ФГУ «ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ:
ГЕОМЕТРИЯ
9 класс
ИТОГОВЫЕ ТЕСТЫ
ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР
ТЕСТИРОВАНИЯ
сНГИСТр
ТЕСТЫ
ГЕОМЕТРИЯ
9 класс
ВАРИАНТЫ И ОТВЕТЫ
централизованного (итогового)
тестирования
Москва
ББК 74.202.5
УДК 37.1
Тесты. Геометрия 9 класс. Варианты и ответы централизованного
(итогового) тестирования - М.: ФГУ «Федеральный центр тестирования»,
2007.
Сборник «Тесты» (варианты и ответы итогового тестирования) - в
книге представлены образцы тестов, использованных при проведении
централизованного (итогового) тестирования по геометрии (9 класс).
Тесты составлены в соответствии с Обязательным минимумом содержания
образования и действующими программами и учебниками. Даны ответы
для всех представленных тестов. Приведена структура тестов.
Сборник предназначен для самостоятельной подготовки выпускников
общеобразовательных учреждений (основная школа) к итоговой
аттестации, а также в помощь преподавателям и методистам,
использующим в своей работе тестовый способ контроля знаний.
ISBN 978-5-94635-330-4
© ФГУ «Федеральный центр тестирования», 2007
Содержание
1.	Введение................................................4
2.	Структура итогового теста по геометрии (9 класс)...... 5
3.	Тест№ 1............................................... 7
4.	Тест №2.............................................. 12
5.	Тест№3............................................... 17
6.	Тест № 4............................................. 22
7.	Тест №5.............................................. 27
8.	Тест № 6............................................  32
9.	Разбор заданий теста № 7............................. 37
10.	Правильные ответы к тестам по геометрии (9 класс).....48
11.	Статистика ответов учащихся к тестам по геометрии (9 класс).49
12.	Анализ типичных ошибок, допущенных при выполнении
итоговых тестов по геометрии (9 класс)................... 55
ВВЕДЕНИЕ
Учащиеся и их родители заинтересованы в получении, а государство -
в обеспечении качественного образования. Для этого необходимо исполь-
зовать современные методы оценки и контроля.
Объективная оценка учебных достижений осуществляется, как прави-
ло, стандартизированными процедурами, при проведении которых все
учащиеся находятся в одинаковых (стандартных) условиях и используют
примерно одинаковые по свойствам измерительные материалы (тесты).
Такую стандартизированную процедуру оценки учебных достижений на-
зывают тестированием.
Правильно составленный тест представляет собой совокупность сба-
лансированных тестовых заданий. Количество заданий в тесте по различ-
ным разделам должно быть таким, чтобы пропорционально отражать ос-
новное содержание предмета. Комбинации тестовых заданий различных
трудностей должны обеспечить равносложность различных вариантов тес-
тов. Дифференцирующие силы используемых тестовых заданий, в свою
очередь, должны обеспечивать надежную дифференциацию уровня подго-
товленности различных учащихся.
Основным достоинством тестового способа оценки учебных достиже-
ний является его объективность, т.е. независимость от многих возможных
воздействий, неизбежно присутствующих при традиционном способе
оценки знаний, в том числе и от взаимных отношений между учащимися и
учителями. Не менее важным достоинством тестирования является воз-
можность объективного сравнения учебных достижений, показанных уча-
щимися различных образовательных учреждений и регионов в текущем
году и по отношению с предшествующими годами.
Централизованное тестирование проводится ежегодно в апреле. Уро-
вень трудности итоговых тестов несколько меньше уровня трудности аби-
туриентских тестов. Результаты обоих видов тестирования имеют одина-
ковый статус, но традиционно в большинстве случаев результаты итогово-
го тестирования могут учитываться только в школах в качестве оценок
итоговой аттестации. Большинство вузов в качестве оценок вступительных
испытаний принимают только результаты абитуриентского тестирования.
Некоторые вузы принимают результаты централизованного тестирования
без различия между абитуриентским и итоговым тестированиями.
Практическое использование современных педагогических тестов дает
учащимся возможность объективно оценить уровень своих знаний, а также
определить свое место (рейтинг) среди множества российских учащихся,
проходивших централизованное тестирование. Приводимые в сборнике
тестовые материалы и результаты могут быть использованы как ориентиры
для подготовки к централизованному тестированию 2008 г.
Технология и методики централизованного тестирования широко
используются при проведении эксперимента по введению единого го-
сударственного экзамена в России.
4
Структура итогового теста по геометрии (9 класс)
Разработчики: Короткова Л.М., Савинцева Н.Н.
1.	Параллельные прямые
1.1.	Признаки и свойства параллельных прямых.
2.	Треугольники
2.1.	Средняя линия треугольника. Сумма углов треугольника.
Свойства внешнего угла треугольника.
2.2.	Равнобедренный треугольник. Его свойства и признаки.
2.3.	Соотношения между сторонами и углами прямоугольного
треугольника.
2.4.	Признаки равенства и подобия треугольников.
2.5.	Периметр и площадь треугольника.
2.6.	Соотношение между сторонами и углами треугольника. Теорема
синусов и косинусов.
3.	Четырехугольники
3.1.	Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма.
3.2.	Ромб. Квадрат. Их свойства.
3.3.	Трапеция. Средняя линия трапеции.
3.4.	Периметры и площади параллелограмма, ромба, трапеции.
4.	Окружность и круг
4.1.	Окружность и круг. Центральные и вписанные углы.
4.2.	Касательная к окружности.
4.3.	Вписанная и описанная окружность.
4.4.	Правильные многоугольники.
4.5.	Длина окружности, дуги окружности.
4.6.	Площадь круга, сектора.
5
5.	Векторы. Метод координат
5.1.	Сумма и разность двух векторов. Умножение вектора на число.
5.2.	Координаты вектора.
5.3.	Угол между векторами.
5.4.	Простейшие задачи в координатах.
5.5.	Уравнения окружности и прямой.
6
ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ
Тест по геометрии № 1
Инструкция для учащихся
Тест состоит из частей А и В. На его выполнение отводится
120 минут. Задания рекомендуется выполнять по порядку. Если
задание не удается выполнить сразу, перейдите к следующему. Если
останется время, вернитесь к пропущенным заданиям.
Часть А
К каждому заданию части А дано несколько ответов, из которых
только один верный. Решите задание, сравните полученный ответ с
предложенными. В бланке ответов под номером задания поставьте
крестик (х) в клеточке, номер которой соответствует номеру
выбранного Вами ответа.
А1. Найдите высоту фабричной трубы, если она дает тень 35 м, а столб
высотой 7 м дает тень 5 м.
1)56м	2) 42 м	3) 49 м	4) 25 м
А2.
По данному чертежу найдите величину
угла CDA.
1)	115°
2)	45°
3)	135°
4)	65°
АЗ. Найдите площадь равнобедренного
треугольника с боковой стороной
10 см и углом при вершине 120°.
1) 25 см2 2) 25>/3 см2
3) см2 4) 50>/з см2
А4. В параллелограмме один из двух углов, прилежащих к одной стороне,
на 250% меньше другого. Найдите величину большего угла
параллелограмма.
1) 40°	2) 70°	3) 100°	4) 140°
7
А5. В параллелограмме с периметром 154 см ____________________
биссектриса тупого угла делит большую /\
сторону на отрезки, длины которых / \
относятся как 3:5, считая от вершины /	\
острого угла. Найдите меньшую сторону ZJ-----------------/
параллелограмма.
1) 70 см	2) 42 см
3)35 см	4) 21 см
А6. Стороны четырехугольника ABCD относятся как 2 : 4: 3 : 6. Найдите
периметр подобного ему четырехугольника, большая сторона
которого 30 см.
1) 30 см	2) 45 см
3)75 см	4) 210 см
А7.
Вершины к ВЕС лежат на
центром М,	^ВЕ = 80°,
Найдите величину угла СМВ.
1) 20°
2) 40°
3) 60°
4) 80°
А8. Найдите длину вектора АВ, если заданы точки А (- 1; 2) и В (3; - 1).
1) >/5
2) V13
3)5
4) VI7
А10. Стороны треугольника относятся как 15:20:25. Каким является
такой треугольник?
