ц = -|г = ng- (— 41«, +4i“*) = "ЗГ 41 (“д - “/)•
ц, =	= -gj- (— Ь|Ч/ — 51й» + Е*чг)»
—^*,U/ — ^'U* + ^hU' ~ ri,Vl + 41°ь)-
сюда с учетом того, что
e = (,DU)p‘,
,учим
-% О	4(	0	0
О —5м 0	-5! О
_ - 5ы - 41 - 51 41 5ь
О 
5*
о
(7.29)
прицу жесткости найдем, подст авляя (7.16) и (7.29) в выражение
17) для Ki. В соответствии со структурой векторов (7.26)
трицу жесткости запишем в блочном виде:
£в
4S (1 - р«)
kid
(7.30)
41 + Ш1 J
(Х + р)5ы411
(^ + p)5»i4:1
ТГ+М J’

№ =

khk ku <
klh kll
*'‘ft = [“^Г+Й)Т4?Г й + M J ’
_	I 0 1
b.. =  !  - .
293

kjk —
— +	’ — №,kMi 4-
.4/4/ ~ рЕл/Ч/1 lklrii — b]z

—	J
. — Чкч» i
- нЬч/|
~&&U j
[— M*li I нЬлк 1
khi = I -----	• ----- ,
L ШЧ/1 ~ l&J
kkl = k}k\ ksi= jfe/f. bib = kkl.
Здесь к - (1 — p)/2.
^Получим выражение для вектора эквивалентной гем пера гу<
ной нагрузки. В случае плоского напряженного состояния (7 11
с учетом (7.29), а также (7.17) найдем
(ро)т ~2S~(fl~F)~ f аТ 1“ тм! — bft/14i! ~ & {0 j £4 Л]. I
Если аТ = const, то
И)’ = V(T6!rr 1-’i'i - Ь>!n<I - Ы0|Е4.
Система сил, соответствующая этому состоянию, изображен
в относительных единицах на рис. 7.10. Отметим, что эта систгмв
сил является самоуравновешеиной.
Если перемещения узлов известны, напряжения в элеменЛ
находятся по формуле (7.15) с учетом (7.16), (7.29). Форму и..
(7.9) преобразования перемещений узлов к главным намравлЯ
ниям at b, п (рис. 7.11) принимает вид
294

рис. 7.12. Перемещения (о) и силы в узлах прямоугольного элемента
г'•=£)•
Г cos (8, с,) cos (8, b,} cos (8. я,)"!
[cos(ч, a,) cos(t|, b,) cos(i), BjJ
(7.31)
Индекс s здесь принимает значения J, k, I.
Прямоугольный тонкостенный элемент, работающий в усло-
виях плоского напряженного состояния, задается узлами /, к,
I, т и следующими параметрами (рнс. 7.12): о — толщина
ггенкщ Е, 6 — модули упругости! р — коэффициент Пуассона!
В, Ъ — размеры сторон! Т (Е, р) — температура.
Матрицы, введенные в разд. 7.3, в данном случае совпадают
е (7.16). Векторы перемещений и сил в узлах элемента имеют вил
(< м. рнс. 7.12, а, и б):
(₽')’ = {PiPkpiPm\ = (и/О/ПАилил!, (7.32)
(РУ = \Р.РкР,Р„\ =
Перемещения на элементе аппроксимируются по линейному за-
кону. Матрица U в формуле (7.12) в этом случае примет вид
Г(1-8)(1-п)|	0	'8(1-1»! О :Й|0|(1-8)1 i)0 I
u L о i(I-8)(l-i»l 0 18(1—Ч)|О|8п1 О 1(1—1)4.1
(7.33)
Здесь введены относительные координаты f = 8/6, т) = т)/о.
Величины деформаций можно найти по формуле
в = (/>(/)/>',
где DU =
-Л(1-Ч) О X (1-ij)
о -(I-й о
-(1-й -М1-П) -8
о М) о!—м) о
-8 0 81 0 (1-8) ,
MI-Й) 8 «i|(i-8) -Mi
>. я» а/Ь.
(7-34)
295

векторов (7.32) матрп
Матрицу жесткости найдем по формуле (7.!7) с учетом (7.111) »
(7.34). В соответствии со структурой
жесткости запишем в блочном виде
где Лл =
	&fi fcjtn	
	&fem	
		
	&rnl	
r2(a + P)i	1	Г 2(a + ₽) J 	,	1	=	J-		
^тгп —
I V I- V I 2 (₽ F «) j
2 (a + P) j — (V + V) I
~(V+ 7) ! 2(₽ F“) J
Г— 2a -) ₽ I y — y 1
L ~7 + 7 ! ₽ 2aJ

— (jj- Yl
,-(7 + V) i 2 (₽ + «)’
2<“ + Й; v + v 1
kjk ~
L Y_FV «2(Р+а)
а —20 — y + Y 1
— 2₽ т а.
&km ~~~
kjm —
L— (v + v) Г a — 2P j	i (7 + V) ! ₽-« T - - У I	I r =	Г- a —₽	7-*-V |
			L v+v 2a -|~ P	— P-a ] — v + Vl
L—v+v ;	— 2₽4 a J		7-V	p-2a |
kfo} —- fcjki &lj — &ik — kkh
kmj — kfmi &mk — &kmi ktnl “ &lnvt
		p£6
6(l-p«)’ P ’6A(1— p) ’	? —	4(1- Ji*)
-	G6>. s G6	06		E
“=-6-- ₽=«;> 7 = -^-.	G =	2 (1 + H)
(l-t)iX(l-n)
Получим выражение для вектора эквивалентной температурной
нагрузки. С учетом (7.16), (7.17) и (7.34) найдем	]
X Ат); |— lij = (1 — § | аТ dldi[.
Если аТ — const, то
(Pi)T=	Ц
Самоуравиовешенная система сил, соответствующая этому со
стоянию, изображена в относительных единицах на рис. 7.13
Если перемещения узлов известны, иапряжения в элемент*
находятся по формуле (7.15) с учетом (7.16) и (7.34).
296

И 7.13. Самоуравновешенная систе-
К । i-м перату рных узловых сил прямо-
угольного элемента
Рис. 7.14. Главные направления в узле
прямоугольного элемента
I Формула (7.9) преобразования перемещений узлов к главным
Hfuipявлениям a, Ь, п (рис. 7.14) принимает вид
7.5. ПРИМЕНЕНИЕ МКЭ К РАСЧЕТУ ТИПОВЫХ
АВИАЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
В настоящем разделе рассматривается применение раз-
личных моделей МКЭ к расчету иапряжеяно-деформнрованного
]м»стояиия некоторых конструкций авиационного типа, причем
наряду с иллюстрацией возможностей метода раскрываются
пкже дальнейшие стороны процедуры МКЭ, в частности, опере-
нии, связанные с построением разрешающих систем уравнений
и учетом кинематических граничных условий.
7.5.1. Плоские иодкреилеиные конструкции
Рассмотрим конструкции, состоящие из плоской
стенки, подкрепленной в двух направлениях ребрами жесткости.
В тонкостенных элементах реализуется плоское напряженное
состояние, а ребра жесткости работают в условиях одноосного
рпстяжения-сжатня. Такая расчетная модель описывает работу
цепочных шпангоутов, силовых нервюр и лонжеронов, а также
панелей грузового пола, крыла и оперения.
Перемещения всех узлов конструкции, включая перемещения
па той части поверхности, где заданы кинематические граничные
условия, запишем в виде вектора (7.1). Подвектор перемещений
297

rf узла j в случае плоских безмоментных конст
вид
(Г)У » |“Л).
где tij, Uj — перемещения узла / соответственно по направлении-*
alf bj (рис. 7.15). Направления а/, bf выбираются с учетом о(&
бенностей конкретной задачи. В тех узлах’ где заданы условий
статического типа (узел j на рис. 7.15), направления ctj,b} следуй
согласовывать с линиями сетки или осями глобальной систсмц
координат х, 2. В узлах, где заданы однородные кинематически»,
условия типа жестких связей (узлы kr I, «на рис. 7.15), оси aJt If
должны совпадать с направлениями заданных нулевых переме-
щений, т. е. с направлениями жестких связей. Это требований
желательно выполнить также на той части границы, где задачи
неоднородные кинематические условия. Например, если на участЯ
АВ перемещения в направлении оси z заданы функцией v (х), Тн
для узлов, расположенных на этом участке, одно из главных н>
правлений следует выбрать совпадающим с осью z. ПереьЯ
щениям узлов, расположенным на участке АВ, приписываются
значения функции v (х) в точках расположения узлов (например,
перемещения vt в узле I на рис. 7.15). Такой способ воспронзпВ
дення кинематических условий означает, что вместо заданной
функции v (х) при расчете будет использоваться ее кусочноли*
манная аппроксимация, построенная на конечно-элементной сетка
(пунктирная линия на рис. 7.15).
Пусть вектор гс, как условлено выше, содержит заданные н
неизвестные перемещения. Преобразуем систему (7.20) к виду,
где будут содержаться только неизвестные перемещения. С этой
целью представим вектор гс в форме
ft ~(7.36)
298

В r„ - заданные перемещения, отражаюпще граничные усло-
Kj«| rb — неизвестные перемещения. В соответствии с (7.36) за-
<• тем (7 20) в блочном виде
ГЯ-ао ЯсЬ1
КааГа + Katfb = Ra,	(?-37)
Л"ь«го 4- КыГъ = Къ-	(7.38)
ИЦ (7.38) получаем систему уравнений относительно неизвестных
 •1> мещений гъ:
Khb гь = Rb 4- <	(7.39)
Вдг Rb — — KbaT<t — вектор сил, действующих по иаправле-
ih перемещений гь и обусловленных наличием заданных пере-
Кш -ний га. Решение уравнения (7.39) запишем в виде
г6 = Яы,’(«» + «»)•	(740)
Ипсле этого на основании (7.37) можно определить реакции
П„ действующие по направлению заданных перемещений (в том
Кисле в жестких связях). В частном случае, когда га = 0 (т. е.
Br конструкцию наложены только жесткие связи), имеем
Я6“ = 0, Гь = Ku'Rb. На = КоЫь.	(7.41)
Необходимым условием существования решения уравнений (7.39)
мляется наличие наложенных на конструкцию связей, исключа-
f «мцих по крайней мере возможность перемещения конструкции
Кик твердого тела. Если это условие не выполнено, матрица Кы,
Ьвляется вырожденной и обратная матрица Кьь не существует."
7.Б.2. Конструкции типа крыла
Типовая конструкция несущей поверхности летатель-
Ьюго аппарата (крыло, оперение, руль) представляет собой под-
' крепленную тонкостенную оболочку, образованную двумя по-
I перхкостями обшивки, соединенными перекрестной, в общем
случае неортогональной системой продольных и поперечных
I тонкостенных балок — лонжеронов и нервюр (рис. 7.16). Сре-
динная поверхность конструкции типа крыла может быть искрив-
ленной. Обшивка обычно подкреплена ребрами жесткости в од-
I пом или в двух направлениях, совпадающих с направлениями
балок-стеиок. Возможно наличие балок-стеиок, не совпадающих
с двумя основными семействами подкреплений («наклонные»
пояса и стенкн). Достаточно широкое распространение получили
конструктивно-силовые схемы типа трехслойных конструкций,
299

и
Рис. 7.16. Типовая конструкция крыла
в которых роль стенок выполняет заполнитель, а обшивка мо
жет быть либо гладкой металлической, либо выполненной из ком*
позиционных материалов. Существуют такие комбинированные
конструктивно-силовые схемы, в которых сочетаются традиция
оиные металлические конструкции с элементами из композит!-]
онных материалов и трехслойиых конструкций.
Для большинства задач прочности конструкций типа крыла
можно считать, что тонкостенные элементы работают в условиях
плоского напряженного состояния, а подкрепляющие элементы I
(ребра жесткости, пояса балок) — в условиях одноосного растя-
жения-сжатия. Металлические подкрепленные элементы и эле-
менты из композиционных материалов можно моделировать!
ортотропными и анизотропными пластинами. С позиций инженер-
ных расчетов достаточно точной расчетной моделью легкого за-
полнителя может служить система перекрестных стеиок, работа-
ющих на сдвиг. Поскольку строительная высота крыла значи-
тельно меньше, чем размеры крыла в плайе, можно пренебречь
деформациями крыла по направлению нормали к срединной по-
верхности и считать, что стержни, расположенные в плоскостях
лонжеронов и нервюр и соединяющие верхнюю и нижнюю об-
шивки крыла, являются абсолютно жесткими.
Конечно-элементная сетка, которая в данном случае будет
пространственной, образуется двумя идентичными сетками ли-
ний, наносимыми на обе поверхности обшивки крыла. Линии
сетки, как правило, располагаются вдоль основных конструк-
тивно-силовых элементов: лонжеронов, нервюр, ребер жесткости. I
Точку пересечения линий сетки на одной поверхности кры-
ла будем называть узловой точкой, а абсолютно жесткий
стержень, соединяющий две соответствующие узловые точки
на верхней и нижней поверхностях —узлом конструкции
{рис. 7.17).
Как и в случае плоских конструкций (см. разд. 7.5.1), пере-
мещеиия всех узлов, включая также заданные, запишем в виде I
300

вектора (7.1). Подвектор Гу узла / в данном случае составим в
виде
Г/= {«/U/W/tpa/Cpbjl,	(7.42)
где uJt Vj, Wj — поступательные перемещения узла / соответ.
ствеино по направлениям bJf rij, a qaj и Фь/ — повороты узла /
относительно осей а} и fy (см. рис. 7.17). При выборе главных иа’
правлений aj, bj, п} следует руководствоваться указаниями, дан-
ными в разд. 7.5.1. На рис. 7.18 показаны примеры жестких
связей, которые могут быть наложены иа узел конструкции по
направлению перемещений (7.42). Перемещениям (7.42) соответ-
ствуют обобщенные силы
К}=\А}В^Ма1МЬ1\.	(7.43)
Кинематические соотношения между перемещениями угловых
точек и перемещениями узла (см. рис. 7.17) имеют вид
= «у ~2~ Hffbh uj 2~ ^№>1*
vu == t/у	Z7уф«л vzj vi 2~
Рнс. 7,18. Типы связей, накладываемых на узел
301

где Hj — высота стенки в узле /, а индексы 1 и 2 указывают ни
г, = «;Г/е
где вид матриц г} и ясен из (7.44). Внешние силы в узловых I
точках в соответствии с Г/ запишем в виде
Л/ =
Тогда
Rf = a^R,
или после подстановки матрицы из (7.44)
Aj ~ Ац AZjr Bj = Bl} Bzjr
N^Nv + Ntf, =	(7.45)
Отсюда окончательно становится ясным физический смысл обоб-
щенных сил (7.43): А}, Bj, N}— суммарные силы, действующие
на узел соответственно по направлениям перемещений щ, v]t
W/l Мы — моменты  сил, действующих на узел, относи-
тельно осей а} и bj.
Преобразование (7.44) используется при построении матрицы
жесткости конструкции и векторов нагрузок. Способ учета кине-
матических граничных условий рассмотрен в разд. 7.5.1. Разре-
шающая система уравнений Кг ~ R, являющаяся системой урав-
нений равновесия узлов в перемещениях, имеет решение, если
конструкция закреплена от перемещений как жесткое целое
тело.
7.5.3. Конструкции типа фюзеляжа
Рассмотрим применение МКЭ в перемещениях к рас-
чету оболочки, подкрепленной стрингерами и шпангоутами.
Примем следующие допущения: 1) обшивка является безмомент*
302

7
a)
Рис. 7.19. Фрагмент подкрепленной оболочки (й: i — обшивка; 2 — шпангоут;
3 — лонжерон) и его конечно-элементное представление (б)
ной1 2) стрингеры работают в одноосном напряженном состоянии
на растяжение-сжатие (эксцентриситетом стрингера по отношению
к обшивке пренебрегаем, считая, что ось стрингера совпадает
с срединной поверхностью обшивки): 3) шпангоуты моделируются
искривленной рамой (тонкостенной балкой), воспринимающей
растяжение-сжатие, изгиб и сдвиг? 4) деформацией элементов
оболочки по направлению нормали к срединной поверхности
пренебрегаем, что позволяет считать стержни, расположенные
вдоль нормали и соединяющие наружный и внутренний пояса
шпангоутов, абсолютно жесткими. Если необходимо учитывать
работу продольного подкрепляющего набора на изгиб (в случае
наличия усиленных стрингеров или продольных балок), то такие
подкрепляющие элементы моделируются тонкостенными балками
и поясами-, работающими на растяжение-сжатие.
Линин расчетной сеткн, наносимой на оболочку, совмещаются
с плоскостями подкрепляющих элементов. Точку пересечения ли-
ний сетки будем называть узловой точкай, а абсолютно жесткий
стержень^ расположенный по нормали к оболочке и ограниченный
осями наружного и внутреннего поясов шпангоута —- узлом кон-
струкции. Если безмоментиая оболочка является гладкой, то
узловая точка принимается за узел конструкции. В пределах
шага сетки искривленные элементы заменяются прямыми и пло-
скими На рис. 7.19 показан фрагмент исходной подкрепленной
оболочки и ее конечно-элементной модели. На рис. 7.20 показана
схематизация без моментной гладкой оболочки с помощью треу-
гольных КЭ.
Оси главных направлений а}> bSt П}* узле выбираются таким
образом, чтобы направление Щ совпало с нормалью к оболочке.
В узле, где пересекаются продольные и поперечные балки под-
крепляющего набора (узел / на рис. 7.19), вектор перемещений
узла, имеет вид (7.42). В узле» в хоторс»к изгибин жесткость обо-
303

Рис. 7.20. Расчленение гладкой оболоч-
ки на конечные элементы
лочкн создается только шпан-
гоутом (узел k на рис. 7.19),
вектор перемещений узла
имеет вид
, г k = {UkVkWk4>ak | •	(7.46)
Перемещения узла безмомент-
ной оболочки (см. рис. 7.20)
записываются в виде век-
тора
rl =
Задача сводится к системе i
линейных алгебраических
уравнений Кг — R, являю-
щихся уравнениями равнове-
сия узлов в перемещениях.
Система уравнений имеет
решение, если иа конструкцию наложены жесткие связи, ис-
ключающие возможность ее перемещений как твердого
тела.
7.6. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ МКЭ
Исследование точности приближенного решения за-
ключается в выявлении источников погрешностей, анализе ве-
личин погрешностей, условий сходимости и скорости сходимости
решения. Важным прикладным результатом такого исследования
являются рекомендации по регулированию точности решения
задачи доступными для расчетчика средствами. Курс теорети-
ческого анализа погрешностей и условий сходимости рассматри-
вает фундаментальные свойства математической модели и способ
численной реализации решения. Если решаемая задача или
вычислительный алгоритм достаточно сложны и свойства мате-
матической модели в связи с этим известны лишь приближенно,
теоретические оценки точности могут оказаться неполноценными.
В таких случаях на практике теоретический анализ дополняется
численным экспериментом, который выполняется либо с помощью
исходной, либо упрощенной задачи, отражающей основные осо-
бенности рассматриваемой конструкции и ее нагружения. Цель
такого эксперимента заключается в том, чтобы выбрать типы ко-
нечных элементов и параметры расчетной сетки, которые обеспе-
чили бы достижение заданной точности на расчетной модели
минимальной размерности. При планировании численного экспе-
римента и для подтверждения достоверности его результатов при-
влекаются известные теоретические решения и экспериментальные
данные. План проведения численного эксперимента устаиавли-
304

ается в зависимости от особенностей конкретной задачи. В настоя-
щем разделе рассмотрены вопросы теоретического анализа точ-
ности МКЭ.
7.6.1. Источники погрешностей
Погрешность решения складывается из неустранимой
погрешности, погрешности метода и погрешности вычислений.
Рассмотрим характер этих погрешностей применительно к
МКЭ.
Неустранимая погрешность является количественной харак-
теристикой несоответствия расчетной модели явления по отноше-
нию к самой конструкции. Это несоответствие обусловлено, с од-
ной стороны, неточностью данных о параметрах задачи, а с дру*
гой — упрощениями, вносимыми иа этапе формирования расчет-
ной модели. В данном случае к числу таких упрощений можно от-
нести следующие: 1) допущение о безмоментном напряженном со-
стоянии тонкостенных элементов; 2) аппроксимация искривлен-
ной поверхности конструкции плоскими КЭ; 3) замена поперечных
сечений элементов сложной формы на более простые. Неустрани-
мая погрешность не контролируется в процессе численного реше-
ния задачи, ее можно уменьшить только за счет более точного опи-
сания исходной задачи и ее параметров. Знание величины неустра-
нимой погрешности позволяет выработать обоснованные требо-
вания к необходимой точности решения на последующих этапах.
Так, очевидно, не следует добиваться численного решения с по-
грешностью, существенно меньшей, чем величина неустранимой
погрешности.
Погрешность математической модели МКЭ (погрешность ме-
тода) возникает вследствие того, что искомая функция аппрокси-
мируется с помощью конечного числа координатных функций.
В МКЭ координатные функции являются локализованными и опре-
делены на ячейке расчетной сетки. Поэтому величина погрешности
метода зависит как от качественного соответствия координатных
функций искомому решению, так и от параметров сеткн (шаг,
форма ячейки). Качество координатных функций оценивается по
полноте используемого набора координатных функций и выполне-
нию условий совместности для смежных КЭ на их общих грани-
цах. Для метода перемещений доказано, что при уменьшении
шага сетки во всей области, занятой телом, теоретическую сходи-
мость решения МКЭ к точному решению можно гарантировать
только в том случае, если набор координатных функций будет
полным, а сами они обеспечат выполнение условий совместно-
сти для смежных КЭ. Смысл этих требований будет уточнен
в разд. 7.6.2.
Погрешность вычислений складывается из ошибок округления
при арифметических действиях над числами, которые представ-
лены в ЭВМ с конечным числом разрядов. Ошибки округления
305

возрастают прн увеличении раз-
мерности задачи в связи с возра-
станием числа арифметических
операций.
Влияние ошибок округления
иа погрешность вычислений су-
щественно зависит от обусловлен-
ности разрешающей системы ли-
нейных алгебраических уравнений
мкэ.
Проиллюстрируем возможный
характер изменения погрешностей
в зависимости от качества коор-
динатных функций и размерности
задачи. На рнс. 7.21 приведены
кривые изменения погрешностей
метода (А, В) и суммарной по-
грешности (С', Р') в зависимости
от числа КЭ. Разность между кри-
выми С" и А (или Г>’ и В) равна
погрешности вычислений. Кривая А соответствует использованию
совместных КЭ, обеспечивающих сходимость к точному решению;
кривая В — использованию несовместных КЭ, когда сходимость
к точному решению не гарантируется. Кривые С' и D' соответст-
вуют случаю, когда погрешности метода и вычислений совпадают
по знаку; в противном случае имеют место кривые С" и D". Из
рнс. 7.21 следует, что не всегда нужно стремиться к расчленению
тела на максимально возможное число КЭ, так как минимальной
суммарной погрешности можно достичь при ограниченном чис-Г
ле элементов.
7е6»2< Сходимость МКЭ
Теоретическая сходимость решения к точному опре-
деляется погрешностями метода. Важной характеристикой про-
цесса решения является также скорость сходимости. Если ско-
рость сходимости высока, то удовлетворительное решение можно
получить уже на достаточной грубой сетке.
Метод конечных элементов в перемещениях является вариантом
метода Ритца, специфика которого заключается в использовании
локализованных координатных функций. Обычно сходимость ме-
тода Ритца рассматривается в энергетическом смысле и оцени-
вается по приближению величины полной энергии системы (7.13)
к ее точному значению.
Определим понятие предельного облика конечно-элементной
модели. Номер приближения будем связывать с общим числом
используемых координатных функций. Будем считать, что число
координатных функций может меняться лишь за счет изменения
эог

числа КЭ (т. е. изменения шага сетки); число функций, заданных
на одном КЭ, остается неизменным. Пусть также с увеличением
номера приближения шаг сетки уменьшается. Тогда предельным
обликом конечно-элементной модели тела будет такой, в котором
число КЭ, равномерно распределенных по области тела, неограни-
ченно возрастает. В пределе решение МКЭ сводится к точному
значению, если будут выполнены следующие условия:
1. На общих границах смежных КЭ координатные функции
должны обеспечивать непрерывность функции перемещений и
всех ее производных, порядок которых по крайней мере на еди-
ницу меньше порядка старших производных, входящих под знак
интегралов в выражении энергии деформации. Этим условием
устанавливаются необходимые требования к гладкости коорди-
натных функций в соответствии с принципом возможных переме-
щений.
В задаче теории упругости, в интегралах энергии наряду
с функцией перемещений содержатся только ее первые производ-
ные. В этом случае высказанное выше условие принимает следую-
щую формулировку: иа общих границах смежных КЭ координат-
ные функции должны обеспечивать лишь непрерывность переме-
щений. Внд координатных функций, удовлетворяющих минималь-
ным требованиям гладкости, и их первых производных показан
на рис. 7.22, откуда следует, что на границе КЭ первая производ-
ная от функции перемещений (т. е. деформация) терпит разрыв
первого рода.
Дифференциальные уравнения теории изгиба пластин имеют
четвертый порядок, и в функционал энергии входят вторые про-
изводные от перемещений. В этом случае уже требуется непрерыв-
ность не только перемещений, но и их первых производ-
ных.
Вообще для задачи, описываемой дифференциальными урав-
нениями порядка 2m, решение необходимо искать в классе функ-
ций, обеспечивающих на границе КЭ непрерывность производных
до порядка m — 1 включительно. Конечные элементы, для ко-
торых настоящее условие выполняет-
ся, являются совместными. В про-
тивном случае элементы являются
I ^совместными.
2. Координатные функции долж-
ны обеспечивать перемещения КЭбез
деформации как твердого тела, а
также постоянную деформацию. По-
стоянная часть деформации является
основным компонентом поля дефор-
маций — при неограниченном умень-
шении размеров КЭ переменная часть
деформации в пределах конечного
элемента неограниченно уменьшается
Рис. 7.22. Функции, аппрокси-
мирующие перемещения, и ия
производные
307

ио сравнению с ее постоянной частью. Это условие отражает
свойство координатных функций образовывать волную систему
функций. Требованию полноты системы функций в указанном
смысле удовлетворяют функции в виде полных полиномов ко-
нечной степени.
Для оценки скорости сходимости установим зависимость по
грешности решения от характерных параметров задачи и ее ко-
нечно-элементной модели. Пусть в качестве координатных функ-
ций используется полный полином степени р. Тогда согласно
теореме Тейлора погрешность аппроксимации искомой функции
перемещений пропорциональна величине (п//)₽+1, где а — ха-
рактерный размер КЭ (шаг сетки), I — характерный размер тела.
В задачах, описываемых дифференциальными уравнениями по-
рядка 2m, выражение для энергии содержит производные порядка
tn. Эти производные аппроксимируются уже с погрешностью,
пропорциональной величине (а//)₽+1“т. Поскольку в выражение
энергии входят квадраты производных, то погрешность в опре-
делении энергии, а следовательно, и самого решения будет равна
« = М (a/lf	(7.47)
где М — коэффициент пропорциональности. Отсюда следует, что
скорость сходимости зависит от параметра р, и поскольку (а/1) <
< 1, то чем выше р, тем выше скорость сходимости. При выбран-
ном параметре р точность решения регулируется с помощью
шага сетки. Уменьшая шаг сетки, теоретически можно достигнуть
любой требуемой точности.
7.6.3« Погрешности вычислений
Погрешности вычислений в основном возникают иа
этапе решения системы алгебраических уравнений МКЭ
Rr = R	(7.48)
» образуются в результате следующих причин:
 1) наличие неустранимой погрешности в исходных данных,
в связи с чем вместо системы (7.48) фактически решается система
(К + АК) г = R + А/?, где А/С и А/? — ошибки в определении
матриц К и /?;
2) погрешности округления чисел при выполнении арифмети-
ческих действий в ЭВМ на конечной разрядной сетке; в резуль-
тате вместо точного решения г получается решение г*, характери-
зуемое ошибкой е = г — г* или невязкой q — R — Кг*.
Обычно оба источника погрешностей присутствуют одновре-
менно. Их влияние на погрешность вычислений определяется
одним из фундаментальных свойств матрицы К, а именно — ее
обусловленностью. Мерой обусловленности матрицы является
число обусловленности С (К), которое можно определить как от-
ношение С (К) = MV, где и — соответственно
ЗОЯ

минимальное н максимальное собственные числа матрицы К,
определяемые из уравнения | К — КЕ | — 0. Если Xmln = 0,
г. е. С (К) = оо, то матрица К является вырожденной. Чем
больше число С (К), тем хуже обусловленность матрицы /(.
Роль числа обусловленности в погрешности вычисления про-
иллюстрируем на следующем примере. Наряду с системой (7.48)
рассмотрим другую систему, полученную изменением правой
части К (г + Ar) = Z? + А/?, где АТ? — ошибка в матрице /?;
Аг — соответствующая ошибка в матрице г. Пусть матрица /(
невырожденная. Тогда имеет место соотношение
II Аг || - р z II A/? II
«г|| <МА) |/?ц »
где ||ДЛ|/ЦЛ||- относительное изменение правой части; || Аг ||/]| г | —
относительная ошибка в решении, вызванная этим изменением;
| ... |] — норма вектора. Данное неравенство показывает, что
число обусловленности выполняет роль коэффициента пропор-
циональности в выражении для относительной ошибки решения.
Чем больше С (К), тем в большее число раз может возрасти по-
грешность вычислений по сравнению с погрешностью задания
правой части. Это же утверждение справедливо в отношении из-
менений Д/С в коэффициентах матрицы К.
Аналогично влияние числа обусловленности на величину по-
грешности вычислений, возникающей в связи с ошибками округле-
ния. Приблизительно можно считать, что десятичный порядок
числа С (К) равен числу десятичных значащих цифр, которые
теряются в процессе вычислений. Другими словами, для относи-
тельной погрешности вычислений в связи с ошибками округле-
ния имеет место следующая оценка:
6 =	~ 10-s С (К),	(7.49)
где s — число десятичных цифр, соответствующих разрядной
сетке ЭВМ.
В МКЭ число обусловленности можно связать с параметрами
сетки. При равномерной сетке
где А — число, зависящее от степени р аппроксимирующего по-
линома иа КЭ. Отсюда следует, что задачи более высокого по-
рядка (например, изгиб пластин, где m == 2) зависят в большей
степени от погрешностей округления, чем задачи более низкого
порядка (плоская задача теории упругости, т — 1).
Уменьшение шага сеткн, т. е. отношения all, с одной стороны,
приводит к уменьшению погрешности метода (7.47), а, с другой
стороны, к увеличению погрешности вычислений (7.49). Поэтому
при практических расчетах шаг сеткн следует выбирать иа основе
компромиссного решения с учетом оценок (7.47) и (7.49).
309

Существует также зависимость между числом обусловлена
ности и формой КЭ. Например, в случае плоской задачи теории
упругости для сетки с треугольными КЭ н с линейной аппрокси
нацией перемещений существует оценка
где amtn — минимальный угол треугольника. При amln ->0
обусловленность неограниченно ухудшается. Это связано с тем,
что при amln -> 0 процесс аппроксимации на треугольном КЭ
вырождается. Таким образом, следует избегать тех вариантов
сетки, в которых появляются удлиненные треугольные КЭ, со-
держащие малый угол.

ГЛАВА 8
ОСНОВЫ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА
СЛОЖНЫХ АВИАЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
8.1.	КОНСТРУКТИВНО-СИЛОВАЯ СХЕМА ЛЕТАТЕЛЬНОГО
АППАРАТА КАК ОБЪЕКТ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА
Планер летательного аппарата представляет собой ме-
ханическую систему, характеризуемую:
сложной геометрией н структурой;
возможностью расчленения (декомпозиции) по конструктивно-
технологическим или иным удобным признакам на подсистемы
(подконструкции) разных уровней — агрегаты, отсеки, эле-
менты;
значительным разнообразием подконструкцнй в геометри-
ческом и структурном отношении и наряду с этим — возможно-
стью выделения небольшого числа типовых элементов, из которых
могут быть построены все подконструкции;
взаимосвязью и активным взаимным влиянием подкоиструк-
ций, даже непосредственно не связанных между собой, в процессе
функционирования конструкции в целом.
Методологической основой исследования сложных объектов
является системный анализ, основанный на декомпозиции (рас-
членении) объекта на системы фрагментов различных уровней,
анализе этих фрагментов, описании связей между ними и синтезе
декомпозированных фрагментов. Применение системного анализа,
с одной стороны, позволяет построить более строгие модели функ-
ционирования и тем самым повысить эффективность создаваемых
систем, а, с другой стороны, дает основу для разработки эффек-
тивных методов и алгоритмов исследования, которые не только
обеспечивают выполнение заданных требований к достоверности,
информативности и оперативности исследований, но и способст-
вуют относительному снижению их трудоемкости и стоимости,
в частности, снижению затрат машинного времени н памяти ЭВМ.
В рамках системного подхода достигнуть этого удается за
счет:
возможности полного учета связей между фрагментами;
упрощения реализации вычислительного процесса благодаря
переносу основного объема вычислений на уровень фрагментов,
размерность и сложность математической модели которых можно
регулировать;
возможности маневрирования расчетными и математическими
моделями при описании фрагментов;

расширения фронта работ на стадии анализа фрагментов:
возможности не повторять всего объема вычислений при моди-
фикации одного или нескольких фрагментов;
возможности обоснованного упрощения связей между фраг-
ментами;
существенного снижения размерности задачи на стадии син-
теза.
Элементы системного подхода практически всегда сопутство-
вали решению задач строительной механики. Например, основу
вариационных методов, изложенных в гл. 1, составляет расчлене-
ние деформированного (или напряженного) состояния на кинема-
тически (илн статически) возможные формы с последующим син-
тезом решения на основе использования экстремальных свойств
энергетического функционала. В случае сложных комбинирован-
ных систем широко применяется структурная декомпозиция
на элементы, описываемые различными расчетными моделями,
с последующим синтезом на основе условий сочленения. В связи
с широким применением численных методов, ориентированных
на ЭВМ, и необходимостью использования детальных расчетных
схем эти подходы получили дальнейшее развитие и привели к но-
вой методологии в строительной механике сложных систем —- ме-
тоду подконструкций. Метод подконструкций следует рассматри-
вать как один из конктретных вариантов воплощения идей си-
стемного анализа применительно к исследованию сложных кон-
струкций. Этот метод позволиет не только проводить математи-
ческую обработку более строгих расчетных моделей сложных
конструкций, но и делать это рациональным способом. Метод
подкоиструкций дает основу для построения алгоритмов деком-
позиции, анализа и синтеза, реализация которых позволяет
уменьшить время счета и потребные объемы памяти ЭВМ, до-
пускает рациональную организацию обмена информацией между
накопителями ЭВМ, повышает общие показатели эффективности
вычислительных работ.
В настоящей главе изложена общая схема метода подконструк-
ций применительно к задачам статического расчета планера ле-
тательного аппарата.
8.2.	ОСНОВЫ МЕТОДА ПОДКОНСТРУКЦИЙ
8.2.1	й Описание задачи
Рассматриваемая задача заключается в определении иа*
пряженно-деформнрованного состояния конструкции, удовлетво-
ряющего уравнениям равновесия, условиям совместности дефор-
маций и физическим соотношениям. Ограничимся случаем, когда
задача для конструкции в целом и для каждой подконструкции
формулируется в перемещениях. При зтом разрешающие уравне-
ния являются уравнениями равновесия в Перемещениях. В част-
312

i лч-и, применительно к методу конечных элементов (см. гл. 7),
который является наиболее распространенным аппаратом для
щмлнзации метода подконструкций, онн имеют вид
Кг-/?.	(8.1)
. ?сь К матрица жесткости, г — координатный вектор обоб-
||,»’нных перемещений; К — координатный вектор обобщенных сил.
В принципе система (8.1) может быть составлена для конструк-
ции в целом, однако при существующих требованиях к точности
расчета размерность этой системы оказывается чрезвычайно вы-
сокой. Например, задача общего расчета планера современного
пассажирского самолета, решаемая на основе МКЭ, содержит
несколько десятков тысяч неизвестных. Структура матрицы
такой системы уравнений также является достаточно сложной:
матрицу ие удается привести к ленточному виду и, хотя она яв-
ляется слабозаполненной, неупорядоченная структура матрицы
вынуждает применять для решения системы общие методы, пред-
назначенные для полностью заполненных матриц. В этих условиях
получить устойчивое решение системы (8.1) даже иа современ-
ных ЭВМ представляется чрезвычайно сложной задачей. Это
обстоятельство, в частности, диктует необходимость применения
к задаче, описываемой уравнениями (8.1) и сформулированной для
конструкции в целом, идей системного анализа.
8.2.2	. Декомпозиция системы
Конструкция планера летательного аппарата расчле-
няется на подконструкции в соответствии с конструктивно-тех-
нологическими признаками. Схема членения является много-
уровневой, в частности, планер (уровень 0) расчленяется на агре-
гаты (уровень I) — крыло, фюзеляж, оперение, гондолы двига-
телей и т. Д- Агрегат расчленяется на отсеки (уровень 2). Напри-
мер, для крыла на этом уровне выделяются следующие подкон-
струкции: центроплан, средняя часть крыла, концевая часть
крыла, органы механизации и управления (закрылки, предкрылки,
элероны и др.). Отсеки агрегата расчленяются на элементы (уро-
вень 3) — стрингеры, стенки, балки, подкрепленные панели.
Эта схема является примерной и отражает лишь основные этапы
процедуры декомпозиции конструкции. Бели применяется МКЭ,
можно продолжить членение элементов конструкции (уровень 3)
вплоть до конечных элементов базовой модели. Если выбран
подход, основанный на использовании типовых конструкций,
то членение может завершиться на уровне отсеков (уровень 2),
8»2.3В Уравнения для подконструкций
Разрешающая система уравнений для подкоисгрук-
цни с номером любого уровня имеет вид (индекс уровня для про-
стоты будем опускать)
K(A)r(fe> = JRik\	(8.2)
313

необходимо для каждой подконструкции получить соотношение
между перемещениями н силами иа ее границах, исключив из рас-
смотрения внутренние перемещения подконструкции. РассмЛ
трнм решение этой задачи для случая, когда уравнения (8.4)
являются алгебраическими. Выразим из первой группы уравнг-
ний (8.4) перемещения через остальные параметры (индекс fc
для простоты опустим)
Г,-К«(Я.-К.(П)	(8.7)
нли ге = г&10 Д е,
Где /"в, о = /Css fs, t ~ - К ss К st?" f‘
Здесь rfii0 — составляющая внутренних перемещений от действия
нагрузки Rs при нулевых граничных перемещениях (г< = 0);
rt) i — составляющая внутренних перемещений, соответствую-
щая граничным перемещениям rt при Rs •= 0.
После подстановки (8.7) во вторую группу уравнений (8.4)
и несложных преобразований получим искомое соотношение
Kurt = Rt,	(8.8)
где	Ktt	= Ktt — KtsKss Kstt	(8.9)
=/?* + *,,.	(8.Ю)
и Rt. — KtsKss'Rs-
Здесь Ktt — матрица жесткости подконструкции, составленная
относительно граничных перемещений (редуцированная матрица
жесткости); Rt — вектор обобщенных сил, действующих на гра-
нице подконструкции.
Если перемещения на границе гг известны, то внутренние
перемещения гв найдутся по формуле (8.7). После этого по из-
вестным формулам можно определить напряженное состояние
подконструкцин. Силы взаимодействия Rt можно также непосред-
ственно найти из второго уравнения (8.4)
Rf — f(t./s + Kssr t'
8,2»6s Синтез (сочленение) подконструкций
Рассмотрим задачу синтеза под конструкций с номе-
рами k — 1, 2, 3, ..., т, соответствующими одному уровню чле-
нения (индекс, определяющий этот уровень, для простоты опу-
скается).
Опишем сначала решение этой задачи для случая схематиза-
ции кинематического взаимодействия (8.5) подконструкцин. Для
того чтобы составить уравнения равновесия иа границах между
подконструкциями, преобразуем силы на границах Rltki к обоб-
щенным силам Pfk\ действующим по направлению обобщенных
316

к
Рис. 8.1. Схема силового взаимодействия fe-й и (А-p !)-й подконструкцнй через
граничный элемент, нагруженный силами Р
перемещений р. Если для перемещений справедливо соотношение
(8.5), то для сил будем иметь
(8.11
Внешние силы, приложенные на общих границах подконструк-
ций, обозначим вектором Р. Уравнение равновесия на границе
примет вид (рис. 8.1)
т
р- у; /><4' = о
*.=1
или	Ц /-*!'“ = Р.	(8.12)
fe=l
Выразим через перемещения на границе р. Из (8.10) найдем
Учитывая (8.5) и (8.8), преобразуем это выражение к виду
После подстановки в (8.11) получим
p<fc)==B(fe)p+	(8.13)
где	—редуцированная матрица жесткости
подкоиструкции kt преобразованная к перемещениям р\
- вектор усилий на границе, обусловленных действием внутрен-
них сил Rsk)- Первое слагаемое правой части (8.13) можно трак-
товать как силы, возникающие на границе подконструкции вслед-
ствие перемещений границы. Перемещения и силы в (8.13) соот-
ветствуют направлениям р. Оба слагаемых сил в (8.13) су-
317

щественно зависят от жесткостных характеристик подконс!)
рукцин.
Подставляя теперь (8.13) в (8.12), получим искомое уравиенш
равновесия, составленное относительно перемещений на вау
трениих границах объекта, расчлененного на подконструкци^
Вр^Р,	(8.14
где В= Е Bw,
ft=l
т
р = р Е
Уравнение (8.14) является разрешающим уравнением задачи син
теза для одного нз уровней членения. Еще раз отметим, что урав-
нение (8.14) используется в случае, если условия связи подкоп]
струкций формулируются в перемещениях. Размерность задачи
синтеза (порядок разрешающей системы уравнений) при этом
обычно существенно меньше размерности исходной задачи для
нерасчлененного объекта.
Из решения системы уравнений (8.14) определяются переме]
щения р:
р = В'Р.
Далее в соответствии с (8.5) и (8.7) для каждой подкоиструкции|
можно найти перемещения и после этого по известным формулам
определить ее напряженное состояние.
Рассмотрим теперь решение задачи синтеза подконструкций
в случае схематизации силового взаимодействия (8.6). Каждом;
элементу Q? вектора Q соответствует обобщенная сила взаимо
действия, создающая статическую неопределимость силового взаи
модействия между смежными подконструкциями. В строительно!
механике статически неопределимых систем такие силы называю!
лишними неизвестными. Компонента обобщенной силы взаимодей'
ствия, соответствующая подконструкции k, представляет собой
систему самсуравнсвешенных граничных сил Из таких
систем сил составлена матрица такая что столбец Я
этой матрицы есть самоуравновешениая система сил соот-|
ветствующая Qj = 1.
Обобщенным силам Q соответствуют обобщенные перемещения!

(8.15)
Условия совместимости на границах подконструкций в обобщенных!
перемещениях примут вид
(8.16)
318

Выразим условия (8.16) через жесткостные характеристики кон
Ггрукций я внешние воздействия. Разрешая (8.8) относительно rt,
юлучим
<4?Й“—И*’.	(8.17)
да	ой’ = ЖЙ’Г*-	(8.18)
Матрица <?й* является матрицей податливости подконструк-
ции k по направлениям перемещений г}*’. Операция обращения
матрицы (8-18) выполнима только в том случае, когда под-
конструкция k не может перемещаться как жесткое целое. Если
внешние связи, приложенные к подконструкцни, не обеспечивают
выполнение этого требования, необходимо приложить минималь-
ное число дополнительных связей. Отметим, что разрешающая
система уравнений задачи синтеза не зависит от того, какие
конкретно дополнительные связи выбраны для закрепления под-
кои струкнии. Матрицу удобнее вычислять не по формуле
(8.18), а находить непосредственно из решения системы уравнений
(8«4), соответствующей действию единичных сил R\k} при R\k} =
0.
С учетом (8.10) приведем уравнение (8.17) к виду
бЙ’ЛЙ^гй’ + Н?’..	(8.19)
где
перемещения rt от нагрузки которые могут быть пай-
дены непосредственно из решения уравнений (8.4) при /?{Л) = 0.
Перейдем в (8.19) к обобщенным силам и перемещениям. Для
этого воспользуемся (8.6), а затем умножим (8.19) слева на ма-
трицу	и воспользуемся (8.15). В результате получим
D“Q -	+ ^‘'s,	(8.20)
й'МЛ’Й’Л	(8.21)
Из (8.20) следует, что
= DWQ - 9S‘’,-
С учетом этого равенства условия совместности (8.16) примут вид
/><? = q,	(8-22)
где D ~ У, Dwf
fe=i
т	т
« = S eJ?’.- I [d“TH‘V
fe=l	fe=l
Уравнение (8.22) является разрешающим уравнением задачи син-
теза для одного нз уровней членения. Урааиеине (8.22) исподы»
319

зуется в том случае, если условия связи подконструкций фош
мулируются в усилиях.
Из решения системы уравнений (8.22) находятся обобщенный
силы взаимодействия Q. По формулам (8.6) определяются силы
взаимодействия для каждой подконструкции. Далее из решений
уравнений (8.4) находятся перемещения подкоиструкции, а га»
ним — напряжения в ее элементах. Правильность решения задачи
синтеза можно установить путем проверки выполнения условий
(8.16) для найденных перемещений.
8.3.	ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
Рассмотренные ниже примеры .иллюстрируют прямей
некие общей теории метода подконструкций к задачам, х ар акте, •
ным для расчета авиационных конструкций. Во всех примерам
расчет подкоиструкции выполняется методом конечных элементе»
8.3.1.	Цилиндрические оболочки, соединенные
в отдельных узлах
Рассматриваемая конструкция состоит нз двух одипд»
новых цилиндрических оболочек 1 и 2, жестко соединенных в пло-
скости стыка в узлах /, 2, 3, 4 по отношению к перемещениям «
и, w (рис. 8.2). Система закреплена консольно н нагружена си
лой 27’’, приложенной к стыковому шпангоуту оболочки 1. Трс
буется определить напряженное состояние конструкций в окрест
ностн узла стыка. Ограничимся одним уровнем членения на под
конструкции, т. е. каждая из оболочек представляет собой от
дельную подконструкцию, причем оболочка 1 консольно закреп
лена, а оболочка 2 свободна. В силу симметрии конструкции от-
носительно плоскости ху в расчете рассматривается половин •
конструкции, содержащая узлы связи 1 и 2. Задача сочленения
решается методом перемещений. Вектор перемещений узлоп
связи (по терминологии предыдущего раздела — перемещении
границы) имеет вид
Р' = |«№PVW«b|.
Рис. 8.2. Изгиб цяшндрпческих оболочек, связанных в отдельных точках
3*0

Такой же вид имеют векторы граничных перемещений (k —
= 1, 2). В связи с этим — 6(2> — Е (6 х 6), где £(6x6) —
единичная матрица шестого порядка. Таким образом, rjn = r}Z) =
— р. В узлах связи внешние силы равны нулю, т. е. Р = 0.
Уравнение равновесия (8.12) принимает внд Р}1’ + Р}2’ = 0,
откуда следует, что силы взаимодействия связаны соотношением
P{t} = —Рр. Векторы Ptk> имеют вид
[РРГ - {
где А, В, N — сосредоточенные силы, действующие соответственно
по направлениям перемещений и, v, w. Положительные направ-
ления для перемещений и сил в плоскости стыка показаны иа
рис. 8.2.
Силы взаимодействия, полученные в результате решения за-
дачи сочленения, приведены в табл. 8.1. На рис. 8.3 приведены
Таблица 8.1
Силы взаимодействия
№ узла (см. рис. 6.5)	1	2	3	4
А/Т	0	0	0	0
в/т	0,125	—1,22	—0,125	1,22
N/T	—0,163	0,47	—0,163	0,47
11 И. Ф. Образцов в др.
321

графики изгибающих моментов в стыковочных шпангоутах обо-
лочек Alj и Мг и потоков касательных напряжений в обшивки
пролетов, примыкающих к плоскости стыка и ^2).
8.3.2.	Система двух балок
На этом простом примере показано применение метода)
сочленения, основанного иа схематизации силового взаимодейст-1
вия. Конструкция состоит из двух балок (рис. 8.4). Применяется
один уровень членения — каждая балка представляет собой от-
дельную подконстр.укцию. Балка 1 консольно закреплена, балка 2
оперта на балку 1 в четырех точках. Связи между балками до-
пускают их взаимное проскальзывание в направлении оси х.
Конструкция нагружена на конце поперечной силой Т. Обе балки
имеют постоянную жесткость £/, длины пролетов одинаковы и
равны а.
Внешние силы и силы взаимодействия балок 1 и 2 запишем
в виде
[я“Т = (яклМл), [/fl‘’r-{y|”yl”yj,»y|,’b
[Я‘2,Г = о, [т?;Г = (уГ>у?’у№1.
Для каждой балки необходимо рассмотреть следующие уравнения
равновесия: уравнение проекций сил на ось у и уравнение мо-
ментов относительно оси г. Эти уравнения можно записать в виде
— для балки 1
Г1 I 01 Г1 I I 1 1 m
к 0 d«(’+[u За 4аК = 0’
— для балки 2
Р 1 1 1	= 0
[а 2с За 4а J *
Уравнения равновесия для узлов связи примут вид ЭД1* + ЭД2’ =
= 0. Уравнения равновесия необходимы для того, чтобы соста-
вить формы распределения сил взаимодействия, соответст-
вующие лишним неизвестным Q. Сочленение балок являет-
ся дважды статически неопределимым, т. е.
Выбрав статически определимое '
крепление балок по узлам 1 и 4,
Рвг. 8.4. Смстшм двух балок
322

получим следующие формы распределения усилий в состояниях
Qi и (Рис. 8.5, б):				
	—2	—1		
	3	0		
d(2) = — а	3	0	3	, dm^-do}.	(8.23)
	—1	—2		
Применяя известные способы определения перемещений, построим
соотношения типа (8.17) для балок, закрепленных так, как пока-
зано на рис. 8.6. В результате получим:
— балка 1
	4” 4” 41’ 4°	— °3— — GEI	.1	2 б 8 1	5 16 28 40	8 28 54 81	11" 40 81 128 _		Я” Я1’ Я1’ Я”
— балка	2								
	Ч	2)		’0	0	0	0"|		
	о	й - “		0	8	7	0 Я2’		
									
	V	2)	6Е/		0	7	8	о Я’		
	42’			_0	0	0	°- I1	4	2)
Применяя преобразование (8.21) с учетом (8.23), получим
= в® =	[8 7]
а D WEI |7 8J
(8.24)
Вычислим свободные члены уравнения (8.24). Перемещения ба-
лок будут
r")‘T = wl11 40 81 128)-
И?, = о.
С учетом (8.15) получим
^,«=о- (8-25>
Основываясь на соотношениях (8.24), (8.25), найдем, что разре-
шающая система уравнений (8.22) будет иметь вид
а [16 ,41
16Е/ [14 16j IqJ 6£/ I 8J
11*
323

балок
Рнс. 8.6. Схемы закрепления балок,
свободных от лишних связей, нсклю-
чающие их смещение как Ти р даго
тела
Рнс. 8.7. Силы взаимодействия между
балками
Решая эту систему, получим
о - AM
Vr'~ s I з)‘
Распределение сил взаимодействия показано на рис. 8.7,
8.3.3.	Планер самолета с крылом малого удлинения
Рассмотрим участок планера в зоне сочленения фюзеляжа
с крылом (рис. 8.8). Конструкция состоит из трех агрегатов (под-
коиструкции уровня 1} — кры-
ла с центропланом (ПК1), обо-
лочки фюзеляжа (ПК2) и цент!
ральной балки (ПКЗ)- Оболочка
фюзеляжа жестко крепится к
лонжеронам, бортовой нервюре
и верхним панелям крыла.

