В-А-СВЕТПИЦКИЙ
Механика
гибких стержней
и нитей
МОСКВА „МАШИНОСТРОЕНИЕ" 1978

ББК 34.41
С24
УДК 539.311/.313.001.24: 621 @2)
Рецензент И. А. БИРГЕР
Светлицкий В. А.
С24 Механика гибких стержней и нитей. —М.: Машино-
Машиностроение, 1978. — 222 с, ил. — (Б-ка расчетчика).
В пер.: 1 р. 10 х.
В книге изложены основные положения и методы механики Гибких
н"абсолютно гибких стержней. Большое внимание уделено статике и дни а-
мнке стержней, особенно простраиствеиио-криволинеаиых. Наряду с тради-
традиционными задачами рассмотрены новые, связанные с исследованием стацио-
стационарных режимов движении гибких стержней. Изложены методы численного
рещения задач.
Книга предназначена для инженеров-конструкторов в расчетчиков маши-
машиностроительных, проектио-коиструкторских н научно-исследовательских
организаций.
_ 31301-616 ББК 34.41
Щ01ЙГ 5'7Я 6П5.1
Издательство «Машиностроение», 1978 г.

Предисловие
Гибкие стержни и абсолютно гибкие стержни (нити) широко
применяют в различных областях техники. Гибкие стержни ис-
используют в качестве упругих элементов различных приборов
(чувствительные элементы в акселерометрах, частотных преобра-
преобразователях), механических низкочастотных фильтров в элект-
электронной технике, аккумуляторов механической энергии (часо-
(часовые механизмы).
Основными элементами большинства приборов являются стер-
стержни с очень сложной геометрией осевой линии (спираль ба-
баланса, различного вида камертоны с криволинейными плос-
плоскими и пространственными стержнями). Приборы времени, исполь-
использующие гибкие стержни, получили распространение не только
как часы, но и как преобразователи стабильных сигналов в раз-
различных устройствах автоматики. Точное определение текущего
времени и измерение временных интервалов необходимо прн упра-
управлении механическими объектами (например в авиации, при кос-
космических исследованиях) и производственными процессами. Точ-
Точность показаний прибора времени в большой степени зависит
от точности расчета и изготовления упругого элемента.
Упругие элементы в реальных условиях должны работать
в различных снловых полях (напрнмер в инерционном поле на ус-
ускоренно движущемся объекте, на вибрирующем основании и т. д.),
которые могут существенно изменить основные характеристики
упругого элемента и привести к неустойчивым режимам работы.
С развитием новой техники появилось много прикладных
задач, относящихся к динамике гибких" стержней и нитей (напри-
(например", исследование прочности гибкого проводника при управле-
управлении движущимся объектом, исследование стационарных режимов
движения ленточного радиатора и баллистической антенны и их
устойчивости). К задачам динамики гибких,стержней относятся
процессы смотки или намотки провода, нити, проката. Так, на-
например, скорость движения полосового проката (который можно
рассматривать как гибкий стержеиь) .на работающих станах до-
достигает 30—40 м/с. При таких скоростях движения пренебрегать
динамическими эффектами нельзя.

Широкое внедрение вычислительной техники позволяет про-
проводить расчеты упругих элементов с минимальным числом до-
допущений при переходе от реального элемента к его расчетной
схеме, т. е. существенно повысить точность расчетов. Приме-
Применение ЭВМ приводит к качественно новым методам подготовки
задач к решению, не выполняя традиционные преобразования
уравнений статики или динамики, которые раньше считались
необходимыми, как, например, сведение системы уравнений
к одному уравнению и т. д. Поэтому методам численного счета
с применением ЭВМ уделяется много внимания.

Г л а в а 1
Сведения
из векторного анализа
Необходимость применения векторного и тензорного исчисле-
исчисления в современной механике деформируемых тел вызвана не только
компактностью преобразований, но и объективными свойствами
изучаемых явлений [19, 21 ].
В механике деформируемого тела рассматривают физические
величины (векторы и тензоры), не зависящие от выбора системы
координат, но иногда их удобнее изучать в некоторых специаль-
специально выбранных системах координат. Векторы и тензоры в каждой
из систем координат задаются совокупностью величин, называе-
называемых компонентами вектора или тензора. Если эти компоненты
заданы в одной системе координат, то они определены и в любой
другой системе, ибо определение вектора и тензора включает и
закон преобразования их компонент при переходе от одной си-
системы координат (базиса) к другой. Одним из важнейших досто-
достоинств векторного исчисления является то, что уравнения, характе-
характеризующие состояние механической системы (уравнения равнове-
равновесия или движения,) можно формулировать в инвариантной форме
по отношению к координатным системам.
§ 1. Основные положения векторной алгебры
1. Скаляры и векторы. Скалярной величиной называется
величина, характеризуемая только числом (например темпера-
температура, работа и т. д.). Часто рассматривают величины, для опреде-
определения которых кроме численного значения необходимо указать
Направление (например скорость точки, момент силы и т. д.).
Величина, характеризуемая не только числом, но и напра-
направлением в пространстве, называется вектором. Длина вектора а
является его количественной характеристикой и называется мо-
модулем вектора \а\. Векторы называются равными, если они имеют
одинаковые модули и одинаковые направления. Единичным век-
вектором называется вектор, модуль которого равен единице.
2. Проекция вектора на произвольное направление. Проек-
Проекцией вектора а на ось называется длина отрезка, отсекаемого на

Рис. 1.1
этой оси перпендикулярными к ней плоскостями, проведенными
через концы вектора а, взятая со знаком «+» или «—», смотря
по тому, совпадает или нет проекция вектора с направлением оси.
Направление оси определяется единичным вектором е (ортом),
модуль которого равен единице.
v Проекция вектора а на направление, определяемое ортом,
ае = | а | cos ф,
A.1)
где ф — угол между векторами а и е.
3. Векторный базис. Система любых п линейно независимых
единичных векторов et (i = 1, 2, ¦ • • п) образует базис {е,}
«-мерного пространства. Любой вектор а можно разложить (един-
(единственным образом) по базисным векторам, т. е. представить в виде
а^^щё,, A.2)
где at — проекция вектора а на i-ю ось.
В дальнейшем под базисом \е,\ подразумевается ортогональ-
ортогональный базис (рис. 1.1). Ортогональная система координат может
бить прямолинейной (такая система координат называется декар-
декартовой) и криволинейной (цилиндрическая, сферическая, эллип-
эллиптическая). В прямолинейной системе координат базисные единич-
единичные векторы во всех точках пространства неизменны по напра-
направлению, в криволинейных системах координат базисные векторы
при переходе в другую точку пространства меняют направление.
Получим выражения, позволяющие переходить от одного
ортогонального базиса к другому (правила преобразования коор-
координат). Пусть [et\ (i = 1, 2, 3) — некоторый базис в трехмерном
пространстве (рис. 1.2), определяющий направления координат-
координатных осей, a \ei0\ — некоторый другой базис в этом же простран-
пространстве.
8

Каждый из векторов базиса \et] можно- разложить по векто-
векторам исходного базиса \ё10}:
ei = lueio -f- /ийго + /13630;
или
63 = /31^10 + 42^20 +
= S Ufifl -(*= 1. 2, 3; /= 1, 2, 3),
A.3)
где l[j — проекции базисных векторов et на направления, опреде-
определяемые векторами е]0.
В системе A.3) коэффициенты ltj определяют матрицу
Aii '12 'is
'si Am 'зз
которая называется матрицей перехода от базиса \е]0\ к базису
Выражения A.2) — A.3) можно представить в более компакт-
компактной форме, введя следующее соглашение: если индекс употреблен
дважды, то подразумевается, что этот индекс принимает все
з
значения, которые указываются в знаке суммы 21 > и знак суммы
можно опустить:
а =
S
.5)
Повторяющиеся индексы называют немыми, так как их за-
замена на любые другие, не встречающиеся в данной записи, не
изменяет выражения. Неповторяющиеся индексы называют сво-
свободными [21 ].
/ В качестве примера найдем значения элементов матрицы L.
Рассмотрим случай, когда новые базисные векторы et в новом поло-
положении координатных осей остались параллельными исходным
базисным векторам с одинаковыми индексами (см. рис. 1.2).
Такое перемещение координатных осей в пространстве называется
поступательным. При преобразовании базисных векторов et —
= et0, поэтому L = ?, где Е — единичная матрица.
В качестве второго примера найдем матрицу перехода L при
произвольных перемещении и повороте тройки базисных векторов
{см. рис. 1.2). Так как при поступательном перемещении коорди-
координатных осей базисные векторы совпадают с исходными, то можно

Рис. 1.3
Рис. 1.5
рассмотреть только преобразование базисных векторов, связан-
связанное с поворотом. Произвольный поворот координатных осей можно
представить как три независимых поворота [15]. Рассмотрим
поворот исходных координатных осей относительно оси, совпадаю-
совпадающей с направлением е10, на положительный угол # (рис. 1.3).
Получаем
м = ею; h = cos de2o + sin дезо; *з = — sin fte2o + cos de^.
Соответствующая матрица перехода
110 0 I!
0 cos ft sin ft I A.6)
0 — sin ft cos ft I
Элементы матрицы Lq (как и элементы любой матрицы поворота
координатных осей) можно рассматривать как направляющие ко-
косинусы между векторами базисов \ei0} и \i't\.
Второй поворот на положительный угол q> осуществим отно-
относительно оси, совпадающей с направлением вектора й (рис. 1.4).
При этом
i\ = cos <pt"i -f- sin <pi2; 1*2 — — sin <pii -
Соответствующая матрица перехода
cos ф sin ф 0
— sin ф cos ф 0
0 0 1
Наконец, последний поворот координатных осей осуществим
относительно оси, совпадающей по направлению с i'i = ea на
положительный угол а|з (рис. 1.5). После поворота базисные век-
векторы i2 совпадают с векторами et. Соответствующая матрица пе-
перехода
Icos ip 0 — sin ip I
0 1 0 ||. A.8)
sin \J> 0 cos ip
10
cos
A.7)

Компоненты произвольного вектора а при каждом из пово-
поворотов преобразуются следующим образом:
а' =
поэтому
а" = L~a'\ а'" =
а1" =
Матрица перехода от базиса \eiu\ к базису {et\
A.9)
или
L =
или
COS ф COS If —
— sin Ь sin ф sin if
— cos 0 sin ф
cos ф sin ф +
+ sin 0 sin ф cos if
в\ =
«20
sin ф cos if -f
+ sin ft cos ф sin if
cos О cos ф
sin ф sin if —
— sin ft cos ф cos if
«30
— cos ft sin if
sin О
COS ft COS If
A.10)
/12^20
B2 = к tfio + ^22620 + ?23630". A • 11)
63 = /31610 + /32620 + /33630.
Матрица L позволяет определить положение элемента стержня
в пространстве при его произвольных поворотах. Матрица L
поворота координатных осей имеет следующую особенность: ее
обратная матрица L'1 равна транспонированной матрице
L~1 = Lt. A.12)
Так как LL~X = LLJ = Е, то элементы ltj матрицы L удовлет-
удовлетворяют следующим шести условиям:
'П + М2 + М3== I.
i".i + /22 + /23== 1;
«2
«33==
A.13)
/ц/21 т~ /12/22 ~r 43/23 — "»
'21*31 Г '22'32 Г »23f33 U'
/зги t~ /32/12 1 /33/13== ^>
Систему A.13) можно записать более компактно, если восполь-
воспользоваться соглашением о суммировании и символами Кронекера
в/* [21]:
0 ti + X AЛ4)
11

Возможны и другие варианты трех последовательных,поворо-
последовательных,поворотов координатных осей. Соответствующие углы, определяющие
поворот осей, выбираются в зависимости от решаемых задач.
Наибольшей популярностью в теоретической механике поль-
пользуются углы Эйлера [15], однако в механике стержней и нитей
более удобными при решении являются углы, которые при малом
отклонении осей остаются малыми. Матрица L перехода при малых
углах принимает вид
II ф — г|з
— Ф 1 # . A.15)
4. Скалярное произведение двух векторов. Скалярным произ-
произведением ab двух векторов называется произведение их модулей
на косинус угла между векторами:
ab = \a\-\b\cos(a,b). A.16)
Соотношение A.16) справедливо для любого ортогонального и
не ортогонального базиса {еД. Скалярное произведение, как сле-
следует из его определения, обладает свойством коммутативности:
ab = Ьа.
Необходимое и достаточное условие ортогональности векторов а
и Ь имеет вид ab = О, поэтому базисные векторы {е,} ортогональ-
ортогональной системы координат удовлетворяют условиям
. ? = /. AЛ7)
Условие A.17) можно записать более компактно, если ввести
символы Кронекера
ё?/ = б*/. 0-18)
Модуль вектора а в ортогональной системе координат
где at — проекции вектора а на оси.
Используя A.17), можно получить следующее уравнение для
скалярного произведения двух произвольных векторов, выражен-
выраженное через их проекции в ортогональном базисе трехмерного про-
пространства:
__ з
ab =Yi й.й«- = o,bi,
где a,-, bi — проекции векторов а и Ь.
12

Если вектор а образует с ортогональными осями углы аи
а2 и а3 (см. рис'. Г.1), то косинусы этих углов удовлетворяют
условию
Условие A.19) можно'записать через скалярные произведения
базисных векторов с единичным вектором еа, совпадающим по на-
направлению с вектором а:
i& &?= 1.
5. Векторное произведение двух векторов. Векторным произ-
произведением^ XЪ двух векторов называется вектор с = aXb (рис. 1.6),
направленный перпендикулярно плоскости, в которой, лежат век-
векторы^ и Ъ, в ту сторону, откуда поворот от первого сомножителя
ко второму на меньший угол виден против хода часовой стрелки,
и равный по модулю площади параллелограмма, построенного на
этих векторах:
|c| = |a||5|sln(a5). A.20)
Если векторы а и Ъ параллельны, то а х Ь = 0. Для векторов
ортогонального трехмерного базиса {е,} в соответствии с опреде-
определением векторного произведения справедливы соотношения
(рис. 1.7)
ет, если », / и т образуют циклическую
е{ х е, ¦¦
перестановку чисел 1, 2, 3 A.21)
о, ;=/
Вектор с можно представить в виде определителя:
е\ в2 ез
<h <h Оз
Ьг Ь2 Ь3
Векторное произведение можно записать и в виде
A.22)
3 3
ъщсфрк (i, j, k *= 1; 2; 3), A.23)
где e.klj — символы Леви—Чивита, которые удовлетворяют усло-
условиям: 1) ekij = 0, если в числе индексов », / и k имеется хотя бы
два одинаковых значения; 2) eki/ = 1, если индексы i, /, k раз-
различны и являются циклической перестановкой чисел 1, 2, 3;
3) eUj =—1, если индексы различны и не соответствуют цикли-
циклической перестановке чисел 1, 2, 3.
13

Рис. 1.8
Так как вектор с можно представить через проекции в виде
з
с= ?с,ё, = сЯ. A.24)
то, развернув определитель, получим выражения для проекций
вектора с:
В качестве примера векторного произведения рассмотрим мо-
момент силы. Если сила Р приложена к материальной точке т
(рис. 1.8), то момент М силы Р относительно точки О
М = г хР.
A.26)
Как следует из рис. 1.8, | г х Р | равен удвоенной площади
треугольника ОАВ:
\'rXP\ = \P\h.
A.27)
Компоненты вектора с можно записать, воспользовавшись
символами Леви—Чивита в виде
В прикладных задачах часто один из векторов в векторном
произведении неизвестен, например вектор Ь =Х. Для преобра-
преобразований векторное произведение удобнее представить в виде
A.29)
. где А — кососимметричная матрица вида
10 — оз а2
Оз 0 —ail.
Ог at 0|
A-30)
Матрица Л является вырожденной матрицей, так как ее опре-
определитель равен нулю, что необходимо иметь в виду при преобразо-
преобразованиях.
14

6. Смешанное или скалярно-векторное произведение
v = c(axb) A.31)
равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Выражение A.31) можно представить в виде определителя (для
трехмерного пространства)
Ci С2 Сз
2(aXb)= % <h (h . A.32)
bt b2 b3
Если все три вектора лежат в одной плоскости, то
c(axb) = 0. A.33)
7. Двойное векторное произведение. Тождество' Лагранжа.
Двойное векторное произведение а X (b X с) представляет собой
вектор ~d, перпендикулярный к векторам а и (Ь X с), т. е. он
лежит в плоскости векторов бис.
Вектор d, равный
d = а х (В х с), A-34)
можно преобразовать к виду [6]
Рассмотрим два вектора, получающиеся из A.34) при цик-
циклической перестановке векторов a, b и с:
e = b x(cxa) = (ba)c — (bc)a; A.36)
"~^ " ., / 1, Т[\ /~ |Г\7» /i^"y-»^7i /I Q7\
В — С /\ \U )\ О} — \СО f U — КС О.) О¦, \L~Ot}
Сложив векторы d, e и g, получим тождество
а X (Е X с) + Ъ х (с X а) + с X (а X Ь) = 0, A.38)
которое называется тождеством Лагранжа.
§ 2. Основные положения векторного анализа
1. Геометрическое значение производной векторной функции.
Рассмотрим две точки Л и В на плоской кривой, являющейся
годографом вектора 7 (рас. 1.9). Точки Л и В соответствуют двум
значениям аргумента: s и s + As. Приращение радиуса-вектора 7
Аг = гг — г = АВ. С уменьшением As точка В стремится к точ-
точке А, а вектор АВ (секущая), вращаясь относительно точки А,
переходит в вектор АВи направленный по касательной к кривой
в точке А, т. е.
15

У\
Производная векторной функции г
по скалярному аргументу s есть вектор,
направленный по касательной к кривой
(годографу). Вектор АВг можно пред-
представить как произведение единичного
вектора еъ направленного по каса-
касательной к кривой в точке А, на мо-
модуль вектора ABt, т. е.
Рис. 1.9
х где ех — единичный вектор, имеющий
направление вектора АВг. Покажем,
что модуль вектора АВг равен еди-
единице. При малой величине дуги кри-
кривой As ее можно рассматривать как дугу окружности радиуса р
(соприкасающаяся окружность) [3, 27] (см. рис. 1.9), поэтому
As
i. I
= lim
Дф-МI
sin Аш I
т. е. производная г по дуге s есть единичный вектор еъ направлен-
направленный по касательной к кривой.
Из приведенного вывода A.39) следует, что если кривая пло-
плоская, то вектор elt характеризующий первую производную век-
вектора г, лежит в этой же плоскости. Рассматривая вектор, характе-
характеризующий вторую производную вектора г, можно показать ана-
аналогичным образом, что он тоже лежит в плоскости кривой. Если
кривая пространственная (общий случай), то производная г по
s также единичный вектор, направленный по касательной. Про-
Пространственная кривая может представлять собой траекторию ма-
материальной точки. В этом случае s зависит от времени t, тогда
dr _ dr ds
IF - U ~Ш
A.40)
где v — модуль скорости материальной точки.
2. Основные правила дифференцирования векторов.
1. Производная суммы векторов равна сумме производных
слагаемых. Если "с =а + Ъ, то
dc da db
ds ds ds '
A.41)
2. а) Производная произведения вектора на скаляр a (s) X (s)
16

б) Производная скалярного произведе-
произведения двух векторов ab
в) Производная векторного произведе-
произведения ixi
?. A.44)
3. Рассмотрим производную вектора постоянной длины. Если
вектор а при изменении скалярного аргумента меняет свое на-
направление, но сохраняет свою длину, имеем
= (a a) — const.
A.45)
Дифференцируя A.45) в соответствии с A.43) и в силу ком-
коммутативности скалярного произведения, получим
- da
a~dT
¦ О.
A.46)
da
Из соотношения A.46) следует, что вектор —г- ортогонален
вектору а. Покажем, что производная от единичного вектора ех
(рис. 1.10), положение которого на плоскости задается скалярным
аргументом (угол ф), есть тоже единичный вектор.
Вектор dejdy перпендикулярен вектору ех, и его можно за-
зава, где е2 — единичный вектор, пер-
писать в виде
dip
dq>
пендикуляр нйй к вектору ех- С другой стороны, de^dy можно
представить как
Дф->0
Аф
где
| = | ei | s
= 1 sin Дф.
Поэтому
dei I- /sin,
*Р дф->оЧ Л(
= ea,
A.47)
,. /sin Am\ ,
так как hm ( . ^) = 1.
4. Рассмотрим вектор постоянного направления, который
можно представить в виде
а= ае
A.48)
17

где ё—единичный вектор неизменного направления. Дифферен-
Дифференцируя A.48), получим
da da - 1 da - .-. /- 1 da
ea hl (К
Из A.49) следует, что вектор — параллелен, исходному векто-
вектору а, т. е. необходимым и достаточным условием сохранения век-
вектором а своего направления в пространстве является равенство
нулю векторного произведения — х о = 0.
Найдем условия, при выполнении которых вектор а паралле-
параллелен плоскости. Если вектор а, изменяясь (по длине и по направ-
направлению), остается все время параллельным некоторой плоскости,
то он перпендикулярен любому вектору с, нормальному этой
плоскости, т. е.
ас = 0. A.50)
Если вектор а, изменяясь, остается в плоскости, то и векторы,
/-, da -„ d2a\
характеризующие его производные I а = т- и а = -р-1 ,
лежат в этой плоскости, поэтому скалярно-векторное (смешан-
(смешанное) произведение векторов а, а' и а" равно нулю:
а(а'ха") = 0. A.51)
Выполнение A.50) и A.51) является необходимым и достаточным
условием для того, чтобы вектор а, изменяясь по направлению
и величине, оставался в плоскости, параллельной неизменной
плоскости.
Рассмотрим производные единичных векторов е,- по коорди-
координате s. Так как производная от вектора по скалярному аргументу
есть вектор, то представим его в виде разложения по базисным
векторам {еД:
A.52)
где у,ц — элементы некоторой матрицы ||х(/||.
Покажем, что матрица || к,71| кососимметрична, т. е. y.Vi =— x/f.
Умножив скалярно A.52) на ek, получим
-^-eft = x,ft. A.53)
18

Так как etek = 6ift, то после дифференцирования по s имеем
откуда в соответствии с A.52) получаем
Из A.54) следует хп =0 A.55), т. е. матрица ||х(/|| имеет всего
три независимых элемента:
0 —х3 х2
1 . A.56)
—х2 щ 0
Элементы матрицы || х(/1| характеризуют геометрию кривой, с ко-
которой связан трехгранник осей. Геометрический смысл введенных
величин xlf х2 и х3 устанавливается в § 3.
Аналогичные выражения можно получить и для производных
векторов базиса \el0\:
A.57)
1
Щ 0 —
Вместо матрицы Цх^Ц можно перейти к вектору х(х0) и выраже-
выражения для производных A.52), A.57) записать в виде
-ZL = ххе,' = ekjiKfi,; A.58)
= ко X ev0 = EnpvXpoeno. A.59).
В развернутой форме записи имеем
^ i; -^- = x2ei — xift. A.60)
Проделав аналогичные выкладки, можно получить следующее
выражение для вторых производных:
Т5Г = (ер/« "Ж" + e*i'Wv*/) «р (! -61)
или в развернутой форме записи
-^ = _(xl + хз) ei + (xiX2 + х3) ёг + (xjXs — x^) g3;
-^2- = (х!Х2 — хз) ei — (iti + хз) ёг + (»«2»«з + xi) e3; A.62)
-^- = (xix3 + хг) ei + (Х2Х3 — xi) е2 — (x2i + х|) ёз-
19

При перемещении трехграннике осей по пространственной
кривой оси поворачиваются по отношению к первоначальному
положению. Новое положение осей, как это было показано в
§ 1 п. 3, можно определить с помощью трех независимых углов О,
Ф и-гр, поэтому и вектор к, характеризующий изменение положе-
положения осей, должен зависеть от этих углов.
Получим эти зависимости, воспользовавшись выражениями
A.60) и соотношениями
et = /fv«vo; A.63)
^vo = /*v«*. A.64)
Дифференцируя ё„ имеем
^ 0-65)
Исключая из A.65) ev0 и -^ получим
y A.66)
Исключая еп0 = lkrfik, получаем
Дважды встречающиеся индексы можно заменять на любые
другие'(новые), например в первом слагаемом в левой части v
можйо заменить на п, в результате получим
Из выражения A.67) получим
Найдем выражение для xt. Полагая k = 3 и i = 2, имеем
• A.69)
Получим развернутые выражения для вторых слагаемых в ско-
скобках:
ец>\Лухро = ^28хао ~ ^аЩо'у

Окончательно получаем
(~ds
~ ^п1*» J
48
или
- Ш *зо-
0 -71)
Проделав аналогичные выкладки, можно получить следующие
выражения для к2 и к3:
+ («и -
- M «
ю-
-72)
-73)
Подставив в A.71) — A.73) вместо //; их выражения через
углы #, ф и of, получим
кх== (-^- -f к1(Л cos ij) cos ф -^Е- sin if» -f- (sin ij? sin # +
+ cos ф sin ф cos #) xw -\- (cos ф sin ф sin # — sin ф cos #) Изо; A.74)
*2 = & "~ (~йГ +
n Ф + cos фcos#X2o + cos ф sin dx»,; A.75)
Хз = -^-cos\|) 4- f-j^- -f Kw) sin if cos ф -J- (sin if sin ф cos # —
-^-
— COS ф Sin *) «go + (COS ф COS * + Sin ф Sin ф COS #) Изо- A -76)
В выражениях A.74)—A.76) углыд, фиt|)отсчитываются от по-
положения осей {ё,0}, которое принято за начальное.
Систему соотношений A.74) — A-76) можно записать в виде
одного векторного соотношения, удобного при преобразованиях:
A-77)
где
COS Ij) COS ф 0 — Sin Ij)
— sin ф 1 0
sin \p cos ф 0 cos ф
21

Вектор хо1* не равен вектору х0, который характеризует геомет-
геометрию кривой в начальном состоянии. Вектор XoJ> имеет компоненты
в базисе \et\, равные компонентам вектора х0 в базисе \et0\.
Выражение A.77) дает возможность установить, как изменяется
вектор х, характеризующий геометрию кривой, если геометрия
кривой в начальном состоянии (х,0) известна. Найдем вектор х0,
характеризующий начальное состояние кривой, считая, что по
отношению к декартовой системе координат \it\ известно положе-
положение базиса \ei0\ в каждой точке кривой. Углы, характеризующие
положение базиса \е@\ относительно базиса {i,\,-обозначим fto(s)>
Фо (s) и г|>0 (s).
Базисные векторы it и ei0 связаны между собой матрицей
ею
*
еав
«1 . «2
cos фо cos to — j sin ф0 cos to +
— sin ft0 sin фо sin to j + sin &0 cos ф0 sin to
— cos d0 sin фо > cos ф0 cos ф0
¦
cos фо sin to + ! sin Фо sin to —
+ sin v0 sin фо cos to j — sin v0 cos q>0 cos to
«a
— cos ft0 sin to
sin d0
cos d0 cos to
A.78)
Следует отметить, что единичные векторы it от s не зависят.
Дифференцируя е@ по s, получим
A.79)
, то после преобразований
Так как ei0 = /ip07^, ip =
выражения A.79) получим
Далее находим
ds
I™.
= -$- cos фо cos фо J&- sin т|з0;
«30 =
или в векторной форме записи
A.80)
A.81)
A.82)
A.83)
A.84)
Установим геометрический смысл компонент вектора х0.
22

Рассмотрим частный случай плоской
кривой, лежащей в плоскости (е10, его).
В этом случае при перемещении базиса
по кривой векторы е10 и ei0 повора-
поворачиваются на угол ф0 (рис. 1.11),
остальные два угла ¦&„ и ty0 тождест-
тождественно равны нулю, поэтому из A.81)—
A.83) имеем
g20 =
= 0;
__ "fa ' д
A.85)
Рис. 1.11
т. е. х30 — кривизна кривой; р0 — радиус кривизны кривой
в произвольной точке (более подробно о геометрических свойст-
свойствах кривых будет сказано в § 3).
Аналогично можно показать, что хг0 есть кривизна плоской
кривой в плоскости (е30, е10), следовательно, в общем случае
пространственной кривой хг0 и х30 — проекции кривизны про-
пространственной кривой на плоскостях, определяемые векторами
(гзо. ё10) .и (^ю. ^го)- Рассмотрим частный случай кривой — пря-
прямую. При перемещении начала базиса \ei0\ по прямой возможен
только поворот осей относительно вектора е10 (совпадающего
с этой прямой), т. е. d0 f 0, а ф0 = i|H = 0. Например, прямая
является осью естественно закрученного стержня, у которого по-
положение главных осей сечения (по которым направлены векторы
«го и езо) зависит от координаты s.
Из выражений A.81) — A.83) получаем
A.86)
В этом частном случае проекция х10 вектора х0 характеризует
вращение связанного трехгранника осей относительно прямой,
а для общего случая — относительно касательной к пространст-
пространственной кривой. Аналогичный геометрический смысл имеют и ком-
компоненты вектора х. Например'для плоской кривой в плоскости
(еш е2о) из A-76) получаем (при ¦& = г|> =0)
A.87)
Кривизна кривой в новом положении равна кривизне в началь-
начальном положении плюс изменение кривизны, вызванное «деформа-
«деформацией» кривой.
23

Получим выражения для производной вектора а — а,е, по
координате s:
+ ;ix«
Га
где g локальная частная производная, характеризующая
изменение вектора а в связанной системе координат.
§ 3. Основные положения
дифференциальной геометрии
В предыдущем параграфе были получены выражения для про-
производных по координате s единичных векторов базиса, связан-
связанного с пространственной кривой. Было наложено ограничение
только на один из векторов базиса, а именно на вектор еь который
прн перемещении базиса вдоль кривой всегда должен быть на-
направлен по касательной к кривой. Остальные два вектора ег
и е3 могли дополнительно поворачиваться (оставаясь взаимно-
ортогональными) относительно вектора ег, т. е. положение век-
векторов е2 и е3 не было жестко связано с кривой. В результате были
получены выражения для производной A.52), в которые входят
к, — проекции вектора к, характеризующего внутреннюю гео-
геометрию кривой (кривизну и кручение). Рассмотрим более под-
подробно геометрические свойства кривых.
1. Плоская кривая. Наиболее удобным способом представ-
представления кривой (как плоской, так и пространственной) является
параметрическое представление г =r(s), где s — параметр (кри-
(криволинейная координата).
В § 2 было показано, что производная радиус-вектора г по s
есть единичный вектор еъ направленный по касательной, т. е.
4 = е, A.89)
Рассмотрим плоскую кривую (рис. 1.12)" В точке А этой кри-
кривой проведем касательную AM н нормаль AN. Если теперь про-
провести ряд окружностей, касающихся прямой AM в точке А,
то среди этих окружностей имеется одна, наиболее близко при-
прилегающая к кривой в точке А (например, окружность К). Эта
окружность называется соприкасающейся окружностью, а ее
радиус р — радиусом кривизны кривой в точке Л.
24

о
Рис. 1.12
М
о
Рис. 1.13
Производная от ег есть вектор, ортогональный ег. Поэтому
имеем
ds
As->0
As-*O
As
где е2 — вектор, ортогональный вектору ех.
Из подобия треугольников ОАВ и ADC следует (рис. 1.13)
АВ
P
A.90)
где р— радиус соприкасающейся окружности. Так как \et\ = 1,
то из A.90) получаем
lim
As->0
As
поэтому
ds
A.92)
2 Пространственная кривая. Касательная к пространствен-
пространственной кривой определяется так же, как и для случая плоской кри-
кривой. Для кривой в пространстве к касательной в точке А можно
провести бесчисленное множество нормалей, лежащих в плоскости,
перпендикулярной к вектору ех (рис. 1 14). Возьмем точку В,
близкую к точке А. Пространственную дугу АВ можно приближен-
приближенно считать дугой плоской кривой. Плоскость, проходящую через
касательную AM и точку В, можно считать плоскостью, в которой
лежит дуга АВ. При В —»А эта плоскость займет строго определен-
определенное положение, которое характеризуется наиболее плотным приле-
прилеганием кривой\кэтой плоскости. Эта плоскость называется сопри-
соприкасающейся плоскостью к пространственной кривой в точке А.
25

Рис. 1.14
Рис. 1.15
Главной нормалью к пространственной кривой в точке А назы-
называется нормаль AN, расположенная в соприкасающейся плоскости.
Дугу А В можно приближенно считать как часть соприкасающейся
окружности, лежащей в соприкасающейся плоскости. Ее центр
находится на главной нормали к кривой.
Отрезок AL, ортогональный к соприкасающейся плоскости,
называется бинормалью. Покажем, что вектор, равный второй
производной от радиус-вектора г, лежит в соприкасающейся
плоскости. На рис. 1.15 показана соприкасающаяся плоскость р
в точке кривой А. Возьмем точку В на кривой, близкую к точке А.
Кратчайшее расстояние точки В от плоскости р равно [25 ]
ДА = е^АВ = е3 (п — г),
A.93)
где ег — единичный вектор, ортогональный к плоскости р. Раз-
Разложив гх в ряд Тейлора, получим
или
Вектор 7' ортогонален вектору еа, поэтому
A.94)
Соприкасающаяся плоскость есть плоскость, к которой наи-
наиболее плотно прилегает кривая в точке касания, т. е. ДА должно
быть минимальным. Справедливо и обратное утверждение — если
кривая наиболее плотно прилегает к плоскости (ДА = min), то
эта плоскость — соприкасающаяся. Наиболее плотно кривая
26

будет прилегать в точке касания к плоскости, если эту плоскость
провести через векторы Риг". В этом случае е3гй^=0 и разложе-
разложение АЛ в ряд A.94) начнется только со слагаемого, содержащего
As3, т. е. вектор г" (ортогональный к вектору г' = et) лежит в со-
соприкасающейся плоскости.
Вводя единичный вектор нормали е2, вектор г" можно предста-
представить в виде
Если взять произвольную точку С (рис. 1.15), лежащую в сопри-
соприкасающейся плоскости, то векторы (гс — г), г' и г" лежат в одной
плоскости, поэтому должно выполняться условие A.51)
Гг ~ЛСг' v г") = О П Qfil
которое является уравнением соприкасающейся плоскости. Для
случая параметрического задания кривой в декартовой системе
координат условие A.96) эквивалентно
х1с —
х2с —
*3с *3
• х'л
X,
= 0.
A.97)
В соприкасающейся плоскости можно провести соприкасаю-
соприкасающуюся окружность (см. рис. 1.15), что по аналогии с плоской
кривой дает возможность получить одну из геометрических харак-
характеристик пространственной кривой — радиус кривизны или обрат-
обратную ему величину — кривизну кривой в произвольной точке.
Так как приращение вектора г' =ег лежит в соприкасающейся
плоскости, то, возвращаясь к соотношению A.95), имеем
As-*0
As-*0
As
As->0
Дф
IT
т. е.
A.98)
и из A.95) получаем
де
1
Л - р * A-99)
Если на базисные векторы ег и еа ортогонального базиса, свя-
связанного с пространственной кривой, дополнительные условия не
наложены (например, чтобы они совпадали с главными осями
сечения стержня), то целесообразно вектор ёъ направить по глав-
главной нормали, а вектор ?3 по бинормали (см. рис. 1.14). Такой базис
27

(триедр) называется естественным или натуральным. При пере-
перемещении естественного трехгранника по пространственной кри-
кривой положение векторов 7: непрерывно изменяется, поэтому, рас-
рассмотрев производные по s, имеем в соответствии с общим случаем
A.52)
-^ = Q X ё, = e*,,Q,e* A.100)
ИЛИ
Основное отличие соотношений A.60) от A.101) заключается
в том, что при выводе соотношений A.60) никаких дополнительных
условий на направление вектора ?2 не накладывалось (кроме
основного условия, что вектор е2 ортогонален ех). При выводе
соотношений A.101) направление вектора ег строго определено —
вектор е2 направлен по нормали к кривой, что является частным
случаем связанного трехгранника осей. Вектор, характеризую-
характеризующий геометрические свойства кривой и представленный через
проекции на оси естественного трехгранника, принято обозна-
обозначать Q и называть вектором Дарбу. В дальнейшем для этих век-
векторов х используют единое обозначение как для случая, когда
используются естественные оси (в механике нитей), так и для
случая общих связанных осей. Из сопоставления выражений
A.99) и A.101) следует
Й3 = —I; Й2 = 0. A.102)
Найдем проекцию Qx вектора й. Вектор ¦— ортогонален век-
OS
тору е3. Кроме того, этот вектор, как следует из правой части
A.101), лежит в плоскости а (проходящей через точку Л), орто-
ортогональной к соприкасающейся плоскости так как -д-5- ех =
поэтому можно рассмотреть изменение направления вектора е3
в плоскости (рис. 1.16).
Из рисунка следует
As-J-O V As / As-J-O
As
=¦ lim
As
A-103)
поэтому из A.101) и A.103) следует
где • кручение кривой.
28

Рис. 1.16
Рис. 1.17
Для плоской кривой -j? — 0. Следует подчеркнуть, что
угол ¦&, который входит в выражения A.74) — A.76), и угол ¦&„ —
разные углы. Производная -у- характеризует скорость вращения
трехгранника осей, вызванную особенностями решаемой задачи,
как, например, при рассмотрении естественно закрученного стер-
стержня (рис. 1.17). Производная-г2-= — (кручение) целиком и
OS Pi
полностью определяется формой пространственной кривой. Знак
«минус» перед кручением (или в формуле для производной век-
вектора е3) появляется потому, что при положительном повороте
триедра относительно касательной на угол АФ0 вектор, равный
приращению Ае3, направлен против вектора е2.
Величина йх характеризует еще одно свойство пространствен-
пространственных кривых — кручение (мера уклонения кривой от соприка-
соприкасающейся плоскости). Окончательно получаем следующие выра-
выражения для производных единичных векторов натурального ба-
базиса (формула Френе—Серре [25]):
**.= _О^. A.105)
Вектор
Q =
JL-i, + JL?3
(Ы06)
называется вектором Дарбу.
29