1) тупоугольный
3) равносторонний
2) прямоугольный
4) равнобедренный
8
All. По данному чертежу определите
уравнение окружности.
1)	(х + 3)2+(у + 3)2=Зг/2
2)	(х + 3)2+(j>+ 3)2 =16
3)	(х-3)2 +(у-3)2 =4
4)	(х-3)2+(j>-3)2 = 16
А12. В прямоугольном А ЛВС (ZC =90°) из
вершины прямого угла проведена
высота СН, ЛС = 15 см, АВ = 50 см.
Найдите АН.
1)4,5 см	2) 0,6 см
3)	44,5 см	4) 0,3 см
А13. По данному чертежу найдите диаметр
окружности, описанной около
треугольника АВС.
1)
3)
А14. В равнобедренном треугольнике сумма углов при основании равна
60°. Если длина медианы, проведенной к основанию, равна 6 см, то
периметр треугольника равен
1) (18 + 6-УЗ)см	2) (24 + 6д/3)см
3)36 см	4) (24 + 12-73) см
А15. Из круга диаметром 12 см вырезали сектор с дугой 300°. Найдите
площадь оставшейся части круга.
1) Юл-	2) 6л*	3) 30л*	4) 120л*
9
A16. Найдите длину окружности, в которую вписан
правильный шестиугольник с площадью
54>/з см2.
1) 12# см 2) 37,68# см
3) 36# см 4) 72# см
__ 1__.
3) CD—AD
2
4) AD-CD
А18. Найдите величину угла АВС треугольника с вершинами А (30; 43),
В (26; 45), С (25; 48).
1) 45°	2) 30°	3) 135°	4) 150°
А19. Через точку, расположенную на расстоянии 10 см
от центра окружности, проведены касательные к
ней. Найдите расстояние между точками касания,
если радиус окружности 6 см.
1) 6 см	2) 8 см
3) 3>/10 см 4) 9,6 см
А20. Найдите ординату точки К, лежащей на прямой АВ, если известно,
что А (- 1; - 6), В (3; 2) и абсцисса точки К равна 21.
1) - 12,5	2) 12,5	3)-38	4) 38
10
Часть В
Ответы заданий части В запишите на бланке ответов рядом с
номером задания (В1-В4), начиная с первого окошка. Ответом может
быть только число. Каждую цифру числа, запятую и знак минус
(если число отрицательное) пишите в отдельном окошке по
приведённым образцам. При вычислениях, число п считайте
равным 3,14.
В1.	Точки Е и F - середины диагоналей трапеции АВ CD, MN - средняя
линия трапеции. Найдите длину большего основания трапеции, если
£F=4,aMV = 10.
В2.	Хорды АС и BD окружности пересекаются в точке F. Отрезок AF на
12 см больше CF, BD = 14 см, DF = 1 см. Найдите длину отрезка AF.
ВЗ.	Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного
треугольника, периметр которого 12 см, если радиус окружности,
вписанной в него, 1 см.
В4.
В остроугольном А АВС боковые стороны
равны, а высоты пересекаются в точке О.
Найдите сторону АВ, если СО =10, а
CD = 16.
11
ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ
Тест по геометрии № 2
Инструкция для учащихся
Тест состоит из частей А и В. На его выполнение отводится
120 минут. Задания рекомендуется выполнять по порядку. Если
задание не удается выполнить сразу, перейдите к следующему. Если
останется время, вернитесь к пропущенным заданиям.
Часть А
К каждому заданию части А дано несколько ответов, из которых
только один верный. Решите задание, сравните полученный ответ с
предложенными. В бланке ответов под номером задания поставьте
крестик (х) в клеточке, номер которой соответствует номеру
выбранного Вами ответа.
А1. Найдите тень от столба высотой 6,5 м, если тень от мачты высотой
26 м составляет 8,8 м.
845
1) 2,2 м	2) 6,6 м	3) — м 4) 35,2 м
44
А2. По данному чертежу найдите величину
угла DOB.
1)	80°
2)	75°
3)	100°
4)	105°
АЗ. Медиана равнобедренного треугольника,
проведенная из угла при вершине, равна 6 см, а
угол при его основании - 60°. Найдите
площадь треугольника.
1) 18 см2	2) 12-Тз см2
3) 18>/з см2	4) 36>/3 см2
А4. В равнобедренном треугольнике угол при основании на 30% больше
угла при вершине. Найдите угол при вершине.
1) 30°	2) 50°	3) 60°	4) 70°
12
А5. В параллелограмме большая сторона равна
12 см, а биссектриса острого угла делит эту
сторону параллелограмма на отрезки,
длины которых относятся как 2:1, считая
от вершины тупого угла. Найдите периметр
параллелограмма.
1) 36 см	2) 30 см
3) 40 см	4) 48 см
А6. Дано: &АВС, £>F||?4C, S^bdf = 20 см2,
BD = 5 см, AD = 3 см. Найдите S^ABC.
1)	8 см2
2)	12,5 см2
3)	32 см2
4)	51,2 см2
А7. Вершины &MNK лежат на окружности с
центром О, Z MKN = 30°, ^NK = 250°.
Найдите величину угла МОК.
1)	25°
2)	50°
3)	80°
4)	40°
А8. Найдите длину вектора CD, если заданы точки С (- 1; 2) и D (- 3; 1).
1)5
2) 17
3) V5
4) V17
13
A10. Стороны треугольника относятся как 10:13:16. Каким является
такой треугольник?
1) равнобедренный	2) остроугольный
3) тупоугольный	4) прямоугольный
АП. По данному чертежу определите
уравнение окружности.
1)	(x + 3)2+(y + 3)2=3V2
2)	(х + 3)2+(^ + 3)2 =16
3)	(х-3)2+(j>-3)2 =4
4)	(х-3)2+(j>-3)2 =16
А12. В прямоугольном &АВС (ZC =90°) из
вершины прямого угла проведена высота
CH, Z.A = 30°, СЯ = 2. Найдите АВ.
1) 8V3
8
3
3) 8
А13. По данному чертежу найдите величину
угла С.
1) 30°	2) 45°
3) 60°	4) 80°
А14. В равнобедренной трапеции угол при основании 60°, основания 5 и 9.
Найдите площадь трапеции.
1) 14>/3	2)	3) уу	4) 1О>/3
14
Al5. В окружности хорда и радиус имеют одинаковую длину 4. Найдите
площадь кругового сектора, ограниченного меньшей из дуг данной
окружности.
1>-
3
4тг
2) —
3

3) —
3
А16. Квадрат, площадь которого 16 см2, вписан
окружность. Найдите длину окружности.
1) 8я см 2) см
17	г
3)	—я см 4) 4v2^ см
А17. В параллелограмме MNKD точка//
делит сторону KD так, что
КН: HD = 3:1. Выразите вектор МН
через векторы MN и MD.
1—	. —.	—. 1—.
1)	-MN + MD	2) MN +—MD
3	4
1 . —.	3--- —.
3) -MN + MD 4) -MN-MD
4	4
А18. Найдите величину угла АВС треугольника с вершинами А (30; 43),
В (26; 45), С (25; 48).
1) 45°	2) 30°	3) 135°	4) 150°
А19. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника,
если один из его катетов 3 см, а радиус вписанной в
него окружности 1 см.
1) 4 см	2) 5 см
3) 4>/2 см 4) 5>/2 см
15
А20. Найдите ординату точки К, лежащей на прямой АВ, если известно,
что А (- 1; - 6), В (3; 2) и абсцисса точки К равна 21.
1) - 12,5	2) 12,5	3)-38	4) 38
Часть В
Ответы заданий части В запишите на бланке ответов рядом с
номером задания (В1-В4), начиная с первого окошка. Ответом может
быть только число. Каждую цифру числа, запятую и знак минус
(если число отрицательное) пишите в отдельном окошке по
приведённым образцам. При вычислениях, число п считайте
равным 3,14.
В1.	Точки Е и F - середины диагоналей трапеции ABCD. Найдите длину
меньшего основания ВС, если EF = 15 и AD = 40.
В2.	Хорды АС и BD окружности пересекаются в точке Р. Отрезок АР на
16 см меньше СР, BD = 15 см, ВР = 12 см. Найдите длину отрезка АР.