Рис. 8.8. Секция фюзеляжа (/) с кры-
лом малого удлинения (2) и с.гу.т^аль-
ной балкой (3)
324

Pitt. 8.9. Сх«ыы кинематического взаимодействия узлов фюзеляжа м крыла (е)
и центральной балки и крыла (б)
Центральная балка жестко соединена с нервюрами и нижними
панелями центроплана. Задача сочленения подконструкций ре-
шается методом перемещений. Узлы связи подконструкций
отождествлены с узлами крыла» т. е. [см. (8.5)1 гр‘ — р и Ьш—
~ £, где £ — единичная матрица. Схемы кинематического взаи-
модействия узлов фюзеляжа и крыла, а также центральной балки
и крыла показаны соответственно на рис. 8.9, а, б. В этом случае
соотношения типа (8.5), записанные для отдельных узлов, примут
вид:
— для узлов фюзеляжа и крыла
и	"1
у	О
Ш	“о
%	_о
о о
0 1
—1 о
о о
Hffi.
о
о
о
~Н^Ц2
HJ2
» .
и
и
W
ф«
— для узлов центральной балки и крыла
и V»)
[М1(8) р 0	0 — Л/л оуз)
U)	[О 0—1	0 oj
v
W
Ча
Чь
Ниже приводятся результаты расчета конструкции иа случай
нагружения самолета на земле, для которого характерно нагру-
жение крыла большими сосредоточенными силами от шасси. Эти
силы частично уравновешиваются на крыле массовыми
сялаю, а частично пер^гдяк/тея на борт фюзеляжа. На рис. 8.10
325

Рис. 8.10. Распределение нормальных
(расчет — сплошная линия; экспери-
мент — звездочки) и касательных (рас-
чет — пунктирные линии) напряжений
б расчетном сечении
Рис. 8.11. Распределение нормальны]
напряжений в наружном (расчет —
сплошная линия; эксперимент — кру
жочки) и внутреннем (расчет — пунк
тарная линия; эксперимент — звездоч
ки) поясах силового шпангоута
приведено распределение напряжений в сечении, соответствую
щем плоскости лонжерона крыла, к которому приложена основ
ная часть сосредоточенной силы от шасси; шпангоут фюзеляжа
в этом сечении является силовым. Напряжения отнесены к пре
делу прочности материала <тв, т. е. = ой./пп, т = т/<тв. Н;
рис. 8.10 показано изменение нормальных (сплошная линия) и ка
сательных (пунктирная линия) напряжений в обшивке фюзе
ляжа, стенках бортовой нервюры крыла и центральной балки
На рис. 8.11 представлено распределение нормальных напряже
ний в наружном (сплошная линия) и внутреннем (пунктирна!
линия) поясах силового шпангоута. Хорошее совпадение теорети
ческих результатов с экспериментальными (точки н звездочки'
свидетельствуют о высокой точности метода подконструкций

ГЛАВА 9
СТАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
ел. критерии УСТОЙЧИВОСТИ
9.1.1.	Основные понятна
Потеря устойчивости, связанная с отклонением упру-
гой системы от первоначального положения равновесия является
одной из наиболее распространенных форм разрушения стержне-
вых и тонкостенных элементов летательных аппаратов. Понятие
устойчивости связано с характером реакции нагруженной системы
иа воздействие некоторых дополнительных возмущений — если
после исчезновения этого возмущения система под действием упру-
гих сил возвращается в исходное состояние, то это состояние счи-
тается устойчивым. Естественно, что реакция системы зависит
от уровня ее нагружения, характера и величины возмущения.
В дальнейшем будем считать, что возмущение по своему харак-
теру способствует переходу системы в новое состояние, а по вели-
чине является малым. Таким образом, требуется определить уро-
вень нагружения системы, при котором малое возмущение может
привести к изменению ее состояния, т. е. к потере устойчивости.
Минимальная нагрузка, при которой возникает такая ситуация,
называется критической. Ввиду того, что элементы летательных
аппаратов эксплуатируются при высоких уровнях нагружения
и в условиях постоянного воздействия возмущающих факторов
самой различной природы, конструктор должен предвидеть воз-
можность потери устойчивости и иметь информацию о крити-
ческих уровнях нагрузок, определению которых посвящена настоя-
щая глава.
9.1.2.	Статический критерий устойчивости
Основные подходы к исследованию устойчивости упру-
гих систем можно проанализировать на простых примерах. Рас-
смотрим сначала сжатие вертикального жесткого стержня с упру-
гим шарниром (рис. 9.1). Положение такого стержня как системы
с одной степенью свободы вполне определяется углом ф, отсчи-
тываемым от вертикали. Отклоним стержень от исходного верти-
кального положения иа некоторый угол ф и исследуем его равно-
весие. Сила Р создает опрокидывающий момент Pl sin ф, а пру-
жина с жесткостью с — восстанавливающий момент т =
т. е. условие равновесия имеет вид
Pl sin ф == сер-	{9.1}
327

Рнс. 9.2. Зависимость силы Р от угла
наклона стержня ф
Рнс. 9.1. Жесткий стержень с упругим
шарниром
Это уравнение при любом Р имеет тривиальное (нулевое) реше*
ние ф = О, т. е. вертикальная форма равновесия в принципе воз-
можна при любом Р. Для дальнейшего анализа представим sin ф
степенным рядом
sln'P = 41--fr+-fr--------•
Тогда уравнение (9.1) примет вид
<9-2)
где	Pj = сП.	(9.3)
Поскольку левая ч^сть уравнения (9.2) меньше I, его решение
существует только при Р Рх. Это решение показано на рис. 9.2.
Таким образом, при Р < существует только начальное
(вертикальное) положение равновесия, а при Р' > Ру возможны
три положения равновесия, соответствующие <р == 0, ф = ф',
Ф = — ф'.
Точка, при переходе через которую возможна неоднозначность
положения равновесия, называется точкой бифуркации или точкой
ветвления решения. В рассматриваемом примере такой точкой
является точка, соответствующая силе Ру = сП. Равновесное со-
стояние упругой системы считается устойчивым, если, получив
малое возмущение (малое отклонение), система возвращается
к исходному положению после снятия возмущения. Нагрузка,
при которой начальная форма (или положение) перестает быть
устойчивой, называется критической, а соответствующее состоя-
ние — критическим. Очевидно, что в рассматриваемом примере
при силе Р^> Р\ любое положение, соответствующее малому
ф Ф 0, будет йеравновесным и после устранения причины, вы-
зывавшей появление угла ф, стержень под действием пружины
вернется в вертикальное положение. Нагрузка = сП является
критической,, поскольку при Pl z> Pi стержень сохранит после
328

нятия возмущения наклонное положение равновесия, соответ-
ствующее углу у' (см. рис. 9.2), образовавшемуся в результате
воздействия возмущающего фактора.
Отметим, что полный анализ поведения стержня в закрити-
ческой стадии (т. е. при Р > PJ требует решения нелинейного
уравнения (9.1). Однако для большинства реальных задач полу-
чить точное решение нелинейных уравнений ие удается. Вместе
< тем в задачах устойчивости главным вопросом является вопрос
о критической нагрузке. Поведение же системы в закритическом
состоянии представляет меныший интерес. С учетом этого обстоя-
тельства задачу об определении точек бифуркации и критических
нагрузок можно решить на основании более простых, линеари-
зованных однородных уравнений. Такие уравнения строятся при
рассмотрении равновесия системы в положении, близком к исход-
ному положению. При этом важно подчеркнуть, что в задачах
устойчивости уравнения равновесия составляются для деформи-
рованной системы. Линеаризованные уравнения позволяют опре-
делить условия, при которых наряду с исходным равновесным со-
стоянием могут быть и другие, близкие к исходному, равновесные
состояния. Например, для приведенного выше примера такое
уравнение можно получить, если принять, что стержень отклонен
от вертикали на малый угол <р, для которого можно принять, что
sin <р ~ <р. В результате такой линеаризации уравнение (9.1)
принимает вид Pl ф — с<р и имеет два решения — ф = 0 прн лю-
бом Р и Р = Pt = dl при 0. Таким образом, линеаризован-
ное уравнение позволяет определить критическую нагрузку и
не позволяет в отличие от нелинейного уравнения (9.1) найти ср»
т. е. определить перемещение, образующееся в результате потери
устойчивости.
В заключение сформулируем статический критерий устойчи-
вости Л. Эйлера. Согласно этому критерию критическим назы-
вается наименьшее значение нагрузки^ при котором кроме исход-
ного положения равновесия система может иметь по крайней мере
еще одно, близкое к исходному положение равновесия.
Отметим, что для задач устойчивости характерно наличие
двух или более равновесных состояний, соответствующих одной
и той же иагрузке, т. е. бифуркация форм равноаесня. В стати-
ческом критерии ие содержится указания на то, какая из воз-
можных форм равновесия является устойчивой, однако примени-
тельно к упругим системам достижение нагрузкой критического
значения, как правило, означает, что исходная форма равновесия
становится неустойчивой.
Реализация статического критерия устойчивости, т. е. ^опреде-
ление критической нагрузки осуществляется по следующей схеме.
Рассматривается докритическое (исходное) состояние системы и
по заданным внешним нагрузкам определяются докритические
напряжения. Ввиду того, что докритические перемещения, как
правило, невелики, онн не учцтьлиштся н далее исследуется исход-

пая система, на которую уже не действует внешняя нагрузка, но
в которой существует найденное докритическое напряженное!
состояние. Этой системе придаются некоторые дополнительные ма-
лые -перемещения (возмущения), соответствующие возможной
форме потери устойчивости, и записываются уравнения равнове-
сия для возмущенного состояния. Эти уравнения являются, ли-
нейными и однородными относительно дополнительных переме-
щений и всегда включают две группы членов — члены, соответ-
ствующие упругим силам, стремящимся ликвидировать возму-
щения, и параметрические члены, включающие докритические
напряжения и соответствующие силам, стремящимся вывести си-
стему из исходного состояния. Необходимо найтн такую комби!
нацию докритических напряжений, при которой уравнения равно-
весия имели бы нетривиальное решение, удовлетворяющее задан-
ным граничным условиям, т. е. существовали бы равновесные до-
полнительные перемещения, соответствующие условиям закреп-
ления системы. Как правило, такая комбинация оказывается не
единственной и выбирается та, которая соответствует минималь-
ному значению внешней нагрузки. Это значение и является кри-
тическим. Формально отыскание критической нагрузки соответ-
ствует определению минимального собственного значения краевой
задачи для уравнений равновесия, записанных в возмущенном
состоянии. Отметим, что операция наложения возмущения яв-
ляется чисто формальной и связана с тем, что в теории устойчи-
вости рассматриваются идеальные системы и идеальные условия
нагружения. В реальных системах возмущения, вызывающие ма-
лые отклонения, всегда присутствуют — это дополнительные слу-
чайные нагрузки, несовершенства формы и т. д.
9.1.3.	Энергетический критерий устойчивости
Определить критическое состояние и соответствую-
щую нагрузку можно и иа основании анализа энергетических за-
висимостей упругой системы при переходе ее из одного состояния
в другое. При этом, как и в случае статического критерия устой-
чивости, нужно рассмотреть некоторое начальное (докритическое)
состояние равновесия н близкое к нему возмущенное состояние.
Согласно изложенному в гл. 1 вариационному принципу Лагранжа
(см. разд. 1.3.2) в состоянии равновесия вариация полной энергии
должна обращаться в нуль, т. е. в соответствии с формулой (1.27)
63 = 0.	(9.4)
Строго говоря, это равенство обеспечивает стационарность пол-
ной энергии, т. е. при 63 = 0 энергия 3 может быть минимальной
или максимальной. Согласно теореме Лагранжа—Дирихле равно-
весное положение, определяемое условием (9.4), является устой-
чивым, если реализуется минимум полной энергии (т. е. 62Э > 0),

и неустойчивой^ если реализуется максимум (т. е. 62Э <Z 0). Кри*
тическому состоянию, очевидно, соответствует условие
62Э = 0.	(9.5)
Таким образом, согласно энергетическому критерию устойчи-
вости-критическая величина нагрузки обращает в нуль вторую
вариацию полной энергии.
Рассмотрим с позиций этого критерия систему, показанную
на рис. 9.L Создадим малое отклонение ф. Тогда согласно фор-
муле (1.24) (см. гл. 1) Э — U — А. Потенциальная энергия V
накапливается в пружине, т. е.
U = ~ т<р = — c<f,	(9.6)
а работа А совершается силой Р на перемещении А =
= I (1 — cos ср) (см. рис. 9.1). Считая ф малым, учтем, что cos ф
ж 1 — <р2/2, т. е.
д=4^-	(97)
Таким образом
3 = Wr~pW-
^э = 1(~—р') («<₽)>.
Отсюда при 62Э == 0 получим Р яг Рг — с/l, т. е. результат (9.3),
найденный ранее с помощью статического критерия. Очевидно,
при Р < Рг — 62Э >- 0 и исходное вертикальное положение
стержня является устойчивым, а при Р >• Pt — 625 < 0 и это
положение становится неустойчивым.
Приведем еще одно энергетическое соотношение, которое часто
используется для определения критической нагрузки. При пере-
ходе из начального (равновесного) состояния в смежное (не обя-
зательно равновесное) упругая система приобретает дополни-
тельную потенциальную энергию деформации U, которая спо-
собствует возврату системы в исходное положение, а внешние
силы, способствующие развитию отклонения, совершают при
этом работу А. Если эта работа меньше соответствующей энергии
деформации, то начальное состояние упругой системы является
устойчивым, а если больше —- неустойчивым. Очевидно, крити-
ческому состоянию соответствует условие
U = А.	(9.8)
331

В частости» для рассмотренного выше стержня (см. рис. 9,1
из равенств (9.6)—(9.8) получим Р ~	= dlt т. е. прежнее вы
ражение для критической нагрузки.
9.2. ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА МЛ УСТОЙЧИВОСТЬ
9.2Л, Устойчивость стержней
Ввиду того» что точное решение задач устойчивости 1
удается получить лишь применительно к простейшим системам!
в расчетной практике получили широкое распространение при-
ближенные методы, общая характеристика которых была дано
в разд. 1.6. В настоящем разделе описываются особенности оря!
менения этих методов к задачам устойчивости. Ввиду того» что
это применение будет далее иллюстрироваться на задаче об устой
чивости стержня, ниже приводятся основные уравнения для этой
задачи.
Рассмотрим стержень, сжатый осевой силой Р (рис. 9.3). Оче-
видно, в докритическом, прямолинейном состоянии в стержня
будет только продольное усилие Р. В соответствии со статическим!
критерием устойчивости придадим стержню малый прогиб о (х)
(см. рис. 9.3) и исследуем равновесие искривленной формы. Для
вывода уравнения устойчивости применим метод, который будет
неоднократно использоваться далее. Запишем уравнение изогну-
той оси стержня, нагруженного некоторым поперечным давле
нием q. Согласно рис. 1.4 и первой формуле (1.37) имеем
EJvlv (х) = q (х).
На стержень, показанный на рис. 9.3, поперечная нагрузка не
действует, однако в изогнутом состоянии воздействие усилия Р
можно заменить воздействием статически эквивалентной услов-
ной поперечной нагрузки q. Действительно, приравнивая верти-
кальные равнодействующие сил, показанных на рис. 9.4, полу-
чим Р sin ccj — Р sin «2 qdx. Учитывая, что для малых прс-
гибов и (х) sin а tga а и
332

(9.10)
(9.12)
(9.13)
рис. 9.3)
гудем иметь — Ptf = q. Этот результат можно записать в не-
колько иной форме, если учесть формулу для кривизны оси
тержня и ее упрощение для малых прогибов (vr -С I)
эс -----------—ж — «А
1 аким образом» для стержня
q ~ Pn^—Ptf.	(9.H)
Уравнение устойчивости теперь может быть записано, если в (9.9)
вменить q на q согласно (9.11). В результате получим
EIvw -I- Pv  0.
зпншем общее решение этого уравнения
v - Т С2х 4- С3 sin kx -4- Cd cos kx,
где k9,  Pl El. Для шарнирно опертого стержня (см.
имеем следующие граничные условия (смещение Л является ма-
лым и не учитывается): при х - 0 и х == / — v — v" — 0, т. е.
с учетом (9.13)
Сх 4- С4 - • О, Ci + Са/ 4- С3 sin kl 4- с4 cos kl = 0,
= 0, Cs sin kl 4- C4 cos kl “ 0.
Отсюда Ci -- Сй = C2 •- 0, C3 sin kl — 0. Если принять C3 == 0,
то получим v — 0, т. e. исходную прямолинейную форму. Таким
образом, для существования изогнутой формы равновесия необ-
ходимо выполнение равенства sin kl = 0, возможное, если kl =
=* ля (я — L 2, 3 ...). Учитывая, что /г8 — Р!ЕЦ получим Рп *=
- ты*Е1№ - совокупность значений силы Р, при которых воз-
можна изогнутая форма равновесия. Согласно определению кри-
тической нагрузки из этих значений следует выбрать наименьшее,
оторое соответствует, очевидно, п = 1. Таким образом, получили
формулу Эйлера, определяющую критическую нагрузку для сжа-
того шарнирно опертого стержня
р =.
(9.14)
Прн Р — Pi имеем k = я/l и, поскольку в решении (9.13) отлична
от нуля только постоянная С9, имеем
« ,	3t%
V — sin »
(9.15)
т. е. стержень изгибается при потере устойчивости по одной полу-
волне (в = 1) синусоида (см. рис. 9.3). Амплитуда прогиба С3,
пак у>не отмечалось в разд. 9.1.2, из решения линеаризован-
ии :о уравнения (9.12) не определяется. Для того чтобы найти
ирстай, и«обг.с-диьк> рг.тсмотречъ полное нелинейное уравнение,
IX

которое для исследуемого стержни
-£* хТГПУ— „ г	записывается достаточно прост»».
Действительно, изгибающий момент.
Рис. 9.5. Стержень на упругом образующийся в сечении стержня
основании	ПрИ изгибе> СВЯзак с кривизной ело-
дующим образом М — ЕГк, а внепн-
ний изгибающий момент равен Pv (см. рис. 9.3). Таким образом,
£/х = Pv, гдех определяется первым равенством (9.10). Лине.»-]
ризуя это уравнение, т. е. принимая х в соответствии со вторым
равенством (9.10), получим Elv" + Pv = 0 — т. е. дважд!
проинтегрированное уравнение (9.12).
Выше был рассмотрен метод определения критической на-
грузки, основанный на непосредственном интегрировании урав-
нения устойчивости и удовлетворении граничных условий.
В случае шарнирного опирания точное решение может быть по-
строено также в форме ряда, каждый член которого заведомо
удовлетворяет граничным условиям. Для стержня, показанного
на рис. 9.3, такой ряд неоднократно использовался ранее (см.
разд. 1.6.1, 1.6.2) и имеет внд
о= j? 4rasln^.	(9.16)
Очевидно, (9.16) автоматически удовлетворяет граничным усло-
виям шарнирного опирания v (0) = v (I) — о" (0) = v" (/) = 0.
В качестве примера рассмотрим задачу об устойчивости сжатого
стержня, лежащего на упругом основании (рис. 9.5). Такая рас-
четная схема может быть использована для анализа общей устой-
чивости пояса лонжерона, лежащего на упругих опорах. Уравне-
ние устойчивости может быть получено из (9.9), в котором следует
принять q = —Pv” — cv. Второе слагаемое определяет реакцию
упругого основания, пропорциональную прогибу v и коэффи-
циенту упругого основания с. В результате получим
£/ulv + cv 4- Pv" = 0.	(9.17)
Подставляя ряд (9.16), будем иметь
S Ат (ЕП& + с — РКп) sin = 0,
т—1
где Кп = ятЦ. Выполнение этого равенства возможно только
в случае, когда выражение в скобках равно нулю (случай Дто = 0
исключается, так как при этом v = 0), т. е,
Р^ЕП^-j-cl^.	(9.18)
Для определения критической силы в формуле (9.18) следует
последовательно принять т = 1, 2, 3 ... и из полученных значе-
ний Р выбрать наименьшее. Для длинного стержня параметр
334

можно приближенно считать непрерывным и осуществить мини-
мизацию Рп аналитически. Из условия dPldOm == 0 получим
= ЫЕ1, т. е. Рвр - 2 /сЁ7.
9.2.2.	Метод Ритца—“Тимошенко
Метод Ритца—Тимошенко в задачах устойчивости явля-
ется вариантом общего метода, описанного в разд. 1.6.1. Поскольку
метод иллюстрируется на задаче об устойчивости стержня, при-
ведем соответствующее выражение для полной энергии. Потен-
циальная энергия изогнутого стержня неоднократно записыва-
лась ранее и имеет вид (см. разд. 1.3.3, 1.6.1)
t
U= ^(u')dx.	(9.19)
О
Работа внешней силы согласно рис. 9.3 равна РД. Найдем вели-
чину Д. Длину элемента дуги искривленного стержня с учетом
малости прогиба (v‘	1) можно записать следующим образом:
ds - /1+ («')* dJt« [ i + 4- (o')*] dx.
Тогда полная длина искривленной оси, равная исходной длине
прямого стержня, будет
J [1 + 4-(H*]dx = Z,
О
отсюда
Д	I
А = 4 ] И*^«4 ]Н3^-	(9.20)
о	о
Таким образом
(921)
о
и полная энергия искривленного стержня
i
Э = 4- J	(»')’ - Р (»')*) dx.	(9.22)
Q
В соответствии с общим методом Ритца—Тимошенко предста-
вим прогиб в виде ряда, аналогичного (1.10)
(9.23)
?ви|1
335

где Bt — неизвестные независимые коэффициенты; (х) — задц
ваемые непрерывные функции, удовлетворяющие, по крайня
мере, геометрическим граничным условиям. Если (9.23) подсги
вить в формулу для полной энергии (9.22), то получим
э=4- j \jr -р ]dx- (9211
т. е. при известных функциях (х) энергия становится квадрл
тичной формой коэффициентов В соответствии с общим ме-
тодом, изложенным в разд. 1.6.1, далее следует записать условия
минимума 3, аналогичные (1.71)
'-#- = 0 (/= 1, 2, 3......п),
0£>i	'	'
которые образуют систему линейных однородных уравнений
аВ - РЬВ == 0,	(9 2Гй
где В — матрица-столбец порядка п- искомых коэффициентов Bt
а и Ъ — квадратные матрицы порядка п, элементы которых
числяются по формулам
i	i
aif = J Elv'iv'jdx, Ь{/= ( v'£v}dx (i, j — 1, 2,..., n).
0	o'
Ввиду того, что однородная система (9.25) должна иметь ненуле-
вое решение (случай В} — О соответствует исходной прямо Л
нейной форме равновесия стержня), ее определитель должен был.
равен нулю, т. е.
det [Cij — PbtJ] == 0.	(9.2 6j
Характеристическое уравнение (9.26) позволяет найти крити-
ческую силу.
В качестве примера рассмотрим стержень, показанный ип
рис. 9.3, и зададим его прогиб в виде комбинации следующих
функций, удовлетворяющих геометрическим граничным уело
виям v (0) — v (/) = 0:
f -= Btvt (х) + B2v2 (х),
где v1 — х (I — х), t»2 = хъ (I — х2).
Полная энергия (9.22) после вычисления интегралов принимай
вид
Э = ~ [£/ (4В?/ + 0,8В?;5) -
- Р (О.ЗЗЗВ?/3 -I- 6,1338,8/ -|-0,019В/)].
Система (9.25)
(8 — 0.666Р) Bt — 6,133РВ2 =» 0,
—6,133РВ8 + (1,6 — 0,038Р) == 0,
336

i-де Р — PPIEI. Приравнивая нулю ее определитель, получим
следующее характеристическое уравнение Р3— 54,1Р + 1137 —
О, имеющее минимальный корень Р^ == 11,8, т. е. PRp =
W&EHP, что превышает точное значение (9.14) на 19,7 %.
В случае одночленной аппроксимации прогиба v —	(х)
для получения критической силы удобнее использовать энерге-
тическое соотношение (9.8) U ~ А. С учетом равенств (9.19) и
(9.21) получим
i
J El (<$)• dx
Рщ, = -Н-------	(9.27)
о
Полагая, например, для шарнирно опертого стержня (см. рис. 9.3)
vx -= х (/ — х) получим Ркр — 12EI/P
Отметим, что задание прогиба в форме (9.23) по существу со-
ответствует введению некоторых дополнительных связей, вы-
нуждающих систему деформироваться в соответствии с задан-
ным законом. Эти связи, естественно, повышают жесткость си-
стемы, а поскольку при увеличении жесткости увеличивается и
критическая нагрузка, результат, полученный методом Ритца—
Тимошенко, всегда будет верхней оценкой критической нагрузки.
Он будет тем ближе к истинному значению, чем лучше представ-
ление (9.23) соответствует истинной форме потери устойчивости.
Если в качестве аппроксимирующей функции принята действитель-
ная форма потери устойчивости, результат оказывается точным.
Действительно, зададим для шарнирно опертого стержня в соот-
ветствии с точным решением (9.13)	— sin (пх/1). Тогда по фор-
муле (9.27) получим
Е7——
р _	2 — п*Е1
eL-L —	’
Р 2
что совпадает с точным результатом (9.13),
9.2.3.	Метод Бубнова—Галер» ина
В задачах устойчивости упругой системы применение
метода Бубнова—Галеркина, описанного в разд. 1.6.2 (см. гл. 1),
связано с приближенным определением наименьшего собствен-
ного значения уравнения устойчивости и соответствующей соб-
ственной функции. Покажем принципиальную схему применения
метода на примере сжатого стержня, уравнение устойчивости ко-
торого имеет вид (9.11), т. е.
L (и) = EkF* — Ptf - 0.	(9.28)
337

Прогиб стержня при потере устойчивости представим выражением,
аналогичным (9.23), т. е.
v(x) = УВр,(х).	(9.29)
где Bi — неизвестные коэффициенты, a vt (х) — аппроксими-
рующие функции, которые согласно методу Бубнова—Галеркина
должны удовлетворять всем граничным условиям. Согласно общей
схеме реализации метода, описанной в разд. 1.6.2, разложение
(9.29) следует подставить в уравнение (9.28) и записать следую-
щие условия:
J L 2 B,vt (х) j v, (х) dx = 0 (/ = 1, 2. 3.’..л).	(9.29а)
Эти уравнения составляют линейную однородную систему, кото-
рая может быть записана в следующей матричной форме:
а = РЬ = 0,	(9.30)
где а и & — квадратные матрицы порядка п, элементы которых
вычисляются по формулам
i	i
aif = J EIvlvt>j dx, Ьц — j v ’iVj dx.
d	c
Так же, как и в методе Ритца—Тимошенко, критическая нагрузка
определяется из характеристического уравнения (9.26), полу-
чаемого из условия равенства нулю определителя системы (9.30).
Результат, найденный методом Бубнова—Галеркина, в силу
причин, изложенных в разд. 9.2.2, превышает истинное значение
критической нагрузки и совпадает с ним, если в разложении (9.28)
содержится истинная форма потери устойчивости. Принимая,
например, для шарнирно опертого стержня $ = Вг sin (nxfl),
получим au = л4£7/273,	= л2/2/ и согласно (9.30)
—	~ пгЕ!№, т. е. точный результат.
9.2Ч4< Метод конечных разностей
Метод конечных разностей основан на приближенной
замене дифференциальных уравнений системой алгебраических
уравнений относительно значений искомых функций в узловых
«очках. Применение этого метода к задаче устойчивости покажем
на примере стержня, уравнение устойчивости которого имеет
форму (9.12), т. е.
+	(9.31)
Разделим стержень на п одинаковых участков длиной Дх = IIп
(рис. 9.6) и допишем уравнение (9.31) в конечных разностях с по-
338

Рис. 9.6. К решению задачи устойчивости сжатого стержня методом конечных
разностей
мощью формул (1.83). В некоторой внутренней точке k получим
- 4 (rft_i -|- vft+1) -f-	4- Vk+z] 4~ д^г (ул-л 4- yfe+i “ 2ofe) = 0.
(9.32)
Записывая это уравнение при k — 1, 2, 3, ...» п и добавляя гра-
ничные условия, которые формулируются с помощью законтур-
ных точек, введенных в разд. 1.6.5, получим однородную систему
алгебраических уравнений относительно узловых значений про-
гиба vft. Для существования ненулевого решения этой системы
необходимо, чтобы ее определитель равнялся нулю. Это условие
и позволяет найти критическую нагрузку.
Для стержня, показанного на рис. 9.6, уравнения (9.32) в точ-
ках 1, 2, 3 имеют вид
Ef J6t?1 “ 4 ~ + v° + +
4~ д^Г (VA f- VZ — 2^) s=s 0,
£? д^Г — 4 (t’i 4~ гз) 4“ VA 4"	4~
Р	(9-33)
4“ (yi 4~	2у2) — в,
EI [6t>8 - 4 (», + ОВ) + V1 + »] +
+ 4? + v,‘ ~ 2о“) = °’
Эти уравнения включают семь неизвестных — Vj, v2, г»3; прогибы
в опорных точках vA и vB и прогибы в двух законтурных точках
ос и vb. Граничные условия в точках А и В имеют вид v = v" = 0.
Через узловые значения они формулируются с помощью равенств
(1.83) следующим образом:
vA = 0, vB = 0, va — 2va 4- Vt — 0, v3 — 2t>B 4- Vb — 0.
Таким образом, к уравнениям (9.33) необходимо добавить усло-
вия vA = 0, vB — 0, va = —t^, vb ~ —^з- Учитывая, что е- силу
симметрии прогиба v3 = vu окончательно получим следующие
два уравнения (Дх — 1/4):
(24 — 2Р) 4- (—16 4- Р) v2 = 0,
(32 4- 2Р) 4- (24 — 2Р) v2 = 0,
339

ш к нулю определитель этой системы J
i Д', и иметь	32	0„ Наименьший корень этом».
ая ।	зли чине Р,и, Q/MEIiP, которая ня
3 % пре с	. _ лы it. Так же, как методы Рг тца -ч
'} । мошенко •	'	- Галеркииа, метод конечных разностсЯ
дает завыше ний», аначи'не для критической силы.
t- X УС.™ Г I -ОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН
Р.3.1.
' -отношения
.. оские панели являются широко распространенными
актами, бг П1нми nfi’UHBi / крыльев летательных алпа-
р.-i. ь Раб.иэи в уетК'Ы I* пласкон) напряженного состояния и|
во» ) книги	ормальные или касательные усилия,!
такие пан и л ;еоять устойчш ость и принимать искривлен-1
кую форту типа not. м>< ой н? ряс. 9.7. При решении задачи о по-
тере устойчивости пластины кроме допущений, принятых в тео-
рии изгиба пластин {•:* гл. 3), предполагается, что до потери
устойчивости пластин  является плоской, все силы лежат в сре-
динной плоскости и j , ч формациях пластины они не изме-1
няются ни по величине, ни по направлению.
Итак будем считан чхо докритнческое напряженное состоя-]
ние пластины является плоским и описывается уравнениями]
(3.28)—(3.31) (см. гл. 3), т. е.
av? .	_ о а*? ,	.
' дх +	- и>	дх ~и-
N° = B(^	т)>	+	(9.34)
ЗЦесв М, А’₽. Ах* —докритические усилия, которые выра- '
жаются через докритические напряжения а%, о#, т^ формулами
= 4^1,	(9.35)
где h — толщина пластины; u0, v0 — перемещения пластины!
в /.^критическом е юто ии. Эти перемещения считаются малыми
и их влияние на размеры
пластины не учитывается]I
Наиболее распростра-
ненным случаем нагруже-
Рнс, 9.7. Ь^юмсжная форма по-
тери устойчивости сжатой вод-
ном направлении шарнирно
опертой по всем сторокэм ддас-
1МИН
У

ия пластин, который и будет
осматриваться далее, являет*
. воздействие усилий, равно»
рно распределенных по сто»
юнам пластины (рис. 9.8). В
том случае уравнения (9.34)
довлетворяются тождествен»
.-о, если поле усилий является
днородным, т. е. М — const,
) = const, Nxy - const. Та-
им образом, докритические
усилия, действующие в плас-
тине, будем считать извест-
Iииж-н**-
-в— х
ns - Zb
14-144444-
Ту *
Рис. 9.8. Докритическое напряженное
состояние прямоугольной пластины
«ыми и равными внешним
усилиям Nx, Nxyi действующим по сторонам пластины.
Придадим теперь пластине малый прогиб w (xt у) (см. рис. 9.7)
г в соответствии со статическим критерием устойчивости рас-
смотрим ее равновесие. Линеаризованное уравнение устойчивости
наиболее просто получить, если воспользоваться уравнением
изгиба пластины (3.61)
. 34к-' ___ q
~дх*~ + дх^ду*  ~ду*' “ D
(9.36)
а способом замены докритических усилий условной статически
эквивалентной поперечной нагрузкой qt изложенным примени-
тельно к стержню в разд. 9.2.1. Рассмотрим элемент пластины
в изогнутом состоянии. Приравнивая вертикальные проекции
сил, действующих иа элемент и показанных на рис. 9.9, .получим
{см. также рис. 9.4)
q dx dy = (Ng sin ct! — A/* sin a2) dy 4- W sin Pi — N*u sin 02) dx -| -
4” (TZ’jt sift сьц — Nxu sin сй|е) dx 4- (A/^sln |ps Nxy sin P12) dy.
9.9. Эвглене докритических усилий статически эквивалентной условной
нжгру»кс.Я q
ЭИ •

Для малых прогибов и углов а и 6 sin а як tg а як а, sin В
« tg ₽ « р и
дно
а, _~_
1 дх
। да» ,
а2 аг а, + -g^- dx,

<z12 ~ a, + dy, p12 — Pt -|—dx.
В результате получим
о - _ №	_ 2№ -d*w — № d*w	(Q Ч7\
q~ х	дхду l y ду* *
Это соотношение можно записать в другой форме, если учесть,
что согласно равенствам (3.17) множители при усилиях являются
величинами кривизны и кручения поверхности, в которую пере-
ходит срединная плоскость пластины при изгибании. Имеем
<7 = №хих + 2N%Kxy -t- Nfay	(9.38)
Равенства (9.37) и (9.38) обобщают результат (9.11), полученный
выше для стержня.
Подставляя в уравнение (9.36) q = q согласно (9.37), запи-
шем уравнение устойчивости пластины
OW» + ^^ + 2№e^ + ^^ = 0.	(9.39)
где	v2W = -^+2^ + -gP
Граничные условия были сформулированы в разд. 3.3.1.
В заключение приведем выражение для полной энергии рас-
сматриваемой пластины. В равенстве Э = U — А потенциальная
энергия деформации определяется соотношениями (3.58) и (3.73),
т. е.
и 1 Г Г п Г/ дёсу\8 / d2w \а . о d2w d2w .
I.W) +2'га?-^- +
<9-40>
а работа докритических усилий записывается аналогично (9.21),
т. е.
А [м	О <9-4»
342

9.3,2. Устойчивость прямоугольной пластины,
сжатой в одном направлении
Рассмотрим сначала прямоугольную шарнирно опер-
тую пластину, сжатую в направлении оси х (см. рис. 9.7). Разре-
шающее уравнение (9.39) в данном случае имеет вид
DWffi> + №-^- = 0.	(9.42)
Решение, удовлетворяющее этому уравнению и граничным усло-
виям шарнирного опирания
при	х = 0 и х == а гя = d^widx* — 0,	(9.43)
при	у — 0 и г/ = b w = d^wldy2 = О,
будем искать в форме двойного тригонометрического ряда (3.79),
использованного ранее для решения задач статики пластин.
Итак, пусть
S S^sin/^sinT- (9Л4>
т— 1 п=1
Подставляя (9.44) в (9.42), будем иметь
V V л Г 4 /	, пй \2	л.?-т2 .... ~1 . тпх . пищ п
Z L	sm~ s*n-r-=°-
т— 1 «=!
Ввиду того, что Атп =£ 0 (случай Атп — 0 соответствует исход-
ной плоской форме пластины), это равенство возможно только
в том случае, когда выражение' в квадратных скобках обращается
в нуль. В результате получим
откуда
>ro nW / zna . п* \«
Представляет интерес наименьшее (критическое) значение усилия
Nx- Как видно из последнего выражения, для этого нужно при-
нять п = 1, тогда
д, ___ явсаР / тг . 1 у
"кр ^3— -Г Ь2 )
или
^кр
nW
’° Ь*~’
(9.45)
343

где

(9.46
- коэффициент, зависящий от геометрии пластины и ее форму
при потере устойчивости. На рис. 9.10 приведены графики, по
строенные для различных значений т и alb. При заданном знЯ
чении alb число т, характеризующее форму пластины при по
тере устойчивости, будет таким, при котором ka, а следовательно!
и NKI> имеют наименьшее значение. Соответствующая криван
показана на рис. 9.10 сплошной линией. Точки пересечения от
дельйых ветвей определяются равенством
«2 / т8 , 1 V— * Г («+*)“ . 1 I2
та к а2 6s ) (т 4- I)2 [ а3 b* J ’
откуда следует формула
aft) —	(л? 4- 1)»
т. е. при 0 <alb <i/2 т~ I и пластина теряет устойчивость по
одной полуволне (эта форма поквзана на рис. 9.7), при V 2
с alb с >Z6 т = 2 и т. д.
Таким образом, критическое усилие сжатой шарнирно опер
той пластины определяется формулой (9.45) и графиком, пред» 1
ставленным на рис. 9.10.
Из рис. 9.10 следует, что для длинных пластин (alb :> 3) можно
принять ka == 4. Этот результат может быть получен аналити
ческой минимизацией выражения (9.46), если предположить, 
что величина А. = mbia является непрерывной. Из условия I
dkjdh = 0 получим X = 1, т. е. ka — 4. Принимая в равенстве»
(9.45) в соответствии с (9.35) NKp ~ окр h„ учитывая соотно
шение (D =~ Eh*!\c2 (1 — р2) и то, что для большинства металлов
р. = 0,3, получим, формулу для критических напряжений
= 0,9A„f (А.)’ = 3.6Е (А)“.	(9.47)
широко используемую на практике для оценочных расчетов.
Формулу (9.45) можно представить в виде (при л « 1)
Тогда первый член в скобках определяет критическую силу для
полосы длиной а и шириной единица, а второй множитель пока
зывает, во сколько раз целая пластина, т. е. система связанных
полос, более устойчива, чем изолированная полоса.
Если ширина пластины велнка по сравнению с длиной (alb ф
<С 1), то форма ишжггнтш при потере устойчивости имеет вид ци
344	.

Рнс. 9.10. Зависимость коэффк- Р«г. 9.11. Сжатая n.vtcth«a, заед wwn
циента устойчивости ka от удли-	по контуру
нения пластины
лнндрическоЙ поверхности. В этом случае следует принять т ~ 1
к формула (9.45) дает
N __ я*Е h*
~ 12(1 —р*) в« ’
что соответствует формуле Эйлера для критической силы при
сжатии стержня единичной ширины, толщины h и имеющего при-
веденный модуль упругости £/(1 — р8).
Рассмотрим теперь устойчивость защемленной по контуру
пластины (рис. 9.11). Уравнение устойчивости сохраняет преж-
нюю форму (9.42), а граничные условия принимают вид
прн	х = 0 и х = с w ~ dw/dx. — 0.
прн	у — 0 и t/ ~ 6 w == dwldy =» 0.	(9.48)
Ввиду того, что построение точного решения этой задачи связано
< большими трудностями, получим приближенное решение, вос-
пользовавшись методом Бубнова—Галеркина, описанным в разд.
9.2.3. Прогиб пластины зададим в виде w (х, у) — С<р (х, у),
1де С — неизвестный коэффициент, а <р = [1—cos (2ях/я) J X
X [1—cos (2лу/&) ] •— функция, удовлетворяющая граничным
условиям (9.48). Уравнение метода Бубнова—Галеркина, анало-
гичное (9.29а), в рассматриваемом случае имеет вид
J J Г (Сф) <р (х, y)dxdy — 0,	(9.49) -
о о
где L (С<р) есть результат подстановки w — С<р в уравнение
(9.42), т. е.
L (С<р) = CD [- (^-)4 cos (1 - cos-^) +
(£)*(» ^]+
+ СМ(^Уеов^(1-со8^).
345

С)	б)
Рис. 9.12. Коэффициент устойчивости соответствующий различным условиям
закрепления пластины» в зависимости от ее удлинения. Номера кривых (а) соот-
ветствуют номерам эскизов (0. Пунктир соответствует шарнирно опертому краю,
штриховка — защемленному, простая линия — свободному краю
Подставляя в (9.49) <р и выполняя интегрирование, получим
Поскольку С =/= О имеем
(9.Б0)
где
^=4(3-£+2+3-)-
В частности, для квадратной пластины kv = 10,67, что отличаетси
от точного решения на 5,5 %.
Сравнивая формулы (9.45) и (9.50), можно убедиться в том,
что они отличаются только выражением для ko. Этот вывод спри
ведлив и для других граничных условий — формула для крити
ческих напряжений сжатой пластины всегда может быть представ
лена в следующих универсальных формах:
. яЧ) , тс3£ / h л е ( h \8
Ь2А — «с	\ b) -w№\ й ) -
345

Последнее равенство записано для случая р ~ 0,3. Коэффициент
устойчивости ka, соответствующий различным граничным усло-
виям, приведен на рис. 9.12.
Устойчивость пластин при сдвиге
В процессе эксплуатации в панелях крыла летатель-
ного аппарата могут возникать значительные сдвигающие уси-
лия, вызываемые перерезывающей силой и крутящим моментом.
Потеря устойчивости, связанная с действием касательных на-
пряжений или усилий, сопровождается образованием в пластине
прогиба в виде системы косых волн (рис. 9.13).
Уравнение устойчивости (9.39) в рассматриваемом случае
принимает вид
DV2V2B» + 2№s,^- = 0.	(9.51)
Точное решение этого уравнения даже для пластин с шарнирно
опертыми краями представляет, как будет видно из дальнейшего,
большие трудности. Поэтому рассмотрим сначала приближенное
решение, основанное на методе Ритца—Тимошенко и справедли-
вое для пластин с большим удлинением [а Ь). Зададим прогиб
в следующей форме, аппроксимирующей систему косых волн,
показанных на рис. 9.13
w = С sin	sin -у- (х — ky).	(9.52)
Представление (9.52) из граничных условий шарнирного опира-
ния (943) удовлетворит только условию по прогибу на длинных
сторонах (рис. 9.14), т. е. w {у ~ 0) = w (у ~ Ь) = 0. Условия
иа коротких сторонах л = 0их = сне выполняются, что для
длинной пластины не очень существенно. Из (9.52) следует, что
прогиб обращается в нуль на косых узловых линиях х — ky = 0,
наклоненных к оси х под углом а = arc etg k. Для реализации
метода Ритца—Тимошенко найдем
потенциальную энергию U и работу
внешних сил А по формулам (9.40),
(9.41). Осуществляя интегрирование
по параллелограмму, заштрихован-
ному на рис. 9.14, т. е. по х от ky
до I + ky, а по у от 0 до Ь, получим
Рис. 9.13. Форма потери устой-
чивости пластины при сдвиге-
! — выпуклость; 2 — впадина: 3 -
+ 2+ (-|~у (1 +/г2)2],
~ 1УхУ 41
узловая линия
347

Рис. 9.14. Л-вднмя шгфвярао спертая пластина, вагруятшая еджгаадим!
уомааым
Согласно (9.8) критическое усилие определяется из условия U
™ Л. С учетом (9.35) имеем
“ h
(9.53)
где
_ _£
b *
йг = ^[бАЧ-2 + !М^(1+*2)8]. I
Величина kx зависит от двух параметров I и k. Минимизируя
по Р, т. е. используя условие bkjdl ~ 0, получим J2 = 1 + й8.
Подставляя I в и записывая условие минимума по kt т. е
dk-Jdk ~ 0, найдем k = -у2/2. Таким образом, а == arc cig k 4
~ 54° 44% I ~ 1,22 и k* = 4 ул2 = 5,66. Итак, на основаигш
равенства (9.53) получим следующее приближенное выражение
для критических w.aean&n..n3jx напряжений:
"= §»66
Оно превышает точное значение иа 6 %.
Для пл^йны с конечным соотношением сторон решение
в принципе можно задать в форме двойного тригонометрического
ряда (9.44). Каждый член этого ряда удовлетворяет условиям
шарнирного опирания (9.43), однако, для того чтобы описать та-
ким образом систему косых волн (см. рис. 9.13), требуется удер-
жать большое. количество членов разложения. В отличие от за-
дачи, рассмотренной в разд. 9.3.2, в данном случае непосредствен!
мая подстановка ряда (9.44) в уравнение (9.51) не позволяет]
тождественно удовлетворить его аа счет соответствующего вы-
бора Nx^ поскольку четные производные будут содержать произ!
ведения синусов, а смешанная (<Ыдхду) — произведение коси-
нусов (в задаче, рассмотренной в разд. 9.3.2, уравнение содер-
жало только четные производные). В связи с этим воспользуемся
для решения методом Ритца—Тимошенко. Подставляя разло-

же и (»e для прогиба (9.44) в фс , i
f сот ношен и я
., tHltx inx >
slrt -•....— sin —— 4*x
. W . SJltf
Stn —' sin —~~
и о
b.
0
‘Л/»
a
coS”^-eiM =
2q I
—-ж-------г nps сумме
n ia — m* 1
m 4- i - чгтжл’
0 — при суламе м ; I «= нечетной,
получим
ш— I п~1
т п 4	!
В разложении для А учитываются только ге сочетания индексов,
для которых суммы (т -F 0 и (/г 4 /) одновременно являются
нечетными. В соответствии с методом Риги»—Тимошенко необхо-
димо записать условия минимума полной энергии Э ' U — А
в виде дЭ10Атп = 0. В результате получим следующую систему
однородных алгебраических уравнений относительно Ятп:
-т-DabA™	+-&)’ - ВЛГ« S и л« —	= 0
4
(m, n *= 1, 2, 3	(9.F4)
Здесь суммы т 4- i и п + i должны быть почетными. Задавая
различные наборы комбинаций пт (например—11, 12, 21, 22
и т. д.) и приравнивая нулю определитель, составленный нз коэф-
фициентов уравнений (9.54), можно получить характеристическое
уравнение, наименьший корень которого определяет критическое
усилие сдвига. Аппроксимация результатов таких вычислений
позволяет записать следующую формулу для критических каса-
тельных напряжений (при р = 0,3):
12^г 4У= ,9 тЕ(4)\ г.55)
Здесь
fe«S.34 + 4(-^y..
причем а Ь,
Э1Р

Рис. 9.15. Коэффициент устойчивости
k-t, соответствующий различным усло-
иням закрепления пластины в зависи-
мости от ее удлинения. Номера кривых
(а) соответствуют иомерам эскизов (б).
Пунктир соответствует шаринрио опер-
тому краю, штриховка—защемленному
Рис. 9.16. Шарнирно опертая пляс
тина, сжатая в двух направЛ
ннях
В случае других граничный
условий в формулах (9.55) из-
меняется только выражение
для kx. Зависимость kx от отношения а!Ь для различных условий
закрепления пластины представлена на рис. 9.15.
9.3.4. Устойчивость пластин прн комбинированном
нагружении
Рассмотрим теперь случаи, когда отличными от нули
оказываются два докритических усилия. Пусть, например, шар-
нирно опертая пластина сжимается в двух направленияХ|
(рис. 9.16). Совместно действующие усилия будем отмечать верх-
ней чертой. Уравнение устойчивости будет иметь вид
DVT» + NI 4- Л?»	= 0.
Дальнейший ход решения полностью аналогичен случаю одно-
осного сжатия, описанному в разд. 9.3.2. Задавая прогиб в виде
ряда (9.44) и подставляя его в уравнение устойчивости, получим
Пусть для определенности W? Тогда, обозначив №у I
= (причем <р < 1), запишем Nx в форме, аналогичной (9.45)
= ^ийл >	(9.5(0
где
62_
в3
^ав’ 63
«Ч-gr-W»3
350

В формулу (9.56) подставляется найденное в результате подста-
новки различных значений т н п минимальное значение kt соот-
ветствующее заданной величине <р.
Для получения качественного результата рассмотрим квадрат-
ную пластину, т. е. случай а — Ъ, Тогда
ma 4- фга2
и при <р < 1 реализуется минимум при_т ® п = 1, т. е. =
== 4/(1 + <р). Заменим здесь через NXKp с помощью формулы
(9.56) и подставим q> ~ NVVpfNXKp. Тогда, учитывая, что при
раздельном действии усилий их критические значения для квад-
ратной пластины определяются согласно (9.46) равенствами
м = N =4
пор“'*1(кр—>
(9.57)
окончательно получим
^хир л NVKp   |
Л/	" TV
^’хкр <у»кр
Графическая интерпретация этого соотношения представлена на
рис. 9.17. Прямая_(9.57) разделяет область возможных комбина-
ций усилий Л? и Ny на две части. Комбинации усилий, лежащие
в области 1, не вызывают потери устойчивости пластины. Гранич-
ная прямая (9.57), т. е. комбинация усилий NXKp и NyKp, соот-
ветствует критическому состоянию, а область 2 является областью
неустойчивости.
Рассмотрим теперь другой распространенный случай комбини-
рованного нагружения — совместное действие сжимающих и
сдвигающих усилий. Предположим, что на пластину, показан-
ную иа рис. 9.14д_помимо сдвигающих усилий Nxy действуют сжи-
мающие усилия М?. Тогда, задавая прогиб в форме (9.52) и повто-
ряя вывод формулы (9.53), получим вместо нее следующее соот-
ношение:
NXKV + 2NxtK^ = [бй» + 2 4-? + А-(1	.
Минимальное значение правой части, как было показано
в разд. 9.3.3, реализуется при Р = 1 + kz. Тогда имеем
лГХ11р + 2ЙМервр=4^-(1+2й2).	(9.58)
В соответствии с результатами, полученными в разд. 9.3.2 и
9.3.3, критические значения отдельно действующих усилий равны
^ = 4-^. ЛГ„кр = 4/2’^-.	(9.59)
351

Рис. 9.17. Области устойчивости (/) н
неустойчивости (2) пластинки, сжатой
в двух направлениях
Рис. 9.18. Области устойчивости (/) и
неустойчивости (2) пластины при со-
вместном действии сжимающих н сдви-
гающих усилий
С учетом (9.59) равенство (9.58) принимает вид
ZjsSL + 2 /2	= I + 2k*.	(9.60)
**хвр	Мхукр
Применим далее следующий приближенный прием. Зафиксируем
величину касательных усилий и найдем k нз^ условия минимума
нормальных усилий, т. е. уравнения dNXKV/dk — 0. В ре-
зультате получим k —	2 Nxv Кр и равенство (9.60)
принимает следующую окончательную форму:
Графическая интерпретация этого соотношения представлена на
рис. 9.18. Уравнение (9.61), включающее критические комбина-
ции усилий, определяет границу, отделяющую область устой-
чивости (/) от области неустойчивости (2) (сплошная линия).
В заключение приведем несколько общих определений. Пусть
на пластину одновременно действуют докритические усилия Л$,
< Nxy. Введем декартовы осн координат и вдоль каждой из
ннх будем откладывать величины соответствующих усилий. Тогда
любая комбинация усилий будет соответствовать точке этого
пространства. Область, образованная из точек, соответствующих ।
таким комбинациям усилий, которые не вызывают потери устой’
новости пластины, называется областью устойчивости. Эта
область ограничена поверхностью, которая образована из точек,
соответствующих критическим состояниям пластины, и назы-
вается поверхностью устойчивости. Очевидно, что поверхность
устойчивости пересекает оси координат в точках Л^кнр, 2Уриг1
Л^ир, соответствующих критическим значениям усилий при их
Ж

раздельном действии. Определение поверхности устойчивости
является важной, но в то же время и сложной задачей. Если по-
верхность устойчивости не определена, то приближенно предви-
деть поведение систмеы при заданной комбинации усилий можно,
руководствуясь теоремой П. Ф. Папковича о выпуклости поверх-
ности устойчивости, которая утверждает, что эта поверхность
может быть обращена выпуклостью только в .сторону области
неустойчивости, т. е. прямая, соединяющая две точки поверх-
ности, всегда лежит в области устойчивости (как в случае, пока-
занном на рис. 9.18) или принадлежит граничной поверхности
(см. рис. 9,17). Таким образом, если бы мы не располагали урав-
нением граничной кривой, показанной на рис. 9.18 сплошной ли-
нией, о состоянии системы можно было приближенно судить по
границе, показанной на рис. 9.18 пунктиром. Если имеется до-
полнительная информация, например, о состоянии системы при
воздействии комбинации усилий, соответствующей точке А, гра-
ницу области устойчивости можно уточнить (штрихпунктирная
линия на рис. 9.18).
9.4. НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ СИСТЕМ, СОСТОЯЩИХ
ИЗ ПЛАСТИН, РАБОТАЮЩИХ НА УСТОЙЧИВОСТЬ,
И СТЕРЖНЕЙ
9.4.1. Панель, подкрепленная стрингерами
Пластины, используемые в конструкциях летатель-
ных аппаратов с целью повышения критической ивгрузки, как
правило, подкрепляются системой продольных элементов — стрин-
геров (рис. 9.19). Однако такое подкрепление не исключает мест-
ной формы потери устойчивости — т. е. выпучивания панелей
обшивки между стрингерами (пунктирная линия на рис. 9.20, а).
Это явление необходимо учитывать при расчете и конструиро-
вании панели.
Рис. 9.19. Панель, подкрепленная стрингерами
12 И. Ф Образцов и др.
353

$ ________ь
Рис. 9.20. Распределение напряжений л"
ширине панели (а); в докритическом состоя j
нии (б); после потери устойчивости обшивки
(в); и приведенной обшивке (г)
В докритическом состоянии на-
пряжения распределяются равномер-1
но по ширине панели (см. рис. 3.20,6)
т- и определяются равенством
°»=№+%;• <9-62»
При возрастании внешне1'О распре-
деленного усилия N напряжения о0
в пластине достигают критического!
значения, определяемого формулой
(9.48), т. е.
акр = 3,6.Е(4)2>	(9.63)
и пластина теряет устойчивость. Усилие, при котором это проис-
ходит, можно найти по формуле (9.62), если принять в ней сг0 =
= т. е.
^ = Окр(Л + 2-^-).
При N > NVp нагрузка воспринимается в основном стрингерами,]
однако пластина также продолжает работать. Примерное рас-
пределение напряжений в ней показано на рис. 9.20, в сплошной
линией. В средней части пластины напряжения сохраняются на
уровне оир, а вблизи стрингеров, с которыми она связана, напря-
жения, очевидно, будут близки к напряжениям в стрингере аст.
Для того чтобы определить восприятие нагрузки пластиной после
потери устойчивости, необходимо знать точный закон р а спреде-□
ления напряжений, который можно найти только в результате
решения сложной нелинейной задачи о закритическом поведении
пчасгины. Для приближенной оценки этого вклада можно по-
п лгаться осреднить это неизвестное распределение по ширине
пластины (пунктирная линия на рис. 9.20, е). Различные под-
ходы к решению рассматриваемой задачи различаются способами
такого осреднения. Наиболее плодотворным из них оказался
подход, предложенный Т. Карманом и основанный, по существу,
на определении среднего напряжения по правилу среднего гео
метрического, т. е. (см. рис. 9.20, е)
оСр — "К^ОкрОст-	(9.64)
Таким образом, доля усилия, воспринимаемого обшивкой, равня
асрд. Ввиду того, что основную роль в восприятии внешней на-
грузки играют стрингеры, приведем обшивку к стрингерам,
т. е. будем условно считать в соответствии с рис. 9.20, г, что
в полосках шириной Ьир/2 напряжения в обшивке равны
354

в средне! части они вообще otcvtctbvjot. Тем самым обшяша
•.меняется двумя полосками с прьвсхл-ынии шириной, которые
1исоедамя«отся ж стрингерам. Ус.	тдлеттгостж такой
вид о^95 ~ с^т&ор» Отношение V = поиаэы-
1КОД1 f, на какой епмссительной ширине обшивку можно счи-
iTb работающей с напряжениями, равными напряжению в стрнн°
ере, называется редукционным коэффициентом по устойчивости
упомним, что в гл. 5 разд. 5.2,1 был введен редукционный кс&ф-
I циечт по материалу, который также оиовначяжя через <рм).
а основмви определения редукдмпиного коэффициента и фор-
л (9.6'1), (З.и4) падучим
Усилие, воспринимаемое подкреплен ной панелью, определяется,
2ким образом, равенством
N = а„т(чй + 2-^).	(9.66)
Для определения предельного усилия необходимо в еоответ-
гвии с возможной формой разрушения стрингера задать оет
•тот вопрос рассматривается в курсах прочности летательных
аппаратов [14, 15, 17)), по формуле (9.65) найти ф и по формуле
9.66) — Л.
В случае, если обшивка и стрингер изготовлен1>1 из различных
огериалов с модулями упругости £), и /.с. необходимо сначала
-тонзвести редуцирование по материалу (см. разд. 5.2.1) и в со-
ветствии с равенствами (5.8) и (5.10) ввести условную (реду-
цированную) площадь сечения стрингера fv и условные напря-
:'ния в нем ор, т. е.
/р =	. °Р = «СТ .	(9-67)
Стрингер с параметрами (9.67) можно условно считать изготовлен-
!ым нз материала с модулем упругости Еп и использовать для рас-
-₽та панели полученные выше соотношения. В частности, докри-
. ческие напряжения в обшивке ст0 и в условием стрингере ар
>пределяются формулой (9.62), если заменить /ст на /р, а истин-
ные напряжения в обшивке и0 и стрингере о?т согласно равен-
.твам (9.67) будут
п	NbE*
_о   NbEfyr
сТ ’
Критическое значение величины внешнего усилия, вызывающего
потерю устойчивости обшивки
А^ир = окр (^г	).
U*
355

Здесь сгкр определяется соотношением (9.63) при Е £0. Формуле
для редукционного коэффициента ф (9.65) преобразуется к еле
дующему виду [ост заменяется иа ор, а ир выражается
через ост с помощью второго равенства (9.67)1:
Предельное усилие определяется формулой (9.60).
9Лв2в Бало с тонкой С7кккйй
Тонкостенная балка (балкз-стежг), похазамяая на
рис. 9.21, а, является типовой расчетной моделью жерон!
крыла современного самолета. Балка состоит из верхнего (/)
и нижнего (3) поясов, стенки (4) и стоек (2), разделяющие стенку
на систему независимо работающих панелей. При расчете ико«*
стенной балки принимаются следующие гипотезы.
1.	Внешняя нагрузка приложена только в узловых точках)
(если задана распределенная нагрузка» то она распределяется
по узлам).
2.	До потери устойчивости стенка воспринимает только t аса-
тельные напряжения т (см. рнс. 9.21, б). Другими словами, здесь
предполагается, что из трех возможных усилий Nxt и Nxg
плоского напряженного состояния (3.28) в стенке можно учиты-
вать только касательные усилия Nxyt а нормальными силиямн
Nx и можно пренебрегать, поскольку их роль в восприятии!
внешней нагрузки мала по сравнению с ролью поясов и стоек.
Итак, полагая в уравнениях (3.2.8) Nx — Nv = 0, но учим
dNx„fdx — 0, dN.^ldy = 0, т. е. Nxy ~ const, и, следовательнсИ
касательные напряжения т = N,„lh (h — толщина стенки) в пре-
делах панели постоянны.
3.	Пояса н стойки до потери устойчивости стенки ботают
только на растяжение или сжатие.
С учетом принятых гипотез тонкостенная балка оказывается!
статически определимой, т. е. усилия н напряжения во всех ее
элементах могут быть найдены из уравнений равновесия. Рас-
смотрим некоторое сечение cd х = const (см. рис. 9.21, я), в кото-
ром внешние силы образуют поперечную силу Q (х) и изгибающий]
момент М (х) (см. рис. 9.21, б, в), и запишем условия равновесия^
отсеченной части балки. Проектируя все действующие силы на
ось у, получим xhH = Q (х), откуда
” =	(968)
Равенство нулю моментов относительно точек с и d дает
Wn-.= -Wn.. = -^-	(9.69)
356

рис. 9.21, а), очевидно, следует принять т( = 0, а для крайней
правой — т(+1 = 0..
В качестве примера рассмотрим балку, показанную на
рис. 9.23, а. Имеем Q — Р. М = Р (21 — х), т. е. согласно ра-
венствам	(9.68)—(9.70)	т, = т5 = P!hH,	Nn. » =—
= Р (21 — x)IH, N'„ = PylH, Ni, = 0, N3a = —Py/H. Напря -
женное состояние балки показано иа рис. 9.23, б.
°)	D
F’we. 9.23. Расареж-тсяее усилий и напряжений (б) 1 э.^аиентах тониоси»»«й
быкж (а)
357

a)	5)	В)
Рис. 9.24. Зачтена ватервиией устойчивость стеккл (л) ШПММК по I
Тй1?и8заощнж какр^згсний (й) и racm«U еадаурй®н©й©шеиньш нормальный
КГ.ЭрЯл^йЙ 0» К 0$ («$
Из иэлоакеяяого тлде сждуст, что етен^ кадй иг.жлн
находится в состояли чистого сд’йяга и’, следаигте<ид.п©, когда
касательные напряжения t достигают критического значениям
определяемого формулой (9.В5), теряется устойчивое, г» с образо-
ванием системы косых воли» показанных на рис. 9.13. В формуле
(9.55) а bt т. е. при / ;э Н а = / и b ~ Ht я при I < Н9 а '
= Н и Ь=*1.
Для тонких стенок ^sp оказзивйется доеюдьею малой величи-
ной и при дальнейшем возрастании нагрузки балка работает!
со стенкой, потерявшей устойчивость. Строгий анализ поведения
конструкции при этом требует решения исв:лютггельно сложном
нелинейной задачи о закритической деформации пластины пр»
сдвиге, одиако приближеннее решение может быть построено на
основании гипотезы о существовании в стенк<е после потери устой-1
чивости «диагонального» поля растягивающих напряжении. Очи
видно» что после образования системы косых волн (рис. 9.24, а)
стенка в основном воспринимает нагрузку за счет рае.: hi .мощи!
напряжений, параллельных гребням волн. В связи с. э^им будем
считать, что стейка находится в состоянии одноосного растяжении 1
под углом а аз отношению к поясам (см. рис. 9.24, б). Эти напри-1
жения, в свою очередь, можно привести к сшюурависжешенноИ
системе, напряжений ®х, о&, показанной на рис. 9.24, в. Для того
чтобы это сделать, выделим из стенки два элемента, показании™
на рис. 9.25, и рассмотрим их равновесие. Проектируя силы»
действующие на элемент /, на оси х и у и учитывая, что напряЗ
жения о распределены
по площадке со сторо-
ной dx sin ее, получим.
©г «x>s 66 dx sin а — I
— tdx — О,
*	t	t
- л	о sin a dx sin ex —- 1
Рнс. y.2&. Самоуравновешеяная система напря-
жений, догружающая пояса я стойки после по-
тери устойчивости стенки	— ftydx “ 0.
3:3

Аналогично для элемента 2
и cos a dy cos а — ovdy = О,
a sin a dy cos а — х dy ~ 0.
Первое и последнее равенства одинаковые, поэтому в итоге имеем
три соотношения
х = о sin a cos tx, ох = о cos3 а, = о sin3 а.
Выражая из первого равенства о и подставляя во второе и третье,
будем иметь
2х	,	,
Sln^- C'x = Tctga, o, = Ttga.
Из рис. 9.24, в следует, что, рассматривая равновесие отсеченной
части балки и проектируя все силы на ось у, получим для т преж-
нюю формулу (9-68). Таким образом, окончательно имеем
0= мДп'.’а ’ °’ = Т7ГГ,К '-’ °>'=_лЖ1Ва'	<9-71)
Рассмотрим определение угла а. Из рис. 9.24, в следует, что в ре-
зультате потери устойчивости стенки напряжения ох и ау догру-
жают пояса и стойки, уже имеющие усилия (9.69) и (9.70), вызван-
ные внешней нагрузкой, дополнительными сжимающими силами.
Поскольку эти напряжения равномерно распределены по длине
и ширине панели, будем иметь АЛГП. в н •= О,5аж^/7
и ДМт = Д//ст — Ь,ЬСуЫ. Таким образом, с учетом равенств
(9.69), (9.70) и (9.71) для балки, показанной на рис. 9.24, в, будем
иметь Л4 = Р (I — к) и т — PlHh
Nn., = ~тг(1~х) --4-ctga,
“ К (1 Х) 9~
,	(9-72)
=	2-tgcx,
Напряженное состояние стенки, поясов и стоек, определяемое
первым равенством (9.71) и соотношениями (9.72), при произ-
вольном а удовлетворяет всем уравнениям равновесия (откуда
и были найдены напряжения и усилия), т. е. является статически
возможным. Как следует из принципа наименьшей работы, сфор-
мулированного в разд. 1.4.3, истинное напряженное состояние
можно выделить из всех статически возможных, записав условие
минимума дополнительной потенциальной энергии системы I/.
359

В рассматриваемом случае U складывается из энергии обшив!
поясов и стоек, т. е.
О = + О... + П„.. + и'„ + щ, -
= ~2ЁТ hfil + J 2Е,'Х d* + f !£„F„ dx +
0	0
, ? W Л), г" <ЛУ’ .	,0J
+ J + J 2E„Ft,,d!/-	<9-73l
о	0
Здесь Eo, En, Ec, — модули упругости материала обшивки, поясов
и стоек; Рп, Гст — площади сечения поясов и стоек.
Подставляя в (9.73) а из первой формулы (9.71) и усилие
согласно (9.72), после интегрирования получим
тТ /	1	। 2РЛ । A//ctg3a ,
~ 2Hh к Ео sin» a cos» а	3HFx£n + 2EnFn '
. tttg»a 2H4t \
2FCT£rT +3ZFCt£cJ’
Условие минимума U имеет вид dUlda » 0. Окончательно после'
некоторых преобразований из зтого условия получим
tg4a = (l + Pn)Xl + ₽cT),	(9.74)
где рс = HhEtfoEvFri ₽ст = IhEJ^E^F^. Формула (9.74), вы-
веденная для балки с одной стенкой, приближенно считается
справедливой и в общем случае, т, е. используется для определе-
ния угла наклона волн в отдельных панелях тонкостенной балки.
Таким образом, усилия в поясах и стойках могут быть най-
дены с помощью равенств (9.69), (9.70), определяющих состав-
ляющие усилий, образовавшиеся до потери устойчивости стенки,
и равенств (9.71), (9.63), определяющих дополнительные сжи-
мающие составляющие, образовавшиеся в результате потери устой-
чивости стенки.
В качестве примера рассмотрим балку, показанную иа
рис. 9.23. Пусть сила Р такова, что обе панели потеряли устой-
чивость. Предположим для простоты, что параметры балки та-
ковы, что в формуле (9.74) 0П = рст. Тогда tg а = 1, т. е. а =
= 45°. Поскольку для обеих панелей Q = Р, из равенств (9.72)
получим d = п], = PlhH, о* = о» = PihH. В принципе для
определения усилий, образовавшихся в результате нагружения
по схеме, показанной на рис. 9.25, необходимо рассмотреть си-г
стему поясов и стоек как раму. Одиако, учитывая приближен-
ный характер полученных выше соотношений, нагрузку обычно
распределяют равномерно = Для поясов панели 2 будем иметь
&Nn. в —	н — —dlHh!2\ для поясов я анели 1 — а =|
360