А
Рис. 1.18
Рис. 1.19
Выражения для вторых производных единичных векторов
естественного трехгранника осей (dQt/ds = fi<):
g) ёз
= — Q& - (Qi + fig)
A.107)
3. Выражения для кривизны и кручения через декартовые
прямоугольные координаты точки кривой.
Из A.98) следует
A.108)
Так как
е2 = рГ; е3 = (ei X е2) = р(г х г"); е%-ёъ — — —,
то для кручения получаем формулу
1 7Gx71 i_
Pi Cr"? Л
Х1
A.109)
В качестве примера найдем значение кривизны и кручения для
винтовой линии цилиндрической пружины (рис. 1.18). Коорди-
Координаты точки В
30

Так как хг связано с длиной дуги А В = s соотношением
s = tVVt-r-/*tg1a = #
(где a — угол подъема винтовой линии), то, переходя к пара-
параметру s, получим
. S S x^w * /lit /~\\
л» ^_^ ^ с1^^ * ^^ ., #¦ ^^\с * ^г ^"^ /" ТСУ ^»— it I 1111
#с к. R
Подставив( выражения для производных от х, по s в A.108),
A.109), после преобразований получим
4. Связь кривизны и кручения осевой линии стержня с направ-
направляющими косинусами осей связанного трехгранника. Связь между
единичными векторами неподвижного базиса |t;} и базиса {е,}
(см. рис. 1.16) задана матрицей направляющих косинусов L =
= || 1ц ||, поэтому имеем
Подставив е{ в формулы Френе—Серре, получим девять по-
полезных при преобразованиях соотношений:
din /-» / . dUa ,-v , . dlla _ о / .
ds  21> ds eeyM> ds ииу23'
11 з =^ "^31 — ""З*!!* -j -—¦ ub^/oa "~" ™*12» -4 ^— и™i'33 — ™™3*13» I ^ • ^ ^^/
OS OS OS
din о / • "^32 . о / • "/за q »
В § 2 при использовании произвольного базиса \e't\, например
базиса, у которого ег и е'3 связаны с главными осями сечения
(рис. 1.19), был получен вектор х, характеризующий вращение
базиса при перемещении по кривой. Этот вектор можно рассмат-
рассматривать как вектор Дарбу, разложенный по векторам базиса
О, = х = ххё1 + «2^2 +
31

Таблица направляющих косинусов имеет вид
Таблица 1
«1
ч
«3
1
0
0
е,
0
cosG
—sin ф
0
sinf*
«cos #
Поэтому, переходя к базису натуральных осей, получим
но в базисе {et\ компоненты вектора Дарбу равны Q,-, поэтому
О1==х1 = —; A.116)
XjjCosd — x,slnd = 0; A.117)
A.118)
Xj sind -f XsCos Ъ — Q3 = —.
Из A.117) — A.118) находим выражения, связывающие кри-
кривизну кривой й, с компонентами ранее введенного вектора х:
_
«2
cosfl
A.119)
1 -
т. е. ха и х, являются проекциями вектора кривизны —ег на
направления векторов е'2 и е'3 (например на главные оси сечения).
Из A.119) получаем
1 2 | 2
= Х2 + Х3.
"Р5"
A.120)

Глава 2
Статика
прямолинейных стержней
§ 4. Введение
В прикладных задачах статики стержней часто внешние силы,
действующие на стержни, зависят от перемещений стержня
(или от их первых двух производных). Классическим примером
являются стержни на упругом основании (рис. 2.1). При нагру-
жении стержня возникают со стороны основания распределенные
силы, зависящие от перемещений (прогибов) стержня. Стержни
(вернее конструкции или элементы конструкций, которые сводятся
к модели стержня) из разных областей техники показаны на
рис. 2.2 — 2.6. Упругий металлический элемент прибора, находя-
находящийся в магнитном поле, изображен на рис. 2.2. Сила притяже-
притяжения (распределенная) зависит от прогибов стержня аналогично
случаю балки на упругом основании. Стержень, находящийся
на вращающейся платформе (см. рис. 2.3), нагружается силами,
зависящими от прогибов, причем в этом случае наряду с нормаль-
нормальной распределенной нагрузкой qy (у) появляется и осевая распре-
распределенная нагрузка qz (у). При продольно-поперечном изгибе
(см. рис. 2.4) в произвольном сечении стержня возникает момент от
осевой силы пропорциональный прогибу. К этому классу отно-
относятся задачи статики трубопроводов, заполненных движущейся
жидкостью. При поперечном изгибе трубопровода (см. рис. 2.5)
из-за появляющейся кривизны осевой линии стержня возникают
распределенные силы, обратно пропорциональные радиусу кри-
кривизны. К этому классу можно причислить задачи, относящиеся
к плавающим объектам и сводящиеся к схеме стержней, (см.
рис. 2.6), например понтон.
Рассмотрим равновесие элемента балки, находящейся на упру-
упругом основании (рис. 2.7). Проектируя силы на оси у и считая, что
контактные силы между стержнем и основанием линейно зависят
от прогибов, получим
где q (q0, Р, М) — обобщенная внешняя нагрузка, зависящая
от распределенных и сосредоточенных внешних сил; Е — модуль
2 В. А. Светлнцккй 33

х?
Чг
м
rtlfl
У
pi 9W.i
г
La
1,
L M
r '
у
a
z
Рис. 2.1
Рис. 2.2
Рис. 2.3
Рис. 2.4
X
r
z
w z
г йгу
Ряс. 2.S
Ряс 2.$
34

упругости первого рода;, Jx — мо-
момент инерции сечения относительно
оси х.
Для стержня в магнитном поле
(см. рис. 2.2) уравнение равновесия
где q(y)= (afy)a ;
B.2) Рис. 2.7
= EJX (г) (С = const).
Считая, что прогибы стержня малы по сравнению с размером а,
можно распределенную силу q (у) представить в виде
=f-). B-3)
B.4)
Рассматривая равновесие элемента стержня, находящегося
на вращающейся платформе, получаем уравнение равновесия
Уравнение B.2) принимает вид
ж
При рассмотрении равновесия элемента трубопровода получаем
М). B.6)
Все приведенные уравнения являются частными случаями
уравнения вида
у" + а, (г) tf + ог (г) у" + а, (г) у' + а, (г) у = q (г). B.7)
§ 5. Основные сведения из теории
дифференциальных уравнений
Приведем уравнение- B.1) к безразмерной форме, полагая
где в, о, Q?, Л?з — безразмерные величины, А33 @) =
2*
@).
35

Подставив введенные безразмерные величины, например в ура-
уравнение B.1), после преобразований получим
d? / лО d?v \ d /у-чО dv 4(^4 о
do V ds^ J d& \ d& / *
где
Представим уравнение B.8)» в виде системы уравнений первого
порядка, полагая v = vlt v' = иа, if — u3, vm = y4:
d = q(e), B.9)
где
v =
0—100
0 0—10
0 0 0—1
a4 a3 flg ai
Решение уравнения B.9) имеет вид
B.10)
где
/С (в, Ч) = Я (е) К-Чл); (/С@) = Е).
Вектор v0 находим, используя краевые условия. При е = 0
известны две компоненты вектора решений v{0) (какие именно,
зависит от конкретных краевых условий), что дает возможность
сразу определить две компоненты вектора v0, так как при е = 0,
К @) = Е, 0о, = у, @), где (i = 1, 2). _
Оставшиеся две компоненты вектора v0 определяют из краевых
условий для вектора решений на правом конце (при 8=1)
B.11)
Из B.11) получаем два уравнения для определения оставшихся
двух компонент вектора о0. В общем случае, когда уравнение
B.9) имеет коэффициенты, зависящие от е, матрицы К (е) и К (е, г\)
определяются, как правило, численными методами. Определив
вектор v0, решаем уравнение B.9) как задачу Коши и определяем
компоненты вектора о в зависимости от е (численно). Матрица
36

К (е) удовлетворяет (как фундаментальная матрица решений)
однородному матричному уравнению
К'(») + А (в) К (в) = 0. B.12)
При численном счете матрицу К (в) можно получить решая
4 раза уравнение вида
а = 0 B.Щ
при следующих начальных условиях для компонент вектора а:
a2 = a2@100); a3 = a3@010); 04 = 04@001).
Получающиеся при этом решения являются столбцами матрицы
К {в).
Для уравнений с постоянными коэффициентами матрица
Грина К (е, ч) равна фундаментальной матрице от разности аргу-
аргументов
К (в. т))=К(е-т)). B.14)
Справедливость равенства B.14) можно показать следующим
образом.
Для уравнений с постоянными коэффициентами
B.15)
любая матрица вида К (е + г\) является фундаментальной мат-
матрицей.
Если в уравнении B.15) перейти к новому независимому
переменному в = е± + х\, то получим
0. B.16)
Так как de1=de, то из сравнения уравнений B.15) и B.16)
следует, что матрица К (ei + л) удовлетворяет уравнению B.15),
т. е. является фундаментальной матрицей. Покажем, что и мат-
матрица вида К — К (е) К (т)) (где е = et + ц) также удовлетворяет
уравнению B,15). Заменив в B.15) е на ех и умножив уравнение
слева на матрицу К (t\), получим
КШ - 0- B-17)
Из уравнения B.17) следует (так как ctej = de), что матрица
К (&i)'K (ч\) удовлетворяет уравнению B.15), что и-требовалось
показать. Матрицы K(ex + ti) и K{&i) К("п) являются при любом
фиксированном значении т] решениями уравнения B.15). При
т) = 0 (так как /С@) = ?) эти матрицы совпадают и из теоремы
о единственности решения следует, что при любых ег
B-18)
37

Рассмотрим .матрицу
/С(в, 4)«#C(e)iC^D).
Полагая в B.18) ег + ц—е, получим К (в) = К (в — tj) К (ц),
поэтому
К (в. r\)=K(e-i\)Kto)K*to)=KF-i\)\ B.19)
что и требовалось показать.
Общее решение системы уравнений с постоянными коэффи-
коэффициентами можно представить, учитывая B.19), в виде
B.20)
§ 6. Элементарные обобщенные функции
Рассмотрим функцию F (г), имеющую максимум при 2 = 0
и быстръубывающую с увеличением г (рис. 2.8), лричем
B.21)
Сформулированным условиям удовлетворяют много функций,
например
Преобразуем функцию Flt увеличив ее значение при г = О
в т раз, одновременно сжав ее по оси г также в т раз, что экви-
эквивалентно введению новой функции вида
где т — произвольное число.
Качественное поведение функции Fx (tnz) для ряда значений
т (т > 1) показано на рис. 2.8. Функция Ft (тг) при любом т
Рис 2.8
Рис 2.9

удовлетворяет условию B.21). При неограниченном увеличении т
получаем функцию со следующими'свойствами (рис. 2.9):
[ 0, г<0
lim Fi (тг) = б (г) = I оо, г = 0. B.24)
**- I 0, г>0
С учетом отношения B.21) имеем
=l, B.25)
где б (г) — функция Дирака.
Из B.25) следует, что
где [ ] — знак размерности.
В безразмерные уравнения (в частности с безразмерной 'неза-
'независимой переменной) входит 6-функция вида б (az), где г — без-
безразмерная величина. Покажем, что справедливо равенство [10]
б (ог)--^ б (г). B.26)
Рассмотрим интеграл от б (г):
ее оо
J b(z)dz = J \a\b(az)dz.
—со —оо
При а > О имеем
оо во
J ab(az)dz = \ 6 (zt) dzL = 1 {zt = az).
— оо —во
При а< О
оо о» —во оо
J \a\8(az)dz^— J b(az)adz = ~ J 6(
т. е. функция I a 16 (az) удовлетворяет всем свойствам 6-функции.
Аналогичным образом моцут быть введены и. функции, являю-
являющиеся производными от 6-функции, например б (г):
6' (z) = lim F\(mz). B.27)
m->oo
График Fi (mz) при конечном т показан на рис. 2.10 (качест-
(качественно). Для n-й производной функции Ft при т —» оо получаем
39

t (mi) .
Рис. 2.10
Рис. 2. И
Естественным обобщением введенной функции B.27) является
функция, смещенная относительно начала отсчета, например
Ft [т (г— 20)], которая при т —»оо (также) есть функция
Дирака (рис. 2.11). Для нее справедливо условие
оо
j 6B-2o)dz=l. B.28)
Рассмотрим функцию, связанную с 6-функцией условием
B.29)
#(z-Zo)= I 8(z~zo)dz.
— оо
Введенная функция Н (г — г„) (функция Хевисайда) имеет
свойства
О, г<г0
z>z0
Из B.29) следует
B.30)
B.31)
Интеграл от функции Я (г — 20)
г z
J Я (г - z0) dz = J Я(г - г0) ^г = (г - г0) Я (г - г0). B.32)
—оо г0
Рассмотрим производную от б-функции по г, если г = ае:
rf6 (ае) _ db (ае) й&_ _ _1_ rf6 (ag)
rfz rfe dz ~ с rfe '
или в силу условия B.26) получаем
rf6 (ае) 1 rf6 (в)
rfz а2 rfe
40
B.33)

Линейные операции с использованием б-функции Дирака.
Рассмотрим интеграл вида
со
/= J /'BNB -Zo)dz, B.34)
—оо
где / (г) — непрерывная функция.
Наглядное представление о значении интеграла можно полу-
получить из рассмотрения графика на рис. 2.11. На графике видно,
что подынтегральное выражение в B.34) отлично от нуля только
на интервале (z0 — в,' г0 + е), где е — малая величина. В пределах
этого интервала функция / (г) имеет неизменное значение, равное
/ (г0), т. е., учитывая B.28), получаем
со
/ = /Bо) J b(z-zo)dz^f(zo). B.35)
—со
Из предыдущего вытекает
-2o). B.36)
Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом
г
J = J / (г) б (г - г.) dz = f (г.) Н (г - г0). B.37)
— со
В случае, если подынтегральное выражение зависит от произ-
производной б-функции, используя правило интегрирования по ча-
частям, получаем
ео оо оо
J/BN'B-2o)d2 = /BN(Z-Zo) | - J f'(z)b(Z - Zo) dz
— CO CO CO
или
CO
J/BN'B-Zo)d2 = -rBo). B.38)
00
Для общего случая
со
J / B) б("> (z - z0) dz = (-1 O(n) (Zo). B-39)
CO
При переменном верхнем пределе
г
\ f(zN'B-Z0)dz = /(zNB-20)-/'(Z0)^B-20). B.40)
Рассмотрим несколько примеров, связанных со статикой
стержней:
а) Консольный стержень, нагруженный сосредоточенными си-
силой Р и моментом М и распределенной нагрузкой q, показан на
41

Рис. 2.12
Рис. 2.13
рис. 2.12. Уравнение равновесия с использованием разрывных
функций имеет вид
EJxylv = —/>«(*- zL) + Mb'{z-zi)-qH{z- г,). B.41)
Последовательно интегрируя B.41) (от 0 до г), получим
EJxyn = —РН (z - 2l) + Мб (г - г,) - q(z - z3) Н(г- г,) + Cl;
EJxy" = —P(z- z,)H(z-z,) ±
X Я (Z
-z2) -±.q(z-z3f x
-~q(z-z3fH{z-zs) +-LClz
- ~ q (z - z3)* H (z - г3) + i- c^ + JL
При г = 0, у = у' = 0, ^следовательно, с3 = с4 = 0.
При z — I должны выполняться условия
EJxy" = 0, EJxy'" = 0,
откуда следует, что
б) Рассмотрим равновесие натянутой нити с учетом сил веса,
на которую действуют сосредоточенная сила Р и распределенная
нагрузка q (рис. 2.13). Уравнение равновесия нити (считая откло-
отклонения нити от прямолинейного нагруженного состояния малыми)
имеет вид
Qioli- = «?-/>6(*-*i)-<
-z2)~H(z^- za)], B.42)
где mg — вес единицы длины нити; т — масса единицы длины
стержня.
42

Интегрируя уравнение B.42), получаем
-PH(z- zj -q(z-z2)H(z- г2) +
г3) + с1; B.43)
^ \ - z2) +
+ i- q (z - z3f H B.- zs) + clZ + c2. B.44)
При z — О, у = 0 вытекает, что сг = 0.
Вторую произвольную постоянную с2 найдем из условия
z = /, у = 0:
i-mg/2 - /> (/ - г,) —I 9 (/ - г2J + 4- ? С ~ Ъ? + ^/ - 0. B.45)
Особенностью полученного решения является то, что первая
производная от прогиба струны в точке приложения сосредото-
сосредоточенной силы имеет излом (для стержня с отличной от нуля изгиб-
ной жесткостью первая производная от прогиба является непрерыв-
непрерывной функцией). Если условиться (как это обычно и делается),
что выражения в скобках B.43) — B.44) отличннГ от нуля только
тогда, когда z —zt > 0, то функции Н (z — z() можно не писать.
§ 7. Балки на упругом основании
Рассмотрим уравнение равновесия балки, связанной с линей-
линейным упругим основанием B.8) для частного случая, когда жест-
жесткость Азз постоянна, а осевая сила Q? равна нулю:
aty(e) = <7°(e) B.46)
или [аналогично уравнению B.9)]
при oi = О2 = аз = 0, О4 = 4а1
v' + Av = q. B.47)
Решение однородной системы B.47) определяют в виде v =
= Ле*8, что приводит к характеристическому уравнению
A4 + 4ai = 0. B.48)
Корни уравнения B.48)
В результате получаем решение для v± — v в виде
Vl = v = Cikn + c2k°i2 + c3k°i3 + Ф°ы = de~at? cos one -f
-f c2e~a'f sinaje + c3ea'? cos а2е + c4eaiE sin ate. B.49)
43

Так как компоненты вектора о являются производными от Ь,
то фундаментальная матрица решений
*?«
CI3
24
31
«41
«3
32
,0"
«42
«23 «2.
«f3
4
А0'
43
,
h
«44
B.50)
Полученная матрица К0 (е) при е — 0 не является единичной
матрицей, что не совсем удобно при дальнейших преобразованиях.
Выше было показано, что любая матрица вида К = К0 (е) р\
где Р — постоянная матрица, также является решением однород-
однородного уравнения B.47). Матрицу р4 можно выбрать такой, что при
8 = 0 матрица К @) есть единичная матрица; для этого достаточно
взять матрицу р4 равной матрице К0 1 @), где К° * @) — матрица,
обратная матрице К0 @), т. е.
3). B.51)
После преобразовании
*(«) = II *//! =
«I
— 2oti&
2(Xi«!
получаем
к2/2«г
«I
— 2ai&3
«3/3ai
«i
— aift4
«4/4a^
I2/2I!
«1
B.52)
где
, = ch otje cos ate;
ft3 = sh o^e sin axe;
2 = ?h aie sin aie + sh аге coS aie!
kt = ch а!б sin o^e — sh аге cos o^e.
B.53)
Производные от функций kt связаны с функциями соотноше-
соотношениями
«2 = 2
«3 ==
«i = — 2a2i«3; fe'i = —
k = — 2a2ift4; «2 =
4ai&3;
«3 =
B.54)
«4 ==
Общее решение уравнения B.47) имеет вид
у ---
е
J /((е-
B.55)
44

или в скалярной форме записи
4 е
vc = V /цро, + J АD (е - tj) ф. (tj) rftj. B.56)
,= 1 О
В качестве примера рассмотрим действие на стержень сосре-
сосредоточенной силы и распределенной нагрузки (см. рис. 2.1). В этом
случае
Так как z = le, г? = /е,-, то, воспользовавшись свойствами
б-функций B.26) и B.33), получим выражение для ф в безраз-
безразмерной форме
дЧ (е) = — Р% (е - ei) - М°6 (е - е2) - q°H (e - е3), B.57)
где
- EJX' '" ~ EJX' l
Подставив B.57) в B.56), получим
4 e
U« = ]jj kijV0i + J ft'4(e — Л) I—J
/=1 0
— M°b' (tj — e2) — q°H (tj - e3)] rfrj
или
4
e
— M0ft,4 (e — e2) Я (e — e2) - ф J ftD (e - tj) Я (tj — e8) dTj. B.58)
о
Рассмотрим интеграл
e e
Л = J A,4 (e - ч) Я (т) - e3)dTj = J ft,4 (e - tj) Aj- B-59)
О es
В силу свойств функций ft, B.54) имеем (переходя к безразмер-
безразмерной координате е) -р =—axft4 (а^). Если ftt [а2(е — tj)],
то производная по tj равна
поэтому
ft,4(e - tj) = 4af ^ -?* ldt[ •
45

Аналогично можно получить
Рис. 2.14 4aI drl
2a2
- r,) = *, l«! (e - т,)] = - -g
Окончательно получаем следующие значения для интегралов:
yi = ~Ц ki tai (е - е3)]; Л = - ~гг *4 («1 (е - е3I;
1 1 B-60)
ft[a(e6)]; / * [ (е _ ejtI.
Если стержень, связанный с упругим основанием, нагружен
растягивающей силой Q10, получаем
==<7b B.61)
Для сжимающей силы Qlo в уравнении B.61) следует изме-
изменить знак QV имеем
fIV + Q?of44afy = <7?. B.62)
Уравнение B.61) описывает н равновесие нагруженного тру-
трубопровода, лежащего на упругом основании (рис. 2.14). Для
трубопровода растягивающая сила
О - mwH2
§ 8. Приближенные методы решения задач
Многие задачи механики стержней, с которыми приходится
сталкиваться инженеру-расчетчику, не поддаются точному реше-
решению. К таким задачам относятся, например, задачи статики и
динамики стержней с переменным сечением, нелинейные задачи
с нелинейными краевыми условиями и т. д. Для решения подоб-
подобных задач используют приближенные методы как численные,
46

так и аналитические, или методы, представляющие их комбина-
комбинацию. Часто оказывается, что полученные точные решения из-за
чрезвычайной сложности записи являются практически бесполез-
бесполезными для математической и физической интерпретации или числен-
численных расчетов, т. е. для получения нужной информации прибегают
к упрощениям или аппроксимациям.
Среди приближенных методов* наибольшее распространение
получили методы, использующие вариационные принципы, и
методы возмущений (асимптотических разложений) по большим
или малым значениям параметра или координаты. Полученные
в предыдущих параграфах уравнения равновесия стержней и
нитей, как правило, являются нелинейными и в общем случае
нечмогут быть решены в аналитической форме за исключением
частных случаев. При решении уравнений равновесия обычно
используют или численные методы, или приближенные, исполь-
использующие вариационные принципы механики. При численных ме-
методах решения задач усложняются тем, что все задачи механики
стержней относятся к двухточечным краевым задачам.
Рассмотрим задачу о нагруженной балке, лежащей на упругом
основании [уравнение B.9)]. Для численного решения этой си-
системы уравнений необходимо знать о @), однако компонент век-
вектора v @) неизвестен.
Поэтому при численном счете задаются неизвестными ком-
компонентами Vi @), каждый раз решая систему уравнений, пока
не найдут значения у,- @), при которых вектор v A) удовлетворяет
краевым условиям на правом конце. Несмотря на кажущуюся
сложность этих методов, их решение на ЭВМ довольно эффективно.
Для сокращения времени счета используют методы целенаправ-
целенаправленного поиска начальных значений vt @), дающих решение
задачи. Если используют уравнения в безразмерной форме, то
полученное решение охватывает целый класс родственных
задач.
Следует подчеркнуть, что классическое решение дифферен-
дифференциальных уравнений равновесия стержня или нити (пред-
(представление решения в квадратурах), как правило, практически
мало полезно, так как все равно, получение числовых результа-
результатов требует применения численных методов для выражений ана-
анализа решений. Это может быть гораздо сложнее, чем численное
решение исходных уравнений. ^
Уравнения равновесия стержней и нитей можно получить .
из общих вариационных принципов механики, поэтому их можно
использовать и для приближенных методов расчета. Прежде
чем изложить методы приближенных решений, напомним поло-
положения вариационного исчисления и основные вариационные
принципы, используемые в механике стержней и нитей.
1. Основные положения вариационного исчисления. В инже-
инженерной практике1 наряду с задачами определения экстремальных
47

значений функций у = f (x) возникает необходимость определения
экстремальных значений выражений вида
ь
J=\F(x,y,y')dx, B.64)
а
которые называются функционалами. Задачей вариационного
исчисления является определение функций, например функции у,
которые сообщают экстремальные значения функционалам.
Исследуем на экстремум простейший функционал B.64) для
случая, когда граничные точки для допустимых функций у фик-
фиксированы: у (а) = у0, у (Ь) = ук. Допустимыми функциями на-
называются непрерывные функции (с непрерывными производ-
производными), принимающие известные значения на концах интервала
интегрирования. Необходимым условием экстремума является
обращение в нуль первой вариации функционала. Для получе-
получения первой вариации функционала перейдем от функции у к близ-
близкой к ней, полагая
Ух = У + аЬу,
где а — малое число; Ьу — произвольная функция (вариация
функции у), которая обращается в нуль при х = аи х = Ь. При-
Приращение функционала
ь ь
AJ = \ F (х, у -f аб«, у' + абу') dx - [ F (х, у, у') dx. B.65)
а а
Разложив первое слагаемое в правой части в ряд Тейлора
по степеням а, получим (ограничившись линейной частью разло-
разложения)
а
Ь
~\F(x,y,y')dx = 0 B.66)
а
ИЛИ
ь
1х. B.67)
Интегрируя -тр Ьу' по частям, получим
B.68)
а в

Подставив B.68) в выражение для первой вариации функцио-
функционала B.67), имеем
Вариация by является произвольной функцией, не равной тож-.
дественно нулю, поэтому условие B.69) будет выполняться, если
положить
* * _ «L = 0. B.70)
ах ду ду
Полученное уравнение B.70) есть уравнение Эйлера. В раз-
вернутом виде имеем
™ «L av да B7I)
ду,* * "Г дуду' У Т дхду, - ду-"'
Если функция F не зависит от х, уравнение Эйлера имеет пер-
первый интеграл. В этом случае из B.71) получим
_^F ^ B_?2)
ф дуду' у дуЛ у
Умножив B.72) на у', получаем производную от выражения
°- B73)
поэтому
F~y'~ = C B.74)
ду
Если функционал
ь
J = \F{x,y,y',y")dx B.75)
зависит от у", то, проделав аналогичные выкладки, получим сле-
следующее уравнение для определения у.
lxi~dylr~"dxW~^'W = 0' ^26^
Функционал может зависеть от двух и более неизвестных
функций, например
ь
*> У^ y'v y"v Ур У'г Уд dx- BJ7>
49

Чтобы функции уг и уг доставляли экстремум функционалу
B.77), необходимо, чтобы функции у1 и уа удовлетворяли системе
уравнений вида
fy2' ** ^2 дУ» ~ '
Часто встречаются задачи, в которых на искомые функции у
накладываются Дополнительные ограничения. Такая задача на-
называется задачей на условный экстремум, и она формулируется
следующим образом: требуется найти функцию у, которая сооб-
сообщает экстремум функционалу
ь
J=\F(x,y,y',y»)dx B.79)
а
при условии, что функция у удовлетворяет дополнительному
условию
f(x, у, у') = 0. B.80)
Ограничения, которым должна удовлетворять функция B.80),
могут от производных функций у и не зависеть.
При решении рассматривают функционал вида
H = F + %(x)f(x,y), B.81)
где к (х) — множитель Лагранжа, и ищут экстремум функционала
ь ь
J = | Hdx = J (F + V) dx. B.82)
а а
Уравнение Эйлера имеет вид
d» дН d дН дн п
или
dF d dF df ,_dF__u
Уравнение B.84) совместно с уравнением B.80) дают систему
двух уравнений для определения неизвестных функций у и Я.
В случае, когда имеется ряд ограничений ft (х, у) = 0, рассмат-
рассматривается функция вида
B-85)
где Х{ — множители Лагранжа.
50

Если ограничения на функцию у заДаны в интегральной форме
вида
ь
\ B.86)
то такие задачи называются изопериметрическими. Требуется
найти экстремум функционала
б
B.87)
при условии
ь
l B.88)
Изопериметрическую задачу можно свести к общей задаче
на условный экстремум, полагая
B.89)
Дифференцируя B.89) по х, получим
ф'(*) = /(*, у, у', y")dx. B.90)
Требуется найти функции у и <р, доставляющие экстремум
функционалу B.87) при наличии уравнения связи B.90).
Воспользовавшись множителем Лагранжа, имеем
B.91)
Так как функция Я зависит от двух неизвестных функций у
и ф', то для их определения получаем систему уравнений
_сР_ дН_ d_dH_ ,дН___ п
dx* d<$" dx д<р' ' Зф
ИЛИ
d2 dF d dF . dF d* /» df
tte2 oy^ dx ay ' oy ад;2 \
= 0. B.94)
51

Из уравнения B.94) следует,
что Я, = const, т. е. для изопери-
метрической задачи множитель
Лагранжа есть постоянное число.
Уравнение B.93) и условие
B.88) дают возможность опреде-
определить функцию у и неизвестный
множитель Лагранжа Я,.
Рассмотрим следующий при-
пример. Нить заданной длины, кото-
которая находится в равновесии в поле
тяжести, показана на рис. 2.15.
Форма, которую нить имеет в состоянии равновесия (по сравне-
сравнению с другими возможными формами, показанными пунктирными
линиями), должна удовлетворять экстремальному условию: ко-
координата у0 (центр тяжести) для истинной формы *равновесия
имеет наименьшее значение (что эквивалентно условию минимума
потенциальной энергии нити).
Координата центра тяжести
Рис. 2.15
с
] ymgds
Tmg
B.95)
Условие минимума у0 эквивалентно условию минимума функ-
функционала
Хг Хг
j= )yds= j yyi + у'2 dx
B.96)
при дополнительном ограничении
Хг
j/l+y'2 dx = l.
B.97)
Воспользовавшись множителем Лагранжа, получаем следую-
следующий функционал:
'2 dx-
B.98)
Уравнение Эйлера для функционала Ух имеет первый инте-
интеграл
ду'
или
(У + Ц У'2
B.99)
52

Из B.99) получаем
-by'2 . B.100)
Уравнение B.100) можно проинтегрировать, положив у'~
= sh t, имеем
y-lrl = C1cht. B.101)
Продифференцировав B.101) по /, получим
B102)
Из B.102) получаем х = CJ + С2. После преобразований
у + Х= Qch xTCa . B.103)
Из уравнения B.103) следует, что нить в поле тяжести в со-
состоянии равновесия имеет форму, которая описывается цепной
линией.
Для определения трех постоянных величин Сх, С2 и X имеем
следующие три уравнения:
yl + A, = C1chii=?; B.104)
y2 + l^ClCh^=^-; B.105)
B.106)
Подставив в B.106) выражение для у', получим
Сх (sh *2~Са - sh ^~Сг) = Л B.107)
Из уравнений B.104) и B.105) можно исключить к:
B.108)
Возводим уравнения B.107) и B.108) в квадрат и вычитаем
одно из другого:
^^ _ Ch^^J - f Sh i^s _ sh Il^lY =
= ^-^^- B-109)
53

Из B.109) после преобразований no;tyqaeM
1 - ch b=fs- = -±-[Р-{Уг- yifi B.110)
Уравнение B.110) зависит только от Сг. Определив С1з нахо-
находим из B.107) или B.108) С2, а из B.104) или B.105) %.
2. Принцип возможных перемещений. При решении задач
статики и динамики стержней очень эффективными являются приб-
приближенные методы, использующие принцип возможных переме-
перемещений Напомним формулировку принципа возможных переме-
перемещений, которая дается в курсе теоретической механики [17].
Необходимое и достаточное условие равновесия системы, под-
подчиненной стационарным идеальным связям, заключается в ра-
равенстве нулю работы сил, приложенных к системе, на всех ее
возможных перемещениях (Идеальными связями называются
такие связи, сумма работ реакций которых на любом возможном
перемещении систем равна нулю.)
Аналитическая запись принципа возможных перемещений
имеет вид
Gt) = 0, B.111)
где 6Л — сумма работ внешних сил 7, на возможных перемеще-
перемещениях 8rt. Если внешние силы Ft консервативны, то их можно
представить через потенциальную энергию системы U(x\l)) в виде
?$ (/=1-2,3; t = 1,2 п)
(где x\l) — координаты центров масс системы материальных
точек).
Из B.111) получаем
ЬА = — V / ди
= _8?/ = 0 B.112)
или
6U = 0, B.113)
где 8Um— вариация потенциальной энергии системы. Условие
B.113) — условие экстремальности потенциальной энергии в по-
положении равновесия системы.
Следовательно, из принципа возможных перемещений следует,
что необходимые и достаточные условия равновесия системы с
идеальными связями под действием консервативных сил совпа-
совпадают с необходимым (но недостаточным) условием экстремума
потенциальной энергии. Принцип возможных перемещений может
быть использован при решении задач статики наряду с более
привычными уравнениями статики.
54

Рис. 2.17
Для применения принципа возможных перемещений при ре-
решении задач механики стержней необходимо обобщить этот прин-
принцип так, чтобы его можно было распространить на упругие си-
системы. Для упругих систем (или в более общем случае для дефор-
деформируемых систем, например стержней) необходимо принимать во
внимание не только работу внешних сил, но и работу внутренних
сил (результирующих напряжений), вызванных возможными от-
отклонениями упругой системы от состояния равновесия. Остано-
Остановимся более подробно на понятии возможного перемещения для
стержней. Возможным (или виртуальным) перемещением назы-
называется всякое малое перемещение точек осевой линии стержня из
исходного состояния без нарушения связей, наложенных на стер-
стержень. Например для стержня, показанного на рис 2 16, любая
функция 8у (г), мало отличающаяся от функции у (z) и удовлет-
удовлетворяющая ее краевым условиям, может рассматриваться как
возможные перемещения для точек осевой линии стержня Лю-
Любое возможное перемещение 8у (г) стержня является непрерывной
функцией.
Рассмотрим, как формулируется принцип возможных, пере-
перемещений для произвольно нагруженного стержня (рис. 2.17),
который до приложения внешней нагрузки был прямолинейньш.
При статическом приложении нагрузки (Ро, Мо и q0) стержень
деформируется, в связи с чем силы совершают работу, которая
переходит в его энергию деформации Пренебрегая потерями энер-
энергии, вызванными внутренним трением, имеем
U = А,
B 114)
где U — энергия деформации стержня (равная работе внутрен-
внутренних сил); А — работа внешних сил.
Применительно к деформируемым системам принцип возмож-
возможных перемещений формулируется следующим образом:
если деформируемая система находится в равновесии под дей-
действием внешних сил, то работа этих сил на возможных деформа-
деформациях системы, совместимых со связями, наложенными на систему,
55

v г
равна работе внутренних сил на этих
же деформациях, т. е.
ЬА =8(/. B.115)
Работа 8А есть работа внешних
(обобщенных) сил, приложенных
к конструкции, на возможных обоб-
щенных перемещениях точек прило-
жения этих сил (вызванных возмож-
ными деформациями конструкции).
На возможных перемещениях
внешние силы сохраняют свое зна-
значение, поэтому работа каждой из обобщенных сил равна произ-
произведению силы на обобщенное возможное перемещение, т. е.
^
Рис 2 ,8
B.116)
где Qt — обобщенная сила; 8yt — возможное обобщенное переме-
перемещение.
Получим выражение для возможной работы сил, приложен-
приложенных к стержню, лежащему на упругом основании (слое)
(рис. 2.18, а). На рис. 2.18, б показаны возможные перемещения
балки — by (г).
Работа внешних сил на возможных перемещениях в рассматри-
рассматриваемом случае
i i
ЬА = — Р8у (Zl) + МЬу' (z2) - \qbydz - \qocuby dz B.117)
zs 0
(<7ос„ = ky).
Покажем, что из условия B.115) можно получить уравнение
равновесия стержня. Рассмотрим стержень, лежащий на упругом
слое (см. рис. 2.18, а). Потенциальная энергия и ее вариация, вы-
вызванная возможными деформациями стержня, соответственно
равны
i
и = у
B.118)
Работа внешних сил на возможных перемещениях
i
ЬА = — РЬу (Zl).+ МЬу' (z2) - J qbyH (z - z3) dz -
B.119)

или
8А = —Р \ 8y8(z-zt)dz - м\ 8у8'(z ~ z2)dz -
o о
I I I
— {qH(z- z3) 8ydz-\ ky8y dz - Q10 j y'8y' dz. B.120)
Интегрируя B.119) по частям, получим
„у"8у" dz = A33 (y"8y' - (/'(/)| + f A
о
Свободные слагаемые в силу краевых условий равны нулю.
Аналогично проинтегрировав последнее слагаемое в B.120),
получим
/ i i
\ у'8у' dz = у'8у I - J y"8y dz.
Приравняв выражения для 81/и 8А.после преобразований имеем
¦У™ + ky + P8(z- 2,) + М8' (z - г,) +
+ qH(z-z3)-Qloy")8ydz = O. B.121)
Так как возможное перемещение является произвольной функ-
функцией, не равной тождественно нулю, то из B.121) следует
АзаУ™ — Qio!/" Л-fy — —Р8 [г — zt) — М8' (z — z2) — qH (z — г3).
B.122)
Полученное выражение B.122) есть уравнение равновесия
стержня для случая, показанного на рис. 2.18, а.
Выражение B.121) можно представить в более компактной и
общей форме записи
2
U{y)8ydz = 0, B.123)
где L (у) есть уравнение равновесия стержня. Если у является
точным решением уравнения равновесия, то L (у) = 0. Если у не
является решением уравнения равновесия (задано приближенно),
то соотношение B.123) является дополнительным интегральным
условием (кроме краевых условий), которому должно удовлетво-
удовлетворять приближенное выражение для у. Выражение B.123) можно
преобразовать к безразмерной форме, как это делалось в преды-
предыдущих параграфах, и получить
1
= O, B.124)
где v — безразмерный прогиб.
57

