PRINCIPLES
O F
MATHEMATICAL
ANALYSIS
Second Edition
WALTER RUDIN
Department of Mathematics
University of Wisconsin
McGRAW-HlLL BOOK COMPANY
NEW YORK «SAN FRANCISCO. TORONTO LONDON
19 64
У. РУДИН
ОСНОВЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
В. П. ХАВИНА
Издание второе, стереотипное
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1976
УДК 517.1
Книга представляет собой современный курс
математического анализа, написанный известным
американским ученым. По стилю и содержанию она
отличается от имеющихся традиционных курсов.
Помимо обычно включаемого материала, книга
содержит основы теории метрических пространств,
теорию интегрирования дифференциальных форм
на поверхностях, теорию интеграла и т. д.
В конце каждой главы приводятся удачно
подобранные упражнения (общим числом около 200).
Среди них есть как простые примеры, иллюстрирую-
щие теорию, так и трудные задачи, существенно
дополняющие основной текст книги.
Книга У. Рудина может служить учебным
пособием для студентов математических и физиче-
ских факультетов университетов, педагогических
институтов и некоторых втузов. Она будет полезна
аспирантам и преподавателям этих учебных заве-
дений, а также инженерам, желающим расширить
свои знания по математическому анализу.
Редакция литературы по математическим наукам
20203-009
Р д4|	7б~ 09-76	@ Перевод на русский язык, «Мир», 1976
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Книга известного американского математика У. Рудина облада"
ет рядом достоинств, выделяющих ее среди руководств по математи-
ческому анализу. Ее отличает прежде всего систематическое исполь-
зование общих точек зрения и абстрактных идей уже при изложении
основ дифференциального и интегрального исчисления. Так, напри-
мер, простейшим понятиям теории пределов автор предпосылает
определение метрического пространства.
Особенно интересной и удачной нам представляется глава 9,
посвященная интегральному и дифференциальному исчислению функ-
ций многих переменных. Здесь автору удалось решить ряд методи-
ческих проблем, с которыми приходится сталкиваться каждому, кто
преподает анализ на математических факультетах университетов.
В этой главе приводится очень короткое и изящное доказатель-
ство теоремы о локальной обратимости гладких отображений евкли-
довых пространств, доказательство теоремы о неявной функции, ко-
торая сопровождается интересными геометрическими приложения-
ми. Затем приводится остроумное доказательство теоремы о замене
переменных в кратном интеграле. Оно основано на локальном пред-
ставлении гладкого отображения с ненулевым якобианом в виде
суперпозиции нескольких отображений, оставляющих неизменными
все координаты, кроме одной. В этой же главе изложено исчисление
дифференциальных форм и формула Стокса (в ее современном виде).
Стиль книги вполне соответствует ее названию: главное внимание
уделяется именно основам, а не деталям. Некоторые важные сведе-
ния (такие, скажем, как теорема Фубини, теория несобственных ин-
тегралов и интегралов, зависящих от параметра) либо вовсе не сооб-
щаются, либо составляют содержание упражнений.
Книга написана очень сжато. Утверждения, именуемые в тра-
диционных курсах теоремами и снабжаемые не очень короткими
доказательствами, упоминаются здесь порой вскользь, как нечто
само собой разумеющееся, или даже не упоминаются вовсе (но не-
явно используются). В доказательствах, всегда аккуратных и без-
упречных по существу, порой встречаются вольности речи.
л	Отперев о дчича 
Вее это должно служить известным предостережением для сту-
дента. впервые приступающего к изучению анализа. В го же время
специалист, искушенный в анализе, будет справедливо рассматри-
вать особенности книги, перечисленные в предыдущем абзаце, как
ее достоинства: сжатость изложения избавит его от повторения стан-
дартных рассуждений, которыми он давно овладел, а некоторые воль
пости речи приятно разнообразят стиль.
Книга У. Рудина будет служить полезным пособием для всех, кто
изучает математический анализ или преподает его.
В. Хавин
сентябрь 1975
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга задумана как руководство по курсу анализа, который
обычно проходят студенты в конце первого этапа обучения или
в первый год второго этапа г).
Основное различие между настоящим и первым (вышедшим
10 лет назад) изданием состоит в том, что теперь гораздо более
подробно изложена теория функций многих переменных.
Это изменение сделано в ответ на многочисленные пожелания
читателей. Глава 9 теперь начинается с рассмотрения некоторых
основных понятий, относящихся к векторным пространствам;
затем определяются производные отображений как линейные ото-
бражения; далее формулируются и доказываются (без использо-
вания определителей) теорема об обратной функции и некоторые ее
важнейшие следствия; устанавливаются свойства дифференциальных
форм (в связи с отображениями пространства); глава заканчивается
довольно общим вариантом теоремы Стокса — п-мерным аналогом
основной теоремы интегрального исчисления.
В связи с этим мы включили теперь в главы 2 и 4 больше све-
дений об евклидовых пространствах и о метрических пространствах,
чем раньше. Однако эта дополнительная общность не вызывает
дополнительных трудностей. Теоремы, изложенные здесь в этой
новой постановке, не труднее, чем соответствующие теоремы на
прямой или на плоскости.
Остальные главы оставлены без значительных изменений, но
многое переписано заново и некоторые детали (как надеется автор)
улучшены.
Первая часть главы 1, в которой с помощью сечений в множестве
рациональных чисел построены вещественные числа, может быть
при первом чтении опущена; если поступить так, то для логиче-
ского обоснования остальной части книги можно принять за посту-
!) Различие между студентами первого этапа обучения (undergraduate
students) и студентами второго этапа (graduate students) в университетах США
соответствует примерно различию между нашими студентами младших курсов
и студентами старших курсов, уже избравшими кафедру и имеющими науч-
ного руководителя.— Прим. ред.
8
Предисловие
лат теорему Дедекинда. Главы с первой по седьмую следует изу-
чать в том порядке, в каком они написаны, тогда как три последние
главы почти не зависят друг от друга.
Число задач возросло, теперь их около 200. Некоторые из них
не требуют почти ничего, кроме непосредственного применения
результатов, полученных в тексте; другие рассчитаны на изобрета-
тельность лучших студентов. Большинство трудных задач снабжено
указаниями.
Уолтер Рудин
ГЛАВА
СИСТЕМЫ ВЕЩЕСТВЕННЫХ
И КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Введение
Изучение основных понятий анализа (таких, как сходимость,
непрерывность, дифференцирование и интегрирование) должно
основываться на точно определенном понятии числа. Мы, однако,
не будем вступать в обсуждение аксиом, которым подчиняется
арифметика целых чисел, а будем исходить из системы рацио-
нальных чисел.
Мы предполагаем, что читатель знаком с арифметикой рацио-
нальных чисел (т. е. чисел вида nhn, где п и т — целые, т#=0),
и только напомним основные свойства этих чисел. Сумма, раз-
ность, произведение и частное любых двух рациональных чисел —
рациональное число (деление на нуль исключается); выполняются
законы коммутативности
р+?=р+р, pq = qp,
законы ассоциативности
(р4-<?) + г‘=р + (7 + г),	(pq)r = p(qr)
к закон дистрибутивности
(р-Н)г = рг + <7С
определено отношение <, задающее порядок в множестве рацио-
нальных чисел. Отношение < обладает тем свойством, что для
любых рациональных чисел р и q либо p=^q, либо p<Zq, либо
q<.p', оно транзитивно, т. е. если р < q и £/<л то р<г. Кроме
того, р 4- q > 0 и р<7>0, если р>0 и р>0.
Хорошо известно, что система рациональных чисел обладает
многими недостатками. Например, не существует рационального
числа р, такого, что р2= 2 (мы это вскоре докажем). Это делает
необходимым введение так называемых «иррациональных чисел»,
которые часто записываются в виде бесконечных десятичных
разложений, причем соответствующие конечные десятичные дроби
считаются их приближениями. Так, последовательность
1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;
10
Гл. 1. Системы вещественных и комплексных чисел
«стремится к |/2». Но до тех пор, пока мы не определили ирра-
циональное число У2, остается открытым вопрос: к чему же
все-таки стремится эта последовательность?
Главная цель этой главы и состоит в том, чтобы дать необ-
ходимое определение.
1.1. Пример. Сначала покажем, что никакое рациональное
число р не удовлетворяет уравнению
(1)	/62.
Действительно, предположим, что это не так. Тогда суще-
ствует удовлетворяющее уравнению (1) число р = т1'п, где tn, п--
целые, причем хотя бы одно из них нечетно.
Подставляя в уравнение (1), получаем
(2)	т2 = 2н2.
Это показывает, что т2— четное число. Значит, т четно (если бы т
было нечетным, то и т2 было бы нечетным) и, следовательно, т2
делится на 4. Поэтому правая часть равенства (2) делится на 4,
так что п2 четно, откуда следует, что и п четно.
Таким образом, предположение о том, что выполнено равен-
ство (1), заставляет нас заключить, что оба числа т, п—четные,
вопреки нашему выбору т и п. Значит, равенство (1) невозможно
при рациональном р.
Исследуем теперь подробнее эту ситуацию. Пусть А — мно-
жество всех положительных рациональных р, таких, что р2<У2,
и пусть множество В состоит из всех положительных рацио-
нальных р, таких, что р2>2. Мы покажем, что А не содержит
наибольшего числа, а В не содержит наименьшего.
Точнее, мы докажем, что для любого р из А можно найти
рациональное число q из А, такое, что p<.q, и для любого р
из В мы можем найти рациональное число q из В, такое, что q <ZP-
Пусть р принадлежит А. Тогда р2<2. Выберем рациональное h,
такое, что
0<Д<1 и
Положим q = p-[-h. Тогда р>р и
q2 = Рг+ (2р + h)h <р2 4- (2р 1) h < р2-|- (2 — р2) - 2,
так что q находится в А. Этим доказана первая часть нашего
утверждения.
Предположим теперь, что р принадлежит В. Тогда р2>2.
Положим
Дедекиндовы сечения
11
Тогда 0<<?<р и
Я* = р2-4р2-2) + (-^)2 > р2- (р2- 2) = 2,
гак что q принадлежит В.
1.2.	Замечание. Цель приведенного выше рассуждения—
показать, что в системе рациональных чисел имеются некоторые
пробелы, несмотря на то что между любыми двумя рациональ-
ными числами находится третье [ибо р < (р q)/2 < q, если р<Дд\.
Сейчас мы опишем предложенный Дедекиндом процесс, который
позволяет заполнить эти пробелы и приводит нас к веществен-
ным числам. Чтобы не увеличивать объема книги, мы не везде
будем проводить рассуждения во всех деталях. Полное изложе-
ние, начинающееся с целых чисел, можно найти в книге Ландау
«Основы анализа», где речь идет только об этой числовой системе.
1.3.	Обозначения. Если .4 — множество (элементами кото-
рого могут быть числа или любые другие объекты), то запись
х£А означает, что х принадлежит (или является элементом) А.
Если х не является элементом А, мы будем писать
Множество, не содержащее ни одного элемента, мы будем
называть пустым множеством. Если множество содержит хотя бы
О'Ши элемент, то оно называется непустым.
Дедекиндовы сечения
1.4.	Определение. Множество а рациональных чисел
называется сечением, если
(I)	а содержит хотя бы одно рациональное число, но не вся-
кое рациональное число;
(II)	для р£а и q<Zp (q—рациональное число) имеем q£a;
(III)	в а нет наибольшего числа.
В этом разделе мы будем употреблять буквы р, q, г, ... только
для обозначения рациональных чисел; сечения будут обозначаться
буквами а, (3, у, . .. (за исключением случая, о котором гово-
рится в определении 1.7).
1.5.	Теорема. Если р£а и q$a, то p<q.
Доказательство. Если рр а и р, то из (II) следует,
что q£ а.
Принимая во внимание эту теорему, элементы множества а
иногда называют нижними числами сечения а, а рациональные
числа, не принадлежащие а, называют верхними числами сечения а.
Пример 1.1 показывает, что не всегда существует наименьшее
верхнее число. Однако для некоторых сечений наименьшее верх-
нее число действительно существует.
12
Гл. 1. Системы вещественных и комплексных чисел
1.6.	Теорема. Пусть г — рациональное число . Пусть множе-
ство а состоит из всех рациональных чисел р, таких, что р<г.
Тогда а—сечение, а г—наименьшее верхнее число сечения а.
Доказательство. Ясно, что а удовлетворяет условиям
(I) и (II) определения 1.4. Что касается (III), то нужно лишь
заметить, что для любого р £ а мы имеем
поэтому (р 4- г)/2 £ а.
Далее, г^а. Поскольку неравенство per влечет за собой
включение р£а, то г — наименьшее верхнее число сечения о.
1.7.	Определение. Сечение, построенное в теореме 1.6,
называется рациональным сечением. Если мы захотим подчеркнуть,
что а есть рациональное сечение, связанное с числом г указанным
образом, то будем писать а = г*.
1.8.	Определение. Пусть а, р— сечения. Мы будем писать
а = р, если из соотношения р£а следует соотношение рСР,
а из следует q£a, т. е. если эти два множества тожде-
ственно совпадают. В противном случае мы будем писать ау=р.
Замечание. Это определение на первый взгляд кажется
излишним. Но равенство не всегда определяется как тождество.
Например, если р = а/b и q = c/d — рациональные числа (a, b, с, d—
целые), то p=---q по определению означает, что ad = be, но не обя-
зательно а = с и b=-d.
Введем теперь отношение порядка в множестве сечений.
1.9.	Определение. Пусть а и Р—сечения. Мы пишем
а< Р (или Р>а), если имеется рациональное число р, такое,
что р £ р и р $ а.
а<р означает, что а = р или а<р.
а>р означает, что р<1а.
Если а>0*, то мы будем говорить, что сечение а положительно,
если а>0*—мы будем говорить, что оно неотрицательно. Ана-
логичным образом, если а<0*, то а отрицательно; оно неполо-
жительно, если а < О*.
Мы, конечно, будем продолжать пользоваться символом <
для рациональных чисел, так что этот символ (временно) будет
нести двойную нагрузку. Однако из контекста всегда будет ясно,
какой смысл следует ему приписать.
1.10.	Теорема. Пусть а, р — сечения. Тогда либо и — р.
либо а<р, либо Р<.а.
Дедекиндовы сечения
13
Доказательство. Определения 1.8 и 1.9 ясно показывают,
что если а = р, то ни одно из двух других отношений не выпол-
нено. Чтобы показать, что отношения а<р и р<а исключают
друг друга, предположим, что оба эти отношения имеют место.
Поскольку а < р, имеется рациональное число р, такое, что
рер, р$а.
Поскольку р<а, имеется рациональное число q, такое, что
ре<х, <7$р.
По теореме 1.5 из того, что р£Р и q $ Р, следует, что q<Cp-
Так как неравенства p<Zq и q<Zp не могут одновременно выпол-
няться для рациональных чисел, мы пришли к противоречию.
До сих пор мы доказали, что из трех отношений может выпол-
няться самое большее одно. Предположим теперь, что а^=р.
Тогда два эти множества не совпадают тождественно; это зна-
чит, что либо а содержит рациональное р, не содержащееся в р,
и в этом случае Р<а, либо р содержит рациональное q, не со-
держащееся в а, и в этом случае а<р.
1.11.	Теорема. Пусть а,	у — сечения. Если <х<р ир<у,
то а <. у.
Доказательство. Поскольку а-<р, существует рацио-
нальное р, такое, что
рбР, р$а.
Поскольку Р < у, существует рациональное q, такое, что
9<Р-
Теперь заметим, что из соотношений р^р и <7 4 Р следует, что
р < q; последнее вместе с соотношением р а влечет за собой
q^a. Таким образом,
<7 Gy, q$a.
Это значит, что а<у.
Последние две теоремы показывают, что отношение < между
сечениями (определение 1.9) действительно обладает теми свой-
ствами, которые обычно связывают с понятием неравенства.
Теперь мы переходим к построению арифметики в множестве
сечений.
1.12.	Теорема. Пусть а, р — сечения. Пусть у—множе-
ство всех рациональных чисел г, таких, что r — p-\-q, где р £ а,
q £ р. Тогда у—сечение.
Доказательство. Мы покажем, что у удовлетворяет трем
условиям определения 1.4.
1 4 Гл. 1. Системы вещественных и комплексных: чисел
(I)	Ясно, что у непусто. Пусть s^a, Ц 0, s и t — рациональ-
ные числа. Тогда ,s- t>p + q при всех р£а, q £ 0, так что
sН -<<у. Значит, у содержит не все рациональные числа.
(II)	Пусть r£y, s<r, s— рациональное число. Тогда г--р £<?
при некоторых р£а, р£0. Выберем рациональное t так, что
s = t~\~q. Тогда t < р, значит, /£а. поэтому s£y.
(III)	Предположим, что г£у. Тогда r = p---q при некоторых
р£а, </£ 0. Существует рациональное s>p, такое, что s£a.
Значит, s4 губу и s-\-q>r, так что г не является наибольшим
рациональным числом в у.
1.13.	Определение. Сечение у, построенное в теореме
1.12. обозначается через a 4 0 и называется суммой а и 0.
(Замечание, сделанное после определения 1.9, относится также
и к символу -у.)
*
1.14.	Теорема. Пусть а, 0, у — сечения. Тогда
(а)	а + 0 =- 0 Т а;
(Ь)	(а 4-0)4-у —а 4 (0-i-y), так что скобки можно опускать,
не опасаясь двусмысленности;
(с)	а-0 0* —а.
Доказательство. Для построения а 4-0 нужно взять
множество всех рациональных чисел вида р-\- q (p£a, <у£0). Для
построения 0 -а вместо p + q нужно брать q + p. В силу закона
коммутативности для сложения рациональных чисел, а-~ 0 и 04 а—
тождественные сечения, и свойство (а) доказано.
Аналогичным образом закон ассоциативности для сложения
рациональных чисел влечет за собой равенство (Ь).
Чтобы доказать (с), выберем r£a4-0*. Тогда г = р4~Д
при некоторых р£а, qQO* (т. е. q с. 0). Значит, р \-q<Zp, так
что р т q£a и r£a.
Теперь пусть rga. Выберем рациональное число s'>r, такое,
что s£a. Положим q = r — $. Тогда р<0, д£0* и r=- s Р q, так
что г£а4-0*.
Таким образом, сечения а 4- 0* и а совпадают.
1.15.	Теорема. Пусть а —сечение, и пусть задано рацио-
нальное число г>0. Тогда существуют рациональные р, q, такие,
что pQa, q% a, q не является наименьшим из верхних чисел,
сечения а и q — р = г.
Доказательство. Выберем рациональное число sga.
Для п = 0, 1, 2,... положим s„ = s4-nr. Тогда имеется един-
ственное целое т, такое, что smQa и sm+t$a.
Дедекиндовы сечения
15
Если 5hi+1 не есть наименьшее из верхних чисел сечения а,
то выберем p=sm, q = sm+l.
Если зтл1 — наименьшее из верхних чисел сечения а, то возьмем
Р = sm ~, <7 — 5т+1 4" ~2 
1.16.	Теорема. Пусть а —сечение. Тогда существует одно
и только одно сечение р, такое, что аДР —О*.
Доказательство. Сначала мы докажем единственность.
Если a f-pt “О-|-р2 = 0*, то теорема 1.14 показывает, что
р., о* + р2 = (а + р,) + Р2 =Д« 4 р2) + р( - О* -Ь р, - р1.
Для доказательства существования обозначим через р мно-
жество всех рациональных р, таких, что — р является верхним
числом сечения а, но не наименьшим из верхних чисел. Мы
должны проверить, что это множество р удовлетворяет трем
условиям определения 1.4. Выполнение условия (I) очевидно.
(II) Если рСР и q < р (q — рациональное), то — р$а
и — q> — p, так что —q есть верхнее число сечения а, но
не наименьшее. Значит, q ср.
(III) Если р £Р, то — р есть верхнее число сечения а, но
не наименьшее, так что имеется рациональное число q, такое,
что —q<—p и — q$a. Положим
_ р4-<7
2 ’
Тогда —(/< —г< — р, так что —г есть верхнее число сечения а,
но ле наименьшее. Значит, мы нашли рациональное г>р, такое,
что г ср.
Показав, что р — сечение, мы должны теперь проверить, что
а 4 р = О*.
Предположим, что рСа + Р- Тогда p — q+r при некоторых
(/Е«, гСР- Значит, —г$а, —rT>q, q-+-r<Q, и р£0*.
Предположим, что рСО*- Тогда р<0. По теореме 1.15
имеются рациональные числа q С а, г$а (причем г не является
наименьшим из верхних чисел сечения а), такие, что г—q——р.
Поскольку —г СР, мы имеем
P = q—r = q-T(~ r)6a + P-
Доказательство закончено.
1.17.	Определение. Сечение, построенное в теореме 1.16,
обозначается —а.
1.18.	Теорема. Для любых сечений а, р, у, таких, что
Р <у, имеем а + р<а-|-у. В частности (полагая р — 0*), мы
•моем а + у>0*, если а>0*, у>0*.
16
Гл. 1. Системы вещественных и комплексных чисел
Доказательство. Согласно определениям 1.9 и 1.13,
а + р<а + у. Если
а + ₽ = а + у,
то
₽ = 0* + р = (— а) + (а + Р) = (—а) + (а + у) = 0* + у = Y
по теореме 1.14.
1.19.	Теорема. Пусть а, р — сечения. Тогда существует
одно и только одно сечение у, такое, что а-|-у = р.
Доказательство. Единственность следует из того, что
неравенство yi ¥= Уг влечет за собой неравенство а-:У1=£аТУ2
(теорема 1.18).
Положим у = Р + (—а)- По теореме 1.14 мы имеем тогда
a-J-Y = a-)[p + ( —а)] = а + [(—а) + Р1 =
= [а + (-а)]+р = О* + р = р.
1.20.	Определение. Сечение у, построенное в теореме 1.19,
обозначается через р—а, т. е. мы пишем р — а вместо р + (—-а).
1.21.	Замечание. Нам совсем не потребуется в этой книге
теория групп. Однако читатели, знакомые с понятием группы,
могли заметить, что теоремы 1.12, 1.14 и 1.16 означают, что
множество сечений есть коммутативная группа относительно
сложения, введенного определением 1.13. Сейчас мы определим
умножение и покажем, что множество сечений образует поле.
Остановившись подробно на сложении и вычитании, мы совсем
кратко и без доказательства рассмотрим умножение и деление.
Доказательства теорем, которые мы далее сформулируем, совер-
шенно аналогичны доказательствам теорем о сложении и вычи-
тании, за исключением того, что иногда необходимо рассмотреть
несколько случаев в зависимости от знака сомножителей.
v 1.22. Теорема. Пусть а, р—такие сечения, что а>0*,
Р > 0*. Пусть у состоит из всех отрицательных рациональных
чисел и всех рациональных г, таких, что r=>pq, где р£а, <?£р,
р>0, <?>0. Тогда у—сечение.
1.23.	Определение. Сечение, построенное в теореме 1.22,
обозначается через ар и называется произведением сечений аир.
1.24.	Определение. Каждому сечению а сопоставим сече-
ние | а |, называемое абсолютной величиной а и определяемое следую-
щим образом:
{а, если а > 0*,
— а, если а < 0*.
Дедекиндовы сечения
17
Ясно, что | а | > 0* при всех а и ;а1 —0* тогда и только тогда,
когда а=^0*.
Теперь мы можем дополнить определение умножения.
1.25.	Определение. Пусть а, р—сечения. Положим, по
определению,
— (I а |	| р	I),	если	а<0*,	Р>0*,
ар=	—(| а |	| р	|),	если	а>0*,	р<.0*,
I а I	| р	[,	если	а<0*,	Р<0*.
Заметим, что произведение i а | |р| уже было определено в 1.23,
так как | а | > О*, | р | > О*.
1.26.	Теорема. Для любых сечений а, р, у имеем
(а)	ар-Ди/,
(Ь)	(ар) у-а (Ру),
(с)	а(Р +у)^=ар + ау,
(d)	а0* = 0*,
(п) п.р = О* только тогда, когда. а = 0* или Р -О*,
(/') а1*=^а,
(g) если а < р и у > О*, то ау < Зу.
1.27.	Теорема. Если а =# О*, то для любого сечения р
существует одно и только одно сечение у (которое мы будем
обозначать через p/а), такое, что ау-р.
В заключение этого раздела приведем три теоремы, касаю-
щиеся рациональных сечений.
1.28.	Теорема. Для любых рациональных чисе1 р и q имеем
Р* \q* = (p '-<?)*,
(и) р* \ q* = (p
(h)	р* q* — (pq)*,
(с) р* < q* тогда и только тогда, когда p<Zq.
Доказательство. Если r£p*-\-q*, то г-=зДД, где s<p,
f Су, так что r<p-i-p. Значит, г£(р + р)*.
Если rg(p-!-p)*, то r<_p + q. Положим
.	,	h. ,	h
h =p + q—r, s--p-----2", t--q----% .
Тогда sgp*, t£q* и r--=--s-]-t, так что r£p*-\-q*. Этим доказано
свойство (а). Доказательство свойства (Ь) аналогично.
Если p<q, то p£q*, но р $ р*, так что p*<.q*.
18	Гл. 1. Системы вещественных и комплексных чисел
Если p*<Cq*, то имеется рациональное число г, такое, что
rgg*, г$р*. Значит,
P<r<q,
так что p<iq.
1.29.	Теорема. Если а, р — сечения и а<р, то сущест-
вует рациональное сечение г*, такое, что а<г*<;р.
Доказательство. Если а < р, то существует рациональ-
ное число р, такое, что pgp, р$а. Выберем г>р так, что г g р.
Поскольку г е Р 11 г^г*, мы видим, что г* < р.
Поскольку р£г* и р а, мы видим, что а <г*.
1.30.	Теорема. Для любого сечения а имеем р£а тогда
и только тогда, когда р* < а.
Доказательство. Для любого рационального р имеем
р^р*. Значит, р*<а, если pg а. Обратно, если р* < а, то суще-
ствует рациональное а, такое, что pg а и q$p*. Таким образом,
q Р", последнее неравенство вместе с р g а влечет за собой
включение pg а.
Вещественные числа
Подведем итоги сказанному в предыдущем разделе. Мы рас-
смотрели некоторые множества рациональных чисел, которые мы
назвали сечениями. Были определены отношение порядка и две
операции, названные сложением и умножением, и мы доказали,
что получившаяся арифметика сечений подчиняется тем же зако-
нам, что и арифметика рациональных чисел. Иными словами,
множество всех сечений было превращено в упорядоченное поле.
Особое внимание было уделено специальному классу сечений,
так называемым «рациональным сечениям», и мы обнаружили,
что при замене рациональных чисел г соответствующими сече-
ниями г* суммы, произведения и порядок сохраняются (тео-
рема 1.28). Этот же факт можно выразить, сказав, что упоря-
доченное поле всех рациональных чисел изоморфно упорядочен-
ному нолю всех рациональных сечений; это позволяет нам ото-
ждествить рациональное сечение г* с рациональным числом г.
Разумеется, г*—это не то же самое, что г, но свойства, с кото-
рыми мы имеем дело (арифметика и порядок), одинаковы в этих
двух полях.
Теперь определим, что мы будем понимать под вещественным
числом.
1.31.	Определение. В дальнейшем сечения будут называться
вещественными числами. Рациональные сечения будут отождест-
Вещественные числа	19
влиться с рациональными числами (и будут называться рацио-
нальными числами). Все другие сечения будут называться ирра-
циональными числами.
Таким образом, множество всех рациональных чисел оказы-
вается подмножеством системы вещественных чисел. Теорема 1.29
показывает, что между любыми двумя вещественными числами
имеется рациональное число, а теорема 1.30 показывает, что
каждое вещественное число а есть множество всех рациональ-
ных чисел р, таких, что р<а.
В следующей теореме высказано чрезвычайно важное свойство
системы вещественных чисел.
1.32.	Теорема (Дедекинд). Пусть А и В—такие множе-
ства вещественных чисел, что
(а)	каждое вещественное, число принадлежит или А, или В;
(Ь)	никакое вещественное число не принадлежит и А, и В\
(с) ни А, ни В не пусты,
\d) если а С Л и рбВ, то а <р.
Тогда существует одно (и только одно) вещественное число у,
такое, что при всех о.^А и при всех
Прежде чем переходить к доказательству, сформулируем
такое следствие.
Следствие. В предположениях теоремы 1.32 либо А содер-
жит наибольшее число, либо В содержит наименьшее число.
Действительно, если у G Л, то у -наибольшее число в А; если
£В, то у— наименьшее в В; в силу (а), одна из этих возмож-
ностей должна осуществиться, тогда как, в силу (Ь), очи
не могут осуществиться обе.
Именно существование у (единственность тривиальна) состав-
ляет содержание этой важной теоремы. Оно показывает, что
пробелы, которые мы обнаружили в системе рациональных чисел
Др- с примером 1.1), теперь заполнены. Более того, если бы мы
попытались повторить тот процесс, который привел нас от раци-
ональных чисел к вещественным, и начали строить сечения (как
г определении 1.4), элементами которых были бы вещественные
числа, то каждое сечение имело бы наименьшее верхнее число,
и мы смогли бы сразу же отождествить каждое сечение с наи-
меньшим из его верхних чисел, не получив ничею нового.
По этой причине теорему 1.32 иногда называют теоремой пол-
ноты для вещественных чисел.
Доказательство теоремы 1.32. Допустим, что имеются
два числа у, и у2, для которых выполнено заключение тесремы,
несть YjCYz- Выберем уз так, что Yi<Ys<Y2 (этс возможно
по теореме 1.29). Тогда из неравенства уз<Уг следует, что
20
Гл. 1. Системы вещественных и комплексных чисел
y3gA в то время как неравенство у!<уз дает у3£В. Это про-
тиворечит условию (Ь). Таким образом, существует не более чем
одно число у с требуемыми свойствами.
Пусть у—множество всех рациональных чисел р, таких, что
pga при некотором а g А. Мы должны проверить, что у удовлет-
воряет условиям определения 1.4.
(I)	Поскольку А непусто, у также непусто. Если pg В и q g р,
то <7^ а при любом а£А (ибо а<Р); значит, q^y.
(II)	Если рСу и q<p, то pQa при некотором a g 71; значит,
pg а, поэтому pgy.
(III)	Если pg у, то pg а при некотором a g А; значит, суще-
ствует qZ>p, такое, что pg а; следовательно, pg у.
Таким образом, у — вещественное число.
Ясно, что а<Су при всех ag/1. Если бы при некотором pg В
оказалось, что Р<.у, то нашлось бы рациональное число р,
такое, что р g у и р g Р; но если р g у, то р g а при некотором
a g Л, а отсюда следует, что р < а, вопреки условию (d). Таким
образом, у <р при всех р gВ, и доказательство закончено.
Теперь мы откажемся от некоторых соглашений об обозначе-
ниях, действовавших до сих нор. Буквы р, р, г, ... больше
не будут предназначаться только для рациональных чисел, и бук-
вами а, р, у, ... тоже можно будет пользоваться для разных
целей.
1.33.	Определение. Пусть Е — некоторое множество веще-
ственных чисел. Если существует число у, такое, что х^у при
всех xgE, то мы будем говорить, что множество Е ограничено
сверху, а число у будем называть верхней границей множества Е.
Нижние границы определяются аналогичным образом. Если
множество Е ограничено сверху и снизу, то оно называется
ограниченным.
1.34.	Определение. Пусть Е ограничено сверху. Предпо-
ложим, что у обладает следующими свойствами:
(а)	у является верхней границей множества Е;
(b)	если x<Zy, то х не является верхней границей множе-
ства Е.
Тогда у называется верхней гранью (точной верхней грани-
цей) множества Е (как следует из (Ь), существует не более чем
одно такое число у). Мы будем употреблять сокращенное обо-
значение sup для верхней грани.
Нижняя грань (inf) любого множества Е, ограниченного
снизу, определяется таким же образом.
1.35.	Примеры, (а) Пусть множество Е состоит из всех
чисел 1/п, где п=1, 2, 3 ... . Тогда множество Е ограничено,
Вещественные числа
21
его верхняя грань равна 1, а его нижняя грань равна 0. Заме-
тим, что в этом случае верхняя грань принадлежит множеству,
а нижняя грань — не принадлежит.
В общем случае верхняя грань (или нижняя грань) может
принадлежать, а может и не принадлежать множеству.
(Ь) Пусть Е состоит из всех неотрицательных чисел. Тогда Е
ограничено снизу, но не ограничено сверху, и его нижняя грань
равна 0.
1.36. Теорема. Пусть Е—непустое множество веществен-
ных чисел, ограниченное сверху. Тогда sup 5 существует.
Доказательство. Пусть А — множество вещественных
чисел, определенное следующим образом: a Q А в том и только
в том случае, когда существует число х Q Е, такое, что а < х. Пусть В
состоит из всех вещественных чисел, не принадлежащих А.
Ясно, что никакой элемент множества А не является верхней
границей множества Е, а каждый элемент множества В является
верхней границей множества Е. Чтобы доказать существование
верхней грани, достаточно поэтому доказать, что В содержит
наименьшее число.
Проверим теперь, что А и В удовлетворяют предположениям
теоремы 1.32.
Очевидно, что свойства (а) и (Ь) выполнены. Поскольку Е
непусто, существует некоторый элемент х£Е и каждое число
а<х принадлежит А. Так как Е ограничено сверху, существует
число у, такое, что х^у при всех х^Е, значит, у^В и выпол-
нено свойство (с). Если а^й, то существует элемент х(^Е, такой,
что a<x. Если р£В, то лы'р. Таким образом, а < р при всех
а£А, и выполнено (d).
Итак, в силу следствия из теоремы 1.32, либо А содержит
наибольшее число, либо В содержит наименьшее. Мы докажем,
что первая возможность не может осуществиться.
Пусть Тогда существует число х£Е, такое, что а<х.
Выберем а' так, что а < а' < х. Поскольку а'< х, то а'^А,
гак что а не есть наибольшее число в А.
Это завершает доказательство.
В качестве приложения вышеизложенного мы приведем дока-
затстьстзо существования корней n-й степени из положительных
вещественных чисел. Тем самым будет показано, как можно
преодолеть трудности, отмеченные во введении (иррациональность
I 2).
1.37. Теорема. Для всякого вещественного х_>0 и всякого
целого п>0 существует одно и только одно вещественное у ^>0,
такое, что уп --- х.
22
Гл. 1. Системы вещественных и комплексных чисел
Это число записывают так: п/ х или х1/п-
Доказательство. Единственность следует из того, что
неравенство 0 < yt </ уй влечет за собой неравенство у™ < у™.
Пусть Е— множество, состоящее из всех положительных веще-
ственных t, таких, что tn <Сх.
Если / -л'/( 1 Д-х), то 0</<1; значит, /п</<х, так что Е
непусто.
Положим /0=14-х. Тогда из неравенства t > следует, что
Р > / > х, поэтому t $ Е и t0 является верхней границей множе-
ства Е.
Пусть у—верхняя грань множества Е (которая существует
по теореме 1.36).
Допустим, что уп <_ х. Выберем h таким, что 0<й< 1 и
Тогда, обозначая через J коэффициент при г"1 в разложении
бинома (1ф-г)п, получим
(у + /1)" - У" + ( Д у—л у (“) u'‘-w+
«V-И [(?>-+( 2 ')!/-*+	=
- уп 4- h [(1 + у)п—уп\ < уп + (х—уп) = х.
Таким образом, y-{-h£E. Это противоречит тому, что у — верх-
няя граница множества Е.
Допустим, что уп > х. Выберем 1г таким, что ()< k < 1, k <' у и
,	уа—X
е'- ‘
Тогда при t>y — k получим
у-Чг+ f п2 ,y^k^- .. . -И- 1)П("Х =
- у- - k [ ( " ) у"-’ - ( 2 ) yn'ik +-(-1Г ( ” )	] >
- уп - k [(1 + у)п - уп] > уп - (уп - х) = х.
Таким образом, у — k является верхней границей множества Е,
а это противоречит тому, что //—наименьшая из верхних границ
множества Е.
Расширенная система вещественных чисел	23
Следовательно, уп = х.
1.38. Десятичные дроби. В заключение этого раздела
укажем на соотношение между вещественными числами и деся-
тичными дробями.
Пусть х>0— вещественное число. Пусть п0—наибольшее
целое число, такое, что п0^.х. Если п0, nlt ..., n^-i уже выбраны,
то пусть nh — наибольшее целое число, такое, что
п !_ П1 L I n,i у
"о+Ю Г ... +10-<Х.
11усть Е — множество чисел
(3) «о + ^+...+^ (ft =0, 1, 2, ...).
Тогда х — верхняя грань множества Е. Десятичное разложение
числа х имеет вид
(4) По.п^гПз ....
Обратно, для любой бесконечной десятичной дроби (4) мно-
жество Е чисел вида (3) ограничено сверху1), и (4) является
десятичным разложением верхней грани этого множества 2).
Мы не обсуждаем подробно десятичные дроби, так как никогда
ие будем ими пользоваться.
Расширенная система вещественных чисел
1.39. Определение. Расширенная система вещественных
'шсйл состоит из системы вещественных чисел, к которой при-
соединены два символа —со и +00, причем выполняются сле-
дующие свойства:
(о) если х — вещественное число, то — оо < х -< -|- со,
X -4- со = 4- со, х—со — — со, - ---- —	— Q •
1	1	’	’	_1— <№>	_ГГ'	7
(б)	если х>0, то
х • ( j- оо) — -р со, х • ( — оэ) — — оо;
!) Необходимо отметить, что rik <9 (й —1, 2, 3, ...).—Прим, персе.
2) Это утверждение автора следует уточнить. Десятичным разложением
и: .п х названа последовательность чисел (3), полученная с помощью «при-
гю сконий по недостатку*, причем каждая конечная дробь, соответствующая
по- щдовательнэсти «о-Щ •   nk> дает наилучшее приближение к х слева с
оюностью до 10~А. Но в таком случае неверно, что дробь п0,пщ2 п-н.
। ,  «о — 0, п^ — 9 (fe=l, 2, ...) является десятичным разложением для
.'.р /•': таким десятичным разложением служит дробь 1,000... .—Прим, перев.
24	Гл. 1. Системы вещественных и комплексных чисел
(с) если х<0, то
Х-(+со)= —ОО, Х-(—оо)=4-со.
Если необходимо подчеркнуть различие между символами
— со, 4-оо, с одной стороны, и вещественными числами, с дру-
гой, то последние называют конечными1).
1,40.	Определение. Пусть Е — множество, элементы кото-
рого принадлежат расширенной системе вещественных чисел. Если
Е не ограничено сверху (т. е. если для любого вещественного у
существует элемент х£Е, такой, что у<.х), то верхняя грань
множества Е по определению равна 4- со.
Аналогичным образом нижняя грань множества Е, не огра-
ниченного снизу, по определению равна —со.
Итак, в расширенной системе вещественных чисел каждое
множество имеет inf и sup. Это и есть главная причина введения
символов — со и 4- со.
Комплексные числа
1.41.	Определение. Комплексным числом называется пара
вещественных чисел а, b (в таком порядке). Обозначим это ком-
плексное число через (а, Ь).
В этом разделе буквами х, у, z будут обозначаться комплекс-
ные числа, буквами а, Ь, с, ...—вещественные числа; мы будем
(временно) писать
ц = (1, 0); п = (0, 0).
1.42.	Определение. Пусть х = (а, b), у = (с, d). Тогда
х^ у тогда и только тогда, когда а = с и b-d. Паре х, у сопо-
ставим два комплексных числа, обозначаемых через х-\~у, ху и
определенных следующим образом:
x-j-z/ = (а 4-с, b + d),
xy—(ac — bd, ad-\-bc).
'') Такой способ расширения множества всех вещественных чисел не согла-
суется с теорией сечений, при помощи которой только что пополнялось мно-
жество всех рациональных чисел. Действительно, центральное место в теории
Дедекинда занимает доказательство существования множества (иррациональ-
ных чисел), элементы которого связаны друг с другом и с рациональными
числами многочисленными соотношениями (а не просто введение новых сим-
волов, удовлетворяющих определенным аксиомам). С этой точки зрения рас-
ширение множества всех вещественных чисел можно было бы «построить»,
рассмотрев еще два сечения: для первого из них (обозначаемого —оэ) ниж-
ним классом служит пустое множество, а для второго (обозначаемого -г оэ)—•
множество всех рациональных чисел. Разумно определив смысл символов
х4;оэ, х-(гЕоо), отношений < , > и т. д., можно было бы доказать свойства
(а), (&), {с}. —Прим, перев.
Комплексные числа 
25
1.43.	Теорема. Для операций сложения и умножения, вве-
денных в определении 1.42, выполняются законы коммутатив-
ности, ассоциативности и дистрибутивности.
Доказательство. Пусть х = (a, b), у = (с, d), z — (e, f).
(а)	%-4-у = (аДс, b d) = (c 4-а, d + Ь) = ух',
(b)	(х4~у) ~r z — (а 4- с, b + d)-\-(e, f) = (а4~с4~ е, b-\-d-\-f) =
= (а, b) + (c-\-e, d + f) = x + (y-\-z);
(с)	xy~(ac—bd, ad+ be) = (ca — db, da-'rcb) = (c, d)(a, b)=yx;
(d)	(xy) z = (ac — bd, ad 4- be) (e, f) —
= (ace — bde — adf — bef, acf — bdf 4 ade Д bee) ==
— (a, b)(ce—df, cf 4~ de) = x (yz);
(e)	(x + y)z~ (a + c, b-\-d)(e, f) —
— (ae ce — bf — df, af + cf T- be 4- de) =
~(ae — bf, af + be) + (ce—df, cf + de) xz m yz.
1.44.	Теорема. Для любого комплексного х имеем хД-п=--х,
хп = п, хи — х.
Доказательство. Это следует непосредственно из опре-
деления 1.42.
1.45.	Теорема. Если хД-у~х-\-г, то у-г.
Доказательство. Если у z, то, как показывают опре-
деление 1.42 и теорема 1.18, х Д- у х 4- z.
1.46.	Теорема. Для любого комплексного числа х сущест-
вует одно и только одно комплексное число у, такое, что
». 4 у-~п.
Мы обозначим это число у через — х.
Доказательство. Единственность следует из теоремы 1.45.
'Добы доказать существование, допустим, что х — (а, Ь), и поло-
жим — х=( — а, — Ь).
1.47.	Теорема. Если писать х—у вместо х—у), то
(а)	х — х^п,
(Ь)	(—х) у = х( — у)= ~(ху)=-( — и)(ху),
что не возникнет никакой неясности, если мы будем все
тип выражения записывать в виде —ху.
Доказательства тривиальны.
1.48.	Определение. Пусть х — (а, Ь), Мы будем называть
ейголюпгной величиной числа х число | х ! = j/a2 4~ № (мы рас-
26
Гл. 1. Системы вещественных и комплексных чисел
сматриваем только неотрицательное значение квадратного корня,
которое определяется единственным образом по теореме 1.37).
Заметим, что абсолютная величина комплексного числа — не-
отрицательное вещественное число.
1.49.	Теорема. Для любых комплексных чисел х, у имеем
(а)	| х I >0, если х^=п, и 1п|=0;
(Ь)	|xy| = |x| \у\.
Доказательство. Свойство (а) тривиально. Что касается
(Ь), то пусть х — (а, Ь), у = (с, d). Тогда | ху |2 — } (ас — bd, ad +
4- be) |а — a2c2 + b2d2 + a2d2 4~ b2c2 = (a2	b2) (c2 d2) - | x j21 у j3.
Значит,
ixt/|== |/Tx7|y|2=!x||f/|.
Доказать последнее равенство мы предоставляем читателю
(упражнение 4).
1.50.	Теорема. Если ху~п, то либо х = п, либо у — п.
Доказательство. Если ху ---п, то по теореме 1.49
I X11 у [ = | ху I ---1 п | = 0.
Поскольку | х | и | у | вещественны, отсюда следует, что либо
| х | — 0, либо | у | = 0, т. е. либо х = п, либо у = п.
1.51.	Теорема. Если х^п и xy — xz, то у—г.
Доказательство. Имеем
х (y~z) = ху — xz — n.
По теореме 1.50 y — z — n, т. е. y = z.
1.52.	Теорема. Для любого комплексного х =£ п существует
одно и только одно комплексное число у (которое мы будем запи-
сывать в виде и/х), такое, что ху~и.
Доказательство. Единственность следует из теоремы 1.51.
Пусть х = (а, Ь). Положим
_ / а ~Ь
u2 у •
Тогда
ху~=(а, b) f ’ ~а2Др7,2~(1> 0)~-=и.
1.53.	Теорема. Если хЕ-п, то для любого комплексного у
существует одно и только одно комплексное z (которое, мы будем
записывать в виде у/х), такое, что xz-~y.
Комплексные числа
27
Доказательство. Положим z = (u/x)-z/. Тогда
и
xz = x- — -y = u-y = y.
Итак, мы показали, что комплексные числа со сложением
и умножением, введенными в определении 1.42, подчиняются всем
обычным законам арифметики.
1.54.	Теорема. Для любых вещественных чисел а и b имеем
(а)	(а, 0) + (6, О) = (а + Ь, 0),
(b)	{a, 0)(b, 0) = (аЬ, 0),
(с)	(тд) = (у’°)’ если Ь^°’
(d)	| (а, 0)| = |а|.
В (d) символ | а | нужно понимать в смысле определения 1.24.
Доказательство тривиально.
Теорема 1.54 показывает, что комплексные числа вида (а, 0)
обладают теми же арифметическими свойствами, что и веществен-
ные числа а.
Мы можем поэтому отождествить (а, 0) с а; это отождествле-
ние превращает множество всех вещественных чисел в подмно-
жество системы комплексных чисел.
В частности, мы будем теперь писать 0 вместо п и 1 вместо и.
Читатель, вероятно, заметил, что мы построили арифметику
комплексных чисел, не вводя таинственного символа «|Л — 1».
Iеперь мы хотим показать, что обозначение (а, Ь) равносильно
более привычному a-Ebi.
1.55.	Определение. I = (0, 1).
1.56.	Теорема. г2 =—1.
Доказательство, t2 = (0, 1) (0, 1) = ( — 1, 0)= — 1.
1.57.	Теорема. Если а и b — вещественные числа, то
(а, Ь) = а 4- bi.
Доказательство. a-\-bi = (a, 0)-j-(£>, 0) (0, 1) = (а, 0) -|-
; (0. /.<)-Да, Ь).
1.58.	Теорема. Если х и у — комплексные числа, то
к +	+ : У\-
Доказательство. Если хД-у — 0, то доказывать нечего.
Дону, гим, что хД-г/=Д=0, и положим
28	Гл. 1. Системы вещественных и комплексных чисел
Умножая на х + у, мы заключаем по теореме 1.49(6), что
| X I = 1. Кроме того, КхА-Ку— вещественное число. Если Zx
= (п, Ь) и Xz/ = (с, d), то, как показывает определение 1.48,
I а | < нх | = | х |с|<|Аг/[ = |1/|,
значит,
! х + у I = ЛЛ- + 7.у = а + с< I а | + | с | < ] х | +1 у I.
1.59. Определение. Если а и b— вещественные числа
и z — a-\ Ы, то комплексное число г—а— Ы называется сопря-
женным с z.
1.60. Теорема. Если х, у — комплексные числа, то
(а)	х+у=хАу,
(6)	ху = х-у,
(с)	хх == | х р ^значит, число хх вещественно и неотрица-
тельно),
(d)	х + х — вещественное число,
(е)	если х вещественно, тох~х.
Доказательства этих утверждений тривиальны.
1.61.	Обозначение. Если х1г ...,хп — комплексные числа,
то мы будем писать
Xi -Е х2 + ... -Е хп = 2 Xj.
3='
Мы закончим этот раздел важным неравенством, известным
под названием неравенства Шварца.
1.62.	Теорема. Если а1,...,ап и щ, ..., Ьп — комплексные
числа, то
Доказательство. Положим Я 2 р, В = У I bj р,
С = 2 afij (во всех суммах в доказательстве / пробегает множе-
ство чисел 1,...,п). Если В-0, то И -=... = 6П = О, и заклю-
чение тривиально. Допустим поэтому, что В>0. По теореме 1.60
имеем
2 I Baj — Cbj |2 = 2 (Baj — Cbj) (Baj — Cbj) -----
= B2 2 I aj I2 - BC 2 afij - BC2«?B +
4~ | С l2 2 I 6j;2- B2H-B'Cp В (AB -I C i2).
Евклидовы пространства
29
Мы видим, что
В (АВ — |С|2)>0,
так как все слагаемые в первой сумме неотрицательны. Отсюда
следует, что АВ — | С j2 > 0, поскольку В > 0. Но это и есть тре-
буемое неравенство.
Евклидовы пространства
1.63.	Определения. Для каждого положительного целого k
обозначим через RA множество всех упорядоченных последова-
тельностей из k вещественных чисел
x = (Xi, х2, ...,%*);
числа ад, ...,Xk называются координатами элемента х. Элементы
множества Rk называются точками, или векторами, особенно при
/г>1. Мы будем обозначать векторы буквами, набранными жир-
ным шрифтом. Если у = (z/i, . .., yh) и а — вещественное число,
то положим
Х + У = (Х1 + yi, . ..,Xk + yk),
ах = (алу, ..., ахь),
так что x-(-y£Rk и axQRk. Тем самым определено сложение
векторов, а также умножение вектора на вещественное число
(скаляр). Эти две операции подчиняются законам коммутатив-
ности, ассоциативности и дистрибутивности (доказательство три-
виально, так как аналогичным законам подчиняются веществен-
ные числа) и превращают Rk в векторное пространство над полем
вещественных чисел. Нулевой элемент пространства Rk (иногда
называемый началом, или нулевым вектором) — это точка 0, все
координаты которой равны 0.
Мы определим еще так называемое скалярное (или внутрен-
нее) произведение векторов х и у:
k
Х-у== 3 *1Уо
4=1
а также норму вектора х:
/ ><	\ 1/2
| X | = (х-х)1^^ 3 I .
\ 1 /
Определенная таким образом структура (векторное пространство
А’1* со скалярным произведением и нормой) называется евклидо-
вым ^-мерным пространством.
30
Гл. 1. Системы вещественных и комплексных чисел
1.64.	Теорема. Пусть х, у, и а —вещественное число.
Тогда
(а)	| х | > 0;
(b)	[ х | = 0 тогда и только тогда, когда х ---= 0;
(с)	| ах | = | а 11 х I;
(d)	|х-уК'[х||у|;
(е)	| х4-у !<1х i + i У И
(/) )x — zK'X —у н-;у —г'-
Доказательство. Утверждения (а), (Ь) и (с) очевидны,
a (d) следует непосредственно из неравенства Шварца. В силу (d),
имеем
|х + у 2 = (х + у)-(х + у) = х-х-р2х-у + у-у<
< | х J2 + 2 ! х П у | +  у 2 =• () х i + | у |)2,
что доказывает (е). Наконец, (/) следует из (е), если заменить х
на х — у, у на у —z.
1.65.	Замечания. Теорема 1.64 (я), (Ь) и (/) позволит нам
(см. гл. 2) рассматривать Rk как метрическое пространство.
Пространство R1 (множество всех вещественных чисел) обычно
называют прямой, или вещественной прямой. Аналогичным обра-
зом, R2 называют плоскостью (ср. определения 1.41 и 1.63).
В этих двух случаях норма —это абсолютная величина соответст-
вующего вещественного или комплексного числа.
Упражнения
1.	Пусть r — рационалыюе число (г =/=()), а х — иррациональ-
ное. Доказать, что числа г-) х и гх иррациональны.
2.	Доказать, что между любыми двумя вещественны/^! числами
содержится иррациональное число.
3.	Доказать, что не существует рационального числа, квад-
рат которого равен 12.
4.	Пусть х>0, у>0 и п — положительное целое число. Дока-
зать, что
п/х  \Ту =Уху
(ср. с теоремой 1.37).
5.	Если х>0, а г — рациональное число (г = /г/щ), то положим
Т fit Г V,
X --- у/ ХП.
Доказать, что хг —(рД)п.
6.	Доказать, что если х>1, то хр<хч при любых рациональ-
ных р, q, таких, что р<. q.
Упражнения
31
7.	Определить xv для х > 1 и вещественного у, используя
упражнение 6 и метод теоремы 1,37, и доказать, что
(а)	ху<х2, если 1<х, z/<z;
(6)	xv<zv, если 1<х<2, z/>0;
(с)	х'}х\
8.	Как нужно изменить упражнения 6 и 7, если 0<хС1?
9.	Пусть b > 1, х > 0. Доказать, что существует одно и только
одно вещественное число у, такое, что x = bv. Это число у назы-
вается логарифмом х при основании Ь.
10.	В каких пунктах нашего изложения теории вещественных
чисел возникли бы трудности, если бы было опущено условие Ш
определения 1.4?
11.	Если zn ,гп — комплексные числа, то
| “Р Ч~ • • • Д гп I С | i Д | z2 i + ... Д1 zn |.
12.	Если х и у — комплексные числа, то
1И — ЫК1* — У\-
13.	Теорема 1.36 была выведена из теоремы 1.32. На самом
деле эти теоремы равносильны. Чтобы убедиться в этом, дока-
жите теорему 1.32, не пользуясь сечениями в множестве рацио-
нальных чисел, а используя как постулат теорему 1.3G и обыч-
ные арифметические свойства вещественных чисел.
14.	Пусть г —-такое комплексное число, что | z[ = 1, т. е. zz= 1.
Вычислить ! I + z j2 ДI 1 — г |2.
15.	При каких условиях в неравенстве Шварца имеет место
равенство?
16.	Предположим, что й>3, х, |х —у1=Ш>0иг>0.
/{оказать, что
(«) если 2r >d, то существует бесконечное множество точек
z С R'\ таких, что
| z — х | — [ z — у | —- г;
(Ь)	если 2г = d, то существует в точности одна такая точка z;
(с)	если 2r < d, то не существует таких z.
Как нужно изменить эти утверждения, если k = 2,
17.	Доказать, что
| х + у |2 -+ | х — у |2 = 2 | х )2 Д 2 j у |2,
если x(:Rh, y£Rh. Истолковать это геометрически, как некоторое
утверждение о параллелограммах.
18.	Доказать, что если й>2 и x.QRh, то существует вектор
y(-R\ такой, что у#=0, но х-у = 0. Верно ли это при fe=l?
19.	Пусть а£к‘,	Найти c£Rk и г>0, такие, что
1 х - - а |-— 2 j х —— b | тогда и только тогда, когда | х — с[ = г.
(Решение: Зс = 4Ь—а, Зг = 21 b—а |.)
ГЛАВА 2
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Конечные, счетные и несчетные множества
Мы начнем этот раздел с определения понятия функции.
2.1.	Определение. Рассмотрим два множества А и В, эле-
ментами которых могут быть любые объекты, и предположим, что
каждому элементу х множества А некоторым способом поставлен
в соответствие элемент множества В, который мы обозначим через
f(x). Тогда f называется функцией из А в В (или отображением
множества А в В).
Множество А называется областью определения функции f
(мы будем говорить также, что f определена на Л), а элементы
f (х) называются значениями f. Множество всех значений функ-
ции f называется ее областью значений.
2.2.	Определение. Мы будем говорить, что множество А
есть подмножество множества В, и писать Л ст В (или В о А),
если каждый элемент множества А является элементом множест-
ва В. Если, кроме того, в В имеется элемент, не принадлежащий
А, то А называется собственным подмножеством множества В.
В частности, пустое множество 0 служит подмножеством любого
множества, и Ас А, каково бы ни было множество Л.
Если А с В и В сс А, то мы будем писать А = В.
2.3.	Замечание. То обстоятельство, что пустое множество
является подмножеством любого множества, связано с одной логи-
ческой тонкостью, часто вызывающей трудности у начинающих.
Из определения 2.2 ясно, что если множество А не есть под-
множество множества В, то должно быть верным следующее
утверждение: «существует элемент х, такой, что х £ А и х $ В».
Но если А пусто, то не существует такого х, что xQA, и выска-
занное только что утверждение ложно.
Подобные рассуждения применимы всегда, когда мы хотим
проверить, что пустое множество удовлетворяет некоторым усло-
виям.
2.4.	Определение. Пусть А и В—два множества, и пусть
/ — отображение А в В. Если ЕсА, то f(E) определяется как
Конечные, счетные и несчетные множества
33
множество всех элементов f (х) для х Q Е. Мы будем называть
f(E) образом множества Е при отображении /. В этих обозна-
чениях /(Д) —это множество значений /. Ясно, что /(Д)сВ.
Если f(A) — B, то мы будем говорить, что f отображает Д на В.
(Заметим, что в соответствии с этим словоупотреблением на озна-
чает большее, чем в.)
Если Е с: В, то /-1(Е) обозначает множество всех х£А, таких,
что f (х) € Е. Мы будем называть (Е) прообразом множества Е
при отображении f. Если у£В, то	— это множество всех
х^А, таких, что f(x) = y. Если при каждом у£В множество
состоит не более чем из одного элемента Д, то f называет-
ся взаимно однозначным отображением Д в В. Это можно выра-
зить следующим образом: отображение / множества Д в В взаимно
однозначно, если / (хД =£ / (х2) каждый раз, когда хх=А=хг,
х^Д, х2£Д.
(Запись Xi^=x2 означает, что xt и х2 —различные элементы;
в противном случае мы пишем Xi = x2.)
2.5.	Определение. Если существует взаимно однозначное
отображение множества А на множество В, то мы будем говорить,
что между Д и В может быть установлено взаимно однозначное
соответствие, или что Д и В имеют одно и то же кардинальное
число, или, короче, что Д и В эквивалентны, и будем писать
Д~В. Это ’ отношение, очевидно, обладает следующими свой-
ствами:
рефлексивность: Д~Д;
симметричность: если Д~В, то В — А;
транзитивность: если Д~В и В~С, то А — С.
Всякое отношение, обладающее этими тремя свойствами, назы-
вается отношением эквивалентности.
2.6.	Определение. Пусть п—любое положительное целое
число; Jn—множество, элементами которого служат целые числа
1, ..., п: J—множество, состоящее из всех положительных
целых чисел; А — любое множество. Мы будем говорить, что
(а)	А конечно, если А — Jn при некотором п (пустое множе-
ство также считается конечным);
(Ь)	А бесконечно, если А не является конечным;
(с)	А счетно, если А ~ J;
(d)	А несчетно, если А не конечно и не счетно;
(е)	А не более чем счетно, если А или конечно, или счетно.
Если А и В —конечные множества, то очевидно, что Д~В тогда
и только тогда, когда Д и В содержат одно и то же число эле-
ментов. Однако для бесконечных множеств смысл слов «содержат
одно и то же число элементов» становится очень туманным.
34	Гл. 2, Элементы теории множеств
Он проясняется с помощью понятия взаимно однозначного соот-
ветствия.
2.7.	Пример. Пусть А — множество всех целых чисел. Тогда
Л—-счетное, множество. Действительно, рассмотрим следующее
расположение множеств А и J
А:0, 1, -1,2, —2, 3,-3, . ..,
J: 1, 2,	3, 4,	5, 6, 7.......
В этом примере мы можем даже указать в явном виде формулу
для отображения f множества J в А, устанавливающего взаимно
однозначное соответствие между этими множествами:
(п четно),
/(") = { Я_1
----__ нечетно).
\ —
2.8.	Замечание. Конечное множество не может быть экви-
валентно своему собственному подмножеству. Однако для беско-
нечных множеств это возможно, как показывает пример 2.7,
в котором J — собственное подмножество множества А.
В действительности мы могли бы заменить определение 2.6
(Ь) следующей формулировкой: А бесконечно, если А эквивалентно
одному из своих собственных подмножеств.
2.9.	Определение. Последовательностью мы будем называть
функцию /, определенную на множестве J всех положительных
целых чисел. Если f(n) — хп при nQJ, то принято обозначать
последовательность f символом {х,,} или писать х1г х2, х3, ....
Значения функции f, т. е. элементы хп, называются членами
последовательности. Если А — некоторое множество и если хп£А
при всех nQJ, то {х„} называется последовательностью в А, или
последовательностью элементов множества А.
Заметим, что члены х2, х3, ... последовательности не обязаны
быть различными.
Ввиду того что всякое счетное множество служит множеством
значений некоторой взаимно однозначной функции, определенной
на J, мы можем рассматривать всякое счетное множество как
множество значений некоторой последовательности с различными
членами. Допуская некоторую вольность речи, говорят, что эле-
менты любого счетного множества можно «расположить в после-
довательность».
Иногда удобно заменить в этом определении J множеством
всех неотрицательных целых чисел, т. е. начинать с 0, а не с 1.
Конечные, счетные и несчетные множества
35
2.10.	Теор ем а. Всякое бесконечное подмножество счетного
множества А счетно.
Доказательство. Предположим, что Е с. А и Е бесконечно.
Расположим элементы х множества А в последовательность {хп}
с различными членами. Построим последовательность {лй} следую-
щим образом.
Пусть — наименьшее целое положительное число, такое,
что Хщ^Е. Если /ц, ..., гд, (k^2, 3, 4, ...) уже выбраны,
то пусть nk — наименьшее целое число, большее tik-i и такое,
что
Полагая f(k) = xn (/г-1, 2, 3, ...), мы получим взаимно
однозначное соответствие между Е и J.
Эта теорема показывает, что, грубо говоря, счетные множе-
ства представляют «наименьшую» бесконечность: никакое несчет-
ное множество не может быть подмножеством счетного.
2.11.	Определение. Пусть А и Q — множества; предполо-
жим, что каждому элементу а множества А сопоставлено некоторое
подмножество множества Q, которое мы обозначим через Еа.
Множество, элементами которого служат множества Еа, будет
обозначаться через {Еа}. Вместо того чтобы говорить о множестве
множеств, мы иногда будем говорить о наборе множеств или
о семействе множеств1).
Объединение семейства множеств {£'«} определяется как множе-
ство S, такое, что xQS тогда и только тогда, когда xQEa хотя
бы при одном а^Л. Мы будем пользоваться обозначением
(1)	S=UEa.
а£А
Если А состоит из целых чисел 1, ..., п, то обычно пишут
(2)	и Ет
m—1
ИЛИ
(3)	S = E1UE2U ••• 1Ж-
Если А — множество всех положительных целых чисел, то обыч-
ное обозначение таково:
(4)	U Ет.
т=1
!) На самом деле «множество множеств» — это понятие, по существу
отличное от понятия «семейств множеств», которое здесь определено. Семей-
ство множеств есть отображение множества А в множество всех подмножеств
множества й. Может оказаться, что Еа, = Еа„ при а' =/= а,", а,', а" £ й.—Прим,
перев.
36
Гл. 2. Элементы теории множеств
Символ оо в (4) указывает только, что берется объединение
счетного семейства множеств. Его не следует смешивать с симво-
лами + оо, —оо, введенными в определении 1.39.
Пересечение семейства множеств {Еа} определяется как множе-
ство Р, такое, что х£Р тогда и только тогда, когда х^Еа при
всех aС А. Мы будем пользоваться обозначением
(5)
или
(6)
или
(7)
П Еа,
а£А
m—1
оо
р= П Ет.
т—-1
как для объединений. Если множество A Q В не пусто, то мы будем
говорить, что А и В пересекаются, в противном случае —что они
не пересекаются.
2.12.	Примеры, (а) Допустим, что состоит из чисел 1, 2, 3,
а Е2 — из чисел 2, 3, 4. Тогда Ei[)E2 состоит из чисел 1,2, 3,4,
в то время как Ei(}Ez— из чисел 2, 3.
(Ь) Пусть А—множество всех вещественных чисел х, таких, что
0<х<1. Для любого х^А пусть Дх—множество всех вещест-
венных чисел у, таких, что 0 <//<%. Тогда
(i)	Е тогда и только тогда, когда 0<x<z<l;
(ii)	U ДХ = Д1;
х£А
(iii)	П пусто.
х£А
Утверждения (i) и (ii) очевидны. Чтобы доказать (iii), заметим,
что при любом у>0 имеем у$. Ех, если х<_у. Значит, у^ (") Ех.
х£А
2.13.	3 амечания. Многие свойства объединений и пересече-
ний совершенно аналогичны свойствам сумм и произведений.
В действительности слова «сумма» и «произведение» иногда употреб-
ляют в этом смысле и вместо U и f| пишут У, и J].
Законы коммутативности и ассоциативности тривиально выпол-
няются
(8)	=	=
(9) (A(JS)UC = 41U(SUC); (АПВ)ПС = АП(ВПС).
Этим оправдано отсутствие скобок в (3) и (6). Закон дистри-
бутивности также выполняется:
(Ю)	АП(ВиС) = (АПВ)иИПС).
Конечные, счетные и несчетные множества
37
Чтобы доказать это, обозначим левую и правую части равен-
ства (10) соответственно через Е и F.
Допустим, что х£Е. Тогда х£А и xESljC, т. е. xQB или
х£С (или и то и другое). Значит, xg/lQB или х^А[\С, так
что x^F. Таким образом, EccF.
Предположим теперь, что x^F. Тогда xC/lQS или х£А(\С.
Таким образом, xQA и xEB|JC. Значит, х£ Л (B(J С), так что
F с: Е Следовательно, Е =F.
Перечислим еще несколько легко проверяемых соотношений:
(Н)	ЛсД1В,
(12)	ДПВсД.
Если 0 обозначает пустое множество, то
(13)
Если Ас: В, то
(М)
А\}0=А, ДП0 = 0.
А\]В = В, А()В = А.
2.14.	Теорема. Пусть {£„}, п = 1, 2, 3, ..., —последова-
тельность счетных множеств; положим
(15)
U ?п-
П=1
Тогда множество S счетно.
Доказательство. Расположим каждое множество Еп
в последовательность {хпА), /г = 1, 2, 3, ..., и рассмотрим беско-
нечную таблицу
(16)
в которой элементы множества Еп образуют п-ю строку. Эта
таблица содержит все элементы множества S. Эти элементы
можно расположить в последовательность так, как указывают
стрелки:
(17)	ЛГ21, -^12> Л-311 Л-221 %13‘, Х41, Хд21 Л'23. Хц", ....
38	Гл. 2. Элементы теории множеств
Если какие-нибудь два множества Еп имеют общие элементы,
то они появятся в (17) более чем один раз. Значит, существует
подмножество Т множества всех положительных целых чисел,
такое, что S — Т, откуда следует, что множество S не более чем
счетно (теорема 2.10). Поскольку с S и Ei бесконечно, то и 5
бесконечно, и поэтому счетно.
Следствие. Допустим, что А не более чем счетно и что
при каждом а Е А множество Ва не более чем счетно. Положим
Т=[)Ва.
а£А
Тогда множество Т не более чем счетно.
Действительно, Т эквивалентно некоторому подмножеству
множества (15).
2.15.	Теорема. Пусть А—счетное множество, и пусть
Вп—множество всех наборов (ан ...,ол1) из п членов, где аДА
(&----1, ..., п) и элементы aif ..., ап не обязательно различны.
Тогда множество Вп счетно.
Доказательство. То, что множество Д счетно, —очевидно.
Допустим, что множество 7?п1 счетно (л = 2, 3, 4, ...). Эле-
менты Вп имеют вид
(18)	(Ь, а) (Ь£Вп^, о ЕЛ).
При каждом фиксированном Ь множество всех пар (Ь, а) эквива-
лентно множеству А и, значит, счетно. Таким образом, Вп — объе-
динение счетного множества счетных множеств. По теореме 2.14
Вп счетно.
Утверждение теоремы доказано по индукции.
Следствие. Множество всех рациональных чисел счетно.
Доказательство. Применим теорему 2.15, взяв п=2
и заметив, что каждое рациональное число г имеет вид Ыа, где а
и b — целые числа. Множество пар (а, Ь), а поэтому и множество
дробей Ыа, счетно.
На самом деле даже множество всех алгебраических чисел
счетно (см. упражнение 5).
Следующая теорема показывает, однако, что не все бесконеч-
ные множества счетны.
2.16.	Теорема. Пусть А—множество всех последователь-
ностей, элементы которых—цифры 0 az 1. Множество А несчетно.
Элементами А служат последовательности вида 1, 0, 0, 1, 0,
1, 1, 1, ... .
Доказательство. Пусть Е — счетное подмножество множе-
ства А, и пусть Е состоит из последовательностей s2, s3, . .. .
Метрические пространства
39
Построим последовательность s следующим образом. Если п-я
цифра в sn равна 1 (соответственно 0), то пусть п-я цифра в s равна 0
(соответственно 1). Тогда последовательность s отличается от каж-
дого элемента множества Е хотя бы одним членом, значит, s^E.
Но очевидно, что так что Е—собственное подмножество
множества А.
Мы показали, что каждое счетное подмножество множества А
является собственным подмножеством. Следовательно, А несчетно
(потому что в противном случае А было бы своим собственным
подмножеством, что невозможно).
Идею приведенного доказательства впервые высказал Кантор.
Такой метод доказательства называют канторовским диагональным
процессом, потому что если последовательности s2, ... распо-
ложить в виде таблицы типа (16), то при построении новой после-
довательности будут учитываться элементы диагонали.
Читатели, знакомые с двоичным представлением вещественных
чисел, когда за основание вместо числа 10 берется число 2,
заметят, что из теоремы 2.16 следует, что множество всех веще-
ственных чисел несчетно. Второе доказательство этого факта мы
дадим в теореме 2.43.
Метрические пространства
2.17.	Определение. Говорят, что множество X, элементы
которого мы будем называть точками, есть метрическое про-
странство, если любым двум точкам р и q множества X соот-
ветствует вещественное число d (р, q), называемое расстоянием
от р до q, такое, что
(a)	d (р, q) > 0, если p^q; d (р, р) — 0;
(b)	d(p, q) — d(q, р);
(с)	d (р, q)^d(p, r)-d(r, q) при любом гсХ.
2.18.	Пр и м е р ы. Самыми важными примерами метрических
пространств с нашей точки зрения служат евклидовы простран-
ства Rh, особенно R1 (вещественная прямая) и R2 (комплексная
плоскость); расстояние в Ru определяется так:
(19)	d(x, у)=---|х—у| (х, yeRk).
По теореме 1.64 метрика (19) удовлетворяет условиям определе-
ния 2.17.
Важно заметить, что каждое подмножество Y метрического
пространства X в свою очередь является метрическим простран-
ством с той же самой функцией расстояния. В самом деле, ясно,
что если условия (а) —(с) определения 2.17 выполнены для р, q,
г£Х, то они выполнены и для р, q, г, лежащих в Y.
40
Гл. 2. Элементы теории множеств
Таким образом, каждое подмножество евклидова простран-
ства — метрическое пространство. Другими примерами служат про-
странства $ (К) и X2 (р), рассматриваемые соответственно в гл. 7
и 10.
2.19.	Определение. Под интервалом (а, Ь) мы будем
понимать множество всех вещественных чисел х, таких, что
а < х < Ь.
Под сегментом [а, Ь] мы будем понимать множество всех веще-
ственных чисел х, таких, что а^.х^,Ь.
Иногда мы будем встречаться с полуинтервалами [а, Ь) и (а, &];
первый состоит из всех х, таких, что а^х<&, второй —из
всех х, таких, что a<zx^.b.
Если аг <Д; при i=l, ..., k, то множество всех точек х =
— (х1( ..., X*) в R\ координаты которых удовлетворяют нера-
венствам яг^хг-<6; (1</<6), называется k-мерной клеткой.
Таким образом, одномерная клетка — это сегмент, двумерная
клетка — прямоугольник и т. д.
Если xrR'1 и г>0, то открытый (или замкнутый) шар В
с центром в х радиусом г есть по определению множество всех
у£/?'!, таких, что |у — х|<г (или |у — х|<г).
Назовем множество Е a Rh выпуклым, если при любых хЕЕ,
угЕ и 0 < X < 1
2.x + (1 — X) у С Е.
Например,'шары выпуклы, ибо если |у — х | < г, ;z — x|<r
и 0 < Z < 1, то
| Ху -1 (1 — X)z — х| = |Х (у —х) 4- (1 - Z)(z — х)! С X |у — х | -|-
4-- (1 —-X); z — X | < Хг-н (1 — X) г -= г.
То же доказательство применимо и к замкнутым шарам. Легко
видеть также, что 6-мерные клетки выпуклы.
2.20.	Определение. Пусть X — метрическое пространство.
Все упоминаемые ниже точки и множества следует считать эле-
ментами и подмножествами пространства X.
(а)	Окрестностью точки р называется множество NT(p), состоя-
щее из всех точек q, таких, что d (р, q)<.r. Число г называется
радиусом окрестности Nr(p).
(6)	Точка р называется предельной точкой множества Е, если
каждая окрестность точки р содержит точку q^=p, такую, что
р ЕЕ.
(с)	Если р^Е и р не является предельной точкой множе-
ства Е, то р называется изолированной точкой множества Е.
Метрические пространства
41
(d)	Множество Е замкнуто, если каждая предельная точка
множества Е является точкой множества Е.
(е)	Точка р называется внутренней точкой множества Е, если
она имеет окрестность N, такую, что NaE.
(/) Множество Е открыто, если каждая точка множества Е
является его внутренней точкой.
(g) Дополнением множества Е (обозначается символом Ес)
называется множество всех точек р^Х, таких, что р^Е.
(Л) Множество Е совершенно, если оно замкнуто и если
каждая точка множества Е является его предельной точкой.
(!) Множество Е ограничено, если существуют вещественное
число М и точка q^X, такие, что d(p, р)<Л1 при всех р^Е.
