НЕЛИНЕЙНЫЙ
АНАЛИЗ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
В. П. МАСЛОВ
КОМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД
ВКБ
В НЕЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЯХ
издательство «наука»
главная редакция
Физико-математической литературы
МОСКВ А 1 9 7 7

517.2
M 31
УДК 517
Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. В. П. Мае*
лов. Главная редакция физико-математической литературы
издательства «Наука», М., 1977.
В монографии развивается новый асимптотический метод
получения квазиклассических решений многомерных нелинейных
уравнений. В качестве примеров рассматриваются нелинейные уравнения
квантовой механики, уравнения кристаллической решетки и др.
Полученные решения локализованы в окрестности некоторых кривых или
поверхностей. Конструкция таких решений опирается на изложенный
в I части гамильтонов формализм механики узких пучков и
известные солитонные решения соответствующих двумерных задач.
Книга предназначена научным работникам в области математики
и ее приложений, а также физикам и механикам.
Библ. 72 назв., илл. 17.
Виктор Павлович Мослов
КОМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД ВКБ В НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЯХ
.•■■ *-- --■»**'»" * ^
; У . .Л., 1977 т\. 384 стр. с илл.
'. Редактор В. В. ВелЬв,
i ^> : *
TexHv редактор Л* В. Лихачева. Корректор Л. С. Сомова.
■* " - '• е- ' у
Сдано в набор 1/VI 1£>77 г. Подписано к печати 9/Х1 1977 г. Бумага
84x108788- Физ. печ. л. 12. Условн. пёч.\л. 20, *6. Уч.-изд. л. 21,16. Тираж
? 7600 экз. T-18570. Цена книги 1 р. 60 £. Заказ № 3055.
*
Издательство «Наука*
Главная редакция физико-математической литературы
11707Г, Москва, В-71, ЛенинскийАроспект, 15
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. Москва, М-54, Валовая, 28.
Отпечатано во 2-ой типографии издательства «Наука», Москва, Г-99,
Шубинский пер., 10
„ 20203—162 „ пп © Главная редакция
М ■ ngQ /поч пп oU-// физико-математической литературы
Uoo(Uz;-// издательства «Наука», 1977

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Введение 11
ЧАСТЬ I
КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
БЕСКОНЕЧНО УЗКИХ ПУЧКОВ
Глава I. Уравнения и задачи механики узких пучков .... 31
§ 1. Асимптотические решения типа узких пучков
уравнений в частных производных с малым параметром... 31
§ 2. Система канонических уравнений 37
§ 3. Неравенства типа Гординга 42
§ 4. Приближенные решения канонической системы .... 43
Глава II. Гамильтонов формализм узких пучков 45
§ 1. Приближенные комплексные решения задачи Коши
для нестационарного уравнения Гамильтона—Якоби 45
§ 2. Модельная задача 50
§ 3. Вспомогательные факты из симплектической
геометрии фазового пространства 57
§ 4. Лагранжево многообразие с вещественным ростком . . 59
§ 5. Фаза и действие на лагранжевом многообразии с
вещественным ростком 66
§ 6. Перестройка фазы 71
§ 7. Лагранжево многообразие с комплексным ростком . . 76
§ 8. Условие диссипативности 79
§ 9. Действие на лагранжевом многообразии с
комплексным ростком 81
§ 10. Каноническое преобразование лагранжева многообразия
с комплексным ростком 84
§ 11. Приближенные комплексные решения нестационарного
уравнения Гамильтона —Якоби 85
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава III. Приближенные решения нестационарного уравнения
переноса 91
§ 1. Постановка задачи и формулировка результатов ... 91
§ 2. Приближенные вещественные решения уравнения
переноса 95
§ 3. Приближенные комплексные решения нестационарного
уравнения переноса 99
§ 4. Обобщенное нестационарное уравнение переноса . . . 110
§ 5. Операторы рождения и уничтожения для задачи Коши 115
§ 6. Операторы рождения и уничтожения. Общий случай 128
§ 7. Пространства функций S([Ak, гп/ТАк]) 145
§ 8. Обобщенное уравнение переноса с правой частью. . . 146
Глава IV. Стационарное уравнение Гамильтона — Якоби ... 149
§ 1. Каноническая система стационарных уравнений . . , 149
§ 2. Инвариантные лагранжевы многообразия с
комплексным ростком 151
§ 3. Обобщенная задача Коши для стационарного
уравнения Гамильтона — Якоби 159
Глава V. Стационарные уравнения переноса 172
§ 1. Приближенные решения стационарного уравнения
переноса . 172
§ 2. Задача Коши на плоскости для уравнения переноса . . 176
§ 3. Обобщенное стационарное уравнение переноса .... 178
§ 4. Примеры 184
§ 5. Обобщенные собственные функции оператора Гельм-
гольца и околовакуумные семейства комплексных
решений 188
Глава VI. Комплексный гамильтонов формализм компактных
(циклических) пучков 199
§ 1. Постановка задачи 199
§ 2. Инвариантное нульмерное лагранжево многообразие
с комплексным ростком 204
§ 3. Приближенные решения обобщенного уравнения
переноса, сосредоточенные в окрестности точки 210
§ 4. Семейство замкнутых кривых с комплексным ростком 217
§ 5. Функции на семействе замкнутых кривых с
комплексным ростком, операторы рождения 222
• § 6. Инвариантные замкнутые кривые с комплексным ростком 231

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 7. Приближенные циклические решения стационарного
уравнения Гамильтона —Якоби 240
§ 8. Приближенные решения обобщенного уравнения
переноса 245
§ 9. Серии собственных чисел и асимптотических
собственных функций оператора Гельмгольца с переменными
коэффициентами 250
§ 10. Обобщенные уравнения переноса с правой частью . » 255
§ 11. Приближенные решения обобщенного уравнения
переноса с правой частью, сосредоточенные в окрестности
точки 257
§ 12. Приближенные решения обобщенного уравнения
переноса с правой частью, сосредоточенные в окрестности
замкнутых кривых 259
Ч А С Т Ь II
КОМПЛЕКСНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Глава I. Уравнения с кубичными нелинейностями 263
§ 1. Решения типа «волнового пакета» 263
§ 2. Периодические решения, сосредоточенные в окрестности
прямой 270
§ 3. Периодические решения с компактным носителем . . . 272
§ 4. Построение формального асимптотического ряда и
вывод канонической системы уравнений 274
§ 5. Формальные асимптотические решения по mod О (/i3^2) 285
§ 6. Операторы рождения—уничтожения в нелинейных
уравнениях 287
§ 7. Доказательство теоремы 1.3 289
Глава II. Сингулярные асимптотические решения нелинейных
уравнений 291
§ 1. Положительно-частотные обобщенные функции .... 293
§ 2. Операции над обобщенными функциями 296
§ 3. Пространство функций С°° (Q, Ьх) 298
§ 4. Классы функций Oxf(ha) и Qf(ha) 299
§ 5. Определение сингулярных асимптотических решений 302
Глава III. Уравнение типа уравнения Sine —Гордона .... 305
§ 1. Семейства комплексных решений, сосредоточенных в
окрестности незамкнутых кривых 30G

в
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Семейства комплексных решений, сосредоточенных в
окрестности замкнутых кривых 309
§ 3. Построение сингулярного асимптотического ряда . . .312
§ 4. Первый член сингулярного асимптотического ряда . . 315
§ 5. Высшие приближения 322
§ 6. Доказательство утверждений §§1—2 326
Глава IV. Уравнение Sine — Гордона и Кадомцева — Петвиа-
швили . , 332
§ 1. Задача о распространении узкого пучка волн .... 333
§ 2. Семейства сингулярных асимптотических решений,
сосредоточенные в окрестности прямых 337
§ 3. Семейства асимптотических решений с компактным
носителем 340
§ 4. Асимптотичность по мере сингулярных асимптотических
решений 343
§ 5. Околовакуумные семейства решений уравнения Sine —
Гордона 347
§ 6. Уравнение Кадомцева — Петвиашвили .353
Глава V. Уравнение кристалла 356
§ 1. Постановка задачи и формулировка результатов . . . 356
§ 2. Построение сингулярного асимптотического ряда . . . 359
§ 3. Построение главного члена сингулярного
асимптотического решения 364
§ 4. Построение высших приближений 366
Таблица асимптотических спектральных серий 370
Литература 381

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга посвящена асимптотическим (h -—►0)
решениям линейных и нелинейных уравнений, быстро
убывающим вне окрестности некоторых точек, кривых
и поверхностей. Такие решения почти везде хорошо
аппроксимируются функциями ср (х) Ф (-j^ S (х) J, х g R8,
где S (х) комплексно, причем Im S (х) ^ 0. В линейном
случае Ф (z) = exp (iz), z g С, и нахождение асимптотик такого
вида при ImS(#) = 0 носит в квантовой механике
название «метод ВКБ». Сохраняя это название для случая
Im S (х) ^ 0 и произвольной функции Ф (z), мы будем здесь
развивать этот метод для существенно более широкого
класса задач, в том числе и нелинейных.
Асимптотика такого типа строится в последнее время во
многих линейных задачах математической физики;
различными методами построены конкретные формулы (В. М.
Бабич, см. [3], В. Ф. Лазуткин [27], А. А. Соколов, И. М.
Тернов [47], Швингер [70] и [49].) Однако потребность общего
(гамильтонова) формализма для получения асимптотик
вышеуказанного типа ощущается как в современной
математической, так и в физической литературе. Например,
редакторы сборника [49] (1974) пишут в предисловии:
«Можно надеяться, что в ближайшее время удастся
развить методику расчета полей с комплексной фазой,
аналогичную той, которая стала привычной для расчета
полей с вещественной фазой». Оказывается, что
асимптотики такого типа полностью определяются
приближенными комплексными решениями некоторых (обыкновен-

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
ных) уравнений Гамильтона, отвечающих исходной задаче
[34]. В настоящей монографии излагается простейший
вариант такой приближенной комплексной теории (теории
«комплексного ростка») в доступной форме и для
конкретных примеров.
Метод нахождения комплексных решений для системы
уравнений Ньютона (Гамильтона), которые используются
для получения асимптотики в области тени, был
подробно и в общем виде изложен в [34, 68]. Однако для
конкретных задач в случае, когда характеристики
исходных уравнений действительны, эти решения
существенно упрощаются. Поэтому разумно сначала научиться
строить асимптотические решения в этом более простом
случае.
Именно с такой точки зрения написана I часть книги,
в которой метод демонстрируется на наиболее простых
моделях, по возможности избегая формулировок теорем
для уравнений общего вида. Этим книга существенно
отличается от книги [34], где результаты формулируются
в весьма общем виде.
Во второй части книги приводится метод построения
асимптотических условно периодических комплексных
решений нелинейных уравнений на примере уравнений
ангармонической кристаллической решетки,
Sine—Гордона, Гайзенберга, Кадомцева—Петвиашвили, Хартри.
Из первой части книги видно, что хотя комплексные
решения уравнения Ньютона и не имеют сами по себе
физического смысла, однако они играют существенную
роль в конструкции асимптотических решений квантовых
и волновых задач при переходе в классически
недостижимую область (область тени). Точно так же комплексные
решения нелинейных уравнений с частными производными
могут не иметь явного физического смысла, но эти
решения оказываются, полезными для получения
квазиклассической асимптотики решений вторично квантованных

ПРЕДИСЛОВИЕ
уравнений, в особенности для расчета эффектов типа
туннельного, времени жизни и т. п. (см. Введение).
Помимо Зтого, излагаемый в книге комплексный метод
ВКБ может быть применен к широкому классу задач
квантовой механики и электродинамики, например, к
задаче о квантовомеханическом движении частиц в
циклических ускорителях, задаче распространения узких
лазерных пучков и т. п. Примеры применения развитого
в книге метода к подобного рода задачам приводятся
в I части, в §5 гл. V, §9, гл. VI. Предложенные методы
могут быть использованы для построения асимптотик
разнородных задач, но в данной книге автор поставил перед
собой цель: помимо демонстрации методов попытаться,
с одной стороны, развить единый комплексный гамиль-
тонов формализм для задач классической механики
Ньютона, и, с другой стороны, дать правильную
постановку задачи в «бесконечномерном» гамильтоновом случае
для нелинейных уравнений с частными производными.
Эта цель превалирует над рассмотрением задач, которые
отвечают конкретным физическим постановкам.
Но если для уравнений Ньютона роль и физический
смысл комплексных решений до сих пор были еще
недостаточно прояснены, то для (линейного) уравнения
Власова, описывающего движение частиц разреженного
газа в самосогласованном поле, комплексные решения
после работы Ландау (1946) стали общеупотребительными.
С этой позиции, вероятно, можно подходить и к
комплексным решениям уравнения Кадомцева — Петвиашвили
(гл. IV, ч. II).
Нелинейные уравнения решаются общим операторным
методом, который для ряда задач приводит к
комплексному варианту метода Визема*) [71, 72]. Заметим, что
*) К сожалению, автор, познакомившись с этим методом по
диссертации Ломова С. А., не знал о существовании более ранних работ
[71, 72, 65] и, по существу, повторил в [32] результаты Люка [65].

10
ПРЕДИСЛОВИЕ
подобно тому, как мы решаем комплексным методом
ВКБ в гл. V части II задачу о системе N связанных
ангармонических осцилляторов при N-*oo* в конечном
объеме, мы можем решать и задачу о системе
взаимодействующих заряженных частиц при N-*oo и
плотности, стремящейся к нулю. При этом оказывается, что
уравнением характеристик для них с точки зрения
общего операторного подхода будет уравнение Власова.
Мы не имеем возможности достаточно подробно
останавливаться здесь на комплексных решениях уравнений
самосогласованного поля и приведем лишь в таблице
(в конце книги) асимптотические серии комплексных
собственных функций для уравнения типа Хартри (п.8).
Эта асимптотика отвечает точке покоя для уравнения
Власова и комплексному инвариантному многообразию,
которое ей соответствует. В случае движения
предельной классической системы по замкнутой кривой мы
ограничиваемся более простыми полями,
рассматриваемыми в таблице, поскольку даже в этом случае приведенные
примеры (пп. 1—7) дают новые физические результаты.
Книга написана в тесном рабочем контакте с моими
учениками С. Ю. Доброхотовым, В, В. Беловым, В. Г.
Даниловым, Г.Ю.Малышевой, В. А. Мозговым,
Р.В.Исаковым, А. Л. Померанцевым, Г. А. Омельяновым,
которые проделали огромную работу по проведению
громоздких выкладок и обработке текста*).
Особенно большую помощь в написании книги оказал
С. Ю. Доброхотов, совместные результаты с которым
легли в основу глав, посвященных применению теорий
комплексного ростка для нелинейных уравнений.
Приношу всем названным мною сердечную благодарность.
В. П. Маслов
*) В частности, результаты п.п. 1—7 таблицы принадлежат
В. В. Белову, п. 8—В. А. Мозговому.

ВВЕДЕНИЕ
Операторные методы, развитые в [34, 67], дают
возможность получить асимптотические решения для
широкого класса линейных и нелинейных задач. В частности,
они применимы к асимптотике решений нелинейных
уравнений самосогласованного поля [38], при получении
асимптотического разложения ударных волн в
газодинамике [39] и других задачах. В настоящей книге мы
продемонстрируем эти методы для построения комплексных
решений широкого класса нелинейных дифференциальных
уравнений с частными производными и нелинейных
дифференциально-разностных уравнений. Эту демонстрацию
мы проведем подробно на конкретных примерах
многомерного уравнения Sine—Гордона с переменными
коэффициентами (во внешнем поле) и системы нелинейных
уравнений кристаллической решетки. Выбор этих
модельных уравнений связан с двумя моментами. Во-первых,
в этих достаточно сложных случаях метод дает возмож*
ность выразить асимптотику решений через «солитонные»
функции. Во-вторых, на этих примерах можно легко
объяснить, для чего необходимы именно комплексные
решения нелинейных уравнений. Действительно,
например, уравнения колебаний решетки являются
классической гамильтоновои системой, соответствующей квантовой
задаче многих связанных ангармонических осцилляторов.
Их комплексные решения, как известно, необходимы для
получения квазиклассической асимптотики квантовой
задачи в области тени (туннельных эффектов). Уравцение
Sine—Гордона, в свою очередь, можно трактовать как
бесконечную гамильтонову систему для соответствующего
вторично квантованного уравнения. Такая трактовка дает
возможность, кроме того, поставить задачу для
нахождения нужных нам комплексных решений. Весь
дальнейший текст введения посвящен обсуждению этой задачи.

12
ВВЕДЕНИЕ
Вообще, в настоящее время в физической и
математической литературе весьма активно разрабатываются
методк нахождения точных действительных й
комплексных решений нелинейных уравнений (так называемых
решений «солитонного» типа). Мощный импульс в
развитии этих методов был дан работами [12, 63, 68]. Особенно
широкий интерес к этим методам появился после выхода
в 1973—1976 гг. статей [51, 52, 59]. Именно в этих
работах были рассмотрены вторично-квантованные задачи,
для которых уравнения в частных производных являются
аналогом уравнений классической механики (уравнений
Ньютона) по отношению к квантовым уравнениям
(уравнению Шредингера).
Заметим, однако, что такие решения были получены,
в основном, лишь в одномерном случае (в случае одной
пространственной переменной), что существенно
ограничивает круг применения этих методов. С другой стороны,
в указанных работах вторичное квантование уравнения
Sine—Гордона проводится лишь в квазиклассическом
приближении (при /i —*0); поэтому, казалось бы,
достаточно вместо точных решений уравнения Sine—Гордона
также использовать его асимптотику при h—+Q. Эта
точка зрения, однако, может вызвать следующее
возражение. Обычно квазиклассическое приближение
предполагает наличие быстрых осцилляции волновой функции
и отвечает высоким энергетическим уровням [24]. В то
же время наиболее интересной задачей является задача
нахождения приближенных решений вблизи вакуумного
состояния (нижние энергетические уровни). Но
оказывается, и мы постараемся показать это во введении, что
для нижних энергетических уровней может быть найдена
асимптотика при /i —>0, которую мы будем называть
также квазиклассической (хотя и не в смысле [28]). Она-то
именно й определяется комплексными решениями
уравнения Sine—Гордона. Заметим, что на самом деле
параметры, входящие в соотношения коммутаций во вторично-
квантованном уравнении и в уравнение Sine—Гордона,
можно считать различными, так как соответствующие им
безразмерные величины, которые в действительности и
являются малыми, будут различными *). Следуя Л. Д. Фад-
*) См. [67], стр. 114,

ЁЁЁДЁНИЁ
13
дееву, мы будем писать h=^h{n (внутренняя постоянная
Планка, входящая в уравнение Sine—Гордона) и h=houi
(внешняя постоянная Планка, входящая в
коммутационные соотношения).
В соответствии с вышесказанным мы попытаемся ниже
наметить пути построения квазиклассических векторов
состояний, исходя из полученных в основном тексте книги
комплексных решений нелинейных уравнений. Прежде
всего напомним известные уже способы квантования в
«квазиклассическом приближении». Еще до зарождения
квантовой механики Нильс Бор и Арнольд Зоммерфельд
сформулировали эвристический принцип
«квазиклассического» квантования решения классических уравнений.
В дальнейшем их способ был поглощен квантованием
Шредингера самих уравнений классической механики.
Следуя исходной концепции Бора и Зоммерфельда, автор
предложил способ квантования в квазиклассическом
приближении некоторых геометрических объектов в
(конечномерном) фазовом, пространстве, названных автором ла-
гранжевыми многообразиями. В одномерном случае такой
подход является очевидным.
Именно, пусть имеется однопараметрическое семейство
замкнутых кривых Л1 (£), ££R, в фазовом пространстве
R^xR*. Тогда условие квантования Бора J pdq =
Л» (Е)
= nh (п+у J семейства Л1 (Е) дает квазиклассические
энергетические уровни той задачи, которой отвечают
кривые А}(Е). Построение соответствующего
квазиклассического волнового вектора производится с помощью
канонического оператора [33, 40].
На многомерный случай этот метод квантования
обобщается следующим образом: пусть в 2д-мерном фазовом
пространстве R^xRJS имеется n-параметрическое
семейство /г-мерных лагранжевых замкнутых *) многообразий
Ап(Е, ы1У ..., (!)„_!), т.е. поверхностей, для которых
локально существует интеграл }pdx, Г—путь на Лп,
г
(форма pdx замкнута, или, что то же самое, скобки
*) Точнее, компактных многообразий без края.

14 ЁВЕДЁНИЁ
Лагранжа на поверхности Ап обращаются в нуль). Если
это семейство лежит на постоянном уровне энергии Е
функции Гамильтона Я (/?, q), то для определения серии
собственных значений дифференциального оператора *)
Н\—ihd/dx, х) пишутся условия типа Бора—Зоммер-
фельда:
JLJ pdx = lj(mod4), {=1, ..., п, (1)
где /,-—одномерный характеристический класс
многообразия Л", введенный в книге [33] и обобщенный затем на
большие размерности [55].
Как правило, факт существования /г-параметричес-
кого семейства многообразий Ли(£, а^, ..., ©„-J
(n-мерных инвариантных торов) связан с возможностью
разделения переменных в исходной задаче, что накладывает
весьма жесткие ограничения на функцию Гамильтона
#(/?, q). Но для построения серии собственных значений
оказывается достаточно иметь, вообще говоря, всего лишь
один инвариантный тор размерности, не превосходящей п.
В этом случае существует семейство близких «почти
инвариантных» торов (лагранжевых многообразий), для
которого условия квантования (1) определяют серии
собственных значений [21, 22].
Отметим, что задача определения серии, отвечающей
данному тору, например, движению электрона по
окружности (по экваториальной орбите) в циклическом
ускорителе, представляет самостоятельный физический интерес.
Вообще на экваториальных орбитах классических
частиц работают важные физические приборы, поэтому задача
нахождения серий, отвечающих таким орбитам, весьма
актуальна (см., например, работы [47,70]). Но даже зная
все собственные функции для водородоподобного атома,
получить из них асимптотические собственные функции
для серии, отвечающей экваториальному движению
электрона,—непростая задача. Мы получаем их исходя из
общего метода (см. таблицу, п. 1).
*) Здесь значки I, 2 обозначают порядок действия операторов
— ih д/дх и х соответственно [34].

ВВЕДЕНИЕ
15
Для вычисления квазиклассической асимптотики для
задачи рассеяния в окрестности некоторой точки х
конфигурационного пространства следует учитывать все
классические траектории, приходящие в данную точку. Иначе
говоря, если x = q(x0, t), t£[0, Т],—уравнение
траектории, выпущенной из точки х0 в момент t = 0, то требуется
найти все начальные точки xok такие, 4roq(x0k, Т)=^х,
т. е. все такие начальные точки xok, из которых частицы
за время Т попадают в заданную точку х\ вычислить на
каждой такой траектории x(xok, t), *€[0, T], фазу
Sk (х) и амплитуду cpft (x) и затем провести суммирование
по k выражений вида emSkqk(x). Точки я, в которые
к моменту времени Т приходит бесконечное число лучей,
называются фокальными. В этих точках существенно
возрастает амплитуда решений (происходит фокусировка
энергии). Точки х, в которые не приходит ни одна
вещественная траектория q{x0j t), называются точками тени.
Для получения асимптотики в точке тени автором
использовались комплексные траектории q(x0i t)y
приходящие в эти вещественные точки в момент времени
Т [35, 37]. Такие комплексные пути существуют, если
соответствующая функция Гамильтона—аналитическая
функция импульсов р и координат q. Как правило,
комплексных путей, приходящих в точку х, несколько, и
для вычисления асимптотики, аналогично предыдущему,
следует суммировать асимптотические решения,
отвечающие каждому из таких лучей. Если точка х является
фокальной относительно начальных комплексных точек
х0, то амплитуда решения в точке х существенно
больше амплитуды решения в окружающих
(вещественных) точках. Этот эффект родствен эффекту Пуассона—
Араго—возникновению за круглым непрозрачным
экраном светящейся точки. Эти результаты автора [35, 37]
получили непосредственное развитие в работах [19, 20,
56, 57].
Перейдем теперь к выяснению формализма
квантования нижних энергетических уровней. Рассмотрим
сначала простейший пример квантового осциллятора. В этом
случае, как известно, нижний энергетический уровень
E0 = (uh/2 и, следовательно, вне области тени лежит
множество точек из интервала порядка Vh, стремящегося к
0 при h—► (). Таким образом, при h—^0 мы имеем вне

16
ВВЕДЕНИЕ
области тени лишь одну вещественную точку #=0. Кроме
того, хорошо известно, что собственная функция нижнего
уровня равна е~х2/н, экспоненциально убывает в
области тени и не осциллирует. Это наводит на мысль о том,
что и в этом случае асимптотика при h—>0 также
связана с комплексными решениями классических
уравнений механики. Аналогичным образом к комплексным
решениям классической механики мы приходим при
рассмотрении более общих уравнений, решения которых
могут затухать и осциллировать одновременно. Примером
такой ситуации могут служить решения двумерной
задачи
которые при малых Е осциллируют по координате у
и экспоненциально затухают по координате х.
Вернемся вновь к примеру гармонического
осциллятора и укажем на некоторые бросающиеся в глаза
аналогии между комплексными решениями и точными
собственными функциями квантового осциллятора *).
Поскольку нижний уровень энергии квантового
осциллятора E0(h)—>0 при h—^0, то этому случаю
соответствует решение классического уравнения Ньютона
q + (*2q = 0, (3)
обладающее нулевой энергией (т. е. такое, что </2/2 +
+(о2^2/2 = 0). Действительных решений, удовлетворяющих
последнему условию, это уравнение не имеет, а одно из
комплексных решений имеет вид: q = аеш, а—комплексно;
соответствующий комплексный импульс равен p = mq.
Полагая
Фв = ехрГ£ J /xtyWcexp (—£-£) • c==const> (4)
мы получим нижнюю собственную функцию квантового
осциллятора. Заметим далее, что функция р— mq
*) В данном случае точные собственные функции совпадают
С квазиклассической асимптотикой этих функций.

ВВЕДЕНИЕ 17
обращается в нуль на рассмотренном выше комплексном
решении q(t) (p — i<dq=i(oq—mq = 0), т. е. аннулирует
это решение. Проквантовав функцию р— /со<7, т. е.
заменив импульс р на оператор р = — ihd/dx и
координату q на оператор умножения на х, получим оператор
р — fax, который аннулирует собственную функцию
t|>0 = ce--*,/(2h)> т. е. оператор уничтожения. Взяв оператор,
сопряженный к оператору уничтожения, и подействовав
им п раз на функцию г|>0, мы получим собственную
функцию квантового осциллятора, отвечающую энергии Е =
= юЛ(л+1/2).
Рассмотрим теперь /г-мерный гармонический
осциллятор, или, что то же самое, п связанных одномерных
осцилляторов. Функция Гамильтона в этом случае равна
Я = р»/2 + (1/2)<?, Aq>. (5)
Здесь р, q—n-мерны и А—вещественная положительно
определенная симметричная матрица. Обобщение
изложенного выше способа квантования классического
уравнения Ньютона (3) заключается в следующем. Сначала
найдем n-параметрическое семейство q = q(t, а19 . ..,ая)
комплексных условно ^-периодических решений системы
Ньютона
q = -Aq, (6)
удовлетворяющее при /=0 условиям*):
1) На семействе q(a19 ..., ая, 0) обращается в нуль
функция <72/2 + (1/2) <<j, Aq>, т. е. в фазовом пространстве
Ggq семейство {p = q(at 0), q = q(a, 0)} лежит на нулевой
линии уровня энергии.
2) Это семейство определяет комплексное лагранжево
многообразие A.n=-{p^q(a, 0), q = q(a, 0)}, т. е. п-мер-
ную поверхность ЛЛ в С^, на которой интеграл \ pdq
/ел"
локально не зависит от выбора (комплексного) пути
интегрирования.
*) Легко убедиться, что выполнение приводимых условий при
^ = 0 влечет выполнение этих же условий при каждом
фиксированном *£(—оо, оо).

18 ВВЕДЕНИЕ
3) В вещественных точках х неотрицательна мнимая
часть функции (действия)
S(x)= J pdq; Цо(0),о(х))-
/(e(OUW)
путь интегрирования на Ли, соединяющий точки
•W-GSRS)- «<««>,, 0) = 0;
•«-(•gas), .<.«.«-*.
Последнее условие назовем условием диссипативности;
это условие необходимо для ограниченности решений
при \х\—>-оо и при h—>0 квантовой задачи с
гамильтонианом H = 1l2[(—ihdldxY + ^x, Ax>].
Нетрудно показать*), что условия 1)—3) однозначно
определяют семейства комплексных условно
/-периодических решений уравнения (6). Это семейство имеет
вид:
qК, ..., ая9 0=2 еш*'1как. (7)
k = 1
Здесь оЛ>0, (ок—собственные числа, а%к—отвечающие
им собственные векторы матрицы А, (Ък, %j) = bkj.
Аналогично одномерному случаю, строим собственные
функции /г-мерного квантового гармонического
осциллятора. Именно, в результате элементарных вычислений
находим действие на Л":
п
S(x)= J pdq = { £ Щ{ ЪР h) (*. Ы(*. 1,)
l (a (0), a (*)) k = l
(8)
и нижнюю собственную функцию (вакуумный вектор)
квантового осциллятора:
• liS(x)\
ф0 = ехр^—^j> =
= expj— hi £ [®*<6у. £*>(*> h)(*> 6/)] J.
*) См. также § 3 гл. VI, ч. J,

бЬЕДЁНИЁ
1&
Заметим, что в том случае, когда векторы £у вещественны
и <6У, 6*> = ву*» то фв будет иметь вид
г|)0 = ехр| — 1 X М<*> б*»1] •
Функция <g/f p>—t©y<6y, <7> аннулирует решение
Р = ?(а, 0.
<7 = <?(а, 0'-<6/. р> —*©/<£/• <?> =
= <|у, gy>e"to/(f®y —t©y)ay = 0.
Проквантовав эту функцию, т. е. заменив в ней импульс
P = (Pi> •••» Рп) на оператор —ihd/dx и координаты
9 ^ (<7i> • • •» 9«) на операторы умножения на х =
= (xlf ..., яя), найдем операторы уничтожения
Операторы, сопряженные к операторам ау-, называются
операторами рождения aj: (af = (ay)+). Аналогично
одномерному случаю, подействуем оператором af vx раз,
оператором at v2 раз и т. д. на функцию i|v, мы получим
опять, как нетрудно убедиться, собственную функцию
i|)Vl...v квантового осциллятора, отвечающую энергии
£v = u£cDy (^ + vy) .
Таким образом, классические комплексные решения
уравнения (6) в данном случае позволяют найти точный
спектр квантовой задачи и полную систему собственных
функций.
Приведенные выше рассуждения существенным
образом используют полноту системы векторов £lf ..., \п
в пространстве С5. Именно это обстоятельство позволяет
определить действие S(x) в любой вещественной точке
*.€R"t поскольку уравнение q(a, 0)=л; оказывается
разрешимым при любых х£Щ.
Отметим, что переход от одной полной системы векторов к
другой приводит лишь к изменению способа параметризации семейства
решений (7) и не влияет на конечный результат.

20 ВВЕДЕНИЕ
В 2«-мерном (комплексном) фазовом пространстве CPt q семейство
решений (7) порождается системой векторов f //)» /=1» 2, ..., я,
которая, как легко видеть, содержит лишь половину базисных
векторов Ср% и, следовательно, не является полной в фазовом
пространстве. Таким образом, условия 1)—3) выделяют из всех решений
уравнения (6) решения с частотами ооу > 0, /=1, ..., п, которые
мы будем условно интерпретировать как волны, бегущие в одном
направлении*). Этих решений, как мы видели, достаточно, тем не
менее, для построения действия в любой вещественной точке #£R?.
Теперь рассмотрим бесконечномерный гармонический
осциллятор или, точнее, бесконечный набор связанных
одномерных осцилляторов. В качестве примера
рассмотрим уравнение Клейна—Гордона
h*^u—c*h*j£+m*c*u = 0. (9)
Здесь h = hin—^0—малый параметр, /л, с—постоянные.
Для того чтобы проквантовать это уравнение, как и в п-
мерном случае, построим некоторое семейство
комплексных условно ^-периодических решений, удовлетворяющее
условиям типа 1)—3). Эта процедура сводится, в свою
очередь, к отысканию некоторой полной системы
собственных функций оператора—c2/i2A+m2c* (континуального
аналога матрицы Л). Мы будем использовать
асимптотические (по К) решения и, соответственно, некоторую
полную систему асимптотических собственных функций
оператора —c2ft2A + m2c4. Из-за бесконечномерности здесь
возникают дополнительные трудности: во-первых, выбор
этой системы, вообще говоря, не однозначен, во-вторых,
неоднозначен и сам способ нумерации собственных
функций этой системы. Оказывается, и тот и другой выбор
определяется постановкой задачи для уравнения (9) и
принципом соответствия.
В частности, здесь мы рассмотрим такую систему
собственных функций оператора —h2c2A + m*c4, которая
в классическом пределе при Л—►О отвечает движению
классических частиц по прямой (*€ RJ:x1 = ^2 = 0)
—проекции траектории на я-плоскость классического гамиль-
*) Поскольку эти и только эти решения удовлетворяют условию
p = iYAq, P = q. (Г)

В6ЁДЁНИЁ
21
тониана #(р, q)—c2p2 + m2c4, отвечающего оператору
— h2c2k + m2c*.
В общем случае мы будем рассматривать полные
системы, отвечающие движениям классических частиц по
кривым, в том числе и замкнутым.
Прежде чем привести соответствующие формулы, поясним смысл
сказанного, используя квантовомеханический аналог подобных систем
в квазиклассическом приближении для оператора (—h2/2)d2/dx2jrxi.
Известно [36], что у. этого оператора существует серия
асимптотических собственных функций -ф„ (х, Л), отвечающих
квазиклассическим уровням энергии Еп (Л), расположенных вблизи некоторого
фиксированного классического уровня энергии £кл. Эти числа определяются
равенством
En(h) = c[h(n+l/2)]\ (10)
/ i , \4/з
где c — i я/2 \ у 1 —r|4rfiT| ) и п — а/Л, а > 0 — постоянная, не
зависящая от Л, При д~ 1 формула (10) не дает правильной
асимптотики энергетического спектра, и функции tyn(x, h) не являются
асимптотическим приближением точных собственных функций; тем
не менее вблизи энергии Екл^(са)^9 классического движения в
потенциальной яме V(х) — х* система функций tyn(x, Л), отвечающих
числам Еп вида (10), полна в следующем смысле.
х
Обозначим р (х)= V°2 (E—x*)> х± = ± $/Ef S= С p(x)dx.
Рассмотрим на отрезке [х~, х+] множество функций вида
<ф, *)-£^Jie«W+lfcJl,-^+L(Xi щ. (10')
Здесь / (я, £), ф (х, Е) — функции, квадрат которых интегрируем
с весом 1/р на отрезке [*_, *+], равные нулю в области Е < *4,
со
а функция L(x, h) удовлетворяет условию lim \ \L(x, Л)|2ал; = 0.
ft->o J
— 00
Тогда система асимптотических собственных функций г|>я (л:, Л),
я = [а0/Л] + £, k = Q, х 1, ..., ± N(N—сколь угодно большое, но
не зависящее от Л число), оказывается полной по mod 0(1) (см.(10"'))
[36] в пространстве X функций вида (10') со скалярным произведением:
def °° __ *+ __
(»1, i>i) = Iim \ (vlf v2)dx=: [ 1(/i/i + 9i9i)^.
-05 X»

22
ВВЕДЕНИЕ
Дадим более общее определение асимптотической полноты
асимптотических собственных функций псевдодифференциального опе-
1 2
ратора H(—ihd/dx, х).
Пусть Лп (Е) — семейство (компактных) лагранжевых
многообразий в фазовом пространстве R?XRp, лежащих на уровнях энергии £
функции Гамильтона #(р, q) вблизи некоторого уровня £0, Е0 — у<
<Е < £0 + V> V > 0—не зависящая от h постоянная.
Пусть КАп^Е) — канонический оператор [33, 40] на семействе
Ап (Е) и ф —произвольная функция класса С00 (Ап (£)). В R"
рассмотрим пространство J? функций вида
v(xth) = KAn(B)<p, ф€С«(Л*(£)).
(10")
Систему асимптотических собственных функций а|>у (*, h), | v | =
1 2
= 0, 1, ..., Nt оператора Н(—ihd/дх, х) будем называть
асимптотически полной в L2 (R2) вблизи уровня энергии £0, если для
любой функции вида (10'') найдутся такие комплексные числа cv, v =
= (Vi, ..♦, vn), постоянные С и а > 0, вообще говоря, зависящие
от W, что справедлива оценка
N
\\v(x, Л)— 2 cV*v (*. Л)
I |v | = 0
h К)
<С/*а;
(10'")
а саму систему функций -фу (я, &) будем называть полной системой
асимптотических собственных функций.
Отметим, что существование оценки (10"') для функций из J*?
аналогично разрешимости в конечномерном случае уравнения q (а, 0)—х,
*€R*> Для х, лежащих в некотором подпространстве размерности,
меньшей чем п.
Щ Аналогичным образом определяется асимптотическая
полнота (в некотором пространстве 2) системы
асимптотических собственных функций в случае, когда
многообразие Ап(Е) комплексно. Отметим, что в этом случае
функции, образующие асимптотически полную систему,
экспоненциально затухают вне малой окрестности
пересечения Л" (Е) с R2- Приведем теперь формулы для
полной в пространстве J?(w, определенном в § 5 гл. V, ч. I,
системы асимптотических собственных функций оператора
—ft2c2A+m2c4, отвечающих классическим движениям
релятивистской частицы массы т по прямой хг = х2 = 0 с
энергией £ = ]/'са(|1' + ©Л)а + тяс4 и импульсами ±(fx + coft)
( т.е. функций, сосредоточенных при ft —*0 в окрестности

ВВЕДЕНИЕ 23
оси ха радиуса_У р2 + х\ fh):
„й.± ... г/> ' -—? у
«v,. v„<o- ^ „ р |/v!2ivlx
/1/ . 4+4 \ I «* ШХг (1+*1/р2) (v'+v,)/2 .,
х ехР (Т^ '^ 8_^р (1 ± ixalp)/j (1 ± «Vp)v,+v,+i *
x//v* (wfev)^1 (v^n+V)" (11)
Здесь Яv (г)—полиномы Эрмита, р > 0—постоянная,
vlf v2 = 0, l, ..., N—произвольные фиксированные (не
зависящие от А) натуральные числа.
Соответствующие функциям (11) собственные значения Q2 оператора
— с2А2Д+/п2с4 имеют вид:
Q2 (©) = /n2c* + l(i + А©) V + О (Л2).
Параметры v,, v2, о являются бесконечномерными
аналогами (©-непрерывными) номера j вектора %j в
конечномерном случае. В силу асимптотической полноты системы
функций (11) мы можем построить аналог условно
Апериодических решений уравнения (9), являющийся
бесконечномерным (континуальным) аналогом
семейства (7). Этот аналог имеет вид:
и (х, /, А, а) = I Жо 21 Yd а*. v2 (©) и%[, vtt со X
J +. - Vi, v2=0
Xexp ji£L^m2 + Ui+ A©)2|, (12)
где a^,v8(©) —обобщенные функции из пространства*)
S*(R), преобразования Фурье которых—гладкие
функции.
Формула (12) задает функцию от х, t9 А со значениями
в пространстве функционалов над гладкими (N+1
^-мерными вектор-функциями с компактным носителем.
Семейство (12) при t = 0 определяет в бесконечномерном
(континуальном) фазовом пространстве с координатами п{х),
*) Т. е. пространства, сопряженного к пространству Шварца S (R)
быстро убывающих функций,

24 ВВЕДЕНИЕ
и(х) многообразие:
Л£ = {*(*) = !£ (*, 0, ft, а), и(х) = а(х, 0, ft, а)}, (13)
представляющее континуальный аналог комплексного п-
мерного лагранжева многообразия Л". Нетрудно
проверить, что Л£ удовлетворяет следующим условиям типа
1)-3).
1'. Равенство нулю «классической» энергии*) движения
в силу уравнения Клейна — Гордона (9):
ё=$(л* + сЦ\иУ+^и^
dx\ = 0.
R3
2'. Лагранжевость: для любых vu v2, v1$ v2 = 0, ..., N
и (о, o^R
б" бд бя бк \Лс=й0>
И
R?
6а± v (о) ба± - (й) ба± „ (ш) ба* - (©) I
3'. Диссипативность — неотрицательность мнимой
части функционала**) £f(v(x)) (действия) на вещественно-
значных функциях v(x, ft) принадлежащих J?{|1) nLa(R|),
где
del ,? N ,
ЗПр (*. ft)) = -gjr j О И £ (t> (*, ft), <+v2, J X ч
-co Vi,Vj = 0
x(t/(x, ft), «v;,v.,©)d(u. (14)
Здесь (,)—скалярное произведение в L2 (R|), а (у (#, ft))=
= v !f w —точка на ^ь такая, что u(x) = v(x, ft).
Используя многообразие Л£, мы можем найти
собственные функции (функционалы) вторично квантованной
- м
) В п. п. Г— 3' интеграл по х3 понимается как Iim \ f dxz.
М -+ со J..
ен континуальному интегралу i
v (х)) a (v (х))
\ nDu= \ и\ Du.
** Который равен континуальному интегралу вида
о (о (х)) a (v (х))

ВВЕДЕНИЕ
26
задачи, но ввиду асимптотичности полноты системы (11)
не на всех функциях из L2 (R|) (которые мы берем в
качестве континуального аналога координатного
пространства R2), а лишь на функциях из подпространства
дчь a L2(R*). Например, вакуумный вектор на этих
функциях вычисляется по формуле:
V. (v (х9 A), /lout) = exp {^ ff (v (я, Л))} .
Отметим, что построение вакуумного вектора на некотором под-
пространстве отвечает в случае гамильтониана Я = -|-^—Ь"о~"^—Ь
+ ^0)1^1+-^ ©1^2 сужению вакуумного вектора, например, на пря-
мую хх = 0:
Г / m1a1xt+ т2щх1\] _PYn/ £Mj>2*f\
LexPl Th yJ^=o^eX4 2Л /
Иначе говоря, введение подпространства JfW связано с
квантованием части решений, которые отвечают частному виду движений
классической системы. Лазерный резонатор, например, устроен так,
что он допускает классические движения специального вида, и поэтому,
в частности, весьма актуален вопрос об отыскании вакуумного
вектора на подпространствах, отвечающих таким движениям.
Таким образом, мы видим, что полнота комплексных
решений, отвечающих данному частному классическому
движению, дает возможность построить семейство
решений вида (12) и по нему вакуумный вектор на
соответствующем подпространстве функций. Семейство
комплексных решений вида (12), образованное из асимптотики
полной системы функций, будем называть
околовакуумным семейством.
В нелинейном случае ситуация более сложная,
поскольку здесь уже приходится вводить новое понятие,
заменяющее понятие полноты системы функций в
линейном случае. В нелинейном случае можно получить не
одно семейство таких решений, так как каждой точке
покоя функции Гамильтона отвечает свое семейство.
Здесь мы не можем ожидать (даже в одномерном случае),
* что с помощью комплексных решений классических
уравнений, лежащих на нулевом уровне энергии, можно будет

26
ВВЕДЕНИЕ
построить точные собственные функции, как это было
в линейном конечномерном случае. Оказывается, что
с помощью комплексных решений можно рассчитать в
квазиклассическом приближении эффекты, связанные с
поведением собственных функций квантовой задачи в
классически недостижимой области (в области тени)—типа
туннельных проходов, расщепления квазиуровней, сдвига
квазиуровней в комплексную плоскость и т. п., и найти
время жизни квантовой частицы на соответствующих
квазиуровнях.
Аналогично линейному случаю при квантовании нам
нужны семейства комплексных решений классических
уравнений механики, удовлетворяющих (вообще говоря,
лишь локально) условиям 1), 2), 3). Рассмотрим в качестве
примера одномерное уравнение Шредингера с
потенциалом, представляющим из себя две ямы, разделенные
о2
барьером: V(q)^-^(—q2 + q*)9 где cogR, co>0.
Рассматривая ямы по отдельности, можно говорить о двух
системах собственных функций соответственно первой
и второй ям. Такие системы собственных функций мы
находим с помощью комплексных ^-периодических
решений классического уравнения Ньютона:
Я + со2 (<78- 9/2) = 0, (15)
лежащих на уровне энергии Е = 0—минимальном
энергетическом уровне для обеих потенциальных ям—и
удовлетворяющих условию диссипативности 3). Этому уровню
энергии отвечают две точки покоя <7Ь 2 = ±1/К2.
Очевидно, что семейства решений
*-.= ±7ii3£. a€C"' (15'}
удовлетворяют (15). Оказывается, что знак плюс в (15')
отвечает правой яме, а знак минус—левой.
Математически это означает установление «принципа
соответствия» между решением нелинейного уравнения (15)
и решениями линеаризованных вблизи каждой из точек *
покоя задач. Рассмотрим два потенциала Vu 2 (<7> 8)> ана"

ВВЕДЕНИЕ 27
литически зависящих от eg (О, 1) и таких, что VU2(q,l) =
^V(q), VU2(qt 0) = ^.fq±y=J. Собственные
функции для уравнения с потенциалом Vlt 2 (q, е),
аналитически зависящие от е и при е = 0 являющиеся собственными
функциями уравнения с потенциалами Vltt(ql9 0), при
8=1 являются собственными функциями уравнения с
потенциалом V(q), соответствующими «комплексному»
движению классической частицы в первой и второй яме
соответственно на нулевом уровне энергии.
Таким образом, установлено соответствие между
решениями (ветвями решений) нелинейной задачи (15) и
системой собственных функций соответствующей квантовой
задачи (в первой и второй ямах).
В многомерном нелинейном случае можно построить,
используя аналогичный «принцип соответствия», семейства
комплексных условно Апериодических решений на
нулевой линии уровня энергии, отвечающих линеаризованной
задаче вблизи соответствующих точек покоя. Можно
доказать, что в некоторых окрестностях соответствующих
точек покоя указанные семейства единственны и
разрешима система уравнений
<7(а, 0) = л;.
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы перейти к
бесконечномерному (континуальному) нелинейному случаю.
В качестве примера рассмотрим уравнение Sine — Гордона
с переменными коэффициентами
h2uit—h2uxx +г-1 (l+x*) sin su = 0. (16)
Здесь х£ R, A = /iin—малый параметр, параметр eg[0, 1].
При е = 0 (16)—линейное уравнение, у которого
существует семейство условно Апериодических решений,
удовлетворяющее условиям Г—3' (околовакуумноесемейство).
Это семейство выражается через асимптотически полную
систему собственных функций (см. (10'"))

28 ВВЕДЕНИЕ
оператора—h2d2/dx2 + х2 формулой
й(х, t, А, а) = S <Wh У 1 + 21я+т'*М*. A)f (17)
v = 0
где ocv£C, Л/"—не зависящее от А число*).
В пределе при A —*0 функции wv, v^N, отвечают
покоящейся классической частице. В нелинейном случае
(е > 0) в гл. IV ч. II построено, в частности, для этого
уравнения семейство асимптотических комплексных
условно ^-периодических решений уравнения (16),
отвечающее этой точке покоя V"s=0, т. е. семейство, регулярно
зависящее от параметра е и при е—^0 переходящее в (17)
(околовакуумное семейство). Оно имеет вид
и(х, t, А, ос, е)=у arctg 4-и(х, t, A, a) . (18)
Так же, как и в линейном случае, используя систему
(18), мы можем построить «многообразие»
Лл ={я(*) = ^(*» °» А> а> 8)> и(х) = и(х, 0, А, а, е)|,
которое, как легко проверить, удовлетворяет условиям
Г)—3') (условию диссипативности 3')—лишь в
некоторой окрестности элемента и(х) = 0).
Можно показать, что условия Г), 2'), 3') и принцип
соответствия однозначно определяют семейство
асимптотических решений (18). Оно позволяет определить в
некоторой окрестности элемента и = 0 из подпространства
J?cL2 (R) континуальное действие:
а(»(х,Л))/ Г N
^(v(x,h))=~ ] (П ЕоУ l+2(vj + l)fcx
X-
dx\ da,
l+^a*(*. 0,Л, o))*J
где а (и (х, А)) = (ax (v (х, /г)),... ,а„ (у (х, h))), av (у (х, h))=
СО
= 4b"1 С uv(x,h)tg (\v(x, And*. В главах III, IV ч. II
*) На самом деле эта система полна и в обычном смысле, так
как N можно брать как угодно зависящим от Л.

ВВЕДЕНИЕ 29
книги построены околовакуумные семейства уравнения
Sine—Гордона более общего вида—отвечающие
классическим движениям частицы по прямым и кривым линиям
в конфигурационном пространстве (в том числе и
замкнутым) с помощью солитон-антисолитонного решения.
Одной из наиболее важных задач при вторичном квантовании,
в которой используются семейства комплексных решений уравнений
в частных производных, является задача, эквивалентная известной
квантовомеханической задаче о времени жизни квантовой частицыг
находящейся в квазистационарном состоянии, или сдвиге полюса
резольвенты оператора Шредингера p2/2-\-V(x), *p = — ihd/dx.
В конечномерных задачах, потенциал V (х) которых вблизи
нижнего (нулевого) энергетического уровня аппроксимируется
потенциалом гармонического осциллятора, спектр исходной задачи с
точностью до членов более высокого порядка малости совпадает со
спектром этого гармонического осциллятора. Поэтому учет
нелинейных добавок к потенциалу приводит к размыванию уровней
дискретного в линейном приближении спектра. Исходя из этого и из
эвристических соображений, связанных с асимптотикой собственных
функций в области тени (см. [7, 35]), мы приходим к следующему
определению времени жизни. Пусть квантовая частица массы т
находится в квазиэнергетическом состоянии вблизи точки покоя q0,
причем частоты ®lt ..., со^ соответствующей линеаризованной задачи
различны. Временем жизни частицы, находящейся в состоянии Ev ,
назовем число
Tv==Tv1 v^
%г%-^(2-^) ехр(т I >«) (19>
Путь интегрирования и начальные и конечные точки пути в (19)
определяются следующим образом. Пусть q(alt ..., а„, t) —
семейство комплексных ^условных /-периодических решений системы
уравнений Ньютона mq + Vg — Oy соответствующих, в указанном выше
смысле, классическому покою частицы в точке q = q0- Тогда
интегрирование^ в /-м выражении в (19) проводится по пути /у = {р =
= "°/га? (О, .... О, aJt О, ..., 0)ау, q = q(0, ..., О, ау, 0,..., 0),
<?£R«} от точки сг0 = (0, <7о) ДО первой фокальной точки Оу на
пути /у, т.е. точки, в которой якобиан / = det^(ab..., ал, 0)/
/д(аъ ..., ап) равен нулю.
Пользуясь этим определением, вычислим время жизни нижнего
квазиклассического состояния квантовой системы, отвечающей
ангармоническим колебаниям 2N атомов в одномерной кристаллической
решетке, сжатой в окрестности узла с номером / = 0, когда общее
гяячезв-й&т^т -•'""«' "v

30 ВВЕДЕНИЕ
число 2N узлов этой решетки стремится к бесконечности (N —*■ оо):
! yi+ili(u/+i-u/)*-yi.i-ity-uj-i)* д (20)
/ = 0, ± 1, ..., ±(tf-l). + АГ.
Здесь ft — l/N, h —► 0—отношение характерного расстояния между
центрами решетки ко всей ее длине, Су+1> ;«, 7/+i,/» Р/+1>
/—постоянные решетки, причем предполагается, что существуют гладкие
вещественнозначные функции с (х) > 0 (скорость звука), у (х) и р (#)
такие, что в точках Xi — h (/+1/2)
c2(*i) = */ + !,/» Y(**) = a/+lf/. P(*/) = P/+i,/-
Используя построенное в гл. V ч. II околовакуумное семейство
уравнения (20), по формуле (19) найдем время жизни нижнего
(вакуумного) квазистационарного уровня:
_ Vnhoui
*Raic "*
e M Qpgg« )
ИСР \3ftout' Аз (_ ро) Yh V ~ с»/с° J
где
А
со=с(0), с;=с'(0), Po = P(0), -Q0=2ce~ъУ~-^'
ехр{-г*(3+в-22')}
Аналогичным образом определяется время жизни в
бесконечномерном континуальном случае. Отметим, в частности, jrro время
жизни твак вакуумного состояния вторично квантованной системы,
отвечающей уравнению с квадратичной зависимостью от х: №иц —
— №ихх + (\+х2)и—2ги3 = 0, *£R, где Л=/цп— малый параметр и
параметр е£[0, 1], выражается через то же число к:
тВак = Иои01/,(1+Л/2)-8/8ехр {2(2 + /i)1/«(3e Vh)-1^}.

Часть I
КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
БЕСКОНЕЧНО УЗКИХ ПУЧКОВ
Во введении показано, что при вторичном квантовании
уравнений в частных производных с малым параметром
(«внутренней постоянной Планка») используются
асимптотические при Л—*0 решения этих уравнений.
Построение последних проводится методом сведения исходного
уравнения к системе уравнений классической механики —
уравнению Гамильтона — Якоби (эйконала) и
уравнениям переноса (Лиувилля). Конструкция комплексных
решений этих уравнений—классическая механика
бесконечно узких пучков—составляет содержание первой
части книги.
Потребность в такой конструкции диктуется
следующими соображениями: во-первых, такая конструкция
отвечает физической постановке ряда задач уравнений
математической физики, во-вторых, традиционные методы
отыскания вещественных решений уравнений
классической механики (уравнения Гамильтона—Якоби) (см.,
например, [2, 37]) не всегда переносятся на случай их
комплексных решений. Хотя эта часть книги является
вспомогательной по отношению ко второй части, в
которой рассматриваются нелинейные уравнения, результаты,
полученные в ней, представляют самостоятельный
интерес и имеют многочисленные приложения в
квазиклассической асимптотике линейных уравнений.
Глава I
УРАВНЕНИЯ И ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
УЗКИХ ПУЧКОВ
§ 1. Асимптотические решения типа узких пучков
уравнений в частных производных с малым параметром.
Покажем, как из конструкции асимптотических решений
линейных уравнений возникают уравнения классической

32 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
механики — уравнения Гамильтона — Якоби и переноса.
Для нелинейных уравнений это будет показано во
второй части книги.
Здесь мы проделаем это на примере волнового
уравнения
d*u/dt2—c2Au = 0f (1.1)
з
где А = 2 д2/д#?, с—постоянная, для которого поставим
задачу Коши специального вида, возникающую как
обобщение задачи (7') для уравнений Ньютона на оо-мер-
ный (континуальный) случай.
Требуется найти решение этого уравнения,
удовлетворяющее при f = 0 условиям:
и |*=о = и0 (х), щ |*=0 = icV^Ku0 (x). (1.2)
Здесь К^ Щ (х) = Fpix ((| р |) F^p и, (х)) (х), Fx^py
Fpl+X—прямое и обратное преобразования Фурье.
Предположим, что и0 (х) является собственной функцией
оператора — Д, отвечающей собственному числу Q2; тогда эти
условия выделяют из двух решений (волн) вида е± iQt u0 (х)
одно решение (одну волну) ет и0. Поэтому задачу Коши
вида (1.1), (1.2) назовем задачей о распространении
волны (семейства волн).
Легко видеть, что в случае, когда для уравнения (1.1)
существует полная вблизи нулевого уровня энергии
система решений, то любое решение задачи (1.1), (1.2)
может быть разложено по этой полной системе *).
Наряду с задачей (1.1), (1.2) можно рассмотреть
задачу вида
и\ы0 =М*)> и*1'=о ==_ icV^AuQ(x). (1.3)
Тогда суперпозиция соответствующих решений этих задач
позволяет найти решения задачи Коши для уравнений
(1.1) с произвольными начальными данными.
Замечание. Аналогичным образом ставится задача о
распространении волны для других линейных уравнений в частных
производных, содержащих вторую производную по времени /. Например,
*) Отметим, что поставленная задача о распространении волны
никак не связана с задачей построения решений солитоиного типа.

ГЛ. I. УР-НИЯ И ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ УЗКИХ ПУЧКОВ 33
для уравнения Клейна —Гордона
№ЬЧ1дР — Ды + и = 0
эта задача имеет вид
/i|/=o = M*>>0, ^-\t^ = i V~h*b+\ и0(х, h).
Здесь h — малый параметр, и оператор У^— Л2А + 1 определяется
аналогично оператору Y—А •
В связи с развитием лазерной техники становится все
более актуальной задача об «узких пучках». Обычно в
таких задачах функция и0 представима в виде
и0 = и0 (х, со) - А (со) ф (х) еш^ <*> e~<*s* <*>, (1.4)
где Slf S2 ф(х) —гладкие функции, со—юо— параметр
(частота), А (со) > 0—константа и Sa(x)>0; например,
S2 (x) = (x! + х22)/2, *=(*!>*•.*•) (1.4')
(гауссов пучок).
В силу условия S2 (х) > 0 функция и0 (х, (о) = О ((1/<о)°°)
вне некоторой малой окрестности множества нулей
функции S2(x). В случае (1.4') такой окрестностью является
трубчатая окрестность оси х3 с радиусом ~ (1/со)1/2-6;
8>0—малое число, т. е. начальное условие вида (1.4)
«сосредоточено» в окрестности оси х3—представляет
собой узкий пучок. Исходя из физических соображений,
естественно предположить, что решение задачи (1.4) для
волнового уравнения (1.1) и при каждом фиксированном
(достаточно малом) t > О обладает тем же свойством
«локализованности» в окрестности некоторой кривой, т. е.
что решение задачи (1.1) — (1.4) имеет вид
и (х, t, со) - А (со) Гф0 (х, /) ^ <*• <> e-<»s* <*• <> + О f-Ml ,
(1.5)
где Slf S2>0, ф0—гладкие функции.
В обозначениях
S (х, t) = S± (x, t) + iS2 (x, t), со = 1/A
(1.5) принимает вид:
u (x, t9 h) = Л (l//i) [Фо (x, t) F s {x> f)+o (h)]; (1.6)
решение такого вида называется ВКБ-решением.
2 В. П. Маслов

34 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Подставляя (1.6) в (1.1) и приравнивая к нулю
коэффициенты при A (l/h)h"2 и A (l/ftJA-1, получим, что
и(х, t, l/h) удовлетворяет уравнению (1.1) с точностью
до A (l/h) 0(1), если фаза S(x>t) и амплитуда ф(х, t)
представляют собой решение системы уравнений
(dS/dtf —c2(x)(vS)2 = 0, (1.7)
dS/dt d%/dt-^4S V% + -j(d2S/dt* — AS)cp0 = 0. (1.8)
Уравнение (1.7) называется уравнением Гамильтона —
Якоби (в геометрической оптике это уравнение также
называют уравнением эйконала), а уравнение (1.8)
называется уравнением переноса (уравнением непрерывности
или Лиувилля). Систему уравнений (1.7), (1.8) назовем
канонической системой уравнений, отвечающей волновому
уравнению.
Можно получить «поправки» к ф0 (х, t) порядка А,
т. е. построить функцию ' им (х, t, h) = A (l/h) eiS {x> f)/h X
м
X 2фу (x, 0 ^ такую, что d*/dt*uM—c*AuM=A(l/h)0(hM).
/ = o
При этом функции фу (х, t) являются решениями
уравнения переноса с правой частью. Функция и0 (х, t9 h)
называется главным членом асимптотического решения
uM(xyt,h) волнового уравнения. В случае
вещественного S(x9 t) уравнение переноса (1.8) эквивалентно
уравнению непрерывности
^(1>,Ф«)-*?(1нр«)=0, (1.9)
где vt = dS/dt, v=T/S и \и(х9 t, h) |2Н<Р(*> t)\2 + 0(h).
Поскольку выражение | и (х, t, К) |2 в квантовой
механике истолковывается как плотность вероятности, то
| ф (х, t) |2 в классической механике имеет смысл меры,
отвечающей волновому уравнению (1.1). В случае, когда
ImS = S2=^=0, мера зависит от малого параметра h (или
большого параметра со): \и |2 «g-aSi/*| ф|2.
Зависимость меры от малого параметра приводит к
тому, что малый параметр неявно возникает при
решении канонической системы уравнений и поэтому для
уравнения (1.7) постановка задач классической механики

ГЛ. I. УР-НИЯ И ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ УЗКИХ ПУЧКОВ 35
(в гамильтоновой форме) должна измениться. В самом
деле, пусть построено ВКБ-решение вида
м
и (х, t9 К) = eiS'h 2 фу (х, t) А/, (1.10)
/=о
где S~S(x,t) и Фу (я, 0—решения канонической
системы (1.7), (1.8), причем S2(x, t) = lmS^0. Тогда
функция (1.Ю) равна 0(/i°°) вне некоторой, не зависящей от h
окрестности А множества нулей функции S2(x, t).
Поэтому всюду вне А можно заменить S (х, t) на
любую гладкую функцию S (x, t) с неотрицательной мнимой
частью; такая замена приведет к изменению решения
и(х, t, h) на величину порядка 0(/t°°). Тем самым
функции S (x, t) и ф (х, /) достаточно найти лишь в
окрестности А.
В окрестности А в силу формулы Тейлора и
очевидной оценки *)
t^e^h = 0(ha)9 <€[0foo)f a>0, Л->0, (1.10')
изменение функции S(x, t) на величину 0([ImS]P),
Р>1, приводит к изменению ВКБ-решения (1.10) на
величину порядка О^"1) и аналогично изменение
функции фу в (1.10) на величину порядка 0([ImS]v/), Y/>0>
приводит к изменению решения и (1.10) на величину
порядка 0(/iY/+J). Поэтому для построения
асимптотического ВКБ-решения вида (1.10) достаточно найти не
точные, а приближенные решения канонической системы,—
т. е. найти функции S и фу в области 8Xit с точностью
до 0([ImS]M+1) и 0([ImS]M-/) соответственно.
Как будет показано ниже, в некоторой окрестности
множества 8^ t функции S (x, t) = Sx (x, t) + iS2 (x, t) и
Фу (х, t) представимы в виде ряда по полуцелым
степеням S2 = ImS:
L
S (х, 0 = 2 в| <*» t) (Im Sp + О (Im S)<L+ wt
1 = 0
L
Ф0(х, 0=2 M*> t)(\mS)l^+0(\mSYL^)f\
*) Cm. (1.22).
2*

36 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
где аг(х% /), bt(x, t)—гладкие функции, L—целое число,
L > 0. Аналогичное разложение справедливо для
функций q>j(xtt). Поэтому, в силу оценки (1.10'), функция
eis<x, o/ft<po (главный член разложения (1.10)) с точностью
до О (Л1/2) совпадает с функцией е^(*> *№у0(х, t)9 где<§ =
= а0 (х, t) +аг (*, t) (ImS)^ +a2 (x, t) (Im S), ф0 = b0 (x, t),
и под главным членом разложения (1.10) естественно
понимать функцию efii**f№%(x, t). Аналогичное
разложение по ImS можно провести и в остальных членах
ряда (1.10).
Поскольку функции S и ф0 получены как некоторые
приближения к точным решениям S и % канонической
системы (1.7) — (1.8), то следует ожидать, что они
являются в некотором смысле приближенными решениями
канонической системы. Оказывается, что5 и ср0
удовлетворяют уравнениям (1.7) и (1.8) с точностью до
О ([ImS]8/2) и 0([ImS]1/2) соответственно. Более того,
как показано в [00], любые функции S(x9 t) и %(х, t),
удовлетворяющие приближенно в этом смысле
канонической системе и тем же начальным условиям, что и
S (x, t), ф0 (х, /), отличаются от последних на величины
порядка О ([ImS]8/2) и О ([ImS]1/2).
В связи с этим для построения главного члена ВКБ-
решения мы будем рассматривать задачу отыскания
приближенных решений канонической системы, т. е. решений,
удовлетворяющих уравнению Гамильтона — Якоби с
точностью до О ([ImS]3/2) и уравнению переноса с точностью
до О ([ImS]1/2). Такое рассмотрение тем более оправдано,
что указанная точность решения (первых двух) уравнений
канонической системы в сочетании с теорией возмущений
позволяет строить асимптотические решения
соответствующего дифференциального уравнения (в данном случае
волнового) с любой степенью точности по h. Таким
образом, постановка задачи для уравнений Гамильтона —
Якоби и переноса существенно меняется по сравнению
с классической. Этот подход приводит как к полной
перестройке асимптотического решения, так и к коренному
пересмотру общеизвестных методов конструкции решений
уравнения Гамильтона — Якоби и переноса. По существу
основные технические трудности лежат именно в этих

ГЛ. I. УР-НИЯ И ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ УЗКИХ ПУЧКОВ 37
новых конструкциях, но они оправдываются простым,
с точки зрения*конкретных вычислений, окончательным
результатом. Кроме того, приближенную разрешимость
в указанном выше смысле допускают канонические системы,
отвечающие и неаналитическим функциям Гамильтона,
что существенно расширяет область применения метода
ВКБ в предлагаемой форме по сравнению с областью
применения этого метода в аналитическом случае [7].
Вернемся к примеру начальных условий,
поставленных для волнового уравнения (1.1). Как уже
говорилось, в случае, когда S2 = x\ + xl, функция и(#,<о) при
о—*оо оказывается (асимптотически) отличной от нуля
только на оси х3. Если нормировать эту функцию
условием V | и |2 dxx dx2 = 1, то получим А = 1Ло,"так что и0 (х, ©)
при со —* оо будет равна <х> на оси xz и нулю в
остальных точках, т. е. будет представлять собой «бесконечно
узкий» пучок. Таким же свойством будет обладать и
решение уравнения (1.1) при t > О, но уже, вообще
говоря, относительно некоторой кривой. Поэтому в
классическом пределе при со —^ оо мы должны получить
механику бесконечно узких пучков. Сам предельный луч
должен распространяться согласно уравнениям
Гамильтона классической механики; поведение же окрестности
этого луча определяется, как мы выясним, комплексными
решениями системы в вариациях для этой системы
Гамильтона (т. е. линеаризованной системы Гамильтона
в окрестности предельного луча).
По существу основное содержание первой части книги
посвящено изложению механики бесконечно узких
пучков, порождаемых приближенными решениями
канонической системы, сосредоточенными в окрестности ^-мерных
поверхностей, &<я, где п~размерность координатного
пространства, и конструкции приближенных решений
канонических систем.
§ 2. Система канонических уравнений. Как показано
в предыдущем параграфе, построение асимптотических
решений дифференциальных уравнений в частных
производных с малым параметром сводится к решению
системы уравнений—уравнения Гамильтона—Якоби

38 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
(уравнение характеристик) и уравнения переноса. Эту
систему мы назвали системой канонических уравнений,
или канонической системой.
Получим каноническую систему из конструкции
асимптотического решения задачи Коши для нестационарного
уравнения Шредингера
-ih& + V(x)*-£b* = 09 (1.11)
ty(x90) = eiS°Wh%(x)9 (1.1 Г)
где V, S0, ф0—гладкие функции, V, S0 вещественны.
Функция Гамильтона для уравнения (1.11) имеет вид
H(p,q)=g+V(q).
Асимптотическое решение задачи (1.11), (1ЛУ) с
точностью до 0(Д2) будем искать в виде
ф = е« <*. О/а ф (*,*), (1.12)
где неизвестные функции S (я, t), ф (х91) предполагаются
гладкими и, вещественными. Подставляя функцию (1.12)
в (1.11), получаем:
[f+V(*) + 4-(VS)']q>+
Для того чтобы функция я|э вида (1.12) была
асимптотическим решением уравнения Шредингера с точностью до
0(h2)9 достаточно, чтобы S(x9 t) являлась решением
задачи Коши для уравнения Гамильтона — Якоби
dS/dt+V(x) + 42(vS)* = 09 S(x90)=^S0(x)9 (1.13)
а функция ф (х9 t) удовлетворяла задаче Коши для
уравнения переноса
d£+i^+TVAS=0> ф(*.о) = ф.(*)- (1Лз')
Систему (1.13), (1.13') назовем канонической системой,
отвечающей функции Гамильтона Н (р9 q)~p2/2 + V (q).

fjt. 1. УР-НИЯ Й ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ УЗКИХ ПУЧКОВ
39
Таким образом, задача нахождения асимптотического
решения дифференциального уравнения второго порядка
(1.11) сводится к более простой задаче отыскания
точного решения системы канонических уравнений первого
порядка.
Рассмотрим теперь нестационарную систему
канонических уравнений более общего вида:
#+я(-£-.*'0=о< (1Л4)
дер у дН ( dS \дц>
. I V д*$ &Н fdS Л л /1 1,1/4
+ тЬ15^^^^и^^)ф = 0' (1Л4)
где х, p£Rn, H = H(p, q, t) £ С00 (R2rt+1) —вещественная
функция Гамильтона. Напомним конструкцию построения
точных решений канонической системы [35]. В ее основе
лежит понятие лагранжева многообразия: n-мерное
многообразие {(/?, q)£ R2n:p = p(a), q = q(a)f a£R£} в фазовом
пространстве R2n, удовлетворяющее условию
tp.»b.-g®fe-fte')-o.;.*
= 1, ...,я,
называется лагранжевым многообразием и обозначается Ап.
Выражение [р, q]/k называется скобками Лагранжа
функций р и q. Функция S(a) на Л", удовлетворяющая
условию dS = pdq, называется s-действием на Л".
Рассмотрим отдельно задачу Кошидля нестационарной
системы канонических уравнений:
S\t^ = Su(x)9 ( .15
ф|*в. = Ф.М. О-15')
где t£[0, T]; S0, cp0gС°°(R") — вещественные функции-
Решение этой,задачи проводится по следующей схеме.
Вначале решаем систему Гамильтона
Р = -Щ'(Р> *>*)'. Я = Щ(Р.Ч,Ъ (1.16)
P|<=. = P.(«) = ^0(a), Н=о = <7о («) = «• (1-16')

40 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
При каждом фиксированном а решение системы (1.16)
(<7(а, £), p(a,t)) называется бихарактеристикой, а ее
проекция на RJJ, т. е. кривая (x = q(a, t))—траекторией
гамильтбновой системы (1.16) (см. [40]).
Легко видеть, что при / = 0 A" = AJ = {(p, q)£ R2":
р**р9(а), <7я-»<7о(а)}— лагранжево многообразие, причем
S9(a) является s-действием на Л£. Решение системы (1.16)
(р(а, t), <7(а, £)), удовлетворяющее при t = 0 условиям
(1.16'), при любом фиксированном / определяет
лагранжево многообразие Л? = {/? = р (a, t),q = q(a, t)}. Находим
s-действие на Л?:
S(a, t) = S0(a)+S(a, t) =
t
- S% (a) + J [<p (a, t), q (a, т)>—# (/? (a, x), q (a, %))] dr.
(1.17)
В случае, когда при t g [0, T] якобиан J (a, t) =
■• det^~-(a, t)y a^RS, отличен от нуля, т. е. когда мы
рассматриваем решение системы (1.16) на отрезке [0, Т],
где система уравнений х = <7(а> 0 обратима (эквивалентна
системе уравнений a = a (#,£)), функция .
S(xf 0«S(a(xf t)9 t) (1.18)
является решением задачи (1.14), (1.15), а функция
Ф (х, t) = , х
'^§*'А
хехР тЕЯ/мХа> fi)> ?(a> 'i))^i
' Фо И.
где J (Xy t) = J(as(x> t)),—решением задачи (1.14'), (1.15').
Тем самым точные решения канонической системы
построены.
Рассмотрим теперь случай, когда действие S(x, /) —
комплекснозначная функция вещественных переменных.
В этом случае (как отмечалось в § 1) для построения
асимптотических решений псевдодифференциальных
уравнений достаточно решить каноническую систему
уравнений приближенно. Пусть требуется решить с точностью

ГЛ. I. УР-НИЯ И ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ УЗКИХ ПУЧКОВ 41
до О (ft3/2) уравнение
— ihdty/dt + H(—ihd/dx,x,t)y = 0, (1.19)
1 2
где Н (—ihd/dx,x, t), /^-дифференциальный (или псев-
додифференциальный) оператор *). Будем, по-прежнему,
искать решение в виде
г1) = £*(*• О/а ф(х, t), (1.20)
считая теперь фазу S(x, t) комплекснозначной функцией:
S (х, t) = St (х, t) + IS2 (x, t). Тогда в области, где
Im S (х, /) = S2 (x, t) > 0, функция еР*н имеет порядок
0(h°°). Поэтому для построения приближенного решения
уравнения (1.19) соответствующие ему уравнения
Гамильтона—Якоби (1.14) и переноса (1.14') имеет смысл
решать лишь в окрестности множества
Г={(х, 0€R*+1: ImS(x, 0 = 0}, (1.21)
причем всюду вне Г должно выполняться Sa (x, t) > 0.
Поскольку max (tke"tfh) = hkkke'-k = 0{hk)9 то при
условии S2 (x, t) > 0 справедлива оценка:
ISl^K^/i*, *=1, 2, ... (1.22)
Таким образом, уравнения Гамильтона—Якоби и
переноса достаточно решать с точностью до функций
порядка 0(Sl/2) и 0(Sl/2) соответственно. Действительно,
если Н(р, q, t)—аналитическая по р функция, то
справедливо разложение
(—ihw+H(-ih W** i '))eiS/h ф e
*) Вопросы, связанные с теорией упорядоченных операторов,
подробно рассмотрены в [34, 68]. Здесь под И (р, q, t) можно
понимать полином по переменным р.

42 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Отсюда с учетом (1.22) видно, что для построения
решения уравнения (1.19) с точностью до 0(h3/2) функции
S (х, t) и ф (х, t) должны удовлетворять соотношениям
■§- + H(§,x,t)=gl(x,t), (1.24)
dt ^Zd dPi \dx ' x' lJ dxt^
+ Т.£1^Дж'*'0<^ф = ^(*'')' (1-25)
гдея1 = 0(5Г2))(?2 = 0(512/2).
Функции S и ф, удовлетворяющие уравнениям (1.24)
и (1.25) с точностью до 0(ImS3/2) и OflmS1/2)
соответственно, будем называть приближенными решениями
канонической системы.
§ 3. Неравенства типа Гординга. Введем новое
понятие асимптотической эквивалентности функций, которое
существенно будет использовано в конструкции
асимптотических решений. Пусть /(#)^0, g (x) — гладкие
функции. Будем писать g = Of(ha), если
при а—| /|/2^ О на любом компактном множестве fie Rn.
Существование таких функций вытекает из следующего
важного неравенства.
Лемма 1.1 (неравенство Гординга). Пусть ¥£С2,
¥ (х)^0. Тогда для любого х
\?Ш\2^с¥(х), Л=1, ..., п,
где с = const зависит от ¥.
Доказательство. Разложение по формуле
Тейлора функции ¥(х) дает (при всех t£R):
0<:¥(xlt ...,xk + t9 ...,*„)<
dxk
x,k
dx%

ГЛ. I. УР-НИЯ И ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ УЗКИХ ПУЧКОВ 43
Отсюда
Щ«2ГМзир
дх\
Следствие. Пусть (F6C°°, f>0 и
PN—однородный полином от dWldx степени N с коэффициентами,
гладко зависящими от х. Тогда на любом компактном
множестве Q с R" справедлива оценка
Доказательство. Оценивая сверху производные
<F(/) при / > 1 на компакте Q постоянными величинами,
на основании леммы 1.1 имеем
dxl й=о
где ck = ck(!F9 Q)—некоторые константы. Отсюда и из
соотношения (1.22) получаем утверждение следствия,
Пример. Пусть f = x2/29 g = xn. В силу равенства
g = (df/dx)n имеем xne~xi/2h = 0 (hn^2). Следовательно,
xn = 0X2{hnt2).
Замечание. Нетрудно убедиться, что-соотношение g — Of (Aa)
эквивалентно неравенству
<?!<!
dxi
g
<cd*-\i\/*t
где x£Q, fy —положительная константа, Ci = ci(g, f).
§ 4. Приближенные решения канонической системы.
Дадим строгое определение приближенных решений
канонической системы, используя введенные в предыдущем
параграфе оценки.
Определение 1.1. Функция
S{x9 t) = S1(x9 t) + iS2(x9 t)
называется приближенным решением задачи Коти (1.14),
(1.15), если
dS/dt + Н (dS/дх, х91) = 05а (Л3/2),
S(x90)=S9{x) + OSm(h"*)9
гДе S02 = ImS0.

44 Ч. 1# КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Функция ф (х, t) называется приближенным решением
задачи Коши (1.14')* (1.15'), если
4>(x,0) = <p0(x) + OsJhV*).
Замечание. Разложив в последних двух соотношениях
функции Н (dS/дх, х, t) и дН/др (dS/дх, х, t) в ряд Тейлора в точке
p**dSi/dx, получим, что S^Si-^iS2 и <р (л;, t), будут приближенными
решениями уравнений, если
Эти соотношения в случае, когда функция Гамильтона Н (р, а:, tf)
не аналогична по р, можно принять за определение приближенной
канонической системы.
Конструкция приближенных решений уравнения
Гамильтона— Якоб и (1.14) приводится в гл. II ч. I, и
уравнения переноса (1.14')—в главе III ч. I.

Глава II
ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ УЗКИХ ПУЧКОВ
В этой главе будут получены формулы для
приближенных решений уравнения Гамильтона—Якоби.
Основные формулы содержатся в теоремах 2.1 (§ 1) и 2.3 (§ 11).
Теорема 2.1 проиллюстрирована на конкретных примерах;
приложением теоремы 2.3 являются физические задачи,
рассмотренные в гл. III. Вывод формул для
комплексного случая существенно опирается на рассмотрение
модельной задачи (§ 2). Аксиоматика возникающих при
этом объектов (вещественный росток (§ 4), действие и фаза
на ростке (§ 5)) приводится в форме, допускающей
очевидный переход к комплексной ситуации (§ 6—§ 10).
Необходимые сведения из симплектической геометрии
фазового пространства и теории линейных гамильтоновых
систем собраны в § 3.
§ 1. Приближенные комплексные решения задачи Коши
для нестационарного уравнения Гамильтона—Якоби.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения Гамильтона —
Якоби:
dS/dt + Н (dS/dx, х, t) = 0, * > 0,
S|*=o = S0(x), ImSo>0, H(pt x, 0€C"(R2»+1).
От функции S0{x) потребуем выполнения следующего
условия:
6*. = {x|ImSa(x) = 0} (2.2)
— fe-мерная гладкая односвязная поверхность в R" такая,
что
rang Im-gjj?
= /l_ft. (2.3)

46 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Предположим, что на поверхности б^0 можно ввести
координаты T = (Tlf ..., rk)£4l, (где ^/—область в R*),
в которых поверхность задается уравнениями х =
= Qo (Ti» • • • э т*)> гДе Qo (т) — гладкая /г-мерная вектор-
функция. (При & = 0, 6Jt0 есть точка в RJ.) Обозначим
через Р(т9 t), Q(t, t) решения системы Гамильтона
p^-Hq, q^Hp, pU-§(Q.W). (24)
?|/«. = Q.(x), <€[0, Г],
а через В(х, t) и С(т, t)—матричные решения системы
в вариациях:
B — — HqpB—HqqC, C = HppB + HpqC,
Здесь Е—единичная матрица размера ях/г, а у функций
Я^, Ям и Ям опущены аргументы Р (т, /), Q(t, /), /.
Заметим, что в силу равенства Im S0 (Q0 (т)) = 0
функция -^(Q0(t)) вещественна и, следовательно, решения
уравнений (2.4) и (2.5) существуют на любом отрезке
*€[0, Г].
Матрицы В(Ху t) и С(т, t) будем называть
соответственно импульсной и координатной составляющими
решения задачи (2.5).
Рассмотрим в фазовом пространстве Rj^ семейство
fc-мерных многообразий
Aj = ((pt?)€R«|P = ^faO. <7 = Q(t, 0).
t€R?, *€[0, Г].
Обозначим через б£ t проекцию nqA) многообразия А) на
^-плоскость фазового пространства Rj^:
n,A?=6£, = (*€R*|* = Q(T, '))•
Теорема 2.1. Пусть при всех t <Е[0, 7] б£* ешь
односвязная гладкая поверхность и rang^(r, t) = k*).
*) Это условие означает, что сужение на At отображения
проектирования ng: RJ%—*RS—диффеоморфизм на свой образ; в
случае, когда это условие не выполнено, следует использовать общую
теорию канонического оператора в комплексной ситуации [34, 68].

ГЛ. II. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ УЗКИХ ПУЧКОВ 47
Тогда:
1) При всех /€[0, Т] detC(r, 0=т^0> и в некоторой
замкнутой окрестности kXtt поверхности б^ однозначно
и гладко разрешима относительно параметров т= (т1э..., тл)
система уравнений
<x-Q{r, t)9 QXj(x9 0> = 0, /=1, ...,*. (2.6)
2) На отрезке t € [0, Т] существует приближенное
решение S(x, t) задачи (2.1), определяемое на множестве
hx,t формулой
t
S (х, /) = S0 (Q0 (т)) + J «P (т, tt)t Q (т, ^)> -
_Я(Р(т, ^)> Q(t, *х), fJ^ + ^Cr, *),*-Q(*. 0> +
+Y<x-Q(t, 0. ВС-1^ t)(x—Q(x, *))>к=т<*.<>. (2.7)
где т(х, t)—решение системы (2.6).
3) Вне множества А*, * на любом компакте К функция
S (х, t) удовлетворяет неравенству: Im S (x, t)>C (К) > 0.
Здесь в качестве функции S(x, t) вне множества А*,*
можно взять любое гладкое продолжение функции (2.7)
с компакта A*,*n/C на множество /С\(А*,*П/С)«
Замечание 1. В случае k — n формула (2.7) переходит в
формулы (1.17), (1.18).
Замечание 2. При /г = 0 условия теоремы 2.1 выполнены для
любого конечного Т и формула (2.7) существенно упрощается (в ней
отсутствуют функции т(л;, t)). В этом случае для построения
приближенного решения рассмотренной задачи Коши для уравнения
Гамильтона —Якоби достаточно найти одну траекторию (P(t), Q (t))
нелинейной системы Гамильтона (2.4) и решение B(t), С (t) линейной
системы в вариациях (2.5).
Доказательство теоремы 2.1 будет получено в § 11 этой
главы как следствие более общего утверждения.
Рассмотрим теперь !ряд примеров, иллюстрирующих
теорему 2.1.
1. Построим приближенное решение задачи Коши
dS/dt - (dS/dx)* = 0, * € [0, Т], 8
S|,=0 = ax + &*V2, x€R, ^* '
где а—некоторое вещественное и b — комплексное число,
Im b > 0. Множество 6^ 0 = (я € R | Im SQ (x) = 0) состоит

48 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
d'2S
из точки х = 0(& = 0), причем -g-2(0) = b. Следовательно,
для построения приближенного решения этой задачи
мы можем воспользоваться теоремой 2.1 в случае k = 0.
Очевидно, в данном случае система Гамильтона
р = 0, q = —3p2, p\t=o = a, ?|*e0'=0
и система в вариациях
5 = 0, С = — 6рВ, В\ыо = Ь, С|/я0=1
легко интегрируются:
p = P(f) = a, q=Q(t)= — ЗаЧ, В = Ь, С= 1— 6аМ. (2.9)
Из формулы (2.7) получим:
S (х, 0 = 5 (—ЗаЧ- л3) <2т + а (х + ЗаЧ) +
Ь(х+ЗаЧ)*_ . , . b(x + 3a*t)* „ т
+ 2(\-6аЩ-аХ+а t + 2(l-6abt) * ^Ли)
Нетрудно убедиться, что данная функция является
приближенным решением задачи (2.8),
2. Рассмотрим уравнение Гамильтона—Якоби
dS/dt-Vl + (dS/dx)* = 0, H(q,p) = -VT+F%> P^RJ.
Найдем приближенное решение уравнения (2.1), если
S\t=o = ax + bx2/2, где а—некоторое вещественное и Ъ —
комплексное число, Im Ь > 0. Решения системы Гамильтона
р = 0, ^ = —p(l+p2)-1/2, p|f=e = fl, ?l*=o=Q
и системы в вариациях
5 = 0, Д|,вв = &, С = -(1+р2)-3/2В, CUo-1
имеют вид:
p = P(t)sa, q = Q(t) = — atlVTTa*9
B = by C = —М(1+а*)-»/2+1.
Применяя теперь теорему 2.1, получим функцию
S (х, *) = * (1 +я2)-1/2+я (х + а* (1 +а2)-1/2) +
+ ±&(x + e*(l+af)-1/a)V(l — М(1+а*)-8/1). (2.11)
являющуюся приближенным решением задачи (2.1) по
modOIfnS(/i3/2).

ГЛ. II. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ УЗКИХ ПУЧКОВ 49
3.. Рассмотрим уравнение Гамильтона— Якоби для
кристалла (см. [34]). Функция Гамильтона имеет вид #=
=2£sin(p/2), где с—вещественная константа. Поставим
следующую задачу Коши:
S|,=e=o*+&*V2, (2Л1')
где а—некоторое вещественное, Ь—комплексное число,
b2 = lmb>0, ReЪ — Ьг. Система Гамильтона и система
в вариациях в данном случае имеют вид:
р = 0, q = cco$(p/2), p\t=o = a9 q\t=0 = 0,
5 = 0, С = —(l/2)csin(p/2)B, В|*=о=&, C|*=0=l.
Подставляя решения этих систем р = Р(t) = a, q = Q(t) =
=ct cos (a/2), В=Ь, С- \—{bct/2) sin (a/2) в формулу (2.7),
получим приближенное решение поставленной- задачи
при f €[0f T]:
S(x, t) = c(acos-j—2sm^) t + a (x—rfcos-j) +
+ 6(jc-rfcos-|)7(l-*sin|-). (2.12)
4. Рассмотрим более сложный пример (двумерный
осциллятор):
6S 1 fdS у 1 fdsy , xt+xl _0
dt "Г 2\дхг) ^2 [dxj + 2 ~U' (2Л2^
S|*=o = x2 + y&*i
где &2 = Im & > 0. Функция Гамильтона задачи Коши
(2.1) равна
H = (pl + p\ + xl+x%/2.
Поверхность 6*t0=(#i> #2)I*i= 0} — прямая в RJ, а
многообразие Л£ определяется формулами Л£=((р, ^)g
€R4|/?i = 0, p2=l, #i = 0, q2 = ^)- Решая
соответствующую систему Гамильтона, находим многообразие А):
А* = ((Р> ?)€R4|Pi = /\ = 0f p2^=P3 = cost—rsinf,
<7i = Qi = 0, q2=Q2 = rcost + s'mt).
Производная dQjdx отлична от нуля при 11 | < я/2, так
что на отрезке t (Е (0, я/2) многообразие А) диффеоморфно
проектируется на плоскость (xv x2). Система уравнений

50 Ч. 1. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
при k=l для определения т(х, t) имеет вид xcosf+
+ sin t = х2. Отсюда т = (х2—sin *)/cos /. Решая систему
в вариациях, находим матрицы В и С:
о __ (bcost— sin / 0 \ ^ _ /6 sin / + cos / 0 \
^"V 0 — sinfj' V 0 cos*J*
Применяя формулу (2.7) теоремы 2.1, получаем, что при
111 < я/2 функция
С/г ^\— 1 4,2^C0S^ —sitl t i *2~ Sin/ ,
^l*, U— г^&ыШ+сов*"1" cos/ +
1 Л_(^вт^х in2^ + ^zsin/(cos2^_'1)
1 4 V cos41 J ' 2 cos / v '
является приближенным решением задачи (2.12').
§ 2. Модельная задача. Рассмотрим задачу Коши для
уравнения Гамильтона—Якоби в одномерном случае:
dS/dt + Н (dS/дх, х, t) = 0, (2.13)
S|^o = S0(x), x€R, <€[0, Т], (2.13')
где S0 (x)—вещественная гладкая функция. Пусть (р (a, t),
q(a,t)), (agR)—решение системы Гамильтона (1.16),
удовлетворяющее начальным условиям
Я\ы* = *. Рк. = °|(а). (2Л4)
Тогда решение задачи (2.13) — (2.13') определяется
формулами (1.17), (1.18). Обозначим через Yt={(q, p): q=Q {t),
р = Р (t)} (t £ [0, Т]) бихарактеристику (решение) системы
Гамильтона (2.4), выпущенную из точки Р (0) = dS0/dx(0),
Q(0) = 0.
Задаче (2.13) — (2.13') сопоставим следующую
модельную задачу: найти вещественную функцую S(x> t),
удовлетворяющую в некоторой замкнутой окрестности V (t)
траектории x=Q(t) соотношениям
dS/dt + H(dS/dx9 х, t) = 0((x—Q{t))*), (2.15)
S|,B. = S,(x) + 0(*»). ' (2.16)
Покажем, что для построения решения этой задачи
достаточно найти (наряду с бихарактеристикой Tt) функции
р(1)(а, t), <7(1)(а, t) — решение линейной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. системы

ГЛ. II. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ УЗКИХ ПУЧКОВ 51
в вариациях
ч(1) =
Hqp(P(t), QV), t)p<"-Hq4(P(t),Q(t),t)q*\
pyL' = — nqp\ryi), v^/, ijp nq(f
(2.17)
q™=нрр (P (0, Q (0, t) рш+Hpq (P (t), Q (0. 0 <7(1).
удовлетворяющее начальным данным
Р(1,|/=» = &°(0)а, <?П=. = «- (2-18)
Справедлива теорема.
Теорема 2.2. Пусть p{1)(a,t) и q{1)(a9 t)—решение
системы (2.17), удовлетворяющее условиям (2.18), и пусть
def
на отрезке [0, Т] якобиан J = detdq{1)/da отличен от
нуля, Тогда функция
S(x, t) = Su(0) + P(t){x-Q(t)) + l(P(x)Q{%)--
о
-Н (Р (т), Q {%), (т))) b+±°g(?g)~\t) {x-Q (<))« (2.19)
удовлетворяет соотношениям (2.15), (2.16).
Доказательство. Мы приведем конструктивное
доказательство теоремы 2.2, воспользовавшись
формулами (1.17), (1.18) для точного решения задачи (2.13),
(2.13') с последующим разложением этого решения по
степеням (я—Q(t)). Выразим функцию а(х9 t) — решение
уравнения
q (a, t) = x (2.20)
через функцию ах{х, t) — решение уравнения
Q(t) + q™(a9 *) = *. (2.21)
а затем разложим функцию S(a, t) (см. (1.17)) в ряд по
степеням а. Предварительно докажем лемму.
Лемма 2.1. Пусть p(a, t)9 q(a, t)—решение системы
Гамильтона (1.16), удовлетворяющее начальным условиям
(2.14), и пусть р{1) (а, t)9 q{1) (a, t)—решение системы в ва-
риациях(2Л7), (2.18). Справедливы равенства(при t € [0,Т]):
р(а, t) = P(t)+p™{a9 t) + p™(a, t)9
?К t) = Q(t) + q™(a, t) + q™(a9 t)9
/><2)K t)^a4{a9 t), q™(a, /) = a2pK 0.
где r(a, t)9 p(a, t)—гладкие функции.