ВЗ.	Площадь прямоугольного треугольника 24 см2, а радиус окружности,
вписанной в него, 2 см. Найдите радиус окружности, описанной
около треугольника.
В4.	В параллелограмме ABCD точка Е -
середина стороны AD, BEL АС,
АВ = 5, ВС -= 2>/13 . Найдите длину
диагонали А С.
16
ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ
Тест по геометрии № 3
Инструкция для учащихся
Тест состоит из частей А и В. На его выполнение отводится
120 минут. Задания рекомендуется выполнять по порядку. Если
задание не удается выполнить сразу, перейдите к следующему. Если
останется время, вернитесь к пропущенным заданиям.
Часть А
К каждому заданию части А дано несколько ответов, из которых
только один верный. Решите задание, сравните полученный ответ с
предложенными. В бланке ответов под номером задания поставьте
крестик (х) в клеточке, номер которой соответствует номеру
выбранного Вами ответа.
А1. Найдите высоту мачты, если она дает тень 15 м, а столб высотой 10 м
дает тень 4 м.
2
1)	2— м	2) 6 м	3) 27,5 м	4) 37,5 м
А2.
По данному чертежу найдите величину
угла DCN.
1)	110°
2)	70°
3)	45°
4)	135°
АЗ. Высота равнобедренного треуголь-
ника, проведенная к основанию,
равна 4 см, а угол при его вершине -
120°. Найдите площадь треуголь-
ника.
1) см2 2) 8>/з см2
3) см2 4) 16V3 см2
17
А4. В равнобедренном треугольнике угол при вершине на 60% больше
угла при основании. Найдите угол при вершине.
1) 20°	2) 50°	3) 60°	4) 80°
А5.
В параллелограмме меньшая сторона равна
9 см, а биссектриса тупого угла делит боль-
шую сторону на отрезки, длины которых от-
носятся как 3:5, считая от вершины острого
угла. Найдите периметр параллелограмма.
1) 36 см	2) 48 см
3) 162 см 4) 66 см
А6. На чертеже углы АВС и AMN равны,
ЛВ=1,2см и ЛЛ/=0,Зсм. Найдите
площадь треугольника AMN, если площадь
треугольника АВС равна 32 см2.
1) 128 см2 2) 192 см2
3) 8 см2	4) 2 см2
А7. Вершины &АВС лежат на окружности с
центром Р, Z АРС = 140°,	^АВ =100°.
Найдите величину угла ВАС.
1) 60°	2) 30°
3) 10°	4) 120°
А8. Найдите длину вектора MN, если заданы точки Л/(-3;1) и
У(-7;-2).
1)5
2) 717
з) 7109	4) Тки
18
A10. Стороны треугольника относятся как 18:21:28. Каким является
такой треугольник?
1) равнобедренный	2) остроугольный
3) тупоугольный	4) прямоугольный
АП. По данному чертежу определите
уравнение окружности.
1)	(х + з)2 +Cv + 3)2 = 3>/2
2)	(х + 3)2 +(.У + 3)2 =16
3)	(х-3)2 + (у-3)2 = 4
4)	(х-3)2+(_у-3)2 = 16
А12. В прямоугольном A ABC (ZC=90°) из с
вершины прямого угла проведена высота
СН9 АС: СВ = 5 : 12, АВ = 130. Найдите
АН.
1) 338	2) 2,6	А
3
3) 19—	4) 0,325
А14. Периметр ромба равен 48, а его тупой угол 120°. Найдите площадь
ромба.
1) 24	2) 72	3) 72>/3	4) 144>/з
19
Al5. Хорда окружности, равная 2, отсекает от окружности дугу в 60°.
Найдите площадь сектора, ограниченного данной дугой.
1) -	2) -	3) —	4) —
3	6	3	3
А16. Найдите площадь круга,
равносторонний треугольник
4>/з см2.
1) —Л СМ2
12
3) \л см2
1	2
2) -л см
3
4	2
4) — л см
3
А17. В Л АВС точка В{ делит сторону АС так,
что АВ{ : В[С=2 : 3. Выразите вектор
ВС через векторы АВ и АВ{.
1) ЗАВ^-АВ
5—. _
3) -АВ'-АВ
_ 3—.
2) АВ + -АВ'
2—. _
4) -АВ' + АВ
А18. Найдите величину угла АВС треугольника с вершинами А (30; 43),
В (26; 45), С (25; 48).
1) 45°	2) 30°	3) 135°	4) 150°
А19. Найдите сумму расстояний от центра окружности
радиуса 3>/5 см, описанной около прямоугольного
треугольника, до его катетов, если один из катетов 6 см.
1) 4,5 см
3) 9 см
2) 3^5 см
4) (3 + З7б) см
20
А20. Найдите ординату точки К, лежащей на прямой АВ, если известно,
что А (- 1; - 6), В (3; 2) и абсцисса точки К равна 21.
1) - 12,5	2) 12,5	3) - 38	4) 38
Часть В
Ответы заданий части В запишите на бланке ответов рядом с
номером задания (В1-В4), начиная с первого окошка. Ответом может
быть только числб. Каждую цифру числа, запятую и знак минус
(если число отрицательное) пишите в отдельном окошке по
приведённым образцам. При вычислениях, число п считайте
равным 3,14.
В1. Точки А и В - середины диагоналей трапеции CNMP. Найдите длину
отрезка АВ, если основания трапеции СР и NM равны 12 и 4
соответственно.
В2. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке К. Отрезок СК на
12 см меньше DK, АВ = 11 см, АК = 4 см. Найдите длину отрезка СК.
ВЗ.
Найдите радиус окружности,
треугольник, периметр которого
описанной около него, 25 см.
вписанной в прямоугольный
120 см, если радиус окружности,
В4. Высоты остроугольного &ABD, в котором
АВ = BD пересекаются в точке О. Найдите
площадь &ABD, если А О - 5, аАС = 8.
21
ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ
Тест по геометрии № 4
оегисто
Инструкция для учащихся
Тест состоит из частей А и В. На его выполнение отводится
120 минут. Задания рекомендуется выполнять по порядку. Если
задание не удается выполнить сразу, перейдите к следующему. Если
останется время, вернитесь к пропущенным заданиям.
Часть А
К каждому заданию части А дано несколько ответов, из которых
только один верный. Решите задание, сравните полученный ответ с
предложенными. В бланке ответов под номером задания поставьте
крестик (х) в клеточке, номер которой соответствует номеру
выбранного Вами ответа.
А1. Найдите тень от шеста длиной 1,7 м, если телеграфный столб высотой
5,1 м дает тень 6,3 м.
1) 2,1 м	2) 4,2 м	3) 18,9 м	4) 0,7 м
А2.
АЗ.
По данному чертежу найдите величину
угла СЕК.
1)	57°
2)	120°
3)	60°
4)	123°
Найдите площадь равнобедренного треуголь-
ника с основанием 10 см и углом при
вершине 60°.
1)25 см2	2) 25>/з см2
3) 50 см2	4) 50л/з см2
А4. В прямоугольном треугольнике один из острых углов на 250%
больше другого. Найдите его величину.
1) 20°	2) 43,75°	3) 50°	4) 70°
22
А5. В параллелограмме большая сторона равна
40 см, а биссектриса острого угла делит эту
сторону на отрезки, длины которых
относятся как 3:2, считая от вершины
тупого угла. Найдите периметр
параллелограмма.
1) 128 см	2) 64 см
3) 112 см	4) 72 см
А6.
Площадь треугольника АВС равна 12 см2.
Найдите площадь треугольника,
вершинами которого являются основания
медиан треугольника АВС.
1)	3 см2
2)	6 см2
3)	4 см2
4)	1,5 см2
А7.
Вписанный угол АВС на 79° меньше центрального
угла АОС. Найдите градусную меру дуги АВС
1) 22°	2) 158°
3) 202°	4) 218°
А8. Найдите длину вектора CD, если заданы точки С(—3; 5) и
Г>(- 1;-2).
1) 5	2) Тб5	3) V53	4) V13
А9.
23
А10. Стороны треугольника относятся как 5 : 13 : 14. Каким является такой
треугольник?