(/) Множество Е всюду плотно в X, если каждая точка мно-
жества X является либо предельной точкой множества Е, либо
принадлежит множеству Е (либо и то, и другое).
Отметим, что окрестностями в R1 служат интервалы, в то
время как окрестности в R2 — это внутренности окружностей.
2.21.	Теор ем а. Всякая окрестность является открытым
множеством.
Доказательство. Рассмотрим окрестность E — Nr(p);
пусть q—какая-нибудь точка множества Е. Тогда существует
положительное вещественное число h, такое, что
d(p, q) — r—h.
Для всех точек з, таких, что d(q, s)<.h, мы имеем
d (р, s)^.d(p, q)-\-d(q, s)<Zr — h-\hCy,
так что s£E. Таким образом, q — внутренняя точка множества Е.
2.22.	Теорема. Если р-предельная точка множества Е,
то любая окрестность точки р содержит бесконечно много точек
множества Е.
Доказательство. Предположим, что существует окрест-
ность N точки р, содержащая только конечное число точек
множества Е. Пусть qt, . . ., qn — те точки множества N (] Е,
которые не совпадают с р. Положим
r= min d(p, qm)
(так мы обозначаем наименьшее из чисел d(p, q{), ..., d(p, qn).
Ясно, что минимум конечного множества положительных чисел —
положительное число, так что г > 0.
Окрестность Nr (р) не содержит ни одной точки q множества Е,
такой, что q Ф р, поэтому р не является предельной точкой мно-
жества Е. Это противоречие и доказывает теорему.
42
Г л. 2. Элементы теории множеств
Следствие. Конечное множество точек не имеет предель-
ных точек.
2.23.	Примеры. Рассмотрим следующие подмножества про-
странства R2:
(а)	множество всех комплексных г, таких, что j z | < 1;
(b)	множество всех комплексных 2, таких, что j z 1;
(с)	некоторое конечное множество;
(d)	множество всех целых чисел;
(е)	множество, состоящее из чисел 1/гг (п = 1, 2, 3, ...).
Отметим, что последнее множество Е имеет предельную точку
(а именно z — 0), но никакая точка множества Е не является его
предельной точкой. Мы хотим подчеркнуть разницу между свой-
ствами множества иметь предельную точку и содержать предель-
ную точку.
(f)	Множество всех комплексных чисел (т. е. R2);
(g)	интервал (а, Ь).
Отметим, что множества (d), (е), (g) можно рассматривать
и как подмножества пространства R1.
Некоторые свойства этих множеств перечислены в следующей
таблице:
	Замкнуто	Открыто
(а)	Нет	Да
(Ь)	Да	Нет
(0	Да	Нет
(d)	Да	Нет
(а)	Нет	Нет
(/)	Да	Да
(£)	Нет	
Совершенно
Нет
Да
Нет
Нет
Нет
Да
Нет
Ограничено
Да
Да
Да
Нет
Да
Нет
Да
В строке (g) мы не заполнили второй клетки. Причина этого
в том, что интервал (а, Ь) не есть открытое множество, если
рассматривать его как подмножество пространства R2, но он
является открытым подмножеством пространства R1.
2.24.	Теорема. Пусть {£а} — (конечное или бесконечное)
семейство множеств Еа. Тогда
(20)	(иД)с-ГД.
а	а
Доказательство. Пусть А и В—множества, стоящие
соответственно слева и справа в равенстве (20). Если х£А, то
Метрические пространства
43
М U£a, значит, х$Еа при всех а, поэтому х£Еса при всех а,
а
так что хСП-^а- Таким образом, АсгВ.
Обратно, если х£В, то х£Еса при всех а, значит, х$Еа при
всех а, поэтому х$ (J Еа, так что ( U Еа)с. Таким образом, В ст А.
а	а
Следовательно, А = В.
2.25.	Теорема. Множество Е открыто тогда и только
тогда, когда его дополнение замкнуто.
Доказательство. Сначала предположим, что Ес замкнуто.
Выберем х£Е. Тогда х^Ес и х не является предельной точкой
множества Ес. Значит, существует окрестность N точки х, такая,
что множество Ес f| N пусто, т. е. NcE. Таким образом, х —
внутренняя точка множества Е, и Е открыто.
Теперь предположим, что Е открыто. Пусть х—предельная
точка множества Ес. Тогда каждая окрестность точки х содержит
некоторую точку множества £с, так что х не является внутрен-
ней точкой множества Е. Поскольку Е открыто, это значит, что
х£Ес. Следовательно, Ес замкнуто.
Следствие. Множество F замкнуто тогда и только тогда,
когда его дополнение открыто.
2.26.	Теорема, (а) Для любого семейства {Ga} открытых
множеств множество U Ga открыто.
а
(Ь) Для любого семейства {.Fa} замкнутых множеств множе-
ство П Fa замкнуто.
а
(с) Для любого конечного семейства Gt, ..., Gn открытых
п
множеств множество Г) G; открыто.
г=1
(д') Для любого конечного семейства Ft, ...,Fn замкнутых
чг
множеств множество J Ft замкнуто.
г = 1
Доказательство. Положим G = Q Ga. Если х £ G, то х £ Ga
а
при некотором а. Так как х—внутренняя точка множества Ga,
то х—внутренняя точка множества G, и G открыто. Утвержде-
ние (а) доказано.
По теореме 2.24 имеем
(21)	( П Fa)c = U а),
а	а
44
Г л. 2. Элементы теории множеств
а по теореме 2.25 множества Fca открыты. Значит, из (а) следует,
что множество (21) открыто, так что множество П Fa замкнуто.
а
п
Теперь положим Н — П Gt. Для любого хРН существует
j—1
окрестность Nt точки х радиуса rt, такая, что Af, cz Gt (t — 1, . . ., п).
Положим
r = min(r1, ..., г„),
и пусть М—окрестность точки х радиуса г. Тогда N cz Gt при
z — 1, . . ., п, так что N cz Н, и множество И открыто.
Переходя к дополнениям, мы выведем (d) из (с):
(U Л)С=П (Л).
i=l	i=l
2.27.	Пример. В утверждениях (с) и (d) предыдущей теоремы
конечность семейств существенна. Действительно, пусть Gn—
интервал	(« = 1, 2, 3, ...). Тогда Gn — открытое под-
множество прямой R1. Положим G= П Gn. Тогда G состоит из
71 — 1
единственной точки (а именно, х = 0) и поэтому не является
открытым подмножеством из R1.
Таким образом, пересечение бесконечного семейства открытых
множеств не обязано быть открытым. Подобным образом, объе-
динение бесконечного семейства замкнутых множеств не обязано
быть замкнутым.
2.28.	Теорема. Пусть Е — замкнутое множество веществен-
ных чисел, ограниченное сверху. Пусть у~?,щ>Е. Тогда у£Е.
Сравните это утверждение с примерами 1.35.
Доказательство. Допустим, что у £ Е. Для каждого h > О
существует точка х£Е, такая, что у — h^x^y, так как иначе
у—h было бы верхней границей множества Е. Таким образом,
каждая окрестность точки у содержит некоторую точку х мно-
жества Е, причем х=^у, так как у^Е. Следовательно, у—пре-
дельная точка множества Е, не принадлежащая Е, так что
множество Е не замкнуто. Но это противоречит условию теоремы.
2.29.	Замечание. Допустим, что Е cz Y cz X, где X—
метрическое пространство. То, что Е — открытое подмножество
пространства X, означает, что с каждой точкой р£Е связано
положительное число г, для которого из условий d (р, q) <_ г, q £ X
следует включение q£E. Но мы уже заметили (п. 2.18), что У —
тоже метрическое пространство, так что наше определение с таким
Компактные множества	45
же успехом можно отнести к Y. Для полной точности мы будем
говорить, что множество Е открыто относительно Y, если каж-
дой точке р£Е отвечает число г>0, такое, что q£E, если
d(p, q)<Zr и q£Y. Пример 2.23 (g) показывает, что множество
может быть открытым относительно Y, не будучи открытым
подмножеством пространства X. Однако между этими понятиями
имеется простое соотношение, которое мы сейчас установим.
2.30.	Теорема. Пусть Y сд X. Подмножество Е множе-
ства Y открыто относительно Y тогда и только тогда, когда
E = Y (Т G для некоторого открытого подмножества G простран-
ства X.
Доказательство. Допустим, что Е открыто относительно
Y. Для каждого р£Е найдется положительное число гр, такое,
что из условий d (р, q)<.rp, q£Y следует, что q^E. Пусть Ур—
множество всех q^X, таких, что d(p, q)<grp; положим
G= U Vp.
р£Е
Тогда по теоремам 2.21 и 2.26 G — открытое подмножество про-
странства X.
Поскольку р Е Vp при всех р^Е, ясно, что Е сд G Q Y. Согласно
нашему выбору окрестности Vp, имеем Vp П Y ст Е при каждом
р^Е, так что брУсдЕ. Таким образом, Е = брУ, и половина
теоремы доказана.
Обратно, если множество G открыто ъ X и E = Gpy, то каж-
дая точка р£Е имеет окрестность VpczG. Тогда УррУ с:Е, так
что множество Е открыто относительно У.
Компактные множества
2.31.	Определение. Открытым покрытием множества Е
в метрическом пространстве X мы будем называть семейство {Ga}
открытых подмножеств пространства X, такое, что Е сд U Ga.
а
2.32.	Определение. Подмножество К метрического прост-
ранства X называется компактным, если каждое открытое покры-
тие множества К содержит конечное подпокрытие.
Говоря точнее, требование состоит в том, что если {ба}—
открытое покрытие множества К, то имеется конечное число
индексов аъ . . ., ап, таких, что
К сд Gai [J ... U Gan.
Понятие компактности имеет большое значение в анализе, осо-
бенно в связи с непрерывностью (гл. 4).
46	Гл. 2. Элементы теории множеств
Ясно, что каждое конечное множество компактно. Существо-
вание широкого класса бесконечных компактных множеств в
будет следовать из теоремы 2.41.
Мы заметили ранее (в п. 2.29), что если Е cz Y cz X, то мно-
жество Е может быть открытым относительно Y, не будучи от-
крытым относительно X. Свойство множества Е быть открытым
зависит, таким образом, от пространства, в которое оно погружено.
То же верно и в отношении свойства множества быть замкнутым.
Однако, как мы увидим, компактность — более удобное поня-
тие. Чтобы сформулировать следующую теорему, мы будем
говорить временно, что множество К компактно относительно X,
если выполнены требования определения 2.32.
2.33.	Теорема. Допустим, чтоКаУаХ. Множество К
компактно относительно X в том и только в том случае, когда
оно компактно относительно Y.
В силу этой теоремы мы сможем во многих ситуациях рас-
сматривать компактные множества как метрические пространства
сами по себе, не обращая никакого внимания на объемлющее
пространство. В частности, хотя почти бессмысленно говорить об
открытых пространствах или о замкнутых пространствах (каждое
метрическое пространство X служит открытым подмножеством
самого себя и замкнутым подмножеством самого себя), имеет
смысл говорить о компактных метрических пространствах.
Доказательство. Предположим, что множество К ком-
пактно относительно X; пусть {Va} — семейство множеств, откры-
тых относительно Y, такое, что Kez U^a- По теореме 2.30 при
а
каждом а существует множество Ga, открытое относительно X,
такое, что Va = Y f)Ga; поскольку К компактно относительно X,
мы имеем
(22)	KczGaiU...UGan
при некотором выборе конечного числа индексов ait ..., ап.
Так как /(сУ, то из (22) следует, что
(23)	KcVaiU...UVan.
Тем самым доказано, что множество К компактно относительно
Обратно, допустим, что К компактно относительно У. Пусть
{Ga} — семейство открытых подмножеств пространства X, покры-
вающее К. Положим Va — Yf}Ga. Тогда включение (23) будет
выполнено при некотором выборе сц, . ..,an; так как VaczGa>
то (22) следует из (23).
Доказательство закончено.
Компактные множества
47
2.34.	Теорема. Компактные подмножества метрических
пространств замкнуты.
Доказательство. Пусть К—компактное подмножество
метрического пространства X. Мы докажем, что дополнение мно-
жества К есть открытое подмножество пространства X.
Предположим, что pgX, р$К. Если q^K, то пусть Vq и Wq —
окрестности соответственно точек р и q радиуса, меньшего
q) [см. определение 2.20 (a)j.
Ввиду того что К— компактно, найдется конечный набор
точек qt, . . ., qn, принадлежащих множеству К. таких, что
KcWqi\i...\jW,n=W.
Если V = П . . . П Vqn, то V — окрестность точки р, не пересе-
кающаяся с W. Значит, Vct.Kc, так что р — внутренняя точка
множества Кс. Теорема доказана.
2.35.	Теорема. Замкнутые подмножества компактных мно-
жеств компактны.
Доказательство. Допустим, что F с К ст. X, множество
F замкнуто (относительно X), а /С —компактно. Пусть {По-
открытое покрытие множества F. Если присоединить множество
Fc к {Еа}, то мы получим открытое покрытие Q множества К.
Поскольку К компактно, существует конечное подсемейство Ф
семейства Q, покрывающее множество К. а следовательно, и F.
Если множество F' входит в Ф, то мы можем удалить его из Ф
и получить открытое покрытие множества F. Таким образом, мы
показали, что конечное подпокрытие покрытия {Va} покрывает F.
Следствие. Если F замкнуто, а К компактно, то F[\K
компактно.
Доказательство. Теоремы 2.26 (Ь) и 2.34 показывают,
что множество FfjK замкнуто, а так как Гр|Ка:К, то по тео-
реме 2.35 множество F [\К компактно.
2.36.	Если {КД — семейство компактных подмножеств метри-
ческого пространства X, такое, что пересечение любого конечного
подсемейства семейства {КД непусто, то и f| Ка непусто.
а
Доказательство. Зафиксируем множество КЛ из семейства
{Ка} и положим Оа = Да. Предположим, что в Ki нет такой
точки, которая принадлежала бы всем множествам Ка. Тогда
множества Ga образуют открытое покрытие множества Кр, так
как Кг компактно, найдется конечный набор индексов аь
48
Гл. 2. Элементы теории множеств
такой, что с: Gaj J ... (J Gajj. Но это означает, что множество
ПКа±П ••• ПКап
пусто. Мы получили противоречие с условиями теоремы.
Следствие. Если {£„} — последовательность непустых ком-
пактных множеств, такая, что Kn^>Kn+i (я = 1,2, 3 ...), то
оо
и множество Q Кп непусто.
71=1
2.37.	Теорема. Если Е — бесконечное подмножество компакт-
ного множества К, то Е имеет предельную точку, принадлежа-
щую к.
Доказательство. Если бы никакая точка множества /<
не была предельной точкой множества Е, то каждая точка
имела бы окрестность Vq, содержащую не более одной точки
множества Е (а именно точку q, если q£E). Ясно, что никакое
конечное подсемейство семейства {ЕД не может покрыть мно-
жество Е; то же верно и для К, так как Е с: К. Но это проти-
воречит компактности множества К.
2.38.	Теорема. Если {Iп} — последовательность сегментов
в R1, такая, что In+i (n=l, 2, 3, ...), то множество
П 1п непусто.
п— 1
Доказательство. Если 1п^[ап, Ьп], то пусть £ есть мно-
жество всех ап. Тогда множество Е непусто и ограничено сверху
(числом Ь^. Пусть x = sup£. Если т и п — положительные целые
числа, то
ат+п Ьт+п Ьт,
так что	при каждом т. Поскольку очевидно, что <
то мы видим, что х g 1т при т = 1, 2, 3, ....
2.39.	Теорема. Пусть k —положительное целое число. Если
{1п} — последовательность k-мерных клеток, такая, что 1птэ1п+1
(п=1, 2, 3, ...), то множество П 1п непусто.
П=1
Доказательство. Пусть 1п состоит из всех точек
х = (х1; ..., хд), таких, что
j^Xj^bn,j (1 j’ k, п = 1, 2, 3, ...),
и пусть — Ьп, /]• При каждом / последовательность {/„,>}
удовлетворяет предположениям теоремы 2.38. Значит, существуют
Компактные множества	49
вещественные числа х* (1 Д j такие, что
ar),j'Cx*sCbnfj (!</<&; п — 1, 2, 3, ...).
Полагая х* = (х*, ..., х^), мы видим, что х* g 1п при «-=1,2,3,... .
Теорема доказана.
2.40.	Теорема. Любая k-мерная клетка компактна.
Доказательство. Пусть I есть ^-мерная клетка, состоя-
щая из всех точек x = (xt, .... хЛ), таких, что
Положим
h
1
Тогда jx —у|<5, если х£/, у£/.
Допустим, что вопреки утверждению теоремы существует
открытое покрытие {Ga} множества /, не содержащее конечного
подпокрытия множества I. Положим Cj = (а,- -J-bj)/2. Сегменты
joj, q] и [с,-, ft;] определяют тогда 2,£ ^-мерных клеток Q,,
объединение которых есть /. Хотя бы одно из этих множеств Qt
(обозначим его Ц) не может быть покрыто никаким конечным
подсемейством семейства {Ga} (в противном случае так была бы
покрыта вся клетка /). Теперь мы разобьем Ц и продолжим этот
процесс. Мы получим последовательность {/„}, обладающую сле-
дующими свойствами:
(а)	...;
(Ь)	1п не покрывается никаким конечным подсемейством
семейства {Ga};
(с)	если х£/п и уСД, то I х — у [ Д 2~п6.
Из (а) и теоремы 2.39 следует, что существует точка х*, при-
надлежащая всем множествам При некотором а имеем x*CGa.
Поскольку Ga открыто, существует г > 0, такое, что из нера-
венства ] у — х* | <г следует включение . у gGa. Если п столь
велико, что 2~п6 < г (такое п существует, ибо иначе 2”Сб/г для
всех положительных целых п, что невозможно), то из (с) следует,
что /п сд Ga, а это противоречит утверждению (Ь).
Доказательство закончено.
Утверждение об эквивалентности свойств (а) и (о) в следую-
щей теореме известно под названием теоремы Гейне — Бореля.
2.41.	Теорема. Если множество Е из IV обладает одним
из трех следующих свойств, то оно обладает и двумя другими’.
(а)	Е ограничено и замкнуто:,
(b)	Е компактно;
50
Гл. 2. Элементы теории множеств
(с)	каждое бесконечное подмножество множества Е имеет пре-
дельную точку, принадлежащую Е.
Доказательство. Если (а) выполнено, то Е<~1, где I —
некоторая 6-мерная клетка, и (Ь) следует из теорем 2.40 и 2.35.
Теорема 2.37 показывает, что (&) влечет за собой (с). Остается
доказать, что из (с) следует (а).
Если множество £ не ограничено, то оно содержит точки х„,
такие, что
I XnI> п (п — 1, 2, 3, ...).
Множество S, состоящее из этих точек хг. бесконечно и, оче-
видно, не имеет предельных точек в Rh и тем более в £.
Таким образом, из (с) следует, что множество £ ограничено.
Если £ не замкнуто, то имеется точка xn£Rk, являющаяся
предельной точкой множества £, но не принадлежащая £. При
/г —= 1, 2, 3, ... имеются точки хяС£, такие, что j х., — xoi<cl/n.
Пусть S—-множество этих точек хп. Тогда S —бесконечное мно-
жество (в противном случае |ХП —х0| имело бы постоянное поло-
жительное значение для бесконечного множества номеров «),
х0 —предельная точка множества S и в Rk нет других предель-
ных точек множества S. Действительно, если yQRh, у~=х0, то
!	I -	!	, I	i ,	,1^1,	
I Хп — у I > | х0 — у; — ! Xп — хв i > I ха — у | — -- -g I х0 — у I
для всех п, за исключением некоторого конечного множества;
это показывает, что у не является предельной точкой множе-
ства S (теорема 2.22).
Таким образом, S не имеет предельных точек в £; значит,
множество £ замкнуто, если выполнено (с).
Следует отметить в связи с этой теоремой, что (&) и (с) экви-
валентны в любом метрическом пространстве (упражнение 13),
но что из (а) в общем случае не следуют (Ь) и (с). Например,
это так в пространстве Z2, которое обсуждается в гл. 10. Один
пример дается также в упражнении 9.
2.42.	Теорема (Вейерштрасс). Всякое ограниченное бесконеч-
ное подмножество пространства Rf‘ имеет предельную точку в Rk.
Доказательство. Будучи ограниченным, множество, о кото-
ром идет речь, содержится в некоторой 6-мерной клетке IczRh.
По теореме 2.40 множество / компактно, поэтому, согласно тео-
реме 2.37, множество £ имеет в / предельную точку.
Совершенные множества
51
Совершенные множества
2.43.	Теорема. Пусть Р — непустое совершенное множество
в Р,{. Тогда Р несчетно.
Доказательств о. Поскольку множество Р имеет предель-
ные точки, оно должно быть бесконечным. Допустим, что Р
счетно, и обозначим точки множества Р через х1; х2, х3, . .. .
Мы построим последовательность окрестностей {У^} следую-
щим образом.
Пусть V’, — какая-нибудь окрестность тонких,. Если Vt состоит
из всех yCR'1, таких, что |у — х^Сг, то соответствующая замк-
нутая окрестность есть по определению множество всех у CRk,
таких, что |у —xj<r. ('Как и в теореме 2.21, легко доказать,
что дополнение множества Vj открыто. Значит, замкнутые окре-
стности замкнуты.)
Допустим, что окрестность Уп построена так, что множество
УпП-Р непусто. Поскопьку каждая точка множества Р есть пре-
дельная точка этого множества, существует окрестность Уп+1,
такая, что (i) Уга+1 со Vn, (ii) x„£Vn+1, (iii) множество V'n+1[)P
непусто. В силу (iii), Vn+I удовлетворяет предположению индук-
ции, и построение может быть продолжено.
Положим Кп — Vn П Р- Будучи ограниченным и замкнутым,
множество Уп компактно. Ни одна точка множества Р не лежит
в П Кп, так как хп 4 Kn+i- Отсюда следует, что множество
п—1
П Кп пусто, так как Кп а Р. Но ведь каждое множество Кп
П--1
непусто в силу (iii) и Kn^Kn+i в силу (i). Это противоречит
следствию из теоремы 2.36.
Следствие. Каждый сегмент Jtz, t>] (а < Ь) несчетен. Мно-
жество всех вещественных чисел несчетно.
2.44.	Канторово множество. Пример, к построению которого
мы переходим, показывает, что в R1 существуют совершенные
множества, не содержащие никакого интервала.
Пусть £0 есть сегмент [0, 1]. Удалим из него интервал
( 1	2 \	i- с.
\ 3 ’ 37’ и ПУСТЬ 1 — объединение сегментов
[«!] [<•']•
Удалим средние трети этих сегментов, и пусть Ег — объеди-
нение сегментов
[0,1], [44], [11], [1,1].
52 Гл. 2. Элементы теории множеств
Продолжая таким образом, мы получим последовательность ком-
пактных множеств Еп, таких, что
(a)	E1zdE2zdE3zd
(Ь)	Еп есть объединение 2п сегментов, длина каждого из кото-
рых равна 3~".
Множество Р = f| Еп называется множеством Кантора. Мно-
п~1
жество Р, очевидно, компактно, и теорема 2.36 показывает, что
Р непусто.
Никакой интервал вида
(24)	^tl),
где k и т — положительные целые числа, не имеет общих точек
с Р. Значит, Р не содержит никакого интервала, ибо каждый
интервал (а, Р) содержит интервал вида (24), если
Р—а
j	.
Чтобы показать, что Р совершенно, достаточно показать, что
Р не содержит изолированных точек. Пусть х^Р и пусть S —
какой-нибудь интервал, содержащий х. Пусть /„ — сегмент мно-
жества Еп, содержащий х. Выберем достаточно большое п, такое,
что In cz S. Пусть хп — тот конец сегмента /„, для которого
Хп X.
Из построения множества Р следует, что xr: g Р. Значит, х
есть предельная точка множества Р, и множество Р совершенно.
Одно из самых интересных свойств множества Кантора
состоит в том, что оно доставляет нам пример несчетного мно-
жества меры нуль (понятие меры будет обсуждаться в гл. 10).
Связные множества
2.45.	Опр еделение. Множество Е в метрическом простран-
стве X называется связным, если не существует двух открытых
множеств А и В пространства X, таких, что пересечение A f] В
пусто, пересечения A f] Е и В f| Е не пусты и Е ci /1IJ В.
Это определение похоже на определение компактности,
поскольку на самом деле оно не зависит от объемлющего простран-
ства X, т. е. при замене слова «связное» словами «связное отно-
сительно X» в предыдущем абзаце выполняется следующее утверж-
дение: Е связно относительно X в том и только в том случае,
когда Е связно относительно Е.
Таким образом, имеет смысл говорить о связных простран-
ствах (ср. с замечаниями, следующими за формулировкой тео-
Связные множества
53
ремы 2.33): пространство связно, если оно не является объеди-
нением двух непустых непересекающихся открытых множеств.
Первая часть утверждения, набранного выше курсивом, почти
тривиальна: если Е не является связным относительно X, то
существуют множества А и В, обладающие свойствами, указан-
ными в определении, и'рассмотрение множеств 4QE и BQE
показывает, что Е не связно относительно Е (ср. с теоремой 2.30).
Обратное вытекает из следующего результата.
2.46.	Теорема. Пусть X — метрическое пространство, Е сд X
и E--G\\H, где G и Н — непересекающиеся непустые множества,
открытые относительно Е. Тогда существуют непересекающиеся
открытые множества А и В в X, такие, что G — А(]Е, И — В(]Е.
Доказательство. Каждой точке р £ G соответствует число
6р>>0, такое, что из соотношений q^E, d(p, q)<$P следует
включение q^G, так как множество G открыто относительно Е.
Аналогичным образом, каждой точке qQ_H соответствует число
Sq 0, такое, что из соотношений р£Е, d(p, q)<Z$q следует
включение р^Н. Значит, если p^G, qQH, то оба эти неравен-
ства не выполняются, так что
(25)
d(p, q)>^^P + 8q).
При pQG, q£H пусть Vp обозначает множество всех х£Х,
таких, что 2d(p, х)<6р, и пусть Wq — множество всех х£Х,
таких, что 2d (q, х) с 6q. Если некоторое множество Ур имеет
общую точку х с некоторым Wq, то
d(p, q)<d(p, x) + d(q, х) <-| (6Р + 6g),
что противоречит неравенству (25).
Таким образом, каждое Vp не пересекается ни с одним Wq,
и если мы положим
А = и В = и
PEG	g£H
то мы получим множества с требуемыми свойствами.
2.47.	Теорема. Подмножество Е вещественной прямой R1
связно тогда и только тогда, когда Е обладает следующим свой-
ством: если х£Е, у£Е и x<.z<_y, то и z^E.
Доказательство. Допустим, что это условие не выпол-
няется для некоторых чисел х, у, z, т. е. xQE, у£Е, x<zz<C.y,
но z^E. Если А есть множество всех a<z, а В — множество
всех р > z, то определение 2.45 показывает, что Е не связно.
54
Гл. 2. Элементы
теории множеств
Чтобы доказать обратное, допустим, что Е не связно. Тогда
существуют точки х£Е, уГ^Е, x<Zy, и открытые непересекаю-
щиеся множества А и В в' R1, такие, что х с А, у £ В и Е сд A (J В.
Пусть
S = 4f| [х, у\
и z~ sup S.
Ввиду того что у g В и В открыто, имеем z < у. Таким обра-
зом, если zQA, то из того, что А открыто, следует, что г
не является верхней границей множества S. Значит, г $ А.
Ввиду того что хб.4 и А открыто, имеем Таким обра-
зом, если z g В, то из того, что В открыто, следует, что z
не является верхней гранью множества S. Значит, z (f В.
Но так как Е сд A ’J В, то z $ Е, и доказательство закончено.
Следствие. Множество Е в R1 связно тогда и только
тогда, когда Е — одно из следующих множеств (где a ub — веще-
ственные числа, а-^Ь):
( — со, Ь), (—со, Ь], (а, со), [а, со), (—со, оо), (а, Ь), [а, Ь), (а, Ь], [а, Ь].
К какому из этих типов принадлежит множество Е, зависит
от того, конечны или нет inf с и supE и принадлежат ли они
множеству Е.
Столь же простой характеристики связных множеств на плос-
кости, например, не существует.
Упражнения
1.	Построить ограниченное множество вещественных чисел,
имеющее ровно три предельные точки.
2.	Построить компактное множество вещественных чисел,
множество предельных точек которого счетно.
3.	Пусть Е'—-множество всех предельных точек некоторого
множества Е. Доказать, что Е'
4.	_Пусть Ё = Е{)Е', где Е'
чить Е, мы добавляем к Е все
вается замыканием множества Е.
и что Ё сд F, если Е сзЕ и F
5.	Корни любого уравнения
замкнуто.
определено выше. Чтобы полу-
предельные точки Е; Е назы-
Доказать, что Е всегда замкнуто
замкнуто.
айхп 4-	4-... 4- ап_,х 4- ап — О,
где а0, ..., ап—целые числа, называются алгебраическими чис-
лами. Доказать, что множество всех алгебраических чисел
счетно.
Упражнения
55
Указание. При каждом положительном целом N существует
только конечное число таких уравнений, что
п +1 ао! +1 <211 + ... j ап | = N.
6.	.Дать пример открытого покрытия интервала (0,1), кото-
рое не содержит конечного подпокрытия.
7.	Показать, что теорема 2.36 и ее следствие становятся
неверными (в Z?1, например), если слово «компактное» заменить
словом «замкнутое» или «ограниченное».
8.	Бывают ли бесконечные метрические пространства, не
имеющие бесконечных компактных подмножеств?
9.	Пусть X—пространство всех рациональных чисел, d (р, q) —
= |р— q\ и Е — множество всех рациональных р, таких, что
2<р2<3. Показать, что Е замкнуто и ограничено, но не ком-
пактно.
10.	Метрическое пространство называется сепарабельным, если
оно содержит счетное всюду плотное подмножество. Показать,
что сепарабельно.
Указание. Рассмотреть множество точек, все координаты
которых рациональны.
11.	Семейство {Va} открытых подмножеств пространства X
называется базой пространства X, если верно следующее: для
каждого х£Х и каждого открытого множества G, такого, что
х£б, имеем xg’/ac:G при некотором а. Иными словами, каждое
открытое множество в X есть объединение некоторого подсе-
мейства семейства {5/о}.
Доказать, что каждое сепарабельное метрическое пространство
имеет счетную базу.
Указание. Возьмите все окрестности с рациональным радиусом
и с центрами в некотором счетном всюду плотном подмножестве
пространства X.
12.	Пусть X — метрическое пространство, в котором каждое
бесконечное подмножество имеет предельную точку. Доказать,
что X сепарабельно.
Указание. Зафиксируйте 6>0 и выберите xtQX. Выбрав
Xi, ..., Xj-QX, найдите, если это возможно, Xj+i£X, такое, что
d(x<, x7+i)>6 для i=l,	Покажите, что этот процесс
должен закончиться после конечного числа шагов и что поэтому X
можно покрыть конечным числом окрестностей радиуса 6.
Возьмите 6=l/n (n == 1, 2, 3, ...) и рассмотрите центры соот-
ветствующих окрестностей.
13.	Пусть X — метрическое пространство, в котором каждое
бесконечное подмножество имеет предельную точку. Доказать,
что X компактно.
56
Гл. 2. Элементы теории множеств
Указание. Согласно упражнениям И и 12, X имеет счетную
базу. Следовательно, каждое открытое покрытие пространства X
содержит счетное подпокрытие {G„}, и--1, 2, 3, .... Если
никакое конечное подсемейство семейства {Gn} не покрывает X,
то дополнение Fn множества Gt (J . .. (J Сп непусто при каждом п.
но пересечение — пусто. Пусть Е— множество, содержащее
по точке из каждого Fn. Рассмотрите предельную точку мно-
жества Е и получите противоречие.
14.	Доказать, что каждое замкнутое множество в сепара-
бельном метрическом пространстве есть объединение совершенного
множества (может быть, пустого) и некоторого не более чем
счетного множества. (Следствие: каждое счетное замкнутое мно-
жество в R11 имеет изолированные точки.)
15.	Доказать, что каждое открытое множество в R1 есть
объединение не более чем счетного семейства попарно непересе-
кающихся интервалов.
Указание. Воспользуйтесь упражнением 10.
16.	Следуя доказательству теоремы 2.43, получить такой
результат:
Если Rh=\)Fn, где каждое Fn—замкнутое подмножество
1
пространства R\ то хотя бы одно Fn имеет непустую внут-
ренность.
Эквивалентное утверждение. Если Gn—плотное открытое
подмножество пространства Rb- при /г = 1, 2, 3, то Gn
п~ 1
непусто (на самом деле оно всюду плотно в Rh). (Это частный
случай теоремы Бэра; см. общий случай в упражнении 17, гл. 3.)
ГЛАВ А
ЧИСЛОВЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
Как указывает название, в этой главе мы будем иметь дело
главным образом с последовательностями и рядами комплексных
чисел. Однако основные факты, связанные со сходимостью,
столь же легко объяснить и в более общей ситуации. Первые
три раздела будут поэтому посвящены последовательностям
в евклидовых пространствах или даже в метрических прост-
ранствах.
Сходящиеся последовательности
3.1.	Определение. Последовательность {р„} в метрическом
пространстве X называется сходящейся, если существует точка
обладающая следующим свойством: для каждого е >0
существует целое число N, такое, что при п > N имеем d (рп, р ) <Ze
(здесь d обозначает расстояние в X).
В этом случае мы будем говорить также, что последователь-
ность {рп} сходится к р или что р — предел последовательности
{рп} [см. теорему 3.2 (Ь)], и будем писать рп—>Р или
lim рп = Р-
ч,->сс
Если последовательность {р,,} не сходится, то говорят, что
она расходится.
Полезно отметить, что наше определение «сходящейся после-
довательности» зависит не только от {рп}, но и от X; например,
последовательность {1 'п} сходится в X1 (к 0), но не сходится
в множестве всех положительных вещественных чисел (когда
d (х, у) — I х—г/||. В тех случаях, когда возможна путаница, мы
будем более точными и будем говорить отчетливо «сходится в X»
вместо «сходится».
Напомним, что множество всех точек рп (п — 1, 2, 3, . . .) есть
множество значений последовательности {р„}. Множество значе-
ний последовательности может быть конечным или бесконечным.
Последовательность называется ограниченной, если множество
ее значений ограничено.
58
Гл. 3. Числовые последовательности и ряды
Для примера рассмотрим следующие последовательности
комплексных чисел (при этом X — R2).
(а)	Если зп=1/н, то liin s;i - 0; множество значений беско-
нечно, и последовательность ограничена.
(Ь)	Если sn = ns, то последовательность {$„} не ограничена,
расходится, а множество ее значений бесконечно.
(с)	Если sn=l-r[(—1)ПМ], то последовательность {.хД схо-
дится к 1, ограничена, а множество ее значений бесконечно.
(d)	Если sn = in, то последовательность {$Д расходится,
ограничена, а множество ее значений конечно.
(е)	Если '„--И (п = 1,2, 3, ...), то {.хД сходится к I, огра-
ничена, а множество ее значений конечно.
Сформулируем теперь некоторые важные свойства сходящихся
последовательностей в метрических пространствах.
3.2.	Теорема. Пусть {рп}— последовательность в метри-
ческом пространстве X.
(а) {Рп} сходится к рГХ тогда и только тогда, когда каждая
окрестность точки р содержит все члены последовательности
{рп}, за исключением конечного их числа.
(&) Если pQX, р' £Х и {рп} сходится крику’, то р — р'-
(с) Если {рп} сходится, то {рп} ограничена.
(d) Если ЕсХ и если р—предельная точка множества Е,
то существует последовательность {рп} элементов множества Е,
такая, что р— lim рп.
п-*оо
Доказательство, (а) Допустим, что рп—>р, и пусть
V—окрестность точки р. Для некоторого еД>0 из условий
d (р, <?)<б, q^X, следует, что q£V. Этому е соответствует N,
такое, что из неравенства N следует, что d (рп, р) < е. Таким
образом, неравенство n>N влечет за собой включение pn£V.
Обратно, допустим, что каждая окрестность точки р содержит
все точки рп, кроме конечного их числа. Зификсируем е>0,
и пусть V — множество всех qQX, таких, что d {р, q)<_e.
По предположению, существует N (соответствующее этой окрест-
ности V), такое, что pn(zV, если n>N. Таким образом,
d{pn,p)<&, если n>JV; значит, рп—> р.
(Ь)	Пусть задано число е>0. Существуют целые числа N, N’,
такие, что
n>N влечет за собой d(pn, р)<_^,
n >N’ влечет за собой d(pn, p')<z-~.
Сходящиеся последовател ьности
59
Значит, если n>niax(N, N'), то
d(p, p')^d(p, pn)+d(pn, р')<е.
Поскольку число е было произвольным, мы заключаем отсюда,
что d(p, р") ~0.
(с)	Допустим, что рп—>р. Тогда существует целое N. такое,
что при п> N имеем d(pn, р)<1. Положим
r = max{l, d(pt, р), ...,d(p„, р)}.
Тогда d (рп< р)^г при п — 1, 2, 3, ... .
(d)	Для каждого положительного целого п существует точка
рп££, такая, что d (рп, p)<C\hi. Для данного е>0 выберем Л'
так, что Л?8 > 1. Если n>N, то d(pn, р)<е. Значит, рп—> р.
Доказательство закончено.
Для последовательностей в Rk мы можем изучать соотноше-
ния между сходимостью, с одной стороны, и алгебраическими
операциями, с другой. Сначала мы рассмотрим последовательности
комплексных чисел.
3.3. Теорема. Допустим, что {sn}, {tn} — комплексные после-
довательности и limsn = s, lim tn = t. Тогда
(a) lim (sn-\-tn) = s + t;
(&) lim csn ^ cs. lim (c + sn) = c + s для любого числа с;
n—>со	n->co
(c) lim sntn = st;
П->СО
(d) lim — = — , если только sn¥=0 (n — 1, 2, 3, ...) и s --^= 0.
n-»co Sn s
Доказательство, (а) Для данного e>0 существуют целые
Ni, N2, такие, что
при имеем |sn—s | < ~ ,
при n>N2 имеем \tn —
Если N = max(lV1, Лг2), to при n>N получим
| (sn Д tn) — (s-j-1) | < | sn—s | +1 tn-— 11 < e.
Тем самым (а) доказано. Доказательство утверждения (6) три-
виально.
(с) Воспользуемся тождеством
(1)	sntn—St = (sn—s)	— t) + s(tn--t) + t (sn — s).
(ii>	Гл. 3. Числовые последовательности и ряды
Для данного е>0 существуют целые A'j, У2, такие, что
при п > Ni имеем | sn — s \ < }' е ,
при п > N2 имеем | tn — t \ < j/е .
Если мы возьмем N = max (АД N2), то при n> N получим
l(sn—s)(tn — 01 <е,
откуда
lim (s„ — s) (tn—0 = °-
Применив теперь (а) и (Ь) к тождеству (1), мы заключаем, что
lim (sntn — st) = 0.
П—>го
(d) Выбрав m так, что | sn— s | < у | s | при п> т, мы видим,
что
I Sn , > у I s !	(n>m).
Для данного е ,> 0 существует целое А'>т, такое, что при
n^N имеем
i sn—s I <у | s |2е.
Отсюда при n>N получаем
3.4.	Теорема, (а) Допустим, что х„Д! (п=1, 2, 3, ...) и
ХП — (dl, П1 • • • 1 dft, п).
Последовательность {хД сходится к х — (alt .. ., «Д тогда
и только тогда, когда
(2)	lima7-,n = ay (l^j^k).
П->со
(b) Допустим, что {хД, {уД — последовательности в R!'\
{РД — последовательность вещественных чисел и хл —» х, уп— >у,
[Д—.Д- Тогда
lim (хп + уД-=хД у, lim хп-у„ = х-у, lim р„х„ = рх.
п-*со	п->со	_<э
Доказательство. Если хп-^х, то равенство (2) выполня-
ется в силу неравенств
j aj, п I Д- | Хп X |,
вытекающих непосредственно из определения нормы в Rk.
Подпоследовател ьност и
61
Обратно, если (2) выполнено, то каждому е > 0 соответствует
целое N, такое, что при n'^-N имеем
(К/<&).
ул
Значит, при n>N получаем
{Я	) */2
S — O/i2 <е,
j—l	J
откуда х„ —> х. Тем самым (а) доказано.
Утверждение (6) следует из (а) и теоремы 3.3.
Подпоследовательности
3.5.	Определение. Пусть задана последовательность {рп}.
Рассмотрим последовательность {пА} положительных целых чисел,
такую, что nl < п2 < п3 <, ... . Тогда последовательность {рп.}
называется подпоследовательностью последовательности {рп}-
Если последовательность {р>1;} сходится, то ее предел называется
частичным пределом последовательности {рп}.
Ясно, что последовательность {рп} сходится к р тогда и только
тогда, когда всякая ее подпоследовательность сходится к р. Мы
предоставляем читателю провести детальное доказательство.
3.6.	Теорем а. Всякая ограниченная последовательность в R'
содержит сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Пусть Е — множество значений ограни-
ченной последовательности {хп} в Rk. Если Е конечно, то суще-
ствуют по крайней мере одна точка х множества Е и последо-
вательность («j <_ п2 < п3 < . . .), такие, что
хП1 = хП2 = . .. х.
Полученная таким образом подпоследовательность, очевидно, схо-
дится.
Если множество Е бесконечно, то оно имеет предельную
точку х£7?'£ (теорема 2.42). Выберем п1 так, что | х„,—х I < 1.
Выбрав zip ...,/г,л, мы получим, по теореме 2.22, что существует
целое ni>ni_i, такое, что | хп. — х | < 1/z. Построенная таким
образом подпоследовательность сходится к х.
3.7.	Теорема. Частичные пределы последовательности {рп}
в метрическом пространстве X образуют замкнутое множе-
ство в X.
62	Гл. 3. Числовые последовательности и ряды
Доказательство. Пусть Е — множество значений последо-
вательности {рп}, а Е* — множество всех частичных пределов этой
последовательности. Допустим, что q — предельная точка мно-
жества Е*. Чтобы показать, что qQE*, достаточно, по тео-
реме 3.2 (d), показать, что q — предельная точка множества Е.
Пусть задано число е>0. Поскольку q—предельная точка
множества £*, имеется точка р Q Е*, такая, что
0<d(p, q)<^.
Так как р £ Е*, то при некотором рп имеем
d(p, pn)<d(p, q).
Значит, pn-f=q и
0<d(pn, q)x^d(pn, p) + d(p, q)<z.
Поскольку pn£E, отсюда следует, что q—предельная точка мно-
жества £, и доказательство закончено.
Последовательности Коши
3.8.	Определение. Последовательность {рп} в метрическом
пространстве X называется последовательностью Коши (фунда-
ментальной последовательностью, последовательностью, "сходя-
щейся в себе), если для любого е>0 существует целое N, такое,
что d(pn, рт)<г при и т> N.
При рассмотрении последовательностей Коши, а также в дру-
гих ситуациях, которые возникнут позднее, окажется полезным
-прдующее геометрическое понятие.
3.9.	Определение. Пусть Е—подмножество метрического
пространства X, и пусть S—множество всех вещественных чисел
вида d(p, q), где р£Е и q£,E. Диаметром множества £ назы-
вается число supS. Это число обозначается diam £.
Если {рп} — последовательность в X, а Ек состоит из точек
Рк, Pn+1, Pn+z, • то из двух последних определений ясно, что
{Рп} — последовательность Коши тогда и только тогда, когда
lim diam £N = 0.
N-> со
3.10.	Теорема, (а) Если Е есть замыкание множества Е
в метрическом пространстве X, то
diam £ = diam £.
Последовательности Коши
63
(b) Если {Кп} — последовательность компактных множеств
в X, такал, что Кп^>Кп^ (n= 1, 2, 3, и если
lim diam Кп = О,
п-*оо
то П Кп состоит ровно из одной точки.
Доказательство, (а) Ясно, что
diam £<diam£,
так как Ес:Е.
Зафиксируем число е>0 и выберем р£~Ё, q£E. По опреде-
лению множества Е, в Е содержатся точки р', q', такие, что
d(p, р')<_Е, d(q, q')<Ze. Значит,
d(p, q)^.d(p, p') + d(p', q')+d(q', q)<
<Z2s~Ed(p', p')^2e4-diam£.
Следовательно,
diam E < 2e -j- diam E,
и так как e произвольно, утверждение (а) доказано.
(Ь) Положим К = П Кп- По теореме 2.36, К непусто. Если К
П-1
содержит более одной точки, то diam К >0. Но при каждом п
мы имеем Кп К, так что diam Кп > diam К- Это противоречит
предположению, что diamK„—>0.
3.11. Теорема, (а) Всякая сходящаяся последовательность
в метрическом пространстве X является последовательностью
Коши.
(&) Всякая последовательность Коши в Rk сходится.
Замечание. Разница между определением сходящейся после-
довательности и определением последовательности Коши состоит
в том, что в первое определение в явном виде входит предел,
в то время как во второе определение он не входит. Таким обра-
зом, теорема 3.11 (Ь) позволяет нам решить, сходится или нет
данная последовательность, даже если мы не знаем предела,
к которому она может сходиться.
То (содержащееся в теореме 3.11) утверждение, что последо-
вательность в Rk сходится тогда и только тогда, когда она явля-
ется последовательностью Коши, обычно называют критерием
сходимости Коши.
64	Гл. 3. Числовые последовательности и ряды
Доказательство, (а) Если iim рп = Р и е>0, то сущест-
П-+С»
вует целое N, такое, что d(pn, р)<.е!2 при n^-N. Значит, если
п -• N и т N, то
<црп, pm)<.d(pn, p)+d(p, pm)<et
гак что {p,J—последовательность Коши.
(Ь) Допустим, что {хп}— последовательность Коши в RK. Пусть
Еу—множество, состоящее из точек хХ) хЛЧ1, х.у„2, . .., и пусть
ЕД —замыкание множества EN. По определению 3.9 и по теореме
3.10 (а) мы имеем
(3)	lim diamEy —0.
Лг->со
В частности, множества EN ограничены. Кроме того, они замкну-
ты. (Это следует из упражнения 4, гл. 2. Вот короткое доказа-
тельство: если х 4 ЕД, то х $ EN, и х не является предельной
точкой множества ЕЛд поэтому некоторая окрестность V точки х
не пересекается с Е^. Никакая точка окрестности V не принад-
лежит ЁД, так как множество V открыто; следовательно, допол-
нение множества ЁД открыто.) Значит, каждое множество Е.х
компактно (теорема 2.41). Кроме того, Ел-дэЕл-+1, так что
Е.у о Ёк+1. По теореме 3.10 (Ь) существует единственная точка
х G R’’1, принадлежащая каждому множеству ЁД.
Пусть задано число е > 0. В силу (3) имеется целое No, такое,
что (ПатЁД<е, если N>Nn. Поскольку х £ ЕД, это значит, что
Д—х|<е при всех у £ЕК, а поэтому и при всех у QEN. Иными
словами, если n>R0, то хл—х ' < в. Но это означает в точности,
что хп —ех, и доказательство закончено.
3.12.	Определение. Метрическое пространство X, в кото-
ром каждая последовательность Коши сходится, называется пол-
ным. Поэтому теорему 3.11 (Ь) можно сформулировать так: R’ —
полное метрическое пространство. Примером неполного метри-
ческого пространства служит пространство всех рациональных
чисел с расстоянием d(x, у) = \х —у\.
Теорема 3.2 (с) и пример (d) из п. 3.1 показывают, что схо-
дящиеся последовательности ограничены, но ограниченные после-
довательности в R"' не обязательно сходятся. Однако имеется
один важный случай, когда сходимость равносильна ограничен-
ности. Так обстоит дело с монотонными последовательностями
в я1.
Верхний и нижний пределы
65
3.13.	Определение. Последовательность {sn} вещественных
чисел называется
(а)	монотонно возрастающей, если s„<sn+i (л — 1, 2, 3, ...);
(Ь)	монотонно убывающей, если s„>s„+1 (n = 1, 2, 3, ...).
Класс монотонных последовательностей состоит из возрастаю-
щих и убывающих последовательностей.
3.14.	Теорема. Монотонная последовательность {зп} схо-
дится в том и только в том случае, когда она ограничена.
Доказательство. Допустим, что sn<Sn+i (в другом слу-
чае доказательство аналогично). Пусть Е — множество значений
последовательности {з„}. Если последовательность {зп} ограничена,
то пусть s—верхняя грань множества Е. Тогда
зп<з (л= 1, 2, 3, ...).
Для любого е>0 существует целое N, такое, что з—8<
<зЛг<з, так как иначе з—е было бы верхней границей мно-
жества Е. Поскольку последовательность {зп} возрастает, то при
n>N имеем
3	8 Зд
откуда следует, что {s„} сходится (к з).
Обратное следует из теоремы 3.2 (с).
Верхний и нижний пределы
3.15.	Определение. Пусть {sn} — последовательность веще-
ственных чисел, обладающая следующим свойством: для любого
вещественного М существует целое N, такое, что при N мы
имеем з„>Л4. Тогда мы пишем
$п_»4-со.
Аналогичным образом, если для любого вещественного числа М
существует целое N, такое, что при n>N мы имеем sn^M, то
мы пишем
Зп-*— ОО.
Следует отметить, что мы теперь используем символ—> (взе-
денный в определении 3.1) для некоторых типов расходящихся
последовательностей, так же как и для сходящихся последова-
тельностей, но что определения сходимости и предела, данные
в п. 3.1, никоим образом не меняются.
3.16.	Определение. Пусть {sn} — последовательность веще-
ственных чисел. Пусть Е — множество чисел х (в расширенной
66
Гл. 3. Числовые последовательности и ряды
системе вещественных чисел), таких, что snft—»х для некоторой
подпоследовательности {snft}. Это множество Е содержит все
частичные пределы, определенные в п. 3.5, и, возможно, числа
4-со, —оо.
Вспомним теперь определения 1.34 и 1.40 и положим
s* = supE,
s* = inf Е.
Числа s*, s„ называются верхним и нижним пределами последо-
вательности {sn}; мы используем обозначения
fims„ = s*, limsn = s*.
n~*-o	n->co
3.17.	Теор ем а. Пусть {s„}— последовательность веществен-
ных чисел. Пусть Е и з* имеют тот же смысл, что и в опре-
делении 3.16. Тогда s* обладает следующими свойствами:
(a)	s*£E;
(b)	если х s*, то существует целое N, такое, что при п>N
имеем sn<Zx. Более того, s*—единственное число, обладающее
свойствами (а) и (Ь).
Конечно, аналогичный результат верен для зф.
Доказательство. Если з* = + оо, то множество Е не огра-
ничено сверху; значит, последовательность {зп} не ограничена
сверху и существует подпоследовательность {snft}, такая, что
Sn.k —> + СО.
Если s* — вещественное число, то множество Е ограничено
сверху и существует по крайней мере один частичный предел,
поэтому (а) следует из теорем 3.7 и 2.28.
Если з* = — со, то Е содержит только один элемент, а именно
— оо, и не существует ни одного частичного предела. Значит,
для любого вещественного М неравенство sn>M может выпол-
няться лишь для конечного множества значений п, так что
Sn —» — ОО .
Тем самым (а) установлено во всех случаях.
Чтобы доказать (Ь), допустим, что существует число х > з*,
такое, что s„>x для бесконечного множества значений и. В этом
случае существует число у^Е, такое, что у > х > з*, а это про-
тиворечит определению з*.
Таким образом, s* удовлетворяет условиям (а) и (Ь).
Для доказательства единственности допустим, что существуют
два числа р и q, удовлетворяющие условиям (а) и (Ь), и допу-
стим, что p<.q- Выберем х таким, что р <'х < q. При n>N
имеем зп<х, так как р удовлетворяет условию (Ь). Но тогда q
не может удовлетворять условию (а).
Некоторые специальные последовательности
67
3.18.	Примеры, (а) Пусть {sn} — последовательность, содер-
жащая все рациональные числа. Тогда каждое вещественное
число является частичным пределом и
lim sn = + оо, lim sn =—co.
(b)	Пусть s„ = (-l)n[l + (l/n)]. Тогда
Tim sn — 1, lim sn = — 1.
(с)	Для последовательности {sn} вещественных чисел lim sn = s
тогда и только тогда, когда
lim sn = lim sn = s.
n-+oo	n—>co
1Мы закончим этот раздел одной полезной теоремой, доказа-
тельство которой совсем тривиально.
3.19.	Теорема. Если sn^.tn при n^>N, где N фиксиро-
вано, то
lim sn< lim tn,
П-*оо	n-»oo
Tim sn< lim tn.
П—>03	n—
Некоторые специальные последовательности
Теперь мы вычислим пределы некоторых часто встречающихся
последовательностей. Все доказательства будут основаны на сле-
дующем замечании: если 0<xn<lsn при n>N, где N—некоторое
фиксированное число, и если sn—>0, то —>0.
3.20.	Теорема, (а) Если р>0, то lim -!^ = 01).
п-»оо п
(Ь)	Если р>0, то lim п\Ер =1.
п-*оз
(с)	lim П\Еп = 1.
(d)	Если р>0 и а — вещественное число, то
(е)	Если |х|<1, то limxn = 0.
п-*оо
J) Смысл символа пр не был до сих пор определен, то же относится
и к па в пункте (d); указания на способ определения степени с любым веще-
ственным показателем содержатся в упражнении 7 к гл. 1. —Прим, перев.
68
Гл. 3. Числовые последовательности и ряды
Доказательство, (а) Возьмем п> (I/e)1^.
(Ь)	Если р> 1, то положи^ хп = Ур —1. Тогда хп>0 и, со-
гласно теореме о биноме,
I 4- +хп)п = р,
так что

Р-1
п
Значит, >0. Если р = 1, то (Ь) тривиально; если 0<р<1,
то результат получается переходом к обратным числам.
(с)	Положим Хп — 'Уп—1. Тогда хп>0 и, согласно теореме
о биноме,
Значит,
(л>2).
(d)	Пусть k—такое целое число, что£>а, &>0. Для/г>2&
имеем
и I лу>^ ( п Л	1)... (п—Л+1)	«М
+Р> >\к)Р -------------~k\------р > w •
Значит,
0 < ,-г-i—агГ < —ъ~ п h (п > 2fe).
U + p)n Ph	’
Поскольку a — fe<0, имеем na~k —>0 в силу (a).
(e)	Возьмем a = 0 в (d).
Ряды
В остальной части этой главы все рассматриваемые последо-
вательности и ряды будут комплекснозначными, если явно не ого-
ворено противное. В упражнении 15 предлагается распространить
некоторые из следующих ниже теорем на ряды с членами из R\
3	.21. Определение. Пусть задана последовательность {ап}.
Мы будем обозначать сумму ар +ар+1+... + aq (p<q) через
я
2	ап. Последовательности {ап} мы сопоставим последователь-
п=р
ность {sn}, где
п
Oft.
k = i
Ряды
69
Символ
или, короче,
(4)
ai + а2 +• а3 + • • • ’
СО
2 ап
П=1
мы будем называть бесконечным рядом или просто рядом. Числа sn
называются частными суммами этого ряда. Если последователь-
ность {sn} сходится к s, то мы будем говорить, что ряд сходится,
и будем писать
оо
2	— S.
п=1
Число s называется суммой этого ряда, но необходимо ясно пони-
мать, что s является пределом последовательности сумм, а не
получается простым сложением.
Если последовательность {sn} расходится, то говорят, что ряд
расходится.
Иногда для удобства обозначений мы будем рассматривать
ряды вида
оо
(5)	2 On-
п=0
Часто мы будем вместо (4) или (5) писать просто 2 ап-
Ясно, что каждую теорему о последовательностях можно сфор-
мулировать на языке рядов (полагая = s, и ап~ sn—sn_! при
n>l), и обратно. Но тем не менее полезно различать эти по-
нятия.
Критерий Коши (теорему 3.11) можно сформулировать в сле-
дующем виде.
3.22.	Теорема. Ряд 2 ап сходится тогда и только тогда,
когда для любого е>0 существует целое N, такое, что
(6)
т
2 ak
k=n

если т>п>Ы.
В частности, при т = п неравенство (6) превращается в нера-
венство
| ап | С е (n>N).
Иными словами, справедлива следующая теорема.
70
Г л. 3. Числовые последовательности и ряды
3.23.	Т е о р е м а. Если ряд 2 ап сходится, то lim ап = 0.
Однако условие ап —> 0 не достаточно для того, чтобы обес-
печить сходимость ряда У ап. Например, ряд
54
П=1
расходится; за доказательством мы отсылаем к теореме 3.28.
Теорема 3.14 о монотонных последовательностях также имеет
очевидный аналог для рядов.
3.24.	Теорема. Ряд неотрицательных1) членов сходится
тогда и только тогда, когда его частные суммы образуют огра-
ниченную последовательность.
Теперь мы обратимся к признаку сходимости другой приро-
ды—к так называемому «признаку сравнения».
3.25.	Теорема, (а) Если \ап\^.сп при п> No, где No—неко-
торое фиксированное целое, и если ряд 2 сп сходится, то и ряд
2 On сходится.
(Ь) Если an>dn^0 при n^N0 и если ряд ^dn расходится,
то и ряд 2 ап расходится.
Заметим, что признак (Ь) применим только к рядам с неотри-
цательными членами ап.
Доказательство. Согласно критерию Коши, для данного
е > 0 существует N > Л/о» такое, что при m^n^-N имеем
VI
2 е.
k=n
Значит,
тп	т т
I 2	2 IahI< 2
k=n	k—n	k~n
и (а) доказано.
Далее, (b) следует из (а), так как если ряд 2 ап сходится,
то и ряд 2^« должен сходиться (заметим, что (Ь) следует также
из теоремы 3.24).
Этот признак сравнения очень полезен; чтобы успешно при-
менять его, мы должны освоиться с некоторым набором рядов
с неотрицательными членами, заведомо сходящихся или расхо-
дящихся.
х) Выражение «неотрицательный» всегда относится к вещественным
числам.
Ряды с неотрицательными членами
71
Ряды с неотрицательными членами
Простейшим из всех таких рядов, по-видимому, является гео-
метрическая прогрессия.
3.26.	Теорема. Если 0 < х <_ 1, то
Если х>1, то этот ряд расходится.
Доказательство. Еслих=4=1, то
Устремляя п к оо, мы получим требуемый результат. При
х =1 получается ряд
14-1 + 1 + ...,
который, очевидно, расходится.
Во многих случаях, встречающихся в приложениях, члены ряда
монотонно убывают. Поэтому следующая теорема Коши пред-
ставляет особый интерес. Поразительная особенность утвержде-
ния теоремы состоит в том, что довольно «редкая» подпоследо-
вательность последовательности {ап} определяет сходимость или
расходимость ряда У ап.
3.27.	Теорема. Допустим, что а^а2>а3> ... >0. Тогда
ряд 2 ап сходится в том и только в том случае, когда схо-
n—i
дится ряд
(7)
। 2,!а„(г — а{ + 2а2 +	+ 8а& + .. . .
Доказательство. По теореме 3.24 достаточно установить
ограниченность частных сумм. Пусть
sn — al + a2-\- . . . Д-ап,
tk ~ а1 2л2 + . .. — 2^2^.
При п < 2h имеем
Sn "С ai + (аг т а3) + .. . + (a2k + . .. + a2fe+1-1)
+ aj + 2<з2 -}-..,+ 2кагь — th,
72
Гл. 3. Числовые последовательности и ряды
так что
(8)	sn^tk.
С другой стороны, при /г>2к
sn 01 +аг+ (fl3 4“ ai) + • • • +	+ • • • + a2li)
~2 ai -4 й2 + 2^4 + ... 4* 2k 1a2k = th,
так что
(9)	2sn>tk.
В силу (8) и (9), последовательности {зД и {th} или обе огра-
ничены, или обе не ограничены. Доказательство закончено.
3.28.	Теорема. Ряд 2 7^" сходится, если рТ>\, и расхо-
дится, если р Д 1.
Доказательство. Если р^.0, то расходимость следует
из теоремы 3.23. Если р>0, то применима теорема 3.27, и мы
приходим к ряду
ОО	оо
22‘47=22'"‘"'’’
k=0	й=0
Но 2<1-Р)<;1 тогда и только тогда, когда 1—р<0, и теорема
вытекает из сопоставления с геометрической прогрессией (следует
положить х = 21-р в теореме 3.26).
В качестве еще одного приложения теоремы 3.27 будет дока-
зана следующая теорема.
3.29.	Теорема. Если р>1, то ряд
ОО
(1 °)	2 п (log п)Р
п=2
сходится; если р < 1, то этот ряд расходится.
Замечание. Символ log и обозначает логарифм числа п
по основанию е (ср. упражнение 9, гл. 1); число е будет вскоре
определено (см. определение 3.30). Мы начинаем ряд с и = 2,
так как log 1 =0.
Доказательство. Из монотонности логарифмической
функции (которая более подробно будет рассматриваться в гл. 8)
следует, что {log п} — возрастающая последовательность. Значит,
последовательность	убывает, и мы можем применить
Число е
73
теорему 3.27 к ряду (10); это приводит к ряду
со	со	оо
<1 i 2* 2k (loe = 2 (k log 2)Р (log 2)Р S IF ’
k=l v е '	S=1	fc=l
и теорема 3.29 следует из теоремы 3.28.
Эту процедуру, очевидно, можно продолжить. Например, ряд
(12)
у________!______
п log п log log п
расходится, тогда как ряд
ОО
п log п (log log п)г
п=3
сходится.
Можно заметить, что члены ряда (12) очень мало отличаются
от членов ряда (13). Однако один ряд сходится, а другой рас-
ходится. Продолжая процесс, который привел нас от теоремы 3.28
к теореме 3.29, а затем к (12) и (13), мы получим пары сходя-
щихся и расходящихся рядов, члены которых отличаются даже
меньше, чем члены рядов (12) и (13). Можно было бы предпо-
ложить, что имеется некое предельное положение, «граница», по
одну сторону которой лежат все сходящиеся, а по другую—все
расходящиеся ряды, по крайней мере пока речь идет о рядах
с монотонно убывающими членами. Конечно, это понятие «границы»
совсем неясное. Однако мы хотим отметить следующее: как бы
мы ни уточнили это понятие, такое предположение окажется
неверным. Упражнения 11 (Ь) и 12 (Ь) могут служить иллю-
страциями.
Мы не хотим вдаваться глубже в подобные вопросы теории
сходимости и отсылаем читателя к главе IX, в особенности § 41,
книги Кноппа0 (см. литературу).
Число е
VI 1
3.30.	Определение, е = 2. ц 
71—0
Здесь п! = 1 • 2 • 3 ... п, если n > 1, и 0! = 1.
!) См. также Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и инте-
грального исчисления, т. II, М. — Л., 1948, п. 365. —Прим, перее.
74
Г л. 3. Числовые последовательности и ряды
Этот ряд сходится, так как
, . . , 1 । 1 . 1 .
5п=1-!-1-гГ2 + Г2?з+ ... +Г277Ч<
< 1 + 1 + у + ^2 + ' • • + Г < 3’
поэтому определение имеет смысл. На самом деле указанный ряд
сходится очень быстро, и это позволяет нам вычислить е с боль-
шой точностью.
Интересно отметить, что е можно определить также при помощи
другого предельного перехода; доказательство служит хорошей
иллюстрацией того, как следует оперировать с пределами.
3.31.	Теорема, lim Г 1 + — е.
п-*оэ х	У
Доказательство. Пусть
По теореме о биноме
Значит, tn^sn, так что
(14)	lim tn<e
п~>со
по теореме 3.19. Далее, если zz>m, то
tn > 1 + 1 + 4" (1 -	+ • • • +^г (1- - 0 •••	•
Устремим п к оо, оставляя т фиксированным. Получим
lim 1 + 1 + -2j~ + • • • +77Г ,
П-*со
так что
sm< lim tn.
Устремляя т к оо, мы окончательно получаем
(15)	lim tn.
71-* СО
Другие признаки сходимости
75
Скорость, с которой сходится ряд 2l“nT’ можно оценить так:
если sn обозначает то же, что и выше, то
_	1	. i	!
е Sn~ (п+1)! + (п + 2)! ' (п + 3)! +	' <
<—L_ J1+_JL+_L_+	1=_L_
(п+1)! I ’ п+1 ' (п+1)2 ' J п! п ’
так что
(16)	0 -< е — sn<:_	.
' '	п п\п
Таким образом, сумма $10 приближает число е с ошибкой,
меньшей 10"’. Неравенство (16) представляет и теоретический
интерес, так как оно позволяет очень легко доказать иррацио-
нальность числа е.
\
3.32.	Теорема. Число е иррационально.
Доказательство. Допустим,, что е рационально. Тогда
e=plq, где р, q— положительные целые числа. В силу (16),
(17)	0<(?!(e-Sg)<l.
Согласно предположению, 7! е—целое число. Число ql(e—sg)
также целое, поскольку
7! sq = 7! 1 + 1 + — + ... + J .
Так как 7>1, из (17) следует существование целого числа,
заключенного между 0 и 1. Таким образом, мы добились про-
тиворечия.
Другие признаки сходимости
3.33.	Теорема (признак Коши). Пусть задан ряд ^ап.
Положим а= lim |/ \ап |. Тогда
П —► оо
(а)	если а < 1, то ряд У, ап сходится',
(Ь)	если а > 1, то ряд 2 ап расходится;
(с)	существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды,
для которых а = 1.
Доказательство. Если а<1, то можно выбрать (J так,
что а<р<1, а целое число N—так, что у] ап | < р при л> N
[по теореме 3.17 (д)]. Иначе говоря, при n>N имеем
|ап|<Рп-
76
Гл. 3. Числовые последовательности и ряды
Ряд У Р" сходится, так как 0 < р < 1. Сходимость ряда У, ап
следует теперь из признака сравнения.
Если а>1, то, снова по теореме 3.17, существует последо-
вательность {пД, такая, что
|Z|anJ-»a.
Значит, | ап | > 1 для бесконечного множества значений п, так
что условие ап—» 0, необходимое для сходимости ряда У ап, не
выполнено (теорема 3.23).
Чтобы доказать (с), рассмотрим ряды
si. si-
Для каждого из этих рядов а = 1 [по теореме 3.20 (с)], но первый
расходится, а второй сходится.
3.34.	Теорема (признак Даламбера). Ряд ^ап
(а) сходится, если lim < 1;
п-»от ' ап I
(&) расходится, если > 1 при п^п0, где п0—некоторое
I ап I
фиксированное число;
(с) существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды,
для которых
lim I I < 1< Йт I I .
г^оо I ап 1	П-"Х> i ап '
Доказательство. Если условие (а) выполнено, то можно
найти р < 1 и целое число IV, такие, что
I |^р
при га > /V. В частности,
| ^N+i | < Р । ClN j,
I aN+2 | < P | CtN+1 I < P2 | aN I?
i #N+p i < PP | aN I-
Это значит, что
Ы<ЫРЛ₽"
при n^N; таким образом (а) следует из признака сравнения, так
как ряд J рп сходится.
Другие признаки сходимости
77
Если |ап+1|>|ап| при zz>n01 то легко видеть, что условие
ап —> 0 не выполнено, откуда и следует (Ь).
Чтобы доказать (с), мы снова рассмотрим ряды
У - У --
Для каждого из них мы имеем
lim ^ = 1,
П->СО
но первый расходится, а второй сходится.
3.35. Примеры, (а) Рассмотрим ряд
для которого \
lim -^±1 = lim =
--- ап к 3 )
1- пГ~ г ?/ 1	1
hm ]/ап= lim 1/	,
П-+00 F	I/ 3
Признак Коши указывает на сходимость; признак Даламбера
не позволяет сделать никаких заключений.
(Ь) То же самое верно в отношении ряда
-L л_
2 ^^8	4	32 т16	128	64	’
где
цт£п±1 Tim "-t-1-= 2,
ап	» п^оо ап
но
1- ”/—	1
hm V ап = v .
n-ко	z
3.36. Замечания. Признак Даламбера, как правило, легче
применять, чем признак Коши, так как обычно легче вычислять
частные, чем корни n-й степени. Однако признак Коши сильнее
в следующем смысле: когда признак Даламбера указывает на схо-
димость, то и признак Коши тоже указывает на сходимость;
если же признак Коши не позволяет сделать никаких заключе-
78
Гл. 3. Числовые последовательности и ряды
ний, то и признак Даламбера тоже не позволяет сделать никаких
заключений. Это следует из теоремы 3.37 и иллюстрируется при-
веденными выше примерами.
Ни один из этих двух признаков не является особенно тонким
в отношении расходимости. В обоих расходимость выводится
из того, что ап не стремится к нулю при п —>со.
3.37. Т еорема. Для любой последовательности {сп} положи-
тельных чисел имеем
lim sC lim р сп,
----- с л ---
П->со	п-+сх>
Tim p cri < lim .
П-+СО	П-Ю> СП
Доказательство. Мы докажем второе неравенство; дока-
зательство первого совершенно аналогично. Положим
а = fim .
п-*оо ^п
Если а = 4-оо, то доказывать нечего. Если а конечно, то выбе-
рем |3>а. Существует целое N, такое, что
Сп
при /г>М. В частности, для любого р>0
Cv+A+l Рс.у+А (k — О, 1, . . . , Р— 1).
Перемножая эти неравенства, мы получаем
Cn+p "С
или
Значит,
так что
(18)	Timp<c„C₽
п-+оо
по теореме 3.20 (Ь). Поскольку неравенство (18) верно при любом
Р>а, имеем
lim р^Сп^а.
Степенные ряды
79
Степенные ряды
3.38.	Определение. Пусть задана последовательность ком-
плексных чисел {сп}. Ряд
(19)
2 Сп2п
п=0
называется степенным рядом. Числа сп называются коэффициен-
тами этого ряда; здесь z—комплексное число.
Вообще говоря, этот ряд сходится или расходится в зависи-
мости от выбора числа г. Точнее, с каждым степенным рядом
связан круг, так называемый круг сходимости, такой, что ряд
(19) сходится, если z лежит внутри этого круга, и расходится,
если z находится вне круга (чтобы охватить все случаи, мы должны
рассматривать плоскость как внутренность окружности бесконеч-
ного радиуса, а точку—как окружность нулевого радиуса).
Поведение ряда на окружности круга сходимости может быть
гораздо более разнообразным, и его нельзя так просто описать.
3.39.	Теорема. Пусть задан степенной ряд У, спгп. Положим
а= lim JX’lcnl, =
n-юо	u
(если а —О, то R = 4-оо; если а= 4-оо, то R = 0). Тогда ряд
^cnzn сходится, если |z|<R, и расходится, если | z | > R.
Доказательство. Положим an = cnz” и применим признак
Коши. Имеем
lim У\ ап | = | z | • lim РЯ Cn I = 4г •
п—►со	п~>оо
Замечание. Число R называется радиусом сходимости ряда
У CnZ”.
3.40.	Примеры, (а) Для ряда У пПгП имеем R = 0.
(Ь)	Для ряда 2 ту имеем R = 4- оо (в этом случае проще
применить признак Даламбера, чем признак Коши).
(с)	Для ряда 2 имеем R = 1. Если | z | = 1, то ряд расхо-
дится, так как zn не стремится к 0 при п—>оо.
ХП zn
(d)	Для ряда >| — имеем R = 1. Этот ряд сходится во всех
точках окружности круга сходимости, кроме г = 1. Это будет
доказано в теореме 3.44.
80 Г л. 3. Числовые последовательности и ряды
(е)	Для ряда У, имеем R = 1. Этот ряд сходится во всех
точках окружности круга сходимости согласно признаку сравне-
ния, так как = если lzl = 1.
I П2 I п2	11
Суммирование по частям
3.41.	Теорема. Пусть даны две последовательности {яп},
(6.J. Положим
п
Ап = 3 «а при л > 0; A-i = Q.
А=0
Тогда, если О^р^р, то
g	д-1
(20)	2 апЬп — 2 Ап(Ьп bn+l) 4“ Aqbq — Ар-^Ьр.
П='Р	п—р
Доказательство. Имеем
д	д	g	д-1
2 anbn — 2 (А»— An~i) Ьп~ 2 АпЬп— 2 АпЬп+1,
П—р	п=:р	П=р	П—р— 1
и последнее выражение справа, очевидно, равно правой части
равенства (20).
Формула (20), так называемая формула суммирования
по частям, полезна при исследовании рядов вида 2 апЬп, в осо-
бенности, если последовательность {Ьп} монотонна. Сейчас мы
дадим ее приложения.
3.42.	Теорема. Допустим, что
(а)	частные суммы Ап ряда 2 ап образуют ограниченную
последовательность’,
(b)	b0>bi>b2> ..
(с)	lim bn = 0.
П->СО
Тогда ряд ^апЬп сходится.
Доказательство. Выберем М так, что | Ап |М при
всех п. Для данного е>0 существует целое число N, такое, что
(е/2Л1). При N ^р^р имеем
g	9-1
| 2 апЬп | — | 2 Ап(Ьп — bn+l)A~Aqbq Ap-ibp I
п—р	п=р
Q-1
м | 2 (Ьп—^п+1) bq -|- Ьр | = 2МЬр^ 2MbN^ s.
П—Р
Абсолютная сходимость
81
Сходимость следует теперь из критерия Коши. Заметим, что пер-
вое неравенство в написанной выше цепочке основано, конечно,
на том, что Ьп — Ьл+1>0.
3.43.	Теорема. Допустим, что
(а)	\с1\>\сг\>\с3\> .
(Ь)	Сгт-i > 0, <?2т < 0 (m = 1, 2, 3 ...);
(с)	lim сл = 0.