52 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Доказательство. Разложим Нр и Hq в ряд
Тейлора в окрестности точки р = Р(/), q = Q(t). Учитывая
равенства р(1) = 0(а), q{1) = 0(a), получим, что pi2)(att)f
Я{2) (<*> 0 удовлетворяют системе уравнений
p^-Hqpp^-Hqqq^ = а*Ф(а, О,
q^ + Hppp^ + Hpqq^ = a^(af t)
с начальными данными
<7(1)lf-o = 0, p(«Mf,e = a^(a).
где ф, у, г|э—гладкие функции. Отсюда и из известной
теоремы [58] теории обыкновенных дифференциальных
уравнений следует утверждение леммы.
Выразим теперь функцию а (я, t) — решение
уравнения (2.20) — через функцию at(xf t) = (dq^/da)-1 x
X{x—Q(t)) — решение уравнения Q(t) + q{1)(at t) — x.
Будем искать а (я, t) в виде
« = Pi + P. + Pi. (2-22)
где р. = О(а0, i = 1, 2f 3. Здесь и в дальнейшем через ах
обозначим функцию a1(xf t)> у которой опущены
аргументы х и t. Подставим функцию (2.22) в уравнение
(2.20) и разложим q(a9 t) по формуле Тейлора в
окрестности точки а = 0. Приравнивая затем выражения при
одинаковых степенях а к нулю, получим следующее
утверждение.
Лемма 2.2. Пусть J = dq{1)/da^0 при *€[0, Т].
Тогда решение уравнения (2.21) существует в некоторой
замкнутой окрестности траектории x=Q(t) и предста-
вимо в виде
a = Pi + P2 + P3>
где
h = *i = (dq^lty-Hx-Qit)),
Р2=- т (а^/а»)-1 d*q/d*> |вв0о;,
со1(а1, t)—гладкая функция.

- ГЛ. II. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ УЗКИХ ПУЧКОВ 53
Разложим функцию S(a(x, t), t) (см. (1.17)) по
формуле Тейлора по степеням^ в окрестности точки ах = 0.
Используя лемму (2.1), получим
5(<%(*, О, 0=3(0. 0+Ц(0, 0(Pi+P.) +
где ш2(а1» 0 — гладкая функция.
Вычислим производные у-(0, 0 и ут(0» 0- Имеют
место равенства
й(о, «)-SL.f («+s^
да8 *v« *'~ да?
|а=0 v '^ да да '
которые следуют очевидньш образом из равенства
||(а, t) = p(a, t)^{a, t) и леммы 2.1.
С помощью лемм 2.1 и 2.2 преобразуем функцию
S(a(x, t), t):
S{a{x, t), *)="§(0, t) + ^P(t)®l + Pi) +
= S(0, 0+P(0f«l-^(0S|tt=0«1s+ ...
= S0(0)+j(PQ-W(P, Q, T))dT + P(/)^-)a1 +
Отсюда получим, что функция S—точное решение
задачи (2.13), (2.13') Гамильтона — Якоби — представима

54 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
в виде
t
S(x, t) = S0(0) + \(PQ-H(P, Q, T))dt +
+ pmx-Q(t)) + id£{^y\X~Q(t)r +
+ <4(x, 0<M«i(*. 0. 0- (2-23)
Доказательство теоремы 2.2. Докажем
теперь, что функция
t
S (х, t) = S0 (0) + S {PQ-H (P, Q, t))dx+
+ pmx-Qit)) + ^(^.)-\X-Qm
удовлетворяет соотношениям (2.15), (2.16). Прежде всего
отметим, что справедливы равенства
S(x, t) = S(x, t)—a}(x, t)(o2{аг(x, t), t),
Ц(х, t) = P(t) + 0(x-Q(t)), (2.24)
dx
dax f dq\-i даг / dq
~дх~~~[~да ' Ж
(!i)"1(&+o(*-Q(0)
(первые два следуют из формулы (2.23), а два
последних— из определения аг(х^ t)). Подставим функцию
S(x, t) в уравнение (2.15) и разложим функцию Н (/?, х, t)
по формуле Тейлора по р в окрестности точки р = д§/дх.
Учитывая, что S(#, t)—точное решение уравнения
Гамильтона— Якоби, получим в результате
-Я„(Ц. х9 <)^(aK(«it 0) + ОК) =
= -3aJ^©t(ai. 0-Я>(^-, х, фа|^1(о(а1, <) + 0(aJ).
Раскладывая затем функцию Я^ (р, х, £) в последнем
выражении по формуле Тейлора в окрестности точки
p=zP(t) и x=Q(t) и используя при этом равенства

ГЛ. II. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ УЗКИХ ПУЧКОВ 55
(2.24), получим
-Нр(Р, Q, t)3al^y\2 + 0((x-Q(t)r).
В силу того, что Q = Hp(P, Q, t), правая часть равна
0((х—Q{t))3). Докажем теперь, что S (х, 0) совпадает
с точностью до 0(х3) с S0(x). Имеем
S(x, 0) = S0(0) + P(0)^i§(0)^ =
= so(0)+§°(0)x + y^(0)^= S0(x) + O(x>).
Теорема доказана.
Пример. Рассмотрим случай, когда H~]fl+p2 и
S\t=s0 = ax + bx2/29 где а, Ь^О—некоторые вещественные
числа. Система Гамильтона, отвечающая функции Я,
имеет вид /? = 0, q=+pl\fl + /?2. Следовательно,
бихарактеристика,, выпущенная из точки р = а, q~0, равна
Tt = {P = a, Q = + atl]fl +a2}. Таким образом, в
рассматриваемом случае уравнение (2.15) принимает вид
dS/dt +Vl + (dS/дх)* = О ((x-atlVT+a*)z).
Найдем решение системы в вариациях, отвечающей
функции Я и бихарактеристике Tt:
р(1) = 0, Р{1)\ыо = Ьа,
9(1,-+(тт^/7(1)> «(1)|<=о=а-
Элементарные выкладки дают:
р(1) = Ьа, <7(1) = а(1 + гб/(1+а2)3/2),
и, следовательно, при t^O J = dqa)/da = 1 +
+ М/(1+а*)*/*Ф0.
Таким образом, все -условия теоремы 2.2 на отрезке
' € [0, Т] выполнены, и мы можем воспользоваться
формулой (2.19). В результате несложных вычислений
находим:
S(x, t) = -VTT^t + ax + \b^>VYfJT
^2

56 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Перенесем теперь результаты теоремы 2.2 на
многомерный случай. Анализируя доказательство, нетрудно
убедиться в том, что при подстановке в левую часть
уравнения (2.15) функции S(x, t) вида (2.19) мы
получаем в правой части этого уравнения функцию q> =
= £(*» t)((x—Q(t))*)9 где g(x, 0 —гладкая функция.
Поэтому, полагая D = а2, х — Q (t) = а, получим
ф = Од (А«/«>.
В теореме 2.2 (в этих обозначениях), таким образом,
утверждается, что функция S(x9t) вида (2.19) является
решением уравнения
dS/dt + H(dS/dx, x, t) = 0D(h*'*), *6[0, T],
где D = a2, a = x—Q(t).
Сформулируем утверждение, которое является
обобщением теоремы 2.2 на многомерный случай. Пусть
Н{Р> Чу t) = H(pu . ..,/?„, qi9 ..., qn, t)—функция
Гамильтона, S0 = S0 (xi9 ..., xn) — гладкая функция и
Tt={(q, p): q=Q (t), p=P (t)\—бихарактеристика системы
Гамильтона (1.16), выпущенная из точки р;=? -^(0),
9j = 09 £==1, ..., п. Обозначим через u = u(af t), v —
=v(a, t) решение системы в вариациях
-Hqp(P, Q, t)u-Hqq(P9 Q, t)v,
(2.25)
6 = Hpp(P, Q, t)u + Hpq(P9 Q, t)v,
удовлетворяющее при /==0 условиям
u\ =4-?rl a> v\ =a> a€Rw.
Положим далее D (ai9 ..., an) = 2 a?-
Теорема 2.2'. Пусть на отрезке t g[0, Z1] якобиан
J = deidv/da отличен от нуля. Тогда функция
S(x9 0 = Se(0)+J«Pf Q>-H(P9 Q, r))dx +
о
+ <P(0, *-Q(0>+4-<*— Q(0. BC-»(*-Q(0)>, (2.26)

ГЛ. II. ГАМИЛЬТОМОВ ФОРМАЛИЗМ УЗКИХ ПУЧКОВ 57
где В=*ди/да9 C = dv/da, удовлетворяет соотношениям
dS/dt+H{dS/dx, x9 t) = 0D(h*'*)9 *€[0, Г],
(2.27)
S\t=o = S0(x) + OD(h*/*).
Доказательство этой теоремы есть непосредственное
обобщение на многомерный случай доказательства
теоремы 2.2.
§ 3. Вспомогательные факты из симплектической геометрии
фазового пространства. Приведем ряд фактов из симплектической
геометрии и теории линейных гамильтоновых систем в фазовом
пространстве Rq%, которыми мы будем часто пользоваться в дальнейшем.
1. Пусть щ*р (или С271)—-вещественное (комплексное) фазовое
пространство с координатами р = (рь •••» Рп), Я = (Яь •••» Яп)- Введем
в R2* (или С2п) евклидову структуру, задаваемую скалярным
произведением^ а2) ^р^р2^?1, <?2>, гдеа1=(р1,^1),а2= (р2,<72)((а\а2)=
= <р\ р2> + <<?\ #2>, а1, a2£C2w), и симплектическую структуру,
задаваемую кососкалярным произведением {а1, а2} = <р\ q2> — <P2, Яг>9
а1, а2£С2/*. Легко видеть, что
{а*, о»} = <&!,/<*•>, 1=(еп~Е0")'
где 0, Еп — нулевая и единичная матрицы размера пХп.
Рассмотрим в R2w (или C2w) ^-мерную (комплексномерную
в комплексном случае) плоскость Я. Через Я обозначим плоскость,
элементами которой являются векторы, комплексносоп ряженные
к векторам плоскости Я (Я = Я в вещественном случае).
Определение 2.1. Плоскость Я называется лагранжевой, если
для любых векторов а1, а2£Я их кососкалярное произведение {а1, а9}
равно 0.
Предложение 2.1. Размерность лагранжевой плоскости не
превосходит п.
Доказательство. Так как I2 = — Е2п, то для того, чтобы
плоскость Я была лагранжевой, необходимо и достаточно, чтобы
плоскости Я и /Я были ортогональны. Поскольку dim Я = dim/Я, то
dim Я ^ п.
Отсюда следует, что максимальное число линейно независимых
попарно косоортогональных векторов в фазовом пространстве равно п.
Очевидно следующее утверждение.
Предложение 2.2. Гладкое n-мерное многообразие в R2*
тогда и только тогда лагранжево, когда все его касательные плоскости
лагранжевы.
Определение 2.2. Линейное отображение g: R2* —> R2rt (или
g:C2n—*С2л) называется симплектическим преобразованием, если
оно сохраняет кососкалярное произведение: {ga1, ga2\ = {a\ а2} для
любых а1 и а2 из R2" (или С2*).
Из этого определения следует, что симплектические
преобразования переводят лагранжевы плоскости в лагранжевы.

58 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОЁ
2. Рассмотрим линейную гамильтонову систему, отвечающую
функции Гамильтона
Я (Р, Я. 0 = у«Р, A1(t)py+2<p, A2(t)q> + <q, A9(t)q», (2.28)
h = -Hq, q^Hp. (2.29)
Здесь ^i(^), A2(t), Л8(/) — вещественные матричнозначные функции
переменной t, причем Аг (t) и А3 (/) — симметрические матрицы.
Обозначим через gff преобразование фазового пространства R271 (или С2п):
§Н: (Роз Яо)—*(р(0, ?(0)>
где Р (/), q{t) — решение системы (2.29), удовлетворяющее условию:
Р(0) = Ро, ЯФ) = Яо-
Предложение 2.3. Преобразование gfH симплектично, т. е.
для любых векторов ах= ( х ) , а2 = I р2 ) из R2" (или С2п)
справедливо равенство
Доказательство. Обозначим
«'(о=^=(;;((;))), <-1.2.
4 Продифференцируем кососкалярное произведение \aL(t), a2 (t)\
векторов аг(1) и a2(t) вдоль траекторий гамильтоновой системы (2.29).
Из (2.28), (2.29) и симметричности матриц Ax(t) и.Л3(0 получаем
+ {аМ0. а« (/)}=-<Л,Л <72>-<М2рЧ я*>-
-<AlP\ p2>-<A2q'f рЪ + <я\ A9q2> +
+ <q\ М2р2> + <рЧ Л1р2> + <р1, Л2^>==0.
. Предложение доказано.
3. Пусть M2k, k<n, есть 2£-мерное подпространство Я2як(или С2и).
Естественным образом определяется сужение формы {., •} на
подпространство М2А. Форма {•, • } называется невырожденной в M2ky
если для любого ненулевого вектора a£M2k существует сопряженный
к нему вектор из M2kf т. е. вектор Ь такой, что {a, Ь}^0.
Базис аь ..., ak> ak+1, ..., а2д, в М2к называется симплекти-
ческиму если
{ah aj+k} = bift i, /=1, ..., /г (2.29')
(б/у—символ Кронекера).
Справедливо следующее утверждение.

ГЛ. II. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ УЗКИХ ПУЧКОВ 59
Предложение 2.4. Пусть форма{•, •} невырождена на
подпространстве М2к и пусть а—ненулевой вектор из M2k. Тогда
в М2* существует симплектический базис аъ ..., a2k такой, что
ai=a.
В частности, в силу невырожденности формы {•, •> в R2nt
в этом пространстве существует симплектический базис. Приведем
без доказательства известные факты из симплектическои геометрии
(см., например, [2]). Симплектические преобразования (и только они)
переводят любой симплектический базис в R2" (С2я) в
симплектический. Если имеется т (\<m<k) векторов a^M2k и т векторов
ak+j£M2k, /=1, 2, ..., т, удовлетворяющих условию (2.29'), то
этот набор можно дополнить до симплектического базиса в М2к.
В частности, отсюда следует, что любой набор векторов су, aj+m из
R2* (С2л), /=1, 2, ..., m, m < п, удовлетворяющих условию (2.29'),
можно дополнить до симплектического базиса в R2rt (С2л).
§ 4. Лагранжево многообразие с вещественным
ростком. Вектор-функции и(а> t) и v(a, t), введенные в §2
(2.25), являются линейными функциями по agRJJ.
Следовательно, уравнения
р = и(а, t), q=v(a, t)
определяют при каждом фиксированном t n-мерную
плоскость в Щ%- Эту плоскость обозначим через %?.
Лемма 2.3. Плоскость %" лагранжева.
Доказательство. Покажем сначала, что
hj—лагранжева плоскость. В самом деле,
[и (а, 0), v(a, 0)]/7 =
-V ( d2S» 1 й d*s« I б ^-п
~ fe \dx*dx* '*=<> J dx* dxJ '*=• ik' ~
/, /=1, 2, ..., n.
Заметим, что система в вариациях (2.25) гамильто-
нова; соответствующая функция Гамильтона # = Явар
имеет вид
Явар = у«Р, Hppp> + 2<q, Hqpp> + <q9 Hqqq»9
где Н—функция Гамильтона исходного уравнения (2.29)
(у функций Нрр9 Hgpj Hqq опущены аргументы P{t)y
Q(t)9 t (ср.- с (2.5) § 1, гл. II)). Следовательно,
плоскость Я? получена из плоскости ЭД симплектическим
преобразованием £я . Отсюда и из предложения 2.3

60 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
следует утверждение леммы. Таким образом, в
построении решения S(x, /) уравнения Гамильтона—Якоби
участвуют следующие геометрические объекты:
1. Бихарактеристика 1\ = Л? = ((р, q)€Rtn:p = P(t),
q = Q\t))9 полученная из точки ЛЛ = (/? = Р0, q = Q0)
каноническим преобразованием gfH.
2. Семейство лагранжевых плоскостей Х?= (р = и (a, t),
qz=v(af t))9 полученных каноническим преобразованием
g*H лагранжевой плоскости ^о = (р = ы0(а)» q==vo(a))'
вар
Преобразование gn принято обозначать через dgfH.
Этим обозначением мы будем пользоваться в дальнейшем.
Теперь мы опишем эти объекты в более общем виде.
Предварительно заметим, что в конструкции
приближенных комплексных решений задач § 1 гл. II важную роль
играют fc-мерные (k < n) геометрические объекты в
фазовом пространстве—поверхности Л? = £^Л§ (см.
теорему 2.1), где
ASH(x, P)\p = dS0(x)fdx, x€8£o},
a 8£0c:R3—множество нулей мнимой части начального
действия S0(x) = S0V(x) + iS0i(x), S02(;c)>0f
удовлетворяющее условию,
rang ImZjjp. (х) |e* o = n-k. (2.30)
Задача построения собственных функций и
собственных значений дифференциальных операторов (см. ниже
§§ 2—4, гл. V) также приводит к рассмотрению подобных
объектов, являющихся обобщением понятия лагранжева
многообразия в R|% на размерность k, меньшую чем п.
Определение 2.3. Гладкое fe-мерное
многообразие Л* в 2л-мерном фазовом пространстве ЛЛ={(р, q)£
g R2*:p = Р (т), <7 = Q (%)},£<я, гдет-(т1? ...,т*) € R? —
локальные координаты на Л*, называется k-мерным ла-
гранжевым многообразием, если
для £, /==1, ..., ft.
Замечание. Любая точка (Р, Q) в фазовом пространстве rJ"p
по определению есть о-мерное лагранжево многообразие.

ГЛ. II. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ УЗКИХ ПУЧКОВ 61
Свойства ([2], [40]) дагранжевцх многообразий Ая
«половинной» размерности в фазовом пространстве Щ%
очевидным образом переносятся на случай меньшей
размерности k, 0<&<я. Например, если Л*—односвязное
многообразие, то формула
5(а)= $ 2/>,<*?,= S <P(*)> dQ(%)>,
с*(о9, а) c*eAk
где с1 — гладкий путь на Л*, соединяющий
фиксированную точку а0<ЕЛ* с точкой а<ЕЛл, определяет функцию
S(o) на многообразии Л*.
Лагранжево многообразие Л* размерности k назовем
неособым, если ранг матрицы
|2l|, i = l, ..., п\ /=1, ..., /г,
равен k *). Последнее условие означает, что некоторая
окрестность любой точки jc = Q(t) многообразия Л*
проектируется диффеоморфно на ^-плоскость фазового
пространства. В дальнейшем мы будем рассматривать нео-
собьте ^-мерные лагранжевы многообразия.
Пример. Одномерным неособым лагранжевым многообразием
в 3-мерном фазовом пространстве является гладкая кривая Л1 =
= {(/>» ?)€R*: Pi = 0, p2 = 0, p8 = /W, <7i = 0, ^2 = 0, qz=i). Здесь
f(x)£С00-—произвольная вещественная функция. Проекцией
многообразия Л1 на ^-плоскость (т. е. пространство R|) является
координатная ось х3.
Точки на многообразии Л* будем обозначать через
а (т): а (т) = CQ J^j J , т € R?. Обозначим через ТЛ* (а)
плоскость, касательную к многообразию Л* в точке а, т. е.
плоскость, натянутую на векторы
а'-(«::) а*-(ч)-
Условие (2.31) означает тогда равенство нулю кососка-
лярного произведения {•, •} любых двух базисных
векторов \а19 а2, ..., ак\ плоскости TAk(o). Таким образом,
*) Вообще говоря, из того, что \к является ^-мерным многооб-
[дР1дх\ .
разием, следует только, что та^[дп)л ) =£•

62 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
многообразие Л*—лагранжево, если в каждой точке <т£
£Ak касательная плоскость ТАк—лагранжева.
Пусть каждой точке а многообразия Л* сопоставлена
п—^-мерная плоскость Хп'к(а) в фазовом
пространстве Щ%.
Определение 2.4. Совокупность многообразия Л*
и плоскостей %п'к(а) o£Ak, называется лагранжевым
многообразием с вещественным ростком [Л*, %п~к]9 если
семейство Хп~к(о) гладко зависит от agRj и выполнены
следующие условия (аксиомы вещественного ростка):
vx) Плоскость rn(a = Хп~к(о) + ТАк(о) имеет
размерность п.
v2) Плоскость гп (о) —лагранжева, т. е. кососкалярное
произведение любых двух векторов аг = Г1] , a2= (v* ] ,
принадлежащих гп(о)9 равно нулю:
{alt a2} = <vi9 u2y — <и2, ^>==0.
Плоскость %п~к(о) называется вещественным ростком
в точке ag Л*. С топологической точки зрения
геометрический объект—лагранжево многообразие Ak с
вещественным ростком %п~к—является расслоением [Ак, кп"к],
базой которого является многообразие Л*, а слоем в точке
a g Ak—плоскость Хп"к (а). Для того чтобы задать элемент
/£[Л\ кп~к], достаточно задать точку а(т) на Ak (или
координаты TgR* этой точки) и вектор a=f"j на
плоскости Хп~к(о). Легко видеть, что в окрестности любой
точки /€[ЛЛ, Хп~к] плоскость %п~к можно задать
уравнением
p = w(a, т), q = v(a, т), t^R?, a€RSf*,
где и (а, т), у (а, т)—я-мерные вектор-функции, гладкие
по переменным %=(х1, ..., хк) и линейные по
переменным a = (a1, ..., an-k).
Вектор-функцию (";а> Тч) будем обозначать, так же
как и плоскость Хп~к(о), символом %п~к и называть
также вещественным ростком. Векторы a'/= [J!Laim )» 1
* = 1, ..., л—&, очевидно образуют базис в плоскости

ГЛ. II. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ УЗКИХ ПУЧКОВ 63
%n~k. Совокупность векторов
<"у=(Ж)' ;="-*+'. <=i *.
назовем эталонным базисом вещественного ростка в точке
а£Л*. В эталонном базисе условие v2 в определении
вещественного ростка можно записать в виде равенства
нулю следующих выражений:
\да}у Щ/\Ш}9 dot// Uf
/, /=1, ..., n-k9 (2.32)
/ ди dQ у /^Ъ_ дР\_0
\0а,-' dry/ \da,' dry/ U'
1 = 1, ..., n — £, /=1, ..., ft.
Из этих равенств, а также из условия (2.31) лагранже-
вости многообразия Л* следует, что
-<т. 2Т5Г!>=°<И)=ос(''''').
n-k
где D= 2 а? и P/==a/, /=1, ..., n—ft, р,- = т/.Л+А>
/ = п—ft+1, ..., я. Таким образом, условия ух), v2)
означают, что многообразие в фазовом пространстве,
определяемое в малой окрестности Ak уравнениями р =
= Р{х) + и(а, т), q — Q(x) + v(a9 т), «почти» лагранжево.
Определение 2.5. Лагранжево многообразие с
вещественным ростком [Л\ %п"к] называется неособым,
если каждая плоскость тп (а) взаимно однозначно
проектируется на ^-плоскость фазового пространства R5"p.
В координатах (х19 ..., тЛ, ах, ..., ал_й) на [Л*, V*1*]
это условие означает, что
Пример. Совокупность [Л1, Я3]:
Л1 = (Р, <7€К6: Pi = 0, p2 = 0, р3==/(т), <7i = 0, <72 = 0> ?• = *)»
^3 = (w1 = <p1(T)ai> и2 = ф2(т)а2, и3 = °» t'i = ai> г2 = а2, f3 = 0)
(«1, а2> t)€R8»
где фь ф2, /—вещественнозначные гладкие функции, является

64 Ч. 1. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОЁ
неособым одномерным лагранжевым многообразием с вещественным
ростком. Обращение в нуль скобок Лагранжа проверяется
непосредственным дифференцированием.
Пусть [А*ДГ*], где Ak0 = {(qy р) 6 Щ%: <7 = <7о(т),
Р = Ра(т), t€R?}, Ь?-* = {(<7. р)^Щ%: q = v0{a, т), р =
= ив(а, т), a£R5~*, т£ R^} — fe-мерное лагранжево
многообразие с вещественным ростком и Я (p>q, t) £ C^R^J,1/)—
функция Гамильтона. Обозначим через £>н =(ён> dgfH)
следующее преобразование [Л§, V*~*], которое переводит:
1) многообразие Aq—в многообразие Л*= ((/?, q) £ R2/2:
р = Р(т, /), ? = Q(t, 0), где(Р(т, 0, Q(t,/))-^(P0(t),
Qo(t))> /^-параметрическое семейство решений системы
Гамильтона с функцией Я(р, 9, /), удовлетворяющее
условиям р\ыо = Ро(*)> ?|^=o = Qo(t);
2) плоскость %%~k— в плоскость X?^ = (w(oc, т, £),
и (а, т, *)), каждый вектор (и (а, т, /), у (а, т, t))
которой определяется решением системы в вариациях (2.25),
удовлетворяющим условиям и |*=о = и<> (а, т), а^о^
= 1>о (а, т), т.е. (ы(а, т, *)i у(а» т» 0) = ^(«0(а, т),
у0 (а, т)) (аргументы функций Я^, Нрр, Hqq в системе
(2.25) полагаются равными р = Р(х, t), q = Q(%, /), t = t).
Замечание. Очевидно, что преобразование цн индуцирует
преобразование касательных плоскостей многообразий Ло и щ по
формуле
Определение 2.6. Преобразование DfH будем
называть каноническим преобразованием лагранжева
многообразия с вещественным ростком, отвечающим функции
Гамильтона Я(/?, q, t). Каноническое преобразование
лагранжева многообразия назовем неособым на отрезке
[0, Г], если якобиан
(dv (а, т, /) dv (а, т, /) 6Q (т, /)
■ = det(?
dQ(t,
2).
a€R3T*. t€R?,
отличен от нуля при *€[G, Г]. Следующая лемма
описывает свойства канонического преобразования DfH.
Лемма 2.4. Пусть [Л£, -A,J~*]—лангранжево
многообразие с вещественным ростком и Я(р, q, t)—функция jj

ГЛ. II. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ УЗКИХ ПУЧКОВ 65
Гамильтона, Тогда при t € [О, Т] совокупность [Л£, X?-*] =
== Dh [Ло, h%~k] является k-мерным лагранжевым
многообразием с вещественным ростком.
Доказательство. Лагранжевость многообразия
Л* = £яЛ5 следует, в силу предложения 2.3, из лагран-
^жевости многообразия Л§.
Лагранжевость плоскости г?(о) = гп(gb {<*)), т.е.
выполнение условий (2.32) для функций (Р(т, /), Q(r, t))
и (и (а, т, t), v(a, т, t)), следует из леммы 2.3, если
заметить, что векторы
/^. 'Л
являются решениями системы в вариациях (2.25).
Следствие. (О каноническом преобразовании
эталонного базиса.) Пусть
/=1, 2, ..., n—k,
j = n—k+l9 ...,
•эталонный базис в г2((т0).
Гогда векторы
* В. П. Маслов

66 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
где
(и (а, т, /). v(a9 т, /)) = gl/Bap(«0(a, т), и0(а, т)),
(/>(*. 0, Q(t, 0) = £МЛ>(0, Q.(T))f
образуют эталонный базис в /'?(a/) = (dgj/r2)(g/ia0).
§ 5. Фаза и действие на лагранжевом многообразии
с вещественным ростком. Рассмотрим теперь задачу,
аналогичную модельной задаче (2.15), (2.16) (§ 2), заменив
при этом траекторию x = Q(t) в R" на ^-мерную (при
фиксированном /) гладкую поверхность 6£ t в R",
которая является проекцией ^-мерного (неособого) лагранжева
многообразия Af = g#A§, полученного каноническим
преобразованием, отвечающим функции Гамильтона Н (р9 q> t).
Непосредственное обобщение результатов § 2 приводит
к следующим определениям фазы и действия на
лагранжевом многообразии (размерности к) с вещественным
ростком.
Пусть (Л*, %n~k) — неособое лагранжево многообразие
с вещественным ростком и пусть на Л* существует
функция s(t)—s-действие, удовлетворяющая уравнению
ds = <P(x), dQ(x)>.
Определение 2.6. Фазой (неособого) лагранжева
многообразия с вещественным ростком назовем функцию
Ф(а, t) = s(t) + <P(t), v (a, x)>+
+ ~<y(a, т), ВС-1 СО»(«. т)>>
где Я(т), С(т) — матрицы размера пхп: .
В = (ди/да19 ..., ди/дап_кУ ^я^+г » " " " •3^)'
C-fadb, .... cfc/da^, _SL_f...,^).
(Напомним, что detC^O.)
Пусть при *«[<), Г] [Л?, Л,-*] = 5ИЛ*, *#"*].
AJ={(P, <7)€R2/I: P*=P(*> 0. ?€Q(t, 0},
Я?-* = {и(а, т, /), о (а, т, 0} —
семейство неособых лагранжевых многообразий с
вещественными ростками, полученных из лагранжева
многообразия с вещественным ростком [Л^Д<?~*] каноническим
преобразованием 1>я, отвечающим функции Гамильтона

ГЛ. II. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ УЗКИХ ПУЧКОВ 67
Я (р, <7, t). Пусть на многообразии Л§ существует s-действие
s0 (т),т. е. функция, являющаяся решением уравнения ds0=
=--<Р0> dQ0>. Тогда нетрудно показать, что на многообразии
Л? = £яЛ$ также существует s-действие s(t, t), которое
может быть выражено через действие s0 (т) формулой
t
s(t, 0 = s0(t) + 5«P(t, tj, Q(t, tx)>-
-Я(Р(т, /,), Q(x, fj, fjjrt,. (2.33')
В силу односвязности многообразия AJ(AJ) условие (2.33')
согласования s-действий может быть записано в виде
s(т, t) =
т t
-Я(Р(т0, fj, <Ж> <x), /хИЛх- (2.33")
Всюду в дальнейшем мы будем считать, что s-действия
на семейство Л* согласованы одним из указанных
способов.
Таким образом, фаза на (Л£, У}~к) имеет вид
t
Ф(а, т, 0 = So(t) + 5«P(t, /,), Q(t, tt)> —
о
-Я(Р(т, /х), Q(t, *х), /1))Л1 + <Р(т, 0, ^ (а, т, *)> +
+ ~<у(а, т, *), ВС-1^, 0» (а. т, *)>»
где
В(т, t) = {du/da19 ..., du/dan„ki дР/дх19 ..., дР/Зт*)а==0,
С(т, t) = (dv/da19 ..., dv/dan_k, dQ/dr19 ..., dQ/dxk)a=o.
Замечание. Отметим, что из условия лагранжевости
плоскости г/г = Я7г~^ + 71ЛА следует симметричность матрицы ВС"*1^). Для
доказательства этого утверждения достаточно заметить, что равенства
(2.32) вместе с равенствами [Р, Q]/>;-=0, i, /=1, ..., fc,
эквивалентны следующему матричному равенству:
*С£ —*ВС = 0.
Умножая это равенство слева на ^С"1 и справа на С"1, получаем
требуемое утверждение,
S*

68 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Пусть [Л*, Xn~k] — неособое лагранжево многообразие
с вещественным ростком (detC^O). Обозначим через 6*
проекцию многообразия Ak на ^-плоскость 6*=(л;: x=Q (т)).
Через Д^ обозначим такую замкнутую окрестность
поверхности 8* в R", в которой уравнение
Q(x) + v(a, т) = х (2.34)
разрешимо однозначно и гладко относительно а £ R£~fe,
т £ R£: а = а (л:), т = т (х), jc 6 Д*. Такая окрестность в силу
d(a, r)K~~[da> dx J \a=o ~~ [да ' дх У U
и условий на Л* (detC^O), очевидно, существует.
Определение 2.7. Гладкую функцию S(x), x£ R",
будем называть действием на лагранжевом многообразии
с вещественным ростком [Л*, Хп~к], если при х £ Ах S (х) =
= Ф(а(л;), т(л:)), —гдеФ(а, т)—фаза на [Л*, ^"й]иа(4
т (л:) решение системы (2.34). ДействиеS (x, t) на [Л?, V*~*],
определенное в области АХу t (окрестности множества
S*, f^i*^ R": x = Q(x9 t)}), где однозначно разрешимы
уравнения
Q(r, t) + v{a,x, t)=x, (2.35)
дается формулой
5 (х, /) = Ф (а (х, /), т (х, 0, 0- (2.36)
Здесь Ф(а, т, f)—фаза на (Л?, ХЛ~*) и ос(х, /), t(#, /) —
решение уравнений (2.35). Легко видеть, что функция
(2.36) совпадает с функцией (2.26) в случае нульмерного
лагранжева многообразия с вещественным ростком (k = 0).
Семейство Л? при этом совпадает с бихарактеристикой
Tt = {(/7, q) g R2W: p = Р (/), ^ = Q (0}» выпущенной из точки
A° = (P0,Q0).
Сформулируем теперь утверждение, являющееся
непосредственным обобщением теорем 2.2, 2.2' на случай
^-мерного многообразия с вещественным ростком (&>0).
Теорема 2.2". Пусть при /g[0, Т] [Л?, Ь»-*] =
= D#[A§, XJ~*]—семейство неособых лагранжевых
многообразий с вещественным ростком, полученных из
лагранжева многообразия с вещественным ростком [Л{>, Я#~*.]
каноническим преобразованием D#, отвечающим функции

ГЛ. II. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ УЗКИХ ПУЧКОВ 69
Гамильтона #(/?, q, t). Тогда функция S(x, t) — действие
на [Ло, K~k]—является приближенным решением
уравнения Гамильтона—Якоби, т. е.
dS/dt + H(dS/dx, х, t) = 0D{h*/*), *€ А,,*, (2.36')
D = a2, (a (л:, t), т(х, t))—решение уравнения (2.35).
Доказательство проведем прямым
дифференцированием. Такое доказательство (в отличие от доказательства
теоремы 2.2) непосредственно переносится на случай
комплексных решений. Не уменьшая общности, можно
рассмотреть случай: /г = 2 и &=1. Вычислим сначала
производные дФ/3/, дФ/дт и дФ/da. Имеем
d<b/dt = <P, Q + i>> + <P, v>-H(P, Q, t) +
Воспользовавшись тем обстоятельством, что функции РХ9
Qx и va, ua являются решением системы в вариациях,
найдем, что
& dt [да9 т Ja=o \ да L=o ' дх t
dul " *" HqpPx-HqqQx) =
'^aaL=o HM da
a=0'
^ — HqpB — HqqC
и, аналогично, C = HppB + HpqC. (Здесь у функций H„pj
Hpq и т. д. опущены аргументы Р(т, t), Q (т, /), /.)
Отсюда следует
d(t>/dt = <Q + i>9 P> + <P, v>—H(P9 Q, 0 +
+ <ВС~1 v, i> — V2 <BC-*v, HppBC^v> —
— <v,HqpBC-lv> — 4%<vtHqqv>. (2.37)
Аналогично, воспользовавшись равенством ВС~гС1х =
= В (?) = Рт, получим
дФ/дт = <Р + ВС~Ъ, Qx + vx> + 42<v, (BC-*)xv>, (2.38)
дФ/da = <va, P + BC~lv>. (2.39)
Вычислим затем производные да(х, t)/dt, дх(х, t)/dt. Для
этого продифференцируем по t тождество #=sQ(t, t)+
+ v (a, т, t) \x=x(x, t), а=а(дг, t) • В результате получим
(Qt+^)|+|^^--Q(t,0-^K^0- (2.40)

70 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Отсюда следует
Полученные равенства позволяют вычислить производные
dS/dx и dS/dt:
dS дФ , дФ д% . дФ да .„ ч . yf\ , • Пч
1)Г==-дГ+1н1н+1н'Ж = <Р' V> + <Q+V> р>-
-Н(Р, Q, t) + <BC-4>,h> — 4a <ВС-Ч>, HppBC-lv>-
—<v, HqfBC-4>-4%<v, Hqqv>+<P+BC'lv, (Qx+vx)dx/dt+
+ va da/dt> + Va <v, (BC-*)xv> -g- =
= —H(P, Q, t) + <P, v> — <BC-1v, Q>~
—V, <BC~1v, НррВС-^у—<р, H9PBC-*v>—
—7,<t>, H„v> + 4, <v, (BC-%v>dT/dt,
где
Подставляя найденные значения производной dS/дх в
левую часть уравнения (2.36') и раскладывая функцию
Я (р, q, t) в ряд по формуле Тейлора в точке (р = Р (х, /),
q= Q (т, t), t = t), воспользовавшись при этом
равенствами Р = — Hg, Q = Нр, получим:
dS/dt + Я (dS/dx, х, t) = -H(P, Q, t) + <P, v> —
— <ВС'% Q> — V, <ВС-»о, HppBC-lv> —
- <v, HqpBC-*V>-lU<v, Hqqv> +
+ V,<o, (BC~%v>dT/dt + H(P, Q,t) +
+ <Q,BCv-1 + y\> — <P,v> +
+ V, <BC-4», HppBC-*v> + <v, HqpBC'lv> +
+V,<o, utj»+0D(h'f) = 4t<v, (BC-1)xv>dx/dt+<Q, r]>+
(2.40), (2.42)
+ 0o (A»/i)== i/, <0, (BC-l),t»> x
X {dx/dt—ат/д<) + Op (ft3/2) = Op (h*/*),
Теорема доказана,

ГЛ. И. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ УЗКИХ ПУЧКОВ 71
Теперь обобщим полученные в этом пункте формулы
на комплексный случай. В случае, когда при
фиксированном t Л* = Л?—точка бихарактеристики системы
Гамильтона (1.6), эта процедура оказывается элементарной:
достаточно заменить вещественные функции и и v в
определении вещественного ростка на комплексные w к z, при
этом действие в вещественном случае будет отличаться
от действия в комплексном случае только тем, что
матрица BC~1(t) станет комплексной. Рассмотрение общего
случая, т. е. случая, когда Ak—^-мерное лагранжево
многообразие (&=^0), приводит к тому, что приходится
решать уравнение
Q(t, t) + v(a,x, t) = x,
где v (а, т, /) — комплексная функция. Решения этого
уравнения, однако, могут не существовать в случае, если
Q (т, t) и у (а, т, t) — не аналитические функции т. Эту
трудность можно обойти, если определить действие на
[AJ, hf~k] иным способом. Новое определение действия
будет основано на операции перестройки фазы.
§ 6. Перестройка фазы. Пусть при t6 [О, Т] [Akh %?-k]=
= £>^[Л§, K~k]—семейство неособых лагранжевых
многообразий с вещественным ростком, полученное из лагран-
жева многообразия [А{, XJ?"*] каноническим
преобразованием D^, отвечающим функции #(р, qt t). И пусть
g(a, т, /)—я-мерная вещественная функция на Af, такая,
что для любого мультииндекса v = (vlt..., vk) и индекса m
dv+mg/drv dtm = 0D (ft1'2) и что
д (а, т)
л?^0-
Рассмотрим на Л? функцию
t
ФКт, 0==s0(t)+5«P, Q>-H(PtQ9t1))dt1 +
о
где s0(r) — s-действие на Л£ и матрицы В и С введены
в определении фазы Ф. Заменяя уравнения (2.35) на
Q(t, t) + g(a, т, t) = x (2.43)

72 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
аналогично тому, как, это было сделано при определении
действия на [Л£, X?-*] в некоторой окрестности
поверхности 6*, t = {x€ R": x=Q{x, t)}y построим функцию
S (x, t) = Ф (а (х, t), т (х9 /), t)y
где а(хуЛ) и т(х, /)— решение (2.43).
Лемма 2.5. В некоторой окрестности
поверхности 6£ft
1) функция S(x, t) является приближенным решением
уравнения Гамильтона—Якоби по mod Од (ft3/2), D = a2,
a = a(x, t)\
2) S (xf t) = S (jc, t)+0D (/i3/2), D=(a (x, t))\ гдеS (x, /)—
действие на [Л£, k?-k].
Иначе говоря, если одновременно заменить в
определении действия фазу Ф на Ф и уравнения (2.35) на
(2.43), то это приведет к изменению действия на 0D(hs/2).
Доказательство. Во избежание громоздкости
в вычислениях ограничимся двумерным случаем.
Доказательство первой части леммы полностью совпадает
с доказательством теоремы 2.2", если в последнем заме-
нить функцию v на g (матрица ВС"1 остается прежней).
Второе утверждение леммы, очевидно, эквивалентно
равенству
Ф (а, т, t) = Ф ((а, т, /), т (а, т, 0,0 + 0D (/^2),
где а (а, т, /), т(а, т, t) — решение уравнения
Q(t, t) + v{a,x, t)=Q(r, t) + g(a9 т, t).
Последующие рассуждения можно рассматривать как
вывод формулы для функции Ф (а, т, /) такой, что§ (х, t) =
= S(x, t) + 0D(hs/2). Раскладывая функции а = а (а, т, t)
и т = т(а, т, t) в ряд Тейлора в окрестности точки а = а,
т=т, £ = / по степеням 0D(h1^2)i получим
a = a + px + p2 + 0D(/i3/2), т = т>71+у2+Ол(/13/2), (2.44)
где

ГЛ. И. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ УЗКИХ ПУЧКОВ 73
т)—вектор с компонентами
П1~~ 2 \\yj ' \д*01/да,дх дЧ2,-/Эта ) [yj) ' дх 7l>
1 = 1,2. (2.46)
Разложим далее функцию Ф(а(а, х, t), т(а, т, t), t) no
формуле Тейлора в окрестности точки а = а, т = т, £ = <.
Учитывая (2.43) —(2.46), получим
Ф (а (а, х, 0, т (а, т~ 0. 0 = Ф (а, т, 0 +
+ ^(a,T,0P? + S^"T^)P^+T:^(a.T-0T! +
+0D(/»»/«).
Вычислим вторые производные от фазы.
Дифференцируя (2.38) и (2.39) по а и т, получим
д2Ф/да2 = <d*v/da\ Р> + <»«. ВС"1^ + 0D С*172).
а*Ф/За Зт = <уа, Рт> + <d*v/da дх, Р> + 0D (А1/2),
д*Ф/дт* = <д*С1/&г\ P> + <QX, Px> + 0D(hl>*).
Отсюда и из (2.38) и (2.39) следует, что
Ф (а (а, т, t), х (а, т, t), t) = Ф (а, т, t) +
+ <P + BC~lv, g—»> — V,<P, Э«о/да»>р;—
—V, <P, d*Q/dx*> yl—<P, d*v/dadx> plVi +
+v, <ач»/а««, p> pi+v, <dy/3a, bc-> а»/А»> p;+
+ <dv/da, Px> plTl + <d*y/da Эт, P> p^ +
+ V, <d*Q/dr*, P> tJ + % <Q„ Px> H + 0D (A»/*) =
= s(t, *) + <P, «> —I/.<o,BC-»o) +
+ V, <&>/да, ВС"1 dy/da> pj + <BC-*g, v> +
+ <dv/da, дР/дх> piYl + V, <Qt, ^t> V? + 0D (A'/2).
Используя равенства BC~lQx = Px и -s^-pi + g-^Yi = g—v
(cm. (2.45)), получим отсюда
Ф(а(а,т, t), т(а, т, *), 0 = s (т, t) + <P, 8> +
+ 4t<e, BC-ig> + OD(A3/4)=0(a, t, O + OotA'/.).
Лемма доказана.

74 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Следовательно, для определения действия S (x, t) на
[Л?, Xf~k] мы можем использовать функцию Ф и
уравнение (2.43). При этом в качестве функции g(a, т, t)
можно взять произвольную линейную функцию а такую,
что det д (Q + g)/d (а, т) | авв0 Ф 0. Выберем в качестве
функции g следующую. Пусть lt(o)—проекция плоскости
TAf(o) на ^-плоскость фазового пространства R2", т.е.
It (о) — плоскость, натянутая на векторы Qv . ..,QT£-
Пусть е1У ...,ек—некоторый ортонормированный базис
на ^ (а). Положим
k
g(a, т, t) = u(af т, t)—^ej<ej9 v(a, т, /)>.
/=i
Легко видеть, что g (а, т, t) — линейная функция а, не
зависящая от выбора базиса е19 ...,£#. Вычислим
якобиан det д (Q + g)/d (а, т) | ав0. Имеем
detт±&I = detf *-£ е. fe, p- ), ...
• • • >dan-k fa eJ V7' dan-kI ' дтг9-'-' drhj-
В силу линейной зависимости векторов е( и векторов
dQ/dTlt ... , dQ/drk последнее выражение равно detC =
= det(d0/dalf • • •, dv/dan_k, dQ/dxx, ..., dQ/dxk) и не равно
нулю, если отличен от нуля якобиан det С.
Таким образом, из леммы 2.4 и равенства g = x—
— Q (т, t) следует, что для [Л?, X?"*] действие на
множестве AXtt имеет вид
t
S(x,t) = S0(r)+y«P(r, h), Q{Ttuy>-
0
-Н(Р(х,^), QfatJ, ^)Х + <Р(т, 0, x-Q(t, t)> +
+ y<x-Q(r, 0, 5С-Чт, t)(x~Q(T, /))>|т=т(*. о. (2-47')
а (л:, t), %(x, t)—решение уравнения
k
Q (т, /) + v (а, т, 0—2 еу <<?/, у (а, т, /)> = *. (2.47")

ГЛ. II. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ УЗКИХ ПУЧКОВ 75
(Заметим, что правая часть равенства (2.47') не содержит
явно параметров аг, а2, . ..,afe.) Исключим функции
a = a(;t, t) из системы (2.47"). Для этого умножим ска-
лярно эти уравнения на еу-, / = 1, ...,&, и в результате
получим <x—Q(%, t)9 <?y> = 0, / = 1, ..., k. В силу
определения векторов еу, эта система, очевидно, эквивалентна
следующей системе уравнений: <x—Q(r, t)9 Qt/(t, /)>=0,
Лемма 2.6. Пусть многообразие Ak = (р, </ € R2":
р = Р(т), ^ = Q(t)) диффеоморфно проектируется на q-
плоскость в фазовом пространстве R2". Тогда в
некоторой окрестности их каждой точки x = Q(t) поверхности
б J = (х 6 R72- ' # = Q М) гладко разрешима система
уравнений
<x-Q(%),QvW> = 09 /=l,...,ft. (2.47"')
Доказательство. Достаточно доказать
невырожденность матрицы с элементами
d<*~Q(T), Qxj>
Имеем
d<x—Q(x), QTy(T)>
^«=-<<г^^/>-
дт/
В силу условия леммы матрица с элементами
<Q%l> Q%j> невырождена. Лемма доказана.
Отметим, что система (2.47"') имеет очевидный
геометрический смысл: вектор (х—Q(t(x))) есть нормаль
к поверхности (я £ R" • х = Q (т)) в точке */ = Q (т (#)).
Таким образом, действие S (х, 0 на [ЛА, %n'k] (а,
следовательно, и приближенное решение уравнения
Гамильтона— Якоби) может быть определено формулой (2.47'),
причем параметрит^(#, t), ..., rk(x, t))t входящие в эту
систему, являются решением относительно простой
вещественной системы уравнений (2.47"'). Из такого
определения действия мы будем исходить при обобщении
полученных формул на комплексный случай. Это обобщение
заключается в комплексификации плоскости Xn~k—замене
вещественной плоскости %п~к (или вещественных
функций и и и) на комплексную плоскость г""Л (или на
комплексные функции w и г) в определении лагран-

76 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
жева многообразия с вещественным ростком и в
соответствующей замене вещественных матриц В и С на
комплексные матрицы в определении действия (в
формуле (2.47')). Система уравнений (2.47'") остается
неизменной.
' В заключение отметим, что матрица ВС"1 не
изменится, если в качестве столбцов матрицы (cj взять
любые п линейно независимых векторов а19...,ап
плоскости гп = Хп~к + ТАк. Во многих отношениях иметь
дело с плоскостью гп удобнее, чем с плоскостью Хп~к,
поэтому в последующих рассмотрениях вместо плоскости
Xn~k мы будем использовать плоскость rn = Хп"к + ТАк.
§ 7. Лагранжево многообразие с комплексным ростком.
Пусть Ak—/г-мерное лагранжево многообразие в 2/г-мер-
ном вещественном фазовом пространстве R2W и TAk(a)f
(a g Ak) — касательная плоскость к многообразию Л*
в точке а.
Определение 2.7'. С-комплексифицированной
касательной плоскостью к многообразию Ак в точке о£Ак
в 2п-мерном комплексном фазовом пространстве С2п
назовем &-комплексномерную плоскость (ТАк)К0МПЛ в С2" такую,
что (ГЛл)компл(а) DR2" = ТАк (а). Если плоскость ТАк(о)
в точке о£Ак с координатами т задается уравнениями
k k
P=^P%f (*)а,, ? = 2 Qx: (т)а,,
где параметры aygR1, /=1, ...,&, то, очевидно,
плоскость (ТАк)Компл определяется теми же уравнениями,
параметры ау- при этом принадлежат С1. В дальнейшем
комплексифицированную лагранжеву плоскость (ТАк)К0мпл
будем называть для краткости просто' касательной
плоскостью и обозначать TAk.
Пусть каждой точке а многообразия Л* сопоставлена
комплексная /г-мерная плоскость гп(о) в С2", гладко
зависящая от а.
Определение 2.8. Совокупность многообразия Ак
и семейства гп(о)у в£Аку называется лагранжевым
многообразием с комплексным ростком, если выполнены
следующие условия (аксиомы комплексного ростка):

ГЛ. И. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ УЗКИХ ПУЧКОВ 77
гх) Плоскость гп (а) содержит комплексифицированную
касательную плоскость TAk{o)\
г2) Плоскость гп(а)—лагранжева, т.е. любые два
WA п — w*
вектора а1=11\9 a2=L2) из гп(о) косоортогональны:
{alf a2} = <wu z2>-~<o>2, гх> = 0.
Лагранжево многообразие с комплексным ростком будем
обозначать (Л*, /*"), а плоскость rn(o)y а£Л*, называть
комплексным ростком в точке а£Л*. Введенный
геометрический объект— лагранжево многообразие Л* с
комплексным ростком гп — так же, как и в вещественном
случае, есть расслоение с базой Л* и слоем г". Для
того чтобы задать элемент /€(Л*, гп)у достаточно задать
точку о на Ak и вектор a=(w) плоскости гп(в).
Пусть т^^, ...,rft) — локальные координаты точки
а € Л* и alf ..., ап — координаты вектора а £ гп (а). Тогда
n + k чисел (тх, ..., rft, a19 ..., ап) являются
координатами элемента / = (а, а) на (Л*, гп). Очевидно, в
окрестности любой точки /€(Л*, гп) плоскость гп(о) в С2И
можно задать уравнениями p=w(a, т), q = z(a9 т), где
до (а, т), z(a, т)~ л-мерные комплексные вектор-функции,
гладкие по переменным т — ^, ...,тЛ) и линейные по
переменным а1У ..., аЛ. Вектор-функцию [%' А будем
обозначать так же, как и плоскость, ею определяемую,
символом гп и называть комплексным ростком. Векторы
ai~\fo/da-)' r==l» ...,/г, очевидно образуют базис на
плоскости г". Отсюда, аналогично вещественному
случаю, получаем, что условие г2) комплексного ростка
можно записать в виде равенства нулю следующих
скобок Лагранжа:
[w, г^ — фи/да^, дг/дау> — <ддо/дау, dz/da,.> = 0,
/,/ = 1,2, ...,/1. (2.48)
Очевидно, функции тяг (или базис {а,} на г") можно
выбрать таким образом, чтобы векторы апт.к+1, ...,ап
являлись касательными векторами к многообразию Ак:
_ (дР/д%г\ __ (дР/дхк\

78 ,4. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Такой базис будем называть эталонным. При
доказательстве некоторых утверждений этой и последующих
глав такой выбор эталонного базиса представляется
особенно удобным.
Пусть последние k векторов базиса {ai9 i = 1, 2, ..., п}
на гп имеют вид (2.49). Введем я-мерные вектор-функции
n-k n-k
i = l t = l
Вектор-функцию l™1) будем называть укороченным
комплексным ростком и обозначать через rn~k. Заметим, что
в некоторой окрестности многообразия Л* уравнения
p = P(T) + w1(a9 т), q^Q(T) + z1(a9 т)
определяют комплексное многообразие вещественной
размерности 2n—k9 причем, в силу равенств (2.48), это
многообразие «почти» лагранжево, т. е. «почти»
обращаются в нуль скобки Лагранжа
ЦР + Щ). (Q + z1)]u = <d(P + w1)/daiid(Q + z1)/dfij>-
-GiQ + wJfflt, d(P + w1)/d^> = 0D(h^). (2.49')
Здесь /, / = 1, ..., n; P/ = ocf. при / = 1, . ..,/i—k\ Р,=
n-k
=Tim_n+k при i = n—k+1, ...,n, D=2a?« Это много-
* = l
образие обозначим через A2n~k.
Определение 2.9. Лагранжево многообразие
с [комплексным ростком (Л*, rn) называется неособым,
если каждая плоскость гп (а) диффеоморфно проектируется
на ^-плоскость комплексного фазового пространства С2".
Иначе говоря, (Л*, rn)—неособое лагранжево
многообразие с комплексным ростком, если якобиан J=
= det(dzt/daj)^0.
В терминах «почти» лагранжева многообразия А2***
в С2" (см. (2.49')) последнее условие означает, что
каждая точка этого многообразия однозначно проектируется
вместе с некоторой своей окрестностью на комплексную
^-плоскость.

ГЛ. II. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ УЗКИХ ПУЧКОВ 79
§ 8. Условие диссипативности. Определим теперь
действие на (Л*, гп). Сначала рассмотрим случай
нульмерного лагранжева многообразия (& = 0). Пусть (Л°, гп) —
неособые.
Определение 2.10. Действием на (Л°, г"), назовем
функцию S(x) = S0 + <P, х—Q> + 1/2a-Q,fiC-1(^—Q)>>
где B=d(w)/da, C—d(z)/r^at SQ — вещественная константа.
Пример. Рассмотрим в двумерном фазовом
пространстве R2^, p нульмерное лагранжево многообразие
(точку) Л° = {р = 0, q = 0} и комплексные ростки г± =
= {йУ± = ±га, г±=а}. Легко видеть, что аксиомы гх), г2)
для (Л°, г±) выполнены и дг±/да=1. Вычислим на
(Л°, г±) действие. Имеем S± (л:) =S^± ix*/29 Sf —
некоторые вещественные константы.
Из этого примера видно, что мнимая часть действия
на (Л°, г1) может быть и отрицательной.
Определение 2.11. Лагранжево многообразие
с комплексным ростком (Л°, гп) будем называть
диссипативным и обозначать [Л°, гя], если матрица 1т (ВС*1)
положительна.
Замечание. Используя равенство
Im ВС'1 = (l/2f) [ВС"1 —(ВС^1)*],
нетрудно доказать, что условие диссипативности [Л0; гп]
эквивалентно утверждению о том, что матрица ImC*B =
= (\/2i) (С*В — В*С) положительна. Последнее свойство
удобно выбрать в качестве определения диссипативности
в общем случае й-мерного лагранжева многообразия
с комплексным ростком.
Пусть теперь [Л*, гп] fe-мерное лагранжево
многообразие с комплексным ростком. Введем на [Л*, гп] матрицы
В = dw/da, С = дг/да.
Определение 2.12. Лагранжево многообразие
с комплексным ростком (Л*, гп) назовем диссипативным
и обозначим [Лл, гя], если г3) матрица (l/2i)(C*B — B*C)
неотрицательна и имеет ранг п—&. Это условие будем
называть условием диссипативности. В дальнейшем будем
рассматривать только диссипативные лагранжевы
многообразия с комплексным ростком и 'называть их ^просто
лагранжевыми многообразиями с комплексным ростком.

80 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Замечание. Легко видеть, что данное выше определение
корректно, т. е. не зависит от выбора базиса fl/=L (, Ч ,
/—1, ..., п, на гп (или функций до (а, т), z (а, т)). В случае, когда
{а/, /=1, 2, ..., л} —эталонный базис на г71, матрица (С*£ — 5*С)
имеет вид
(C*£-B*C) = (C^-*fo j), (2.49")
где Bi = (dw/dai, .. ., [dw/dan-k)> Сх — фг/дач, ..., дг/дап-к) — мат~
рицы размера (n — k) x /г. Условие диссипативности, следовательно,
эквивалентно положительности матрицы (1/2/>(CiBi — B^Ci).
Докажем теперь, что диссипативное лагранжево
многообразие с комплексным ростком [Л*, гп] является
неособым, если Ak—неособое многообразие.
Лемма 2.7. Пусть[Ak, r"],Ak = ((pt q) 6 R2*, p=P (т),
Я = Q (T))> *n = (w(a> T)> z (a> T))) —лагранжево
многообразие с -комплексным ростком, причем ранг матрицы
AdQf/dTjW равен k. Тогда якобиан J = det С = det dz/da
ютлшен от нуля.
Доказательство. Очевидно, достаточно доказать
лемму в эталонном базисе. Предположим противное, т. е.
что существует точка т такая, что J (т) = 0. Отсюда
следует линейная зависимость столбцов матрицы С (т); т. е,
п
существуют комплексные числа blf ..., bn, 2 I bt \ Ф 0
i = 1
такие, что
Введем я-мерные векторы
Чг = В(х)Ь, У2 = С(т)Ь, (2.51)
А
Рассмотрим кососкалярное произведение векторов Y
где Ь— . , и 2/г-мерный вектор Y=L
{Y, Y} = <Ylf Y2>-<Y2, Yt>.

ГЛ. П. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ УЗКИХ ПУЧКОВ 81
В силу равенства (2.49") имеем
{Y, 7Н<В(т)Ь, С(т)Ь>-<С(т)Ь, В(т)Ь> =
= <(С*5-В*С)(т)Ь,Ь> = <(С1*Б1-51*С1) b, S>,
где
•-СЮ-
\bn-k/ \bn_k/
С другой стороны, в силу нашего предположения
Y2 = Y2 = 0 и {Y, Y} = 0. Отсюда и из условия диссипа-
тивности следует, что &/ = 0, i = l, . ..,/г—ft. Далее, из
(2.50) и леммы следует равенство нулю bn„k+lf ..., Ъп.
Полученное противоречие доказывает лемму.
§ 9. Действие на лагранжевом многообразии с
комплексным ростком. Определим теперь действие на
лагранжевом многообразии с комплексным ростком
[А*, г"], А* = ((р, <7)€R2- p = P(%), q=Q(r))9
rn = (w (а, т), г (а, т)). Пусть множество 6* = (х £ R":
x = Q(t)) — проекция многообразия А* на д-плоскость
фазового пространства — есть гладкая односвязная
поверхность и пусть Ak проектируется на 6* диффеоморфно.
Тогда, очевидно, на Ak существует s-действие: s(x) —
гладкая функция, удовлетворяющая уравнению ds=
= <P,dQ>.
Обозначим через Д* такую замкнутую окрестность
поверхности Ькх = <х £ Rw: x = Q (т)>, в которой однозначно
и гладко разрешима система уравнений (относительно
параметров xlf ...,tft) (см. лемму 2.6):
<*-Q(t), Qt/(t)> = 0, /=1, ...f ft. (2.52)
Решение этой системы обозначим через t(x) = (n1(x)f ...
•••t xk(x))- Как и раньше, через В и С обозначим
соответственно матрицы dw/da и дг/да.
Определение 2.13. Гладкую функцию S(x) (xgR*)
такую, что
S(x) = [s(t) + <P(t), x-Q(T)> + 42<x-Q(T)t
ВС'Hi;)(x-Q(%))>]{x=xix)\ *€Д*, (2.52')

82 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
и lmS(x)>C(K)>0 при х^К\(Ах(]К) для любого
компакта К назовем действием на лагранжевом
многообразии с комплексным ростком.
Замечание. Из аксиомы г2) комплексного ростка следует
симметричность матрицы ВС-1. Это утверждение доказывается так
же, как и в вещественном случае. Отметим также, что матрица
ВС*1 не зависит от выбора базиса (или функций w (а, т) и г (а, т)
на плоскости гл), т. е. является функцией на многообразии 'Л*. Для
доказательства этого утверждения достаточно заметить, что матрицы
В, С в базисе аъ ...,ап связаны с матрицами В', С в другом
базисе а[ ап формулами В — В'А, С = СМ, где Л —некоторая
невырожденная матрица.
Введем на множестве А^ функцию (диссипацию):
D(x) = <x—Q(t{x))9 *—Q(t (*))>.
Лемма 2.8. Существуют гладкие функции Сг (х) > О
и С2 (х) > 0 такие, что на множестве Ах выполнено
неравенство (диссипативности)
Сх (х) D (х) < Im S (х) < С2 (х) D (*). (2.53)
Доказательство. Рассмотрим эталонный базис
fl/== \дг/да* ' *' = *' ^' * ''' П> плоскости г/*> Для которого
«.-*«-(Q*;) a-=[Qj-
Пусть е19 ..., еп — ортонормированный базис в R"
такой, что векторы е19 ..., en_k нормальны к плоскости,
натянутой на векторы QTi(t(a;)), ..., Qx (т(л:)). В силу
системы (2.52) справедливо равенство
n — k
x—Q(x(x))= 2 ej<x—Q(x(x))f ej>9 /=1, ..., n—k.
/ = i
Коэффициенты <x—Q(r(x)), ef> обозначим через aj(x).
Тогда неравенство (2.53) можно переписать в виде
n-k n-k /n-k \ n-k
Утверждение леммы будет доказано, если мы покажем,
n-k /n-k \
что квадратичная форма ( 2 а//> ^т ВС"1 ( 2 ufij))
;=1 \/ = 1 /

ГЛ. II. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ УЗКИХ ПУЧКОВ 83
положительна. Имеем
2i
ImfiC'1 = -^(C*)-1(C*5 — B"C)C-1 =
= -~(С*)-(С^ -BlCl ;)c-S (2.54)
где
Вх = {dw/daly ..., dw/dan_k)t Сг = (дг/даи .. ., dz/dan_k),
— матрицы размера (п—k)xn. Из последнего равенства
и диссипативности ростка следует, что форма
П- k / П- k
П — К / П — R, ч
неотрицательна. Покажем, что эта форма положительна.
Предположим противное, т. е. что существуют такие,
не все равные нулю, числа . ах, ..., аи_ъ что
n-k /n-k \
( 2е/а/> ImBC"-1! 2^уау ) ) = 0. Из (2.54), условия
диссипативности г3 и из последнего равенства следует, что
С"1 2 в/а/) =0 для всех * = 1, ..., /г—Л. Отсюда
/=i Ji
получим, что
n-k k
,§«/*/=£&&,.
где Ру—некоторые числа. В силу ортогональности
векторов eJy /=1, ..., п—k, векторам QT., i=l, ..., fe,
получаем cty = 0, /=l, ..., /г—&. Полученное
противоречие завершает доказательство леммы.
Из леммы 1.1 очевидным образом получаем следующее
важное для дальнейшего утверждение.
Следствие. Справедлива оценка
(x—Q(%(x))y=OimSix){hW).
Оценки Oims(x)(ha) и 0D(X)(ha) эквивалентны, т. е. из
соотношения ср = Oims(ha) следует соотношение <p = 0D (ha)
и наоборот.
Мнимая часть действия S(x) на [Л*, г"] обращается в
нуль на поверхности б£ = (х g R", x = Q (т)) и только
на ней.

84 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ^
В заключение отметим, что все определения этого
параграфа остаются в силе и в том случае, когда Ak —
многообразие с краем. Действие S(x) на [Л*, гп] при
этом определяется не во всем R", а в области Qc:Rrt
такой, что граница д8х поверхности Ьх = (х£ R": х = Q (т))
принадлежит границе 3Q этой области.
§ 10. Каноническое преобразование лагранжева
многообразия с комплексным ростком. Пусть [Ло, г о]—ла-
гранжево многообразие с комплексным ростком
rS={w0(a, t), z0(a, т)},
и пусть Н(р, q, t)—функция Гамильтона.
Определение 2.14. Каноническим
преобразованием DfH лагранжева многообразия с комплексным ростком
[А?, г?], отвечающим функции Гамильтона Н(р, qy t),
называется совокупность преобразований gfH и dgb,
которые переводят многообразие Ло в многообразие Л^=
= ён (Л{) = {(/7, q) e R2": Р = Р (т, /), q = Q (т, t)}, где
P(t,t)9 Q(t, t) есть решение системы Гамильтона
p = — HQJ q = Hpt р\Ыо = Ро(*)> tfko^QoCO, и плоскость
г?—в плоскость r1} = dqtHr'Z = (w(ay т, /), 2 (а, т, *)), где
вектор ( ' '') есть решение системы в вариациях:
я> = — Hqpw—Hqqzy w \Ы0 = ш0 (а, т),.
(2.55)
z = Hppw + Hqpz, z\t=o = Zo(a> т)-
(У функций Я^, Я^ и Я^ опущены аргументы Р (т, 0,
<Ж t), t.)
Следующая лемма является аналогом леммы 2.4 в
комплексном случае.
Лемма 2.-9. Пусть [Л*, rg]—диссипативное лагран-
жево многообразие с комплексным ростком, Я—функция
Гамильтона и DlH—комплексное каноническое
преобразование.
Тогда при любом конечном t £ R совокупность [Л?, г?],
где
Л,* = #МЛ5), rj = dgbrl
является диссипативным лагранжевым многообразием
с комплексным ростком.

ГЛ. II. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ УЗКИХ ПУЧКОВ 85
Доказательство. В силу единственности решений
системы в вариациях (2.55) каждой точке at
многообразия Af сопоставляется единственная плоскость г? (о).
Для доказательства леммы, таким образом, достаточно
проверить выполнение аксиом гх), г2) комплексного ростка
и доказать, что матрица £ = (l/2i)(C*B — B*C) при
^€[0> Т] неотрицательна и имеет ранг k. Проверка
выполнения аксиомы г2) проводится точно так же, как
проверка выполнения аксиомы г2) в лемме 2.4, и опирается
на предложение 2.3. Аксиома г2) выполнена в силу того
факта, что векторы ( q1 J (т, t), / = 1, ..., k, суть
решения системы в вариациях и принадлежат плоскости rj
при / = 0. Далее, заметим, что элементы матрицы $ можно
записать в виде кососкалярных произведений
Отсюда и из предложения 2.3 следует, что <£(т, t) =
= £(т, 0).
Следствие (о каноническом преобразовании
эталонного базиса). Эталонный базис {ait i—\, 2, ..., п\
на rj при каноническом преобразовании DfH переходит
в 'эталонный базис {#/(£), * = 1, ..., п) на гп.
Доказательство аналогично вещественному случаю
(см. § 4).
Замечание. На расслоении [Л/, г?] можно ввести локальные
координаты следующим образом. Пусть /^ = (сг^, а^)^[Л^ /*?] и
(а, т) — локальные координаты точки /0 = (о*0, а0) £ [Л?, г о], сг0 = а0 (т),
ао — #о (а» т)» тогда (а, т) — координаты точки ft, если
ft = #я/о 5= (gHOo (т), dgHa0 (а, т)).
Всюду в дальнейшем предполагается, что координаты на
семействе [Aku rnt] = DtH[M, rj] выбраны указанным
образом.
§ 11. Приближенные комплексные решения
нестационарного уравнения Гамильтона — Якоб и. Сформулируем
и докажем основную теорему этой главы (аналог
теоремы 2.2 в комплексном случае).

86 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Пусть'[А?, г?] = ЩЛ§, г8],
Л?={(р, 9)€R2W: р = Я(т, /), ? = <Э(т, /)},
r? = {w(af т, /), 2 (а, т, /)}
— семейство лагранжевых многообразий с комплексным
ростком, полученных из многообразия Л* и ростка г£
каноническим преобразованием D#, отвечающим функции
Гамильтона Н(/?, #, t) *). Пусть при всех *£[(), 71]
множество S{,/ = (x€R": x = Q(t, t)) есть гладкая односвяз-
ная поверхность, причем rangSQ/dx — Л и б£* диффео-
морфно**) области из Rk при каждом Л Тогда на Akt
существует (см. § 9) s-действие:
т
s(x, t) = l<P(T,t)9dQ(T,t)>,
Tt
и в некоторой окрестности AXi t поверхности ЬХч t =
= (x€Rn: x = Q(x, t)) система уравнений относительно
Ti> • • •»tk
<x—Q(T9t), QT/(t, /)> = 0, /=1, .... Л,
разрешима однозначно и гладко (см. § 9):
*/ = */(*.'). *€б£*, <€[0, Г], /=1, 2 Л,
Как и раньше, будем считать, что s-действия на
семействе [Af, r?] согласованы формулой (2.33х)- Действие
S (x, t) на семействе [Л^, г"], таким образом, имеет вид:
5 (*, /) =
t
=s0(x)+][<P(x, tt), Нр(Р(т, tt), Q(x, g, /J>-
-H(P(x, tt), Q(x, /J, /JJd^ + ^T, 0, x—Q(x, t)> +
|т=т (ж, t)'
+ ±<x-Q(x,t),BC-4x,t)(x-Q(x,t))>\ , . (2.56)
2
если x£ АЛ11.
При л: <£ Дд. t S — гладкая функция такая, что
ImS>C>0.
*) Напомним, что функция Н (р, #, /) — вещественнозначная.
**) Предположение диффеоморфности 6*, / области из R* может
быть опущено.

ГЛ. II. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ УЗКИХ ПУЧКОВ
87
Теорема 2.3. При приведенных выше условиях
действие S(x9 t) на семействе [A.kt9 г1}] является
приближенным решением уравнения Гамильтона—Якоби.
Доказательство. Поскольку любая гладкая
функция S (х9 t) в области, где Im S (х9 t) > const > 0,
удовлетворяет уравнению Гамильтона—Якоби с
точностью до Oims(h°°), то теорема будет доказана, если мы
покажем, что функция S (x, t) (2.56) удовлетворяет
уравнению (2.1) в области U Д* * х[0, Т]. Не ограничивая
*б[0, Т]
общности, можно рассмотреть двумерный случай.
Повторяя в точности вычисления теоремы 2.2", получим
dS/dt = — H(P9 Q, t) + <P9 x~Q>-<BC~i(x-Q), Q>-
—L<BC-*(x-Q), HppBC^(x-Q)>-
~<x-Q9 Hqq(x-Q)>-<x-Q9 HgpBC~i(x-Q)> +
+ j<x-Q, (BC-*)%(x—Q)>dr/dt, (2.56')
dSldx = P + BC-*(x—Q) + ±<x—Q, (BC^)x(x~Q)>xX9
где у функции Hpp9 Hpqj Hqq9 Hqp опущены
аргументы P9 Q, /. Продифференцировав затем уравнение
<x— Q(t, /), QT> = 0 no x и t9 найдем
Подставляя полученные значения dS/dt и dS/dx в левую
часть уравнения (2.1), раскладывая функцию Н(р9 q9 t)
в окрестности точки р = Р (т, t)9 <7 = Q(t, t)9 t и учитывая
равенства (2.56'), получим в результате точно таких же
вычислений, как в теореме 2.2, равенство
dS/dt + H(dS/dx9 x9 t) = 0D(M*)9
где £> = <*— Q(t(x)), х—Q(r(x))>.
Для завершения доказательства заметим, что в силу
неравенства диссипативности 0D(h3^2)^0S2(hs^).
Доказательство теоремы 2.1. Пусть
поверхность 8x,0 = \x€Rn: lmS0(x) = 0} определяется
уравнениями jc==Q0(t). Рассмотрим в'фазовом пространстве R2W
многообразие
К - {(р, q) € R2": Р = dS0/dx |,=Q# (T), q = Q0 (т)}.

88 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
50
В силу равенства ImS0(Q0(T))=0функция 1т^(ф0(т))Е=0.
Прямым дифференцированием нетрудно проверить, что
A{j—^-мерное лагранжево многообразие, причем s-дей-
ствием на AJ является функция
^0(t) = S0(Q(t0)).
Рассмотрим далее в Оп плоскость
г? (т) = L, г) € О: «, = £ S «у. * = «I.
1 = 1, ..., я, agCn[ .
- Лагранжевость плоскости г{}(т) проверяется
непосредственно. Кроме того, матрица -^(CiJ—В*С) в данном
„ т II d2S II
случае совпадает с матрицей lm L - 1 , а, следовательно,
неотрицательна и имеет ранг n—k. Продифференцировав
dS
равенство Р0 (т) = -g- (Q0 (т)) по Ту, получим: Р0т. =
d2S d2S d2S
= -^Qot., где -^г—матрица с элементами ^T^oW)-
Отсюда следует, что касательная плоскость ТЪ. т. е.
плоскость, натянутая на векторы ( q j ), / = 1, ...,#,
принадлежит плоскости rj(r) f координаты а векторов
( о°Т/) на г"^ имеют вид а/=="^> * = 1, ...,/г]. Тем
4 самым доказано, что совокупность Л£, г? есть лагранжево
многообразие с комплексным ростком: [Л*, rj].
В силу предположений теоремы 2.1 семейство [Л?, г"]=
= £>#[Л£, /*?] при f g [О, Т] удовлетворяет всем условиям
теоремы 2.3, причем, как легко видеть, действие на
[Л?, г1}] имеет вид (2.56) и при £ = 0
S(x,0) = S0(Q0(T(x))) + {^(Qe(T(x)))f x-Q0(x(x))) +
+ !■(*-Qo(tW), g(Qo(TW))(x-Q0(T(x)))).

ГЛ. II. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ УЗКИХ ПУЧКОВ 89
Отсюда в силу формулы Тейлора получаем
S{x, 0) = S0(x) + OlmSo(h^).
Доказательство теоремы 2.1 о приближенных
решениях задачи (1.4), (1.5) в случае, когда 6* = 82—точка
в R", очевидным образом следует из теоремы 2.3 и того
факта, что якобиан У = det ^ в случае нульмерного
лагранжева многообразия с комплексным ростком не
обращается в нуль ни при каких /£(—ос, оо).
Обратим еще раз внимание читателя на простоту
в этом случае (& = 0) способа получения приближенного
комплексного решения задачи (2.1): необходимо найти одну
бихарактеристику нелинейной системы и затем матричные
решения линейной системы уравнений в вариациях
(вообще говоря, с переменными коэффициентами), в то время
как для построения точных вещественных решений задачи
Коши для уравнения Гамильтона—Якоби требуется
найти п — параметрическое семейство нелинейной системы
Гамильтона (см., например, § 1 гл. I).
Замечание 1. Анализируя выкладки этого параграфа,
нетрудно убедиться, что все сформулированные выше утверждения
остаются в силе и в случае, когда Н (р, q> t) — гладкая функция
лишь в некоторой окрестности начального многообразия Ло-
Замечание 2. Пусть 5 (#, t) — приближенное по mod 0$2 (Л3^2)
решение уравнения Гамильтона —Якоби (2.1) и о(х, t)—Os2(hBf2).
Тогда нетрудно убедиться, что функция
также является приближенным по mod 0$a(/i3/2) решением
уравнения Гамильтона—Якоби*).
Замечание 3. В практических вычислениях для упрощения
окончательного ответа часто бывает удобно определять параметры
Ту=ту(я, t), /=1, ...,£, не из уравнения (2.52), а из уравнения
вида
<*-Q(x, t), QT,(T> t)> + rj(x-Q(i:, 0. т, 0 = 0, (2.57)
*) Такая замена функции S на S —S + cr приводит к изменению
ВКБ-решения вида г|з = etSl'h^ на величину порядка 0(h}^) и тем
самым сохраняет главный член соответствующего асимптотического
ВКБ-решения (см. § 1 гл. I).

90
Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
где r/(x — Q(%,t)9xtt)^0D(h1^)9 Z> = (at — Q (т, /))2, такая, что
det|—<QT/ QT^>+(^(o, т,/), ^)|*0.
Переход от уравнения (2.52) к уравнению (2.57) полностью
аналогичен операции у-перестройки фазы (см. § 6) и приводит к
изменению действия на величину o — Os2(h3^2)t что в силу замечания 2
является допустимым в конструкции приближенных по mod 0$2 (Я3^2)
решений уравнения Гамильтона —Якоби.

Глава III
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
НЕСТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Эта глава посвящена приближенным комплексным
решениям второго уравнения из канонической системы
уравнений —уравнению переноса. Конструктивные
формулы этих решений приводятся в теоремах: 3.1 (§ 1), 3.2 (§3).
В § 4 рассматривается расширенный класс начальных
данных для уравнений типа Шредингера, включающий
«осциллирующие» амплитуды, что естественно приводит
к обобщенному уравнению переноса. В §§ 5—б
рассматривается эффективная техника решения обобщенного
уравнения переноса с использованием операторов рождения —
уничтожения.
В § 7 и § 8 дана геометрическая интерпретация
полученных результатов; там же подробно описывается
структура линейного пространства над кольцом гладких
функций на комплексном ростке операторов рождения —
уничтожения.
§ 1. Постановка задачи и формулировка результатов.
Рассмотрим уравнение переноса с правой частью. Пусть
#(р, q, t)—функция Гамильтона, S(x, t) = S1(xt t) +
+ iS2 (x, t) — некоторое приближенное комплексное
решение уравнения Гамильтона — Якоби, отвечающего
функции Н(р, qf t). Рассмотрим второе уравнение из
канонической системы, т. е. уравнение переноса для
амплитуды ф. При построении формальных асимптотических
решений псевдодифференциальных уравнений,
удовлетворяющих уравнению с точностью до 0(ha), где а—любое
вещественное число, наряду с уравнением (1Л4) следует
рассматривать тркже уравнения переноса q правой частью,

92 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
отвечающее функциям Н(р, q, t) и S(x, t). В общем
виде это уравнение можно записать следующим образом:
d<p/dt + U0<p = F(x, t),
~ def
llQ=<Hp(dS/dx, x, t), д/дх> +
n
+ 4- У, Hp.p.(dS/dxf x t)d%S/dXidxj + G(x9 t)
*./ = i J
Здесь G(x, t), F(x, t) — гладкие функции.
Поставим для уравнения переноса задачу Коши: найти Ц
его решение, удовлетворяющее условию 1
Ф*=о = Фо(*). (3.3) I
где ф0 (х) — гладкая функция. Как уже говорилось в гл. I, I
мы будем рассматривать не точные, а приближенные реше- I
ния канонической системы уравнения, равно как и урав- 1
нения (3.1). Определение приближенного решения для I
частного случая задачи (3.1) — (3.3) было сформулировано 1
в § 2 гл. I. Дадим определение приближенного решения I
задачи (3.1), (3.3) в общем случае. 1
Пусть при t € [О, Т] функция S (xy t) есть прибли- I
женное комплексное решение уравнения Гамильтона— i
Якоби (2.1). Пусть для функций Fh90b задаче (3.1) — (3.3) 1
выполнены оценки I
F = OlmS{x.t)ihNl*), 4>Q = OimS{x,o)(hN'*), (3.4) I
где N—некоторое натуральное числа. 1
Определение 3.1. Приближенным решением за- 1
дачи (3.1) — (3.4) на отрезке t $[0, Т] называется гладкая 1
функция ф(х, t)y удовлетворяющая при ^€[0, Т] урав- I
нению (3.1) с точностью до функций OimS (X>t)(hN/2 + 1/2) I
и начальному условию (3.3) с точностью до052о(/1(ЛГ+1)/2). 1
Сформулируем основную теорему, доказанную в этой 1
главе. Пусть при / g [0, Т] приближенное комплексное 1
решение S (x, t) уравнения Гамильтона — Якоби (2.1) удов- 1
летворяет условиям теоремы 2.1. I
Введем: а) вектор-функции Р(т, t), Q(t, t) — решения I
системы Гамильтона (2.4) и матрицу С(т, t)—«коорди- %
натную» часть матричного решения системы в эариа* 1
циях (2.5); I
(3.1)
(3.2)
I

ГЛ. III. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 93
б) функцию
ф(т, 0 =
п
= Щ-ЩЗц(Р(*> 0, Q(J, t), t)-G(Q(x, t), t); (3.5)
в) вектор-функцию
y(x, т, t) = C-l(x, t)(x—Q(x9 t)) (3.6)
(напомним, что в силу леммы 2.7 detC^O);
г) функцию J (т, t) = detC.
Через VI (т, t) обозначим непрерывную ветвь
функции такую, что "|/"J (т, 0)= 1.
Обозначим, как и раньше, через А^л замкнутую
окрестность поверхности 6J, и в которой однозначно и гладко
разрешима система уравнений (2.6). Решение системы (2.6)
обозначим через х(ху t). Поскольку вне множества
A^t lmS(xy tf)^C>0 (см. стр. 86), то любая гладкая
функция <р(х) при х £Д*,* удовлетворяет уравнению (3.1)
с точностью до 0\ms {h°°). Поэтому для того, чтобы найти
приближенное решение задачи (3.1) — (3.4), достаточно
построить функцию, удовлетворяющую уравнению (3.1)
' и условию (3.3) на множестве Д^ t Г)К (К—компакт в RJ),
а затем гладко продолжить ее на все RJ.
Теорема 3.1*). При приведенных выше условиях при-
ближенное по mod 0Si (№N+1)/2) решение задачи (3.1) — (3.3)
на отрезке t € [0, Т] существует и имеет вид:
t
Ф(х, 0= у==ехр Ji|)(t, t^dtx:
х
t / и \
+ §VJ(r, *i)exp(—£ф(т, t2)dt2)x
* | =7V J T=T (*, t)
X
1 v I _
(3.7)
*) Доказательство этой теоремы будет следовать как частный
луча й более общей теоремы 3.2 (см. § 3).