 АЛГС.Я — —cxxHhi2\ для ле-
вой стойки AMi = —ctylhl2,\
для средней стойки A2V?T =
— —(су + °v) ^2» для правой
стойки &М4 = — Vylhi2. Окон-
чательно будем иметь
^.^(V-4).
Рис. 9.26. Суммарные усилия в поясах
и стойках
/vn„=-p(V+4)-
№=4-(у-4). №==--£-, ^=-4-(9+4).
Распределение усилий для балки с квадратными панелями (Z =
= Н) показано на рис. 9.26.
9.Б. УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
9.5.1, Уравнения устойчивости и постановка задачи
Гладкие и подкрепленные оболочки широко распростра-
нены в конструкциях летательных аппаратов. Так, иапример,
несущие балки космического летательного аппарата представляют
собой цилиндрическую оболочку постоянной или переменной
толщины. Головные части летательных аппаратов выполняются
в виде конической или оживальиой оболочки. Проектируемые
для погружения в плотную атмосферу Венеры летательные аппа-
раты имеют форму сферической оболочки. При воздействии нагру-
зок, вызывающих сжимающие напряжения, оболочка может по-
терять устойчивость, при этом нарушается ее первоначальная
форма и значительно снижается способность воспринимать на-
грузку. Наиболее распространенными на практике случаями
нагружения оболочек, приводящими к потере устойчивости,
являются воздействия осевой сжимающей силы на цилиндрические
и конические оболочки, внешнего давления на цилиндрические,
конические и сферические оболочки.
Поведение оболочек при потере устойчивости существенно от-
личается от поведения стержней и (пластинок. После достижения
критической нагрузки деформация оболочки в закритической ста-
дам возрастает, а нагрузка падает. В аналогичных же состояниях
для стержней и пластин с увеличением деформации нагрузки не-
прерывно возрастает. В качестве иллюстрации на рис. 9.27 пред-
ставлена примерная зависимость прогиба сферической оболочки
от величины внешнего давления. До давления РКр оболочка рав-
номерно обжимается, сохраняя свою форму, прогиб линейно воз-
растает и может бьтт-.ь опредэлен по безмомеитиой теории оболочек
~Л1

вращения, изложенной в разд. 4.3. После достижения критичя
ского давления сферическая форма нарушается и воспринимаемая
оболочкой нагрузка падает. Полное описание поведения оболочки
требует привлечения сложных нелинейных уравнений, учитываю*
щих изменение ее формы в процессе нагружения. Однако для опре-
деления собственно критической нагрузки этого не требуется -I
достаточно воспользоваться статическим критерием и линеари-
зованными уравнениями устойчивости, т. е. реализовать для обо
лочки схему расчета, изложенную в разд. 9.1.2.
Согласно этой схеме необходимо прежде всего определить до
критическое напряженное состояние оболочки. Наиболее рас
пространенный подход к задачам устойчивости основан на пред-
положении о безмоментном характере докритического состояния I
оболочки. Как было показано, в разд. 4.3.2 для получения урав-
нений, описывающих безмомеитное состояние, изгибиую жесткость
оболочки D следует принять равной нулю, тогда в соответствии I
с равенствами (4.16) исчезают моменты и сохраняются только 1
усилия Na,	связанные тремя уравнениями равновесия |
(4.17). Полагая в иих для докритического состояния в соответ-
ствии с рис. 9.28 Na = — N&, 7V₽ = ~-N$, Nafi = — N^, qa =*
= q$ = 0, qv = —q, получим
а(в^) g(X^p)
да "7* д₽	да + др ~ °’
д(Д^)	дА_	дВ Q
др + др а др
*2	“ 7‘
Здесь А, Ви Rlt R2 — коэффициенты первой квадратичной формы
и главные радиусы кривизны срединной поверхности оболочки
(см. разд. 4.1.1).
Предположим, что решение уравнений (9.75), определяющее
докритические усилия, известно. Тогда для реализации стати-
известно. Тогда для реализации стати-
ческого критерия устойчивости обо-
лочки необходимо придать некото-
рое малое возмущение, характе-
ризуемое дополнительными пере-
Рис. 9.28. Докритичесиие усилия в обо-
лочке

Рис. 9.27. Характер зависимости _ г
гиба сферической оболочки от величи-
ны внешнего давления
про-
362

мщениями и (а, р), о (а, Р), а> (а, Р) (см. рис. S.28). &гя пвреж-
щения вызовут доислкмтельиые деформации ср«ви«ой п<яерх-
||«ТИ (4.12)
1	f © сМ f	и»
е“ ~ Л  На + АВ df. + Я, ’
1	.	и дв .	t®	ш
“ X	+ “лГ“ЭГ +	(}
1 да . 1 dv и дА © дВ
Та₽~-д--^-“Г "д' ,/£ ~~l£T АВ "да 9
углы поворота нормали (4.10)
к 1 йан	v 1 ди)	/О
«» =	= %—В~ёГ	(8-77)
и изменения кривизн и кручение срединной поверхности (4.13)
1 д&а ।	1	8А о	I	। I &В о »л ^q\
** = ~л~нГ ' ^ав~^.л'л‘ «»=-Е—аГ + Чв"аГе“’ (S78)
1 9ва , 1 а«й «<х ад ®в а?
= Т~аГ + Д'~ “"aF~ё» ~ ~ав ~
В соответствии с физическими соотношениями (4.16) возникнут
дополнительные усилия и моменты, показанные на рис. 4.3, т. е.
We = S(«o + Pe«). Ws = B(*P + pee)JVII3 = 0,5B(l —р)тв>,
Ма = D (х„ -(- рие), /Лр = D (хе + !- х<х)	(9.70)
)М = 0,519(1 - р)м^.
Здесь В = £7г/(1 — р2) и Р = Ей*/12 (1 — р2) — мембранная и
изгибная жесткость оболочки.
В соответствии со статическим критерием устойчивости далее
необходимо записать уравнения равновесия оболочки в возму-
щенном состоянии. Как было показано в разд. 9.2.1 и 9.3.1 на
примерах стержня и пластийы, для записи этих уравнений можно
воспользоваться обычными уравнениями равновесия, если заме-
нить в них поперечную нагрузку условной нагрузкой (9.11)
и (9.38), статически эквивалентной действию докритических
усилий в возмущенном состояйин. По аналогии с равенством (9.38)
для оболочки будем иметь
q = N&« + s*on + A’hp-	(S-80)
где ио, х8 и хяВ определяются соо-яюшениями (9.78). Принимая
тиирь » уравнениях ргнаомсиа для оболежи (4.17), (4.18)
лз

Ча = 4t ~ 0, 'К- — Ч и учтивая (9.80), получим линеаризовав
ные уравнения устойчивости
S(BNa) , e(ANas) дВ	.. дА	АВ	п п	'
~лГ“ + —ар----------"Г'-fc- l	+ ~кГ с“ = °-
B(ANti) , a(BWo₽)	rj ВА	ВЦ	AB .
d(BQa) , д(АОЙ „ AB AB ,
+	(9.81)
+ AB (N&a +	-(- АГЩ,) = 0,
- М,-™-+	- ABQa = 0,
Таким образом, задача устойчивости оболочки сводится к урав-
нениям (9.76)—(9.79), (9.81). Методом, описанным в разд. 4.1.3,
эту систему можно свести к трем уравнениям типа (4.20) относи-
тельно трех перемещений. При qa =	= 0 и qv — q они будут
однородными относительно перемещений. Согласно статическому
критерию устойчивости необходимо в общем случае найти такую
критическую комбинацию усилий М, ЛГЦ, Л^р, при которой эти
уравнения имеют ненулевое решение, удовлетворяющее задан-
ным граничным условиям. Типы граничных условий для оболо-
чек были описаны в разд. 4.1.4. Решение задачи устойчивости
для оболочки общей формы связано с большими трудностями,
поэтому в дальнейшем будут рассмотрены типовые случаи нагру-
жения наиболее распространенные цилиндрических оболочек.
Широкий класс задач устойчивости ©писан в книге [12].
9.5.2.	Уравнения устойчивости для цилиндрической
оболочки
Рассмотрим цилиндрическую оболочку, показанную
иа рис. 4.24. Вводя вместо аир осевую координату х и кольце-
вую координату у, в соответствии с ’разд. 4.6.3 будем иметь А =
— В — 1, Я, -► со, = R- В задачах устойчивости широкое
применение получила упрощенная техническая теория цилин-
дрических оболочек, описанная в разд. 4.6.3. Эта теория отли-
чается от общей тем, что в первом уравнении равновесия (9.81)
отбрасывается последний член, а в формулах для углов поворота
(9.77) сохраняются только члены, содержащие прогиб. В резуль-
тате, как было показано в разд. 4.6.3, уравнения технической
теории совпадают с уравнениями теорин пологих оболочек
(4.113)-—(4.119), в которых в рассматриваемом случае следует
364

принять R, -» ОО, R, = R, q, ~ q„ = 0, p = q, где в еоответ-
itbhh с формулами (4.118), (4.11S) и (S.80)
« = -(№^+2М,-^ + №^-).	(9-82)
Заметим, что это выражение совпадает с соответствующим равен-
ством для пластин (9.38).
В разд. 4.6.2 уравнения теории пологих оболочек были све-
дены к одному уравнению (4.127), которое после подстановки
Ri оо, Rs = R и р = q с учетом (9.82) и является линеаризо-
ванным уравнением устойчивости дли цилиндрической оболочки
DV4'VV’® + -j£--^- +
+	(«7ST +	^ + JV^)=0’	<9’83>
где v* = -^r + -^-.
Очевидно, это уравнение является следствием системы (6.39)
в работе [11.
Докритические усилия определяются уравнениями (9.76), ко-
торые в рассматриваемом случае имеют вид
<9-84’
9.5.3,	Устойчивость цилиндрической оболочки
при осевом сжатии
Рассмотрим условия нагружения, показа иные иа
рис. 9.29. Очевидно, решение уравнений (9.85), т. е. докритиче-
ское поле усилий имеет вид
M =	№ = RJ, = O.	(9.85)
Тогда уравнение устойчивости (9.83) можно записать в форме
PVSWV«w + -^--^+WV,V2 (-§!-) = 0.	(9.86)
Необходимо найти минималь-
ное значение W = #Кр, при ко-
тором уравнение (9.86) имеет
ненулевое решение f& (х, у).
удовлетворяющее соответствую А
щим граничным условиям.
Рассмотрим сначала осесим-
метричную форму потери устой-
чивости, т. е. предположим,
что прогиб w ие зависит от
переменной у, а возмущенная
форма оболочки соответствует
Рис. 9.29. Цилиндрическая оболочка»
нагруженная осевыми сжимающими
усилиями Д'
ж

пунктирной линии на рис. 9.29. При w ~ w (х) уравнение (94361
примет вид
n d0® . Eh dhv . ,, rf8® -	n jS
Предположим, что края ободочки х — 0 и х ~ I шарнирно оаШ
ты, т. е.
Решение уравнения (9.87), удовлегиоряющее условиям (9.88), I
будем искать в форме ряда
ш = Hmsln-^p-,	(9.89)1
где т — число полуволн изогнутой поверхности вдоль образу-
ющей оболочки. Подставляя выражение (9.89), в уравнение (9.87),
получим
Очевидно, это равенство будет выполняться в тривиальном слу-
чае, когда Ат = 0, т. е. w — 0, что соответствует исходной форме I
равновесия оболочки. При Дт 0 равенство выполняется только!
при условии обращения сомножителя в квадратных скобках в нуль.]
Из этого условия получим
Для различных целых чисел m получим соответствующие собствен-]
ные значения интенсивности осевой нагрузки N. Минимальное
из этих значений определяет критическое усилие Мкр. Если
оболочку считать достаточно длинной, а число полуволн большим I
числом, то величину (ггал//)2 = tj (вообще говоря, дискретную)
можно полагать непрерывно меняющейся. Тогда необходимое
условие минимума функции (9.90) dN/дц — 0 приводит к следу»!
ющему критическому числу полуволна
= V 12(1 — Р‘)
а само критическое усилие согласно (9.90) имеет влд
]\J —2 V EhP	£ Eh2	g« JI
866

Критические осевы е напряжения будут
п 1 Eh
«р h	|Лз (1 — р*) R '
Эта формула была выведена Лоренцем и Тимошенко. Для боль-
шинства металлов коэффициент Пуассона р равен 0,3. Тогда
выражение для критических напряжений принимает более про-
стой вид
О1ф = 0,6-^-	(9.92)
и показывает, что отношение критических напряжений сжатия
к модулю упругости материала одного порядка с отношением
толщины оболочки к ее радиусу.
Формула (9.92) получена в предположении, что форма потери
устойчивости является осесимметричной. Неосесимметричную
форму потери устойчивости оболочки удается аналитически ис-
следовать только при единственной совокупности граничных
условий на торцах х — 0 и х = I, соответствующих условиям
свободного опирания (4.24), т. е.
w = О, Мх = 0, о = 0,	= 0.	(9.93)
Физически эти условия обозначают шарнирное крепление в отно-
шении прогиба, защемление в отношении тангенциального пере-
мещения и свободный край по отношению к осевым усилиям.
Отметим, что последнее условие (9.93) не противоречит схеме
нагружения, показанной на рис. 9.29. Усилие Nx в (9.93) яв-
ляется дополнительным усилием, образующимся в результате
потери устойчивости, а внешнее усилие уравновешивается до-
критическим усилием (9.85). Как было показано в разд. 4.62
[см. равенства (4.129), (4.133)1, условиям свободного опирания
удовлетворяет разложение типа (9.89). Учитывая, что прогиб
должен быть еще и периодической функцией полярного угла
Р = y/R, представим его в виде
W = X У A„,nsln^~-slnn-^-.	(9.94)
m=l n—l
Подставляя (9.94) в уравнение (9.86) и повторяя рассуждения,
которые привели к соотношению (9.90), получим следующее,
аналогичное ему равенство:
77	1	, О2	zoos)
" ~ 12 (1 — р2)	П (1 -|- О2)21] *
367

Условие минимума приведенной нагрузки N при условии непре-/.
рывности переменной
дает значение критического напряжения, которое определяется
равенством (9.92), т. е. анализ неосесимметричной формы потери I
устойчивости приводит к результату, который соответствует I
осесимметричной форме. Критическая величина параметра! р
позволяет установить, соотношение между числом осевых и коль-1
цевых полуволн изогнутой поверхности оболочки. Отказ/ от
допущения о непрерывности переменной р в формуле для крити-
ческих нагрузок (9.95) и учет дискретности параметров т/ и л
позволяет обосновать приемлемость формулы (9.92) для широ-
кого класса оболочек средней длины [12], таких что j
1-38/т<^<0-57/?-
Экспериментальные исследования, выполненные зарубежными
и советскими учеными, не подтвердили результатов, следующих
из решения (9.92). Критические напряжения оказываются зна-
чительно ниже теоретических, причем, чем меньше относительная
толщина оболочки, тем различие больше. Ниже приведены ори-
ентировочные экспериментальные значения коэффициента 'устой-
чивости k в формуле окр = kEh/R [141:
Rih 250	500	750	1000	1500
k 0,18	0,14	0,12	0,10	0,09
Отмеченное различие между теоретическим н экспериментальными
результатами в настоящее время связывают в основном с нали-
чием в оболочке начальных несовершенств ее цилиндрической
формы.
Определенное влияние на величину критических напряжений
оказывают и краевые условия, которые в действительности могут
отличаться от теоретических условий свободного опирания.
Исследования устойчивости оболочки при граничных условиях,
отличных от (9.93), проводятся по следующему алгоритму. Реше-
ние разрешающего уравнения (9.86) отыскивается в виде суммы
y)~-=^\sinnA£ег»*.	(9.96)
п-3	<=1
Здесь п — количество воли в окружном направлении; и — одни
из восьми корней характеристического уравнения, которое полу-
чается при подстановке в дифференциальное уравнение (9.86)
функции
8У/П = sin л .

В целях удовлетворения восьми граничных условий (по четыре
иа каждом торце) выражение (9.96) подставляется в однородные
краевые условия. Б результате получается однородная линейная
относительно коэффициентов At система алгебраических урав-
нений. Равенство нулю определителя этой системы дает уравне-
ние относительно критической нагрузки. В этом алгоритме для
определения корней уравнения восьмого порядка и для раскры-
тий определителя восьмого порядка используется ЭВМ.
'Расчеты показывают, что граничные условия типа
w =	= ^x = Nxt = 0
или
(FtV	аг п
w = -^ = a = Af« = O
для не очень коротких оболочек снижают величину критических
напряжений примерно вдвое. Конечно, эти граничные условия
так же, как и условия свободного опирания, в конструкции лета-
тельного аппарата в чистом виде ие реализуются, но упругость
закрепления краев оболочки безусловно проявляется в сторону
снижения критической нагрузки по сравнению с классическим
решением. Дальнейшие уточнения величины критической нагрузки
осуществляются путем учета момеитности начального напряжен-
ного состояния реальной оболочки, эксцентриситета приложения
внешней нагрузки, начального изгиба и т. п.
9.5.4.	Устойчивость цилиндрической оболочки
при равномерном внешнем давлении
Перейдем к задаче устойчивости цилиндрической обо-
лочки под действием наружного равномерно распределенного по
боковой поверхности давления (рис. 9.30). Уравнения (9.84)
при q = const дают
М = 0. №ху = 0, N°„ = qR.	(9.97)
Уравнение устойчивости (9.83) принимает вид
Ч-5-)-»-
В случае шарнирного опирания краев
х — 0 и х = I граничные условия
(9.88), как и ранее, автоматически
удовлетворяются, если задать прогиб
в форме ряда (9.94). Подставляя
(9.94) в уравнение (9.98), после уже
неоднократно повторявшихся рас-
Рис. 9.30. Цилиндрическая обо-
лочка, нагруженная равномер-
ным боковым давлением
(5.98)
369

суждений получим следующее равенство, являющееся аналогом
(9.95):
_ °* [Щ->№)•] +	_____
-	+..[(~)- + (т)’]'-
Собственные значения наружного давления q зависят от чийла
полуволн л в окружном направлении и т в направлении обра-
зующей. Из множества чисел т при т = 1 величина q бур.ег
наименьшей. Следовательно, прогиб оболочки по образующей
будет осуществляться по одной полуволне (см. рис. 9.30) и фор-
мула для наружного давления примет более простой вид '
„ _ Г1 । 1 / VI _____________kJ___L_____ (о 99)
IP I п» ( R / J R п, |-1ч_1 ^R у у •	 1
Отыскивая минимум функции q — q (п, n/R, Rll) по п для раз-
личных параметров hlR и RU, можно получить критическое
давление и соответствующую ему форму потери устойчивости.
Для оболочки средней длины, такой что
можно принять, что число полуволн в окружном направлении п
велико и получить приближенный аналитический результат.
Полагая, что n2 > (nR/l), можно упростить равенство (9.99)
следующим образом:
Минимум этой функции имеет место при
«ь,=узб(1 4
и равен
9кр = 0,856-^4(4)-.
Последнюю формулу обычно называют формулой Саутузлла —
Папковича. Оиа подтверждается экспериментальными результа-
тами значительно лучше, чем формула (9.92) для осевого сжатия
(экспериментальные значения получаются в среднем иа 70—
75 % меньше теоретических). Уточнение с/кр осуществляется
в результате учета факторов, перечисленных в разд. 9.5.3.
370

9.5.Б. Устойчивость сферической оболочки гари
внешнем давлении
Потеря устойчивости сферической оболочки под дей-
। ем внешнего давления, разномерно распределенного по по-
сети, начинается с поя в. шил небольшой локальной вмя-
. илн возгмкновеш.й с -н вмятин н выпуклостей по псверх-
। .хи сферы. Будем рассматривать ид. дльную сферическую обо-
1ду, нагруженную нормальными к поверхности статическими
днями, для которой толщина h и радиус срединной поверх-
:ти совершенно не меняются, а материал оболочки абсолютно
эроден и предел его пропорциональности значительно выше
даемых критических напряжений.
Для определения критических напряжений в сфере (критиче-
*о внешнего давления) воспользуемся статическим критерием
гойчивости и составим линеаризованное уравнение устойчи-
- ети.
Согласно уравнениям (9.75) докритическое устойчивое равно-
г-.'24ое состояние рассматриваемой оболочки описывается уси-
лиями
М =	= 0.	(9.100)
угветствующими нормальным напряжениям
а = qR/2h.	(9.101)
ялу локального возникновения вмятины на поверхности сферы
юмеит потери устойчивости смежное изгибное равновесное
:тояние оболочки можно описать уравнениями теории пологих
элочек. Согласно этой теории 'криволинейные координаты сс,
срединной поверхности идентифицируются с декартовыми коор-
натами х, у на плоскости.
Для случая сферической оболочки в уравнениях (4.125), (4.126),
следует принять Rr — R2 — /?, р = —q. Тогда эти уравнения
саоцятся к одному
DV2VaV2i» + -^-V2t« + V*? = 0.	(9.102)
•десь под символом V2 понимается оператор Лапласа
ф = _________
v дх* ду*
Условная нагрузка (9.80) для докритических усилий (9.100),
оответствующих напряжениям (9.101), и для кривизн пологой
"елочки (4.118), (4.119) запишется в виде
q = qR?\?'wl2 =
Тогда уравнение устойчивости (9.102) будет таким:
DVWffl -F oW8V*o> + V’w = 0.	(9.103)
371

Одна из возможных форм потери устойчивости сферы — осесим-
метричная. Представление о такой форме может дать водная по-
верхность, когда в воду сбросили камень. При этом высота греби
ней расходящихся кругов уменьшается по мере удаления от мест^
падения камня. Для описания осесимметричной формы потери
устойчивости перейдем к полярной системе координат (г, ср)
на пологой сферической оболочке. Оператор Лапласа в полярной
системе координат для осесимметричной функции прогиба w (г)
имеет вид
г-2 i d / dw \
V =-------л— ( г -j- )
г dr \ dr }
и в уравнении устойчивости (9.103) тогда следует понимать именно
этот символ V2w.
Положим [12], что форма потери устойчивости описывается
функциями Веселя /0 (1г) первого рода с индексом 0. Эти функ-
ции удовлетворяют уравнения
d-w	,	I	dw	,	л о л
....------р ;,2W = о
сг2	1	г	dr	1
ИЛИ
V2w + 12и> = 0.
Здесь 1а — неопределенный параметр. Тогда из уравнения (9.103)
будем иметь выражение для напряжений в точке бифуркации
°	/>	+ RW ’
Минимум этой функции о ~ а (I2) реализуется прн
-V -/>2о-и -ж <9-104)
и равен значению
Критическое внешнее давление q, соответствующее этому напря-
жению согласно формуле (9.101) [14]
(9-106)|
Таким образом, формула для критических напряжений сферы
(9.105) совпадает с выражением (9.92) для критических напряже-
ний цилиндрической оболочки.
Опыт показывает, что реальные сферические формы тонкостей-1
ных конструкций теряют устойчивость при напряжениях, не пре-
вышающих четверти напряжений, вычисляемых по формуле
(9.105). Дело в том, что технология изготовления сферических
оболочек позволяет получить конструкции лишь с определенной I
372

степенью точности как по толщине ее, так и по радиусу сферич-
ности. Исследованиями же установлено, что жесткость оболочки
существенно уменьшается при даже малом начальном прогибе
и смежное равновесное состояние возникает при внешнем давле-
нии, более низком, чем получаемое по формуле (9.106). Наличие
локальных зон пластических деформаций, возможных внешних
возмущений, микронеодиородностей в материале — все это также
снижает уровень критических напряжений. В практике экспе-
риментальных исследований известен случай, когда реальные
критические напряжения в сферической оболочке достигали
90 % от классического значения (9.105). Конструкция была
столь совершенна, что при отношении радиуса к толщине, рав-
ном 165, максимальные отклонения по толщине составляли 3/'4 %,
а изменения по сферическим — 0,01 % от радиуса.
На практике для определения расчетных критических напря-
жений и внешнего давления сферических тонкостенных конструк-
ций высокого класса изготовления можно пользоваться форму-
лами орасч = kiEh/R, 9расч == ^Е (h/R)* и приведенной ниже
таблицей [141:
	Л/4	«260	S00	760	1000	1Б00
	Ь1	0,15	0,12	0,10	0,08	0,075
		0,3	0,25	0,20	0,16	0,15
Нередко реальные конструкции летательных аппаратов не удов-
летворяют перечисленных выше условий, при которых получают
формулы для критических напряжений (9.92), (9.105).
Удовлетворительные результаты по сравнению с эксперимен-
тальными данными получаются при расчете локальной потери
устойчивости в виде одной или нескольких вмятин или выпук-
лостей. При этом учитываются условия сопряжения с невозму-
щеиной поверхностью оболочки [1 ]. Решение задачи рассматри-
вается с позиции теории пологих оболочек при различных вариан-
тах условий сопряжений по контуру волнообразования. Наи-
меньшее значение из получающихся критических напряжений
предлагается применять при практических расчетах.

ГЛАВА 10
КОЛЕБАНИЯ КОНСТРУКЦИЙ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ |
АППАРАТОВ
16.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ
ДИНАМИКИ. УПРУГИХ СИСТЕМ
ЮЛ Л. Расчетная схема конструкция
Современные летательные аппараты различных форм
и назначений являются сложными динамическими системами.
Силовая конструкция летательного аппарата состоит из тонко-1
стенных элементов, является упругодеформируемой и в процессе!
эксплуатации может совершать колебательные движения. В ди-
намике упругих летательных аппаратов возникает много раз-1
личных проблем, связанных с определением динамических на-
грузок, обеспечением устойчивости, снижением уровня вибраций
и шума. Эти проблемы долзкны решаться при проектировании
и доводке конструкции и системы автоматического управления I
летательного аппарата. Для этого должны быть выполнены coot- I
ветствующие теоретические исследования и расчеты и проведены I
необходимые эксперименты на моделях или натурных объектах.]
Для теоретического решения проблемы должна быть выбрана
соответствующая расчетная схема, математическая модель кото-1
рой адекватно описывает все характерные особенности рассма- j
триваемого явления. В зависимости от вида конструкции и ха-
рактера возбуждения в колебаниях может участвовать вся кон-
струкция или только ее части. Например, для самолетов с лег-1
кими гибкими крыльями и массивным жестким фюзеляжем при
колебаниях крыльев фюзеляж практически остается неподвяиЛ
ным. Аналогичная картина может наблюдаться при колебаниях
других частей или элементов летательного аппарата, таких как
рули, панели обшивки, тяги рулевого управления, блоки аппа-1
ратуры и пр. Такие локальные вибрации могут происходить только!
при существенной неоднородности жесткостей и масс, что является
характерным для сложных составных тонкостенных конструкции
летательных аппаратов.
При выборе расчетной схемы для конструкции в целом или для
отдельных ее элементов обычно используются известные прибли-
женные модели в виде пружин, балок, пластин, оболочек, про-
странственных тонкостенных систем н их комбинаций. Например,,
самолет с прямыми или стреловидными крыльями бсльшогш
удлинения может рассматриваться как система перекрестный
балок, работающих иа изгиб н кручение; панель обшивки может]
рассматриваться как пластина или пологая оболочаа, опираю*
374

Рис. 10.1. Расчетная схема корпуса
летательного аппарата:
и —балка; б •— совокупность отсеков:
в — совокупность дискретных мае
1 vfx, t)
6)
щаяся на неподвижные пол-
ки лонжеронов и иервю*'
(шпангоутов).
В качестве примера по-
строения расчетной схемы
рассмотрим тонкостенную
конструкцию типа корпуса летательного аппарата (рис. 10.1, а).
Для анализа поперечных колебаний расчетная схема может
быть выбрана в виде балки, удовлетворяющей гипотезе плоских
сечений без учета сдвигов, поперечное перемещение оси которой
характеризуется функцией v (х, t). При распределенной массе
балки т (х) поперечные колебания описываются дифференциаль-
ным уравнением в частных производных и система имеет беско-
нечное число степеней свободы. Может быть построена более
простая дискретная модель, обладающая конечным числом сте-
пеней свободы. Для этого балка разбивается поперечными
сечеииямн на конечное число отсеков, а в качестве неизвестных
рассматриваются поперечные перемещения vh (t) и углы поворота
Фд (/) в сечениях, разделяющих отсеки (см рис. 10.1, б). Через
ннх выражается перемещение v (х, I) в других точках отсеков,
причем для упрощения вычислений часто считается, что жест-
кость и масса не изменяются по длине отсека. И, наконец балка
может быть заменена системой упругосвязаниых сосредоточен-
ных масс при этом в качестве неизвестных рассматриваются
поперечные перемещения этих масс од (0 (см. рис. 10.1, в). Более
точная расчетная схема рассматриваемой конструкции получа-
ется при учете сдвигов, инерции вращения и относительных
движений наполнителя, а также депланаций сечений и местных
податливостей в районе вырезов и сочленений. Такне уточнения
необходимы, например, если предполагается рассчитывать коле-
бания по более высоким формам (сильно меняющимся вдоль
длины) или колебания, вызванные ударными воздействиями.
Таким образом, расчетная схема представляет собой некоторую
упрощенную модель конструкции, справедливую в опре-
деленных пределах н ориентированную на решение определен-
ного класса задач.
Далее будут рассматриваться только малые колебания, при-
чем считается, что система является физически и геометрически
линейной. Связи, наложенные на систему, считаются стационар-
ными и идеальными.
10.1.2. Принцип Даламбера—Лагранжа
Уравнения колебаний систем с сосредоточенными или
распределенными параметрами можно составить исходя из об-
375

щего принципа Даламбера — Лагранжа, который является обоб
щением иа задачи динамики вариационного принципа Лагранжа
(см. разд. 1.3, гл. 1). Согласно равенству (1.28) для статической!
задачи должно выполняться условие бU — 6Л — 0. Примени.^
тельно к задаче динамики идеальной .упругой системы, у которой I
не происходит рассеяния энергии, учитывая согласно принципу]
Даламбера силы инерции, будем иметь
&U — 6ЛР — 6Л< = 0.	(10.1) 1
Здесь 6(/—вариация потенциальной энергии системы; бЛр и
6Л4—вариации работы внешних и инерционных сил. Отметим,!
что вариации энергии и работы вычисляются иа любых возмож-1
ных Перемещениях, т. е. таких, которые не нарушают оплошно-1
сти тела и наложенных на систему геометрических связей. При 
этом вариации перемещений считаются бесконечно малыми., чтобы
в пределах их изменения инерционные силы и внешние силы (если
последние зависят от перемещений или их производных) можно |
было считать постоянными при вычислении их работы.
Для системы с распределенной массой плотности р, находя-
щейся под действием поверхностной нагрузки с вектором р,
вариации работы внешних и инерционных сил равны
6АР= fJptadS. = ДрайвdV, (10.2)
где V и S —- объем и поверхность тела; и — вектор перемещений I
точки тела. Для системы сосредоточенных масс где k = 1,
2, имеем
= £ Р,6вй. 6А, = - Е |»л6вк.	(10.3)
Здесь Ph и uh — векторы внешних сил и перемещений, отсчиты-1
ваемых от положения равновесия.
Уравнение в вариациях (10.1) рассматривается совместно I
с уравнениями геометрических связей (уравнения неразрывности, |
геометрические условия сопряжения, геометрические граничные |
условия). Из уравнения (10.1) могут быть получены дифферента- 1
альные уравнения движения, статические граничные условия,!
а также статические условия сопряжения.
10.1.3» Уравнения Лагранжа в обобщенных
координатах
Пусть расчетная схема системы с учетом геометрических]
связей имеет s-степенен свободы, т. е. s взаимно независимых!
движений, которые она может совершать. При этом перемещении 1
системы выражаются через s-обобщенных координат qt (/), i w
= 1, 2, ... s, которые являются скалярными функциями вре-
176

менн и могут быть перемещениями или углами поворота в отдель-
ных точках системы
МО «^(<71(0, МО) (*=h 2, ...),	(10.4)
или параметрами, характеризующими движения по любым за-
данным линейно независимым возможным перемещениям
и(х, у, z, t) = u(x, у, z, М0---&(0)-	(Ю.5)
Из уравнения (10.1) с учетом независимости произвольных
вариаций обобщенных координат bqt могут быть получены извест-
ные из теоретической механики уравнения Лагранжа в обобщен-
ных координатах
d { дТ \ дТ . dU	t; i о	\ лл
-л	+	=	(, = 1’2.....s)-	<10-6)
Здесь Т и U — кинетическая и потенциальная энергия системы,
записанная в обобщенных координатах; Qi (f) — обобщенная
сила, соответствующая обобщенной координате qt (/). Чтобы
получить выражения для обобщенных сил, необходимо с учетом
зависимостей (10.4) или (10.5) записать вариацию работы внеш-
них нагрузок в виде
6ЛР= Ее;б?г.	(10.7)
Если внешние силы отсутствуют или если в более общем случае
они имеют потенциал П (qlt ..., qs) и
<2- = --^	2-	S)-	<10-8)
то рассматриваемая система с идеальными стационарными свя-
зями является консервативной. В этом случае, используя урав-
нения (10.6) с учетом (Ю.8), можно показать, что для такой си-
стемы имеет место закон сохранения механической энергии
Т + U + П = const.	(10.9)
Внешние силы, удовлетворяющие условиям (10.8), называются
консервативными.
10.1.4. Уравнения малых колебаний системы
с конечным числом степеней свободы
Рассмотрим малые колебания (отклонения) системы
относительно некоторого положения равновесия, в котором она
находится, если на нее не действуют возмущающие силы. Для
общности положение равновесия будем считать как устойчивым,
так и неустойчивым. Последний случай часто встречается в ди-
намике упругих летательных аппаратов, находящихся в усло-
виях свободного полета.
377

Будем отсчитывать обобщенные координаты от положения рав ;
новесия, считая, что в положении равновесия они равны нулю,
т. е. qt = q2 = ... = qs — 0. В положении равновесия потен-]
циальная энергия U имеет стационарное значение (см. разд. 9.1),
поэтому
(•^-)о = С =	•••	<10-10’
где нижний индекс «0» показывает, что производные вычисляются I
при = q2 = ... = qs = 0. Если в положении равновесия си-
стемы ее потенциальная энергия является минимальной, то это
положение устойчиво, в противном случае положение равнове-
сия неустойчиво. Запишем выражение для потенциальной энер-
гии как функции обобщенных координат U q2, ..., qB). Рас-
кладывая ее в ряд Тейлора в окрестности положения равновесия!
и ограничиваясь квадратичными членами, получим
и=+S Ш +4 Ё S (те)» <101 ’ >
/=1 1 /=|
Здесь Uе == U (0, 0, ..., 0) является несущественной константой,I
которую можно приравнять нулю, если считать, что в положении!
равновесия потенциальная энергия равна нулю. С учетом уело- |
вий (10.10) потенциальная энергия системы (10.11) при малых!
колебаниях относительно положения равновесия принимает вид
квадратичной формы обобщенных координат
s s
и = (10-12>
Коэффициенты
1	\ dqt dqj /а
называются коэффициентами обобщенных жесткостей; они ян
ляются симметричными, т. е. ky = k}i.
Если положение равновесия, около которого колеблется
система, устойчиво, то квадратичная форма (10.12) является по
ложительно определенной. Это значит, что при любых действи-
тельных значениях переменных дг, q2, ..., q8, если все они одно
временно не равны нулю, потенциальная энергия принимав
только положительные значения.
Рассмотрим сначала распределенную систему. Раскладывая
вектор перемещения (10.5) в ряд Тейлора вблизи положении
равновесия qy = q2 = ... == qs = 0 и ограничиваясь линейными
членами, получим
в=ЁШ»^ <1<ш’
*=1
378

c провзесгтаг» ^й^Чс/eBJe зависят от зрименн. Тогда вджацде
фШ'2^5Шйе скорость и /скороде сл^елякгэгл пак
м" §(% )Л!-
»”j(-€)>- (МШ>
запишем выражение для кинетической энергии системы с учетом
формулы для скоростей (10.14)
r-Hjf	- 4- Ш <• j (-&).«£ (-§-).«"
ИЛИ
=	(’°-16)
Коэффициенты
'"‘НИрШоЮл	<1ол6)
называются коэффициентами обобщенных масс. Они являются
симметричными, т. е. m(j -= тп. Для определения обобщенных
сил Qt (t) выражение для вариации работы внешних сил (10.2)
приведем к виду (10.7) с учетом (10.13)
8^ = jJ₽S(-t-)o6”dS=-XC‘e’-
S i=i	/=1
Отсюда
«НЮл <10Л7)
S
Аналогичным образом получаются выражения кинетической энер-
гии системы сосредоточенных масс и вариации работы сосредото-
ченных сил. В этом случае производные (ди/с^Оо заменяются на
(dUb/dq()Ot которые определяются из зависимостей (10.4)8 а инте-
гралы заменяются суммами по всем сосредоГ'’<лгемимМ массам.
37Р

k — 1, 2, ... . В результате коэффициенты обобщенных масс и
обобщенные силы записываются в виде
‘	а	(10.18)
Если распределенная система в некоторых точках (хй, tfe, zft)
имеет сосредоточенные массы р,Л, на которые действуют сосре-
доточенные силы Pht то в этом случае коэффициенты обобщенных!
масс представляются в виде сумм выражений (10.16) и (10.18),
а обобщенные силы—в виде сумм (10.17) и (10.18). Если при
этом сосредоточенные массы крепятся к распределенной си-
стеме жестко, так что их относительные смещения отсутствуют, то
и„(0 = (**- У», ч, <)•
Подставим выражения кинетической и потенциальной энергии
(10.15) и (10.12) в уравнения Лагранжа (10.6). Получим систему
линейных дифференциальных уравнений малых колебаний
Ёт|Л+ЁМ/ = й(0 (1=1.2..............S).	(10.19)
К этим уравнениям следует добавить заданные начальные усло-
вия для обобщенных координат qt и обобщенных скоростей qt
при t = 0. Уравнения (10.19) можно также получить исходя из
общего уравнения принципа Даламбера—Лагранжа (10.1). На
основании (10.12) с учетом условий симметрии коэффициентов klt
вариация потенциальной энергии равна
61/= Ё Ё Mi6?!-	(10.20)
fcM /-1
Запишем выражение (10.2) для вариации работы инерционных!
сил в системе с распределенной массой. С учетом (10.13), (10.14)
получим
V /«1	1^1
S 8
= -
Подставим полученные выражения 6£7 и f>Ait а также выраже-
ние (10.7) для 6ЛР в уравнение (10.1) и перенесем все члены в ле-
вую часть
L 4~ S} muQi ~ Qi ] fyt ~ 0.
380

Так как вариации обобщенных координат 6(/г произвольны и
независимы, то выражения в квадратных скобках должны рав-
няться нулю. Таким образом получаются уравнения (10.19).
Систему линейных дифференциальных уравнений (10.19) за-
пишем в матричном виде
Mij + Kq^Q.	(10.21)
Здесь Ж и К являются матрицами коэффициентов обобщенных
масс и обобщенных жесткостей, q и Q (t) являются векторами-
столбцами обобщенных координат и обобщенных сил:
(10.22)
Матрица инерции М и матрица жесткости К являются симме-
тричными матрицами, т. е.
ЛГ = М, № = К,	(10.23)
где индексом «т» обозначено транспонирование.
Запишем также выражения для кинетической и потенциальной
энергии (10.15), (10.12) н вариации работы внешних сил (10.7)
в матричном виде
Т = 4-^Л1?,
и = -^q-Kq,
(10.24)
6ЛР = Q'Sq = &qTQ.
10.1.5»	Дифференциальные уравнения колебаний
упругих систем с непрерывно распределенными
параметрами
В предыдущих главах были рассмотрены различные
расчетные модели упругих систем (трехмерные тела, стержни,
пластины, оболочки) н получены дифференциальные уравнения
статики этих систем. Соответствующие уравнения колебаний
можно получить, если в дифференциальных уравнениях статики
наряду с внешними силами учесть инерционные силы.
Дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях
элемента упругой системы в общем случае можно представить
в векторном виде
Lu — p,	(10.25)
381

где ® —• вектор иеремещеыш точки системы; р — вектор и
пределенных внешних сил, действующих иа элемент систаЦ
£—линейный дифференциальный оператор в виде гяэдра-f
матрицы^ размерность которой равна размерности векторе»
и р. Векторы й и р можно рассматривать как обычные веки
или как векторЫ'Столбцы; в последнем случае параду с вели
нами перемещений и сил они могут содержать ал «• предс
вляющие углы поворота и моменты. При юпебиннял виенЫ
нагрузка и перемещения зависят не т< пы:о от _::ор яиг ' расе»
триваемой точки системы, но и от времени t. На основании кт
ципа Даламбера вектор инерционных сил, действующих иа я
мент системы, равен
А = — тй,	(10J
где т — удельная масса рассматриваемого элемента, отнесет)
к единице длины, площади или объема Дифференциальное ypi
некие равновесия (10.25) с учетом сил инерции (10.26) переход
в дифференциальное уравнение колебаний
La — p — тй.	(10.!
При этом граничные условия остаются такими же, как и в зада
статики. Для уравнения колебаний должны быть заданы начал
ные условия; в начальный момент времени t — 0 должны би
заданы векторы перемещения и и скорости и для всех точек <
стемы. Таким образом, если известны дифференциальные ypi
иения статики упругой системы, то составление уравнений
лебаний ие вызывает затруднений. Для примера далее при
дены дифференциальные уравнения поперечных колебаний стера
и пластины, которые получаются из соответствующих диффея
циальных уравнений изгиба (1.37), (3.62).
Дифференциальное уравнение поперечных колебаний пр я»
линейного стержня переменного сечения под действием раса
деленной поперечной нагрузки q (х, t) записывается в виде I
=	(10-I
где и (х, 0 — поперечное перемещение: т (х) — распределена
масса стержня.
Дифференциальное уравнение поперечных колебаний тг.нк*
изотропной пластины постоянной толщины h под действием г
перечной нагрузки q (х, yt t) имеет вид
DVW = q (х, у, 0 — тй,	(loJ
где w = w (х, у, 0, m = р/г, р — плотность материала и;
СТИНЫ.
Дифференциальные уравнения колебаний тонких оболо’
получаются из уравнений статики (4.20), если в последних учй
382

i илы инерции, отнесенные к единице площади срединной поверх-
юсти оболочки
Llu«z 4- Llvv + £lww = Ча = тй,
LZtlu L2vv + LZvw = q& — tnv,	(10.30)
£gu^ “I"	4~ ^-ВиД’ ™ Qy — fflW.
10.1.6.	Интегральные уравнения колебаний
упругой системы
Принцип составления интегральных уравнений, которые
широко используются в задачах динамики, рассмотрим иа примере
поперечных колебаний прямолинейного стержня (рис. 10.2). Пусть
для закрепленного стержня построена функция G (х, |), называе-
мая функцией влияния и представляющая собой поперечное пере-
мещение в точке х от единичной силы, приложенной в точке £
[22]. В силу теоремы о взаимности перемещений для линейной
системы функция влияния является симметричной, т. е. G (х, |) =
G (£, х). Перемещение в точке х от действия в точке '£, силы Р%
тогда будет равно v -= G (х, £) Р%. При колебаниях на стержень
действует распределенная нагрузка q (х, t) —т (х) б(х, I). Раз-
бивая стержень на элементы длиной полагая Р% — I? (|, 0 —
— т (£) v (£, t) I dl и суммируя перемещения от нагрузок, дей-
ствующих на все элементы (Ос £ с /), получим интегральное
уравнение поперечных колебаний стержня
i
v(x, t)=$G(x, g)[9(g, t) — m( )v(l, 0]dg.	(10.31)
0
К этому уравнению необходимо добавить заданные начальные
условия при t = 0 для v (х, 0) и v (х, 0). Граничные условия
здесь удовлетворены при построении функции влияния G (х, £).
Аналогичным образом можно записать интегральное уравнение
поперечных колебаний закрепленной пластины, если предвари-
тельно построить функцию влияния G (х, у', т]), представляющую
собой перемещение в точке (х, у) от действия единичной силы
в точке (|, т]):
ш(х, у, t) = ffc(x, у; g, ПН<7(Е. П. *)~т(Е, П)«®(Е.
S
(10.32)
Здесь S — площадь пластины; текущие координаты |иг|, отсчи-
тываемые в направлениях х и у, меняются в пределах площади
пластины S; G (х, у\ г]) — G (£, -q; х, у).
В случае свободной или геометрически изменяемой системы,
которая допускает перемещения без деформаций, функция влия-
ния в обычном понимании не существует. Чтобы получить инте-
383

тральные уравнения колебаний для таких систем, используются
различные специальные приемы. Для примера рассмотрим сво-
бодный стержень, показанный на рис. 10.3. Пусть определена
функция влияния Gk (х, £) при условии, что стержень непо-
движно закреплен, как консоль на левом конце х = 0. Перемеще-
ние свободного стержня представим в виде
в (х, 0 = v0 (t) + Ос (0 х + vh (х, 0,	(10.33)
где v0 и О0 —- перемещение и угол поворота на крае при х = 0; |
vh (х, 0 — прогиб стержня как консоли, закрепленной на крае
х = 0.
Для функции Уй записывается интегральное уравнение (10.31)
и к нему добавляются уравнения динамического равновесия стерж- |
ня в виде уравнения проекций сил и уравнения моментов. В ре-
зультате получим
i
vh(x, 0 = j Gh(x, 5)[9(g, t)	014.
0
I
J [9(L	0]d? = O,	(10.34)
0
I
J 0-m©e(5, 0J6dJ-O.
0
Три интегральных уравнения (10.34) с учетом (10.33) позволяют
определить три неизвестные функции vh (х, 0, v0 (0 и (0.
10.1.7.	Уравнения колебаний систем
с сосредоточенными массами
Такая дискретная система часто используется в каче-
стве расчетной модели. Для ее построения конструкция делится
на элементы, ее распределенная масса заменяется системой со-
средоточенных в узловых точках масс а внешняя нагрузка
заменяется эквивалентной системой сосредоточенных сил Qj {t-.
384

/—1,2, s. В качестве обобщенных координат qt (t) рассма-
триваются перемещения узловых точек. В некоторых случаях
наряду с перемещениями учитыва'ются углы поворота в узловых
точках; при этом можно также учесть моменты инерции приведен-
ных масс и моменты внешних сил. Уравнения колебаний расчет-
ной модели в виде невесомого упругого «скелета», несущего в от-
дельных узловых точках приведенные сосредоточенные массы,
могут быть получены, как для системы с конечным числом степе-
ней свободы с помощью уравнений Лагранжа в виде (10.19) . Кроме
того, уравнения колебаний такой системы могут быть получены
с использованием коэффициентов влияния для перемещений
в узловых точках, так же как и интегральные уравнения для рас-
пределенных систем. Пусть для закрепленной системы известна
матрица коэффициентов влияния для перемещений G ~ Igt/l,
где gif представляет i-e перемещение (угол поворота) от действия
единичной силы (момента) Qj 1, соответствующей по напра-
влению j-му перемещению (gtJ == gJt). При колебаниях системы
та нее действуют сосредоточенные внешние силы (/) и инерци-
онные силы —	/ — 1, 2, .... s. Перемещения в узловых точ-
ках системы, вызванные этими силами,
?« == ij gii(Q> — РЛ) (1—1,2.......*).	(10.35)
Эти уравнения по существу являются дискретными аналогами
интегральных уравнений (10.31), (10.32). Уравнения (10.35)
в матричной форме с учетом обозначений (10.22) имеют вид
q = GQ-Mq.	(10.36)
Здесь М = [р/1 является диагональной матрицей. Уравнение
(10.36) путем умножения слева на О-1 может быть преобразовано
к виду (10.21), т. е.
Mq + Kq — Q.
Здесь К — б?-1 является матрицей жесткости.
Для незакрепленной или геометрически изменяемой системы
матрица К является вырожденной, ее определитель равен нулю
и обратная матрица G — К"1 не существует. Уравнения колеба-
ний для свободной дискретной системы удобнее составлять
в форме уравнений Лагранжа (10.21). Их можно также составить,
используя коэффициенты влияния для системы, закрепленной
статически определимым образом, с учетом ее перемещений как
твердого тела. В этом случае уравнения колебаний в форме (10.36)
дополняются уравнениями динамического равновесия системы
в целом, аналогично интегральным уравнениям колебаний сво-
бодного стержня (10.34).
Ж Ф. Г|" К
385

' tOЛ .8- Редуцирование системы уравнений
В определенных случаях в расчетной модели можно |
пренебречь инерцией движений» соответствующих некоторым
степеням: свободы. Например, при поперечных колебаниях тон-
костенных балок с учетом сдвигов и депланаций поперечных ‘
сечений можно пренебречь инерцией вращений и деплаиацмй
этих сечений. В таких случаях неизвестные функции (обобщенные
координаты), представляющие степени свободы, инерция которых
не учитывается, могут быть исключены из уравнений, за счет
чего порядок системы уравнений может быть понижен.
Рассмотрим систему, колебания которой описываются матрич
ным уравнением (10.21). Часть обобщенных координат вектора
столбца инерция которых учитывается, обозначим вектором
остальные, инерция которых ие учитывается, обозначим век-
тором Соответственно этому матричное уравнение (10.21)
запишем в блочном виде
щ_о] Г?£1	Г5«1^1 [ ?!.] Г?а1
L 0 I 0J Ы	|.К» I	L^iiJ Un]
Отсюда следуют два матричных уравнения:
^ИмФг 4~ Ки$х +	~ Qif
^х + Я«^т = <?п.	(W.37)
Из второго уравнения находим
$11 = KwzQu — ^22*^21^1-
Первое уравнение (10.37) после исключения приводится к виду
Muit + [#„ -	(10.38)
Здесь ХЪ — Кяв и поэтому редуцированная матрица жесткости]
Ки — /С12КЙ/С21 является симметричной. Такны образом порядок
системы понижен до порядка вектора qt.
10.1.9.	Прикладные методы решения задач динамика I
упругих систем
Точное решение уравнений движения таких сложных
систем, какими являются конструкции летательных аппаратов,!
как правило, связано с большими трудностями. В связи с этим
в расчетной практике получили широкое распространение при!
кладные методы, позволяющие получить приближенное решение.
По существу эти методы являются модификацией общих методов,
изложенных в гл. 1 (см. разд. 1.6), в приложении к задачам ди
намики. Подробное описание этих методов будет представлено
далее применительно к конкретным задачам. Здесь дадим только
краткую характеристику.
386

Метод Рэлея — Ритца является вариантом метода Ритца —
Тимошенко» применение которого к задачам статики и устойчи-
вости обсуждалось в разд. 1.6.1 и 9.2.2. Так же, как и метод Рит-
ца — Твмошеико, метод Рэлея — Ритца основан на представле-
нии искомых перемещений в форме ряда (10.5), аналогичного
разложениям (1.70) и отличающегося от них тем, что искомые
коэффициенты разложения являются не константами (Ль Bit
Ci)1 а функциями времени qt (/)• При этом энергетическое соот-
ношение (1.28), соответствующее принципу Лагранжа в методе
Ритца—Тимошенко, заменяется соотношением (10.1), соответ-
ствующим применительно к задачам динамики принципу Да-
ла мбера — Лагранжа. В результате вместо системы линейных
алгебраических уравнений относительно искомых коэффициен-
тов Bit Ct в задачах динамики получается система линей-
ных дифференциальных уравнений относительно искомых функ-
ций времени qt (/). Этот метод позволяет получить точное или
приближенное решение. Примеры применения метода будут рас-
смотрены в разд. 10.4.4.
Метод Бубнова — Галеркииа, описанный применительно к за-
дачам статики и устойчивости в разд. 1.6.2 и 9.2.3, в задачах
динамики реализуется аналогичным образом только по отноше-
нию к уравнению движения, например, к уравнению (10.28)
для балки или (10.29) для пластины. Так же, как и в методе Рэ-
лея — Ритца, разложения искомых функций в ряды типа (10.5)
включают неизвестные функции времени, уравнения для которых
и получаются в результате реализации процедуры Бубнова —
Галеркина, определяемой соотношениями (1.76). Примеры, иллю-
стрирующие метод, будут приведены в разд. 10.4.5.
Метод конечных разностей, который был ранее рассмотрен
в разд. 1.6.5 и 9.2.4 применительно к задачам динамики, исполь-
зуется в двух вариантах. В первом варианте дискретизация си-
стемы с помощью разностных формул (1.83) осуществляется только
по пространственным координатам, например, по х в уравнении
колебаний стержня (10.28) и по х и у — в уравнении для пла-
стины -(10.29). В результате получается система обыкновенных
дифференциальных уравнений, определяющих изменение во вре-
мени искомых переменных, например прогибов стержня и пла-
стины в узловых точках. Второй вариант метода предполагает
использование конечно-разиостных формул для преобразования
всех производных, в том числе и производных по времени. В ре-
зультате получается так же, как и в задачах статики, линейная
система алгебраических уравнений, однако в качестве неизвестных
она включает такие значения искомых функций в узловых точках,
которые соответствуют вполне определенным моментам времени.
Все более широкое применение для решения задач динамики
получает метод конечных элементов (МКЭ) — универсальный
метод расчета сложных пространственных конструкций, описан-
ный в гл. 7. В задачах динамики используется формулировка
13*
387

•метода решения задач в функциях перемещений, причем допол-
нительно к внешним нагрузкам учитываются действующие ня
конечный элемент инерционные силы. Примеры приложения
МКЭ к задачам упругих колебаний будут рассмотрены далее
в разд. 10.5.3.
В заключение отметим, что общая идея прикладных методов,
позволяющая упростить решение и определяющая в связи с этим
его приближенный характер, в задачах динамики заключается
в снижении числа степеней свободы исходной системы. Напри-
мер, если стержень, описываемый уравнением (10.28), имеет
бесконечное число степеней свободы (форм колебаний), то пред-
ставление решения в форме конечного ряда (метода Рэлея — Ритца
и Бубнова — Галеркииа) или разбиение его на участки или эле-
менты (методы конечных разностей и конечных элементов) позво-
ляют учесть ограниченное число степеней свободы, которое опре-
деляется числом членов в рядах или числом разбиений. С увели-
чением этого числа повышается точность и, естественно, трудо-
емкость решения.
10.2. СИСТЕМА С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
10.2.1.	Уравнение колебаний
Уравнение вынужденных колебаний линейной системы
с одной степенью свободы, которая характеризуется обобщенной
координатой qt (i)t без учета демпфирования следует из урав-
нений (10.21) при s — 1, т. е.
"ШИ + Mi (0 =	(0-	(Ю.39)
Рассмотрим в качестве примера простейшую модель механическом
системы с одной степенью свободы в виде упругомассового осцил-
лятора с демпфером вязкого трения (рис. 10.4, а). Уравнение
колебаний с учетом демпфирования можно получить как уравне-
ние динамического равновесия всех сил, действующих на отсе-
ченную часть (см. рис. 10.4, б, в)
тх 4- сх + kx = F (/),	(10.40)
Рнс. 10.4. Модель системы с одной степенью свободы
288

где m, си k — масса, коэффициент вязкого демпфирования и
коэффициент жесткости; х (/) — перемещение, отсчитываемое от
положения статического равновесия; F (0 — заданная возму-
щающая сила.
К уравнению (10.40) должны быть добавлены заданные началь-
ные условия при I == 0:
x(0)-xOt x(O)-vo,	(10.41)
где х0 и v0 — начальное перемещение и начальная скорость.
Без учета демпфирования (с = 0) уравнение (10.40) по виду совпа-
дает с уравнением (10.39).
Для удобства решения уравнения (10.40) запишем его в виде
2 + 2si + ю’х = / (0,	(10.42)
где
10.2.2.	Свободные колебания
Если возмущающая сила отсутствует, то свободные
колебания описываются уравнением
2 + 2sx + <о«х = 0.	(10.43)
Общее решение этого однородного дифференциального уравне-
ния имеет вид
х = е-»1 (Сх sin tot 4- С3 cos &t),	(10.44)
где <5 = •»/<»* — ss.
Здесь & — собственная частота колебаний системы с учетом
демпфирования; со — собственная частота системы без демпфиро-
вания (s = 0); Сг и С9 — произвольные постоянные, которые
определяются из начальных условий (10.41) и имеют вид
01 ~ "7Г	— *о-
(10.45)
Решение (10.44) может быть записано в другом виде
х — Се~“ sin (tot 4- <р),	(10.46)
где С « / £2 4- Cl, q> = arctg-^-.
График свободных затухающих колебаний при о > s показан на
рис. 10.5. Период колебаний
/тч 2л
Т==-&-‘	(10.47)
389

Рис. 10.Б. График свободных затухающих
колебаний
Определим отношение дау д
последовательных ампли-
туд колебаний в моменты
времени 4 и + Т; при
этом считаем, что s3 ы1
и что максимумы отклоне-
ний достигаются в те мо-
менты времени, когда си
нус обращается б единицу«
Имеем
xi __ Се~Я'д _ р.т
*«*« ~ Св“*<*«+Т)
Натуральный логарифм отношения двух последовательных ам-
плитуд колебаний называется логарифмическим декрементов
колебаний
в = 1п—‘—= sT = s Л?-
*i«-l	(it
(10.48)
Б реальных конструкциях природа демпфирования весьма сложна
и коэффициент демпфирования обычно определяют на основании
экспериментальных данных. Если для этого используются сво
бодные колебания, то экспериментально определяется частота Л
и декремент колебаний 6 и после этого по формуле (10.48) нахо-
дится коэффициент «эквивалентного» вязкого демпфирования
2s = -^-.	(10.49)
При этом демпфирование в системе можно считать вязким, если
логарифмический декремент, вычисленный при любом числе л
циклов колебаний как
6 =	(10.50)
« Xi+п	V '
будет величиной постоянной. При слабом демпфировании (sa ®3)
можно считать «5 яз со.
10.2.3*	Вынужденные гармонические колебания
Рассмотрим колебания системы при действии гармо-
нической возмущающей силы F (f) — Fo sin Ш. Уравиевие
(10.42) в этом случае имеет вид
х + 2sx + ®2х = /0 sin Qt,	(10.51)
где f0 = FJm. Общее решение складывается из решения однород-
ного уравнения, которое берется в виде (10.44) или (10.46), и
390

частного решения неоднородного уравнения. Частное решение
равнения (10.51) ищем в виде
= Лг sin Ш 4- cos Rt,	(10.52)
где и Лг — неопределенные множители. Подставив выраже-
ние (10.52) в уравнение (10.51)» получим два алгебраических
уравнения относительно коэффициентов и Аа, из которых
находим
л______ft0*— Qtyfv я ____	__SsQft, ______
~ (fflS £>)* 4- 4eJ£2t» л« -	(©» __ р>)» 4.	’ V v-
Решение (10.52) с учетом (10.53) можно записать в виде
” Л sin (Ш •— сх),	(10.54)
где А = /ЛН Д» = -
’	/(ю1 —tj»)»+4s4>
* Л8	2sQ
а - —arctg= arctg •
С течением Бремени свободные колебания,» представленные выра-
жениями (10.44) или (10.46), затухают и остаются установившиеся
гармонические колебания постоянной амплитуды А с частотой
возмущающей силы Q. При этом колебания отстают по фазе на
угол а от колебаний возмущающей силы. При резонансе Q ®
и а -- я/2.
Амплитуда колебаний А становится максимальной при ча-
стоте возбуждения
= 1/co«~“2s«А	(10.55)
Как видно из формулы (10.55), прн силовом возбуждении колеба-
ний эта частота меньше собственной частоты.
Максимальная амплитуда и угол сдвига фазы при частоте
Q =
*.... = Л, =-$±. а« — arctg(-“*7)•	(10-56)
На рис. 10.6э а показана зависимость от частоты возбуждения
коэффициента динамичности 1, представляющего собой отношение
амплитуды колебаний к статическому отклонению под действием
силы Fo (X Л/хет, хе¥ == FQ/k = На рис. 10.6, б пока-
зано изменение угла отставания по фазе.
Если система находится под действием кинематического воз-
буждения, например, при заданном движении подвески
(рис. 10.4, в) по закону х (I), то при условии, что х (/) предста-
вляет относительное смещение, такое возбуждение эквивалентно
действию силы F (/) = —mx(t). При движении подвески по
гармоническому закону х (/) — х0 sin Q/ (10.54) следует поло-
391