71—>СО
Тогда ряд 3 сл сходится.
Ряд, для которого выполнено условие (6), называется «знако-
переменным рядом»; сформулированная теорема была известна
Лейбницу.
Доказательство. Применим теорему 3.42, положив
fln = (-l)n+1, ^=Ы-
3.44.	Т еорема. Допустим, что радиус сходимости ряда
2 спгп равен 1 и с0> >с2> ..., limcn = 0. Тогда ряд ^cnzn
71-►СО
сходится в каждой точке окружности |z|=l, за исключением,
возможно, течки z = 1.
Доказательство. Положим ап = гп, Ьп = сп. Тогда выпол-
нены условия теоремы 3.42, так как
т=0
2
|1-г|
если | г | = 1, г =/= 1.
Абсолютная сходимость
Говорят, что ряд У, ап сходится абсолютно, если сходится
ряд 2|ал1.
3.45.	Теорема. Если ряд У ап сходится абсолютно, то он
сходится.
Доказательство. Утверждение следует из неравенства
т	т
I S	2 Ki
k=n	fe=n
и из критерия Коши.
3.46.	Замечания. Для рядов с положительными членами
абсолютная сходимость — это то же самое, что сходимость.
82
Гл. 3. Числовые последовательности и ряды
Если ряд сходится, а ряд 2 I «п. I расходится, то говорят,
что ряд сходится неабсолютно. Например, ряд
2“
сходится неабсолютно (теорема 3.43).
Признак сравнения, так же как и признаки Даламбера и Коши,
на самом деле есть признак абсолютной сходимости, и поэтому
не может дать никакой информации о неабсолютно сходящихся
рядах. Для работы с последними иногда можно пользоваться
суммированием по частям. В частности, степенной ряд сходится
абсолютно внутри круга сходимости.
Мы увидим, что с абсолютно сходящимися рядами можно
обращаться совершенно так же, как с конечными суммами.
Мы можем перемножать их почленно и переставлять слагаемые,
не меняя суммы. Но для неабсолютно сходящихся рядов это уже
неверно, и при действиях с ними нужна большая осторожность.
Сложение и умножение рядов
3.47.	Теорема. Если ^ап = А и ^Ьп = В, то
^(ап + Ьп) = АА-В и 2 сап = сА пРи любом с.
Доказательство. Пусть
Ап — 2 aft,	2 bh.
k=Q	/<=0
Тогда
Ап + Вп — 2 (яй + Ьл)-
й=0
Ясно, что
lim (Д„ + Вп) = А + В,
п~+<х>
так как
ПтДл = Д, НтВл - В.
п—>со	п—>оз
Доказательство второго утверждения даже проще.
Таким образом, два сходящихся ряда можно сложить почленно,
и полученный ряд будет сходиться к сумме сумм этих двух рядов.
Положение усложняется при рассмотрении произведения двух
рядов. Сначала мы должны определить произведение. Это можно
сделать разными способами; мы будем рассматривать так назы-
ваемое произведение Коши.
Сложение и умножение рядов
83
3.48.	Определение. Пусть заданы ряды 2 ап и 2 У
Положим
п
сг,=- 2 dkbn-k (П = О, 1, 2, ...)
й=0
и назовем ряд 2 сп произведением двух данных рядов.
Это определение можно объяснить следующим образом. Если,
взяв два степенных ряда 2 ап?п и У bnzn, мы перемножим
их подобно тому, как это делается в случае многочленов, и при-
ведем подобные члены, то мы получим
2 anzn-2 М" = (а0 +	+ a2z2 + ...) (b0 +btz +b2z2 + .. .)-
n=0	n=0
^-aab0 + (a(ib}J:-a.^^zi-fa^bz + a./^+azb^z2-^ ... =
= CO + C1Z + C2Z2+ • •  •
Полагая z=l, мы приходим к данному выше определению.
3.49.	Пример. Если
Аг= 2 ah, Вп= 2 bh,	ck
h=0	ft = 0	k=0
и An—> A, Bri—> В, то совсем не ясно, будет ли последователь-
ность {Сп} сходиться к АВ, так как неверно, что Сп~АпВп.
Зависимость {Сп} от {Ап} и {В1г} очень сложна (см. доказательство
теоремы 3.50). Сейчас мы покажем, что произведение двух схо-
дящихся рядов может на самом деле расходиться.
Ряд
у _Ы)1.= 1_______L . J_______1_ +
£0 У«+/ V2 уз г74
сходится (теорема 3.43). Составив произведение этого ряда
с самим собой, мы получим
ОО
2 Сп-1 “	(уу+ уТу^ + у§ )
п=0
~ Су!+ У'зУ2+ У21/з^ уг) + • • • ’
так что
п
сп = (— 1)" у. -—=^.--1-====.
"0 У(«-I)(fe + 1)
84
Г л. 3. Числовые последовательности и ряды
Так как
(n-^+l)(fe+l)= Q+	1)2 .
то мы имеем
IГ I > V 2	_ 2(”+1)
'	п + 2	п+2	’
так что условие сп—» О, необходимое для сходимости ряда
не выполнено.
В связи со следующей теоремой, принадлежащей Мертенсу,
заметим, что мы рассматривали в этом примере произведение
двух неабсолютно сходящихся рядов.
3.50.	Теорема. Допустим, что
ОО
(а)	ряд 2 On сходится абсолютно,
п=0
(Ь)	2 ап = А,
п=0
(с)	2^=5,
п=0
(d)	сл= 2 akbn-k (га = 0, 1,2, . ..).
h=0
Тогда
2 сп = АВ.
п==0
Это значит, что произведение двух сходящихся рядов схо-
дится и сумма равна произведению сумм, если хотя бы один
из этих двух рядов сходится абсолютно.
Доказательство. Положим
Ап = 2	— 2 bk, Сп = 2 t-л, рл= — в.
k=0	k=0	h=0
Тогда
Сп = aobo + (aoi>i + афо) + ... + (а0Ьп + а^Ьп^ + ... + апЬ0) —
—	+ fli-Bn-i + ... + апВ0 —
—	а0(В-{- Pn) + di (В + рл_1) 4- . •. + ап (В + р0) =
=	АпВ + aopn + aiPn_i -}... + +iPo-
Перестановки рядов
85
Положим
Y'n ^oPn "i"	4*   • 4“ ^-пРо*
Мы хотим показать, что Сп—> АВ. Достаточно показать, что
(21)	Птуп=0,
п->со
так как АпВ —» АВ. Положим
« = 3 I ап\-
п=0
[Именно здесь мы используем условие (а).] Пусть задано 8>0.
В силу (с), р„—>0. Значит, можно выбрать N так, что |рп|<8
при n^N, и в этом случае
I Yn I Cl Ро^п + • • • 4“ Pw^n-N | 4" | Рдг+1ап-Лг-1 + • • • 4“ pn^o I <
I Роап 4- • • • 4- $Nan-N | 4- eCt-
Оставляя N фиксированным и устремляя п к оо, мы получим
lim | Yn I < еа,
П—>оо
так как а*—>0 при k—» со. Отсюда и следует (21), так как е
произвольно.
Можно задать другой вопрос: обязательно ли сумма ряда
2 Сп, в том случае, когда он сходится, равна АВ? Абель показал,
что ответ на этот вопрос—утвердительный.
3.51.	Теорема. Если ряды ^ап, ^Ьп, 2сп сходятся
соответственно к А, В, С и сп = aobn -f-... + апЬ0, то С —АВ.
Здесь не делается никаких предположений об абсолютной
сходимости. Мы дадим простое доказательство (основанное на
непрерывности степенных рядов) после теоремы 8.2.
Перестановки рядов
3.52.	Определение. Пусть {kn}, п = 1, 2, 3, ..., — после-
довательность, в которой каждое положительное целое число встре-
чается один и только один раз (т. е. {kn} — взаимно однозначное
отображение множества J на J, см. определение 2.4). Положим
а'п = акп (n= 1, 2, 3, ...);
мы будем говорить, что ряд 2 а'п является перестановкой ряда
3 ап.
Если {snJ, {sn} — последовательности частных сумм рядов 2ап>
2 «п, то легко видеть, что, вообще говоря, эти две последова-
86
Гл. 3. Числовые последовательности и ряды
тельности составлены из совершенно разных чисел. Мы, таким
образом, приходим к задаче: выяснить, при каких условиях
все перестановки сходящегося ряда сходятся и совпадают ли их
суммы между собой.
3.53.	Определение. Говорят, что ряд сходится
безусловно, если каждая его перестановка сходится (к той же
сумме). (Ср. с теоремой 3.57.)
3.54.	Пример. Рассмотрим сходящийся ряд
(22)	1 — у + у ~4~+ у-б“+ • • •
и одну из его перестановок
(23)	1+т-т+т+4“т+у+Т1~т+---’
в которой за двумя положительными членами всегда следует
отрицательный. Если s —сумма ряда (22), то
1,1	5
S < 1 ‘ 2 + 3 ~ 6 •
Так как
1____->0
4fe—3'4fe—1	2k
при & > 1, то мы видим, что s, < s'6 <Z Sg < ..., где s'n есть n-я
частная сумма ряда (23). Значит,
Нт > s; = ,
п->со	и
так что ряд (23) наверняка не сходится к s [мы предоставляем
читателю проверку того, что ряд (23) тем не менее сходится].
Этот пример иллюстрирует следующую теорему, принадлежа-
щую Риману.
3.55. Теорема. Пусть ап—неабсолютно сходящийся ряд
вещественных чисел, и пусть а р—два данных числа (в рас-
ширенной системе вещественных чисел). Тогда существует пере-
становка 2 ап с частными суммами s’n, такая, что
(24)	lim Sn = a, limSn = p.
п~>со	П-*ОО
Доказательство. Пусть
Pn-|gnl2+gn, ?n-|gnl2~gn (n= 1,2,3, ...).
Перестановки рядов
87
Тогда pn—qn = an, pn + qn==\an\, рп>0, qn>0. Ряды 2 Рп, ~^Яп
оба должны расходиться.
Действительно, если бы оба эти ряда сходились, то и ряд
2 (Рп + <7п) = 2 |а«!
сходился бы, вопреки предположению. Сходимость ряда 2 Яп
и расходимость ряда 2 Рп (или наоборот) влечет за собой расхо-
димость ряда 2 ап, что снова противоречит предположению,
так как
N	N	N	N
2^ = 2 (Рп Яп)= 2 Рп' 2 яп-
П==1	П=1	П=*1	П=1
Обозначим теперь через Plt Р2, Рз, ••• неотрицательные члены
ряда 2 ап в том порядке, в каком они встречаются, и пусть
Qi, Qz, Q3, •••—абсолютные величины отрицательных членов
ряда 2 ап также в их естественном порядке.
Ряды 2 Рп, 2 Qn отличаются от рядов 2 Рп, 2 Яп только
нулевыми членами и поэтому расходятся.
Мы построим такие последовательности {тл}, {fen}, что ряд
(25)	Р1 -р . . . 4- Pmj. — Q1 — ... — Qftj + Рmj-H + • • •
• • • ~р Рт2— Qfci+1— • • . —Qfe2 + • • •,
очевидно, являющийся перестановкой ряда 2 ап, удовлетворяет
условию (24).
Выберем последовательности вещественных чисел {ал}, {рл}
так, что ал а, Р„ -> р, ал < рл.
Пусть mlt ki — наименьшие из таких целых чисел, что
Р1 + • • • + Ртг > Р1,
Pj + • • • + Pmi—Qi — ••• — Qki <
пусть tn2, ^ — наименьшие из таких целых чисел, что
Р1+ • • • + Рп»1 Q1 • •• — Qftl + Рт1+1 -р . . . -р Рт2 > Рг>
Pi "Р • • • "Р Р тг — Q1 — ••• — Qki + Р mi+1 + . . . *р Рт2 '
Q&1+1 • • • ‘ Qfc2 < «2,
и т. д. Мы можем продолжить этот выбор, так как ряды 2 Рп
и 2 Qn расходятся.
Если через хл, уп обозначить частные суммы ряда (25),
последние члены которых Ртп, —Qkn, то
| хп Рп | Ртп' I Уп ап I Qfcn-
Мы видим, что хл—>р, уп—>а, так как Рп—»0 и Qn—>0
при п—> со.
88
Гл. 3. Числовые последовательности и ряды
Наконец, ясно, что никакое число, меньшее чем а или
большее чем 0, не может быть частичным пределом последова-
тельности частных сумм ряда (25).
3.56. Теорема. Ряд 2 ап сходится безусловно тогда и только
тогда, когда он сходится абсолютно.
Доказательство. Допустим, что ряд 2ап сходится абсо-
лютно. Пусть 2 ci'n — его перестановка, обладающая частными
суммами s'n. Для данного е>0 существует целое число М, такое,
что при m > п > Л имеем
т
(26)	2
i=n
Выберем теперь р так, чтобы все целые числа 1, 2, ..., N
содержались в множестве kif k2, ...,kp (мы используем обозна-
чения из определения 3.52). Тогда при п> р числа ait ..., aN
в разности sn — sn уничтожаются, так что |sn —s„|<8 в силу (26).
Значит, последовательность {s„} сходится к тому же пределу,
что и {sn}.
Теперь допустим, что ряд 2°п сходится неабсолютно. Если
an = xn + iyn, где хп и уп вещественны, то | ап |< | хп | +1 уп |.
Поскольку ряд 2 I ап | расходится, то расходится один из рядов
2 I хп |, 2 I Уп\- Таким образом, один из рядов 2 хп или 2 уп
сходится неаосолютно. Согласно теореме 3.55, имеется такая
перестановка, что либо ряд 2*п, либо ряд 2#п расходится, так
что и ряд 2 а'п расходится.
Значит, ряд 2 «л не является безусловно сходящимся.
Следующая теорема показывает, что в определении 3.53,
не меняя его содержания, можно опустить фразу, заключенную
в скобки.
3.57. Т еорема. Если все перестановки ряда 2а« сходятся,
то они сходятся к одной и той же сумме.
Доказательство. Либо ряд 2сходится абсолютно,
и в этом случае 2 ап сходится безусловно по теореме 3.56, либо
2 Оп не сходится абсолютно, и в этом случае по теореме 3.55
существует расходящаяся перестановка.
Упражнения
1.	Доказать, что из сходимости последовательности {snJ сле-
дует сходимость последовательности {| sn|}. Верно ли обратное?
Упражнения
89
2.	Вычислить п? + п — п).
П->со
3.	Пусть Si = У2 и
sn+i = У 2 4~У sn	(и = 1, 2, 3, ...).
Доказать, что последовательность {sn} сходится и что sn < 2
при л = 1, 2, 3, ....
4.	Найти верхний и нижний пределы последовательности {$„},
определенной следующим образом:
S1 = 0; s2m =	:	82Ш+1 = У + s2m-
5.	Для любых двух вещественных последовательностей {ап},
{Ьп} имеем
lim (ап + Ьп) lim On + lim bn.
П-+ОО	71—>СО	n-*0O
6.	Исследовать поведение (сходимость или расходимость ряда)
3 fin, если
(а) ап = У«+ 1 — Vп‘,
(>)o,= V»E=V»;
(с) а„ = ("^-1)п;
(d) ап = т4гп Для комплексных значений г.
i -f- 2
7.	Доказать, что из сходимости ряда 2 ап следует сходимость
ряда
ап
п ’
если ал>0.
8.	Если ряд сходится и если {&п} — монотонная и ограни-
ченная последовательность, то и ряд 2 апЬп сходится.
9.	Найти радиус сходимости каждого из следующих степенных
рядов:
(a) 2«3*n;	(*) 2^гг";
(с) 25^
10.	Допустим, что коэффициенты степенного ряда 2 ап?п—
целые числа, среди которых бесконечно много отличных от нуля
Доказать, что радиус сходимости не превышает единицы.
90
Гл. 3. Числовые последовательности и ряды
(*>) РЯД У
11.	Допустим, что ряд расходится, ал>0, и пусть
sn — «1 + • • • + Доказать, что
(а)	ряд У расходится;
(Ь)	ряд У — расходится;
“ sn
(с)	ряд у 4г сходится.
" sn
Что можно сказать о рядах У , У Г-4Г‘9- ?
1	1 + пап ’	1 + п2ап
12.	Допустим, что ряд 2ал сходится, ал>0, и положим
со
?п~ У @-т-
т~п
Доказать, что
(а) ряд У ~ расходится;
1 гп
ап
—~ СХОДИТСЯ.
Vrn
13.	Доказать, что произведение Коши двух абсолютно сходя-
щихся рядов сходится абсолютно.
14.	Пусть {хл} — какая-нибудь последовательность. Рассмотрим
средние арифметические
/ __sl+ • • • + 5Л
1п~ п
Доказать, что из сходимости sn—»s следует сходимость tn—>s.
Доказать, что существуют расходящиеся последовательности {$л},
которым соответствуют сходящиеся последовательности {/„}.
15.	Определение 3.21 можно распространить на тот случай,
когда ап принадлежат некоторому фиксированному пространству
Rk. Абсолютная сходимость определяется как сходимость ряда
У | ал |. Показать, что теоремы 3.22, 3.23, 3.25, 3.33, 3.34, 3.42,
3.45, 3.47, 3.56 и 3.57 остаются верными в этом более общем
случае (доказательства требуют лишь незначительных изменений).
16.	Доказать следующий аналог теоремы 3.10(b): если {Дл}—
убывающая последовательность замкнутых множеств в полном
метрическом пространстве X и если
lim diam Еп = 0,
7WCO
то множество П Еп состоит ровно из одной точки.
П=1
17.	Пусть X—полное метрическое пространство, а> {Gn} —
последовательность всюду плотных открытых подмножеств про-
Упражнения
91
странства X. Доказать теорему Бэра, состоящую в том, что
множество П Gn непусто. (В действительности оно плотно в X.)
п=1
Указание. Найти стягивающуюся последовательность замкну-
тых окрестностей Еп, таких, что Еп a:. Gn, и применить упражне-
ние 16.
18.	Пусть {рД и {qn}—последовательность Коши в метрическом
пространстве X. Показать, что последовательность {d (рп, qn)}
сходится.
Указание. Для любых т, п имеем d(pn, qn)^d(pn, рт) +
+ d(pm, qm') + d (qm, qn), следовательно, разность
I d (Рп, Яп) d (Pmi Qm) |
мала, если m, n велики.
19.	Пусть X — метрическое пространство.
(а)	Назовем две последовательности Коши {рД, {qn} в X экви-
валентными, если
lim d (рп, qn) = 0.
П-+0О
Доказать, что этим определено отношение эквивалентности1)-
(Ь)	Пусть X*—множество всех полученных таким образом
классов эквивалентности2). Если PQX*, QQX*, {рп}ЕР, {<7n}CQ>
то положим, по определению,
А (Р, Q) = lim d (рп, qn).
n-х»
В силу упражнения 18, этот предел существует. Показать,
что число A (Р, Q) не изменится, если {рп} и {qn} заменить экви-
валентными последовательностями, и что тем самым А — расстоя-
ние на X*.
(с)	Доказать, что полученное метрическое пространство X*
полно.
(d)	Каждому р^Х сопоставим последовательность Коши, все
члены которой равны р; пусть Рр — тот элемент множества X*,
который содержит эту последовательность. Доказать, что
	А (^р> Pg) = d (р, q)
!) Это означает, что 1) всякая последовательность Коши эквивалентна
самой себе; 2) из эквивалентности пары последовательностей {pn}, {qn} следует
эквивалентность пары {qn}> {рпУ< 3) из эквивалентности пар {рп}, {рп} и {<?п},
{гл} следует эквивалентность пары последовательностей {рп}, {гп}.—Прим,
перев.
2) Классом эквивалентности называется множество всех последовательно-
стей Коши, эквивалентных какой-нибудь одной последовательности.—Прим,
перев.
92	Гл. 3. Числовые последовательности и ряды
при всех р, q£X. Иными словами, отображение ср, заданное
равенством ср (р) = Рр, есть изометрия (т. е. отображение, сохра-
няющее расстояния) пространства X в X*.
(е)	Доказать, что qp (X) всюду плотно в X* и что ср(Х) = Х*,
если X полно.
В силу (d) можно отождествить X с qp (X) и, таким образом,
считать, что X погружено в полное метрическое пространство X*.
Мы будем называть X* пополнением пространства X.
20.	Пусть X — пространство рациональных чисел с метрикой
d(x, у) — \х—у\. Что служит пополнением этого пространства?
(Ср. с упражнением 19.)
ГЛАВА
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Понятие функции и связанная с ним терминология были введены
в определениях 2.1 и 2.4. Хотя в последующих главах мы будем
в основном интересоваться вещественными и комплексными функ-
циями (т. е. функциями, значения которых—вещественные или
комплексные числа), мы будем рассматривать также векторно-
значные функции (т. е. функции со значениями в R^) и функции
со значениями в любом метрическом пространстве. Теоремы, кото-
рые мы будем доказывать в этой общей обстановке, ничуть
не стали бы более легкими, если бы мы ограничились, например,
вещественными функциями; наоборот, на самом деле картина
упростится и прояснится, если мы отбросим излишние предполо-
жения и будем формулировать и доказывать теоремы в разумной
общности.
Наши функции будут определены в метрических простран-
ствах, выбор которых будет надлежащим образом уточняться
в различных примерах.
Предел функции
4.1.	Определение. Пусть X и Y — метрические простран-
ства. Пусть E<zzX, f отображает £ в У, а р— предельная точка
множества Е. Мы будем писать «/(х)—при х—>р», или
(1)	lim f(x) = q,
Х-+Р
если существует точка qQY, обладающая следующим свойством:
для любого е > 0 существует 6 > О, такое, что
(2)	dY(f(x),	q)<t
для любых точек х £ Е, для которых
(3)	•	0<dx(x,	р)<б.
Символы dx и dY относятся к расстояниям соответственно
в пространствах X и Y.
Если X и (или) Y заменяются вещественной прямой, комплекс-
ной плоскостью или каким-нибудь евклидовым пространством R\
94
Гл. 4. Непрерывность
то расстояния dx, dy, конечно, заменяются абсолютными величи-
нами или соответствующими нормами (см. п. 2.18).
Следует отметить, что p(jX, но точка р не обязана принад-
лежать множеству Е в предыдущем определении. Более того,
даже если рбЕ, то вполне возможно, что f (р) =# litn f (х).
Х—^р
Этому определению можно придать другую форму, высказав
его в терминах последовательностей.
4.2.	Теорема. Пусть X, Y, Е, f и р — те же, что и в опре-
делении 4.1. Тогда
(4)	lim/(x) —р
х->р
в том и только в том случае, когда
(5)	lim f (рп) = q
для любой последовательности {р„}, такой, что
(6)	Рп~/-'Р> limрп = Р, PnQE при всех п.
П—>оо
Доказательство. Допустим, что выполнено равенство (4).
Выберем какую-нибудь последовательность {рге}, удовлетворяющую
условию (6). Пусть е>0. Тогда существует 6>0, такое, что
dT (f (х), (?)е, если xQE и 0<dA-(p, х)<6. Кроме того, суще-
ствует N, такое, что при п> N имеем 0 < dx (рп, Р) < 6. Таким
образом, при пТ> N имеем dY (f (рп), q) < е, откуда следует, что
выполнено равенство (5).
Обратно, допустим, что (4) неверно. Тогда существует число
е>0, такое, что для каждого 6 > 0 найдется точка хГЕ (зави-
сящая от 6), для которой dy(f (х), <?)> е, но 0 <	(х, р) < 6.
Выбирая Sn= 1/n (n= 1, 2, 3, . ..), мы найдем последовательность,
удовлетворяющую условию (6), для которой равенство (5) не вы-
полняется.
Следствие. Если f имеет предел в точке р, то этот
предел единственный.
Это следует из теорем 3.2 (Ь) и 4.2.
4.3.	Определение. Пусть на Е определены две комплекс-
ные функции f и g. Символом f + g обозначается функция, сопо-
ставляющая каждой точке х множества Е число f (х) + g(x).
Подобным образом мы определим разность f— g, произведение fg
и отношение f/g двух функций, имея в виду, что отношение
определено лишь в тех точках х£Е, в которых g(x)=^0. Если
f сопоставляет каждой точке х множества Е одно и то же число с,
то f называется постоянной функцией, или просто постоянной,
Непрерывные функции
95
и мы будем писать в этом случае f = c. Если f и g —веществен-
ные функции и если f(x)>g(x) при каждом х£Е, то мы иногда
для краткости будем писать f^g.
Аналогично, если f и g отображают Е в Rk, то мы определим
f + g и f • g равенствами (f g) (х) = f (х) + g (х), (f • g) (x) = f (x) • g (x),
и если "k—вещественное число, то (Xf) (х) = Xf (х).
4.4.	Теорема. Пусть X — метрическое пространство,
E<zzX, р —предельная точка множества Е, f и g — комплексные
функции на Е и
lim/(x) = A, limg(x) = B.
х-»р	х-+р
Тогда
(a)	lim(f + g)(x) = A+B;
»-*P
(b)	lim(/g)(x) = AB;
(с)	lim (f/g) (х) = A/В, если В^=0.
х-+р
Доказательство. Эти утверждения, в силу теоремы 4.3,
немедленно следуют из аналогичных свойств последовательностей
(теорема 3.3).
Замечание. Если f и g отображают Е в то (а) остается
верным, а (Ь) принимает вид
(ft') lim(f-g)(x) = A-B
х-*р
(ср. с теоремой 3.4).
Непрерывные функции
4.5.	Определение. Пусть X и Y — метрические простран-
ства, ЕсеХ, pQE и f отображает Е в Y. Тогда функция f
называется непрерывной в точке р, если для любого s > О суще-
ствует 6 >»0, такое, что
dr(.f(x), /(р))<8
для всех точек х Q Е, для которых dx (х, р) < 6.
Если f непрерывна в каждой точке множества Е, то f назы-
вается непрерывной на Е.
Для того чтобы быть непрерывным в точке р, отображение
должно быть определено в этой точке. (Ср. это с замечанием,
следующим за определением 4.1.)
Если р — изолированная точка множества Е, то из нашего
определения следует, что каждая функция f, определенная на Е,
непрерывна в точке р. Действительно, каково бы ни было е > О,
96	Гл. 4. Непрерывность
можно указать 6>0, такое, что единственной точкой х£Е,
для которой dx (х, р) < 6, окажется х = р; тогда
dr(f(x), f(p))=O<e.
4.6.	Теорема. В ситуации, описанной в определении 4.5,
предположим, что р—предельная точка множества Е. Функция f
непрерывна в точке р тогда и только тогда, когда lim f(x) = f(p).
Х-+Р
Доказательство. Это становится ясным, если сравнить
определения 4.1 и 4.5.
Теперь перейдем к сложным функциям. Краткая формули-
ровка следующей теоремы такова: непрерывная функция от непре-
рывной функции непрерывна.
4.7.	Теорема. Пусть X,Y,Z— метрические пространства,
Е cz X, f отображает множество Е в Y, g отображает мно-
жество значений f, а именно f (Е), в Z и h —отображение мно-
жества Е в Z, определенное равенством
h(x) = g(f(x)) (xQE).
Если f непрерывно в точке pQE, a g непрерывно в точке f (р),
то h непрерывно в точке р.
Доказательство. Пусть е>0. Поскольку g непрерывно
в точке f (р), существует г] > 0, такое, что
dz(g(y), g(f (р))) <е, если dT (у, f (р)) < т] и y£f(E).
Поскольку f непрерывно в точке р, существует 6 > 0, такое, что
dr(f(x), /(р))<т]> если dx(x, p)<Zd и х£Е.
Следовательно,
dz(h(x), h(p)) = dz(g(f(x)), g(f (р)))<8,
если dx(x, р) < 6 и х^Е. Таким образом, h непрерывно в точке р.
4.8.	Теорема. Отображение f метрического пространства X
в метрическое пространство Y непрерывно на X тогда и только
тогда, когда множество f'1 (V) открыто в X для каждого откры-
того множества V из Y.
(Прообразы были определены в п. 2.4.) Это очень полезное
свойство, характеризующее непрерывность.
Доказательство. Допустим, что f непрерывно на X;
пусть V — открытое множество в У. Мы должны показать, что
каждая точка множества /-1(У) является его внутренней точкой.
Итак, пусть pQX и f(p)QV. Поскольку V открыто, существует
е>0, такое, что yQV, если dY (f (р), у) < е, а так как / непре-
Непрерывные функции
97
рывно в точке р, то существует 6> 0, такое, что dY (/(х), /(р))<е,
если dx(x, р)<6. Таким образом, xEf^(V), как только dx (х, р)<б.
Обратно, допустим, что множество	открыто в X,
каково бы ни было открытое множество V в Y. Зафиксируем
рС-Х и е>0, и пусть V — множество всех y^Y, таких, что
Jy(y, /(Р))<е-Тогда V открыто, а поэтому и Д1 (1/) открыто; значит,
существует 6>0, такое, что х£/_1(У), как только dx(p, х)<б.
Но если xQf^lVj, то f(x)QV, так что dy(/(x), f(p))<s.
Доказательство закончено.
Обратимся теперь к комплекснозначным и векторнозначным
функциям и к функциям, определенным на подмножествах
пространства Rh.
4.9.	Теорема. Пусть f и g— комплексные непрерывные
функции на метрическом пространстве X. Тогда f + g. fg и f/g
непрерывны на X.
В последнем случае мы должны, конечно, предполагать, что
g(x)=#0 при всех х^Х.
Доказательство. В случае изолированной точки доказы-
вать нечего. В случае предельной точки утверждение следует
из теорем 4.4 и 4.6.
4.10.	Теорема, (а) Пусть ft, ...,fk— вещественные функции
на метрическом пространстве X, и пусть f — отображение про-
странства X в Ril, определенное равенством
(7)	f(x) = (A(x), .... Д(х)) (xGX).
Отображение f непрерывно тогда и только тогда, когда
каждая из функций ft, ..., fh непрерывна.
(b) Если f и g—непрерывные отображения пространства X
в Rk, то f + g и f-g непрерывны на X.
Функции ..., fk называются компонентами отображения f.
Отметим, что f + g — отображение в R\ тогда как f-g— веще-
ственная функция на X.
Доказательство. Утверждение части (а) следует из нера-
венств
k
I fj (X) - fAy) i < i f (X) - f (y){ 3 I fl (x) - ft (у) Н1/г
при / —1, ..., k. Часть (b) следует из (а) и теоремы 4.9.
4.11.	Примеры. Если х4, ..., xh — координаты точки х£Rk,
то функции фг, определенные равенствами
(8)	Ф;(х)=хг (х£/+),
98
Гл. 4. Непрерывность
непрерывны на Rh, так как неравенство
I Vi (x)-<Pi (У)|<|х-у|
показывает, что в определении 4.3 можно положить б = е.
Функции <р; иногда называются координатными функциями.
Повторное применение теоремы 4.9 показывает, что каждый
одночлен
(9)
где ..., /ц —неотрицательные целые числа, непрерывен в R\
То же верно в отношении функций, отличающихся от (9)
постоянным множителем, так как постоянные, очевидно, непре-
рывны. Следовательно, каждый многочлен Р, заданный равен-
ством
(10)	^(х) = ЗсП1 ...	(xg/?'i),
непрерывен на R\ Здесь коэффициенты сП1 ... — комплексные
числа, ..., Tift — неотрицательные целые числа, а сумма содер-
жит конечное число слагаемых.
Далее, всякая рациональная функция от ...,%*, т. е.
каждое отношение двух многочленов вида (10), непрерывна на/?’1
всюду, где знаменатель отличен от нуля.
Из неравенства треугольника легко получаем, что
(И)	II х I -1 УI КI х-у |	(x,yC/?ft).
Значит, отображение, ставящее в соответствие каждому х
величину |Х|, является непрерывной вещественной функцией
на R'1.
Если f — непрерывное отображение метрического пространствах
в пространство R'1 и если <р определено на X равенством
ср (р) = | f (р) |, то из теоремы 4.7 следует, что <р —непрерывная
вещественная функция на X.
4.12.	Замечание. Мы определили понятие непрерывности
для функций, заданных на подмножестве Е метрического про-
странства X. Однако дополнение множества Е в X не играет
никакой роли в этом определении, в отличие от определения
пределов функций. Тем самым мы можем говорить о непрерывных
отображениях одного метрического пространства в другое (а не об
отображениях подмножеств). Это упрощает формулировки и дока-
зательства некоторых теорем. Мы уже воспользовались этим
в теоремах 4.8 — 4.10 и будем поступать так же в разделах,
посвященных компактности и связности.
Непрерывность и компактность
99
Непрерывность и компактность
4.13.	Определение. Отображение f множества Е в про-
странство R4 называется ограниченным, если существует веще-
ственное число М, такое, что | f (х) | < М для всех х£Е.
4.14.	Теорема. Пусть f — непрерывное отображение ком-
пактного метрического пространства X в метрическое простран-
ство Y. Тогда множество f (X) компактно.
Доказательство. Пусть {Уа} —открытое покрытие мно-
жества f (X). Поскольку f непрерывно, теорема 4.8 показывает,
что все множества /’ЧЁа) открыты. Так как X компактно,
имеется конечный набор индексов ар ...,а„, такой, что
(12)	ХсГ^и-.-игЧЧ)-
Поскольку f (f-1 (£)) — Е при каждом EcY, из (12) следует, что
(13)	/(X)<=vaiu...uvan-
Доказательство закончено.
Замечание. Мы воспользовались соотношением f(f~1(E)) = E,
которое верно при Е czY. Если Е с: X, то можно утверждать
лишь, что f~l (f (Ё)) о Е; равенства может и не быть.
Выведем теперь некоторые следствия из теоремы 4.14.
4.15.	Теор ем а. Если f — непрерывное отображение ком-
пактного метрического пространства. X в пространство Rk, то
множество f (X) замкнуто и ограничено. Таким образом, ото-
бражение f ограничено.
Это следует из теоремы 2.41. Этот результат особенно важен
тогда, когда / — вещественная функция.
4.16.	Теорема. Пусть f — непрерывная вещественная функ-
ция на компактном метрическом пространстве X и
(14)	М = sup f(p), т= inf / (р).
Р£Х	РЕХ
Тогда существуют точки p,qQX, такие, что f(p) = M
и f(q) = tn.
Обозначения в (14) имеют следующий смысл: М — верхняя
грань множества всех чисел / (р), когда р пробегает X, а т — ниж-
няя грань этого числового множества.
Утверждение теоремы можно сформулировать и так: суще-
ствуют точки р и q в X, такие, что f (q)^.f (х) < / (р) для всех
xgX, т. е. функция / достигает своего максимума (в точке р)
и минимума (в точке q).
100	Гл. 4. Непрерывность
Доказательство. По теореме 4.15 f (XV—ограниченное
и замкнутое множество вещественных чисел; значит, f (X) содер-
жит свою верхнюю и нижнюю грани (теорема 2.28).
4.17.	Теорема. Пусть f—непрерывное взаимно однознач-
ное отображение компактного метрического пространства X
на метрическое пространство У. Тогда обратное отображение
определенное на Y равенством
Г(Н*))-=х	(х^Х),
есть непрерывное отображение множества Y на X.
Доказательство. Применяя теорему 4.8 к вместо f,
мы видим, что достаточно доказать, что f (V)— открытое множе-
ство в У для каждого открытого в X множества V. Зафикси-
руем такое множество V.
Дополнение Vе множества V замкнуто в X и, следовательно,
компактно (теорема 2.35); значит, f (Vе) — компактное подмноже-
ство множества У (теорема 4.14); поэтому оно замкнуто в У
(теорема 2.34). Поскольку f взаимно однозначно отображает X
на У, множество f (V) совпадает с дополнением множества /(Vе).
Значит, f (V) открыто.
4.18.	Определение. Пусть / —отображение метрического
пространства X в метрическое пространство У. Мы будем гово-
рить, что отображение f равномерно непрерывно на X, если
для каждого е>-0 существует б > 0, такое, что
(15)	dY(f(p),f(q))<t
для всех р и q из X, для которых dx (р, q) < б.
Посмотрим, чем отличаются понятия непрерывности и равно-
мерной непрерывности. Во-первых, равномерная непрерывность
есть свойство функции на множестве, тогда как непрерывность
может быть определена в одной точке. Бессмысленно спраши-
вать, является ли данная функция равномерно непрерывной
в некоторой точке. Во-вторых, если f непрерывна на X, то
для каждого е>0 и для каждой точки р множества X можно
найти число б>0, обладающее свойством, указанным в опреде-
лении 4.5. Это б зависит от е и от р. Если же f равномерно
непрерывна на X, то для каждого е > 0 можно найти одно число
б > 0, которое годится для вегх точек р множества X.
Очевидно, каждая равномерно непрерывная функция непре-
рывна. В случае компактных множеств эти два понятия, как
показывает следующая теорема, равносильны.
4.19.	Теорема. Пусть f — непрерывное отображение ком-
пактного метрического пространства X в метрическое простран-
ство У. Тогда f равномерно непрерывно на X.
Непрерывность и компактность
101
Доказательство. Пусть е>0. Поскольку f непрерывно,
каждой точке р£Х можно сопоставить положительное число ф(р),
такое, что
(16)	если qQX, dx(p, <?)<ф(р), то dr(f(p),
Пусть J (р)— множество всех q£.X, для которых
(17)	dx(p, <?)< -’-ф(р).
Поскольку р Е J (р), семейство всех множеств J (р) образует
открытое покрытие пространства X, а поскольку пространство X
компактно, в нем найдется конечное множество точек рп ...,рп,
такое, что
(18)	XczJ(p1)U...U/(pn).
Положим
(19)	6 = |-т1п[ф(р1), ..., ф(р„)|.
Тогда б > 0. (Именно здесь существенна конечность покры-
тия, упоминаемого в определении компактности. Минимум конеч-
ного числа положительных чисел положителен, тогда как нижняя
грань бесконечного множества положительных чисел вполне может
оказаться равной нулю.)
Пусть теперь q и р-—точки множества X, такие, что
dx(p, <?)<б. Согласно (18), существует целое т, 1	такое,
ЧТО P^ J(Pm)- Значит,
(20)	dx (р, Рт) < у ф (рте)
и, кроме того,
dx (<?, pm)< dx (р, q) + dx (p, pm) <6 4-1 ф (pm) < ф (pm).
Наконец, из (16) следует, что тогда
dy{f{p), f(q}XdY(j(p), f (pnJ) 4- dY (j (?), /(pTO))<e.
Доказательство закончено.
Другое доказательство намечено в упражнении 19.
Теперь мы перейдем к доказательству того, что компактность
существенна в предположениях теорем 4.14, 4.15, 4.16 и 4.19.
4.20.	Теорема. Пусть Е — некомпактное множество в R1.
Тогда
(а)	существует неограниченная функция, непрерывная на Е;
(Ь)	существует ограниченная функция, непрерывная на Е,
не имеющая максимума.
102
Гл. 4. Непрерывность
(с)	Если, кроме того, множество Е ограничено, то существует
непрерывная на Е функция, не являющаяся равномерно непре-
рывной.
Доказательство. Допустим сначала, что Е ограничено,
так что существует предельная точка х0 множества Е, не содержа-
щаяся в Е.
Рассмотрим функцию
(21)	/(х)=-1-г	(х£Е).
Эта функция непрерывна на Е (теорема 4.9), но, очевидно,
не ограничена. Убедимся в том, что функция (21) не является
равномерно непрерывной. Пусть е>0 и 5>0 произвольны.
Выберем точку х£.Е, такую, что |х— х0|<б. Взяв t достаточно
близким к х0, мы можем сделать разность \f(t)— f (х)\ большее,
хотя \t — х | < б. Поскольку это верно при любом 6 >0, функ-
ция f не является равномерно непрерывной на Е.
Функция g, заданная равенством
(22)
непрерывна на £ и ограничена, так как 0<g(x)<;l. Ясно, что
sup g(x) = 1,
х£Е
тогда как g(x)<l при всех х^Е. Таким образом, g не имеет
максимума на Е.
Доказав теорему для ограниченных множеств Е, предположим,
что Е не ограничено. Тогда свойство (а) выполняется для функ-
ции f(x) = x, а свойство (Ь)—для функции
v2
(23)	Л(х) = г^ (х££),
так как
sup h (х) = 1
х£Е
и h (х) < 1 при всех х £ Е.
Утверждение (с) неверно, если не предполагать, что множе-
ство Е ограничено. Действительно, пусть Е — множество всех
целых чисел. Тогда любая функция, заданная на Е, равномерно
непрерывна на Е. Чтобы убедиться в этом, нужно всего лишь
взять 6<1 в определении 4.18.
В заключение этого раздела мы покажем, что компактность
существенна также и в теореме 4.17.
4.21.	Пример. Пусть X — полуинтервал [0, 2л) вещественной
оси и пусть 1 — отображение множества X на окружность У,
Непрерывность и связность
103
состоящую из всех точек, удаленных от начала на расстояние 1,
заданное равенством
(24)	f(0 = (cos t, sin t) (0<7<2jt).
Непрерывность тригонометрических функций (косинуса и си-
нуса), так же как и их периодичность, будут установлены в гла-
ве 8. Принимая эти факты без доказательства, легко видеть, что
f—непрерывное взаимно однозначное отображение множества X
на Y.
Однако обратное отображение (которое существует, так как
f взаимно однозначно отображает X на Y) не непрерывно в точ-
ке (1,0) — f (0). Конечно, в этом примере X некомпактно. (Любо-
пытно, что f1 не непрерывно, несмотря на то, что У компактно!)
Непрерывность и связность
4.22.	Теорема. Если f—непрерывное отображение связного
метрического пространства X в метрическое пространство У,
то множество f (X) связно.
Доказательство. Если f (X) несвязно, то существуют
открытые непересекающиеся множества V и W в У, оба пере-
секающиеся с f (X) и такие, что f (X) gz W J V. Поскольку f
непрерывно, множества /-1(У) и открыты в X; они, оче-
видно, непусты и не пересекаются, а их объединение равно X.
Но это значит, что X несвязно, вопреки предположению.
4.23.	Теорема. Пусть f — непрерывная вещественная функ-
ция на сегменте [а, Ь]. Если f(a)<z f(b) и если с — такое число,
что f (a)<Zc<zf (b), то существует точка х£(а, Ь), такая, что
f (х) = с.
Аналогичное утверждение справедливо, разумеется, и тогда,
когда f (а)> f (b). Грубо говоря, эта теорема означает, что непре-
рывная вещественная функция принимает на сегменте все про-
межуточные значения.
Доказательство. По теореме 2.47 сегмент [а, Ь] связен.
Значит, по теореме 4.22, /([а, Ь]) —связное подмножество про-
странства R1, и остается еще раз сослаться на теорему 2.47,
чтобы наше утверждение было доказано.
4.24.	Замечание. На первый взгляд может показаться, что
верна теорема, обратная к теореме 4.23. Иначе говоря, можно
подумать, что если для любых двух точек Xj < хг и для любого
числа с, лежащего между f (х^ и f (х2), найдется точка хб(хь х2),
такая, что f (х) = с, то функция f должна быть непрерывной.
Однако пример 4.27 (d) показывает, что это не так.
!04
Гл. 4. Непрерывность
Разрывы функций
Если х—точка из области определения функции /, в которой
эта функция не является непрерывной, то мы будем говорить,
что f разрывна в х или что f имеет разрыв в х. Если функ-
ция f определена на интервале или на сегменте, то удобно выде-
лить разрывы двух типов. Прежде чем произвести эту классифи-
кацию, мы должны определить правосторонний и левосторонний
пределы функции f в точке х, которые мы обозначим соответственно
через /(% + ) и f (х—).
4.25.	Определение. Пусть функция f определена на интер-
вале (а, Ь). Рассмотрим любую точку х, такую, что
Мы будем писать
/ (х + ) = <7,
если f (tn) —> q при п —> оо для всех последовательностей {/п},
содержащихся в интервале (х, Ь), таких, что tn —> х. Чтобы полу-
чить определение предела f (х—) (в случае а<х^.Ь), мы огра-
ничимся последовательностями {/п}, содержащимися в (а, х).
Ясно, что в любой точке интервала (а, Ь) предел lim/(f)
t->x
существует тогда и только тогда, когда
f(x + ) = f(x—) = limf (/).
t—*x
4.26.	Определение. Пусть функция f определена на интер-
вале (а, Ь). Если f разрывна в точке х и если f(x-\~) и /(х—)
существуют, то говорят, что f имеет в точке х разрыв первого
рода, или простой разрыв. В противном случае разрыв называется
разрывом второго рода.
Возможны две разновидности простых разрывов: либо
/ (х +) =£ / (х—) (в этом случае значение f (х) несущественно),
либо /(х+) = /(х— )#=f(х).
4.27.	Примеры, (а) Положим
1 (х рационально),
0 (х иррационально).
Тогда f имеет разрывы второго рода во всех точках х, так
как ни /(х | ), ни f (х —) не существуют.
(Ь) Положим
х (х рационально),
f W — п ,	X
0 (х иррационально).
/(*) =
Монотонные функции
105
Тогда f непрерывна в точке
рода во всех остальных точках.
(с) Положим
х = 0 и имеет разрывы второго
х-|-2
— х—2
х-\-2
( —3<х< —2),
(—2<х<0),
(0<х<1).
f (X) =--
Тогда f имеет простой разрыв в точке х -0 и непрерывна во
всех остальных точках интервала (— 3,1).
(d) Положим
fW4slnT
I 0 (х = 0).
Поскольку ни f(0-|-), ни /(0 —) не существуют, функция f
имеет разрыв второго рода в точке х = 0. Мы еще не доказали,
что sin х—непрерывная функция. Если считать это утверждение
верным, то из теоремы 4.7 следует, что f непрерывна в каждой
точке х=£0.
Монотонные функции
Теперь мы изучим функции, которые нигде не убывают (или
нигде не возрастают) на данном интервале.
4.28.	Определение. Пусть f — вещественная функция на
интервале (а, Ь). Говорят, что / монотонно возрастает на (а, Ь),
если при a<Zx<Zy<b имеем f (х)</ (у). Обращая последнее
неравенство, мы получим определение монотонно убывающей
функции. Класс монотонных функций состоит из убывающих и из
возрастающих функций.
4.29.	Теорема. Пусть f монотонно возрастает на интер-
вале (а, Ь). Тогда /(х-j-) и f (х—) существуют в каждой точке
х£(а, Ь). Точнее,
(25)	sup f(t)=--f(x—)<f(x)<f(х + )= inf f(t).
a<t<x	x<t<b
Кроме того, если a<Zx<zy<Zb, то
(26)
f(x + )<f(y-).
Аналогичные результаты, очевидно, верны и для монотонно
убывающих функций.
Доказательство. По предположению, множество чисел
/ (/), где а<Д<х, ограничено сверху числом f (х) и потому
106
Гл. 4. Непрерывность
имеет верхнюю грань, которую мы обозначим через А. Очевидно,
что Л</(х). Мы должны показать, что Л = /(х—).
Пусть задано е>0. Из определения числа Л следует, что
существует число б>0, такое, что а<х—6<х и
(27)	Л — е</(х — 6)<Л.
Поскольку f монотонна, имеем
(28)
/(х-6)</(0<Л
(х—6 <Zt <х).
Комбинируя неравенства (27) и (28), мы получаем
|П0-Л|<е
(х—6 < / <х).
Значит, f (х—) = Л.
Вторая часть неравенства (25) доказывается точно таким же
способом.
Далее, если а<.х<.у <.Ь, то из (25) следует, что
(29)	/(* + ) = inf f(0= inf НО-
x<t<b	x<t<y
Последнее равенство получится, если применить (25) к (а, у)
вместо (а, Ь).
Подобным же образом
(30)	/(«/—)= sup f(0= sup f(f).
a<t<y	x<t<v
Сравнение равенств (29) и (30) дает неравенство (26).
Следствие. Монотонная функция не имеет разрывов вто-
рого рода.
Из этого следствия вытекает, что монотонная функция может
иметь разрывы только в конечном или счетном множестве точек.
Вместо того чтобы сослаться на общую теорему, доказательство
которой намечено в упражнении 4, мы дадим здесь простое
доказательство, применимое к монотонным функциям.
4.30.	Теорема. Пусть функция f монотонна на интервале
(а, Ь). Тогда множество точек интервала (а, Ь), в которых f
разрывна, не более чем счетно.
Доказательство. Допустим для определенности, что f
возрастает, и пусть Е— множество точек, в которых f разрывна.
Каждой точке х£Е сопоставим рациональное число г(х),
такое, что
f(X —)<r(x)<f (х-Ь).
Ясно, что r(xj)#=r (х2), если х, =Дх2, так как при х1<х2 мы
имеем f (xj -j-) < f (x2 —).
Бесконечные пределы и пределы в бесконечности
107
Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие
между множеством Е и подмножеством множества всех рацио-
нальных чисел. Это последнее множество, как мы знаем, счетно.
4.31.	Замечание. Нужно отметить, что точки разрыва
монотонной функции не обязаны быть изолированными. В самом
деле, для любого счетного подмножества Е интервала (а, Ь),
которое может быть даже всюду плотным, можно построить
функцию f, монотонную на (а, Ь), имеющую разрыв в каждой
точке множества Е и непрерывную во всех остальных точках
интервала (а, Ь).
Чтобы доказать это, расположим точки множества Е в после-
довательность {хп}, п= 1,2,3, .... Пусть {сп} — последователь-
ность положительных чисел, такая, что ряд 2сп сходится.
Положим
(31)	f(x) = 2 сп (а<х<Ь).
хп<х
Для вычисления этой суммы нужно сложить все сп, индексы
которых таковы, что xn<Zx. Если слева от х нет точек хп, то
сумма пуста и, следуя обычному соглашению, мы считаем ее
равной нулю. Поскольку ряд (31) сходится абсолютно, порядок,
в котором выписываются его члены, не существен.
Мы предоставляем читателю проверку следующих свойств
функции f:
(a)	f монотонно возрастает на (а, Ь);
(b)	f разрывна в каждой точке множества Е; действительно,
f (xn + )—f(xn-) = cn;
(с)	f непрерывна во всех остальных точках интервала (а, Ь).
Более того, нетрудно видеть, что /(х—) = /(х) во всех точках
интервала (а, Ь). Если функция f удовлетворяет этому условию,
то мы будем говорить, что она непрерывна слева. Если бы в (31)
суммирование производилось по всем индексам п, для которых
Хп^-х, то мы имели бы f (х 4-) = f (х) во всех точках интервала
(а, Ь), т. е. / была бы непрерывной справа.
Функции такого типа можно строить и другим методом; при-
мер читатель найдет в упражнении 5 гл. 6.
Бесконечные пределы и пределы в бесконечности
Чтобы иметь возможность действовать в расширенной системе
вещественных чисел, мы расширим рамки определения 4.1, сфор-
мулировав его в терминах окрестностей.
Для любого вещественного числа х мы уже определили окрест-
ность х как любой интервал вида (х — 6, xffi).
108
Гл. 4. Непрерывность
4.32.	Определение. При любом вещественном с множество
всех вещественных чисел х, таких, что х>с, называется окрест-
ностью точки -у со и обозначается (с, 4- со). Аналогично, мно-
жество (— со, с) называется окрестностью точки —со.
4.33.	Определение. Пусть вещественная функция f опре-
делена на множестве Е. Мы будем говорить, что
f(t)—->А при t—>х,
где А и х принадлежат расширенной системе вещественных чисел,
если для любой окрестности U точки А существует окрестность V
тонких, такая, что множество V (~| Е непусто и	при всех
t g V Г) Е, t=/=x.
Несложное рассуждение показывает, что это определение
совпадает с определением 4.1, когда А и х вещественны.
Аналог теоремы 4.4 справедлив и в .том случае, и в его
доказательстве не появляется ничего нового. Мы сформулируем
его ради полноты.
4.34.	Теорема. Пусть fug определены на Е. Допустим,
что
f(t)—>A,	g(t)~>B при t—>x.
Тогда
(а)	если f(t)—>A', то А’ —А,
(6)	(f + g)(t)-^A + B,
(с)	(fg)(t)-+AB,
(d)	(f/g)(t)->A/B,
если правые части в (Ь), (с) и (d) имеют смысл.
Напомним, что оо — со, 0-оо, оо/оэ, А/0 не определялись
(см. определение 1.39).
Упражнения
1.	Доказать, что функция f, заданная равенством
( xsin— (х=/=0),
1(х) = {
I 0 (х = 0),
непрерывна при х — 0. Нарисовать график этой функции.
2.	Пусть [х] обозначает наибольшее из целых чисел, не пре-
восходящих числа х, т. е. |х] — такое целое число, что х —1<
<[xj<x; пусть (х) = х — [х] обозначает дробную часть числа х.
Какие разрывы имеют функции [х] и (х)?
Упражнения
109
3.	Пусть / — вещественная равномерно непрерывная функция
на ограниченном множестве Е в R1. Доказать, что f ограничена
на Е.
4.	Пусть / — вещественная функция, заданная на (а, Ь). Дока-
зать, что множество точек, в которых / имеет простой разрыв,
не более чем счетно.
Указание. Пусть £— множество, на котором /(х —)</(х + ).
Каждой точке х множества Е сопоставим тройку (р, q, г) рацио-
нальных чисел, таких, что
(a)	f (х~) < p<f (х + ),
(b)	при a <q <Zt	имеем /
(с)	при х < t <_ г <; b имеем / (t) > р.
Множество всех таких троек не более чем счетно. Показать,
что каждой такой тройке отвечает не более одной точки множе-
ства Е. Подобным образом следует действовать и в случае других
типов простого разрыва.
5.	Каждое рациональное число' х можно записать в виде
и « — взаимно простые целые числа. Если
н=1. Рассмотрим функцию /, заданную
х = /«/«, где «7>0, т
х = 0, то мы полагаем
на R1 равенством
/(х)=-
(х иррационально),
Доказать, что / непрерывна в каждой иррациональной точке
и имеет простой разрыв в каждой рациональной точке.
6.	Пусть / — вещественная непрерывная функция, заданная
на замкнутом множестве Е az R1. Доказать, что существует непре-
рывная вещественная функция g на R1, такая, что /(x) = g(x)
при всех х g Е (такая функция называется непрерывным продолже-
нием функции / с множества Е на R1). Показать, что результат
перестает быть верным, если опустить предположение замкнутости.
Распространить результат на векторнозначные функции.
Указание. График функции g —прямолинейный отрезок над
каждым из интервалов, составляющих дополнение множества Е
(ср. с упражнением 15, гл. 2). Результат остается верным, если
А11- заменить любым метрическим пространством, но доказательство
уже не так просто.
7.	Если функция / определена на Е, то графиком / называется
множество пар (х, /(х)), где х£Е. В частности, если £ —мно-
жество вещественных чисел, а функция / вещественна, то графи-
ком / служит некоторое подмножество плоскости.
Допустим, что Е компактно. Доказать, что / непрерывна на Е
в том и только в том случае, когда ее график компактен.
НО	Гл 4. Непрерывность
8.	Если Е сХ, a f — функция, заданная на X, то сужением f
на Е называется функция g, определенная на множестве Е и такая,
что g (р) = f (р) при р Е Е. Зададим в /ф функции f и g равен-
ствами: f (0, 0) =- g (0, 0) = о,
f (х, у) = ху2/(х2 фу4),	g (х, у) =--• ху2/(х2 ф у6)
при (х, у) Ф= (0, 0). Доказать, что f ограничена на R2, что g
не ограничена в любой окрестности точки (0, 0) и что f разрывна
в точке (0, 0); тем не менее сужения каждой из функций f и g
на любую прямую в R2 непрерывны!
9.	Пусть f — непрерывное отображение метрического простран-
ства X в метрическое пространство Y. Пусть Е — замкнутое под-
множество пространства Y. Доказать, что множество /-1 (£)
замкнуто в X.
10.	Пусть / — непрерывная вещественная функция на метриче-
ском пространстве X. Пусть Z(/) {нуль-множество функции /)
есть множество всех рЕХ, в которых /(р) = 0. Доказать, что
множество Z (/) замкнуто.
11.	Если Е — непустое подмножество метрического простран-
ства X, то определим расстояние от точки х£Х до множества Е
равенством
qe(x) = inf d (х, у).
У £ Е
(а)	Доказать, что qe(x)=~0 тогда и только тогда, когда х
принадлежит замыканию множества Е.
(Ь)	Доказать, что рк — равномерно непрерывная функция на X.
Указание. Мы имеем QE(x2)<d(x2, y)<d(x2, х1)ф<^(х1, у),
так что
QE(x2)<d(x2, x1)-1-qe(x1).
12.	Пусть К и F — непересекающиеся подмножества метриче-
ского пространства X, причем К компактно, F замкнуто. Доказать,
что существует число 6 > 0, такое, что d (р, у) >6, если р Е АГ,
<?€ А
Указание. Функция — положительная непрерывная функция
на К.
Показать, что это утверждение может оказаться неверным,
если ни одно из двух непересекающихся замкнутых множеств
не компактно.
13.	Пусть А и В —непустые непересекающиеся замкнутые
множества в метрическом пространстве X. Положим
'«’>“е-л<йт?ля
Показать, что / — непрерывная функция на X, множество зна-
чений которой содержится в сегменте [0, 1]; что /(р) = 0 в точках
Упражнения
111
множества А и только в них; что f (р) = 1 в точках множества В
и только в них. Тем самым установлено утверждение, обратное
к теореме упражнения 10: каждое замкнутое множество AczX
является нуль-множеством для некоторой вещественной непре-
рывной функции f на X. Полагая
v=ri(l>£D- ”'=Н(Т1])-
показать, что V и W открыты, не пересекаются и A czV, В czW.
(Таким образом, каждое из двух непересекающихся замкнутых
множеств в метрическом пространстве может быть накрыто откры-
тым множеством так, что и эти открытые множества не пере-
секаются. Это свойство метрических пространств называют нор-
мальностью.)
14.	Назовем отображение пространства X в пространство У
открытым, если f(V) открыто в У, каково бы ни было открытое
множество V в X.
Доказать, что каждое непрерывное открытое отображение /Д
в R1 монотонно.
15.	Пусть f и g — непрерывные отображения метрического
пространства X в метрическое пространство У, и пусть А —всюду
плотное подмножество из X. Доказать, что f (£) плотно в f(X).
Доказать, что если f (р) = g (р) при всех р£Е, то f (р) = g (р)
при всех р £ X. (Иными словами, непрерывное отображение опре-
деляется своими значениями на всюду плотном подмножестве своей
области определения.)
16.	Показать, что определение равномерной непрерывности
можно следующим образом сформулировать, используя понятие
диаметра множества: для каждого е > 0 существует 6 > 0, такое,
что diam f (Е) < е для любого Е cz X, для которого diam Е < 6.
17.	Пусть Е — плотное подмножество метрического простран-
ства X, и пусть / — равномерно непрерывная вещественная функ-
ция, заданная на Е. Доказать, что f имеет непрерывное продол-
жение с Е на X (по поводу терминологии см. упражнение 6).
(Единственность следует из упражнения 15.)
Указание.. Для каждой точки pgX и каждого положительного
целого п пусть Vn (р) — множество всех q^E, таких, что d (р, р) •<
<1/п. Воспользоваться упражнением 16 для доказательства того,
что пересечение замыканий множеств /(УДр)), /(Уг(р)), •••
состоит из единственной точки пространства /Д, которую мы обо-
значим через g (р). Доказать, что функция g, определенная таким
образом на X, и есть требуемое продолжение функции f.
Можно ли пространство значений R1 заменить здесь простран-
ством /Д? Любым компактным метрическим пространством? Любым
112
Гл. 4. Непрерывность
полным метрическим пространством? Любым метрическим про-
странством?
18.	Вещественная функция f, заданная на (а, Ь), называется
выпуклой, если
f (Хх + (1 - X) у) < Xf (х)-I- (1 - X) f(y)
при любых а<.х<_Ь, а<_у<.Ь, 0 < X < 1. Доказать, что каждая
выпуклая функция непрерывна. Доказать, что каждая возрастаю-
щая выпуклая функция от выпуклой функции выпукла (например,
если f выпукла, то в тоже выпукла).
19.	Провести подробно следующий вариант доказательства
теоремы 4.19: если f не равномерно непрерывна, то для некото-
рого е > 0 существуют две последовательности {рп}, {qn} в X,
такие, что dx(pn, qn)—>0, но dY(f(pn), f(qn))>£- Воспользоваться
теоремой 2.37, чтобы получить противоречие.
ГЛАВА
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
В этой главе (за исключением последнего раздела) мы будем
заниматься только вещественными функциями, определенными
на сегментах или интервалах. Это вызвано не просто соображе-
ниями удобства — при переходе от вещественных к векторнознач-
ным функциям возникают- значительные трудности. Дифферен-
цирование функций, определенных в будет рассматриваться
в главе 9.
Производная вещественной функции
5.1.	Определение. Пусть/ — вещественная функция, опре-
деленная на fa, Ь]. Взяв произвольное число х£[а, Ь], составим
отношение
(1)	Ф (0 - Ш(Е~-	(a<t<b,t^x)
и положим
(2)	/' (х) = lim ср (О,
t-+x
если этот предел существует, в соответствии с определением 4.1.
Таким образом, с функцией f связана функция /', область
определения которой —множество всех точек х, в которых суще-
ствует предел (2); функция f называется производной функции f.
Если производная f определена в точке х, то мы будем гово-
рить, что функция f дифференцируема в точке х. Если /' опре-
делена в каждой точке некоторого множества Ес: [а, Ь\, то мы
будем говорить, что f дифференцируема на Е.
В формуле (2) можно брать правосторонний или левосторонний
предел; это приводит к определению правосторонней и левосто-
ронней производной. В частности, в концах сегмента а и b про-
изводная (если она существует) всегда является соответственно
правосторонней и левосторонней. Мы, однако, не будем подробно
рассматривать такие производные.
Если f определена на интервале (а, Ь) и если a<Zx<Zb,
то f (х) определяется равенствами (1) и (2), как выше. Но f'(a)
и /' (6) в этом случае не определены.
114
Гл. 5. Дифференцирование
5.2.	Теорема. Пусть функция f определена на сегменте
[а, 6]. Если f дифференцируема в точке х£[а, 6], то она непре-
рывна в этой точке.
Доказательство. По теореме 4.4 при t—>х мы имеем
f (0 - f W=£(4ZEx— • (/ - х)	(х) • 0 =- 0.
Теорема, обратная к только что доказанной, неверна. Легко
построить непрерывные функции, не дифференцируемые в изоли-
рованных точках. В гл. 7 мы познакомимся даже с такой функ-
цией, которая, будучи непрерывной на всей прямой, не дифферен-
цируема ни в одной точке!
5.3.	Теорема. Пусть fug определены на [а, Ь] и диффе-
ренцируемы в точке xg(a, &]• Тогда f + g, fg и fig дифференци-
руемы в точке х и
(a)	(f + §Y (x) = f' (x) + g' (х);
(b)	(fgY (х) - - f' (х) g (х) + f (х) g' (х);
(r\ YLX (гх — gW W—g’ (*)/(*)
\g ) [х)~ g2W
В утверждении (с) мы, разумеется, предполагаем, что g(x)^=0.
Доказательство. Утверждение (а) следует из теоремы 4.4.
Пусть h = fg. Тогда
h (0 - h (X) = f (0 [g (t) - g (X)] + g (X) [f (t) - f (X)l.
Если мы разделим это равенство на t — х и заметим, что
ПРИ »х (теорема 5.2), то получим (6). Наконец,
пусть h — f/g. Тогда
h(t)—h(x)_	1 Г „ f ИД	f (v\ gtf)—£W1
/ — x	g(t)g(x)[+w	t — x	t—x J’
Устремляя t к x и применяя теоремы 4.4 и 5.2, мы полу-
чаем (с).
5.4.	Примеры. Производная каждой постоянной функции
равна, очевидно, нулю. Если f определена равенством f (х)= х,
то /' (х) = 1. Повторное применение утверждений (Ь) и (с) послед-
ней теоремы показывает, что функция хп дифференцируема и что
ее производная равна пхп+ каково бы ни было целое п (если
п<0, то мы должны ограничиться точками х =£()). Таким обра-
зом, любой многочлен дифференцируем. То же верно в отноше-
нии любой рациональной функции, если исключить точки, в кото-
рых обращается в нуль ее знаменатель.
Производная вещественной функции
115
Следующая теорема дает правило дифференцирования сложной
функции. Более общий ее вариант встретится нам в гл. 9.
5.5.	Теорема. Пусть f непрерывна на [а, 5], /'(х) суще-
ствует в некоторой точке х£[а, 6], g определена на сегменте 1,
содержащем множество значений функции f, и g дифференци-
руема в точке f(x). Если
д (t) — g(f (t))
mo h дифференцируема в точке x и
(3)	h'(x) = g'(f(x))f'(x).
Доказательство. Пусть y = f (х). По определению про-
изводной имеем
(4)	f(t)-f(x) = (t-x)[f'(x) + u(t)],
(5)	g(s)-g(y)^(s-y)[g' (y) + v(s)],
где t С [а, 6], s^I и u(t)—>0 при t —»х, v(s)—>0 при s—>y.
Пусть s — f(t). Используя сначала (5), а затем (4), получим
h(t)-h(x) = g(f(t))-g(f(x)) =
= lf(t)-f(x)].[g'(y) + v(s)]^
= (t-x)- [/' (x) + и (01 • [g' (у) + V (s)J,
или, если /=/=х,
(6)	h (t)-h (х) = [g, (у) + v (s)]. [f (х) + и (/)].
Устремляя t к х, мы видим, что, в силу непрерывности функ-
ции s—>y, поэтому правая часть равенства (6) стремится
к g' (у) f (х), откуда и следует (3).
5.6.	Примеры, (а) Пусть функция f определена равенством
(7)
. 1
X sin —
X
о
(х=/=0),
(х = 0).
Будем считать доказанным, что производная функции sinx
равна cos х (мы будем рассматривать тригонометрические функ-
ции в гл. 8). Тогда мы можем применить теоремы 5.3 и 5.5,
если х#=0, и получить
(8)	f(x) = sin|— у cos-	(ху=0).
В точке х —0 эти теоремы уже не применимы, так как дробь
1/х там не определена, и мы сошлемся непосредственно на опре-
116
Г л. 5. Дифференцирование
деление: при t^O
/(0-/(0)
t— 0
1
= sin у .
При / —> О это отношение не стремится ни к какому пределу,
так что f' (0) не существует.
(6) Пусть функция / определена равенствами
Как и выше, мы получаем
(10)	f (х) = 2xsiriy — cos у (х=#0).
При х = 0 мы вспомним определение и получим
полагая t —> 0, мы видим, что
(И)	Г(О)-о.
Таким образом, функция f дифференцируема во всех точках х,
но f не является непрерывной функцией, так как cos(l/x) в (10)
не стремится ни к какому пределу при х —> 0.
Теоремы о среднем значении
5.7.	Определение. Пусть/ — вещественная функция, опре-
деленная на метрическом пространстве X. Будем говорить, что /
имеет локальный максимум в точке р£Х, если существует 6 ;> 0,
такое, что /(<?)<J(p) при всех qQX, таких, что d(p,q)<.6.
Локальные минимумы определяются сходным образом.
Наша следующая теорема лежит в основе многих применений
дифференцирования.
5.8.	Теорема. Пусть функция f определена на сегменте
[п, &]; если f имеет локальный максимум в точке х£(а, b)
и если существует f (х), то /'(х)--=0.
Аналогичное утверждение, относящееся к локальному мини-
муму, конечно, тоже верно.
Доказательство. Выберем 6 в соответствии с определе-
нием 5.7, так что
а<. х — 6<х<сх4-6-</).
Теоремы о среднем значении
117
Если х—&<t<Zx, то
fU)-f(x) >Q
t — X
Устремляя t к х, мы видим, что /'(х)>0.
Если х<Д<х-(-6, то
Н0-/(х) <0
t—X	’
откуда следует, что f (х)<0. Значит, /'(х) = 0. .
5.9.	Теорема. Если f и g— непрерывные вещественные
функции на сегменте [а, Ь], дифференцируемые на интервале
(а, Ь), то существует точка х£(а, Ь), в которой
I/ G’) - f (а)1 g' (х) • • [g (b) —g (а)] Г (х).
Заметим, что здесь не требуется дифференцируемость в точ-
ках а и Ь.
Доказательство. Положим
h (/) [/	(a)] g (t)-\g (b) - g (a)] f(t) (a^t^ b).
Функция h непрерывна на \a, b], дифференцируема на (a, b) и
(12)	h (a) =-= f (b) g (a)—f (a) g (b)=h(b).
Для доказательства теоремы мы должны проверить, что h' (х) = О
при некотором х£(а, Ь).
Если h постоянна, то й'(х)=-0 при любом х£(а, Ь). Если
й(/)>Л(а) при некотором t g (а, b), то пусть х—та точка сег-
мента [а, Ь], в которой h достигает своего максимума (теорема 4.16).
В силу (12), xg(a, Ь), и теорема 5.8 показывает, что h' (х) = 0.
Если h (О <С h (а) при некотором t £ (а, Ь), то можно применить
такое же рассуждение, выбрав в качестве х ту точку сегмента
[а, Ь], в которой h достигает своего минимума.
Эту теорему часто называют обобщенной теоремой о среднем
значении; следующий ее частный случай называют теоремой
о среднем значении.
5.10.	Теорема. Если f — вещественная непрерывная функ-
ция на [а, 6], дифференцируемая на (а, Ь), то существует точ-
ка х С (а, Ь), в которой
f(b) — f(a) = (b—a)f'(x).
Доказательство. Положим g(x)=x в теореме 5.9.
5.11.	Теорема. Пусть функция f дифференцируема в интер-
вале (а, Ь).
118
Гл. 5. Дифференцироание
(а)	Если f'(x)>0 при всех х£(а, Ь), то f монотонно возра-
стает.
(Ь)	Если /'(х) = 0 при всех х£(а, Ь), то f постоянна.
(с)	Если f (х)<0 при всех х£(а, Ь), то f монотонно убывает.
Доказательство. То, что все эти заключения справед-
ливы, можно усмотреть из равенства
f (x2) — f(xi) = (х2—Xi) Г (х),
верного для любой пары чисел хь х2, лежащих в (а, Ь) при неко-
тором х, расположенном между xt и х2.
Непрерывность производных
Мы уже видели [пример 5.6 (&)], что функция f может иметь
производную f, которая существует во всех точках, но разрывна
в некоторых точках. Однако не каждая функция может быть
производной. В частности, производные, которые существуют
в каждой точке некоторого сегмента, так же как и функции,
непрерывные на сегменте, обладают следующим важным свой-
ством: они принимают промежуточные значения (ср. с теоре-
мой 4.23). Точная формулировка такова.
5.12.	Теорема. Пусть f—вещественная функция, диффе-
ренцируемая на [а, Ь], и пусть f (а)<Л<.}' (Ь). Тогда суще-
ствует точка х £ (а, 6), такая, что f (х) = к.
Подобный результат верен, конечно, и тогда, когда f' (a)>f' (b).
Доказательство. Положим с = (а + Ь). Если
то пусть a(t) = a, $(t) = 2t—-a. Если	то пусть а(/)^=
= 2t — b, = Тогда а (/)<₽(/)< 6 в интервале (а, Ь).
Положим
Тогда g непрерывна на (a, b), g(t)-+ f' (а) при t—>a, g(t)—>
—> /' (b) при t —> b и поэтому из теоремы 4.23х) следует, что
g(/0) = % при некотором t0£(a, b). Зафиксируем t0. По теоре-
ме 5.10 существует точка х, такая, что а(/о)<х<;р(/о) и f (х) =
= g (t0). Значит, f'(x) = %.
Следствие. Если f дифференцируема на [а, 6], то f' не
имеет простых разрывов на [а, Ь].
Однако /' вполне может иметь разрывы второго рода.
1)	В теореме 4.23 речь идет о функции, непрерывной на сегменте [а, Ь].
Здесь имеется в виду, что функцию g можно доопределить в точках а и Ь,
полагая g (a) — f (a), g (b) = f (b), так что g станет непрерывной и в точ-
ках а, b по теореме 4.6.—Прим, перев.
Правило Лопиталя
119
Правило Лопиталя
Следующая теорема часто бывает полезной при вычислении
пределов.
5.13.	Теорема. Пусть fug вещественны и непрерывны
в интервале (а, Ь) и g' (х) =/= 0 при всех х£(а, Ь), где —оо<а<
< b < + со. Пусть
(13)	при х~>а-
Если
(14)	/(х)—>0 и g(x)—>0 при х-^а,
или если
(15)	g(x) —>4-оо при х-^а,
то
(16)	При х->а.
Аналогичное утверждение, конечно, верно и тогда, когда
х—>Ь или когда в (15) g(x)—»—оо. Заметим, что сейчас мы
используем понятие предела в расширенном смысле в соответствии
с определением 4.33.
Доказательство. Сначала предположим, что —оо^А<
<4-оо. Выберем вещественное число q, такое, что A<zq, а затем
выберем г так, чтобы выполнялось неравенство А < г < q.
Согласно (13), существует точка с£(а, Ь), такая, что при а<
< х < с имеем
(17)
’	& W
Если a<x<t/<c, то, как показывает теорема 5.9, суще-
ствует точка t С (х, у), такая, что
(1	И*) — / (у) _ Г (0 - г
V '	g(x)—g(y) ' g'(0	'
г.
Допустим, что выполнено условие (14). Устремляя в (18) х
к а, мы видим, что
(I9)	{а<у<с).