94 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Приведем теперь ряд примеров приближенных
решений уравнения переноса (3.1).
1. Рассмотрим уравнение переноса, отвечающее
функциям Н = — р3 и 5 (х, /) = — 2аП + а (х + ЗаН) +
+ -—L2— 1 _ баы (3Десь я — вещественное, а Ь
—комплексное числа, Im6>0, G = 0):
^2.-3 f—Vi£— 3 — — =
dt \ дх J дх дх дх2
= F + 0S2(hN'* + ^), <€[0, T]. (3.8)
Сначала рассмотрим случай F = 0. Построим решение
этого уравнения, удовлетворяющее условиям а) фд^=0=1
(число N в (3.4) равно 0), б) ср6 |Ыо = х2 (число W равно 2).
Росток [А?, г}] построен в§ 1 гл. II, пример 1.
Функция г|)(т, t) в данном случае, очевидно, равна нулю,
матрица С была вычислена в § 1 гл. II и имеет вид:
С = dz/da = 1 — 6abt. Следовательно, у = _ , / =
= 1 — 6abt. Отсюда, воспользовавшись формулой (3.7),
получаем решение задачи:
Ya ' ' ™ У\ — 6abt ({—6abt)2
Построим теперь решение ф(х, /) уравнения (3.1)
с правой частью
F-1 н fdJl у Ад%*ь- ?fdSid2<Pb
г - 2 прр \ дх ' х> 1) дх* ~~ °1 дх дх2
(N = 0), удовлетворяющее условию ф|^=0 = 0. Имеем
F(Q(t), t) = — 6ш/(1—6яЬ/)5/2. Отсюда, применяя
формулу (3.7), найдем ц>(х, t) = — 6iat/(l — 6abt)3/2,
2. Теперь рассмотрим уравнение переноса (3.1),
отвечающее функциям # = — j/l+p2 и S(x, t) (2.11). Будем
считать, что функции F и G в (3.1) равны нулю.
Построим решения этбго уравнения, удовлетворяющие
условиям: а) Ф^ыо^1 (N = 0), б) <p6|ts0 = x (N=l).
Функция я|) равна нулю, С= 1 — Ы (1 + а2)~3/2. Отсюда
следует J = I— bt (I -fa2)"3/2, y = [x + at (1 +а2)~3/2]х
х[1 — W(l+aa)"8/?]. Применяя теорему ЗЛ, получим

ГЛ. III. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 95
решения поставленной задачи:
а) 9e = [l-W(l + «a)-8/2]-1/1,
б) ф -- *+аЦ\+**)-1,% . (3.9)
Задача. Найти решение уравнения (3.1),
отвечающего функциям Н = 2cs'm(p/2) и S(x> t) вида (2.12),
удовлетворяющее условию ф|*=о = я3- Функции F и G
в (3.1) положить равными нулю.
Отметим, что в том случае, когда уравнение Im S(x, t)=0
определяет траекторию (л; g R": х = Q (/)) системы
Гамильтона (2.4), теорема 3.1 справедлива при всех t g (— оо, оо).
В этом случае параметры т в формуле (3.7) отсутствуют,
и все вычисления упрощаются.
План построения приближенных решений задачи (3.1),
(3.3) тот же, что и в предыдущей главе: сначала мы
строим приближенное решение уравнения переноса,
отвечающего вещественной функции S(x, t), а затем обобщаем
полученные формулы на случай комплексного действия S.
§ 2. Приближенные вещественные решения
уравнения переноса. Сначала рассмотрим точные решения
уравнения переноса с правой частью (3.1), отвечающего
функциям Я(р, q9 t) и S(x, t) в случае, когда S(x, t)—точное
вещественное решение уравнения Гамильтона—Якоби
(2.1) [2], [34].
Пусть р(а, t)y q(a, t)~ я-параметрическое семейство
решений системы Гамильтона (1.16), удовлетворяющее
условиям (1.16'), и пусть на отрезке /£[0, Т] якобиан
J = detdq/da=£0. Тогда функция
Ф(^, 0 = |у=|=ехрИ^(а, tJdtAx
г t / и \
X i(<*) + §VJ(a, tjexpl — ]Ч(а, tt)dt%)x
\\ ,, (3.10)
J' a=a (*, /)
xF(q(a, tj), tl)dtl

96 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
где .
% (а)—некоторая (произвольная) гладкая функция и J
я = а(х, t)—решение уравнения j
q(*,t)=x, (3.11)
является решением уравнения переноса (3.1), удовлетво- I
ряющим при / = 0 условию 1
ф|*-о = %(*)■ (3.12) I
Пусть теперь S(xf t) — приближенное вещественное J
решение модельной задачи (§ 2 гл. II) для уравнения 1
Гамильтона — Якоби. Для уравнения переноса (3.1) рас- 1
смотрим решение следующей (модельной) задачи: по- 1
строить функцию <р(я, t) в окрестности 8*t = {x€Rn: 1
X=Q (/)}—пРоек1*иибихарактеристики A?=rt={(A;, р) €Rn: 1
р = Р (/), q = Q (t)\ гамильтоновой системы (2.4), удов- I
-летворяющую уравнению 1
dy/dt + noq> = F(xf t) + 0D(hN/*+V*) (3.13) 1
и начальному условию
Фио = Фо(^) + 0/)0(^/2 + 1/2), (3.14)
тле F=0D(h"/>), Ф0-О^(^/а), I
D(x, t)=t(Xi-Qi(t))\ DQ{x) = D(x, 0), ^
S(x, t) — решение модельной задачи (2.13) гл. II, П0
определен в (3.2).
Обозначим через г|) (t) функцию (3.5), и через у (х, t) —
вещественный вектор
у(х, t) = C~*(t)(x-Q(t)). (3.15)
(Напомним, что C(t) = dv/da, J (/) = detC(/)^sO.) Пусть
(Л?, %f) — семейство неособых лагранжевых многообразий

ГЛ. III. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 97
с вещественным ростком, полученных из ЛЦ = <(р, q),
Р = Л = §(0), <? = Q, = 0}, ^ = {«0(a)=§(0)a,
у0(а)=а, a€R«)f каноническим преобразованием Ъ*н,
отвечающим функции Гамильтона Н(р, q, t), и S(x, t) —
действие на (Л?, А#).
Лемма 3.1. Функция
Ф(х, 0 = р=щ-ехрЦ*(/1)Л1)х
X Е ^t?(Q('i). *i)(C(*i)Y(*, ^))v^i
(3.16)
где хМ — ФоМ» является решением модельной задачи
(3.13), (3.14) для уравнения переноса (3.1).
Доказательство. Обозначим через ф(д:, /)
точное решение уравнения (3.12) с правой частью F — /7 (л:, t)
и функцией %(#) = % (я). Аналогично § 2 гл. II
формулу (3.16) выведем из точной формулы (3.10) путем
разложения решения (ЗЛО) в ряд Тейлора по а в
окрестности a = 0?. Для этого воспользуемся следующими
равенствами § 1 гл. II (см. лемму 2.1):
p(a9t) = P(t) + u(a9t) + 0D(h)9
<7(a, t) = Q(t) + v(a9 t) + 0D(h)9 &'и>
где P(t)9 Q(t) — решение системы Гамильтона (1.16),
удовлетворяющее начальным данным (1.16'), D(a) = a2,
(и (a, t), v(a9 t)) — решение системы в вариациях (2.25).
Раскладывая в правой части формулы (3.10) функции
/(а, /), ф(а, t), x(a), F(q9 (a, t)9 t) по формуле Тейлора
в окрестности точки а = 0, учитывая при этом, что все
производные от функций %> <р0 и F в силу оценок
% = 0Do(hNf*)y F = 0D(hN'*) до порядка #—1 включи-
4 в. П. Маслов

98 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
тельно обращаются в нуль при а = 0 или, что то же
самое, при x — Q(x, t), получаем следующее разложение
Ф(*. 0 = |y4==expKt|)(^i)^ijx
xE^(Q(«.y(£(««)4l+
\v\=N ux 'J
1/1 >} I
/ |а=а(лг, t)
Здесь D = a2, a =
+ 0D(*"/■ + */■)} . (3.17')
и a (a:, t) — решение (3.11).
Из (3.17) в силу линейности функции и (a, t) no a
находим, что
«(*. 0 = (£)_1|e=,(*-QW)+oflW, (3.18)
где D= 2(*i— Q/ ('))*• Подставляя (3.18) в предыдущую
i- 1
формулу, получаем для точного решения ср {х> t) равенство
Ф(х,*) = Ф(*, t) + 0D(h»'*+«*)9
где ф(#, *) —функция, определенная в (3.16).
Учитывая, что [у—точное решение уравнения
переноса, для завершения доказательства леммы достаточно
проверить следующее равенство:
(d/dt + <Hp(dS/dx, х, t)9 d/dx»0D(h"'*+*'*) =
= (W + <ffp(P{t)9 Q(t), t) + 0D(№)9 д/дх»х
xOD{hW* + v*) = 0D(hM+1t*). (3.19)
Задача. Проверить равенство (3.19) и выполнение начального
условия (3.14) для функции ф (xt t), определенной формулой (3.16).
Указание: воспользоваться определением оценок Op(ha).

ГЛ. III. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 99
Результат леммы 3.1 очевидным образом переносится
на случай fe-мерных (k^l) лагранжевых многообразий
с вещественным ростком. Пусть функция S(x,
t)—действие на семействе ^-мерных (fe!> 1) лагранжевых
многообразий с вещественным ростком: (Л?, Х?~*), Л^= {(/?, q) €
€R2rt, P = P(r, t), q = Q(r, t)}9 Xtk = (u(a, т), v(a, %)).
Нетрудно проверить, что лемма 3.1 справедлива и в этом
случае, причем решение задачи (3.1) — (3.3) определяется
формулой (3.16), в правой части которой необходимо
заменить: а) аргумент t функций Р, Q, / на
аргументы т, t; б) функцию х (х) на функцию % (а, т) =
= 0D (hN/2) и первое слагаемое в квадратных скобках
на выражение
в) вектор y(#> 0 на вектор ?(*> т, V^^C"1^, t)x
X (*—Q (т, 0), гдеС(т, f)= ^ , QTj , а = (о^, ..., an_k) €
€ RS~*> т== (т«-л+1» • • • > т») € R?» и положить после
вычисления всех интегралов в формуле (3.16) т = т(я, t), где
т(х, t) и a (a:, t) — решение уравнения
Q(t, f) + i>(a, *, *) = *■ (3.20)
Замечание. В силу определения матрицы С(т, t) = (dv/da,
dQ/дт) и условия detC Ф 0 для вектор-функции у(*»т(*> 0» 0
справедливы формулы
(у(х,т(х, /), *))/ = «/(*. t), *=1, 2, .... л—Л, (3.20')
(V (*, т(д:, 0, 0)/=0, / = я-/г+!,..., л. (3.20")
Задача. Проверить равенства (3.20'), (3.20"), используя
уравнения (3.20) и определение функции и (а, т, t).
§ 3. Приближенные комплексные решения
нестационарного уравнения переноса. Обобщим формулу (3,16) на
комплексный случай. Для этого необходимо (аналогично
тому, как это было сделано в § 4 гл. II) «перестроить»
приближенное вещественное решение (3.16)
уравнения (3.1); перейти от уравнения (3.20) к уравнению (2.6)
(^-перестройка § 6 гл. II) и заменить вещественную
матрицу С(т, t) на комплексную.
4*

100 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
При реализации этой программы (так же, как и во
всех последующих рассуждениях в §§ 4—8)
предполагаются выполненными следующие условия:
п1. Однопарамётрическое семейство [Л^, rj?], t£ [0, Т]9
лагранжевых многообразий с комплексным ростком есть
семейство диссипативных ростков, полученных каноническим
преобразованием D*h, отвечающим функции Гамильтона
Н(р9 q, t) семейства [Aj, r£| (см. § 10 гл. II).
п2. При каждом ^€[0, Т] проекция b%tt лагранжева
многообразия Л^ на плоскость RJ есть гладкое односвяз-
ное подмногообразие в R2 (см. § 1 гл. II), диффеоморф-
ное области *) в R*.
пЗ. Функция S(xf t) (a:€R", ^6[0, T]) есть действие
на семействе лагранжевых многообразий с комплексным
ростком [Л*, rf\ (см. § 9 гл. II).
В локальных координатах а = (alf ..., ап) g С",
т = (т1, ..., %k)£R% на расслоении [Л?, rf\ условия
nl — пЗ принимают вид:
nl. A}={(qt p)€R?%, <7 = <Э(т, t), р = Р(т, /), t€R?,
а€[0гГ]},
r?={(w, z)£On, w = w(a9x, /), z = z(a, т, t),
t€R?, agC", *6[0, Г]},
где (Q(x,t), P(x9 OJ^eJflQoW» ^oW)-решение
системы Гамильтона
Q = Hp(P,Q9t)9 Qko^QoW, (321)
P = -Hq(P9Q9t)9 Р\ы. = РЛ*),
(w(a, т, /), a: (a, t, 0) = dgk (w0 (a, T)> ^o(a» т)) —решение
системы в вариациях
w = — Hgp(P9 Q, t)w—Hqq(P9 Q, 0*, ^L = ^o(a^)>
z = Hpp(P, Q:t)w + Hgp(P9 Q9t)z9 г\Ыо = г0(а, т),
(3.22)
а совокупность [(Q0 (т), Р0 (т)), (ш0 (а, т), z0(a, т))]==
^[Л£, rj]—лагранжево многообразие с комплексным
ростком.
*) См. сноску **) на стр. 86.

ГЛ. III. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА Ю1
п2. 8* * = {#€R£: x = Q(x, t)}—гладкое многообразие
и rangdQ>, t)/dx = k, t£[09 Г].
Замечание. Как показано в § 3 гл. И, из условия п2
следует существование замкнутой окрестности A^gRS многообразия
b%t при каждом t£[0t 7*], в которой однозначно и гладко
разрешима система уравнений
<*-Q(t,/), Qt/(t,0>=0, /=1. ...,*, (3.23)
относительно параметров x = (Ti, ...,t^) (ее решения обозначаются
через т = т(/, х)).
пЗ. Функция S(x, t) определяется формулой (2.56)
гл. II.
Замечание. Напомним, что мнимая часть действия 5(я, t)
обращается в нуль на поверхности bx, t, *£[0, Т], т. е.
{(*,*): lmS(xtt) = 0\ = bl.t.
Для построения приближенных комплексных решений
уравнения переноса введем следующие функции:
а) J (x9 t) = detC(xJ), где С(т, /) —комплексная
невырожденная матрица (пхп), которая в эталонном базисе
{^(т, t)9 ..., аЛ(т, t)} на г? при t£[0, T] имеет вид:
U Vх» f/ — аа "" [dat' ' * '' дап-ь ' дхг ' *"' dxkJ #
(Если не оговорено особо, то всюду в дальнейшем
предполагается, что базис на ростке г?—эталонный);
б) 1ЛГ(т, t) —непрерывную функцию по rgR? и
*€[0, Г];
в) функцию *ф(т, t) вида (3.5);
г) вектор-функцию у (х, t) размерности п, компоненты
которой положим равными *)
Vi(x, 0 = ([С-1(т, t)(x-Q(x))]\^xittk))h
t = l, ..., л—*, (3.24')
7/(а:, 0 = 0, i=*n—k+lf ..., л,
где т(л:, t)—решение системы (3.23);
д) вектор-функцию у(х, t) размерности (п—k),
составленную из первых п—k компонент вектор-функции у(х91).
*) Определение вектор-функции у г(3.24') отличается от вектор-
функции у (3.20'), но как будет показано ниже (см. лемму 3.4), это
различие не сказывается на окончательном ответе.

Ю2 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Замечание. Отличные от нуля первые (n—k) компонент
функции у (х, t) удовлетворяют системе уравнений
С(т(*, х), 0y =
(3.24*)
=(*-«-.2 VCrl(T' '><*-w»-*+/)
|T=T(*f t)
(т(/, х)—решение (3.23)), являющейся следствием ^-перестройки
системы уравнений (3.20) вещественного ростка (см. § 3 гл. И).
Основной результат данного параграфа содержится
в утверждении следующей теоремы:
Теорема 3.2. Пусть %(а, т)= X -^Д (0,т)а?...
I vi=# да
.. .ап!у—однородный полином степени N с
коэффициентами, гладко зависящими от т, и пусть выполнены
условия п1— пЗ. Тогда на множестве AXtU t£[0, T] функция
t
ехр \ а|> (t, tt) dtx
t -JiNt, t*)dtt
+^/(t,/1)«« S |^«>(тЛ)Л)х
, t)YdtA
Jt=t(*. 0
X(C(*.*iM*. t)YdtA (3.25)
Jt=t(*. 0
является приближенным решением уравнения переноса (3.1).
Замечание 1. В случае k=0 параметры т в формуле (3.25)
отсутствуют, и поэтому теорема 3.2 справедлива на любом конечном
отрезке [0, Т]. В случае k=n и # = 0 формула (3.25) переходит
в известное [40] вещественное решение уравнения переноса, при
N ф 0 функция <р (X{t) s 0.
Замечание 2. В равной степени для этой теоремы
справедливы замечания 1—3 к теореме 2.3.
Замечание 3. Так же как и в случае уравнения Гамильтона —
Якоби (см. замечание 2 в § 11), с целью упрощения£формул
окончательного ответа приближенное решение обобщенного уравнения
переноса <р (х, ty h) можно заменить на функцию q> (*, t, Н) + 0$2 (й1/2)
(например способом, указанным в замечании 3 на стр. 89).

ГЛ. III. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ЮЗ
Для доказательства теоремы 3.2 нам понадобится ряд
вспомогательных утверждений.
Обозначим D = <x—Q(x(x, /), t), x—Q(x(x9 tf t))>,
где x(x9 t) — решение системы (3.23).
Лемма 3.2. Якобиан J (x9 t) удовлетворяет
соотношению
Здесь у Нр.р и Нр.я опущены аргументы (Р(т, t)9
Q(t, t), t). '
Доказательство. По правилу
дифференцирования определителей для dJ/dt получаем разложение
dt
dt
dzjda,!
dQi/дъ
dzjda,! ... dQn/dx
+ ...+
dzjda
dQjdx
dzn/da
dQn/dx
В силу системы в вариациях (3.22) найдем
производные дг(/дау.
^£L —V И f^^Lo-V И dZk —
daf -~2* пР(Рк daj "*"l* V* daf ~~
k=1 k=1
=i[ii"v,<sc-')«+''v,]^'
* = i, ..., л, / = i, 2, ..., n—k.
Аналогичное равенство справедливо для dQ;/dxm9 m =
= 1, ..., k.
Заметим, что выражение в квадратных скобках в
последнем равенстве не зависит от / (номера столбца
определителя J). Отсюда, как легко видеть, следует равенство
Ж - £ (V/ №-%+Н «//) '• (3-26)
Для завершения доказательства воспользуемся равенством
|;|У = ЯС-1(т, 0 + <W), (3.26')

104 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
которое очевидным образом следует из формул
dS/dx = P(x9 t) + BC'^(x9 t)(x—Q(x9 t)) + 0D(h)9 (3.26")
BC-*QX/ = PX/9 /=1, ...,&.
Подставляя (3.26') в (3.26), получаем требуемое
утверждение.
Введем на множестве Д*,*х[0, Т] линейный
дифференциальный оператор первого порядка
L = d/dt + <Hp(P9 Q9 t) + (Hpq(P9 Q, t) +
+ Hpp(P9 Q, t)BC-i)(x-Q(x, t))9 д/дх>. (3.27)
Справедливо следующее соотношение:
L9(x(x9 t)9 0-.Ф + O^)(Л1/,) (3-28)
для любой функции ф(т, 0€C*(R*+1) (ф = дф/д*(т, t)f
х(х9 *) —решение системы (3.23)).
В самом деле, применяя оператор L к функции ф (х(х9
t)9 t)9 получаем
l<p№ t), „-ф+£^(£+(4. %))+oDW).
Iml
С другой стороны, дифференцируя тождества (3.23) при
x = x\t, х) по t и х, имеем
dr/dt = -M-*«Q, Qx>-<x-Q, Qx» =
дх/дх = M~lQx = MfQx+0D (я1/").
Здесь дх/dt—/г-мерный вектор с компонентами dxj/dt,
/ = 1, .... А, дх/дх—матрица размера nxk с
элементами
(дх/дх) и = dtj/дх,, i = 1, ..., я, / = 1, ..., k,
и М, М0—симметричные матрицы размера kxk:
A1//-<Q»/, Qtj>—<x—Q, Qt/f/>,
(M,)// = <Qt;, Qv>.
Отсюда получаем
dxJdt + <U. dxJdxy=-{M?<.Q, Qt»,+
+ О/, (Л1/а) + (Mo1 <Q, QT», + О о Ф1/г) = 0o (я1/»).

ГЛ. III. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА Ю5
Лемма 3.3. Компоненты вектора у(х, t)
удовлетворяют соотношению:
Lyi = 0D(h)9 i = l, ..., п.
Доказательство. Воспользовавшись равенством
± (С-1) = - С-1СС-* = - С* (НрдС + Н„В)'С-*
и соотношением (3.28), получим
LC'Hx-Q)^(C'1){x-Q) + 0D(h) + C^L(x—Q)^
= -2^(Ty)^*+/+0D(fc)f
где en_k+j—единичные я-мерные векторы: (en^k+J)i =
= вп-*+у, f> S^j—символ Кронекера. Отсюда и из
определения вектора 7 следует утверждение леммы.
Лемма 3.4. Пусть для функции R(x, *)€C,eo(Rn+1)
выполнена оценка
Ж*. О-Од (*"/■),
где N—натуральное число и D = (x— Q (т (х, t), t))2. Тогда
производные функции R(x,t) на поверхности 8%ft = (x:x=
= Q (т> 0) удовлетворяют следующим соотношениям:
^(Q(t, 0) = 0, ||i|<JV, (3.29)
lv|=iV lvl=W
(3.30)
Здесь g—произвольный комплексный п-мерный вектор,
f—произвольный "касательный вектор к поверхности 6£t t
в точке х = Q (т,./).

106 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Доказательство. Равенства (3.29) очевидным
образом вытекают из определения функций 0D(ha).
Равенство (3.30) для сокращения вычислений докажем в случае
fe=l. Вектор / в этом случае имеет вид: / = xQT, где
х—некоторое комплексное число. Дифференцируя
равенство (3.29) # = |fi| раз по т, получаем
I0|=JV-I|1|
Умножим эти равенства на .».. . g^ и просуммируем
по всем ii в пределах от | jn | = 0 до | jn | = А/^— 1. Добавим
затем к обеим частям полученного равенства сумму
Y^ "ri"fav(Q(X9 *))#v и поменяем 'пределы суммиро-
вания. В результате этих вычислений приходим к
равенству (3.30).
Задача. Провести доказательство леммы в случае k > 1.
Перейдем теперь к доказательству теоремы 3.2.
Будем обозначать через 1у мультииндекс длины п,
/-й элемент которого равен единице, а все остальные
элементы—нулю. Подставим функцию
Ф(я, t)=yJ— expf U(T, /J*! j#(Tf t)\
^о ' \
R = \ E "TT^(0. т)(Т(*. *. W +
Li vi=#
t / tt
+ §(VJ(x, *i)exp(—J4(t, *.)Л,)х
о \ о /
I vi=W I J |т=т(*. i
т=т (#, t)
в уравнение (3.1). Раскладывая функции Нр, Нрр и G
по формуле Тейлора в окрестности точки р = Р(т, t),

ГЛ. Ш. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА Ю7
<7=Q(t» t)y получим следующую цепочку равенств:
dt
+jZHWp'Q't)dB^j(f+G{Q't)(S>+0^Lm+1-'i
it /= 1 '
)=
VI
exp
|ф(т, У
Л2
т=т (*, ty J
Я+
+ -pjexp jt(t(x, 0. t1)dt1LR +
о
+ 4^ЯР/Р.(Р, Q, 0,-f^<P + G(Q, 0ф-^ +
+ 0D(hN'*+1'*). (3.31)
При выводе формулы (3.31) были использованы оценки:
tf = 0D(hN'*)9 R = 0D{hN'*)f dy/dx = 0D{hN/*-V*). (3.32)
Воспользовавшись леммой 3.2, соотношением (3.28) и
равенствами! (3.32), правую часть формулы [(3.31)
преобразуем к виду
1
-ру ехрП ф(т, t1)dt1
X
Вычислим выражение LR:
Хехр
(-$*(*. У
/
/ | v|=JV
0 \ 0 /%\y\ = N
n
х£(С(т, ^)Y(a, t, 0)v_1/V/X
Х(С(т, ^(a, t, /M/^ + Ofl^/'+vt). (3.33)

108 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
t
Применяя теперь'лемму 3.3, оценку j 0D(hN^2+1^)dt1=
о
= 0D(hNf*+1f*)9 равенства (3.32) и соотношение
эквивалентности 0D (ha) ~ 0\m s (ha)y из (3.33) получаем,
что
^+Пвф-.Р= £^0(Q(t, t), t)(Cyr-
|VI=lf
I v\=N
(3.34)
Для завершения доказательства теоремы воспользуемся
k
равенством (3.24"), в силу которого х— Q = 2 QxAC"1 (х—
— 0)я-*+/ + ^Т- Подставляя это выражение в (3.34) и
применяя формулу (3.30) леммы 3,4 для / =
k
= 2j Qt. (£"*(*—Q ))„-*+/» получаем утверждение
теоремы.
Построенное в теореме 3.2 решение уравнения
переноса зависит от произвольной функции % (однородного
полинома степени N). Выбирая функцию %, исходя из
начального условия (3.3), нетрудно получить теорему 3.1
как следствие теоремы 3.2.
Доказательство теоремы) 3.1. В качестве
семейства [Aj, rf] в теореме 3.2 возьмем семейство лаг-
ранжевых многообразий с комплексным ростком,
полученное каноническим преобразованием D*H из
многообразия
Л{ = {{р, <7)€R2": p = />,(T)=g(Q(T, 0), 0),
<7 = Q(t, 0) = Qo(t)}
и ростка
n = {w(a,T) = ^(Qo(x),0)cc,z = a}.

ГЛ. III. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА
109
Здесь QoW—/(-параметрическое решение уравнения
lmS(x, 0) = 0 и ос =
-л-мерныи комплексный
вектор (см. доказательство теоремы 2.3). Положим в
формуле (3.25)
%(а,*) = УЖО) £ ^(Q(^0))(C(T,0)a)v,
\v\=N
а =
/&1
an-k>
а
ai
0
lo
Легко видеть, что теорема 3.1 будет доказана, если мы
покажем, что при таком выборе %(a, t) функция <р(х, t)
из (3.25) совпадает с функцией ф(я, t) из (3.7)
теоремы 3.1. Первое слагаемое в квадратных скобках в
формуле (3.25) в силу определения вектор-функции у (х, t)
имеет вид
VTKO) Е S2 (Q С*. О)) (С (т, 0) у (*. t))\
\v\=N
где вектор у определен равенствами (3.24'). Учитывая
оценку ф = Ost (hNl2)y преобразуем это выражение с помощью
леммы 3.4 и системы уравнений (3.24") к виду
УП^Ц ^g(Q(т, 0))(С(т,0)уУ=
\v\=N
= //(т,0) £ ^(Q(Tt0))(C(Tf0)C-4T,0)
х
|vl=JV
k
x(x-Q(t9 t))-SQxAr,0)(C-i(r, t){x-Q(r,0))»-w)v
= l/7cJFT0) £ S(Q(TfO))x
lvl=Af
x ((C (t, О С"1 (т, О))"1 (x-Q (r, tW. (3.35)

МО Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Отсюда, в частности, следует, что функция ср(х, t),
отвечающая полиному х (а> т)> при / = 0 с точностью до
0#(/^/2 + 1/2) (или,^ что то же самое, с точностью до
Qims(hN/2+1/2)) совпадает с функцией ф0(х).
Далее, аналогично (3.35) преобразуем сумму во
втором слагаемом формулы (3.25) к виду
Е 7й£ № <т> 'i)) (С (т> *i) У (*. ^ 0) =
Ivi-w
= Е ^W(^<i))(C(Ti/1)C-4T,0)x
|V|=JV
х(С(т, ос-ч^.о))-1^—Q(t. 0))v- (3.36)
Остается заметить, что матрица С (т, /) С"1 (т, 0) есть
«координатная» часть матричного решения задачи (2.J5),
так что формула (3.25), с учетом полученных равенств
(3.35), (3.36), переходит в формулу (3.7). Теорема 3.1
доказана.
§ 4. Обобщенное нестационарное уравнение переноса.
В § 1 гл. I было показано, каким образом из
конструкции асимптотических решений уравнения Шредингера
возникает каноническая система уравнений. Начальная
функция %(x,h) для уравнения Шредингера при этом
имела вид
♦.(^А)=^(ДС)/*Ф.(«), (3.37)
где %(х) и S0 (х) — гладкие функции и ImSo-(x)^0.
Все «быстрые» изменения функции я|>0 (я, h) содержатся в
множителе eiS^x^h и определяются функцией S0 (x).
Типичным примером таких начальных данных является
«колоколообразная» функция вида
%(x9h)=e-*W9 S0(x) = ix*/2, Фо = 1.
Часто, однако, амплитуда функции ip0 (я, К) может иметь
несколько осцилляции, например,
% (х, h) = e-x2/W(x*/h—x/Vh+ 1)." (3.37')
Вид этой функции уже отличен от «колоколообразного»,
хотя она и затухает экспоненциально в области х^ СЛ1/2~б,

ГЛ. III. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА \\\
б—►+(). Здесь функции S0 и ср0, отвечающие (3^37'),
равны соответственно S0 = ix2/2 и ф0 = x*/h—x/]/~h 4-1 •
В общем случае начальную функцию ty0(x,h),
включающую «осциллирующую» амплитуду, можно записать
в виде:
♦•-^•^•(x.ft). (3.38')
где ImS0>0, ф0^ = О1т5о(^/2) и N—некоторое, не
зависящее от h натуральное число. Подчеркнем, что
включение параметра h в отрицательных степенях в
разложении (3.38) и требование ограниченности функции г|)0
совместны лишь тогда, когда S0(x)—комплексная
функция. В том случае, когда ImS0 = 0, требование
ограниченности функции ц>(х) h~aeiS*lh, а > О при h—^0,
немедленно влечет равенство ср = 0.
Мы изложим два способа получения асимптотических
решений с «осциллирующими» амплитудами задачи Коши
линейных уравнений в частных производных с малым
параметром, например, уравнения типа Шредингера (1.6).
Первый способ сводит построение решения этой задачи
к уравнению Гамильтона — Якоби и к системе N
рекуррентных уравнений переноса с правыми частями (3.1),
начальными данными для которой является вектор
(Ф01 (х), ..., фоЛг (х)), где <pQk (х)— коэффициенты
разложения (3.38"). Решения последней находятся с помощью
теоремы (3.2), и, следовательно, этот способ
предполагает вычисления ряда громоздких интегралов. Мы
изложим его сначала на примере простого уравнения и
простых начальных условий в этом параграфе и приведем
в общем виде в § 5. Для построения асимптотических
решений задачи (3.1) с «осциллирующими» амплитудами
(3.38) вторым способом требуется проделать следующие
операции: сначала, так же как и в первом случае, найти
приближенное решение уравнения Гамильтона — Якоби
и приближенное решение ф (х, t) обобщенного уравнения
переноса (см. § 5) с нулевой правой^частью,
удовлетворяющее условию ф|г=0 — 1. Затем вычислить п линейных
дифференциальных операторов первого порядка (не за-

112 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
висящих от вида начальной функции Ф0|/-о)-
Последовательное применение этих операторов к функции ф (х, t)
дает возможность получить искомое асимптотическое
решение задачи. Этому способу посвящены §§ 6—7 этой
главы.
Перейдем к описанию первого способа построения
асимптотических решений задачи (1.6), (3.38) на примере
следующего уравнения:
hdu/dt + h*d*u/dx* = 0. (3.39)
Напомним, что через 0(ha) (h —^0) обозначается функция
Ф (х, t9 h) € C"(Kn+1 x (0, 1]) такая, что для любого компакта
/CcR"+1: \q{xJ,h)\^c(K)\ha, с (К)—зависящая от К
константа. Функция u(x9t,h) называется формальным
асимптотическим решением уравнения (3.39) па mod О (ha),
если
hdu/dt + h*d*u/dx* = О (ha).
Поставим для уравнения (3.39) задачу Коши
и|/яв=£е«.<*>/\ (3.40)
где S0 (х) = ах + Ьх2/2 (а—вещественное, Ъ—комплексное
число, Im6>0).
Построим формальное асимптотическое решение
задачи (3.39), (3.40) по modO(/i3/2). Аналогично §§ 1, 2
гл. I и следуя классическому методу ВКБ, решение
задачи ищем в виде
и = е»<*. о/а ф (х, t, A), S^S, (х, t) + iS2 (x, t), {3Al)
Здесь п^0—целое число, S(x,t)> Ф#(#,
t)—подлежащие определению гладкие функции, причем S и q>k при
k < 0 удовлетворяют условиям Im S = S2 ^ 0, ф/г,=
= OsM(h)kV*). Подставляя функцию и в уравнение (3.39),
получим

ГЛ. III. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ЦЗ
Отсюда, учитывая свойства оператора
дифференцирования функций 0Si(ha):
d/dx:Ost (ha)->0St (/i"-1/2) (a> 1/2)
и оценку dS2/dx=Ost(hll*) получим, что функция и будет
формальным асимптотическим решением по mod О (hzt2)
задачи (3.39), (3.40), если
(5+(£)>-°*е»*>.
%2 + ПоФ_3 = 05,(/*8/2), (3..42)
|о + пофо_3; g^i=Os,(^a), (3.43)
где П0—оператор вида (3.2), отвечающий функциям
# =— р3 и G = 0. Функции q>k(t>x)f k^l остаются в
этом приближении неопределенными. В данном случае
мы можем [считать их произвольными гладкими
функциями по переменным х к t. Для того чтобы
выполнялось условие (3.40), очевидно, следует для полученных
уравнений поставить начальные условия
S|*=o = S0(*), Ф-2|*=о = *2, Ф0 |*=о=0. (3.44)
(Функцию ф„х в (3.41) полагаем равной нулю.)
Таким образом, мы пришли к ^уравнениям
Гамильтона— Якоби и переноса. Решения этих уравнений,
удовлетворяющие условиям (3.44), построены в § 1 гл. II,
в § 1 гл. III. Воспользовавшись этими формулами,
получаем, что функция
~ Г (x + 3a*t)* 6iat 1 ls{Xf t)fh
\h(\-babt)*i* (I—6aW)»/*J
где S = ax + a*t + 2п—бой) (x"^ ^a202> является
формальным асимптотическим решением по mod О (hs/2) задачи
(3.39), (3.40).
Функции вида (3.38") в дальнейшем будут часто
встречаться, поэтому для таких функций удобно ввести
специальное ^обозначение.
Пусть / (х91) ^ 0—гладкая функция. Будем
обозначать через 6f(ha) функцию ф(х,/,Л)^С°° (Rn+1x(0, 1])

114 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
такую, что
Ф = 2 Vkhkl\ 9*€C«(R-+0 (3.45)
и при &/2<!а/2, Ф^ = 0/(/1"л/2+а). Из этого определения
следует равенство
^1/2(^(P^^/l))e"f/ft==0(Aa)
для любого мультииндекса v = (vl9 ..., vn+1). Примером
функции вида 6x%(hnl2) является функция
Введенный класс функций 6f(ha) обладает следующими
очевидными свойствами:
6f(ha)z>0(ha)*)t (3.46)
6f(h*>) 6 f(h<**) = 6 f (№*+**), (3.46')
Vhd/dxj: 6f(ha)-+6f(h«). (3.46")
Задача. Докажите соотношения (3.46'), (3.46").
Заметим теперь, что уравнения (3.42) и (3.43)
эквивалентны одному уравнению для функции ф = ф_2/А + ф0
следующего вида:
^+ПФ = 65Д^2), ' (3.47)
n = (Hp(§,x,t),d/dx) +
. 1 V Я № х Л-^-
+ 2 Li nWj\dx ' х> tjdxtdxj
■G—
i, /=i
*. /=1
В рассматриваемом случае # = —ps и G = 0. Таким
образом, задача построения асимптотического решения
уравнения Шредингера с гамильтонианом # = — /?3,
*) В силу этого включения всюду ниже мы будем использовать
асимптотические оценки предыдущих параграфов в классе
функций Qf(h*).

ГЛ. Ш. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА Ц5
удовлетворяющего начальным условиям, сводится к
уравнению Гамильтона—Якоби и уравнению (3.47).
Аналогичный факт имеет место и в случае произвольных
гамильтониана и начальных условий. Именно, справедлива
следующая лемма.
Лемма 3.5. Пусть функция S (x, t) является приближенным
решением задачи Коти
S(x,Q) = S0(x), ImSo^0,
для уравнения Гамильтона—Якоби (2.1), отвечающего функции
Н (р> <?)» а Функция ф(#, tth)—задачи Коши
ф(*,0,А) = ф0(*,/0, (p0 = (9Ims0(l)
для уравнения (3.47), отвечающего функциям Н (р, q), S (x, t) и G = 0.
Тогда функция ty = eiS{x>ft/h<p(x,t,h) есть формальное
асимптотическое решение mod О (hBj2) задачи Коши
для уравнения Шредингера
ihdtyfdt = Я-ф.
Доказательство этой леммы основывается на свойстве оператора
Y^hd/dxi на множестве функций Qf(ha) и проводится аналогично
выводу канонической системы уравнений (1.14), (1.14') в § 1 гл. I*
Определение 3.2. Уравнение (3.47) будем
называть обобщенным уравнением переноса. Систему
уравнений Гамильтона—Якоби и обобщенного уравнения
переноса будем называть обобщенной канонической системой,
или просто канонической системой.
Один из способов решения уравнения (3.47) был
изложен в этом параграфе. В следующем параграфе мы
опишем другой способ построения решений этого
уравнения, использующий операторы рождения и уничтожения.
§ 5. Операторы рождения и уничтожения для задачи
Коши. Сформулируем теорему, позволяющую находить
приближенные решения задачи Коши для обобщенного
уравнения переноса с помощью построенных ниже
операторов рождения—уничтожения. В формулировке будут
использоваться определения и обозначения, введенные
в теореме 3.2.
Приблиоюенным решением задачи Коши
Ф|/-.=Фв(х,Л) = 05§я(1) (3.48)

116 Ч. 1. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОЁ
для уравнения (3.47) на отрезке / € [О, Т] называется
функция ф (х, t, К) € С00 (R" х [О, Т] х [0, 1]),
удовлетворяющая уравнению(3.47) с точностью до функций 6s2(h1/2)
и начальному условию (3.48) с точностью до 6s02(/i1/2).
Поскольку нас интересуют приближенные решения
задачи (3.47), то, не уменьшая общности, можно считать,
что функция <р0 (х, t) в (3.48) имеет вид (см.
определение оценки 6s2(fta)):
Фо(х, h)= 2 Фо, -k(x)hkl\
где ф0? -A = OsiI(W*l/1) vlN—некоторое натуральное число.
Пусть при /g[0, T] выполнены условия теоремы 3.2.
Помимо матриц В(т, t), С(т, /) (см. (2.5)) и функций
J (т, /) = detC(T, t) и <ф(т, t) (см. (З.б)), введем линейные
дифференциальные операторы первого порядка А1, ...
..., Л", которые строятся следующим образом. В силу
предположений теоремы 3.2, уравнение Im S (я, 0) = 0
определяет гладкую односвязную fc-мерную поверхность б£0
в R": б£0: б£0 = (х £ R": x= Q0 (т)). Обозначим через N (т)
п—/г-мерную плоскость R", нормальную поверхности б£ 0
в точке x = Q0(t).
Введем векторы е.(т)—проекции на плоскость N (г)
( 0 >
единичных ортов бу =
1
(о;
j, / = 1, 2, ..., п. Обозначим
через dy(t, f)= p-f! tl)> /=lt .-.,я, решения системы
в вариациях
(3.49)
П/11.0 s5—*/(*).
»/|*-о = 0.
(У функций Hqpj Hppi Hqq опущены аргументы Я(т, t)>
Q(*> О, t.)

ГЛ. Ш. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА Ц7
Введем операторы & (операторы рождения —
уничтожения, отвечающие векторам dy (т, t))9 (ср. c[3J, [27])
Af=-^-{yj(x(x, t), t), ^-)—^=<4j{x{x, t), t)-
-BC-*(x(x,t), t)yj(x(x,t), t), x-Q(x(x, t))>, (3.50)
где т (a;, t)—решение системы (3.23). Под выражением
(A)v, v = (vx, .... v„) будем понимать композицию
операторов (fc)Vt, ..., (Л")Ч (A)v = (A*)Vl (A»)v*... (A«)V
Теорема 3.3. Пусть выполнены условия теоремы 3.2,
тогда при t £[0, Т] приближенное по mod
6(h1'*)^решение задачи (3.47), (3.48) существует и \на множестве
Q = i (х, 0 € ( U А*, Л х [0, Т] \ с RJ?,+} имеет вид
ехр
|$1>(т<*, t), t^dh\
Ф(х, t, h)= VV —^-X
xE [^■тЭь-(0.(т(*.0).Л)1,А».1. (3.51)
I V 1 = 0 L J
Замечание 1. В § 6 будет показано, что векторы ( Ч/ )
в (3.49) являются линейными комбинациями над кольцом гладких
функций ф(т) £С°°(Л*) вектор-столбцов матриц [ ) (т, /) и / _ J (т, t)t
т. е. справедливо равенство
ПЛ(т, 0 = (^ ^(т,0еу(т), /=1,2,...,/г,
где 9у (т)—2/г-мерный вектор, компоненты которого—функции класса
C*(R£).
Таким образом, задача построения операторов А/, /=1, ..., п,
сводится к нахождению векторов 6у(т), / = 1, ..., я, не зависящих
от t.
Замечание 2. В силу леммы 3.4 справедливы следующие
равенства:
Alv|/*^L(Q#W, Н)\ь«-*"11%-™ «2. W).
dxv dxy

118 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Наконец отметим, что при £ = 0 теорема 3.3 верна при всех
/£(—со, +оо). Вычисления по формуле (3.51) при этом упрощаются,
так как векторы ej в (3.49) совпадают с ортами ej9 /=1, ..., п, и
параметры т (х, t) в (3.51) отсутствуют.
Доказательство теоремы 3.3 мы проведем в два этапа.
Сначала дадим конструктивное доказательство теоремы
в случае, когда множество (х £ RV 6{0, T]:lmS (x, t) = 0)
является траекторией гамильтоновой системы (3.21), и
введем некоторые важные для дальнейшего понятия.
В конце параграфа рассмотрим ряд конкретных
примеров, иллюстрирующих теорему 3.3. Затем, в следующем
параграфе,' обобщим полученные результаты на случай
к^Ои получим теорему 3.2 как следствие.
Рассмотрим уравнение (3.47). Пусть ф(х, t, h) =
= Qst (1) — некоторое решение этого уравнения. Построим
оператор Л такой, что функция <р = Лф также будет
решением уравнения (3.47). Оператор Л подчиним
следующим условиям:
а) A:6sAha)-+6sAha);
м
б) функции вида Ф= 2 Ф*(*> t)hk^, 9* = 0s2(u""'*/2)
при k = —m, ..., 0, М ^ 0, оператор Л переводит в
функции вида
ф= 2 ф*(*,ола/1. % = oSi(A-*'»)
k—-mx
при k=—m19 ..., 0, Af^O, причем тг = т+\ либо
т1 = т—1.
Условия а), б) истребование, чтобы функция Лф
являлась решением уравнения переноса, если ф—также
решение уравнения переноса, достаточны для получения
выражения оператора Л. Исходя из условий а), б),
будем искать оператор Л в виде
A = Vh(g(t), £) + ^</(0. *-«(')>. (3^52)
где g(t), f{t)—подлежащие определению гладкие
(комплексные) вектор-функции. Легко видеть, что оператор Л
вида (3.52) удовлетворяет условиям а), б) при любых
гладких функциях f(t) и g(t). Преобразуем уравнение

ГЛ. III. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА Ц9
(3.47) к более удобному для нас виду, воспользовавшись
равенствами (3.26') и (3.26") (см. § 3) для действия
S (х9 t) на ростке [Л$, г?]:
§ = P(t) + BC-4t)(x-Q(t)) + 0s2(h),
(3.53)
l^l-BC-HV + ObW*).
Разложим функции Нр> Нрр в (3.47) по формуле
Тейлора в окрестности точки *p = P(t), t = t, q = Q(t).
Поскольку х—Q(t) = Os2(h1/2)9 то, с учетом (3.53) и
(3.27), получим, что (3.47) эквивалентно следующему:
t?+fS HPi,§(P9Q,t)(BC-%<p + Gmt),t)V =
l
=f E Hptp, (p> Q. О айг,+&. (^v*)- (3-54)
t, /— l
Применяя к обеим частям уравнения (3.54) оператор Л,
получаем (в силу условия а)) равенство
л!ф+л(± Е ^л(^-»),у+о)ф=
где у функций Нр, Нрр и т. д. опущены аргументы
(Р (/), Q (t), t). С другой стороны, требование, чтобы
функция Лф также являлась решением уравнения переноса,
приводит после подстановки Лф в (3.54) к уравнению
d£<t + A*L + (<i + H„(x-Q{t)) +
+ HppBC-i(x-Q(t)),£<t + A%) +
+(у t Е i и,г, w-1) и+с)Л<р=т ,Е *V/ х
><(S^^^A^)iW (3.56)

120 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Здесь под dA/dt понимается оператор
Из (3.52) следуют соотношения
дА/дх{ = /У}/7Г, d*Afdxidxj = 0, i, / = 1, ..., п. (3.58)
Используя последние соотношения и вычитая из
уравнения (3.56) уравнение (3.55), получаем в результате
несложных вычислений равенство, справедливое для любой
гладкой функции ф = 05,(1)"
d£<p-Vh({Hpi, + HppBC-i){g,?-x)(x-Q{t)),^)+
+ <Q + {НРЧ + HppBC-4 (x-Q (0), дЛ/дх Ф> =
Отсюда и из равенства (3.57), (3.58) следует, что
+//1 ((Hp(l + HppBC-i)g, |)Ф-
= -fVT(^4)<P+6s.(ft,/').
Для того чтобы это равенство выполнялось для~"любых
функций фбС°°, очевидно достаточно потребовать, чтобы
функции g(t) и /(/) удовлетворяли системе уравнений
g-(Hpq + HppBC-i)g = iHppf,
} + {H9P + BC-*H„)f-0.
Сделаем в этой системе замену
g = -iy(t), f = -(r\(t)-BC~*y). (3.60)
Тогда для функций у и т], как легко видеть, получаем
следующую систему уравнений:
у= Hppy\+Hpqy, 4-jj{BC-*(t))y-BC-*y +
+ (Н„ + ВС-*Нрр)(ц-ВС-*у) = 0. (3.61)
Вычислим производную d/dt (ВС"1),

ГЛ. III. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 121
Лемма 3.6. Имеет место равенство
&(BC~4t)) =
= — BC-4ippBC-*-BC-4ipq—HqpBC-*—Hqr (3.62)
Доказательство. Из определений производной
от произведения матриц В и С"1 следует, что
А(ВС"1) = 5С-1—ВС^СС-К (3.63)
В силу того, что матрицы В и С составлены из вектор-
столбцов d(w)/da9 д(г)/да, являющихся решением
системы в вариациях, В и С являются матричным
решением системы в вариациях
B = -Hqp(P, Q, t)B-Hqq(P, Q, t) С,
£= + Hpp(P9Q9t)B + H„(P9Q9t)C.
Подставляя производные Bt С из системы (3.64) в
равенство (3.63), получаем утверждение леммы.
Воспользовавшись равенством (3.62), приведем
второе из уравнений системы к виду
Л +Нщрх\ + Hqqy-BC-* (y-Hpqy-Hppx\) = 0.
Отсюда получим, что функции уиц являются решением
системы в вариациях
4 = — Hqpr\—Hqqy9 y = Hppi) + Hpqy, (3.65)
где у Нрр, Hpq и т. д. опущены аргументы (Р (t), Q {t)91).
Из л риведенных рассуждений получаем следующее
утверждение.
'Теорема 3.4. Пусть функции т](£), y(t)
удовлетворяют системе в вариациях (3.65), a q> (x,
t9h)—соотношению (3.47). Тогда функция
Ф(*, /,Л) = А<р, % (3.66)
где
A==J?(^ Тх)~щ<^-вс"у> *-«<<>>. <3-67>
также удовлетворяет соотношению (3.47)

122 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ \
Остановимся более подробно на структуре оператора Л.
Введем следующие обозначения и определения. Вектор
а\«)(/)) в Ф°РмУле (3.67) будем называть образующим
оператора А. Обозначим через Y линейную оболочку
векторов
а _(Ч,(0\/дИ/ааЛ £-1 п
(?)).Чере
(т. е. векторов, из которых состоит матрица ( с 1 1 . Через
Y обозначим линейную оболочку
комплексно-сопряженных векторов ah /= 1, ..., п. Будем говорить, что
оператор Л вида (3.67) принадлежит классу L или L, если
его образующий вектор принадлежит Y или Y
соответственно. Операторы из класса L в дальнейшем будем
обозначать через Л. Если образующим вектором
оператора (3.61) является вектор а{ (а{), то такой оператор
будем обозначать через Л(. (Л,.).
Аналогично доказательству леммы 2.7 в гл. II
можно показать, что из положительности матрицы
Im(C*5) (& = 0) следует невырожденность матрицы Л =
= (#!, ..., яЛ, а19 ..., ап)у и, следовательно, матрица A (t)
является фундаментальным решением системы в
вариациях (3.65). Кроме того, из аксиомы г2) комплексного
ростка и леммы 2.11 следует, что векторы а{ и а{
попарно косоортогональны:
{al9 а/}=0, {а{9 ау}=0', /, /=1, .... л.
Отсюда, в свою очередь, нетрудно получить следующие
коммутационные соотношения между операторами А; и Лу:.
ЛЛ -^AyA,j= о, лДу—Л/Л, ==о, 3 б8)
AiA/—AJAi = — i {ai9 ay}.
Задача. Докажите последнее из равенств в (3.68).
Заметим далее, что имеют место равенства t)i='BC~1yi,
/ = 1, ...,п. Поэтому любой оператор AgL представим

ГЛ. III. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 123
в виде
Пусть функция
т
ф (х, t, h) = S Ф* (х, t) h-k'\ Фа = 0Sl (№) (3.69)
является решением уравнения (3.47). Тогда, как легко
видеть, Л^2 ... Л/я+1ф = J/T6<?2 0)- (Здесь A'gL, /=
= 1, ..., т+ 1.) В случае, когда ф(л;, /, А)—полином по
х{—Q{ порядка т, правая часть последнего
соотношения тождественно равна нулю. Таким образом, т+1-
кратное действие оператора AgL переводит функцию
ф(х, t, h)(tOs2 (/im/2) в «почти» нуль, т. е. «уничтожает»
это решение. Пусть теперь %(t)— решение уравнения
(3.47), не зависящее от х и h (см. примеры предыдущего
параграфа). Тогда в результате действия оператора
Л1-Л2-... -Ат, A'£L, на Ф0(0 мы получаем новое
решение уравнения (3.47) вида (3.69), т. е. операторы AgL
как бы «порождают» новые решения. __
Определение 3.3. Операторы ЛgL и ЛgL будем
называть соответственно операторами уничтожения и
рождения на семействе ростков [Af, tf\.
Используя свойства операторов рождения и
уничтожения, докажем теорему 3.3 в частном случае £ = 0.
t
Для этого по функции ф0(г) = —р=ехр \ ^f(t^dt19 где
У J (0 ft
г|з (t) определено равенством (3.5), J (t) = detC9
являющейся, как это следует из теоремы 3.1, решением
уравнения (3.1) при F==0 (а, следовательно, и уравнения
(3.47)), с помощью операторов рождения построим
другие решения уравнения (3.47), удовлетворяющие условию
ф1ы- L ,|vl/2—• (3-7°)
lv|=0 п
Здесь Q(0)—решение уравнения SO2(x) = 0, cv=const.

124 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Введем операторы А/, образующие векторы а*—
= \ /L) которых при /=0 удовлетворяют условию
(V)/==-S,/:, (0/), = О,_ /./=1 л, (3.71)
и операторы Avj== (Л1)Vl х ... X (Лй) V В силу равенства
^\t^^{x) = Vh (ху—Qj(0))q>(x) для любой функции ф
имеем:
Ait=o.i=(^-Q(0))vft-|vl/s.
Воспользовавшись теперь формулой (3.51) теоремы
3.3, получаем решение задачи (3.47), (3.70) в виде
1v1 = 0 1 v1 = 0
Тем самым теорема 3.3 в случае й = 0 доказана.
ЯЯ Примеры. Получим способом, изложенным выше,
решение уравнения (3.47), отвечающего функциям Н=—р8,
G = 0 и S(x, t) вида (2.10) (см. примеры 1 и 3 § 4 этой
главы), удовлетворяющее при f=0 условию
фЬ=о = ^/Л. (3.72)
Функции ф0 (/), ВС'1 и Q (0 в данном случае имеют вид:
Фо = (1 _6aM)-1/f. SC-1 = 6(1 —баМ)"1. Q = — ЪаЧ.
Решение системы в вариациях, удовлетворяющее
условию (3.71), следующее: г) =— 1, y = 6at. Таким образом,
A«-^(to3/8x+^^S. (3.73)
Отсюда получаем искомое решение (ср. с примером 3)
*=№**= *+^*Ш. (3.74)
h(1 — 6abt)lt (l—6abt) !г
Рассмотрим еще один пример. Найдем решение
уравнения в случае, когда
Пусть начальное условие для функции ф(л:, /, К) имеет
вид:
<p|,=0 = x2/ft,
а функция S(x, t) в (3.47) задается формулой (2.1 Г).

ГЛ. III. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 125
Тогда (см. § 1 гл. II)
Q(t) = -at(l+a*)-4*, 1>(0 —О,
Фо(0 = (1-М(1+А1)-'/')-1/«,
ВС-1 = &(1— W(l+a»)-v.)-i.
Решение системы (3.65) с начальным условием (3.71)
в данном случае следующее:
Т1--1, */ = *(1+а*)-,/2.
Отсюда и из формулы (3.67) после несложных
преобразований получим, что оператор Л1 на ростке [Л}, г)]
имеет вид:
Д1 = — i Vht (1 +a*)-8/*a/d* +
+ ^(x + a/(l+a1)-I/0[l-W(l+aVi/-ri- (3.74')
Таким образом, получаем искомое решение
ф==(Л^Фо = -^[1-^(а2+1)-3/2]-*/* +
+ 1[х + а* (1 + а*)-гь\[1 — Ы{1 + я2)-8/*]-5/*.
Используем результаты последнего примера для
построения формального „асимптотического решения по
modO(/i3/2) задачи о «распространении волны» (см.
Введение) для уравнения Клейна—Гордона
ft» □« + « = <), (3.75)
^° (3.76)
ihut\t=0 = —y l—h*^ u0,
где П = d2/d/2—д2/дл;2—волновой оператор, ag R, b, ck—
некоторые комплексные числа, Imfc>0,
N—фиксированное натуральное число. Аналогично § 1 гл. I ищем
решение уравнения в виде
Z^eiS^f^(p(x9 t,h).
Здесь S (x, t) g С* (R2), ф gСт (R2X (0, 1]) —подлежащие

126 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
определению функции, удовлетворяющие условиям:
S2 = ImS > 0, ф (х, t, h) = 6s2 (1),
fc=0
Подставляя функцию и в уравнение (3.75), получим,
что функция и—формальное асимптотическое решение
задачи (3.75), (3.76) с точностью до 0(h9/*), если
функции S и ф удовлетворяют уравнениям
(ЯИ«+(#Л-°*<**>- <"*>
§£-§&+4-»ПЗ-£о1. + 0*.(А-/.) (3-79)
и условиям (3.77) соответственно.
Заметим теперь, что функция S заведомо является
решением уравнения (3.78), если она является
приближенным решением уравнения Гамильтона— Якоби,
отвечающего функции Гамильтона # = — Kl+P2.
Приближенное решение задачи Коши для последнего уравнения
построено в гл. II § 1 и имеет вид (2.11).
Рассмотрим уравнение (3.79), отвечающее функции
S{x,t) вида (2.11). Дифференцируя уравнение (3.78)
последовательно по х и t и умножая последние
соотношения на dS/dt и dS/dx соответственно, получим
соотношение, с помощью которого (3.79) преобразуем к виду:
E2L-L и (ЦЗЛ iSL _l 1 и (dS\ d*s —
dt^~ пР\дх) дх ~^ТпРР\дх) д*2ф~~
~~ 2 Прр \дх ) дх*+ 2 Прр \дх) [дх* \дх )
Здесь по-прежнему Я = — У\ +р2. Сравним теперь (3.80)
с уравнением (3.47); отвечающим функциям #= — ]/"l + p2,
G = 0 и функции S(#, £), являющейся решением
уравнения (3.78). Покажем, что в'этом случае любое решение
Ф(х, t, h) уравнения (3.47)"будет решением^иТуравнения
(3.80) -и, следовательно, (3.79). Действительно, пусть

ГЛ. III. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 127
ф(х, ty h) — решение уравнения (3.47). Дифференцируя
последнее по t и х, учитывая при этом, что <p = 6s2(l),
Vhdyldx = 6s%(\), hd2y/dxdt = eS2(l) и т. д., получаем,
что ф удовлетворяет соотношениям:
"*(3+М£)&)-в*о>.
^(a+*,(#)S)-«*(»•
Отсюда следует, что
При выводе равенства использовано соотношение
(н (ds\Y= flsw = (*s/**)a iev№a/')
\п'\дх)) i+(as/a^)2 (as/*)« + U5> Iя ''
являющееся следствием того, что функция S(x, t)
удовлетворяет уравнению (3.78). Подставляя (3.81) в (3.80),
где ф(#, t, h) является решением уравнения (3.47) по
нашему предположению, получим требуемое утверждение.
Применяя теперь теорему 3.3, учитывая при этом
формулу (3.74'), получаем окончательно, что функция
П 2 (1-М (1 + ^-3/2)
"вехР\т('
N
J/l-tt (1+a2)-*3/2 *Го L 0X
+ -Lr (х + а/ (1 +а2)-1/2) (1 —М (1 + а2)-3/2)~11*-1 (3.81')
является формальным асимптотическим решением по
mod О (Я3/2) задачи (3.75), (3.76).
Изучим теперь свойства этого решения в случае N=0,
которое принято называть волновым пакетом (см. [8],
стр. 43—48). Элементарные выкладки позволяют сделать
следующие выводы:
а) при фиксированном t вне окрестности точки х =
=— at (1 +а2)-1/2 выполняется соотношение |а| = 0(Л°°),
т.е. функция и «сосредоточена» вблизи точки x = Q(t).

128 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
б) точка максимума функции \и\ движется с
«групповой» скоростью Угр = —a/Kl+a2. _
в) «ширина пакета» есть < величина порядка VА | J |,
где /=1—btl(V 1 + л2)8, т.е. «волновой пакет»
расплывается с течением времени.
Задача. Построить асимптотическое решение задачи Коши для
уравнения Шредингера в вакууме:
т dt" 2 Ьх^
Здесь параметры а, 6 и с^, те же, что и в разобранных выше
примерах. Доказать, что асимптотическое решение, построенное
методом, изложенным в гл. I —III, является точным решением задачи.
§ 6. Операторы рождения и уничтожения. Общий
случай. Обобщим теперь операторы рождения и уничтожения
на случай ^-мерного (1 ^.k^n) лагранжева многообразия
с комплексным ростком [А*, гп] при выполнении
условий п! — пЗ (ср. с [3]).
Пусть а (т) = ( ^ ?) —2л-мерная вектор-функция из
С00 (Л*), косоортогональная векторам aj—\dQidi) '
/ = 1,..., k, т. е. такая, что для всех / = 1, ..., k
выполнены равенства
{а, ау} = <л(т), Qxj> — <#(т), i\.> = 0. (3.82)
При & = 0 условие (3.82) выполняется по определению.
Свяжем с множеством Д*—замкнутой окрестностью
поверхности 8£, в которой однозначно и гладко разрешимы
уравнения
<х—Q(t), QT/> = 0, /=1, ...,£, (3.83)
операторы
Л{х) = ^(у{т(х))9 ^--^-<i,(t(x))-
-ВС-» (т(х))у (т(х)), x-Q(x(*))>. (3.84)
Здесь т(х)=т1(х), ...,тл(х)—решение системы (3.83),
а матрицы В (г) и С (т) определены равенствами B=dw/da,
C = dz/da.

ГЛ. III. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 129
Определение 3.4. Оператор Л (3.84) на [Л*, г"]
будем называть обобщенным оператором
рождения—уничтожения. Вектор ( j Л будем называть образующим
оператора Л.
Рассмотрим обобщенное уравнение переноса Ь случае,
когда S(x, t)—действие на семействе Л-мерныХ лагран-
жевых многообразий с комплексным ростком
[Л*, г?] = ОДЛ$, П].
Пусть вектор-функция а(т, /)= \l? t\,) есть решение
системы в вариациях (3.22), косоортогональное векторам
{a, a/} = <«n, Qt/>—<J/, /\у>. /=1, ..., Л.
(Последнее условие, в силу предложения 2.3, выполнено,
если {а, ау}(т, 0) = 0, / = п—£+1, ...,л (ср. с леммой
2.3).) Докажем следующее утверждение.
Теорема 3.5. Пусть функция <р(х, t> h) = G$%{\)
является решением обобщенного уравнения переноса по
mod 65а (&1/2), Л (t)—обобщенным оператором рождения —
уничтожения на ростке [Л?, г?] с образующим вектором
а(т, t). Тогда функция <р = Лф также является решением
по mod 6S (/i1/2) этого уравнения в области Q =
= 1х,*€ U Д,.Лх[0, ТП.
I *€[0.Г| / |
Доказательство. Для упрощения обозначений
доказательство проведем в двумерном случае и при
условии, что &=1. Напомним (стр. 114), что Л:65а(й*)—►
—►65a(/iK). Поэтому теорема будет доказана, если мы
покажем, что коммутатор [Л, ftt] операторов Л и flf =
= d/d£ + II, где П определен в (3.47'), переводит функцию
Ф(*, t, /i) € 65а (Лх) в функцию 65а(А*+1/а), т. е.
[Л, ft]: 6Si (Л«) — 6Si (h«+V*). (3.85')
Раскладывая функции Нр, Нрр и G в (3.47') в точке
р = Р(т, /), <j = Q(t, 0» t по формуле Тейлора,
аналогично § 2 этой главы, получим, что для выполнения ус-
5 В. П. Маслов

130 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
ловия (3.85') достаточно, чтобы коммутатор операторов Л и
HjZ ~.HPl,(P,Qtt)(BC-% +
. +6(^)4(1^(^,04)- <з-85">
где L имеет вид (3.27), переводил функцию f(x, h, t) =
=6D(h*) в функцию 60(Л*+1/2), £> = (*—Q(x(x,t)))K
Вычислим коммутатор операторов L и Л. Из
определения операторов Ли/ имеем следующую цепочку
равенств:
[L, A] = LA—AL =
= ^{Ly, ^—^ф^-ВС-^у), x-Q.(x, t)>-
--±<Г]-ВС-1у, L{x-Q(x, ф-^Л({у, ^)х
x[Q + (Hpq + HppBC^)(x-Q(x, t))], |>. (3.86)
Здесь и в дальнейшем в доказательстве теоремы у
функций Нрр, НРЧ и т. д. мы опускаем аргументы Р (т, /),
Q (т, t), t. Вычислим действие оператора L в формуле
(3.86) на функциях у, х—Q, т)—ВС~1у, используя
лемму 3.3. В силу формулы (3.28) получаем, что
Ly = y + 6D(h>/%
L(n—ВС^у) = ц—d/dt(BC-ly) + 6D(hl>*). (3.87)
Аналогичным образом из формулы (3.28) с учетом (3.64)
получаем, что
L(x-Q(x, t)) = (Hpq + HppBC-l)(x-Q) +
+ {ш-(<2 + (НР9 + НррВС-1) (x-Q), $) Qx,
= <у, дх/дх> (Qx-HpqQ%-HPpPJ +
+ (Нра + НРРВС-*) y + 6D (A»/«) =
= (Нря + НррВС~1) у +VD (Л1").

ГЛ. Ш. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 131
Мы воспользовались здесь равенством BC~lQx = Px и тем
фактом, что (Рх, QT)—решение системы в вариациях.
Отсюда следует, что коммутатор [L, Л] равен
[L, А]=¥±(у-(Нр!1 + НррВС->)у,§;)-
_-±=r<(Hqp + BC-4tpp)(4-BC-1y), x-Q> +
X«QT, y)-BC-ly» + 6D{hV*) + (6D(h), |)+
+ Mft)|. (3-88)
Учитывая, что функции у и т] являются решением системы
в вариациях, используя лемму 3.6 и равенство
<QT, г) — BC-V> = <Qt> т|> —<BC-1QXI */> =
= <Qt. ч>—<^т. у>=о,
из (3.88) получим окончательное выражение для
коммутатора [L, Л]:
+ eD(h^) + (eD(h),^) + 6D{h)^. (3.89)
Аналогичные рассуждения позволяют преобразовать
коммутаторы последних двух слагаемых в выражении
(3.85") для оператора П4 с оператором Л к виду:
[t£#p.P/(BC-1);/ + G(Q, 0. Al=0i)(A»/»);
= -y=h("PP(4-BC->y), &)+(вв{1). |>.

132 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Отсюда и из равенства (3.89) находим, что коммутатор
\tit9A]^eD(h^)+(eD(fi)t |)+МЛ)|.
Теорема доказана.
Замечание. Пусть Л(0 — оператор вида (3.84) на семействе
[Л*, /*?] с образующим вектором а (т, t) и /(т) —некоторая гладкая
функция. Тогда, в силу теоремы 3.4, оператор A1(t)=f(x(xf t))A(t)
также является обобщенным оператором рождения—уничтожения на
семействе [Л/, г*], причем его образующий вектор имеет вид
в(т,/)=/(т)а(т,/).
Аналогично § 5 операторы Л (t) на [Af, г?] удобно
представить в виде линейной комбинации специальных
операторов "вида (3.84)—операторов рождения и
уничтожения^ коэффициентами, являющимися гладкими
функциями по t. т. При этом,^ как будет показано ниже,
образующие векторы операторов уничтожения
принадлежат фактор-пространству rnl{TAx)% fa операторов
рождения— ^/(ТА1).
Приведем теперь ряд утверждений, проясняющих
свойства операторов рождения и уничтожения.
Лемма 3.7. 1. Пусть А—обобщенный оператор
рождения—уничтожения на лагранжевом многообразии с
комплексным ростком [Л*, гп] и /(т)ёС00 (Ak). Тогда
оператор А и оператор умножения на функцию f (т (х)) точти»
коммутируют между собой:
A/(T(x))-/(x(x))A«6D^/i). (3.90)
2. Пусть А и А—обобщенные операторы рождения —
уничтожения на лагранжевом многообразии с комплексным
ростком [Л*, г"], а(т) =Нд?) и а(и)=^(Ч (т) )— их об-
разующие векторы. Справедливо равенство:
ЛЛ—ЛЛ = /«#, Л>-<£, 4»(x(x)) + 6D(hV*) +
+ (в*(А), |), *€Д*. (3.91)
Здесь х(х)—решение системы (3.83). Иначе говоря,
коммутатор операторов А и А на функциях 6D(l) «почти»
совпадает с кососкалярным произведением образующих
векторов этих операторов.

ГЛ. III. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 133
Доказательство. Первое утверждение леммы
очевидно. Обратимся к доказательству второго
утверждения. Аналогично тому, как это^было проделано в
доказательстве теоремы 3.4, получаем
ЛЛ-ЛЛ-/(Й-ВС-^,(г/, £)(x-Q(x)(x))))+
+(ti-BC-^, (yf ^)(x-Q(x(x))))+
+ 6й(к*'*)+(Ык)*г)=1(<Ч-ВС-^ у>-
-Е(ч-вс-^®^Й-<ч-вс-л у)+
/=1 '
Последнее выражение в этой цепочке равенств в силу
тождеств BC~lQx =*Р% и косоортогональности векторов
(Л)»( - ) и \Qfr Z^1» ••*' k> совпаДает" с Дравой
частью (3.91).
Пусть *»-(*«) ^«-te8)-~»-
кие вектор-функции при каждом фиксированном т,
принадлежащие плоскости г* (т) Jt. е. плоскости, натянутой
на векторы [д^!д^!(1), *= 1, ..., я, линейно независимые
над кольцом гладких функций ср(т) € С°°(Л*)); пусгь далее
векторы а/ (т), i = 1,2, ..., n—fe> линейно независимы над
кольцом гладких функций с векторами Я/+«-й—(зо/^/) »
/== 1, ..., k9 и пусть at (т), ..., ая_£ (т)—комплексносо-
пряженные к ним векторы. Тогда справедлива лемма:
Лемма 3.8. Любой вектор а (т)= (Л £}) ,<*(*)€ Св(А*),
косоортогональный векторам an_k+i (т), ..., ап (т),
принадлежат линейному подпространству (над кольцом
гладких функций), натянутому на а1$ ..., an„kt aif.. *

134 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
. .., an-k>an-k+i> • • •» ап- Иначе говоря, существуют
функции fj из С00 (Лл), / = 1, ...,2л—ft, такие, что
2n—k def_
eW= S /A, aJ+n=aJt /=1, ...,n — ft.'
/=i
Доказательство. В силу невырожденности формы
{•, •} в С2" (см. например, [2,40]), достаточно показать,
что векторы аг (т),..., an_k (т), ai (т),... ,яЛ_Л (т), an_k+1 (т),
..., ап(т) линейно независимы при каждом т. Предположим
противное, т. е. что существуют такие функции
/>(т), /-1, ...,2/1-Л, 21/,М=0,
что
def_
где a/+n = aj, /=l,...,/z—ft. Рассматривая косоортого-
нальные произведения левой части равенства (3.92) с
векторами Яу, /== 1, ..., 2n—ft, получим, что функции
^(т) являются решениями следующих уравнений:
2 К>я*}//+*== 0, /=1 л-ft,
«-* - ~ (3.93)
2К^/}//=о, / = i,.... л—л.
[/=1
Обозначим через jBi и Сх матрицы размера ях(п—ft),
столбцами которых являются векторы т]х, ..., т]я_£ и
Ун - - 'уУп-k соответственно. В силу условия диссипатив-
ности матрица (^)1 = ^-(CiBj.—^Q) положительна. С
другой стороны, легко видеть, что (С\Вг—BlC^lj={aJial}.
Отсюда и из (3.93) следует, что ~ff = 0 при /= 1, .. *,п—ft,
п+1, .. .92п—ft. Равенство (3.92) тогда принимает вид
п
2 //(т)о,(т)=0.
/=Л-£+1
В силу линейной независимости #/+„-£ ~\dOi&ti >
j = 1, ..., ft, получаем отсюда, что ^ (т) = 0 при всех

ГЛ. III. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 135
/=1,...,2/г—kt что противоречит нашему
предположению. Тем самым лемма доказана.
Лемма 3.9. Любой обобщенный оператор рождения—
уничтожения Л, образующий вектор #=( < j) которого
принадлежит касательной плоскости ТАк (т. е. плос-
/ Р N
кости, натянутой на векторы ( q j ], / = 1,..., k),
переводит функцию ф€6д(1) в функцию Лф = 6/)(/11/2).
Доказательство. В силу определения оценки
6D(\) и формулы Тейлора, имеем
N
|v|=o
Далее, из равенства ц(х) — ВС~1(1;)у(т;) получаем
А = ^-(у(х(х)),^)~-^=<г1{х{х))-ВС^(х(х))у(х{х)),
x-Q(x{x))>=^-{y{x{x)),^).
Отсюда и из (3.93') следует равенство
lv|=o ч
X S *у (*~Q (т W))V-1;'A(xy-Q, (т(х))) + 6D(Л1/2),
/=i
где через 1у- обозначен мультииндекс (0, ...,/,..., 0).
Для завершения доказательства леммы осталось
заметить, что
A(x-Q<t (*))) =
/=i L /=i J
УК
г- k
rE^(TW)f|a-Q(TW),Qt (т(х))>+0о(/1^)1 =
=6D(/t1/*). (3.93")

136 Ч. 1. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Здесь gj (т) £ С* (Л*)—коэффициенты разложения
образующего вектора оператора Л по базису: (q^)» / =
J-~ x , • • • f fC*
В дальнейшем класс линейных дифференциальных
операторов с коэффициентами, зависящими от
параметра А, переводящих функции q> = 6D{ha) в|функции
Ф = 01)(Ла+1/2), будем обозначать через /. Объединяя
результаты лемм 3.8 и 3.9, приходим к следующему
важному утверждению.
Лемма ЗЛО. Пусть базис fli=(fT\)» ..., ап=
~ («!(*)) на плосКости г"(т) удовлетворяет условию: по-
слеоние k векторов из этого базиса принадлежат
касательной плоскости TAk(x).
Тогда любой оператор рождения—уничтожения А
представим в виде
A-sV/^WJAi + fttT^WAiJ + r. (3.94)
Здесь Л/ и Л,.—операторы рождения—уничтожения,
образующими которых являются соответственно векторы
а19 ...,an_k и ах, ..., а"Л-*;//(т), £/(т),/ = 1,.. .,n—k —
некоторые функции из С°° (Л*) и Т—линейный
дифференциальный оператор из класса /.
Последнее утверждение можно сформулировать
иначе. Заметим, что обобщенные операторы
рождения—уничтожения на [Л*, гп] образуют линейное пространство над
кольцом функций ф(т(л;)), ф(т)€С°° (Л*). Это
пространство обозначим через 2. Обозначим далее через гя(т)
комплексную л-мерную плоскость в С2Л, элементами
которой являются векторы, комплексно-сопряженные к
векторам плоскости гп. Введем подпространства &„ £?-г
и /0 пространства 3\ определяемые следующими
условиями: образующие векторы операторов из Зг% &~г и /0
принадлежат соответственно плоскостям гЛ, гп и
касательной плоскости TAk. Отметим, что в силу леммы 3.9,
/0с/. Рассмотрим теперь фактор-пространства J?/I0,J?r/I0
и 3-rll^ Из леммы 3.10 следует, что наборы операторов

ГЛ. III. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 137
Alf .. • • ЛЛ_Л и Aj, ..., An„k составляют базисы в
пространствах JZy/0 и «£у/0 соответственно и что
пространство &/10 разлагается в прямую сумму J2y/0 + J2V//0-
В дальнейшем пространства &г11ь и Sjlh будем
обозначать через L и L. Под образующими векторами
операторов из классов L и L естественно понимаются
векторы фактор-пространства гп/Т№ и гп/ТАк.
Изучим свойства операторов из классов L и L. В
силу леммы 3.7 операторы из L и L «почти» коммутируют
между собой:
А^2—A2AW7, 7ЙА1—A*Al==7\
Здесь A1, A2^L; A1, A* (EL" и Tg/. Далее, поскольку
из условия а= н!г? J €>"* следует равенство ti(t) =
=BC~1i/(t), то операторы из L есть операторы
дифференцирования:
Отсюда получаем, что действие /, / = 1, 2, ...,
операторов из класса L на функцию Ф = 6п(1) вида ф=
= 2 Ф^Л/2> где Ф* —^(Л"*/1), fe<0, переводит ее в
k=-Nt
функцию вида
Ф= 5 Ф«Лт/1. U»e0*(ftm/1). ™<0>
ms-ATt + l
т. е. понижают отрицательную степень по h функции ф,
и функция ф как бы «упрощается». При этом, если
l> Nif то ф^^б^Л1'*), т. е. действие более чем Nt
операторов из L на ф переводит ее в «почти» ноль,
«уничтожает» ее. Наоборот, действие / операторов из класса
L переводит функцию ф в функцию ф вида:
Ф- S* &"'*' Ф*-0* (*"*">. *<°>
увеличивает отрицательную степень функции ф по
параметру h, т. е. как бы «усложняет» ф, «порождает» новую
функцию.

138 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Определение 3.5. Операторы Л (Л),
принадлежащие классу L(L), будем называть операторами
рождения (уничтожения).
Покажем, что произвольную функцию <p = 6D(l) можно
записать в виде функции от операторов рождения,
примененной к единице.
Лемма ЗЛ1. Пусть <р(х,к)=6в(1), а/(т)= (Л/,(т!) —
произвольный базис на rn/TAk. Тогда существует един-
N
ственный полином % (р, т) = 2 Xv M Pv по переменным
Р — (Pi» • • • t Ри-а) с коэффициентами из класса С00 (Л*)
такой, что
Ф (*.*) = S^(tW)Av4..A>^.1+6d(AV2)> (з.95)
|vj=o
ArgA*.
Здесб t(#)—решение системы (3.83) и «*е/?гз Л/ обозначены
операторы рождения, образующими которых являются
векторы Я/.
Доказательство. Аналогично (3.93) имеем
Iv|=r О
(3.96)
где <pv(Q(т(я))) = [ *^™ /iW2jft=o—некоторые гладкие
функции.
Из уравнения (3.83) следует, что /-я компонента
вектора (л:—Q(x(x)) равна скалярному произведению
вектора х—Q(t, *) с вектором £/(т(л;))—проекцией
единичного вектора ej = [ * J на ортогональное дополнение в
R* к плоскости {ngA.k)(x(x)) (т.е. плоскости, натянутой
на векторы QTl (т (*)), ..., Q%k (т (#))).

ГЛ. III. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 139
Рассмотрим 2д-мерные векторы Яу= ( е^ ТМ, /=1, ...,я.
Легко видеть, что векторы Яу косоортогональны
векторам al+n„k — l 0 М, /=?1, ..., ft, и, следовательно, всем
векторам касательной плоскости 7 Л*. Отсюда получаем,
что первое слагаемое в правой части равенства (3.96)
имеет вид:
2 9v(Q(T(^))(A1)v1...(Ajv7l.1>
}v 1=0
где через Лу обозначен обобщенный оператор
рождения— уничтожения, образующим вектором которого
является вектор Яу = (~/) J. В силу леммы 3.10
операторы Лу. представимы в виде
Лу = | (ёи (т (х)) Л, + rtJ (т (х)) At) + Ту,
где операторы Ту принадлежат классу / и gtj(x) и
г и (т)€С°* (Л*). Используя последнюю формулу, находим
Ф(*)= 2 ^v(Q(t(x)))(S(^(tW)A,+
! v |=0 V=l l
+ О, (т (*)) At)Jl... ( S (ft. (* (*)) А, +
+ 0„(t(x))A,)J".1+6o(/i*/.).
Возведем теперь в правой части этого равенства суммы
в соответствующие степени и переставим с помощью
(3.91) все операторы At и At таким образом, чтобы все
операторы рождения Лг стояли слева от операторов
уничтожения Л,, /== 1, ..., п—ft. Воспользовавшись
затем тем фактом, что операторы Az переводят функции
6d(1) в функции 6D{hxi*)> получаем формулу (3.95).
Докажем единственность (3.95). Поскольку
выражение AJf1. .1Лд2£Л'1 есть полином по /1~1/я степени, не
превосходящей |v|, то единственность разложения (3.95)

140 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
будет доказана, если мы покажем, что из соотношения
2 Xv(tW)A?...A>.V-l =
= 2 £v С* (*)) ЛГ1 • • • Ajh*. 1 + 6D (Л1/.), (3.97)
lv|=m
где .Xvt 5Cv € С00 (Л*), следуют равенства %v (т) = Xv (т) Аля
всех v, |v|=m. Приравнивая выражения при h"m^ в
левой и правой части равенства (3.97), получим
2 (<*-Q(t(*)). Лу-5C-^»v(xv(tW)-
-Xv(^W))=ew, в-в^ (*«+■/.). (3.98)
Зафиксируем некоторое число т и рассмотрим множество
точек х, принадлежащих пересечению множества Ах и
плоскости N (т)—ортогональному дополнению в R"
плоскости п(ТАк(т)). Введем на плоскости N (т)
вещественный базис бх(т), ..., еЛ-й(т). Левая часть равенства
(3.98) на множестве Д*П#(т) в этом базисе, очевидно,
есть полином степени, не превосходящей т, а правая
часть—гладкая функция, m производных которой
обращаются в нуль. Отсюда находим 9=_0. Заметим теперь,
что комплексные векторы (г)у.—БС"1^), / —1, ...,n—й,
ортогональны векторам Qt:
<QV Чу—BC-»^>«<QV V —<PV */у> = 0.
Далее т|у-—ВС"1*/,- линейно независимы, поскольку в
л—fe
противном случае существовал бы вектор а= S^y^O»
линейно независимый с вектор-столбцами матрицы I с]
и косоортогональный этим векторам, что невозможно
(см. предложение 2.4). Тем самым показано, что
векторы т)у—ВС~гуу образуют (комплексный) базис на (ком-
плексифицированной) плоскости N(x). В этом базисе
левая часть равенств (3.98) с учетом равенства 8 = 0
принимает вид
\ 2 av(xv(t)—Xv(t)) = 0, »=(«! а^)сС»Ч
I v |=m
Отсюда получаем Xv = Xv> и лемма доказана.

ГЛ. Ш. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА J41
Замечание 1. Из леммы 3.11 и из способа доказательства
второй части леммы очевидно ^ледует независимость полинома х от
порядка действия операторов Лу, /=1, ..., n—k, [Лу, Лп]£/0.
Замечание 2. Последовательно используя лемму 3.11,
нетрудно показать, что для любых натуральных чисел т и iVj существует
полином
т N,
1=0 ivT>0
av
,0гП
с коэффициентами из С* (Л*) такой, что
т N,
Расстановка операторов Л/ в последней формуле при т^\ уже
существенна. При }/"Л = 0 полином %т совпадает с %.
Пусть alf . ..,ая»Л—некоторый базис в гп/ТАк.
Введем в рассмотрение п—fc-мерный вектор-оператор
(вектор-строку)
■ А-А,...,*..!). <3'">
Здесь Alf ..., ЛЛ_Л—операторы рождения, образующими
которых являются векторы ait ..., art«*. Оператор А
будем называть векторным оператором рождения в базисе
#*> • • • > &n-k'
Используя замечание 1 к предыдущей лемме и
обозначение (3.99), перепишем (3.95) в виде
Ф {х, h) = х (т (*), А)• 1 + 6D (Л**). (3.100)
Пусть а'и ..., ajj-fe—еще один базис в 7n/TAk и Л'
—векторный оператор рождения в этом базисе. Для этого
базиса и функции ср (х, К) также существует полином
х' (т, р') такой, что Ф (х, /t) = x'(* (*)Д') 1+М>*1/2).
Исследуем, как связаны между собой полиномы х (т> Р)
и 5С'(Т>Р') в базисах {а^} и \а\), * = 1, . ..,я—ft,
отвечающие одной и той же функцид ф(#, Л)==б£>(1).
Обозначим через Л1 (т) матрицу перехода от базиса
аи •.., <-* к базису alt ..., ад_л. Справедливо
следующее матричное равенство: (ии ... ,a„-*)=(ai,...»я*-*) М +
+ (ап_ш, ..., а„.) Здесь векторы art_ft+l (т), ..., а„ (*)

142 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
принадлежат касательной плоскости ТАк(х). Из
последнего равенства следует, что
Л = (Л'ОД)|т=тИ + 7\ (3.100')
где Т—(п—&)-мерный вектор-оператор, компоненты
которого принадлежат классу /0. Таким образом, по
mod 6D (h1/2) справедливо равенство % (т (#), Л) • 1 = % (т (#),
А!М (т (х))) • 1 = %' (т (л:) , Л') • 1. Это равенство и
единственность полинома %' (т, Р'), отвечающего функции ср (#, К)
в базисе {а/}, дает нам искомое соотношение между % и %':
Х'^П-Х^РМ). (3.101)
Учитывая последнее равенство, переформулируем
лемму 3.11. Рассмотрим пространство функций <р(л;, A)g
€С°°(Д*Х(0, 1]) таких, что Ф = 0/>(1). Отождествляя в
этом пространстве все функции, отличающиеся друг от
друга на 6D(h1/2), получим новое пространство, которое
мы обозначим через ofh(Ax).
Введем теперь расслоения, базой которых является
многообразие Л*, а слоями —плоскости гп(а) и фактор-
пространство гn/TAk (а), a $Ak. Эти расслоения
обозначим соответственно через [Л*, гп] и [Л*, г"/ТАк] (см. §3,
гл. П)._ Для того, чтобы задать элемент /€[ЛА, гп]
(/ g [Л*, гп/ТАк), следует задать точку а на Л* и вектор
g на плоскости г" (а) (вектор f на гп(о)/ТАк(о)).
Локальными координатами точки / = (ог, £)6[Л*, г"] (/ =
= (ff, 1)€[ЛЛ, гя/7\ЛЛ]) являются .k + n чисел (т, а) =
= Ьи . • • , тЛ> alf ..., ап) (и /г чисел (т, |5) = (т^ ..., тА,
Pi> •••»Р«-л))» гДе т—координаты точки a=^a(x), a a —
координаты вектора_ g на плоскости rw (a) (Р —
координаты вектора g на гп (o)/TAk (a)). Аналогично вводится
расслоение [Л*, гп/ТАк].
Замечание. В эталонном базисе на rn Р/ могут быть
отождествлены с a/, i = 1, ..., /г -— 6.
Легко видеть, что расслоения [Ак, 7п] и [Л*, rw/7"Aft]
получаются из расслоений [Ак, гп]9 [Л*, гп/ТАк]
соответственно, если в последних заменить все векторы ££гп

ГЛ. III. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА НЗ
и %£гп на векторы I 1, комплексно-сопряженные к \
и |. При этом в качестве базисных векторов а19 ...,ап
на гп и al9 ...,an_k на гп/ТАп. очевидно можно взять
векторы, комплексно-сопряженные к базисным векторам
а19 ..., ап на гп и а19 ..., an_k, на rn/TAk. Далее,
заметим, что расслоение [Л*, гл/ТЛ*] получается из
расслоения [Л*, гл], если на слое (плоскости) гп последнего
отождествить все векторы \ и £', такие, что £—g' £ТАк.
Обозначим через 5* ([Л*, rn]) пространство функций % (т, а)
на [Л*, гй], являющихся полиномом по второму
аргументу с коэффициентами, гладко зависящими от первого.
Через 5* ([Л*, гл/ТЛ*]) естественно обозначить
подпространство функций х из 5*[(ЛЛ, г"]) таких, что%(т, «) =
= X (т, а'), если £ (т, а) — £ (т, а') € ТЛ* (а (т)). Отметим
теперь, что при переходе от одной декартовой (не
обязательно ортогональной) системы координат на гп/ТАп
к другой декартовой системе координат функция % из
?Р([Ак9 7"]) преобразуется в функцию %', связанную е %
соотношением (3.10Г).
Определим теперь отображение (i, действующее из
пространства ([5* (Л*, rn/TAk]) в пространство о?н(кх),
положив для каждого полинома %(т, Р)€^([Л*, rn/TAk])
(£%)(*> Щ = % (т (л)» Л) • 1. Здесь (3—координаты на ~п/ТАк
в базисе 0ц . ..,а„, Л—векторный оператор рождения
размера (п—k) в базисе ait...,an и т(л;)— решение
уравнения (3.83). В силу равенства (3.101), определение
отображения $ корректно—т. е. не зависит от выбора
базиса (координат) на гп/ТАк. Теперь сформулируем
утверждение, которое, как легко видеть, эквивалентно
утверждению леммы 3.11.
Лемма 3.1 Г. Существует (одцдзначное)
отображение \i>~1:<&)h{&x)—+9*{[Ak> гп/ТАк])9* обратное к [I, /п. е.
отображение \i есть мономорфизм.
Определение 3.6. Пусть <р€еРл(Дх). Полином
% € & ([Д*> rn/TAk]) такой, что % = ix>q>(x,h), будем
называть каноническим полиномом функции у(х, К).
Замечание 1. Задача вычисления канонического полинома
по функции ф £ с?'/* (А*) в случае произвольного базиса на rn/TAk

144 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
весьма трудоемка и требует разрешения значительного числа
алгебраических уравнений. Исключение составляет тот случай, когда
базисные векторы 01 ап~ь на гп/ТЛк удовлетворяют условиям:
{ati aj} — idijt I, /=1, 2, ..., п —k, 6/.—символ Кронекера.
Тогда, в силу леммы 3.7, для операторов рождения Лу в этом базисе
выполнены соотношения: Л/Л/—Л/Лу = «б/. + Т, 7,^/0. Из
последнего равенства можно получить формулы для коэффициентов Xv W
канонического полинома ^""^(я, К) известными методами теории
поля.
Замечание 2. Пусть [Л/, г?], t£[o, г]—семейство лагран-
жевых многообразий с комплексным ростком, полученное
каноническим преобразованием £>// из начального многообразия Ао и ростка
г?. Обобщенным оператором рождения—уничтожения на этом
семействе естественно назвать оператор Л (t), образующий вектор
а(х, t) которого преобразуется во времени в силу системы в
вариациях (3.22), т. е. а(т, *) = dgJj(T, 0); корректность этою
определения очевидно следует из сохранения при каноническом
преобразовании кососкалярного произведения (см. предложение 2.4). Из того
же факта вытекает, что все свойства обобщенных операторов
рождения—уничтожения, описанные в леммах 3.7—3.11 и следствиях
из этих лемм, инварианты относительно канонического
преобразования £>я.
В заключение этого параграфа докажем утверждение
теоремы 3.2.
Доказательство теоремы 3.2. Фактически оно
уже проведено. В самом деле, в силу утверждений
теорем 3.1 и 3.5 и леммы 3.7, достаточно показать, что
2л-мерные векторы <*у(0) =*[*'! ) , где бу(т) определены
; ~*ШФЩ ' fP0x Wy
в теореме 3.3, косоортогональны векторам ( q * ^
/= 1, ..., k, и что
N
%(x,h)= 2 ^ivlA(Qe(TW)) х
85 «х-Q0 (х (х)), et (х (ж))»».... «х- Q0 (т (х)),
*вИ*))>Г") + МА'/а).
Здесь х(х)—решение системы:
<x-Q9(*), Q.t/(t)> = 0.
Оба эти утверждения были доказаны в лемме 3.11.