Рис. 10.6. Зависимость коэффициента динамичности (а) и угла сдвига фазы (6i
от частоты возбуждения пр и гармонических колебаниях
жить f0 — Q2z0. При кинематическом возбуждении амплитуда А
становится максимальной при частоте
<106]
в этом случае Q», превышает частоту собственных колебаний.
Максимальная амплитуда н угол сдвига фазы при Q — Q*
А'„ах =	=	a» = arctg(j^-j-2£-).	(10.58)
Упругие металлические конструкции обладают слабым внутрен-
ним демпфированием (s5 < <о8). При этом частоты Q* весьма
близки к частотам собственных колебаний (Q*	© л; ©). Резо-
нансные гармонические колебания также могут использоваться
наряду со свободными колебаниями для экспериментального
определения коэффициента «эквивалентного» вязкого демпфиро-
вания. Если экспериментально определить максимальную ампли-
туду и угол сдвига фазы при резонансе, то после этого по фор-
мулам (10.56), (10.58) можно иайти коэффициент демпфирова-
ния s. При этом возбуждение должно быть таким, чтобы при резо-
нансе амплитуда была достаточно малой и не нарушалась линей-
ность системы.
10.2.4. Колебания при действии произвольной
возмущающей силы
Если / (/) является произвольной заданной функцией,
то решение уравнения (10.42) можно получить методом вариации
произвольных постоянных. Перемещение находится в форме
решения однородного уравнения (10.44), где произвольные по-
стоянные считаются функциями времени, т. е.
X =» Сх (0 Хх (о + С2 (/) Хя (0;
X, (t) = е-*' sin	Хй (0 = г» cos ©t	(10.59)
392

Находим х и при этом полагаем
СЛ +	= 0.	(10.60)
5атем находим х и подставляем выражениях, х, х в уравнение
(10.42). Получим
СЛ + СЛ = f(t).	(10.61)
Решая совместно уравнения (10.60) и (10.61) с учетом обозначе-
ний (10.59), найдем
Ci^-1-f (/) es< Sin at, Ct = --i-f (t) cos St.
Интегрируя, получим
i
Ci =	J f (?) es/ sin бт dx + Dlt
° f	(Ю.62)
C2 =----X- j /(?) esf cos бтdz -J- -D2.
о
В результате решение (10.59) с учетом (10.62) приводится к виду
t
х = e~s/ (Dt sin &>t 4-	cos 60 4- -i-1 f (T)e 5 <ixi sin ® G T)
(10.63)
Произвольные постоянные и определяются по заданным
начальным условиям (10.41)
(уо ~Ь 5<хо)» Dz — Xq.	(10.64)
Первое слагаемое в выражении (10.63) соответствует свободным
колебаниям системы, вызванным начальным отклонением х0
и начальной скоростью а второе слагаемое описывает выну-
жденные колебания, вызванные возмущающей силой F (0 —
— Если демпфирование не учитывается, то следует поло-
жить S — 0 И б — (О,
Рассмотрим два простых примера для системы без демпфиро-
вания (s — 0) при нулевых начальных условиях (х0 =	— 0).
1.	Действие единичной силы, которая внезапно приложена
в момент времени t ~ tg: F (0 — 0 при t < F (0 — 1 при
i > tQ. Решение (10.63) при t > ig будет
i
’	- cos «(t-«„)].
to
График нагрузки и вызванных ею колебаний показаны на рис. 10.7.
Максимальная величина перемещения под действием внезапно
393

Рис. 10.7. Колебания под действием
внезапно приложенной силы
импульсной силы
приложенной нагрузки в два раза превышает статическое пере-
мещение хст — \/k  1/m©8, которое возникло бы при медлен-
ном (статическом) приложении силы. Таким образом, коэффи-
циент динамичности, учитывающий скорость приложения любой
динамической нагрузки, находится в диапазоне от единицы до
двух.
2.	Действие единичного импульса, который приложен в мо-
мент времени / = F (0 = 6 (t — fo), где 6 (t — t0) — импульс-
ная функция (дельта-функция), обладающая следующими свой-
ствами :
ПРН	? 6(( -/,)<« = !.
( со при i — tQ
В этом случае при t > t0
t
* “ "S’ J 6 (т	У sin w (i - г) d-c = -jL- sin m (t
0
Графики импульсной нагрузки и вызванных ею колебаний пока-
заны на рис. 10.8.
10.3.	СИСТЕМА С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ
СВОБОДЫ
10.3.1.	Собственные колебания
Рассмотрим систему с конечным числом s степеней
свободы, вынужденные колебания которой без учета демпфирова-
ния описываются матричным уравнением (10.21). Еслн внешние
силы отсутствуют, то уравнение (10.21) становится однородным
+	(10.65)
394

и допускает решения типа
д (/) = У sin (£>tt	(10,66)
где У — вектор-столбец неизвестных амплитуд ylt уъ, .... у*,
Qi — неизвестная частота колебаний- Подставив решение (10.66)
в уравнение (10.65), получим
[К-&ЛМ] F = 0.	(10.67)
Матричное уравнение (10.67) представляет однородную систему
линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных
элементов вектора У. Эта система имеет ненулевое решение,
когда ее определитель равен нулю, т. е.
det[K-6J2M] = 0.	(10.68)
Из этого частотного уравнения, левая часть которого может
быть представлена в виде полинома степени s относительно в»2,
определяются квадраты частот ®2» toe (нх обычно распо-
лагают в порядке возрастания начиная с низшей частоты). Затем
из уравнений (10.67) для каждой частоты определяются ком-
поненты вектора Уп, п = 1, 2, s.
Таким образом, в системе без внешних воздействий могут про-
исходить гармонические колебания с определенными частотами
шп, каждой из которых соответствует своя форма колебаний Fn,
п — 1, 2, ..., s. Такие колебания (оии могут возникать в резуль-
тате определенных начальных возмущений) называются собствен-
ными колебаниями, а частоты соп и формы Уп называются соб-
ственными частотами и собственными формами колебаний. Соб-
ственные формы колебаний определяются из однородной системы
уравнений (10.67) с точностью до произвольного множителя.
Поэтому они могут быть нормированы, например, так, чтобы
какая-либо компонента вектора для всех форм была равна
единице.
Заметим без доказательства, что вследствие симметрии ма-
триц Л1 и К все квадраты собственных частот и2 и компоненты
векторов собственных форм колебаний Уп являются действитель-
ными числами. Кроме того, если колебания происходят относи-
тельно устойчивого положения равновесия, то все квадраты
собственных частот положительны. Если матрица К является
вырожденной (ее определитель равен нулю), то система имеет
равные нулю собственные частоты, число которых равно де-
фекту матрицы К (дефект равен разности между порядком и ран-
гом матрицы). Каждой нулевой частоте соответствует определен-
ная форма перемещений, при которых потенциальная энергия
системы не изменяется. Например, для свободной (незакреплен-
ной) упругой системы число нулевых частот равно числу степеней
свободы, соответствующих перемещениям системы без деформа-
ций как абсолютно твердого тела.
зчь

10.3.2.	Условия ортогональности
Будем считать, что все собственные формы колебаний
определены. Возьмем какие-либо две формы ¥т и ¥п. Они удов-
летворяют уравнениям
<Гм-^МУт = 0, /<Г-со’7ИГп=О.
Умножим слева первое из этих уравнений на Yn и второе — иа
Fj,KFn o^F^AfF„ = 0.	 1
Используя свойство произведения двух транспонированных ма-
триц ЛТВТ = (ВАу, где А и В — произвольные матрицы,
и условие симметрии матрицы К, получим
У\к F„ = FT„K’F„ = (KYny Y„ = (F’mXF„)T = FT„,^F„.
Выполняя такое же преобразование для матрицы Л1, будем иметь
FLMF„ = YTmMY„.
Вычитая из первого уравнения (10.69) второе и учитывая усло-
вия (10.70), получим (<о„ — ©У YnMYm = 0. Если У= то
УпЛ1Гт = 0 при т^п.	(10.71)
Прн этих же условиях из уравнения (10.69) с учетом (10.71)
следует
УХКт = 0 при	(10.72)
Условия (10.71) и (10.72) называются условиями ортогонально-!
сти собственных форм колебаний. Так как MYm с точностью до
множителя Мт представляет вектор-столбец инерционных сил
m-й формы, а /С¥т — вектор-столбец упругих сил m-й формы,
то условиям (10.71) и (10.72) можно дать следующую физическую!
интерпретацию: 1) работа инерционных сил какой-либо соб-
ственной формы колебаний на перемещениях другой формы
равиа нулю; 2) работа упругих сил какой-либо собственной формы
колебаний на перемещениях другой формы равна нулю.
Таким образом, между различными собственными формами
колебаний отсутствует инерционное и упругое взаимодействие.!
Если в системе имеются кратные частоты, то соответствующие
им формы колебаний могут быть не ортогональными между собой,
хотя каждая из них ортогональна всем остальным формам. Для
удобства формы колебаний, соответствующие кратным часто-
там» можно ортогонализировать. Для этого вместо этих форм
396

берутся их линейно независимые комбинации с неизвестными коэф-
фициентами, которые определяются из условий ортогональности.
Все это относится и к случаю, когда в системе имеются кратные
нулевые частоты.
10.3.3.	Уравнения в нормальных координатах
Чтобы решить задачу о вынужденных колебаниях,
связанную систему дифференциальных уравнений (10.19) удобно
преобразовать к такому виду, чтобы она распалась иа отдельные,
не связанные между собой уравнения. Рассматривая матричное
уравнение (10.21), представляющее собой систему (10.19), запишем
вектор q в виде разложения по собственным формам колебаний
9(0= Е/т(0Гт.	(10.73)
m=l
где (/) — неизвестные функции, заменяющие обобщенные ко-
ординаты Qi (0, i = 1, 2, ..., s. Функции fm характеризуют дви-
жения по ортогональным собственным формам колебаний, по-
этому они называются нормальными координатами. Подставим
разложение (10.73) в уравнение (10.21):
£ l„MYm + ^fmKYm — Q.
m—l
Умножим это уравнение слева на вектор-строку Ул, полагая
в= 1, 2, .... s,
S fmYlMYm + £ fnYlKYm=. r„Q.
m=l	m—l
В силу условий ортогональности (10.71), (10.72) в суммах отличны
от нуля только члены при т — п. Следовательно,
/пГпМГл.+ /пГТлХУп= YIQ (п ~ 1, 2, .... S).
Обозначим
тп=ПЛ1Гп, kn~YrnKYn, Fn^YnQ (10.74)
и назовем тл обобщенной массой, kn — обобщенной жесткостью
и Fn (0 — обобщенной силой п-й формы колебаний. Из урав-
нений (10.69) при т = п следует, что
kn = тае?„.	(!0.75)
С учетом обозначений (10.74) и (10.75) уравнение вынужденных
колебаний в нормальных координатах принимает вид
mnln +	= F„(t) («=1.2.......s).	(10.76)
По виду эти уравнения аналогичны уравнению колебаний системы
с одной степенью свободы (10.40) без учета демпфирования (с = 0).
397

Запишем потенциальную и кинетическую энергию (10.12)
и (10.15) в нормальных координатах, используя разложение
(10.73):
и = 4- Д Д = 4-	4- Д
Т = 4- Е Е = 4 ^"9 = 4- S S М„Ут„мут.
z 6=1 /=1	2	2 n=l m=l
С учетом условий ортогональности (10.71), (10.72), которые вы
полияются при т -/= пу и обозначений (10.74), (10.75) при т = п,
получим
^-=4-е «=4-Ё
.	(10.77)
Т = 4-Е тХ
z П=1
По сравнению с выражениями в произвольных обобщенных коор-
динатах остаются только члены, содержащие квадраты нор-
мальных координат.
10.3.4.	Учет демпфирования
Б реальной системе, моделирующей конструкцию, все-
гда присутствует внутреннее демпфирование. Если оно достаточно
мало и незначительно влияет на собственные частоты и формы ко-
лебаний, а также на взаимодействие различных форм колебаний,
то его можно учесть приближенно в виде «эквивалентного» вяз-
кого демпфирования. Для этого в уравнения в нормальных коор-
динатах (10.76) по аналогии с уравнением для системы с одной
степенью свободы (10.40) вводятся дополнительные члены, про-
порциональные скорости нормальных координат Д:
+ mnd)nEnfn + mr^nfn = Fn(0 (л =1,2,	s). (10.78)
Здесь еп — безразмерный коэффициент вязкого демпфировании]
для л-й формы колебаний. Он определяется или на основании .
статистических данных для типовых систем, или на основании
экспериментальных данных для рассматриваемой системы.
Решения уравнения (10.78) при каждом значении л = 1,
2, ..., s записываются по аналогии с решениями уравнения (10.40),
для чего, как следует из сравнения уравнений (10.40) и (10.78),
в этих решениях следует выполнить замену
т->-тп,	2s->(onen. (10.79)
Для экспериментального определения коэффициента демпфиро-|
вания еп возбуждаются установившиеся резонансные колебания
398

по n-й форме. После снятия нагрузки происходят свободные
-затухающие колебания по я-й форме с частотой взп. Заме-
рив в какой-либо точке две последовательные амплитуды колеба-
ний и определив логарифмический декремент 6П, затем по фор-
муле (10.49) с учетом замены (10.79) можно найти коэффициент
демпфирования для л-й формы колебаний
eft = 6П/Я.	(10.80)
Коэффициент демпфирования еп можно определить также
по значению максимальной амплитуды в какой-либо точке системы
при резонансе по n-й форме колебаний при действии заданной
гармонической силы.
10.3.5.	Формула Рэлея
Пусть идеальная система совершает свободные колеба-
ния с частотой © по закону qt (t) — yt sin to/, где ys — ампли-
туда колебаний, i — 1, 2, .... s. В моменты времени, когда си-
стема проходит через положение равновесия qt = 0, ее потен-
циальная энергия (10.12) равна нулю, а кинетическая энергия
(10.15) максимальна, т. е.
I/ = О, Т ~ Гот„ =	£ £ mljV,y,
В моменты времени, когда sin tot — ±1, потенциальная энергия
становится максимальной, а кинетическая обращается в нуль,
т. е.
V =	~	Г = 0
2 г-н /-1
Ча основании закона сохранения энергии (10.9) следует, что
7\яах - откуда получаем формулу Рэлея
“’= ^Ё ДМ^ДЁ Ё "Ml»,)	(10.81)
или
Формула Рэлея дает точное значение собственной частоты колеба-
ний, если вектор У = {г/8-| точно представляет соответствующую
форму колебаний, тогда эта формула переходит в (10.75).
Формула Рэлея позволяет установить следующие экстремаль-
ные принципы: 1) среди всех возможных значений вектора Y
истинными формами колебаний будут те, которые сообщают дроби
Рэлея [правые части (10.81) и (10.82)1 стационарное значение;
399

2) форма колебаний, соответствующая низшей собственной частоте,
сообщает дроби Рэлея минимальное значение, т. е.
= (10ад
где к сравнению допускаются любые формы возможных перемс*
щений У =/= 0.
Соотношение (10.83) позволяет получить приближенное завы
шенное значение низшей частоты колебаний, если низшую форму
колебаний аппроксимировать некоторой заданной формой [8]
На основании формулы (10.81) Рэлеем доказаны теоремы
влиянии изменений массы и жесткости системы, а также нало-
женных на нее дополнительных связей (20). Они заключаются
в следующем: 1) увеличение массы системы уменьшает или в край-
нем случае не изменяет ее собственные частоты) 2) увеличение
жесткости и наложение идеальных геометрических связей при-
водят к увеличению собственных частот системы или в крайних
случаях оставляют их без изменения.
10*3.6. Пример
В качестве примера рассмотрим систему с двумя ст«
пенями свободы, показанную на рис. 10.9, а. В качестве обоб.
щенных координат qL (/) и q2 (t), характеризующих продольны-
колебания этой системы, будем рассматривать абсолютные про
дольные перемещения сосредоточенных масс (в этом случае coot
ношения (10.4) имеют вид — с/, п2 — <7г)-
Уравнения колебаний» Потенциальная энергия деформации
двух пружин жесткости Xj. н ха
и=4 *<??+4*> (<?« - <?.)’
Кинетическая энергия системы
Рис. 10.9. Система с двумя степе-
нями свободы (а) и формы ее соб-
ственных продольных колебаний (б)
т -
Вариация работы возмущающим
сил (10,7)
Мр ~ P\§q* + P&fa
поэтому в этом случае = /\
& == Ра-
Выражения Т, Qy и Q2 можно
было также получить, исполыуя
общие формулы (10.15), (10.18) и
учитывая, что = qls us //в
Далее для упрощения вычислений
примем = 4р, р, = р, Ку

ха ~ к. На основании уравнений Лагранжа (10.6) получим урав-
нения вынужденных колебаний
+ 4х^г — х<7я = Pi (t)t .
Ms — *91 + кЧг = р2 (О
или в матричном виде
Mq + Kq = Q,
Г4и 0] Г 4% —и] fftl f/’i’l
гделЧо J- Н-к J- HJ*
Собственные частоты и формы колебаний. Определим собствен-
ные частоты и формы колебаний. Для этого используется уравне-
ние (10.67)	— и2 Ж ] Y == 0 нли в развернутом виде
(4х — ы24р) Ух —	= 0,
—КУ1 + (* — У* =	(10.84)
Частотное уравнение (10.68) det [/С— иЭД = 0 принимает
вид
14 (х — ш2и) —х I
'	==4(х-со2р)2-хг = О.
—X X —	|	'	7
Отсюда находим две собственные частоты <4 = х/2р, о?! Зх/2р.
Формы колебаний определяются нз уравнений (10.84) при w = Wj,
и со == а>2. При этом уравнения (10.84) линейно зависимы, так
как определитель системы равен нулю, на основании чего одно
из уравнений, например первое, можно опустить. Полагая для
нормировки форм Ух — 1, из второго уравнения при <о2 = со2
находим уч — 2, а при о2 — о2 — уч = —2. Следовательно,
формы колебаний будут
Г1 = [‘], к, = [_’]	(10-85)
Эти формы показаны на рис. 10.9, б. Легко проверить, что они
ортогональны с матрицами М и К, т. е.
Г1ЖГ2 = 0, Г1КГ2=0.
Уравнения в нормальных координатах. Составим уравнения
в нормальных координатах с помощью преобразования q (!) —
= fi (t) Ух + h (0 У* или в развернутом виде с учетом (10.85)
Qx-fx + fz, Q2-2fx-2h.	(10.86)
401

Коэффициенты! обобщенным масс (£0.74) для собственным форм
колебаний имеют вид
'>—ИЖГ,-|1 2j[* 4°J[’]-8F;
,	Г4и СИ 1]
Wa-ll -21[0 4J[_2] --8р.
При этом = 4х8 т2®1 == 12м. Обобщенные силы (10 74)
для собственных форм
F, - Y}Q ~ [1 21j = Р, + 2Р2;
Гр.*]
F2 = YIQ - Ц -2J р J - А - 2Р2.
Уравнения в нормальных координатах (10.75) принимают вид
Мх + 4х/х = Р, (I) + 2/\ (0,
8p/s + 12xf, = Р, (g) - 2P, (f).
Эти независимые уравнения легко решаются ирн любых функциях •
сил Рх (/) и Р% (/). После этого по формулам (10.86) определяются
перемещения #х (О и #2 (0-
10Л. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
10ЛДа Уравнения поперечных колебаний
Стержень (балка) является распространенной моделью
при исследовании поперечных (нзгнбных) колебаний крыла,
корпуса и других элементов летательных аппаратов. Искомой
функцией в задачах о поперечных колебаниях стержней является
прогиб о (xt f) (рис. 10.10, а). Вводя инерционные силы — т v
и рассматривая равновесие элемента^ показанного на рис. 10.10, б,
получим следующие уравнения!
Q' —	4- q о, ЛГ — Q = 0.	(10.87)
Рис. 10.10. Сэдржкць (а) в eaiKiKMKMi и» него зминеэт (б)
402

Рис. 10.11. Шарнирно опертый (а), свободный (б) и консольный (в) стержень
Здесь и далее штрих обозначает производную по координате х,
а две точки — вторую производную по времени t. На основании
закона плоских сечений изгибающий момент М связан с кривиз-
ной оси стержня v” равенством (1.38), т. е.
М = —EIv".	(10.88)
Из второго уравнения (10.87) с учетом (10.88) имеем
Q = М' = — (Е№)'.	(10.89)
Дифференциальное уравнение поперечных колебаний стержня
перемеииого сечения
(£/»")" + mv = q.	(10.90)
Решение этого уравнения должно удовлетворять граничным
условиям (1.40), таким же, как и в задачах статики, а также на-
чальным условиям, определяющим перемещение v и скорость v
точек стержня при t = 0. Типовые варианты граничных условий
на левом крае балки показаны на рис. 10.11, а, б, в, г. С учетом
равенств (10.88), (10.89), граничные условия при х ~ 0, I могут
быть записаны в форме следующих комбинаций:
v = 0 или Q = —(EIv"Y = 0,	(10.91)
vT — 0 или М = —EIv” ~ 0.
Приведем основные энергетические соотношения. Потенциаль-
ная и книетическая энергия I/ и Т, а также вариации работы
внешних и инерционных сил &АР и 6Л,- определяются равенст-
вами
i	i
и = -i- J El (о")2 dx, Т = -1- J тй2 dx,
°,	, °	(10.92)
Мр = j q 6о dx, SA; = — j mi) 6t> dx.
0	0
403

10.4.2. Собственные колебания
Пусть внешняя нагрузка отсутствует — q (xf t) ~ 0.
Тогда однородное дифференциальное уравнение, соответствующее
(10.90)
{EIv")H + mv = 0,	(10.93)
допускает решение вида
v (х, t) — V (х) sin <о/,	(10.94)
где V (%)— неизвестная форма колебаний и &— неизвестная Я
частота. Подставляя выражение (10.94) в уравнение (10.93), по-
лучим
(Е/Г)” — ©W = 0.	(10.95)
Граничные условия (10.91) принимают вид
V = 0 или (ElVy = 0,	(10.96) I
V' = 0 или EIV = 0.
Общее решение однородного дифференциального уравнении!
четвертого порядка (10.95) с неизвестным параметром о склада*-1
вается из его четырех линейно независимых решений с неизвест- I
ными множителями (константами). Подстановка этого решения
в граничные условия на краях х — 0 и х == I (10.96) приводит
к системе четырех линейных однородных алгебраических урав-
нений относительно четырех неизвестных констант. Эта система
имеет ненулевое решение только в том случае, когда ее определи-1
тель равен нулю. Приравнивая нулю определитель системы, по-
лучим частотное уравнение в виде трансцендентного уравнения, I
зависящего от частоты Это уравнение имеет бесчисленное мно-
жество корней (Oj, ©2, ...,	..., называемых собственными I
частотами (обычно онн располагаются в порядке возрастания).
В общем случае для рассматриваемой задачи все собственные ча-
стоты являются действительными неотрицательными числами. I
Для каждой частоты <оп затем определяются четыре произвольные I
константы н находится соответствующая форма колебаний I
(%), п — 1, 2, ... . Так как задача однородная, то каждая фор-
ма колебаний определяется с точностью до произвольного по-
стоянного множителя. Этот множитель выбирают исходя из при-
нятого условия нормировки собственных форм колебаний.
В качестве примера рассмотрим собственные колебания стер-
жня постоянного сечения (£7 = const, tn = const). В этом слу-
чае дифференциальное уравнение (10.95) принимает вид
VIV —/г4У = 0,	(10.97)
где Л4 = соа-^-.
404

Общее решение уравнения (10.97)
V (х) — Cj sin kx 4- Ся cos kx 4- Ca sh kx 4- C4 ch kxt (10.98)
где Clt C„ C3, C4 — произвольные постоянные.
Для шарнирно опертого стержня (см. рис. 10.11, а) на концах
отсутствуют прогиб и изгибающий момент, т. е. согласно (10.96)
V (0) = V (0 = о н V" (0) = V" (I) = 0. Подставляя (10.98) в эти
четыре условия, получим
Сг 4- С4 = 0,
Cj sin kl 4- С9 cos kl 4- С8 sh kl 4- Ce ch kl = 0, (10.99)
—Ct 4- C4 = 0.
—Cj sin kl — Ca cos kl 4~ Ca sh kl 4- Ce ch kl = 0.
Очевидно, здесь сразу можно принять Ся = Сл = 0, н система
(50.99) сводится к двум уравнениям:
Cs sin kl 4- С8 sh kl « 0, — Cx sin kl 4- C8 sh kl = 0. (10.100)
Определитель этой системы A (k) = 2 sin kl sh kl следует при-
равнять иулю. Из этого условия (sin kl = 0 прн kl 0) получим
kl = пл (п = 1, 2, 3 ...), т. е. последовательность квадратов
собственных частот
=	(10.101)
При kl = пл уравнения (10.500) дают С9 — 0. Полагая остав-
шуюся отличной от нуля н неопределенной константу Cj = I,
запишем соответствующие формы колебаний
Vn(x) = sin^.	(10.102)
Минимальная собственная частота со? реализуется при п — 1-
Соответствующаяформа колебаний (10.102) показана на рис. 10.11, д
пунктирной линией.
Получим условия ортогональности собственных форм коле-
баний. Рассмотрим уравнение (10.96) и предположим, что известны
собственные формы колебаний Vm (х), V» (х) н соответствующие
им собственные частоты с^, соп. Они удовлетворяют уравнению
(10.95), т. е.
(£ZV^-c^Vm-O, (£/V;)*-<£mV„«0.
405

Умножим первое из этих уравнений на Уи, а второе — на Vj
и проинтегрируем их в пределах от 0 до I:
J (£/П)' V» dx - J mV„V„ dx = О,
°,	°	(10.103)
j (Е/v;)' Vmdx - j mV„Vadx = 0.
0	0
Произведем интегрирование по частям в первом слагаемом]
этих уравнений
j (EIV'm)’ V„dx = [(£/К,)' VJJ - J (EIV"m)' Vndx =
о	0
= [(ВЛ4)' V„]J - [ElVmVnii, + f EiV"mVn dx-, (10.104)
>
j (£/K)' V„ dx • l(17K>' Vjj - £C/r.r;]S +
0
+ j E/V~„V'mdx.
0
В силу граничных условий (10.96) внеинтегральные члены в этих
соотношениях равиы нулю, а остающиеся в правых частях инте-
гралы являются одинаковыми. Вычитая с учетом (ЮЛ04) первое
уравнение нз второго, получим
— «>у j mV„ V„ dx = 0.
о
Откуда при а>п =£= &>т следует
i
mVmVndx =0 при т=^п.	(ЮЛ05)
о
Из уравнений (10.103) с учетом условий (ЮЛ04), (ЮЛ05) получим
i	i
j(E/V"a)"Vndx^ jE/V^V’ndx = 0, т-/п.	(10.106)
О	о
Условия (ЮЛ05), (10Л06) называются условиями ортогональ-
ности собственных форм колебаний. Эти условия означают,
что работы инерционных и упругих сил какой-либо формы коле-
баний на перемещениях другой формы равны нулю. Собственные
406

Рнс. 10.12. Графическое решение ча-
стотного уравнении
V^x)
Рис. 10.13. Собственные
баний свободного стержня
формы коле-
формы колебаний однородного
стержня Vti (х) называются ба-
лочными функциями. Эти функ-
ции для нескольких низших
собственных форм колебаний
при различных комбинациях
граничных условий на краях
затабулированы и широко ис-
пользуются в качестве заданных
функций при приближенном
решении задач изгиба, устойчи-
вости и колебаний стержней, пластин и пологих оболочек с по-
мощью методов Рэлея—Ритца, Бубнова-—Галеркина н Власова—
Канторовича.
Рассмотрим однородный свободный стержень, показанный на
рис. 10.11, б, е. При х == 0 и х = I у этого стержня отсутствуют
изгибающий момент М и перерезывающая сила Q, т. е. согласно
(10.96) V" (0) = V” (Z) == 0, V" (0) = V"' (/) = 0. Подставляя ре-
шение (10.98) в эти условия и приравнивая нулю определитель
полученной системы четырех линейных алгебраических уравне-
ний, будем иметь A (fe) = cos kl —- 1 — 0. Корни этого
уравнения могут быть определены графически как точки пересе-
чения кривых, соответствующих функциям cos kl н ch“x kl
(рис. 10.12): М « 0, kJ - 1,51л, knl (2п 4- 1) л/2 при п =
— 2, 3 ... . Квадраты собственных частот и формы колебаний
имеют вид
«4 = 0, «4 = (1,51я)*-^-,
"₽« к = 2-3........... (10.107)
Уп (х) — (sin knx 4- sh knx) 4- cos knx 4- ch knx,
Л w — cosM „ _ I 9
n Sh knl — sin knl *	” ’
При нулевом корне k — k0 ~ 0 уравнение (10.97) имеет решение
(*) ~ А Bxt где А и В — произвольные константы. Функ-
ция VG (х) представляет собой поперечное перемещение недефор-
407

мнрованного свободного стержня: она ортогональна формам упру»
гнх колебаний Vn (х). Форму перемещений Vo (х) можно представ
вить в виде двух взаимно ортогональных составляющих
Vo’ = l. V^‘ = x-~,	(10.108)
Формы собственных колебаний свободного однородного стержня
(10.107), включая формы (10.108), показаны на рис. 10.13.
10.4.3. Вынужденные колебания
Пусть решена задача о собственных колебаниях и най-
дены собственные частоты и формы колебаний <»т и Ут (х),
т — 1, 2, ... .
Решение задачи о вынужденных колебаниях будем искать
в виде разложения по собственным формам колебаний
»(х, О = fm (i) V,,. (х),	(10.109)
где fTO (t) — неизвестные функции, которые называются нормаль-
ными координатами. Подставим ряд (10.109) в уравнение (10.90)
1№=1	т—1
Умножим это уравнение на V»» полагая п = 1, 2, .., и про-
интегрируем почленно в пределах от 0 до В
«» i	txs a	t
2 /» f v„dz+ ’ j mVnVndx = J gV„ dx.
В силу условий ортогональности (10.105), (ЮЛОб) в бесконечных
суммах отличны от нуля только члены при т ~ п. Получим
|(Е/Ул)" У» dx 4- /п j mVndx = j qV^dx (n~l, 2, .).
0	0	0
Об(ХЗН*ШМ
i	I	I
m» = JmVbOx,	= J (EIV'„y Vndx = J El(V’„Tdx,
ООП
f	(10.110)
Fn(O=J?(x. f>Vn(x)dx,
0
где mn, kn и Fn называются обобщенной массой, обобщенной
жесткостью н обобщенной силой n-й формы колебаний.
408

Из уравнений (10.103) при т — п следует, что
(10.Ш)
Уравнения вынужденных колебаний в нормальных координатах
с учетом обозначений (10. ПО), (10.111) записываются в виде
«‘Л +	= F„(0 (и = 1,2...).	(10.112)
Получим начальные условия для нормальных координат. Под-
ставим разложение (10.109) в начальные условия v (х, 0) —	(ж),
v (х, 0) = ф2 (х), где W. Ф» (4 — известные функции:
I (О) V„ (X) - Ч>» (х), £ L (0) V„ (х)=<h (х).
m—l	«=!
Умножим эти условия на т (х)	(х) при п = 1, 2, ... и про-
интегрируем от 0 до I. С учетом условий ортогональности (10.105)
и обозначения для mn (10.110) получим начальные условия в виде
1 1
f*(P) = -^-\m<hVndx. fn(0)=J-jm$aV„dx. (10.113)
п О	s
В уравнениях (10.112) может быть искусственно учтено «эквива-
лентное» вязкое демпфирование так же, как это было сделано для
системы с конечным числом степеней свободы. Получим
/«nfn + mn(jan€.Jn + mna^fn = Fn(t) (л == 1, 2, ...), (10.114)
где коэффициент еп для каждой учитываемой формы колебаний
определяется на основе статистических данных или иа основе
экспериментальных данных ко свободным или резонансным ко-
лебаниям.
Выражения потенциальной и кинетической энергий (10.92)
с учетом разложения (10.109) и условий ортогональности соб-
ственных форм колебаний (10.105), (10.106) записываются в виде
одинарных рядов, содержащих только квадраты нормальных ко-
ординат
i/=4-s ад = 4-Е «мят».
z Иа=о	4 п=о
т=4-Е «Л-
£ к=1
10.4.4.	Метод Рэлея—-Ритца
В соответствии с изложенным в разд. 10.1.9 для реали-
зации этого метода прогиб балки при колебаниях находим при-
ближенно в виде конечного ряда
»(х, /)=	(0<fi(x).	(10.116)
(10.115)
40»

где <pf (я) — заданные линейно независимые функции, представ
ляющие возможные перемещенияi в случае изгиба они должны быть
непрерывными функциями, имеющими непрерывные первые про-
изводные (так как упругая линия балки не может иметь разрыв I
или излом) и должны удовлетворять геометрическим граничным!
условиям, если балка закреплена. Неизвестные функции (Q
рассматриваются как обобщенные координаты.
Запишем кинетическую и потенциальную энергию балки I
в обобщенных координатах.
Кинетическая энергия
I	I »	•
Т —-J-	—W<
о	о	/«I
ИЛИ	, U	I
= j тф^ dx. (10.117)
Потенциальная энергия
I	itt
и = 4 f Е‘ ма dx - 4- J Е! £ № £ qrf,
о	о ««1	/=й
или	e s	г
=	=	(10-Ив)
f~l /=1	О
Вариация работы нагрузки
I	t »
— j qbodx ~ J g dx
о	о «=8
ИЛИ	t	I
вЛ, = ^С(в9|. <?<<*>” J’(x>	(10-119)
<=4i	0
Уравнения Лагранжа в обобщенных координатах (10.6) при-
нимают такой же вид, как для системы с конечным числом степеней
свободы (10.19):
=	(«'=1.2,..,$). (10.120)
Если в качестве заданных функций <pt (х) взять. собственные
формы колебаний У4 (х), то в силу условий ортогональности
(10.105), (10.106) уравнения (10.120) распадутся на несвязанные!
уравнения и будут совпадать с уравнениями в нормальных коор-
динатах (10.112). При этом тц = 0, kti = 0, если i /, и mti =
= mt, ka = kg ~ qt = fi, Qi ~ Fi.
В качестве примера рассмотрим консольную балку постоянного
сечения (EI ~ const, т — const), показанную иа рис. 10.11, ж.
410

пределим низшую частоту собственных колебаний* ограничива-
ясь одночленным приближением метода Рэлея—Ритца, т. е.
d (х, t) ~ q3 (t) q>i (x). Заданная функция фх (x) должна удовлет-
ворять кинематическим граничным условиям жесткого закрепле-
ния V = 0, if = 0 при х — 0 и, кроме того, так как она одна,
функция <₽! (х) должна быть «подходящей» аппроксимацией низ-
шей формы колебаний. Этим условиям удовлетворяет функция
Фх (х) = 1 — cos (лх/2/), показанная пунктиром на рис. 10.11, »с.
Вычислим коэффициенты mu и k31 по формулам (10.117),
(10.118). Получим
i	i
m,t = j m<pj dx = Ъ,22от1, kit = j El (epi)’ dx = 3,04 —.
D	0
Уравнение свободных. колебаний прн s= 1
«lift +	= 0
имеет решение q3 (£) — уг sin где y3 — амплитуда колебаний по
форме <Рх (х) и <о = ©I — частота колебаний, квадрат которой,
как следует из уравнения, равен <о? = £ц/тц. С учетом получен-
ных значений т31 н kl3 приближенное значение квадрата низ-
шей частоты <4 = I3,46£71тГ отличается от точного значения
«о? » 12,36£//т/4 на 8,8 %. Отметим, что задание функции
Фх (х) по существу соответствует наложению на стержень допол-
нительных связей, поэтому приближенные значения частоты здесь
являются завышенными по сравнению с точными, что находится
в согласии с теоремой Рэлея о связях (см. разд, 10.3.5).
10.4.5.	Метод Бубнова—Галеркииа
Метод Бубнова—Галеркииа является другим прибли-
женным методом, с помощью которого задачу о колебаниях упру-
гой системы с распределенными параметрами можно свести к си-
стеме обыкновенных дифференциальных уравнений. В случае из-
гибных колебаний стержня задача описывается дифференциальным
уравнением в частных производных (10.90) с граничными усло-
виями (10.91). Приближенное решение этой задачи по методу
Бубнова—Галеркииа строится следующим образом. Функция
перемещений находится в виде конечного ряда (10.116), где
Ф; (х) — заданные линейно независимые непрерывные функции
с непрерывными первыми производными, удовлетворяющие всем
граничным условиям (10.91)$ qf (/) ~ неизвестные функции, ко-
торые определяются нз уравнений типа (1.75), т. е.
I Г S	S	”|
J <h(Wi)" 4-	— 9j = ° 0=1, 2, ...» s).
411

Эти уравнения запишем в виде
S тиЪ + S ^иЧ1 — Ч> (О (1=1. 2,
/=1	i-=t
s),	0.121)
где mu = jm<p(<p,dx, ktl = J (E!<fi)' <p, dx.
Qi(O- f?(*> t)9i(x)dx.
Коэффициенты ktI можно преобразовать путем двукратного ннте
грирования по частям
ktl = [(Ely,)' Ф,]Й - [E/wiKJ + J El^dx.
Так как каждая из заданных функций удовлетворяет граничны»
условиям (10.91), то при любых их вариантах виеинтегральны,
члены обращаются в нуль и поэтому	।
I	i	I
ku = j (.Е1<еЪ’<(1<1х = j (Е/фгГфуДг — j Elqitfdx. (10.122)
Таким образом, коэффициенты уравнений, полученных по методу
Бубнова—Галеркина, являются симметричными:	=ти.
Сравнивая метод Бубнова—Галеркина с методом Рэлея—
Ритца, подчеркнем, что в соответствии с методом Бубнова—Га-
леркина заданные функции (х) должны удовлетворять всем гра-
ничным условиям, в соответствии с методом Рэлея—Ритца до-
статочно удовлетворить только кинематическим граничным ус
внам. Однако, если в соответствии с методом Рэлея — Ритца
за-
данные функции (х) подчинить всем граничным условиям
тогда будут выполняться условия (10.122) и уравнения в обобщен
вых координатах (10.120), полученные этим методом, будут пол
костью совпадать с уравнениями (10.121), полученными методо!
Бубнова-—Г алеркнна.
В качестве примера рассмотрим шарнирно опертую балку по
стоянного сечения (см. рис. 10.11, 5). Определим низшую соб
ственную частоту колебаний, используя одночленное приблн
женное решение по методу Бубнова—Галеркина, т. е. v (х, I) =
= 41 (0 ч>1 W-
Функция <рх (х) должна удовлетворять граничным условиям
© » 0 и » 0 при х = 0 и х — I, т. е. <pi (0) = 0,	(0) = 0

4>t (/) ~ 0, Фв (/) — О-В соответствии с (10.102) возьмем <Рх (х) =
— sin (nxll). Найдем коэффициенты
<nu = т j<p?dx =
о
*„ = El J фГф, dx = £/ f («р!)2 dx = ns- 
0	®
Квадрат низшей частоты при одночленном приближении <о? —
“	ЕН mF. Это значение является точным, поскольку
заданная функция <pt (х) является точной низшей формой соб-
ственных колебаний.	*
Заметим, что метод Бубнова—Галеркина, так же как метод
Рэлея—Ритца, всегда дает завышенные нли, в крайнем случае,
точные значения собственных частот (точные значения частот полу-
чаются тогда, когда с помощью разложения (10.116) можно то-
чно представить формы собственных колебаний).
10.4.6.	Учет деформации сдвига и продольной силы
в задачах о колебаниях балок
В тонкостенных балках, каким является корпус лета-
тельного аппарата (см. гл. 5), существенное влияние на характе-
ристики поперечных колебаний могут оказывать деформации
сдвига. Деформации сдвига в поперечном сеченин балкн обычно
распределяются неравномерно, за счет чего поперечное сечение
депланирует. В приближенной теории в каждом поперечном се-
чении учитываются только «осредненные» в некотором смысле
деформации сдвига, в результате чего считается, что поперечные
сечения, оставаясь плоскими и недеформированными, могут по-
ворачиваться и сдвигаться друг относительно друга. Для иллю-
страции схемы вывода соответствующих уравнений рассмотрим
сплошную балку и обобщим соотношения, полученные в разд. 1.3.3.
Как отмечалось в этом разделе, закон плоскнх сечений соответ-
ствует равенствам е₽ = dvldy - 0 и уху = 0 (см. рис. 1.4). Сох-
раняя только первую часть этой гипотезы, откуда следует, что
v = v (х), положим уху ~ ф (х), где ф (х) — осредненная по се-
чению, например в энергетическом смысле, деформация сдвига.
Тогда, интегрируя по переменной у соотношение
du . dv .
получим и = «о (х) -f- у (ф —«/). В случае поперечного
изгиба осевое перемещение нейтральной оси балки отсутствует,
т. е. можно положить и0 = 0 и записать по аналогии с (1.32)
413

У
Рис. 10.14. Стпвчаепе и жянекатнчесние
факторы, определяющие напряженно-де-
формированное состояние балки
Рис. 10.15. Сечения тон-
костенной балка с дзумя
осями симметрии
и =з —yQt где 6 = г/ — ф или о* == В + ф. Таким образом,
угол между касательной к нейтральной оси и осью х складывается]
из угла поворота сечения за счет изгиба 6 и угла сдвига ф
(рис. 10.14). Далее имеем ех ~ ди!дх = —у&', ах = £ех — 1
“ —ЕуЪ\ М — —EIW. При отсутствии сдвига, т. е. при ф ~ 0
имеем 6 = v* и М = —ЕЮ, т. е. первое равенство (1.38). В рас-
сматриваемом случае по аналогии с (10.92) будем иметь для по-
тенциальной энергии, связанной с изгибом
i
и„ = | Ецеуах.	(ю. 123)
О
Это выражение справедливо и для тонкостенной балки с сечением,
приведенным, например, иа рис. 10.15. Отметим, что, рассматрв-1
вая далее тонкостенные балки переменного сечения, будем счи-
тать, что углы между осью балки и продольными элементами]
достаточно малы и влиянием конусности в том смысле, в котором
она обсуждалась в разд. 5.5, можно пренебречь. Потенциальную
энергию, вызванную сдвигом, можно записать следующим образом:
!
L'c^-f-fGFetf'dx,	(10.124)
о
где Fc — эквивалентная площадь поперечного сечения, работа-
ющая на сдвиг. Например, для балки, сечение которой показано
на рис. 10.15, / = Fc = 2зт₽6, где б — толщина обшивки|
== б -f- (nf/2nR) — приведенная толщина обшивки с учетом
«-стрингеров с площадью сечеиия Д При сжатии балки осевой си-
лой № последняя совершает работу, определяемую формулой
(9.21) (см. гл. 9), т. е.
i
AN = -^-j№(v')*dx.	(10.125)
С
Ш

Соотношения (ВО. 123), (10.I2S) позволяют записать потенциаль-
ную энергию балки
t
и = j [£/ (»')• + GF, (o' - 9)’ - Л"> (o’)*) dx. (10.126)
С
Вариация работы внешних н ивлгрцноиных нагрузок
e/.j,= Jftedx,	(10.127)
G
I
6Д, = -J(m»8t> + 7„6se)dx,	(10.128)
О
где наряду с распределенной массой т (х) учитываются распре-
деленные массовые моменты инерции поперечных сечений 2© (х).
Дифференциальные уравнения колебаний балки можно полу-
чить иа основе принципа Даламбера—Лагранжа (10.1): 62/—
— Мр — 6Л(	0. В результате получим
(EI&Y + GFe (v’ - 0) — /оё = 0,
IGfe (с/ — 6) Г - (W)* — mv 4- q = 0.	(10.129)
Соотношения (10.126)—(10.128) могут быть использованы для ди-
намическохю анализа тонкостенных балок типа корпуса лета-
гельиого аппарата методами Рэлея—Ритца и конечных элементов.
10Л.7« Метод моиечныж аяементов
При учете сдвигов, инерции вращения и продольной
силы задача о поперечных колебаниях балкн существенно услож-
няется и ее решение получают различными численными методами.
Рассмотрим применение метода конечных элементов.
Разобьем балку на п конечных элементов (отсеков). В ка-
честве обобщенных координат будем рассматривать поперечные
перемещения и углы поворота поперечных сечений на краях от-
секов Vi (0 и 6j (0, i ~ О, 1, .... п (рис. 10.16).
Рассмотрим первый отсек (t == 1) (рис. 10.16, 6). Перемеще-
ние v и угол поворота 0 в любой точке отсека выражаются через
а)	6)
Рис. 10.16. Схема членения балки (о) на конечные элементы (б)
415

перемещения и углы поворота на краях »01 о„ 6„, вх, которые в об-
щем случае можно представить в виде
V = 0(,<р„ (х) + 0офо (х) + ад, (х) + 0,ф, (х),
(10.130)
* = ад, (х) + е„у? (х) + ад, (х) + 0,%, (х).
Формы деформации отсека связаны между собой соотношениями
ф, = 1 — <ро, ф, = х — а (1 — <р0) — фо.
(10.131)
= —Чо. %, = 1 + <П)о — X»,
которые следуют из того, что выражения (10.130) должны быть
справедливы также и в случае недеформируемого отсека, т. е.
в случае, когда t> = А + Вх и 0 = В, где А и В — произвольные
константы.
Зависимости типа (10.130) получим с помощью решения стати-
ческой задачи при tn = /„ = q = № — 0, считая в пределах
длины отсека жесткости EI и GF0 постоянными. В этом случае
уравнения (10.129) преобразуются к виду
0- = О, о' = 0--^-е-	(10.132)
с граничными условиями
v (0) = г’о, 6 (0) — 60, v (а) = vlt 0 (а) — 0Х. (ЮЛ33)
Решение уравнений (10.132) следующее:
0 = Со + С1Х 4- С&х\
v = Сох -4- Сх -у Cs -у — 2CS х -|- Cs.
Произвольные константы Ce, Clr СЪг С8 выражаются через
и0, 0о» на основании условий (10ЛЗЗ). В результате по-
лучим соотношения (10,130)* в которых следует принять
m   j	(1 —-Х)	Зх « . п К «
9	1 Л* 1 "Р Зх л , X •
Фо = X - Xs +	(10.134)
„ _ 3q>„	1—к	_ Зф, , 1—я
Чо— лЧ-' 0 '• Хо —-JJ-3	2~ ’
/, , 12 Е! \-t
“ ~	+ a’ Oft, ) ‘
Если пренебречь сдзигом, то СГда со и х = 1.
416

Потенциальную энергию первого отсека определим по формуле
(10.126) при I — а. С учетом (10.131), (10.134), считая EI, GFt
и постоянными, получим
1/“> = 4-ь <с« - с»)я + с <8“ +	-! 
+ 4а(в11_ад.+айА,
Ь= 12£7-4-^(1 +4).	(10.13В)
c = 6£/-4-^^,
^£/Д±^_№(4 + ^).
Кинетическая энергия отсека н вариация работы внешних сил
л,>==44("*й’+4ё2)<г*.
° о	(10.136)
M<” = j qbvdx
О
также записываются в обобщенных координатах »0, 0 о, vx, 6t
с учетом выражений (10.130), (10.131), (10.134). В-случае корот-
ких отсеков функции v и 6 при вычислении кинетической энер-
гии и вариации работы внешних нагрузок можно аппроксими-
ровать линейными функциями
о = + (с, — ад-4’ 9 =-- е„ + (в, - ад 4 •
По аналогии с первым отсеком (/ = 1) записываются выраже-
ния TU) и ЬАрУ для других отсеков в зависимости от 0;.-ь
6j, / — 1, 2, ...» п. В результате получаем потен-
циальную энергию, кинетическую энергию и вариацию внешних
сил для всей балки
£/=Sl/<n. Т=£Т“\ 6Др=Е84л; (10.137)
/=>	/-1	i=i
после этого составляются уравнения Лагранжа в обобщенных коор-
динатах vit 0t, i — 0, 1, ...» п.
В некоторых случаях для упрощения вычислений распреде-
ленную массу балки и распределенную нагрузку можно сосредо-
точить в расчетных сечениям. Тогда
Т = 4 У (М? + 2Х,-йД' + W
М>	(10.138)
14 И- Ф. Образцов И др.
417

f
Рнс. 10.17. Консольная балка (<г) л
ее представление в виде конечных
алементоз (б) к дискретных масс (fl)
где Sj, /j, Pf If), Mj(t} — приведенные и сосредоточенны®
в f-м сечении масса, статический момент, момент инерции, попереч-
ная сила и момент.
Для оценки точности метода в качестве примера рассмотрим]
консольно закрепленную балку постоянного сечения без учета
сдвигов и инерции вращения х ~ I, /0 ж 0 (рис. 10.17, о).
Ниже для сравнения приведены квадраты четырех низших
безразмерных частот поперечных колебаний	(тпР/Е!)
при == 0, полученные на основании: 1) точного решения,
2) метода конечных элементов при п = 4, а — 1/4 (см. рнс. 10.17, б);
3) метода сосредоточенных масс при п — 10, а* — //(10 4- 0,5),
— та*, Ц — St ~ Q (см. рис. 10.17, в).
	б2		йз	й.
1)	12,3624	485,5	3807	14617
2)	12,3632	486,6	3866	15045
8)	12,3910	491,7	3890	15053
10.Б. КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
10.5.1	. Основные уравнения и некоторые точные
решения
В случае пластин и оболочек точные решения задачи
определения собственных частот и форм колебаний могут бып.
получены только в некоторых частных случаях, когда применим
метод разделения переменных н когда полученные при этом обык
новенные дифференциальные уравнения могут быть решены точно
и точно удовлетворены заданные граничные условия. Примерами
таких случаев являются прямоугольные пластины и цилиндричт
схеме круговые панели (оболочки) постоянной толщины, у которых
два противоположных края являются шарнирно опертыми, а ти
кже круговые цилиндрические оболочки постоянной толщины,
Уравнение поперечных колебаний прямоугольной пластвны
может быть получено из соответствующего статического уравнении,
оно имеет форму (1G.29), т- е.
DVW 4- m^w = q,	(10.139)
418

где — масса единицы поверхности. Свободные колебания пла-
стины описываются уравнением (10.139) при ( ™ 0:
Cm +	•= 0.	(10.140)
Для шарнирно опертой пластины (рис. 10.18. с) прогиб может
быть представлен в форме двойного тригонометрического ряда,
диалогичного (3.79), т. е.
ш(х, J(,f>=sin®j У, У c4„„sinl„,xsmp„s. (10.14!)
m=l п=|
' десь Ат — неизвестные коэффициенты; <о — частота колебаний;
— кт!а, р» = jw/6. Подстановка (10.141) в уравнение (10.140)
приводит к следующему частотному уравнению, которое получа-
ется способом, неоднократно использовавшимся ранее в задачах
статики (см. разд. 3.3.2) и устойчивости (см. разд. 9.3),
— ,w>‘ =• 0.
Отсюда получаем спектр собственных частот
(Ю-142)
а из (10.141} — соответствующие этим частотам формы колебаний
Wmn = sin ктх sin j>n$.	(10. 143)
Наименьшая собственная частота реализуется, очевидно, при
jn ™ п = 1. Соответствующая форма колебаний показана иа
рис. ВО. 18, а пунктирными линиями.
Распространенными задачами динамики применительно к ави-
ационным конструкциям являются задачи, связанные с колебани-
ями панелей обшивки в форме пологих и цилиндрических оболочек
(рис. 10.19). Уравнения свободных поперечных колебаний пологой
оболочки можно получить из уравнения статики (4.127), если
заменить внешнюю нагрузку р на инерционную нагрузку —
/пвй>. В результате будем иметь

'^1
а	I °
*	а)	(у	6)
Рмс. 10.19. Свободно опертая по контуру пологая (с) и цилиндрическая (б) панель
Прогиб пологой панели, показанной на рис. 10.19, ау может
быть задан в форме (10.141) и его подстановка в (10.144) приводит
к следующему частотному уравнению:
о№ + ^Г+вл(-^+
то (Ki,t -+ рл)8©2 = 0.
Отсюда
у D .«> .	212 .	\ «1 “а /
“ „„ (Ь. + Ы +~+		(10.145)
Формы колебаний определяются равенством (10.143).
Для цилиндрической панели (см. рис. 10.19, б) 8 формуле
(10.145) следует принять оо, — 2?, т. е.
(,0И6)
Для замкнутой свободно опертой по торцам х — 0 и х = I ци-
линдрической оболочки (см. рис. 4.24) в разложении (10.141)
необходимо учесть условие периодичности прогиба по полярному
углу р ylR. Частоты собственных колебаний оболочки без
учета инерции в тангенциальных направлениях определяются
по формуле (10.146) мри ~ rtw.ll, рЛ == n!R.
В большинстве практических случаев для решения задач
колебаний пластин н оболочек используются различные прибли-
женные методы, такие, как методы Рэлея-Ритца, Бубнова—Га-
леркина, конечных элементов и др. С помощью этих методов рас-
четная модель пластин и оболочек сводится по существу к системе
с конечным числом степеней свободы. При большом числе степеней
стободы для упрощения решения задачи о вынужденных колеба-
ниях сначала определяются собственные частоты и формы колеба-
ний и затем уравнения преобразуются к нормальным координа-
там, в которых оии становятся несвязанными.
420

10.5.2	. Методы Рэлея—Ржгца н Бубноза—Галеркина
Рассмотрим приложение метода Рэлея—Ритца к реше-
нию задачи о поперечных колебаниях тонкой пластины (см.
рис. 10.18). Прогиб пластины представляется в виде ряда
то (х, у, О = 1 qt (/) <й (х, у),	(Ю. 147)
4=1
где <рд (х, у) — заданные лииейно независимые функции, описы-
вающие возможные перемещения в виде непрерывных функций,
удовлетворяющих заданным геометрическим граничным условиям?
(/t (/) — неизвестные обобщенные координаты. Запишем выражения
для кинетической энергии, потенциальной энергии изгиба и ва-
риации работы поперечной нагрузки q (х, у, t):
Т = -g-J
^4-п^[та2+Ъ)+2^^+
«	(10.148)
64 == J j qbwAS,
s
где <S —- площадь пластины, dS = dxdyi (x, y) — масса, от-
несенная к единице поверхности S. С учетом разложения (10.147)
получим
r-4-S"=4-22^,.
Я ,-i	t-i i-i	(10.149)
64 = Д Qfiqi,
(=1
где m„ = J j	dS,
s
+	+	(10150)
Qi (0 = J J ?<Pi dS-
s
Уравнения колебаний составляются как уравнения Лагранжа
в обобщенных координатах:
S 'М,	Qi (г = 1, 2,..., s).	(10.151)
421

В качестве примера рассмотрим жестко защемленную по вс
четырем сторонам прямоугольную пластину постоянной толщи!
(см. рис. 10.18, б). Для оценки низшей частоты собственн;
колебаний в одночленном приближении ($ ™ 1) возьмем функцию
Ч>,(*. ») = (•-	0 - 'ЖТ^)‘	(ЮЛ52>
которая удовлетворяет геометрическим граничным условиям за
щемления и является подходящей аппроксимацией для низшей
формы колебаний. Аппроксимация (10.152) уже использовалась
ранее при решении задачи устойчивости защемленной пластин!
(см. разд. 9.3). По формулам (10.151) получим
ти=4-^. Ьи = ^(2 + 3£ + 3£).
Приближенное выражение для квадрата собственной часто!
следует из уравнения (10.152) при i = / = 1:
WD
(2 + 3~ + 3^-).
В случае квадратной пластины (Ь — а) приближенное значение
со? превышает на 7 % точное значение квадрата низшей частоты.
Метод Рэлея—Ритца часто используется иа практике для рас-
чета колебаний крыльев малого удлинения (рнс. 10.20). При этом
в качестве заданных функций <Pj(x, у) удобно использовать сте
пенные функции вида xmynt выбирая показатели т, п так, чтобы
удовлетворить геометрическим граничными условиям закрепле-
ния. Например, для крыла, жестко закрепленного по всей борто-
вой хорде при у = 0 (см. рис. 10.20), следует брать т = 0, 1, 2, ...
п — 2, 3, .... Методом Рэлея—Ритца удобно также исследовал
поперечные колебания отдельных плоских панелей обшивки крыла
считая их закрепленными на полках лонжеронов и нервюр
Метод Бубнова—Галеркина также предполагает использова
ние разложения типа (10.147) для отыскания прибли
жеиного решения уравнения (J0.139). Разрешающие уравне
ння метода прн D = const имеют вид
Рис. !0.20. Консольная пластина как
расчетная модель крыла малого удли-
нения
+ 9.J J D4>JV*V*4>1	=
= J J ЯЧ/dS
1.2,3.......s).
422

Они позволяют найти зависимость обобщенных координат от
времени.
Метод Бубнова—-Галеркина при расчете колебаний пластин
и оболочек применяется реже, чем метод Рэлея—Ритца, поскольку
во многих случаях бывает трудно подобрать подходящие функции
(%, £/), удовлетворяющие всем граничным условиям (в соот-
ветствии с методом Рэлея—Ритца необходимо удовлетворить
только геометрическим граничным условиям)- Если при приме-
нении метода Рэлея—Ритца использовать заданные функции,
удовлетворяющие всем граничным условиям, то тогда оба эти
метода приведут к одинаковым уравнениям в обобщенных коор-
динатах н, следовательно, к одинаковым результатам.
10.5.3	. Метод конечных элементов (МКЭ)
Этот метод широко используется для расчета колебаний
пластин и оболочек сложной формы и переменной толщины,
особенно в тех случаях, когда в наличии имеются стандартные
программы для ЭВМ, реализующие МКЭ для определенных
классов пластин и оболочек. Ниже приводится краткое описание
особенностей применения МКЭ к расчету поперечных колебаний
пластин.
Для реализации МКЭ пластина делится иа определенное число
конечных элементов. Дня этого часто используются треугольные
элементы (рис. 10.21) — они удобны при кусочно-лииейной ап-
проксимации границ пластни сложной формы. Каждый элемент
удобно рассматривать в своей местной системе декартовых коор-
динат х, у (рис. 10.22).
В качестве обобщенных координат обычно рассматриваются
нормальное перемещение и углы поворота нормали в двух взаимно
перпендикулярных плоскостях в каждом узле (угловой точке
элемента). Перемещение и углы поворота в i-м узле выражаются
через нормальные перемещения А-го элемента, которому принад-
лежит i-й узел с координатами х = xit у — следующим обра-
зом (см. рис. 10.22):
Ow . . dw 1
COS CCfc -3-k Sin
ву г " dx J»,. ,=S(
dw	dm» 1
sina^-cosa^J
(10.153)
X—
Здесь ah — угол между осью x местной системы координат для
А-го элемента и осью X общей системы координат, в плоскостях
которой отсчитываются углы 6, и
Нормальные перемещения в пределах k-ro элемента аппрокси-
мируются степенным рядом по осям х, у с неизвестными коэффи-
42S