Теперь допустим, что выполнено условие (15). Считая у в фор-
муле (18) фиксированным, мы можем выбрать такую точку
(Да, у), что g(x)>g(t/) и g(x)>0, если а<.х<.щ. Умножая (18)
на [g(x)~ g(y)]/g(x), мы получим
(20)	(а<х<с1).
7	g(x) я(Д s(x) v
120
Г л. 5. Дифференцирование
Если в (20) устремить х к а, то, как показывает (15), можно
найти точку с2 £ (a, сД такую, что
(21)
Итак, неравенства (19) и (21) показывают, что для любого q,
подчиненного единственному условию A <_q, найдется точка
с2£(а, Ь), такая, что f (x)!g (х) <. q, если а<х<с2.
Точно таким же способом в том случае, когда —оо<Л<
< +оо, а р выбрано так, что р<Л, мы найдем точку с3£(а, b),
такую, что
(22)	Р<+Й (а<*<сз)-
Из этих двух утверждений следует соотношение (16).
Производные высших порядков
5.14.	Определение. Если f имеет производную f на
некотором сегменте и если функция f' в свою очередь диффе-
ренцируема, то производную функции f' мы будем обозначать
через f" и называть второй производной функции Е Продолжая
таким образом, мы получим функции
f f' f"
каждая из которых служит производной для предшествующей.
Функция называется n-й производной, или производной
порядка п функции f.
Для того чтобы /г(п) (х) существовала в точке х. производная
/<п~!)(0 должна существовать в окрестности точки х (или в одно-
сторонней окрестности, если х является концом сегмента, на
котором определена функция /) и должна быть дифференцируе-
мой в точке х. При этом /'<п~2) должна быть дифференцируемой
в той окрестности точки х, в которой существует
Теорема Тейлора
5.15.	Теорема. Допустим, что f— вещественная функция
на [а, ft], п — положительное целое число, непрерывна на
[a, ft], /(п)(0 существует в любой точке t£(a, b). Пусть а, (3 —
различные точки сегмента [«, ft]. Положим
(23)	Р(0=--2 ^(^-«Л
ь=о
Дифференцирование векторнозначных функций
121
Тогда существует точка х, лежащая между аир, такая, что
(24)	/(Р)=-^(Р)Ч 2^Д(р-а)С
При п= 1 это утверждение превращается в теорему о среднем
значении. В общем случае теорема показывает, что функцию f
можно приблизить многочленом степени п—1; равенство (24)
позволяет оценить погрешность, если известна верхняя граница
величины | fп (х) |.
Доказательство. Пусть М— число, определяемое равен-
ством
(25)	Ир)=.Р(Р) + Л1(р-а)",
и пусть
(26)	g (г!) f (t) —Р (/)— M(t — а)п	(a<t<b).
Мы должны показать, что и!Л4 -- fn) (х) при некотором х,
лежащем между а и р. Согласно (23) и (26),
(27)	(t)— n! M
Значит, доказательство будет закончено, если мы проверим,
что g(Ti>(x) = 0 при некотором х, лежащем между а и р.
Поскольку P(ft)(a) =^f<JtJ(a) при /г—; О, ..., п—1, мы имеем
(28)	g(a)=g'(a)= • •• =g('l-1)(a)^ 0.
Число М было выбрано так, что g(P)~ 0; поэтому, согласно
теореме о среднем, g'(xj — 0 при некотором х,, лежащем между
а и р. Так как g' (a) = 0, то подобным же образом мы заключаем,
что g’(x2) = 0 при некотором х2, лежащем между а и х,. После
п шагов мы придем к выводу, что g<n> (хп) — 0 при некотором хп,
лежащем между а и х,^, т. е. между аир.
Дифференцирование векторнозначных функций
5.16.	Замечания. Определение 5.1 без всяких изменений
применимо к комплексным функциям f, определенным на [a, bj.
При этом теоремы 5.2 и 5.3 остаются верными, так же как и их
доказательства. Если /д и f2—вещественная и мнимая части функ-
ции f, т. е. если f (/) — (/) ptf2 (Z) при	где
вещественны, то, очевидно.
(29)	Г(х) = /;(х) + 17Дх),
причем f дифференцируема в точке х тогда и только тогда, когда
обе функции /1 и f2 дифференцируемы в этой точке.
122
Гл. 5. Дифференцирование
Переходя к общим векторнозначным функциям, т. е. к функ-
циям f, отображающим [а, Ь] в некоторое пространство R, мы
все еще можем применить определение 5 1 для построения Г (х).
Теперь <р(/) в формуле (1) при каждом t является точкой прост-
ранства Rh, а предел в (2) вычисляется в смысле сходимости по
норме этого пространства. Иными словами, Т (х)— это та точка
пространства Rh (если она существует), для которой
(30)	lim |-f(Z)~t(x)—Г (х) I — 0,
(->х I ‘ х	I
и Г—снова функция со значениями в Rk.
Если fi, ...,fk—компоненты функции f, определенные в тео-
реме 4.10, то
(31)	г = (Л,/к),
и функция f дифференцируема в точке х тогда и только тогда,
когда каждая из функций ft, ..., fk дифференцируема в точке х.
Теорема 5.2 остается верной и в этом случае; то же относится
и к теореме 5.3 (а) и (Ь), если fg заменить скалярным произве-
дением f-g (см. определение 4.3).
Однако, когда мы обращаемся к теореме о среднем значении
и к правилу Лопиталя, положение меняется. Следующие два при-
мера показывают, что оба эти результата неверны уже для ком-
плекснозначных функций.
5.17.	Пример. Положим для вещественного х
(32)	f (х) = е1Ж — cosx + i sinx.
(Последнее выражение можно рассматривать как определение
комплексной показательной функции е1Х. Эти функции будут
подробно рассмотрены в гл. 8.) Тогда
(33)	f (2л) — f(0) = l — 1 =0,
но
(34)	f' (х) = ieix,
так что | f' (х) ] = 1 при всех вещественных х.
Таким образом, в этом случае теорема 5.10 уже неверна.
5.18.	Пример. На интервале (0,1) зададим функции f, g,
полагая f(х)=х и
(35)	g (х) = х + х2е’/ж2.
Поскольку | el< | = 1 при всех вещественных t, мы видим, что
(36)	lim|^=l.
х-*о S W
Дифференцирование вектор позначных функций
123
Далее,
(37)	уДх)^Л-г^х~^}е^	(0<х<1),
так что
(38)	|g'(x))>|2x-4j-l >|-1.
Значит,
/СЮ\	I f W ! _	1	х
{ ’	Is'm ig'wi^2-х
и поэтому
(40)	lim = 0.
v ’	х-0 & W
Сопоставляя (40) с (36), мы видим, что правило Лопиталя
в этом случае не действует. Отметим еще, что g' (х)	0 на интер-
вале (0,1), в силу (38).
Однако имеется все-таки одно следствие теоремы о среднем
значении, которое в приложениях почти так же полезно, как
теорема 5.10, и которое остается верным для векторнозначных
функций: из теоремы 5.10 следует, что
(41)	\f(b)-f(a)\^(b-a) sup \f'(x)\.
a<x<b
Прежде чем установить векторный аналог неравенства (41),
мы приведем теорему, показывающую, что при вычислении про-
изводной можно пользоваться отношениями, отличными от тех,
которые фигурировали в определении 5.1. Не ограничиваясь слу-
чаем k—\, рассмотрим общий случай.
5.19.	Теорема. Пусть a<Zx<_b, функция f отображает
[а, Ь] в пространство Rk, и пусть f дифференцируема в точке х.
Пусть	при п — 1, 2, 3, . . ., и пусть ап —»х,
рп—>х. Тогда
(42)	limt((y~*^=r (х).
п->ОЭ Рп ап
Доказательство. Положим ^п = (Р»—х)/фп— ап)- Тогда
0 < kn < 1, и вектор
(43)
Рп--azt
при каждом п равен вектору
(44)	К	г (*)}+(! -М	(*)}•
124
Гл. 5. Дифференцирование
По определению 5.1, оба выражения в скобках стремятся к О,
и так как последовательности {Хп} и {1 —/.„} ограничены, то вектор
(44), а с ним и (43) стремится к нулю при га—»оо. Равенство
(42) доказано.
5.20.	Теорема. Пусть f — непрерывное отображение сегмен-
та [а, 6] в пространство R\ дифференцируемое в интервале (а, Ь).
Тогда существует точка х£(а, Ь), такая, что
(45)	| f (&)— f (а) |<(Ь — а) | Г (х) |.
Доказательство. Положим 3Z, = b—a, М = \ЦЬ)— f(а)| и
(46)	g(s) = f(s + L)-f(s) (a<s<a + 2L).
Поскольку
ЦЬ) — f (а) = g (а) -Н g {а + L) + g (а + 2L),
мы видим, что
(47)	Mc|g(a) | + ;g(a -ЬЛ)]-Ь’б(а + 2Л)].
Если бы оказалось, что lg(s)j<7Vl/3 при всех s Q(a, а-\--2L),
то из непрерывности отображения g следовало бы, что |g(a)|C
<М/3, jg(a + 2Z.) |<Л4/3, и, значит, правая часть неравенства
(47) была бы меньше М.
Следовательно, | g (st) j >Л1/3 при некотором Sj £ (а, а + 2L).
Полагая tl = si-irL, мы находим, что а<^5[<г(1<Ь, tt— st =
= (b—а)/3 и
(48)	|f
Повторим это построение, взяв [st, вместо [a, Ь]. Продолжая
таким образом, мы найдем две последовательности {sn}, {£„},
такие, что
(49)	tn-sn^3-n(b-a),
каждый сегмент Zn = [sn,/Д содержится внутри сегмента 1п„1 и
(50)	| f ((n) — f (s„)|> 3~пМ.
Разделив (50) на (49), мы получим
(51)	Щ^п)—t(sn)| > lf(fe) —f(a)| /n=i 2 3	)
' '	tnsn	b—a '	’ ’ ’ ‘
из теоремы 5.19 мы заключаем, что (45) выполнено для точки х,
принадлежащей всем сегментам 1п х).
!) Вот другое, значительно более короткое доказательство теоремы 5.20.
Рассмотрим числовую функцию <р, заданную на [а, 6] равенством: <p(Z) —
= (f (й)— f(a))-f(Z). К этой функции можно применить теорему о среднем
значении: <р (й)—<р(а)=<р' (х)-(Ь — а), где х—некоторая точка интервала (а, Ь).
Упражнения
125
Упражнения
1.	Пусть f(x) — \x\3. Вычислить f (х), f (х) при всех веще-
ственных х и показать, что f<3>(0) не существует.
2.	Пусть f определена при всех вещественных х, и пусть
при всех вещественных х и у. Доказать, что f постоянна.
3.	Пусть f определена в окрестности точки х, и пусть суще-
ствует /"(х). Показать, что
lim + +	= f„ (х).
Л-+0	“
Показать на примере, что этот предел может существовать
и тогда, когда f" (х) не существует.
4.	Пусть
с.+11+...+^+^-о,
гдеС0, .. ., Сп — вещественные постоянные. Доказать, что уравнение
Сд CjX	+ Cn_jXn * 1 -f“ Спхп = О
имеет хотя бы один вещественный корень между 0 и 1.
5.	Пусть f определена и дифференцируема при каждом х>0
и f(x) —>0 при х—> + оо. Положим g(x) = f(x+l) — f(x).
Доказать, что g(x)—>0 при х—> + оо.
6.	Пусть
(a)	f непрерывна при х>0,
(Ь)	f (х) существует при всех х>0,
(с)	f(0) = 0,
(d)	f' монотонно возрастает.
Положим
=	(х>0).
Доказать, что g монотонно возрастает.
Теперь остается заметить, что (6)—<р (а)=| f (й)— f (а) |2, а <р' (x) = (f (&) —
— f(a))-f'(x) (см. по этому поводу предпоследний абзац п. 5.16), и поэтому
I f (6) —f (a) |2 = (f (6) —f (а))-Г (х)-(Ь—а). Применяя к правой части этого
равенства неравенство Шварца, получим
| f (6)-f (а) |2< | f (6)_f (а) |. | f' (х) | (b—a).
Теорема доказана.—Прим, перев.
126
Г л. 5. Дифференцирование
7.	Пусть f' (х), g' (х) существуют, g' (х)	0 и f (х) — g (х) = О.
Доказать, что
(Это верно и для комплексных функций.)
8.	Пусть f'(x)>0 при всех xQ(a, b). Доказать, что [ строго
возрастает в интервале (а, Ь). Пусть g —функция, обратная к f.
Доказать, что g дифференцируема и что
g'(/W)=^j (а<х<Ь).
9.	Пусть / дифференцируема в интервале (а, Ь), а<_х<_Ь,
х<а„<рп при п=1, 2, 3, ... и ап—»х, >х. Показать, что
отношения
Рп ап
не обязательно сходятся к /'(х) при п—»со, но что они дейст-
вительно сходятся к f (х), если мы дополнительно потребуем,
чтобы последовательность {фп—х)/((Зп— ап)} была ограниченной.
10.	Пусть f и g—комплексные дифференцируемые функции
на (0, 1), f(x)—»0, g(x)—»0, f(x)—»Л, g'(x)—»В при х—*0,
где А и В —комплексные числа, В^О. Доказать, что
(Ср. с примером 5.18.)
Указание:
/(х)	( f (х)	. 1 . х . X
g (х)	I X J g (х) g (х) •
Применить теорему 5.13 к вещественной и мнимой частям
дробей /(х)/х и g(x)/x.
11.	Сформулировать и доказать неравенство, которое следует
из теоремы Тейлора и остается верным для векторнозначных
функций.
12.	Пусть Е — замкнутое подмножество прямой R1. В упраж-
нении 13 гл. 4 было показано, что существует вещественная
непрерывная функция в R1, нуль-множество которой совпадает
с Е. Можно ли для каждого замкнутого множества Е найти
такую дифференцируемую на R1 функцию [, для которой Е слу-
жит нуль-множеством? Существует ли п раз дифференцируемая
функция с таким свойством? Функция, которая имеет производ-
ные всех порядков на R1?
Упражнения
127
13.	Пусть g — вещественная функция на R1, имеющая огра-
ниченную производную (скажем, |g'|-<A4). Зафиксируем е>0
и положим / (х) = х -j- eg (х). Доказать, что / взаимно однозначна,
если число е достаточно мало. (Можно определить множество
допустимых е, зависящее лишь от М.)
14.	Пусть /—дважды дифференцируемая вещественная функ-
ция на (0, со), и пусть Мо, Mt, М2 — верхние границы соответст-
венно функций |/|, | /' |, | /" | на (0, оо). Доказать, что Л4^<4Л40Л42.
Указание. Из теоремы Тейлора следует, что
/' (х) = ± [/ (х + 2Л) - / (х)] Д Л/" (В),
так что | /' । < hM2 + Мд/h при любом h > 0.
Можно ли этот результат распространить на векторнозначные
функции?
15.	Пусть / дважды дифференцируема на (0, оо), /" ограни-
чена на (0, со) и /(х)—>0 при х—>оо. Доказать, что /'(х)—>0
при х —>со.
Указание. Применить упражнение 14 на (а, оо).
Показать, что это утверждение становится неверным, если
опустить предположение о /".
16.	Пусть / дифференцируема на [а, Ь], / (а) = 0 и существует
вещественное число А, такое, что | /' (х) j< А | / (х) | на [а, &].
Доказать, что /(х) = 0 при всех xQ[a, Ь]. '
Указание. Зафиксируем х0£[а, 6], и пусть 440 = sup |/(х) |,
Mi = sup | /' (х) |
на сегменте fa, х0]. Для любого xgfa, х0]
| / (х) | < Mt (х0 — а)< А (х0 — а) Мо.
Значит, Л4о = О, если Л(х0 —а)<1, т. е. / = 0 на fa, х0]. Про-
должить это рассуждение.
17.	Пусть <р — вещественная функция, определенная в пря-
моугольнике Р на плоскости, заданном неравенствами а^х^Ь,
Решением задачи с начальными условиями
g' = <p(x, у), у(а) = с (а<с<р)
называется дифференцируемая на [а, 5] функция /, такая, что
/(а) = с и
/'(х) = <р(х, /(х)) (аСх<Ь).
Доказать, что эта задача имеет не более одного решения, если
существует число А, такое, что
1ф(х, Уг)~(р(х, yi)\<A\yz — yi\
для любых (х, y^QR., (х, yzi^R.
128
Гл. 5. Дифференцирование
Указание. Применить упражнение 16 к разности двух реше-
ний. Заметим, что эта теорема единственности неприменима
к задаче с начальными условиями
У' = У1/г,	У(0) = 0,
которая имеет два решения: f(x) = O и f(x) = x2/4. Имеются ли
другие решения?
18.	Сформулировать и доказать аналогичную теорему единст-
венности для системы дифференциальных уравнений вида
№ = Ф/(л-‘> Ум ---Уй), У/(а) = с; (/ = 1, . ..,/г).
Заметим, что эту систему можно записать в виде
У' = ф(х, у), у(а) = с,
где у = (z/1; ..., yk) пробегает /г-мерную клетку, ф —отображение
некоторой (/г -j-1 )-мерной клетки в евклидово пространство R\
причем компонентами ф служат функции фр ...,фй, а с —вектор
(С), ...,сЛ). Воспользоваться упражнением 16 для векторнознач-
ных функций.
19.	Рассмотреть частный случай упражнения 18, перейдя
к системе
У} = Ул1 (/= 1, - . .,/г-1),
k
y'k = f (х) — S gj (x) Ул
j—i
где f, ...,	— непрерывные вещественные функции на [а, Ь],
и получить теорему единственности для решений уравнения
У' г gk (х) t/k-*> + • •  Т g-i (x) у’ gi (x) у = f (x),
удовлетворяющих начальным условиям
У(а) = сь y'(a) = c2, . ..,	(a) = cA.
20.	Пусть f' непрерывна на [а, У] и е>0. Доказать, что
существует число 6> 0, такое, что
(х)|<е,
если 0<)Z — х|<6,	(Это значит, иными сло-
вами, что f равномерно дифференцируема на [а, Ь], если f' непре-
рывна на [а, Ь].) Верно ли это для векторнозначных функций?
ГЛАВА
ИНТЕГРАЛ РИМАНА — СТИЛЬТЬЕСА
Основным в этой главе является определение интеграла Ри-
мана. явным образом использующее упорядоченность числовой
прямой. В соответствии с этим мы начинаем с изучения интегри-
рования вещественнозначных функций на сегментах. В последую-
щих разделах будет изложено обобщение на случай комплексно-
значных и векторнозначных функций, заданных на сегменте.
Интегрирование по множествам, отличным от сегментов, рассмат-
ривается в гл. 9 и 10.
Определение и существование интеграла
6.1.	Определение. Пусть [а, Ь] —заданный сегмент. Раз-
биением Р сегмента [a, fe] мы называем конечное множество
точек л'о, х1; ..., хп, где
а = х0 < xt <. xz < . •. -С xn_i < хп — Ь.
Мы будем писать
Лхг—хг —хг_, (г = 1, .. .,п).
Пусть теперь f —ограниченная вещественная функция, опре-
деленная на [а, 6]. Каждому разбиению Р сегмента \а, Ь] соот-
ветствуют числа
~ sup f (х)	(Х'!-1--<ХгСхг),
nij - inf f (х)	(хг_! -С х -С хг),
п(Р, /)= 2 M^Xi,
г— f
L (Р, /) = 2j trii^Xj,
i=l
и, наконец,
(1)	[ dx = inf U (Р, /'),
(2)	j f dx = sup L (P, f),
130
Г л. 6. Интеграл Римана — Стильтьеса
где верхняя и нижняя грани берутся по всем разбиениям Р сег-
мента [а, 6]. Левые части равенств (1) и (2) называются соот-
ветственно верхним и нижним интегралами Римана функции f
по сегменту [а, Ь\.
Если верхний интеграл равен нижнему, то мы будем говорить,
что функция f интегрируема по Риману на сегменте [а, Ь]
и писать (иными словами, 31 обозначает множество всех
функций, интегрируемых по Риману), а общее значение величин
(1) и (2) будем обозначать
ь
(3)	^fdx,
а
ИЛИ
Ъ
(4)	f(x)dx.
а
Это —интеграл Римана от функции f по сегменту [а, 6].
Поскольку f ограничена, существуют два числа т и М, такие,
что
m^f (х)^М	(a^x^b).
Значит, при любом разбиении Р
m(b-a)^L(P, f)^U(Р, f)^M(b-a),
так что числа L(P, /) и U(P, f) образуют ограниченное множе-
ство. Это показывает, что верхний и нижний интегралы опреде-
лены для любой ограниченной функции f. Вопрос об их совпа-
дении и, значит, вопрос об интегрируемости функции f оказы-
вается более тонким. Вместо того чтобы исследовать его отдельно
для интеграла Римана, мы сейчас рассмотрим более общую
ситуацию.
6.2.	Определение. Пусть а —монотонно возрастающая
функция на [а, Ь] (поскольку а (а) и а (Ь) конечны, функция а
ограничена на [а, Ь]). Если Р — какое-нибудь разбиение сегмента
[а, Ь], то положим
Ааг = а (хг) — а (x^J.
Ясно, что Ааг>0. Для любой вещественной функции f, ограни-
ченной на [а, Ь], положим
U(P, f, а)= 3 МгАаг,
i=i
L(P, f, а) — S nii&ai,
t=i
Определение и существование интеграла
131
где Mt и mi имеют тот же смысл, что и в определении 6.1.
Положим, по определению,
(5)	f da = inf (7 (Р, f, а),
(6)	f da = sup L (P, f, a),
где верхняя и нижняя грани берутся снова по всем разбиениям.
Если левые части равенств (5) и (6) равны между собой, то их
общее значение обозначается через
ь
(7)	J f da
а
или иногда через
ъ
(8)	§ f(x)da(x).
a
Это —интеграл Римана —Стильтьеса (или просто интеграл
Стильтьеса) от функции f относительно функции а по сегменту [а, Ь].
Если интеграл (7) существует, т. е. если (5) и (6) равны
между собой, то мы будем говорить, что f интегрируема отно-
сительно а в смысле Римана, и писать f£J?(a).
Полагая а(х) = х, мы приходим к выводу, что интеграл Ри-
мана— это частный случай интеграла Римана —Стильтьеса. Под-
черкнем, однако, что в общем случае функция а не обязана быть
даже непрерывной.
Несколько слов по поводу обозначений. Мы предпочитаем
обозначение (7) обозначению (8), так как фигурирующая в (8)
буква х ничего не добавляет к содержанию записи (7). Совер-
шенно несущественно, какую букву мы употребляем для обозна-
чения так называемой «переменной интегрирования». Так, напри-
мер, (8) —это то же самое, что
ь
$ f(y)da(y).
а
Интеграл зависит от f, а, а и Ь, но не от переменной интег-
рирования, которую вполне можно опустить.
Роль переменной интегрирования совершенно аналогична роли
индекса суммирования: два символа
п	п
S с, 2 ch
i=l	fc=l
означают одно и то же, а именно сумму	... ф-сп.
132
Гл. 6. Интеграл Римана — Стильтьеса
Разумеется, не произойдет ничего страшного, если переменная
интегрирования будет написана, а в некоторых случаях даже
удобно ее писать.
Теперь мы исследуем вопрос о существовании интеграла (7).
Не повторяя этого каждый раз, мы будем считать функцию f
вещественной и ограниченной, а функцию а —монотонно возрас-
тающей на [а, 6], и если исключена возможность недоразуме-
ь
ний, мы будем писать вместо .
а
6.3.	Определение. Мы будем говорить, что разбиение Р*
является измельчением разбиения Р, если Р* о Р (т. е. если каж-
дая точка разбиения Р служит также точкой разбиения Р*).
В случае, когда заданы два разбиения Pt и Р2, мы будем гово-
рить, что Р* есть их общее измельчение, если Р* - Pt J Р2.
6.4.	Теорема. Если Р* — измельчение разбиения Р, то
(9)
L(P, f, u)<L(P*, f, а)
и
(Ю)	П(Р*, /, a)^U(P, f, а).
Доказательство. Чтобы доказать неравенство (9), допус-
тим сначала, что Р* содержит ровно на одну точку больше,
чем Р. Обозначим эту новую точку через х* и допустим, что
x,_i <x*<xh где и х; — две последовательные точки раз-
биения Р. Положим
Wi =- inf f (х)
= inf f (x)
(Xj_!<X<X*),
(Х*<Х<Х;).
Ясно, что пц и wz>mt, где, как и прежде,
-- inf [ (х)
Значит,
£(Р*, f, a) —L(P, /, а) = щ, [а(х*) —а(х;_1)Л-
+ wz [а (х,) — а (х*)] — т( [а (хг) — а (хг_,)] =
= (Wi — mt) [а (х*) — а (хг] + (u>2 — ) [а (хг) — а (х*)] > 0.
Если Р* содержит на k точек больше, чем Р, то мы повторим
только что проведенное рассуждение k раз и получим (9). Дока-
зательство неравенства (10) аналогично.
6.5.	Теорема. f da f da.
Доказательство. Пусть Р* — общее измельчение двух
разбиений Р( и Р2. По теореме 6.4
L(Pt, f, a)^L(P*, f, a)^U(P*, f, a)^U(P2, f, a).
Определение и существование интеграла
133
Значит,
(Н)	Ь(Р1г f, a)^U(P2, f, а).
Считая Р2 фиксированным и вычисляя верхнюю грань по всем
Р^ получаем из (11)
(12)	J fda^U(P2, f, а).
Вычисляя нижнюю грань по всем Р2 в (12), получаем утвержде-
ние теоремы.
6.6.	Теорема, /Д.'й(а) на [а, Ь] тогда и только тогда,
когда для любого е > 0 существует разбиение Р, такое, что
(13)	U(P, f, a) — L(P, f, а)<е.
Доказательство. При любом Р имеем
L(P, f, а)<	f da <b\(P, f, a).
Поэтому из (13) следует, что
0<У fda — / da с е.
Значит, если при любом е>0 неравенству (13) удовлетворяет
некоторое разбиение Р, то
fda — f da,
т. е. f^.^(a).
Допустим теперь, что fCJ2(a) и задано число е>0. Тогда
существуют разбиения Р{ и Р2, такие, что
(14)	U (Р2, f, a)— j fda С | ,
(15)	J fda-L(Pi,f, a)<|.
Выберем в качестве Р общее измельчение разбиений Р, и Р2.
Тогда, как показывает теорема 6.4 вместе с неравенствами
(14) и (15),
L (P, f, a)^U(P2, f, a) < J f da-}-~ <Z L(Pi, f, a)-\ e,^. L(P, f,a)+e.;
для такого разбиения P выполняется неравенство (13).
Теорема 6.6 позволит нам доказать интегрируемость двух
важных классов функций. Но сначала введем еще одно опре-
деление.
134
Гл. 6. Интеграл Римана — Стильтьеса
6.7.	Определение. Для любого разбиения Р положим
р (Р) — шах Дхг
и назовем р (Р) диаметром разбиения Р.
6.8.	Теорема. Если функция f непрерывна на [а, б], то
f (а) на [а, 6]. Более того, каждому е > 0 отвечает такое
6 > О, что
п	b
(16)	j 2 Ж)	^<е
4=1	а
для любого разбиения Р = {х0, xt, ..., хп) сегмента [а, Ь], удовлет-
воряющего условию р (Р) <6, и при любом выборе точек tt
в сегменте [х,-л, х;].
Доказательство. Пусть задано число е>0, и пусть
q>0 таково, что
[а (Ь) —а (а)] т]< е.
Поскольку f равномерно непрерывна на [a, fc] (теорема 4.19),
существует такое б>0, что
(17)	lf(x)-f(Ol<n,
если | х — 11 < б и х£[а, b], t£ [а, 6].
Выберем Р так, что р(Р)<6- Тогда из неравенства (17) сле-
дует, что
Л4г —тг<т] (t = l, ...,«).
Значит,
l/(P, f, a) — L(P, f, а)=2 (Л4г-тг) Даг<
г—1
п
< т] 2	= г) [а (б) — а (а)] < е.
4 = 1
Итак, по теореме 6.6, fQj?(a).
Неравенство (16) также доказано, так как оба числа
п
2 /(/»)Даг и	f da лежат между U (Р, f, а) и L(P, f, а).
4= 1
6.9. Теорема. Если f монотонна на [а, Ь], а а непрерывна
на [а, б], то fQ^(a) (мы по-прежнему предполагаем, разумеется,
что а монотонна).
Доказательство. Пусть задано е>0. Для любого поло-
жительного п выберем разбиение Р так, что
Да.= а(&)—-а(а)	п).
Определение и существование интеграла
135
Это возможно, так как функция а непрерывна (теорема 4.23).
Предположим теперь, что f монотонно возрастает (в другом
случае доказательство аналогично). Тогда
Mi = f{xi'), ml = f{xi-f) (i=l,...,n),
так что
п
и (Р, f,a) — L (Р, f, а) Т++т«(+ £ [f (хг) - f (х^)] =
г —1

если п достаточно велико. По теореме 6.6 /СЭ?(а).
Теперь мы докажем некоторые элементарные свойства инте-
грала Стильтьеса.
6.10. Теорема, (а) Если Лб^(а) и /гЕ-®(а) на [а, Ь]. то
71 +	(а), с/£Э2(«), какова бы ни была константа с, и
ь	ь	ь
(71 +7г) da = ft da+ f2da,
J	t)	J
a	a	a
b	b
cf da = c f da.
a	a
(b) Если ft{x)^.fz(x) на [а, 6], то
(с) Если 7€^(а) на [а, Ь] и если а<.с<Ь, то 7€Э?(а) на
[а, с] и на [с, Ь] и
ebb
f da- fda= f da.
аса
(d.) Если f£&(a) на [а, Ь] и если |f(x)|cA4 на [а, Ь], то
ь
| /daj<A1[a(&) — а (а)].
а
(е) Если 7E-^(«i) и /6Э?(а2), то /ЕЭ?(а1 + а2)
и
ъ	ь	ь
fd (aj + а2) = f dat + f da2,
136
Гл. 6. Интеграл Римана — Стильтьеса
если fQ.^(a) и с —положительное число, то f£32(ca) и
ь	ь
fd (са) = с fda.
а	а
Доказательство. Если f = fiJrfz, а Р — какое-нибудь
разбиение сегмента [а, Ь], то
(18)	L (Р, ft, а) + Л(Р, /2, a)<L(P, f, a)^U (Р, f, а)<
<t/(P, f.,a)-fU(P, f2, a).
Если ft£3? (a) и /г 6'^? (a), то любому числу е>0 отвечают
такие разбиения Р} (j—l,2), что
U(Pjt f}, a) — L(Pj,fj, a) <8.
Это неравенство сохранится, если Pt и Р2 заменить их общим
измельчением Р. Тогда из (18) следует, что
U(P, f, a) — L(P, f, a)<2e,
а это значит, что /С.5? (a).
Для этого же разбиения Р имеем
U(P,fj, a) < Jbda-ге (/=1,2);
таким образом, из (18) следует, что
( / da < U (Р, f, а) <Д fi da + /2 da -j- 2е.
»-	V	V
Ввиду произвольности е мы приходим к неравенству
(19)	/ da < fi da + f2 da.
Если заменить Д и /2 в (19) функциями —/ди — f2, ю нера-
венство изменится на обратное (ибо, как легко проверить.
(— /) da= — fda); тем самым доказано требуемое равенство.
Доказательства остальных утверждений теоремы 6.10 совер-
шенно аналогичны. В части (с) все дело в том, что, переходя
к измельчениям при приближении интеграла fda, мы можем
ограничиться лишь разбиениями, содержащими точку с.
6.11.	Теорема. Пусть f 6 31 (а) на [л, Ь], т</сЛ4, <р непре-
рывна на [т, Л1] и h (х) = ср(/ (х)) на [а, Ь]. Тогда h 6 31 (а) на [a,
Доказательство. Выберем е > 0. Ввиду того что <р
равномерно непрерывна на [т, Л1], существует б>0, такое, что
б<е и i <p(s) —<р(/) I < е, если is — Zj-<6 и s, t£\m, Л4].
Определение и существование интеграла
137
Поскольку f £42 (а), существует разбиение Р=^{хй, х,, ...,хп}
сегмента [а, Ь], такое, что
(20)
U(P, f, a) — L(P, f, a)<63.
Пусть М/ и mt имеют тот же смысл, что и в определении 6.1,
и пусть Л4|, т* — аналогичные величины для функции h. Разобьем
числа 1, .... л на два класса: i £ А, если Mi — тг <6; ig В, если
Mt —mt >6.
Для i£A, в силу выбора 6, оказывается, что М* — т*^.е..
Для IFB имеем Л4* — m* < 2К, где К= sup |<р(/) |,
Согласно (20), имеем
(21)	б АагС У (Л-1;-тг) Аа;< б2,
i£B	i£B
так что У] Ааг <' 5. Следовательно,
i£B
U(P, h, a) — L(P, h, a) = 3 (A4t-mt)Aa; +3 (МТ-/иГ)Аа;С
i£A	i£B
e [a (b) — а (а)] ф 2Кб < e [a (b) — a (a) 4- 2К].
Теперь из теоремы 6.6 следует, что А 6 4? (а), так как число е
произвольно.
Замечание. Эта теорема подсказывает такой вопрос:
какие же функции интегрируемы по Риману? Ответ дается
в теореме 10.33(b).
6.12.	Теорема. Если	и g£&(a) на [а, Ь], то
(«) /к ЕЯ (а);
ь	ь
(Ь) / ; с • ^ («) и Ц fda | f\da.
Доказательство. Полагая <р(/)==/2 и применяя к <р
теорему 6.11, мы видим, что f26.42(a), если /f£4?(a). Тождество
завершает доказательство утверждения (а).
Полагая <р(/)— и применяя теорему 6.11, мы точно так же
убеждаемся в том, что |/|g 42(a). Выберем с= ± 1 так, что
Тогда j f da \
Г»	г»	Р
---с \	fda=	\	cfdas^.	\	\f\da, так как cf
3	J	J
138
Гл. 6. Интеграл Римана— Стилыпьеса
Интеграл как предел сумм
До сих пор мы определяли интеграл при помощи сумм
U (Р, f, a), L(P, f, а). Однако числа Л4г, тг, появляющиеся в этих
суммах, не обязательно служат значениями функции f (они
действительно оказываются значениями функции f, если f непре-
рывна). Сейчас мы покажем, что интеграл fda можно рассма-
тривать как предел последовательности сумм, в которых Mt и т,
заменены значениями функции f. Как и выше, а монотонно
возрастает, a f ограничена и вещественна на [а, Ь].
6.13.	Определение. Пусть Р — какое-нибудь разбиение
сегмента [а, 6]. Выберем точки /1; ..., tn так, что Xi^^tt^Xt
(t = 1, ..., и), и рассмотрим сумму
(22)	5(Р,/,а)=ШЖ
1=1
Положим, по определению,
(23)	lim S(P, f, а) = 4,
Ц(Р)-»0
если для любого е>0 существует б> 0, такое, что при ц(Р)-<б
имеем
(24)	\S(P, f, а)-Д|<е.
Отметим, что обозначение S (Р, f, а) на самом деле неполно,
так как сумма (22) зависит еще и от выбора точек tt, удовлетво-
ряющих условию Xi^^ti^Xi. Но это не может привести ни
к какому недоразумению, если мы будем помнить, что соотно-
шение (23) означает справедливость неравенства (24) при всяком Р
и всяком допустимом выборе точек tt, если только р,(Р)<б.
6.14.	Теорема, (а) Если limS(P, f, а) при р(Р)->0
существует, то / g (а) и
ь
(25)	lim S (Р, f, а)— \ f da.
ц(Р)-»0	J
(б)	Если (i) f непрерывна или если (ii) f£J?(a) и а непре-
рывна на [а, 6], то выполняется соотношение (25).
Упражнение 4 покажет, что требование непрерывности в утвер-
ждении (Ь) не может быть опущено.
Доказательство. Допустим сначала, что предел в левой
части равенства (25) существует и равен А. Пусть задано число
е > 0.
Интеграл как предел сумм.
139
Существует 6>0, такое, что при ц(Р)<6 имеем
(26)	Л—|<S(P, Л аХЛ+f.
Выберем такое Р. Если мы заставим точки tt пробегать сегменты
хг] и возьмем верхнюю и нижнюю грани чисел S (Р, [, а),
полученных таким образом, то, принимая во внимание (26), мы
придем к неравенству
Л-|<£(Р, f, ^(Р, /,а)<Л + |.
По теореме 6.6	J2(a); это завершает доказательство утвер-
ждения (а), так как
L(P, f, a)< fda^U (Р, f, a).
Часть (i) утверждения (b) содержится в теореме 6.8.
Чтобы доказать часть (ii), допустим, что f£J?(a), функция a
непрерывна и е>0. Существует разбиение Р*, такое, что
(27)	t/(P*,/,a)< J +
Положим
М = sup | f (х) |	(а<х<Ь).
Поскольку функция а равномерно непрерывна на [а, Ь|, сущест-
вует > 0, обладающее следующим свойством: если Р — любое
разбиение сегмента [а, 6], такое, что р.(Р)<61, то Аа;<е/4Л1п
при всех i, где п — число сегментов разбиения Р*. Пусть Р —любое
разбиение, такое, что р,(Р)<б1. Рассмотрим сумму U (Р, f, a).
Вклад в эту сумму тех сегментов разбиения Р, внутри которых
содержится точка разбиения Р*, не превышает величины
(и — 1) шах Аа;Л1 < (w~!] еМ < -f-.
В соединении с (27) это дает
(28)	(/(Р,/,а)<	+ |
при всех Р, для которых ц(Р)<61.
Точно таким же способом мы можем показать, что существует
число б2>0, такое, что
(29)	L(P, f,a)> J
при всех Р, для которых ц (Р) < 62.
140
Гл. 6. Интеграл Римана— Стильтьеса
Выбирая 6 = min (61, 62), мы видим, что неравенства (28) и (29)
выполняются при каждом Р, таком, что ц (Р) < 6.
Поскольку, очевидно,
L (Р, f,a)^S (Р, f, а) < U (Р, f, а),
из (28) и (29) следует, что
S(P, f, «)< J fda-\-^,
S(P,f, а)> fda-P,
a из этих двух последних неравенств видно, что
j S (Р, f, а) — f da I < е
при всех Р, таких, что ц (Р) <С 6.
Доказательство закончено.
Интегрирование и дифференцирование
В этом разделе мы все еще будем заниматься вещественными
функциями. Мы покажем, что интегрирование и дифференциро-
вание являются в некотором смысле взаимно обратными опера-
циями.
6.15.	Теорема. Пусть fP.Fl на [a, fe|. Для а < х < b положим
F(x) — J f(t)dt.
а
Тогда функция F непрерывна на [а, Ь]х); более того, если функ-
ция f непрерывна в точке х0£[а, Ь], то функция F дифференци-
руема в точке х0 и
(*о) = / (*о)-
Доказательство. Функция / ограничена, так как
Допустим, что	если	При а .< х <_у <Ь имеем
у
Г (У) — Р W | = । J / (/) dt | < М (у - х)
Л
а
х) Функция F не определена в точке at ибо символу / (/) dt не прппи-
а
сывалось никакого смысла (в п. 2.19 при определении сегмента как одномер-
ной клетки сегменты вида [а, а] были исключены из рассмотрения). Для того
чтобы все утверждения теоремы были верными, следует считать, что
F (а)=0.— Прим, перев.
Интегрирование и дифференцирование	14 i
по теореме 6.10 (с) и (d). Мы видим, что для данного е>0
\F(y)-F(x)\<z,
если только !//—х|<е/Л1. Этим доказана непрерывность (и бо-
лее того, равномерная непрерывность) функции F.
Допустим теперь, что функция f непрерывна в точке х0. Для
заданного е> 0 выберем б >• 0 так, что
если \t — х0|<6 и	Тогда при
х0 —б<зСх0-</<х0Ч-б и
мы по теореме 6.10 (d) имеем
t
[f(u)-f(Xo)]du\<e.
I 1 —s	I 1 * —5 J	I
6
Следовательно, F' (x0) = f (x0).
6.16.	Teop ем а. Если на [a, ft] и существует диффе-
ренцируемая функция F на [а, b], такая, что F' = f, то
ь
f (х) dx = F(b)—-F(a).
а
Эту теорему обычно называют основной теоремой интеграль-
ного исчисления. Ее постоянно применяют при вычислении инте-
гралов.
Доказательство. Для данного разбиения Р сегмента [а, б]
выберем /г(г = 1, ..., п) так, что хг_1<Дг<хг и
F (xt) — F (Xi.j) = (xt — Xi,,) f (tt).
Это возможно по теореме 5.10. Тогда
я	л
F (&) - F (а) = 3 [F (л-0 - F (х^)] = £ f (ti) Ахг,
i=l	i=l
Ь
а последняя сумма стремится к ffxjdx, когда Гр(Р) —> 0, по
a
теореме 6.14 (где а(х)=х).
6.17.	Теорем а. Если f и а' на [а, Ь], то f (а) и
ь	ь
f da = f (х)а (х) dx.
а	а
142
Гл. 6. Интеграл Римана — Стильтьеса
Эта теорема описывает одну из ситуаций, когда интеграл
Стильтьеса сводится к интегралу Римана.
Доказательство. Заметим сначала, что по теореме 6.12
/a'gj?. Пусть в>-0. Выберем М так, что | f | < Л4. Поскольку
fa'и a'gj?, из теоремы 6.14 (Ь) следует, что существуют
^>0 и 62 > 0, такие, что
(30)	\^\f(ti)a'(ti)\xl-
если р,(Р)<д1 и Xt-i<СС<х;, и
У a' (ti) Ax, — \ a' < e,
если ц(Р)<62 и Xi-i^ti^Xi.
Если Si — другая точка, такая, что х^Сх^х;, то мы имеем
(31)	la' a'(s;) | Ах; < 2е,
когда (х(Р)<62 и Xi-i^ti^Xt, Xi-.jCSiCx;.
Выберем теперь Р так, что р (Р) < 6 = min (6П 82), и пусть
tt G [х;-!, хг]. По теореме 5.10 существуют точки хг g [х^, хг],
такие, что Ааг = а'(хг) Ахг. Тогда
(32)	2 f № Vi) а' (^) ^xi + 2 f [a' (S;) “<*«)]
Согласно (30) и (31), левая часть равенства (32) отличается
от fa' меньше, чем на (2Л4 + 1)е- Это означает, что
ь
lim S(P, f, a) = f(x)a'(x)dx;
H(PW	J
принимая во внимание теорему 6.14 (a), мы приходим к требуе-
мому заключению.
Интегрирование векторнозначных функций
6.18.	Определение. Пусть fit ..., fk— вещественные
функции на [а, Ь], и пусть f = (Д, ..., /А) — соответствующее
отображение сегмента [а, /?] в пространство Р'!. Пусть функция
а монотонно возрастает на [а, &]. Мы будем говорить, что
fC^(a), если /;^Э2(а) при / = 1, ..., k. В этом случае мы,
по определению, полагаем
ь	ь	ь
f da = fi da, ..., fk da') .
a	a	a
Интегрирование векторнозначных функций
143
Иными словами, f da — это точка пространства j-я коор-
дината которой равна fjda.
Ясно, что утверждения (а), (с), (е) теоремы 6.10 верны и для
этих векторнозначных интегралов; нужно просто применить преж-
ние результаты к каждой координате. То же верно в отношении
теорем 6.15 — 6.17. Для иллюстрации сформулируем аналог тео-
ремы 6.16.
6.19.	Теорема. Если f и F отображают сегмент [а, Ь]
в пространство Rk, на [a, ft] и F' = f, то
ь
J f(/)d/ = F(fe)-F(a).
а
Однако аналог теоремы 6.12 (Ь) связан с некоторыми новыми
моментами, по крайней мере в доказательстве.
6.20.	Теорема. Пусть f отображает [а, Ь] в простран-
стве Rh. Если f£J?(a) для какой-нибудь монотонно возрастаю-
щей на [а, Ь] функции а, то |f|C^?(a) и
ъ	ь
(33)	| J fda|< |f |da.
а	а
Доказательство. Если Д, ..., fh— компоненты отобра-
жения f, то
(34)	|f| = (fl +...+№
По теореме 6.11 каждая из функций f* принадлежит множе-
ству ^?(а), следовательно, этому множеству принадлежит и их
сумма. Поскольку .^ — непрерывная функция от х, теорема 4.17
показывает, что квадратный корень —функция, непрерывная на
сегменте [0, /И] при каждом вещественном М. Если мы еще раз
применим теорему 6.11, то увидим, что |f|C^£(a).
Чтобы4-доказать (33), положим y = (yi, ..., уц), где у> —
= fjda. Тогда У = fda и
i у i2=S &=S уз $ fjda = $ ( S yrfj') da-
В силу неравенства Шварца,
(35)	1юМ0<|уНЧ01
144
Гл. 6. Интеграл Римана — Стильть^са
значит, из теоремы 6.10 (&) следует, что
(36)
|у)2<|у | |f |da.
Если у = 0, то неравенство (33) тривиально. Если у 0, то,
разделив (36) на | у [, мы получим (33).
Функции ограниченной вариации
До сих пор мы занимались интегрированием относительно
монотонных функций а. В самом деле, неравенство Ааг>0 играло
основную роль во всех доказательствах, связанных с L(P, f, a)
и U (Р, f, а). Рамки теории интегрирования, развитой в преды-
дущих разделах, можно расширить без значительных трудностей,
если заменить класс монотонных функций классом функций огра-
ниченной вариации. Чтобы избежать повторений, мы сразу же
определим этот класс для векторнозначных функций.
6.21.	Определение. Пусть f — отображение сегмента [а, й]
в пространство R1. Если Р = {х0, ..., хп}— разбиение сегмента
[я, Ь], то положим
ЛТг = Т(хО-Т (Ч-j)
и
(37)	V (f; a, fc) = sup 2 | ДЪ |,
где верхняя грань берется по всем разбиениям сегмента [а, Ь].
Назовем число V (f; а, Ь) полной вариацией отображения f на
сегменте [а, Ь]. Если из контекста ясно, о каком сегменте идет
речь, то мы будем сокращенно писать V (f).
Если V (f; а, &)<-фоо, то говорят, что f — функция ограни-
ченной вариации на [а, Ь].
Многие свойства векторнозначных функций ограниченной вариа-
ции можно получить сведением к случаю вещественных функций.
6.22.	Теорема. Пусть f — (flt ..., Д) отображает сегмент
[a, fe] в пространство RT Тогда ^ — функция ограниченной вариа-
ции на [а, Ь] в том и только в том случае, когда каждая из
функций fj имеет ограниченную вариацию на [а, Ь]. Для
имеем
k
V(b)<v(f)< 2 V(fr).
7 = 1
Функции ограниченной вариации
145
Доказательство. Для любого разбиения {х0, .,.,хп)
сегмента [а, Ь] имеем
k
I h (*i) — fi	i < If	К 2 I fr (xt) - fr (x;_i) |.
r=l
Если мы просуммируем эти неравенства по i—Л, . п, а
затем перейдем к верхним граням, то мы получим утверждение
теоремы.
6.23.	Примеры, (а) Если f-—монотонная функция на [а, 6],
то / — функция ограниченной вариации на [а, &], и V (f) — I f (b)—
-ш
(Ь)	Если f' существует и ограничена на [а, Ь], то f—функция
ограниченной вариации. Действительно, если | f' (х) | М, то по
теореме 5.20
2 j f (xt) - f (Xi-i) I < 2 M(Xi~Xi^) = M(b~a)
i-_=l
для любого разбиения сегмента [а, а].
(с)	Функция f может быть непрерывной, не будучи функцией
ограниченной вариации. Рассмотрим функцию
f xsin —	(0<х<2),
/(х)-(
I 0 (х = 0).
Выберем разбиение, состоящее из точек
9	9	9	9
о _____	. ~	z	р
’ 2п — 1 ’ 2п —3....5	’ 3 ’
Соответствующая сумма, фигурирующая в (37), равна в этом
случае
а это число может быть сделано сколь угодно большим за счет
выбора достаточно большого п, ибо ряд 2 расходится.
(d)	Ясно, что каждая функция ограниченной вариации огра-
ничена, так как | f (х)— f (а)' < V (f) при всех х£[а, Ь].
Мы увидим (теорема 6.27), что существует тесная связь между
функциями ограниченной вариации и монотонными функциями.
Сумма или произведение двух монотонных функций не обяза-
тельно монотонны. Например, х и х2 монотонны на [0, 1], а
146
Гл. 6. Интеграл Римана — Стильтьеса
функция х —х2 не монотонна; функция х монотонна на [ — 1, 1],
а функция х2 — нет. Однако класс функций ограниченной вариа-
ции замкнут относительно операций сложения и умножения.
6.24.	Теорема. Если f и g—комплексные функции ограни-
ченной вариации на [а, Ь], то f + g и fg—функции ограниченной
вариации на [а, 6].
(Утверждение, касающееся суммы f + g, верно и для вектор-
нозначных функций; доказательство не меняется.)
Доказательство. Для любого разбиения сегмента [а, й]
имеем
21 АЛ 4- Ag; I < S! АЛ 14- 2! Agi К v (f) + V (g).
Значит, V (f 4- g) + V (f) \ V (g), и первая часть теоремы доказана.
Теперь выберем А и В так, что | f (х) А, I g (х) 1 < В на [а, &].
Если h — fg, то
АД = / (х,) Agi 4- g (x;_f) Aft,
поэтому
Ti\A.hl\ + A^\Agi\ + B^i\Afi\^AV(g) + BV(f).
Значит, V(/gX A V(g) 4 В V(f). Тем самым доказана вторая часть.
Следствие. Если f и g монотонно возрастают на [а, Ь\,
то f — g есть функция ограниченной вариации на [а, Ь\.
Обратное утверждение тоже верно (см. теорему 6.27).
6.25.	Определение. Пусть f отображает сегмент [а, 6]
в пространство Д'1, и пусть f — функция ограниченной вариации.
Положим
(38)	Uf(x)==V(f; а, х) (а + х + Ь}.
Назовем Vt функцией полной вариации функции f; о{, очевид-
но, монотонно возрастает на [а, 6] и wf(a) -—0.
6.26.	Теорема. Пусть f—функция ограниченной вариации,
отображающая сегмент [а, Ь] в пространство Rk.
(а) Если а<бх + у^р.Ь, то
(39)	V (f; a, y) = V(f; a, x)4*V(f; х, у).
(Ь) Если функция f непрерывна на [а, Д, то и функция Vf
тоже непрерывна на [а, 4].
Доказательство. Если х = а или у^--х, то равенство (39)
тривиально, так как V (f; х, х) 0. Допустим, что а < х < у
и задано число е>0. Существует разбиение {х;} сегмента [а, у],
Функции ограниченной вариации
147
такое, что
(40)	vt(y) — е< 2 [ f (хг) —
i=l
Если точка х не находится среди точек xt, то мы добавим
ее к набору {х;} и получим таким образом новое разбиение Р,
для которого неравенство (40) все еще выполняется.
Правая часть неравенства (39) оказывается верхней гранью
множества всех сумм, фигурирующих в (40). Значит,
vt(у) —	(х) + V(f; х, y)<v( (у);
поскольку 8 произвольно, равенство (39) доказано.
Теперь допустим, что функция 1 непрерывна, а <у<.Ь и
(41)	V(f; х, у) >6
при некотором фиксированном 6>0 и при каждом х £ [а, у). (Это
приведет к противоречию.) Взяв в (41) х = а, мы увидим, что
существует разбиение {х;} сегмента \а, у], такое, что
(42)	2 lf(xi)~f(x-i)l>6-
1=1
Заметим, что хп = у, хп^ < у. Ввиду того что f непрерывна,
существует точка а1( такая, что x^Co^ < у и величины | f (у) —
f (x^-i) I и I f (а±)—f (Хп-,) I отличаются сколь угодно мало;
в частности, (42) выполняется, если заменить у таким числом at.
Иными словами, мы доказали, что существует сг± <; //, такое,
что V (f; а, а,) > 6.
Продолжим этот процесс, взяв а, вместо а, и т. д.; мы полу-
чим для каждого N числа
а — а0 < < а2 < . .. <	< у,
такие, что V (f; а^, ад >6 (Kt^jV).
Но отсюда в силу (39) следует, что uf(y)>1V6 при любом N,
что невозможно.
Это противоречие показывает, что
limV (f; х, у) = 0;
х-+у
в силу (39) отсюда вытекает, что функция nf непрерывна слева
на (а, £>]. Тем же способом доказывается непрерывность справа
на |а, Ь).
Замечание. Справедлива обратная теорема; формулировку
можно найти в упражнении 6.
148	Гл. 6. Интеграл Римана— Стильтьеса
6.27.	Теорема. Если f— вещественная функция ограничен-
ной вариации на [а, Ь], то существуют монотонно возрастаю-
щие на [а, Ь] функции р и q, такие, что p(a) — q(a) — 0 и
(43)	f (х)—/((7)-=р(х) —^(х),
(а<Сх<6)
(44)	vJ(x)^p(x) + q(x).
Мы будем называть р и q соответственно функциями поло-
жительной и отрицательной вариации функции f; равенство (43)
показывает, что функция f представима в виде разности двух
монотонных функций.
Доказательство. Определим р и q равенствами
(45)	2p^vf + f — i (fl),	2qvf—f + f (а}.
Ясно, что p (a) = q {a) =--- 0 и выполняются равенства (43) и (44).
Если
а < х < у < Ь,
то (39) показывает, что
^Р(У)— V (р, х, р)-н[/ (y) — f{x)\,
{ >	2q (y) — 2q (х) --V х, у)— \f (у') —f (х}].
Ввиду того что i f («/) —f(x)	У(/; х, у), из (46) следует, что
обе функции р и г/—возрастающие.
Следствие 1. Если f, кроме того, непрерывна на [а, Ь],
то тем же свойством обладают р и q.
Это вытекает из теоремы 6.26 (Ь) и равенств (45).
Следствие 2. Если f — функция ограниченной вариации на
\а, Ь], то f(x-P') существует при ap.xpb, f (х —) существует
при всех а < х С b и многкество точек разрыва функции f не более
чем счетно.
Это следует непосредственно из теоремы 6.22, разложения (43)
и аналогичных фактов, относящихся к монотонным функциям (тео-
ремы 4.29 и 4.30).
Представление вещественной функции ограниченной вариации
в виде разности двух монотонных функций, конечно, не един-
ственно; в самом деле, прибавляя одну и ту же возрастающую
функцию к р и q, мы получим две возрастающие функции рх nqt,
такие, что f (х)— f (а) =- Pi (х) — q. (х). Однако разложение (43)
обладает некоторым свойством минимальности, выделяющим его
среди всех прочих разложений такого рода (см. упражнение 10).
Дальнейшие теоремы об интегрировании	149
Дальнейшие теоремы об интегрировании
6.28.	Определение. Теперь мы обратимся к интегрированию
относительно любой функции ограниченной вариации, а не только
относительно монотонной функции. Если а— вещественная функ-
ция ограниченной вариации на [щ />] и если а — р—у, где 0 и
возрастающие функции, то естественное определение таково:
(47)	fda--- \ fd$ — J fdy,
если только оба интеграла справа существуют в том смысле,
в каком они были определены ранее.
Если	— Yi — Другое разложение функции а в разность
возрастающих функций, то Р-ЕYi₽i 4-Y. и поэтому [см. тео-
рему 6.10 (е)|
(48)	fdfi + fdy^ / сДЬ-Е fdy.
Отсюда следует, что интеграл fda, определенный в (47),
не зависит от выбора разложения функции а, если только f при-
надлежит множествам Э?(0), .Я (pj, -Я (у) и ,^?(Yi)-
Поэтому в дальнейшем в этой главе мы будем рассматривать
лишь два случая, когда все интересующие нас интегралы авто-
матически существуют:
(а) функция / непрерывна, функция а — ограниченной вариации;
(&)	функции f и а — ограниченной вариации и а непрерывна.
В случае (а) мы сошлемся на теорему 6.8. В случае (6) усло-
вимся представлять а в виде разности только непрерывных моно-
тонных функций [это можно сделать, согласно следствию 1 из
теоремы 6.27[; разлагая f в разность монотонных функций, мы
сошлемся на теорему 6.9.
Заметим, кроме того, что в обоих случаях теорема 6.14
применима в полном объеме.
Теперь мы могли бы, конечно, распространить это определение
на векторнозначные функции f. Однако более интересным пред-
ставляется другое обобщение, которое применяется в теории ана-
литических функций. Это обобщение получится, если обе функции
f и а считать комплекснозначными.
Если [ -- Д -рifz, a —	где /у, /2, «п а3—вещественные
функции на [а, Ь[, и если выполняется условие (а) или (6), то мы
положим
(49)	\ f da — \	f2 da2+ i /у da2 -[ i /2d«i-
d	J	tl	»'	J
150
Гл. 6. Интеграл Римана — Стилыпьсса
Четыре интеграла, стоящие в правой части этого равенства,
были определены в (47).
Обычные свойства аддитивности [теоремы 6.10 (а), (с), (е)[
в этой ситуации легко проверяются. Рассмотрим теперь аналог
теоремы 6.12 (&) [см. также теорему 6.20] для комплексных а.
6.29.	Теорема. Пусть [ и а — комплексные функции на
[а, Ь], удовлетворяющие условиям (а) или (Ь) определения 6.28.
Пусть v — функция полной вариации функции а на [а, d[. Тогда
ъ	ь
(50)	|	J	/da	J	\f\dv.
а	а
Следствие.
ь
I ? f da IС V (a) sup | f (х) | .
I	'	а<х^Ь
а
Доказательство. Если выполнено (а), то функция |/|
непрерывна. Если выполнено (/>), то непрерывна функция v
(теорема 6.26), а так как f — функция ограниченной вариации,
то такова и функция \f\. Значит, второй интеграл в (50) суще-
ствует в обоих случаях.
Для любого разбиения Р — {х0, xlt . .., хп} сегмента [а, Ь] имеем
(51)	(Ч) А щ к 3 I f (h) 11 Ла; к 3 I f (ti) I Avh
если	при UT'-Oi. При p(P)—>0 первая сумма
в (51) стремится к f da, а последняя — к | f j dv по теореме 6.14.
Тем самым неравенство (50) доказано.
6.30.	Теорема. Пусть f и а—комплексные функции огра-
ниченной вариации на [о, Ь], а функция f, кроме того, непре-
рывна. Тогда
ь	ь
(52)	.	/da = / (b) a (b) — f (a) a (a)— ad/.
a	ci
Замечание. По аналогии с приемом суммирования по частям
равенство (52) называют формулой интегрирования по частям.
Часто оказывается удобным рассматривать ad/ вместо /da.
Доказательство. Выберем какое-нибудь разбиение Р —
= {х0, X}, ...,хп} сегмента [а, Ь]. Выберем Ч, • • • ,4 так, что
Xi-i^ti^Xi, положим t0 — a, tn+l-=b, и пусть Q—разбиение
Дальнейшие теоремы об интегрировании
151
{t0, ti, . ./n+j} сегмента [а, Ь]. Тогда, суммируя по частям, полу-
чим
S (Р, f, а) S f Vi) [а (хг)—а (хн)] =
1=1
п+1
= f (b)a(b)—f (а)а(а) — 2 a [f (t,) — f (6-i)] =
i=i
= f (b) a (b) - f (a) a (a)-S (Q, a, f),
так как	Если ц(Р)-^0, то и p(Q)-^0, и тео-
рема 6.14 показывает, что S(P, f, a)—> fda, S (Q, a, f)—>\ adf.
Отсюда следует равенство (52).
Замечание. Если функция f непрерывна, а a — функция
ограниченной вариации, то (52) можно использовать для опреде-
ления интеграла adf даже в том случае, когда f не есть функция
ограниченной вариации. Это приводит еще к одному обобщению
стильтьесовского процесса интегрирования, которое мы, однако,
не будем в дальнейшем рассматривать.
В следующих двух теоремах мы должны будем ограничиться
вещественными функциями—так же, как и в случае теорем
о среднем в теории дифференцирования.
6.31.	Теорема. (Первая теорема о среднем значении.) Если f
непрерывна и вещественна, а а монотонно возрастает на [а, Ь],
то существует точка х, такая, что a^x</b и
ъ
(53)	f da = f (х) [а (b)— a (a)].
•J
a
Доказательство. Положим
M = sup/(/), m = inf f(f) (a<t^b).
Тогда
ь
m [a (b) — a (a)] < f da < M [a (b) — a (a)].
a
Значит, существует число X, такое, что т-^Х^М и
ь
f da = X [a (b) — a (a)].
a
В силу теорем 4.16 и 4.23 существует точка х, принадлежащая
сегменту [а, Ь], для которой f(x) = %, откуда и следует (53)
152	Гл. 6. Интеграл Римана— Стильтьеса
Замечание. Может случиться, что точку х нельзя выбрать
так, что а<.х<.Ь. Например, если
I 0 (ха),
а (х) =	. .	.
I 1 (а <х^Ь),
a f непрерывна, то
б
J f da f (а) = f (а) [а (Ь)—а (а)],
а
6.32.	Теорема. (Вторая теорема о среднем значении.) Пусть
функция f монотонна, а а — функция ограниченной вариации,
вещественная и непрерывная на [а, Л]. Тогда существует такая
точка х£[а, Ь], что
ь
fda = f (а) (а(х)--а(а)]-]-/ (Ь) (а(Ь) —а (х)].
а
Доказательство. Согласно теоремам 6.30 и 6.31,
ь	ь
f da--f (b) a(b)— f {a) a (a) — a df =
a	a
-= f (6) a (t) — f (a) a (a) — a (x) [f (b) — / (a)]
при некотором xQ[a, b].
6.33.	T e орема. (Замена переменной.) Пусть f и <р непрерывны
на [а, Ь], <р строго возрастает на [а, Ь], а ф—функция, обратная
к <р. Тогда
ь	<г(Ь)
(54)	J/(x)dx=J f (Ш<Ш
а	ф(а)
(Формально (54) получается, если положить у = <р(х), х = ф (у).]
Доказательство. Для любого разбиения Р
а х0 < X! < х2 < ... < xn_1 < хп = b
положим г/; =- ф (хг) (С -0, . . ., п) и рассмотрим разбиение Q:
ф (а) Уо < (Л -С • • • < ytl-iуп == ф (Ь).
Полагая g (z/)- - / (ф (?/)), получаем
71	П
(55)	у; /(Х;)(хг —х,,!) ----- 2	—
Спрямляемые кривые
153
В силу равномерной непрерывности функции ср на [а, Ь] (тео-
рема 4.19), если |1(Р)—>0, то pt(Q)— > 0. Таким образом, если
ц(Р)—>0, то обе части равенства (55) стремятся к соответствую-
щим частям равенства (54), поскольку функция g непрерывна.
Доказательство закончено.
Спрямляемые кривые
В заключение этой главы мы рассмотрим одно интересное гео-
метрическое приложение некоторой части предшествующей теории.
Случай k = 2 (т. е. случай плоских кривых) особенно важен при
изучении аналитических функций комплексной переменной.
6.34.	Оп ределение. Непрерывное отображение у сегмента
[л, Ь] в пространство Р'1 называется кривой в Если отображе-
ние у взаимно однозначно, то у называется дугой. Если у (а)
-у(д), но y(ii) у (^2) Для любой другой пары различных точек
/2, принадлежащих сегменту [а, Ь], то у называется простой
замкнутой кривой.
Следует заметить, что кривая определяется как отображение,
а не как множество точек. Конечно, с каждой кривой в связано
некоторое множество точек в а именно множество значений
отображения у, однако для разных кривых это множество может
оказаться одним и тем же.
Мы будем называть кривую у спрямляемой, если у— функция
ограниченной вариации; длиной кривой у мы будем называть
число К (у; а, Ь).
Чтобы обосновать это определение, напомним, что V (у; а, Ь) —
это верхняя грань множества всех сумм вида
(56)	(у (х,)—- у (Xi-J ! (а = х0<М<
i-= 1
В этой сумме z-e слагаемое равно расстоянию (в R'‘) между
точками y(Xi-i) и у(м), а сама сумма равна длине ломаной
с вершинами в точках у(х0), у (xj), ...,у(х„), расположенных
в указанном порядке. Когда диаметр разбиения стремится к пулю,
эти ломаные приближаются к множеству значений отображения у.
Разумеется, мы здесь ничего не доказываем, а лишь пытаемся
объяснить разумность такого определения длины.
В некоторых случаях длина кривой выражается интегралом
Римана. Мы докажем это для непрерывно дифференцируемых
кривых, т. е. для кривых у, производная у' которых непрерывна.
154
Гл. 6. Интеграл Римана — Стильтьеса
6.35.	Теорема. Если функция у' непрерывна на [а, Ь], то у
спрямляема, а ее длина равна
ь
$ Iy' tt)\dt.
а
Доказательство. Мы должны доказать, что |у'| = V(у).
Если (ло, ..., х„} — разбиение сегмента [а, Ь], то, как показывают
теоремы 6.19 и 6.20,
х-	xi
У |Y(^i) — Y(xi-i)l = S | J y' (0 dt | < 2 J Iy'(0I^ =
xi-i	xi-i
b
= $ I Y' (С I dt,
a
так что
V(y)< § I Y' I-
Пусть e > 0. Ввиду того что функция у' равномерно непре-
рывна на [a, 6], существует 6>0, такое, что |у' (s)-—у' (/)[<8,
если |s — /|<6. Пусть {х0, ..., хп} — разбиение сегмента [а, Ь],
диаметр которого меньше 6. Если Хг-^/^х,, то
I Y' (0 I I Y' (*01 + Е-
так что
xt	xi
§ lY'(0l^ — еДхг < | у'(х;) | Дхг = |	[у'(0 + y'(•*>) — у'(/)]^|<
Лг-1	xi-i
xi	xi
<| 5 y'(0^|4-J § Iy'(•«>) —Y'(0]^|<l Y(^)-Y(^i-1) I+ eAxi-
xl-l	1 *i-l
Суммируя эти неравенства no i — 1, ..., п, мы получим
b	п
lY'(0|dz<2 I Y (*») — у(хг_|)| + 2е(&-а)<
<V(y; а, b) + 2e(b—а).
Ввиду произвольности е отсюда следует, что | у' | < V (у),
и доказательство закончено.
Упражнения
155
Упражнения
1.	Пусть функция а возрастает на [а, &], a^x03b, а непре-
рывна в точке х0, /(х0) = 1 и f(x)-^O, если хЗ=х0. Доказать, что
f £ 31 (а) и
ь
2.	Пусть />0, непрерывна на [а, Ь] и f(x)dx = 0. Дока-
а
зать, что /(х) = 0 при всех х£[а, Ь] (ср. с упражнением 1).
3.	Определим три функции р2, ₽з следующим образом:
₽Дх) = 0, если х<0, 0Дх) = 1, если х>-0 при / = 1,2,3;
РДО) = О, р2(0) = 1, Рз (0) = у • Пусть / — ограниченная функция
на [ — 1, 1].
(а)	Доказать, что / £ Л (f^) тогда и только тогда, когда
/(0чД = /(0), и что в этом случае
J /^ = /(0).
(Ь)	Сформулировать и доказать аналогичный результат для р2.
(с)	Доказать, что /С^(Рз) тогда и только тогда, когда /
непрерывна в точке 0.
(d)	Пусть / непрерывна в точке 0. Доказать, что
$ NPi= $ /d₽2= J Ж = /(0).
4.	Используя обозначения упражнения 3, доказать, что
несмотря на то что limS(Р, р2, Pi) при р(Р)—*0
не существует.
5.	Пусть {хп} — последовательность различных точек интер-
вала (0, 1), и пусть сп > 0, 2сп< + °°- Положим
а(х) = 2 Cn₽i (х — хп),
1
где функция определена так же, как в упражнении 3. Пусть /
непрерывна на (0, 1). Доказать, что
§ f da= У cnf (xn).
о	1
156
Гл. 6. Интеграл Римана — Стильтьеса
н
Указание. Положим at (х) = 2 HiPi (х — хп), a2=a—-п.. Согласно
4
упражнению 3, fdat = ^сп[ (хп). Кроме того, I fda2 !<Л4К(а2),
1
где М == sup | / (f) |.
6. Пусть f отображает сегмент [и, Ь] в пространство Rk, при-
чем f — функция ограниченной вариации. Доказать, что функция
V,- непрерывна в точке x£[a, Р] тогда и только тогда, когда
функция f непрерывна в этой точке.
7. Пусть f{x) = Q при всех иррациональных х, f(x)=^i при
всех рациональных х. Доказать, что на [а, Ь} при любых
а, таких, что а С Ь.
‘'8? Показать, что
з
xd([x]—x)^~ ,
О
где [х] — наибольшее из целых чисел, не превосходящих х (см.
определение в упражнении 2 гл. 4).
9. Вычислить функции положительной, отрицательной и полной
вариации функций
(а) /(х) —Зх2 —2xs ( —2<х<2),
(&)	/Дх) = [х]—х (0<х<2).
10.	Пусть f— вещественная функция ограниченной вариации
на fa, b], р и q — функции положительной и отрицательной вариа-
ции функции f, pi и ^ — возрастающие функции на [а, Ь] и
/ = Р1 — 91- Тогда V(p)<:V(p1) и V (9)< V (Qi), где V обозначает
полную вариацию на [а, &].
11.	Пусть g £.^2 на fa, 6]. Положим
f (*) = $ ё (0 dt
а
и g+(0 = niax(g(/), 0), g“ (/) =^= — min (g (/), 0). Доказать, что [ —
функция ограниченной вариации на [а, Ь] и что ее функции вариа-
ции задаются равенствами
X	X	X
v W = J I g (0 I dt, р{х)-.- \ t (0 dt, q (х) = J g - (/) dt.
a	a	a
У п р а ж н е н и я
157
12.	Пусть /' — функция ограниченной вариации на сегменте
[0,2л] и /(2л)-—/(0). Доказать, что каждый из интегралов
2л	2л
\ / (х) cos пх dx, \ / (х) sin пх dx
о	0
не превосходит V (/)/7г по абсолютной величине.
Указание. Проверить, что
2 я	2л	2л
п / (х) cos пх dx — / (х) d (sin пх) — sin пх df (х).
о	о	о
13.	Пусть у*, у2, у3 —кривые в комплексной плоскости, опре-
деленные на [0, 2л) равенствами
Y1(0==eiZ,	у2(7) = е2“, уз(0 = е2яИз1п<1/‘)-
Показать, что эти три кривые имеют одно и то же множество
значений, что у4 и у2 спрямляемы, что длина кривой уч равна 2л,
длина кривой у2 равна 4л, а кривая у3 не спрямляема.
14.	Пусть у! — кривая в заданная на [а, Ь]; пусть <р —
непрерывное взаимно однозначное отображение сегмента |с, d]
на сегмент [н, Ь], такое, что <р(с) = а. Положим, по определению,
y2(s) — Yi (ф (s)). Доказать, что дуга у2 — простая замкнутая спрям-
ляемая кривая тогда и только тогда, когда то же самое верно
в отношении у,. Доказать, что у2 и у( имеют одну и ту же
длину.
15.	Пусть а возрастает на [a, b], f и g — комплексные функ-
ции, причем /СЖа), gE^(«) на [a. Доказать неравенство
Шварца
I [g da Г < | / |2 da • ] g 12 da.
Указание. Следовать доказательству теоремы 1.62. Вывести
аналогичный результат, предполагая только, что а —функция
ограниченной вариации.
16.	Если /6.7? на [а, Ь] для любого Ь~>а и фиксированного а,
то положим
от	ь
\ / (х) dx — lim \ / (х) dx.
«7	Ь->оо *’
а	а
если этот предел существует; в этом случае мы будем говорить,
что интеграл сходится.
158
Гл. 6. Интеграл Римана—Стильтьеса
Доказать так называемый «интегральный признак» сходимости
рядов: если f(x)>0 и f монотонно убывает при х>1, то
f (х) dx
сходится в том и только в том случае, когда сходится ряд
оо
2 f (п).
п=1
17.	Пусть функции f и g непрерывны на [а, Ь] и а — функ-
ция ограниченной вариации на [а, &]. Положим
X
Р (х) = fda
а

Доказать, что
b	ь
jj gdp= jj gf da.
а	а
18.	Если у —спрямляемая кривая в комплексной плоскости,
заданная на [0, 1], и если f— комплексная непрерывная функция,
заданная на множестве значений кривой у, то положим, по опре-
делению,
1
jj f (z) dz =- J f (y (0) dy (t).
у	0
Пусть y(0) = A, y(l)- В. Доказать, что
(п+l) zn dz = Bn+1 - Ari+1
Y
Указание. Рассмотреть случай
тривиален. Допустим, что он верен
f — у", g = у, а = у и определим
По предположению индукции,
(n = 0, 1, 2, 3, ...).
A — 0. При n = 0 результат
при некотором n. Положим
P, как в упражнении 17.
(гг+1)Р(х)--[у(х)Г«.
Упражнения
159
Применить упражнение 17 и проинтегрировать по частям.
19. Положим
х-Н
f (х) = sin
X
(а)	Доказать, что I / (х)' < 2/х при х > 0.
Указание. Положить t2 ~ и и воспользоваться второй теоре-
мой о среднем значении.
(Ь)	Найти верхний и нижний пределы функции xf (х) при
X —со.
Г Л А В А у
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
И РЯДЫ ФУНКЦИЙ
В этой главе мы уделим основное внимание комплекснознач-
ным (и тем самым вещественнозначным) функциям, хотя многие
теоремы и доказательства без труда переносятся на случай век-
торнозначных функций и даже отображений в общие метрические
пространства. Мы предпочитаем ограничиться более простым
классом функций для того, чтобы сконцентрировать внимание на
наиболее важных вопросах, возникающих при изменении порядка
предельных переходов.