ГЛ. III. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 146
§ 7. Пространства функций £([Л*, гп/ТАк}). Сформулируем на
инвариантном языке теорему 3.1. Обозначим через S([Ak, rn]) класс
функций % (а, £), гладко зависящих от точек а£ЛЛ и аналитически
от точек 4 на гп. (Локально это означает, что функция % гладко
зависит от координат т на Ak и аналитична по координатам
а £ С» на гп.) В S([Aktrn]) рассмотрим подпространство
Sf([A*, rn/TAk]) функций %(а9 £) таких, что %(о, £)=х(а» & ). если
Пусть я—отображение из [Л*, гп\ в Cj:
«(a. B-QW + .(«. х), ,-(£«) , 8(-. t)-(;<J3).
Введем множество S с [Л*, -г*]:
'-(•«-(яй-^-с&з))"
тогда и только тогда, когда:
а) <г, QT^> = 0, /=1, 2, ..., Л;
б) вектор я(сг(т)+£(а, T)) = Q(x)-f-z(a, т) веществен и
принадлежит окрестности Ах (А*—то же, что и в § 5).
Предложение 3.1. Сужение отображения я на множество В
есть диффеоморфизм множеств Е и Ах.
Иначе говоря, в Ах однозначно ■ и гладко разрешима система
уравнений Q (т) + z (a, т) = х.
В силу предложения 3.1 существует отображение у, обратное
к отображению я: S—►А*, у=я • Отображение у: Ах—>В
индуцирует отображение у*: S([Afc, гп/ТАк])—►С" (А*), именно,
для любой функции %£S([Afc, гп/ТАк]): Y*(X)=X(yW)« Нетрудно
показать, что в эталонном базисе отображение 7* определяется
формулой
(*ЛсМ*) = Х(а. *)|a*v<*)' 5as^ •••. ««-*)•
Y—(л—&)-мерный вектор с координатами у/: <Й=(^"1(т(х))) X
X (х-Q(t (*)))/, *=1, .... я-А.
Заметим, что отображения, обратного к y*> н« существует, и
справедливо лишь следующее утверждение (впрочем, вполне
достаточное для построения приближенных решений переноса).
Предложение 3.2. Для любых <р £ С" (А*) и
натурального N существует функция хлг € С°* [(Л*,г»/ГЛл]) такая, что
9W = (V*XAr)W+0D(^+1/a), D=<x-Q(tW), *-Q(t <*))>.
Эта функция имеет вид:
Х*= Z ^1JT«W)(«(«^))-
Iv1=0 0*
Учитывая, что функция y*% = 0£>(hM/2) тогда и только тогда,
когда d1 vbCjv/dav|£=0==0, |v|<M, будем обозначать функции
% 6 5 ([Л*, rn/(TAk)])t удовлетворяющие последнему условию, через

146 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
0D(hM^). Далее, пусть % = 0D(hM^) и %ф 0D(h{M + 1>/2), тогда
главной частью функции % назовем функцию
Хгл(*,т)= X ^^<T>°>2V-
|v|=M <«
Пусть D# — каноническое преобразование в С2й, отвечающее
функции Гамильтона H(ptq), и [Л$, /*{?] — лагранжево многообразие с
комплексным ростком. Отображение D# индуцирует отображение
Ш*: S([Aj, /J/ГлЯ) —S([A$, r?/7A?]).
Пусть [А*, г?], *£ [О, Т], удовлетворяет условиям п1 — пЗ, функция
Хо€$[Л(>, rnjThl]y X = 0D(hN^2) и F(t) — гладкая по t функция со
значениями4 в S([Akt,rnt/TA)]) такая, что F<*) = 0/, (*"/•),*€№. Г],
W—некоторое натуральное число. Введем функцию
О
и через у£ обозначим отображение
у* : S ([А?, г?/Г А)]) -+ С- (Д*, *).
Теорема 3.1'. Пусть выполнены условия п1 —пЗ; тогда на
множестве /£[0, 71], A^jcR**4"1 функция ср(я, 0 = у*%* является
приближенным по modOs2(hN^2 + 1^2) решением уравнения переноса
с правой частью F(x, t) — y*F, при этом у(х, 0) = yl {%JVJ Ф))-
Замечание. Из лемм 3.11 и 3.1 Г предыдущего параграфа
следует, что для любой функции %£S ([A*, rn/TAk)] существует
(канонический) полином % £ $* (№k, rn/TAk]) такой, что (ун%) X
Х(х, /*) = (цХ) (я, К). Аналогично теореме 3.1, используя последнюю
формулу, нетрудно получить инвариантную форму решения
обобщенного уравнения переноса (теоремы 3.4, 3.5).
§ 8. Обобщенное уравнение переноса с правой частью. Теория,
развитая в этой главе, позволяет построить формальные
асимптотические решения по mod О (Л3/2) задачи Коши для уравнения Шре-
дингера (гл. I). Предположим теперь, что требуется найти решение
этой задачи с точностью до О (ha), a > 0-— произвольное
положительное число. Решение этой задачи будем искать в виде:
м
^«^'.О/л 2<р*(*. U h), (3.102)
fc=0
где S(x, t)^C°°(Rn+1)f ФИ*, t, h) — 0s2{hk^2) — новые неизвестные
функции, ImSj^sO. Подставляя функцию (3.102) в уравнение (1.11)

ГЛ. III. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 147
и приравнивая члены одинакового порядка малости по 6s2(h )>
получаем следующее утверждение.
Лемма 3.12. Пусть функции S (x, t), <рь(х, t, h)
удовлетворяют соотношениям:
#+т(§)2+>М=Фо, (З.ЮЗ)
ЧГ+{§> ^)+±AS.^-ihAn + Rk=Q>k+1, (3.104)
& = 0, 1, .... М.
Здесь G)0 = 6sAh3/2)> Ф* = 6$Л^~"1/2), *=1» •-., М,-невязки9
полученные в k-м уравнении в результате подстановки в это уравнение
функции ер* и #о = 0, Rk = l °д*"1+Фл. *=1. 2» •••, А*. Гозда
функция ty(xt tt h) удовлетворяет уравнению (1.19) с точностью до
0(А<А1+8)/1).
Доказательство очевидно.
Далее, легко видеть, что в силу формулы Тейлора функция
вида (3.102) при £ = 0 будет удовлетворять с точностью О (h^M +1^2)
данным Коши (1.11'), если функции 5, ср0, ..., <рдо при * = 0
удовлетворяют условиям:
S\t=Q = S0(x) + o0(x), (3.105)
/ М д
Фвк=о=Фм( 1+2(т) )+0iw> <ЗЛ06>
Ф* \t=o = rk (*, h) + Gk+1 (*), (3.106')
где для невязок оу(#, h)t / = 0, 1, ..., М, выполнены оценки
M*)=G&(*3/a). */<*, А)=в*(А(/ + 1)/2) и
r/(x, h) = — Oj(x, h), / = 0 М.
Функции 5(л;, 0 и ф0(#, 0» удовлетворяющие соотношениям (3.103),
(3.104) при /г = 0 и соответствующим начальным данным (3.105),
(3.100), очевидно, есть приближенные решения задачи Коши для
уравнения Гамильтона —Якоби и обобщенного уравнения переноса.
Способ их построения изложен выше. Рассмотрим соотношения (3.104)
|?ри k^z 1. В общем виде эти уравнения можно записать следующим
гбразом:
dy/dt + Пф = F (х, t, A), (3.107)
где S(x, 0 — приближенное (по modOs2(h3^2)) решение
соответствующего уравнения Гамильтона — Якоби, F (x, t, h) = Qs2(hk,2)>
G (xy 0 —заданные гладкие функции. При этом в силу (3.102) ищутся
решения q>(*, tt h) — Qs2{hk^)y удовлетворяющие этому уравнению
с точностью до 05а(^+1)/2) и начальным данным вида
Ф|*=о = ф(*. u)=6sa(^/2) (ЗЛ08)
с точностью до 05i(^(ft+1)/a)-

148 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
О'п р е'дХл'е н и е [3*7. Уравнение (3.107) назовем обобщенным
уравнением переноса с правой частью Ft отвечающим функциям H,StG.
Гладкую функцию ф(лг, tt Л), удовлетворяющую указанным выше
требованиям, назовем его приближенным решением.
Сведем задачу построения приближенных решений (3.107) (3.108)
к рекуррентной системе обычных уравнений переноса с правой
частью. В силу определения класса 6sa(/i^2), имеем:
F= У *<(*. 0А('+*)/а + б5,(Л(*+1)/2), *,=0Л(*-'/«), /<0,
Ф= S Ф,(*)Л('+*)/4 + 65.,(^+1)/2). Фг = 05оЛА-'/а). /<0.
Здесь ЛГЬ ЛГ2, Li, L2—некоторые натуральные числа. Исходя из
последних равенств, будем искать решение задачи (3.107), (3.108)
в виде
L
Ф= S Ф|(*.*)Л<|+*>/\ (3.109)
где # = тах(#ь N2) и ф/(я, 0=^5а(^""^2) при /<0. Подставляя
функцию ф (3.109) в уравнение (3.107) и приравнивая выражения
при одинаковых степенях h к нулю, получаем, что ф (3.109) есть
приближенное решение задачи (3.107), (3.108), если функции ф^,
/=—N, — #+1, ..., являются приближенными по mod Qsz (Л(/+1)/2)
решениями системы (обычных) уравнений переноса с правой частью
(ср. с § 5 этой главы):
^'-Lftcn FJL1 V И (dS г Л а2ф/"2
т. /=1 ч t m j
(3.110)
q>ilt-e-»£f(*)t '==-#, -лг+i. ..., о.
Решая последовательно эти уравнения, находим приближенное
решение задачи Коши (3.106) для обобщенного уравнения переноса
с правой частью (3.104).
Замечание. Поскольку система уравнений (3.110)
приближенно разрешима при тех же предположениях, что и уравнения
(3.103), (3.104) (& = 0), то эти же условия обеспечивают
приближенную разрешимость обобщенного уравнения переноса с правой частью
(3.104). Из этого факта, в частности, следует, что если функция
ty(xftfh) — Q (1) является асимтотическим решением уравнения (1.19)
по mod О (Л3/2), то для любого натурального числа М существует
функция i|>i = 6(ft1/a) такая, что функция i|)-)-i|)i будет
асимптотическим решением этого уравнения по mo&(hMl*). Это означает, что
функция i|)(x, t, h) (3.102) является главным членом формального
асимптотического решения по modO(hM^2) уравнения (1.19).

Глава IV
СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ
ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
§ 1. Каноническая система стационарных уравнений.
В § 1 гл. I было показано, как из конструкции
асимптотического решения задачи Коши для уравнения Шре-
дингера (а также уравнения (1.19)) возникает
каноническая система уравнений. Производные по одной из
переменных (времени /) входили в эти уравнения линейно,
т. е.-рассматриваемые уравнения были разрешены
относительно одной из производных.
Рассмотрим теперь класс задач, приводящих к системе
канонических стационарных уравнений Гамильтона —
Якоби и переноса. Пусть вместо (1.19) требуется решить
с точностью до О (h2) уравнение
H(—ihd/dx, x)u = Q. (4.1)
Здесь Н = Н(р, q) £ C°° (R2*) —функция Гамильтона.
Будем, как и раньше, искать решение уравнения (4.1)
в виде и = е1'5/л<р, где S(x), cp(#, h)—новые известные
функции. Подставляя функцию u = eis/h(p в (4.1) и
приравнивая к нулю члены разложения при нулевой и первой
степени h (как и в § 1 гл. I), получим каноническую
систему уравнений, неразрешенных относительно какой-
либо из производных
Я (§,*)= О, (4.2)
(4.3)

150 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Определение 4.1. Уравнения (4.2), (4.3) будем
называть канонической системой стационарных уравнений,
отвечающих функции Гамильтона Н(р, q).
Как будет показано в гл. IV, к системе уравнений
(4.2), (4.3) сводится задача построения собственных и
обобщенных асимптотических собственных функций
псевдодифференциальных операторов. Введем соответствующее
определение. Пусть функция
L = L(/7, <7,/0€C~(R*«[0, l]).
Определение 4.2. Обобщенной асимптотической
по modO(ha) собственной функцией псевдодифференци-
1 2
альногооператора L (— ihdjdx, х, /*), отвечающей числу Я,
называется ограниченная в R" функция и(х),
удовлетворяющая с точностью до 0(ha) уравнению
12 /4 4)
L(—ihd/дх, х, h)u = Xu. v ' '
Для построения обобщенных асимптотических по modO(h2)
собственных функций вида u = eiS/h достаточно, очевидно,
решить систему (4.2), (4.3), в которой
H = L(p9q,o)—%.
В этой главе будут построены приближенные
(комплексные) решения канонической системы (4.2), (4.3),
обладающие тем свойством, что множеством нулей мнимой
части действия—функции S(x), удовлетворяющей
уравнению (4.2), являются некоторые гладкие незамкнутые
поверхности (или кривые) в пространстве RJ. Случай,
когда равенство ImS = 0 определяет замкнутую
поверхность (или кривую), рассматривается в гл. VI. В
дальнейшем предполагается аналитичность функции Н(р, q)
по переменной /?. Кратко остановимся на способе решения
системы (4.2), (4.3). Легко видеть, что задача построения
приближенных решений этой системы эквивалентна
построению решений 5 (х, t) и (р(х, t, h) нестационарной
канонической системы (1.14), (1.14'), отвечающей
функции H(p,q), таких, что dS/dt = d<p/dt = 0. В силу
утверждений гл. И, решение S (х, t) нестационарного уравнения
Гамильтона—Якоби есть действие на семействе лагран-
жевых многообразий с комплексным ростком [Л*, г?] =

ГЛ. IV. СТАЦИОНАРНОЕ УР-НИЕ ГАМИЛЬТОНА— ЯКОБИ 151
=0ИА1гЯ*). Нетрудно видеть, что условие
независимости функции S(x, t) от переменной t эквивалентно
условию
[Л?, rfl = Db [Л*, rjf] = [Л?, г?], (4.5)
выражающему инвариантность лагранжева многообразия
с комплексным ростком [Л*, г"] относительно
канонического преобразования DfH.
Таким образом, исходная задача (построение
приближенных решений системы (4.2) (4.3)), фактически сводится
к отысканию лагранжева многообразия с комплексным
ростком, удовлетворяющего условию (4.5).
§ 2. Инвариантные лагранжевы многообразия с
комплексным ростком.
Определение 4.3. Приближенным (комплексным)
решением уравнения Гамильтона—Якоби (4.2) будем
называть гладкую функцию S (х) = S1(x) + iS2(x), S2>0,
удовлетворяющую этому уравнению с* точностью до
Os2(h3/2), т. е.
Н(§9х)=08ш(№*). (4.6)
Замечание. Раскладывая по формуле Тейлора функцию
Н (р, q) в левой части уравнения (4.6) в точке p = dSi/d#, q=x,
получим аналогично § 1 гл. I, что функция «S (х) = «$! (х) + iS2 (x)
будет приближенным решением уравнения (4.2), если функция S(x)
удовлетворяет соотношению
„fdSx \ . ./„ dSt \ dS2\
НЫ>Х)+1\НР-дх->Х)> Ж/"
-т(§ ■"-(§ .*)§}-*.<»'«>• ("»
Прежде чем перейти к построению приближенных
комплексных решений уравнения (4.2), напомним
известные конструкции, связанные с (точными) вещественными
решениями этого уравнения. Щ'г ;-*\
а) Пусть Н (р, q)—функция Гамильтона. Лагранжево
многообразие Ап = {(/?, q) £ R|V q = q (a), p = p (a), a g R£}
в 2п-мерном фазовом пространстве Щ?р называется инва-
*) Здесь и далее предполагаются выполненными условия п1—пЗ
§3 гл. III для [Л*. А\ *€Р. Л-

152 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
риантным относительно канонического преобразования gfH,
отвечающего функции Гамильтона Я, если Лл
удовлетворяет одному из следующих (эквивалентных) условий:
lt) #|A,* = c = const;
/2) для любой точки a g Л" и любого t g R gfH a g An
и существует точка о£Ап такая, что o^gho;
13) в некоторой окрестности произвольной точки а € Ля
на Ап=*{(р9 q)$A%p: р = р(а)9 q = q(a)} можно ввести
такие координаты а = (а, f) = (а*, ..., ал_ь 0. что
функции р(а, /), q (а, 0 являются решением системы
Гамильтона
p = -Hq(p9q)9 q = Hp(p9q). (4.8)
Говорят, что многообразие Л* лежит на нулевой линии
уровня функции Гамильтона Я (/?, ^), если константа с
в условии 1г) равна 0. Всюду в дальнейшем, если не
оговорено особо, мы будем предполагать, что
многообразие Л71, инвариантное относительно преобразования gj/,
лежит на нулевой линии уровня функции Гамильтона Я.
Li б) Пусть Л* = {(/>,?) 6 R*%: p = p(a9t)9'q = q(a9t)9
a^RS"1» *€ R1}—лагранжево многообразие,
инвариантное относительно канонического преобразования g*H9
отвечающего функции Я (р9 q)9 и пусть действие на Л"-функ-
ция S (a, t) удовлетворяет соотношению
3S (а, *) = </>(<*, 0. dq(a9 t)>.
Тогда, если якобиан «/ = с1еК, q А пф0, то функция
S (х) = S (a, tf) \aesaix). где а (х), t (x)—решение уравнения
t=t(x)
q(a9 t)~x—является решением уравнения Гамильтона —
Якоби (4.2).
Гв) Пусть Л!""1 = {(/?, 9)€R2": Р = Л(«), <7 = <7о(я),
a^RS"*1}—л—1-мерное лагранжево многообразие,
лежащее на нулевой линии уровня функции Гамильтона Н(р9 q)
и трансверсальное траекториям системы Гамильтона (4.8).
Если Л" = Ug/fAf""1, *€R, является многообразием, то
Л* лагранжево и инвариантно относительно
канонического преобразования gfc при этом, если на Мп'1
существует действие 50(а)—функция, которая является

ГЛ. IV. СТАЦИОНАРНОЕ УР-НИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ 153
решением уравнения dS0 = <p09 dq0>,— то при достаточно
малом Т на Ап существует функция S(a> t),
определяемая формулой
t
S(a, *) = S0(a) + J</?, ?>(a, T)dt, 0 < t < T,
о
причем, в тех точках многообразия Лл= и^яМ**"1»
*€(0, Т), где J^^g-^j^^O, функция S(x) =
= S(a, /)La(JC) (a(x), *(x)—решение уравнения
t=t (x)
q(a,t) = x) является решением уравнения (4.2).
Таким образом, задача построения (локального)
вещественного решения стационарного уравнения
Гамильтона— Якоби сводится к построению лагранжева
многообразия, инвариантного относительно канонического
преобразования, и последующему вычислению действия на
этом, многообразии. Аналогичная ситуация имеет место
и в случае комплексных решений стационарного
уравнения Гамильтона — Якоби. Приводимое ниже определение
является обобщением на комплексный случай условия
инвариантности 12) вещественного случая.
Определение4.4. Лагранжево многообразие с
комплексным ростком [Л*, гп]: Л* = {(/?, q)£Rq%: р = Р(т),
<7 = Q(t), t=(t1, ...,t*)}, rn = (w(a9 т), z(a, т)), agC",
называется инвариантным относительно канонического
преобразований Dm, отвечающего функции Гамильтона
Н(р9 q), если выполнены следующие условия:
а) Многообразие Л* лежит на нулевой линии уровня
функции Н(р, q):
H(P(x)Qf (т)) = 0;
б) Для любой точки a € Л* и любого t € R gfHa g Л*
и существует точка o£Ak такая, что a = gj/a;
в) Преобразование dg*H переводит плоскость гп(о),
сг£Л*, в плоскость rn(gho).
В следующем утверждении приводятся необходимые
и достаточные условия инвариантности лагранжева
многообразия с комплексным ростком относительно
канонического преобразования DJf.

154 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Предложение^1. Лагранжево многообразие с
комплексным ростком [Ak, гп]
Л* = ((р, <7)<ER2*: Р = Р(*), <7=<Э(т)),
rn = (w(a, т), z(a, т)), £> 1, т = (т1э ..., t^RJ,
а = (а1э ..., aj€C",
инвариантно относительно канонического преобразования
D*h в том и только том случае, когда локальные
координаты т на Ak можно выбрать таким образом, что по
одной из этих координат (будем считать, что это xk
и обозначать tk = t) функции P{t), Q(x) есть решения
системы Гамильтона
Q = HP(P,Q), P = -Hq(P,Q), (4.9')
а функции w(a, т), z(a, т)—системы в вариациях
w = -Hqp(P, Q)w-Hgq(P, Q)z,
z = Hpp(P, Q)w + Hpg(P, Q)z.
Доказательство. Достаточность очевидна.
Докажем необходимость. Пусть а0—некоторая точка на А*.
В силу инвариантности Л* и неравенства k^l
существуют:
а) (k—1)-мерная поверхность (возможно с краем)
Мкшт1с:Ак с координатами xlt ..., xk-19 содержащая точку
т0 и трансверсальная бихарактеристикам гамильтоновой
системы (4.9), проходящим через Mk'x.
б) окрестность U£&k точки сг0 такая, что UzdM^1
и каждая точка а из U получается из некоторой
(единственной) точки а(тх, ..., xk_y) на Л1*"1 каноническим
преобразованием gfH за время t: o = gfHG(т19 ---,tk-i)>
111 ^ t (a (£/0)). Таким образом, каждая точка a g U
характеризуется набором k чисел (xlf ..., тЛ-1> t), которые
мы и выберем в качестве локальных координат в U.
По построению вектор
a(Tlf...,TA.1,o=(^;;;;;;;^:;;;j), о*?.
по последней координате / есть решение
соответствующей гамильтоновой системы. Пусть теперь гп
(а)—семейство плоскостей комплексных ростков в точках agf/.

ГЛ. IV. СТАЦИОНАРНОЕ УР-НИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ 155
В силу инвариантности [А*, гп] (см. условие в)) каждый
вектор
а(**1> •••» Ч-ь *><*и •••» ай)€гп(а(т1, . ..,тЛ_1э t))
может быть получен из некоторого (единственного)
вектора а из гп(о(т19 ..., тм)), a^Mk"1f
преобразованием dgfH:
a = dgtHa(T1, ...9rk-19a19 ...,aj.
Выбирая в качестве координат вектора a g rn (о)
координаты а19 ..., ап вектора a£rn(o)9 agAf*"1, получаем,
что а есть решение системы в вариациях (4.9).
Замечание. Легко видеть, что в том случае, когда
многообразие Л* односвязно, координаты (т$, ..., хь-и t) на [ЛЛ, гя],
указанные в предложении 4.1, можно выбрать глобально. В
частности, этот факт имеет место в случае, когда множество Ьх = (х£11п:
x = Q(t, t)) — проекция Ak на <7-плоскость R2* — есть гладкая одно-
связная ^-мерная поверхность, диффеоморфная области из Rjj*.
Пусть [А*, г»], А* ={(/>, 9)6R2n: Р = Я(т), <7 = Q(t),
feRx}» гл = (до(а, т), 2 (a, т))—лагранжево многообразие
с комплексным ростком и S(x)—действие на нем.
Напомним, что в замкнутой окрестности Ах поверхности 6* =
= (x£Rn: x = Q(r))9 в которой однозначно и гладко
разрешима относительно, т (х) система уравнений
<*-Q(x)f Qv(T)> = Of /=1, ...,*, (4.10)
действие S(x) равно
S(*) = S0 + $ <Р(т), dQ(r)>+ </>(*(*)), x_Q(T (*))> +
То
+ ?<x-Q (t (х)),ЯС-*(т (*)) (x-Q(r(x»)>, S0=const, (4.11)
а при x(fcAx выполняется неравенство Im S ^ с > 0.
Здесь B = dw/da9 C = dz/da9 x(x)—решение системы (4.10)
hjJo = fob .-., ъок)—некоторая точка в R*.
Теорема4.1. Пусть лагранжево многообразие с
комплексным ростком [А*, гп] инвариантно относительно
преобразования [рЬ, отвечающего функции H[(pfq)9 и
удовлетворяет условиям п1—п2. Тогда функция*
S(x)—действие на [А*, гп]—является [приближенным решением
Уравнения Гамильтона—Дкоби (4.2).

156 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную
задачу Коши
|f+ #(|§, *) = 0, 5{x90) = S(x). (4.12)
Здесь S(x)— действие на [Л*, rn]. Теорема, очевидно,
будет доказана, если мы покажем, что S(x, t) не
зависит от t. При k = Q утверждение теоремы очевидно.
Рассмотрим случай k > 0. Согласно теореме 2.3 гл. II,
приближенным решением этой задачи является действие
S(x, t) на семействе
согласованное с S(x) формулой (2.33'). Точки ot = g*Ho =
= 8н (Р (*)> Q (т)) на семействе Л^ будем обозначать через
Р(19 0» Q(x> 0- В силу предположения теоремы имеем
eJfA* = A*tf *6RS
и, следовательно, для каждой точки, (Р(т), Q(t)) на Л*
найдется точка Р(т*)9 Q(x*) с координатами т* такая, что
8*н(Р(х% Q(xO)-(*(*. 0. Q(^ 0) = (^(т), Q(t)).
(4.13)
Равенство (4.13), очевидно задает новые координаты
т* на Л*. Заметим, что, используя эти координаты, можно
представить функцию S(x), определенную формулой
(4.11), в виде (т0 = const, S0 = const, т£ = (т0)*):
To fix)
S(x) = S0+ 5 <P, dQ>+ J <P, dQ> +
+ <P(t<(*))> *-Q(t< (*))> +
+ у <*~Q (* («)). ЯС-* (x* (x)) (x-Q (*■(*)))>. (4.14)
где т* (х) — решение системы Ос—Q(t*), <2т<(т*)> = 0,
/=1, 2 fe. Применяя теперь теорему 2.4 (ее
условия для (4.12) очевидно выполнены, и при этом на
семействе Рн[Ак, гп] в качестве координат выбраны коорди-

ГЛ. IV. СТАЦИОНАРНОЕ УР-НИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ 167
наты т*), получим решение 5(х, t) задачи Коши (4.12):
§(х, 0 =» S, + J <P, dQ>+\ «Р (*, tt), tl (t*, tt)>-
т0 О
-H(P(rt,t1),Q(¥,t1)))dt1 +
tUx, t)
+ $ <P(^,t), dQ(x*, /)> +
+ <£ (t* (x, t), t), x-Q (т* (x, t), t)> + .
ВС-ЦхЦх, t), 0(*-0(t'(*> 0. 0)V (415)
где В=д»/да, C=dz~/da, £) -4rfr (Г/а.'т,'//) •и * <*•'> ~
решение системы <x—Q(t', *). Qx< (*', Ф = 0,/ = 1, .. .,k.
Учитывая равенства (4.13), (4.14) и условие
^£яг"(£яог)==г*(0)» СТ€Л*, из формулы (4.15) находим
связь между функциями S(x, t) и S(x):
S(x, t) = J <(P, dQ> + S «Р(т*, fj, Q(t', tt)>-
t. о
-Я(Р(4, /J, Q« Wd^ + Six), (4.16)
где S(#) имеет вид (4.14).
Поскольку для всех tx € R1 точка а (т*, f х) = (Р (т*, *х),
Q(T*> *i)) принадлежит Л*, то из условия а)
инвариантности [Л*, гЛ] следует, что ^ 1а(т*, /J ==0- Таким
образом, для завершения доказательства теоремы 4.1 нам
осталось показать справедливость следующего равенства:
t k*S
$<Р(т<, tt), Q(xf, /^dr, = -$</>, dQ>. (4.17)
0 т0
Из условия а (т£, tj € Л* следует, что левая часть этого
равенства есть интеграл от дифференциальной, формы

158 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
<Р, dQ> по некоторому пути I (aj, a0) на Ak, где
оЦР(ч1 0), Q(t<, 0)) = (Р(т<), Q(tJ))t
cr0 = (P (т1 t)9 Q (Ц, t)) = (P (т0), Q (Te)).
Отсюда немедленно следует равенство (4.17). Теорема
доказана.
Замечание 1. Если условие а) в определении
инвариантности лагранжева многообразия с комплексным ростком заменить
на условие:
где Е—некоторая вещественная константа, то, как легко видеть,
функция §(х, 0— решение задачи (4.12)—-уже будет зависеть от t:
S = —Et+S(x).
Замечание 2. Отметим, что утверждение теоремы
4.1—-локальное и остается справедливым, если в этой теореме
а) вместо Ak рассматривать область U aAk такую, что
множество bx(U) — проекция U на ^-плоскость R2*— есть гладкая одно-
связная ^-мерная поверхность (с краем) в Rn; б) заменить
множество Ад. на множество Ад. (U) — замкнутую окрестность поверхности
Sx(U), содержащую границу 6X(U); в) функцию S (х) на множестве
AX(U) по-прежнему определить формулой (4.11).
Для доказательства достаточно заметить, что при достаточно
малых U gbu ~ U (~—диффеоморфизм) и, следовательно, все
рассуждения в доказательстве теоремы 4.1 остаются в силе в
рассматриваемом случае.
В дальнейшем нас будет интересовать случай
инвариантных одномерных лагранжевых многообразий с
комплексным ростком (&=1). В этом случае ЛЛ = Л1 есть
бихарактеристика Yt = {py q: p~P(t), q = Q(t)\ системы
Гамильтона (4.3), отвечающей функции Гамильтона
H(p,q)9 и условия теоремы 4.1 формулируются
следующим образом;
Qi) H(p9q)\Ti=09
Q2) Траектория {х: x=Q(t)} не имеет точек
самопересечения и незамкнута.
Q3) \Q \ф0, т. е. бихарактеристика Г^ диффеоморфно
проектируется на ^-плоскость.
Точки на траектории {х: x = Q(t)}9 в которых не
выполняется условие Q3, называются фокальными. Таким
образом, мы требуем, чтобы на траектории {x£Rn:
x = Q(t)} отсутствовали фокальные точки.

ГЛ. IV. СТАЦИОНАРНОЕ УР-НИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ 159
В заключение этого параграфа отметим, что понятие
инвариантного лагранжева многообразия с комплексным ростком относительно
канонического преобразования Dh можно обобщить на случай
произвольных преобразований. Именно, пусть Л —преобразование,
переводящее [Ак, гп] в некоторое лагранжево многообразие с
комплексным ростком [Лд, га].
Определение 4.5. Лагранжево многообразие с комплексным
ростком [Л*5, гп] называется инвариантным относительно
преобразования А у если
[Л1 гЦ = [Л*, т].
§ 3. Обобщенная задача Коши для стационарного
уравнения Гамильтона — Якоби. Рассмотрим теперь
задачу Коши для уравнения (4.2) на плоскости хп = 0.
Поскольку уравнение (4.2) нелинейное, то, вообще говоря,
задания только функции S (х) = St (x) + iS2 (х) при#Л = 0
недостаточно для определения решения в окрестности
плоскости хп = 0. Обозначим через y = (xlf ..., *„-i)
координаты плоскости, трансверсальной плоскости хп = 0.
Под задачей Коши на плоскости х = 0 для уравнения (4.2)
будем понимать следующую задачу: найти решение
уравнения (4.2), удовлетворяющее условиям Коши
SUeB,-Se(y)f ImS0>0, (4.18)
§L-.-6 0f). (4Л9)
Здесь S0(y), |(i/)—заданные комплексные гладкие
функции, для которых выполнены условия согласования:
H(S0(y), у, 0) = 0, (4.20')
щ- = Ь(У)> / = 1 «-I- (4-20")
Приближенным решением задачи Коши (4.18)—(4.19) на
плоскости для уравнения (4.2) назовем функцию S (х) —
= Бг (x) + iS2 (x), удовлетворяющую уравнению (4.2)
с точностью до Os.2(h3/2) и условиям Коши (4.18), (4.19)
с точностью до 05оа(А3/2), Os (ti), a условиям
согласования (4.20'), (4.20") с точностью до 0So2(h)f 05оа(&1/2)
соответственно. От п-й компоненты вектора g
дополнительно потребуем, чтобы
____ Im g, = Os. (Л»/«) *).
*) Это условие обеспечивает существование приближенного
гладкого решения задачи (4.2), (4.18), (4.19).

160 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
В том случае, когда уравнение (4.2) линейно
относительно производной dS/dxn, поставленная задача решена
в гл. II. Здесь мы рассмотрим стационарное уравнение
Гамильтона—Якоби. На начальную функцию S0(y)
наложим те же условия, что и в § 1 гл. II: уравнение
ImSo = 0 определяет гладкую k—1-мерную поверхность
в Rn~x9 и ранг матрицы d2S0/dy2 на этой поверхности
равен п—k.
Покажем сначала, каким образом получить диссипа-
тивное /г-мерное лагранжево многообразие с комплексным
ростком, инвариантное относительно канонического
преобразования, из лагранжева многообразия с комплексным
ростком меньшей размерности. Пусть в 2я-мерном фазовом
пространстве R2* задано k—l-мерное лагранжево
многообразие *)
М*-1 -{(/7, </)€R2*: р = Р§(*). ? = QW,
т = (т1, ...,ти), *>1},
и пусть каждой точке а (т) многообразия Мк~г
сопоставлена (п— 1)-(комплексно)-мерная плоскость р""1 (с) в
комплексном фазовом пространстве С2", гладко зависящая от а.
Определение 4.6. Плоскость р"""1 будем называть
(п—\)-мерным комплексным ростком, а совокупность
(М*"1, р71"1)—диссипативным (k—1)-мерным лагранжевым
многообразием с комплексным ростком и обозначать [Мк~г,
р*"1], если для р72"1 выполнены аксиомы гх) и г2)
комплексного ростка, и если для любого набора п—1 линейно
независимых векторов aj=(w{) , /=1,2, ..., п—1,
принадлежащих плоскости р*"1, матрица
где
неотрицательна и имеет ранг п—k. Плоскости р*""1 (как
и гп) можно задать уравнениями р = до(а, т), q = z(a, т),
где \(\)—2п-мерная вектор-функция, линейная по
аргументам a = (alf ..., аяв1) и гладкая по аргументам
*) При fc=l точка м0 = (р=Р0» ?=Qo).

ГЛ. IV. СТАЦИОНАРНОЕ УР-НИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ 161
т = (т1, ..., t^j). Эту функцию, так же как и плоскость
р""1, будем называть п—1-мерным комплексным ростком
и обозначать через р"-1.
Следующее утверждение является обобщением
леммы 2.9 гл. II на стационарный случай.
Лемма 4.1. Пусть H(p,q)—функция Гамильтона и
Mk'* = {(p, </)€R2*: /7 = Р0(т), q = Q.{T), TgR*-1}.
Р^^КК т), г0(а, т), t€R$"\ a^C"-1}
—(k—I)-мерное лагранжево многообразие с (п—I)-мерным
комплексным ростком, такое, что выполнены условия:
1) #|M*-i = 0, «Нр, wQy + <Hg, *e» 1^-1 = 0.
2) Л* = и gz/M^"1, t£R, есть гладкое k-мерное
t
многообразие в R2", и каждой точке а (т, t) = gfH a0 (т) на Ak,
0О £ Mk~x сопоставляется в комплексном фазовом
пространстве С2п (единственная) плоскость
г»(а(т, /) = ^f(r1(a,W))Ua(T, 0,
гЗе а(т, £)—прямая в С2п с направляющим вектором
( . М , причем dimr" = n. Тогда совокупность [Л*, rn]
есть k-мерное лагранжево многообразие с комплексным
ростком, инвариантное относительно преобразования DfH.
Доказательство этого утверждения^ силу леммы 2.3,
заключается в проверке выполнения аксиом гх) и г2)
комплексного ростка, а также выполнения условия диссипа-
тивности при всех t£R, и в точности совпадает с
доказательством лемм 2.8, 2.9.
Предложение 4.2. Для выполнения условия
2) леммы 4.1 необходимо, чтобы бихарактеристики га-
мильтоновой системы, отвечающей функции Гамильтона
Н(р, q), выпущенные из многообразия Мк~х,были транс-
версальны плоскости р""1, т. е. чтобы вектор [ „q tD0' „I)
был линейно независим с любым из (п—1) линейно
независимых векторов плоскости р""*1. Обратно, пусть последнее
имеет место и пусть указанные бихарактеристики
незамкнуты при t£R, причем \J gH Л1**"1 есть k-мерное
t
многообразие, тогда условие 2) леммы 4,1 также выполнено.
Доказательство очевидно.
6 В. П. Маслов

162 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Замечание. Лемма 4.1 и предложение 4.2 остаются
справедливыми, если заменить Ak на многообразие (с краем) U— Ug*^*-1,
tu(0.T)
\Т\<оо, и условие инвариантности Л* —на условие gyU&Uxt < tlt
где t} достаточно мало. Последнее с учетом замечания 2 к теореме
4.1 позволяет строить локальные решения уравнения (4.2).
Вернемся к задаче (4.18)—(4.19). Пусть лагранжево
многообразие с комплексным ростком [ЛА, rn]t получен-,
кое из (k— 1)-мерного лагранжева многообразия с (п—1)-
мерным комплексным ростком [М*-1, р72""1] каноническим
преобразованием D#, удовлетворяет условию: множество
e* = (^€R,I> x = Q(x9 t)) — проекция Ak на ^-плоскость—
есть гладкая односвязная ^-мерная поверхность, так что
на [Л*, гп] определено действие S(x). Обозначим через
б*Го (&—1)-мерную поверхность в R", задаваемую
уравнениями x = Q(t, 0) = Q0(t), t^Rt"1- Рассмотрим в R"
(п—1)-мерную гладкую поверхность Д*, 0, содержащую б£~о
и трансверсальную траекториям (x£Rn: x = Q(x, t))
системы Гамильтона, выпущенным из поверхности б£*о-
Последнее условие можно записать в виде: вектор Q(t, 0) =
= Нр(Р0(х)9 Q0(x)) линейно независим с векторами,
касательными к поверхности AXt0 в точке x = Q0(t).
Вычислим действие 5 (х) на поверхности AXt 0. Согласно
определению имеем:
(Т (X), t (X))
5 (*) К о = So + $ <р (т> 0. dQ (т, /)> +
(т°. 0)
+ <Р(т, /), x-Q(x(x)9 t(x))>+j<x-Q(r(x), t(x)),
ВС-*(т(х), t(x))(x-Q(x(x)9 *(*)))>, (4.21)
где S0 = const, т(д:), /(*) — решение системы
def
<x—Q(x9 t), QX/(x9 0> = 0, /=1, ..., *, тл=/.
Из результатов теоремы 2.2 гл. II следует, что
производная
д£1х<) = (Р(т(х), t(x))) +
+ ВС-Чх(х), t(x))(x-Q(x(x), t(x))) + 0St(h).
Выразим теперь функции S (х) и dS/dx через решения

ГЛ. IV. СТАЦИОНАРНОЕ УР-НИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ J63
уравнения
<*-QoW.QoTy(T)>==Of /=1, ...,*-1, т* = г = 0. (4.22)
Проводя вычисления, в точности совпадающие с теми,
которые были проделаны в операции перестройки фазы
в § 6 гл. II, учитывая при этом трансверсальность
вектора Q (т, 0) и поверхности AXi 0 в точке х = Q (т, 0) = Q0 (т),
получим, что
S(*Ko = S*+ J <PoW» ^Qo(T)> +
+ <Р0(т(х)), x-Q0(t(x))> +
/Y—(
+ 4- <x~Qo (т (*)), 5C"1 (t (x), 0) (x-QQ (r (*)))> +
+ 6ims(h*'*), (4.22')
aS ' = P0 (r (x)) + БС-i (т (x), 0) (x-Qe (т (x))) +
dx
A*,o
+ 6ims(h), (4.22")
где'т (х) — решение системы (4.22) и В (т, 0) = (BolJ P (т, 0)),
С (т, 0) = (С01, Q (т, 0)). Учитывая эти формулы, построим
теперь решение задачи Коши (4.18)—(4.19) на плоскости
хп = 0. Аналогично гл. II будем действовать по
следующему плану:
а) построим начальное (k— 1)-мерное лагранжево
многообразие
А!*"1 = {(/>, q)(tR2n: P = P0W, ? = QeM, ^R?"1}
с (/i— 1)-мерным ростком р""1 = {ш0 (а, т), г0 (а, т), т £ R*-1,
agC"""1} таким образом, чтобы функции S(x) и dS/dx
(4.23) при. x„ = 0 удовлетворяли условиям (4.18), (4.19),
и проверим, что [М*"1, р*-1] удовлетворяет условиям
леммы 4.1;
б) используя эту лемму, построим ^-мерное
лагранжево многообразие
Л*== U rffAl*"1 =
о <t < т
= ((/>. ?)а2": Р = Р(т, 0. <7 = Q(*. 0). <€(0, Г),
находя /г—1-параметрическое семейство решений системы
Гамильтона (4.9'), удовлетворяющее условиям

164 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
и затем росток
г* = (ау(а, т, /), г (а, т, *)),
где w(af т, t), г (а, т, 0 — семейство решений системы
R вариациях (4.9"), удовлетворяющее при tf = 0 условию
г|^=0 = г0(а1, ..., a„.lf T) + a„Q(r, 0);
в) Далее, вычислим на [Л*, гл] действие S (х) по
формуле (4.11). Функция S(x) является искомым решением.
Пункты б) — в) реализуются при решении конкретных
задач. Покажем, как теперь построить начальное лагран-
жево многообразие Mk~x с (п— 1)-мерным комплексным
ростком р""1 из п. а). Поверхность А*, 0 в рассматриваемом
случае — плоскость хп = 0, а множество 6$fJ—это
множество точек на плоскости хп=09 определяемых уравнением
ImS,fo) = 0, y = [ ■ 1. (4.23)
\Xn-J
Переходя к параметрической записи решения уравнения
(4.23),
получаем, что
S",i = (*€R*: x = Q0(t)) = ((#, xjeR": У = С.(т), хя = 0),
где Q0 (т) — (п— 1)-мерный вектор, Q0 (т)= ( 0 ) • Условие
«трансверсальности» траекторий (x£Rn: x = Q(T,t))
плоскости хп = 09 очевидно, примет вид:
Q(r, 0) = Я,(/>,(т), Q.(t))^0. (4.24)
Всюду в дальнейшем в этом параграфе будем считать,
что последнее условие выполнено. Раскладывая функции
sAy) и 1(у) (см. (4.18)—(4.19)) по формуле Тейлора
в окрестности поверхности б£"8, получим
s0(y) = [s0(QoW)+(^(QW), y-QoW)+
+ir{y-~QoW, ^(Q0(T))(ir-Q,(T))>]t=t(v) +

ГЛ. IV. СТАЦИОНАРНОЕ УР-НИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ 165
i(y) = [E(QoW)+(|(Q,(T)), у-0.(т))]тм(л +
+ OsJh), (4.25")
где х(у) — решение уравнений
<</-QoM> Qot.(t)>-0, /=1, ..., fe-1.
Сравнивая эти формулы с (4.22') и (4.22"), приходим
к выводу: для того чтобы действие S(x), полученное
с помощью леммы 4.1 и теоремы 4.1, приближенно
удовлетворяло условиям (4.18) и (4.19), достаточно выбрать
[Мк~г, р""1] следующим образом:
Mft-1=={(/7,9)€R2W:p-P0(T)=UQoW),9 = QoW}>
(4.26')
(*о)„=о], a,€C, t = l, 2, .... n—l. xeR?-1 (4.26")
и положить в (4.22') константу S0 равной S0(Q0(r0)).
Проверка аксиом тг (и г2) для (М*~\ р""1) проводится
точно так же, как в доказательстве теоремы 2.1. Дис-
сипативность (М*-1, р""1) вытекает из равенства
-21 {CtiB01 — В*01Сй1) =-g^r (Qo (т))»
которое является следствием условий согласования
4.20'—4.20". Проверим теперь, что (М*-1, р7*"1)
удовлетворяет условиям 1) и. 2) леммы 4.1. Условие 2)
выполнено в силу предположения о том, что 8£ = (x€Rn' х —
= Q (т> 0) есть гладкая ^-мерная поверхность в Rn
и в силу неравенства (4.24). Для того чтобы проверить
выполнение условия 1), обратимся к равенствам (4.25'),
(4.25").
Раскладывая функции Н и Нр по формуле Тейлора
в окрестности поверхности 8£i и приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях у— Q0(t(t/)) к нулю,

166 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
получаем равенства
Я(Б(<2,(т)); <?0(т), 0) = 0,
{НР(Ш.№ $•№. 0), JL($e(T))) +
+^(g(Q§W); <?в(т), 0) = о, t-l, 2, .... л-i,
из которых, с учетом формул (4.26'), (4.26"), следует
выполнение условия 1) леммы 4.1.
Таким образом, нами доказано следующее
утверждение. Предположим, что поверхность S£~£ = (*€ R":
ImS0(#) = 0, хп = 0) задается уравнениями
fy^QoW. T=(Tlf ...tt^j, х„ = о.
Пусть Нр (I (у), */, 0) |im So (£/)=o =^ 0, и пусть при t € (0, Г)
решения системы Гамильтона
p = -Hv <J = Hp, p\t=o = t(Qo(r)),
определяют в R2W гладкое ^-мерное многообразие Лл,
Л* = ((/?, <7)€R2»: /> = ^(т, 0. ?=Q(t, 0).
удовлетворяющее условию: множество б* = (х £ R": л; =
= Q (т, £)) есть гладкая односвязная fe-мерная поверхность
в R2- Рассмотрим область Q в R" такую, что Q содержит
поверхность б* и не содержит точек Q (т, £), лежащих
на траекториях (4.9') при / £ [0, Т]. Обозначим через Ах
замкнутую окрестность поверхности б* в R", в которой
однозначно и гладко разрешимы уравнения
def
<x—Q(x, t), QT/(r, *)> = <>, / = 1, ..., К т* = *.(4.27)
Через 5Х (т, /) и Сх (т, t) обозначим матричные решения
(размера (п—1)хя) системы в вариациях
Bi — — HqpBx—HqqCx у Сг = НррВ1 + HpqCx,
CJ^o-^V1)' 5xl^O=|(Qo(T)).
Здесь £"„.!—единичная матрица размера (п—1)х(п—1),
0—нулевая вектор-строка размера п—1, и у функции
Hppf Hpq и Hqq опущены аргументы Р(т, /), Q(t, t),

ГЛ. IV. СТАЦИОНАРНОЕ VP-НИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ 167
Введем на множестве А* функцию
t
S(x)=S0(Qo(t))+S<P(t, h)dQ(r, tj> +
О
+ <Р(т, t), x—Q(x9 t)> +
+ ±<x-Q(r, t)9 ВС-Цт, t)(x—Q(%9 0)>|t=tw, (4.28)
^ t = t (X)
где B = (B19 P)9 C = (C19 Q) и x(x)9 t (x)~ решение
системы (4.27), и продолжим эту функцию гладким образом
на всю область Q так, чтобы ImS (х) > с > 0 при x(j£l f] А.
Теорема 4.2. При приведенных выше условиях
функция S (х) из (4.28) является приближенным решением
задачи Коши (4.18)—-(4.19) для уравнения Гамильтона—
Якоби (4.2) в области Q.
Замечание 1. В том случае, когда множество 6* является
односвязной поверхностью в Rn и многообразие Ak диффеоморфно
проектируется на 6* при /£(—оо, оо), в качестве области можно
взять все пространство RJJ.
Замечание 2. Аналогичным образом с помощью теоремы4.2
и леммы 2.2 можно построить решение задачи Коши для уравнения
(4.2) с начальными функциями S0 (x) и g (лс), заданными на некоторой
(п— 1)-мерной поверхности в R5J.
Следствие. Пусть выполнено неравенство (4.24).
Тогда в некоторой окрестности плоскости х„ = О
приближенное решение задачи (4.18)—(4.19) существует и на
множестве А* представимо в виде (4.28).
Доказательство вытекает из того факта, что
неравенство (4.24) влечет за собой выполнение условия теоремы
4.1 при достаточно малых t. В дальнейшем нас, в
основном, будет интересовать тот случай, когда множеством
lmS0(y) = 0 является точка y~Q0 в Rw. Многообразием
Л* в этом случае является бихарактеристика Л1 = ((/?, q) £
g R2": p = P(t)9 q = Q(t))9 выпущенная из точки p = %(Q0)9
g = ( q j , лежащей на нулевой линии уровня функции
Н(р9 q).'
Условия теоремы 4.1 для Л1 в этом случае можно
формулировать следующим образом:
Qi) Проекция Л1 на ^-плоскость в R2w, т. е. траектория
(х 6 R": х = Q (£)), t £ R, есть гладкая незамкнутая

168 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
кривая без самопересечений, трансверсальная плоскости
хп^0\
■Q.) IQ(0l^0, /<ER.
Q3) траектория (х£Кп: x = Q(0)> t£( — со, оо), есть
одномерное гладкое многообразие в. R71.
В заключение этого параграфа рассмотрим несколько
примеров.
1°. Рассмотрим уравнение
(£)•+(£)■+(£)•-* <*■*>
(х > 0—параметр.
Поставим задачу: найти гладкое решение этого
уравнения, удовлетворяющее при х3 = 0 условиям
S\x^o = i~(b1xl + bixl), (4-30)
-ИМ/. '==1.2 Щ^^И. (431)
где alt а2—некоторые комплексные числа: lmb1>0,
lmb2>0; функция Гамильтона, отвечающая уравнению
(4.29), имеет вид
Нетрудно убедиться, что условия согласования для
рассматриваемой задачи выполнены (x2 = 0^(/i)), и,
следовательно, мы можем воспользоваться теоремой 4.2.
Поверхностью 8*~J в данном случае является точка
х1=х2 = х3~0. Система Гамильтона, отвечающая
функции Я, имеет вид
/7 = 0, р^ыо^Рог^О, ръ1ыо = Р0% = 0,
р3 \t=o = ^03=^,
<7 = 2/?, ^1^0^=^01 = 0, ^2|^о = Qo2 = 0,
9з|/=о = <2оз==0.
Решая эту систему, получим бихарактеристику
функции Я,~ выпущенную из точки (Р0, Q0):
А1 = {(р, 9): Рх = 0, /?2 = 0, ра = [А, ?i = 0,
<72 = 0, ?а = 2|г*}, /g( —оо, оо).

ГЛ. IV. СТАЦИОНАРНОЕ УР-НИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ 169
Очевидно, условия Qx) — Q3) для Л1 выполнены.
Уравнение (4.27) имеет вид
x3 — 2\it.
Система в вариациях, отвечающая функции Я, следующая:
В1==0, Сг = 2Въ Вг\ы0= (О it», t С^оЦо О.
V о о / \о о/
Интегрируя эту систему, находим матрицы В и С:
/ц&1 0 0\ /2рЛ^+1 О О
£ = ( 0 |х»2 0), С= 0 2^+1 О
\ 0 0 0/ \ О О 2|Л
Воспользовавшись теперь теоремой 4.1, получаем в
результате несложных вычислений следующее утверждение:
Предложение 4.3. Приближенное решение задачи
(4.29)—(4.30) существует и имеет вид
, Six х x)-*x+*-^ + ^l^- /4ЭП
Задача. Показать, что задача (4.29)-—(4.30) (без условия (4.31))
имеет два решения (одно из которых имеет вид (4.31')). Найти
второе решение.
Замечание. Заменим условия (4.30), (4.31) в рассмотренном
примере на следующие: найти все функции S (#), удовлетворяющие
условию:
S|*§aso = so(*i. *2), (4.32)
где S0£C°° (R2), ImS0 > 0, причем равенство ImS0 = 0 выполняется
Л2 /Ttn ^ \
только в точке #i = 0, лг2 —0 и матрица • }я (0, 0), it /=1, 2
OXfОХ4
положительна. Используя разложение функции 50 по формуле
Тейлора и неравенство Гордин га, перепишем условие (4.32) в виде
5 \х^ = с+Mi + Мг + ai*i/2 + a2xl/2 + агххх2,
где
c = S0(Q), 6'e3^(0)>
а/==^(0), t=l, 2, а3=Л^(0).
дх\ дхгдх2к
Можно показать, что поворотом координатных осей на
некоторый угол относительно начала координат одно из решений задачи

170 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
(4.29), (4.32) приводится к виду (4.31'), а другое —к виду второго
решения задачи (4.30), (4.31). Таким образом, рассмотренный
пример охватывает довольно широкий класс начальных условий.
Задача. Получить все решения уравнения (4.29),
удовлетворяющие условию (4.30), (4.31).
2. Рассмотрим пример еще одной задачи Коши:
(dS/dxx)* + (1 +F2x?) (dS/dx2Y—fi2 = 0, (4.33)
S\x^=\Ax*j24 (4.34)
dS
dS
,=0 = ^ ^L-o-*1-**»»*• (4-35^
где p^0, \x > 0— некоторые параметры и b^b1 + ib2 —
некоторое комплексное число, b2 = Im b > 0. Функция
Гамильтона, отвечающая уравнению (4.31), имеет вид
Я-[/7| + (1+Р2912)^-И/2.
Нетрудно убедиться, что условия согласования (4.20'),
(4.20") в рассматриваемом случае выполнены, и для
решения задачи (4.33)—(4.35) можно воспользоваться
теоремой 4.2.
Множество 6х~1—точка л; = 0. Система Гамильтона,
отвечающая функции Я, следующая:
Pi^-PViPi. Pi(0) = Poi = 0,
Р2 = 0, Pl(0)=Poi=l*»
Эту систему нетрудно проинтегрировать; в результате
получаем, что бихарактеристика Л1, выпущенная из
точки (Р09 Q0), имеет вид
Л1Н(Р, ЯУ Pi = 0, р, = |1, 9i = 0, q2 = \xt\.
Легко видеть, что условия Qx)—Q3) для Г^ выполнены.
Решения системы (4.27) суть t = xj\i. Далее, система
в вариациях имеет вид:
#i == ( о 0jci> С1=В1,

ГЛ. IV. СТАЦИОНАРНОЕ УР-НИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ J71
Решая эту систему, находим матрицы В и С:
R __ [lib cos (fi\it) — p sin (pfx/) 0 \
V о oi'
/ cos (pfii) + j sin ($\it) 0 \
C =
О ц У
Применяя теперь теорему 4.2, приходим к следующему
утверждению.
Предложение 4.4. Решение задачи (4.33)—(4.35)
существует и имеет вид
. 1 Ь cos рх2 — р sin Рлс2
S(x)=|i
COS p*2 + -o-Sin p,V2
*?
(4.35')

Глава V
СТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА
§ 1. Приближенные решения стационарного уравнения
переноса. Задача этого параграфа заключается в
построении приближенных решений уравнения (4.3)—второго
из стационарных уравнений канонической системы. Мы
рассмотрим уравнение более общего вида, чем уравнение
(4.3). Пусть Я(р, q) —функция Гамильтона и
S(#)--некоторое решение уравнения (4.2), отвечающего функции Я,
Q—область в RJJ.
Определение 5.1. Уравнение вида
I, ] — 1
Х -dB^(P + G{X)(P==F{X)' X^Q> (бЛ>
где G(x) и F(x)—некоторые заданные гладкие функции,
будем называть стационарным уравнением переноса (с
правой частью), отвечающим функциям #(/?, q) и S(x).
Пусть S2 = ImS, F = 6sAhN/2)> где iV>0—некоторое
целое число. Приближенным решением уравнения
переноса (5.1) будем называть гладкую функцию (p = 6s2(/i^/2),
удовлетворяющую этому уравнению с точностью до
функций 6St(h{N+l)/2)-
Замечание. В силу неравенства Гординга и разложения по
формуле Тейлора, функции ф является приближенным решением
уравнения (5.1), если <р удовлетворяет соотношению
^F(x) + 6SteiN+,/'). (5.2)

ГЛ. V. СТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 173
В этом параграфе мы приведем формулы,
позволяющие вычислять решение уравнения (5.2) в случае, когда
S(x) есть действие на лагранжевом многообразии с
комплексным ростком [Л*, гя], Л* = ((/?, q)€.R2n: р = Р(т),
</ = Q(t)), r»=(w(a9 т), г (а, т), й>1, x^R?, agC»).
От многообразия Ak потребуем (см. теорему 4.1), чтобы
множество 6* = (#gRw: x = Q{t)) было гладкой односвяз-
ной поверхностью в R2. Случай k = 0 будет рассмотрен
отдельно в § 2 гл. VI, случай, когда 6* есть компактное
(неодносвязное) многообразие без края в RJ, исследуется
в § 5 гл. VI. Будем считать, что координаты (т, а) на
[ЛЛ, гп] выбраны таким образом, что, во-первых, функции
L т и (w ^a* А являются решениями системы
Гамильтона (4.9') и системы в вариациях (4.9") соответственно,
если положить координату xk равной t, и, во-вторых, что
базисные векторы а/=(л/ла{) при/ = /г—k-\-l совпа-
\dzldajj
дают с касательными векторами I q ],/ = 1,...,&.
В дальнейшем координату xk будем обозначать через t
и совокупность координат (т1? ..., rk_j) через т.
Обозначим, как и раньше, через А* такую замкнутую
окрестность поверхности 8£ = (л; g R": х = Q (т, £)), в которой
однозначно и гладко разрешима система уравнений
<х—Q(t, 0, Qxy(T, ф-0, /-1, ...,k,xk = t. (5.3)
Решение этой системы обозначим через т(я), t(x).
Поскольку вне множества Ах справедливы неравенства
ImS(x)^c>0, то любая гладкая функция ср(л;)вне А*
с точностью до О (/г*) удовлетворяет уравнению (5.1).
Поэтому, аналогично предыдущему, для того чтобы найти
решение этого уравнения в R71, достаточно построить
функцию, приближенно удовлетворяющую (5.1) на
множестве Ад., а затем гладко продолжить ее на все R*.
Введем матрицу
С(т, <) = £(т. О,

174 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
функции
я|)(т, t)^^HPjQj{P(xy 0, Q(t, *))-G(Q(t, 0). (5.4)
J(%, t) = detC(%y t),
(л—&)-мерную вектор-функцию y(^> *, #),
и n-мерную вектор-функцию у(т, tf, л:):
Yy(Tf *, *)==?/(т, f, х), /=!,..., /г—k, 5
Через VO обозначим непрерывную ветвь корня из /.
Теорема 5.1. Пусть %(а, т)—однородный полином
степени N по переменным а^о^, ..., ал_л) с
коэффициентами, гладко зависящими от аргументов х = {т1у ...
• • •> T*-i)- Тогда при выполнении условий п1)—пЗ) (см. § 3
гл. II) приближенное решение стационарного уравнения
переноса имеет вид
t
У J (т, *) J
|_М=ЛГ
+ J/V/(t, tjexpf—$$(-*, t2)dtAx
|v|=JV V dx . \t=t{x)
(5.6)
гаг t0—некоторое вещественное число.
Доказательство этой теоремы проводится аналогично
доказательству теоремы 3.1 и следует из того факта, что
функция ф(*, /') — приближенное решение задачи Коши

ГЛ. V. СТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 175
ф|<'=о = Ф(х), (5.7')
где ф(х) имеет вид (5.6),— не зависит от f.
Используя термины и обозначения, введенные в §§ 6,7
гл. III, функцию ф(х) (5.6) можно определить
инвариантным образом на расслоении [Л*, гп]. Именно: пусть
О (a, E)€STO([A*, гп1ТЩ и М*"1 — некоторая (k—
^-мерная поверхность, принадлежащая Л* и трансверсальная
бихарактеристикам гамильтоновой системы (4.9'). Под
выражением ^Qdt будем понимать функцию на [Л*, гп]9
полученную интегрированием функции 8 вдоль
бихарактеристик систем Гамильтона и в вариациях от точки
/ = (5, I), абМ*-1 и 1€гЛ(а) до точки /(а, £), а^Л*,
ggr". Нетрудно убедиться, что $ Qdt £S°° ([Л*, rn/TAk%]).
Пусть % и F—функции из S00 ([Л*, гп/ТАк]),
удовлетворяющие условиям: % = 0D(hNf2) и F = 0D(hN/'2), причем
(DfH)% = %y т. е. производная функции % вдоль
бихарактеристик системы (4.9') равна нулю. Пусть далее ау- = (w4 —
базис на гп такой, что
aj (at) = dgfH (о, (a0)), ot = gfHo0, j = 1, ..., n.
Обозначим через J определитель: / = det (дг/да). В
теореме 5.1 тогда утверждается, что функция
cp(x) = Y*
1 J*dt(Xr^\VJe-^d%»dt)
VI
(5.8)
где i|) имеет вид (5.4), %тл и FrJl—главные части
функций % и F соответственно и отображение у* определено
в § 7 гл. III, является приближенным решением
уравнения переноса (5.1) с правой частью F = y*F.
Замечание. Отметим, что так же, как и в теореме 4.1
утверждение теоремы 5.1 носит локальный характер и остается
справедливым, если в формулировке вместо многообразия Ak взять
некоторую область U£Ak, такую, что ее проекция bx(U) на
^-плоскость R" есть гладкая односвязная поверхность (возможно с краем),

176 Ч. 1. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
а в качестве множества Ад. взять замкнутую «-мерную область Ад. ((/),
содержащую 6Х (U) и такую, что при х £ Ад. (U) уравнение (4.27),
однозначно и гладко разрешимо в U.
§ 2. Задача Коши на плоскости для уравнения
переноса. Пусть S(x)—некоторое решение задачи Коши*на
плоскости для уравнения Гамильтона—Якоби (4.2),
отвечающего функции H(p,q). Задачей Коши на плоскости
хл = 0 для уравнения переноса, отвечающего функциям
Н (р, q) и 5 (х)у будем называть следующую задачу: найти
решение уравнения (5.1), удовлетворяющее условию
<Pk=o = cpo(#), # = (*i, ...,*«-i), (5.9)
где %(у)€С°°.
Пусть <p0 = 6s2 (hN'*) и в уравнении (5.1) F = 6s2 (А*/2),
N—некоторое натуральное число.
Определение 5.2. Приближенным решением задачи
Коши (5.1), (5.9) назовем приближенное решение
уравнения (5.1), удовлетворяющее условию (5.9) с точностью
до0*.„*<лд",+,/,>-
В теореме 4.2 § 3 гл. IV приведены формулы для
приближенных решений задачи Коши (4.18), (4.19) на
плоскости хп = 0 для стационарного уравнения
Гамильтона— Якоби в некоторой области Q с RJ. Приведем без
вывода формулу для приближенного решения задачи (5.1),
(5.9). Вывод этой формулы нетрудно получить,
используя результаты § 3 гл. IV и § 3 гл. III (лемма 3.4).
Пусть Q—область RJJ, удовлетворяющая условиям
теоремы 4.2, S(x) — решение уравнения Гамильтона—Якоби
в области £2, построенное в этой теореме. Пусть Q (т, t)
и С(т, t) — координатные части системы Гамильтона (4.9')
и системы в вариациях (4.9"), х(х) и t(x) — решение
системы
det
<х— Q(r, t), QT/(r, *)>=0f /=1, ...,*, %h = t9 (5.10)
и Ах—замкнутое множество, в котором разрешима эта
система уравнений. Тогда справедлива теорема
Теорема 5.2. Решение задачи (5.9) для уравнения
переноса (5.1), отвечающего функциям H(p,q) и S(x) в
области Q, существует и на множестве Ах представимо

ГЛ. V. СТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 177
в виде:
t
ехр \ ф (т, tx) dtx
Ф(*Н ', х S ^(:'0)tI-0(Q.(t))x
X (С-* (т, f) (х- Q (т, 0))Г • • • (С-1 (т, 0 (х- Q (т, *)))&*+
* - (Ч (т, f,) Л,
О |Ц1=ЛГ *
1 т=т(*)»
J M (х)
x(C(x9tt)C'H^t)(x-Q(x9 tWdtAr^w. (5.11)
Здесь г|> (т, /) имеет вид (5.4) и через J/V (т, t) обозначена
непрерывная функция.
Рассмотрим несколько примеров.
1) Рассмотрим уравнение переноса
2(H' 5) + Л5ф + 2*><оФ==/^ (Бл2>
где *€R3 и А—оператор Лапласа, cogR, отвечающее
функции Гамильтона Н и действию S (см. пример 1 § 4
гл. IV) вида (4.28). Сначала разберем случай F = 0.
Поставим для (5.11) начальные условия
а) <P*U=o-l (ЛГ = 0), (5.13)
б) Ф»и.яв = *Л (^ = 2); (5.14)
соответствующие траектории x = Q(t) и матрица C(r,t),
построенные в § 3 гл. IV, имеют вид
Qi(0 = 0, Q2(') = 0, Q,(0 —2|*Л (5.15)
/l+26ifi/ 0 0\
С(0=( ° 1+2М о ). (5.16)
\ 0 0 2|4/
Функция я|)(0 в данном случае следующая: ф = ю/, а
система (5.3) сводится к одному уравнению: 2ixt = x3.
Применяя теорему 5.2, получим решения задачи

178 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
(5.11), (5.12):
Ф, = *•*•/((*А + 1) (Ьл+ 0)-1/2 (5.17)
Фь = ^-х!/((Ьл+ 1)-"/.(ЬЛ+ 1))-»/.. ,(5.18)
Теперь рассмотрим уравнение (5.18) в случае, когда
^ = Дфь, Фо({/) = 0. (5.19)
Аналогично предыдущему, воспользовавшись формулой
(5.11), получим
*»/(2ц)
Фа1Л|, tiw*=XlT (2b1^1+l)-2№i) =
= *V«**8 (felx3+ i)-/2 (ьЛ+ i)-v.. (5.20)
§ 3. Обобщенное стационарное уравнение переноса.
Аналогично нестационарному случаю (см. § 4 гл. III),
при построении формальных асимптотических решений
h~^дифференциальных (и псевдодифференциальных)
уравнений возникает обобщенное уравнение переноса,
отвечающее функции Гамильтона Н (р, q) (приближенному
решению стационарного уравнения Гамильтона—Якоби):
)2S . П1 ч ih v и fdS \ а2Ф /с oi\
^Ф + 6Мф = Т1^Д¥.^. (5.21)
где G{x) — некоторая гладкая функция (ср. (3.47)).
Напомним, что через 6s2 {ha) мы обозначаем функции
Ф, представимые в виде ф(л:, Л)= 2 Л*/аФл(*) (где
q>k(x)€C°° (R)n, Nl9 N2—натуральные числа) и такие, что
л1 v 1 ф I
ft|vl/2
Последнее равенство эквивалентно условию Ф^(х)=
=0st (*"*'"). fe< —a.
Определение 5.3. Приближенным решением
обобщенного уравнения переноса назовем функцию ф(х,Л) =
^б^г (1), удовлетворяющую этому уравнению с точностью
до 6Si (/*v*)-

ГЛ. V. СТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 179
Основной задачей этого параграфа является
построение приближенных решений уравнения (5.21), в случае,
когда множество нулей функции lmS(x) — гладкая одно-
связная ^-мерная поверхность в Rw, k^ 1. Случай & = 0
рассматривается особо в § 2, гл. VI. Один из способов
построения приближенного решения уравнения (5.21)
заключается в сведении этого уравнения к системе
уравнений переноса с правой частью (5.1). Ниже излагается
способ получения решений уравнения (5>21) с помощью
операторов рождения — уничтожения (см. §§ 5, 6 гл. III).
Пусть многообразие с комплексным ростком [ЛЛ, гп]
A* = ((/?,<7)<ER2*: P = P(r,t), <7 = Q(t)),
rn = (w(a, т), z(a, т))
инвариантно относительно канонического преобразования
DfH, отвечающего функции Гамильтона Н (/?, q), и
множество 6* = (а; £ R": х = Q (т)) есть гладкая односвязная
поверхность в R". Пусть, далее, S(x)—действие на
[Л*, гп] и Ах—замкнутая окрестность поверхности 8*,
в которой однозначно и гладко разрешима система
уравнений
<x-Q(t), Qt/(t)> = 0, /= 1 Л—1, xk = t. (5.22)
Напомним некоторые определения и обозначения,
введенные в гл. III. Пусть а(а(т)) = ( ^ 1)—гладкая вектор-
функция на Л*, косоортогональная в каждой точке
а (т) € Ak векторам IJJ), /= 1, ..., kt образующим базис
в касательной плоскости ТАк в точке о(т). Оператор вида
A-»?(if(TW)v|>-
-^= <ч\(х(х))-ВС-1у(х(х)), x-Q(x(x))>,
где
В = ды>/да, С = дг/да (5.22')
и х(х)— решение системы (5.22), называется обобщенным
оператором рождения—уничтожения, а вектор а (а (т)) —
его образующим. Оператор Л называется оператором
рождения на [Лй, гп], если его образующий вектор а (а (т))

180 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
принадлежит пространству rtl (о (т))/ТАк (о (г)), и
уничтожения, если а(о(т)) принадлежит пространству
г»(а(т))/ГА*(а(т)).
Определение 5.4. Образующий вектор а(о(т))
назовем инвариантным относительно канонического
преобразования DlHi если выполнено условие
dgfH (а (а (т))) = a (gfc (а (т))), (5.23)
т. е. значение вектор-функции dgfHa в точке а (т)
совпадает со значением вектор-функции а в точке £)*(а(т)).
Теорема 5.3. Пусть функция ц(х, h) = 6s2 (1) есть
приближенное решение уравнения (5.21) и пусть Л —
обобщенный оператор рождения—уничтожения на [Л*, г"],
образующий вектор а (т) которого удовлетворяет условию
(5.23). Тогда на множестве Ад. функция ф (х, А) =Лф (л:, Л)
также является приближенным решением уравнения (5.21).
Доказательство следует из теоремы 3.3 гл. III и
проводится аналогично доказательству теорем 3.4, 3.5.
Замечание 1. В том случае, когда координаты (т, а) на
[Akf rn] выбраны так, как это указано в предложении 4.1, условие
(5.23) на образующий вектор а оператора Л означает, что вектор-
функция а (ть ..., Tfc) есть решение системы в вариациях (4.9"), если
положить т^ = /.
Замечание 2. Так же как и утверждения теорем 4.1 и 5.1,
утверждение теоремы 5.3 носит локальный характер и остается
справедливым, если в ее формулировке заменить многообразие Akt
поверхность 6* и множество Ад. на соответствующие объекты: область
U с: Л* и множества bx(U) и Д^(£/)> введенные в замечаниях к
теоремам 4.1 и 5.1.
Из теорем 5.2 и 5.3 получаем следующие важные
утверждения.
1. Общий вид решений типа (p(#, h)~6s2 (l)
уравнения (5.21). Пусть [ЛЛ, гп]—лагранжево
многообразие с комплексным ростком, удовлетворяющее
условиям теоремы 5.1. Будем считать, что координаты на
[Л*, гп] выбраны так, как это указано в предложении 4.1
(гл. IV), и имеют вид
(т, t, а) = (т1э ..., т^!, Ц, ..., ап).
Пусть далее а{ (т, t) = (wz\Л (т, t), i = 1, ..., п,—
базисные векторы на г", удовлетворяющие условию (5.24) и
такие, что векторы а19 ..., ап^к не принадлежат каса-

ГЛ. V. СТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 181
тельной плоскости TAk. Рассмотрим функцию
t(x)
J" -Ф (т (х), tt) dtt
Ф(х, К) =е° - в(х, Л), (5.24)
У J (т (л:), * (*))
где я|? (т, t) имеет вид (5.4), 6 (х, h)=6s2 (1), ./=detC (т, *)=
= det (dz/да) и т(х), t (x) — решение системы (5.3)
В силу леммы 3.11 существует единственный полином
Х(Р, т, t) по аргументам Р = (рх, ..., f$„_ft) некоторой
степени N с коэффициентами из С°° (Л*) n C°° (R}) такой, что
N
0 (* h) = £ ±12. (О, т (х), * (х)) Я? ... Л>Л*-1.
Г v 1 = 0 ^Р
Здесь Л19 ..., Лл_л—операторы рождения на [Л*, гп]
с образующими векторами а1У ..., яЛ_Л. Полином % (Р> т> О
называется каноническим полиномом функции 9 (я; /i) в
базисе а19 ..., an„k.
Теорема 5.4. Достаточным условием того, чтобы
функция (5.24) приближенно удовлетворяла уравнению
(5.21) на множестве Ах) является независимость от t
канонического полинома функции Q(x9h):
X (Р> т, t) = X (Р> *) «м« <*х/Л = 0.
Доказательство заключается в последовательном
применении теорем 5.1, 5.3, при этом в качестве операторов
Л следует брать операторы рождения Лу-.
Замечание 1. Нетрудно убедиться, что условия теоремы 5.4
являются также необходимыми для того, чтобы функция <р (xt h)
(5.24) была приближенным решением уравнения (5.21).
Замечание 2. Замечания к теоремам 5.1—5.3 в равйой
степени относятся и к этой теореме.
Замечание 3. Используя обозначения §7 гл. III, условие
теоремы 5.4 можно сформулировать следующим (не зависящим от
выбора координат на Л«, гп) образом: производная в силу систем
Гамильтона и в вариациях от канонического полинома % (р, т, t) g
€5*([Л*> 7n/TAk]) равна нулю.
В дальнейшем в основном нас будет интересовать
случай одномерных лагранжевых многообразий с
комплексным ростком. Тогда условие теоремы 5.4 означает,

182 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
что в базисе аг(1), ..., an(t)t удовлетворяющем
требованиям (5.23) и таком, что ап = I . ), коэффициенты
канонического полинома £ функции 0 = б52(1) — комплексные
числа. Таким образом, утверждение теоремы 5.3 сводится
к следующему: приближенное решение уравнения
переноса (5.21) имеет вид:
Их)
J 4><T(*)M<tfi
Ф(х, h) = |/Q (т (x)tt (х)) g JL——^ х
г у J (t(x)% (x))
N
X £ XvtA^^A^r-i.l, ^(5.25)
гДе Xv—некоторые комплексные числа, N—натуральное
фиксированное число, Л,.—операторы рождения на [Л1, гп]
с образующими векторами at.
В том случае, когда лагранжево многообразие с
комплексным ростком [Л1, гп] получено из точки М°=
= (р=Р0, q = QQ) с (п—1)-мерным ростком р"*"^
= (w0 (а), £0(а)) преобразованием Ъ*н (см. § 3 гл. IV), в
качестве
образующих векторов af It) = (^), / = 1,
\yi(t)'
...,n—1, операторов рождения Лу можно, очевидно,
взять решения системы в вариациях (4.9"),
удовлетворяющие начальным условиям
г); | t=o = dw0/daJi yj \t=0 = dljdaj.
В частности, если [М°, р""1] отвечает задаче Коши на
плоскости хп~0 для уравнения (4.2) и имеет вид (4.26),
то
(ej)i = &ij> h 1 = Ь •••»«» и вектор-функции ( Иу 1
совпадают с векторами, комплексно-сопряженными к вектор-
столбцам матричных решений В±(1)9 Cx(t) системы
в вариациях.

ГЛ. V. СТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 183
2. Задача Коши на плоскости хп = 0 для
обобщенного уравнения переноса (5.21).
Задачей Коши на плоскости хп — 0 для уравнения (5.21)
называется следующая задача: требуется найти
функцию ф(х, К)у удовлетворяющую уравнению (5.21) и условию
N
ФI *л=о - Ф (*/, К) - 2 h-v*<pk (у), (5.26)
/е = О
(ч \
где */ = ( •••• )» N—некоторое фиксированное натураль-
ное число, Wk(y)===Os02(h^2), S0i~ImS(x).
Приближенным решением задачи (5.21), (5.26) называется
приближенное решение уравнения (5.21), удовлетворяющее условию
(5.26) с точностью до функций из класса Gs^(hxl*).
Приближенное решение задачи (5.21), (5.26), по
существу, строится так же, как и приближенное решение
задачи Коши для обобщенного нестационарного
уравнения переноса (3.47). Именно, предположим, для области
QcR" выполнены условия теоремы 4.2, т. е. в области Q
существует решение задачи (4.2), (4.18), (4.19), которое
имеет вид (4.28). Обозначим, как и в § 3 гл. IV и § 2
гл. V, через 8x~o = (x^Rn: r/ = Q0 (t),xw=0) поверхность,
определяемую уравнением Im S0 (у) = 0. Аналогично
§ 5 гл. III введем векторы ej (т), / = 1, ..., п— 1,—
проекции единичных ортов еу, (еД—б/у,— на ортогональное
дополнение к касательной плоскости Т8%7о поверхности
bkx~\ в точке у--= Q0(T)> x = 0 и обозначим через aj (т, t) =
\*Мт л) Решения системы в вариациях,
удовлетворяющие при £ = 0 условиям
4f\t=*= — ej(*)> Уу|*во = 0, / = 1,2, ..., л—1.
Далее, аналогично §§ 3,1 гл. III определим
множество Дд. и введем на множестве Ах операторы
А'=^(у'(т(*). *(*)),£)—±=W(x(x),t(x))-
— fiC-i (r(x), t (х))уЦх(х), t (x)), x-Q (x(x), t (*))>.
(5.27)

184 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Здесь т(х), t (x) — решение системы (5.3), матрицы В (т, t),
C(x9t) равны, соответственно, dw/da, dz/да и Q (т, t) —
«координатная часть»—решения системы Гамильтона
(4.9#)• Рассмотрим функцию
t(x)
J* 4><T(*), *i)<tti
Ф(*.0-У0(т(х),о у/(т(жМ(х))х
лг
xL £??((!• (T(x)))(Ai)Vi...(A»-i)v«-i.lf x€A„ (5.28)
где, как и прежде, ^(т, t) имеет вид (5.4) и J (т, /) = det C(r9t).
Теорема 5.5. В области Q решение задачи (5.21),
(5.26) существует и на множестве Ах представимо в виде
(5.28).
Доказательство этой теоремы в точности совпадает с
доказательством теоремы 3.3 гл. III.
Стационарное обобщенное уравнение переноса
справой частью. При построении обобщенных асимптотических
собственных функций Л-псевдодифференциальных уравнений,
удовлетворяющих уравнению (4.1) с точностью до О (Л*/2), где
£—произвольное натуральное число, аналогично нестационарному случаю
(см. § 4 гл. III) возникает обобщенное стационарное уравнение
переноса с правой частью
Х^-Ф + 0(х)ф = ^(*,А), (5.28')
где S (*) — решение соответствующего уравнения Гамильтона —Я ко-
би, G(x)$ F(x,h) заданные гладкие функции, F — Os3(hkJ2).
Построение приближенного решения по mod Os2(hk+1/2) уравнения (5.47)
основывается на сведении этого уравнения к рекуррентной системе
(обычных) стационарных уравнений переноса с правой частью тем же
способом, что и в случае нестационарного обобщенного уравнения
переноса (см. стр. 146).
§ 4. Примеры. 1. Построим приближенные решения
обобщенного уравнения переноса, отвечающего функциям:,
#(р, q) — (p2—M<2)> S(x); (построенной в примере 1 § 3
гл. IV), и G = i|i<D, где ji, ю£ R1—некоторые параметры:
2у5уФ + А5ф + 2/>(оф = //1Дф, *€R3. (5.29)

ГЛ. V. СТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 185
Сначала найдем операторы рождения. Поскольку в
рассматриваемом случае уравнение ImS(x) = 0 определяет
прямую в R3, то, согласно п. 1 предыдущего параграфа,.. ,**
в качестве образующих векторов операторов рождения /
можно взять векторы, сопряженные к вектор-столбцам
матрицы (J-j , т. е.
«■<ЧЮ'Ч?)'ИТ)'
*(/)-(л)-*-(й-*-(,+Ь^)-
Учитывая зависимость параметра / от х3: t=x3/\i,
находим соответствующие операторы рождения \, Л2:
Aj-^il+brf^j-y^T^Xj, / = l, 2.
Отсюда, воспользовавшись теоремой 5.3, формулой (5.25)
и результатами примера § 2 этой главы, получим, что
приближенные решения уравнения (5.28) имеют вид
У (1+*1*8)0+*2*8) | vT=0
где N—фиксированное число и Xv — Xvtv,—некоторые
комплексные числа. Заметим, что, используя известное
соотношение для полиномов Эрмита Hk (z)=( — ;r+22 J*. I,
последнее выражение нетрудно преобразовать к виду:
ф(х h)= еШХз V, (\i+bix.\y*„
v / I l+Vsl \v» lj f yx^lmbx \ ц. / [л*2 Im62 \
X[ l+b2xs ) Я*ЛЛк|1+М,|;Л'ЧКАЦ+*Л|^*
где cv—некоторые комплексные числа.

186 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Рассмотрим теперь для уравнения (5.29) задачу Коши
на плоскости x3 = 0
Ф (*> ft) к=о==Ф0 (</>/*)= J d^i^-^+v,)/!. (5.30)
I v 1 = 0
Здесь dv—комплексные числа.
Для построения ее решения воспользуемся теоремой
5.5. Множество б*-1 в данном случае есть точка х = 0,
и касательная плоскость T8£~i совпадает с /?3. Векторы
ег и е2, таким образом, суть единичные орты:
Wo\ e, = M. (5.31)
*/2(0
Соответствующие решения ах(/)== P/L) , яМО —
системы в вариациях (4.9") имеют вид:
tlW о\ у* = ( oY л2-(-Д у« = (--Л(5.32)
Отсюда, учитывая, что /=х3/|х, и равенства (5.27) для
операторов рождения—уничтожения Л1, Л2, получаем
следующие выражения:
Xi-±ZJ1X .
Подставляя полученные выражения в (5.27), находим
решение задачи Коши (5.29), (5.30):
N
Ф (х) = е т £ dv (ЛТ* (Л«) *». 1. (5.34)
Задача. Используя результаты примера §2 этой
главы, построить решение задачи Коши ф(х) \Xi=0 =х|/А
для уравнения (5.29) методом сведения последнего к
системе уравнений переноса с правой частью (см. § 1
гл. III) и сравнить полученное решение с функцией
(5.34).

ГЛ. V. СТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА |87
2. Найдем приближенные решения обобщенного
уравнения переноса, отвечающего функциям # = у(/?12+(1 +
+Ря1)Рг—V>*)> s(x) из (4.35') (см. пример 2 § 3 гл. IV)
и G = tji<D, где (х, со ^ R —некоторые параметры:
= §(Щ+0+Р'Щ)- (5.35)
Сначала вычислим соответствующие операторы
рождения. Поскольку в рассматриваемом случае #€R2, a
множеством (х g R2: Im S (x) = 0) является прямая, то
размерность пространства операторов рождения равна
единице, и для построения приближенных решений
уравнения (5.35) достаточно найти всего один оператор
рождения Л. Аналогично предыдущему примеру в качестве
образующего вектора возьмем вектор, сопряженный
первому вектор-столбцу матрицы [cj-
а И) =(ч(*)\ Z и\ == /И-5sin $iit-iibsm рцЛ
\y(t))' \ ° )'
__ / sin 6u/ + -5- cos 8u/ |
У=\ 0Р Л (5.36)
Учитывая, что /=х2/[д,, из (5.36) получим оператор
рождения в виде
Л
i
(cos
>р*2
+£
+ р
sinp^)^+
1 '
' ^ cos
2\iXi Im 6
P*2 + -g-sin
P*2
(5.37)
Далее, имеем
J (t) = det С (0 = (я f cosfyx* + -t sin ftiiN
г|;(£)===ф,со.
Отсюда, согласно теореме 5,3, цайдем приближенные

188
Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
решения уравнения (5.35):
Ф (*, h) =
N
у cospx2+-|-sin|k2 /=
1ху(Л)М, (5.38)
где Ху — комплексные числа.
Аналогично предыдущему примеру функцию (5.38)
можно преобразовать к виду
ф(х,/1) =
„1(0*2
у cos Pjc2 + -о- sin (k2
N I
X
6 V
cos P#2 +-fr SH1 P*2
X
/=o
X
cos p#2+-«-sin Px2
4
/л
cos P#2+-«-sin (5л:2
(5.39) I
Здесь Hj(z) — полином Эрмита и Cj—комплексные числа.
Задача. Найти приближенные решения уравнения (5.35),
удовлетворяющие при х2 = 0 условию
N djX[
Ф(*,/0|,2=0-£уТГ, d/gC. (5.40)
/=1
§ 5. Обобщенные собственные функции оператора
Гельмгольца и околовакуумные семейства комплексных
решений. Используя результаты гл. IV и предыдущих |
параграфов, построим асимптотически полную систему
обобщенных *) собственных функций оператора
£ = — ¥ 2 d/dxjdijd/dXi + Rix), (5.41)
t. /=i
где а^- (х) = aji (x), R (x) — гладкие вещественнозначные
функции, ||atJ (x) || > 0, отвечающие в пределе прий—►()
классическому движению по некоторой незамкнутой
кривой. С помощью этой системы найдем околовакуумное
семейство решений уравнения utt + Lu = Q.
*) См. определение 4.2.