У
Рис. 10.21. Расчленение пластины на Рис. 10.22. Общая (X, У) и местная
систему треугольных конечных элемен- (х, у} системы координат треугольного
то»	конечного элемента
циентами,, число которых равно числу степеней свободы элемента
(3x3™ 9). Для треугольных элементов обычно берется ряд
w (х, yt t) = ох а*х -4 а3у 4- аъху 4- а6у* -}- а^х3 +
+	+	(10-154)
Подставляя ряд (10.154) в выражения (10.153)» записанные для
каждого узла Л-го элемента, получим систему уравнений, которая
может быть представлена в виде
= или а'*1 = С»д'“. С» = £Г*. (10.355)
где a(ki — вектор-столбец коэффициентов аъ ...» a9j q^k}— вектор-
столбец обобщенных координат 8ь ф, для узлов, принадлежа-
щих А-му элементу! —- матрица преобразования девятого по-
рядка.
Потенциальная энергия 14, кинетическая энергия Th и ва-
риация работы поперечной нагрузки для А-го элемента вы-
числяются но формулам (10.148) с учетом разложения (10.154)
сначала через компоненты вектора а№ и затем — с помощью
преобразования (10 155) через обобщенные координаты wf, 6(,
фо образующие вектор qik*t
и„	-4
Т» = 4г	- 4 «««’ЛЙ’Ч	S56)
x*=cik!c^ лг»=с;лгёс4, q*=c;q!.
Здесь Кь, и Q* — матрица жесткости, матрица инерции и
вектор-столбец обобщенных сил fe-го элемента» соответствующие
его обобщенным координатам (вектору-столбцу qtk*). Затем про-
изводится суммирование по вс~и элементам с учетом геометрнче-
$24

ских условий сопряжения соседних элементов в их общих узлах
и геометрических граничных условиях закрепления:
и-	4- <гКч.
k	4
г=1п4«’д«'	(10->57)
k	4
ЬА = £ 64, = B<TQ,
k
где q — вектор-столбец всех отличных от нуля обобщенных ко-
ординат wi, Qir ф,.
Уравнение колебаний в обобщенных координатах в матричном
виде записывается следующим образом:
(10.158)
Полученную систему уравнений обычно преобразуют в урав-
нения в нормальных координатах (см. разд. 10.3.3), используя раз-
ложение q (t) = У fn (/) Yn п0 собственным формам колебаний
Кп, которые вместе с соответствующими частотами <лп определя-
ются из уравнения IX — <о2Л11 У = 0. Уравнения вынужденных
колебаний в нормальных координатах записываются в виде
(10.176), т. е.
т„ (?„ + «У») = F„ (/) in = i, 2, ...),	(10.159)
где rn„ = Г,1Л1У„, F„ = Y1.Q.
Основная трудность применения МКЭ к задачам динамики свя-
зана с наличием большого числа степеней свободы. Решение урав-
нения динамики (10.158) или задачи о собственных колебаниях
является значительно более трудоемким, чем решение соответ-
ствующей статической задачи Kq ~ Q.
В практических задачах для составления уравнений 0 нормаль-
ных координатах (10.159) достаточно знать только некоторое
число низших форм колебания. Для определения низших форм
колебаний при вычислении кинетической энергии элемента 7\
вместо (10.154) можио использовать более грубую линейную
аппроксимацию нормальных перемещений в пределах элемента
в виде
ш = bl + Ь,х 4- п,.у,
где Ьх, Ь2 и X выражаются через нормальные перемещения в уз-
лах wi с помощью условий iwg = w |х=л,,	записанных
для каждого из трех узлов, принадлежащих треугольному эле-
менту. При таком приближенном подходе кинетическая энерх'ия Т
не будет зависеть от углов поворота в узлах 6g, ф< и уравнения
для этих обобщенных координат будут «квазнстатическимн»,
т. е. в них не будут входить янерююнные силы.
425

Записав полученную систему уравнений в блочном виде
(10.37), и исключая обобщенные координаты 6if (вектор
получим редуцированную систему (10.41), содержащую только
обобщенные координаты wt (вектор #j). Таким образом, порядок
системы (10.158) понижается втрое.
В заключение сделаем одно замечание. В рассмотренном ва-
рианте МКЭ требуется, чтобы непрерывность перемещений и уг-
лов поворота прн изгибе пластины соблюдалась только в узлах, I
совпадающих с угловыми точками элементов. Элементы, для ко-
торых аппроксимирующие полиномы не обеспечивают непрерыв-
ности перемещений и углов поворота прн переходе через грани,
разделяющие соседние элементы, называются несогласованными. I
При использовании несогласованных элементов нарушаются ге-
ометрические связи, а это в соответствии с теоремой Рэлея прн- I
водит к снижению собственных частот колебаний. В то же время
представление перемещении элемента в виде разложения по ко-
нечному числу заданных функций эквивалентно наложению 
связей и, следовательно, приводит к увеличению собственных ча-
стот. В результате в общем случае при использовании несогласо- I
ванных элементов МКЭ может дать как завышенные, так и зани-
женные значения собственных частот колебаний по сравнению
с точными значениями. Прн использовании согласованных эле-
ментов МКЭ дает завышенные значения собственных частот. I
В рассмотренном варианте можно показать, что аппроксими-1
рующий кубический полином (10.154) обеспечивает непрерывность I
перемещения и не обеспечивает непрерывности нормальной про-
изводной от перемещения при переходе через грани, разделяющие I
соседние элементы.' При уменьшении размеров конечных элементов 
эта несогласованность (разрыв) по углам поворота в плоскостях, I
нормальных к граням, быстро уменьшается.
10.6.	КОЛЕБАНИЯ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ
конструкций
10.6.1.	Метод суперэлементов
Конструкции летательных аппаратов являются состав- I
ними нерегулярными тонкостенными системами, несущими рас-
пределенные или сосредоточенные массы оборудования, двигатель-1
ных установок, жидкого топлива, грузов и пр. Построение рас-
четных динамических моделей, которые, с одной стороны, были
бы достаточно простыми (иапрнмер, имели бы минимально необ-
ходимое число степеней свободы) и, с другой стороны, учитывали I
бы характерные особенности деформации реальных конструкций
в местах соединения различных частей, в зонах вырезов, в местах
приложения сосредоточенных сил или реакций, представляет со-
бой важный этап в процессе проектирования летательного аппа-
рата.
426

Рнс. 10.23. Расчленение планера лета- Рнс. 10.24. Расчленение суперэлемента
лэдьного аппарата на суперэлементы	на конечные элементы
Эта проблема уже обсуждалась применительно к задачам ста-
тического расчета в гл. 8, где конструкция планера летательного
аппарата рассматривалась с позиций системного анализа и был
иписан метод подконструкцнй, основанный на членении сложной
системы на подсистемы различного уровня. Этот метод позволяет
сократить число неизвестных обобщенных координат конечно-
элементной расчетной модели настолько, чтобы можно было вы-
полнить вычисления на ЭВМ, сохраняя при этом достаточно вы-
сокую точность. Метод заключается в следующем.
Конструкция делится на характерные части — подконструкцин
или суперэлементы, в качестве которых могут рассматриваться
конструктивные единицы — крыло, оперение, носовая часть фю-
зеляжа и т. д. (рис. 10.23), а суперэлементы, в свою очередь, деля-
тся иа конечные элементы (рис. 10.24). Обобщенные координаты,
представляющие собой степени свободы в узлах суперэлемеита,
делятся на две группы. К первой группе (вектор-столбец Ц\}
относятся обобщенные координаты для узлов, лежащих на гра-
нице раздела Г, по которой рассматриваемый суперэлемент от-
деляется от других суперэлементов: ко второй группе (вектор-
столбец ^п) относятся все остальные обобщенные координаты су-
псрэлемеита (см. рис. 10.24): qT —
Потенциальная и кинетическая энергия суперэлемента, а также
вариация работы действующих на него внешних нагрузок на основе
МКЭ записываются в блочном виде:
Xii } Хаг
Х*21 ‘ $22
=4- °*4"
==	4”	4“ ^пА'22^пЪ	(10.160)
7* ™ 'Т 'Ь	4~ йЛ1я2<п]»
6Л = ftqlQi 4”
где	= % н =	М12 = Л^,
=	—блоки матриц жесткости К и. инерции М суперэле-
427

мента: Q(, Qu — векторы-столбцы внешних сил, соответствуют»!
векторам обобщенных координат и
Запишем уравнение собственных колебаний суперэлемента
неподвижно закрепленного на границе раздела Г, полагая
=0 И ^1! = Ksin^Z,
(10.161)
Из этого уравнения определяется некоторое число s низших соб-
ственных форм ¥п и частот колебаний соп закрепленного на гра
нице раздела Г суперэлемента (п — 1. 2, .... s). При этом число s
значительно меньше числа обобщенных координат вектора qn
Вектор (fa приближенно запишем в виде разложения
<1п = sqi + Е f„F„; S = — КюКа. (10.162)
п—1
Здесь первое слагаемое представляет собой статическую состав-1
ляющую перемещений внутренних узлов суперэлемента при за-
данных перемещениях его граничных узлов (это следует из урав- •
нения статики 4~	~ 0. которое можно получить!
если пренебречь инерционными и внешними силами, соответству-1
ющнми обобщенными координатам Qu, т. е. при AfiB = О, Д122 = 0
и Qn = 0)i [п (Z) — дополнительные обобщенные координаты, ха-
рактеризующие движения по низшим собственным формам коле-
баний закрепленного суперэлемента. С учетом разложения’
(10.162) и условий ортогональности собственных форм колебаний
(см. разд. 10.3.2) —FmAf22Kn = 0, Y'mK^Yn ~ о, при т=£я
потенциальная и кинетическая энергии и вариация работы
(10.160) записываются через обобщенные координаты вектора
и [п при п == 1, 2, ...» $:
L	n=i J
Т = 4-+ 2gIE	(10.163)
L	n=i
“b Xj Mnfn I »
n=l J
6Л = WQ', + E
Л==1
где К, = /<„ - КкК.-а Кгъ М„ = (М12 + S’Afe) F„.
Afi = Мп + Afi,,S + S’A!M + S’AfaS,
Qi = <?i + •S’YZn. k„ = ПКпГ„ = mn(s?n-
mn^¥T„MaiYn, F„^nQn.
428

Аналогичным образом уменьшается число обобщенных коорди-
нат для других суперэлементов. В результате потенциальная и
кинетическая энергия и вариация работы внешних нагрузок всей
системы после суммирования по всем суперэлементам записыва-
ется через обобщенные координаты узлов, лежащих на границах
раздела суперэлементов, и через нормальные координаты, ха-
рактеризующие некоторое число низших собственных форм
колебаний суперэлементов, закрепленных на границах раз-
дела.
Если низшие собственные частоты колебаний Oj всех супер-
элементов превышают диапазон рассматриваемых частот колебаний
системы в целом, то обобщенными координатами [п в выражениях
(10.162) и (10.163) можно пренебречь. Это обусловлено тем, что
при низкочастотных колебаниях системы инерционные силы су-
перэлементов малы по сравнению с реакциями, действующими
на границах между ними, и суперэлементы деформируются в ос-
новном квазистатически.
10.6.2.	Метод отсеков
Согласно этому методу удлиненные части конструкции
(корпус, фюзеляж, крыло большого удлинения и пр.) делятся на
подконструкции — отсеки. В качестве сечений, разделяющих
соседние отсеки, выбираются поперечные сечения, в которых про-
исходит изменение геометрии конструкции, имеется резкий пере-
пад жесткости, установлены силовые шпангоуты или нервюры,
действуют сосредоточенные нагрузки или реакции со стороны дру-
гих частей конструкции (рис. 10.25). В общем случае такие сече-
ния могут быть не перпендикулярны продольной оси рассматрива-
емой части конструкции, а торцы отсека могут быть не параллель-
ны друг другу, как, например, в случае корневого треугольника
стреловидного кессонного крыла (см. рис. 10.25, б).
Силовые шпангоуты и нервюры рассматриваются как отдель-
ные элементы, разделяющие соседние отсеки (рис. 10.26).
Рассматриваемый метод
изложим на примере отсеков
с произвольным контуром
поперечного сечения, считая
подкрепленную оболочку без-
моментной или полубезмо-
ментнон. В этих случаях на
торцах отсеков кинематиче-
ские условия сопряжения
записываются только по ве-
личинам перемещений, каса-
тельных к срединной поверх-
ности оболочки. В общем
Случав, »гепример, при нали-
429
Рис. 10.25. Схема членения на отсеки кор-
пуса (о) и крыла (6) летательного аппарата

Рис.
10.26. Отсека, соединенные через шпангоут (а),
схема s?x членения
чни вырезов (см. рис. 10.25) длины контуров стыкуемых торцов
.могут быть различными и поэтому для аппроксимации перемеще-
ний на этих торцах могут быть использованы различные задаиж ~
функции.
Тангенциальные перемещения оболочек иа стыкуемых в k~i
сечении торцах (рис. 10.27) представим в виде
«Г ” S Vk = S
. ' + + + Л + . (юле
uk — Xj #л/Фи» Vk — 2j
где и& (я, t) — тангенциальное перемещение в плоскости, нормаль-
ной к контуру торца в точке я; v* (s, t) — перемещение, касатель-
ное к контуру сечения! <pM (s), фм (я) — заданные функции|
(О — неизвестные функции, которые можно рассматривать
как обобщенные координаты. Верхними индексами «—» и «4-л
обозначены функции, относящиеся соответственно к правому
торцу Л-го отсека и к левому торцу k + 1-го отсека. При этом за-
данные функции выбираются так, чтобы часть обобщенных коор-
динат (например, при i — 1, 2, ...» 6) представляла собой пере-
мещения и углы поворота плоских недеформируемых сеченнй,
а другая часть — возможные формы депланацнй н искривлений
контура рассматриваемых сеченнй (если они учитываются).
Далее на основании вариационного метода перемещений нлн
метода сил в статической постановке задачи определяются дефор-
мации и перемещения в пределах отсека при заданных переме-
щениях (10.164) на его торцах. Эта задача может быть также ре-
шена путем сведения ее к системе обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений вариационным методом, описанным в гл. 6. |
уравнений вариационным методом, описанным в гл. 6.
Рве. 10.27- Кинематические фактор» стыкуемых отсеков
CJ6

В результате потенциальная энергия, кинетическая энергия
и вариация работы внешних нагрузок для Л-го отсека записывается
в обобщенных координатах, представляющих собой перемещения
на его торцах:
[(^X-i)TXfe—1.	4~ 2 X
X Ла—t.A	+ {$k УКькЦк ]»
Г. = |+ 2 (Й-,)т x	(* 0.165)
x tgt +- («)Г)’Л1**4Г1,
Mk = («rf-O’Qtt + (^Г)Х>Г.
где Qk-i и q~k — векторы-столбцы обобщенных координат /,
и Qk, tl Qk-i и Qa — векторы-столбцы обобщенных сил;
Кь-1. k—i = Kk—i. а—ь Kk—i. k — Kl, k—t» Kkk^ Kkk и Mk—i. k—i=
= ЛГй-1, ft-b k = Affc, Mkk = MTkk — матрицы жесткос-
ти и инерции.
Для того чтобы составить уравнения колебаний конструкции
как системы отсеков, необходимо выполнить кинематические
граничные условия сопряжения соседних отсеков. Сначала рас-
смотрим случай, когда в Л-м сечеиии стыкуемые торцы имеют оди-
наковые контуры, а образующая оболочки не имеет излома. В этом
случае условия сопряжения можно удовлетворить точно, если на
стыкуемых торцах взять одинаковые число одинаковых функций
Фа/ = ф1/ = Фа/, Фа/ = фХ/ = Фа/ и положить
Gm = Qki, qti = Qki-	(10.166)
Теперь рассмотрим более общий случай, когда в fe-м сечении сты-
куемые торцы различные (см. рнс. 10.26) нлн образующая обо-
лочки отсеков имеет излом (см. рис. 10.27). В таком сечеиии
обычно устанавливается шпангоут (или нервюра), к которому мо-
гут крепиться тела различных масс и на которые могут действо-
вать сосредоточенные внешние силы или реакции со стороны дру-
гих частей конструкции. Представим перемещения контура упру-
гого k-ro шпангоута (нервюры) в виде разложений
= S Цм&ьь “ S 9ыфы»	(Ю.167)
/ / /
где (s, /), r(A (s, t),	(s, t) — компоненты перемещений то-
чки s контура в направлении нормали к плоскости шпангоута
(Вл)» касательной к контуру (rjft) и нормали к контуру (С*) (см.
рис. 10.27); qM (f) — обобщенные координаты^ соА1 (s), ф^ (s),
Xki (s) — заданные функции.
Потенциальная энергия деформации шпангоута, кинетическая
энергия шпангоута и пр я с-зедк в енных к нему масс, вжркяг’пя ра-
431

боты внешних сил, действующих на шпангоут, приводятся к
виду
и° = 4~	:= Т
6/'2 = f>q\Qt
где qk — вектор-столбец обобщенных координат qk£i Kk, M°k
матрицы жесткости н инерции шпангоута^ Qk — вектор-столбец
обобщенных внешних снл, действующих на шпангоут. Кинемати-
ческие условия сопряжения отсеков с упругим шпангоутом удон
летворим приближенно по методу наименьших квадратов. Для
правого края Л-го отсека и шпангоута (см. рис. 10.27) составим
квадратичный функционал:
/г=4" f “ (ьcos ~ sin vr)]X
«Г
+ far - -Hfep/z) ds,	(10.169)
где ул (s) — угол между направлениями u~k и h (s) и h* (s)
— некоторые весовые функции, например — толщина оболочки
без учета и с учетом продольных подкрепляющих элементов.
При точном выполнении условий сопряжения в направлении
тангенциальных перемещений безмоментной оболочки выражения
в квадратных скобках (10.169) равны нулю и /д - 0. С учетом
разложений (10.164), (10.167) условия минимума по парамет
рам qki дают систему линейных алгебраических уравнений
dJkldqtt = £ dijqt! - £ btlqtl = 0 (i 1, 2, ..(10.170)
/	i
где aii = J («рмфГ/Л. + te’ps/fe) ds,
«Г
Ьц — J COS ?*' — Xtl sin -у?) фйЛ. 4- фг/фГЛ] *•
sk
Аналогичным образом приближенно удовлетворяются кинематш
ческие условия сопряжения между шпангоутом и левым торцом
(k 4- 1)-го отсека (в уравнениях (10.170) индекс «—» заменяется
на «+».
Уравнения (10.170) позволяют выполнить следующее преобра-
зование обобщенных координат:
4k = qk — CkQk-	(10.171)
С учетом этих преобразований (в случае (10.166) С* ~ Ck F)
потенциальная и кинетическая энергия и вариация работы всей
432

системы записываются в обобщенных координатах векторов qfl
при k — 1, ...» N, т. е.
и - £ (у* +14). Т = S (П+W. - £ (вд4 4- 64).
к	к	k
(10.172)
На основании этих выражений затем записываются уравнения
колебаний системы в форме уравнений Лагранжа.
К достоинствам метода отсеков относится то, что он позволяет
последовательно уточнять расчетную модель сложной нерегуляр-
ной конструкции начиная с простейшей балочной модели, осно-
ванной на гипотезе плоских сечений, путем увеличения числа
заданных функций депланаций и искривлений контура в некото-
рых или во всех расчетных сечениях. Такое уточнение приводит
к «наращиванию» системы уравнений без изменения коэффициен-
тов, которые были получены ранее.
Наряду с этим метод отсеков позволяет путем последующего
редуцирования уменьшать число обобщенных координат до необ-
ходимого уровня. Так, при расчете колебаний конструкции по
формам балочного типа (изгибно-крутильно-продольиые колеба-
ния) при составлении выражения для кинетической энергии в ка-
ждом расчетном сечении k — 0, I, .... N можно ограничиться
только частью обобщенных координат, которые описывают вели-
чины перемещений и поворотов этих сечений как плоских недефор-
мируемых дисков, пренебрегая инерцией депланаций и искривле-
ний. В этом случае уравнения колебаний записываются в блочном
виде (10.37) и часть обобщенных координат, от которых кинетиче-
ская энергия не зависит, исключаются.
После такого редуцирования расчетная модель нерегулярной
тонкостенной конструкции при учете депланаций в искривлений
контуров поперечных сечений сводится по существу к некоторой
эквивалентной балочной системе.
10.7.	АЭРОУПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ
10.7.1.	Постановка задачи
Курс аэроупругости изучает поведение упругих тел
при обтекании их потоком газа. Здесь кратко рассмотрим общие
вопросы, относящиеся к постановке задачи, методу' составления
уравнений колебаний, а также к исследованию устойчивости упру-
гих конструкций летательных аппаратов в потоке газа. Более под-
робно задачи аэроупругости изучаются в специальных курсах
(см. например (101).
В большинстве случаев задачи аэроупругостн для тонких тел
можно рассматривать в линеаризованной постановке, полагая,
что деформации (перемещения) упругого тела и вызванные ими
возмущения потока малы. Исключение составляют случаи сильно
433

деформируемых тел, напри-
мер, таких, как купол пара-
шюта в процессе его раскры-
тия, а также — случаи
околозвуковых и гиперзву-
ковых скоростей, при кото-
Рис. 10.28. Расчетная модель летатель- рых аэродинамика ЯВЛяет-
ного аппарата	ся существенно нелиней-
ной.
Малые колебания упругого летательного аппарата будем рас-
сматривать относительно заданного невозмущенного движения,
в котором аппарат находится в условиях динамического равнове-
сия. Вследствие этого уравнения малых колебаний можно состав-
лять, учитывая только линейные приращения аэродинамических,
упругих и инерционных нагрузок в возмущенном движении.
Далее для простоты формулировки задачи аэроупругости бу-
дем рассматривать расчетную модель в виде тонкой, плоской кон-
фигурации (рис. 10.28), срединная поверхность которой в невоз-
мущенном движении располагается в плоскости Oxz или находится
вблизи нее, при этом корпус (фюзеляж) рассматривается как тон-
кая балка, аэродинамическое давление на которую в каждом се-
чении может быть заменено равнодействующей поперечной на-
грузкой qy (х, /), приведенной к оси балки. Система координат
Oxyz связана с летательным аппаратом в его невозмущенном дви-
жении, в качестве которого будет рассматриваться прямолиней-
ный полет с постоянной скоростью V. При этом ось Ох составляет
с вектором скорости полета малый угол атаки а0.
Деформации рассматриваемой расчетной модели прн изгибе
описываются функцией нормальных перемещений срединной по-
верхности w (х, z, f), направленных по оси у (см. рнс. 10.28).
10.7.2.	Аэродинамическое давление
Задача аэроупругости может быть условно разделена
на две задачи — аэродинамическую и упругодинамическую. При
решении аэродинамической задачи предполагается, что перемеще-
ния упругой конструкции w (х, z, I) известны. В силу кинемати-
ческого граничного условия безотрывного обтекания колеблю-
щейся поверхности летательного аппарата скорость скоса потока
в любой точке с учетом составляющей скорости ветра Уъу (х, z, /)
в направлении осн Оу равна
V । 1/ —	। dw дх _ dw ... dw	,|n .7оч
У у I- = +	=	(10.173)
где первое слагаемое в правой части представляет собой скорость
частицы газа, как бы прилипшей к подвижной поверхности, а вто-
рое слагаемое учитывает скорость, обусловленную относительным
движением (скольжением) частицы вдоль наклонной поверхности.
434

Угол скоса потока (приращение мастного угла атаки)
0(x.z.o=->= -О+4-^-^)- (*0174>
Возмущения потока вызываются углами скоса его во всех точках
поверхности, на основании чего выражение для перепада аэроди-
намического давления на нижней и верхней поверхностях тонкого
тела (см. рис. 10.28) Др == р„ Рв может быть представлено
в виде
Лр — ^-Р[а],	(10.176)
где р — плотность иевозмущеииого потока; Р (... J в случае ли-
неаризированной аэродинамической задачи является линейным
аэродинамическим оператором по переменным х, z, £; величина
Р [а] ~ Др представляет собой местный перепад, отнесенный
к скоростному напору (коэффициент перепада давлений). В общем
случае Р является линейным интегродифференцнальным опера-
тором.
Решение аэродинамической задачи для определения вида опе-
ратора Р в общем случае представляет собой значительные мате-
матические трудности. Ее формулировка и способ решения зави-
сят от конфигурации тела в плане, от диапазона рассматриваемых
скоростей (несжимаемый поток, сжимаемый поток с дозвуковой,
околозвуковой, сверхзвуковой и гиперзвуковой скоростью) и от
того, считается ли задача обтекания стационарной или нестацио-
нарной,
Постановка и методы решения аэродинамических задач обте-
кания тел потоком при заданных значениях местных углов скоса
потока а иа их поверхности рассматриваются в курсах аэродина-
мики и аэроупругости (10, 6, 281.
В настоящее время имеется ряд точных н приближенных ана-
литических решений аэродинамической задачи для конкретных
конфигураций несущих поверхностей и тонких тел в определенных
диапазонах скоростей. Большая часть этих решений получена
для стационарной задачи, реже — для нестационарной задачи
при установившихся гармонических колебаниях и только единич-
ные случаи — для нестационарной задачи при произвольных
движениях поверхности. Последнее обусловлено большими труд-
ностями, возникающими при решении нестационарных аэроди-
намических задач — здесь решение (например, решение задачи
возмущенного давления) зависит не только от значений углов
скоса потока в рассматриваемый момент времени, но и от их зна-
чений во все предыдущие моменты времени.
В Последнее время разработаны эффективные алгоритмы чис-
ленного решения аэродинамических задач, основанные на диск-
ретных методах 161. Несущая поверхность и прилегающая к ней
область возмущенного течения в плоскости Oxz делятся на систему
ячеек; в результате функциов ильная зависимость (10.175) получа-
435

ется в виде системы линейных алгебраических уравнений, связы-
вающих значения а н Др в заданных контрольных точках в ка-
ждой из ячеек на несущей поверхности. В этом случае оператор Р
записывается в виде матрицы аэродинамических коэффициентов]
влияния.
Дискретный метод решения аэродинамической задачи хорошо
сочетается с дискретным методом конечных элементов, использу-
емым для решения упругодинамической задачи- Дискретные ме-
тоды решения задачи аэроупругостн являются весьма трудоем-
кими и обычно применяются на стадии уточненных поверочных]
расчетов.
10.7.3.	Упрощенные теории
Во многих практических случаях для целей аэроупру-
гости, особенно на стадии проектировочных расчетов, аэродина-
мическая задача ставится в упрощенной постановке. При этом
часто используется гипотеза стационарности. На основании этой
гипотезы при получении решения в форме (10.175) не учитыва-'
ется зависимость а от времени, т. е. рассматривается некоторый
фиксированный момент времени с «замороженными» значениями а
и для этого момента времени решается стационарная задача. После
того как найдено выражение оператора Р, используется зависи-
мость а от времени (10.174) через посредство функций w (х, z, t)
и УЬу (х, z, f). Гипотеза стационарности может быть использована
с достаточной точностью только прн сравнительно медленных дви-
жениях, например, прн колебаниях недеформированного тела и
при его упругих колебаниях по низшим формам.
Оценку предела применимости гипотезы стационарности можно
получить следующим образом: чтобы можно было пренебречь не-
стационарностью потока, время пробегания частицы газа не-
которой характерной длины (например, хорды Ь) должно быть
значительно меньше четверти периода колебаний (за четверть
периода амплитуда колебаний меняется от нуля до максимального |
значения). Из этого следует, что ЫУ 774 = 2 л/(4 со) или
bta/V л/2, где со—-частота колебаний, a bmlV — называется
приведенной частотой илн числом Струхаля.
Наряду с гипотезой стационарности в курсе аэроупругостн
для удлиненных несущих поверхностей и тел, например крыльев
большого удлинения, часто используется гипотеза плоских се-
чений, на основании которой аэродинамическое давление в каж-
дом поперечном сечении определяется на основе аэродинамической
теории плоскопараллельного обтекания профиля бесконечно длин-
ного цилиндрического тела. В этом случае пренебрегают взаимным
влиянием различных сечений, обусловленным различней нх
геометрии и характера движения, на перераспределение давления
по длине (размаху).
Отметим, что использование гипотез стационарности н плоских
сечений в случае больших сверхзвуковых скоростей приводит
436

к меньшим погрешностям, чем в случае дозвуковых ско«
ростей.
В качестве примера приведем точные решения» полученные
с использованием гипотезы стационарности, для гонкого беско-
нечно длинного цилиндрического крыла, ось которого перпенди-
кулярна потоку.
В случае несжимаемого потока 1101
Др(х,0 = Ф-4у^х J	(Ю.176)
—а
где координата х отсчитывается от середины хорды в направлении
потока; а = Ь/2 — половина хорды.
В случае сверхзвукового потока Г101
Лр(х, 0 = 4^ -^==а(х, 0.	(10.177)
-где М — число Маха.
Решения (10.176) и (10.177) могут быть приближенно распро-
странены на случай тонких прямых и стреловидных крыльев,
если считать b = b (г), а ~ а (х, г, /) н учитывать поправки на
конечность размаха и стреловидность, а при больших дозвуковых
скоростях, кроме того — на сжимаемость потока. Поправки могут
быть определены теоретически (для некоторых частных случаев),
экспериментально (иа основе продувок моделей) или по полу-
эмпирическим формулам.
Простая формула (10.177) может быть приближенно исполь-
зована и для некоторых конфигураций тонких несущих поверх-
ностей малого удлинения со сверхзвуковыми передними и зад-
ними кромками при М2 cos3 х 1 (х — угол стреловидности
передней кромки), у которых на большей части поверхности тече-
ние является двумерным (плоским) и не оказывают влияния кон-
цевые эффекты перетекания частиц газа с нижней поверхности
на верхнюю и наоборот.
При Ма 1 существенно возрастает аэродинамическая не-
линейность, вследствие чего при определении приращения давле-
ния возникает необходимость учитывать влияние толщины про-
филя и начального угла атаки. Полный угол скоса потока в воз-
мущенном движении профиля, имеющего начальный угол атаки а0,
прямолинейную хорду н симметричное распределение толщины
h (х, z), равен
, л	8 dh .
(х, z, 0 = «о =F ’	-£ 4- а»
где знаки «—» и «+» относятся соответственно к верхней и нижней
поверхностям. Если считать возмущения а весьма малыми, то
прн М8 8 достаточно учесть нелинейное влияние только а0
*£?

Рнс. 10.29. Расчетная модель корпуса лета-
тельного аппарата
рин линеаризированное приращение
филе записывается в виде [10, 281
и Л. Для этого необходимо
получить нелинейное вы-
ражение для полного воз-
мущенного давления в
зависимости от а* и затем
его линеаризировать по а.
На основании так на-
зываемой поршневой тео-
перепада давления на про-

(10.178)
где у — показатель адиабаты газа.
В поршневой теории предполагается, что возмущения в rase
распространяются преимущественно в направлении нормали (близ-
кой к направлению скорости скоса Vy) в рассматриваемой точке
обтекаемой поверхности. В соответствии с этим давление на
поверхность определяется так же, как давление сжимаемого
цилиндрического столба жидкости на поршень, толкающий этот
столб со скоростью Vy.
Поршневая теория в общем случае является нестационарной
и она применяется для преимущественно плоских течений, когда
выполняется какое-либо из условий [20 k М® > 1, k№ > 1,
А2М2 1, где k = о&/(2У) — приведенная частота колебаний,
отнесенная к полухорде. Сравнение формул (10.177) и (10.178)
показывает, что в случае тонкой пластины, наклоненной к потоку
под малым углом атаки {dhldx а? 0, ав ж 0), поршневая теория
приводит к такому же результату, как и точное решение для
случая плоского стационарного обтекания тонкого профиля при
М® 1 (т. е. при у/М® — 1 ж М).
Далее рассмотрим тонкое упругое тело с иедеформируемым
контуром поперечных сечений, представляющее собой корпус
(фюзеляж) летательного аппарата (рис. 10.29). В этом случае
вместо аэродинамического давления удобнее рассматривать по-
перечную распределенную нагрузку (х, t), приведенную к оси
тела.
При низкочастотных поперечных колебаниях тела, симметрич-
ного относительно плоскости Оху, аэродинамическую нагрузку
можно определить приближенно, используя гипотезу стационар-
ности и гипотезу плоских сечений [28 k
«,(*•<)“ -ф-“(«. 0.	(10.179)
где So — некоторая характерная площадь (например, площадь
миделя); cfi (х) — текущее	коэффициента подъемной
$38

силы, приходящегося на единицу длины корпуса и отнесенного
к площади So. Коэффициент Су определяется в различных сече-
ниях недеформируемого корпуса на основании теоретических
или экспериментальных данных. При этом в соответствии с гипо-
тезой плоских сечений не учитывается аэродинамическое влияние
за счет скосов потока различных частей корпуса друг на друга.
В случае тонкого тела вращения с заостренной носовой частью
нестационарная аэродинамическая нагрузка приближенно может
быть определена по теоретической формуле [101:
М*. t) = ^2 (±+4.|)sMa(X 0,	(10.180)
где S (х) — площадь поперечного сечения тела.
Эта формула также справедлива в случае тела с крылом очень
малого удлинения (или оперениого тела) при условии, что крыло
лежит в плоскости Oxz, является недеформируемым в направлении
размаха и что за задней кромкой крыла тело либо заканчивается,
либо имеет постоянное поперечное сечение. В этом случае на
участке расположения крыла
S (х) = п (с?2 — г2 -j- гЧа2),
где г (х) и а (х) — радиус тела и полуразмах крыла в текущем
сечеиии; в сечениях, где нет крыла, а = г и S (х) = яг2.
Формула (10.180) получена на основе нестационарной теории
тонкого тела при условии двумерного течения несжимаемой
жидкости в плоскостях, перпендикулярных направлению полета.
В случае низкочастотных колебаний эта теория справедлива при
любых скоростях, если выполняется ограничение М <£ К, где
X — удлинение корпуса (X > 1).
Если использовать гипотезу стационарности, то формула
(10.180) переходит в формулу (10.179), где
=	(10.181)
10.7.4.	Уравнения колебаний
Составим уравнения колебаний упругого летательного
аппарата в полете, используя метод Рэлея — Ритца, в соответ-
ствии с которым перемещения находятся в виде разложения
w (х, г, 0 = £ qt (0 ц>1 (х, z),	(10.182)
z=i
где (х, z) — заданные функции; qt (f) — неизвестные функции,
рассматриваемые как обобщенные координаты.
Функции в каждом конкретном случае выбираются так,
чтобы с их помощью можно было описать возможные перемещения
439

упругой конструкции, характерные для рассматриваемой задачи
Если рассматриваются колебания только некоторой части лета
тельного аппарата (например, консоли крыла или оперения)
в предположении, что эта часть крепится к массивной жесткой
конструкции (корпусу), которую можно считать неподвижной,
то при выборе функций необходимо удовлетворить кинемати-
ческие условия закрепления.
Если рассматривается конструкция летательного аппарата
в целом, то вследствие ее симметрии относительно плоскости Оху
малые колебания распадаются на симметричные и антисимметрич-
ные. При симметричных колебаниях w (х, —z, t) — w (х, zt t),
а при антисимметричных колебаниях w (х, —z, t) ~~ —w (x, z, t).
Соответственно необходимо подчинять этим условиям заданные
функции (х, г), чтобы получить несвязанные уравнения сим-
метричных и антисимметричных колебаний.
В случае летательного аппарата, находящегося в полете, при
выборе функций Фг необходимо учитывать его перемещения как
твердого тела — перемещение в направлении оси Оу и повороты
относительно осей Oz и Ох (такие движения могут быть описаны
функциями Фл = I, ф2 ~ х — Ч, Фз — *)•
С помощью заданных функций фг нетрудно учесть отклонения
различных управляющих поверхностей, например, отклонение
недеформируемого элерона может быть охарактеризовано кусочно-
линейной функцией, представляющей собой перемещение элерона
при отклонении его на единичный угол и отличной от нуля только
на поверхности элерона.
Если метод Рэлея — Ритца используется в форме метода конеч-
ных элементов, то функции ф* выбираются в виде локальных
функций, описывающих деформации каждого элемента с учетом
кинематических условий сопряжения элементов между собой.
При этом линейная комбинация таких функций, в частности,
должна описывать перемещения конструкции как твердого не- 1
деформируемого тела.
Наиболее часто в задачах аэроупругости в качестве заданных
функций ф< используются собственные формы колебаний. В силу
условий ортогональности собственных форм колебаний ряд
(10.182) в общем случае сходится быстрее, чем при использования
каких-либо других функций, и при этом в уравнениях обра-
щаются в нуль коэффициенты, характеризующие инерционное
и упругое взаимодействие между различными формами колебаний.
Кроме того, при гармоничном возбуждении упругой конструкции
легче всего возникают колебания при частотах, близких к соб-
ственным частотам, в результате чего собственные формы колеба-
ний обладают хорошей избирательностью по частотам. Поэтому
при исследовании колебаний в каком-либо определенном диапа-
зоне частот, составляя уравнения, необходимо учитывать все те
собственные формы колебаний, соответствующие частоты которых
попадают в рассматриваемый диапазон частот.
440

Уравнения колебаний в обобщенных координатах записы-
ваются а виде (10.19), т. е.
Е ('Mf + Mj) = Qi (‘ = 1.....S).	(10.183)
/=»
где тц ж [( етадр/dS; Qi — JJ А/мр^ d<S; m(x, г)— масса, от-
s	s
несен на к единице площади поверхности; dS = dxdz. Коэффи-
циенты жесткости kif для составной упругой конструкции вы-
числяют в каждом конкретном случае, используя .потенциальную
энергию деформации всех ее частей.
Если функции ф| являются собственными формами колебаний
всей конструкции (а не отдельных ее составных частей), то mif =
“ 6ymt, klt =	где бу = 1 при i ~ / и 6if = 0 при i 4 /;
и mt — собственная частота и коэффициент обобщенной массы
i-й формы колебаний.
Вычислим обобщенные аэродинамические силы Qt (i). При
этом будем считать, что аэродинамическое давление Ар опре-
деляется в формуле (10.175) на основании гипотезы стационар-
ности, вследствие чего Р [. . .] является оператором по коорди-
натам х, z и не зависит от времени t. Тогда в силу линейности этого
оператора на основании выражений (10.174), (10.175) н (10.182)
получим
ч- -4	m-42>i+4w
/-1	1=1
(10.184)
Следовательно,
Qt = — S' bifq} —	dyfy 4~ Qbt (£),
s	(10.185)
J j ? [Ф/l *Pt d^t
S
0ь< =4
Здесь Z?y и dy являются постоянными коэффициентами, которые
можно назвать соответственно обобщенными коэффициентами аэро-
динамической жесткости и аэродинамического демпфирования;
Qu (0 — являются известными обобщенными силами порывов
ветра при заданном распределении их скоростей Vby (х, г, /).
При вычислении коэффициентов (10.185) в некоторых случаях
могут быть достигнуты существенные упрощения, если использо-
441

вать теорему обратимости [10, 61. На основании этой теоремы
в случае стационарного обтекания, а также при гармонических
колебаниях несущей поверхности или произвольного тонкого I
тела выполняется тождество
j J Р [a,] a, d$= j J Р* [Кг] a, dS, (10.186)
где aj (х, z), aj (х, z) — произвольные функции, представляющие I
местные углы атаки; Р [af 1 — и Р* [<zf 1 -- Др? — коэф
фициенты перепада давления в точке поверхности S, имеющей
местные углы атаки at (х, z) прн прямом (со скоростью V) и обра-
щенном (со скоростью —V") обтекании.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений колеба-
ний упругого летательного аппарата в обобщенных координатах!
(10.183) с учетом обобщенных аэродинамических сил (10.185)
может быть записана в форме
X [nkrfj + dtf/j -+- Ц- btJ) qf] = Quit) (i = 1, 2, . . ., s)
/='	(10.187)
или в матричном виде с учетом обозначений (10.22):
+ {К + $) Q = Qb (О»	, jQ jggv
Р = ад, В - [М. Qb = [QMJ.
При исследовании динамической реакции летательного аппарата
на действие атмосферной турбулентности эта система при заданных
начальных условиях обычно интегрируется численно. В резуль-
тате определяются обобщенные координаты qt (t), перемещения
(10.182) и приращение аэродинамического давления (10.184),
а также ускорения (динамические перегрузки) и напряжения в за-
данных точках конструкции.
При исследовании переходного процесса, вызванного быстрым
отклонением рулевых поверхностей по заданному закону, одна
из обобщенных координат, например qp, которая характеризует
это отклонение, считается известной. Тогда уравнение для этой
координаты при i — р отбрасывается, а в оставшихся уравнениях]
(10.187) известные члены, содержащие qp, переносятся в правую
часть. После этого уравнения интегрируются численно.
10.7.5.	Условия неустойчивости
В уравнении (10.188) матрицы £f и В в общем случае
являются несимметричными. Их можно представить в виде сумм
симметричных и кососимметричных матриц:
D = £>.+ £>„ Dc —*-(£> + £> ).	= Ц-(2? — ZZ-);
В ~ В. + В„ Б. = 4-ф + В’), Б„ = 4(ВЯ').
442

Симметричная матрица £'с *=* Dl называется диссипативной; она
может быть как положительно определенной, так и неопределен-
ной. Если оиа положительно определенная, то прн любых формах
колебаний демпфирующие силы Dcq уменьшают энергию системы,
т. е. способствуют диссипации энергии и затуханию колебаний.
Кососимметричная матрица £>к = —£>к называется гироскопи-
ческой (гироскопические и кориолисовы силы пропорциональны
скоростям обобщенных координат и имеют кососимметричные
матрицы коэффициентов); работа сил DKq на любых действитель-
ных перемещениях равна нулю [4, 201. Симметричная матрица
представляет собой консервативные позиционные силы
Bcq\ она может быть как положительно определенной, так и не-
определенной; ее можно объединить с матрицей жесткос-
ти Д.
Кососимметричная матрица Вк — —В* представляет собой
неконсерватнвные позиционные силы BKq (такие силы иногда
называются циркуляционными); эти силы не имеют потенциала,
а их работа за период колебаний может быть как положительной,
так и отрицательной — это зависит от форм колебаний, посколь-
ку работа неконсервативных сил зависит от пути их следова-
ния.
Таким образом, автономная аэроупругая система в общем слу-
чае является неконсервативиой за счет наличия диссипативных
и неконсервативных позиционных сил Dcq и BKq. Такая система
может отдавать энергию потоку илн при определенных условиях
черпать ее из потока; в первом случае колебания будут затуха-
ющими, а во втором — нарастающими. Нарастание колебаний
происходит в случае, когда система является динамически не-
устойчивой. Обычно в аэроупругих системах основную роль
в появлении динамической неустойчивости так же, как и стати-
ческой неустойчивости, играют аэродинамические позиционные
силы Bq.
Система называется асимптотически устойчивой, если после
прекращения действия внешних возмущений оиа при t со
возвращается к первоначальному невозмущенному движению
(состоянию). Об устойчивости можно судить по виду решений
однородной линеаризированной системы дифференциальных урав-
нений. Характеристическое уравнение- однородной системы
(10.188) при — 0, получаемое в результате подстановки в урав-
нения решения, отыскиваемого в виде q — qW, записывается
в форме равенства нулю определителя
|	+ W + Д' + В | = 0.	(10.189)
Оно имеет действительные и комплексно-сопряженные корни.
Паре простых комплексно-сопряженных корней Xv = av
443

4 и •» а»—«^соответствует действительное частное
решение	____
4 CVZ^J =
» 2Лve®«* [Xvcos(<dvf 4- q>v) —	sin (<M 4” 4’v)L (10Л90)
где Z* Xv 4 «Fv, Zv « X„ -- iFv — комплексные, формы
колебаний (вектора), соответствующие корням К и kv; Cv —
™ Л¥ейф*, £v	Av и <pv — произвольные константы,
которые определяются из начальных условий. Решение, соответ-
етвующее простому действительному корню Xv — av, записы-
вается как частный случай решения (10.190) при eo.j — 0, Fv — 0.
Для асимптотической устойчивости системы (10.188) необхо-
димо и достаточно, чтобы вещественные части av всех корней
характеристического уравнения были отрицательны. Если среди
корней имеется по крайней мере один с положительной веще-
ственной частью, то система является неустойчивой. Прн av >0
sjfc 0 система динамически неустойчива (флаттер) по формам
и Fv, которые колеблются одновременно с частотой tov и со сдвигом
фазы между ними, равным л/2; при av >• 0 и <ov = 0 система
статически неустойчива (дивергенция) по форме Xv. При этом
параметр ец, характеризует нарастание амплитуды колебаний
(отклонения) по закону
Случай а «= 0 является границей устойчивости: на границе
флаттера а = 0 и 1 ± «‘ ю; на границе дивергенции а — 0 и % = 0.
Некоторые классические теоремы о влиянии диссипативных
и гироскопических сил на устойчивость системы приведены в [201.
10,7.6 Двухстепештя расчетная модель
В большинстве случаев флаттер появляется в резуль-
тате преимущественного взаимодействия каких-либо двух форм
колебаний упругой конструкции. Наибольшее взаимодействие
обычно проявляется между формами, собственные частоты которых
близки друг другу; при этом, разумеется, существенное влияние
имеют и сами формы колебаний, поскольку от них зависят знаки
н значения аэродинамических коэффициентов btJ.
Двухстепенные расчетные модели (для нескольких попарных
комбинаций различных форм) часто используются для прибли-
женных проектировочных расчетов флаттера, поскольку они
позволяют получить результаты в виде формул, на основании ।
которых несложно исследовать влияние различных конструктив-
fux параметров иа критическую скорость.
Если в уравнениях ограничиться двумя обобщенными коорди-
натами, например qt и % (две степени свободы, s = 2), то харак-
теристическое уравнение (10.189) примет вид
I	4- Мц 4-	4~	4" ^ia 4" ^12 4~	I _ q
I	4^	4~	4~	4~	4“ 4" ^зз	I
Ш

Раскрывая определитель, получим
сД* 4- Cgl® + а2№ 4~ сх11 с0 = О,
(10.191)
где а4 ~ тит№ — т12тхъ
аэ — nijiil22 4“ ^22^11	^12^21	^21^12»
а0 — тпц (^22 4 ^22) 4~ т-ц (^и 4~ Ьц) ~ ^12 (^21 4" Ь-л)
--^21 (^12 4~ Ь1г) 4“ &1$2<2	^12<4ь
(10.192)
Й1 — ^11 (^22 4- ^22) 4- ^22 (^11 4“ Ь11) ' ^12 (^21 4~ ^21) ~~
^21 (^12 + ^1й) >
й0 — (Лп 4~ Ьц) (fe22 4- ^22) — (&12 4~ Ь1а) (Л21 4" ^21)-
Определим границу флаттера, полагая в характеристическом
уравнении (10.191) X = ita. Приравнивая нулю действительную
и мнимую части, получим
а0(и4 — с2ш8 4- а0 — 0,
со (Ао “ ox) = 0.	(10.193)
Квадрат частоты на границе флаттера
(о^Сх/Со.	(10.194)
Подставляя (10.194) в первое уравнение (10.193), получим границу
флаттера в виде
01^4 — С1Й2Сз 4- СоЯз == °.	(10.195)
Полагая в уравнении (10.191) 1 — 0, находим границу дивер-
генции
й0-0.	(10.196)
Из уравнений (10.195), (10.196) можно определить критические
скорости флаттера Уф и дивергенции Уд в зависимости от пара-
метров системы.
В качестве примера рассмот-
рим устойчивость цельнопово-
ротного стабилизатора в сверх-
звуковом потоке (рис. 10.30).
Считаем, что стабилизатор как
абсолютно жесткое тело может
поворачиваться относительно
оси вращения Oz за счет упру-
гости проводки управления и
Рис. 10.30. Поворотный стабилизатор
445

относительно оси Ох, направленной по потоку — за счет упру
гости узла крепления к корпусу.
Обозначим через qr (/) н qt (i) углы поворота стабилизатор.'»
относительно осей Oz и Ох, считая их положительными при вра-
щении по часовой стрелке (см. рнс. 10.30). Тогда перемещение
любой точки стабилизатора равно
» (х. г, 0 — ft (0 ч>, (х, z) + ft (0 <?. (х. г);
(10.197)
% (х. г) = -х. <рг (х, г) = г.
Аэродинамическое давление сверхзвукового потока будем опре-
делять по формуле (10.177)- В этом случае аэродинамический
оператор Р [. . Л является множителем 4/)/М2 — 1 . Обозначим
(10.198)
где о» — скорость звука в невозмущеином потоке.
Коэффициенты жесткости в рассматриваемом случае можно
определить экспериментально, прикладывая к консоли ставили!
затора моменты Мж и Мж и замеряя соответствующие им стати-
ческие углы поворота qUr и При отсутствии упругого вза-
имодействия между этими углами будем иметь
= Mjqx = Mjq. ст. k„ = ^ = 0.	(10.199)
Коэффициенты обобщенных масс (10.183) с учетом (10.197) равны
массовым моментам инерции:
= J J mx* dS *“ </жг 5=3 f [ гиг* dS —
S	rf *	(10.200)
ти —	= — J I mxzdS = —J„.
s
Найдем коэффициенты аэродинамической жесткости и азроднна-j
мического демпфирования (10.186). Учитывая (10.197) и (10.198),
получим
Ьхж « V|X J j xdS	VpSx» bM — 0,
з
ь'ях ~ iPJ J s dS —- Vp £ X(<, bs% = 0,
5	(10.201)
du “ И П	daa « Ц j j
5	£
^2S ™ d%y s -—J J XZdS ^=4 •—p
445

Здесь х0, z0 — координаты центра давления, совпадающие в рас-
сматриваемом случае с центром тяжести площади S, /а, Iz, Ixz —
моменты инерции площади стабилизатора. Коэффициенты могут
быть уточнены с учетом экспериментальных данных для аэро-
динамических производных коисоли стабилизатора.
Если аэродинамическое давление определять по формуле
поршневой теории (10-182) с учетом поправки иа толщину h (х, z)
и начальный угол атаки сс0, то коэффициент р следует заменить
функцией
М*. г) = 2Pa„[l	(-|Н+(10'20Z)
которая в выражениях Ьц и dtJ останется под интегралом по S.
Уравнение (10.195) для критической скорости флаттера при-
водится к квадратному уравнению
k2V* + kxV 4- k0 = 0,	(10.203)
коэффициенты которого зависят от р и, следовательно, от М =
= V/tZoo. Критическая скорость Уф может быть определена мето-
дом последовательных приближений, если полагать в первом
приближении р = 2раоо, или графически — как точка пересече-
ния кривой V (Ж), представляющей решение квадратного уравне-
ния (10.203) при заданных значениях М, с прямой V = Ма^.
Из уравнения (10.196) получим формулу для критической
скорости дивергенции рдКд = —k^/Sxo, откуда следует, что
дивергенция поворотного стабилизатора возможна только при
х0 < 0 (р > 0, k1± > 0), т. е. в случае, когда центр давления
лежит впереди оси вращения.
Критические скорости флаттера и дивергенции должны с опре-
деленным запасом превосходить максимальную скорость полета
иа данной высоте.

ГЛАВА П
ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ЭЛЕМЕНТОВ
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ ПРИ НЕУПРУГОМ
ПОВЕДЕНИИ МАТЕРИАЛА
ИЛ. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИКЛАДНОЙ ТЕОРИИ I
ПЛАСТИЧНОСТИ
ИЛЛ» Пластические деформации
Как известно, закон Гука (1.11), которым описывается 
связь между напряжениями и деформациями, для большинства
конструкционных материалов и, в частности, для металлических
сплавов справедлив лишь до определенного уровня напряжений
Рассмотрим диаграмму деформирования материала, показанную _
на рис. 11.1, которая может быть получена при растяжении
образца. Линейная зависимость между напряжениями н деформа-
циями (закон Гука) сохраняется до предела пропорциональности,
характеризуемого ордииатной точкой А, при дальнейшем нагру-
жении появляется площадка текучести ВС, характеризуемая
пределом текучести о.г, а затем участок упрочнения материала
CDK. Экспериментально установлено, что, если после нагружения
до некоторой точки D осуществить разгрузку, т. е. снизить напря-
жения до нуля, соответствующий участок разгрузки DF можно
приближенно считать прямым и параллельным начальному уча-
стку активного нагружения ОА. Прн этом в процессе разгрузки
исчезает только часть развившейся деформации — упругая со-
ставляющая FG. Участок OF характеризует остаточную, пласти- |
ческую деформацию, наличие которой является характерным
признаком пластического поведения материала. Другим харак- В
териым свойством упругонластнческого деформирования является
независимость кривой а(е) от времени нагружения образца.
Отчетливый горизонтальный участок текучести ВС наблю-
дается далеко не у всех материалов, поэтому точка перехода
из упругой области в пластическую является достаточно у с лов- I
ной. В технических расчетах за предел текучести (или о02)
принимается напряжение, при котором остаточная деформация
составляет 0,2 %. Это напряжение устанавливается как ордината
точки пересечения экспериментальной кривой а(е) с прямой,
параллельной участку ОА, проходящей через точку с абсциссой
е — 0,2 %.
Расчет конструкций с учетом пластических деформаций мате-
риала ивляется одной из основных задач науки о прочности
летательных аппаратов. Для элементов, работающих в условиях
интенсивного и кратковременного одноразового нагружения, по-
явление пластических деформаций, как правило, считается до-
MS

пустимым и должно учитываться при расчете. В конструкциях,
работающих многократно и в течение длительного времени, не-
упругое поведение материала, сопровождающееся образованием
остаточных деформаций, обычно не допускается. Однако и в этом
случае определение напряженно-деформированного состояния кон-
струкции за пределом упругости, т. е при нагрузках, превыша-
ющих эксплуатационные, позволяет установить предельную на-
грузку, истинный запас прочности и возможный характер раз-
рушений. Исключительно большое значение имеет анализ
пластического поведения материалов для технических задач,
связанных с приданием металлической заготовке необходимой
формы за счет образования соответствующих остаточных де-
формаций.
Определение напряженно-деформированного состояния авиа-
ционных конструкций, работающих за пределом упругости
(а также момента перехода в упругопластическое состояние),
осуществляется с помощью уравнений прикладной теории пла-
стичности, к выводу и анализу которых мы переходим. Прежде
всего отметим, что соотношения теории пластичности так же,
как и соотношения теории упругости, можно разделить на три
группы — статические, геометрические и физические. При этом
статические соотношения уравнения равновесия (1-9), запи-
санные через функции напряжений, и геометрические соотноше-
ния (1.3), связывающие деформации с перемещениями, не зависят
от свойств материала. Для построения теории пластичности
необходимо получить физические соотношения, обобщающие закон
Гука П.11) на случай упругопластических деформаций.
11.1.2. Обобщенные инвариантные характеристики
напряженного состояния
Как следует из теории упругости (см. разд. 1.1.2),
напряжения в любой точке тела определяются девятью компо-
нентами, образующими тензор напряжений То, который в де-
картовых координатах х, у, z записывается в виде
Т
* и
Gx ^ух
тху
^yz
Т2Х
Tzy
G2
(11.1)
В силу закона парности касательных напряжений тху — хух,
тг2 = т2а,, туг = тгу тензор напряжений симметричен относи-
тельно диагонали gxgvgz. Для дальнейшего исключительно важное
значение имеет понятие инвариантности. Дело в том, что компо-
ненты тензора напряжений существенно зависят от направления
осей координат, а переход материала в пластическое состояние
в данной точке — явление объективное, которое не должно зави-
сеть от того, в какую сторону мы направили оси. Поэтому напря-
VfilS И. Ф. Образцов и др
449

Рис. 11.1. Эксперимента?! ь-
ная диаграмма деформирова-
ния упругопластического ма-
териала
Рис. 11.2. Напряжения, действующие по
граням элементарного тетраэдра
жения, уровнем которых в итоге определяется переход материала
за предел упругости, должны обладать некоторыми инвариант-
ными комбинациями, сохраняющими постоянные значения в дан-
ной точке во всех системах, для которых эта точка является
началом координат.
Для получения этих инвариантных комбинаций (инвариантов
тензора напряжений), а также некоторых других необходимых
для дальнейшего соотношений рассмотрим равновесие элемен-
тарного тетраэдра, показанного на рис. 11.2, и найдем напряже-
ния на наклонной площадке. Суммарное напряжение р с проек-
циями на оси Л\., Yv, Zv действует по наклонной площадке dsv и
уравновешивается нормальными и касательными напряжениями,
действующими по координатным площадкам (см. также рис. 1.2).
Нормаль к площадке v зададим направляющими косинусами
I = cos (v, х), tn — cos (v, у), n ~ cos (v, z), причем
f + m2 + и2 = 1.	(11.2)
Проектируя действующие на элемент силы на оси х, у и г, получим
соотношения (1.8), т. е.
Xv = gJ + Ъ,хт +
Y v = Gym -f-	-|- xxvl,	(11.3)
Z-^ —— G -|— Xx%L ~
Равенства (11.3) определяют проекции напряжения р в зависи-
мости от /, т, п, т. е. от ориентации наклонной площадки. Как
известно из теории упругости, среди этих площадок можно вы-
делить так называемые главные площадки, по которым действуют
только нормальные напряжения. Для определения главных пло-
щадок предположим, что показанная на рис. 11.2 наклонная
450

площадка является главной. Тогда на ней т = 0, р = ст и, сле-
довательно,
Хг = о/, Yv = от, Zv = on.	(И .4)
Подставляя (П-4) в (11.3), запишем три линейных алгебраических
уравнения
(о\ — о) I -|- xzxn — О,
+ К о) т J- xzbn = 0,	(11.5)
тЛ2/ 4- xyzm 4- (oz - о) = 0.
Уравнения (11.5) включают в качестве неизвестных направля-
ющие косинусы нормали к главной площадке. Ввиду того, что
система (11.5) является однородной, она имеет решение, отличное
от нуля только в том случае, если ее определитель равен нулю.
Приравнивая нулю и раскрывая определитель системы (11.5),
получим следующее кубическое уравнение, определяющее главное
нормальное напряжение, действующее на главной площадке
о3 К(Тс)о^ -Г2(Та)о /з(7п) = 0,	(11.6)
где Л (70) = ох 4- Оу 4- о2,
(То) — ------№хОу 4" GXOZ -|- ОрСТ?) 4“ ^ху 4“ ^xz 4" ^ух, (1 1-7)
7з (То) — &х&у&г h %XXyXxzXyz ~ Ох%уг — CTj/TX-г _ &zXxy
Уравнение (11.6) всегда имеет три действительных корня,
т. е. в каждой точке тела существуют три главных напряжения
(среди них могут быть и равные нулю), которые обозначаются
в соответствии с неравенством ’о2 о3 (с учетом знаков на-
пряжений). Соответственно имеются и три главные площадки,
по которым действуют напряжения cFj, <т2. Од. Для определения
соответствующих направляющих косинусов достаточно подставить
в систему (11.5) одну из главных величин напряжений и решить
ее совместно с уравнением (11.2). При этом, так как определитель
системы (11.5) равен нулю, из трех
уравнений независимыми будут толь-
ко два. .Можно показать, что найден-
ные таким образом три главные пло-
щадки являются взаимно ортогональ-
ными.
Ортогональность главных площадок
позволяет ввести специальную систему
координат, в которой координатные
плоскости совпадают с главными пло-
щадками (рис. 11.3). Для такой системы j
координат в выражениях (11.3) следует
принять Ох = С?!, Оу = СГ8, Gz — Gg,
xxv = тх2 — т&2 = 0, т. е. имеем Xv=
Рис. 11.3. Элементарный те-
траэдр в главных коорди-
натах
451

= Grl, Yv = G2m, Zv = G3n. Выражая отсюда I, m, n и подстав,
ляя в уравнение (11.2), получим
Это уравнение определяет поверхность, называемую эллипсо-
идом напряжений. Вектор, соединяющий начало координат с лю-
бой точкой поверхности, определяет напряжение, действующее
на площадке, ортогональной этому вектору. Ввиду того, что
наибольшее расстояние от центра до поверхности эллипсоида
соответствует большой полуоси (Xv = ах> Yv — Zv = 0), можно
заключить, что главное напряжение является наибольшим
напряжением в точке, совпадающей с центром эллипсоида. По-
скольку максимальное напряжение, действующее в данной точке
тела, не должно зависеть от выбранной системы координат, можно
утверждать, что главное напряжение Oj является инвариантной
характеристикой. Следовательно, коэффициенты 12, Z8
уравнения (11.6) и два других его корня а2, о3 должны обладать
этим свойством. Коэффициенты /3, /2, не зависят от направления
осей координатной системы с началом в данной точке и назы-
ваются инвариантами тензора напряжений.
Исследуем экстремальные свойства касательных напряжений.
Из рис. 11.2 следует, что на наклонной площадке
т2 = рг — <у2.	(11.8)
Напряжение р определяется через проекции Х^, 1%, Zv следу-
ющим образом:
/ = X* \-Y% + Z~..	(11.9)
Совместим координатные плоскости с главными площадками
(см. рис. 11.3). Тогда из равенств (11.3) имеем Xv = сг1, Yv
— Gzm, Zv = т. е. (11.9) принимает вид
р2 = (У2/2 Т (У2/П2 К	(11.10)
Для определения нормального напряжения сг спроектируем век-
тор р на нормаль к площадке v. Для этого достаточно спроекти-
ровать его проекции Xv = OjZ, Yv — о2т, Zv = с3п иа нормаль v
и сложить нх, т. е.
о = о'х/2 + ст2т2 4- <yg«2,	(11.11)
Рассмотрим, например, площадку, проходящую через ось 2
(см. рис. 11.3). Для нее имеем т — 0 и согласно равенству (11.2)
«2 = 1 — Z2. Касательные напряжения, действующие на этой
площадке, определяются с помощью соотношений (11.8), (11.10),
(11.11), т.е.
т2 = o2Z2 + og(l -Z2)-[erJ2 + <y3(l -Г)]2.	(11.12)
452

Исследуем изменение т при повороте площадки вокруг оси 2.
Если она совпадает с главными площадками 102 (/ ~ 0) или 203
(/ - -I), то, очевидно, т ” 0» Найдем положение площадки,
при котором касательные напряжения максимальны» Из (11.12)
имеем
*£. = oj _ о» _ [О1Р + а,(1 - F)J (S, - о„) = 0.
Исключая случай ок = оэ, при котором т = 0, т. е. имеет место
минимум касательных напряжений, получим /2 ™ 1/2, т. е. оз ™
~ 45° (см. рис. 11.3). Из равенств (11.12), (11.11) при этом найдем
т® = (<TS — сг3)2/4, ст = (оу + о-3)/2. Обобщая полученный резуль-
тат, отметим, что в каждой точке тела существуют три подобные
площадки, на которых действуют экстремальные касательные
напряжения т18 = =Е(о> — о2)/2, т13 == ±(oj — о8)/2, т23 =
™ ±(ог — Os)/2 и соответствующие нормальные о ® (оу + о'3)/2,
о — (еу + os)/2, ° ™ (°2 + сг3)/2„
Ввиду того, что напряжение щ является наибольшим, а ст3 —
наименьшим (было принято, что ох оа а3), максимальные
касательные напряжения определяются равенством
tm,= г'/! •	(11-13)
Площадка, на которой они действуют, проходит через ось 2
и составляет с осями / и 3 углы 45° (см. рис. 11.3). Поскольку
напряжения оу и <т3 являются инвариантными характеристиками
напряженного состоянии, напряжение xwas также не зависит от
выбранной системы координат.
Как показывают экспериментальные исследования, нагруже-
ние металлов всесторонним гидростатическим давлением не вы-
зывает остаточных деформаций. Для такого нагружения ож —
= ву ™ ох = о0 и согласно (11.6) /х (Та) ~ Зо0. Ввиду того, что
Д (То) является инвариантом тензора напряжений, можно и
в общем случае напряженного состояния ввести величину
о» =	+ +	(П-И)
которая называется средним напряжением и характеризует соста-
вляющую тензора напряжений, вызывающую изменение объема
материала. Эта составляющая не вызывает пластических дефор-
маций и при построении теории пластичности целесообразно
выделить ее из тензора напряжений. Проделаем это, представив
тензор напряжений (11.1) в виде
= П +	(И-15)
где
	”с,	0	0
п =	0		0
	0	0	«О
15 И ♦. Образца© и да.