1) прямоугольный
3) остроугольный
2) равнобедренный
4) тупоугольный
АП. По данному чертежу определите
уравнение окружности.
1)	(х + 3)2 + (у + 3)2 =3>/2
2)	(х + 3)2 +(^ + 3)2 =16
3)	(х-3)2+(у-3)2=4
4)	(х-3)2 +(^-3)2 =16
А12. В прямоугольном AMNK (Z.N ~ 90°) из
вершины прямого угла проведена высота
NH, ХМ = 60°, МН =6 см. Найдите НК.
1)24см	2) 18 см
3)	8 см	4) 2 см
А13. По данному чертежу найдите радиус
окружности, описанной около треуголь-
ника АВС.
з) 1
А14. В прямоугольной трапеции меньшее основание 4, большая боковая
сторона 12, а угол при основании 30°. Найдите площадь трапеции.
1) 6л/3+4	2) 18>/з + 24	3) 30>/3	4) 42>/з
24
A15. Из круга диаметром 12 см вырезали сектор с дугой 120°. Найдите
площадь оставшейся части.
1) 24/г	2) 108#	3) 96лг	4) 12лг
А16. Найдите площадь круга, вписанного в
равносторонний треугольник со стороной 6 см.
1) 0,75# см2 2) 1,5тг см2
3)3# см2 4) 2л/з л см2
А17. В Л АВС точка О делит сторону ВС так, что
ВО : ОС =4 : 3. Выразите вектор АО через
векторы АВ и АС.
4— 3_
1) —АС+—АВ
7	7
3) 4АС + ЗАВ
3— 4 —
2) —АС+—АВ
7	7
3_ 4 —
4) —АС— АВ
7	7
А18. Найдите величину угла АВС треугольника с вершинами А (30; 43),
В (26; 45), С (25; 48).
1) 45°	2) 30°	3) 135°	4) 150°
А19. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если
точка касания вписанной в него окружности делит
гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см, а расстояние от
центра окружности до вершины прямого угла 2л/2 см.
1)24 см2	2) 18л/2 см2
3) 26 см2	4) 36 см2
А20. Найдите ординату точки К, лежащей на прямой АВ, если известно,
что А (- 1; - 6), В (3; 2) и абсцисса точки К равна 21.
1) - 12,5	2) 12,5	3) - 38	4) 38
25
Часть В
Ответы заданий части В запишите на бланке ответов рядом с
номером задания (В1-В4), начиная с первого окошка. Ответом может
быть только число. Каждую цифру числа, запятую и знак минус
(если число отрицательное) пишите в отдельном окошке по
приведённым образцам. При вычислениях, число п считайте
равным 3,14.
В1.	Точки Р и К - середины диагоналей трапеции АВ CD. Найдите длину
средней линии трапеции, если РК = 8 и длина основания ВС = 5.
В2.	Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке F. Отрезок DF на
7 см меньше CF, AF= 2 см, АВ = 6 см. Найдите длину отрезка CF.
ВЗ.	Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный
треугольник, если радиус окружности, описанной около него, 2,5 см,
а периметр треугольника 12 см.
В4.	В параллелограмме ABCD точка Е -
середина стороны AD, BEL АС,
АВ = 5, ВС = 2^13. Найдите длину
отрезка BE.
26
ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ
Тест по геометрии № 5
регистр
Инструкция для учащихся
Тест состоит из частей А и В. На его выполнение отводится
120 минут. Задания рекомендуется выполнять по порядку. Если
задание не удается выполнить сразу, перейдите к следующему. Если
останется время, вернитесь к пропущенным заданиям.
Часть А
К каждому заданию части А дано несколько ответов, из которых
только один верный. Решите задание, сравните полученный ответ с
предложенными. В бланке ответов под номером задания поставьте
крестик (х) в клеточке, номер которой соответствует номеру
выбранного Вами ответа.
А1. Найдите высоту телеграфного столба, если он дает тень 15,3 м, а шест
высотой 1,7 м дает тень 5,1 м.
1) 3 м	2) 10,2 м	3) 5,1 м	4) 45,9 м
А2.
По данному чертежу найдите величину
угла ВКЕ.
1)	65°
2)	40°
3)	115°
4)	140°
В
65°
140°
АЗ. Найдите площадь равнобедренного тре-
угольника с основанием 8 см и углом при
основании 45°.
1) 16 см2	2) 24 см2
3)	32 см2	4) 48 см2
А4. В прямоугольном треугольнике один из острых углов на 50% больше
другого. Найдите его величину.
1	) 36°	2) 54°	3) 60°	'	4) 72°
27
А5. Периметр параллелограмма 168 см,
биссектриса острого угла делит большую
его сторону на отрезки, длины которых
относятся как 5:2, считая от вершины
тупого угла. Найдите меньшую сторону
параллелограмма.
1)7 см	2) 14 см
3) 35 см	4) 24 см
А6. Дано:	A ABC,	DFpC, AD = Зсм,	В
DB = 1 см. АВС = 64 см2. Найдите S&BDF.	/ \
з	,7И	£—х
4)	256 см2
А7.
Вершины к АВС лежат на окружности с
центром Р, Z.APC = 120°, ^АВ = 140°. Найдите
величину угла ВАС.
1)	40°
2)	80°
3)	160°
4)	50°
А8. Найдите длину вектора PH, если заданы точки Р (- 1; 4) и Н (- 8; 3).
1) 50	2) 8
3) V82
4) 5л/2
А9. По данному чертежу найдите величину
угла ADE.
1)	60°	2) 30°
3) 45°	4) 15°
28
A10. Стороны треугольника относятся как 12 : 16 : 20. Каким является
такой треугольник?
1) прямоугольный	2) остроугольный
3) тупоугольный	4) равнобедренный
А11. По данному чертежу
уравнение окружности.
1)	(х + 3)2 + (.у + 3)2 = 3^2
2)	(х + 3)2 +(у + 3)2 =16
3)	(х-3)2+(_у —З)2 =4
4)	(x^3)2+(j-3)2=16
А12. В прямоугольном &DCK (ЛС = 90°) из
вершины прямого угла проведена высота
СЯ, ЛК = 30°, КН = 5 см. Найдите
гипотенузу &DCK.
IX 20
1) см
7з
3) 20 см
2) 10 см
лч ^2
4) 6— см
3
А14. В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 4 и 8, а меньшая
диагональ равна 5. Найдите площадь трапеции.
1) 14>/з+6	2) 4>/3 + 6	3) 8V3 + 12	4) 20>/з
29
Al5. Хорда окружности радиуса 10 см имеет длину 10 см. Найдите
площадь кругового сектора, ограниченного меньшей из дуг данной
А17. В параллелограмме точка М делит
сторону AD так, что АМ\ MD = 5 : 2.
Выразите вектор МВ через векторы
АВ и ВС.
— 5—	_ 5 —
1) АВ—ВС	2) АВ+—ВС
7	7
5___ _	— 1 —
3) -ВС-АВ	4) АВ—ВС
7	5
А18. Найдите величину угла АВС треугольника с вершинами А (30; 43),
5(26; 45), С (25; 48).
1) 45°	2) 30°	3) 135°	4) 150°
А19. В прямоугольном треугольнике один из катетов 4 см,
а радиус описанной около него окружности 2л/5 см.
Найдите сумму расстояний от центра окружности до
катетов.
1) 2у[5 см 2) 5 см
3) 6 см	4) 4 л/з СМ
30
А20. Найдите ординату точки К, лежащей на прямой АВ, если известно,
что А (- 1; - 6), В (3; 2) и абсцисса точки К равна 21.
1)	- 12,5	2) 12,5	3)-38	4) 38
Часть В
Ответы заданий части В запишите на бланке ответов рядом с
номером задания (В1-В4), начиная с первого окошка. Ответом может
быть только число. Каждую цифру числа, запятую и знак минус
(если число отрицательное) пишите в отдельном окошке по
приведённым образцам. При вычислениях, число л считайте
равным 3,14.
В1.	Точки М иЛг - середины диагоналей трапеции ABCD. Найдите длину
отрезка MN, если основания трапеции равны 21 и 15 соответственно.