ГЛ. V. СТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 189
Обозначим через Н (р, q) главную часть символа
оператора L:
#(/>,?) = 2Л'/М^/ + *М- (5-41')
Пусть гамильтонова система (4.9'), отвечающая
функции H(pfq) допускает незамкнутую бихарактеристику
Al^{(p,q)<zR2n:p = P(t), q = Q(t)\,
удовлетворяющую условиям Q±) — Q3) и лежащую на
линии уровня (it2 функции H(p,q):H (p,q)\ 1 = Ц2. Лег-1
ко видеть, что тогда кривая AL={(p, q) g R2": p = — P (—t)9
q = Q(—/)} также является бихарактеристикой системы
(4.9'), удовлетворяющей тем же условиям, что и Л+.
Обозначим через af (t) — f \ ... j , i = 1, ..., n— 1,
решения задачи Коши вида
<ьг1 ■
W/l =6/ = l a, ._ ^ I» */|. =| ! ]i, i=l, -.., П—1,
системы в вариациях (4.9"). Здесь :. —(п — 1)-мер-
ные векторы, такие, что (п—1)х(п—1)-матрица |Ь/у||,
i, /~= 1, ..., п— 1 симметрична и положительна. Обозна-
чим через щ (t) = ( 1 (t) J соответственно векторы
(~Z+Wi ), i = 1, ..., п— 1. Нетрудно убедиться, что
\ z/ (— t) /
векторы ат также являются решением системы в
вариациях (4.9"), отвечающей бихарактеристике Л1.
В замкнутой окрестности Ах траектории 6i =
= {A:gRS: x=Q(t)}> в которой однозначно и гладко
разрешимо уравнение
<x-Q(t), Q(0> = 0, (5.42)

190 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
введем функции:
t (х)
S±(*) = ± S <P,dQ>±<P(t(x)), x—Q(t(x))> +
о
+y<*-Q(<(*)), B±(C±)-l(±<W)(^-Q(<W))>. (5-43)
,4М=^ШШ(А^ ... (At^-l. (5.44)
KdetC±(±*(x))
Здесь
B±(0 = (»?.(*), ...,wn-i(0. P(±0),
c± (0-= (z?j0. • • ■ > *n-i (0, ± Q (± 0).
At =¥r<zt (± * (*)), д/Эх>. - J= <i*f (± t (*))-
-В* (С*)"1 (± * (x)) zf (±* (%)), x-Q{t (x))>,
^(x) —решение уравнения (5.42), KdetC* (t)~непрерыв-
ная ветвь функции и v = (vl9 ..., vn_1) — натуральные,
со—вещественное числа, такие, что | v | < JV, | со | < N,
N не зависит от ft.
Введем функции класса C°°(R5x(0, 1J):
~<и>.± = ( «*s±U)/fc(P».v (*) ПРИ *€А*> (5 45)
V<»'v ( б (ft00) при 4Д*-
Лемма 5.1. Функции рО*). ± являются
асимптотическими по mod б (ft3/2) обобщенными собственными
функциями оператора L, отвечающими точкам
непрерывного спектра Е^] = (ц, + ftco)2 + 6 (ft2), m. е. Lb^)i± =
- £и^mod6(ft3'2).
Доказательство. Положим ш±(а,/) =
= % ™t (0 «/ + Р (± 0 а«> *± (а, 0=2 ^ (0 «/ ±
.± Q (± 0 ая> а/ € С, г^ = (ю± (а, 0, z* (а, 0)- Аналогично
§ 2 гл. IV, нетрудно проверить, что совокупности Л±, г^_
есть лагранжевы многообразия с комплексными ростками,
иирариэнтиые ртноситедьно mwnm&KQro преобразовав

ГЛ. V. СТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 191
ния #я-^2> причем функции S± (х) есть действия и АФ —
операторы рождения в инвариантных базисах на [Л*_, г^].
Для завершения доказательства леммы достаточно
применить к функциям (5.45) оператор L (5.41) и
воспользоваться утверждениями § 2 гл. IV и § 3 этой главы.
Нетрудно проверить, что
^"-i(-l)lv|^ + , (5.45')
и, таким образом, при сформулированных в начале
параграфа условиях у оператора L существуют две системы
асимптотических собственных функций, отвечающих одной
и той же серии чисел Е[м. В пределе при h—^0 эти
системы отвечают, очевидно, классическим движениям
в различных направлениях по одной и той же кривой
{x£R%: x = Q(t)}. Докажем, что системы функций ujj0, ±
асимптотически полны. Рассмотрим функции U±(x,h),
равные нулю вне некоторой окрестности кривой 6£ и на
множестве А* представимые в виде
1/± (х, К) =
= ^±7* 2 h-^V*(x-Q(t(x))r%v(t(x)) + g(x9h),
I v | = 0
(5.46)
где t(x) — решение уравнения (5;42), %v(t)—некоторые
гладкие функции, N — натуральное, не зависящее от h
число и функция g(x, h) GiC™ (R2X(0, 1]) такова, что для
любого компакта /C6R? Um ||g||c(K) = 0. Пространства
h -* 0
функций U±(x>h) вида (5.46) обозначим через Jg^*.
В силу леммы 3.11 на множестве Ах для функций
U± (х, К) справедливо равенство
is±/h / N
U^(xth)^T7=L==,[ 2 PvCWx
К detC* (/(*)) \|vi=o
X(A1±)v, ... (A^OVO-l+ft^'i). (5.47)
где функции S±(x, /i), KdetC* (/ (x)) и операторы Л*
введены выше, pv (£)— некоторые гладкие функции, t (x) —
решение уравнения (5.42) и gx(x,h) — гладкая функция,

192 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
удовлетворяющая тому же условию, что и g(x, h).
Функции pv (/) принадлежат пространству распределений D' (R2)
над пространством гладких финитных функций Z)(R£).
Следовательно, для каждой функции pv (/) определено ее
преобразование Фурье cv(co)—обобщенная функция из
пространства SI (RJ), сопряженного к пространству
гладких быстро убывающих функций S» (R£) (пространству
Шварца, см. [16]). Отсюда, воспользовавшись
символической записью
pv (0 = --4=: f еш cv (©) Жю,
У 2ш J
из (5.47) и определения функций i;^©* получаем
следующее утверждение.
Лемма 5.2. Для любой функции И^^З^
существуют натуральное N, не зависящее от А, набор
обобщенных функций cv(<o)€S^(Rj)f v = (v1,..., vw.x), 0<|v|<
^N9 и гладкая функция g1(xfh) такие, что
N
U±(x,h)~ S \vi%±cv(^)d(o + g1(x9h)
I v 1 = 0 *
и lim sup | gx (x, h) | = 0 Зля любого компакта /С € R2-
fc-*0*eK
Будем называть системы функций {t^^}
асимптотически полными в пространствах З^.
Заметим, что элементами пространств 3^ и 3^
являются комплекснозначные функции. Введем в
рассмотрение пространство функций £/(х,/i), представимых
в виде U (х, К) - U+ (x9 h) + Lf- (х, А), где t/± (х, К) € J?£> .
Это пространство обозначим через 3{м: 3^) = 3^) +
+ 3{м. В силу определения 3^ (см. (5.46)),
элементами 3^ являются уже как комплексно-, так и вещест-
веннозначные функции. Рассмотрим в 3^ систему
функций {i>v?o + } U {^й>~}, отвечающую в пределе при Л—*0,
как легко видеть, классическим движениям в различных
направлениях по кривой {xgRJ: x = Q(t)\. Из леммы 5.2
очевидным образом вытекает следующее утверждение.
Лемма 5.2'. Система асимптотических собственных
функций {Vy?i>+} U { у^оГ} асимптотически полна вЗ{1Х),

ГЛ. V. СТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 193
а именно для любой U (х9 К) £ JS?(W найдутся натуральное N
и функции Су (о) из пространства обобщенных функций
S« (R«), такие у что для любого компакта /CcR2
N
lim sup | (/ (x, Л)— \ 2 S c?(to)5$VAD =0.
h-*0 xeK J +. - 1 v 1=0 ' x
Примеры. 1. Приведем формулы для
асимптотических собственных функций оператора Лапласа ft2 (д2/дх\ +
+ д2/дх1 + д2/дх1). Функция Гамильтона, отвечающая
этому случаю, равна р29 р £ R3, и инвариантными
кривыми Л^ являются прямые линии в 6-мерном фазовом
пространстве. Не уменьшая общности, рассмотрим случай,
когда А1± = {(р9 9)€11*у-Р1 = Рв = 0, p3 = ±\i, ^ = ^ = 0,
q3 = ±2\it\. Отвечающие Л^ функции S+(х) (решения
уравнений Гамильтона-Якоби (4.29)) и <р+ (решения
обобщенного уравнения переноса (5.29)) построены в
примерах § 3 гл. IV и § 4 гл. V.
Аналогичным образом находим функции S" (х) и ср-^
и получаем следующие семейства асимптотических
собственных функций оператора—/i2A:
хН\уйи+ьЫГ\ УК\1+ь±ь\ )' (5'48)
Здесь [л, со—вещественные, &Г, 2 = bit2» ^Г, 2=—^&it2»^i>^2—
комплексные параметры, Im bl9 lm b2 > 0, v = (vlt v2) —
мультииндекс и tfv.— полиномы Эрмита. Коэффициент
Vlmb1lmb2_ т/"мГ Vlmbxlmbj
К я 1/я,, olvi V я
В. П. Маслов

194 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
подобран таким образом, что
J YCO, V (#1> #2» ^3/ Т©» V (^1> %2> ^з) ^1 ^-^2 ^"^3 ===
Я8
= /*6 ~ Sv~ б (со—со),
где 6V/ v.—символ Кронекера, б (о—со) — «8»-функция.
Заметим, что в этом примере каждая из систем
функций {tfv^i*) полна (в обобщенном смысле) в пространстве
L2 (R|) и задает некоторое преобразование из L2 (R|)
в гильбертово пространство функций /2 со значениями в
L2(RL), если |v|, |ю|€(0, оо).
2. Аналогично 1, с использованием результатов
примеров § 3 гл. IV и § 4 этой главы, строятся
асимптотические собственные функции v^* no modO(/i3/2)
оператора—/i2 (dydxf + (1 +Р2*?) д*/дх1), где 0 > 0—некоторый
параметр. Эти функции имеют вид:
«V-exp fe(±^2 + l(^C0S^7Psin^)2)1x
^ L^ \ 2^2 coee*1 + *±e-1sinft*1/J
.icoa:2
у cos р*2 -|—jr- sin Р*2
/ ь± \v
/ COS (fog + "a- Sin |3#2 \
Ь±
cos(k24—g- sin|3*2
/*Im pfi^x
X
|/"Л COS P#2 + "IT sin P*2
(5.49)
где fi, co^R1, 6+ = b, b~ =— fr, b, v<Af—натуральные
числа, lm&>0, #y—полиномы Эрмита,
N—фиксированное натуральное число.
Замечание 1. Отметим, что функция (5.48) вне окрестности
радиуса /г1/2"д, 6-*-|-0 прямой х1 = х2 = 0 и функция (5.49) вне
окрестности того же радиуса прямой хг — 0 равны 0(/i°°), т. е.
построенные семейства асимптотических обобщенных собственных
функций сосредоточены в окрестности прямых *1=д;2 = 0 и^ = 0
соответственно.
Замечание 2. Развитая в гл. IV и V теория позволяет
построить асимптотические обобщенные собственные функции по
mod О (hk/2)9 где &—произвольное натуральное число.
Замечание 3. Обобщенные собственные функции (5.48) и
(5.49) можно записать через операторы рождения, обычно исполь-

ГЛ. V. СТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 195
зуемые в физической литературе. При этом соответствующие
формулы несколько упростятся, если операторы рождения прокоммути-
ровать с экспонентой etS^ . Например, функцию (5.49) в случае
b = i$ можно представить в виде
Используя леммы 5.2—5.2', построим
околовакуумные семейства решений уравнения
/i2^2 + b-0. (5.50)
Справедлива следующая теорема.
Теорема 5.6. Пусть выполнены условия,
сформулированные в начале этого параграфа. Тогда для любых
функций U± (x9 h) g 3±] и U (ху К) g 3м существуют
натуральное N и набор обобщенных функций с* (о), 0^
^ Iv I ^ N> из пространства <&*„ (R&) таких, что функции
Ш (<о) t N
u^ix, t9 h) = \e h 2 cJH^i^ (5.51)
J lvl=0
Ш (о) t N
uM(x9t9h) = \e h 2 S ^(co)^Vdco, (5.5Г)
где Q (со) = a + h (со), на произвольном конечном отрезке
t € [0, Т] с точностью до О (h3^2) удовлетворяют
уравнению (5.50), и что для произвольного компакта /C<=:R2
справедливы равенства lim sup | и^ (х, 0, h) — U± (х, К) j=0,
lim sup I ы<ю (x, 0, h) — U(x, A)|=--0.
h-»0xsK
Доказательство теоремы 5.6 вытекает из следующего
утверждения.
Лемма 5.3. На произвольном конечном отрезке
'€[0,7].
1) функции S±(x, t)=^\it + S±(x) являются
приближенными по mod6^ (/73/2) решениями уравнения
Гамильтона— Якоби (dS/diy—H (dSydx, x) = 0;

196 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
N
2) функции ф± = ^ pv (* (*)——) <р* w (л:, К) являются
|v 1 = 0 V ^У
приближенными по тосКЗ^ (h1^) решениями уравнения
переноса
о dS± дц> frr (䧱 \ д$\
* dt et ~\np VST> х)• Шс/~
1 V л/ (䧱 \ д2^ ~
1 v w ^^А ^ - mд*ч i
к = I
Здш> Я (/7, 9), S± (x) и q>t, & (x, h) определены
соответственно равенствами (5.4Г), (5.43), (5.44) и функции
pv(0 и t(x) введены в (5.43), (5.44).
Доказательство. Первое утверждение леммы
следует из определения функций 5*. Для доказательства
второго утверждения леммы заметим, что в силу оценки
h ^2 =6S± (А1/2), которая следует из определения
функций <р±, и равенства dS±/dt = ii соотношение (5.52)
заменой £' =— tl{2\i) приводится к виду нестационарного
обобщенного уравнения переноса (3.107), отвечающего
п
функциям Н (р, q) (5.4Г) и G = y£ HPk4 (ж' *)• Решая
для этого уравнения задачу Коши вида Ф |^=0 = Ф* (х, 0, К)
по схеме, изложенной в гл. III, учитывая при этом
инвариантность лагранжевых многообразий с комплексным
ростком [Л±, г±], получаем второе утверждение леммы.
Замечание I. В некоторых случаях вместо числа у? (линии
уровня функции Я(р, q), на" которой"*лежат кривые Л^) удобно
выбрать другие константы. Например, в случае, когда Н (р, q) =
= р2 + ^» р€^р» и = const > 0, удобно считать, что Н (ру q) = \\?-\- и.
При этом Доказывается равным модулю импульса движения по
кривой (x£Rl:x = Q (/))• Частота Q (i)) естественно пглмзт другой вид
(см. пример, приведенный ниже в этом параграфе).

ГЛ. V. СТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 197
Замечание 2. При некоторых дополнительных условиях на
коэффициенты а//(я) и R(x) оператора £ (например, в случае, когда
д.. = 5/у, Я=и = const при |л:| > const) утверждение теоремы 5.6
остается справедливым, если заменить пространства «S^, J£^ на
(энергетические) пространства функций, представимых в виде (5.46)
и принадлежащих L2 (Rx) со скалярным произведением (1?ъ Uz) =
= Jim (иъ и%) f пч. При этом в теореме 5.6 оценки Q (ha)
замело L*KRx)
няются на соответствующие оценки в L2(R?)-
Пример. Семейства решений и** и околовакуумное
семейство и(м решений уравнения (5.50) в случае, когда
£ = — Л2А + и, А—оператор Лапласа, JtgRjJ, х = const,
отвечающие в пределе при h —* 0 классическим движениям
по прямым хг = х2 = 0 со скоростями ±|л, определены
формулами (5.51) и (5.5Г) соответственно, в которых
v^ имеют вид (5.48), a Q-]/"x + (m< + M2.
Используя околовакуумные семейства решений
уравнения (5.50), мы можем найти значения'векторов
состояния, близких^к вакуумному, вторичноГгквантованной
задачи, отвечающей (5.50) (см. Введение).
В заключение приведем одно полезное для
вычислений утверждение.
Предложение 5.1. Пусть в (5.41) функция R(x)
есть константа: #(л;) = и. Тогда
1) в формуле (5.43)
t
$<P,dQ> = 2(|x*-*)(*-*0);
и
2) для любой бихарактеристики Л1 гамильтоновой
системы (4.9'), лежащей на линии уровня \х функции Я,
выполнено условие |Q(f, ц)|#0, — с© < £ < <х>, х <
< fji2 <оо, если матрица \\ аи (q) \\ в (5.4Г) положительна.
Доказательство. 1. В силу системы Гамильтона
и равенства #|лчи) —И»1 имеем
t t
Up>dQ> = UP>Hr(P>®>dti =
t t
= \ 2 (Я—х) dtx = J 2 №2—х) d^ = 2 fti2—x) (f — f0).

198 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
2. Предположим противное, т. е. что существует такая
точка t(\i)£R, в которой |Q(7)| = 0. Тогда, в силу
системы Гамильтона, справедливо равенство
\Hp{P(t), Q(t))\ = \A(Q(t))P(l)\=0,
где
A(q) = \\au{q)\\.
Отсюда и из равенства А > О следует: Р (Г) = 0 и Н (Р (?),
Q(f)) = x. С другой стороны, по нашему предположению
#|л* = М<2 и (г2 > и. Полученное противоречие доказывает
предложение.
Задача. Построить асимптотические обобщенные
собственные функции по mod 6 (Л3/2), сосредоточенные в
окрестности оси z оператора
L = (— ihd/dx + х)* + (— ihd/dy—y)* + (— /ftd/3z)2 + 1
и околовакуумное семейство решений уравнения h2utt +
-\-Lu = 0 (уравнения Клейна—Гордона в магнитном поле,
векторный потенциал которого имеет вид
Ах = — у, Ау = х9 Л2 = 0).
Задача. Построигь обобщенные собственные функции того же
оператора L и околовакуумное семейство решений уравнения (5.50)
в окрестности траектории, выпущенной из точки (х, у, г) = (я, 0, 0)
под углами 02 с осью г и 6Х с осью х, 62 Ф п/2.

Глава VI
КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ
КОМПАКТНЫХ (ЦИКЛИЧЕСКИХ) ПУЧКОВ
§ 1. Постановка задачи. В предыдущих главах были
построены приближенные комплексные решения
канонической системы стационарных уравнений, обладающих
тем свойством, что множеством 8£ нулей мнимой части
функции S (х) является незамкнутая кривая (или
поверхность) в R2- В этой главе будут построены такие решения
канонической системы (4.7), для которых множество б£ —
это точка или замкнутая кривая в RJ (в общем случае
компактная поверхность без края в R2). В частности,
к системе, обладающей такими решениями, можно прийти,
рассматривая следующую задачу на собственные функции
BLa(R2)-
— ft2 (д*и/дг*) + (1 + р2 (г — I)2) дЧ/ду*) = Еи9 (6.1)
и (г, ф + 2я)=и(г, Ф), "€MR2). (6.2)
Здесь г, ф—полярные координаты, р—некоторый
вещественный параметр, Е—собственное значение-
Заменой переменных хг = г—1, х2 = ф уравнение (6.1)
сведем к уравнению, рассмотренному в § 4 предыдущей
главы:
— А2 (д*и1дх\ + (1 +$*xl) d*u/dxi)—Eu = 0, (6.3)
и (*i, *2 + 2я) = и (*!, х2),
*i€(— 1. оо), х2€(—оо, оо). (6.4)
Некоторые формальные асимптотические решения по
mod О (Л3/2) уравнения (6.3) без учета условий
периодичности (6.4) были построены в § 5 гл. V, Эти решения

200 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
имеют вид (5.49), отвечают собственным числам £ = (а2 +
+2/цмд + О (h2) и сосредоточены в окрестности траектории
(#€R2: х± = 09 x2 = t\i) — проекции на q- плоскость
решения гамильтоновой системы с функцией Гамильтона:
Щр, q) = \{p\+{\+№t)Pl-V2)- (6.5)
Мнимая часть функции S обращается в нуль на
траектории (.r£R2: *! = (), x2 = t\i) — проекции решения
гамильтоновой системы на ^-плоскость. В полярных координатах
(г, ф) эта траектория есть единичная окружность г=1.
Выберем из семейства функций (5.49) функции,
удовлетворяющие условию периодичности (6.4). Очевидно, что
это условие будет заведомо выполнено, если Ь = ф, а
параметры \а и со принимают дискретные значения
й==|гЛ1 = ЛЛ1(А), со ==со*2,/==&2 + Р 0/2 + 0» (6.6)
где kx(h), k2, /—целые числа. Легко видеть, что
параметры [л, со из (6.6) будут удовлетворять и условию:
fx' < иО". \| о> | < со', Im Ь > 0,
где |ы\ jx,", со'—вещественные числа, не зависящие от Л,
если lim hkx (h) = с > 0, ц/ < с < (а", и &2, / йе зависят от h.
ft-* 0
Условия (6.6), которым удовлетворяют параметры |х
и ю, называются условиями квантования спектра
уравнения (6.1). Эти условия определяют с точностью до
0(h2) «асимптотические» собственные числа
Ekil = h*kl(h) + 2h%(h)(k2 + P(l/2 + l)) + 0(h*) =
= (к (A) h + /ф (1/2 + l)f + О (h%
£(Л)-МЛ)+£2
и отвечающие им «асимптотические» собственные функции
(запишем их в координатах (г, <р)):
Ф« Я, ((г-^1)/^) в*-*»'*.
т. е. функции, удовлетворяющие уравнению (6.3) при
E = Ektl с точностью до О (Л3'2).

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 201
Таким образом, для того чтобы построить
«асимптотические» собственные функции оператора —h2 (д2/дг2 +
+(1 +Р2 (г— I)2) д2/дф2), мы решили следующую задачу для
канонической системы (4.7), (5.2), отвечающей функции:
Я=рЖ1+РЧг-1)2)Р2ф-~И2
(функции Я из (6.5) в координатах (г, ф)) и функции
G = t|jia): нашли семейство, вообще говоря, неоднозначных
решений S и ф, зависящих от параметров \х и со, и
подобрали параметры \х и со таким образом, чтобы функции
eis/h и ф были однозначными функциями. Аналогичным
образом рассмотрим в этой главе решения канонических
систем, отвечающих произвольным функциям Гамильтона.
Перейдем к точной постановке основной
рассматриваемой в этой главе задачи. Пусть имеется семейство
функций Гамильтона Я(р, q, \i), гладко зависящих от
параметра fi, ц' < \i < fi", и пусть семейство гамильто-
новых систем, отвечающих функциям Я(р, q, jx),
допускает гладкое семейство замкнутых бихарактеристик:
Л1(^) = ((Р, <7)€R2": Р = Р(т, fi), ?-Q(t, fi), rg^)
таких, что при каждом }х€(мЛ Ю:
сх) проекция бихарактеристики Ах(\л) на (/-плоскость
R£—траектория 8l(\*) = (x(tRn: * = Q(r, \i))—есть
гладкая кривая в R", т. е. 6J([x) не имеет точек
самопересечения и |Q|=t^0 при |xg(fx', ц");
с2) Я|лми) = °-
Период (по т) бихарактеристик Л1 (|л) в дальнейшем
будем обозначать через Т(\х).
Типичным примером семейства функций Н (р, q, \x) является
семейство вида Я(р, qy ц) = Я1(р, q) — \i. Условие с2) в этом случае
означает, что кривая Л1 (\i) лежит на постоянном уровне ц функции
Нх (р, q) и параметр \i играет роль энергии Е гамильтоновой
системы с функцией Гамильтона #i(p, ?).
Пусть, далее {^(ц), ..., um(\i)} — конечное покрытие
некоторой замкнутой окрестности kx(\i) траектории бх(ц),
гладко зависящее от (г, такое, что
«'Пи/==0, если 1ф]±1, i, /=1, 2, ...f m,
def def
U* = Um, Um+1 = UX. (6.7)
Требуется указать множества Q (ft)c(ji', [*")<= R и Q (ft) с С

202 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
изменения параметров ц и со и найти последовательность
функций {S1(x9 |x), ...,Sw(x, ц,)}, \i£Q(h), и функцию
Ф(л;, |х, со, /г), |ы g Q (/г), со^ЩД), удовлетворяющие
условиям:
с3) (гладкости) S'(xf ^) €С°° (^(|ш)), ф(х, ц, со, А)€
€С«(АЛ(|1));
с4) (сосредоточенности в окрестности траектории)
ImS^^O, причем lmSS(x, fx) = 0 тогда и только тогда,
когда х лежит на траектории 6* (|ш); ф (х, \i9 о>, h) = 6Si (1),
*€£/', /=1,2, ...,m;
c5) (согласования)
S/_S/+i = 0 при jc€^'n^41,
A"1 (S1—S") = 2nfe (A) mod О (h) при x € и1 П и",
fx g Q (А), А (Л)—целое;
ce) функции S^ и ф соответственно в каждой области
и/ и а^пАА(^) приближенно удовлетворяют канонической
системе уравнений
Я (^, х, и) = 0mod (6s|(/t3/*)) , (6.8)
= + /©<pmod (65|(/i1/2)), (6.8')
jc€^', fi€&(/0, o)€^(/i).
Определение 6.1. Последовательность функций
{SJ'\, /=1. ...,m, и функцию ф, удовлетворяющие
условиям с3)—с6), назовем циклическими решениями
канонической системы уравнений (6.8) — (6.8'), сосредоточенными
в окрестности замкнутых траекторий (х 6 R": х=Q (т, ц,)).
Замечание. Аналогичным образом определяются циклические
решения канонической системы (6.8), (6.8') в том случае, когда
семейство функций Гамильтона Н(р> qt \i), \x' < ц < jli", допускает
^-мерное семейство лагранжевых многообразий
A*0i) = ((p, q)£R2»: р = Р(т, |i), ? = Q(t, fx), t£r£),

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 203
гладко зависящих от параметров (л = (ц.0, ..., jifc-i) С Q CZ R*,
лежащих на нулевых линиях уровня функций Н (р, q, \i) и таких, что
при каждом фиксированном ji проекция Л* (\i) на
^-плоскость—множество бх(ц) = (дс^КЛ: # = Q(t, ц), t£Rt) — есть гладкое
многообразие в R* без самопересечений.
Определение циклических решений канонической системы для
этого случая совпадает по существу с определением 6.1, в которое
необходимо внести следующие изменения. Во-первых, траектории
(*£RW: x = Q(xy \i)) и покрытия (и1 (|г), ..., ит (\i)) замкнутых
окрестностей &x(\i) этих траекторий заменяются на ^-мерные поверхности
$х (M') = (^6^W: * = QCr»H))»M'€^'('0 и конечные покрытия (и1 (^),...,
ит (\i)) замкнутых окрестностей Д* (ц) многообразий 6^ (jx).
Во-вторых, последовательность областей
{a» Oi), ...fa-(|i)} (6.7')
заменяется на последовательность областей tijx, ...9tij из покрытия
{"/}» /=1> ..., т, покрывающих (любой) замкнутый путь на 6*(|л)и
удовлетворяющих условию (6.7).
В предельном случае (fe = 0) имеется одно нульмерное лагран-
жево многообразие—точка Л° = (Р0, Qo) в фазовом пространстве
R<7?/?> лежащая на нулевой линии уровня функции #(р, q), — и
тогда циклическим решением канонической системы уравнении
называются функции (S, ф), удовлетворяющие в некоторой окрестности
U£Rn точки 6$ = Qо условиям с3), с4) и уравнениям (6.8), (6.8').
В дальнейшем в основном нас будет интересовать
случай нульмерного и одномерного многообразий (точки
и замкнутой траектории), поэтому все рассмотрения мы
будем проводить для этих двух случаев, начав с первого,
как наиболее простого. Все рассуждения будем
проводить по схеме, которая без труда переносится на случай
семейства ^-мерных многообразий.
Кратко изложим основные идеи, которые мы
используем при отыскании циклических решений канонической
системы. Можно указать два способа построения таких
решений. Первый способ (его можно назвать
«аналитическим»): в каждой области и* («в малом») методом,
изложенным в предыдущих главах, строятся приближенные
комплексные решения канонической системы (6.8)—(6.8'),
удовлетворяющие условиям с3), с4), а затем из этих
решений выбираются такие, которые удовлетворяют и
условию согласования (или «склейки») с5). В примере,
рассмотренном в начале параграфа, последнее условие
эквивалентно выбору параметров Ь, |х, о. Второй способ
(«геометрический») состоит в следующем: строится семей-

204 4. 1. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
ство лагранжевых многообразий-с комплексными ростками
[Ла((а), r"(fi)J, «локальные» действия на которых
удовлетворяют условиям с3), с4) и условию согласования с6)
и множество Ф функций ф на [Л*((г), rn(\i)]f также
удовлетворяющие этим условиям. Затем среди этого семейства
лагранжевых многообразий с комплексными ростками
выбираются такие «локальные» действия, которые
удовлетворяют уравнению Гамильтона—Якоби (6.8), и из
множества функций Ф выбираются функции ф,
удовлетворяющие уравнению переноса (6.8').
Оказывается, что «геометрический» способ почти не
требует никаких дополнительных к уже проведенным
в предыдущих главах исследований, поэтому этим
способом мы и воспользуемся для отыскания циклических
решений канонической системы (6.8)—(6.8'). Все
рассмотрения проводятся в декартовых координатах, однако при
решении конкретных задач часто бывает удобно перейти
к другим координатам (например, полярным—в примере
этого параграфа). Такой переход фактически не изменяет
изложенную ниже схему построения циклических
решений и без труда может быть осуществлен читателем
самостоятельно.
§ 2. Инвариантное нульмерное лагранжево
многообразие с комплексным ростком. В этом параграфе мы
рассмотрим простейший пример инвариантного лагранжева
многообразия с комплексным ростком [Л*, гп]9 а именно
тот случай, когда Л* = Л° есть точка в R*%. Мы
приведем условия, которым должна удовлетворять функция
Н (р, q)y чтобы существовало нульмерное многообразие Л°
с ростком гп, инвариантное относительно
преобразования DJ/.
Пусть точка Л° = (р = Р0, q=Q<>) в R^% инвариантна,
относительно преобразования gfH. Тогда, очевидно,
выполнены условия
НР (P., Q.) = - Q0 = 0, Нч (P0, Q.) = Р0 = 0.
Таким образом, (P0f Q0) есть точка покоя функции Н (р, q),
лежащая на ее нулевой линии уровня.
Определение 6.2. Точка покоя Л° функции
Гамильтона Я (р, q) называется невырожденной, если матрица

ГЛ. VI, КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 205
вторых производных
невырождена. Невырожденная точка покоя Л° называется
устойчивой в линейном (или первом) приближении, если
все решения системы в вариациях
™ = ~няр(р*> Qo)^—Hqq(Pbt Q0)z, 6 g)
г = Нрр (Р0, QQ)w+H,q (P0, Q0) z
ограничены при t£(—оо, оо).
Предположим, что Л° = (р = Р0, q = Q0)—н е в ы р о ж-
денная точка покоя функции Гамильтона # (р, q).
Основным результатом этого параграфа является следующее
утверждение.
Теорема 6.1. Пусть существует комплексный
росток rn = (w0(a), z0(a)) такой, что [А0, гп] инвариантно
относительно канонического преобразования DlH, тогда
точка Л° устойчива в линейном приближении. Обратно,
пусть точка Л° устойчива в линейном приближении,
тогда существует росток гп такой, что [Л°, гп]
инвариантно относительно DlH.
Явные формулы для инвариантного ростка гп и
действия на [Л°, гп] приводятся ниже. Предположим, что
[Л°, гп] инвариантно относительно D#. В силу равенств
gfHA° = Л° преобразование ростка гп в росток &£нХп =
= (w(a, t), 2 (a, t)) определяется в данном случае как
решение системы (6.9), удовлетворяющее при * = 0
условиям w(a, 0) = шо(а), 2 (а, 0) = zo(a). Из инвариантности
ростка гп (т. е. равенства г" =dgV*)> очевидно, следует
существование невырожденной матрицы A (t) размера пхп
такой, что
B(t) = B0A(t), C{t) = C>A(t), (6.10)
где через В, С, В0 и С0, как всегда, обозначены матрицы
dw/da, dz/да, dwjda и dzjda соответственно.
Определение 6.3. Матрица A{t),
удовлетворяющая условиям (6.10), называется производящей матрицей
инвариантного ростка на нульмерном лагранжевом
многообразии.
Лемма 6.1. При всех t£(—оо, оо) производящая
матрица A (t) приводима к диагональному виду и все ее
собственные значения по абсолютной величине равны

206 **. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОЁ
единице. Иначе говоря, A (t) подобна некоторой
унитарной матрице.
Доказательство. Рассмотрим матрицу
S1(t)-=(l/2i)(C"B-B*C)(t).
В силу предложения 2.3 матрица ^ не зависит от t.
Отсюда и из (6.10) следует
ЛЧ*)^ Л (*) = #!. (6.11)
Далее, в силу условия диссипативности матрица ^1
положительна. Таким образом, существует
самосопряженная положительная матрица <§\/2 такая, что {£\12)2 = £х.
Умножая равенство (6.11) слева и справа на матрицу
<£>Г1/2-(е?1'2)-1, получим (tfr1/^**i/1)(*J/Mrfr1/1)=:£f где
£—единичная матрица размера п х /г. Легко видеть, что
(<£1'М<£г1/2)* = <£Г1/2Л *<£р
и матрица &\1%А4>х11г9 таким образом, унитарна.
Доказательство первого утверждения
теоремы. Рассмотрим матрицу
g«h(2 ?)•
Из определения матриц С и В и леммы 6.1 получаем,
что G(t) есть матричное решение системы (6.9),
ограниченное при t£(—оо, оо). В силу невырожденноЬти
матрицы <§! вектор-столбцы матрицы G(t) линейно
независимы, и. G(t) есть фундаментальное решение системы
в вариациях. Отсюда следует ограниченность при t£
g(—оо, оо) всех решений этой системы.
Для доказательства второго утверждения теоремы
воспользуемся следующей леммой (См. также [3]).
Лемма 6.2. Пусть точка Л° устойчива в линейном
приближении. Тогда существует п линейно независимых
решений системы в вариациях аг (t) = ( ^ч ), •. • >ап (t) =
= U (Л ) ' удовлетворяющих условиям
{ah aj\ = 2i8ij9 *,/=l,...,n, (' '
a/(t) = e*''aj(0)9 /=1, ...tn. (6.13)

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 207
Здесь Ьи —символ Кронекера и ify—собственные числа
матрицы ^вар.
Доказательство. В силу известных теорем
теории линейных дифференциальных уравнений
ограниченность при t £ (— °°, °°) всех решений системы (6.9)
эквивалентна утверждению, что матрица $?вар приводима
к диагональному виду и что все ее собственные числа —
чисто мнимые (и отличны от нуля в силу
невырожденности матрицы ^вар). Собственные числа матрицы Жъ^
будем обозначать через ф„ /= 1, ..., 2я.
Покажем, что характеристический полином / (|3)
матрицы «^вар есть четная функция р. В самом деле:
ae4 -Hqq Hgp-№)-~
I V йе1[-(нpq+m н
-P*
Jpq-rt>^) "pp
ae4 Hpp -&„+№) K Pj*
Здесь E — единичная матрица размера яхп, и у
функций Hqp, Hqv Hpp опущены аргументы Р0, Q0. Из
четности полинома J ф) следует, что наряду с корнем ф^
полином J (P) имеет корень —i$ly причем [кратность этих
корней одинакова. Далее, заметим, что любые два
собственных вектора аДО), О/(0) матрицы $?вар косоортого-
нальны, если сумма соответствующих собственных чисел
отлична от нуля. Действительно, в силу предложения 2.3
гл. II имеем
К(0), 5У(0)}НМ0, ау(0Н^(Э/+^М«|(0). i/(0)\.
Отсюда получаем, что {at (0), aj (0)} = {at (t), ay (t)} = 0
при pz + P/=7^0. Таким образом, пространство С2П есть
прямая сумма ^©Я-^ф ... ©£Эг0£_рг, >*<">
собственных подпространств £±^ матрицы ^вар». отвечающих
числам ± 1*рг и удовлетворяющих условиям:
а) £э =£_э,

208 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
б) Е^ и £р косоортогональны друг другу, если §ЬФ
в) сужение билинейной кососимметрической формы
(кососкалярного произведения {•, •}) на подпространство
£рг0£_р/ невырождено (последнее следует из б) и из
невырожденности формы {•, •} в С2" (см. § 3 гл. II)).
Положим т1 = АшЕ:к$1 и обозначим через а£р/(0),
/=I, ...,mz, базисные векторы подпространства Е±$
Заменяя векторы af Р/(0), .. .,а*^(0) на их линейные
комбинации, учитывая при этом б, в), нетрудно добиться
того, чтобы д*^(0) удовлетворяли соотношениям:
{а\к а*'} = 2ia(k) 8ft/, *,-/=l, 2 ml9
где bkj—символ Кронекера и а (К) принимает значения
1 или —1. Полагая теперь
а£(0) при
»*а£"э'(0) при
i-i
a(k)=l
o(k) = —r
получаем доказательство леммы.
Замечание. Легко видеть, что матрица G(t)y составленная
из вектор-столбцов аг (t), ..., ап (t) и вектор-столбцов ах (/), ..., ап (t)y
есть фундаментальное матричное решение системы (6.9).
Доказательстве второго утверждения
теоремы. Пусть а7(/)=Г^Л, /=1, ...,
п,—векторы, удовлетворяющие условиям (6.12), (6.13); определим
росток гп по формулам
г» = Гш=3^(0)0,, *=|!2>(0)a,J, a/€C (6.I4)
В силу выбора векторов а;- (t) совокупность [Л°, гп]
удовлетворяет всем аксиомам комплексного ростка, причем
dgfHrn = rn. Последнее равенство понимается в смысле
равенства комплексных плоскостей тп и dgfHrn. Тем самым
теорема 6,1 полностью доказана.

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 209
Следствие. Пусть Л° = (/? = Р0, q =
Q0)—устойчивая в линейном приближении точка покоя функции Н (р, q)
и af (0) = \%(Q) ) > / == 1, 2, ..., /г, —векторы,
удовлетворяющие условиям (6.12), (6.13). Тогда функция
S (х) -<Р0, x-Q0> + ^<*-Qo> ВС'1 (х—Qe)>, (6.15)
где В = (о^ (0), ...,wn (0)), С = (гг (0), ...,гп (0)), является
приближенным решением стационарного уравнения
Гамильтона— Якоби.
Доказательство получается непосредственно из
теоремы 4.1 и (6.10).
Замечание. Нетрудно показать, что для каждой устойчивой
в линейном приближении точки покоя Л° функции Н(ру q)
существует единственный инвариантный росток гп. Доказательство этого
утверждения основывается на следующих фактах. 1. Базис alt ... ап
на инвариантном ростке всегда можно выбрать так, чтобы
выполнялись условия ((6.12), (6.13)). 2. Решения ах (t), ..., ап (t) системы (6.9),
удовлетворяющие этим условиям с точностью до перенумерации частот
Pit •••» Рг» >"<^я, и выбора таких решений в каждом
подпространстве Е~ , определяются единственным образом.
Задача. Доказать утверждение, сформулированное в замечании.
Пример. Построим приближенное комплексное
решение стационарного уравнения Гамильтона—Якоби,
отвечающего одномерной кристаллической решетке с
переменной скоростью звука с(х):
4с* (х) sin2 (dS/дх) —Q* = 0. (6.15')
Здесь с(х)Ф0—гладкая функция и Q—некоторый
вещественный параметр, который будет вычислен в процессе
решения уравнения (6.15'). Функция Гамильтона,
отвечающая уравнению (6.15'), имеет вид: Н=4с2 (q) sin2 {p/2)—
— £22, и ее точки покоя следующие:
Лт = (Р = ^==я;т, q = Q0=*x0), m = 0, ± 1, ...
Здесь х0—точка экстремума функции с(х). В результате
элементарных вычислений находим матрицу $fBap в
точке Л£:
Ф __( 0 4сЧ*0)((-1)я-1)\
^вар [2с*(х0)(— 1)* 0 J '
Таким образом, точка Л^ невырождена, если m = 2k+\
и с" {х0)ф0. Отвечающие этому случаю собственные числа
имеют вид Л,± = ф± = ± Мс (х0) ]/"— c(xQ)c"(x0) и, следова-

210 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
тельно, для устойчивости в линейном приближении точки
^lk+i необходимо и достаточно, чтобы с" (х0) < 0, т. е.
чтобы х0 была точкой локального максимума функции с(х).
В дальнейшем, не уменьшая общности, будем считать,
что х0 = 0.
Определим теперь значения параметра Q2, входящего
в (6.15'). Имеем: Я (я (2k + 1), 0) = 4с2 (0)—Й2 = 0. Отсюда
находим й2 = 4с2(0). Опуская элементарные выкладки,
выпишем решение системы в вариациях
V • V с/4Л J
где св = с(0), Со-с(0) и р = 4с(0)К—(f(0)c(0).
Воспользовавшись теоремой 2.3, получаем теперь
следующее утверждение.
Предложение 6.1. Пусть в уравнении (6.15')
функция с (х) положительна и имеет локальный максимум
в точке х = 0, (с"(0)<0), и пусть параметр Q2 = 4c2(0).
Тогда при каждом &=0, ±1, ... функция
Sk = n{2k+l)x+iV—c;/c0x* (6.15")
является приближенным решением уравнения (6.15')..
Задача. Построить способом, изложенным в этом параграфе,
комплексные решения уравнения Гамильтона — Якоби для одномерного
осциллятора
i- |\dS/d*)2 + (»2*2l =0,
(со > 0—некоторый параметр), сосредоточенные в окрестности точки
§ 3. Приближенные решения обобщенного уравнения
переноса, сосредоточенные в окрестности точки. Пусть
у функции Гамильтона Н (р, q) существует устойчивая
в линейном приближении точка покоя Л° = (Р0, Q0)€ Rn
и пусть S(x) — приближенное решение уравнения
Гамильтона— Якоби, отвечающего функции H(p,q),
сосредоточенное в окрестности точки Q0, т. е. S(x)—действие (6.15)
на нульмерном лагранжевом многообразии с комплексным
ростком [Л°,'гя] вида (6.14). При этих
предположениях построим приближенные комплексные решения
второго уравнения канонической системы—обобщенного

гл. vi. комплексный гамилЫчэноё формализм 211
уравнения переноса:
Пф = /(оф, (6.16)
+ OW-I ttH.fl(%, *)?£;. (6-16')
Обозначим, как и в § 2, через фу, /= 1, ..., п,
собственные числа матрицы 5?вар, отвечающие собственным
векторам aj(0) = (w4 этой матрицы, подчиненным
условиям (6.12), (6.13). Справедливо следующее утверждение.
Теорема 6.2. Пусть в обобщенном уравнении
переноса (6.16)
п
(0 = 0),
(6.17)
Здесь v = (Vj, ..., vh)—некоторый мультииндекс. Тогда
функция __
Фг = ХгЛТ1 ... Л>-1, (6.18)
где
/=1, 2, ..., л, B = (w19 ..., св!„), C = (z1? ..., z„),
Xv—некоторая константа, является приближенным
nomod052 (Л1/2) решением уравнения (6.16).
Иначе говоря, число + *g>v есть «приближенное»
собственное значение обобщенного оператора переноса П,
а фу—«приближенная» nomod6s2(/t1/2) собственная
функция этого оператора, отвечающая числу t<ov.
Доказательство. Аналогично' доказательству
теорем 4.1 и 5.1 рассмотрим вспомогательную задачу
Коши для нестационарного обобщенного уравнения
переноса:
.^ + Пф-шФ = 0, (6.19)
ф|*=о = Фо(*,й) = 65Д1) (6.20)

212 *l. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УзКЙХ ПУЧКОЁ
и подберем функцию ф0 (х, К) и число <о таким образом,
чтобы приближенное решение этой задачи не зависело
от t. Функция ф0(л:, h) тогда очевидно будет
приближенным решением уравнения (6.16).
Как показано в предыдущем параграфе, векторы
а/ (0) ^ \Jj > /= 1» • • •» Л> образуют базис на плоскости гп9
а векторы ау(0) = (—Л—базис на плоскости гп. Согласно
лемме 3.11 отсюда следует, что функция ф0 представима
в виде:
Ф.= 2 XvA^.-.A^.l,
М = 0
где %v—некоторые комплексные числа, N—натуральное
число и Лу, /= 1, ..., п, определены равенствами (6.18').
В силу определения точки (Р0, Q0) и векторов ау (0), ау- (0),
/=1, ... , /г, имеем: gb(PQf Q0) = (Po1Qo)> ty(0=dg$fay (0)=
= е'¥ау(0), aJ{t)=dghaJ(0)=e~i*Jta/{0). Используя
последние равенства и теорему 3.4, получаем решение
задачи (6.19) — (6.20) в виде:
Ф(*, t9h)= £ %vexp j( № + {2ЯрЛ(P0, Q0) —
|v|=0 V\ /=1 УУ
-G(Qo)-^Z(T + v/)Py)^Al1 ... AVI.
Легко видеть, что последнее выражение не зависит от t,
если параметр со совпадает с числом cov из (6.17) и если
все коэффициенты %Vf за исключением коэффициента Xv»
равны нулю, т. е. функция ф0 совпадает с функцией <pv
(6.18). Теорема доказана.
Замечание. Нетрудно показать, что выполнение равенства
(6.17) является также необходимым условием для существования
приближенного решения из класса 0sa(O обобщенного уравнения
переноса (6.16), иначе говоря, числа kov из (6.17) и только они
образуют спектр оператора переноса П в классе 6sa(l). Если числа
Ру, /=1, ..., я, линейно независимы над кольцом целых чисел, то
все числа cov из (6.17), очевидно, различны, и каждому cdv отвечает
единственная с точностью до (3sa (h1^2) и умножения на константу

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 213
«приближенная» собственная функция <pv£H3 (6.18). В противном
случае для некоторых мультииндексов vj,, ..., V/ числа соу , ..., cov
совпадают и значению co = cov = ... = cov отвечает несколько
«приближенных» собственных функций (6.18), т. е. «приближенный»
спектр оператора переноса вырожден.
Таким образом, в случае, когда S (х) есть действие на
нульмерном лагранжевом многообразии с комплексным ростком, в классе
(9Si 0) удается полностью исследовать «приближенный» спектр
обобщенного оператора переноса Пл. Отметим, что аналогичная
задача для лагранжева многообразия максимальной размерности
k = n чрезвычайно сложна и удовлетворительного ее решения до сих
пор еще не получено.
Пример. Рассмотрим обобщенное уравнение переноса,
отвечающее функции Гамильтона Я = 4с2 (q) sin 2(р/2) —
— 4с2 (0) одномерной кристаллической решетки (см.
пример в конце § 2):
0, ч . as* dw . 1 ,, ч / as* \ a2s*
-^,2(х)соз(^)$ = шФ. (6.21)
Здесь с(х) та же, что и в ^уравнении (6.15'), и Sk(x)
имеет вид (6.15"). Для построения решений этого
уравнения, сосредоточенных в окрестности точки # = 0,
воспользуемся теоремой 6.2. Соответствующие собственные
числа фк и собственные векторы ак матрицы ^вар
следующие:
Фь = — 4*с0V— Vo, Ч = ( *>^
\ V %
с<Д4со)
где с0 = с(0), ^ = ^(0). Учитывая равенство
Hpq(Pf\ QP) = Hpq(n (2ft + 1), 0) = 0,
получаем отсюда с помощью теоремы 6.2 числа co = cov
и отвечающие им приближенные решения уравнения (6.21)
<о<*> = — Ас0У — с^0 (j + v) ,
v = 0, 1, ..., k = 0, ± 1, ..., Xv—комплексные числа.
Аналогично § 4 гл. V функцию ф^} можно записать через

214 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
полином Эрмита:
Ф* = СуН* (2х V^cfalVh), cv € С.
Используя найденные решения уравнений (6.15') и
(6.21), построим асимптотические решения задачи на
собственные функции и собственные значения оператора
одномерной кристаллической решетки:
4c*(x)sin*(-%fyu = Eu (6.22)
с точностью до 0(/i3</2). Аналогично предыдущим
примерам решения уравнения (6.22) будем искать в виде:
u=seis/hy9 (6.23)
Е = Е0 + кЕг + 0(к^). (6.24)
Здесь S(x)£C°°, q>(x, К) €С°° (Rx(0, 1]) —неизвестные
функции такие, что lmS(x)^0, Ф = 65а(1), Е0, ЕХ —
неизвестные числа, не зависящие от h9 подлежащие
определению. Подставим функцию (6.23) и число Е (6.24)
в уравнение (6.22). Воспользуемся формулой коммутации
экспоненты с псевдодифференциальным оператором и
преобразуем затем полученное выражение с помощью &-фор-
мулы и формулы коммутации [34, 68]; используя затем
результаты примеров § 2 и этого параграфа аналогично
§ 1 гл. III и §§ 4—5 гл. V получим следующее
утверждение.
Предложение 6.2. Пусть в уравнении (6.22)
E = Ev = 4cl-4c0hV=^(v+V2) + O(h*/2) =
= (2с0 -h V- c0cl (v + 1/2))2 + О (А»/«), (6.25)
где c0i cl определены выше, v—некоторое натуральное
число, не зависящее от h. Тогда функция
y* = <Fvexp l-^(in(2k+ \)х—V—с"о/с0х2)\ х
хн12х^"о/со), (6.26)
cv£C, есть формальное асимптотическое решение по
mod О (Л3/2) уравнения (6.22).

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 215
Покажем, что система функций {v§ асимптотически
полна. Введем аналогично § 5 гл. V пространство
функций вида
Uk(x.h) =
= ехр 11(их (2k+\)x-V'=<fi0x2) \ Ё cvx*h-vi* + g,
где N—натуральное число, не зависящее от h,
cv—комплексные числа, и для функции g справедливо равенство
lim sup |g| = 0. Следующая теорема является аналогом
теоремы 5.8.
Теорема 6.3. Система функций v% асимптотически
полна в J?(*\ т. е. для любой Uk(x, К) из &КК)
существуют не зависящее от h натуральное N и комплексные
числа С0, ..., CN такие у что
п |
:0.
lim sup
ft-*0 xe Rx
Uk(x,h)-%CJ>*
V=0
При этом функции
v=0 * J
N
= XI ^v exP \j (*'Qvf +in (2ft + 1) x—
-К=^)}я,(*^=^). (6.27)
где Qv = 2cQ—h ]/"— c"0c0 (v + 1 /2), удовлетворяют
соотношению
h*uti + 4c*(x)sin* (--^s) u = °(hB/2)> (6-28)
где /g[0, T], T < oo а оценка 0(h3?2) равномерна по
Доказательство проводится аналогично доказательству
теоремы 5.8.

216 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
В заключение укажем на следующее важное
обстоятельство. Функции из семейства (6.27) при любых
значениях t и параметров Cv и k комплекснозначны, поэтому
при х£Лх семейства uk(x, t, h) — неоколовакуумные
семейства решений уравнения (6.28). Однако, если
рассматривать уравнение (6.28) и функции (6.27) на сетке
x = th, / = 0, ±1, ..., то при вещественных Cv функции
uk(xf if, A) (6.27) при £ = 0 вещественнозначны, и,
следовательно, в этом случае о семействе (6.27) можно
говорить как об околовакуумном семействе (см. Введение).
При этом легко видеть, что на сетке x = lh значения
функций uk (6.27) не зависят от k. Последнее относится
также и к функциям 5$ и, как будет ясно из гл. V ч. И,
не является случайным.
Указанное обстоятельство позволяет провести
квантование нелинейной системы уравнений кристаллической
решетки.
Замечание 1. Утверждение теоремы 6.3 остается
справедливым, если оценки О (ha) в этой теореме заменить на
соответствующие оценки в L2 (R*).
Замечание 2. Утверждения, которые будут доказаны в
параграфах §§8—11, позволяют построить асимптотические собственные
значения и соответствующие им собственные функции оператора
кристаллической решетки с точностью до О (hM,2)t где М —
произвольное натуральное число.
Замечание 3. Приведенная в этом и предыдущем параграфе
схема построения приближенных решений уравнения Гамильтона —
Якоби и обобщенного уравнения переноса, сосредоточенных в
окрестности точки, с незначительными изменениями переносится на случай,
когда функция Гамильтона в указанных уравнениях комплексно-
значна. При этом утверждение теоремы 6.1, следствие из этой теоремы
(формула (6.14)) и теорема 6.2 (формулы (6.17) и (6.18)) остаются
в силе, если условие устойчивости в линейном приближении точки
покоя (Р0, Q0) заменить на следующее: матрица $fBap невырождена
и приводима к диагональному виду. Все ее собственные числа лежат
в полуплоскости 6^argz^6 + Jt, 0—некоторое вещественное число.
Это условие заведомо выполнено, если матрица $fBap невырождена
и если найдется такое комплексное число а, что Im (аЯ (р, q)) ^ 0
для всех (р, q) g Rp%.
Задача. Пусть Н (р, q) — многочлен второй степени
относительно переменных (р, q) с комплексными коэффициентами,
удовлетворяющий приведенному выше условию. Построить асимптотические
( х 2\
собственные функции оператора Я = Я \ — ihd/dx,x ) и показать, что
они совпадают с точными собственными функциями этого оператора
(см. также [61]).

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 217
§ 4. Семейство [замкнутых]! кривых с комплексным
ростком. В этом и последующих параграфах будут
получены формулы для приближенных циклических решений
уравнения Гамильтона — Якоби и переноса,
сосредоточенных в окрестности замкнутых кривых. Предварительно
рассмотрим семейства замкнутых кривых с комплексным
ростком и изучим свойства некоторых объектов на этих
семействах.
Пусть в 2п-мерном фазовом пространстве Щ]я имеется
гладкое однопараметрическое семейство замкнутых
кривых A1 (|i) = ((/>, <7)€R2":/? = P(t, fx), q = Q{%, \i))> fxx<
^[x^[x2, при каждом фиксированном fx
удовлетворяющих условиям сг)9 с2), т. е. таких, что множество
6J = (х £ R*: х = Q (т, [х)) есть гладкая замкнутая кривая без
самопересечений. Будем считать, что параметр
(координата) т на A1 (\i) принадлежит R1 и выбран таким
образом, что точки а (т, jx) € A1 (\i) гладко зависят от т и [х,
причем отождествляются точки <т(т, \i) и а(т', \i) с
координатами т и %' такими, что т—т' = 0mod7,([i), где
Т (\i)—вещественное число. Число Т(|х) будем называть
периодом кривой А1^). Кривая Ах(|х) при каждом
фиксированном fx, очевидно, есть одномерное компактное лаг-
ранжево многообразие без края. Отметим, что это
многообразие не односвязно и уравнение ds=<P9 dQy разрешимо
на А1 (|х) лишь локально: функция
X
5(т,^) = 50(^)+ S <P,dQ>,
te(M-)
где S0(|a) и т0(ц,)—некоторые вещественные числа,
удовлетворяющая этому уравнению в окрестности каждой
точки {Р(х), Q(t)) с координатой т, вообще говоря, не
однозначна на А1^). Пусть семейству замкнутых кривых
А1 (|х) сопоставлено гладкое семейство комплексных
ростков тп (|х) = (w (а, т, fi), г (а, т, (х)), (хх < \i < |х2 (л-мерных
плоскостей в 2я-мерном комплексном фазовом
пространстве, удовлетворяющих условиям гг)—т3) в § 7 гл. II).
Семейство одномерных лагранжевых многообразий с
комплексным ростком [А1 ((х), гп (|х)] будем называть в
дальнейшем семейством замкнутых кривых с комплексным
ростком.

218 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Напомним, что [Л1 (ц,), rn (\i)] при каждом |х есть
расслоение, базой которого является кривая Л1^), а слоем
в точке а—плоскость г"([х). Каждая точка f = (o,a) на
[Л1 (|Jt), г"(|л)] задается вещественным числом т по
modT(jji) — локальной координатой точки о = о (т, |li) на
Л1^) —, и п комплексными числами а = (а1, ..., ап) —
координатами вектора а = а (ъ,а19 . ..,аЛ, \i) на
плоскости г"(а(т, |i), (х). На расслоении [Л1^), rw((x)] так же,
как и на кривой Л1^), нельзя ввести глобальных
координат. Удобно считать, что параметр т на Л1(|л)
изменяется от —оо до оо и что векторы а из rn(o(%, \i), \x)
задаются гладкими по т, т£(—оо, оо), и линейными по
a g С" вектор-функциями w (а, т, р,), z (а, т, jx), причем
отождествляются точки / (т, а) = (а (т), а (т, а)) и / (т', а1) =
= (сг(т'), а(т', а')), определяемые числами (т, а) и (т\ а')
такими, что (т—t') = Omod Г(|л) w(a, т, \i) = w (а', т', ju,),
z(a, т, |x) = z(a', т', jx). Таким образом, каждая точка
/ = (а, а) £ [Л1 (jx), ги (|х)] характеризуется бесконечным
набором чисел (т, a), (t + T(\i), а'), (т + 2Г(|х), а") и т. д.,
удовлетворяющих приведенным выше условиям. Не
уменьшая общности в дальнейшем будем предполагать, что
координаты (т, ос) на [Л1^), rn (\i)] выбраны таким
образом, что функции w (а, т, [х) и z (а, т, fx) гладко зависят
/dw i ч\
от параметра \i и, кроме того, что вектор д w
совпадает с касательным вектором I q L «ч ).
Рассмотрим на плоскостях ги(а(т, (fx), fx) при каждом t ба-
/ to
(t> rt
зисы < ay (т, fx) = I ** I, / = 1, ..., n \. Заметим, что
при изменении параметра т на период Т (\i) (т. е. обходе
вдоль кривой Л1^)) векторы ау(т, |л), /=1, ..., п—1,
переходят в векторы а/(т + Г((х), М-), вообще говоря, не
равные ау(т, (х), но образующие вместе с вектором
ап{%> li) = an(x+T (l*>)> V) базис на той же плоскости
ги(а(т, fx)). Из последнего факта немедленно получаем
следующее утверждение.

ГЛ VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 219
Предложение 6.3. Существует невырожденная
матрица А (т, \i) размера пхп, гладко зависящая от т
и \х такая, что для всех т^(—оо, оо) выполнены
соотношения
Ыт + ГОг), |i), ..., an{% + T(vL)9V)) =
= (ai (т> V), • • • > ап (*> И» А (т> !*)•
Матрицу А (т, fi) бг/5^ж называть матрицей
подкручивания базиса яу. (т, fA)= (л%аЛ » У^*» •••» л, яа яло-
скости гп (|л).
Замечание. В эталонном базисе {ау (т, ц), / = 1, ..., л}, т. е.
базисе, удовлетворяющем условию ап (т, \i)= ( пх ; () » все эле-
менты последнего столбца матрицы А (т, fi), за исключением элемента
Лпп (т, jx), равны нулю. Элемент Лпп равен единице. Этим же
свойством, очевидно, обладает и матрица A~l(%y \i).
Таким образом, матрица А (т, \х) связывает
координаты (т, а) и (х + Т, а'), определяющие одну и ту же
точку / = (а, а) на [Л1^), гл(|л)]. Именно, справедливо
равенство
сс = Л(т, fi)a', a' = [ ! ), a = [ .' ]. (6.29)
Предложение 6.3 имеет важное следствие. Обозначим,
как и раньше, через В (т, |ш) и С (т, jx) матрицы
*=35(T,|i)f C = £[t9V) (6.29')
и рассмотрим матрицу ВС'1 (т, [i) (напомним, что в силу
леммы 2.7 detC^O).
Следствие. Элементы матрицы ВС"1 (т, (л)—q//m>
однозначные функции на Л1 (jut), иначе говоря, для всех
т€(—оо, оо) выполнено равенство
ВС-Цт + ТМ, |1) = ЯС-*(т, I*)- (6.30)
Доказательство следует из равенств
Я(т+7», ,i) = B(Tf|iM(Tf I*).
С(т + 7», |i) = C(Tf |х)4(т, ft),

220 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ 1
В дальнейшем, наряду с матрицей ВС'1, нам пона- I
добится также матрица Ш + ВС"г(т, (х). Здесь Е—еди- I
ничная nxn-матрица. |
Предложение 6.4. Справедливо неравенство 1
det (IE + ВС'1 (т, |х)) Ф 0, т £ (— оо, оо); при этом прира- 1
щение аргумента функции""det (1Е+ВС~г(т9 \i)) за период 1
Т (\l) равно нулю. |
Доказательство. Первое утверждение становится |
очевидным, если заметить, что в силу леммы 2.8 гл. II j
матрица ImBC"1^, \i) неотрицательна. Обратимся к до- 1
казательству второго утверждения. Рассмотрим функцию !|
G (т, у, 0 = det (IE +1 ВС'1 (т, ji)), t € [0, 1]. Эта функция !
непрерывна и отлична от нуля, следовательно, прира- ц
щение ее аргумента за период Т (\i) есть также непре- |
рывная функция t. Но матрица ВС"1^, \х) периодична |
по т, и, следовательно, приращение аргумента функции 1
G (т, |ш, t) равно 2я&, k—целое число, при этом G (т, [л, 0)=in |
и Arg G (т, (х, 0)|t+r (м,) == 0. Отсюда и из непрерывности |
G (т, \i, t) получаем |
Arg (det {IE + ВС'1 (т, *г))) |?+г (|1) - ^ I
= ArgG(r,[i, l)|Tt+rw = 0, (6.31) I
I
и предложение доказано. 1
Следствие. Приращения аргументов функций |
det (В + tC) (т, (л) и det С (т, \л) за период Т (\i) совпа- I
дают. I
Доказательство очевидно. |
Так Ъке, как и в гл. III, наряду с расслоением 1
[Л1?^), rn(\i)] нам понадобятся расслоения [Л1^), 1
гп (рУТА1 (\i)] и [Л1 (\х), 7п (\iVTA1 (|х)]. Первое расслоение 1
получено из [Л* (\i), rn (fi)] отождествлением таких эле- I
ментов f~{o, а) и р (a', а') из [Л1 (|л), rrt(fx)], у которых 1
точки а, а' g Л1 (р,) совпадают, а векторы а и а' из пло- I
скости гя (а, |х) отличаются на вектор из касательного 1
пространства ТА1^) к кривой Л1(|л) в точке а.г Второе I
расслоение может быть получено, например, из расслое- 1
ния [Л1^), rn ([ij/TA1 (\i)] заменой элементов f = (<r, а)£ 1
<£[А*(\1), rn/TAl(\i)], а^Л1^), а£гп(в, ус) на элементы 1
f = (а, а), где а—комплексно-сопряженные векторы к'век
торам а.

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 221
Пусть a,j (т, |х) = (^/^) , / = 1» . •., п,— эталонный
базис на плоскости гп. Тогда векторы ах(т, |х), ...,
tf„-i(T» 1^) и ai(T» Iх)» • • •» fln-i(T» ^)» очевидно, образуют
базисы в пространствах гп (ц-УГЛ1 (ц) и г" ((лУГЛ1 (jli)
соответственно. Этими базисами мы будем пользоваться в
дальнейшем.
Аналогично предыдущему для базисов {о,- (т, \i)} и
{яДт, |i)}, /= 1, ..., /г—1, определяются матрицы
«подкручивания» A1(xJ \i) и Лх(т, ц,). Размер этих матриц
(п—1)х(д—1), и они связаны с матрицей
подкручивания базиса {0/(т, (л), /=1, ..., я} на гп следующими
равенствами:
Hi)/y = 4у> (My = (My = Ay
i, /==1, ..., n—l. (6.32)
Заметим, что аналогичные соотношения справедливы для
элементов матриц Л^1, А^1 и Л-1. В заключение
параграфа рассмотрим пример семейства замкнутых кривых
с комплексным ростком.
Пример. Рассмотрим в фазовом пространстве RJt p
с полярными координатами рг, рф, г, ср семейство кривых
Л1(^) = Р/- = 0, рф = (х,
г=1, Ф = рт, т€(— оо, со), fig (О, оо).
Период Т (и) кривой Л1 (|л) равен 2я/ц, и проекция Л1 (|х)
на ^-плоскость есть единичная окружность г = 1. Введем
комплексные вектор-функции
(;;) = (C0SPtlT+TSin^)a1+(°Jaa,
2 =
где alf a2gC, р—вещественное число, Ь — комплексный
параметр. Подберем параметр b таким образом, чтобы
уравнения p — w(a, т), q = z(a, т) определяли в
комплексном фазовом пространстве С4 при т = т' + 2зт&/[л (&—целое
число) одну и ту же плоскость £г2(т, |ш). Легко видеть,
что последнее возможно в том и только том случае,

222 Ч. 1. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
если fo = tj3 (ср. с примером, рассмотренным в § 1 этой
главы). Если это условие выполнено, то функции w и z
принимают вид
w = itf{ 0 )al9 z=(^ 0 yai + ^J»-,
и, как нетрудно проверить, совокупность А1 ([х) и г2([х) =
= (w (а, т, (i), z (а, t, \i)) есть семейство замкнутых кривых
с комплексным ростком. Эталонный базис на г2 в данном
случае образуют векторы
/1ф^х\ /о\
fli=( eLx )• *■=( 2 )•
в пространствах г2 (цУГЛ1 (|х) и г2 (|х)/ГЛг (|л)—векторы
ах и а1# Соответствующие матрицы подкручивания имеют
вид:
/етт 0\
Л(т,|л) = (в0 J), ЛДт, ц) = ^^,
§ 5. Функции на семействе замкнутых кривых с
комплексным ростком, операторы рождения. Определим
действие на семействе замкнутых кривых с комплексным
ростком [Л1 (|л), rn (fx)] и изучим пространства *) функций
s ([Л1 (|i)f г" (|х)/ГЛ* (jx)]), * ([Л* ((I), 7» (|i)/TAi (|i)]) и ото-
бражения
у: S([Ai(rt, r»(|i)/TAi(rt])-^
— C-(A,ui)x(Of ЦхОЧ.М
£: 5> ([A* Ox), r» (|i)/TA» (|i)])—SA(AJ *•).
Введем некоторые вспомогательные объекты.
1. Зафиксируем на Л1 (jx) точки а (т0 (jx), jx) = (Р (т0 (jx),
М-)» Q(t0(V), fx))> гладко зависящие от (х с координатами
то(М-)€(—оо, оо). Эти точки будем называть
центральными точками семейства [Л1 (jx), г" (ц,)]. Пусть и1 (fx), ...,
*) См. §§ 6 и 7 гл. П.
**) Напомним, что Sn (А^) = С°° (Д^х(0,1]Х(щ, |*»)) Г)
n6s,o)/65,e*1/2)-

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 223
um(\i) — некоторое покрытие замкнутой окрестности Ax(\i)
кривой (x£Rn: # = Q(t, ja)), удовлетворяющее условиям,
приведенным в § 2.
Рассмотрим в областях wy'(|x) уравнение относительно
параметра т, т€(—<», оо):
<х—Q(Tf|i)t Qt(Tf|i)> = 0. (6.33)
В силу леммы' 2.6 гл. II в окрестности каждой точки
Q(t(|x), fi) такой, что Q(r((x), fi)gt^'([i), уравнение (6.33)
разрешимо в области uJ'([i) однозначно и гладко
относительно t = t(x, fi). При rg (—оо, оо) это уравнение в
каждой точке x£u/(il), очевидно, имеет бесконечное число
решений, отличающихся друг от друга на число, кратное
периоду Т (fi) кривой Л1 (jut). Выберем из этого множества
решений следующие. Пусть точка Q(t0([x), |x)
принадлежит области uk(\i) (если Q(t0(|x), \x) принадлежит
пересечению областей и1 (\i) и ит (|х), будем считать, что & = 1).
Тогда под решением уравнения (6.33) в области uk(\i)
будем понимать гладкую функцию хк (х, \i),
удовлетворяющую этому уравнению и такую, что xk (Q (т0 (|х), jut)) = т0 (\i).
Под решением уравнения (6.33) в областях м<А±1)((г)
будем понимать гладкие функции т<Л±1>(;с, \i)f
удовлетворяющие этому уравнению и на пересечении областей uk(\i)
и ы<л±1>(|а) совпадающие с функцией г* (я, (x).
Аналогичным образом определим решения %f(x9 fi) во всех
остальных областях uJ'(\i). В дальнейшем для определенности
будем считать, что число /—номер области
uS(\i)—возрастает с увеличением параметра т на дугах (x(£iiS(ix):
x = Q(x9 (х)). Тогда на пересечении областей иг(\к) и um{\t)
очевидно справедливо равенство:
T"(xf|i)—т1(^|*) = Г((г). (6.34)
Прежде чем перейти к определению действия
операторов рождения и уничтожения на [Л1 ((г), гп], сделаем
одно важное замечание, разъясняющее смысл
определений, даваемых ниже. Обозначим через t[(\i) и т|([а)
координаты предельных точек дуги (x£u/(\i): x = Q(t)),
удовлетворяющие условию
т|((х)== lim tS(x, |л), /=1, 2, ...
Здесь %*(х, \х)— решение уравнения (6.33), построенное
выше.

224 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Рассмотрим я-мерное односвязное (некомпактное) лаг- I
ранжево подмногообразие Л1^, /) многообразия Л1^), I
А1^. /) = ((/>, fr)€R2*: Р = Р(т, v), q = Q(%, |i)), J
т€(п(и»). тц|х)). Рассмотрим далее лагранжево много- I
образие с комплексным ростком [Л1^, /), rn(\i, /)], где |
гп(р, /) = (ш(а,»т, \i), z (а, т, fx)), т€(т{(|0, r/(fi)). 1
В силу односвязности множества (x€Rn: x=Q(%9 \i)9 I
*€(тИ^). ^(И<))) расслоение [Л1^, /), г*(ц,, /)] удовлет- 1
воряет условиям, выполнения которых мы требовали в I
предыдущих главах от лагранжева многообразия с комп- I
лексным ростком при определении некоторых объектов |
на нем. Таким образом, определения действия, операто- I
ров рождения и уничтожения, отображений у и |х, сфор- |
мулированные в главах IV—V, справедливы для |
[Л1^, /), rn(\i, /)] и областей uS(\i)9 причем для этих Ч
объектов справедливы все утверждения указанных глав
(например, утверждения о неотрицательности мнимой J
части действия, приближенных решениях уравнений Га- "I
мильтона—Якоби и переноса). Для определения дей- 1
ствия, операторов рождения и уничтожения и отобра- ]|
жений у9 ^ на всем [Л1 (fi), rn (jx)] нам остается теперь II
«склеить» эти объекты, введенные в областях и'(|х), на 1
пересечениях |
^(jx)n^+1((i), / = 1, 2, ..., т— 1, иг?Е=ит. 1
2. Построим действие на замкнутой кривой с
комплексным ростком. |
Введем в областях uf(\i) функции I
S'(xtli)= 5 <P,dQ> +
+ <Р(х'(х, fi), |i)f x—Q(%t{x, |i), \i)> +
+ ^<x—Q(t'(x9 V>)> f*)> BC-i(tS(x, fi), jx)X
x(x—Q(x*(x9 |i)f |i))>. (6.35)
Здесь матрицы f5(r, |x), C(x, \i) имеют вид (6.29') и I
%J {x9 |x)—решения уравнения (6.33), выбранные
указанным в п. 1 способом.
1

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 225
Лемма 6.3. 1. На множестве kx{\i) существуют
гладкие функции -^(х, fx) и Sz(x, (x), совпадающие в каж-
дой области и{ (|х) с функциями ^ (х, \х) и lmSS(x, \i)
соответственно.
2. Пусть существует подмножество Q(h) интервала
(fxx, щ) такое, что при ii^Q(h) выполнено условие
(квантования):
\§<Р> <*Q> = j I <p> dQ> = 2nk(h)modO{h)9 (6.36)
о
k [К)—целое. Тогда функции SS(x9 \i) при \i$Q(h)
удовлетворяют условиям с5), св) в определении циклических
решений.
Доказательство очевидным образом следует из
результатов § 2 гл. IV, равенств (6.35) и (6.36) и соотношения
S"(x, ц)—Si(x9 ц) = <£<Р, dQ>,
Определение 6.4. Последовательность функций
SS(x, (л), /==1, ..., /п, на замкнутой кривой с
комплексным ростком [Л1^), гп([х)] будем называть циклическим
действием на [Л1^), гп(\л)].
Замечание. Учитывая первое утверждение леммы 6.3,
функции dSS/dx и s| = ImS' в дальнейшем будем обозначать через dS/dx
и 52 (или Im5) соответственно.
Определение 6.5. Число ф<Л dQ> называется
интегральным инвариантом Пуанкаре—Картана на (криг
вой Лг(|х)) (смысл этого определения раскрывается в
теореме 6.4 см. также [2]).
3. Рассмотрим пространство функций 5 [(Л1, /-"/ГА1]) и
отображение у.
Согласно определению (см. стр. 145) в локальных координатах
(т, а) = (т, аь .... ап) в эталонном базисе функции %£S [(Л1, г^/ГЛ1])
имеют вид:
N* - "
х= У. u"2X*fo а, ц), а = (аь ...tccn^)f (6.37)
где Nu N2—некоторые натуральные числа, %i(t, сО^О^А-'/1),--
8 В. П. Маслов

226 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
гладкие функции аргументов т и \i и аналитические функции
аргументов а, / < 0. Пусть в (6.37) параметр т£(—оо, оо).
Лемма 6.4. Функция %(а, т, \i) (6.37) t£R\ а^С*-1,
И €(М-1» Иг) ^ том и только том случае принадлежит
пространству S ([Л1, гп/ТАг]), если для всех т£(— оо, оо) и а^С"-1
выполнены равенства
Xiix+Tbiha.ti^xii*,*',»), , (6.38)
где а, = А1(х1 jx)a, A1(x1 ц) —матрица подкручивания базиса
аг (т, \i), ..., ая-1 (т, у,) на rn (tf/TA1 (ц) (см. §. 4).
Доказательство очевидным образом следует из равенства (6.29).
Перейдем к определению отображения у: S ([Л1 (ц), /-"/ГА1 (\i)]—>•
—>С°° (Ах(ц)х(0у 1]Х0*ь fi2))- Сначала определим это отображение
в областях м/(ft). Положим для любой X^StfA1^,), rn (^/ТЛ1 (р)])
yJ% = %(x/(xt ji)f y/(x, |i))f x€«*/(|i)f (6.39)
где т/ (лг, ^ — решение уравнения (6.33) и yS(x, ц,) —(я—1)-мерный
вектор с компонентами
(V(*. йЬ^Ф'1 (*'(** |i). *A)(*-Q(T%f|*)f|l)))|, /=1 Я-1.
Предложение 6.5. Справедливы равенства
(?Х) (*,**) = (?У+1Х)(*, И).
«^Wn^+Mrti / = 1, ...,m,
def л def
afe Y*» + i _ у1, aw+1 = и1.
Доказательство легко получается из равенств (6.39), (6.38) и
соотношения
C-i(* + r(jx), ц)(*-<Э(т + :Г0г), pi)) =
= Л-Чт, |1)С-*(т, n)(*-Q(*> fi)).
Теперь определим отображение у по формуле
(YX) (*. I*) = (?>Х> (*. И). * € «' 00. (6.40
X65([Ai(fx), r»(|i)/TAi(|i)]).
Гладкость функции (у%) (х, \i), x£Ax (fx) следует из предложения 6.5.
Лемма 6.5. Отображение у не зависит от выбора покрытия
{uf (и,)} центральной точки а (т0 (и), и) на А1 (и) а базиса на
r»(ii)/TA4|i).
Доказательство вытекает из равенств (6.37) и (6.38).
Напомним, что через Oj)(hkt2) обозначаются функции х (а, т, fx)£
£S f [А1 ([г); гл ([aJ/TA1 (ц.)]), удовлетворяющие условию:
^lvU(T 0)
*-^—-=0 для всех мультииндексов v = (vi, ..., v„-x) таких,
да
что | v | < &.
Предложение 6.6. Пусть коэффициенты х*(а> т)»
/==—Nl9 ..., /-, г—целое число в разложении (6.37) функции

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 227
%£S ([A1 (yi)9 гя (jaVTA1 (fx)])9 удовлетворяют оценкам %i(a, т) =
= OsAhl+r^). Тогда (уХ) (*, ц, /0 = 6s2(u"2).
Доказательство следует из леммы 2.8 гл. II и определения
отображения у.
4. Операторы рождения—уничтожения на семействе
замкнутых кривых с комплексным ростком [Л1 (ц,), rn(\i)]
в областях м'(|х) определяются так же, как и в гл. III.
Именно, пусть а(т, fx) = Ну' ^] — 2/г-мерная вектор-
функция, гладко зависящая от т, (х, rg(—со, со),
И- € (f^i» |^2) и ПРИ каждых т и (л косоортогональная
касательному вектору а (т, ix) = ( т*т' ^ ). Оператор
\ Qx (т, у) у
(Ау = ^(»(т/(х, (г), !*),£)-
~<t](t/(x, jx), |i)—ВС-»(т/(х, ц),^)Х
Yh
X(x-Q(x'(x, fx), fx))>, (6.41)
где г*{х9 \i) — решение уравнения (6.33) й матрицы
В(т, (х), С(т, (х) определены равенством (6.29'),
называется обобщенным оператором рождения—уничтожения
в области uJ (|х) на [Л1^), rw(|x)], а вектор а(т, jx) —
образующим вектором этого оператора. Оператор (Л)'
(6.41) называется оператором рождения (уничтожения),
если его образующий вектор принадлежит пространству
гп1ТКг (пространству гп/ТАг). Пусть аг(%, (х), ...
..., ап_х (т, |и) — некоторый базис в rn (fxJ/rA1 (jx) и (Aty, ...
..., (Ап_1У и (Л^', ..., (Ап-гУ—операторы рождения и
уничтожения в области и*(\х) с образующими векторами
а1% ..., ап_х и а19 ..., ап^1. В силу леммы 3.10 гл. III
любой обобщенный оператор рождения — уничтожения
(Л)^ (6.41) в области представим в виде:
(Л)'=2(/(т'(х, р), tffaY+gpix, (x), v)(AtY) + f9
где т' (л:, jx)—решение уравнения (6.33), /, (т, [х), gfz (т, [х) —
некоторые гладкие функции и f—дифференциальный
оператор первого порядка, переводящий функции из
8*

228 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
класса 6sf(h(X) в функции из 6si{ha+1t2). Поэтому в
дальнейших рассмотрениях можно ограничиться лишь
операторами рождения и уничтожения с образующими
векторами а19 ..., ап^1 и alf ..., ап_г; при этом будем
считать, что векторы at{%, ц,), /=1, ..., п—1, совпадают
с базисными векторами I qz 1, /=1, ..., п—1, на пло-
скости гп(о(т, fx), [x). Заметим, что для операторов
(АЕУ и (Aty в области и* (у) справедливы
коммутационные соотношения (3.90), (3.91). ^ *WK
Введем в областях и/ (\i) векторные операторы
рождения (Л)'в базисе at (т, ц,), ..., а,,^ (т, \i) (см. § 5 гл. III):
(Л)/=(Л{, ..., A3L). /=1» --..т.
Предложение 6.7. Яа пересечениях областей
и1 (fx), ..., им (ц,) выполняются равенства:
(Л)/==(Л)/+1, *€^(|*)Па>+*(|*)> /=1, .... т-1;
(Л)« = ((Л)^Л;(т, |i))|tef (*.ц),
Здеяъ A1(x9 (ut)—матрица подкручивания базиса
аг{х, |х), ..., flmel(T, \i) на 7пМ/ГЛ1 (\х) (см. §4).
Доказательство очевидным образом следует из
определения операторов ЛЛ
5. Изучим пространство полиномов 9* ([Л1 (ц,),
гп (у^/ТА1 ((х)]) и отображение р.
Согласно определению (см. § 7 гл. III) в локальных
координатах (т, Р) = (т, pif ..., ря_1) на [AS r'n/TA(ii)]
в эталонном базисе функции gf € ^ [Л1 (|i)t rn (рУГЛ1 (\x)]
имеют вид
*-■£ g;(*.V)F. Р = (Эх, ..... P-i). (6.42)
I v 1=0
где N—некоторое натуральное число, v = (vlt ...', v„el),
и gv(T> I*)—гладкие функции аргументов т и р. Будем
считать, что т изменяется от —оо до оо.

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 229
Лемма 6.6. Полином
£(Р, т, \i)9 TgR*, MC"-1, |i€(|ii, щ). (6.43)
тогЗа гг только тогда принадлежит пространству
^([Л1^), rn([i)/TAl(\i)])9 когда для всех т€(—°°> «>) и
pgC**"1 выполнены равенства
g(r + 7», p) = g(r, р'), (6.44)
где Р'^Л^т, |х)р, Лх(т, |х)—матрица подкручивания
базиса а1(%, \i), ..., а^-Дт, ц,) «а г"М/ТЛ1 (\i).
Доказательство следует из равенства (6.29).
Перейдем к определению отображения [л: 5* [Л1 (|х),
г" (рО/ГЛ1 (ц)] —^ б^2 (^ )/05, (^1/2) • Сначала определим это
отображение в каждой области и'(р). Положим для
каждого полинома g(t, р, ^^[Л1^), гл (^/ТЛ1 (|х)]
(i*fe)(*t И-. А)=£(т'(*, fi), (Л/, ц))-1 =
= S?v (т/ (х, (х), ц) ((A.m... ((A,,-*)' J""-1 .1, (6.45)
Здесь т'(л:, (i) — решение уравнений (6.33) и векторный
оператор рождения (ЛУ введен в предыдущем пункте.
(Расстановка операторов (Л;у в последнем ^равенстве не
существенна с точностью до функций б^ДЛ1/*).)
Предложение 6.8. Для функций (\i/g)(x, \i, h)
справедливы оценки (yJg)(x4 \i, Л) = 6^(1), x£uJ(ijl), при
этом на пересечении областей uf(ii)> / = 1, >.., т,
шеют место соотношения:
(te)(*. I*. Л) = (^+1ЙГ)(^ I*. Л). (6.46)
^€^(|х)П^+1(ц). /=1. ..-,т— 1,
г(£ш*)(*. I*. *) = (£*)(*. I*, h) mod6S7(h4% (6.47)
Доказательство следует из предложения 6.3, леммы 6.6
и результатов §§'6, 7 гл. III. Теперь определим
отображения (х."Сначала рассмотрим случай, когда матрица
подкручивания At не ^зависит от параметра т. Тогда,

230 v- I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
очевидно, равенства (6.45) и (6.47) для функций \xmg
и \i*g выполняются точно, и в этом случае полагаем по
определению
(№) (х, V, h) = (\?g) (x, \i9 h), x € aJfti). (6.48)
Теперь рассмотрим случай, когда (d/dr) А Ф 0. Заметим, что
тогда в точности перенести на этот случай схему определения
отображения ji мы не можем, поскольку на пересечении областей и1 (ц)
и ит (\х) функции (\img) и (ц1^), вообще говоря, совпадают лишь по
модулю функций Й52(^1^2)* Учитывая последнее обстоятельство,
введем разбиение единицы {ef(х, \i)}, /=1, ..., т, подчиненное
т
условиям: supp ef (х, \i) с: J (ц); У] ef (х, ц) = 1 при х £Д х (\i) и
функции*!;/ (*, \i, h) — e,{xy ц) (\jjg) (x, \xf h). Далее положим по
определению
т п
(к) (*, ц, /о - 5V (*. р> h) - 2ef (** v) б*ув) (*• i*»*>• (6-49)
Очевидно (|Ig) (х, щ А)€С-(Д^([г)х([Х!, ц2)х(0, 1)),
причем (jig)(x, ц, ft) = (3s2(l).
Лемма 6.7. Определение функции ({ig) (x, \i9 h) с
точностью до функций 6s2(ft1/2) не зависит от выбора
покрытия \uf(\x)\, разбиения единицы {ef(x, ц)}, центральной
точки а(т0(|ш), \i) на Л1(ц) и базиса на /""(^УГЛ1^).
Доказательство легко получается из утверждений'этого
параграфа, а также результатов §^6 гл. III.
В заключение этого пункта сформулируем
утверждение, являющееся аналогом леммы 3.11 гл. III.
Лемма 6.8. Для любой функции %€<У ([Аг(|л),
rn(\i/TA1(ii)])i равной 6D(l), найдется такой
единственный полином g€«9* ([Лх(ц), r" (fxVTA1 (|ii)]), что у% =
= jig mod 6Si(hl/2)-
Обратно, для любого полинома (fC^fl^Oi),
гп (|ш))/ТЛ1 (ц)"|) существует единственная по mod6D(h^2)
функция xeSfA1^), гя(|i)/TAx(fi)]) такая, что
№ ** VX mod 0s, (ft1 •'■). (6.50)
Доказательство следует из утверждений этого
параграфа и леммы 3.11 гл. III.

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 231
§ 6. Инвариантные замкнутые кривые с комплексным
ростком. Основная задача этого параграфа заключается
в построении семейства замкнутых кривых с
комплексным ростком [Л1 ((г), гл(ц)], обладающих тем свойством,
что действие на нем есть приближенное циклическое
решение уравнения Гамильтона—Якоби, а функции,
полученные с помощью отображения \i из полиномов из
^([Л1^), rn(\i)/TА1 ([*,)]), суть приближенные решения
обобщенного уравнения переноса. Оказывается, что так
же, как и в случае односвязных многообразий, этим
свойством обладают семейства инвариантных замкнутых
кривых с комплексным ростком (и только они), и
основная задача этого параграфа заключается, таким образом,
в построении семейства замкнутых кривых с
комплексным ростком, инвариантных относительно канонического
преобразования.
Напомним некоторые понятия, введенные в § 10 гл. II
Пусть Я(р, q, ty |х), щ^ц^щ,— гладкое однопа-
раметрическое семейство функций Гамильтона и [AJ(|i)
гЦц)]> Al(ii) = {(p9q)eR2n: />=Р0(т, (i), ? = Q,(t,|i)},
г? Qx) = {w0 (а, т, |x), z0(a, r, p)}, Hi<R<H<2> — гладкое
семейство замкнутых кривых с комплексным ростком,
Т([х) — периоды кривых AJ(fx). При каноническом
преобразовании DH = (gH, dg"/f), отвечающем функции
H(p,q, t,\i)9 кривая Л£(|л) с комплексным ростком rj(^)
переходит в замкнутую кривую А) (|л) = g^AJ (jx) ==-
= {(Рэ ?)€R2/I: р=Я(т, /, |х), <7 = Q(t, t9 \i)\ с
комплексным ростком г? (\i) =dgfHri (\x) = {w (ос, т, /, |х), z (a, т, t, \i)) 7
где Р(т, t, |x); Q (т, /, \i)— решение системы Гамильтона:
P=* — Hv q = Hp, pL., = Pe(*. t*)> <7|t«oeQo(*. f*)
(6.51)
и до (a, т, /, \i), z (a, t, ty \i) — решение системы в
вариациях
w = — Hqpw—Hqqz9 г = Hppw + Upqz% g
W It.o = ^0 (a, t, |l), 2 |t-0 = Z0 (a, T, (A)
(у функций tf^, Hpq и Я^ опущены аргументы Р (т, /, jx),
Q (т> *> !*))• Очевидно, семейство [AJ ((х), r?(fx)J при
изменении |л от \it до щ и £ от—0 до tlt tx—некоторое число,
гладко зависит от |д, и t, причем период кривых Л} (\х)
не зависит от / и равен Т(\л).

232 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Напомним утверждение [2], связанное с каноническим
преобразованием gfH.
Теорема 6.4. Число £ <Р, dQ> есть инвариант
канонического преобразования gh, иначе говоря, для всех
t£(—оо, со) справедливо равенство
§<Р, dQ>=(f<P0,dQ0>
или
Пи)
5 <Р(т, /, (х), Qx(x9 t, (i)>dr =
о
Tin)
= S <P(Tf0,|i)f QT(T,0>(i)>dt.
0
Здесь (Р(т, t, \i), Q (т, t, |л))—решение системы (6.51).
Отметим также, что при каноническом
преобразовании dgfH базисов {а0/{х, |i)}, /=1, . ..,я, на г2(|л),
К/(т> I*)}. /=1> ...,Ji—1, на r?([i)/rAi(fi) и {а0/(т,^)},
/=1, ..., л—1, на 7j(|x)/rAJ(ji) их матрицы
«подкручивания» А (т, |х), Л^т, |x) и АхСг, |m) (см. § 4) также
сохраняются—не зависят от t.
Из этого факта, в частности, следует, что если функции
Х(а, т, ht ц) и g($, т, А, р,) вида (6.37) и (6.42) принадлежат
соответственно пространствам 5 ([Aj (\i), rn (\i)/TAq (ц)]) и <р ([Ло (fi),
rn (\л)/ТАо ((ш)]), то эти функции при каждом / принадлежат также
пространствам 5 (|A}(|i), г? М/ГЛ1 (**)]) и ^([Л/1 ((*),>? М/ГЛ1^)])
(см. § 6 гл. III). Учитывая последнее обстоятельство, нетрудно
получить асимптотические решения задачи Коши для уравнения Шре-
дингера в случае начальных условий, заданных в виде канонического
оператора на замкнутой кривой *).
Пусть теперь функция Н не зависит от t.
Замкнутые кривые с комплексным ростком [Л1^), rn(\i)]
называются инвариантными относительно канонического
преобразования**) Dh, отвечающего функциям #(|л) =
= Н(р, q, (it), если выполнены условия
1) ЯМ(лчд)=0;
2)gfrA*Qi):-Ai(|i);
*) См. [40, 34].
**) См. § 1 гл. IV.