Условие B.123) является основ-
основным соотношением для приближен-
приближенного решения задачи о равновесии"
стержней. Как для линейных ура-
уравнений равновесия, так и для нели-
нелинейных уравнений равновесия пред-
представим прогиб у в виде ряда
BJ25)
Рис. 2.19
где а, — произвольные числа; q>f(z)—
функции (известные), удовлетворя-
удовлетворяющие краевым условиям как геометрическим, так и физическим,
характеризующим связи, наложенные на стержень. Возможные
перемещения точек осевой линии стержня естественно искать
в виде функции, подобной прогибам, т. е. в виде
Ъ
где 8й, — независимые произвольные величины
Подставив B.125) и B.126) в B.123), получим
B.126)
B.127)
Так как величина 8bt независима, то из B.127) получаем си-
систему уравнений вида
J ^(а
B.128)
Для линейных уравнений равновесия из B.128) после интегри-
интегрирования получим систему линейных алгебраических уравнений
относительно at
^с, (/=1,2, ..., п).
B.129)
При изложении приближенного решения использовали выра-
выражение B 124) с известными функциями ep,(z). Естественно возни-
возникает вопрос, как эти функции получить. Очень эффективными для
приближенного решения явяяются степенные функции, удовлетво-
удовлетворяющие условиям ортогональности Изложим метод получения
таких функций на примере стержня, показанного на рис. 2.19, а,
перейдя к безразмерной координате е (е =?). для получения
отличного от нуля выражения для безразмерного прогиба v надо
взять число слагаемых степенного ряда на единицу больше числа
58

граничных условий, что дает следующее приближенное выраже-
выражение:
vl (е) = Оо + ар + оа-е2 -f а3е3 + а4е*. B.130)
Удовлетворив краевым условиям и полагая а4 = 1, получим
следующую функцию:
fi(e) = e4--|-e3 + T82- B-131)
Эта функция при изменении е в интервале 0—1 больше нуля
(рис. 2.19, б). Получим вторую функцию i>2 (e), взяв на одно сла-
слагаемое больше:
Щ (е) = во -h aie + <к&г + аз8* + а48* + <h&- B-132)
Полагая Oj = 1, получим
t>2 (е) = е6 -f- а4е* - (т + 4 а«) е* + (т + Т а*) **¦ B 133)
В выражение B.133) входит произвольный параметр а4, кото-
который можно определить, потребовав, чтобы v2 и v^ были ортого-
ортогональны на интервале 0—1, что дает
1
А = 0 B.134)
(а4 =—2,2535).
После вычислений получаем
v% (е) = е8 - 2,2535е4 +1.1337е3 + 0,1198е2.
Функция о2 (е) на интервале 0—1 один раз обращается в нуль
(рис. 2.19, в). Функция t»3 (e) будет содержать два свободных пара-
параметра а4 и а6 (полагая а^ = 1), которые находят из условий орто-
ортогональности
v,v3 de = cua4 + ^а^ J\-b1 = 0, B.135)
I
Ьг = О.
Алгоритм получения необходимого числа функций wt-(e) для
конкретной задачи (конкретных краевых условий) можно запро-
запрограммировать для счета на ЭВМ. В результате получаем прибли-
приближенное выражение для безразмерного прогиба в виде
w>)=iiM(e), B.136)
59

j, , где At — произвольные константы.
-нм |р Возникает вопрос о точности полу-
v \ , с чаемых приближенных решений и
о необходимом числе слагаемых ряда
ШШУ^РШШ),:/. д рд
Рис. 2.20 B.136), но так как точное решение
•отсутствует, то получить абсолют-
абсолютную оценку сходимости приближенных решений нельзя. Поэтому
судить о сходимости приближенных решений можно только
по относительным оценкам, сравнивая между собой решения
с различным числом слагаемых ряда B.136). Например, полу-
получив решения для двух приближенных выражений у(ух —a^i
и Ь2 = a1v1 + a2v2), найдем их разность Дь^ — v2— Ьъ которая
может служить оценкой точности получаемых решений. Если мак-
максимальное значение Av1 (на интервале 0--1 меньше или равно допу-
допустимому), которое задается исходя из требований, предъявляемых
к точности решения
A^I^ Avg, B.137)
где Avg — допускаемая погрешность в решении, то можно считать,
что у2-— решение исходной задачи. Если max } Д^ | > Avg, то
следует получить решение для о3 = ai°i + а2у2 + азиз и срав-
сравнить его с решением о2, т. е. проверить выполнение условия B.137):
max | Av21 = max | v3 — v21 <: Дуй.
Решение vk, при котором выполняется условие
max | ДоА_х | = max | щ — vk_x \ <: Дий, B.138)
можно считать приближенным решением задачи (если интерес
представляют только прогибы). Когда необходимо получить при-
приближенное решение, характеризующее с заданной степенью точ-
точности не только прогибы, но и внутренние силовые факторы (про-
(пропорциональные v" и v'"). то необходимо, чтобы выполнялись усло-
условия
max | ДоА_х | <: Avg;
|Aoft_i|<: Av'g;
max| Av'k'li\ <: Av"g,
где Д»?, Awg, Дуй" — допустимые значения погрешностей первых
трех производных решения.
Рассмотрим приближенное решение уравнения равновесия
шарнирно закрепленного стержня, лежащего на линейном упругом
слое (рис. 2.20). В качестве функций о,- (е) можно взять тригоно-
тригонометрические функции
Vi(e) = sin me. B.140)
60

Уравнение равновесия стержня (при А33 = const)
wIV + 4сф + М°Ь' (е - е,) + /*в(е - е2) = 0. B.141)
Приближенное решение уравнения равновесия ищем в виде"
п
v= S Ai sin ine. B.142)
Возможный прогиб стержня можно взять в виде
п
8у= SeB/Slnfne. B.143)
В соответствии с принципом возможных перемещений получаем
систему уравнений
j L(v) sin jnnde = б (/ = 1, 2, ... , я), B.144)
из которой определяют неизвестные коэффициенты А,-:
А] -5- [(/яL + 4а4] — M°jn cos jiiei — Р° sin /ле2 = 0
или
Л = 2 (ро sin /яе, + M«jn cos /n8l) -
3. Принцип минимума потенциальной энергии. Наиболее рас-
распространенный приближенный метод решения задач статики упру-
упругих систем основан на том, что из всех возможных равновесных
состояний (которые может принять упругая система под действием
внешних статически приложенных сил) она принимает Tanoei в ко-
котором ее потенциальная энергия имеет минимальное значение,
т.е. 128]
J =Ц =min. B.146)
При нагружении системы внешними силами вследствие дефор-
деформации системы силы совершают работу, которая переходит в по-
потенциальную энергию системы. Это приводит к дополнительному
условию
U =Д, B.147)
где А — работа внешних сил. Условие B.147) справедливо только
для упругих систем, у которых при деформировании энергия не
расходуется на необратимые процессы. Для стержня, лежащего
61

на упругом основании (см. рис. 2.14), уравнения потенциальной
энергии системы и работы внешних сил имеют вид
B.148)
где т—масса жидкости, приходящаяся на единицу длины
стержня (трубки). В соответствии с результатами п. 1 имеем вариа-
вариационную задачу на условный экстремум, поэтому рассмотрим
вместо B.146) функционал вида
Jx = U + X (U - А) = extr, B.149)
где X ¦— множитель Лагранжа.
Для упругой системы, которая подчиняется закону Гука, по-
потенциальную энергию можно записать как квадратичную функцию
от перемещений точек приложения сил:
W B.150)
где vt — перемещения (линейные и угловые) сечений, где прило-
приложены сила и моменты; с(/ — коэффициенты жесткости; п — общее
число приложенных сил и моментов. Работу внешних сил при ста-
статическом нагруженни можно представить в виде
Х/?'у" BЛ51)
(=1
где Rt — общее обозначение для сил и моментов.
Форма записи B.151) для работы сил Rt справедлива только для
случая, когда перемещения совпадают с направлением приложен-
приложенных сил. В более общем случае, например при пространственной
деформации стержня, работу внешних сил мджно представить
в виде
?
где (RiVt)—скалярное произведение. Для дальнейших преобра-
преобразований важно, что потенциальная энергия системы есть однород-
однородная функция второй степени, а работа внешних сил — первой сте-
степени. Напомним основные свойства однородных функций (поли-
(полиномов).
62

Однородными функциями называются функции, состоящие из
слагаемых одного и того же измерения. Например, функция
f(x,y) = x2-\-2xy-3y* B.153)
есть однородный- полином второй степени. Если умножить х и у
на общий множитель t, то вся функция / (х, у) приобретет множи-
множитель t2. Если такую же операцию проделать с однородным полино-
полиномом m-й степени, то функция приобретает множитель if". Это
свойство является основным при определении однородных функ-
функций. Для однородной функции степени т справедливо тождество
f(tx,ty) = tmf(x,y). B.154>
Предположим, что однородная функция / (х, у, г) степени т
имеет непрерывные производные по всем аргументам. Фиксируя
аргументы лс0, у0, z0, имеем
f(tx» ty0, tz0) = *«/(*„, у0, z0). B.155)
Дифференцируя левую и правую части B.155) по i, получим
(используя правило дифференцирования сложной функции)
l l l.*. *>¦ (
Полагая в B.156) t = 1, получаем соотношение (теорема Эйлера)
? % ? z0). B.157)
Условие экстремума функционала J\ в рассматриваемом случае
записываем в виде
Умножив B.158) на о, и сложив соотношения, получим
В силу теоремы Эйлера имеем
поэтому из B.159) получаем
A + XJU— XA =0. B.160)
Так как А = U, то из B.160) находим множитель Лагранжа
%.——2. Для упругих систем, подчиняющихся закону Гука, и для
63

внешних сил, работу которых можно записать в виде B.151),
X = —2, поэтому можно рассматривать функционал (без дополни-
дополнительных условий)
Jt =2A — U =extr. B.161)
Можно показать, что экстремум функционала B.161) есть макси-
максимум, поэтому экстремум
Л = ?/ — 2Л B.162)
есть минимум.
Из принципа минимума потенциальной энергии [функционала
B.162)], так же как и из принципа возможных перемещений,
может быть выведено уравнение равновесия стержня. Полученное
из принципа минимума потенциальной энергии условие
J1 = {/ —2Л B.163)
является очень эффективным для приближенных решений задач
статики стержней. Дифференциальные уравнения, получающиеся
при исследовании вариационных задач (например, уравнение
равновесия стержня), интегрируются в конечном виде лишь в част-
частных случаях. Возникает необходимость в разработке методов ре-
решения вариационных задач с использованием исходных функцио-
функционалов [например, Jt B.162)], не переходя к дифференциальным
уравнениям. Такие методы решения вариационных задач принято
называть прямыми методами. Одним из таких методов является
метод Ритца.
Для прямолинейных стержней функционал J\ зависит от про-
прогибов стержня и их первых производных:
Л =Ji(y', «Л У) =min, B.164)
поэтому представим у в виде ряда с неопределенными коэффициен-
коэффициентами
У =t *№(*). B-165)
где At — неопределенные коэффициенты; ф; (г) — известные функ-
функции, удовлетворяющие только геометрическим краевым условиям
в отличие от приближенного метода решения по принципу возмож-
возможных перемещений, когда необходимо, чтобы аппроксимирующие
функции ф; (z) удовлетворяли как геометрическим, так и силовым
краевым условиям.
В качестве таких функций могут быть взяты ортогональные
полиномы (в данном случае более простые), которые будут рассмо-
рассмотрены в § 10. После подстановки выражения для у в функционал
Jx B.I62) получаем
У1==У1(Л/) = тт, B.166)
64

что приводит к системе уравнений для определения неизвестных
коэффициентов Af:
-|^L = 0 (/=1,2 и). B.167)
Определив из B.167) А,, получаем приближенное выражение
для у. Найдем приближенное выражение для прогибов стержня
для случая, показанного на рис. 2.14. Для получения Jx восполь-
воспользуемся выражением для U и А B.148):
Представим B.168)
0
0
в безразмерной форме:
+ 4*-«М*-А,+ *1
Аза Ааа Ааа
Ml
B.168)
% B.169)
где
Ограничимся двучленным приближением, приняв
v = Аг sin яе + А% sin 2яе. B.170)
Подставив B.170) в выражение B.169), после преобразований
получаем два независимых уравнения для определения Ах н Ла:
~ [я4 + 4а? - QW] Ai = Р° sin net + М°я cos яе2;
-i- [ 16я4 + 4а1 - C?4я2] Л2 = Р° sin 2яе1 + М°2я cos 2ле2 ( '
или
_ 2 (Р» sin 2яе + ^°2" cos 2яе) ,д
С?4я2) '
Из полученных выражений для Axvi Аг можно найти критиче-
критическое значение скорости хют течения жидкости, при которой воз-
возможна статическая неустойчивость трубки, лежащей на упругом
основании. Минимальное значение скорости до* найдем из условия
равенства нулю знаменателя выражения B.172):
тш2/2 4at
^2 + (
3 В. А. Светлнцкий 65

Глава 3
Статика
пространственно-криволинейных
стержней
§ 9. Основные положения и допущения
механики гибких стержней
1. При выводе уравнений равновесия считается, что поперечные
нормальные сечения стержня, плоские до деформации, остаются
плоскими и после деформации (гипотеза Бернулли), т. е. сдвиги
не учитываются.
2. Размеры поперечного сечения остаются малыми по сравне-
сравнению с длиной стержня и радиусом кривизны оси стержня (под осью
стержня понимается линия, соединяющая центры тяжести площа-
площадей поперечных сечений стержня).
3. Различные, но статически эквивалентные локальные на-
нагрузки вызывают в стержне (если не учитывать местные напряже-
напряжения вблизи точки приложения нагрузок) одно и то же напряжен-
напряженное состояние (принцип Сен-Венана).
Из гипотезы Сен-Венана следует, что продольные волокна (если
стержень представить состоящим из большого числа плотно при-
прилегающих и не связанных между собой волокон) не испытывают
поперечного сжатия или растяжения, а также касательных напря-
напряжений.
4. Взаимные перемещения сечений стержня при малых упру-
упругих деформациях в общем случае конечны, т. е. задача является
геометрически нелинейной, а физически — линейной (перемеще-
(перемещения точек осевой линии стержня могут быть большими, в то время
как материал стержня работает в пределах закона Гука).
§ 10. Векторные уравнения
равновесия стержней
1. Векторные уравнения равновесия стержня. При исследо-
исследовании статики стержня введем две системы координат: неподвиж-
неподвижную декартовую с единичными векторами if (рис. 3.1), относи-
относительно которой определяется положение стержня, и подвижную,
жестко связанную с сечениями стержня, относительно которой
рассматриваются малые упругие деформации элемента стержня.
Дуга s осевой линии отсчитывается от некоторой фиксированной
точки, выбор которой произволен.

Рис. 3.1
Связанные оси могут Оыть
ориентированы произвольно, но
для получения более простых
уравнений равновесия (и движе-
движения) целесообразно их ориентиро-
ориентировать следующим образом. Начало
координат должно совпадать
с центром тяжести площади попе-
поперечного сечения стержня, одна из
осей (например оеь, определяемая
единичным вектором ej направле-
направлена по касательной к осевой линии
стержня в сторону возрастания ко-
координаты s, а две другие оси — по
главным центральным осям сече-
сечения. >/
Для абсолютно гибкого стержня (нити) в качестве связанных
осей целесообразно брать естественные оси. Естественные оси мо-
могут быть взяты и при рассмотрении деформаций стержня, попереч-
поперечное сечение которого имеет более чем одну пару осей симметрии.
Оси, связанные с главными осями сечения, будем называть глав-
главными осями (в отличие от естественных осей).
Два положения стержня показаны на рис. 3.1: первое положе-
положение соответствует иенагруженному состоянию (естественному),
при котором осевая линия стержня есть пространственная кривая;
второе положение соответствует нагруженному состоянию.. Под
действием медленно нарастающих силы Р и момента М (рассматри-
(рассматривается статика) стержень, деформируясь, переходит из состояния
1 в состояние 2. Из рис. 3.1 следует, что упругие перемещения мо-
могут быть настолько большими, что форма осевой линии нагружен-
нагруженного стержня может как угодно сильно отличаться от первоначаль-
первоначальной формы. Внешние силы в процессе деформации стержня изме-
изменяются по направлению (на рис. 3.1 направления векторов Р и М
в момент приложения к стержню показаны пунктиром).
Для решения нелинейных задач статики гибких стержней
необходимо знать поведение внешних нагрузок в процессе дефор-
деформации стержня, а также необходимо учитывать изменение связей
(например, перемещение шарнира на рис. 3.2). Конечное состояние
гибкого стержня будет различным, если стержень в первом случае
нагружать «мертвой» силой («мертвой» называется нагрузка, сохра-
сохраняющая при деформировании системы свое направление), а во вто-
втором следящей, т. е. силой, которая в процессе деформации стержня
сохраняет свое направление но отношению к стержню (например
образует «еизменные углы со связанным триедром). В более общем
случае нагруженйя на стержень кроме сосредоточенных могут
действовать распределенные силы и моменты, поэтому при выводе
уравнений равновесия будем их учитывать.
3» 67

Рассмотрим элементы стержня длиной ds и нанесем все действу-
действующие на него силы (рис. 3.3). На рис. 3.3 приняты следующие обо-
обозначения: вектор внутренних усилий Q = Q^x + Q^e2 + Q^ga,
где Qt — осевое усилие; Q2 и Qa — перерезывающие усилия; век-
вектор внутренних моментов М = М1е1 + Mje2 + M&s, где Мх —
крутящий момент; тИ2 и Ма— изгибающие моменты; qlt q2, qa —
проекции вектора распределенной нагрузки q на связанные оси;
f*i» Иг» Из—проекции вектора \и распределенного момента на
связанные оси. Направления осей связанного триедра, определяе-
определяемые единичными векторами е2 и е3, совпадают с направлением глав-
главных осей сечения стержня. Элемент находится в равновесии, сле-
следовательно, сумма всех сил и сумма моментов равны нулю и полу-
получаем два векторных уравнения
dM
или
ds
¦ 0.
C.1)
C.2)
C.3)
C.4)
В векторной форме записи уравнения инвариантны по отноше-
отношению к любой системе координат. Для перехода от C.3) C.4) к урав-
уравнениям, записанным в каком-либо базисе, необходимо представить
векторы в виде разложения по векторам данного базиса. Более
подробно о других формах записи уравнений равновесия сказано
в § 13.
В системе уравнений C.3)—C.4) неизвестными являются век-
векторы Q и М, известными — действующие распределенные нагрузки,
а также сосредоточенные силы и моменты, приложенные к стержню
(см. рис. 3.1), и условия закрепления стержня. ?истема уравнений,
C.3)—C.4) не является полной, так'как определить Q и М из этой
системы в общем случае нель-
нельзя. Дело в том, что в уравне-
ние C.4) входит единичный
вектор ех натурального трие-
триедра, положение которого J}
Рис. 3.2
68

в пространстве неизвестно и за-
зависит от деформации стержня.
2. Частные случаи векторных
уравнений равновесия. Если де-
деформациями стержня можно пре-
пренебречь, т. е. считать, что форма
осевой линии стержня при нагру-
жении внешними силами не изме-
изменилась (et^et0), а задача является Рис. 3.4
статически определимой, то си-
система уравнений C.3)—C.4) позволяет найти внутренние силовые
факторы Q и М. В этом случае уравнение C.4; принимает вид
C-5)
Уравнения C.3), C.4) получены для случая, когда в начальном
состоянии (естественном) стержень не нагружен. В прикладных
задачах часто необходимо знать, как изменяется форма упругого
элемента (стержня) и напряженное состояние при дополнительном
нагружении. На рис. 3.4 показаны два состояния стержня: первое
состояние, при котором стержень был нагружен силами Р~о и Жо
(в общем случае могут быть и распределенные нагрузки q0 и ц,0),
считается известным; второе состояние, при котором стержень
был нагружен дополнительными внешними силами Р и М (q и ц),
считается неизменным.
В новом состоянии равновесия (состояние 2)
где М<'>, Q<'> — векторы, характеризующие изменение внутрен-
внутреннего момента Мо и силы Ро при приложении дополнительных внеш-
внешних сил; <7(>, ^() — дополнительные распределенные силы и мо-
моменты.
Следует иметь в виду, что начальная распределенная нагрузка
<7о> ^о» действующая на стержень, при его дополнительных дефор-
деформациях может изменяться (так же как и сосредоточенные силы и
моменты, от которых в неявной форме зависит конечное состояние
равновесия стержня). Векторы <7о) и ц^J можно представить в виде
C.8)
где <7о» Ш — распределенная нагрузка, равная начальной; <7оJ»
[>$р — изменение начальной нагрузки, зависящее от изменения
положения стержня в пространстве.
69

Рис. 3.5
Векторы Qo н~М0 удовлетворяют ура-
уравнениям начального состояния равновесия
C.9)
= 0. C.10)
Рассматривая элемент стержня в новом состоянии равновесия,
получим следующие уравнения, выраженные через начальное на-
напряженное состояние:
й
^ ~- + ~e1x(Q0 + Q") + vP + P'>=0. C.12)
Следует иметь в виду, что при ^дополнительном нагружении
приложенные "к" стержню силы Ро, Мо, q0 и ц0 из-за деформаций
стержня меняют свое направление (если они не следящие) и в новом
состоянии равновесия не равны начальным. Стержень в магнитном
поле показан на рис. 3.5. До приложения момента М3 на стержень
действовала распределенная нагрузка q20, вызванная притяже-
притяжением магнита, которая зависит от расстояния между элементом
стержня и магнитом. При приложении момента М3 из-за изменения
расстояния между стержнем и магнитом распределенная сила изме-
изменится, что необходимо учитывать. Если распределенную нагрузку
представить в виде C.7), то из C.11) с учетом C.9) имеем
О, C.13)
Уравнение C.13) в явном виде не зависит от начального напря-
напряженного состояния (вернее, от начальных сосредоточенных сил и
моментов), его решение зависит от краевых условий. Например,
для стержня, показанного на рис. 3.4, имеем
Q @ = Qo(i) + Qn @ = РР + Р. C.14)
Так как РР (по аналогии с распределенной нагрузкой) можно
представить в виде
C.15)
то из C.14) получаем-
70

Если начальная нагрузка при деформации стержня по отноше-
отношению к неподвижной системе координат не меняется, т. е. РР =
= qP = 0, то вектор Q() зависит только от дополнительных сил
Р и ~qn.
Рассмотрим уравнение C.12), которое после подстановки в него
выражений^ C.6) и C.7) и исключения ^2 можно преобразовать
к виду
jw(') _ _ _ _ _
+ е. х Qn + (ei - ею) X Qo + tf + И° = 0- C-16)
Уравнение C.16) зависит от начального, напряженного состоя-
состояния (от Qo) в отличие от уравнения C.13) и от начальной формы осе-
осевой линии стержня (от е10). Следует отметить, что вектор Q>0 изве-
известен только в базисе \е@\, т. е. при решении вектор Qo надо брать
в виде
Qf> = Qttfitt>- C.17)
Если деформациями стержня можно пренебречь (et = е10), то
векторы Q<'> и ЛТп находят независимо от Qo и ЛТО, т. е. в этом
случае справедлив принцип суперпозиции.
3. Векторное уравнение для перемещений. Получим уравне-
уравнение для вектора перемещения и (рис. 3.1). Из рис. 3.1 следует
ыЯ). C.18)
Продифференцировав C.18) по s, получим
du dr dro - -
ds ~ ds "T ds
C.19)
где е10, а также е20 и eso — орты базиса в недеформированном со-
состоянии стержня. Считаем, что недеформированное состояние
стержня известно, т. е. известны вектор х0 и таблица (матрица К)
направляющих косинусов, связывающая базис {е@} с базисом
где k4 — элементы матрицы К-
В свою очередь, единичные векторы е, связаны с векторами со-
соотношениями
e* = Vpo («ро =/у«Я). (З-20)
где lkp—элементы матрицы L.
71

Рис. 3.6
Рис. 3.7
Элементы 1ц матрицы L зависят от трех неизвестных углов О,
ФИ
1ц = 1ц{Ь. Ф. ¦)¦
Исключив из C.19) е10, получим следующее уравнение:
или (если перейти к базису е,-)
du ,, ,ч
C.21)
C.22)
Полученные три векторных уравнения C.3), C.4) и C.22) содер-
содержат три неизвестных вектора Q, М и и и три неизвестных угла •&, ф,
1|з. Для того чтобы система уравнений была полной, необходимо
получить еще одно векторное уравнение (илн три скалярных).
Таким уравнением является уравнение, связывающее внутренний
момент М с изменением геометрии осевой линии.
4. Векторное уравнение для момента. Рассмотрим деформации
элемента стержня в связанной системе координат (рис. 3.6). В пло-
плоскостях, проходящих через главные оси сечения, проекция осевой
линии имеет кривизны х2 и к3, которые являются проекциями кри-
кривизны пространственной осевой линии. Так как вектор к в естест-
естественных осях имеет только две проекции хР и ир =— (рис. 3.7),
то в главных осях \et\ получаем
sin ¦& .
C.23)
г
Кроме изгиба в двух взаимно перпендикулярных плоскостях
моментами 7И2 и М3 элемент стержня скручивается моментом Mlt
72

что характеризуется кручением к2 осевой линии стержня. Считая,
что упругие моменты Мъ VW2 и М3 пропорциональны изменениям
кривизны и кручения, получим три уравнения
C.24)
где х10 — кручение и кривизна в недеформированном состоянии;
Ац — жесткость при кручении и изгибе, которая для стержня
переменного сечения зависит от s. Столь простая форма связи вну-
внутренних моментов с приращениями величин и,- возможна только
в главных осях, в чем и заключается их преимущество по сравне-
сравнению с другими осями. Система уравнений C.24) может быть запи-
записана в виде одного векторного уравнения
= А(х — 4м).
C.25)
где
л
И2022 -t
О О
л22 о
О Ах
Следует подчеркнуть, что вектор хо#) не равен вектору х0,
характеризующему начальное состояние стержня. Вектор х0 из-
известен в базисе \е1о}
C-26)
Найдем в связанной системе координат приращения кривизн,
входящих в уравнения C.24). Считаем, что вектор хо' при дефор-
деформации стержня остается без изменения в подвижной системе коор-
координат, что имеет место, если его проекции в этой системе координат
не меняются. В этом случае в базисе {е,} вектор xq = xmel и при
Окончательно имеем четыре нелинейных векторных уравнения,
характеризующих равновесие стержня:
~ЙГ + Я = 0; C-27)
du
JSL + (lu - 1) е, + lue, + l31e3 = 0;
ds
M~A{x — xS'>) = 0.
C.28)
C.29)
C.30)
73

Для решения системы C.27)—C.30) необходимо иметь матрицы
К и L A.10), связывающие единичные векторы разных базисов.
5. Уравнения равновесия в безразмерной форме. Для решения
прикладных задач с использованием ЭВМ наиболее удобно иметь
дело с уравнениями, представленными в безразмерной форме.
Для записи уравнений в безразмерной форме положим
где 8 — безразмерная координата.
Величины со значком тильды — безразмерные. После преобра-
преобразований получаем систему уравнений равновесия стержня jj без-
безразмерной форме (значок тильды в этих уравнениях опущен)
О\? I Л. /О *>1 \
—j |-<7=U, (o.ol)
i^L-f-^ x Q + ji = O; C.32)
#+(/11-D^+^2 + V, = 0; C.33)
~ ~ -4'') = 0, C.34)
где А — матрица с безразмерными элементами.
В дальнейшем принято: если в уравнениях используется в ка-
качестве независимой координаты 8, то входящие в эти уравнения
величины являются безразмерными.
§ 11. Векторные уравнения равновесия нитей
Предельным случаем гибкого стержня является абсолютно
гибкий стержень — нить, для которого изгибные и крутильная
жесткости равны нулю. Нить может передавать только растягиваю-
растягивающие осевые усилия, что имеет место для стержня, если изгибные
и крутильная жесткости равны нулю: Аи = 0, т. е. матрица А
есть нулевая матрица. Возможны модели реальных систем (стерж-
(стержней), которые занимают промежуточное положение между стерж-
стержнем и нитью, например стержень, у которого А г1 ф 0, А а2 = Л33 =*0
или Л 22 =0, А и ф 0, Л зз Ф 0. Получим уравнения равновесия
74

для предельного варианта (Аи = 0). В этом случае имеем Q =
~М = 0, ц = 0. Поэтому из системы уравнений C.31)—C.34)
остаются только два уравнения
+ ? = 0; C.35)
^ + (/и - Пёх + 1~ег + 131ёл = 0. C.36)
Получим уравнения равновесия гибкого стержня для случая
Лп + 0, Л22 = Л33 =0. Из систем C.31)—C.34) имеем"
C.37)
gfi C.38)
+ С !)« /ё +/а = 0; C.39)
^K =0. C.40)
Уравнения равновесия нити в безразмерной форме. Так как для
нити Л33 равно нулю, то использовать А33 для получения безраз-
безразмерных величин нельзя. Для нити можно использовать (для по-
получения безразмерных величин) характерную силу, например силу
веса нити; В этом случае, переходя к безразмерным величинам,
имеем s = Ze, Qx = Q^mgl, Mx = MitngP, ^= qmg, ц = \imgl,
где т — масса единицы длины нити.
В безразмерной форме уравнения равновесия нити (опуская
знак тильды над безразмерными величинами)
^- + 9 = 0; C.41)
§ C.42)
-ЗГ + (/и - 1) ёх + ЬЬ + '.А - 0; C.43)
C.44)
75

§ 12. Уравнения равновесия стержней
в проекциях на неподвижные оси
1. Уравнения равновесия пространственно-криволинейного
стержня. В неподвижных осях любой вектор записывается в виде
а = ах1Р
поэтому, полагая Q = Qx.i,-, q = qx.ij, из C.3) получим уравнение
в проекциях на неподвижные оси
1 + Цх, = 0. C.45)
de
В .уравнении C.45) и последующих уравнениях считается, что
все величины приведены к безразмерной форме.
Для того чтобы получить в проекциях на неподвижные оси
уравнение C.4), надо представить векторное произведение ех X Q
в виде разложения по векторам базиса {i,}.
Вектор et можно представить в видеех = /^eft0. В свою оче-
очередь, вектор ek0 выражается через вектора базиса \ij):
?*о == 'Nfep'p' (o.4b)
поэтому
Ч = 'i Ар'р = aA.ptp C-47)
и векторное произведение (ei X Q) можно представить в форме
faQxTj. C.48)
Уравнение C.4) в проекциях на неподвижные оси принимает
следующий вид:
^ Р<?,(. + |1Л/ = 0. C.49)
В более подробной записи, например для проекции на ось .*!, из
C.49) имеем
dM
~±- -У (lukn + /aft» + /и&з) Qx, -
- {Iuki3 + /в*2з + /к&в) QXl + И*, = 0. C.50)
Если можно считать, что стержень практически не деформи-
деформируется при приложении сил, то в уравнении C.50) следует поло-
положить 1ц — Ьц.
Распределенная нагрузка может быть задана как в неподвиж-
неподвижной системе координат (т. е. qx и \лх известны), например «мертвая»
76

нагрузка, так и в подвижной системе координат, например следя-
следящая распределенная нагрузка (т. е. известны компоненты векто-
векторов q и ji в связанной системе координат). В последнем случае надо
величины qx. и цх. представить через qt и ji?.
Так как q = qgi, ji = ц^, а векторы базисов \et\, \ei0\ и \if\
связаны соотношениями
ei — lifi-fl, е{0= kjpip, C.51)
то
Для векторов q и |х имеем следующие выражения:
Я = Яхр1р = qth/kjpip C -52)
Н- = Цлр'р = цЛАр'р- <3-53)
Из соотношений C.52) и C.53) получаем
Например, проекция qx% на ось хг в развернутом виде
^, = (gJu + 92/21 + 93/31) kn 4- (91/12 + 92/22 -\- 93/32) fei -f
+ (9Л3 + 92/23
Уравнения равновесия C.45) и C.49), выраженные через проек-
проекции векторов q и ц, в связанной системе координат имеют вид
dQx.
-$?- + qJikhi = 0;
^L + JkQ + /fe °
Воспользовавшись соотношениями C.51), из C^43) в проекциях
на неподвижные оси получаем следующее уравнение:
~5^
Например, проекция уравнения C.43) на ось хг в развернутом
виде записывается следующим образом:
- — (/llftll + /^2! + Ш$ + Cll + ^1 + /3l) fell
= 0. C.54)
77

Сохранив в качестве неизве-
неизвестных проекции момента и про-
проекции вектора х в связанной
системе координат, уравне-
уравнение C.34) можно представить
в виде
М^ДрК-Хр,,), C.55)
где Аф — элементы матрицы
жесткости, которые при i Ф р
равны нулю.
Рассмотрим уравнение C.55) более подробно, воспользовав-
воспользовавшись выражением A 77) для вектора х \д'1дъ — локальная произ-
производная):
Рис.
*г
1
1г
/о ч
3.8
ш
It
h
д'в
ds
C.56)
которое можно записать
Исключив из уравнения C.55) компоненты вектора х, получим
Mt — Aip (/р1/ -g^- + lPi XjO — Xpo I. C.57)
Например, при i — 1 получаем следующее выражение:
C-58)
К уравнениям C.51)—C.53) и C.58) следует добавить соотно-
соотношения, связывающие компоненты вектора М в базисах [i,] и \в/\:
Мх
= Мг
C.59)
2. Уравнения равновесия стержня в случае, когда ось
стержня — плоская кривая. Считая, что плоскость, в которой
расположен стержень, совпадает с плоскостью xfix^ (рис. 3.8),
имеем
I*» = Л*, = Л*, = <?,=•
78

При плоской форме стержня матрицы L и К принимают вид
= ф -0)
cos ф sin ф 0
— sin ф cos ф 0
0 0 1
cos фо sin фо О
О 0 1
Из уравнений C.51)—C.53) имеем
-%- + <7„ = 0; C.60)
de
dMr
^-fCufeu-
—изо);
de
rfe
de >
de
C.61)
= 0; C.62)
C.63)
C.64)
C.65)
C.66)
C.67)
В уравнениях C.62)—C.65) kti считаются известными. Исклю-
Исключив Мх, и перейдя к углам ф и ф0, получим следующую систему
уравнений равновесия стержня в плоскости:
— sin (ф
l + Vx, = 0;
da.
?- — cos (ф + фо) + cos ф0 = 0;
dur
jS- - sin
¦фо) + 8Шфо=0.
C.68)
C.69)
C.70)
C.71)
C.72)
79

Рис. 3.9
В качестве примера получим ура-
уравнение равновесия стержня (с учетом
сил веса), показанного на рис. 3.9,
считая Азз — const. До приложения
силы Р стержень был прямой. СилаР
в процессе деформации стержня
остается параллельной оси х2.
В этом случае имеем (в безразмерной
форме)
Силу Р и распределенную нагрузку можно представить через
критическую сосредоточенную силу Ркр и критическую распреде-
распределенную нагрузку <7кР в-виде
где
р
г кр —'
VKp I ^3
Из системы уравнений C.68)—C.72) получаем
-0- + cos Ф [л2/гр - уп„ A - в)] = 0;
C.73)
3. Уравнения равновесия нити в проекциях на неподвижные
оси. Воспользуемся уравнением C.45), представив осевое усилие
в нити через проекции на неподвижные оси:
где
C.74)
C-75)
Считается, что координаты xi являются безразмерными (рав-
(равными размерным координатам, деленным на длину нити I).
Окончательно получаем систему уравнений
, = <>(/-1.2.3).
C.76)

К системе уравнений C.76) следует добавить уравнение
Для случая, когда нить имеет конечную жесткость кручения,
имеем дополнительную систему уравнений
*(*.?)+*,-»¦
C.78)
4. Частные случаи уравнений равновесия нити в неподвижных
осях. Уравнения равновесия нити в плоскости имеют вид
C.79)
Например, на рис. 3.10 показана нить, которая находится в рав-
равновесии под действием сил веса. Для этого случая имеем
Из C.79) получаем систему уравнений
?(«.?¦)-*
C.80)
C.81)
C.82)
Найдем форму нити и натяжение Qx для случая равновесия
нити в поле тяжести. Обозначим хг — х, х2 =у (рис. 3.11). Из
Уго
го
Рис. 3.10
Рис. 3.11
81

уравнения C.81) получаем (совмещая плоскость xfixx с пло-
плоскостью, э которой находится нить)
Q1-J- = C1, C.83)
где Сх — произвольная постоянная.
Исключая Q1 из уравнения C.82) и переходя к производной
х.г по хх, получим
Интегрируя уравнение C.84), получим
-t+c' <з-85>
или
М.У = е -$L
\dxJ dx
Из C.86) находим
^ = -^==shfe+C2)=shY- Cl87)
Интегрируя C.87), получаем
Так как
X
е = J
X, ДГ,
= d [sh (-?- + Ct) -sh (-g- + Ct) ] . C.88)
то получаем зависимость у от безразмерной координаты е:
или
82

Для определения неизвестных С1( С2 и С3 имеем три уравнений
У1 = С, ch (-|~ + Са) + С3; C.89)
у2 = Q ch (-g- + C2y + С3; C.90)
/ = С, [sh (-g- + С2) - sh (-g- + С2) . C.91)
Вычитая из C.90) уравнение C.89), имеем
У2~Уг = С1 [ch (-*= +С2) -ch (-g- +C2) J . C.92)
Возведем C.92) и C.91) в квадрат и вычтем
Определив из C.93) Съ находим из C.89) и C.90). С2 и С3.
Продифференцируем выражение C.88) по е (считая х зависящим
от е):
(hvsh)l
или
, dx
Так как из C.83)
то получаем следующее выражение для безразмерного натяжения
нити:
Ql = Q ch y = Сл ch(-J- + С,) - Q j/ I + (-^- + shYlJ • C.94)
Для получения размерного натяжения следует Qx умножить
на mgl.
§ 13. Уравнения равновесия
в связанной системе координат
В большинстве практических задач исследование равновесия
стержней и нитей более удобно проводить, используя уравнения
в проекциях на связанные оси. Кроме того, в связанных осях ком-
компоненты Qi и'Л4г векторов Q и М имеют четкий физический смысл
(Qt — осевая~сила; Q2 и Qa — перерезывающая сила; Мг — кру-
крутящий момент; М2, М3— изгибающие моменты).
83