В2.	Хорды А С и BD окружности пересекаются в точке К. Отрезок СК на
10 см больше АК, ВК = 7 см, BD = 15 см. Найдите длину отрезка СК.
ВЗ.	Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного
треугольника, если радиус окружности, вписанной в него, 1 см, а
площадь треугольника 6 см2.
В4.	В остроугольном Л АВС высоты пересекаются
в точке О, сторона АВ = ВС. Найдите площадь
А АВС, если СО = 10, a CD = 16.
31
ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ
Тест по геометрии № 6
Инструкция для учащихся
Тест состоит из частей А и В. На его выполнение отводится
120 минут. Задания рекомендуется выполнять по порядку. Если
задание не удается выполнить сразу, перейдите к следующему. Если
останется время, вернитесь к пропущенным заданиям.
Часть А
К каждому заданию части А дано несколько ответов, из которых
только один верный. Решите задание, сравните полученный ответ с
предложенными. В бланке ответов под номером задания поставьте
крестик (х) в клеточке, номер которой соответствует номеру
выбранного Вами ответа.
А1. Найдите тень от телеграфного столба высотой 5,1 м, если тень от
шеста высотой 1,7 м составляет 2,1 м.
1) 15,3м	2) 6,3 м	3) 4,2 м	4) 0,7 м
А2.
По данному
угла МРТ.
1) 80°
3) 100°
чертежу найдите величину
2) 110°
4) 70°
АЗ.
Найдите площадь равнобедренного треугольника
со сторонами 4 см, 6 см, 6 см.
1) 4^2 см2 2) 8^2 см2
3) 16^2 см2 4) 80^3 см2
А4. В параллелограмме один из двух углов, прилежащих к одной стороне,
на 400% больше другого. Найдите величину меньшего угла
параллелограмма.
1) 20°	2) 30°	3) 35°	4) 40°
32
А5. В параллелограмме меньшая сторона равна
12 см, а биссектриса тупого угла делит
большую сторону на отрезки, длины
которых относятся как 2:4, считая от
вершины острого угла. Найдите периметр
параллелограмма.
1) 60 см	2) 48 см
3) 96 см	4) 168 см
А6. Площадь треугольника АВС на 5 см2
больше площади треугольника MBN.
Найдите площадь треугольника MBN,
1)	4 см2
2)	9 см2
3)	10 см2
4)	5 см2
А7.
Вершины \MNK лежат на окружности с
центром О, Z.KMN = 135°, ^MN = 60°.
Найдите величину угла МОК.
1)	15°
2)	30°
3)	60°
4)	82,5°
А8. Найдите длину вектора КС, если заданы точки К (2; - 1) и С (- 3; 5).
1) 1
2) V41
3) х/3.7
4) 7б1
А9. По данному чертежу, где АВ = АС =8,
найдите периметр треугольника DAE.
1) 16	2) 24
3) 12	4) 20
33
A10. Стороны треугольника относятся как 13:17:21. Каким является
такой треугольник?
1) тупоугольный	2) остроугольный
3) равносторонний	4) равнобедренный
АН. По данному чертежу
уравнение окружности.
1)	(х + 3)2 + (у + 3)2 =Зх/2
2)	(х + 3)2+ (у + 3)2 =16
3)	(х-3)2+(у-3)2 =4
4)	(х-3)2 +(у-3)2 =16
А12. В прямоугольном треугольнике MNK
(Z#=90°) из вершины прямого угла
проведена высота NH, Z.K = 3Q°,
КН = Зл/з см. Найдите МН.
1) 1 см
3) 4^3 см
2) Зл/З см
4) >/з см
А13. По данному чертежу найдите радиус
окружности, описанной около треугольника.
\/з	3
1) —	2) -
3	4
3) 7з	4) 3
А14. Высоты параллелограмма равны 5 и 10, периметр 120. Найдите
площадь параллелограмма.
1) 400	2) 25	3) 200	4) 100
34
A15. Хорда окружности длиной 6 отсекает от окружности дугу в 60°.
Найдите площадь кругового сектора, ограниченного данной дугой.
1) 6л-	2) ЗЯ-	3) л	4) у
А16. В окружность с центром О и радиусом 3 см
вписан квадрат ABCD. Найдите площадь
треугольника AMD, где М- середина OD.
1) 2,25 см2 2) 2,5 см2
3) 2,75 см2 4) 3 см2
А17. В А АВС точка D делит сторону АС так,
что AD : DC= 2:3. Выразите вектор BD
через векторы В А и ВС.
—	_	3— 2 —
1)	2АВ + ЗВС	2) —ВА +—ВС
5	5
2—	3—	3— 2 —
3)	-АВ—ВС 4) —АВ+—ВС
5	5	5	5
А18. Найдите величину угла АВС треугольника с вершинами А (30; 43),
В (26; 45), С (25; 48).
1) 45°	2) 30°	3) 135°	4) 150°
А19. В	прямоугольный треугольник вписана
окружность. Точка касания делит гипотенузу
на отрезки 2 см и 3 см. Найдите радиус
окружности.
1) 0,5 см 2) 1 см
3) 2 см	4) 3 см
А20. Найдите ординату точки К, лежащей на прямой АВ, если известно,
что А (- 1; - 6), В (3; 2) и абсцисса точки К равна 21.
1) - 12,5	2) 12,5	3)-38	4) 38
35
Часть В
Ответы заданий части В запишите на бланке ответов рядом с
номером задания (В1-В4), начиная с первого окошка. Ответом может
быть только число. Каждую цифру числа, запятую и знак минус
(если число отрицательное) пишите в отдельном окошке по
приведённым образцам. При вычислениях, число я считайте
равным 3,14.
В1.	Точки А и В - середины диагоналей трапеции KPNM. Найдите длину
меньшего основания PN, если АВ = 5 и КМ= 16.
В2.	Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Р. Отрезок АР на
3 см больше BP, CD = 7 см, СР = 2 см. Найдите длину отрезка АР.
ВЗ.	Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный
треугольник, если радиус окружности, описанной около него, 2,5 см,
а площадь треугольника 6 см2.
В4.	В параллелограмме ABCD точка Е -
середина стороны AD, BEL АС,
АВ = 5, ВС= 2л/13. Найдите площадь
параллелограмма.
36
Разбор заданий теста № 7
Савинцева Н.В., методист Федерального центра тестирования
Часть А
А1. Найдите тень от столба высотой 5,2 м, если мачта высотой 26 м дает
тень в 13 м.
1) 10,4 м 2) 2,6 м	3) 26 м	4) 65 м
Решение.
Построим чертеж по условию задачи. На
чертеже изображена мачта - ВС и столб -
DK. Прямоугольные треугольники AKD и
А СВ подобны по первому признаку
[ХА -общий; Z-K = Z-C = 90°). Из подобия
треугольников следует:
АК _АС
~DK ~BC'
13-5,2
АК =----— = 2,6 (м).
26
Ответ: № 2.
А2. По данному чертежу найдите величину
угла BCD.
1)	120°
2)	80°
3)	60°
4)	100°
Решение.
1)	Прямые АВ и DC параллельны, по признаку равенства накрест
лежащих углов [z.D = Z.A = 120°).
2)	По свойству параллельных прямых Z.ABC и Z.BCD -
односторонние углы, сумма которых равна 180°, Z.ABC = 100° (как
вертикальный к данному на чертеже) и Z.BCD = 180° - 100° = 80°.
Ответ: № 2.
37
АЗ. Биссектриса равнобедренного треугольника,
проведенная из угла при вершине, равна
3 см, а угол при его основании - 45°.
Найдите площадь треугольника.
1) 9 см2	2) 12 см2
3)	18 см2 4) 27 см2
Решение.
Биссектриса данного на чертеже
равнобедренного треугольника делит его
на два равных прямоугольных
треугольника. Из &ADB найдем AD\
AD = 3, т.к. прямоугольный треугольник
равнобедренный.
1 ,
S&=-ah = ADBD, 5Д =3-3 = 9 (см2).
Ответ: № 1.
А4. Один из смежных углов в 4 раза больше другого. Найдите градусную
меру угла между биссектрисой острого угла и общей стороной.