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 233
3) 4gfc(r,l(a((i)f [x)) = r«(teWn), V)
для всех t£(—оо, оо) и o(\i) gA^ji). Пусть имеются
гладкие семейства замкнутых кривых с комплексными
ростками Л1 (!*) = {(?. q)€R*n: р = Р(т, |i), <7 = Q(t, (л)},
гп (И*) = {w (a, ft v)9 z(a, т,^|х)} и функции Гамильтона
Н(р> q, ]*>)- Следующее утверждение является аналогом
предложения 4.1 для случая, когда многообразие A* = A*
есть замкнутая кривая.
ГГре'дл'ожение 6.9. Пусть Н (\х) |лчц) =0 и пусть
параметр т на Л1"^), т^(—оо, оо), и координаты
a = (ai, ..., ап) на плоскостях гп(о(т, \i), jx), а(т, [х)£
gA1(|i), можно fвыбрать таким образом, что функции
Р\*> v)> Q(T» V) и ^(а> т» М')» z(a> T» И') будут
соответственно решениями системы Гамильтона
p = -Hg9 q = Hp (6.53)
и системы в вариациях
w = — Hqpw—Hqqz, z = Hppw + Hpqzt (6.54)
если положить т = £. Тогда замкнутая кривая с
комплексным ростком [Л1^), rn(\i)] инвариантна относительно
канонического преобразования £#(М(), отвечающего
функции #(р, q, \i).
Доказательство очевидно.
Замечание. Нетрудно показать, что условия предложения 6.9
являются не только достаточными, но и необходимыми для
инвариантности [Л1(^), rn (\i)] относительно преобразования Dhw
Таким образом, задача построения семейства
инвариантных замкнутых кривых с комплексным ростком
сводится к задаче отыскания семейства замкнутых
(/-периодических) 'бихарактеристик ((р, q)£R2n: p = P(t, \i),
q = Q{t, |л)), ft£(—оо, оо), |л€[m-i> Ps] гамильтоновой
системы (6.53), лежащих на нулевой линии уровня
функции Н(р, q, \x) и я-параметрических решений линейной
гамильтоновой системы с периодическими
коэффициентами, удовлетворяющих аксиомам тг)—г3) комплексного
ростка (см. § 7 гл. II и § 1 этой главы). Предположим,
что указанное семейство Л1(|и) f-периодических решений
системы "(6.53) построено. Возникает вопрос, всегда ли
существует семейство комплексных ростков гп(\х) таких,
что [Л1 (|х), rn (\i)] будет инвариантным относительно
преобразования DfH, или, иначе говоря, всегда ли суще*

234 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ 1
ствуют n-параметрические решения гл(ц,) системы (6.54), 1
определяющие в С2п комплексный росток, т. е. семейство 1
плоскостей, удовлетворяющих аксиомам гх)—г3). Так же, I
как и в случае, когда Л* = Л°—невырожденная точка I
покоя функции Я(р, q) ответ на этот вопрос отрицате- 1
лен и родствен вопросу орбитальной устойчивости биха- я
рактеристики Л1^) в линейном приближении [2,58]. i
Условия, которым должна удовлетворять замкнутая биха- 1
рактеристика Лх(ц) для того, чтобы существовало л-па- Я
раметрическое решение системы в вариациях (6.54), обла- I
дающее указанным выше свойством, могут быть полу- 8
чены по схеме, которая была изложена нами в § 2 при 11
изучении инвариантного нульмерного лагранжева много- ||
образия (точки) с комплексным ростком. II
Мы сформулируем эти условия и покажем, что они 1
являются достаточными для существования инвариант- Я
ной кривой с комплексным ростком [Л1 (|х), rn (\i)]. Дока- I
зательство того, что эти условия являются необходи- 1
мыми, требует проведения некоторых дополнительных 1
исследований и здесь не приводятся. Напомним некото- 1
рые известные факты из теории линейных систем с перио- я
дическими коэффициентами (см., например, [2], [58]) (как 1
уже отмечалось, система (6.54)—линейная гамильтонова 1
система с периодическими коэффициентами): 1
а) Пусть E(f, |i) = (g1(/f ji), ..., l2n{t, V))—Фунда- I
ментальное матричное решение системы в вариациях I
(6.54), тогда существует постоянная невырожденная 1
матрица G(\i) размера 2пх2п такая, что 1
S(* + 7», |i)=S(f, |i)0(rt. I
Здесь Г(|х) — период коэффициентов системы (6.54) (биха- I
рактеристики Л1^) системы (6.53)). Матрица G((li) назы- 1
вается основной для решения E(tt \i). Если S1(^, \i)— I
какое-либо другое матричное решение системы (6.54) и 1
Gx ((х)—его основная матрица, то существует невырож- I
денная постоянная матрица Ф((л) размера 2пх2п такая, I
что G(fm) = 0"'1(|ui)G1(|Li)0(fji). Оператор G(\i), задавае- I
мый в базисе {5Х (/, \i), ..., l2n (t, |х)} матрицей G (\i), назы- 1
вается оператором монодромии. Очевидно, матрицы G((x), f
Ф{\\) гладко зависят от |л, ftgr^i, Ц2]» если решения 4
S(/, (i) и 1E1{t, (х) гладко зависят от [х. Отсюда вытекает I
гладкость оператора монодромии <5(ц.) при jxet^i» ш]« 1

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 235
б) Решение £ = I (*, ji) системы (6.54) называется
решением Флоке, если для любого t£(—оо, оо) выполнено
равенство
где ^(|х)—константа, называемая мультипликатором
системы (6.54). Мультипликатор X (\х) имеет кратность г,
если существует г линейно независимых решений системы
(6.54), отвечающих этому мультипликатору. Очевидно,
мультипликаторы и только они являются собственными
числами, а решение Флоке—левыми собственными
векторами основной матрицы G(\i) (оператора монодромии
G (jx)). Число fS (\i) = (In K)JiT (fi) называется
характеристическим показателем Флоке) системы (6.54). Числа $(\л)
в дальнейшем будут играть ту же роль, что и частоты
Ру матрицы Ж^ в § 2. В отличие от последних, однако,
характеристические показатели определены лишь по
mod(2n/T(|Ji)). Заметим, что одним из решений Флоке
системы (6.54) с мультипликатором Я=1 является век-
тор (*)•
в) Решения lx(tf (л), ..., £,(*, |х) образуют систему
присоединенных решений к решению Флоке l0(t, \i)
с мультипликатором X(|i), если
г) Решения уравнения (6.54) %(t, |x) и |(/, \i)
называются сопряженными (относительно кососкалярного
произведения), если их кососкалярное произведение {£(£, \i)>
t(t> \*)} не равно нулю.
Легко видеть, что фундаментальное решение В (t, \i)
системы (6.54) может быть составлено из решений Флоке
и присоединенных к ним решений. Основной результат
этого параграфа содержится в следующем утверждении.
Теорема 6.5. Пусть системы Гамильтона (6.53),
отвечающие функциям Н (\i) — H {p, q, \i)9 [x^t^i, jij,
допускают гладкое семейство замкнутых (т. е.
Апериодических) бихарактеристик
Л1МН(Р, <7)€R2*: P = P{t9 |i), q = Q(t9 |i)},

236 4. i. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
таких, что #((х)|лчю ^0, и пусть все решения
соответствующих систем в вариациях (6.54), за исключением,
быть может, решений, сопряженных к решению (Р (t, \i),
Q(t> l1))* равномерно ограничены при /£(-—оо, oo). Тогда
существует гладкое семейство ростков гп (|л) такое, что
совокупность Лх([х), rn(\i), fig^, |x2J, есть гладкое
семейство замкнутых кривых с комплексным ростком,
инвариантных относительно канонического преобразования
Вит-
Доказательству теоремы предпошлем следующее
утверждение.
Лемма 6.9. Пусть существует (п—1) решений
системы в вариациях (6.54)
*<'■->-{?«) <■-■«■ ->-£»
гладко зависящих от jx, линейно независимых с решением
апУ> Н-) = (п(/ м\) и удовлетворяющих условиям:
{at, Oj) = 0, /, / = 1, ..., я, (6.55)
{alt aj}=2i8ih I, /= 1, ..., п — 1;
ai(t + T(ii),n)^Kl([i)al(t,ii), |Х,|=1, /=1 я—1.
(6.56)
Тогда совокупность
Ai(*i) = {(/>,<7)€R2": p = P(t,pL), q-Q{t.v)},
/ fl-l П-l \
r« = f w = Д1 «V»y + ^4,, 2=2 zyay -f Qa„ J, (6.57)
ay€C,
(^y)==^, / = 1,2, ..., /г—1,
££m& семейство замкнутых кривых с комплексным
ростком, инвариантных относительно канонического
преобразования DfHilly
Доказательство заключается в проверке аксиом
Гг) — гь).
Доказательство теоремы. В силу леммы 6.9
достаточно построить систему векторов аг (t, \i), ...
\ .., an(t,\i), удовлетворяющих условиям (6.55), (6.56).
В дальнейшем в доказательстве для упрощения обоз-

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 237
начений параметр \х у векторов ау- и чисел %j и т. д. будем
опускать. Докажем, что характеристический многочлен
<£Г (к) оператора монодромии (или основной матрицы)
системы (6.54) является возвратным, т. е.
cF(b)=X»»<F(lA).
Пусть dx (/, \i), ..., d2n (/, |х) —некоторая
фундаментальная система вещественных решений системы (6.54) и
G — ее основная матрица (очевидно, элементы матрицы G
вещественны). Согласно определению имеем [<F(k) =
= det (G—£Я), где Е—единичная матрица (2пх2п).
Обозначим через D матрицу, составленную из кососка-
лярных произведений векторов Dij=^{di{t)y dj(t)}9
i, /= 1, ..., 2м. Нетрудно показать, что справедливо
равенство D{t)=*GD(t)G*. С другой стороны, из равен-
ств* \ai(t + T), ъУ + Т)} = {а£Ц), ау(*)}, *€(—оо.оо),
/, /=1, ...,2л, получаем: G = D(0(G*)-1D-1(^).
Следовательно, G — X£ = D((G*)-1 — XJSJD-1 =- XD((1A)£ —
— G*) (G*)"1!)"1. Отсюда следует возвратность
многочлена <$~(к). Хорошо известно, что возвратный
многочлен степени 2п можно представить в виде <ST (к) =
= №г(%г), Х1 = (Х, + Х~1)/2, где ^(^j)—многочлен
степени д. Из этого утверждения следует, что:
1) если X—мультипликатор системы (6.54) кратности
к, Х=т£ ± 1» то 1/Х—также мультипликатор системы (6.54)
той же кратности k\
2) кратность мультипликаторов Ji = l и h = — 1 четна.
Заметим далее, что любые два решения Флоке 1х(/),
l2(t) системы (6.54), а также присоединенные к ним
векторы, отвечающие мультипликаторам Х1У Х2 таким, что
Хх^ 1Д2,— косоортогональны. Действительно, пусть
6i(< + r)-bi6i(Ot 6.(< + r) = ^i6i(0- Тогда
{6i(< + D. E,(' + r)}-^.{6i(0. E.(0} = {Ei(0. UOb
Поскольку ^2^1, то *{Ei(0» 5я(0}=0. Аналогично
рассматривается случай присоединенных векторов. Отсюда
и из возвратности характеристического многочлена £Г (К)
получаем, что все мультипликаторы %у уравнений (6.54)
равны по абсолютной величине единице и что система
присоединенных векторов может быть только у
периодических решений системы (6.54). В самом деле, если бы

238 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
для одного из мультипликаторов Я выполнялось
неравенство \К \Ф19 то решение Флоке l(t), отвечающее этому
мультипликатору или мультипликатору 1/Я, было бы
неограниченным. Последнее в силу условия теоремы
возможно лишь в случае, когда i(t) сопряжено к век-
Т0РУ f . ), т. е. в случае Я= 1. Аналогичным образом из
решений системы (6.54) исключаются решения,
присоединенные с мультипликаторами Я~М к решениям Флоке.
Таким образом, пространство решений системы в
вариациях (6.54) есть прямая сумма -Е^Ш^г®^*® •••
... ® £\ ®£^ © Еи гДе^яА — подпространство решений,
отвечающих мультипликатору кк (т. е. £(/)££* тогда
и только тогда, когда l(t + T) = khl(t)), и Ег —
подпространство периодических и присоединенных к ним
решений. При этом
1. dimEik = dimE^k=: mkf dimE1 = 2mQ, где пгк,
г
ш0^1—некоторые натуральные числа, ^пгк = п.
2. Для любых векторов Ъг£ЕК, 12£Е%2, ЯХ=£А2,
справедливо равенство {lu ^I^O-
3. Сужение билинейной кососимметрической формы
{•, •} на пространства Еьк®Еь и Ег невырождено
(последнее следует из утверждений § 2 гл. II). Рассмотрим
подпространство Ег. В силу невырожденности формы
{•,•}, в Ег существует симплектический базис й(*)»•••
■•-1к «>• Иь+г (0. , ■ •. EU (0 такой, что Е^ = ( Рй ) (см.
§3гл. II). Решения Ц(0 £,_,(<). ^о+1, .... gj^
в силу косоортогональности к векторам g^ (£) и g*m (<)
равномерно ограничены при /£(—оо, оо), т. е.
периодичны. Тем самым доказано, что основная матрица
системы (6.54) приводима к виду:
Лх 0 0 0
л / о лх о о
IY~[ ooio
\0 0 М 1
(6.58)

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 239
где Aiy A1—(n—l)x(n—1)-диагональные матрицы с
элементами %{ и %h |Х;| = 1, число М принимает
значения 0 или 1, в зависимости от того, является ли
вектор 5J собственным или присоединенным к £^о при этом
собственным вектором, отвечающим нижней жордановои
клетке Л, является вектор ( . ). Обозначим через
базисные векторы пространств E%k и Eik, %кф\.
Заменяя решения £ *, ..., g *,:%\9 ..., \ь на их линей-
ные комбинации, нетрудно добиться того, чтобы
решения £^*» £^fe удовлетворяли соотношениям
{$*, E**} = 2Wiy, /,/ = 1, ...,тЛ.
Выберем теперь векторы afe, &= 1, ..., я,
удовлетворяющие условиям (6.55), (6.56) следующим образом:
а) при &= 1, 2, ..., м—т0 положим
а*(0 = Е/Х*(0.
/-1
*= S *и# + Л / = 1,...,ту, 1</<г,
s=l
б) при & = п
Нам осталось показать, что из пространства Я$ можно
выбрать т0—1 векторов а„_то(0» • ••,#«-! (О таким
образом, чтобы для этих векторов выполнялись условия
(6.55) и (6.56).
Пусть & • •.. 6J... ^0+1, •;., 1^-симплектический
базис в Ег такой, что 1^0 = ( • )• Как уже отмечалось,
векторы й. .... 62ц.!. ^0+1> .... SJ^-периодины
по /. Полагая
MO-IHO + 'S/WO. (6.59)
г
k=^mj + lf /=1, 2, ...,mQ—1,

240 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
с учетом свойства симплектичности базиса {£}, %1+т} = 1
получаем требуемые т0—1 векторов ап-то+1, ...,#„_!.
В силу гладкой зависимости от параметра \i
фундаментального матричного решения системы (6.54), решения
а±, ...,ап (6.59) также можно выбрать гладко
зависящими от tu. Теорема доказана.
Замечание 1. Пусть Л1 (\х)—замкнутая бихарактеристика
гамильтоновой системы (6.54), лежащая на нулевой линии уровня
функции Я(р, ?, |ш). Можно доказать, что из существования ростка
rn Qi) такого, что [Л1 (pi), rn (\y)) есть инвариантная замкнутая
кривая с комплексным ростком, следует его единственность, причем
этот росток может быть задан уравнениями (6.57).
Замечание 2. Типичным примером гладкого семейства
функций Гамильтона Я (pt q, ц) является семейство вида Н (/?, q, \i) =
= Н0(р, q) — [i, где Но (р, q) — гладкая функция. Система (6.54)
совпадает в данном случае с гамильтоновой системой, отвечающей
функции Я0 (р, <7), и не содержит явно параметр ji. Требование
Я(р, q, ц) Li-(») = 0, означает, что бихарактеристика Л1(|а) лежит
на линии уровня ц функции Я0 (р, q) и параметр \х, таким образом,
играет в этом случае роль энергии Е. Требование существования
гладкого семейства бихарактеристик Л1(^) гамильтоновой системы,
отвечающей функции Я0 (р, q), лежащих на линии уровня |л этой
функции не является жестким: как правило, такое семейство
существует. Периоды Т (ц) бихарактеристики этого семейства, вообще
говоря, зависят от значения параметра \i (энергии Е). Тот факт,
что число М в матрице Л (6.58) принимает значение 1, и означает,
что периоды бихарактеристик Л1 (|х), близких к некоторой
выделенной бихарактеристике A1(jli0), отличны от ее периода Т (\i0) (см. [2]).
§ 7. Приближенные циклические решения
стационарного уравнения Гамильтона — Якоб и. Рассмотрим
гладкое семейство функций Гамильтона Я (/?, q> \х)у \it ^ ц, ^ \i2.
Пусть гамильтоновы системы (6.53), отвечающие
функциям H(p,q,\i), допускают гладкое семейство
замкнутых бихарактеристик Л1 (\i) = {(/?, q\ £ R2n: p = P (/, (x), q=
= Q(/, \i)} с периодами T(\i) таких, что:
1. Для Л*((х) выполнены условия теоремы 6.5.
2. Траектория 6} (|i) = (х € R": х = Q (t, \i)),
t£(—оо, со),— проекция многообразия A^(ji) на q-пло-
скость фазового пространства—при (х€[[а1э \i2] есть
гладкая замкнутая кривая в R* без самопересечений, причем
|Q(*, |i)|^0, /€(—<». со).
3. Существует множество Q(h)<z([i19 \i2) такое, что
при |х € Й (h) для кривых Л1 (|л) выполнено условие

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 241
квантования
Л-» § <Р9 dQ> = 2nk (h) mod 0 (Л),
ЛЧд)
&(/*)—целое. Покажем, что в этом случае существуют
приближенные циклические решения уравнения
Гамильтона— Якоби (6.8), отвечающего функциям Н(р, q, \i),
сосредоточенные в окрестности траекторий 6£([х), [х£Й .
Обозначим через
- <'•■*-(?&?)
решения системы в вариациях (6.54), для которых
выполнены равенства (6.55), (6.56) (такие решения построены
при доказательстве теоремы 6.5)
Е-Введем следующие объекты:
а) матрицы
В (t, |i) = (w1 (/, |i)f ..., wn^1 (t, jx), P (/, fi)),
С (tf (x) = (гх (t, fx), . •., гяв1 (/, fx), Q (Л !*));
б) замкнутую окрестность A^dx) траектории 6£(fx) и
покрытие областями иу'([х), /= 1, ..., m, этой траектории,
удовлетворяющие условиям (6.7);
в) семейство (центральных) точек (P(t0 (|x), ^х),
Q (^о (М1)» И*)) на Лх((х) с координатами /0(fx), гладко
зависящими от |х, и решения V(х, \i) уравнения
<x—Q(t, fx), Q (t, fx)> = 0, xga'M,
выбранные способом, указанным в начале § 6 (параметр т
в § 6 следует заменить на параметр /).
Рассмотрим в каждой области иу'(|х) функции
S/(х, |i) = J <Л <*Q> + <^ (/'(х, fx), |i),
МП)
*-Q (*'(*, V)f v)> + i<x—Q(t'(** 1*)эИ). (6.60)
ЯС"1 (*'(*. fx), |i)(*-Q(*/(x, fx), fx))>.
Теорема 6.6. Пусть выполнены условия 1—3 и я#ст&
ц€й(й). Тогда последовательность функций SS(xf \i),

242 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
/=1, ...,т, является приближенным циклическим
решением уравнения Гамильтона—Якоби (6.8), отвечающего
функциям H(p,q,\i), сосредоточенным в окрестности
траектории {x<ERw: x = Q(f, |л)}, t£(—оо, оо).
i;r Доказательство. Следует проверить выполнение
условий съ)—св). Заметим, что последовательность S'(x, \i)
есть циклическое действие на замкнутой кривой Лх([х)
с комплексным ростком гп(\х) вида (6.57). Отсюда
вытекает выполнение условий цикличности сь)—с9) для
функций S^(x, \i), / = 1, ..., m. Далее, в каждой области
и/ ((л) функция SJ (х, \i) есть действие на односвязном
одномерном многообразии с комплексным ростком
[Л1 Ох, /), гп(\х, /)] (см. § 6), инвариантным относительно
канонического преобразования D*H (ц) и удовлетворяющим,
таким образом, условиям теоремы 4.1. Отсюда получаем,
что в каждой области и* (|х) функции SS (х) приближенно
удовлетворяют уравнению Гамильтона—Якоби (6.8).
Теорема доказана.
Пример. Рассмотрим семейство квадратичных по р
функции Гамильтона
Я^) = Я(р,9,|*)= S au(q)piP/-]i\ (6.61)
Здесь atJ (q), i, / = 1, ..., п,— гладкие вещественнозначные
функции, а// = а//.
Справедливо следующее утверждение.
Предложение 6.10. Пусть гамильтонова система,
п
отвечающая функции Н (р, q, 1)= 2 ^ij(Q)PiPj—1» do-
пускает замкнутую бихарактеристику Лх(1) =
= {(р, q) g R2n: p = P (t), q~Q [t)\ с периодом Т,
удовлетворяющую условиям теоремы 6.5 и такую, что
траектория {jtgR": x = Q(t)\ есть гладкая замкнутая кривая
в R" без самопересечений, причем Q=^0. Тогда у гамиль-
тоновых систем, отвечающих функциям Н (р, q, \i) (6.61),
существует гладкое семейство замкнутых
бихарактеристик, удовлетворяющих тем же условиям. Это семейство
имеет вид:
№<|1<р,» 0<^<^<oo,

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 243
Доказательство. Тот факт, что кривая Л1^)
является бихарактеристикой системы (6.53), отвечающей
функции Н (|х), проверяется прямым
дифференцированием. Выполнение равенства Я (ji) |Л* щ) = 0 и
неравенства Q(t9 |а)=т^0 очевидно. Кроме того, легко видеть,
что траектория {#£R": x = Q(t, (x)} совпадает с
траекторией {*£ R": x = Q(t)}. Таким образом, в силу леммы 6.9,
для завершения доказательства предложения нам
осталось показать, что у системы в вариациях (6.54),
отвечающей функции Я (р, q, \i) и бихарактеристике Л1 (ц,),
существуют решения аг (t, jx), ..., ап_г (t, \i), для которых
выполнены условия (6.55), (6.56). В силу
предположения и теоремы 6.5 такие решения существуют при |х=1;
обозначим эти решения через
*<*>-«?) "-=«)•
Прямым дифференцированием нетрудно проверить, что
функции
"Л, v)=( I j an_l{t, ц)=^ , }
(6.6Г)
также удовлетворяют условиям (6.55), (6.56) и являются
решением соответствующей системы в вариациях.
Предложение доказано.
Замечание 1. Отметим, что периоды Т (\i)
бихарактеристик Л1^) и характеристические показатели P/(ji) вектор-функций
a/(t> \i) (6.6Г) связаны с периодом Т (1) = Т бихарактеристики Аг(\)
и характеристическими показателями fb = py(l) функций aj(t)
соответственно соотношениями
Г Ох) = 7-/(1, p/(fx)=fip/, /=1 л—1. (6.62)
Замечание 2. Если матрица |jay (q) \\ положительна, то
условие | Q | ф О выполняется автоматически. Доказательство этого ут
верждения в точности совпадает с доказательством предложения 5.1.
Приведем условие квантования для кривых Л1 ([а).
Учитывая равенства Q=Hp (P (t), Q (*)) иН(Р (t), Q {t))=Q9

244 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
найдем
т
$<Р(Р, 0. Q(l*. t)>dt = pl<P{t)9 Q(t)>dt =
о
г
= |i S (2 (Я (/> (О, Q (0) + 1)) Л = 2|i7\
о
Условие квантования, таким образом, имеет вид*)
\k = \jLk=(nh/T)k(h)9 (6.63)
где k(h)—натуральные числа, зависящие от А, такие,
что
!!Е.Л*(Л)=!|А1>0, Ига А*(Л)=щ<оо, (6.64)
и множество Q (h) образуют числа )кк вида (6.63), (6.64).
В заключение отметим, что приближенные
циклические решения S'(x, \i) уравнения Гамильтона—Якоби,
отвечающего функции Н (р, qt ja), сосредоточенные в
окрестности траекторий {x£Rn:Q(t, (л)} (в данном
случае, как уже отмечалось, совпадающих с траекторией
{x£Rn: x = Q(t)\), могут быть выражены непосредственно
через вектор-функции Р (t), Q (t) и аг (t), ..., ад-1 (<),
введенные в доказательстве предложения 6.11. Именно, имеет
место равенство:
&(х, |*H|i (<>(*))+ <*(*'(*)), *-Q (*'(*))> +
2
+ *<x_Q (*/(*)), BC-4*'(*))(*-Q (*'(*)))>• (6.64')
Здесь
я(0 = (<М0. .... ».-i(0. *(0).
С(*Н(*(0. .... ^.iW. Q(0)
и f(x)—решения уравнения
<*-Q(0,Q(0> = 0 (6.64')
в соответствующих областях uf% выбранные способом,
указанным в § 5. (В формуле (6.60) мы положили t0 ((x)=0.)
Задача. Получить равенства (6.64').
Указание. Воспользоваться равенствами (6.61), (6.62).
*) Ср. с условием (6.36).
I

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 245
§ 8. Приближенные решения обобщенного уравнения
переноса. В предположениях, что выполнены условия 1—3
предыдущего параграфа и что SJ(x, |я)—приближенное
циклическое решение уравнения Гамильтона—Якоби,
отвечающего функции Н (р, q, fx), построим приближенные
решения второго уравнения из канонической системы —
обобщенного уравнения переноса
Пф= + шф. (6.65)
Здесь dS/dx и d*S/dxflXj—производные от циклического
решения S'(xt ц) уравнения Гамильтона—Якоби (6.8)
(см. лемму 6.3), оператор П определен в (6.16'), со —
комплексный параметр, <р = 6$* (1)—неизвестная функция.
Введем дополнительно к объектам а)—в), рассмотренным
в § 7, следующие:
г) якобиан J(/, jjl)= det C(/, ji); через У J (т, [i)
обозначим непрерывную ветвь функции;
д) в каждой области uJ\\x) операторы рождения—
М Q<zi(t'(x9V)9V)9dJdx>-
— yj&iit'ix, fi), |х)—ЯС-1 (*'(*, V), И)Х
xF|(*'(*, И), fi), x—Q(U(x9 у)9 |i)>
(здесь и всюду в дальнейшем в этом параграфе мы
используем обозначения предыдущего параграфа). Заметим,
что приращение аргумента якобиана J (t, ti) за период
T(ii) Lc точностью до числа, кратного 2nk9 совпадает
л-1
с числом Т (fi) 21 Р/ (*0- Здесь В, (fi) — характеристичес-
кие показатели вектор-функций о,-(/, ц) = [/(t' {Ju t
/= 1, ..., п. Поскольку сами числа ру- (|i), вообще говоря,
определены по mod2n/T (ц), то не уменьшая общности
будем считать, что числа {^([л) выбраны таким образом,
что
[Arg(det(S(*, ti) + iC(t9 m]lm =
л-1
= T(p)gfy<p)9 (6.66)

246 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
или что
[Arg (det С (*, ji))] |0Г <»> = Т ((х) 2J ру Oi). (6.67)
Эти условия эквивалентны в рассматриваемом случае
в силу следствия из предложения 6.4. В том случае,
когда кривая Л1^) имеет фокальные точки, т. е. точки,
в которых Q(t, |л)= 0, условие (6.66) сохраняется, а
условие (6.67) становится бессодержательным.
Теорема 6.7. Пусть выполнены условия теоремы 6.5
и пусть параметр о в уравнении (6.65) принимает одно
из значений
u> = u>v = £ (■j+v/)P/Ol) +
Tk{Pf ln \
0 ^ /=1 '
-GiQVv fi), ^))d^ + ^v„, (6.68)
где vlt ..., vn_x—натуральные, vn—целые числа, не
зависящие от h. Тогда приближенное решение уравнения (6.65)
существует на множестве Д^. ((х) и в каждой области и^
имеет вид
<P=<Pv(*> »i) = T7=^==rexp(f©v^(x> |i) +
K/(*'(*,|i),|i)
-GJLQVi. V). ^))^i){(A0Vl ...(AL)Vi.l}. (6.69)
Доказательство. Приведем конструктивное
доказательство. Рассмотрим замкнутую кривую Л1 (jx) с
комплексным ростком rn (ft) вида (6.57) и пространство
функций 3 ([Л1 (\l), ~rn (рО/ГЛ1 (jx)]). В качестве базиса на гп (|х)
выберем векторы aj(t9 ц,)= \У.# \л) » /= 1 п>
являющиеся решениями Флоке системы (6.54), и в качестве
базиса на г Ы/ГЛ1 (|х)—векторы Яу (f, ji), /== 1, ..., /г — 1.
Матрица подкручивания Лх базиса на_ гя (нО/ГЛ1 (|x)
очевидно диагональна, причем (Лх)у7 = %j (\i) = e-J'&/м г (м,).

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 247
Здесь Яу (jut)—мультипликаторы, а Р/Ол)—
характеристические показатели решений aj(t, jx). Таким образом,
согласно лемме 6.6, пространство У ([Л1 (ц), гп (\ь)1Ткг(\к)~\)
состоит кз функций вида:
g(U |if p)= S g^(t, \i)exV\-it ^j(ii)vApf (6.69')
Iv1=0 I /-1 )
где / € R1, ре С"-1, ii 6 [|ilf |if ], v= (vlf ..., v^J,
^—натуральное число, g~(t, \i)—гладкие функции, Т
(^-периодические по аргументу t. Рассмотрим функцию
Ф(*. ц) = V'tet(iE + BC-*(t4x9 v), v))(ve)(*. V) (6-70)
(определение отображения ]i см. в п. 5 § 5 этой главы)
и подберем коэффициенты g~ (t, \i) в (6.69') таким
образом, чтобы функция ф (х, \i) приближенно удовлетворяла
уравнению (6.65). В силу предложения 6.8 для этого,
очевидно, достаточно, чтобы в каждой области и/(р) этому
уравнению удовлетворяли функции
N
¥{** |*)= 2 Vtet(iE + BC-i(V(x,Y),v))x
I v 1 = 0
X g$ (V(x, |x), ji) exp < W (x, |i) 2 py fti)vy > X
Х(Л/Г~ ... (A^r-i-i.l. (6.71)
Из рассуждений, аналогичных рассуждениям в
доказательстве теоремы 5.4, и из результатов теоремы 6.5
следует, что в каждой области uJ(\l) общее приближенное
решение уравнения (6.65) в классе 0st (1) имеет вид:
N
Ф= —i_= £ х~ехр(Ш*(х,[») +
V J(t'(Xf [L),\L) ,v!==0
- G (Q (f „ ji), |i)) dt^ (A/)v~ ... (AJU)'-1 • 1, (6.72)
г^е Xv—некоторые комплексные константы.

248 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Сравнивая формулы (6.72) и (6.71), приходим к
выводу, что функция (6.70) приближенно удовлетворяет
в каждой области uf(\i) уравнению (6.65), если параметр
со в этом уравнении принимает одно из значений ©v
вида (6.68), а все коэффициенты g~ в (6.71) равны нулю,
за исключением коэффициента gVl,. .Vn-i> который имеет вид
+1(тЕя™(/>('1. &> Q^> ^ v)-
—G{Q(t19 ц), v))dtt—
где Xv—комплексная константа. Соответствующая
функция (6.71) при этом равна (6.69). Теорема доказана.
Замечание. Можно показать, что выполнение одного из
равенств (6.68) (по mod(35 {h1!2)) является необходимым для
существования у уравнения (6.65) приближенных решений в классе 0s2O)
и что решениями этого уравнения являются только функции
<PV (*» М-) или их линейные комбинации вида (6.68). При этом если
числа Р/(ц), /=1, ...» п—1 и 2я линейно независимы над кольцом
целых чисел, каждому значению o>v отвечает единственное решение
<PV (x* I1) уравнения (6.65). Таким образом, здесь так же, как и при
изучении приближенных решений обобщенного уравнения переноса,
сосредоточенных в окрестности точки, удается полностью
исследовать «приближенный» спектр обобщенного оператора переноса
(т. е. оператора, определяемого левой частью уравнения (6.65)).
Следствие. Функция
N
|v 1=0
где N—некоторое фиксированное натуральное число,
параметры функций o)v и cpv определены равенствами (6.68)
и (6.69), является приближенным решением нестационар-

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 249
ново обобщенного уравнения переноса вида (3.47), в
котором функции Н и G зависят от параметра \л.
Пример. В заключение этого параграфа рассмотрим
пример обобщенного уравнения переноса (6.65),
отвечающего функциям Н (р, q> \i) вида (6.61), SJ'(x, (л) — вида
п
1 XT4*
(6.60) и G=-rr2^Hoq (dS/дх, x, \i) (см. пример в конце
предыдущего параграфа). Соответствующие решения
системы в вариациях aj(t9 \i) = (™Jff' ) )» /=1> • ••» п> и
отвечающие им характеристические показатели связаны
с решениями aj(t)~aj(ty 0 = ( ft\) и
характеристическими показателями ру =Р/(1) равенствами (6.62) и (6.6Г).
Учитывая последние равенства, а также тот факт, что
интегральный член [в данном случае равен нулю, из
(6.68) получаем значения параметра ©:
здесь |х имеет вид (6.63). Так же, как функции SS(x, ja)
(6.60), функции cpv(*> И<), отвечающие числам cov, могут
быть выражены непосредственно через вектор функции
МО =(*;$). Именно,
ф^)=кткгЧЧ| W+Ф
^Л)пХ)){^{-глпх))4х)-
-V v <wt (t'(x))-BC-* (t'(x)) z, (t'(x)),
x-Q ИЧх))>У ■ ■ • ($={ *»-* (" (x)), | )-
-VJ <wa-i «чх))-вс-> (// (х)й„.± (tax)),
x—Q (P (x))> V»-i • 1, x € uJ. (6.73)
Здесь J(t) = det(Zl(t), •••, z„-,(0, Q(t)), и функции
V (x) введены в примере § 5 (множество^ и области uJ
в данном случае можно взять одинаковыми для всех
значений параметра ji).
• +

260 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Замечание. Так же, как и в случае решений канонической
системы, сосредоточенных в окрестности точки, схема построения
приближенных решений канонической системы, сосредоточенных в
окрестности замкнутых кривых, переносится на случай канонической
системы, отвечающей семейству комплексных функций Гамильтона
Н (Р> Я* 1*) и вещественным замкнутым бихарактеристикам A1(jx).
При этом утверждения теорем 6.5, 6.б, 6.7 остаются в силе, если
условие орбитальной устойчивости бихарактеристик Л1 (|л) (см.
теорему 6.5) заменить на следующее: основная матрица системы в
вариациях (6.54) Приводится к виду (ср. с (6.58)):
/Аг 0 0 0^
0 ЛГ10 0
gO 0 1 0
,0 0 М 1/
где число М принимает значения 0 или 1, А±—диагональная
матрица, причем все числа In Л/, / = 1, ..., /г—-1 лежат в
полуплоскости 0<argz^9-|~rt, 6 — некоторое вещественное число.
Задача. Получить формулу (6.73).
§ 9. Серии собственных чисел и асимптотических
собственных функций оператора Гельмгольца с переменными
коэффициентами. Получим в качестве следствия
утверждений §§ 6, 7, 8 асимптотические собственные функции и
собственные значения оператора Гельмгольца (ср. с [3])
п
где | Я/у (х) ||—гладкая вещественнозначная матричная
функция, aij = ajh R(x)£C°° и принимает вещественные
значения, R (х) > 0 (последнее условие несущественно).
1. Пусть гамильтонова система, отвечающая функции
п
Н{р, q> \^)^i^iaij(q)pipJ + R(q)—ii\
допускает семейство гладко зависящих от параметра (х,
замкнутых бихарактеристик Л1^) с периодами Т (fi),
удовлетворяющих условиям теоремы 6.5 и условиям 2—3
на стр. 240. Пусть р;((х), /=1, ..., л—1, —
характеристические показатели (показатели Флоке) решений Флоке
ty(*. ^e(«?(?/и?)* /==1, ' '' п~1' системы в ваРиа"

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 251
циях (6.54), удовлетворяющих условиям (6.55)—(6.56).
Будем считать, что■. Ру ([л) выбраны таким образом, что
приращение за период Т (\i) функции Arg det (гх (t, |i)...,
.-., *n-i(t* V)* Q(*> Н<)) равно T(\i) S fyOi).
Обозначим через \iki (h) g Q (h) числа,
удовлетворяющие соотношению
h^f<P(tt |i), dQ(f, |i)> = 2jift1(A)modO(A)f
где кг(Ь)—целое число, и через ©ЗД :
<i=<'.).. w.-|j (t+v/) P/оч)+т£з*..
где vlf ..., v^.j—натуральные, k2—целые числа, не
зависящие от А. Введем замкнутую окрестность^Д* (\ik)
траектории {xm: x = Q(t, рк)} и "покрытие ц1^,), . .*.
..., аш(|1Л|) этой"*окрестности, удовлетворяющие
условиям"^ сх)—с2).
Теорема 6.8. Пусть
£*,v = f4^KH,' * = *! + *■• (6-74)
а n*/cm& функция Vk,v(x, h) совпадает в каждой области
А-^(|Jtfti)ПAjp(^0» /==1» •••> m> с точностью до О(h1/*)
— i
с функцией е h |i*1'* cpVl, ..., v„-b *2 (*> А), где S'(ц^, x) a
44,..., vn-i> ^2 определены соответственно*) (6.60) « (6.69),
и*равна О (К") вне множества Ax(\ik). Тогда функция vk,v
является главным членом формального асимптотического
решения по mod 0.(/i3/2) уравнения
Lv = EktVv. (6-75)
Доказательство очевидным образом вытекает из
утверждений §§ 6—7.
*) В (6.69) интеграл в показателе экспоненты равен нулю.

252 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Замечание 1. В случае, когда #(*)=K=const > 0,
условие теоремы 6.7 заменяется на условие предложения 6.11 и числа
H2ki, Ц,*Д, (*i) имеют вид
(ij1-(^*i(*))*+x.
<4.-^(Е(4-н/)|»/+?^).
где ^i (h)—целые числа, удовлетворяющие условиям (6.64), v, k^
определены выше, Т—период бихарактеристики Л1 гамильтоновой
п
системы (6.51), отвечающей функции #0 (р, q)= 2 Р/Р/0//(<7) —-1,
*,/=1
такой, что #|А,=0, и Pi, ..., Pn-i~характеристические
показатели решений Флоке аъ ..., an-lf удовлетворяющих условиям
(6.55)—(6.56) системы в вариациях, отвечающей функции #0 (р> д) и
бихарактеристике А2.
Замечание 2. Используя разложение по формуле Тейлора,
нетрудно убедиться в том, что построенные выше функции,
отвечающие одинаковым числам vx vn-i и числам ki (h)9 k'2 и ki(h), k\>
совпадают с точностью до О (Л1/2), если
Аналогично случаю "незамкнутой кривой, заменяя в
соответствующих формулах функции Р([х, t), Q(\i, t)9
w(\i, ty а), z(|x, t, а) соответственно на —P(fi, —t),
Q9(\x9 —0, —w(\i, — t, a), г"^, — t, a), наряду с
семейством [Л'([х), гл (fx)l введем^в рассмотрение семейство
лагранжевых ^многообразий с комплексным ростком
[Л!([х), r1(\i)]. В дальнейшем i семейство [Лх(|х), rn(\i)]
будем обозначать [А\ (\i)9 rj (\i)] и объекты на [Л*_ ([i),
г^(ц)] будем снабжать индексами ±. Нетрудно
убедиться, что [Al(fi), г"(|л)] удовлетворяет тем же условиям,
что^и"[Л^ (р,), г?"(ц)]» причем числа Ек,ь,9 построенные по
[A^fi), rn±{\i)l совпадают.^ —**г~з»
ТГаким^образом, для оператора Гельмгольца
существует" две системы асимптотических собственных функций
{Vk~v\* отвечающих одной и той же серии чисел EklV и

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 253
различным семействам [A^([i), г^([х)]. Нетрудно
проверить, что Vktv = i(— l),v,t>r, v, где черта над буквой
означает комплексное сопряжение.
2. Асимптотическая полнота функций vf v.
Пусть [A^ftui), г^((х)], 0 < jii <jx<|i2,—введенное выше
семейство инвариантных кривых с комплексным ростком,
и f;nycTb M'o€(M'i> Цг)—некоторое число, не являющееся
точкой накопления множества Q(h). Обозначим через \ikt
ближайшее к \i0 число из множества Q(ft). Для
простоты предположим, что условие квантования -^ & PdQ = 2nkt
удовлетворяется для числа \х^ точно. Тогда
последовательность функций expfftf^lfti^, х)}, где S^-цикличе-
ские действия на [Л^_ (ц,), rn± (\i)] определяет однозначную
функцию*), которую мы обозначим через ехрх
x{iS±(\xki, x)/h\.
Аналогично § 5 гл. V введем пространства j?o*»>
функций вида
iS± (цЙ1, х) N
U±(x,h)==e * 2 /Hv'/2x
V ; lv | = 0
X(x-Q(t(x, рк), \iki))vXv(t(x,\xk)) + g(x,h), (6.76)
где t(x, \ik)—решение уравнения (6.64"),
Xv(0—некоторые гладкие периодические функции с периодом T(\ik),
N—натуральное, не зависящее от h число и функция
g{x, A)€C"(R2k(0, 1])'такова, что lim sup \g(x, Л)| = 0
(ср. с (5.46)). Легко видеть, что элементами пространств
J?7^ являются комплекснозначные функции. Наряду с
пространствами 3>^*s введем также пространство функций
*) Если условие квантования выполнено лишь по mod О (h)t
т
то вместо функции ехр -г S (ц^, х) следует взять ^е/(*, ^)Х
/=i
Хехр -г Sf± (х, [х^,), где ej(x, ц^) — разбиение единицы в A* (\ikl),
подчиненное покрытию и/(ц^).

254
Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
U(x, h), представимых в виде суммы U+ (х, h)+U~ (x, h) £
€ <2?^о)- Это пространство, содержащее в силу определения
S^o) наряду с комплекснозначными и вещественнознач-
ные функции, обозначим через j?<»*»>. Используя
полноту системы функций е*2як*т на отрезке [О, Т] и
лемму 3.11, аналогично § 5 гл. V получаем следующее
утверждение (ср. стр. 192).
Лемма 6.10. Системы асимптотических
собственных функций {of v) и {vilV}\){VktV) асимптотически
полны в пространствах &(£о) и &(&*) соответственно, т. е.
для любых функций U± € 3?^ и U € jg^o) существуют
натуральное N, не зависящее от Я, и комплексные числа
cv k> такие> что
I + со N „ I
W - 2 2 <£.b*>b+k9.v\
£,= -со | v 1 = 0
lim sup
ft-*0
***х
-0, (6.76')
lim sup
А-*° хе r!
N
и-2 2 2 <*. *.«*+**
+ , - *,= -» / v|=0
= 0. (6.76")
3. Используя асимптотически полные системы
функций vtt v» построим околовакуумные семейства
комплексных решений (см. Введение) уравнения
h*d*u/dt*—Lu=0. (6.77)
Теорема 6.9. При приведенных в начале параграфа
условиях для любых функций U± (х, К) £ 3{±о) и U (*> Л) €
^ jg?(ix0) существуют натуральное N, не зависящее от h,
и набор комплексных чисел с* kt (А)» 0 ^ | v | ^ N, k2 = 0,
±1, ... таких, что для функций
№4*. <.*) = 2 2 с**,?*
fc8 = -oo | V 1 = 0
«<»•> (х, *, Л) = 2 s 2 4 k,~vit+k„ v*""*•\
+ , - fts = -oo I vl = 0
где
«Q,.
(6.77')
(6.77")
"*■ v - Л + 2 W,
.^£*.у + 0(А«),

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 255
выполнены соотношения (6.76'), (6.76") и
(h*dydt*—L) и(£о) = О (/i3/2),
(h*dydt2—L) £<•*•> = О (А3/2).
Здесь оценка О (/i3/2) равномерна по х£ RJ.
Доказательство проводится аналогично доказательству
теоремы 5.8. _ (Дв)
Нетрудно проверить, что семейство функций и (х9 t, h)
удовлетворяет условиям типа 1)—3) введения и,
следовательно, является околовакуумным семейством решений.
С помощью этого семейства на jg7*^) вычисляются
волновые векторы нижних энергетических состояний
соответствующей уравнению (6.77) вторично квантованной
задачи.
§ 10. Обобщенные уравнения переноса с правой частью. При
построении асимптотических решений задач на собственные функции
и собственные значения h- ^дифференциальных операторов с
произвольной степенью точности по h (т. е. по mod0(/^2), M — любое
натуральное число) в дополнение к канонической системе уравнений
(6.8)—(6.8') следует рассматривать обобщенное уравнение переноса
с правой частью специального вида. Именно, возникает следующая
задача (ср. с § 8 гл. III).
Пусть функции {SJ} и <Pv = 6sa(0 есть приближенные
циклические решения канонической системы (6.8), (6.8'), сосредоточенные
в окрестности замкнутой кривой 6х (|х) и отвечающие параметрам ц.
Требуется определить значение параметра ю, при котором у уравнения
П6 - fove = F (х, h) + ta>/t*/2q>v, (6.78)
где оператор П определен равенством (6.16'), a F=QSa (hk^2) —
заданная функция, &—натуральное число, существуют приближенные
nomod05a(^/2 + 1/2) решения 9 (х, h) = Qs%(hk/*), и найти эти
решения.
Определение 6.6. Уравнение вида (6.78) назовем
обобщенным уравнением переноса с правой частью F=^Qs%{hk^)y отвечающим
функциям {Sty, cpv и параметрам юу и ю, а функцию 0 (х, К) =
^ 6s2 (h ^2), удовлетворяющую этому уравнению с точностью до
, — его приближенным решением.
Замечание. К уравнению вида (6.78) сводится задача
построения асимптотических собственных функций, сосредоточенных
в окрестности ^-мерных (O^k^n) компактных многообразий без
кРая, с соответствующей заменой функций SJ(x). Поэтому все
дальнейшие выкладки этого параграфа годятся для любого kt включая

256 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
случай & —О (для решений, сосредоточенных в окрестности точки),
если заменить параметр соу (6.17) на параметр cov (6.68) и функцию
Ф-v (6Л8) на функцию q>v (6.69). Аналогично § 8 гл. III сведем
уравнение (6.78) к системе уравнений переноса с правыми частями.
Согласно определению класса функций 6s%(^2) и функций cpv (xt h),
имеем
/Ч*.А)- 2 Л*/а+//1Л(*).
/=-|V|
W <PV/€C°°, 9v/==052(^-//2), /<0, Nlt N2, tf3—некоторые
натуральные числа.
Предложение 6.11. Пусть функции
е* = 05а(/Г//2), Z = -max(tflf |v|), ..., -1, 0
при некотором со приближенно по modOsa (Л~^/+1^2)
удовлетворяют системе уравнений переноса с правой частью
{»>(%■')■ Ы±± »*&•')*
a2s
dxjt
где
*i-*M+^ i^P/(f.-)x|^, (6-79)
def
причем cpv; —О npw / < — | v|, если | v | > Nx. Тогда функция 0 =
о
= У] 9//i"" ^2 является приближенным решением урав-
/=-тах (Nt iv I)-
нения (6.78).
Доказательство очевидно.
Как будет доказано в теореме 6.8 § 11 (ЫО) и в теореме 6.9
§ 12 (&=1), уравнения (6.79) разрешимы всегда (т. е. при любом
параметре со) с заданной степенью точности, если 1ф—|v|, а при
/ = —] -v | уравнение (6.79) приближенно разрешимо лишь при неко-

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 257
тором со, причем этому значению параметра со отвечает не
единственное решение.
Предложение 6.11 и указанные теоремы позволяют определить
значение параметра со, при котором существуют приближенные
решения обобщенного уравнения переноса с правой частью (6.79), и
найти эти решения. В самом деле, последовательно решая
уравнения (6.79) при /=— Nx, ..., — |v| + l, мы находим функции 9/,
/ = — Nu ..., — | *v | —J— I - Рассматривая уравнения (6.79) при / = — |v|,
находим значение параметра со (см. формулы (6.81), (6.85)) и
функцию 0j. Применяя затем последовательно теорему 6.8 (теорему 6.9)
к уравнениям (6.79) при / = —|v|—1, ..., О, находим оставшиеся
функции Qt и получаем, таким образом, требуемое решение
уравнения (6.79).
Замечание. В силу неоднозначности определения решения
уравнения (6.79) при /=|v| решение уравнения (6.78) также
определяется неоднозначно. Можно показать, что любые два приближенных
решения уравнения (6.78) отличаются на функцию гv^29v + ^52 (^2)»
где г —комплексная константа и ср —приближенное modOS2 (ft1/*)
решение уравнения (6.8'), отвечающее числу со . Приближенные
решения уравнений переноса с правой частью мы построим отдельно
для случаев, когда & = 0 (решения, сосредоточенные в окрестности
точки (§ 11)) и Л: = 1 (решения, сосредоточенные в окрестности
замкнутых кривых (§ 12)).
§ 11. Приближенные решения обобщенного уравнения переноса
с правой частью, сосредоточенные в окрестности точки. Рассмотрим
уравнения переноса с правой частью (6.78) в случае, когда S (х) —
приближенное решение уравнения Гамильтона —Якоби, отвечающего
функции Н (р, q), сосредоточенное в окрестности точки Q0> и cpv (л:, А)=
= 05» (0 —приближенное решение соответствующего обобщенного
уравнения переноса (6.16), сосредоточенное в окрестности точки Q0
п / п
и отвечающее числу % = ]£ ("2*+^) V'+H Т X ЯР,<7.(Р°' Qo)~
— G(Q0) ) (см. формулы (6.17) и (6.18); здесь и далее в этом
параграфе мы используем обозначения и определения §§ 1—4). Решения
уравнения (6.78) мы построим при следующем предположении *)
относительно собственных чисел i$lf ..., фп матрицы $fBap»
характеризующих точку Л° = (Р0, Qo) с комплексным ростком (a; (a), 2(a))
(см. § 3): будем считать, что числа р/, / = 1, ..., я, линейно
независимы над кольцом целых чисел.
Построение решений уравнения (6.79) проводится по схеме,
неоднократно применявшейся нами ранее: рассматривается вспомогательное
*) Это предположение может быть ослаблено.
9 В. П. Маслов

258 Ч. I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
нестационарное уравнение переноса (3.107) с правой частью
/, ш=1 Р Ч J J m
в котором функция (? (х) заменяется на G (х) — t© ; с помощью
теоремы 3.2 строятся общие приближенные решения этого уравнения
из класса 0$л(п11^2), и среди этих решений выбираются функции,
не зависящие от t. Последние и будут требуемыми решениями
уравнения (6.79). Опуская все промежуточные выкладки (они аналогичны
выкладкам § 3), приведем окончательные формулы.
Обозначим у (х)^С-1 (0) (x — Q0)t
где матрица С(t) определена равенством (6.29), и = (иь . ..,хп),
|*=Фь .... Ци).
Теорема 6.10. Пусть в уравнении (6.79):
1) |/j^|v|; тогда его приближенное решение существует для
любого со и имеет вид:
1к,=,/| 2М*/-*/>
/=1
2) |/| = |v|; тогс^а приближенное решение этого уравнения
существует, если выполнено равенство
это решение имеет вид
en*)-/ £ д*« <?<*»* +rv(TW)v (б8Г)
/=1
и определено с точностью до функций вида г^ (С~х(0) (х—Q0))v,
г —произвольное комплексное число.
Замечание. Нетрудно доказать, что равенство (6.81)
является необходимым для существования решения уравнения (6.78)
при |/|=:jv|. Построенные решения при этом единственны с
точностью до функций Ost (/г(~"/+1)/2) при | /1 ^ I v | и с точностью
до функций rv(C-i(0)(x-Q0))vf rv6C,H05a(^(-/+1)/2)nPH|/| = |v|.
Теперь, последовательно применяя теорему 6.8 так, как это указано
в конце § 10, находим приближенные решения обобщенного
уравнения переноса с правой частью (6.78), сосредоточенные в
окрестности точки.

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 259
Задача. Найти асимптотические решения по mod О (Лб/2),
сосредоточенные в окрестности точки # = 0 задачи на собственные
функции
—h*ty" + (Р2**+ах*) 1|з = £г|).
Здесь а, Р —вещественные параметры, р > 0.
§ 12. Приближенные решения обобщенного уравнения переноса
с правой частью, сосредоточенные в окрестности замкнутых кривых.
Теперь построим приближенные решения уравнения (6.78) в случае,
когда dS/дх, d2S/dx(dxj есть производные от циклического решения
уравнения Гамильтона —Якоби (6.8), <pv—решение вида (6.16)
обобщенного уравнения переноса, отвечающее числу ©v вида (6.68). (Здесь
и далее в этом параграфе мы пользуемся обозначениями, введенными
в §§ 7—8.) Так же как и в предыдущем параграфе, на числа
Pi, ..., р„_1 наложим дополнительное ограничение. Потребуем,
чтобы числа рь ..., P„_i и число 2л были линейно назависимыми
над кольцом целых чисел.
Приведем эвристические соображения о построении
приближенных решений уравнения (6.79) в окрестности замкнутой кривой.
Заметим, что в каждой области uJ (см. сх) — с2) (приближенные
решения уравнения (6.79) можно получить с помощью теоремы 5.1;
эти решения находятся неоднозначно с точностью до решений
соответствующего однородного уравнения. Поэтому задача отыскания
приближенных решений уравнения (6.79) сводится к подбору
соответствующих решений однородного уравнения таким образом, чтобы
полученные в каждой области uf с помощью теоремы 5.1 решения
на пересечении областей {и/}, /=1, ..., т, совпадали. Поскольку
такой подбор решений соответствующей однородной системы
уравнений проводится аналогично подбору коэффициентов гх для функции
(6.810, то, не проводя требуемых выкладок, мы приведем сразу
конечный результат.
Предварительно сформулируем важную вспомогательную лемму.
Лемма 6.11. Пусть Т —вещественное число и f(t) —гладкая
функция, удовлетворяющая условию: существует такая константа
К Ф 1, что
/(/ +Г) = *,/(*). (6.82)
Тогда существует и единственна функция F (/), являющаяся решением
уравнения dF/dt=f и такая, что
F(t+T)=*XF(t).
Эта функция равна
t t0+T
F(0=(/(O«'+-Ezrj- J /(т)Л, /0=const. (6.83)
*• U
Доказательство очевидно.
Обозначим через Wx множество гладких функций {/i(0}> Для
которых выполнено условие (6.82). Через W2 обозначим множество
9*

260 Ч. 1. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА УЗКИХ ПУЧКОВ
Г-периодических функций {/2 (0}» нулевой коэффициент Фурье
которых равен нулю:
т
/2 =
*=tJMt)(*t===(
Через W обозначим объединение множеств Wt и №2.
Воспользовавшись леммой 6.13, определим на множестве W операцию
интегрирования таким образом, чтобы полученная в результате применения
этой операции функция принадлежала классу W. Эту операцию
обозначим через /:
т0+т t
ff=JZT J /(T)rfT+J/(T)rfr, f£Wx (Ьф\),
t t0+T / X v
U U ^t0 '
Здесь /0—некоторое вещественное число.
Аналогично гл. V построим решение уравнения (6.79) на
множестве Дх (ц). Введем в рассмотрение функции (ср. с
подынтегральным выражением приближенного решения (5.6) уравнения переноса
с правой частью):
Я,а d> Л *. И>| Sf X еХр "^ +1Ф {h) dh) Х
I iki=i/i L и J
х ^ У/(*ы*) ^г (£,+ йфу/) (Q (/• |i), |i) x
x—^
где i|?(tf, |х) определена равенством (5.4), через у обозначена
n-мерная вектор-функция с компонентами
/(/, |i) = det С (/, р.);
а—л-мерный мультииндекс, последняя компонента которого равна 0.

ГЛ. VI. КОМПЛЕКСНЫЙ ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ 261
Теорема 6.11. Пусть в уравнении (6.79)
1) UI т6 I v |, тогда его приближенные решения существуют для
любого со и в каждой области и* имеют вид
eiw = —* 'о0г) J-x
x 2 («te)(/y(^rt)(T('yfc I*). *.!*))« (6.84)
|a|eJV
где a = (ax, ..., a„-lt 0), tJ (x) — решение уравнений (6.64") и ty(t)
имеет вид (5.4);
2) | /1 =s | v |; тогда приближенное решение этого уравнения
существует, если выполнено равенство
|H|=|V|
(6.85)
Это решение в каждой области и^ имеет вид:
e4v| Wqir 7 ехр
11 К/(*'(*,ц),Ц)
/ (*. и)
«*/(*)+ С *(««i|x
хГс<*(*,*У<*.1*).»0)*+ S (//? .VI а)Х
L |a|«|vl
X (tJ(x> P» <? <*'(*. I*). *. Р»*]. (6.86)
где а, /■'(дг) и ty(t)—me же, что и выше, с—некоторая константа
и определено с точностью до функций вида
с
ехр < mvtJ (x)+ J ф (/^х ) (7 (*, *' (др. ц), !*))v,
I \ Мм-) | J
с—произвольная константа.
Замечание. К этой теореме в равной степени относится
замечание к теореме 6.10.
Теперь, применяя последовательно теорему 6.10 к уравнениям
(6.79), находим требуемые решения обобщенного уравнения переноса
с правой частью (6.78).

Часть II
КОМПЛЕКСНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ
РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ
Разработанный в первой части комплексный метод ||
ВКБ может быть применен для нахождения асимптота- и
ческих решений некоторых классов нелинейных уравне- И
ний. Однако для проведения изложенной выше схемы I
применительно к весьма общим нелинейным уравнениям I
необходимо дополнительное привлечение метода упоря- 1
доченных операторов [34, 68]. Но принципиальное по- 1
строение асимптотических решений усложняется при этом |
незначительно. I
Из всего класса уравнений, к которым может быть |
применен комплексный метод ВКБ, мы выберем уравнения
Sine—Гордона, Гейзенберга и уравнения колебаний ц
кристаллической решетки, для которых построены до- |
пускающие вторичное квантование околовакуумные семей- |
ства решений. Полученные семейства отвечают в смысле |
принципа соответствия некоторым важным классам двй- |
жений классической системы: состоянию покоя и движе- J
нию по прямым и по кривым линиям в конфигурацион- I
ном пространстве. |
Операторный метод приводит к рассмотрению диффе- I
ренциальных уравнений более высокой размерности, чем 1
исходные, решения которых зато регулярно зависят от 3
параметра (см. [38]). В данном случае переход к такому ]
упорядоченному представлению эквивалентен введению |
быстрых и медленных переменных и соответствующей I
замены функции (см., например, [5, 18, 23, 30, 32, 65, 69, |
71,72]). I
Чтобы показать, как работает метод ВКБ для нели- 1
нейных уравнений, мы в первой главе излагаем способ I
построения асимптотических решений нелинейных урав- 1
нений в упрощенном виде на примере уравнений с ку- I
бичными нелинейностями: 1
А2 (ип—Ды) + « — 2у (/) и3 = 0, у (t) €C~, (0.1) 1

ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ С КУБИЧНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ 263
(Д—n-мерный оператор Лапласа) и
h2Wtt—(1+Р*(г— 1)2)иФФ—urr] + u—2ы3 = 0, (0.2)
где (г, (р) — полярные координаты в R2 и р—некоторый
вещественный параметр. В этой же главе мы проведем
сравнение асимптотических решений уравнений (0.1), (0.2)
с решениями, полученными на ЭВМ.
Глава II носит вспомогательный характер. В ней
вводятся необходимые для дальнейшего понятия
сингулярных асимптотических решений нелинейных уравнений.
В главе III рассмотрены уравнения типа Sine-Гордона,
и в общем виде излагается способ построения
асимптотических решений нелинейных уравнений.
В главе IV рассматриваются уравнения Sine-Гордона
и Кадомцева—Петвиашвили и в главе V—система
нелинейных уравнений кристаллической решетки, в п. 8
таблицы—уравнение типа Хартри. Изложение построено
по следующему плану: в каждой главе (кроме второй)
вначале в виде теорем предъявляются формулы для
асимптотических решений рассматриваемых уравнений,
а затем доказывается, что полученные функции являются
асимптотическими решениями в% смысле малой правой
части (формальными асимптотическими решениями).
Заметим, что, используя результаты [62] и технику Т-отобра-
жения, развитую автором в [38, 68], можно показать, что
найденные (формальные асимптотические) решения
являются асимптотикой некоторых точных решений
соответствующих уравнений.
Глава I
УРАВНЕНИЯ С КУБИЧНЫМИ
НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
§ 1. Решение типа «волнового пакета». Поставим для
уравнения (0.1) задачу, аналогичную задаче о
распространении семейства волн в линейном случае (см. § 1
гл. I).
Предварительно обсудим постановку такой задачи для
(конечномерной) системы уравнений Ньютона. Рассмотрим в качестве примера

264 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
уравнение q-{-Vq=Q с потенциалом
у (я. »=<%(<,—^у fa (/)+(i-t W) уг+уг)3.
где у (0 — гладкая вещественнозначная функция, равная нулю при
t<,tlf tx > 0, и единице при t^t2> tx. При i<ti это уравнение
линейно, и мы можем поставить для него задачу Коши:
<7(0)=l/Kr2+at ?(0) = fo>a,
a£C—параметр. Решение этой задачи при t<tx имеет вид
q=\l УТ+е1®*а9 а при t^t2 (как нетрудно показать методом
теории возмущений) переходит в околовакуумные решения
вида (15') Введения, отвечающие в смысле «принципа соответавия»
точке q— 1/ уТ.
Для системы уравнений Ньютона с потенциалом V(q)t q£ Rrt, n> 1,
околовакуумное семейство комплексных /-периодических решений,
отвечающих в смысле «принципа соответствия» точке покоя q — qo
потенциала V(q), может быть получено по аналогичной схеме—как
решение задачи о распространении волн—задачи Коши
?(0) = <7o+S, Я(0)=Ух1гУдяШ1>
(где 2 — произвольный n-мерный комплексный вектор) для системы
уравнений Ньютона с потенциалом
Y *
Здесь y(t) та же, что и выше.
Постановка задачи о распространении волн естественным образом
обобщается на бесконечномерный (континуальный) случай (см. также
§ 1 гл. I, ч. I). Например, для уравнения (0.1) эта задача
формулируется следующим образом. Пусть в (0.1) y(t) та же, что и в
конечномерном случае. Требуется найти решения этого уравнения,
удовлетворяющие при / = 0 условиям:
tt|t=o = M*>6)>
hdu/dt |f=0 = *' Y—A2A + 1 u0(x, h)t
где и0 (x, /*)•*-некоторая гладкая функция. Полное решение
поставленной задачи позволяет найти соответствующие околовакуумные
семейства решений уравнения (0.1). Наряду с полным семейством
решений этой задачи нас будут интересовать также некоторые
частные ее решения, например, решения типа волновых пакетов.
Как и в первой части, через 0(ha) мы обозначаем
такую функцию у(х9 t,h) g C°°(Rw+1x(0, 1]), что для
любого компакта КаК%+\ |<р(я, /, h)\<cha, x9t£K,
где с—константа, зависящая от К* Функцию и (х, t, h) =
= 0(1) будем называть формальным асимптотическим
решением уравнения (0.1) (или (0.2)) по modO(Ap), если

ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ С КУБИЧНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ 265
в результате подстановки функции и в левую часть
этого уравнения в правой части получится функция ср =
= 0(ЯР). Функцию и0(х, t, /i) = 0(l) такую, что и —
— и0 = О (ft6), б > 0, будем называть главным членом
формального асимптотического решения уравнения (0.1) (или
(0.2)).
Рассмотрим уравнение (0.1) в одномерном случае.
Пусть в уравнении (0.1)
7(0-0 при *<1,
7(/) = 1 при *>2, Y(0€Ce(Ri). (1Л)
Поставим для уравнения (0.1) задачу о распространении
узкого быстроосциллирующего пучка (волнового пакета).
Пусть при £ = 0 и(х, 0 удовлетворяет начальным
условиям
и(х, 0)-сехр jf^ + .i-b*1)}, с = х^,
(1.2)
ihu't (х, 0) - — V\— h*Au (х, 0), %> 0,
а, т—вещественны, Ь—комплексный параметр, lmb>0.
При *<1 асимптотическое решение по modO(A8/2)
этой задачи и получено в §5 гл. III ч. I и имеет
вид:
-^ л F U Vr ^ 2(1-^(1 + ааГ8/2) / /
(1.3)
Теорема 1.1. Пусть х < 2, тогда существует фор-
мальное асимптотическое по modO(A3/2) решение задачи
(0. 1), (1. 1), (1. 2), главный член и0 которого имеет вид:
Ц0= . , "-„, » О-4)
1 + ум2/4
где а—главный член формального асимптотического
решения линейной задачи (0.1), (1.2) при 7 = 0,
определенный формулой (1.3).

266 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЧУР-НИЙ
Исследуем свойства функции (1.4). Напомним, что
функция и (1.3)—«волновой пакет»—обладает
следующими свойствами:
а) При каждом фиксированном t функция \и\ имеет
максимум, который располагается в точке х = atV\ + я2;
последняя, очевидно, лежит на траектории функции
Я: {х: х——а//|/*1+а2}. Вне окрестности радиуса
~fti/»-«f 6-* +0, точки x^atlVTTa*, \u\~0(hm)9
т. е. решение сосредоточено в окрестности точки х.
б) С течением времени точка максимального
значения \v\ перемещается в пространстве со скоростью
V - —a!VT+a\
которую мы называем «групповой» скоростью пакета.
в) При t —* ±оо величина | и | стремится к нулю;
ос
при этом ^ |a|2d# остается неизменным. Иначе говоря,
— оо
«волновой пакет» расплывается со временем.
Сравнивая поведение функций и0 и и, мы приходим
к выводу, что:
а') |м0|, так же как и \и\9 при каждом
фиксированном t имеет максимум, совпадающий с точкой
максимума | v |, причем вне окрестности радиуса h1/2~6, б —^ -f О,
точки х=—at 11^1+а* имеем: \u0\~O(h°°).
б') С течением времени точка максимального
значения | и01, так же как и точка максимального значения | и |,
перемещается в пространстЬе со скоростью V.
в') При t—*±oo величина |и0| стремится к нулю.
Таким образом, построенная функция и0 является
аналогом волнового пакета в нелинейном случае.
Отметим теперь следующее существенное отличие функции и0
от и. В дальнейшем для простоты мы ограничимся
случаем, когда я = 0, т = 0, b = i и y(t)=l. При этом
«*= [co4iM&ir-nni+Tln(1-^)+T)]"1 (»-б)
(см. (1.1) и (1.2)). Элементарные выкладки показывают,
что функция М (t) = max | и0 | при % < 2 имеет ряд

ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ С КУБИЧНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ 267
чередующихся максимумов и минимумов в точках tk,
расположенных вблизи t = -5=—, k = 0, ± 1, ... (четным k
отвечают минимумы, а нечетным—максимумы). При этом,
чем меньше |fe| и чем ближе % к двойке, тем большее
значение принимает M(tk). При %—*2 функция M(t)
становится в этих точках неограниченной. Частота
чередования максимумов и минимумов функции М (t) имеет
порядок 1/А. Этот эффект—резкого колебания M(t)9
который не имеет места в линейном случае,— мы
называем «пилоэффектом».
^g Приведем сравнение асимптотического решения
уравнения (0.1), полученного по формуле (1.4), с решением
этого уравнения, полученным на ЭВМ. При. численном
эксперименте были построены решения уравнения (0.1)
в случае у = 1, удовлетворяющие в момент времени t0
условиям
и (х, /0) = и0 \t =*0, u't (х, /0) = д/dt uq \t =to,
где щ имеет вид (1.5). Параметр h был выбран равным
0,1, а параметрам t0 и % присваивались значения a) t0 =
— — 1, х—1» б) *0 =—0,5, х = 2. Уравнение (0.1)
аппроксимировалось разностным уравнением
т+1 Oi,m-L.i,m-x um 9timJuum
tf Л» +
+ <—2(«?)3 = 0, /i* = 0,01, А, = 0,001.
В случае а) машинное и асимптотическое решение
практически совпадают (при максимальном значении
ц = 1,4 разность между машинным и приближенным
решениями не превосходила 0,05). Графики функций
max \u\ и min \u\9 t0= — \ и tk = nhkl2,
lx-hx, x+hx] lx~hx* x+hxl
& = 0, dh 1, ...» ±5, изображены на рис. 1. (Значения
функций, отвечающие временам tk = nhkj2 и tk~—nhk/2,
совпадают.)
На рис. 2 изображены графики функций max | и \
[x-hx, x+hx]
и min \u\ в моменты времени tk для машинного
[{.x-hx, x+hx]
решения, отвечающие случаю б) (k = ± 1, ..., ±3;
f=—0,5), а на рис.3—для соответствующего решения,

268114. И. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
*—/
W
0,6
3L
t—za
I iXl i 11 I, i' ' i'3Ti I I
1,0
0,6
I iTWl I I I» tin \*Mi i i
I I 1Ж! II I I»
-8 -4 0 U 8 -8 -U 0 U 8 -8-4048
Рис. 1.
i—
Snh
¥
0,0
2J0\
1,0
i
t—fih
x Ж sfl
f~ 2
3,0
2,0
1,0
I
LA,, ж
-8-4 0 4 8 -8-4 0 4 8 -8-4 0 4 8
Рис. 2.
-8-U 0 4 8

ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ С КУБИЧНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ 269
полученного по асимптотическим формулам. Как видно
из графиков, решение как*'машинное, так и
асимптотическое в точке t=—nh/2 резко возрастает. Счет на
ЭВМ был прекращен при t = 0,153«лЛ/2 + 0,004, когда
максимум машинного решения достиг величины 8-106.
J
1
w\
3,0 \
w\
I I \Ш\
I
" iV i
t~f
t—nb
i
1,Ot
-L*. | I l/l
"i\i i i,
№
501
vl
VI
Ш
1 1 \J\
iVi i t,
2,01
Щ
J
\ 09to
"iXi i i>
-5-4 0 4 8 ~8-tf О U 8 -8-4 048 "8-4 048
Рис. 3.
Уменьшение "шагов hx и ht в десять раз не привело
к сколько-нибудь существенным изменениям машинного
решения. Наконец отметим, что хорошее совпадение
решения, полученного на ЭВМ, и асимптотического (до
особой точки) было получено и в случаях, когда
параметр х принимал значения х = 4/3; % = 2,4; х = 4,6.
Поставим теперь для уравнения (0.1) в одномерном
случае более общую по сравнению с (1.2) задачу. Часто
модуль начального условия отличается от колоколооб-
разного вида (1.2) и сам имеет несколько осцилляции.
Рассмотрим более общее начальное условие вида
N
и(х, 0)- 5>***Л-*|» ехр{т(а*+1г)}'
(1.6)
ihu't(x, 0) = — V\— /i2A u(x, 0),
где N — произвольное фиксированное натуральное число.

270 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
Асимптотическое решение и линейной задачи (0.1),
(1.6) (при 7 = 0) также получено в § 4 гл. III ч. I и
имеет вид (3.81').
Теорема 1.1 остается справедливой и в случае
условий (Кб): главный член асимптотического решения по
mod О (А8/2) равен
и0 = ^-^-. (1.7)
1 + Т(0«2/4
Условие х < 2 при этом заменяется на условие:
|«|<2. (1.8)
Замечание. В гл. III, этой части будет доказано, что
функция «о является главным членом формальных асимптотических
решений уравнения (0.1) по mod О (Ла), где а > 0 —произвольное число.
Там же показано, что функция и0 является в некотором смысле
обобщенным асимптотическим решением и в том случае, когда
условие (1.8) не выполнено.
§ 2. Периодические решения, сосредоточенные в
окрестности прямой. Рассмотрим уравнение (0.1) в
трехмерном случае: #£R3, х = (х1У х2, х3), когда у — 1.
Введем функции
S = VTW4+l>(x.+T^ + Jl^). (1.9)
l^o У(1+»А)(1+*л)
Х Ч1+*Л|/ \| !+*»*• I/
(1.10)
где [х>0, со—вещественные, b19 b2, cv—комплексные
параметры, lmb1>0, lmfe2>0, Hv.(z) — полиномы Эр-
мита, N—некоторое фиксированное натуральное число.
Как показано в § 5 гл. V ч. I, семейство функций
v = eis/b(Pf (1.11)

ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ С КУБИЧНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ 27
где S и ф определены выше, является семейством t-m-
риодических формальных асимптотических решений по
mod О (ft8/2) уравнения Клейна—Гордона (уравнения (0.1)
при 7 = 0)- Аналог этого семейства в нелинейном случае
(Y=t^0) дается следующей теоремой;
Теорема 1.2. Существует семейство Апериодических
асимптотических по modO(/i8/2) решений уравнения (0.1)
с периодами T = 2nh (]/"l + И>2 + —г- " ) • Главный член
\ У1+М-2/
этих решений имеет вид
V2
1 + -7- COS
4
(x-'-W
(1.12)
где S, ф, v имеют вид (1.9), (1.10), (1.11) соответственно,
причем параметры cv [в (1.10) таковы, что справедливо
неравенство .
М<2. (1.13)
Анализ функции (1.12) проведём в случае, когда
параметр со и число N в (1.10) равны нулю, аТпараметры
Ьг и Ь2 принимают значение i. Условие (1.13) при этом
равносильно |с0| < 1. Элементарные выкладки позволяют
сделать^следующие выводы относительно поведения
функции и0.
а) Вне окрестности радиуса (1 +^з)1/2^1/2"б> б—+ +0,
оси х3 имеем u0=O(/i°°), т. е. функция и0 «сосредоточена»
в окрестности этой прямой.
б) При каждых фиксированных t и х3 функция \и0\
имеет максимум,, расположенный на оси х3.
у в) Функция М(х3, t)= max |w0|=lttol| имеет
ряд 'чередующихся максимумов и минимумов, которые
располагаются на расстоянии я/i/jui друг от друга и
перемещаются по оси х со скоростью V = — "^ + 0(h) у
причем при | с01 —-* 1 максимумы превращаются в
особенности («пилоэффект» (ср. с предыдущим параграфом)).
г) При х3—*±°о a0 = ^s/ft9 + 0(^2), т. е. и0 ведет
себя как решение линейного уравнения Клейна —
Гордона; при этом uQ стремится к нулю как 0(x^1)i и радиус

272 ч- п- КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
Vi+xih1*"6, 6-++0.
Последнеэ означает, что «пучок» волн, характеризуемых
функцией uQJ расплывается при больших х3 (этот эффект
имеет место и в линейном случае).
В заключение отметим, что для рассмотренного в этом
параграфе решения 'справедливы все замечания
предыдущего параграфа.
§ 3. Периодические решения с компактным носителем.
Рассмотрим уравнение (0.2). Обозначим через Q(h)
множество целых чисел /гх(А), зависящих от параметра А,
таких, что^Нт А \ пх (А)!1!> 0. Через \лПх и oo„at k обозначим
параметры:
Vm^hn^h), Я!(А)€Й. ©Я11 *==«•+? (у+л)-
Здесь /13=0, ±1, ..., &=0, 1, ..., причем | п2 | <^ | пх (А)
и ft<^|ni(A)|.
Теорема 1.3. Существует семейство t-периодических
асимптотических по mod О (А3/2) решений уравнения
h2(utt—(1+Р2(г— 1)2)и<р<р—игг) + и—2и* = 0с периодами
Г,,^,"!!1^ +0(Ю, п = п1+п2. (1.14)
Главный член этих решений имеет вид
"--с-*ехрН1^—+77ТДГ
:{1+А
, ц»,/' , ФС-D2
Н ф
А \ 2
-П^+Т))(Я*(^^-))} , (1.15)

ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ С КУБИЧНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ 273
где Нк—полиномы Эрмита, т, cnik—вещественные
параметры, причем *)
\cn,k\<2(supHk(y)e-y2/°y\
Замечание. Из разложения по формуле Тейлора нетрудно
получить, что функции ип> к (1.15), отвечающие различным числам
nlt n2 и «i, /i2, совпадают с точностью до 0(h}l2)y если ni-\-n2 =
Проведем исследование функции ип> к в случае, когда
&=иа=т = 0. В результате несложных вычислений
получим, что (ср. стр. 271)
а) вне окрестности радиуса Л1/2"6, б—* + 0,
окружности г — 1 ип% 0 = О (ft00), т. е. функция ип% 0 сосредоточен
на в окрестности окружности г = 1,
б) при фиксированных t и ф функция |иЛ|0| имеет
максимумы при г = 1, если только Л достаточно мало;
в) функция М (ф, /) = тах |мЛ$0(1, ф, t)\ имеет ряд
чередующихся максимумов и минимумов, расположенных
nmh—yi+y&J
в точках фЛ ^ (четным т отвечают мак-
симумы, нечетным—минимумы);
г) эти максимумы и минимумы передвигаются по
окружности СО СКОРОСТЬЮ Кф^—Kl+^Mw»» и пРи £/i,o ~*
->2 максимумы превращаются в особенности.
Проведем сравнение асимптотического решения
уравнения (2), полученного по формуле (1.45), с решением
этого уравнения, полученным на ЭВМ. При численном
расчете были построены решения уравнения (0.2),
удовлетворяющие при * = 0 условиям
и(г, ф, 0) = иЛ,0|/в0, u't(r, Ф. 0)===(5"и».о) [<s0; (1Л6)
здесь ип,0 имеет вид (1.15). Параметрам А, р, fxw>0, cWf0> т
были присвоены значения: А = 0,1; Р = 1» ^«.o—l (т- е-
в (1.14) л = 10); ся>в = 0,б; т = 0.
*) Функции ип% к, вообще говоря, разрывны при г = 0, поэтому
точнее вместо ип к следует рассматривать функции ип, k =
= ип,к 0 (г), ВДб в (r)'£C*f в (г) = 1 при г > 2/3 и 0 (г) =0при г < 1/3.
В силу оценки ип k=^0(hco) в окрестности точки г = 0,и'п, k — un к =
= 0(/г°°).

274 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
На рис. 4, 6, 8, 10 изображены графики вещественных,
а на рис. 5, 7, 9, 11 — мнимых частей функции иПу0 —
асимптотического решения задачи (2), (1.16) в точках
* = 0; 0,1/г, 0,5/r, h в секторе 0<ср<2я/10. На рис. 12,
14, 16 изображены графики вещественных, а на рис. 13,
15, 17—мнимых частей решения задачи (2), (1.16) в точках
0,1/г, 0,5/г, Л, полученного на ЭВМ. При / = 0 численное
и асимптотическое решения совпадают.
§ 4. Построение формального асимптотического ряда
и вывод канонической системы уравнений. В предыдущих
параграфах приведены явные формулы для некоторых
асимптотических решений уравнений (0.1) и (0.2). В этом
и последующих параграфах приводится их
конструктивное доказательство.
Так же как и в линейном случае, построение
асимптотических решений нелинейных уравнений сводится
к решению некоторой канонической системы. Здесь мы
выведем [эту систему, исходя из теории представлений
некоторого класса упорядоченных операторов (см.
Введение, [34, 68]).
def
Пусть хг\ ..., хп\ т; t =xQ—независимые переменные,
/*€(0, 1) — параметр и S(x, t) — некоторая гладкая
функция. Введем операторы Bj = Xj, / = 0, ...,/г (умножения
на Xj), С;= — ihd/dxjy / = 0, ..., пу и оператор Л =
= S(Bl9 ..., Вп, В0)/й + т; через В и С обозначим
соответственно вектор-операторы (В0> ..., Вп) и (С0, ..., Сп).
Операторы Л, By, Cj удовлетворяют следующим
коммутационным соотношениям:
[А, В,] = 0,
[A, Cj] = i§j(Bit ...,ВЯ,В0),
[Bf, Ct] = ih8fl,
j, 1 = 0,
/=о,
/=0,
/, /=о,
..., п;
..., П',
Ьп—символ Кронекера.
3 2 1
Рассмотрим оператор К = К(Л, В, С, К) с символом
К(т, х, £, /i), где х = (х1У ..., хп, t), и вычислим^упо-
3 2 1
рядоченное представление операторов Л, В, С, т. е. такие

t*0
Re г/
Рис. 4.
Рис. 6.

t=0,1h
Рис, 7.
t=QM
Рис. 9.

t=h
Reu
Рис. 10.
v=h Im и
:f
-*—*-
X * * X К * )( ^ЧМ1
Рис. П.

f t=tl7/i Re и
Рис. 12
t=0,lh
imu
Рис. 13.
t-USh
Рис. 14.
,.л

tsQ5fi Imu
Рис. 15,
*-—к * к x >^«^к£*
Рис* 16.
Рис. 17.

280 Ч. П. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
операторы Lu L2J, L8/, / = 0, ..., п, что символы
операторов'^?, BjY, CjY равны соответственно (LxK)(t, х,
?Л[А), (L2JY)(T9 xf g, A), (L^K);(t, Я g, Л). Очевидно,
L!=t, L2/ = Xj. Найдем L3y. В силу формул коммутации
(1.17) и операции раздвигания индексов (см. [34]), имеем
следующую цепочку равенств:
5 2 1 3 2 1
ClK = CzK(i, В, С) + Ct (A —A)Y {А> В> С]~\(А' В' С) =
А —А
5 2 1 5 4 1
^CtY{A, В, С) + С<А-Дг)К(Л'Б'?~^(Л"В'С) +
Bi-Bt
ЛО 2 2 2 лу 3 2 1
+ i§:(Bl,...,BH,B.)%.(A,B,C) =
1 321 лу321
= CtY(A, В, C)-ih^(A, В, С)-
ЛС 2 2 2 лу- 3 2 1
-/^(^,...,^,50)^^,5,0. (1.17)
Отсюда: L8Z = (g,—/ -gp(*, Ogj — *Л ajr) • Заметим,
что*) Kl = K(S/A + r, #, О, А), и для любого оператора
Fft = /^ (А, 5, С) с символом Fk (т, #, g): FkY\ = £ftK (S/Л +
+ т, х, О, А), & = 1, 2, ..., г. Поэтому решение уравнения
[Ф(М1!. ^ ^з)7(т, *, 6, Л), ...
...F,(Llf Z,2, L$)Y(%, i, g, А), *, Л)] = 0, (1.18)
где Ф(^1» • ••» Яп х> А)—целая .функция аргументов
q19 ..., qr и гладкая функция аргументов (х, А),
совпадает с решением уравнения
Ф(/^К1, ..., FrY\, *, А) = 0. (1.19)
Легко видеть, что уравнение (0.1) может быть представ-
п
лено в виде (1.18), где г -2, Fx(t, х, g) = g20— 2 6J,
F2(T» *> S) = U Ф = — <7i + ^2 — 2v(*> 0?1- Таким обра-
*) Здесь ?\ = Кф, где ф = 1.

ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ С КУБИЧНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ 281
зом, функция u = y(-£ + t9 x9 t9 О, К) будет решением
def
уравнения (0.1), если функция у(т, х, t, h)=Y(x, x, t,
О, h)> удовлетворяет уравнению (см. (1.18))*)
Fffl"^) y+(w<»-lhTx) у+
+у-2у(х, t)y* = 0, (1.20)
где (о = —id/dx. К этому же уравнению можно прийти
в результате подстановки в (0.1) функции
и=у{т+т* х* '• л) О-21)
и последующего применения оператора сдвига e*£s<*. О/а.
Функции вида (1.21) в предположении, что 5~ве-
щественнозначна, а #—2я-периодическая функция
аргумента т, были предложены в качестве решений, обобщаю-
_L5
щих ВКБ-решения eh у на нелинейные уравнения в [5,
23, 31, 65, 71, 72]. Там же приводится способ
построения таких решений.
В наших построениях мы рассматриваем случай, когда
S(x, t)—комплекснозначная функция с неотрицательной
мнимой частью. Заметим, что требование ограниченности
функции и(х, t, h) приводит к следующему
дополнительному условию на функцию у(х, х9 t; h): равенству нулю
предела y(xt х) и всех ее производных при т —Woo.
Определение 1.1. Класс функций у (г, t, x), т£ С1,
*€R, x£Rn мероморфных и 2я-периодичных по т,
гладких по л: в области регулярности по т и таких, что
дт*д*Уд** ~*° ПРИ Т-^°°' lVl; '• * = 0' !» "•' бУДеМ
обозначать Т0 и называть классом положительно
частотных функций.
Примером функции из Т0 является функция у (г, t,x) =
*) При другом выборе операторов А, В, С выполнение
равенства РкуЛ—РьУ (S/Л+т, х, 0) требуется лишь для локальных
нелинейных операторов; для нелокальных операторов типа Хартри [38]
его выполнение не обязательно.

282 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
Замечание. Пусть у (т, t, x)£T0. Очевидно, существует такое
число с, что е/(т, /, л:) ограничена при Imx^c. Следовательно, в
силу 2я-периодичности по т в области Inrr^c у (т, /, *) можно раз-
ложить в ряд Фурье у= 2 ck (*> x)eikx- Поскольку lim t/ = 0,
то все коэффициенты равны нулю при &<;0. Последним
обстоятельством обусловлено название класса Т0.
Решение уравнения (1.20) будем искать в виде:
00
у(х, t, х, h) = 5jh%{T, t, x), (1.2Г)
k = Q
где yk(r9 t, x)£T0t xgC1. Сбозначим m(x, /) = SJ—S£;
точкой и всюду в дальнейшем в этой части будем
обозначать дифференцирование по т, например y0 = dy0/dx.
Подставляя у в (1.20) и приравнивая выражения при
различных степенях h к нулю, получаем рекуррентную
систему обыкновенных (по т) уравнений с
коэффициентами, зависящими от х и t как от параметров:
ту0 + Уо-2у1у = 0> (1-22)
myj + (l-6yly)yj^F/t (1.22')
где Fj—функции от у0, ..., Уу.1э m, S и их
производных, в частности,
F,—2(S,4-<S». ^)y.-(S«-AS)y.. (1-23)
Система (1.22)—(1.22') служит для определения
функций yk. Отметим, что уравнения (1.22') — линейные (с
правой частью). Рассмотрим уравнение (1.22). Это
уравнение содержит две неизвестные функции 5 (х, t) и
j/0(t, x, t)9 и без дополнительных требований, вообще
говоря, S и у0 не могут быть одновременно определены.
Покажем, что требование у0£Т0 является, в частности,
достаточным условием для возможности одновременного
определения из (1.21) функций*) у0 и 5. В самом деле,
*) Отметим, что предложенный в [23, 65, 71] метод нахождения
решения вида (1.21) (с вещественнозначной функцией S) приводит
к системе интегро-дифференциальных уравнений, тогда как для
построения решения вида (1.21) — (1.21') (с комплексной функцией S)
достаточно найти решения расщепляющейся системы уравнений
первого порядка — уравнений Гамильтона — Якоби и переноса.

ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ С КУБИЧНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ 283
умножая (1.21) на у0 и интегрируя по т, получим
myl + yl-yyi~E(x,t), (1.24)
где Е(х, t) — константа интегрирования (зависящая от х
и t как от параметров). Переходя к пределу при т—* /оо,
в левой части (1.24) из условия yQ g Т0 получим: Е (х, t) = 0.
Учитывая это равенство и проинтегрировав уравнение
(1.24), найдем
*-=b(^«-(W))"1-
где С = С(х, t) — постоянная интегрирования.
Требование 2я = периодичности у0 эквивалентно в
данном случае выполнению равенства пг = 1, или
S?—SJ=1. (1.25)
Последнее, как легко видеть, является уравнением
Гамильтона—Якоби для S (я, t), отвечающим функции
Гамильтона # = у(Ро—Р2—!)• Таким образом, мы
доказали следующее утверждение.
Предложение 1.1. Для существования у
уравнения (1.21) решений у0£Т0 необходимо и достаточно,
чтобы функция S(x, t) удовлетворяла уравнению (1.25). Если
последнее выполнено, то у0 имеет вид
Уо = (УуУХсоз-*(т + С), (1.26)
где С~С{х> t)—некоторая функция.
Обратимся к уравнению (1.22) для случая /= 1. Обо-
значим через L линейный оператор L — -^ + 1 —
— 6vf/o(T, xf t). В этом обозначении уравнение (1.22')
имеет вид Lyj = Fj. Заметим, что периодическим
решением однородного уравнения
Ь = 0 (1.27)
является функция
^ = i/o = V-v'sin(T + C)(cos(T + C))-2. (1.27')
Для отыскания функции уг воспользуемся
следующими известными формулами. Пусть г2—второе линейно
независимое решение уравнения (1.27), a zz — решение

284 Ч. И. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
уравнения
Lz9 = Fx(%).
Тогда г^ и z3 имеют вид (т^ — т+С):
*з =* Ч \ (*i (Тх))~2 ( $/ч(т2) zx (т2) dr2) Лх.
С помощью этих формул, учитывая равенство (1.27'),
получим
yi=[-(SA-<s„c,» ^J-+
+ (sn-AS + 2K?St-|-yrI)-^]^+ClZa + С*„
где Сх(д:, 0 и Са (х, f)—постоянные интегрирования.
Условие уг £ Г0, эквивалентное в данном случае
обращению в нуль коэффициентов при Tl sl"Tl и e~ix* в
выражении для ylt влечет уравнения для определения
функций С(х, t) и Ct(x, t):
sfif-<sX9cx>=Ca9
ZVySt^r yr± + Stt-bS=-2iC1y.
Исключая из этой системы уравнений функцию Сх,
получим уравнение для определения функции С(х, t):
stct-<sx, cx>-±(stt-bs+2syy-§r ]/у)=о.
(1.28)
Заменой С =—Пп(ф1/у) это уравнение приводится к
уравнению переноса, отвечающему Н^-^(р\—р2—1) и
S{x9t):
St<Pt-<S*> <P*> + Y(Stt-AS)<p = 0. (1.29)
Итак, нами доказано следующее утверждение.
Предложение 1.2. Для того чтобы у уравнения
(1.22) при /=1 существовало решение yt из класса Гв,

ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ С КУБИЧНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ 285
необходимо и достаточно, чтобы функция С (#, t)
удовлетворяла уравнению (1.28). Если последнее выполнено, то
решение yt^T0 уравнения (1.22) имеет вид:
(StCt-<SXt Сх» г 1 1 , Л г ( ,ч sin тх
(1.30)
где С2(х, t)—некоторая гладкая функция.
Функция С2 (л:, t) осталась неопределенной в этом
приближении.
Аналогично строятся функции #у (т, х)\ при этом
уравнение для остающейся неопределенной в /-м
приближении константы интегрирования вытекает из условия:
Уу+1£Т0. Нетрудно убедиться, что эти уравнения
сводятся к уравнениям переноса, отвечающим функциям
Н и S.
С помощью указанной процедуры в результате полу-
N I 5 \
чаем ряд и= ^ук ( * + ~ц* *> /) Л, формально удовлет-
воряющий уравнению
hHUti-~uxx) + u-2yu* = h"+*F (4 + ^*. '. л). С1-31)
где F(t, л:, £, Л) — полином по h степени N с
коэффициентами из класса Т0, N—любое целое число.
Таким образом, задача построения решения вида
(1.21)—(1.21 ) сводится к построению решений системы
канонической системы уравнений (уравнений
Гамильтона— Якоби и переноса) и системы обыкновенных
дифференциальных уравнений (1.22), (1.22').
§ 5. Формальные асимптотические решения по
modO(A3/2). Следующий шаг в построении
асимптотических решений уравнения (0.1) заключается в замене
точных решений уравнений Гамильтона—Якоби и переноса
на приближенные решения этих уравнений, т. е. на
функции S и ф, удовлетворяющие соответственно
соотношениям:
S}_S«-1=0* (*•'■)• (1.32)
S&t-<S„ <px>+±(Sn-bS)<p = 0Si{h^). (1.33)

286 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
Производя такую замену, мы исходим из следующего
соображения. Предположим, что функции S и ср таковы,
что при всех /i<E (0, 1]
£&1)_Ип(ф1/"т)^|-+яЛ (1.34)
для любых х, £gR"+1. Прямым дифференцированием
нетрудно проверить, что в результате подстановки
функции (см. (1.26) и (1.30)):
(1.35)
в левую часть уравнения (0.1) мы получим в правой
части этого уравнения выражение
(2w8-0.)(Sj-SS-n +
+ h{(2yyl-y0 + w) (StCt~<SxCx»x
X{Sj-Sl-l) + y9 [(St<ft-<SX, Ф*»|- +
+ Stt-£iS]} + 0{h*),
/С
где w — (3]/ry)~1exp {i (-^—iln(q>l/"v)+T)} и аргумент
функций t/0 и */0 есть f-^—Пп(ф1^Т+т))« Отсюда
получаем следующее утверждение.
Лемма 1.1. Пусть функции S(x, t) и <p(#, t)
являются приближенными решениями уравнений
Гамильтона—Якоби (1.25) и переноса (1.29) соответственно.
И пусть выполнено условие (1.34), тогда функция и вида
(1.35) является формальным асимптотическим решением
уравнения (0.1) по modO(A3/2), при этом справедлива
оценка
где С=—ilniyVy). Иначе говоря, функция
1
Уусов^ + С + х^

ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ С КУБИЧНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ 287
является главным членом формального асиптотического
решения у удовлетворяющего уравнению (0.1) с точностью
0(й8'").
Из леммы 1.1 вытекает доказательство теоремы 1.1.
В самом деле, в силу леммы 1.1, а также формулы
Эйлера, для доказательства этой теоремы достаточно
показать, что функции 5 (х, /) = —V 1 + аЧ + ах +
+У('|+Г(',УД-«) - т-4»«+и(1+*-")-■»-
ляются приближенными решениями уравнений
Гамильтона— Якоби (1.25) и переноса (1.29) соответственно.
Последнее следует из примеров гл. II и III ч. I.
Замечание. С помощью развитой в предыдущей главе
теории можно построить формальные асимптотические решения
уравнения (0.1) по modO(/ia), где a > 0 —произвольное вещественное
число. Это утверждение будет доказано в гл. III. Там же мы
покажем, что даже в случае, когда условие (1.34) не имеет места,
построенная функция и в некотором смысле является решением
исходного уравнения. Такие асимптотические решения (с особенностями)
мы будем называть сингулярными.
§ 6. Операторы рождения — уничтожения в
нелинейных уравнениях. Будем считать теперь, что функция С
в (1.26) имеет вид
С=—Пп(ф(*, М)УУ), где ф(х, t, h) = 6S2{l).
Предполагая, что выполнено условие (1.34), получим,
что в силу определения оценки 6Si{ha) и формулы
Эйлера выражение h2(y0tt—Ау0) имеет порядок 6S2(h).
Поэтому для того, чтобы функция u = etS(*/h (Уо + hy^ в
(1.35) удовлетворяла уравнению (0.1) с точностью до
0(/i3/2), требуется, чтобы функция уг удовлетворяла
уравнению (1.22) с правой частью:
F1^F1 + h{yott—Ay0)9
где рг имеет вид (1.23). Такое изменение правой части
уравнения (1.22) в случае /=1 приводит к тому, что*/г
заменяется на функцию
7м -и h Г tr% ^24(T + C)sin(T + Q 1 sin»(T + C)1
У1-У1 2у- [lW Ч) CoS2(T + C) 3 cos2(t + C) J '

288 Ч. И. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
Условие положительной частотности функций ~ух примет
теперь вид
St<Pt-<Sx. Ф,> + 4(5«-А«)Ф=т^«-АФ)" (L36)
Лемма 1.2. Пусть функция S(x, t) есть
приближенное (по mod Ost (/i3/2)) решение уравнения Гамильтона —
Якоби (1.25), а функция q> (x,t,h) — приближенное (по
mod 6st (/i1/2)) решение обобщенного уравнения переноса
(1.36). И пусть выполнено условие
sup |^/Аф|< 1. (1.37)
Тогда функция
u = y0(S/h + C + T) + hy1(S/h + C + T) +
+ ~(Q~<CxiCx»y0(S/h + C + x)-(3Vy)^x
xexp(S/h + C + T)-h*(Ctt-AC)y0/b,
где С = —Пп(ф1/"у), t€R» является формальным
асимптотическим решением уравнения (0.1), причем
Доказательство леммы 1.2 проводится аналогично
доказательству леммы 1.1 прямым дифференцированием
и последующим приведением подобных членов.
Таким образом, задача построения главного члена
формальных асимптотических решений вида (1.21), (1.2Г)
уравнения (0.1) сведена к задаче отыскания
приближенных решений уравнения Гамильтона—Якоби и
обобщенного уравнения переноса. Как было показано в гл. III
и V предыдущей части, решения последнего могут быть
получены последовательным применением операторов
рождения из приближенного решения уравнения
переноса (1.29). Докажем теперь теорему 1.1 при начальных
условиях (1-6) и теорему 1.2.
Доказательство теоремы 1.1. Неравенство
(1.37) выполнено в силу условия теоремы.
Соответствующие функции S(x, t) и ф(л:, t) в (1.7) являются
приближенными решениями уравнений (1.25) и (1.36) в силу
примеров гл. II и III ч. I.

ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ С КУБИЧНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ 289
Доказательство теоремы 1.2. Условие (1.37)
содержится в формулировке теоремы. Функции S (я, t)
(1.9) и <р(х, /, К) (1.10) приближенно*) удовлетворяют
уравнениям (1.25) и (1.36), если учесть равенства
6S лг-л—;—- дер , ш
§ 7. Доказательство теоремы 1.3. Обратимся к
уравнению (0.2). Это уравнение будем рассматривать как
уравнение в полуплоскости <pg(—оо, оо), rg(0, оо),
дополненное условиями периодичности: и (rf t, q> + 2nk) =
= ti{r> t, ф), & = 0, ±1, ... Аналогично предыдущим
параграфам ищем решение уравнения (0.2) в виде (1.21),
(1.2Г). Перенося все рассуждения предыдущих
параграфов на уравнение (0.2), получим следующее утверждение.
Лемма 1.3. Пусть функции 5 (г, ф, t) и я|)(г, Ф, t, h)
приближенно удовлетворяют уравнению Гамильтона —
Якоби и уравнению переноса:
S*t—(l+p(r—l)*)S%—S*=l modOSt(h3/2)> (1.38)
Stqt-{l+p(r~lY)S(p%-Srtr +
+j(stt-(i+p(r-msw-srr)^~
= %(♦«-(! + В2 (г-I)2)%<р-Цгг) mod6St(h1/2)> (1.39)
и пусть выполнено условие
8ир|**/*ф|<1. (1.39')
Тогда функция
« = (cos(4 + C + T))"4/t[StCt-0+P4(r-l)a)S<pCq)-
-SrCr-± (CJ-(1 +p(r-l)*)C%-C*)]x
X ((cos (| + C+r))"1-ye'(s/ft+c+T,j_
-?(^-(1+Ра(г-1)2)Сфф-Сгг)х
Х81п(-£ + С + т)о»-«(-£ + С+т), (1.40)
*) T. e. no modOs (ft8/2) и 0S (ft1/2) соответственно.
10 В. П. Маслов

290 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
где С = —Пп'ф, xgR, является формальным
асимптотическим решением уравнения (0.2) по modO(/i3/2) в полу-
плоскости ф€(—°°» °°)> г€(0, сю), причем
и— 1/cos (S/A + С + т) = О (W*).
Из формулы (1.40) в результате несложных
вычислений получим следующую лемму.
Лемма 1.4. Пусть выполнены условия леммы 1.3
и пусть для любых rg(0, сю), ф, t£(—сю,сю) выполнены
равенства
5(г,ф + 2я,£)—S(r, ф, t) = Omod2nh,
$(rf<p + 2ntt)=y(rt<p9t). (1.41)
Гог5а функция и0 = (cos (5//i— Пп г|э + т))"1 является
главным членом формального асимптотического решения по
modO(/i3/2) уравнения (0.2).
Из леммы 1.4 вытекает доказательство теоремы 1.3.
В самом деле, из примеров гл. IV и V ч. I следует,
что функции
где Hk{z)—полиномы Эрмита, являются приближенными
решениями уравнений (1.38), (1.39) и удовлетворяют
условиям (1.41). Выполнение условия (1.39') очевидно.
Теорема 1.3 доказана.
Замечание. В заключение отметим, что если в случае
линейного уравнения формальное асимптотическое решение по mod О (h3t2)
и его главный член совпадали, то в случае нелинейных уравнений
это не так (см. §§ 5, 6).
Задача. Построить способом, предложенным выше, некоторые
формальные асимптотические решения уравнений
h* (utt-uxx) + u-2y (t) u*+6 (t) «5 = 0,
h2(un~(\ + $*(r-l)2)uw — urr) + u--2u*+6u* = 0.
Здесь y(t) и 6(0 —гладкие функции.

Глава II
СИНГУЛЯРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
В предыдущей главе построены некоторые
(формальные) асимптотические решения нелинейных уравнений
(0.1) и (0.2) с параметром. Эти решения представимы
асимптотическим рядом
fc=o
причем функция и0—главный член решения—имеет вид
cos ( у '—i\ny(xytth) + T\
Здесь S(x, t) и ф(х, t, К)—приближенные решения
соответствующей канонической системы уравнений, TgR1.
В простейшем случае S = t + ix2/2 (1 — it), ф =
= c/2V 1 — it, cgR + , и функция w0, отвечающая этому
случаю, следующая:
и еа91(т{ш=Щ^')+%) (2 у)
^-«(l(i3io«P.*(i W^+'H + O
Параметр с (в случае и0 вида (2. Г)) не превосходит
числа 2. Это число, зависящее в общем случае от ы0,
мы будем называть критической константой для
функции и0 и обозначать в дальнейшем скр. В том случае,
когда с > скр, у функции и0 появляются особенности.
ю*

292 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
Можно показать, что у функций^—членов ряда (2.1)—
при с > скр также появляются особенности, которые
расположены в тех же точках, что и особенности функций
и0, причем с увеличением числа k порядок особенностей
неограниченно возрастает. Аналогичный факт имеет место
и для невязки, полученной в результате подстановки в
уравнение (0.1) ряда uN. Таким образом, в случае,
когда с >скр, нельзя говорить о том, что ряд (2.1) есть
формальное асимптотическое решение уравнения (0.1).
Тем не менее, функция uN в некотором смысле все же
является асимптотическим решением уравнения (0.1).
Именно, поскольку множество особенностей для всех
функций ukt & = 0, ..., N,— одно и то же, то вне
некоторой окрестности этих точек сумма ~uN удовлетворяет
уравнению (0.1) с точностью до 0(№№))9 где р(Л/г)->оо
при N-+oo, и следовательно, сумма uN дает нам
возможность определить: во-первых, области «хорошего»
поведения асимптотического решения и само решение в
этих областях, и во-вторых, области, в которых
асимптотическое решение имеет особенности.
Оказывается, что для любых чисел аир можно
указать такое число N (a, Р) и такую область в Rw+1
(содержащую точки особенностей и0), что мера Лебега этой
области не превосходит Др, и вне этой области функция
FN—правая часть соотношения, полученного в
результате подстановки в уравнение (0.1) ряда ~uN,—
удовлетворяет оценке
FN=0{h«).
Таким образом, можно считать, что ряд uN является
«асимптотическим решением по мере».
Наконец, мы можем рассматривать функции uN как
обобщенные функции над некоторым пространством
функций. Тогда, как будет показано ниже, правая часть FN
является малой в «обобщенном смысле»—в этом случае
. сумму uN будем называть сингулярным асимптотическим
решением уравнения (0.1). При этом сингулярное
асимптотическое решение превращается в «обычное»
асимптотическое решение в случае, когда с<скр. Аналогичные
факты имеют место и для других нелинейных уравнений.

ГЛ. II. СИНГУЛЯРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 293
Прежде чем дать определения сингулярного
асимптотического решения и асимптотического решения по мере,
введем специальный класс обобщенных функций *) и
опишем его свойства.
§ 1. Положительно-частотные обобщенные функции.
Обозначим через Dx линейное подмножество бесконечно
дифференцируемых 2я-периодических функций, предста-
вимых в виде ряда
фМ-ЗЙЗге-'*.
Ыо
где коэффициенты фш удовлетворяют условию |фш|^
<(с(ф))*, с ((f) > 0—константа (зависящая от функции ф).
Таким образом, ф(т)—целая функция не более чем 1-го
порядка роста, убывающая в нижней полуплоскости.
Последовательность {фи (т)}
Ф-Ю-ЕтК'*.
Фй (т) € DX9 п = 1, ..., называется сходящейся к функции
Ф € D%> если для любого е > 0 существует N > О, зивисящее
только от е, такое, что
|ф^)_фш|<8 при n>N, V& = 0, l, ...
Через Dx обозначим пространство линейных
непрерывных функционалов (обобщенных функций) над Dx.
Значение функционала F € D'x на функции ф £ Dx обозначим
(F. Ф).
Пусть F g D'x. Положим
(F, «-'**) = /<*>, • fc = 0, ... (2.2)
Тогда (F1?)=i:T
fe=0
Пусть М—множество комплексных, вообще говоря,
многозначных функций / (т) (каждая ветвь которых —
аналитическая функция во всей комплексной плоскости,
за исключением, быть может, счетного числа изолиро-
•) Ср. [41].

294 ч- п- КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
ванных точек), представимых в полуплоскости Imx^c
(с—константа, зависящая от /) в виде абсолютно
сходящегося ряда
/(т)=|[Р^. (2.3)
Отметим, что из абсолютной сходимости ряда (2.3) в
области Imx^cследует, что |/шгсА|<а, а—некоторая
константа. Отсюда \f{k)\^.<xeck. Пусть <p£Dx. Согласно
признаку Даламбера ряд
V /<*¥*> (2.4)
сходится абсолютно, и, следовательно, последовательность
{f{k)\ определяет обобщенную функцию F £ D'x. Таким
образом, каждому элементу f g M соответствует
некоторая обобщенная функция F g D'x. Обозначим через 5Х
подмножество элементов D'x, соответствующих в силу
(2.4) элементам множества М.
Определение 2.1. Элементы множества Dx
назовем положительно-частотными обобщенными функциями.
Обобщенную положительно-частотную функцию F (т)
назовем ортогональной e~ikx9 если f(k) = (F, e~ikx) = 0.
В дальнейшем элемент F из Dx мы будем обозначать
так же, как и соответствующую ему функцию /gAf, и
писать
F=/= 2pV4 (2.5)
Всюду ниже через gm будем обозначать коэффициенты
разложения функции g£M в ряд (2.5).
Замечание. Пусть элемент / £М представим в виде абсолютно
сходящегося ряда (2.3) в области Imr^O* Тогда для любой (p^Dx
/СА) ф<*>
£=0
Пусть /(/я), m > 0, — первый из коэффициентов ряда
(2.5), отличный от нуля. Обозначим через а нижнюю
грань чисел а таких, что ряд
yf—e^
jLd Hm) е

ГЛ. II. СИНГУЛЯРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 295
(а, следовательно, и ряд ^j f{k)elkx) в области 1тт^а
сходится абсолютно.
Определение 2.2. Число е~а будем называть
критической константой для обобщенной функции /gDTH
обозначать cKb(f) или, короче, скр. Функцию f£M (или
f£D%) назовем правильной, если /(1)=1.
Пример. Рассмотрим функцию g(т) = 1/cosх£М.
Очевидно, в области 1тт>0
00
g(т) = 2 2 (—l)*+i<>/<2*+i>*. (2.6)
ife=0
Следовательно, ряд (2.6) принадлежит DT. Критическая
константа в данном случае равна единице и отвечает
значению а~1тт = 0. Функция 1/cos т имеет на оси
Initio особенности (в точках т=== (у + А) я] и при
1тт<0 не представима в виде ряда (2.6).
Пусть / (т) из М соответствует обобщенная функция F
из DT.
Предложение 2.1. Для любой функции <р и& Dx
справедливо равенство:
ян
(f • «-и., „Й^ i°-'- Ь Ш * (т)] *• <2*>
где а> =— /d/dr, /i g (0, 1].
Доказательство. Имеем при 8 >— й1п(скр(/))
яА
1
-лА
1«-"'(т)»(т)А-
-Я
ek ke
Предложение доказано.

296 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
Таким образом, значение обобщенной функции F$DX
на функции ф€А; есть осреднение в смысле (2.6')
функции f$M на функции y£Dx.
§ 2. Операции над обобщенными функциями.
Определим на множестве Dx следующие операции:
1. Сдвиг. Пусть f£Dx, a—некоторое комплексное
число, тогда
00
tfSaf (т) = / (т+а) = 2 /<*>ег*<г+а>, / € Dx,
^«р(/(т + а)) = ^р(/(т))«+1пв.
2. Умножение. Пусть /, f£Dx. Тогда
&=0 \п=0 J
(Очевидно cKp(//)<min(cKp(/), скр (/)).)
Операция умножения позволяет определить любую
целую степень функции f£Dx
/-(*) = (/(т))»==/(т).../(т).
п раз
3. Композиция. Пусть <F (г) —целая функция, и
/£}—коэффициенты в разложении функции/" (т) в ряд (2.3):
со
/" СО =- S /»}^т. Тогда
4=0
(Г(/))(т)=1:(/|:/а^">4)^,
где <F{n)—коэффициенты разложения функции <F (г) в ряд
Г (г) = 2 Г(я>г». (Очевидно скр(Г (/))<скр(/).)
л=0
4. Дифференцирование -^ = / = ^ ikf{k)eikx,
f£Dx. (Очевидно скр(/)===скр(/).)

ГЛ. II. СИНГУЛЯРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 297
5. Интегрирование. Пусть f$Dx ортогональна
1, тогда
(k)gikxt
(Очевидно скр (J/dt) = скр(/).)
Замечание. Пусть f£M и соответствующая ей функция
/€^i ортогональна 1. Легко видеть, что операции
интегрирования \fdXBDx отвечает следующая операция интегрирования
т
t'oo
00
6. Деление, (т)(*)== 2 cme{kx, где коэффициенты
сш определяются из соотношений
ft = 0
k
Разрешимость приведенной системы для с{к) следует из
треугольного вида матрицы этой системы. Очевидно, из
условия f(0)=5^0 следует, что cKV(l/f(x))>0.
Доказательство корректности введенных операций (т. е.
принадлежность полученных функций пространству DT)
следует очевидным образом из известных теорем теории
рядов и теории аналитических функций [41].
Предложение 2.2. Пусть fjf^6Xi причем /==
со
^ S f{k)eikx, }ШФ0> т—некоторое целое число. Тогда
уравнение gf = f разрешимо в Dx тогда и только тогда,
когда функция f ортогональна e~ik%> k < m.
Доказательство. Предположим, что функция
со _
fif— 2 gmeikx — решение уравнения gf = /, т. е.
fe=0
2 ( S §{n) f{k-n)\ikx = S f{k)eik\ Отсюда /<« = 2 £<«>/<*-«>
fe=0\n=0 / fc=0 «=0
и, следовательно, /ш = 0 при k<m.

298 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
Докажем обратное утверждение. Введем функции
F(*).F(%)£DX:
00 00
F (*) = 2 f{k+m)eik\ F (т) = 2 }{k+m)eikx.
k=Q 6=0
(Очевидно f (т) = eimxF (т), f (т) = eimxF (т).)
Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться, что функция
g£Dx: g = F(x)~ удовлетворяет уравнению gf=f.
г (т)
§ 3. Пространство функций С°°(й, Dx). Пусть
Q—некоторое множество в R". Рассмотрим семейство функций
Ф(#. т), зависящих от параметра y$Q таких, что при
каждом фиксированном у £Q, ojigM, и в области
регулярности по т гладко зависящих от у. Множество этих
функций обозначим через Му.
Функцию я|з(у, т) будем называть функцией со
значениями в пространстве Dx, определенной на множестве
Qd R£ (или, короче, функцией со значениями в DXj ygQ),
если при каждом фиксированном у g Q она соответствует
функции ty£M.
Определение 23. Функция г|э((/, т).со значениями
в Dx, y£Q> называется бесконечно дифференцируемой или
гладкой в Qy если:
а) для любой функции <р £ Dx функция (я|), ф) (у)
принадлежит пространству C°°(Q);
б) для любого мультииндекса v = v1, ...,v„
существует функция i|>v(r/, т) со значениями в DT, у£&, такая,
что для всех ф^А;
(+v. <Р)(У) = д\*\/ду*№,<р){у).
Пространство бесконечно дифференцируемых функций
со значениями в DT, */€&> будем обозначать С°°(Й, Д).
Таким образом, каждой функции ty€My соответствует
функция o|)gC°°(Q, Dx).
Пусть /€С°°(Й, Dx). Обозначим через cKV(y, f)
функцию, при каждом фиксированном у равную cKV(f(y,%)).
Функцию скр (у, /) будем называть критической функцией
для f€C°°(Q, D%). Справедливо следующее утверждение-

ГЛ. И. СИНГУЛЯРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 299
Предложение 2.3. Функция
/&,т)«2р^ (2.7)
принадлежите00(й, Д), если
1) /<»(у)€С-(а);
2) Для любого компакта /С с й и мультииндекса v q/-
ществует константа cv(K) такая, что ряд
сходится абсолютно при у£К, lmr^cv(K)-
Доказательство этого предложения следует
непосредственно из определения пространства С°°(Й, Д).
Замечание 1. Условие 1) предложения 2.3 является также
необходимым. Это утверждение следует из равенства
(V-e-'kx)=wfik){y)' fe=0'-
Замечание 2. Очевидно, что
lim /(у, т)=/<°>(*/) и lim dnf/dxn = 0 при n^ 1.
Imt->oo Imx^-oo
В пространстве С°° (й, Z)T) определены те же операции
над элементами,-что и над элементами пространства DT,
при этом критические константы заменяются на
критические функции. Пусть / (у, т) g C°° (й, £)т).
Определение 2.4. Назовем критической
константой функции / (у, т)€С°° (й, бх) на компакте/Cd й число
CKP(/./C) = infcKP(y,/).
§ 4. Классы функций ОДА06) и 6J(Aa). В дальнейшем
в качестве Й будем рассматривать область *)
Q = {0 = (*f A): *€**> A€(0, 1]}.
Пространство С00 (й, Д) с определенной таким образом
областью й будем обозначать через 7\ Класс функций,
*) В некоторых случаях одну из переменных х мы будем
выделять и обозначать через t. При этом все определения, данные в этом
параграфе, остаются в силе с соответствующей заменой х на (х, t).

300 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
принадлежащих Г и не зависящих от А, обозначим
через Т0. Через 0х (ha) будем обозначать^функции nsMXth
такие, что соответствующие им функции f(x, /i, т) из Т
удовлетворяют на любом компакте /С с: R" оценке
fc=0
где л; 6/С, ^(/С, ф) — константа, зависящая от компакта К
и функции ф£От.
Предложение 2.4. Я#стб / = 0T(/ia), g = 0T(/iP).
Тогда /g = 0T(/ia+p).
Доказательство. По определению для любой
функции я|) g Д; и для любого компакта К € Rw
справедливы неравенства
2|РЧ^*1<М*.Н0Ав» (2.8)
CD
(2.9)
si*
/г=0
Рассмотрим сумму
fe=0 fc = 0
<яЧ|>(я)|//1!<<
A!
V f{k-n)g(n)
л = 0
CO CO
Ь0 /t=0
|ф(А)|
fe-»>l lgta>l |ф<*>
ф€А;.
По определению пространства DT, | фш | < (с (ф))л, где
с (ф) — некоторая константа.
Положим я|)ш = (с(ф))й. Очевидно, функция г|) =
^ W" «Рииадлежит D, и ^<{ ^Л)! - Сле"
со
AOBaT^bHO,El^?^<ELi^EiiTLI- 0т"
сюда и из (2.8) и (2.9) вытекает доказательство
предложения.
Введем важные для дальнейшего классы функций.
Пусть / (#) > 0, / (х) 6 С00. Через Oj(ha) будем обозначать

ГЛ. II. СИНГУЛЯРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 301
функции g(x, т) из MXfb такие, что для любого мульти-
индекса v, |v|^2a,
е (W*)e^<fca"|v|/8>-
Подчеркнем, что функции, обозначаемые через 0](/ia), не
зависят от h.
Пример. Пусть / = х2. Тогда —т-^—г= Ob (/i1/2)
r r J ' cos (т—i In х) х v '
и х2—— = Ox*(h). Последние равенства следуют из соот-
COST
ношений
1
cos (т—/ In х)
- 2 X (—1)*+1е'*Ъ*. Im т > In*,
CD
^ = 2 2 (-l)***'**1, Imx > 0.
Через 0f (А06) будем обозначать функции р (я, А, т) g Af*, h
to
вида р(я, /i, т)== 2 P*(*> A)*'*T» 1тт>с такие, что:
1. Коэффициенты pk(x, h) имеют-вид
мь
p* (*.*)* 2 p*M*)*v/8.
v=-^
где Af ftf Nft—некоторые натуральные числа, pki v (x) g C°°.
2. Для любого мультииндекса \i
Ы * 1/2 e-f*/h ^ p (x, h% t) = 0* (fta).
Пример. Пусть f~x2. Тогда
i. ' ж -fow-fea),
2. /'-5=. + Л,/.^—1—=.61.(Л'/.).
V >^ й у cos т * v '
Предложение 2.5. Пусть g1 = 6t(ha) ы g-2=67(/ip).
Доказательство следует из определения оценки 6} (fta)
и формулы Лейбница.

302 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
Замечание. Можно показать, что если f (x, h, т)=От (ha) и
скр (/» Q) > 1» то класс 0х(ha) переходит в обычный класс 0(ha).
Аналогичное утверждение имеет место и для классов 0х (ha) и 6/(/ia).
§ 5. Определение сингулярных асимптотических
решений. Уравнения, которые рассматриваются в этой части,
имеют вид
J?(A, *, и, аг(р)и, а2(р)и, ..., ат (р)и)=0. (2.10)
Здесь J?(A, х, и, у19 ..., у,я) — полином по А, #,-,
i= 1, ..., m, с коэффициентами, гладко зависящими от х
и аналитичными по и, а/(р)=а;(—ihd/dx) — некоторые
дифференциальные (или псевдодифференциальные)
операторы с постоянными коэффициентами.
Обозначим через Я? оператор, действующий по
формуле
Sv=-S^iy х, v, a1(p)v, ..., am(p)v).
В силу результатов предыдущих параграфов 3?
определен на функциях v из класса MXt h и на
соответствующих им обобщенных функциях а из С°° (R"X(0, 1], Д),
причем J?v£MXih (или ^^^(R^x^, 1], Д)), если
v€MXth (или y€C°°(R*x(0, 1], б%)).
Определение 2.5. Функцию и(ху х, A)gMXt h
назовем сингулярным асимптотическим решением
уравнения (2.10) по modOT(Aa), если J?u=Ox(Aa).
Итак, для того чтобы функция и £ MXt h была
сингулярным асимптотическим решением уравнения (2.10) по
mod 0х (Аа), достаточно, чтобы эта функция в
полуплоскости 1тт> — \пскр(и, Ху А), т. е. там, где и предста-
вима в виде абсолютно сходящегося ряда Фурье,
удовлетворяла уравнению (2.10) с точностью до О (Аа). В силу
известных теорем об аналитических продолжениях
функций, этот ряд определяет единственную (возможно, и
многозначную) функцию из MXt /j. Таким образом, один из
способов построения сингулярного асимптотического
решения заключается в следующем. Сначала строится
сходящийся ряд Фурье, определяющий и в некоторой
полуплоскости Imr^ const, а затем строится аналитическое
продолжение этой функции на всю комплексную плоскость.

ГЛ. II. СИНГУЛЯРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 303
Рассмотрим формальный ряд
и= 2^, (2Л1)
составленный из функций vk(x, х, h)^MXth таких, что
vk=0%(hg)9 ft=0, 1, ..., где 80<81</. .<гк< ...,
гк—►оо при k—^оо—вещественные числа.
во
Определение 2.6. Ряд и— 2^ будем называть
сингулярным асимптотическим решением уравнения (2.10),
если для любого вещественного числа а > 0 найдется
k (a)
такое целое число k(a), что функция uk{a)= 2 vn яв"
я = 0
ляется сингулярным асимптотическим решением этого
уравнения по modOT(/ia). Функцию v0 будем называть
главным членом сингулярного асимптотического решения
(2.11), если существуют функция ф(т) из Dx и точка
x{h)£Rn такие, что (о0, ф) \х=Гх {h) > Ch*> Vftg(0, 1], где
С не зависит от ft и и0—uk(a)~0T(h6), б > е0.
Пусть теперь сол—некоторое подмножество множества
Q=R*X(0, 1]. И пусть а„(л:, ft), n=0, 1, ..., —гладкие
функции аргументов х, ft при х, h£Q\toh.
Определение 2.7. Формальный ряд
со
^ = 2 *^
назовем асимптотическим решением по мере уравнения
(2.10), если для любых ft€(0» 1], любого вещественного
числа а и компакта /CcRrt найдутся такие
положительные числа р, N(a)9 cx(a), c2(a), с3 (а) и такие измеримые
множества сол(а)с/С, <ол(а)с/С, что:
а) функция и#= 2 0* удовлетворяет соотношению
fc=0
j?uN=0(ha) при *€/(\сол(а), причем |^|>с3(ос) при
*€%(а);
б) !*(©*(«))<*! (а) А*;
(x(<fl*(a))>c2(a)ft\
где р,—мера Лебега множеств сол(а) и сол(а).

304 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
В заключение отметим, что определения пространств
функций MXt ft, обобщенных функций 7\ классов От(Яа),
0](ha)9 6](ha)9 операций на этих функциях, а также
определение сингулярного асимптотического решения
уравнения (2.10) по modOT(/*a) без труда обобщаются на
случай функций, зависящих от нескольких переменных
х19 ..., хк. Например, соответствующее MXth
многофазовое пространство определяется как пространство
положительно частотных функций f(x19 ..., хк9 х, h)9
каждая ветвь которых—2я-периодическая по каждому
xl9 /=1, ..., k, аналитическая функция по т19 ..., хк
во всем С*, за исключением, быть может, счетного числа
изолированных точек, гладкая по х и Af х£ R", Л g (0,1 j,
в области регулярности по х19 ..., хк и представимая
в некоторой области lmxi^ci9 i= l, 2, ..., k9 в виде
абсолютно сходящегося (положительно-частотного) ряда
Фурье:
п
/(rlf ...,тА, *,*) = 2 /<"(*, *)* l = l • (2.12)
I v 1 = 0
Соответствующие классам MXih9 Т9 0(ha), Of(ha)9
6f(ha) классы функций, зависящих от многих
переменных х19 ..., хт9 в дальнейшем будем обозначать
через Af'V Ч ТХи - Ч От" - т* (/ia); ОТ1 !« (ha);
б!1 fm{ha)9 где /lf ..., fm—гладкие неотрицательные
функции.

Глава III
УРАВНЕНИЕ ТИПА УРАВНЕНИЯ
SINE —ГОРДОНА
В этой главе построены некоторые асимптотические
решения уравнения
h%(w- £ 4"fl/'(*f ^-щ)+п^ х>/)==0' (ЗЛ)
x€Rn, n>2, /€(— оо, оо).
Здесь at'j(x9 t) — гладкие вещественнозначные функции,
aij~aJh h > 0—малый параметр, комплексная функция
F(u, х9 t) удовлетворят условиям:
Ft. Существует гладкое решение V (х, t) уравнения
F'u(V(x, t), х, t)=0 такое, что ||£(У(*. t), х, t)\>
> const > 0, причем функция FuU{V{x, /), х, t) вещест-
веннозначна.
F2. Для любого мультииндекса v и индекса k^O
—7r—rF(u, х, г) —целая функция аргумента и, принад-
дхdt*z
лежащая С00 при каждом фиксированном м, причем ряд
сходится абсолютно и равномерно по л;, t € RJJ+J.
Частным случаем уравнения (3.1) являются уравнение
Sine—Гордона (F = cosa, fl//=6fy) и уравнения (0.1)
и (0.2), рассмотренные в гл. I.
В §§ 1, 2 мы сформулируем основные теоремы,
полученные в этой главе для уравнения (3.1), а затем,
начиная с § 3, перейдем к их доказательству.

306 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
§ 1. Семейства комплексных решений,
сосредоточенных в окрестности незамкнутых кривых.
Пусть функции azy и F в (3.1) удовлетворяют
условиям ?! и F2 и условиям § 5 гл. V ч. I:
1) функции F(u, х9 t) и аи(х9 t) не зависят от t9
2) система Гамильтона
p=-Hq, q=Hp, (3.2)
отвечающая функции
Я (р, 0=2 аи (?) piPj + R(q), (3.3)
i/ = i
где R (q) = Flu {У {q), q), допускает незамкнутую
бихарактеристику A1={pJ q:p=P(t), q = Q(t)}, t£(—oo, oo),
такую, что кривая {x:x=Q{t)}, t£{—oo, oo), не имеет
точек самопересечения в /?",причем |Q|=#=0, t£(—оо,оо),
и что Я|л» = И<а, где |х > 0—некоторое фиксированное
число. (Условие 2) выполнено, например, когда ||а/у||—
единичная матрица и R(q)= const.)
При условиях 1), 2) у линеаризованного уравнения
>^-;£Дм*)^)"+я(*)"=о (з-4)
были построены асимптотические семейства решений вида
N
« ±* = 2 \cv И exp (t (\i/h + со) t) vph ± dco,
lv |=0 J
где с* (со)—обобщенные функции из пространства SL (R©),
преобразование Фурье которых есть гладкие функции,
{о^' ±} образуют асимптотически полные системы
функций в пространствах Зк± в пределе при /i—*0,
отвечающие классическим движениям по траекториям *)
8i={*€RS:*=Q(0b
Оказывается, что в этих же предположениях у
нелинейного уравнения (3.1) также существуют семейства
асимптотических решений, соответствующие (см. Введение)
семействам асимптотических решений линеаризованного
*) Т. е. сосредоточены в окрестности траектории 6^:^
= О (h°°) вне некоторой малой окрестности этой траектории.

ГЛ. III. УРАВНЕНИЕ ТИПА SINE - ГОРДОНА 307
уравнения (см. также теорему (З.Г). Приведем явные
формулы для главных членов этих семейств решений.
Теорема 3.1. Функции
uf^yi—ilnu^+x, x), r€R, (3.5)
где у(%, х)—решение неявного уравнения*)
Т^г'^гт''-1)^-^
(3.6)
являются главными членами сингулярных
асимптотических решений уравнения (3.1). Существует константа
ckv(u) такая, что функции и{±] (3.3) являются главными
членами гладких по х и t формальных асимптотических
решений, если функции с$ (со, К), входящие в и(±\ та-
ковы, что
Замечание 1. В лемме 3.2 ч. II будет доказано, что
функция у (т, л:) —решение уравнения (3.4) в полуплоскости 1тт>
>-— In (скр (у)) — представима в виде абсолютно сходящегося ряда
y = V(x) + eix+ f] *<*>(*, t)eikx.
k =2
Поэтому вне некоторой окрестности траектории {х: x = Q(\i, t)}
радиуса ~ h1/2~6, 6—>+0, имеем а£> — V(x) = 0 (/г00), т. е.
функция wj£) — V (х) сосредоточена в окрестности этой траектории.
Замечание 2. В случае, когда (х£ Rj) atj = dij, t, /— 1, 2, 3
(6/у—символ Кронекера), R (x) = Fuu (V (*)» я) = и = const 5* 0,
соответствующие семейства асимптотических решений и^ имеют вид
(5.51) ч. I, и главный член сингулярного асимптотического решения
уравнения (3.1) выражается через элементарные функции.
Замечание 3. Развитая в предыдущей части теория
позволяет построить семейства сингулярных асимптотических решений и
более общего вида —решений, осциллирующая часть которых со-
*) Здесь и всюду в дальнейшем в этой главе в уравнениях,
iK/2(Fls + V>x) — F(V>x)) *
аналогичных (3.6), через I/ —^—^—!—Т,— обозначена
r s2Fuu (V, x)
непрерывная ветвь корня, такая, что подынтегральное выражение
в (3.6) при s—»-0 ограничено.

308 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
средоточена в окрестности некоторых поверхностей, причем радиус
этих окрестностей может иметь порядок Olha), где а ^1/2—-6,
Рассмотрим теперь эволюцию семейств и^ решений
линейного уравнения, сосредоточенных в окрестности
незамкнутых траекторий, при переходе линейных
уравнений в нелинейные. Предположим, что коэффициенты atj
и функция F в (3.1) удовлетворяют (дополнительно к Fl9
F2) условиям 1), 2) на стр. 306, за исключением условия
о независимости F(u9 x, t) от времени.
Это условие заменим на следующее: функции V(x9 t)
(корень уравнения F'u(u9 х9 t)=0) и R (х9 t)= F"uu (V, x, t)
не зависят от t, причем при t <t1F'u (u, х9 t) = (u—V)R(x)
и при / > t2 > tt F(u9 x, t) не зависит от /. Поставим
для уравнения (3.1) задачу о «распространении пучка
волн»:
и\ыи = У+№[х9 *>, htfx + Q(M*)9
ihu't\t-t. = y ЛМ-А«2 ST*'^"^*' **> h) +
+ О (**/•), t0<t19 (3.7)
где и±* (х, t9 h) введены выше.
Теорема З.Г. Существует сингулярное,
асимптотическое по modOT(ft°°) решение задачи "(3.1), (3.7).
Главный член этого решения имеет вид
а==у(—Ппи^+т, х9 t)9 (3.8)
где у(х9 х9 t)—есть решение неявного уравнения
+ ln(y—V) = iT. (3.8')
При t <tx функция (3.8) совпадает с функцией
V (х) + u^eix—решение линеаризованного уравнениям—
а при t>t2 переходит в функцию*) (3.5).
*) Тем самым поведение функции F в промежутке t\*dt<t2
несущественно, если F удовлетворяет указанным выше условиям.

ГЛ. III. УРАВНЕНИЕ ТИПА SINE - ГОРДОНА 309
Тем самым установлено соответствие между
семействами решений и^ нелинейного уравнения (3.1) и
семействами решений и\ линеаризованного уравнения.
§ 2« Семейства комплексных решений,
сосредоточенных в окрестности замкнутых кривых. Рассмотрим теперь
уравнение (3.1) в случае, когда коэффициенты аи(х) и
функция F удовлетворяют (дополнительно к Flt F2)
условиям:
1) F не зависит от /.
2) Система Гамильтона (3.2), отвечающая функции
H(p,q) (3.3), (и корню V(x) уравнения ¥'и(и, *) = 0),
допускает семейство замкнутых бихарактеристик Л1^)^
-{(/?, <7)€R2*:p = P(M), <7 = Q(R, t)\ с периодами 7(ц),
гладко зависящими от параметра ц,, 0 < fxx < \i < fi2,
таких, что траектории {#g R$?:a; = Q(|li, t\ не имеют точек
самопересечения в RJ и что Я|Л'(и)==И'» | Q (и» 01=7^0»
*<Е[0,7»].
3) Все решения системы в вариациях
w = -Hqp(P,Q)w-Hqq(P,Q)z,
* = Hpq{P, Q)w + Hpp(P, Q)z, (3.9)
за исключением тех, которые сопряжены решению *)
равномерно ограничены при t g (—оо, оо), \i g [fxif p,J.
о-
решения
ПуСТЬ CLj (|Л, t) = (^' ,j) , /=1, ..., М—1,—
Флоке системы (3.9), косоортогональные решению ( . )
и удовлетворяющие условиям
{aj (ц, 0. «i G*, 0} = 0, {ау ((г, 0. «I 0*> 0} = 2/6/t /,
V/, / = 1, ..., л—1.
Обозначим через (3/(}л), /=1, ...,п—1,
характеристические показатели этих решений и будем считать, что
*) Т. е. решений ( . 1) таких, что <w, Q> — <zt Р>$£0
(см. § 3 гл. II ч. I).

310 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
ру (|л) выбраны таким образом, что приращение за период
T(\i) функции ArgdetfoGi, t), ..., zn^{\it /),Q([x, /))
л-1
равно Т (|i) S Р/ (|а).
Потребуем, чтобы
4) Числа Ру(|х), / = 1,...,п—1, и число я были
линейно независимы над кольцом целых чисел *).
Предположим далее, что:
5) существует множество Q (A) g [|а1э (гя] такое, что
при |х = |л (A) £ Й (А) выполнено условие (квантования):
§ <Р (|i, 0, dQ (|i, /)> - 2я& (А) А + О (/i2), (3.10)
где k(h) — некоторое целое число (зависящее от fi(A)).
Пусть точка |л0 € (На* И»г) не является предельной
точкой множества Й(А). Обозначим через \ikt ближайшее
к |х0 число из множества Q(h), определяемое из условия
(3.10) при k(h) = klt В предположениях 2) — 5) в § 9
гл. VI ч. I для линейного уравнения (3.4) были построены
семейства условно ^-периодических решений вида
и^ = 2 4. *. exp (Ш*. V/A) v J*>-±, (3.10')
где k = k1(h) + k29 c*tk2 — комплексные, N—натуральное,
не зависящее от А, числа,
^v-K(/i) + (^/2^(A))^ (y+v/) Р/К> а») +
+ 2я&2/Г (\iki (A)) mod О (А*) (3.11)
и v(^°};±(x9 А) — асимптотические по modO(A8/*) собствен-
ные функции оператора —А2 2 д/дх^ц (х) d/dXj+R (х)9
I, /= 1
образующие асимптотически полные системы в
пространствах S±9\ введенных в § 9 гл. VI ч. I. В пределе при
А—*0 системы {v(j^it±(x9 А)} соответствуют классическим
движениям в различных направлениях по траекториям
&х,ц = {#£ R2:x = Q(/, \i)}9 близким к траектории 6*,ц0.
*) Это условие может быть ослаблено аналогично [28], §39.

ГЛ. III. УРАВНЕНИЕ ТИПА SINE - ГОРДОНА $41
В предположениях 1) — 5) у нелинейного уравнения
(3.1) существуют семейства условно Апериодических
асимптотических решений, соответствующие (см. Введение
и теорему 3.2') семействам асимптотических решений вида
и±о) линеаризованного уравнения.
Теорема 3.2. Для любого М > О существует семей-
ство сингулярных асимптотических по mod 0х (hM^2)
решений уравнения (3.1), главный член которого имеет
вид
и±о) = y(—i In и£о) + т, х)9 (3.12)
где y(f,x,t)—решение уравнения (3.8). В случае, если
| и±*#)| < ск?(у)> где cKV(y) —критическая константа
функции у (т, х)у функция (3.12) является главным членом
гладкого по х формального асимптотического решения
уравнения (3.1).
Замечание 1. В доказательстве теоремы 3.2 указан способ
вычисления частот Qktv с точностью до 0(11™), М — любое.
Замечание 2. В случае, когда R (х) = const, достаточно
потребовать выполнения условий 1) —4), причем лишь дляц=1.
При этом формулы для частот Qk,v упрощаются (см. § 9 гл. VI ч. I
и § 3 гл. IV этой части).
Замечание 3. В силу разложения в абсолютно сходящийся
ряд функции у{%, х, t) (см. лемму 3.2):
y=V+eix+ 2 Уш (*, 0 eikx , Im т > - In cKV
вне некоторой окрестности траектории {x:x — Q(t, \iQ)}, t £ [О, Т]
радиуса — /Л'2""6, 6—^+0, имеем u^—V = 0(h°°), т. е.
осциллирующая часть функций и^ сосредоточена в окрестности этой
траектории.
Установим соответствие между семействами решений
и{±о) нелинейного уравнения (3.1) и семействами решений
V(x) + u±'<>) линеаризованного уравнения. Рассмотрим
эволюцию f-периодических решений, сосредоточенных
в окрестности замкнутых траекторий, при переходе
линейных уравнений в нелинейные, а именно, рассмотрим
задачу, аналогичную задаче (3.1), (3.7) предыдущего
параграфа в случае замкнутой траектории. Пусть
функция F (и, х, t) удовлетворяет условиям 2) — 5) и пусть
R(x)^09 Fu{ut х, t) = R(x){u—V) при t<tl9 Fu(u,x,t)

312 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
не зависит от t при t > t2 и t2 > £*. Поставим для
уравнения (3.1) задачу (3.7), в которой функция и±} заменена
на функцию (3.10'), введенную в начале этого параграфа.
Теорема 3.2'. Существует сингулярное
асимптотическое по mod 0х (/i00) решение задачи (3.1), (3.7).
Главный член этого решения имеет вид:
и± = у{— Ппи£о) + т, х, t), TgR. (3.13)
Здесь функции и±о) определены выше, у(х9 х9 t)—решение
уравнения (3.8). При t<tt функция (3.13) совпадает
с решением и±о)ен линеаризованного в точке u~V(x)
уравнения (3.1), и при t > t2 переходит в функцию (3.12).
§ 3. Построение сингулярного асимптотического ряда.
Задача этого и последующих параграфов заключается
в доказательстве теорем, сформулированных в §§ 1—2.
Мы дадим конструктивное доказательство этих теорем.
Предлагаемая схема доказательства дает возможность
строить сингулярные асимптотические решения более
общего вида, чем те, которые приводятся в §§ 1—2.
Сначала изложим в общем виде способ построения
сингулярных асимптотических решений уравнения (3.1).
Основные идеи излагаемого метода по существу
содержатся в §§4—7 гл. I этой части.
^:| Будем искать решение уравнения (3.1) в виде:
iS 7. м a t Af
"ft" V^ Ч'ч (S \
"м=е 2j Ук(У> х> Uh)= 2-( Vk\т + х>х> {>h)t (3-14)
где M > 0—целое число, S (x, t) = Sx (a:, t) + iS2 (x9 t)9
yk—подлежащие определению функции,
удовлетворяющие условиям
S{x9t)£C~i ImS = S2>0;
Л-61,(1), yk = 6xst(hkl% й=1,2, ...9М.
Введем следующие обозначения. Через L обозначим

ГЛ. III. УРАВНЕНИЕ ТИПА SINE - ГОРДОНА 313
оператор, действующий по формуле
(3.14')
здесь Л—матрица с элементами а^(х). Определим
оператор переноса
л defao a 3 2 1
ll^%~<SX9Ad/dx> +
i ifo V d2S v daif dS\
+т{3«-&1а»щзчг2*1-щъ)- (ЗЛ4)
3 2 1 def " ds д
где <S^, Лд/дл;> = У. з^-Я/узг-- Через /п обозначим вы-
ражение
n
def ^
m-S*t-<SXJ ASX>=S}- £ jjr.'i/isr,'- (ЗЛ4'">
точкой (как и ранее) будем обозначать
дифференцирование по т.
Заметим, что (см. гл. II этой части) для любой
функции y€MXft,h (или у£Т) справедливы равенства
{е%%)=>
h*L\eh у) = h*Ly (S/h + x,x,t,h) =
= e» (m$+2hUy+h*Ly),
G [er "у(т, x, t, ft), x,tth) =
= G(y(S/h+x, x, t, ft), x, t, ft) =
=e"jreG(t/(T,A;, t, ft), x, t,h). (3.15)
Здесь G—произвольная целая функция аргумента у.
Лемма 3.1. Пусть в области х, t£Q с R"+1
функции у0, Ух, ... удовлетворяют соотношениям
my9+F'H(y„x,t) = Ot, (3.16)
тук + Р"ии(Уо, х, t)yk + 2hnyk + ^Lyk + Rk.i = Ok, (3.16')
fc = l AJ,

314 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
где Ф0 = 6s2 (h*i*), ф* = б5в (/i*/2+1/«), и функции Rk имеют
вид:
\л=0 /
- П(Д ^ *> t}-F"uu(t/0, х, 0yk. (3.16")
Пусть, далее, yk — 6st(hk/2). Тогда в области Q функция
(3.14) является сингулярным асимптотическим решением
по modOT(/i^ + 1)/a) уравнения (3.1).
Доказательство. Применим к уравнениям (3.16),
(3.16') оператор е А и просуммируем полученные
соотношения по k от 0 до М. Учитывая равенства (3.15),
м
получим, что функция uM = eiS(d/h 2 ^удовлетворяет соот-
ношению: h*LuM + Fu {йм^, х, t) + eis^h [F~uu (y0, х, t)yM]=
=eis®/hQ)M. Добавляя к обеим частям последнего
соотношения выражение
преобразуем его к виду:
h*LuM + F'u(uMtx9t)**
~Р'и\Ж Ук* *' Ч~Гии(у*> х> *)у*\ •
Раскладывая теперь функции F'u (uM, x, t) и F'u (uM_it x, t)
в ряд по формуле Тейлора в точке и = у0, получим,
учитывая оценки yk = 6st(hk/2), что выражение,
заключенное в квадратные скобки в последнем равенстве,
равно 6,sI(u(A1 + 1)/2). Отсюда и из условия ук£Т вытекает
доказательство леммы.
Таким образом, для построения сингулярных
асимптотических решений уравнения (3.1) достаточно найти
функции S, y0, yt, .../удовлетворяющие условиям
леммы 3.1.

ГЛ. III. УРАВНЕНИЕ ТИПА SINE - ГОРДОНА 315
Обратимся к уравнению (3.16). Пусть в области
2cRn+1 функция S(x, t) приближенно удовлетворяет
уравнению Гамильтона—Якоби:
S*t-<SX9 ASX>-F;U(V(х, t), х9 t) = 0St (Л1'.). (3.17)
(Здесь V(x, t)—решение уравнения F'U(V9 x9 0 = 0.)
Пусть также функция y0 (т, x9 t) удовлетворяет
уравнению
F'uu(V(x, t)9 x, t)y0 + F'u(y09 x, 0-0. (3.18)
Тогда, очевидно, справедливо равенство (3.16).
Следовательно, для отыскания решения уравнения (3.16)
достаточно построить приближенное решение уравнения
Гамильтона—Якоби (3.17) и решение из класса MXttih
(или Т0) уравнения (3.18) (при условии, что существует
S{x9 t), удовлетворяющее уравнению (3.17)). Уравнение
(3.18) будем называть эталонным уравнением, отвечающим
(3.1) и корню V(x, t).
§ 4. Первый член сингулярного асимптотического
ряда. Решение yQ(t9 х9 t)£MXtUh уравнения (3.18)
назовем правильным, если соответствующая*) ему функция
из класса Т0—правильная функция (т. е. коэффициент
со
у$* в разложении у0 в ряд у0= ^у^е1кх равен единице).
/г=0
Лемма 3.2. 1) Существует и единственно
правильно решение J/0(T» х9 t)£T0 уравнения (3.18),
удовлетворяющее условию
Ига y,(x9x9t) = V(x9t). (3.19)
Im т-> со
При этом для любого мультииндекса v выполнены
следующие неравенства:
ск, (*, t. *^/°) > ^кр (х, U у.). (3.20)
2) Функция у0 (т, х9 t) g Мх, t. k, соответствующая
Уо € Т09 является решением неявного уравнения (3.8').
Доказательство. Сначала докажем**) первое
утверждение леммы.
*) См. гл. II.
**) См. также [6].

316 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
а) Единственность. Предположим, что у
уравнения (3.18) существует правильное решение: '
Уо=2у!М\ № = L (3.21)
удовлетворяющее условию (3.19). Очевидно, у{^ — У(х9 t).
Рассмотрим функцию
g{z9x9t)=V(xft)+'!titf>(x9t)zk.
Положим G (z, x, t) = F'u (g (z9 x9 t)9 x91).
Разлагая функцию G в ряд по степеням z и
используя при этом условие F2, получим, что в некоторой
окрестности точки г = 0 функция G представима в виде
ряда
G=j±{Gk {x9 t9 ttf, ..., у*-и) + Пи (V (х, t)9 x91) */<*>} гК
к =1
Здесь Gx = 0, Gk {x919 у$\ ..., t$~1})9 k > 2,—полиномы
по t/(0X), ..., у£~1} степени не выше k9 коэффициенты
которых суть некоторая линейная комбинация производных
по и функции F (и9 х9 t)9 вычисленных в точке и = V (х91).
Поэтому эти коэффициенты гладко зависят от х, t и
равномерно ограничены по (х9 t)£Rn+l (в силу условий на
F'u(u9 x91)). Отсюда получим]
Ры(У.. х> 0 = Д [Gh(x9 t9 */«>, ..., yf^) +
+ y(ok)F:u(V(x9t)9x9t)]e*\ (3.22)
Заметим теперь, что коэффициенты Gk(x91, y{o\ ..., t$~1})
имеют вид
к
1-2
где Y\ (у^\ ..., y£ft~/+1))—полиномы степени не выше k
с \ неотрицательными коэффициентами, получающиеся
в результате возведения ряда 2 Уот) %т в /-ю степень,
т. е. ( 2 уТ*гт) = JjYiz*. Подставим функцию у0
\tn = l J k=l
J

ГЛ. III. УРАВНЕНИЕ ТИПА SINE — ГОРДОНА 317
в уравнение (3.18) и приравняем коэффициент при eikx
нулю. Учитывая равенство (3.22), получим систему
рекуррентных уравнений для определения коэффициентов
ttf>(x9t):
*«-1 № _М*,*,С>---»^-1>> Л j (323)
Уо - 1, Уо - (Ла_1)/^(^(х, *). *. О ' 1 '
Коэффициент при eix (6 = 1) обращается в нуль
автоматически.
Отсюда следует единственность правильного
решения у0, удовлетворяющего условию (3.19).
б) Существование. Достаточно показать, что
ряд (3.21), коэффициенты которого определяются из
соотношений (3.23), сходится равномерно по (#, t) вместе
со своими производными по х и t в некоторой
полуплоскости 1тт>с. Для доказательства этого утверждения
построим сходящийся ряд, мажорирующий ряд (3.21).
Из равенства (3.23) очевидно следует неравенство
k
x\w£(v(x.t),x,t)\YH\yP\ Ы*-1'!)-
Отсюда индукцией по k можно показать, что ряд (3.21)
мажорируется рядом
к=2
E = e-Im\
где коэффициенты т)(А) определяются из рекуррентной
системы уравнений
k ,
Лш = 2 -тг Рш Y* (Л(1). • •., Лtt_1)). k > 1,
,=2п
F«> = sup
(*.<)eRB+i
I dl + 1 F

318 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
Заметим теперь, что ряд т| (£) = £ + 2 т](А)£* формально
удовлетворяет уравнению
Л—^(Ч)-Б. (3.25)
00
где F (т]) =^-7Г^(0г1^—Делая функция (в силу усло-
/=2
вий Ft и F2). Равенство (3.25), очевидно, выполняется
при ?• = ц = 0. Кроме того, якобиан отображения т]—F (rj)
в точке т| = 0 равен единице. Следовательно, по теореме
о неявной функции для аналитических функций
уравнение (3.25) имеет единственное решение, аналитическое
в некоторой окрестности точки £ = 0 и равное нулю в этой
GO
точке. Отсюда получаем, что ряд г] (£) = £+2 V** £*
/г=2
абсолютно сходится в некоторой окрестности точки £ = О
и, следовательно, ряд (3.21) равномерно сходится в
некоторой полуплоскости.
в) Докажем теперь, что в той же самой
полуплоскости сходится ряд
дхуМ" По dxvdt"
•еи
Рассмотрим случай v = (1, 0, 0, ..., 0), т = 0.
Дифференцируя уравнение (3.18) по х19 получим, что
функция — удовлетворяет линейному уравнению
d% t \ . ^n fro» *» *)_ __
3F ^°*»'+ /^ (У (х, *),*,*) Уо* ""
причем, в силу условий Fi и F2 на стр. 306, в
полуплоскости 1тт>—\n(cKV(x, t, y0)) ряды Фурье (2.3) для
функций
F"uu (Уо> х, 0 д F'u (Уо> х, t)
Пи<У(*>ЪЫ) И dx1Flu(y(xtt),xtt)

ГЛ. III. УРАВНЕНИЕ ТИПА SINE - ГОРДОНА 319
сходятся абсолютно. Следовательно, в области 1тт>
> — \ncKV(x> t, у0) эти функции аналитичны пот.
Рассмотрим уравнение (3.26) относительно функции y0Xl.
Непосредственным дифференцированием нетрудно
проверить, что этому уравнению удовлетворяет функция
у«ь—у.$-щ [ Jir. -жг {F~JjvtX\t)) |..ft dx\dx-
В силу замечания 2 на стр. 299 и равенства z/o0> = 0,
Уох^Т0 и, следовательно, у0Х1£Т0, в некоторой
полуплоскости 1тт>—In cKV (x, т, y0Xl) разлагается в
абсолютно сходящийся ряд Фурье по eikx, k^O. Отсюда
следует аналитичность y0Xt в этой полуплоскости.
Отметим, что коэффициенты у{ох\, у{ох1 разложения функции
y0Xt в ряд по eikx равны нулю. Поскольку y0Xl
удовлетворяет уравнению (3.26), коэффициенты которого
аналитичны в полуплоскости, определяемой функцией у0 (т, х, t)9
то имеет место неравенство
(x,t,yoXl)>cKP(x,t9y0).
Докажем теперь, что функция y0Xt совпадает с
производной dyjdxx.
Рассмотрим однородное уравнение, отвечающее (3.26):
Z^F^u(V(xtt)iXtt) Z~U'
Очевидно, периодическим решением этого уравнения
является функция у0. Согласно теореме Хилла [58], второе
линейно независимое решение этого уравнения либо
непериодично (в случае, если F"uu (#0, x, t)/F"uu (V(x, t)9 х, t)=£
Ф const), либо равно e~ix. Отсюда следует, что любое
решение уравнения (3.26) из класса 70 представимо
в виде: y0Xj = y0Xl + c2yot сг (х, 0—некоторая функция.
При этом у[х\ = 0, ум^ ic2{x,t). С другой стороны,
в силу правильности у0 (т, х, t) и определения операции
дифференцирования функций из Г0, имеем

320 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
Таким образом, получаем J^-=zy0Xtt причем
скр (*> U Уохх) ^ скр (*> U Уо)- Рассматривая аналогичным
^1 v|+m
образом производные —-——, получим доказательство
первой части леммы.
г) Докажем теперь второе утверждение леммы.
Доказательство того факта, что функция у0 (т, х, t)
принадлежит классу MXf tt н, в случае общей функции
F (и, х, t) весьма громоздко. Это доказательство, а также
исследование поведения^функции у0 (т, х, t) можно
провести способами, изложенными в [4,48]. Здесь мы
перечислим некоторые простые факты, касающиеся
поведения функции у0, которые читатель без труда может
получить самостоятельно.
Пусть" ^ ' *' а —* '*—полином по у степени
я, п > 2; при п^.2 функция у0 выражается через
элементарные функции (см. гл. I и V этой части), и пусть
Ун • • • i Vi — корни этого полинома кратностей mlt ..., т1
соответственно/Тогда функция #0(т»*>0 в точках ту-,
определяемых из уравнений y0{rj, x, t)~yjn таких, что
/Пу^5, имеет точки ветвления порядка ntj/2—1, если
trij—четное число, и rrtj—2, если ttij—нечетное число.
Если /Пу<5, то ветвления функции у0 в точке ту. не
возникает. В точках т», таких, что #0(тоо, х, 0 — °°>
функция у0 имеет ветвление порядка л/2, если п—четное
число, и п, если я—нечетное число, при этом функция у0
при т —>Та> ведет себя как 1/(т—х^)2^п. Аналогичные
« F(y+V,xft)—F(y9x,t)
факты имеют место и в случае, когда —^—~у—^ *—'—*■—
у
целая функция у, при этом точки т», где y0 = oof
являются точками ветвления бесконечного
(логарифмического) порядка (см., например, гл. IV).
Докажем теперь, что в полуплоскости 1тт>
> — 1пскр(#0, х9 t) функция*) у0 представима в виде
ряда (2.3).
Прямым дифференцированием нетрудно получить, что
функция #0(т, ху t)—решение уравнения (3.8')—удовлет-
*) Точнее—одна из ветвей функции у0.

ГЛ. III. УРАВНЕНИЕ ТИПА SINE - ГОРДОНА 321
воряет уравнению (3.18). Далее подставим в (3.8') ряд
У. = V (х, t) + е* + 2 yf> (х, t) ё*, (3.26')
Im т > — In (скр (х, t9 у0))> где yf\ k -= 2, ..,, имеют вид
(3.23). Раскладывая левую часть уравнения (3.8') в ряд
Тейлора в точке s = V и учитывая принтом формулы
(3.23), получим, что у0 удовлетворяет этому уравнению
в полуплоскости 1тт>—ln(cKV(x, t, y0)). Вычислим
производную левой части (3.8'). Имеем:
д \У? 1 [{2(F(s+V, x, t)-F(Vt x,t))y*L -I -
+b(»-v)]-cgv^:^-*<Br-
Последнее выражение в силу условий Flf F2 отлично от
нуля, если |t/|<oo. Отсюда следует, что функция
(3.26')—единственное решение уравнения (3.8') в
полуплоскости Im т > — 1п (скр (х, t, y0)).
Замечание. Легко видеть, что в п. а) доказательства по
существу доказана единственность в классе Т произвольного
решения #о(т» х> *> h) уравнения (3.18), удовлетворяющего условиям
y*=V(fi,t)i yp=y(x,tth)t
где <р(х, /, h)£C" (Rn+1X(0, 1]) —некоторая функция.
Следствие. Пусть у0(ч, х, t, h)£T (или MXttth) —
некоторое решение уравнения (3.18), удовлетворяющее
условию (3.19). Тогда существует такая функция
Ф(х, *,/*)€ С"(К*+1Х (О, 1]), что
Л(т, *, *, h) = eSl"*HQ(>t, x, t). (3.27)
Здесь у0 (т, xt t) € Т0—правильное решение уравнения (3.18).
Доказательство^. Положим y = i№(x,tth).
Очевидно, функция е5хп*у0 принадлежит классу Т (или
MXtt,h) и является решением уравнения (3.18). Кроме
того,
(e*l**yQY0)=V(x, 0; («•1вфУ.)а) = Ф=0?>.
Отсюда получаем доказательство следствия.
11 В. П. Маслов

322 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
Таким образом, любое решение уравнения (3.18) может
быть выражено через правильное решение этого
уравнения формулой (3.27).
§ 5. Высшие приближения. Обратимся теперь к
уравнениям (3.16'). Будем предполагать, что функция
Уо(х> ху U h) имеет вид (3.27).
Для построения решений уравнений (3.16') достаточно
указать способ вычисления функции до,
удовлетворяющей соотношению
mw + 2hUw + Гии(Уо. x,t)w + h*Lw + R= 6s,(ft<*+^).
(3.28)
Здесь функция у0 имеет вид (3.27), R=6XS (ftfe/2)
—заданная функция, k^O—некоторое целое число.
Предположим, что коэффициенты /?(0) и R{1)
разложения функции R в ряд Фурье (2.3) удовлетворяют
оценкам
£i°> = 0(ft*/« + 1)f R(1)=6s2 (ft*/« + 1), (3.28')
(х, f, ft, R)>cKV{x, t, ft, yQ).
Пусть функция r(x,t,h) удовлетворяет соотношениям:
йА(Гф) = ^1(Гф)+1я<1>-
*^(Н*.о.*.о*«"ф ,/2+3 з 29
где ф = ^>. Рассмотрим функцию
+ /if.-*co)}. (3.30)
Обозначим через Ф правую часть соотношения,
получающегося при подстановке в (3.28) функции до,
определенной равенством (3.30).
Лемма 3.3. Функция до является решением уравне-
ния (3.28), т. е. Q) = 6l2(h(k+1)/2). При этом выполнены

ГЛ. III. УРАВНЕНИЕ ТИПА SINE — ГОРДОНА
323
соотношения
ф«» = о (hk/2+ 3/2)t ф(1) = 05а (ft*/«+ e/«)f (3.31)
Сц(х, t, h, w)^cKV{x, U К R). (3.32)
Доказательство. Оценка w = 0St(A*/a) следует
непосредственно из (3.30) и определения интегрирования.
В силу уравнения Гамильтона—Якоби (3.17) имеем:
mw + F"uu{y0,x, t)w =
=Flu(V{x9 t), x, t)w +FlAy0, x, t)w + 6S2{h*f*)w =
= —R + д<о> + да^т _Puu(y*,x,*)Rm + 0^ (AA/« + ./.)e
^mw(V(*, /), #, f)
Отсюда следует
O = mw + 2hnw + h2Lw + F"uu(y0, x, t)w + R =
= R^ + R"e*-F"uu(yo, x9 t) f(0> +
Fuu (V (xt t), xy t) r
+ 2hUw + h*Lw +6sAhk/2+3/2)-
Отсюда в силу условий леммы получаем Q) = 6s2{hk+1/2).
Вычислим коэффициенты Ф0 и Фх. Имеем, используя (3.29):
ф(0) = RV» — R«» — h*L (R{0)) + О {Г1к'2+ 3/2) = О (/1^/2 + 3/2)^
ф(1) д дш,^У <*» *>» *»*>Ri0)* + fflftft (Гф) +
Лш (V (а;, 0, *» 0
+ /121(гф) + б5а(/1^2 + 3/2) = 65а(^/2+3/2).
Докажем соотношение (3.32). Из равенства (3.30)
следует, что функция w = w + Ri0) удовлетворяет уравнению
Ku(V(x, о, х, 0»+^в(у0. *> 0^=Я—Я(0)-Я(1)«*.
Отсюда и из аналитичности функций F"uu(y0, x9 t) и R
в полуплоскости 1тт> — 1пскр(х, t, h, R)t используя
известную теорему о существовании и единственности
решения линейных дифференциальных уравнений, получаем
неравенство (3.32). Лемма доказана.
Применим лемму 3.3 для построения функций,
удовлетворяющих соотношениям (3.16').
11*

324 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
Пусть k = 1. Положим R = R09 w = уг. Условия
леммы 3.3 будут выполнены, если
R№ = 6S2(h*f*) (3.33)
(оценка #(00) = O(ft3/2) выполняется автоматически).
В силу равенства R$y = 2йПф + h2L<p + 6St (ft3'2)
условие (3.33) есть обобщенное уравнение переноса для
функции ф = |/?):
ПФ=|-1ф + 65а(/1^). (3.34)
Пусть (3.34) выполнено, тогда согласно (3.30):
*ч^ о. *. o{(-»)JarO»<*'-*p-
-1??>^л)л+гув-/г?|, (3.35)
где функция г удовлетворяет условиям леммы 3.3 (&=1).
Докажем теперь, что уравнение (3.16') при k = 2 есть
уравнение, рассмотренное в лемме 3.3. Обозначим через Ф±
правую часть соотношения, полученного в результате
подстановки в (3.28) функции yt вида (3.35). Докажем,
что коэффициенты R^ и Rp функции
/?1 = Ф1 + ^(Ув + У1. х9 t)-F'u(y0, х9 t)-F"m(yQ9 x, t)yt
(3.36)
удовлетворяют оценкам /?i0) = 0(ft2), /?i1) = 65jl(ft2). В
самом деле, поскольку коэффициенты Фурье при 1 и eix
интеграла в (3.35) равны нулю, то
у<о)==__ Ell f ^> = ^ ^Е . (3.37)
F'uu(V(x,t),x,t)f M Fuu(V(x,t),x,t)
В силу (3.36), (3.37) и формулы Тейлора имеем
Ri0) = у Fuuu (V (*, t)9 *, 0 (#i0))2 + ФР + О (ft5/2) = О (Л»),
/?1а)=уПгЛ^(^ 0. *. №0>)2Ф +
Итак, лемму 3.3 действительно можно применять к
уравнению (3.16') при k = 2.

ГЛ. III. УРАВНЕНИЕ ТИПА SINE - ГОРДОНА 325
Покажем по индукции, что, последовательно применяя
лемму 3.3 к уравнениям (3.16'), мы получим функции ук,
fc = 0, 1, ..., удовлетворяющие условиям леммы 3.1
(таким образом, сингулярное асимптотическое решение
уравнения (3.1) будет построено в некоторой области
х, t£ £2<zR"+1). Предположим, что построены функции yk,
k<m, удовлетворяющие уравнениям (3.16'), причем
коэффициенты #jj,0) и #£> функций RkJ &<т(см. (3.16')),
удовлетворяют оценкам (3.28'), т. е.
Я|» = О (ft*/2+1), #£> = 6S3 (hk/* + 1). (3.38')
Введем функцию
ут = (Пи (V(*, о, х9 О)"1 {(-Уо) J Уо2 (Rn-i-RXU-
-R&i^dx + rJ.-RSu] . (3.39)
где функция г^ удовлетворяет обобщенному уравнению
переноса (с правой частью)
Ш(гшф) = ^1(гшф) + Яйи-
№шш(У(х, О, *, t)Rm-l | g /^m/2 + 1/24 (3.40)
<F«a (V (*, 0» *» 0
Обозначим через Фт правую часть соотношения,
полученного при подстановке в (3.28) функции ут. В силу
леммы 3.3 функция ум вида (3.39) удовлетворяет
соотношению (3.16') при k = m. Далее, аналогично (3.37),
(3.38) из формулы Тейлора и из равенств у%} =
~{Гт(У(х, *), *. 0)-l«l8U. »»в^17?ГТТТ/-ф
^*Ш (К (X, Г), X, I)
получим, что для коэффициентов R% и R% функции
Rm = <bm + F'u( 2 </«> *> 4-F«( "S »»• *■ *)-
— Р"ии{У» X, t)ym
справедливы оценки (3.38') (k = m) последовательно,
условия леммы 3.3 выполнены для правой части
уравнения (3.16') при k = m.
Тем самым указан способ построения решений
уравнений (3.16') для любого fe=l, ... Сформулируем
полученные выше утверждения в виде леммы.

326 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
Лемма 3.4. Пусть в области xf t£Qc:Rn+1
функция S является приближенным решением уравнения
Гамильтона—Якоби (3.17), а функции ср и
(rmq>)—приближенными решениями обобщенных уравнений переноса
(с правой частью) (3.34) и (3.40) соответственно. И пусть
функция у0 определяется из уравнения (3.20), а функции
Уг> --->Ум имеют вид (3.39). Тогда функция (3.14)
является сингулярным асимптотическим решением по
mod От (й^+1>/«) уравнения (3.1) в области Q.
Таким образом, задача построения обобщенных
асимптотических решений уравнения (3.1) в некоторой области х,
/gQcR*+1, сводится к построению приближенных
решений в этой области уравнения Гамильтона—Якоби
(3.17) и обобщенных уравнений переноса (с правой частью)
вида (3.34), (3.40).
Замечание. Отметим, что доказанные в §§ 3—5 утверждения
остаются в силе, если функция S зависит регулярно от h.
§ 6. Доказательство утверждений §§ 1—2. Обратимся
теперь к доказательству теорем, сформулированных в
начале этой главы.
Доказательство теорем 3.1 и 3.Г. В силу
определения семейств функций w±l) (формальных асимптота*
ческих решений линейного уравнения (3.2), см. § 5 гл. V,
ч. I) и леммы 5.3 ч. I имеем
u^^etSto-'-Mipix, tt ft),
где 5(ц, х, t) и ф(л:, t> h) есть приближенные решения
уравнений (3.17) и (3.34).
Решая последовательно соответствующие
обобщенные уравнения переноса (с правой частью) (3.40) способом,
указанным в гл. III и V ч. I, находим по формулам
(3.39) и (3.14) для любого М функцию и%]±,
удовлетворяющую уравнению (3.1) с точностью до 6T(ft1+A1/2),
такую, что
и№± — *4д) = От(/г1/2),
где ujjP определено в (3.5). При этом в силу замечания
на стр. 302, лемм 3.2 и 3.3, оценки 0х (ha) заменяются на
оценки 0(Ла), если выполнено условие \v\ <cKV(y).
Теорема доказана. Доказательство теоремы 3.1' состоит в
дословцом повторении доказательства теоремы 3.1.

v ГЛ. III. УРАВНЕНИЕ ТИПА SINE - ГОРДОНА 327
Замечание. Легко видеть, что приведенная в этом параграфе
схема построения сингулярных асимптотических решений вместе
с утверждениями гл. II—V ч. I дает возможность построить решения
уравнения (3.1) более общего вида, чем те, которые построены
в теореме 3.1.
Доказательство теорем 3.2 и 3.2'. Для
упрощения выкладок ограничимся случаем, когда все
коэффициенты с** в (ЗЛО'), за исключением одного, равны
нулю. При этом будем предполагать, что условие
квантования (ЗЛО) выполнено точно и что в теореме 3.2
V (х) = const.
В силу результатов, полученных в гл. VI, существуют
покрытие некоторой замкнутой окрестности Ад. (|х)
траектории {х 6 Я": х = Q (|x, t)}, 16 [О, Т (|i)], областями и/ ((a),
/=1, ...,т, удовлетворяющими условиям сх — с2 на
стр. 201, и последовательность функций
S'(x9 |i)€C-(t//(|i)) и 9v,U*> ft)€C-(A,Qi))(0f 1],
п-\
при |г = |хЛ1€Й(Л) и © = ©v.*,(*i) = 2^£ (t + v/)P/+
+ " 2, являющаяся приближенным циклическим
решением уравнения Гамильтона—Якоби (см. условия с3—св):
= 0 mod 0S2 (/i3/2), *€ иЛ ^€ й (Л), (3.41)
и обобщенного уравнения переноса
Vi 'dS д , 1 v „ d25 ™ i
= i2^0Vt *, (fex) фу. *, mod 6^ (/i1'2). (3.42)
Явные формулы для функций S'(x, |л) и <pv, *2(х, /1)
приведены в §§ 7, 8 гл. VI ч. I. В §9 гл. VI ч. I доказано,
что функция ut.v, определяемая в каждой области uJ(\x)

328 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
равенством
US « eiS ix- «W *. (*, А), & = *i +*2,
есть асимптотическая по mod О (А3/2) собственная функция
я
оператора Гельмгольца: —A2 ^ TTfl/yg—Н#(*)» ПРИ
t, /= 1 ' /
этом t>j£ у = О (А00) вне окрестности радиуса А1/2"6,
8 —+ 0, траектории {*€R": x = Q(|i, /)}, /€[0f T(fi)].
Введем в областях и' (fiftl) функции §S=nikit +S* (рк1, х),
и на множестве Ах (\ьк) введем функции (pv, *t (#, Л А) =
= ехр11(<av,*•(*!) + J]hV*<oi%%(kx))t Jфу.*,(х, А), где
®1?Ъ» /=1» •••» М,—пока неизвестные параметры.
Заметим, что:
а) для любой функции /(т, х, t,h) из iW*t/, а (или Т)
последовательность функций /(S'/A + t, #, tt A), xgw/,
/ = 1, ..., m, определяет однозначную функцию на
множестве х^Дд.^), т. е. функцию f(S/h + x, x, t, A) =
= /(S'/A+Tf х, /, Л), х€Д*([^)Пн', / = 1, ...,т,
причем /(S/A-J-т, #, *, А) = 0(А°°) на границе множества
б) функции S' являются приближенными решениями
нестационарного уравнения Гамильтона—Якоби (3.17);
в) функции фу, *, (я, t, А) при любых значениях
параметров <ov?ft2, /==1, ..., М, есть приближенные решения
(нестационарного) обобщенного уравнения переноса (34).
Утверждение а) следует из выполнения для функций 5'
условий согласования с3, утверждения б) и в) следуют
из определения функций S' и q>v, kt- Отсюда и из леммы 3.4
следует, что утверждение теорем 3.2, 3.2' будет доказано,
если мы покажем, что при некоторых значениях
параметров ©у/*,, ' —1» •••» М, у обобщенных уравнений
переноса с правой частью (3.40) существуют
приближенные решения*) (pt(xf t, Л), /= 1, ..., М.
*) Мы не снабжаем функции (pl (x,t9 h) индексами v, kz, поскольку
это привело бы к излишней громоздкости в обозначениях.

ГЛ. III. УРАВНЕНИЕ ТИПА SINE - ГОРДОНА 329
Докажем существование таких решений. Система
уравнений переноса с правой частью (3.40) для определения
функций ф£ имеет вид
Пф,—у£ф| + х«1-1 = Ф|. ' = 0, ..-.М. (3.43)
Здесь операторы П и L введены в § 4 и § 3 гл. III ч. I
Ф| — 05»(^/+1)/я) — невязка, полученная в результате
подстановки в левую часть последнего равенства функции
<Pi(*i t9 А),
def
R(H = 0, /?«> » (* (х) - m (*)) фу. *.,
Д^ = (#(*)-т(х))ф,+п( Sju*. *• О^Фу-
\л=0 //=0
-F'uCit/r, *> <Ys ф/-/?(х)Ф|+Ф|,
\/=0 //=0
Л (*) = f«« (У. ** Ot Фо « 44 ft,» Ф* = Г|фу, *, = J/P
(мы учли формулы (3.16'), (3.16"), (3.34), (3.35), здесь
и далее используются обозначения и определения §§ 3—5
этой главы). Сведем систему нестационарных
уравнений (3.43) к системе стационарных уравнений переноса
с правыми частями. Предварительно заметим, что
функции yf} в наших упрощающих предположениях не зависят
от t. В самом деле, из равенств (3.16'), (3.16"), (3.34),
(3.35) легко получаем, что
y? = V, yi» = -h*Lyr/R(x),
-п{^У)»\ х, t)-yrR(x)\ / = 1, ..., М-1.
Отсюда очевидным образом следует, что -^-у(/0> = 0, если
функция F {и, ху t) не зависит от t или если 1/ = const
(см. условие теорем 3.2, 3,2') Представляя теперь

330 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
функции ф, (л:, /, h) в виде:
где / = 1, ..., Af, (o^\ (fex) =o)v, *2 (&i), получим из (3.43)
для определения функций ф0^ (х. К) и параметров ©^(/^j
следующую систему уравнений:
4- , ^'д*,* дж/ + 2 4-* f а/йУ дхт dxf +
V^ da*/ dS t/t yi д2 \ _
+ 2-i дх, дхт 2 ** ?** дхлдх, >ф*
—sl с»у охж z m— j -' w.«/
— 'K«v, *а (*i) Ф* +-^U-i — 44, X ^/2 ®v. *. ) Ф* —
(Л1 4 2
cov, нЛК) + ^1/2<и^о-^1, (3.44)
где ^ = б58 (/i/+1/2) — невязка, полученная в результате
подстановки в левую часть этого уравнения функции ф,,
^ = - (Я (х) -^ 2^ al7 -^ ^- vlj Ф| -
х2ф/-«МФ| + Т|. (3.45)
Легко видеть, что приближенными решениями
системы (3.45) являются функции ц>1 (х, h) которые
приближенно удовлетворяют рекуррентной системе обобщенных

ГЛ. III. УРАВНЕНИЕ ТИПА SINE - ГОРДОНА $3l
уравнении переноса с правой частью:
Ахл******!+ 2myJmJdx-dxr
, у damf dS ih_ у< d2 _
~х dxj дхт 2 Z-л U*Jдхтдх*
1
2/Л
*H*i®v, *.(Л1)ф| + -о7Г^1-1 —
42 ^s/2 (2<M*i)<*(*i) ;ф*—*—
/-2
s=0 \m=sO
/-1
/=i
def
где 4^ = 6$, (^r/ + 1)/2)» Ф-» = Ф-1==0 и ^i имеют вид (3.45).
(Невязки Yj в последней системе, вообще говоря, отличны
от невязок yFl системы (3.44).) Решая последовательно
эти уравнения способом, изложенным в § 12 гл. VI ч. I,
находим функции ф, и параметры со^Д/^).
Отсюда получаем доказательство теорем 3.2 и 3.2'
при упрощающих предложениях. В общем случае
доказательство проводится аналогично и опирается на
следствие из теоремы 6.7. ч. I.
Замечание. Можно показать, что числа со ^k (kx) равны нулю,
если / нечетно.

Глава IV
УРАВНЕНИЕ SINE —ГОРДОНА
И КАДОМЦЕВА —ПЕТВИАШВИ Л И
В этой главе будут построены асимптотические
решения важного частного случая уравнения (3.1)
—уравнения Sine—Гордона (с переменными коэффициентами):
uJд%* V д д \ ,
+ _1^з1п(7(*, t)u)=Ot x£R«. (4.1)
Здесь и—искомая функция, h—малый параметр и а^(х)9
у(х, /) — гладкие вещественные функции, а//==о//.
(Функция F'u в (3.1) в данном случае равна y~Asin (уи).)
Уравнение (4.1 ^встречается в различных задачах
квантовой механики и "нелинейной оптики. При у—>0
уравнение (4.1) переходит в известное линейное уравнение
Клейна—Гордона (с переменными коэффициентами).
Все формулируемые в §§ 1—3 утверждения являются
элементарными следствиями общих теорем гл. III. В §4
будет доказано, что одно из полученных асимптотических
решений является асимптотическим решением по мере *).
В случае, когда в (4.1) уф$> у уравнения (1/v) sin yu=Q
(вырожденного уравнения, отвечающего (4.1)), существует
счетное число решений Vk = nk/y, & = 0, ±1, ...,
удовлетворяющих условиям Fj и F2. Поэтому в этом случае
можно построить серию семейств сингулярных
асимптотических решений (отвечающих корням Vk).
*) См. § 5 гл. II. В § 5 построены около вакуумные семейства
уравнения (4.1). В § 6 рассмотрено уравнение Кадомцева—Петвиаш-
вили.

ГЛ. IV. УРАВНЕНИЕ КАДОМЦЕВА — ПЕТВИАШВИЛИ 333
§ 1. Задача о распространении узкого пучка волн.
Рассмотрим уравнение (4.1) в одномерном случае (х 6 R)
с коэффициентом ati=l и функцией y — y(t):
h* {&—&) U~W)Sin {y {t) U)=°- ' (4'2)
Пустьт(0=Опри< <<iи7(0=1 при/>/,(<,>^>0).
Для уравнения (4.2) поставим задачу о
распространении *) узкого пучка волн, амплитуда которого имеет
несколько осцилляции:
N
и (х, 0) = £ckxkh-ki* ехр \±(ах+Щ-) + /т} ,
- ihu't (х, 0) = YX ~h% W "(*' 0) + 6 (/ll/2)* (4'3)
где a, x—вещественны, a 6 и ck—комплексны, причем
Im6>0.
Теорема 4.1. Существует сингулярное
асимптотическое по mod 0х (ft00) решение задачи (4.2)—(4.3). Главный
член этого решения имеет вид:
±-arctg|-LW-S(*f t,h)} =
, i v v -г / /п2(1—f&(a2+l)~3/2) / J
/7t д , 1 х+а<(аг+1)~1/а \*ч
и—-
*VC f Vft g ■ 1 * + а<(аг+1Г1/2 \\,
t^ \Да2+1)8/2 вж^уЯ l_*f(a»+I)-«/» ) *
j • (4-4)
X
Vl+tb(a*+l)-s/i
Если r£R и ck таковы, что при фиксированных t£ R
и ft € (0, 1]:
sup Й<скр=4, (4.4')
Xe(-GO, CD)
mo функция (4.4) является главным членом гладкого по х
и t формального асимптотического решения задачи
(4.2)-(4.3).
*) См. стр. 264.

334 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
Доказательство этого утверждения очевидным образом
следует из леммы 3.4, примеров § 1 гл. II и § 4 гл. 3 ч. I
и того факта, что решениями уравнения (3.8) в случае
F=±(cos(yu— 1)), V = Vk=nky~l9
являются функции
Yk = nky-1 + 4Y"1 arctg (y^t/4). (4.5)
Отметим, что критические константы скр для всех
функций Yk совпадают и равны 4.
Остановимся на полученных решениях более подробно.
Для простоты ограничимся случаем, когда в (4.3) & = *,
N = 0. Положим в (4.4) т = 0.
Элементарные выкладки позволяют сделать следующие
выводы относительно поведения функции и (4.4):
1. При t < 1 функция (4.4) является решением
линейного уравнения Клейна—Гордона (в (4.2) y = 0).
2. При каждом фиксированном t в области
\x + at (а2+ I)-1/21 > с, гдес>0 — некоторая,
независящая от h константа, u = 0(h°°). Следовательно, функция и
при каждом фиксированном t сосредоточена в
окрестности точки # = — at (a2+ 1)"1/2.
3. При каждом фиксированном /, t<t19 функция \а\
имеет максимум, расположенный в точке x= — at (a2+l)~1/2
и равный 4 . Этот максимум передвигается
со временем по оси х со скоростью р = — а(а2 + 1)~1/2.
Последнюю будем называть групповой скоростью, так как
00
это принято в квантовой механике. Величины ^ \u\2dx,
— 00
t < t19 сохраняются во времени и пропорциональны |с0|.
Следовательно, константа с0 определяет мощность
падающего волнового пакета. Поскольку при 11 | —* оо х
xll]/rl + it(a2-\-l)~1/2—+0, то «волновой пакет» при
изменении / от —оо до tmax сжимается
(«самоканализируется»).
4. При достижении t значения tx значения функций
M(t, h)=max\u\ начинают осциллировать во времени
2я
с частотой Q ~ +0(1). Амплитуды осцилляции

ГЛ. IV. УРАВНЕНИЕ КАДОМЦЕВА — ПЕТВИАШВИЛИ 335
этих функпий увеличиваются при увеличении |v(OI и
константы «мощности волнового пакета» с0.
5. Если с0<скр = 4, то по прошествии некоторого
времени амплитуды осцилляции уменьшаются, и
функция и принимает вид волнового пакета, который при
t —► оо расплывается в пространстве.
6. При | ^о I —^ скр максимумы осцилляции функций
М (t, ft) превращаются в особенности логарифмического
порядка, которые появляются и исчезают с частотой
Q = 2п\(кУа% + 1) + 0(1). При | cQ \ > скрособенности
перемещаются в точки
x = — at(a*+l)-1f* +
+ ft 1/2In|с01—In(4 + *2(а2 + l)-1'3) (l + *2(l + a2)-*)
и продолжают двигаться по оси х с групповой скоростью и.
По прошествии некоторого времени t ~ | c0 \/cKV
особенности исчезают (превращаются в максимумы M(t, ft)), и
функция и опять принимает вид волнового пакета,
расплывающегося во времени.
Аналогичные выводы справедливы и при рассмотрении
функции и, в случае, когда число N в (4.3) не равно
нулю. Отличие от рассмотренного выше случая
заключается в том, что функция | и | имеет при t < tx несколько
локальных максимумов и нулей, расположенных в
некоторой окрестности точки х = — at (a2 + 1)~1/2 (радиус
этой окрестности имеет порядок ft1/2-6, б—-* + 0) и
движущихся с некоторыми скоростями vk по оси х.
Количество этих нулей совпадает с числом нулей функции
N
полинома ^ckxkh~kf2. При t > t2 максимумы начинают
осциллировать во времени, и в случае, если
неравенство (4.4') не выполнено, максимумы функции \и\
превращаются в особенности.
Рассмотрим теперь уравнение (4Л) в случае, когда
д = 3, а|7 = 6,7, Ьи—символ Кронекера:
ft2(a2u/^2-Au) + ^^sin(7(A:, 0") = 0,
А = д*/дх\ + дудх\ + dydxl
Выше мы рассмотрели задачу о распространении узкого
пучка волн, сосредоточенного в окрестности точки. Тео-

336 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
рия, изложенная в главах II—III, позволяет построить
решения аналогичной задачи в случае, когда начальная
функция сосредоточена в окрестности гладкий
поверхностей. В более общей ситуации область сосредоточения
начальной функции может быть весьма сложной. В этом
случае для решения задачи о распространении пучка
волн требуется привлечение общей теории комплексного
ростка *) (см. [34, 68]). Приведем в качестве примера
полученные с помощью этой теории и леммы 3.4
формулы для асимптотического решения задачи о
распространении пучка волн вида:
и (*, 0) = с exp |i- (ах3 + ЬгхЦ2 + b2x\f (x3)/2) + ixj;
—ihu't(x, 0) = Vl—h*Au(x, 0) + О(Л*/2), (4.6')
где а—вещественный, bif b2, с—комплексные параметры,
lmb1>0, lm&2>0, /(£)>0—гладкая функция, А =
= dydxf + дудх* + dydxl
Теорема 4.Г. Существует сингулярное
асимптотическое по mod 0х (h") решение задачи (4.6)—(4.6').
Главный член этого решения имеет вид
M = 4(Y(0)"1arctg{(v(/)/4)[(l-M(l+a2)-1/2)x
X(l-bJf{t(x,t))(l+a*)-i'*)(l-tb2xi(l+a*)-*/*x
X d«2 (6 (*, 0/2))]-1/2 exp [(i/h) (eg (x, t) +
+ t(l+a*)-1'*+b1xl(l— btt(l+&)-*'*) +
+ b9xV(l(x9 t))/(2(l-b2tf(l(x, *))(l+a')-1/2)) +
+ bjp (dfM (x, 0)2/(2 ((1 + a*)3/2~
-tbrf&f/dViKx, t))))) + i%]}\tBXt + aif(n.a41'*.
Если xgR и |с| <cKP = 4, то функция и является
главным членом гладкого по х и t формального
асимптотического решения задачи (4.6), (4.6').
Заметим, что в данном случае функция и при каждом /
сосредоточена в окрестности множества {х g R*: xt — 0,
*) Отметим, что теория гл. I—III этой части и общая теория
комплексного ростка могут быть применены для построения
асимптотических решений типа погранслоя в нелинейных граничных задачах.