1. Уравнения равновесия гибкого стержня в связанной системе
координат. Переходя в уравнениях C.3), C.4) к локальным
производным, получим
f = 0; C.95)
или в координатной форме записи (опуская знак тильды в обозначе-
обозначении локальной производной)
^Г + в,*,кЛ. + ?, = 0; C.97)
vQt + ц, = 0. C.98)
Уравнение для перемещений после перехода к локальным про-
производным принимает вид
du,
? + + /„• - 6„ = 0. C.99)
Уравнение, связывающее момент М с изменением кривизн,
приведено в § 10 [уравнение C.25) ].
К уравнениям C.97)—C.99) следует добавить уравнение, свя-
связывающее компоненты щ вектора к с углами О, ф и ip:
^uVijt + W (зло°)
2. Уравнения равновесия нити в связанной системе координат.
Переходя в уравнении C.35) к локальным производным, получим
0. C.101)
Для нити в качестве связанных осей целесообразно взять есте-
естественные оси, для которых вектор к есть вектор Дарбу Q (см. § 3),
у которого х2 = 0. Переходя к проекциям, имеем
^g- + <7i = 0; C.102)
<7s = 0, C.104)
где р — радиус кривизны осевой линии нити.
84

Из уравнения C.104) еле-
дует, что нить под действием
произвольной распределенной
нагрузки q принимает в про-
пространстве в состоянии равно-
равновесия форму, при которой век-
вектор q находится в соприкаса-
соприкасающейся плоскости. В отличие
от уравнений в проекциях на
неподвижные оси, уравнения
C.102)—C.103) имеют первый
лорядок, что упрощает их ре-
решение. Рассмотрим нить, у кото-
которой жесткость на кручение не равна нулю (Ап =f= 0). В этом
к уравнениям C.102)—C.103) следует добавить уравнения
и C.106):
Рис. 3.12
случае
C.105)
М1 = Ли (кх — к10).
Из уравнения C.105) получаем систему вида
de
C.105)
C.106)
C.107)
= 0; C.108)
Из = 0. C.109)
Из уравнения C.109) следует, что нить, обладающая крутиль-
крутильной жесткостью, в равновесии принимает такую форму, при кото-
которой вектор |х находится в соприкасающейся плоскости. При нагру-
жении нити произвольной распределенной нагрузкой q и произ-
произвольным распределенным моментом ]1 нить принимает простран-
пространственную форму, при которой оба вектора q и \и лежат-в соприкаса-
соприкасающейся плоскости.
3. Равновесие нити, связанной с вращающейся системой
координат. Рассмотрим невесомую нить, которая закреплена
в точках А я В (рис. 3.12) плоскости хг0х2, которая вращается от-
относительно точки О с угловой скоростью со.
Проекции распределенной силы q на прямоугольные оси
qXl --= u?x\tn; qX2 =-. «2x2m.
Переходя к безразмерным величинам (разделив qx. на вес еди-
единицы длины нити mg, а координаты xt — на длину нити), получим
85

Уравнения равновесия нити в безразмерной форме принимают
вид
§ 14. Основные теоремы статики нити
Если нить нагружена распределенными силами, направленными
по нормали к нити, то натяжение в нити постоянно (теорема 1).
Подобный случай нагружения нити имеет место, когда невесомая
нить расположена на криволинейной идеально гладкой поверх-
поверхности (рис. 3.13). Так как в этом случае <7i = 0. т0 из уравнения
C.102) получаем Qt = const.
В состоянии равновесия нить, находящаяся на идеально глад-
гладкой поверхности, располагается по геодезической линии этой по-
поверхности (теорема 2). Геодезической линией на поверхности назы-
называется такая линия, у которой соприкасающаяся плоскость в каж-
каждой ее точке проходит через нормаль к поверхности в этой точке.
Если нить находится в равновесии, то и любая ее часть находится
в равновесии. Рассмотрим элемент нити (рис. 3.14), который нахо-
находится в равновесии под действием силы натяжения Qt и реакции
поверхности q20.
Предположим, что главная нормаль к нити (вектор ег) и нор-
нормаль к поверхности (е20) не совпадают. Векторы еа и е20 лежат
в плоскости, ортогональной к вектору ег, поэтому qt — 0. Уравне-
Уравнение равновесия элемента нити имеет вид
или
dQl ~k + Qi4-«• + <де» = 0. (З.пз)
dt, ч г ч* р
Из уравнения C.113) следует
C.114)
86

Рис. 3.13
Рис. 3.14
Два вектора могут быть равными, если они имеют одно и то же
направление, т. е. в рассматриваемом случае нормаль к нити совпа-
совпадает с нормалью к поверхности (е2 || е20). Но вектор е2 лежит в со-
соприкасающейся плоскости, которая проходит через е20, значит,
линия расположения нити есть геодезическая, что и требовалось
показать.
При равновесии нити в поле параллельных сил она принимает
форму плоской кривой, плоскость которой параллельна направле-
направлению внешних сил (теорема 3)^В поле параллельных сил уравнение
равновесия нити имеет вид
*L + qk = O, C.115)
где k — постоянный по направлению единичный вектор.
Умножив векторно уравнение C.115) на вектор k, получим
C.116)
Рассмотрим производную от векторного произведения:
C.117)
dk
но ;g- = 0, поэтому из C.117) имеем
или _
Qxk = b = const. C.118)
Вектор Ъ ортогонален вектору Q или, что то же, ортогонален
вектору ех. Кроме того, вектор Ь имеет в пространстве неизменное
направление, что может быть только тогда, когда нить есть плоская
кривая.
При равновесии в центральном поле сил нить принимает форму
плоской кривой, плоскость которой проходит через центр сил
87

в (теорема 4). Умножим векторно ура-
уравнение равновесия на г (рис. 3.15):
так как
то имеем
Рис. 3.15
Рассмотрим производную
C.119)
C.120)
Из C.120) следует
Q X г — b — const.
Постоянный вектор ^ортогонален вектору Q (ортогонален век-
вектору е1 в каждой точке кривой), т. е. форма нити есть плоская
кривая.

Глава 4
Кинематика
гибких стержней
§ 15. Производные базисных векторов
по времени
Найдем производные по времени векторов базиса \е, (s, f)\.
Положение трехгранника, связанного с некоторой кривой в мо-
моменты времени t0 и tlf показано на рис. 4.1. Точка кривой, с кото-
которой связан трехгранник, своего положения на кривой не меняет,
т.е.* «0.
Соотношения, устанавливающие связь между базисными век-
векторами при изменении их положения в пространстве, были полу-
получены в § 3. Изменение положения осей, связанных с осевой линией
стержня, может произойти вследствие двух причин: 1) изменение
положения осей во времени при фиксированной координате s из-за
движения гибкого стержня или нити (см. рис. 4.1); 2) изменение
положения осей при переходе в соседнюю точку вдоль осевой линии
стержня в фиксированный момент времени t0. Базисные векторы
е{ (s, t) в общем случае зависят от двух независимых параметров
t и s. В первом случае изменение положения осей зависит от ска-
скалярного аргумента t при фиксированном s; во втором случае изме-
изменение положения зависит от скалярного аргумента s при фиксиро-
фиксированном t. При движении стержня происходит непрерывное изме-
изменение положения его осевой линии и ее формы (из-за деформации
стержня). Для описания движения стержня с определением в каж-
каждый момент времени формы осевой линии необходимо знать произ-
производные векторов связанного базиса по аргументам t и s.
Производная векторной функции есть вектор, который можно
разложить по векторам базиса \et\:
-§Г = % шч1 = "V, («-,/=1,2,3), D.1)
где о);. — элементы некоторой матрицы || (о(/||, аналогичной ма-
матрице |(х^|| (§ 2). Матрица || со,, || кососимметрична, имеет только
три независимых элемента:
10 — со3 (о2
ш, 0 —щ . D 2)
@2 @! 0
89

В результате получаем
D.3)
, тк Справедливо следующее ра-
у^ ' венство:
Рис. 4.1 1 «fy/II ^ = Ю X et (/= li 2, 3),
D.4)
где © — вектор угловой скорости системы координат (ю =
Для производных по времени векторов подвижиого базиса по-
получаем выражения
-& = fflxei; -^- = йхё2; А = йхё8. D-5)
Воспользовавшись символами Леви—Чивита, имеем
дв[ — —— it о\
§ 16. Абсолютная и локальная
производные вектора по времени
Рассмотрим вектор а @ в подвижной системе координатных
осей {ё{\ (рис. 4.2):
a (t) = a, (t) ъ + ъ (t) 72 + аз (О F,. D.7)
В подвижной системе координат и компоненты вектора а,- и
базисные векторы et зависят от времени, поэтому производная век-
вектора a (s, 0 fc учетом D.5)]
+ Оя(© X еа) + <%(© х е3) = -^- + © X а, D.8)
где -?гл— абсолютная производная;-^- — локальная (относитель-
(относительная) частная производная вектора а, характеризующая его изме-
90

нение во времени относительно подвижной системы координат;
вектор со X а характеризует изменение вектора а во времени, вы-
вызванное вращением координатных осей. Получим выражения, свя-
связывающие проекции вектора угловой скорости й с углами v, <р и \J>.
Воспользуемся соотношениями
D-9).
D.10)
D.11)
D.12)
где ею — единичные векторы базиса при t = t0.
Дифференцируя D.9) по t, получим
Так как
то после подстановки D.11) в D.10) получим
Найдем, например, выражение для <о1( проделав все операции
суммирования. Полагая/ = 1, К = 3, i =2, е322 = 1, имеем (сум-
(суммируя правую часть по р)
Я/ Л/ Л/
Ш1 — at lsi \ at l32 T at зз- l^'lu;
Можно получить еще одно выражение для ©lf полагая К = 2,
i=3, 6213 = 1:
которое используют для проверки правильности D.13)
при переходе к явным выражениям 1{{ от углов.
Окончательно получаем следующие
выражения для проекций угловой х е- 1"
скорости (ограничившись одной из 2|
форм записи для со():
?31+-^Р-'32-
, , д1,г , ,
Рис. 4.2
91

Воспользовавшись выражением для /,, A.10), получим
cot •-= -дт- cos vp cos ф ¦—- sin if;
D.14)
Зф dv
ffl3 = "дГ- COS l|) + -тг- Sin ip COS ф.
Соотношения D.14) можно представить в векторной форме
записи
д'Ь
СО :
D.15)
где
COS ф COS ф 0 — Sin ф
— sin ф 1 0
Sin ф COS ф 0 COS ф
9 =
Покажем, что абсолютные производные векторов ш их соответ-
соответственно по t и s равны локальным производным
d(O
dx
-^--f-<fl X to— dt ,
+ ХХх
ds *
D.16)
§ 17. Уравнение, связывающее векторы to и х
Рассмотрим произвольный вектор a (s, t), постоянный по мо-
модулю и направлению в связанной системе координат; так как для
вектора, постоянного по модулю, локальные производные равны
нулю (d'a/ds = д'а/dt = 0), то полные производные а по s и t
да — — .. ,_.
= х х а.
D.18)
Дифференцируя D.17) по s, a D.18) по t и приравняв смешанные
производные после преобразований, находим
¦!~ ха + а>х(хха)= -^- X а + х х (« х а). D.19)
92

Воспользовавшись тождеством Лагранжа A.38)
(вх(ххо) + йх(ох(в) + а X (со х х) = О,
получим
~дГ х а W~ Ха f (® х х) х а — °
или
Так как а — произвольный не равный нулю вектор, то тождест-
тождественное равенство нулю векторного произведения D.20) в наиболее
общем случае возможно при условии
Соотношение D.21) и есть искомое уравнение, связывающее
векторы to и х. Возможна и другая форма записи уравнения D.21)
через абсолютные частные производные.
Так как
ххю; ахх <422>
то, подставив D.22) в D.21), получаем
-* -да--<вхх = 0.
В проекциях на связанные оси имеем из D.23)
да>, дк,
D.23)
= 0; D.24)
STdt
В частном случае, когда кривая является плоской, получаем
Так как для плоской кривой х3 = dtp/ds, аш3 = dtp/dt, то урав-
уравнение D.23) превращается в тождество. Если в D.24) подставить
v-i и to,, выраженные через углы v, ф и \|), то уравнения обращаются
в тождества. В ряде случаев при исследовании колебаний стерж-
стержней и нитей нет необходимости определять углы v, q> и ty, и тогда to,
и х, являются неизвестными, связанными системой уравнений
D.24).
93

§ 18. Переменные Лагранжа и Эйлера
в механике стержней
1. Переменные Лагранжа. Чтобы опиеать движение стержня
(сплошной одномерной среды,) состоящего из сплошной совокуп-
совокупности точек (элементов), надо знать движение всех точек, для чего
необходимо ввести правила индивидуализации отдельных точек
среды, например, значения их координат в некоторый (начальный)
момент времени.
Движущийся стержень-в произвольный момент времени пока-
показан на рис. 4.3. Считаем, ^что сечение стержня (при s = 0)
закреплено и нерастяжимо. В этом случае элемент стержня
длиной ds, находящийся на расстоянии s от заделки, при
любых движениях будет сохранять это положение на осевой линии.
Если известно положение точек осевой линии в начальный момент
времени х1о (s, 0), то, зная их координаты xt (s, t) в произвольный
момент времени, мы знаем и положение стержня в пространстве.
Координаты точек в произвольный момент времени зависят от
координат в начальный момент времени, т. е.
('= 1,2,3).
D.26)
Координаты xJQ, характеризующие точки стержня, называются
переменными Лагранжа. Считается, что в любой фиксированный
момент времени / система уравнений D.26) может быть разрешена
относительно х,-0:
x,o = xlO(x,,t) (/=1,2,3),
что возможно в том случае, когда функциональный определитель
(якобиан)
О для i, /=1; 2; 3.
D.27)
Изучая движение стержня с использованием переменных Ла-
Лагранжа, мы следим за движением отдельного элемента стержня.
При параметрическом задании
осевой линии стержня положение
точки осевой линии стержня xt =
= *, (s, t). При выводе уравнений
движения необходимо знать полные
производные координат точек осевой
линии стержня по времени —g- —
dxt (*;o, t) dxi dx, (s, t)
= —Jt— или -5г = —ir— -
Так как х1о и s от времени не
94

Рис. 4.4
Рис. 4.5
зависят, то полные производные равны частным производ-
производным, т. е.
dt
dt '
2. Переменные Эйлера. Нерастяжимый стержень показан на
рис. 4.4. Он имеет продольное движение [например, ветвь передачи
с гибкой связью (рис. 4.5) [33] со скоростью w и, кроме того,
имеет еще переносное движение со скоростью v, т. е. полная ско-
скорость элемента стержня
V = v + w. D.29)
Если стержень нерастяжим, то w зависит только_от времени.
Если стержень растяжимый, то продольная скорость w зависит и от
времени, и от координаты s. В последнем случае при изучении дви-
движения участка стержня постоянной длины, находящегося между
точками А и В, переменные Лагранжа неудобны. Нас интересует
поведение участка стержня между точками А и В в целом, а не дви-
движение индивидуальных точек. Для большей наглядности метода
Эйлера представим, что стержень находится в абсолютно гибкой
безынерционной трубке (см. рис. 4.4). Для описания движения
достаточно знать положение трубки во времени и внутренние сило-
силовые факторы в стержне в фиксированном сечении трубки. Такоэ
разделение движения на перенос-
переносное (скорость v) и относительное
(скорость w) весьма эффективно
при изучении динамики шлангов
(абсолютно гибких стержней) и
стержней, заполненных движу-
движущейся жидкостью (рис. 4.6).
В этом случае движение жидкости
рассматривается совместно с дви-
движением шланга (трубки). Если
жидкость несжимаема, то относи- рИс. 4.6
95

тельная скорость w при заданном расходе не зависит от движе-
движения шланга, т. е. ее можно считать известной.
Так как стержень по отношению к трубке движется (см. рис. 4.4)
(s элемента стержня зависит от времени), то полная производная
координат точек осевой линии стержня по времени
^Ч^-ж + ж^ <4-30>
где w =ж.
Первое слагаемое -4f характеризует изменение во времени
координат сечения трубки при фиксированном s и называется мест-
местной производной.
Второе слагаемое -4*- до характеризует изменение координат
точек осевой линии стержня при его движении по трубке и назы-
называется переносной или конвективной производной.
Вторая производная xt по времени (компоненты абсолютного
ускорения)
Если продольное движение стержня установившееся (при кото-
котором | до | = const или w зависит только от s), то выражения для
компонент ускорения
& d* d* ,. Ч9Ч
D-32)
Рассмотрим трехгранник осей {е,}, связанный с осевой линией
стержня, имеющего продольное движение. В этом случае векторы
в{ зависят от t и s (t), поэтому полная производная е, по времени
(см. § 15)
dt ~
= Чц К + wxj) ek D.33)
или
-y,jW)e3; D.34)
96

Так как частная производная -Jp характеризует местное изме-
изменение во времени векторов е{ при фиксированном s, то угловая ско-
скорость с» есть местная угловая скорость, т. е. угловая скорость
трубки, а не элемента стержня.
§ 19. Уравнение неразрывности
Рассмотрим два близких сечения трубки, внутри которой дви-
движется растяжимый стержень (или жидкость) (рис. 4.7, а). Изме-
Изменение во времени массы стержня, заполняющей объем между
двумя сечениями, равно приращению массы, втекающей и вытека-
вытекающей из взятого элементарного объема (рис. 4.7, б):
djpFds) _ д (pwF) .
It - ~Fs as>
D.35)
где р— плотность материала стержня, в общем случае зависящая
от s и t; F — площадь сечения стержня. При выводе уравнения
D.30) предполагалось, что w по сечению постоянна, что для движу-
движущегося стержня выполняется, а для реальной жидкости неверно.
Для вязкой реальной жидкости под w следует понимать среднюю по
сечению скорость движения жидкости. Знак «минус» в правой части
D.35) взят потому, что положительное значение слагаемого —%*"
соответствует уменьшению массы в объеме, т. е. производная по
времени отрицательна. Из D.35) имеем
d(pF) d(pF)
W
IT
D.36)
Так как справедливо равенство
D-37)
где ds0, Fo, p0 — значения вели-
величин в недеформированном со-
состоянии, то имеем
-Pbf.-f, D.38)
где fs— функция, характеризу-
характеризующая физические свойства мате- Рис. 4.7
4 В А. Светлнцкий
97

риала стержня. Если материал стержня подчиняется закону
Гука, то
где Qx — осевое усилие в стержне; Е — модуль упругости первого
рода. Для сжимаемой жидкости при F = const плотность связана
с давлением р уравнением состояния
Р = Ро/(Р). D.40)
Подставив pF в D 36) [и используя D.38) и условие p0F0 =
= const], получим уравнение неразрывности
д«° \ df . \ df ,. ...
ir^Tir + Tir"'' <4-41>
Если стержень нерастяжим (/ = 1), то -s- = 0, следовательно,
D.41) характеризует изменение скорости продольного движения
стержня, вызванное его деформациями. Таким образом, скорость w
зависит от координаты s только в том случае, если учитывается
растяжение стержня.
§ 20. Кинематические уравнения
для скоростей и ускорений
1. Рассмотрим элемент трубки и найдем относительную ско-
скорость сечения В по отношению к А (рис. 4.8):
6«ав = (v -h dv) — п= dv. D.42)
Относительную скорость можно выразить через вектор угловой
скорости со:
8vAB = <в X dsei. D.43)
Приравняв D.42) и D.43), получим
-J-- шх^ D.44)
или (перейдя к локальным производным)
d'v/ds -f- x x v = со X ех. D.45)
В проекциях на подвижные оси, связанные с трубкой, имеем
^ - У2х3 = 0;
«>з; D.46)
98

Абсолютная угловая скорость
вращения элемента стержня по
аналогии с абсолютной скоростью
поступательного движения
иа = со -f- юс, D.47)
v+cLv
4
/////
''//У
Рис. 4.8
где соа — абсолютная угловая ско-
скорость вращения элемента стержня;
с» — угловая скорость вращения
элемента трубки; сос ¦— угловая
скорость вращения элемента стерж-
стержня, вызванная движением стерж-
стержня относительно трубки (см.
рис. 4.8).
Относительная скорость сечения В стержня по отношению к А
6VAB = У + dV — V =v + dv + w + dw— v — w = dU+ dw.
Так как элемент стержня, совпадающий с элементом трубки,
имеет угловую скорость вращения соа, получаем
ЬУлв = соа х ds ~ех D.48)
или
dV dv , dw
Из D.24) с учетом D.19) следует
D.49)
D.50)
Соотношение D.50) справедливо для случая, когда стержень
нерастяжим.
Если стержень растяжим, то в правую часть выражеиия D.49)
надо добавить относительную скорость, вызванную деформацией
элемента стержня. Поэтому полная относительная скорость эле-
элемента растяжимого стержня
dV dv i dw — — - — — . / dwn \ — t л п w
ds ds ds * ' c *¦ ' \ ds /i lf * '
/dwp\
где \-fc-J x — относительная скорость элемента стержня, вы-
вызванная деформацией. В то же время относительная скорость
сечения В по отношению к А есть не что иное, как приращение ско-
скорости продольного движения, т. е.
или
ds
dw ( dwp
ds
D.52)
D.53)
99

Из сопоставления D.53) с уравнением неразрывности D.41)
следует
\ df 1 df
<4-54>
В проекциях на подвижные оси из D.51) получаем
dVa
-=T" + V2X1 — к ix2 = — ?oa,. D.55)
Из D.51) получаем (для растяжимого стержня)
-з— == сос X «1 + -5— б». D.56)
Соотношение D.56) позволяет установить значения компонент
вектора со0 в зависимости от скорости продольного движения стерж-
стержня. Перейдем в D.56) к локальным производным
D.57)
Из D.57) имеем два скалярных уравнения
Юсз- D.58)
Соотношения D.58) устанавливают зависимость между модулем
продольной скорости элемента w и кривизнами х2 и х3 осевой ли-
линии стержня в плоскостях, проходящих через главные оси сече-
сечения стержня и касательную, и проекциями угловой скорости (ос2 и
?ос3. То, что проекция юс1 не входит в соотношения D.58), не значит,
что она равна нулю. Дело в том, что угловая скорость вращения
элемента относительно касательной (ос1 не влияет на относитель-
относительную скорость,. кСторая рассматривалась при выводе уравнения
D.49).
Уравнение D.57) эквивалентно следующим двум векторным
уравнениям:
х X w = wc x ii. D,60)
100

Уравнение D.35) справедливо как
для растяжимых стержней, так и для
нерастяжимых. Например, при движе-
движении стержня в плоской трубке (канале)
(рис. 4.9) из D.59), D.60) имеем
-^--LiL + J--^ ro-
rods ~ f dt ^ f dsw'
Рис. 4.9
т. е. угловая скорость элемента в сечении с координатой s зависит
только от модуля продольной скорости в данном сечении и геоме-
геометрии трубки R (s) и не зависит явно от физических свойств мате-
материала стержня (или нити). Это замечание относится и к более об-
общему уравнению D.35). От физических свойств материала стержня
зависит правая часть соотношения D.35). При выводе уравнений
D.20) и D.25) считалось, что скорость движения стержня можно
представить как сумму скоростей переносной v и относительной до.
Такое разделение абсолютной скорости эффективно, когда известна
относительная скорость w (s, f). Если до неизвестна (например, w
появляется только из-за деформаций стержня), то такое разделение
нецелесообразно. В этом случае для растяжимых стержней сле-
следует использовать уравнения D.55), выраженные через проекции
абсолютной скорости V и уравнение неразрывности D.41).
2. Рассмотрим абсолютную производную вектора переносной
скорости элемента стержня (см. рис. 4.4) щ) времени, воспользо-
воспользовавшись переменными Эйлера:
dv dv . dv" .. С1.
-dT^W + IT}™' D-61>
где v— ^^
Вектор v есть абсолютная скорость точки трубки, с которой
в данный момент совпадает центр тяжести элемента стержня, т. е.
для стержня при w Ф 0 вектор у есть вектор переносной скорости.
Если стержень не имеет продольного движения (до = 0), то v есть
абсолютная скорость стержня.
Как было показано в § 16, полные частные производные можно
представить через локальные производные в виде
# = 4 + -Х^; D.62)
101

поэтому имеем [с учетом выражения D.45)]
3't7
D.64)
Следует подчеркнуть, что в D.64) скорость w может быть вы-
вызвана деформациями растяжения стержня.
В проекциях на оси, связанные с трубкой, получаем следующие
выражения для компонент переносного ускорения:
do \ d'v.
Если стержень продольной скорости не имеет (до = 0), то из
D.65) получаем
Саг), =т?
(dv \ ffv
ИГ), =-!
Полученные выражения для производных по времени D.64)—
D.66) справедливы для любого вектора, связанного с движущимся
стержнем.
При w ф. 0 абсолютное ускорение стержня
D.67)
Воспользовавшись уравнением D.45), исключим из D.67)
С о») а;. D.68)
102

Если стержень нерастяжим, то
w (s, 0 = w @ гх и ~- = 0. D.69)
В случае, когда стержень нерастяжим и имеет постоянную по
модулю скорость w, следует в D.68) положить
4F=^ = 0. D.70,
В проекциях на связанные с трубкой оси из D.68) имеем следу-
следующие выражения для компонент абсолютного ускорения нерастя-
нерастяжимого стержня:
(dV \ Vvt , dw

Глава 5
Стационарное движение
гибких стержней
§ 21. Введение
Во многих машинах и приборах в качестве элементов конструк-
конструкции или чувствительных упругих элементов используют гибкие и
абсолютно гибкие стержни, имеющие продольное движение. Клас-
Классическим примером таких упругих элементов являются передачи
с гибкой связью (рис. 5.1). В электротехнической промышленности
при технологических процессах смотки и намотки провода
(рис. 5.2), в прокатной (рис. 5.3), текстильной (рис. 5.4) и ряде
других отраслей надо рассчитывать гибкие элементы. В последнее
время значительно увеличились скорости при намотке в рулоны
готовой продукции, которые могут достигать 50—70 м/с. Гибкие
стержни используют *и в системах управления по проводам дви-
движущимися) объектами (рис. 5.5). Скорость движущегося объекта
достигает 100 м/с, поэтому возникающие дополнительные усилия
в проводнике (нити) оказывают существенное влияние на его проч-
прочность.
Для охлаждения реакторов используют замкнутые гибкие
ленты (рис. 5.6), движущиеся в теплопоглощающей среде (ленточ-
(ленточные радиаторы). Контактируя с поверхностью реактора, лента на-
нагревается, а затем при свободном движении отдает тепло окружаю-
окружающей среде или^ (в" вакууме) излучает тепло в пространство [51].
Динамические эффекты, возникающие при стационарном движении
абсолютно гибкого стержня, используют при создании баллистиче-
баллистической антенны (рис. 5.7) [39, 41, 44]. Вертикальная или наклон-
наклонная вытянутая петля быстродвижущегося провода является излу-
излучателем антенны.
Рис. 5.1 Рис. 5.2 Рис. 5.3
104

Рис. 5.4
Рис 5.5
Рис. 5.6
77/Л7.
Рис. 5.7
§ 22. Уравнение равновесия гибкого стержня
Стержень, Непрерывно движущийся со скоростью w (точнее,
отрезок бесконечного стержня постоянной длины), показан на
рис. 5.8. В установившемся режиме движения пространственная
форма стержня остается неизменной. Такой режим движения при-
принято называть стационарным движением. Основная особенность
стационарного режима движения заключается в том, что для внеш-
внешнего наблюдателя стержень в целом (по отношению к покоящейся
Системе координат) сохраняет свое положение в пространстве,
несмотря на имеющуюся скорость продольного движения — движе-
ййя, когда вектор абсолютной скорости всегда направлен по каса-
касательной к осевой линии стержня. Иногда такое состояние равно-
равновесия называют «кажущимся покоем» стержня. Понятие стационар-
стационарного движения справедливо и в относительной системе координат,
например во вращающейся (см. рис. 5.4). В дальнейшем будем пред-
представлять стержень, находящийся в абсолютно гибкой безынерцион-
безынерционной трубке, имеющей ту же длину (рис. 5.9, а). Рассмотрим эле-
|*еит стержня (рис. 5.9, б), совпадающий в данный момент с эле-
1*ентом трубки. В отличие от уравнения'равновескя, полученного
в гл. 3, в данном случае на стержень действует распределенная
нагрузка _
Й ??.. EЛ)
105

w
Q+dQ
УЯ
(г. '*
м -*з 6)
где /„ — распределенная нагруз-
нагрузка (вызванная силами инерции)
(т0 — масса единицы длины
стержня).
Прн стационарном движении
нерастяжимого стержня справед-
справедливо условие | w\ = const. Пере-
Переходя к переменным Эйлера и учи-
учитывая, что w = welt получим
Рис. 5 9
dw
иг
dw
ds
ds
E.3)
Так как при стационарном движении все величины, характери-
характеризующие состояние стержня, не зависят от времени, то вместо част-
частных производных можно использовать полные производные по s,
поэтому получаем следующее уравнение равновесия:
ds
¦ О.
E.4)
Переходя к безразмерной форме записи (аналогично § 11),
получим
E-5)
где Q "и q — безразмерные величины.
Уравнение E.5) можно представить в виде
de
=
Лзз @)
@)
¦)¦
E.6)
которое эквивалентно (по записи) уравнению C.41), т. е. можно
исследовать состояние кажущегося покоя стержня, используя
уравнение E 5). Тогда продольное движение стержня эквивалентно
дополнительной распределенной нагрузке и можно рассматривать
равновесие, «забыв» о продольном движении, а затем в конечном
решении к осевой силе QP добавить слагаемое m0w2.
Как следует из выражения для Q<'>, основная особенность полу-
полученного уравнения E.6) заключается в том, что изменяется только
осевое усилие, увеличивающееся на одну и ту же величину тоа>2.
Переходя к локальным производным в E.4), имеем
= 0. E.7)
106

В проекциях на связанные оси уравнение E 7) принимает вид
dQj
При движении по криволинейной пространственной трубке
элемент стержня вращается с некоторой угловой скоростью ю, по-
поэтому на него действует дополнительная распределенная инерцион-
инерционная нагрузка — распределенный момент ц„, равный
и ° ° 1!\
dw ' ' "О /и 0 , E.9)
О 0 /зз|/
или, переходя к переменным Эйлера,
где / — матрица главных моментов инерции элемента стержня,
длина которого равна единице. Перейдя к локальным производ-
производным, получаем уравнение (в безразмерных величинах)
—jZ 1~ /V /\ in -p Р1ЛЧ ~Г f* аии \ —д^— ~Г п Л» / "• E.1 I)
В скалярной форме имеем
J'"- = 0. E.12)
Уравнение для перемещений остается без изменения, так как
при установившемся движении форма стержня может быть опре-
определена как форма неподвижной трубки, с которой совпадает стер-
стержень. Для гибких тонких стержней распределенный момент, выз-
вызванный инерцией вращения, как правило, является малым, и им
можно пренебречь (/ «* 0). Если слагаемое, зависящее от скорости
продольного движения, объединить с осевой силой [как это сде-
сделано в E.6)], то уравнения, характеризующие стационарное дви-
движение стержня, эквивалентны уравнениям равновесия. Сила Q,
входящая в уравнение моментов, может быть заменена на Q{r),
так как справедливо равенство
eiXQ-^xQ*'1 E.13)
и уравнение E.12) (при J = 0) тождественно совпадает с уравне-
уравнением C.98).
Рассмотрим несколько частных случаев общих уравнений
стационарного движения стержня, имеющих прикладное значе-
значение. Во введении к этой главе приведен пример, где используется
быстродвижущийся гибкий стержень для охлаждения реактора
107

(ленточный радиатор). Получим ура-
уравнения стационарного движения леи-
точиого радиатора. Ленточные радиа-
радиаторы предназначены для отвода тепла
от различного типа силовых устано-
установок, в частности от силовых установок
космических кораблей (рис, 5.10) [51J.
В условиях космоса тепло может быть
отведено в окружающее пространство
только путем излучения. Обычные ра-
радиаторы, предназначенные для отвода
тепла, при больших значениях отводи-
отводимой энергии имеют большую массу, что для космических кораблей
недопустимо. При ^необходимости отвода энергии около 1 МВт
вес радиатора равен почти половине ввеса силовой установки.
Применение ленточного радиатора -позволяет снизить вес радиа-
радиатора почти на 60% [51 ]. Кроме того, ленточный радиатор ме-
менее чувствителен к столкновениям с частицами, которые пред-
представляют большую угрозу для обычных радиаторов.
Действие обычного радиатора основано на циркуляции рабочей
жидкости силовой установки или вторичной охлаждающей жидко-
жидкости по системе входных и выходных камер, служащих кожухами
для множества более тонких трубочек, расположенных внутри.
Виешние поверхности этих маленьких трубочек и составляют как
раз всю теплообменную поверхность радиатора. Камеры делают
из значительно более толстого материала, чтобы выдержать все
бесчисленные столкновения с частицами за весь срок службы.
Трубки меньшего диаметра могут иметь более тонкие стенки, чем
камеры, и в случае проникновения частицы поврежденная трубка
может быть удалена из системы, чтобы предотвратить потерю
жидкости. Несмотря на применение тонкостенных трубок, общая
масса их составляет почти половину массы всего радиатора.
Ленточный радиатор состоит из вращающегося барабана или
другой контактной поверхности, нагревающейся при работе сило-
силовой установки, и замкнутой гибкой ленты (см. рис. 5.10). Часть
непрерывно движущейся ленты находится в контакте с нагретой
поверхностью (барабаном) и за время контакта нагревается. После
выхода из контакта с барабаном нагретый участок ленты движется
в окружающем пространстве, охлаждается и снова входит в кон-
контакт с барабаном. Цикл повторяется.
Скорость, с которой лента отводит тепло от вращающегося ба-
барабана, намного превосходит скорость излучения тепла в про-
пространство. Следовательно, площадь контакта между лентой и вра-
вращающимся барабаном должна быть много меньше, чем площадь,
с которой излучается тепло. Отношение этих площадей и скорость
движения позволяют регулировать процесс отвода тепла от сило-
силовой установки. Ленточный радиатор в сравнении с обычн,ой труб-
трубчатой (змеевиковой) системой характеризуется простотой и надеж-
108

-л*
9
г
н
i
7
1
Рис. 5.11
ностью в эксплуатации, дает
возможность избавиться от
охлаждающей жидкости. Это
приводит к уменьшению веса
силовой установки. Расчет
ленточного радиатора вклю-
включает как расчет термодина-
термодинамических процессов, так и
расчет, связанный с опреде-
определением прочности и долго-
долговечности. Для более интен-
интенсивного отвода тепла от на-
нагретой поверхности следует увеличить скорость движения ленты,
что приводит к увеличению средних значений напряжений
в ней и к более быстрому накоплению циклов напряжений, тем
самым к уменьшению долговечности. Поэтому выбор оптимальных
режимов работы ленточного радиатора надо рассматривать как
совместную термодинамическую и механическую задачу.
Ограничимся в дальнейшем только механической частью рас-
расчета ленточного радиатора и получим уравнения равновесия ленты
Для режимов работы в космосе и в земных условиях. Уравнения
стационарного движения ленты получим в системе координат уох,
вращающейся с угловой скоростью цилиндров / и 2 (рис. 5.11)j
прижимающих ленту к барабану. В относительной системе коорди-
координат лента имеет продольное движение со скоростью w = wjR^
кроме того, на ленту действует распределенная нагрузка тшгг.
Воспользуемся уравнением равновесия стержня E.6), которое
запишем во вращающейся системе координат уох. Полагая
q = nioufxii + т&?у\г (QP — Qi —
E.15)
и переходя к безразмерной форме записи, получим (принимая
во внимание, что w = &R)
; E.Ш)
q° = ru/i\x°ii
(«ю = -?-
E.17)
I '
y ¦
109

После преобразований получаем следующие уравнения равно-
равновесия ленты (опуская индекс «нуль» в безразмерных величинах):
O; E.18)
О; E.19)
E.20)
Полученная система уравнений E.18)—E.22) является нели-
нелинейной, поэтому точно ke решить практически невозможно. Рас-
Рассмотрим один из возможных вариантов приближенного решения,
использующий особенность применяемых лент — их малую из-
гибную жесткость. Чем меньше отношение толщины ленты к сред-
среднему радиусу кривизны при стационарном движении, тем меньше
влияет на форму ее изгибная жесткость. Возможны конструкции
лент из набора цепочек, которые имеют нулевую изгибную жест-
жесткость. При малой изгибной жесткости для получения безразмер-
безразмерных сил и моментов следует использовать другие множители, на-
например, вместо А33 @)llk следует брать tnogF. В этом случае имеем
-о , . „о ,3 (O.Z6)
Тогда п0 равно w^lgl.
При приближенном решении системы E.18)—E.22) в качестве
первого приближения естественно взять предельный случай,
когда изгибная жесткость ленты равна нулю, т. е. допустить, что
ленту можно рассматривать как абсолютно гибкий стержень (нить).
Для нити М3 = Q2 = 0, a Qj =/= 0, поэтому при малой изгибной
жесткости можно считать, что М3 и Q2 являются малыми вели-
величинами и их можно представить в виде разложения по малому па-
параметру р. При малой жесткости А33 ее можно считать малым па-
параметром порядка р. Разложение имеет вид
• •;
Аналогично можно представить Qlt x и у:
Qi = Qio + Wii + P2Qb + P3QI3 + • • •;
-.; E.25)
no