1) 18°	2) 22°30'	3) 36°	4) 72°
Решение.
Построим чертеж по условию задачи.	О'
Пусть Z ABD = 4х, тогда Z DBC = х.	S'
Составим уравнение.	_________с
4х + х = 180° (по свойству смежных углов), А В
х= 36°. ВК - биссектриса угла DBC, по ее свойству
Z.BKC= 36°: 2= 18°.
Ответ: № 1.
38
А5. В параллелограмме большая сторона
равна 30 см, а биссектриса острого
угла делит эту сторону на отрезки,
длины которых относятся как 2:3,
считая от вершины тупого угла.
Найдите периметр параллелограмма.
1) 84 см
3) 90 см
2) 96 см
4) 80 см
Решение.
По условию задачи большая сторона
параллелограмма 30 см делится
биссектрисой острого угла на отрезки,
длины которых относятся как 2:3,
тогда 30 : 5 = 6 (см),	6 -2 = 12 (см),
6 -3 = 18 (см). Боковая сторона параллелограмма равна 12 см (по
свойству равнобедренного треугольника). Найдем периметр
параллелограмма:
(30 + 12)-2 = 84 (см).
Ответ: № 1.
А6. Прямая, параллельная основанию
треугольника, делит его площадь пополам.
Отрезок этой прямой, заключенный между
сторонами треугольника, равен 18 см.
Найдите длину основания треугольника.
1) 9^2 см 2) 18>/2 см
3) 36 см	4) 72 см
Решение.
Треугольники, изображенные на чертеже
будут подобны по трем углам. Тогда:
—	= к2, к2 =2, к = Л.
Sx
Из подобия треугольников следует:
—	= >/2, х = 18-72 (см).
18
Ответ: № 2.
39
А7. Вершины ДЛВС лежат на окружности с
центром О, /ВАС = 80°, <>ЛС=110о. Найдите
величину угла ВОА.
1) 90°
2) 45°
3) 85°
4) 170°
Решение.
Найдем градусную меру дуги ВС:
ВС = 2/ВАС,
^ВС=2- 80°= 160°.
Так как ВС +<У СА + ВА = 360°, то
^ВА = 360° - (160° + 110°) = 90°.
/ВОА - центральный угол, опирается на дугу В А, тогда
/ВОА =90°.
Ответ: № 1.
А8. Найдите длину вектора АВ, если заданы точки Л(~3;-1) и
В (7; - 2).
1) Viol 2) 5	3) 2	4) л/5
Решение.
Найдем координаты вектора АВ по координатам заданных точек:
АВ (7 + 3; - 2 + 1), АВ (10; - 1).	_
По формуле вычислим длину вектора АВ:
7io2+(-i)2 = VioT.
Ответ: № 1.
А9. По данному чертежу найдите длину дуги ВС.
>т
211
3) —
5
4) —
2
40
Решение.
Прямая АС - касательная к окружности, тогда
&АСО - прямоугольный (т.к. COLAC).
Найдем катет СО - радиус окружности:
о СО	о г
tg60°=—?=-, C(9 = tg60 «5/3=3.
>/3
Длина дуги ВС равна:
лга тг-3 150 5лг
/ =----о, / =----------= —•
180	180	2
Ответ: № 4.
А10. Стороны треугольника относятся как 6 : 18 : 19. Каким является такой
треугольник?
1) тупоугольный	2) прямоугольный
3)	равносторонний	4) равнобедренный
Решение.
Определим вид треугольника по теореме косинусов:
2 д2 2
-	-	а —о -с
сг = b +с - 2bc cos а, cos а =--------,
-2Ьс
361-36-324	1
cosa =---------=----
-618	108
Так как cosa<0, то этот угол в треугольнике тупой, значит
треугольник тупоугольный.
Ответ: № 1.
А11. По данному чертежу определите 1 ' . j _' ; . i > i [„ „к.
уравнение окружности.
1)	(х + 3)2+(^ + 3)2=3>/2
2)	(х + 3)2 +(? + 3)2 =16
3)	(х-3)2+(^-3)2 =4
4)	(х-3)2 +(.у-3)2 =16
41
Решение.
По данному чертежу находим координаты центра окружности О (3; 3)
и радиус - 4.
Этим условиям соответствует уравнение:
(х-3)2+(_у-3)2 =16.
Ответ: № 4.
А12. В прямоугольном &АВС (ZC= 90°) из
вершины прямого угла проведена высота
CH, Z.B =30°, АН =2. Найдите гипотенузу
\АВС.
1)	8
2)	8л/з
3)	1,5
4)	6
Решение.
Из прямоугольного треугольника АНС, в
котором Z.A =60° найдем гипотенузу АС:
АС = 2 : cos 60° = 2-2 = 4, из прямоуголь-
ного треугольника АСВ найдем
гипотенузу АВ: АВ = АС • 2 = 4 • 2 = 8.
Ответ: № 1.
Решение.
Синус угла С найдем по теореме синусов:
6-V2
5	6	6 sin 45°	“V"
------ =	, sinC =	, sinC = —-—
sin 45 sin С-------------5----5
Ответ: № 2.
42
A14. Периметр ромба равен 52 см, тупой угол 150°. Найдите площадь
ромба.
1)84,5 см2 2) 338 см2 3) см2 4) 169 см2
Решение.
Вычислим площадь ромба по формуле	У *
5 = a2sina, где а = 52 : 4 = 13 (см),
1
sina = sin30° = —,
2
о 1	169	?
S = 132 •- =-= 84,5 (см2).
2	2
Ответ: № 1.
А15. Из круга диаметром 10 см вырезан сектор с дугой 36°. Найдите
площадь оставшейся части круга.
1) 2,5л-	2) 22,5л-	3) 90л-	4) Юл*
Решение.
Площадь оставшейся части круга вычислим по
формуле:
2 nR2a 360л-/?2-л-Т?2а л-/?2(360-а)
71 Збо” 360	”	360	’
Радиус круга равен 5 см, т.к. сектор с дугой 36°, то
а- 36°, тогда:
л--25 (360-36)
5 =------= 22,5л-.
360
Ответ: № 2.
43
Решение.
Так как площадь вписанного квадрата 4 см2, то сторона квадрата
равна 2 см. Диагональ квадрата равна 2^2 (см). Радиус описанной
окружности составляет половины диагонали квадрата - 41 (см).
С = 2tcR, С = 2^ = 2^ (см).
Ответ: № 3.
А17. В &NOM точка С делит сторону MN
так, что МС: CN = 5:7. Выразите
вектор ОС через векторы ОМ и ON.
1)
2)
SON+7ОМ
5   7 .
—ON + —ОМ
12	12
5 —. 7------.
3) — ON----ОМ
12	12
7 —. 5------.
4) — ON + — ОМ
12	12
Ответ: № 2.
А18. Найдите величину угла АВС треугольника с вершинами Л (30; 43),
В (26; 45), С (25; 48).
1) 45°	2) 30°	3) 135°	4) 150°
Решение.
Вычислим величину угла АВС по формуле:
ВА-ИС
COS ОС — I т I I , I .
ММ _	_
Координаты векторов ВА (4; - 2) и ВС (- 1; 3), тогда
-10	-10	V2
cosa = ---—т== - —f= =----.
л/16 + 4 V10 V20	2
Ответ: № 3.
44
A19. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника,
один из катетов которого 5 см, а радиус вписанной в
него окружности 2 см.
1) 10 см	2) 13 см
3)7 см	4) 103 см
Решение.
Отметим на чертеже условия задачи, &CDO=&CNO
(как прямоугольные по острому углу и общей
стороне), тогда DC = CN. Обозначим эти отрезки х,
тогда ВС2 = ВА2 + АС2 (по т. Пифагора),
(3 + х)2 = 25 + (2 + х)2, 2х = 20, х=10(см).
Гипотенуза треугольника (ВС) равна 13 см.
Ответ: № 2.
А20. Найдите ординату точки К, лежащей на прямой АВ, если известно,
что А (- 1; - 6), В (3; 2) и абсцисса точки К равна 21.
1) - 12,5	2) 12,5	3) - 38	4) 38
Решение.