называется шаровым тензором, а
ах — ^0	^ху
^ху ®У -------- ^‘0
^xz	*yz
*xz
ТУ*
Oz — t?o
(11.1(>)
называется девиатором напряжений. По девиатору напряжении
можно судить, насколько напряженное состояние в данной точи*
отличается от всестороннего равномерного растяжения или
сжатия.
Для дальнейшего существенным является именно девиатор
напряжений, поэтому рассмотрим его более подробно. Так же, как
и Та, девиатор напряжений Da является тензором и имеет три
инварианта, сохраняющих в данной точке постоянные значения
при любых направлениях осей декартовой системы координат.I
Эти инварианты могут быть построены по формулам (11.7), если
заменить в иих ох на ах — о0 и т. д. Исключая из полученных
выражений <т0 с помощью равенства (11.14), окончательно будем]
иметь
/1 (Da) = 0,
i2 (о„)=4-	- °*)2 + (11 • 17>
+ 6 (Тху j- Txz t|z)]«
Третий инвариант /3 (Do) в дальнейшем не потребуется и здесь
не приводится. В теории пластичности исключительно большую!
роль играет второй инвариант девиатора напряжений /2 (£)а).
С его помощью можно ввести некоторые обобщенные инвариантные
характеристики напряженного состояния, например, величину I
а, = /3/,(РО) ,	(11.18)
которая называется интенсивностью напряжений и в развернутой
форме имеет вид
«< =	(о. — <'»)' + (С« - »,)’’+ (°« — "X + 6 (Tw + + 14
(11.19)
Численный коэффициент в формуле (11.19) подобран так, чтобы
при одноосном нагружении значение интенсивности напряжений
совпадало с величиной напряжений. Действительно, если все
напряжения, кроме, например, о*. — о, равны нулю, из (11.19)
получим ог = о. В принципе этот коэффициент может быть выб-
ран произвольно, в том числе н так, чтобы обобщенное напря-
жение вырождалось в касательное напряжение при чистом сдви-
ге. Соответствующая обобщенная инвариантная характеристика
454

напряженного состояния называется интенсивностью касатель-
ных напряжений и записывается в виде
«< = vT7 /(о, — О,)2 + (о„ — аг)2 + (Ох — Сг)г + 6 (tJ, + Т?2 + гД,)
У 6
(11.20)
При чистом сдвиге, т. е. когда все напряжения, кроме, например
тж1/ = т> Равны нулю, имеем = г.
Существенно, что напряжения of и ?,• не зависят от направле-
ния осей координат, т. е. позволяют получить объективную
характеристику напряженного состояния в данной точке. Этим же
свойством обладают, как следует из изложенного выше, главные
напряжения Oj, а2, о3 и максимальное касательное напряжение
ттах, которое определяется формулой (11.13).
11.1.3. Обобщенные инвариантные характеристики
деформированного состояния
Получим теперь аналогичные результаты для деформа-
ций. Как следует из теории упругости, деформации так же, как
и напряжения, образуют симметричный тензор, аналогичный
(11.1), т. е.
Ку
2
Vxg
2
2
"2
Туг
2
Этот тензор обладает тремя инвариантами, которые могут быть
получены непосредственно из (11.7), если заменить <тж на вж и т. д.,
на ух1//2 и т. д.:
Л (Те) ”	+ ®У + Ег*
h (Т'е) = — (®ж®У -Ь ®ж®ж + ®у®г) + (Уху 4" 7*2 + 7уг)в
/3 (Те) = ехе^ - -у- (ехт17/ +	+ егу^ - ы^УугУ
Для тензора деформаций так же, как и для тензора напряже-
ний, существуют три главных направления, вдоль которых реали-
зуются главные деформации ®i ®2	®3« В системе координат,
оси которой совпадают с главными направлениями, деформации
сдвига равны нулю, т. е. главные направления в процессе де-
формирования остаются взаимно ортогональными. Аналогично
(11.13) может быть найдена максимальная деформация сдвига,
которая определяется равенством
(11.21)
Тйаг = ®1 — ®3«

Выделим теперь из тенз ора деформаций составляющую, харак
теризующую изменение объема тела. Введем среднюю дефор-
мацию
«, = -{•(«. + «»+*) =	С’1-22»
где в = ех„ 4- es + «е — относительное изменение объема мате-
риала.
Тогда тензор деформаций аналогично (11.15) можно представить
б виде
= Л +
Ео О О
где П = 0 е0 О
О 0 еп
— шаровой тензор.	ха	растеризующий изменение Р _ ₽	У** с,х ь-о	g	2			объема, а
De	=	Уху 2	— е0	2	(11.23)
		?xz 2	У{/ 2	»г— е0	
— девиатор деформаций, характеризующий изменение формы
тела. Инварианты девиатора деформаций записываются анало-
гично (11,17), т. е.
Л (De) '-= О,
/2 (De) == -g [(в« ~ V.y'f 4“ (®0 ~ ®г)2 + (е* " Е*)2) 4~ “ (Txw 4"	4"
(11.24)
Третий инвариант 7S (De) здесь не приводится.
Образование и развитие пластических деформаций связано
с напряжениями, вызывающими изменение формы тела. Поэтому
в теории пластичности большую роль играет девиатор деформаций
и особенно существенным является его второй инвариант /2 (D2).
Аналогично понятию интенсивности напряжений (11.19) можно
ввести величину интенсивности деформаций
er-jy/W.	(П-25)
которая в развернутой форме имеет вид
j/ (»ж — byf 4- (®У — ez)2 “Т (е* ” ®г)2 4“ у (Vx*» 4-	4“ *&)•
(П.26)
456

При нагружении вдоль оси х имеем уху =	= yyz — О,
s* — е, еу = ег = — рй, где — коэффициент Пуассона» кото-
рый при упругопластическом деформировании не является по-
стоянным и зависит от уровня напряжений. При этом нз (11.26)
получим
Е.хЦ-Ц+Ме-	<11ЭТ>
В отличие от и{ интенсивность деформаций вырождается при
одноосном нагружении в деформацию е лишь при рп == 0,5.
Такое значение коэффициента Пуассона имеет материал, объем
которого при деформировании не изменяется. Действительно, при
Ри — 0,5 для одноосного нагружения согласно (11.22) имеем
6 = е — 0,5е — 0,5е = 0. Таким образом, Ej вырождается в в
только для несжимаемого материала.
Аналогично интенсивности касательных напряжений (11.20)
можно ввести интенсивность деформаций сдвига
|х
X (ех — Ев)3 -|- (By — Вг)2 + (ех Ez)2 -у (?W +	+ Туг) ♦
(11.28)
При чистом сдвиге, т. е. когда ех =	— е2 = 0,	= у, yxz =
s Унг = О, ПОЛУЧИМ = у.
Таким образом, можно ввести обобщенные инвариантные
характеристики деформированного состояния и не зависящие
в данной точке от направления осей выбранной системы коорди-
нат. Инвариантными являются также главные деформации еь
Es, еа и максимальная деформация сдвига (11.21).
1LL4« Анализ обобщенного закона Гука
Выше были получены некоторые статические и гео-
метрические соотношения, необходимые для построения приклад-
ной теории пластичности- Прежде чем перейти к выводу соотно-
шений, связывающих напряжения и деформации в теории пластич-
ности, рассмотрим закон Гука, используемый в теории упругости.
Представленный ниже анализ позволит в дальнейшем получить
физические соотношения теории пластичности путем естествен-
ного обобщения закона Гука для лннейно-упругого тела. Закон
Гука имеет вид
“ -g~ (<» - И». “	(11 '29)
 (с,
= «w/б. Тх> = WG. Уцг =	(11.30)
457

здесь Е — модуль упругости; G = Г/[2 (1 -$-• р) 1 — модуль сдвига;
р. — постоянный для линейно-упругого тела коэффициент
Пуассона. Складывая равенства (11.29) и вводя величину среднего
напряжения о0 и объемные меры деформаций е0, 0 согласно (11.14),
(11.22), получим
= з/<еи « Кб,	(11.31)
где К = EI[3(1—2р.) 1 — модуль объемной деформации. Зна-
чение р — 0,5 соответствует несжимаемому материалу. Действи-
тельно, при р -> 0,5 имеем К -> со. Кроме того, в этом случае
G = Е13.
Вычтем из левых и правых частей равенств (11.29) величину
деформации е0. Выражая в правых частях е0 через о0 согласно
(11.31), окончательно получим
сгж - о0 = 2G (еж - е0),	— о0 = 2G(ey — е0),
— ого = 2G (ег — е0).	(11.32)
Добавляя к этим равенствам закон Гука для касательных напря- I
женнй (11.30), можно заключить, что компоненты девиатора I
напряжений (11.16). пропорциональны компонентам девиатора
деформаций (11.23), т. е.
Dc ~ 2СОЪ.	(11.33)
Установим связь между обобщенными инвариантными характе-
ристиками напряженно-деформированного состояния, т. е.
между crf н еь и yf, ттах и Утах. Заменяя в правой части (11.19)
функции напряжений через функции деформаций с помощью
равенств (11.30), (11.32) н сравнивая полученное выражение I
с (11.26), будем иметь
Gi = 3Gq.	(11.34)
Для несжимаемого материала (G = £73) получим
о4 = £е4.	(11.35)
Преобразуя аналогичным образом выражение для т£ (11.20),
можно установить, что — G-ft. И, наконец, если записать соот-
ношения (11.32) в главных осях, заменив х, у, г на 1, 2, 3, то
вычитая третье равенство из первого, получим тгаах == Gyniax.
Таким образом, можно заключить, что для линейно-упругого
тела девиатор напряжений прямо пропорционален девиатору
деформаций и независимо от вида напряженного состояния ин-
тенсивность напряжений о\ связана с интенсивностью деформа-
ций е, единой зависимостью, аналогичной закону Гука для одно-
осного растяжения (для несжимаемого материала), а и тгпах
связаны соответственно с и угаах законом Гука для чистого
сдвига.
В заключение анализа линейно-упругого материала получим
еще один результат, который потребуется в дальнейшем. Запишем
458

выражение для удельной потенциальной энергии деформации.
Из (1.23) при t — 0 имеем
~ ~2~ (^хех 4“	4" ^zez 4“ ^хуУху 4“ TxzTxz 4“ ^J/zTyz)’
Выражая напряжения и деформации через о0) 8 (11.14), (11.22)
н компоненты девиаторов (11.16), (11.23), после весьма громоздких
преобразований, которые здесь опущены, окончательно получим
«7 =	^4.^,	(11.36)
т. е. суммарная удельная энергия может быть разделена на две
составляющие — энергию, накопленную в результате изменения
формы тела = 0^/2 и его объема U7o6 = о0672.
11.1.5. Условия пластичности
Сформулируем критерий (условие пластичности), кото-
рый позволит установить момент перехода материала в пластиче-
ское состояние. В случае одноосного растяжения этот вопрос ре-
шается просто — материал переходит в пластическое состояние,
когда нормальное напряжение достигает предела текучести <гт,
определяемого экспериментально (см. рис. 11.1). Необходимо сфор-
мировать условие, которое позволит решить этот вопрос для
произвольного напряженного состояния, имея в распоряжении
лишь одну экспериментальную характеристику — от. Ниже
приводятся два наиболее распространенных условия пластич-
ности.
Первое из них, называемое условием пластичности Треска —
Сен-Венана (илн просто условием Треска), было сформулировано
в 70-х годах прошлого века на основе экспериментальных иссле-
дований французского инженера Треска, который установил,
что материал переходит в пластическое состояние, когда макси-
мальные касательные напряжения тт1Х достигают предела теку-
чести прн сдвиге тт, т. е. согласно равенству (11.13)
= гт.	(11.37)
При одноосном растяжении до предела текучести материала
имеет = от, а3 «= 0, т. е. из (11.37) следует, что — 0,5от
в условие Треска можно записать в виде
Hi — о3 = ат.	(11.38)
Отметим, что соотношение между пределами текучести при рас-
тяжении и сдвиге можно установить экспериментально. Для
различных металлов прн этом получается тт = (0,55 ... 0,6) сг.г,
т. е. условие Треска удовлетворительно согласуется с экспери-
ментом.
О

Рис. 11.4. Условия пластично-
сти для плоского напряженного
состояния:
----- условие Треска: — -----
условие Мизеса
Рассмотрим геометрическую ин-
терпретацию условия Треска. В про-
странстве напряжений (т. е. в си-
стеме координат, по осям которой
отложены величины напряжений,
действующие в данной точке) условие
пластичности определяет некоторую
поверхность, а напряженное состоя-
ние представляется точкой про-
странства. Если эта точка лежит
внутри поверхности, определяемой
условием пластичности, материал
является упругим, если она лежит
вне этой поверхности — упругоплас-
тическим.
Применительно к условию Треска
исследуем случай плоского напря-
из главных напряжений равно ну-
напряжения через ов, оп и ov=0,
относительной величины напряжений
женного состояния (одно
лю). Обозначим главные
причем в зависимости от
индексы а, Р, у принимают значения 1,2,3 (напомним, что индекс 1
присваивается наибольшему главному напряжению, а индекс 3 —
наименьшему). Введем систему координат, показанную на
рис. 11.4. Предположим, что сга > ор > 0, тогда а = 1, р = 2,
у = 3, условие (11.38) записывается в виде <та = от и определяет
отрезок 1 на рис. 11.4. Если оа > 0, а стр <0, получим а — 1,
Р = 3, т. е. ott — Op = o.t (отрезок 2). Аналогично при ор < сга <
< 0 получим прямую 3, при оа < стр < 0—4, при сга <0, ор >
>0 — 5 и при о?р > оа >0 — отрезок 5. В результате условие
пластичности Треска изображается шестиугольником, показан-
ным на рис. 11.4. Проведенное построение иллюстрирует основной
недостаток условия Треска — оно записывается относительно
главных напряжений, которые необходимо предварительно опре-
делить, и его форма зависит от относительной величины и знака
главных напряжений. Однако в тех случаях, когда направления
н знаки главных напряжений известны заранее, условие Треска
оказывается весьма эффективным, так как оно линейно относи-
тельно напряжений.
Второе условие пластичности носит название условия Ми-
зеса — Губера — Генки (или просто условия Мизеса). Оно было
сформулировано в начале нашего века и может быть получено
следующим образом. Пластическое деформирование связано
в основном с изменением формы тела, объемная деформация яв-
ляется обратимой, т. е. упругой. В качестве инвариантной меры,
характеризующей степень изменения формы, может быть принята
введенная выше удельная энергия формоизменения Ц7ф. Согласно
равенствам (11.36) и (11.34) в общем случае напряженного со-
стояния имеем — сг,е4/2 = о^/бб'. Естественно предположить,
460

что материал переходит в дайной точке в пластическое состояние,
когда й^ф достигает некоторого критического значения ЙРф, не
зависящего от вида напряженного состояния, т. е. ~
Величина W$ может быть определена из опыта на одноосное
растяжение. При этом o', = о и при достижении предела теку-
чести о «= <гт, = o?/6G. Приравнивая и получим
— иг или в развернутом виде с учетом выражения (11.19)
(ах — Gyf + (av — Ог)2 + (а* — аг)2 4- 6 (т^ -{- т|г 4- х£г) = 2а?.
(11.39)
Соотношение (11.39) и является искомым условием пластичности.
Для плоского напряженного состояния (о2 = %xz — xyz — 0) усло-
вие пластичности Мизеса имеет вид
4- а> 4- Зт1у — ст?.	(11.40)
Для геометрической интерпретации условия Мизеса запишем его
в главных напряжениях ott, ар. Из (11.40) имеем
4-о| = а?.	(11.41)
Уравнение (11.41) на плоскости (<та, ор) определяет эллипс, по-
казанный пунктиром на рис. 11.4.
Преимуществом условия Мнзеса является то, что оно может
быть записано в форме (11.39), (11.41) в произвольной декартовой
системе координат. Для чистого сдвига при нагружении до пре-
дела текучести Тт fax =	— °z = Txz ” fyz = 0) из (11.39)
имеем тт = о^ДЛ3 = 0,58ат. Сравнивая этот результат с экспе-
риментальным — тт = (0,55 ... 0,6) от, можно заключить, что
условие Мизеса согласуется с экспериментом несколько лучше,
чем условие Треска, длн которого тт = 0,5от. Однако, как следует
из рис. 11.4, различие между этими двумя условиями невелико
и в практических расчетах используется, как правило, условие,
с которым задача решается проще.
Помимо двух рассмотренных выше, можно сформулировать
и другие, более сложные условия пластичности» причем все воз-
можные варианты должны удовлетворять некоторым общим тре-
бованиям. Прежде всего условие пластичности должно устанавли-
вать момент перехода материала в пластическое состояние н общем
случае напряженного состояния и содержать экспериментальные
параметры, которые могут быть найдены из простых опытов.
Далее условие пластичности должно давать объективную инфор-
мацию, не зависящую от принятой системы координат, т. е. оно
должно быть записано через инвариантные характеристики напря-
женного состояния. И, наконец, поверхность, определяемая
условием пластичности, должна быть выпуклой (т. е. отрезок
прямой, соединяющей две любые точки поверхности, должен
лежать внутри этой поверхности), а начало координат простран-
ства напряжений должно находиться внутри этой поверхности.
461

Таким образом, подставляя величины напряжений, найденные
в результате решения задачи для упругого материала, в условие
пластичности, можно установить значение внешней нагрузки, при
котором начинается пластическое деформирование материала.
При дальнейшем увеличении нагрузки закон Гука, очевидно, уже
неприменим и необходимо использовать более общие физические
соотношения теории пластичности.
11.1,6. Физические соотношений деформационной
теории пластичности
В течение всего процесса нагружения конструкции от
исходного состояния до разрушения в ее элементах развиваются
упругие деформации и начиная с некоторого момента накапли-
ваются пластические деформации. В связи е этим целесообразно
сразу представить деформации как сумму упругих и пластических
составляющих, т. е. принять, например
е, = ej +1£..Tw Й,+ й-	(11.42)
В дальнейшем для сокращения будут записываться соотношения
для ея и yxtf, все остальные соотношения имеют аналогичный вид
Упругие деформации связаны с напряжениями законом Гука, т е.
с!- 4-(с, —|»с,- ре,)..., Й,	(Н-43)
г_е Е, р, G - упругие постоянные — модуль упругости, коэффи-
циент Пуассона и модуль сдвига.
Для того чтобы связать пластические деформации с напряже-
ниями, воспользуемся проведенным выше анализом закона Гука.
Равенство (11.33), в частности, устанавливает пропорциональность
девиаторов напряжений н деформаций, причем для линейно-
у другого тела коэффициент пропорциональности является по-
стоянным и равным 26'. Обобщая этот результат, примем, что
девиатор пластических деформаций пропорционален девиатору
напряжений, причем коэффициент пропорциональности уже не
является постоянным» а зависит от уровня напряженного состо-
янии, т. е,
(11.44)
тле X — функция йластичностн. С учетом выражений для девиато-
ров (11-16) и (11 23) равенство (11.44) можно записать в разверну-
том виде
Й/2 ==	. .	(1145)
Объемную деформацию можно считать упругой, т. е. предполо-
мп, что для пластических деформаций е“ ™ 0. Кроме того, со-

гласно (11.14)	*= (аж + ии + aj/З. Тогда из равенств (11.42),
(11.43), (11.45) получим
ел =	|ЛО«~ №Н-~Т" (°* — ~^-av - 4“°2)’ •' •
74. = -^-+ 2^-- •	(11.46)
Для завершения вывода необходимо определить функцию пла-
стичности Л. Введем основную гипотезу, называемую постулатом
единой кривой. Из формул (11.34), (11.35), полученных в резуль-
тате анализа закона Гука, следует, что для линейно-упругого
тела существует линейная зависимость между интенсивностью
напряжений и деформаций crz и еь единая для всех видов напря-
женно-деформированного состояния. Обобщая этот результат на
случай упругопластического деформирования предположим,
что независимо от вида напряженного состояния существует
единая для данного материала (и, очевидно, в общем случае
нелинейная) зависимость между ot и et, т. е. единая кривая де-
формирования (е,) или q (а/), которая может быть отожде-
ствлена с диаграммой деформирования при одноосном растяжении
о (в) или в (о). Последняя часть этой гипотезы нуждается в до-
полнительных комментариях. Как следует из проведенного выше
анализа, для одноосного растяжения О|=а, а е,~2 (1 + ри) е/3,
т. е. е£ » в при |лп = 0,5 и единая кривая сг^ (в,) совпадает с диаг-
раммой и (в) только при р,п — 0,5. Однако, учитывая, что коэф-
фициент Пуассона для металлов изменяется в процессе деформи-
рования от 0,3 до 0,5, на практике единую кривую о, (ef), как
правило, отождествляют с диаграммой о (е). При этом следует
иметь в виду, что сама гипотеза о существовании единой кривой
является приближенной, поэтому ее точное построение лишь услож-
няет рассматриваемую теорию, не внося существенного уточне-
ния по существу.
Определим теперь функцию пластичности X. Из первого ра-
венства (11.46) для одноосного растяжения (еж = е, сгх = а,
— og — 0) получим
Отсюда
где Ес (а) — секущий модуль диаграммы <т (е). Согласно посту-
лату единой кривой для произвольного напряженного состояния X
определяется формулой (11.47), в которой о следует заменить
на т. е.
2 [	I]’
(11.48)
463

Рис. 11.5. Единая кривая дефор-
мирования упругопласгическо-
го материала
Здесь Ес (сг£) = о£/е£ — секущий модуль единой кривой дефор-
мирования материала (рис. 11.5).
Окончательно соотношения (11.46) можно записать в виде
=	- (мт„ —№) + <> (о« — 4~av ~ ‘Г0')’
—-j"0*-Ч'*7')* <11Л9)
е. = х <°» ~ lltr« ~	+ “ (°* -Г °* " Ч°") •
Тх, ~ (“g" 4“	’Гх,» Тхг — ("g~ 4“ Зс ) ^хх»
=(4' + 3ы)т“”
где
1	1
“ ~ Ес (о,)	Е ’
(11.50)
(11.51)
Равенства (11.49)—(11.51) определяют физические соотношения
так называемой деформационной теории пластичности. Основная
особенность этой теории заключается в том, что деформации
связаны с напряжениями алгебраическими соотношениями, г. е.
деформации, соответствующие заданной внешней нагрузке, одно-
значно определяются величиной напряжений при этой нагрузке.
Если предположить, что соотношения (11.49), (11,50) справедливы
как при активном нагружении, так н прн разгрузке, они будут
соответствовать нелинейно-упругому материалу. Упругопласти-
ческий материал отличается от нелинейно-упругого тем, что
кривые нагружения и разгрузки не совпадают — участок раз-
грузки DF (см. рис. 11.1) параллелен начальному упругому
участку^ диаграммы о (е) ОА, Если предположить, что при раз’
464

грузке до точки В (рис. 11.6) напряжение уменьшилось на Да, а
деформация — на Де, то связь между ними будет, очевидно, ана-
логичной закону Гука. В общем случае получим
Де. = — <Ао» ~ И Ао» ~ Н а°.)> АЪ« —	>
Дв, =-i-(Ae„ —цДо. —(Ап,). Ду„ = -^4-, (11X2)
Ае, = 4" <Ао» - »»— t» д«*»)" АТг« =	’
Остается установить характеристику, по изменению которой
можно делать вывод о том, что имеет место в данной точке дефор-
мируемого тела — нагружение или разгрузка. В качестве такой
характеристики можно принять интенсивность напряжений a<f
т. е. считать, что при возрастании при изменении внешних
нагрузок (daf > 0) имеет место активное нагружение, а прн
уменьшении (dct < 0) — разгрузка.
Таким образом, физические соотношения деформационной тео-
рии пластичности при daf >0 имеют вид (11.49)—(11.51), а при
dot <0 определяются равенствами (11.52).
Сделаем одно замечание. Деформации, соответствующие рас-
сматриваемому варианту теории пластичности, определяются на-
пряжениями по заданному уровню нагрузки и не зависят от’ пред-
шествующих изменений нагрузки, т. е. от предшествующего
нагружения тела. Другими словами, в пространстве напряжений
(например, нормальных — рис. 11.7) существенной является
только конечная точка А, от траектории нагружения деформации
не зависят. Однако имеющиеся экспериментальные результаты
свидетельствуют о том, что это не всегда справедливо, т. е. де-
формационная теория пластичности не всегда согласуется с экс-
периментом. Ниже будет изложен более сложный вариант
теории пластичности, свободный от этого недостатка, а пока
заметим следующее. Среди траекторий иагружения, выходящих
из начала координат и заканчивающихся в
данной точке (например, в точке А, по-
казанной на рис. 11.7), всегда имеется такая,
которая полностью определяется своей ко-
нечной точкой. Этой траекторией является
прямая ОА, вдоль которой напряжения из-
меняются пропорционально одному пара-
метру. Такой режим нагружения называется
простым. Естественно предположить (и это
предположение полностью подтверждается
экспериментальными результатами), что для
простого иагружения деформационная тео-
рия предсказывает процесс развития плас»
Рис. 11.7. Траекто-
рии иагружения в
пространстве нор-
мальных напряжений
465

тических деформаций с удовлетворительной точностью. Достаточ-
ные условия существования простого режима нагружения устанав-
ливаются теоремой А. А, Ильюшина о простом нагружении. Со-
гласно этой теореме нагружение будет простым если: 1) внешние
силы возрастают пропорционально одному параметру; 2) мате-
риал несжимаемый; 3) единая кривая может быть аппроксими-
рована степенной зависимостью вида = /о?. На практике
все условия теоремы выполняются сравнительно редко, одиако
они не являются необходимыми. Опыт практической реализации
деформационной теории пластичности показал, что она приводит
к удовлетворительным результатам, если выполняется только
первое условие теоремы, т» е. внешние силы возрастают пропор-
ционально одному параметру. При этом, как правило, реализуется
нагружение, близкое к простому. Таким образом, можно утвер-
ждать, что деформационная теория обладает удовлетворительной
точностью при простом и близких к простому режимах нагру-
жения.
11.1.7. Физические соотношения теории течения
Рассмотрим более общий вариант прикладной теории
пластичности -— теорию течения, учитывающую в отличие от
деформационной теории историю нагружения. Для того чтобы
деформации в некотором конечном состоянии, например, в точке А
(см. рис. 11.7), зависели от вида траектории нагружения в про-
странстве напряжений, физические соотношения должны иметь
дифференциальный характер и интегрироваться вдоль заданной
траектории нагружения.
Теория течения строится на основе гипотез, аналогичных
гипотезам деформационной теории пластичности, однако в отличие
от последней предполагается, что напряжения определяют при
заданном уровне внешних нагрузок не величину пластических
деформаций, а интенсивность их изменения. Представим при-
ращение деформаций как сумму приращений упругих и пласти-
ческих составляющих, т. е.
de, = del +	+	(11.63)
Приращения упругих деформаций связаны с приращениями на-
пряжений законом Гука, т. е.
is?	цйа, —ц<1ог)...,	(11.64)
Аналогично (11.44), (11.45) предполагается, что компоненты де-
виатора приращений пластических деформаций пропорциональны
соответствующим компонентам девиатора напряжений, т« е.
d»” — deS dk (ож —• о0) • • • a ^vJp/2 я d\xXy,	(i 1.55)
466

i-де К — функция пластичности, зависящая от уровня напряже-
ний. Принимая в (11.55) de" =- 0, а, » (а, 4 а, 4- а,)/3 в учи-
тывая (11.53) и (11.64), получим
.	1 , , j	. . , 2М, / I	1	\
de,^-^-(drt,- pda,— p<fc,)+—j- (а,------j-c8 -j-b,).
(11.56)
dy,y^-^ + 2dkt,y...
Так же, как и ранее, будем считать, что независимо от вида напря-
женного состояния существует единая для данного материала
кривая деформирования о^ (es), которая приближенно совпадает
с диаграммой деформирования при одноосном растяжении. Тогда,
воспроизводя вывод формул (11.48), получим
(IL57>
Здесь Ек (af) = dxjjdvt — касательный модуль единой кривой
деформирования материала (см. рис, 11.5). Окончательно из
равенств (11.56). (11.57) получим
<&.=4- <d<T« -11 й°ч—рd<’») I- ‘1ы (°« 4 °" 4- °«) •
de.u = 4" (dau - Р dax — р do,) ф de (а, —i- Ojt -j" °«)>	1 -58)
de, = 4- <da‘ ~ P do» ~ P dov> I (c« - 4" °* 4* "») •
dyXy = f- 3dwTxl/, dyx? = ——(- 3d<i>xM,
rfT»« = 4?L -I 3dwT„.
где
do =[—-L——1-1.	(11.59)
oj L £k(oi) E J	'	'
Равенства (11.58), (11.59) определяют физические соотношения
теории течения при активном нагружении (da, > 0). При раз-
грузке (da, < 0) имеют место соотношения, аналогичные (11.52),
т. е.
dex = 4" (do« — И do» — Р d^yy =	,
de-y = 4- (day - р da, — р do,), dy„ =	.	(11.60)
de, = 4" <da« “ P da, - p da„), dy,, -=	.
В случае так называемого нейтрального нагружения, т. е. при
da, = 0 законы деформирования (11.58) и (11.60) совпадают-.
хг

В случае простого нагружения, т. е. когда все напряжения воз-
растают пропорционально одному парвметру, интегрирование
соотношений (11.58) приводит к равенствам (11.49), т. е. при
простом нагружении теория течения вырождается в деформа-
ционную теорию пластичности.
На практике для анализа упруго пластического деформирова-
ния конструкций наиболее часто используется более простая
деформационная теория. Она приводит к удовлетворительным
результатам, если внешние нагрузки возрастают пропорционально
одному параметру, что, как правило, имеет место в реальных
условиях.
11.1.8, Определение остаточных напряжений
и деформаций
В заключение рассмотрим вопрос об определении
остаточных напряжений н деформаций, сохраняющихся после
разгрузки конструкции в силу необратимости пластических де-
формаций. Предположим, что прн некотором значении параметра
нагрузки р в теле имеют место напряжения ixv ... и де-
формации еж ...»	....
Представим разгрузку как приложение сил, обратных дей-
ствующим, т. е. соответствующих параметру нагрузки — р. Учи-
тывая, что разгрузка осуществляется по закону линейной зависи-
мости, найдем формально напряжения и деформации, возника-
ющие в упругом теле при таком нагружении, т. е.	(—р),
(~р) ...» ех (—р) ...» Уху (—р) .... В силу линейности закона
разгрузки можно использовать принцип суперпозиции, т. е.
получить остаточные напряжения и деформации, сложив исход-
ные величины с образующимися в процессе разгрузки (предпола-
гается, что вторичных пластических деформаций в результате
разгрузки не образуется):
о® а=	(р) -|~ о* (— р) •«*• Ъсу ъХу (р) +	( р)«»•»
( I I • V д I
4 - еж (р) +	Р) • •» Yw = Уху (Р) +	(~Р)-
11.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ НАГРУЗОК
При расчете конструкций, работающих за пределом
упругости, единая кривая деформирования (ej, определяющая
свойства материала, обычно аппроксимируется аналитическим
выражением. Наиболее простая аппроксимация соответствует
схеме идеально пластического тела, согласно которой после
достижения предела текучести материал деформируется без упроч-
нения (рис. 11.8). Для материалов, обладающих малым упрочне-
нием или развитой площадкой текучести, такая аппроксимация
является впалые естественной, однако оиа часто используется

Рис. 11.9. Трехстержневая система из
идеально пластического материала
Рис. 11.8. Диаграмма деформирования
идеально пластического материала
и для материалов, обладающих ярко выраженным участком
упрочнения. Причина широкого распространения такой аппро-
ксимации связана с принципиальным упрощением, которое она
вносит в решения задач теории пластичности — при достижении
пластического состояния физические соотношения вырождаются
в условие пластичности — gs = <тт или at = от. Теория иде-
ально пластического тела является в настоящее время одним
из наиболее полно разработанных разделов теории пластичности.
Не останавливаясь на изложении этой теории, рассмотрим ее
приложение к определению предельных нагрузок.
Предварительно приведем два простых примера. В качестве
первого примера рассмотрим стержневую систему, показанную
на рис. 11.9. Предположим, что площадь поперечного сечения всех
стержней одинакова и равна F и оии изготовлены из одного мате-
риала, диаграмма деформирования которого показана на рис. 11.8.
Согласно результатам, полученным в гл. 2, рассматриваемая
система является один раз статически неопределимой и в пределах
упругости материала усилия в стержнях определяются равен-
ствами (1.61), т. е.
.. Pcosaa .r Р	...
— “о Тч i—Г » ^2 — "о ч i—Г”*	(11-62)
1	2 cos8 a 4-1 л 2 cos3 a -j- 1	'	'
Поскольку > Л^1, напряжение в стержне 2 раньше достигнет
предела текучести. При этом У2 = g^F, а соответствующая на-
грузка определяется из второй формулы (11.62) Рт =
= gtF (2cos3 ex 4-1). Согласно рис. 11.8 при Р > Рт усилие
в стержне 2 сохраняется постоянным, а усилие в стержнях 1
может быть найдено из условия равновесия узла А (см. рис. 11.9),
т. е.
Wi = -o-^---(P~a7F).	(11.63)
1	2 cos а ' т '	'	’
Предельная нагрузка, которую воспринимает рассматриваемая
стержневая система, реализуется, когда усилие Л/j достигает
величины <ттГ, т. е.
Лпах = aTF (2 cos а. + 1).	(11.64)
469

Рис. 11.10. Консольная балка из идеально пластического материала t
Можно заметить, что для получения Pmttx не было необходимости
рассматривать состояния системы, определяемые равенствами
(11.62) н (11.63). Если задать предельное состояние, приняв
Mi = Nt = aTF, то равенство (11.64) можно сразу получить нз
условия равновесия узла А (см. рис. 11.9).
В качестве второго примера рассмотрим задачу об изгибе
консольной балки (рис. 11.10). Согласно гипотезе плоских сечеиии
деформация ex связана с кривизной и" (х) следующим образом
ех = yv". Пока напряжения не превосходят предела текучести <т.г,
они распределяются линейно по высоте балки, т. е.
ах = Eyv".	(11.65)
Предел текучести впервые достигается в точках А и В, где дей-
ствуют максимальные напряжения. При дальнейшем возрастании
силы Р в окрестности точек А и В развиваются пластические
зоны, а в средней части балки сохраняется упругое ядро а. Рас-
пределение напряжений в сечеиии АВ показано на рис. 11.10.
Найдем изгибающий момент
А/2
Л! = Ь [ ад^ = -2^-(1
-А/2
Максимальный момент, который может быть реализован в сече-
нии, определяется формулой (11.66) при а = 0, т. е. Л1ПЛ =
= aj/m. Соответствующее распределение напряжений показано
на рис. 11.10 пунктиром — при этом пластические зоны соеди-
няются в точке О. Таким образом
(11.66)
М = Мпл(1—(11.67)
В пределах упругого ядра (т. е. при |z/| с а/2) остается
справедливой формула (11.65), причем при у = а/2 ох = ат, т. е.
от = Ёи"а/2. Подставляя величину а из равенства (11.67), найдем
кривизну балки
=--
Eh
2gT_______
,	Л4(х)
(11.68)
Л1 ид
470

Здесь Мх Р (I — х) —
действующий момент. Из ра-
венства (11.68) следует, что
при М (х) = Л1ПЛ кривизна
обращается в бесконечность
и в сечеиии образуется так
называемый пластический
Рис. 11.11. Предельное состояние кон-
сольной балки
шарнир. Для рассматриваемой балки такой шарнир образуется,
очевидно, при х — 0 и Р = Ртах = Мпл//. Так же, как и в пер-
вом примере, для получения этого результата можно было сразу
рассмотреть предельное состояние балки, поместив в сечение
х = 0 пластический шарнир и приложив момент 7ИПЛ, препятст-
вующий повороту балки (рис. 11.11). Из условия равновесия при
этом сразу получим Ртт<1 = /Ипя.
Обобщая полученные в рассмотренных примерах результаты,
можно сформулировать следующий метод определения предель-
ных нагрузок. Отвлекаясь от анализа развития у пругоп ласти че-
тких деформаций и пренебрегая малыми начальными упругими
деформациями, будем считать, что до перехода в предельное со-
стояние система является абсолютно жесткой. Соответствующая
модель материала называется жесткопластической, единая кривая
деформирования для нее показана на рис. 11.12. Представим далее
разрушение системы как процесс неограниченного течения в от-
дельных связях и построим кинематическую модель предельного
•состояния, введя соответствующее число идеально пластических
связей. Предельное состояние характеризуется тем, что при даль-
нейшем увеличении нагрузки система оказывается геометрически
изменяемой и переходит в движение. Реакции в пластических
связях, не зависящие от деформаций, направляются так, чтобы
сии препятствовали этому движению. Рассматривая равновесие
системы в предельном состоянии, получаем предельную нагрузку.
В качестве иллюстрации рассмотрим еще раз консольную
балку, показанную на рис. 11.11. Пунктиром показана схема
разрушения — поворот жесткой
действует пластический момент,
тельно точки О получаем Р,гах
ного сечения 7ИПЛ — и
= 1,5РТ, где Pr — cjiWIQl —
сила, при которой наибольшие
по абсолютной величине мак-
симальные напряжения, дейст-
вующие в точках Л и В (см.
рис. 11.10), достигают предела
текучести.
Часто оказывается более
удобным определять предель-
ную нагрузку с помощью прин-
ципа возможных перемещений,
консоли вокруг точки О, где
Из уравнения моментов относи*
= Л1пл//. Для балки прямоуголь-
Лих = <^№/41, т. е. =
Рис. 11.12. Диаграмма деформирования
жесткоггаастического тела
471

Рис. 11.13. Предельное состояние одно-
пролетной балки
согласно которому сумма работ
всех внешних и внутренних сил
на малых возможных перемеще-
ниях в состоянии равновесия
системы равна нулю. Для бал-
ки, показанной на рис. 11.11,
имеем Ртахд — Л4ПЛ6 = О
(напомним, что Л/пп препятст-
вует увеличению угла 6), отку-
да с учетом того, что для малых перемещений 6 = 6/, получим
прежний результат — Мт11.
Однозначно определить предельное состояние системы далеко
не всегда представляется возможным, однако, как правило, всегда
удается выделить несколько возможных форм и для каждой
найти предельную нагрузку. Установить значение нагрузки,
наиболее близкое к истинному (в классе сравниваемых состоя-
ний), позволяет следующая интуитивно очевидная (и вполне
строго доказываемая) теорема: предельная нагрузка, соответ-
ствующая данной кинематически возможной (т. е. согласующейся
с условиями закрепления) форме разрушения, больше или равна
истинной предельной нагрузке. Таким образом, из найденного
ряда предельных нагрузок следует выбрать наименьшую, она
будет равна истинной, если среди сравниваемых предельных
состояний имеется истинная форма разрушения системы.
Проиллюстрируем применение рассматриваемого метода, кото-
рый называется кинематическим методом определения предельной
нагрузки, на примере балки, показанной на рис. 11.13. В пре-
дельном состоянии балка содержит два пластических шарнира
в точках О и А, причем координата последнего х заранее не из-
вестна. Применяя принцип возможных перемещений
<7тахД — Л'1ПЛ0] — Мпл (®1 + 0а) —
Рис. 11.14, Предельное состояние кру-
гового шпангоута
где Д = 6//2— площадь тре-
угольника ОАВ, 0Х — Six,
0S = 6/(/ — х), получим
(11.69)
Координату х найдем из усло-
вия минимума <7гаах, т. е.
dftma/dr = 0. В результате
получим квадратное уравне-
ние х2 — 4/х 4~ 2/2 = 0, кор-
ни которого хх = 0,59/,
х3 = 3,41/. Очевидно, х~ хх
и согласно (11.69) «71пах =
= 11,7МПЛ//2.
472

Аналогичным образом кинематический метод может быть при
менен для определения предельных нагрузок рам и шпангоутов.
Рассмотрим круговой шпангоут, показанный на рис. 11.14, а.
Положение двух пластических шарниров в точках О и 0г оче-
видно, положение двух других симметричных шарниров А и С
иайдем из условия минимума Ртах. Записывая сумму моментов
относительно точки А (см. рис. 11.14, б), получим
-^RsltlrP-2MnJ1 = 0.
Отсюда Ртх = 4MnJtIR sin <р, т. е. <р = л/2 и Pmax = 4M„„/R.
Таким образом, в предельном состоянии шпангоут имеет четыре
пластических шарнира — в точках О, и В, Вг. Отметим, что
полученный результат является не вполне точным, так как в се-
чениях В и Вх, кроме момента, действует осевая сила N — Ртах.
Соответствующее распределение напряжений показано на
рис. 11.15. Приводя напряжения к силе и моменту относительно
точки О, получим
N =aj> + ~ (4---------°)] ~
М = Olfe [2 (А - 0)-Г- (4+ °)] = (4 - °2)-
Исключая из второго равенства величину а, будем иметь
a<=^(4-4^)=m"4'~we)- (,L70)
Таким образом, в сечениях В и Вг (см. рис. 11.14) действует мо-
мент,. меньший, чем 7ИПЛ. Оценим точность полученного выше
приближенного результата. Подставляя в равенство (11.70) АГ —
= О.бАщдх 2ЛТпл/7? = c^bWIZR, получим
т. е, для достаточно тонкого кольца (h/R 1) учет осевой силы
незначительно уточняет результат.
Вводя пластическую осевую силу 1УПП = c.tbh в равенство
(11.70), можно записать условие предельного состояния для
прямоугольного сечения, в котором действует момент М и сила IV
Рассмотрим применение кинематического метода к определению
предельной нагрузки тонких пластин. Пусть пластина, показан-
ная на рис. 11.16, нагружена сосредоточенной силой Р и шар-
нирно оперта по контуру. Предположим, что в предельном со-
стоянии срединная плоскость пластины переходит в поверхность
пирамиды с вершиной в точке О и высотой 6, причем вдоль обра-
зующихся при этом ребер OAt действует постоянный распре-
16 И. Ф- Образцов и др.
473

деленный пластический момент т„„ — отЛг/4, где h толщина
пластины. Тогда согласно принципу возможных перемещений
и рнс. 11.16 получим
/’Ь.хб = Е mU/tOf.	(11.72)
Из треугольника BCD имеем о, = се, + ₽,» а, = 6/(Z, tg <р,),
Р, = б/(/{ tg ф,), т. е. окончательно для шарнирно опертой пластины
=	(ctg4>< + ctg'M-	(11.73)
Если пластина защемлена по контуру, по сторонам ah также
действует момент /ипл, который совершает работу на угле пово-
рота высоты bk — Ук — b/bh. Добавляя соответствующее значе-
ние работы в равенство (11.72), получим
Р™х = т„я Г J (ctg <j>< + ctg ч><) +	1.	(11.74)
Li	Л J
Здесь i — число ребер образующейся пирамиды; k — число
сторон ее основания.
Для пластины в форме правильного многоугольника с числом
сторон, равным k (рис. 11.17), <pf = ф, —• (зт/2) — (silk), ctg ср, =
= tg (л/Л),	= аА tg <р,/2 и равенства (11.73), (11.74) прини-
мают вид
Р™ = 2m„„fe tg-£-, Р^,	tg-£-.	(11.75)
Из формул (11.75) в результате предельного перехода при k -* оо
можно получить предельные нагрузки для шарнирно опертых
и защемленных по контуру круглых пластин, нагруженных
в центре сосредоточенной силой. Учитывая, что прн k оо
sin (л/Л)/(л/Л)	1 и cos (silk) 1, из равенств (11.75) получим
где тЕЛ = oTft2/4, Если круглая плас-
тина нагружена равномерным давле-
нием Ртах» для определения работы
ь
-бт
Рис. 11.15. Распределение напряжений при
совместном действии осевой силы и изгибающего,
момента
Т^пявх •— 2зТ771Пл»
Рнс. 11.16. Предельное со-
стояние пластины
474

внешней нагрузки необходимо умножить ртах
на объем конуса, образуемого пластиной в
предельном состоянии. При этом в левых
частях равенств (11.76) Ртах необходимо за-
менить на РаяьпКЧЗ (R— радиус пластины).
В результате для шарнирно опертой н за-
щемленной пластин найдем г
pbx = ^.	(11.77)
Отметим, что изложенный выше кинематиче-
ский метод определения предельных нагру-
зок пластин является приближенным. Точ-
ное решение задачи о несущей способности
Рнс. 11.17. Предельное
состояние пластины
б форме правильного
четырехугольника
круглой пластины,
основанное на условии пластичности Треска, оказывается суще-
свенно более сложным и приводит к следующим результатам:
=	=П,3 maTJR\ т. е. для шарнирно опертой
пластины решение, полученное кинематическим методом, совпа-
дает с точным, а для защемленной пластины найденная этим мето-
дом предельная нагрузка превышает точное значение на 6,2 %.
Для иллюстрации точного решения задач предельного равно-
весия идеально пластических систем рассмотрим определение пре-
дельного давления для толстостенной трубы и предельного числа
оборотов вращающегося диска.
В бесконечно длинной трубе, нагруженной внутренним давле-
нием (рис. 11.18), радиальные о>, кольцевые сге и осевые oz напря-
жения являются главными, причем вг <0, об > 0, о2 = 0,
т. е. cii = ое, сг2 = сг2, ов = аг. Следовательно, условие пластич-
ности Треска (11.38) можно записать в виде
о0 —ог = от.	(11.78)
Предположим, что прн р = ртах это условие выполняется во всех
точках трубы. Запишем уравнение равновесия
а,-ое д0	(11.79)
и граничные условия
а, (г = а) = —рпи» аг (г = Ь) = 0.	(11.80)
Подставляя условие пластичности (11.78) в уравнение равнове-
сия (11.79), получим
dar	ат
dr	г
Отсюда пг - о. In г С. Постоянную интегрирования найдем
из первого условия (11.80), т. е. С — ртах — от In а. Второе
условие (11.80) позволяет определить предельное давление
Pnux = c.ln-|-	(11.81)
16*
47Б

трубы, нагруженной внутренним давле-	вращающегося диска
нием
Для тонкой трубы с радиусом = а а толщиной h = b — а X
X (h/R <£ 1) из (11.81) получим
pIMI = aIln(l+4)oi-^-.	(11.82)
Для диска постоянной толщины, вращающегося с угловой ско-
ростью со (рис. 11.19), напряжения ог, ое и crz также являются
главными, причем oz = 0 и, как следует нз решения линейной
задачи, ое ог 0. Таким образом, в рассматриваемом
случае = ое, °2 = о>, °з = 0 и условие пластичности Треска
(11.40) имеет внд ое = от. Обозначая плотность материала через р,
запишем уравнение равновесия
d</r , аг — од . о
+ e_+po»r = 0.
Принимая, что при о = <йтах условие пластичности о0 — от
выполняется во всех точках диска, в результате интегрирования
получим
аг = ат — -L рю^г2 -I-- -у-.
Для сплошного диска при г = 0 должно выполняться условие
аг ~ °е = °т> т. е. С = 0. Используя граничное условие иг (г =
= /?) = 0, найдем предельное число оборотов
=	(11.83)
Отметим, что простота решения рассмотренных двух задач свя-
зана с возможностью оценки соотношения между главными на-
пряжениями и непосредственным использованием условия Треска,
линейного по напряжениям. Условие пластичности Мизеса (11.39),
которое не требует такой оценки, нелинейно, что существенно
усложняет решение. Использование условия Мизеса для анализа
476

вращающегося диска приводит к следующему результату:	=
— 2,875сгт/р/?*, который отличается от (11.83) на 4,2 %.
В заключение рассмотрим определение предельнохх) давления
для баллонов давления в форме тонких безмоментных оболочек
вращения. Меридиональные са и кольцевые напряжения
определяются равенствами (4.68), т. е.
=	^ = ^=-^(2-О’ (1!-84)
где h — толщина оболочки;	— главные радиусы кри-
визны срединной поверхности. Для оболочек, у которых са О,
0, т. е. исключается потеря устойчивости, предельное дав-
ление pniax может быть найдено с помощью условия пластичности
Мизеса (11-41)
max (aj — сгк<тв + а^) = а?,
а
В частности, для сферической оболочки при А*! = R2 = R, сга —
== Op = pR/2h получим ртах = 2u^hlR. Для цилиндрического
баллона давления радиуса R Rt -* со, R2=R, оа = pR/2h,
Op = pR/h, т. е. ртах = 1,15<ггА//?. Отметим, что полученное
значение на 15 % выше предельного давления (11.82), найденного
с помощью условия Треска.
11.3. ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ
ПЛАСТИЧНОСТИ
И.3.1. Постановка задачи и методы решения
Запишем полную систему уравнений теории пластич-
ности. Уравнения равновесия (1.9) и геометрические соотноше-
ния (1.3) от свойств материала не зависят и имеют вид
। ^ху . d^xz I у. п
-^г-+-^г-+-^г+г'=°>	<U-8S)
^_ + J^2.+ ^& + Z = 0,
о? 1 дх 1 ду 1
		ди	ди	.	dv
6х_______________________аГ’	',’г» = 'а7 +	'аГ’
„	dv	..	du	,	dw	...	ое.
By	’	&	+	дх	*	(11.86)
____dw	  dv	!	dw
Бг~ dz ’ ^z~
477

Наиболее распространенной в практических расчетах является
деформационная теория пластичности, физические соотношения
которой имеют форму (11.49), т. е.
=4- (°«—п—р-°4+“ —•4'а« ~ "г ’
=	№) -L <” (cv - ф ах — -1_ с,) ,
Вг = 4" ~ ~ + “ (°» - 4'°’ ~ 4"а1') ’ в1 -87>
Тяу — (~jj Ь 3<й) *гед, ухг = (-^ р 3<о^ тяг,
= (ф + Зи) г^’
где
<Й “ ~р—7—Т---------=г
£с (crt)	Е
1Б уравнений (11.85)—(11.87) включают 15 неизвестных функ-
ций — 6 напряжений, 6 деформаций и 3 перемещения. Эта си-
стема, как и в случае задачи теории упругости, может быть
сведена к меньшему числу уравнений согласно схеме решения
задачи методом перемещений илн напряжений, изложенной
в разд. 1.1.4.
Существенным свойством системы уравнений теории пластич-
ности является ее нелинейность — в физические соотношения
(11.87) входит функция ф, зависящая от секущего модуля £с,
который, в свою очередь, весьма сложным образом зависит от
интенсивности напряжений щ и согласно равенству (11.19) —от
искомых напряжений. Для реализации аналитических илн чис-
ленных методов решения функцию Ес (и*), как правило, пред-
ставляют в явной форме путем аппроксимации единой кривой
(«t) некоторым аналитическим выражением. Распространенной
формой такой аппроксима-
ция является степенная,
при которой единая кривая
описывается уравнением
О/ — А$ (рис. 11.20, а).
Здесь А н п < 1 — пара-
метры, определяемые из
условия наилучшего сов-
падения аппроксимирую-
щей кривой с экспери-
ментальной диаграммой
деформирования материа-
ла. Преимуществом crs-
478

пенной аппроксимации является то, что она позволяет доста-
точно просто выразить et через а( н найти секущий модуль Ес =
— tf/tei == Ав"4. Недостатком этого закона является то, что он
не позволяет описать начальный участок, для которого Ео = Е;
при п < 1, ег О Ес -* со. Как правило, степенную аппрокси-
мацию используют для приближения участка диаграммы дефор-
мирования, в пределах которого ожидается изменение деформа-
ций рассматриваемой конструкции. Другой часто применяемой
формой аппроксимации является диаграмма с линейным упроч-
нением, показанная на рис. 11.20, б. При Of с < е$ имеем
at = Есг<, £(. — £=*= а при ot а°, е? — oi = oi 4-
+ Et (&i — ej) и Ес =	+ £1(1 ——). Недостатком такой
ei	\ е£ /
аппроксимации (позволяющей обычно достаточно хорошо описать
реальную диаграмму) является то, что единая кривая опреде-
ляется двумя законами, причем, какой именно закон следует
использовать в данной точке конструкции, заранее неизвестно.
В численных расчетах часто используется еще более сложная
аппроксимация в форме ломаной линии.
Как отмечалось в разд. П.1.6, физические соотношения де-
формационной теории пластичности отличаются от соотношений
нелинейной теории упругости только наличием особого закона
разгрузки (11.52). Если рассматривается только активное нагру-
жение (без разгрузки), то это различие исчезает, и поскольку для
нелинейно-упругого тела справедлив закон сохранения механиче-
ской энергии, то формально его можно считать справедливым и для
рассматриваемой модели упругопластического тела. Следова-
тельно, в деформационной теории пластичности можно исполь-
зовать вариационные принципы Лагранжа и Кастильяно, изло-
женные в разд. 1.3, 1.4. Эти принципы формулируются соответ-
ственно в форме равенств (1.27) и (1.48), т.е. ЙЭ=0 и 6'3 — 0.
Полная энергия Э = U — Л и дополнительная полная энергия
Э = U — А выражаются через потенциальную и дополнитель-
ную иэнергию, определяемую равенствами (1.19) и (1.41), т. е.
V = \\\wdxdydz, U [\\vddxdijdz
н работу внешних поверхностных и объемных сил, определяемую
равенством (1.25), т. е.
А = j j (Xvu -j- Yvv 4- Zvw)ds-j- j J j (Xu 4~ Yv 4- Zw) dxdydz.
s
Отличие упругопластического тела от упругого проявляется
в форме записи потенциалов W и W, которые согласно теории
упругости имели вид (1.22) и (1.43). Как уже отмечалось
в разд. 11.1.4, энергия деформации может быть разделена на две
составляющие — соответствующую изменению формы тела и вы-
479