Подставив выражения для Qlt Q2, М3, x и у в E.18)—E.22)
и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях р, получим
следующие системы уравнений для первого и последующих при-
приближений (опуская индекс «нуль» в безразмерных величинах):
= Qio — яо); E.26)
0; E.27)
= °= <5.29)
= 0; E.30)
E-32)
¦?¦¦?-+4Ие-°-
В системе линейных уравнений неизвестными являются Qlt,
Qiif M32, xl3 уг. Основная трудность при решении системы E.29)—
E.33) заключается в том, что задача в целом является двухточеч-
двухточечной краевой задачей. Так как используемый при решении метод
малого параметра приводит по каждому приближению (кроме
первого) к линейным уравнениям, то для решения может быть ис-
использован метод прогонки, позволяющий свести двухточечную
задачу к одноточечной [2].
Рассмотрим систему нелинейных уравнений E.26)—E.28),
которая представляет собой систему уравнений равновесия дви-
движущейся нити в поле центробежных сил. Ограничимся прибли-
приближенным решением, полагая Q\o} = const. В этом случае находим
приближенные выражения для х0 и ув;
Й) E.34)
E.35)
111

Считая, что форма ленты симметрична относительно оси х
(это подтверждается экспериментальными исследованиями), по-
поместим начало системы координат так, что при 8 = 0 х0 = 0,
Уо — Уоо', при е = 1 х0 = 0, у0 = —у99 (см. рис. 5.11).
Из уравнения для хв имеем: 1) Сг = 0; 2) С2 sin k = 0, откуда
k = я. Тогда неизвестное натяжение
Натяжение в ленте с учетом продольной скорости движения
находим из E.26):
Из ограничения на величину осевой силы Q10 E.37) можно
установить предельную скорость движения ленты (или предель-
предельную угловую скорость обкатывания прижимными валиками ба-
барабана). Например, если нельзя допустить, чтобы напряжения
в ленте превышали предел текучести огт, то из E.37) имеем
«"< г. /,°;г I -, • E-38)
где F — площадь поперечного сечения ленты.
Удовлетворяя краевым условиям и для у0, окончательно по-
получим
х0 — c2sinne;
Уо = Уоо cos яе.
Полученные выражения для х0 и у9 являются приближенными.
Потребуем, чтобы уравнение E.28) удовлетворялось интегрально,
т. е.
ЙD)'4)']- <5-39>
Подставив в E.39) выражения для х0 и у0, после преобразова-
преобразований получаем уравнение для определения произвольной постоян-
постоянной с2:
1
откуда
112

fius
Знак с2 найдем из условия, что при е=0,5 х„>0
(см. рис. 5.11), что соответствует положитель-
положительному значению корня. Из рис. 5.11 следует,
что сг ¦= xk. Исключая из выражений для х0
и у0 параметр е, получаем уравнение эллипса
<*">
Форма лецты показана пунктирной ли-
линией. Столь большое отличие в формах объяс-
объясняется тем, что лента, показанная сплошной
линией, нарисована для случая с конечной
изгибной жесткостью. Полученное решение Рис. 5.12
можно уточнить, воспользовавшись системой
уравнений E.29)—E.33). Изложенный алго-
алгоритм решения нелинейных задач статики гибких стержней, име-
имеющих малую жесткость, может быть использован не только при
решении задач, когда внешние распределенные нагрузки пропор-
пропорциональны координатам, но и для любых других зависимостей
qx, qy, их координат и их первых производных.
Рассмотрим случай работы ленточного радиатора в земных
условиях, когда вращение ленты относительно оси барабана неже-
нежелательно. Для того чтобы лента не меняла своего положения в про-
пространстве, необходимо вращать с угловой скоростью <о барабан
(рис. 5.12), зафиксировав положение прижимных валиков / и 2.
В этом случае на ленту действуют другие распределенные силы,
а именно сила веса и сила тод аэродинамического сопротивления
|л, зависящая от скорости продольного движения w.
Так как вектор ц можно представить через проекции на оси
уОх (приведя к безразмерной форме)
то из уравнения E.6) получаем следующую систему уравнений
равновесия гибкой ленты с учетом сил веса и аэродинамического
сопротивления (опуская индекс «нуль»):
d
de
dy jl. п dx 1 •• dy i —
E.43)
113

Уравнения E.20)—E.22) остаются без изменения. Уравнения
E.42), E.43) позволяют получить первые два интеграла
в»-2г-1«-с^ <5-44>
&-3T-|*y-e = C,. E.45)
Для случая, когда изгибная жесткость ленты мала, можно вос-
воспользоваться методом малого параметра, как это было сделано
при решении предыдущей задачи [перейдя к безразмерным вели-
величинам E.23)]. Основная особенность данной задачи заключается
в том, что считать осевое усилие (даже приближенно) постоянным
по длине ленты (как это было сделано в предыдущей задаче)
нельзя из-за наличия продольных аэродинамических сил, т. е.
для получения первого приближения следует решать систему
трех уравнений вида
4Н^=0; E.46)
*%--1 = * <5-47>
уо' + хо'=1. E.48)
Метод решения системы E.46)—E.48) изложен в § 24.
§ 23. Уравнения равновесия
при стационарном движении нити
Определение стационарного движения абсолютно гибкого
стержня (нити) аналогично определению стационарного движения
стержня. Стационарным движением нити называется такое дви-
движение, когда нить сохраняет свою форму в пространстве по отно-
отношению к неподвижной системе координат или по отношению к рав-
равномерно движущимся или вращающимся координатам. Последнее
рассмотрено на примере ленточного радиатора, лента которого
в первом приближении рассматривалась как нить (см. рис. 5.11).
Уравнения равновесия нити, имеющей продольное движение,
являются частным случаем уравнений, полученных в § 22 для
стационарно движущегося гибкого стержня. В векторной форме
записи уравнение равновесия аналогично уравнению ^5.6):
(ОГ-<й-Ло>. E-49)
J
114

Из уравнения E.59) получаем в проекциях на естественные оси
?i = 0; E.50)
de
E-51)
В декартовой системе координат имеем
-?-(*¦?¦)-«.¦?•+*-*
E.52)
К системе уравнений E.52) следует добавить уравнение
(¦?)'+(¦?)'+(¦?)¦-'• <*•*>
§ 24. Стационарное движение нити
в вязкой покоящейся среде
1. Рассмотрим более подробно стационарное движение абсо-
абсолютно гибкого стержня в покоящейся вязкой среде. Подобного
рода задачи возникают, например, при изучении процесса смотки
и намотки проводников в радиотехнической и текстильной про-
промышленности (рис. 5.13). Для покрытия изоляцией гибкий про-
проводник пропускают через жидкость, которая при движении про-
проводника в воздухе высыхает и покрывает его изолирующим слоем
(рис. 5.14). С точки зрения производительности технологического
процесса скорость движения провода желательно сделать как
У,
Рис
. 5.
У
0
13
.У
х„ \т'9
V
J
/Г
1
У
w
\
Рис. 5.14
7
г
ft»—1
.г
115

можно больше, однако при ее увеличении растут силы сопротивле-
сопротивления (А и, как следствие, осевое усилие Qt. Поэтому для каждого типа
провода и размера ej-o свободного участка между выходом и вхо-
входом существует своя предельная скорость (с учетом аэродинами-
аэродинамических сил), при которой максимальные осевые напряжения ^не
превышают допустимых напряжений. Для назначения оптималь-
оптимальных режимов процесса необходимо знать зависимость напряжения
в проводе от скорости его продольного»движения.
Под действием на нить силы веса и осевой силы сопротивления
она в равновесии приобретает форму плоской кривой. Поэтому
из системы E.42)—E.43) получаем (при Q2 — 0) в безразмерной
форме следующие уравнения:
т(«" т)-<-=•-• (¦—&)' <5-5<>
1-г-«-0. E.55)
К уравнениям E.54)—E.55) следует добавить уравнение
(-!•)*+(I-)'-!. E-56)
Сила сопротивления (* считается постоянной по длине нити.
Экспериментальному определению сил сопротивления при про-
продольном движении нити посвящено много работ [1, 14], из ко-
которых следует, что сила сопротивления \i1 пропорциональна
квадрату скорости движения нити, т. е. р.г = си»2. Зависимость
fAx от скорости w необходима для определения продольной ско-
скорости движения нити. Коэффициент пропорциональности а опре-
определяется экспериментально [14].
Интегрируя уравнения E.54) и E.55), получаем [39]
<й'1-|г-|« = С,; E.57)
Qr-f--M-e = C2. E.58)
^множив A) на х' и B) на у', сложив полученные выражения
и проинтегрировав по в, получим [с учетом E.56)]
QP-0-|*e = C3. E.59)
Исключая QP из соотношений E.57) и E.58), имеем
С,*' -f цех' + ух' - [IX = С,; E.60)
C3t/ + li&yl + yy'-iiy-e = Ci. E.61)
116

Из E.60) и E.61) находим х' и у', которые подставляем в E.56);
в результате имеем
- у?) е* + 2 (С8 - С3ц) е = 0. E.62)
Соотношение E.61) можно преобразовать к виду
У -
Введем новые переменные ех = е — а и т] = г/ — р, полагая
С2 — |хС8 . о С8 — |хС2
после чего уравнение E.63) принимает вид
1Г=ЦГХ^-- E-65)
Интегрнруя E.65) и переходя к старым переменным, получаем
Следует отметить, что полученное выражение E.66) справед-
справедливо только при ц ^ 1, так как только в этом случае аир конечны.
Для определения четырех постоянных Сг, Са, С3 и С4 имеем
четыре краевых условия, например для случая, показанного
на рис. 5.13: е = 0, х = х9, у = у„, в = 1, х = х17 у = yt.
Из уравнений E.62) и E.66) получаем четыре алгебраических
уравнения для определения С,:
+ ц2хо + 2Ci\ix0 = 0; E.67)
С? + С| - d + ([л2 - 1) у\ + 2 (С2|л - С3) я + |i*x? +
- F2) + 2 (С2 - С3ц) = 0; E.68)
-P) -C4foo-
(l а) (У1 р) _о4|_ (J;i_p)_A_a) J •
В уравнениях E.69) и E.70) аир можно исключить, восполь-
воспользовавшись соотношениями E.64). Определив С4, из E.66) находим
у (г), а затем из E.62) х (г). Определив у, находим из E.59) QP (г),
а затем
E.71)
117

Решение задачи существенно
упрощается в зависимости от
выбранных осей. Например, для
осей уОхх (см. рис. 5.13) имеем
* следующие краевые условия: е=
= 0, х0 = у о — 0; 8 = 1; х =
= *и, У = Ун, что приводит
Рис. 5.15 к более простым уравнениям для
определения произвольных по-
постоянных. В этом случае получаем систему уравнений (исклю-
(исключая С4) для определения Си С2, С3:
(Ли -Ь 2CJ|wu + 1 - и2 + 2 (С2 - fiC3) = 0; E.72)
(|ii - 1 - С, + ИО.)' - (С3 - ЦС2J _ Г (и + 1+С,+С»)(С1-С>) -1М.
(С2 - ИС3J - (Са - цС2J [ (ц _ 1 _ с2 + С3) (С, + С2) J '
2. Рассмотрим частный случай краевых условий, показанный
на рис. 5.15. Имеем следующие краевые условия: 8 = 0, х = 0,
У = Уо\ е = 1, х = 0, у = —у0. Для определения Съ С2 и С3
получаем систему уравнений
С\ + С\ - (Л + (ц2 - 1) */§ + 2 (С2(х - С3) уо = 0; E.73)
+ A - ц») + 2(С2 - цС3) =* 0; E.74)
«'-(Уо-РJ ._Г (У,-а-Р)(Д-Р-»-Уо) 1" /с7сч
_аJ-(^0 + ЭJ L (у, + а-Р)A-у,-а-р) J ' 1°-'°'
При а=1/2ир = 0 выражение E.75) обращается в тождество,
а из соотношений E.64) получаем
E.76)
При этих значениях С2 и С3 из уравнений E.73) и E.74) можно
определить Сх:
С, = ± 0,5 /(ца-1)A-4^). E.77)
Знак произвольной постоянной Сг найдем из условия, что при
= V2 х' = 0, а хк > 0. Из уравнения E.60) получаем —-\ixk = Clf
118

откуда следует, что Сг должно быть отрицательным. Произволь-
Произвольную постоянную С4 находят из уравнения E.69):
E.78)
Определив С2 и С3 из E.66), получаем уравнения для опреде-
определения у (е):
(в-0.5) Г-С4^_е + 05 j .
E.79)
Определив из E.79) у (е), находим х (е) [воспользовавшись
соотношением E.62)]:
— Ы ± УгA-2еJ-4у2)
2ц
E.80)
Две формы равновесия нити при стационарном движении для
безразмерного параметра у0 = 0,1 при двух значениях безразмер-
безразмерной силы сопротивления ц показаны на рис. 5.16. Натяжение в
нити определяем из выражения
/-\(') r*ii /с а 1 \
VI ==— о~т~У~г Це- E.81)
График изменения Q[) в зависимости от е показан на рис. 5.17.
Из выражения E.81) следует, что QP в точках k (рис. 5.16)
обращается в нуль, т. е. натяжение в нити в этих точках равно
Qi = п0.
3. Для нити дополнительным необходимым условием существо-
существования равновесных форм (кроме независимости всех величин от
времени) является положительность натяжения Qlt так как сжи-
сжимающие усилия она воспринимать не может. Из графика рис. 5.17
следует, что натяжение в нити фг достигает минимального значе-
значения при е = 0, т. е.
Qi = Уо — 0,5(i -f" Яо- о,8
Предельное значение скорости
движения ^нити.^при^ которой воз- "^
У
0,1
о
-0,1
-0,2
119
/
/
t' 0
J
1

Рис 5.19
можен стационарный режим движения (возможна равновесная
форма при стационарном движении в покоящейся вязкой среде),
находят из условия
= -^, I*-
E-82>
Возвращаясь к явным выражениям для п0 и р в зависимости
от w (считая, что р пропорционально квадрату скорости), из E.82)
получим
W \ 1 Уо /С QQ\
-gTJ < Уо [0,5 (at/mo)-I] ~ 0,5^-1 * 10М)
Из соотношения E.83) следует, что стационарное движение
нити в поле сил тяжести возможно только при наличии вязкой
среды (с ф 0), но не для всякой нити возможен стационарный ре-
режим. Стационарный режим возможен, если предельная скорость,
получающаяся из E.82), есть действительная величина, что имеет
место при
= &г>2. • E.84)
Получим еще одно ограничение на скорость движения нити.
Из выражения E.80) следует, что х принимает действительные
значения при выполнении условия ||*| > 1, или
| gl ^ al/me &!
На рис. 5.18 показаны области значений w*/gl, для которых
выполняются неравенства E.83)—E.85). Все три неравенства вы-
выполняются в области /, являющейся областью возможных значе-
значений скорости движения нити. При этих скоростях возможен ста-
стационарный режим нити для случая, когда она движется от точки А
к В (см. рис. 5.15). Следует подчеркнуть, что область / получена
для случая, когда сила сопротивления' р пропорциональна квад-
квадрату скорости. Возможны, конечно, и другие (экспериментально
полученные) зависимости ц от w.
Рассмотрим случай, когда нить движется из точки В в точку А
(рис. 5.19). При изменении направления движения нити изменится

направление сил аэродинамического сопротивления \i, т. е. в пре-
предыдущем решении следует заменить р на —ц, а выражение для
произвольной постоянной Сх взять с плюсом.
Выражение для силы QP в этом случае принимает вид
QP = 0.5|i + y-|*e. E.86)
Сохраняя начало отсчета в точке А, из E.86) следует, что ми-
минимальное натяжение имеет место в точке В:
= — 0,5n — yo+no.
E.87)
Предельное значение скорости получаем из E.87), полагая
QtB = 0:
1 — 0.5&J.
E.88)
Из E.88) следует, что
&х<2. E.89)
Неравенство E.85) остается без изменения. На рис. 5.20 по-
показана область //, где выполняются все неравенства E.85), E.88)
и E.89). Область // есть область значений скоростей продольного
Движения нити [при движении из точки В в А (рис. 5.18)], при
которых возможен стационарный режим. Для обоих рассмотрен-
рассмотренных случаев движения нити (при Qlmln > 0) имеется одна и та же
критическая скорость движения, которую находим из условия
mog/a = 1/Ьь
E.90)
При а? <? 1/&! (что эквивалентно ц2 < 1) стационарное дви-
движение существовать не может, так как координаты точек нити,
как следует из E.80), становятся мнимыми.
4. Рассмотрим движение нити по горизонтальной поверхности
(рис. 5.21). 3 этом случае силы веса нити на оси уох не дают
проекций. Сила сопротивления jx равна сумме двух слагаемых,
зависящих от аэродинамического сопротивления нити и от трения
между нитью и плоскостью. Счи-
таем, что суммарная сила сопро-
сопротивления зависит только от скоро-
скорости движения нити, как и в пре-
1
\
1 1
0
Рис. 5.20
Рис. 5.21
121

дыдущем случае. Для того чтобы исследовать этот случай, необ-
необходимо изменить только уравнение E.55), принимающее вид
Интегрируя уравнения E.54) и E.91), получим
Qi')-^--|Wf = C1; E.92)
Q(i''-|--^ = C2. E.93)
Из E.92) и E.93) с учетом E.56) находим
8. E.94)
Из уравнений {5.92) н E.93) получим (после исключения QP)
(С, + И2 = (Сг + |*х)« + (С, + V-У?. E-95)
Исключая из E.93) QP и интегрируя получающееся уравнение,
имеем
С2 + ц*/ = С4(С3 + це). E.96)
Так как при 8 = 0 у = ув; е = 1; г/ = —у0, то из E.96) по-
получаем С4 == —2у0- Исключая С4 из E.96), имеем
Ся + цу=—2у0(С, + цв). E.97)
Из уравнений E.95) и E.97) следует
(Сг + |*еJ A - 4»?) = (Сг + ц^J. E.98)
Удовлетворяя краевым условиям по е, получаем из E.98)
два уравнения для определения Сх и С3:
и находим
Ci = — O,5|i/l-40g; С3=—0,5ц. E.100)
Оставшуюся произвольную постоянную С2 найдем из урав-
уравнения E.96) при 8 = 0:
т. е. С2 = 0. Определив произвольные постоянные, находим у
и х [из соотношений E.97) и E.98)]:
2е) @<е<1); E.101)
^= 0,5 /1 - 4г/§ [1 + Bв - 1I @ < s <0,5); E.102)
^ = 0,5 VI - Ы [1 - Bе - 1I @,5<:8<:1). E.103)
122

Интересная особенность данной задачи заключается в том, что
равновесная форма нитн представляет собой две сходящиеся в точ-
точке k прямые (рис. 5.22). Натяжение в нити
Qi —#о + И-(е— 0,5). E.104)
В точке k натяжение в нити равно п0. Этот результат можно
получить и из теоремы об изменении количества движения эле-
элемента нити. Предельное значение скорости, при котором возможно
стационарное движение, получим из E.104):
>0, E.105)
т. е. при &! < 2 стационарное движение возможно при любой ско-
скорости. При движении нити в горизонтальной плоскости форма
нити и натяжение в ней не зависят от направления движения
в отличие от случая движения нити в вертикальной плоскости.
5. Рассмотренное в пп. 3 и 4 стационарное движение является
частным случаем возможного в реальных условиях стационарного
движения, поэтому более подробно остановимся на общем случае
(рис. 5.23). Начало системы координат взято в точке, делящей
расстояние между точками выхода А и входом В пополам, что упро-
упрощает решение.
Из рис. 5.23 следует, что на кривой, которая характеризует
форму нити при стационарном режиме движения, имеется точка k,
где натяжение Qp равно нулю, и из уравнения E.51) получаем
(так как в точке k q% = 0)
откуда и следует, что Q$ = 0 (так как в общем случае x3k ф 0)
(в точке k выполняется условие Ct -f pxk — 0) [это следует из
уравнения E.57)]. Перейдем в уравнении E.55) от в к независимой
переменной х, используя соотношение ds = 1^1 + y%dx. Вели-
Величину Q\> из E.55) исключим, воспользовавшись уравнением E.57),
после чего получим
^Y^r-* EЛ06)
В точке kyx=>oo, т. е. точ-
точка k есть особая точка для ура-
уравнения E.106), поэтому свобод-
свободную часть нити представим
Рис. 5.23
123

состоящей из ветвей Ak (/) и kB (II) (рис. 5.23). Стыкуя решения
для каждой из ветвей в точке k, получим общее решение.
Интегрируя уравнения E.106), имеем (для участка Ak)
E.107)
После второго интегрирования получаем для участка Ak
(учитывая, что при Сх + цх > 0 \ Сг + 1**1 — —Ci — )
Аналогичное выражение можно получить и для участка kB:
Для определения пяти произвольных постоянных имеем:
три краевых условия х — ха = —^ю cos а: 1) ух = l10 sin а; 2) у\ =
= ctga; 3) х — хв= /10;cosa у2 — —/iSina; (/10 = -f); усло-
условие стыковки решений в точке k 4) ух (xk) = y2 (xk) и условие,
связывающее длины участков Ak и kB,
E.110)
Из условия стыковки следует С31 ~ С32 = С.
Подставив в E.110) выражения для у{ и г/г, после преобразова-
преобразований и интегрирования можно получить следующее выражение
для sx и s2:
± 2 L FH +
jT+1
1CX + ^1 IP ,c
Рассмотрим интегрирование одного из выражений для sx
более подробно:
Хл Хл
E.113)
где 2 = ~
124

Из E.113) получаем
ii
E.114)
или
xk
[ CailCi+vxr]- E.H5)
ХА
После интегрирования E.115) получаем E.111). Так как'Сх +
= 0, то из E.110) имеем
2 I 1*4-1 "Г
2 I 1*4-1 "Г С21(ц-1)
Из выполнения краевых условий получаем еще три уравнения
для определения Си С21, С22 и С:
(МЛ
С21(ц-1) J-'ioSina + C, E.117)
МП Ся(ц-1)
E.118)
-^ EЛ19)
10 = -Ь-.
Определив из уравнений E.116)—E.119) произвольные по-
постоянные, получаем конкретную равновесную форму, которую
принимает нить при заданной скорости продольного движения до
и известной силе сопротивления ц.
Натяжение в нити найдем, воспользовавшись уравнением
QP = (Ci -f цх) V 1 + У'2 , E.120)
которое после преобразований принимает вид (для каждой из
ветвей)
125

§ 25. Стационарное движение
баллистической антенны
Интересным, с точки зрения механики сплошной среды, явля-
является практическое использование динамических эффектов, име-
имеющих место при стационарном движении нити. На рис. 5.24
показана работающая баллистическая антенна, у которой для
приема и передачи сигналов используется быстродвижущийся
замкнутый проводник. Основной особенностью баллистической
антенны (по сравнению с ранее рассмотренными случаями движу-
движущихся абсолютно гибких стержней) является условие 1Х С U
что дает возможность несколько упростить определение произволь-
произвольных постоянных Си. Рассмотрим наиболее общий случай, когда
а Ф О (рис. 5.24). Экспериментальные исследования и точные
численные расчеты показывают, что длины ветвей (Л/С и KB)
мало отличаются между собой, т. е. можно положить sx = -5- + Д,
s2 =-к А, где А—малая величина, поэтому из E.111) и
E.112) имеем
Возведем уравнения E.117) и E.123) в квадрат и сложим [ана-
[аналогично поступим с уравнениями E.118) и E.124I:
- ^^ - ft.»*. - С? - (-L + АJ; E.125)
-D—АJ. E.126)
Вычитая E.125) из E.126), получим
¦ С ttctga r А /с 197ч
Подставив С в уравнение E.125) и используя условие 1Х < I
(или /10С 1). получим уравнение для определения Сх:
(У Г {i2— sin2 a "I ¦ p (i A ctga I . A2 __ ^
1 L (H*— U sin2 a J "¦" I (n2 —l)/ie sin a ~ < 4Z|0 sin2a '
E.128)
Для того чтобы корни уравнения E.128) были действительные,
необходимо, чтобы выполнялось условие
|A|«/M]/-?l=3^-. E.129)
126

Соотношение E.129) позволяет ус-
установить максимально возможное от-
отклонение в длинах ветвей. При боль-
больших скоростях движения \х > 1 и | А |
порядка 110, поэтому пренебрегаем А
в формулах E.125) и E.126) [или по-
полагая А = 0 в формуле E.128)] и
получим
A2-1
E.130)
Рис. 5.24
(ц,2 — 1) sin2 а Щ2 — 1 — Що (ц2 — sin2 a)]
4 (n2 — sin2 a)
При a = я /2, что соответствует случаю, рассмотренному в
§ 24; из E.131) получаем значение для С1г совпадающее с ранее
приведенным E.77), так как при a = -?- у0 = t10.
Из уравнения E.119) найдем два значения С21:
_ tga/2
E.132)
C&1) = ctgtt/2
E.133)
Определив С из E.118), находим два значения С22:
— (ц, 4-1) (И2 — 1) (fio «in a 4- С) ± (ц 4-1) x
СЦ- ll) = Х *№ — l)*(ho sina+CJ + (^—OICi + ^bI2 _ ,g 134,
Определив С22 и С21, можно из уравнений E.123) и E.124)
найти приближенные значения А. Каждой паре произвольных по-,
стоянных Cti11 и CU11 соответствует своя форма нити. Необ-
Необходимо только согласовывать знаки Ch11 и Сгг11 так, чтобы в
точке k знак производной dyldx был один и тот же для разных вет-
ветвей. Для случая, показанного на рис. 5.24, производная dyldx
вблизи точки k < 0 (для ветви Aft), что выполняется [соотноше-
[соотношение E.107)] при С21 > 0. Для ветви Bk производная dyjdx
вблизи точки k должна быть > 0, что выполняется при С22 < 0.
Формы нити в зависимости от угла запуска а показаны на рис. 5.25.
127

Рис. 5.25
Рис. 5.26
Решение уравнений проводилось численными методами при зна-
значениях безразмерных параметров ц = 3, /10 = 10~2. Влияние
скорости продольного движения нити (влияние ц) на ее равновес-
равновесную форму показано на рис. 5.26. При ц=1 (или в размерной форме
1*1 = тоё) равновесных форм не существует (при заданном а).
Так как ц зависит от ад, то из этого
условии- определяется критическая
скорость движения нити, при которой
возможны равновесные формы при про-
произвольном угле запуска а. Условие
по
ц>1 E.135)
является общим необходимым условием
существования равновесных форм при
стационарном режиме движения нити.
Изменение безразмерной величины Q(#)
по длине нити в зависимости от ско-
скорости движения нити показано на
рие. 5.27. Натяжение в нити (размер-
(размерное) находится из соотношения
E.136)

§ 26. Стационарное движение нити
в средах разной вязкости
Рассмотрим участок нити, движущейся в двух средах с раз-
различной вязкостью (см. рис. 5.14).
Так как d& = j/~l + y'2dx, то из E.55) [после исключения Q{'>
с использованием E.57)] получим для первого участка
I I (^ I || у\ ™ *¦ I || "*• __ *|/ 1 I // Г)
dx iK п ' rl ' dx J rl dx v [ Vl
ИЛИ
Ы = 0. E.137)
Первый интеграл уравнения E.137) имеет вид (при vx = —J
E.138)
Интегрируя E.138), получаем (учитывая, что | СХ1 +
= —С а — Hi*)
139)
Аналогичное выражение получаем для второго участка:
-i) J ' °32- EЛ4и)
В выражения для у± и г/2 входят шесть произвольных постоян-
постоянных, которые находятся из краевых условий и условий стыковки
решений в точке k (см. рис. 5Л4). Из краевых условий следует:
при_х = 0 уг = 0; при х = хг г/2 = г/22; при х = *i yt = уг = 0,
<Л = №, Q{? - <&>.
Длина участка нити / между токами Л и В считается известной,
поэтому получаем шестое уравнение (безразмерная длина равна
единице)
dx. E.141)
Для натяжения на каждом из участков получаем выражения
[аналогичные выражению E.120)]
= - 4-[с„ |С„
= —f [
[c221 Ctt + н* |1+v« + Lc- +?"l^]. E.143)
5 В А Светлицкий 129

У
Очо
0,3?
0,7<l
0,1В
0.08
/
/
-я-Г
У
"t
в»
Рис. 5.28
Рис. 5.29
Совместное (численное) решение уравнений, получающихся
при выполнении краевых условий и стыковки, дает возможность
определить все произвольные постоянные и тем самым получить
уравнения для равновесной формы нити и натяжения в ней с уче-
учетом разной вязкости сред. Задача определения формы нити и на-
натяжения существенно усложняется, когда нить имеет особую
точку k (рис. 5.28). В этом случае имеем четыре участка, для кото-
которых yt, Qn различны. На каждом из участков выражение для у{
зависит от трех постоянных Си Кроме того, неизвестными явля-
являются значения абсцисс хг и хг, где нить переходит из одной среды
в другую, т. е. всего имеет 14 неизвестных. Для их определения
необходимы 14 условий, получающихся из краевых условий и
стыковки решений. Необходимо стыковать четыре участка при
следующих условиях:
3)
5)
7)
9)
И)
13)
2)
4)
6) Q\? (*i) = Q[[\ (xi)\
8) У\ (xA) = 'io sin a;
10) yn(Xi) = yH;
12)
14)
В развернутом виде эти условия приведены в работе [43].
На рис. 5.29 показаны три формы нити: форма / при движении
в двух средах для случая, когда рг > 1 и j*! > рг при цг = 2,
110 = 0,02, ун = 0,2, цх = 1700, (ii/ца = 850. Форма 2 соответ-
соответствует движению нити в одной среде с силой сопротивления |ij,
и форма 3 соответствует движению нити в среде с силой сопро-
сопротивления ц2 (l*s С Hi)-
130

Глава 6
Динамика прямолинейных
гибких стержней
§ 27. Введение
Многие прикладные задачи динамики конструкций требуют
анализа динамических процессов, возникающих при работе, и
в частности, анализа колебаний элементов конструкций, предста-
представляющих собой гибкие и абсолютно гибкие стержни.
Несмотря на кажущуюся простоту расчетной схемы (когда
упругие элементы рассматриваются как стержни), возникающие
вопросы прн исследовании динамических процессов являются
не всегда простыми как по применяемым методам решения, так и
по содержанию конечных результатов. В качестве примеров на
рис. 6.1—6.8 показаны реальные конструкции и элементы кон-
конструкций, которые можно рассматривать как гибкие или абсолютно
гибкие стержни. На рис. 6.1 показана ракета, которая из-за слу-
случайных возмущений или в результате действия управляющих
усилий может совершать малые изгибные колебания. Различного
вида высокие конструкции, мачты, трубы и т. д. (см. рис. 6.2),
находящиеся в потоке воздуха, из-за срыва потока (вихрей Кар-
Кармана) могут очень сильно раскачаться в плоскости, перпендику-
перпендикулярной к вектору скорости потока. Аналогичные задачи возникают
и при расчете висящих мостов, которые в первом приближении
могут рассматриваться как одномерные конструкции (стержни).
Крыло самолета в первом приближении (см. рис. 6.3) можно рас-
рассматривать как стержень [5]. В потоке воздуха на крыло действуют
Рис 6.2
Рис. 6.3
131

Рис. 6.4
Рис. 6.5
Рис. 6.6
аэродинамические силы, которые могут вызвать нарастающие ко-
колебания крыла (флаттер крыла). Одна из основных задач при
исследовании флаттера элементов конструкций заключается в опре-
определении критической скорости потока, при превышении которой
возможны нарастающие колебания.
Во многих приборах в качестве упругих элементов используют
различного рода стержни, например в приборах времени
(в часах) спиральные стержни (см. рис. 6.3) [45, 49], от работы ко-
которых зависит точность хода часов. При определении периода авто-
автоколебаний балансира требуется учитывать инерционность спи-
спирали, что приводит к необходимости исследования колебаний кри-
криволинейного стержня. В ряде приборов (в том числе и в приборах
времени) используют камертоны (см. рис. 6.5) [8, 9, 49], например
при определении ускорения движущегося тела. На ускоренно дви-
движущемся объекте ветви камертона нагружаются осевой инерци-
инерционной нагрузкой, от которой зависят частоты колебаний камер-
камертона. По замеренной, первой частоте колебаний можно определить
ускорение объекта.
При сверлении глубоких отверстий (см. рис. 6.6) [40] для
охлаждения сверла в зону резания и удаления стружки подается
жидкость, которая существенно влияет на режим сверления. В за-
зависимости от параметров потока жидкости (скорости и давления)
юзможны неустойчивые изгибные колебания вращающегося сверла
в отверстии. Эта задача аналогична классической задаче об устой-
устойчивости шипа в подшипнике [5]. Движущаяся в намоточном устрой-
устройстве нить показана на рис. 6.7. Из-за неравномерности вращения
катушек возникают ее колебания, которые отрицательно сказы-
сказываются на работе устройства. Цилиндрические пружины (см.
рис. 6.8), широко распространенные в машиностроении и прибо-
приборостроении, также относятся к стержням, но к более сложным —
пространственно-криволинейным.
V77777/////S
Рис. 6.7
Рис. 6.8
132

§ 28. Малые колебания прямолинейных стержней
При колебаниях стержней или в более общем случае—дви-
случае—движении прогибы стержня и внутренние силовые факторы зависят
не только от координаты z (или безразмерной координаты в),
но и от времени t, поэтому следует перейти к частным производным,
т. е. расшифровывая приращения функции (например, прогиба у),
связанного с переходом от сечения с координатой г в соседнее се-
сечение с координатой г + dz, полагать
dy— -Л- dz. F 1)
В данной главе рассмотрен наиболее простой случай колебаний
прямолинейного стержня, когда движение стержня происходит
в плоскости чертежа (рис. 6.9, а).
1. Уравнение малых колебаний гибкого стержня. Статика
прямолинейных гибких стержней рассматривалась в гл. 2 и было
получено основное уравнение равновесия прямолинейного стержня
B.8) в предположении, что прогибы стержня являются малыми.
При колебаниях стержня на его элемент действует (при малых про-
прогибах) сила инерции (рис. 6.9, б)
F.2)
В случае малых колебаний можно считать, что элемент стержня
смещается только по нормали, т. е. координата z элемента от вре-
времени не зависит, поэтому при описании движения стержня можно
использовать переменные Лагранжа (в рассматриваемом случае
г = г0), и для распределенной силы инерции получаем
Яу-
-от (г)
д2у (г, t)
F.3)
Перейдем к безразмерным величинам, полагая pot — т, у =
= vl (р0 = [Лзз @I т @) l*]1'2, где Л33 @) — жесткость в начале
координат. Массу единицы длины
можно выразить через массу
единицы длины стержня в начале
координат т @) и безразмерную
функцию пх (в) [т (е)=/п @) пх (e)J.
Безразмерная распределенная на-
нагрузка (ft = А у' , поэтому по-
после преобразований получаем
F.4)
Рис. 6.9
133

Движение стержня может быть вызвано как отклонением от
состояния равновесия, так и приложенными к стержню силами,
зависящими от'времени, т. е. в общем случае правая часть уравне-
уравнения B.8) (приведенного к безразмерной форме) может быть пред-
представлена в виде
/° (в, т) = <7о° (е) + <7д (е, т) - щ -g-, F.5)
поэтому уравнение малых колебаний прямолинейного стержня
относительно состояния равновесия имеет вид
-W(Аз31P-J + "аг [Qu itj +
д. F.6)
где <7„, <7Д — соответственно статическая и динамическая нагрузки
приложенные к стержню. Уравнение F.6) является линейным
дифференциальным уравнением в частных производных.
Если под v понимают полный безразмерный прогиб стержня,
то его можно представить в виде v = v0 + и, где v0 — прогиб,
вызванный статически приложенными силами ф; и — динамиче-
динамический прогиб, вызванный силами <7д или, при свободных колеба-
колебаниях, отклонением от состояния равновесия.
Подставив выражение для v в F.6), получим
о. /с т\
* (б7)
а» /ло а>и\ а /Ло а«
IP- И331PV + it VQl° ^г
+ 4а1Ы + «1-0-==Gя. F-8)
т. е. для определения vQ и и получили два независимых уравне-
уравнения, поэтому при исследовании малых колебаний можно рассмат-
тривать только динамическую составляющую прогиба.
Уравнение F.8) не учитывает инерцию вращения элемента
стержня [показанный на рис. 6.9, б пунктиром инерционный мо-
момент dMa считается равным нулю] и инерцию сдвига, о чем-более
подробно будет сказано в § 36. Для численных методов определе-
определения частот и форм колебаний уравнение F.8) удобнее представить
в виде системы уравнений первого порядка (относительно произ-
производной по в), введя следующие функции:
Ь ц4. F.9)
134

После преобразований получаем систему уравнений вида
= 0;
F.10)
33
Основное преимущество сведения уравнения F.8) к системе
уравнений F.10) заключается в том, что не надо дифференцировать
безразмерную жесткость А%. Система уравнений F.10) эквивалент-
эквивалентна одному векторному уравнению
ди
дв
F.11)
где
щ
щ

и
и'
ма
; Л =
О —1
о о
0 0-^0
лзз
0 0 0 1
4а*
де
лО
33
о
0
0
0
<h
0
0
0
0
0
0
0
0
t>
0
0
0
0
0
0
q
2. Уравнение малых колебаний абсолютно гибкого стержня.
Абсолютно гибкий неоднородный стержень (нить), лежащий на
упругом основании, показан на рис. 6.10. Натяжение в стержне
обозначим Q10. Рассматривая элемент стержня (частный случай
элемента, показанного на рис. 6.9, б когда Мо = Q2 = 0; Qx =
= const), можно получить следующее уравнение малых коле-
колебаний абсолютно гибкого
стержня:
mi?* **
F.12) Рис. 6.10
135