Вводные замечания
7.1.	Определение. Пусть {fn}, л = 1,2,3, .... — после-
довательность функций, определенных на множестве Е, и пусть
последовательность чисел {fn (х)} сходится при каждом х(-Е.
Тогда мы можем определить функцию f, полагая
(1)	f(x) = limfn(x) (х£Е).
В подобных случаях мы будем говорить, что последовательность
{/„} сходится на множестве Е и что f — предел, или предельная
функция, последовательности Иногда мы будем говорить,
что последовательность {fn} сходится к функции f поточечно
на множестве Е, если выполнено условие (1). Аналогично, если
ряд 2/п(а') сходится при любом х£Е, то мы полагаем, по опре-
делению,
СО
(2)	ue.P),
n=i
причем функция / называется суммой ряда У fn-
Главная из возникающих в связи с этими определениями
проблем такова: выяснить, сохраняются ли важнейшие свойства
функций при выполнении предельных операций (1) и (2). Напри-
мер, если функции [п непрерывны, или дифференцируемы, или
интегрируемы, то верно ли то же самое в отношении предельной
Вводные замечания
161
функции? Каковы соотношения между, скажем, f'n и f или
между интегралами от fn и от f?
Непрерывность функции f в точке х означает, что
limf (0 = /(*)•
t->x
Значит, спросить, будет ли предел последовательности непре-
рывных функций непрерывной функцией, это все равно, что
спросить, верно ли равенство
lim lim (0 = lim lim МО,
(.О/	t-+x n—>оо	t-tx
т. e. важен ли порядок, в котором осуществляются предельные
переходы. В левой части равенства (3) мы сначала устремляем
п к со, затем t к х; в правой части —сначала /—>х, а затем
п —» СО.
Мы покажем сейчас на примерах, что, вообще говоря, два
предельных перехода нельзя переставить без того, чтобы это
не повлияло на результат. Затем мы докажем, что при некото-
рых условиях порядок, в котором выполняются операции пре-
дельного перехода, не имеет значения.
Наш первый и простейший пример связан с «двойной после-
довательностью».
7.2.	Пример. Для т = 1, 2, 3, ..., п = 1, 2,3, ... положим
Sm’п д+д •
Тогда при каждом фиксированном п
lim sm, п = 1,
m->co
так что
(4)	lim lim sWj„= 1.
n->oo m->co
С другой стороны, при каждом фиксированном т
lim ^,„ = 0,
так что
(5)	lim limsmin = 0.
ni-*co п—>оэ
7.3.	Пример. Пусть
х2
fn(x) = (1+л.2р- (х вещественно, п = 0, 1,2, ...).
162
Гл. 7. Последовательности и ряды функций
и пусть
ОО	со
(6)	(тт^г-
n=0	n=0
Так как fn(0) = 0, то и f(0) = 0. Ряд (6) представляет сумму
геометрической прогрессии, и при х=#0 эта сумма равна 1 -На-
значит,
f 0 (х = 0),
(7)	/(*) = [ 1+%2 (х=#0),
так что сходящийся ряд, составленный из непрерывных функций,
может иметь разрывную сумму.
7.4.	Пример. При tn = 1, 2, 3, ... положим
fm (х) — lim (cos т\ лх)2п.
71—>СО
Если mix — целое число, то fm(x) = l. Для всех остальных зна-
чений х имеем /т(х) = 0. Теперь положим
f(x)= limfm(x).
7П~>СО
Если х —иррациональное число, то fm(x) = O при всех т, значит,
/(х) = 0. Если х —рациональное число, скажем, x — plq, то при
m^q произведение ml х — целое число, так что /(х)=1. Значит,
(8)
lim lim (cosm! лх)2п —
7П-+СО п—>со
0 (х иррационально),
1 (х рационально).
Таким образом, мы -получили всюду разрывную предельную
функцию, которая не интегрируема по Риману (упражнение 7,
гл. 6).
7.5.	Пример. Пусть
(9)	fn(x) = -^^- (х вещественно, п=1,2, 3, ...)
У«
и
f(x) = limfn (х) = 0.
п->со
Тогда f'(x) = O, но
/п (х) = Yп cos пх,
так что {/;} не сходится к Например,
f'n (0) = /п—> + оо
при п—> оэ, тогда как f' (0) = 0.
Равномерная сходимость
163
7.6.	Пример. Пусть
(Ю) fn{x) = n2x(\ — х*)п (0<х<1, п - 1, 2. 3, .. .).
Если 0< х^ 1. то
lim /„(%) = 0
П—>CQ
по теореме 3.20 (d). Ввиду того что /п(0)=-0 ПРИ всяком п,
(11)	lim/n(x) = 0	(0<х^1).
п->со
Простое вычисление показывает, что
1
J x(l--x^dx^^T
0
Таким образом, несмотря на (11),
1
fn (х) dx = 2^g-> со
о
При fl—> со.
Если в (10) заменить коэффициент п2 на п, то (11) все еще
выполняется, но теперь
1
lim fn (х) dx = lim	,
71—+-00 j	П->СО	*
тогда как
1
? [lim fn(x)]dx = 0.
о п->“
Таким образом, предел интеграла не обязан совпадать с инте-
гралом от предела даже тогда, когда оба эти предела конечны.
После этих примеров, показывающих, что беззаботная пере-
становка порядка предельных переходов может привести к ошибке,
мы определим новый вид сходимости, более сильный, чем
поточечная сходимость, описанная в определении 7.1. Этот новый
вид сходимости позволит нам прийти к положительным резуль-
татам.
Равномерная сходимость
7.7.	Определение. Мы будем говорить, что последователь-
ность функций {fn}, п= 1, 2, 3, . .., сходится равномерно на мно-
жестве Е к функции f, если для любого е > 0 существует целое
число N, такое, что при п> N имеем
164	Гл. 7. Последовательности и ряды функций
(12)	\fn(x)-f(x)\^
для всех хГ Е.
Ясно, что каждая равномерно сходящаяся последовательность
сходится и поточечно. Разница между этими двумя понятиями
заключается в следующем. Если последовательность {/,.} сходится
поточечно на Е, то существует функция f, такая, что для любого
е>0и для любого хГЕ существует целое число N, зависящее
от е и от х, такое, что (12) выполняется при n>N; если же
{fn} сходится равномерно на Е, то можно при каждом е > О
найти одно целое число М, которое будет годиться при всех х£Е.
Мы будем говорить, что ряд У, fn (х) сходится равномерно
на множестве Е, если последовательность {%>.} частных сумм,
определенных равенством
snW= 2 fi W,
i = L
равномерно сходится на множестве Е.
Следующая теорема представляет собой критерий Коши равно-
мерной сходимости.
7.8.	Теорема. Последовательность функций {fn}, определен-
ных на Е, сходится равномерно на Е тогда и только тогда,
когда для любого е > 0 существует целое N. такое, что при
m>N, п> N, xffE имеем
(13)	\fn(x) —
Доказательство. Допустим, что {fn} сходится равномерно
на Е, и пусть / — предельная функция. Тогда существует целое
число N, такое, что из п N, х£Е следует неравенство
| Д(х)-/(х)|<|,
так что
! fn (*) — fm (%) К!	“ f W I -И f (*) - fm (х) I < е,
если m>N, х£Е.
Обратно, пусть выполняется условие Коши. По теореме 3.11
последовательность {fri(x)} сходится при каждом х к пределу,
который мы обозначим через f (х). Мы должны доказать, что
сходимость равномерна.
Пусть задано число в>0. Выберем N так, чтобы выполня-
лось (13). Зафиксируем п и устремим т. к со в (13). Ввиду того
что fm (х) —> f (х) при т—>оо, получаем
(14)	| fn (х) — f WK е
при любом n>N и любом х£Е. Доказательство закончено.
Равномерная сходимость и непрерывность
165
Иногда полезен следующий критерий.
7.9.	Теорема. Пусть
lim fn(x)=J(x) (xg£).
П->со
Положим
Mn sup I fn(x) — f(x) I.
x£b'
Тогда fn—>f равномерно на E в том и только в том случае,
когда Мп—>0 при п —> со.
Мы не приводим подробного доказательства, так как это
утверждение непосредственно следует из определения 7.7.
Вейерштрассу принадлежит очень удобный признак равномер-
ной сходимости рядов.
7.10.	Т е оре м а. Пусть {/„} — последовательность функций,
определенных на множестве Е, и пусть
\fn(x)\^Mn (х££,	1, 2, 3, ...).
Тогда ряд fn сходится равномерно на Е, если ряд 2^п
сходится.
Заметим, что обратное не утверждается (и в действительности
неверно).
Доказательство. Если ряд 2 Мп сходится, то при любом
е>0
т	т
(*е£),
г=п	г~п
если только тип достаточно велики. Равномерная сходимость
вытекает теперь из теоремы 7.8.
Равномерная сходимость и непрерывность
7.11.	Теорема. Пусть fn—±f равномерно на подмноже-
стве Е некоторого метрического пространства. Пусть х —пре-
дельная точка множества Е, и пусть
(15)	НтЛДО-Д» (n-1, 2, 3, ...).
t~*x
Тогда последовательность {Ап} сходится и
(16)	limf (/)--= lim Лп.
t~>x
Иными словами, в данном случае
(17)	lim lim fn (/) — lim lim fn (().
t—»x n~>cc	n-+co t~*x
166
Г л. 7. Последовательности и ряды функций
Доказательство. Пусть е>0. В силу равномерной схо-
димости последовательности {fn}, существует такое Л/, что
из n>/V, т> N, t£E следует неравенство
(18)
Полагая в (18) t—>x, получаем
I  Ат | к
при n^N, m^N, так что {Ап} — последовательность Коши,
и потому сходится. Обозначим ее предел через А.
Далее,
(19)	\f(t)-A\^\f(t)-fn(t)\ + \fn(t)-An\ + \An-A\.
Выберем сначала п так, что
(20)	|/(0_/п(/)|<|
при всех t £ Е (это возможно в силу равномерной сходимости)
и что
(21)
О
Затем для этого п мы подберем такую окрестность V точки х,
что из t£V, t^=x следует
(22)	1М0-ЛК4 •
О
Подставляя неравенства (20), (21) и (22) в (19), мы получим
|f(/) —4|<е
для всех /у=х. Но это равносильно равенству (16).
7.12.	Теорема. Если {fn} —последовательность функций,
непрерывных на множестве Е, и если fn—>f равномерно на Е,
то и функция f непрерывна на множестве Е.
Этот очень важный результат сразу следует из теоремы 7.11.
Обратное неверно, т. е. последовательность непрерывных
функций может неравномерно сходиться к непрерывной функции.
Соответствующий пример дает последовательность (10) из п. 7.6
(для того чтобы убедиться в том, что эта последовательность
сходится неравномерно, достаточно применить теорему 7.9). Тем
не менее в некоторых случаях можно утверждать обратное.
В частности, имеет место следующая теорема.
7.13.	Теорема. Пусть множество Е компактно. Пусть
{fn} — последовательность функций, непрерывных на Е, сходя-
щаяся к непрерывной функции f на Е. Если fn(x)^ fn+l(x) при
п—1, 2, 3, ... и при любом х£Е, то fn—>f равномерно на Е.
Равномерная сходимость и интегрирование
167
Доказательство. Положим gn (х) = fn (х) — f (х). Тогда
gn — непрерывная функция, gn—>0 и gn>gn+i- Мы должны
доказать, что gn—>0 равномерно на Е.
Пусть е > 0. При любом х g Е существует целое число пх,
такое, что
0<^(х)<|.
В силу непрерывности функций gn и монотонности последо-
вательности {gn} существует открытое множество J (х), содер-
жащее точку х и такое, что
(23)	0<gn(f)<e,
если t£J(x) и п>пх.
Поскольку Е — компактное множество, существует конечное
множество точек хь ..., хт, таких, что
(24)	EaJ(Xj)(J ... IP(xm).
Полагая
N = max (лЖ1, nX2, ..., nXm),
на основании (23) и (24) мы заключаем, что
0<gn(0<e
при всех t£E, если п>П. Тем самым доказано, что сходимость
равномерна.
Отметим, что компактность здесь существенна. Например,
если
(25)	М*) = ~(0 <х< 1, n= 1, 2, 3, ...),
то /п(х)—>0 монотонно на (0, 1), но сходимость неравномерна.
Равномерная сходимость и интегрирование
7.14.	Теор ем а. Пусть а — монотонно возрастающая на [а, 6]
функция. Пусть	на [а, 6] при п = 1, 2, 3, ..., и пусть
fn—>f равномерно на [а, Ь]. Тогда /Е^?(а) на [а, Ь] и
ь	ъ
(26)	{ fda = lim fnda.
71—«J
a	a
(Существование предела в (26) заранее не предполагается.)
Доказательство. Достаточно доказать теорему для веще-
ственных fn- Пусть задано е > 0. Выберем т] > 0 так, что
(27)	T][a(ft) — a(a)]<-| .
168
Г л. 7. Последовательности и ряды функций
Существует такое целое п, что
(28)	(«<x<ft),
так как сходимость равномерна.
Зафиксируем п и выберем разбиение Р сегмента [я, ft] так,
чтобы иметь
(29)	U(P, fn, a) — L(P,fn, а)<-|.
Это возможно по теореме 6.6.
Поскольку f (х) < fn (х) -j- ц, из (27) далее вытекает, что
(30)	ЩР, f,a)^U(P, fn, а)-|--|-,
а так как f (х) > fn (х) — ц, то
(31)	L(P, f, a)>L{P, fn, «)- | .
Комбинируя (29), (30) и (31), получаем
(32)	U(P, f, a) — L(P, f, a)<e,
откуда следует, что )£.т?(«) на [я, ft] (по теореме 6.6).
Для доказательства равенства (26) выберем такое N, что
из п> N следует
I fn (х) — f (х) К е {а < х< ft).
Тогда при N
b	b	ь	ъ
| f da — fn da |	| (f — fn) da | < | f — /„ I da <
ana	а
' е [a (ft) — a (a)].
Поскольку е>0 произвольно, отсюда вытекает (26).
Следствие. Если fntzdflfp) ^a. [a, ft] и если
‘ОСТ
fW-S/'nW (a<x<ft),
1
причем ряд сходится равномерно на [а, &], то
Ь	г» ъ
У fnda.
а	?1=1 а
Иными словами, ряд можно интегрировать почленно.
Равномерная сходимость и интегрирование
169
При изучении последовательностей интегралов вида
ь
\fdgn («=1, 2, 3, ...),
а
где функция f непрерывна, а функции —ограниченной вариа-
ции на [а, />], обнаруживается, что равномерная сходимость после-
довательности {gn} к g условие, еще недостаточно сильное,
чтобы обеспечить равенство
ъ	ь
lim fdgn = § fdg.
П~*Л (i	а
7.15.	Пример. Пусть
(33)	.^(v)	(0 х 2л, п 1, 2, 3, ...)
у п
и
(34)	f (х) = 2 cos m<’x (0<х<2л).
m— 1
По теореме 7.10 ряд в (34) сходится равномерно, так что
функция f непрерывна на [0, 2л]. Кроме того, gn— >0 равно-
мерно на [0, 2л]. Теперь заметим, что
2л	2л	2л
f dgn = [gn dx ~ \rn f (x) cos nx dx.
о	b	b
Положим n p®, где p — положительное целое. Ряд (34), почленно
умноженный на cos пх, также сходится равномерно, и мы можем
проинтегрировать его почленно. Поскольку
2л
cos пх • cos пгх dx 0,
о
каковы бы ни были различные положительные числа т, п, имеем
2л	2л
]/ п f (х) cos пх dx == р3 - у cos2 р‘'х dx =-- рл,
о	о
так что при п = р6
2 л
j fdgn = Tt \^п.
о
1“0	Гл. 7. Послее	!: Г’Яды функций
2л
Таким образом, числа f dgtl -и  <сют неограниченную после-
fl
довательность, хотя gn —>0 равномерно.
Теперь мы сформулируем имеющийся здесь положительный
результат.
7.16.	Теорема. Пусть {gn}—последовательность функций
ограниченной вариации на [а, Ь], причем gn(fl) = Q, и пусть g —
такая функция, что
(35)	limV(g-gn) = 0
п-*оо
u g(a) = 0. Тогда для любой функции f, непрерывной на [а, 6],
имеем
(36)
ь	ь
lim f dgn— fdg.
n->oo	J
а	а
Кроме того, gn~* g равномерно на [а, 6].
Здесь V, как обычно, обозначает полную вариацию на [а, 6].
Доказательство. Вследствие неравенства
V(g)<V(gn) + V(g-gn)
(теорема 6.24) g— функция ограниченной вариации на [а, Ь],
так что все интегралы в (36) существуют. Пусть \f(x)\^.M
на [а, 6]. Тогда
ь	ь	ь
I J	fdg-	J	fdgn| = |	J	fd(g-gn)^MV(g—gn),
a	a	a
и (36) следует из (35).
Кроме того, gn~+g равномерно, так как
\g(x)-gn(x')\^V(g-gn)	(a<x<.b).
Заметим, что предположение gn (а) = g (а) = 0 сделано только
ради удобства. Прибавив постоянные сп к функциям gn, мы не
изменим интегралов, а сходимость последовательности {gn (х)}
для одного значения х£ [а, &], как легко показать, влечет за собой
равномерную сходимость.
За другими относящимися сюда результатами мы отсылаем
к упражнениям 9 и 10.
Равномерная сходимость и дифференцирование
171
Равномерная сходимость и дифференцирование
Мы уже видели в примере 7.5, что из равномерной сходимости
последовательности {Д} не следует даже поточечной сходимости
последовательности {fn}. Таким образом, нужны более сильные
предположения, чтобы заключить, что	при fn-+f.
7.17.	Теор ем а. Пусть {/„} — последовательность дифферен-
цируемых функций на [а, &], такая, что последовательность
{fn{x0)} сходится при некотором х0£[а, 6]. Если последователь-
ность {^} сходится равномерно на [а, &], то и последователь-
ность {М сходится равномерно на [а, Ь] к некоторой функции f,
причем
(37)	f'(х}= \imf'n(x) (а<х<&).
п-+со
Доказательство. Пусть е>0. Выберем такое N, что
из n>N, m~>N следует
(38)
и
(39)	|/п(0_^Ю
Если мы применим теорему 5.20 о среднем значении к функции
fn—fm, то, как показывает (39), мы получим
(40)	\fn{x)-fm{x)^fn{t) + fm{t)\^l^±^
при любых х и t из [а, 6] для N, m^N. Из неравенства
I fn (х) — fm (х) I < I fn (х) — fm (х) — (х0) + frn (Хо) | + | fn (Хо) — fm (х0) |
следует, в силу (38) и (40), что
|/п(х)—/т(х)|<е (at^.xt^b, п> N, т>М),
а потому {fn} сходится равномерно на [а, Ь]. Пусть
f (х) = limfn(x) (at^xt^b).
n->co
Зафиксируем точку х сегмента [а, &] и положим
(41)	<р(0 = Ш^(х).
при а	t^=x. Тогда
(42)	lim'<pn(0 = /:n(x)	(и — 1, 2, 3. ...).
t-+X
Гл. 7. Последовательности и ряды функций
Первое неравенство в (40) показывает, что

(n>N, m>N),
поэтому {<(,,) сходится равномерно при t=/=x. Поскольку {/„}
сходится к f, то, в силу (41),
(43)	limq>„(0 = <p(0
п—>оо
равномерно на множестве всех t, таких, что a<_t^b, t=^x.
Применяя к последовательности {фп} теорему 7.11, заключаем
на основании (42) и (43), что
lim ф (/)-; lim f'n(x),
t~>X	П-+СО
а это, в силу определения функции <р (/), и есть (37).
Замечание. Если дополнительно предположить, что функ-
ции /I, непрерывны, то можно получить гораздо более короткое
доказательство равенства (37), опирающееся на теорему 7.14
и на основную теорему интегрального исчисления.
7.18.	Теор ем а. Существует вещественная непрерывная
на вещественной прямой функция, которая нигде не дифферен-
цируема.
Доказательство. Положим
X
2 — х
(44)
<р(х)
(0<х<1),
(0<х<2)
и доопределим ф (х) для всех остальных вещественных х, полагая
Ф (х + 2) = ф (х).
Тогда функция <р непрерывна на R1. Пусть
(45)	/W У (4пх).
7L--0
Поскольку 0<ф< 1, то, как показывает теорема 7.10, ряд (45)
сходится равномерно на R1, так что функция f непрерывна на R1
по теореме 7.12.
Зафиксируем теперь вещественное число х и положительное
целое т. Существует целое k, такое, что
(46)	fe<_4"‘x<fe+1.
Положим
(47)
1 ‘/с.	4-"‘(А’ ; I)
Равностепенно непрерывные семейства функций
173
и рассмотрим числа 4npm и 4пат. Если n>m, то их разность —
четное целое; если п = т, то они целые, а их разность равна 1;
если п < т, то между ними не лежит ни одно целое число.
Значит,
( 0, если п> т,
(48)	|ф(4прт)--<р (4nam) | = ч
(4	, если п т.
Согласно (45) и (48),
ТП
(4)П[<Р(4пРм)-ф(4пат)];
n=z О
следовательно,
т — 1
з GG-=GG)
n=0
ИЛИ
/ЛСП	I ? (Рш) (am) |	1 oni
1 '	I Pm —«m K'2’0 •
Теорема 5.19 и неравенство (49) показывают, что функция f
не дифференцируема в точке х, так как ct,nGx<p,n и рт — am—>0
при т —> оо.
Равностепенно непрерывные семейства функций
В теореме 3.6 мы видели, что каждая ограниченная последо-
вательность комплексных чисел содержит сходящуюся подпо-
следовательность. Возникает вопрос: верно ли что-либо подобное
для последовательностей функций? Чтобы уточнить этот вопрос,
мы определим два вида ограниченности.
7.19.	Определение. Пусть {G} — последовательность функ-
ций, определенных на множестве Е.
Мы будем говорить, что последовательность {/„} поточечно
ограничена на Е, если последовательность {fn (х)) ограничена при
каждом х£Е, т. е. если существует конечнозначная функция <р,
определенная на Е и такая, что
i G (^)! < Ф (х)	(х££, п=1, 2, 3, ...).
Мы говорим, что последовательность {/„} равномерно ограни-
чена на множестве Е, если существует число М, такое, что
| fn (х) 5 < 34 (х £ Е, zi = 1, 2, 3, ...).
Если последовательность {fn} поточечно ограничена на множе-
стве Е, а Е( —счетное подмножество множества Е, то всегда
можно найти подпоследовательность {fnk}, такую, что последова-
174
Гл. 7. Последовательности и ряды функций
тельность {Д> (х)} будет сходиться при каждом х£Е{. Это можно
сделать с помощью диагонального процесса, который используется
ниже при доказательстве теоремы 7.23.
Однако даже в том случае, когда {fn} — равномерно ограни-
ченная последовательность непрерывных функций на компактном
множестве Е, не обязательно существует подпоследовательность,
сходящаяся поточечно на Е. В приводимом ниже примере было бы
затруднительно доказать это с помощью средств, которыми
мы располагаем в настоящий момент, но доказательство оказы-
вается совсем простым, если сослаться на теорему из гл. 10.
7.20.	Пример. Пусть
fn(x) = sinnx (0<х<2л, п = 1, 2, 3, ...).
Допустим, что существует строго возрастающая последователь-
ность {нд}, такая, что последовательность {sin Пдх} сходится при
каждом х £ [0, 2л). В этом случае мы получим
lim (sin пух— sin nA+1x) = 0	(0<х<12л);
k—юо
значит,
(50)	lim(sinn*x—sinnfc+1x)2 = 0	(0<;хС2л).
/1—>со
По теореме Лебега об интегрировании ограниченно сходящихся
последовательностей (теорема 10.32), из (50) следовало бы, что
2Л
(51)	lim \ (sin nkx—sinnA+jx)2 dx = 0.
о
Однако простое вычисление дает
2Л
(sin/гдх—sin nk+lx)2dx = 2л,
о
что противоречит равенству (51).
Другой вопрос таков: всякая ли сходящаяся последователь-
ность содержит равномерно сходящуюся подпоследовательность?
Следующий наш пример показывает, что это не обязательно
имеет место даже в том случае, когда последовательность (непре-
рывных функций) определена на компактном множестве и равно-
мерно ограничена на нем. (Пример 7.6 показывает, что последо-
вательность ограниченных функций может быть сходящейся,
не будучи равномерно ограниченной; но совершенно очевидно, что
равномерная сходимость последовательности ограниченных функ-
ций влечет за собой их равномерную ограниченность.)
Равностепенно непрерывные семейства функций
175
7.21.	Пример. Пусть
f"W = 3+<r=^ (0<ж<1, «-1. 2. 3. ...).
Тогда | fn (х) |	1, так что последовательность {fn} равномерно
ограничена на [О, 1]. Кроме того,
limfn(x) = 0	(0<х<1),
п—>оэ
НО
= 1	(«=1, 2, 3, ...),
так что никакая подпоследовательность не сходится равномерно
на [0, 1].
В этой связи нам понадобится понятие равностепенной непре-
рывности. Оно дано в следующем определении.
7.22.	Определение. Семейство & функций f, определен-
ных на подмножестве Е метрического пространства X, называется
равностепенно непрерывным на Е, если для любого е>0 суще-
ствует б>0, такое, что | f{x)—f (у) | <е, когда d (х, у) < б, х£Е,
у£Е, a fEjF- Здесь d обозначает расстояние в X.
Ясно, что каждая функция, входящая в состав равностепенно
непрерывного семейства, равномерно непрерывна.
Последовательность {/п} в примере 7.21 не является равно-
степенно непрерывной.
Равностепенная непрерывность и равномерная сходимость
непрерывных функций тесно связаны друг с другом.
7.23.	Теорема. Пусть К—компактное множество.
(а)	Если {fn} — равномерно сходящаяся последовательность
функций, непрерывных на К, то {/п} равностепенно непрерывна
на К.
(Ь)	Если {fn} поточечно ограничена и равностепенно непрерывна
на К, пго {/п} содержит равномерно сходящуюся подпоследова-
тельность и равномерно ограничена на К.
Доказательство. Пусть е>0, и пустщ выполнены пред-
положения (а). Тогда существуют целое N и б> 0, такие, что
(52)	|/п(х)_^(х)|<± (хек, n>N)
и
(53)	]/;(х)-Л(У)|<-|- (l<t<JV; d{x,y)<8).
176
Гл. 1. Последовательности и ряды функций
В (53) мы воспользовались тем фактом, что непрерывные
функции равномерно непрерывны на компактных множествах.
Если х£/(, y(fK, d(x,t/)<6 и n>N, то
1 fn (х) - [п (у) I < I fn(х) — fN (x)\E\fN(х) —fN(y) |4-| fN(у) — fn (у) |<6 .
Последнее неравенство и неравенство (53) показывают, что
утверждение (с) выполняется.
Докажем теперь утверждение (6). Не ограничивая общности,
мы можем предположить, что компакт К. содержит бесконечное
число точек.
Сначала выберем в К. счетное подмножество Е, такое, что Е
плотно в К (т. е. такое, что К совпадает с замыканием мно-
жества £).
Чтобы убедиться в существовании такого множества Е, можно
рассуждать следующим образом. Пусть J(x, г) —множество всех
точек у£К, для которых d (х, у) < г. Из компактности множества К
следует, что при каждом г>0 уже конечное число из них,
скажем, J (xt, г}, ..., J (хт, г) покрывают К- Полагая г = 1,
1/2, 1/3, ..., мы получаем счетную базу пространства К- (Опре-
деление базы см. в упражнении 11 к гл. 2.) Если выбрать
по точке из каждого множества этой счетной базы, то полученное
таким образом счетное множество окажется плотным в К-
Пусть {х,}, I -И, 2, 3, ..., —точки множества Е, располо-
женные в последовательность.
Ввиду того что последовательность {^(xj)} ограничена,
существует подпоследовательность, которую мы обозначим через
{Л, а}, такая, что последовательность {fi,k(xi)} сходится при
k —► оо.
Рассмотрим теперь последовательности S,, S2, S3, . .., которые
можно расположить в таблицу
S1 : /1,1, /1,2, /1,3, [1,4, • • •
Sa'-fz,!, /2,2, /2,3, /2,4,
S31/3,1, /3,2, /з,з, /з,4,
Пусть они обладают следующими свойствами:
(a) Sn —(бесконечная) подпоследовательность последователь-
ности при п - 2, 3, 4, ....
(Р) {/п, а (х„)} сходится при k -> со (ограниченность последова-
тельности {fn} позволяет выбрать Sn с таким свойством);
(у) порядок, в котором выписываются функции, один и тот же
во всех последовательностях, т. е. если одна из функций пред-
шествует другой в S15 то они так же расположены во всех Sn
Равностепенно непрерывные семейства функций	177
до тех пор, пока одна из s-тих функций не вычеркивается. Таким
образом, передвигаясь из какой-нибудь строки таблицы в сле-
дующую строку вниз, функции могут переместиться влево, но
никогда не перемещаются вправо.
Теперь мы спустимся по диагонали нашей таблицы, т. е.
рассмотрим последовательность
(54)	f2j2, /з,з> Л,',-- - •
Согласно (у) последовательность S (за исключением, возможно,
первых п—1 членов) — подпоследовательность последователь-
ности S„ при п-=1, 2, 3, .. . . Значит, из (Р) следует, что после-
довательность {fn, n(*i)} СХОДИТСЯ при П —> СО при КЭЖДОМ XiQE.
Пусть е>0. Ввиду того что последовательность {fn} равно-
степенно непрерывна, существует число б>0. такое, что
из d (х, у) < б следует, что
5 fn (*) — fn (у); <	(« = 1,2,3,...).
Пусть J (х, б) имеет тот же смысл, что в начале доказательства.
Существует конечный набор точек лу, . . ., хр множества Е,
такой, что
К ед J(xt, б) U • • • IP (хР, б),
так как Е плотно в К, а К компактно. Выберем N так, чтобы
иметь
lfn,n(Xt)~- fm,m(Xi) <	(1 = 1, ...,/?),
если п>Л’, т > Ы.
Тогда при любом xQK существует точка х;, такая, что
и x£J(xt, б); поэтому из n>N, m>.V следует, что
: fn,n(x) fm,m {х) ' С; j fn, n fx)  fn, n (xi) \ -\- \ fn (-4) fm, m (xi) \ 4-
+ i fm, m CP — f,n, m (X) | < 4 у = у 6.
Таким образом, последовательность {fn, п} сходится равно-
мерно на К-
Чтобы доказать равномерную ограниченность последователь-
ности {fn} на множестве /(, положим
(55)	<р(х) = sup I fn (х) । (п= 1, 2, 3, . ..).
Задав е>0, выберем б>0 таким, чтобы из неравенства
d (х, у) < б следовало
I fn (X)—fn(y)' <е (п= 1, 2, 3, . . .).
Зафиксируем две точки х и у. Из неравенства
\fn (y)\<\fn (х)Н-е
178
Гл. 7. Последовательности и ряды функций
следует, что
(56)
а из неравенства
что
(57)
В силу (56) и (57),
<р (у) <<₽(*) 0 е,
I fn (X) I < I fn (у) I + е,
q>W<q>(l/)+e.
1 <Р СУ) — <Р (*)|<е,
если только d(x, у) <6, так что <р —функция, непрерывная на К-
Функция <р ограничена, так как К — компактное множество.
Теорема доказана.
Теорема Стона — Вейерштрасса
7.24. Теор ем а. Если f—непрерывная комплексная функция
на [а, Ь], то существует такая последовательность многочле-
нов Рп, что
lim Рп (х) = f (х)
равномерно на [а, Ь]. Если функция f вещественна, то и много-
члены Рп можно выбрать вещественными.
Именно в такой форме эта теорема была первоначально
открыта Вейерштрассом.
Доказательство. Не ограничивая общности, мы можем
считать, что [а, 6] = [0, 1]. Будем считать также, что f (0) — f (1) = 0.
Действительно, если теорема доказана для этого случая, то рас-
смотрим
g(x) = f(*H(0)-*lf(lH(0)]	(0<хД1).
Здесь g (0) = g(l) = 0, и если g представима в виде предела
равномерно сходящейся последовательности многочленов, то
такова и /, так как f— g—многочлен. Будем считать, что f(x) = 0
вне сегмента [0, 1]. Тогда функция f равномерно непрерывна
на всей вещественной прямой.
Положим
(58)	Qn(x)-c„(l—x2)n (n-1, 2, 3, . ..),
где сп выбраны так, что
1
(59)	^Q„(x)dx = l (п. 1,2, 3, . . .).
-1
Теорема Стона—Вейерштрасса	179
Нам нужны некоторые сведения о порядке величины сп. Ввиду
того что
1	1	1 / У п
J (I-x2)ndx---2 J (\—x2)ndx>2 jj (\-x2)ndx>
-i	о	b
l/У "
> 2 t (1—их2) dx-Д-,
J	3V« Vn
из (59) следует, что
(60)	cn < ]/ n.
Неравенство (1 —х2)п>1—их2, которым мы воспользовались
выше, легко проверяется. Для этого нужно рассмотреть функцию
(1—х2)п-1Ч-их2,
которая равна нулю при х~0 и имеет положительную производ-
ную в (0,1).
При любом 6 > 0 из (60) следует, что
(61)	QnW<V/’«(l-S2)n	(6<|х!<1),
так что Qn— >0 равномерно в сегменте 6 <| х | Д 1 
Положим теперь
1
(62)	Рп(ху-р(х-< t)Qn(t)dt (0<х- 1).
-1
Наши предположения о функции f показывают (с помощью
простой замены переменной), что
l-х	t
Рп (X) - J f(x + 0 Qn (t)dt^f (0 Qn-(t - х) dt,
— x	0
а последний интеграл, очевидно, есть многочлен по х. Таким
образом, {Рп} — последовательность многочленов, причем веще-
ственная, если вещественна функция /. Задав е > 0, выберем
6 > 0 так, чтобы из | у — х [ < 6 следовало
7(</)ЧМКр
180	Гл. 7. Последовательности и ряды функций
Пусть М = sup | f (х) |. Используя (59), (61) и тот факт, что
Qn(x)>0, мы видим, что при О^х-дИ
।
1 Рп (X) - ж i = I Л If (х \ t)-f (X)] Qn (/) dt j <
' - Л
1
 \ fix -г t) f (х) j Qn (/) dt -
-1
-d	6	1
< 2Л1 Qn (f) dt- H \ Qn (0 dt + 2M Qn (t) dt <
-i	-e	e
<4M fn(l — 62)n4--J<e
при всех достаточно больших п. Теорема доказана.
Поучительно набросать графики функций Qn для нескольких
значений п. Отметим еще, что равномерная непрерывность функ-
ции f была нам нужна для доказательства равномерной сходи-
мости последовательности {Рп}-
При доказательстве теоремы 7.30 нам не потребуется тео-
рема 7.24 в полном объеме, а потребуется только один ее част-
ный случай, который мы сформулируем в виде следствия.
7.25.	Следствие. Для любого сегмента [--а, а\ суще
ствует последовательность вещественных многочленов Рп, такая,
что Рп (0) = 0 и
limP„(x) = !x[
П—>СО
равномерно на [—а, а].
Доказательство. По теореме 7.24 существует последо-
вательность {Р*,} вещественных многочленов, сходящаяся к | х j
равномерно на [— а, а]. В частности, Р„(0)—>0 при
Многочлены
Р„(х) = Р^(х)-Р,*(0)	(«== 1, 2, 3, ...)
обладают нужными свойствами.
Теперь мы выделим те свойства многочленов, на которых
основана теорема Вейерштрасса.
7.26.	Определение. Совокупность ^комплексных функ-
ций, определенных на множестве Е, называется алгеброй, если
(i) f + (Щ	и (Bi) cf£& при всех gt#
и всех комплексных постоянных с. Иными словами, множество &
замкнуто относительно сложения, умножения и умножения
на скаляры.
Теорема Стона— Вейерштрасса	181
Мы будем рассматривать также алгебры вещественных функ-
ций; в этом случае в (iii) речь идет, конечно, об умножении
лишь на вещественные с.
.Множество Л функций, обладающее тем свойством, что f
если friQ^ (п -=-1, 2, 3, .. .) и fn—>f равномерно па Е, назы-
вается равномерно замкнутым.
Пусть .^—множество всех функций, которые служат преде-
лами равномерно сходящихся на множестве Е последовательно-
стей элементов множества ЗЕ Тогда ,3? называется равномерным
замыканием множества &.
Например, множество всех многочленов — алгебра, и теорему
Вейерштрасса можно сформулировать так: множество всех функ-
ций, непрерывных на [а, 6], есть равномерное замыкание множе-
ства всех многочленов на [а, Ь].
7.27.	Теорема. Пусть 9Й — равномерное замыкание алгебры .Д ,
состоящей из ограниченных функций. Тогда Ж — равномерно
замкнутая алгебра.
Доказательство. Если / g и g £ 'Е, то существуют
равномерно сходящиеся последовательности {/„}, {gn}, такие, что
gn—e g и fnQ$E gnQ&- Пользуясь тем, что мы имеем
дело с ограниченными функциями, легко показать, что
fn + gn-'4-Tg, fngn~>fg, cfn->cf,
где с — любая постоянная, причем сходимость равномерна во всех
трех случаях.
Значит, f \-gQE, fgt-99 и	так что .$? — алгебра.
Пусть равномерно сходящаяся последовательность элемен-
тов алгебры ,э?. Существуют функции	такие, что
Дп (х)-gn(x)\< -~-
Если jn--> / равномерно, то ясно, что и gn-^i равномерно, гак
что / G .3? и .eg равномерно замкнуто.
7.28.	Определение. Пусть <#- —множество функций,
определенных на множестве Е. Тогда говорят, что разделяет
точки множества Е, если для каждой пары различных точек
лу,л'2бЕ найдется функция fQTE такая, что / (xt) / (х2).
Если для каждой точки xQE найдется функция g^EE такая,
что g (х)	0, то мы будем говорить, что алгебра Л не исчезает
ни в одной точке множества Е.
Алгебра всех многочленов от одной переменной, очевидно,
обладает этими свойствами па R.1. Примером алгебры, не разде-
ляющей точек, служит множество всех четных многочленов,
182
Гл. 7. Последовательности и ряды функций
рассматриваемых, скажем, на [ —1,1], так как f (— x) = f(x)
для каждой четной функции f.
Следующая теорема иллюстрирует эти понятия.
7.29.	Теор ем а. Пусть П—алгебра функций на множе-
стве Е, & разделяет точки и не исчезает ни в одной точке
множества Е. Пусть xiy х2— различные точки множества Е
и щ, с2— постоянные (вещественные, если &— вещественная
алгебра). Тогда д! содержит функцию f, такую, что
f(Xi) = Ci, f(x2) = c2.
Доказательство. Наши предположения показывают, что &
содержит функции g и /г, такие, что g(x1)^g(x2) и h(xi)=£0.
Положим
и = g + Mi,
где X — постоянная, выбранная следующим образом: если g(xi)=/=0,
то Х = 0; если g(Xi) = 0, то g(x2)=^=0, и существует число Х=^0,
такое, что
^(h(Xi) — h(x2)i^g(x2).
Тогда и Г Л и наш выбор X показывает, что u(xi)=£u(x2)
и и (х^ =^=0. Если
а = и2 (*1) — и (лд) и (х2),
то а =/= 0; если
fi = а"1 [и2 — и (х2) и],
то Л(л-1)= 1, Л(х2) = 0.
Подобным же образом мы проверим, что существует функция
такая, что f2(x,) = 0, f2(x2)=l. Тогда функция f =clfl +
~Ec2f2 обладает нужными свойствами.
Теперь мы докажем теорему Стона, обобщающую теорему
Вейерштрасса.
7.30.	Теор ем а. Пусть .71—алгебра вещественных непре-
рывных функций на компактном множестве К. Если & разде-
ляет точки множества К и не исчезает ни в одной точке мно-
жества К, то равномерное замыкание !S алгебры Л содержит
все функции, непрерывные на К-
Мы разобьем доказательство на четыре шага.
Первый шаг. Если то
Доказательство. Пусть
(63)	a-sup/fx); (х£К),
Теорема Стона— Вейерштрасса
183
и пусть задано чисто г>0. Согласно следствию 7.25, существуют
вещественные числа clf сп, такие, что
(64)	| 2 ciif — \у\\<е	( — а^у^а).
i=l
п
Функция £=2с/' входит в состав множества так как
1
.^ — алгебра. Согласно (63) и (64), мы имеем
|g(x) — \f(x)\ I<8 (xGK).
Поскольку алгебра <8 равномерно замкнута, то отсюда сле-
дует, что i f | С JP.
Второй шаг. Если	и g£$, то max. (f, g) (f $ и
min (A g)G^-
При этом h = шах (/, g) означает, что
f(x), если f(x)>g(x),
*	lg(*). если f(x)<g(x);
min (A g) определяется аналогично.
Доказательство. Наше утверждение следует из дока-
занного на первом шаге и из тождеств
max (Д g) = /+^+-LL=?l,
min (/, g)	.
Разумеется, этот результат можно по индукции распростра-
нить на любое конечное множество функций: если А» ..., fnQ
то max (А, • • •, fn) С Я и min (А, ..., fn) G .«’•
Третий шаг. Пусть заданы вещественная функция f, непре-
рывная на К, точка xQK и е>0. Тогда найдется функция
gxQdtf, такая, что gx(x) = f(x) и
(65)	^(0>/(0-8 (tQK).
Доказательство. Поскольку cz .3? и <#- удовлетворяет
условиям теоремы 7.29, то и удовлетворяет этим условиям.
Значит, для любого у QK можно найти функцию hv £ , такую, что
(66)	hy (х) = f (х), hy (у) = f (у).
В силу непрерывности функции htJ, существует открытое
множество Jv, содержащее точку у и такое, что
(67)	hy(t)>f(t)-e
J84
Гл. 7. Последовательности и ряды функций
Ввиду того что К — компакт, имеется конечное множество
точек yit ...,уп, таких, что
(.68)	К ст Jyi J ... J Jyn.
Положим
£х-тах(йУ1, . .., hVn).
Согласно установленному на втором шаге, gx£$, а из соотно-
шений (66) —(68) следует, что gx обладает и остальными нуж-
ными свойствами.
Четвертый шаг. Пусть заданы вещественная функция f,
непрерывная на К, и е >> 0. Существует функция hrffi, такая, что
(69)	!Л(х) —/(x)I<e (xGK).
Это утверждение равносильно утверждению теоремы, так как $
равномерно замкнута.
Доказательство. Рассмотрим функции gx, построенные
на третьем шаге для каждого х^К. В силу непрерывности
функции gx, существует открытое множество содержащее х
и такое, что
(70)	gx(0<H0 + e (fGVJ.
Ввиду того что К компактно, существует конечное множество
точек х4, .. хт, таких, что
(71)	КсРХ1и...(Жт-
Положим /z = min(g'X1, ...,gx). Как было установлено на вто-
ром шаге, h£$?, и из (65) следует, что
(72)	й(О>/(О-е	(Z6K).
С другой стороны, из (70) и (71) следует, что
(73)	й(0<НО + е	UCK).
Из (72) и (73) вытекает (69).
Теорема 7.30 не верна для произвольных комплексных
алгебр. Контрпример дан в упражнении 21. Однако утвержде-
ние теоремы остается верным даже и для комплексных алгебр,
если на Я наложить еще одно условие, а именно если потребо-
вать, чтобы Л была самосопряженной. Это означает, что для
любой функции /Е<9Т комплексно-сопряженная с ней функция /
тоже принадлежит функция [ определяется равенством
1 (х) = / (х).
Теорема Стона—Вейерштрасса
185
7.31. Теорема. Пусть & — самосопряженная алгебра комплек-
сных непрерывных функций на компактном множестве К- Пусть
разделяет точки множества К и не исчезает ни в одной точке
множества К- Тогда равномерное замыкание '3 алгебры Л
содержит все комплексные непрерывные на К. функции.
Доказательство. Пусть ."'Д — множество всех веществен-
ных функций на К, принадлежащих алгебре Если /0'7
и f---u-\-iv, где и, v—вещественны, то 2u = f-\-f, а так как
&— самосопряженная алгебра, то uQ^R. Если х1^х2, то суще-
ствует /£<#-, такая, что /(х!) = 1, /(х2) = 0; значит, 0 = и(х2)=И=
и (х,) = 1, откуда следует, что разделяет точки множества К-
Если xQK, то g(x)=/=0 при некотором рбИ и имеется ком-
плексное число X, такое, что Xg(x)>0; если f = hg, f — u-\-iv,
то отсюда следует, что и (х) > 0; значит, зкв не исчезает
ни в одной точке множества К-
Таким образом, удовлетворяет условиям теоремы 7.30.
Следовательно, каждая вещественная непрерывная на К функ-
ция принадлежит равномерному замыканию алгебры &R, т. е.
принадлежит S?. Если / — комплексная непрерывная на К функ-
ция, f=-u-\-w, то о 6.63, значит, и fQ.3- Доказательство
закончено.
7.32. Замечания. Пусть ?? (К) обозначает множество всех
вещественных непрерывных функций на компактном простран-
стве /<. Определим норму функций / £ "ё (К) равенством
(74)	|| / || = sup j / (х) |.
х£К
По теореме 4.15 f < оо при каждом /Е^(К). Очевидно,
что |! f — 0 только тогда, когда /(х) —0 при всех х^К, т. е.
/ = 0, и нетрудно проверить, что
Значит, если определить расстояние между / и g как \\ f — g ц,
то аксиома 2.17 для расстояния выполняется.
Используя эту метрику, мы можем определить теперь откры-
тые множества, замкнутые множества, предельные точки, сходя-
щиеся последовательности и т. д. в ё (Кф Расстояние в 'ё (Д)
определено так, что последовательность {Д} сходится к f тогда
и только тогда, когда {Д} сходится к / равномерно на Д';
{Д}— последовательность Коши в ё (Д) тогда и только тогда,
когда {fn.} сходится равномерно на К. Значит, из теоремы 7.12
следует, что ё(Д)— полное метрическое пространство.
Замкнутые подмножества пространства ё(Д) —это в точности
те самые множества, которые в определении 7.26 были названы
равномерно замкнутыми.
186
Гл. 7. Последовательности и ряды функций
Всякое компактное подмножество в ??(/() —это равномерно
ограниченное равностепенно непрерывное множество функций.
Обратно, замыкание каждого равномерно ограниченного равносте-
пенно непрерывного множества функций из ® (К) есть компактное
подмножество пространства ® (К). Это утверждение, по суще-
ству,— переформулировка теоремы 7.23.
Теорема 7.30 (теорема Стона — Вейерштрасса) может быть
переформулирована так: если ЗГ— подалгебра в ‘ё(К'), разделяющая
точки множества К и не исчезающая ни в одной точке мно-
жества К, то алгебра & плотна в пространстве 4S (К).
Все эти замечания применимы также и к пространству всех
комплексных функций, непрерывных на К; но только к условиям
теоремы Стона —Вейерштрасса нужно добавить самосопряжен-
ность.
Упражнения
1.	Доказать, что всякая равномерно сходящаяся последова-
тельность ограниченных функций равномерно ограничена.
2.	Пусть последовательности {/п} и {gn} сходятся равномерно
на Е. Доказать, что последовательность {fn + gn} сходится
равномерно на Е. Пусть, кроме того, {/„} и {gn} — последова-
тельности ограниченных функций. Доказать, что последователь-
ность {fngn} сходится равномерно на Е.
3.	Построить последовательности {/„}, (gn}, которые сходятся
равномерно на Е, но {fngn} не сходится равномерно на Е (разу-
меется, {fngn} сходится на Е).
4.	Рассмотрим ряд
ОО
f (х) = У т-Дг- .
1 ' ' J 1 -j- п2х
п=1
При каких значениях х этот ряд сходится абсолютно? На каких
сегментах он сходится равномерно? На каких сегментах он пере-
стает быть равномерно сходящимся? Непрерывна ли функция f
в тех точках, в которых ряд сходится? Ограничена ли /?
5.	Пусть
Показать, что последовательность {fn} сходится к непрерывной
функции, но неравномерно. Воспользоваться рядом J fn Для дока-
Упражнения
187
зательства того, что абсолютная сходимость (даже если она
имеет место при всех х) не влечет за собой равномерной схо-
димости.
6.	Доказать, что ряд
ОО
2 (-1)"^
71=1
сходится равномерно на каждом ограниченном сегменте, но
не сходится абсолютно ни при одном значении х.
7.	Положим
fn(x)
х
1 + пх2 ’
где л=1, 2, 3, ..., х — вещественное число. Показать, что
последовательность {fn} сходится равномерно к функции f и что
равенство
f (х) = lim f'n(x)
n->co
верно, если х =/= 0, и неверно, если х = 0.
8.	Пусть
(х<0),
1 о
/(х) = | !
(х > 0).
Пусть {хп} — последовательность попарно различных точек интер-
вала (а, Ь), и пусть ряд 2 ! сп I сходится. Доказать, что ряд
f(x)= 2 сп1(х — хп)
П=1
сходится равномерно, что функция f непрерывна при любом х=^хп
и что f — функция ограниченной вариации.
9.	Пусть {gn}—последовательность функций ограниченной вариа-
ции на сегменте [а, Ь], обладающая следующим свойством: для лю-
бого е >>0 существует такое число N, что из неравенств л > N, m > N
следует неравенство V (gn — gm) < е. Доказать, что существует
функция g, имеющая ограниченную вариацию на [а, Ь] и такая,
что V (gn — g) —* 0 при Л-*ОО.
10.	Пусть функция f непрерывна на [а, 6], и пусть {gn} —
последовательность, для которой
(a)	V(gn)<M (л= 1, 2, 3, ...),
(b)	limgn(x) = g(x) (а<х<Ь).
71—>СО
188
Гл. 7. Последовательности и ряды функций
Доказать, что
ь	ъ
lim \ f dgn=- fdg.
п-*ээ «-1	’3
а	а
Заметим, что предположение здесь слабее предположений
теоремы 7.16.
Указание. Сначала показать, что V(g)<M. Далее, для
любого разбиения Р : а = х0 < xi < ... <; хт = b имеем
Ъ	b	т	xi
Ц fdg~~\	J If(x) — f(Xi)ldg(x)| +
a	a	i~l
m
+ У If (Xi) I I g (Xi) - g (Xi-i) - gn (Xi) + gn (Xf_x) I 4-
i=l
m xi
4 У | J [/(^)-/(x)]dgn(x)| .
i=l
Первая и третья суммы могут быть сделаны сколь угодно
малыми за счет выбора р (Р) и непрерывности функции f. Фикси-
руя Р, получаем, что вторая сумма стремится к нулю при п-> со.
11.	Если функция f непрерывна на [0, 1] и если
1
f (х) хп dx = 0 (n = 0, 1, 2, ...),
то f (х) — 0 на [0, 1].
Указание. Интеграл от произведения функции f на любой
многочлен равен нулю. Воспользоваться теоремой Вейерштрасса
1
и показать, что f2 (х) dx -- 0.
о
12.	Если, например, f(x) ~x —У и g(x) = x —х2, то
1
(75)	f (х) |g(x)]ndx = 0 (n = 0, 1, 2, ...).
о
Для каких функций g из условия (75) следует, что f (х) = 0
при всех х£[0, 1], если заранее задано, что f—непрерывна?
13.	Пусть {f„}, {g„} — последовательности функций, опреде-
ленных на Е, и
(а)	частные суммы ряда У fn равномерно ограничены;
Упражнения
189
(6)	gn-+® равномерно на Е;
(с)	£1 (x)>g2 W>£3(*)> • • • ПРИ любом х^Е.
Тогда рад 2 fngn сходится равномерно на Е.
Указание. Сравнить с теоремой 3.42.
14.	Пусть {fn} — равномерно ограниченная последовательность
функций, интегрируемых по Риману на [а, Ь\. Положим
Fn (х) = fn(t)dt (а < х < Ь).
а
Доказать, что существует подпоследовательность f п , равномерно
сходящаяся на [а, Ь\.
15.	Пусть {fn} — последовательность непрерывных функций,
сходящаяся равномерно на множестве Е к функции f. Доказать,
что
lim fn(xn) = f(x)
n-*co
для каждой последовательности точек хп£Е, такой, что
х„->х, гдехСД. Верно ли обратное?
16.	Пусть (х) обозначает дробную часть вещественного числа х
(см. определение в упражнении 2 к гл. 4). Рассмотрим функцию
СО
Нх)=2 (х—вещественное число).
п~ 1
Найти все точки разрыва функции f и показать, что множество
таких точек счетно и всюду плотно. Показать, что (тем не менее)
функция f интегрируема по Риману на каждом ограниченном
сегменте.
17.	Пусть {Д}— последовательность функций, монотонных
на [а, Ь\, и пусть {/„} поточечно сходится к функции [, непре-
рывной на [а, Ь]. Доказать, что сходимость равномерна на [а, Ь[.
18.	Пусть {Д} — равностепенно непрерывная последовательность
функций на компактном множестве К, и пусть {/п} сходится
поточечно на К. Доказать, что последовательность {/„} сходится
равномерно на К.
19.	Доказать утверждения о (К), сформулированные
в п. 7.32.
20.	Определить понятия равномерной сходимости и равно-
степенной непрерывности для отображений в любое метрическое
пространство. Показать, что теоремы 7.9 и 7.12 верны для
отображений в любое метрическое пространство, что теоремы
7.8 и 7.11 верны для отображений в любое полное метрическое
J 90	Гл. 7. Последовательности и ряды функций
пространство и что теоремы 7.10, 7.14, 7.17 и 7.23 верны для
векторнозначных функций, т. е. для отображений в любое Rh.
21.	Пусть К —единичная окружность на комплексной пло-
скости (т. е. множество всех z, таких, что |z| = l), и пусть
<7?- —алгебра всех функций вида
N
f (е',(!)- 2 cneind (0 вещественно),
п —О
Тогда Я разделяет точки множества К и не исчезает ни в одной
точке множества К, но тем не менее существуют непрерывные
на К функции, не содержащиеся в равномерном замыкании
алгебры ^7.
Указание. Для любой функции f Е&
2л
f (ei0) einQ dft=-=0, n == 1, 2, .. .,
b
и это остается верным для каждой f, принадлежащей замыканию
алгебры <#.
22.	Пусть <р —непрерывная ограниченная вещественная функ-
ция, определенная в полосе, выделяемой неравенствами 0<х<1,
— оо < у < оо. Доказать, что задача с начальными данными
/ = Ф(х, г/),	i/(0) = с
имеет решение. [Заметим, что условия этой теоремы существова-
ния менее ограничительны, чем условия соответствующей теоремы
единственности (см. упражнение 17 гл. 5).]
Указание. Зафиксируем п. Положим Х; = г/л, t = 0, ..., п.
Пусть /„ — непрерывная функция на [0, 1], такая, что /п(0) = с,
/п(0 = ф(*ь fn(Xi)), если Xt<.t<xi+i,
и положим
Ап(/) = /п(0-<Р(Л Ш),
за исключением точек х,, где Д„(/) = 0. Тогда
X
/Дх) = сф J [ф (/, fn(t))y\n(t)]dt.
о
Воспользоваться теоремой 7.23 для доказательства равномерной
на [0, 1] сходимости некоторой подпоследовательности последо-
вательности {/„} к функции /, удовлетворяющей интегральному
Упражнения
191
уравнению
f(x)=-c+	<р(/, f(t)) dt (0<х<1).
о
Эта функция f и есть решение данной задачи.
23.	Доказать аналогичную теорему существования для задачи
с начальными данными
у' = Ф(х, у),	у(0) = с,
где теперь c^Rk, у£/?\ а <р — непрерывное ограниченное отобра-
жение части пространства 7?'i+1, выделяемой условиями 0<х<. 1,
уС/?'!, в пространство (Сравнить с упражнением 18 гл. 5.)
Указание. Воспользоваться «векторнозначным» вариантом
теоремы 7.23.
Г Л А В A g
ДАЛЬНЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ
Степенные ряды
В этом разделе мы изучим некоторые свойства функций,
представимых в виде суммы степенного ряда, т. е. функций
вида
(1)	= 2 спхп
п-— О
или, более общо,
(2)	/(.'') сп(х — а)п.
п.-0
Такие функции называются аналитическими.
Мы ограничимся вещественными значениями х. Поэтому вместо
кругов сходимости (см. теорему 3.39) мы будем иметь дело
с промежутками сходимости.
Если ряд (1) сходится при всех х из интервала (— R, R) для
некоторого 7? > О (R может равняться	то мы будем гово-
рить, что функция f разлагается в степенной ряд в окрестности
точки х = 0. Аналогично, если ряд (2) сходится при \x — a\<zR,
то говорят, что f разлагается в степенной ряд в окрестности
точки х — а. Для удобства мы часто будем полагать ц-0,
не ограничивая общности.
8.1.	Теорема. Пусть ряд
(3)	2 спхп
О
сходится при j х < R < со, и пусть
(4)
п—О
Тогда ряд (3) сходится равномерно на отрезке [ — R R — е],
каково бы ни было положительное число е <ZR- Функция f
непрерывна на (~-R, R) и
(5)	f (х) = 2 «СпХ"’1 (I х | < R).
И=1
Степенные ряды
193
Доказательство. Пусть 0<е<;/?. Если jxjO? —8, то
I Спхп |<| Cn(R —8)” |,
а так как ряд

сходится абсолютно (каждый степенной ряд по признаку Коши
сходится абсолютно внутри своего промежутка сходимости), то
из теоремы 7.10 следует равномерная сходимость ряда (3) на
отрезке [ — R -j-e, R — е].
Ввиду того что	при п->-со, имеем
lim п/п | с„| = lim j сп | ,
так что ряды (4) и (5) имеют общий интервал сходимости.
Поскольку (5)—степенной ряд, то он сходится равномерно
в ( —/?4-е, R — 8] при каждом положительном б <ZR и, следова-
тельно, применима теорема 7.17 (в формулировке теоремы после-
довательности можно заменить рядами). Таким образом, (5)
выполняется, если !%'</? — е.
Но для любого х, такого, что | х | < R, можно найти такое
число е > 0, что |х|<7? — е. Значит, (5) выполняется, если
| X! < R.
Непрерывность функции f следует из существования f
(теорема 5.2).
Следствие. Если выполнены условия теоремы 8.1, то f
имеет производные всех порядков в ( — R,R), причем
(6)	f'!) (х) -• 2 п(п—\) ... (n-k-\\)cnxn~k.
n~k
В частности,
(7)	f,h'(O) = k\ck (/г-0, 1, 2, ...).
(Здесь fw обозначает f, a k-ю производную функции f
при k 1, 2, 3, . .. .)
Доказательство. Равенство (6) получится, если мы
последовательно применим теорему 8.1 к f. затем к к /" и т. д.
Полагая в (6) х=--0, мы получим (7).
Формула (7) очень интересна. Она показывает, с одной стороны,
что коэффициенты степенного разложения функции f определяются
значениями f и ее производных в одной-единственной точке.
С другой стороны, если даны коэффициенты, то значения произ-
водных функции f в центре интервала сходимости усматриваются
непосредственно из степенного ряда.
194
Гл. 8. Дальнейшие сведения из теории рядов
Заметим, однако, что если даже функция f имеет производные
всех порядков, то ряд 2 спхп, коэффициенты которого вычислены
по формуле (7), не обязан сходиться к f (х) ни при каком х^О.
В последнем случае f не может быть разложена в степенной
ряд в окрестности точки х = 0. Действительно, если бы выпол-
нялось равенство f (х) = 2 ctnXn, то мы имели бы
=	(0);
значит, ап = сп. Пример такой ситуации будет дан в упраж-
нении 1.
Если ряд (3) сходится в конце промежутка сходимости,
скажем, в точке x = R (и, разумеется, /? <оо), то функция f
непрерывна не только в интервале ( — /?,/?), но и в точке х — R.
Это вытекает из следующей теоремы Абеля (для простоты мы
полагаем /?=1).
8.2.	Теорема. Пусть ряд 2 сп сходится. Положили
Тогда
(8)
Цх)-= 2 спхп
n—Q
(—1<х<1).
оо
limf(x) = 2 сп.
Х~> 1	71—0
Доказательство. Пусть sn = c0+ ... +cn, s_t = 0. Тогда
m	т	т— t
2 спхп= 2 (Sn — sn-i)xn = (l — х) 2 Sn*n + wm-
п=0	Л-0	n=0
Пусть |х|<1 и m—> оо. Так как sm ограничены в совокупности,
то мы получаем
ОО
(9)	f(x) = (l-x) 2 snxn.
п=0
Предположим, что s= lim sn. Пусть 8>0. Выберем N, такое,
п->оо
что из n>N следует
I	1^8
| S — 8п | < у •
Тогда, ввиду того что
ОО
(1-х)2х"=1 (|х|<1),
п=0
мы получаем из (9)
со	N
|f(x)—s|==|(l—х) 2 (sn — s) хп |<(1— х) 2 1«п — s||/|n + y^e,
п=0	п=0
Степенные ряды
195
если х > 1 — 6, где 6 — любое достаточно малое положительное
число. Отсюда следует (8).
В качестве приложения докажем теорему 3.51, которая состоит
в следующем. Если ряды ^ап, ^Ьп, 2 сп сходятся соответ-
ственно к А, В, С и если сп = айЬп-'г . .. + апЬй, то С = АВ.
Положим
f (х) = 2 апХп, £ (х) = 2 bnxn, h(x) = 2 спХп
п=0	п~0	п=0
при 0 < х < 1. Если х < 1, то эти ряды сходятся абсолютно,
и поэтому их можно перемножить в соответствии с определением
3.48; выполнив умножение, мы'увидим, что
(Ю)	f(x)-g(x) = A(x) (0<х<1).
По теореме 8.2
(И)	Цх)~*А, g(x)-*B, h(x)-+C
при х—» 1. Из равенств (10) и (11) следует, что АВ = С.
Далее нам понадобится следующая теорема об изменении
порядка суммирования двойной последовательности.
8.3.	Теорема. Пусть дана двойная последовательность
{а,;}, i = 1, 2, 3, ...,/ = 1,2,3, . . ., пусть
(12)	2 |ам| = ^ (i = 1, 2, 3. . . .).
j=i
и ряд 2 df сходится. Тогда
ОО ОО	СО _*
(13)	2 2	= 2 2 ач.
<=i;=i
Доказательство. Мы могли бы установить равенство,(13)
непосредственно, подобно тому как это было сделано в теоре-
ме 3.56 (хотя в данном случае это несколько более сложно).-
Однако следующий метод представляется более интересным.
Пусть Е— счетное множество, состоящее из попарно различ-
ных точек Хо, х1; х2, ..., и пусть хп—*х0 при п—>оо. Положим
ОО
(14)	h(xo) = 2au	(i = 1. 2, 3, .. .),
. i=i
(15)	А(х„) = 2 au	(t, n= 1, 2, 3, ...),
i=i
oo
(16)	g(*) = 2 fi(x) (x£E).
i=i
196
Гл. 8. Дальнейшие сведения из теории рядов
Теперь, сопоставляя (14) и (15) с условием (12), мы видим,
что каждая из функций непрерывна в точке х0. Поскольку
\fi(x)\^.bt при х^Е, ряд (16) сходится равномерно на Е, так
что функция g непрерывна в точке %0 (теорема 7.11). Следова-
тельно,
2 2 йц -= 2 ft (хо) =- g (х0) ••= lim g (хп) =
i=l j-=i	i — l	n—>oo
co	CO n
- lim 2	lim 2 2 au "=
П-» О г— 1	n-> i==i j—1
П co	co co
--lim 2 2 au =-= 2 2 aij-
n-‘OO 7 — 1 i—1	j —1 i — 1
8.4.	Теорема. Пусть ряд
n—0
сходится при \x\<zR и f (x)— сумма этого ряда в интервале
( — R,R). Если — R<Za<zR, то функцию f можно разложить
в степенной ряд в окрестности точки х~а, сходящийся при
| х — а I С R— | а |, и
ОО
(17)	f(x)=2	(|x-fl|<R-|aI).
п~ О
Эта теорема является обобщением теоремы 5.17; она известна
также как теорема Тейлора.
Доказательство. Имеем
/W = 2j cnl(x — a) + a]" =
п-0
со	И
= 2	2	(х-а)"*	=
п— 0	т—О
ОО	СХУ
= 2 [ 2 (mJ Спа,П (х —а)’п-
т=0	п—т
Это и есть нужное нам разложение в окрестности точки
х = а. Чтобы убедиться в его справедливости, мы должны обо-
сновать изменение порядка суммирования. Теорема 8.3 показы-
Степенные ряды
197
вает, что оно возможно, если ряд
(18)	2 2 к
71=0 771 — 0
сходится. Но (18), очевидно, приводится к виду
(19)	2 |сп!(|х-а|-}-|а|)п,
п=0
а ряд (19) сходится, если j х — а | + j a j < R.
Наконец, формула (17) для коэффициентов следует из (7).
Нужно заметить, что ряд (17) в действительности может схо-
диться в интервале, более широком, чем интервал, определяемый
неравенством |х — a\<R — 'а|.
Если два степенных ряда сходятся в интервале ( — R, R)
к одной и той же функции, то они тождественны, т. е. их коэф-
фициенты с одинаковыми номерами равны. Интересно, что то же
верно и в более слабых предположениях.
8.5.	Теорема. Пусть ряды 2 апхп и 2 Ьпхп сходятся
в интервале S = (— R, R). Пусть Е — множество всех точек, х£8,
в которых
СТ'	оо
(20)	2 апХп~ 2 Ьпхп.
п=0	п-=0
Если Е имеет предельную точку в S, то ап — Ьп при п = 0, 1,
2, .. . . Значит, (20) выполняется и при всех x£S.
Доказательство. Пусть сп = ап — bn si
(21)	f(x) = 2 спхп (xQS).
п- 0
Тогда /(х) = 0 на Е.
Пусть Л —множество всех предельных точек множества Е,
содержащихся в S, а В —множество всех прочих точек из S.
Из определения предельной точки ясно, что множество В открыто.
Допустим, что нам удалось доказать, что и А открыто.
По условию А непусто. Кроме того, S = A (J В, А Л В = 0 и S
связно (теорема 2.47). Из определения 2.45 следует, что в таком
случае В должно быть пустым и, значит, А = S. Из того, что
функция / непрерывна на S, следует А сд Е. Таким образом,
Е = S, а (7) показывает, что с„ = 0 при ц = 0, 1, 2, ..., что
и составляет требуемое заключение.
198
Гл. 8. Дальнейшие сведения из теории рядов
Таким образом, нам нужно доказать, что А открыто. Если
х0£А, то теорема 8.4 показывает, что
(22)	f(x) = 5 dn(x — x0)n (|х —xo|</?—|xol)-
П=»#
Мы утверждаем, что dn = 0 при всех п. Предполагая против-
ное, обозначим через k наименьшее из неотрицательных целых
чисел т, таких, что dm=£0. Тогда
(23)	f(x)-=(x — x0)kg(x)	(|х —х0|<₽ —|х0|),
где
(24)	g(x) = 2 dk+m (x — x0)m.
m—0
Поскольку функция g непрерывна в точке х0 и
S (хо) — dk¥=^,
то существует 6>0, такое, что g(x)^=0, если \х — х0|<6.
Из (23) следует, что /(%)#= 0, если 0 < j х — х0| < б. Но это про-
тиворечит тому, что х0 — предельная точка множества Е.
Таким образом, dn = 0 при всех п, так что Цх) — 0 при всех х,
для которых выполняется (22), т. е. в окрестности точки х0. Это
показывает, что А открыто, и доказательство закончено.
Показательная и логарифмическая функции
Положим, по определению,
оо
-	V-ч 7П
(25)	E(z) = 2 4i--
п—О
Признак Даламбера показывает, что этот ряд сходится при
каждом комплексном г. Применяя теорему 3.50 об умножении
абсолютно сходящихся рядов, получаем
*(W)=2|2j
п—0	т=0
2 2
п=0 Л=0
k\ (n—ky.
откуда вытекает важная теорема сложения
(26)	E(z + w) = E(z)E(w)	(z, w комплексные).
Показательная и логарифмическая функции	199
Одно из ее следствий таково:
(27)	Е (z) Е (— z) = Е (z — z) = Е (0)—1 (г комплексное).
Это показывает, что E(z)=^=0 при всех г. Согласно (25), Е(х)>0,
если х > 0; (27) показывает, что Е (х) > 0 при всех веществен-
ных х. В силу (25), Е(х)~»4-оо при х~>4-со, а (27) показы-
вает, что Е(х) —>0 при х—> — оо вдоль вещественной оси.
В силу (25), из 0<х<г/ следует, что Е (х) < Е (у); из (27)
следует Е ( — у) < Е (— х); значит, функция Е строго возрастает
на всей вещественной оси.
Теорема сложения показывает также, что
1 • Е (г 4 h) — £ (г) с. ...	£ lh)—1	г. . .
(28)	lim —-— = Е (z) lim —-= Е (z);
л-*о п	л-»о п
последнее равенство следует прямо из (25).
Повторяя (26), получаем
(29)	£(г1+...4-гп) = Е(21)...Е(гп).
Положим здесь z1=...=zn=l. Поскольку Е(\) — е, где е —
число, введенное в определении 3.30, то мы получаем
(30)	Е(п) = еп (п=1, 2, 3, . ..).
Если p = nlm, где п, т — положительные целые числа, то
(31)	[Е(р)]т = Е[(тр) = Е(п) = еп,
так что
(32)	Е(р) = ег> (р>0, р рационально).
Из (27) следует, что Е ( — р) — е~р, где р — положительное
и рациональное. Таким образом, (32) выполняется при всех
рациональных р.
В упражнении 7 к гл. 1 мы предложили такое определение:
(33)	xy = supxp,
где верхняя грань берется по всем рациональным р, таким что
р<У для любого вещественного у и х>1. Если мы таким
образом определим при любом вещественном х
(34)	ex = supep (р<х, р рационально),
то из непрерывности и монотонности функции Е, а также из
равенства (32) получится
(35)	Е(х) = ех
при всех вещественных х. Равенство (35) объясняет, почему
функцию Е называют показательной.
200
Гл. 8. Дальнейшие сведения из теории рядов
На самом деле вместо (34) вполне можно воспользоваться
равенством (35) для определения ех; равенство (35) —гораздо
более удобная отправная точка для исследования свойств функ-
ции ех. Сейчас мы увидим, что и (33) можно заменить более
удобным определением (см. (43)).
Вернемся к обычному обозначению ех вместо Е (х) и подыто-
жим то, что было доказано до сих пор.
8.6. Теорема. Пусть ех определяется на R1 равенствами
(35) и (25). Тогда
(а) функция ех непрерывна и дифференцируема в любой
вещественной точке',
(&) (ех)' = ех;
(с)	ех—-строго возрастающая функция и е*>0;
(d)	ех™ = ехеу;
(е)	ех —> + °° при х —> 4- °°, ех —> 0 при х —— с»;
(/) lim хпе~х-~0 при любом п.
Х->-ф-СО
Мы уже доказали все утверждения от («) до (е); (25) пока-
зывает, что
6 > фГ+1)!
при х>0, так что
A.nc-.v < (п + 1)!
х 4
откуда и следует (/). Утверждение (/) означает, что ех стремится
к -i-оо при х—»4-оэ «быстрее», чем любая степень х.
Функция Е, будучи строго возрастающей и дифференцируемой
на R1, имеет обратную функцию L, которая тоже строго возра-
стает и дифференцируема и область определения которой совпа-
дает с Е (R1), т. е. с множеством всех положительных чисел.
Функция L определяется из равенства
(36)	E(L(y))-y	(г/>0)
или из равенства
(37)	Л(£(х)) = х (х —вещественно).
Дифференцируя (37), получаем (ср. с теоремой 5.5)
L’ (Е (х))-£(х) = 1.
Записывая у — Е (х), имеем
(38)	L'(//)=-’	(d>0)-
Показательная и логарифмическая функции	201
Полагая в (37) х-0, мы видим, что L(l) = 0. Значит, из (38)
следует
V
(39)
i
Очень часто равенство (39) принимают за отправную точку в теории
логарифма и показательной функции. Полагая и — Е(х), v = E(y),
получаем из (26)
L(uv) — L(E (х)-Е (у)) —ЦЕ (х-\ у))==х + у,
так что
(40)	L(uv)--=L(u) + L(v) (u>0, и>0).
Это показывает, что L обладает известным свойством, кото-
рое делает логарифмы средством, полезным для вычислений.
Обычное обозначение для L(x), конечно, logх.
Что касается поведения функции logх при х—> ф-со и при
х— >0, то теорема 8.6 (г) показывает, что
log х — > ф- оо при х —» ф- оо,
log-Г — >—ОО при х —> 0.
Легко видеть, что
(41)	хп Е (пЦх)),
если х>0, а п — целое. Подобным же образом, если т — поло-
жительное целое, то
(42)	x‘/^e(±L(x)) ,
так как каждая из частей равенства (42) после возведения в т-ю
степень превращается в соответствующую часть равенства (37).
Объединяя (41) и (42), получаем
(43)	. ха = Е (aL (х)) - еа1°е х
при любом рациональном и.
Определим теперь ха при любом вещественном а и любом
х>0 равенством (43). Непрерывность и монотонность функций
Е и L показывают, что это определение приводит к тому же
результату, что предложенное ранее. Утверждения, сформулиро-
ванные в упражнениях с 4-го по 7-е гл. 1—тривиальные след-
ствия равенства (43).