ражающуюся через интенсивность напряжений и деформаций о,
(11.19) и е, (11.26) и соответствующую изменению объема и выра-
жающуюся через среднее напряжение <т0 (11.14) и объемную де-
формацию 6 (11.22). Имея в виду это обстоятельство, а также
учитывая наличие единой кривой аг = f (е£) или = <р (ог) и
закона объемной упругости (11.31) о0 = Кб, приведем оконча-
тельный результат:
ei	Ci
w = j f(ei)*, + 4e2,	j<p(Oi)do!+-^-.
0	0
Применительно к задачам теории пластичности в принципе могут
быть использованы и используются почти все методы, описанные
в гл. 1, т. е. метода! Ритца—Тимошенко (разд. 1.6.1), Бубнова—
Галеркина (разд. 1.6.2), Власова—Канторовича (разд. 1.6.3),
метод конечных разностей (разд. 1.6.5), метод коллокации
(разд. 1.6.9). Существенным отличием расчета упругопластнче-
ских конструкций, значительно его усложняющим, является
то, что алгебраические или дифференциальные разрешающие
уравнения этих методов оказываются нелинейными. Поэтому
в теории пластичности перечисленные методы, позволяющие упро-
стить определение законов изменения искомых функций по
координатам, обычно применяются в сочетании с рассматривае-
мыми ниже специальными методами, позволяющими свести реше-
ние нелинейных уравнений к последовательности решений ли-
нейных задач.
11.3.2.	Метод упругих решений
Метод упругих решений [17], как следует из его на-
звания, основан на замене задачи теории пластичности совокуп-
ностью задач теории упругости. Рассмотрим физические соотно-
шения (11.87) и построим следующий итерационный процесс.
Пусть задана совокупность внешних нагрузок и требуется опре-
делить соответствующее ей напряженно-деформированное состоя-
ние конструкции. Примем в первом приближении в равенствах
(11.87) со = О. Тогда онн совпадут с законом Гука и в совокуп-
ности с уравнениями (11.85) и (11.86) позволят найти все напря-
жения и деформации, соответствующие методу упругих решений
в первом приближении. По этим напряжениям и деформациям
можно с помощью формул (11.19), (11.26) найти их интенсивность,
а с помощью единой кривой ог (е<) определить секущий модуль
и функцию со. Считая теперь, что члены, содержащие со в ра-
венствах (11.87), известны и определяются первым приближением,
можно построить второе приближение, по нему аналогичным
образом третье и т. д. Процесс продолжается до тех пор, пока
результаты, полученные в двух смежных приближениях, не ока-
жутся достаточно близкими. При этом известные величины, ко-
480

Рис. 11.21. Диаграмма деформирования
растягиваемого стержня
торыми соотношения (11.87)
отличаются от закона Гука в
разрешающих уравнениях,
можно объединить с величи-
ной внешней нагрузки. Та-
ким образом, метод упругих
решений по существу позво-
ляет заменить расчет упру-
гопластической системы по-
следовательностью расчетов
упругой системы, нагружен-
ной некоторыми условными
силами, определяемыми и
уточняемыми в процессе рас-
чета.
Для иллюстрации метода
р ассмотрим р астя гиваемый
стержень, диаграмма дефор-
мирования которого приве-
дена на рис. 11.21. Пусть
задано напряжение сг0 и требуется найти соответствующую дефор-
мацию е0. Естественно, что эта задача решается элементарно —
поскольку о = Есе, то е0 — а0/Е£, где Е? = Ес (сг0) = tg со.
Для реализации метода упругих решений запишем закон
деформирования о = Есе в виде
а = Ее — бе,	(11.88)
где со = Е — Ес (е). Пусть о — сг0. Примем в первом приближе-
нии 0 = 0, тогда Ej = а0!Е, ЕС1 — Oi/ei (рис. 11.22) и £ох =
= Е — (сГх/ej). Из (11.88) во
втором приближении полу-
чим сг0 = Ее3— tOjEj. Отсюда
с учетом записанных выше
равенств
*° = >+(Е~Ж=,
Из рис. 11.22 можно заклю-
чить, что это равенство имеет
следующую геометрическую
интерпретацию: 0е2 = пе2 +
+ (0®! — a®i)- Получаемые в
результате значения дефор-
маций е2, е3 и т. д. показаны
на рис. 11.22.
Рнс. 11.22. Геометрическая интерпрета-
ция метода упругих решений
481

При сильно развитых пластических деформациях потребное
число приближений может быть достаточно велико. Ускорить
сходимость процесса в этом случае можно, если уже в первом
приближении принять, что © О, например положить © — Е/2,
а в общем случае принять ЕС1 — Е/2.
11.3.3.	Метод переменных параметров упругости
Метод переменных параметров упругости [9] преду-
сматривает условную запись физических соотношений деформа-
ционной теории пластичности (11.87) в форме, аналогичной за-
кону Гука
8« = -gT (О. - И*”» ~	У*,, =	,
% =	Р’с. — V-*4z).	=	(11.89)
«« = -gr (О. - И*0'. - 9*0»). TV = -gr- •
и включающей некоторые приведенные модули и коэффициент
Пуассона
£•^£0(0. 4-=^+-^’ н*=4+-^(р-4-).
(11.90)
Можно проверить, что G* — Е*12 (1 4- р*), т. е. соотношения
(11.89) соответствуют закону Гука для изотропного материала.
Особенно простую форму параметры (11.90) принимают в случае
несжимаемого материала. Принимая р = 0,5, получим Е* = Ес,
G* — EJ3, р* — 0,5. Добавляя к равенствам (11.89) статические
и геометрические соотношения (11.85) и (11.86), получим полную
систему уравнений, по виду аналогичных уравнениям теории
упругости и отличающихся от них тем, что секущий модуль Ес,
через который выражаются параметры (11.90), заранее неизве-
стен. Для его определения используется итерационный процесс,
аналогичный описанному в разд. 11.3.2. В первом приближении
принимается Ес = Е и решается задача с линейной зависимостью.
По найденным значениям напряжений и деформаций определяется
их интенсивность ot и ef и по единой кривей находится секущий
модуль Ес, который и подставляется в равенства (11.90). Далее
строится второе приближение, по его результатам определяется
для третьего приближения и т. д. Процесс заканчивается, когда
результаты, полученные в двух смежных приближениях, оказы-
ваются достаточно близкими. Отметим, что в общем случае на-
пряженного состояния модуль Ес на каждом этапе в различных
точках конструкции будет разным, соответственно переменными
482

Рис. 11.23. Геометрическая интерпре-
тация -метода переменных параметрон
оказываются и параметры Е*,
G*, р*, что и определило назва-
ние метода.
Проиллюстрируем метод иа
примере стержня, диаграмма
деформирования которого по-
казана на рис. П.21. В соот-
ветствии с методом переменных
параметров упругости запишем
закон деформирования в форме,
аналогичной (11.89), т. е. с —
= Е*е, где Е* = Ес (е). Поло-
жив о = а0 и Ее — Е, в первом
приближении получим ех =
= ojE, Ес1 — Oj/ед (рис. 11.23),
во втором приближении е2 —
= ojEet и т. д. Процесс при-
ближения к искомой деформа-
ции е0 иллюстрируется на
рис. 11.23.
Сопоставляя рис. 11.22 и 11.23, можно заключить, что метод
переменных параметров упругости сходится быстрее, чем метод
упругих решений. Если рассмотреть соотношения (11.87), то
в i-м приближении метода упругих решений слагаемое, включа-
ющее со, полностью определяется по (I — 1)-му приближению,
а согласно методу переменных параметров упругости (t —• 1)-м
приближением определяется по существу только со, а напряже-
ния соответствуют £-му приближению, что, естественно, повышает
точность решения. С другой стороны, метод упругих решений, на
каждом этапе которого решается задача для конструкции с постоян-
ными параметрами упругости, реализуется проще метода, согласно
которому эти параметры являются переменными, т. е. зависят от
координат. Поэтому метод переменных параметров упругости
оказывается особенно эффективным в сочетании с методом ко-
нечных элементов, который позволяет устранить этот недостаток.
Если напряженное состояние элемента является однородным,
т. е. не зависит от расположения точки в границах элемента, то
и параметры упругости в пределах элемента сохраняются по-
стоянными и изменяются только при переходе от одного элемента
к другому. Таким образом, на каждом этапе итерационного про-
цесса метода переменных параметров упругости реализуется обыч-
ный метод конечных элементов для системы, состоящей из элемен-
тов с различными свойствами.
11.3.4.	Метод редукционных коэффициентов
В гл. 5 была построена балочная теория тонкостенных
подкрепленных конструкций типа крыла и корпуса летательного
аппарата и был введен редукционный коэффициент позволя-
483

Рис. 11.24. Сечение подкрепленной
оболочки
ющий за счет соответствующего
изменения площади сечения при-
водить все элементы к материалу
с одним модулем упругости. Ана-
логичный прием может быть ис-
пользован и для учета неупругого
характера работы элемента. Рас-
смотрим сечение подкрепленной
цилиндрической оболочки, пока-
занной иа рис. 11.24. Для про-
стоты предположим, что обшивка
толщиной б и стрингеры с пло-
щадью сечення Д изготовлены из
одного материала, диаграмма де-
формирования которого представлена на рис. 11.25. Пусть
обшивка приведена к стрингерам, т. е. сечение состоит из системы
сосредоточенных элементов с площадью сечення Fh = fk 4- s б
(см. рис. 11.24). При действии изгибающего момента Мх нормаль-
ные напряжения в сечении определяются формулой (5.21),
которая в рассматриваемом случае принимает вид
=	(ИЛИ)
•X
k — иоМер элемента,
I,= 'Lyl^Fl	(И.92)
I
— момент инерции сечения и согласно равенству (5.9)
<Pi = oj№p	(11.93)
— редукционный коэффициент, представляющий собой отноше-
ние иапряжения в реальном элементе oh к напряжению oftp
в эквивалентном элементе, деформация которого равна деформа-
ции реального элемента, а площадь сечения — Напряже-
ния в фиктивном элементе, выполненном из некоторого условного
материала, определяются равенствами (11.91) и (11.93)
о'т = -^- = 2Г-^-	(Н.94)
В качестве условного материала примем идеально упругий мате-
риал с диаграммой деформирования О А (см. рис. 11.25). Редук-
ционный коэффициент <pfe будем определять, как и ранее, методом
последовательных приближений. В первом приближении поло-
жим = 1 и по формулам (11.92), (11.94) найдем u|p во всех
элементах (см. рис. 11.25). Ввиду того, что деформации фиктив-
ного и реального элемента одинаковы, по схеме, показанной иа
рис. 11.25, определим напряжения сг| в реальном элементе в пер-
вом приближении, а по формуле (11.93) найдем редукционный
коэффициент второго приближения —	= Gk/°ip- Вычислив
484

Рис. 11.26. Геометрическая ин-
терпретация метода редукцион-
ных коэффициентов
метода последовательных нагружений
теперь с помощью равенства (11.92) новый момент инерции, най-
дем по формуле (11.94) о|р, по диаграмме деформирования (см.
рнс. 11.25)— и по формуле (11.93) — <p3k = о1/о|р. Процесс
продолжается до тех пор, пока результаты, полученные в двух
смежных приближениях, ие совпадут с нужной степенью точности.
Путем соответствующего построения диаграммы деформирования
методом редукционных коэффициентов можно учесть, например,
различные свойства материалов, возможную потерю устойчивости
отдельных элементов сечения и определить его несущую способ-
ность. Более подробно эти вопросы рассматриваются в курсах
прочности летательных аппаратов 132].
11.3.5. Метод последовательных нагружений
Рассмотренные выше методы в основном предназна-
чены для определения напряженно-деформированного состояния
конструкции, соответствующего вполне определенному уровню
нагружения. Метод последовательных нагружений используется,
когда требуется описать весь процесс деформирования конструк-
ции от качала до разрушения или некоторого заданного уровня.
Как следует из названия метода, для его реализации интервал
нагружения разбивается на участки, причем при изменении
нагрузки в пределах участка свойства материала считаются
неизменными. На начальном участке в соотношениях (11.87)
принимается Ес = Е, т. е. <о = 0, а на всех последующих Ес
определяется по единой кривой и напряженно-деформированному
485

состоянию, соответствующему предшествующему этапу нагруже-
ния» Например, для стержня, показанного иа рис. 11.21, имеем
(рис. 11.26): на участках 1—5, соответствующих 0 < а с а6,
£1-5 = £; на участке 6, т. е. при оБ < о о6	на уча-
стке 7 — Е1 = и т. д. При этом точная кривая деформи-
рования ОВ изображается кривой О А. Как следует из рис. 11.26,
метод имеет тенденцию к накоплению ошибки и требует очень
частого разбиения интервала изменения нагрузки. При редком
разбиении получаемый результат может значительно отличаться
от точного, что и иллюстрирует рис. 11.26. Шаг разбиения может
быть увеличен, если на каждом этапе предусмотреть уточнение
секущего модуля методом последовательных приближений, опи-
санным в разд. 1.3.3. Сочетание метода последовательных нагру-
жений с методом переменных параметров упругости, реализуемым
на каждом этапе иагружения, позволяет, с одной стороны, уве-
личить интервал разбиения нагрузки, а с другой стороны — огра-
ничиться иа каждом этапе сравнительно небольшим числом
приближений.
Н.3.6. Упругопластическая деформация баков
и баллонов давления
Рассмотрим безмоментиую оболочку вращения (см.
разд. 4.4.2), нагруженную равномерным внутренним давлением р
и моделирующую корпус бака или баллона давления (рис. 11.27).
Особенностью такой оболочки, существенно упрощающей анализ
ее упругопластического деформирования, является статическим
определимый характер меридионального и кольцевого усилий,
которые определяются равенствами (4.68), т. е.
Мх = -ф-. Nt =	(2 -	.	(11.95)
Ряс. 11.27. Цилиндрический баллон давления
с полусферическими днищами
Соответствующие иапряжения иа и связаны с усилиями (11.95)
и толщиной оболочки h следующим образом:
Na — vaht = o&h.
(11.96)
Таким образом, не-
зависимо от свойств ма-
териала усилия при за-
данном давлении опре-
деляются по формулам
(11,95). Давление, при
котором образуются
пластические деформа-
ции, может быть найде-
но с помощью условия
486

пластичности Мизеса (11.41) |аг = <гт, где интенсивность напря-
жений с учетом (11.96) имеет вид
Сг = 1' а —	+	= -i-	— NJVe + Nf  (11.97)
Физические соотношения деформационной теории пластичности
(11.87), заменяющие в данном случае закон Гука (4.69) и позво-
ляющие определить меридиональную еа н кольцевую е8 деформа-
цию, записываются следующим образом:
Во = -g- (оа — ЦСГр)	- у Сг ) ’
1	/14	(И.98)
= -£- (Ор — 0°а) 1'“ (,°в — -у <Ч) .
где “ = вткг - 4-’
После разгрузки (р = 0) усилия, как следует из равенств
(11.95), исчезают, а остаточные деформации, как было показано
в разд. 11.1.8, могут быть найдены по формулам (11.61). Учиты-
вая, что упругие деформации, соответствующие давлению (—р),
имеют вид
еХ (—р) = —	(о« - Р«р), ер (—р) = - 4" (°« ~	.
согласно равенствам (11.61) и (11.14) будем иметь
в« = е<х(р) + 4(—р) = со(са —-ЬсА
;	,	'	(11.99)
Вр = Вр (р) + в£ (- р) = <0 (<Гр - -у-С») .
Для цилиндрической части бака или баллона давления (см.
рис. 11.27) при Ях->оо, = R из формул (11.95)—(11.98)
получим
№ = <£Ь=-^-, ЛГ? = «^ = р«,	=
(11.100)
-Ц  pH (1 —ЗД _________ PR ! 2 — р.  Зсоц\
2ЁЙ	’	₽	2/z \ Е ' 2 /
В результате опрессовки до давления р = р после разгрузки будем
иметь следующие остаточные деформации (11.99):
Eq — 0, ер --	<0ц.
Таким образом, после разгрузки образующая не удлинилась,
а длина направляющей окружности стала 2л7? (1 4-Eg) и соответ-
487

ственио радиус R (1 4-Ер). Внутренний объем оболочки увели-
чился иа
AV„ = nR2l [(1 + Bf)£ - 1]«2Уце?=	(11.101)
Здесь учтено, что ер 1.
Для сферического баллона при Ei = Z?2 ~ R из равенств
(11.95)—(11.98) и (11.99) имеем
A?' = a^ = A'g = a^ = 4->
Е = вв = 6р^-(1^ + ^),	(11.102)
Ео = £ = Е§ = ^.
После разгрузки радиус увеличился на Ее0, а внутренний объем
на
A Vc = 4 "К3 [(1 + Е<Т - 1]« 3VcEo = VA	. (11.103)
Здесь учтено, что ео 1.
Если пренебречь деформацией в зоне краевого эффекта (см.
разд. 4.4.3), то изменение объема баллона, показанного на
рис. 11.27, согласно равенствам (11.101), (11.103) будет
AV = AV'., + AV0 =	(3(<оц + 2Яа>„).
Если при опрессовке материал не вышел за предел упругости,
то Ес = Е, о = 0 и ЛУ = 0.
Рассмотрим теперь одну перспективную конструкцию, расчет
которой позволяет более полно проиллюстрировать применение
теорий и методов, изложенных в предшествующих разделах. Как
следует из равенств (11.100), (11.102), кольцевые напряжения
в цилиндрической части баллона, показанного на рис. 11.27,
вдвое превышают осевые напряжения в цилиндрической части
и напряжения в днищах. При проектировании баллона его тол-
щину обычно выбирают из условия прочности по максимальным —
кольцевым напряжениям. Значительный выигрыш в массе бал-
лона можно получить, если сделать его вдвое тоньше — в соответ-
ствии с осевыми напряжениями и напряжениями в днищах,
а недостаток прочности цилиндрической части в кольцевом направ-
лении компенсировать кольцевым армированием, т. е. намоткой
на цилиндрическую часть металлической проволоки, стеклянных,
углеродных или органических нитей, обладающих высокой удель-
ной прочностью (рис. 11.28). Как правило, такие нити являются
488

линейно-упругими, а ме-
таллический слой обладает
пластическими свойствами
(рис. 11.29).
Запишем исходные
уравнения для цилинд-
рической части баллона.
Из равенств (11.95) при
7?! -> со и Т?2 = Я имеем
Na — pR/2, Nfi = pR.
(11.104)
Очевидно, усилие Na вос-
принимается только метал-
лическим слоем, а усилие Wp как металлическим, так и армиро-
ванным слоем (см. рис. 11.28), т. е. формулы (11.96) в рассмат-
риваемом случае принимают вид
Na == oah, Nfi = u^h -j-	(11.105)
Рис. 11.28. Элемент баллона давления, арми-
рованного в кольцевом направлении
Деформации металлического слоя выражаются через напряже-
ния и ор равенствами (11.98), а для армированного слоя спра-
ведлив закон Гука, связывающий напряжение s с деформацией е
s — Еое,	(11.106)
Рнс. 11.29. Диаграммы деформи-
рования металлического слоя о (е)
(Z — сталь) и армированного слоя
s (е) (2 — стеклопластик)
где Ео — модуль упругости армированиого слоя при растяжении
в направлении армирования (прямая 2 на рис. 11.29).
Будем решать задачу методом напряжений (см. разд. 1.1.4).
Для этого к статическим соотношениям (11.104), (11.105) необхо-
димо добавить условие совместной деформации слоев. Если счи-
тать, что толщина слоев h н б пренебрежимо мала по сравнению
с радиусом оболочки R, то это условие принимает следующую
очевидную форму: ер — е, т. е. кольцевые деформации металли-
ческого и армированиого слоев
должны быть одинаковыми. Ис-
ключая из этого условия ер и е с
помощью соотношений (11.98) и
(11.106), получим
4-= 4 ("е-+
+ [ Ес ~ Т] (°₽	
(11.107)
Из уравнений (11.104), (11.105)
имеем
р/?	pR	„ 6
2h ’	ар-“ h	& h '
(11.108)
489

Рис. ПоЗО. Изменение кольцевых ор (/) и
осевых иа (2) напряжений в металлическом
слое и кольцевых напряжений s (<?) в ар-
мированном слое при увеличении давления:
---— решение по деформационной теории;
---решение по теории течения
Подставим (11.108) в (11.107) и
из полученного соотношения вы-
разим
ЗЕ
s = (11109)
Ео Ес (Gt) h
Интенсивность напряжений согласно равенствам (11.97) и (11.108)
имеет вид
°'=4(^)2+^^+(4У- (илю)
На рис. 11.30 сплошными линиями показаны зависимости напря-
жений в металлическом и армированном слоях от давления для
баллона с параметрами £ = 0,1 м; h = 1,9-10-8 м, б — 1,7-10“® м,
р — 0,3. Решение осуществлялось методом последовательных
нагружений (см. разд. 11.3.5). Интервал изменения давления
разбивался на 50 участков (Ар = 1 МПа). На начальном уча-
стке в равенстве (11.109) принималось £с = Е, находилось на-
пряжение s и по формулам (11.108) определялись напряжения сто
и qp. На каждом этапе по формуле (11.110) вычислялась интенсив-
ность напряжений и по диаграмме деформирования (см. рис. 11.29)
определялся секущий модуль для следующего этапа нагружения.
Для повышения точности секущий модуль на каждом этапе уточ-
нялся методом последовательных приближений — после опре-
деления Ес это значеиие подставлялось в (11.109), s— в (11.110),
а по найденному значению интенсивности и рис. 11.29 опреде-
лялось новое значение £с. Для получения стабильного результата
в рассматриваемом случае требуется не более трех приближений.
Из рис. 11.30 следует, что нагружеиие металлического слоя ие
является простым, так как напряжение оа (прямая 2) изменяется
пропорционально давлению, а изменение ор (кривая 1) происхо-
дит по более сложному закону. Как отмечалось в разд. 11.1.6,
11.1.7, в этом случае более точный результат должна давать тео-
рия течения, физические соотношения которой определяются ра-
венствами (11.58) и в рассматриваемом случае имеют вид
'К = -j- (daa — ndas) + da	,
= -g- Л -	+ da (o', - A. ca),
где da = -J- [^jy - -g-] ,	=
(11.111)
где d со —
490

Условие совместности деформации металлического н армирован-
ного слоев в этом случае записывается в дифференциальной форме
dap = de, где deg определяется вторым равенством (11.111) и
согласно (11.106) de ~ ds/EG. В результате вместо соотношения
(11.107) будем иметь
тт=-1*4 * * *"»)+_ 4] (°е - 4-°“) •
(11.112)
Из равенств (11.108), (11.110) найдем
4о“ = "ЙГ dp’ das= ~dp + ~-ds,
3₽ря ,1 I 3Z?6s . . SpRB . . 2s«! .	(I!-113)
2C|dC| = dp -|- dp + 2Л'—os + —j^~ ds.
Подставляя daa, dae и dot из (11.113) в (11.112), окончательно
получим
(11.114)
Входящая в уравнение (11.114) интенсивность напряжений опре-
деляется соотношением (11.110), а касательный модуль Ек —
= dOi/d^i находится по единой кривой, представленной на
рис. 11.29. Уравнение (11.114) интегрируется численно при
начальном условии s (р = 0) = 0. С физической стороны такое
интегрирование соответствует процессу последовательного на-
гружения баллона. Результаты интегрирования показаны на
рис. 11.30 пунктирными линиями (там, где они отличаются от
решения по деформационной теории).
Из рис. 11.30 следует, что теория течения и деформационная
теория пластичности в данном случае приводят к близким резуль-
татам. Этого следовало ожидать, поскольку в рассматриваемом
баллоне реализуется нагружеиие, близкое к простому (см.
разд. 11.1.6, 11.1.7).
В заключение отметим, что в рассматриваемой конструкции
металлический слой является равнопрочным (из рис. 11.30 видно,
что прн р = 50 МПа оа = ор = ci). У рассматриваемого в ка-
честве примера баллона (сталь —- h — 1,9-10“3 м, стеклопла-
стик— 6= 1,7* 10“8 м) масса единицы поверхности на 30 %
меньше, чем у чисто металлического баллона.
491

ПЛ. УСТОЙЧИВОСТЬ ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ
11.4els Устойчивость стержней
Формула, определяющая критические напряжения
стержня, сжатого за пределом упругости, является хорошей
иллюстрацией развития процесса познания. В 1759 г. Л. Эйлером
была опубликована формула для идеального упругого стержня
[см. разд. 9.2.1 и равенство (9.14) ]
э ___ Ркр ___ v&EI ___ п2Ег2 __ п2Е
°«Р “	PF ~ Р	’
(11.115)
Здесь F — площадь сечения стержня; г — ИР —• радиус инер-
ции сечения; X = Иг — параметр, характеризующий гибкость
стержня. Напомним, что формула (11.115) была получена в ре-
зультате решения уравнения (9.12), т. е.
=	(11.116)
основанного на законе плоских сечений (1.32), согласно которому
изгибающий момент связан с кривизной оси стержня равенством
(1.38), т. е.
М= — EIv"-.	(11.117)
Здесь v (х) — прогиб, вызванный изгибным возмущением. Со"
гласно статическому критерию устойчивости (см. разд. 9.12)
Ркр является наименьшим значением силы, при которой уравне-
ние (11.116) кроме решения v (х) = 0, соответствующего исходной
прямолинейной форме равновесия стержня, имеет ненулевое
решение, соответствующее искривленной форме равновесия. Есте-
ственно, что формула Эйлера, полученная в предположении об
упругом поведении материала, справедлива до тех пор, пока
критические напряжения не достигают предела текучести сгт.
Полагая в (11.115) о£р = °т» получим
XT = nj/-|-.	(11.118)
Таким образом, формула Эйлера справедлива при X > Хт. При
X •< Хт расчет по этой формуле приводит к результатам, значи-
тельно превышающим экспериментальные (рис. 11.31). Это об-
стоятельство не находило строгого объяснения почти столетие
после вывода формулы Эйлера. Только в 1845 г. бельгийский
исследователь Е. Ламарль установил ограничение (11.118), свя-
занное с неупругим поведением стержня. В последующие годы
был предложен ряд эмпирических зависимостей оКр (X) при X
< Хт, а в 1889 г. Ф. Энгессером в Германии и А. Консидером во
Франции были получены первые теоретические результаты. Рас-
смотрим рис. 11.32 и 11.33, а. В соответствии со статическим кри-
терием устойчивости (см. разд. 9.1.2) необходимо исследовать
492

Рис. 11.32. Диаграмма деформирования
сжатого стержня
Рис. 11.31. Зависимость критических
напряжений от параметра гибкости
для круглых стержней диаметром 7Х
X10" з м, изготовленных из алюминие-
вого сплава:
1 — по формуле Эйлера (11.11 Б); 2 — по
теории касательного модуля; 3 — ло тео-
рии Приведенного модуля; 4 — акспери-
ментальные результаты
реакцию стержня, сжатого на-
пряжением о, на изгибное воз-
мущение, при котором возни-
кает прогиб v (х), изгибиая
деформация бе = —yv" и до
полнительные напряжения Ефъ, где Ек— касательный мо-
дуль (см. рис. 11.32). В результате в сечении возникает изгибаю-
щий момент
M = f 6aydF = ~E„v" = —EJv".	(11.119)
Сопоставляя равенства (11.119) и (11.117), можно заключить, чк>
для получения результата в уравнении (11.116), а следовательно,
и в формуле (11.115) необходимо заменить Е на £к, т. е.
«кр = 2>£-=^-	(11.120)
Формула (11.120), определяющая критические  напряжения па
основании изложенной выше теории касательного модуля, как
Рис. II.33. Распределения напряжений по высоте сечения, соответствующие
теории касательного модуля (а), теории приведенного модуля (б) и концепции
продолжающегося нагружения (в)
49Л

будет показана далее, является основным результатом теории
устойчивости упругопластического стержня и требует некоторого
пояснения. В связи с тем, что в эту формулу входит касательный
модуль Ек, который зависит от искомого напряжения ОкР, расчет
производится следующим образом. Задается о£р, по диаграмме
деформирования определяется соответствующий модуль Ен и по
формуле (11.120) находится X. Таким образом, строится зависи-
мость X (о£р) (пунктирная кривая на рис. 11.31) и по ней для
заданного X определяется ОкР.
Формула (11.120) была опубликована в 1889 г., а в 1895 г.
Ф. С. Ясинский указал на то, что при ее выводе не учтена раз-
грузка. Действительно, согласно статическому критерию устой-
чивости, изгибные возмущения создаются при постоянной сжи-
мающей силе Р. При этом часть сечения, лежащая с одной стороны
от нейтральной оси, будет догружаться дополнительиыми сжима-
ющими напряжениями, а часть, лежащая по другую сторону
от нейтральной оси, будет догружаться растягивающими напря-
жениями, т. е. по существу в этой части сечения имеет место раз-
грузка, которая идет по прямой, параллельной начальному упру-
гому участку (см. рис. 11.1).
В том же 1895 г. Энгессер учел разгрузку и заложил основы
теории приведенного модуля, которая была завершена в работах
Т. Кармана. Рассмотрим рис. 11.32 и 11.33, б. Пусть, как и ранее,
у равномерно сжатого стержня появился прогиб v (х) и изгибная
деформация бе = —ytf. Тогда в области 0 < у С h (1 — т]) (см.
рис. 11.33, б), где имеет место догружение, бо== £к6е = —EKyv\
а в области — r/i с у с 0, где имеет место разгрузка, 66 =
= Вбе = —Eyzf (Е — модуль упругости, см. рис. 11.32). Для
конкретности рассмотрим прямоугольное сечение с высотой h
и шириной Ь. Найдем изгибающий момент (см. рис. 11.33, б)
[0	(I—7])ft	j
j bcydy-\- J =
—Т)й	0	J
[0	(I—71) ft	T
£ J j/’dy + B, j y'dij =
—7]fi	0	J
f 6AV [Erf 4-EK (1-^1.
(11.121)
Параметр т), характеризующий положение нейтральной оси,
найдем из следующего условия. Поскольку изгибное возмущение
накладывается при постоянной силе Р, равнодействующая напря-
жений 65 и 6 а должна обращаться в нуль, т. е.
0	(I—
b J 65 dy -|- b J 6а dy ~ 0
--гД	0
494

или
- 4-	I-W+£« (1 - n)2] = 0.
Отсюда т} = УЕКЦУ~Е +V^h) и равенство (11.121) принимает
вид
М =	(11.122)
Для получения критического напряжения, соответствующего
теории приведеииого модуля, как и ранее, достаточно заменить
в формуле (11.115) Е на приведенный модуль £п, т. е.
’Sp =	=	(11.123)
Формула (11.123) по существу значительно сложнее формулы
(11.120), так как приведенный модуль, входящий в (11.123), за-
висит от формы сечения. Для прямоугольного сечения этот мо-
дуль определяется равенством (11.122). Отметим, что Еа Ек
и о£р 52 о£р, причем знак равенства реализуется только в слу-
чае, если не учитывается разгрузка.
Несмотря на то, что формула (11.123) представляется более
строгой, чем формула (11.120), экспериментальные результаты
стабильно подтверждают теорию касательного модуля лучше, чем
теорию приведенного модуля (см. рис. 11.31). Объяснение этому
было предложено в 1947 г. Ф. Шэнли, который сформулировал
концепцию продолжающегося нагружения. Предположим, что
при образовании изгиб кого возмущения сила Р не остается по-
стоянной, а может возрастать (что обычно и имеет место и а прак-
тике). Тогда разгрузка, вызванная изгибом, может компенси-
роваться дополнительными сжимающими напряжениями, рав-
ными &PIF (см. рис. 11.33, s). Изгибающий момент, соответству-
ющий распределению напряжений, показанному иа рис. 11.33, в,
очевидно, определяется формулой (11.119), из которой вытекает
выражение (11.120). Следует отметить, что теория Ф. Шэнлн
подтверждает только результат, полученный Энгессером, но
ие гипотезу об отсутствии разгрузки, на которой он основан.
Ф. Шэнли показал, что недостатком теории приведенного модуля
является то, что при выводе выражения для о£р неявно предпо-
лагается, что стержень может находиться только в двух поло-
жениях — исходном прямолинейном и искривленном, при кото-
ром зона разгрузки распространяется иа всю его длину. При этом
не учитываются возможные промежуточные состояния стержня.
Более поздние исследования показали, что при а > о£р возможны
искривленные состояния стержня, характеризуемые поверхност-
ной зоной разгрузки, расположенной в его средней части. При
увеличении силы Р эта зона распространяется как по направле-
нию к оси стержия, так и по направлению к его концам, и при
495

a — <?кр занимает всю его длину. Строго говоря, нагрузка Рк —
= ОкрР не является критической с позиций статического крите-
рия устойчивости — она определяет нижнюю границу спектра
нагрузок, которым соответствуют возможные искривленные формы
равновесия стержня.
Концепция Ф. Шэнли, согласно которой можно не учитывать
разгрузку, значительно упрощает решение и широко используется
при анализе устойчивости конструкций за пределом упругости.
Более полные результаты содержатся в книгах [14, 17].
11.4.2. Устойчивость прямоугольных пластин
Рассмотрим шарнирно опертую по краям прямоуголь-
ную пластину, сжатую в одном направлении (см. рис. 9.7). За-
дача устойчивости такой пластины в упругой постановке была
решена в разд. 9.3.2. В результате анализа уравнения устойчи-
вости (9.42), т. е.
0(^ + 2^^ + -^-)+^-^-= 0	(11.124)
\ дх* 1 дх*ду* 1 ду* / 1 дх*	'	'
была получена формула (9.47)
авр = 3,6£(Ау.	(11.125)
Очевидно, что эта формула справедлива при с< от, т. е. при
(й/Ь)2 < от/3,6£.
-.Для вывода уравнения устойчивости пластины за пределом
упругости воспользуемся методом, изложенным в разд. 9.3.1,
т. е. запишем уравнение равновесия (3.61), заменив в нем на-
грузку q условной поперечной нагрузкой q, определяемой равен-
ством (9.3.4). Полагая в (9.37)	= №ху = 0 и заменяя в урав-
нении изгиба пластины q на q (см. разд. 3.3.1), получим
^+2-^^ + -^-Л^ = 0.	(11.126)
дх? 1 дхду ' ду* к дх*	7
Запишем теперь физические соотношения, связывающие моменты
с прогибом и обобщающие равенства (3.58) на случай упругопла-
стического деформирования. Пусть дан прогиб w (х, у) (см.
рис. 9.7). Тогда в соответствии с равенствами (3.53) и рис. 3.9
в пластине появятся дополнительные перемещения
e	dw s	dw
би = —z	, OV - —2 -ч—
дх	ду
и согласно соотношениям (3.4) — дополнительные деформации
«	/к \ дЪ s д /R	d*w
ое„ = -5— (ой) = —z	, ое,, = —— (ои) -= —г	,
х дх ' ' дх* ’	ду  ' ду*
8к, = ^(6И) + 4.(б1))^-2г^.	(11.127)
496

Физические соотношения деформационной теории пластичности
запишем в форме (11.89), соответствующей методу переменных
параметров упругости. Для простоты будем считать материал
несжимаемым (р = 0,5). Тогда в соотношениях (11.89) следует
положить Е* = Ес, G* = EJ3, р* — 0,5 и в соответствии с ги-
потезами теории пластин
(см. разд. 3.1.1) принять ог = 0, т. е.
л, __
Уху — р •
Отсюда
_ Ес
^ху 3
(11.128)
Учитывая, что секущий модуль зависит от интенсивности дефор-
маций еь иайдем величину приращения напряжений, вызванные
возмущением
+ 4 6в9) + 44468г (8“+
Ьач=44 (6ex г 4 6е»)+4 446е< +4 е«) >
'х =
(11.129)
= -Ь- 6?та + 4 4|f- бе^ед.
Имея в виду, что Ес — иЕя = doi/dst, получим
6ЕС_____d / ot\______I dpj at________J/p p \
dsi “ dti \et J — e( dm ~ ef Cch
(11.130)
Окончательно, заменяя во вторых слагаемых равенств
слагаемые в круглых скобках величинами напряжений с помощью
(11.128) и учитывая формулы (11.130) и ut = Ecet, получим
(11.129)
6оа
(£с
6«„ =	-	6еь (11.131)
8т.ъ =
(Ес Ек)~~~6е,.

ef

Для случая одноосного сжатия (см. рис. 9.7) следует положить
ох = №x,'h (h — толщина пластины). оу = тху — 0. Кроме того,
из равенства (11.19) при этом имеем = ох, а из соотношения
(11.26) для несжимаемого материала е; = еж. Учитывая эти упро-
497

щения и подставляя в (11.131) величины приращений деформаций
согласно (11.127), получим
= -а [± Ее О +	- (В. -	.
6o,=-a4£c(^- + 4-»,	(11.132)
2 rj (Pw
стт«« ~ ~2 у Ес ~дГду’
Дополнительные напряжения (11.132) линейно изменяются по
толщине пластины н статически эквивалентны изгибающим и
крутящему моментам (3.13), т. е.
h/2
j ^<fa=_D-[Vc(^+4.-)_4(4,c-<PB)-],
—h/2
h/2
Му = j &ruzdz = —	4”!^)’ (И133)
-h/2
h/2
.. f c . D’ dau>
— J fyixlJzdz —	2“% Qxdy •
—h/2
Здесь D' = Ehs/9 — цилиндрическая жесткость пластины из не-
сжимаемого материала (р = 0,5); <рс = EJE\ срн = EJE. При
<р0 = Фк в 1 равенства (11.133) переходят в полученные ранее
соотношеиия упругости (3.58), если принять в них р — 0,5.
Отметим, что физические соотношеиия (11.133) получены без
учета возможной разгрузки, т. е. в соответствии с концепцией
продолжающегося иагружеиия Ф, Шэили (см. разд. 11.4,1).
Параметры <рс и <рк определяются по диаграмме докритического
одноосного сжатия ох (ех) и от координат не зависят.
Для получения уравнения устойчивости необходимо подста-
вить значения моментов (11.133) в уравнение равновесия (11.126),
т. е.
rv Г / 4>с . 3(рк \ d*w . о dau>	даиу I . . л	п
D [(^+^)-ajr + 2<Pc-a^+<f-=-^J+JV'а(г = 0-
(П.134)
При <ре “ <Рк = 1 это уравнение переходит в (11.124).
Как и в случае упругой пластины, решение уравнеиия (11.134),
удовлетворяющее условиям шарнирного опирания по сторонам
пластины х — 0, х = а и у = 0, у — Ъ. будем искать в форме
рида (9.44), т. е.
w (х, у) = Атп sin sin .	(11.135)
493

Подставляя ряд (11.135) в уравнение (11.134) и повторяя вывод
формулы (9.45), получим следующую аналогичную ей формулу:
где
*»“•{- + Зч>«) (тг)” + 2<Ре"’ + <р'= (ъгУ •
Очевидно, что, как и в случае упругой пластины, минимальное
значение реализуется при и = 1. Обозначив тЫа — А,
будем иметь
“ Т (% 4~	4” 2фв 4-	•
Как уже отмечалось в разд. 9.3.2, для удлиненных пластин пара-
метр А можно приближенно считать изменяющимся непрерывно.
Тогда из условия минимума dk^/dK — 0 получим А* = 4%/(<рс -р
-р 3<рн) и kt — j/ % (фс 4- Зфи) + 2% . Таким образом, получим
следующую формулу, обобщающую равенство (9.47) иа случай
упругопластического материала,
а„р = k,	= 1.1 (/£?(£„ 4-3£„) + 2EJ (А)2. (11.136)
Критическое напряжение определяется следующим образом. За-
дается значение онр, по диаграмме деформирования находятся
соответствующие значения секущего и касательного модуля Ес
и Ен и по формуле (11.136) определяется отношение h/b. Таким
образом строится зависимость h/b от онр, по которой при заданном
значении h/b и находится критическое напряжение.

ГЛАВА 12
ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ЭЛЕМЕНТОВ
ИЗ ОРТОТРОПНЫХ, СЛОИСТЫХ
И КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
12.1. ЭЛЕМЕНТЫ ИЗ СЛОИСТЫХ композиционных
МАТЕРИАЛОВ
12.1.1. Соотношения упругости для
композиционного материала
Современные летательные аппараты в основном изго-
товляются из металлических сплавов — алюминиевых, титановых,
сталей и др. Несмотря иа различие механических характеристик,
эти материалы обладают одним общим свойством — они являются
изотропными. В то же время среди природных и искусственных
материалов встречаются такие, которые обладают различными
свойствами в зависимости от направления в среде материала.
К ним относятся, в частности, широко применявшиеся в 30-е
и 40-е годы в авиастроении ткань, фанера и дельта-древесина.
Такие материалы называются анизотропными. В последние годы
интерес к применению анизотропных материалов в конструкциях
летательных аппаратов значительно возрос, что связано с появле-
нием нового класса композиционных материалов, обладающих
исключительно высокими механическими характеристиками. Ком-
позипионные материалы образованы из двух составляющих —
тонких волокон, обеспечивающих высокую прочность и жесткость
материала, и связующего, обеспечивающего монолитность мате-
риала и совместную работу волокон. В настоящее время в компо-
зиционных материалах применяются стеклянные, органические,
углеродные и борные волокна с диаметром от 1-10-5 до 2-10“4 м,
модулем упругости от 90 до 400 ГПа, пределом прочности от 2 до
3,5 ГПа и плотностью от 1450 до 2500 кг/м3. Напомним, что алю-
миниевый сплав при плотности 2700 кг/м3 обладает модулем упру-
гости 71 ГПа и пределом прочности порядка 0,6 ГПа, а конструк-
ционная сталь имеет соответственно 7850 кг/м3, 210 ГПа и предел
прочности порядка 1,5 ГПа. В качестве связующих материалов
применяются полимерные смолы и металлические (в основном
алюминиевые) сплавы. Из волокон и жидкого связующего, как
правило, образуется лента, которая посредством высокопроизво-
дительных и автоматизированных технологических процессов
укладывается слоями в различных направлениях. После отверж-
дения связующего получается анизотропный слоистый компози-
ционный материал, удельная прочность которого (отношение
предела прочности и плотности), как правило, в несколько раз
больше соответствующей характеристики металлических сплавов.
Из таких материалов в настоящее время изготавливаются баки.
500

Рис. 12.1. Элемент слоистого компо-
зиционного материала
баллоны давления, корпусы двигателей, панели обшивки крыла
и оперения, носовые обтекатели, лопасти винтов и многие другие
элементы летательного аппарата.
Расчет композиционных элементов осуществляется на основе
изложенных выше теорий и методов строительной механики с по-
мощью соотношений, учитывающих специфические особенности
армированных материалов. Ввиду того, что уравнения равнове-
сия и геометрические соотношения от свойств материала
не зависят, эти особенности должиы учитываться физиче-
скими соотношениями, связывающими напряжения и деформа-
ции.
Для вывода этих соотношений рассмотрим элемент слоистого
материала, находящийся в условиях плоского напряженного
состояния и показанный на рис. 12.1. Предположим, что материал
образован из k слоев с толщинами ht (i — 1, 2, 3, ..., k), причем
в каждом слое можно выделить некоторое определяющее направ-
ление (например, направление укладки волокон), которое состав-
ляет с осью х угол <р£. Необходимо определить модули упругости
такого материала.
Предварительно рассмотрим слой в координатах (х(,	— см.
рис. 12.1, 12.2). Такой слой является ортогонально-анизотропным
или сокращенно—ортотропным, поскольку ои обладает двумя вза-
имно ортогональными осями симметрии (ортотропин) х{ и х(. Харак-
терной особенностью ортотропного материала является то, что
нормальные напряжения, действующие вдоль осей ортотро-
пии, не вызывают деформации сдвига, а касательные напряже-
ния— удлинений. При этом обобщенный закон Гука имеет
вид
^=4-^4- ^=4- <,2л>
£1	С2	£2	QI2
Здесь Е{, Е1^ С*2 — модули упругости в направлении осей xf, х|
и модуль сдвига слоя с номером ц р*2 и — коэффициенты Пуас-
сона, характеризующие сокращение материала соответственно
501

вдоль осей х{ и х* при растяжении вдоль осей х£ и х{. Имеет место
Следующее условие симметрии:
!	4- = А.	(12.2)
Е‘ E‘t	'	'
Это условие имеет простой физический смысл: чем жестче мате-
риал в данном направлении, тем меньше он сокращается при
растяжении в ортогональном направлении. Разрешая соотноше-
ния (12.1) относительно напряжений с учетом (12.2), получим
о( = £: (е| PssSs), <?2; = (ва -j- Pssej), (12.3)
TJ2 = G12V121	2 = z/(l — PlsP'l)-
B соотношения (12.1) или (12.3) входят четыре независимых
упругих постоянных — Е{, Е[, б', и, например,	тогда
определяется из равенства (12.2)1.
Получим теперь статические соотношения для слоя, связываю-
щие величины напряжений в осях (х(, х') и (х, у— рис. 12.3, с). Из
условий равновесия элементов, показанных на рис. 12.3, б, имеем
Л = Ot cos2 q>( 4- 02 sin2 ф( — sin 2<|i;,
Op = of 31n2 <P< + 02 COS2 ф( + 112 sin 2q>(,
Рис. 12.3. Слой в
координатах (х, у)
(а) и выделенные на
него элементы (б)
(12.4)

502

Обратные соотношения имеют
следующий вид:
<4 = о1х COS2 <Pi + cl Sin2 <₽< +
Тед sin 2фь
<4 = Ux sin2 фг + ci cos2 Ф/ —
— Тед sin 2ф/,	(12.5)
Ti2 = (of — <4) sin ф? cos ф1 -h
-J-^cos 2ф^.
Отметим, ЧТО равенства (12.4) и Рис. 12.4. Перемещения точки в коор-
(12.5) являются частной формой дииатах (х{, 4) и (х- У)
записи формул (1.10) первой
главы, определяющих преобразование компонент тензора напря-
жений при повороте осей координат.
Выведем формулы, позволяющие выразить относительные де-
формации, заданные в координатной системе через дефор-
мации, заданные в системе координат х, у. Относительные де-
формации слоя с номером i выражаются через перемещение ut
вдоль оси х и перемещение vt вдоль оси у формулами (1.3), т. е.
i =	4=-^-,	=	+	(12-6)
х дх	у ду ‘ v ду 1 дх х '
Свяжем е£, к1у, уху с деформациями /’-го слоя в координатах 4, х2>
т. е. с е{, Ей, Т12« Аналогично (12.6) имеем
I ^“1
е* = тт
дх\
. ди! ди!
(12-7)
Пусть точка О переместилась в положение О' (рис. 12.4). Тогда
координаты точки О' в осях х, ун х*,х* связаны следующим обра-
зом:
х = х{ cos фг — Хг sin ф^,
Аналогичными равенствами
точки О на оси х, у и х{,
щ == и{ cos ф< — /4 sin Ф/,
Vi = и{ sin фг -f- и2 cos фь
у = х\ sin ф/ 4- х2 cos ф/. (12.8)
связаны проекции перемещения
= щ cos ф? + sin ф/,
и2 = vt cos ф/ — ut sin ф/. (12.9)
Заменим в соотношениях (12.7) и через щ и vt с помощью
П2.9) и перейдем от переменных х{, к переменным х, у. На
503

основании правил дифференцирования сложных функций и ра-
венства (12.8), например, для е( с учетом (12.6) имеем
l dtii	„	. dvi ,	/ dut дх , dut ду \
Bi = —f COS + sin <Pf = WTT +"ft7'^Tlc0S<P< +
дх[	дх\	I (lx дх[ dy сЦ I
~h ("7Г—“T + 4г"	1 sln Vi = C°S2 Vi + sinS Vi +
Д dx[ dy ax[ I	дх ™ r dy “
+ (-^- +	Sin <p, cos q>( = e[ cos2 q>( + в' sin2 q>, + sin <₽t cos q>(.
Таким образом, окончательно получим геометрические соотно-
шения
е{ = 4 cos2 <р/ + 4 sln2 Ф/ Уху sin <pf cos <р$,
el == 4 sin2 <pi -r 4 c°s2 Vt ~ Уху sin Ф/ cos ф$,	(12.10)
Ti2 = (4 — 4) sin 2tp< 4- yxy cos 2<p£.
Отметим, что равенства (12.10) являются частной формой записи
формул (1.4) первой главы, определяющих изменение компонент
тензора деформаций при повороте осей координат.
Вернемся теперь к слоистому материалу, показанному на
рис. 12.1. Пусть по его сторонам действуют средние напряже-
ния Оу, отнесенные к суммарной толщине пакета /г. Эти
напряжения можно представить в виде суммы соответствующих
напряжений, приходящихся на каждый слой, т. е.
k	k	k
&xh = J] Ысх, Qyh = h^Oy, Txyh ~ hfixy*
i=l	i=l	f=l
Вводя относительную толщину слоя — htlh, получим
ft	k	h
C* = S (Jg = JLj ^xy = S hi^Kti' (12.11)
f==l	f=l	f=l
Подставим равенства (12.4) в (12.11)
ft
Gx = S hi (of COS2 Ф,- 4- 02 Sin2 Ф/ — T12 Sin 2ф;),
£=1
ft
Gy — S hi (of Sin2 фг- + 02 СО52Ф1 4- ^12 SPn 2фЛ,
(12.12)
ft
^xy = Jj hi [(of - of) ain Ф/ COS Ф, [- T12 cos 2фг].
Получили соотношения, связывающие средние напряжения слои-
стого материала с напряжениями в слоях и параметрами струк-
туры.
504

Заменим теперь в соотношениях (12.12) компоненты напряже-
ния о£, г(2 через составляющие деформации ef, ef, yf2 с по-
мощью закона Гука (12.3)» а компоненты деформации е|,
— через составляющие деформации е£, согласно ра-
венствам (12.10), Предварительно введем условия совместной
деформации слоев. Полагая, что слои работают без взаимного
проскальзывания и отрыва, примем, что в* = ех, == eVt
(« =* ls 2» 3, ...8 k). Окончательно будем иметь
~ Ал 4~	4- B13yxvt
== Вх8еж 4~ B&%ev -Г ВъзУхуг	(12.13)
= Ал* -Г BS2fyj 4- Bstffav.
Здесь
k
Вт® = Xj &{Втп (т?, п = lg 2,3);	(12.14)
i=i
В1ц = Ei cos4 <pt 4“ 2fgpi2 sin2 cpj cos2 <p< 4* £2 sin4 фг 4~ 612 sin22<pf,
Big = B21 ~ (£> 4- £2) Sin2 <pf cos2 <p£ 4- fjpia X
(12.15)
X (sin4 q>i 4- cos4 <p/) — Gj2 sin2 2<pf;
B22 = Ei sin4 <pg 4" 2Bip!g sin2 q>i cos2 <pf 4~ Ez cos4 <p< 4~ Gte sin2 2<рг;
Вез = Вм == sin cp^cos <p, [B{ (1 — pf2) cos2 <pf —
— £2 (1 — P21) sin2 фг — 2GiaC.os 2<pz],
Bgs = Взг = sin <р# cos <prf	(1 — pi 2) sin2 Ф/ ™
— £2 (1 — P21) cos2 <p« 4- 2GiaCOS 2<p{],
B23 == (£1 4- £2 — 2£i2) sin2 Фг cos2 <pt 4- б{2 cos2 2<pf -
В общем случае слоистый материал не является ортотропным:
из равенств (12.13) следует, что деформация сдвига вызывает
нормальные напряжения, а удлинения еж и вызывают касатель-
ные напряжения. На практике материалы с такой общей струк-
турой используются редко. Для технических приложений наиболь-
ший интерес представляет симметричная схема укладки слоев,
при которой каждому слою, армированному под углом 4~Фь
соответствует такой же слой с углом армирования —фг (рис. 12.5).
В этом случае в суммах (12.4) коэффициенты В(3 = В|х и В‘8 =
~ В|3, соответствующие слоям с относительной толщиной ht
и углами 4гФ«, взаимно уничтожаются. В результате для симме-
тричной структуры Bis — BSi ™ B2S ™ в831 == 0 и равенства (12.13)
принимают вид
(Tg “• В£1В9 4“	™ £г1ея 4* B^yt Bs^sey‘
17 И. Ф» Обрз?-Ц1и) в др.
505

Выразим деформации и запишем полученные соотношения в форме,
аналогичной закону Гука (12.1)
СХ	Gv	Та-п «г..
е* - £7 “ Еу ’ е« ~ Еу	Vw— Q-— (12.16)
или сх Е... (в.,. -J-	Су = !Еу (ву -|-	тад = Gxyyxy,
(12.17)
где£. = Ви-^-, ЕУ = В„-?К
С9Л	#11
ОЧ, = В„, |лга = |^->	=	(1218)
= 7— --------= Вц, Еу = -.—------------— Вю.
1 РодРв#	I — №ку!*ху
Из равенств (12.16) следует, что рассматриваемый материал яв-
ляется ортотропным. Величины ЕХ) Еу, Gxy, ржу, рух являются
эффективными модулями упругости и коэффициентами Пуассона
слоистого композиционного материала. Для их определения необ-
ходимо знать структуру пакета, т. е. число слоев /г, толщины ht,
углы армирования <р£ и упругие свойства материала всех слоев Е{,
Е|, ^12» Р12» Ги- Далее по формулам (12.14), (12.15) находятся
коэффициенты жесткости Z?u, В12. B2s. BS3 и по формулам (12.18)
определяются упругие постоянные. Если в слоистом пакете
имеются изотропные слон (например, металлические), для них
следует принять Е{ = £| = Еь р{2 =	= pf, Gf2 = Gt =
= Ef/2 (1 Д- p£). При этом из равенств (12.15) получим =
= Ви = £</(1 — |4). в;2 = |Л<£</(1 - р?), в33 = £,./2 (1 + Hi).
В качестве примера найдем эффективные упругие постоянные
пакета, образованного из материала с упругими постоянными Ех,
б12, р18, р21 и состоящего из двух слоев (рис. 12.6) — продоль-
ного с параметрами	= 0 и поперечного с пара-
№
х
Рис. 12.5. Симметричная схема распо-
ложения слоев
506

метрами Я2 = ср == 90° (йе “ 1). Определим обобщенные
жесткости Втп
Вп =~ hbEt 4- ЙэйД*
4* ^soHia^x ~	~ 1*31^2»
— hJE* 4“ ЛмДп Ваз =	4~ &s»Qw =* ^1Я.
Подставляя Bti в равенства (12.18), получим
Е, = ЁЛ + ЕЛ. - ^-ЛМ2--......,
1.-Г	ВЛ+ЕЛ«
Е, = ЕЛ + ЕЛ» -	схг - g№
в*лв
4"
М -------faA---- и = ---------------.
И*“ ЁЛ+2Л. " ЁЛ+ЁЛ,
Отметим, что суммарная жесткость пакета при растяжении оказы-
вается меньше суммы жесткостей слоев. Это обстоятельство свя-
зано с эффектом Пуассона. За счет этого эффекта первый слой при
растяжении в продольном направлении сжимается в поперечном
направлении. Связанный с ним второй слой при этом удлиняется
в продольном направлении и дополнительно растягивает первый
слой, что и приводит к снижению жесткости.
Более полные сведения о свойствах композиционных структур
содержатся в книге [241.
12.1.2. Стержни из композиционного материала*
Высокопрочные и высокомодульные композиционные
материалы успешно применяются для изготовления слоистых
стержней и усиления металлических профилей, работающих на
растяжение, сжатие и изгиб. Согласно закону плоских сеченищ
используемому при расчете стержней, сечение стержня при из-
гибе остается плоским и перпендикулярным нейтральной оси»
находящейся на расстоянии е от нижней кромки (рис. 12.7).
Продольные перемещения распределяются по высоте стержня по
линейному закону аналогичному (1.32), т. е.
и =» и0 —
Здесь и0 (х) — осевое перемещение точек нейтральной оси; v (х) —
прогиб. Относительная деформация в продольном направлении
определяется равенством
du-
* Здесь и далее стержни из композиционного материала для упрощении
будем называть композиционными стержнями.
17*	507

У
Рис. 12.7. Сечение слоистого стержня
а соответствующие напряжения — законом Гука
а* =	•= Ех (Uq — tji/').	(12.19)
Как известно, при осевом нагружении и изгибе нормальные
напряжения сводятся к изгибающему моменту
k
Af = | box^ dy = Euq — /2tT	(12.20)
о
и осевой силе
h
N »« J bax dy = Iou'q — /цГ,	(12.21)
о
k	h	h
где /0 = J EJ> dy, 4 = J EJn\ dy, /, = f Е,Ьт? dy. (12.22)
Ойо
Положение нейтральной оси найдем из условия 1г = 0. При
этом осевое усилие N будет связано только с деформацией ней-
тральной оси Uq, а изгибающий момент — с кривизной оси (—v").
Учитывая, что t] = у — е, с помощью второго равенства (12.22)
будем иметь
Л
4= j (у-e)dS = £!-«/„ = О, (12.23)
о
где
h
C^EJydy.	(12.24)
о
Из равенства (12.23) получим
е « Cj/Zt.	(12.25)
508

Рис. 12.8. Сечение металли-
ческого стержня, усиленного
накладками из композицион-
ного материала
Таким образом, соотношения (12.20) и
(12.21) принимают вид
M = — W, N — и’е, (12.26)
где с учетом (12.25)
ь
=	e)s <fe=C, - 2еСх +
0
+ e’/e = Cs--S, (12.27)
h
B~l„, Cs = J EJ>tp dy.
получим следующее распределение
Из равенств (12.19) и (12.26)
напряжений:
а, = Я. [4+ ТГ^-*)]’
Здесь В и D — жесткости стержня при растяжении-сжатни и
изгибе, которые так же, как и координата нейтральной оси е,
выражаются через характеристики сечения 70, Q, С2.
В полученных соотношениях предполагалось, что ширина
стержня и модуль упругости Ех произвольно изменяются по
высоте, т. е. b = b (у), Ех Ех (у). Рассмотрим некоторые част-
ные случаи. Предположим, что b == const н Ех = const. Тогда
из равенств (12.22), (12.24), (12.25) и (12.27) имеем
£ =	C^-^bWE,,, Cs = j-bhsEx,
e-jL. D = Е
е ~ 2 ’	~	12 ’
т. е. в однородном стержне нейтральная ось располагается на
середине высоты. Аналогичный результат (е = 0,5/i) получается
и в случае, когда сечение симметрично относительно средней
линии у = 0,5/i.
Рассмотрим общий случай слоистого стержня (см. рис. 12.7).
Имеем
« п п >
B = J Е1хЬ1(1у=^ Е1А J dy ^^Elxbdy{~y{-.il
f_l &i-i	,_l yi-i
n	n	-h
C1 = S J ^biVdy^^E’A J у dy =
"i-i	i=1	S'1-*	(12.28)
= 4-S£*b<^'“
i
509

<-l	f=l
4£!ЗД-Й-.).
fell
1десь n — число слоев; Й, bt — модуль упругости и ширина
•го слоя; у$ —• расстояние от нижней кромки сечения до верхней
:ромки s-го слои, причем у0 — 0, а уп — h (см. рис. 12.7); е и D
(пределяются равенствами (12.25), (12.27). В качестве примера
1ассмотрим металлический стержень из материала с модулем
шругости Еы, усиленный снизу и сверху накладками из компо-
1ИЦИ0ННЫХ материалов с модулями упругости Ем и Еш (рис. 12.8).
5 формулах для /0, Съ С2 следует принять у0 ~ 0; уг ~ ох,
= EKi, у2 — 6Х Ч~ ^2’ Ь2 == о» Ех ™ Ек’, у$ ~ 61 -р 62 ф- 6S,
з = d, Ex — Ем, у^ = 6j -J- 6g -j- 63 4~ 6<s> ^4 ~ Й ~ Ем»
'б — 6j -j- 62 ф- 63 -j- 64 ф- б6,	~ с, Ех = £«2* Уравнение из-
иба композиционной балки поперечной нагрузкой имеет вид,
[«алогичный (1.37), т. е.
(DvT = q.
1десь D — изгибная жесткость слоистой балки, определяемая
гавенством (12.27). Уравнение устойчивости стержня, сжатого
юевой силой Р, записывается в форме, аналогичной (9.12), т. е.
ZMV + pv« = Ое
3 частности, критическая сила для шарнирно опертого по концам
тержня с длиной I определяется равенством, аналогичным (9.14)
Гаким образом, слоистые стержни рассчитываются так же, как
[ однородные, только предварительно следует найти коэффициенты
12.28).
12.1 Л. Паиели из композиционного материала
Плоские панели, образованные из совокупности ориен-
’ированных различным образом композиционных слоев, обладают
1ысокой удельной прочностью и жесткостью и используются
; качестве элементов обшивки летательных аппаратов различного
[азначения.
Рассмотрим плоское напряженное состояние (см. разд. 3.2.1
I рис. 3.4). Усилия Nx = cxht Ny ~ ayh, Nxy — zXyh связаны
сравнениями равновесия (3.28), т.е.
dNx	dNxV	л dNv dNxv
-+-3—-=0, -5-^4—^=0-	(12.29)
dx ' dy	dy ‘ dx	'	'
HO