га.
Полагая у = ul? Q10 = Q°omog/; т ¦= po?; m (г)
g//, получим F.12) в безразмерной форме:
дт2
(e); pl~=
F.13)
§ 29. Численные методы определения частот
и форм колебаний стержня
1. Определение частот. Рассмотрим свободные колебания
стержня (положим q°u = 0), при которых решение F.8) ищем
в виде и = ыое'Лт, где % — безразмерная частота, равная р/р0
(р — размерная частота). Подставив выражение для и в F.8),
получаем
где
"ю
0
"зо
0
de
; Л =
-I- Л//Л = 0
0
0
0
4гу4 и % 2
tec. — rtj/v
J
0
0
dQ%
dt
0
1
•^33
0
У ю
^33
0
0
1
0
F.14)
Решение уравнения F.14) при q = 0 аналогично решению
уравнения B.9) и имеет вид
по = /С(е)С; [К@) = Е], F.15)
где С — произвольный вектор.
Метод численного определения матрицы К (е) изложен в гл. 2.
Отличие между решениями B.9) и F.15) заключается в том, что
в статике элементы матрицы А известны, а при исследовании малых
колебаний матрица А имеет элемент, зависящий от неизвестного
параметра К. Поэтому при численном определении матрицы К. (е)
приходится задаваться параметром К (безразмерной частотой)
и искать такие значения Хк, при которых вектор ы0 удовлетворяет
краевым условиям задачи. Например, для консольно закреплен-
закрепленного стержня компоненты вектора ы0 должны удовлетворять сле-
следующим краевым условиям: 1) 8 = 0; «10 = ы20 = 0 (следова-
= 1; "зо ~ 0 = 0- Эт° приводит
у
тельно, Ci ^= С2 = 0); 2) е
к системе уравнений
k (*) С
(Ц С3
^34 (Ц С4 = 0;
- kM (k) С4 = 0
F.16)
136

или
det
*«(*.)
= 0. F.17)
Значения ?ол, при которых эле-
элементы матрицы К (е) удовлетворяют
условию F.16), дают спектр безраз- Рис. б.п
мерных частот стержня.
В качестве примера определим безразмериые частоты стержня
переменного сечения (рис. 6.11). В этом случае имеем Q?o = 0,
а ях и Лзз зависят от закона изменения ширины сечения b (e), для
которой рассмотрим два случая:
2) &(e)=[l-(l—?
безразмерных коэффициентов nL и Лзз получаем соответ-
соответственно'
В результате численного решения уравнения получаем три
первых значения безразмерных частот колебаний в зависимости
от bi/b0 для двух случаев изменения Ь (е) (табл. 2 и 3).
Таблица 2
к
1
3,516
22,035
61,696
0,8
3,761
22,511
62,451
при е.
0,6
4,102
23,056
63,011
0,4
4,591
24,031
63,951
Таблица с
k
»,//>„ при е,
1
3,516
22,035
61,697
0,8
3,672
22,502
62,153
0.6
4,098
23,119
62,777
0.4
4,585
24,022
63,754
137

Для частного случая стержня постоянного сечения
= пх = 1) при Q?o = ах = 0 из F.8) получаем
,.1V 12,, __
и соответствующее ему характеристическое уравнение k*
откуда получаем значения корней
и соответствующее им точное аналитическое решение
"ю = ОЛ (в) + С,Кг (е) + С3К3 (г) + С4К4 (е).
где
8 + cos /Г е);
/С, = ^ (sh /Те + sin /Г б);
F.18)
! = 0,
F.19)
e +cos
/C4 = -jjpr (sh V'^8 - sin /Гe)
Функции К,- так же, как и функции B.53), называют функци-
функциями Крылова.
Для производных Kt no e справедливы соотношения
4,
de
= К,;
dK3
= к*,
F.20)
Соотношения F.20) позволяют получить значения более вы-
высоких производных, а тем самым и матрицу К (е), которая для рас-
рассматриваемого частного случая имеет вид
138

Для определения к, например для консольного стержня, по-
получаем
= 0
или
F.21)
Численное решение уравнения F.18) дает для Х(к) значения
= 3,516; АЯ = 22,034; № = 61,623.
2. Определение форм колебаний. Для каждого из определен-
определенных значений Х<*' формы колебаний для общего случая (когда
элементы матрицы А зависят от е) можно найти только численным
счетом.
Из уравнений F.16) находим
= -таг
F.22)
поэтому для компонент вектора ы(*\ соответствующих Х(к), имеем
e) -
= "io<ft) -
(е);
«fi» - ^ioft) =
(V
(в);
F.23)
где ф1й (е) — форма колебаний, соответствующая fe-й частоте;
Фг*. Фзй и Ф4* — функции, характеризующие изменение по е
первой производной фи (е), момента и перерезывающей силы,
соответствующие fe-й частоте колебаний стержня, т. е. каждой
частоте колебаний соответствует вектор решений ~q>k (е) — соб-
собственный вектор краевой задачи.
Для определения <рд, соответствующих М*) (для стержня
переменного сечения), надо решить уравнение F.14) два раза,
чтобы получить элементы двух столбцов матрицы К (е), к,з к
*Л (/ = 1. 2, 3, 4). Например, для консольного стержня условия
следующие: при 8 = 0 1) п0 = "и0 @; 0; 1; 0) и 2) п0 = Ло @, 0, 0, 1).
139

Для уравнения F.18) при консольном закреплении стержня
собственные формы [функции Фхк(е) равны]
Фж (в) =
F'24)
§ 30. Уравнения колебаний стержня
с учетом инерции вращения и сдвига
Получим уравнения малых колебаний стержня переменного
сечения, нагруженного равномерно распределенной нагрузкой
qzQ = const, qy (t) (рис. 6.12). Рассмотрим элемент стержня dz
(рис. 6.13, а). С учетом деформаций сдвига торцовые сечения эле-
элемента повернутся ц-а дополнительный угол уср, поэтому полный
угол поворота элемента
0 = Yep + -37 • F.25)
Получим уравнение, связывающее перерезывающую силу Q2
с углом сдвига уср. Выразим энергию сдвига, накопленную в эле-
элементе, через работу силы Q2. При статическом нагружении имеем
=±-\ ту dzdF.
F.26)
Qs* I т \
Так как т = -j~ I у = -р;1, то после подстановки и преобра-
преобразований из соотношения F.25) получим
Для удобства введем безразмерный коэффициент kt = kF.
Элемент стержня со всеми действующими на него силами и момен-
моментами показан на рис. 6.9, б.
Рассматривается случай, когда
распределенная нагрузка qz0
(см. рис. 6.9, б) сохраняет при
колебаниях стержня свое на-
направление.
У
4
4-
4-
4-
4
4
4-
4
44
Рис. 6.12
Рис. 6.13
140

I. Уравнение поступательного движения элемента стержня.
Проектируя все силы на ось у, получим
где JK — сила инерции; dFc = Fcdz — сила сопротивления.
Так как a = ¦?; dJH = —mo^Jr dz (m0 — pF), где m0 — масса
единицы длины стержня; F — площадь поперечного сечения стерж-
стержня), то после преобразований получим следующее уравнение по-
поступательного движения стержня:
д*у GF /ее д*у\ д (п ду\
Считая, что силу сопротивления при поступательном движении
стержня можно представить в виде
F.29)
(где аг — коэффициент пропорциональности), получим
„ д2у . GF t дв д2у \ д („ ду \ . ду
2. Уравнение вращения элемента стержня. Взяв сумму момен-
моментов относительно точки А, получим (см. рис. 6.9, б)
ш3 Иг
дг
где dMn — момент сил инерции элемента стержня.
Момент сил инерции
F.31)
Так как момент М пропорционален приращению абсолютного
угла поворота сечения Э, имеем
М3 = Лзз-§. F.32)
После преобразований уравнение F.31) принимает вид
- дЧ дЮ GF (п <>у
В результате получаем систему двух уравнений F.28) и F.33)
относительно двух неизвестных Э и у.
141

3. Уравнения изгибных колебаний стержня переменного сече-
сечения. В случае стержня с переменным сечением целесообразно Qt
и М3 не исключать, что приводит к системе четырех уравнений
относительно четырех неизвестных «/, 6, М3, Q2:
Ь«а-§7" = <7*; F-34)
0; F.35)
= 0; F.36)
F.37)
^33
Уравнение F.34) можно представить в виде
i (Щ «.+ ¦".!=•*•
Перейдем к безразмерной форме записи уравнений F.34)—
F.37), полагая
y^ul; 2 = /е; т = /)^; /^ = Д,3 @)//% @);
^ B) = ^ @) Л», (в); F{z) = F @) я, (в);
где Л§3, <2°, AfS, Q? — безразмерные величины. После преобразо-
преобразований получаем систему уравнений в безразмерной форме
F'4О)
142

Систему уравнений F.39)—F.42) можно представить в вектор-
векторной форме записи в виде
где
ди
ди
F.43)
1
0
0
0
0
1
0
0
J
0
0
1
0
1 +
0
0
0
п4
0
0
0
kt
«I
0
0
0
0
щ
0
0
0
0
ч
0
0
0
0
; 4 =
; А3 =
0
0
0
о
0
0
0
щ
~ 1
0
0
dQ°
дв
0
0
-А%г
0
0
1
4
0
/1С
У]
0
0
h °
0
~~хТ
0
1
1
0
0
0
0
•
Система линейных уравнений F.39)—F.42) позволяет иссле-
исследовать колебания стержня с любой формой поперечного сечения
с учетом инерции вращения и сдвига.
4. Уравнения изгибных колебаний стержня постоянного се-
сечения. Полагая в системе уравнений F.39)—F.42) kt — const,
пг = 1, Лзз = 1, получим систему уравнений малых колебаний
стержня постоянного (прямоугольного) сечения с учетом инерции
вращения и сдвига (опуская индекс «нуль» в безразмерных вели-
величинах):
д*и
ди_
дх
дв
¦О;
F.44)
Ш»
N3

Исключая из системы F.44) Q2, 9 и М3, можно получить урав-
уравнение относительно и следующего вида (для случая, когда QL =
= Яг A - Ф
+ C + С + С + с +
д2и , ди , ди , ,. ...
где
и**И_
4р '«'3' -*-
= H±(n== -МЛ •
Уравнение F.45) удобно использовать при приближенных ме-
методах решения, например, при использовании принципа возмож-
возможных перемещений. Но для этого необходимо иметь зависимости
М3 и Q2 от и для выбора функции и, удовлетворяющей краевым
условиям.
5. Краевые условия с учетом инерции вращения и сдвига.
Для приближенных решений уравнения F.45) необходимо иметь
зависимости, связывающие М3 и Q2 с прогибами стержня и,
так как краевые условия зависят не только от ыи и', но и ^напри-
^например, для консольного стержня) от М3 и Q4. Из уравнения F.30)
после перехода к безразмерным величинам находим -^- (полагая
а2 = 0):
дв kx д /аоди\ . д2и . дЧ ,с лл\
? «Л (9 ) + КпФ ^, F.46)
¦Ж = ¦? «Л Ж
а затем из уравнения F.32)
Щ = л% (в)
144

При приближенных методах решения уравнения F.45) функ-
функция и берется в виде ряда
*). F.48)
где иок (е) — функции, характеризующие свободные колебания
стержня, которые удовлетворяют всем краевым условиям задачи.
При свободных колебаниях имеем М° = М30 cos Ят, и =
= ы0 cos Хт, поэтому из F.47) получаем
Мж = Л&(е) [A nsnb± (Q\ ^-) + -g-e + Vs^AX] . F.49)
Получим выражение для 0$. Так как
Q2 = -^ (в - -I) = Лй (г) -gi - PJX (г) ^, F.50)
то, переходя к безразмерной форме записи, получим
ди ^()
При свободных колебаниях имеем 9 = 90 cos Ят, поэтому из
F.51) получаем
1 ^(s)
1П3А Л33 (S)
п1
Из F.46) получаем выражение для 05:
<-i[^v4i(«e^)] +^+^a-^. F.53)
Для 00 получаем выражение, зависящее от ы0:
F-54)
Полагая Q§ — Q20 cos kx, из F.27) получаем
Подставив в F.55) выражение для 90 (е), получим зависимость
920 от ы0- Для консольного стержня постоянного прямоугольного
сечения имеем 8=1, М30 = Q20 = 0 и из F.49) и F.51) получаем
условия, которым должна удовлетворять функция и0:
= 0 F.56)
145

или
"о + ьп"о + ьпио=о;
§ 31. Влияние осевой силы
на частоты колебаний стержня
В ряде случаев упругий стержень используют в качестве чув-
чувствительного элемента в системах управления движущимися
объектами, например в качестве акселерометра.
Ускорение объекта определяется по изменению частоты изгиб-
ных колебаний стержня, которая зависит от модуля и знака осе-
осевой распределенной силы инерции q^. Рассмотрим свободные коле-
колебания стержня с учетом инерции вращения и сдвига. Так как
определяются частоты стержня, то силой сопротивления можно
пренебречь (а2 = 0).
В векторной форме записи уравнение F.44) (после преобра-
преобразований и полагая ы = ыоеЛх) можно представить в виде [ана-
[аналогично F.14)]
ащ) , .— «
F.58)
где
"о
"о
— 1
0
а,
— 1 О
О —1
— 1 О
Решение уравнения F.58) имеет вид
ио=К{г)С (К(О) = Е). F.59)
Решение уравнения F.59) должно удовлетворять следующим
краевым условиям: 1) е = О, ы10 @) = и[о @) = 0, что дает
d = С2 = 0; 2) е'= 1, Ма = 0, Q3 = 0. F.60)
На правом конце вектор решений ы0 A) удовлетворяет урав-
уравнению
F.61)
146
июA)
и'юA)
и"юA)
ИюA)
*пA)
*31A)
A*i(l)
*иA)
Mi)
МП
Mi)
Mi)
Mi)
Mi)
Mi)
Vi)
Vi)
MD
0
0
c3

Из соотношения F.61) следует (в скалярной форме)
«1о A) = k23 0) Сз + ku A) С4;
F.62)
Выражения F.62) надо подставить в F.60), после чего полу-
получаем
где
:4 = о,
ia = ^22 "{" ^ii*32 ~г bLi
Для определения Я, получаем уравнение
Нг
0.
F.63)
В результате численного решения уравнения F.58) для ряда
п — Яг^Ягкр и V~th получены значения первых трех безразмер-
безразмерных частот (с учетом инерции сдвига и инерции вращения),
которые приведены в табл. 4.
Таблица 4
0
0,05
0,1
0,2
0
0,05
0,1
0,2
0
0,05
0,1
0,2
n
—0,8
1,5740
1,5937
1,6520
1,8916
20,7654
20,6778
20,4245
19,5120
60,4132
59,3227
56,4781
48,8519
-0,4 | -0,2 | 0
2,7254
2,7383
2,7778
2,9475
21,4098
21,3129
21,0355
20,0800
61,0593
59,9390
57,0342
49,3682
3,1460
3,1560
3,1870
3,3213
21,7245
21,6222
21,3303
20,3420
61,3793
60,2435
r 57,3063
49,6094
3,5161
3,5237
3,5468
3,6482
22,0341
21,9262
21,6184
20,9907
61,6971
60,5455
57,5746
49,8390
0,2
3,8510
3,8553
3,8708
3,9411
22,3399
22,2252
21,9001
20,8270
62,0135
60,8454
57,8391
50,0571
0,4
4,1570
4,1527
4,1673
4,044
22,6410
22,5193
22,1756
21,0517
62,3280
61,1425
58,1000
50,0264
0.8
4,7104
4,7108
4,7126
4,7212
23,2308
23,1253
22,8283
21,8761
62,9507
62,0156
?9,6052
53,4255
147

§ 32. Малые колебания движущихся стержней
Рассмотрим малые колебания стержней относительно прямо-
прямолинейного движения (рис. 6.14). Подобного рода задачи возни-
возникают при исследовании вибраций ленточных пил, передач с гиб-
гибкой связью, намоточных устройств, лентопротяжных механизмов.
1. Уравнения малых колебаний гибкого стержня, имеющего
продольное движение. Ограничимся случаем, когда инерцией
вращения и сдвига при исследовании колебаний стержня посто-
постоянного сечения можно пребречь. Уравнение малых колебаний
стержня получим, воспользовавшись переменными Эйлера, для
которых имеем F.2), D.32)
dJy = qydz =—mu-^fdz =
C& + ."?+ 54) * F.64,
Полагая w = w°pol; т = pot; г = el; у = и/, получим F.64)
в безразмерной форме
о» _
\ дгде ^Ш дг* -т л де
поэтому уравнение малых колебаний F.8) при пх — А0^ —
= 1 примет вид (опуская, индекс «нуль» в безразмерной скорости
и осевом усилии)
-^^ = <?"• F-65)
В частном случае at = Q10 = 0 при постоянной скорости дви-
движения из F.65) получаем уравнение
+ ^-gir+^r-?J, = 0. F.66)
2. Определение частот и форм колебаний. Основная особен-
особенность уравнения F.66) заключается в том, что оно содержит не-
нечетную производную по времени (из-за силы Кориолиса), что ос-
осложняет определение собственных чисел краевой задачи. Наличие
слагаемого с нечетной производ-
производной говорит о возможной некон-
неконсервативности задачи, прн кото-
которой собственные значения могут
быть комплексными числами.
В ряде случаев установить, яв-
является ли рассматриваемая зада-
Рис. 6.14 ча консервативной или некон-
148

сервативной, можно сразу. Например, для случая, показанного иа
рис. 6.14, задача является консервативной, так как кинетическая
энергия, поступающая в единицу времени через сечение
равна кинетической энергии элементов стержня, выходящих из
сечения В. Поэтому участок стержня между сечениями А а В,
колебания которого рассматриваются, имеет неизменный запас
энергии, т. е. задача является консервативной. Для консерватив-
консервативной задачи собственные значения X, если искать решение F.66)"
[или в более общем случае F.65) ] в виде и = ы0 (е) еЛх, являются
действительными числами. Подставив выражение для и в F.66),
получим (полагая фу = 0)
= 0. F.67)
В уравнении F.67) ы0 следует считать комплексным числом ио=
— "oi + 1«о2. поэтому уравнение F.67) эквивалентно двум урав-
уравнениям (разделяя действительные и мнимые части)
и™ —
2w'kUoi
= 0;
= 0.
F.68)
Систему уравнений F.68) можно представить в виде одного
векторного уравнения второго порядка
z + Аг = 0,
ГДе 2 = 2 (Zi, 22, 23, 24, 26, 26, 27, Z8);
А =
0
0
0
0
0
0
-хг
0
21
2с
0
0
0
0
0
0
0
—X2
= ll
= «оь
— 1
0
0
0
0
0
0
2w%
22==
2б =
0
J
0
0
0
0
,иг
: Щ2\ 23
0
0
— 1
0
0
0
w%
0
= моь
т
= I/qiJ
0
0
0
— 1
0
0
0
0
ZA=-U
•28=Ы
0
0
0
0
— 1
0
0
0
t
02 >
т
0
0
0
0
0
— 1
0
0
F.69;
Задаваясь к при фиксированной скорости w, получаем
г=К(е)С (К@)= ?).
F.70)
149

Решение'F.70) должно удовлетворять комплексным краевым
условиям:
1) е = 0, «о = Moi + »«о2 = 2i -f »z2 =0; щ = г3-\- izt = 0;
2) е = 1, но = Z\ + izi — 0; u^ = z3 + iz\ ?= 0,
что эквивалентно следующим краевым условиям:
1) е = 0, zx = 22 =.zs = 24 = 0;
2) е = 1, гх = г% = 2^ = г4 = 0.
Выполнение краевых условий при е = 0 приводит к следую*
щим значениям первых четырех компонент вектора С:
/"• /¦» ' С п
I ¦—- L<2 —~ *-*з '-'4 — "•
Выполнение краевых условий при е = 1 приводит к системе
четырех однородных уравнений вида
F.71)
Значения Xk, которые обращают определитель системы F.71)
в нуль
¦ 0,
F.72)
являются частотами.
При определении частот колебаний для уравнений, не содержа-
содержащих нечетных производных по времени, как, например, для си-
системы уравнений F.44), определитель DL F.63) в зависимости от
значении к может менять знак. Поэтому при численном счете опре-
определить значения к, при которых определитель меняет знак, особого
труда не представляет. Качественный характер изменения опре-
определителя F.63L показан на рис. 6.15 пунктирной линией.
Для уравнений малых колебаний,
содержащих нечетные производные по
времени, определитель ,D F.72) при
изменении % знака не меняет. Качест-
Качественный характер изменения D от % по-
_ казан на рис. 6.15 сплошной линией.
Такой характер изменения определи-
Рис. 6.15 теля от X существенно осложняет чис-
150
Ч
\

ленное определение собственных значений Kk. Наиболее эффек-
эффективным методом определения Xk, обращающих D в нуль, яв-
является метод наискорейшего спуска.
Для каждого из найденных значений кк из системы F.71)
находим С5, Св) С7 в зависимости от С8:
Понимая под формой колебаний <pft действительную часть
комплексной функции ы0, получаем (полржнв,С8 = 1)
МЬ*. е). F.73)
3. Приближенное определение частот колебаний. Для при-
приближенного определения частот колебаний движущегося стержня
воспользуемся принципом возможных перемещений. Решение
уравнения F.66) ищем в виде (при <fy = 0)
F.74)
где <р; (е) — функции, удовлетворяющие краевым условиям за-
задачи. В качестве таких функций можно взять функции, удовлет-
удовлетворяющие уравнению
!** -l ^±-= 0. F.75)
de4 ' д%2
Определяем возможные перемещения:
бы = ? М/ф/ (е) F.76)
(функции ф;- (е) удовлетворяют условию ортогональности).
В соответствии с принципом возможных перемещений полу-
получаем систему уравнений
i
; = 0 (t= 1; 2; .... п) F.77)
или в развернутой форме записи
aitfi + S bifji + 2 ctffi = °- {6.78)
где
Он = J Ф< ds; b(j = 2ш j <p;
c,/==oy2j фуф^е+ I q
о о
151

Можно показать (интегрируя по частям), что коэффициенты
bij и C[j удовлетворяют условиям
&„ = — b,(btt = 0); с|/ = с|/. F.79)
Система уравнений F.78) эквивалента векторному уравнению
/+В/+С7=0, F.80)
где
е _
В
a^iLl cAfiL
а„
Решение уравнения F.80) ищем в виде / =
получаем характеристическое уравнение
det || —;
х, и для
= 0. F.81)
Например, для двух слагаемых ряда F.74) получаем уравнение
для определения двух безразмерных частот
D
ИЛИ
«и
«22
с22 -
_?l2_
^12"' С22 12
= 0,
(с12 -
F.82)
= 0. F.83)
Частоты колебаний стержня равны
2аиа22
F.84)
4. Малые колебания нити. Уравнения малых колебаний дви-
движущегося гибкого стержня получим из уравнения F.66), полагая
п, = 1, ctj — 0, А\г = 0. Перейдя к переменным Эйлера и без-
безразмерным величинам, в соответствии с выводом F.65) получаем
о
-(Ою-а^-О.
F.85)
152

5. Определение частот и форм точным методом. Решение
уравнения F.85) ищем в виде и = uot'u, что приводит к уравне-
уравнению относительно ы0:
Щ - ^^- + ^т- «о = 0 (Qio = Qio - ш2). F.86)
Vio <?ю
Пола1ая м0 = Atke, получим
А? - iaji + а2 = 0, F.87)
где
° а
Корни уравнения F.87)
i (я, ±
поэтому решение F.86) имеет вид
Uq = C1e jf- С2е . (Ь.оУ)
Функция м0 должна удовлетворять краевым условиям задачи:
е = 0, ы0 = 0; е = 1, «о = 0, что приводит к уравнению
1 1
6, *, = ° F-90)
или
е(*.-*.)в1. F.91)
Условие F.91) выполняется, если
h и Oirbf (Ь 1 • 9- \ /fi Q*^
Из F.92) получаем точные значения частот колебаний движу-
движущейся нити ЯА:
. nk (Qlo — Dy2)
i/Tf
У Vio
Как следует из F.93), все частоты при w* —> Q10 стремятся
к нулю.
Критическое значение безразмерной скорости продольного
движения нити
совпадает со скоростью (безразмерной) распространения возму-
возмущений по нити.
Определив Xk, находим корни ku 2:
*l.2=*(Vlft
где
Ttkffl
153

Произвольные постоянные Сх и С2 связаны соотношением
d = —С. для любого k. Поэтому собственные функции краевой
задачи следующие1
фА (е) = (е' (vi*-^)e - е' (»!*+»¦») •).
Общее решение уравнения F.86) имеет вид
« = «, + »«,= ? С*Ф*еЛг (С* - С« + Л?*,).
Разделив действительные и мнимые части, получим, например,
для щ.
Щ. = ? Clft (Фи cos Я*т + фй sin %k%) +
+ C2ft (фй cos Kkx - ф1А sin \kx), F.94)
где
Ф1* ^ sin Y^e sin y^*8'
Ф^ = cos v^e sin 7^8.
При i» = 0 фи = 0, и из F.94) получается известное решение
уравнений малых колебаний струны.
Функции фА (е) удовлетворяют уравнению
ф* — «1й1ф* + Й2*фй = 0,
где
Можно показать, что функции фА удовлетворяют условию ор-
ортогональности (на интервале 0; 1) следующего вида:
Интегрируя, получим
После преобразований имеем
= J (Ф2йф2/ — Ф1*ф1/) ds = 0;
™ = J (Ф1*ф2, + Ф2*ф1/)ds = Q.
Для k = / получаем значения
sm Bя^ — аць) sin BяА + «it) .
"Г 4Bnft-ou) + 4BяА + о1А) '
. B) __ t — cos atfe 1 — cos Bя& — дгй) , 1 — cos Bnk -f- fli>)
" ~ 2flft ~ 4Bn*elft) + 4Bяк+а1к)
154

6. Свободные колебания. Если при т = 0 струна имела от-
отклонения и скорости, т. е.
где а (е) и р (е) — известные функции, то получаем два выражения:
а (е) = % (С1йф1* + С2йФй); F.95)
Р(8) =
k=l
F.96)
Умножаем F.95) на А,Афг*> а F.96) на фи, складываем и инте-
интегрируем от 0 до 1, имеем
1
[а (е) Я,йф2* + Р(е) ф« J de = Cik%kA{kl +-СгД;И?* • F.97)
Второе уравнение для определения Clk и C2ft получим, умно-
умножив F.95) на ^ф^, а F.96) на ф^, вычитая получающиеся выра-
выражения и проинтегрировав
1
[а (е) %k4>ik — Р Iе) ф2* ] de = — Ci^ ХаЛйа --(- Сг*А,аЛйа . F.98)
В результате получим систему двух уравнений F.97) и F.98)
для определения С« и С^.
§ 33. Свободные нелинейные колебания стержня
1. Вывод нелинейных уравнений колебаний гибкого стержня.
Элемент стержня с действующими на него силами и моментами
(включая момент инерции вращения) показан на рис. 6.16. Проек-
Проектируя силы на оси г и у соответственно, имеем два уравнения вида
dJz + 4- (Q, cos a) ds + 4- (Q2 sin a) ds = 0;
dJy + -^ (Qi sin a) rfs - -|- (Q2 cos a) ds = 0,
F.99)
где
. F.100)
_&_
rfJ»
^F^
^
В. 16
Я.
^
tfJ2
o'«a°'+efot
'ft Z
155

После преобразований из уравнений F.99) и F.100) получаем
^ = -4- (Qt cos «) + -^- (Q2 sin а); F.101)
т ^w = i(Qi sin а) ~ i(Q*cos а)< F-102)
Сумма моментов, действующих на элемент, равна
дМз- ds-Qds + dMH = 0, F.103)
as
где
После преобразований получаем выражение
Умножим F.101) на i и сложим с F.102):
т -|г («х + нц) = - i -J (Qete), F.105)
где Q = Q2+ iQv
Продифференцируем F.105) no s:
Так как
^ F.107)
F.108)
то получаем следующее выражение:
mSre'a=-<|r(ee'a)- F-109)
Разделив действительную и мнимую части в уравнении F.109),
получим два нелинейных уравнения
_ д>а , d»Q2 „ dQt да n
да у a^Qt dQ2 да
156

В результате получаем систему трех уравнений F.110), F.111),
и F.104) с тремя неизвестными, a, Qx и Qa. Ha стержень не дей-
действуют внешние силы, направленные по оси стержня. Поэтому
продольное усилие Qx вызвано силами инерции из-за смещений эле-
элементов стержня по направлению к оси г. В линейной постановке
принимают, что смещения элементов при колебаниях происходят
только по оси у. Горизонтальные смещения элементов стержня
в первом приближении пропорциональны квадратам смещений по
оси у, поэтому сила Qi нелинейно зависит от перемещений по оси у.
Уравнение F.110) содержит как линейные слагаемые, так и нели-
нелинейные, т. е. является основным уравнением, описывающим не-
нелинейные колебания. Из этого уравнения в частном случае полу-
получается уравнение линейных колебаний стержня. Уравнение F.111)
является чисто нелинейным и при линейном рассмотрении обычно
не учитывается.
При точном решении система уравнений решается совместно,
однако это возможно только численными методами. Ограничимся
приближенным решением, для которого достаточно найти при-
приближенное выражение для продольной силы Qx. Предварительно
преобразуем уравнение F.110), исключив из него силу Qa-
д*а , - д*а j д*а „ dQ1 да
d2a ^ d2a n ia , , O4
В уравнение F.112) входит неизвестная сила Qlt возникающая
вследствие изгиба стержня. Выражение для Qx можно найти,
рассмотрев равновесие отсеченной части стержня (см. рис. 6.16):
Qt = —mcostp J щ ds — msinq» J u2ds. F.113)
s s
Определим приближенно силу Qlt задавшись вертикальными
s
смещениями в виде и2 =f(t)-j~, тогда производные ы2 и ui
по координате s
~д
1__™с„_ |/ 1 _ A.f2^Z_ F.115)
Выражение для -^- после разложения в ряд принимает вид
(ограничимся только двумя слагаемыми ряда)
.*?. = 1 _ 2/»-?-. F.116)
157

Получим выражение для их и для вторых производных м8
и мг по t, которые входят в выражение F.113):
s
Ul= Jcosads-s -А/а(,)_?_;
о
u2='j^~; F.117)
4^'Ь F-118)
Подставив выражения F.117) и F.118) в соотношение F.113),
получим
Приведем уравнение F.112) к безразмерному виду
де* \ де, ) + 12 йт2 V дв
2. Определение низшей частоты колебаний. Для решения
уравнения F.120) воспользуемся методом Галеркина, приняв
« = «Pi(«)/iW. F-121)
где фх (е) — производная по е от первой собственной функции
линейной задачи.
В линейной постановке имеем срх =-^-, где их—первая
G6
собственная функция для уравнения
?"
Подставив а в уравнение F.120), получим
- -Й- ^ -
= 0. F,123)
i5a

Умножим F.123) на фх и проинтегрируем от 0 до 1:
1 1 1
7 J Ф2^ + f J <p',Vde - -§- 7 J
0 0 О
-f J Ф1(ф'1Jф^е + ^7/2 jW.Jde + 4-f7 JBe- 1 -e4) x
0 0 0
1
X Ф1Ф1 de, - \ }*f J A - 8%!^ de = 0. F.124)
о
Вычислив интегралы и проведя соответствующие преобразо-
преобразования в уравнении F.124), получим следующее нелинейное от-
относительно / (т) уравнение
L (/) = о/ + Ь}'Г + eft + df + gf* = O, F.125)
где
i i
а= J ф^е--^
о
1
Ь = ±- J A - 2е3) Ф;Ф1 de + -^- J ф2ф12 de, -f
J Be - 1 - е4)
о
1
т\ е3ф1ф1^е g- j A — е4)
о
I
J
о
1 1
с\ е3фф^е
0 О
1 1
d= J ф! ф^е; g = — I ф1ф12ф^е
о о
Уравнение F.125) решаем методом Галеркина, полагая
F.126)
159

Подставляя значение функции f и ее производных в уравнение
F.125), определяем ошибку 8:
L (икк) = — аик {kf cos Xx — buk (К2) cos3 Kx +
+ cul (кJ cos кх sin2 кх + duk cos кх + gul cos3 кх = 6. F.127)
Умножим F.127) на cos кх, проинтегрируем от 0 до 2п1к и
поставим условие, чтобы
2я
Л,
L (иккх) cos А/т dx = 0.
F.128)
После преобразований получим уравнение, связывающее без-
безразмерную частоту колебаний к и амплитуду ик:
3 ,_..з,2 \_LCU3\2 — о
4
или
к2 [u3k-0,25 (с — ЗЬ) — аи k]~— 0,75gul — ukd. F.129)
Из этого уравнения находим отношение к в зависимости от ик.
Значения к в зависимости от uk для разных \/~пъ приведены
в табл. 5 {V7гь = А/0-
Таблица 5
0,05
0,2
к При М?
0,05
3,5151
3,5015
0,10
3,5124
3,4978
0,15
3,5061
3,4917
0.20
3,4975
3,4832
0,25 К
3,4866
3,4726
Как известно, для линейного уравнения к1 =3,516 — первая
частота колебаний без учета инерции вращения.