Продифференцировав (43), получаем, по теореме 5.5,
(44)	(х“)'= £ (al. (х))-~ = аха-1.
Заметим, что раньше мы использовали (44) только для целых
значений а, а в этом случае (44) легко следует из теоремы 5.3 (Ь).
202 Гл. 8. Дальнейшие сведения из теории рядов
Доказать равенство (44), исходя непосредственно из определения
производной, если х“ определено, как в (33), весьма затрудни-
тельно.
Хорошо известная формула интегрирования для х“ следует
из (44), если а#=—1, и из (38), если а — — 1. Мы хотим дока-
зать еще одно свойство функции logx, а именно
(45)	lim x~“logx = 0
х->Д-оо
при каждом а>0. Иначе говоря, logx—>-f-oo при х—>-|-<ю
«медленнее», чем любая положительная степень х.
Действительно, если 0<е<а, а х>1, то
X	X
х~а log х — х~а Z-1 dt < х~а Ze-1 dt —
1	1
откуда и следует (45). Мы могли бы также воспользоваться
теоремой 8.6 (/) для вывода равенства (45).
Тригонометрические функции
Положим, по определению,
(46) C(x) = l[E(/x) + £(-/x)), S (х) = [Е (ix) — Е (-ix)].
Мы покажем, что С (х) и S (х) совпадают с функциями cosx
и sinx, определение которых обычно основывается на геометри-
ческих рассмотрениях. Согласно (25), Е (z) = Е (z). Значит, как
показывает (46), С (х) и S (х) вещественны при вещественных х.
Кроме того,
(47'	E(ix) = C(x) + iS(x).
Таким образом, С (х) и S (х) равны соответственно мнимой
и вещественной части числа Е (ix), если х вещественно. Соглас-
но (27),
| Е (ix) |2 = Е (ix) Е (ix) = Е (ix) Е (— ix) = 1,
так что
(48)	| Е (ix) | = 1	(х вещественно).
Из (46) можно усмотреть, что С(0) = 1, S(0) = 0, а (28)
показывает, что
(49)
С'(х)=—S(x), S'(x) = C(x).
Тригонометрические функции
203
Мы утверждаем, что существуют положительные числа х,
такие, что С (х) = 0. Действительно, пусть это не так. Из того,
что С (0) — 1, следует тогда, что С(х)>0 при всех х>0; значит,
S'(х) > 0, согласно (49), и, значит, функция S строго возрастает,
а так как S(0) = 0, то S(x)>0 при х>0. Значит, если
0<х<г/, то
V
(50)	S(x)(y —х)< J S (f) df = С (х) — С («/) < 2.
Последнее неравенство следует' из (48) и (47). Но (50)
не может выполняться при больших у, так как S(x)>0, и мы
получили противоречие.
Пусть х0—наименьшее из положительных чисел х, таких, что
С (х) = 0. Оно существует, так как множество нулей непрерыв-
ной функции замкнуто, а С(0)-у=0. Определим число л равен-
ством
(51)
Л =: 2хо.
Тогда С(л/2) = 0 и, как показывает (48), 5(л/2)=±1. Но
так как С(х)>0 в (0, л/2), то S возрастает в (0, л/2); значит,
S (л/2) = 1. Таким образом,
Е (¥)"'
и теорема сложения показывает, что
(52)	Е (т) = - 1, Е (2ni) = 1;
значит,
(53)	Е (г2ai) = Е (z)	(г— комплексное).
8.7.	Теорема, (а) Функция Е периодична с периодом 2т.
(Ь)	функции С и S периодичны с периодом 2л.
(с)	Если 0</<2л, то E(it)--£1.
(d)	Если z — комплексное число, а |г(— 1, то существует
единственное число t g [0, 2л), такое, что Е (it) = z.
Доказательство. Утверждение (а) следует из (53),
а утверждение (Ь) следует из (а) и (46).
Пусть 0</<л/2, а Е {it) = х + iy, где х и у вещественны.
Сделанное нами ранее показывает, что 0<х<1, 0<у<1.
Заметим, что
Е (4it) = (х + iy)* = х* — 6х2у2 + У4 + ^ХУ С*2 — У2)-
204
Гл. 8. Дальнейшие сведения из теории рядов
Если Е (4it) вещественно, то х3 —уг = 0, а так как, согласно (48),
х3 ; у3 1. то х2=^1/2= 2 , значит, £(4г7)=-—1. Тем самым (с)
доказано.
Если 0^/1</2<2л, то
Е (itz)\Е (^i)]-1 = Е (it2—iti) 1,
согласно (с). Тем самым доказано утверждение о единственности,
содержащееся в (d).
Пусть <! =	xj+ «/,= !, Xt>0, i/i >0. На [0, л/2]
функция С убывает от 1 до 0; значит. С(<)) = х1 при некотором
?! на [0, л/2]. Из того, что C3-r<S2 -l, a S>0 на [0, л/2],
следует, что г^-Е(Их).
Наконец, допустим, что z--x-]-iy, \z | = 1. Положим Zj = — iz,
если х<0, у > 0. Положим zt = — z, если х<0, у<0.
Положим ^iz, если х>0, у<0. Тогда zi удовлетворяет пред-
положениям предыдущего абзаца, а так как i — Е (л//2), то мы
видим, что z = ---- Е (г л/2)) или Е (I (t{ + л)) или Е (I (/t + Зл/2)),
в зависимости от того, какой из трех случаев рассматривается.
Тем самым доказано утверждение (d), а с ним вся теорема.
Из (d) и (48) следует, что кривая у, определенная равенством
(54)	у (Г) Е (it) (0</<2л),
простая замкнутая кривая, множество значений которой —
единичная окружность на плоскости. Длина кривой по теореме
6.35 равна
2л
[ у' (/) | dt = 2л,
о
так как у' (?) ----- iE (it). Такого результата, конечно, и следовало
ожидать для окружности радиуса 1; он показывает, что л, опре-
деленное в (51), имеет обычный геометрический смысл.
Таким же точно образом мы увидим что при возрастании t
от 0 до t0 точка у (t) описывает дугу, лежащую на окружности
и имеющую длину /0. Рассмотрение треугольника с вершинами
Zi = 0, 22 = у(/о), z3 = C(/o)
показывает, что С (t) и S (t) на самом деле совпадают с cost
и sin t, если эти последние определены обычным способом как
отношения сторон прямоугольного треугольника.
Следует подчеркнуть, что мы вывели основные свойства три-
гонометрических функций из (46) и (25), не привлекая геометри-
ческого понятия угла.
Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел 205
Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел
Теперь мы в состоянии дать простое доказательство того
факта, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто,
т. е. что каждый отличный от постоянной многочлен с комплекс-
ными коэффициентами имеет комплексный корень.
8.8.	Теорема. Пусть а0,...,ап — комплексные числа,
п
п > 1, аи 0, Р (г) — 2 akzk. Тогда существует такое комплекс-
о
ное число z, что Р (z) == 0.
Доказательство. Не ограничивая общности, допустим,
что ап=1. Положим
(55)	ii = inf | Р (г) |	(z —комплексное).
Если |z| — R, то
(56)	| Р (z) | > Rn [ 1 -1 ani |	- .. . - I «01 /?-].
Правая часть неравенства (56) стремится к со, когда R—>со.
Значит, существует такое Ro, что j Р (z) | > р, если |z|>7?0.
Ввиду того что функция \Р\ непрерывна на замкнутом круге
с центром в нуле радиуса Ro, мы заключаем на основании тео-
ремы 4.16, что j Р (z0) | = р при некотором z0.
Мы утверждаем, что р = 0.
Если это не так, то положим Q (z). Тогда Q —
многочлен, отличный от постоянной, Q (0) — 1 и । Q (z) | > 1 при
всех z. Существует наименьшее целое из всех чисел k,
таких, что
(57)	Q (z) - 1 + bhzh+ . .. + b„zn, bh^0.
Обозначим это число через k0.
По теореме 8.7 (d) существует вещественное 0, такое, что
(58)	eih^bko= —
Тогда \Q(,rei&)\<l—rko{\bho\ — r\bko+l\—...—rn^'o\bn\}, если
г > 0. При достаточно малом г выражение в скобках положи-
тельно, значит, | Q (ге’е) | <. 1, и мы пришли к противоречию.
Таким образом, р = 0, т. е. Р(ги) = 0.
206
Гл. 8. Дальнейшие сведения из теории рядов
Ряды Фурье
8.9.	Определение. Т ригонометрическим многочленом назы-
вается конечная сумма вида
N
(59)	f(x) — a0 + У (ап cos пхД- bn sin пх) (х вещественно),
п—1
где а0, . . ., aN, bt,	bN— комплексные числа. Учитывая тож-
дества (46), функцию (59) можно записать в виде
N
(60)	f (х) = У cneinx (х вещественно),
-N
который для многих целей более удобен. Ясно, что каждый
тригонометрический многочлен —периодическая функция с перио-
дом 2л.
Если п — отличное от нуля целое число, то е1пх — производ-
ная функции einxHn, которая тоже имеет период 2л. Поэтому
(61)	=
— Л
1, если /? = 0,
0, если л = ± 1, ± 2, . . . .
Умножим (60) на е 1ГЛХ, где т — целое число; интегрируя это
произведение, получим на основании (61)
(62)
Л
= ~ $ /(X) e~imx dx
—Л
при |т|<АЕ Если	то интеграл в (62) равен нулю.
Из равенств (60) и (62) видно, что тригонометрический много-
член f, заданный равенством (60), оказывается вещественным
в том и только в том случае, когда с_п = сп при n = 0,
В соответствии с (60) мы определяем тригонометрический
ряд как ряд вида
оо
(63)	У cneinx (х вещественно);
— ОО
А/-я частная сумма ряда (63) по определению равна правой
части равенства (60).
Если / — функция, интегрируемая на [ — л, л], то числа ст,
заданные равенством (62) для всех целых чисел т, называются
коэффициентами Фурье функции /, а ряд (63), составленный при
помощи этих коэффициентов, — рядом Фурье функции /. Теперь
возникает естественный вопрос: сходится ли ряд Фурье функ-
ции / к /, или, более общо, определяется ли функция / своим
Ряды Фурье
207
рядом Фурье. Иначе говоря, если мы знаем коэффициенты Фурье
функции, то можем ли мы найти эту функцию, и если можем,
то как?
Изучение таких рядов и, в частности, проблема представле-
ния заданной функции тригонометрическим рядом, имеет своим
источником такие разделы физики, как теория колебаний и теория
распространения тепла (книга Фурье «Аналитическая теория
теплоты» была опубликована в 1822 г.). Многочисленные трудные
и тонкие проблемы, возникшие при этом изучении, вызвали
основательный пересмотр и перестройку всей теории функций
вещественной переменной. Многие выдающиеся имена, и среди
них имена Римана, Кантора и Лебега, тесно связаны с этой
областью, о которой вполне можно сказать, что в наши дни
она вместе со всеми ее обобщениями и ответвлениями занимает
центральное положение в анализе.
Мы ограничимся некоторыми основными теоремами, для дока-
зательства которых достаточны методы, развитые в предшест-
вующих главах. Для более основательного исследования естест-
венным и необходимым средством служит интеграл Лебега.
Сначала мы изучим более общие системы функций, обладаю-
щие свойством, аналогичным (61).
8.10.	Определение. Пусть {<рп} (п=1, 2, 3, ...) —после-
довательность комплексных функций на [а, Ь], такая, что
ь
(64)	<fn (х) (fm (х) dx = 0	т).
а
Тогда {(fn} называется ортогональной системой функций на [а, Ь|.
Если, кроме того,
ь
(65)	(х) [2 dx = 1
а
при всех п, то система {<р„} называется ортонормальной.
Например, функции (2л) 2егп* образуют ортонормальную систе-
му на [ — л, л]. Таковы же и вещественные функции
1 cos х sinx cos 2х sin2x
~1/2л ’	~]/л	Д/л
Если {(р„} —ортонормальная система на [а, Ь] и если
ъ
(66)	tn = § f (0 фп (t) dt (п= 1, 2, 3, ...),
208
Гл. 8. Дальнейшие сведения из теории рядов
то мы будем называть число сп п-м коэффициентом Фурье функ-
ции f относительно системы {фп}. Мы будем писать
(67)	f (х) ~ 2 М» (%)
1
и будем называть этот ряд рядом Фурье функции / (относитель-
но системы {<р„}).
Заметим, что, употребляя в (67) символ ~, мы ничего
не предполагаем о сходимости ряда; этот символ означает только,
что коэффициенты задаются равенствами (66).
Следующие теоремы показывают, что частные суммы ряда
Фурье функции f обладают некоторым свойством минимальности.
Мы будем предполагать здесь, как и на протяжении всей осталь-
ной части главы, что f £хотя это условие может быть
ослаблено.
8.11.	Теорема. Пусть система {<р„} ортонормальна на
\а, Ь]. Пусть
(68)	sn (х) = 2 ст<рт (х)
ТП—1
есть п-я частная сумма ряда Фурье функции f, и пусть
(69)	М*)== 2 \m<pm (х).
т~ 1
Тогда
ъ	ъ
(70)	7 — s„ [2 dx I f — tn I2 dx,
a	a
и равенство имеет место тогда и только тогда, когда
(71)	ут-=ст (т=--1, .. ., п).
Иначе говоря, среди всех функций tn функция sn дает наилуч-
шее среднеквадратичное приближение к функции
Доказательство. Пусть обозначает интеграл по сег-
менту [а, £>], 2-сумму от 1 до п. Тогда
\ fin — \ f 2 Ттфт ~ 2 СтУт
по определению {ст},
J \tn I2 = § tntn	2	2 W* = 2 I Ym !2’
Ряды Фурье
209
так как система {<рт} ортонормальна, и поэтому
Ш2- лп-\ftn+
d	d	d	J	d
последнее выражение достигает минимума тогда и только тогда,
когда у?п = С/,1»
Если в этой выкладке считать ут = ст, то мы получим
п	Ъ
(72)	’ jj /иГ Ох.
1	а
так как	\f — tn |2> 0.
8.12.	Теорема. Если {ср„} — ортонормальная система на
[а, Ь] и если
f (х) ~ 5 с„ф„ (х),
гг-1
то
т	b
(73)	2 ic»!2< \ \f(xy2dx.
?l--i	(I
В частности,
(74)	]imcn--0.
п-> оо
Доказательство. Полагая в (72) п-> со, мы получаем
неравенство (73) —так называемое «неравенство Бесселя».
Для тригонометрического ряда Фурье, т. е. для ряда (63),
коэффициенты которого определяются из (62), неравенство (73)
принимает вид
Л
(75)	2	l/WN*.
n--~ О?	—п
Впоследствии мы увидим, что на самом деле в (75) имеет
место равенство.
При изучении тригонометрических рядов Фурье мы встретимся
с двумя тригонометрическими многочленами:
п	п
(76)	Dn (х) - 2 Кп (х) - п-j 2
-71	0
210
Гл. 8. Дальнейшие сведения из теории рядов
Первый из них называют ядром Дирихле, а второй — ядром
Фейера.
8.13.	Теорема.
(77)
(78)
Кп(х)
При п—0, 1, 2, ... имеем
г, _ sin («4-1/2)х
п	sin (х/2)	’
1 — cos (и 1 ) X
1—COS X ’
л
(79)
—л
Кроме того, Кп(х)>0 и
Доказательство. Согласно (76),
(81)	(eix—l) Dn (х) == ei («+!)* —б-™*.
Чтобы получить (77), умножим обе
на е-~1хН. Подставляя (81) в определение
(n + 1) Кп (%) (eix - 1) (е-1 * - 1) = (e~ix - 1)
части равенства (81)
ядра Кп, получаем
п
2 (e4m+l)x_e-i»‘X) =
= 2 — е‘ (n+i) х — g-t (n+i) х,
откуда следует (78). Значит, /<п>0 и выполняется (80); (79)
следует непосредственно из (76).
Начиная с этого места мы будем иметь дело только с триго-
нометрической системой. Предположим, что функция /, перво-
начально определенная на [ — л, л], продолжена на R1 как 2л-
периодическая функция1).
Коэффициенты Фурье функции f задаются равенством (62);
значит, п-я частная сумма sn ее ряда Фурье равна
п
sn (х) = sn (J; х) = У, сте1тх
— п
п	л
= у, ~ f (/) e~imt dteimx =
— п	—л
2j f^y^-odt.
- л — n
1) Такое продолжение невозможно, если f (— л) +- f (л), однако функ-
ция 7, такая, что7(х) = /(х) (х € ( —Л, л)) и 7 ( — л)=7 (л) = 0, уже может
быть продолжена с периодом 2л на всю ось, а ее коэффициенты Фурье, как легко
видеть, равны соответствующим коэффициентам функции f.—Прим, перев.
Ряды Фурье
211
Иными словами,
Л	л
(82)	зДДх)-^	=	$ f(x-t)Dn(t)dt.
—я	—я
Вследствие периодичности всех участвующих в этом равенстве
функций безразлично, по какому интервалу мы будем интегри-
ровать, лишь бы его длина была равна 2л. Именно поэтому
и равны интегралы в (82).
8.14.	Теорема. Если f на [ — л, л] и 0<б<л, то
-6 я
(83)	lim +\') f(x~t)Dn(t)dt--=Q.
п-+оо J V ✓
—Л О
Обычно это равенство называют теоремой о локализации.
Оно показывает, что поведение последовательности {s„(х)},
поскольку речь идет о сходимости, зависит только от значений
функции f, принимаемых в некоторой (произвольно малой) окре-
стности точки х. Таким образом, два ряда Фурье могут вести
себя одинаково в одном интервале, а в некотором другом интер-
вале вести себя совершенно по-разному. Мы сталкиваемся здесь
с замечательным контрастом между рядами Фурье и степенными
рядами (теорема 8.5).
Доказательство. Зафиксируем х, и пусть g (t) = 0 при
<84> • 
Согласно (77),
g(0sin (« + у) tdt="
—я	6	— я
я	л
= g (t) cos ~ sin nt dt 4- g (t) sin — cos nt dt.
—л	—я
Оба последних интеграла стремятся к нулю при /г —> оо сог-
ласно (74), так как функции g (t) cos (?/2) и g (t) sin (t!2) интег-
рируемы. Отсюда и следует (83).
Таким образом, изучение сходимости последовательности
{sn (f; х)} сводится к изучению интеграла
в
(85)	2^p(x-/)Dn(0^
--6
212	Гл. 8. Дальнейшие сведения из теории рядов
при сколь угодно малом б > 0. Известны несколько достаточных
условий сходимости ряда Фурье; доказательства двух из них наме-
чены в упражнениях 9 и 17. Нельзя, очевидно, ожидать, что
ряд Фурье любой функции будет сходиться к значению этой
функции в любой точке. Действительно, если значения двух
функций отличаются только в конечном множестве точек, то
интегралы, определяющие их коэффициенты Фурье, будут оди-
наковыми, и, значит, такие функции имеют один и тот же ряд
Фурье.
Здесь имеются трудные проблемы. Не известно даже, верно
или нет следующее невинно звучащее утверждение: «для любой
непрерывной функции / существует точка х, в которой ряд Фурье
функции f сходится». Известно, что существуют непрерывные
функции, ряд Фурье которых расходится на несчетном множестве
точек. Однако положение весьма улучшается при рассмотрении
вместо частных сумм sn (х) их средних арифметических
Sp(x) 3- , , . -{- s„ (х)
Следующая теорема принадлежит Фейеру.
8.15. Теорема. Если f непрерывна (и, конечно, периодична
с периодом 2л) и если {ст,,} — последовательность средних ариф-
метических частных сумм ряда Фурье функции f, то
lim (х) = / (х)
равномерно на R1.
Заметим по этому поводу, что из теоремы Стона —Вейер-
штрасса следует существование некоторой последовательности
тригонометрических многочленов, равномерно сходящейся к /.
Действительно, отождествляя точки х и х б 2т, мы можем счи-
тать, что периодические функции определены на единичной окруж-
ности Д. Тригонометрические многочлены, т. е. функции вида (60).
образуют алгебру функций на К, удовлетворяющую предположе-
ниям теоремы 7.31.
Доказательство. Согласно (86), (82) и (76), имеем
(87)	2-) f(x —/)КП(/)Л,
—л
и потому из (79) следует, что
Л
(88) <тп(х) —/(х) =^л [f(x — 0 — f(x)]Kn(t)dt.
-Л
Ряды Фурье
213
Пусть дано е> 0. Выберем М так, что |/(х)|<М при всех х.
Ввиду того что функция f равномерно непрерывна, мы можем
выбрать б>0 так, что из 1х —у|<б следует
(89)

Согласно (80), мы можем затем выбрать N так, чтобы из
/г > N и 6 < 111 л следовало
(90)
Из (89) следует, что
(91)	J |/(x-Z)-/(x)j|Kn(Ol^<| Х„(/)Л = ле
— 6	-тс
при всех п, так как Хп(/)>0, а из (90) получаем
— б л
(92)	{\ +	|/(х-^)-/(х)1|Х„(0|Л<
—л б
\ 2Л1 dt ~ ле,
4.-И J	’
—я
как только п > N. Наконец, комбинируя (88), (91) и (92), получаем
(93)	j <т„ (х) — f (х) | <е
при всех х и всех п > N. Доказательство закончено.
Заметим, что если бы мы попытались доказать то же самое
для s„(x) вместо (х), т. е. если бы мы заменили Kn(t) ядром
/Л;(0> то мы столкнулись бы с интегралом
(94;	1-..	di.
который стремится к с» при п— >сс. (Упражнение 12.)
Именно этим свойством ядер Dn вызваны трудности, встре-
чающиеся в теории сходимости рядов Фурье.
Следствие 1. Если две непрерывные 2л-периодические функ-
ции fug имеют один и тот же ряд Фурье, то f (х) — g(x)
при всех х.
Действительно, если ст,, (х) — среднее арифметическое для этого
ряда Фурье, то ст„(х)—>/(х), ст„(х)—>g(x) при каждом х.
214
Гл. 8. Дальнейшие сведения из теории рядов
Следствие 2. Если функция / непрерывна и если
Л
f (x)e~inxdx = O
—л
при любом целом п, то f(x) = Q при всех х.
Это вытекает из следствия 1, если положить там g = 0-
8.16. Теорема. Пусть функции fug непрерывны (и перио-
дичны с периодом 2л) и
ОО	СП
(95)	f (х) — 3 cneinx, g (х) ~ 2 упе'пх-
— СО	—оо
Если sn есть п-я частная сумма ряда Фурье функции f, то
п
(96)	lim \ f — Sn^dx — O,
П-+0О J
—Я
-(-со	Л
(97)	2i = 2~ J f (x) g~(x) dx,
— co	— Я
~!-oo	Я
(98)	i \ l/WI2^.
—co	— Я
Это утверждение известно как теорема Парсеваля.
Доказательство. Пусть задано число е>0. Теорема
Фейера показывает, что существует N, такое, что | f (х) — стп (х) |<е
при всех х и при всех n~p>N. По теореме 8.11
I f — sn |2dx<	| f — On j2dx < 2ле2,
— Я	—я
если n>N, и тем самым доказано (96). Далее,
Я	П	Л
(99)	sn(x)g(x)dx = ck eihxg(x)dx =
—я	—п	—я
= У| Chyh,
—п
и неравенство Шварца показывает, что
(100)	| J fg- J sng|<^| f-sn || g|< I2 $ И2} •
Упражнения
215
Произведение в фигурных скобках стремится к нулю при
п—>00, согласно (96). Сравнивая (99) и (100), получаем (97).
Наконец, (98) —это частный случай (f = g) равенства (97).
Условие непрерывности в этой теореме может быть значи-
тельно ослаблено. Окончательный вариант теоремы 8.16 будет
дан в гл. 10.
Упражнения
1.	Пусть
” ' О (х = 0).
Доказать, что f имеет производные всех порядков в точке
х = 0 и что /("> (0) = 0 при п=1, 2, 3, ....
2.	Доказать следующие предельные соотношения:
(a)	lim —= log b (Ь>0);
х-»0 х
(b)
х->0 х
(с)	lim (1+%)1/х = е;
я-+0
(d)	lim Л= е*.
П-+СО X	'* /
3.	Пусть f (х) f (у) — f (х + у) при всех вещественных х и у
(а)	Предполагая, что f дифференцируема и отлична от тожде-
ственного нуля, доказать, что
f (х) = егх,
где с — некоторое число.
(Ь)	Доказать то же самое, предполагая, что f только непрерывна.
4.	Пусть 0 <Zx • Доказать, что
2 sin х j
5.	Доказать, что при вещественном х и п = 0, 1, 2, ...
| sin пх | sinx |.
Заметим, что это неравенство может быть неверным для других
значений п. Например,
1-1 1^1 I •	,
Sin у л > у I Sin л
216
Гл. 8. Дальнейшие сведения из теории рядов
6. Пусть atj
таблицы
число, стоящее в i-й строке и /-м столбце
-1	0	0	0 .. .
О о...
1	£
4	2
_1_	_1_
8	4
-1 о . . .
так что
Доказать, что
г j	j г
7.	Доказать, что
г >	j г
если огу>0 при всех i и j. (Случай 4-со 4 оо не исключается.)
8.	Вывести теорему Вейерштрасса о равномерном приближении
многочленами из теоремы Фейера (рассмотреть разложение триго-
нометрического многочлена в степенной ряд).
9.	Будем говорить, что / удовлетворяет условию Липшица
в точке .г, если существуют числа М и б>0, такие, что
\f(y)-fW\<M\y-x\
при | у — X | < б.
Доказать, что ряд Фурье функции f сходится к / (х) в точке х,
если f удовлетворяет условию Липшица в этой точке.
Указание. Функции [/ (х — t) (х)] Dn (t) равномерно ограни-
чены в интервале (— 6, 6).
10.	Если функция f дифференцируема в точке х, то она удо-
влетворяет условию Липшица в этой точке. Значит, дифференци-
руемость влечет за собой сходимость ряда Фурье.
11.	Пусть rn 1 4 у + • • • + —log и. Доказать, что после-
довательность {/-„} сходится. (Ее предел, часто обозначаемый
буквой у, называется эйлеровой постоянной, у —0,5772 ... .)
Упражнения
217
12.	Пусть
L„ = -^ $ \Dn(t)\dt (n=l, 2, 3, ...).
— Л
Доказать, что существует число С > 0, такое, что
Ln>C\ogn (п 1, 2, 3, ...),
или, точнее, что последовательность
{ Ln-^г-log nJ-
ограничена.
13.	Если | f (х) |<Л4 при всех х, то и | стп (х) при всех х и п.
14.	Пусть \псп\<^М при п=1, 2, 3, ...,
Sn = Со + С1 ~г .. . Д сп,
„ __so+si Д • • • Д sn
' - (
Доказать, что
\sn — (т„|<Л4.
Указание: sn — (т„ = с—1лхД.
15.	Пусть / — функция ограниченной вариации на [ — л, л].
Доказать, что если sn есть п-я частная сумма Фурье функции [,
то последовательность {$„ (х)} равномерно ограничена.
Указание. Воспользоваться двумя предыдущими результатами
и упражнением 12 к гл. 6.
16.	Доказать, что существует постоянная М, такая, что
п
m—1
Указание. Применить результат упражнения 15 к ряду Фурье
функции
f/n_f л —z при ^€(0, л),
'	| — л — t при /£( —л, 0).
17.	Пусть f — функция ограниченной вариации па [ — л, л].
Доказать, что если при некотором х
s = y [/(хДН/(*-)],
то ряд Фурье функции f сходится в точке х к $. (Эта теорема
принадлежит Дирихле.)
218
Гл. 8. Дальнейшие сведения из теории рядов
Указание. Допустим, не ограничивая общности, что s = 0,
х = 0 и f — четная (для нечетной f положим sn (f; 0) = О и f (0) == 0).
Тогда f непрерывна в нуле. Выберем д>0 так, чтобы полная
вариация функции f на [0, 6] была мала, проинтегрируем по
частям и применим упражнение 16, чтобы убедиться в малости
интеграла
о
при всех п, а затем воспользуемся теоремой о локализации.
18.	Доказать локальный вариант теоремы Фейера: если /Д.'Й
и если функция f непрерывна в точке х0, то on(/; x0)—>f(x0)
при п—> ОО.
19.	Пусть ап = п1'п — 1, a bn = logn/n. Найти
1™г-
П->СО
20.	Пусть f — функция, непрерывная на Д1, f (х + 2л) = f (х)
и а/л —иррациональное число. Доказать, что
N	я
^4”2 f(x+na)=i$ f^dt
П=1	—Л
при всех х.
Указание. Сначала доказать это для f(x) = eihx.
21.	Сформулировать и доказать теорему о равномерном при-
ближении непрерывной функции интегралами вида
f(x — t) фп(0 dt,
которая содержала бы теоремы Вейерштрасса (7.24) и Фейера
(8.15) как частные случаи.
ГЛАВА g
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Линейные преобразования
Эту главу мы начнем с рассмотрения множеств векторов
в евклидовом пространстве Rn. Излагаемые здесь алгебраические
факты без изменений переносятся на конечномерные векторные
пространства над любым полем скаляров. Однако для наших целей
мы вполне можем оставаться в привычных рамках евклидовых
пространств
9.1.	Определения, (а) Множество X с Rn называется
векторным пространством, если x-J-ygX и ск^Х, каковы бы
ни были х£Х, ygX и число с.
(Ь)	Если хь ..., xhQRn, a cf, ..., сд —числа, то вектор
CjXi-f ...4- СдХд называется линейной комбинацией векторов
х(, ...,хд. Если S с Rn и если Е — множество всех линейных
комбинаций элементов S, то мы будем говорить, что Е натянуто
на S или что Е — оболочка S.
Заметим, что каждая оболочка есть векторное пространство.
(с)	Множество, состоящее из векторов хп ..., Хд (для такого
множества мы будем использовать обозначение {хь ..., хА}),
называется независимым, если из соотношения ... + сдХд = 0
следует, что ct = ... = Сд = 0. В противном случае это множество
называется зависимым.
Отметим, что независимое множество не может содержать
нулевого вектора.
(d)	Если векторное пространство X содержит независимое мно-
жество, состоящее из г векторов, но не содержит никакого неза-
висимого множества из г +1 векторов, то говорят, что X имеет
размерность г и пишут dimX = r.
Множество, состоящее из одного элемента 0,— векторное про-
странство; размерность его равна нулю.
(е)	Независимое подмножество пространства X, оболочка кото-
рого равна X, называется базисом пространства X.
Заметим, что если В — {xlt .. ., хг}-—базис пространства X, то
каждый элемент х £ X допускает единственное представление вида
х = 2+х>- Такое представление существует, так как -X натянуто
на В, и единственно, так как множество В независимо. Числа
220	Гл. 9. Функции нескольких переменных
С], сг называются координатами вектора х по отношению
к базису В.
Наиболее известным примером базиса служит множество
{еъ .. еп}, где е, —вектор пространства Rn, /-я координата кото-
рого равна 1, а прочие координаты равны нулю. Если x.QRn,
х =--=(х1; . .., хп), то х	Мы будем называть множество
{еъ .. ., еп} стандартным базисом пространства Rn.
9.2.	Теорема. Пусть г — положительное целое число. Если
векторное пространство X натянуто на множество, состоящее
из г векторов, то dim X г.
Доказательство. Если это неверно, то существует
векторное пространство X, содержащее независимое множество
Q = {yi,	и натянутое на множество So, состоящее из
г векторов.
Пусть 0<г<г, и допустим, что построено множество
оболочкой которого служит пространство X и которое состоит
из векторов у} с	и из некоторого набора r — i векторов
множества So, скажем х15 .. ., хг_г. (Иными словами, Д полу-
чается из множества 30 заменой i из его элементов элементами
множества Q без изменения оболочки.) Поскольку X натянуто
на то уг-.ц принадлежит оболочке множества значит, суще-
ствуют числа aY, ..., ai+l, ..., br-i, где a,+i = l, такие, что
14*1	г—i
J=1	Й=1
Если бы все bh были равны нулю, то, в силу независимости
множества Q, и все aj были бы нулями. Но ai+i — 1. Следователь-
но, некоторый вектор хД5, есть линейная комбинация других
элементов множества 7\ = Д U {уж}- Удалим этот вектор х& из
и обозначим оставшееся множество через Si+1. Тогда оболочка
множеств Д+1 и Tt равна X, так что Si+i обладает теми же
свойствами, что и Sj (только i нужно заменить на гд-1).
Начиная с So, мы построим таким образом множества
..., S,.. Последнее из них состоит из уь ..., уг, и наше
построение показывает, что его оболочка равна X. Но множество Q
независимо, значит, у,.+1 не принадлежит оболочке множества S,..
Это противоречие доказывает теорему.
Следствие, dimRn —п.
Доказательство. Пространство Rn натянуто на множе-
ство {elt .. ., е„}. Поэтому, как показывает теорема,
dim Rn < п.
Но множество {elt ..., еп}— независимое, и потому dim/?n>/i.
Линейные преобразования
221
9.3.	Теорема. Пусть X—векторное пространство
и dimX = п.
(а)	Пространство X натянуто на множество Е, состоящее
из п векторов, в том и только в том случае, когда множество Е
независимо.
(b)	X имеет базис, и каждый базис состоит из п векторов.
(с)	Если 1 и {уь . . уг} — независимое множество в X,
то X имеет базис, в состав которого входят все векторы
У1, • ••, Уг-
Доказательство. Пусть Е-= {х{, . .., хп}. Множество
{х., . ..,хп, у} зависимо при любом у£Х, так как dimX = «.
Если Е независимо, то у принадлежит оболочке множества Е;
значит, X натянуто на Е. Обратно, если множество Е зависимо,
то один из его элементов можно удалить, не меняя оболочки.
Значит, X не может быть оболочкой множества Е по теореме 9.2.
Тем самым (а) доказано.
Пространство X содержит независимое множество, состоящее
из п векторов, так как dimX = «, а согласно (а), каждое такое
множество образует базис пространства X; теперь (Ь) вытекает
из 9.1 (d) и 9.2.
Чтобы доказать (с), допустим, что {хь . ..,х„}— базис про-
странства X. Пространство X натянуто на множество
s = {У1, 	у Г, Х1,  • Хп},
причем множество S зависимо, так как оно содержит больше,
чем и векторов. Рассуждение, использованное при доказательстве
теоремы 9.2, показывает, что один из векторов хг равен линейной
комбинации остальных элементов множества S. Удалив этот
вектор X/ из S, мы получим множество, оболочка которого все
еще совпадает с X. Повторяя этот процесс г раз, мы получим
базис пространства X, содержащий векторы {у1; ...,уг} соглас-
но (а).
9.4.	Определение. Отображение А векторного простран
ства X в векторное пространство Y называется линейным пре
образованием, если
A (xt 4-х2) =-Xxj 4- Ахг, А(сх)-~сАх,
каковы бы ни были х, х1? хг£Х и число с. Заметим, что часто
пишут Ах вместо А (х), если Л —линейное преобразование.
Заметим еще, что если А — линейное преобразование, то Л0 = 0.
Линейные преобразования пространства X в X часто называют
222
Гл. 9. Функции нескольких переменных
линейными операторами на X1). Если А — линейный оператор наХ,
который (i) взаимно однозначен; (ii) отображает пространство X
на X, называют обратимым. В этом случае на X можно опре-
делить оператор А1, положив А-1(Ах)=^х при всех х£Х. Очевид-
но, что в этом случае A (А“хх) = х при всех х£Х и А-1—линей-
ный оператор.
Важное свойство линейных операторов на конечномерных вектор-
ных пространствах состоит в том, что каждое из условий (i) и (ii)
влечет за собой другое.
9.5.	Теорема. Линейный оператор А на конечномерном
векторном пространстве X взаимно однозначен в том и только
в том случае, когда множество его значений совпадает со всем X.
Доказательство. Пусть {х1т ...,хп} — базис простран-
ства X. Из свойств линейности оператора А следует, что его мно-
жество значений R(A) натянуто на множество Q —{Ахь ..., Ахд).
Из теоремы 9.3 (а) мы заключаем, что R(A) = X тогда и только
тогда, когда Q — независимое множество. Мы должны показать,
что это происходит тогда и только тогда, когда оператор А взаимно
однозначен.
Допустим, что оператор А взаимно однозначен и что 2 С;А;Хг=- 0.
Тогда А(2сЛ) = 0, значит, 2 ctxt = 0, значит, с1=...=сп — 0,
и мы заключаем, что множество Q независимо.
Пусть, обратно, Q независимо и А (2 сгхг) = 0. Тогда 2 с;Ах; = 0,
значит, с1=...=сд = 0, и мы заключаем: Ах — 0 только тогда,
когда х = 0. Если теперь Ах = Ау, то А (х — у) = Ах — Ау = 0,
так что х — у 0, и потому А взаимно однозначен.
9.6.	Определение, (а). Пусть Л(Х, У) — множество всех
линейных отображений векторного пространства X в векторное
пространство У. Вместо Л(Х, X) мы будем писать просто Z. (X).
Если Alt AZ£L(X,Y) и если cf, с2—числа, то определим отобра-
жение CjA^CaAa равенством
(с1А! + с2А2)х = с1А1х + с2А2х (х£Х).
Ясно, что тогда ctAt + с2А2 Q L (X, У).
(ft) Если X, У, Z—векторные пространства, AgZ.(X, У)
и B£L(Y, Z), то мы определим произведение ВА равенством
(ВА)х = В(Ах) (х£Х).
Тогда В А g L (X, Z).
!) Столь же часто этот термин употребляют применительно к линейным
преобразованиям пространства X в отличное от него пространство У.— Прим,
персе.
Л инейные преобразования
223
Заметим, что, вообще говоря, ВА АВ даже в том случае,
когда X - У -- Z.
(с) Нормой || А II оператора A QL(Rn, Rm) называется верхняя
грань множества всех чисел | Ах |, где х пробегает множество
всех векторов пространства Rn, таких, что | х|< 1.
Отметим, что неравенство
) Ах|<||А|| | х |
выполняется при всех x£Rn. Кроме того, если А таково, что
Ах|сХ|х| при всех x£Rn, то || А ||<л.
9.7.	Теорема, (а) Если А g L (Rn, R'n), то || А || < оо и А —
равномерно непрерывное отображение пространства Rn в про-
странство Rm.
(ft) Если А, В £ L (Rn, Rn‘), а с — число, то
!| А + в II < I! А |, + )| В II, ЦсА j| = |c| ЦАЦ.
Если расстояние между А и В определить как | А — ВЦ, то
L(Rn,R ‘) становится метрическим пространством.
(с) Если AQL(Rn, R’n) и B£L(Rm, Rh) то
iiSAKPil НЦ.
Доказательство, (а) Пусть {е^ . .., ед} — стандартный
базис в Rn, и пусть х = 2с;ео |х|<1, так что |сг|<Д при
i = 1, . . ., п. Тогда
| Ах ; = j 2 CtAei I < 2 R. i | С 2 ।	|,
так что
Ц А |' < S | Ле( | < оо.
г=1
Мы видим, что отображение А равномерно непрерывно, так
как | Ах- Ay j < Ц А |1 | х — у |, если х, y£Rn.
Неравенство в (ft) следует из того, что
| (А -|- В) х | = | Ах + Вх |< | Ах | + | Вх | <(Ц А || + '| В ||) | х |;
вторая часть утверждения (ft) проверяется тем же способом. Если
А, В, C^L(Rn, Rm),
то выполняется неравенство треугольника
||А-С||-||(А-В) + (В-С)|К||А-В!| + ||В-С||,
и легко проверить, что || А—В\\ обладает остальными свойствами
расстояния (определение 2.17).
224	Гл. 9. Функции нескольких переменных
Наконец, (с) следует из неравенства
(В.1)х	В(Лх) <	!Лх|<Ьв;1 и A in х >.
Имея в пространстве L (Rn, Пт) метрику, мы можем перенести
на это пространство такие понятия, как непрерывность, открытое
множество и т. д. Наша следующая теорема использует эти
понятия.
9.8.	Теорема. Пусть Q — множество всех обратимых линей-
ных операторов на Rn.
(а)	Если Л СП.	BQL(R“) и \\В — /1 р == |3<Са, то
BQU.
(b)	Q — открытое подмножество пространства L{Rn), и ото-
бражение А—>А'Л непрерывно на Q. (Оно, очевидно, взаимно
однозначно отображает множество Q на себя и является обратным
к самому себе.)
Доказательство. Из того что । х j - - -1 Д-1Дх ’ < a-11 Дх ’ при
всех	следует, что
f>) X ! ,4х :	х|<| Лх  —j (В А) х |<| Вх I
при всех хС7?п. Это показывает, что оператор В взаимно одно-
значен, значит, BQQ по теореме 9.5. Но это верно при любом В,
для которого В — А |1 < а; поэтому множество Q открыто.
Заменяя в приведенном выше неравенстве х вектором В Лу,
получим
(а-Р);^ /«Гу । у |,
так что	— р)1. Тождество
/Г- А'1- В-i (А -В) А'1
и теорема 9.7 (с) показывают теперь, что
7J ’ .1 1 Я 1 ПД —В1 -i л-i -Р -й--
н	а (а— р)
и тем самым доказано утверждение о непрерывности, так как
р —>0 при В—^А.
9.9.	Матрицы. Пусть (Х], ...,х„) и {у(, .. ., уП[)— базисы
векторных пространств X и Y соответственно. Тогда любому пре-
образованию AQL(X, Y) соответствуют числа а;у, такие, что
(1)	Уа;;у, (I///).
Линейные преобразования
225
Удобно представлять себе эти числа расположенными в прямо-
угольную таблицу из т строк и п столбцов, называемую матрицей:
«И ^12 * • •
[Л] — °21 °22 ’ ‘ ’ 0271
О,т2 • •  О-тп_
Заметим, что координаты ai} вектора Дх7- (по отношению
к базису {ylt ...,утп}) находятся в /-м столбце матрицы [Л].
Используя эту терминологию, можно сказать, что множество значе-
ний преобразования А натянуто на векторы-столбцы матрицы [Д].
Если х = 3 то> в силу линейности преобразования А
и равенства (1), получаем
т п
(2)	Дх= S(
г—1 j=i
Таким образом, i-я координата вектора Дх равна 2а:Л>
j
Заметим, что в (1) суммирование производится по первому индексу
элемента аи, тогда как, вычисляя координаты, мы суммируем
по второму индексу.
Пусть теперь дана матрица из т строк и п столбцов с веще-
ственными элементами ai}. Если отображение А определить равен-
ством (2), то ясно, что AQL(X, Y) и что [Д] — исходная матрица.
Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие между
множеством L (X, Y) и множеством- всех вещественных матриц
из т строк и п столбцов. Подчеркнем, однако, что [Д] зависит
не только от Д, но и от выбора базисов в X и в Y. Одно и то же
преобразование А порождает различные матрицы, если менять
базисы, и обратно. Мы не станем развивать эту мысль, так как
мы обычно будем иметь дело с фиксированными базисами. (Некото-
рые замечания по этому поводу можно найти в п. 9.26.)
Если Z — третье векторное пространство с базисом {zlt .. ., zp},
если А задано равенством (1) и если
(ВД)х7 =-- У chjzh,
k	k
ТО
Д£Л(Х, Г), BfL(Y,Z), BAQL(X,Z),
и так как
В (Дх;) = В (2 аг,у;) -= 2 аавУ1 =
=- 2 С1ц 2 bkizh ------ 2 (2 Ьыа1}} zh,
г k	hi
226
Гл. 9. Функции нескольких переменных
то из независимости множества {zn ..., zp} следует, что
(3)	с^Ьмаи (!<£<./?, !</<«)•
Это показывает, как найти матрицу [ВЛ] из р строк и п столб-
цов, зная матрицы [В| и [Л]. Если мы определим произведение
[В] [Л] как [ВЛ], то равенство (3) описывает обычное правило
перемножения матриц.
Наконец, допустим, что {х15 .. ., х„} и {у(, .. ., у,п} — стандарт-
ные базисы пространств Rn и Rm и что А задано равенством (2).
Неравенство Шварца показывает, что
I Лх I2 = 2 (2 aijCj)2 2 (2 alj 2 ) = 2 alj | х |2.
г }	i j ? г, j
Таким образом,
(4)	I! А 1|<{2^)1/2-
Применяя (4) к В —Л вместо Л, где Л, В £ L (Rn, R'“), мы
видим, что если элементы матрицы atJ — непрерывные функции
некоторого параметра, то то же верно в отношении А. Точнее,
если S — метрическое пространство, ан, ..., атп — вещественные
функции, непрерывные на S, и если при любом p£S Лр —линей-
ное преобразование пространства Rn в пространство Rm, матрица
которого составлена из элементов а., (/?), то отображение р—*Ар —
непрерывное отображение пространства В в пространство L(Rn, R "1).
Дифференцирование
9.10.	Определение. Пусть Е —открытое множество в Rn,
f —отображение множества Е в пространство R”1 и xgE.
Если существует линейное преобразование А пространства Rn
в пространство Rm, такое, что
(5)	limlf(x+h)
V ’	Ю0 lh!
то говорят, что f дифференцируемо в точке х, и пишут
(6)	Г(х) = Д.
Если отображение f дифференцируемо в каждой точке xg£,
то говорят, что f дифференцируемо на множестве Е.
Следующие комментарии приводятся для разъяснения и моти-
вировки этого определения.
(а)	В (5), конечно, имеется в виду, что hgEn, а потому если
норма |1Н достаточно мала, то хЦ-hgE, так как Е — открытое
множество. Таким образом, f(x + h) имеет смысл, f (х 4- h) g R"\
Дифференцирование
227
и так как A£L(Rn, Rm), то ЛЬ £7?'“. Таким образом,
f (x'h)-f (х)--ЛК£Ет.
Норма, фигурирующая в числителе дроби (5),—это норма про-
странства R'11, а в знаменателе — 7?п-норма вектора h.
(b)	В случае п=1 новое определение производной сводится
к прежнему (см. определение 5.1 и п. 5.16). Производная f'(x)
определялась как вектор y£Rm (если только он существует),
для которогсг
(7)	lim ШМ’-yUo.
'	Л-М) V h	>
Но всякому вектору у £7?'* можно (взаимно однозначно) сопо-
ставить линейное преобразование Ту пространства R1 в R'n по фор-
муле Tyh = hy. Заметим, что каждое TQL(R\ Rm) имеет вид
Т ---Ту при некотором у (нужно просто взять у = 74). При этом
I у ! = I ту I-
(с)	Пусть f и Е —те же, что в определении 9.10, и пусть f
дифференцируемо на Е. При каждом фиксированном х£Е
Г(х) = Л есть линейное преобразование пространства Rn в R'n,
т. е. функция, сопоставляющая каждому вектору hC^n вектор
f' (х) h = ЛЬ g R'n. С другой стороны, поскольку отображение f
дифференцируемо в каждой точке множества Е, то каждой точке
этого множества соответствует оператор Г(х) = Л. Тем самым
дифференцируемое отображение f индуцирует отображение (функ-
цию) f' на Е со значениями в L(Rn, Rm).
(d)	Соотношение (5) можно переписать в виде
(8)	f(x + h) = f(x)4-f'(x)h + r(h),
где остаток г (h) мал в том смысле, что
(9)	Игп
л-»о I п I
Можно истолковать (8) так: при фиксированном х и малом h
разность
f (x + h) -f (х)
приближенно равна f' (х) h, т. е. равна значению линейной функ-
ции в точке h.
Достаточно взглянуть на равенство (8), чтобы убедиться
в непрерывности отображения f в любой точке, в которой оно
дифференцируемо.
(а) Производную, определенную в (5) или в (8), часто назы-
вают полной производной отображения f в точке х, или диффе-
ренциалом отображения f в точке х.
228
Гл. 9. Функции нескольких переменных
Теперь мы решим вопрос о единственности, который, возможно,
уже возник у читателя.
9.11. Теор ем а. Пусть Е и f — те же, что в определении
9.10, xgE и (5) выполняется с A=-At и с А---Аг, где
At£L (Rn, Rm) (i - 1, 2). Тогда At - Л2.
Доказательство. Если. В— At— Аг, то неравенство
| Bh , f (x-r h) — f (x) — 4(h | + j f (x h) — f (x) — A2h j
показывает, что jBhj/lh| —>0 при h—>0. Отсюда следует, что
при фиксированном h =4 0
(10)	пг ' —° при /—»0.
Ввиду того что В линейно, левая часть в (10) не зависит
от t. Поэтому Blv O при всех h£Bn. Теорема доказана.
Правило дифференцирования сложной функции (см. теорему 5.5)
легко распространяется на данную ситуацию. И формулировка,
и доказательство совершенно такие же, как в одномерном случае.
9.12. Теорема. Пусть Е --открытое множество в прост-
ранстве Rn, \ — отображение множества Е в пространство Rm,
дифференцируемое в точке х0£Е, g — отображение некоторого
открытого множества, содержащего f (В), в пространство Rk,
причем g дифференцируемо в точке f (х0). Тогда отображение F
множества Е в пространство R\ определенное равенством
F(x) = g(f(x)),
дифференцируемо в точке х0, и
(И)	F' (x0) = g' (f (x0))-f' (х0).
В правой части равенства (И) стоит произведение двух линей-
ных преобразований, определенное в разделе 9.6.
Доказательство. Пусть у0 —f(x0), Л —f'(x0), B = g'(y0),
и пусть
и (х) -- f (х) — f (х0) - - А (х - х0),
V (у) = g (у) - g (Уо) - В (у - у0),
г (х) = F (х) — F (х0) — ВА (х — х0).
Мы должны доказать, что F' (х0) - ВА, т. е. что
(12)	ПГДТ-*0 ПРИ х~>хо-
Из определений отображения F и остатка г имеем
г (х) = g (f (х)) - g (у0) - В (f (х) - уо) 4 В (f (х) - f (х0) - А (х - х0)),
Дифференцирование	229
так что
(13)	r(x)= v(f (x)) -i Ви(х).
Если е>0, то из определения преобразований А нВ следует,
что существуют т] > 0 и 6 > 0, такие, что
I v(y) |<е | У — Уо I,
если у — уо| <т]. и
|f (х) —1(Х0)|<Г], U (X) ; К ! X  Х0 ;
при [х — х0 i < 6. Значит,
(14)	| v (f (х)) | С е I f (х) — f (х0) | = е j и (х) 4- А (х — х0) I <
<4 е2! х — х0,-J-е IJ Л |j х — х0;
и
(15)	|Bu(x)Ki|Bij;u(x) L<.e!|Bi'[ х — х01,
если | х — х0 ! < 6.
Теперь (12) следует из (13), (14) и (15).
9.13.	Частные п р о и з в о д н ы е. Пусть f отображает откры-
тое множество Е с: Rn в пространство В'1 и имеет компоненты
ft,	определенные в теореме 4.10. Пусть {е1? ...,е„} —
стандартный базис пространства Rn. Определим на множестве Е
функции Djfi равенствами
(16)	Djfi (х) =.-= 1 im fiD'- ti'D f.t.’D ,
если, конечно, этот предел существует. Записывая ft (х) в виде
ft (хц, . .., хп), мы видим, что Djfi есть производная функции ft
по х} при фиксированном значении остальных переменных. По-
этому часто используется обозначение
вместо Djfi.
Если отображение f дифференцируемо в точке х, то опреде-
ление производной Г(х) показывает, что
г	f(x-Hh) — f(х)	r, ,
(18)	lim ——L— ----= t (x) h.
Переходя к координатам векторов, стоящих в (18), с Ь = е^,
мы видим, что если f дифференцируемо в точке х, то все част-
ные производные (Djfi) (х) существуют.
Обратное, вообще говоря, неверно даже в том случае, когда
частные производные существуют во всех точках множества Е
(упражнение 9); если, однако, частные производные к тому же
непрерывны, то обратное верно (см. теорему 9.16).
230
Г л. 9. Функции нескольких переменных
Отметим, что Г (х) е;— это j-й столбец матрицы [f'(х)]. Таким
образом, (Djfi) (х) находится в z-й строке и /-м столбце матрицы
ff'(x)]-
9.14.	Пример. Пусть f — дифференцируемое отображение
интервала (a, b) a У?1 в открытое множество Е a Rn, пусть g —
дифференцируемая вещественная функция, определенная в Е
(т. е. g —дифференцируемое отображение множества Е в про-
странство Я1). Положим h (/) = g (f (7)) при а<СК.Ь. Согласно
правилу дифференцирования сложной функции,
h'(t) = g'(i(t))i’(t)	(a<t<b).
Ясно, что &'(/) —линейный оператор на R\ так как f'(1) 6
£L(Rl, Rn) и g' (f (/)) £ L (Rn, R1). Если рассматривать E (f) как
вещественное число, то оператор, о котором идет речь,—это
оператор умножения на Е (/); ср. с 9.10 (Е).
По отношению к стандартному базису пространства Rn [f' (/)] —
это матрица из п строк и 1 столбца («одностолбцовая матрица»),
в z-й строке которой стоит Д(0, где Д, ...,/п —компоненты
отображения f, и при каждом xgE [g'(х)] — матрица из 1 строки
и п столбцов («однострочная матрица»), в /-м столбце которой стоит
(Q/g)(x). Значит, [Е (О) —матрица из одной строки и одного
столбца, единственным элементом которой служит вещественное
число
А'(0= 2 ДМ (НО) Л (0-
г=1
Написанное равенство — часто встречающийся случай правила диф-
ференцирования сложной функции.
9.15.	Определение. Дифференцируемое отображение f от-
крытого множества Е cz Rn в пространство Rm называется непре-
рывно дифференцируемым на Е, если F — непрерывное отображе-
ние множества Е в пространство L(Rn, R™).
Говоря более отчетливо, в этом определении требуется, чтобы
для любого кС-Е и любого е>0 существовало число 6 >0,
такое, что || Г (у) — Г (х) || < е, если уС-Е и |у — х|<6.
Если это выполняется, то мы будем говорить, что f является
^'-отображением на Е или что /g^'(E).
9.16.	Теорема. Пусть f отображает открытое множество
Е cz Rn в пространство R “. Тогда 1бгб"(£) в том и только
в том случае, когда частные производные Djft существуют
и непрерывны на Е при	1
Доказательство. Если f£^'(E), то неравенство
I (У) е>- f' (х) еД < || Г (у) - f' (х) ||
Теорема об обратной функции
231
в сочетании с (16) и (18) показывает, что каждая частная произ-
водная Djfi — непрерывная функция на £.
Для доказательства обратного достаточно рассмотреть случай
т=1 (почему?). Зафиксируем х6Е ие>0. Ввиду того что мно-
жество Е открыто, существует открытый шар 5 с центром в точ-
ке х и радиусом г, целиком принадлежащий Е. Из непрерыв-
ности функций Djf следует, что г можно выбрать столь малым,
чтобы иметь
(19)	|(О.Л(у)__(О.П(х)]<~ (yes, 1</<п).
и4
Пусть h = 2 hfij, | h
при 1<&<п. Тогда
|<г, пусть V0=0 и = hiti + ... 4- hheh
(20)	f(x4-h)-f (х)= 2 [f (x + v;)-f (x + Vy-j)].
J=1
Ввиду того что | Vft | < г при	а множество S выпукло,
отрезки с концами x + vj.! и x-j-v? лежат в S. По-
скольку V; = у}л 4- hjCj, то по теореме 5.10 о среднем значении
/-е слагаемое в (20) равно
(21)	hj (Djf) (x4-Vj_14-0;/i;e;)
при некотором 07 g(0,l), и потому оно в силу (19) отличается
от hj(Djf)(x) менее, чем на \hj\e,/n. Согласно (20), отсюда сле-
дует, что
|Hx4-h)-f(x)-S ЛДО/)(х)|<4- 2 |ЛДе<|Ь|е
1	j=i	। j=i
при всех h, таких, что | h | < г.
Это означает, что функция f дифференцируема в точке х и что
/'(х)— линейная функция, которая ставит в соответствие число
2 hj (Djf) (х) вектору h = 2 Матрица If' (х)] состоит из строки
(Dtf) (х), . . ., (Dnf) (х), а так как функции Dtf, . . ., Dnf непрерывны
па Е, то, как показывает заключительное замечание п. 9.9,
/6^' (Е).
Теорема об обратной функции
Эта теорема утверждает, грубо говоря, что непрерывно диф-
ференцируемое отображение f обратимо в окрестности любой
точки х, в которой обратимо линейное преобразование Г (х).
9.17.	Теор е м а. Пусть f есть ‘ё’-отображение открытого
множества Е a: Rn в пространство Rn, пусть отображение 1' (а)
обратимо при некотором aQE, и пусть b = f(a). Тогда
232
Гл. 9. Функции нескольких переменных
(а)	существуют открытые множества U и V в пространстве
Rn, такие, что a.^U, b£V, f взаимно однозначно на U ut(U) = V;
(b)	если g — отображение, обратное к f [оно существует
согласно (а)], заданное в V равенством
g(f(x))==x (xgV),
mo gCts' (V).
Записывая равенство у — f (х) с помощью компонент, мы при-
ходим к следующей интерпретации заключения теоремы: равенства
yt ------ fi (Xi, ..., хп)
определяют взаимно однозначное соответствие между достаточно
малыми окрестностями точек а и Ь; при этомхр ..., хп являются
непрерывно дифференцируемыми функциями от yt, .. ., уп.
Доказательство. Пусть Г (а)--Л. Выберем X так, чтобы
4Х. ji Л"1 [Н-- 1. Ввиду того что	существует такой откры-
тый шар U с центром в точке а, что
(22)	|| F (х) — Л j! < 2А.	(xGQ.
Допустим, что xQU и x-i-hCH. Положим
F(O-f (x-Hh)-Mh
Вследствие выпуклости множества U, х-|-(ЬС£7 приО<(< 1,
и из (22) следует, что
|F' (О I--- V (х4-^h)h —ЛЬ}С2Л|h|С	I ль I-
Последнее неравенство выполняется потому, что
2л h ,-2л'Л МЬ <Д2л 'Л-1 Д ЛИг -Ь 4h b
в силу выбора числа X. Из теоремы 5.20 следует теперь, что
! F (1)-F (0) |<4 j ЛЬ ;,
или
(23)	|f(x-;-Ь) —f (х) —ЛЬ|<4"|ЛЬ
Отсюда следует, что
(24)	|f(x r h) —f (х) | > -|-! ЛЬ\>2l !Ь1.
Подчеркнем, что неравенства (23) и (24) выполняются, если толь-
ко х£U и х ; Ьс)В’. В частности, из (24) следует, что отобра-
жение f взаимно однозначно на U.
Теорема об обратной функции
233
Зафиксируем x0QU и рассмотрим открытый шар S с центром
в точке х0 радиуса г7>0, замыкание которого S лежит в U. Мы
докажем, что f (S) содержит открытый шар с центром в точке
f (х0) радиуса 7. г.
Чтобы сделать это, зафиксируем такой вектор у, что | у — f (х0) | <
< кг, и положим
q (х) у  f (х) (xGS).
Если |х — х0 | = г, то, как показывает (24),
2кг < | f (х) — f (х0) j < <р (х) +- <р (х0) < Ф (х) ф кг.
Таким образом,
(25)	ф (х0) < кг < ф (х)	(:х — xf, j - r)
Ввиду того что ф — непрерывная функция, aS — компактное
множество, существует x*gS, такой, что ф(х*)<:ф(х) при всех
xgS. Согласно (25), x*£S.
Положим w - у —f(x*). Поскольку А обратим, существует
вектор h QRn, такой, что ,4h w. Выберем число /£(0, 1), столь
малое, что х* --/hES. Тогда
(26)	| f (х*) - у д Л/h] (1	/) w .
и, как показывает (23),
(27)	j f (х* -у /h) — f (х*) — Л/h | < ~ - i /w
Поскольку ф (x* 4 /h) — норма суммы векторов, фигурирующих
в левых частях равенства (26) и неравенства (27), и так как
w| —ф>(х*), то
(28)	ф(х*э /Ь)<(1-4)ф(х*).
Таким образом, ф(х*) —0, т. е. f(x*) —у1).
Тем самым доказано, что каждая точка множества f (U) имеет
окрестность, содержащуюся в f (£у). Поэтому f ((7) — открытое
подмножество пространства Rn. Полагая V —f(/7), мы видим,
что утверждение (а) теоремы доказано.
Чтобы доказать (Ь), выберем ygV, у -4 kgV и положим x g(y),
h = g(y + k) — g(y).
4 Эту часть доказательства можно еще немного сократить. Действи-
тельно, функция <р (х) |у — f (х) |2 достигает минимума в точке х*, принад-
лежащей Л’. Поэтому частные производные функции q (х) в этой точке обра-
щаются в нуль. Отсюда следует, что В (у — f (х*)) - О, где B^L(Rn, IV1),
[/?] — матрица, транспонированная к |F (x*)J » потому обратимая. Значит,
у fix*:. —Прим, иерее.
234
Г л. 9. Функции нескольких переменных
Согласно теореме 9.8 (а), неравенству (22) и нашему выбору
числа X, оператор f' (х) имеет обратный, который мы обозначим
через В. Применяя В к равенству
k = f (х Н- h) — f (х) = f' (х) h -j- г (h),
где ; г (h) У| h j —> 0 при h—>0, мы получим Bk — hф-Br (Л), или
(29)	g(y-1k)-g(y) = ek-B(r(h)).
Согласно (24), 2X | h j СI к I. Таким образом, h—»0 при к—>0
(что одновременно доказывает непрерывность отображения g
в точке у) и
(30)	о Пр„ к^о.
। К ।	хЛ I П j
Сравнение (30) и (29) показывает, что g дифференцируемо
в точке у и что g' (у) = В. Иными словами,
(31)	g' (У)={Г (g (у))}-1 (yen
Кроме того, g —непрерывное отображение множества V на U,
Г — непрерывное отображение множества U в множество Q всех
обратимых элементов множества L(Rn), а переход к обратному —
непрерывное отображение множества Q на множество Q [по тео-
ме 9.8 (&)]. Используя эти факты и равенство (31), мы получаем,
что g g & (V).
Теорема доказана.
Следующее утверждение вытекает непосредственно из теоремы
[часть (а)]:
Следствие. Если f есть ё'-отображение открытого мно-
жества Е cz Rn в пространство Rn и если оператор f' (х) обратим
при любом х^В, то f (IT7) — открытое подмножество простран-
ства Rn, каково бы ни было открытое множество W cz Е.
Иными словами, f — открытое отображение множества Е в про-
странство Rn.
Предположения, сделанные в этом следствии, обеспечивают
для каждой точки xgE существование такой окрестности, на кото-
рой отображение f взаимно однозначно. Можно сказать, что f
локально взаимно однозначно. Однако f не обязано при этом быть
взаимно однозначным на всем множестве Е. Пример приведен
в упражнении 12.
Теорема о неявной функции
Если x = (xj, . . ., xn)£Rn и у = (yi, . . ., ут) £ Rm, то через
(х, у) мы будем обозначать точку (или вектор)
хп, yt, .. ., ут) 6 Rn+"‘.
Теорема о неявной функции
235
В этом разделе первый элемент в (х, у) или в подобном символе
всегда будет обозначать вектор пространства Rn, а второй—вектор
пространства Rm.
Пусть A£L(Rr"m, Rn), и пусть
(32)	Л (h, 0)^-0 эквивалентно h = 0.
Заметим, что по теореме 9.5 отображение h—»Л(И, 0) есть
линейное взаимно однозначное отображение Rn на себя. Далее,
при всяком k^R"‘ и b£Rn уравнение А (х, k) = b имеет единствен-
ное решение. Действительно, существует такое х, что Л(х, 0) =
Ь —Л(0. к). т. е. Л(х, к) = Ь, а если А (хь к) = А (х2, к),
то Д(х1 — х2, 0) = О и, в силу (32), Х! = х2.
В частности, если А удовлетворяет условию (32), то уравнение
(33)	А (х, у) = 0
имеет при каждом y^R“ одно и только одно решение x£Rn.
Теорема о неявной функции утверждает, что подобное заключе-
ние справедливо и в отношении некоторых (не обязательно линей-
ных) непрерывно дифференцируемых отображений. Прежде чем
сформулировать ее, заметим, что если [Л] —матрица (из п строк
и пфт столбцов) отображения Л по отношению к стандартным
базисам, то (32) означает в точности, что векторы, стоящие
в первых п столбцах матрицы [Л], линейно независимы. Поль-
зуясь этим критерием, можно проверять, выполняется ли (32).
9.18.	Теорема. Пусть f есть Ч?'-отображение открытого
множества Е a: Rn+m в пространство Rn. Допустим, что (a, b) £ Е,
f (а, Ь) 0, Л = 1'(а, Ь) и А удовлетворяет условию (32). Тогда
существуют окрестность W точки b (W cz Rm) и единственная
функция g Е (W) со значениями в Rn, такие, что g (b) — а и
(34)	f(g(y), у) = 0	(yew/).
Функция g определена неявно равенством (34), отсюда и наз-
вание теоремы. Ее можно сформулировать в терминах, относящихся
к системе п уравнений с nA-т неизвестными:
..., хп, ух, ..., ут) = 0,
(35)	:
fn (^1, • • • > Хп, у^, . . . , Ут) — 0*
теперь означает, что квадратная
Наше предположение об Л
матрица из п строк и п столбцов, такая, что на пересечении ее
г-й строки и /-го столбца стоит (а, Ь), имеет независимые
столбцы. Если это выполняется и если х = а, у = Ь удовлетворяют
236	Гл. 9. Функции нескольких переменных
уравнению (35), то (35) можно разрешить относительно хп
при каждом у, достаточно близком к Ь.
Доказательство. Пусть F — отображение, ставящее в соот-
ветствие точке (х, у) С Д точку (z, w)g7?"4m, определенную равен-
ством
(36)	z-=f(x, у), w у.
Тогда F g 'б' (Е). Поскольку f (а, Ь) = 0, то
f (а Ii. b k) A (h, к) ) г (h, к),
где г — остаток, участвующий в определении f'. Из того что
F (a j h, b , к) — F (a, b) = (f ((а - h), b 4 к), к),
следует, что F' (а, Ь) — линейный оператор на	который
вектору (h, к) ставит в соответствие вектор (Л (h, к), к). Если при
таком отображении образ какого-нибудь вектора равен нулю,
то A (h, к) -0 и к О, а потому A (h, 0) = 0 и из (32) следует,
что h — 0. Это значит, что оператор F' (а. Ь) взаимно однозначен
и, следовательно, обратим (теорема 9.5).
Поэтому к F применима теорема об обратной функции: суще-
ствуют открытые множества U и V в 7?П4"‘, содержащие (а, Ь)
и (0, Ь) и такие, что F взаимно однозначно отображает U на V;
согласно (36), отображение, обратное к F, имеет вид
(37)	х- <p(z, w), y-w ((z, w)Clz),
где ф^’ё'(Г'). Иными словами,
(38)	f (<p (z, w), w) = z ((z, w)gV).
Если мы теперь обозначим через W такую окрестность точки Ь,
что (0, w)fV при weW', и положим g(y)~ ф(0, у) при у g №,
то при z -0 в (38) мы получим (34).
Ясно, что g (b) a, так как ф(0, Ь) -а. Единственность функ-
ции g следует из того, что отображение F взаимно однозначно:
если (х, у) £U, (х*, у)£U, a f (х, у) = f (х*, у), то F (х, у) ~ F (х*, у),
а потому х*-- х.
Теорема о ранге
Назовем рангом линейного преобразования размерность его мно-
жества значений. Следующая теорема служит подготовительной
к теореме 9.20.
9.19.	Теорема. Пусть р, q, г — неотрицательные целые
числа, X и Y — векторные пространства, dirnX r р, dimE---
= г-Г q. А — линейное преобразование пространства X в простран-
ство Y ранга г. Тогда существуют векторные пространства Xit
Теорема о ранге
:37
Х2, содержащиеся в X, и пространства Y4, Y 2, содержащиеся
в Y, такие, что
(а)	каждый хбХ единственным образом представим в виде
х = х)Ч-х2, где х^Хъ х2£Х2;
(Ь)	каждый у С У единственным образом представим в виде
У = У1УУ2- где y^Yi, у2ЕУ2;
(с)	Ах2 0 при каждом х2£Х2;
(d)	сужение преобразования А на Х^- взаимно однозначное
отображение пространства Х{ на пространство Y
(е)	dim Xj = dim Yt ~r.
Доказательство. По теореме 9.3 (с) пространство У имеет
базис {vb .. ., v,.4.g}, такой, что {v1? ..., v,.) — базис множества
значений преобразования А. Пусть У2 —оболочка множества
{vr+1, . .., у,.+Д. (Заметим, что если q-б, то У2 состоит из одного
лишь нулевого вектора. Некоторые утверждения, высказанные
в ходе этого доказательства и в теореме 9.20, должны быть истол-
кованы аналогично, если одно или более из чисел р, q, г равны
нулю. Мы предоставляем читателю подправить эти утверждения
и истолковать их.)
Выберем векторы Uj, ..., urgX, такие, что Ли,--= v7- (1</<7)-
Тогда {uj, . . ., u,} — независимое множество; натянем на него про-
странство Xt. Пусть Х2 — множество всех х^Х, таких, что Ах — 0.
Ясно, что утверждения от (Ь) до (е) выполняются. Если xgX,
то =	гДе ci’ сг—некоторые числа. Положим
1
г
xi =--- У СДЬ, х2--х —Хр Тогда х^Хр Ах, Ах-, значит, Лх:! 0,
1
или х2^Х2. Согласно (с) и (d), Xt и Х2 имеют только один общий
вектор —нулевой. Поэтому представление х Х| х:. единственно,
и (а) доказано.
Следующая теорема еще раз иллюстрирует общий принцип,
состоящий в том, что непрерывно дифференцируемое отображение F
вблизи точки х ведет себя примерно так же, как линейное пре-
образование F' (х).
9.20,	Теорема. Пусть X = Rryp, Y-.R1’^, F есть ^'-ото-
бражение открытого множества Е cz X в пространство У
и F' (х) — линейное преобразование ранга г при любом х^Е.
Зафиксируем точку а^Е, положим А-- F'(а), выберем Хг, Х2,
У1, У?, как в теореме 9.19, и определим Fj и F2 равенством
(39)	F(x) = F1(x)4F2(x)	(х£Е),
где F, (х)еУ1; Р2(х)еУ2.
238
Гл. 9. Функции нескольких переменных
Тогда существует открытое множество U в пространстве X,
такое, что a Е U, U а: Е и
(a)	Ft (И) — открытое множество в Yp,
(b)	для любого yEFt((7) существует ровно один у2ЕУг, такой,
что
У1 + УгЕР(^).
Геометрический смысл утверждения (Ь) таков: F(U) — это
«r-мерная поверхность» в У, причем «над» каждой точкой мно-
жества Ft (t/) лежит ровно одна точка этой поверхности. Мы
советуем читателю набросать чертеж для случаев, когда числа р,
q, г принимают одно из значений 0, 1, 2.
Доказательство. Пусть Т — сужение отображения А на Х4.
Согласно 9.19 (d), Т —линейное взаимно однозначное преобразова-
ние пространства Х\ на Уп а обратное преобразование Т“3 ото-
бражает У\ на Х{. Пусть Р— линейный оператор на X, определен-
ный так: Рх = х2, если x = Xt4-x2, XtEXj, х2ЕХ2 (такого рода
оператор называют проектором), и пусть
(40)	f	(х)ДРх (хЕР).
Согласно правилу дифференцирования сложной функции,
(41)	f'(а) = P-1F( (а) 4 Р.
При 1 = 1, 2 множество значений отображения F; содержится
в YI- Поскольку Уг — замкнутое подпространство пространства У,
то из (18) ясно что Р((а)ЬЕУ; при всех hEX. Согласно (39),
4 = F; (a) + F;(а); а так как множество значений отображения А
совпадает с У\, то, по теореме 9.19 (Ь), Л = Р'(а), и 9.19 (с)
показывает, что ЛЬ = ЛЬ1, если h = h1-f h2, hjEXt, h2EX2. Таким
образом,
f' (a) h = T-Mh + Ph = T-Mht + h2 = ht 4 h2 = h.
Это значит, что f'(a) — тождественное отображение на X. Поэтому
из теоремы об обратной функции следует, что существуют открытые
множества U и V в X, такие, что аЕ^, U ст Е и f — взаимно
однозначное отображение множества U на V- Более того (заменяя,
если потребуется, U и V надлежащими множествами), можно
добиться, чтобы V было выпуклым. Пусть g —отображение мно-
жества V на U, обратное к f. Положим
(42)	<D(z) = F(g(z)) (zE И-
Из того, что ЛР = 0, следует, что Af — AT^Ff = F1T так что
Ft (g(z)) = 4f(g (z)) = 4z = 4zt-
Теорема о разложении
239
Таким образом,
(43)	Ф(г) = Лг1 + ф(2) (zEV),
где ф(г)ЕУ2, z = zt4-z2, ZjEXp z2EX2.
Согласно (42) и (43), Ft (U) — это множество всех точек Azlt
где z£V. Поскольку V открыто, a Vi —множество значений ото-
бражения А, то утверждение (а) теоремы доказано.
Чтобы доказать (Ь), достаточно проверить, что Ф(г) зависит
только от zP
Зафиксируем z£V. Согласно (42) и (43),1
(44)	Ф' (z) = F' (g (2)) g' (z) = A -j- <р' (z).