Уравнение прямой АВ имеет вид ах + by + с = 0, т.к. точки А и В лежат
на прямой АВ, то их координаты удовлетворяют этому уравнению:
-а-66 + с = 0, За + 2Ь + с = 0, тогда а = -0,5с и b = ±с.
Уравнение -2х + >> + 4 = 0 - уравнение прямой АВ. Ордината точки К
равна ^ = 2х-4, ^ = 2-21-4 = 38.
Ответ: № 4.
45
Часть В
Bl.	Точки Ми N- середины диагоналей трапеции ABCD. Найдите длину
отрезка MN, если основания трапеции AD и ВС равны 10 и 4
соответственно.
Решение.
Отрезок MN соединяет середины
диагоналей трапеции ABCD, тогда NO -
средняя линия &АВС. NO = ~\Q = 5 (см),
W = |-4 = 2 (см), MN = 5-2 = 3 (cm).
Ответ: 3.
В2.	Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке F. Отрезок AF на
15 см больше BF, CD = 29 см, CF = 4 см. Найдите длину отрезка AF.
Решение.
Пусть BF = x, тогда AF = х + 15. По теореме о
произведении отрезков пересекающихся хорд
получаем:
х(х + 15) = 25-4, тогда х2 +15х-100 = 0,
Xj=-20 (не подходит по условию задачи), с
х2 = 5.
Длина отрезка AF = 5 +15 = 20 (см).
В
Ответ: 20.
ВЗ.	Периметр прямоугольного треугольника 24 см, а радиус окружности,
описанной около него, 5 см. Найдите радиус окружности, вписанной
в треугольник.
Решение.
Обозначим данные задачи на чертеже. Из
равенства прямоугольных треугольников
{\РОС = \КОС\ \BLO = \BKO\ введя
обозначения: /СС = х; Л7? = 10-х; В£ = 10-х;
LA = г; АР = г, PC = х, составим уравнение
для нахождения периметра прямоугольного
треугольника:
(10-х + х) + (г + х) + (г + 10-х) = 24,	2г = 4,
г = 2.
Ответ: 2.
46
В4.	Высоты остроугольного Л АВС пересекаются в
точке О, АВ = ВС. Найдите сторону ВС, если
АО = 5, а длина высоты AD = 8.
Решение.
Из подобия треугольников (&АОЕ ~ &ACD -
как прямоугольные с равным острым углом)
следует:
Л(9 АС
---=----, тогда, если обозначить АС = х, то
АЕ AD
АЕ = ЕС = —, получим — = —, x = V§0.
2	£ 8
2
По теореме Пифагора, из &ADC найдем DC:
DC = 5/80 - 64 = 4 (см).
Из подобия треугольников (&ADC ~ & ВЕС - как прямоугольные с
равным острым углом) получаем:
^•780
ВС АС в_ ЕС-АС _	2	80 1Л , .
---= ,тогда ВС —----------, ВС = —------= — = 10 (см).
ЕС DC	DC	4	8
Ответ: 10.
47
ПРАВИЛЬНЫЕ ОТВЕТЫ К ТЕСТАМ
ПО ГЕОМЕТРИИ (9 класс)
№ вар.	Номера заданий									
	А1	А2	АЗ	А4	А5	А6	А7	А8	А9	А10
1	3	3	2	4	4	3	2	3	2	2
2	1	3	2	2	3	4	2	3	3	2
3	4	2	4	4	4	4	1	1	1	3
4	1	3	2	4	1	1	3	3	1	4
5	3	2	1	2	3	1	4	4	1	1
6	2	3	2	2	3	1	2	4	1	2
№ вар.	Номера заданий									
	АП	А12	А13	А14	А15	А16	А17	А18	А19	А20
1	4	1	4	4	2	1	1	3	4	4
2	4	2	1	1	1	4	3	3	2	4
3	4	3	2	3	4	4	3	3	3	4
4	4	2	3	2	1	3	1	3	1	4
5	4	4	1	3	3	2	1	3	3	4
6	4	4	3	3	1	1	2	3	2	4
№ вар.	Номера заданий			
	В1	В2	ВЗ	В4
1	14	13	2,5	. 20
2	10	2	5	9
3	4	2	10	40
4	13	8	1	6
5	3	14	2,5	160
6	6	5	1	36
Для самостоятельной оценки уровня своих знаний Вам необходимо
каждое верно выполненное задание оценить в 1 балл, неверно
выполненное - в 0 баллов, просуммировать набранные баллы и
произвести оценку, воспользовавшись приведенными ниже критериями:
от 0 до 6 баллов - «2»
от 7 до 12 баллов - «3»
от 13 до 18 баллов - «4»
более 18 баллов - «5»
48
СТАТИСТИКА ОТВЕТОВ УЧАЩИХСЯ К ТЕСТАМ
ПО ГЕОМЕТРИИ (9 класс)
Тест № 1
Число участников - 1586
Номер задания	Процент тестируемых, давших верный ответ
А1	66%
А2	85%
АЗ	63%
А4	51%
А5	53%
А6	82%
А7	51%
А8	69%
А9	52%
А10	73%
АП	60%
А12	80%
А13	33%
А14	49%
А15	69%
А16	35%
А17	38%
А18	.43%
А19	29%
А20	46%
Номер задания	Процент тестируемых, давших верный ответ
В1	22%
В2	41%
ВЗ	13%
В4	14%
49
Тест № 2
Число участников - 1533
Номер задания	Процент тестируемых, давших верный ответ
А1	83%
А2	84%
АЗ	50%
А4	53%
А5	64%
А6	38%
А7	53%
А8	63%
А9	71%
А10	54%
АП	62%
А12	49%
А13	76%
А14	65%
А15	45%
А16	60%
А17	47%
А18	45%
А19	40%
А20	44%
Номер задания	Процент тестируемых, давших верный ответ
В1	19%
В2	27%
ВЗ	16%
В4	10%
50
Тест № 3
Число участников —1485
Номер задания	Процент тестируемых, давших верный ответ
А1	61%
А2	81%
АЗ	65%
А4	57%
А5	44%
А6	23%
А7	74%
А8	65%
А9	30%
А10	44%
АП	60%
А12	67%
А13	60%
А14	52%
А15	56%
А16	45%
А17	40%
А18	47%
А19	38%
А20	44%
Номер задания	Процент тестируемых, давших верный ответ
В1	26%
В2	26%
ВЗ	15%
В4	8%
51
Тест № 4
Число участников —1471
Номер задания	Процент тестируемых, давших верный ответ
А1	88%
А2	76% .
АЗ	64%
А4	41%
А5	72%
А6	41%
А7	46%
А8	58%
А9	52%
А10	37%
АП	60%
А12	66%
А13	39%
А14	55%
А15	58%
А16	58%
А17	25%
А18	42%
А19	28%
А20	42%
Номер задания	Процент тестируемых, давших верный ответ
В1	20%
В2	25%
вз	19%
В4	9%
52
Тест № 5
Число участников —1473
Номер задания	Процент тестируемых, давших верный ответ
А1	73%
А2	83%
АЗ	69%
А4	24%
А5	46%
А6	27%
А7	72%
А8	61%
А9	74%
А10	62%
АП	61%
А12	49%
А13	70%
А14	52%
А15	47%
А16	38%
А17	42%
А18	41%
А19	36%
А20	43%
Номер задания	Процент тестируемых, давших верный ответ
В1	36%
В2	' 23%
ВЗ	12%
В4	6%
53
Тест № 6
Число участников —1614
Номер задания	Процент тестируемых, давших верный ответ
А1	85%
А2	76%
АЗ	62%
А4	42%
А5	50%
А6	32%
А7	50%
А8	64%
А9	43%
А10	59%
АН	59%
А12	60%
А13	54%
А14	51%
А15	51%
А16	45%
А17	43%
А18	44%
А19	66%
А20	44%
Номер задания	Процент тестируемых, давших верный ответ
В1	14%
В2	42%
вз	21%
В4	4%
54
Анализ типичных ошибок, допущенных при выполнении
итоговых тестов по геометрии (9 класс)
Савинцева Н.В., методист Федерального центра тестирования
Материалы тестирования по каждому варианту содержали 24 задания,
распределенных на две части (часть А и часть В), которые различались
формой включенных в них заданий и уровнем сложности. 20 заданий части
А (в закрытой форме с выбором одного верного ответа из четырех
предложенных) контролировали в основном базовые знания и умения,
применяемые в знакомой ситуации; 4 задания части В (в открытой форме с
ответом в виде целого числа или десятичной дроби) контролировали
применение знаний и умений в частично измененной или в незнакомой
ситуации, с использованием самостоятельно разработанных способов
решения задач.