Глава 7
Уравнения движения
гибкого стержня и нити
§ 34. Векторные уравнения движения стержня
Рассмотрим элемент стержня (рис. 7.1) при движении. Он
отличается от элемента стержня, используемого в статике (см.
рис. 3.3), тем, что его центр тяжести имеет поступательную ско-
скорость v и угловую скорость го. В общем случае на элемент стержня
могут действовать распределенные силы и моменты (рис. 3.3).
При исследовании движения стержня внутренние силовые фак-
факторы (векторы Q и М), а также и, v и ю являются функциями s
и /, что приводит к уравнениям в частных производных. В гл. 3
рассмотрены два случая возможных переменных при описании
кинематики сплошной среды (переменные Эйлера и Лагранжа).
На элемент стержня, показанного на рис. 7.1, действует сила
инерции
7 ^ G.1)
Если учитывать инерцию вращения элемента, то на элемент
действует момент инерции
<ШИ = —|-(JU)ds, G.2)
где J — диагональная матрица, элементами которой являются
главные физические моменты инерции элемента стержня, длина
которого равна единице. Входящие в G.1) масса единицы длины т0
и элементы матрицы J могут быть и переменными по s. Для не-
нерастяжимого стержня дуговая координата элемента стержня s
остается неизменной при движении, поэтому следует при описании
движения стержня использовать переменные Лагранжа, что поз-
позволяет перейти в G.1) и G.2) к частным производным по t:
(пя = — dm -^; йМЙ = —~ (/ю) ds. G.3)
Воспользовавшись принципом Даламбера, получаем следую-
следующее векторное уравнение поступательного движения элемента
стержня:
dv дО . —
В А Светлицкий 161

v Если учитывать инерцию
7\- _ __ вращения элемента, то уравне-
ЛМ+*м ние, характеризующее враще-
вращение элемента стержня, имеет
_ Q+ttQ вид
Л>
Рис 7.1
G.5)
Для большого числа приклад-
прикладных задач инерцией вращения
можно пренебречь (т. е. J(o ^; 0), и тогда уравнение G.5) тождест-
тождественно совпадает (по записи) с уравнением C.5), которое исполь-
использовали при рассмотрении статики стержней. Но теперь (при Ja =
= 0) уравнение G.5) содержит векторы, изменяющиеся во времени.
Частные производные произвольного вектора а по t и s можно
представить через локальные производные, воспользовавшись
соотношениями
<7-7>
Переходя к локальным производным, из G.4) и G.5) получим
тв
о,) + шхУ
—^
G.9)
В гл. 3 было получено уравнение, связывающее векторы к
и со:
За><5к
_____ = ш хи.
G.10)
Уравнение, связывающее вектор М с приращением вектора и,
остается без изменения [уравнение C.25) ]:
G.11)
162

В связанной системе координат, как было показано в § 10
[соотношения C.23)], вектор
Компоненты вектора и можно, в свою очередь, выразить н
через углы ¦&, <р и % что было сделано в § 2 [соотношения A.74)—
A.76I. Уравнение для вектора перемещення точек осевой лнннн
стержня остается без изменения:
#=¦|?- + йхи-ё1-^. G.13)
Дифференцируя G.13) по t (используя равенство
получим
= -д-1,
G.14)
Уравнение G.14) тождественно совпадает с уравнением D.45),
которое было получено в § 20 из чисто кинематических соотно-
соотношений. Выражения для компонент вектора и через углы 0,
Ф и if было получено в § 16. Уравнения G.8)—G.14) можно, ана-
аналогично уравнениям статики, привести к безразмерному виду,
введя дополнительно к ранее введенным (§ 10, п. 5) новые безраз-
безразмерные величины и безразмерное время:
х = pot; со = (ор0; v = vlpo,
Ро=1А33@)/то@) Р]*'',
где щ @) — масса единицы длины стержня в начале координат.
В произвольном сечении стержня (переходя к безразмерной
коор'динате е = s/t) массу единицы длины можно выразить через
т0 @):
mo(e) = mo@)nx(e) = pFort1(e), G.15)
где tii (e) — безразмерная функция.
Матрица инерции J — рА (когда связанные оси являются глав-
главными осями инерции элемента стержня), где р — плотность еди-
единицы объема материала стержня.
6* 163

В безразмерной форме получаем следующую систему диффе-
дифференциальных нелинейных уравненнй движення стержня (опуская
знак тнльды над безразмерными величинами):
~- + «хУ°«—!~ЙХЛТ-;1Х<? = ^ G.17)
г — _ _ _
~~ + х х и = \ - ejlu - ег121 - ~eal31; G.18)
~
G.20)
где Fo — площадь сечення стержня в начале координат.
§ 35. Уравнения движения стержня
в проекциях на связанные оси
В тензорной форме записи снстема уравненнй после исключе-
исключения вектора М прннимает вид (опуская знак тнльды в обозначе-
обозначении локальной производной)
(ху — Ху,) + ekaQ{ = цА; G.22)-
+ е^ю^ — vk = 0; G.23)
-tkv G-24)
= 0; G.25)
164

^
В развернутой форме записи имеем
пу (е) (j± + у„йJ - V.2Ohj - ¦§- -
rti (е) (-^- + Vt&a - Уз»!) - -§ -
IF
/зз
7о 5а>2 , / го 7о
X [Л22 (Х2 — х20)] —
+ 4,3
+ (А -
(щ
5
— -fo X
~
— «2% — f, = 0;
— «зю1 — Щ = 0;
- «i«2 - и.» = 0;
— «2*з = 1 - hv
-§- + ^*2 - ^и» = 0;
де.
— UiX2 = — ю2;
G.26)
G.27)
G.28)
G.29)
G.30)
G.31)
G.32)
G.33)
165

G.34)
В развернутой форме записи
уравнения G.27) и G.28) приве-
приведены в § 2 и 16. При переходе к углам ¦&, ф и 'ф уравнения G.26)
и G.34) обращаются в тождества, поэтому остается система уравне-
уравнений G.29)—G.33). Уравнения G.32) и G.33) взаимосвязаны, так как
дги да
5Щ = -0?> т- е. при решении можно использовать G.32) или
G.33). Имеем систему уравнений G.16)—G.18), G.20), G.27),
G.28), т. е. систему 18 уравнений с 18 неизвестными uk, vk, Qkt
xkt Щ (k = 1; 2; 3) н Ф, ф, if. Следует отметить, что при исследо-
исследовании динамики стержней (в частности, при определении частот)
можно вектор и и углы Ф, $>, у не определять, т. е. ограничиться
уравнениями G.21), G.22), G.25) и G.26). Рассмотрим стержень,
показанный на рис. 7.2. В начальный _момент времени прямо-
линейному стержню сообщили скорость v0 (е). Требуется опреде-
лить^только скорости точек_ осевой линии стержня во времени
v (е, т) и векторы Q (е, т) и М (е, т). При решении этой задачи нет
необходимости нереходить к углам 4, <р и ф, поэтому достаточно
рассмотреть уравнения G.21), G.22), G.25) и G.26). В эти 12 урав-
уравнений входят 12 неизвестных vk, <&, xk и щ (k = 1, 2, 3), для
определения которых имеется 12 краевых условий: е =0, vk =0,
щ = 0; е = 1, 0^ = 0, «ft = 0 (Mk = 0)._Если необходимо оп-
определить вектор™ и (е, т). то. зная вектор о (в, т), находим пиз
G.23):
и= J v (е,Ч) dx + «0 (е). G.35)
Зная компоненты вектора «, из G.27) находим углы 0, ф и ф.
§ 36. Уравнения движения стержня в плоскости
Рассмотрим частный случай, когда стержень в естественном
состоянии имеет осевую линию, лежащую в плоскости (рис. 7.3),
а одна из главных осей сечения
перпендикулярна ей. Если стер-
стержень подвергают деформации в пло-
плоскости (сообщают начальное откло-
отклонение), то он, будучи предоставлен
сам себе, начнет двигаться 7не вы-
выходя из плоскости. При движении
166
Рис. 7.3

стержня в плоскости ряд компонент векторов, входящих в урав-
уравнения движения G.21)—G.28), обращается в нуль, а именно:
«s
=¦ «1 = «2
О =
0; щ. — и2 = 0;
Из систем G.29)—G.34) получаем
v2 = 0;
- cos <p;
G.36)
G.37)
G.38)
G.39)
§ 37. Уравнения движения нити
1. 'Из общих уравнений движения [переходя к безразмерной
форме G.4)—G.10)] получим уравнения движения нерастяжимой
нити, положив М = 0, Q = Qjev J°<a = 0. Для нее главные_оси
совпадают с естественными осями, в которых иа = 0, т. е. и ==
= и^х + ще3, что следует иметь в виду при выводе уравнений
движения
0Q
-<1
ди_
дг
— _ о, х еу = 0;
—
_
G.40)
G.41)
G.42)
G.43)
167

Переходя к локальным производным, имеем (опуская знак
тильды)
rti(e) (¦=¦ + © X»)-4?— й XQ = q\ G.44)
—— -j- Н X и := ^* """ 'll/^1 "*" ^21^2 """ «31 S» \'•^¦*^/
-^- + й ху—«xix^O; G.46)
дм __ _^_ — - __ р ,_ . _.
Для нити дх = 0 и из соотношения G.12) получаем
Г*. G.48)
2. В проекциях на естественные оси получаем следующие
уравнения (опуская штрих в локальной производной):
«! (е) ("Й" + у1«з ~ Уз«х) - % = W G-49)
«2 | / .
¦рГ-1-'11'
,  _ / .
+ ~^ /з1'
t», _ i>2 _ n.
168

_ _
ds дх \ px / ~~~ p3
да>3
В уравнениях G.49)—G.52) 1/рх и 1/р3 — безразмерные ве-
величины.
3. Уравнения движения нити в плоскости. При плоском дви-
движении имеем (v3 = q3 = «j = со2 = хх =0)
G.55)
^^2 _|_ ^ф __ ^ф
де г х де дх '
Получим уравнения в комплексной форме записи, удобной
при решении ряда прикладных задач. Вторые уравнения систем
G.53) и G.55) умножим на мнимую единицу i и сложим с первыми
уравнениями, в результате получим
пг % + top ? = ft + ^, + ^- + ,4 ? ; G.56)
Ж + -^ = '1^ («-0I +^. G-57)
Исключая из уравнений G.56) и G.57) и, после преобразования
имеем
^[!] ?'4. G-58)
4. Уравнения движения нити б проекциях на неподвижные оси
получим, полагая в уравнении G.40)
169

В проекциях на оси хи xit
х3 (рис. 7.4)
G.59)
В декартовых координатах компоненты vx связаны с коорди-
координатами точки осевой линии стержня соотношениями vx =
= dxj&x; поэтому из G.59) имеем
дх2
r
G.60)
При движении нити в плоскости хгх2 имеем
%-Й-i (ft ?)-*>=
"dF" ~ Ж
(*¦)'+(*)¦-»¦
G.61)
G.62)
G.63)
§ 38. Прямолинейное движение нити
На практике часто используется прямолинейно движущаяся
нить, в частности в бесчелночном ткачестве, в морском промысле
[движущийся гарпун с канатом (рис. 7.5I н т. д. Кроме того,
задачи о прямолинейном движении нити представляют теорети-
теоретический интерес как задачи, иллюстрирующие общие теоремы
механики нити.
170

в
L
ха
А
Л- х
Рис. 7.5
Рис. 7.6
1. Рассмотрим горизонтальное движение нити с закрепленным
концом (рис. 7.6). В начальный момент времени нить имела ско-
скорость х0. Правый конец нити внезапно закрепили в точке А,
после чего она стала двигаться, образуя петлю. Требуется опре-
определить скорость нити при t > 0 и натяжение в покоящемся участке
нити.
Пренебрегая весом нити и сопротивлением среды, в которой
движется нить, получим уравнение движения нити, воспользо-
воспользовавшись уравнениями Лагранжа второго ряда. Кинетическая
энергия движущегося участка нити
G.64)
G.65)
G.66)
G.67)
поэтому уравнение движения имеет вид
•• /. х_\ _ _х*_ _ „
\ 2 / 4
Представим х в виде
тогда из G.65) получим
dx
dx
После интегрирования G.67) и определения произвольной по-
постоянной из начальных условий (при t = 0, х = 0, х = х0)
получим
х — х° V
21
~4'
G.68)
Из выражения G.68) следует, что при х —> 21 скорость движе-
движения отрезка нити х —» оо. Конечно, на практике из-за потерь на
преодоление сопротивления среды скорость точки В нити в момент,
предшествующий ее полной остановке, является конечной, но
может достигать очень большого значения.
171

Рис. 7.7
Рис. 7.8
Известно, что движение кнута (движение которого эквивалентно рассматри-
рассматриваемому случаю на рис. 7.6) в момент распрямления сопровождается сильным
хлопком. Объяснить это можно тем, что скорость кончика кнута достигает зна-
значения, равного скорости звука, и возникает ударная волна, которая и воспри-
воспринимается наблюдателем как хлопок.
Найдем натяжение Qly возникающее в нити при торможении,
воспользовавшись теоремой об изменении количества движения:
¦?[«.('—г) *] =
Подставив выражение для скорости х, получим
или
Qi = —
G.69)
При х —> 21 натяжение в нити Qx—>oo. Знак «минус» указывает
на то, что Qx имеет направление, противоположное показанному
на рис. 7.7, т. е. усилие, возникающее в нити, является растяги-
растягивающим. Найдем значение кинетической энергии движущегося
участка нити. Подставив в G.64) выражение для х, получим
Т = 0,5 т0 [I — {х/2) ] л:2 = 6,5 т0 Ixl = const,
т. е. кинетическая энергия в любой момент времени равна началь-
начальной. Пример, близкий к рассматриваемому,'исследован в [15].
2. Рассмотрим движение нити с учетом сопротивления среды
(рис. 7.8), принимая qx — ах, где а — постоянное число. Восполь-
Воспользуемся уравнением G.65), в которое введем силу сопротивления,
действующую на движущийся участок нити, получаем
'=0. G.70)
mQx (l-^j-mo^-
Воспользовавшись подстановкой G.66), из G.70) находим
dx
4 (i — ±
= 0.
G.71)
172

Полагая х = uv, где и и v — произвольные функции, имеем
Требуя, чтобы выполнялось условие v' — —-—- —~ най-
дем функцию
V 2 )
Функцию и находят из уравнения
или
" = С1 + ^(/-^-K'2. G.74,
Окончательно получаем
X=Z
~з"щ V ~
V—Г)
При ^ = 0 х = 0, д; = х0, поэтому произвольная постоянная
Из G.75) следует, что при силе сопротивления, пропорцио-
пропорциональной скорости движения, и при х—> 11 скорость нити х—> оо,
как и для случая движения без сил сопротивления (при условии,
что Сг < 0). Произвольная постоянная Cj в зависимости от кон-
конкретных значений х0 и а (для одной и той же иити) может быть как
положительной, так и отрицательной. Если х0 и а таковы, что Сг <
< 0, то нить остановится, не распрямившись до конца, так как
при Сх < 0 скорость х нити убывает. Предельный случай, когда
в момент ее полного распрямления (jc = 21) скорость нити х = 0,
соответствует значению Сх = 0. Значение х„ < 21, при котором
нить может остановиться, находят из условия (при Сх < 0)
173
Qi |_ ^ а ft _ х* \ (у
Л__Ь.У/2 + 3 т° v 2 J-^-
V 2 )

Воспользовавшись выражением G.69), найдем натяжение нити
ИЛИ
+ ±-E-(l-
+ 3 m0 V
X
X
G.76)
Если Сх > О, то натяжение падает до нуля, так как скорость х
в интервале 0—2/ обращается в нуль.
§ 39. Уравнения движения стержня,
имеющего продольное движение
1. Уравнения равновесия стержня, имеющего продольное
движение, были выведены в § 22. В более общем случае стержень
может иметь кроме относительной скорости w (рис. 7.9) перенос-
переносную скорость v точек трубки, с которой в данный момент сов-
совпадает стержень. Воспользовавшись принципом Даламбера, по-
получим уравнения движения для стержня постоянного сечения
(в безразмерной форме)
dv
6Q
Переходя к переменным Эйлера, получим (см. § 18)
dv , dv , dw , dw dQ . -
G.77)
G.78)
Рис. 7.9
174
Если ввести вектор
Q' = Q — oft?!, G.79)
то уравнение G.78) примет вид
dv , до
de
G.80)

С учетом инерции вращения из уравнения G.5) в безразмер-
безразмерной форме получаем
G.81,
Входящая в уравнение G.81) угловая скорость <о* равна
сумме угловых скоростей элемента трубки (с которым в данный
момент совпадает элемент стержня) и угловой скорости элемента
стержня (появляющейся при движении по криволинейной траек-
траектории), т. е.
ю*=ю4-«от»' G.82)
где со — угловая скорость вращения трубки; <аОт — угловая
скорость элемента стержня из-за относительного движения.
Найдем зависимость w^ от относительной скорости движения.
Для неподвижной трубки имеем
Так как
то из соотношения G.83) получим
(оот = тк. G.84)
Уравнения G.10), G.11), G.14) остаются без изменения. Так как
dv/de = со х ей G.85)
то, исключая dv/ds из уравнения G.78) и переходя к локальным
производным, получим (см. § 16) (знак тильды в обозначении ло-
локальной производной опущен)
А^-^-+ххё(ч?; G.86)
х
G.87)
175

В тензорной форме записи имеем (опуская штрих в локальной
производной)
-—
G-88)
е* „щМ, - etalQi" = [г*. G.89)
2. Из уравнения G.88) как частный случай можно получить
уравнение движения нерастяжимой нити
+ Ч цЩО/ + 2ekllw(ot +
^ i" = qk. G.90)
В более подробной форме записи имеем
G.91)
Уравнения G.10), G.14) остаются без измеиения.

Глава 8
Малые колебания
пространственно-криволинейных
стержней
§ 40. Уравнения малых колебаний
гибких стержней
Рассмотрим колебания нагруженного стержня относительно
состояния равновесия. Считая, что возникающие при колебаниях
дополнительные внутренние усилия и перемещения являются ма-
малыми, положим
где Qo, Мо, х0, q0, \i0 — статические составляющие соответствую-
соответствующих векторов; AQ, AM, Ax, Aq, Ац— динамические составля-
составляющие, которые считаются малыми. Так как рассматриваются ма-
малые колебания, то векторы «, v и со можно считать малыми.
1. Уравнения малых колебаний в векторной форме. Получим
уравнения малых колебаний стержня, воспользовавшись уравне-
уравнениями G.16)—G.20). Подставив в эти уравнения выражения (8.1)
и сохраняя только слагаемые, линейно зависящие от малых
величин, получим следующие векторные уравнения (опуская
знак тильды в обозначении локальной производной):
/ii(e) -|г --^г" - Ах х Qo-xo X AQ = Aq; (8.2)
J0-l& ~ -^isr- - Ax x Жо - x0 X АЛ? - \ x AQ = Ац; (8.3)
дх
ди . —
(8.4)
(8.5)
(8.6)
(8.7)
177

При малых колебаниях соотношения, связьюающие компоненты
векторов Ах и со с углами (малыми) Ф, tp, <p, можно представить
в векторной форме [§ 12 соотношение C.56)]:
Ах = -^- + ХоХ#; (8.8)
= ¦=?• <8'9>
При решении конкретных задач уравнения (8.2)—(8.6)
удобнее представить в векторно-матричной форме записи, так
как векторы Qo, Мо, х0 считаются известными. Рассмотрим, на-
например, векторные произведения AxxQ0, AxxM0, которые можно
представить в виде
где
Л-
1
1 °
\-Qao
Q*
Ах х Qo
Qa>
0
-Qio
= Л1А«
— Qaojl
Qio 1;
0 I
•', Ax X
1
Л2 = |
1
M о = Л2 Ах,
0 Ma
— Мж 0
MM —M
10 0
Аналогичным образом получаем выражения и для остальных
векторных произведений, входящих в систему (8.2)—(8.6). После
преобразований имеем
I^ (8.10)
; (8.11)
^ или -^- + Д? + Л4ш = 0; (8.12)
да дАх л ~ п /о ю\
Si ^ Лз«> = 0; (8.13)
AM = Л Ах; -^- = У, (8.14)
где
10 — Изо хм | J0 0 Off
«so 0 — Хм|; Л4= 0 0 -II.
— *«, Ию 0 | |0 1 0 |
178

При переходе к углам ( к вектору Ф) уравнение (8.13) обраща-
обращается в тождество, поэтому после исключения из (8.11) AM и пре-
преобразований получаем еще одну из возможных записей уравнений
малых колебаний пространственно-криволинейного стержня:
4,Дд.= Дд; (8.15)
^- + А3Ъ) - Л4 AQ = Дц; (8.16)
-|- + Лз« + Л4й=0. (8.17)
2. Уравнения малых колебаний в проекциях на связанные оси.
Из уравнений (8.2)—(8.7) получаем уравнения в тензорной форме
записн:
«, (е) 4g Ц^- - еи/ Ax,Q/0 - ек1,щ0 AQ; = &qk; (8.18)
ektf AxfAIyo + Еш AQk = Afi*; (8.19)
0; (8.21)
= 0. (8.22)
Если ввести обозначения Ф =*i', M> ='&2'. Ф =^з. то из (8.8)
и (8.9) получаем
^ ; (8.23)
Уравнение (8.14) в тензорной форме записи принимает вид
^ = 0, (8.24)
где Abi — элементы матрицы Л.
179

-lH-
В развернутой форме записи имеем (исключив А/И,)
Дх3 - Qeo Ах2 + Хзо AQa - хм AQ3 = А?;
(8.25)
-^- 1- (Д11 Axi) - Л33Х20 Аиз +
— Afад Ax2 -f- Mw Ax8 =
g^ (Л22 Ax2) — ЛцХзо Ах,
Ax3 - Mlo Ахз + AT» Axx + AQ3 = A|x2; (8.26)
-5^ gj- (Л33 Ax3) — Л22Х10 Ax2 +
M10 Axg — AQa = Aji3;
О; (8.27)
«1X30 — «3xm = ф;
+ ^10 - Hi*» = — ф;
= О;- (8.28)
f + « — v3x10 = (o3;
^
= 0;
ПЙГ - "Г" + "зою, - хю% = 0; (8.29)
дю3 д &.к3 , а
180

При малых колебаниях углы Ф, <р и ty связаны с компонентами
вектора Ах соотношением (8.23):
(8.30)
Получим уравнения малых свободных колебаний кругового
(плоского) стержня постоянного сечения относительно плоскости
хг0х3 (рис. 8.1). Из уравнений (8.25)—(8.29) получаем (так как
в рассматриваемом случае х1о = х20 = 0, х30 = ^-, Qi0 = Q20 =
= Q30 = 0)
(8.32)
dv3 ""Va л.
fc ^ii-^- + AQ3 = 0; (8.33)
дю3
"" Лз3
(8-34)
= 0; (8.35)
dm.
де. дх
• = 0;
Если инерция вращения мала (J°u я» 0), то из системы урав-
уравнений можно получить уравнение относительно v3 следующего
вида:
d4va . 2 A0M, &*v4 , . ( d6v4 , о 2 d*v4 , 4 d2va \ n
(8.37)
181

Рис. 8.1
При малых колебаниях уравнение (8.37),
характеризующее смещение стержня отно-
относительно плоскости Х]0х3, не зависит от
смещений стержня в плоскости хх0х3.
3. Уравнения колебаний стержня в пло-
плоскости. При колебаниях стержня в плоско-
плоскости из уравнений п. 2 получаем следующие
уравнения (так как ю1 = «2 = 0; Ащ =
-= Ах2 = 0; х10= х20 = 0; AQS = Q30 — 0;
Дц, =-A(is =0; # =ф ==0):
д АО.
5
дщ
'33"
а) -7&--К.Л-0; б) ^
(8.38)
(8.39)
(8.40)
.! B)-^=^P-- (8-4J)
Получим уравнения малых свободных колебаний (А ^х = Aq2 =
= Ац3 = 0) кругового стержня постоянного сечения (рис. 8.2)
с учетом инерции вращения. Исключая из уравнения (8.416)
vlf получим
(8.42)
Из уравнения (8.40) после исключения ©3 получаем (при по-
постоянном сечении стержня безразмерная жесткость А33 = I)
Из уравнения (8.38) исключаем v^
(8.44)
Входящее в уравнение (8.44) неизвестное AQX можно исклю-
исключить, воспользовавшись уравнением (8.39), в результате получим
дуг
Из уравнения (8.42) имеем
Так как
— -тпг +
¦¦ 0. (8.45)
(8.46)
(8.47)
182

V7777Z.
О
Рис. 8.2
20
Рис. 8.3
то, дифференцируя уравнения (8.45) и (8.46) по т, последовательно
исключаем Дк3 из (8.46) и AQ2 из (8.45). После преобразований
получаем следующее уравнение малых колебаний кругового
стержня с учетом инерции вращения в плоскости хх0х2:
„
, 2
= 0.
(8.48)
Рассмотрим малые свободные колебания кругового стержня,
нагруженного равномерно распределенной нагрузкой qa0 (рис.'8.3).
В этом случае при выводе уравнения колебаний стержня следует
учитывать начальное напряженное состояние, вызванное q2a.
Ограничимся случаем колебаний стержня постоянного сечения
в плоскости Xi0x2, считая, что нагрузка' q20 является следящей
(пренебрегая в уравнениях изменением кривизны при нагружении
силами <7го)- И3 системы уравнений (8.38)—(8.41) получаем [из-
[изменяются только уравнения (8.38) и (8.39)]
= 0; (8.49)
(8.50)
Исключая последовательно Дх3, ш3, AQX и AQ2 из уравнений
(8.38)—(8.41), как это было сделано при выводе уравнения (8.48),
можно получить следующее уравнение:
«30
дг*
дв*
а»
= 0.
(8.51)
183

§ 41. Определение частот и форм колебаний
пространственно-криволинейных стержней
1. Определение частот колебаний стержня. Прн определении
частот колебаний удобнее использовать уравнения, содержащие
AM, что приводит к системе векторных уравнений первого по-
порядка относительно производных по г.
При исследовании свободных крлебаний стержня следует
в уравнениях (8.2)—(8.3) положить Aq = A\i = О, что приводит
к сдедующей однородной системе векторных уравнений:
O; (8.52)
=0; (8.53)
(8.55)
Уравнения малых колебаний стержня (8.52)—(8.55) более
удобны при определении ча'стот, так как для удовлетворения
краевым условиям необходимо иметь среди неизвестных функций
момент AM.
Решение системы (8.52)—(8.55) ищем в виде
й=здеЛт; # = 00еат; AQ = AQ<filU; AM = AMo&iU,
где К — безразмерная частота.
После преобразований получаем систему уравнений относи-
относительно векторов ы0. #о> AQo и ДМ0:
+ A t + АlA^° ~ Лз А^° + ^rtl"° = 0;
ЕГ + Al it
Л2Й = 0; (8.57)
А *?• + ААг% - АМ0 = 0; (8.58)
^ ^о-0. (8.59)
Для дальнейших преобразований исключим из уравнений
(8.56) и (8.57) dftjdv.
АМо + J°b% + ^зЛ ДЛТо + ^4 AQo = 0; (8.60)
AQo + пЛ + Ли АМо - А3 AQo = 0. (8.61)
184

Систему уравнений (8.56)—(8.59) можно представить в виде
одного векторного уравнения
(8.62)
где
v =
«о
о
о
л4 о
А3 Х-А*1
О
о
0
ЛЛ -А,
Векторное уравнение (8.62) эквивалентно системе двенадцати
уравнений первого порядка с переменными коэффициентами. Эле-
Элементы матрицы В зависят от начального напряженного состоя-
состояния и от геометрии осевой линии стержня, которые являются
функциями е. В общем случае стержень имеет переменное сече-
сечение. Элементы матрицы В по-прежнему являются функцией г.
В частном случае свободных колебаний ненагруженного стержня
матрицы Лх и Л а нулевые, а матрица В принимает вид
О
о
о
А,
А3
О
О
-Л
О
О
о
о
-А,
(8.63)
Методы численного решения линейных уравнений, аналогич-
аналогичных уравнению (8.62), подробно изложены в гл. 2, но в гл. 2 рас-
рассматривались уравнения четвертого порядка, а уравнение (8.62) —
двенадцатого порядка. Основная особенность уравнения (8.62)
заключается в том, что элементы матрицы В содержат неизвест-
неизвестный параметр X (безразмерную частоту). Последний находят из
условия, что решение уравнения (8.62) должно удовлетворять
краевым условиям задачи.. (шесть условий при г =0 и шесть
при е = 1). Точное решение уравнения (8.62) даже для случая,
когда элементы матрицы В — постоянные числа, получить очень
сложно, поэтому используют численный метод определения частот.
Задавшись значением к, находим (численно) решение (8.62):
1К@) =
(8.64)
Для получения фундаментальной матрицы К (в) уравнение
(8.62) решают двенадцать раз. Для однородных краевых условий
шесть компонент вектора v0 равны нулю, так как при е = 0
шесть компонент вектора v равны нулю. Оставшиеся шесть
185

компонент вектора vQ находят из шести условий при в = 1. Для
оставшихся компонент вектора v получаем систему шести одно-
однородных уравнений вида
М1)вЬ/ = 0. (8.65)
Индексы ( и / в зависимости от конкретных краевых условий
принимают шесть значений. Например, если правый конец стержня
(е =1) свободен [AM A) = AQ A) =0], то индексы i, j =7;
8; ...; 12. Для того чтобы система (8.65) имела отличное от нуля
решение, необходимо, чтобы определитель системы был равен
нулю. Вводя для определителя системы (8.65) обозначение D{A),
получаем
D{A) = 0. (8.66)
Решая уравнение (8.62) для ряда значений К, находим (чис-
(численно) такое X,, при котором определитель Dt A) с заданной сте-
степенью точности равен нулю. Значения %k, при которых опреде-
определитель Dt A) =0, являются частотами стержня. Для численного
определения частот могут быть использованы и другие методы,
например, метод прогонки [2].
2. Определение форм колебаний гибкого стержня. Определив
частоты колебаний стержня кк, находим соответствующие им формы
колебаний. Для каждой из частот после решения уравнения (8.62)
находим из однородной системы уравнений (8.65) значения voj
с точностью до произвольной постоянной. Для большей нагляд-
наглядности рассмотрим консольно закрепленный стержень, для кото-
которого имеем: 1) ~е = 0; н0 == 0;V0 = 0; 2) е = 1; АМ0 = 0; AQ0 = 0.
В этом случае vol = 0 (i = 1, ..., 6), а остальные v^ удовлет-
удовлетворяют системе уравнении (8.65), справедливой для каждой из
найденных частот V-
V 0 U=7> •••' 12« v==7; •••; 12)- (8-67)
Полагая voli = Ck, из (8.67) находим остальные
VQv = a^k)Ck (v = 7; ...; И). (8.68)
В результате из (8.64) получаем вектор решения уравнения
(8.62), соответствующий k-ft частоте колебаний:
(8.69)
или в скалярной форме записи
vu = (ktioh + **Л + • ¦ • + *ш)Ск (I = 1, 2, .... 12). (8.70)
Полагая Ck = 1, получаем собственный _вектор v% = q>k,
характеризующий изменение векторов и, v, AM и AQ по коор-
186

динате е при колебаниях стержня с частотой hk. Если под формой
колебаний понимать отклонения осевой линии стержня от со-
состояния равновесия, то для пространственного стержня форма
колебаний, соответствующая k-ft частоте, характеризуется функ-
функциями
12 12 12
4>ki = S h/ B, h) ai'> Фй = S h/ (e. h) «/I Фаз = S hi (e, h) <*/•
/7 /7 /7
S h/ ( h) i Фй S h/ ( h) / Фаз S
/=7 /=7 /=7
(8.71)
Следует отметить, что для пространственно-криволинейных
стержней характер закрепления может быть самый разнообразный,
например, в одной из плоскостей конец стержня закреплен шар-
нирно, а в двух Других он свободен, т. е. матрица Dk A) может
быть образована из самых различных сочетаний элементов мат-
матрицы /СA, Kk). Для получения матрицы Dk A) всегда достаточно
всего шести столбцов матрицы К (е, hk), что существенно умень-
уменьшает время счета при определении частот.
§ 42. Определение частот и форм колебаний
плоского кругового стержня
Воспользуемся изложенным в § 41 методом определения
частот колебаний кругового стержня постоянного сечения, по-
показанного на рис. 8.2. Система уравнений свободных колебаний
была получена в § 40 [система (8.38)—(8.41) ].
Для. кругового стержня при приведении уравнений к безраз-
безразмерной форме удобно использовать радиус R (вместо Q, а для без-
безразмерного времени взять выражение т = tp0, где р0 =
= (Ata/m0R*)lh. В этом случае пределы изменения координаты е
зависят от угла q>0:
0 < е < ф0 (ф0 = IIR).
Ограничимся случаем, когда инерцией вращения можно пре-
пренебречь (У§з "s* 0)- Так как для стержня постоянного сечения У^ =
= 1, ASs = 1. то из системы (8.33)—(8.41) получаем (переходя
к перемещениям их и и2 и углу q> =Ф3)
?- - х30 AQl я 0;
jgfr—^Afc-0: (8.72)
?, = 0.
187

е'Хт
Полагая щ, = име'Хт, и2 = н02 еш и т. д., из системы (8.72)
получим (для кругового стержня безразмерная кривизна х30 = 1)
0;
(8.73)
de
или
где
«01
«02
#03
В
dU
de,
0
1
0
0
0
\*
— 1
0
0
0
Я*
0
0
— 1
0
0
0
0
0
0
— 1
0
0
0
0
0
0
1
0
— 1
0
0
0
0
1
0
(8.74)
При e = 0 н01 = м02 = fl^ =0; при e == <p0 AAfos = AQ02 =
= AQ01 = 0, поэтому имеем
V = К (е) Z7o
= l/M = 0).
(8.75)
Задавшись Я,, интегрируем систему (8.74) три раза (для полу-
получения трех столбцов матрицы К (е)) при следующих начальных
условиях для компонент вектора U: U =U @; 0; 0; 1; 0; 0); Ц =
= 77 @; 0; 0; 0; 1; 0) и U = О @; 0; 0; 0; 0; 1).
Удовлетворяя краевым условиям на правом конце интегри-
интегрирования (при е = ek), получаем систему уравнений
Ob
-f *
(8ft) I/»
= 0;
= 0;
= 0.
(8.76)
Для каждого принятого значения % вычисляют определитель
системы (8.76). Значение Я,*, при котором определитель обраща-
обращается в нуль, соответствует безразмерной частоте стержня.
Результаты численного определения пяти безразмерных ча-
частот %t в зависимости от угла «р0 приведены в табл. 6.
188

Таблица 6
1
Л>2
Iя
Фо
1
тя
79,92
77,97
222,43
438,24
725,95
2
3,28
18,01
53,81
107,71
179,80
4-
1,5
7,23
22,85
46,73
78,67
4
0,877
3,668
12,152
25,514
43,440
5
0,591
2,142
7,299
15,786
27,220
я
0,436
1,377
4,715
10,527
18,410
Полагая Uw == 1, находим для каждого значения %к из си-
системы (8.76) значения ?/?, и ?/*5:
Uq4 = OC4; U05 — «5,
где
„* _
(8.77)
В результате получаем вектор фА, характеризующий изменение
перемещений (формы) и внутренних силовых факторов по е
при колебаниях с частотой %k:
= Лм (е) О4
= *?4 (б) 0С4 + *25 (б) 0Е*
е);
б);
(8.78)
е) а* + ?б5 (е) ов + ^66 (в).
Рассмотрим колебания кругового стержня с прямолинейным
участком (рис. 8.4), представляющего собой ветвь камертона.
Уравнения малых колебаний криволинейного участка стержня
совпадают с уравнениями (8.73). Получим уравнения малых ко-
колебаний прямолинейного участка стержня с учетом горизонталь-
горизонтального перемещения стержня из-за де-
деформации криволинейного участка.
Так как кривизна прямолинейного
стержня х30 == 0, то из общих уравне-
уравнений (8.72) получаем
Рис. 8.4
189

dAQ"
te
(8.79)
d<\ , ,2„II n
—^ 1- A u0l = 0.
В векторной форме записи
где
«02
П
03
АМ&
0
0
0
0
0
А?
0
0
0
0
А?
0
0
1
0
0
0
0
0
а
—1
0
-0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
(8.80)
В"-
AQol
В результате имеем два уравнения
?/ -f B1^/1 == 0; Uu -f Bnt/" == 0. (8.81)
Уравнение с индексом I есть уравнение (8.73) для криволи-
криволинейного участка. Для определения частот воспользуемся методом
начальных параметров. Решения уравнений (8.81) имеют вид
В месте стыковки участков стержня должно выполняться ус-
условие (рис. 8.5)
V104) = Vй @) [U1 (el) = Ul. Uu @) = Uh1]. (8.83)
Решая уравнения (8.81)- (задав-
(задавшись А,), получаем матрицы перехода
для первого и второго участков,
что дает возможность получить со-
соотношения, связывающие векторы на-
начала и конца участков:
(8.84)

Таблица 7
к
l/R
1
0,574
2,490
7,642
0,083
0,505
2,093
10
0,026
0,167
0,736
15
0,013
0,081
0,416
Воспользовавшись условием (8.83), получаем
V\l = К, (el1) Кг D) VI = К (el, el1) VI
Краевые условия для задачи в целом следующие:
е1 = 0, uoi = иш = Ою = 0; е" = е" = 1/R,
АМоз = AQ<b = AQoi = 0.
В результате получаем систему уравнений
(8.85)
где k[f — элементы матрицы К (е^ ^
Значения К, при которых определитель системы (8.85) обраща-
обращается в нуль, есть частоты стержня. Значения безразмерных ча-
частот для ряда отношений IIR приведены в табл. 7.
§ 43. Малые колебания нитей
1. Уравнение малых пространственных колебаний. Уравнения
малых колебаний нити (рис. 8.6) можно получить из уравнений
(8.2)—(8.7) как частный случай, но при этом следует учесть, что
для нити безразмерные величины связаны с размерными иными
зависимостями, чем для стержня, име-
имеющего конечные изгибные и крутиль- *.
ные жесткости. В § 34 гл. 7 об этом
говорилось более подробно. Безраз-
Безразмерное время т следует^ брать в виде
где р0 =
Для абсолютно гибкого стержня
матрицы А и Л2 нулевые, вектор к0 х^
имеет только две компоненты (к2о
= 0), вектор Qo имеет одну компо- Рис. 8.6
191

ненту Q10, а вектор AQ равен hQ1el. Поэтому имеем (у =
= дп/дх)
(8.86)
L
0 0 0
0 о (W
О -Q10 О
О —х10 О
(8.87)
(8.88)
Вектор Ах имеет только две отличные от нуля компоненты
Ахх и Ах3, а Ах2 = 0.
В проекциях на естественные оси получаем следующие урав-
уравнения:
Мв)-Й--^ = А*; (8.89)
- Qio Д«з—Из
(8.90)
~
"
г ^30^1 ^ю^з "
(8.91)
(8.92)
(8.93)
(8.94)
(8.95)
~дГ
0;
(8,96)
(8.97)
Входящие в уравнения (8.89)—(8.91) распределенные нагрузки
Aqt представляют проекции силы веса (вектора q) на подвижные
192

оси (рис. 8.7). Для Aqt получаем
следующие выражения (в безраз- *2
мерной форме):
A<7i = — nl cos #зо#3; (8.98)
Aft=/»!8ln#M*,; (8.99) у
А <73 = «i cos #30*1—«i sin *иА-
(8.100)
Из уравнений равновесия C.102)—C.104) нити, находящейся
под действием силы веса, вытекает
«х cos #да =
поэтому имеем
nlSin#30 = dQ10/de,
(8.101)
з>
де
(8.102)
Входящие в уравнения малых колебаний Qlo и к30 определяют
из уравнений равновесия C.102)—C.103).
2. Уравнения колебаний нити в плоскости. Полагая А^3 =
= х10 = и3 = #! = #2 = 0, получим систему уравнений
- «s
(8.103)
Аи,
Воспользовавшись выражениями (8.101)—(8.102) для
и A q 2, получаем
— Q10 Ax3 —
!i—^«. = 0.
7 В. Л. Светлицкий
(8.104)
(8.105)
193

Полагая % = и1ое
'Хг;
и2 =
получим из G.193) систему уравнений
и #3 =
«so«io
= 0; (8.106)
ИЛИ
где
(8.107)
V ¦
«10
«20
#30
0
Изо
0
—Изо
О
о
J
О
о
«so
Qio Qio
0 — i
о
Так как краевые условия связаны только с перемещениями
(для нитей это имеет место практически всегда), т. е. для решения
уравнения (8.107) должны выполняться условия s = 0, и1о =
= «20 = 0; е = 1, щ0 = «20 = 0, то частоты колебаний находят
из условия
det
Где й/^ — элементы фундаментальной матрицы решений урав-
уравнения (8.107).
В случае приближенных методов определения частот коле-
колебаний удобно вместо системы уравнений иметь дело с одним урав-
уравнением. Исключая из системы уравнений (8.103) [с учетом (8.101)
и (8.102I AQlt и.г и *з» можно получить следующее уравнение от-
относительно щ:
\ д —
) д
IT*
(8.108)
194

Для пологих гибких стержней (рис. 8.8) приближенно можно
считать Изо ~ const', Q10 = const и из системы уравнений (8.103)
после преобразований получаем уравнение малых колебаний
стержня (при «1 = 1)
4S-
(8.109)
Входящие в уравнение постоянные величины С^ю и и°, можно
считать средними значениями, соответствующими функциям Ql0 (e)
и хзо (е)- Эти средние значения находят из следующих формул:
1 i
Qlo = J Qio (e) dz; и§о = J «зо (г) dtt.
о о
Рассмотрим частный случай абсолютно гибкого однородного
стержня, показанного на рис. 8.9, который располагается на вра-
вращающейся платформе (причем Ro = const). Имеем Q10 = const
и Ида = const, т.е. уравнение (8.109) является точным уравне-
уравнением малых колебаний.
Для приближенного определения частот можно воспользоваться
принципом возможных перемещений, полагая
= % fj (x)sin /
(8.110)
В соответствии с принципом возможных перемещений имеем
JL(и?)sinшеde, ==¦ 0 (i = 1, 2, 3 п). («.Ill)
о
После преобразований получаем систему уравнений вида
У, [*t> + (И2] + Q10 [(/яL + 2 (/яJ х§ + xt>] {, = 0. (8.112)
Рис. 8.8
Рис 8.9
195

Частоты колебаний равны (размерные)
"'- v ^^? У т' (8Л13)
3. Получим уравнение колебаний нити относительно верти-
вертикальной плоскости, в которой располагается стержень при равно-
равновесии. Подставив в уравнение (8.91) выражение для Д<7з. получим
«1 (е) ¦%?¦ + Qio«3o#i - -^- #2 = 0. (8.114)
Исключая из (8.114) углы Oj и #2, используя уравнения (8.94)
и (8.96) и полагая х10 = 0, получим
При определении частот колебаний точным численным методом
принимают и3 — «зое •
Для определения «Зо(8) получаем уравнение
Решая уравнение (8.116) при условиях и30 @) =* 0, «з @) = 1,
получаем функцию «Зо(8). которая при е = 1 должна быть равна
нулю. Значения X, когда это условие выполняется, являются без-
безразмерными частотами нити при колебаниях относительно верти-
вертикальной плоскости. Для случая, показанного на рис. 8.8, Q10 =
— const, поэтому
M30==C1cos*e + C2sin#e (ft = Vin^/Qw )• (8.117)
Удовлетворяя краевым условиям, получим sin & = 0, что дает
ft = пп, поэтому безразмерные частоты колебаний
(8.118)
Уравнение (8.115) эквивалентно уравнению колебаний неод-
неоднородной струны с переменным по длине натяжением.
Получим приближенное значение для частот, воспользовавшись
принципом возможных перемещений. Решение выражения (8.115)
ищем в виде ряда
«8 = § // (*) Ф/ (в) = ? /,- (т) sin /яе, (8.119)
где ф;(е) — функции, удовлетворяющие краевым условиям за-
задачи (при е = 0 ф;- = 0; при е = 1 ф;- = 0).
В соответствии с принципом возможных перемещений получаем
1
J L (ug) ф, (е) (к - 0 (i = l, 2, 3 п). (8.120)
о
196