Ввиду того что g' (z) — обратимый линейный оператор на X,
a F' (g (z)) — отображение ранга г, множество значений 2? отображе-
ния Ф'(z) — векторное пространство размерности г. Пусть Q —
проектор пространства У на пространство Ур Поскольку множество
значений отображения ф' (z) содержится в У2, то (44) показывает,
что A = Q<&' (z). Таким образом, Q отображает пространство R
на Ур а так как размерность обоих этих пространств равна г,
то Q взаимно однозначно на R. Таким образом,
(45)	из ЛИ = 0 следует, что Ф'(г)Ь = 0.
Если теперь z Е V, z + h2 Е V, h2 Е Х2, то положим
(46)	Л(0 = Ф(г-b/h2)	(0</<1).
Поскольку V выпукло, это определение имеет смысл, а так
как ЛЬ2 = 0, то из (45) и (46) следует, что
(47)	Л'(/) = Ф'(z + /h2) h2 = О (0<У<1).
Таким образом, Л(1) = Л(0), так что Ф (z + h2) = Ф (z) и (6)
установлено.
Теорема о разложении
Пусть f—отображение открытого множества Е cz Rn в про-
странство Rn, и пусть существует такое целое /, что е, - f (х) = егх
при всех i =# j, хЕ-Е. Таким образом, х и f(x) имеют равные
t-e координаты при i j, т. е. отображение f может изменять
только /-ю координату. Мы будем называть такие отображения
простыми.
9.21.	Теорема. Пусть f есть ТУ-отображение открытого
множества Е с: Rn в пространство Rn, О ЕЕ, f (0) = 0, a f' (0) —-
обратимое преобразование. Тогда существует такая окрестность
нуля в Rn, в которой имеет место представление
* (х) = gn (Bn (gn-i (• • • (gl (BjX))).
240
Гл. 9. Функции нескольких переменных
Здесь каждое g*- простое -отображение некоторой окрест-
ности точки 0, g*(0)0, а каждое Bh —линейное отображение
на Rn, причем либо тождественное, либо меняющее местами
какую-нибудь одну пару координат.
Доказательство. Положим f =- flt и пусть 1 С п. При-
мем следующее индуктивное предположение (очевидно, справед-
ливое при m=l): fm отображает окрестность точки 0 простран-
ства Rn в пространство Rn, fm—отображение класса Vs', преобра-
зование ЛП1 f,'п (0) обратимо и
(48)	erfm(x)==erx (l<i</n).
Положим а;,- = ег • Лте;. Из (48) следует, что а,7 = 0, если
i <;' т и j R т. Если бы, кроме того, при всех / > т выполнялось
равенство amj- = 0, то из представления Ате} ----- 2 иое< следовало
г
бы, что п \-т—1 независимых векторов Д„е,|г, ..., Д,„ел принад-
лежат оболочке п — т векторов ет+1, .. ., е„, вопреки теореме 9.2.
Таким образом, существует такое /, что m^J^n и amJ =# 0.
Определим операторы Рт, B,n^L(Rn) равенствами: Ртег=-;ег,
если I фт, Ртет^0; В,пет -^е}, В„.с, ----- ет, В:пе,: e7i для всех
прочих Л Положим
(49)	gm (х) =•• Ртх {е,п 	(Д,гх)) ет.
Тогда g,n, очевидно, простое отображение. Поскольку (finBm)'(0)=
— АтВт, то
(50)	gm(0)h-Pmh , {е,„-ДтВ,„Ь} е,„	(hG^n).
Если gk(O)h = O, то, как показывает (50), Pmh -0, так что
h== ле..,. Но, кроме того, e,ti •/lniBmh - 0, т. е. Xa„i7- 0 по опре-
делению Вт. Поскольку a„t;54 0, мы видим, что к — 0, значит,
h 0.
Тем самым доказано, что g,'>,(0) -взаимно однозначное ото-
бражение. Стало быть, оно обратимо, и из теоремы об обратном
отображении следует, что g„, взаимно однозначно в некоторой
окрестности (/,(1 точки 0 и что g,fl (Uni) -- Vm — открытое множество
в Rn. Положим
(51)	f»lH(y) = t»(Smg^1 (у))	(у6’/т)-
Если y^V,n, y-g™(x), х g С„,, то, как показывает (49),
(52)	em-y =	(В,пх), et-y^et-x (i<m).
Теперь из (48) и определения В„, следует, что
е; • Елы (у) е; • ВП1х == е, • х = е,- • у,
Определители	241
если i < m; из (52), кроме того, следует, что
" ^т+1 (У) = (Smx) =- em • у.
Следовательно, fmH удовлетворяет предположению индукции
с т4-1 вместо т, и построение можно продолжить. Переписы-
вая (51) в виде
(53)	fm (x)-- fmtl(g;n(Bmx))
при m—1, ...,п и замечая, что fn+1 — тождественное отображе-
ние, мы получаем
fl (х) f2 (gi (^х)) = f3 (g2 (B2gi (B,x)) - .. -,
что и составляет нужное заключение.
Определители
9.22. Определение. Если (jt.	— упорядоченный
набор целых чисел, то положим
«(Л. • ••,/»)-= II sgn(/9-/p),
где sgnx = l, если х?>0, sgnx—— 1, если х<0, sgnx = 0, если
х = 0. Тогда s(ji, = 1, —1 или 0 и меняет знак, если
какие-нибудь два из чисел / меняются местами.
Пусть [Д] —матрица линейного оператора А на Rn по отноше-
нию к стандартному базису {еь . . ., е^}; на пересечении i-й строки
и./-го столбца матрицы [Л] стоит число a(i, j). Определителем
матрицы [И] называется число
(55) det [Л] = 3s(/i,	Л) а (2, /2) ... а (и, /„).
Суммирование в (55) производится по всем упорядоченным
наборам целых чисел	таким, что 1</г<п.
Векторы, которые служат столбцами матрицы [Л|, таковы:
(56)	х,- = 2 а (.0 Г) е< (1С/<и).
i— 1
Удобно представлять себе det [Д] как функцию столбцов
матрицы [Л]. Если мы запишем
det (xlt ..., х„) = det [Л),
то теперь det—вещественная функция, определенная па множе-
стве всех упорядоченных наборов, состоящих из п векторов
пространства Rn.
242
Г л. 9. Функции нескольких переменных
9.23.	Теорема, (а) Если I — тождественный оператор
на Rn, то
det [/] = det (е^ ..., ел) = 1.
(b)	det — линейная функция по каждому из столбцов x.j, если
остальные фиксированы.
(с)	Если [X]t получается из [Д] перестановкой двух столбцов,
то det [ДЬ = — det [Д].
(d)	Если матрица [Д] имеет два равных столбца, то det [А] = 0.
Доказательство. Если A — I, то a(i, д) = 1, a(i,/) = 0
при i =/= j. Значит,
det [/] = з(1, 2, ..., n)= 1,
и (а) доказано. Согласно (54), s(/lt ..., /л) = 0, если какие-нибудь
два из чисел / равны. Каждое из п\ остальных произведений,
участвующих в (55), содержит ровно по одному множителю из
каждого столбца. Тем самым доказано (6). Утверждение (с)
немедленно следует из того, что s(j1T ...,/„) меняет знак, если
какие-нибудь два из чисел / равны, a (d) следует из (с).
9.24.	Теорема.* Пусть [Д] и [В] —матрицы операторов,
действующих в Rn. Тогда det ([В] [Д]) = det [В) • det [Д].
Доказательство. Если хн ..., хл— столбцы матрицы [Д],
то положим
(57)	Дв (Xi, ..., хл) = Дд [Д] = det ([В] [ДJ).
Столбцы матрицы [В] [Д] — это векторы Вх(, . ,.,Вхл.
Таким образом,
(58)	Дв (xlt ..., х„) = det (Bxlt ..., Вхл).
Согласно (58) и теореме 9.23, функция Дв также обладает
свойствами (9.23) (b), (с), (d). Согласно (ft) и (56),
Дв[Д] = Дв(За(*. l)eit х2, . .хл) = 3 a(i, 1) Дв (еь х2,..., хл).
г	г
Повторяя эту процедуру с х2, ..., хл, мы получаем
(59)	Дд [Д] = 2 а (<1, 1) a (i2, 2) ... a (in, п) Ав (е{1, ..., ein),
где суммирование распространяется на все упорядоченные наборы
(ц, ..., in) с 1<.1г<м. Согласно (с) и (d),
(60)	Дв(еь, ..., ein) = ^(t1, ...,1л)Дв(е1, ...,е„),
где t — 1, 0 или —1,- а так как [В] [7] = [В], то из (57) следует, что
(61)	Дв(е1..........en) = det[B].
Определители
243
Подставляя (61) и (60) в (59), мы получаем
det (| В] ]Д1) -= {2 а (Л, 1) ... a (in, п) t (ц, ...,/„)} det [В],
каковы бы ни были матрицы [Л] и [В]. Полагая В = /, мы видим,
что сумма в фигурных скобках равна det [Д]. Теорема доказана.
9.25.	Теорема. Линейный оператор А на Rn обратим тогда
и только тогда, когда det [А1 у=о.'
Доказательство. Если А обратим, то, как показывает
теорема 9.24,
det [Л] det [Д'1] =- det [ДД1] = det [/] = !,
так что det [Д] Ф 0.
Если А не обратим, то столбцы хп ..., хп матрицы [Л] зави-
симы (теорема 9.5) и, следовательно, имеется столбец, скажем,
xft, такой, что
(62)	хА+ У QXy = 0,
где Cj — некоторые числа. Согласно 9.23 (Ь) и (d), столбец хЛ
можно заменить столбцом хДс/Хр не меняя определителя, если
/ k. Отсюда следует, что столбец xft, сохраняя значение опре-
делителя, можно заменить столбцом, стоящим слева в (62), т. е.
столбцом нулей. Но матрица, имеющая 0 одним из своих столб-
цов, имеет нулевой определитель. Поэтому det [Л] — 0.
9.26. Замечание. Пусть {еt, . .., еД и {щ, ..., иД — базисы
в Rn. Каждому линейному оператору в Rn отвечают матрицы
[Д] и [Д]^ с элементами ai} и ai;- в соответствии с равенствами
=	Ли,-= 2 аг;иг.
i	•	i
Если U; = Btj — 2 bijti, то вектор Auj равен вектору
2 U-hjBc.h ” 2	।	= 2 (2 ЬцЛк/) ©i,
h	k ' i	i k
а также вектору
ЛВе? = Л 2 bkjeh = 2(2 виМ]) ?i-
k	i k
Таким образом, 2	= S а-и&ы, или
(63)	[В][ЛЬ = [Д][В].
Поскольку оператор В обратим, то det [В]	0. Комбинируя
(63) с теоремой 9.24, получаем
(64)	det [Л](; = det [Л].
244
Г л. 9. Функции нескольких переменных
Поэтому определитель матрицы линейного оператора не зависит
от базиса, который был использован для построения матрицы.
Таким образом, имеет смысл говорить об определителе линей-
ного оператора, не имея при этом в виду никакого базиса.
9.27.	Якобианы. Пусть f отображает открытое множество
Е cz R'1 в пространство Rn. Если f дифференцируемо в точке xgE,
то определитель линейного оператора Г (х) называется якобианом
отображения 1 в точке х. Якобиан отображения f в точке х обо-
значается символом Jf(x), так что
(65)	Jf(x) = detf'(x).
Мы будем использовать для J, (х) также обозначение
если (tjt, . . ., уп) =- f (лд, . .., хп).
Используя понятие якобиана, основное условие теоремы об об-
ратной функции можно записать так: Jf(a)=#0 (ср. с теоре-
мой 9.25). Если теорему о неявной функции сформулировать
в терминах функций (35), то условие этой теоремы сводится
к неравенству
Ф(/р • ’ ' ’ бй  / Г)
<.чт(,...,х,р - •
Интегрирование
9.28.	Определение. Назовем /г-клеткой (или ^-мерной клет-
кой) множество PacR*, состоящее из точек х — (х±, .. ., xh),
для которых
(67)	ai^xi^bi (t=l, ...,/г).
Пусть / — непрерывная вещественная функция на Г‘. Положим
/й = /, и пусть
fk-lfk-l	, X/i-l) — fk • • • , xh-li xh) d.Xk.
ak
Из равномерной непрерывности функции /ft на 1к следует, что
/ft_t— непрерывная функция на множествет. е. (k — 1)-клетке
в пространстве R"~\ определяемой первыми k— 1 неравенствами
из (67). Поэтому мы можем продолжить процесс. В результате
для каждого /, !</</?, мы получим непрерывную функцию/;
на клетке I} г~ R1, причем есть интеграл от /,- относительно лу
по сегменту [оу, bj]. Наконец, проинтегрировав Д, мы получим
Интегрирование
245
число f0, которое называется интегралом функции f по k-клетке /'“
и записывается в виде
(68)
/ (х) dx
ih
или

На первый взгляд это определение интеграла зависит от порядка,
в котором производятся k однократных интегрирований. Однако
это только кажущаяся зависимость. Чтобы доказать это, введем
временно обозначение L (/) для интеграла (68) и L' (/) —для инте-
грала, возникающего в результате k интегрирований, произведен-
ных в каком-либо ином порядке.
9.29.	Теорема. Какова бы
имеем L (/) — L' (/).
ни была функция
Доказательство.
hjQK ([а;, 6,]), то
Если h (х) —- h-i (xt) ... h!t (xk), где
k bt
L (h) - И hi (х;) dxi — L‘ (h).
то.
Если д'?—множество всех конечных сумм таких функций й,
то L(g)=-L'(g) при Bcexg£#?-. Кроме того, <#- —алгебра функций
на множестве /\ к которой применима теорема Стона —Вейер-
штрасса.
к
Положим V IJ (Т, -«j. Если	а е>0, то существует
1
функция такая, что |/—g|j <e/V, где |i f ;' = max | / (x) j (x Qlh).
Тогда ! L (f — g)1 < e, | L’ (f—g) 1<е, и так как
L (?) - L’ (f) h (f - g) i L' (g-f),
то T (/) — L' (f): <_2v. Тем самым теорема доказана.
С этим пунктом связано упражнение 19.
9.30.	Определение. -Носителем (вещественной или ком-
плексной) функции [, определенной на Rh, называется замыкание
множества всех точек х в которых / (х)	0. Если f — непре-
рывная функция с компактным носителем, а 1к — какая-нибудь
/г-клетка, содержащая носитель функции [, то положим
Так определенный интеграл, очевидно, не зависит от выбора 1к,
лишь бы клетка 1К содержала носитель функции f.
246
Гл. 9. Функции нескольких переменных
Может показаться заманчивым распространить это определение
интеграла по пространству Rh на функции, которые служат пре-
делами (в некотором смысле) непрерывных функций с компакт-
ными носителями. Мы не хотим обсуждать условия, при которых
это можно сделать; этот вопрос уместно решать с помощью инте-
грала Лебега. Мы лишь опишем один очень простой пример,
который будет использован при доказательстве теоремы Стокса.
9.31.	Пример. Пусть Qk есть /г-симплекс, состоящий из всех
точек х = (х„ .. ., хд) пространства Rk, таких, что Xj-f*.. .+хй<1
и х;>0 при i=l, ...,k. Если k = 3, например, то Qh —это
тетраэдр с вершинами 0, еь е2, е3. Если fC't?(Qh), то продолжим
функцию / до функции, определенной на единичном кубе 1'‘,
полагая f (х) = 0 вне Qh.
Если полученная в результате продолжения функция окажется
непрерывной, то естественно положить
(69)
(jk rk
причем интеграл справа в этой формуле определяется в соответ-
ствии с п. 9.28.
Однако в общем случае продолженная функция будет разрыв-
ной на и нам следует определить правую часть в (69).
Мы сейчас покажем, как это можно сделать. Конечно, мы можем
действовать так же, как в п. 9.28, и в этом случае необходимо
установить, что интеграл не зависит от порядка, в котором
выполняются k однократных интегрирований. Приводимое ниже
рассуждение заодно содержит доказательство и этого факта.
Положим у =	Хй-j), х = (у, xh). Определим функцию
g  g (х) = f (х) при xCQ\ g(x) = f(x/Z), если xt + ...	= t > 1,
и положим
X (у) = max (0, 1 —х{ — ... — xk^) (у С Д"1)-
Действуя в соответствии с определением 9.28, получим
1	Му)
(70)	Д-i (У) = J / (У, xh) dxk = J g(y,xh)dxk.
о	о
Поскольку ge%(Ih), a X (Д’1), то из (70) следует, что
Д-! С $ (Р-1). Значит, последующие интегрирования не составляют
проблемы.
Если 0<е< 1, то положим <р (/) = 1 при —е, <р Д) =
= (1 — t)/e, на сегменте [1-—е, 1], <р (/) = 0 при Д>1, и пусть
F (х) = <р (Х1 + . .. +хА) f (х) (х С Д)-
Интегрирование
247
Тогда |FA-i(y) — /л-i (у) | С е |j/= [| при всех у £lhl, так что
(71)	| $ (F-D |<eyi|.
ih
Отметим, что неравенство (71) справедливо вне зависимости
от порядка, в котором производятся k однократных интегрирова-
ний; ввиду того что F £ ‘t? (/*), на интеграле F не сказывается
никакое изменение этого порядка; (71) показывает, что то же
верно и в отношении f.
Наша следующая теорема показывает, как действует на инте-
грал замена переменных. Для простоты мы ограничимся непре-
рывными функциями с компактным носителем.
9.32.	Теорема. Пусть Т — взаимно однозначное ‘в'-отображе-
ние открытого множества Е о в пространство Rk, такое,
что JT (х) ^0 при всех xQE. Если f — непрерывная функция на Rh
с компактным носителем, содержащимся в Т (£), то
(72)	J /(y)dy=p(7'(x))|Jr(x)|dx.
Rk	Нй
Напомним, что JT — якобиан отображения Т. Так как JT(x)^0,
то по теореме об обратной функции отображение 7'"1 непрерывно
на множестве Т (Е), и тем самым подинтегральная функция
в правой части равенства (72) имеет компактный носитель, содер-
жащийся в Е (теорема 4.14).
Поясним появление абсолютной величины якобиана JT(x) в (72).
Пусть k= 1. Предположим, что Т—взаимно однозначное ^'-отобра-
жение пространства R1 на R1. Тогда JT(x) = Т'(х). Если Т возраста-
ет, то, согласно теоремам 6.33 и 6.17, какова бы ни была непрерыв-
ная функция f с компактным носителем,
(73)	$ f(y)dy=l f(T(x))T'(x)dx.
Bl	fll
(Здесь можно обойтись и теоремой 6.16, так как функция Т'
непрерывна.) Но если Т убывает, то Т' (х)<0, и если функция f
положительна на внутренности своего носителя, то правая часть
равенства (73) отрицательна, а левая положительна. Верное
равенство получится, если Т' заменить в (73) на | Т' |.
Заметим, что интегралы, которые мы сейчас рассматриваем,—
это интегралы от функций по подмножествам пространства Rh,
и с этими подмножествами мы не связываем никакой ориентации
248
Гл, 9. Функции нескольких переменных
или направления. Мы встанем на другую точку зрения, когда
будем заниматься интегрированием дифференциальных форм
по поверхностям.
Доказательство. Из только что сделанных замечаний
следует, что (72) справедливо, если Т — простое ^'-отображение
(см. теорему 9.21), а теорема 9.29 показывает, что (72) верно
и в том случае, когда Т — линейное преобразование, меняющее
местами две координаты.
Если теорема верна для отображений Р, Q и если S (х) —Р (Q (х)),
то
$ f (z) dz - J f (P (y)) ! JP (y) I dy =
= Jf(B(Q(x)))|JP(Q (x))HJQ(x)|dx =
- U (5 (X)) I JS (X) ! dx,
так как
JP (Q (X)) JQ (x) = det P' (Q (x)) det Q' (x) =
= det P' (Q (x))Q'(x) = det S' (x) = Js (x),
согласно теореме об умножении определителей и правилу диф-
ференцирования сложной функции. Таким образом, теорема верна
и для S.
Каждая точка а С Е имеет окрестность U, в которой
Т (к) ~ Т (а) -Ь gft (Bftgft_, (. .. gl (Bj (x - a)))),
где gi, В, те же, что в теореме 9.21. Полагая V = Т (В’), получаем,
что (72) справедливо, если носитель функции f содержится в V.
Итак:
Каждая точка множества Т (В) имеет, окрестность V, такую,
что (72) справедливо для любой непрерывной функции f с носите-
лем, содержащимся в V.
Теперь пусть / — непрерывная функция с компактным носите-
лем К, содержащимся в Т (Е). Каждая точка убК служит центром
некоторого открытого шара V (у) радиуса г (у), такого, что (72)
выполняется для каждой непрерывной функции с носителем,
лежащими V (у). Поскольку множество К компактно, существуют
точки у1; . . ., ур, принадлежащие К и такие, что объединение
открытых шаров W-t с центром в уг и радиуса г (уг) покрывает К-
Пусть Р; (1 <t<p) —функция, непрерывная на Rh, с носите-
лем в V (yi), такая, что Р, (у)	1 на Положим а: = pt и
а>^(1-р1)(1-р2) ... (1 — р;-() Р;,
Интегрирование
249
«ли 2<С/<-'р. Легко проверить, что
«жГ-.-ч со, 1-(1 — Р1) (1 — р2) ... (1 - рр).
В каждой точке множества К обращается в нуль хотя бы один
из сомножителей последнего произведения, так что 2	(У) = ж
если у (ЕЛ. Носитель непрерывной функции a,f лежит в V (у;),
так что (72) выполняется при каждом ajf. Из равенства f = ^ajf
следует, что (72) справедливо и для f.
9.33.	Определение. Пусть f — вещественная функция,
определенная на открытом множестве Е с Rn, с частными произ-
водными Dif, . . Dnf (см. п. 9.13). Если функции Djf сами диф-
ференцируемы, то частные производные второго порядна функции f
определяются равенством
ZV = ZW (i, W, ..., п).
Если все эти функции Dtjf непрерывны на Е, то говорят, что
/•—функция класса на Е или что f^^"(E).
Говорят, что отображение f множества Е в пространство Rk
принадлежит классу на Е, если каждая его компонента при-
надлежит классу 4S".
Для простоты (и не умаляя общности) мы сформулируем нашу
следующую теорему для функций двух переменных.
9.34.	Теорема. Если Di2f и D2J непрерывны на открытом
множестве EczR2, то DiZf' D2if в Е.
Доказательство. Допустим, что DiZf (х) > D2if (х) в какой-
нибудь точке х множества Е. Из предположенной непрерывности
следует, что тогда существует прямоугольник R, содержа-
щийся в Е, определяемый неравенствами a^Zx^b,
и такой, что (D12f) (х, у) > (DZif) (х, у) при всех (х, у) £ R- Значит,
(74)	\ Di2f > Dzif.
к	н
Но
₽ - Ь
Dal = dy Di (D2f) (х, у) dx -=
1{	а а
0
- IW)(6, y)-(D2f) (a,y)]dy =
а
= f(b, ₽) —/(а, |3) — f(b. a) + f(a, а)
250
Гл. 9. Функции нескольких переменных
по основной теореме интегрального исчисления, а по теореме 9.29
тот же результат получится и для D21f, что противоречит
в
неравенству (74).
Дифференциальные формы
В этом разделе будет частично разработан аппарат, необходи-
мый для теоремы Стокса.
До сих пор мы рассматривали производные функций нескольких
переменных только для функций, определенных на открытых
множествах. Это было вызвано соображениями удобства и позво-
лило нам избежать трудностей, которые могут встретиться при
рассмотрении граничных точек. Однако теперь нам будет удобно
рассматривать дифференцируемые функции на компактных мно-
жествах. Поэтому мы примем следующее соглашение. Говоря,
что f есть ^'-отображение (или ^"-отображение) компактного
множества DdRk в пространство Rn, мы будем иметь в виду,
что существует ^'-отображение (или ^''-отображение) g некото-
рого открытого множества W cz R'1 в пространство Rn, такое, что
DczW и g(x) = f(x) при всех x£D.
9.35.	Определение. Пусть Е— открытое множество в Rn;
^'-отображение Ф некоторого компактного множества D с: Rk
в множество Е мы будем называть k-поверхностью в множестве Е.
Множество D называется множеством параметров поверх-
ности Ф. Точки множества D мы будем обозначать через и, так
ЧТО и = («!, . . . , Uk).
Мы будем иметь дело только с простейшей ситуацией, когда
D — или /г-клетка, или fe-симплекс Qk, описанный в примере 9.31.
Причина этого в том, что нам предстоит интегрировать по D,
а мы еще не развили теории интегрирования по более сложным
подмножествам пространства Rh. Мы увидим, что это ограниче-
ние. наложенное на D (мы будем его в дальнейшем, не оговари-
вая, предполагать выполненным) не влечет существенной потери
общности в теории дифференциальных форм.
Сравнение с определением 6.34 показывает, что 1-поверх-
ность— это не что иное, как непрерывно дифференцируемая
кривая.
9.36.	Определение. Пусть Е —открытое множество в про-
странстве Rn. Дифференциальной формой порядка £>1, опре-
деленной в Е (или, кратко, k-формой в Е) называется функция <о
на множестве ^-поверхностей, символически записываемая в виде
(75)	“=2ф1...«а (x)dMj А ••• A dxik
Дифференциальные формы
251
(индексы ц, ..., ih независимо пробегают множество 1, ...,п)
и сопоставляющая каждой fe-поверхности Ф в множестве Е число
<о (ф) = и в соответствии с правилом
ф
(76)	J 5	Ф1---гА (ф(и)) 3(4, du'
Ф D
где D—множество параметров поверхности Ф.
Функции аг1...(д предполагаются вещественными и непрерыв-
ными в Е. Если фь ..., <рп — компоненты отображения Ф, то яко-
биан в (76)—это якобиан отображения
(«1, . . ., Uk) -> (cpq (и), . . . , фгд (и)).
Заметим, что правая часть равенства (76) — интеграл по мно-
жеству D, описанный в п. 9.28 (или 9.31), и что (76) —опреде-
ление символа оз.
ф
Говорят, что fe-форма со принадлежит классу гё‘ или гё”, если
функции	в (75) принадлежит классу или
0-формой называют функцию, непрерывную на множестве Е.
Формы
(77)	dx^ /\ ... Д dxik
называют базисными /г-формами. Чтобы упростить обозначения,
мы часто будем употреблять символ р* только для базисных
/г-форм. Каждая /г-форма оказывается тогда суммой /г-форм
где f есть 0-форма.
В качестве простого примера рассмотрим 1-поверхность у в R2
(т. е. кривую класса ё') с множеством параметров [0, 1]. Если
<в = х2 dxt + х( dx2, то .
1
J ® = [у2 (О У1 (/) + Yi (0 Уг (01 dt = Y1 (1) у2(1) — Y1 (0) у2(0).
V О
Если у —замкнутая кривая, то со = О.
V
9.37.	Элементарные свойства /г-форм. Пусть со, (Oj, о)2
суть /г-формы в Е. Мы будем писать со4 — со2 тогда и только
тогда, когда o>j (Ф) = о)2 (Ф), какова бы ни была /г-поверхность Ф
в множестве Ё; в частности, о>=0 означает, что о)(Ф) = О для
всех ^-поверхностей Ф в множестве Е. Если с — вещественное
число, то си есть fe-форма, определенная равенством
СО) = с О).
ф ф
252
Гл. 9. Функции нескольких переменных
В частности, —со определяется так, что
(78)	—
ф	ф
и и .= о»! -|- со2 означает, что
(О = 0Ц +	С02
ф ф	ф
для всех ^-поверхностей Ф в множестве Е.
Согласно (78) и (76), из того, что определитель меняет знак
при перестановке двух его столбцов, следует, что выполняется
антикоммугпагпивный закон
(79)	dx, /\ dxj = — (dxj /\ dxt) (i, j = 1, .. ., n).
Полагая в (79) I /, получаем
(80)	dxi Д dxi — 0 (z — 1, - . , n).
Следовательно, каждая й-форма от п переменных — нулевая,
если k > п.
9.38.	Умножение. Пусть со есть /г-форма (75), a Z есть
/п-форма
(81)	= 2 bj^.j^dx^ Д ... Л dx}m
в Е, где /j,	независимо пробегают множество целых чисел
от 1 до п. Произведение этих форм, обозначаемое символом со Д X,
есть, по определению, (k 4- т)-форма
(82)	со Д Л =	; (х) bj j (к) dxi Д ...
1	ri	1	1I if	1
... Л dXih Д dx^ Д ... Д dxjm.
В сумме (82) индексы /ъ . . ., Д, Д, . . ., fm изменяются неза-
висимо от 1 до п.
Определенное так умножение, очевидно, ассоциативно и дистри-
бутивно по отношению к сложению, определенному в разделе 9.37.
Заметим, что ранее введенное обозначение
dxit Д • • • Д dxih
согласуется с нашим теперешним определением умножения.
9.39. Дифференцирование. Мы определим теперь опе-
ратор дифференцирования d, который каждой fe-форме класса <ё'
в множестве Е ставит в соответствие (/гД1)-форму в Е.
Дифференциальные формы	253
О-форма класса в Е — это просто вещественная функция
f Q'G'(Е), и мы полагаем, по определению,
(83)	df = 2 (Di/) (х) dxt.
i= 1
Если со = /|У‘, где —базисная ft-форма, то ее производной dm
называется (k ф-1 )-форма
(84)	dfo = (rf/)A₽\
где df — то же, что в (83), а произведение понимается в смысле
п. 9,38. Оператор d распространяется на суммы членов /ф'! (т. е.
на все ft-формы со) по аддитивности.
Часто форму dm называют внешней производной формы со,
а со Д л называют внешним произведением форм со и к. В соот-
ветствии с этим формальное исчисление, построением которого
мы сейчас занимаемся, называют внешним дифференциальным
исчислением.
9.40.	Теорема, (я) Если со и X суть k- и т-формы (соот-
ветственно) класса гё' в Е, то
(85)	d (со Д X) — (da) Д Хф- (— 1),! со Д dX.
(b) Если со — форма класса гв" в Е. то d2co = 0 в Е. Здесь с/2со
обозначает, разумеется, форму d (da).
Доказательство. Для доказательства равенства (85)
достаточно рассмотреть частный случай со —ДУ;, X = g[3"‘, где
Д g^'(E), а р'1, [У'* — базисные формы. Тогда
со Д И#ЛГ,
так что
(86)	с/(со f\E) = d(fg) ДГ АГ-
Согласно (83),
(87)	d(fg) = gdf-i- [ dg.
Соотношение антикоммутативности (79) показывает, что
(88)	(dg) ЛР* = (-1)Т Kdg.
Согласно (88), подставляя (87) в (86), получаем (85). Если f
есть 0-форма класса то
d*f - d ( 2 W) (х) dxj) -Ус/ (Djf) /\ dx} -
T= i	?= i
= 3 (E)tjf) (x) dxt /\ dxj.
254
Гл. 9. Функции нескольких переменных
Ввиду того что Dijf = Djif и dxl[\dxj= -—.dxjf\dxt, мы видим,
что d2f = 0. Если со — /р'1, то da = (df) Д , а так как d фй) = 0,
то из (85) следует, что d2u> = (d2f) Д рЛ = 0.
9.41.	Определение. Пусть Е—открытое множество в про-
странстве Rn, Т есть ^'-отображение множества Е на открытое
множество Vc/?"1, а со есть /г-форма в V:
® = 2	. ik (У) dyii Д ... Д dyih.
Тогда Т преобразует форму со в fe-форму сог в Е, заданную
следующим образом:
со-г = 3	.. ih (Т (к)) dt^	f\dtik,
где ti, ..., tm — компоненты отображения Т; другими словами,
если (рн ..., t/m) = T(x), то уг = /Дх) и в соответствии с (83)
dti = 2 (Djti) (х) dxj.
Наша следующая теорема показывает, что операции сложения,
умножения и дифференцирования форм определены так, что они
инвариантны относительно замены переменных.
9.42.	Теорема. Пусть Е и Т — те же, что в определе-
нии 9.41. Пусть со u X суть k- и т-формы (соответственно) eV.
Т огда
(а)	(со-рХ)т = сот + Хг, если k = m;
(b)	(соДХ)г = сотДХг;
(с)	d (сот) = (с/со)г,
если со — класса *ё', а Т—класса <ё”.
Доказательство, (а) и (Ь) вытекают непосредственно
из определений. Если f есть 0-форма класса 'ё' в V, то
fT(x) = f(T(x)), df = ^(Dif)(y)dyi.
Из правила дифференцирования следует, что
d (fT) - 2 (DjfT) (X) dXj = 2 2 W) (T (x)) (Djtt) (x) dXj =
i	j i
= Ъ<Ы)(Т(х))^.
i
Таким образом,
d(M = (df)T.
Допустим теперь, что со = где 0'! = dyt/\ ... /\dyi . Тогда
(fVi')r = dtiД .. . [\dtik и из теоремы 9.40 следует, что d((Рй)т) = О
(это единственное место, где мы используем предположение о том,
Дифференциальные формы
255
что Т £/&'). Поскольку
®Г=/т(р/!)т,
то (85) и (Ь) показывают теперь, что
d (®т) = d (fT) /\ (Р*)г = (ОТЛ (Р'!)т = ((df) Ьр)т =
= (d(o)T.
Тем самым доказано и (с).
Теперь мы переходим к другому важному свойству преобразо-
ваний дифференциальных форм.
9.43.	Теорема. Пусть Т есть 'ё'-отображение открытого
множества Е czRn в открытое множество V cz R г‘, S есть
<ё'-отображение множества V в открытое множество WczR‘\
а и является k-формой в W, так что (os есть k-форма в V,
и обе формы ((йз)т и <s>st суть k-формы в Е, где ST определяется
равенством (ST) (х) — S (Т (х)).
Тогда
(89)	(4>s)t = o>st-
Доказательство. Если со и X — формы в W7, то, как пока-
зывает теорема 9.42,
((®A^)s)t = ((osA^s)t = (®s)tA(^s)t
и
(w A E)sr = ®srA ^st-
Таким образом, если (89) выполняется для со и для X, то (89)
выполняется и для соА^- Поскольку каждую форму можно
построить из 0-форм и 1-форм с помощью операций сложения
и умножения и поскольку (89) выполняется тривиальным образом
для 0-форм, то достаточно доказать (89) в том случае, когда
co = dzQ, q=l, ..., р. (Мы обозначаем точки множеств Е, V, W
через х, у, z соответственно.)
Пусть ti, ..., tm—компоненты отображения Т, slt ..., sp—
компоненты отображения S, a rf, ..., гр — компоненты отображе-
ния ST. Если (p = dzq, то
(Ps==dsq = ^l (DjSq) dyj,
1
так что по правилу дифференцирования (см. пример 9.14)
(ы8)г = ЗС0К) (T(x))dA=
j
= 2(^)(?(Х))2(ВД WdX; =
j	i
= (Dlrq) (*) dxt = drq = (OST-
256
Г л. 9. Функции нескольких переменных
9.44.	Т е о р е м а. Пусть и есть k-форма в открытом мно-
жестве Е с; Rn, Ф есть k-поверхность в Е с множеством пара-
метров DczRk, а А есть k-поверхность в Rk с множеством
параметров D, определенная mam. А (и) = и (и £ Е>). Тогда
0)(Оф.
ф д
Доказательство. Нам достаточно рассмотреть только
случай
to = a^)dXii/\ .. . /\dxih.
Если фи ..., (рп— компоненты отображения Ф, то
соф =- а (Ф (u)) d(pij Д .. . /\dffi..
Теорема будет доказана, если мы установим, что
(90)	/\. .. /\dyih=--J (u) dtp/X ... Ad«ft,
где
д (х, , .. ., л- )
J (и) -	,. 1-------k- ,
' д (щ......uh)
поскольку из (90) следует, что
со = а (Ф (и)) J (и) du =
Ф D
С	г
= \ а (Ф (и)) J (и) dux Д ,., Д \ <оф.
д	д
Пусть [Л]— матрица из k строк и k столбцов с .элементами
«(р. <?) = (ОЧФ1Р)(u) (р,	•••, k)-
Тогда
def. =Sa(p, (])duq,
р q
так что
d<Pit А • •. Д<*ф.й = 3 а (С Pi) •  • а (С <7л)	  • l\du<ih-
В последней сумме ал, . .., qh изменяются независимо от 1
до k. Из закона антикоммутативности (79) следует, что
dUq^/x ... Д dllqk — S (91, •••, Qk) dtp Д ... /\dUfr,
где s — то же, что в определении 9.22. Применяя это определе-
ние, мы видим, что
<*Ф>4Л ... Ad(piA = det [Л] dtp Д ... /\duk,
а так как J (u) = det [Л], то (90) доказано.
Симплексы и цепи
257
Комбинируя две последние теоремы, получаем заключитель-
ный результат этого раздела.
9.45.	Теорема. Пусть Т есть ЧТ-отображение открытого
множества Е c.Rn в открытое множество V о Ф есть
k-поверхность в Е, а со есть k-форма в V. Тогда
со — сог.
ТФ Ф
Доказательство. Пусть D — множество параметров поверх-
ности Ф (и тем самым поверхности ТФ). Определим А, как
в теореме 9.44. Применяя эту теорему к сог и Ф, получаем
~	\	(®т)ф*
Ф д
Применяя этот результат к со и к ТФ, получаем
СО = СОуф.
ТФ д
Но (сог)ф = со уф по теореме 9.43. Теорема доказана.
Симплексы и цепи
9.46.	Определения. При Л = 1, 2, 3, ... мы определяем
стандартный симплекс Qk как множество всех u £ Rh вида
k	k
u=Saiei («<>0 при i = l, .... k и 2аг<1),
i=l	1
где {ef, ..., eft}—стандартный базис пространства Rh.
Если р0, рв ..., pft—точки пространства Rn и А—линейное
отображение пространства Rh в пространство Rn, определяемое
равенствами Ле, =р,—р0 (i — 1, ..., k), то ориентированным пря-
молинейным k-симплексом
(91)	<т = [Ро, Рь •••» Рл1
называется /г-поверхность в Rn с множеством параметров Q*,
заданная равенством
(92)	<т(и) = р0 + Ли (uGQft).
Заметим, что ст (0) = р0, ст (ег) = р, при i — 1, ..., k.
Мы называем симплекс ст ориентированным, чтобы подчеркнуть,
что порядок вершин р0, ..., р& следует учитывать. Если
с: = [Р«о» .... PiJ,
258
Гл. 9. Функции нескольких переменных
где {i0, ilt ih} — перестановка множества {0, 1,	k}, то
мы будем писать
a = s(t0, ii, ц)ст,
где s — функция, определенная в п. 9.22. Таким образом, ст = ± ст
в зависимости от того, какое из двух равенств s = 1 или s = — 1
выполняется. Строго говоря, считая (91) и (92) определением
симплекса ст, мы имеем право писать ст = ст только в том случае,
когда го = О, •••» = хотя бы s (i0, ..., Д) и равнялось 1,
так что, строго говоря, здесь мы имеем дело не с равенством,
а с отношением эквивалентности. Однако для наших целей такое
обозначение оправдано, как показывает теорема 9.47.
Если ст = ест (мы следуем только что принятому соглашению)
и если е — 1, то говорят, что ст и ст имеют одинаковую ориента-
цию; если е=—1, то говорят, что ст и ст имеют противополож-
ные ориентации. Заметим, что мы не определяем, что такое
«ориентация симплекса». То, что мы определили—-это отношение
между парами симплексов, имеющих одно и то же множество
вершин, т. е. свойство двух таких симплексов иметь одинаковую
ориентацию.
До сих пор мы предполагали, что /г>1. Ориентированным
0-симплексом называется точка, которой приписан некоторый знак.
Мы пишем ст= +ро или ст= —р0. Если ст = ер0 (е = ± 1) и если f
есть 0-форма (т. е. вещественная функция), то мы полагаем,
по определению,
J / = е/(р0).
о
9.47.	Теорема. Если а—ориентированный прямолинейный
k-симплекс в открытом множестве Е cz Rn и если о = ест, то
(93)	со = 8 со
5
для любой k-формы со в Е.
Доказательство. Если k = 0, то (93) следует из преды-
дущего определения. Итак, будем считать, что /г>1 и что ст—
симплекс (91).	_
Пусть l<j<fe, и пусть ст получается из ст перестановкой
вершин Ро и pj. Тогда е= — 1 и
ст (и) = р7 + Ви (и£<2'‘),
Симплексы и цепи
259
где В — линейное отображение пространства Rh в пространство Rn,
определенное равенствами Веу = р0—ру, Вег=р; — ру, если i^j.
Обозначая Лег = хг (1<1</г), где А задано равенствами (92),
мы видим, что столбцы матрицы [5] (т. е. векторы Вег) таковы
Xj Ху, . . ., Xy-i Ху,— Ху, Xy+i Ху, * . •, Xfc Ху.
Если вычесть из каждого столбца /-й столбец, то ни один
из определителей в (76) не изменится, и мы получим столбцы
Xj, ..., Ху-1т —Ху, Ху+1, ..., хд. Они отличаются от соответ-
ствующих столбцов матрицы [Д] только знаком /-го столбца.
Значит, в этом случае (93) доказано.
Пусть теперь 0 <Zi <Z j и пусть ст получается из ст пере-
становкой вершин рг и ру. Тогда ст (и) = р0 + Си, где [С] имеет
те же столбцы, что и [Л], за исключением i-го и /-го, которые
переставлены. Отсюда снова следует, что выполняется (93), так
как е = — 1.
Поэтому (93) выполняется и в общем случае, так как каждая
перестановка множества {О, I, ..., k} равна суперпозиции пере-
становок, с которыми мы уже имели дело.
9.48.	Определение. Прямолинейной k-цепью Г в открытом
множестве Е сд Rn называется семейство, состоящее из конеч-
ного числа ориентированных ^-симплексов ..., стг в Е (не обя-
зательно различных).
Если Г—такая цепь и если со есть fe-форма а Е, то, по опре-
делению, полагаем
(94)	со = со.
Г i=l
Мы можем рассматривать fe-поверхность Ф в Е как функцию,
определенную на множестве всех й-форм со в Е, сопоставляю-
щую каждой форме со число со. Вещественные функции можно
ф
складывать (см. определение 4.3), поэтому (94) подсказывает
следующее обозначение:
(95)	Г = CTjстг.
Например, если ст2= —CTt и Г — оу -(- ст2, то со = О при всех со.
г
В этом случае можно записать Г = 0.
260	Гл. 9. Функции нескольких переменных
При k — \, 2, 3, ... границей ориентированного прямолиней-
ного fe-симплекса а = [р0, ри ..., рА] называется прямолинейная
(k— 1)-цепь
h
(96)	да = 2 (—1)? [Ро...Py-i, Р;+1, • • •, Рл].
?=о
Например, если ст = [р0, рь р2], то
дст = ]Р1, р2] —[р0, р2] + [Ро, Р11 = [Ро, Р11 +1Р1, Р2] + [Р2, Ро!»
Это совпадает с обычным определением ориентированной гра-
ницы треугольника.
Заметим, что если	то симплекс ст^ = [р0, .
Р/+1, Ра1, фигурирующий в (96), имеет Q*-1 своим множеством
параметров, и что он определяется так:
(97)	a;(u) = p04-Bu (i^Q*-1),
где В —линейное отображение из В'1-1 в Rn, определяемое равен-
ствами
Ве; =р—р0,
если	—1, Вег = р;+1 —р0, если	— 1. Симплекс
°0 = [Р1, Рг, • • • , Pftl>
который тоже участвует в (96), задается как отображение
во (u) = p! + Bu,
где Ве, = рг+1 — Pi при 1 <1 i < k—1.
9.49.	Определение. Пусть Т есть ^"-отображение откры-
того множества Е cz Rn в открытое множество V cz В"1, не обяза-
тельно взаимно однозначное. Если ст — ориентированный прямо-
линейный /г-симплекс в Е, то сложное отображение Ф = 7'(ст)
есть /г-поверхность в V с множеством параметров Qk. Мы будем
называть Ф ориентированным k-симплексом класса <ё”.
Конечное семейство ¥ ориентированных /г-симплексов Ф,, ...
..., Фг класса 4S" в V называется k-цепью класса Ч&" в V; если
со есть fe-форма в V, то, по определению, полагаем
(98)	<в — 2 ®
Чг 1=1 Фг
и используем соответствующее обозначение Т = 2 Если
Г = 2 ai — прямолинейная цепь и Ф4 = Т(ст;), то мы будем писать
ф' = 7"(Г), или
Т^а^^Т^).
Теорема Стокса
261
Граница дФ ориентированного й-симплекса Ф = Т (а) — это,
по определению, (k — 1)-цепь
дФ = Т(да).
Очевидно, что дФ принадлежит классу '6", если Ф принадлежит
этому классу.
Наконец, мы определяем границу ду¥ некоторой й-цепи
Чг = 2 Ф< как (й — 1)-цепь
(99)
Теорема Стокса
Формулируя эту теорему, мы будем пользоваться терминоло-
гией и обозначениями из п. 9.49.
9.50.	Теорема. Если Т есть k-цепь класса 'S" в открытом
множестве V cz Rm и если <о есть (к — \)-форма класса & eV,
то
(100)	w.
Ж &V
(В случае k = m — 2 эту теорему называют теоремой Грина.
В случае k — m—1 эта теорема —не что иное, как основная тео-
рема интегрального исчисления.)
Доказательство. Достаточно доказать, что
(101)	Ло= со
Ф дФ
для каждого ориентированного й-симплекса Ф класса S?" в V,
так как если доказано (101), а Чг = 2(1,ь т0 из (99) следует,
что (100) тоже выполняется.
Зафиксируем такое Ф, и пусть о —ориентированный прямоли-
нейный й-симплекс в Rh:
(102)	а= [0, еь ..., ед].
Этот симплекс а —просто тождественное отображение на Qft;
в обозначениях (92) здесь р0 = 0, Д = /.
Ввиду того что Ф — класса <&" в V, существует открытое мно-
жество Е cz R\ содержащее Qk, и ^’’-отображение Т множества
Е в V, такое, что Ф = Т(о). Левая часть равенства (101) равна
(dw)r= d(tt>r),
Т(а) а	а
262
Гл. 9. Функции нескольких переменных
согласно теоремам 9.45 и 9.42 (с). Еще раз применяя 9.45,
мы видим, что правую часть равенства (101) можно записать
в следующем виде:
со = со = сог.
0(Т(о))	Т(0о) во
Таким образом, достаточно доказать, что
(103)	J с/Х= jj X
а	0а
для специального симплекса (102) и произвольной (k — 1)-формы
класса в Е.
Граница симплекса (102) равна
k
[е1т ..., еА] + 2 (— I)7 (°, • • •» ej-j, еЯ1, ..., eft),
3=1
согласно (96). Передвинем элемент 0 в /-м слагаемом этой суммы
так, чтобы он оказался между ej-i и eJ+l. Это можно сделать
с помощью / —1 транспозиций. Значит,
k
(104)	d<j = T0-2b-,
?=i
где т0=[е1, ...,efc] и Xj получается из т0 заменой е7- на О,
j — 1, .. ., k.
Если &=1, то из определения ориентированного 0-симплекса
вытекает, что в (103) утверждается всего лишь следующее:
1
$ )'(п)с/п = /(1)-/(0)
о
для любой непрерывно дифференцируемой функции f на [0, 1];
это утверждение справедливо, согласно основной теореме инте-
грального исчисления.
Если /г>1, то достаточно доказать (103) для
(105)	X^--a(x')dx2/\.../\dxk,
где а^ё’(Е), так как (104) показывает, что то же самое будет
тогда справедливо и для любой формы afT-1, а любая (/г — 1)-форма
равна сумме форм вида «(И1.
Множеством параметров для симплексов т0, ..., xh служит
симплекс Q1--1. Если u = (Uj, . . ., i^-i) 6 QA-1, a x = (xlt . ..,xft) =
= T0(u), TO
(106)	%!= 1—Xi^Ui-t для 2<л</г.
Упражнения
263
Если x = T!(u), то
(107)	^ = 0, Xi-^Ui-i для
Если х = тДи) и 2</<&, то Xj = 0. Следовательно, якобиан
д(х2, , ,., хд)
d(«i, .... ид_,)
равен 1 для т0 и Tj и равен нулю для т2, . . Тд. Таким образом,
Л = 0	(/ = 2, ..., k).
XJ
Отсюда будет следовать (103) после того, как мы покажем, что
(108)	jj J X— К.
о	То]] Г1
Левая часть равенства (108) равна
(109)	(D{a) (x)dx,
Qk
так как dX = (Dta) (х) dxj /\dx2/\ ... /\dxh, a a — тождественное
отображение на Q1*.
Вычисляя й-кратный интеграл (109) интегрированием по лу,
получаем
jj [а(т„(и))— a(Tj (u))]du,
Qh-i
согласно (106) и (107), что в свою очередь равно правой части
равенства (108). Теперь доказательство закончено.
Упражнения
1.	Доказать, что каждому А 6 L (Rn, R1) соответствует един-
ственная точка у6 7?п, такая, что Дх = х-у. Доказать, что ||Д|| =
= (У I-
Указание. При некоторых условиях неравенство Шварца пре-
вращается в равенство.
2.	Доказать, что функция f непрерывна в точке х, если
7JJ. ..., Dnf ограничены в некоторой окрестности этой точки.
Указание. Действовать так же, как при доказательстве тео-
ремы 9.16.
3.	Пусть / — вещественная дифференцируемая функция на от-
крытом множестве Е cz Rn, и пусть f имеет локальный макси-
мум в точке х£Е. Доказать, что /' (х) = 0.
264
Гл. 9. Функции нескольких переменных
4.	Пусть (£>,/) (х) = О при всех х из выпуклого открытого
множества Е cz Rn. Доказать, что f (х) зависит только от х2, ..., хп.
Показать, что выпуклость множества Е можно заменить более
слабым условием, но что какое-то условие все-таки требуется.
Например, если п — 2, а множество Е имеет форму подковы,
то утверждение может и не быть верным.
5.	Пусть / — вещественная дифференцируемая функция на связ-
ном открытом множестве Е cz Rn, и пусть /'(х) = 0 при всех
х^£. Доказать, что / постоянна на Е.
6.	Вычислить /'(х), если /(х) = |х|2 при xg£n.
7.	Пусть / (0, 0) = О и
у2 - f/2
/ (х, у) = ху -х2 + Уу2 , если (х, у) =£ (0, 0).
Доказать, что
(a)	f, DJ, D2f непрерывны на R2;
(b)	D12f, D2if существуют в каждой точке пространства R2
и непрерывны всюду, кроме точки (0, 0);
(с)	(О12/)(0, 0)=1, (£21/)(0, 0)=-1.
8.	Из существования (и даже из непрерывности) производ-
ной О12/ не следует существование производной DJ. Например,
пусть / (х, у) = g (х), где g — нигде не дифференцируемая функ-
ция. Тогда Dtf не существует, но D2f = Q, так что £>12/ = 0.
9.	Положим / (0, 0) = 0 и
f (*. у) =	. если (*> У) (0> °)-
Тогда функция / непрерывна в R2. а ее сужение на любую пря-
мую дифференцируемо. Более того, покажите что если у —любая
дифференцируемая кривая в R2, то функция / (у) дифференци-
руема. Это значит, что если у —дифференцируемое отображение
сегмента [0, 1] в пространство R2 и если g (/) = / (у (/)), то функ-
ция g дифференцируема на [0, 1]. Покажите, что если у,
то и / (у) £
Доказать, что, несмотря на это, функция / не дифференцируема
в точке (0, 0).
10.	Показать, что непрерывность производной /' существенна
в теореме об обратной функции, даже в том случае, когда п = 1.
Если / (/) = t -Ь 2£ sin (1 It) при / =/= 0, /(0) = 0, то /'(0)=И=0, /'
ограничена на (— 1, 1), но / не взаимно однозначна ни в какой
окрестности точки 0.
И. Пусть / — вещественная дифференцируемая функция
на открытом множестве Е cz Rn. Назовем градиентом функции /
в точке х£Е вектор (V/)(x)^£n, такой, что
h-(V/) (x)-/'(x)h
Упражнения
265
при всех hg/?n (ср. с упражнением 1). Если u £Rn — единичный
вектор (т. е. если ju| = l), то предел
(£\J) (х) = lim у [f (х -И /и) — f (х)]
<->о 1
назовем производной функции f в направлении вектора и в точке х.
Доказать, что
W) (x) = u-(Vf) (х)
и что, стало быть, для любого х £ Е существует вектор и, такой,
что
\(Duf) (x)| = |(V/) (х) | = ||Г (х) ||.
Если (V/)(x)^0, то такой вектор и —единственный.
12.	Пусть f— отображение, которое точке (х, y)^R2 ставит
в соответствие точку (и, v)£R2, где
и = ех cos у, v — ex sin у.
Каково множество значений отображения f? Показать, что
якобиан этого отображения отличен от нуля во всех точках про-
странства R2. Таким образом, каждая точка пространства R2
обладает окрестностью, на которой отображение f взаимно одно-
значно. Тем не менее f не является взаимно однозначным на R2.
Каковы образы прямых, параллельных координатным осям,
при отображении f?
13.	Исследовать аналогичным образом отображение
и = х2 — г/2, v = 2ху.
14.	Из системы уравнений
Зх + у —г + п2 = 0,
х — у-]-2г-г и = 0,
2х -г 2у — Зг -|- 2и — 0
можно х, у, и выразить через г; х, г, и через у, у, z, и через х;
но нельзя выразить х, у, z через и.
15.	В теореме о неявной функции положить я = т— 1 и истол-
ковать эту теорему графически.
16.	Положим 1 = (Л, /2)> где
=	((х,у)^(0,0)).
Вычислить ранг преобразования Г (х, у) и найти множество
значений отображения f.
17.	Переставляющие преобразования Д действительно нужны
в теореме 9.21. Чтобы убедиться в этом, покажите, что отобра-
266
Гл. 9. Функции нескольких переменных
жение (х, у) —»(у, х) пространства R2 на R2 нельзя разложить
в произведение двух простых преобразований ни в какой окрест-
ности начала. Найти другие примеры этого явления.
18.	Пусть f —то же, что в теореме 9.21. Положим Д = Г(0),
fi (х) = Д-1Т (х). Тогда fi(0) = /. Показать, что
*1 W = gn (gn-l(.-.(gl (х)))
в некоторой окрестности нуля, где gn ..., gn —простые отобра-
жения. Таким образом, мы получаем другую теорему о разло-
жении:
f(x) = ^gn(gn-i(-.-(gi (х))).
19.	Пусть <рг — функция, непрерывная на R1 (1 = 1,2, 3, ...)
с носителем в интервале (2~1 21-г), такая, что q>i = l. Положим
со
f (х, у) = 2 [<pi М — <Рж (*)] Ф1 (У)-
1=1
Тогда f имеет компактный носитель, непрерывна всюду, кроме
точки (0, 0), и
\ dy \ f (х, у) dx = 0, но \ dx \ f (х, y)dy=\.
J V	J J
Заметьте, что / не ограничена в каждой окрестности точки
(0, 0).
1
20.	Пусть F (х) — f (х, у) dy. Рассматривая разностные отно-
-1
шения и переходя к пределу, найти условия, при которых
1
f'(x)=	(Z?J)(x, y)dy,
-1
т. е. условия, которые позволяют «дифференцировать под знаком
интеграла».
Вот контрпример: при х>0 положим
f (х, у) =
у, если 0<у^]/х,
2 Ух— у, если Ух<Су 2 Ух,
0, в прочих случаях
и положим f( — x, — у) = — f (х, у). Тогда функция f непрерывна
на R2,
(DJ) (0, 1/)=0
при всех у, но F (х) = х, если | х | < ~ .
Упражнения
267
21.	Пусть со и % Суть k- и m-формы соответственно. Какова
связь между со ДА. и ЛДсо?
22.	Доказать, что каждая /г-форма со в открытом множестве
Е cz Rn может быть приведена к стандартному виду
®=. . 2 .	.. /\dxik.
г1<г2<-<гЬ
Показать, что если со -=0, т. е. если со = 0 для всех &-поверх-
ф
ностей Ф в Е, то все коэффициенты в этой стандартной записи
равны нулю. Показать, что поэтому каждая форма со единствен-
ным образом приводится к стандартному виду.
23.	Показать, что (72) можно записать в виде
J f (y)dy = j f (x)) dyi Д ... Д dyh,
если T(x) = (yt, ...,yk) и если JT(x)>0.
24.	Найти условия, при которых верна формула
/со= J (df) Д со+ jj f Д dw,
ОФ	Ф	Ф
и показать, что ее частным случаем является формула интегри-
рования по частям.
25.	Пусть а есть /г-симплекс (k >2). Показать, что д2о = 0,
исходя непосредственно из определения граничного оператора д.
Иными словами, «граница границы» равна нулю. Отметим, что
это утверждение согласуется с теоремой Стокса:
со = da> = d2co = 0.
с)2ф эф	ф
26.	Пусть Ф есть ^-поверхность с множеством параметров
пусть Ф*-=Ф((Д) —множество значений отображения Ф; если
•ф= ]>]фг есть й-цепь, то положим, по определению, ф*= (J ФД
Пусть
Ф(х) = ~г(-г1 + -.-+^)4 (x£QA).
I л I
Показать, что Ф —ориентированный симплекс класса <ё" в R'1
и что Ф* заполняет часть замкнутого единичного шара В1г про-
странства R'1. (Показатель 4 обеспечивает дифференцируемость
в начале координат.)
Показать, что существует fe-цепь ф класса в R\ такая,
что ф* = 5'!, и такая, что (дф)* — единичная сфера Sh~l, т. е.
множество всех x(zR\ таких, что |х| = 1.
268
Гл. 9. Функции нескольких переменных
Этот пример показывает, что 'Й'-образ прямолинейной цепи
вполне может быть «круглым», так что теорема 9.50 применима
к разнообразным множествам.
27.	Положить k = 3 в упражнении 26 и воспользоваться тео-
ремой Стокса для вычисления интеграла
(х dy Д dz-\- у dz /\dx-\- z dx /\ dy).
S’?
Вычислить при fe = 2 интегралы xdy — ydx и xdy-]-ydx.
ST	д'?
28.	Пусть со == 2 в] (х) dxj есть 1-форма класса <ё' на откры-
том множестве Е cz Rn. Назовем форму со замкнутой, если
dco = 0. Назовем форму со точной в Е, если существует 0-форма
f в Е, такая, что w^df.
(а)	Доказать, что со замкнута тогда и только тогда, когда
Diaj^ Djai при 1	1 </Д п.
(Ь)	Доказать, что если со точна, то со замкнута.
(с)	Пусть множество Е выпукло, а форма со замкнута. Дока-
зать, что со точна в Е.
Указание. Зафиксируем р0 £ Е, положим f (р) = со при р£Е,
где интеграл берется по ориентированному прямолинейному сим-
плексу [ро, р]. Применить теорему Стокса к прямолинейным-
2-симплексам в Е. Показать, что
1
/(У) —/ (х) = 2	J cz;((l—/)х-НуЖ
о
если х££, у(ЕД и что df = a.
Таким образом, утверждение, обратное к (&), верно, если мно-
жество Е выпукло.
(d)	Пусть Т — взаимно однозначное ^''-отображение выпуклого
открытого множества Е на открытое множество V. Доказать,
что каждая замкнутая 1-форма cd в V точна в V.
Указание. Воспользоваться определением 9.41. Согласно (с)>
(£>T = df в Е и существует 0-форма g в V, такая, что f = gT-
Тогда (£>T = d (gT) = (dg)T, так что (p = dg.
(е)	Доказать, что если V — то же, что в (d), если у—замкну-
тая ^'-кривая в V, а со —замкнутая 1-форма в V, то
со = 0.
v
Упражнения
269
(/) Показать, что утверждения (cZ) и (е) становятся невер-
ными, если V — пространство 7?2, из которого удалено начало
координат, и если
со
у dx—х dy
x2+«/2'
29.	Пусть Ф есть 2-поверхность в R3 с множеством парамет-
ров D. пусть Ф(м, v) — (х, у, z). Назовем нормалью к поверх-
ности Ф в точке (и, v) вектор
,л__ д(У’ г) р I д (?’ х) р | д<-х- у) р
V' д (и, v) 1 ' д(и, v) 2 ' д(и, v) ез‘
Чем объясняется эта терминология? Если / — функция, непрерыв-
ная на Ф* (см. упражнение 26), то положим
f = f (Ф (u, v)) | N (и, и) | du dv.
Ф* D
Если / = 1, то этот интеграл называют площадью поверхности Ф.
Показать, что определение площади дает естественные результаты
в том случае, когда Ф —линейное отображение, когда Ф опре-
деляется равенствами
x=cosusint>, y = sinusint>, z = cosu (0<СиС2л, 0<гСл)
30.	Пусть F = (F1, F2, Ез) есть ^'-отображение открытого
множества Е с: R3 в пространство R3 (в физике такое отображе-
ние называют векторным полем). Дивергенция и вихрь (ротор)
поля F определяются равенствами
V • F = DiFi + D2F 2 D3F з,
V X F = (О2Д - Е>зЕ2) е, +	- DtF3) е2 + (D,F2 - DJ\) e3.
С полем F связаны две дифференциальные формы:
со = Ft dx 4- F2 dy ф- F3 dz,
X — Ftdy f\ dz-\-F2dz Д dx---F3dx Д dy.
(а)	Доказать, что V-(VxF) = 0, если F^'S".
(b)	Доказать, что VxF = 0, если F = Vf при некоторой /g't?".
(с)	Доказать утверждение, обратное к (Ь): если V — то же,
что в упражнении 28 (d), и если VxF = 0 в V, то F = V/ при
некоторой f класса ’ё" в V.
Указание: F = Vf означает, что a> = df; связать da> с V X F.
(d)	Пусть Чг есть 3-цепь класса в множестве Е, пусть
ф = 5Чг. Применяя к % теорему Стокса, получить «теорему
270
Гл. 9. Функции нескольких переменных
о дивергенции» Гаусса:
J V F= jj Fn,
ЦТ*	ф*
где n = N/|N| в обозначениях упражнения 29.
(е)	Пусть Ф есть 2-цепь класса в множестве Е, и пусть
Г = дФ. Применяя к со теорему Стокса, получить формулу
VxF= J F-t,
ф* г*
где F-t —«касательная составляющая поля F вдоль Г». (Мы предо-
ставляем читателю выяснить точный смысл этой последней фразы.)
31.	Пусть F = /Vg, где f и g класса 'ё" в открытом мно-
жестве Е cz R3. Применяя результат упражнения 30 (d), получить
тождество
$ (V/)-(Vg)+ J f^g=\
V*	Ф*
где \2g = V-(Vg'), dg/dn — (Vg')-n, а Ф = дЧг.
(а)	Что дает это тождество в том случае, когда f = l, a g —
гармоническая функция (т. е. V2g = 0)?
(b)	Пусть g гармонична в Е и g = 0 на Ф*. Полагая в послед-
нем тождестве f^-g, доказать, что g = 0 на ¥*.
ГЛАВА |Q
ТЕОРИЯ ЛЕБЕГА
Цель этой главы — изложить основные понятия лебеговой
теории меры и интеграла и в довольно общем виде доказать
некоторые важнейшие теоремы, не затемняя основных идей мно-
жеством сравнительно тривиальных деталей. Поэтому в некото-
рых случаях доказательства лишь намечаются, а некоторые более
легкие предложения формулируются без доказательства. Однако
читателю, овладевшему техникой, применявшейся в предыдущих
главах, нетрудно будет восстановить пропущенные этапы рас-
суждений.
Теорию интеграла Лебега можно излагать несколькими различ-
ными способами. Из них здесь будет обсуждаться лишь один.
Что касается других возможных способов, то за ними мы отсы-
лаем читателя к специальным курсам по теории интеграла, пере-
численным в библиографии.
Функции множества
Пусть А и В — какие-нибудь множества. Символом А —В мы
будем обозначать множество всех элементов х, таких, что х£А,
х^В. Обозначение А — В применяется не только тогда, когда
В а А. Пустое множество будет обозначаться символом 0, и мы
будем говорить, что множества А и В не пересекаются, если
A f] В=0.
10.1.	Определение. Множество 31, состоящее из мно-
жеств, называется кольцом, если из того, что Л0Й и В б 3),
следует, что
(1)	А[)В£А?, А — В{3?.
Ввиду того что Af]B=A —(Л —В), верно также, что Л|"|В£Л?,
если 31— кольцо.
Кольцо 31 называется о-кольцом, если
и ап е 31,
п= 1
(2)
272
Гл. 10. Теория Лебега
каковы бы ни были множества Дп£.й (п = 1, 2, 3, . ..). Поскольку
Л Л„ = Л- U (Л-Л),
П=1	П=1
то мы имеем также
П Л6.^,
п=1
если 31 есть о-кольцо.
10.2.	Определение. Мы будем говорить, что ф —функция
множества, определенная на 34, если ф каждому множеству
А Г.31 сопоставляет число <р(Л), принадлежащее расширенной
системе вещественных чисел. Функция ф называется аддитивной,
если из того, что А[)В=0, А£3?, В ^31, следует
(3)	Ф(ЛиВ) = Ф(Л) + ф(5),
и ф называется счетно-аддитивной, если из того, что Atf]Aj —
= 0	j), An(;3t (n = 1, 2, 3, ...), следует
от	“
(4)	Ф(Л 4)=2ф(4).
П—1	•	п=1
Мы всегда будем предполагать, что не более чем одно из чисел
+ со и — оо принадлежит множеству значений функции <р;
если бы это было не так, то правая часть равенства (3) могла бы
не иметь смысла. Кроме того, мы исключим из рассмотрения
функции множества, единственным значением которых служит
4- оо или — оо.
Интересно отметить, что левая часть равенства (4) не зависит
от порядка, в котором расположены множества Ап. Значит, из
теоремы о перестановках ряда следует, что ряд в правой части
равенства (4) сходится абсолютно, если вообще сходится; если же
он расходится, то его частные суммы стремятся к 4- оо или
к — со.
Если функция ф аддитивна, то, как легко видеть, она обла-
дает следующими свойствами:
(5)	ф(0) = О,
(6)	ф(А и-..иЛ) = Ф(Л)+...+Ф(Л),
если Aif]Aj=0 при
(7)	ф (41 U А2) + ф (Xi Q А2) = ф (Л1) ф (Лг)*
Если ф(Д)>0 при всех А и At с А2, то
(8)	ф(Д1)<ф(Л2).
Построение меры Лебега
273
Имея в виду это неравенство, неотрицательные функции мно-
жества часто называют монотонными. Наконец,
(9)	ф(Л-В) = Ф(Л)-<р(В),
если В с А и | <р (В) | < оо.
10.3.	Теор ем а. Пусть <р—счетно-аддитивная функция мно-
жества, определенная на кольце 31. Пусть An£3l (п= 1, 2, 3, ...),
At cz А2 сг Аз cz ..., А £ 31 и
СО
л= и Ап.
п=-1
Тогда при п—> со
Ф (Ап) -><р (Л).
Доказательство. Пусть Л^- Д и
Вп==Ап — An_t	(п = 2, 3, ...).
Тогда = 0 при i^=j, Лп^В^.-.и^ и Л=1)5П-
Значит,
ф (Л) =•= S Ф (В;)
г —1
И
Ф(Л)= 2 ф(б0-
i=l
Построение меры Лебега
10.4.	Определе ние. Пусть Rv обозначает р-мерное евкли-
дово пространство. Прямоугольником в R9 мы называем мно-
жество всех точек х = (хь ...,хр), таких, что
(10)	aiCXiC&i (i=l, ...,р),
или же множество точек, определяемое неравенствами (10),
в которых некоторые (или все) знаки С заменены на <. Воз-
можность равенства а, =-- Ь, при каком-нибудь значении i не исклю-
чается; в частности, пустое множество—тоже прямоугольник1).
Если Л— объединение конечного числа прямоугольников, то
говорят, что А — элементарное множество.
Пусть / — прямоугольник; положим, по определению,
р
1) Однако возможность неравенства а; > 6, следует исключить заранее,
так как в противном случае число т (0) (см. ниже) не будет определено одно-
значно.— Прим, перев.
274
Гл. 10. Теория Лебега
вне зависимости от того, включается или нет знак равенства
в неравенства (10).
Если А — Ц U ... (J 1п и эти прямоугольники попарно не пере-
секаются, то мы полагаем
(11)	m(A) = m(Ii)+ ... +т(1п).
Обозначим буквой g множество всех элементарных подмно-
жеств пространства Rp.
Теперь следует убедиться в том, что
(12)	<£— кольцо, но не ст-кольцо.
(13)	Если А££, то А представимо в виде объединения непере-
секающихся прямоугольников.
(14)	Если Л то т(Л) действительно определено равенством
(11). Это значит, что, исходя из двух различных представ-
лений множества А в виде объединения непересекающихся
прямоугольников, мы получим одно и то же значение ги(Л).
(15)	Функция т аддитивна на g.
Заметим, что если р—\, 2, 3, то т — это соответственно
длина, площадь и объем.
10.5.	Определение. Неотрицательная аддитивная функция
множества <р, определенная на g, называется регулярной, если
верно следующее: для любого А Е g и любого числа е > 0 суще-
ствуют множества F Е g, G Е g, такие, что F замкнуто, G открыто,
F cz A C.G и
(16)	tp(G)-eC(p(4)<<p(F) + e.
10.6.	Примеры, (а) Функция множества т регулярна.
Если А — прямоугольник, то требование определения 10.5 выпол-
няется тривиальным образом. Общий случай следует из (13).
(Ь) Положим Rp~Rl, и пусть а—монотонно возрастающая
функция, определенная на R1. Положим
р.([а, b]) = a(b + ) — а (а —),
|1([а, b)) = a(b—) —а(а —),
ц((а, b])=a(b + ) — а(а + ),
ц((а, Ь)) = а(Ь —) —а(а + )-
Здесь [а, Ь)—множество всех чисел х, таких, что а^х<Ь,
и т. д. Эти множества следует различать из-за возможных раз-
рывов функции а. Если ц определить на элементарных множе-
ствах, как в (11), то функция р, оказывается регулярной на g.
Доказательство точно такое же, как в (а).
Построение меры Лебега
275
Наша следующая цель состоит в доказательстве того, что
каждая функция множества, регулярная на g, может быть про-
должена до счетно-аддитивной функции множества, определенной
на ст-кольце, содержащем g.
10.7.	Определение. Пусть функция р аддитивна, регу-
лярна, неотрицательна и конечна на g. Рассмотрим счетные
покрытия какого-нибудь множества EcRp открытыми элементар-
ными множествами Ап:
Е с U Ап.
п-= 1
Положим, по определению,
(17)	p*(E) = inf 2 М Ш,
п=1
где нижняя грань берется по всем счетным покрытиям множе-
ства Е открытыми элементарными множествами. Число р* (£)
называется внешней мерой множества Е, соответствующей функ-
ции р.
Ясно, что р*(£)>0 при всех Е и что
(18)	иЦЕ^ц*^,
если £\ cz Ez.
10.8.	Теорема, (а) Для любого А Её имеем р*(Д)==р(Д).
(Ь) Если £ — IJ Еп, то
71=1
(19)	р* (£)-<.§ р*(Еп).
П=1
Отметим, что (а) означает, что функция р* — продолжение
функции р с кольца g на множество всех подмножеств простран-
ства R1'. Свойство (19) называется полуаддитивностью.
Доказательство. Пусть А£ё и е>0.
Из регулярности меры р следует, что множество А содер-
жится в некотором открытом элементарном множестве G, таком,
что p(G)<p(4) + e. Поскольку p*(4)<p(G) и поскольку число е
произвольно, то
(20)	р*(Д)<р(Д).
По определению р* существует такая последовательность {Дп}
открытых элементарных множеств, объединение которых содер-
276
Гл. 10. Теория Лебега
жит множество А, что
2 р(Лп)^р*(Л) + е.
П=1
Регулярность функции р показывает, что множество А содер-
жит элементарное замкнутое множество F, такое, что р(Е)>
>р(Л)—е, а так как множество F компактно, то
F a Ai U ... U An
при некотором 2V. Значит,
N
Р (Л) <7 р (F) л- в С р (Л1 U • • • U Л/Д + е 2 И (Лп) + е С р* (А) + 2е.
1
Сопоставляя это неравенство с неравенством (20), получаем утвер-
ждение (а).
Пусть теперь Е = J Еп, и пусть р* (Еп) < ~р оо при всех п.
Данному числу е>0 отвечают покрытия {Ллл}, £ = 1,2,3, ...,
множеств Еп открытыми элементарными множествами, такие, что
оо
(21)	2 р(Лп,)<р*(^) +2-”е.
h=l
Тогда
оо оо	оо
и* (Е) 2 2 и (Aft) < 2 (Еп)+Е,
n=l fe=l	П—1
откуда следует (19). Если же p*(En)=-)-oo при некотором п,
то неравенство (19), разумеется, тривиально.
10.9.	Определение. Для любых множеств Лсг7?р, Bc:Rr>
положим
(22)	8(Л, 5) = (Л-5)1)(В-Л),
(23)	d(A, B) = p*(S(A, В)).
Будем писать Лп—>Л, если
lim d (Л, Ап) = 0.
П-+ОО
Если существует такая последовательность {Лп} элементарных
множеств, что Лп—*Л, то мы будем говорить, что множество Л
конечно ^-измеримо, и будем писать Л£ЯПР(р). Если множество Л
равно объединению счетного семейства конечно р-измеримых мно-
жеств, то мы будем говорить, что Л р-измеримо, и будем писать
Л € ЯП (р).
Множество S (Л, В) — это так называемая «симметрическая
разность» множеств Л и В. Мы увидим, что d (Л, В) обладает
основными свойствами расстояния.
Построение меры Лебега
277
Следующая теорема позволит нам получить нужное распро-
странение функции р.