ГЛ. IV. УРАВНЕНИЕ КАДОМЦЕВА - ПЕТВИАШВИЛИ 337
xs + at(l+a*)-V* €X}U{*€RJ:*i = 0, х2 = 0}, где X —
множество нулей функции /(5), которое, вообще говоря,
не является гладкой поверхностью в Rjf.
Задача. Построить асимптотические решения задачи о
«распространении волны» для уравнения (4.1) в случае, когда x£R2,
* = (*i, х2), а/у = в/у, i, /=1, 2; у = 0 при / < I, 7=1пРи * > 2>
у^С00, и начальные условия для уравнения (4.1) имеют вид
«<*.<»-е*р{т(«* + ^
— tW (х, 0) = УТ^Жи (х, 0) + О (Л1/2),
где л —вещественный, &i, 62> cv — комплексные параметры, Im &i>0,
Im 62 > 0.
§ 2. Семейства сингулярных асимптотических
решений, сосредоточенные в окрестности прямых.
Рассмотрим уравнение (4.6) — уравнение Sine—Гордона с
постоянными коэффициентами в трехмерном случае.
Пусть в (4.6) 7 = 0. Тогда (4.6) — линейное
уравнение. В § 5 гл. V ч. I у этого уравнения были построены
семейства комплексных решений вида
№{х9 /, К) =ехр {4- [t Vl^+I*(±*» + J7^
х
X
2(\+bfx,)
X
V
I v 1 = 0
|i+»f*,|Y' f\i+bfx3\y
2 (1 +bfx3))\ jy(l +Ь±Хя) (1 +b±Xt) J _ 2-o ^
exp f'cof ± дг34- r^ )
i+*?*» У V 1+^*3 '
(4.7)
Здесь &J*.2 = bif2» ЬГ,2 = — bi.2, &i, Ь2 — комплексные
параметры, причем Im b1 > 0, lmb2 > 0, #v. (z) — полиномы
Эрмита, N — натуральное, не зависящее от h число,

338 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
с±(<о)—обобщенные функции из пространства SLfRo),
преобразование Фурье которых есть гладкие функции
(см. § 5гл. Уч. I). Решения (4.7) в пределе при Л—*0
соответствуют движениям классических частиц по прямой
хг = х% = 0 с импульсами ±fx (равны О (Л00) вне
окрестности этой прямой радиуса /i1'2-6, 8 >0 —малое число).
Приведем формулы для семейства решений уравнения
(4.6) в случае y = 1> соответствующих (см. Введение и
теорему 4.2') решениям (4.7) этого уравнения,
линеаризованного в точках Vl = 2nl.
Теорема 4.2. Существуют семейства сингулярных
асимптотических по modOT (/i00) решений уравнения (4.6),
главные члены которых имеют вид
и($± (*• '» h)= 2я/ + 4 arctg [1 а£> е{Л , (4.8)
если в (4.7) функции с±(со, К) таковы, что \ и^ | < скр = 4
м б (4.8) TgR, то функция (4.8) являются главными
членами гладких по х, t асимптотических решений
уравнения (4.6).
Доказательство этого утверждения очевидным образом
следует из теоремы 3.2 и формулы (4.5).
Исследуем поведение функции «м — (4.8) в случае
/ = 0, &1 = Ь2 = /, N = 0, с0 = 8((о). Аналогично § 2 гл. I
этой части получим, что: а) вне окрестности радиуса
(1+*!)1/2й1/2-6, 6-^ + 0 оси xs ufl=0{h<»), т. е.
функция сосредоточена в окрестности этой прямой; б) при
М<скр = 4 й каждых фиксированных t и xz функция
|и8Р| имеет максимум, расположенный на оси xZy при
тех же значениях с функция т (х3, t) = max | u{$ | =
= K+}Ui=*t=e имеет ряд чередующихся минимумов и
максимумов, располагающихся на расстоянии jiA/jx друг
от друга и перемещающихся по оси х3 со скоростью
V = -V\^+T/ii + 0(hy9 в) при М>скр = 4 и l+xj<
<|с|2/16 у функции ttgj? возникают особенности,
расположенные на окружностях, представляющих из себя се-
чение поверхности <х\ + х\ = — In ( —. ,2 -1 >
плоскостями, параллельными координатной плоскости
#3 = 0, отстоящими друг от друга на расстояние

ГЛ. IV. УРАВНЕНИЕ КАДОМЦЕВА - ПЕТВИАШВИЛИ 339
~ nh/\x + О (h2) и передвигающимися в направлении оси
^1 = ^2 = 0 с° скоростью V = — Vl*>2+ 1/М- + 0(А); г) при
\х3\ > |/"|с|2/16—1 особенности у функции и0 исчезают,
и при х3—>± оо эта функция с точностью до О (rj-js)
совпадает с tf-периодическим асимптотическим решением
линейного уравнения Клейна—Гордона (в (4.6)) у— 0).
Установим соответствие между семейством
асимптотических решений (4.8) уравнения Sine—Гордона (4.6) и
семейством решений (4.7) уравнения Клейна—Гордона
(см. Введение и начало в § 1 гл. I этой части). Пусть
в (4.6) 7 = 0 при t<tx и 7=1 при *>f2(/*>*i>0),
7(/)ёС°°. Такой выбор функции y(t) отвечает
линеаризации уравнения (4.6) в точке У = 0.) Поставим для
этого уравнения задачу о распространении узкого пучка
волн:
и |<-о = *w± (х, 0, ft) е*\ ih -J- \ы% =
= — V\— Л2Агг(ц)±(*, 0, ft)е** + О(Л1^). (4.9)
Здесь функции и(±] (х> t, ft) определены равенством (4.7).
Теорема 4.2'. Существует сингулярное
асимптотическое по modOT(hco) решение задачи (4.6), (4.9).
Главный член этого решения имеет вид:
w==4arctg^v и^± (х, t, ft)**) . (4.10)
Если функции Су в (4.7) удовлетворяют условию
I и(»*) (x, t9 ft) | < 4 a xg R, mo функция (4.10) является
главным членом гладкого по х, t асимптотического
решения задачи (4.6), (4.9).
Легко видеть, что при t < 11 функция (4.10)
совпадает с функцией (4.7) (решением линеаризованного в точке
V = 0 уравнения (4.6)), а при t < tt переходит в
функцию (4.8) при / = 0.
Замечание 1. Аналогичные утверждения с заменой корня
К = 0 уравнения sinK = 0 на корни 1^ = 2я/ справедливы и для
семейств функций и$± при /= ± 1, ± 2, ...
Замечание 2. У уравнения (4.6) при у = 1 существуют также
семейства сингулярных асимптотических решений, аналогичные (4.8)
и отвечающие решениям этого уравнения, линеаризованного в точках

340 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
У = я(2/+1). Главный член этого семейства решений имеет вид:
и<4>
= «(2l+l) + 4aretg|i-exp|ir[Vr^-H +
Г N
•J iv1=0
V(l+*f*»)(l+^*3),
(Здесь предполагается, что \i > 1.)
§ 3. Семейства асимптотических решений с
компактным носителем. Рассмотрим уравнение (4.1) в случае,
когда коэффициенты а/у- (х) удовлетворяют условиям:
1) система Гамильтона
р —Яг ?=#,, (4.11)
П
отвечающая функции Я= 2 uij(q)pip/—U допускает
замкнутую бихарактеристику Л1 = {/?,(/€ R- p = P (t),
q = Q((t))7 /€[0, Г]} с периодом Г, лежащую на нулевой
линии уровня функции #:# |Л1 = 0, такую, что
траектория {x:x*=Q(t)f *€[0, T]} не имеет точек
самопересечения и что \Q(t)\=£0 при *(Е[0, Т] (последнее
неравенство выполняется автоматически, если ||а^|| —
положительная матрица); 2) все решения системы в
вариациях
w^~Hqpw—Hqqz, z = tippw-\-Hmzy (4.12)
за исключением решений, сопряженных решению (• ) »
ограничены равномерно по / при /g(—со, оо). Обозна-

ГЛ. IV. УРАВНЕНИЕ КАДОМЦЕВА —ПЕТВИАШВИЛИ 341
чим через р^, ..., $n^t характеристические показатели
(показатели Флоке) решений Флоке ау= (^А\Ь косо-
ортогональных|векторуЛ . ) и таких, что
{ау, аь) = 0, {ау, а,} = 2*6Z/, /, / «. 1, ..., п— 1,
(сМ. теорему 6.5 ч. I). Будем считать, что ру выбраны
таким образом, что
Arg [det (гг (t)9 ... 9гя_г (*), Q)] |0Г = Г ^j Ру.
Предположим, что числа pif ...,Pn_i и я линейно
независимы*) над кольцом целых чисел.
В § 9 гл. VI ч. I при приведенных условиях
построены асимптотические собственные функции i^v* опе-
п
ратора —h2 2 д/дх(ацд/дх;, отвечающие собственным
числам
где ц0 > 0 фиксировано, k (h) =fex (h) +fc2, fer
(^—ближайшее к T\ijh целое число, k2—целое и Vy,/ = 1,...
..., п—1, натуральные, не зависящие от h числа. С
помощью этих функций у линеаризованного вблизи и = 0
уравнения (4.1) (т. е. уравнения (4.1), в котором Y —0)
построены семейства асимптотических условно
Апериодических решений вида
N
"<£•> - L <%>. %&*+*..*(*• h) ехР {{УЩ^+й).
(4.14)
Здесь cVt k2 — комплексные числа. Семейства и^ в
пределе при h—*0 отвечают классическим движениям по
замкнутым траекториям, расположенным вблизи
траектории {х£ #2:x = Q(fx0>0}- Здесь мы строим семейства
*) Это предположение может быть ослаблено (см. стр. 310).

342 Ч. П. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
сингулярных асимптотических решений уравнения (4.1)
в случае 7=1» согласованные с и(±ь) принципом
соответствия (см. Введение и ниже теорему 4.3').
Теорема 4.3. При сформулированных выше
условиях для любого числа М > О существует семейство
условно t-периодических сингулярных асимптотических по
mod О1 (hM/*) решений уравнения (4.1).
Главные члены этих решений имеют вид:
«<£>±==2n/-f4arctg (ju^e*) , / = 0, ±1,... (4.15)
Если rgRS и выполнено условие |и±1о)|<4, то функции
(4.15) являются главными членами гладких по х и t
асимптотических решений уравнения (4.1).
Доказательство этой теоремы непосредственно следует
из теоремы 3.2 и утверждений § 6—9 гл. VI ч. I.
Исследование свойств семейств (4.15) проведем в
случае т = / = Л^ = 0. Аналогично § 3 гл. I ч. II с учетом
формулы (6.64') ч. I получим, что:
а) функции и(£о) сосредоточены в окрестности
траектории 81 = {х£ RJ: x = Q (t, \ikl)}> т.е. w^> = О (Л*) вне
трубчатой окрестности этой траектории радиуса AVi-e,
8^ + 0;
б) при |i4%)'±|<4 функции \и{±о)\ имеют ряд
чередующихся максимумов и минимумов, расположенных на бJ,
отстоящих друг от друга на расстоянии ~T/hk(h) и
передвигающихся по 8J с конечной по h при h —■> 0 скоростью
V = ± Vl + T4(nk1{h))*+ О (h);
в) при |^°о),±|>4 у функции и(£о) возникают
особенности, расположенные на замкнутых кривых,
представляющих из себя сечение трубчатой поверхности
радиуса ~ /г1/*, центром которой является траектория 6J,
пучком плоскостей, пересекающих 81 трансверсально,
отстоящих друг от друга на расстояние ~ T/2hkx (h) и
передвигающихся со скоростью V. В остальных
случаях функции (4.15) ведут себя аналогичным образом.
Пусть в (4.1) 7 = 0 ПРИ t<tlf v^l при t > t2,

ГЛ. IV. УРАВНЕНИЕ КАДОМЦЕВА — ПЕТВИАШВИЛИ 343
Аналогично (4.6), (4.8) рассмотрим для уравнения
(4.1) задачу о распространении пучка волн:
и\м. = u^frto, Н)еР + 0(№*)9
(4.16)
где /0< *i> TgR1.
Теорема 4.3'. Б предположениях теоремы 4.3 с#-
ществует сингулярное асимптотическое решение по
mo&Ox(hM/2) (M—любое целое число) задачи (4.1), (4.16),
условно периодическое при t < ^ и t>t2. Главный член
этого решения имеет вид:
и = ^ arctg (Ш «(£•> (х, f t Л) **). (4.17)
Легко видеть, что при / < tx u=u{±o)(x> t> h)eix и
при t > t2 функция и совпадает с функцией (4.12).
Замечание 1. Аналогичные утверждения с заменой корня
Ко = 0 уравнения sin V = О на Vj = 2jt/ справедливы и для семейств
функций и[^± при /=± 1, ±2, ...
Замечание 2. В условиях теоремы 4.3. у уравнения (4.1)
при y=1 существуют семейства сингулярных асимптотических
решений, аналогичные (4.7) и отвечающие решениям этого уравнения,
линеаризованного в точках К = я(2/+1). Главный член этих
решений имеет вид:
+ 4arctg £- £ ^.v*£ + *..v«P (^K^,v-l) V
Здесь N, Cv ki> Ekt v те же, что и в (4.12), fi0 > 1, / = 0, ± 1, ...
§ 4. Асимптотичность по мере сингулярных
асимптотических решений. Согласно теореме 4.2 функция
»,pH^+*(,wfer>b)}
«о-4 arctg 4(1+**)
(4.18)
где TgR, гг = х\ + х\, ^i^ R, с£С, является главным
членом ^-периодического асимптотического решения

344 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
уравнения Sine—Гордона (4.6) при у= 1 (в (4.7) с0(ю) =
= 6 (со), bt=bt=i, N=0).
Здесь мы докажем, что функция (4.18) является
главным членом асимптотического решения по мере.
м
Пусть иШ) = 21 ик—асимптотическое по mod 0Х(ЫМ+1^2)
решение уравнения (4.6), причем и0 имеет вид (4.18).
Справедливо^следующее утверждение.
Теорема 4.4. Для любого числа |3 существуют
такие числа М, а > 0, и измеримое по Лебегу множество юл,
что для произвольного компакта К € R3 выполнены
соотношения
h* (u№>—AuiM>) + sin u(M> = О (ftP), x|Kn К),
и<л*> — Uo = 0(h*)9 8>0, x|Kni(),
^(<олПК)<Ла.
При этом существует компакт^ КicR8 и измеримое
множество ©^cz/Ci, такие, что И ;
|и| >> Cj. при х£щ, (4.19)
где а, с,, с2>0—некоторые константы, независящие
от h (и М) и а < а.
Прежде чем приступить к доказательству этой теоремы,
докажем вспомогательные леммы.
Заметим, что множеством особенностей функции и являются
окружности Sk {*£R3: х\+х1 = (гМ)*,хв=х£)}, гдег<*> и 4*}
определяются из уравнений:
г- ]/(1+*|)/г/21п|с|-1п(16(1+^)),
г*
^з+ VV + 1 *+й (arctg*8 + argc + x3 In1с| —
-1*з In (16 (1+4))) = яД1 (2£ + 1), (4.20)
причем 1 + (4*))1<|с|1/16.
Рассмотрим в R8 области
ю£> = V, *3:|г-г<*> |< г3ЛТ +б, Us-л?11 < c3ft1+6f ,
где с3 > 0, -^ > 6 > 0— некоторые константы. Введем множество

ГЛ. IV. УРАВНЕНИЕ КАДОМЦЕВА-ПЕТВИАШВИЛИ 345
©А = U «Jr. Обозначим
S-flV+1 + P (,8+21т^_), <„=-
Лемма 4.1. Пусть К—произвольный компакт в R3. Справед»
ливы оценки
|*2*/у+1|>с4Лб, хфъНг (4.21)
V(a>hWQ<Cbhl + 2*. (4.22)
Здесь с4, с6—некоторые константы и и—мера Лебега множества
©аП/С.
Доказательство. Оценка (4.21) получается в результате
элементарных вычислений и формулы Тейлора. Оценка (4.22)
следует из того, что число точек на оси xz в /С, определяемых
уравнением (4.20), имеет порядок 1/Л.
Лемма 4.2. Функции ут% определенные равенствами (3.39)
и отвечающие функции 7^ = sin и в (3.1) и корнюУ—09 могут быть
представлены в виде:
I
2 №
i (2&+1) Т
(е31Тф2+ \)т
где 1^*0—некоторое целое число и f{J^=:Qs (hm/2).
Доказательство. Доказательство проведем по индукции.
Прежде всего отметим, что производная у0 (в (3.39)) в данном
случае имеет вид у0= 1/cos (т—i lnq>). Отсюда аналогично § 3 гл. I
этой части получим, что
*"(т+/78))со8(Т-!.Ппф)+ ( Y+fli)) * *"'ПФ> =
«"V+1 '
где ^> = б5,(Л1/2), *-1 4; /^ = 65, (hl'\ ^> = 0Sf(/t^).
Предположим теперь, что для т<т функции ут (3.39) представимы
в виде (4.23). Покажем, что функция у~ (3.39) также представима
в виде (4.23).
Из предположения индукции с помощью равенств
co8 4arotge=l-(1+e,)a,
• л * о 48(1-6") <4-24>
sin4arotge= (1v+ea)8;
получим, что функция R~ — R\}'e (подынтегральное выражение

346 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
в (3.39)) представима в данном случае в виде:
m
2g(k) ei(2k+l)x
т
хт лхт (g2tV+0m +
2
d(*> л ,*,т/2ч .. n(i)
где £~; = 05i(/im/2) и %\}> = g^ (^/2 + 1). Отсюда в результате
элементарных вычислений получим, что
-z
' p(*)e'(2ft+l)T
ft~ (es,V+l)m
где^£)=б51(Л^2).
Из лемм 4.1, 4.2, формулы Тейлора и равенства (4.24) получим,
что функция F^M) — правая часть соотношения, полученного в
результате подстановки влевую часть уравнения (4.6) (при у=\)
iS_ ~ м
функции и —еп £j Ук> имеет вид:
S expi*(2*+l)(f- +т) I /<*> (х, U h)gkM (*,1. К т)
(exP{2i(f+,)^.+ .)A'"
где /^ = (3^ ( д 2 1)1 gffl (х, tt h, т) —некоторые функции, для
которых при х^щ справедливы оценки: \g$ \ < cMt k, cMt k— не
зависящая от h константа. Отсюда в силу определения множества щ
получим, что вне множества ©д справедлива оценка
д..) (-.,)„.,
26)
Из этой оценки следует доказательство первой части утверждения
теоремы 4.4.
Доказательство второй части теоремы 4.4 следует из того факта,
t=\x:\r\<h2 . S—^0, |*з | <cj, c7 —i
что в области сол = \х: \ г | < h * ,6 —► 0, | х3 \ < с1), с7 —
некоторая константа, выполнено неравенство (4.19), причем ц (щ) = nhc.

ГЛ. IV. УРАВНЕНИЕ КАДОМЦЕВА—ПЕТВИАШВИЛИ 347
Замечание. Теоремы, аналогичные теореме 4.4 (об
асимптотичности по мере), справедливы и для других сингулярных
асимптотических решений уравнения (4.1), построенных в этой главе.
Доказательство этих теорем проводится вполне аналогично
доказательству теоремы 4.4.
§ 5. Околовакуумные семейства решений уравнения
Sine — Гордона. В § 5 гл. V части I были построены
околовакуумные семейства асимптотических решений
и(х, t, h) уравнения Клейна—Гордона (т.« е.
уравнения (4.6), в котором Y=0)- В пределе при h—>0 эти
семейства отвечают классическим движением по
прямой хг=хъ = 0 с импульсами \i и —(х. Аналогичные
семейства, отвечающие при ft—>0 движениям по
замкнутым кривым, построены в § 9 гл. VI части I.
Напомним, что эти семейства являются суммой двух
семейств решений и{±\ отвечающих импульсам \i и—\i
соответственно, и при £ = 0 эти семейства совпадают
с пространством функций Sl[i)= «2^+ «2^,
содержащим как комплекснозначные, так и вещественнозначные
функции, что позволяет провести квантование семейств
и(х, t, h) (см. Введение). В этом параграфе строятся
околовакуумные семейства нелинейного уравнения (4.6),
в котором v^l» соответствующие при его линеаризации
семействам решений и уравнения Клейна—Гордона, и в
более общем случае решениям 2п1 + и уравнения (4.6)
(у— 1), линеаризованного в точках и=2яЛ Аналогичные
семейства, отвечающие движениям по замкнутым
кривым, мы строим для уравнения (4.1), в случае, когда
коэффициенты а^(х) в этом уравнении удовлетворяют
условиям § 3. Отметим, что полученные околовакуумные
семейства содержат семейства комплексных решений,
построенных в §§ 2—3, и аналогично последним,
выражаются через элементарные функции.
Прежде чем сформулировать основные результаты
этого параграфа, приведем важную вспомогательную
лемму. Рассмотрим уравнение
(^ + Rr+^^)*+78ln(w)e0' (4'25)
где т, у—параметры, причем тф — 1, y€[0, 1].

348 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
Лемма 4.3. Существует положительно-частотное
решение у уравнения (4.25), Ф такое, что его
коэффициенты Фурье y{0j 0), у{0у 1} и у{и 0) равны 0; 1 и 1
соответственно. Это решение имеет вид
у(т+,т.,т, v)=~
= ±arctg [-J (** + **-) (l-gl^I^-ь^))"1] (4.26)
Доказательство. Прямым разложением в ряд по
степеням eix± доказывается положительно-частотность
функции (4.26). Сделаем в (4.25) линейную комплексную
замену переменных, при которой оператор в скобках в
(4.25) превращается в волновой одномерный оператор
При этой замене (4.26) превращается в известное
решение одномерного уравнения Sine—Гордона, описывающее
солитон-антисолитонные столкновения [17].
Чтобы получить семейство асимптотических решений уравнения
(4.1), сосредоточенных в окрестности прямой в R*, отвечающих 2N
частотам dzjuii, ...♦ ibjitf» наДО заменить в решении вида uv(vit— х,
...tVtft—Xy v[t+xt ...,v'Nt+x), 1>=фь ...,^, v[, ...,v'N)
одномерного уравнения Sine—Гордона, описывающего столкновения N соли-
тонов со скоростями At, ...,1>лг и N антисолитонов со скоростями
^ь ...» v'n, аргументы vjt^x на i (In (с/"и+1/)) + т/)/М'/» аргументы
v'jt+x на i (\n (cyu^fy+x'fi/iij к скорости vj и v) на |/"l+^/fi/,
ct— константы.
Приводимые ниже околовакуумные семейства решений
выражаются через функцию у. Пусть в (4.6) у= const
и и2°—семейства функций, определенные в § 2 этой
главы.
Теорема 4.5. Функции (с± = const)
и${х9 U Л) =
= {2п1 + у (т+ — 11пс+ и{?\ т—t In с- i!?\ 2|г*+ 1, г) (4.27)
являются главными членами сингулярных асимптотических
решений по modOT+' х- (h°°) уравнения (4. 6). Существует
константа Скр такая9 что при \ и{± | < скр функции

ГЛ. IV. УРАВНЕНИЕ КАДОМЦЕВА - ПЕТВИАШВИЛИ 349
(4.27) являются главными членами гладких по mod О (hM^)
формальных асимптотических решений уравнения (4.6).
Доказательство следует из леммы 4.8 (см. стр. 352).
Положим в (4.27) / = 0, тогда из определения
функции у(х+, т., m, y) (4.26) следует, что при ?—*0
функции из семейства (4.27) переходят в функции из
околовакуумного семейства решений ag^ + u!!», т. е.
соответствуют решениям линеаризованного в точке и = 0 уравнения
(4.1). При 1ф0 справедливо аналогичное утверждение
при линеаризации уравнения (4.1) в точке « = 2я/.
Теперь приведем формулы для околовакуумных
семейств решений уравнения (4.1) в случае, когда
коэффициенты aij(x) в (4.1) удовлетворяют условиям
теоремы 4.3 (см. § 2). Эти решения отвечают в смысле
принципа соответствия околовакуумному семейству
решений 2nl + u<»J(x, tfh), / = 0, ±1, ...
линеаризованного в окрестности точки и = 2я/ уравнения (4.1). Здесь
семейства u^(xf t, А) = и(.?§)(*. t, h) + u{?o)(x, t, h)
определены в § 9 гл. VI ч. I и в пределе при ft—>0
отвечают классическим движениям по замкнутым траекториям
в различных направлениях.
Теорема 4.6. Функции (с* = const)
u№(x9t9 h) = 2nl+y{x1—i\nc+u{?'\ т2—Ипс-и{?°\ ц0),
(4.28)
где \i0 введено в теореме 4.3, и функции и{±%) имеют
вид (4.14), являются главными членами сингулярных
асимптотических решений по modOT*x*(hM/2) уравнения
(4.1), М—произвольное натуральное число. Существует
константа cKV такая, что при \ и{^о) | < скр функции (4.28)
являются главными членами гладких по mod О (hMf2)
формальных асимптотических решений уравнения (4.1).
Доказательство теоремы аналогично доказательству
теоремы 3.2 и опирается на лемму 4.8.
Изложим способ построения семейств решений (4.27), (4.28).
Будем искать решение уравнения (4.1) в виде
и=е V h J У\ у*(т+,т.,х,/,А), (4.29)

350 Ч. И. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
где S* (#, t) — гладкие комплекснозначные функции,
Af — натуральное число.
Обозначим через т± функции вида (3.14'") и через П* операторы
переноса (3.14"), отвечающие функциям S± соответственно; через J?
обозначим оператор
д2
X
дт„ дт+
Лемма 4.4. Пусть в области х, t£QczRx?\ функции S±t y0y
у и ... удовлетворяют соотношениям:
#у0 + ь\пу0 = Ф0, (4.30)
^yk + cosy0yk + 2hU+^+2hU^+h^Lyk + Rk.1==Okt
*=1, ..., М9 (4.31)
где оператор L определен равенством (3.14'),
фо=fcV <л8/2>> ф*=б£- с-(>**/2+1/2)
^>2» 62 ^2' 52
— невязки, полученные в результате подстановки функций у^
соответственно в уравнения (4.30), (4.31); /?0==Ф0 + 2Л (П+ -J^-+
-\-П- ~ ° ■ j -\- h2Ly0 и R& определены равенствами (3.16), в которых
F——g-sin2 [ ■— ). Тогда в области Q функция (4.29) является
сингулярным асимптотическим решением уравнения (4.1) по
modO^2*1'2).
Доказательство аналогично доказательству леммы 3.1.
Рассмотрим уравнение (4.30). Аналогично § 4 гл. III (см. лемму 3.2)
определим правильное решение уравнения (4.30).
Лемма 4.5. Пусть Im S+ = Im S- и пусть функции S±
приближенно по Os (h9/2) удовлетворяют уравнению Гамильтона—Якоби
U /=1 У
Тогда существует и единственно по mod (Зт.+* x- правильное решение
•5-2» S%

ГЛ. IV. УРАВНЕНИЕ КАДОМЦЕВА - ПЕТВИАШВИЛИ 351
#0(т+, т~, х, t) уравнения (4.30), удовлетворяющее условию
lim £o = 0. (4.32)
Im т+->«>
Im т_ -*-<»
Это решение с точностью до бхЛл'Т (&1/2)» S2=Im S± совпадает
с решением уравнения (4.25), если в последнем
Любое другое решение уи уравнения (4.30) из 6s+*$~ U)>
удовлетворяющее (4.32), выражается через yoi равенством
Уо1 = —-+у0(^1 —Ипф+, т_ —Пгкр_, *, 0. (4.33)
Y
где ф± (at, £, h) —некоторые функции из класса Qs (1).
Доказательство аналогично доказательству леммы 3.2.
Перейдем к построению высших приближений. В дальнейшем
будем предполагать, что в (4.31) функции S± удовлетворяют
условиям леммы 4.5 и что */0 = 1/оь где y0i определено равенством (4.33).
Построение функций уъ ..., ум, для которых выполнены условия
леммы 4.4, проводится аналогично § 5 гл. III и сводится к
построению решения уравнения вида:
Jf^ + (cos^o)^ + 2^(ft+^^+ft--^) + /i2L^ + /? =
=6sT:s7(^+1)/2)- (4-34)
Здесь у0 имеет вид (4.33), R = 6s+t's~ (^fe/2)~заданная функция,
k ^0 — целое число, причем для нулевого и первого коэффициентов
#(0' 0), #(0' х\ #(1> 0) разложения в ряд Фурье (2.12) функции R
выполнены соотношения:
e°)so, д<м>=б5Лл(*+2)/*). Ra>0)=6sAhik+2)/2)-
Построение решения уравнения (4.34) в свою очередь опираются на
следующее утверждение. Рассмотрим уравнение в вариациях (с
правой частью) для уравнения (4.25) относительно решения y0i:
(£+£+2й W*r)z+cos (ww) Z==F• (435)
где rh (x, /) —гладкая функция, F—функция из класса 6s+,'s~ (ufe/2)«
Лемма 4.6. Пусть коэффициенты Я°>0), F(l>0), Я°>г)
разложения функции F в ряд Фурье (2.12) равны нулю. Тогда существует
и единственно решение z(x+, т~, х, t, h) уравнения (4.35) из класса
б$+*$- (hk/2)t такое, что z(0>0) = za>°> = 2(0> 1) = 0. При этом функция
2 (т+> т_, х, t, h) представима в виде абсолютно сходящегося ряда

352 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
Фурье (2.12) в той области, где одновременно представимы в виде
этого ряда функции yot и F.
Доказательство аналогично доказательству леммы 3.2. Используя
лемму 4.6, построим решение уравнений (4.34)*
В силу этой леммы на функциях F класса 6$+'$~ (п^2) таких,
что Л0»0> = Я1»0> = Я°)1>, определен оператор (3, 'правый обратный
к оператору
да да - д2 f
_+_+2т5г-ж:+со8(?4гм).
Пусть функции г± (х, t, А) удовлетворяют соотношениям:
г±(ж,*,й)Ф±(х,*,А) = 6л(Л*/2),
где #+ = /?<М>, #_=/?<°, *> и Ф±(*, tfh) введены в лемме 4.5.
Рассмотрим функцию
W=6(R-Rih*)eix+-R«>, i>e'T-) + r+ J^+Г- |^-. (4.36)
Обозначим через Ф правую часть соотношения, получающегося при
подстановке в (4.34) функции W (4.36).
Лемма 4.7. Функция W является решением уравнения (4.34),
т.е. Ф = @£+»^- (/t**+1>/2). Яри з/шм выполнены соотношения
— в&С"'2+8'2), w функция W представима в виде абсолютно
сходящегося ряда Фурье (2.12) в той области С2, где одновременно
представимы в виде этого ряда функции yoi и R.
Доказательство аналогично доказательству леммы 3.3.
Применяя последовательно лемму 4.7 к уравнениям (4.31),
аналогично § 5 получаем следующее утверждение.
Лемма 4.8. Пусть в области х, ^QcR«*\ функции 5±
являются приближенными по modQs±(h3^2) решениями уравнения
2
Гамильтона—Якоби (4.3Г), причем ImS+ =ImS~=S2, и функции
у ±~-приближенными по mod Qs%(й1/2) решениями обобщенных уравя
ih
нений переноса Й±ф±=-у £ф±. Тогда в области Q функция и =
= — (2к1+у U++-jf---i\ny+t т_+-~—Ппф.,т, у\\ где
у (х+, т_, m, v) определена в лемме 4.3, является главным членом
некоторого сингулярного асимптотического решения уравнения (4.1) по
mod 0Т+»т- (Л^2); М—произвольное натуральное число. При этом,
если | eiS+t\± | < скр(0) (скр (у)—критическая константа функции у),
то функция и является главным членом гладкого по xt t формального
асимптотического решения уравнения (4.1).

ГЛ. IV. УРАВНЕНИЕ КАДОМЦЕВА — ПЕТВИАШВИЛИ 353
Из леммы 4.8, с учетом определения функций и^ (4.7),
получаем доказательство теоремы 4.5. Доказательство теоремы 4.6
опирается на леммы 4.3—4.5 и проводится аналогично доказательству
теоремы 3.2.
§ 6. Уравнение Кадомцева—Петвиашвили. В этом
параграфе (без доказательства) приводятся формулы для
семейства асимптотических решений уравнения
Здесь а=£0, Р=#=0, X — некоторые вещественные
параметры. Уравнение является обобщением известного
уравнения Кортевега — де Фриза на двумерный случай и
впервые было введено в статье [14] Кадомцева и Петвиашвили
в предположении, что характерный масштаб по оси у
много больше масштаба волны по оси #. Следуя [13],
будем называть уравнение (4.37) уравнением Кадомцева —
Петвиашвили. В статье [13] построены решения (в том
числе и комплексные) уравнения (4.37) солитонного типа.
Теория комплексного ростка, развитая в первой части
книги, и метод гл. III второй части позволяют найти
новый класс асимптотических комплексных решений
уравнения (4.37), сосредоточенных в окрестности прямых.
Заменой t — t'a, х = х\ y = $y'h, u = u'—уХ, где
h—+ + Q—малый параметр, приведем переменные в
уравнении (4.37) к одному масштабу и само уравнение (4.37)
к виду
Т ыуу = h% Тх {и* + 4 и*и + Т и*хх) (4'38)
(штрих у новых переменных мы опускаем). Основной
результат этого параграфа сформулируем для
уравнения (4.38).
Теорема 4.7. Существует семействоt-периодических
сингулярных асимптотических решений по mod От (/г00)
уравнения (4.38). Главный член этих решений имеет виде
I е,р{,(<ЦМ1+|+')Ь \
(4.39)
12 в. П. Маслов

354 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
где
S0=a1x + a2y+lb(^x + ^(ii + 3a1V-al)yx
x(l_2(V-al)^)-\ (4.40)
Ф° V\-2{V-A)bya? h ^ 1-2 (y-fibya? /Х
ХНЛ 7A ^ j- и-1 , (4.41)
o^O, a2 = 2 j/^i + ^^-^fl}. И, to,
V—вещественные, Ь, cv, т—комплексные параметры,
причем lmft>0, Hv(z) — полиномы Эрмита,
N—фиксированное число.
Если tgR « cv удовлетворяют неравенству
|^/лФо|<2аг, (4.42)
то функции (4.39) являются главными членами гладких
по х, у, t асимптотических t-периодических решений
уравнения (4.38).
Отметим, что функция и0—-j^V равна 0(Я°°) вне
окрестности прямой За2х + 2y(\i + 3axV—al) = 0, причем
радиус этой окрестности имеет порядок ~Л1/2~б/(1+#2),
8 — + 0.
Рассмотрим функцию (4.39) в случае, когда N = 0,
(D==K=Imco = T = 0, c0>0, b — i, ^=1, fJt = 1.
Неравенство (4.42) в этом случае принимает вид с0 < 2.
Рассмотрим множество особенностей функции (4.39).
Этим множеством являются точки xk(t), yk(t)f лежащие
на кривых, определяемых уравнениями
x=±VUVT+4y~* ]/ln(c0/2)-^-ln(l + 4#2). (4.43)

ГЛ. IV. УРАВНЕНИЕ КАДОМЦЕВА - ПЕТВИАШВИЛИ 355
Координаты ук этих точек находятся из уравнений
^ + y±K^KTq^]/ln(c0/2)-lln(l+4^) +
+ 2yh (in (cQ/2)-1 In (1 + V)) -j arctg (2y) = яМ.
Как видно из приведенных формул, особенности
функции и0 (4.39) находятся на расстоянии nh друг от друга
и движутся по кривым вида (4.43) со скоростью и~
--7?(1 + 0(Л)).
Аналогичными свойствами обладают функции и0 вида
(4.39) и в общем случае.
Задача. Получить методами, изложенными в гл. IV, V ч. I и
гл. III этой части, семейства решений (4.39).
12*

Глава V
УРАВНЕНИЕ КРИСТАЛЛА
В этой главе будут построены семейства
Апериодических решений системы уравнений одномерной
кристаллической решетки.
§ 1. Постановка задачи и формулировка результатов.
Рассмотрим одномерную кристаллическую решетку,
образованную 2N колеблющимися атомами массы т, центры
равновесия колебаний которых расположены на
(различных) расстояниях а/+и/9 / — О, ±1, ..., ±(N— 1), N
друг от друга. Предположим, что:
kt) расстояния между соседними центрами равновесия
мало отличаются друг от друга: dj+1.- «Я/,/-! и что:
k2) атомы взаимодействуют лишь с ближайшими
атомами, причем для простоты будем считать, что:
ks) кристаллическая решетка «замкнута», т. е. что
атомы с номерами — N +1 и N взаимодействуют с
атомами, номера которых есть —N + 2, N и N—1, —N+1
4 соответственно. Последнее очевидно эквивалентно
предположению о том, что центры кристаллической решетки
лежат на некоторой окружности. Для удобства в
дальнейших вычислениях будем предполагать*), что:
£4) радиус этой окружности равен 1, так [что
# def
2 aj+u/ = %n и aj+uj~h~nlN\ число h будем на-
j=-N+l
зывать характерным расстоянием между центрами
решетки. Пусть Uj(t)9 / = 0, ±1, ..., ±(N— 1),
N—отклонение /-го атома в момент времени t от положения
равновесия, тогда система уравнений Ньютона колебаний
*) Это предположение несущественно.

ГЛ. V. УРАВНЕНИЕ КРИСТАЛЛА
357
атомов решетки с учетом квадратичных и кубичных
членов имеет вид
dt* ~~ ла "^
+ ft2 +
/ = 0,±1, .... ±(tf-l),tf,
de! def def
ГДе UN=U„N, tlN+1~U„N+li u-N-l~UN-i> CJ+U/' CX/ + l,/>
P/+i,/—некоторые вещественные константы.
Считая, что:
&5) число атомов в решетке очень велико, построим
асимптотические при N—><х> (или h—*0) ^-периодические
решения системы (5.1). В силу нашего предположения
о слабом различии расстояний между соседними атомами
существуют гладкие вещественные 2я-периодические
функции*) с(х)>09 а(х) и $(х) такие, что в точках
х = (/+1/2)Л
с2 (('+т) h) =яС?+1»'*' а((/в + "2") Л) ea/+i./'
Будем считать, что узел с номером / = 0 является точкой
наибольшего сжатия кристалла, т. е. что:
k9) функция с (л:) имеет максимум в точке # = 0.
Обозначим с0 = с (0), с'о = с" (0) и р0 = р (0).
Определим аналогично гл. II этой части сингулярные
асимптотические по mod От(/гЛ,/2) решения системы (5.1).
Теорема 5.1. (Об околовакуумном семействе **)
решений системы (5.1).) При приведенных выше условиях
Ю—Ю для любого натурального числа М существует
семейство условно t-периодических сингулярных асимпто-
*) Функция с2 (я) есть скорость распространения звука в кои,*
сталле.
**) См. Введение,

358 Ч. И. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
тических решений по modOx(hM^) системы (5.1) с
периодами
7\,- , 2з\ - + 0(h),
2C0-h(^+±)V--c0cl
v—натуральное, не зависящее от h число. Главный член
этих асимптотических решений имеет вид:
L
uf{t,h) = (-iyy£iCvexp\i \j(Q(v°>t +
-^(ic.exp{.-^(ai«(+./i|;.)+r])x
здесь / = 0f ±1, ..., ±N—1, N—номер узла решетки,
Cv, т—комплексные параметры, Hv(z)—полиномы Эр-
мита, L—фиксированное натуральное число,
Q<» = 2c0-h (v + |)K=v;. (5.2')
Если rgR« параметры Cv удовлетворяют условию
Г„>КРо(
supr
v=0
)•
(5.3)
то функция (5.2) является главным членом гладкого по t
условно t-периодического асимптотического решения си-
стемы (5.1),
Заметим, что при р—>0 построенное семейство
решений переходит в околовакуумное семейство линейной
системы уравнений Ньютона для кристаллической
решетки, т. е. семейство решений вида:
2Cvexp{/Q<?>/}£v,
где lv образуют асимптотически полную (см. Введение)
систему собственных функций оператора линейной

I
ГЛ. V. УРАВНЕНИЕ КРИСТАЛЛА
359
кристаллической решетки
del
(Lu)j - [cj+lty (uJ+1 - uj) - cf^.i (иу - tij-jyh*. (5.4)
Отметим, что вне окрестности нулевого узла решетки
(/ = 0) радиуса ^Л1/*-*, б—* + 0 (/~ /i"1/2*6),
функция (5.2) равна 0(h°°), т. е. полученное 'решение
системы (5.1) сосредоточено в окрестности нулевого узла
кристаллической решетки, и что в построенное решение
не вносят вклад квадратичные члены.
В том случае, когда неравенство (5.3) не выполнено
и когда параметры Cv принимают некоторые дискретные
значения, функции (5.2) имеют особенности,
расположенные в окрестности нулевого узла решетки (/ = 0), причем
радиус этой окрестности имеет порядок ~ /i1'2-6, б—► + ()
(или номера / решетки имеют порядок h*1^*6).
§ 2. Построение сингулярного асимптотического ряда.
Задачей этого и последующих параграфов является
построение решения (5.2). Это построение опирается на
вспомогательные утверждения, доказательство которых мы
опускаем, поскольку они практически не отличаются от
доказательств соответствующих лемм гл. I, III, IV.
Введем функцию и (х, t), принимающую в точках х~ jh
значения u(jh9 t) = Uj(t), и, используя соотношение
expjt {— iftgj)}«(*. t) = u(x + ht t), (5.5)
перепишем уравнение (5.1) в виде
псевдодифференциального уравнения:
+«"»(-tk)[«w(»u.(-ts)«)']-
-«■•<■> (»f I) ИИ-4|) .)•]-.<>. (5.6)
и(х + 2п, t)==a(x9 t).
Очевидно, функции Uj(t> т) = а(/А, /, т) будут
сингулярными асимптотическими решениями системы (5.1), если
функция и(х, t, т)—сингулярное асимптотическое реше-

360 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ;УР-НИЙ
ние уравнения (5.6). Таким образом, задача построения
сингулярного асимптотического решения системы (5.1)
сведена к построению сингулярного асимптотического
решения уравнения (5.6). Будем искать решение
уравнения (5.6) в виде (здесь используются обозначения
гл. II):
u^eis»'h%yk(x,x,t,h), © = -Ид. (5.7)
/5=0 ОТ
где S(x9 t)€C°°9 yk£T—новые неизвестные функции,
удовлетворяющие условиям
ImS(x9t)>0; ук = 01№)-
м °°
Обозначим ум = 2 Ун\ У = 2 Ун-
При построении сингулярного асимптотического
решения уравнения (5.6) нам понадобятся формулы
коммутации псевдодифференциального оператора Н (х, ihd/dx)
с экспонентои и разложения по коммутаторам функции
от операторов (/С-формула). Указанные формулы
приводятся в [34, 68].
Подставим функцию и в уравнение (5.6) и
воспользуемся формулой коммутации оператора с экспонентои,
в результате получим:
1 3
*•*{- (ib-»J)"ft +4si„ (if-f!)x
3
v, 9/\ • {Sxd> ih д\~ . Q. . /Sx - ih d\ ,\
X
x [(- (¥*-!!) i)*]-»"" fri-T*)"**
х[(-(**-#!) *)']}-°-
Обозначим выражение в фигурных скобках через 3 (у)
и преобразуем его с помощью /("-формулы и формул ком-

ГЛ. V. УРАВНЕНИЕ КРИСТАЛЛА 361
мутации. Для любой g£T справедливо разложение
(см. [34, 68]):
sin (^->/ia^ = siti^gT(-iA)x
4? ™ ¥£-■** 8fa¥s~] *-
-(-^lsin(if)S + (-^B1 +
м-\
+ S (-ih)k+*Bkg + hMBMg.
Здесь Bk> ft=l, ..., M—1,—дифференциальные
операторы по переменной х порядка не выше k с гладкими,
не зависящими от h коэффициентами, Вм—линейный
оператор, такой, что для любой функции ф = 6|2(Ла)
Отсюда получим:
3 (У) = { (- »25? + 4* (*) (sin Ь. ш)2) у +
+ 8ia (x) sin (£f.) (sin (^-) у)2- 16p (x) sin (% S) x
X (sin (b.S>) l)^ + (-ih) {_2St0^-
+ c*S^ cos (Sx<o) щ + -^ sin (S, (о) г/ V +
+4М¥)И¥)*)'-
-48psin(2ф-)(sin^ j)'os- lepG(sta%Sjj)'+
+«SM¥) (-¥*)'}-

362 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
-(-Щ* {|f--c*cos(S^)-g|} +(- ihYR^) +
+ 2 {-ih)^Rk(y) + h^QMCyh (5.8)
fc=2
гдеб^— ^yc°s-f-^—-§■ со sin ^Sxxj,
^(^—нелинейный оператор, переводящий функцию # в полином
не ниже второй степени по */, ду/дх, д2у/дх2 с
коэффициентами, гладко зависящими от х и аналитично от а>.
Rky k = 2, ..., М—1,— нелинейные дифференциальные
операторы по переменной х порядка не выше k с ана-
литичными по о, гладкими по л: и не зависящими от h
коэффициентами, QM—нелинейный оператор такой, что
для любой функции Ф = б52(^а)
$лФ = ®,(Ла-л/1). 2а^М.
Введем следующие обозначения (см. (2.3)):
а) V(xft) = tfr; <р(*. t9h) = ttf>.
Здесь */0(т, #, /, Л) — нулевой член в разложении (5.7).
б) Через J?lf ^2, Sz обозначим операторы,
действующие по формулам (ср. со слагаемыми в (5.8),
заключенными в фигурные скобки):
<?$ = 4с2 (— sin3 {^f ) 0^ + sin2 (^р) ф) +
+ 16asin [Щ [(sin (*f ) у.) sin (%») ♦] -
_4фз,П(^) [(sin (^>„)%i„ (*#)*],
— ic* (2 sin (S^) U + S** cos (S*w) юя|>) +
+ 16/cc sin ($f) (sin (■&£) ^0Йг|) +
+ 6yesin(^5)) + (l6/a6+8-gcos^)x

ГЛ. V. УРАВНЕНИЕ КРИСТАЛЛА
363
X (sin (%•) у0 sin (Щ *) -Щ sin (*p) х
(sin ^ у,)' &|> + 2 sin ^ *,0G*/D sin %Ч] -
-48pG[(sin^f«/0)8sin^a|>] +
&А =W~C C0S (S*®) 1SF
в) Через П и L обозначим операторы
n=i(2S*|-+s»-ca(2sinS*^+s**cosS*)-
-J'lrsinS*-8l'a(sinaT-)C0Sx-£) •
I=S-ca(cosS*>5:
г) Через Rk обозначим функции
#* = ^(&). гДе Я*=2й,-
п=0
Легко видеть, что для любой функции geT1
(j£rf)(1, = 2fflg<»-8te(x)sin«%cos^9(*, f, A)^,
(^3g)<0)=£g(0>.
Лемма 5.1. Пусть функции S, рх, у„, ..., ум
удовлетворяют системе соотношений
SJ—sin*(Sx/2)-05i(A3/2), (5.9)
P,=»as/ax+of,(Ai/«),
-4с2 sin2 (-^) о2(/0 + 4с2 sin2 (^) «/0 +
+ 8/asin(£|»)[(sin^,o)8]_
_16Psin(^.)[(sin^-^)3]=0, (5.10)
(^1Jrh^2 + h^i)yk-Rk.1^Ok, (5.11)

364 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
где
И~ м
Тогда функция uM — eh 2 Ун является сингулярным
£=0
асимптотическим решением уравнения (5.6).
Доказательство этого утверждения следует из
равенства (5.8) и проводится аналогично доказательству
леммы 3.1. Его мы опускаем.
§ 3. Построение главного члена сингулярного
асимптотического решения. Уравнение (5.9) есть уравнение
Гамильтона—Якоби. Предположим, что для функции с (х)
выполнены предположения теоремы 5.1. В этом случае
некоторые из решений этого уравнения имеют вид (см. § 2
гл. VI ч. 1):
S = 5^ = ±2c0t + n(2m + l)x + iV—c№0/cQ х\ (5.12)
где т = 0, ±1, ..., со=с(0), с"о = с"{0). При этом
функцию рх в (5.10), очевидно, можно положить равной
я(2т+1).
Таким образом, уравнение (5.10) в случае, когда S
имеет вид (5.12), следующее:
4с2£0 № + с*[2у0 (ч)—у0 (т+п+2лт) — у0 (т—я —2ят)] —
—<*[(#о (*+я+2гоя)—Уо (х)У—(у0 (т)—у0 (т—я—2ят))2]—
-Р[(Уо(т+^ + 2зхт)-у0(т))з-
— Ы*)—0§(т—я—2ят))»] = 0. (5ЛЗ)
f Мы воспользовались равенством
2/ sin ( (-| + ят) юJ у0 (т) =
= #о(* + 1Г+ят) — Уо(*—у— ят).)
В силу требования 2я-периодичности функции у0 (т+я +
+2я/л) = уь (т—я—2ят) = у0 (т + я), и, следовательно,
уравнение (5.13) может быть записано в виде:
у.№+ъ{уЛ*)-у*(*+п))+-& (Уо(*)-Уо(-*+п)У=о
(5.14)

>
ГЛ. V. УРАВНЕНИЕ КРИСТАЛЛА
365
(выражение при а в (5.13) обращается в нуль). Полагая
в (5.14) т = т' + я, получим, что функция у0Ь + я) должна
удовлетворять уравнению
£.(*+я) +т (У. (т + Jt)—г/0 (т)) + JL Q,e (т)_л (т+я))3=0.
(5.15)
Складывая уравнения (5.14) и (5.15), получим
Sfo(T)+ifo(* + n)==0.
Отсюда и из условия 2л>периодичности у0 следует, что
*/o(t+*0 = -*/0(t) + 2V, (5.16)
где V (х, у) = Уо0)—некоторая не зависящая от т гладкая
функция. Используя (5.16), получим, что функция у0
удовлетворяет соотношению
yo+(yo-v)+f{yo-vy=o,
причем ищутся положительночастотные решения этого
уравнения. Согласно § 4 гл. I эти решения следующие:
С 1 , у
Уо~1 VWcos(T+i\nc-i\n{Y^$]2)--i\nq>(x, t, h)) + '
где ф(х, t, h)£C°° {R2x(0, 1]) —некоторая функция.
Воспользовавшись формулой Эйлера, соотношениями
с2 (х) = с2 (0) + Os2 (А), Р (х) = Р (0) + 0St (/i1/2) и формулой
Тейлора, последнее равенство запишем в виде (см. £в)
gN(*>') + V + 6h(h4*). (5.17)
1—Ео ^т ,( f h)
2cl
Тем самым нами доказана следующая лемма.
Лемма 5.2. Пусть функция S(x, t) имеет вид
(5.12), тогда решение уравнения (5.10) существует и
имеет вид (5.17). Критическая константа скр(у0) этого
решения равна К2с0/К|Ро1-

366 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
В случае, когда 5 (х, t) имеет вид, отличный от (5.12), решение
уравнения (5.10) не удается выразить через элементарные функции,
и справедливо следующее утверждение.
Лемма 5.2'. Пусть приближенное решение уравнения
Гамильтона—Якоби (5.9) S(x, t) для любого k = 2, ... удовлетворяет
неравенству
L2sin2^*,0_sina^(*.0fe2
..ms=o>c» <5Л8>
где сг—константа, не зависящая от k.
Тогда существует и единственно решение у0 уравнения (5.10) из
класса Т0, удовлетворяющее условиям
y«»=V(xt 0. У?> = 1. (5.18')
При этом для любого мультииндекса v выполнено неравенство
CkVu o4^)^CKv(XiUyQ)'
Любое другое решение у0£Т уравнения (5.10), удовлетворяюшее
условию
у»)= lim y0 = V(x9t),
Im т -»• да
может быть представлено в виде
где q>(Xy t% h)£C°° (Я2Х(0, \])—некоторая функция.
Доказательство этой леммы проводится аналогично
доказательству леммы 3.2.
§ 4. Построение высших приближений. Аналогично
§ 4 гл. III и гл. V для построения функций yk в (5.7),
k^l, достаточно указать способ отыскания решений
уравнения
j?tw + hj?jv + h*j?jv—/? = б|а(/г*/2 + 1/2), (5.19)
где w—неизвестная; R=6s2(hk/2) — заданная функции.
Способ отыскания решения уравнения (5.19) опирается
на следующую лемму (ср. с (3.30)).
Лемма 5.3. Пусть у0£Т—некоторое решение
уравнения (5.9) и F£T—некоторая функция,
удовлетворяющая условию /7(0) = /7(1> = 0.
Пусть выполнены условие (5.18) и неравенство
скр(х, t, h, F)^cKp(x9 t, h, y0). Тогда в некоторой
окрестности множества ImS = 0 уравнение S^^F,

ГЛ.У. УРАВНЕНИЕ КРИСТАЛЛА 367
•ф€7\ г|)(0) = «ф(1) = 0 имеет единственное решение, причем
скр(х, t, К *)>cKp(x, t9h, y0).
Любое другое решение ty£T уравнения 3?{§ = F может
быть выражено через функцию г|> равенством гр =
= V + rj/o + rtf где гх(*. 0. М*. 0€C°°(#2X(0, l]) —
некоторые функции.
Это утверждение доказывается аналогично лемме 3.2.
Предположим, что R удовлетворяет условиям
'&" = ()(№*•**), R{1) = 6sAhk/2+1)-
Обозначим через G1 оператор, левый обратный
оператору &х с областью определения D (J^) = {i|> € Т 1i|>(0) =
=:<ф(1>=0}.
В силу леммы 5.3 оператор Gx существует и
единствен на множестве R (J2\) = {F € Г | Лв) = F(1) = 0}.
Пусть функции rx(x, t, /i) = 6(/i*/2) и re = 6st(ft*/a)
удовлетворяют соответственно волновому уравнению
(с правой частью) и обобщенному уравнению переноса
h*(d*rjdt2—а2Г!/ал:2)=-^о + 6(^2+5/2), (5.20)
~ S S
2/т(г2ф)=г1/1^(г2ф) + 8//га81п2-^-соз-^-ф(л;, t> h)r1 +
+ R{1) + eSi{hk/2+d/2)- (5.20')
Введем функцию w=b1 (R—Rm—R{1)ei%) + гх + г2у0.
Обозначим через Ф левую часть соотношения, полученного
в результате подстановки в (5.19) функции w.
Следующая лемма является аналогом леммы 3.3.
Лемма 5.4. При приведенных выше условиях
функция w является решением уравнения (5.19), т. е. Ф =
= &s (/ife/2 + 1/2). При этом имеют место соотношения:
№=бЪш(№*)9 Ф(о> = 0 (&*/» + »/*), <D(l) = 0Si(fth/a + 8/1)-
Доказательство этого утверждения следует из
леммы 5.3 и проводится вполне аналогично доказательству
леммы 3.3.
Применим лемму 5.4 к уравнениям (5.11).
Рассмотрим случай k=L Вычислим коэффициенты R{00} и R^K

368 Ч. II. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УР-НИЙ
Имеем:
*. - -(*!-» £)"*+4й. (%J-||) «■ х
*-(¥-т!)*+«"»(¥-'те)*
x[»(s'"(¥-4l)*)']-'^>-(¥-4s)x
х[»(-.(зр-/4|)*Я.
Отсюда, в силу того, что функция (/„ является решением
уравнения (5.10), получим аналогично (5.8):
#<°> = ft* d*V/dt*—Ji*c* dWjdx*+О (Л3),
R?> = ih(2St$ + Sn4>-2c*smSx^-c*SxxcosSx<p-
-A^cosS^g + Os,^2).
Условия леммы 5.4, следовательно, будут выполнены
в рассмотренном случае, если потребовать, чтобы
функции V и ф удовлетворяли соответственно уравнениям
д*У№*—с*д*У/дха = 0, (5.21)
s< Ж~с*sin ^|~Т¥ sin s** +
+ S*v-^cosS,«p-4tesin«!^q> =
= Т (sF~c2 cos 5* SO + 0S- (/tV*>- <5'22>
Уравнение (5.21), очевидно, есть волновое уравнение,
а уравнение (5.22)—обобщенное уравнение переноса.
Применяя затем последовательно лемму 5.5 к
уравнениям (5.11), k = 2, ..., используя при этом лемму 5.1,
аналогично § 4 гл. III получим следующую лемму:
Лемма 5.5. Пусть функция V(x, t)—решение
волнового уравнения (5.21), а функции S(x, t) и (p(#, /, h)—
приближенные решения уравнения Гамильтона—Якоби

ГЛ. V. УРАВНЕНИЕ КРИСТАЛЛА 369
(5.9) и обобщенного уравнения переноса (5.22), и пусть
функция у0£Т0 удовлетворяет уравнению (5.10) и
условиям (5.18'). Тогда функция
Uo = y0(S/h—Ппф+т) (5.23)
является главным членом сингулярного асимптотического
решения уравнения (5.6). Если tgR w выполнено условие
\eiS/h<p\ <cKV(x, t, h), то функция (5.23) является
главным членом гладкого по х и t асимптотического
решения уравнения (5.6).
Из этой леммы следует доказательство утверждения
теоремы 5.1 в случае М = 3. В самом деле, функция
Vs==0 является решением волнового уравнения (5.21),
далее, в силу предыдущего, функция S(x, t)=mSf± (5.12)
является решением уравнения Гамильтона—Якоби (5.9),
а функция у0 (5.17) — решением уравнения (5.10).
Наконец, функция
L
Ф = 2 Cvехр | — i (х + тг) V—Wlt] X
xHv{x/V2hV — cl/Co),
где Hv {z)~полиномы Эрмита, есть решение уравнения
переноса (5.22) в силу утверждений § 3 гл. VI ч. I,
причем в узлах x = nh функция
(при любых целых т) совпадает с функциями (5.2).
Доказательство теоремы 5.1 в случае М>3
проводится аналогично доказательству теоремы 3.2 с
использованием результатов § 11 гл. VI ч. I.

ТАБЛИЦА АСИМПТОТИЧЕСКИХ СПЕКТРАЛЬНЫХ СЕРИЙ
1) Спектр водородоподобного атома, отвечающий экваториальному движению нерелятивистского электрона
Ь Координаты ?а
и метрика gaP
gtr=r, 0 < г < оо,
<72=0, 0 < 9 <я,
?9=Ф, 0< ф < 2я,
g"=l, $" = /-*,
g33-r-2 sin~20.
5. Показатели Флоке и
условия существования
ростка
2. Скалярный и векторный
потенциалы
ф=£!Л
Г
6. Эталонный базис
на г* (E)fTA1 (Е)
3. Инвариантное семейство
Л1 (Рф)
/>('. Рф) = (0> 0, рф),
QiU Рф) = (г., я/2, св,0.
о)о=1 Рф!/^
7. Циклическое действие
6)1 = 1 рф'Й1Го' il = (tm1u>1, 0, 0, 1, 0, 0)tr, 5 = рфф + (шг/2) (©i (г-г0)» +
o. = |Pvl/mrJ; 5t = «>, imrl**> °' >. °)tr +®вг5(в-я/2)«)
z >:o
Примечание. Квазиклассическая серия собственных значений (1) (см. стр. 379)
отвечает асимптотическому разложению точного спектра Еп t п при п -*> 0, л, -> оо,
n^—l/h, ft-*0, \m\-riy где я^-орбитальное, «г-радиальное, яг-азимутальное
квантовые числа; асимптотика известных точных собственных функций, приведенная в (3),
является новой.
4. Классическая энергия
и множество £*
Яо(Рф) = -mZ442p\
8. Операторы рождения и
уничтожения
At=exp (-toj* (?)) (-Л*/*х
X (2та1)-1/*д/дг+
+ ih~*J* (2то)!)1/2 (r-r0))J
Ла=ехр (-io>2* (<7)) (-tft»/2x
X(2mrJ©f)",/«a/de +
+**/* (гтг^ю*)1/2 (в-я/2)).
Л1=ехр (totf (?)) //х1/2Х
Х(2т(й1)-*/2^/дг,
Л8=ехр Cico2/ (<7)) Л1,вХ
X(2mrg©t)-*/*d/de

2) Спектр релятивистской бесспиновой частицы в циклическом ускорителе (с мягкой фокусировкой).
Координаты 0а и
метрика g
аЭ
2. Скалярный и векторный
потенциалы
3. Инвариантное семейство
Л1 (Рф)
4. Классическая энергия
и множество JJ*
<71 = р, 0 < р < со,
<72=z, z eR,
<73=ф, 0< ф < 2я,
g« = l, g22 = l, g8»=p-
л3=
'2-9
пЯ~1'
&>0, ?eR
Р (*, Р<р) = (0, 0, рф).
Q (*» Р<р) = (р«, О, ю00,
/*<2-«г)р„Д'
_2£оЯ(Ро)
00 -. ^
_1
2-q
£'о(Рф)=('«ос4+(^)2Х
х/С(2-д)Рф\2(1-9)/2-<7у/^
V е0Ь (1-^7) / /
flf = V.
Показатели Флоке и
условия существования
ростка
6. Эталонный базис на
г* (Е)/ТЛ* (Я)
7. Циклическое действие
8. Операторы рождения
и уничтожения
О <(7< 1
^(tGh/2, 0, 0, 1, 0, 0)tr,
S«=(0, tot/2. О, 0, 1, 0)tr
Р+С/4) (о» (Р~Ро)2 +
+ ©22*)
Примечание. Формулы (1)-(3), (4) дают квазиклассическую серию
энергетических уравнений и собственных функций, которая полностью определяет
интенсивность синхротронною излучения релятивистских бесспиновых частиц в циклических
ускорителях. Эта серия получена в [47] методом разделения переменных в
гармоническом приближении.
Лу=ехр {-tojt (<7))X
X {-ihll2<j>Jll2djdq.+
+Л-1/1в//а(^-ауо)).
Лу=ехр (mjt(q))X
Xih1/2vf1/2d/dqj, /=1,2

3) Нормальный (квадратичный) эффект Зеемана для экваториальных (круговых) орбит электрона
в водородоподобном атоме.
1. Координаты qa и
метрика ga&
Те же, что и в 1)
5. Показатели Флоке и
условия существования
ростка
X(4p|-3mZe2r0)1/2 ,
*2=(ZeVm)l/2r0~V2;
Z> 0
2. Скалярный и векторный
потенциалы
ф=2ЛИ, 1
г
А^Щ-rsinQ
6. Эталонный базис на
г* (Е)/ТЛ* (Е)
Тот же, что ч в 1)
3. Инвариантное семейство
А* (Рф)
я=<о. о, Рф),
Q=(rB, я/2, ю0/),
«•=Рф («^"^©л-
г0-корень уравнения
m2(0^r*+mZeV~p^ =0
7. Циклическое действие
j To же, что и в 1)
4. Классическая энергия
и множество £*
-Ze»(2rt)->
8. Операторы рождения и
уничтожения
Те же, что и в 1)

4) Спектр для круговых орбит нерелятивистской частицы в поле электрического диполя и однородном
магнитном поле.
1. Координаты qa и
метрика g
ар
2. Скалярный и
векторный потенциалы
3. Инвариантное семейство
А1 (Рф)
4. Классическая энергия и
множество £1
Те же, что и в 1)
Ф=Р cos 9r~*,
At=H0r sin 0/2
Я=<0, 0, рф),
Q=(r0, во, ©в0»
tge0=^2,
гв=((т©*)-М&+а))1/4.
а=Г"з*Р, ^9p*/4/n
3/2 |рф|>(Гзт|«Р |)V2
ьрф)
5. Показатели Флоке и
условия
существования ростка
6. Эталонный базис на
г* (Е)/ГЛ* (£)
7- Циклическое действие
8. Операторы рождения и
уничтожения
"1, 2-
/2Ь+а _
•« (тйгт
16 а N1/241/2
3 &+а J J
еР<0
х©| r^-toyX
Х<-©5 + 8/3©*), О
(32 V~i /9) o^wrj"1,
+ 8/3©*)..0)tr
/=1. 2
5=РфФ+*т (2 (%+©*))-XX
X((©!©,+ (8/3) ©*)(r-re)*+
+ ©!©2+(4/3) ©д +
+ 2Vz(mr*)-*\eP\)X
XrJ(8~9e)*+(8^"2/3)X
X©*r0(r-re) (6-9e))
(J
V2<»*
"©/(r-r.))-
-2v
Ay=exp (-icy (<7))
x(-<Vft3w-*d/drrWA-
- (-©J+WsxdIh-»1/* <mrj)-»d/de-
-<2А-*а>у(е-е0)».
exp (toy (g))( 3 m\l-M>tnWr) +
+ (-©f+(8/3) ©2)^1/2 (mrJ)-i d/de))*
/«1. 2

5) Спектр релятивистской бесспиновой частицы, отвечающий экваториальным орбитам в поле
магнитного диполя и однородном магнитном поле.
1. Координаты <7а и
метрика ga*
Те же, что и в 2)
5. Показатели Флоке и
условия существования
ростка
^((^рЗ+^)х
*(-f^f ))1/2*
ЗеМ / еН о еМ\„
»■=— (""Г ро+—)Х
Я < 0
2. Скалярный и векторный
потенциалы
Л3=рМ (р2+2*) 3/2 + #р/2,
Л* >0
6. Эталонный базис на
г* (£)/ГЛ» (£)
3. Инвариантное семейство
А1 (Рф)
Я=(0, 0, рф),
Q=(Po. 0, oV),
р0—корень уравнения:
Щ Р.+Р(рр-£1л*=о,
2 / еН .
<Й0='р|("Т7Р"+РфРв~
7. Циклическое действие
4. Классическая энергия
и множество S1
Яо(Рф) =
=|/ m*c*+ cVo.4(2^Po-3eM/c)2
8. Операторы рождения
и уничтожения
Тот же, что и в 2) То же, что и в 2) Те же, что и в 2)
Примечание. Асимптотика спектра и собственных функций не равномерна по
Я-*0. При наложении электрического поля Ф (р, 2), Ф^2 (Р, 0) > 0 существует
несколько серий, отвечающих различным экваториальным орбитам и допускающих
предельный переход при Я -> 0. Взаимная ориентация Р и Н в этом случае произвольна.

6) Квазиклассический спектр, отвечающий круговым орбитам нерелятивистского электрона в поле заря-
женного монополя Дирака.
1. Координаты да и
метрика g
аЭ
2. Скалярный и векторный
потенциалы
3. Инвариантное семейство
Л* <Рф)
4. Классическая энергия
и множество £*
Те же, что и в 1)
Ф=
Z\e\
А 1 -cos 9 ^ ^ Л
л>=*7ЭТ' g>0
/>=(0> о, Рф),
Q={r0, ee, ©0о,
гв=(а*-&2) (mZe2)-*,
cos 0о=6а-1,
а=Рф+*о£/<?> b=e0g/c,
©o=(e2Zm)i/2r~3''2 sin-i 60
*о(Рф>=--2-
Z4*m
>(Ч+7*)
Рф > 0. Рф <-2ад/с
5. Показатели Флоке и
условия существования
ростка
6. Эталонный базис на
г» (E)fTA1 (£)
7. Циклическое действие
8. Операторы рождения и
уничтожения
©!= (Ze^/m)
1/2 -3/2
Тот же, что и в 1)
S=jc
©2 = (Ze*/m)
1/2 -3/2Ч
xsin-1 e0;
»ф+
2 з/2
о
Те же, что и в 1)
((г-г0)*+
Z>0
+ rJsin-ie„(G-ee)«)

7) Спектр (асимметричного) квантового волчка в однородном магнитном поле, отвечающий стационар- £}
ному вращению вокруг средней оси инерции. °>
1. Координаты qa и метрика
2. Скалярный и векторный
потенциалы
3. Инвариантное семейство
4. Классическая энергия
и множество S1
01=Ф, 0< ф < 2я,
<72=е, о< е <я,
?«=ф, 0 < ф < 2я
-переменные Эйлера;
Л созгф + /2 8т*ф
/j/a sin* в
sin Ф cosip (/i~/a)
(sin 6) /t/2
t*_ (/i cos* ф+ /a sin» ф) cos Э
,t _/t 8т*ф + /2соз»ф
s28 =-rrrsin *cos * d-7»)-
ix/2'»
g88 *. + J^ Ctg* в (/j COS* 1|) +
*3 '1'»
+ /,sin»i|>); /i </«</«
i42 = (/i-/t) sini|)X
X cos ф sin в©л ,
i41 = (/1 8И1*ф + /2С08*ф)Х
Xsin*e+/8cos*e,
A3=Iscose
*=<V О, О),
Q=(<«>•?» Я/2, О, или я),
Pro
*Я,
*<v-K^-«)'-
^*
jji
4W
If'
и
7* I «W >
1"а
/2
Х|юл |
Примечание. Серия, отвечающая критической точке 9=я/2, ф=я/2 (или Зя/2)
«эффективного» потенциала, получается из приведенных формул заменой /t <-> /2;
аналогично строится асимптотика при 1г > /2 > /2.
Подобным же образом строится асимптотика спектра в однородном электрическом
поле {эффект Штарка).

5. Показатели Флоке и
условия существования
ростка
• .
<Чз=т=х
*{&?+%>
*(Kp*W-
1 -<f*>
k»vW2r-
"♦♦=</,-/.>($;-&).
2
^рв=+7^гт;рФ:
/,(/,-2/2)<(/2-Л)2
6. Эталонный базис на
г* (Е)/ГЛ* (Б)
«Г
= (0, w</K w<J\ 0, 2</>, 1),
W<[> = lx (-©|/2/,+
+ яг|)ф/2"//'фрэ/»^ф) х
Х«Л-/2 + /8)рф)-1,
»^=/.(®/"*Рв/Л-
-яг|)«ф Рф+ Яфр 7^ф) х
4»=
= /2(-©^/8 + Я^ф~Я<фр /l)X
Х(^/(/1-/2 + /8)Рф)-1,
/=2, 3,
д1==(0, 0, 0, 1, 0, 0)
7. Циклическое действие
*-'*+»(ь"-У»)х
х[К'-Ч2') (е-т)'+
+ 2К»-ш'*>)(в~у)ф+
+K2,41)-tB31)42>)*!]'
J=g£ (co. + Ms) * ( z<l>-z«> >)
8. Операторы рождения
и уничтожения
Х \j~T ( " 2а(/) а/Э0+д/д^ -
\^1^>^^>
*4*(e-f) +
♦ К^-Ц2^*}]'
+ *©Л (?)
Лу= г . у X
х^~ <47) а/ае+ а/дф)
/=2. 3

8) Спектр уравнения типа Хартри: —-^ АЧ? + U0 (q)W+ W \ dyp(q, у) | ¥ |2 = £4f, q^Rq-
1. Координаты q„ и метрика
<7=(<7i. • ... Яп)е Rj*.
а, 0=1, 2, . . ., п
5. Характеристические
частоты и условия
существования ростка
©у, /=1, 2, .... /г-
собственные значения яХя-
матрицы
д2
х(с/.(*)+р<*. <гв))|^=<г§
2. Скалярный потенциал
Фо (Я) = U0(q) +
+ f P(<7, V) (ЧГ iv))* dy,
R"
С/0 (<7) —потенциал внешнего
поля,
р«7, ^)еС°°(Я2л),
\Р-волновая функция,
6. Эталонный базис на
гп(Еь)
bj={0, ...,toy, .... 0)tr,
2 у—собственные векторы
матрицы Vvf
ii Ь V»"1
3. Инвариантное семейство
Л»
Л»=(Р0> Qo).
Ро=(0. ...» 0)tr,
Q0-некоторый корень
уравнения
cty ду у *'
7. Действие и якобиан
J=detC
/г
/=1 ' J
J=detC, C=(2lt ...,2 )
4. Классическая энергия Е9
Eq=U*(Qo) + Q{Qo> Qo)
8. Операторы рождения
и уничтожения
хг+ Ущ<г1'д1дч>+
/=1, 2, .... л

ТАБЛИЦА 37g
Обозначения, использованные в таблице.
Здесь с-скорость света, m-масса (т0-масса покоя), /-заряд
квантовой (скалярной) частицы, е = _*0 < О-заряд электрона,
"0 = 1 п| — величина однородного магнитного поля, направленного
вдоль оси симметрии, шл = Ц^-_Ларморова частота, ^-параметр
фокусировки в фокусирующем магнитном поле Н (р)=6/р?
ускорителя, Р и М — проекции на ось симметрии электрического и
магнитного дипольных моментов, g—магнитный заряд монополя, //, * =
— 1,2,3, —моменты инерции относительно осей, жестко связанных с
волчком. В графе 2 приведены лишь не равные нулю компоненты
4-потенциала электромагнитного поля, в графе 4 на рисунках
указано множество 2<1> = ((£, рф), Е = Е0(Р(р)) (см. [46]) и заштрихована
область образа отображения #x/:Rp, q -» R^XRp , У = рф; в
графе 5 вычислены характеристические показатели Флокею/ =
2л 'Т(£) '
/ — 1, 2, Т (Е)— ^ , где %j{E) — собственные значения (не
равные нулю) матрицы в вариациях, со0 (£) определено в графе 3; в
графе 6 указаны векторы Ъу /=1, 2, которые определяют
эталонный базис a/t j=l, 2, на г3 (E)fTA1 (Е) по формулам ау =
= exp (/coy/ (<?)) |у, /(^)==ф/о)0, coy и-й0 определены в графах 5 и 3,
в пп. 1)—6) касательный вектор к Л1 (£) ранен (0, 0, 0, 0, 0, l)tr;
якобиан J = detC равен exp (/ (Ql -f со2) Ф/со0 (£)) в пп. 1)-6) и
ехр (/(®1 + ©в)ф/©о(^))£(г?| — 42))] в п. 7); производящие
векторы Ду, операторы Лу и Лу, /=1, 2, и якобиан J вычислены с
точностью до постоянных нормировочных множителей.
Асимптотические серии собственных чисел и собственных
функций оператора Шредингера, отвечающие в пределе при h -*0 ука- '
занным в таблице траекториям соответствующей классической
системы, вычисляются по формулам
^(Л)л,л,л, ^Ео + кЕг + О (Л2), (1)
£о = £о (Рф) j рф = kt {h)h),
2
£i = S */ <£o)(v/ +l /2) + *><> (*о) v3, (2)
\ К det J (t (q)t E0) \/g |Al (Яо) /
(3)
v=|vx, v2t v3), v/*=0, 1, .... gs=det||gapj; M^) —натуральные
числа, при ft ~*0 ^(А)^т-, c=const, Xfct,-V —нормировочная
константа.

380 ТАБЛИЦА
Для оператора Клейна — Гордона (в магнитном поле)
квазиклассическая асимптотика энергии ц (h) равна
I**, (ft), v(*) = £»+-^ + ° №• <4>
Для уравнения типа Хартри поправка Ех имеет вид (ср. [45]):
*i- 2 (v/± 1/2) ( «>/+-2^-( (C"1|^(Q«. «•> О)//) +
X[(L+ /)*£>+-!*{?-],
L-|v,-6,7[J, В = ||щ,в/у||, С= (*lf .... *„),
(»&)/= ~|^(Qo + C(2S)-1/^)|!/=o (v,+ l)/2-
-(aoy)-1^, V6v (Qo)>-
№-)* = -^& (Qo + C (2B)"1/» t/)U=o (v2//2)-(2co/)-1/2 X
x<*r vev(Q,)>-£^r(Q.+c(2S)-^4=0 x
X (1 -в,,) (2v/+ 1) v/, 9 (?) = -i£
<?</a
P-1^ (<?,<?) с
.(V/+1/2)
г=1
где t/ (9) = t/0 (9) + p (q, Q). Приведенные результаты вычислений
опираются на формулы §§ 2, 3 гл. VI, ч. I и §§ 4, 6 гл. I ч. II.
Серии, аналогичные пп. 1) — 7) таблицы, могут быть построены в
векторном случае (для уравнения Дирака или Паули) методом
первой части (см. также [9], [68]). В частности, можно получить
асимптотические (mod О (А /*)) серии спектра и собственных функций
релятивистского электрона в циклическом ускорителе (см. п. 2)).

ЛИТЕРАТУРА
1. Арнольд В. И., О характеристическом классе, входящем в
условия квантования, «Функц. анализ и его приложения», 1,
1 (1967), 1-14.
2. Арнольд В. И., Математические методы классической
механики, М., «Наука». 1974.
3. Б а б и ч В. М., Б у л д ы р е в В. С, Асимптотические методы
в задачах дифракции коротких волн. Метод эталонных задач,
М., «Наука», 1972.
4. Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции,
М., «Наука», 1974.
5. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А.,
Асимптотические методы в теории колебаний, М., «Наука», 1974.
6. В а зов В., Асимптотические разложения решений
обыкновенных дифференциальных уравнений, М., «Мир», 1968.
7. Гольдман И. И., Кривченков В. Д., Сборник задач по
квантовой механике, М., Гостехиздат, 1957.
8. Давыдов А. С, Квантовая механика, М., Физматгиз, 1969.
9. Данилов В. Г., Маслов В. П., Квазиобратимость функций
от упорядоченных операторов в теории псевдодифференциальных
уравнений. «Современные проблемы математики» (Итоги науки
и техники), М., ВИНИТИ, 6, 1975.
10. Доброхотов С. Ю., Маслов В. П., Комплексные решения
уравнения Sine—Гордона с переменными коэффициентами, УМН,
30, 6(1975).
И. Доброхотов С. Ю., Маслов В. П., Некоторые
приложения теории комплексного ростка к уравнениям с малым
параметром.— «Современные проблемы математики» (Итоги науки и
техники), ВИНИТИ, 5, 141—207, 1975.
12. Захаров В. Е., Фаддеев Л. Д., Уравнения Кортевега—де
Фриса — вполне интегрируемая гамильтонова система, «Функц.
анализ и его приложения», 5, 4 (1971), 18—21.
13. Захаров В. Е., Шабат А. Б., Схема интегрирования
нелинейных уравнений математической физики методом обратной
задачи рассеяний I, «Функц. анализ и его приложения» 8,
3 (1974).
14. Кадомцев Б. Б., Петвиашвил и Б. И., Об устойчивости
уединенных волн в слабо демпфирующих средах, ДАН СССР
192, 4 (1970).
15.с К а р п м а н В. И., Нелинейные волны в диспергирующих средах,
~М., «Наука», 1973.
16. Колмогоров А. Н., ФоминС. В., Элементы теории
функций и функционального анализа, М., «Наука», 1972f

382 ЛИТЕРАТУРА
17. Корепин В. Е., Фаддеев Л. Д., Квантование солитонов,
ТМФ, 25, 147 (1975).
18. Коуэл Дж., Методы возмущений в прикладной математике, М.,
«Мир», 1972.
19. Кравцов Ю. А., Комплексные лучи и комплексные каустики.
Сб. трудов IV Всесоюзного симпозиума по дифракции волн,
М., «Наука», 1967.
20. Кравцов Ю. А., Комплексные лучи и комплексные каустики,
Изв. вузов, Радиофизика. 10, 1283 (1967).
21. Крахнов А. Д., Асимптотика собственных значений
псевдодифференциальных операторов и инвариантные торы, УМН, № 3,
(1976), стр. 217—218.
22. Крахнов А. Д., Собственные функции, сосредоточенные в
окрестности условно-периодической геодезической. Методы качеств,
теории дифф. ур-ний, Сб. статей, вып. 1, Горький, 1975, 75—87.
23. Кузмак Г. Е., Асимптотические решения нелинейных
дифференциальных уравнений второго порядка с переменными
коэффициентами «Прикл. матем. и мех.» 23, 3 (1959), 515—526.
24. Кулиш П. П., М а на ков С. В., Фаддеев Л. Д.,
Сравнение точных квантовых и квазиклассических ответов для
нелинейного уравнения Шредингера, ТМФ, 28, 1 (1976).
25. Кучеренко В. В., Асимптотические решения уравнений
с комплексными характеристиками. «Матем. сборник» 95, 2 (1975),
164—213.
26. Кучеренко В. В., Уравнение Гамильтона — Якоби вкомплек-
сной неаналитической ситуации, ДАН СССР 215, 5, 1841 (1973).
.27. Лазуткин В. Ф., Спектральное вырождение и «малые
знаменатели» в асимптотике собственных функций типа
«прыгающего мячика», «Вестн. ЛГУ», 7 (1969).
28. Л а ндау Л. Д., Л ифшиц Е. М., Квантовая механика, М.,
Физматгиз, 1963.
29. Л ере Ж., Гординг Л., К о та к е Т., Задача Коши, М.,
«Мир», 1967.
30. Ломов С. А., Автореферат докторской диссертации, МИЭМ,
1959.
31. Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, М., «Наука», 1970.
32. Масло в В. П., Переход при h -> 0 уравнения Гайзенберга
в уравнение динамики идеального газа и квантование
релятивистской гидродинамики, Теор. и мат. физ., №3 (1969), 378—383.
33. Масло в В. П., Теория возмущений и асимптотические методы,
М., Изд-во МГУ, 1965.
34. Мае лов В. П., Операторные методы, М., «Наука», 1973.
35. Масло в В. П., Задача рассеяния в квазиклассическом
приближении, ДАН СССР 151, 2 (1963), 306-309.
36. Мае лов В. П., О предельном переходе квантовой механики
в классическую, «Вестник МГУ», сер. матем. 6 (1957), 107—116.
37. Ма слов В. П., Поведение решения уравнения Гельмгольца
в области тени за каустиками в неоднородной среде, 3-й
Всесоюзный симпозиум по дифракции, «Наука», Тбилиси, 1964.
38. Масло в В. П., Комплексные марковские цепи и
континуальный интеграл Фейнмана (для нелинейных уравнений), М.,
«Наука», 1976.

ЛИТЕРАТУРА
383
39. Ma ело в В. П., Цупин В. А., Распространение ударной
волны в изоэнтропическом газе с малой вязкостью, «Современные
проблемы математики», 8 (1977), 273.
40. Маслов В. П., ФедорюкМ. В., Квазиклассическое
приближение для уравнений квантовой механики, М., «Наука», 1976.
41. Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. II,
М., Физматгиз, 1967.
42. Мозер Ю., Лекции о гамильтоновых системах, «Мир», 1973.
43. Мищенко А. С, Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е.,
Метод канонического оператора Маслова, Комплексная теория,
М., МИЭМ, 1974.
44. Понтрягин А. С, Обыкновенные дифференциальные
уравнения, М., Физматгиз, 1961.
45. С имен о г И. В., Об асимптотике решения стационарного
нелинейного уравнения Хартри —ТМФ (в печати).
46. Смей л С, Топология и механика, УМН, 28, 2 (104), 1972.
47. Соколов А. А., Тернов В. И., Релятивистский электрон,
М.; «Наука», 1974.
48. Спрингер Дж., Введение в теорию римановых поверхностей,
М., ИЛ, 1960.
49. ТИИЭР, Труды института инженеров по электронике и
радиоэлектронике, Тематический выпуск «Лучи и пучки», М., «Мир»,
1974.
50. Уиттекер Э. Т., Ватсон Н., Курс современного анализа,
М., Физматгиз, 1963.
51. Фаддеев Л. Д., Корепин В. Е. (см. [17]).
52. Фаддеев Л. Д., К у л и ш П. П., Ма н ако в С. В. (см. [24J).
53. Федорюк М. В., Асимптотика дискретного спектра оператора
су"—X2p(x)w = 0, «Матем. сб.» 68 (ПО), 1 (1965), 68—97.
54. ФедорюкМ. В., Метод стационарной фазы и
псевдодифференциальные операторы, УМН 26 (1971), I, 67—112.
55. Фукс Д. Б., О характеристических классах
Маслова—Арнольда, ДАН СССР 178, 2 (1968), 303—306.
56. Худяков С. В., О методе ВКБ для 3-х мерных задач, ЖЭТФ 56,
938, 1S69.
57. Худяков С. В., О квазиклассическом рассеянии в
центрально-симметричном поле, ЖЭТФ 57, 927, 1969.
58. Я к у б о в и ч В. А., Ста ржи некий В. М., Линейные
дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и
их приложения, М., «Наука», 1972.
59. D a s h e n R. F., H a s s 1 а с h e r В., Neven A.,
Non-perturbation methods and extended-pardron models in field theory I. Se-
miclassical functional methods. «Phys. Rev», D 10, 12 (1974),
4114—4129.
60. J. P. Eckma nn, R. Seneor, The Maslov —WKB method for
(an)-harmonic oscillator, Arch. Rat. Mech. Anal. 61, 2 (1976).
61. Horma n der L., A class of hypoclliptic pceudodifferential
operators with double characteristic, Match. Ann. 217 (1975),
165—188.
62. К a to Т., Quasi-linear equations of evolution with applications
to partial differential equations. Lecture Notes in Mathemalics.
Springer-Verlag, Berlin —Heidelberg—New York, 448, 1975.

384
ЛИТЕРАТУРА
63. Kruskal M. D., Car dner J. M., Miur a R. M., Method for
solving the Cortevegde Vries equation, Phys. Rev. Letters 19 (1967),
1095-1097.
64. Lax P. D., Integrals of nonlinear equations of evolution and
solitary waves, Communs Pure and Appl. Math. 21, 5 (1968),
467-490.
65. Luke J. C, A perturbation method for non-linear dispersive
wave problems. Proc. Roy. Sos. A292, 1430 (1966), 403—412.
66. Leray J., Application de la theorie de Maslov des developp-
ment asymtotiques a Г equation de Schrodinger: Colloque d'Aix-
en-Provence (1974): Geometrie symplectique et physique mathema-
tique.
67. Maslov V. P., Perturbation theory et asymptotines, methodes,
Duno, Paris 1972.
68. Maslov V. P., Operational methods, Moscow, Mir Publishers,
1976.
69. Povsner A. J. Linear Method in Problems of non-linear diff.
equations with a small parameter. Int. J. Non-linear Mechanich
9 (1974).
70. Sch winger J., Pros. Nat. Acad. 40, 132 (1954).
71. Whit ham G. В., A general approach to linear and non-linear
dispersive waves using a Lagrangian. J. Fluid. Mech. 22, 2 (1965),
273—283.
72. Whitham G. В., Non-linear dispersive waves, Proc. Roy. Soc.
A283, 1393 (1965), 238—261.
73. Бе лавки н В. П., Ма ел о в В. П., Метод униформизации в
теории нелинейных гамильтоновых систем типа Власова и
Хартри, ТМФ 33, № 1 (1977).