После преобразований (8.120) получаем систему уравнений
относительно функций /;(т)
? lajj (f) + btlf, (т)] = 0 (i = 1, 2, 3 п), (8.121)
где
i
а(;. = f tii (e) sin /ле • sin me de;
о
l
= [ Qio (/л) AЛ) cos /ле • cos ше d&.
о
В векторной записи имеем
Г (8.122)
Полагая / = f0 еЛх, где К — безразмерная частота, получаем
уравнение для определения частот
det||B — Л.М|] = 0.
Например, ограничившись первым приближением, получаем
значение низшей безразмерной частоты Xt = у &tj/«u. Размерная
частота
Pi-hVgTl. (8-123)
§ 44. Малые колебания стержней
относительно стационарного движения
1. Уравнения малых колебаний пространственно-криволиней-
пространственно-криволинейного стержня. Уравнения движения гибкого нерастяжимого
стержня, имеющего продольное движение, были получены ? § 39
(рис;_8.10)._^1олагая в_ уравнениях_G.86)—G.87) (Р = QP +
+ AQ; х = х0 + Дх; М — Мо -{¦ AM и т.д. (как это было сделано
при выводе уравнений малых колебаний в § 40), получим следую-
следующие векторные уравнения малых колебаний, выраженные через
локальные производные (при щ = 1), в связанной системе коор-
координат:
^ -|^-Л^ (8.124)
,„ дш . д . т—. . — ,.— д AM
J -§Г + -Ж ^«" + к« х J W - ~5i~
- Ait X Мо-кох AM-eix AQ==A(I. (8\l25)
197

Векторы v, at и Дх характе-
_ ризуют движение безынерционной
w трубки, мысленно связанной со
стержнем, поэтому уравнения
(8.4)—(8.6) остаются без измене-
изменения. В уравнениях1 (8.124), (8.125)
"' модуль скорости w считается из-
известным. Входящие в уравнение
(8.124) векторные произведения
X w и х0 X J0 ©до можно представить в виде (так как
Рис. 8.10
_) =
где
_____ _
2ю х ДО => Аъа>; х„ х /°(юа» = Ала>,
(8.126)
О О
О 2w|;
—2tt» О
0 —
0
О
Следует помнить, что при- наличии продольной скорости w
-„ (8.127)
где
При колебаниях продольная скорость не изменяется, поэтому
= ДСю. (8-128)
Уравнения (8.124), (8.125), в векторно-матричной форме
записи имеют вид
до dAQ
де,
— Ai Аи — A3 AQ -\- As/ш -f-
^, (8.129)
— А2 Дх — Л,ДЛ4 — Л4 AQ = Ду..
(8,130)
Матрица А{, входящая в уравнение (8.129), имеет вид
0 Qao — О»
—Qao 0 Qio
Qm —Qio 0
198

Переходя к векторам и и О, получаем систему уравнений (исклю-
(исключая Аи)
— АгА~х А/Й — А3ЬМ- Л4 AQ = Ajl; (8.132)
-Ц- + Аф - А'1 ДМ = 0; (8.133)
Ъ + А& + А$ = °- (8-134)
В тензорной форме записи уравнения (8.131) и (8.132) имеют
вид
"Г" e«A
ЗГ-ДЛ; (8Л35)
^ - efc/x,0 АЛ1у - e4l.Av ДМуМ/0 + efta AQk = Д^„ (8.136)
а записи уравнений (8.133) и (8.134) приведены в § 40 [см. (8.24)
и (8.20I. В более подробной форме записи уравнения (8.135)
(8.136) эквивалентны следующей системе:
(8.137)
2ш -^- = Д.?,; (8.138)
199

jr^ хгоАЛ^з + ХзоАМг — М30Л22АМ2 + М2<И
(8.140)
- МюЛзз АМз + МзоЛп ЛМ! = Дц2;
(8.141)
г хАМЬ «AM — Л42оЛц ДМ1 + М10Л22 АМ2=
(8.142)
2. Уравнения малых колебаний стержня, имеющего при ста-
стационарном движении плоскую форму. Уравнения малых коле-
колебаний стержня для этого случая можно получить из общих урав-
уравнений (8.137)—(8.142), положив х10 = х20 = Q30 — М10 =
= М2о = 0, w = const:
<8-143)
-^-=О; (8.144)
lOr ~ "T" + ^'^ ДМ2 - (ЗгоЛп АЛ*! - 2w -^ = 0; (8.145)
d2ft 1 го 92*i го 9*2
+ J°nw -g^ - «zoJhw -gJ- -
(8.146)
Л2 -3^- + /2V -g^ + «oo/f 1» -^ -
= O; (8.147)
0; (8.148)
(8.149)
^ (8.150)
200

; (8.151)
de
(8.152)
(8.153)
- Лзз АЛ^з = 0. (8.154) Рис 8.11
V
3. Уравнения колебаний стержня в плоскости. При стацио-
стационарном движении стержня в плоскости чертежа (рис. 8.11) воз-
возможны его колебания в ней и относительно плоскости. Рассмот-
Рассмотрим малые свободные колебания стержня, движущегося в пло-
плоскости с постоянной скоростью w. Из уравнений (8.143)—(8.151)
получаем («1 = 1, Л33 = 1)
!iobQi + 2w-^. = O; (8.155)
дАМ3 л п.
AQ о
дб
= 0; (8.156)
§ 45. Определение частот колебаний стержня,
имеющего продольное движение
1. Численный (точный) метод определения частот. При нали-
наличии продольного движения (w = const) уравнения малых ко-
колебаний стержня содержат первую производную по времени
из-за возникающего ускорения Кориолиса, что существенно
осложняет определение собственных значений краевой задачи.
201

Полагая и = ыо(в)еЛт; <> = #0(е)еЛт; AQ=AQoeXt и
= &Моеах, из системы (8.131) — (8.134) получим (при Aqr
S=0; <8Л5?)
0; (8.158)
Л3Ф0 - Л-ХАМО = 0; (8.159)
f Л,йГ0 + АД, = .0. (8.160)
Уравнения (8.157) и (8.158) содержат мнимые коэффициенты,
поэтому неизвестные векторы AQ0, Фо> АЛ10 ни, следует считать
комплексными векторами вида
Подставив выражения (8.161) в уравнения (8.157)—(8.160)
и разделив действительные и мнимые части, получим систему
восьми векторных уравнений вида [предварительно исключив
из уравнений (8.157) и (8.158) -р- и использовав уравнение (8.159)]
ив ~
= 0;
№ = 0;
+ Л2Л-1 AAftl) + Л3 АЩ1' + Л, AQb"
,2) — Лз*82)) + МЩ1У == 0; (8.162)
= 0;
202

<te
<te
Система уравнений (8.162)—24-го порядка.
Эту систему можно представить в виде одного векторного
уравнения
de
(8Л63)
где
\ AQi2');
A,
_
0
0
0
0
0
0
0
A,
0
0
0
0
0
X2
A,
0
A,
0
- (A,—J'wA,) X
0
-Ms
0
, 0
A,
{A,—J°wA,)X
J°V
XA5
0
0
0
—A-1
0
0
0
0
0
-A-1
A,A~*+A,
0
A[Al
о !
0 |
a
0
At
0
о
0
0
0
0
0
At
0
As
Так как вектор U комплексный, а краевые условия однородные,
необходимо, чтобы действительная и мнимая часть соответствую-
соответствующих комплексных векторных компонент вектора U были равны
нулю. Например, для стержня, показанного на рис. 8.11, должны
выполняться условия:
е = О, Й1} @) = й?! @) = О,
г = 1, 5S*> A) = 42) A) = О,
Решение уравнения имеет вид
Щ2> @);
A) = ^2) A) = 0.
203

Матрица /С(в) имеет размерность 24 х 24. Задаваясь значе-
значениями К находим (численно) такие значения h#, которые обра-
обращают в нуль определитель D:
det
1» 13 «1» 14 • • • ^1> 24
«12» 13 •
•«12»
24
Определение собственных значений к# наиболее эффективно
с помощью метода наискорейшего спуска.
Изложенный метод определения собственных значений кра-
краевых' задач может быть использован и для неконсервативных
задач, для которых (например, колебания прямолинейного трубо-
трубопровода с текущей' жидкостью) возможны неустойчивые режимы
колебаний. Поэтому при определении собственных значений вре-
временную функцию следует брать в виде е(а+1'1) т. В этом случае
определитель, получающийся при удовлетворении краевым усло-
условиям задачи, зависит от двух параметров а и A, ID = D (а, Л,)].
Значения а% и Я?, при которых определитель обращается в нуль,
дают собственные комплексные числа (к = 1,2, ...). В зависимости
от знака действительной части комплексного числа а% колебания
будут устойчивыми или неустойчивыми.
§ 46. Примеры приближенного
определения частот
В качестве примеров приближенного определения частот
рассмотрим колебания движущегося кругового стержня (см.
рис. 8.11) и вращающегося кольца (рис. 8.12).
1. Колебания в плоскости осевой линии стержня. Прямоли-
Прямолинейный бесконечный стержень (см. рис. 8.11) был изогнут момен-
моментами Af30 и закреплен. Участок стержня между сечениями А и В
имеет постоянный радиус кривизны Ro. Затем стержень был при-
приведен в движение с продольной скоростью
до. Рассмотрим свободные колебания
стержня в плоскости чертежа, пренебре-
пренебрегая инерцией вращения (Узз = 0)-
Для определения частот, как следует
из уравнений (8.155), необходимо найти
начальное напряженное состояние стержня
(Q20 и Q$). На участок стержня между
сечениями А и В действует равномерно
распределенная нагрузка q20 = х30 и>2
Рис. 8.12 (в безразмерной форме). Решая статиче-
204

ск,ую задачу, можно получить значения Qlo и Q20 (вызванные
инерционными силами qi0):
Qio = w2; Q20 = О,
поэтому Qjp> = 0 и уравнения (8.155), (8.156) принимают вид
(8-164)
; (8.165)
(8.166)
(8.167)
*
2
+*зои1-#з=О. (8.168)
Последовательно исключая из системы уравнений (8.164)—
(8Л68) #3> «1. AQi) AQ2 1как эт0 было сделано при выводе урав-
уравнения (8.48I, получим следующее уравнение относительно и2:
Uu\-^--—^^- 2v д ( 1 а"Иа 1 диЛ
Воспользуемся методом Галеркина при решении уравнения
(8.169), предварительно определив функции и10, «20 и $30, удов-
удовлетворяющие краевым условиям задачи.
Берем приближенное выражение для функции ы20 в виде
степенного ряда
Так как стержень нерастяжим и длина его между сечениями А и В
не изменяется, то первая форма колебаний имеет вид, показанный на
рис. 8.11, б штрихпунктирной линией 1. Однако для получения
приближенных функций, характеризующих формы колебаний, удо-
удобнее предположить, что возможна и нулевая форма. Последнюю
в дальнейшем можно не использовать, так как она возможна
только для растяжимого стержня. Введем для этой функции обо-
обозначение Ц°>.
205

функция м$> должна удовлетворять условиям: в = 0, и$ ==0;
е = 1, и^ = 0. Из уравнения (8.168) следует (так как 43 @) =
йг
е=0=°-
е=1
Наименьшее необходимое число слагаемых ряда (8.170), при
которых функция ы$}> (е) удовлетворяет всем однородным краевым
условиям задачи, равно шести, т. е.
«2о(е) = сю + ахе + а2е2 + а3г3 + щв4 + с6е5. (8.171)
Из условий м^'@) = «200) = 0 следует, что ай = аг = 0.
Выполнение остальных условий приводит к системе урав-
уравнений
(h + из + ai + <Хь = 0;
2а2 + За8 + 4а4 + Ъаъ = 0. (8.172)
Из системы (8.172) получаем
Для и^ получаем выражение с двумя произвольными пара-
параметрами а4 и аь (один из которых, например а4, равен единице):
«го = о2182 + азае3 + е4 + (а22е2 + «зге3 + е5) а* (8.173)
Находим функцию м($ из (8.167):
(8.174)
Так как при в == 0 м^ = °> то ^ = 0. Оставшийся произ-
произвольный параметр а5 найдем из условия: при в = 1 ы<$ = 0:
Из <8.175) получаем аъ = (~ о^ + -J- a3X + 4") / AГ 2 +"
+4-Ч-+4-)-
Зная и$> и и$, находим
^ = Т + ИэоИ°10- (8-176)
206

В результате имеем три функции ы(°>, «$> и Ф|°>, удовлетворя-
удовлетворяющие всем краевым условиям задачи. Функции и$ и и$ при-
приближенно описывают первую форму колебаний.
Функцию, приближенно характеризующую первую форму
колебаний, ищем в форме ряда (8.170) [с числом слагаемых на
единицу больше, чем в (8.171)] со своими неопределенными коэф-
коэффициентами at:
ы<') = ао + aie + а2е2 + а3г3 + 046* + as&S + аее6. (8.177)
Функция иго должна удовлетворять краевым условиям:
е = 0, и$ = «2оA) = 0; е = 1, и$ — «2^1)= 0, поэтому получаем
а0 = аг = 0,
(h + аъ + а4 + оъ + Д6 = О." 2^2 + Заз -f 4о4 + 5й6 + 6а6 == 0.
Полагая а4 = 1, получим
Для определения оставшихся двух неизвестных коэффициен-
коэффициентов аъ и а6 необходимо иметь два дополнительных условия. Пер-
Первое условие, связывающее эти коэффициенты, получим при
Л(а., «б) = 0. (8.178)
Второе условие найдем, потребовав, чтобы векторы, характе-
характеризующие формы колебаний «оО) и ы^, удовлетворяли условию
ортогональности
= 0, (8.179)
б
где
-<о> __ «В»
" ° "" «fi>
В развернутом виде из (8.179) получаем
1
/2 (а5, а6) = J (имый* + "SMo') de == 0. (8.180)
о
Ha получающиеся приближенные значения компонент векто-
векторов ы''' можно наложить менее жесткое требование, а именно,
чтобы ортогональны были только компоненты и^>, в этом случае
условие (8.180) .принимает вид
йг~- 0. (8.181)
207

Из уравнений (8.178) и (8.180) находим аъ и а6. Приближен-
Приближенное выражение для второй формы колебаний найдем, приняв
§ = аг? + а3е3 + сцг* + W* + W* + W7- (8.182)
Функция (8.181) содержит три произвольных коэффициента аъ,
ав, а,, которые находят из трех условий:
1 i
«io'(l) = O; f пЖ^е = 0; J«(^«(^e = O. (8.183)
0 о
Если требовать только ортогональность компонент цШ, то
получаем систему уравнений для определения аъ, а6, «7:
1 1
ttg>(l) = 0; J и$и$Aг = 0; J uffltfflde = 0. (8.184)
о о
Считая, что функции и{?> (е) И' «^> (е) известны, ищем решение
•уравнения (8.169), воспользовавшись методом Галеркина и по-
полагая
, (8.185)
В соответствии с методом Галеркина из соотношения
1
(«(^) 0^=0 (8.186)
получаем систему уравнений относительно функций /Дт):
2,@,//, + Ь„}} + cj,) = 0 (i = 1, 2, 3,.... я),
где
(8.187)
о
1
208

Так, например, для двух слагаемых 'ряда (8.185) получаем
систему уравнений
fi + Onh + bah + bnft + Cafi + cjt = 0. (8.188)
Полагая fx = Ax еРт; /2 — A2e^x, получим' для 'определения [J
уравнение
I я„В24-6„б4-с„ Лов8 -1- й,„в -1- с,-!
= 0. (8.189)
Рассмотрим более детально свойства коэффициентов пц, от
которых зависят значения р:
fl|; = &ju№u$dB - j u^u^de. (8.190)
о о
Интегрируя второе слагаемое в правой части выражения
(8.190), получаем
1 i
[ulJMVde = итфи№ |о - [ u^u^de. (8.191)
о о
Так как функции и$ и их первые производные удовлетворяют
однородным краевым условиям, то окончательно получаем
1 1
ац = xio f u$u$dz + J «2o(/)ou)de. (8.192)
о о
Из полученного выражения (8.192) следует
atl = ati. (8.193)
Рассмотрим коэффициенты Ьц\
Ъц = - 2и> [ f t&Wuflde + J u'zJ» uflda \. (8.194)
Lo 0 J
Интегрируя слагаемые в правой части (8.194) по частям, можно
показать, что
о о
о о
поэтому коэффициенты Ьч- удовлетворяют условию
bt^—bjt. (8.195)
209

После преобразований можно получить следующее выражение:
Из (8.195) следует, что при / = i
6» = 0. (8.196)
Интегрируя правую часть выражения для коэффициентов с1{
по частям, можно показать, что эти коэффициенты удовлетворяют
условиям
ctl = clt. (8.197)
В соответствии с установленными свойствами коэффициентов
определитель (8.189) принимает вид
Раскрыв определитель, получим
(яиР2 + си) (а22р2 + to) - [KP2 + Л) - йир2] = 0 (8.199)
или
ОоР* + OiP + et=0. (8.200)
где
— 012 —
а\
= СцС22 — Си-
Покажем, что коэффициенты а0 и а4 больше нуля (для случая,
когда функции и$ и м$ ортогональны):
J a»(I) del Гх§о|
-IJ^Vo^del . (8.2Ш)
Для того чтобы а0 > 0, достаточно выполнение условия
/ «ю A)de f иЦ <2)de - f J«20AW2)de Y > 0. (8.202)
о о \o / '
Полученное условие (8.202) есть неравенство Коши—Буня-
ковского, т. е. всегда выполняется, поэтому а0 > 0. Аналогично
можно показать, что и о4 > 0.
210

Из (8.200) находим значения р" (предполагая, что и а2 > 0):
Рз,4— ±» |/ 2о0
Безразмерные частоты
. , /"д., — Kaj — 4д„д4 . . , /д., + Vа\ — 4a0at
^=|/ ^ ' **=(/ 2^ *
(8.203)
Как следует из решения, для того чтобы установить влияние
скорости продольного движения на частоты колебаний стержня,
надо искать решение уравнения (8.169), используя две приближен-
приближенные формы колебаний. Если ограничиться только одной формой^
колебаний, то, например, первая частота Х± = Y си/аи , т. е.
от скорости w ие зависит.
Из формул (8.203) следует, что при ад —> оо Кг —» 0, а К2 —»
—» оо, т. е. вторая частота при больших до является грубой.
Для уточнения значения второй частоты следует брать три сла-
слагаемых ряда (8.185). При этом получающиеся две первые частоты,
как правило, дают хорошее приближение к действительным зна-
значениям, т. е. для получения приближенного значения п частот
надо брать п -\- 1 слагаемых ряда (8.185).
2. Рассмотрим колебания в плоскости стержня (см. рис. 8.11,6),
пренебрегая инерцией вращения. После преобразований [ана-
[аналогичных выводу уравнения (8.169I можно из системы (8.143)—
(8.154) получить уравнение относительно и3:
I („ \ »2 А
дщ,
(8.204)
При приближенном решении уравнения (8.204) воспользуемся
методом, излаженным в п. 1.
Возьмем в качестве функции, характеризующей первую форму
колебаний, степенную функцию вида
мЙ> = fl2e2 + азе3 + ще\ (8.205)
211

Функции иУ* должны удовлетворять краевым условиям:
е = 0, иУ? = и?Р = 0; е = 1, и$ = «юу) = 0, поэтому а2 + а3 +
+ а4 = 0 и 2а2 + За3 + 4а4 = 0.
Полагая д, = 1, находим коэффициенты а, = 1, а3 = —2,
поэтому
м^ = е2-2е3+е4. (8.206)
Получим функцию, характеризующую вторую форму колеба-
колебаний:
и?? = Я282 + 4е3 + О4б4 + еде5. (8.207)
Для определения коэффициентов di и аз (при а\ = 1)
имеем систему уравнений
з = ~1 — а5;
2ог + Заз = —4 — 5аб,
откуда
о^ = 1 + 2а5; из = — 2 - Зое.
Коэффициент а5 найдем из условия ортогональности функций
Ызо} и Изо*: J "зо} м^о' de = 0 или после вычислений получаем
йз = —18,01.
Функция U3o} имеет вид
иЙ» = —35е2 + 52е3 + е4 - 18е5. (8.208)
Решение уравнения (8.204), ограничившись двумя формами
колебаний, ищем в виде
«з = h (т) и® (е) + h (т) аи» (в). (8.209)
Используя метод Галеркина, получаем два уравнени-я:
о
1
= O, (8.210)
из которых следуют уравнения относительно функций /г и /2:
/i + cnU = 0;
/t + c22f2 = 0, (8.211)
212

где
аи =
о
1
l
О
= an = J Ы5> + «Р) u$>d* (у = x?
а12 J
i
= —621 = 2ш { ( ыдаA) + ywP) и$ де;
о
и® de;
Cl2
сп = Л22 J"
С22 = Л22 J ( ul1 B) + 2xL«]oV B) + xU22)) и® de;
о
= С21 = Л22 J (aS A) + 2x23o«JoV A> + к1оиТ)и® de.
Характеристическое уравнение системы (8.211) аналогично
уравнению (8.200), а зависимость безразмерных частот к[ от
коэффициентов системы (8.211) аналогична выражениям (8.203).
3. Рассмотрим колебания вращающегося кольца в плоскости
чертежа (рис. 8.12). Уравнение малых колебаний кругового
стержня в плоскости было получено в п. 1 (уравнение 8.169).
В этом случае функции, характеризующие формы колебаний,
должны удовлетворять условию периодичности, поэтому ищем
решение, полагая
 = S /. (т) sin / • 2яе. (8.212)
Воспользовавшись методом Галеркина, получаем систему урав-
уравнений
<fc& + <W* = 0, (8.213)
где
аш = D - 4&2) я2; ckk =
Безразмерные частоты
т. е. не зависят от скорости до.
213

4. Малые колебания нити относительно
стационарного движения. В реальных ус-
условиях на стационарно движущийся стер-
стержень действуют различного рода возму-
возмущающие силы, вызывающие колебания
стержня. Например при движении лен-
ленточного радиатора (рис. 8.13) из-за нера-
неравномерного вращения или случайных сры-
срывов при ^обтекании стержня ^потоком воз-
возникают колебания. Они могут нарушить
нормальный режим работы системы, осо-
особенно в случае, когда внешние возму-
возмущающие силы периодически изменяются
во времени. Для избежания возможных резонансных режимов
(при известных частотных характеристиках внешних возмуще-
возмущений) необходимо знать спектр частот [стержня.
а) Пространственные колебания. Уравнения малых колебаний
абсолютно гибкого стержня получим из уравнении_(8 131)—(8.134),
полагая в них Мо = AM = 0; Q6 = Qioei", AQ = AQa (npe*
небрегая инерцией вращения и опуская штрих в локальной про-
производной):
Рис. 8.13
dv
дх
дг
— но X
2Sxw+-g—.
(8.215)
Векторные кинематические уравнения, характеризующие дви-
движение безынерционной трубки, от скорости до не зависят.
В проекциях на естественные оси имеем
(8.216)
-^- — Qio* Аиз — хзо AQi + 2ш©3 =
(8.217)
(8.218)'
Переходя к смещениям щ и углам fy, получаем полную систему
уравнений малых колебаний нити
ад(?г dw
l+2w -^ =
214

О; (8.219)
— xw"« — *з = 0;
дг
б) Рассмотрим колебания нити относительно состояния ста-
стационарного движения, при котором стержень находится в верти-
вертикальной плоскости (см. рис. 7.9). Выражения для Д# стержня,
находящегося под действием сил веса, были получены в § 43.
Так как в состоянии равновесия форма стержня есть плоская
кривая, то х10 = 0 и получаем
—5г=0: <8-220>
з^О; (8.221)
- 2ш ^- - С^Л + ^t- *2 = 0; (8.222)
О; (8.223)
з = 0; (8.224)
0. (8.225)
Система (8 220)—(8.225) представляет собой две независимые
системы уравнений. Эти системы описывают колебания стержня
в плоскости осевой линии стержня и относительно этой
плоскости:
д ДО, . Л „ да» Л
ST + QXaA—аг = 0;
T?--Q1o^p--»<8OAQ1 + 2a)-^--^i!!-d, = O; (8.226)
OX OB x ' OX OB
215

dut
IT
ди2
де
f%*,-0; (8.227)
Углы ¦&! и Оз связаны соотношением (8.153) (при АМ2 = 0):
^- + «зо*1 = 0. (8.228)
Из систем (8.226), (8.227) можно получить два уравнения ко-
колебаний абсолютно гибкого стержня: в вертикальной плоскости
и относительно вертикальной плоскости, как это было сделано
при выводе уравнений (8.169) и (8.204).
в) Уравнение колебаний в плоскости стержня. Из системы
(8.226) после преобразований можно получить следующее урав-
уравнение относительно щ:
д
а г 2ш г а / 1 a«t \ -11
дг { хзв [ де \хзв де ) "^ ^so«ijj "Г"
Для полого стержня, используя средние значения Q10 и х30,
получаем уравнения
= 0. (8.230)
216

Приближенное значение частот можно найти, воспользовав-
воспользовавшись методом, изложенным при определении частот кругового
стержня (§ 42).
Из системы уравнений (8.227) получаем уравнение малых ко-
колебаний стержня относительно вертикальной плоскости
= 0. (8.231)
Уравнение (8.231) аналогично уравнению F.85), которое было
рассмотрено в § 32.

Список литературы
1. Алексеев Н. И. Статика и установившееся движение гибкой нити. М.,
Легкая индустрия, 1970. 270 с.
2. Бидерман В. Л. Прикладная теория механических колебаний. М., Высшая
школа, 1972. 416 с.
3. Биргер И. А. Некоторые математические методы решения инженерных
задач. М., Обороигиз, 1956. 150 с.
4. Бляшке В. Дифференциальная геометрия. М., Наука, 1957. 224 с.
5. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости.
М., Изд-во фнз.-мат. лит. 1961. 340 с.
6. Геккелер И. В. Статика упругого тела. М., ОНТИ ГТТИ, 1934. 287 с.
7. Гольдфайи И. А. Элементы векторного исчисления. М., Гостехнздат,
1948. 175 с.
8. Жуков В. И., Светлицкая Э. М. Определение частот колебаний ветви
камертона переменного сечення. — Изв. вузов. Машиностроение, 1973, № 7,
с. 29—33.
9. Жуков В. И., Светлицкая Э. М. Влияние инерционных полей на колеба-
колебания стержня. — Изв. вузов. Машиностроение, 1973, № 11, с. 18—22.
10. Зельдович Я. Б., Мышкин А. Д. Элементы прикладной математики.
М., Наука, 1972. 592 с.
11. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М., Наука, 1968. 503 с.
12. Крчии Н. Е. Об изгибе троса змейкового аэростата под действием ветра.—
Собр. соч. М., АН СССР. 1949, Т. 2. 586 с.
13. Крылов А. Н. О равновесии шаровой мины в течении. — Собр. соч.
М., АН СССР, 1949, Т. 9, Ч. 2. 313 с.
14. Куркин В. И., Лебедев И. В. Расчет сопротивления трения при продоль-
продольном движении нити в воздухе. — Изв. вузов. Технология текстильной промнш-
лениостн, 1965, № 1, с. 68—72.
15. Лурье А. И. Аналитическая механика. М., Изд-во физ.-мат. лит. 1961.
824 с.
16. Лурье А. И. Изгиб н устойчивость естественно скрученных прямолнней'
ных стержней. — Прикладная математика и механика. Нов. сер. 1938, Т. 2,
вып. 1,_с. 55—68.
17. Лурье А. И., Лойцянский Л. Г. Курс теоретической механики. М.,
Гостехиздат, 1955, Ч. 2. 596 с.
18. Лурье А. И. О малых деформациях криволинейных стержней. — Науч.
тр. ЛПИ. Л., 1941, вып. 3, с. 148—157.
218

19. Лурье А. И. Теория упругости. М., Наука, 1970. 940 с.
20. Ляв А. Математическая теория упругости. М., ОНТИ НКТП, 1935.
674 с.
21. Мак-Кониел А. Дж. Введение в тензорный анализ. М., Изд-во физ.-мат.
лит., 1963. 411 с.
22. Минаков А. П. Осиоиы механики нити. — Науч.-тр. Моск. текст, нн-та,
1941, вып. 1, Т. 9. 87 с.
23. Мирошиик Р. А. Исследование стационарного движения баллистической
антенны в плоском однородном потоке. — Изв. вузов. Машиностроение, 1972,
№ 10, с. 27—32.
24. Моут И., Нэгюлсуорэн С. Теоретическое и экспериментальное исследова-
исследование вибраций ленточных пил. — Конструирование и технология машинострое-
машиностроения, сер. ASME, 1966, вып. 2, с. 27—32.
25. Новацкий В. Теория упругости. М., Мир, 1975. 872 с.
26 Новицкий В. В. Дельта-функция и ее применение в строительной меха-
механике. — В кн.- Расчеты пространственных конструкций. М., Машгиз, 1962,
вып. VIII, с. 207—244.
27. Норден А. П. Дифференциальная геометрия. М., Изд-во физ.-мат. лнт.,
1958. 244 с.
28. Пономарев С. Д7 н др. Расчеты на прочность в машиностроении, Т. 3.
М., Машгиз, 1959. 1118 с.
29. Попов Е. П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. М., Гостех*
издат, 1948. 170 с.
30/Пратусевич Я. А. Вариационные методы в строительной механике.
М., Гостехиздат, 1948. 255 с.
31. Пратусевнч Я. А. О малых деформациях и пространственной устойчивости
криволинейных стержней и арок. — Науч. тр. Моск. ии-та ннж. ж.-д. транспорта,
1952, вып. 76, с. 42—71.
32. Пфейффер П. Колебания упругих тел. М., ОНТИ ГТТИ, 1934. 152 с.
33. Светлицкий В. А. Передачи с гибкой связью. М., Машиностроение,
1967. 154 с.
34. Светлицкий В. А. Уравнения движения идеально гибкой растяжимой
нити. — Науч. докл.. высш. школы. Машиностроение н приборостроение, 1959,
№ 1, с. 85—93. "
35. Светлицкий В. А. Стационарное движение идеально гибкой нитн по
поверхности. — Науч. докл. высш. школы. Машиностроение и приборостроение.
1959, № 2, с. 104—109.
36- Светлицкий В. А. О стационарном движении идеально гибкой однородной
иитн.—Изв. вузов. Машиностроение, 1951, № 1, с. 24—31.
37. Светлицкий В. А. Колебании гибких шлангов, заполненных движущейся
жидкостью. — Изв. вузов. Машиностроение, 1966, № 3, с. 22—30.
38. Светлицкий В. А. Нелинейные уравнения движения и малые колебания
стержней, заполненных движущейси жидкостью. —МТТ, 1977, № 1, с. 12—15.
39- Светлицкий В. А., Габрюк В. И. О критической скорости стационарного
движения. — Прикладная механика, 1966, Т. 2, вып. 6, с. 133—136.
40. Светлицкий В. А., Гуськов А. М. Автоколебании гибкого стержни в мас-
масляном слое. — Изв. вузов. Машиностроение, 1974, № 12, с. 48—52.
219

41. Светлицкий В. А., Мирошник Р. А. О критических скоростях стационар-
стационарного движения гибкой нити в плоском однородном потоке. — Прикладная ме-
механика. Т. 9, вып. 5, 1973, с. 94—98.
42. Светлицкий В. А., Мирошиик Р. А. Исследонанне стационарного движе-
движения баллистической антенны в потоке воздуха произвольного направления. —
В кн.: Сопротивление материалов и теория сооружений. Киеи, АН УССР, 1975,
вып. XXVII, с. 36—42.
43. Светлицкий В. А., Мирошник Р. А., Куркин В. И. Определение форм ста-
стационарного движения нити в средах различной вязкости. — Прикл. механика.
Т. 8, вып. 4, 1972, с. 100—104.
44. Светлицкий В. А., Мирошиик Р. А., Куркин В. И. Определение форм
стационарного движения нити при произвольном угле запуска. — Изв. вузов.
Машиностроение, 1972, № 3, с. 37—41.
45. Светлицкий В. А., Нарайкии О. С. Вынужденные колебания спиральной
пружины. — Изв. иузов. Машиностроение, 1974, № 11, с. 22—27.
46. Светлицкий В. А., Стасенко И. В. Сборник задач по теории колебаний.
М., Высшая школа, 1973. 454 с.
47. Стасенко А. Л. Форма гибкой нити в поле центробежных сил. Изв.
АН СССР ОТН. Механика и машиностроение, 1962, № 6, с. 122—124.
48. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисле-
исчисления. Т. 1. М., Наука, 1969, Т. 1. 607 с.
49. Шполянский В. А. Хронометрия. М., Машиностроение, 1974. 655 с.
50. Эльсгольц Л. Э. Вариационное исчисление. М., Гостехиздат, 1952. 166 с.
51. Smith W. E. Weatherston R. С. A method for hear rechection from space
powerplants. — A. R. S., 1960, vol. 30, N 3, p. 221—234.

Оглавление
Предисловие 5
Глава 1. Сведения нз векторного анализа 7
§ 1. Основные положения векторной алгебры 7
§ 2. Основные положения векторного анализа 15
§ 3. Основные положения дифференциальной геометрии 24
Глава 2. Статяка прямолинейных стержней 33
§ 4. Введение 33
§ 5. Основные сведения из теории дифференциальных уравнений ... 35
§ 6. Элементарные обобщенные функции 38
§ 7. Балки на упругом основании 43
§ 8. Приближенные методы решения задач 46
Глава 3. Статяка пространственно-криволинейных стержней 66
9. Основные положения и допущения механики гибких стержней 66
10. Векторные уравнения равновесия стержней 66
П. Векторные уравнения равновесия нитей 74
12. Уравнения равновесия стержней в проекциях на неподвижные оси 76
13. Уравнения равновесия в связанной системе координат 83
14. Основные теоремьГстатики^нити 86
Глава 4. Кинематика гибких стержней 89
§ 15. Производные базисных векторов по времени 89
§ 16. Абсолютная и локальная производные вектора по времени . . 90
§ 17. Уравнение, связывающее векторы ю и к 92
§ 18. Переменные Лаграижа и Эйлера в механике стержней 94
§ 19. Уравнение неразрывности 97
§ 20. Кинематические уравнения для скоростей и ускорений 98
Глава 5. Стацяонарное двяжевие гибких стержней .... 104
§ 21. Введение 104
§ 22. Уравнение равновесия гибкого стержня 105
§ 23. Уравнения равновесия при стационарном движении нити .... 114
§ 24. Стационарное движение иити в вязкой покоящейся среде .... 115
§ 25. Стационарное движение баллистической антенны 126
§ 26. Стационарное движение нити в средах разной вязкости 129
Глава 6. Динамика прямолинейных гибких стержней ... 131
27. Введение 131
28. Малые колебания прямолинейных стержней 133
29. Численные методы определения частот и форм колебаний стержня 136
30. Уравнения колебаний стержня с учетом инерции вращения и сдвига 140
31. Влияние осевой силы на частоты колебаний стержня 146
32. Малые колебания движущихся стержней 148
33. Свободные нелинейные колебаняя стержня _ 155
221

Глава 7. Уравнения движения гибкого стержня и нити . . . 161
§ 34. Векторные уравнения движения стержня 161
§ 35. Уравнения дввжения стержня ^проекциях на связанные оси . . . 164
§ 36. Уравнения движения стержня в плоскости 166
§ 37. Уравненяя движения нити 167
§ 38. Прямолинейное движение нитн 170
§ 39. Уравнения движения стержня, вмеющего продольное движение 174
Г л а в а 8. Малые колебания простраиствеиио-криволинейиых
стержней ^ 177
§ 40. Уравнения малых колебаний гибких стержней 177
§ 41. Определение частот и форм колебаний пространственно-криволи-
пространственно-криволинейных стержней 184
§ 42. Определение частот и форм колебаний плоского кругового стержня 187
§ 43. Малые колебания нитей 191
§ 44. Малые колебания стержней относительно стационарного движения 197
§ 45. Определение частот колебаний стержня, имеющего продольное
движение 201
§ 46. Примеры приближенного определения частот 204
Список литературы 218

ИБ № 1273
В а л е р и _й
Александрович
Светлицкий
(Б-ка расчетчика)
МЕХАНИКА ГИБКИХ
СТЕРЖНЕЙ И НИТЕЙ
Редактор Г. Н. Сидорова
Технические редакторы: Н. Н. Скотни-
кова, Л. А. Макарова
Корректоры: О. Е. Мв ш ив а, Ю. Н. Р ы-
б а ко ва
Переплет художниха
А. Я. Михайлова
СдаВо в вабор 22.05.78.
Подписано в печать 24.08.78. Т-09695.
Формат 60Х901/!,.
Бумага типографская № 3. Гарнитура лите-
литературная. Печать высохая.
Усл. печ. л. 14,0. Уч.-изд. л. 13 9.
Ткраж 7500 экз. Зах. 944. Цена 1 р. 10 х.
Издательство «Машиностроение»,
107886, Москва, Б-78,
1-й Басмаииый пер., д. 3
Ленинградская типография № 6
Союзполнграфпрома
при Государственной хоинтете СССР
по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли.
193144, Ленинград. С-144,
ул. Моисееико, 10