Геометрические соотношения по-прежнему имеют форму (3.31),
т. е.
dv	ди	,	со	,
8-.=-=-,	= Ух» ~ “д- 4- -дг >	(12.30)
х дх у ду	,ху ду	'	дх	7	'	'
а физические соотношения (3.30) должны быть изменены в соответ-
ствии с равенствами (12.17)
= Ы (®Я “Ь Р'ХУ&у)’ Ny =	(6£/ 4~
(12.31)
Nxy = Gxyyxy.
Подставляя выражения для деформаций (12.30) в соотношения
(12.31), а полученные выражения для усилий—в уравнения равно-
весия (12.29), можно записать два уравнения относительно двух
функций перемещений и (х, у) и и (х,) у. Решая эти уравнения,
можно иайти функции и и v и далее по формулам (12.30) — ве-
личины деформаций пакета ех, вр, уху. По средним значениям
деформаций определяются согласно соотношениям (12.10) вели-
чины деформаций е(, е', у*, для каждого слоя, а по закону Гука
(12.3) находятся значения напряжений в осях ортотропии
слоев.
Рассмотрим изгиб композиционных панелей поперечной на-
грузкой q (х, у) (см. разд, 3.3 н рис. 3.8). Композиционные пла-
стины имеют слоистую структуру (см. рис. 12.1), причем, как
правило, число элементарных слоев достаточно велико (толщина
слоя имеет порядок 10-4 м), а слои с различными углами (напри-
мер, 0, 90° и 4=45°) равномерно распределены по толщине. Такую
пластину можно приближенно считать однородной по толщине
и обладающей средними упругими постоянными Еу, Gxy,
которые определяются равенствами (12.18)7 При этом
срединная плоскость является нейтральной (.аналогично нейтраль-
ной оси балки в разд. 12.2) и перемещения и и v вдоль осей х и у
выражаются через прогиб пластины w (х, у) формулами (3.53), т. е.
dw	dw
v = 2~dV
(12.32)
Здесь — h/2 < z < h/2 — расстояние от срединной плоскости
точки, перемещения которой определяются равенствами (12.32).
Относительный деформации согласно (12.32) имеют вид
ди _____	___ ду _____ ___ d2w
е* = “ax'= " г~д^ Е"'“ Э;/	2 г»//’’
_ ди ди ____________ г, д2и>
Тху ду ‘ дх 2 дхду
(12.33)
511

Напряжения в пластине определяются законом Гука (12.17)
откуда с учетом равенств (12.33) получим
°х — zEx дх2 4- Рад ,
7=; / d^w .	д'?-ы> X
Оу-----гЕу ^-gjTr + Рчг-дрг);
«.   ъ7п ° W _
Хху—	tzuxu дхду .
Таким образом, напряжения ок, иу и ъху линейно распределены
по толщине пластины, т. е. сводятся к изгибающим и крутящим
моментам
Л/2
Afx= j axzdz=-Dx(~ + y^~),
~hJ2
h/2
ml-= j a!,2rfz=-DI,(-^- + li!e-^),	(12.34)
-й/2
Af«= j W<fe = - 2D„
—h/2
p. Ex№ r, Ey№
T№D, = -%-,	=	Dx„ = -^-
— изгибные и крутильная жесткости пластины. Равенства (12.34)
обобщают соотношения (3.58) на случай ортотропной пластины.
Уравнение равновесия, которое не зависит от свойств материала,
имеет известную форму (3.61), т. е.
&гМх I о д2Мху , д2Му .	_q
Подставляя в это уравнение выражения (12.34), получим основ-
ное уравнение теории изгиба ортотропных пластин
®«-^+2(l^, + 2D4,)s^5 + D,-^- = ?(x, у). (12.35)
Для расчета композиционной панели, изгибаемой поперечной
нагрузкой qt необходимо найти из уравнения (12.35) функцию
прогиба пластины w (х, у\ удовлетворяющую граничным усло-
виям, затем по формулам (12.33) определить значения деформа-
ций еж, ер, ^ад и согласно равенствам (12.10), (12.3) —величины
напряжений xf2 во всех слоях. При этом для t-ro слоя сле-
512

дует принять z = zit где z* — расстояние t-ro слоя от срединной
плоскости пластины.
Решение уравнения (12.35) находится так же, как и решение
уравнения (3.62), описывающего прогиб изотропной пластины.
В частности, для шарнирно опертой по всем сторонам пластины
(см. рис. 3.10, б), представляя величину прогиба в форме ряда
(3.79), окончательно получим
со «ю	at)
m=l п—1	О О
X sin	sin knydxdyf
где Dmn —	2 [[iXyDx -j- 2DXy) КпК?
= jwtfa, Xn — jtnjb.	(12.36)
Рассмотрим устойчивость композиционных панелей. Уравнение
устойчивости, обобщающее (9.39), имеет следующий вид:
+ 2 (pwDx + 2Оад) А + Dv^ +
+2№s^- + W“4?- = 0.
0х2 1 у дхду 1 J ду2
Метод решения полностью аналогичен изложенному в разд. 9.3.2.
В частности, для шарнирно опертой по всем сторонам пластины,
сжатой в одном направлении усилиями Nx (см. рис. 9.7), получим
следующий результат, обобщающий (9.45):
Л'„, =	(1 +
₽ b2 х v\ 1 VDxDy
12.2.	ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА МНОГОСЛОЙНЫХ
И ПОДКРЕПЛЕННЫХ ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
12.2.1.	Соотношения упругости для слоистых
оболочек
Уравнения общей теории оболочек, полученные
в разд. 4.1.3, включали геометрические соотношения (4.10),
(4.12), (4.13) и уравнения равновесия (4.17), (4.18), которые не
зависят от свойств материала, а также соотношения упругости
(4.16), которые должны быть записаны с учетом ортотропии и слои-
стого характера материала. Пусть стенка оболочки образована
из п ортотропных слоев (рис. 12.9). В случае произвольного рас-
положения слоев по толщине срединная поверхность (см.
разд. 4.1.1 и рис. 4.1) утрачивает свои преимущества, поэтому
будем отсчитывать нормальную координату у от внутренней
513

поверхности оболочки, ко-
торую назовем начальной
поверхностью. Обозначим
через 6г (см. рис. 12.9)
расстояние от начальной
поверхности до наружной
поверхности i-ro слоя, при-
чем б0 = 0. Тогда для i-ro
слоя, в пределах которого
свойства материала будем
считать не изменяющими-
Рис. 12.9. Структура стенки слоистой обо- Ся» координата у измени ет-
лочки	ся в пределах
Будем считать слои ортот-
ропными, т. е. симметрично армированными (см. рис. 12.5). Тогда
физические соотношения для t-го слоя могут быть получены
путем подстановки компонент деформаций е{, е‘, у}2 (12.10) в фор-
мулы закона Гука (12.3), а найденных напряжений о{, сг*,
т{2 — в соотношения (12.4). Меняя индексы х и у на а и 0,
окончательно получим
С„ = ВпЕа + ВцЕр,
Р = В^а 4“ ^22Ёр,
(12.37)
Тар — £^ззТсф-
Коэффициенты В1тп определяются равенствами (12.15).
В соответствии с гипотезами Кирхгофа (см. разд. 4.1.3) де-
формации распределяются по толщине оболочки по линейному
закону (4.11). В частности, для i-ro слоя имеем
= 8« -р- yiXa, Ер ~ ер -f- Тар ~ Т«₽ 4~ Т^^аР* (12.38)
Здесь е&, Ер, у^р и	хар— компоненты деформаций и измене-
ния характеристик кривизны начальной поверхности, которые
определяются рзвенствами (4.12), (4.13).
Подставляя (12.38) в соотношения (12.37), получим следующие
равенства, аналогичные (4.14):
Ок —	4" ^12®р 4~ Т» (Si]5<a -j- £^12><р),
Op = В21 Ва 4“ ^22Вр +	(-^21ХК 4“ Дзг^р)»
Тар — $33 (уар 4" Т/Хар)-
(12.39)
514

Введем теперь усилия и моменты (см. рнс. 4.3) по формулам, ана-
логичным (4.15), т. ее
п	п в1	П вг
1'-!п= У J СгА/, Л^Р=У J a'ftdfi, Naf=Yi f Т^Т<.
e,.,	i-i	<-i6ui
я ®t	n ef
Л4„=У ] Cafidfi, Л4ц=У j CpT.-rf?.-.	(12.40)
i=l fij-J	i=l &it
n 6J
AfoP = У j 4|sVidT<.
Подставляя выражения для напряжений (12.39) в формулы
(12.40) и осуществляя интегрирование, окончательно получим
Na = CneS +	+ К>,Жа + K!2Xf>,
Л'р — С*21Ви -|-	4" Т ^22ИР>
Nap = Сзз?а|) + Каз'-'пр,
Л4Й — /Сне» -j- KjgCfl -|- Ai*«c -j- Dj2«p,
Л4р = K^l^a ~h ^22еР “h &2р<а + A?2kPi
Л4ар КззТар + ^ЗЗ^ар-
Здесь
С,„ = с„,= S BL(8,-8,_J).
*=!
। А .	(12-42)
кь»=Kmi=4 S в*и/ (б? ~6?-1^
z=t
= DM = -I" £ в™< i6’ - 6«-‘) <lm = 1 *> ,2> 22- 33>-
5=5
Параметры жесткости Cim называются мембранными, Kim “=”
смешанными, a Dlm — иэгибными.
Заменяя соотношениями (12.41) соотношения упругости (4.16)
для изотропной оболочки и добавляя геометрические и статиче-
ские уравнения (4.10), (4.12), (4.13) н (4.17), (4.18), получим пол»
ную систему уравнений общей теории ортотропных слоистых
оболочек. Решение осуществляется методами, изложенными в гл. 4.
В частности, для получения уравнений безмоментной теории обо-
лочек в (12.41) следует принять Kjm = Ат = 0-
515

12.2.2.	Соотношения упругости для подкрепленных
оболочек
Оболочки и пластины, подкрепленные параллельными
ребрами — стрингерами, являются типовыми элементами кон-
струкции планера летательного аппарата. Подкрепляющий на-
бор значительно увеличивает общую н местную жесткость панели,
отсека корпуса или секции крыла, повышает сопротивляемость
потере устойчивости. Прн некоторых упрощающих предположе-
ниях соотношения упругости для подкрепленных оболочек можно
привести к форме (12.41), т. е. использовать для их расчета урав-
нения и методы решения, приведенные в предшествующих главах
применительно к гладким пластинам и оболочкам. Примем сле-
дующие гипотезы.
1.	Будем считать, что элементы набора являются одинако-
выми и расположены настолько часто, что их можно заменить
системой сплошных слоев, обладающих некоторыми приведенными
свойствами.
2.	Предположим, что для оболочки с распределенными таким
образом ребрами справедливы гипотезы Кирхгофа о жестком
нормальном элементе (см. разд. 3.1.1, 4.1.3).
3.	Будем считать, что ребра воспринимают только продольные
напряжения, т. е. жесткость оболочки на сдвиг определяется
обшивкой.
Для конкретности рассмотрим оболочку, показанную на
рис. 12.10 и образованную из обшивки и тавровых ребер. За
начальную поверхность примем внутреннюю поверхность обшивки
и введем три слоя — один реальный, представляющий собой
обшивку, и два условных, показанных пунктиром. Пусть ребра
параллельны оси а. Тогда в формулах (12.15) для коэффициентов
жесткости Вгоп следует принять: слой 1 — Е\ ~ Е% = Е, р12 =
“ Р, ^12 = £/2 (1 + р) (£ и р —модуль упругости и коэффи-
циент Пуассона обшивки), т. е.
(12.43)
Рис. 12.10. Структура стейк/ пслкрездвнвой оболовди
516

слой 2 — <Р2 = 0, £? = E^als (Е„ — модуль упругости ребер ,
£1 = 0, рв = 0, Св = 0, т. е.
=	B|2	= 0, Bi2 = 0, Взз — 0;	(12.44)
слой 3 — <рз = 0, £, = £pC/s, £2 — О» Р12 “ О, G12 = 5, т. е.
В?1=-^-, Bt2 = 0, В?2 = 0, £& = 0.	(12.45)
Жесткости (12.42) с учетом (12.43)—(12.45) принимают вид
Сг = rrsyja Ч-Кй (®s	1) 4“ с (®» — ®2)1’
„ _ pE6i р дг, „ дг, .
си—G22 — l—|,a> Gs3— 2(1+р)’
Ки =4-{r^+
„	.	ддг;	„	дг;	„	дг;
Л12 — 2(1—1<2)’	Ла2	2(1 — /Is)’	Ла’	4(1 + р)’
=4- 4S+¥ [с № - 6>)+с	“ 6^}:
п	-	№	Г)	дС?	п -	Е^
^«-3(1-^’	^88™	6(1 + |г)	’
Таким образом, физические соотношения записываются в форме
(12.41), т. е. подкрепленная оболочка заменяется некоторой
условной слоистой сплошной оболочкой. Отметим, что аналогич-
ным образом, можно учесть поперечные ребра (для этого в равен-
ствах (12.5) следует принять <р — 90°), а также ребра, располо-
женные под произвольным углом к оси а. Положение начальной
поверхности не является существенным. — для сохранения формы
равенств (12.42) важно только, чтобы все слои лежали по одну
сторону от этой поверхности. В частности, если ребра располо-
жены на внутренней поверхности обшивки, показанной на
рис. 12.10, за начальную можно принять ее наружную поверх-
ность. Величины расстояния при этом отсчитываются от этой
поверхности и подставляются в равенства (12.42).
12.3.	ТРЕХСЛОЙНЫЕ ПАНЕЛИ
В конструкциях летательных аппаратов широкое при-
менение находят трехслойные панели, образованные из тонких
несущих слоев и среднего слоя-заполнителя из сот или пенопласта.
Расчет трехслойных конструкций проиллюстрируем иа примере
прямоугольной пластины, показанной на рис. 12.11. Примем
517

следующие гипотезы. Несущие слои будем считать одинаковыми,
изотропными и настолько тонкими, что их изгибную жесткость
можно не учитывать. В слоях возникают усилия Nx, Ng, N\y,
Nx, Ny, Nzxy (см. рис. 12.11), обеспечивающие восприятие изги-
бающих и крутящего моментов. Заполнитель будем считать лег-
ким, т. е. предположим, что вкладом напряжений ах, и тяг?
в заполнителе можно пренебречь по сравнению с вкладом уси-
лий несущих слоев. Таким образом, в заполнителе отличными
от нуля остаются касательные напряжения и нормальные
напряжения orz, обеспечивающие совместную работу слоев и вос-
приятие внешнего давления и перерезывающих сил.
Рассмотрим напряженно-деформированное состояние заполни-
теля. Полагая в уравнениях равновесия (3.1), (3.2) X = Y = О
и отбрасывая для легкого заполнителя члены, содержащие
0а и получим
^> = 0, -^ = 0.
dz	dz
Отсюда txz = тж2 (х, у}, %,JZ = туг (х, у), т. е. для легкого запол-
нителя касательные напряжения постоянны по толщине. Соотно-
шения упругости для касательных напряжений (3.5), (3.7) имеют
вид
+	(12.46)
Go dz 1 dx Go dz ' ду	4	'
Сделаем одно замечание. Классическая теория изгиба пластин,
изложенная в гл. 3, основывалась на гипотезах Кирхгофа, пред-
полагающих, что, во-первых, материал несжимаем вдоль оси 2,
т. е. w — w (х, у), и что, во-вторых, деформации сдвига yyz
отсутствуют, т. е. правые части равенств (12.46) равны нулю
(см. разд. 3.1.2). Из равенств (12.46) следует, что при этом Go
со, т. е. заполнитель должен быть абсолютно жестким при
сдвиге. Однако жесткость легкого заполнителя весьма мала и
518

образующиеся в нем сдвиговые деформации оказывают значи-
тельное влияние на поведение трехслойной панели. Поэтому
вторая гипотеза Кирхгофа не используется прн построении тео-
рий трехслойных пластин и оболочек. Что касается первого пред-
положения — о несжимаемости пакета в поперечном направле-
нии, то оно, как правило, не приводит к существенным погреш-
ностям.
Учитывая, что тж2, ту2 и w не зависят от переменной 2, в ре-
зультате интегрирования равенств (12.46) получим
Здесь и0 (х, у) и «о (х, у) — перемещения срединной плоскости
в направлении осей х и у. В случае изгиба симметричной отно-
сительно срединной плоскости трехслойной пластины попереч-
ной нагрузкой (см. рис. 12.11) эти перемещения так же, как и для
однослойной пластины, обращаются в нуль (см. разд. 3.3.1)
и равенства (12.47) принимают вид
и = гба., v = гбу,	(12.48)
где
А —
х Go дх 3
А —
~ Go ~ду
(12.49)
— углы поворота элемента, нормального к срединной плоскости.
Равенства (12.48) обобщают соотношения (3.53) классической
теории изгиба пластин и переходит в них при Go оо.
Напряжения txz и xyz статически эквивалентны перерезыва-
ющим силам (см. рис. 3.8)
= Qy = xszH.	(12.50)
Из равенств (12.49) и (12.50) имеем
где
С = 60Н
(12.52)
— жесткость заполнителя (или трехслойной пластины) при по-
перечном сдвиге.
Рассмотрим теперь несущие слои. Перемещения верхнего 1
и нижнего 2 слоев определяются формулами (12.48), в которых
надо соответственно принять г — —Н/2 и z = Н/2 (см. рис. 12.11),
т. е. ult 8 = =рО,5/70к„ ц1} 2 = ч=О,5Я0у. Отметим, что несущие
слои считаются тонкими (А Н) и изменение их перемещений
519

и напряжений по толщине h не учитывается. Найдем деформации
слоев
_i«a _ д“1.з __ -т- В	_Ь2 _	2 .	-г- В .
~ ~дГ~ "	2 ~дГ * Ef- ~ -ду~ “ ' "2
.л .2  &ai. a j ^1,8  -у- В /	. 59м \
---ар + “аг +~(ГаГ+~аГ7
и возникающие в них усилия [см. формулы (3.14)1
^! = т4-Вй(^+н-».	(12.53)
Здесь В = Eh /(1 — р2) — жесткость слоя при растяжении и
сжатии. Из равенств (12.53) следует, что нормальные усилия М’2
и №и'й образуют изгибающие моменты Мх = 0,5// (Nx — N*).
Му = 0,5// (f/y — N[) (учтено, что h <£ Н), а касательные уси-
лия №х’у статически эквивалентны крутящему моменту Мху —
— 0,5// (Nxy — NXy) (см. рис. 3.8). С учетом равенств (12.53)
получим
О2-54)
Здесь
D = 0.5В/Р	(12.55)
— изгибная жесткость трехслойной панели. Формула (12.55)
по существу н определяет преимущества трехслойной панели
по сравнению с однослойной. Действительно, если удалить запол-
нитель и соединить два несущих слоя с толщиной h, получим
D — 2Вй®/3, что значительно меньше (12.55), поскольку И > А.
Отметим, что фактический выигрыш оказывается меньше из-за
отмеченной выше податливости заполнителя на сдвиг, однако,
как правило, он получается вполне достаточным для того, чтобы
оправдать конструктивные и технологические изменения, связан-
ные с применением трехслойных панелей.
Итак, будем считать, что в сечении трехслойной стенки дей-
ствуют перерезывающие силы (12.51) и моменты (12.54), анало-
^0

гичные соответствующим силовым факторам однослойных пластин
(см. рис. 3.8). Эти силы и моменты связаны уравнениями равно-
весия (3.58) и (3.56), т. е.
+	_Qx=0> -^-+-^--<2„=0, (12.56)
-^-+4г- + '7 = °-
дх 1 ду 14
Подставляя в уравнения (12.56) силы (12.51) и моменты (12.54)
после некоторых преобразований будем иметь
1.я(ех) + £а(е,)4-1.и(1») = о (1 = 1,2),	(12.57)
(6Х) 4- ^38 (6ц) 4~ ^-38 (W) 4“ КЦ — О»
Здесь
Г (в \ — К ( d2e* I 1 ~ ft дге* \ _ о .
Ьц (0х) — л 4	2	ду2 )	°х’
г /п \______ V- 1 Ч- М	т /д \_____ 1Z 1 4~ Р д2®у .
^12 (6Х) — Л 2 дхду , Ln \6у) — Л 2 дхду ,
(е,) = К (- е„;	(12.58)
г / \	г I \ dw .
U (в.) = !>->-, LB3(0s) = C-^-;
L33 (w) =
V2_ 02 1_^_. /Г--2.
ax’ + dyz ’ c ’
Приведем уравнения (12.57) к одному уравнению относительно,
некоторой разрешающей функции F (х, у). С этой целью восполь-
зуемся следующим общим приемом, справедливым для систем
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Составим формально определитель из операторов (12.58) ||Ь^||
Б21

выразим искомые функции через функцию F с помощью мино-
)в, являющихся алгебраическими дополнениями элементов
1етьей строки. С учетом (12.58) получим
= । di(F} = ~ L1SL’2’(F> =
Л 2 дх	дх ’
е„ = - |	| (F) = [LuL21 - is3LnJ (F) =
(12.59)
Л 2 ду ° Г) ду
®=|^‘aJ(F) = [L11F2s LnLa](F) =

посредственной подстановкой равенств (12.59) в
!.58) можно убедиться в том, что первые два из них
уравнения
удовлетво-
тождественно, а третье после некоторых преобразований
ает вид
DW Г1 - /( V2 ] (F) = q.
(12.60)
равнение (12.60) имеет шестой порядок по переменным х и у,
е. на краях пластины необходимо сформулировать по три
>аничных условия. В случае жесткого защемления необходимо
сложить на крае 6Х = Gv = w = 0. Для свободного края х =
= const Qx = Мх = Мху = 0, а для края у — const =
- Му = Мху = 0. Для шарнирно опертого края х = const
=- 0, Мх — 0, = 0 (или Мху = 0) и для края у — const
= 0, Му = 0, 6Х — 0 (или Мху = 0).
Для абсолютно жесткого на сдвиг заполнителя Go -> оо,
е. С -> оо и К = 0. При этом из последнего равенства (12.59)
леем F — w, а из (12.60) получим уравнение D V2V2^ = q\
) форме совпадающее с уравнением (3.62) для однородной пла-
’ИНЫ.
Для свободно опертой пластины (граничные условия соответ-
?вуют записанному выше основному случаю шарнирного опира-
ли) с длиной а и шириной b (см. рис. 12.11) функция F может
ять задана в форме следующего ряда:
F (х, У) = Е S Fm„ sin >.mx sin k„y,
m=l n=l
(12.61)
2

где Кт = itmJa, = nnlb. Из равенств (12.54), (12.59), (12.61)
следует, что прн этом на краях х = 0 н х — с w = Мх — 8У = О,
а на краях у = О н y = bw- Му — 6Х = 0. Подставляя ряд
(12.61) в уравнение (12.60) и повторяя вывод решения (3.79),
(3.82), окончательно получим
f = £ Хр 4,lnbgfoM j J ?(Xjy)slnx„,xslnk„Hxdy.
m=l n—i	0 0
где
D™, = D (H, + КУ [ 1 + К -Ц-'- (Xi, + X2)].
Прогиб w н углы поворота могут быть найдены по формулам
(12.59), а напряжения в заполнителе и усилия в несущих слоях
определяются с помощью равенств (12.50), (12.51) и (12.53).
Уравнение устойчивости трехслойной пластины, сжатой в про-
дольном направлении усилиями №х (см. рис. 9.7), можно полу-
чить, если заменить в уравнении (12.60) нагрузку q условной
нагрузкой q —— (cPw/дх2) согласно равенству (9.37). В резуль-
тате с учетом (12.59) будем иметь
DW [ 1 - К -ЦЛ Vs] (F) + № [к*	V2?2 -

При К. — 0 и F = w это уравнение совпадает с (9.42). Для сво-
бодно опертой пластины в форме (12.61), применяя формулу
(9.45), получим

(12.62)
к D EhH
С 2 (1 — р.8) Со
Параметр
имеет размерность мг. Введем безразмерный параметр
к -	=
пп Е hH
2 (1 - р8) "СТ Ь*
523

и запишем равенство (12.62) в виде, аналогичном (9.45):
ЛГ — ъ
IV кр — я Ь2
где
пЧ1 + С?)> Г 1 + к	(1 + <?) 1
k — min ———ч — ti---------——ГТТ7--------1 ’ с = тЫпа.
с* | 1 +K~S-(1 + <?) + Л2 -4-й-(1 + с2)8]
Минимальное значение параметра k можно найти, например,
подставляя различные значения чисел т, п = 1, 2, 3 ... .
Более полные сведения о теории и методах расчета трехслой-
них элементов представлены в работе [15].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
I.	Авдонин А. С., Фигуровскмй В. И. Расчет на прочность летательных
аппаратов. М.: Машиностроение, 1985. 439 с.
2.	Апфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.:
Машиностроение, 19'78. 311 с.
3.	Арутюнян Н. X., Абрамян Б. Л. Кручение упругих тел. М.: Физматгнз,
1963. 686 с.
4.	Бабаков И. М. Теория колебаний. М..: Гостехиздат. 1958. 628 с.
5.	Балабух Л. И., Алфутов Н. А., Усюкин В. И. Строительная механика
ракет. М.: Высшая, школа. 1984. 391 с.
6.	Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К., Табачников В. Г. Крыло в не-
стационарном потоке газа. М.: Наука, 1971. 768 с.
7.	Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций. М.: Машино-
строение, 1977. 489 с.
8.	Бидерман В. Л. Теория механических колебаний. М.: Высшая школа,
1980. 408 с.
9.	Биргер И. А. Круглые пластинки и оболочки вращения. М.: Обороигиз.
1961. 368 с.
10.	Бисплингхофф Р. Л., Эшли X., Халфмэн Р. Л. Аэроупругость. М.:
Иностранная литература, 1958. 799 с.
II.	Бояршинов С. В. Основы строительной механики машин. М.: Ма’чиио-
г,троение, 1973. 456 с.
12.	Власов В. 3. Избранные труды. Том 1. М.: АН СССР, 1962.
528 с.
13.	Власов В. 3. Тонкостенные упругие стержни. М.: Государственное нзда-
гельство физико-математической литературы, 1959. 568 с.
14.	Вольмир А. С. Устойчивость деформированных систем, М.: Наука,
1967. 984 с.
15.	Григолюк 3. И., Чулков П. П. Устойчивость и колебания трехслойных
зболочек. М.: Машиностроение, 1973. 170 с.
16.	Демидов С. П. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1979. 432 с.
17.	Ильюшин А. А. Пластичность. М.: ГИТТЛ, 1948. 376 с.
524

18.	Кан С. Н. Строительная механика оболочек. Мл Машиностроение,
1966. 508 с.
19.	Колесников К- С., Сухов В. Н« Упругий летательный аппарат как объект
автоматического управления. Мл Машиностроение, 1974. 268 с.
20.	Кузьмин П. А. Малые колебания и устойчивость движения. М.: Наука,
1973. 208 с.
21.	Кун Я- Расчет на прочность оболочек в самолетостроении. М.: Оборон-
гиз, 1961. 306 с.
22.	Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л.: Государственное изда-
тельство судостроительной промышленности, 1962. 431 с.
23.	Образцов И. Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиацион-
ных конструкций. М.: Машиностроение, 1966. 392 с.
24.	Образцов И. Ф., Васильев В. В., Бунаков В. А. Оптимальное армирова-
ние оболочек вращения нз композиционных материалов. М.: Машиностроение,
1977. 144 с.
25.	Одинокое Ю. Г. Расчет самолета на прочность. М.: Машиностроение,
1973. 392 с.
26.	Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах. Том 1.
М.: Машиностроение: 1968. 831 с.
27.	Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики/
Под ред. Г. К- Клейна. М.: Высшая школа. 1973. 360 с.
28.	Смирнов А. И. Аэроупругая устойчивость летательных аппаратов.
М.: Машиностроение, 1980. 232 с.
29.	Стригунов В. М. Расчет на прочность фюзеляжей и герметических кабин
самолетов. М.: Машиностроение, 1974. 287 с.
30.	Современные метода расчета сложных статически неопределимых си-
стем/Под ред. А. П. Филина. Л.: Судостроение, 1961. 876 с.
31.	Феофанов А. Ф- Строительная механика авиационных конструкций.
М.: Машиностроение, 1964. 284 с.
32.	Фигуровский В. И- Расчет на прочность беспилотных летательных
аппаратов. М.: Машиностроение, 1973. 359 с.
33.	Филин А. П. Прикладная механика твердого деформируемого тела.
Том II. М.: Наука, 1978. 616 с.
34.	Хазанов X. С., Савельев Л. М. Метод конечных элементов в приложении
к задачам строительной механики н теории упругости. Куйбышев: КуАИ, 1975.
128 с.

ПРЗДМЕТИЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Анализ поди обструкций 315
—	системный 311
Аналог функционала дискретный 47
Аппроксимирующая функция 124
Балка с тонкой стенкой 356
—	стенка 356
Бимомент 265
—	приведенный 268
Бредта формула 210
Бубнова—Галеркииа метод 37, 387»
411, 421
Власова—Канторовича метод 39, 244
Воздействия температурные 88
Вывод уравнений теории тонких плас-
тин 101
Гипотеза Кармака 354
—	иедеформнруемого контура 262
—	стационарности 436
Гипотезы балочной теории оболочек 189
—	Гирхгофа 100, 140
—	тонкостенного стержня 260
Гука закон 10, 140, 457—459» 462,
463, 466, 489» 501
Давление аэродинамическое 434
— внешнее критическое 372
Даламбера—Лагранжа принцип 375
Девиатор деформаций 456, 458, 462
— напряжений 454, 468, 462» 450
Девиация 265
Декомпозиция 311, 313
Деплаизцня (искривление) 265
— сечения 232, 233
Деформация антисимметричная 172
— оболочки осесимметричная 145, 154
—	подольного удлинения 262
— сдвига 455, 457, 458
—	средняя 456
Деформации 455, 457
—	оболочкя 140
— и напряжем» оси.то- ине 449, 468,
487
~~
Дивергенция 444
Дискретизация конструкции 281
Жесткость изгибная 141, 515
— оболочки мембранная 363, 515
— пластины иа растяжение-сжатие 102
— смешанная 515
— цилиндрическая 363
Задача Кирша 109
Закон Гука 10, 140, 457—459, 462,
463, 466, 489, 501
Изгнб круглых пластин 133
-------осесимметричный 135
Изменения кривизн 140
Инвариантность 449, 450, 452—457,
461
Интенсивность деформаций 456, 457,
468, 463, 482. 497
— — сдвига 457, 458
— касательных напряжений 455, 458
— напряжений 454, 458, 463. 466.
478, 482, 487, 490, 491
Кармана гипотеза 354
Кастильяно вариационный принцип
24, 479
—	теорема 28
Кирхгофа гипотезы 100
Кирша задача 109
Колебания аэроупругие 433
—	вынужденные 390, 392. 408
—	оболочек 419
—	дластия 418
—	свободные 389
— систем с сосредоточенными мас-
сами 384
— системы с конечным числом степе-
ней свободы 377
— — — одной степенью свободы 388
— — — распределенными парамет-
рами 381
— стержней 402
Конструкции авиационные 297

Конструкция типа крыла 299
— — фюзеляжа 302
Концентрация напряжений 109
Координаты обобщенные 377
— — текущей точки сечения оболочки
196
— нормальные 397, 409
— центра изгиба в оболочках с замк-
нутым контуром поперечного сече-
ния 223, 224
Координаты центра изгиба в одно-
замкнутом сеченни оболочки с малой
конусностью 229
Коэффициент демпфирования 398
— динамичности 391, 394
— концентрации напряжений 109
— несимметрии сечения оболочки 196
— Пуассона 457, 458. 462, 463, 504,
506, 507
— редукционный по материалу 193
------- устойчивости 355
— устойчивости 346
Коэффициенты аэродинамического
демпфирования 441
----жесткости 441
— обобщенной жесткости 378
—---массы 378
Кривая единая 463, 466, 467, 468,
471, 478-480, 491
Кривизна пластины при изгибе 114
Критерий устойчивости 327
— — статический 327
----энергетический 330
Кручение срединной поверхности 140
— чистое тонкостенного стержня 263
Крылова функции 187
«Пагранжа вариационный принцип 19,
144, 236, 242, 245, 279
Дирихле теорема 330
Лапласа оператор 371
Левк метод 121
Лниин главных кривизн оболочки 137
Лоренца—Тимошенко формула 367
Материал анизотропный 500
— изотропный 500
— композиционный 500
— несжимаемый 457, 458, 466, 497, 498
— ортотропный 501, 505, 506
— редуцированный 193
Матрица единичная 84
— жесткости (податливости) 83, 381,
288
—	ннерцин 381
—	усилий 84
Меха число 437
Метод Бубнова—Галер кина 37, 387,
411, 421
—	вариационно-разностный 46
—	Власова—Канторовича 39, 244
—	вырезания узлов 58
—	дифференциально-разиостиый 48
— кал локаций 51
— кинематический 472, 473, 475
— конечно-разностный 42, 45
— конечных элементов 90, 415, 423.
281, 483
— Левн 121
—	локальных вариаций 49
—	матричный 78
—	моментных осей 59
—	— точек 59
—	Навье 119
—	отсеков 429
—	Папковнча—Треффца 40
—	переменных параметров упругости
482, 483, 486, 497
—	перемещений 78
—	подкоиструкцнй 312
—• последовательных нагружений 485,
486, 490
—	прямых 48
—	редукционных коэффициентов 483—
485
—	Рнтца—Тимошенко (Релея—Ритца)
35, 387, 409, 421
—	сеток 45
—	сил 61
—	сосредоточенных масс 384
—	суперэлементов 426
— упругих решений 480—482, 483
Методы Ритца—Тимошенко, Бубнова—
Галеркииа и конечных разностей в за-
дачах устойчивости 335, 337, 338
Меридиан 150
Модуль касательный 467, 491, 493,
494, 497, 499
— объемной деформации 458
— приведенный 495
— сдвига 458, 462, 502
— секущий 463, 464, 478—480, 482,
486, 490 , 497, 499
— Упругости 458, 462, 489, 500, 501.
506
Момент восстанавливающий 327
— изгибающий 58, 63, 67, 192
— изгиб но-крутящий 267
— инерции центробежный и осевой 195
---чистого кручения 264
— крутящий 58, 63, 67
-	— опрокидывающий 327
—	• статический 195
Моменты обобщенные статические отсе-
ченной части контура редуцированного
сечения 202
Навье метод 119
Нагружение активное 464,465,467,479
—	нейтральное 467
527

— простое 465, 466, 468, 490, 491
Нагрузка критическая 328
—	условная поперечная 332
Нагрузка эквивалентная температур-
ная 291
Напряжения главные 455» 451, 452,
Е60, 475, 476
—	касательные максимальные 453,
Е56, 458, 459
—	нормальные в сечении оболочки 191
—	осевые критические 367
—	средние 453, 458
Неизменяемость геометрическая 54
Неопределимость статическая 61
•бласть устойчивости 352
)болочка 137
—	вращения 150
Зболочки подкрепленные 516» 517
—	пологие 177
-	слоистые 513» 515
Оператор Лапласа 371
Эценка верхняя критической нагруз-
ж 337
Эшибка округления 306
1анели композиционные 510—513
—	трехслойные 517—524
Наяель, подкрепленная стрингером 353
Напковича теорема 353
Параллель 150
7ластина 99
7лощадки главные 450, 451, 452, 453
Нлощадь секторнальная 261
—	сечения редуцированная 193
Поверхность оболочки срединная 137
—	устойчивости 352
Тогрешности вычислений 308
-	МКЭ 305
Тодконструкцни 311
Потеря устойчивости локальная 373
Поток касательных сил 191, 270
—	— — в конической оболочке с от-
крытым контуром 227
-------	в оболочке с многозамкнутым
гонтуром поперечного сечения 212
— --------- — с однозамкнутым кон-
урой сечения 208
-------в сечении оболочки с открытым
гонтуром 205
Пояс 290
1редел текучести 448, 459, 461, 469,
70» 492
Принцип вариационный смешанный 32
—	Даламбера—Лагранжа 375
—	Кастильяно 90, 479
-	Лагранжа 19, 144, 236, 242, 245,
79
-	наименьшей работы 62, 27, 250» 254
—	независимости действия сил 61
28
Противоречие уравнений равновесия
закону Гука 105
Пуассона коэффициент 457, 458, 462,
463, 501, 506
— уравнение 48
Радиусы кривизны главные 138
Разности вперед назад 44
— конечные несимметричные 43
---центральные 43
Рамы 54
—	кольцевые (шпангоуты) 67
—	симметричные 65
Редуцирование матрицы жесткости 317
—	уравнений 386
Резонанс 391
Решение в перемещениях 285
Рэллея—Ритца (Рнтца—Тимошенко)
метод 387, 409, 421
Рэллея формула 399
Ряд Тейлора 43
Саутуэлле—Папковича формула 370
Связи 55, 56
—	лишние 55
Сетка ортогональная 45
—	расчетная 282
Сила обобщенная перерезывающая 116
—	• перерезывающая 114
—	продольная, поперечная 64 192
Силы инерционные 382
—	обобщенные 379
Синтез подконструкций 316
Система канонических уравнений ме-
тода сил 62
Система канонических уравнений ме-
тода перемещений 74
— комбинированная 56
—	- основная 74
—	статически определимая 57, 61
-------- неопределимая 61
—	стержневая 53
Системы функций ортогональные 246,
252, 255
Скорость сходимости 308
Скос потока 434
Состояние возмущенное 330
—	до критическое 329
—	закритическое 329
•	— начальное (докритическое) 330
— оболочки безмоментное 148, 151,
155» 173
—	— докритическое 362
—	однородное 108
—	плоское напряженное 106
Софи Жермен—Лагранжа уравнение
115
Степень статической (кинематической)
неопределимости 61
Стержень 53

— жесткий с упругим шарниром 328
— на упругом основании 334
—	тонкостенный 258
Струхаля число 436
Схема конструктивно-силовая 311
—	расчетная 374
Сходимость МКЭ 306
Тейлора ряд 43
Тело жесткопластическое 471
Тело идеально пластическое 468, 469,
470
Тензор деформаций 455, 456
—	напряжений 449, 453
Теорема Кастильяяо 60, 28
—	Лагранжа—Дирихле 330
— Папковича 353
Теория деформационная 462—466, 456,
478, 479, 482, 487, 491, 497
— полубезмоментиая цилиндрических
оболочек 183
— поршневая 438
— техническая цилиндрических обо-
лочек 182
— течения 466—468, 490, 491
—	тонких пластин .99
Точка бифуркации (ветвления) 328
—	законтурная 48
Точки калл окании 51
Углы атаки 435
—	поворота нормали 140
Угол закручивания распределенный
(погонный) 213
— наклона гребней воли 358
Узел конечного элемента (узловая
точка) 283, 300, 303
— конструкции 282, 300, 303
Уравнение устойчивости для цилинд-
рической оболочки 364
Уравнения деформаций Коши 5
— для подкоиструкции 314
— изгиба балки в конечных разно-
стях 45
---круглой пластины 133
—	- канонические 74
—	колебаний интегральные 383
—	Ламе 11
—	Пуассона 48
—	равновесия 9
—	равновесия оболочки 142
—	— — в возмущенном состоянии 363
— совместности деформаций 6,107» 180
— Софи Жермен—Лагранжа 115
— устойчивости линеаризованные 362,
364
•— •— прямоугольной пластины 340
--------при двухосном сжатии 351
--------— при сдвиге 347
-------— ПрН сжатия в одном на-
правлении 343
—--------при сжатии н сдвиге 352
— циркуляции потоков касательных
сил 214
Усилия в поясах и стойках 356, 360
— в стержнях 58
— критические 366
Условия граничные для пластин при
изгибе 115
— — естественные 128, 265
—	минимума дискретного аналога
функционала 47
—	иа поверхности 7
—	неустойчивости 442
•	— ортогональности 126
•------ собственных форм колебаний 396,
406
— пластичности Мизеса 460, 461, 476,
477, 487
---Треска 459, 460, 475, 476, 477
— связи подконструкций 314
— сопряжения конечных элементов
286
— — оболочек 164
—	стационарности полной энергии
330
Устойчивость асимптотическая 443
—	оболочек 361
—	— при осевом сжатии 365
•	— пластин 496—499, 513, 523, 524
—	сжатого стержня 337
— стержней 492—496, 510
—	сферической оболочки 371
Факторы силовые в прямоугольной и
круглой пластинах при изгибе 114, 134
Ферма 53
—	неопределимая 55
—	плоская 54
—	пространственная 63
—	статически определимая 55
Флаттер 444
Форма первая квадратичная поверх-
ности 138
Форма собственных колебаний 395,
404
Формула Бредта 210
—	Ленца—Тимошенко 367
—	Рзлля 399
—	Рэлля—Рннтца с Ринтца—Тимо-
шенко 387, 409, 421
•	— Эйлера 313, 492
Формулы конечно-разностные 43
— фиктивного прогиба в законтурной
точке 46, 130, 131
Функция влияния 383
Функция напряжений (Эри) 107, 179
•	— разрешающая 135
Функционал 265
529

—	одномерный 49
функция отсеченной части площади
’70
функции формы элемента 286
Лаг пробы 50
—	сетки (разбиения) 48
Парнир пластический 471, 472, 473
Лирина обшивки приведенная 355
Ппангоуты 66
Частота приведенная 436
Частоты колебаний собственные 389,
195, 404
1исло Маха 437
-	обусловленности матрицы 308
—	полуволн критическое 366
-	степеней свободы 55
-	- Струхаля 436
'еитр изгиба в тонкостенной кон-
тру кцня с замкнутым контуром попе-
ечного сечения 223
— — открытого профиля 206
Эйлера формула 333, 492
Эксперимент численный 304
Элементы конечные 289
---несовместные 307
— •— совместные 307
Элемент срединной плоскости двумер-
ный 103
Элемент треугольный тонкостенный 291
•	— прямоугольный тонкостенный 295
Энергия балкя с тонкой стенкой 360
—	деформации потенциальная 15
—	дополнительная потенциальная 60,
23
—	оболочки 144
—	полная 16
—	полная потенциальная 264
—	потенциальная 376
—	потенциальная изгиба пластины
118
Эри функция 107
Эффект включения 257
— краевой 147, 158, 176

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . .	...................	3
Глава I. Вариационные принципы sb-.ноадаые метода
решения задач	мехатдекзч . . . . .	5
1.1.	Основные соотношения теории упругости ......	5
1.1.1.	Теория деформаций .............	5
1.1.2.	Теория напряжений .............	6
1.1.3.	Физические соотношении ...........	10
1.1.4.	Методы решения задач в перемещениях и В на-
пряжениях .................	11
1.2.	Потенциальная энергия деформация упругой системы	13
1.3.	Вариационное решение задачи в перемещениях ....	17
1.3.1.	Полная энергия упругой системы . .......	17
1.3.2.	Вариационный принцип Лагранжа .......	18
1.3.3.	Пример — задача об изгибе балки ......	21
1.4.	Вариационное решение задачи в напряжениях ...	23
1.4.1.	Дополнительная потенциальная энергия. ...	23
1.4.2.	Вариационный принцип Кастильяно....	24
1.4.3.	Принцип наименьшей работы . ............... 27
1.4.4.	Теорема Кастильяно .......................  28
1.4.5.	Примеры .................................   29
1.5.	Смешанный вариационный йрннцяп.................. 32
1.6.	Прикладные методы решения задач строительной ме-
ханики ..................................
1.6.1.	Метод Ритца—Тимошенко .............
1.6.2.	Метод Бубнова—Галеркииа ..........
1.6.3.	Метод Власова—Канторовича .........
1.6.4.	Метод Пацкевича—Треффца . ........
1.6.5.	Конечно-разностиые методы . .......
1.6.6.	Вариационно-разностный метод.....

1.6.7.	Дифференциально-разностный метод (Метод яри-
мых)  .........................................,	48
1.6.8.	Метод локальных вариаций.................... 49
1.6.9.	Метод коллокаций................... .....	51
Глава 2® Расчет стержневых систем................................  53
2.1.	Ферменные, рамные и комбинированные системы...	53
2.1.1.	Определения. Расчетные схемы .......	53
2.1.2.	Геометрическая неизменяемость системы. ...	54
2.2.	Расчет статически определимых стержневых систем 57
2.2.1.	Статически определимые системы.............. 57
2.2.2.	Метод вырезания узлов ....................   58
2.2.3.	Метод моментных точек (для плоских ферм) и
моментных осей (для пространственных) ....	59
2.2.4.	Определение перемещений узлов статически оп-
ределимых ферм . . ............................... 60
2.3.	Расчет статически неопределимых стержневых систем
методам сил........................................... 61
2.3.1.	Определение усилий в стержнях............... 61
2.3.2.	Определение перемещений узлов .............. 68
2.3.3.	Некоторые обобщения......................... 68
2.3.4.	Использование симметрии при расчете рам	65
2.3.5.	Пример расчета комбинированной системы...	66
531

2.4.	Расчет шпангоутов  .........................  -	66
2.4.1.	Определение усилий при нагружении в пло-
скости шпангоута .......................... ......	66
2.4.2.	Определение перемещений шпангоута........... 70
2.4.3.	О расчете шпангоутов, нагруженных перпен-
дикулирио их плоскости  ........................... 72
2.5.	Расчет плоских рам методом перемещений.........	72
2.5.1.	Определение числа неизвестных .............  72
2.5.2.	Основная система и канонические уравнения 74
2.5.3.	Определение коэффициентов канонических урав-
нений .............................................  75
2.5.4.	Пример расчета рамы методом перемещений 76
2.6.	Матричные методы расчета стержневых систем....... 78
2.6.1.	Идеализированная расчетная схема . ......	78
2.6.2.	Метод сил в матричной форме ................ 79
2.6.3.	Учет температурных воздействий ............. 88
2.6.4.	Метод перемещений в матричной форме ....	90
2.6.5.	Матрица жесткости стержневой системы......	93
''лава 3. Расчет пластин ................................. .	99
3.1.	Основные гипотезы я уравнения ..........................  99
3.1.1.	Расчетная схема пластины. Гипотезы Кирхгофа 99
3.1.2.	Вывод уравнений теории тонких пластин. . .	101
3.2.	Плоское напряженное состояние пластин ......	106
3.2.1.	Исходные соотношения ............................. 106
3.2.2.	Однородное плоское напряженное состояние	108
3.2.3.	Концентрация напряжений в пластине с от-
верстием ........................................ 109
3.3.	Изгиб прямоугольных пластин.............................  ИЗ
3.3.1.	Уравнения теории изгибе пластин и граничные
условия.........................................   ИЗ
3.3.2.	Методы расчета прямоугольных	пластин.	...	119
3.4.	Изгиб круглых пластин .................................  133
3.4.1.	Исходные соотношения.............................. 133
3.4.2.	Осесимметричный изгиб	круглых	пластни	...	135
"лава 4. Расчет оболочек.............................. .......	137
4.1.	Уравнения общей теории оболочек........................  137
4.1.1.	Основные	определения.............................. 137
4.1.2.	Исходные соотношения в криволинейных коор-
динатах	.................................. 139
4.1.3.	Основные	соотношения	общбй теории оболочек 140
4.1.4.	Граничные условия ................................ 143
4.1.5.	Полная энергия оболочки .......................... 144
4.2.	Осесимметричная деформация цилиндрической обо-
лочки ............ .................................. 145
4.2.1.	Вывод разрешающего уравнения ......	145
4.2.2.	Краевой эффект и безмоментное состояние . . .	147
4.3.	Безмоментная теория оболочек вращения................... 150
4.3.1.	Геометрия оболочки вращения......... 150
4.3.2.	Основные соотношения для безмоментной обо-
лочки вращении............................. 151
4.4.	Осесимметричная деформация оболочки вращения . . .	164
4.4.1.	Осесимметричная деформация.......... 154
4.4.2.	БезмС^ентное напряженное состояние	....	155
4.4.3.	Краевой эффект . ................... .	.	.	158
4.4.4.	Граничные условия н условия	сопряжения .	.	.	163
4.4.5.	Примеры расчета ......................  .	167

4.5.	Антисимметричная деформация оболочки вращения 172
4.5.1.	Безмоментное решение ...	. .	173
4.5,2.	Краевой эффект .....	. .	176
4.6.	Теория пологих оболочек ........................ 177
4.6.1.	Основные гипотезы	и исходные соотношения	177
4.6.2.	Расчет пологих оболочек..........	179
4.6.3.	Техническая теория	цилиндрических оболочек	182
4.7.	Полубезмоментная теория	цилиндрических оболочек	183
4.7.1.	Основные гипотезы	и исходные соотношения	183
4.7.2.	Круговая цилиндрическая оболочка .....	186
Глава В» Расчет подкрепленных тонкостенных конструк-
ций по балочной теории ...........	189
5.1.	Основные определения и гипотезы .....	. .	189
5.2.	Определение нормальных напряжений . .	....	192
5.2.1.	Редуцирование сечения по материалу ....	192;
5.2.2.	Вывод формулы для нормальных напряжений 194
5.2.3.	Примеры определения нормальных напряжений 197
5.3.	Определение касательных напряжений ............. 20!
5.3.1.	Вывод формулы для потока касательных сил 201
5.3.2.	Определение ПКС в оболочках с открытым кон-
туром поперечного сечения. Центр изгиба . . .	203
5.3.3.	Определение ПКС при изгибе и кручении обо-
лочки с однозамкнутым контуром сечения. . .	208
5.3.4.	Определение ПКС при изгибе и кручении обо-
лочки с миогозамкнутым контуром поперечного
сечения . . ..................................... 211
5.3.5.	Примеры определения ПКС в оболочках с мно-
гозамкнутым контуром поперечного сечения 21©
5.4.	Определение центра изгиба сечения тонкостенной кон-
струкции ...........................................  223
5.5.	Особенности расчета подкрепленных конических обо
лочек ..............................................  225
Глава 6, Расчет тонкостенных конструкций с учетом деп-
ланации сечения ..........	...	232
6.1.	Изгиб и кручение призматической оболочки типа кес-
сона прямого крыла............................ . .	232
6.1.1.	Основные определения ..................... 232
6.1.2.	Решение задачи в перемещениях............ .	233
6.1.3.	Решение задачи в напряжениях ........	25G
6.2.	Взаимодействие стрингеров и обшивки .......	257
6.3.	Изгиб и кручение тонкостенных стержней и оболочек
с открытым контуром сечения . ....................... 259
6.3.1.	Основные гипотезы. Деформации удлинения и
кривизны кручения ..............................  260
6.3.2.	Полная потенциальная анергия. Уравнении рав-
новесия. Граничные условия . . _................. 264
6.3.3.	Определение нормальных напряжений и потока
касательных сил.................................. 267
6.3.4.	Частный случай изгиба и кручения стержня 27S
6.3.5.	Пример стесненного кручения стержня ....	272
Глава 7. Расчет тонкостенных пространственных конструк-
ций методом конечных элементов . .	....	280
7.1.	Характеристика метода конечных элементов .....	280
7.2.	Конечно-элементная модель конструкции ......	280
7.3.	Составление уравнений МКЭ в перемещениях ....	285
533

7.4.	Конечные элементы . ............................ 289
7.5.	Применение МКЭ к расчету типовых авиационных кон-
струкций ...........................................   297
7.5.1.	Плоские подкрепленные конструкции......... 297
7.5.2.	Конструкции типа крыла ................... 299
7.5.3.	Конструкции типа фюзеляжа............	302
7.6.	Оценка точности МКЭ............................. 304
7.6.1.	Источники погрешностей.................	.	305
7.6.2.	Сходимость МКЭ............................ 306
7.6.3.	Погрешности вычислений ...........	308
лава 8* Основы системного анализа сложных авиацион-
иых конструкций ............................................... 311
8.1.	Конструктивно-силовая схема летательного аппарата
как объект системного анализа ......................  311
8.2.	Основы метода подконструкций ..........	312
8.2.1.	Описание задачи  .......................... 312
8.2.2.	Декомпозиция системы ...................... 313
8.2.3.	Уравнения для подконструкций .............  313
8.2.4.	Условия связи подкоиструкцнй............	314
8.2.5.	Анализ подкоиструкцнй ....................  315
8.2.6.	Синтез (сочленение) подконструкций ......	316
8.3.	Примеры расчета ................................ 320
8.3.1.	Цилиндрические оболочки, соединенные в отдель-
ных узлах......................................... 320
8.3.2.	Система двух балок ........................ 322
8.3.3.	Планер самолета с крылом малого удлинения 324
'лава 9. Статическая устойчивость элементов летательных
гшдаратов ..................	327
9.1.	Критерии устойчивости ..............	327
9.1.1.	Основные понятия ........................ 327
9.1.2.	Статический критерий устойчивости ......	327
9.1.3.	Энергетический критерий устойчивости ....	330
9.2.	Прикладные методы расчета на устойчивость ....	332
9.2.1.	Устойчивость стержней ..................  382
9.2.2.	Метод Ритца—Тимошенко ..................  385
9.2.3.	Метод Бубнова—Галеркина.................. 337
9.2.4.	Метод конечных разностей ..........	338
9.3.	Устойчивость прямоугольных пластин ........	340
9.3.1.	Основные соотношении ............	340
9.3.2.	Устойчивость прямоугольной пластины, сжатой
в одном направлении ............	343
9.3.3.	Устойчивость пластин при сдвиге ......... 347
9.3.4.	Устойчивость пластин при комбинированном на-
гружении ....................................... 350
9.4.	Несущая способность систем, состоящих из пластин,
работающих на устойчивость, и стержней ......	353
9.4.1.	Панель, подкрепленная стрингерами ....... 353
9.4.2.	Валка с тонкой стенкой .................. 356
9.5, Устойчивость оболочек ............  861
9.5.1. Уравнения устойчивости и постановка задачи 861
9.5 2. Уравнения устойчивости для цилиндрической обо-
лочки ....................	364
9.5.3. Устойчивость цилиндрической оболочки при осе-
вом О;ДТИМ .........	......	365

9.5.4. Устойчивость цилиндрической оболочки при рав-
номерном внешнем давлении ......................... 369
9.5.5. Устойчивость сферической оболочки яри внешнем
давлении ....................... .	371
Глава 10. Колебания конструкций летательных аппаратов 374
10.1.	Уравнения движения и прикладные методы динамики
упругих систем......................................... 374
10.1.1.	Расчетная схема конструкции	.......	374
10.1.2.	Принцип Даламбера—Лагранжа .............. 375
10.1.3.	Уравнения Лагранжа в обобщенных коорди-
натах ............................................ 376
10.1.4.	Уравнения малых колебаний системы с конеч-
ны^ числом степеней свобода	........	377
10.1.5.	Дифференциальные уравнения колебаний упру-
гих систем с непрерывно распределенными па-
раметрами ...................................... 381
10.1.6.	Интегральные уравнения колебаний упругой
системы..........................................  363
10.1.7.	Уравнения колебаний систем с сосредоточен-
ными массами...................................... 384
10.1.8.	Редуцирование	системы уравнений ......... 386
10.1.9.	Прикладные методы решения задач динамики
упругих систем ................................... 386
10.2.	Система с одной степенью	свободы	...	  388
10.2.1.	Уравнение колебаний ..................... 388
10.2.2.	Свободные колебания ..................... 389
10.2.3.	Вынужденные гармонические колебания . . .	390
10.2.4.	Колебания при действии произвольной воз-
мущающей силы..................................... 392
10.3.	Система с конечным числом степеней свободы .	394
10.3.1.	Собственные колебания ..................  394
10.3.2.	Условия ортогональности	.......	396
10.3.3.	Уравнении в нормальных	координатах	397
10.3.4.	Учет демпфировании..........	398
10.3.5.	Формула Рэлея . .	. .	399
10.3.6.	Пример  ............ .	.	400
10.4.	Колебания стержней ............................. 402
10.4.1.	Уравнения поперечных колебаний	402
10.4.2.	Собственные колебания . .	404
10.4.3.	Вынужденные колебания	408
10.4.4.	Метод Рэлея—Ритца........... .	409
10.4.5.	Метод Бубнова—Галеркина.................. 411
10.4.6	Учет деформации сдвига и продольной силы
в задачах о колебаниях балок...................... 413
10.4.7.	Метод конечных элементов	. .	415
10.5.	Колебания пластин и оболочек.................... 418
10.5.1.	Основные уравнения и некоторые точные ре-
шения ............................................ 418
10.5.2.	Методы Рэлея—Ритца и Бубнова—Галеркниа	421
10.5.3.	Метод конечных элементов (МКЭ)........... 423
10.6.	Колебания нерегулярных тонкостенных конструкций	426
10.6 1 Метод супер элементов ............. ....	426
10.6.2. Метод отсеков	429
10 7. Аэроупругие колебания .	...	433
10.7.1.	Постановка задачи ....	. .	433
10.7.2.	Аэродинамическое давление ....	434
10.7.3.	Упрощенные теории	.	436
535

lislS	gg S IS
10.7.4.	Уравнения колебаний ............  .	439
10.7.5.	Условия неустойчивости............... 442
10.7.6.	Двухстепенная расчетная модель ......	444
Глава 11. Особенности расчета элементов летательных
аппаратов при неупругом поведении материала	448
11.1. Основные соотношения прикладной теории пластич-
ности .........................................
11.1.1. Пластические деформации .........
11.1.2. Обобщенные инвариантные характеристики на-
пряженного состояния ..... ................
11.1.3. Обобщенные инвариантные .характеристики де-
формированного состояния .........
II. 1.4. Анализ обобщенного закона Гука...
II. 1.6. Условия пластичности.............
II. 1.6. Физические соотношения деформационной тео-
рии пластичности ......................
И. 1.7. Физические соотношения теории течения. . .
11.1.8. Определение остаточных напряжений и де-
формаций .................
11.2.	Определение предельных нагрузок .........
11.3.	Прикладные методы решения задач теории пластич-
ности .........................................
11.3.1.	.Постановка задачи и методы решения ....
11.3.2. Метод упругих решений ...........
11.3.3.	Метод переменных параметров упругости . . .
11.3.4. Метод редукционных коэффициентов .....
П.3.5. Метод последовательных нагружений ....
П.3.6. Упругопластнческая деформация баков и бал-
лонов давления ............................
11.4.	Устойчивость за пределом упругости.......
И.4.1. Устойчивость стержней ..............
11.4.2. Устойчивость прямоугольньж пластин . . .
Глава 12. Особенности расчета элементов из ортотропных,
слоистых н композиционных материалов . . .	600
12.1.	Элементы из слоистых композиционных материалов 500
12.1.1. Соотношения упругости для композиционного
материала......................................	500
12.1.2.	Стержни из композиционного материала . . .	507
12.1.3.	Панели из композиционного материала ....	510
12.2.	Особенности расчета многослойных и подкрепленных
тонкостенных элементов.......................... 513
12.2.1.	Соотношения упругое и для слоистых обо-
лочек ...................................   513
12.2.2.	Соотношения упругости дли подкрепленных
оболочек ......... ........................ 516
12.3.	Трехслойиые панели ..............	517
Список литературы ........................................  524
Прммсткый	и. ........................	526