Задания теста проверяли усвоение содержания курса геометрии по
основным разделам:
-	начальные геометрические сведения;
-	параллельные прямые;
-	треугольники;
-	четырехугольники;
-	окружность и круг
-	векторы, метод координат.
Анализ статистики контрольно-измерительных материалов по этому
тесту позволяет выделить типичные ошибки, допущенные учащимися при
выполнении работы.
Задание А1 проверяло решение практической задачи по теме
«Пропорция».
Верно выполнили задание около 80% учащихся, почти 10% ошибок
было допущено в ходе решения задачи при составлении пропорции для
55
нахождения длины неизвестных отрезков и столько же ошибок было
связано с вычислениями.
В задании А2 нужно было, пользуясь данными готового чертежа,
вычислить величины неизвестных углов, используя признаки и свойства
параллельности прямых.
Результаты выполнения этого задания показали, что тему усвоили
более 80% учащихся, ошибки при выполнении задания были связаны с
невнимательностью учащихся и с вычислениями.
Задание АЗ - по теме «Равнобедренный треугольник и его свойства».
С этим заданием справились почти 70% учащихся. При вычислении
площади равнобедренного треугольника по углу при основании и данной
высоте (или медиане, проведенной к боковой стороне) основные ошибки,
около 20%, были допущены в вычислении сторон прямоугольных
треугольников на основе соответствующих отношений, с применением
формулы для вычисления площадей треугольников было связано 10%
ошибок.
В задании А4 проверялась реализация межпредметных связей курсов
алгебры и геометрии. При выполнении задания нужно было составить
уравнение на основе свойства суммы углов треугольника, используя
зависимость между их величинами.
Справились с заданием только половина учащихся.
Задания А5 проверяло знание свойств параллелограмма.
Показатели выполнения задания - около 60%. Среди ошибок можно
выделить следующие: вычислительные - около 10%, в ходе решения
задачи - 25%.
В задании А6 необходимо было определить подобные треугольники,
применяя признаки, и вычислить площадь одного из них.
Справились с заданием только 40% учащихся. Почти 40% ошибок
связано с определением коэффициента подобия в формуле вычисления
56
площадей подобных фигур и почти 20% - с вычислением длин сторон в
подобных треугольниках и составлением пропорции по условию задачи.
Задание А7 проверяло умение применять свойства центральных и
вписанных углов в окружность.
При выполнении задания почти 40% учащихся допустили ошибки.
Среди них: на применение свойств центральных и вписанных углов - 25%,
в ходе решения задачи - 10%.
В задании А8 проверялось умение вычислять длину вектора по
известным координатам заданных точек.
Около 35% учащихся допустили ошибки при выполнении задания.
Среди них основные ошибки были связаны с применением формулы для
вычисления длины вектора. На их долю пришлось 20%. Вычислительные
ошибки составили 10%.
Для решения задания А9 нужно было применить свойства
касательных к окружности, соотношения в прямоугольных треугольниках
и признаки равенства прямоугольных треугольников.
Выполнили задание только половина учащихся.
Задание А10 проверяло применение теоремы косинусов.
Справились с заданием почти 56% учащихся. Анализируя
допущенные ошибки, можно сделать вывод, что часто ответ в этом
задании выбирался наугад. Ошибки, допущенные при вычислении
косинуса тупого угла, становятся уже традиционными.
В задании АП нужно было по данным готового чертежа определить
уравнение окружности.
Результаты выполнения задания показали, что с заданием справились
почти 60% учащихся, однако, почти 10% учащихся ошибаются в
определении радиуса окружности, 20% - не умеют записывать в
уравнении окружности координаты центра окружности.
57
В задании А12 нужно было вычислить длины пропорциональных
отрезков прямоугольного треугольника на основе применения признаков
подобия и соотношений в прямоугольном треугольнике.
В задачах такого типа ключевым моментом является верное
определение соответствующих углов и сторон в подобных треугольниках и
верное составление пропорции. При решении прямоугольных
треугольников допустили ошибки в определении соответствующих
отношений сторон почти 20% учащихся, около 15% - ошиблись в
определении синуса, косинуса и тангенса необходимых углов. Верно
выполнили задание только 60%.
В задании А13 необходимо было найти синус неизвестного угла
треугольника на основе применения теоремы синусов.
С решением задачи справилось почти 60% учащихся. Основные
ошибки были допущены при вычислении синуса тупого угла и при
преобразовании числового выражения, содержащего арифметические
корни.
Задание А14 проверяло умение вычислять по известным формулам
площади параллелограмма (ромба, трапеции, треугольника).
Верно выполнили задание только половина учащихся. Почти четверть
учащихся допустили вычислительные ошибки при выполнении этого
задания и около 16% - ошиблись в применении формул для вычисления
площадей.
Задание А15 - по теме «Площадь кругового сектора, сегмента».
Задача сложная, многошаговая с ней справились только половина
учащихся.
В задании А16 нужно было применить свойства окружности,
вписанной в правильный треугольник (или квадрат, или правильный .
шестиугольник), или описанной около них.
58
При выполнении этого задания необходимо было применить
основные формулы - вычисления длины окружности или площади круга,
площади или периметра многоугольников и т.д. С заданием справились
лишь 47% учащихся. Наибольшую трудность вызвали задания, в которых
рассматривался шестиугольник.
Задание А17 - по теме «Сложение и вычитание векторов. Умножение
вектора на число».
С этим заданием справились только 40% тестируемых учащихся. Эта
тема является традиционно трудной для учащихся, и даже наличие
готового чертежа не улучшает ее результаты. Почти четвертая часть
учащихся путают сумму и разность векторов, около 30% - ошибаются в
составлении выражения с векторами.
В задании А18 проверялось применение метода координат.
Основные ошибки при выполнении этого задания были связаны с
вычислением косинуса тупого угла - почти 20%. Остальные ошибки
связаны с вычислениями. Верно выполнили задание только 45% учащихся.
В задании А19 проверялись знания свойств вписанных фигур в
прямоугольный треугольник.
С заданием справились около 45% учащихся.
Выполнение задания А20, в котором нужно было вычислить
ординату точки - середины отрезка, показало те же результаты, что и
задание А18 - 45%.
При выполнении задания учащиеся допустили вычислительные
ошибки: при определении знака координаты точки - 10%, при
определении хода решения задачи - 20%.
Следующие задания теста (Bl - В4) проверяли умения учащихся
применять изученный материал при решении комбинированных
многошаговых задач. Лучшие результаты выполнения показало
59
задание В2 - почти 30%. В задании проверялось умение применять
теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд окружности.
При решении задания В1 нужно было применить свойства средней
линии треугольника и трапеции. Только пятая часть учащихся справились
с заданием.
Примерно около 16% учащихся выполнили задание ВЗ, проверяющее
умения находить неизвестный радиус окружности, вписанной в
треугольник или описанной около него.
С заданием В4 на равенство треугольников, подобие треугольников
справилось лишь 8% учащихся. Задача многошаговая, требовала
применения аппарата алгебры и естественно вызвала трудность у
учащихся.
На основании полученных результатов выполнения тестов можно
сделать вывод, что основная часть ошибок, допущенных учащимися в
работе, была связана с выполнением заданий по разделу «Векторы. Метод
координат»; с проверкой умений вычислять площади основных
четырехугольников, элементы вписанных или описанных в окружность
многоугольников, синус тупого угла в треугольнике; с применением
алгебраических методов при решении геометрически задач.
60
ДЛЯ ЗАМЕТОК
61
Подписано в печать 20.08.07. Формат 60 х 90 */|б.
Тираж 8000. Печать офсетная.
Отпечатано в ОАО «Московская типография № 6»
115088, г. Москва, ул. Южнопортовая, д. 24
Заказ №911.