10.10.	Теорема. Множество ЗЛ(р) является а-кольцом,
а функция р* счетно-аддитивна на SR (р).
Прежде чем обратиться к доказательству этой теоремы, мы
изучим некоторые свойства множества 5 (А, В) и числа d (А, В).
Имеем:
(24)	S(A, B) = S(B, A), S(A, А) = 0,
(25)	5(4, В) aS (A, C){)S(C, В),
5(4, J42, 5,J52) ]
(26)	5(4,(142, 5,(152) [ cz5(4„ 5,)U5(42, 52).
5(4,-42,5,-52) J
Утверждение (24) очевидно, а (25) следует из того, что
(4 — 5) с (4 —С) U (С-5), (5 — 4) а (С —A) (J (5-С).
Первая из формул (26) следует из того, что
(4, (J 42) (5, (J В2) а (4, 5,) J (42 52).
Наконец, обозначая через Ес дополнение множества Е, получаем
5(4,(142, 5, 0 52) = 5 (4, J 42, В' J а 5 (4J, 5J)US(4', В') =
= 5(4„ 5,)U5(42, 52),
и последняя из формул (26) получится, если заметить, что
4, — 42 = 4, (142.
Согласно (23), (19) и (18), из этих свойств множества 5(4,5)
следует, что
(27)	4(4, 5) .= 4 (5,	4),	4(4, 4) = 0,
(28)	4(4, 5)<4 (4, С)+ 4 (С, 5),
d (4, (J 42, 5, U В2) j
(29)	4 (4, ПЛ, 5,П52) [<4(4„ 5,) + 4(42, 52).
4(4, — 42, 5, — 52) J
Соотношения (27) и (28) показывают, что 4 (4, 5) удовлетво-
ряет требованиям определения 2.17, за исключением того, что
из 4(4, 5) = 0 не следует 4 = 5. Например, если у = т, множе-
ство 4 счетно, а 5 пусто, то
4(4, 5) = щ*(4) = 0.
278
Гл. 10. Теория Лебега
Чтобы убедиться в этом, покроем n-ю точку множества А
прямоугольником 1п, таким, что
т(1п)<2~пе.
Но если мы будем считать два множества А п В эквивалент-
ными при условии
d(A, В) —О,
то все подмножества пространства Rp разобьются на классы
эквивалентности, и d(A, В) превращает множество всех этих
классов эквивалентности в метрическое пространство. Тогда ЗЛр (р)
оказывается замыканием множества gJ).
Эта интерпретация несущественна для доказательства, но она
объясняет идею, лежащую в его основе.
Нам потребуется еще одно свойство числа d (Л, В), а именно
(30)	|р*(Л)--р*(В)|«/(Л, В),
если по крайней мере одно из чисел р*(Л), р*(В) конечно. Дейст-
вительно, пусть 0<р*(В)^4р*(Л). Тогда, как показывает нера-
венство (28),
d(A, 0)^d(A, B) + d(B, 0),
т. е.
p*(A)^d(A, В) Др* (В).
Но так как р*(В) конечно, то
р* (Л) — р* (B) <d (Л, В).
Доказательство теоремы 10.10. Пусть ЛДИДЛр),
В^ЯЛр(р). Выберем последовательности {Лп}, {Вп} так, чтобы
Л„Сё, В,Д§, Лп—->Л, В,, —В. Тогда (29) и (30) показывают, что
(31)	лпивп->лив,
(32)	дпГ1Вп->ЛПВ,
(33)	Ап-Вп-^А-В,
(34)	р* (Л„)-> р* И),
и р*(Л)<4-со, так как d(An, Л)—>0. Согласно (31) и (33),
ЭЛр (р) — кольцо. Согласно (7),
р (Л„) р (В„) = Р (Л„ и Вп) 4- р (Лп п Вп).
Полагая н—>оо, получаем из (34) и теоремы 10.8 (а)
_________Р*(Л) + р*(В) = р*(ЛиВ)Дц*(ЛПВ).
г) Точнее было бы здесь говорить не о Э)?р(р) и $, а о множествах всех
классов эквивалентности, содержащих элементы множеств Э)?р (р) и <f. —
Прим, перев.
Построение меры Лебега
279
Если Д["]В = 0, то р.*(ЛПВ) = 0. Следовательно, функция р*
аддитивна на Жк(р).
Пусть теперь А £ Ж (р). Тогда А можно представить в виде
объединения счетного множества непересекающихся множеств из
Ж^(р). Действительно, если Д = иД„, где ДЙ£Жк(р), то поло-
жим Ах =-- A't и
д.-(д;и.--ил„)-(д;и...их_1)	(«=2,3,4,...).
Тогда
(35)	А = U Ап
п~1
—требуемое представление. Согласно (19),
(36)	и* (А) С § р* (Дп).
П=1
С другой стороны, А At U ... (J Ап, и, в силу аддитивности
функции р* на Жу(р), получаем
(37)	р* (Д) > р* (Д1 U  • • U ЛД = р* (Д,) + ... + р* (Дп).
Из (36) и (37) следует, что
(38)	р* (Д) = § р* (Дп).
п—1
Допустим, что число р* (Д) конечно. Положим Вп -- At J . .. (J Ап.
Тогда, как показывает (38),
d(A, Вп) = ^( U	3 Р*(Д,)- 'О
iz= n-f-1	г—тг-j—1
при п—> оо. Значит B,t >Д, а так как Вп^ЖР(р), то легко
видеть, что А £ Ж у (р).
Таким образом, мы показали, что Д^Жр(р), еслиД^Ж(р)
и р* (Д) < + со.
Теперь уже ясно, что функция р* счетно-аддитивна на Ж(р).
Действительно, если
Д = U Ant
где {Д;!} — последовательность непересекающихся множеств, при-
надлежащих Ж(р), то, как мы показали, (38) выполняется,
если р*(Дп)<Д-оэ при всех п, а в противном случае равен-
с гво (38) тривиально.
Наконец, мы должны показать, что Ж (р) — это о-кольцо. Если
.1„СЖ(р), п= 1, 2, 3, . .., то ясно, что (J Дп g Ж (р) (теорема 2.14).
280
Гл. 10. Теория Лебега
Пусть 4£ЗЛ (р), 5g3Jl(p) и
оо	со
4 = U 4П, 5= (J Вп,
n=i	п—1
где Ап, ВпЕЖР(р). Тогда тождество
Д„П5=и HnfiBi)
i=i
показывает, что Ап П В £ ЯК (ц), а так как
Р*(4«ПВ)^Н*(4п)<+~,
то Ап П В £ SKF (р). Значит, Ап — B£3£ftF(p), и А — В^ЯК(ц), так
как 4 — 5= J (4„ — В).
71=1
Теперь мы заменим р*(4) на р(4), если 4£SR(p). Таким
образом, функция ц, определенная первоначально только на g,
продолжена до счетно-аддитивной функции множества на а-кольце
ЯК (р). Эта продолженная функция множества называется мерой.
В том частном случае, когда р = т (на g), она называется лебе-
говой мерой в пространстве /?''•
10.11. Замечания, (а) Если множество 4 открыто, то
Д^ЗЛ(р). Действительно, каждое открытое множество в Rp равно
объединению счетного семейства открытых прямоугольников.
Чтобы в этом убедиться, достаточно построить счетную базу,
элементами которой служат открытые прямоугольники.
(Ь) Если 4fffi(p) и е>0, то существуют множества F и С,
такие, что
F cz 4 cz G,
F замкнуто, G открыто и
(39)	p(G-4)<e,	р(4-В)<е.
Первое неравенство выполняется потому, что внешняя мера
была определена с помощью покрытий открытыми элементар-
ными множествами. Второе неравенство получится, если перейти
к дополнениям.
(с)	Мы говорим, что Е — борелевское множество, если Е может
быть получено с помощью счетного множества операций, исходя
из открытых множеств, причем каждая операция —это либо взя-
тие объединения, либо взятие пересечения, либо переход к допол-
нению. Множество S5 всех борелевских подмножеств простран-
ства Rp образует о-кольцо; в действительности это наименьшее
из a-колец, содержащих все открытые множества. Согласно заме-
чанию (a), Eg3K(p), если
Построение меры Лебега
281
(d)	Если Д^ЯЛ(р), то существуют борелевские множества F
и G, такие, что F cz A cz G и
(40)	р(0-Д) = р(Д-Е) = 0.
Это следует из (Ь), если взять е=1/п и положить п —» оо.
Поскольку Л = ЕиИ — F), мы видим, что каждое Д^ЯЛ(р)
представляет собой объединение борелевского множества и мно-
жества нулевой меры.
Борелевские множества р-измеримы при каждом р. Но мно-
жества меры нуль (т. е. множества Е, для которых р* (£) = 0)
могут быть различными для различных р.
(е) Какова бы ни была функция р, множества меры нуль
образуют а-кольцо.
(/) В случае меры Лебега всякое счетное множество имеет
меру нуль. Но существуют и несчетные (и даже совершенные)
множества меры нуль. Примером может служить множество Кан-
тора: используя обозначения из п. 2.44, легко показать, что
m(En)=(4)n,	(п=1,2, 3, ...),
а так как Р = (]Еп, то PczEn при любом п, так что т(Р) = 0.
10.12.	Определение. Пусть X — множество, необязательно
являющееся подмножеством евклидова пространства или вообще
какого-нибудь метрического пространства; X называется про-
странством с мерой, если существует cr-кольцо ЯЛ подмножеств
множества X (элементы множества ЯЛ называются измеримыми мно-
жествами) и неотрицательная счетно-аддитивная функция множе-
ства р (называемая мерой), определенная на ЯЛ.
Если, кроме того, X £ ЯЛ, то X называется измеримым про-
странством.
Например, мы можем взять в качестве X пространство Rp,
в качестве ЯЛ — множество всех измеримых подмножеств простран-
ства 7?р, а в качестве р —меру Лебега.
Или в качестве X можно взять множество всех положитель-
ных целых чисел, в качестве ЯЛ —множество всех подмножеств
множества X, а в качестве р(Е) —число элементов множества Е.
Другой пример дает теория вероятностей, в которой события
можно рассматривать как множества, а вероятность наступления
события —это аддитивная (или счетно-аддитивная) функция мно-
жества.
В следующих разделах мы всегда будем иметь дело с изме-
римыми пространствами. Следует подчеркнуть, что теория инте-
грала, к которой мы вскоре перейдем, ни в каком отношении
не стала бы проще, если бы мы пожертвовали той степенью
общности, которой мы сейчас достигли, и ограничились, скажем,
282
Гл. 10. Теория Лебега
мерой Лебега на промежутке вещественной прямой. На самом
деле основные черты теории с гораздо большей ясностью прояв-
ляются именно в общей ситуации, когда хорошо видно, что все
зависит только от счетной аддитивности меры у., определенной
на некотором а-кольце.
Нам будет удобно ввести обозначение
(41)	{х\Р}
для множества всех элементов х, обладающих свойством Р.
Измеримые функции
10.13.	Определение. Пусть / — функция, определенная на
измеримом пространстве X со значениями в расширенной системе
вещественных чисел. Функция / называется измеримой, если мно-
жество
(42)	{х | / (х) > а}
измеримо при каждом вещественном а.
10.14.	Пример. ЕслиХ = 7?₽, а 9Л = Ж(р) —в соответствии
с определением 10.9, —то каждая непрерывная функция / изме-
рима, так как в этом случае множество (42) открыто.
10.15.	Теорема. Следующие условия эквивалентны.
(43)
(44)
(45)
(46)
{х!/(х)>а} измеримо при каждом вещественном а.
{х\[(х)>а} измеримо при каждом вещественном а.
{x\f(x)<a} измеримо при каждом вещественном а.
{х|/(х)<«} измеримо при каждом вещественном а.
Доказательство. Отношения
{х|/(х)>_а}=Д	-
{х j / (х) < а} = X — {х \ f (х) > а},
{x]/(x)s$a} = Д |х If (х) <аф- ,
{х i / (х) > а} = X - {х । / (х) < а}
последовательно показывают, что из (43) следует (44), из (44)
следует (45), из (45) следует (46), а из (46) следует (43).
Значит, каждое из этих условий можно использовать вместо
(42) для определения измеримости.
10.16.	Теорема. Если f измерима, то измерима и \f\.
Измеримые функции
283
Доказательство:
{х 11 f(x) | < а} = {х | f (х) < а) П {* | f (х) > - а}.
10.17.	Теорема. Пусть {fn} —последовательность измери-
мых функций. При хРХ положим
g (х) = sup fn (х)	(п= 1, 2, 3, ...),
h (х) = lim fn (х).
Тогда функции g и h измеримы.
Конечно, то же верно и в отношении нижней грани и нижнего
предела.
Доказательство.
{x,gW>fl}= U {x\fn(x)>a},
71=1
h (х) = inf gm (х), где gm (х) = sup fn (х)
Следствия, (а) Если fug измеримы, то max (/, g) и min (J, g)
измеримы. Если
(47)	Г = max (ДО),	— min (/, 0),
то, в частности, f* и f~ измеримы.
(6)	Предел сходящейся последовательности измеримых функ-
ций— измеримая функция.
10.18.	Д е о р е м а. Пусть f и g —измеримые конечные веще-
ственные функции, определенные на множестве X, пусть функ-
ция F вещественна и непрерывна на R2, и пусть
h(x) = F(f(x), £(Х))	(х£Х).
Тогда функция h измерима.
В частности, функции f + g и fg измеримы.
Доказательство. Пусть Ga = {(u, v)\F(u, 0>а).
Тогда Ga — открытое подмножество пространства R2 и
«а= U Д,
71=1
где последовательность открытых прямоугольников:
/«, ~	|	^71»	^71}*
284
Гл. 10. Теория .'0 бога
Поскольку множество
{х I ап < f (х) <bn} = {x\f (х) > ап} П {х | f (х) < Ьп}
измеримо, то множество
{х I (f (х), g (*)) 6 In} = {x\an<f (х) < bn} П {x I cn < g (x) < dn}
измеримо. Значит, то же верно и в отношении множества
{х | h (х) > а} = {х | (f (х), g (х)) С Ga} =
СО
= и {x\(f(x), g(x))£ln}.
*»=1
Подводя итоги, мы можем сказать, что все обычные операции
анализа, включая операции, связанные с предельным переходом,
будучи примененными к измеримым функциям, приводят снова
к измеримым функциям; иными словами, все функции, с кото-
рыми обычно встречаются, измеримы.
То, что эта формулировка тем не менее довольно груба, видно,
однако, из следующего замечания: если h(x) = f (g (х)), где
функция / измерима, a g непрерывна, то функция h не обяза-
тельно измерима.
Читатель, возможно, заметил, что в нашем обсуждении изме-
римых функций нигде не упоминалась мера. В самом деле, класс
функций, измеримых на X, зависит только от о-кольца ЗЛ
(обозначения те же, что в п. 10.12). Например, можно говорить
о функциях, измеримых по Борелю на /?₽, т. е. о функциях f,
для которых множество
{х J f (х) > а}
всегда борелевское, не упоминая при этом никакой конкретной
меры.
Простые функции
10.19.	Определение. Пусть s —вещественная функция,
определенная на множестве X. Если множество значений функ-
ции s конечно, то мы будем говорить, что s — простая функция.
Пусть Е cz X, и пусть
1
0

(48)
(х£Е),
(х<Е).
КЕ называется характеристической функцией множества Е.
Пусть множество значений функции s состоит из различных
чисел Ci, ..., сп. Пусть
Ei = {x|s(x) = Ci} (t = 1, . . ., п).
Интегрирование
285
Тогда
(49)
S= 2 fiKe - ,
i = l	’
т. e. каждая простая функция представляет собой конечную
линейную комбинацию характеристических функций. Ясно, что s
измерима тогда и только тогда, когда множества Е\, ..., Еп
измеримы.
Оказывается, любую функцию можно приблизить простыми
функциями,
10.20.	Теорема. Пусть f — вещественная функция, опреде-
ленная на множестве X. Тогда существует последовательность
{sn} простых функций, такая, что sn (х) f (х) при п оо для
всякого х^Х. Если функция f измерима, то можно выбрать
последовательность {sn} так, чтобы все функции sn тоже были
измеримы. Если / > 0, то последовательность {sn} можно считать
монотонно возрастающей.
Доказательство. Если f>0, то положим
Eni=	W<-^r}. Fn = {x\f(x)>n}
при n=l, 2, 3, ..., i = 1, 2, ... n2n, Пусть
(50)
п2п
sn = 2 ‘2^	+ n^Fn
4=1
В общем случае запишем / = f+— f~ и применим предыдущую
конструкцию к /+ и f~.
Заметим, что последовательность {sn}, заданная равенством (50),
сходится к / равномерно, если f ограничена.
Интегрирование
Мы определим интегрирование на измеримом пространстве X
с о-кольцом ЗЛ измеримых множеств и с мерой р. Читатель,
желающий иметь перед глазами более конкретную ситуацию,
может представлять себе X как прямоугольник или как веще-
ственную прямую, а р— как меру Лебега.
10.21.	Определение. Допустим, что функция
(51)	s(х) = У, с,Ке-(х)	(х£Х, С;>0)
4=1	1
286
Гл. 10. Теория Лебега
измерима, и пусть Е £ 5Ш. Положим
(52)	IE(s)= S ПН(ЕП^).
i=-l
Если функция f измерима и неотрицательна, то мы определим
(53)	f dp = sup/K(s),
Е
где верхняя грань берется по всем простым функциям, таким,
что 0<s
Левая часть равенства (53) называется интегралом Лебега
функции f относительно меры р по множеству Е. Заметим, что
интеграл может быть равным J оо.
Легко проверить, что
(54)	\ s dp - IE (s)
Е
для любой неотрицательной простой измеримой функции s.
10.22.	Определение. Пусть функция / измерима. Рас-
смотрим два интеграла
(55)	Г dp, \ f~dp.
Е	Е
где /+ и f~ определены, как в (47).
Если хотя бы один из интегралов (55) конечен, то мы пола-
гаем, по определению,
(56)	fdp— /4 dp — f~dp.
ЕЕ	Е
Если оба интеграла (55) конечны, то и разность (56) конечна,
и мы говорим, что функция / интегрируема (или суммируема)
на множестве Е в смысле Лебега по отношению к мере ц; мы
пишем f£X(p) на множестве Е. Если р~т, то обычное обозна-
чение таково: / Е £ на множестве Е.
Эта терминология может вызвать небольшую путаницу: если
(56) равно + со или — со, то интеграл функции f по множеству Е
определен, хотя функция f и не интегрируема в только что
разъясненном смысле слова; f интегрируема по множеству Е
только тогда, когда ее интеграл по этому множеству конечен.
10.23.	Замечания. Следующие свойства очевидны:
(а)	Если f измерима и ограничена на множестве Е и р(Е)<4 со,
то /£ X (и) на Е.
Интегрирование
287
(Ь)	Если f измерима, причем a<f(x)<:b при х£Е, ар(£)<
<' -L ОО , ТО
‘ ар(Е)< f d\i^bp(E).
Е
(с)	Если f и g£.£(p) на Е и если f(x)^.g(x) при всех
х£Е, то
J f <*рС J gdp-
Е	Е
(d)	Если f£X(p.) на Е, то cf£X (р) на Е, каково бы ни было
конечное число с, и
cf dp — с \ f dp.
Е	Е
(е)	Если р(Е)-0, a f — измерима, то
f dp = 0.
Е
(/) Если /EjC(p) на Е, Д(ЕЯЛ и Ас.Е, то f££(p) на А.
10.24.	Теорема, (а) Пусть f измерима и неотрицательна
на множестве X. Для Д 6 ЯЛ положим
(57)	<р(Д)= $ fdp.
А
Тогда функция <р счетно-аддитивна на ЯЛ.
(6)	То же верно, если f£X(p) на X.
Доказательство. Ясно, что (Ь) следует из (а), если мы
запишем f = f+ — f~ и применим (а) к /+ и f".
Чтобы доказать (а), мы должны показать, что
СО
(58)	Ф(Л)= S <р(Дп),
п= 1
если Ап Е ЯЛ (п -= 1, 2, 3, ...), At f] Aj == 0 при j и A = (J An.
i
Если f — характеристическая функция, то счетная аддитивность
функции <р —то же самое, что счетная аддитивность функции р,
так как
/(я dp = р (Д 0 Е).
А
288
Гл. 10 Теория Лебега
Если / — простая функция, то f имеет вид (51) и утверждение
теоремы также выполняется.
В общем случае для каждой простой измеримой функции s,
такой, что 0<s</, имеем
€О	СО
sdp=^ § sdp<2 'P(Ai)-
A	n=l Ап	n=l
Поэтому, согласно (53),
co
(59)	ф(Л)< 3 ф(Лп).
n=l
Заметим теперь, что если ф(Лп) = 4-оо при каком-нибудь п,
то (58) тривиально, так как ф(Л)>ф(Лп). Поэтому пусть
Ф (Лп) <4-оо при всех п.
Для заданного е > 0 выберем измеримую функцию 5 так,
что 0<s</ и
(60)	sdp^- / dp — е, sdp> / dp— е.
Al	Ai	Аг	Аг
Ясно, что
Ф (Л1 (J Л2) > sdp= sdp 4- sdp>ф(Л1)4- ф(Л2) — 2е,
A1IM2	А1	А2
так что
ф (/11 II Аг) > ф (/11) + ф Иг)-
Следовательно, при каждом п
(61)	ф Hi и • • • U ДО > ф (/li) + •   + ф (А)-
Поскольку Л о At J • • • U А, то из (61) следует, что
(62)	Ф(А>Зф(А),
п= 1
и (58) вытекает из (59) и (62).
Следствие. Если Л(ЕЗЛ, В с. А, р(Л — В)=0 и функция f
измерима, то
/dp = \ /dp.
А	В
Поскольку Л = Ви(Л — В), это следует из замечания 10.23(e).
10.25.	Замечания. Приведенное выше следствие показывает,
что множествами меры нуль при интегрировании можно пре-
небречь.
Интегрирование
289
Если множество
{x\f(x)^g(x)}(]E
имеет меру нуль, то мы будем писать на Е. Тогда f~f;
из f^g следует, что g f, и из / — g, g ~h следует, что
f h. Это значит, что отношение ~ есть отношение эквива-
лентности.
Если f~g на Е, то мы, очевидно, имеем для любого изме-
римого подмножества А множества Е
\ fd[i= \ gd[i
А	А
при условии, что эти интегралы существуют1).
Если свойство Р выполняется для каждого х^Е — А и если
р (Д) = 0, то обычно говорят, что Р выполняется для почти всех
х£Е или что Р выполняется почти всюду на Е. (Смысл этого
«почти всюду» зависит, разумеется, от той конкретной меры,
которую мы рассматриваем. В литературе, если не оговорено
противное, обычно имеют в виду меру Лебега.)
Если f £ X (р) на Е, то ясно, что значение f (х) конечно почти
всюду на Е. Поэтому в большинстве случаев мы можем, не
умаляя общности, с самого начала предполагать, что функции,
с которыми мы имеем дело, принимают только конечные значения.
10.26.	Теорема. Если f (р) на Е, то и I f [ £ X (р) на Е и
(63)	j jj fdp J | f| dp.
Доказательство. Запишем	где f(x)>0 на А
и /(х)<0 на В. По теореме 10.24
| / |dp== |f|dp+ |f|dp = j /Чр+ \ dp<4-со,
Ё	А	В	А	В
так что |Д€£ (р). Поскольку и — f<|f|, мы видим, что
fdp< | f |dp, —fdp< |f|dp,
ЕЕ	ЕЁ
откуда и следует (63).
Поскольку из интегрируемости функции f следует интегри-
руемость функции |/|, то интеграл Лебега часто называют
абсолютно сходящимся. Конечно, можно определить и неабсолютно
1) Более того, если существует один из этих интегралов, то существует
и другой.—Прим, перев.
290
Гл. 10. Теория Лебега
сходящиеся интегралы, и при изучении некоторых проблем это
даже существенно. Но у этих интегралов отсутствуют наиболее
полезные свойства интеграла Лебега, и они играют в анализе
несколько менее важную роль.
10.27.	Теорема. Пусть функция f измерима на Е, \f\^g,
и gQX(p) на Е. Тогда ffc.X(p) на Е.
Доказательство. Имеем и f~-^g-
10.28.	Теорема Лебега о монотонной сходи-
мости1). Пусть Etf'Sft. Пусть {/„} — такая последовательность
измеримых функций, что
(64)	0<А(х)</2(х)<...	(xg£).
Пусть функция f определена равенством
(65)	f (х) = lim fn (х)	(xg£).
п ->со
Тогда
(66)	fn dp -> f dp (и -> со).
Е	Е
Доказательство. Согласно (64), существует такое а, что
(67)	j fndp-^a
Е
при п-> со, а так как	то
(68)	а < f dp.
Е
Выберем с так, чтобы 0<с<1, и пусть s — простая измери-
мая функция, такая, что 0<s</. Положим
Еп =- {х | fn (х) > cs (х)}	(n= 1, 2, 3, ...).
Согласно (64), £t cz Е2 ст E:i cz ..., а в силу (65)
(69)	£- U Еп-
71—1
При любом п
(70)	fndp> fndp>c^ sdp.
Е	Еп	Еп
!) Эта теорема обычно называется теоремой Б. Леви.—Прим, перев.
Интегрирование
291
Устремим в (70) п к оэ. Поскольку интеграл — счетно-адди-
тивная функция множества (теорема 10.24), то, как показывает
(69), можно применить теорему 10.3 к последнему интегралу
в (70), и мы получим
(71)	а>с sdp.
Е
Устремляя с к единице, мы видим, что
а>
sdy,
а из (53) следует, что
(72)
а >
Е
Теорема следует теперь из (67), (68) и (72).
10.29.	Теорема. Пусть f = fi + fz, где fi£X(p) на Е
(4 = 1, 2). Тогда	на Е и
(73)	§ f2dn.
Е	Е	Е
Доказательство. Сначала допустим, что /\>0,
Если fa и f2 — простые функции, то (73) тривиально следует
из (52) и (54). В общем случае выберем монотонно возрастающие
последовательности {$„}, {$„} неотрицательных измеримых простых
функций, сходящихся к fi, f2. Теорема 10.20 показывает, что это
возможно. Положим Sn — s'n-\-s“n.
Тогда
sndp=	Sndp.,
Е	Е	Е
и (73) получится, если мы устремим п к со и применим теоре-
му 10.28.
Теперь допустим, что Д>0, Д<0. Положим
Д = {х Д (х)>0), В = {х|/(х)<0}.
Тогда функции f, fi и — f2 неотрицательны на А. Значит,
(74) J	f ( — /2)^= J f dii— f2dp.
AAA	A	A
Аналогично функции — /, fr и — f2 неотрицательны на В, так
что
J (-/2)^Н = J АФ+ J (~f)dp,
в	в в
292
Гл. 10. Теория Лебега
ИЛИ
(75)	Мц=Л ft/р,—'к Мц,
в	в в
и (73) вытекает из (74) и (75).
В общем случае множество Е можно разложить на четыре
множества Et, на каждом из которых Д (х) и /2(х) сохраняют
знак. Из доказанного следует, что
Мн (i= 1» 2, 3, 4),
вг кг £г
и (73) получается, если мы просуммируем эти равенства.
Теорему 10.28 можно следующим образом переформулировать
в терминах рядов функций.
10.30.	Теорема. Пусть EQ$Jl. Если {fn}~ последователь-
ность неотрицательных измеримых функций и
(76)	fW-SfnW (xG£),
n=l
то
03
f dy = 2 \fn dy.
E	n=l E
Доказательство. Частные суммы ряда (76) образуют
монотонно возрастающую последовательность.
10.31.	Теорема Фату. Пусть	Если {fn}~-после-
довательность неотрицательных измеримых функций и
f (x)^\im fn(x) (х£Е),
П->СО
то
(77)	fndy.
£	П->0О £
В (77) может иметь место строгое неравенство. Пример указан
в упражнении 5.
Доказательство. Положим
gn (х) = inf ft (х)	(/ > п)
при п — 1, 2, .3, . .. и хg Е.
Интегрирование	293
Тогда функция gn измерима на множестве Е и
(78)	0<g1(x)<g2(x)<...,
(79)	’	gn(x)<fn(x),
(80)	gn(x)->f(x)	(n-»oo).
Согласно (78), (80) и теореме 10.28,
(81)	\ gndy->\ fdy,
£	Е
так что (77) следует из (79) и (81).
10.32.	Теорема Лебега об ограниченной сходи-
мости. Пусть Е Пусть {fn} —такая последовательность
измеримых функций, что
(82)	fn(x)^/(x) (xeF)
при п-~>оо. Если существует функция g, такая, что
(83)	\fn(x)\<g(x)	(п-1, 2,3, ...,*€£),
п g £ X (р) на Е, то
(84)	lim fndy= f dy.
Е	Е
Неравенство (83) означает, что функция g ограничивает после-
довательность {fn}~, этим объясняется название теоремы. В силу
п. 10.25, утверждение теоремы остается верным, если (82)
выполняется почти всюду на Е.
Доказательство. Заметим сначала, что из теоремы 10.27
следует, что fn£X (р) и f £ X (ц) на Е.
Теорема Фату показывает, что
J (f + g)dp<Mni J (fn + g)dy,
В	Е
так как fn + g>0', иначе говоря,
(85)	f dp < lim fndy.
Е	В
Аналогично, поскольку g — fn>0, то
J (g — /) dp < lim J (g—fndy,
294
Гл. 10. Теория Лебега
так что
\	— \ fnd\t
Е	Е
а это значит, что
(86)
[дцл lim
fn
Существование предела в (84) и равенство (84) теперь следуют
из (85) и (86).
Следствие. Если р.(£)<-|-оо, последовательность {/„}
равномерно ограничена на Е и fn (х) —> f (х) при всех xQE, то
выполняется (84).
Сравнение с интегралом Римана
Наша следующая теорема показывает, что каждая функция,
интегрируемая по Риману на некотором сегменте, интегрируема
на этом сегменте и по Лебегу, и что функции, интегрируемые
по Риману, подчиняются довольно ограничительным условиям
непрерывности. Теория Лебега позволяет интегрировать функции
гораздо более широкого класса. Однако самое значительное
ее преимущество состоит, вероятно, в той свободе, с которой
в интегралах Лебега оказывается возможным производить опера-
ции предельного перехода; с этой точки зрения теоремы о сходи-
мости составляют суть лебеговской теории.
Одна из трудностей, встречающихся в теории Римана, заклю-
чается в том, что предел последовательности функций, интегрируе-
мых по Риману (или даже непрерывных), может уже не быть
интегрируемым по Риману. В теории Лебега эта трудность почти
исключается, так как предел последовательности измеримых
функций снова измеримая функция.
Пусть пространством X с мерой служит сегмент [а, Ь] веще-
ственной прямой с р = т (мера Лебега), а Ж—-множество всех
подмножеств сегмента X, измеримых по Лебегу. Вместо
f dm
х
для интеграла Лебега функции f по сегменту [а, Ь] принято
употреблять привычное обозначение
ь
fdx.
а
Сравнение с интегралом Римана
295
Чтобы отличить лебегов интеграл от интеграла Римана, мы будем
этот последний обозначать так:
ь
Я f dx.
а
10.33. Теорема, (а) Если на [а, 6], то fQ£ на
[а, 6] и
ь	ь
(87)	jj fdx — ^ J fdx.
a	a
(b) Пусть функция f ограничена на [а, Ь]. Тогда f£.'% на [а, Ь\
тогда и только тогда, когда функция f непрерывна почти всюду
на [а, Ь].
Доказательство. Пусть функция f ограничена. Пусть
{Р*} — такая последовательность разбиений сегмента [а, Ь], что
Рк+1 — измельчение разбиения Ph и р.(РА)—>0 при k—>oo (в этом
доказательстве р, обозначает не меру, а диаметр разбиения).
Если Pk — разбиение
а = х0 < ху <... < хп — Ь,
то положим Uh (а) — Ьк (а) = / (а) и
Uh(x) = Mi, Lk(x) = mi (xi4<x<Xi, i —l,...,n)
(обозначения те же, что и в п. 6.1). Тогда
ь	ь
(88)	U(Pk, f)=^ \Uhdx, L(Pk, f)^Lhdx.
a	a
Поскольку Pk+1 — измельчение разбиения Pk, то
(89)	Ui (x) > (72(x) > . .. > f (x) ^ ... > L2 (x) > Ц (x) (a <x <fe).
Положим
(90)	U (x) = lim Uh (x), L (x) = lim Lh (x) (a^x xb).
Л-+со	ft—>co
Теперь допустим, что /СJ?. Ввиду того что р(РА)—>0,
ь	ь
(91)	U (Pk, f)	.91 jj	f dx, L(Ph,	^fdx.
a	a
Это последнее соотношение не было явно сформулировано
в гл. 6 в виде теоремы, но его, конечно, легко вывести из дока-
зательства теоремы 6.14 [см. формулы (28) и (29)]. Согласно (89)
296
Гл. 10. Теория Лебега
и (90),
(92)
ь	ь
^Uhdx--> U dx,
а	а
Ь	Ъ
Lkdx—± Ldx,
а	а
так что из (88), (91) и (92) следует, что
(93)
b	b	ь
\>U dx= Ldx = .^ f dx.
а	а	а
Поскольку L (х) < f (х) < U (х) на [«, Ь], то первое из равенств
(93) показывает, что
(94)	L (х) = f (х) — U (х)
почти всюду на [а, Ь] (упражнение 1), Поскольку L hU измеримы,
то это верно и в отношении f. Значит, f£X, и (87) следует
из (93) и (94).
Теперь допустим, что х не принадлежит никакому из разбие-
ний Pk (отметим, что множество всех точек, входящих в состав,
какого-нибудь разбиения Ph, счетно и потому имеет меру нуль)
Совсем легко показать, что тогда функция f непрерывна в точке х
в том и только в том случае, когда U <x)--~L(x).
Таким образом, если fE-J? на [a, ft], то, как показывает (94),
функция / непрерывна почти всюду на [а, Ь]. Обратно, если
/ непрерывна почти всюду на [а, Ь], то (94) выполнено. Значит,
выполнено первое из равенств (93), и, как показывают (92) и (88),
для всякого е>0 можно найти такое k, что
U(Ph, f)-L(Pk, f)<t,
следовательно, по теореме 6.6, на [а, Ь].
Многие соотношения между интегрированием и дифференциро-
ванием функций переносятся и в лебеговскую теорию. Если f g X
на [а, й] и
X
(95)	F(x) — f dt (a<x<Z>),
а
то F'(x)==f(x) почти всюду на [а, Ь].
Обратно, если функция F дифференцируема в каждой точке
сегмента [я, Ь] («почти всюду» здесь недостаточно!) и если F' QX
на [я, Ь], то
X
F (х) -F (а) -	(0 dt (a<x^b).
а
Доказательства можно найти в любой из достаточно подроб-
ных книг по теории интеграла.
Интегрирование комплексных функций
297
Интегрирование комплексных функций
Пусть f — комплекснозначная функция, определенная на про-
странстве с мерой X, f — где и и v— вещественны.
Мы будем говорить, что функция f измерима, если обе функ-
ции и и v измеримы.
Легко проверить, что суммы и произведения комплексных
измеримых функций снова измеримы. Из теоремы 10.18 следует,
что j f j — измеримая функция, если измерима комплексная функ-
ция /, так как
[/| = (п2 + о2)’/а.
Допустим, что р—мера на X, Е — измеримое подмножество X,
a f — комплексная функция, определенная на X. Мы будем гово-
рить, что / £ (р) на Е, если f измерима и
(96)
} \f Ир<н °°;
Е
при этом мы полагаем, по определению,
f dp = udp-j-i о dp,
ЕЕ	Е
если выполнено (96). Ясно, что (96) выполняется тогда и только
тогда, когда и££(р) и и£#(р) на Е, так как |и|<|/|,
!/1<Ы + Н
Теоремы 10.23 (а), (d), (е), (/), 10.24 (Ь), 10.26, 10.27, 10.29,
10.32 могут быть перенесены на интегралы Лебега от комплекс-
ных функций. Доказательства совсем просты, и только доказа-
тельство теоремы 10.26 представляет некоторый интерес. Вот оно.
Если f £ £ (р) на Е, то существует комплексное число с,
|с|=1, такое, что
с f dp>0.
Е
Положим g = cf — u-\-iv, где и и v вещественны. Тогда
। с I (*	(*	С	(*
| /dp — с fdp = \ g dp = и dp < \ |/| dp.
Е	Е	Е	Е	Е
Заметим, что число ^gdp вещественно (это следует из пер-
вых двух равенств).
298
Гл. 10. Теория Лебега
Функции класса X2
В качестве приложения теории Лебега мы изложим обобщение
теоремы Парсеваля (которую мы доказали лишь для непрерывных
функций в гл. 8) и докажем теорему Рисса —Фишера для орто-
нормальных систем функций.
10.34. Определение. Пусть Х~измеримое пространство.
Мы будем говорить, что комплексная функция / принадлежит
классу #2(ц) на X, если f измерима и
\f\2d[i<. + co.
х
Если ц —мера Лебега, то мы будем писать просто fQX2.
Если f£X2(n) (начиная с этого места мы будем опускать слова
«на X»), то мы полагаем, по определению,
А'
и называем число || f |1 нормой функции f.
10.35. Теорема. Пусть fQX2(yt) и gQX2(y.). Тогда
(Н) «
(97)	J \fg\d^f’^gl
х
Это неравенство, как и в случае рядов и интегралов Римана,
называется неравенством Шварца. Как и в рассмотренных ранее
случаях, оно вытекает из неравенства
0< J (\f\ + k\g\)2d^ = \\f\i2 + 2k J\fg |d|x-H2l| g||2,
X	X
которое выполняется при всяком вещественном X.
10.36.	Теорема. Если f QX2 (р.) и g £ X2 (р), то f \-gQX2 (р) и
Доказательство. Неравенство Шварца показывает, что
iimiM$in2+$ fg+pg+$igi2<
< imn-2 тнын! s ii2 mi и чч! g г
10.37.	Замечание. Определим расстояние между двумя
функциями f и g в Х2(ц), полагая его равным ||f —g||. Ясно,
Функции класса .Z2
299
что все, кроме одного условия п. 2.17, выполняются. Дело в том,
что из равенства ||/— g || = 0 не следует, что /(x) = g(x) при
всех х, а следует только, что / (х) = g (х) при почти всех х.
Таким образом, если мы отождествим функции, отличающиеся
только на множестве меры нуль, то X2 (р) оказывается метри-
ческим пространством.
Рассмотрим теперь <Z2 на сегменте вещественной оси с мерой
Лебега.
10.38.	Теорема. Непрерывные функции образуют всюду
плотное множество в X2 на [а, Ь].
Точнее, это значит, что для любой функции на [а, Ь]
и любого е>0 существует функция g, непрерывная на [а, £>]
и такая, что
ь
!!/-g|l={$ (/-^)2^}1/2< е.
а
Доказательство. Мы будем говорить, что последователь-
ность (g,J аппроксимирует функцию f в X2, если ||/~ gn||—>0
при П—л ОО.
Пусть А — замкнутое подмножество сегмента [а, Ь], а Ка~
характеристическая функция этого подмножества. Положим
inf |х — у\ (у$А)
и
gn (х) = -Г-Т--77-Г (п = 1, 2, 3, ...).
Тогда функция gn непрерывна на [a, b], gn (х) = 1 на А
И gn W~>0 на В, где В = [а, Ь] — А. Значит,
по теореме 10.32. Итак, характеристическую функцию замкнутого
множества можно аппроксимировать в X2 последовательностью
непрерывных функций.
Согласно (39), то же верно и в отношении характеристиче-
ской функции любого измеримого множества, и, стало быть,
в отношении' любой простой измеримой функции.
Если />0 и f£X2, то пусть {sn} —такая монотонно возра-
стающая последовательность простых неотрицательных измери-
мых функций, что sn (х) —> f (х) при всех х. Теорема 10.32 пока-
зывает, что |1/ — sn|| —> 0, так как | / — sn |2< | / |2.
Отсюда следует утверждение теоремы и в общем случае.
300
Гл. 10. Теория Лебега
10.39.	Определение. Мы будем говорить, что последо-
вательность комплексных функций {<jpn} есть ортонормальная
система функций на измеримом пространстве X, если
0
1
фпфш dp =
(п =/= т),
(п = т).
В частности, должно выполняться включение <рпС<£2(ц). Если
f QZ2 (ц) и если
сп — /фп dp. (n = 1, 2, 3, ...),
х
то мы будем писать
оо
f— 2 сг$п,
П=1
как в определении 8.10.
Аналогично распространяется на X2 (или даже на X) опре-
деление тригонометрического ряда Фурье на [-—л, л]. Теоремы
8.11 и 8.12 (неравенство Бесселя) верны для любой fg^2(p).
Доказательства дословно те же.
Теперь мы можем доказать теорему Парсеваля.
10.40.	Теор ем а. Пусть
(98)	f (х) ~ 2 cneinx,
где X2 на [ — л, л]. Пусть sn есть п-я частная сумма ряда (98)
Тогда
(99)	lim || / —sn || = 0,
n->co
л
(100)	S \f^dx-
— co	—Л
Доказательство. Пусть e>0. По теореме 10.38 суще-
ствует непрерывная функция g, такая, что
\\f-g\\<Y'
Легко видеть, что функцию g можно подобрать так, чтобы удо-
влетворялось условие g(n) = g( — л). Тогда g можно продолжить
на всю прямую как непрерывную периодическую функцию. По
теореме 8.16 существует тригонометрический многочлен Т степе-
ни N, такой, что
Функции, класса X’
301
Значит, по теореме 8.11 (в случае X2) при N имеем
Рп-/К1|т-/ц<е,
откуда и следует (99). Равенство (100) можно вывести из (99)
так же, как при доказательстве теоремы 8.16
Следствие. Если f(fX2 на [ — л, л] и если
f (х) e~inx dx = 0 (п = 0, ± 1, ±2, ...),
— Л
mo |Д||—0.
Таким образом, если две функции имеют одинаковые ряды
Фурье, то они совпадают почти всюду.
10.41.	Определение. Пусть f и (р) (« = 1, 2, 3, ...)
Будем говорить, что последовательность {fn} сходится к f в X2 (р),
если || fn — f || —> 0. Будем говорить, что {/„} — последовательность
Коши в Х2{у), если для любого е>0 существует целое N,
такое, что из п> N, т'х N следует неравенство || —||<е.
10.42.	Теор ем а. Если {fn} — последовательность Коши
в jC2(p), то существует функция f£X2{y.), такая, что {fn}
сходится к f в Х2(у).
Другими словами, X2 (р) — полное метрическое пространство.
Доказательство Поскольку {fn} — последовательность
Коши, то мы можем найти такую строго возрастающую последо-
вательность {иД, /г=1, 2, 3, ..., что
Н., J1 (t-1,2,3, ...).
Выберем функцию gg^2(p). В силу неравенства Шварца,
х	2
Значит,
СО
(101)	Е $ lg(4-4+1)|dp<!|g!l-
h=l х
По теореме 10.30 мы можем поменять местами суммирование
и интегрирование в (101). Следовательно,
со
(102)	| g (х) I % I fnk (х) - fnk+i (X) I < + оо
302
Гл. 10. Теория Лебега
почти всюду на X. Поэтому
ОО
(ЮЗ)	21Ц+1М-ЧИК + а>
почти всюду на X. Действительно, если бы ряд (103) расходился
на множестве Е положительной меры, то мы могли бы выбрать
функцию g отличной от нуля на множестве положительной меры,
содержащемся в Е, и прийти к противоречию с (102).
Поскольку k-я частная сумма ряда
оо
ftS(/nft+1 (x)-fnft(x)),
сходящегося почти всюду на X, совпадает с
(Х) (Х)»
то равенство
f (х) =- lim fn (х)
h-t-oo ‘
определяет f (х) для почти всех xgX, и неважно, как мы опреде-
лим f (х) в остальных точках множества X.
Теперь мы покажем, что функция f обладает нужными свой-
ствами. Пусть е > 0. Возьмем число N, указанное в определе-
нии 10.41. Если nk>N, то теорема Фату показывает, что
1|/-Л>й!1<!2.Т 1Щ —
Таким образом, f—-fn £ jg2 (р), а так как f = (f—fnh) + fnh, то
fE^2(l1)- Кроме того, ввиду произвольности числа е>0
lim \\f-~fnft!l = 0.
Наконец, из неравенства
(104)	Wf-fnW^f-fnJ + Un.-fnW
следует, что последовательность {fn} сходится к функции f
в <£2(р); действительно, выбирая п и tik достаточно большими,
мы можем сделать оба слагаемых в правой части неравенства (104)
сколь угодно малыми.
10.43.	Теорема Рис с а — Фишера. Пусть {<рп} — орто-
нормальная система на X. Допустим, что ряд 2 I сп I2 сходится,
и положим sn —сi(fi+спц>п- Тогда существует функция
f(z£2(y), такая, что {sn} сходится к f в причем
f 2
П=1
Функции, класса J6"2
303
Доказательство. Если п> т, то
1К—М2 = km+i |2 + • • •+ ic„i2,
так что {$„} — последовательность Коши в ^2(ц). По теореме 10.42
существует функция /С^2(р), такая, что
lim — .sn|l = 0.
П->со
Теперь при n>k
— Ch= fifndll— Sn(fkdy,
X	X	X
так что
I ftf>kd[x—cft|<||f —	sJJ.
X
Полагая n—>co, получаем
Q= f<Pfed|T (£-1,2,3,...),
A'
и доказательство закончено.
10.44.	Определение. Ортонормальная система {<рп} назы-
вается полной, если из того, что f£<£2(p) и
f<pn dp, = 0 (п = 1, 2, 3, . ..)
х
следует, что |1/|| = 0.
Из теоремы 10.40 и равенства Парсеваля (100) следует пол-
нота тригонометрической системы. Обратно, равенство Парсеваля
выполняется для любой полной ортонормальной системы.
10.45.	Теорема. Пусть {ф„} — полная ортонормальная
система. Если /6<£2(р) и если
(105)	£ спфп,
П=1
то
со
(106)	J !/Ne = 2 kni2-
X	n=l
Доказательство. Из неравенства Бесселя следует, что
ряд 2 I сп [2 сходится. Положим
Sn =	+ • • • + cn<fn.
304
Гл. 10. Теория Лебега
В силу теоремы
такая, что
(107)
И \\g—Sn||-->0.
то
(108)
Рисса — Фишера существует функция g £ X2 (р),
со
g OnSfn
n=l
Значит, || sn II — -1| g ]]. Поскольку
i! Sn l|2= I Ci I2 +...-b I cn I2.
J = S Im2-
X	n=l
Теперь из (105), (107) и полноты системы {<рп} следует, что
||7—g|| = 0, так что из (108) следует (106).
Комбинируя теоремы 10.43 и 10.45, мы приходим к очень
интересному выводу: каждая полная ортонормальная система
порождает взаимно однозначное соответствие между функциями
f€<£2(p) (причем функции, совпадающие почти всюду, отожде-
ствляются) и последовательностями {с„}, для которых сходится
ряд S I сп I2- Представление
f ' ' 2
П--1
и равенство Парсеваля показывают, что d62(p) можно рассматри-
вать как бесконечномерное евклидово пространство (так назы-
ваемое «гильбертово пространство»), в котором точка f имеет
координаты сп, а функции служат координатными векторами.
У пражнения
1.	Пусть f>0 и ^fdp = O. Доказать, что f (х) — 0 почти
Е
всюду на Е.
Указание. Пусть Еп — подмножество множества Е, на котором
f(x)>l/n. Положим A=U-£'n; р(Д) = 0 тогда и только тогда,
когда р (Еп) =- 0 при всех п.
2.	Если ^fdp = O для всякого измеримого подмножества А
А
множества Е, то f(x) = O почти всюду на Е.
3.	Пусть {fn} —последовательность измеримых функций. Дока-
зать, что множество точек х, в которых {fn(x)} сходится, изме-
римо.
4.	Если f£X (р) на Е, а функция g ограничена и измерима
на Е, то fgi^ (и) на Е-
Упражнения
305
5. Положим
g (*) =
0	(0<х<1/2),
1 (1/2<х<1),
fzk(x)^g(x)
fzh+l (x)-g(l—X)
(0<х<1),
(0<х<1).
Тогда limfn(x) = 0 (0<Jx<l),
П->оэ
НО
1
§ fn (х) dx = у.
О
(ср. С (77)).
6.	Пусть
Тогда fn(x)—'0 равномерно на 2?1, но
J fndx=--2 (п = 1, 2, 3, ...).
^Мы пишем вместо . j Таким образом, из равномерной схо-
- со	R1
димости не следует ограниченная сходимость в смысле теоре-
мы 10.32. Однако на множествах конечной меры равномерно
Сходящиеся последовательности ограниченных функций сходятся
ограниченно.
7.	Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы
/С .Я (а) на [а, Ь]
Указание. Рассмотреть пример 10.6 (Ь) и теорему 10.33.
8.	Если f £ Я на [a, ft] и если F (х) — f (t) dt, то F' (х) = f (х)
а
почти всюду на [a, ft].
9.	Доказать, что функция F, заданная равенством (95), непре-
рывна на [a, ft],
10.	Если р(Х)<4-со и [££2(ц) на X, то fE#(p.) на X.
Если
И (X) = + оо,
306
Гл. 10. Теория Лебега
то это, вообще говоря, неверно. Например, если

то f^£2 на Л?1, но на R1.
И. Если f, g£ X (р) на X, то определим расстояние между f
и g, полагая его равным
Доказать, что #(р) —полное метрическое пространство.
12.	Допустим, что
(а)	|/(х, у)|<1, если 0<СхС1, 0<у<1,
(Ь)	при фиксированном х функция f (х, у) непрерывна по у,
(с) при фиксированном у функция f (х, у) непрерывна по х.
Положим
1
g(x)= J f(x, y)dy (0<х<1).
о
Непрерывна ли функция g?
13.	Рассмотрим функции
fn(x) = sin пх («=1,2,3,

как точки пространства X2. Доказать, что множество этих точек
замкнуто и ограничено, но не компактно.
14.	Доказать, что комплексная функция f измерима тогда
и только тогда, когда множество измеримо, каково бы ни
было открытое плоское множество V.
15.	Пусть —кольцо элементарных подмножеств промежут-
ка (0, 1]. Если 0<а<Ь<:1, то положим
<р([а, 6]) = <р([а, Ь)) = <р((а, 6]) = <р ((а, b)) = b — а,
<р((0, 6)) = <р((0, b]) = l+b,
если 0<6<1. Показать, что этим определена аддитивная функ-
ция множества на .5?, которая не регулярна и не может быть
продолжена до функции, счетно-аддитивной на сг-кольце.
16.	Пусть {«/,} —возрастающая последовательность положи-
тельных целых чисел, а Е — множество всех точек xg(— л, л),
в которых сходится последовательность {sinnAx}. Доказать, что
т(£)=0.
Упражнения
307
Указание. При любом AazE
sin nkxdx —>0
л
и
2 \ (sin nkx)2 dx = \ (1 — cos 2nhx) dx —» m (Л) при k—»oo.
A	A
17.	Допустим, что £cz( —л, л), m(E)>0, 6>0. Воспользо-
ваться неравенством Бесселя для доказательства того, что
имеется не более чем конечное число таких целых п, что sin пх > 6
при всех х^Е.
18.	Пусть	g6£2(|i). Доказать, что
| J	J Ы2Ф
тогда и только тогда, когда существует такое число с, что
g(x) = cf(x) почти всюду. (Ср. с теоремой 10.35.)
ЛИТЕРАТУРА
(♦(Александров П. С.
Введение в общую теорию множеств и функций, М,—Л., 1948.
Б а к (В и с k R. С.)
Studies in modern analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1962.
Б e p к и л (В u r k i 1 1 J. C.)
The Lebesgue integral, Cambridge, New York, 1951.
Боас (Boas R. P.)
A primer of real functions, Carus Mathematical Monograph № 13, Wiley,
New Y'ork, 1960.
(*) Гел ьфа н д И. M.
Лекции по линейной алгебре, М,—Л., 1951.
Грейвз (Graves L. М.)
The theory of functions of real variables, 2 ed., McGraw-Hill, New York,
1956.
(*) Де P а м Ж.
Дифференцируемые многообразия, At., 1956.
Д ьедо и не Ж.
Основы современного анализа, М., 1964.
Камке (Kamke Е.)
Theory of sets, Dover, New York, 1950.
К a p а т e о д о p и (Caratheodory С.)
Vorlesungen fiber reelle Funktionen, B. G. Teubner, Leipzig, 1927.
Кесте л ьма и (Kes tel m a n H.)
Modern theories of integration, Oxford, New York, 1937.
К non (Knopp K.)
Theory and application of infinite series, Blackie, Glasgow, 1928.
(*) Колмогоров A. H., Фомин С. B.
Элементы теории функций и функционального анализа, вып. 1, М.,
1951, вып. 2, М., 1'960.
Ланда у Э.
Основы анализа, М., 1947.
Мак Шейн (McShane Е. J.)
Integration, Princeton, N. J., 1944.
Натансон И. П.
Теория функций вещественной переменной, М., 1957.
(*) Райков Д. А.
Векторные пространства, М., 1962.
(*) Звездочкой отмечены работы, добавленные при переводе.
Литература
309
(*) Р и с.с Ф., Секефальви-Надь Б.
Лекции по функциональному анализу, М., 1954.
(*) С а к с С.
Теория интеграла, М., 1949.
Титчмарш Е.
Теория функций, М.— Л., 1951.
(*) Ф и х т е н г о л ь ц Г. М.
Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. I, II. III,
М., 1960.
X а л м о ш П.
Теория меры, М., 1953.
X а л м о ш П.
Конечномерные векторные пространства, М., 1963.
Харди Г. X.
Курс чистой математики, М.— Л., 1949.
Харди Г. X., Рогозинский В. В.
Ряды Фурье, М., 1959.
(*) Шилов Г. Е.
Математический анализ, специальный курс, 2-е изд., М., 1961.
(*) Шилов Г. Е., Г у р е в и ч Б. Л.
Интеграл, мера и производная, М., 1964.
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Символы, перечисляемые ниже, сопровождаются кратким разъяснением их
смысла и указанием номера страницы, на которой они определяются.
<, *7, >, >• знаки неравенства 9, 12
€ принадлежит к 11
не принадлежит к 11
sup точная верхняя граница (верхняя грань) 20
inf точная нижняя граница (нижняя грань) 20
+ оо, —с», со бесконечности 24, 36
2 знак суммирования 28, 69
Rk евклидово /г-мерное пространство 29
О нулевой вектор 29
х-у скалярное произведение 29
| х| норма вектора х 29
С, О знаки включения 32
0 пустое множество 32
{хп} последовательность 34
U объединение 35
П пересечение 36
(а, Ь) интервал 40
[а, £>] сегмент 40
Ес дополнение множества Е 41
lim предел 57
—>- сходится к 57, 65
lim верхний предел 66
lim нижний предел 66
f (х + ) правосторонний предел 104
fix —) левосторонний предел 104
Г (х) производные 113, 226
U(P, f), U(P, f, a), L (P, f), L (P, f, a), 5 (P, f), S (P, f, a) римановы суммы
130, 131
Si, 7% (a) классы функций, интегрируемых по Риману (по Стильтьесу) 130, 131
ц(Р) диаметр разбиения Р 134
V (f; a, b), V (f) полная вариация 144
g(K) пространство непрерывных функций 185
Указатель обозначений
311
|[ || норма 185, 223, 298
Ьп, Кп ядра 209, 210
{ej, ..., еп\ стандартный базис 220
L (X), L (X, У) пространства линейных отображений 222
[Л] матрица 225
Djf частная производная 230
g', g" классы дифференцируемых функций 230, 249
/г-симплекс 246
базисная /г-форма 251
Д знак умножения форм 252
d оператор дифференцирования 253
(о-;- преобразования формы ы 254
д граничный оператор 260
$ кольцо элементарных множеств 274
т мера Лебега 274
р мера 276
SRp, SR семейства измеримых множеств 276
f+, f~ положительная (отрицательная) часть функции 283
Ке характеристическая функция 284
X, X (р), J6"2, Jf2 (р) классы функций, интегрируемых по Лебегу 286, 291
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель Н. Г. 85, 194
Абсолютная величина функции 16,
25, 97
—	сходимость 81
Аддитивная функция 272
Алгебра равномерно-замкнутая 180
—	самосопряженная 184
Алгебраические числа 54
Аналитическая функция 192
Антикоммутативности закон 252
Ассоциативности закон 9
База 55
Базис 219
Базисная форма 251
Безусловная сходимость 86
Бесконечное множество 33
Бесконечность 23
Бесселя неравенство 209, 300
Борелевское множество 280
Бэра теорема 56, 112
Вариации функции 148
Вариация 144
Вейерштрасса признак 165
—	теорема 50, 178
Вектор единичный 264
—	нулевой 29
—	столбец 225
Векторное пространство 29, 219
Векторнозначная функция 95
Векторнозначной функции произ-
водная 121
Верхнее число 11
Верхний интеграл 129
—	предел 65
Верхняя граница 20
—	грань 20
Вещественное число 18
Взаимно однозначное соответствие
33
Вихрь 269
Внешнее дифференциальное исчисле-
ние 253
Внешняя мера 275
Внутренняя точка 41
Возрастающая последовательность
65, 105
Выпуклость 40, 112
Гармоническая функция 270
Гаусса теорема 270
Гейне — Бореля теорема 49
Геометрическая прогрессия 71
Гильбертово пространство 304
Градиент 264
Граница 260
График 109
Грина теорема 261
Двойная последовательность 161
Десятичные дроби 23
Диагональный процесс 39, 176
Диаметр 62
— разбиения 134
Дивергенция 269
Дирихле теорема 218
— ядро 210
Дистрибутивности закон 9
Дифференциальная форма, см. Фор-
ма
Дифференциальное уравнение 128,
191
Дифференцирование интеграла 140,
267, 297
Дифференцируемая функция 113,226
Длина 153
Дополнение 41
Дуга 153
Евклидово пространство 29
Единичный вектор 264
Единственности теорема 111
Замена переменных 152, 247
Замкнутая форма 268
Замкнутое множество 41
Замыкание 55
— равномерное 181
Знакопеременный ряд 81
Измеримая функция 282
Измеримое множество 276
—	пространство 281
Измельчение разбиения 132
Интеграл верхний 129
—	Лебега 285
—	нижний 129
—	Римана 130
—	Стильтьеса 131
Алфавитный указатель
313
Интеграла дифференцирование 140,
266, 296
— счетная аддитивность 287
Интегральный признак 158
Интегрирование по частям 150
— производной 141, 296
Интегрируемых функций простран-
ство 298, 305
Интервал 40, 52
Изолированная точка 40
Иррациональное число 9, 75
Кантор Г. 39, 207
Канторово множество 51, 281
Кардинальное число 33
Клетка 40, 48
Кнопп К. 10, 73
с-кольцо 271
Коммутативности закон 9
Компактное метрическое простран-
ство 46
—	• множество 45
Комплексная плоскость 30
Комплексное число 24
Компонента функции 97
Конечное множество 33
—	покрытие 45
Координаты 29
Координатные функции 98
Коши О. Л. 71
Кривая 153
—	непрерывно дифференцируемая
153
—	простая замкнутая 153
—	спрямляемая 153
Критерий Коши 62, 69
Ландау Э. 11
Лебег А. Л. 207
Лебега интеграл 285
—	мера 280
—	теорема 290, 293
Левосторонний предел 104
Лейбниц Г. В. 81
Линейная комбинация 219
—	функция 221
Линейное отображение 221
—	преобразование 221
Линейный оператор 222
Линейных преобразований сумма 222
Липшица условие 127, 216
Логарифм 31, 201
Логарифмическая функция 201
Локализации теорема 211
Локально взаимно однозначное ото-
бражение 234
Локальный максимум 116, 263
Лопиталя правило 119, 123
Матриц произведение 226
Матрица 225
Мера 281
—	внешняя 275
Мертенс Ф. 84
Меры нуль множество 281, 288
Метрическое пространство 38
Многочлен 97, 205
—	тригонометрический 206
Множество 10
—	бесконечное 33
—	борелевское 280
—	замкнутое 41
—	измеримое 276, 281
—	канторово 51
—	компактное 46
—	меры нуль 281, 288
—	независимое 219
—	несчетное 33
—	ограниченное 20, 41
—	открытое 41
—	параметров 250
—	плотное 41
—	пустое 32
—	связное 52
—	совершенное 41
—	счетное 33
—	элементарное 273
Монотонная последовательность 65
—	функция 105, 273
Начальные данные 127, 190
Независимое множество 219
Непрерывно дифференцируемая кри-
вая 153
— дифференцируемое отображение
230
Непрерывное отображение 95
Непрерывность 95
—	равномерная 100
Непрерывных функций пространст-
во 186
Неравенство треугольника 27, 30
—	Шварца 28, 157, 298
Несчетное множество 33
Нигде не дифференцируемая функ-
ция 172
Нижнее число 11
Нижний интеграл 129
—	предел 65
314
Алфавитный указатель
Нижняя граница 20
—	грань 20
Норма 29, 185, 223, 298
Нормаль 269
Нормальное пространство 111
Носитель 245
Нулевой вектор 29
Нулей множество 110
Оболочка 219
Образ 32
Обратимое преобразование 100
Обратная функция 100
Обратное отображение 100
Обратный оператор 222
Объединение 35
Ограниченная последовательность 57
—	сходимость 293
—	функция 99
Ограниченное множество 20, 41
Ограниченной вариации функция 144
Окрестность 40
Окружность сходимости 79
Определителей произведение 242
Определитель оператора 241
Ориентированный симплекс 257, 260
Ортогональная система функций 207
Ортонормальная система функций
207, 300
Основная теорема интегрального ис-
числения 141
Открытое множество 41
—	покрытие 45
Относительно открытое множество 45
Отображение 32
—	в 32
—	линейное 221
—	на 32
Отображение непрерывно дифферен-
цируемое 230
— непрерывное 95
— открытое 111, 234
— простое 239, 266
—	равномерно непрерывное 100
—	см. также Функция
Отрицательное сечение 12
Парсеваля теорема 214, 300
Переменных замена 152, 247
Пересечение 36
Перестановка 86, 196
Периодическая функция 203
Плоскость 30
Плотное подмножество 41, 55, 107,
111, 186, 299
Площадь 269
Поверхность 250
Подмножество 32
— плотное 41, 55, 107, 111, 186,
299
—	собственное 32
Подпоследовательность 61
Показательная функция 198
Покрытие 45
Полная вариация 148, 150
— ортонормальная система 207, 300
—	производная 227
Полное метрическое пространство 64
Положительное сечение 12
Пополнение 91
Порядок 9, 13
Последовательность 34
—	возрастающая 65, 105
—	двойная 161
— Коши 62, 186, 301
—	монотонная 65
—	ограниченная 57
—	поточечно ограниченная 173
—	— сходящаяся 160
—	равномерно ограниченная 173
—	— сходящаяся 163
—	расходящаяся 57
—	сходящаяся 57
Поточечная сходимость 160
Поточечно ограниченная последова-
тельность 173
Почти всюду 289
Правило дифференцирования слож-
ной функции 115, 228
Правосторонний предел 104
Предел 57, 93
—	верхний 65
—	левосторонний 104
—	нижний 65
—	подпоследовательности 61
—	правосторонний 104
Предельная точка 40
—	функция 160
Преобразование линейное, см. так-
же Отображение, Функция 221
Признак Даламбера 76
—	Кошн 75
—	сравнения 70
Произведение 15, 25
—	внутреннее 29
—	Коши 82
—	матриц 226
—	определителей 242
—	преобразований 222
—	рядов 82
—	скалярное 29
Алфавитный указатель
315
Произведение форм 252
— функций 94
Производная 113
—	векторнозначной функции 121
—	высшего порядка 120
—	интеграла 140, 266, 296
—	отображения 226
—	полная 227
—	по направлению 264
—	формы 253
—	частная 229, 249
Производной интегрирование 141,
296
Промежуточное значение 103
Прообраз 32
Простая замкнутая кривая 153
—	функция 284
Простое отображение 239, 266
Простой разрыв 104, 108
Пространство гильбертово 304
—	евклидово 29
—	измеримое 281
— интегрируемых функций 298, 305
—	компактное метрическое 46
—	метрическое 38
—	непрерывных функций 186
—	нормальное 111
—	полное метрическое 64
—	с мерой 281
—	связное 52
—	сепарабельное 55
Прямая 30
Пустое множество 32
Равномерная непрерывность 100
—	ограниченность 173
—	сходимость 163
Равномерно замкнутая алгебра 181
Равномерно непрерывное отображе-
ние 100
Равномерное замыкание 181
Равностепенная непрерывность 175
Радиус 40
—	сходимости 79
Разбиение 129
Разделение точек 181
Размерность 219
Разрывы 104
—	простые 104, 108
Ранг 236
Расстояние 39, ПО
Расходящаяся последовательность 57
Расходящийся ряд 69
Расширенная система вещественных
чисел 23
Рациональная функция 98
Рациональное сечение 12
—	число 9, 38
Регулярная функция множества 274
Риман Б. 86, 207
Римана интеграл 130
Римана — Стильтьеса интеграл 131
Рисса — Фишера теорема 302
Ряд 69
—	абсолютно сходящийся 81
—	безусловно сходящийся 86
-	знакопеременный 81
—	равномерно сходящийся 163
—	расходящийся 69
—	степенной 79
—	сходящийся 69
—	тригонометрический 206
Рядов произведение 82
Самосопряженная алгебра 184
Связное множество 52
—	пространство 52
Сегмент 40, 54
Сепарабельное пространство 55
Сечение 11
Скалярное произведение 29
Симметрическая разность 276
Симплекс 246, 257
Система ортогональная функций 207
— полная ортонормальная 300
Сложение, см. Сумма
Сложения формула 198
Собственное подмножество 32
Совершенное множество 41, 51
Сопряженное комплексное число 28
Спрямляемая кривая 153
Среднее арифметическое 89,	212
Среднеквадратичное приближение208
Стандартный базис 220
Степенной ряд 79
Стокса теорема 261
Стона— Вейерштрасса теорема 178
Сужение 109
Сумма 14, 25, 29
—	дифференциальных форм 252
—	линейных преобразований 222
—	ряда 69, 160
—	функций 94
—	цепей 259
— частная 69
Суммирование по частям 80
Существования теорема 190
Сходимости радиус 79
Сходимость 57
— абсолютная 81
316
Алфавитный указатель
Сходимость безусловная 86
—	ограниченная 293
—	последовательностей 57
—	поточечная 160
—	равномерная 163
—	рядов 69
—	с мажорантой 293
Счетная аддитивность интеграла 287
—	база 55
Счетно-аддитивная функция множе-
ства 272
Счетное множество 33
Тейлора теорема 120, 196
Теорема о монотонной сходимости 290
—	— неявной функции 234
—	— обратной функции 231
—	— ранге 236
— среднем значении 117, 124,
151, 152
—	— сходимости с мажорантой 293
—	полноты 19
Точная верхняя граница 20
—	нижняя граница 20
—	форма 268
Тригонометрическая функция 202
Тригонометрический многочлен 206
— ряд 206
Функция дифференцируемая ИЗ,
226
—	измеримая 282
—	— по Борелю 284
—	интегрируемая по Лебегу 285
—	— — Риману 130
—	координатная 98
—	линейная 221
—	логарифмическая 201
—	монотонная 105
—	непрерывная 95
—	нигде не дифференцируемая 172
—	обратная 100
—	ограниченная 99
—	ограниченной вариации 144
—	периодическая 203
—	показательная 198
—	простая 284
—	равномерно непрерывная 100
—	рациональная 98
—	тригонометрическая 202
—	характеристическая 284
Функций ортогональная система 207,
300
—	произведение 94
—	сумма 94
Фурье Ж. Б. 206
Фурье коэффициенты 206, 207
—	ряд 206, 207
Убывающая последовательность,
функция 65, 105
Умножение, см. Произведение
Упорядоченное поле 18
Фату теорема 292
Фейера ядро 210
Форм произведения 252
—	сумма 252
Форма 250
—	базисная 251
—	замкнутая 268
—	класса g', 4g" 250
—	точная 268
Формы производная 253
Функции абсолютное значение 16,
25, 97
—	вариация 144
—	компонента 97
—	предел 160
Функция 32
—	аналитическая 192
—	векторнозначная 95
—	гармоническая 270
Характеристическая функция 284
Цепь 259
Частная производная 229, 249
—	сумма 69
Число алгебраическое 54
—	верхнее 11
—	вещественное 18
—	иррациональное 9, 75
—	кардинальное 33
—	комплексное 24
— нижнее 11
Шар 40
Эйлера постоянная 216
Эквивалентности отношение 33
Элементарное множество 273
Якобиан 244
ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчика ........................................ ....	5
Предисловие .................................................... 7
Глава 1. Системы вещественных и комплексных чисел............... 9
Введение................................................... 9
Дедекиндовы сечения..................................... 11
Вещественные числа......................................... 18
Расширенная система вещественных чисел.................. 23
Комплексные числа ...................................... 24
Евклидовы пространства.................................... 29
Упражнения.............................................. 30
Г лава 2. Элементы теории множеств............................ 32
Конечные, счетные и несчетные множества................... 32
Метрические пространства.................................. 39
Компактные множества ..................................... 45
Совершенные множества................................... 51
Связные множества......................................... 52
Упражнения................................................ 54
Глава 3. Числовые последовательности и ряды................... 57
Сходящиеся последовательности............................. 57
Подпоследовательности..................................... 61
Последовательности Коши................................... 62
Верхний и нижний пределы.................................. 65
Некоторые специальные последовательности................. 67
Ряды...................................................... 68
Ряды с неотрицательными членами.......................... 71
Число е.................................................. 73
Другие признаки сходимости................................ 75
Степенные ряды........................................... 79
Суммирование по частям................................... 80
Абсолютная сходимость.................................... 81
Сложение и умножение рядов............................... 82
318
Оглавление
Перестановки рядов......................................... 85
Упражнения ................................................ 88
Глава 4. Непрерывность........................................  93
Предел функции......................................... 	93
Непрерывные функции......................................... 95
Непрерывность и компактность ............................... 99
Непрерывность и связность .................................. 103
Разрывы функций.................................... ...	104
Монотонные функции ......................................... 105
Бесконечные пределы и пределы в бесконечности............... 107
Упражнения ........................................  	108
Глава 5. Дифференцирование...................................... ИЗ
Производная вещественной функции............................ ИЗ
Теоремы о среднем значении.................................. 116
Непрерывность производных................................... 118
Правило Лопиталя......................................... 119
Производные высших порядков............................ 120
Теорема Тейлора ......................................... 120
Дифференцирование векторнозначных функций................121
Упражнения............................................... 125
Глава 6. Интеграл Римана — Стильтьеса	129
Определение и существование интеграла ...	........... 129
Интеграл как предел сумм................................. 138
Интегрирование и дифференцирование....................... 140
Интегрирование векторнозначных функций................... 142
Функции ограниченной вариации............................ 144
Дальнейшие теоремы об интегрировании..................... 149
Спрямляемые кривые ...................................... 153
Упражнения .............................................. 155
Глава 7. Последовательности и ряды функций................... 160
Вводные замечания ....................................... 160
Равномерная сходимость.................................... 163
Равномерная сходимость и непрерывность.................... 165
Равномерная сходимость и интегрирование................... 167
Равномерная сходимость и дифференцирование................ 171
Равностепенно непрерывные семейства функций.............. 173
Теорема Стона — Вейерштрасса ............................ 178
Упражнения............................................... 186
Оглавление	319
Глава 8. Дальнейшие сведения из теории рядов.................192
Степенные ряды.......................................... 192
Показательная и .ioi арифмическая функции............... 198
Тригонометрические функции ...	  202
Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел....... 205
Ряды Фурье ............................................. 206
Упражнения ............................................. 215
Глава 9. Функции нескольких переменных...................... 219
Линейные преобразования....................... ...	. .	219
Дифференцирование....................................... 226
Теорема об обратной функции............................. 231
Теорема о неявной функции............................... 234
Теорема о ранге........................................  236
Теорема о разложении.....................................239
Определители..........................................   241
Интегрирование.......................................... 244
Дифференциальные формы.................................. 250
Симплексы и цепи................................... ....	257
Теорема Стокса ......................................... 261
Упражнения.............................................. 263
Глава 10. Теория Лебега..................................... 271
Функции множества................................... ...	271
Построение меры Лебега.................................. 273
Измеримые функции......................•................ 282
Простые функции......................................... 284
Интегрирование.......................................... 285
Сравнение с интегралом Римана........................... 294
Интегрирование комплексных	функций...................... 297
Функции класса Jf2 ..................................... 298
Упражнения ............................................. 304
Литература.................................................. 308
Указатель обозначений ...................................... 310
А л ф а в и т н ы й у к а з а т е л ь....................... 312
У. Рудин
основы
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Редакторы Н. И. Плужникова, Е. А. Горин
Художник А. Г. Антонова
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Е. С. Потапенкова
Подписано к печати 24/11 1976 г.
Бумага офсет. № 2 60 X 901/»© - Ю бум. л.
20 печ. л. Уч.-изд. л. 16,17
Изд. № 1/8592
Цена I р. 33 к. Зак. 123
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Экспериментальная типография
ВНИИ полиграфии
Государственного комитета
Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли
Москва. К-51. Цветной бульвар. 30
Отпечатано фотоофсетом
на двухкрасочной офсетной машине
с переворачивающим устройством